Automorphe Formen (Springer-Lehrbuch Masterclass)

Automorphe Formen

Anton Deitmar

Automorphe Formen

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Prof. Dr. Anton Deitmar Universität Tübingen Institut für Mathematik Auf der Morgenstelle 10 72076 Tübingen Deutschland [email protected]

ISBN 978-3-642-12389-4 e-ISBN 978-3-642-12390-0 DOI 10.1007/978-3-642-12390-0 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): 11F70, 11F12, 11F41, 22E50, 22E55 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Einführung

Dieses Buch ist eine Einführung in die Theorie der automorphen Formen. Beginnend mit klassischen Modulformen, führt es bis zur Darstellungstheorie der adelischen GL(2) und den zugehörigen L-Funktionen. Die klassischen Modulformen sind hierbei ein roter Faden, der an allen Stellen als Beispiel für die entwickelte Theorie dient. Wir führen sie als holomorphe Funktionen auf der oberen Halbebene mit einem Invarianzverhalten unter ganzzahligen Transformationen ein. Indem wir Funktionen auf der Halbebene als Funktionen der Gruppe SL2 .R/ auffassen, ermöglichen wir den Einsatz darstellungstheoretischer Methoden in der Theorie der automorphen Formen. Schließlich werden die Grundringe auf Adele-Ringe erweitert, was dazu führt, dass zahlentheoretische Fragestellungen sozusagen in die Struktur eingebaut werden und mit analytischen Methoden behandelt werden können. Die Vorkenntnisse, die der Leser mitbringen sollte, umfassen etwas Algebra und komplexe Analysis im Umfang einer jeweils einsemestrigen Einführungsvorlesung. Es sollte zum Beispiel bekannt sein, was eine Gruppenoperation ist oder ein Ring, ferner sollte der Leser im Stande sein, den Residuensatz anzuwenden. Darüber hinaus sind Kenntnisse der Lebesgueschen Maß- und Integrationstheorie von Vorteil. Man braucht aus dieser Theorie einerseits die Grundbegriffe wie -Algebren und Maße und andererseits einige Sätze wie die Konvergenzsätze der majorisierten und monotonen Konvergenz oder die Vollständigkeit der Lp -Räume. Diese Dinge sind in einem kleinen Appendix zur Maß- und Integrationstheorie zusammengefasst. Dieses Buch setzt den Schwerpunkt auf das Verhältnis von automorphen Formen zu LFunktionen. Um die Zugänglichkeit zu erhöhen, wird versucht, die zentralen Resultate dieses Gebiets mit minimalem Theorieaufwand zu erreichen. Notwendigerweise muss dann auf die größtmögliche Allgemeinheit der Darstellung verzichtet werden, für den interessierten Leser werden weiterführende Literaturhinweise gegeben. Im ersten Kapitel wird der klassische Zugang zu Modulformen über doppeltperiodische Funktionen gewählt. Durch Betrachtung der Weierstraßschen }-Funktion gelangt man rasch zu den Eisenstein-Reihen und damit zur Theorie der Modulformen. Diese Theorie wird, für die klassische Modulgruppe, im zweiten Kapitel betrachtet, wo auch die L-Funktionen eingeführt werden. Nach Dieudonné hat v

vi

Einführung

die Theorie der automorphen Formen zwei Revolutionen erlebt: die Intervention der Lie-Gruppen und die Intervention der Adele. Die Lie-Gruppen intervenieren im dritten Kapitel, die Adele im Rest des Buches, wobei wir versuchen, die Kontinuität der Darstellung zu bewahren, indem wir immer wieder auf die ersten Beispiele, die klassischen Spitzenformen, zurückkommen. Die Kapitel vier und fünf bereiten den Boden für die Doktorarbeit von John Tate, die im sechsten Kapitel dargestellt wird, allerdings in einer vereinfachten Form, da wir nur über den rationalen Zahlen arbeiten und nicht über einem beliebigen Zahlkörper. Für unsere Zwecke ist das eher förderlich, da wir die zentralen Ideen so besser herausarbeiten können. Im siebenten Kapitel werden automorphe Formen auf der Gruppe der invertierbaren zwei mal zwei Matrizen mit adelischen Einträgen untersucht und im achten Kapitel übertragen wir die Ideen von Tates Doktorarbeit auf den Fall von zwei mal zwei Matrizen und erhalten hierdurch die analytische Fortsetzung der L-Funktionen. Für die klassischen Spitzenformen rechnen wir am Ende nach, dass die neue, allgemeinere Methode in diesem Spezialfall dasselbe Ergebnis liefert wie die Methode aus dem zweiten Kapitel. Ich bedanke mich für das Korrekturlesen dieses Buches und viele nützliche Hinweise bei Ralf Beckmann, Judith Ludwig, Frank Monheim und Martin Raum. Tübingen, Mai 2010

Anton Deitmar

Notation Wir schreiben N D f1; 2; 3; : : : g für die Menge der natürlichen Zahlen und N0 D f0; 1; 2; : : : g für die Menge der natürlichen Zahlen mit Null, sowie Z; Q; R und C für die Mengen der ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Ist A eine Teilmenge einer Menge X , so bezeichnen wir mit 1A W X ! C die Indikatorfunktion von A, d. h., es ist ( 1 falls x 2 A ; 1A .x/ D 0 falls x … A : Ein Ring ist stets kommutativ mit Eins. Ist R ein Ring, so bezeichnen wir mit R die Gruppe der Einheiten von R, d. h., die multiplikative Gruppe der invertierbaren Elemente von R.

Inhaltsverzeichnis

1

Doppelt-periodische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Die Weierstraßsche }-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Die Differentialgleichung der }-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Eisenstein-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Bernoulli-Zahlen und Zetawerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

Modulformen für SL2 .Z/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Die Modulgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Modulformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Abschätzung der Fourier-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Hecke-Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Kongruenzuntergruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Maaßsche Wellenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 20 31 32 38 50 52 63 74

3

Darstellungen der SL2 .R/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Haar-Maße und Zerlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Modulformen als Darstellungsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Die Exponentialabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 89 93 96 99

4

p-adische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.1 Absolutbeträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2 Qp als Vervollständigung von Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4 Haar-Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

vii

viii

Inhaltsverzeichnis

4.5 Direkte und projektive Limiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5

Adele und Idele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.1 Eingeschränkte Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2 Adele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3 Idele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4 Fourier-Analysis auf A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.4.1 Lokale Fourieranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4.2 Globale Fourieranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6

Tate’s Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.1 Poisson Summenformel und Riemanns Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2 Zeta-Funktionen adelisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.3 Dirichlet L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.4 Galois-Darstellungen und L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7

Automorphe Darstellungen der GL2 .A/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.1 Hauptserien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.2 Reell zu adelisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3 Bochner-Integral, Kompakte Operatoren und Arzela-Ascoli . . . . . . . 168 7.4 Spitzenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.5 Der Tensorprodukt-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.5.1 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.5.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.5.3 Zulässigkeit automorpher Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7.6 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8

Automorphe L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.1 Das Gitter M2 .Q/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.2 Lokale Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3 Globale L-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.4 Das Beispiel der klassischen Spitzenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 8.5 Aufgaben und Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Topologie und Integrationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.1 Messbare Funktionen und Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 A.2 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 A.3 Lp -Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Kapitel 1

Doppelt-periodische Funktionen

Wir beginnen mit meromorphen Funktionen der komplexen Ebene, die periodisch in zwei Richtungen sind. Diese lassen sich durch eine Summenkonstruktion gewinnen. Die Abhängigkeit dieser Summenkonstruktion von dem Gitter führt uns dann direkt zum Begriff der Modulformen.

1.1 Definition und erste Eigenschaften Wir erinnern als erstes an den Begriff einer meromorphen Funktion. Sei D eine offene Teilmenge der komplexen Ebene C. Eine meromorphe Funktion f auf D ist eine holomorphe Funktion f W D X P ! C, wobei P  D eine abzählbare Teilmenge ist und die Funktion f in den Punkten von P Pole hat. Hierbei kann die Polstellenmenge P auch leer sein, also ist jede holomorphe Funktion auch meromorph. Da ein Häufungspunkt von Polen stets eine wesentliche Singularität ist, wir wesentliche Singularitäten aber ausgeschlossen haben, folgt, dass P in D keinen Häufungspunkt hat, die Pole können sich also höchstens am Rand häufen. Sei b C D C [ f1g die Riemannsche Zahlenkugel und sei f meromorph auf D mit Polstellenmenge P . Wir erweitern f zu einer Abbildung f W D ! b C, indem wir f .p/ D 1 setzen, falls p 2 P ist. Meromorphe Funktionen werden also auch als überall definierte, b C-wertige Abbildungen aufgefasst. Ist p 2 D ein Punkt und f meromorph auf D, so existiert genau eine ganze Zahl r 2 Z so dass f .z/ D h.z/.z  p/r gilt, wobei h eine Funktion ist, die in z D p holomorph ist und in p nicht verschwindet. Diese Zahl r nennt man die Ordnung von f in p, geschrieben r D ordzDp f .z/ D ordp f : Merke: Die Ordnung von f in p ist positiv, wenn p eine Nullstelle ist und negativ, falls in p ein Pol vorliegt. A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

1

2

1 Doppelt-periodische Funktionen

Definition 1.1.1 Ein Gitter in C ist eine Untergruppe ƒ der additiven Gruppe .C; C/ der Form ƒ D ƒ.a; b/ D Za ˚ Zb D fka C lb W k; l 2 Zg ; wobei a; b 2 C linear unabhängig über R sind. In diesem Fall sagt man, dass das Gitter von a und b erzeugt wird, oder dass a; b eine Z-Basis des Gitters ist. Ein Gitter hat viele Untergitter, zum Beispiel ist ƒ.na; mb/ ein Untergitter von ƒ.a; b/, falls n; m 2 N. Eine Untergruppe †  ƒ ist genau dann ein Untergitter, falls die Quotientengruppe ƒ=† endlich ist (siehe Aufgabe 1.2). Es gilt zum Beispiel: ƒ.a; b/=ƒ.ma; nb/ Š Z=mZ  Z=nZ : Definition 1.1.2 Sei ƒ ein Gitter in C. Eine meromorphe Funktion f auf C heißt doppelt-periodisch zum Gitter ƒ oder ƒ-periodisch, falls f .z C / D f .z/ für jedes z 2 C und jedes  2 ƒ gilt. Ist f doppelt-periodisch zum Gitter ƒ, so auch zu jedem Untergitter. Zur Erklärung dieser Sprechweise verweisen wir auf Aufgabe 1.1. Proposition 1.1.3 Eine holomorphe doppelt-periodische Funktion ist konstant. Beweis: Sei f holomorph und doppelt-periodisch. Dann gibt es ein Gitter ƒ D ƒ.a; b/ mit f .z C / D f .z/ für jedes  2 ƒ. Sei F D F .a; b/ D fta C sb W 0  s; t < 1g : Dann ist F eine beschränkte Teilmenge von C, also ist ihr Abschluss F kompakt. Die Menge F heißt Fundamentalmasche des Gitters ƒ. Wir sagen: zwei Punkte z; w 2 C sind konjugiert modulo ƒ, wenn z  w 2 ƒ.

 



 



 



   b   0s   



 

F





     a



 





 



 



  

Lemma 1.1.4 Sei F eine Fundamentalmasche des Gitters ƒ  C. Dann ist C D F C ƒ, genauer gilt: zu jedem z 2 C existiert genau ein  2 ƒ so dass z C  2 F . Wir können auch sagen: jeder Punkt von C ist modulo ƒ konjugiert zu genau einem Punkt von F .

1.1 Definition und erste Eigenschaften

3

Beweis: Sei a; b die Z-Basis von ƒ, zu der F assoziiert ist, also F D F .a; b/. Da a und b über R linear unabhängig sind, bilden sie eine R-Basis von C, für ein gegebenes z 2 C gibt es also r; v 2 R mit z D ra C vb. Man kann dann eindeutig bestimmte m; n 2 Z finden und t; s 2 Œ0; 1/ so dass r D mCt

und v D n C s :

Dann folgt z D ra C vb D ma C nb C ta C sb „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … 2F

2ƒ



und diese Darstellung ist eindeutig.

Wir beweisen nun die Proposition. Da die Funktion f holomorph ist, ist sie ins  besondere stetig, also ist f F kompakt, also beschränkt. Für ein beliebiges z 2 C gibt es nach dem Lemma ein  2 ƒ mit z C  2 F , also gilt f .z/ D f .z C / 2 f .F /, damit ist die Funktion f überhaupt beschränkt, nach dem Satz von Liouville also konstant.  Proposition 1.1.5 Sei F eine Fundamentalmasche eines Gitters ƒ und sei f eine ƒ-periodische meromorphe Funktion. Dann existiert w 2 C so dass f keinen Pol auf dem Rand der verschobenen Fundamentalmasche Fw D F C w hat. Für jedes solche w gilt dann Z f .z/ dz D 0 ; @Fw

wobei @Fw der positiv orientierte Rand von Fw ist. Beweis: Hat f Pole auf dem Rand von Fw für jedes w, dann muss f überabzählbar viele Pole haben, was der Meromorphie von f widerspricht. Sei also w so gewählt, dass keine Pole von f auf dem Rand von Fw liegen.

 



 



 



 



 



wCb    4   t  w   

 



 

 

   w C a C b

3  Fw 1 

 

  2     wCa





 



 



 



 





Der Integrationsweg @Fw zerlegt sich in die Wege 1 ; 2 ; 3 ; 4 wie im Bild. Nun ist 3 derselbe Weg wie 1 , nur um b 2 ƒ verschoben und in der umgekehrten

4

1 Doppelt-periodische Funktionen

Richtung laufend. Die Funktion f ändert sich nicht, wenn man das Argument um b verschiebt und die Umkehrung der Integrationsrichtung hat einen Zeichenwechsel zur Folge. Zusammen ergibt sich Z Z Z Z f .z/ dz C f .z/ dz D 0 und analog f .z/ dz C f .z/ dz D 0 ; 1

also insgesamt

3

R @Fw

2

f .z/ dz D 0 wie behauptet.

4



Proposition 1.1.6 Sei f periodisch zum Gitter ƒ und F eine Fundamentalmasche von ƒ. Für jedes w 2 C gilt X resz .f / D 0 : z2Fw

Beweis: Ist kein Pol auf dem Rand von Fw , so folgt die Aussage aus dem Residuensatz. Allgemein folgt sie, weil die Summe gar nicht von w abhängt, denn die Residuen ƒ-konjugierter Punkte sind gleich und damit folgt X X resz .f / D resz .f / : z2Fw  z 2 C mod ƒ Proposition 1.1.7 Sei F eine Fundamentalmasche zu dem Gitter ƒ und f sei eine ƒ-periodische meromorphe Funktion. Dann ist für jedes w 2 C die Anzahl der Nullstellen von f in Fw gleich der Anzahl der Polstellen von f in Fw . Beide werden hierbei mit Vielfachheiten gezählt. Beweis: Eine komplexe Zahl z0 ist genau dann eine Null- oder Polstelle von f der 0 Ordnung k 2 Z, wenn die Funktion ff einen einfachen Pol in z0 vom Residuum k hat. Damit folgt die Proposition aus der letzten Proposition, da auch die Funktion f0 doppelt-periodisch zum Gitter ƒ ist.  f

1.2 Die Weierstraßsche }-Funktion Bislang haben wir noch keine doppelt-periodische Funktion gesehen, wenn man von den konstanten Funktionen einmal absieht. In diesem Abschnitt werden wir doppeltperiodische meromorphe Funktionen konstruieren, indem wir Mittag-Leffler-Reihen betrachten, die ihre Pole in den Gitterpunkten haben. Zunächst brauchen wir ein Konvergenzkriterium. Dies beweisen wir in einer schärferen Form als wir jetzt im Moment brauchen, was sich später als nützlich erweisen wird. Sei b 2 C X f0g fest gewählt. Für jedes a 2 C X Rb ist ƒa D Za ˚ Zb ein Gitter.

1.2 Die Weierstraßsche }-Funktion

5

Lemma 1.2.1 Sei ƒ  C ein Gitter und sei s 2 C. Die Reihe X 2ƒ ¤0

1 jjs

konvergiert absolut, wenn Re.s/ > 2. Wir verschärfen diese Aussage wie P folgt. Wir fixieren b 2 CXf0g und betrachten die Gitter ƒa wie oben. Die Summe 2ƒa jj1 s ¤0

konvergiert gleichmäßig für .a; s/ 2 C  fRe.s/  ˛g, wobei C eine kompakte Teilmenge von C X Rb und ˛ > 2 ist. Beweis: Sein ˛ und C wie im Lemma gegeben. Wir können uns auf den Fall Re.s/ > 0 einschränken, da sonst das absolute Glied der Reihe nicht einmal gegen Null geht. Außerdem reicht es, den Fall s 2 R zu betrachten, da für s 2 C gilt j.jjs /j D jj Re.s/ . Dann ist die Funktion x 7! x s für x > 0 monoton wachsend. Sei F .a/ eine Fundamentalmasche von ƒa und sei a;s .z/

D

X 2ƒa ¤0

1 1F .a/C .z/ : jjs

Nach Konstruktion gilt jF .a/j

X 2ƒa ¤0

1 D jjs

Z a;s .x

C iy/ dx dy ;

C

wobei jF .a/j der Flächeninhalt von F .a/ ist. Die stetige Abbildung a 7! jF .a/j nimmt auf dem Kompaktum C Maximum und Minimum an. Es Rgilt a;s  a;˛ falls s  ˛, es reicht also, die (in a) gleichmäßige Konvergenz von C a;˛ .z/ dx dy zu zeigen. Sei r > 0 so groß, dass für jedes a 2 C der Durchmesser der Fundamentalmasche F .a/, diam.F .a// D supfjz  wj W z; w 2 F .a/g 1 für ein a;z 2 ƒa mit kleiner als r ist. Für jedes z 2 C ist a;˛ .z/ D ja;z js jz  a;z j < r. Es gilt dann für jedes a 2 C und z 2 C mit jzj  r,

ja;z j D ja;z  z C zj  ja;z  zj C jzj < r C jzj  2jzj : Auf der anderen Seite gilt für jzj  2r, ja;z j D ja;z  z  .z/j  jja;z  zj  jzjj  Setze R D 2r, dann gilt für jzj  R, R dass a 2 C . Die stetige Abbildung a 7! jzjR

1 s  2s jzj .z/ dx dy a

1 jzj : 2

 2s jzjs für jedes ist auf der kompakten Mena .z/

6

1 Doppelt-periodische Funktionen

ge Es folgt, dass die Reihe gleichmäßig für a 2 C konvergiert, wenn R C beschränkt. 1 dx dy < 1 gilt. Wir benutzen nun die Polarkoordinaten Transformati˛ jzj>R jzj on auf C. Hierzu erinnern wir uns, dass die Abbildung P W .0; 1/  .;  ! C, gegeben durch P .r; / D rei D r cos  C i r sin  eine Bijektion auf das Bild C X f0g ist. Die Funktionaldeterminante dieser Transformation ist r, also ergibt die Transformationsformel: Z

Z Z1 f .x C iy/ dx dy D

f .rei /r dr d  0

C

für jede integrierbare Funktion f . Hieraus folgt Z jzj>R

1 dx dy D 2 jzj˛

Z1 r 1˛ dr ; R



was die Behauptung liefert. In dem folgenden Satz definieren wir die Weierstraßsche }-Funktion.

Satz 1.2.2 Sei ƒ ein Gitter in C. Die Reihe 1 }.z/ def D z2 C

X 2ƒXf0g

1 1  2 2 .z  / 

konvergiert lokal gleichmäßig absolut in CXƒ. Sie definiert eine meromorphe, ƒ-periodische Funktion, die Weierstraßsche }-Funktion.

Beweis: Für jzj < 12 jj gilt j  zj  12 jj. Ferner gilt j2  zj  52 jj. Also ist ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ z.2  z/ ˇ jzj 52 jj 1 1 ˇˇ ˇˇ 2  .z  /2 ˇˇ 10jzj ˇ ˇ  ˇ D D  D ; ˇ .z  /2 2 ˇ ˇ 2 .z  /2 ˇ ˇ 2 .z  /2 ˇ jj3 jj2 41 jj2 so dass mit Lemma 1.2.1 die lokal-gleichmäßige Konvergenz folgt. Die Periodizität ist nicht sofort klar. Wir zeigen zunächst, dass } eine gerade Funktion ist: }.z/ D

X 1 C z2

2ƒXf0g

X 1 1 1  D C .z C /2 2 z2

2ƒXf0g

1 1  2 D }.z/ 2 .z  / 

1.2 Die Weierstraßsche }-Funktion

7

durch ersetzen von  durch . Da die Reihe lokal gleichmäßig konvergiert, dürfen wir gliedweise differenzieren. Die Ableitung, X

} 0 .z/ D 2

2ƒ

1 .z  /3

ist offensichtlich ƒ-periodisch. Daher ist für  2 ƒ die Funktion   }.z C / }.z/ konstant. Für z D  2 bestimmen wir diese Konstante zu } 2  }  2 D 0; da } gerade ist. 

Satz 1.2.3 (Laurent-Entwicklung von }) Sei r D minfjj W  2 ƒ X f0gg. Für 0 < jzj < r gilt 1

X 1 C .2n C 1/G2nC2 z 2n ; 2 z nD1

}.z/ D wobei Gk D Gk .ƒ/ D

P

1 2ƒXf0g k

für k  4:

Beweis: Für 0 < jzj < r und  2 ƒ X f0g gilt jz=j < 1, also 1 1 1 D   D 2 z 2 2 .z  /2   1 

1C

1 X

.k C 1/

kD1

 z k 

! ;

und damit 1 X 1 1 kC1 k  D z : .z  /2 2 kC2 kD1

Wir summieren über alle  und finden 1

}.z/ D

1

X X X 1 1 1 k C .k C 1/ z D C .k C 1/GkC2 z k ; z2 z2 kC2 kD1

¤0

kD1

wobei wir die Summationsreihenfolge vertauscht haben, was wegen absoluter Konvergenz der Doppelsumme erlaubt ist. Diese absolute Konvergenz wiederum folgt aus 1 1 X kC1 k 1 X kC1 k jzj  jzj jj3 jjkC2 jjk1 kD1

kD1

und Lemma 1.2.1. Da } gerade ist, verschwinden die GkC2 für ungerades k.



8

1 Doppelt-periodische Funktionen

1.3 Die Differentialgleichung der }-Funktion Wir zeigen die Differentialgleichung der Weierstraßschen }-Funktion, deren Koeffizienten, die Eisenstein-Reihen, die ersten Beispiele von Modulformen sind. Außerdem liefert diese Differentialgleichung einen Zusammenhang zwischen doppelt periodischen Funktionen und elliptischen Kurven, siehe hierzu die Anmerkungen am Ende des Kapitels. Satz 1.3.1 Die }-Funktion erfüllt die Differentialgleichung  0 2 } .z/ D 4} 3 .z/  60G4 }.z/  140G6 : Beweis: Wir zeigen, dass die Differenz beider Seiten keinen Pol bei Null mehr hat, also eine holomorphe ƒ-periodische Funktion ist, somit konstant. In einer Umgebung der Null gilt } 0 .z/ D  also

2 C 6G4 z C 20G6 z 3 C : : : ; z3

 0 2 4 24G4 } .z/ D 6  2  80G6 C : : : : z z

Andererseits 4} 3 .z/ D

4 36G4 C 2 C 60G6 C : : : ; 6 z z

so dass

 0 2 60G4 } .z/  4} 3 .z/ D  2  140G6 C : : : : z Wir erhalten schließlich  0 2 } .z/  4} 3 .z/ C 60G4 }.z/ D 140G6 C : : : wobei die linke Seite eine holomorphe ƒ-periodische Funktion ist, also konstant. Auswertung der rechten Seite in z D 0 zeigt, dass diese Konstante gleich 140G6 ist. 

1.4 Eisenstein-Reihen Für einen beliebigen Ring R sei M2 .R/ die Menge aller 2  2 Matrizen  mit Einträgen aus R. In der Linearen Algebra beweist man, dass eine Matrix ac db 2 M2 .R/ genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante in R invertierbar ist, wenn also gilt ad  bd 2 R  . Das wird zwar in der Regel nur für Körper formuliert, geht für einen beliebigen Ring aber genauso. Sei dann GL2 .R/ die Gruppe aller invertierbaren Matrizen in M2 .R/. Diese enthält die Untergruppe SL2 .R/ aller Matrizen mit

1.4 Eisenstein-Reihen

9

Determinante 1. Betrachten wir das Beispiel R D Z. Es ist Z D f1; 1g. Daher ist GL2 .Z/ die Gruppe aller Matrizen mit Determinante ˙1. Die Untergruppe SL2 .Z/ ist daher eine Untergruppe vom Index 2. P k Für k 2 N, k  4 konvergiert die Reihe Gk .ƒ/ D . Ist nun 2ƒXf0g   w 2 C , dann ist wƒ ebenfalls ein Gitter und es gilt Gk .wƒ/ D w k Gk .ƒ/ : Sind ˛; ˇ 2 C linear unabhängig über R, dann ist ƒ.˛; ˇ/ D Z˛ ˚ Zˇ ein Gitter in C. Ist z 2 C mit Im.z/ > 0, dann sind 1 und z linear unabhängig über R. Wir definieren die Eisenstein-Reihen als Funktionen auf der oberen Halbebene H D fz 2 C W Im.z/ > 0g durch Gk .z/ D Gk .ƒ.z; 1// D

X .m;n/¤.0;0/

1 ; .mz C n/k

wobei die Summe über alle m; n 2 Z erstreckt  wird, die nicht beide Null sind. In m . Die Gruppe  D SL2 .Z/ operiert Matrizenschreibweise ist mz C n D . z 1 / n     a b m 2 , durch Multiplikation von links. Sei also  D auf allen Paaren c d n so gilt insbesondere X

    X  m k  t m k z1 z1  D Gk .z/ D n n m;n m;n !!k   k  X X  a c m m z1 .az C b; cz C b/ D D n b d n m;n m;n !!k     X az C b m az C b k k D .cz C d / D .cz C d / Gk ; ;1 n cz C d cz C d m;n 

oder Gk

az C b cz C d

 D .cz C d /k Gk .z/ :

Proposition 1.4.1 Ist k  4 gerade, so gilt limy!1 Gk .iy/ D 2.k/, wobei .s/ D

1 X 1 ; s n nD1

Re.s/ > 1 ;

die Riemannsche Zetafunktion ist. (Siehe Aufgabe 1.3.)

10

1 Doppelt-periodische Funktionen

Beweis: Es gilt Gk .iy/ D 2.k/ C

X .m;n/ m¤0

1 : .miy C n/k

Wir behaupten, dass der zweite Summand für y ! 1 gegen Null geht. Dafür schätzen wir ab ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ X ˇX ˇ 1 1 ˇ ˇ  : ˇ ˇ k k n C mk y k ˇ .m;n/ .miy C n/ ˇ .m;n/ ˇ ˇ m¤0

m¤0

Jeder einzelne Summand auf der rechten Seite geht monoton fallend gegen Null, wenn y ! 1. Daher geht die gesamte Summe gegen Null nach dem Satz der Monotonen Konvergenz. 

1.5 Bernoulli-Zahlen und Zetawerte Wir haben gesehen, dass die Eisenstein-Reihen bei Unendlich Zetawerte annehmen. Später werden wir die genauen Werte dieser Zahlen benötigen, weshalb wir sie hier berechnen. In dem folgenden Lemma definieren wir die Bernoulli-Zahlen Bk . Lemma 1.5.1 Für k D 1; 2; 3; : : : gibt es eindeutig bestimmte rationale Zahlen Bk so dass für jzj < 2 gilt 1

X z z ez C 1 z z 2k .1/k Bk C D D 1 : z z e 1 2 2 e 1 .2k/Š kD1

Die ersten Werte sind B1 D 16 ; B2 D

1 ; 30

B3 D

1 ; 42

B4 D

1 ; 30

B5 D

5 . 66

z

Beweis: Sei f .z/ D ezz1 C z2 D z2 eez C1 . Dann ist f holomorph in fjzj < 2g, also 1 konvergiert auch die Potenzreihenentwicklung von f in diesem Kreis. Wir zeigen, dass f gerade ist: f .z/ D 

z ez C 1 z 1 C ez D f .z/ : D  2 ez  1 2 1  ez

Daher gibt es die Entwicklung Bk 2 C. Pmit Zahlen k Sei dann g.z/ D ezz1 D 1 c z . Wir haben zu zeigen, dass die ck rational kD0 k sind. Die Gleichung z D g.z/.ez  1/ liefert 0 1 1 n1 X X c j A: z D zn @ .n  j /Š nD0 j D0

1.6 Aufgaben und Anmerkungen

11

Man erhält c0 D 1 und für jedes n  2 ist cn1 eine rationale Linearkombination der cj mit j < n  1. Induktiv folgt also cj 2 Q.  Proposition 1.5.2 Für jede ganze Zahl k  1 gilt .2k/ D Die ersten Werte sind .2/ D

2 , 6

22k1 Bk  2k : .2k/Š 4 , 90

.4/ D

.6/ D

6 . 945

Beweis: Nach Definition des Kotangens gilt z cot z D zi

eiz C eiz : eiz  eiz

Indem wir z durch z=2i ersetzen wird daraus   z ez C 1 iz z D cot D f .z/ : 2i 2 2 ez  1 Hieraus ergibt sich z cot z D 1 

1 X

Bk

kD1

22k z 2k : .2k/Š

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens (siehe Aufgabe 1.6) lautet  1  X 1 1 1  cot.z/ D : C C z mD1 z C m zm Es folgt z cot z D 1 C 2

1 1 X X z2 z 2k D 1  2 ; z 2  n2  2 n2k  2k nD1 nD1 1 X

kD1

so dass wir erhalten 1 X kD1

1

Bk

1

X X z 2k 22k z 2k : D 2 .2k/Š n2k  2k nD1 kD1

Die Behauptung folgt durch Koeffizientenvergleich.



1.6 Aufgaben und Anmerkungen Aufgabe 1.1 Sei a 2 C X f0g. Eine Funktion f auf C heißt einfach periodisch zur Periode a, oder a-periodisch, falls f .z C a/ D f .z/ für jedes z 2 C gilt. Zeige:

12

1 Doppelt-periodische Funktionen

Sind a; b 2 C linear unabhängig über R, so ist eine Funktion f genau dann ƒ.a; b/periodisch, wenn sie a-periodisch und b-periodisch ist. Diese Tatsache erklärt den Terminus doppelt-periodisch. Aufgabe 1.2 Eine Untergruppe ƒ  C der additiven Gruppe .C; C/ heißt diskrete Untergruppe, falls ƒ in der Teilraumtopologie diskret ist, d. h., wenn es für jedes  2 ƒ eine offene Menge U  C gibt, so dass ƒ \ U D fg ist. Zeige (a) Eine Untergruppe ƒ  C ist genau dann diskret, wenn es eine offene Menge U0  C gibt mit U0 \ C D f0g. (b) Ist ƒ  C eine diskrete Untergruppe, so gibt es drei Möglichkeiten: entweder ist ƒ D f0g, oder es gibt ein 0 2 ƒ mit ƒ D Z0 , oder ƒ ist ein Gitter. (c) Eine diskrete Untergruppe ƒ  C ist genau dann ein Gitter, wenn die Quotientengruppe C=ƒ in der Quotiententopologie kompakt ist. (d) Ist ƒ  C ein Gitter, so ist eine Untergruppe †  ƒ genau dann ein Gitter, wenn sie endlichen Index hat, wenn also die Gruppe ƒ=† endlich ist. AufgabeP 1.3 Zeige, dass die Summe, die die Riemannsche Zetafunktion definiert, 1 s für Re.s/ > 1 absolut konvergiert. Hierbei kann der Beweis von .s/ D nD1 n Lemma 1.2.1 zur Orientierung dienen. Aufgabe 1.4 Seien ˛; ˇ; ˛0 ˇ0 2 C mit C D R˛ C Rˇ D R˛0 C Rˇ 0 . Zeige, 0 0 die dass  Gitter ƒ.˛; ˇ/ und ƒ.˛ ; ˇ / genau dann übereinstimmen, wenn es ein a b 2 GL .Z/ gibt mit 2 c d 

˛0 ˇ0



 a D c

b d

  ˛ : ˇ

Aufgabe 1.5 Sei f meromorph auf C und ƒ-periodisch für ein Gitter ƒ. Sei Fw D F C w eine verschobene Fundamentalmasche zu ƒ so dass auf @Fw keine Pol- oder Nullstelle von f liegt. Sei S.0/ die Summe aller Nullstellen von f in F (mit Vielfachheiten). Sei S.1/ die Summe aller Polstellen von f in F (mit Vielfachheiten). Zeige: S.0/  S.1/ 2 ƒ: (Hinweis: Integriere zf 0 .z/=f .z/.) Aufgabe 1.6 Zeige die Partialbruchentwicklung des Kotangens:  1  X 1 1 1 :  cot.z/ D C C z mD1 z C m zm (Hinweis: die Differenz beider Seiten ist periodisch und ganz. Zeige, dass sie beschränkt ist.) Aufgabe 1.7 Seien z; w 2 C und sei } die Weierstraß-}-Funktion zum Gitter ƒ. Zeige, dass }.z/ D }.w/ genau dann, wenn z C w oder z  w im Gitter ƒ liegt.

1.6 Aufgaben und Anmerkungen

13

Aufgabe 1.8 Sei ƒ ein Gitter in C und } die Weierstraß-}-Funktion zu ƒ. (a) Seien a1 ; : : : ; an und b1 ; : : : ; bm komplexe Zahlen. Zeige dass die Funktion Qn i D1 }.z/  }.ai / f .z/ D Qm j D1 }.z/  }.bj / eine gerade ƒ-periodische Funktion ist. (b) Zeige, dass jede gerade meromorphe ƒ-periodische Funktion eine rationale Funktion von } ist. (c) Zeige, dass jede ƒ-periodische meromorphe Funktion von der Form R.}.z//C } 0 .z/Q.}.z// ist, wobei R und Q rationale Funktionen sind.

Anmerkungen Setzt man g4 D 15G4 und g6 D 35G6 so sieht man, dass .x; y/ D .}; } 0 =2/ die Gleichung y 2 D x 3  g4 x  g6 erfüllt. Dies bedeutet, dass die Abbildung z 7! .}.z/; } 0 .z/=2/ die komplexe Mannigfaltigkeit C=ƒ bijektiv auf die durch die obige Gleichung beschriebene elliptische Kurve abbildet. Man erhält in der Tat alle elliptischen Kurven über C auf diese Weise, elliptische Kurven werden also durch Gitter in C parametrisiert. In dem Buch [29] findet man eine gute Einführung in die Theorie der elliptischen Kurven. Die in diesem Abschnitt auftretende Riemannsche Zetafunktion besitzt eine meromorphe Fortsetzung auf die ganze komplexe Ebene und erfüllt eine Funktionalgleichung, wie in 6.1.2 gezeigt wird. Die berühmte Riemann Hypothese besagt, dass jede Nullstelle der Funktion .s/ im Streifen 0 < Re.s/ < 1 bereits bei Re.s/ D 12 liegt. Diese Aussage gilt als die am härtesten umkämpfte ungelöste Vermutung der gesamten Mathematik.

Kapitel 2

Modulformen für SL2 .Z/

In diesem Kapitel führen wir den Begriff der Modulform und ihrer L-Funktion ein. Wir bestimmen den Raum der Modulformen, indem wir eine explizite Basis angeben. Wir betrachten Hecke-Operatoren und zeigen, dass die L-Funktion einer Hecke-Eigenform sich in ein Euler-Produkt entwickeln lässt.

2.1 Die Modulgruppe Wir erinnern an den Begriff einer Gruppenoperation. Definition 2.1.1 Sei G eine Gruppe und X eine Menge. Eine Operation der Gruppe G auf X ist eine Abbildung GX ! X; geschrieben .g; x/ 7! gx, derart dass gilt 1x D x

und g.hx/ D .gh/x ;

wobei x 2 X und g; h 2 G beliebige Elemente sind und 1 für das Einselement der Gruppe G steht. Dies ist der übliche Begriff einer Gruppenoperation, bei der die Gruppe von links operiert. Es gibt aber auch noch den Begriff der Rechtsoperation, der in Lemma 2.2.2 erklärt wird. Unter diesen Umständen ist die Abbildung x 7! gx stets invertierbar, denn ihre Umkehrabbildung ist x 7! g 1 x. Die Gruppe GL2 .C/ operiert auf der Menge C2 X f0g durch Matrizenmultiplikation. Da diese Operation linear ist, operiert die Gruppe auch auf dem projektiven Raum P1 .C/, den wir als die Menge aller eindimensionalen Untervektorräume von C2 definieren. Jeder Vektor in C2 X f0g spannt einen solchen Unterraum auf und zwei Vektoren geben genau dann denselben Unterraum, wenn sie durch die natürliA. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

15

2 Modulformen für SL2 .Z/

16

che C -Operation auseinander hervorgehen. Mit anderen Worten, wir haben einen kanonischen Isomorphismus  ı P1 .C/ Š C2 X f0g C : Die Elemente von P1 .C/ schreibt man als Œz; w, wobei .z; w/ 2 C2 X f0g und Œz; w D Œz 0 ; w 0  , 9 2 C W .z 0 ; w 0 / D .z; w/ : Ist w ¤ 0, so existiert genau ein Vertreter der Form Œz; 1 und die Abbildung z 7! Œz; 1 ist eine Injektion C ,! P1 .C/, mittels der wir C als eine Teilmenge von P1 .C/ auffassen können. Das Komplement von C in P1 .C/ besteht aus einem einzigen Punkt 1 D Œ1; 0, so dass P1 .C/ die Einpunktkompaktifizierung b C D C [ f1g ist, die wir auch als Riemannsche Zahlenkugel kennen. Wir lassen nun GL2 .C/ ope  rieren via g:.z; w/ D .z; w/gt , dann ist mit g D ac db ,  g:Œz; 1 D Œaz C b; cz C d  D

 az C b ;1 ; cz C d

azCb hat genau einen Pol in b C, also wird falls cz C d ¤ 0. Die rationale Funktion czCd hierdurch eine Operation von GL2 .C/ auf der Riemannschen Zahlenkugel definiert:

g:z D

az C b ; cz C d

wobei wir setzen g:z D 1, falls cz C d D 0. Man beachte, dass cz C d und az C b nicht gleichzeitig Null sein können (Aufgabe 2.1). Auf der anderen Seite gilt ( a falls c ¤ 0 ; g:1 D lim g:z D c z!1 1 sonst.   Die Matrizen der Form   mit  ¤ 0 operieren trivial. Daher reicht es, die Operation auf die Gruppe SL2 .C/ D fg  2 GL2 .C/ W det.g/ D 1g einzuschränken. Man beachte, dass das Element 1 D 1 1 trivial operiert. b Lemma 2.1.2 Die   Gruppe SL2 .C/ operiert transitiv auf der Zahlenkugel C. Das Element 1 1 operiert trivial. Wenn wir diese Operation auf die Untergruppe C in drei Bahnen: H und H, sowie die Menge G D SL2 .R/ einschränken, zerfällt b b R D R [ f1g.   :1, also ist die Operation transitiv. Beweis: Sei z 2 C, dann gilt z D z1 z1 1 b Ferner folgt,dass R in der G-Bahn von 1 liegt. Für g D ac db 2 G und z 2 C rechnet man leicht nach, dass gilt Im.g:z/ D

Im.z/ : jcz C d j2

2.1 Die Modulgruppe

17

Damit lässt die Operation von G die drei genannten Mengen invariant. Es ist leicht zu sehen, dass b R eine G-Bahn ist. Wir zeigen, dass G auf H transitiv operiert. Sei z D x C iy 2 H, dann gilt 1 0p y pxy Ai : z D @ p1 0 y  Definition 2.1.3 Sei GITT die Menge aller Gitter in C. Sei BAS die Menge aller RBasen von C, also die Menge aller Paare .z; w/ 2 C2 , die über R linear unabhängig sind. Sei BASC die Teilmenge aller Basen, die im Uhrzeigersinn orientiert sind, also aller .z; w/ 2 BAS mit Im.z=w/ > 0. Wir erhalten eine natürliche Abbildung: ‰ W BASC ! GITT ; indem wir definieren ‰.z; w/ D Zz ˚ Zw : Dies Abbildung ist surjektiv, aber nicht injektiv, denn z. B. ‰.z Cw; w/ D ‰.z; w/. C t Die Gruppe  D SL2 .Z/ operiert  BAS durch :.z; w/ D .z; w/ D  a bauf .az C bw; cz C dw/ falls  D c d . Hierbei sei daran erinnert, dass eine invertierbare reelle Matrix die Orientierung einer Basis genau dann erhält, wenn ihre Determinante positiv ist. Die Gruppe  D SL2 .Z/ wird die Modulgruppe genannt. Lemma 2.1.4 Zwei Basen werden unter ‰ genau dann auf dasselbe Gitter abgebildet, wenn sie in derselben -Bahn liegen. Also stiftet ‰ eine Bijektion Š

‰ W n BASC ! GITT : Beweis: Seien .z; w/ und .z 0 ; w 0 / zwei im Uhrzeigersinn orientierte Basen mit ‰.z; w/ D ƒ D ‰.z 0 ; w 0 /. Da z 0 ; w 0 Elemente des von z und w erzeugten  Git ters sind, gibt es a; b; c; d 2 Z mit .z 0 ; w 0 / D .az C bw; bz C dw/ D .z; w/ ac db . liegen, gibt es Da andersherum z und w in demvon z0 und w 0 erzeugten Gitter a b ˛ ˇ  ˛ ˇ 0 0 D .z; w/. Da ˛; ˇ; ; ı 2 Z mit .z; w/ D .z w /  ı , ergo .z; w/ c d  ı a b ˛ ˇ    z und w über R linear unabhängig sind, folgt hieraus c d D 1 1 und  ı   damit ist  D ac db ein Element von GL2 .Z/. Damit ist det. / D ˙1. Da  eine im Uhrzeigersinn orientierte Basis, nämlich .z; w/ auf eine im Uhrzeigersinn orientierte Basis, nämlich .z 0 ; w 0 / abbildet, ist det. / > 0, also det. / D 1 und damit  2 , also liegen die beiden Basen in derselben -Bahn. Die andere Richtung ist trivial.  Die Menge BASC ist etwas unhandlich, deshalb dividiert man noch eine C -Operation heraus. Die Gruppe C operiert auf BASC durch Multiplikation .a; b/ D .a; b/. Es ist .a; b/ D b.a=b; 1/, also hat jede C -Bahn genau einen

2 Modulformen für SL2 .Z/

18

Vertreter der Form .z; 1/ mit z 2 H. Diese Operation kommutiert mit der Operation von , also operiert C auf n BASC . Ferner operiert C durch Multiplikation auf GITT und die Abbildung ‰ übersetzt eine Operation in die andere, d. h. es gilt ‰..z; w// D ‰.z; w/. Da ‰ bijektiv ist, sind also die beiden C -Operationen isomorph und insbesondere wirft ‰ die Bahnenräume bijektiv aufeinander, stiftet also eine Bijektion Š

‰ W n BASC =C ! GITT =C :   Sei nun z 2 H, dann ist .z; 1/ 2 BASC . Ist  D ac db 2 , dann ist modulo der C -Operation:  az C b ; 1 C : .z; 1/ t C D .az C b; cz C d /C D cz C d Das bedeutet, wenn wir  durch gebrochen lineare Transformationen auf H operieren lassen, ist die Abbildung z 7! .z; 1/C äquivariant unter . Satz 2.1.5 Die Abbildung z 7! Zz C Z liefert eine Bijektion Š

nH ! GITT =C : Beweis: Die Abbildung ist die Verkettung der Abbildungen '

Š

nH ! n BASC =C ! GITT =C und damit wohldefiniert. Wir müssen nur zeigen, dass ' bijektiv ist. Für die Surjektivität sei .v; w/ 2 BASC , dann ist .v; w/C D .v=w; 1/C und v=w 2 H, also ist ' surjektiv. Für die Injektivität nimm an: '.z/ D '.w/. Das bedeutet  .z; 1/C D .w; 1/C , es existieren also  D ac db 2  und  2 C mit .w; 1/ D .z; 1/. Die rechte Seite ist .z; 1/ D .az C b; cz C d / D .w; 1/ ; woraus durch Vergleich der zweiten Komponenten folgt, dass  D .cz C d /1 gilt azCb und somit w D czCd D :z, wie behauptet.  Definition ist durch den Umstand motiviert, dass das Element 1 D   1Die folgende 1 trivial auf der oberen Halbebene H operiert. Definition 2.1.6 Sei  D = ˙ 1. Für eine Untergruppe † von  sei † das Bild von † in . Es gilt dann ( Œ W † falls  1 2 † ; Œ W † D 1 Œ W † sonst. 2

2.1 Die Modulgruppe

Seien

19

 0 S D 1 def

Es gilt Sz D

1 ; 0 1 ; z

 1 T D 0 def

1 1

:

Tz D z C1;

sowie S 2 D 1 D .S T /3 . Es sei D die Menge aller z 2 H mit j Re.z/j < 12 und jzj > 1, siehe das weiter unten folgende Bild. Sei D der Abschluss von D in H. Die Menge D ist ein sogenannter Fundamentalbereich für die Gruppe SL2 .Z/, siehe Definition 2.5.15.

Satz 2.1.7 (a) Für jedes z 2 H gibt es ein  2  mit z 2 D. (b) Liegen z; w 2 D mit z ¤ w in derselben -Bahn, dann gilt Re.z/ D ˙ 12 und z D w ˙ 1, oder jzj D 1 und w D 1=z. In jedem Fall liegen beide Punkte auf dem Rand von D. (c) Für z 2 H sei z der Stabilisator von z in . Für z 2 D ist z D f˙1g außer wenn • z D i , dann ist z von der Ordnung vier, erzeugt von S , • z D  D e2 i=3 , dann ist z von Ordnung sechs, erzeugt von S T , • z D  D e i=3 , dann ist z von Ordnung sechs, erzeugt von T S . (d) Die Gruppe  wird erzeugt von S und T .

2 Modulformen für SL2 .Z/

20

Beweis: Sei  0 die Untergruppe von  erzeugt von S und T . Wir zeigen dass es zu jedem z 2 H ein  0 2  0 gibt mit  0 z 2 D. Sei also g D ac db in  0 . Für z 2 H gilt Im.z/ Im.gz/ D : jcz C d j2 da c und d ganze Zahlen sind, ist für jedes M > 0 die Menge aller Paare .c; d / mit jcz C d j < M endlich. Daher existiert  2  0 so dass Im.z/ maximal ist. Wähle eine ganze Zahl n so dass T n z einen Realteil in Œ1=2; 1=2 hat. Wir behaupten dass das Element w D T n z in D liegt. Es reicht zu zeigen, dass jwj  1 ist. Wäre jwj < 1, so hätte das Element 1=w D S w einen Imaginärteil echt größer als I m.w/, was nicht möglich ist. Also ist in der Tat w D T n z in D und insbesondere ist Teil (a) bewiesen.   Wir beweisen Teil (b) und (c) gemeinsam. Sei z 2 D und sei 1 ¤  D ac db 2  mit z 2 D. Wir können das Paar .z;  / auch durch .z;  1 / ersetzen und können annehmen, dass Im.z/  Im.z/ gilt, also jcz C d j  1. Dies ist nicht möglich für jcj  2, also bleiben die Fälle c D 0; 1; 1. • Ist c D 0, dann muss d D ˙1 sein und wir können d D 1 annehmen. Dann ist z D z C b und b ¤ 0. Da die Realteile beider Zahlen in Œ1=2; 1=2 liegen, folgt b D ˙1 und Re.z/ D ˙1=2. • Ist c D 1, so impliziert jz C d j  1 schon d D 0, außer im Fall z D ;  in welchem Fall wir auch d D 1; 1 haben können. – Ist d D 0, dann ist jzj D 1 und ad  bc D 1 impliziert b D 1, also gz D a  1=z und hieraus ergibt sich a D 0 außer im Fall Re.z/ D ˙ 12 , also z D ; . – ist z D  und d D 1, so folgt a  b D 1 und g D a  1=.1 C / D a C , also a D 0; 1. Der Fall z D  ist ähnlich. • Ist c D 1, so kann man die ganze Matrix durch ihr negatives ersetzen und ist auf den Fall c D 1 zurückgeführt. Es bleibt zu zeigen  D  0 . Hierzu sei  2  und z 2 D. Dann existiert ein  2  0 mit  0 z D z, also  D  01 2  0 .  0

2.2 Modulformen Wir führen nun die Protagonisten dieses Kapitels ein. Dies geschieht in Definition 2.2.9. Vorher beginnen wir mit schwach modularen Funktionen. Definition 2.2.1 Sei k 2 Z. Eine meromorphe Funktion f auf H heißt schwach modular vom Gewicht k, falls gilt  az C b D .cz C d /k f .z/ f cz C d   für jedes z 2 H, in dem f definiert ist, und jedes ac db 2 SL2 .Z/.

2.2 Modulformen

21

Beachte: Existiert eine solche Funktion f ¤ 0, so muss k gerade sein, da die   Matrix 1 1 in SL2 .Z/ liegt.   azCb Für  D ac db 2 G bezeichnen wir die induzierte Abbildung z 7! z D czCd ebenfalls mit . Dann gilt 1 d.z/ : D dz .cz C d /2 Das bedeutet, dass eine holomorphe Funktion genau dann schwach modular vom Gewicht 2 ist, wenn die Differentialform ! D f .z/dz auf H invariant unter  ist, d. h., wenn   ! D ! für jedes  2  gilt, wobei   ! die unter der Abbildung  W H ! H zurückgezogene Differentialform bezeichnet. Allgemeiner definieren wir für k 2 Z und f W H ! C:  az C b def k f jk .z/ D .cz C d / f ; cz C d   wobei  D ac db 2 G. Wenn k fest gewählt ist, lassen wir es in der Notation weg, d. h., wir schreiben f j D f jk . Lemma 2.2.2 Durch f 7! f j wird eine lineare (Rechts-)Operation der Gruppe G auf dem Raum der Funktionen f W H ! C definiert, d. h., • für jedes  2 G ist die Abbildung f 7! f j linear, • es gilt f j1 D f und f j. 0 / D .f j/j 0 . Jede Rechtsoperation lässt sich durch Inversenbildung in eine Linksoperation verwandeln, d. h. man definiert f D f j 1 und hat dann . 0 /f D . 0 f /. Beweis: Die einzige nichttriviale Aussage ist f j. 0 / D .f j/j 0 . Für k D 0 ist diese Aussage einfach: f j. 0 /.z/ D f . 0 z/ D f j. 0 z/ D .f j/j 0 .z/ : Sei j.; z/ D .cz C d /. Man rechnet nach, dass dieser „Automorphiefaktor“ eine sogenannte Cozykelrelation erfüllt: j. 0 ; z/ D j.;  0 z/j. 0 ; z/ : Nun ist ja f jk .z/ D j.; z/k f j0 .z/, also f jk . 0 /.z/ D j. 0 ; z/k f j0 . 0 /.z/ D j.;  0 z/k j. 0 ; z/k .f j0 /j0  0 .z/ D .f jk /jk  0 .z/ :  Lemma 2.2.3 Sei k 2 2Z. Eine meromorphe Funktion f auf H ist genau dann schwach modular vom Gewicht k, wenn für jedes z 2 H gilt f .z C 1/ D f .z/

und f .1=z/ D z k f .z/ :

2 Modulformen für SL2 .Z/

22

Beweis: Nach Definition ist f genau dann modular, wenn gilt f jk  D f für jedes  2 , also wenn f unter der Gruppenaktion von  invariant ist. Es reicht, diese Invarianz auf den beiden Erzeugern S und T zu überprüfen.  Wir kommen nun zur Definition einer modularen Funktion. Sei zunächst f eine schwach modulare Funktion. Wir stellen fest, dass die Abbildung q W z 7! e2 iz die obere Halbebene surjektiv auf die punktierte Kreisscheibe D D fz 2 C W 0 < jzj < 1g abbildet. Zwei Punkte z; w in H haben genau dann dasselbe Bild unter q, wenn es ein k 2 Z gibt, so dass w D z C k ist. Also induziert q eine Bijektion q W ZnH ! D . Insbesondere gibt es zu jeder schwach modularen Funktion f auf H eine Funktion fQ auf D X fPolstelleng mit f .z/ D fQ.q.z// : Das bedeutet, dass für w 2 D gilt fQ.w/ D f



log w 2 i

;

wobei log w ein beliebiger Zweig des holomorphen Logarithmus ist, der in einer Umgebung von w definiert ist. Es folgt, dass fQ eine meromorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe ist. Definition 2.2.4 Eine schwach modulare Funktion f vom Gewicht k heißt modulare Funktion vom Gewicht k, falls die induzierte Funktion fQ meromorph auf der Kreisscheibe D D fz 2 C W jzj < 1g ist. Man sagt zu dieser Eigenschaft auch, dass f meromorph im Unendlichen ist. Dies bedeutet, dass fQ.q/ in q D 0 höchstens einen Pol besitzt. Es folgt, dass die Pole von fQ in D sich nicht in q D 0 häufen können, da sonst eine wesentliche Singularität vorläge. Für die Funktion f bedeutet dies, dass es eine Schranke T D Tf > 0 gibt, so dass f keine Pole in fz 2 H W Im.z/ > T g hat. Wir brauchen die Fourier-Entwicklung der Funktion f . Wir müssen wissen, dass die Fourier-Reihe gleichmäßig konvergiert. Dies zeigen wir in folgendem Lemma, wobei C 1 .R=Z/ verstanden werden kann als die Menge aller unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen g W R ! C, die periodisch sind mit Periode 1, für die also gilt g.x C 1/ D g.x/, x 2 R. Definition 2.2.5 Sei D  R eine unbeschränkte Menge. Eine Funktion f W D ! C heißt schnell fallend, falls für jedes N 2 N die Funktion x N f .x/ auf dem Definitionsbereich D beschränkt ist. Für D D N erhält man als Spezialfall den Begriff einer schnell fallenden Folge. 1 schnell fallend. Beispiele 2.2.6 • Für D D N ist die Folge ak D kŠ x • Für D D Œ0; 1/ ist die Funktion f .x/ D e ist schnell fallend. 2 • Für D D R ist die Funktion f .x/ D ex schnell fallend.

2.2 Modulformen

23

Proposition 2.2.7 (Fourier-Reihe) Ist g 2 C 1 .R=Z/, so gilt für jedes x 2 R, X ck .g/e2 i kx ; g.x/ D k2Z

R1 wobei ck .g/ D 0 g.t/e2 i k t dt ist und die Summe gleichmäßig konvergiert. Die Fourier-Koeffizienten ck D ck .g/ sind schnell fallend in k 2 Z. Die Fourier-Koeffizienten ck .g/ sind eindeutig in dem folgenden Sinne. Sei .ak /k2Z eine Familie komplexer Zahlen so dass für jedes x 2 R gilt 1 X

g.x/ D

ak e2kx ;

kD1

wobei die Reihe lokal-gleichmäßig konvergiert, dann ist ak D ck .g/ für jedes k 2 Z. Beweis: Wir wenden partielle Integration an und erhalten für k ¤ 0 ˇ ˇ 1 ˇ ˇ ˇ ˇZ ˇ ˇ Z1 ˇ ˇ ˇ ˇ 1 jck .g/j D ˇˇ g.t/e2 i t k dt ˇˇ D ˇˇ g 0 .t/e2 i k t dt ˇˇ ˇ 2 i k ˇ ˇ ˇ 0 0 ˇ ˇ ˇ ˇ Z1 Z1 ˇ ˇ 1 1 00 2 i k t ˇ ˇ g .t/e dt ˇ  jg00 .t/j dt : Dˇ 2 2 4 2 k 2 ˇ ˇ 4 k 0

0

Durch Iteration erhalten wir, dass ck .g/ schnell fallendP ist. Insbesondere folgern P wir, dass k2Z jck .g/j < 1, also konvergiert die Reihe k2Z ck .g/e2 i kx gleichmäßig. Wir müssen nur feststellen, dass sie gegen g konvergiert. Es reicht dies im Punkte x D 0 zu tun, denn nehmen wir an, wir haben die Aussage für x D 0 gezeigt, dann sei gx .t/ D g.x C t/, so gilt X ck .gx / : g.x/ D gx .0/ D k

R1

Es ist nun ck .gx / D 0 g.t C x/e2 i k t dt P D e2 i kx ck .g/, also folgt die Behauptung. Wir müssen also nur zeigen g.0/ D k ck .g/. Wir können uns auf den Fall g.0/ D 0 zurückziehen indem wir g.x/ durch g.x/ P  g.0/ ersetzen. Wir nehmen also an, dass g.0/ D 0 und müssen zeigen, dass k ck .g/ D 0. Sei h.x/ D

g.x/ : 1

e2 ix

Da g.0/ D 0, ist h 2 C 1 .R=Z/ und es gilt Z1 ck .g/ D 0

h.x/.e2 ix  1/e2 i kx dx D ck1 .h/  ck .h/ :

2 Modulformen für SL2 .Z/

24

P

Da h 2 C 1 .R=Z/, konvergiert die Reihe k ck .h/ ebenfalls absolut und es gilt P P c .g/ D .c .h/  ck .h// D 0. k k1 k k Nun zur Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten. Sei .ak /k2Z wie in der Proposition. Wegen der lokal-gleichmäßigen Konvergenz ist die folgende Vertauschung von Integration und Summation gerechtfertigt. Für l 2 Z gilt Z1 cl .g/ D

g.t/e

2 i lt

dt D

Z1 X 1

0

D

0 1 X

kD1

Z1 ak

ak e2kt e2 i lt dt

kD1

e2kt e2 i lt dt :

0

Nun ist Z1

e2kt e2 i lt dt D

0

Z1 e2.kl/t dt D 0

8 <1 falls k D l ; :0 sonst.

Hieraus folgt cl .g/ D al .



Dieser hübsche Beweis für die Konvergenz von Fourier-Reihen geht auf H. Jacquet zurück. Sei f eine schwach modulare Funktion vom Gewicht k. Da f .z/ D f .z C 1/ und f (außer in den Polen) unendlich oft reell stetig differenzierbar ist, kann man f in eine Fourier-Reihe entwickeln: f .x C iy/ D

C1 X

cn .y/e2 i nx ;

nD1

falls auf der Geraden Im.w/ D y kein Pol von f .w/ liegt, was für alle bis auf abzählbar viele y > 0 der Fall ist. Für ein solches y ist die Folge .cn .y//n2Z schnell fallend. Lemma 2.2.8 Sei f eine modulare Funktion auf H und sei T > 0 so dass f keine Pole in fIm.z/ > T g hat. Für jedes n 2 Z und y > T gilt cn .y/ D an e2 ny für eine Konstante an . Es gilt f .z/ D

C1 X

an e2 i nz ;

nDN

wobei N die Polordnung der induzierten meromorphen Funktion fQ im Punkte q D 0 ist. Für jedes a > 0, ist die Folge an eajnj schnell fallend.

2.2 Modulformen

25





q ist Beweis: Die induzierte Funktion fQ mit f .z/ D fQ.q.z// oder fQ.q/ D f log 2 i meromorph. Es folgt, dass fQ in einer punktierten Umgebung der Null eine LaurentEntwicklung hat 1 X an w n : fQ.w/ D nD1

ersetzt man w durch q.z/, so erhält man f .z/ D

C1 X

an e2 i nz :

nD1

Wegen der Eindeutigkeit der Fourier-Koeffizienten folgt die Behauptung.



Wir halten insbesondere fest, dass die Fourier-Entwicklung einer modularen Funktion gleich der Laurent-Entwicklung der induzierten Funktion fQ im Nullpunkt ist. Definition 2.2.9 Eine modulare Funktion f heißt Modulform, falls f holomorph ist in H und holomorph in 1, d. h. an D 0 für jedes n < 0. Eine Modulform f heißt Spitzenform, falls zusätzlich a0 D 0 gilt. Man sagt dann auch, dass f in 1 verschwindet. Als Beispiele betrachten wir die Eisenstein-Reihen Gk für k  4. Wir schreiben q D e2 iz . Proposition 2.2.10 Für gerades k  4 gilt Gk .z/ D 2 .k/ C 2 wobei k .n/ D

P d jn

1 .2 i /k X k1 .n/q n ; .k  1/Š nD1

d k die k-te Teilerpotenzsumme ist.

Beweis: Auf der einen Seite haben wir die Partialbruchzerlegung des Kotangens cot. z/ D

1  X 1 1 1 : C C z mD1 z C m zm

Andererseits gilt cot. z/ D Also

1 X cos. z/ qC1 2 i qn : D i D i  D i  2 i sin. z/ q1 1q nD0

1  1 X X 1 1 1 D i  2 i C C qn : z mD1 z C m zm nD0

2 Modulformen für SL2 .Z/

26

Durch wiederholtes Differenzieren beider Seiten bekommen wir für k  4 1 X 1 1 k D nk1 q n : .2 i / k .k  1/Š .z C m/ nD1 m2Z

X

Die Eisenstein-Reihe ist nun X

Gk .z/ D

.n;m/¤.0;0/

D 2 .k/ C D 2 .k/ C

1 X X 1 1 D 2 .k/ C 2 k .nz C m/ .nz C m/k nD1 m2Z

1 1 2.2 i /k X X k1 ad d q .k  1/Š aD1 d D1 1 k X

2.2 i / .k  1/Š

k1 .n/q n :

nD1



Damit ist die Proposition bewiesen.

Sei f eine modulare Funktion vom Gewicht k. Für  2  zeigt die Formel f .z/ D .cz C d /k f .z/, dass die Verschwindungsordnungen von f in z und z übereinstimmen. Das bedeutet, dass ordz f nur vom Bild von z in nH abhängt. Wir definieren außerdem ord1 .f / als die Verschwindungsordnung von fQ.q/ in q D 0, wobei fQ.e2 iz / D f .z/. Schließlich sei für z 2 H die Zahl 2ez die Ordnung der Stabilisatorgruppe von z in , also ez D j2z j . Es gilt dann

ez

8 ˆ <2 z konjugiert zu i mod./ D 3 z konjugiert zu  D e2 i=3 mod./ ˆ : 1 sonst.

Satz 2.2.11 Sei f ¤ 0 eine modulare Funktion vom Gewicht k. Dann gilt ord1 .f / C

X 1 k ordz .f / D : ez 12

z2nH

Beweis: Zunächst bemerken wir, dass die Summe sinnvoll ist, d. h., f hat nur endlich viele Null- und Polstellen modulo . In der Tat, in nH können sich diese nicht häufen nach dem Identitätssatz. Aber auch bei 1 können sie sich nicht häufen, da f auch bei 1 meromorph ist. Wir schreiben die Behauptung als ord1 .f / C

X 1 1 k ordi .f / C ord .f / C : ordz .f / D 2 3 12 z2nH z¤i;

2.2 Modulformen

27

Sei D der Fundamentalbereich von  wie in Abschn. 2.1. Wir integrieren die Funk0 tion 21 i ff über den Rand von D wie in folgendem Bild.

Nehmen wir zunächst an, dass f keine Null oder Polstellen auf dem Rand von D hat außer vielleicht in i oder ; . Sei  der positiv orientierte Rand von D, bis auf i; ; , denen wir auf Kreissegmente nach innen von D ausweichen, wie im Bild ersichtlich, sowie die Strecke 12 C iT;  21 C iT für ein T > 0, dass größer ist als jeder Imaginärteil eines Poles von f . Es folgt Z X f0 1 ordz .f / : D 2 i f z2nH z¤i;



Andererseits: (a) Die Substitution q D e2 iz transformiert die Strecke Kreis ! um q D 0 von negativer Orientierung. Also 1 2 i

 12 CiT

Z

f0 1 D f 2 i

1 2 CiT

Z

Z k./

C iT;  21 C iT in einen

f0 D  ord1 .f / : f

!

(b) Das Kreissegment k./ um  hat Radius 1 2 i

1 2

2 , 6

also gilt nach Aufgabe 2.4:

1 f0 !  ord .f / ; f 6

2 Modulformen für SL2 .Z/

28

wenn der Radius des Kreissegmentes gegen Null geht. Ebenso mit den Kreissegmenten k.i / und k./, Z Z f0 f0 1 1 1 1 !  ordi .f /; !  ord .f / : 2 i f 2 2 i f 6 k.i /

k./

(c) Die senkrechten Wegintegrale heben sich auf. (d) Die beiden Segmente s1 ; s2 des Einheitskreises gehen durch die Transformation z 7! S z D z 1 ineinander über. Es gilt f0 f0 k .S z/S 0 .z/ D C .z/ : f z f Also 1 2 i

Z s1

f0 1 C f 2 i

Z s2

f0 1 D f 2 i

Z  s1

1 D 2 i

Z s1

f0 f0 .z/  .S z/S 0 .z/ f f

dz

k k dz ! : z 12

Vergleicht man die beiden Ausdrücke für das Integral und macht den Grenzübergang, so folgt die Behauptung. Hat f weitere Pole oder Nullstellen auf dem Rand, modifiziert man den Weg  , so dass der diese umgeht.  Sei Mk D Mk ./ der komplexe Vektorraum der Modulformen vom Gewicht k und Sk der Raum der Spitzenformen vom Gewicht k. Dann ist Sk  Mk der Kern der linearen Abbildung f 7! f .1/. Beachte, dass eine holomorphe Funktion f auf H mit f jk  D f für jedes  2  genau dann in Mk liegt, wenn der Limes lim

f .z/

Im.z/!1

existiert. In der Differentialgleichung der }-Funktion erscheinen die Koeffizienten g4 D 60G4 ;

g6 D 140G6 :

Es folgt g4 .1/ D 120 .4/ und g6 .1/ D 280 .6/. Nach Proposition 1.5.2 gilt

.4/ D

4 ; 90

und .6/ D

6 : 945

Also folgt mit  D g43  27g62 ; dass .1/ D 0, d. h.,  ist eine Spitzenform vom Gewicht 12.

2.2 Modulformen

29

Satz 2.2.12 Sei k eine gerade ganze Zahl. (a) Für k < 0 und k D 2 ist Mk D 0. (b) Für k D 0; 4; 6; 8; 10 ist Mk ein eindimensionaler Vektorraum mit Basis 1; G4 ; G6 ; G8 ; G10 . In diesen Fällen ist Sk D 0. (c) Multiplikation mit  definiert einen Isomorphismus Š

Mk12 ! Sk :

Beweis: Sei f 2 Mk nicht Null. Alle Terme links in der Gleichung ord1 .f / C

X 1 1 k ordz .f / D ordi .f / C ord .f / C 2 3 12 z2nH z¤i;

sind  0. Daher ist k  0 und auch k ¤ 2, denn 1=6 kann nicht in der Form a C b=2 C c=3 geschrieben werden mit a; b; c 2 N0 . Damit ist (a) bewiesen. Ist 0  k < 12, dann muss ord1 .f / D 0 sein und daher folgt Sk D 0 und damit dim Mk  1. Damit folgt (b). Die Funktion  hat Gewicht 12, also k D 12. Sie ist eine Spitzenform, also ord1 ./ > 0. Es folgt, dass ord1 ./ D 1 und dass  keine weiteren Nullstellen hat. Die Multiplikation mit  ist injektiv und für 0 ¤ f 2 Sk ist f = 2 Mk12 , also ist die Multiplikation mit  auch surjektiv.  Korollar 2.2.13 (a) Es gilt dim Mk D

8 <Œk=12

k  2 mod 12 ; k  0

:Œk=12 C 1

k ¥ 2 mod 12 ; k  0 :

(b) Der Raum Mk hat als Basis die Familie von Monomen G4m G6n wobei m; n 2 N0 und 4m C 6n D k. Beweis: (a) ist klar nach Satz 2.2.12. Für (b) zeigen wir zunächst, dass die Monome die Räume erzeugen. Dies ist in Satz 2.2.12 enthalten für k  6. Für k  8 gehen wir induktiv vor. Wähle m; n 2 N0 so dass 4m C 6n D k gilt. Die Modulform g D G4m G6n erfüllt g.1/ ¤ 0. Für f 2 Mk existiert also ein  2 C so dass f  g eine Spitzenform ist, also gleich h für ein h 2 Mk12 . Nach Induktionsvoraussetzung ist h im Span der Monome, damit auch f . Es bleibt zu zeigen, dass die Monome linear unabhängig sind. Wäre dem nicht so, so würde die Funktion G43 =G62 eine nichttriviale polynomiale Gleichung über C erfüllen, wäre also konstant. Dies ist aber unmöglich, denn mit der Ordnungsformel aus Satz 2.2.11 sieht man, dass G4 in  verschwindet, G6 aber nicht. 

2 Modulformen für SL2 .Z/

30

L1

Sei M D kD0 Mk die graduierte Algebra der Modulformen, dann kann man das Korollar auch so formulieren, dass die Abbildung CŒX; Y  ! M ;

X 7! G4 ;

Y 7! G6

ein Isomorphismus von C-Algebren ist. Wir haben gesehen, dass 1 .2 i /k X k1 .n/q n ; Gk .z/ D 2 .k/ C 2 .k  1/Š nD1

P k wobei k .n/ D d jn d : Sei nun Ek .z/ 2k .1/k=2 B gilt also

D

Gk .z/=.2 .k//, mit k D

k=2

1 X

Ek .z/ D 1 C k

k1 .n/q n :

nD1

Beispiele. E4 D 1 C 240

1 X

3 .n/q n

E6 D 1  504

nD1

E8 D 1 C 480

1 X

1 X

5 .n/q n

nD1

E10 D 1  264

7 .n/q n

nD1

1 X

9 .n/q n

nD1 1

E12

65520 X D 1C 11 .n/q n : 691 nD1

Bemerkung. Da die Räume der Modulformen vom Gewicht 8 und 10 Dimension 1 haben, folgt sofort E42 D E8 ;

E4 E6 D E10 :

Dies ist äquivalent zu 7 .n/ D 3 .n/ C 120

n1 X

3 .m/3 .n  m/

mD1

und 119 .n/ D 215 .n/  103 .n/ C 5040

n1 X mD1

3 .m/5 .n  m/ :

2.3 Abschätzung der Fourier-Koeffizienten

31

2.3 Abschätzung der Fourier-Koeffizienten Wir wollen den Modulformen sogenannte L-Funktionen zuordnen, indem wir ihre Fourier-Koeffizienten in Dirichlet-Reihen einspeisen. Um zu zeigen, dass diese Dirichlet-Reihen konvergieren, müssen wir das Wachstum der Fourier-Koeffizienten kontrollieren. Sei 1 X f .z/ D an q n ; q D e2 iz nD0

eine Modulform vom Gewicht k, k  4. Proposition 2.3.1 Ist f D Gk , dann wachsen die Koeffizienten an wie nk1 . Genauer: es existieren A; B > 0 mit Ank1  jan j  Bnk1 : Beweis: Es gibt eine Konstante A > 0 so dass für n  1 gilt jan j D Ak1 .n/  Ank1 . Auf der anderen Seite: 1

X 1 X 1 jan j D A  A D A .k  1/ < 1 : nk1 d k1 d k1 d jn

d D1



Satz 2.3.2 (Hecke) Ist f eine Spitzenform vom Gewicht k, dann gilt an D O.nk=2 / :

Beweis: Da f eine Spitzenform ist, gilt f .z/ D O.q/ D O.e2y / für q ! 0 oder y ! 1. Sei .z/ D y k=2 jf .z/j. Dann folgt, dass invariant unter  ist. Ferner ist stetig und .z/ ! 0 für y ! 1. Also ist beschränkt, es existiert also eine R1 Konstante C > 0 mit jf .z/j  Cy k=2 . Es gilt an D 0 f .x C iy/q n dx; damit also jan j  Cy k=2 e2 ny : Diese Abschätzung gilt für jedes y > 0. Für y D 1=n erhält man jan j  e2 Cnk=2 .  Bemerkung. Der Exponent kann verbessert werden. Deligne hat gezeigt, dass für eine Spitzenform gilt  k 1  an D O n 2  2 C" für jedes " > 0. Korollar 2.3.3 Für jede Funktion f 2 Mk ./ mit Fourier-Entwicklung f .z/ D P 1 2 i nz gilt nD0 an e an D O.nk1 / : Beweis: Dies folgt aus Korollar 2.2.13, sowie Proposition 2.3.1 und Satz 2.3.2. 

2 Modulformen für SL2 .Z/

32

2.4 L-Funktionen In diesem Abschnitt kommen wir zu der Kernfrage, warum Modulformen auch für andere Zweige der Mathematik so wichtig sind. Den Modulformen werden L-Funktionen zugeordnet, indem man ihre Fourier-Koeffizienten zu Koeffizienten von Dirichlet-Reihen, den sogenannten L-Funktionen, macht. Diese L-Funktionen sind vermutungsweise universell in dem Sinne, dass L-Funktionen, die in ganz anderen Kontexten definiert sind, sich als identisch mit modularen L-Funktionen erweisen. Im Beispiel der L-Funktionen bestimmter elliptischer Kurven ist dies von Andrew Wiles bewiesen worden und war die Grundlage für seinen Beweis von Fermats letztem Satz [35]. Definition 2.4.1 Sei f eine Spitzenform vom Gewicht k. Dann hat f eine FourierEntwicklung 1 X f .z/ D an e2 i nz : nD1

Sei L.f; s/ D

1 X nD1

an

1 ; ns

s2C

die L-Reihe oder L-Funktion zu f . Lemma 2.4.2 Die Reihe L.f; s/ konvergiert lokal-gleichmäßig absolut im Bereich Re.s/ > k2 C 1. Beweis: In Satz 2.3.2 haben wir gezeigt, dass an D O.nk=2 /. Dann ist an ns D k O.n 2 Re.s/ /. Damit folgt die Behauptung.  Definition 2.4.3 Die Gamma Funktion ist für Re.z/ > 0 definiert durch das Integral Z1 .z/ D

et t z1 dt :

0

Lemma 2.4.4 Das Gamma-Integral konvergiert lokal gleichmäßig absolut im Bereich Re.z/ > 0 und definiert dort eine holomorphe Funktion. Sie erfüllt die Funktionalgleichung .z C 1/ D z.z/ : Die Gamma-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion auf C mit einfachen n Polen in z D n, n 2 N0 fortgesetzt werden. Das Residuum in z D n ist .1/ nŠ . Ansonsten ist .z/ holomorph.

2.4 L-Funktionen

33

Da et schneller fällt als jede Potenz von t, konvergiert das Integral RBeweis: 1 t z1 dt für jedes z 2 C, und zwar lokal-gleichmäßig. Für 0 < t < 1 ist der 1 e t R1 Integrand  t Re.z/1 , also konvergiert das Integral 0 et t z1 dt lokal-gleichmäßig für Re.z/ > 0. Da zt z1 die Ableitung von t z ist, rechnet man mit Hilfe von partieller Integration: Z1

t

z 0

e .t / dt D

z.z/ D 0

ˇ

1 et t z ˇ0 C

„ ƒ‚ … D0

Z1

et t z dt :

0

„ ƒ‚ … D.zC1/

Nun ist .z/ holomorph in Re.z/ > 0. Die Formel .z/ D z1 .z C 1/ setzt dann .z/ nach Re.z/ > 1 mit einem einfachen Pol bei z D 0 vom Residuum .1/ D R 1 t e dt D 1 fort. Die weitere meromorphe Fortsetzung erhält man durch Iteration 0 dieses Argumentes. 

Satz 2.4.5 Sei f eine Spitzenform vom Gewicht k. Dann hat die L-Funktion L.f; s/ eine analytische Fortsetzung zu einer ganzen Funktion. Die Funktion s ƒ.f; s/ def D .2 / .s/L.f; s/

ist ebenfalls ganz und erfüllt die Funktionalgleichung ƒ.f; s/ D .1/k=2 ƒ.f; k  s/ : Die Funktion ƒ.f; s/ ist auf jedem Vertikalstreifen beschränkt, d. h., für jedes T > 0 existiert ein CT > 0 so dass jƒ.f; s/j  CT für jedes s 2 C mit j Re.s/j  T gilt. P n Beweis: Sei f .z/ D 1 nD1 an q . Nach Satz 2.3.2 gibt es eine Konstante C > 0 so k=2 dass jan j  Cn gilt für jedes n 2 N. Daher ist für y  ", wobei " > 0 gegeben ist: ˇ1 ˇ 1 ˇX ˇ X ˇ 2 ny ˇ jf .iy/j D ˇ an e nk=2 e2 ny  Dey ;  C ˇ ˇ ˇ nD1

nD1

P k=2 " n e < 1. Also schnell fallend für y  ". wobei D D C 1 nD1 n P ist f .iy/2yn Dasselbe gilt auch für die Funktion y 7! 1 ja je . Wir erhalten also für nD1 n jedes s 2 C, Z1 X 1 jan je2yn jy s1 j dy < 1 : "

nD1

2 Modulformen für SL2 .Z/

34

Wir dürfen also im Folgenden wegen absoluter Konvergenz für Integration und Summation vertauschen: Z1 f .iy/y

s1

dy D

"

Z1 X 1 nD1

"

D

1 X

Z1 an

nD1

D

1 X

k 2

e2 ny y s1 dy

"

an .2 n/

nD1

Für Re.s/ >

an e2 ny y s1 dy

s

Z1

ey y s1 dy :

"

C 1 konvergiert die rechte Seite gegen .2 /s .s/L.f; s/ D ƒ.f; s/ ;

wenn " gegen Null geht. Andererseits gilt f .i y1 / D f . iy1 / D .yi /k f .iy/, f .i=y/ schnell fallend ist. Daher konvergiert die linke Seite gegen Rso1dass auch s1 f .iy/y dy, wenn " ! 0. Zusammen folgt für Re.s/ > k2 C 1, dass 0 Z1 f .iy/y s1 dy D ƒ.f; s/ : 0

R1 R1 Wir schreiben das Integral als Summe 0 C 1 . Da f .iy/ schnell fallend ist, konR1 vergiert das Integral ƒ1 .f; s/ D 1 f .iy/y s1 dy für jedes s 2 C und definiert daher eine ganze Funktion. Wegen Z1 jƒ1 .f; s/j 

jf .iy/jy Re.s/1 dy; 1

ist die Funktion ƒ1 .f; s/ auf allen Vertikalstreifen beschränkt. Für das zweite Integral gilt Z1 ƒ2 .f; s/ D

f .iy/y 0

s dy

y

Z1 D 1

 Z1 1 dy s dy k=2 f i f .iy/y ks ; y D .1/ y y y 1

also ƒ2 .f; s/ D .1/k=2 ƒ1 .f; k  s/. Damit folgt die Behauptung.



2.4 L-Funktionen

35

Satz 2.4.6 (Heckes Sei an eine Folge in C so dass die DirichletP Umkehrsatz) s Reihe L.s/ D 1 a n für Re.s/ > C konvergiert für ein C 2 R. Falls n nD1 die Funktion ƒ.s/ D .2 /s .s/L.s/ sich zu einer ganzen Funktion fortsetzt, die die Funktionalgleichung ƒ.s/ D .1/k=2 ƒ.k  s/ erfüllt, dann gibt es eine Spitzenform f 2 Sk mit L.s/ D L.f; s/.

Beweis: Wir machen eine Anleihe aus der Analysis in Form der Inversionsformel der Fourier-Transformation: Für f 2 L1 .R/ sei Z f .x/e2 ixy dx : fO.y/ D R

Ist f zweimal stetig differenzierbar so dass f; f 0 ; f 00 2 L1 .R/, dann ist fO.y/ D O..1 C jyj/2 /, also ist fO 2 L1 .R/. Es gilt dann die Fourier-Inversionsformel: O fO.x/ D f .x/ : Einen Beweis findet man in jedem der Bücher [7, 27, 32]. Wir benutzen diese Aussage nun zum Beweis der Mellin-Inversionsformel.

Satz 2.4.7 (Mellin-Inversionsformel) Sei g zweimal stetig differenzierbar auf dem Intervall .0; 1/ und für ein c 2 R gelte  dx c cC1 0 cC2 00 1 x g.x/; x g .x/; x g .x/ 2 L RC ; : x Dann existiert die Mellin Transformation Z1 Mg.s/ D

x s g.x/

def

dx x

0

für Re.s/ D c, es gilt Mg.c C i t/ D O..1 C jtj/2 /, sowie 1 g.x/ D 2 i

cCi Z 1

x s Mg.s/ ds :

ci 1

2 Modulformen für SL2 .Z/

36

Beweis: Sei Re.s/ D c. Wir schreiben dann s D c  2 iy für ein y 2 R. Substituieren wir x D et , so erhalten wir Z Z st t e g.e / dt D ect g.et / e2 iyt dt D FO .y/ ; Mg.s/ D R

R

für F .t/ D ect g.et /. Aus den Voraussetzungen folgt, dass F zweimal stetig differenzierbar ist und dass F; F 0 ; F 00 2 L1 .R/ gilt. Ferner ist FO .y/ D Mg.c  2 iy/. Daher folgt nach der Fourier-Inversionsformel: Z FO .y/e2 iyt dy ect g.et / D F .t/ D FOO .t/ D R

Z D

Mg.c  2 iy/e2 iyt dy R

ect D 2 i

cCi Z 1

Mg.s/ est ds :

ci 1



Damit ist der Satz bewiesen.

Wir beweisen nun Heckes Sei also an eine Folge in C so dass die P Umkehrsatz. s Dirichlet-Reihe L.s/ D 1 a n für Re.s/ > C konvergiert für ein C 2 R. nD1 n Wir definieren 1 X f .z/ D an e2 i nz : nD1

Es gibt ein N 2 N so dass für Re.s/  N die Dirichlet-Reihe L.s/ absolut konvergiert. Daher ist an D O.nN /, also konvergiert die Reihe f .z/ lokal gleichmäßig in H und definiert eine holomorphe Funktion auf H. Wir müssen zeigen, dass f eine Spitzenform vom Gewicht k ist. Da  von S und T erzeugt wird, reicht es, zu zeigen f .1=z/ D z k f .z/. Da f holomorph ist, reicht es nach dem Identitätssatz, zu zeigen dass f .i=y/ D .iy/k f .iy/ für y > 0 gilt. Zunächst wollen wir zeigen, dass die Mellin-Transformation der Funktion g.y/ D f .iy/ existiert und dass die Mellin-Inversionsformel gilt. Es gilt ˇ1 ˇ 1 ˇX ˇ X ˇ 2 ny ˇ jf .iy/j D ˇ an e nN e2 ny : ˇ  konst. ˇ ˇ nD1 nD1 „ ƒ‚ … DgN .y/

Sei nun g0 .y/ D

1 X nD0

e2 ny D

1 1 C h.y/ D 1  e2y 2 y

2.4 L-Funktionen

37

für ein in y D 0 holomorphes h. Dann ist gN .y/ D

1 c1 g0.N / .y/ D N C1 C h.N / .y/ ; N .2 / y

also jgN .y/j  y NCC1 für y ! 0. Damit gilt dieselbe Abschätzung für f .iy/. Für y > 1 ist jf .iy/j kleiner als eine Konstante mal gN .y/ D

1 X

nN e2 ny  e2.y1/

nD1

1 X

nN e2 n D e2y e2 gN .1/ :

nD1

Also ist f .iy/ schnell fallend für y ! 1. Dieselben Abschätzungen gelten auch für jede Ableitung von f , wobei eventuell N vergrößert werden muss. Damit konvergiert das Mellin-Integral Mg.s/ für Re.s/ > N C1 und da f .iy/ schnell fallend ist für y ! 1, sind auch die Voraussetzungen der Mellin-Inversionsformel erfüllt. Nach der Mellin-Inversionsformel gilt für jedes c > N C 1, f .iy/ D

1 2 i

cCi Z 1

ƒ.s/y s ds :

ci 1

Wir brauchen ein klassisches Resultat der komplexen Analysis, welches seinerseits aus dem Maximum-Prinzip folgt. Lemma 2.4.8 (Phragmen-Lindelöf Prinzip) Sei .s/ eine holomorphe Funktion auf dem Streifen a  Re.s/  b für reelle Zahlen a < b. Für jedes a    b ˛ gelte . C i t/ D O.ejt j / für ein ˛ > 0. Es gebe ein M 2 R mit . C i t/ D M O..1 C jtj/ / für  D a und  D b. Dann gilt . C i t/ D O..1 C jtj/M / gleichmäßig für alle  2 Œa; b. 

Beweis: Siehe etwa [6], Kapitel VI, oder [30, 31].

Wir wenden dieses Prinzip auf den Fall D ƒ und a D k  c sowie b D c an. Wir verschieben den Integralweg nach Re.s/ D c 0 D k  c, wo das Integral nach der Funktionalgleichung ja auch konvergiert. Diese Verschiebung ist möglich nach dem Phragmen-Lindelöf Prinzip. Es folgt 1 f .iy/ D 2 i

kcCi Z 1

ƒ.s/y kci 1

.1/k=2 D 2 i

s

.1/k=2 ds D 2 i

kcCi Z 1

ƒ.k  s/y s ds

kci 1

cCi Z 1

ƒ.s/y sk ds D .iy/k f .i=y/ :

ci 1



2 Modulformen für SL2 .Z/

38

2.5 Hecke-Operatoren Wir führen die Hecke-Operatoren ein, die durch Summation über Nebenklassen von Matrizen fester Determinante entstehen. Später werden wir eine Interpretation dieser Operatoren in adelischem Rahmen kennenlernen. Sei n 2 N und sei Mn die Menge aller Matrizen in M2 .Z/ mit Determinante n. Wir lassen die Gruppe  D SL2 .Z/ durch Multiplikation von links auf Mn operieren. Lemma 2.5.1 Die Menge Mn zerfällt in endlich viele -Bahnen unter der Multiplikation von links. Genauer ist die Menge 

 a b Rn D W a; d 2 N; ad D n; 0  b < d d ein Vertretersystem von nMn . Schreibweise: Hier und im Rest des Buches benutzen wir die Konvention, dass  wir den Eintrag Null in einer Matrix weglassen können, d. h., a db steht für die   Matrix a0 db . Beweis: Wir müssen zeigen,  dass jede -Bahn die Menge Rn in genau einem Ele ment trifft. Hierzu sei ac db 2 Mn . Für x 2 Z ist 

1 x

 a 1 c

b d



 D

a c C ax

b : d C bx

Man kann also, modulo , annehmen, dass 0  c < jaj gilt. Wegen    c d a b 1 D a b c d 1 kann man abwechselnd a und c (bis aufs Vorzeichen) vertauschen und reduzieren, so dass man schließlich c D 0 erhält. Wir haben also gezeigt, dass jede -Bahn ein  Element der Form a db enthält. Es ist dann ad D det D n und da 1 2 , kann man a; d 2 N annehmen. Wegen    a b C dx a b 1 x D d d 1 kann man schließlich verlangen 0  b < d , also trifft jede -Bahn die Menge Rn . Bleibt zu zeigen, dass in Rn , die in derselben -Bahn liegen, gleich  zwei  Elemente 0 0  sind. Seien hierzu a db ; a db 0 2 Rn in derselben -Bahn. Dann gibt es ein y . xz w / 2  mit   0     a a b x y b0 : D D az  d z w d0

2.5 Hecke-Operatoren

39

Da a ¤ 0, folgt z D 0. Dann ist xw D 1, also x D w D ˙1. Wegen  x

y w

 a

b d



 

 ax D 

ist a0 D ax > 0, also ist x > 0 und damit x D 1 D w, also a0 D a und d 0 D d . Es gilt dann     a b0 a b C dy a b 1 y ; D D d d 1 d so dass die Bedingung 0  b; b 0 < d schließlich b D b 0 erzwingt.



Sei GL2 .R/C die Menge aller g 2 GL2 .R/ mit positiver Determinante. Die Gruppe GL2 .R/C operiert auf der oberen Halbebene H via  a c

az C b b : z D d cz C d

  Das Zentrum R 1 1 operiert trivial.  Für k 2 2Z, eine Funktion f auf H und  D ac f jk .z/ D det. /

k=2

.cz C d /

k

b d

 

f

2 GL2 .R/C schreiben wir az C b cz C d

:

Wenn k fixiert ist, schreiben wir auch einfach f j.z/. Beachte, dass die Potenz der Determinante so gewählt wurde, dass das Zentrum von GL2 .R/C trivial operiert. Sei  D SL2 .Z/. Für n 2 N definieren wir den Hecke-Operator Tn wie folgt. Definition 2.5.2 Sei V der Vektorraum aller Funktion f W H ! C mit f j D f für jedes  2 . Wir definieren Tn W V ! V durch k

Tn f D n 2 1

X

f jy :

yWnMn k

Der Faktor n 2 1 dient zur Normalisierung. Die Summe ist wohldefiniert und endlich, denn f j D f für jedes  2  und nMn ist endlich. Um zu sehen, dass Tn f wieder in V liegt, rechnen wir für  2 : k

Tn f j D n 2 1

X

k

.f jy/j D n 2 1

yWnMn k

D n 2 1

X yWnMn

X yWnMn

f jy D Tn f :

f jy

2 Modulformen für SL2 .Z/

40

Mit Hilfe von Lemma 2.5.1 können wir schreiben Tn f .z/ D nk1

X

d k f



ad Dn 0b
az C b d

:

Lemma 2.5.3 Der Hecke-Operator Tn bildet die Räume Mk ./ und Sk ./ in sich ab. Beweis: Sei f 2 Mk ./. Wir haben gerade gezeigt, dass die Funktion Tn f unter  invariant ist. Die Funktion Tn f ist holomorph in H. Die Tatsache, dass Tn f wieder eine Modulform ist, wird klar durch die Darstellung  X az C b d k f ; Tn f .z/ D nk1 d ad Dn 0b
Denn mit f .z/ konvergiert auch Tn f .z/ für Im.z/ ! 1, was nichts anderes bedeutet als Tn f 2 Mk ./. Ist f 2 Sk ./, so ist der Grenzwert gleich Null und ebenso für Tn f , so dass in diesem Fall auch Tn f in Sk ./ liegt.  Proposition 2.5.4 Die Hecke-Operatoren erfüllen folgende Gleichungen • T1 D Id • Tmn D Tm Tn , falls .m; n/ D 1. • Für jede Primzahl p und jedes n 2 N gilt Tp Tpn D TpnC1 C p k1 Tpn1 : Zusammen folgt, dass stets Tn Tm D Tm Tn gilt, das heißt, die Hecke-Operatoren kommutieren miteinander. Beweis: Die erste Aussage ist trivial. Für die zweite beachte X jRn j D d D 1 .n/ : d jn

Sind m; n 2 N teilerfremd, dann folgt jRmn j D jRm jjRn j.   In den folgenden Rechnungen betrachten wir in einer ganzzahligen Matrix a db die Zahl b immer nur modulo d . Mit dieser Maßgabe zeigen wir, dass die Abbildung Rn  Rm ! Rmn ;

.A; B/ 7! AB

eine Bijektion ist. Hierzu reicht es, Injektivität zu zeigen. Sei also   0   0  0 ab 0 C bd 0 b0 a b a ˛ ˇ ˛ aa D D d ı dd 0 d0 D

 0 ˛˛

˛ˇ0 C ˇı 0 ıı 0

:

ˇ0 ı0



2.5 Hecke-Operatoren

41

Es folgt aa0 D ˛˛0 und da .m; n/ D 1, folgt a D ˛ und a0 D ˛ 0 . Ebenso für d und ı. Also haben wir ab 0 C bd 0  aˇ 0 C ˇd 0 mod.dd 0 / : Wir reduzieren modulo d 0 und erhalten ab 0  aˇ 0 mod.d 0 / : Als Teiler von n ist a teilerfremd zu d 0 , also folgt b 0  ˇ 0 mod.d 0 /. Analog b  ˇ mod d . Also folgt Rm Rn D Rmn . Damit X X X k k Tm Tn f D m 2 1 Tn f jy D .mn/ 2 1 f j.yz/ y2Rm k

D .mn/ 2 1

y2Rm z2Rn

X

f jw D Tmn f :

w2Rmn

Für den letzten Punkt beachte

 p Rp D sowie Rpn D

 [

1

 a p

 1

x pb

b p



 W b mod p ;



 W

a;b0; aCbDn x mod.p b /

:

Es folgt Rp Rpn D

 aC1 p

px pb



 a;b0; aCbDn x mod.p b /

[

( pa

x C yp b p bC1

W

a;b0; aCbDn x mod.p b / y mod p

) :

o n nC1 ein VertretersysDie zweite Menge liefert, zusammen mit der Menge p 1 . Die Summe hierüber liefert den Term TpnC1 . Die erste Menge minus tem R n pnC1o p nC1 ist 1 ( p aC1

px pb

W

a;b0; aCbDn x mod.p b / b1

)

(  pa D p

x pb1

W

a;b0; aCbDn x mod.p b / b1

) :

Sei S diese letzte Menge. Da das zentrale p trivial operiert, gilt X X k k .p nC1 / 2 1 f jy D .p nC1 / 2 1 p f jy D p k1 Tpn1 f:  Wir wollen nun herausfinden, wie sich die Anwendung von Hecke-Operatoren auf die Fourier-Entwicklung einer Modulform auswirkt. y2S

y2Rp n1

2 Modulformen für SL2 .Z/

42

P

Proposition 2.5.5 Sei f .z/ D m0 c.m/q m 2 Mk mit q D e2 iz und sei n 2 N. Dann gilt X Tn f .z/ D .m/q m m0

mit

X

.m/ D

ak1 c

 mn  a2

aj.m;n/ a1

:

Beweis: Es gilt X

Tn f .z/ D nk1

d k

ad Dn; a1 0b
X

c.m/e2 i m.azCb/=d :

m0

P Die Summe 0b
Nach Potenzen von q sortiert gibt das Tn f .z/ D

X 0

q

X

ak1 c

aj.n;/ a1

 n  a2

:

Die Proposition ist bewiesen.



Die beiden folgenden Korollare sind einfache Konsequenzen der Proposition. Korollar 2.5.6 Es gilt .0/ D k1 .n/c.0/ und .1/ D c.n/. Korollar 2.5.7 Ist n D p eine Primzahl, so gilt .m/ D c.pm/ falls m ¥ 0 mod.p/ ; .m/ D c.pm/ C p k1 c.m=p/; falls m  0 mod.p/ : Aus Proposition 2.5.4 wissen wir, dass die verschiedenen Hecke-Operatoren miteinander kommutieren. Mit folgendem Lemma werden wir zeigen, dass sie sich simultan diagonalisieren lassen. Lemma 2.5.8 Sei V ein endlich-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt. Sei E  End.V / eine Menge von selbstadjungierten Operatoren auf V . Für je zwei S; T 2 E gelte S T D T S . Dann kann man E simultan diagonalisieren, d. h. es gibt eine Basis von V bezüglich der alle T 2 E Diagonalgestalt haben.

2.5 Hecke-Operatoren

43

Beweis: Wir machen eine Induktion nach der Dimension. Ist dim.V / D 1, so ist die Behauptung klar. Sei also dim.V / > 1 und die Behauptung bekannt für alle Räume kleinerer Dimension. Sind alle T 2 E von der Form T D Id, so ist nichts zu zeigen. Sei also T 2 E nicht von dieser Form. Da T selbstadjungiert ist, ist T diagonalisierbar, also V ist die direkte Summe der Eigenräume von T und die Eigenräume sind echt kleinerer Dimension. Sei S 2 E und sei V der T -Eigenraum zum Eigenwert . Wir behaupten S.V /  V . Sei hierzu v 2 V . Dann gilt T .S.v// D S.T .v// D S.v/ D S.v/ ; also S.v/ 2 V . Damit ist V stabil unter allen S 2 E und nach Induktionsvoraussetzung hat V eine Basis in der alle S jV diagonal sind. Da dies für alle Eigenwerte von T gilt, hat also V eine solche Basis.  Definition 2.5.9 Sei E wie in dem Lemma. Dann hat also V eine Basis v1 ; : : : ; vn so dass für jedes S 2 E gilt S vj D j .S /vj für ein Skalar j .S / 2 C. Wir sagen, die vj sind simultane Eigenvektoren zu E. Sei nun A die Algebra, die von E erzeugt wird, d. h. A ist der Untervektorraum von End.V / aufgespannt von allen Operatoren der Form S1 S2 Sm , wobei S1 ; S2 ; : : : ; Sm 2 E. Dann sind die vj simultane Eigenvektoren für ganz A, die j können also erweitert werden zu Abbildungen j W A ! C, so dass für jeden Operator in A die Eigenvektorgleichung T vj D j .T /v gilt. Beachte, dass man für S; T 2 A die Gleichung j .S C T /vj D .S C T /vj D S vj C T vj D .S /vj C .T /vj hat. Also folgt j .S C T / D j .S / C j .T /. Ferner gilt j .T / D j .T / für jedes  2 C, das heißt, jedes j ist eine lineare Abbildung. Mehr noch, es gilt .S T /vj D S T vj D S.T .vj // D S.j .T /vj / D j .T /S.vj / D j .T /j .S /vj ; also folgt auch J .S T / D j .S /j .T /, d. h., die Abbildung j ist multiplikativ. Zusammen heißt das: jedes j ist ein Algebrenhomomorphismus von der Algebra A nach C. Satz 2.5.10 (Elementarteilersatz) Sei A 2 Mn .Z/ mit det.A/ ¤ 0, dann existieren S; T 2 GLn .Z/ und natürliche Zahlen d1 ; d2 ; : : : ; dn mit dj jdj C1 und A D SDT , wobei D die Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen d1 ; : : : ; dn ist. Die dj sind durch A eindeutig festgelegt, sie heißen die Elementarteiler von A.

2 Modulformen für SL2 .Z/

44



Beweis: Siehe etwa [2], Theorem 6.3.4. C

Definition 2.5.11 Sei GL2 .Q/ die Menge aller Matrizen g 2 GL2 .Q/ mit det.g/ > 0. Dies ist eine Untergruppe von GL2 .Q/ vom Index 2. Proposition 2.5.12 Sei  D SL2 .Z/. Ein vollständiges Vertretersystem für den Doppelquotienten n GL2 .Q/C =  ist gegeben durch die Menge aller Diagonalmatrizen . a n 2 N.

an /

wobei a 2 Q und

Beweis: Sei ˛ 2 GL2 .Q/C , dann existiert N 2 N so dass N˛ ganzzahlig ist. Nach dem Elementarteilersatz gibt es S; T 2 GL2 .Z/ so dass N˛ D SDT , wo  d1 mit d1 ; n 2 N. Indem man, falls nötig, S und T mit der bei D D  1  nd1 kann manS; T 2 SL2 .Z/ erreichen. Dadurch könnMatrix 1 multipliziert,  te die Diagonalmatrix durch d1 nd1 ersetzt werden. Da aber die Determinante insgesamt das nicht wirklich und wir finden, dass in der Tat   > 0 ist, passiert d1 =N . Die Eindeutigkeit folgt aus der Eindeutigkeit im Ele˛ D  nd1 =N mentarteilersatz, wenn man außerdem N eindeutig macht, indem man das kleinste N wählt so dass N˛ ganzzahlig ist.  Korollar 2.5.13 Für g 2 GL2 .Q/C und  D SL2 .Z/ gilt g 1  D

1 g : det.g/

Beweis: Nach der Proposition können wir annehmen,  dass g eine Diagonalmatrix 1 a 1 . an / wie in der Proposition ist. Dann ist g D 1=a 1=an D det.g/ . an a / und die letzte Matrix liegt in derselben -Doppelnebenklasse wie g, denn     1 an 1 a D ; 1 a 1 an womit das Korollar folgt.



Satz 2.5.14 Die Räume Mk und Sk haben Basen, die aus simultanen Eigenfunktionen aller Hecke-Operatoren bestehen.

Beweis: Wir wollen das Lemma mit E D fTn W n 2 Ng anwenden. Dazu müssen wir Skalarprodukte definieren. Seien f; g 2 Mk . Es folgt aus den Definitionen, dass die Funktion f .z/g.z/y k unter der Gruppe  invariant ist, es ist also eine messbare

2.5 Hecke-Operatoren

45

Funktion des Quotienten nH. Das Maß dxydy ist ebenfalls -invariant, steigt also 2 ab zu einem Maß auf nH. Laut Übungsaufgabe 2.16 existiert das Integral Z dx dy f .z/g.z/y k ; hf; giPet D y2 nH

falls eine der beiden Funktionen f; g eine Spitzenform ist. Dieses Integral definiert ein Skalarprodukt auf dem Raum Sk , welches nach seinem Erfinder das PeterssonSkalarprodukt genannt wird. Wir zeigen die Gleichung hTn f; giPet D hf; Tn giPet , dann folgt die Behauptung für Sk , da das Petersson-Produkt ein echtes Skalarprodukt auf dem Raum Sk definiert. Der Raum Sk? D ff 2 Mk W hf; giPet D 0 8g 2 Sk g ist eindimensional falls Mk ¤ 0. Wegen der Selbstadjungiertheit der Hecke-Operatoren, ist aber auch dieser Raum Tn -invariant, also ein simultaner Eigenraum. Es bleibt also die Selbstadjungiertheit zu zeigen. Hierzu erweitern wir die Definition des Petersson-Skalarproduktes. Dies tun wir zunächst im Fall k D 0. Seien f; g stetige und beschränkte Funktionen auf H, die invariant unter  sind, also f .z/ D f .z/ gilt für jedes z 2 H und jedes  2  und ebenso für g. Dann definiere Z f .z/g.z/ d .z/ ; hf; gi D nH

wobei das Maß dxydy ist. Das Integral existiert, da f und g beschränkt sind. Wir 2 machen nun folgende Beobachtung: Ist †   eine Untergruppe von endlichem Index, so gilt Z 1 f .z/g.z/ d .z/ ; hf; gi D Œ W † †nH

wobei, wie in Definition 2.1.6 die Gruppe  D = ˙ 1 und † das Bild von † in  ist. Sind nun f; g weiterhin stetig und beschränkt, aber nur noch invariant unter † und nicht unter , dann macht der letzte Ausdruck immer noch Sinn, d. h. wir können hf; gi einfach definieren durch den Ausdruck Z 1 f .z/g.z/ d .z/ : hf; gi def D Œ W † †nH

Auf diese Weise erweitern wir den Definitionsbereich für das Petersson-Skalarprodukt im Falle k D 0. Für k > 0 seien f; g stetige Funktionen mit f jk  D f für jedes  2 † und ebenso für g. Ferner sei die †-invariante Funktion jf .z/y k=2 j beschränkt auf H und ebenso für g. Dann definieren wir Z 1 f .z/g.z/y k d .z/ : hf; gik def D Œ W † †nH

2 Modulformen für SL2 .Z/

46

Ist nun ˛ 2 GL2 .Q/C , so ist † D ˛1 ˛ \  eine Untergruppe von endlichem Index in . Beweis hierzu: Nach Proposition 2.5.12 können wir annehmen, dass ˛ D . r rn / ist, mit r 2 Q und n 2 N. Es gilt dann   a nb b 1 a ˛ ˛ D c ; c d d n   damit enthält † die Gruppe .n/ aller Matrizen  2 SL2 .Z/ mit   1 1 mod n. Diese Gruppe ist genau der Kern des Gruppenhomomorphismus SL2 .Z/ ! SL2 .Z=n/. Da die Gruppe SL2 .Z=n/ endlich ist, hat auch † endlichen Index in . Definition 2.5.15 Sei   SL2 .Z/ eine Untergruppe. Ein Fundamentalbereich zu  ist eine offene Teilmenge F  H, so dass es ein Vertretersystem R von nH gibt mit F  R  F und .F X F / D 0 ; wobei das Maß

dx dy y2

ist.

S Insbesondere folgt dann  2  F D H, also wird jeder Punkt in H von mindestens einem -Translat von F getroffen. Lemma 2.5.16 Sei F  H ein Fundamentalbereich zur Gruppe   SL2 .Z/. Für jede messbare, -invariante Funktion f auf H gilt dann Z Z f .z/ d .z/ D f .z/ d .z/ ; F

nH

wobei D dxydy das invariante Maß ist. Dies bedeutet insbesondere, dass das erste 2 Integral genau dann existiert, wenn das zweite existiert. Beweis: Die Projektion p W H ! nH bildet F injektiv R auf eine Teilmenge ab, deren Komplement eine Nullmenge ist. Daher gilt nH f .z/ d .z/ D R p.F / f .z/ d .z/. Da das Maß auf dem Quotienten nH als Abstieg des Maßes auf H definiert ist, ist die Bijektion p W F ! p.F / auch maßerhaltend und damit folgt die Behauptung.  Lemma 2.5.17 (a) D ist ein Fundamentalbereich für  D SL2 .Z/. (b) Ist † eine Untergruppe von  D SL2 .Z/ mit endlichem Index und ist S ein Vertretersystem von †n, so ist [ D SD D  2S

ein Fundamentalbereich für †. Die Menge S   ist durch den Fundamentalbereich SD eindeutig festgelegt.

2.5 Hecke-Operatoren

47

Beweis: Teil (a) folgt aus Satz 2.1.7. S (b) Da † endlichen Index hat, ist S endlich. Also gilt SD D  2S  D. Sei nun S R ein Vertretersystem von nH mit D  R  D. Dann ist R† D  2S R ein Vertretersystem von †nH mit SD  R†  SD: Ferner gilt 0 1 1 0 [ [ [ D X D A  @  D X D A

.SD X SD/ D @ 0 D @

 2S

[  2S

 2S

1

.D X D/A 

 2S

X

.D X D/ D 0 :

 2S

Der Zusatz folgt aus der Tatsache, dass für  ¤  in  die Translate D und D disjunkt sind.  O für  2 S heißen die Spitzen des Fundamentalbereichs SD. Die Punkte  1 2 R O Sie liegen stets in Q D Q [ f1g. Diese Wortwahl wird plausibel, wenn man statt der oberen Halbebene den Einheitskreis E D fz 2 C W jzj < 1g betrachtet. Die Cayley-Abbildung: zi .z/ def D z Ci ist eine Bijektion von H nach E so dass sowohl  als auch ihre Inverse  1 holomorph sind. Transportiert man den Fundamentalbereich SD mit  in den Einheitskreis, so sind die Spitzen genau die Punkte, an denen der Fundamentalbereich den Rand des Kreises berührt, und zwar in einem Segment, dass von zwei Kreisen berandet wird, die sich tangential berühren, der Fundamentalbereich wird also tatsächlich unendlich spitz in dem Randpunkt, der deshalb Spitze heißt. Da die spezifische Wahl eines Vertretersystems S nicht wichtig ist, schreiben wir auch D† für den Fundamentalbereich SD. Lemma 2.5.18 Das Petersson-Skalarprodukt ist invariant unter GL2 .Q/C in folgendem Sinne. Seien f; g 2 Mk , eine der beiden in Sk . Dann ist für jedes ˛ 2 GL2 .Q/C das Skalarprodukt hf j˛; gj˛ik in obigem Sinne wohldefiniert und ist gleich hf; gik . Beweis: Sei  D SL2 .Z/ und † D ˛˛ 1 \ , sowie †0 D ˛ 1†˛ D ˛ 1˛ \ . Für f 2 Mk hat die Funktion h D f j˛ die Eigenschaft, dass hj D h ist für jedes  2 †0 , denn  D ˛ 1  ˛ für ein  2 , also hj D f j˛ D f j ˛ D f j˛ D h : Dasselbe gilt für g, also ist das Skalarprodukt hf j˛; gj˛i wohldefiniert. Beachte nun Im.z/ Im.˛z/ D det ˛ jcz C d j2   für ˛ D c d 2 GL2 .Q/C .

2 Modulformen für SL2 .Z/

48

In der folgenden Rechnung benutzen wir die GL2 .Q/C -Invarianz des Maßes und die Tatsache, dass wir nach Lemma 2.5.16 Integration über †nH mit der Integration über einen Fundamentalbereich gleichsetzen können. Wir erhalten Z 1 f .z/g.z/ Im.z/k d .z/ hf; gik D Œ W † †nH

D

D

D

1 Œ W † 1 Œ W † 1 Œ W †

Z f .z/g.z/ Im.z/k d .z/ D†

Z f .˛z/g.˛z/ Im.˛z/k d .z/

˛ 1 D†

Z

f j˛.z/gj˛.z/ Im.z/k d .z/ D hf j˛; gj˛ik : †0 nH

Hier wurde benutzt, dass ˛1 D† ein Fundamentalbereich zu †0 ist. Des Weite0 ren ist Œ W † D Œ W † , denn es gilt Œ W † D .D† /= .D/ D 0 

.˛1 D† /= .D/ D Œ W † : Hieraus folgt auch ˝ ˛ ˝ ˛ hf jy; gi D f jyjy 1 ; gjy 1 D f; gjy 1 ; und damit hTn f; gi D nk1

X

hf jy; gi D nk1

yWnMn

X ˝

˛ f; gjy 1 :

yWnMn

˛ ˝ Da f und g beide -invariant sind, hängt der Ausdruck f; gjy 1 nur von der Doppelnebenklasse y 1  ab. Diese ist aber nach Korollar 2.5.13 gleich der Dop1 pelnebenklasse von det.y/ y. Da das Zentrum trivial auf Mk operiert, operiert diese Matrix aber wie y. Also ist X hTn f; gi D nk1 hf; gjyi D hf; Tn gi : yWnMn

Damit gibt es also Basen von Mk und Sk bestehend aus simultanen Eigenfunktionen aller Hecke-Operatoren und Satz 2.5.14 ist bewiesen.  P n Satz 2.5.19 Sei f .z/ D 1 nD0 c.n/q eine nicht-konstante, simultane Eigenfunktion der Hecke-Operatoren, d. h. für jedes n existiert eine Zahl .n/ 2 C so dass Tn f D .n/f .

2.5 Hecke-Operatoren

49

(a) Der Koeffizient c.1/ ist nicht Null. (b) Ist f so normalisiert, dass c.1/ D 1, dann gilt c.n/ D .n/ für jedes n 2 N.

Beweis: Nach Korollar 2.5.6 ist der Koeffizient von q in Tn f gleich c.n/. Andererseits ist dieser Koeffizient gleich .n/c.1/. Wäre also c.1/ D 0, so wären alle c.n/ D 0 und damit f D 0. Beide Behauptungen folgen.  Eine Hecke-Eigenform f 2 Mk heißt normalisiert, falls der Koeffizient c.1/ von q gleich 1 ist. Korollar 2.5.20 Sei k > 0. Zwei normalisierte Hecke-Eigenformen, die unter den Tn die gleichen Eigenwerte haben, stimmen überein. Beweis: Seien f; g 2 Mk mit Tn f D .n/f und Tn g D .n/g für jedes n 2 N. Nach dem Satz stimmen alle Koeffizienten der q-Entwicklung von f und g überein mit möglicher Ausnahme des nullten. Das bedeutet, dass die Differenz f  g konstant ist. Da k > 0 ist, gibt es keine konstante Modulform vom Gewicht k außer der Null. Also ist f D g.  Korollar 2.5.21 Sei die Funktion f .z/ D Eigenform. Dann gilt

P1 nD0

c.n/q n eine normalisierte Hecke-

• c.mn/ D c.m/c.n/ falls .m; n/ D 1, • c.p/c.p n / D c.p nC1 / C p k1 c.p n1 /, n  1. Beweis: Die Behauptung folgt aus den entsprechenden Relationen der HeckeOperatoren (Proposition 2.5.4).  P n Korollar 2.5.22 Sei f .z/ D 1 normalisierte Eigenform nD0 c.n/q 2 Mk eineP s der Hecke-Algebra, dann hat die L-Funktion L.f; s/ D 1 von f ein nD1 c.n/n Euler-Produkt: Y 1 L.f; s/ D ; s C p k12s 1  c.p/p p welches für Re.s/ > k konvergiert. Beweis: Nach Korollar 2.3.3 ist c.n/ D O.nk1 /. Also konvergiert die L-Reihe für Re.s/ > k absolut. Sei also Re.s/ > k. Dann konvergiert auch die partielle Reihe X n2p N0

c.n/ns D

1 X nD0

c.p n /p sn

2 Modulformen für SL2 .Z/

50

Q

absolut. Sei N 2 N und pN bezeichne das endliche Produkt, welches über alle Primzahlen p  N läuft. Da c.mn/ D c.m/c.n/ für teilerfremde m; n, gilt 1 Y X

X

c.p n /p sn D

pN nD0

c.n/ns ;

n2N pjn)pN

wobei die Summe auf der rechten Seite über alle natürlichen Zahlen n erstreckt wird, die nur von Primzahlen  N geteilt werden. Da die L-Reihe absolut konvergiert, so konvergiert auch die rechte Seite für N ! 1 gegen L.f; s/, wir haben also 1 X

L.f; s/ D

c.m/ms D

1 YX

c.p n /p sn :

p nD0

mD1

Es bleibt zu zeigen: 1 X

c.p n /p ns D

nD0

1 : 1  c.p/p s C p k12s

Wir multiplizieren aus: 1 X

! n

c.p /p

ns



1  c.p/p s C p k12s



nD0

D

1 X

 p ns c.p n / 

nD0

c.p/c.p n / „ ƒ‚ …

p s C p k1 c.p n /p 2s



Dc.p nC1 /Cp k1 c.p n1 /; n1

D 1  c.p/p s C p k12s C

1 X

c.p n /p ns  c.p nC1 /p .nC1/s

nD1

  p k1 c.p n1 /p .nC1/s  c.p n /p .nC2/s D 1  c.p/p s C p k12s C c.p/p s  p k1 p 2s D 1 :



2.6 Kongruenzuntergruppen In der Theorie der Automorphen Formen betrachtet man auch Modulare Funktionen, die die Invarianzbedingung nur für Untergruppen von SL2 .Z/ erfüllen. Die wichtigsten Untergruppen sind hierbei die Kongruenzuntergruppen.

2.6 Kongruenzuntergruppen

51

Definition 2.6.1 Sei N 2 N. Die Gruppe .N / D ker.SL2 .Z/ ! SL2 .Z=N Z// heißt Hauptkongruenzuntergruppe der Stufe N . Es ist also 

 a b W a  d  1 mod N; b  c  0 mod N : .N / D c d Eine Untergruppe   SL2 .Z/ heißt Kongruenzuntergruppe, falls es ein N 2 N gibt mit .N /  . Beachte, dass für N > 2 die Gruppe .N / nicht mehr das Element 1 enthält. Es kann daher für eine solche Gruppe † Funktionen f ¤ 0 auf  der oberen Halbebene geben mit f .z/ D .cz C d /k f .z/ für jedes  D c d 2 †, wobei k ungerade sein darf, also ungerade Gewichte sind möglich für Kongruenzuntergruppen. Sei also k  0 eine ganze Zahl. Lemma 2.6.2 (a) Der Schnitt zweier Kongruenzuntergruppen ist eine Kongruenzuntergruppe. (b) Sei  eine Kongruenzuntergruppe von .1/ D SL2 .Z/ und sei ˛ 2 GL2 .Q/. Dann ist .1/ \ ˛˛ 1 ebenfalls eine Kongruenzuntergruppe. Beweis: (a) Seien ; †  .1/ Kongruenzuntergruppen. Dann existieren M; N 2 N mit .M /  , .N /  †. Es ist .MN /  ..M / \ .N //  . \ †/. (b) Sei N  2 so dass .N /  . Es gibt natürliche Zahlen M1 ; M2 so dass M1 ˛; M2 ˛ 1 2 M2 .Z/. Sei M D M1 M2 N . Wir wollen zeigen .M /  ˛˛ 1 oder ˛ 1 .M /˛  . Für  2 .M / schreiben wir  D I C M g mit g 2 M2 .Z/. Es folgt ˛ 1  ˛ D I C N.M2 ˛ 1 /g.M1 ˛/ 2 .N /  .  Sei D ein Fundamentalbereich der Kongruenzuntergruppe wie in Lemma 2.5.17. Die Spitzen des Fundamentalbereichs D liegen in der Menge .1/1 D Q [ f1g : Die Fixgruppe .1/1 des Punktes 1 in .1/ ist ˙

1

Z 1

 .

Lemma 2.6.3 Sei  eine Untergruppe von endlichem Index in .1/. Für jedes c 2 Q [ f1g existiert ein c 2 GL2 .Q/C so dass • c 1 D c und 8 ! ˆ 1 Z ˆ ˆ 1 …  ; ˆ < 1 1 ! • c c c D ˆ 1 Z ˆ ˆ 1 2  : ˆ˙ : 1 Das Element c ist eindeutig bestimmt bis auf Multiplikation von rechts mit einer  Matrix der Form a 1 x1 mit einem x 2 Q und einem a 2 Q . Beweis: Ist c 2 Q so schreibe c D ˛= teilerfremd, dann existieren ˇ; ı 2 Z mit  ˛ ˇ ˛ı  ˇ D 1, also  D  ı 2 SL2 .Z/. Es folgt 1 D c. Wir ersetzen  durch die Gruppe  1  und haben die Behauptung auf den Fall c D 1 zurückgeführt.

2 Modulformen für SL2 .Z/

52

Nimm  also an c D 1.  Da  endlichen   Index in .1/ hat, existieren m > k 2 Z mit  1 m1   D 1 k1 , also 1 mk 1  kleinstes n 2 N 2 . Daher gibt 1esnZein oder ˙ mit 1 n1 2 . Das heißt aber 1 D 1 nZ 1 1 . Damit folgt die  1=n  Behauptung mit c D . 1 Nun zur Eindeutigkeit von c . Sei c0 ein weiteres Element von GLC 2 .Q/ mit denselben Eigenschaften. Sei g D c1 c0, also c0 D c g. Aus der ersten Eigenschaft folgt g1 D 1, also ist g D a bc eine obere Dreiecksmatrix. Betrachte  nun  zuerst  den Fall 1 … . Dann folgt aus der zweiten  Eigenschaft, dass g1 1 Z1 g D 1 Z1 . Insbesondere folgt g1 1 11 g D 1 ˙1 1 , woraus sich die Behauptung ergibt. Der Fall 1 2  geht ähnlich.  Definition 2.6.4 Sei  eine Untergruppe von endlichem Index in SL2 .Z/. Eine meromorphe Funktion f auf H heißt schwach modular vom Gewicht k bezüglich , wenn gilt f jk  D f für jedes  2 . Die Funktion f heißt modular, wenn für es für jede Spitze c 2 Q[f1g überdies ein Tc > 0 gibt, so dass X ac;n e2 i nz f jc .z/ D nNc

für Im.z/ > Tc und ein Nc 2 Z, d. h. die Fourier-Entwicklung an der Spitze c ist nach unten beschränkt, was man auch so ausdrückt, dass man sagt: die Funktion ist meromorph an jeder Spitze. Diese Bedingung ist nach Lemma 2.6.3 unabhängig von der Wahl des Elementes c , wohingegen die Fourier-Koeffizienten durchaus von dieser Wahl abhängen. Die Funktion f heißt Modulform vom Gewicht k zur Gruppe , wenn f modular ist und überall holomorph (inklusive Spitzen, was bedeutet, dass ac;n D 0 ist für n < 0 an jeder Spitze c). Eine Modulform heißt Spitzenform, falls die nullten FourierKoeffizienten ac;0 für alle Spitzen c verschwinden. Die Räume der Modulformen und der Spitzenformen werden mit Mk ./ und Sk ./ bezeichnet. Das Petersson-Skalarprodukt, bisher nur für .1/ D SL2 .Z/ definiert, kann auch für Spitzenformen einer beliebigen Kongruenzuntergruppe  definiert werden. Seien also f; g 2 Sk ./, dann setzen wir Z 1 dx dy f .z/g.z/y k : hf; giPet D Œ.1/ W  y2 nH

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen In der Theorie der Automorphen Formen betrachtet man neben den holomorphen auch nichtholomorphe Funktionen der oberen Halbebene, die sogenannten Maaßschen Wellenformen. Unter diesen gibt es ebenfalls eine Version der Eisenstein-

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

53

Reihen, die wir in diesem Abschnitt definieren. Die Rankin-Selberg-Methode besagt, dass das Skalarprodukt einer nichtholomorphen Eisenstein-Reihe mit einer Wellenform gleich der Mellin-Integral-Transformierten des nullten FourierKoeffizienten der Wellenform ist. Das bedeutet insbesondere, dass die EisensteinReihen orthogonal zu den Spitzenformen stehen, ein Umstand, der für die automorphe Spektraltheorie von Wichtigkeit ist. Definition 2.7.1 Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe für  D SL2 .Z/ wird für z D x C iy 2 H und s 2 C definiert durch E.z; s/ D s .s/

1 2

X m;n2Z .m;n/¤.0;0/

ys : jmz C nj2s

Aus Lemma 1.2.1 folgt, dass die Reihe E.z; s/ lokal gleichmäßig in HfRe.s/ > 1g konvergiert. Damit ist die Eisenstein-Reihe eine in diesem Bereich stetige, für festes z als Funktion in s sogar holomorphe Funktion, da nach dem Satz von Weierstraß eine Funktion holomorph ist, wenn sie der lokal-gleichmäßige Limes von holomorphen Funktionen ist. Es gilt noch mehr, wie wir im folgenden Lemma zeigen. Definition 2.7.2 Eine glatte Funktion ist eine unendlich oft differenzierbare Funktion.

Lemma 2.7.3 Die Eisenstein-Reihe E.z; s/ ist für festes s mit Re.s/ > 2 eine glatte Funktion in z 2 H. Beweis: Wir unterteilen die Summe, die die Eisenstein-Reihe definiert, in eine Summe mit m D 0, eine mit m ¤ 0. Für m D 0 ist die Summe gar nicht von z abhängig, die Behauptung folgt also. Sei log der Hauptzweig des Logarithmus, definiert auf der geschlitzten Ebene C X .1; 0 durch log.rei / D log.r/ C i, falls r > 0 und  <  < ist. Man stellt nun fest, dass für z 2 H und w 2 H, der unteren Halbebene, gilt log.zw/ D log.z/ C log.w/ : Ist m ¤ 0 und z 2 H, so ist eine der beiden Zahlen mz C n, mzN C n in H, die andere in H. Also folgt N N jmz C nj2s D es log..mzCn/.mzCn// D es log.mzCn/ es log.mzCn/ :

Wir schreiben log.mz C n/ D log.jmz C nj/ C i für ein jj < . Es gilt dann Re.s log.mz C n// D  Re.s/ log.jmz C nj/ C Im.s/   Re.s/ log.jmz C nj/ C j Im.s/j :

2 Modulformen für SL2 .Z/

54

Also folgt ˇ ˇ ˇ s log.mzCn/ ˇ ˇ D eRe.s log.mzCn//  ej Im.s/j jmz C nj Re.s/ : ˇe Wir definieren für z 2 H und w 2 H, F .z; w; s/ D s .s/y s

1 2

X

es log.mzCn/ es log.mwCn/

m;n2Z .m;n/¤.0;0/

wir halten w fest und schätzen das Glied der Reihe F .z; w; s/ wie folgt ab jes log.mzCn/ es log.mwCn/ j  Ce2j Im.s/j jmz C nj Re.s/ ; mit einer Konstante C > 0, die von w abhängt. Lemma 1.2.1 zeigt, dass die Reihe F .z; w; s/ bei festem w und festem s mit Re.s/ > 2 lokal-gleichmäßig in z konvergiert. Die Summanden sind holomorph und daher ist F .z; w; s/ eine holomorphe Funktion in z. Das gleiche Argument zeigt die Holomorphie in w bei festem z. Nach Aufgabe 2.21 ist F .z; w; s/ lokal in z und w in simultane Potenzreihen entwickelbar, dies bedeutet, dass F .z; w; s/ bei festem s mit Re.s/ > 2 eine glatte Funktion in .z; w/ ist. Daher ist auch F .z; z; s/ D E.z; s/ eine glatte Funktion.  Lemma 2.7.4  Sei  D SL2 .Z/ und sei 1 die Stabilisatorgruppe von 1, also 1 D ˙ 1 Z1 . Dann ist die Abbildung 1 n ! f˙.x; y/ 2 Z2 = ˙ 1 W x; y teilerfremdg   1 ac db 7! ˙.c; d / eine Bijektion. Beweis: Wir machen eine Anleihe aus der elementaren Zahlentheorie: Sind c; d 2 Z teilerfremd, so existieren a; b 2 Z so dass ad  bc D 1. Ist .a; b/ ein solches Tupel, dann ist jedes weitere von der Form .a C cx; b C dx/ für ein x 2 Z. (Beweisidee: Nimm an, dass 1 < c  d gilt. Nach der Division mit Rest gibt es 0  r < c mit d D r C cq. Dividiere dann c mit Rest durch r und so fort. Dieser Algorithmus muss abbrechen.   Rückwärtseinsetzen  der Ergebnisse liefert eine Lösung .a; b/.)  Ist nun 1 x1 2 1 und ac db 2 , so gilt  1

x 1

 a c

Hieraus folgt das Lemma.

b d



 a C cx D c

b C dx : d 

Definition 2.7.5 Eine automorphe Funktion auf H bezüglich der Kongruenzgruppe   SL2 .Z/ ist eine Funktion W H ! C, die invariant ist unter der Operation von , also die .z/ D .z/ erfüllt für jedes  2 .

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

55

P

Q s/ D Proposition 2.7.6 (a) Sei E.z; für Re.s/ > 1 und es gilt

 W1 n

Im.z/s , so konvergiert die Reihe

Q s/ ; E.z; s/ D s .s/ .2s/E.z; wobei .s/ die Riemannsche Zetafunktion ist. Q s/ sind automorph unter  D SL2 .Z/, d. h., (b) Die Funktionen E.z; s/ und E.z; es gilt E.z; s/ D E.z; s/ Q für jedes  2  und ebenso für E. Beweis: (a) Für  D folgt



 c d



gilt Im.z/ D Im.z/=jcz C d j2 . Nach Lemma 2.7.4 X

Q s/ D E.z;

.c;d /D1 mod ˙1

ys ; jcz C d j2s

damit folgt die Konvergenz mit E.z; s/ als Majorante. Ferner folgt Q s/ D

.2s/E.z;

1 X X nD1 .c;d /D1 mod ˙1

ys 1 D jncz C nd j2s 2

X m;n2Z .m;n/¤.0;0/

ys : jmz C nj2s

(b) Es reicht, die Behauptung für EQ zu beweisen. Wir rechnen X X Q Im.z/s D Im.z/s : E.z; s/ D W1 n

W1 n



Insbesondere folgt E.z C 1; s/ D E.z; s/ : Für Re.s/ > 2 besitzt die glatte Funktion E.z; s/ also eine Fourier-Entwicklung in z. Wir untersuchen nun diese Fourier-Entwicklung. Sei y > 0 dann konvergiert das folgende Integral lokal-gleichmäßig absolut in s 2 C: 1 Ks .y/ D 2

Z1

ey.t Ct

1 /=2

ts

dt : t

0

Die so definierte Funktion heißt K-Besselfunktion. Diese Funktion genügt der Abschätzung jKs .y/j  ey=2 KRe.s/ .2/; falls y > 4 : Beweis: Für reelle Zahlen a; b gilt 

ab > 2a ) ab > a C b : a>b>2 ) 2a > a C b

2 Modulformen für SL2 .Z/

56

Die letzte Aussage ist symmetrisch in a; b, sie gilt also für alle a; b > 2. Also folgt eab < ea eb . Wir wenden dies auf a D y=2 > 2 und b D t C t 1 an und integrieren nach t: Z1 dt 1 1 jKs .y/j  ey=2 e.t Ct / t Re.s/ D ey=2 KRe.s/ .2/ : 2 t 0

Der Integrand im Bessel-Integral ist invariant unter t 7! t 1 , s 7! s, so dass Ks .y/ D Ks .y/ :

Satz 2.7.7 Die Eisenstein-Reihe E.z; s/ besitzt eine Fourier-Entwicklung: 1 X

E.z; s/ D

ar .y; s/e2 i rx ;

rD1

wobei a0 .y; s/ D s .s/ .2s/y s C s1 .1  s/ .2  2s/y 1s und für r ¤ 0, p ar .y; s/ D 2jrj21=2 12s .jrj/ yKs 1 .2 jrjy/ : 2

Es folgt, dass die Eisenstein-Reihe E.z; s/ eine meromorphe Fortsetzung nach ganz C besitzt. Sie ist holomorph bis auf einfache Pole in s D 0; 1. Das Residuum in s D 1 ist die konstante Funktion mit dem Wert 1=2. Die Eisenstein-Reihe erfüllt die Funktionalgleichung E.z; s/ D E.z; 1  s/ : Lokal gleichmäßig in x 2 R gilt E.x C iy/ D O.y /;

für y ! 1 ;

wobei  D max.Re.s/; 1  Re.s//.

Beweis: Die behaupteten Eigenschaften folgen leicht aus der expliziten FourierEntwicklung. Diese gilt es also zu beweisen. Definition 2.7.8 Eine Funktion f W R ! C heißt Schwartz-Funktion, falls f unendlich oft differenzierbar ist und jede Ableitung f .k/ , k  0 schnell fallend ist. Sei S.R/ der Vektorraum der Schwartz-Funktionen auf R.

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

 y s

und r 2 R gilt

1 2

Lemma 2.7.9 Für Re.s/ >

(

Z

2 s 2 i rx

.x C y / e 2

.s/

57

dx D

R

sC1=2 .s  12 /y 1s ; r D 0I s1=2 p yKs1=2 .2 jrjy/; r ¤ 0 : 2jrj

Beweis: Durch Einsetzen des -Integrals wird die linke Seite: Z Z1 e R

t



ty 2 .x C y 2 /

s e

2 i rx dt

t

Z1 Z dx D

0

0

e t .x

2 Cy 2 /=y

t s e2 i rx dx

R

dt ; t

wobei wir die Substitution t 7! t.x 2 C y 2 /=y ausgeführt haben. Die Funktion 2 f .x/ D ex ist ihre eigene Fourier-Transformierte: fO D f , denn f ist die bis auf skalare Vielfache eindeutige Lösung der Differentialgleichung f 0 .x/ D 2 xf .x/ : Durch eine vollständige Induktion beweist man, dass es für jede natürliche Zahl n 2 ein Polynom pn .x/ gibt mit f .n/ .x/ D pn .x/ex . Damit liegt f im SchwartzRaum S.R/, also liegt fO ebenfalls in S und man kann rechnen Z Z 2 2 .2 ix/ex e2xy dx D i .ex /0 e2 ixy dx .fO/0 .y/ D R

R

D 2 y fO.y/ : O O Damit folgt fO D cf und fO D c fO D c 2 f . Da andererseits fO.x/ D f .x/ D f .x/, R x 2 2 folgt c D 1, also c D ˙1. Wegen fO.0/ D R e dx > 0 folgt c D 1. Durch eine einfache Substitution erhält man hieraus r Z y y r 2 =t t x 2 =y 2 i rx e e dx D : e t R

Hiermit sehen wir, dass die linke Seite des Lemmas gleich r

Z1 e

 ty

y y r 2 =t s dt e t t t

0



ist, was die Behauptung liefert. Wir berechnen nun die Fourier-Entwicklung der Eisenstein-Reihe E.z; s/ D

1 X rD1

ar .y; s/e2 i rx ;

2 Modulformen für SL2 .Z/

58

mit Z1 ar .y; s/ D

E.x C iy; s/e2 i rx dx

0

D

s

1 .s/ 2

Z1

X m;n2Z .m;n/¤.0;0/

0

ys e2 i rx dx : jmx C i my C nj2s

Die Summanden mit m D 0 liefern nur einen Beitrag wenn r D 0. Dann ist dieser Beitrag 1 X n2s D s .s/ .2s/y s : s .s/y s nD1

Für m ¤ 0 beachte, dass der Beitrag von .m; n/ und der von .m; n/ gleich sind. Wir summieren daher nur über m > 0. Der Beitrag zu ar ist dann

s

.s/y

s

1 1 Z1 X X

.mx C n/2 C m2 y 2

s

e2 i rx dx

mD1 nD1 0

D

s

.s/y

s

1 X

Z1

X



.mx C n/2 C m2 y 2

s

e2 i rx dx :

mD1 n mod m 1

Wir substituieren x 7! x  n=m und erhalten

s

.s/y

s

1 X

m

mD1

Wegen

X

2s

Z1 e

2 i rn=m

n mod m

X

.x 2 C y 2 /s e2 i rx dx :

1

e2 i rn=m

n mod m

( m mjr ; D 0 sonst.

ist der Beitrag

s

.s/y

s

X mjr

Z1 m

12s

.x 2 C y 2 /s e2 i rx dx :

1

Es gibt zwei Fälle. Im ersten ist r D 0. Dann ist die Bedingung mjr leer und wir haben  Z1 1 s s 2 2 s sC1=2

.2s  1/y 1s ; .x C y / dx D  s .s/y .2s  1/ 2 1

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

59

wobei wir Lemma 2.7.9 benutzt haben. Die Riemannsche Zetafunktion erfüllt die Funktionalgleichung Q Q  s/ ;

.s/ D .1 Q wobei .s/ D s=2 .s=2/ .s/, wie in Satz 6.1.2 bewiesen wird. Dies liefert den behaupteten nullten Term a0 . Im Fall r ¤ 0 liefert ebenfalls Lemma 2.7.9 die Behauptung.  Wir kommen nun zur Rankin-Selberg-Methode. Sei  D SL2 .Z/ und sei W H ! C eine glatte -automorphe Funktion. Wir nehmen an, dass in der Spitze 1 schnell fällt, d. h., dass gilt .x C iy/ D O.y N /;

y1

für jedes N 2 N. Wegen .z C 1/ D .z/ hat eine Fourier-Entwicklung .z/ D

1 X

n .y/ e2 i nx

nD1

R1

mit n .y/ D 0 .x C iy/ e2 i nx dx. Die Funktion 0 heißt der konstante Term der Fourier-Entwicklung. Sei Z1 M 0 .s/ D

0 .y/y s

dy y

0

die Mellin-Transformierte des nullten Terms. Wir werden zeigen, dass dieses Integral für Re.s/ > 0 konvergiert. Wir setzen ƒ.s/ D s .s/ .2s/M 0 .s  1/: Proposition 2.7.10 (Rankin-Selberg Methode) Das Mellin-Integral M 0 .s/ konvergiert lokal-gleichmäßig absolut im Bereich Re.s/ > 0. Es gilt Z dx dy E.z; s/ .z/ 2 : ƒ.s/ D y .1/nH

Die Funktion ƒ.s/ dehnt sich zu einer meromorphen Funktion auf C mit höchstens einfachen Polen bei s D 0 und s D 1 aus. Sie erfüllt die Funktionalgleichung ƒ.s/ D ƒ.1  s/ : Schließlich gilt 1 ressD1 ƒ.s/ D 2

Z .z/ .1/nH

dx dy : y2

2 Modulformen für SL2 .Z/

60

Beweis: Wir führen den Beweis durch den Auffaltungstrick wie folgt: Z X Z Q E.z; s/ .z/ d .z/ D Im.z/s .z/ d .z/ D  W1 n

nH

X Z

D

Im.z/s .z/ d .z/

 W1 n D

X Z

D

Im.z/s .z/ d .z/

 W1 nD

Z

D

Im.z/s .z/ d .z/ S

 W1 n

D

Z1 Z1

Z Im.z/ .z/ d .z/ D

D

y s1 .x C iy/dx

s

1 nH

Z1 0 .y/y s1

D

0

dy y

0

dy D M 0 .s  1/ : y

0



Die Behauptungen folgen damit aus Satz 2.7.7.

Wir wenden die Rankin-Selberg-Methode nun an um die Meromorphie der Rankin-Selberg-Faltung von modularen L-Funktionen zu beweisen. Sei k 2 2N0 und seien f; g 2 Mk normalisierte Hecke-Eigenformen. Seien an und bn für n  0 die Fourier-Koeffizienten von f und g. Wir definieren die Rankin-Selberg-Faltung von L.f; s/ und L.g; s/ als 1 X L.f  g; s/ def an bn ns :

.2s  2k C 2/ D nD1

Nach Proposition 2.3.1 und Satz 2.3.2 gilt an ; bn D O.nk1 /. Damit konvergiert die Reihe L.f  g; s/ absolut für Re.s/ > 2k  1. Wir setzen ferner ƒ.f  g; s/ D .2 /2s .s/.s  k C 1/L.f  g; s/ :

Satz 2.7.11 Ist eine der beiden Funktionen f; g eine Spitzenform, dann setzt ƒ.f  g; s/ fort zu einer meromorphen Funktion auf C. Sie ist holomorph bis auf mögliche einfache Pole in s D k und s D k  1. Sie genügt der Funktionalgleichung: ƒ.f  g; s/ D ƒ.f  g; 2k  1  s/ : Das Residuum bei s D k ist 12 1k hf; gik .

2.7 Nichtholomorphe Eisenstein-Reihen

61

Beweis: Wir wenden Proposition 2.7.10 auf die Funktion .z/ D f .z/g.z/y k an. Es gilt dann Z1 f .x C iy/g.x C iy/y k dx

0 .y/ D 0

D

1 Z 1 X X

1

an e2 i nx e2 ny bm e2 i mx e2 my y k dx :

nD0 mD0 0

R1 P1 4 ny k y : Da 0 e2 i.nm/x dx D 0 außer wenn n D m, folgt 0 .y/ D nD1 an bn e Also M 0 .s/ D

1 X nD0

Z1 an bn

e4 ny y sCk

0

1 X dy an bn nsk : D .4 /sk .s C k/ y nD1

Die Zahl bn ist der Eigenwert des Hecke-Operators Tn . Da Tn selbstadjungiert ist, ist bn reell. Damit ist M 0 .s  1/ D .4 /skC1 .s  1 C k/

1 L.f  g; s  1 C k/ :

.2s/

Sei ƒ.s/ wie in Proposition 2.7.10. Dann folgt ƒ.s/ D 4skC1 2skC1 .s/.s  1 C k/L.f  g; s  1 C k/ ; oder ƒ.s C 1  k/ D k1 .2 /2s .s/.s C 1  k/L.f  g; s/ D k1 ƒ.f  g; s/ : Nach Proposition 2.7.10 gilt ƒ.s C 1  k/ D ƒ.1  .s C 1  k// und damit erhält man die behauptete Funktionalgleichung. Schließlich gilt ressDk ƒ.f  g; s/ D ressDk 1k ƒ.s C 1  k/ D 1k ressD1 ƒ.s/ D

1k 1

Z .z/ d .z/ D 1k

2

1 hf; gik : 2

.1/nH



Wir betrachten noch das Euler-Produkt der Rankin-Selberg L-Funktion L.f  g; s/. Wir faktorisieren die Polynome 1  an X C p k1 X 2 D .1  ˛1 .p/X /.1  ˛2 .p/X / 1  bn X C p k1 X 2 D .1  ˇ1 .p/X /.1  ˇ2 .p/X /

2 Modulformen für SL2 .Z/

62

Satz 2.7.12 Wir haben die Euler-Produktentwicklung L.f  g; s/ D

2 2 Y YY

.1  ˛i .p/ˇj .p/p s /1 :

p i D1 j D1

Beweis: Dies ist eine Konsequenz des folgenden algebraischen Lemmas. Lemma 2.7.13 Ist ˛1 ˛2 ˇ1 ˇ2 ¤ 0 und gilt 1 X rD0 1 X

ar x r D .1  ˛1 x/1 .1  ˛2 x/1 ; br x r D .1  ˇ1 x/1 .1  ˇ2 x/1 ;

rD0

dann folgt 1 X

ar br x r D .1  ˛1 ˛2 ˇ1 ˇ2 x 2 /

2 2 Y Y

.1  ˛i ˇj x/1 :

i D1 j D1

rD0

Beweis: Sei .x/ D gral

P1 rD0

.x/ D

ar x r und 1 2 i

Z

P1 rD0

.qx/ .q 1 /

br x r . Betrachte das Weginte-

dq ; q

@K

wobei K ein Kreis um Null ist so dass die Pole von .xq/ außerhalb liegen, die von .q 1 / innerhalb. Dies ist für hinreichend kleines x möglich. Das Integral ist gleich 1 X r;r 0 D0

ar br 0 x r

1 2 i

Z q rr

0 1

dq D

1 X

ar br x r :

rD0

@K

Andererseits ist das Integral gleich Z dq 1 1 : 1 1 2 i .1  ˛1 xq/.1  ˛2 xq/.1  ˇ1 q /.1  ˇ2 q / q @K

Per Residuensatz berechnet sich dies zu .1  ˛1 ˛2 ˇ1 ˇ2 x 2 /

2 Y 2 Y

.1  ˛i ˇj x/1 :

i D1 j D1



2.8 Maaßsche Wellenformen

63

2.8 Maaßsche Wellenformen Die Gruppe G D SL2 .R/ operiert auf H durch Diffeomorphismen, also operiert sie auf C 1 .H/ durch Lg W C 1 .H/ ! C 1 .H/, wobei für g 2 G der Operator Lg definiert ist durch Lg '.z/ D '.g1 z/ : Auf der oberen Halbebene H betrachten wir den hyperbolischen Laplace-Operator definiert durch  2 @ @2 2  D y C 2 : @x 2 @y Lemma 2.8.1 Der hyperbolische Laplace ist invariant unter G in dem Sinne, dass Lg Lg 1 D  für jedes g 2 G gilt. Beweis: Die Aussage ist äquivalent zu Lg  D Lg . Es reicht, diese Aussage für Erzeuger von SL2 .R/, wie etwa in Aufgabe 2.7 angegeben, nachzurechnen. Wir überlassen den Nachweis dem Leser zur Übung (Aufgabe 2.8).  Definition 2.8.2 Eine Maaßsche Wellenform oder Maaß-Form zur Gruppe .1/ ist eine glatte Funktion f auf H so dass • f .z/ D f .z/ für jedes  2 , • f D f für ein  2 C, • es gibt ein N 2 N mit f .x C iy/ D O.y N / für y  1. Gilt darüberhinaus

Z1 f .z C t/ dt D 0 0

für jedes z 2 H, dann heißt f eine Maaß-Spitzenform.

Proposition 2.8.3 Die nichtholomorphe Eisenstein-Reihe E.z; s/ D s .s/

1 2

X m;n2Z .m;n/¤.0;0/

ys jmz C nj2s

ist eine Maaß-Form, genauer gilt E.z; s/ D s.1  s/E.z; s/ :

2 Modulformen für SL2 .Z/

64

Beweis: Wir müssen nur die Eigengleichung zeigen. Es gilt Q s/ E.z; s/ D s .s/ .2s/E.z; Q s/ D mit E.z; zeigen. Es gilt

P 1 n

Im.z/s : Daher reicht es, die Eigengleichung für EQ zu 

.y s / D y 2

@2 @2 C @x 2 @y 2

y s D s.1  s/y s :

Wegen der Invarianz des Laplace-Operators folgt  Im.z/s D s.1  s/ Im.z/s P @ für jedes  2 . Für Re.s/ > 3 konvergieren die Reihen 1 n @y Im.z/s P 2 @ s und 1 n @y 2 Im.z/ lokal gleichmäßig, also dürfen wir unter dem Summenzeichen differenzieren, was die Behauptung für EQ und damit auch für E im Bereich Re.s/ > 3 zeigt. Für beliebiges s 2 C zeigt die Fourier-Entwicklung von E, dass E.z; s/s.1s/E.z; s/ eine meromorphe Funktion in s ist, die nach obigem konstant Null ist für Re.s/ > 3. Nach dem Identitätssatz ist sie überall gleich Null.  Man drückt die Differentialgleichung auch so aus:    1 1 1 2 D :   E z;  C E z;  C 2 4 2 Sei nun f eine beliebige Maaß-Form für die Gruppe .1/. Wegen f .z C 1/ D f .z/ hat f eine Fourier-Entwicklung 1 X

f .x C iy/ D

ar .y/e2 i rx :

rD1

Lemma 2.8.4 Sei  2 C der Laplace-Eigenwert der Maaß-Form f . Dann gibt es ein (bis aufs Vorzeichen eindeutiges)  2 C mit  D 14   2 . Für die FourierKoeffizienten gilt dann ar .y/ D ar

p

yK .2 jrjy/

falls r ¤ 0, wobei ar 2 C nur von r abhängt. Ferner ist für r D 0, 1

1

a0 .y/ D a0 y 2  C b0 y 2 C : Beweis: Wir haben f D . 14   2 /f .z/. Aus der Definition von ar .y/, Z1 ar .y/ D 0

f .x C iy/e2 i rx dx

2.8 Maaßsche Wellenformen

65

folgt dann 

Z1 1 2   ar .y/ D f .x C iy/e2 i rx dx 4 0

Z1 D y

2

@2 f @2 f C .x C iy/e2 i rx dx 2 @y @x 2

0

@2 ar .y/  y 2 D y @y 2

Z1

2

f .x C iy/.4 2 r 2 /e2 i rx dx

0

D y 2

2

@ ar .y/ C 4 2 r 2 y 2 ar .y/ : @y 2

Wir haben also die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung  @2 1   2  4 r 2 y 2 ar .y/ D 0 : y 2 2 ar .y/ C @y 4 Da der r-te Fourier-Koeffizient der Eisenstein-Reihe eine Lösung dieser DGL ist, wissen wir, dass p ar .y/ D yK .2 jrjy/ eine Lösung dieser linearen DGL ist. Eine zweite Lösung ist gegeben durch br .y/ D

p

yI .2 jrjy/ ;

wobei I die I -Besselfunktion ist. Jede Lösung ist eine Linearkombination dieser zwei Basislösungen. Einen Beweis für dieses klassische Faktum aus der Theorie der DGL findet man etwa in [10]. Weiter wächst die I-Besselfunktion exponentiell, wohingegen die K-Besselfunktion exponentiell fällt. Da ar .y/ nach Voraussetzung nur moderat wachsen kann, folgt die Behauptung.  Sei  W H ! H die antiholomorphe Abbildung .z/ D z, also .x Ciy/ D x C iy. Dann gilt ı  D IdH und man rechnet leicht nach, dass  mit dem hyperbolischen Laplace Operator  kommutiert, wobei  auf Funktionen f der oberen Halbebene via .f /.z/ def D f ..z// operiert. Daher bildet  für jedes  2 C den Eigenraum Eig.; / in sich ab. Wegen 2 D Id hat  höchstens die Eigenwerte ˙1. Eine MaaßForm f heißt gerade Maaß-Form, falls .f / D f und ungerade Maaß-Form, falls .f / D f . Wegen f D

1 1 .f C .f // C .f  .f // 2 2

ist jede Maaß-Form die Summe aus einer geraden und einer ungeraden.

2 Modulformen für SL2 .Z/

66

Satz 2.8.5 Sei f .z/ D

X

ar

p yK .2 jrjy/e2 i rx

r¤0

eine Maaß-Spitzenform. Sei 1 X

L.s; f / D

an ns

nD1

die zugehörige L-Funktion. Dann konvergiert die Reihe L.s; f / für Re.s/ > 3=2 und kann zu einer ganzen Funktion auf C fortgesetzt werden. Ist f gerade oder ungerade und sei f D . 14   2 /f , dann gilt mit   sC" sC"C s  L.s; f / ; ƒ.s; f / D  2 2 wobei " D 0 falls f gerade und " D 1 falls f ungerade, die Funktionalgleichung ƒ.s; f / D .1/" ƒ.1  s; f / :

Beweis: Beachte, dass wir ar D .1/" ar haben. Die Konvergenz folgt sofort aus dem Lemma 2.8.6 Es gilt an D O.n1=2 /. Beweis: Es gibt C; N > 0 so dass für y > 1 die Ungleichung jf .x C iy/j  Cy N gilt. Ist y < 1=2, und ist w 2 D konjugiert zu z modulo .1/, so folgt Im.w/  y1 . Ist also y < 1=2, so folgt jf .x C iy/j  Cy N . Also folgt für y < 1=2 Z1

p

jf .x C iy/j dx  Cy N :

jar j yjKs .2 jrjy/j  0

Für y D 1=jrj folgt daraus jar j  C r N C 2 jKs .2 /j1 : 1

Da die K-Besselfunktion schnell fällt und f eine Spitzenform ist, folgt daraus, dass f beschränkt ist auf D und damit auf H. Man kann also dasselbe Argument mit N D 0 wiederholen. Dies ist die Behauptung.  Lemma 2.8.7 Das Integral Z1 K .y/y

s dy

y

 D 2

s2



0

konvergiert absolut falls Re.s/ > j Re./j.

sC 2



s    2

2.8 Maaßsche Wellenformen

67

Beweis: Setzt man die Definition von K ein, so ist die linke Seite 1 2

Z1Z1 0

e.t Ct

1 /y=2

t  ys

dy dt : y t

0

Wir wenden die Transformationsformel auf den Diffeomorphismus W .0; 1/  .0; 1/ ! .0; 1/  .0; 1/ gegeben durch 

1 1 ty; t 1 y D .u; v/ 2 2 p p an. Es gilt dann y D 2 uv und t D u=v. Die Funktionalmatrix von ist .t; y/ D

 1 y y 2  t2

D .t; y/ D Diese hat die Determinante det D D onsformel gleich Z1 Z1 2

s1 0

y . 2t

t



1 t

:

Das Integral ist nach der Transformati-

euv v .s/=2 u.sC/=2

du dv : u v

0



Dies liefert die Behauptung.

Wir beweisen nun den Satz. Betrachte zuerst den Fall, wenn f gerade ist. Dann ist Z1 f .iy/y s1=2

dy 1 D ƒ.s; f / : y 2

0

Mit Lemma 2.8.6 folgt, dass f .iy/ schnell fällt für y ! 1. Wegen f .iy/ D f .i y1 / folgt mit dem üblichen Trick die Behauptung. Ist f ungerade, so setze g.z/ D Dann ist

1 X 1 @f p an n yK .2 ny/ cos.2 nx/ : .z/ D 4 i @x nD1

Z1 g.iy/y sC1=2

dy D ƒ.s; f / : y

0

Wegen g.iy/ D

 y12 g. yi /

folgt die Behauptung auch in diesem Fall.



2 Modulformen für SL2 .Z/

68

Wir führen allgemeiner für jedes k 2 Z den Operator  2 @ @ @2 C i ky k D y 2 C 2 2 @x @y @x ein. Es gilt k

k D LkC2 Rk  2

  k k k 1C D Rk2 Lk C 1 ; 2 2 2

wobei Rk D iy

@ k @ Cy C ; @x @y 2

Lk D iy

Definition 2.8.8 Für f 2 C 1 .H/ und g D  f jjk g.z/ D

cz C d jcz C d j



 c d



2 G D SL2 .R/ sei 

k f .gz/ D

@ k @ Cy  : @x @y 2

cz C d jcz C d j

k f .gz/ :

Lemma 2.8.9 Für f 2 C 1 .H/ und g 2 G D SL2 .R/ gilt .Rk f /jjkC2 g D Rk .f jjk g/;

.Lk f /jjk2 g D Lk .f jjk g/

und .k f /jjk g D k .f jjk g/ : Beweis: Die ersten beiden Identitäten kann man explizit nachrechnen, die dritte folgt. Alternativ kann man bis zum nächsten Abschnitt warten, wo ein Lietheoretischer Beweis der ersten beiden Aussagen geliefert wird.  Differentialoperatoren leben auf unendlich-dimensionalen Räumen wie etwa C 1 .R/. Unglücklicherweise sind dies keine Hilbert-Räume, aber man kann Differentialoperatoren auf dichten Teilräumen von Hilbert-Räumen erklären. Definition 2.8.10 Sei H ein Hilbert-Raum. Ein Operator auf H ist ein Paar .DT ; T /, wobei DT  H ein dichter Untervektorraum von H und T W DT ! H eine lineare Abbildung ist. Der Raum DT heißt der Definitionsbereich des Operators. Der Operator heißt abgeschlossener Operator, falls der Graph G.T / D f.h; T .h// W h 2 DT g eine abgeschlossene Teilmenge von H  H ist. Ein Operator T heißt symmetrisch, falls hT .v/; wi D hv; T .w/i für alle v; w 2 DT gilt. Sei T ein Operator auf H . Wir definieren den adjungierten Operator T  wie folgt. Zunächst sei der Definitionsbereich DT  gleich der Menge aller v 2 H für die die Abbildung w 7! hT w; vi eine beschränkte lineare Abbildung auf DT ist.

2.8 Maaßsche Wellenformen

69

Da DT dicht ist, lässt sich diese Abbildung in eindeutiger Weise zu einem stetigen linearen Funktional nach H fortsetzen. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert dann ein eindeutig bestimmter Vektor T  v 2 H , so dass hT w; vi D hw; T  vi für jedes w 2 DT gilt. Man sieht leicht, dass die so entstehende Abbildung T  W DT  ! H linear ist. Falls DT  dicht ist, so zeigt man, dass der Operator T  abgeschlossen ist. Ein Operator T heißt selbstadjungiert, falls DT  D DT und T  D T gilt. Es gilt T selbstadjungiert ) T abgeschlossen und symmetrisch ; aber die Umkehrung gilt nicht, wie folgendes Beispiel zeigt. Beispiel 2.8.11 Sei H D L2 .Œ0; 1/ ˝ Menge ˛aller stetigen FunktioR xund sei DT die nen f auf Œ0; 1 der Form f .x/ D 0 f 0 .t/ dt D f 0 ; 1Œ0;x für ein f 0 2 L2 .0; 1/ mit f 0 ? 1Œ0;1 . Für jedes f 2 DT gilt f .0/ D 0 D f .1/. Sei T der Operator gegeben durch T .f / D f 0 : Da C.Œ0; 1/ dicht liegt in H , gibt es zu jedem f 2 DT eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen fj mit fj ! f und Tfj ! Tf . Daher folgt mit Hilfe von partieller Integration hTf; gi D hf; T gi für alle f; g 2 DT . Damit ist T symmetrisch. T ist außerdem abgeschlossen, denn für eine Folge fj 2 DT mit fj ! f und Tfj ! g folgt f 2 DT und g D Tf . Nun bleibt zu zeigen, dass T  ¤ T . Dies ist aber klar, da zum Beispiel die konstante Funktion 1 in DT  liegt, aber nicht in DT . Außerdem folgt, dass T  nicht symmetrisch ist. Ist H endlich-dimensional, so ist jeder Operator T schon auf ganz H definiert, da der einzige dichte Unterraum von H gleich ganz H ist, d. h. es gilt DT D H . Eine Erinnerung aus der Linearen Algebra: Satz 2.8.12 (Spektralsatz) Es sei H ein endlich-dimensionaler Hilbert-Raum und T W H ! H selbstadjungiert. Dann ist H eine direkte Summe von Eigenräumen, d. h.: M V D Eig.T; / ; 2R

wobei Eig.T; / D fv 2 H W T .v/ D vg : Dieser Satz wird in der Linearen Algebra bewiesen. Falls H unendlich-dimensional ist, gilt für selbstadjungierte Operatoren ebenfalls ein Spektralsatz, der den Raum in Eigenräume zerlegt. Allerdings nicht in Form einer direkten Summe, sondern in Form eines Integrals. Wir werden zu einem späteren Zeitpunkt hierauf zurückkommen.

2 Modulformen für SL2 .Z/

70

Definition 2.8.13 Der Träger einer Funktion f W X ! C auf einem topologischen Raum X ist der Abschluss der Menge fx 2 X W f .x/ ¤ 0g. Die Menge Cc .X / ist die Menge aller stetiger Funktionen auf X mit kompaktem Träger. R Sei L2 .H/ der Raum aller messbaren f W H ! C mit H jf .z/j2 d .z/ < 1 modulo des Unterraums der Nullfunktionen, wobei das invariante Maß dxydy ist. 2 1 Dann ist der Raum D D Cc .H/ ein dichter Teilraum, auf dem der Operator k definiert ist. Hierbei ist Cc1 .H/ die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf H mit kompaktem Träger. Proposition 2.8.14 Der Operator k mit Definitionsbereich Cc1 .H/ ist ein symmetrischer Operator auf H D L2 .H/. Beweis: Sei e D

@2 @2 C 2 2 @x @y

der euklidische Laplace-Operator. Sei d das äußere Differential, das n-Formen auf .nC1/-Formen abbildet. Seien f; g glatte Funktionen mit kompakten Trägern auf H. Man rechnet leicht nach, dass    @f @g @g @f dy  dx  f dy  dx D .ge f  f e g/ dx ^ dy : d g @x @y @x @y Nach Stokes’ Integralsatz gilt also Z .ge f  f e g/ dx ^ dy D 0 ; H

Z

Z

also

ge f dx ^ dy D H

Sei nun T D

i @ . y @x

H

Dann erhält man durch partielle Integration

Z

Z ..Tf /g  f .T g// dx ^ dy D i

H

H

Z Di H

Also

f e g dx ^ dy :

Z

1 y 

1 d f gdy y



! dx ^ dy Z

D @

Z .Tf /g dx ^ dy D

H

@f @g gCf @x @x

f .T g/ dx ^ dy : H

1 f gdy D 0 : y

2.8 Maaßsche Wellenformen

Es ist nun

Z

hk f; gi D H

71

dx ^ dy .k f /g D y2

Z .e f C kTf /g dx ^ dy : H



Damit ist k symmetrisch.

Sei nun  eine diskrete Untergruppe von SL2 .R/. Wegen der Invarianz operiert k auf der Menge der glatten Funktionen f auf H, für die gilt f jjk  D f für jedes  2 . Sei C 1 .nH; k/ der Vektorraum dieser Funktionen und sei L2 .nH; k/ der Raum aller messbaren Funktionen f auf H mit f jjk  D f für jedes  2  und Z dx dy 2 def jf .z/j2 2 < 1 ; jjf jj D y nH

modulo solchen Funktionen mit jjf jj D 0. Man beachte, dass das Integral wohldefiniert ist, da die Funktion jf .z/j2 unter  invariant ist, also eine Funktion auf nH definiert. Dann ist L2 .nH; k/ ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt Z dx ^ dy f .z/g.z/ : hf; gi D y2 nH

Ab jetzt betrachten wir den Fall, dass nH kompakt ist. Dies ist äquivalent dazu, dass nSL2 .R/ kompakt ist. Man nennt solche Gruppen daher auch cokompakte Untergruppen von SL2 .R/. Untergruppen von SL2 .Z/ sind nicht cokompakt, da sonst SL2 .Z/ selbst schon cokompakt sein müsste. Wieso also gibt es überhaupt cokompakte Gruppen ? Hierzu folgende Überlegungen, die nur Tatsachen aus der Funktionentheorie und etwas Topologie verwenden. • Zunächst ein konkretes Beispiel. Seien 0 < p; q 2 Q. Die Matrizen p  p p q p iD ; j D p  p q erzeugen eine Q-Unteralgebra M von M2 .R/ mit den Relationen i 2 D p; j 2 D q; ij D j i : Aus diesen Relationen folgt, dass die Vektoren 1; i; j; ij eine Basis von M über Q bilden, also ist M vierdimensional. Ein solches M nennt man eine Quaternionenalgebra. Wir verlangen nun zusätzlich, dass p und q Primzahlen sind so dass q kein quadratischer Rest modulo p ist. Unter diesen Umständen kann man zeigen (Übungsaufgabe 2.23), dass M eine Divisionsalgebra ist, also dass jedes 0 ¤ m 2 M invertierbar ist. Die Menge MZ D Z1 ˚ Zi ˚ Zj ˚ Zij

2 Modulformen für SL2 .Z/

72

ist ein Unterring. Sei  D f 2 MZ W det. / D 1g : Man kann zeigen, dass  eine diskrete Untergruppe von SL2 .R/ ist so dass nH kompakt ist. • Sei X eine kompakte Riemannsche Fläche und g  0 sei ihr Geschlecht. Sei ferner XQ ihre universelle Überlagerung, sowie  die Fundamentalgruppe. Dann operiert  durch biholomorphe Abbildungen auf XQ und es gilt nXQ Š X . Ferner ist XQ eine einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche sein und  operiert fixpunktfrei. Nach dem Riemannschen Abbildungssatz ergeben sich folgende Möglichkeiten: O die Riemannsche Zahlenkugel, (a) XQ Š P1 .C/ D C (b) XQ Š C, (c) XQ Š H. Im Fall (a) ist jede biholomorphe Abbildung  W XQ ! XQ eine gebrochen lineare azCb und jede solche Transformation hat mindestens Transformation .z/ D czCd O O einen Fixpunkt in C, was bedeutet, dass  D f1g ist und damit X D XQ D C, also g D 0. Fall (b): Die biholomorphen Abbildungen von C sind genau die gebrochen linearen Transformationen  mit .1/ D 1, also .z/ D az C b. Ist a ¤ 1, dann hat  einen Fixpunkt, nämlich z0 D b=.1  a/. Also besteht  nur aus Transformationen der Gestalt .z/ D z C b. Die Menge der b 2 C mit .z 7! z C b/ 2  muss dann ein Gitter sein und damit ist X topologisch isomorph zu R2 =Z2 , also g D 1. Im Fall (c) ist  eine diskrete cokompakte Untergruppe von SL2 .R/= ˙ 1, denn dies ist die Gruppe aller biholomorphen Abbildungen von H. Jedes solche X wie unter (c) liefert also ein  wie wir es brauchen. Das ist zwar noch immer kein Existenzbeweis, man kann aber zeigen, dass es überabzählbar viele solcher  gibt, sogar modulo Konjugation.

Definition 2.8.15 Eine Gruppe  heißt torsionsfrei, falls  keine Elemente endlicher Ordnung enthält. Sei also   SL2 .R/ eine diskrete cokompakte Untergruppe. Man kann zeigen, dass  stets eine torsionsfreie Untergruppe von endlichem Index enthält. Wir schränken uns auf den torsionsfreien Fall ein und verlangen, dass  torsionsfrei ist. @ @ ; @y /. Den BeAuf der Oberen Halbebene H gibt es eine natürliche Orientierung . @x griff einer Orientierung einer Mannigfaltigkeit und den Satz von Stokes findet man zum Beispiel in Forsters Analysis-Buch [11]. Man kann die folgenden Ausführungen allerdings auch ohne diese Kenntnisse verstehen, wenn man etwa die folgende Proposition als Definition der Menge C 1 .nH/ auffasst.

2.8 Maaßsche Wellenformen

73

Proposition 2.8.16 Auf dem topologischen Raum nH gibt es genau eine Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit, so dass die Abbildung H ! nH glatt ist. Es gilt dann C 1 .nH/ D C 1 .H/ : Die natürliche Orientierung auf H induziert eine Orientierung auf nH, so dass nH eine orientierte Mannigfaltigkeit ist. Beweis: Da diese Aussage für unsere Zwecke nicht wirklich wichtig ist, geben wir nur eine Beweisskizze. Aus der Torsionsfreiheit kann man folgern, dass  diskontinuierlich auf H operiert, das heißt, zu jedem z 2 H gibt es eine offene Umgebung U so dass für jedes  2  gilt:  U \ U ¤ ; )  D 1. Hieraus folgt, dass die Projektion p W H ! nH die offene Umgebung U homöomorph auf ihr Bild p.U / abbildet und damit stellt pjU eine Karte dar. Die Gesamtheit dieser Karten liefern einen differenzierbaren Atlas für nH. Die Orientierung von H steigt schließlich zum Quotienten nH ab, da  nur durch orientierungserhaltende Diffeomorphismen operiert.  Da nH eine orientierte Mannigfaltigkeit ist, kann man auch Differentialformen integrieren. Ist ! eine Differentialform auf nH und ist p W H ! nH die kanonische Projektion, dann ist die zurückgezogene Form p  ! eine -invariante Form auf H. Lemma 2.8.17 Sei ! eine 1-Form auf nH. Dann gilt Z d! D 0 : nH

Beweis: Dies folgt aus dem Satz von Stokes, da nH eine kompakte Mannigfaltigkeit ohne Rand ist, d. h. @.nH/ D ;. Also Z Z Z d! D ! D ! D 0: nH

@.nH/



;

Definition 2.8.18 Sei C 1 .nH; k/ die Menge aller glatten Funktionen f auf H mit f jjk  D f für jedes  2 . Lemma 2.8.19 (a) Ist f 2 C 1 .nH; k/ und g 2 C 1 .nH; k 0 /, dann ist fg 2 C 1 .nH; k C k 0 /. (b) Ist f 2 C 1 .nH; k/, dann ist f 2 C 1 .nH; k/. (c) C 1 .nH; 0/ D C 1 .nH/. 1 Beweis: Eine   glatte  Funktion f auf H liegt genau dann in C .nH; k/, wenn für  jedes  D c d 2  gilt

 f .z/ D

cz C d jcz C d j

k f .z/ :

2 Modulformen für SL2 .Z/

74



Damit folgen die Behauptungen.

Proposition 2.8.20 Der Operator k mit Definitionsbereich C 1 .nH; k/ ist ein symmetrischer Operator auf dem Hilbert-Raum L2 .nH; k/. 

Beweis: Analog zum Beweis von Proposition 2.8.14.

Das Spektralproblem von k : Lässt sich der Hilbert-Raum L2 .nH; k/ in eine Summe von Eigenräumen zerlegen? Wenn dies der Fall ist, sagen wir, dass k ein reines Eigenwertspektrum hat. In diesem Fall lässt sich jedes 2 L2 .nH; k/ schreiben als eine L2 -konvergente Summe X D  ; 2R

mit k  D   . Ist  nicht cokompakt, wird dies nicht gehen, stattdessen erhält man neben einer Summe von Eigenräumen noch ein direktes Integral von Eigenräumen. Dies ist generell richtig für selbstadjungierte Operatoren nach dem entsprechenden Spektralsatz. Ein direktes Integral von Hilbert-Räumen soll hier nicht definiert werden, wir geben nur ein Beispiel für eine solche Spektralzerlegung. 2

@ Beispiel 2.8.21 Sei V der Hilbert-Raum L2 .R/ und sei D D  @x 2 mit Definiti1 onsbereich Cc .R/. Dann ist D symmetrisch und man kann zeigen, dass D eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzt. Der Operator D hat keine Eigenfunktion in L2 .R/. Für y 2 R ist die Funktion ey .x/ D e2 ixy eine Eigenfunktion zum Eigenwert 4 2 y 2 , diese Funktion liegt aber nicht in L2 .R/. Dennoch lässt sich, nach der Theorie der Fourier-Transformation, jedes 2 L2 .R/ schreiben als ein L2 -konvergentes Integral Z O .y/e D y dy : R

2.9 Aufgaben und Anmerkungen   Aufgabe 2.1 Zeige, dass für ac db 2 GL2 .C/ und z 2 C die Ausdrücke az C b und cz C d nicht beide gleichzeitig Null sein können. Aufgabe 2.2 Finde alle  2  D SL2 .Z/, die   (a) mit S D  1 1 kommutieren. (b) mit T D 1 11 kommutieren. (c) mit S T kommutieren. Aufgabe 2.3 Welcher Punkt im Fundamentalbereich D ist -konjugiert zu (a) 6 C 12 i ? ? (b) 8C6i 3C2i

2.9 Aufgaben und Anmerkungen

75

Aufgabe 2.4 (Residuensatz für Kreissegmente) Sei r0 > 0 und sei f eine holomorphe Funktion auf der Menge fz 2 C W 0 < jzj < r0 g die in z D 0 einen einfachen Pol hat. Seien a; b W Œ0; r0 / ! . ; / stetige Funktionen mit ar  br für jedes 0  r < r0 und für 0 < r < r0 sei r W .a.r/; b.r// ! C das Kreissegment r .t/ D rei t . Zeige: Z b.0/  a.0/ 1 f .z/ dz D reszD0 f .z/ lim r!0 2 i 2 r

Aufgabe 2.5   D SL2 .Z/ und sei N 2 N. Zeige: die Menge 0 .N / aller  Sei Matrizen ac db 2  mit c  0 mod N ist eine Untergruppe von . (Hinweis: Betrachte die Reduktionsabbildung SL2 .Z/ ! SL2 .Z=N Z/.) Aufgabe 2.6 (Bruhat-Zerlegung) Sei G D SL2 .R/ und sei B die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Zeige   G D B [ BSB; S D 1 1 ; wobei die Vereinigung disjunkt ist. Aufgabe SL2 .R/ erzeugt wird von  2.7 Zeige, dass die  Gruppe    den Elementen der Form a 1=a mit a 2 R , 1 x1 mit x 2 R und S D 1 1 . Aufgabe 2.8 Führe den Beweis von Lemma 2.8.1 aus. Aufgabe 2.9 Zeige, dass das Maß SL2 .R/.

dx dy y2

invariant ist unter der Operation von

Aufgabe 2.10 Zeige, dass für jedes g 2 SL2 .R/ mit g ¤ ˙1 gilt: j Sp.g/j < 2 , g hat einen Fixpunkt in H : (Hinweis: Zeige, dass g genau dann einen Fixpunkt hat, wenn es in G zu einem Element von K D SO.2/ konjugiert ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn g diagonalisierbar ist und beide Eigenwerte den Betrag 1 haben.) Aufgabe 2.11 Sei .an / eine Folge in C. Zeige, dass es ein r 2 R [ f˙1g gibt so dass s 2 C mit Re.s/ > r und für kein s mit Re.s/ < r die Dirichlet-Reihe P1 für jedes s a n absolut konvergiert. nD1 n Aufgabe 2.12 Ramanujans -Funktion ist definiert durch die Fourier-Entwicklung .z/ D .2 /12

1 X nD1

.n/q n ;

q D e2 iz :

2 Modulformen für SL2 .Z/

76

Zeige: .n/ D 8000..3 ? 3 / ? 3 /.n/  147.5 ? 5 /.n/; wobei f ? g das Cauchy-Produkt zweier Folgen bezeichnet: f ? g.n/ D

n X

f .k/g.n  k/ :

kD0

Man setzt hier a .n/ D

P d jn

d a für n  1 und 3 .0/ D

1 240

1 sowie 5 .0/ D  504 .

Aufgabe 2.13 (Jacobis Produktformel) Zeige, dass für 0 < jqj < 1 und  2 C gilt 1 X nD1

2

qn  n D

1 Y

.1  q 2n /.1 C q 2n1 /.1 C q 2n1  1 / :

nD1

Dies kann in folgenden Schritten gezeigt werden. P1 n2 n 2 iz ,  D e2 iw . Sei #.z; w/ D nD1 q  ; wobei z 2 H, w 2 C und q D e Sei 1 Y .1 C q 2n1 /.1 C q 2n1  1 / : P .z; w/ D nD1

(a) Zeige: #.z; w C 2z/ D .q/1 #.z; w/ und P .z; w C 2z/ D .q/1 P .z; w/: (b) Zeige, dass für festes z die Funktion f .w/ D #.z; w/=P .z; w/ konstant ist. (Hinweis: Zeige, dass f ganz ist und periodisch zum Gitter ƒ.1; 2z/.) Q (c) Zeige, dass für die Funktion .q/ D #.z; w/=P .z; w/ gilt .q/ D 1 nD1 .1  q 2n /: (Hinweis: Zeige, dass #.4z; 1=2/ D #.z; 1=4/ und Q P .4z; 1 / 4n2 /.1q 8n4 /: Daher .q/ D P .z; 12/ .q 4 /: P .4z; 12 /=P .z; 14 / D 1 nD1 .1q 4

Zeige nun, dass .q/ ! 1 für q ! 0.)

P Aufgabe 2.14 Zeige, dass die L-Reihe D n1 an ns auch für eine NichtP L.f; s/ n spitzenform f 2 M2k , f .z/ D n0 an q eine analytische Fortsetzung besitzt und eine Funktionalgleichung erfüllt. Sie ist aber nicht mehr ganz, sondern nur meromorph auf C. Wo liegen die Pole? Aufgabe 2.15 Sei f 2 Mk mit k  4. Nimm an, dass f keine Spitzenform ist. Zeige, dass f genau dann eine normalisierte Eigenform der Hecke-Operatoren ist, wenn .k  1/Š f D Gk 2.2 i /k gilt. Aufgabe 2.16 Für f; g 2 M2k sei Z hf; giPet D

f .z/g.z/y 2k nH

dx dy : y2

2.9 Aufgaben und Anmerkungen

77

Zeige, dass der Integrand in der Tat invariant ist unter der Operation von . Zeige, dass das Integral konvergiert, falls mindestens eine der beiden Funktionen f; g eine Spitzenform ist. Zeige, dass für k  2 die Eisenstein-Reihe G2k senkrecht auf den Spitzenformen steht. Aufgabe 2.17 Zeige, dass die Abbildung .1/ ! SL2 .Z=N Z/ surjektiv ist. (Hinweis: Mit Hilfe des Elementarteilersatzes reduziere auf den Fall einer Diagonalmatrix der Form . a an /. Ändere einerseits n modulo N ab und betrachte andererseits Matrizen der Form Na Nanx . Beachte, dass a und N teilerfremd sind.) Aufgabe 2.18 Sei   .1/ eine Kongruenzuntergruppe und sei † ein Normalteiler von endlichem Index in . Zeige, dass die endliche Gruppe =† auf Mk .†/ durch f 7! f j operiert. Diese Operation ist unitär bezüglich des PeterssonSkalarproduktes.   Aufgabe 2.19 Sei 0 .N / die Gruppe aller ac db 2 .1/ mit c  0 mod.N / und   sei 1 .N / die Untergruppe aller ac db 2 0 .N / mit a  d  1 mod.N /. Sei  ein Dirichlet Charakter modulo N , d. h., ein Gruppenhomomorphismus  W .Z=N Z/ ! C . Sei Sk .0.N /; / die Menge aller f 2 Sk .1 .N // mit f j D .d /f für jedes  D ac db 2 0 .N /. Zeige Sk .1 .N // D

M

Sk .0 .N /; / ;



wobei die Summe orthogonal ist bezüglich des Petersson-Skalarproduktes. (Hinweis: Benutze Aufgabe 2 und den Spektralsatz für unitäre Matrizen, sowie Lemma 2.7.11 der Vorlesung.) Aufgabe 2.20 Sei f 2 Mk ./ für eine Kongruenzuntergruppe . Zeige: Es gibt ein ˛ 2 GL2 .Q/C und ein N 2 N, so dass f j˛ 2 Mk .1 .N //. Sei S die endliche Menge aller Primzahlen, die N teilen und sei ZS die Lokalisierung von Z in S , d. h. die Menge aller rationalen Zahlen a=b, wobei der Nenner b teilerfremd zu N ist. Dann ist N ZS ein Ideal von ZS und ZS =N ZS Š Z=N  Z. Sei G0 .N / die Untergruppe von GL2 .ZS / bestehend aus allen Matrizen ac db mit positiver Determinante so dass c 2 N ZS . Zeige, dass ein Vertretersystem von 0 .N /nG0 .N /= 0 .N / gegeben ist durch die Menge aller Matrizen . an a /, wobei a 2 ZS positiv ist und n 2 N teilerfremd zu N . (Hinweis: Sei ˛ 2 G0 .N /. Dann existieren ;  2 .1/ so dass ˛ D d mit d D . an a /. Zeige, dass a und n die Bedingungen der Aufgabe erfüllen. Zeige, dass  durch Linksmultiplikation um ein Element aus 0 .n/ abgeändert werden kann, wenn man auch  entsprechend ändert.) Aufgabe 2.21 Sei f eine stetige Funktion auf einer offenen Menge D  C2 . Für jedes z0 2 C sei die Funktion w 7! f .z0 ; w/ holomorph, wo definiert und für jedes w0 2 C sei die Funktion z 7! f .z; w0 / holomorph, wo definiert. Also f ist in jedem Argument separat holomorph. Zeige, dass f simultan in beiden Argumenten

2 Modulformen für SL2 .Z/

78

in Potenzreihen entwickelbar ist. Dies heißt folgendes: Für jedes .z0 ; w0 / gibt es eine offene Umgebung in der gilt f .z; w/ D

1 X 1 X

am;n .z  z0 /n .w  w0 /m ;

nD0 mD0

für komplexe Zahlen am;n , wobei die Doppelreihe absolut konvergiert. Folgere, dass f eine glatte Funktion ist. (Hinweis: Es reicht, .0; 0/ 2 D anzunehmen und die Reihenentwicklung in einer Umgebung dieses Punktes zu zeigen. Seien K; L zwei Kreisscheiben um Null in C so dass K  L  L. Sei z im Inneren von K und w im Inneren von L. Wenden die Cauchysche Integralformel zweimal an um f .z; w/ D

1 2 i

Z

f .; w/ 1 d D  z 4 2

@K

Z Z

f .; / d d .  z/.  w/

@K @L

zu erhalten. Schreibe dann 1 X 1 X 1 1 f .; / f .; / zn wm ; D D f .; / .  z/.  w/  .1  z=/.1  w= / 

n m nD0 mD0

wobei die geometrische Reihe eingesetzt wurde (Rechtfertigung?) Zeige nun, dass die Doppelreihe auf den Integrationswegen gleichmäßig konvergiert und somit Integration und Summation vertauscht werden dürfen.) Aufgabe 2.22 Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von endlichem Index, also jG=H j < 1. Zeige, dass H einen Normalteiler N von G enthält, der endlichen Index in G hat. T S (Hinweis: Schreibe G D jnD1 gj H und betrachte N D j gj Hgj1 .) Aufgabe 2.23 Seien 0 < p; q 2 Q. Die Matrizen iD

p p

p ;  p

 j D p

p q q

erzeugen eine Q-Unteralgebra M von M2 .R/ mit den Relationen i 2 D p; j 2 D q; ij D j i : Aus diesen Relationen folgt, dass die Vektoren 1; i; j; ij eine Basis von M über Q bilden, also ist M vierdimensional. Ein solches M nennt man eine Quaternionenalgebra. Zeige, dass M eine Divisionsalgebra ist, falls p und q Primzahlen sind derart dass q kein quadratischer Rest modulo p ist.

2.9 Aufgaben und Anmerkungen

79

Anmerkungen Eine Homothetie auf C ist eine Abbildung der Form z 7! z, wobei  2 C ist. Die in Satz 2.1.5 angegebene Bijektion nH ! GITT =C zeigt, dass nH der Modulraum der Gitter modulo Homothetie ist. Generell ist ein Modulraum ein mathematisches Objekt, dessen Punkte andere mathematische Objekte klassifizieren, wie in diesem Fall nH genau die Gitter in C bis auf Homothetie klassifiziert. Wer mehr über Modulräume wissen möchte, ist mit den Büchern [16] und [21] gut beraten. Die j -Funktion ist eine Bijektion von nH nach C. Nimmt man den Punkt i 1 hinzu, erhält man eine Bijektion nach b C D C [ f1g D P1 .C/. Allgemeiner kompaktifiziert man nH für eine Kongruenzuntergruppe  durch Hinzunahme der Spitzen eines Fundamentalbereichs. Der so kompaktifizierte Raum hat dann die Struktur einer algebraischen Kurve, die in einem projektiven Raum höherer Dimension realisiert werden kann. Neben den Kongruenzuntergruppen kann man auch beliebige Untergruppen von endlichem Index von SL2 .Z/ oder gar diskrete Untergruppen  von G D SL2 .R/ von endlichem Covolumen betrachten, siehe etwa [20]. In diesem Buch schränken wir uns auf Kongruenzuntergruppen ein, da diese für die Zahlentheorie die wichtigsten sind. Die nichtholomorphen Eisenstein-Reihen liefern den kontinuierlichen Beitrag in der Spektralzerlegung der Maaßschen Wellenformen [20]. Zum Beweis dieser Tatsache ist die Rankin-Selberg-Methode von entscheidender Bedeutung. In diesem Buch tritt sie aber auch aus einem anderen Grund auf. Die Rankin-Selberg-Faltung ist ein erstes Beispiel einer automorphen L-Funktion, die nicht zur GL2 , sondern zur GL4 gehört. Dies sieht man daran, dass die Euler-Faktoren Polynome vierten Grades sind. Für die Langlands-Vermutungen, denen zufolge jede L-Funktion, die in der Zahlentheorie auftritt, schon automorph sein sollte, werden L-Funktionen automorpher Formen der Gruppen GLn für jedes n benötigt, siehe [4].

Kapitel 3

Darstellungen der SL2 .R/

In diesem Kapitel sehen wir, wie man Spitzenformen als Darstellungsvektoren für Lie-Gruppen verstehen kann. Dies gibt uns die Möglichkeit, Methoden der Darstellungstheorie auf Automorphe Formen anzuwenden.

3.1 Haar-Maße und Zerlegungen Die Gruppe G D SL2 .R/ operiert Halbebene  auf  durch  der oberen  gebrochen lineaazCb re Transformationen, also via ac db z D czCd . Sei g D ac db 2 G im Stabilisator ai Cb D i oder ai C b D c C d i , woraus von i 2 H, d. h. gi D i . Dann folgt ci Cd durch Vergleich von Real- und Imaginärteil a D d und b D c folgt. Damit ist der Stabilisator von i 2 H gleich der Drehgruppe    a b 2 2 W a; b 2 R; a C b D 1 : K D SO.2/ D b a Diese kann auch beschrieben werden als die Gruppe aller Matrizen der Form   cos '  sin ' für ' 2 R : sin ' cos ' Die Operation von G auf H ist transitiv (d. h. es gibt nur eine Bahn), denn für z D x C iy 2 H gilt ! p y pxy z D i: p1 0 y Also ist die Abbildung G=K ! H gK 7! gi; eine Bijektion, die die obere Halbebene H mit dem Quotienten G=K identifiziert. A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

81

3 Darstellungen der SL2 .R/

82

4 Die Gruppe G trägt als Teilmenge von Mat2 .R/ Š R eine natürliche Topologie. Eine Folge acnn dbnn konvergiert dann in G gegen ac db genau dann, wenn an ! a, bn ! b, cn ! c und dn ! d . Die Operation auf H ist stetig in dem Sinne, dass die Abbildung

GH ! H .g; z/ 7! gz stetig ist. (Siehe Aufgabe 3.2)

Satz 3.1.1 (Iwasawa Zerlegung) Sei A die Gruppe aller Diagonalmatrizen   in G mit positiven Einträgen. Sei N die Gruppe aller Matrizen der Form 10 s1 mit s 2 R. Dann gilt G D ANK. Genauer ist die Abbildung W A  N  K ! G; .a; n; k/ 7! ank ein Homöomorphismus.

Beweis: Sei g 2 G und sei gi D x C yi . Mit ! p y aD und n D p 1= y

1

x=y 1

! ;

gilt dann gi D ani und damit liegt g 1 an in K, d. h. es existiert ein k 2 K mit ai Cb bestimmt man die inverse Abbildung g D ank. Mit Hilfe der Formel gi D ci Cd wie folgt. Sei  WG !AN K gegeben durch .g/ D .a.g/; n.g/; k.g//, wobei ! ! p 1 a b 2 Cd 2 c p a ; D c d c2 C d 2

n

a c

b d

k

a c

b d

! D

1 ac C bd 1

!

1

D p c2 C d 2

Dann rechnet man leicht nach, dass gilt 

! ;

d c

c d

! :

D Id und  D Id.



3.1 Haar-Maße und Zerlegungen

83

Die Notation a.g/, n.g/ und k.g/ wird im Folgenden weiter verwendet. Für x; t;  2 R schreiben wir   t e def at D 2A et   1 x 2N nx def D 1   cos   sin  2K: k def D sin  cos  Definition 3.1.2 Sei k 2 N0 . Eine Funktion f W G ! C heißt k-mal stetig differenzierbar, falls die Abbildung R3 ! C, .t; x; / 7! f .at nx k / k-mal stetig differenzierbar ist. Sie heißt glatt, falls sie unendlich oft stetig differenzierbar ist. Die Menge der glatten Funktionen wird geschrieben als C 1 .G/. Die Menge der glatten Funktionen mit kompakten Trägern wird geschrieben als Cc1 .G/. Die Gruppe G ist ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, da G eine abgeschlossene Teilmenge des R4 ist. Ferner ist G eine topologische Gruppe, d. h. die Gruppenoperationen GG ! G G!G .x; y/ 7! xy; x 7! x 1 ; sind stetige Abbildungen. Eine topologische Gruppe, die lokalkompakt und hausdorffsch ist, heißt lokalkompakte Gruppe. Beispiele 3.1.3 • Ist G eine beliebige Gruppe, so wird G mit der diskreten Topologie (d. h., jede Teilmenge ist offen) eine lokalkompakte Gruppe. Wir nennen G dann eine diskrete Gruppe. • Die Gruppen GL2 .R/ und SL2 .R/ sind mit der Topologie des R4 lokalkompakte Gruppen. • Wir werden später weitere Beispiele mit Hilfe p-adischer Zahlen und Adelen konstruieren. Lemma 3.1.4 Sei G eine lokalkompakte Gruppe. Jede Funktion f 2 Cc .G/ ist gleichmäßig stetig in dem Sinne, dass es zu jedem " > 0 eine Umgebung U der Eins in G gibt so dass für x; y 2 G mit x 1 y 2 U oder yx 1 2 U gilt jf .x/f .y/j < ". Beweis: Wir beweisen nur die Aussage mit x 1 y 2 U , denn die andere kann analog bewiesen werden. Sei K der Träger von f . Wähle " > 0 und eine kompakte Umgebung V der Eins in G. Da f stetig ist, existiert zu jedem x 2 G eine offene Einsumgebung Vx  V so dass y 2 xVx ) jf .x/f .y/j < "=2. Da die Gruppenmultiplikation stetig ist, existiert eine offene Einsumgebung Ux mit Ux2  Vx . Die

3 Darstellungen der SL2 .R/

84

Mengen xUx , mit x 2 K V , bilden eine offene Überdeckung der kompakten Menge K V . Also gibt es, x1 ; : : : xn 2 K V so dass K V  x1 U1 [    [ xn Un , wobei wir Uj für Uxj geschrieben haben. Sei U D U1 \    \ Un . Dann ist U eine offene Einsumgebung. Seien nun x; y 2 G mit x 1 y 2 U . Falls x … K V , dann y … K, da x 2 yU 1 D yU  yV . In dem Fall schließen wir also f .x/ D f .y/ D 0. Sei nun also x 2 K V . Dann existiert ein j mit x 2 xj Uj , also y 2 xj Uj U  xj Vj . Es folgt jf .x/  f .y/j  jf .x/  f .xj /j C jf .xj /  f .y/j < wie behauptet.

" " C D " 2 2 

Definition 3.1.5 Ein Maß , definiert auf der Borel--Algebra eines lokalkompakten Hausdorff-Raums X heißt Radon-Maß, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: (a) .K/ < 1 für jede kompakte Teilmenge; (b) .A/ D infU A .U /, wobei das Infimum über alle offenen Teilmengen U  A erstreckt wird und A  X messbar ist; (c) .A/ D supKA .K/, wobei das Supremum über alle kompakten Teilmengen K  X erstreckt wird, die in A liegen, hierbei ist A offen oder von endlichem Maß. Beispiele 3.1.6 • Ist X diskret, d. h., jede Menge ist offen, dann ist das Zählmaß ( n falls A endlich mit n Elementen, .A/ D 1 sonst, ein Radon-Maß. • Ist X D R, so ist das Lebesgue-Maß ein Radon-Maß. Proposition 3.1.7 Sei  ein Radon-Maß auf dem lokalkompakten Hausdorff-Raum X . Für jedes 1  p  1 ist dann Cc .X / dicht in Lp .X /. Beweis: Sei f 2 Lp .X /. Wir wollen zeigen, dass f als Limes einer Folge in Cc .X / dargestellt werden kann. Wir können f in Real- und Imaginärteil und diese weiter in Positiv- und Negativteil zerlegen. Können wir diese als solche Limiten darstellen, dann auch f . Es reicht also, f  0 anzunehmen. Dann kann man f als punktweisen Limes einer monoton wachsenden Folge von Lebesgue-Treppenfunktionen schreiben. Es reicht also, anzunehmen, dass f eine Lebesgue-Treppenfunktion ist. Wegen Linearität kann man sich weiter auf den Fall f D 1A für eine Menge A von endlichem Maß zurückziehen. Wegen der äußeren Regularität existiert eine Folge Un offener Mengen, Un  UnC1  A, so dass .Un / ! .A/, d. h., jj1A  1Un jjp ! 0. Man kann daher annehmen, dass A selbst offen ist. Wegen der inneren Regularität offener Mengen existiert dann eine Folge kompakter Mengen Kn  KnC1  A so dass jj1A  1Kn jjp ! 0. Nach dem Lemma von Urysohn, A.3.5, gibt es für je-

3.1 Haar-Maße und Zerlegungen

85

des n eine Funktion 'n 2 Cc .X / mit 1Kn  'n  1A . Es folgt 'n ! 1A in der Lp -Norm.  R Ist  ein Radon-Maß auf X , so ist das Integral I D I W ' 7! X '.x/ d.x/ eine lineare Abbildung Cc .X / ! C die positiv ist in dem Sinne, dass '  0 ) I.'/  0. Der Rieszsche Darstellungssatz besagt, dass die Abbildung  7! I eine Bijektion zwischen der Menge aller Radon-Maße und der Menge aller positiven Funktionale auf Cc .X / ist. Dies ist der Grund für die Wichtigkeit von RadonMaßen. Satz 3.1.8 Sei G eine lokalkompakte Gruppe, dann gibt es ein Radon-Maß  ¤ 0 auf der Borel--Algebra, welches linksinvariant ist, d. h., es gilt .xA/ D .A/ für x 2 G und jede messbare Menge A  G. Dieses Maß  ist eindeutig bestimmt bis auf positive Vielfache, es heißt das Haar-Maß von G. Beweis: Ein Beweis findet sich zum Beispiel in folgenden Büchern: [8, 9, 33].



Beispiele 3.1.9 • Ist G eine diskrete Gruppe, so ist das Zählmaß ein Haar-Maß. • Für G D .R; C/ ist das Lebesgue-Maß dx ein Haar-Maß. • Für G D .R ; / ist dx x ein Haar-Maß. Dies folgt aus der Substitutionsregel. • Wie SL2 .R/ ist auch G D GL2 .R/ eine lokalkompakte Gruppe. Ein Haar-Maß ist gegeben durch dx dy dz dw ; jxw  yzj2 wobei die Koordinaten die Einträge einer Matrix bezeichnen: . xz folgt aus der Transformationsformel.

y w

/ 2 G. Dies

Die Linksinvarianz des Haar-Maßes  einer lokalkompakten Gruppe äußert sich in der Translationsinvarianz des Integrals, d. h., für jedes f 2 L1 .G; / gilt Z Z f .xy/ d.y/ D f .y/ d.y/ G

G

falls x 2 G ist. Konvention. Der Einfachheit halber schreiben wir immer dx statt d.x/, wenn wir über ein Haar-Maß integrieren, wobei wir stets voraussetzen, dass ein Haar-Maß fest gewählt wurde. Wir schreiben also Z f .x/ dx G

R

statt G f .x/ d.x/. Das Volumen einer messbaren Menge A  G schreiben wir dann als voldx .A/ :

3 Darstellungen der SL2 .R/

86

Definition 3.1.10 Sei G eine lokalkompakte Gruppe mit Haar-Maß dx. Für f; g 2 L1 .G/ sei die Faltung definiert durch Z f g.x/ D f .y/g.y 1 x/ dx : G

Proposition 3.1.11 Sei G eine lokalkompakte Gruppe mit Haar-Maß dx. Sind f; g 2 L1 .G/, so existiert das Integral f g.x/ für x außerhalb einer Nullmenge und die Funktion f g liegt in L1 .G/, genauer gilt jjf gjj1  jjf jj1 jjgjj1 . Damit bildet L1 .G/ eine Algebra über C, d. h., für alle f; g; h 2 L1 .G/ gilt .f g/ h D f .g h/;

f .gCh/ D f gCf h;

.f Cg/ h D f hCg h

und für jedes  2 C gilt außerdem .f g/ D .f / g D f .g/ : Beweis: Dies sind einfache Anwendungen der Invarianz des Haar-Maßes. Beispielhaft beweisen wir die erste Aussage. Seien f; g 2 L1 .G/, dann gilt ˇ ˇ ˇ Z Z ˇZ ˇ ˇ 1 ˇ ˇ jf g.x/j dx D jjf gjj1 D ˇ f .y/g.y x/ dy ˇ dx ˇ ˇ G G G Z Z Z Z jf .y/g.y 1 x/j dy dx D jf .y/g.y 1 x/j dx dy  G G

G G

Z Z D

jf .y/g.x/j dx dy D jjgjj1 jjf jj1 : G G

Aus der Existenz dieses Integrals folgt im Rückschluss mit Hilfe des Satzes von Fubini A.2.2.  Ein linksinvariantes Haar-Maß  braucht nicht rechtsinvariant zu sei, d. h. im Allgemeinen gilt .Ax/ ¤ .A/. Für ein gegebenes x 2 G sei x .A/ D .Ax/ : Dann ist x selbst wieder ein linksinvariantes Haar-Maß, denn x .yA/ D .yAx/ D .Ax/ D x .A/ : Also gibt es wegen der Eindeutigkeit des Haar-Maßes eine Zahl .x/ > 0 mit x D .x/. Die so entstehende Funktion  D G W G ! .0; 1/ heißt die Modularfunktion von G. Die Modularfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus in die multiplikative Gruppe R >0 , denn .xy/.A/ D .Axy/ D .y/.Ax/ D .y/.x/.A/ : Ferner stellt man fest, dass  eine stetige Funktion ist (siehe etwa [8], Chap. 1).

3.1 Haar-Maße und Zerlegungen

87

Beispiel 3.1.12 Sei B die Gruppe der reellen Matrizen der Form  Dann ist (siehe Aufgabe 3.4) die Modularfunktion  gleich  10

1

 x

0 y x y D

mit y ¤ 0. jyj.

Definition 3.1.13 Eine Gruppe G operiere durch messbare Abbildungen auf einem Messraum .X; A/. Ein Maß  auf X heißt invariantes Maß, falls für jede messbare Teilmenge A  X und jedes g 2 G gilt .gA/ D .A/. Dies wird insbesondere untersucht im Falle dass X ein Nebenklassenraum G=H nach einer Untergruppe von G ist.

Satz 3.1.14 (a) Sei H  G eine abgeschlossene Untergruppe der lokalkompakten Gruppe G. Auf dem lokalkompakten Raum G=H existiert genau dann ein nichttriviales, G-invariantes Radon Maß, wenn G jH D H : In diesem Fall kann man das invariante Maß auf G=H so normieren, dass für jedes f 2 L1 .G/ die Integralformel Z Z Z f .x/ dx D f .yh/ dh dy G

G=H H

Gültigkeit hat. Das invariante Maß auf G=H ist eindeutig bestimmt bis auf skalare Vielfache. (b) Für y 2 G und f 2 L1 .G/ ist Z Z 1 f .xy/ dx D .y / f .x/ dx : G

G

(c) Die Gleichung Z

f .x 1 / .x 1 / dx D

G

Z f .x/ dx G

gilt für jedes f 2 L1 .G/. (d) Ist H  G eine abgeschlossene Untergruppe und K  G eine kompakte Untergruppe so dass G D HK, dann kann man die Haar-Maße von G; H; K so normieren, dass für jede integrierbare Funktion f die Formel Z Z Z f .x/ dx D f .hk/ dk dh G

gilt.

H K

3 Darstellungen der SL2 .R/

88



Beweis: [8, 9, 33].

Beispiel 3.1.15 Man kann die obere Halbebene H durch die Abbildung g 7! gi D  ai Cb a b mit dem Quotienten G=K D SL .R/=SO.2/ identifizieren. für g D 2 ci Cd c d Das invariante Maß d D dxydy ist dann genau ein solches Maß auf G=K wie im 2 Satz erwähnt. Es folgt, dass  durch die G-Invarianz bis auf Vielfache eindeutig bestimmt ist. Die Gruppe G heißt unimodular, falls  1. Beispiele 3.1.16 • Ist G abelsch, so ist G unimodular. • Ist G kompakt, so ist G unimodular, denn .G/ ist eine kompakte Untergruppe von R >0 , also ist .G/ D f1g. Proposition 3.1.17 Die Gruppe G D SL2 .R/ ist unimodular. Beweis: Sei  W G ! R C ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Wir zeigen, dass  trivial ist. Zunächst gilt .K/ D 1 da K kompakt ist. Da  eingeschränkt auf A ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist, existiert ein x 2 R so dass .at / D etx  1  für jedes t 2 R. Sei w D 1 , dann wat w 1 D at , und daher etx D .a t / D 1 tx .wat w / D e für jedes t 2 R. Damit ist x D 0 und so .A/ D 1. Ebenso 2t gilt .nx / D erx für ein r 2 R. Wegen a t nx a1 D ne2t x folgt ers D ere s für t jedes t 2 R, also r D 0 und damit .N / D 1. Nach der Iwasawa-Zerlegung folgt .G/ D .ANK/ D .A/.N /.K/ D 1.  Wir schreiben t.g/ für das eindeutig bestimmte t 2 R mit a.g/ D a t , d. h. es gilt a.g/ D at .g/ : Satz 3.1.18 (Iwasawa-Integralformel) Zu gegebenen Haar-Maßen auf drei der Gruppen G; A; N; K gibt es ein eindeutig bestimmtes Haar-Maß auf der vierten, so dass für f 2 L1 .G/ die Formel Z Z Z Z f .x/ dx D f .ank/ dk dn da G

A N K

gilt. Wir wählen feste Haar-Maße wie folgt. Auf K wählen wir das eindeutig bestimmte Haar-Maß mit Volumen 1. Auf A wählen wir das Maß 2dt, wobei t D t.a/, R und auf N wählen wir R f .ns /ds. Der Faktor 2 wurde eingefügt, damit das Maß kompatibel ist zum Maß dxydy auf der oberen Halbebene. 2 Beweis des Satzes: Sei B D AN die Untergruppe aller oberen Dreiecksmatrizen mit positiven Diagonaleinträgen. Man rechnet leicht nach, dass db D dadn ein Haar-Maß auf B ist und dass B nicht unimodular ist, in der Tat, man hat B .t/ D e2t , was man aus der Gleichung at nx as ny D a t Cs nyCe2s x erhält.

3.2 Darstellungen

89

Sei b W G ! B die Projektion b.g/ D a.g/n.g/. Die Abbildung B ! G=K Š H, die b auf bK wirft, ist ein B-äquivarianter Homöomorphismus. Jedes G-invariante Maß auf G=K Š H liefert ein Haar-Maß auf B und die Eindeutigkeit dieser Maße B-invariante Maß auf G=KR schon G-invariant Rimpliziert, dass jedes R R R ist. Die Formel R f .x/ dx D f .xk/ dk dx führt zu f .x/ dx D G G=K K G B K f .bk/ dk db. Wegen db D da dn folgt die Integralformel. 

3.2 Darstellungen Wir definieren hier den Begriff einer stetigen Darstellung einer topologischen Gruppe auf einem Banach-Raum V . Definition 3.2.1 Sei G eine topologische Gruppe. Eine Darstellung von G ist ein Gruppenhomomorphismus  W G ! GL.V /; mit einem Banach-Raum V , derart dass die Abbildung G V ! V ;

.g; v/ 7! .g/v

stetig ist. Beispiele 3.2.2 • Sei W G ! C ein stetiger Gruppenhomomorphismus, also ein sogenannter Quasicharakter. Dann kann man als eine Darstellung auffassen, da es einen kanonischen Isomorphismus C Š GL.C/ gibt. • Sei G D SL2 .R/. Diese Gruppe hat eine natürliche Darstellung auf C2 , die durch Matrizenmultiplikation gegeben ist. Sei V ein Hilbert-Raum. Eine Darstellung  auf V heißt unitäre Darstellung, falls .g/ unitär ist für jedes g 2 G. D. h.,  ist genau dann unitär, wenn für jedes g 2 G und für alle v; w 2 V gilt h.g/v; .g/wi D hv; wi. Lemma 3.2.3 Eine Darstellung  einer Gruppe G auf einem Hilbert-Raum V ist genau dann unitär, wenn für jedes g 2 G gilt .g 1 / D .g/ . Beweis: Ein Operator T ist genau dann unitär, wenn er invertierbar ist und T 1 D T  gilt. Eine Darstellung  ist ein Gruppenhomomorphismus und erfüllt daher .g1 / D .g/1 . Diese beiden Aussagen ergeben zusammen die Behauptung.  Beispiel 3.2.4 Sei W G ! C ein Quasicharakter. Als Darstellung aufgefasst ist genau dann unitär, wenn das Bild von im kompakten Torus T D fz 2 C W jzj D 1g liegt. In diesem Fall sagt man, dass ein Charakter ist. Wir besprechen nun ein weiteres wichtiges Beispiel. Sei G eine lokalkompakte Gruppe. Auf dem Hilbert-Raum L2 .G/ definieren wir für jedes x 2 G einen Operator Lx durch Lx '.y/ D '.x 1 y/;

' 2 L2 .G/ :

3 Darstellungen der SL2 .R/

90

Lemma 3.2.5 Die Abbildung x 7! Lx ist eine unitäre Darstellung der lokalkompakten Gruppe G. Beweis: Wir zeigen zunächst, dass Lx ein unitärer Operator ist. Wir benutzen die Linksinvarianz des Haar-Maßes: Z Z '.x 1 y/ .x 1 y/ dy hLx '; Lx i D Lx '.y/Lx .y/ dy D G

G

Z

D

'.y/ .y/ dy D h'; i : G

Wir müssen nun noch die Stetigkeit der Abbildung ˆ W G  L2 .G/ ! L2 .G/; .x; '/ 7! Lx ' verifizieren. Sei hierzu '0 2 L2 .G/ gegeben. Eine offene Umgebung von '0 in L2 .G/ ist gegeben durch die Menge Br .'0 / aller ' 2 L2 .G/ mit jj'  '0 jj < r, wobei r > 0 und jjjj die L2 -Norm ist. Wir müssen beweisen, dass S D ˆ1 .Br .'0 // eine offene Teilmenge des Produktes G  L2 .G/ ist. Sei .x; '/ 2 S , also jjLx '  '0 jj < r. Es ist zu zeigen, dass es offene Umgebungen U von x und V von ' gibt mit U  V  S . Hierzu schätzen wir für y 2 G und 2 L2 .G/ wie folgt ab: ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇLy  '0 ˇˇ  ˇˇLx '  Ly ˇˇ C jjLx '  '0 jj ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ  ˇˇLx '  Ly ' ˇˇ C ˇˇLy '  Ly ˇˇ C jjLx '  '0 jj ˇˇ ˇˇ D ˇˇ.Lx  Ly /' ˇˇ C jj'  jj C jjLx '  '0 jj : Der letzte Summand ist echt kleiner als r. Sei also " def D r  jjLx '  '0 jj > 0 : Die Behauptung ist bewiesen, wenn wir zeigen können, dass es Umgebungen U von x und V von ' gibt, so dass für .y; / 2 U  V gilt ˇˇ ˇˇ ˇˇ.Lx  Ly /' ˇˇ C jj'  jj < " : Sei also V die Menge aller 2 L2 .G/ mit jj'  jj < "=2. Es ist ˇzu ˇ zeigen, dass ˇˇ es eine offene Umgebung U von x gibt, so dass für jedes y 2 U gilt ˇˇ.Lx  Ly /' ˇˇ < "=2. Nach Proposition 3.1.7 existiert ein g 2 Cc .G/ mit jj'  gjj < "=8. Es folgt ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ.Lx  Ly /' ˇˇ  ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ C ˇˇ.Lx  Ly /.g  '/ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ  ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ C jjLx .g  '/jj C ˇˇLy .g  '/ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ D ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ C 2 jjg  'jj < ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ C "=4 Sei nun C der kompakte Träger von g. Wir können annehmen, dass C positives Haar-Maß .C / > 0 hat. Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von g, also Lem-

3.2 Darstellungen

91

ma 3.1.4, gibt es eine offene Umgebung U von x, so dass für alle y 2 U und alle t 2 G gilt " jg.x 1 t/  g.y 1 t/j < p ; 4 .C / also jg.x 1 t/  g.y 1 t/j2 <

"2 : 16.C /

Integration über G liefert für jedes y 2 U die Abschätzung Z ˇˇ ˇˇ "2 ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ2 D jg.x 1 t/  g.y 1 t/j2 dt < : 16 G

ˇˇ ˇˇ Durch Wurzelziehen folgt ˇˇ.Lx  Ly /g ˇˇ < "=4 und das Lemma ist bewiesen.  Wir definieren die rechtsreguläre Darstellung x 7! Rx auf dem Hilbert-Raum L2 .G/ durch p Rx '.y/ D .x/'.yx/; ' 2 L2 .G/ ; wobei  die Modularfunktion von G ist. Analog zum linksregulären Fall stellt man fest, dass auch R eine unitäre Darstellung von G ist. Definition 3.2.6 Zwei Darstellungen .; V / und . ; V / einer topologischen Gruppe G heißen äquivalente Darstellungen, falls es einen linearen Operator T W V ! V gibt, so dass • T ist stetig, invertierbar und T 1 ist ebenfalls stetig, sowie • T .g/ D .g/T gilt für jedes g 2 G. Die zweite Eigenschaft lässt sich auch als .g/ D T 1 .g/T schreiben. Jeder solche Operator heißt Verflechtungsoperator der Darstellungen  und . Sind V und V Hilbert-Räume und existiert ein unitärer Verflechtungsoperator, so heißen  und

unitär äquivalent. Seien .1 ; V1 / und .2 ; V2 / zwei unitäre Darstellungen. Auf der direkten Summe V D V1 ˚ V2 gibt es die direkte Summendarstellung  D 1 ˚ 2 . Allgemeiner kann man auch direkte Summen mit unendlich vielen Summanden betrachten, die wir nun definieren. Definition 3.2.7 Sei I eine Indexmenge und sei für jedes i 2 I ein Hilbert-Raum Vi gegeben. Die direkte Hilbert-Raum Summe V D

bV

M

i

i 2I

ist die Menge aller v 2

Q i 2I

Vi so dass gilt

jjvjj2 def D

X i 2I

jjvi jj2 < 1 :

3 Darstellungen der SL2 .R/

92

Sie enthält als Teilmenge die algebraische direkte Summe Q i 2I Vi so dass vi D 0 für fast alle i 2 I .

L i 2I

Vi aller v 2

Man beachte, dass es auf Grund der Definition nicht unmittelbar klar ist, dass V überhaupt ein Vektorraum ist, d. h., es ist nicht offensichtlich, warum aus v; w 2 V schon folgt, dass v C w in V liegen muss. L Lemma 3.2.8 Die direkte Hilbert-Raum Summe V D ci 2I Vi ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt X hv; wi def hvi ; wi ii : D i 2I

Die algebraische direkte Summe ist ein dichter Teilraum. Ist für jedes i 2 I eine unitäre Darstellung i von G auf dem Raum Vi gegeben, so definiert ! X X vi def i .g/vi .g/ D i 2I

i 2I

eine unitäre Darstellung von G auf V . Notation: Wir lassen den Hut in der unendlichen Summe meistens weg, wenn klar ist, dass wir die Hilbert-Raum-Vervollständigung meinen. Wir schreiben dann also L L ci 2I Vi . i 2I Vi statt Beweis: Wir müssen zeigen, dass die Summe v C w in P V liegt, wenn v und w in V wi ii absolut konliegen. Außerdem müssen wir zeigen, dass die Summe i 2I hvi ;P vergiert. Der Raum `2 .I / aller Funktionen ' W I ! C mit jj'jj D i 2I j'.i /j2 < 1 P ist ein Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt h'; i D i 2I '.i / .i /. Ist v 2 V , so ist 'v .i / D jjvi jj in `2 .I / und es gilt jj'v jj D jjvjj. Wir wenden zunächst die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die Hilbert-Räume Vi und dann für `2 .I / an und erhalten X X j hvi ; wi i j  jjvi jj jjwi jj D j h'v ; 'w i j  jj'v jj jj'w jj D jjvjj jjwjj < 1 : i 2I

i 2I

Hieraus folgt die Konvergenz der Summe hv; wi und wegen ˇ ˇ ˇ ˇX X ˇ ˇ j hvi ; wi ii j j hv; wi j D ˇ hvi ; wi ii ˇ  ˇ ˇ i 2I

i 2I

folgt auch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für dieses Skalarprodukt, so dass für v; w 2 V gilt j jjv C wjj2 j D j hv C w; v C wi j  hv; vi C hw; wi C j hv; wi j C j hw; vi j  jjvjj2 C jjwjj2 C 2 jjvjj jjwjj D .jjvjj C jjwjj/2 < 1 ;

3.3 Modulformen als Darstellungsvektoren

so dass zu guter Letzt auch klar ist, dass V ein Untervektorraum von letzte Aussage ist trivial.

93

Q i

Vi ist. Die 

Beispiel 3.2.9 Sei G D R=Z und sei V D L2 .R=Z/. Sei  die linksreguläre Darstellung. Nach der Theorie der Fourier-Reihen ist  isomorph zu einer direkten L Summendarstellung auf V D ck2Z Cek , wobei ek .x/ D e2 i kx und G operiert auf Cek durch den Charakter ek , d. h. es gilt .t/v D ek .t/v falls v in dem eindimensionale Raum Cek liegt. Definition 3.2.10 Eine Darstellung .; V / heißt Unterdarstellung einer Darstellung . ; V / falls V ein abgeschlossener Teilraum von V ist und  gleich eingeschränkt auf V ist. Also liefert jeder G-stabile, abgeschlossene Unterraum U  V eine Unterdarstellung von . Eine Darstellung .; V / heißt irreduzibel, falls sie keine echten Unterdarstellungen besitzt, d. h., falls für jeden abgeschlossenen Unterraum U  V , der G-stabil ist, schon gilt U D 0 oder U D V . Beispiel 3.2.11 Sei G D SL2 .R/ und V D C2 . Sei  die Standard-Darstellung von G auf V gegeben durch Matrixmultplikation. Dann ist  irreduzibel. Zum Beweis sei e1 D .1; 0/t der erste Standard-Basisvektor. Für g 2 G ist .g/e1 gleich der ersten Spalte von g. Zu jedem v 2 V X f0g gibt es daher ein g 2 G mit v D .g/e1 . Hieraus folgt die Irreduzibilität wie folgt. Sei 0 ¤ U  V ein G-stabiler Unterraum. Wir müssen zeigen, dass U D V ist. Sei also 0 ¤ v 2 V beliebig. Wähle ein 0 ¤ u 2 U . Dann existieren g; h 2 G so dass .g/e1 D u und .h/e1 D v. Damit folgt .g 1 /u D e1 und daher .hg 1 /u D .h/e1 D v. Da U stabil ist unter der G-Operation, folgt v 2 U . Da v beliebig war, ist U D V .

3.3 Modulformen als Darstellungsvektoren   Die Gruppe K ist isomorph zu T D fz 2 C W jzj D 1g via ab b 7! a C i b. a Ein Charakter der Gruppe K ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus " W K ! T. Alle Charaktere von K sind gegeben durch    2 Z: D .a C i b/ ; " ba b a Sei nun  G D SL2 .R/ eine Kongruenzuntergruppe. Dann ist diskret und das Zählmaß ist ein Haar-Maß, also ist unimodular. Nach Satz 3.1.14 existiert daher auf nG ein nichttriviales G-invariantes Radon-Maß. Sei L2 . nG/ der entsprechende L2 -Raum. Dies ist ein Hilbert-Raum auf dem G via Rechtstranslation operiert: Rg '.x/ D '.xg/ : Lemma 3.3.1 Die Darstellung von G auf dem Hilbert-Raum L2 . nG/ ist unitär.

3 Darstellungen der SL2 .R/

94

Beweis: Wir müssen zeigen, dass für g 2 G der Operator Rg W L2 . nG/ ! L2 . nG/ unitär ist, d. h., dass gilt ˝ für alle ';

Rg '; Rg

˛

D h'; i

2 L2 . nG/. Hierzu rechnen wir

˛ ˝ D Rg '; Rg

Z

Z '.xg/ .xg/ dx D

nG

'.x/ .x/ dx D h'; i : nG

Des Weiteren ist zu zeigen, dass die Darstellung stetig ist. Diesen Beweis führt man analog zu dem Beweis von Lemma 3.2.5.  Sei ' 2 L2 . nG/ stetig differenzierbar, womit gemeint ist, dass ' als Funktion auf G stetig differenzierbar ist im Sinne von Definition 3.1.2. Für gegebenes x 2 G operiert die Gruppe K Š T auf xK  G. Nach der Theorie der Fourier-Reihen folgt X '.xk / D cn .x/ei n : n2Z

Variiert man x, so setzen sich diese Zerlegungen zusammen zu Lemma 3.3.2 Der Raum L2 . nG/ zerfällt in eine direkte Hilbert-Summe M L2 . nG/." / ; L2 . nG/ D 2Z

wobei L2 . nG/." / D f' 2 L2 . nG/ W '.xu/ D " .u/'.x/ 8u 2 Kg : Sei f 2 Sk . /, wobei  .1/  eine  Kongruenzuntergruppe ist. Dann gilt f . z/ D .cz C d /k f .z/ für D c d 2 . Die Funktion z 7! Im.z/ erfüllt Im. z/ D jcz C d j2 Im.z/. Setze also fQ.z/ D Im.z/k=2 f .z/ : Dann folgt fQ. z/ D



cz C d jcz C d j

k

fQ.z/ :

 k   czCd . Eine kleine Für g D c d 2 G D SL2 .R/ setzen wir .g; z/ D jczCd j Rechnung zeigt, dass für g; h 2 G gilt .gh; z/ D .g; hz/.h; z/ :

3.3 Modulformen als Darstellungsvektoren

Wir beobachten nun, dass für g D  .g; i / D



95

 

c d

2 G mit z D i gilt

ci C d jci C d j

k D "k .k.g// :

Setze

f .g/ D "k .k.g//1 fQ.gi /;   Lemma 3.3.3 Für g D c d gilt

g 2G:

f .g/ D .ci C d /k f .gi / : 

Beweis: Nachrechnen.

Proposition 3.3.4 Die Abbildung f 7! f ist eine isometrische Injektion des Hilbert-Raums Sk . / in den Raum L2 . nG/."k / Beweis: Wir zeigen zunächst, dass f invariant unter ist. Sei hierzu 2 und g 2 G. Dann gilt f . g/ D "k .k. g//1 fQ. gi / D . g; i /1 . ; gi /fQ.gi / D .g; i /1 fQ.gi / D f .g/ : Um zu sehen, dass die Abbildung eine Isometrie ist, rechne für f; g 2 Sk : Z ˛ ˝ f ; g D f .x/g .x/ dx : nG

Q / und diese Funktion ist K-invariant, also ist Es gilt f .x/g .x/ D fQ.xi /g.xi Z ˛ ˝ f ; g D Q d.z/ D hf; giPet : fQ.z/g.z/ nH

Bleibt zu zeigen, dass das Bild in dem K-Isotyp L2 . nG/."k / liegt. Hierzu rechne für u 2 K: f .xu/ D "k .k.xu//1 fQ.xui / D "k .k.x/u/fQ.xi / D "k .u/f .x/ :



Sei G D SL2 .R/. Nach Lemma 3.3.1 ist die Darstellung von G auf L2 . nG/ unitär. Definition 3.3.5 Eine Automorphe Form ist eine Funktion ' in L2 . nG/. Später werden wir den Begriff erweitern auf Funktionen der adelwertigen Gruppe, die invariant unter der Gruppe GL2 .Q/ sind. Das Wort automorph rührt her von der Invarianz '. x/ D '.x/ unter der -Linkstranslation. Es stammt aus dem Griechischen und bedeutet soviel wie von

3 Darstellungen der SL2 .R/

96

derselben Gestalt, also unverändert unter einer Transformation. Felix Klein prägte diesen Begriff in seiner im Jahre 1890 erschienenen Schrift Zur Theorie der Laméschen Functionen. Das Automorphe Spektralproblem: Kann man die unitäre Darstellung .R; L2 . nG// in eine Summe von irreduziblen Unterdarstellungen zerlegen? Es wird sich zeigen, dass eine Lösung dieses Problems das Spektralproblem der k für alle k löst. Ebenfalls ist es so, dass dieses Problem nur dann eine positive Lösung hat, wenn cokompakt ist. Andernfalls gibt es neben direkten Summen irreduzibler Darstellungen noch sogenannte kontinuierliche Hilbert-Integrale.

3.4 Die Exponentialabbildung Sei n 2 N. Die folgenden Aussagen werden im Weiteren hauptsächlich im Fall n D 2 benutzt. Die Beweise sind aber dieselben für jedes n, deshalb beweisen wir sie gleich allgemein. Auf dem reellen Vektorraum Mn .R/ der reellen nn-Matrizen betrachten wir die euklidische Norm v uX u n A2i;j ; jjAjj D t i;j D1

wobei wir die Einträge einer Matrix A als Ai;j schreiben. Für die Matrizenmultiplikation gilt dann jjABjj  jjAjj jjBjj, denn mit Hilfe der Cauchy-SchwarzUngleichung rechnen wir 2

jjABjj D

X X i;j

k

!2 Ai;k Bk;j



X X i;j

! A2i;k

k

X

! 2 Bl;j

D jjAjj2 jjBjj2 :

l

P ˇˇ ˇˇ P Eine Reihe j1D0 Aj von Matrizen heißt absolut konvergent, falls j ˇˇAj ˇˇ <1. In diesem Fall konvergiert die Reihe in Mn .R/ und der Grenzwert ändert sich nicht, wenn man die Reihe umordnet. Ist X 2 Mn .R/ eine reelle n  n-Matrix, so konvergiert die Exponentialreihe exp.X / D

1 X 1  X Š D0

absolut in Mn .R/, wie aus der Abschätzung jjX  jj  jjX jj und der Konvergenz der R-wertigen Exponentialreihe folgt. Proposition 3.4.1 (a) Sind A; B 2 Mn .R/ mit AB D BA, so gilt exp.A C B/ D exp.A/ exp.B/ : (b) Ist A 2 Mn .R/, so ist exp.A/ invertierbar und es gilt exp.A/1 D exp.A/.

3.4 Die Exponentialabbildung

97 2

(c) Die Exponentialabbildung ist eine glatte Abbildung Mn .R/ Š Rn ! Mn .R/, 2 2 deren Bild in GLn .R/ liegt und deren Differential D exp.A/ W Rn ! Rn für jedes A 2 Mn .R/ eine invertierbare lineare Abbildung ist. (d) In der Gruppe GLn .R/ gibt es eine offene Einsumgebung U , die außer der trivialen keine Untergruppe von GLn .R/ enthält.   P Beweis: Für (a) beachte, dass aus AB D BA folgt, dass .A C B/ D kD0 k  Ak B k . Daher ist dann ! 1  1 X  X X 1 1 X  k k 1 D Ak B k A B exp.A C B/ D Š kŠ .  k/Š k D0 D0 kD0

kD0

D exp.A/ exp.B/ : Teil (b) folgt sofort aus (a), denn man hat exp.A/ exp.A/ D I . Für Teil (c) beachte, dass die Matrixeinträge von exp.A/ konvergente Potenzreihen in den Matrixeinträgen von A sind. Also ist die Exponentialabbildung unendlich oft differenzierbar. Schließlich zum Differential. Die Gleichung exp.A/ exp.A/ D exp.0/ impliziert D exp.A/D exp.A/ D D exp.0/ und damit reicht es, zu zeigen, dass D exp.0/ eine invertierbare lineare Abbildung ist. Wir berechnen die Richtungsableitung in Richtung X 2 M2 .R/ wie folgt 1

lim t #0

X t n1 1 .exp.tX /  exp.0// D lim Xn D X : t nŠ t #0 nD1

Das bedeutet nichts anderes als D exp.0/ D Id, also folgt die Behauptung. (d) Da das Differential von exp invertierbar ist, gibt es eine offene Umgebung VQ  Mn .R/ der Null in Mn .R/, so dass VQ unter der Exponentialabbildung diffeomorph auf eine offene Umgebung V der Eins in GLn .R/ abgebildet wird. Wir können, wenn nötig, VQ so verkleinern, dass VQ beschränkt ist. Sei UQ D 12 VQ und U D exp.UQ /. Dann enthält U keine nichttriviale Untergruppe, denn sei a D exp.X / 2 U mit X 2 UQ und nehmen wir an, dass X ¤ 0 ist, so existiert ein  2 N mit X 2 VQ X UQ . Angenommen, dass a D exp.X / in U liegt, so gibt es also ein Y 2 UQ mit exp.Y / D a D exp.X /, also haben die beiden Elemente Y und X von VQ dasselbe Bild unter der Exponentialabbildung, weshalb sie gleich sein müssen, was aber der Tatsache X … UQ widerspricht.  Ist X 2 Mn .R/, dann definiert X durch Rechtsableitung einen Differentialoperator erster Ordnung RX auf G D GLn .R/: ˇ d ˇˇ RX f .x/ D f .x exp.tX // : dt ˇ t D0 Ebenso erhält man einen Differentialoperator LX durch Linksableitung: ˇ d ˇˇ f .exp.tX /x/ : LX f .x/ D dt ˇ t D0

3 Darstellungen der SL2 .R/

98

Sei .; V / eine Darstellung der Gruppe G D GLn .R/ Ein Vektor v 2 V heißt glatter Vektor, falls die Abbildung x 7! .x/v 2

als Abbildung der offenen Menge GLn .R/  Mn .R/ Š Rn in den Banach-Raum V unendlich oft differenzierbar ist. Die Menge V1 der glatten Vektoren in V ist ein Untervektorraum von V . Sei v 2 V ein glatter Vektor und sei X 2 Mn .R/, dann ist die Abbildung t 7! .exp.tX //v differenzierbar, also existiert der Grenzwert ˇ d ˇˇ 1 def .exp.tX //v : .X /v D lim ..exp.tX //v  v/ D t !0 t dt ˇ t D0 Beispiel 3.4.2 Sei G eine kompakte Gruppe, dann ist C 1 .G/  .L2 .G//1 , wenn man L2 .G/ als Darstellungsraum der Rechts-Darstellung oder Links-Darstellung betrachtet. Lemma 3.4.3 (a) Ist X 2 Mn .R/, so ist der Operator RX links-invariant, d. h., Lx RX Lx 1 D RX , wobei x 2 G D GLn .R/ und Lx f .y/ D f .x 1 y/ für jede glatte Funktion f auf G. Ebenso ist LX rechts-invariant, d. h., Rx LX Rx 1 D LX mit Rx f .y/ D f .yx/. (b) Sind .; V / und . ; V / Darstellungen von G D GLn .R/ und ist T W V ! V ein stetiger Verflechtungsoperator. Dann ist T .V1 /  V1 . (c) Ist v 2 V und ist f 2 Cc1 .G/, so ist .f /v ein glatter Vektor. Es folgt, dass der Raum der glatten Vektoren dicht liegt in V . Für jedes X 2 Mn .R/ gilt .X /.f /v D .LX f /v : (d) Sei f eine glatte Funktion mit kompaktem Träger auf G und sei ' eine lokalquadrat-integrierbare Funktion auf G, d. h., für jedes x 2 G existiert eine Umgebung U von X , so dass 'jU 2 L2 .U / gilt. Dann existiert das Integral Z f .y/'.xy/ dy R.f /'.x/ D G

für jedes x 2 G und definiert eine glatte Funktion R.f /'. Für jedes X 2 Mn .R/ gilt RX .R.f /'/ D R.LX f /' : Beweis: (a) Sei f eine differenzierbare Funktion auf GLn .R/. Wir haben zu zeigen RX Lx f D Lx RX f , wobei Lx f .y/ D f .x 1 y/. Mit y 2 GLn .R/ rechnen wir ˇ ˇ d ˇˇ d ˇˇ RX Lx f .y/ D L f .y exp.tX // D f .x 1 y exp.tX // x dt ˇ t D0 dt ˇ t D0 D RX f .x 1 y/ D Lx RX f .y/ :

3.5 Aufgaben und Anmerkungen

99

(b) Ist f W RN ! V eine unendlich oft differenzierbare Abbildung in einen Banach-Raum V und ist T W V ! W eine stetige lineare Abbildung zwischen Banach-Räumen, so ist T ı f W RN ! W ebenfalls unendlich oft differenzierbar. Nun zu (c). Da das Differential der Exponentialfunktion surjektiv ist, ist ein Vektor w genau dann glatt, wenn für jedes x 2 G die Abbildung X 7! .exp.X /x/v als Abbildung Mn .R/ ! V glatt ist. Insofern folgt die Glattheit zusammen mit der behaupteten Formel aus folgender Rechnung Z Z f .x/.exp.tX /x/v dx D f .exp.tX /x/.x/v : .exp.tX //.f /v D G

G

(d) ist eine Anwendung derselben Formel wie in (c), die ja außerdem beweist, dass R.f /' nicht nur einen glatten Vektor definiert, wenn ' 2 L2 .G/ ist, sondern auch zeigt, dass R.f /' glatt ist, wenn ' nur lokal quadratintegrierbar ist. 

3.5 Aufgaben und Anmerkungen Aufgabe 3.1 Beweise Proposition 3.1.11. Aufgabe 3.2 Zeige, dass die Abbildung SL2 .R/  H ! H gegeben durch .g; z/ 7! gz stetig ist. Aufgabe 3.3 Sei K D SO.2/ und sei D die Menge der Diagonalmatrizen in G D SL2 .R/ oder in G D GL2 .R/. Zeige in beiden Fällen, dass G D KDK. Aufgabe 3.4 Sei B die Gruppe der reellen Matrizen der Form   Zeige, dass die Modularfunktion  gleich  10 yx D jyj ist.

1

x 0 y



mit y ¤ 0.

Aufgabe 3.5 Sei  ein Haar-Maß auf der lokalkompakten Gruppe G. Sei U  G eine offene Teilmenge. Zeige, dass .U / > 0 ist. Aufgabe 3.6 (a) Zeige, dass die Abbildung f 7! f mit f .g/ D .ci C d /k f .gi / eine Bijektion definiert zwischen der Menge C 1 .H/ aller glatten Funktionen auf H und der Menge Vk aller glatten Funktionen  auf SL2 .R/ mit .xu/ D "k .u/ für jedes u 2 SO.2/. (Hinweis: Die Umkehrabbildung ist gegeben durch  7! f mit f .x C iy/ D p k  py x=py p .) y  1= y

3 Darstellungen der SL2 .R/

100

1

 0 1 0 0 (b) Seien H D 1 , E D 0 0 und F D 1 0 . Für  2 Vk definiere den Differentialoperator ˇ d ˇˇ D.g/ D .g exp.tH //  i .g exp.tE//  i .g exp.tF // : dt ˇ t D0 N  , wobei @N D Zeige fD D 2iy @f holomorph ist, wenn Df D 0.

@ @x

@ C i @y . Folgere, dass f genau dann

P s Aufgabe 3.7 Die Reihe L.s/ D 1 konvergiere in s D s0 2 C. Zeige: nD1 an n die Reihe konvergiert lokal gleichmässig absolut in Re.s/ > Re.s0 / C 1. P1 P1 s s und L.b; s/ D Aufgabe 3.8 Seien L.a; s/ D nD1 an n nD1 bn n , beide konvergent für ein s 2 C. Es gelte L.a; s / D L.b; s / für eine Folge s 2 C mit Re.s / ! 1. Dann ist an D bn für jedes n 2 N. Aufgabe 3.9 Eine Folge .an / komplexer Zahlen heißt schwach multiplikativ, falls amn D an am für jedes Paar teilerfremder natürlicher Zahlen .m; n/ gilt. Die Folge heißt stark multiplikativ, falls dieselbe Aussage ohne Teilerfremdheitsbedingung P s gilt. Sei L.s/ D 1 a n absolut konvergent für Re.s/ > 0 . Zeige: nD1 n • Die Folge .an / ist genau dann schwach multiplikativ, wenn für jedes s 2 C mit Re.s/ > 0 gilt 1 YX L.s/ D apk p k s : p kD0

• Die Folge .an / ist genau dann stark multiplikativ, wenn für jedes s 2 C mit Re.s/ > 0 gilt Y 1 : L.s/ D 1  ap p s p

Anmerkungen Wir haben klassische Modulformen Mk . / und Spitzenformen Sk . / kennengelernt und wie man Ihnen L-Funktionen L.f; s/ zuordnet. Euler-Produkte stellen sich für Eigenformen der Hecke-Algebra ein. Zuletzt haben wir gesehen, wie man Sk . / in den Raum L2 . nG/ einbettet, der eine unitäre Darstellung von G D SL2 .R/ trägt. Das Spektralproblem der Zerlegung dieser Darstellung in irreduzible ist ein zentrales Problem der Theorie der Automorphen Formen. Jedes f 2 Sk . /  L2 . nG/ erzeugt eine irreduzible Unterdarstellung . Wir wollen L.f; s/ durch  definieren, dazu fehlen aber noch ein paar Daten (HeckeAktion).

3.5 Aufgaben und Anmerkungen

101

Sei  SL2 .Z/ eine Kongruenzuntergruppe. Erinnern wir uns: die Aktion der Hecke-Algebra kommt zu Stande durch die Operation der Gruppe GQ D GL2 .Q/. Für ˛ 2 GQ ist \ ˛ ˛1 ebenfalls eine Kongruenzuntergruppe. Der HeckeOperator T˛ kann erklärt werden durch die Operation von ˛: f 7! f j˛, die Sk . / auf Sk . \ ˛ ˛ 1 / wirft, gefolgt von einer Summe über =. \ ˛ ˛ 1 /, die wieder nach Sk . / führt. Diese Summenbildung ist gerade die Orthogonalprojektion auf den Teilraum Sk . / in dem Hilbert-Raum Sk . \ ˛ ˛ 1 /. Durch eine solche Projektion verliert man Informationen. Wenn wir sie unterlassen, wirft der HeckeOperator den Raum Sk . / aber nicht in sich. Wir lösen das Problem, indem wir den Raum vergrößern zu [ Sk .†/ ; Sk D †

wobei † durch alle Kongruenzuntergruppen von läuft. Dies ist ein Vektorraum mit einer Operation der Gruppe GQ . Der Raum [ L2 .†nG/ †

erbt ein Skalarprodukt, wenn man die Skalarprodukte auf den einzelnen L2 .†nG/ wie folgt normiert: Z 1 f .x/g.x/ dx : hf; gi D Œ W † †nG

Sei H die Hilbert-Raum-Vervollständigung dieses Prä-Hilbert-Raums. Auf diesem Raum kann man Hecke-Operatoren definieren. Allerdings ist dieser Raum nicht gut zugänglich, man kann ihn nicht gut verstehen. Jetzt kommt der Clou: Es gibt einen natürlichen Ring A, der Adele-Ring, der sowohl Q als auch R als Unterringe enthält, so dass als SL2 .R/-Modul H Š L2 .SL2 .Q/nSL2 .A// : Anhand der Definition von H scheint diese Aussage geradezu aberwitzig. Genauer gilt A D Afin  R, wobei Afin der Ring der endlichen Adele genannt wird. Durch Rechtstranslation operiert SL2 .A/ D SL2 .Afin /SL2 .R/ auf H . Die SL2 .R/-Aktion ist die bereits bekannte, die SL2 .Afin /-Aktion ist äquivalent zur Aktion der HeckeAlgebra! Demzufolge liefert eine Zerlegung von H in irreduzible Darstellungen der Gruppe SL2 .A/ die Hecke-Eigenformen mit Euler-Produkten. Also muss sich die L-Funktion einer solchen darstellungtheoretisch in Termen von irreduziblen Darstellungen von SL2 .A/ ausdrücken lassen.

Kapitel 4

p-adische Zahlen

In diesem Kapitel führen wir die p-adischen Zahlen ein, die kleinen Geschwister der reellen Zahlen. Diese leben in einem bizarren Universum, in dem jeder Punkt eines Kreises sein Mittelpunkt ist und zwei Kreisscheiben desselben Radius entweder gleich oder disjunkt sind. Die p-adischen Zahlen entstehen, wie die reellen, durch Komplettierung der Menge Q der rationalen Zahlen. Es lässt sich zeigen, dass die reelle und die p-adischen Komplettierungen alle möglichen Vervollständigungen von Q sind. Die reellen Zahlen entstehen aus den rationalen durch Vervollständigung in dem üblichen Absolutbetrag ( x falls x  0 ; jxj1 D x falls x < 0 : Wir werden sehen, dass es noch weitere Absolutbeträge gibt, die andere Vervollständigungen erzeugen. Hierfür müssen wir zunächst einmal definieren, was wir eigentlich unter einem Absolutbetrag verstehen wollen.

4.1 Absolutbeträge Definition 4.1.1 Ein Absolutbetrag auf dem Körper K ist eine Abbildung jj W K ! Œ0; 1/ so dass gilt: • jaj D 0 , a D 0, • jabj D jajjbj für alle a; b 2 Q, • ja C bj  jaj C jbj.

Definitheit Multiplikativität Dreiecksungleichung

Beobachtung. Für jeden Absolutbetrag gilt j  1j D 1, denn erstens gilt j1j D j1  1j D j1j2 also j1j D 1 und zweitens ist j  1j2 D j.1/2 j D j1j D 1 und damit j  1j D 1. A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

103

4 p-adische Zahlen

104

Beispiele 4.1.2 • Für K D Q ist der übliche Absolutbetrag j  j1 ein Beispiel. • Der triviale Absolutbetrag ist gegeben durch ( 0 x D 0; jxjtriv D 1 x ¤ 0: Für das dritte Beispiel sei K D Q und sei p eine Primzahl, dann lässt sich jede rationale Zahl r ¤ 0 schreiben als r D pk

m ; n

wobei m; n 2 Z teilerfremd zu p sind. Die Zahl k 2 Z ist eindeutig durch r festgelegt, wir definieren den p-adischen Betrag durch ˇ mˇ ˇ ˇ jrjp D ˇp k ˇ D p k : n p Wir vervollständigen diese Definition durch j0jp def D 0: Lemma 4.1.3 Sei p eine Primzahl, dann ist j:jp ein Absolutbetrag auf Q, der sogar die verschärfte Dreiecksungleichung jx C yj  max.jxj; jyj/ erfüllt. Hier gilt Gleichheit, falls jxj ¤ jyj. Beweis: Die Definitheit ist nach Definition klar. Für die Multiplikativität schreibe 0 0 und y D p k m , wobei m; n; m0 ; n0 teilerfremd zu p sind. Dann ist x D pk m n n0 xy D p kCk

0

mm0 ; nn0

woraus die Multiplikativität, also jxyjp D jxjp jyjp folgt. Für die verschärfte Dreiecksungleichung können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass k  k 0 ist. Dann gilt  xCy D p

k

m m0 0 C p k k 0 n n



0

D pk

mn0 C p k k nm0 : nn0 0

Ist jxjp ¤ jyjp , also k 0  k > 0, so ist die Zahl mn0 C p k k nm0 teilerfremd zu p und es gilt dann jx C yj D p k D max.jxjp ; jyjp /. Ist jxjp D jyjp , so lässt 0 sich der Zähler mn0 C p k k nm0 D mn0 C nm0 schreiben als p l N , wobei l  0 N kl und N teilerfremd zu p ist. Damit ist dann jx C yjp D jp kCl nn  0 jp D p max.jxjp ; jyjp /. 

4.2 Qp als Vervollständigung von Q

105

Proposition 4.1.4 Für jedes x 2 Q gilt die Produktformel: Y jxjp D 1 : p1

Hierbei läuft das Produkt über alle Primzahlen und über p D 1. In dem Produkt sind fast alle Faktoren gleich 1. Hierbei benutzen wir die Standard-Redeweise: fast alle heißt alle bis auf endlich viele. Beweis: Schreibe x als teilerfremden Bruch und schreibe Zähler und Nenner als Produkt von Primzahlpotenzen dann ist x D ˙p1k1    pnkn für verschiedene Primzahlen p1 ; : : : ; pn und k1 ; : : : ; kn 2 Z. Es ist dann jxjp D 1 falls p eine Primzahl ist, die mit keiner der pj übereinstimmt. Also hat das Produkt wirklich nur endlich viele Faktoren ¤ 1. Ferner gilt: jxjpj D p kj Damit folgt Y

jxj1 D p1k1    pnkn :

und 0

jxjp D @

n Y

1 p kj A  p1k1    pnkn D 1 :

j D1

p1



Bemerkung. Man kann zeigen, dass es für jeden nichttrivialen Absolutbetrag j  j genau ein p  1 und genau ein a > 0 gibt so dass gilt jxj D jxjpa für jedes x 2 Q.

4.2 Qp als Vervollständigung von Q Wir geben hier die erste Konstruktion der Menge der p-adischen Zahlen Qp als Vervollständigung von Q nach einer geeigneten Metrik. Sei x 7! jxj ein Absolutbetrag auf Q, dann ist d.x; y/ D jx  yj eine Metrik auf Q, d. h., es gilt • d.x; y/ D 0 , x D y , • d.x; y/ D d.y; x/ , • d.x; y/  d.x; z/ C d.z; y/ .

Definitheit Symmetrie Dreiecksungleichung

Ein metrischer Raum ist ein Paar .X; d / bestehend aus einer nichtleeren Menge X und einer Metrik d auf X . Eine Folge .xn /n2N in X heißt konvergent ge-

4 p-adische Zahlen

106

gen x 2 X , wenn die Folge reeller Zahlen .d.xn ; x//n2N eine Nullfolge ist. Eine Cauchy-Folge in dem metrischen Raum X ist eine Folge .xn / in X so dass es zu jedem " > 0 ein n0 2 N gibt so dass d.xn ; xm / < " für alle n; m  n0 gilt. Es ist leicht einzusehen, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist. Gilt auch die Umkehrung, d. h. ist jede Cauchy-Folge konvergent, so heißt der metrische Raum X vollständig. Eine Abbildung  W X ! Y zwischen metrischen Räumen heißt Isometrie, falls für alle x; x 0 2 X gilt d..x/; .x 0 // D d.x; x 0 / : Eine Isometrie ist stets injektiv. Ist sie auch surjektiv, dann ist ihre Umkehrabbildung ebenfalls eine Isometrie. In diesem Fall heißt  dann ein isometrischer Isomorphismus. Eine Vervollständigung eines metrischen Raums X ist ein vollständiger metrischer Raum Y zusammen mit einer Isometrie  W X ! Y , derart dass das Bild .X / dicht in Y liegt, dass also jedes y 2 Y der Grenzwert einer Folge in .X / ist.

Satz 4.2.1 Jeder metrische Raum X besitzt eine Vervollständigung Y . Diese ist eindeutig bestimmt bis auf isometrische Isomorphie.

Beweis: Zum Beispiel in [7], Kap. 6.



Proposition 4.2.2 Sei p  1, dann ist Q nicht vollständig in der Metrik dp , die durch j  jp induziert wird. Wir bezeichnen die Vervollständigung mit Qp . Die Addition und Multiplikation von Q können in eindeutiger Weise zu stetigen Abbildungen Qp  Qp ! Qp ausgedehnt werden. Mit diesem Operationen wird Qp ein Körper, genannt der Körper der p-adischen Zahlen. Der Absolutbetrag j  jp dehnt sich zu einem Absolutbetrag auf Qp aus. Beweis: Die Proposition ist bekannt für R. Sei also p < 1 und j  j D j  jp . Die Unvollständigkeit von Q ist eine Konsequenz einer anderen Charakterisierung von Qp , die wir im nächsten Abschnitt bringen. Nun zur Fortsetzbarkeit der Operationen. Seien x; y 2 Qp . Da Q dicht in Qp liegt, existieren Folgen .xn / und .yn /, die in Qp gegen x und y konvergieren. Diese sind also Cauchy-Folgen in Q. Dann ist .xn C yn / ebenfalls eine Cauchy-Folge in Q, konvergiert also in Qp gegen ein wohldefiniertes Element x C y. Analog setzt man die Multiplikation nach Qp fort. Man verifiziert leicht, dass Qp mit diesen Operationen ein Körper ist. Der Absolutbetrag j  j von Q dehnt sich nach R durch die Definition jxj def jxj j D j lim !1 aus. Man rechnet leicht nach, dass jxj von der Wahl der Folge .xj / unabhängig ist und dass j  j in der Tat ein Absolutbetrag ist. 

4.3 Potenzreihen

107

Man beachte, dass die verschärfte Dreiecksungleichung jx C yj  max.jxj; jyj/ auch auf Qp gilt. Sie hat erstaunliche Konsequenzen, wie z. B. die, dass die Menge Zp D fx 2 Qp W jxjp  1g ein Unterring von Qp ist. Dieser Ring heißt Ring der ganzen p-adischen Zahlen.

4.3 Potenzreihen In diesem Abschnitt geben wir eine zweite Konstruktion der Menge der p-adischen Zahlen Qp . Sei p eine Primzahl. Jede ganze Zahl n  0 kann in der p-adischen Entwicklung geschrieben werden n D

N X

aj p j ;

j D0

mit eindeutig bestimmten aj 2 f0; 1; : : : ; p  1g. Ist m D ganze Zahl  0 in dieser Darstellung, so ist X

PM

i D0

bi p i eine weitere

max.M;N /C1

nCm D

cj p j ;

j D0

wobei cj nur von a0 ; : : : ; aj und b0 ; : : : ; bj abhängt. Genauer berechnet man die Koeffizienten cj wie folgt. Man setzt zunächst cj0 D aj C bj . Dann ist 0  cj0  2p  2 und es kommt vor, dass cj0  p ist. Man sucht sich nun den kleinsten Index j , an dem dies passiert und ersetzt cj0 durch den Rest modulo p und vergrößert gleichzeitig cj0 C1 um Eins. Man wiederholt diesen Schritt, bis alle Koeffizienten  p  1 sind. Ferner ist M CN XC1 nm D dj p j ; j D0

wobei ebenfalls dj nur von a0 ; : : : ; aj und b0 ; : : : ; bj anhängt. Diese Tatsachen ermöglichen es, Addition und Multiplikation auf die Menge Z der formalen Reihen der Gestalt 1 X aj p j j D0

mit 0  aj < p fortzusetzen. Lemma 4.3.1 Mit diesen Operationen wird Z ein Ring. Ein Element x D P1 j a j D0 j p ist genau dann invertierbar in Z, wenn a0 ¤ 0.

4 p-adische Zahlen

108

Beweis: Um zu sehen, dass Z ein Ring P1 ist, istj nur die Existenz von additiven Inversen zu zeigen. Sei also x D j D0 aj p , so ist zu zeigen, dass es ein P y D j1D0 bj p j gibt so dass x C y D 0. Man konstruiert die Koeffizienten bj induktiv. Ist a0 D 0, so setzt man b0 D 0. Andernfalls P setzt man b0 D p  a0 . Sei nun b0 ; : : : ; bn bereits konstruiert so dass mit yn D jnD0 bj p j gilt x C yn D

1 X

cj p j ;

0  cj < p :

j DnC1

Ist nun cnC1 D 0 so setze auch bnC1 D 0,Pandernfalls setze bnC1 D p  cnC1 . Auf diese Weise erhält man ein Element y D j1D0 bj p j welches x C y D 0 erfüllt. P Zum Beweis der zweiten Aussage. Ist x D j1D0 aj p j invertierbar, so folgt Reihe xy kein nullten Term hat für jedes y 2 Z. Für die andere a0 ¤ 0, da sonst dieP Richtung sei x D j1D0 aj p j mit a0 ¤ 0. Wir konstruieren ein multiplikatives P Inverses y D j1D0 bj p j indem wir die Koeffizienten bj sukzessive konstruieren. Zunächst existiert genau ein 0  b0 < p so dass a0 b0  1 mod p. Sei als nächstes 0  b0 ; : : : ; bn < p bereits konstruiert so dass 0 10 1 X X @ aj p j A @ bj p j A  1 mod p nC1 : 0j

0j n

Dann existiert genau ein 0  bnC1 < p so dass 10 1 0 X X @ aj p j A @ bj p j A  1 mod p nC2 : 0j

0j nC1

Das so konstruierte Element y D xy D 1.

P1

j D0 bj p

j

von Z erfüllt die Gleichung 

Lemma P 4.3.2 Sei .aj / eine Folge in f0; 1; : : : ; p  1g. Dann konvergiert die Reihe j1D0 aj p j in Qp . Man erhält eine Abbildung W Z ! Qp die einen RingIsomorphismus Z Š Zp induziert. P Beweis: Sei xn D jnD0 aj p j . Es ist zu zeigen, dass .xn / eine Cauchy-Folge ist. Für m  n  n0 gilt ˇ ˇ ˇ X ˇ ˇ m ˇ aj p j ˇˇ  max jaj jp jp j jp  p n0 : jxm  xn j D ˇˇ ˇj DnC1 ˇ n<j m Damit konvergiert die Reihe in dem vollständigen Raum Qp und ist wohldefiniert. Dass ein Ring-Homomorphismus ist, ist klar, es bleibt die Bijektivität nach Zp zu zeigen.

4.3 Potenzreihen

Injektivität: Sei x D Es folgt

109

P1

¤ 0. Dann gib es ein minimales j0 mit aj0 ¤ 0. ˇ ˇ ˇ ˇ 1 X ˇ ˇ j .x/j D ˇˇaj0 p j0 C aj p j ˇˇ D p j0 ; ˇ ˇ j Dj0 C1 ˇ ˇP ˇ ˇ da ˇ j1Dj0 C1 aj p j ˇ  maxj >j0 jaj jp j < p j0 . Also folgt .x/ ¤ 0 und ist injektiv. Surjektivität: Offensichtlich ist .Z/  Zp . Wir ziehen den Absolutbetrag nach Z zurück. Wir behaupten, dass Z mit diesem Absolutbetrag vollständig ist. Sei hierzu .zj / eine Cauchy-Folge in Z. Dann gibt es zu jedem k 2 N ein j0 .k/ 2 N, so dass für alle i; j  j0 .k/ gilt jzi  zj j  p k , was soviel bedeutet wie .zi /  .zj / 2 p k Zp , also zi  zj 2 p k Z, so dass wir folgern können, dass die Koeffizienten der Potenzreihen zi und zj bis zum Index k  1 übereinstimmen. Es gibt also Koeffizienten a für  D 0; 1; 2; : : : , so dass für jedes k 2 N und jedes P  k j  j0 .k/ gilt zj  k1 D0 a p mod p Z. Setze j D0 aj p

j

z D

1 X

a p  2 Z :

D0

Es folgt, dass die Folge .zj / gegen z konvergiert, also ist Z in der Tat vollständig. Es reicht nun zu zeigen, dass .Z/ eine dichte Teilmenge von Zp enthält. Eine solche ist die Menge aller rationalen Zahlen in Zp , also aller q D ˙p k m mit k  0 und n m; n teilerfremd zu p. Da Z ein Ring ist, reicht es also zu zeigen, dass n1 2 Z falls n 2 N teilerfremd zu p. Die Teilerfremdheit zu p bedeutet für die p-adische Entwicklung von n dass der nullte Term ¤ 0 ist, damit ist aber n invertierbar in Z.  Auf diese Weise identifizieren wir Zp mit der Menge Z aller Potenzreihen in p. Da Zp gleich der Menge aller z 2 Zp mit jzj  1 ist, ist p j Zp gleich der Menge aller z 2 Zp mit jzj  p j . Demzufolge haben wir Qp D

1 [

p j Zp :

j D0

Daher kann Qp als die Menge aller Laurent-Reihen in p aufgefasst werden, die nur endlich viele Glieder mit negativen Potenzen haben. Genauer: 8 9 1 < X = Qp D aj p j W N 2 N ; 0  aj < p : : ; j DN

Aus dieser Beschreibung wird insbesondere deutlich, dass die Menge Qp überabzählbar ist. Insbesondere ist also Q ¤ Qp und Q damit nicht vollständig in der Metrik dp .

4 p-adische Zahlen

110

4.4 Haar-Maße Wir bestimmen hier die Haar-Maße der additiven Gruppe .Qp ; C/ und der multiplikativen Gruppe .Qp ; /. Erinnern wir uns zunächst, dass der Absolutbetrag j  jp eine Topologie auf Qp induziert. Wir müssen als erstes zeigen, dass Qp und Qp mit dieser Topologie lokalkompakte Gruppen sind Lemma 4.4.1 Die Gruppe .Qp ; C/ ist eine lokalkompakte Gruppe. D. h.: die Topologie ist hausdorffsch und lokalkompakt und die Abbildungen Qp  Qp ! Qp .a; b/ 7! a C b

Qp ! Qp a 7! a

sind stetig. Dasselbe gilt für die multiplikative Gruppe .Qp ; /. Beweis: Die Topologie ist gegeben durch eine Metrik, also hausdorffsch. Wir zeigen als nächstes die Stetigkeit der Abbildungen. Seien xj ! x und yj ! y konvergente Folgen, es ist zu zeigen, dass xj C yj gegen x C y konvergiert. Es ist nach der Dreiecksungleichung j.xj C yj /  .x C y/j D j.xj  x/ C .yj  y/j  jxj  xj C jyj  yj : Da die rechte Seite eine Nullfolge ist, ist auch die linke eine und die Behauptung folgt. Die Stetigkeit der Negation folgt ähnlich. Für die Lokalkompaktheit ist zu zeigen, dass jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt. Es reicht dies für den Nullpunkt zu tun, denn sei a 2 Qp und sei U eine kompakte Nullumgebung. Wegen der Stetigkeit der Addition ist auch die Abbildung A W Qp ! Qp I x 7! x C a stetig. Ihre Inverse x 7! x  a ist ebenfalls stetig, also ist A ein Homöomorphismus. Daher ist A.U / D U C a eine kompakte Umgebung von a. Wir zeigen nun, dass die Nullumgebung Zp D fx 2 Qp W jxj  1g kompakt ist. In einem metrischen Raum ist eine Menge K genau dann kompakt, wenn jede Folge in K einen Häufungspunkt in K besitzt. Sei also xj eine Folge in Zp . Wir müssen zeigen, dass .xj / einen Häufungspunkt in Zp hat. Betrachte die Untergruppe pZp . Wir verstehen Zp jetzt als Ring von Potenzreihen in p. Für jedes k 2 N ist der Gruppenhomomorphismus Zp ! Z=p k Z ;

1 X nD0

an p n 7!

k1 X

a p 

D0

surjektiv und hat den Kern p k Zp . Daher ist der Index ŒZp W p k Zp  gleich jZ=p k Zj D p k . Wir betrachten  zuerst den  Fall k D 1. In der disjunkten NebenS klassenzerlegung Zp D piD1 ai C pZp gibt es dann eine Nebenklasse, die un-

4.4 Haar-Maße

111

endlich viele Folgenglieder enthält. Von diesen unendlich vielen liegen wiederum unendlich viele in derselben Klasse modulo p 2 Zp und so weiter. Diese absteigenden Nebenklassen sind von der Form a C p k Zp D fx 2 Zp W jx  aj  p k g D BNpk .a/ ; sind also abgeschlossene Bälle in der p-adischen Metrik mit Radien, die gegen Null gehen. Der Durchschnitt all dieser Bälle enthält wegen der Vollständigkeit ein Element, und zwar genau eines. Es gibt also ein Element x 2 Zp so dass für jedes n 2 N unendlich viele Folgenglieder xj  x mod p n sind. Das heißt aber, dass in jeder Umgebung von x Folgenglieder liegen, also ist x ein Häufungspunkt der Folge. Die multiplikative Gruppe Qp ist eine offene Teilmenge von Qp und daher hausdorffsch und lokalkompakt. Der Nachweis der Stetigkeit der Gruppenoperationen nach obigem Muster sei dem Leser überlassen.  Sei dx ein Haar-Maß auf der Gruppe .Qp ; C/. Wir können  so normieren, dass das Maß der kompakten offenen Untergruppe Zp gleich 1 ist, also dass .Zp / D 1 gilt. Für jede messbare Teilmenge A  Qp gilt dann nach der Invarianz .x C A/ D .A/ für jedes x 2 Qp . Lemma 4.4.2 Für jede messbare Menge A  Qp und jedes x 2 Qp gilt .xA/ D jxjp .A/ : Insbesondere folgt für jede integrierbare Funktion f und x ¤ 0: Z Z 1 f .x y/ d.y/ D jxjp f .y/ d.y/ : Qp

Qp

Beweis: Sei x 2 Qp X f0g. Das Maß x definiert durch x .A/ D .xA/ ist ebenfalls ein Haar-Maß, wie man leicht sieht. Wegen der Eindeutigkeit existiert ein M.x/ > 0 mit x D M.x/. Wir müssen zeigen, dass M.x/ D jxjp gilt. Hierfür reicht es zu zeigen .xZp / D jxjp : Dies ist aber klar, denn ist jxjp D p k , dann ist x D p k y mit y 2 Zp . Daher ist xZp D p k Zp und es genügt zu zeigen .p k Zp / D p k : Beginnen wir mit dem Fall k  0. Dann ist ŒZp W p k Zp  D p k ;

4 p-adische Zahlen

112

also kann man Zp disjunkt zerlegen in Zp Invarianz des Haar-Maßes folgt

D

Sp k

j D1 .xj

C p k Zp /: Wegen der

k

1 D .Zp / D

p X

.xj C p k Zp / D p k .pk Zp / ;

j D1

was die Behauptung impliziert. Ist k < 0, so benutzt man Œp k Zp W Zp  D p k und schließt genauso.  Gemäß unserer Konvention bezeichnen die Integration mit dem Haar Maß  auch einfach mit dx, schreiben also Z Z f .x/ d.x/ D f .x/ dx : Qp

Qp

Proposition 4.4.3 Ist dx ein additives Haar-Maß auf Qp , so ist auf der multiplikativen Gruppe .Qp ; /.

dx jxjp

ein Haar-Maß

Beweis: Die Proposition beinhaltet die Aussage, dass Qp D Qp X f0g eine lokalkompakte Gruppe bezüglich der Multiplikation ist. Hierzu ist insbesondere die Stetigkeit der Multiplikation nachzuweisen. Es seien also xj ! x und yj ! y konvergente Folgen in Qp . Wir zeigen, dass die Folge xj yj gegen xy konvergiert. Dies folgt aus der Abschätzung jxj yj  xyj D jxj yj  xj y C xj y  xyj  jxj yj  xj yj C jxj y  xyj D

jxj j jyj  yj C jxj  xj jyj: „ƒ‚… „ ƒ‚ … „ ƒ‚ … beschränkt

!0

!0

Sind schließlich xj ; x ¤ 0, so ist zu zeigen, dass xj1 gegen x 1 konvergiert. Hierzu rechnet man ˇ ˇ ˇ ˇ1 ˇ  1 ˇ D jx  xj j ˇ ˇx x jxxj j j und diese Folge geht gegen Null. Die Lokalkompaktheit von Qp folgt aus der von Qp , da Qp eine offene Teilmenge ist. dx eines ist. Die Also besitzt Qp multiplikative Haar-Maße. Wir zeigen, dass jxj Regularitäts-Eigenschaften vererben sich von dx, so dass wir nur die Invarianz testen müssen. Sei also f eine integrierbare Funktion und y 2 Qp , so folgt Z

f .y 1 x/

 Qp

nach Lemma 4.4.2.

dx D jyjp1 jxjp

Z

 Qp

f .y 1 x/

1 dx D jy 1 xjp

Z f .x/  Qp

dx jxjp 

4.5 Direkte und projektive Limiten

113

Wir können Qp als disjunkte Vereinigung schreiben: Qp D nun vol dx .p k Zp / D vol dx .Zp / : jxj

S k2Z

p k Zp : Es ist

jxj

Es ist daher interessant, zu erfahren, was das Maß vol dx .Zp / ist. Es gilt jxj

vol dx .Zp / D

Z

jxj

 Zp

Nun ist Zp

D

dx D jxj

Z

dx D voldx .Zp / :

 Zp

 [

.j C pZp / :

j mod p j ¥0 mod p

Also folgt voldx .Zp / D .p  1/voldx .pZp / D

p1 p :

Definition 4.4.4 Das normalisierte multiplikative Haar-Maß auf Qp ist definiert durch p dx d x D : p  1 jxjp Dieses Haar-Maß ist eindeutig bestimmt durch die Eigenschaft, dass das Volumen von Zp gleich Eins ist, also vold x .Zp / D 1: wollen wir für s 2 C mit positivem Realteil das Integral R Als Fingerübung s  jxj d x berechnen. Wir zerlegen Zp X f0g disjunkt in die Mengen p k Zp Zp Xf0g für k  0. Es folgt Z



jxj d x D s

Zp Xf0g

1 X kD0

p

Z

ks

d x D

 p k Zp

1 : 1  p s

„ ƒ‚ … D1

Dies ist gerade der p-te Euler-Faktor der Riemannschen Zetafunktion!

4.5 Direkte und projektive Limiten In diesem Abschnitt wollen wir eine weitere Beschreibung der p-adischen Zahlen geben. Dies tun wir nicht so sehr, weil wir diese Beschreibung brauchten, sondern weil die verwendeten technischen Hilfsmittel in späteren Kapiteln benötigt werden. Direkte und projektive Limiten lassen sich für alle algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringe, Vektorräume, Moduln etc. einführen. In diesem Abschnitt konstruieren wir die Limiten beispielhaft für Gruppen und Ringe. Wir zeigen dann, dass sich Zp als projektiver Limes von endlichen Ringen schreiben lässt. Später, in Abschn. 7.5, werden wir den direkten Limes von Vektorräumen verwenden.

4 p-adische Zahlen

114

Definition 4.5.1 Eine gerichtete Menge ist ein Tupel .I; / bestehend aus einer nichtleeren Menge I und einer partiellen Ordnung  auf I , so dass je zwei Elemente von I eine gemeinsame obere Schranke haben, also dass es für je zwei a; b 2 I ein c 2 I gibt mit a  c und b  c : Beispiele 4.5.2 • Die Menge der natürlichen Zahlen N mit der natürlichen Ordnung  ist ein Beispiel. In diesem Fall ist die Ordnung insbesondere linear, d. h., je zwei Elemente sind vergleichbar. Allgemeiner gilt, dass jede linear geordnete Menge gerichtet ist. • Sei  eine unendliche Menge und sei I die Menge aller endlichen Teilmengen von , die durch die Inklusion geordnet sein soll, also A  B , A  B. Dann ist I gerichtet, denn für A; B 2 I ist die Vereinigung C D A [ B eine obere Schranke. Definition 4.5.3 Ein direktes System von Gruppen besteht aus folgenden Daten • eine gerichtete Menge .I; /, • eine Familie .Ai /i 2I von Gruppen und • eine Familie von Gruppenhomomorphismen 'ij W Ai ! Aj ;

falls i  j ;

so dass die folgenden Axiome erfüllt sind: 'ii D IdAi

und jk ı 'ij D 'ik ;

falls i  j  k :

Beispiele 4.5.4 • Sei A eine Gruppe und sei .Ai /i 2I eine Familie paarweise verschiedener Untergruppen dergestalt, dass es für je zwei Indices i; j 2 I einen Index k 2 I gibt so dass Ai ; Aj  Ak gilt. Dann bilden die Ai ein gerichtetes System, wenn man auf der Menge I die partielle Ordnung i j

,

Ai  Aj

einführt und als Gruppenhomomorphismen 'ij die Inklusionen nimmt. • Sei G eine topologische Gruppe und sei I die Menge aller Einsumgebungen in G. Für U 2 I sei AU die Gruppe C.U / aller stetigen Funktionen von U nach C. Wir ordnen I durch die umgekehrte Inklusion, d. h., U  V , U V . Mit den Restriktionshomomorphismen 'UV W C.U / ! C.V / ;

'UV .f / D f jV

erhält man ein direktes System. Analog führt man ein direktes System von Ringen ein, indem man verlangt, dass die Ai Ringe sind und die 'ij Ringhomomorphismen.

4.5 Direkte und projektive Limiten

115

Definition 4.5.5 Sei ..Ai /i 2I ; .'ij /i j / ein gerichtetes System von Gruppen. Der direkte Limes des Systems ist die Menge lim Ai def D ! i 2I

a

Ai

ı

;

i 2I

` wobei die disjunkte Vereinigung sein soll und die folgende Äquivalenzrelation: ein a 2 Ai und ein b 2 Aj heißen äquivalent, falls es ein k 2 I gibt mit k  i; j und 'ik .a/ D 'jk .b/. Auf der Menge A D lim Ai definieren wir eine Gruppenmultiplikation wie folgt. !

Sei a 2 Ai und b 2 Aj und seien Œa und Œb ihre Klassen in A. Dann existiert ein k 2 I mit k  i und k  j . Wir definieren ŒaŒb als die Klasse des Elementes 'ik .a/'jk .b/ in Ak , also ŒaŒb D Œ'ik .a/'jk .b/. Proposition 4.5.6 Die Multiplikation ist wohldefiniert und macht A zu einer Gruppe. Für jedes i 2 I ist die Abbildung i

W Ai ,!

a

Ai !

i 2I

a

Ai

ı



i 2I

ein Gruppenhomomorphismus. Der direkte Limes A hat die folgende universelle Eigenschaft: Sei Z eine Gruppe und für jedes i 2 I sei ein Gruppenhomomorphismus j ˛i W Ai ! Z gegeben so dass ˛i D ˛j ı 'i gilt, falls i  j . Dann existiert genau ein Gruppenhomomorphismus ˛ W A ! Z mit ˛i D ˛ ı i für jedes i 2 I . Mit anderen Worten: kommutiert für je zwei Indices i  j das Diagramm j

'i

/ Aj  ˛i      ˛j Z; Ai

so existiert genau ein ˛ W A ! Z, so dass für jedes i das Diagramm / A   ˛i    ˛ Z Ai

i

kommutiert. Beweis: Für die Wohldefiniertheit ist zu zeigen, dass das Produkt nicht von der Wahl von k abhängt. Ist k 0 ein weiteres Element von I mit k 0  i; j , so gibt es zu k und k 0 eine gemeinsame obere Schranke l  k; k 0 . Wir können also statt k 0 auch l betrachten und zeigen, dass die Konstruktion dasselbe Produkt mit l statt k liefert.

4 p-adische Zahlen

116

Hierzu beachte, dass nach der Definition für jedes c 2 Ak gilt Œc D Œ'kl .c/. Da 'kl ein Gruppenhomomorphismus ist, folgt h i h  i h    i 'ik .a/'jk .b/ D 'kl 'ik .a/'jk .b/ D 'kl 'ik .a/ 'kl 'jk .b/ h i D 'il .a/'jl .b/ : Damit ist die Wohldefiniertheit bewiesen. Der Rest sei dem Leser zur Übung gelassen.  Ist .Ai / ein direktes System von Ringen, so wird auch A ein Ring mit derselben universellen Eigenschaft für einen Ring Z und Ringhomomorphismen ˛i . Beispiel 4.5.7 Im Falle des gerichteten Systems .C.U //, wobei U alle Einsumgebungen einer topologischen Gruppe durchläuft, nennt man die Elemente von lim! C.U / auch stetige Funktionskeime. Zum direkten Limes gibt es auch eine duale Konstruktion, den projektiven Limes, der jetzt eingeführt werden soll. Da unser wichtigstes Beispiel ein projektiver Limes von Ringen ist, werden wir die Konstruktion für Ringe formulieren. Für Gruppen, Vektorräume und so weiter ersetzt man Ring durch Gruppe etc. Definition 4.5.8 Ein projektives System von Ringen besteht aus folgenden Daten • eine gerichtete Menge .I; /, • eine Familie .Ai /i 2I von Ringen und • eine Familie von Ringhomomorphismen ij W Aj ! Ai ;

falls i  j ;

so dass die folgenden Axiome erfüllt sind: ii D IdAi

und ij ı jk D ik ; falls i  j  k :

Man beachte, dass im Vergleich zum direkten System die Homomorphismen jetzt in der umgekehrten Richtung laufen. Beispiel 4.5.9 Gegeben sei eine Primzahl p. Sei I D N mit der natürlichen Ordnung. Für n 2 N sei An D Z=p n und für m  n sei nm W Z=p m ! Z=p n die natürliche Projektion. Diese bilden ein projektives System von Ringen. j

Definition 4.5.10 Sei .Ai ; i / ein projektives System von Ringen. Der projektive Limes des Systems ist die Menge A D lim Ai 

aller a 2

Q i 2I

j

Ai so dass ai D i .aj / gilt für jedes Paar i  j in I .

4.6 Aufgaben

117

Proposition Q4.5.11 Der projektive Limes A des Systems .Ai / ist ein Unterring des Produktes i 2I Ai . Sei pri W A ! Ai die Abbildung, die durch die i -te Koordinatenprojektion definiert wird. Dann ist pri ein Ringhomomorphismus. Der projektive Limes hat folgende universelle Eigenschaft: Ist Z ein Ring mit Ringhomomorphismen ˛i W Z ! Ai so dass ˛i D ij ı ˛j gilt, falls i  j in I , dann existiert genau ein Ringhomomorphismus ˛ W Z ! A, so dass ˛i D pri ı˛ für jedes i 2 I gilt. Mit anderen Worten: Kommutiert für je zwei i  j das Diagramm j

Aj O

˛j

i

/ Ai ?  ˛   i

Z; dann existiert ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus ˛ so dass für jedes i das Diagramm AO ˛

pri

/ Ai ?  ˛   i

Z kommutiert. Beweis: Der einfache Beweis sei dem Leser überlassen.



Der folgende Satz zeigt, dass die p-adischen Zahlen auch als ein projektiver Limes konstruiert werden können.

Satz 4.5.12 Sei p eine Primzahl. Der Ring lim Z=p n ist isomorph zu Zp . 

P Beweis: Wir betrachten Zp als den Ring der Potenzreihen a D j1D0 aj p j mit aj 2 f0; : : : ; p  1g. Wir definieren eine Abbildung  W Zp ! lim Z=p n , indem wir  P j n die n-te Koordinate .a/n von .a/ als jn1 a p mod p festlegen. Dies definiert j D0 einen Ringhomomorphismus, der leicht als bijektiv erkannt wird. 

4.6 Aufgaben Aufgabe 4.1 Für a 2 Qp und r > 0 sei Br .a/ der offene Ball Br .a/ D fx 2 Qp W ja  xjp < rg :

4 p-adische Zahlen

118

Zeige: (a) Ist b 2 Br .a/, so gilt Br .a/ D Br .b/. (b) Zwei offene Bälle sind entweder disjunkt oder einer ist im anderen enthalten. Aufgabe 4.2 Zeige, dass es einen kanonischen Ring-Isomorphismus gibt: Qp Š Q ˝Z Zp : Aufgabe 4.3 Zeige, dass die Abbildung 1 X

aj p

j

j DN

7!

1 X

aj p j ;

0  aj < p ;

j DN

eine stetige Abbildung Qp ! R definiert. Ist dies ein Ring-Homomorphismus? Was ist das Bild? Aufgabe 4.4 Sei T D fz 2 C W jzj D 1g die Kreisgruppe und sei  W Zp ! T ein stetiger Gruppenhomomorphismus, d. h.: .a C b/ D .a/.b/. Zeige: Es gibt ein k 2 N mit .p k Zp / D 1. Insbesondere faktorisiert  über die endliche Gruppe Zp =p k Zp Š Z=p k Z, also ist das Bild von  endlich. (Hinweis: Sei U D fz 2 T W Re.z/ > 0g. Dann ist U eine offene Umgebung der Eins, also ist 1 .U / eine offene Nullumgebung.) Aufgabe 4.5 Sei ep W Qp ! T definiert durch 0 0 1 1 1 1 X X aj p j A D exp @2 i aj p j A ; ep @ j DN

j DN

wobei aj 2 Z mit 0  aj < p. Zeige, dass ep ein stetiger Gruppenhomomorphismus ist. Aufgabe 4.6 Sei  W Qp ! T ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass es genau ein a 2 Qp gibt mit .x/ D ep .ax/. (Hinweis: Zeige, dass man ohne Einschränkung annehmen kann, dass .Zp / D 1 ist. Betrachte dann .1=p k / für k 2 N.) Aufgabe 4.7 Sei p eine Primzahl und sei O der Polynom-Ring Fp Œt. Nach dem Euklidischen Algorithmus (Polynom-Division mit Rest) ist O ein faktorieller Hauptidealring. Die Primideale von O sind die Hauptideale der Form 0 oder . /, wobei ¤ 0 ein irreduzibles Polynom in O ist. (a) Für ein solches sei v W O ! N0 definiert durch v .f / D maxfk W f 2 . k /g :

4.6 Aufgaben

119

Zeige, dass v eine Bewertung ist und dass jf j D p  deg./v .f / einen Absolutbetrag auf O definiert. (b) Sei v1 .f / D  deg.f /. Zeige, dass v1 eine Bewertung und jf j1 D p v1 .f / ein Absolutbetrag ist. (c) Zeige die Produktformel: Y jf j D 1 : 1

Aufgabe 4.8 Beweise die universelle Eigenschaft aus Proposition 4.5.6. Aufgabe 4.9 Zeige Proposition 4.5.11. Aufgabe 4.10 Zeige, dass der direkte Limes lim! Ai von Gruppen abelsch ist, falls alle Ai dies sind. Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt. Aufgabe 4.11 Zeige, dass die universelle Eigenschaft den direkten Limes bis auf j Isomorphie festlegt. Genauer sei .Ai ; 'i / ein direktes System von Gruppen und sei B eine Gruppe mit Gruppenhomomorphismen ˇi W Ai ! B so dass .B; ˇi / die universelle Eigenschaft des direkten Limes A D lim! Ai erfüllt. Zeige, dass A und B isomorph sind. Aufgabe 4.12 Eine Gruppe G heißt pro-endlich, wenn sie als projektiver Limes endlicher Gruppe dargestellt werden kann. In diesem Fall versieht man die endlichen Gruppen mit der diskreten Topologie und G mit der projektiven Limestopologie. Eine topologische Gruppe G heißt total unzusammenhängend, wenn sie eine Einsumgebungsbasis aus offenen Untergruppen besitzt (siehe Definition 6.2.4). Zeige: kompakt, hausdorffsch G ist pro-endlich , undGtotal unzusammenhängend.

Kapitel 5

Adele und Idele

Um die Eigenschaften von Q voll zu erfassen, muss man alle Vervollständigungen Qp gleichzeitig betrachten. Am Besten sollte dies in einem einzigen Q Objekt geschehen, das alle Qp enthält. Erster Kandidat ist das direkte Produkt p Qp . Dummerweise ist die Produkttopologie auf diesem Ring nicht mehr lokalkompakt, so dass man also insbesondere keine Haar-Maße für Addition und Multiplikation bekommt. Einen Ausweg bietet das eingeschränkte Produkt, das im nächsten Abschnitt eingeführt wird, das ebenfalls alle Qp enthält und ein lokalkompakter Ring ist.

5.1 Eingeschränkte Produkte Der Satz von Tychonov besagt, dass das Produkt beliebig vieler kompakter Räume kompakt ist (siehe etwa [8], Appendix A). Für lokalkompakt an Stelle von kompakt gilt dies nicht, wie das folgende Lemma zeigt. Lemma 5.1.1 Sei I eine Indexmenge und fürQ jedes i 2 I sei Xi ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Dann gilt: Der Raum X D i 2I Xi ist genau dann lokalkompakt, wenn fast alle Xi kompakt sind. Beweis: Als Erstes halten wir die folgende Beobachtung fest: ist ein Produkt X D Q X kompakt, so ist jedes Xi kompakt, denn Xi ist das Bild der Projektion pi W i i X ! Xi , die eine stetige Abbildung ist. Sei E  I eine endliche Teilmenge und für jedes i 2 E sei ein Ui  Xi gegeben. Das zu diesen Daten gehörige Rechteck ist die Menge Y Y Ui  Xi : R D R..Ui /i 2E / D i 2E

i 2I XE

Ein Rechteck ist genau dann offen bzw. abgeschlossen, wenn alle Ui offen bzw. abgeschlossen sind. Nach Definition der Produkttopologie ist jede offene Menge in X eine Vereinigung von offenen Rechtecken. Man beachte, dass der Schnitt zweier A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

121

122

5 Adele und Idele

offener Rechtecke wieder ein offenes Rechteck ist. Diese Eigenschaft der Schnittstabilität der Menge der offenen Rechtecke ist erforderlich, damit die Menge aller Vereinigungen offener Rechtecke eine Topologie bildet, denn sonst wäre nicht sichergestellt, dass der Schnitt zweier offener Mengen wieder offen ist. Ist nun X lokalkompakt, so muss es ein offenes Rechteck geben, dessen Abschluss kompakt ist, also sind fast alle Xi kompakt. Die Umkehrung ist eine direkte Folge des Satzes von Tychonov und der einfachen Beobachtung, dass endliche Produkte lokalkompakter Räume lokalkompakt sind.  Sei nun .Xi /i 2I eine Familie lokalkompakter Räume und für jedes i 2 I sei eine offene kompakte Teilmenge Ki  Xi festgelegt. Definiere das eingeschränkte Produkt als ) ( Y Y c Ki def Xi D x 2 Xi W xi 2 Ki für fast alle i 2 I X D i 2I

i 2I

D

[ Y

Xi 

E I i 2E endlich

Y

Ki :

i …E

Q Q Q Hierbei bezeichnet i 2E Xi  i …E Ki die Teilmenge von i 2I Xi bestehend aus allen x mit xi 2 Ki für jedes i … E. Falls feststeht, welche Mengen Ki gewählt sind, lassen wir die Ki auch in der Q Notation weg, d. h., wir schreiben dann X D b i 2I Xi . Wir definieren nun die eingeschränkte Produkttopologie wie folgt. In einem Produkt ist eine Menge genau dann offen, wenn sie sich als Vereinigung offener Rechtecke schreiben lässt. Für ein eingeschränktes Produkt soll dasselbe gelten, wobei der Begriff Rechteck durch eingeschränktes Rechteck zu ersetzen ist. Ein eingeschränktes offene Rechteck ist eine Teilmenge des eingeschränkten Produktes der Form Y Y Ui  Ki ; i 2E

i …E

wobei E  I eine endliche Teilmenge ist und Ui  Xi eine beliebige offene Q Menge, falls i 2 E. Eine Teilmenge A  b i 2I Xi heißt nun offen, falls sie sich als Vereinigung eingeschränkter offener Rechtecke schreiben lässt. Man beachte, dass der Schnitt zweier eingeschränkter offener Rechtecke wieder ein solches ist. An dieser Stelle wird benutzt, dass die Kompakta Ki offen sind. Q Q Lemma 5.1.2 (a) Ist I endlich, so gilt i Xi D b i Xi und die eingeschränkte Produkttopologie stimmt mit der Produkttopologie überein. (b) Für jede disjunkte Zerlegung I D A [ B gilt  Y  Y Y c c c i 2I Xi Š i 2A Xi  i 2B Xi :

5.2 Adele

123

Q Q (c) Die Inklusionsabbildung b i Xi ,! i Xi ist stetig, aber die eingeschränkte Produkttopologie stimmt nur dann mit der Teilraumtopologie überein, wenn Xi D Ki für fast alle i 2 I gilt. Q (d) Sind alle Xi lokalkompakt, so ist X D b i Xi lokalkompakt. Beweis: (a) ist klar. Für (b) beachte, dass beide Seiten die gleiche Teilmenge von Q i Xi beschreiben. Aus der Definition der eingeschränkten Produkttopologie folgt leicht, dass die linke Seite in der Tat die Produkttopologie der beiden Faktoren rechts trägt. (c) Für die Stetigkeit ist zu zeigen, dass das Urbild einer Menge der Form Q Q Q b i Xi , wobei E  I eine endliche Menge ist i 2E Ui  i …E Xi offen ist in und jedes Ui  Xi offen. Dies ist eine Konsequenz von (a) und (b). Der Zusatz ist klar. Wir beweisen nun (d). Sei x 2 X , so gibt es eine endliche Menge E  I so dass xi 2 Ki falls i … E.QWir sammeln Q für jedes i 2 E eine kompakte Umgebung Ui von xi ein, dann ist i 2E Ui  i …E Ki eine kompakte Umgebung von x, somit ist X lokalkompakt. 

5.2 Adele Wir beginnen mit der Einführung einer Sprechweise. Eine Stelle oder eine Stelle von Q ist entweder eine Primzahl oder 1, letztere heißt die unendliche Stelle. Wir schreiben p < 1, falls p eine Primzahl sein soll und p  1, falls auch p D 1 zugelassen ist. Die Wortwahl kommt von der algebraischen Geometrie, da sich diese „Stellen“ in vielerlei Hinsicht ebenso verhalten wie die Punkte auf einer Kurve. Eine Stellenmenge ist eine Teilmenge S  fp W Primzahlg [ f1g : Wir bezeichnen mit Qp die Vervollständigung von Q an der Stelle p, also insbesondere Q1 D R : Wir definieren die Menge der endlichen Adele als das eingeschränkte Produkt Afin D

Y c Zp

p<1 Qp

Und die Menge aller Adele als A D Afin  R : Wir schreiben auch A D

Y c

p1 Qp

;

:

124

5 Adele und Idele

obwohl dies im strengen Sinne kein eingeschränktes Produkt ist, da an der Stelle 1 keine Einschränkung definiert ist. Für eine gegebene Stellenmenge S schreiben wir AS D

Y c

p2S Qp

und AS D

Y c

p…S Qp

;

so dass immer gilt A D AS  AS :

Satz 5.2.1 (a) Für jede Stellenmenge S ist AS ein lokalkompakter topologischer Ring. (b) Q liegt diskret in A und A=Q ist kompakt. (c) Q liegt dicht in Afin .

Beweis: Die Lokalkompaktheit folgt, da alle Faktoren lokalkompakt sind. Für (a) müssen wir zeigen, dass Addition und Multiplikation stetige Abbildungen sind. Wir führen das an der Addition exemplarisch aus. Seien an ! a und bn ! b konvergente Folgen in AS , so ist zu zeigen, dass an C bn gegen a C b konvergiert. Eine offene Umgebung von a C b ist stets von der Form a C b C U , wobei U eine offene Nullumgebung ist. Wir können annehmen, dass U von der Gestalt Y Y Up  Zp p2E

p2SXE

ist, wobei E  S eine endliche Menge von Stellen ist und jedes Up ist eine offene Nullumgebung in Qp . Jede Nullumgebung in Qp , p < 1 enthält eine Nullumgebung der Form p k Zp für ein k 2 Z, wir wählen in dem Fall also Vp D p k Zp  Up . Für p D 1 2 E gibt es ein " > 0 so dass ."; "/Q U1 . In Q diesem Fall setze V1 D ."=2; "=2/: Insgesamt haben wir mit V D p2E Vp  p…E Zp eine offene Nullumgebung mit V C V  U . Da an und bn gegen a und b konvergieren, gibt es ein n0 so dass für jedes n  n0 gilt an 2 a C V und bn 2 b C V , also an  a; bn  b 2 V . Damit ist .an C bn /  .a C b/ D .an  a/ C .bn  b/ 2 V C V  U ; also an C bn 2 a C b C U . Damit konvergiert an C bn tatsächlich gegen a C b und die Addition ist stetig. Die Stetigkeit der Multiplikation beweist man ähnlich. Die additive Inversenbildung ist die Multiplikation mit .1/ und die ist stetig, da die Multiplikation stetig ist. Damit ist Teil (a) bewiesen. Für (b) sei  Y  1 1  Zp ; U D  ; 2 2 p<1

5.2 Adele

125

also ist U eine offene Nullumgebung. Ist r 2 Q \ U , so folgt jrjp  1 für jedes p < 1 und damit ist r 2 Z. Ferner folgt jrj1 < 12 und damit folgt r D 0. Also liegt QQ diskret in A. Für die zweite Aussage zeigen wir, dass die Menge K D Œ0; 1  p<1 Zp ein Vertretersystem von A=Q enthält. Diese Aussage bedeutet, dass die Projektion p W K ! A=Q surjektiv ist, also ist A=Q das stetige Bild des Kompaktums K und damit selbst kompakt. Sei also x 2 A. Dann gibt es eine endliche Stellenmenge E so dass p … E ) xp 2 Zp . Für p 2 E, p < 1 schreibe 1 X

xp D

aj p j :

j DN

Dann ist 1 X

xp 

aj p j 2 Zp :

j DN

„

ƒ‚

Dr2Q

…

Für eine zweite Primzahl q ¤ p ist jrjq

ˇ ˇ ˇ 1 ˇ ˇ X ˇ jˇ ˇ D ˇ aj p ˇ  maxfjaj p j jq g  1 : ˇj DN ˇ q

Ersetze x durch xr, dies reduziert E zu EXfpg. Nach Iteration dieses Argumentes kann man E heißt aber QD f1g annehmen, also xp 2 Zp für alle Primzahlen p. Das Q x 2 R  p<1 Zp . Modulo Z kann man x dann aber nach Œ0; 1  p<1 Zp verschieben. Q Für (c) reicht es zu zeigen, dass Z dicht liegt in b Z D p<1 Zp , denn es gilt Z. Dazu müssen wir zeigen, dass Z jede offene Teilmenge von b Z trifft. Afin D Qb Jede offene Menge ist Vereinigung von Mengen der Form U D

Y p2E

Bp 

Y

Zp

p…E

für eine endliche Menge E von Primzahlen, wobei jedes Bp ein offener Ball in Zp ist. Das heißt aber, dass Bp geschrieben werden kann als Bp D np C p kp Zp für ein np 2 Z und ein kp 2 N0 . Wir müssen also zeigen, dass es ein l 2 Z gibt, so dass für jedes p 2 E gilt l 2 np C p kp Zp , oder l  np mod p kp . Die Existenz eines solchen l ist durch den chinesischen Restsatz sichergestellt.  Da A ein lokalkompakter Ring, also insbesondere eine lokalkompakte Gruppe ist, hat A ein additives Q Haar-Maß dx. Eine einfache Funktion f auf A ist eine Funktion der Form f D p1 fp mit fp D 1Zp für fast alle p.

126

5 Adele und Idele

Satz 5.2.2 Das Haar-Maß dx auf .A; C/ kann Q so normalisiert werden, dass für jede integrierbare einfache Funktion f D p fp die Produktformel Z f .x/ dx D

YZ p

A

fp .xp / dxp

Qp

gilt. Hierbei ist das Haar-Maß auf Qp so normalisiert, dass vol.Zp / D 1 falls p < 1 und dass dx1 das Lebesgue-Maß auf R D Q1 ist. Das Produkt ist endlich, d. h., fast alle Faktoren sind gleich Eins.

Der Satz gilt ebenso für AS für eine beliebige Stellenmenge S . Wir wählen im folgenden stets diese Normalisierung des Haar-Maßes auf AS . Q Beweis: Eine einfache Menge ist eine Teilmenge A von A der Form A D p Ap , wobei alle Ap offen sind und Ap D Zp für fast alle p gilt. Für eine einfache Menge definieren wir YZ .A/ def 1Ap dxp : D p

Qp

Die einfachen Mengen liefern einen schnittstabilen Erzeuger, der Borel--Algebra von A, so dass durch diese Vorschrift ein Maß definiert wird, von dem man leicht verifiziert, dass es ein Haar-Maß ist. 

5.3 Idele Die Einheitengruppe des Adelrings lässt sich in der folgenden Form beschreiben: n o ¤0 8p1 A D a 2 A W jap jappD1 : für fast alle p Versehen wir A mit der Teilraumtopologie von A, so ist zwar die Multiplikation stetig, nicht aber die Inversenbildung. Um also aus A eine topologische Gruppe zu machen, müssen wir ihr zusätzliche offene Mengen bescheren. Was wir verlangen müssen, ist, dass für jede offene Menge U auch die Menge U 1 D fu1 W u 2 U g offen ist. Die Topologie von A wird erzeugt von Mengen der Form Y Y Up  Zp ; p2E

p…E

wobei E eine endliche Stellenmenge ist. Die Teilraumtopologie von A wird also von Mengen der Form o n p ; p2E U D a 2 A W ajapp2U j1 p…E

5.3 Idele

127

erzeugt, wobei wir verlangen können, dass jedes Up schon in Qp liegt. Wir müssen also verlangen, dass die Mengen der Form U 1 D

n

1 2U ; p2E ap p jap j1 p…E

a 2 A W

o

ebenfalls offen sind. Damit ist dann auch der Schnitt einer Menge der Form U und einer Menge der Form U 1 (für ein anderes U ) offen. Solche Mengen sind von der Form n o p ; p2E W D a 2 A W ajapp2W ; jD1 p…E wobei Wp eine offene Teilmenge von Qp ist. Andererseits stellt man fest, dass man Mengen des Typs U und des Typs U 1 als Vereinigungen von Mengen des Typs W beschreiben kann. Daher haben wir folgendes gezeigt: Lemma 5.3.1 Die kleinste Topologie auf A , die die Teilraumtopologie von A umfasst und A zu einer topologischen Gruppe macht, wird erzeugt von allen Mengen des Typs W und ist damit genau die eingeschränkte Produkttopologie A D

Y c Zp

 p<1 Qp

 R:

Die lokalkompakte Gruppe A mit dieser Topologie heißt die Idelgruppe von Q. Ihre Elemente heißen Idele. Definition 5.3.2 Wir definieren den Betrag eines Idels a 2 A als jaj D

Y

jap jp :

p

Dieses Produkt ist wohldefiniert, da nur endlich viele Faktoren ungleich Eins sind. Sei A1 D fa 2 A W jaj D 1g : Nach der Produktformel gilt Q  A1 . Wir schreiben b Z D

Y

Zp :

p<1

Dann ist b Z ein kompakter Unterring von Afin mit Einheitengruppe b Z D

Y p<1

Zp :

128

5 Adele und Idele

Satz 5.3.3 Q ist diskret in A und der Quotient A1 =Q ist kompakt. Genauer existiert ein kanonischer Isomorphismus A1 =Q Š b Z : Z  f1g ein Vertretersystem von A1 =Q und F D Insbesondere ist F 1 D b b Z  .0; 1/ ein Vertretersystem von A =Q . Wir haben einen Isomorphismus topologischer Gruppen: A Š A1  .0; 1/, der induziert ist durch die Betragsfunktion. Ferner ist A1 Š A fin  f˙1g.

Beweis: Wähle ein 0 < " < 1 und setze Y

U D .1  "; 1 C "/ 

Zp :

p<1

Dann ist U eine offene Umgebung der Eins in A . Sei r 2 Q \ U . Dann folgt jrjp D 1 für jede Primzahl p, also r 2 Z und r 1 2 Z. Ferner folgt r 2 .1"; 1C"/, also r D 1. Q Wir betrachten die Abbildung  W p Zp ! A1 =Q gegeben durch x 7! .x; 1/Q . Wir behaupten, dass  ein Isomorphismus topologischer Gruppen ist. Die Q Abbildung  ist ein Gruppenhomomorphismus und da die Abbildung p Zp ,! A stetig ist, ist  stetig. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch x D .xfin ; x1 / 7! 1 x , wobei wir beachten, dass für x 2 A1 gilt x1 2 Q . x1 fin Der Isomorphismus von A nach A1  .0; 1/ wird hergestellt durch die Abbildung x 7! .x; Q jxj/; wobei xQ 2 A ist definiert durch ( xp falls p < 1 ; .x/ Q p D x1 falls p D 1 : jxj  Für die letzte Isomorphie A1 Š A fin  f˙1g geben wir eine Abbildung  W Afin  1 f˙1g ! A an: .afin ; "/ D .afin ; "jafin j1 / :

Diese Abbildung ist offensichtlich ein Isomorphismus. Proposition 5.3.4 (a) Die Menge A fin ist die disjunkte Vereinigung a qb Z : A fin D q2Q >0

Die Menge b Z \ A fin ist die disjunkte Vereinigung a b Z \ A kb Z : fin D k2N



5.4 Fourier-Analysis auf A

129

(b) Für jedes s 2 C mit Re.s/ > 1 konvergiert das Integral Z jxjs d x b Z absolut und ist gleich der Riemannschen Zetafunktion .s/. Hierbei ist d x das eindeutig bestimmte Haar-Maß auf A fin , das der kompakten offenen Untergruppe b Z das Volumen 1 gibt. Wir betrachten dieses Maß auch als ein Maß auf Afin , das außerhalb von A fin gleich Null ist.   Beweis: Sei x 2 A fin dann ist jxj 2 Q>0 . Betrachte jxjx 2 Afin . Sei p eine Primzahl, k  so ist xp D p u für ein k 2 Z und ein u 2 Zp . Also ist jxj D p k r, wobei r 2 Q teilerfremd zu p ist. Es folgt, dass jjxjxp jp D 1, also ist jxjx 2 b Z . Mit q D jxj1 folgt x 2 qb Z und damit die erste Behauptung von (a). Die zweite ist dann auch klar. Für (b) benutzen wir (a) in der folgenden Weise Z Z X Z XZ X jxjs d x D jxjs d x D jkxjs d x D k s jxjs d x :

b Z

k2N kb Z

k2N

b Z

k2N

b Z „ ƒ‚ D1

Die Konvergenz folgt aus der Konvergenz der Dirichlet-Reihe .s/.

… 

5.4 Fourier-Analysis auf A In diesem Abschnitt führen wir die Fourier-Transformation und die Fourier-Reihen auf den Adelen ein. Wir schließen mit der für uns wichtigen Poisson-Summationsformel. Sei G eine topologische Gruppe. Ein Charakter von G ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus  W G ! T, wobei T D fz 2 C W jzj D 1g die Kreisgruppe ist. Die Menge der Charaktere ist selbst wieder eine Gruppe unter der punktweisen Multiplikation .x/ D .x/.x/ ; diese wird die duale Gruppe zu G genannt. Wir bezeichnen die duale Gruppe von b G mit G.

130

5 Adele und Idele

Wir definieren nun einen Charakter e der additivem Gruppe von A. Sei zunächst p eine Primzahl und sei ep W Qp ! T definiert durch 0 0 1 1 1 1 1 X X Y j jA jA @ @ aj p aj p e2 i aj p : ep .x/ D e D exp 2 i D j DN

j DN

j DN

Dann ist ep ein Charakter der additiven Gruppe .Qp ; C/, wie in Übungsaufgabe 4.5 gezeigt wurde. Beachte, dass ep .Zp / D 1. Für p D 1 schließlich definiere e1 W R ! T durch e1 .x/ D e2 ix : Lemma 5.4.1 Für jedes x 2 A hat das Produkt Y ep .xp / e.x/ D p1

nur endlich viele Glieder ¤ 1. Die so definierte Abbildung e W A ! T ist ein Charakter. Beweis: Es ist xp 2 Zp für fast alle p also ist das Produkt in der Tat endlich. Ist xj ! x eine konvergente Folge in A, so gibt es eine endliche Stellenmenge E mit p … E ) xj;p 2 Zp für alle j . Damit gilt Y Y ep .xj;p / ! ep .xp / D e.x/ ; e.xj / D p2E

p2E

da die einzelnen ep stetig sind. Dass es sich um einen Gruppenhomomorphismus handelt, ist ebenfalls klar.  Satz 5.4.2 (a) Ist p  1 und ist  W Qp ! T ein Charakter, so gibt es ein eindeutig bestimmtes a 2 Qp mit .x/ D ep .ax/. Die Zuordnung cp . a 7! ep .a/ ist ein Gruppen-Isomorphismus von Qp ! Q (b) Ist  W A ! T ein Charakter, so gibt es ein eindeutig bestimmtes a 2 A mit .x/ D e.ax/. Die Zuordnung  7! a ist ein Gruppen-Isomorphismus von b A ! A. (c) Die Charaktere der kompakten Gruppe A=Q können identifiziert werden mit den Charakteren  von A mit .Q/ D 1. Diese sind gegeben durch eq , mit q 2 Q.

Beweis: Teil (a) ist für p < 1 in der Übungsaufgabe 4.6 bewiesen worden. Für p D 1 beweisen wir es jetzt. Sei also  W R ! T ein Charakter. Wegen der Stetigkeit von  existiert ein " > 0 so dass .Œ"; "/  fRe.z/ > 0g. Sei a das

5.4 Fourier-Analysis auf A

131

eindeutig bestimmte Element von Œ 1 ; 1  so dass ."/ D e2 i a" . Wir behaupten 4" 4" nun, dass " " D e2 i a 2 :  2  2   Um dies zu zeigen, bemerken wir  "2 D ."/ D e2 i a" , also ist  "2 D " " ˙e2 i a 2 und e2 i a 2 hat Realteil < 0.   " Wir iterieren dieses Argument und sehen  2"n D e2 i a 2n . Für ein beliebiges k 2 Z folgt dann  k   1 k k  n D  n D e2 i a 2n : 2 2 Die Menge aller 2kn mit k 2 Z, n 2 N ist dicht in R, so dass wir wegen der Stetigkeit schließen können .x/ D e2 i ax für jedes x 2 R. Die Eindeutigkeit von a folgt zum Beispiel aus der Tatsache, dass die Ableitung von x 7! e2 i ax an der Stelle x D 0 gerade 2 i a ist.  Für Teil (b) sei p W Qp ,! A ! T, wobei die Einbettung von Qp die additive Einbettung ist: x 7! .: : : ; 0; p; 0; : : : /. Nach Teil (a) existiert ein eindeutig bestimmtes ap 2 Qp mit p .x/ D ep .ap x/ für jedes x 2 Qp . Wir zeigen nun: p .Zp / D 1

für fast alle p :

Sei U  T die Menge aller z 2 T mit Re.z/ > 0. Dann ist U eine offene Umgebung der Eins. Also muss 1 .U / eine offene Umgebung der Null in A enthalten. Es gibt daher eine endliche Stellenmenge E mit ! ! Y Y X D Zp  f0g  1 .U / : p…E

p2E

Die linke Seite X ist eine Untergruppe von A, also ist .X /  U eine Untergruppe von U . Die Menge U enthält aber nur eine einzige Untergruppe, nämlich f1g, also ist .X / D 1, woraus p .Zp / D 1 für jedes p … E folgt. Hieraus ergibt sich, dass die Abbildung Q W A ! T, Y .x/ Q D p .xp / p

wohldefiniert ist. In der Tat, sie ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus und sie stimmt mit  auf allen Qp überein. Die Qp erzeugen in A aber eine dichte Untergruppe, also ist  D . Q Damit folgt für x 2 A: Y Y p .xp / D ep .ap xp / D e.ax/ : .x/ D p

p

Die Eindeutigkeit von a folgt aus der Eindeutigkeit der Koordinaten ap . Die Zuordnung  7! a ist ein Gruppenhomomorphismus, denn ist .x/ D e.ax/ und .x/ D e.bx/, so ist  D e..a C b/x/. Die Umkehrabbildung ist a 7! e.a/, also ist sie bijektiv.

132

5 Adele und Idele

Nun zu (c). Die erste Aussage ist klar. Sei also  ein Charakter von A mit .Q/ D 1. Nach (b) existiert ein a 2 A mit .x/ D e.ax/ und wir müssen zeigen, dass a 2 Q ist. Wir können a durch p k a ersetzen falls jajp > 1 und erhalten so sukzessive jajp  1 für jedes p, also afin 2 b Z. Wir wollen zeigen, dass unter diesen Umständen a 2 Z folgt. Es ist e.afin / D 1, also 1 D e1 .a1 / D e2 i a1 , was zur Folge hat, dass a1 in Z liegt. Durch Multiplikation mit P 1 können wir annehmen, dass a1  0 ist. Sei p eine Primzahl. Schreibe ap D j1D0 cj p j mit P 0  cj < p und außerdem a1 D jND0 bj p j mit ebenfalls 0  bj < p. Wir zeigen, dass cj D bj für alle j und alle p, damit folgt die Behauptung. Für jedes k 2 N gilt e.p k a/ D 1, also ep .p k ap /e1 .p k a1 / D 1, was zur Folge hat 0 1 1 0 k N X X cj p j k A D exp @2 i bj p j k A : exp @2 i j D0

j D0

Da dies für alle k gilt, folgt cj D bj .



5.4.1 Lokale Fourieranalysis Wir erinnern an den Raum der Schwartz-Funktion S.R/ aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen f W R ! C so dass für je zwei m; n 2 Z mit m; n  0 die Funktion x m f .n/ .x/ beschränkt ist. Für p < 1 definieren wir den Raum S.Qp / der Schwartz-Bruhat-Funktionen als den Raum aller Funktionen f auf Qp , die lokalkonstant sind und kompakten Träger haben. Lemma 5.4.3 Jede Funktion f 2 S.Qp / ist eine endliche Linearkombination von Funktionen der Form 1aCp k Zp , wobei a 2 Qp und k 2 Z. Beweis: Sei f 2 S.Qp /. Da f lokalkonstant ist, ist für jedes z 2 C das Urbild f 1 .z/ eine offene Menge in Qp . Damit ist f 1 .0/ offen und Qp X f 1 .0/ ist abgeschlossen und damit folgt Qp X f 1 .0/ D supp.f /, also ist diese Menge kompakt. Sie wird von den offenen Mengen f 1 .z/ mit z ¤ 0 überdeckt, nach Kompaktheit reichen endlich viele davon, also hat die Funktion f endliches Bild. Jede offene Menge f 1 .z/ mit z ¤ 0 ist eine disjunkte Vereinigung offener Bälle in Qp . Wegen Kompaktheit reichen endlich viele. Offene Bälle in Qp haben aber genau die Gestalt a C p k Zp wie oben. Damit folgt das Lemma.  Wir betrachten nun zunächst die Fourier-Transformation auf Qp für beliebiges p  1. Für eine Funktion f 2 S.Qp / sei Z O f .y/ep .xy/ dy f .x/ D Qp

die Fourier-Transformierte.

5.4 Fourier-Analysis auf A

133

Lemma 5.4.4 Sei f 2 S.Qp /. (a) Ist g.x/ D f .x/ep .ax/ mit a 2 Qp , dann folgt g.x/ O D fO.x  a/ . O D fO.x/ep .ax/ . (b) Ist g.x/ D f .x  a/ mit a 2 Qp , so folgt g.x/ 1 O x  (c) Ist g.x/ D f . x/ mit 2 Qp , so folgt g.x/ O D jj f ./ . 

Beweis: Dies sind einfache Konsequenzen der Definition.

Lemma 5.4.5 Sei K eine kompakte Gruppe mit Haar-Maß dx. Sei  W K ! T ein Charakter. Dann gilt ( Z vol.K/  D 1 ; .x/ dx D 0  ¤ 1: K

Beweis: Der Fall  D 1 ist klar. Im anderen Fall gibt es ein k0 2 K mit .k0 / ¤ 1. Dann ist Z Z Z .k0 / .x/ dx D .k0 x/ dx D .x/ dx : K

Da aber .k0 / ¤ 1, folgt

R K

K

K

.x/ dx D 0. Das Lemma ist bewiesen.



Satz 5.4.6 Ist p  1 und ist f 2 S.Qp /, so ist fO 2 S.Qp / und es gilt die Umkehrformel der Fourier-Transformation O fO.x/ D f .x/ :

Beweis: Sei zuerst p < 1 eine Primzahl. Wir betrachten die Funktion h D 1Zp und wir zeigen hO D h durch folgende Rechnung Z Z O h.y/ep .xy/ dy D ep .xy/ dy : h.x/ D Qp

Zp

Nun ist .y/ D ep .xy/ ein Charakter von Zp und genau dann trivial, wenn x 2 Zp also folgt hO D h nach Lemma 5.4.5. Wir führen die folgenden Operatoren auf S.Qp / ein a f .x/ D f .x/ep .ax/ ;

La f .x/ D f .x  a/;

M f .x/ D f . x/ ;

wobei a 2 Qp und 2 Qp . Die Aussagen von Lemma 5.4.4 lassen sich in der folgenden Form ausdrücken

1

a f D La fO;

b

La f D a fO;

1

M f D

1 M1= fO : j j

134

5 Adele und Idele

Wir zeigen zunächst, dass die Fourier-Transformation den Raum S.Qp / erhält. Nach Lemma 5.4.3 ist jedes f eine Linearkombination von Funktionen der Form f D 1aCpk Zp D La Mpk h: Dann folgt

3

fO D La Mpk h D a p k Mpk hO D a p k Mpk h : Also ist fO.x/ D ep .ax/1pk Zp .x/ . Da der Charakter ep lokalkonstant ist, ist diese Funktion wieder in S.Qp /. O Wir betrachten den Vektorraum A aller f 2 S.Qp / für die gilt fO.x/ D .x/. Wir haben bewiesen, dass h 2 A. Wir zeigen nun, dass die Funktion f D La Mpk h in A liegt:   OO O f D La Mpk h D La Mpk h D La Mpk hO D La Mpk h D 1aCpk Zp :

3

1

O Dies bedeutet gerade fO.x/ D f .x/. Wir haben die Umkehrformel für den padischen Fall p < 1 gezeigt. Für p D 1 ist die Umkehrformel bereits bekannt. 

5.4.2 Globale Fourieranalysis Q Sei Afin D bp<1 Qp und S.Afin / der Raum aller Funktionen f W Afin ! C die lokalkonstant sind und kompakten Träger haben. Die Elemente von S.Afin / werden Schwartz-Bruhat-Funktionen auf Afin genannt. Lemma 5.4.7 Jede Schwartz-Bruhat-Funktion f auf Afin ist eine endliche Linearkombination von Funktionen der Form f D 1aCNb ; Z wobei a 2 A und N 2 N ist. Beweis: Der Beweis verläuft analog zum Beweis von Lemma 5.4.3.



Sei S.A/ der Raum aller Funktionen der Form f .x/ D

n X

hj .xfin /gj .x1 / ;

j D1

wobei hj 2 S.Afin / und gj 2 S.R/. Diese heißen Schwartz-Bruhat-Funktionen auf A. Für f 2 S.A/ sei die Fourier-Transformation definiert durch Z O f .y/e.xy/ dy : f .x/ D A

5.4 Fourier-Analysis auf A

135

Satz 5.4.8 Für jede Funktion f der Gestalt f D gilt Y fO D fOp :

Q p1

fp mit fp 2 S.Qp /

p

Ist f 2 S.A/, so ist fO 2 S.A/ und es gilt die Umkehrformel der FourierTransformation O fO.x/ D f .x/ :

Beweis: Ist f ein Produkt wie im Satz, so gilt nach Satz 5.2.2 Z YZ Y O f .x/ D f .y/e.xy/ dy D fp .y/ep .xp y/ dy D fOp .xp / : p

A

p

Qp

Die Umkehrformel folgt demnach aus der lokalen Umkehrformel.



Satz 5.4.9 (Poissonsche Summenformel) Für jede Funktion f 2 S.A/ gilt bei absoluter Konvergenz der Summen X X f .q/ D fO.q/ : q2Q

q2Q

Beweis: Für die Konvergenz reicht es, anzunehmen, dass die Funktion von der Form f .x/ D 1aCNb .x /f .x / ist, wobei a 2 Afin , N 2 N, und f1 2 S.R/. Da Q Z fin 1 1 Z, so dass folgt a C N b ZD in Afin dicht liegt, gibt es eine rationale Zahl r in a C N b r C Nb Z. Also ist X X X X f .q/ D f1 .q/ D f1 .q  r/ D f1 .q  r/ q2Q q2N Z q2Q\rCNb Z q2Q\Nb Z X f1 .qN  r/ : D q2Z

Die letzte Summe konvergiert offensichtlich. Wir wollen nun den Beweis der behaupteten Identität auf den Fall f D 1b f zurückspielen. Sei h D 1b , dann ist Z 1 Z 1rCNb D L M h, so dass es zu zeigen reicht, dass die Behauptung stabil ist unr 1=N Z P P O ter den Operatoren Lr und Mr mit r 2 Q. Es gelte also q2Q f .q/ D q2Q f .q/ und es sei r 2 Q. Dann ist X X X Lr f .q/ D f .q  r/ D f .q/ : q2Q

q2Q

q2Q

136

5 Adele und Idele

Da e.Q/ D 1, ist dies gleich X X X X e.rq/fO.q/ D r fO.q/ D Lr f .q/ : fO.q/ D

b

q2Q

q2Q

q2Q

q2Q

Unter Ausnutzung der Produktformel zeigen wir ebenso X X Mr f .q/ D Mr f .q/ :

1

q2Q

q2Q

f ist. Dann folgt fO D 1b fO D 1b fO Nehmen wir nun also an, dass f D 1b b Z 1 Z 1 Z 1 X X f .q/ D f1 .k/ : q2Q

k2Z

Damit ist die adelische Poisson-Formel zurückgeführt auf die folgende Proposition. Wir schreiben C 1 .R=Z/ für den Raum aller glatten Funktionen g auf R mit g.x C 1/ D g.x/. Proposition 5.4.10 (Klassische Poisson-Formel) Für f 2 S.R/ gilt X X f .k/ D fO.k/ : k2Z

k2Z

Beweis: Sei f 2 S.R/ dann ist die Funktion g.x/ D Funktion auf R=Z und nach Proposition 2.2.7 folgt X

f .k/ D g.0/ D

k

X

k

f .x C k/ eine glatte

1

ck .g/ D

k

D

XZ X

P

1 XZ

k

0

f .x C l/e2 i kx dx

l

f .x/e2 i kx dx D

k 1

Damit sind Proposition und Satz bewiesen.

X

fO.k/ :

k



5.5 Aufgaben Aufgabe 5.1 (a) Zeige, dass die Familie .N b Z/N 2N eine Nullumgebungsbasis von Afin bildet. D. h., es ist zu zeigen, dass jedes N b Z eine Nullumgebung ist und dass jede Nullumgebung eine Menge der Form N b Z enthält. (b) Zeige, dass die Mengen der Form .1 C N b Z/ \ b Z , N 2 N eine Einsumgebungsbasis von A fin bilden.

5.5 Aufgaben

137

Aufgabe 5.2 Sei U eine offene kompakte Untergruppen von Afin und sei K  Afin ein Kompaktum. Sei S.U; K/ die Menge aller Funktionen f W A ! C so dass • supp f  K  R, • f .x C u/ D f .x/ 8x 2 A; u 2 U , • Für alle m; n 2 N0 ist m;n .f / D supx2A jf .m/ .x/jjx1 jn1 < 1. Zeige:

[

S.U; K/ D S.A/ :

U;K

Aufgabe 5.3 Eine Distribution auf A ist eine lineare Abbildung T W S.A/ ! C so dass für jede Folge fj in S.U; K/ mit m;n .fj / ! 0 für jedes Paar .m; n/ gilt T .fj / ! 0. Zeige • f 7! ı.f / D fR .0/ ist eine Distribution, • f ! 7 I.f / D P A f .x/ dx ist eine Distribution, • f ! 7 S.f / D q2Q f .q/ ist eine Distribution. Aufgabe 5.4 Sei p eine Primzahl, n 2 N und sei dx das additive Haar-Maß auf Mn .Qp /, also Z Z Z f .x/ dx D    f .xi;j / dx1;1    dxn;n : Mn .Qp /

Qp

Qp

(a) Zeige, dass j detdxxjn ein links- und rechtsinvariantes Haar-Maß auf GLn .Qp / ist. Es folgt, dass die Gruppe GLn .Qp / unimodular ist. (b) Zeige, dass die Gruppe GLn .A/ unimodular ist. Aufgabe 5.5 Seien n; N 2 N und sei KN die Menge aller invertierbaren n  nMatrizen g mit Einträgen in b Z für die gilt g  I mod N . Zeige: • KN ist eine kompakte offene Untergruppe von GLn .b Z/, • KN  Kd wenn d jN , • die KN bilden eine Einsumgebungsbasis in GLn .b Z/. Aufgabe 5.6 Sei U eine kompakte offene Untergruppe der lokalkompakten Gruppe G. Zeige, dass für jedes g 2 G die Menge UgU=U endlich ist.

138

5 Adele und Idele

Aufgabe 5.7 Sei G eine total unzusammenhängende lokalkompakte Gruppe. Für eine Kompakte offene Untergruppe U und ein Kompaktum K sei L.U; K/ die Menge aller Funktionen f W G ! C mit • supp f  K und • f .ux/ D f .x/ für jedes x 2 G und jedes u 2 U . Ferner sei R.U; K/ die Menge aller Funktionen f W G ! C mit • supp f  K und • f .xu/ D f .x/ für jedes x 2 G und jedes u 2 U . Zeige: im Allgemeinen ist L.U; K/ ¤ R.U; K/, aber es gilt [ [ L.U; K/ D R.U; K/ : U;K

U;K

Kapitel 6

Tate’s Thesis

In diesem Kapitel besprechen wir die Doktorarbeit von John Tate, die als Tate’s thesis geradezu Kultstatus erreicht hat. In ihr wird die Harmonische Analyse von Adele- und Idele-Gruppen benutzt, um L-Funktionen zu untersuchen. In den späteren Kapiteln werden wir dasselbe mit 2  2-Matrizen machen und dadurch L-Funktionen von Automorphen Formen analytisch fortsetzen.

6.1 Poisson Summenformel und Riemanns Zeta Wir wenden die Poissonsche Summenformel auf R, die wir in Proposition 5.4.10 be2 wiesen haben, auf die Gauß-Funktion ex an und erhalten die Theta-Transformationsformel, die es uns erlaubt, die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion zu beweisen. Lemma 6.1.1 (a) Die Funktion f .x/ D ex liegt in S.R/. Sie ist ihre eigene Fourier-Transformierte, d. h., sie erfüllt fO D f . (b) Für f 2 S.R/ sei Ma f .x/ D f .ax/ für a > 0. Dann liegt Ma f wieder in S.R/ und es gilt Ma f D a1 M1=a fO. 2

1

Beweis: (a) Dies wurde bereits im Beweis von Lemma 2.7.9 gezeigt. (b) Es ist klar, dass Ma f in S.R/ liegt. Wir substituieren v D ay in

1f .x/ D M

Z f .ay/e

a

R

2 ixy

1 dy D a

Z R

A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

f .v/e2 ixv=a dv D

1 O f .x=a/ : a

 139

140

6 Tate’s Thesis

2 Für t > 0 setze f t .x/ D e tx , so folgt fbt D p1t f1=t . Für t > 0 betrachten wir die Theta-Reihe: X 2 ‚.t/ D e t k :

k2Z

Aus der Poissonschen Summenformel folgt die Theta-Transformationsformel 1 ‚.t/ D p ‚.1=t/ : t Wir werden nun zeigen, wie diese Gleichung zu einem Beweis der Funktionalgleichung der Riemannschen Zeta-Funktion 1 X 1 ; s n nD1

.s/ D

Re.s/ > 1

führt.

Q Satz 6.1.2 Die Funktion .s/ D .s/.s=2/ s=2, die für Re.s/ > 1 definiert ist, setzt zu einer meromorphen Funktion auf C fort, die einfache Pole in s D 0; 1 hat und ansonsten holomorph ist. Die Fortsetzung erfüllt die Funktionalgleichung: Q  s/ D .s/ Q : .1

Beweis: Wir rechnen 1 Z X

1

.s/.s=2/

s=2

D

s s=2

n t



s=2 t

nD1 0 1 Z X

e

s=2 1 Z1  X t dt dt et D 2 t n t nD1 0

1

D

t

s=2  t n2

e

nD1 0

1 dt D t 2

Z1 t s=2 .‚.t/  1/

dt t

0

Wobei die Vertauschung von Integration und Summenbildung durch die absolute Konvergenz gerechtfertigt ist. Sei 1 A.s/ D 2

Z1 t s=2 .‚.t/  1/

dt : t

1

Da ‚1 eine schnell fallende Funktion ist, konvergiert dieses Integral für alle Werte von s, definiert also eine ganze Funktion. Für das verbleibende Integral rechnen wir

6.2 Zeta-Funktionen adelisch

141

im Bereich Re.s/ > 1, indem wir t durch 1=t substituieren: 1 2

Z1 t

s=2

dt 1 .‚.t/  1/ D t 2

0

Z1 t

s=2

dt 1 1 ‚.t/  D t s 2

0

D

1 2

Z1

Z1

t s=2 ‚.1=t/

dt 1  t s

1

p dt 1 t s=2 t‚.t/  t s

1

D

1 2

Z1

t .s1/=2 ‚.t/

dt 1  t s

1

D

1 2

Z1

t .s1/=2 .‚.t/  1/

dt 1 1   t s 1s

1

D A.1  s/ 

1 1  : s 1s 

Die Behauptung folgt.

6.2 Zeta-Funktionen adelisch Wir wollen nun dasselbe Spiel in der adelischen Welt ausführen. Die Rolle der Theta-Reihe sollen die Summen E.f / spielen, die jetzt definiert werden. Für f 2 S.A/ sei X f .qx/ ; x 2 A : E.f /.x/ D q2Q

P Aus technischen Gründen betrachten wir auch die Summe E.jf j/.x/ q2Q jf .qx/j.

D

Lemma 6.2.1 Die Summen E.f / und E.jf j/ konvergieren lokal-gleichmäßig, definiert also eine stetige Funktion auf A =Q . Diese Funktionen sind schnell-fallend in dem Sinne, dass es für jedes N 2 N ein CN > 0 gibt mit jE.f /.x/j  E.jf j/.x/  CN jxjN Es gilt E.f /.x/ D

für jxj  1 :

    1 1 E.fO/ C fO.0/  f .0/ : jxj x

Beweis: Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass die Funktion f von der Form f .x/ D 1R .xfin /f1 .x1 / ist, wobei R ein einfaches Rechteck ist und f1 2 S.R/. Wie im Beweis der Poissonschen Summenformel können wir ferner

142

6 Tate’s Thesis

annehmen, dass R eine Teilmenge von b Z ist. Da f1 2 S.R/, gibt es ein C > 0 so dass jf1 .x/j  C.1 C jxj/2 für x 2 R gilt. Wir schätzen zunächst einmal ab: 2 X  X 1 jf .qx/j  C : 1 C jqx1 j1   q2Q

q2Q

qxfin 2b Z

Sei q0 2 Q . Wir beweisen gleichmäßige Konvergenz in einer Menge der Form q0 b Z  U mit einer kompakten Teilmenge U von R . Ist x in dieser Menge, so gilt qxfin 2 b Z , q 2 q01 Z. Es folgt  2 X X 1 jf .qx/j  C : 1 C jqx1 j1  1 q2Q

q2q0 ZXf0g

Da die rechte Seite lokal gleichmäßig in x1 konvergiert, folgt die Konvergenz. Wir beweisen nun die Wachstumsabschätzung. Ist nun x 2 A mit 1  jxj D jxfin jjx1 j und ist f .x/ ¤ 0, so folgt jxfin j  1 und damit jx1 j  1. Sei N 2 N, N  2 gegeben. Da f1 2 S.R/, gibt es ein CN > 0 so dass jf1 .x1 /j  CN jx1 jN gilt für jx1 j  jq0 j1 , x1 2 R. Dann ist X X X jf .qx/j  CN jq0 kx1 jN D CN jx1 jN jq0 kjN 1 : q2Q

k2Z

Nun ist

k2Z

jx1 jN D jxfin jN jxjN  jxjN ;

woraus die Abschätzung von E.f /.x/ folgt. Zum Beweis der Funktionalgleichung wollen wir schließlich die Poissonsche Summenformel anwenden. Sei fx .a/ D f .ax/ mit x 2 A . Dann folgt Z c fx .y/ D fx .z/e.zy/ dz D jxj1 fO.y=x/ : A

Daraus folgt X

1 X O f .q=x/  f .0/ jxj q2Q q2Q  1  E.fO/.1=x/ C fO.0/  f .0/ : D jxj

E.f /.x/ D

f .qx/  f .0/ D

Damit ist das Lemma vollständig bewiesen. Für f 2 S.A/ definiere das Zeta-Integral von f durch Z .f; s/ D f .x/ jxjs d x : A



6.2 Zeta-Funktionen adelisch

143

  Hierbei ist das Haar-Maß d x auf A D A fin  R gewählt als das Produkt d xfin  dt mit der Normierung d xfin .b Z / D 1. t

Satz 6.2.2 Es gilt Z

E.f /.x/ jxjs d x :

.f; s/ D A =Q

Das Integral .f; s/ konvergiert lokal-gleichmäßig für Re.s/ > 1 und definiert dort eine holomorphe Funktion, die zu einer meromorphen Funktion auf ganz C fortsetzt. Diese Funktion ist holomorph bis auf (höchstens) einfache Pole in s D 0; 1 mit den Residuen f .0/ und fO.0/. Das Zeta-Integral erfüllt die Funktionalgleichung .f; s/ D .fO; 1  s/ :

Beweis: Wir beweisen zunächst die Konvergenz für Re.s/ > 1. Hierzu ersetzen wir f durch jf j und schätzen diese Funktion weiter ab gegen ein skalares Vielfaches von 1n1b .x /.1 C jxjN /1 , wobei n; N 2 N mit N > Re.s/. Die KonZ fin R 11 t s1 R vergenz folgt, da einerseits 0 1Ct N dt < 1 und andererseits n1b jxjs d x D Z R ns b jxjs d < 1 nach Proposition 5.3.4. Diese Abschätzungen gelten lokal Z gleichmäßig in Re.s/ > 1, womit die Konvergenz bewiesen ist. Sei F D b Z  .0; 1/. Dann ist nach Satz 5.3.3 die Menge F ein Vertretersystem   von A =Q . Da wir absolute Konvergenz haben, können wir für Re.s/ > 1 rechnen Z X Z .f; s/ D f .x/ jxjs d x D f .x/ jxjs d x q2QqF

A

D

X Z

f .qx/ jqxjs d x D

q2Q F

Z

E.f /.x/ jxjs d x :

A =Q

1  Da f1g eine Nullmenge in R in A =Q . DaC ist, ist A =Q also R eine R Nullmenge R her können wir das Zeta-Integral zerlegen in D jxj>1 C jxj<1 . Zu gegebenem N 2 N gibt es ein CN > 0 so dass jf1 .x1 /j  CN jx1 jN gilt für jx1 j  jq0 j1 , x1 2 R. Für beliebiges N 2 N schätzen wir ab

Z jxj>1

E.jf j/.x/ jxjRe.s/ d x  CN

Z

x2A =Q jxj>1

jxjRe.s/N d x D CN

Z1 t Re.s/N

dt : t

1

Die rechte Seite R ist endlich für Re.s/ < N  1. Da dies für jedes N gilt, konvergiert das Integral jxj>1 für jedes s und definiert eine ganze Funktion in s.

144

6 Tate’s Thesis

R

Für das Integral jxj<1 benutzen wir die Funktionalgleichung von E.f / und rechnen Z Z E.f /.x/ jxjs d x D jxjs1 E.fO/.1=x/ d x jxj<1

jxj<1

Z

Z

jxjs1 d x fO.0/ 

C jxj<1

jxjs d x f .0/ :

jxj<1

R Das erste Integral ist gleich jxj>1 E.fO/.x/jxj1s d x und damit eine ganze Funktion in s. Das zweite konvergiert für Re.s/ > 1 und ist gleich Z1 t s1 0

ˇ1 1 t s1 ˇˇ dt D D : t s  1 ˇ0 s1

Das dritte konvergiert für Re.s/ > 0 und ist Z .f; s/ D



jxj>1

R1 0

t s dtt D

1 : s

Insgesamt folgt

 fO.0/ f .0/  : E.f /.x/jxjs C E.fO/.x/jxj1s d x  1s s 

Der Satz ist bewiesen. Beispiel 6.2.3 Sei .x /ex D f .x/ D 1b Z fin 2

Y

fp .x/ ;

p

wobei fp D 1Zp ist falls p < 1. Wir stellen fest, dass jeder lokale Faktor fp selbstdual ist bezüglich der Fourier-Transformation, dass also fOp D fp für jedes p  1 richtig ist. Daher folgt Y fO.x/ D fOp .x/ D f .x/ : p1

Es gilt Z .f; s/ D A

0 BY f .x/jxjs d x D @ p<1

„

1

Z

C jxj d x A s



Zp Xf0g

ƒ‚

D

Q P1 p

ns D .s/ nD0 p

Z

R

…„

jxjs ex ƒ‚

2

dx Q : D .s/ jxj …

D.s=2/ s=2

Wir haben also einen weiteren Beweis für die Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion gefunden. Oder war es doch derselbe?

6.2 Zeta-Funktionen adelisch

145

Definition 6.2.4 Eine total unzusammenhängende Gruppe ist eine topologische Gruppe G die eine Einsumgebungsbasis besitzt, welche aus offenen Untergruppen besteht (siehe Aufgabe 4.12). Das heißt, G ist total unzusammenhängend, falls es eine Familie .Ui /i 2I von offenen Untergruppen gibt, so dass es zu jeder Umgebung U der Eins in G ein i 2 I gibt , so dass Ui  U . Beachte, dass eine offene Untergruppe H der topologischen Gruppe G stets abgeschlossen ist. Dies ersieht man aus der Nebenklassenzerlegung [ gH ; G D g2G

denn man kann nun das Komplement von H schreiben als [ gH : GXH D g2GXH

Mit H ist auch die Nebenklasse gH eine offene Menge, da die Abbildung x 7! gx ein Homöomorphismus von G ist. Wir haben also G X H als Vereinigung offener Mengen dargestellt. Es ist also G X H offen, ergo ist H abgeschlossen. Die Existenz sowohl offener als auch abgeschlossener Mengen widerspricht den Vorstellungen von Topologie, die man sich in Betrachtung des Rn gebildet haben mag. Dies zeigt allerdings nur, dass die Topologie des Rn doch etwas zu speziell ist, um ein Weltbild darauf zu errichten. Lemma 6.2.5 (a) Ist G eine total unzusammenhängende kompakte Gruppe, dann hat jeder Charakter von G endliches Bild. Dasselbe gilt für eine endlichdimensionale Darstellung  W G ! GL.V /. Insbesondere ist also  auf einer offenen Untergruppe trivial. (b) Jeder Charakter der Gruppe A1 =Q hat endliches Bild. (c) Jeder Charakter  der Gruppe A =Q ist von der Form .x/ D jxji t 0 .x/, für ein eindeutig bestimmtes t 2 R und einen eindeutig bestimmten Charakter 0 mit endlichem Bild. Beweis: Sei  W G ! T ein Charakter und sei U D T \ fRe.z/ > 0g. Dann ist U eine offene Einsumgebung in T, also enthält 1 .U / eine offene Untergruppe H von G. Dann ist .H /  U eine Untergruppe von U , also .H / D f1g. Das heißt,  faktorisiert über G=H . Da G kompakt ist und H offen, ist die Gruppe G=H aber endlich. Nun zum Fall einer endlich-dimensionalen Darstellung . Jeder endlich-dimensionale Banach-Raum V ist als topologischer Vektorraum isomorph zum Cn , mit n D dim V . Die Darstellung  ist dann ein stetiger Gruppenhomomorphismus  W G ! GLn .C/  GL2n .R/. Nach Proposition 3.4.1 existiert eine offene Einsumgebung U von GL2n .R/, die keine nichttriviale Untergruppe enthält. Dann ist

146

6 Tate’s Thesis

 1 .U / eine offene Einsumgebung in G, enthält also eine offene Untergruppe H . Dann muss .H / eine Untergruppe von GL2n .R/ sein, die ganz in U enthalten ist, also ist .H / D f1g. Der Kern C des Gruppenhomomorphismus  enthält damit S also eine offene Gruppe H , ist dann aber wegen C D x2C xH selbst offen und damit ist G=C endlich. Die Gruppe A1 =Q ist isomorph zu b Z . Daher hat sie eine Einsumgebungsbasis bestehend aus offenen Untergruppen, d. h., sie ist eine total unzusammenhängende Gruppe.  Teil (c) folgt aus (b) und A =Q Š .A1 =Q /  R C.

6.3 Dirichlet L-Funktionen Erinnern wir uns, dass ein Charakter  einer topologischen Gruppe G ein stetiger Gruppenhomomorphismus von G in die Kreisgruppe T ist. Ist G eine endliche Gruppe, so verstehen wir sie als topologische Gruppe versehen mit der diskreten Topologie. Dann ist jede Abbildung von G in einen beliebigen topologischen Raum stetig, die Charaktere sind dann also genau die Gruppen-Homomorphismen G ! T. Ist G eine abelsche endliche Gruppe, dann gibt es genau so viele Charaktere wie Elemente von G, wie in Aufgabe 6.2 gezeigt wird. Sei N 2 N. Sei .Z=N Z/ die Einheitengruppe des endlichen Rings Z=N Z. Ein Charakter  W .Z=N Z/ ! T heißt Dirichlet Charakter modulo N . Ist d ein Teiler von N und ist  ein Dirichlet Charakter modulo d , so induziert  einen Dirichlet Charakter modulo N durch die Projektion  .Z=N Z/ ! .Z=d Z/ ! T : Man nennt  einen primitiven Dirichlet Charakter modulo N , wenn  nicht induziert ist durch einen Charakter modulo d mit d < N . In diesem Fall heißt N der Führer von . Beispiel 6.3.1 Man hat j.Z=3Z/ j D 2 und j.Z=5Z/ j D 4, also j.Z=15Z/j D 8, es gibt also 8 verschiedene Charaktere modulo 15. Von diesen sind 2 induziert von Z=3Z und 4 induziert von Z=5Z, wobei genau einer, der triviale Charakter, von beiden induziert ist. Also gibt es genau 3 primitive Charaktere modulo 15. Sei  ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo N . Man setzt .n/ D 0 falls ggT.n; N / > 1 und setzt  so zu einer multiplikativen Funktion nach Z fort. Die zugehörige Dirichlet L-Reihe ist L.; s/ D

1 X .n/ nD1

ns

:

6.3 Dirichlet L-Funktionen

147

Diese Reihe konvergiert absolut für Re.s/ > 1, da j.n/j  1. Auf Grund der Multiplikativität von  kann man L.; s/ in ein Euler-Produkt: L.; s/ D

Y p

1 1  .p/p s

entwickeln. Lemma 6.3.2 Der Isomorphismus A1 =Q Š

Y

Zp Š lim .Z=N Z/

p

N 2N

induziert eine Bijektion zwischen der Menge aller Charaktere der Gruppe A1 =Q und der Menge aller primitiven Dirichlet-Charaktere wie folgt: Ist  ein primitiver Charakter modulo N0 , so liefert  via Proj



A1 =Q Š lim .Z=N Z/ ! .Z=N0 Z/ ! T N 2N

einen Charakter ./ von A1 =Q . Beweis: Wir zeigen, dass  eine Bijektion von der Menge der primitiven DirichletCharaktere in die Menge der Charaktere von A1 =Q ist. Für die Injektivität nimm an ./ D .0 /. Sei N1 die kleinste natürliche Zahl so dass ./ über .Z=N1 Z/ faktorisiert. Da  primitiv ist, folgt N1 D N0 und damit ist N0 durch ./ D .0 / eindeutig festgelegt, also ist auch 0 ein Dirichlet-Charakter modulo N0 und es folgt  D 0 . Für die Surjektivität sei Q ein Charakter von A1 =Q. Für ein gegebenes N 2 N sei UN die Menge aller x 2 Qp Zp mit xp  1 mod N für jedes p. Die UN bilden eine Einsumgebungsbasis in p Zp , daher gibt es ein N so dass UN im Kern von  liegt. Sei N minimal mit dieser Eigenschaft. Dann faktorisiert  über .Z=N Z/ und aus der Minimalität von N folgt, dass  über einen primitiven Dirichlet-Charakter faktorisiert.  Weiter kann man über den Isomorphismus A =Q Š A1 =Q  .0; 1/ die Menge aller Charaktere von A1 =Q identifizieren mit der Menge aller Charaktere von A =Q, die endliches Bild haben.  Sei  ein Charakter von A =Q. Wir fassen  als Charakter von A D A fin R auf und schreiben dementsprechend:  D fin 1 .

148

6 Tate’s Thesis

Definition 6.3.3 Sei  ein Charakter von A =Q mit endlichem Bild und sei f 2 S.A/. Dann definiere Z .f; ; s/ D f .x/.x/jxjs d x : A

Analog zu Satz 6.2.2 beweist man Z .f; ; s/ D

E.f /.x/.x/jxjs d x ;

A =Q

falls das Integral .f; ; s/ konvergiert. Für den trivialen Charakter  D 1 gilt .f; 1; s/ D .f; s/: Dieser Fall ist also schon behandelt. Satz 6.3.4 Sei  ¤ 1 ein Charakter von A =Q mit endlichem Bild und Führer N 2 N. Das Integral .f; ; s/ konvergiert lokal gleichmäßig für Re.s/ > 1 und definiert eine holomorphe Funktion, die zu einer ganzen Funktion auf C fortsetzt. Es gilt .f; ; s/ D .fO; ; 1  s/ : Es gibt ein f mit .f; ; s/ D L1 .; s/L.; s/ ; 

wobei L1 .; s/ D 

sC 2





sC 2

und  2 f0; 1g definiert ist durch fin .1/ D 1 .1/ D .1/ . Q Mit L.; s/ D L1 .; s/L.; s/ folgt Q  s; / ; Q L.; s/ D .i / N s .; e/L.1 R  wobei .; e/ D .N / 1 b  .x/e.x/ d x und .N / die Eulersche NZ p Funktion ist. Es folgt j .; e/j D N . Beweis: Wenn wir die Funktionalgleichung bewiesen haben, folgt durch zweimalige Anwendung derselben die Gleichung j .; e/ .; e/j D N . Es ist nun Z Z  .; e/ D .N / .x/e.x/ d x D .N / ..1/x/e.x/ d x 1 N

b Z

Z

D .1/.N / 1 N

1 N

b Z

.x/e.x/ d x D .1/ .; e/ :

b Z

Damit haben p .; e/ und .; e/ denselben Absolutbetrag und die Gleichheit j .; e/j D N ist bewiesen.

6.3 Dirichlet L-Funktionen

149

Für die anderen Aussagen vollziehen wir den Beweis aus dem Fall  D 1, also von Satz 6.2.2 nach. Es klappt alles gut bis zur Stelle Z

E.f /.x/.x/ jxjs d x D

jxj<1

Z C

Z

jxjs1 E.fO/.1=x/.x/ d x

jxj<1 s1

.x/jxj

d x fO.0/  

jxj<1

Z

.x/jxjs d x f .0/ :

jxj<1

Der erste Summand auf der rechten Seite ist ganz in s. Wir zeigen, dass die beiden letzten Summanden Null sind. Es ist fjxj < 1g Š A1 =Q  .0; 1/. Mit diesem Isomorphismus schreiben wir das erste Integral als Z Z dt : t s1 .y/ d y t .0;1/

A1 =Q

Nach Lemma 5.4.5 ist das innere Integral gleich Null. Das zweite Integral behandelt man ebenso. Es folgt der Satz bis auf den letzten Punkt, die Existenz eines f 2 S.A/ mit .f; ; s/ D L1 .; s/L.; s/ : Wir fassen nun  als Charakter von A auf. Für p  1 sei p der Charakter von Qp gegeben durch 

Qp ! A ! T ; wobei Qp via x 7! .: : : ; 1; x; 1; : : : / eingebettet wird. Sei p < 1. Ein Quasicharakter der Gruppe Qp ist ein stetiger Gruppenhomomorphismus W Qp ! C . Der Quasicharakter heißt unverzweigt, falls .Zp / D 1. Lemma 6.3.5 Ein Quasicharakter von Qp ist genau dann unverzweigt, wenn es ein s 2 C gibt mit

.a/ D jajs : Beweis: Es ist klar, dass jeder Quasicharakter der angegebenen Form unverzweigt ist, da jZp j D 1. Sei also ein unverzweigter Quasicharakter. Wir haben eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen j:j

1 ! Zp ! Qp ! p Z ! 1 : Das bedeutet, dass ein Quasicharakter genau dann unverzweigt ist, wenn er über p Z faktorisiert. Es existiert ein s 2 C so dass .p/ D p s . Für ein beliebiges a D p k u 2 Qp mit u 2 Zp und k 2 Z gilt dann

.a/ D .p k / D .p/k D .p k /s D jajs :



Lemma 6.3.6 Für fast alle p ist p unverzweigt. Genauer gilt: Kommt  von einem primitiven Dirichlet-Charakter modulo N , so ist p genau dann unverzweigt, wenn

150

6 Tate’s Thesis

p kein Teiler von N ist. Ist p ein Teiler von N D p k n mit n teilerfremd zu p, so ist k die kleinste natürliche Zahl mit p .1 C p k Zp / D 1. k

Beweis: Ist N D p1k1    pl l , so faktorisiert  über Y

Zp !

l   Y k Z=pj j Z : j D1

p



Der Zusatz folgt aus der Tatsache, dass  primitiv ist. Sei S die Menge der Primzahlen, die N teilen. Wir definieren • fp D 1Zp , falls p unverzweigt, • fp D p k .1  p1 /11Cpk Zp falls N D p k N 0 mit N 0 teilerfremd zu p, • f1 .t/ D t  e t , 2

Q und schließlich f D p1 fp 2 S.A/. Wir rechnen dann Z YZ .f; ; s/ D f .x/.x/jxjs d x D fp .x/p .x/jxjps d x p

A

D

 Qp

„

YZ p2S

fp .x/p .x/jxjps



d x

Z

Y Z

…

fp .x/p .x/jxjps d x

p…S Q p<1 p

 Qp



ƒ‚

Dp .fp ;p ;s/

f1 .x/1 .x/jxjs1 d x

R

Für eine Primzahl p … S ist Z fp .x/p .x/jxjps d x D  Qp

Z

p .x/jxjps d x

Zp Xf0g

D

1 X

p .p/j p js D

j D0

1 : 1  p .p/p s

Sei p 2 S und sei N D p k N 0 mit N 0 teilerfremd zu p. Dann ist  Z  Z 1 s  k 1  fp .x/p .x/jxjp d x D p p .x/jxjps d x p  Qp

1Cp k Zp

  1 k D p 1 p

Z

1Cp k Zp

d x D 1 :

6.3 Dirichlet L-Funktionen

151

Für p D 1 und  D 0 erhalten wir den Beitrag Z s  dx s 2 ex jxjs  2 : D  jxj 2 R

Für  D 1 hingegen   Z Z sC1 sC1 x 2 s dx x 2 sC1 dx  2 : D D  e x 1 .x/ jxj e jxj „ ƒ‚ … jxj jxj 2 R

Dsgn.x/

R

Damit ist gezeigt, dass das gewählte f die Gleichung .f; ; s/ D L1 .; s/L.; s/ erfüllt. Wir müssen die Fourier-Transformierte von f bestimmen. Sei hierzu p < 1. Ist p unverzweigt, dann folgt fO D f . Ist p hingegen verzweigt und ist N D p k N 0 mit N 0 teilerfremd zu p, dann ist der Beitrag gleich  Z  Z 1 k O fp .x/ D fp .y/ep .xy/ dy D p 1  ep .xy/ dy p k Qp 1Cp Zp   Z 1 k k k p ep .x/ ep .p xy/ dy D p 1 p Zp   1 ep .x/1pk Zp .x/ : D 1 p Ist p D 1 und  D 0, so ist fO1 D f1 . Ist aber  D 1, so folgt Z Z 1 @ 2 2 yey 2 ixy dy D ey 2 ixy dy fO1 .x/ D 2 i @x R

R

1 @ x 2 x 2 D D ex D if1 .x/ e 2 i @x i

Wir sehen, dass Q L.; s/ D .fO; ; 1  s/ D

Y

p .fOp ; p ; 1  s/ :

p

Wir berechnen die lokalen Beiträge für Re.1  s/ > 1. Ist p eine Primzahl so dass p unverzweigt ist, so folgt 1 : p .fO; ; 1  s/ D 1  .p/p 1s Ist p D 1 so folgt p .fO; ; 1  s/ D .i / L1 .; 1  s/ :

152

6 Tate’s Thesis

Es bleibt der Fall einer verzweigten Primzahl p zu betrachten. Sei N D p k N 0 mit N 0 teilerfremd zu p, dann ist   Z 1 O p .f ; ; 1  s/ D 1  ep .x/p .x/jxj1s d x p p k Zp Xf0g

 1  Z 1 X jsj p D 1 p j Dk

ep .x/p .x/ d x :

 pj Zp

R

  ep .x/p .x/ d x p j Zp

D 0 für j > k. Ist j  0, so ist ep R auf dem Integrationsbereich gleich 1. Man hat dann also pj Zp p .x/ d x D 0, da p .Zp / ¤ 1. Ist k < j < 0, dann ist p nichttrivial auf der multiplikativen Gruppe 1 C p k1 Zp . Andererseits ist p j .1 C p k1 Zp / D p j C p k1Cj Zp und ep ist trivial auf p k1Cj Zp  Zp . Daher folgt das Verschwinden des Integrals mit demselben Argument. Es ist also   Z 1 k k s O p .f ; ; 1  s/ D p 1  ep .x/p .x/ d x : .p / p Wir zeigen, dass

 pk Zp

Das Produkt über aller verzweigten p liefert dann gerade N s .; e/ und der Satz ist bewiesen.  In Tate’s Thesis wird der Quotient A =Q D GL1 .A/= GL1 .Q/ betrachtet. In der Theorie der automorphen Formen wollen wir analog den Quotienten GLn .A/= GLn .Q/ betrachten, wobei wir uns in diesem Buch allerdings auf den Fall n D 2 einschränken.

6.4 Galois-Darstellungen und L-Funktionen Dieser Abschnitt ist ein Übersichts-Abschnitt ohne strenge Beweise. Die Langlands-Vermutungen besagen unter anderem, dass L-Funktionen zu Galois-Darstellungen stets automorph sind. In diesem Abschnitt definieren wir diese L-Funktionen, betrachten den zahlentheoretischen Hintergrund und die Motivation durch das eindimensionale Beispiel. Sei L=Q eine endliche Körpererweiterung und sei OL der Ganzzahlring von L, d. h., OL ist die Menge aller ˛ 2 L so dass f .˛/ D 0 für ein normiertes Polynom f 2 ZŒx. Hierbei heißt ein Polynom normiert, falls sein Leitkoeffizient gleich Eins ist. Es gilt:

6.4 Galois-Darstellungen und L-Funktionen

153

OL ist ein Unterring von L. Es gibt eine Basis v1 ; : : : ; vn von L über Q so dass OL D Zv1 ˚Zv2 ˚  ˚Zvn . Es gilt OL \ Q D Z. O ist ein Dedekind-Ring, d. h., jedes Ideal ist ein Produkt von Primidealen. Außerdem gilt für jedes Primideal P ¤ 0, dass O=P ein endlicher Körper ist. • Ist P ¤ 0 ein Primideal von OL , dann ist P \ Z ein Primideal ¤ 0 von Z, also existiert genau eine Primzahl p mit P \ Z D .p/. In diesem Fall sagt man, P liegt über p, oder p teilt P .

• • • •

Wir nehmen nun an, dass L=Q eine Galois-Erweiterung ist und bezeichnen die Galois-Gruppe mit Gal.L=Q/. Dann operiert Gal.L=Q/ auf OL und auf der Menge PrimL aller Primideale von OL . Wir schreiben ferner Gal.K/ für die Galois-Gruppe Gal.K=K/, wobei K ein beliebiger Körper ist und K ein algebraischer Abschluss von K. Damit ist also Gal.K/ die Gruppe aller Körper-Automorphismen von K, die K punktweise festhalten. Für eine gegebene Primzahl p sei PrimL;p die Menge aller Primideale von OL , die über p liegen. Dann ist PrimL;p stets nichtleer und endlich. Die Galois-Gruppe Gal.L=Q/ operiert auf PrimL;p . Für ein P 2 PrimL;p sei Gal.L=Q/P D fg 2 Gal.L=Q/ W gP D P g die Zerlegungsgruppe von P . Dann operiert Gal.L=Q/P auf dem endlichen Körper O=P , d. h. wir haben einen Gruppenhomomorphismus P W Gal.L=Q/P ! Gal.OL =P / der Kern dieses Homomorphismus IP wird die Trägheitsgruppe in P genannt. Da OL =P ein endlicher Körper ist, ist die Galois-Gruppe eine endliche zyklische Gruppe und wird erzeugt von dem Frobenius-Homomorphismus Frobp W x 7! x p : Man kann zeigen, dass der Homomorphismus P surjektiv ist. Man kann also Frobp als Element von Gal.L=Q/P =IP auffassen. Eine Galois-Darstellung ist ein Gruppenhomomorphismus W Gal.L=Q/ ! GL.V / ; wobei V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum ist. Auf dem Raum V IP D fv 2 V W gv D v 8g 2 IP g operiert dann Gal.L=Q/P =IP , also auch Frobp . Die Galois-Gruppe Gal.L=Q/ operiert transitiv auf der Menge PrimL;p , also hängt das charakteristische Polynom     det 1  x Frobp jV IP D det 1  x .Frobp /jV IP

154

6 Tate’s Thesis

nur von p ab! Definiere nun die Artin L-Funktion der Galois-Darstellung als L. ; s/ D

Y p

1 :  s det 1  p Frobp jV IP

Man kann zeigen: Das Produkt L. ; s/ konvergiert absolut für Re.s/ > dim V und lässt sich zu einer meromorphen Funktion auf C fortsetzen. Eine Galois-Darstellung heißt irreduzibel, falls es keine Unterdarstellung gibt, d. h. falls für jeden Teilraum U  V gilt: ist .g/U  U für jedes g 2 Gal.L=Q/, dann ist U D 0 oder U D V . Artin-Vermutung: Ist irreduzibel und ¤ 1, dann ist L. ; s/ eine ganze Funktion. Wir wollen nun die Artin-Vermutung für eindimensionale Darstellungen beweisen. Hierzu zitieren wir den klassischen Satz von Kronecker-Weber.

Satz 6.4.1 (Kronecker-Weber) Ist K=Q eine endliche Galois-Erweiterung mit abelscher Galois-Gruppe, dann ist K ein Unterkörper von Q. /, wobei

eine Einheitswurzel ist. Man kann das so formulieren: jeder abelsche Zahlkörper ist ein Kreisteilungskörper.

Man beachte nun folgendes: ist K=Q eine Galois-Erweiterung mit Galoisgruppe H , so ist Gal.K/ eine normale Untergruppe von Gal.Q/ und es gilt H D Gal.Q/= Gal.K/. Für eine beliebige Gruppe G sei G ab der größte abelsche Quotient, das heißt, ab G D G=ŒG; G, wobei ŒG; G die Kommutatorgruppe von G ist, d. h., ŒG; G ist die Untergruppe, die von allen Elementen der Form Œa; b D aba1 b 1 , mit a; b 2 G, erzeugt wird. Sei 1 die Menge aller Einheitswurzeln in C, also aller Zahlen der Form e2 i ˛ mit ˛ 2 Q=Z. Sei K0 D Q.1 / dann ist die Erweiterung K0 =Q eine (unendliche) Galois-Erweiterung mit Galois-Gruppe Gal.Q/ab, wie aus dem Satz von KroneckerWeber folgt. Hieraus erhält man Gal.Q/ab D Aut.1 / D Aut.Q=Z/ 1 0 M lim p k Z=ZA D Aut @ p

D

Y p

D

Y p

! k2N

lim Aut.Z=p k Z/ „ ƒ‚ … k2N  D.Z=p k Z/ Zp Š A1 =Q :

6.4 Galois-Darstellungen und L-Funktionen

155

Nun zur Situation der Artin-Vermutung. Gegeben eine endliche Galois-Erweiterung L von Q mit Galois-Gruppe Gal.L=Q/ und ein Charakter W Gal.L=Q/ ! T. Nach der Galois-Theorie ist Gal.L=Q/ gerade der Quotient Gal.Q/= Gal.L/, also kann zu einem Charakter W Gal.Q/ ! T geliftet werden. Da T abelsch ist, faktorisiert in eindeutiger Weise über den abelschen Quotienten Gal.Q/ab . Nach dem oben angegebenen Kronecker-Weber-Isomorphismus liefert also einen Charakter von A1 =Q, also einen Dirichlet-Charakter  . Lemma 6.4.2 Die Artin-L-Funktion zu stimmt überein mit der Dirichlet-LFunktion zu  , also L. ; s/ D L. ; s/ : Beweisskizze: In der Definition von L. ; s/ kann man den Körper L durch den Fixkörper der Gruppe ker. / ersetzen. Dieser hat eine abelsche Galoisgruppe über Q, ist also ein Unterkörper von Q.N / für ein N 2 N, wobei N die Gruppe der N -ten Einheitswurzeln ist. Man vergrößert den Körper wiederum und nimmt also an, dass L D Q.N / mit minimalem N gilt. Dann ist OL D ZŒN  und für ein Primideal P über p gilt OL =P Š Fp ŒN 0 , wobei N 0 der zu p teilerfremde Teil von N ist, also N D p k N 0 . Im Fall pjN ist Gal.L=Q/P D IP und .Gal.L=Q/P / ¤ 1, also ist der Euler-Faktor von L. ; s/ gleich 1. Im anderen Fall ist der Frobenius gerade das Element von Gal.L=Q/, das gegeben ist durch 7! p für jedes 2 N . Damit ist .Frobp / D  .p/ und das Lemma folgt.  Ist ¤ 1, dann folgt also, dass L. ; s/ eine ganze Funktion ist, wir haben in diesem Fall also die Artin-Vermutung für eindimensionale Darstellungen bewiesen! Die absolute Galois-Gruppe G von Q und ihre Darstellungen bergen die tiefsten und folgenreichsten Geheimnisse der Mathematik überhaupt. Da, wie wir gesehen haben, der größte abelsche Quotient G ab der Galois-Gruppe isomorph zu A1 =Q ist, kann man die eindimensionalen unitären Galois-Darstellungen mit den Charakteren von A1 =Q D GL1 .A/1 = GL1 .Q/ identifizieren. Um höherdimensionale Galois-Darstellungen zu verstehen sollte man also GLn .A/1 = GLn .Q/ anschauen, wobei GLn .A/1 D fg 2 GLn .A/ W j det.g/j D 1g : Da aber GLn .Q/ nicht normal ist in GLn .A/1 , ist der Quotient keine Gruppe, hat also keine Darstellungen. Was sollte also die Entsprechung der Charaktere von A1 =Q sein? Die Antwort liegt in der Fourier-Analysis der kompakten Gruppe A1 =Q! Jeder Charakter  W A1 =Q ! T  C ist ein Element von L2 .A1 =Q / und die Charaktere bilden eine Orthonormalbasis dieses Hilbert-Raums, d. h., man hat M C : L2 .A1 =Q / D 

  AngenommenL nun, dass der Darstellungsraum L2 GLn .A/1 = GLn .Q/ in eine direkte Summe  V von irreduziblen Unterräumen zerfiele, dann wären diese 

156

6 Tate’s Thesis

der richtige Ersatz für die Charaktere . Die globale Langlands-Vermutung besagt, dass es zu jeder n-dimensionalen Galois-Darstellung eine solche Darstellung  gibt, so dass L. ; s/ D L.; s/. (Wir haben weder  noch L.; s/ bisher exakt definiert, werden dies aber tun.) Man kann zeigen, dass die automorphen L-Funktionen L.; s/ zu ganzen Funktionen ausdehnen, also ist mit der globalen Langlands-Vermutung auch gleich die allgemeine Artin-Vermutung bewiesen.  Eine solche Zerlegung von L2 GLn .A/1 = GLn .Q/ als eine Summe von irreduziblen Darstellungen existiert zwar nicht, wohl aber, wenn man den L2 -Raum durch einen bestimmten Teilraum, den Raum der Spitzenformen, ersetzt, wie wir im nächsten Kapitel zeigen werden.

6.5 Aufgaben Aufgabe 6.1 Sei  W .Z=N Z/ ! T ein Dirichlet-Charakter modulo N . Der Führer f 2 N von  ist der kleinste Teiler von N , so dass  über die Projektion Z=N Z ! Z=f Z faktorisiert. Zeige: Sind ;  Dirichlet-Charaktere modulo N mit .f ; f / D 1, dann gilt f D f f . Aufgabe 6.2 Sei A eine endliche abelsche Gruppe. Wir versehen den Vektorraum C.A/ aller Funktionen f W A ! C mit dem Skalarprodukt hf; gi D 1 P b a2A f .a/g.a/. Sei A die Menge aller Gruppenhomomorphismen  W A ! T. jAj (a) Zeige, dass jb Aj D jAj. (Hierzu kann der Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen benutzt werden. Dieser besagt, dass A als Produkt von zyklischen Gruppen dargestellt werden kann.) (b) Zeige, dass die  2 b A eine Orthonormalbasis von C.A/ bilden. (c) Sei N 2 N und sei a 2 A D .Z=N Z/ . Zeige, dass es Koeffizienten c./ 2 C gibt, so dass X X 1 c./L.; s/ D : s n n2N 2b A na mod N

Aufgabe 6.3 Sei K  G eine kompakte Untergruppe und sei L1 .G/K die Menge aller f 2 L1 .G/, die unter K bi-invariant sind, für die also gilt f .k1 xk2 / D f .x/ falls k1 ; k2 2 K. Zeige: L1 .G/K ist eine Unteralgebra von L1 .G/. Aufgabe 6.4 Sei W K ! GL.V / eine stetige Darstellung der kompakten Gruppe K auf dem Banach-Raum V . Zeige: Die Abbildung P W V ! V gegeben durch Z .k/v dk P .v/ D K

ist eine Projektion mit Bild V . /.

Kapitel 7

Automorphe Darstellungen der GL2.A/

Wir führen zunächst eine praktische Schreibweise ein. Ist R ein Ring, so schreiben wir GR für die Gruppe GL2 .R/ der invertierbaren 2  2-Matrizen. Dies sind genau die Matrizen, deren Determinante eine Einheit im Ring R ist. Insbesondere ist GA D GL2 .A/ das eingeschränkte Produkt der Gruppen GQp . Wir schreiben weiter Gp für die Gruppe GQp D GL2 .Qp /, also insbesondere G1 D GR D GL2 .R/. Ist S eine beliebige Stellenmenge, so schreiben wir GS D GAS D GL2 .AS /, dies ist das eingeschränkte Produkt der Gp mit p 2 S . Ebenso schreiben wir G S für GL2 .AS /, dann gilt also GA D GS  G S . Ist S die Menge aller Primzahlen, also die Menge aller endlichen Stellen, so schreiben wir auch Gfin D GS D GAfin . Für einen Ring R sei ZR die Menge aller Diagonalmatrizen . r r / mit r 2 R . Für p  1 schreiben wir auch Zp für ZQp . Wir können GQ nGA1 mit .GQ ZR /nGA identifizieren. R Das Haar-Integral einer lokalkompakten Gruppe wie GA schreiben wir stets als GA f .x/ dx, wobei f eine integrierbare Funktion sein soll. Das bedeutet, wir unterscheiden die Haar-Maße nicht in der Schreibweise. Durch den Integrationsbereich wird immer jeweils klar sein, welches Haar-Maß zu nehmen ist.

7.1 Hauptserien Wir werden hier eine wichtige Klasse von Darstellungen der Gruppe Gp D GL2 .Qp / für eine Primzahl p beschreiben, die Hauptserien-Darstellungen. Die Gruppe Gp erhält eine lokalkompakte Topologie von der Inklusion Gp D GL2 .Qp /  M2 .Qp / Š Qp4 . Mit dieser Topologie ist Gp eine lokalkompakte Gruppe. A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

157

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

158

Sei p eine Primzahl. Es bezeichne Ap die Gruppe der Diagonalmatrizen in Gp  und Np die Gruppe aller Matrizen der Form 1 x1 mit x 2 Qp . Schließlich sei Kp die kompakte offene Untergruppe GL2 .Zp /. Wir versehen Gp mit dem eindeutig bestimmten Haar-Maß, dass der kompakten offenen Untergruppe Kp das Maß 1 gibt. Sei  W Ap ! C ein Quasicharakter. Wir schreiben a für .a/ und fassen die Gruppe der Quasicharaktere als eine additive Gruppe auf. Sind also  und 0 Quasicharaktere, so ist  C 0 der Quasicharakter gegeben durch 0

0

aC D a a : Beispiel 7.1.1 Sind 1 ; 2 komplexe Zahlen, so ist a 7! a mit  a1

 1 2 D ja1 j ja2 j

def

a2

ein Quasicharakter von Ap . Auf diese Weise bildet C2 eine Untergruppe der Quasicharakter-Gruppe von Ap . Als besonderes Beispiel betrachten wir den Quasicharakter aı D ja1 j=ja2 j. Man beachte, dass die Modularfunktion von der Gruppe Bp D Ap Np gegeben ist durch Bp .an/ D aı (Aufgabe 7.4). Proposition 7.1.2 Die Gruppe Gp ist unimodular. Es gilt die Iwasawa-Zerlegung Gp D Ap Np Kp : Man kann die Haar-Maße so normieren, dass die Iwasawa-Integralformel Z

Z Z Z h.x/ dx D

Gp

h.ank/ dk dn da Ap Np Kp

für jedes h 2 L1 .Gp / richtig ist. Es gibt stetige Funktionen a W Gp ! Ap ;

n W Gp ! Np ;

k W Gp ! Kp ;

so dass für jedes g 2 Gp gilt g D a.g/n.g/k.g/. Für jede Wahl solcher Funktionen und jedes f 2 L1 .Kp /, das unter Linkstranslationen mit Elementen der Gruppe Lp D Kp \ Ap Np invariant ist, also f 2 L1 .Lp nKp / und jedes y 2 G gilt die Integralformel Z Z f .k/ dk D a.ky/ı f .k.ky// dk : Kp

Kp

Wir schreiben der Einfachheit halber auch an.x/ D a.x/n.x/.

7.1 Hauptserien

159

Beachte, dass die Iwasawa-Zerlegung keine direkte Produktzerlegung ist wie im reellen Fall. Der Schnitt der Gruppen Ap und Np ist zwar die triviale Gruppe, aber Kp hat mit beidenFaktoren Ap und Np einen nichtleeren Schnitt.  Beweis: Sei g D ac db ein Element von Gp . Ist jcj > jd j, so multiplizieren wir g   von rechts mit der Matrix 1 1 2 Kp , so dass wir jcj  jd j annehmen können. Da g invertierbar ist, ist dann d ¤ 0 und es gilt  a c

b d

 D

 a

bc d

„

ƒ‚

b d

2Ap Np



 1 : c=d 1 „ ƒ‚ … … 2Kp

Dies zeigt die Gültigkeit der Zerlegung Gp D Ap Np Kp . Nun ist B D Ap Np eine abgeschlossene Untergruppe von Gp , nämlich die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Ferner ist da dn ein Haar-Maß auf B, siehe Aufgabe 8.2. Damit folgt die Iwasawa-Intergalformel mit Satz 3.1.14. Die Abbildungen a; n; k sind durch die obige Formel definiert. Sie sind stetig auf den offenen Mengen fjcj > jd jg und fjcj  jd jg und damit insgesamt stetig. Ein Quasicharakter  der Gruppe Ap heißt unverzweigt, falls er trivial ist auf  Ap \ Kp . Dies ist genau dann der Fall, wenn es 1 ; 2 2 C gibt mit  a1 a2 D ja1 j1 ja2 j2 . Wir zeigen nun die Unimodularität. Sei  W Gp ! R C die Modularfunktion von Gp . Wir zeigen, dass  trivial ist. Zunächst gilt .Kp / D 1, da Kp kompakt ist. Daher ist  eingeschränkt Quasicharakter.  auf A   p ein unverzweigter  Es existieren also 1 ; 2 2 C mit  a1 a2 D ja1 j1 ja2 j2 . Sei w D 1 1 2 Gp , dann vertauscht die Konjugation mit w die Einträge a1 und a2 . Wegen .waw 1 / D .a/ folgt daher 1 D 2 . Schreiben wir  2 C für diese Zahl. Nach Definition muss  auf dem Zentrum von Gp trivial sein, also folgt 1 D 



 a

D jaj2 :

a

 Damit folgt dass p 2 D 1 ist. Da   0, folgt  durch Wurzelziehen, dass p D 1 und damit ist .Ap / D 1. Ist n D 1 x1 2 Np , so gibt es ein k 2 N so k

k

k

k

dass np D 1 p 1 x 2 Kp ist. Damit ist 1 D .np / D .n/p und da   0 ist, folgt .n/ D 1. Nach der Iwasawa-Zerlegung ergibt sich also .Gp / D .Ap /.Np /.Kp / D 1, die Gruppe Gp ist also unimodular. Da der Raum der stetigen Funktionen C.Lp nKp / dicht in L1 .Kp / liegt, reicht es, die letzte Formel für f 2 C.Lp nKp / zu zeigen. WähleReine unter Lp beidseitig invariante Funktion  2 Cc .Ap Np / so dass   0 und Ap Np .an/ dadn D 1. Setze g.x/ D .an.x//f .k.x//. Dann ist g 2 Cc .G/ und Z

Z g.x/ dx D

Gp

Z f .k/ dk D

.an/ dan Ap Np

Z

Kp

f .k/ dk : Kp

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

160

Andererseits, da Gp unimodular ist, ist das Integral auch Z

Z g.xy/ dx D Gp

.an.xy//f .k.xy// dx Gp

Z

Z

D

.an.anky//f .k.ky// dk da dn Ap Np Kp

Z D Kp

Z D Kp

Z D

0 B @

Z

1 C .an.anky// danA f .k.ky// dk

Ap Np

0 B @

Z

1 C .anan.ky// danA f .k.ky// dk

Ap Np

0 B a.ky/ı @

Kp

Z

1 C .an/ danA f .k.ky// dk

Ap Np

Z D

a.ky/ı f .k.ky// dk : Kp

Damit ist die Proposition vollständig bewiesen.



Sei V der Raum aller messbaren Funktionen ' W Gp ! C mit • R'.anx/ D aCı=2 '.x/, a 2 Ap , n 2 Np , x 2 Gp und • Kp j'.k/j2 dk < 1. Wir identifizieren zwei Funktionen, wenn sie sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden und erhalten einen Hilbert-Raum mit dem Skalarprodukt Z def

h'; i D

'.k/ .k/ dk : Kp

Die Darstellung  von Gp auf dem Raum V wird definiert als  .y/'.x/ def D '.xy/ ; also durch die Rechtstranslation.

7.1 Hauptserien

161

Satz 7.1.3 Die Abbildung  ist eine Darstellung der Gruppe Gp auf dem Hilbert-Raum V . Sie ist genau dann unitär, wenn  ein Charakter ist, also wenn a 2 T für jedes a 2 Ap gilt. Die Einschränkung auf die kompakte offene Untergruppe Kp ist unitär. Diese Darstellungen heißen die Hauptserien-Darstellungen von Gp .

Beachte, dass a genau dann in T liegt, wenn aC D 1 ist. Beweis: Als erstes ist zu zeigen, dass  .y/' tatsächlich wieder in V liegt, wenn ' 2 V ist. Die erste Eigenschaft ist klar, denn  .y/'.anx/ D '.anxy/ D aCı=2 '.xy/ D aCı=2  .y/'.x/ : R Die zweite Eigenschaft ist subtiler. Wir müssen zeigen jj .y/'jj2 D Kp  j'.ky/j2 dk < 1: In dem folgenden Lemma zeigen wir eine viel schärfere Aussage. Lemma 7.1.4 Ist U  G eine kompakte Teilmenge, so gibt es ein C > 0 so dass für jedes y 2 U und jedes ' 2 V gilt jj .y/'jj  C jj'jj : Beweis: Es gilt '.ky/ D a.ky/Cı=2 '.k.ky// und wir schließen Z

Z j'.ky/j2 dk D Kp

a.ky/CCı j'.k.ky//j2 dk : Kp

Die stetige Funktion .y; k/ 7! a.ky/C ist auf dem Kompaktum U  Kp beschränkt, also gibt es ein C > 0 mit ja.ky/C j  C2 für alle y 2 U und alle k 2 Kp . Mit Proposition 7.1.2 erhalten wir Z jj .y/'jj2  C2

Z a.ky/ı j'.k.ky//j2 dk D C2

Kp

Das Lemma ist gezeigt.

j'.k/j2 dk D C2 jj'jj2 :

Kp



Weiter müssen wir zeigen, dass die Abbildung Gp  V ! V , gegeben durch .g; '/ 7!  .g/', stetig ist. Sei also yn ! y eine konvergente Folge in Gp und 'n ! ' eine konvergente Folge in V . Wir müssen zeigen, dass die Folge  .yn /'n in V gegen  .y/' konvergiert. Die Menge U D fyn W n 2 Ng [ fyg

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

162

ist kompakt in Gp , sei C > 0 die Konstante aus dem Lemma zu diesem U . Es gilt dann jj .yn /'n   .y/'jj  jj .yn /'n   .yn /'jj C jj .yn /'   .y/'jj  C jj'n  'jj C jj .yn /'   .y/'jj : „ ƒ‚ … !0

Der erste Summend geht gegen Null, wenn n ! 1. Wir betrachten das Quadrat des zweiten Summanden: Z j'.kyn /  '.ky/j2 dk : jj .yn /'   .y/'jj2 D Kp

Wir nehmen zunächst an, dass die Funktion ' auf Kp beschränkt ist. Dann ist sie auch auf KU beschränkt, sagen wir durch eine Konstante D > 0. Dann ist j'.kyn /  '.ky/j2  4D2 und die konstante Funktion 4D2 ist auf dem Kompaktum Kp integrabel, also kann R man nach dem Satz der Majorisierten Konvergenz schließen, dass das Integral Kp j'.kyn /  '.ky/j2 dk für n ! 1 gegen Null geht. Ist die Funktion  nicht beschränkt auf Kp , so ist sie doch quadrat-integrierbar und daher gibt es zu gegebenem " > 0 eine auf Kp beschränkte Funktion 2 V so dass jj'  jj < "=4C. Es existiert ferner ein n0 , so dass für alle n  n0 gilt jj .yn /   .y/ jj < "=2. Dann ist für jedes n  n0 , jj .yn /'   .y/'jj  jj .yn /'   .yn / jj C jj .yn / C jj .y/   .y/'jj  2C jj' 

jj C jj .yn /

  .y/ jj

  .y/ jj <

" " C D ": 2 2

Damit ist gezeigt, dass  in der Tat eine Darstellung ist. Für das Unitaritätskriterium beachte, dass einerseits Z Z 2 j'.ky/j dk D a.ky/CCı j'.k.ky//j2 dk Kp

Kp

für jedes ' 2 V . Nun sagt Proposition 7.1.2 andererseits Z Z j'.k/j2 dk D a.ky/ı j'.k.ky//j2 dk : Kp

Kp

Wir sehen also, dass die Unitarität von  äquivalent ist zu der Identität Z Z a.ky/ı j'.k.ky//j2 dk D a.ky/C a.ky/ı j'.k.ky//j2 dk Kp

Kp

für jedes ' 2 V . Dies ist allerdings äquivalent zu aC D 1 für jedes a 2 Ap .

7.2 Reell zu adelisch

163

Die Einschränkung auf die Untergruppe Kp ist eine Unterdarstellung der rechtsregulären Darstellung auf L2 .Kp /. Damit ist sie unitär und der Satz ist bewiesen. 

7.2 Reell zu adelisch Als Teilmenge von M2 .A/ Š A4 erbt GA eine Topologie, mit der diese Gruppe aber, wie die Idele, also GL1 .A/, nicht zu einer topologischen Gruppe wird, da die Inversion nicht stetig ist. Es gilt GA D Gfin  GR : Erweitert man, wie bei den Idelen, die Topologie so, dass auch die Inversion stetig wird, erhält man die eingeschränkte Produkttopologie auf Gfin D

Y c Kp

Die Gruppe Gb D Z

p<1 Gp

Y

:

Kp

p<1

ist eine maximale kompakte (und offene) Untergruppe von Gfin . Wir wählen auf Gfin das eindeutig bestimmte Haar-Maß, das der kompakten offenen Untergruppe Gb das Z Maß 1 gibt.

Satz 7.2.1 Die Gruppe GQ liegt dicht in Gfin und ebenso für SL2 . Die Gruppe GQ liegt diskret in GA . Sie liegt ganz in GA1 D fg 2 GA W j det gj D 1g. Der Quotient GQ nGA1 ist nicht kompakt, hat aber endliches HaarMaß. Dasselbe gilt für SL2 .Q/nSL2 .A/.

Beachte die folgende Konsequenz: Für jede (kompakte) offene Untergruppe Kfin von Gfin gilt GA D GQ GR Kfin : Beweis: Sei X der Abschluss von GQ in Gfin . Da Q dicht in A fin ist, sind alle Diagonalmatrizen in X . Da Q dicht ist in Afin , sind alle oberen und unteren Dreiecksmatrizen in X . Da X eine Gruppe ist, enthält X auch alle Produkte der Form      a x 1 a C xy x D : b y 1 by b Die Menge all dieser Produkte ist genau die Menge aller Matrizen   in Gfin , deren rechter unterer Eintrag eine Einheit in Afin ist. Sei nun ac db eine beliebi-

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

164

ge Matrix in Gfin . Wir wollen zeigen, dass diese Matrix in X liegt. Da Afin D Qb Z, ist a D a0 =n.a/, b D b 0 =n.b/ und so fort mit a0 ; b0 ; c 0 ; d 0 2 b Z und  n.a/n.b/ n.a/; n.b/; n.c/; n.d / 2 N. Nach Multiplikation mit der Matrix n.c/n.d /   Z/. Diese Matrix ist aber auch invertierkönnen wir annehmen, dass ac db 2 M2 .b bar über Afin , also ist insbesondere das Maximum max.jbjp ; jd jp / ungleich Null für alle p < 1 und  max.jbjp ; jd jp / D 1 für fast alle p. Wenn wir die Matrix von links mit z1 1 multiplizieren, wird d durch d C zb ersetzt. Wir können dann z so wählen, dass jd C bzjp ¤ 0 für alle p und jd C bzjp D 1 für fast alle  p, also  ist dann d C bz eine Einheit in Afin , damit ist die ursprüngliche Matrix ac db in X . Es bleibt schließlich zu zeigen, dass SL2 .Q/ dicht liegt in SL2 .Afin /. Hierzu sei g 2 SL2 .Afin / und gn eine Folge in GQ , die gegen g konvergiert. Dann   konvergiert 1

auch det gn gegen det g D 1, also konvergiert die Folge det gn 1 gn 2 SL2 .Q/ gegen g. Wir zeigen nun die Diskretheit von GQ . Sei hierzu U  GR eine offene Einsumgebung so dass U \GL2 .Z/ D f1g. Dann ist V D Gb U eine offene Einsumgebung Z D GL .Z/, folgt G \ V D f1g, also liegt GQ diskret. Nach in GA . Da GQ \ Gb 2 Q Z der Produktformel gilt für g 2 GQ schon j det gj D 1. Sei GR1 D GL2 .R/1 die Menge aller g 2 GL2 .R/ mit j det.g/j D 1. Wir wissen, dass SL2 .Z/nSL2 .R/ und GL2 .Z/nGR1 nicht kompakt sind, aber jeweils endliches Haar-Maß haben. Daher folgt die nächste Behauptung aus der Proposition: Proposition 7.2.2 Die Abbildung  W GZ x 7! GQ .1; x/Gb Z ist ein GR -äquivarianter Homöomorphismus Š

: GZ nGR ! GQ nGA =Gb Z Die Abbildung SL2 .Z/x 7! SL2 .Q/.1; x/SL2 .b Z/ ist ein SL2 .R/-äquivarianter Homöomorphismus Š

SL2 .Z/nSL2 .R/ ! SL2 .Q/nSL2 .A/=SL2 .b Z/ : Beweis: Wir zeigen die erste Aussage, die zweite geht genauso. Wir müssen zunächst Wohldefiniertheit der Abbildung  zeigen. Seien hierzu x; y 2 GR mit GL2 .Z/x D GL2 .Z/y : Dann folgt x D y für ein  2 GL2 .Z/. Beachte GL2 .Z/ D GQ \ Gb . Daher ist in Z 1 die folgende Identität richtig GQ nGA =Gb Z Œ1; x D Œ1; y D Œ  1 ; y D Œ 1 ; y D Œ1; y : Die Abbildung  ist damit wohldefiniert.

7.2 Reell zu adelisch

165

Als nächstes zeigen wir die Injektivität. Sei also .x/ D .y/, dann ist GQ .1; x/Gb D GQ .1; y/Gb : Z Z gibt mit Das bedeutet, dass es ein  2 GQ und ein k 2 Gb Z .1; x/ D .1; y/k D .k; y/ : Q Es folgt k D 1, also liegt  D k 1 in GQ \ Gb D GQ \ p<1 Kp D GL2 .Z/. Z Wegen x D y folgt also GL2 .Z/x D GL2 .Z/y, damit ist  injektiv. Für die Surjektivität müssen wir zeigen, dass GA D GQ GR Gb . Sei hierfür Z x D .xfin ; x1 / 2 GA . Da GQ dicht ist in Gfin , existiert  2 GQ so dass k D  1 xfin 2 Gb . Wir haben also x D .1;  1x1 /k und die Behauptung ist beZ wiesen. Dass  stetig ist und offen, ist leicht zu sehen.  Wir folgern schließlich die Endlichkeit des Haar-Maßes von GQ nGA1 wie folgt. Das Haar-Maß induziert ein GR1 -invariantes Maß auf GQ nGA1 =Gb Š GL2 .Z/nGR1 : Z Wegen der Eindeutigkeit des Haar-Maßes muss dies ein Vielfaches des Haar-Maßes von GR1 sein. Wir wissen aber schon, dass der Quotient GL2 .Z/nGR1 Š SL2 .Z/nSL2 .R/ endliches Haar-Maß hat. Also hat GQ nGA1 =Gb endliches Haar-Maß. Da die Gruppe Z Gb kompakt ist, hat sie endliches Haar-Maß, also hat auch GQ nGA1 endliches HaarZ Maß.  Für N 2 N sei  ˚

.N / D g 2 GL2 .Z/ W g  1

 1

 mod N :

Dies ist gerade der Kern des Gruppenhomomorphismus  W GL2 .Z/ ! GL2 .Z=N Z/ ; also eine Untergruppe von endlichem Index. Beachte, dass für N  3 die Gruppe

.N / in SL2 .Z/ enthalten ist. Eine Untergruppe  GL2 .Z/, die für ein N 2 N die Gruppe .N / enthält, heißt Kongruenzuntergruppe. Lemma 7.2.3 Sei eine Kongruenzuntergruppe. Dann ist der Abschluss K von

in Gb eine offene Untergruppe der kompakten Gruppe Gb . Es gilt Z Z

D K \ GQ : Ist umgekehrt K eine offene Untergruppe von Gb , so ist D K \ GQ eine KongruZ enzuntergruppe.

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

166

Beweis: Für N 2 N sei KN D

n

g 2 Gb Wg Z

1

 1

o mod N :

Dann ist KN eine offene Untergruppe mit KN \ GQ D .N /. Da GQ dicht liegt in Gfin , liegt .N / dicht in KN , also ist KN der Abschluss von .N /. Sei nun eine beliebige Kongruenzuntergruppe. Dann gibt es ein N mit

.N /  . Dann enthält der Abschluss K schon die offene Untergruppe KN , ist damit also selber offen. Nun zeigen wir D K \ GQ . Die Inklusion „“ ist klar. Für die andere Inklusion sei † D K \ GQ . Dann ist .N / ein Normalteiler von und von †. Die Inklusion †  K† erzeugt eine Bijektion Š

†= .N / ! K =KN Š = .N / : Hieraus folgt † D und die behauptete Gleichheit. , so existiert ein Ist schließlich K eine beliebige offene Untergruppe von Gb Z N 2 N so dass K die Gruppe KN enthält, da die KN laut Übungsaufgabe 5.5 eine Einsumgebungsbasis in Gb bilden. Also enthält D K \ GQ auch .N /, ist Z also eine Kongruenzuntergruppe.  Proposition 7.2.4 Sei eine Kongruenzuntergruppe und sei K der Abschluss von

in Gb . Die Abbildung  W x 7! GQ .1; x/K ist ein GR1 -äquivarianter HomöoZ morphismus Š

nGR1 ! GQ nGA1 =K : Ist  SL2 .Q/, so ist auch K in SL2 .b Z/ und die Abbildung x 7! SL2 .Q/ .1; x/K ist ein SL2 .R/-äquivarianter Homöomorphismus Š

nSL2 .R/ ! SL2 .Q/nSL2 .A/=K : Beweis: Der Beweis läuft ebenso wie der von Proposition 7.2.2.



Satz 7.2.5 Sei eine Kongruenzuntergruppe und sei K der Abschluss von

in Gb . Die Restriktionsabbildung induziert einen unitären GR1 -Isomorphismus Z   Š L2 .GQ ZR nGA /K ! L2 nGR1 :

Beweis: Die Aussage folgt wegen L2 .GQ ZR nGA /K Š L2 .GQ ZR nGA =K / aus der letzten Proposition. 

7.2 Reell zu adelisch

167

Satz 7.2.6 Die klassischen holomorphen Modulformen, sowie die Maaßschen Wellenformen lassen sich in kanonischer Weise als Elemente von L2 .GQ ZR nGA / deuten.

Es gilt ferner, dass diese Korrespondenz verträglich mit L-Funktionen ist in dem folgenden Sinne: Jeder klassischen oder Maaßschen Spitzenform f haben wir eine L-Funktion L.f; s/ zugeordnet. Die Räume der Spitzenformen haben nun Basen, die aus solchen Funktionen f bestehen, deren Bilder in L2 .GQ ZR nGA =K / irreduzible Darstellungen f der Gruppe GA erzeugen. Im nächsten Kapitel werden wir solchen Darstellungen  ihrerseits L-Funktionen L.; s/ zuordnen, wobei sich herausstellt, dass L.; s/ D L.f; s/ ist, falls  eine Darstellung ist, die von einer Spitzenform f erzeugt wird. Diesen Sachverhalt werden wir nicht in voller Allgemeinheit zeigen, sondern nur für die Spitzenformen der Modulgruppe durchrechnen. Beweis des Satzes: Sowohl die Wellenformen als auch die Modulformen liegen in L2 . nH/, wobei eine Kongruenzuntergruppe ist. Die natürliche Abbildung g 7! gi stiftet eine SL2 .R/-äquivariante Bijektion SL2 .R/=SO.2/ Š H. Dasselbe geht mit GR1 , indem wir die Operation von  SL2 .R/ auf H wie folgt erweitern zu einer Operation der Gruppe GR1 : Ist g D ac db 2 GR1 schon von Determinante 1, azCb bereits definiert. Ist det.g/ D 1, so liegt so ist die Operation z 7! gz D czCd azCb die komplexe Zahl czCd in der unteren Halbebene H. Wir definieren in diesem Fall also für z 2 H, az C b azN C b gz D D : cz C d c zN C d Man erhält in der Tat eine Operation von GR1 auf H und die Abbildung g 7! gi liefert eine Bijektion GR1 = O.2/ Š H. Daher ist kanonisch L2 . nH/ Š L2 . nGR1 = O.2// Š L2 . nGR1 /O.2/ Ein Unterraum von L2 . nGR1 /. Nach dem letzten Satz gibt es eine kanonische isometrische Einbettung L2 . nGR1 / ,! L2 .GQ ZR nGA /.  Definition 7.2.7 In diesem Buch definieren wir eine Automorphe Form als ein Element von L2 .GQ ZR nGA /. Der Satz besagt also, dass holomorphe Modulformen, sowie Maaßsche Wellenformen Automorphe Formen sind. In der Literatur finden sich auch andere Definitionen des Begriffs einer Automorphen Form, die teilweise enger, teilweise weiter gefasst sind. Zum Beispiel kann man die L2 -Bedingung durch Wachstumsbedingungen ersetzen. In diesem Fall zählen dann auch die nichtholomorphen EisensteinReihen zu den Automorphen Formen.

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

168

7.3 Bochner-Integral, Kompakte Operatoren und Arzela-Ascoli In diesem Abschnitt stellen wir einige Techniken zur Verfügung, die später gebraucht werden. Das Bochner-Integral wird auch Vektor-wertiges Integral genannt. Für eine Funktion R f W X ! V mit Werten in einem Banach-Raum V wollen wir ein Integral X f d 2 V definieren, so dass für jedes stetige lineare Funktional ˛ auf V die Formel 0 1 Z Z ˛ @ f dA D ˛.f / d X

X

gilt, wobei ˛.f / als ˛ ı f zu lesen ist. Wir brauchen zunächst den Begriff der Operatornorm. Definition 7.3.1 Sei V ein Banach-Raum. Eine lineare Abbildung T W V ! V heißt auch linearer Operator auf V . Die Operatornorm von T ist definiert als jjT jjop def D

jjT vjj D sup jjT vjj : v2V Xf0g jjvjj jjvjjD1 sup

Der Operator T wird ein beschränkter Operator genannt, falls jjT jjop < 1. Lemma 7.3.2 Sei T ein linearer Operator auf dem Banach-Raum V . Dann gilt jjT vjj  jjT jjop jjvjj, falls v 2 V . Der Operator T ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist. Beweis: Die erste Aussage ist klar. Sei T stetig. Angenommen, jjT jjop D 1, dann ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ gibt es ˇˇ eineˇˇ Folge vj 2 V mit vj D 1 und T vj ! 1. Wir können annehmen, dass ˇˇT vj ˇˇ ¤ 0 für jedes j ungleich Null ist. Es folgt dann, dass die Folge T 1v vj jj j jj ˇˇ  ˇˇ ˇˇ ˇˇ jjT vj jj 1 ˇ ˇ ˇ ˇ gegen Null geht, also geht auch die Folge ˇˇT D T v gegen Null, v jjT vj jj j ˇˇ jj j jj was ein Widerspruch ist. Sei umgekehrt C D jjT jjop < 1 und sei .vj / eine Folge in V , die gegen v 2 V ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ konvergiert. Dann gilt ˇˇT vj  T v ˇˇ  C ˇˇvj  v ˇˇ, also konvergiert T vj gegen T v und damit ist T stetig.  Sei also .V; jjjj/ ein Banach-Raum und sei .X; A; / ein Maßraum. Eine einfache Funktion ist eine Funktion s W X ! V , die sich in der Form s D

n X j D1

1Aj bj

7.3 Bochner-Integral, Kompakte Operatoren und Arzela-Ascoli

169

schreiben lässt, wobei A1 ; : : : ; An paarweise disjunkte messbare Mengen endlichen Maßes sind, also .Aj / < 1, und bj 2 V . Wir definieren das Integral der einfachen Funktion s als Z n X def s d D .Aj /bj 2 V : j D1

X

ˇˇR ˇˇ R Beachte, dass ˇˇ X s dˇˇ  X jjsjj d undR dass für jedeR lineare Abbildung T W V ! W für einen Banach-Raum W gilt T X s d D X T .s/ d, wobei T .s/ als T ı s zu lesen ist. Wir versehen V mit der Borel- -Algebra. Eine messbare Funktion f W X ! V heißt integrabel, falls es eine Folge sn einfacher Funktionen gibt, so dass Z lim jjf  sn jj d D 0 : n!1

X

In diesem Fall nennen wir .sn / eine approximierende Folge.

Satz 7.3.3 (a) Ist f integrabel und ist .sRn / eine approximierende Folge, dann konvergiert die Folge von Vektoren X sn d in V . Der Grenzwert dieser Folge hängt nicht von der Wahl der approximierenden Folge ab. Wir definieren das Integral von f als diesen Grenzwert: Z Z f d def sn d : lim D n!1

X

X

(b) Für jede integrable Funktion f gilt ˇˇ ˇˇ ˇˇ Z ˇˇZ ˇˇ ˇˇ ˇˇ f dˇˇ  jjf jj d < 1 : ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ X

X

(c) Sei f integrabel. Für jeden stetigen linearen Operator T W V ! W in einen Banach-Raum W gilt 0 1 Z Z T @ f dA D T .f / d : X

X

(d) Im Falle V D C stimmt das Bochner-Integral mit dem üblichen Integral überein.

RBeweis: Es reicht zu zeigen, dass für jede approximierende Folge .sn / die Folge X sn d konvergiert, denn ist .tn / eine weitere approximierende Folge, dann ist

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

170

auch die Folge. Da R Folge .rn / mit r2n D sn und r2n1 D tn eine R approximierende R dann X rn d konvergiert, sind die Grenzwerte von X sn dR und X tn d gleich. Um die Konvergenz zu zeigen, reicht es, zu zeigen, dass X sn d eine CauchyFolge ist. Für m; n 2 N beachte ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇZ ˇˇ ˇˇZ ˇˇ Z Z ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ sm d  sn dˇˇ D ˇˇ sm  sn dˇˇ  jjsm  sn jj d ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ X X X X Z Z  jjsm  f jj d C jjf  sn jj d ; X

X

R wobei die rechte Seite gegen Null geht für m; n ! 1. Daher ist X sn d tatsächlich eine Cauchy-Folge. Hieraus folgt (a). Für (b) betrachte die Ungleichung jjjf jj  jjsn jjj  jjf  sn jj, welche impliziert, dass die C-wertige Funktion jjf jj integrabel ist und dass die Folge jjsn jj gegen kf k in L1 .X / konvergiert. Es folgt ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇZ ˇˇZ Z Z ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ f dˇˇ D lim ˇˇ sn dˇˇ  lim jjsn jj d D kf k d : ˇˇ ˇˇ ˇˇ n ˇˇˇˇ n ˇˇ ˇˇ ˇˇ X

X

X

X

Schließlich zu Teil (c). Die Stetigkeit und Linearität von T impliziert 1 0 Z Z T @ f dA D lim T .sn / d : n

X

X

Wir wollen zeigen, dass T .f / integrierbar ist und dass die rechte Seite gleich R T X .f / d ist. Da T stetig ist, gibt es ein C > 0, so dass jT .v/j  C jjvjj für jedes v 2 V gilt. Wir können daher abschätzen: Z Z Z jjT .f /  T .sn /jj d D jjT .f  sn /jj d  C jjf  sn jj d : X

X

X

Da die rechte Seite gegen Null geht, folgt die Behauptung. Teil (d) ist klar, da eine approximierende Folge in der L1 -Topologie gegen f konvergiert und das Integral ein stetiges lineares Funktional auf L1 ist.  Definition 7.3.4 Ein topologischer Raum Y heißt separabel, falls Y eine abzählbare dichte Teilmenge enthält. Eine Abbildung f W X ! Y in einen topologischen Raum Y heißt separable Abbildung, falls das Bild f .X / in Y separabel ist. Beispiele 7.3.5 • Die Menge R der reellen Zahlen enthält die abzählbare dichte Teilmenge Q, ist also separabel.

7.3 Bochner-Integral, Kompakte Operatoren und Arzela-Ascoli

171

• Ist .V; d / ein metrischer Raum, so ist jede kompakte Teilmenge K  V separabel. Dies sieht man ein, indem man K durch offene Bälle vom Radius 1=n überdeckt, wobei n in N läuft. Die Mittelpunkte all dieser Bälle ist eine abzählbare dichte Teilmenge. • Ein Hilbert-Raum H ist genau dann separabel, wenn er eine abzählbare Orthonormalbasis .ei /i 2N besitzt. In diesem Fall ist die Menge aller Q-Linearkombinationen der Basisvektoren ei eine abzählbare dichte Teilmenge. • Ist .X; A; / ein Maßraum so dass die †-Algebra A ein abzählbares Erzeugendensystem besitzt, so ist der Raum L2 .X; / separabel. • Ist .V; d / ein separabler metrischer Raum, so ist jede Abbildung f W X ! V separabel, siehe Aufgabe 7.1. • Ist X ein topologischer Raum und .V; d / ein metrischer Raum, so ist jede stetige Funktion f W X ! V mit kompaktem Träger separabel. Definition 7.3.6 Ist X ein Maßraum, so heißt eine Abbildung f W X ! V in einen topologischen Raum V wesentlich separabel, falls es eine Nullmenge N  X gibt, so dass f auf X X N separabel ist.

Satz 7.3.7 Sei V ein Banach-Raum. Für eine messbare Funktion f W X ! V sind äquivalent: • f ist integrabel. R • f ist wesentlich separabel und X jjf jj d < 1.

Beweis: Ist f integrabel, dann ist nach Satz 7.3.3 (b) die Funktion jjf jj ebenfalls integrabel. Wir müssen zeigen, dass f wesentlich separabel ist. Sei .sn / eine approximierende Folge. Da jedes sn eine einfache Funktion ist, ist der Banach-Raum E, der 1 von allen Bildern sn .X / erzeugt wird, S separabel. Die Menge N D f .V X E/ ist eine abzählbare RVereinigung N D n Nn , wobei Nn D fx 2 X W j jjf .x/  ejj  1 n 8e 2 Eg. Da X jjf  sn jj d gegen Null geht, ist die Menge Nn eine Nullmenge für jedes n 2 N und damit ist auch N eine Nullmenge, also ist f wesentlich separabel. R Für die Umkehrung nimm an, dass f wesentlich separabel ist und dass X jjf jj  d < 1 gilt. Sei C D fcn W n 2 Ng eine abzählbare dichte Teilmenge von f .X /. Für n 2 N und ı > 0 sei Aın die Menge aller x 2 X so dass jjf .x/jj  ı und jjf .x/  cn jj < ı. Da f messbar ist, ist dies eine messbare Menge. Wir machen diese Folge paarweise disjunkt indem wir definieren: ı Dnı def D An X

[

Aık :

k
S S ı 1 Die Menge n2N Aın D n2N Dn ist S gleich ıf .X X Bı .0//, da C dicht ist. Da f integrabel ist, ist die Menge n2N Dn von endlichem Maß. Sei sn D

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

172

Pn

j D1 1D 1=n cj . j

Dann ist sn eine einfache Funktion. Wir zeigen, dass die Folge .sn /

punktweise gegen f konvergiert. Sei x 2 X . Ist f .x/ D 0, dann gilt sn .x/ D 0 für jedes n. Nimm also an, dass f .x/ ¤ 0. Dann ist jjf .x/jj  n1 für ein n 2 N. Für jeS 1=m des m  n gilt x 2 2N D , so dass es für jedes m  n ein eindeutig bestimm, also sm .x/ D c0 und jjf .x/  c0 jj < m1 , woraus folgt tes 0 gibt mit x 2 D1=m 0 sn ! f wie behauptet. Wir sehen ebenso, dass jjsn jj  2 jjf jj nach Konstruktion. Es folgt jjf  sn jj ! 0 punktweise und jjf  sn jj R jjf jj C jjsn jj  3 jjf jj, daher  folgt nach dem Satz über majorisierte Konvergenz: X jjf  sn jj d ! 0: Korollar 7.3.8 Sei X ein lokalkompakter topologischer Raum und  ein RadonMaß. Dann ist jede stetige Funktion f W X ! V mit kompaktem Träger integrabel. Beweis: Die C-wertige Funktion jjf jj ist ebenfalls stetig und hat kompakten Träger, ist also integrabel. Damit folgt die Behauptung aus Satz 7.3.7.  Sei .; V / eine stetige Darstellung der lokalkompakten Gruppe G auf einem separablen Banach-Raum V und sei f 2 Cc .G/. Dann ist die Funktion x 7! f .x/.x/ eine messbare, lokal beschränkte Funktion mit kompaktem Träger mit Werten in dem Banach-Raum aller stetigen Operatoren auf V , also ist sie integrabel. Der Operator Z f .x/.x/ dx .f / def D G

ist stetig und erfüllt Z jj.f /jjop 

jf .x/j jj.x/jjop dx : G

Zu jedem beschränkten Operator T auf einem Hilbert-Raum V gibt es einen beschränkten Operator T  mit hT v; wi D hv; T  wi für alle v; w 2 V . Dieser heißt der adjungierte Operator. Lemma 7.3.9 Sei .; V / eine unitäre Darstellung von G. Ist f 2 L1 .G/, so ist die Funktion x 7! f .x/.x/ mit Werten in dem Banach-Raum der stetigen Operatoren auf V integrierbar und für das Integral gilt jj.f /jjop  jjf jj1 : Für f; g 2 L1 .G/ gilt .f g/ D .f /.g/ und .f  / D .f / .

7.3 Bochner-Integral, Kompakte Operatoren und Arzela-Ascoli

173

Beweis: Wir beginnen mit der Integrabilität von f .x/.x/. Da  unitär ist, gilt jjf .x/.x/jjop D jf .x/j und damit ist Z Z jf .x/j dx < 1 : jjf .x/.x/jj dx D G

G

Wir zeigen noch, dass f .x/.x/ separabel ist. Da f integrabel ist, existiert eine kompakte offene Untergruppe H von G, so dass Sf außerhalb von H verschwindet, siehe Corollary 1.3.5 (d) in [8]. Schreibe H D n2N Kn für kompakte Mengen Kn . Auf dem Kompaktum Kn ist die stetige Abbildung  separabel, also ist  und damit auch f .x/.x/ auch separabel auf H . Die verbleibenden Aussagen rechnet man leicht nach.  Ein Operator T auf einem Hilbert-Raum H heißt ein kompakter Operator, falls T beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet. Ist T kompakt und S ein beschränkter Operator, dann sind S T und T S beide kompakt. Man kann die Definition auch umformulieren: Ein Operator T ist genau dann kompakt, wenn für eine gegebene beschränkte Folge vj 2 H die Folge T vj eine konvergente Teilfolge hat. Falls die vj in einem endlich-dimensionalen Unterraum liegen, gilt dies für jeden Operator. Also kann man sich auf Folgen .vj / einschränken, die linear unabhängig sind. Ein Operator heißt normal, falls T T  D T  T gilt.

Satz 7.3.10 (Spektralsatz für normale kompakte Operatoren) Sei T ein kompakter normaler Operator auf dem Hilbert-Raum H . Dann existiert eine Folge von komplexen Zahlen n ¤ 0, die entweder endlich ist oder gegen Null geht, so dass man folgende orthogonale Zerlegung hat: H D ker.T / ˚

M

Eig.T; n / :

n

Jeder Eigenraum Eig.T; n / D fv 2 H W T v D n vg ist endlich-dimensional und die Eigenräume sind paarweise orthogonal.

Beweis: Den Beweis findet man in allen Büchern über Funktional-Analysis, zum Beispiel in [8, 26, 34, 36].  Sei G eine lokalkompakte Gruppe. Eine Dirac-Folge in G ist eine Folge stetiger Funktionen fj 2 Cc .G/ so dass gilt: • supp fj C1  supp fj , • Für jede Einsumgebung U gibtRes j mit supp fj  U , • fj  0, fj .x 1 / D fj .x/ und G fj .x/ dx D 1.

174

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

Eine Dirac-Folge existiert stets, falls die Gruppe eine abzählbare Einsumgebungsbasis besitzt, d. h., wenn es eine Folge .Uj /j 2N von Einsumgebungen gibt, so dass es zu jeder Einsumgebung U ein j 2 N gibt mit Uj  U . Beispiele 7.3.11 • Ist die Gruppe G metrisierbar, d. h., gibt es eine Metrik d auf G, die die Topologie erzeugt, so hat G eine abzählbare Einsumgebungsbasis, denn man kann Uj als den offenen Ball B1=j .1/ vom Radius 1 um das Einselement wählen. • Die Gruppe GL2 .R/ hat eine Einsumgebungsbasis, denn man kann   abzählbare Uj als den offenen Ball um 1 1 vom Radius 1=j in M2 .R/ Š R4 wählen. • Für jede Primzahl p hat die Gruppe Gp D GL2 .Qp / eine abzählbare Einsumgebungsbasis gegeben durch Uj D 1 C p j M2 .Zp /. • Ist G das eingeschränkte Produkt abzählbar vieler Gruppen Gk mit abzählbaren Einsumgebungsbasen, so hat G eine abzählbare Einsumgebungsbasis. Also hat insbesondere die Gruppe GA eine abzählbare Einsumgebungsbasis. Lemma 7.3.12 Ist .fj / eine Dirac-Folge und .; V / eine unitäre Darstellung. Dann konvergiert .fj /v gegen v für jedes v 2 V . Beweis: Sei " > 0 und sei U" die offene "-Umgebung von v 2 V . Wegen der Stetigkeit der Darstellung existiert eine Einsumgebung U in G mit .U /v  U" . Sei fj eine Dirac-Folge, dann existiert j0 so dass für j  j0 gilt supp fj  U . Dann gilt für jedes j  j0 ˇˇ ˇˇ ˇˇZ ˇˇ Z ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ.fj /v  v ˇˇ D ˇˇ fj .x/..x/v  v/ dx ˇˇ  fj .x/ jj.x/v  vjj dx < " : ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇ  U U Auf Cc .G/ betrachten wir die Involution f  .x/ D f .x 1 /. Ein Element f 2 Cc .G/ heißt selbstadjungiert, falls f  D f . Proposition 7.3.13 Sei A ein Unterraum von Cc .G/, der eine Dirac-Folge enthält. Sei .; V / eine unitäre Darstellung von G so dass für jedes f 2 A der Operator .f / kompakt ist. Dann ist  eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen mit endlichen Vielfachheiten. Beweis: Das Lemma von Zorn gibt uns einen Unterraum U , der maximal ist mit der Eigenschaft, dass er in eine Summe von irreduziblen Unterdarstellungen zerfällt. Die Annahme der Proposition gilt auch für das Orthokomplement U ? von U in V D V . Dieses Orthokomplement enthält keinen irreduziblen Unterraum. Wir müssen zeigen, dass es Null ist. Mit anderen Worten, wir müssen zeigen, dass eine

7.3 Bochner-Integral, Kompakte Operatoren und Arzela-Ascoli

175

Darstellung  ¤ 0 wie in der Proposition stets eine irreduzible Unterdarstellung enthält. Der Raum A enthält eine Dirac-Folge. Diese besteht nach Definition aus selbstadjungierten Elementen. Sei f 2 A selbstadjungiert. Dann ist .f / selbstadjungiert und kompakt. Nach dem Spektralsatz zerlegt sich der Raum V D V wie folgt V D Vf;0 ˚

1 M

Vf;j ;

j D1

wobei Vf;0 der Kern von .f / ist und Vf;i ist der Eigenraum von .f / für einen Eigenwert i ¤ 0. Die Folge i geht gegen Null und jeder Raum Vf;i ist endlichdimensional für i > 0. Für jeden abgeschlossenen invarianten Unterraum V 0  V erhält man ebenso eine Zerlegung 0 V 0 D Vf;0 ˚

1 M

0 Vf;j ;

j D1 0 mit Vf;i  Vf;i für jedes i  0. Da A eine Dirac-Folge .fj / enthält, hat jeder nichttriviale abgeschlossene invariante Unterraum U einen nichttrivialen Schnitt mit einem der Räume Vf;i für ein i > 0 und ein f 2 A, denn sonst wäre U  ker .f / für jedes f 2 A, was wegen .fj /u ! u für u 2 U eine Widerspruch erzeugen würde. Wähle ein festes f und ein i > 0 und betrachte die Menge aller nichttrivialen Schnitte Vf;i \ U , wobei U über alle abgeschlossenen invarianten Unterräume läuft. Unter all diesen Schnitten wähle einen W D Vf;i \ U von minimaler Dimension, was möglich ist, da schon Vf;i endlich-dimensional ist. Sei

U1 D

\

U;

U WU \Vf;i DW

wobei der Schnitt über alle abgeschlossenen invarianten Unterräume läuft, deren Schnitt mit Vf;i gerade W ist. Dann ist U 1 selbst ein abgeschlossener invarianter Unterraum. Wir behaupten nun, dass U 1 irreduzibel ist. Zum Zwecke des Beweises nimm an, es gäbe eine orthogonale Zerlegung U 1 D E ˚ F in abgeschlossene invariante Teilräume E; F . Wegen der Minimalität von W ist W  E oder W  F , so dass einer der beiden Räume E oder F Null sein muss, also ist U 1 tatsächlich irreduzibel. Damit haben wir aber gezeigt, dass V wirklich einen irreduziblen Unterraum enthalten muss. Wie bereits gezeigt, impliziert dies, dass V eine direkte Summe von irreduziblen Unterräumen ist. Es bleibt zu zeigen, dass die Vielfachheiten endlich sind. Hierzu nimm an, dass I eine Indexmenge ist und Vi  V linear unabhängige Unterdarstellungen, so dass i D i jVi paarweise unitär isomorph sind. Ist dann  2 C X f0g ein Eigenwert eines i .f /, dann ist  schon ein Eigenwert von i .f / für jedes i 2 I . Da die Eigenwerte von .f / endliche Vielfachheit haben, muss I endlich sein. 

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

176

Der Satz von Arzela-Ascoli Wir kommen nun zum Satz von Arzela-Ascoli. Sei .X; d / ein separabler metrischer Raum. Sei C.X / die Menge der stetigen komplexwertigen Funktionen auf X . Eine Teilmenge F  C.X / heißt normal, wenn jede Folge in F eine lokal-gleichmäßig konvergente Teilfolge besitzt.

Satz 7.3.14 (Arzela-Ascoli) Eine Teilmenge F von C.X / ist normal, falls • für jedes x 2 X die Menge F .x/ D ff .x/ W f 2 F g beschränkt ist und • F in jedem Punkt x von X gleichstetig ist.

Hierbei heißt F gleichstetig in x, falls gilt: 8">0 9ı>0 8f 2F W d.x; y/ < ı ) jf .x/  f .y/j < " : (Dies ist das "; ı Kriterium für Stetigkeit, nur dass das ı nicht von der Funktion f 2 F anhängt.) Beachte, dass die Gleichstetigkeit bei Funktionen auf der Mannigfaltigkeit G1 D GL2 .R/ auch durch ein Differential-Kriterium verifiziert werden kann: Liegt F ganz in C 1 .G1 / und ist für jedes X 2 M2 .R/ die Menge X F .M / D fRX f .x/ W f 2 F ; x 2 G1 g beschränkt, so ist die Menge F gleichstetig. Dies ergibt sich aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung, denn aus der Annahme folgt, dass es für jedes Kompaktum U  G1 eine Schranke C.U / > 0 gibt, so dass jjDf .x/jj < C.U / für jedes f 2 F und jedes x 2 U gilt, wobei Df .x/ das Differential der Abbildung f ist. Beweis des Satzes. Sei .xn /n2N eine dichte Folge in X . Da F .x1 / beschränkt ist, existiert eine Teilfolge fj1 von fj so dass fj1 .x1 / konvergiert. Sei dann fj2 eine Teilfolge von fj1 so dass auch fj2 .x2 / konvergiert. Iterativ wird für jedes n 2 N eine Teilfolge fjnC1 von fjn gewählt so dass fjnC1 .xnC1 / konvergiert. Sei dann gj D fjj : Dann konvergiert gj .xn / für jedes n 2 N. Nenne den Grenzwert g.xn /. Wir behaupten, dass die Folge gj lokal-gleichmäßig konvergiert. Sei hierzu x 2 X und " > 0. Dann existiert ein ı > 0 so dass aus d.x; y/ < ı folgt jgj .x/  gj .y/j < "=3 für jedes j 2 N. Da die Folge der xn dicht ist, gibt es ein n 2 N so dass d.xn ; x/ < ı und es existiert ein j0 so dass für j  j0 gilt jgj .xn /  g.xn /j < "=6. Al-

7.4 Spitzenformen

177

so folgt für i; j  j0 schon jgi .xn /  gj .xn /j < "=3. Sind dann i; j  j0 , so folgt jgi .x/  gj .x/j  jgi .x/  gi .xn /j C jgi .xn /  gj .xn /j C jgj .xn /  gj .x/j <

" " " C C D ": 3 3 3

Damit ist gj .x/ eine Cauchy-Folge, also konvergent gegen ein, sagen wir, g.x/. Um zu zeigen, dass diese Konvergenz lokal-gleichmäßig ist, sei y 2 X mit d.x; y/ < ı=2 gegeben, dann ist d.xn ; y/ < ı und die obige Rechnung zeigt, dass für j  j0 gilt jgj .y/  g.y/j  ". 

7.4 Spitzenformen   Für einen Ring R sei NR D f 1 x1 W x 2 Rg. Dann ist NR eine Gruppe isomorph zur additiven Gruppe des Rings R. Eine Funktion f 2 L2 .GQ nGA1 / heißt Spitzenform, falls Z f .nx/ dn D 0 NQ nNA

für fast alle x 2 GA1 gilt. Sei L2cusp D L2cusp .GQ nGA1 / der Raum der Spitzenformen. Dieser ist stabil unter der Darstellung von GA1 durch Rechtstranslation, d. h. mit R.y/f .x/ D f .xy/ gilt R.y/L2cusp D L2cusp für jedes y 2 GA1 . Wir haben einen Isomorphismus Š

GA1  R C ! GA p p p  gegeben .g; t/ 7! tg, wobei t als t 1  1 durch  und 1 an den endlichen Stellen zu verstehen ist.

 1

an der unendlichen Stelle

Definition Q 7.4.1 Sei Cc1 .GA / die Menge aller Linearkombinationen von Funktionen f D p fp auf GA , wobei für jedes p  1 die Funktion fp in Cc1 .GQp / liegt und für fast alle p gilt fp D 1Kp . Es sei R die Darstellung von GA auf L2 .GQ ZR nGA / gegeben durch R.x/'.y/ D '.yx/. Für f R 2 Cc1 .GA / ist dann der Operator R.f / durch Integration definiert, also R.f / D GA f .x/R.x/ dx. b Q Sei K1 D O.2/ und Kp D GL2 .Zp / für p < 1. Ferner sei Kfin D GL2 .Z/ D K und K D K  K . Für einen Ring R sei P die Menge aller oberen A fin 1 R p<1 p Dreiecksmatrizen in GL2 .R/. Für c > 0 sei Ac die Menge aller Matrizen der Form

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

178

y

 1 , wobei y 2 R und y  c ist. Ein Siegel-Bereich ist eine Menge der Form SAc KA , wobei c > 0 und S  PR eine kompakte Teilmenge ist.

Lemma 7.4.2 Es existiert ein Kompaktum S  PR und ein c > 0 mit GA D GQ ZR SAc KA : Beweis: Als Konsequenz von Proposition 7.2.2 haben wir GQ ZR nGA =KA Š GZ ZR nGR =K1 : Unsere Behauptung ist, dass das Bild von SAc auf der linken Seite gleich der ganzen linken Seite ist, also brauchen wir dies nur auf der rechten Seite zu zeigen. Es reicht also zu zeigen GR =K1 D GZ ZR SAc K1 =K1 : p   ˚ Falls nun S die Menge 1 x1 W jxj  12 umfasst und c  23 , dann umfasst SAc K1 =K1 einen Fundamentalbereich von SL2 .Z/ in der oberen Halbebene H, woraus die Behauptung folgt.  Eine Funktion ' auf ZR GQ nGA heißt schnell fallend, falls es ein Kompaktum S und ein c > 0 gibt, so dass Lemma 7.4.2 erfüllt ist und zu jedem n 2 N existiert Cn > 0 so dass gilt ˇ   y  ˇ n ˇ ˇ' s 1 k  Cn y   für jedes s y 1 k aus dem Siegel-Bereich SAc KA . Proposition 7.4.3 Sei f 2 C1 c .GA /. (a) Es existiert eine Konstante C > 0 so dass für jedes ' 2 L2cusp .GQ nGA1 / Š L2cusp .GQ ZR nGA / gilt sup jR.f /'.x/j  C jj'jj2 :

x2GA

Ferner ist die Funktion R.f /' schnell fallend. (b) Der Operator R.f / ist kompakt auf L2cusp .GQ ZR nGA /. Beweis: Für einen Ring R sei NR die Gruppe aller Matrizen der Form x 2 R. Wir berechnen nun Z Z f .y/'.xy/ dy D f .x 1 y/'.y/ dy R.f /'.x/ D GA

D

Z

GA

X

NQ nGA  2NQ

„

f .x 1 y/ '.y/ dy : ƒ‚

DK.x;y/

…

1

x 1



mit

7.4 Spitzenformen

179

R

    Sei K0 .x; y/ D A f x 1 1 a1 y da: Dann ist Z Z Z     K0 .x; y/'.y/ dy D f x 1 1 a1 y da '.y/ dy NQ nGA A

NQ nGA

Z

Z

X

D

  f x 1  1

a 1

  y da '.y/ dy

NQ nGA A=Q  2NQ

Z

Z

X

D

f .x 1 y/'

 1

a 1

  y dy da

a 1

  y da dy D 0 :

A=Q NQ nGA  2NQ

Z

X

D

Z

1

f .x y/

NQ nGA  2NQ

'

 1

A=Q

„

ƒ‚

…

D0

Setze also K 0 .x; y/ D K.x; y/  K0 .x; y/; so folgt Z R.f /'.x/ D K 0 .x; y/'.y/ dy : NQ nGA

    b x;y .0/ und es folgt Sei Fx;y .t/ D f x 1 1 1t y ; t 2 A: So gilt K0 .x; y/ D F aus der Poissonschen Summenformel, dass X X Z     b x;y .q/ D f x 1 1 1t y e.qt/ dt : K 0 .x; y/ D F q2Q

q2Q A

Sei nun x 2 SAc KA , x D px

 ax

 1

kx , so gilt

K 0 .x; y/ ¤ 0 ) y 2 NQ XP

 ax

 1

KA  NQ

 ax

 1

XG ;

wobei XP  P .A/ und XG  GA feste Kompakta sind. Wir können also schreiben X Z     f x 1 1 1t y e.qt/ dt K 0 .x; y/ D q2Q A

D

X Z

  f !x 1

q2Q A

1 t ax 1



 !y e.qt/ dt ;

wobei !x und !y in festen Kompakta bleiben. Die Substitution v D tax1 liefert X Z     f !x 1 1t !x;y e.qax t/ dt : K 0 .x; y/ D jax j q2Q A

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

180

R

1

 t

Die Funktion  7! A f .!x 1 !x;y /e.t/ dt ist die Fourier-Transformation einer Schwartz-Bruhat-Funktion und damit selbst wieder eine Schwartz-BruhatFunktion. Also läuft die Summe über Q geschnitten mit einem Kompaktum in Afin und es existiert zu jedem 2 N eine Konstante C > 0 so dass jK 0 .x; y/j  C jax j.1 C jax j/ : Hieraus folgt mit der Cauchy-Schwarz Ungleichung Z  j'.y/j dy  C jax j.1Cjax j/ jj'jj2 : jR.f /'.x/j  C jax j.1Cjax j/ 

ax

 1 XG

Damit folgt Teil (a). Für Teil (b) benutzen wir den Satz von Arzela-Ascoli. Sei f 2 C1 c .GA /. Dann existiert eine kompakte offene Untergruppe K von Gfin so dass f invariant ist unter K in dem Sinne, dass gilt f .k1 xk2 / D f .x/ für alle k1 ; k2 2 K. Sei D K \ GQ die entsprechende Gruppe. Damit gilt    K   D C1 nGR1 : R.f /L2 GQ nGA1  C1 GQ nGA1 Nach Teil (a) ist das Bild von f' 2 L2cusp W jj'jj2 D 1g global beschränkt und ebenso das Bild von RX R.f / D R.LX f / für jedes X 2 M2 .R/ in der Notation von Abschn. 3.4. Nach dem Satz von Arzela-Ascoli hat jede Folge in R.f /L2cusp eine punktweise konvergente Teilfolge und nach Teil (a) ist diese Teilfolge dominiert durch die Konstante, damit konvergiert die Folge im L1 -Sinne und da sie beschränkt ist, auch im L2 -Sinne. Also ist der Operator R.f / auf L2cusp in der Tat kompakt.  Mit Proposition 7.3.13 folgt hieraus:

Satz 7.4.4 Der Raum L2cusp .GQ ZR nGA / zerfällt in eine direkte Summe von irreduziblen Unterräumen mit endlichen Vielfachheiten: M Ncusp ./ : L2cusp .GQ ZR nGA / D bA 2G 

7.5 Der Tensorprodukt-Satz Einer der wichtigsten Sätze der Theorie der automorphen Formen ist der Tensorprodukt-Satz, der besagt, dass jede zulässige irreduzible unitäre Darstellung der Gruppe GA ein unendliches Tensorprodukt von Darstellungen der Gruppen Gp mit p  1 ist. Wir werden in diesem Abschnitt zunächst unendliche Tensorprodukte

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

181

in diesem Sinne definieren, dann den Begriff der zulässigen Darstellung einführen und schließlich den Tensorprodukt-Satz beweisen.

7.5.1 Synthese In diesem Unterabschnitt konstruieren wir unendliche Tensorprodukte von lokalen Darstellungen und zeigen, dass sie irreduzible Darstellungen der globalen Gruppe sind. Definition 7.5.1 Eine *-Algebra ist ein Paar .A; / bestehend aus einer C-Algebra A und einer Abbildung A ! A; a 7! a mit folgenden Eigenschaften: .a C b/ D a C b  ;

.a/ D a

.ab/ D b  a ;

falls a; b 2 A und  2 C. Schließlich wird noch verlangt, dass a D .a / D a für jedes a 2 A. Die Abbildung a 7! a heißt die Involution der *-Algebra A. Beispiele 7.5.2 • C selbst ist eine *-Algebra mit z  D z. t • Die Algebra Mn .C/ der n  n-Matrizen ist eine *-Algebra mit A D A . • Sei V ein Hilbert-Raum. Die Algebra B.V / der stetigen Operatoren T W V ! V ist eine *-Algebra, wobei T  der adjungierte Operator zu T ist. Dieser ist eindeutig bestimmt durch die Eigenschaft hT v; wi D hv; T  wi für alle v; w 2 V . • Sei G eine lokalkompakte Gruppe und sei A die Faltungsalgebra L1 .G/. Mit der Involution f  .x/ D .x 1 /f .x 1 / ist A eine *-Algebra, wobei .x/ die Modularfunktion der Gruppe G ist. Definition 7.5.3 Sei A eine *-Algebra. Eine *-Darstellung von A auf einem HilbertRaum V ist ein Algebrenhomomorphismus  W A ! B.V / so dass .a/ D .a / für jedes a 2 A gilt. Eine -Darstellung heißt irreduzibel, falls es keinen A-stabilen abgeschlossenen Unterraum gibt außer den beiden trivialen 0 und V . Mit anderen Worten,  ist irreduzibel, falls für jeden abgeschlossenen Unterraum U  V gilt .A/U  U ) .U D 0 oder U D V / : Hierbei verstehen wir unter .A/U den Unterraum von V , der aufgespannt wird von allen Vektoren der Form .a/u, wobei a 2 A und u 2 U ist. Ist A eine *-Algebra und  W A ! B.V / eine irreduzible Darstellung, so sagen wir auch, dass V ein irreduzibler Modul unter A ist. Dieser Begriff darf nicht mit dem Begriff eines einfachen Moduls verwechselt werden:

182

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

Ein Modul einer C-Algebra A ist ein C-Vektorraum M zusammen mit einem Algebrenhomomorphismus A ! End.M /, meist nur geschrieben als .a; m/ 7! am. Ein einfacher Modul ist ein Modul M , der außer 0 und M keine A-stabilen Unterräume hat. Der Unterschied zum Begriff des irreduziblen Moduls besteht also darin, dass auf M keine Topologie vorausgesetzt ist und bei der Irreduzibilität lediglich abgeschlossene stabile Unterräume ausgeschlossen sind, wohingegen es durchaus noch unabgeschlossene stabile Unterräume geben darf. Ein A-Modul M heißt regulärer Modul, falls AM ¤ 0 gilt, d. h., ein Modul ist regulär, wenn die Operation der Algebra nicht die Nulloperation ist. Ist M regulär und einfach, so folgt AM D M . Wir benutzen im Folgenden das Lemma von Schur: Lemma 7.5.4 Ist .; V / eine irreduzible unitäre Darstellung einer Gruppe G oder eine irreduzible *-Darstellung einer *-Algebra A, so ist jeder beschränkte Operator T W V ! V der mit allen .x/ vertauscht, ein Skalar, also von der Form Id für ein  2 C. Insbesondere folgt: Ist A kommutativ, so ist jede irreduzible -Darstellung eindimensional. Ist V endlich-dimensional, so ist das Skalarprodukt auf V , bezüglich dessen  eine unitäre oder *-Darstellung ist, eindeutig bestimmt bis auf ein skalares Vielfaches. Beweis: Wir geben einen vollständigen Beweis im Fall dass V endlich-dimensional ist. Für den allgemeinen Fall geben wir eine Beweisskizze und Literaturhinweise. Betrachte zunächst eine irreduzible unitäre Darstellung einer Gruppe G. Sei dann A  B.V / die Algebra, die von allen Operatoren .g/ mit g 2 G erzeugt wird, dann ist A abgeschlossen unter T 7! T  , also ist die Inklusion A ,! B.V / eine irreduzible -Darstellung. Da jedes a 2 A eine Linearkombination von Operatoren der Form .g/, g 2 G ist, kommutiert ein Operator T 2 B.V / genau dann mit allen a 2 A, wenn er mit allen .g/ vertauscht. Wir brauchen also nur den Fall einer -Darstellung einer Algebra A zu betrachten. Vertauscht der Operator T mit allen a 2 A, so vertauscht wegen aT  D .T a / D .a T / D T  a der Operator T  ebenfalls mit allen a 2 A. Also vertauschen auch die selbstadjungierten Operatoren T C T  und .iT / C .iT / mit allen a 2 A. Wegen T D 12 .T C T  / C 2i1 ..iT / C .iT / / reicht es, die Behauptung für einen selbstadjungierten Operator T zu zeigen. Ist nun V endlich-dimensional, dann ist jeder selbstadjungierte Operator T diagonalisierbar. Insbesondere hat T einen Eigenwert  2 C. Sei E der zugehörige Eigenraum. Wir zeigen, dass E unter der Algebra A stabil bleibt. Sei also v 2 E und a 2 A. Dann gilt T .a/v D .a/T v D .a/v D .a/v, was gleichbedeutend ist mit .a/v 2 E . Also ist der abgeschlossene Teilraum E von V unter A stabil und ungleich Null, damit muss nach der Irreduzibilität dieser Raum schon ganz V sein, d. h., T D Id, wie behauptet. Ist V unendlich-dimensional, so muss es nicht notwendig Eigenwerte geben. Man verschafft sich aber mit Hilfe der Spektraltheorie einen Ersatz, so dass das

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

183

obige Argument auch auf diesen Fall übertragen werden kann. Material hierzu findet man in den Büchern [17, 26, 34, 36]. In dem Buch [8] findet man einen anderen Beweis des Schur-Lemmas, der den stetigen Funktionalkalkül benutzt. Wir beweisen noch den Zusatz über die Eindeutigkeit des Skalarproduktes. Es reicht dies im Algebren-Fall zu tun. Seien hierzu h:; :i1 und h:; :i2 zwei Skalarprodukte auf dem endlich-dimensionalen Raum V , so dass  bezüglich beiden eine *-Darstellung ist. Nach dem Rieszschen Darstellungssatz gibt es einen Linearen Operator T W V ! V so dass hv; wi2 D hv; T wi1 gilt. Für a 2 A ist dann hv; .a/T wi1 D h.a /v; T wi1 D h.a /v; wi2 D hv; .a/wi2 D hv; T .a/wi1 : Da dies für alle v; w gilt, ist .a/T D T .a/ für jedes a 2 A, also ist T ein Skalar, was zu beweisen war.  Eine irreduzible unitäre Darstellung .; V / von Gp mit p < 1 heißt unverzweigt, falls der Vektorraum der Kp -Invarianten, Kp

V

D fv 2 V W .k/v D v 8k 2 Kp g

nicht der Nullraum ist, wobei Kp die kompakte offene Untergruppe GL2 .Zp / bezeichnet. Kp

Lemma 7.5.5 Ist  unverzweigt, so ist dim V

D 1.

Beweis: Schreibe G D Gp und K D Kp und nimm an,  ist unverzweigt. Sei Hp D HG die Faltungsalgebra aller lokalkonstanten Funktionen mit kompakten K Trägern und sei Hp p die Unteralgebra der Kp -biinvarianten Funktionen. Sei P K die Orthogonal-Projektion auf V p . Dann ist P D .1Kp /, wie in Aufgabe 7.16 K bewiesen wird. Ferner ist Hp p kommutativ, siehe Aufgabe 7.14. Außerdem ist Kp K K Hp D 1K Hp 1K . Die Algebra Hp p operiert via  auf dem Raum V p . K Wir zeigen, dass diese Operation irreduzibel ist. Sei hierzu v 2 V p X f0g. Dann ist .Hp /v ein dichter G-Untermodul von V , da Hp eine Dirac-Folge enthält. Damit K K ist P .Hp /v D .1K Hp 1K /v D .Hp p /v ein dichter Hp p -Untermodul Kp Kp K von V . Also ist für jedes v 2 V der von v erzeugte abgeschlossene Hp p K Untermodul gleich dem ganzen Raum V p , also ist die Darstellung der Algebra Kp Kp Hp auf V irreduzibel. Nach dem Lemma von Schur ist jeder Operator T auf K K K V p , der mit jedem Element von .Hp p / kommutiert, ein Skalar. Da aber Hp p Kp kommutativ ist, kommutiert ja jeder der Operatoren .f /, f 2 Hp mit allen andeK K ren aus Hp p , ist also ein Skalar. Es existiert damit eine Abbildung  W Hp p ! C

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

184

K

mit .f /v D  .f /v für jeden Vektor v 2 V p . Da die Darstellung aber irreduzibel ist, ist sie eindimensional.  Für jedes p  1 sei eine irreduzible Darstellung p von Gp gegeben. Fast alle p seien unverzweigt. Wir wollen diese Darstellungen zusammenfügen zu einer irreduziblen Darstellung O  D p

b p

von GA , die wir noch definieren werden. Hierzu müssen wir zunächst einmal das Tensorprodukt von Hilbert-Räumen einführen. Definition 7.5.6 Seien V; W Hilbert-Räume. Auf dem algebraischen Tensorprodukt V ˝ W definieren wir ein Skalarprodukt durch hermitesche Fortsetzung von ˝

˝ ˛ ˛˝ ˛ 0 0 v ˝ w; v 0 ˝ w 0 def D v; v w; w :

(Siehe Aufgabe 7.5.) Dann ist V ˝ W mit diesem Skalarprodukt ein Prä-HilbertO . Raum. Wir bezeichnen die Vervollständigung dieses Prä-Hilbert-Raums mit V ˝W Insbesondere gilt folgendes: Ist .ei /i 2I eine Orthonormalbasis von V und ist .fj /j 2J eine Orthonormalbasis von W , so ist .ei ˝ fj /.i;j /2I J eine OrthonorO . malbasis von V ˝W Für endlich viele Hilbert-Räume V1 ; : : : ; Vn definieren wir das Tensorprodukt O : : : ˝V O n durch Iteration, wobei wir zeigen müssen, dass es keine Rolle spielt, V1 ˝ in welcher Reihenfolge man die Räume tensoriert, es gilt in der Tat, wie beim alO 3 und V1 ˝.V O 2 /˝V O 2 ˝V O 3 / kanogebraischen Tensorprodukt, dass die Räume .V1 ˝V O 2 kanonisch isomorph zu V2 ˝V O 1. nisch isomorph sind. Außerdem ist V1 ˝V Notation: In der Praxis lassen wir beim Tensorprodukt den Hut meistens weg, wenn klar ist, dass wir nur an Hilbert-Räumen interessiert sind. Wir schreiben dann also O . V ˝ W statt V ˝W Beispiel 7.5.7 Sei V ein endlich-dimensionaler Hilbert-Raum. Dann ist der Dualraum V  ebenfalls ein Hilbert-Raum und die Abbildung v 7! h; vi ist eine R-lineare Bijektion von V nach V  . Es gibt einen kanonischen Isomorphismus W V  ˝ V ! End.V /, wobei End.V / der Vektorraum der linearen Abbildungen T W V ! V ist. Für ˛; ˇ 2 V  ˝ V gilt h˛; ˇi D Sp. .˛/ .ˇ/ / ; wobei durch

.ˇ/ der zu

.ˇ/ adjungierte Operator ist. Die Abbildung .L ˝ v/.w/ D L.w/v :

ist gegeben

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

185

Definition 7.5.8 Ist .; V / eine unitäre Darstellung einer topologischen Gruppe G und ist .; V / eine unitäre Darstellung einer topologischen Gruppe H , so definieren wir eine unitäre Darstellung  D  ˝  der Gruppe G  H auf dem Raum V ˝ V durch .g; h/v ˝ w def D .g/v ˝ .h/w : Der Nachweis der Stetigkeit dieser Darstellung soll in Übungsaufgabe 7.7 erbracht werden. Lemma 7.5.9 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und sei .; V / eine irreduzible unitäre Darstellung. Sei W ein Hilbert-Raum. Dann ist jeder abgeschlossene Gstabile Teilraum von V ˝ W von der Form V ˝ W1 für einen abgeschlossenen Teilraum W1 von W . Insbesondere folgt, dass für zwei lokalkompakte Gruppen G; H und irreduzible unitäre Darstellungen ;  von G bzw. H die Darstellung  ˝  von G  H irreduzibel ist und dass aus  ˝  Š  0 ˝  0 schon folgt dass  Š  0 ist und  Š  0. Beweis: Sei U  V ˝ W ein abgeschlossener, G-stabiler Unterraum. Dann ist die Orthogonalprojektion P mit Bild U ein Operator auf V ˝ W , der mit allen .g/, g 2 G vertauscht. Wir zeigen, dass jeder solche Operator T von der Form 1 ˝ S ist für einen Operator S 2 B.W /. Sei also T ein beschränkter Operator auf V ˝ W mit T ..g/ ˝ 1/ D ..g/ ˝ 1/T für jedes g 2 G. Sei .ei /i 2I eine Orthonormalbasis von W und für j 2 I sei Pj die Orthogonalprojektion auf den Unterraum Cej . Für i; j 2 I betrachte den Operator Ti;j gegeben als Verkettung: 1˝Pj

T

V ! V ˝ ei ! V ˝ W ! V ˝ ej ! V : Dieser Operator ist zusammengesetzt aus Operatoren, die mit der G-Aktion vertauschen, vertauscht also selbst mit der G-Aktion. Außerdem ist er als Verkettung stetiger Operatoren stetig. Nach P dem Lemma von Schur existiert eine komplexe Zahl ai;j mit Ti;j D ai;j Id. Da j Pj D IdW ist, folgt T .v ˝ ei / D

X

ai;j v ˝ ej D v ˝ S.ei / ;

j

P wobei S.ei / D j ai;j ej und die Summe in W konvergiert. Wegen der Stetigkeit von T setzt S zu einem eindeutig bestimmten stetigen Operator S W W ! W fort, für den T .v ˝ w/ D v ˝ S.w/ für alle v 2 V , w 2 W gilt. Es folgt also T D 1 ˝ S wie behauptet.

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

186

Dies kann insbesondere auf die Projektion P auf den invarianten Teilraum U angewendet werden, die dann von der Form P D 1 ˝ P1 sein muss. Dann ist auch P1 eine Orthogonalprojektion. Sei W1 ihr Bild, so folgt U D V ˝ W1 . Nun zum Beweis der Irreduzibilität von  ˝. Aus dem ersten Teil folgt, dass ein abgeschlossener, G  H -stabiler Unterraum U sowohl von der Form U D V ˝ U als auch von der Form U D U ˝ V sein muss mit abgeschlossenen Teilräumen U  V und U  V . Diese Teilräume müssen aber selbst wieder invariant sein, also jeweils die ganzen Räume. Sei schließlich  ˝  Š  0 ˝  0 , es existiert also ein unitärer Isomorphismus T W V ˝ V ! V 0 ˝ V 0 , der mit der G  H -Operation vertauscht. Sei w 2 V mit jjwjj D 1. Dann ist V ˝ w eine irreduzible G-Unterdarstellung, also gibt es ein w 0 2 V 0 mit jjw 0 jj D 1, so dass T .V ˝ w/ D V 0 ˝ w 0 . Die Abbildung T

V ! V ˝ w ! V 0 ˝ w 0 ! V 0 ist ein unitärer G-Isomorphismus, also folgt  Š  0 und analog  Š  0 .



Für jedes p  1 sei nun eine irreduzible unitäre Darstellung .p ; Vp / von Gp gegeben, so dass p unverzweigt ist für fast alle p. Sei S0 3 1 die Menge der K Stellen, für die p verzweigt ist. Für jedes p … S0 fixiere einen Vektor vp0 2 Vp p ˇˇ 0 ˇˇ N mit ˇˇvp ˇˇ D 1. Für jede endliche Stellenmenge S S0 sei S D p2S p . Ist 0 S0  S  S 0 so definiere eine isometrische lineare Abbildung 'SS W S ! S 0 O durch w 7! w ˝ vp0 . Sei I die Menge aller endlichen Primzahlmengen S . p2S 0 XS

Mit der partiellen Ordnung gegeben durch die Inklusion ist I eine gerichtete Menge. 0 Mit den Abbildungen 'SS erhalten wir ein direktes System. Wir definieren O p D lim S : p

! S

Da die Abbildungen im direkten System alleNisometrisch sind, ist die rechte Seite ein Prä-Hilbert-Raum. Wir fassen fortan p p als dessen Vervollständigung auf. N Der Raum p p hängt nach Definition von der Wahl der Vektoren vp0 ab, allerdings nur bis auf Isomorphie. Denn für eine andere Wahl vp1 gibt es zu jedem p … S0 eine komplexe Zahl p von Betrag 1, so dass vp1QD p vp0 . Für jede endliche Stellenmenge S S0 induziert die N Multiplikation mit p2SXS0 p induziert einen unitären Isomorphismus von S D p2S p in sich selbst, der mit den jeweiligen 0 Strukturabbildungen 'SS kommutiert, also einen unitären Isomorphismus zwischen den unendlichen Tensorprodukten induziert. Sei g 2 GA , dann existiert eine endliche Stellenmenge S 3 1 mit gp 2 Kp für alle p … S . Dann operiert g durch einen unitären Operator auf jedem N S 0 falls S 0 S eine endliche Stellenmenge ist. Also operiert g unitär auf W D p Vp . Wir erhalten eine Abbildung  W GA ! GL.W /, so dass .g/ unitär ist für jedes g 2 GA . Diese Abbildung ist eine unitäre Abbildung (siehe Aufgabe 7.8).

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

Satz 7.5.10 Die Darstellung  von GA auf

187

N p

p ist irreduzibel.

Beweis: Sei U ¤ 0 ein abgeschlossener, GA -stabiler Unterraum. Da die Faltungsalgebra Cc1 .GA / eine Dirac-Folge enthält, ist UQ D .Cc1 .GA //U dicht in U . Sei u 2 UQ , so wird u stabilisiert von einer offenen Untergruppe von Gfin . Damit gibt es eine endliche Stellenmenge S S0 , so dass u stabilisiert wird von Kp für jedes p … S . Für p … S ist der lokale Beitrag von u bei p also ein N Vielfaches des Vektors vp , damit folgt u D uS ˝ p…S vp für ein uS 2 VS . N Nun ist jGS von der Form VS ˝ V S , wobei V S D p…S Vp . Nach dem Lemma ist daher U von der Form VS ˝ U S , wobei U S ein abgeschlossener Teilraum N von V S ist. Wir haben gerade festgestellt, dass U S den Vektor p…S vp enthalten muss, dieser erzeugt aber V S als G S -Darstellungsraum. Es folgt U D V wie behauptet. 

7.5.2 Analyse In diesem Unterabschnitt zeigen wir, dass jede irreduzible unitäre Darstellung von GA , die einer gewissen Zulässigkeitsbedingung genügt, schon isomorph zu einem Tensorprodukt im Sinne des letzten Unterabschnitts ist. Wir definieren zunächst die Zulässigkeitsbedingung. Definition 7.5.11 Für eine lokalkompakte Gruppe G sei GO das unitäre Dual von G, d. h. die Menge aller Isomorphieklassen irreduzibler unitärer Darstellungen.

Satz 7.5.12 (Unitäre Darstellungen kompakter Gruppen) (a) Eine irreduzible unitäre Darstellung einer kompakten Gruppe K ist stets endlichdimensional. (b) Jede unitäre Darstellung einer kompakten Gruppe K zerfällt in eine topologische direkte Summe von irreduziblen Darstellungen im Sinne von Lemma 3.2.8.

Man beachte folgende Konsequenz. Sind .; V / und .; V / Darstellungen von K, so sind die Vektorräume HomK .V ; V / und HomK .V ; V / stets von derselben Dimension. Beweis: Den Beweis findet man in der gängigen Literatur, etwa [8, 22, 28].



7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

188

Satz 7.5.13 (Peter-Weyl) Sei K eine kompakte Gruppe. Wähle für jede irreduzible Darstellung .; V / von K eine Orthonormalbasis e1 ; : : : ; ed./ von V und definiere die Matrix-Koeffizienten ˛ ˝ i;j .k/ D .k/ei ; ej falls 1  i; j  d./. Dann ist p  d./i;j

;i;j

eine Orthonormalbasis von L2 .K/.

Beweis: Auch diese Aussage findet sich in Standard-Lehrbüchern der Harmonischen Analyse [8, 22, 28].  Definition 7.5.14 Sei L eine abgeschlossenen Untergruppe der kompakten Gruppe K. Ist .; V / eine Darstellung von L, so definieren wir die stetig induzierte Darstellung ILK . / D .I; VI / wie folgt. Der Raum VI ist der Banach-Raum aller stetigen Funktionen f W K ! V mit der Eigenschaft, dass f .lk/ D .l/f .k/ für alle l 2 L, k 2 K. Die Norm ist jjf jjK D supk2K jjf .k/jj und die Darstellung I ist gegeben durch Rechtstranslation, also I.k/f .k 0 / D f .k 0 k/. Lemma 7.5.15 Sei .; V / eine Darstellung von K, dann gibt es eine kanonische lineare Bijektion   W HomK V ; ILK . / ! HomL .V ; V / : Beweis: Wir definieren durch .˛/.v/ D ˛.v/.1/: Zum Beweis der Injektivität sei .˛/ D 0, dann ist ˛.v/.1/ D 0 für jedes v 2 V . Für k 2 K folgt ˛.v/.k/ D .I.k/˛.v//.1/ D ˛..k/v/.1/ D 0, damit ist also ˛ D 0. Für die Surjektivität sei ˇ W V ! V ein L-Homomorphismus. Wir definieren ˛ W V ! ILK . / durch ˛.v/.k/ D ˇ..k/v/. Es folgt .˛/ D ˇ und damit ist surjektiv.  Ist .; V / eine beliebige Darstellung der kompakten Gruppe K und ist .; V / eine irreduzible Darstellung von K, dann definieren wir den -Isotyp V ./ von  als das Bild der kanonischen Abbildung HomK .V ; V / ˝ V ! V ˛ ˝ v 7! ˛.v/ : Man kann V ./ auch charakterisieren als die Summe aller Unterdarstellungen von , die isomorph zu  sind. Ist  unitär, so zerfällt der Raum V in eine direkte Summe M V ./ : V D 2KO

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

189

Für eine gegebene Darstellung  2 KO sei e .k/ D .dim / Sp..k//;

k 2K:

Lemma 7.5.16 Die Funktion e ist ein Idempotent in der Faltungsalgebra C.K/, d. h., es gilt e e D e . Die Abbildung Z e .k/.k/ dk P D K

ist die Projektion auf den Isotyp V ./ die durch die Isotypische Zerlegung induziert ist. Hierbei ist das Haar-Maß auf K so normalisiert, dass vol.K/ D 1 gilt. Ist jK eine unitäre Darstellung, so ist P eine Orthogonal-Projektion. Ist  eine weitere irreduzible unitäre Darstellung von K, die nicht isomorph zu  ist. Dann gilt e e D 0 : Beweis: Dies ist eine direkte Konsequenz des Peter-Weyl-Satzes.



Definition 7.5.17 Sei F  KO eine endliche Teilmenge. Dann ist die Funktion eF def D

X

e

2F

ein Idempotent in C.K/, denn nach obigem Lemma ist X X eF e F D e  e D e  D eF : ; 2F

2F

Sei G eine lokalkompakte Gruppe und K eine kompakte Untergruppe. Eine Darstellung .; V / von G heißt K-zulässige Darstellung, falls die Darstellung jK mit endlichen Vielfachheiten zerfällt, d. h., M jK D Œ W   ; 2KO

wobei die Vielfachheiten Œ W  D dim HomK .V ; V / D dim HomK .V ; V / endlich sind. Die Darstellung  ist genau dann K-zulässig, wenn jeder Isotyp V ./ bK die Menge der Isomorphieklassen endlich-dimensional ist. Wir bezeichnen mit G irreduzibler unitärer G-Darstellungen, die K-zulässig sind. Eine Darstellung heißt zulässige Darstellung, falls es eine kompakte Untergruppe K gibt, so dass die Darstellung K-zulässig ist.

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

190

Beispiel 7.5.18 Sei G D Gp und  sei die Hauptseriendarstellung zum Quasicharakter  2 Hom.Ap ; C /. Wir zeigen, dass  zulässig ist bezüglich der kompakten offenen Gruppe Kp . Sei .; V / eine irreduzible Darstellung von Kp . Nach Aufgabe 7.17 faktorisiert  über einen endlichen Quotienten Kp =K, hierbei ist K eine offene Untergruppe von Kp . Es reicht also zu zeigen, dass für jede kompakte offene Untergruppe K von G der Raum der K-Invarianten VK endlich-dimensional ist. Da jedes f 2 V eindeutig festgelegt ist durch die Einschränkung auf Kp , kann man VK als einen Unterraum von L2 .Kp /K D L2 .Kp =K/ auffassen. Da Kp =K endlich ist, ist dieser Raum also endlich-dimensional. Lemma 7.5.19 Sei G eine lokalkompakte Gruppe mit zwei kompakten Untergruppen L  K. Für jede irreduzible Darstellung .; V / gilt dann  ist L zulässig

)

 ist K zulässig.

Hat L endlichen Index in K, so gilt auch die Rückrichtung. Besitzt G eine offene kompakte Untergruppe K, so ist jede zulässige Darstellung von G schon K-zulässig. Beweis: Die Darstellung  sei L-zulässig. Sei .; V / eine irreduzible Darstellung von K. Da V endlich-dimensional ist, zerfällt es als L-Darstellung in eine endliche Summe irreduzibler Darstellungen. Daher ist HomL .V ; V / endlich-dimensional und damit auch der Unterraum HomK .V ; V /. Die Gruppe L habe nun endlichen Index in K und  sei K-zulässig. Sei .; V / eine irreduzible Darstellung von L. Wir wollen zeigen, dass HomL .V ; V / endlichdimensional ist. Nach Lemma 7.5.15 hat dieser Raum die gleiche Dimension wie HomK .V ; ILK . //. Da  zulässig ist bezüglich der Gruppe S K, reicht es daher, zu zeigen, dass ILK . / endlich-dimensional ist. Sei K D jnD1 Lkj , dann ist jedes f 2 ILK . / durch die endlich vielen Werte f .k1 /; : : : ; f .kn / eindeutig festgelegt, also ist die Dimension von ILK . / höchstens dim.V /ŒK W L , also endlich. Nun zur letzten Aussage des Lemmas. Sei K eine kompakte offene Untergruppe von G. Sei nun L eine gegebene kompakte Untergruppe, so dass  zulässig ist bezüglich L. Wir müssen zeigen, dass  auch schon K-zulässig ist. Die Gruppe K \ L ist offen in L, also hat sie endlichen Index in L, damit ist  schon K \ Lzulässig und daher auch K-zulässig. 

Satz 7.5.20 (Tensorprodukt-Satz) Für jede Stellenmenge S ist jede zulässige irreduzible unitäre Darstellung N von GS isomorph zu einem eindeutig bestimmten Tensorprodukt der Form p2S p wobei alle p unitär, zulässig und irreduzibel sind. Fast alle p sind unverzweigt.

Der Beweis braucht ein bisschen Arbeit.

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

191

Sei G eine lokalkompakte Gruppe. Die Menge Cc .G/ aller stetigen Funktionen mit kompakten Trägern ist eine komplexe Algebra unter der Faltung Z Z 1 f g.x/ D f .y/g.y x/ dy D f .xy/g.y 1 / dy ; f; g 2 Cc .G/ : G

G

Sei nun eine kompakte Untergruppe K  G gegeben. Sind ˛; ˇ 2 C.K/, so haben wir auch auf K eine Faltung Z ˛ ˇ.k/ D ˛.l/ˇ.l 1 k/ dl K

und C.K/ wird eine Faltungsalgebra. Nun wollen wir aber Funktionen auf K und Funktionen auf G miteinander falten. Für ˛ 2 C.K/ und f 2 Cc .G/ definieren wir Z Z ˛ f .x/ D ˛.k/f .k 1 x/ dk und f ˛.x/ D f .xk/˛.k 1 / dk : K

K

Wir normalisieren das Haar-Maß der kompakten Gruppe K so, dass vol.K/ D 1 gilt. In vielen Fällen, wie zum Beispiel im Fall G D GL2 .R/ und K D O.2/ ist K eine Nullmenge in G. Sollte dies nicht der Fall sein, so ist das Haar-Maß G von G, eingeschränkt auf K, auch ein Haar-Maß von K. In dem Fall verlangen wir, dass dieses Haar-Maß mit dem auf K gewählten übereinstimmt. Wir können jedes f 2 C.K/ als Funktion auf G auffassen, indem wir f außerhalb von K durch Null fortsetzen. In diesem Sinne können wir die Summe Cc .G/ C C.K/ als Untervektorraum des Raums aller Abbildungen von G nach C auffassen. Ist K offen in G, so gilt C.K/  Cc .G/ und damit Cc .G/ C C.K/ D Cc .G/. Ist K nicht offen in G, so ist die Summe Cc .G/ C C.K/ eine direkte Summe (Aufgabe 7.10). Lemma 7.5.21 Mit dieser Normalisierung sind die beiden Faltungsprodukte über G und K kompatibel in dem Sinne, dass stets gilt f .g h/ D .f g/ h : für alle möglichen Kombinationen von f; g; h, die in Cc .G/ oder in C.K/ liegen können. Ferner gilt stets .f g/ D g f  ; wobei f  .x/ D .x 1 /f .x 1 / und .x/ die Modularfunktion von G ist. Wir fassen diese Aussagen zusammen, indem wir sagen, dass mit diesen Strukturen der Vektorraum Cc .G/ C C.K/

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

192

eine *-Algebra wird. Ist .; V / eine unitäre Darstellung von G, soRdefiniert  eine *-Darstellung von Cc .G/ C C.K/ durch die Integrale .f / D G f .x/.x/ dx R falls f 2 Cc .G/ und .f / D K f .k/.k/ dk falls f 2 C.K/. Beweis: Man rechnet dies leicht nach. Es steckt hinter dieser Aussage allerdings eine tiefere Wahrheit, diese Faltungsprodukte sind Spezialfälle einer umfassenderen Konstruktion, nach der man allgemeiner Radon-Maße auf G miteinander falten kann. Wir brauchen diese allgemeine Aussage allerdings nicht. Als Beispiel rechnen wir die Assoziativität für den Fall f; g 2 Cc .G/ und h 2 C.K/ nach. Es ist dann Z Z Z f .y/ g.y 1 xk/h.k 1 / dk dy f .g h/.x/ D f .y/g h.y 1 x/ dy D G

Z Z

D

G

K

f .y/g.y 1 xk/h.k 1 / dy dk D

K G

Z

f g.xk/h.k 1 / dk

K

D .f g/ h.x/ : 

Das Lemma ist bewiesen.

Definition 7.5.22 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und K eine kompakte Untergruppe. Eine Funktion f auf G heißt K-endlich, falls die Menge aller Funktionen x 7! f .k1 xk2 /, k1 ; k2 2 K einen endlich-dimensionalen Teilraum von Abb.G; C/ aufspannt. Es ist leicht zu sehen, dass das Faltungsprodukt zweier K-endlicher Funktionen in Cc .G/ wieder eine K-endliche Funktion ist. Analog definieren wir die K-endlichen Elemente von C.K/. Beispiel 7.5.23 Sei f 2 Cc .G/. Betrachte die Darstellung  der kompakten Gruppe K  K auf L2 .G/ gegeben durch .k; l/'.x/ D '.k 1 xl/ : Dann hat der Hilbert-Raum L2 .G/ die isotypische Zerlegung M L2 .G/./ : L2 .G/ D

b

2KK

Entsprechend lässt sich f als Summe schreiben X f : f D

b

2KK

Die Funktion f ist genau dann K-endlich, wenn f D 0 für fast alle . Das heißt, die Menge der K-endlichen Vektoren ist genau die algebraische direkte Summe aller Isotypen L2 .G/./,  2 K  K. Damit liegt die Menge der K-endlichen Funktionen dicht in L2 .G/.

2

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

193

Definition 7.5.24 Wir definieren die Hecke-Algebra H D HG;K des Paares .G; K/ als die Faltungsalgebra aller K-endlichen Funktionen in Cc .G/. Lemma 7.5.25 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und K eine kompakte Untergruppe. O Für F 2 IK setze eF D (a) P Sei IK die Menge aller endlichen Teilmengen von K. e und 2F  CF def D eF HG;K eF : Dann ist CF ist eine Unteralgebra von H D HG;K . Die Hecke-Algebra H ist die Vereinigung all dieser Unteralgebren. Ist F D fg eine einelementige Menge, so schreiben wir auch CF D C . (b) Ist .; V / eine unitäre Darstellung von G, so ist der Raum .H/V dicht in V . (c) Die Hecke-Algebra ist eine *-Algebra mit der Involution f  .x/ D .x 1 / f .x 1 /. Ist  eine unitäre Darstellung von G, so definiert  eine *-Darstellung von H. Für zwei unitäre Darstellungen ;  0 von G gilt  ŠG  0 ,  ŠH  0 ; das heißt,  und  0 sind genau dann unitär isomorph als G-Darstellungen, wenn sie als H-Darstellungen unitär isomorph sind. Beweis: eF ist idempotent, da die e alle idempotent sind und e e D 0 ist falls  ¤  . Da H aus K-endlichen Funktionen besteht, ist H die Vereinigung aller CF . Damit ist Teil (a) bewiesen. Nun zu (b). Für h 2 C.K/ schreiben wir auch Z h.k/.k/ dk : .h/ D K

Sei F 2 IK und PF D .eF /. Dann gilt PF2 D .eF /.eF / D .eF eF / D .eF / D P ist gerade LF . Also ist PF eine Projektion. Das Bild dieser Projektion L V .F / D 2F V ./, der F -Isotyp von  und der Kern ist …F V ./. Nach Satz 7.5.12 ist die Vereinigung aller V .F / mit F 2 IK dicht in V . Es reicht also zu zeigen, dass .CF /V dicht ist in V .F /. Sei v 2 V .F / und sei " > 0. Da .eF / stetig ist, existiert ein C > 0 so dass jj.eF /wjj  C jjwjj für jedes w 2 V richtig ist. Da die Abbildung G  V ! V ; .g; v/ 7! .g/v stetig ist, existiert eine Umgebung U der Eins in G, so dass x 2 U ) jj.x/v  vjj < "=C . Sei nun R f 2 Cc .G/ mit Träger in U so dass f  0 ist und G f .x/ dx D 1 gilt. Dann folgt ˇˇ ˇˇ ˇˇ Z ˇˇZ ˇˇ ˇˇ ˇ ˇ jj.f /v  vjj D ˇˇ f .x/..x/v  v/ dx ˇˇˇˇ  f .x/ jj.x/v  vjj dx < "=C : ˇˇ ˇˇ G

G

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

194

Es gilt eF f eF 2 CF  H und es gilt jj.eF f eF /v  vjj D jj.eF /..f /v  v/jj < " : Wir beweisen schließlich (c). Die Abgeschlossenheit unter * ist klar. Sei  eine unitäre G-Darstellung, dann gilt für f 2 H, Z Z  1 1 .f / D .x /f .x /.x/ dx D f .x/.x 1 / dx G

Z D G

0 f .x/.x/ dx D @

G

Z

1

f .x/.x/ dx A

D .f / :

G

Sind  und  0 als G-Darstellungen isomorph, so auch als H-Darstellungen. Sei umgekehrt T W V ! V 0 ein unitärer H-Isomorphismus, also gilt T .f / D  0 .f /T für jedes f 2 H. Wir stellen zunächst fest, dass dies schon für f 2 Cc .G/ gilt. O Hierzu sei S D T .f /   0 .f /T , dann ist für jede endliche Teilmenge F von K,  0 .eF /S.eF / D T .eF f eF /   0 .eF f eF /T D 0 : „ ƒ‚ … 2H

Es folgt, dass S v D 0 für jeden Vektor v 2 V .F / und da die V .F / einen dichten Teilraum von V aufspannen, gilt S D 0, also T .f / D  0 .f /T gilt für jedes f 2 Cc .G/. Sei " > 0 und seien x 2 G und v 2 V , dann existiert wegen der Stetigkeit der Darstellungen  und  0 eine Umgebung U von x 2 G so dass jj.u/v  .x/vjj < "=2 und jj 0 .u/TR v   0 .x/T vjj < "=2. Sei f 2 Cc .G/ mit Träger in U und so dass f  0 und G f .x/ dx D 1. Da T unitär ist, gilt jjT .f /v  T .x/vjj D jj.f /v  .x/vjj ˇˇ ˇˇ ˇˇ ˇˇZ Z ˇˇ ˇˇ ˇ ˇ ˇ ˇ f .u/ jj.u/v  .x/vjj du < "=2 D ˇˇ f .u/..u/v  .x/v/ duˇˇ  ˇˇ ˇˇ G

G

und ebenso jjT .f /v   0 .x/T vjj D jj 0 .f /T v   0 .x/T vjj < "=2. Hieraus folgt jjT .x/v   0 .x/T vjj < ". Da " > 0 und v 2 V beliebig sind, ist also T .x/ D  0 .x/T . 

2

Satz 7.5.26 Seien G und H lokalkompakte Gruppen und K; L kompakte Unb L ! G  H KL gegeben durch bK  H tergruppen. Dann ist die Abbildung G .; / 7!  ˝  eine Bijektion.

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

195

Beweis: Die Injektivität folgt aus Lemma 7.5.9. Das Problem ist die Surjektivität. Ist .; V / eine irreduzible unitäre Darstellung von G, so definiert jedes f 2 Cc .G/ einen stetigen Operator auf V . Ist 0 ¤ v 2 V , so ist .Cc .G//v ein Gstabiler Unterraum von V . Da  irreduzibel ist, muss .H/v ein dichter Unterraum sein. Lemma 7.5.27 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und K  G eine kompakte Untergruppe. G. Sei F eine endliche Teilmenge (a) Sei .; V / eine irreduzible Darstellung vonL O Dann ist der F -Isotyp V .F / D von K. 2F V ./ ein irreduzibler CF Modul. Insbesondere ist .H/V ein irreduzibler H-Modul. Ist V .F / endlichdimensional über C, so ist V .F / ein regulärer CF -Modul. (b) Ist .; V / eine unitäre Darstellung von G und ist F eine endliche TeilmenO Ist M ein endlich-dimensionaler irreduzibler CF -Untermodul von ge von K. V .F /, so ist die von M erzeugte G-Unterdarstellung von  irreduzibel. (c) Sind ;  irreduzible unitäre Darstellungen, die K-zulässig sind, so folgt  Š  , V .F / Š V .F / für jedes F 2 IK ; wobei rechts die Isomorphie als CF -Moduln gemeint ist. Beweis: (a) Um die Irreduzibilität von V .F / zu zeigen, sei 0 ¤ U  V .F / ein abgeschlossener Untermodul. Da V irreduzibel ist, ist .Cc .G//U dicht in V . Sei PF W V ! V .F / die isotypische Projektion. Für h 2 C.K/ schreiben wir auch Z .h/ D h.k/.k/ dk : K

Es gilt dann PF D .eF /. Sei f 2 Cc .G/, dann gilt .f /.e / D .f e /

und .e /.f / D .e f / ;

wie man leicht nachrechnet. Da die Projektion PF stetig ist, liegt der Raum PF .Cc .G/U / dicht in V .F /, also ist PF .Cc .G/U / D V .F /. Nun ist aber PF D .eF /, also ist V .F / D PF .Cc .G/U / D .eF /Cc .G/U D .eF Cc .G/ eF /U D .CF /U D U D U ; und damit ist V .F / in der Tat irreduzibel. Nun sei V .F / endlich-dimensional. Wir haben gerade gezeigt, dass .CF /V .F / dicht in V .F / liegt. Da dieser Raum endlich-dimensional ist, ist sein einziger dichter Unterraum schon er selbst, also folgt .CF /V .F / D V .F /, also ist V .F / regulär.

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

196

(b) Wir benutzen folgendes Prinzip. Ist M ein Modul einer C-Algebra A und ist m0 2 M ein Element, so ist der Annullator AnnA .m0 / def D fa 2 A W am0 D 0g ein Linksideal in A und die Abbildung a 7! am0 induziert einen Modulisomorphismus A= AnnA .m0 / ! Am0 : Ist insbesondere M endlich-dimensional über C und irreduzibel, so folgt M D Am0 , also M Š A=J mit J D AnnA .m0 /. Nun sei M ein endlich-dimensionaler irreduzibler CF -Untermodul von V .F /. Wir können M ¤ 0 annehmen. Sei U der von M erzeugte G-stabile abgeschlossene Unterraum von V . Wir zeigen dass PF .U / D M ist, wobei PF D .eF / die Orthogonalprojektion auf den F -Isotyp ist. Hierzu sei v0 ¤ 0 ein Vektor in M und sei J D AnnCF .v0 /. Dann ist J ein Linksideal und die Abbildung a 7! av0 ist ein Š

Modul-Isomorphismus CF =J ! M , da M endlich-dimensional ist. Behauptung: Sei J der Annullator AnnCc .G/ .v0 / von v0 in Cc .G/. Dann gilt J D J eF ˚ AnnCc .G/ .eF / ; wobei AnnCc .G/ .eF / der Annullator von eF in Cc .G/ ist, also die Menge aller f 2 Cc .G/ mit f eF D 0. Wir beweisen die Behauptung. Zunächst ist klar, dass J eF  AnnCc .G/ .v0 / D J . Ferner ist v0 D eF v0 und damit folgt auch AnnCc .G/ .eF /  AnnCc .G/ .v0 / D J . Es bleibt zu zeigen, dass J in der rechten Seite liegt. Da eF ein Idempotent ist, ist Cc .G/ D Cc .G/eF ˚ AnnCc .G/ .eF /, denn jedes f 2 Cc .G/ lässt sich schreiben als f D f eF C .f  f eF / und f  f eF liegt im Annullator von eF . Ferner ist AnnCc .G/ .eF /  AnnCc .G/ .v0 / D J und damit folgt die Behauptung. Es folgt hiermit Cc .G/v0 Š Cc .G/=J Š Cc .G/eF =.J eF / : Damit ist PF .Cc .G/v0 / Š eF Cc .G/eF =.J eF / Š CF =J Š M : Hieraus folgt PF .U / D M . Ist nun U 0 eine Unterdarstellung von U , so ist PF .U 0 / D 0 oder M . Im ersten Fall ist M  .U 0 /? und also U  .U 0 /? , da der Raum .U 0 /? eine Unterdarstellung ist. Hieraus folgt aber U 0 D 0. Im anderen Fall ist M  U 0 und damit U 0 D U . In der Tat ist also U irreduzibel. (c) Sind .; V /; .; V / isomorphe Darstellungen, so sind auch die CF -Moduln V .F / und V .F / isomorph. Sei umgekehrt für jedes F ein CF -Isomorphismus F W V .F / ! V .F / gegeben. Nach dem Lemma von Schur unterscheiden sich für gegebenes F zwei Isomorphismen V .F / ! V .F / nur um ein Skalar, also

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

197

können wir die Isomorphismen so normieren, dass sie einander fortsetzen, dass also gilt F D F 0 jV .F / , falls F  F 0 . Dann kann man die F zusammensetzen zu einem H-Isomorphismus Š

 W .H/V ! .H/V : Beide Seiten sind dichte Unterräume. Wenn wir zeigen können, dass  isometrisch ist, setzt diese Abbildung nach Lemma 7.5.25 zu einem Isomorphismus von GDarstellungen fort. Sei 0 ¤ v0 2 .H/V und sei w0 D .v0 /. Wir können annehmen, dass jjv0 jj D jjw0 jj D 1 und wir behaupten, dass  dann isometrisch sein muss. Hierzu transportieren wir via  beide Skalarprodukte auf dieselbe Seite, wir haben also, sagen wir, auf .H/V zwei Skalarprodukte h:; :i1 und h:; :i2 so dass v0 in beiden die Norm 1 hat und die Operation von H ist in beiden eine -Operation. Auf dem endlich-dimensionalen Raum .CF /V müssen die Skalarprodukte aber nach dem Lemma von Schur übereinstimmen. Da dies für jedes F 2 IK gilt, ist  ist wirklich isometrisch.  Seien nun G; H lokalkompakt mit kompakten Untergruppen K  G und L  H . Sei E eine endliche Teilmenge von KO und F eine endliche Teilmenge O Es gibt einen natürlichen Homomorphismus von L. W Cc .G/ ˝ Cc .H / ! Gc .G  H / gegeben durch .f ˝ g/.x; y/ D f .x/g.y/ : Dies induziert einen Homomorphismus CE ˝ CF ! CE F : Diese Abbildung ist in der Regel nicht surjektiv, aber für unsere Zwecke spielt das keine Rolle, denn es gilt Lemma 7.5.28 Ist M ein endlich-dimensionaler irreduzibler CE F -*-Untermodul einer unitären G-Darstellung, dann ist er schon irreduzibel und regulär als CE ˝ CF -Modul. Beweis: Wir versehen CE F  L1 .G  H / mit der Topologie der L1 -Norm. Dann liegt CE ˝ CF dicht in CE F , wie man leicht aus der Tatsache folgert, dass Cc .G/ in L1 .G/ dicht liegt. Die Darstellung  W CE F ! EndC .M / ist eine stetige Abbildung, da M von einer unitären Darstellung von G  H kommt. Also liegt das Bild von CE ˝ CF dicht in dem (endlich-dimensionalen) Bild von CE F in End.M /, die Bilder sind also gleich.  Um Satz 7.5.26 zu beweisen, brauchen wir demnach nur noch die zweite Aussage des folgenden Lemmas:

198

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

Lemma 7.5.29 (a) Sei A eine C-Algebra und M ein einfacher regulärer A-Modul, der endlich-dimensional über C ist. Dann ist die Abbildung A ! EndC .M / surjektiv. (b) Seien A; B Algebren über C und sei R D A ˝ B. Sind M; N einfache reguläre Moduln unter A bzw. B, die endlich-dimensional über C sind, dann ist M ˝ N ein einfacher regulärer R-Modul und jeder einfache reguläre R-Modul, der endlich-dimensional über C ist, ist von dieser Form für eindeutig bestimmte M und N . Beweis: Teil (a) ist ein wohlbekannter Satz von Wedderburn, ein Beweis findet sich z. B. in Langs Buch über Algebra [24]. Allerdings ist dort vorausgesetzt, dass die Algebra A ein Einselement besitzt, was wir durch die schwächere Voraussetzung der Regularität von M ersetzt haben. Wir müssen also zeigen, wie man (a) aus der entprechenden Aussage für Algebren mit Eins folgert. Dies ist eine interessante Technik, die sich Adjunktion einer Eins nennt. Wir versehen den Vektorraum B D A  C mit dem Produkt .a; z/.b; w/ D .ab C zb C wa; zw/ : Dann ist B eine Algebra mit Einselement .0; 1/, die A als zweiseitiges Ideal enthält. Man sagt, dass B aus A durch Adjunktion einer Eins entsteht. Jeder A-Modul M wird zu einem B-Modul, indem man .a; z/m D am C zm setzt. Ist nun A0  EndC .M / das Bild von A und B 0  EndC .M / das Bild von B, so gilt nach dem Satz von Wedderburn, wie er in Langs Buch steht, dass B 0 D EndC .M / ist. Betrachte zunächst den Fall, dass dimC .M / D 1 ist. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: entweder ist A0 D 0 oder A0 D EndC .M / D CIdM . Die erste Möglichkeit ist durch die Regularität ausgeschlossen, also folgt A0 D EndC .M /. Sei nun dimC .M /  2. Angenommen, A0 ¤ EndC .M / D B 0 . Dann ist A0 ein zweiseitiges Ideal in B 0 , das nicht das Nullideal ist. Die Algebra EndC .M / Š Mn .C/ mit n D dimC .M / hat aber keine zweiseitigen Ideale außer den trivialen 0 und Mn .C/ (Aufgabe 7.2). Wegen der Regularität ist wieder A0 ¤ 0, also folgt A0 D B 0 D EndC .M / wie behauptet. Zu Teil (b). Nach (a) reicht es, die erste Aussage für den Fall A D EndC .M / und B D EndC .N / zu zeigen. Die kanonische Abbildung von der Algebra EndC .M / ˝ EndC .N / nach EndC .M ˝ N / ist aber surjektiv und damit ist M ˝ N einfach. Sei nun ein C-endlich-dimensionaler einfacher A ˝ B-Modul V gegeben. Dann enthält V einen einfachen A-Modul M , da V endlich-dimensional ist. Sei N D HomA .M; V /. Dieser Vektorraum ist in offensichtlicher Weise ein B-Modul. Betrachte die Abbildung  W M ˝ N ! V gegeben durch .m ˝ ˛/ D ˛.m/ : Dann ist  ¤ 0 ein A ˝ B-Homomorphismus, also surjektiv, da V einfach ist. Wir müssen nun zeigen, dass  keinen nichttrivialen Kern hat. Sei hierzu ˛1 ; : : : ; ˛k eine Basis von N und m1 ; : : : ; ml eine Basis von M . Seien ci;j 2 C gegeben mit

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

199



P

 i;j ci;j mi ˝ ˛j D 0. Wir müssen zeigen, dass aller Koeffizienten ci;j gleich Null sind. Es ist 1 0 ! X X X X A @ ci;j mi ˝ ˛j D ci;j ˛j .mi / D ˛j ci;j mi : 0 D  i;j

i;j

j

i

Sei P W M ! M eine Projektion auf einen eindimensionalen Unterraum, sagen wir Cm0 . Nach Teil (a) existiert ein a 2 A mit am D P m für jedes m 2 M . Es folgt !! X X X 0 D ˛j P ci;j mi j ˛j .m0 / ; D j

wobei P

P i

ci;j mi



i

j

D j m0 . Ist nun a 2 A beliebig, so folgt 0 D

X

j ˛j .am0 / :

j

Nun durchläuft am0 aber ganz M , wenn a in A läuft, also ist X j ˛j D 0 : j

Wegen derPlinearen Unabhängigkeit der ˛j sind alle j D 0. Damit sind dann aber auch alle i ci;j mi D 0 und wegen linearer Unabhängigkeit alle ci;j D 0. Der Beweis zeigt außerdem, dass alle einfachen A-Untermoduln von V isomorph sind, was die Eindeutigkeit liefert.  Wir beweisen nun den Satz 7.5.26. Sei  eine K  L-zulässige irreduzible Darstellung von G  H . Sei E eine endliche Teilmenge von KO und F eine endliO Dann ist nach Lemma 7.5.28 ist V .E  F / ein endlichche Teilmenge von L. dimensionaler irreduzibler regulärer CE ˝ CF -Modul und nach Lemma 7.5.29 ist V .E  F / ein Tensorprodukt von Moduln, das wir als V .E/ ˝ V .F / schreiben. Die Eindeutigkeit der Tensorfaktoren stiftet uns injektive Homomorphismen E0 'E W V .E/ ! V .E 0 / wenn E  E 0 und ebenso für F . Die Eindeutigkeit der Skalarprodukte nach dem Schurschen Lemma erlaubt es uns, diese Homomorphismen so zu skalieren, dass sie isometrisch sind. Wir definieren dann V .E/ : VQ def D lim ! Dann ist VQ ein Prä-Hilbert-Raum und wir schreiben V für seine Komplettierung. Ebenso konstruieren wir V . Für jede endliche Teilmenge E  KO operiert die Algebra CE auf VQ und zwar durch stetige Operatoren. Diese setzen sich also stetig nach V fort und man erhält eine *-Darstellung der Hecke-Algebra HG und ebenso

200

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

für V . Nach Konstruktion sind die Isotypen von V genau die Räume V .E/ für E 2 IK . Die isometrischen Abbildungen V .E/ ˝ V .F / ,! V setzen sich zusammen zu einem isometrischen HG ˝ HH -Homomorphismus ˆ W V ˝ V ! V , der wegen der Irreduzibilität von  ein Isomorphismus sein muss. Wir müssen jetzt noch eine unitäre Darstellung der Gruppe G  H auf V ˝ V installieren, also zuerst eine Darstellung  von G auf V . Fixiere einen beliebigen Vektor w 2 V ˆ

mit jjwjj D 1, so liefert die Abbildung V ! V ˝ w ! V eine isometrische Einbettung von V nach V , die mit der HG -Operation vertauscht. Die GDarstellung auf V definiert dann eine unitäre G-Darstellung auf V , die die HG Darstellung induziert. Dasselbe machen wir mit H und erhalten irreduzible unitäre Darstellungen  und  von G und H so dass ˆ ein G  H -Isomorphismus ist.  Nun beweisen wir Satz 7.5.20. Ist S eine endliche Stellenmenge, so folgt Satz 7.5.20 direkt aus Satz 7.5.26. Ebenso kann man die unendliche Stelle aus S herausnehmen. Sei also S unendlich und 1 … S . Sei .; V / eine irreduzible unitäre Q zulässige Darstellung von GS und sei KS die kompakte offene Untergruppe O p2S Kp . Dann existiert nach Lemma 7.5.27 ein  2 KS so dass V ./ ¤ 0 ein irreduzibler Modul der Hecke-Algebra C ist. Nach Lemma 6.2.5 ist  auf einer offenen Q Untergruppe von  KS trivial. Also existiert eine endliche Stellenmenge T  S mit  K D 1. Nach Satz p p2SXT Q 7.5.26 können wir GS durch GSXT ersetzen, können also annehmen, dass K D p2S Kp und  D 1. Dann ist nach der Aufgabe 7.14 die Faltungs-Algebra C1 D Cc .G/K kommutativ, damit ist jeder irreduzible -Modul eindimensional, also ist V ./ D VK eindimensional. Für jede endliche Teilmenge T QS erzeugt VK nach Lemma 7.5.27 (b) Neine irreduzible Darstellung N T von GT D p2T Gp . Mit p D fpg folgt T Š p2T p . Sei  D p2S p . Nach Satz 7.5.10 ist N irreduzibel. Für jede endliche Teilmenge T  S erhalten wir eine Isometrie T D p2T p ,! . Diese Isometrien können kompatibel gewählt werden, so dass sie eine GS -äquivariante Isometrie  ,!  ergeben. Da  irreduzibel ist, ist diese Abbildung ein Isomorphismus. Damit ist der Tensorprodukt-Satz bewiesen. 

7.5.3 Zulässigkeit automorpher Darstellungen Eine irreduzible Darstellung  von GA heißt kuspidale Darstellung, falls  isomorph zu einer Unterdarstellung von L2cusp ist. Wir wollen den Tensorprodukt-Satz auf kuspidale Darstellungen anwenden. Dazu müssen wir nachweisen, dass diese zulässig sind. Sei A die Faltungsalgebra Cc1 .GA /. Eine unitäre Darstellung .; V / heißt kompakte Darstellung, falls der Operator .a/ kompakt ist für jedes a 2 A. Jede Unterdarstellung einer kompakten Darstellung ist kompakt. In Proposition 7.4.3 haben wir nachgewiesen, dass der Raum der Spitzenformen L2cusp eine kompakte Darstel-

7.5 Der Tensorprodukt-Satz

201

lung definiert und in Proposition 7.3.13 haben wir gezeigt, dass eine kompakte Darstellung stets eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen ist.

Satz 7.5.30 Jede irreduzible kompakte Darstellung ist zulässig. Insbesondere ist jede kuspidale Darstellung zulässig.

Beweis: Sei .; V / eine irreduzible kompakte Darstellung Q und sei .; V / eine irreduzible Darstellung der kompakten Gruppe KA D p1 Kp , wobei K p D N GL2 .Zp / falls p < 1 und K1 D SO.2/. Dann ist  ein Tensorprodukt  D p p . Sei A D e Ae , dann ist V ./ ein irreduzibler A - -Modul. Die Algebra A ist ein Tensorprodukt der Form A1 ˝Afin , wobei A1 D e1 Cc1 .G1 /e1 und ebenso für Afin . Lemma 7.5.31 Die Algebra A1 ist kommutativ. Beweis: Die irreduziblen Darstellungen der Gruppe K1 D SO.2/ sind durch die Charaktere " , 2 Z gegeben, wobei   " ba b D .a C i b/ : a Die Algebra A1 kann verstanden werden als die Faltungsalgebra der Funktionen f 2 Cc1 .G1 / mit f .k1 xk2 / D ".k1 k2 /f .x/ für k1 ; k2 2 K1 . Sei D die Menge der Diagonalmatrizen. In Aufgabe 3.3 wurde gezeigt, dass G1 D K1 DK1 . Betrachte die Abbildung  W G ! G gegeben durch     .x/ D 1 1 x t 1 1 : Es folgt .kal/ D lak, wenn k; l 2 K1 und a 2 A1 . Daher ist für f 2 A1 schon f D f , wobei f .x/ D f ..x//. Da aber  ein Anti-Automorphismus von G ist, d. h., .xy/ D .y/.x/, gilt für beliebige f; g 2 Cc .G/, dass .f g/ D g f . Hieraus folgt die Behauptung, denn für f; g 2 A1 gilt f g D .f g/ D g f D g f :



R Wir beenden den Beweis des Satzes. Für f 2 A1 definieren wir .f / D G1 f .x/.x/ dx und analog für Afin . Da A1 kommutativ ist, vertauscht jedes f 2 A1 mit jedem a 2 A , also vertauscht .f / mit jedem .a/ mit a 2 A . Nach dem Lemma von Schur operiert .f / auf dem Isotyp V ./ als ein Skalar. Sei e das zu  gehörige Idempotent. Dann ist .e / die Orthogonalprojektion auf den K-Isotyp V ./. Wähle ein f 2 A1 so dass .f / als Identität auf V ./ operiert. Der Operator .e /.f / ist einerseits kompakt, operiert andererseits auf V ./ als eine Orthogonalprojektion. Ergo muss V ./ endlich-dimensional sein, was zu zeigen war. 

202

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

7.6 Aufgaben und Anmerkungen Aufgabe 7.1 Sei .X; d / ein separabler metrischer Raum und sei Z  X eine Teilmenge. Zeige, dass Z ebenfalls separabel ist. Aufgabe 7.2 Zeige, dass die komplexe Algebra Mn .C/ der n  n Matrizen außer 0 und Mn .C/ keine zweiseitigen Ideal hat. (Hinweis: Ist J ein zweiseitiges Ideal und A 2 J , so auch die selbstadjungierte Matrix AA , die diagonalisierbar ist. Ist J ¤ 0, so muss J invertierbare Elemente enthalten.) Aufgabe 7.3 Zeige, dass jede Darstellung .; V / einer kompakten Gruppe K in eine direkte Summe von irreduziblen zerfällt, d. h., dass es einen dichten Unterraum gibt, der eine algebraische direkte Summe von irreduziblen Unterräumen ist. Zeige weiter, dass dieser Raum eindeutig bestimmt ist, falls die Darstellung  zulässig bezüglich K ist. kann den Peter-Weyl-Satz so formulieren, dass L2 .K/ D L (Hinweis: man 2 L.e /L .K/ als topologische Summe, L wobei L die Darstellung durch 2b K Linkstranslation ist. Insbesondere ist C.K/ D  e C.K/. Beachte nun, dass .C.K//V dicht liegt in V .) Aufgabe 7.4 Zeige, dass die Modularfunktion von der Gruppe Bp D Ap Np gegeben ist durch Bp .an/ D aı . Aufgabe 7.5 Seien V; W Hilbert-Räume. Zeige, dass die hermitesche Fortsetzung von ˝ ˛ ˛˝ ˛ ˝ 0 0 v ˝ w; v 0 ˝ w 0 def D v; v w; w ein Skalarprodukt auf dem algebraischen Tensorprodukt V ˝ W definiert. P (Hinweis: Für die Definitheit sei f D v ˝ w ein Element des Tensori i i porduktes. Man kann dann die endlich vielen vi orthonormalisieren und erhält eine neue Darstellung von f , also kann man annehmen, dass die vi paarweise orthogonal sind.) Aufgabe 7.6 Zeige, dass für drei Hilbert-Räume V1 ; V2 ; V3 die Tensorprodukte .V1 ˝ V2 / ˝ V3 und V1 ˝ .V2 ˝ V3 / kanonisch isomorph sind. Zeige weiter, dass V1 ˝ V2 kanonisch isomorph zu V2 ˝ V1 ist. (Hinweis: Man muss zeigen, dass die kanonischen Isomorphismen der algebraischen Tensorprodukte isometrisch sind.) Aufgabe 7.7 Seien .; V / und .; W / unitäre Darstellungen der lokalkompakten Gruppen G und H . Zeige, dass  D  ˝  eine unitäre Darstellung von G  H auf O dem Hilbert-Raum V ˝W ist.

7.6 Aufgaben und Anmerkungen

203

(Hinweis: Der schwierigste Punkt ist die Stetigkeit. Dazu muss man für g; g0 2G, O Ausdrücke der Form jj.g 0 ; h0 /v 0  .g; h/vjj abschäth; h0 2 H und v; v 0 2 V ˝W zen. Man benutzt die Dreiecksungleichung, indem man Terme der Form .g 0 ; h0 /v oder auch .g0 ; h/v einbringt.) Aufgabe 7.8 Zeige, dass das unendliche Tensorprodukt von unitären Darstellungen, wie definiert vor dem Satz 7.5.10, eine unitäre Darstellung ist. (Hinweis: Es istN zu zeigen, dass für konvergente Folgen gn ! g in G und vn ! v in W D p Vp gilt .gn /vn ! .g/v. Ähnlich wie im Beweis von Satz 7.1.3 kann man sich auf Vektoren in einem dichten Teilraum zurückziehen.) Aufgabe 7.9 Benutze den Peter-Weyl-Satz um zu zeigen, dass ( e falls  Š  ; e e D 0 sonst. Aufgabe 7.10 Sei H eine Untergruppe der lokalkompakten Gruppe G. Wir setzen jede stetige Funktion f 2 C.H / auf H durch Null nach G fort und fassen so C.H / als Teilmenge der Menge aller Abbildungen von G nach C auf. Zeige: C.H /  C.G/

,

H offen in G :

Zeige weiter: Ist H nicht offen in G, dann gilt C.H / \ C.G/ D 0 : Aufgabe 7.11 Sei .; V / eine Darstellung von Gp D GL2 .Qp /. Ein Vektor v 2 V heißt glatt, falls sein Stabilisator in Gp offen ist. Zeige: der Vektorraum V 1 der glatten Vektoren in V ist dicht in V . (Hinweis: Zeige, dass die Faltungsalgebra der lokalkonstanten Funktionen mit kompakten Trägern eine Dirac-Folge enthält.) Aufgabe 7.12 Sei p eine Primzahl und Mp die Menge der ganzzahligen 2  2 Ma trizen mit Determinante p. Zeige Mp D p 1 , wobei D SL2 .Z/. Aufgabe 7.13 Sei D SL2 .Z/, k 2 2N und f 2 Sk . / eine Spitzenform. Wir identifizieren Sk . / mit einem Unterraum von L2 .GQ ZR nGA /. Zur Unterscheidung schreiben wir A.f / 2 L2 .GQ ZR nGA / für das Element, das f zugeordnet wird. Sei p eine Primzahl und gp 2 C1 c .Gp / gegeben durch gp D 1

 1 Kp p

Für ' 2 L2 .Z.R/GQ nGA / sei R.gp /'.x/ D

 1

R Gp

Kp

:

gp .y/'.xy/ dy. Zeige:

R.gp /A.f / D p 1k=2 A.Tp f /; wobei Tp der Hecke-Operator aus Kap. 2 ist.

204

7 Automorphe Darstellungen der GL2 .A/

Aufgabe 7.14 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und K eine kompakte Untergruppe. Zeige, dass die Menge Cc .G/K aller K-biinvarianten Funktionen in Cc .G/ eine Unteralgebra von Cc .G/ ist. Ist Cc .G/K eine kommutative Algebra, so nennt man das Paar .G; K/ ein Gelfand-Paar. Zeige: Ist S eine Menge von Q endlichen Stellen, so ist .GL2 .AS /; GL2 .ZS // ist ein Gelfand-Paar, wobei ZS D p2S Zp ist. (Hinweis: Bestimme ein Vertretersystem von KnG=K wie in Proposition 2.7.2 aus dem letzten Semester. Zeige dann, dass die Matrixtransposition eine lineare Abbildung T W Cc .G/ ! Cc .G/ definiert mit T .f g/ D T .g/ T .f /. Beachte, dass das Haar-Maß auf G invariant ist unter Transposition und Inversenbildung.) Aufgabe 7.15 Sei G D SL2 .R/ und K D SO.2/. Zeige, dass für jedes  2 KO die Faltungsalgebra C kommutativ ist. (Hinweis: Da K abelsch ist, ist jede irreduzible unitäre Darstellung  von K durch einen Charakter e gegeben. Zeige, dass C genau aus den Funktionen f 2 Cc .G/ besteht, die f .uxl/ D e .u/e .l 1 /f .x/ erfüllen. Zeige dann, dass die Transposition eine lineare Abbildung T W C ! C definiert mit T .f g/ D T .g/ T .f /. Benutze nun Aufgabe 3.3 um zu sehen, dass T .f / D f ist für jedes f 2 C .) Aufgabe 7.16 Sei G eine lokalkompakte Gruppe und sei K eine kompakte offene Untergruppe. Wir normieren das Haar-Maß von G so, Rdass K das Maß 1 hat. Sei .; V / eine Darstellung von G. Zeige, dass .1K / D K .x/ dx eine Projektion ist mit Bild VK . Zeige weiter, dass .1K / eine Orthogonalprojektion ist, falls die Darstellung jK unitär ist. Aufgabe 7.17 Sei K eine total unzusammenhängende kompakte Gruppe. Zeige, dass jede irreduzible Darstellung  über einen endlichen Quotienten K=N von K faktorisiert. (Hinweis: Nach Satz 7.5.12 ist  endlich-dimensional. Zeige, dass GLn .C/ eine Einsumgebung hat, die außer der trivialen Gruppe keine Untergruppe enthält.)

Anmerkungen Wir haben in diesem Kapitel gezeigt, dass jede kuspidale Darstellung zulässig und ein Tensorprodukt ist. Darüber hinaus ist es richtig, dass jede irreduzible unitäre Darstellung von Gp ; G1 oder GA zulässig und damit ein Tensorprodukt von lokalen Darstellungen ist. Um dies zu beweisen muss man aber tiefer in die lokale Darstellungstheorie einsteigen, was hier zu aufwändig wäre. Ein Beweis für G1 findet sich etwa in [23], für Gp in [15].

Kapitel 8

Automorphe L-Funktionen

Sei R ein Ring. Wir schreiben M2 .R/ für die Algebra der 2  2-Matrizen über R. Für x 2 M2 .A/ sei Y j det.xp /j : jxj D j det.x/j D p1

Sei S.M2 .A// der Raum der Schwartz-Bruhat Funktionen auf M2 .A/, d. h. Qjedes f 2 S.M2 .A// ist eine endliche Summe von Funktionen der Form f D p fp , wobei fp D 1M2 .Zp / für fast alle p und fp 2 S.M2 .Qp // für alle p. Hierbei ist S.M2 .R// der Raum der Schwartz-Funktionen auf M2 .R/ Š R4 und S.M2 .Qp // ist der Raum der lokalkonstanten Funktionen mit kompakten Trägern auf M2 .Qp /.

8.1 Das Gitter M2 .Q/ Sei e der übliche additive Charakter auf A. Für x 2 M2 .A/ schreiben wir der Einfachheit halber e.x/ für e.Sp.x//, also   a b D e.a C d / : e c d Lemma 8.1.1 M2 .Q/ ist eine diskrete, cokompakte Untergruppe von M2 .A/, also ein Gitter. Das Gitter M2 .Q/ ist selbstdual in M2 .A/, d. h., für x 2 M2 .A/ gilt e.xy/ D 1 8y 2 M2 .Q/

,

x 2 M2 .Q/ :

Beweis: Da Q diskret ist in A und M2 .A/ Š A4 die Produkttopologie trägt, ist M2 .Q/ diskret in M2 .A/. Wegen M2 .A/= M2 .Q/ D A4 =Q4 D .A=Q/4 ist M2 .Q/ auch cokompakt in M2 .A/. A. Deitmar, Automorphe Formen DOI 10.1007/978-3-642-12390-0, © Springer 2010

205

8 Automorphe L-Funktionen

206

In der letzten Aussage ist die Rückrichtung erfülle    trivial. Für die Hinrichtung  x 2 M2 .A/ die Voraussetzung. Ist x D ac db 2 M2 .A/ und y D 0t 00 , so gilt   e.xy/ D e Sp at ct

0 0



D e.at/ :

Da t 2 Q beliebig ist, folgt a 2 Q. Der Rest geht ähnlich.



Für f 2 S.M2 .A// sei die Fourier-Transformation definiert durch Z fO.x/ D f .y/e.xy/dy : M2 .A/

Durch Ausnutzen der entsprechenden Tatsachen aus dem eindimensionalen Fall zeigt man, dass die Fourier-Transformation den Raum S.M2 .A// in sich überführt O und die Inversionsformel fO.x/ D f .x/ erfüllt.

8.2 Lokale Faktoren Wir führen zunächst den Begriff der Gruppenalgebra ein. Hierfür sei G eine Gruppe, dann ist die Gruppenalgebra CŒG über C definiert als die Faltungsalgebra aller Funktionen f W G ! C mit endlichen Träger. Genauer ist CŒG der komplexe Vektorraum aller f W G ! C so dass die Menge supp.f / D fg 2 G W f .g/ ¤ 0g endlich ist. Sind f; g 2 CŒG so definieren wir das Faltungsprodukt als f  g.x/ def D

X

f .y/g.y 1 x/ :

y2G

Die Gruppenalgebra hat eine kanonische Basis .ıy /y2G , wobei ( 1 x Dy; ıy .x/ D 0 x ¤y: Wir rechnen: ıx  ıy .z/ D

P

r2G ıx .r/ıy .r

1

z/ D ıy .x 1 z/ D ıxy .z/ : Also

ıx  ıy D ıxy : Diese Identität gibt uns eine weitere Möglichkeit, die Gruppenalgebra zu definieren. Demnach ist CŒG der Vektorraum mit einer Basis .ıy /y2G zusammen mit einer Multiplikation, die auf den Basiselementen durch ıx ıy D ıxy definiert dann linear auf den ganzen Raum fortgesetzt wird. Wir wollen in beiden Definitionen verstehen, was die Algebren-Homomorphismen von CŒG nach C sind, also die linearen Abbildungen  W CŒG ! C, die multiplikativ sind, also .ab/ D .a/.b/ für alle a; b 2 CŒG erfüllen und für die gilt .ı1 / D 1. Zunächst ist klar, dass dann die Abbildung ' W G ! C gegeben durch

8.2 Lokale Faktoren

207

'.y/ D .ıy / eine multiplikative Abbildung ist. Wegen 1 D .ı1 / D '.1/ D '.yy 1 / D '.y/'.y 1 /, folgt, dass jedes '.y/ invertierbar ist, also in der multiplikativen Gruppe C liegt. Damit induziert jeder Algebrenhomomorphismus  einen Gruppenhomomorphismus ' W G ! C . Die Umkehrung ist auch richtig, denn für gegebenes ' kann man  durch lineare Fortsetzung aus .ıy / D '.y/ gewinnen. Wir haben also eine kanonische Bijektion Š

HomAlg .CŒG; C/ ! HomGrp .G; C / : Wir wollen schließlich noch sehen, wie sich dies in der Darstellung von CŒG als Faltungsalgebra ausdrückt. Hierzu sei ein Gruppenhomomorphismus ' W G ! C gegeben und sei  der zugehörige Algebrenhomomorphismus. Sei f W G ! C eine Funktion P mit endlichem Träger. Dann lässt sich f als endliche Summe schreiben f D y2G f .y/ıy : Aus der Linearität von  ergibt sich X .f / D f .y/'.y/ : y2G

Diese Formel wird später gebraucht werden. Sei p < 1 eine Primzahl. Sei .; V / eine irreduzible zulässige Darstellung von Gp auf einem Hilbert-Raum. Wir nehmen an, dass  unverzweigt ist. Die Algebra K Hp p der Kp bi-invarianten Funktionen mit kompaktem Träger auf Gp operiert auf K dem Raum V Kp . Da dieser Raum eindimensional ist, operiert Hp p durch einen Kp Charakter  2 HomAlg .Hp ; C/. Sei Ap  Gp die Untergruppe der Diagonalelemente und Np D NQp die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen mit Einsen auf der Diagonale. Dann ist Bp D Ap Np die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen. Für a D diag.a1 ; a2 / sei ı.a/ D ja1 j=ja2 j. Dann ist .an/ D ı.a/ die Modularfunktion von Bp , wie in Aufgabe 7.4 gezeigt wurde. Sei das Haar-Maß dn auf Np so normalisiert, dass vol.NZp / D 1 ist. Um die kommende Definition der Satake-Transformation zu motivieren, erinnern wir uns an die Hauptserien-Darstellung . ; V / zu einem Quasicharakter  von A. Lemma 8.2.1 Die Darstellung  ist genau dann unverzweigt, wenn der QuasichaK rakter  unverzweigt ist. In diesem Fall gilt V p D Cp , wobei das Element p von V durch p .ank/ D aCı=2 ; für a 2 Ap , n 2 Np , k 2 Kp definiert ist. K

Beweis: Sei  unverzweigt und 0 ¤ ' 2 V p . Dann ist 'jKp konstant außerhalb einer Nullmenge, nach Abänderung von ' können wir also voraussetzen, dass ' konstant ist auf Kp . Gegebenenfalls multiplizieren wir ' mit einem Skalar, so dass diese Konstante gleich Eins ist. Also ist für a 2 Ap \ Kp : 1 D '.1/ D '.a/ D aCı=2 '.1/ D a ;

8 Automorphe L-Funktionen

208

das bedeutet, dass  unverzweigt ist. Sei umgekehrt  unverzweigt, so können wir p widerspruchsfrei durch die Formel im Lemma definieren. Dann gilt p 2 V , denn für a 2 Ap , n 2 Np und x 2 Gp gilt p .anx/ D p .ana1 n1 k/ D p . aa1 na1 n1 k/ D .aa1 /Cı=2 „ƒ‚… „ƒ‚… 2Ap

D a

Cı=2

p .a1 n1 k/ D a

2Np

Cı=2

p .x/ ;

wobei wir die Iwasawa-Zerlegung von x als x D a1 n1 k geschrieben haben und na1 D a11 na1 . Die Funktion p ist bis auf skalare Vielfache das einzige Element K von V , das auf Kp konstant ist, also spannt p den Raum V p auf.  Sei nun  unverzweigt. Da  unverzweigt ist, existiert ein AlgebrenhomomorK phismus  W Hp p ! C so dass  .f /p D  .f /p : Da p .1/ D 1 ist, folgt  .f / D  .f /p .1/. Wir rechnen Z  .f / D  .f /p .1/ D f .x/ .x/p .1/ dx Gp

Z

Z

f .x/p .x/ dx D

D Gp

Z

D

f .an/p .ank/ da dn dk Ap Np Kp

f .an/aCı=2 da dn:

Ap Np

Definition 8.2.2 Wir definieren die Satake-Transformierte von f als Z ı=2 f .an/ dn : Sf .a/ D a Np

R Es gilt dann  .f / D Ap Sf .a/a da: Wir schreiben A D Ap =Ap \ Kp Š .Qp =Zp /2 Š Z2 . Der Normalisator N.Ap / von Ap in Gp ist die Gruppe aller monomialen Matrizen, d. h. der Matrizen, die in jeder Zeile und Spalte genau einen von Null verschiedenen Eintrag haben. Die Weyl-Gruppe von Ap ist die Gruppe N.Ap /=Ap , diese Gruppe ist isomorph zur Permutationsgruppe Per.2/ in zwei Buchstaben und operiert auf A durch Vertauschen   der Einträge. Sie operiert ebenso auf A Š Z2 und auf der Gruppenalgebra C A . Die Menge der W -Invarianten, ˚     W D ˛ 2 C A W w˛ D ˛ 8w 2 W C A ist eine Unteralgebra, die abgeschlossen ist unter ˛ 7! ˛  , wobei ˛ .a/ D ˛.a1 / die kanonische Involution auf der Gruppenalgebra ist.

8.2 Lokale Faktoren

209

Satz 8.2.3 Die Satake-Transformation f 7! Sf 1 R ı.a/ 2 Np f .an/ dn ist ein Algebren-Isomorphismus

mit Sf .a/

D

 W Š K ; S W Hp p ! C A mit der Eigenschaft, dass S.f  / D S.f / .

Beweis: Als erstes überlegen wir uns, dass die Funktion Sf kompakten Träger in A hat. Ist  der Träger von f , so ist  \ AN eine kompakte Teilmenge von AN . Aus der Formel      a1 a1 x 1 x a1 D an D a2 1 a2 wird aber klar, dass die Multiplikations-Abbildung A  N ! AN ein Homöomorphismus ist. Der Träger von Sf ist eine Teilmenge von P . \ AN /, wobei P W AN ! A die Projektion ist. Da P stetig ist, ist der Träger von Sf also kompakt. Wir werden später in Lemma 8.2.4 noch explizit angeben, wie der Träger in konkreten Fällen aussieht. Wir zeigen nun, dass es sich um einen Algebrenhomomorphismus handelt. Dazu K rechnen wir für f; g 2 Hp p : Z Z 1 2 S.f  g/.a/ D ı.a/ f .y/g.y 1 an/ dy dn Np Gp 1

Z Z Z

f .a0 n0 / g.n01 a01 an/ da0 dn0 dn ; „ ƒ‚ …

D ı.a/ 2

Dg.a01 an00 n/

Np Ap Np

wobei n00 D .a01 a/1 n01 .a01 a/ 2 N . Da dn ein Haar-Maß ist, können wir n00 n durch n ersetzen und erhalten Z Z Z 1 2 S.f  g/.a/ D ı.a/ f .a0 n0 /g.a01 an/ da0 dn0 dn Np Ap Np

Z D

0

ı.a / Ap

„

1 2

Z

0

f .a n/ dn ı.a Np

ƒ‚

DSf .a0 /

…„

01

a/

1 2

Z

g.a01 an/ dn da0

Np

ƒ‚

DSg.a01 a/

…

D .Sf /  .Sg/.a/ : Nun zeigen wir, dass die Satake-Transformation auch wirklich in den Weyl  Gruppen-Invarianten landet. Hierzu sei w D 1 1 ein Vertreter für das nichttriviale Element der Weyl-Gruppe. Da w D w 1 ist, gilt waw 1 D waw für jedes a 2 Ap .

8 Automorphe L-Funktionen

210 K

Wegen w 2 Kp und der Kp -Invarianz von f 2 Hp p erhalten wir Z Z 1 1 Sf .waw/ D ı.waw/ 2 f .wawn/ dn D ı.waw/ 2 f .awnw/ dn: Ist a D

 a1

 a2

und n D

Np

1

Np

 x

, so gilt  a1   1

1

awnw D

a2



x 1

D ant D .na/t :

In der Übungsaufgabe 7.14 haben wir gezeigt, dass für jedes g 2 Gp gilt Kp gKp D Kp g t Kp , also gilt f ..na/t / D f .na/. Beachte nun, dass gilt ı.waw/ D ı.a/1 D ja2 j , so dass wir insgesamt erhalten: ja1 j  Sf .waw/ D

ja2 j ja1 j

 12 Z

 a1

f

a2 x a2



 dx D

Qp

ja1 j ja2 j

 12 Z f

 a1

a1 x a2



dx D Sf .a/ :

Qp

Als Nächstes zeigen wir die -Eigenschaft: Es ist Z Z 1 1 S.f  /.a/ D ı.a/ 2 f .n1 a1 / dn D ı.a/ 2 f .a1 ana1 / dn N 1

D ı.a /

1 2

Z

N

f .a1 n/ dn

D S.f /.a1 / D S.f / .a/ :

N

k

Nun zur Injektivität: Für k; l 2 Z sei A.k; l/ D Kp p pl Kp . Dann ist nach dem Elementarteilersatz für den Hauptidealring Zp , [ A.k; l/; (disjunkte Vereinigung) . Gp D kl



i Lemma 8.2.4 Ist a D p j , so trifft die Menge aNp eine Doppelnebenklasse p A.k; l/ genau dann, wenn k  i; j und l D i C j  k. k

Beweis: Sei zunächst aNp \ Kp p pl Kp ¤ ;. Nach Multiplikation mit p  mit 2 N können wir annehmen, dass i; j; k; l  0. Dann sind alle Matrizen ganzzahlig und p k ist der erste Elementarteiler

an, also der größte gemeinsame i i von Teiler aller Einträge der Matrix an D p ppjx . Daher ist k  i; j . Ferner muss die Determinante von an von der Form p kCl u sein, wobei u 2 Zp ist. Es ist also p i Cj D p kCl u und damit i C j D k C l. Für die Rückrichtung nimm an, dass k  i; j und k C l D i C j . Wieder können

pi pk in aN . Diese wir alle Indizes als positiv annehmen. Dann liegt die Matrix pj

8.2 Lokale Faktoren

211



pk



hat den ersten Elementarteiler p k und liegt damit in Kp Kp für ein l 0  k. 0 pl i k

0 Da aber die Determinante von p ppj gleich p i Cj D p kCl D pkCl u ist für ein u 2 Zp , folgt l 0 D l.  Im nachfolgenden Bild sehen i wir die Koordinaten .k; l/ der Doppelnebenklassen A.k; l/, die von der Menge p pj N getroffen werden. ppp

rr

rr

rr

rr

rr

rr

j

i K

Ein gegebenes 0 ¤ f 2 Hp p hat als Träger nur endlich viele Nebenklassen. Ist also i sehr klein und j groß, so wird die Menge aN mit dem Träger von f einen leeren i Schnitt

haben. Vergrößert man i und verkleinert man j , so findet man ein a D p pj so dass aN den Träger von f in genau einer Doppelnebenklasse A.k; l/ trifft. Für dieses a ist dann Sf .a/ ¤ 0. Dies zeigt die Injektivität der SatakeTransformation.

i Umgekehrt zeigt das folgende Bild die Koordinaten .i; j / der a D p pj , so dass aN von einer gegeben Doppelnebenklasse A.k; l/ getroffen wird.

r

rr

l rr

rr

rr

rr

k

k

rr

rr

l rr

rr

rr

rr

8 Automorphe L-Funktionen

212

Wir sehen, dass das Bild der charakteristischen Funktion f D 1A.k;l/ unter der Satake-Transformation von der Form Sf D

l X

ck;l ı p

Dk

 pkCl

k;l ist, mit reellen Zahlen ck;l > 0, die die Symmetriebedingung cik;l D ckCli erfüllen. Wir nutzen dies aus, um zu zeigen, dass das Bild der Satake-Transformation die Erzeuger  C ı ; ei;j D ı pi i; j 2 Z ; pj pj



pi

W

von C A enthält. Es reicht, den Fall i  j zu betrachten. Wir schreiben j D i C n für n  0 und beweisen die Behauptung durch Induktion über n. Für n D 0 ist der Erzeuger ein Vielfaches des Bildes von 1A.i;i /. Nun folgt der Induktionsschluss K von n nach n C 1: Nach Induktionshypothese gibt es f0 2 Hp p so dass S.f0 / D

i Cn X

ci;i CnC1ı p 

Di C1



:

p2i CnC1

Ist nun f D 1A.i;i CnC1/, so folgt S.f /  S.f0 / D cii;i CnC1ei;i CnC1 : Damit ist zum Schluss auch die Surjektivität des Satake-Homomorphismus bewiesen.  Wir wollen die Hecke-Algebra Hp noch etwas besser verstehen. Sei Zp der Untervektorraum Zp D Spanf1pk Kp W k 2 Zg : Für k; l 2 Z rechnet man leicht nach, dass gilt 1pk Kp  1pl Kp D 1pkCl Kp : Das bedeutet, dass Zp eine Unteralgebra von Hp ist. Sei Jp das Ideal von Hp , das erzeugt wird von allen Elementen der Form 1pk Kp  1Kp : Sei V ein Hp -Modul. Wir sagen, dass V ein Zp -trivialer Modul ist, falls 1pk Kp v D v für jedes v 2 V gilt. Dies ist genau dann der Fall, wenn Jp V D 0 ist, also genau dann, wenn V ein Modul der Algebra Hp =Jp ist. Lemma 8.2.5 Die Algebra Hp =Jp ist isomorph zum Polynomring CŒx. Das Element gp D 1 p1 ist ein Erzeuger dieser Algebra. Kp

1

Kp

8.2 Lokale Faktoren

213

Beweis: Eine kleine Rechnung zeigt, dass der Satake-Isomorphismus die Algebra W W Zp auf die Gruppenalgebra D D CŒA   CŒAW abbildet. Hierbei ist A die Untergruppe der W -invarianten Elemente, also W

A

D Qp

1

1

ı  1 Zp

C ı

Ferner ist S.gp / ein Vielfaches von ı p1

1

1

 1

p 1

:

.

Die Algebra CŒAW wird

als komplexer Vektorraum aufgespannt von den Elementen a.k; l/ D ı pk

 pl

C ı p l

k; l 2 Z :

; pk

Für m 2 Z gilt a.k C m; l C m/ D a.k; l/ı pm

,

und dieses Element liegt

pm

in a.k; l/ C Jp . Das bedeutet, dass modulo des Ideals Jp jedes Element a.k; l/ in die Form a.k; 0/ mit k  0 gebracht werden kann. Sei k  1, dann ist a.1; 0/k D a.k; 0/ C c, wobei c eine Linearkombination von Elementen von Jp und a.m; 0/ ist mit 0  m < k. Daraus folgt, dass die von gp erzeugte Algebra CŒgp  surjektiv auf Hp =Jp abgebildet wird und dass Jp \ CŒgp  D 0 ist.    Sei Zp D Qp 1 1 das Zentrum von Gp . Eine Darstellung .; V / von Gp heißt Zp -trivial, falls die Gruppe Zp trivial auf V operiert. Wir erhalten Zp -triviale Hecke-Moduln aus Zp -trivialen Gp -Moduln wie folgt. Lemma 8.2.6 Sei .; V / eine irreduzible unverzweigte Darstellung von Gp . Dann ist  genau dann Zp -trivial, wenn VK ein Zp -trivialer Hecke-Modul ist. Beweis: Sei  eine Zp -triviale Darstellung. Für k 2 Z gilt dann Z Z k k .p x/ dx D .p / .x/ dx D .1Kp / ; .1pk Kp / D „ƒ‚… D1 Kp

Kp



 k 1



geschrieben haben. Sei umgekehrt VK ein Zp wobei wir .pk / für  p 1 trivialer Modul und sei v0 2 VK X f0g. Dann ist .Cc .Gp //v0 dicht in V , sei also v D .f /v0 aus diesem dichten Teilraum. Sei a 2 Qp , so folgt .a/v D .a/.f /v0 D .f /.a/v0 D .f /.1aKp /v0 D .f /v0 D v : 

Das Lemma ist bewiesen.

 W K Nach dem Satake-Isomorphismus haben wir Hp p Š C A : Wir wollen die K

Algebren-Homomorphismen von Hp p nach C bestimmen. Hierzu brauchen wir das folgende Lemma.

8 Automorphe L-Funktionen

214

Lemma 8.2.7 Sei A eine Algebra über C und sei W D f1; wg eine zweielementige Gruppe von Automorphismen von A. Die Menge AW der W -Invarianten ist eine Unteralgebra von A. Die Gruppe W operiert auf der Menge HomAlg .A; C/ der Algebren-Homomorphismen von A nach C und die Restriktionsabbildung liefert eine Bijektion Š

HomAlg .A; C/=W ! HomAlg .AW ; C/ : Beweis: Da W aus Algebren-Automorphismen besteht, ist es klar, dass AW eine Unteralgebra ist. Sei A die Menge aller a 2 A so dass w.a/ D a. Jedes a 2 A kann geschrieben werden als a D 12 .a C w.a// C 12 .a  w.a// : Da w 2 D 1 ist, folgt a  w.a/ 2 A und man hat damit eine direkte Summenzerlegung A D AW ˚ A : Wir betrachten die Restriktionsabbildung res W HomAlg .A; C/=W ! HomAlg .AW ; C/ : Zur Injektivität: Seien ; 2 HomAlg .A; C/ mit jAW D jAW . Mit a 2 A ist das Element a2 in AW . Daher folgt .a/2 D .a2 / D .a2 / D .a/2 , also .a/ D ˙ .a/. Erster Fall: Es gilt .a/ D .a/ für jedes a 2 A , dann folgt  D . Zweiter Fall: Es gibt ein a0 2 A mit .a0 / ¤ .a0 /. Dann muss folgen 0 ¤ .a0 / D  .a0 /. Für ein beliebiges b 2 A ist dann a0 b 2 AW und es gilt also .b/ D

.a0 b/ .a0 b/ D  D  .b/ D .a0 / .a0 /

.b/ D

.w.b// :

Wir schließen hieraus, dass  D w ist und damit ist die Injektivität bewiesen. Zur Surjektivität: Sei ein Algebrenhomomorphismus  W AW ! C gegeben. Wir müssen zeigen, dass  sich zu einem Homomorphismus von A nach C liften lässt. Wir unterscheiden zwei Fälle: Erster Fall: Es gilt .b 2 / D 0 für jedes b 2 A . In diesem Fall folgt .bb 0 / D 0 für alle b; b 0 2 A , wie man aus der Gleichung 2bb 0 D .b C b 0 /2  b 2  b 02 ersieht. Wir setzen .a C b/ D .a/ ; falls a 2 AW und b 2 A . Es ist zu zeigen, dass multiplikativ ist. Seien also a; a0 2 AW und b; b 0 2 A . Dann ist   .a C b/.a0 C b 0 / D .aa0 C ab 0 C a0 b C bb 0 / D .aa0 / D

.a C b/ .a0 C b 0 / :

8.2 Lokale Faktoren

215

Zweiter Fall: Es gibt ein b0 2 A mit .b02 / ¤ 0. In diesem Fall wähle ein Wurzel .b0 / von .b02 / und setze .a C b/ D .a/ C

.bb0 / : .b0 /

Man rechnet leicht nach, dass auch diese Abbildung multiplikativ ist, womit das Lemma bewiesen ist.  K

Die Algebren-Homomorphismen von Hp p nach C können daher bestimmt werden als



 W K HomAlg Hp p ; C Š HomAlg C A ;C     Š HomAlg C A ; C =W   Š HomGrp A; C =W : K

Ist nun .; V / eine irreduzible unverzweigte Darstellung, so ist der Raum V p K eindimensional. Sei v 2 V p X f0g. Dann existiert ein AlgebrenhomomorphisK mus  W Hp p ! C so dass .f /v D  .f /v K

für jedes f 2 Hp p . Wir ordnen also einer unverzweigten irreduziblen Darstellung  einen Gruppenhomomorphismus  W A ! C zu, der bis auf die Operation der Weyl-Gruppe K wohlbestimmt ist, so dass für jedes f 2 Hp p gilt Z  .f / D Sf .a/a da: Ap

Wir brauchen diese Identität für eine etwas größere Algebra als Hp p . Sei also HL p p die Faltungsalgebra aller f 2 Cc1 .Gp / so dass f  e D e  f gilt, wobei e D 1Kp . K K Dann ist Hp p  HL p p . K

K

Lemma 8.2.8 Sei .; V / eine unverzweigte irreduzible Darstellung von Gp . Dann K K ist der eindimensionale Raum V p stabil unter der Algebra HL p p und ein gegebenes K K f 2 HL p p operiert auf V p durch den Skalar Z Sf .a/a da :  .f / D Ap K

Beweis: Die Aussage ist bekannt, falls f in Hp p liegt. Außerdem ist die Aussage K klar, falls  eine Hauptseriendarstellung  ist. Sei also f 2 HL p p . Dann ist f  e 2 K K Hp p , also operiert f auf V p durch den Skalar  .f  e/. Wir müssen also zeigen, dass  .f / D  .f  e/ ist. Ist  D  , so ist dies wiederum klar. Nun hängt 

8 Automorphe L-Funktionen

216

aber doch nur von  D  ab, also ist  D  und damit folgt  .f  e/ D  .f  e/ D  .f / D  .f /.  Die Gruppe A ist isomorph zu Z2 . Um einen Isomorphismus anzugeben, muss man zwei Erzeuger der Gruppe A wählen. Wir wählen die Erzeuger     1 p : und p 1 Es folgt



K HomAlg Hp p ; C Š HomGrp .Z2 ; C /=W  2 Š C =W Š T =W ;

wobei T  GL2 .C/ die Gruppe der Diagonalmatrizen ist und W Š Z=2Z operiert durch Vertauschen der Einträge. Damit wird dem Algebrenhomomorphismus  ein Element  von T =W zugeordnet. Mit dieser Zuordnung definieren wir den lokalen L-Faktor von  als 1 L./ def D det.1   / :

Man beachte, dass die so definierten lokalen Faktoren von der Wahl des Isomorphismus A Š Z2 abhängen. Diese nachfolgende Betrachtungen   durch Wahl wird aber  gerechtfertigt. Sei $1 D p 1 und $2 D 1 p . Dann ist L./1 D .1   .$1 //.1   .$2 // : Wir definieren jj D max.j .$j /j/ : j

Die charakteristische Funktion 1M2 .Zp / , die wir als Funktion auf Gp D GL2 .Qp / K

auffassen, liegt nicht in der Hecke-Algebra Hp p . Nach dem Elementarteilersatz

S pk Kp . Daher für den Hauptidealring Zp gilt M2 .Zp / \ Gp D K p 0kl pl kann 1M2 .Zp / als unendliche Summe von Elementen der Hecke-Algebra geschrieben werden. Genauer sei für 2 N,  k  [ p M D Kp Kp : pl 0kl

Dann ist 1M 2 Hp für jedes . Proposition 8.2.9 Sei P1 D .1Kp / die isotypische Projektion auf den eindimenK sionalen Raum V p von Kp -Fixvektoren. Ist jj < 1 dann gilt

1 lim  1M .x/jxj 2 D L./P1 ; !1

8.2 Lokale Faktoren

217

wobei die Folge im Banach-Raum der stetigen Operatoren auf V konvergiert. Wir 1 schreiben symbolisch .1M2 .Zp / jxj 2 / für diesen Operator auf V . 1

1

Beweis: Sei f .x/ D 1M2 .Zp / .x/jxj 2 und für 2 N sei f D 1M .x/jxj 2 . Wir 1 R zeigen nun, dass das Satake-Integral Sf .a/ D ı.a/ 2 np f .an/ dn konvergiert. Wir zeigen dann, dass das Integral Z Sf .a/a da  .f / D A

für  D  absolut konvergiert und dass gilt  .f / D lim  .f /. Beachte zunächst, dass aus f .an/ ¤ 0 schon folgt a D a1 a2 2 A \ M2 .Zp /, also jaj j  1 für j D 1; 2. Damit ist auch Sf .a/ D 0 falls a … M2 .Zp /. Für a 2 M2 .Zp / rechnen wir  Sf .a/ D  D  D

ja1 j ja2 j

 12 Z f

 a1

Qp

1 ja1 jja2 j 1 ja1 jja2 j

 12 Z f

a1 x a2

 a1

Qp

 12 Z

 dx

x a2

 dx

1

.ja1 jja2 j/ 2 1M2 .Zp /

 1

x 1

 dx D 1 :

Qp

Es folgt also Sf D 1A\M2 .Zp / . Da die Folge f monoton wachsend gegen f konvergiert, konvergiert auch Sf monoton wachsend gegen die Funktion Sf . Ist jj < 1, so konvergiert das Integral  .f / absolut und stellt damit eine Majorante für die Folge Sf dar, so dass in der Tat gilt  .f / D lim  .f /. Wir fassen im Folgenden den Gruppenhomomorphismus  W A ! C auch als Algebrenhomomorphismus CŒA ! C auf. Wegen jj < 1 erhalten wir 1 Y YX .1   .$j //1 D  .$j /k

L./ D det.1   /1 D

j

j

0 1 N YX k A D D lim  @ ı$ j N !1

j

kD0

0 lim  @

N !1

N X

N

A

D  .f / D lim  .f / ; 

k ı$ ıl A 1 $2

Z 1AN .a/a

N

1

l;kD0

Z D lim  .1AN / D lim

kD0



Sf .a/a da

da D A

8 Automorphe L-Funktionen

218

 a1



N wobei AN die Menge aller  ja1 j; ja2 j  1 ist und wir in der a2 mit p zweitletzten Zeile wieder mit majorisierter Konvergenz geschlossen haben. Die Proposition folgt. 

Für s 2 C ist der unverzweigte Charakter g 7! jgjs eine unverzweigte zulässige Darstellung und daher ist s D j:js  W g 7! jgjs .g/ ebenfalls eine zulässige unverzweigte Darstellung. Es gilt js j D p  Re.s/ jj ; also folgt das Korollar 8.2.10 Für jede irreduzible zulässige Darstellung  und s 2 C mit jj < p Re.s/ gilt L.; s/P1 def D L.s /P1

1 D j:js  1M2 .Zp / .x/jxj 2

1 D  1M2 .Zp / .x/jxjsC 2 : Zu Ende des Abschnitts wollen wir die L-Funktion der trivialen Darstellung bestimK men. Ist  D 1, so folgt für jedes f 2 Hp p Z Z Z  .f / D f .x/ dx D f .an/ da dn D aı=2 Sf .a/ da: Gp

Ap Np

   Das bedeutet, dass  p 1 D p ist der lokale Euler-Faktor L.; s/ D

Ap

ı=2 1

 p D 1= p und  1 1

.1  p

sC 12

1

/.1  p s 2 /

 p

D

p

p. Also

:

Dies ist gerade der Euler-Faktor der Funktion     1 1

s ;

sC 2 2 wobei die Riemannsche Zetafunktion ist.

8.3 Globale L-Funktionen In diesem Abschnitt führen wir die globale L-Funktion ein und beweisen eine Funktionalgleichung.

8.3 Globale L-Funktionen

219

Sei  eine irreduzible zulässige unitäre Darstellung von GA , dann ist  ein TenN sorprodukt der Form  D p p und p ist für fast alle p unverzweigt. Sei F eine endliche Stellenmenge so dass 1 2 F und so dass F alle Stellen enthält, an denen  verzweigt ist. Wir definieren die (partielle) globale L-Funktion von  als Y L.p ; s/; s 2 C; LF .; s/ D p…F

falls das Produkt konvergiert. Als Beispiel betrachten wir die triviale Darstellung  D triv. In diesem Fall können wir F D f1g wählen und wir haben im letzten Abschnitt bewiesen, dass     1 1 L.triv; s/ D s C

s 2 2 gilt. F Man beachte, N dass L .; s/ nur von den p mit p … F abhängt, also von der Darstellung p…F p von GAF . N Jede kuspidale Darstellung  ist zulässig und daher ein Tensorprodukt  D p p von lokalen Darstellungen, wobei fast alle p unverzweigt sind. Sei von nun an .; V / eine nichttriviale kuspidale Darstellung. Wir wählen einen isometrischen GA -Homomorphismus  W V ,! L2 .GQ ZR nGA / K

und einen Vektor v D ˝p vp 2 V so dass vp 2 Vpp falls p unverzweigt ist. Sei ' D .v/. Wir können annehmen, dass ' im Bild von R.f / für ein f 2 Cc1 .GA / liegt. Dann ist ' glatt und nach Proposition 7.4.3 ist ' schnell fallend, also insbesondere beschränkt. Außerdem können wir annehmen, dass '.1/ D 1 ist. Dies kann erreicht werden, indem man, falls erforderlich, '.x/ durch c'.xy/ ersetzt für geeignetes y 2 GA und c 2 C. Sei F eine endliche Stellenmenge, die 1 enthält und alle Stellen, an denen  verzweigt ist. Sei AF das Produkt der Körper Qp über p 2 F und AF das eingeschränkte Produkt über alle Stellen außerhalb F , so dass gilt A D AF  AF . Wir betrachten das globale Zeta-Integral Z 1 f .x/'.x/jxjsC 2 dx ;

.f; '; s/ D GA

wobei f 2 S.M2 .A//. Für die endliche Stellenmenge F brauchen wir außerdem das lokale Zeta-Integral Z 1 f .x/'.x/jxjsC 2 dx ;

F .f; '; s/ D Q

GF

wobei wir GF D p2F Gp in GA einbetten, indem wir x auf .x; 1/ abbilden, d. h., die Koordinaten außerhalb F werden alle auf Eins gesetzt.

8 Automorphe L-Funktionen

220

Für einen Ring R sei Q.R/ die Menge aller Matrizen in M2 .R/ mit Determinante Null. Sei S0 D S0 .M2 .A// die Menge aller f 2 S.M2 .A// mit f .Q.A// D 0QD fO.Q.A//. Beispiele solcher Funktionen sind leicht konstruiert. Ist etwa f D p fp , so braucht man nur zwei Stellen p; q so dass supp fp  Gp und supp fOq  Gq gilt, dann liegt f in S0 . Beachte, dass die Menge S0 stabil ist unter der Fourier-Transformation. Q Wir nennen eine Funktion f 2 S.M2 .A// eine F-einfache Funktion, falls f D p fp mit p … F ) fp D 1M2 .Zp / :

Satz 8.3.1 Sei  eine kuspidale Darstellung, dann setzt sich die L-Funktion LF .; s/ zu einer meromorphen Funktion auf C fort. (a) Ist f 2 S.M2 .A//, so konvergiert das globale Zeta-Integral lokalgleichmäßig für Re.s/ > 32 und definiert dort eine holomorphe Funktion. Ist f 2 S0 , so setzt sich das Zeta-Integral zu einer ganzen Funktion fort. Es gilt dann die Funktionalgleichung

.f; '; s/ D .fO; ' _ ; 1  s/ ; wobei ' _ .x/ D '.x 1 /. (b) Ist f eine F-einfache Funktion, so gilt für Re.s/ >

3 2

.f; '; s/ D LF .; s/ F .f; '; s/ : (c) Enthält F mindestens zwei Primzahlen, so existiert ein F-einfaches f 2 S0 . Für jedes solche f ist das lokale Zeta-Integral F .f; '; s/ meromorph und es gilt die Funktionalgleichung LF .; s/ D

F .fO; ' _ ; 1  s/ F L .; 1  s/ :

F .f; '; s/

Der Beweis dieses Satzes wird im Wesentlichen den Rest dieses Abschnittes ausmachen. Wir zeigen zunächst die lokal-gleichmäßige Konvergenz des Integrals für Re.s/ > 32 . Die Funktion ' ist beschränkt, also können wir j'.x/f .x/j durch eine .1 C jjx1 jjN /1 abschätzen, wobei q 2 Q ist und N 2 N Konstante mal 1q M .b 2 Z/ beliebig groß gewählt werden kann. Schließlich ist jjxjj die euklidische Norm auf R4  GR , also p ˇˇ ˇˇ ˇˇ a b ˇˇ D a2 C b 2 C c 2 C d 2 : c d

8.3 Globale L-Funktionen

221

Wir haben daher die Konvergenz der zwei Integrale Z jxj

Re.s/C 12

Z dx

Gfin \q M2 .b Z/

und GR

1

jxjRe.s/C 2 1 C jjxjjN

dx

zu zeigen. Nach Beispiel 3.1.9 können wir das zweite Integral berechnen. Es ist gleich Z Z Z Z 3 jxw  yzjRe.s/ 2 dx dy dz dw : 1 C .x 2 C y 2 C z 2 C w 2 /N=2 R R R R

1

1

Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung ist jxw C yzj  .x 2 C y 2 / 2 .w 2 C z 2 / 2  x 2 C y 2 C z 2 C w 2 , unser Integral hat also die Majorante Z Z Z Z R R R R

.x 2 C y 2 C z 2 C w 2 /2 Re.s/3 dx dy dz dw : 1 C .x 2 C y 2 C z 2 C w 2 /N=2

Nach Polarkoordinaten-Transformation (siehe [27]), ist dies gleich einer Konstanten R 1 2 Re.s/ mal dem Integral 0 r1Cr N dr; welches lokal-gleichmäßig für  12 < Re.s/ < N21 konvergiert. Da wir N beliebig groß wählen können, folgt die verlangte Konvergenz, wenn wir jetzt noch das erste der beiden obigen Integrale behandeln. Zunächst substituieren wir y D qx und erhalten ein Skalar mal dem Integral Z 1 jxjsC 2 dx : Gfin \M2 .b Z/

Die Menge Gfin \M2 .b Z/ ist die disjunkte Vereinigung der Mengen Dn , wobei n 2 N läuft und Dn D fx 2 M2 .b Z/ W jxj D n1 g : P j D Nach Lemma 2.5.1 ist jDn =Gb d jn d . Daher können wir zunächst formal Z rechnen Z 1 X 1 X X X 1 1 1 1 jxjsC 2 dx D d ns 2 D d sC 2 as 2 nD1 d jn

Gfin \M2 .b Z/

D

1 X 1 X aD1 d D1

nD1 ad Dn

    1 1 1 1 as 2 d sC 2 D s C

s : 2 2

Daher konvergiert das Integral lokal-gleichmäßig für Re.s/ > 32 und die im Satz behauptete Konvergenz ist bewiesen. Sei nun p  1 eine Stelle. Ist z 2 Zp und ist  eine irreduzible unitäre Darstellung von Gp , so vertauscht .z/ mit allen .g/, g 2 Gp . Nach dem Lemma von

8 Automorphe L-Funktionen

222

Schur folgt .z/ 2 CId. Also existiert ein Charakter ! W Zp ! T, genannte der zentrale Charakter von , so dass .z/ D ! .z/Id für jedes z 2 Zp . O / W GA ! C definiert durch Für f 2 S.M2 .A// seien E.f /; E.f X E.f /.x/ D jxj f . x/  2GQ

und O /.x/ D jxj E.f

X

f .x /

 2GQ

Proposition 8.3.2 Für jedes f 2 S.M2 .A// konvergiert die Summe E.f /.x/ lokal gleichmäßig in x gegen eine stetige Funktion. Für jedes ˛ 2 R mit ˛ > 1 existiert ein C.˛/ > 0 so dass für jedes x gilt jE.f /.x/j  C.˛/jxj˛ : Beweis: Mit M2 .Q/ ist auch M2 .Q/x ein Gitter in M2 .A/ für x 2 GA . Wir können annehmen, dass f von der Form f D ffin f1 ist mit ffin 2 S.M2 .Afin // und f1 2 S.M2 .R//. Z/ für ein Die Funktion ffin hat kompakten Träger, dieser ist enthalten in m1 M2 .b m 2 N. In dem wir Faktoren von ffin nach f1 verschieben, können wir annehmen dass jffin j  1 und damit X jf . x/j jE.f /.x/j  jxj  2GQ

 jxj

X

1  2GQ \ m

jf1 . x1 /j: b

1 M2 .Z/xfin

Indem wir m vergrößern, können wir xfin D 1 annehmen. Es gilt aber 1 1 1 Z/  M2 .Q/ \ M2 .b Z/ D M2 .b M2 .Z/ : m m m P Sei also ƒ D m1 M2 .Z/. Dies ist ein Gitter in M2 .R/. Die Summe  2ƒ jf1 . x1 /j konvergiert lokal gleichmäßig in x1 da f1 schnell fallend ist. Wir zeigen noch die Wachstumsabschätzung. Hierzu benutzen wir X jf1 . x1 /j : jE.f /.x/j  jxj GQ \

 2GQ \ƒ

Sei jjgjj D Sp.g t g/ die euklidische Norm auf M2 .R/. Zu jedem A > 0 existiert ein CA0 > 0 so dass jf1 .x1 /j  CA0 jjx1 jjA . Es gibt eine eindeutige Zerlegung

8.3 Globale L-Funktionen

223 1 2

x1 D yz, wobei z 2 ZR und jyj D 1. Es gilt jj x1 jj D jj yzjj D jj yjj jzj D 1 jj yjj jx1 j 2 . Ferner ist jxj D jxfin x1 j D jxfin jjx1 j, und da xfin in einem festen Kompaktum verbleibt, kann jxfin j nach oben durch eine Konstante abgeschätzt werden. Es existiert also ein C. A2  1/ > 0 so dass   X A A jE.f /.x/j  C  1 jxj1 2 jj yjjA 2  2GQ \ƒ

Die Proposition ergibt sich nun aus dem folgenden Lemma. Lemma 8.3.3 Für A > 4 ist die Abbildung SL˙ 2 .R/ ! R, gegeben durch X y 7! jj yjjA  2GQ \ƒ

beschränkt. Beweis: Da j det. y/j D j det. /j  1=m2 , existiert ein c > 0 mit jj yjj  c für alle und alle y. Daher existiert ein C > 0 mit 1 C 1 A  C , was gleichbedeutend jjyjj ist mit C : jj yjjA  1 C jj yjjA   Wir betrachten zunächst die Menge ƒ0 aller ac db 2 ƒ so dass alle vier Einträge a; b; c; d ungleich Null sind. Mit den Standard-Koordinaten auf M2 .R/ Š R4 sind dies gerade die Punkte des Gitters, deren sämtliche Koordinaten ungleich Null sind. Diese bilden 24 D 16 Quadranten und es reicht, die Beschränktheit für einen dieser Quadranten zu zeigen. Wir wählen den Quadranten Q, in dem alle Einträge a; b; c; d positiv ( 0) sind. Sei dann F die abgeschlossene Fundamentalmasche des Gitters ƒ, die ganz in Q liegt und die Null enthält. Für jedes 2 ƒ \ Q ist dann der Extremalpunkt der konvexen Menge C F ist, der die größte Norm hat. Für jedes y 2 GL2 .R/ ist ebenso y der Extremalpunkt von y C F y, der die größte Norm hat. Da y die Determinante 1 hat, folgt Z Z X 1 1 1  dx D dx < 1 : A A 1 C jj yjj 1 C jjxyjj 1 C jjxjjA  2ƒ\Q M2 .R/

a

M2 .R/

 b

Betrachte nun die D c d , für die ein Eintrag gleich Null ist. Diese kann man von links mit einer Matrix aus SL2 .Z/ multiplizieren, so dass alle Einträge ungleich Null sind und dann kann man das obige Argument anwenden.  Proposition 8.3.4 Sei f 2 S0 .M2 .A//. Für jedes N 2 N mit N  2 existiert ein C.N / > 0, so dass für jedes x gilt   jE.f /.x/j  C.N / min jxjN ; jxjN :

8 Automorphe L-Funktionen

224

Es gilt die Funktionalgleichung O fO/.x 1 / : E.f /.x/ D E. Beweis: Mit Proposition 8.3.2 folgt die Wachstumsabschätzung aus der Funktionalgleichung. Zum Beweis der Funktionalgleichung beachte, dass für f 2 S0 gilt: X E.f /.x/ D jxj f . x/ ;  2M2 .Q/

wobei die Summe jetzt über M2 .Q/ statt über GQ erstreckt wird. Die Funktionalgleichung ist damit eine sofortige Konsequenz aus dem folgenden Lemma. Lemma 8.3.5 Für x 2 GA und f 2 S gilt X jxj2 f . x/ D  2M2 .Q/

X

fO.x 1 / :

 2M2 .Q/

Beweis: Die Poissonsche Summenformel, die man ebenso beweist wie im eindimensionalen Fall, sagt X X fO. / : f . / D  2M2 .Q/

 2M2 .Q/

Für x 2 GA sei fx .y/ D f .yx/. Dann gilt Z c fx .z/e.zy/ dz D fx .y/ D

Z

M2 .A/

M2 .A/

D jxj2

Z

f .zx/e.zy/ dz

f .z/e.zx 1 y/ dz D jxj2 fO.x 1 y/ :

M2 .A/



Das Lemma und die Proposition folgen.

Q Proposition 8.3.6 Sei f 2 S.M2 .A// von der Form p fp , wobei für p … F gilt fp D 1M2 .Zp / . Für Re.s/ > 32 gilt dann Z Z 1 s 12 F E.f /.x/'.x/jxj dx D .f; '; s/ D L .; s/ fF .x/'.x/jxjsC 2 dx ; GQ nGA

GF

Q

wobei fF D p2F fp . Ist f 2 S0 , so konvergiert das Integral auf der linken Seite gleichmäßig in s 2 C, definiert also eine ganze Funktion in s.

8.3 Globale L-Funktionen

225

Beweis: Mit dem üblichen Auffaltungstrick rechnen wir für Re.s/ > 1 Z Z 1 s 12 E.f /.x/'.x/jxj dx D f .x/jxjsC 2 '.x/dx D .f; '; s/ GQ nGA

GA

Z

1

f .x/jxjsC 2 R.x/'.1/dx

yD GA

0

B D @

1

Z

1 C f .x/jxjsC 2 .x/vdx A .1/

GA

0

B D  @˝p

Z

1 1 C fp .x/jxjsC 2 p .x/vp dx A .1/ :

Gp

so dass wir wegen der Linearität von  und Proposition 8.2.9 erhalten Z 1 E.f /.x/ '.x/jxjs 2 dx 0

1 Z O O 1 B C D LF .; s/  @ vp ˝ fp .x/jxjsC 2 p .x/vp dx A .1/

GQ nGA

p…F

Z D LF .; s/

p2F G

p 1

fF .x/'.x/jxjsC 2 dx :

GF  Wir beweisen nun den Satz. Sei f 2 S0 . Dann gilt die Funktionalgleichung O fO/.x 1 /. Wir erhalten also E.f /.x/ D E. Z Z 1 O fO/.x 1 /'.x/jxjs 12 dx

.f; '; s/ D E. E.f /.x/'.x/jxjs 2 dx D GQ nGA

Z

GQ nGA

O fO/.x/'.x 1 /jxjsC 12 dx D E.

D GA =GQ

Z

3 fO.x/jxj 2 s '.x 1 /dx :

GA

Die Abbildung ' 7! ' _ mit ' _ .x/ D '.x 1 / ist eine unitäre Abbildung von L2 .GQ ZnGA / nach L2 .GA =GQ Z/ die GA -äquivariant ist, wenn GA auf L2 .GA =GQ Z/ durch die Linkstranslation L.y/'.x/ D '.y 1 x/ operiert. Dies sieht man ein durch die folgende Rechnung: .R.y/'/_ .x/ D R.y/'.x 1 / D '.x 1 y/ D '..y 1 x/1 / D ' _ .y 1 x/ D L.y/.' _ /.x/ :

8 Automorphe L-Funktionen

226

Das bedeutet, dass ' _ die Rolle von ' übernimmt, wenn man alles für Links- statt Rechtstranslation formuliert. Man erhält also folgende Funktionalgleichung:

.f; '; s/ D .fO; ' _ ; 1  s/ : Damit ist Teil (a) des Satzes bewiesen. Teil (b) haben wir dank Proposition 8.3.6 auch schon. Nun zu Teil (c). Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen in F , so wählen wir fq mit kompaktem Träger in Gq und fp so, dass die Fourier-Transformierte fOp kompakten Träger in Gp hat. Wählen wir weiter f1 2 Cc1 .GR /, sehen wir, dass es in der Tat eine F -einfache Funktion in S0 gibt. Die Funktionalgleichung folgt aus Teil (a) und (b), falls wir noch zeigen, dass LF .; s/ eine meromorphe Fortsetzung besitzt. Zunächst macht man sich klar, dass diese Aussage nicht von der 0 Stellenmenge F abhängt, da sich die Funktionen LF und LF für zwei verschiedene Stellenmengen F und F 0 nur um endlich viele Euler-Faktoren der Gestalt 1 .1 

ap s /.1

 bp s /

unterscheiden. Diese Euler-Faktoren sind selbst auf ganz C meromorph, also ist LF 0 genau dann meromorph nach C fortsetzbar, wenn dies für LF gilt. Wir wählen also F so, dass es mindestens zwei Primzahlen enthält und dass es eine Primzahl p enthält, an der  unverzweigt ist. Ist l eine Primzahl außerhalb von F , so setze fl D 1M2 .Zl / . Für jede Primzahl l ¤ p in F wählen wir fl in Cc1 .GQl /. Ferner sei fp die Fourier-Transformierte von p11Cp M2 .Zp / . Dann ist f D l fl eine F -einfache Funktion in S0 . Man rechnet nach, dass fp .x/ D ep .Sp.x//1p1 M2 .Zp / .x/ : Lemma 8.3.7 Die Funktion fp liegt in der Algebra HL p p . K

Beweis: Sei e D 1Kp . Wir müssen zeigen, dass e  fp D fp  e gilt. Wir stellen fest, dass für x 2 Gp und y 2 Kp gilt fp .xy/ D fp .yx/ : Dies folgt aus Sp.xy/ D Sp.yx/, da die Menge p 1 M2 .Zp / invariant unter Kp von beiden Seiten ist. Hieraus folgt das Lemma durch Integration über y 2 Kp .  Q Mit f D p fp gilt dann Z 1 f .x/'.x/jxjsC 2 dx

F .f; '; s/ D 0

1

GF

B D @

OZ l¤pG

l

sC 12

jxjl

Z fl .x/R.x/vl dx ˝ Gp

sC 12

jxjp

C fp .x/R.x/vp dxA.1/ :

8.3 Globale L-Funktionen

227

R 1 K Da die Funktion j:jsC 2 fp in HL p p liegt, ist Gp jxjp fp .x/R.x/vp

1 p j:jsC 2 fp vp nach Lemma 8.2.8. Weiter ist, nach demselben Lemma, Z



1 1 S j:jsC 2 fp .a/a da : p j:jsC 2 fp D sC 12

D

Ap

Wir rechnen

Z

Z

1 1 S j:jsC 2 fp .a/a da D S.fp /.a/a jajsC 2 da

Ap

Mit a D

 a1

Ap



2 Ap und n 2 Np hat man Sp.an/ D Sp.a/, so dass wir erhalten Z ı=2 Sfp .a/ D a fp .an/ dn a2

 D D

N

ja1 j ja2 j

 12

Z e.Sp.a//

 a1

a1 x a2



dx

Qp

ep .Sp.a// 1

jaj 2

1p1 M2 .Zp / .a/ :

Damit folgt

1 p j:jsC 2 fp Z 1 D Sfp .a/a jajsC 2 da D

Z e.Sp.a//a jajs da A\p 1 M2 .Zp /

A

D

1p1 M2 .Zp /

1 X i;j D1

e.p 1 a/ da C

A\GL2 .Zp /

Z

2 Cs

p 1  p 1 s

e

pi pj

A\GL2 .Zp /

Z

D p 1 C2 C2s

C

Z

p i.1 Cs/ p j.2 Cs/

e

p 1 Cs 1  p 2 s



a da Z

e

p 1



a da 1

A\GL2 .Zp /



1   ; p 1 a da C  s 1 1p 1  p 2 s

1

A\GL2 .Zp /

p

 1  hierbei ist 1 D  p . Dies ist eine rationale Funktion in 1 und 2 D  p s . Schreiben wir R.p s / für diese Funktion. Wir haben gezeigt: 0 1 Z O 1 sC B C

F .f; '; s/ D R.p s / @ jxjl 2 fl .x/R.x/vl dx ˝ vp dx A .1/ : p¤l2F G

l

8 Automorphe L-Funktionen

228

Da jedes fl mit p ¤ l 2 F kompakten Träger in Gl hat, ist das lokale ZetaIntegral also eine meromorphe Funktion auf C. Nach Teil (a) des Satzes ist damit auch LF .; s/ meromorph auf ganz C. Der Satz ist damit vollständig bewiesen.  Man kann zeigen, dass es weitere Euler-Faktoren L.p ; s/ gibt, so dass für jede endliche Stelle die Funktion L.p ; s/1 ein Exponentialpolynom ist und L.1 ; s/ ist ein Exponential mal einer -Funktion so dass die Funktion Y L.p ; s/ L.; s/ D p1

eine Funktionalgleichung der Form L.; s/ D a bs L. 0 ; 1  s/ erfüllt, wobei a ; b 2 C sind mit b > 0 und  0 die zu  duale Darstellung ist. Wir erklären jetzt, was die duale Darstellung ist, und warum dies Ergebnis nicht im Widerspruch zu der von uns gefundenen Funktionalgleichung steht. Ist V ein Banach-Raum, so ist der stetige Dualraum V 0 definiert als die Menge aller stetigen Linearformen ˛ W V ! C. Mit der Norm jj˛jj D supjjvjjD1 j˛.v/j wird V 0 wieder ein Banach-Raum. Sei .; V / eine Darstellung der lokalkompakten Gruppe G auf dem Banach-Raum V . Die duale Darstellung . 0 ; V 0 / ist die Darstellung auf V 0 gegeben durch  0 .x/˛.v/ D ˛..x 1 /v/ : Ist V ein Hilbert-Raum, so liefert die Abbildung v 7! ˛v mit ˛v .w/ D hw; vi einen komplex-konjugiert linearen Isomorphismus V ! V 0 , so dass in diesem Fall V 0 wieder ein Hilbert-Raum ist. Ist  unitär, dann ist auch  0 unitär. Die Darstellung  heißt selbstdual, falls  Š  0 gilt. Für eine irreduzible Darstellung  D ˝p p von GA gilt  0 D ˝p p0 : Proposition 8.3.8 Sei p < 1 eine Primzahl und sei .; V / eine irreduzible unverzweigte Darstellung von Gp mit dualer Darstellung  0 . (a) Definiere eine Darstellung 1 auf V durch 1 .x/ D .x t /, wobei x t die K transponierte Matrix ist und x t D .x t /1 D .x 1 /t . Dann ist 1 als Hp p Modul isomorph zu  0 . Insbesondere folgt L.1 ; s/ D L. 0 ; s/ für jedes s 2 C. (b) Sei  unitär und ! der zentrale Charakter. Definiere eine Darstellung 2 auf V K durch 2 .x/ D !.det.x//1 .x/. Dann ist 2 als Hp p -Modul isomorph zu  0 . Insbesondere folgt: Ist  unitär mit trivialem zentralem Charakter, dann ist L.; s/ D L. 0 ; s/ für jedes s 2 C. (Dies erklärt die Kompatibilität der Funktionalgleichungen.) Beweis: Für eine Funktion f W Gp ! C sei f _ .x/ D f .x 1 / und f t .x/ D K f .x t /. Sei f 2 Hp p , dann ist f eine Linearkombination von Funktionen der Form

8.4 Das Beispiel der klassischen Spitzenformen

229

1Kp DKp , wobei D eine Diagonalmatrix ist. Daher folgt f D f t . Damit ist Z Z 1 .f / D f .x/.x t / dx D f .x t / .x/ dx D .f _ / : „ ƒ‚ … Gp Df _ .x/

Gp

Sei ˛ aus dem Dualraum und v 2 V Kp dann gilt Z Z f .x/˛..x/v/ dx D f .x/ 0 .x 1 /˛.v/ dx  .f /˛.v/ D ˛..f /v/ D Z D

Gp

Gp

f _ .x/ 0 .x/˛.v/ dx D  0 .f _ /˛.v/ :

Gp

Es folgt  0 .f / D  .f _ / D 1 .f / und damit gilt (a) . Teil (b) folgt aus der Identität   1 x t D det.x/1 w 1 xw; : wD 1



8.4 Das Beispiel der klassischen Spitzenformen In diesem Abschnitt zeigen wir, dass die nunmehr erlernte adelische Definition der L-Funktionen kompatibel ist zu der klassischen Variante, d. h., wir zeigen, dass für eine klassische Spitzenform beide Definitionen dieselbe L-Funktion beschreiben. Es sei D SL2 .Z/ die Modulgruppe und f 2 Sk . / eine Spitzenform vom Gewicht k 2 2N0 . Zur Erinnerung: das heißt, dass f W H !  C holomorph ist, die Gleichung f . z/ D .cz C d /k f .z/ für jedes D c d 2 erfüllt und eine Fourier-Entwicklung der Form f .z/ D

1 X

an e2 i nz

nD1

hat. Die L-Funktion zu f ist dann definiert durch die Reihe L.f; s/ D

1 X

an ns ;

nD1

sie konvergiert für Re.s/ > k2 C 1 und setzt sich zu einer ganzen Funktion fort. Es gilt die Funktionalgleichung ƒ.f; s/ D .1/k=2 ƒ.f; k  s/ ;

8 Automorphe L-Funktionen

230

s wobei ƒ.f; s/ def D .2/ .s/L.f; s/. Wir nehmen nun an, dass f eine simultane

Eigenfunktion aller Hecke-Operatoren Tn ist und dass f normalisiert ist so, dass a1 D 1. Dann ist an der Eigenwert von f unter Tn . Unter diesen Umständen hat L.f; s/ ein Euler-Produkt: L.f; s/ D

Y p

1 ; 1  ap p s C p k12s

wobei sich das Produkt über alle Primzahlen erstreckt. Die Gruppe G1 operiert auf der oberen Halbebene durch 8 azCb   < czCd falls det g > 0 ; a b def z D gz D c d : azCb N falls det g < 0 : c zCd N Wir definieren die Funktion f .x/ D det.x/k=2 .ci C d /k f .xi /;

xD

 a c

b d

 2 G1 :

Dann ist f 2 L2 .ZR nG1 /. Wir definieren 'f 2 L2 .ZR GQ nGA / durch 'f .1; x/ D f .x/;

x 2 G1 :

  Satz 8.4.1 Der Vektor 'f liegt in L2cusp . Das Zentrum ZA D A 1 1 von GA operiert trivial auf 'f in dem Sinne, dass R.z/'f D 'f für jedes z 2 ZA gilt. Das Element 'f erzeugt eine irreduzible Darstellung f von GA . Für F D f1g gilt

: LF .f ; s/ D L1 .f ; s/ D L f; s C k1 2

Der Satz besagt, dass der Abschluss des Raums Span.R.GA /'f / eine irreduzible GA -Darstellung f definiert, wobei R die Darstellung von GA durch Rechtstranslation auf L2 .ZR GQ nGA / ist. Beweis: Die Tatsache, dass 'f kuspidal ist, folgt direkt aus der Tatsache, dass f Z ist jedes z 2 ZA ein eine Spitzenform ist. Sei z 2 ZA . Wegen A D Q Rb Produkt aus einem Element von GQ , einem aus ZR und einem von Gb . Daher ist Z 2 'f trivial unter der Gruppe ZA . Da Lcusp eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen ist, zerfällt auch 'f in eine Summe von Vektoren, die in irreduziblen

8.4 Das Beispiel der klassischen Spitzenformen

231

Darstellungen liegen. Diese müssen dann alle ZA -trivial sein. Nach Lemma 8.2.6 ist 'f trivial unter der Algebra Zp für jedes p < 1. Nach der Übungsaufgabe 7.13 und Lemma 8.2.5 ist der eindimensionale Raum C'f stabil unter der Hecke-Algebra K Hp p für jede Primzahl p. Nach Lemma 7.5.27 erzeugt 'f demnach eine irreduzible Darstellung der Gruppe Gfin . Derselbe Schluss funktioniert auch an der unendlichen Stelle. Zunächst stellen wir fest, dass 'f 2 L2 .ZR GQ nGA /./, wobei  D "k der Charakter der Gruppe SO.2/ ist, der durch das Gewicht k gegeben wird. Wir müssen zeigen, dass R.h/'f D c.h/'f mit c.h/ 2 C ist, falls h 2 C ist. Da L2cusp P in eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen zerfällt, ist 'f D i 2I 'i , wobei 'i jeweils in einer irreduziblen zulässigen Darstellung liegt. Für h 2 C P gilt dann R.h/'f D i 2I ci .h/'i mit Skalaren ci .h/ 2 C. Die 'i sind alle glatt nach Lemma 3.4.3. Sei D der Differentialoperator aus Aufgabe 3.6, so folgt D'i D Pi .D'f / D 0, wobei Pi die Projektion auf den i -ten Summanden ist. Damit folgt DR.h/'f D 0. Das bedeutet, R.h/'f kommt von einer holomorphen Funktion im Sinne von Aufgabe 3.6. Es gilt also R.h/'f D 'f 0 für eine Spitzenform f 0 . Diese hat unter den endlichen Hecke-Operatoren R.gp / dieselben Eigenwerte wie f , da diese Operatoren mit R.h/ vertauschen. Damit hat f 0 , nach Satz 2.5.19 bis auf ein multiplikatives Skalar dieselben Fourier-Koeffizienten wie f , also folgt f 0 D cf für ein c 2 C. Das bedeutet, dass C'f ein irreduzibler Modul unter der Algebra C ist, damit folgt, dass 'f eine irreduzible Darstellung U der Gruppe HQ D Gfin  SL2 .R/ erzeugt. Die Gruppe ZR operiert trivial und die Gruppe H D HQ =ZR hat den Index 2 in G D GA =ZR , genauer ist G D H [ !H mit ! D 1 1 . Es gibt nun zwei Fälle: entweder ist R.!/U D U , dann ist U schon GA stabil und damit irreduzibel. Oder es ist R.!/U ? U , dann ist aber U ˚R.!/U irreduzibel, also erzeugt 'f in der Tat eine irreduzible Darstellung der Gruppe GA . Nun zu den L-Funktionen. Sei an der n-te Fourier-Koeffizient von f . Dann gilt L.f; s/ D

1 X

Y

an ns D

p<1

nD1

1  ap

1 : C p k12s

p s

Damit folgt 

k1 L f; s C 2

 D

Y p

1 1  ap p

1k 2

p s C p 2s

: Kp

Nach der Übungsaufgabe 7.13 ist der Eigenwert von R.gp / auf f ap p 1k=2 , wobei gp D 1 p1 . Kp

1

Kp

Lemma 8.4.2 Als Funktion auf A D Ap =Ap \ Kp gilt  1 2 S.gp / D p 1 p1 C 1 1 1

p 1



:

gleich

8 Automorphe L-Funktionen

232

Beweis: Wir rechnen 

ja1 j ja2 j

S.gp /.a/ D

Die Doppelnebenklasse Kp

 12 Z Kp

 a1



p1

Kp

1

Qp

a1 x a2

 dx :



p 1

Kp ist die Vereinigung der Nebenklassen

1

[ 1



1

b=p 1=p



Kp [





p1

Kp ;

1

0b
ist nun

 a1

 a1

dass gilt also k D





Kp , so gibt es ein k 2 Kp so in, sagen wir, in der Klasse 1 b=p 1=p

 a1 x k. Dann muss k eine obere Dreiecksmatrix sein, D 1 b=p a2 1=p

ˇ mit ˛; ı 2 Zp und ˇ 2 Zp . Dann ist also ı

a1 x a2

˛

a1



a1 x a2



 D

1

b=p 1=p

 ˛

ˇ ı

 D

 ˛

 ˇ  ıb=p : ı=p

Wir unterscheiden zwei Fälle: 1. Ist b ¤ 0, dann ist a1 2 Zp , a2 2 p1 Zp und x 2 p1 Zp . Da das additive Volumen von p1 Zp D p1 Zp X Zp gleich .p  1/ ist, erhalten wir durch das Integral über x 2 p1 Zp einen Summanden der Form p1

1 1

1

p2

2. Ist b D 0, dann ist a1 2 Zp , a2 2 liefert einen Summanden

1  Z p p

1 1

p2

Bleibt schließlich die Nebenklasse von  a1

a1 x a2

Das impliziert a1 2

 D

1  Z , a2 p p

p 1

und x 2 Zp . Das Integral über x 2 Zp

1 1

p 1

:

. Es ist 1

p 1

 ˛ 1

 1=p

:

ˇ ı

 D

 ˛=p

 ˇ=p : ı

2 Zp und x 2 Zp , wir erhalten also einen Summanden 1

p 2 1 p1



:

1

Zusammen folgt das Lemma.



8.5 Aufgaben und Anmerkungen

233

Nun zum Beweis des Satzes. Schreibe f D ˝p p . Für eine Primzahl p ist 1 die unverzweigte

Darstellung p selbstdual und es gilt  0 D  . Damit folgt

p D



1=

2 T =W für ein  2 C . Der lokale L-Faktor ist dann gleich

L.p ; s/ D

.1 

1 1    D  : 1 s 1 1  p 1   C  p s C p 2s

p s /

Da p 1k=2 ap der Eigenwert von R.gp /, also gleich p .gp / ist, folgt   1 1 2 D p 1k=2 ap ; p C  also C

1 1k D p 2 ap :  

Der Satz ist bewiesen.

8.5 Aufgaben und Anmerkungen Aufgabe 8.1 Sei .Hi /i 2ILeine Familie von Hilbert-Räumen. Zeige, dass die algebraische direkte Summe i 2I Hi mit dem Skalarprodukt * + X X X vi ; wi D hvi ; wi ii i 2I

i 2I

i 2I

ein Prä-Hilbert-Raum ist, sich beschreiben lässt als die MenQdessen Komplettierung P ge aller Elemente v 2 i 2I Hi so dass i 2I jjvi jj2i < 1 und das Skalarprodukt ist durch dieselbe Formel wie oben gegeben, nur dass die Summe jetzt nicht endlich sein muss, aber immer konvergent ist. Aufgabe 8.2 Zeige dass da dn ein Haar-Maß der Gruppe B D Ap Np der oberen Dreiecksmatrizen in Gp ist.   Aufgabe 8.3 Sei  unverzweigt, also  a1 a2 D ja1 j1 ja2 j2 für zwei komplexe Zahlen 1 ; 2 . Zeige, dass der Satake-Parameter der Darstellung  durch die

 p 1 gegeben ist. Matrix p 2 Aufgabe 8.4 Sei .; V / eine Darstellung der lokalkompakten Gruppe G. Zeige, dass die Abbildung g 7! jj.g/jjop von G nach .0; 1/ auf jedem Kompaktum K  G beschränkt ist. Aufgabe 8.5 Sei .; V / wie in der ersten Aufgabe. Sei V 0 der stetige Dualraum von V und für g 2 G sei  0 .g/˛.v/ D ˛..g1 /v/, wobei v 2 V und ˛ 2 V 0 ist. Zeige:  0 ist eine Darstellung auf dem Banach-Raum V 0 .

234

8 Automorphe L-Funktionen

Aufgabe 8.6 Sei .; V / eine Hilbert-Darstellung, d. h. V ist ein Hilbert-Raum. Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus von Darstellungen  !  00 gibt. Folgere, dass  genau dann irreduzibel ist, wenn  0 irreduzibel ist. Aufgabe 8.7 Sei V ein endlich-dimensionaler komplexer Vektorraum und V  sein Dualraum. Wir schreiben .v; ˛/ D ˛.v/ falls v 2 V und ˛ 2 V  . Ist G eine Gruppe, die wir mit der diskreten Topologie versehen und sei  W G ! GL.V / eine Darstellung. Dann wird V ein CŒG-Modul. Für f 2 CŒG sei f _ .x/ D f .x 1 /. Zeige: ist  W G ! GL.V  / eine Darstellung mit ..f /v; ˛/ D .v; .f _ /˛/ für jedes f 2 CŒG, dann ist  Š  0 . Aufgabe 8.8 Zeige, dass eine irreduzible unverzweigte Darstellung  der Gruppe K Gp D GL2 .Qp / als Hp p -Modul isomorph ist zu der Hauptserien-Darstellung  mit  D  . Aufgabe 8.9 Zeige, dass eine irreduzible Hilbert-Darstellung der Gruppe Gp D GL2 .Qp / genau dann unverzweigt ist, wenn ihre duale  0 unverzweigt ist und dass in diesem Fall gilt  0 D 1  : Aufgabe 8.10 Zeige, dass der Inhalt von Abschn. 8.4 analog für Maaßsche Wellenformen gilt. (Diese Aufgabe ist etwas aufwändig.)

Anmerkungen Wir wollen dieses Buch mit ein paar Anmerkungen zu weiterführender Literatur beschließen. Hier werden nur einige wenige Tipps gegeben und es soll in keiner Weise versucht werden, einen kompletten Überblick zu geben. Wir ordnen die Bücher alphabetisch nach dem Autor und beginnen demzufolge mit dem Buch von Tom Apostol [1]. In diesem Buch werden die klassischen Modulformen, also bei uns Kap. 1 und 2, weit genauer und ausgedehnter unter die Lupe genommen, als wir es hier getan haben. Wer sich für die klassischen Modulformen interessiert, ist hier gut aufgehoben. Das Buch von Daniel Bump [3] enthält alles, was ich mit dem vorliegenden sagen wollte und vieles mehr. Ich kann es uneingeschränkt zum Weiterstudium empfehlen. Das Tempo ist allerdings hoch und die Ansprüche an die Mitarbeit des Lesers nicht gering. Wer sich für automorphe L-Funktionen, Umkehrsätze und ihre Bedeutung im Rahmen des Langlands-Programms interessiert, sollte unbedingt das Buch von James Cogdell, Henry Kim und Ram Murty [5] lesen. Wer die Spurformel verstehen möchte, für den ist Stephen Gelbarts Buch [12] das Richtige. Es ist eine elementare Einführung in dieses vielleicht wichtigste Werkzeug in der Theorie der Automorphen Formen.

8.5 Aufgaben und Anmerkungen

235

Ein Klassiker von 1969 ist das Buch von Gelfand, Graev und PyatetskiiShapiro [13]. Es ist wunderbar geschrieben. Dieses Buch markiert den Siegeszug der Darstellungstheorie innerhalb der Theorie der Automorphen Formen. Auf elementarem Level bleibt das Buch von Dorian Goldfeld [14], das vorwiegend auf klassische Methoden setzt. Interessant ist das Buch von Haruzo Hida [18], welches auf eine darstellungstheoretische Interpretation von Automorphen Formen verzichtet, aber dafür wesentlichen Wert auf kohomologische Schlussweisen legt, die in diesem Buch gar nicht vorkommen. Das Buch von Hida nimmt also einen komplementären Standpunkt ein und eignet sich daher besonders für die weitere Lektüre. In unserem Kap. 1 und 2 ist die Verbindung von Modulformen zu elliptischen Kurven nur am Rande erwähnt worden. Wer diese vertiefen möchte, sollte ein weiteres Buch von Hida [19] lesen. Für dieses Buch ist eine Grundlage in algebraischer Geometrie von Nutzen. Das Buch von Henryk Iwaniec [20] konzentriert sich auf Maaßsche Formen und deren analytische Aspekte bis hin zur Spurformel. Ich kann dieses Buch als Einstieg in die Spurformel empfehlen. Man sollte allerdings nach diesem Buch nicht Schluss machen, da es ganz auf klassischen Methoden beruht, also keine Darstellungstheorie benutzt und die Spurformel erst ihre volle Kraft durch die Darstellungstheorie gewinnt. Wer sich den automorphen Formen gerade von der Darstellungstheorie her nähern will, kommt an Anthony Knapps Buch [23] nicht vorbei. Es ist meines Erachtens eines der besten Bücher die (zu dem Thema) je geschrieben wurden.

Anhang A

Topologie und Integrationstheorie

In diesem Anhang versammeln wir einige Fakten aus der Maß- und Integrationstheorie, die im Buch verwendet werden. Wir erinnern wir an die grundlegenden Definitionen von Maßen und Integration und geben die wesentlichen Sätze der Lebesgueschen Integrationstheorie an. Beweise dieser Aussagen kann man etwa in [27] oder in [9] finden.

A.1 Messbare Funktionen und Integration Sei X eine Menge. Eine -Algebra auf X ist eine Menge A von Teilmenge von X , die den folgenden Axiomen genügt: • Die leere Menge liegt in A und mit jeder Menge A 2 A liegt auch ihr Komplement X X A in A. • Die Menge A ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen. Es folgt sofort, dass eine -Algebra A auch unter abzählbaren Schnitten abgeschlossen ist und dass mit A; B auch die Menge A X B in A liegt. Die Menge P.X / aller Teilmengen von X ist eine -Algebra und die Schnittmenge von beliebig vielen -Algebren ist eine -Algebra. Hieraus folgt, dass es zu einer beliebigen Menge S  P.X / eine kleinste -Algebra A gibt, die S enthält. Wir sagen dann, dass S die -Algebra A erzeugt. Ist X ein topologischer Raum, so nennt man die -Algebra B D B.X / die von der Topologie erzeugt wird, auch die Borel--Algebra von X . Die Elemente von B.X / heißen Borel-Mengen. Ist A eine -Algebra auf X , so nennt man das Paar .X; A/ einen Messraum. Die Elemente von A nennt man messbare Mengen. Eine Abbildung f W X ! Y zwischen zwei Messräumen .X; AX / und .Y; AY / heißt eine messbare Abbildung, falls f 1 .A/ 2 AX , falls A 2 AY . Die Komposition zweier messbarer Abbildungen ist messbar. Wir versehen die reelle Gerade R und die komplexe Ebene C jeweils mit der -Algebra der Borel-Mengen. 237

238

A Topologie und Integrationstheorie

Lemma A.1.1 Sei .X; A/ ein Messraum. (a) Eine Funktion f W X ! R ist genau dann messbar, wenn für jedes a 2 R gilt f 1 ..a; 1// 2 A. (b) Eine Funktion f W X ! C ist genau dann messbar, wenn Re f und Im f messbar sind. (c) Sind f; g W X ! C messbar, dann auch f C g; f  g, und jf jp für p > 0. (d) Sind f; g W X ! R messbar, dann sind auch max.f; g/ und min.f; g/ messbar. (e) Ist für jedes n 2 N eine messbare Funktion fn W X ! C gegeben, so dass .fn /n2N punktweise gegen f W X ! C konvergiert, dann ist f ebenfalls messbar. Im Folgenden ist es nützlich, Funktionen f W X ! Œ0; 1 zu betrachten, wobei wir Œ0; 1 mit der offensichtlichen Topologie und der entsprechenden Borel-Algebra versehen. Dann ist eine solche Funktion genau dann messbar, wenn   f 1 .a; 1 2 A für jedes a 2 R gilt. Die Aussagen (c), (d) und (e) des Lemmas behalten Gültigkeit für Funktionen f W X ! Œ0; 1. Ein Maß  auf einem Messraum .X; A/ ist eine Abbildung  W A ! Œ0; 1 so dass .;/ D 0 und   P1 •  [1 nD1 .An / für jede Folge .An /n2N paarweise disjunkter ElenD1 An D mente An 2 A. Man leitet aus dieser Definition leicht die folgenden Tatsachen her. • .A [ B/ D .A/ C .B/  .A \ B/ für alle A; B 2 A. • Ist .An /n2N eine Folge in A so dass An  AnC1 für jedes n 2 N, dann konvergiert .An / ! .A/ für A D [1 nD1 An . • Ist .An /n2N eine Folge in A so dass An  AnC1 für jedes n 2 N und .A1 / < 1, dann gilt .An / ! .A/ für A D \1 nD1 An . Ist  W A ! Œ0; 1 ein Maß auf .X; A/, so nennen wir das Tripel .X; A; / einen Maßraum. Ist .X; A; / ein Messraum, dann ist eine Treppenfunktion g W X ! C eine P Funktion der Form g D m a 1Ai mit ai 2 C und Ai 2 A mit .Ai / < 1 für i i D1 jedes 1  i  m. Für solch eine Treppenfunktion definieren wir Z g d def D X

m X

ai .Ai / 2 C :

i D1

Für eine messbare Funktion f W X ! Œ0; 1 definieren wir 8 9 Z
X

R Wir nennen die Funktion f integrabel oder integrierbar, falls X f d < 1. Eine messbare Funktion f W X ! R heißt integrabel falls f C D max.f; 0/

A.1 Messbare Funktionen und Integration

239

R

 und 0/ beide integrabel sind. In dem Fall setzen wir X f d D R fC D R min.f;  f d  f d. Das Integral komplexwertiger Funktionen wird durch ZerX X legung in Imaginär- und Realteil definiert.

Proposition A.1.2 Sei .X; A; / ein Maßraum. Eine messbare Funktion f W X ! C ist genau dann integrierbar, wenn ihr Betrag jf j integrierbar ist. In diesem Fall gilt ˇ ˇ ˇZ ˇ Z ˇ ˇ ˇ f dˇ  kf k1 def jf j d : D ˇ ˇ ˇ ˇ X

X

Sind f; g W X ! C messbar mit jf j  jgj und ist g integrierbar, so ist auch f integrierbar. Korollar A.1.3 Ist f W X ! Œ0; 1 integrierbar, so kann f den Wert 1 nur auf einer Nullmenge annehmen, d. h., auf einer Menge N mit .N / D 0. Außerdem ist dann die Menge A D fx 2 X W f .x/ ¤ 0g stets -endlich, d. h. A ist die Vereinigung abzählbar vieler Mengen endlichen Maßes. Die folgenden zwei Sätze sind von zentraler Bedeutung. Satz A.1.4 (Satz von der monotonen Konvergenz) Sei .fn /n2N eine punktweise monoton wachsende Folge integrierbarer Funktionen fn  0. Für x 2 X setze f .x/ D limn fn .x/, wobei 1 als Wert zugelassen ist. Dann gilt Z Z f d D lim fn d ; n

X

X

wobei auch hier der Wert 1 zugelassen ist.

Satz A.1.5 ( Satz von der majorisierten Konvergenz) Sei .fn /n2N eine Folge komplex-wertiger integrierbarer Funktionen, die punktweise gegen eine Funktion f konvergiert. Es gebe eine integrierbare Funktion g so dass jfn j  jgj für jedes n 2 N. Dann ist f integrierbar und es gilt Z Z f d D lim fn d: n

X

X

Ein Maßraum .X; A; / heißt vollständig, falls A jede Teilmenge einer Nullmenge enthält, d. h., falls A 2 A mit .A/ D 0 und B  A, dann folgt B 2 A. Zu einem gegebenen Maßraum .X; A; /, definiert man die Vervollständigung N /, .X; A; N wobei AN die -Algebra ist, die erzeugt ist von A und allen Teilmengen

240

A Topologie und Integrationstheorie

von Nullmengen. Jedes Element von AN lässt sich schreiben in der Form A \ N , wobei A 2 A und N die Teilmenge einer Nullmenge ist. Das Maß N ist dann definiert durch .A N \ N / D .A/. Eine Funktion ist genau dann -integrierbar, N wenn sie sich nur auf einer -Nullmenge N von einer -integrierbaren Funktion unterscheidet. Der Übergang zur Vervollständigung ändert die Theorie also nicht substantiell, gibt einem aber mehr messbare und integrierbare Funktionen.

A.2 Der Satz von Fubini Ein Maß  auf einem Messraum .X; A/ heißt -endliches Maß, falls S es abzählbar viele messbare Teilmengen Xj  X , j 2 N gibt mit X D j1D1 Xj und .Xj / < 1 für jedes j 2 N. Beispiele A.2.1 • Das Lebesgue-Maß auf X D R ist -endlich, denn R kann als Vereinigung der Intervalle Œk; k C 1 mit k 2 Z geschrieben werden. • Das Zählmaß ist nicht -endlich auf X D R, da R überabzählbar ist. Sind .X; A; / und .Y; C; / zwei -endliche Maßräume, dann zeigt man, dass ein eindeutig bestimmtes Maß  auf der -Algebra A˝C erzeugt von den Mengen fA C W A 2 A; C 2 Cg existiert, so dass stets gilt   .A C / D .A/.C / ;

A 2 A; C 2 C :

Man nennt    das Produktmaß von  und . Satz A.2.2 (Satz von Fubini) Seien .X; / und .Y; / zwei -endliche Maßräume und sei f eine messbare Funktion auf X Y . R (a) RIst f  0, dann definieren die partiellen Integrale X f .x; y/ d.x/ und Y f .x; y/ d.y/ messbare Funktionen und es gilt die Fubini-Formel: Z Z Z f .x; y/ d  .x; y/ D f .x; y/ d.y/ d.x/ XY

X Y

Z Z

D

f .x; y/ d.x/ d.y/ : Y X

(b) Ist f beliebig mit Werten in C und ist eines der iterierten Integrale Z Z Z Z jf .x; y/j d.y/ d.x/ oder jf .x; y/j d.x/ d.y/ X Y

Y X

endlich, dann ist f integrierbar bezüglich des Produktmaßes und die Fubini-Formel gilt.

A.3 Lp -Räume

241

Alle in diesem Buch auftretenden Maßräume sind -endlich, so dass der Satz von Fubini stets ohne weitere Erwähnung angewendet wird. Für Radon-Maße gibt es auch eine Version des Satzes, die auf die -Endlichkeit verzichten kann, siehe [8], Appendix.

A.3 Lp -Räume Sei .X; A; / ein Maßraum. Für 1  p < 1 sei Lp .X / die Menge aller messbaren Funktionen f W X ! C so dass 0 jjf jjp def D @

Z

1 p1 jf jp dA

< 1:

X

Eine Funktion in L1 .X / heißt integrierbar, wie wir schon wissen. Eine Funktion in L2 .X / heißt quadratintegrierbar. Sei ferner L1 .X / die Menge aller messbare Funktionen f W X ! C so dass es eine Nullmenge N gibt, so dass f auf dem Komplement X X N beschränkt ist. Man kann die Menge L1 .X / auch definieren als die Menge aller messbaren Funktionen f mit jjf jj1 < 1, wobei jjf jj1 def D inff0 < c  1 W 9 null  set N with jf .X X N /j  cg : Beachte den Unterschied zwischen jjjj1 und der Supremumsnorm jjf jjX def D sup jf .x/j : x2X

Es ist leicht zu sehen, dass k  k1 eine Halbnorm auf den komplexen Vektorraum L1 .X / ist. Dies ist analog auch richtig für k  kp mit 1  p < 1. Proposition A.3.1 (Minkowski-Ungleichung) Sei p 2 Œ1; 1. Für alle f; g 2 Lp .X / gilt dann f C g 2 Lp .X / mit kf C gkp  kf kp C kgkp : Also ist k  kp eine Halbnorm auf Lp .X /. Definition A.3.2 Eine messbare Funktion f auf X heißt Nullfunktion, falls eine Nullmenge N existiert mit f .X X N / D f0g. Der Raum N der Nullfunktionen ist ein Unterraum von Lp .X / für jedes p 2 Œ1; 1. Sei 1  p  1. Es gilt f 2 N , kf kp D 0 :

242

A Topologie und Integrationstheorie

Definiere p Lp .X / def D L .X /=N :

Dann ist k  kp eine Norm auf Lp .X /. Wir zeigen, dass .Lp .X /; k  kp / ein BanachRaum ist. Wir beginnen mit p D 1. Für eine gegebene Cauchy-Folge .fn /n2N in L1 .X / können wir eine Nullmenge N  X finden, so dass .fn /n2N eine CauchyFolge bezüglich k  kXXN ist. Also konvergiert die Folge gleichmäßig zu einer beschränkten Funktion f W X X N ! C. Wir setzen f durch Null nach X fort und erhalten einen Limes der Folge .fn /. Damit ist der Raum L1 .X / vollständig, also ein Banach-Raum. Es bleibt der Fall 1  p < 1.

Satz A.3.3 (Riesz-Fischer) Sei 1  p < 1 und sei .fn /n2N eine Folge in Lp .X / die eine Cauchy-Folge ist für k  kp . Dann existiert eine Funktion f 2 Lp .X / so dass Folgendes gilt: (a) kfn  f kp ! 0. (b) Es gibt eine Teilfolge .fnk /k2N von .fn /n2N , so dass fnk auf dem Komplement einer Nullmenge punktweise gegen f konvergiert.

Korollar A.3.4 Die Räume .Lp .X /; k  kp / mit 1  p  1 sind Banach-Räume. Ein wichtiger Spezialfall ist der Fall p D 2, denn in diesem Fall ist L2 .X / ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt Z hf; gi D f .x/g.x/ d.x/ : X

Für uns von besonderer Wichtigkeit ist noch das folgende topologische Resultat. Lemma A.3.5 (Lemma von Urysohn) Sei X ein lokalkompakter Hausdorff-Raum. Sei K  X kompakt und sei A  X abgeschlossen mit K \ A D ;. (i) Es gibt eine relativ kompakte Umgebung U von K so dass K  U  U  X X A. (ii) Es gibt eine stetige Funktion mit kompaktem Träger f W X ! Œ0; 1 mit f 1 auf K und f 0 auf A. (iii) Sei B  X abgeschlossen. Sei h W B ! Œ0; 1/ in C0 .B/ mit h.x/  1 für jedes x 2 K \ B. Dann existiert eine stetige Funktion f wie in (ii) mit der zusätzlichen Eigenschaft dass f .b/  h.b/ für jedes b 2 B. Das Lemma ist von großer Wichtigkeit. Wir geben einen Beweis.

A.3 Lp -Räume

243

Beweis: Für die erste Aussage sei a 2 A. Für jedes k 2 K gibt es eine offene, relativ kompakte Umgebung Uk von k, die disjunkt ist zu einer Umgebung Uk;a von a. Die Familie .Uk /k2K ist eine offene Überdeckung der kompakten Menge K, daher gibt es eine endliche Teilüberdeckung. Sei V die Vereinigung der Mengen dieser Teilüberdeckung und sei W der Schnitt der entsprechenden Uk;a . Dann sind V und W offene disjunkte Umgebungen von HK und a. Ferner ist V relativ kompakt. Wir wiederholen dieses Argument mit K an Stelle von fag und VN \ A an Stellen von K und erhalten disjunkte Umgebungen U 0 von K und W 0 von VN \ A. Die Menge U D U 0 \ V erfüllt die erste Aussage. Für (ii), wähle U wie im ersten Teil und ersetze A durch A [ .X X U /. Man sieht, dass es reicht, die Behauptung ohne die Bedingung zu beweisen, dass f kompakten Träger hat. Sei also wieder U wie im ersten Teil und nenne diese offene Menge U 1 . Es gibt dann eine relativ kompakte offene Umgebung U 1 von K so dass U 1  2

4

2

U 1  U 1 . Sei R die Menge aller Zahlen der Form 2kn im Intervall Œ0; 1/. Setze 2 4 U0 D X X A. Durch Iteration der obigen Konstruktion erhalten wir offene Mengen Ur , r 2 R mit K  Ur  Ur  Us  X X A für alle r > s in R. Wir definieren jetzt f . Für x 2 A setze f .x/ D 0 und sonst setze f .x/ D supfr 2 R W x 2 Ur g. Dann gilt f 1 auf K. Für r > s in R ist [ f 1 .s; r/ D Us 0 X Us 00 : s<s 0 <s 00
Diese Menge ist offen. Ebenso sind f 1 .Œ0; s// und f 1 ..r; 1/ offen. Da die Intervalle der Form .r; s/, Œ0; s/, und .r; 1 die Topology auf Œ0; 1 erzeugen, folgt, dass f stetig ist. Der Beweis von (iii) ist eine Variation des letzten Beweises, bei der man in jedem Schritt der Konstruktion der Mengen Ur Teil (i) mit A [ fb 2 B W h.b/  rg an Stelle von A anwendet. 

Literaturverzeichnis

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Sachverzeichnis

CF 193 Cc .X/ 70 Cc1 .H/ 70 D† 47 F -Isotyp 193 F -einfache Funktion 220 G S 157 GR 157 GS 157 G1 157 Gp 157 GA 157 GR1 164 K-endlich 192 K-zulässige Darstellung 189 L-Funktion 32 L-Reihe 32 Sk 28 Zp -trivial 213 A 123 A1 127 A 126 AS 124 Afin 123 ƒ-periodisch 2 T 89 Kp Lp H 215  d x 113, 129  18 GL2 .R/ 8 GL2 .Q/C 44 M2 .R/ 8 Mn .R/ 96  -Algebra 237  -endlich 239  -endliches Maß 240

-Isotyp 188 a.g/ 83 k.g/ 83 n.g/ 83 a 82 k 82 n 82 b Z 127 b 129 G bK 189 G b C 16 a t 83 e.x/ 205 k 83 nx 83 p-adischer Betrag 104 K Hp p 207 Mk D Mk ./ 28 S.M2 .A// 205 S.Qp / 132 S.R/ 56 Zp -trivialer Modul 212 P1 .C/ 15 T 93 Z-Basis 2 *-Algebra 181 *-Darstellung 181 abgeschlossener Operator 68 absolut konvergent 96 Absolutbetrag 103 abzählbare Einsumgebungsbasis Adele-Ring 101 adjungierter Operator 68, 172 Adjunktion einer Eins 198 Algebra 43, 86

174

247

248

Sachverzeichnis Führer 146 Faltung 86 Faltungsprodukt 206 fast alle 105 Fourier-Inversionsformel 35 Fourier-Transformation 134 Fourier-Transformierte 132 Frobenius-Homomorphismus 153 Fundamentalbereich 19, 46 Fundamentalmasche 2

Algebrenhomomorphismus 43 Annullator 196 äquivalente Darstellungen 91 Artin L-Funktion 154 Auffaltungstrick 60 automorph 55 automorphe L-Funktionen 156 automorphe Form 95, 167 automorphe Funktion 54 beschränkter Operator 168 Betrag eines Idels 127 Borel- -Algebra 237 Borel-Mengen 237 Cauchy-Folge 106 Cayley-Abbildung 47 Charakter 89, 93, 129 cokompakte Untergruppen

71

Darstellung 89 Dedekind-Ring 153 Dirac-Folge 173 direkte Hilbert-Raum Summe 91 direkte Limes 115 direkte Summendarstellung 91 direktes System 114 direktes System von Ringen 114 Dirichlet L-Reihe 146 Dirichlet Charakter 146 Dirichlet Charakter modulo N 77 diskontinuierlich 73 diskrete Gruppe 83 diskrete Untergruppe 12 Divisionsalgebra 71 doppelt-periodisch 2 Drehgruppe 81 duale Darstellung 228 duale Gruppe 129 Durchmesser 5 Eigenraum 173 einfach periodisch 11 einfache Funktion 125, 168 einfache Menge 126 einfacher Modul 182 eingeschränkte Produkt 122 eingeschränkte Produkttopologie eingeschränktes offene Rechteck Eisenstein-Reihe 9, 53 Elementarteiler 43 elliptische Kurve 13 endliche Adele 123

122 122

Galois-Darstellung 153 Gamma Funktion 32 Ganzzahlring 152 Gelfand-Paar 204 gerade Maaß-Form 65 gerichtete Menge 114 Gitter 2, 205 glatt 83, 203 glatte Funktion 53 glatter Vektor 98 gleichmäßig stetig 83 gleichstetig 176 Gruppenalgebra 206 Haar-Maß 85 Hauptkongruenzuntergruppe 51 Hauptserien-Darstellungen 157, 161 Hecke-Algebra 193 holomorph in 1 25 Homothetie 79 hyperbolischen Laplace-Operator 63 Idele 127 Idelgruppe 127 Indikatorfunktion vi integrabel 169, 238 Integral 169 integrierbar 238 invariantes Maß 87 Involution 181 irreduzibel 93, 154, 181 irreduzibler Modul 181 Isometrie 106 isometrischer Isomorphismus

106

K-Besselfunktion 55 Kommutatorgruppe 154 kompakte Darstellung 200 kompakter Operator 173 Kongruenzuntergruppe 51, 165 konjugiert modulo ƒ 2 konstante Term 59 konvergent 105

Sachverzeichnis Kreisgruppe 129 kuspidale Darstellung

249 quadratintegrierbar 241 Quasicharakter 89, 149 Quaternionenalgebra 71, 78

200

Langlands-Vermutungen 79 Lemma von Schur 182 lineare Ordnung 114 linearer Operator 168 linksinvariant 85 lokalen L-Faktor 216 lokalkompakte Gruppe 83, 110 Maß 238 Maßraum 238 Maaß-Form 63 Maaß-Spitzenform 63 Maaßsche Wellenform 63 Matrix-Koeffizienten 188 Mellin Transformation 35 meromorph im Unendlichen meromorphe Funktion 1 messbare Abbildung 237 messbare Mengen 237 Messraum 237 Metrik 105 metrischer Raum 105 metrisierbar 174 Modul 182 modular 52 modulare Funktion 22 Modularfunktion 86 Modulform 25, 52 Modulgruppe 17 Modulraum 79

Radon-Maß 84 Rankin-Selberg-Faltung 60 Rankin-Selberg-Methode 53 Rechteck 121 rechtsreguläre 91 regulärer Modul 182 reines Eigenwertspektrum 74 Riemann Hypothese 13 Riemannsche Zahlenkugel 16 Rieszsche Darstellungssatz 85 Ring vi Ring der ganzen p-adischen Zahlen

Satake-Transformation 209 Satake-Transformierte 208 schnell fallend 22, 178 Schnittstabilität 122 schwach modular 52 schwach modular vom Gewicht k 20 schwach multiplikativ 100 Schwartz-Bruhat-Funktionen 132, 134 Schwartz-Funktion 56 selbstadjungiert 69, 174 selbstdual 228 separabel 170 separable Abbildung 170 Siegel-Bereich 178 simultane Eigenvektoren 43 Spitzen 47 Spitzenform 25, 52, 177 stark multiplikativ 100 Stelle 123 Stelle von Q 123 Stellenmenge 123 stetig differenzierbar 83 stetig induzierte Darstellung 188 stetige Dualraum 228 stetige Funktionskeime 116 Supremumsnorm 241 symmetrisch 68

22

normal 173, 176 normalisiert 49 Nullfunktion 241 Nullmenge 239 obere Halbebene 9 Operation 15 Operator 68 Operatornorm 168 Ordnung 1 Orientierung 72 Peter-Weyl-Satz 188 Petersson-Skalarprodukt 45, 52 Polarkoordinaten Transformation pro-endlich 119 Produktformel 105 Produktmaß 240 projektive Limes 116 projektives System 116

107

6

Tate’s thesis 139 Teilerpotenzsumme 25 Theta-Reihe 140 Theta-Transformationsformel 140 topologische Gruppe 83 torsionsfrei 72 total unzusammenhängend 119 total unzusammenhängende Gruppe Träger 70

145

250 Trägheitsgruppe 153 Treppenfunktion 238 triviale Absolutbetrag 104 Umkehrformel der Fourier-Transformation 133, 135 unendliche Stelle 123 ungerade Maaß-Form 65 unimodular 88 unitär äquivalent 91 unitäre Darstellung 89 unitäre Dual 187 Unterdarstellung 93 unverzweigt 149, 159, 183 Urysohns Lemma 242

Sachverzeichnis Verflechtungsoperator 91 verschärfte Dreiecksungleichung Vervollständigung 106 vollständig 106 vollständiger Maßraum 239 Weierstraßsche }-Funktion wesentlich separabel 171 Weyl-Gruppe 208 zentraler Charakter 222 Zerlegungsgruppe 153 Zeta-Integral 142, 219 zulässige Darstellung 189

6

104