Begriffsschrift und andere Aufsätze, Zweite Auflage

Gottlob Frege

Begriffsschrift und andere Aufsätze Zweite Auflage Mit E. Husserls und H. Scholz' Anmerkungen herausgegeben von

Ignacio Angelelli

1993 Georg OllIlS Verlag Hildesheim · Zürich · N ew Y ork

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4. Nachdruck der 2. Auflage 1964 © by Georg Olms AG, Hildesheim 1964

Printed in Germany Herstellung: Weihert-Druck GmbH, Darmstadt ISBN 3-487-00623-5

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VERZEICHNIS IV Vorbemerkung V Begriffsschrift 89 Anwendungen der Begriffsschrift 93 Über den Briefwechsel Leibnizens und Huygens mit Papin 97 Über den Zweck der Begriffsschrift 106 über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffsschrift 115 Anhang I: H. Scholz' Anmerkungen zur "Begriffsschrift" 117 Anhang 11: E. Husserls Anmerkungen zur "Begriffsschrift" 122 Textkritische Bemerkungen

Vorbemerkung In diesem Band erscheint Freges "Begriffsschrift" (1. AufI. Halle 1879) erstmalig zusammen mit_vier kleineren Aufsätzen~ die systematisch oder chronologisch eng damit verbunden sind. Die Seitenzählung des vorliegenden Bandes fällt mit derjenigen der Originalauflagen nur bei den Seiten der Begriffsschrift zusammen, die mit arabischen Ziffern numeriert sind. In allen anderen Fällen ist durch eingeklammerte Ziffern auf die Seitenzählung der Originalauflagen hingewiesen. Einige Verbesserungen zum Text der "Begriffsschrift" und zu den "Anwendungen der Begriffsschrift" (siehe Textkritische Bemerkungen) ferner eine Anmerkung zur Seite 24 der "Begriffsschrift" wurden vom Herausgeber angefügt. Die "Begriffsschrift" war kein "Nebenprodukt" in Freges Laufbahn - wie E. Abbe in seinem Gutachten zur Ernennung Freges zum Professor schrieb (Friedrich Stier: Ernst Abbes akademische Tätigkeit an der Universität Jena, Jenaer Reden und Schriften, Heft 3, Jena, 1955, S. 26-28) sondern ein bahnbrechendes Werk, dessen neue Veröffentlichung seit langem gewünscht wurde. Ich möchte vor allem Herrn Professor Bochenski für seine freundliche Hilfe danken. Auch bin ich Frau E. Scholz verpflichtet, für die liebenswürdige Erlaubnis, die im Anhang I enthaltenen Anmerkungen von Herrn Professor H. Scholz zu veröffentlichen. Ebenso danke ich besonders dem Direktor des Husserl-Archivs, Herrn Prof. H. L. Van Breda, daß ich in sein Archiv Einsicht nehmen konnte und Auszüge aus den Anmerkungen Husserls zur "Begriffsschrift" und seiner Korrespondenz mit Frege für den vorliegenden Band verwerten durfte. Ebenso bin ich Herrn Dr. R. Boehnl verpflichtet,der die Übertragung in Kurrentschrift des auf S. 7 der "Begriffsschrift" eingelegten Blattes besorgt hat. Herrn Professor G. Uschmann, Universität Jena, bin ich für seine intensive Unterstützung meiner Arbeit sehr verbunden. Ignacio Angelelli / Fribourg,

Schweiz~

1963.

BEG RIFFSSCHRIFT, EINE DER ARITHMETISCHEN NACHGEBILDETE

FORlIELSPRA.CHE DES REINEN DENKENS.

VON

DR. GOTTLOB

FREGE~

PRIVATliOCENTEN DER MATHEMATIK AN DER UNIVERSITÄT JENA.

HALLE AIS. VERLAG VON LOUIS NEBERT. 1879.

Vorwort. Das Erkennen einer wissenschaftlichen Wahrheit durchläuft in der Regel mehre Stufen der Sicherheit. Zuerst vielleicht aus einer ungenügenden Zahl von Einzelfällen elTathen, wird der allgemeine Satz nach und nach sicherer befestigt, indem er durch Schlussketten mit andern Wahrheiten Verbindung erhält, sei es dass aus ihm Folgerungen abgeleitet werden, die auf andere Weise Bestätigung finden, sei es dass er umgekehrt als Folge schon feststehender Sätze erkannt wird. Es kann daher einerseits nach dem Wege gefragt werden, auf dem ein Satz allmählich errungen wurde, andrerseits nach der Weise, wie er nun schliesslich am festesten zu begründen ist. Erstere Frage muss möglicherweise in Bezug auf verschiedene Menschen verschieden beantwortet werden, letztere ist bestimmter, und ihre Beantwortung hängt mit dem innern Wesen des betrachteten Satzes zusammen. Die festeste Beweisführung ist offenbar die rein IQgische, welche, von der besondern Beschaffenheit der Dinge absehend, sich allein auf die Gesetze gründet, auf denen alle Erkenntnis beruht. Wir theilen danach alle Wahrheiten, die einer Begründung bedürfen, in zwei Arten, indem der Beweis bei den einen rein logisch vorgehen kann, bei den andern sich auf Erfahrungsthats&chen stützen muss. Es ist aber wohl vereinbar, dass ein Satz zu der ersteren Art gehört und doch ohne Sinnesthätigkeit nie in einem menschlichen Geiste zum Bewilsstsein kommen könnte. *) Also nicht die psychologische Entstehungsweise, sondern die vollkommenste Art der Beweisführung liegt *) Da ohne Sinneswahrnehmung keine geistige Entwickelung bei den UDS bekannten Wesen möglich ist, 80 gilt das Letztere von allen Urtheilen.

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der Eintheilung zu Grunde. Indem ich mir nun die Frage vorlegte, ZU welcher dieser heiden Arten die arithmetischen " l.irtheile gehörten, musste ich zunächst versuchen, wie weit man in der Arithmetik durch Schlüsse allein gelangen könnte, nur gestützt auf die Gesetze des Denkens, die über allen Besonderheiten erhaben sind. Der Gang war hierbei dieser, dass ich' zuerst den Begriff der Anordnung in einer Reihe auf die logische Folge zurückzuführen suchte, um von hier aus zum Zahlbegriff fortzuschreiten. Damit sich hierbei nicht unbemerkt etwas Anschauliches eindrängen könnte, musste Alles auf die Lückenlosigkeit der Schlusskette ankommen. Indem ich diese Forderung auf das strengste zu erfüllen trachtete, fand ich ein Hindernis in der Unzulänglichkeit der Sprache, die bei aller entstehenden Schwerfälligkeit des Ausdruckes doch, je verwickelter die Beziehungen wurden, desto weniger die Genauigkeit erreichen liess, welche mein Zweck verlangte. Aus diesem Bedürfnisse ging der Gedanke der vorliegenden Begriffsschrift hervor. Sie soll also .zunächst dazu dienen, die Bündigkeit einer Schlusskette auf die sicherste Weise zu prüfen und jede Voraussetzung, die sich unbemerkt einschleichen will, anzuzeigen, damit letztere auf ihren Ursprung untei·sucht werden könne. Deshalb ist auf den Ausdruck alles dessen verzichtet worden, was für die Schluss(olge ohne Bedeutung ist. Icb habe das, worauf allein es mir ankam, in § 3 als begrifflichen Inhalt bezeichnet. Diese Erklärung muss daher immer im Sinne behalten werden, wenn man das Wesen meiner Formelsprache richtig auffassen will. Hieraus ergab sich aueh der Name "Begriffsschrift". Da ich mich fürs erste auf den Ausdruck solcher Beziehungen beschränkt habe, die von der besonderen Beschaffenheit der Dinge unabhängig sind, so konnte ich auch den Ausdruck "Formelsprache des reinen Denkens" gebrauchen. Die Nachbildung der arithmetischen Formelsprache, die ich auf dem Titel angedeutet habe, bezieht sich mehr auf die Gl·undgcdanken als die Einzelgestaltung. Jene Bestrebungen, durch Auffassung des Begriffs als Summe seiner Merkmale eine künstliche Aehnlichkeit herzustellen, haben mir dabei durchaus fern gelegen. Am unmittelbarsten berührt sich meine Formelsprache mit der arithmetischen in der Verwendungsweise der Buchstaben.

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Das Verhältnis meiner Begriffsschrift zu der Sprache des Lebens glaube ich am deutlichsten machen zu können, wenn ich es mit dem des Mikroskops zum Auge vergleiche. Das Letztere hat durch den Umfang-- seiner Anwendbarkeit, durch die Beweglichkeit, mit der es sich den verschiedensten Umständen anzuschmiegen weiss, eine grosse Ueberlegenheit vor dem Mikroskop. Als optischer Appa·rat betraclttet, zeigt es freilich viele Unvollkommenheiten, die_ nur in Folge seinelinnigen Verbindung mit dem geistigen Leben gewöhnlich unbeachtet bleiben. Sobald aber wissenschaftliche Zwecke grosse Anforderungen an die Schärfe der Unterscheidung stellen, zeigt sich das Auge als' ungenügend. Das Mikroskop hingegen ist gerade solchen Zwecken auf das vollkommenste angepasst, aber eben dadurch für alle andern unbrauchbar. So ist diese Begriffsschrift ein für bestimmte wissenschaftliche Zwecke ersonnenes Hilfsmittel, das man nicht deshalb verurtheilen darf, weil es für andere nichts taugt. Wenn sie diesen Zwecken einigermassen entspricht, so möge man immerhin neue Wahrheiten in meiner Schrift vermissen. Ich würde mich darüber mit dem Bewusstsein trösten, dass auch eine Weiterbildung der Methode die Wissenschaft fördert. Hält es doch Ba co für vorzüglicher ein Mittel zu erfinden, durch welches Alles leicht gefunden werden kann, als Einzelnes zu entdecken, und haben doch alle grossen wissenschaftlichen Fortschritte der neuel'an Zeit ihren Ursprung in einer Verbesserung der Methode gehabt. Auch Leibniz hat die Vortheile einer angemessenen Bezeichnungsweise erkannt, vielleicht überschätzt. Sein Gedanke einer allgemeinen Charakteristik, eines calculus philosophicus oder ratiocinator*) war zu riesenhaft, als dass der Versuch ihn zu verwirklichen über die biossen Vorbereitungen hätte hinausgelangen können. Die Begeisterung, welche seinen Urheber bei der Erwägung ergl·HI, welch' unermessliche Vermehrung der geistigen Kraft der Menschheit aus einer die Sachen selbst tl'effenden Bezeichnungsweise entspringen wUrde, lieRs ihn die Schwierigkeiten zu gering schätzen, die einem *) Siehe hierüber: Trendelenburg , Historische Beiträge zur Philosophie 3, B3nd.

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solchen Unternehmen entgegenstehen. Wenn aber auch -tjies hohe Ziel mit Einem Anlaufe nicht erreicht werden kann, so braucht man doch an einer langsamen, schrittweisen Annäherung nicht zu verzweifeln. Wenn eine Aufgabe in ihrer vollen Allgemeinheit unlösbar scheint, so beschränke man sie vorläufig; dann wird vielleicht durch allmähliche Erweiterung ihre Bewältigung gelingen. Man kann in den arithmetischen, geometrischen, chemischen Zeichen Verwirklichungen des Leibnizischen Gedankens für tjinzelne Gebiete sehen. Die hier vorgeschlagene Begriffsschrift fUgt diesen ein neues hinzu und zwar das in der ~Iitte gelegene, welches allen andem benachbart ist. Von hier aus lässt sich daher mit der grössten Aussicht auf Erfolg eine Ausfl1llung der Lück~n der bestehenden Formelsprachen, eine Verbindung ihrer bisher getrennten Gebiete zu dem Bereiche einer einzigen und eine Ausdehnung auf Gebiete ins Werk setzen, die bisher einer solchen ermangelten. Ich verspreche mir überall da eine erfolgreiche Anwendung meiner Begriffsschrift, wo ein besonderer Werth auf die Bl1ndigkeit der Beweisff1hrung gelegt werden muss, wie bei der Grundlegung der Differential- und IntegraJrechnung. Noch leichter scheint es mir zu sein, das Gebiet dieser Formelsprache auf Geometrie auszudehnen. Es ml1ssten nur fltr die hier vorkommenden ·anschaulichen Verhältnisse noch einige Zeichen hinzugefügt werden. Auf diese Weise würde man eine Art von analysis situs erhalten. Der Uebergang zu der reinen Bewegungslehre und weiter zur Mechanik und Physik möchte sich hier anschliessen. In den letzteren Gebieten, wo neben der Denknothwendigkeit die Naturnotbwendigkeit sich geltend macht, ist am ehesten eine Weiterentwickelung der Bezeichnungsweise mit dem Fortschl"eiten der Erkenntnis vorauszusehen. Deshalb braucht man aber nicht zu warten, bis die Möglichkeit solcher Umformungen &USge~chlosseIi erscheint. Wenn es eine Aufgabe der Philo80phie ist, die HeITschaft des Wortes über den menschlichen Geist zu brechen, indem sie die rräuschungen aufdeckt, dio durch den Sprachgebrauch über die Beziehungen der Begriffe oft fast unvermeidlich entstehen, indem sie den Gedanken von demjenigen befreit, womit ihn

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allein die Beschaffenheit des sprachlichen Ausdrucksmittels behaftet, so wird meine Begriffsschrift, fllr diese Zwecke weiter ausgebildet, den Philosophen ein brauchbares Werkzeug werden können. Freilich giebt auch sie, wie es bei einem äussem Darstellungsmittel wohl nicht anders möglich ist, den Gedanken nicht rein wieder; aber einerseits kann man diese Abweichungen auf das Unvermeidliche und Unschädliche beschränken, andrerseits ist schon dadurch, das8 sie ganz andrer Art sind als die der Sprache eigenthtlmlichen, ein Schutz gegen eine einseitige Beeinflussung durch eines diesel Ausdrucksmittel gegeben. Schon das Erfinden dieser Begriffsschrift hat die Logik, wie mir scheint, gefördert. Ich hoffe, dass die Logiker, wenn sie sich durch den ersten Eindruck des Fremdartigen nicht zurückschrecken lassen, den Neuerungen, zu denen ich durch eine der Sache selbst innewohnende Nothwendigkei* getrieben ,vurde, ihre Zustimmune: nicht verweigern werden. Diese Abweichungen Vom Hergebrachten finden ihre Rechtfertigung darin, dass die Logik sich bisher immer noch zu eng an Sprache und Grammatik angeschlossen hat. Insbesondere glaube ich, dass die Ersetzung der Begriffe Subject und Praedicat durch Argument und Ji'unction sich auf die Dauer bewähren wird. Man erkennt leicht, wie die Auffassung eines Inhalts als Function eines Argumentes begriffbildend wirkt. Es möchte ferner der Nachweis des Zusammenhanges zwischen den Bedeutungen der Wörter: wenn, und, nicht, oder, es giebt, einige, alle u. s. w . Beachtung verdienen. w

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1

Im Besondern sei nur noch Folgendes erwähnt. Die in § 6 ausgesprochene Beschränkung auf eine einzige Schlu8sweise wird dadurch gerechtfertigt, dass bei der Grundlegung einer solchen Begriffsschrift die Urbestandtheile 80 einfach wie möglich genommen werden mUssen, wenn Uebersichtlichkeit und Ordnung geschaffen werden sollen. Dies 8chliesst nicht aus, dass später Uebergänge von mehren Urtheilen zu einem neuen, die bei dieser einzigen Schlussweise nur in mittelbaret Weise möglich sind, der Abkürzung wegen in unmlttelbare verwandelt werden. In der That möchte sich dies bei einer spätern Anwendung empfehlen. Dadurch wUrden dann weitere Schlu88weisen entstehen. w

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Nachtteäglicb habe ich bemerkt, dass die Formeln (31) und ( 41) in die einzige ~ (Tla = a) zusammengezogen werden können, wodurch noch einige Vereinfachungen möglich werden. Die Arithmetik, wie ich im Anfange bemerkt habe, ist der Ausgangspunkt des Gedankenganges gewesen, der mich zu meiner Begriftsschrift geleitet hat. Auf diese Wissenschaft denke ich sie daher auch zuerst anzuwenden, indem ich ihre Begriffe weiter zu zergliedern und ihre Sätze tiefer zu begrl1nden suche. Vorläufig habe ich im dritten Abschnitte einiges von dem mitgetheilt, was sich in dieser Richtung bewegt. Die weite}Oe Velfolgung des angedeuteten Weges, die Beleuchtung der Begriffe der Zahl, der Grösse u. s. w. sollen den Gegenstand fernerer Untersuchungen bilden, mit denen ich unmittelbar Daeh dieser Schrift hervortreten \verde. Jena, den 18. December 1878.

I n haI t. I. Erklärung der BeBeichnungen.

Seite

§ 1. Buchstaben und andere Zeichen . . .

I

Das Urth eil. § 2. Beurtheilbarkeit eines Inhalts. Inhaltsstrich , Urtheils8trich § 3. Subject und Prädicat. Begrifflicher Inhalt. . . . . . . . § 4. Allgemeine, besondere; verneinende; kategorische t hypothetische, disjunctive; apodiktische, assertorische, problematische Urtheile . • • • • . . . . . . • . ......

2

Die Bedingtheit. § 5. Wen n. Bedingungsstrich . . . . . • . • . § 6. Der Schluss. Die Aristotelischen Schlussweisen .

5

4

7

Die Verneinung. § 7. Verneinungsstrich. Oder, 'entweder - oder, und, aber, und nicht, weder - noch . . • • . . . . .. . • . . .

t0

Die Inhaltsgleichheit. Nothwendigkeit eines Zeichens fUr die Inhaltsgleichheit, flihrung eines solchen. . . . . . . . . . . . . .

13

§ 8.

Ein~

Die Funetion. § 9. Erklärung der Wörter "Function" und "Argument". Functionen mehrer Argumente. Arguments8tellen. Subject, Object. . . § 10. Gebrauch der Buchstaben als Functionszeichen. "A hat die Eigenschaft 4J." "B steht in der qJ-Beziehung zu A." "B ist Ergebnis einer Anwendung des Verfabrens qJ auf den Gegenstand A." Das FunctioDszeichen als Argument CI

•

•

•

Die Allgemeinheit. § 11. Deutsche Buchstaben. Die Höhlung des Inhalts8triches.

•

•

Er-

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XVI

Belte

setzbarkeit der deutschen Buchstaben. Gebiet derßdlben. Lateinische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . 19 § 12. Es giebt einige Dinge, die nicht -. Es gibt kein -. Es giebt einige -. Jedes. Alle. Ursächliche Zusammenhänge. Kein. Einige nicht. Einige. Es ist möglich, dass -. Tafel der logischen Gegensätze • . . .' . . . . . . . • 22

11. Darstellung und Ableitung einiger Urthelle des reinen Denkens. § § § § § § § § § §

13. Nutzen der ableitenden Darstellungsweise · . . • . . . . 14. Die ersten beiden Grundgesetze der Bedingtheit . . . 15. Folgerungen aus ihnen . . . . . . . . . . . . . . . 16. Das dritte Grundgesetz der Bedingtheit und Folgerungen . . 17. Das erste Grundgesetz der Vemeinung und Folgerungen . . 18. Das zweite Grundgesetz der Vemeinung und Folgerungen . 19. Das dtitte Grundgesetz der Vemeinung und Folgerungen .. . 20. Das erste Grundgesetz der Inhaltsgleichheit und Folgerung . 21. Das zweite Grundgesetz der Inhaltsgleichheit und Folgerungen 22. Das Grundgesetz der Allgemeinheit und Folgerungen . . .

25 26 29 35 43 44 47 50 50 51

III. Einiges aus einer allgemeinen Beihenlehre.

§ 23. Einleitende Bemerkungen . . . . . . . . • . . . . . § 24. Die Vererbung. Verdoppelung des Urtheilsstriches. Kleine griechische Buchstaben . . . . . § 25. Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . § 26. Das Aufeinanderfolgen in einer Reihe· . . . . . § 27. Folgerungen . . • . . . ~ . . . . .•. § 28. Weitere Folgerungen. . . . . . • . § 29. "z gehört der mit x anfangenden f-Reihe an." Erklärung und Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 30. Weitere Folgerungen . . . . . . . . . . • . . . . . § 31. Eindeutigkeit eines Verfahrens. Erklärung und Folgerungen.

55 55

58 60

62 68 7t 73 77

I. Erklärung der Bezeichnungen. § 1. Die in der allgemeinen Grössenlehre gebräuchlichen Zeichen zerfallen in zwei Arten. Die erstere umfasst die Buchstaben, von denen jeder entweder eine unbestimmt gelassene Zahl oder eine unbestimmt gelassene Fnnction vertritt. Diese U ß-bestimmtheit macht es möglich die Buchstaben zum Ausdrucke dcr Allgemeingiltigkeit von Sätzen zu verwenden wie in (a + b) c = ac bc. Die andere Art umfasst solche Zeichen wie 0, 1, 2, von denen jedes seine eigenthümliche Bedeutung hat.

+

+, -, \/"

Diesen Grundgedanken der Unterscheidung zweier Arten von Zeichen, der in der Grössenlehre leider nicht rein durchgeführt ist *), nehme ich auf, um ihn für das umfassendere Gebiet des reinen Denkens überhaupt nutzbar zu machen. Alle Zeichen, die ich anwende, theile ich daher ein in solche, unter denen man sich Verschiedenes vorstellen kann, und in solche die einen gtmz bestimmten Sinn haben. Die erstern sind die BuchstalJen, und diese sollen hauptsächlich zum Ausdrucke der Allgemeinheit dienen. Bei aller Unbestimmtheit muss aber daran festgehalten werden, dass ein Buchstabe die Bedeutung, welche man ihm einmal gegeben hat, in demselben Zusammenhange beibehält.

nas UrtheiL § 2.

Ein Ui-theil werde immer mit Hilfe des Zeichens

ausgedrUckt, welches links von dem Zeichen oder ,der Zeichenverbindung steht, die den Inhalt des Urtheils angiebt. Wenn man den kleinen senkrechten Strich am linken Ende des wagerechten *) Man denke an I, log, sin, Lim. Fr e g e t ForweI.vrache.

2

fortlässt, so soll dies das Urtheil in eine blosse Vorstellungsver bindung vel·wandelu, VOll welcher der Schreibeude nicht ausdrückt, ob er ihr Wahrheit zuerkenne oder nicht. Bedeute z. B. I A*) dss Urtheil: "die ungleichnamigen Magnetpole ziehen sich an"; dann wird

--A nicht dies Ul-theil ausdrücken, sondern lediglich die Vorstellung von der gegenseitigen Anziehung der ungleich namigen Magnet.pole in dem Leser hervorrufen sollen, etwa um Folgerungen dal-aus zu ziehen und an diesen die Richtigkeit des Gedankens zu prilfen. Wir unJSchreiben in diesem Falle durch die Worte ."de1· Umstand, dass" oder "der Satz, dass". Nicht jeder Inhalt kann durch das vor sein Zeichen gesetzte I ein Urtheil wel-den, z. B. nicht die Vorstellung "Haus'''. Wir unterscheiden daher beu,rtheilbare und unbeurtheilbare Inhä.lte **). Der 1IJagerechte Strich, aus dem das Zeichen I gebildet ist, verbindet die darauf folgenden Zeichen zu einen/' Ganzen, und

auf dies Ganze bezieht sich die Bejahung, welche durch den, senkrechten Strich am linken Ende des wagerechten ausgedrückt wird. Es möge der wagerechte Strich Inhaltsstrich, der senkrechte Urlheilsj,"lrich heissen. Der Inhaltsstl·ich diene auch sonst dazu, irgendwelche Zeichen zu dem Ganzen der dal·auf folgenden Zeichen. in Beziehung zu setzen. Was auf den lnhaltsstrich folgt, l1ntS~' immer einen beurtheilbarell, Inhalt haben. § 3. (Eine Unterscheidung von Subject und Prädicat findet bei meinei" Darsd.~Ul.lng eines Urtbeils nicht statt. Um dies zu l-eehtfertigen, bemerke ich, dass die Inhalte von zwei Ul"theilen in doppelter Weise verschieden sein können: erstens 80, dass die ~"ol­ gerungen, die aus dem einen in Verbindung mit bestimmten andern *) Ich bediene mich der g:ros&en griechischen Buchstaben als A bkürzungen, denen der Leser einen passenden Sinn unterlegen möge, wenn ich sie nich t beson <1e1"8 erkläre. *...) Dagegen wäre der Umstand, dass es Häuser (oder ein Haus) giebt (vgl. § 12), ein beurtheilbarer Inhalt. Von diesem ist aber die Vorstellung "Haus" nur ein l'heil. Man könnte in dem Sa.tze: "das H&us des Priamus war von Holz" a.n die Stelle von "Haus" nicht " Umstand, dass es ein Haus giebt" einsetzen. - Ein Beispiel anderer Art fUr einen unbeut"theilbalren Inhalt siehe lJei Formel 81.

3 gezogen werden können, immer auch aus dem zweiten in Verbindung mit denselben andern Urtheilen folgen; zweitens so, dass dies nicht der F:lll ist. Die beiden Sätze: "bei Plataeae siegten die Griec~en Übel" die Perser" und "bei Plataeae wurden die Perser von den Griechen besiegt" unterscheiden sich in der erstern Weise. Wenn man nun auch eine geringe Verschiedenheit des Sinnes el"kennen kann, so ist doch die U ebereinstimmung überwiegend. Ich nenne nun denjenigen Thei! des Inhaltes, der in beiden de~selbe ist, den begrifflichen Inhalt. Da nur dieser für die Begriffsschrift von Bedeutung ist, so braucht sie keinen Unterschied zwischen Sätzen zu machell~ die denselben begrift"li'Chen Inhalt haben. Wenll man sagt: "Subject ist der Begrift", von dem das Urtheil handelt", so passt dies auch auf das Object. Man kann daher nur sagen: "Subject ist der Begriff, VOll dem hauptsächlich das Urtheil handelt." Die Stelle des Subjects in der Wortreihe hat für die Sprache die Bedeutung einer ausgezeichneten Stelle, an die man dasjenige bringt, worauf man die Aufmerksamkeit des Hörers be-. sonders hinlenken will. (Siehe auch § 9). Dies kann beispielsweise den Zweck haben, eine Beziehung dieses Crtheils zu anderll anzudeuten, und dadurch dem Hörel- die Auffassung des ganzen 7.ussmmenhanges zu erleichtern. Alle Erscheinungen nun in der Sprache, die nur aus der Wechselwirkung des Sprechenden und des Hörenden hervorgehen, indem der Sprechende z. B. auf die )i~rwal"tungen des Hörenden Rücksicht nimmt und diese schon vor dem Aussprechen eines Satzes auf die richtige Fährte zu bringen sucht, haben in meiner Formelsprache nichts Entsprechendes, weil im U rtheile hier nur das in Betracht kommt, was auf die möglichen, l?olgerungen. Einfiuss hat. Alles, was für eine richtige Schlussfolge nöthig ist, wird voll ausgedrückt; was aber nicht nöthig ist, wird meistens auch nicht angedeutet; nichts wird dem Errathen überlassen. Hierin folge ich ganz dem Beispiel der mathematischen Formelspra.che, bei deI' man Subject und Prädicat auch nur gewaltsamerweise unterscheiden kann. Es lässt sich e·ine Sprache denken, in welcher der Satz: "Archimedes kam bei der Eroberung VOll Syrakus um" in folgender Weise ausgedrückt würde: "der gewaltsame Tod des Archimedes bei der Eroberung von Syrakus ist eine Thats&che". Hier kann man zwar auch, wenD man will, Subject und Prädicat unterscheiden, aber das Subject enthält den ganzen Inhult, und das Prädicat hat nur den Zweck, diesen als

Eine solche Sprache wurde nur .ein einziges .Prädicat für alle Urtheile haben, nämlich, "ist eine Thatsache" Urtheil hinzustellen.

Man sieht, dass im gewöhnlichen Sinne von Subject und Pl'ädicat hier keine Rede sein kann. Eine solche Sprache ist unsere Be-

griffsschrift und das Zeichen für alle Urtheile.

I·

ist ihr gemeinsames Prädicat

Bei dem ersten Entwurfe einer Formelsprache liess ich mich dw"ch das Beispiel der Sprache verleiten, die Urtheile aus Subject und Prädicat ?,usamnlCDzusetzen. Ich überzeugte mich aber bald, dass dies meinem besondern Zwecke hinderlich war und nur zu unnützen Weitläufigkeiten fUlIl"te. § 4. Die folgenden Bemerkungen sollen die Bedeutung der Unterscheidungen, welche man in Bezug auf Urtheile macht, fUr unsere Zwecke erlä.utern. Man untel"scheidet al/gemeine und besondere Ul"theile: dies ist eigentlich kein Unterschied der Urtheile, sondern der Inhalte. Mun sol/le sagen: "ein Urtheil von al/gemeinem InhalteU, "ein Urtheil von besonderm InhalteH. Diese Eigenschaften kommen nämlich deß) Inhalte auch zu, wenn er nicht als Urtheil hingestellt wird, sondern als Satz. (Siehe § 2). Dasselbe gilt von der Vernein ung. In einem indirecten Beweise sagt man z. B.: "gesetzt, die Strecken AB und ClJ wären nicht gleich." Hier enthält der Inhalt, dass die Strecken AB und CD nicht gleich seien, eine Verneinung, aber dieser Inhalt, obgleich der Beurtheilung fähig, wird doch nicht als Urtheil aufgestellt. Es haftet also die Verneinung am Inhalte, einerlei ob dieser als U rtbeil auftrete oder nicht. Ich halte es daher für angemessener, die Verneinung als ein ~lerkmal eines beurt heilbaren Inhalts anzusehen. Die Unterscheidung der Urtheile in kategorische, hypothetische und disj unctive scheint mir nur grammatische Bedeutung zu haben. *). Das apodiktische U rtheil unterscheidet sich vom ~dsertorisehen dadurch, dass das Bestehen allgemeiner Urtheile angedeutet wird, aus denen der Satz geschlossen werden kann, während bei den assertorischen ein~ solche Andeutung fehlt. Wenn ich einen Satz als nothwendig bezeichne, so gebe ich dadurch einen Wink über meine U rtheilsgründe. Da aber hierdurch der begriffliche Inhalt *) Die Begründung wird aus der ganzen Schrift hel·vorgeben.

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5

des Urtheils nicht berlJ,hrt wird, so hat die Form des apodiktischen, Ur/heils für uns keine Bedeutung. Wenn ein Satz als möglich hingestellt wird, so enthält sieb der Sprechende entweder des Urtheils, indem er andeutet, dass ihm keine Gesetze bekannt seien, aus denen die Verneinung folgen würde; oder er sagt, dass die Verneinung des Satzes in ihrer Allgemein heit falsch sei. Im letzteren Falle haben wir ein parI lcullit· bejahendes. Urtheil *) nach der gewöhnlichen Bezeichnung. "Es ist möglich, dass die Erde einmal mit einem andern Weltkörper zusamnlenstösst" ist ein Beispiel fUr den ersten, und "eine Erkältung kaun den Tod zur Folge haben" ist eins fUr den zweiten Fall. Die Bedi ngth eit. Wenn A und B beurtheilbare **) Inhalte bedeuten, so giebt es folgende vier Möglichkeiten: 1) A wird bejaht und B wird bejaht; 2) A wird bejaht und B wird verneint; 3) A wird verneint und B wird bejaht; 4) A wird verneint und B wird v~rneint. § 5.

I

I_ BA

dass die dritte dieser hlöglicll,keite'll, nicht stattfinde;t sondern eine der drei andern. Wenn bedeutet nun das Urtheil,

-o:---A,

I_ B

verneint wird, so besagt dies demnach, dass die dritte Möglichkeit stattfinde, dass also A verneint und B bejaht werde• ..-\.U8 den Fällen, in denen

LAB bejaht wird, heben wir folgende hervor: 1) A muss bejaht werden. Dann ist der Inhalt von B ganz gleichgiltig. Z. B. I A bedeute: 3 x. 7 ~ 21, B bedeute den U IDstand , dass die Sonne scheint." Es sind hier nur die beiden ersten der genannten vier Fälle möglich. Ein ·ufslchlieher Zu.) Siehe § 12. •• ) § 2.

6 sammenhang zwischen heiden Inhalten braucht nicht vorhanden zu sein. 2) B ist zu verneinen. Dann ist der Inhalt von A gleichgiltig. Z. B. B b"deute den Umstand, dass ein Perpetuum mobile möglich sei, A. den Umstand, dass die Welt unendlich sei. Hier ist nur der zweite und viel-te der vier FAlle möglich. Ein nrsächlicher Zusammenhang zwischen A und B bl·aucht nicht zu bestehen. 3) Man kann das Urtheil

I

I_ BA

fällen, ohne zu wi$sen, ob A und B zu bejahen oder zu verneinen sind. Es bedeute z. B. B den Umstand, dass der lt'lond in Quadratur steht, A den Umstand, dass er als Halbkl'eis erscheint. In diesem Falle kanll man

~~ mit Hilfe des ~"ügeworts "wenn" übersetzen: "wenn der Mond in Quadratur steht, so erscheint el~ als Halbkreis". Die ursächliche Verknüpfung, die in dem WOl-te "wenn" liegt, wird jedoch durch unsel-e Zeichen nicht ausgedrUckt, obgleich ein Urtheil dieser Art nur auf GI-und einer solchen gefallt wel-den kann. Denn diese VerknUpfung ist etwas Allgemeines, dieses aber kommt hier noch nicht zum Ausdrucke (Siehe § 12). Der senkt-echte Strich, welcher die heiden. wagerechten verbindet, heisse Bedingungsstrich. Der links vom Bedingungsstriche befindliche Thei! des oberen wagreehten Striches ist deI" Inhaltssb-ich für die eben erklärte Hedeutung der Zeichen verbindung

L~i an diesem wh-d jedes Zeichen angebracht, das sich auf' den Gesammtinhalt aes Ausdruckes beziehen 8011. Der zwischen A und dem Bedingungsstriche liegende Thei! des wagerechten Striches ist der Inhaltsstrich von A. Der wagerechte Strich linka von B ist der Inhaltsstrich VOll B. Hiernach ist leicht zu erkennen, dass

I

~A -B r

•

7

den Fall leugnet, wo A verneint, Bund r bejaht wUrden. Man muss dies aus --:---A und 0 ebenso zusammengesetzt denken, wie --:----A B aus A und B. Zunächst haben wir daher die Verneinung des Falles, wo --A. B vel-neint, und bejaht wird. Die Verueinung von

r

1_

I_

I_

r

--:----A

I_ B

bedeutet aber, dass A verneint nnd B bejaht wird_ Hiet-aus ergiebt sieh, was oben angegeben ist. Wenn eine ursächliche Verknl1p{ung vorliegt, 80 kann ma.n auch sagen: "A ist die 'nothwendige Folge von Bund r"; oder : »wenn dIe Umstinde Bund eintreten, so tritt auch A ein". Nicht minder erkennt mau, dass

r

r

I

I A I_ B

r

den Fall leugnet, wo B bejaht wird, A und aber verneint werden. Wenn man einen ursächlichen ZusammenhaDg zwischen A und B voraussetzt, kann man übersetzen: "wenn A die nothwendige Folge von B 'ist, so kann geschlossen werden, dass stattfindet." § 6. Aus der in § 5 gegebenen Erklärung geht hervor, dass aus den beiden Urtheilen I A und I--- B

r

I

-B das neue Urtheil folgt.

I

A

Von den vier oben aufgezihlten Fällen ist der dritte durch

t-r=; ,

der zweite und vierte aber durch

I

B ausgeschlosseD, sodass nur der erste übrig bleibt.

8 Man könnte diesen Schluss etwa so schreiben:

I-,-A I- B

I

B

I

A..

Dies würde umständlich werden, wenn an den Stellen von A und B lange Ausdrücke ständen, weil jeder VOll ihnen doppelt zu scht-eiben wäre. Deshalb brauche ich folgende Abkttrzung. Jedes Urtheil, welches im Zusammenhange einer Beweisfl1hrung vorkommt, wird dUI-ch eine Nummer bezeichnet, die da., wo dies Urtbeil zum CI'sten Male vorkommt, rechts daneben gesetzt wird. Es sei nun beispielsweise das Urtheil

I-....,...-A

I_ B

-

oder ein solches, das

I....---:,~ A. als besondern lt~al1 enthält -B

d'urch X bezeichnet worden.

Dann schtOeibe ich den Scbluss so:

(X): I

B

I

A. •

llierbei ist es dem Leser überlassen, sich aus das Urtheil

"'1- -

Bund

1....-- A

I~-A.

I_ B

zusammenzusetzen und zuzusehen, ob es mit dem angeführten Urtheile X stimmt. Wenn beispielsweise das Urth.eil I B durch XX bezeichnet ist, .so schreibe ich denselben Sclliuss auch so:

I---~A (XX) ::

I_ B

1-- A

· lIierbei zeigt das doppelte Kolon 3D, dass hier au f andere Weise als oben aU8 den beiden hingeschriebenen Urtheilen das durch XX nur angeführte I B gebildet werden müsse. Wäre noch etwa das Urtheil I dureh XXX bezeichnet worden, so w11l'de ich die beiden U rtheile

r

9

I (XXX): :

(XX): :

A.

I -B

r I 1_ A 0 I

.A

..

noch kUrzer so schreiben:

I

I

A

-0

r (XX, XXX)::

.

1~-.4

In der Logik zAhlt mau nach Aristoteles eine ganze Reihe v.on Schlu8sarten auf; ich bediene mich nur dieser einen wenigstens in allen Fällen, wo aus mehr als einem einzigen Ur.. tbeile ein neues abgeleitet wird - . Man kann nlmlich die Wahrheit, die in einer andern Sehlu88art liegt, in einem Ul·theile aussprechen in der Form: wenD M gilt, und wenn N gilt) so gilt auch A, in Zeichen:

I-----1--'-'_- ~ N

•

Aus diesem Urt~eile und I N und I M folgt dann I A wie oben. So kann ein Schluss nach irgend einer Sehlusart ä.uf nOBern Fall znrückgefflhrt werden. Da e8 sonaeh möglich ist, mit einer einzigen Schlus8weise auszukommen, 80 ist es ein Gebot der Uebersiehtliehkeit, dies auch zu thuD. Hierzu kommt, dass andernfalls auch kein Grund wäre, bei den Aristotelischen S.chlussweisen stehen zu bleiben, sondern dass man ius Unbestimmte hinein immer Doch neue hinzufügen könnte: aus jedem in einer Formel ausgedrUckten Urtheile in den §§ 13 bis 22 könnte eine besondere Schlussart gemacht werden. Es soll mit dieser Be-

schrdnkung auf eine einzige Schluss,veise J"edoch kelnesnJegs ein psychologischer Satz ausgesprochen ,,'erden sondern nu,. eine Formfrage im Sinne der grössten ZnJeckmässigkeit entschieden I

10

1IJerden. Einige von den Urtbeilen, die an die Stelle von Aristotelischen Schlu8sarten treten, werden in § 22 No. 69, 62, 65 aufgeführt werden.

Die Verneinung. § 7. Wenn an der untern Seite des Inhaltsstriches ein kleiner senkrechter Strich angebracht wird, so soll damit der Umstand ausgedrückt werden, dass der Inhalt nicht stattlinde. 80 bedeutet z. B.

I

A

"A findet nicht statt". Ich nenne diesen kleinen senkrechten Strich den Jrerneinungssfrich. Der rechts vom VerneinungBstriche befindliche Thei! des wagerechten Striches ist der Inhaltsstrieh von A, der links vom Verneinungsstriche befindliche Thei! dagegen ist der Inhalt88tloich deI- Verneinung von A.. Ohne den Urtheilsstl'ich wird hier 80 wenig wie anderswo in der Begriffsschrift ein Urtheil gefAllt. --,- A fordert nur dazu auf, die Vorstellung zu bilden, dasa A nicht stattfinde, ohne auszudrUcken, ob diese Vorstellung wahr sei. Wir betrachten jetzt· einige Fälle, in denen die Zeichen der Bedingtheit und der Verneinung mit einander verbunden sind.

~A B

bedeutet: "der Fall, wo H ·zu bejahen und die Verneinung von A zu verneinen ist, findet nicht statt"; mit sndern Worten: "die Möglichkeit heide, A und B, zu bejahen besteht nicht"; oder "A und B schlie8sen einandel" aus". Es bleiben also nur folgende drei Fälle übrig: A wird bejaht und B wird verneint; .4 wird verneint und B wird bejaht; A wird verneint und B wird verneint. Nach dem Vorhergehenden ist leicht anzugeben, welche Bedeutung jeder der drei Theile des wagerechten Striches vor A hat. Es bedeutet

I

LA ,B

~der Fall, wo A verneint und die Verneinung von B bejaht whad,

11 -

besteht nicht"; oder " heide, A und B, können nicht veleneint werden". Es bleiben nur folgende Möglichkeiten übrig: A wird bejaht und B wird bejaht; A wird bejaht und B wird verneint; A wird verneint und B wird bejaht. A und B erschöpfen zusammen die ganze Möglichkeit. Die Wörter "oder" und ,.,entweder - oder" werden nun lD zweifacher Weise gebraucht: "A. oder If' bedeutet erstens nur dasselbe wie

I

A

-,-B,

also dass aU8ser A und B nichts denkbar ist. Z. B.: wenn eine Gasmasse erwä.1'mt wird, so vermehrt 8j~h ihr Volumen oder ihre Spannung. Zweitens vereinigt der Allsdruck "A oder DU die Bedeutungen von

--=-'-=1-0 A

I

A -B I

und von

in sich, sodass also erstens aU8ser A und B kein Drittes möglich

ist, und dass zweitens A und B sich aU8schliessen. Von den viel" Möglichkeiten bleiben dann Dur die folgenden heiden bestehen: A wird bejaht und B wird verneint; A wird verneint und B wird beJaht. Von den heiden Gebrauchsweisen des Ausdl·uckes "A oder .. n" ist die erstere, bei der das Zussmmenbestehell von A und B nicht ausgeschlossen ist, die wichtigere, und wir 1IJerde'll das Wort "oder" in dieser Bedeutung gebrauchen. Vielleicht ist es angemessen zwischen "oder" und "entweder - oder" den U nterschied zu machen, dass nur das Letztere die Nebenbedeutung des sieh gegenseitig Aus8chliessens hat. Man kann dann

I A -,-0 übersetzen durch nA oder BtM e Ebenso hat I A -,-0

,r

die Bedeutung von ;,A oder B oder

r

u.•

12

.. I IA -B

bedeutet:

wird verneint", oder "der }'all, wo A und B beide bejaht werden, tritt ein". Die drei Möglichkeiten, welche bei

I'

A

-B

bestehen blieben, sind dagegen ausgeschlossen.

I,

Demnach kann mall

I'A -B

übersetzen: "beide, A und B, sind Thatsacben". Jeieht; dass

Man sieht auch

i~IA

-B

r

durch " ..4 und Bund r" wiedergegeben werden kann. Will man "entweder A oder B" mit der Nebenbedeutung des sich AusA und schliessens in Zeichen darstellen, 80 muss man -~-A "

1.- B

" ausdrUcken.

-I~I' A -B

, I- B

Dies giebt: A

oder auch

'T'I ~-I- B

A. 1-B-

A -,-B

1

Statt, wie hier geschehen, das "und" durch die Zeichen der Bedingtheit und der Verneinung auszudrUcken, könnte man auch umgekehrt die Bedingtheit durch ein Zeichen fÜl- "und" und das Zeichen der Verneinung darstellen. Man könnte etwa

{~ als Zeichen und dann

für den Gesam mtin halt von rund .J einfUhren

13

dureh

wiedergeben. Ich habe die andere Weise gewählt, weil der Schluss mir bei dieser einfacher ausgedrückt zu werden schien. Der Unterschied zwischen "und" und "aber" ist von der Art, dass er in dieser Begriffsschl-ift nicht ausgedrückt wh·d. Der Sprechende gebraucht "aber", wenn er einen Wink geben will, dass das Folgende von dem verschieden sei, was' man zunä.chst vermuthen könnte.

"I- 0A bedeutet: "VOll den vier Möglichkeiten tritt die dritte, llämHch dass A verneint und B bejaht werde, ein. Man kann daher übersetzen: ,,0 und (aber) nicht .4 findet statt". Ebenso kann man die Zeichenverbind.nng

I , I'

B

-l-A

übersetzen.

I-n--B

I~-l-A

bedeutet: "der Fall, wo A und B heide verneint werden, tritt ein". Man kann daher übersetzen: "weder A noch B ist eine Thatsache". Die Wörter: "oder", "und", "weder - noch" kommen hier selbstverständlich nur insofern in Betracht, als sie beurtheilbarp Inhalte verbinden. Die I nh altsgleich hei t. § 8. Die Inhaltsgleichheit unterscheidet sich dadurch von der Bedingtheit und Verneinung, dass sie sich auf Namen, llicht auf Inbalte bezieht. Während SOllst die Zeichen lediglich Vertreter ihl·es Inhaltes sind, sodass] jede Verbindung, in welche sie treten, nur eine Beziehung ihrer Inhalte zum Ausdrucke bringt, kehren sie plötzlich ihr eignes Selbst hervor, sobald sie durch

14 das Zrichen der Inhaltsgleicbheit verbunden werden; denn es wird dadurch der Umstand bezeichnet, dass zwei Namen denselben Inhalt haben. So ist denn mit deI" Einführung eines Zeichens der Inhaltsgleichheit nothwendig die Zwiespältigkeit in der Bedeutung aller Zeichen gegeben, indem dieselben bald für ihren Inhalt, bald fÜI" sicb selber stehen. Dies el'weckt zunächst den Anschein, als ob es sich hier um etwas handle, was dem Ausdrucke allein, nieh? dem Denken angehöre, und als ob man gar nicht verschiedener Zeichen für denselben Inhalt und also auch keines Zeichens für die Inhaltsgleichheit bedürfe. Um die Nichtigkeit dieses Seheines klar zu legen, wähle ich folgendes Beispiel aus der Geometrie. Auf einer Kreislinie liege ein fester Punkt A, um den sieh ein Strahl drehe. Wenn deI" Letztere einen DUI"chmesser bildet, nennen 'Nil· das dem A entgegengesetzte Ende desselben den zu dieser Lage g:eflörigen Punkt B. Dann nenDen wir ferner denjenigen Schnittpunkt beidet" :Linien den zu deI" jedesmaligen Lage des Strahles gehörigen Punkt B, welcher sieh aus der Regel ergiebt, dass stetigen Lageninderungen des Strahles immer stetige Lagenänderungeu von B entsprechen sollen. Der Name B bedeutet also so lange etwas Unbestimmtes, als noch nicht die zugehörige Lage des Strahles angegeben ist. Man kann nun fragen: welcher Punkt gehört der Lage des Strahles an, in der er zum Durchmesser senkrecht steht? Die Antwort wird sein: der Punkt A. Der Name B bat also in diesem Falle denselben Inhalt wie deli Name A; und dO'ch könnte mau nicht von vornherein nur Einen Namen brauchen, weil erst durch die Antwort die Rechtfertigung dafür gegeben ist. Derselbe Pnnkt ist in doppelter Weise bestimmt: 1) unmittelbar durch die Anschauung', 2) als Punkt B, welcher dem zum Durchmesser senkrechten Strahle zugehört. Jeder dieser beiden Bestimmullgsweisen entspricht ein besonderer Name. Die Nothwendigkeit eines 'Zeichens der Inhaltsgleichheit beruht also auf Folgendem: der~elbe Inhalt kann auf verschiedene Weisen völlig bestimnlt werden; dass aber in einem besondern Falle durch zwei Bestinlmungs7Veisen wirklicb Dasselbe gegeben werde, ist der Inhalt eines Urtheils. Bevor dics erfolgt ist, müssen den heiden Bestimmullgsweisen entsprechend zwei verschiedene Namen dem dadul"ch Bestimmten verliehen werden. Das Urtheil aber bedarf zn seinem Ausdrucke eine~ Zeichens deI" In-

15

(

haltsgleichheit, welches jene heiden Namen verbindet. Hieräus geht hervor, dass die verschiedenen Namen fUr denselben Inhalt nicht immer blos eine gleichgiltige FOl-msache sind, sondern dass sie das Wesen der Sache selbst betreffen, wenn sie mit vel·schiedenen Bestimmungsweiseh zusammenhängen. In diesem Falle ist das Urtbeil, welches die Inhaltsgleichheit zum Gegenstande hat, im kantischen Sinne ein synthetisches. Ein mehr äusserer Grund zur Einführung eines Zeichens der Inhaltsgleichheit liegt darin, dass es zuweilen zweckmässig ist, an der Stelle eines weitlä.ufigen Ausdrucks eine Abkürzung einzuführen. Dann hat man die Gleichheit des Inhalts der Abkürzung und der ursprünglichen Form auszudrUcken. Es bedeute nun

I

(A

=

B) :

das Zeichen A und das Zeicllen, B haben denselben hegrifflichen JnJlalt~ sodass man überall (l,n die Stelle von ABsetzen, kann und umgekehrt. Die F 11 n c ti 0 n. § 9. Denken wir den Umstand, dass Wasserstoft-gas leichter als Kohleosäuregas ist, in unserer Formelsprache ausgedl-ückt, so können wir an die Stelle des ZeicheDs für Wasser~totfgas das Zeichen für Sauerstoffgas oder das für Stickstotrgas einsetzen. Hierdurch ändert sieh der Sinn in der Weise, dass "Sauerstoffgss" oder "Stickstoffgas" in die Beziehungen eintritt, in denen zuvor "Wasserstoffgas" stand. Indem man einell A usdl'uck in dieser Weise veränderlich denkt, zerfällt derselbe in einen bleibenden Bestandtheil, der die Gesammtheit der BeziehuDgen dal"stellt, und in das Zeichen, welches d ureh andere ersetzbar gedacht wird, und welches den Gegenstand bedeutet, der in diesen Beziehungen sich befindet. Den ersteren BestandtheiI nenne ich FunctioD, den letzteren ihr Argument. Diese Unterscheidung hat mit dem begl-ifflichen Inhalte nichts zu thnn, sondern ist allein Sache deI" Auffassung. Während in der vorhin angedeuteten Betrachtungsweise "W &8.serstoft"gss" das Argument, ,,leichter als Kohlensäuregas zu sein" die Function wal", können wir denselben begrifflichen Inhalt auch in der Weise auffassen, das8 "KohleD8äuregas" Ar.. gument, "schwerer als WasserstoWgas zu sein" FunctioD wu"d. Wir

r t

I

16 brauchen dann nur ,,KoblensAuregss" durch andere Vorstellungen, wie "SalzsäUregas", "Ammoniakgas" ersetzbar zu denken. ,,Der Umstand, dass Kohleosäuregss schwerer als W &8serstoff. .. ~ gas 18 ~,

und "der Umstand. dass Kohlensäul"egas schwerer als Sauerstoffgas ist" sind dieselbe Function mit verschiedenen Argumenten, wenn man "Wasserstoffgas" und "Sauerstoffgas" als Argumente betrachtet; sie sind dagegen verschiedene Functionen desselben Arguments, wenn man "Kohleusäuregas" als dieses ansieht.

Es diene noch als Beispiel "der Umstand, dass der Massenmittelpunkt des Sonnensystems keine Beschleunigung hat, falls nur innere Kräfte im Sonnensysteme wirken". Hier kommt "Sonnensystem" an zwei Stellen VOI". Wir können dies daher in verschiedener Weise als Function des Argumentes "Sonnensystem" auffassen, jenachdem wir "Sonnensystem" an der ~rsten oder an der zweiten oder an beiden Stellen durch Anderes - im letzten Falle aber heide Male durch Dasselbe - el"setzbar denken. Diese drei Functionen sind sä.mmtlich verschieden. Dasselbe zeigt der Satz, dass Oato den Cato töd tete. Wenn wir hier "Oato" Rn der ersten Stelle ersetzbar denken, 80 ist "den Cato zu tödten" die Function; denken wir "Oato" an der ~weitell Stelle ersetzbar, so ist "von Cato getödtet zu werden" die Function; denken wir endlich "Oato" an bei den Stellen ersetzbar, so ist "sich selbst zu tödten" die FUDction. Wir drUcken jetzt die Sache allgemein aus:

Wenn in eineIn Ausdrucke, dessen lnhalt nicht beurtheilbar zu sein braucht, ein einfaches oder zusammengesetztes Zeichen an einer oder an mehrt!n Stellen vorkommt, und 1IJir denken es an allen oder einigen dieser Stellen durch Anderes, überall aber durch IJasselbe ersetzbar, so nennen wir den hierbei unveränderlich erscheinenden Theil des Ausdruckes Function, den ersetzbaren ihr Argument. Da demnach etwas als Argument und zugleich an solchen Stellen in der Function vOl"kommen kann, wo es nicht ersetzbar gedacht wird, so untp.l"scheiden wir in der Function die Argumentsstellen von den übrigen.

17 Es möge hier vor einer Tluschung gewarnt werden, zu welcher der Sprachgebrauch leicht Veranlassung giebt. Wenn man die beiden Sitze: »die Zahl 20 ist als Summe von vier Quadratzahlen darstellbar" und "jede positive ganze Zahl ist als Summe von vier Quadratzahlen darstellbar" vergleicht, so scheint es möglich zu sein, "als Summe von vier Quadratzahlen darstellbar zu sein" als Function aufzufassen, die einmal als Argument "die Zahl 20", das andre Mal "jede positive ganze Zahl" hat. Die Irrigkeit dieser Auifassung erkennt man durch die Bemerkung, dass "die Zahl 20" und "jede positive ganze Zahl" nicht Begriffe gleichen Ranges sind. Was von der Zahl 20 ausgesagt wird, kann nicht in demselben Sinne von "jede positive ganze Zahl", allerdings aber unter Umständen von jeder positiven ganzen Zahl ausgesagt werden. Der Ausdruck "jede positive ganze Zahl" giebt nicht wie "die Zahl 20" fUr sich allein eine selbständige Vorstellung, sondern bekommt erst durch den Zusammenhang des Satzes einen Sinn. FUr uns haben die verschiedenen Weisen, wie derselbe be-· griff'liche Inhalt als Function dieses oder jenes Arguments aufgefasst werden kann, keine Wichtigkeit, solange Function und Argument völlig bestimmt sind. WenD aber das Argument unbestimmt wird wie in dem UrtheUe: "du kannst als .!.rgument für ""als Summe von vier Quadratzahlen darstellbar zu sein"" eine beliebige positive ganze Zahl nehmen: der Satz bleibt immer richtig", so gewinnt die Unterscheidung von Function und· Argument· eine inhaltliche Bedeutung. Es kann auch umgekehrt das Argument bestimmt, die Function aber unbestimmt sein. In heiden Fällen wird durch den Gegensatz des Bestimmten und Unbestimll,ten oder des mehr und minder Bestimmten das Ganze dem Inhalte nach und nicht nur in der Auffassung in Function und Argument zerlegt.

Wenn man in einer Function ein bis dahin als unersetzbar angesehenes Zeichen *) an einigen oder allen Stellen, ",0 es vorkommt, ersetzbar denkt, so erhält man durch diese Auffassvngs.) Es kann auch ein schon vorher ersetzbar gedachtes Zeichen an solchen Stellen, wo es bisher als bleibend angesehen wurde, jetzt ebenfalls als ersetzbar aufgefasst werden.

18

weise eine Function, die ausser den bisherigen noch ein Argument hat. Auf diese Weise entstehen Funetionen, von zwei und mehr Argumenten. So· kann z. B. "der Umstand, dass Wasserstoffgas leichter als Kohlensäuregas ist" als Function der bei den Argumente "Wasserstotfgas" und "Kohlensäuregas" aufgefasst werden. Das Subject ist in dem. Sinne des Sprechenden gewöhnlich das hauptsächliche Argument; das nächst wichtige erscheint oft als Object. Die Sprache hat durch die Wahl zwischen Formen und Wörtern, wie Activum - Passivum, schwerer - leichter, geben - empfangen die Freiheit, nach Belieben diesen oder jenen ßestandtheil des Satzes als hauptsächliches Argument erscheinen zu lassen, eine Freiheit, die jedoch durch den Mangel An Wörtern beschränkt ist. § 10. Um eine unbestimmte }'unction des Argumentes A auszudrücA en, lassen mit· A in Klammern eingeschlossen auf einen Buchstaben folgen, z. B.: ~

(A) •

Ebenso bedeutet lP (A, B). eine Function der beiden Argumente A und B, die nicht näher bestimmt ist. Hierbei vertreten die Stellen von A und B in der Klammer die Stellen, melehe .4 und B in der Junction einnehmen, einerlei ob dies einzelne, oder für A sowobl wie für B mehre sind. Daher ist lP (A, B) von 'P (B, A) im Allgemeinen t'er schieden ° Dieseln entsprechend werden unbestimmte Functionen mehretO Argumente ausgedrückt. Man kann 1 tP (A) leBen: "A hat die Eigenschaft tP". I lJI (..4, B) mag übersetzt werden durch ,,0 steht in der P'-Beziehung zu A" odelo ,,0 ist Ergebnis einer Anwendung des Vcrfahreus 1[1 auf den Gegenstand A". Da in dem Ausdrucke

tP (A) das Zeichen ffJ &n einer Stelle vorkommt, und da wir es clUloch

19 andere Zeichen 1Jl, X ersetzt denken , können - wodurch dJ\nn andere FUDctionen des Argumentes A ausgedrückt wUrden - ,

,C"o kann man rp (A) als eine FU'Ilction des Argumentes ~ aufjassen. Man sicht hieran besonders klar, dass der Functionsbegriff der Analysis, dem ich mich im Allgemeinen angeschlossen habe, weit beschrAnkter ist als der hier entwickelte. Die Allgemeinheit. § 11. In dem Ausdrucke eines Urtheils kann man die rechts von 1--- stehende Verbindung von Zeichen immer als Function eines der darin vorkommenden Zeichen ansehen. ~etzt man an

die Stelle dieses Argumentes einen deutschen Buchstaben, und giebt man dem lnhaltsstriche eine Höhlung, in der dieser selbe Buchstabe steht, wie in

,----~- tP (a) , so bedeutet dies das Urtheil, dass jene Function eine Thatsache sei, nJas man auch als ihr Argu1nent ansehen möge. Da ein als Functionszeichen wie tP in tP (A) gebrauchter Buchstabe selbst als Argument einer Function angesehen werden kann, so kann an die Stelle desselben in dem Sinne der eben festgesetzt ist, ein deutscher Buchstabe treten. Die Bedeutung ~ines deutschen Buchstaben ist nur den selbstverständlichen Beschränkungen unterworfen, dass dabei die Beurtheilbarkeit (§ 2) einer auf einen Inhaltsstl·ich folgenden Zeichenverbiudung unberührt bleiben muss, und dass, wenn der deutsche Hueh~tabe als FunctioDszeichen auftritt, diesem Umstande Rechnung getrag~n werde. Alle übrigen Bedingungen, denen das unterworfen setn muss, tlJas 1Jn die Stelle eines deutschen Buchstaben gesetzt werden darf, sind in das UrIheil aufzunehmen. Aus einem solchen Urtheile kann man daher immer eine beliebige Menge von Urtheilen mit tlJeniger allgemeinem Inhalte herleiten, indem man jedes Mal an die Stelle des deutschen Buchstaben etwas Anderes einsetzt, wobei dann die Höhlung im Inhaltsstriche wiedel·- verschwindet. Der links von der Höhlung betindliche wagerechte Stlich in 'I

t-~- rp (a)

ist der Inhaltsstrich dafür, dass tP (a) gelte, was man auch an die Stelle von a setzen möge) der rechts von der Höhlung befindliche

20

ist der Inhaltsstrich von 4> (a), wobei an die Stelle von a etwas Bestimmtes eingesetzt gedacht werden muss. Nach dem, was oben über die Bedeutung des Urtheilsstriches gesagt worden, ist leicht zu sehen, was ein Ausdruck wie a X (a) -,,-,bedeutet. wie

Dieser kann als Theil in einem Urtheile vorkommen --I- - : - - - -

1-,~- X(a)

A

, (1

-,,-,- X (a) • Es ist einleuchtend, dass man aus diesen Urtheilen nicht wie aus (1 1-,,-,rp (a)

durch Einsetzen von etwas Bestimmten an die Stelle von a weniger allgemeine Urtheile ableiten kann. Durch h-~- X (a) wird verneint, dass X (a) immer eine Thatsache sei, was man auch an die Stelle von a setzen möge. Hiermit ist keineswegs geleugnet, dass man fUr a eine Bedeutung LI angeben könne, sodass X (LI) eine Tbatssehe sei.

I

A

I_~-x(a)

bedeutet, dass der Fall, wo -~-X(a) bejaht und A verneint wird, nicht eintritt. Hiermit ist aber keineswegs verneint, dass der Fall, wo X(LI) bejaht und A verneint wird, eintrete; dann, wie wir eben sahen, kann X(A) bejaht und doch -~-X(a) verneint werden. Also auch hier kann man nicht etwas Beliebiges an. die Stelle von a setzen, ohne die Richtigkeit des Urtheils zu gefährden. Dies erklärt, weshalb die Höhlung mit dem hineingeschriebenen deutschen Buchstaben nötbig ist: sie grenzt das

Gebiet ab, auf welches sich die durch den Buchstaben bezeichnete Allgemeinheit bezieht. Nur innerhalb seines Gebietes hält der deutsche Buchstabe seine Bedeutung fest; in einem Urtheile kann derselbe deutsche Buchstabe in verschiedenen Gebieten vorkommen, ohne dass die Bedeutung, die man ihm etwa in dem einen beilegt, sieh auf die l1bl'igen miterstreckt. Das Gebiet eines deutschen Buchstaben kann das eines andern eiDschliessen, wie das Beispiel

21

I-~

A(a)

I-~-B(a, e)

zeigt. In diesem Falle müssen sie verschieden gewlhlt werden; man dUrfte nicht statt e a setzen. Es ist natflrlich gestattet, einen deutschen Buchstaben f1berall in seinem Gebiete durch einen bestimmten andern zu ersetzen, wenn nur an Stellen, wo vorher verschiedene Buchstaben standen, auch nachher verschiedene stehen. Dies ist ohne Einfluss auf den Inhalt. Andere Ersetzungen sind nur dann erlaubt, wenn die Höhlung unmittelbar auf den UrtAeilsstrich folgt, sodass der Inhalt des ganzen Urtheils das Gebiet des deutschen Buchstaben a.usmacht. Weil dieser Fall demnach ein ausgezeichneter ist, will ich fUr ihn folgende AbkUrzung einfUhren. Ein lateinischer Buchstabe habe als Gebiet immer den Inhalt des ganzen Urtheils, ohne dass dies durch eine Höhlung im Inhaltsstrich bezeichnet wird. Wenn ein lateinischer Buchstabe in einem Ausdrucke vorkommt, dem kein Urtheilsstrich vorhergeht, so ist dieser A usd-ruck sinnlos. Ein lateinischer Buchstabe darf immer durch einen deutschen, der noch nicht im Urtheile vorkom,nt, erst:tzt werden, wobei die Hö-hlung unmittelbar nach dem Urtheilsstriche anzubringen ist. Z. B. kann man statt

I

X(a)

setzen t-~- X(a) ,

wenn a nur an den Argumentsstellen in X (a) vorkommt. Auch ist einleuchtend, dass man aus

I

I

~ (a)

-A ableiten kann

I

~- tP (a)

---A, wenn A ein Ausdruck ist, in welchem a nicht vorkommt, und wenn a in iP (a) nur an den Argumentsstellen steht. Wenn -~- tP (a) verneint wird, 80 muss man eine Bedeutung für a angeben können, sodass iP (a) verneint wird. Wenn also -~-~ (a) verneint und A bejaht würde, so müsste man eine Bedeutufg für a angeben können, sodass A bejaht und iP (a) verneint würde. Dies kan·n man aber wegen

22

I I

~ (a) -A . nicht; denn dies bedeutet, dass, was auch a sein möge, der Fall, wo tP (a) verneint und A bejaht würde, ausgeschlossen sei. Daher kann man nicht -~- ~ (a) verneinen und A bejahen; d. b.:

'J~-4>(a) L..----A • Ebenso kann man aus

I_~(a)

I

--0 folgern

I ~-~(Cl)

I

---B, wenn a in A und B nicht vorkommt und tP (a) nur an den Argumentsstellen a enthAlt. Dieser Fall kann aut' den vorigen zurückgeführt werden, da man statt

I

I_~(a) --B

I.....~-tP (a) 1 1

I

A

I

-B aetzen und

I

I ~-tP (Cl) I A. I

I

-9

wieder in

I

I~ ~(Cl) ,---B

verwandeln kann. Aehnliches gilt, wenn noch mehr Bedingungsstriche vorhanden sind. § 12. Wir betrachten jetzt einige Verbindungen von Zeichen.

1-,~-X(a)

23

bedeutet, dass man etwfts, z. B~ L1, finden könne, sodass X(Ll) verneint werde. l\Ian kann daher übersetzen: "es giebt einige Dinge, die nicht die Eigenschaft X haben." Hiervon abweichend ist der Sinn von I-~-l X(a).

Dies bedeutet: ,~was auch a scin mag ,X(a) ist immer zu verneinen '\ oder: "etwas, was die Eigenschaft X habe, giebt es nicht"; oder, wenn wir etwas, was die Eigenschaft X bat, ein X nennen: "es giebt kein X". -~-l-A(a) wh"d verneint durch

h--~-l-A(a) · Man kann es daher übersetzen: "es giebt ,A.'s ". *) I-~-I P(a) I_X(Q)

bedeutet: "was man auch an die Stelle von a setzen möge, der Fall, dass P( a) verneint und X (a) bejaht werden müsste, kommt nicht vor". Da ist es also möglich, dass bei einigen Bedeutungen, die man dem a geben kann, P(tt) zu bejahen und X(a) zu bejahen, bei andel'n P(tt) zu bejahen und X(a) zu verneinen, bei noch andern P(a) zu verneinen und X(a) zu verneinen wäre. Man kann daher übersetzen: "wenn etwas die Eigenschaft X hat, so hat es auch die Eigenschaft P", oder "jedes X ist ein pu., oder "alle X's sind P's".

Dies ist die Art, wie ursächliche Zusammenhänge ausgedrückt ",erden.

I-~-II P(Il)

- 'P(a) bedeutet: "dem a kann keine solche Bedeutung gegeben werden, dass P(a) und qJ(a) heide bejaht werden könnten". Man kann *) Dies ist

umfasst. 80 heisst

zu verstehen, dass es den Fall ,.es giebt ein AM mit'Venn z. B. A (x) den Ulllstand bedeutet, dass :c ein IIaus ist, 80

t-l-~-l A «1)

"es giebt Häuser oder mindeatens Ein

Ha.u~".

Vgl. § 2, Anln. 2.

24 daher übersetzen: "was die Eigenschaft 'P hat, hat nicht die Eigenschaft P", oder "kein 'P ist ein P'.

h-~-I P(a) -...4(a) verneint -~-,- P(a)

und kann daher wiedergegeben werden

-A(a)

durch: "einige A's sind nicht P's ".

h-~-I J P(a) -M(a) leugnet, dass kein Mein P Bei, und bedeutet daher: "einige *)

M's sind P's"; oder: "es ist möglich, dass ein Mein P sei ". So ergiebt sich die Tafel der logischen Gegensätze: -~-P(a)

-~-l P(a)

contrir

1- X(a)

1- X(a)

8 U

b a

I t

e r

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-,~-I-I P(a) -X(a)

0

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~04

S

u b

a 1 t e r

n

contr-ar •• -J-~-P(a) I-x(a)

*) Das Wort "einige" ist hier immer 80 zu verstehen, dass es den Fa.ll "ein" mit umfasst. Weitläufiger wUrde man sagen: "einige oder Inindesteos doch ein".

[** Sollte offenbar "subcontrir" sein. Anm. d. Hrsgs.]

11. Darstellung und A.bleitung einiger Urtheile des reinen Denkens. § 13.

Einige GrundsAtze des Denkeus sind schon im ersten Abschnitte herangezogen worden, um in Regeln fUr die Anwendung unserer Zeichen verwandelt zu werden. Diese Regeln und die Gesetze, deren Abbilder sie sind, können in der Begriffsschrift deshalb nicht ausgedrUckt werden, weil sie ihr zu Grunde liegen. In diesem Abschnitte sollen nun einige Urtheile des reinen DenkenB, bei denen dies möglich ist, in Zeichen dargestellt werden. Es liegt nahe, die zusammengesetzteren dieser Urtheile aus einfacheren abzuleiten, nicht um sie gewisser zu machen, was meistens UDnöthig wäre, sondern um die Beziehungen der Urtheile zu einander hervortreten zu lassen. Es ist offenbar nicht dasselbe, ob man blos die Gesetze kennt, oder ob man auch weiss, wie die einen dureh die andern schon mitgegeben sind. Auf diese Weise gelangt man zu einer kleinen Anzahl von Gesetzen, in welchen, wenn man die in den Regeln enthaltenen hinzunimmt, der Inhalt aller, obschon unentwickelt, eingeschlossen ist. Und auch dies ist ein Nutzen der ableitenden Darstellungsweise , dass sie jenen Kern kennen lehrt. Da man bei der unübersehbaren Menge der aufstellbaren Gesetze nieht alle aufzählen kann, 80 ist Vollstindigkeit nicht anders als durch Aufsuchung derer zu erreichen, die der Kraft nach alle in sich schliessen. Nun muss freilich zugestanden werden, dass die ZurUekfllhrung nicht nur in dieser einen Weise möglich ist. naher werden dUl·ch eine solche Darstellungsweise nicht alle Beziehungen der Gesetze des Denkens klar gelegt. Es giebt vielleicht noch eine andere Reihe von Urtheilen, aus denen ebenfalls, mit Hinzunahme der in den Regeln enthaltenen, alle Denkgesetze abgeleitet werden können. Immerhin ist mit der bier gegebenen

26

Zurückführungsweise eine solche Menge von Beziehungen dargelegt, dass jede andere Ableitung sehr dadurch erleichtert wird. Die Zahl der Sätze, die in der folgenden Darstellung den Kern bilden, ist neUD. Von diesen bedürfen drei, die Formeln 1, 2 und 8, zu ihrem Ausdrucke, abgesehen von Buchstaben, nur des Zeichens der Bedingtheit; drei, die Formeln 28, 31 und 41, enthalten dazu noch das Zeichen der Verneinung, zwei, die Formeln 52 und 54, das der Inhaltsgleichheit, und in einem, Formel 58, kommt die Höhlung des Inhaltsstriches zur Verwendung. Die folgende Ableitung wUrde den Leser ermüden, wollte er sie in allen Einzelheiten verfolgen; sie hat nur den Zweck, die Antwort für jede Frage über die Abfolge eines Gesetzes bereit zu halten. § 14.

I

I

I : a

(1.

besagt: "der Fall, wo a verneint, b bejaht und a bejaht wird, ist ausgeschlossen". Dies leuchtet ein, da a nicht zugleich verneint und bejaht werden kann. Man kann das lJrtheil auch so in Worten ausdrücken: "wenn eid Satz a gilt, 80 gilt er auch, falls ein beliebiger Satz b gilt". Es bedeute z. B. a den Satz, dass die Summe der Winkel im Dreiecke ABC zwei Rechte betrage; b den Satz, dass der Winkel ABC ein Rechter sei. Danl} erhalten wir das Urtheil: "wenn die Summe der Winkel im Dreiecke ABC zwei Rechte beträgt, so gilt dies auch für den Fall, dass der Winkel ABC ein Rechter ist". Die 1 rechts von I a ist die Nummer dieser FOl·mel.

I_ b a

I--.---r-------r-

a

1_·

c

1- c

h

L 1---

bedeutet: "der Fall wo

It

!J C

(2.

27

I

a

_C

I-~ verneint und

bejaht wird, findet nicht statt".

\

a

-b

c bedeutet aber den Umstand, dass der Fall, wo a verneint, b bejaht, und c bejaht wird, ausgeschlossen sei. Die Verneinung von

I_ ca 1---,---

b

I- c sagt, da88 -..,.-,- a verneint und

-c

b bejaht werde.

Die Ver-

-c

neinung von --:---- a

aber bedeutet, dass a verneint, c bejaht

I- c

werde.

I

Die Verneinung von

~: l_ c

bedeutet also, dass a verneint, c bejaht, - - b bejaht werde.

I- c

Die Bejahung von

I

bund c zieht aber die Bejahung von

-c b nach sich.

Daher hat die Verneinung von

28

~: I_ c

die Verneinung, VOD a und die Bejahung von b und von c zur Folge. Diesen Fall schliesst die Bejahung von -:----""""":"-"-a b

f_

I---C

grade aus.

Es kann also der Fall, wo

I- ba I---C

I_ b

verneint und

-......-----:---- a

I_ b

~_c

bejaht wird, nicht stattfinden, und dies behauptet das Urtheil

I

a

I_ c

b c

fa I_ b c•

Für den Fall, dass ursächliche VerknUpfungen vorliegen, kann man dies auch 80 ausdrUcken: i,wenD ein Satz (a) die nothwendige Folge VOD zwei Sitzen (b und c) ist (

1_: ),

und wenn der eine von ihnen (b)

wieder die nothwendige Folge des andern (c) ist, 80 ist der Satz (a) die nothwendige Folge dieses letz~n (c) allein.

29

Es bedeute z. B. c, dass in einer Zahlenreihe Z jedes nacllfolgende Glied grösser als das vorangehende sei; b, dass ein Glied M grösser als L sei · a, daas das Glied N grö8ser als L sei.

,

Dann erhalten wir folgendes Urlheil: "wenn aus den SAtzen, dass in der Zahlenreihe Z jedes folgende Glied grösser als das vorangehen de ist, und dass das Glied M grösser als List, geschlossen werden kann, dass das Glied N grösser als L ist, und wenD aus dem Satze, dass , in der Zahlenreihe Z jedes nachfolgende Glied grösser als das vorangehende ist, folgt, dass M grösser als List, 80 kann der Satz, dass 1Y grösser als L ist, aus dem Satze geschlossen werden, dass jedes nachfolgende Glied in der Zahlenreihe Z grösser als das vorangehende ist".

I. . .-~--:--a

§ 15.

2

I- c b I- c a I_ b

1---:---

1--:----:---

I---C

(1) :

a

--..,----,--- a c

I'---b I- c

I- ba I---C

b

-~a

I_ b

a

l- c

b

I- c a 1- b c a

I_ b

(3.

Die 2 links bedeutet, dass rechts davon die Formel (2) steht. Der Schluss, welcher den Uebergang von (2) und (1) zu (S) bewirkt, ist nach § 6 abgekUrzt ausgedrUckt. AusfUhrlich w11rde er 80 geschrieben werden:

30

I

I

l-

1

a c b

I- c I

I

I I

I-

,,-

a b

c a

b a

I- c

b c a

I_ b c

I

2

a

l-c

,-C

--b a

I_ b c

I

a

l- c b

I- c II

-

a b

c a

I_ b

(3.

Um Dun den Satz (1) in der verwickelteren Gestalt, in der er hier erscheint, leichter erkennbar zu machen, dient die kleine Tabelle unter der 1. Sie besagt, daaa man in ~:

31 ---r~--=--

a

I- c '-..,....--b I- c

~:

an die Stelle von a und

I

a

-b

an die Stelle von h aetzeD möge.

I

s

a l- c I

b

I- c a 1- b

fI

t

c a

f

l j

'-b

!

I i

I I

(2) : a

(

r

t

'-:----:--~~-

~~ I-

1-1

I- c

-=---b

I- c

c

f

~ I

I

I !

I! ·1

b

I

I- ba

a

I_b

I_-C

c

I

--c I---=---a

a

!-b

I- b

(4.

Die Tabelle unter der (2) bedeutet, daas man in

I

I

1_: I b

I

a

-

C

a

i- b --c

an die Stellen von a, b, c die rechts davoD stehenden AusdrUcke setzen möge, wodurch man erhAlt

32 a

I

l- c

b

I- c

a

1- b

a b

~~ c

a

1- b

L=1L=

a c b c a b

c a

1- b. Man sieht leicht, wie bierauB und aUB (3) (4) folgt.

I 4

a c

L b l- c I-

L= I

a b

a b c

a

-b

(1): :

a b

a

I_ b c

l---rTT : I ~b

I- c '----- a I_ b

(6.

33 Die Bedeutung des doppelten Kolon ist in § 6 erkllrt. Beispiel zu (6). Es sei

a der Umstand, dass das StUck Eisen E magnetisch werde; b der Umstand, dass durch den Draht D Strom lIiesse;

ein galvanischer

c der Umst.and, dass der SchlUssel T niedergedrückt werde. Wir erhalten dann das Urtheil: "wenn der Satz gilt, dass E magnetisch wird, sobald durch D ein galvanischer Strom fliesst; wenn ferner der Satz gilt, dasa ein galvanischer Strom durch ]) fliesst, sobald T niedergedrtlckt wird: so wird E magDetisch, wenn T niedergedrtlckt wird." Man kann (5) bei Voraussetzung urslehlicher Zusammenhinge so ausdrflcken: "wenn beine hinreiehende Bedingung tur a, wenn c eine hinreiehende Bedingung für b ist, so ist c eine hinreichende Bedingung fUr a."

I--:--~L-

ö

:

t-~-b

I'- d '----:--- a I_ b (5):

I a

a

I_ d b I_ d

a

l- d b I- d c tJ

b

a

I- b

1- 11

c

(6.

34

I

5

-c: ,-C

b

a

I_ b (6) : a

I

I-

a c d

b

c

~: a

I_ b

(7.

Dieser Satz unterscheidet sich von (5) nur dadurch, dass an die Stelle der einen Bedingung, c, zwei, c und d, getreten sind. Beispiel zu (7). Es bedeute d den Umstand, dass der Kolben K einer Luftpumpe von seiner äussersten Lage links in seine lusserste Lage rechts bewegt werde; c den Umstand, dass der Hahn H in der Stellung I sich befinde; b den Umstand, daaa di6 Dichtigkeit D der Luft im Reeipienten der Luftpumpe auf die IDLlfte gebracht werde; a den Umstand, dass die Höhe H des Standes eines mit dem Raume des Reeipienten in Verbindung stehenden Barometers auf die Hilfte herabsinke. DanD erhalten wir das Urtheil: "wenn der Satz gilt, dass die Höhe H des Barometerstandes auf die HAlfte hel"absinkt, sobald die Diehtigkeit D der Luft auf die HAlfte gebraeht wird; wenn ferner der Satz gilt, dass die Luftdichtigkeit D auf die Hälfte gebracht wird, wenn der Kolben K aus der lussersten Lage links in die äusserste Lage rechts bewegt wird, und wenn der Hahn H sieh in der Stellung I befindet: so folgt, dass die Höhe H des Barometerstandes auf die Hälfte herabsinkt, wenn der Kolben K aus der äU8sersten Lage links in die iusserste Lage rechts bewegt wird, während der Hahn H sieh in der Stellung I befindet ".

35

I

§ 16.

a

I_ d b

----a

I_ b d

TT a

(8.

bedeutet, dass der Fall, wo a verneint, bund d aber bejaht werden, nicht stattfinde;

~- :

I 1_ a

bedeutet Fall, wo

duselbe,

und (8) sagt, dass der ~d ~a verneint und ~ a b -d - b b d bejaht werde, ausgeschlossen sei. Dies kann auch so ausgesprochen werden: n wenD ein Satz die Folge von zwei Bedingungen ist, 80 ist deren Reihenfolge gleiehgiltig".

a

I- c b I- c a I_ b

5

(8) : a

b d

a

I- c

b

I- c a I_ b

I

a

I- c a I_ b b

I- c

Dieser Satz unterscheidet sich Dur unwesentlich von (6).

(9.

~~'-

r'

36 8

I

alb b e

b

~: b

~~

(9) :

I

b

b

1_ 0

a

b

~~

e c

b

I_ e

I~:

'-d

d

e

I

1

alb b c

{lO.

b

~:

(9) : b

I-

c

I

b c

a

'-b a b

b

I- c

{li.

Diese Formel kanD man 80 Übersetzen: "wenn der Satz, dass 11 oder nicht c stattfinde, eine hinreichende Bedingung fUr a ist, 80 ist b allein eine hinreichende Bedingung fUr a."

8

die

I

~: a

I_ b c

(6) :

37

a--c=a

I

i

1_-

-c

a c b

b

d

b

a

1- b

cc

d

d

(12.

Die Sitze (12) bis (17) und (22) zeigen, wie bei mehreu Bedingungen die Reihenfolge abgeändert werden kann.

I

12

l-

a c b d

I-

,a

d

(12) :

a

t_:

I

-C

c tl tI

a 11 c

d b

1_:

a

I_. b

c tl

c d

I

L

~

(13.

a

c tl b

e a b c tI

e

(14:.

38 a

c e d

c

e

d

e

(16.

a

I- c

12

b d

c (6):

d

a

b

c c

e 8

a

(16) :

d e

(16.

c

tl

d

c

I

~~-"!"--

c

a

---tl

c

,,-

~-a

I-ob

c d

d

(17.

a·

b tl C

I- tl

I

•

d

e

b I'

I

d

d

I- b

(16) :

c

a

I--C

6

b

,-

a

I-ob

a

30

1-

c 4

a b C

a

l- d b

c

I- tl a 1- b

a

I- b I--C

c

(18.

I~~~-a

9

I- c

I---.,--a

1- 6

I---b

I- c

(18):

a b

c

a I- c a

I_ b b

I- c

I

l-

a c

d

a

I- b

,-

b c

d

(19.

40 ,.---.-

Dieser Satz ist von (7.) Dur unwes6ntlieh verschieden.

I

19

l-

a c

I-

tl a b b

,(18) : a

I-

a c

l- c

d

e

a

I- b b I- c

c

I1-

d e

d

I

9

a

b

11

c

c

tl

(19) : b c

d

b

I-d b I- c c I_d

d

a

I

d

11

c

I

a b b c d e

(20.

b

I-tl b I- c c I_tl a b

I- c c I-tl a

L:

(21.

41

.-,-

16

a

I- c

b d I

e

I

I

-

tJ

1- b

-c -

d

-

e

(5) :

a -

1-

I_ ac

•'-

-b -d

b tl -e

.-

-e b

a

I_ c

I

-

-f

I

~~

,_

I I

11 -c

-d

,-

e

e

.-

c f

f

LI.--.,......~--.--,----r- tJ

..

b c c d d e

I_

b t--e

I----C

,-tI

1_ _ _

I

I_ e

I~:

--c

1·------tI

(2i) :

tJ

42 C e

t.I

d c e

-~

b c tl

4

Le

f

I_~

(J

I_li

tJ

~~

c tl

(23.

1--~I-_~ 1

(12) : . b c c b

d

I_ c

a

I_ c

I

----;--

I- c

(6) :

a

a~:

I_ b c

--a

b

I_c

t.I

d I~--:----.-

I-

c d

a c

'----4 1

·-~-a

I_ b

I

(8) :

{16.

--a

dia (26.

r f

~

43

f

I [ I

f

I

26

r f

b

~: I_

~:

(1)

b

a

..

I

a a

I_

(27.

Man kann nicht (zugleich) a bejahen und a verneinen

I

§ 17.

I

I

b

I

a I--:----a -1-

I

bedeutet: "der Fall, wo

I- b

I

-,-0

findet nicht Btatt".

I

b verneint und

Die Verneinung von

I

t

(i8. a bejaht wird,

-b b bedeutet, daaa

a - J - a bejaht und - 1 - b verneint wird; d. h. dass a verneint und b bejaht wird. Dieser Fall wird durch I 0 ausgeaeblouen. -1-

-b Dieaea Uriheil begrtlndet den Uebergang vom modus ponens zum motllu tollma. Es bedeute z. B. b den Satz, dass der Mensch M lebe; a den Satz, dass M: athme. DaDD haben wir das Urtheil: "wenn aUI dem Umstande, dus M lebt, sein Athmen geschloslen werden kann, 80 kaDD aus dem Umstande, dass er nicht athmet, lein Tod geschlo888n werden."

I

28

(6) tJ

t

b

-.-a

I_ba

.•

I

I

b

-r G

b

I

L:

I

•

I I:; a

I- b c

{~9.

Wenn bund c hinreichende Bedingungen ftlr a sind, 80 k.anll aus der Vemeinung von a und der Bejahung der einen Bedingung (c) die Verneinung der .ndem Bedingung geschlossen werden.

I~:

I

29

C

tJ

I- b c

(10)

a

I-,-tJ 'b

I

C

b d

b

e

c

I-,-tl ' b C

-r=:

tJ

I

§ 18.

(30.

a

'ira

(31. lTa bedeutet die VerneinuDg der Verneinung, mithin die Bejahung von a. EI kanD also nicht a verneint und (zugleich) ""'iT a bejaht werden. Duplex negatio af/lrmat. Die Verneinung der Verneiaung ist Bejahung. 31

alb (7) : tJ

b

b

,...11

1....~--b t,-tI

C

-.-tI

---,,- tI

d

---tl

1-. b

,-. b

I

1

1 ,':

'-rb (28) ::

b I,-b

I

(32.

L.~

1--:--tI

1-, b

(33.

r f t ~

!

!r l

45

Wenn

ti

oder b stattfindet,

-80

findet b oder a statt.

~: I-

33

r

I [

I

(5) :

ah=!

••

b b

I-I a

"&

c a

lJ---a

I- b

I-I b

"&

C

(34.

Wenn das Eintreten des Umstandes c beim Wegfall des Hindel-ungsgrundes b das Stattfinden VOR a zur Folge hat, 80 kann aus dem Niebtstattfinden von a beim Eintreten von c auf das Eintreten des Hinderungsgrundes b geschlossen werden. 34

I

b

I-I a c a

i-I b c (12) : a b b -,-a

~: , a a

I-b "&

c

1

I

bl-Ib

(35.

a

I-I b a

(34) :

ela

I

b

1-. a a

(86.

46 Der Fall, wo b verneint, -,-a bejaht und a bejaht wird, tritt nicht ein. Kan kann dies so aussprechen: "wenn a eintritt, so findet eins von beiden, a oder b, statt."

I

36

ale (9)

..

bl I-I Cb

I

b

,-, c c a

I- c

a b

I_I c

(37.

Wenn a die nothwendige Folge davon ist, dass b oder c eintritt, so ist a die nothwendige Folge von c allein. Es bedeute z. B. b den Umstand, dass der erste }t'actor eines Products P 0 wird; c den Umstand, dass der zweite Factol- von P 0 wird; a den Umstand, dasß das Product P 0 wird_ Dann haben wir das Urtheil: "wenn das Product P 0 wird, falls der ente oder der zweite Factor 0 wird, 80 kann aus dem Vel-schwinden des zweiten Factors das Verschwinden des Productes geschlossen werden." I"-~-b

36

l-a I

I---a

(8) :

a b h

-I-a

d a

a

I

(2) :

(38.

1..------,--- b

a

b

b

a

C

-,-a

I- a I-I a I

I-~-a

(39.

(S5) :

a

b

b

a

C

II--:--~--

a

---:--a

---:--a

1-, a

I- a I

I

b

(40. , i .

47 § 19.

I

'1' a -a

(41.

Die Bejahung von a verneint die Vemeinung von a.

27

I

I-

a a

(41):

a

I-=----a I_ a

I,. I

a -a

(4:2.

(40) :

bl "_:

I

I~_:

f-• a

(43.

Wenn nor die Wahl zwischen a und a ist, 80 findet a statt. Man hat z. B. zwei Fälle zu unterscheiden, welche die ganze Möglichkeit erschöpfen. Indem mau den ersten verfolgt, gelangt man zu dem Ergebnisse, dass a stattfindet; desgleieheD, wenn man den zweiten verfolgt. Dann gilt der Satz a.

I_i

a a a

I-

a a c

I

43

(21):

I

bl a tl -,- a

c

,-. a (6) a

b

a a

'-c 1-,

c

a

c

a ,-, c

I

(44:

-a

,-c a

a c c

1-. 1-: a

a ,-. c (33)

(45.

48 .----~--a

I---~-a

I-I C

(46. Wenn a gilt, sowohl falls c eintritt, als auch falls c nicht eintritt, 80 gilt a. Ein anderer Ausdruck· ist: "wenn a oder c eintritt, und wenn das Eintreten von c azur nothwendigen Folge hat, 80 findet a statt."

a

46

a

I- c

a

L.c

(21 )

a

'-c:

b

a

tl c

-J-C

I I

a

L:

~

)

tJ

I- b b 1-, c

b

(47. Man kann dieBen Satz 80 ausspreehen: "wenn sowohl c ala auch b eine hinreichende Bedingung flr a ist, und wenn b oder c stattfindet, 80 gilt der Satz a." Dieses Urtheil wird angewendet, wo bei einem Beweise zwei Fille zu unteraeheiden lind. Wo mehre Fille vorkommen, kann man immer auf zwei zurtlckgehen, indem man einen von den Flllen als den enten, die Gesammtheit der tlbrigen als den zweiten Fall ansieht. Den letzteren kann man wieder in zwei Fälle zerlegen und hiermit so lange fortfahren, als Doch Zerlegungen mögüch sind. 47 I a

--a

l-c I- b ·-----:--b I- c

I---:---G

J

(23)

49 b

I

a -c

c

I

~

I

d a

l- r,

I a -b

d

a

a

I- b b Lc

b

-,-c e f1

I

d

(48.

Wenn d eine hinreichende Bedingung dafür ist, das8 b oder c stattfindet, und wenn sowohl b als auch c eine hinreichende Bedingung fUr a ist, 80 ist d eine hinreichende Bedingung für a. J4Jin Beispiel d"er Anwendung bietet die Ableitung von Formel (101). 47

I

a

-c

I---,--a _I"

b

I

b

-,-c (12) : b

c d

(17) b

a

I.....~~--a

a

I- b

I- c

---,.-a

I- b

I-•

I- b

a 1-"

d

----b c

1-,

(49.

--:--~-- a

.....-1

--b c

1-.

c

I----,-a

b

----a

,-. c (18) :

I- c

b c

a

c

----:--a

I- b

I- c

(50.

50

a

a

I

a

I

b

b

l- c

I- c a I- b a I- c

I

I

b

c

d

a

1-" b

1-

a" c d

(51 .

~-(d)

§ 20.

...-1

I-{(c) '--(c=d)

(52. Der Fall, wo der Inhalt von c gleich dem Inhalt von d ist, wo f (c) bejaht und f (d) verneint wird, findet nicht statt. Dieser Satz drtlckt aus, dass man tlberall statt c d setzen könne, wenn c d ist. In (c) kann c auch an an"dern als den Argumentsstellen vOl"kommen. naher kann c auch noch in f (d) enthalten sein. "'-1- - , - - - , - - f (d) 52 I-(c) I - - { C = d) (8) : -I--:--:---f (d) a f(d) d) b {(cl (53. '--f(c) tl (c d)

=

I-(c=

=

I

§ 21.

(c

= c) •

(54.

Der Inhalt von c ist gleich dem Inhalte von c.

I

54 (63) : [(A) (A - c)

I I

I

(9) : b c a

=

(d c) (c - d) {(cl

I-red)

= =

(c

c)

(d c) -(c=d)

I

(c) I-[(tl) ,--(c=d) '---:-~-f(c)

l-f(d) --(d c)

(52) : :

(55.

(56.

51

1----,--,--( (c)

die c d

I-red)

--Ce

I

§ 22.

=

d).

(57.

f(c)

I-~-f(a.)

(58.

-~- f (a)

bedeutet, dass f (Cl) stattfinde, was man auch unter a verstehen möge. Wenn daher -~-f(a) b~jaht wird, 80 kanu f (c) nicht verneint werden. Dies dl"flckt unser Satz aus. (1 kann bier nur an den Arguments8tellen von f vorkommen, weil diese Funetion auch aU8serhalb des Gebietes von Cl im Unbeile vorkommt.

t---r---r- f (h)

I

58

(A)

c

L_"-=-u(b) . . . :. . I {(al

L{(A) b g (A)

- g (Q)

(30) ~ a f(b) c 9 (h)

~~, ~I ((a)

.-1

- g (0.) -~! f(b) - - - - - - - g (h)

-~--f(Q)

b

I- u (a)

(59.

Beispiel. Es bedeute b einen Vogel Strau8s, nämlir.h ein einzelnes zu dieser Art

gehörendes Thiel·; 9 (A) "A. ist ein Vogel"; (A) "A. kann lliegen". nanD haben wir das Unheil: "wenn dieser Strau88 ein Vogel ist und nicht lIiegen kann, so ist date.na zu 8chliessen, dass einige Vögel *) nicht Biegen können." Man sieht, wie dieses Urtheil eine Schlu8sart ersetzt, nlmlieh Felapton oder Fesapo, zwischen denen hier kein Unterschied gemacht wird, weil die Hervorhebung eine! Subjects wegfallt.

I

58

{(A)~

{(A) -g(A)

1

h(A)

c b (12) : .) § 12, 2. Anm.

I_

f(b) g (b) h(b)

-~ ~f(Cl) - g (a) h (a)

52

I

feh) 9 (h) . h (b) a

a b

c d

f(b) ' - h (b) g (b) ((a) g (0.) h (a)

"

--- 1- [(al 0 (a)

-,-"

I-

h (0.)

I

58

(60.

{(cl

I_~-{(a)

(9) :

/1 c

b

I

(c)

_~_{(Q)

a

I-~-f(a) a '-{(Cl

.-1-:---~-

58 ((A.) - - [ ( A ) '-g(A)

c

(61 .

f

(x) g (x)

l-~--f(a) 1_ 0 (0.)

x (8) :

a fex)

.-1--:---:~--

I_~

b

9 (x)

d

~-f(a)

1- 0 (0.)

f

(x)

«a)

I_ g (0.)

,----g(x)

(62.

Dieses Urtheil ersetzt die Sehlussweise Barbal-a in dem Falle, dass der Untersatz (g (x» einen besondern Inhalt bat.

I

62

(24) : a

((x)

I~-{(a) I_g(a)

c

g (x)

b

m

I

I

{(:cl -~ {(al - 0 (0.) ,----g(x)

I

I

a

-___

((:x)

'-0 f

I----m

(0.)

(a)

,-----g(x)

(63.

53

I

62

({x)

I_~c

f (Cl) t - . g (Q)

g (x) (18) : a ((x)

I

Cl

b

~

c

g (x) h (1/)

d

I-

{(al g (a)

(x) (1/)

Cl -~

I

64

ylX

Cl -~

1- n [Ca) I- g (a) g (x) I- h (y)

(04.

(x) h (x) ((a)

II_ g (Cl) I-

9 (x) h (x)

(61): a Cl ~

((A) c

IIg(A)

~1: 1- h(A)

(x) h (x) (Ca) g (a)

I Cl

-~

1I_

Cl ~

1-

((x) h (x) {(al g (a) g (a) k (a)

(65.

Hier kommt Q in zwei Gebieten vor, ohne dass dies eine besondere Beziehung andeutete. In dem einen Gebiete könnte man statt a au~h ,twa e schreiben. Dieses Urtheil ersetzt die Schlu8sweise Barllara fUr den Fall, dass der Untersatz _~ g(a)

1- h(a) einen allgemeinen Inhalt hat. Der Leser, der sieh in die Ableitungsart der Begriffsschrift hineingedacht hat, wird im Stande sein, auch die Urtheile herzuleiten, welche den andern Schluss~ weisen entsprechen. Hier mögen diese als Beispiele genügen.

54

I

65

fez)

I- h (x)

.

" 1- f (4) 0 (4) (a) " I_ ,h (o,)

-'--'"

'--'"

(8): a

I

((x) - h (x)

&1

b

'--'"

&1

d

"'-"

I &1

-"'-"

(4) (0,)

1_, g (a) 1_0" (4)

58

II-

[(x) h (x) g (a) h (a)

1-

1(4) 0 (4)

&1 '--'"

(66.

1 - - : - - - - . ( (cl I-~ (4)

(7) :

a f (c) b ~/·(Cl) c b d [{~-f (a»)

I

{(cl I- b I--[(_~-{(o,»)

= b]

1~-{(4)

=b]

I_--[(-~-f(o,))_b]

(67.

(57) : :

({A) c

A -~-r(4)

d b

I

{(cl

I- b 1--

[(-!.-- f

<0,»)

=

b]

{6B.

In.

Einiges aus einer allgemeinen Reihenlehre.

§ 23. Die folgenden Ableitungen sollen eine allgemeine Vorstellung von der Handhabung dieser Begriffsschrift geben, wenn sie auch vielleicht nicht hinreichen, deren Nutzen ganz erkennen zu lassen. Dieser würde erst bei verwickelteren Sitzen deutlich hervortreten. Ausserdem sieht man an diesem Beispiele, wie das von jedem durch die Sinne oder selbst durch eine Anscbauung apriori gegebenen Inhalte absehende reine Denken allein ans dem Inhalte, welcher seiner eigenen Beschaffenheit entspr.ingt, Urlheile hervorzubringen vermag, die auf den ersten Blick nur auf Grund irgendeiner Anschauung möglieh zu sein scheinen. Man kann dies mit der Verdichtung vel-gleichen, mittels deren es gelungen isi, die dem kindlichen Bewusstsein als' Nichts erscheinende Luft in eine sichtbare tropfen bildende Fltlssigkeit zu verwandeln. Die im Folgenden entwickelten Sitze Uber Reihen übertreffen an Allgemeinheit beiweitem alle Ahnlichen , welche aus irgendeiner Anschauung von Reihen abgeleitet werden können. Wenn man es daher fUr angemessener halten möchte, eine anschauliebe Vorstellung von Reihe zu Grunde zu legen, so vergesse man nicht, dass die so gewonnenen SAtze, welche etwa gleichen Wortlaut mit den hier gegebenen hAtten, doch lange nicht ebensoviel als diese besagen würden, weil sie nur in dem Gebiete eben der Ansehauung Giltigkeit hätten, auf welche sie gegründet wären. § 24.

'J-Il-~

I-

F (a) f(b, a) 1 - - - F (b)

I= I I

Ö ( F (a) a

f (d,

a)

(ß9.

56 Dieser Satz unterscheidet sich von den bisllel" betrachteten U1'theilen dad urch , dass Zeichen darin vorkommen, die vorher nicht erklärt worden sind; er giebt selber diese Erklärung. Er sagt nicht: "die rechte Seite der Gleichung hat denselben Inhalt wie die linke"; sondern: "sie soll denselben Inhalt haben". Dieser Satz ist daher kein Urtheil und folglich auch kein syntl,etisches Urtlleil, um mich des kantischen Ausdrucks zu bedienen. Ich bemerke dies, weil Kant alle Urtheile der Mathematik für synthetische hält. Wäre nun (69) ein synthetisches Urtheil, so wären es auch die dnraus abgeleiteten Sätze. Man kann aber die durch diesen Satz eingeführten Bezeichnungen und dabeI- ibn selbst als ihre Erklärung entbehren: nichts folgt aus ihm, was nicht auch ohne ihn erschlossen werden könnte. Solche El-kläl·ungen haben nur den Zweck, durch Festsetzung einer AbkUrzung eine äusserliche Erleichterung herbeizuführen. Ausserdem dienen sie dazu eine besondere Verbindung von Zeichen aus der Fülle der möglichsn hervorzuheben, um daran einen festern .A. nhalt für die Vorstellung zu gewinnen. Wenn nun auch die genannte Erleichterung bei der geringen Zahl der hier aufgeführten Urtheile kaum merklich ist, so habe ich doch des Beispiels wegen diese Formel aufgenommen. Obgleich (69) ursprünglich kein Urtheil ist, so verwandelt es sich doch sofort in ein solches; denn nachdem die B~deutung deIneuen Zeichen einmal festgesetzt ist, BO gilt sie nunmehr, und es gilt daher auch Formel (69) als Urtheil, aber als analytisches, weil es, was in die neuen Zeichen hineingelegt war, nur wieder hervortreten lässt. Diese Doppelseitigkeit der Formel ist durch die Verdoppelung des Urtheilsstrichs angedeutet. In Bezug auf die folgenden Ableitungen kann also (69) als gewöhnliches Urtheil bellandelt werden. Die kleinen griechischen Buchstaben, die llier zuerst V01-konl1nen, vertreten keinen selbständigen Inhalt, wie die deutschell und lateinischen. Bei ihnen ist nur die Gleichheit und Verschiedenheit zu beachten, sodass man an die Stellen von a und d beliebige andere kleine griechische Buchstaben setzen kann, wenn nur die Stellen, die vorher von gleichen Buchstaben eingenommen waren, auch wieder von gleicllell eingenommen werden, und wenn verschiedene Buchstaben nicht durch gleiche ersetzt werden. JJiese Gleichheit oder Verschiedenheit der griechischen Buchstaben

57

hat aber nur innerhalb der Fortnel Bedeutu'1,g, fO,r die sie If)ie hier für

o' (

l

F (a)

(Co,

a)

besonders eingeführt 1IJorden sind. aus der abgekürzten Form

6( F l (Co,

Sie-dienen dem Z",ecke, dass

(a) a)

Jederzeit die ausführliche

,~_~a I F(Q)

-f(b, a)

.

F (b)

unzweideutig wiederhergestellt werden könne.

Es bedeutet z. B.

a ( F (Ö)

1 (Co,

a)

den Ausdruck

~~--,-F(a)

L-f(a,

b)

r_--F(b) ,

während a

(F (a)

1

{(ö, a)

keinen Sinn hat. Man sieht, dass der ausführliche A usdrllck, wie verwickelt auch die Functionen Fund f sein mögen, immer mit Sicherheit wiedel-gefunden werden kann, abgesehen von der gleichgiltigen Wahl der deutschen Buchstaben. Es kann

I

f
LI) dUlwch "LI ist Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf 1"''', oder durch "r i~t der Gegenstand einer Anwendung des Verfahrens f, deren Ergebnis LI ist", oder durch "Li steht in der '"- Beziehung zu P', oder durch "r steht in der umgekehrten f- Beziehung zu L1-' wiedergegeben werden, welche Ausdrücke als gleichbedeutend gelten sollen_

58

O( F (a)

1

f«(j, a)

mag übersetzt werden: "der Umstand, daas die Eigenschaft F sich in der {-Reihe vererbt.u Diesen Ausdruck kann vielleicht folgendes Beispiel annehmbar machen. Es bedeute A (M, N) den Umstand, dass N ein Kind von Mist; ~ (P) den Umstand, dass P ein Mensch ist. DanD ist

a(

~(a)

o

A (0, a)

I

~-~ oder

I -

I(a) d (d Q)

.li

(b)

der Umstand, dass jedes Kind eines Menschen wieder ein Mensch ist, oder dass die Eigenschaft, Mensch zu seiD, sich vererbt. Man sieht übrigens, dass die Wiedergabe in Worten schwielig und selbst unmöglich werden kann, wenn an die Stellen von Fund f sehr verwickelte Functionen treten. In Worten wUrde demnacll der Satz (69) 80 ausgedrtlekt werden können:

"Wenn aus dem Satze, dass b die Eigenschaft F hal,allgemein, tVas auch b sein mag, geschlossen ",erden kann, dass J-edes Ergebnis einer AntIJendung des Verfahrens f auf b die Eigenschaft F habe, / so sage ich: ""die Eigenschaft F "ererbt sich in der f-Reihe. n " § 25. 69

I-

[(

I

~-c-=4 F (Q») d 1- (b,a) - I ( F (b)

a

F (a)

1

(d', a)

(<<8) :

a b ((I"') _~4 I F .

b

(a)

-(r,a) . F(r) F(a)

d(I .a

c z (19) :

{(d, a)

I'-'-:--~~

-....-- ]1' (4)

I-,«x,

a)

I---F(x)

6( F

1---- ~

(a) f«(j, a)

(70.

b

c d

Cl

F (4) 1_({x,Q)

'-"

••

F(y)

1- f(x,

F(x)

F (X) & (F (a)

~

a

y)

o(

~

(&, a) F{y) '-f(X,y)

1-

F (a)

(0, a)

F (y) ({X, y)

-~LF(Il) {(X, Cl)

-

(71.

(58) : : F{r)

(cr)

I

'-f(x,I')

c

F{y)

1- fex, y) F{x)

11

& (F (a)

~

(&, a)

(72.

W-etln die Eigenschaft F sich in der f - Reihe vererbt; ",enn x die Eigenschaft F hat und y Ergebnis ~iner AntlJendung des JTerfahrens f auf x ist: 80 hai y die Eigenschaft F.

I

72

F(y)

, - fex, y) F{x)

o(F(a) ~ (0, a) (2) :

b

F{y) I_f{x,y) F(x)

c

F{a)

a

d(

.~

(&,a)

I

L

F(y)

fex,

-1\ a

y)

F(a) f(6, a)

LF(Z) a _1(Ft ) a

f(d, a)

(73.

60 72

F(y)

I

l-f(X, y) F{x)

tl(F(a)

~

(8): a

L{(X'

F(y)

F (y)

'-fex, y) b

F(x)

d

~

(tl, a)

y) tl( F(a)

O( F(a)

~

{(tl, a)

{(tl, a)

(74.

F(x)

Wenn x eine Eigenschaft F hat, die sich in der (-Reihe vererbt, so hat J·edes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf x die Eigenschaft F.

I-I[~-~ I

69

F (a)

I=

O( F (a)

-=~(~:) ~

I_ _

(52):

Ö( F Ca)

c ~-~-F(Q)

-I~I---~. !(tl,

'-. {(b, tt)

d

<J'r ( .a

(l)

r

~-~-F(a)

'--F(b) F(a)

f{o,

{(tl, a)

I

a»

I-{(b, a) I--F(b)

a)

(75 ..

Wenn aus dem Satze, dass b die Eigenschaft F hat, tvas auch b sein ,nag, geschlossen tlJerden kann, dass J·edes Ergebnis eine Alltvendung des Verfahrens f auf b die Eigenschaft F habe, so vererbt sich die .Eigenschaft F in der (-Reihe. ~

§ 26.

-....;.....-

lJ (y)

la

,-",-, ~ (a)

11-

-fex,

d( ~

'-----

~

a)

(a)

{(d', a) (76.

Dies ist die Erklärung der r.echts stehenden Zeichenverbindung

61 YfJ)· In Betreff der Verdoppelung des Uitheilsstriches "pundf (x", der griechischen Buchstaben vel'weise ich auf § 24. Es ginge nicht an, statt des oben stehenden Ausdrucks einfach

11:x

f(x, y)

zu schreiben, weil bei ei ner ausführlich hingeschriebenen Function von X' und y diese Buchstaben auch noch ausserhalb der Argumentsstellen vorkommen könnten, wobei dann nicht zu ersehen wäre, welche Stellen als Al'gumentsstellen anznsehenwären. Die Letzteren mUssen also als solche gekennzeichnet werden. Dies geschieht hier durch die Indices rund {J. Man muss diese verschieden wAhlen in Anbetracht des Falles, dass die beiden Argumente einandel' gleich wären. Wir nehmen griechische Buchstaben hierzu, damit ,vir eine gewisse Auswahl haben, um fUr den Fall, das8

l ( xr , IIp) einen ähnlich gebauten Ausdruck in sich 8chlösse, die Bezeichnung der Argumentsstellen des eingeschlossenen Ausdrucks von denen des einschliessenden verschieden wählen zu können. Die Gleich-

heit und Verschiedenheit der griechischen Buchstaben hat hier nur Bedeutung innerhalb des Ausdruckes

l ((zr' IIp) ; aU8serhaib können dieselben vorkommen, ohne dass hierdurch irgendeine Beziehung zu diesen angedeutet wUrde. Wir übersetzen

~ f (xrl

!Ip)

durch ,;y folgt in der (-Reibe auf x", eine Ausdrucksweise, die freilich nur möglich ist, solange die Function f bestimmt ist. In Worten wird demnach (76) ~twa so ausgesprochen werden können:

Wenn aus den heiden Sätzen, dass J·edes Ergebnis einer An1IJendung des Verfahrens f auf x die Eigenschaft F habe, 'Und dass die Eigenschaft F sich in der (-Reihe vererbe, ~as o,u,ch F sein mag, geschlossen ",erden kann, dass 11 di~ Eigenschaft F habe, so sage ich:

62

"y folgt in der I-Reihe auf Xli; oder: "x geht in der dem 11 vorher

tt

•

r- Reihe

*)

J!~-~(y)

§ 27. 76

I~-~(a)

l-r (x,

a)

- fJ"((xi" ==

~( ~(a)

'---l (68) : a ~ f(/') --------r(y)

(y) ,-,,~-F (a)

l-f(X,

I-fex, a) ~( real

~ (x", Yp) c F

(0, a) J

1--o!1'---r-:'/-a--F

I~-l"(a)

·---l

YfJ)

(0, a)

a)

&( F (a)

'----~ (0, a) J-------~fJ f (x i "Y .8)

b

(77.

Hier sind nach § 10 F (y), Ji (a), F (a) als verschiedene Functionen des Al·gumeJlts Fanzusehen. (77) bedeutet: Wetl1l,

y in der {-Reihe auf x folgt; "'mn die Eigenschaft F

sich in der [-Reihe (vererbt; 1IJenn jedes Ergebnis einer An",endung des Verfahrens (auf x die Eigenschaft F hat: so hat 11 die Eigenschaft F. 77

I~~---+-L--- F (y) ~--F(a)

I-fex,

a)

0'( F. (a)

.------1

a

(0, a)

- - - - - - ~ (Xl"

Yp)

(17) : *) Um die AllgemeiDheit des hierdurch gegebenen Begriffs des Auf-

eioaDderfolgens in einer Reihe deutlicher zu machen, erinnere ich an einige Möglichkeiten. Es ist hierunter nicht nur eine lolche Aneinanderreihung begriffeD, wie die Perlen auf einer Schnur zeigen, sondern auch eine Verzweigung wie beim Stammbaum, eine Vereinigung mebrer Zweige, sowie ein lingartigea InsicbzurUcklaufen.

63

I------:----~--- F (11)

a

F(y)

b

~--y-F(Q) I--(x, a) F (a)

c

-~~-F(a)

I-fex,

~---- ~ {(o,

I

F (y)

{(x", Yp)

Ji' (y)

a

f«(l, a)

I

I

a)

(78.

F(y)

I 1- ~ f (X,., Yp)

L 1(1?(a)

~-r-F(a) 1--(x,Q)

1(

Q)

O( F (a)

a)

L~

c

(x", Y p)

&( ~ {(o, 1{(X,., Yp)

d (2) : a ..

b

1- ~ {

{(ö, a) }l (a) I-f(x, a) a

~

{}'( F (a) I---~ {(o, a)

(79.

(5) : a

~F(y)

I L~

L b

I

I_~ {(x", Yp)

{(x", Yp)

O( F (a)

O(F(a)

~

I--~

{(o, a)

-"'-' ----:--,- F (a)

a)

Ö( F(a)

---~ c

[(0, a)

-a--F(x)

-~.--:---F (a)

Lf(x,

F (y)

1

-f(~J a)

Ö( F

{(o, a)

I---~

F(x)

(a)

{(o,a)

----F(x)

(80.

(74) : :

yla

I

I

F(y)

1-1 d(

{(x", y p)

I--~

F (a) {(o, a)

F(x)

(81.

64 Da in (74.) y nur in

I

F (y) vorkommt, -f(x, y)

80

kann bei der .

Ersetzung des y durch den deutschen Buchstaben a die Höhlung diesem Ausdrucke nach § 11 unmittelbar vorhet-geben. Man kann (81) übersetzen:

Wenn x eine Eigenschaft F hat, die sich in der (-Reihe vererbt, und wenn y in der f - Reihe auf x folgt, so hat y die Eigenschaft F. *) Es sei beispielsweise F die Eigenschaft, ein Haufe Bohnen zu sein; es sei das Verfahl·en f die Vermin{lerung eines Haufens Bohnen um eine Bohne, so dass f (a, b) den Umstand bedeute, dass b alle Bohnen des Haufens a auaser einer und sonst nichts enthalte. Dann würde man durch un8ern Satz zu dem Ergebnisse gelangen, dass eine einzige oder selbst gar keine Bohne ein Haufe Bohnen sei, wenn die Eigenschaft, ein Haufe zu sein, !sich in der f- Reihe vererbt. Dies ist jedoch nicht allgemein der Fall, weil es gewisse z giebt, bei denen wegen der Unbestimmtheit des Begriffes "Haufe" F (z) unbeurthcilbar ist. I--~~-F(y)

81

I_}

{(.x", Yp)

d( 1--

~

F (a) {(ö, a)

r---F(x)

(18) a --F(y) --} f(x", yp)

0' ( F b c d

~

f (ö,

F (x)

a

(a)

a)

--I---,-...,....--~-

F (y)

I_} {(.x,,~

y p)

--a

d(

---~

F (a)

f(ö,a) ,----F(x)

I--a

• ) Hierauf beruht die Bernonllische InductioD.

(82 .

65 82 F(r)

g{y) --:---r--t~TI__ . h (y)

1-1

I

g(1) -her) ,

-) ( x Y' Yp)

a hex)

h (x) --

[

---1

1_,

g(a) h (a)

a I(ö, a) I----r-~I 9h (x) (x)

,

-

hex)

(36) : :

bl 9 (x)

(y) --:---'---111_, 9h (y)

1-1

a h (x)

} {(X'Y' Yp) h (x)

9 (a) 1_, h (a) [ a f(&, a)

--- f

(83.

F(y)

81

1- LfJ {(x", Y{I> d (F (a) ~

(d, a)

F(x) (8) :

a

I

1- -) f(x y , b

(Co,

d F(x)

y p)

F(y)

1- LP {(x", yfJ) F(x)

O(F(a)

~

I

F(y)

a)

° ~

(F(a)

{Co,

a)

(84.

66

1-.,.--,----.----- F I_~-:-I--- F

77

(y)

(a) - ( x , a)

d(I .

F (a) f (6, a)

---- a

(12) : a F(y) b -~

c

Ö(I a

t

F(a) l-/(x,o,) F (a) _

l- 6( F(a) - ~ {(f1, a)

c --~

t

t {(zr' Y{l)

~--'----------rl-

F (y) d ( F (a)

I-I " .--:--- F (Cl)

-~ I_f(x, 1-----

I

I

CI

I.-~

~---.--

-

F(a)

-

1-

1- fex, a)

,-

t

-I

fJ( F (a)

~ {(f1, a )

I

"l

z

x 11

{(zr Y{l) F(z) f {f}, z)

d( ~

F (a)

{(f1, a)

- F(y)

I

f1( F(a) ~ {(f1, a)

(73) : :

(85.

6 -I ( a (d,a)

F (Cl) -f(X,Cl)

1--

t {(zr Y{l)

z) 1-= { (y,F(a)

{(zr Y{l)

a

a)

F (z)

I

I

I

F (z) 1-(II,z)

(6, a)

a

f(ö, a)

d {(zr' Y{l) (19) : b -r-F(y)

d

1-----

{S6.

1---,.---;--.-...,--1I F (z). ) -f(y, z I

I

I

1-----

-~-

I

&( F(a) ,

a f(6,a) F(a)

-fez,

1-----

Cl)

t {(zr' YfJ)

(87.

67 Die Ableitung diesel Satzes wird in Worten etwa folgendermassen lauten: a) Es folge 11 in der (-Reihe auf X; (J) es habe jedes ErgebDis einer Anwendung des Verfahrens f auf x die Eigenschaft Ji'; r) es vererbe sich die Eigenschaft F in der (-Reihe. Äus diesen Voraussetzungen folgt nach (85): 6) y hat die Eigenschaft F. ' E) Es sei z Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf y. t)ann folgt aus (]), (d), (E) Dach (72):

z hat die Eigenschaft F. Daher:

Wenn z Ergebnis einer A.n",endung des Verfahrens f auf einen Gegenstand y ist, der in. der (-Reihe auf x folgt, und wenn i'edes Ergebnis einer AntIJendung des Verfahrens f auf x eine Eigenschaft F hat, die sich in der F-Reihe ",·ererbl, so hat z diese Eigenschaft F. --I--:--~---=----:--

87

F (z)

l_ fCJJ , z)

d( F

l_-~ -~

f(6,a}

F{Q)

I-f{x, 1 - -_ _

(15) : a F(z) b f(y, z)

O( F (a)

c

~

f(6,a)

d -~--F(a) '-f(X, Cl) e

t

f(x r , 1If1)

(a)

i'---:--:---~-~-

t

Q)

f(x'Y' 1If1)

F (z)

1-1(

F(a) a ((d",a) -~--ß(Q) a)

'-fex,

I -_ _ _ _ }

f(X'Y' IIp}

------f(y,

z)

(88 •.

68 _~,_---,--_ _ _ ~ (y)

§ 28.

I-~·

I-

76

~(a)

I-f(x, a)

&( tJ {al

I----~ (52) : f{r)

r

c ~

I ~' (y)

f {(xr , Y{J)

I

I-~

I~-~ (a)

I-f(x, a) ~ (a)

tj (y)

1_~-tJ (a)

°(

r

P{(:er'

d

Yp)

!

((o,a)

_I

{(o, a)

t

b

!,

t

I

{(x r , Y{J)

~ (y)

-!,

I_~-I ~ (n) - f (x,

a)

Ic -

{(Xr ' Y{J)

~ (Y) -~-~«(1) _I

{(x, n)

d ( ~(a)

~

{(o,a)

{(o, a)

c

I--T~~-- ~

63

(y) *)

-fex}

O( I---!

&(

ml

-

(1) ~ (a) {(o, a)

I - - - - - - f ( z , y)

I

I

~ ({xr , Y{J)

-fex, y) *)

(90.

1-~-1 ~(n)

f~ x 11 g(n f (:e, 1) ~ (a) a f(6,a) (90) : elf (x, y)

{89.

I

°(~(a) ~

°! (~(a)

{(o, a)

,

(5) :

a

fex, (1)

In Bezug auf die Höhlung mit

~

siehe 5 11.

(91.

69 Es möge hier die Ableitung des Satzes (91) in Worten folgen. Aus dem Satze: a) "jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf x hat die Eigenschaft ~" kann, was auch ~ sein mag, geschlossen werden:jedes- Ergebnis einer Anwendung des Verfabrens f auf x hat die Eigenschaft ~. Daher kann auch aus dem Satze (a) und dem Satze, dass die Eigenschaft ~ sich in der f- Reibe vererbt, was auch ~ sein mag, geschlossen werden: jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf x hat die Eigenschaft ~. Daher gilt nach (90) der Satz: Jedes Ergebnis einer .A.ntIJendung eines- Verfahre'J'!-S ( auf einen Gegenstand x folgt in der (-Reihe auf dies x.

91

I

I t fix", Yfl) -f(x,1/J

(53) :

I

r(A)

}r(A", Yfl)

I

1

1r(Zr'

Yfl)

- ( x , y)

-fex, y) c x

,--(~=%)

(92.

tI z

I-

60 Cl

~

(er) r(y)

g(I') &~(a) I

a

(6, a)

her) ~-I r(4) -f(X,4)

b

\J

(90) :

-~~-\J(y)

I~-~(Cl)

I_f(x, «)

~--

«J (~(a) ~ V(fJ,a)

~-'----:-I- ~ (y)

_ t(~(a)

a (ö, a) ~--~(Cl) I_f(x, «)

70

c

Ji,--- ~ (y)

Ld( ~(a)

,.---:--- t{(z", Yp)

~ (Y)

I,!

~

{(d, a) ~-~{Cl) '_f(~1:, Cl)

-1( ~(a) a (6, a) ~-~(Q)

1_- fex,

93

1-----:----

ylz

t

Cl)

(93.

{(zr' zp)

I'!~~(%)

Ld(

iY(a)

~

{(d, a)

~-, ~(Q)

-fex,

Cl)

(7) -:

r

a

.ft !(Xy '

b

-!

L ~(z) 6( il ~

(a)

{(d, a)

~1- r(Q)

t {(3.~r'

d [(Y, z)

y p)

{(zr' :p) {(zr' Yp)

(y, z)

~ '-'"

'~(z)

-fex, Cl)

c

t t

I

•

zp)

CI

1- ~d(

~(a) {(IJ, a)

~(a) '-"'f_ fex, tl) pr fex,,, 11{J)

I - - - - f ( y , z)

(94.

(88) : :

FI~

L~ {(zr' zp) } {(xr' 11/1) ~-f(Y,

(8) :

z)

(96.

71

t

a

f(x y , zp)

t

b

1~~f(XY' 2p) -f(y, z)

f(xy> Yp)

7ir {(x", 11p)

d ((II,·z)

(96.

Jedes Ergebnis. einer Atuvendung des Verlahrens I aul einen Gegenstand) der in der I-Reihe aul x folgt, folgt in der (-Reihe auf x. 96

zlab

11

(76) :

F(I')lt f(xy,Fp)

I

1(t

f(x y, ap)

a {(d,a)

(97.

Die Eigenschaft, in der (-Reihe auf x zu folgen, vererbt sich in der f- Reihe. 97

I

1(7

f(x y • ap)

a{(o,a)

(84) : F(I')

t

X

Y

I

f(;e y , F p )

y z

I t .-1t

-:

f (xy> 2p) f (Yy' zp) f(xy> Yp)

(98.

Wenn y in der (-Reihe auf x und llJenn z in der "-Reihe auf 11 [olgt, so folgt z in der f;..Relhe auf x.

S 29.

- x) 11-((.. I-. (z " p r (zr'

)= - ~" f(x", z{J)J J Z fI) {J

(99.

Ich verweise bier .auf das bei den Formeln (69) und (76) über die EinfnhruDg neuer Zeichen Gesagte. Es mag

p "I

(xi" %p)

durch "z gehört der mit x anfangenden {-Reihe an", oder durch "x gehört der mit zendenden f - Reihe an" übersetzt werden. DanD lautet (99) in Worten 80:

72

Wenn z dasselbe wie x ist, oder auf x in der (-Reihe (olgt, so sage ich: ,,z, gehört der mit x anfangenden (-Reihe anti; oder: "X gehört der mit Z endenden {- Reihe an tt.

I

99.

(57) : (er) r c

(z

d L..

= x)

1_. t[~X"'ZfJ»)=1[(X,,'ZfJ»)

((

l

= I-, p" ( (

~....,..--. (z

I-

xi"

I-, t [(x,,_ zfJ)

p(

(

zp)

"

7i [(x", zfJ)

\

(100.

zi" ZfJI

(4:8) : b (z

x)

= z)

c

f [(x", ZfJ)

d

!. (Xi"

a

'1

fJ

_I

t [(x", VfJ)

I _I

(z, v)

!. f fJ

ZfJ)

[(x,,_ VfJ) [(z, v)

_I

t

(xr , Z{J)

[(x", VfJ)

(z, v)

t[

(x",

Z

fJ)

t Lf

[(x". VfJ) (z, 11) (z =x)

(96,

92)

z z v

x Z z x

y

y v

I

1

t [ (x", vfJ)

-

(z,. v)

(101.

~

I--!" (zr' zfJ) fJ

Die Ableitung von (102) mag hier in Worten folgen. Wenn z dasselbe wie z ist, 80 folgt nach (92) jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf z in der (-Reihe .ufx. Wenn z in der (-Reihe auf x folgt, so folgt nach (96) jedes Ergebnis einer Anwendung von f auf z in der (-Reihe auf z. AU8 diesen heiden Sätzen folgt nach (100): e) In Betreif des letzten Schlus8es siehe § 6.

73 Wenn z der r,nit.x anfang.enden {-Reihe angehört, 80 folgt J·edes Ergebnis einer AnftJendung des Verfahrens f auf % in der f - Reihe auf x.

I (z - x) '-r t { (x", z{J)

I

100

-=-----

(19) : b (z

=

c -, d

.! f {J

(X'Y'

{(x", Z {J)

I---~~-(x

x)

7{(x",

f

,-, t

Z{J)

= z) {(x", z{J)

..:-.-.- !( (x)" %{J) {l

Z (J)

~--:--I-(x

a (x.- z)

= z)

-(z=x)

{lOS.

(55) :.:

:1:

(104.

§ 30. 99 (52) :

(r) r C

d

I

Z=Z

-, t {(x", z{l)

~ f (x", fJ

{t05.

ZfI)

(37) : a

1-

b (z c

{(xr' z{l)

=x)

t {(xr, z/I)

I

I ;

-t

{(r", z{J) {(x", z{J)

(106.

WtJI in der {-Reihe auf x {olgt, gehört der mit x anfangenden f ~ Reihe an.

74 0

106

xl vz Z

(7) :

a

!. f (zr' {J

v{J)

b

t {(zr' vfl)

c

f

d

2: (zr' Y{J)

L -1 {(Zr' vfl)

I

f (y, v)

7

{(Zr'

(y, v)

I

f1

lIpl

t {(Zr' vfJ)

-(y,'v)

.--2:. !(zr' lIfJ) fJ

(102) : :

xlzy

I

%

I

(107.

-1 {(Zr' vfJ)

- ( y , v)

~ f (Zr' YfJ) (108. fJ Hier folge die Ableitung von (lOB) in Worten. Wenn y der mit z anfaongenden (-Reihe angehört, 80 folgt nach (102) jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens { auf 11 in der f- Reihe auf z. Nach (106) gehört dann jedes Ergebnis einer A.nwendung des VerfahreDs f auf Y der mit z anfangenden f- Reihe an. naher: Wenn y der mit z anfangenden (-Reihe angehört, so gehört Jedes ErgebnOis einer An1lJendu'lg des Verfahr81is f auf y der Illit z anfangenden f- Reihe an. I_ _

lOB v a x y b

z

(75) :. F(r)

/7

{(.1"r'

r fl)

I

1(7 a

{(x"/' afl)

«ö, a)

109.

Die Eigenschaft, der mit x anfangenden {-Reihe an zug ehören, vererbt sich in der f - Reihe.

75

1(~

109

{(x r , ap)

(0, a)

a

(78) :

./tlF) ![(xr,lp) {J

r fJ r . -1 !(Yr' mfJ)

I

~ f(x y , mp)

x 11 11 m

I

CI '-'

7i1 {(xr , (J.p)

-(1/, Q)

108

(110.

I f {(zr' vp)

I

- ( y , v)

r ((zr' Yp)

vv

fJ

(25) :

a

1-

C

f (Y,

d

j {(Zr' Y{J)

{(Zr' Vp)

!{J

I

r

-,-t

v)

l(zr' VfJ) {(r'r' z{J)

(y, v)

r (v , ZfJ) b - ,-(j r

!

fJ

~"olgendes

{(zr' Yp)

(111.

ist die Ableitung von (111) in Worten. Wenn y der mit z anfangenden (-Reihe angehört, so gehört nach (108) jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf y der mit z anfangenden f- Reihe an. Daher gehört dann jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfabrens f auf 11 d~r mit z anfangenden (-Reihe an, oder geht in der f - Reihe dem z vorbel Also: Wenn 11 der mit z anfangenden f- Reihe angehört, so gehört jedes Ergebnis einer A.nllJe1~dung des "·er(ahrens f auf y der mit z anfangenden {-Reihe an, oder geht in der {-Reihe dem w •

z vorher.

76

t

105

1I

{(xr' zp)

(z = x)

t

{(xr' zp)

If

{(x r zp)

1_.

(11) : a

f

b (z

{(Xr' Zp)

= x)

c -,

t

I

(112.

- ( z =x)

{(x r zp)

(7) : a

1-

{(xr'

z p ) 1.-----:------:---:-- ~ {(xr' zp)

=r x) - . 7i {(zr' xfJ)

b (z c

d

f

r -. P [(zr' }

{(zr' xp)

(z

xfJ)

{(zr xp)

=

x)

'1 -. P ({zr' x{l)

~{(Zr xp)

{113.

(l04) : :

=1=

~I~--.-

1- {(xr

zp)

-. 1r {(z", :e{l)

1

{(Zr xp)

(114:.

Folgendes ist die Ableitung dieser Formel in Worten.

EI gehöre x der mit z anfangenden {-Reihe an. Dann ist Dach (104) Z dasaelbe wie x; oder z rolgt in der {- Reihe auf z. Wenn z d...elbe wie x ist, 80 gehört nach (112) z der mit .x anCangenden {-Reihe an.

77 Aus den letzten beiden Sätzen folgt: z gehört der mit x anfangenden f-Reihe an; oder x folgt in der {-Rei~e auf z. Daher:

Wenn x der mit z anfangenden {-Reihe angehört, so gehört z der mit x anfangenden {- Reihe an; oder x {olgt in der f-Reihe auf z. § 31.

Ich 11 bersetze

°I

((0, E)

E

durch "der Umstand, dass das Verfahren (eindeutig ist". kann (115) so wiedergegeben werden:

Dann

Wenn aus dem Umstande, dass e Ergebnis einer An1lJendung des Verfahrens ( auf bist, 1IJas auch b sein 1nag, geschlossen 1IJerden kann, dass JOedes Ergebnis eine1· Anwendung des Ver{ahrens ( auf b dasselbe 1IJie e sei, so sage ich: "das 17erfahren f ist eindeutigtl.

(68) : f(r)

~-~-I (a = I) -f(b, a) ·--f(b, p) Ö

I {(o, e)

b

E

a e (9) :

5

o

-=------ 1 f( Ö, e) E

c x

*)

I-~-~-«(l_ x) I-f(b, a) '--f(b, x)

24.

(116.

r

78 b

••

~-~-(a=x) '-/(b, a) I (h, X)

== X)

4 (_ ---'--'a

I_(y,

(1)

(y, X)

0 c I (ö, E)

(}'

I (6, e)

E

E

~-(a=x) '-(1/, (1)

a -~-(4 =x)

I_(y, a)

(y, x)

{(y, x)

~-~-«1=x) '-f(b, a) ((b, x)

(117.

(58) : :

a b

I

= '-(r,

f(r) -~- (4

X)

(er,

cly

a) x)

(a=x) II~-' -{(y, a)

{(V, X) d

I (ö,

E)

E

(118.

(19) :

=

I

b ~-(a=x) I_f(y, a) c ({g, x)

r (a -f{JI,

x) a) {(1/, x)

& I (tl, E)

.1 d

I (.1, e) E

a

E

= '-(1/, (a

(a =x) -(y, a)

,

x) a)

~-, (a

=

x)

-f(Y, (1) (58) : :

f(r)l' (r-

x) -leg, I')

c a

-I

I

(119.

=

(a x) I-(y, a) {(y, x)

4

I f(o, E)

E

(20) :

(120.

79

=

b (a x) c f{y) a) d f(Y, x)

I

I

-f(Y, a) f(y, x}

<1 e I /(0,

~ {(xr , ap)

E)

Ö

E

a

I f(ö,

E)

E

Zp f(x r, ap)

I i -Ca

(112) ::

z I(l

I

I

{('?:r; ap)

=x)

(121.

i"{(Xr • ap)

-(li, a) (1/, x)

6 I (d,

~")

E

122

I

ala

~-I

i

(122.

{(x r • o.p)

-[(1/, 0) '--({11, x) Ö

' - - - I {(11, (19) : b

!, (x", p

~-I J{(x". Q,> I -(1/, a)

C

-

-

{(1/, x)

mfll

1- {(YY' mp) f(y, x)

6 d

E)

E

d I ({tl, e)

1 (6, e) E

E

a

!{(xr mfl) {J

1:(J (zr' mfl)

-1

-~((Yy. mp)

f(yy. fltp)

"-"-, 1 CI

(110) : :

{(x". 0.p)

-f(y, a)

(li3.

80

---jf(X",mp)

---I

1 -- pr ('lI"

mfJ)

--f(y,x) Ö

I I(O,E) E

(124.

Es folge in Worten die Ableitung der Formeln (122) und (124). Es sei x Ergebnis einer Anwendung des eindeutigen VelefahreDs I auf y. Dann ist nach (120) jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens I auf 'I dasselbe wie x. Daher gehört nach (112) jedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens I auf y der mit x anfangenden f-R~ibe an. Also:

Wenn x Ergebnis einer Amvendung des eindeutigen Ver{ahrens { auf y ist, so gehört jedes Ergebnis einer An",endung des Verfahrens { auf y der mit x anfangenden I-Reihe

an. (Formel 122.) Es folge m In der (-Reihe auf y.

Dann ergiebt sich aus (110):

wenn jedes Ergebnis ein6l' Anwendung des VerfalweD8 f auf fJ der mit x anfangenden {-Reihe angehört, 80 gehiStet m der mit x anfangenden {-Reihe an. Dies mit (122) verbunden zeigt, dus, wenn x Ergebnis einer Anwendung des eindeutigen Verfahrens f auf y ist; m der mit x anfangenden {-Reihe angehört. Also:

Wenn x Ergebnis einer An",endung des eindeutigen Verfahrens I auf y ist, und ",enn m in der {-Reihe auf y folgt, so gehört _m der mit x anlangende/I. (-Reihe ane (Fol-mel 124).

81

124

~---:--- ~ f(x y , mfJ)

1-:

-)f(yy,mfJ) I - - ( Y , x)

6 - - - 1(6, E) E

(20) :

b

if(X y , m{J)

c

~f(Yy, m{J)

~--:----:---;--- Jf(m y, xfJl

1--1

-,

f(x y , mfJ)

f fÜly.

d ~Y. x)

e I (6, 8)

m{J)

f(y, X) Ö

E

a

'5

I (6, )

!'(my , xp)

E

fJ

- , ~f(Xy. m{J)

1---....,..------,---

r(m", Xp) (J

-t

f(x y • mp)

I~- !f(X'Y' mfJ) {J

(125.

(114) : :

~I:

--I

7

-..,...--~--~f(m", zfJ) (J

-, jf(X". mp) 1--

jf(yy. m{J)

'--f{y,x) ~--

Ö

1(0, E) E

(126.

Hier folgt die Ableitung dieser Formel in Worten. Es sei x Ergebnis ~iner Anwendung des eindeutigen Verfahrens f auf y.

82 Es folge m in der (- Reihe auf y. Dann gehört nach (124)' m der mit x anfangenden (-Reihe an.

Folglich gehört nach (114) ;c der mit m anfangen
x gehört der mit m anfangenden (-Reihe an, oder geht in der f- Reihe dem m voran. Daher:

Wenn m in der (-Reihe auf Y (olgt, und 1venn das 1-"erfahren ( eindeutig ist, so gellört Jeedes Ergebnis einer Anwendung des Verfahrens f auf y der nlit manfangenden f-Reihe an, oder geht in der (-Reihe dem m vorher. 126

.!((ffly ' xp)

I -

ß ~[(Xy,

m{J)

j[(yy, mp)

f(y, x) 0 I (Co, E) E

(12)

!

a/

ß

((my, x{J)

-. f [(x y' mp) b t[(yy, mp)

c ((y, x) cf d I ((0, E

(51) :

I

l{(ffl y ' xp)

ß

-. i

[(x y' 11Ip)

f(y, x) j[(yy, mp) Ö

E)

I ((0, 8) E

(.127e

r 83

.! (my, xp) I

a

fJ

ß

-, i c

.!f(my , xfJ)

i

f(x r , mp) .

-~

t

f(x r , mp)

--f(y, x)

f(y, x)

f(Yr' mp)

LI (my, Y{J) fJ

0'

d I f(&, s)

-I

s

t

f(Yr' mp)

&

I f(&, s) s

1. f (my, x fJ) fJ

-1-

t

f(x".

fW,

mp~

x)

.!,. (m", 11(J) fJ

(111) : :

zlm v x

I

(128.

:! f(m", x{J) I

ß

-, t

f(x r , mp)

f(y, x)

Lf(m", Y{J)

ß

-, i

f(Y", mp)

Ö

I (0, 8)

e In Worten lautet (l29)

(129.

80:

Wenn das Verfahren f ~indeutig ist, und ",enn 11 der mit m anfangenden {-Reihe angehört, oder in der (-Reihe dem m vorhergeht, so gehört jedes Ergebnis einer An1lJendung des J7erfahrens f aUf 11 der mit manfangenden f=Reihe an, oder geht in der f- Reihe dem m vorher.

84 129

x/a y b

I

~-~--~f(mr' ß -

ap)

r p{(a", mp)

~-f(b,

a)

~f(mr' bp) - , ~f(br' mp) ~---

o

I red', E) E

(75) : :

85 F(r) - ; ((mr,r{J)

0'

I

-. j((rr' m{J)

~

_.1f(mr , ap)

ß

-. i

((ar' ni{J)

f(O', a) -

0' I (0', s) (131.

E

In Worten lautet (131) so:

We'll,n das Verfahren { eindeutig ist, so vererbt sich die Eigenschaft, der mit m anfangenden {- Reibe anzugehören, oder in der {-Reihe dem m vorherzugehen, in der {-Reihe.

131

0'

I

~

-. j

((arl m{J)

{(O', a)

ö -

I S

(9) :

(Co, E)

86 !f(m y , YfJ}

I

I

I

{J

-, ö c I f(d', E) a

lT[~{(my, 1/tP

t

{(1/", mfl)

t

{(:Z:y, 1/fI)

1Y"

f(xy,mp)

Ö

I {(ö, s)

'7f (Y", mfJ)

Lf(mr, YfJ)

t {(

ß

:Z:y' 1/fI) -1

} {(:Z:y' mfl)

t

{(1/y, mfl)

j

{(:Z:Y' 1/fI)

t

{(:Z:y, mfl)

6

-'Lf(mr, afJ)

ß

-,t

~

{(ay,

{(6, a)

(83) : :

g(r) !{(m y , rfl)

fJ

h(r) t{
----------------------

mtP

(132.

.... J ~~~-:----1{(my, 1/fI)

-, t t 1--- f 1--

{(Yy' mfl)

{(:Z:y, rlfI'

{(:z:",

mtP

ö I {(o, E) (133.

In Worten lautet dieaer Satz 80: Wenn das Verfahren f eindeutig ist, und ",enn m tmd 11 in

87

der {-Reihe auf x folgen, so gehört y der mit manfangenden f- Reihe an, oder geht in der f- Reihe dem m vorher.

Ich lasse hier eine Tafel folgen, aus deI- .zu ersehen ist, sn welchen Stellen von einer Formel zur Ableitung einer andern Gebrauch gemacht ist. Man kann sich ihrer bedienen, um die Verwendungsweisen einer Formel nachzusehen. Auch ist daraus die Häufigkeit der Anwendung einer Formel Z11 erkennen . . Rechts vom Striche steht immer die Ziffer der Formel, bei deren Ableitung die links bezeichnete verwendet ist.

1 1 1 1

1 1 1 2 2 2 2 2 3 4

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

6 7

3 5 11 24 26 27 36 3 4 39 73 79 4 5 6 7 9 12 14 16 18 22 25 29 34 45 80 90 7 32

7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9

9 9 9 9 9 9 9 9 10 11 12 12

67 94 107 113 9 10 12 17 26 38 53 62 66 74 84 96 10 11 19 21 37 56 61 117 130 132 30 112 13 15

16 24 35 49 60 85 127 14 15 88 17 18 22 50 78 19 20 23 51 18 18 64 18 82 20 19 21 19 71 19 86 19 19 103 19 119 191123 20 121 20 I 125 12 12 12 12 12 12 12 13 14 15 16 16 16 17 17 18 18 18

21 21 22 23 24 24 25 26 27 28 28 29 30 31 32 33 33 34

34 35 36 36 36 37 38 39 40 41 42 43

44 47 23 48 25 63. 111 27 42 29 33 30 59 32 33 34 46 35 36 40 37 38 83 106 39 40 43 42 43 44

44 45 46 47 47 48 49 50 51 52 52 52 52

52 53 53 54 55 55 56 57 57 58 58 58 58 58 58 58

58

45 46 47 48 49 101 50 51 128 53 57 89 105 75

55 92 55 56 104 57

68 100 59 60 61 62 67 72 118 120

59 60 61 62 62 63 64 65 66 67 68 68 68 69 69 70 71 72 72 73 74 75 75 75 76 76 77 77 78 78

93 65 63 64 91 65 66 68 70 77 116 70 75 71 72 73 74 87 81 97 109 131 77 89 78 85 79 110

88 80 79 81 80 82 81 84 81 83 82 83 133 98 84 86 85 87 86 88 87 95 88

89 90 90 91 92 93 94 95 96

96

1 97

90 91 93 92 102 94 95 96 97 102 98

98 99 99 100 100 101 102 103 104 105 105

100 105 101 103 102 108 104 114 106 112

106 107 108 108 109 110 111 112 112 113

107 114 108 115 109 116 111 117 110 118 124 119 129 120 113 . 121 122 122 114 123

126 116 117 118 119 120 121 122 123 124

124 125 126 127 128 129 130 131 132 133

125 126 127 128 129 130 131 132 133

AnwendungeD der Begrijfssehrift. • Es sollen im Folgenden einige Beispiele gegeben werden, wie mit Hilfe meiner Begriffsschrift arithmetische und geometrische Verhältnisse ausgedrückt werden können. Es mag dabei hervorgehoben werden, dass die verwendeten Zeichen nicht für jeden einzelnen Fall be S 0 nd er s erfunden sind, _sondern so allgemeine Bedeutungen haben, dass sie zur Wiedergabe sehr verschiedener Beziehungen hinreichen. Es bedeute: .AB ~ OD die Congruenz der beiden Punktepaare AB und ODe Dann kann man den Umstand, dass der Punkt D in der durch die Punkte Bund 0 bestimmten Geraden liege, so ausdrücken: ~ '-"~(D

= 91) 1-(BD~mt)

:...-.-(aD~

ml)

Die Bejahung des Inhalts dieser Formel würde nämlich bedeuten: aus der Congruenz der Punktepaare BD und mt und aus der Congruenz der Punktepaare OD und O~ kann, was auch ~ sein mag, geschlossen werden, dass ~ derselbe Punkt wie D Bei; oder: man kann gar keinen von D verschiedenen Punkt finden, welcher mit B und 0 Punktepaare bildete, die mit BD und GD bezgl. congruent wären . Dies ist aber immer dann und nur dann der Fall, wenn D in der durch Bund 0 bestimmten Geraden liegt. In ähnlicher Weise kann man ausdrücken, dass ein Punkt in der durch drei Punkte bestimmten Ebene liege. Durch

!((x", 11~

{j habe ich bezeichnet, dass '!I der mit x anfangenden (-Reihe an-

* Siehe Textkritische Bemerkungen.

Anm. des Hrgs.

[30]

90

gehöre. Nach dem von mir zu Grunde gelegten allgemeineren Funktionsbegriffe kann man u+l=v als Function von u und v betrachten und daher als besondern Fall von f (u" v) ansehen.· Danach bedeutet dann

!{J

(0"

+

1 = ap),

dass a der durch beständige Vermehrung um 1 entstehenden mit o anfangenden Reihe 0, 1, 2, 3, 4 . . . angehöre, mithin eine positive ganze Zahl sei.

l, (0" + 1 = {J

ap)

ist daher der Ausdruck für den Umstand, dass a eine positive ganze Zahl sei. Ebenso bedeutet

!{J

(Oy

+d=

a,,),

dass a der Reihe 0, d, 2 d, 3 d . . .

angehöre, also ein Vielfaches von d sei. b ----

1

7fr (0" + b =

-f

(2"

aj3)

+ 1 = b#)

(b = a) sügt, dass a durch keine der Zahlen 2, 3, 4. . . . ausser durch sich selber theilbar sei. Fügen wir noch hinzu, dass a eine positive ganze Zahl sei, so erhalten wir in b r (0" b = ap) I I '-' I 1

+

7i

_ r (2" f1 ~-(b =

"------lf3

(0"

+1=

bp)

a)

+ 1 = a~)

Die Bezeichnung des Umstandes, dass a eine Primzahl sei.

91

[31]

Es mag jetzt gezeigt werden, wie die Begriffsschrift den Satzder Zahlentheorie wiedergiebt, dass jede positive ganze Zahl als Summe von vier Quadratzahlen darstellbar ist. Die Gleichung 30 = a 51 1)1 eS gl drückt nicht aus, 1) dass Q, b, t, 9 ganze Zahlen sein sollen, 2) dass es solche Zahlen giebt. Durch 1 (30 = Q 51 bl e11 9 51)

+

+

+

+

+

_! (0" +

1 =

0p)

b,D

+

{J

--~

(0)'

+

1 =

--_;:;;;;;=:1.{J

(0"

+

1

(0"

+

1 = ßp)

o...--_ _

!

{J

= ep)

ist dem erstern Uebelstande abgeholfen; denn dies bedeutet den Umstand, dass 30 die Summe der Quadrate von 0, b, e, ß sei, und dass G, b, t, g ganze positive Zahlen seien. Es muss jetzt noch ausgedruckt werden, dass solche ganzen Zahlen vorhanden sind. Lassen wir den Verneinungstrich vor dem Ganzen fort, so erhalten T!ir in I (30 = (11 bJ e Si)

+

1 -! (0" + (J

'-----!eo" + fJ

+

=

Qp)

1 =

bp)

1

':""'-_-7fr (07 +

1

=

ep)

+

1

=

ßR)

~r (0

I_ _ _

fJ

"

+

t'

die Vemeinung des Umstandes, dass G, b, t, ß ganze Zahlen seien, die 30 zur Quadratsumme haben; d. h. dass mindestens eins von G, b, t, ß keine ganze Zahl sei, oder dass ihre Quadrat-

92

[32]

summe nicht 30 sei. Wenn wir jetzt vor das Ganze die Allgemeinheitszeichen für Q, b, t, g setzen: Q

beg

"'-"~----:-~I~rt

(30

+

= al

I f (OJ' +

1 =

(0)'

+

1

'"--1

(0,.

+

1 =

(Oy

+1=

{J

___ !

fJ

el

+ 6' )

(l~)

= b~)

r

_

+

bl

eil) ßp),

so wird dadurch der Sinn der Formel verallgemeinert. Sie be.. zeichnet jetzt den Umstand, dass, was auch Q, b, t, 9 sein mögen, falls sie positive ganze Zahlen seien, ihre Quadratsumme nicht 30 sein könne; mit andern Worten: dass es nicht vier positive ga.nze Zahlen gebe, deren Quadratsumme 30 sei. Dies ist nun gerade das Gegentheil von dem, was wir ausdrücken wollten. Setzen wir daher vor das Ganze den Verneinungsstrich, so erreichen wir unsem Zweck.

T~~"!'!'-~~:----:--~t (30 = a l

-! (0" + fJ

~ ,r.. (0" fJ :.-_~r (0 fJ~

y

~_ _~,,~ (0" {J

+

1)1

+

1 =

(l~)

+

1

=

b,,)

+

1

=

eR)

+

1 =

eS

+

gl)

"

ß~)

bedeutet demnach den Umstand, dass die Zahl 30 als Summe von vier Quadratzahlen darstellbar sei. Die Möglichkeit, welche in der Endung "bar" des Wortes "darstellbar" liegt, wird also durch zwei Verneinungen ausgedrückt, die sich deshalb nicht einfach aufheben, weil sie nicht unmittelbar auf einander folgen. Die erste VerDeinung wird allgemein gemacht, wodurch man die Allgemeinheit

[33]

93

der Verneinung, d. h. die Unmöglichkeit erhält. Die verneinte Unmöglichkeit giebt alsdann die Möglichkeit. Soll nun der Satz ausgedrückt werden·, dass jede positive ganze Zahl als Summe VOll vier Quadratzahlen darstellbar sei, so muss 30 durch ein allgemeines Zeichen, etwa a, ersetzt und die Bedingung hinzugefügt werden, dass a eine positive ganze Zahl sei: a b e ß . I--t --'-''-''~ t Ca = a' b2 e2 + g2)

+

r

-~ (01'

{J

+

"'-----pr (0" +

"'-----lI

(0"

- - - - l . (0"

fJ ~--------~ (0"

+

=

aß)

1 =

bj3)

1

+1 + 1

== ep) =

ßp)

+

1 = ap) fJ Der Urtheilsstrich vor dem Ganzen stellt diesen Satz als Behauptung hin.

[29]

Ueber tleD Brielweehsel LeibnizeDs und Duygens mit PapiD' [Der Vortragende*· lenkte die Aufmerksamkeit der V m-samm.Jung auf den vor Kurzem von E. Ger I an d im Auftrage der Kgl. Akad. in Berlin herausgegebenen Briefwechsel Leibnizens und Huygens mit Papin. Vorausgeschickt ist eine Lebensbeschreibung Papins, welche die Mythenbildungen , die sich an seinen Namen geknüpft haben, zerstört und seinem Erfindungsgeiste ohne Uebertreibungen gerecht wird.]

* Siehe Textl,ritische Bemerkungen.

Anm. des Hrgs.

**Nämlich Frege (kurze Einleitung eines Referenten). Anm. des Hrsg.

94

[30]

Das Interesse, welches dieses Buch erregt, beruht vornehmlich darauf, dass es uns aufs lebhafteste in eine Zeit versetzt, in der die ersten Keime von so Vielem sich zu regen begannen, was jetzt in voller Entfaltung unser Leben bereichert und unsere Macht erhöht. Wir lernen den damaligen Stand der Kenntnisse in vielfacher Hinsicht kennen und sehen die Schwierigkeiten, mit denen die Vorkämpfer des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts zu kämpfen hatten, und gewinnen so einen Massstab für ihre Bedeutung. Insbesondere lernen wir Leibniz von einer neuen Seite kennen. Dass er an aJIen zukunftreichen Bestrebungen seiner Zeit den lebhaftesten, oft thätigen Antheil nahm, das finden wir in dem Briefwechsel mit Papin auch für das Gebiet der Erfindungen bestätigt. Wie wenig allgemein bekannt noch damals die richtigen GrundSätze der Mechanik waren, sieht man daraus, d$Ss Papin bei der Berechnung der Nutzwirkung einer Maschine einen Fehler macht, den Huygens durch den Hinweis auf den Grundsatz berichtigen muss, dass der Schwerpunkt eines Systetns nicht von selbst steigen könne. Der Briefwechsel mit Huygens verbreitet sich besonders über die Ursache der Festigkeit, der Doppelbrechung des Lichtes und der Gravitation, deren Gesetz von Newton schon aufgestellt war. Die chemischen Vorstellungen der Zeit werden dadurch gekennzeichnet, dass Leibniz meint, die Weingeist:Bamme könne zur Lufterneuerung bei Taucherschiffen dienen, was von Papin durch Versuche widerlegt wird. Auch die Ansicht Leibnizens von der "frfthern Glut der Erde ist zu bemerken. In Bezug auf die damals verbreiteten medicinischen Theorien spricht sich Papin sehr zweifelnd auS. Er ist gegen die Anwendung stark wirkender Mittel und erwartet viel von der durch Diaet unterstützten Heilkraft des Organismus. Hierin stimmt ihm Leibniz bei. Es scheint~ dass auch in der Medicin. diese Männer ihrer Zeit voraus waren. Wie weit Leibniz, der als Philosoph den Antheil der Vernunft an der Bildung unserer Erkenntnisse so hoch anschlug, doch von einer Missachtung der Erfahrung entfernt war, geht daraus hervor, dass er die Erlangung 'weiterer Erfahrungen für das dringlichste Bedürfnis der Medicin erkannte, und dass er der Berliner Regierung eine jährliche Sammlung der in den Provinzen gemachten Erfahrungen empfahl.

[31]

95

Was nun die Erfindungen betrifft, 10 versprach sich Papin vom TaucherschifI in seiner etwas saDguinisch~n "Teise mehr, als bisher in Erfüllung gegangen ist. Er wollte darin die längsten Fahrten mit grösserer Schnelligkeit und geringerer Gefahr machen können, als mit gewöhnlichen Schiffen. Er wollte in Kriegszeiten mit ihm in feindliche Häfen eindringen und die Schiffe zerstören. Die Ausführung blieb natürlich erheblich dahinter zurück. Durch einen Schlauch, der mitte1st eines schraubenförmig gewundenen Drathes offen gehalten wurde, und dessen Ende an einem an der Oberfläche schwimmenden Holze befestigt war, holte er frische Luft herab. Eine Pumpe diente zum Senken und Heben des Fahrzeugs, Ruder in ledernen Aermeln zur Fortbewegung. Als ein erster Versuch mislang, hielt Leibniz kräftig seine hohe Meinung vom Erfinder und seinen Glauben an die Ausführbarkeit des Unternehmens Zweiflern gegenüber aufrecht. Ein zweiter Versuch gelang, wie es scheint, in befriedigender Y-t eise, wurde aber nicht weiter verfolgt. Das grösste Interesse von den Erfindungen Papins erregt die der Dampfmaschine. Er und Leibniz sahen schon ziemlich alle die Anwendungen voraus, die jetzt davon gemacht werden. Erwähnt seien: Holz - und Marmorschneiden, Wasserheben, Kornmahlen, Dampfschiffe und Dampfwagen. Papin hielt die Erfindung der Dampfmaschine für wichtiger als die der Umwandlung der Metalle. Der Ausgangspunkt war wohl die Huygensscbe Pulvermaschine, in der die Pulvergase einen Kolben hoben und nach ihrem Entweichen einen unvollkommen luftleeren Raum zurückliessen , in welchen der Kolben durch den äussern Luftdruck wieder herabgedrückt wurde. Den Mängeln dieser Maschine suchte Papin dadurch abzuhelfen, dass er die Luftleere durch Niederschlagung von Wasserdampf herstellte. Später benutzte er auch den Druck des Dampfes und scbliesslich diesen allein, indem er den verbrauchten Dalnpf ins Freie liess. Bei mangelhafter Bekanntschaft mit der Geschichte dieser Erfindung wird man geneigt sein, den Umstand, dass die Erwartungen Papins erst nach so langer Zeit in Erfüllung gegangen sind, damit zu erklären, dass sich erst die theoretischen Ansichten über Spannung und Niederschlagung des Wasserdampfes hätten klären, und die einzelnen erfinderischen Gedanken, aus denen die Erfindung der Dampfmaschine besteht, sich erst im Laufe vieler Jahrzehnte hätten entwickeln müss~n. Statt dessen sehen T

96

[32]

wir, dass jene theoretischen Ansichten schon damals hinreichende Klarheit erreicht, und dass fast alle jene Gedanken scholl vorhanden waren - auch die Selbststeuerung der Maschine, die Benutzung der Wärme des verbrauchten Dampfes und der Verbrennungsgase werden in einem Briefe von Leibniz ausgesprochen. Dagegen sehen wir mit Bedauern und zugleich mit Bewunderung die Erfinder jener Zeit im Kampfe mit der Unvollkommenheit der Werkzeuge. Man gewinnt eine Vorstellung davon, wenn man sich vor die Aufgabe gestell t denkt, mit Hilfe von Handwerkern , die nur für die gewöhnlichen Bedürfnisse des Lebens zu arbeiten ge,vohnt sind, eine Dampfmaschine zu bauen. Was heute mit unsern Werkzeugmaschinen spielend gemacht wird, stellte damals die Geduld der Erfinder auf die höchste Probe und erwies sich oft genug als unausführbar. So war es z. B. unmöglich gcnau gearbeitete Dampfcylinder mit luftdicht schliessenden Kolben von der erforderlichen Grösse zu machen. Dies war der Grund, weshalb Wasser die Dichtung übernehmen Inusste und der schwimmende Kolben nur dazu diente, die unmittelbare Berührung des Dampfes mit dem Wasser auf ein kleines Randgebiet zu beschränken. Ich glaube, dass die Dampfmaschine schon zu Papins Zeiten einen hohen Grad der Vollendung erreicht hätte, wenn unsere jetzigen Hilfsmittel damals zur Verfügung gestanden hätten. Aber freilich bedurfte es der Anregung, die der Gedanke einer DaDlpfmaschine· gab, um diese Werkzeuge zu schaffen. Wir werden hierdurch gemahnt, das Verdienst der Männer, die eine Erfindung zuerst im grösseren Masse nutzbar machten, nicht zu hoch zu schätzen und auch ihren Vorläufern gerecht zu werden. Andere Erfindungen Papins seien nur kurz erwähnt. Bei den Oefen zum Glasschmelzen ., zu metallurgischen und ähnlichen Zwecken ist der Grundsatz der Luft.druckregelung zu bemerken, der noch jetzt bei solchen Anlagen befolgt wird. Es wurde hierbei ein Centrifugalgebläse von Papin angewendet, das auch zur Lufterneuerung in Bergwerken diente. Leibniz denkt an ein tragbares Barometer ohne Quecksilber in der Art einer Pumpe, bei dem man wohl an ein Aneroid zu denken hat. In Bezug auf seine Rechenmaschine schätzt sich Leibniz glücklich, noch die Ausführung im Grossen erlebt zu haben. Die Schwierigkeiten lagen wohl ähnlich wie bei dem Bau der Dampfmaschine in der Ungenauigkeit der damaligen Arbeit.

97

[1]

Ueber den Zweck der Begri:ffsschrift." Ich hatte schon einmal die Ehre, hier über meine Begriffsschrift einen Vortrag zu halten. Was mich veranlasst, noch einmal darauf zurückzukommen, ist die Wahrnehmung, dass der Zweck derselben vielfach verkannt worden ist. Ich ersehe dies aus mehren Besprechungen, die seitdem über meine Schrift erschienen sind. Es mussten daraus schiefe Urtheile hervorgehen. Unter anderm wird mir vorgeworfen, ich habe die Leistungen Booles unberücksichtigt gelassen. Diesen Vorwurf erhebt auch E. Sc h r öde r in der Recension im XXV. Bd. d. Zcitschr. f. Math. u. Phys. Er kommt bei der Vergleichung nleiner Begrifl'sschrift mit der booleschen Formelsprache zu dem Ergebnisse, dass die Letztere in jeder Beziehung vorzuziehen sei. Obwohl mich dies Urtheil wenig befriedigen kann, so bin ich ihm doch für die eingehende Besprechung und die sachliche Begründung seiner Einwände dankbar, da sie mir Gelegenheit gieht, durch ihre Widerlegung die Sache in helleres Licht zu setzen. In Bezug auf den vorhin erwähnten Vorwurf will ich zunächst bemerken, dass die boolesche Formelsprache in den meh r als 20 Jahren, die seit ihrer Erfindung verflossen sind, keineswegs so durchschlagende Erfolge erzielt hat, dass ein Verlassen der durch sie gelegten Grundlage von vornherein als thöricht erscheinen müsste, und dass nur eine Weiterentwickelung in Frage kommen könnte. Scheinen doch die Aufgaben, die B 001 e behandelt, zum grossen Theil erst zu dem Zwecke ersonnen zu sein, um mittels seiner Formeln gelöst zu werden. Bei jenem Vorwurfe ist aber dies hauptsächlich übersehen, dass mein Zweck ein anderer als B 001 e s war. Ich wollte nicht eine abstracte Logik in Formeln darstellen, sondern einen Inhalt durch geschriebene Zeichen in genauerer und übersichtlicherer Weise zum Ausdruck bringen, als es durch Worte möglich ist.

*

Siehe Textkritische Bemerkungen. Anm. des Hrgs.

r I

[2]

98

Ich wollte in der That nicht einen bIossen "calculus ratiocinator", sondern eine "lingua characterica" im leibnizischen Sinne schaffen, wobei ich jene schlussfolgernde Rechnung immerhin als einen nothwendigen Bestandtheil einer Begriffsschrift anerkenne. Wenn dies verkannt wurde, so liegt das vielleicht daran, dass ich in der Ausführung das abstract Logische zu sehr in den Vordergrund habe treten lassen. Um nun im Einzelnen die Unterschiede der booleschen und meiner Formelsprache nachzuweisen, gebe ich zunächst eine kurze Darstellung der ersteren. Es kann nicht darauf ankommen, auf alle Abweichungen einzugehen, die sich bei B 0 0 I es Vorgängern und Nachfolgern finden, da diese gegenüber dem tiefgehenden Unterschiede von meiner Begriffsschrift nicht in Betracht komlnen. B 001 e unterscheidet primary propositions von secondary propositions. Die Ersteren vergleichen Begriffe ihreIn Umfange nach, die Letzteren drücken Beziehungen zwischen beurtheilbaren Inhalten aus. Diese Eintheilung ist ungenügend, da die Existentialurtheile keine Stelle finden. Wir betrachten zunächst die primary propositions. Die Buchstaben bedeuten hier Umfänge VOll Begriffen. Einzeloinge werden als solche nicht bezeichnet, und dies ist ein bedeutender Mangel der booleschen Formelsprache; denn selbst, wenn ein Begriff nur ein einziges Ding unter sich fasst, bleibt immer noch ein grosser Unterschied zwischen ihm und diesem Dinge. Die Buchstaben werden nun durch logische Multiplication und Addition mit einander verbunden. Wenn A den Umfang des Begriffes "Dreieck", B den des Begriffes "Regelmässig" hedeutet, so bezeichnet das logische Product

A..B den Unlfang des Begriffes "Regelmässiges Dreieck". logischen Summe

Unter der

A.+B ist der Umfang des Begriffes "Dreieck oder regelmässig" zu verstehen 1). Die Ausdrücke "Product" und "Summe" werden durch das Bestehen folgender Gleichungen gerechtfertigt: A . B = B . A A(B . G) = (.A. . B) . C A + B = B A .A. + (B C) = (A B) 0 A(B 0) = AB + AC. Diesen Uebereinstimrnungen mit der algebraischen Multiplication

+

+

+

+

+

1) B 0 oIe setzt dabei vora.us, dass die Begriffe A und B sich aU88chliess6n, was unter Anderen Sc h r öde r nicht thut.

99

[3]

und Addition stehen aber gross~ Abweichungen gegenüber. Es ist logisch: .A. =.A. . .A. =.A. . .A. . A , .A. = .A + A = A + A. + A, was in der Algebra nicht allgemein gilt. Die Verschiedenheiten der logischen und mathematischen Rechnung sind so folgenreich, dass die Auflösung der logischen Gleichungen, mit der sich B 00 I e hauptsächlich beschäftigt, kaum etwas mit der Auflösung der algebraischen gemein hat. Die Unterordnung eines Begriffes untel· einen anderen kann nun so ausgedruckt werden: .A. = A . B. Wenn ..A z. B. den Umfang des Begriffes "Säugethier", B den des Begriffes "Luftathmend" bedeutet, so sagt die Gleichung: die Umfänge der Begriffe "Säugethier" und "Luftathmenrles Säugethier" sind gleich; d. h.: alle Säugethiere sind luftathmend. Das Fallen eines Einzelnen unter einen Begriff, das von der Unterordnung eines Begriffes unter einen andern ganz verschieden ist, hat bei Boole keinen besondern, streng genommen wohl gar keinen Ausdruck. Bis hierher findet sich Alles mit nur äusserlichen Abweichungen schon bei Lei b n i z, von dessen hierher gehörenden Arbeiten B 001 e wohl nichts erfahren hat. Die 0 bezeichnet bei B 0 0 I eden Umfang eineA Begriffes, unter den nichts fällt, 1 bedeutet den Umfang eines Begriffes, unter den Alles fällt, wovon grade die Rede ist (universe of dis course). Man sieht, flass auch die Bedeutung dieser Zeichen, besonders die der 1, von der arithmetischen abweicht. Lei b n i z hat dafür "non ens" und "ens". Ä.B=O

sagt, dass die beiden Begriffe sich ausschliessen wie z. ß. "Quadratwurzel aus 2" und "ganze Zahl". Die Gleichung kanu bestehen, ohne dass .A = 0 oder B = O. AusseI· der Null bedarf man noch eines Zeichens der Verneinung, um z. B. den Begriff "Mensch" in den Begriff "Nichtmensch" zu verwandeln. Die Schriftsteller weichen hier von einander ab. Sc h r öde r versieht den Buchstaben zu diesem Zwecke mit dem Index 1. Andere haben noch ein Zeichen für die Verneinung der Identität. Diese Mannigfaltigkeit der Verneinungszeichen halte ich nicht für einen Vorzug der booleschen Logik. Die secondary propositions - z. B. hypothetische und disjunctive Urtheile - führt Boole auf die primOlTY propositions in sehr gekünstelter Weise zurück. Das Urtheil "wenn x = 2 ist,

100

[4]

so ist x 2 = 4" fasst er so auf: die Classe von Zeitmomenten, in denen x = 2 ist, ist untergeordnet der Classe von Zeitmomenten, in denen x 2 = 4 ist. So kommt auch hier die Sache auf die Vergleichung der Umfänge von Begriffen hinaus; nur werden diese Begriffe hier näher als Classen von Zeitmomenten bestimmt, in denen ein Satz wahr ist. Diese Auffassung hat den Nachtheil, dass die Zeit auch da eingemischt wird, wo sie ganz ans dem Spiele bleiben müsste. M c C oll erklärt die Ausdrücke von secondary propositions unabhängig von denen der primary. Hierdurch wird die Einmischung der Zeit freilich vermieden, dafür aber auch jeder Zusammenhang zwischen den beiden Theilen durchschnitten, in welche die Logik nach B 00 I e zerfällt. Man bewegt sich dann entweder in primary propositions und gebraucht die Formeln in dem von B 0 0 I e festgesetzten Sinne; oder man bewegt sich in secondary propositions und benutzt die Erklärungen M c Co 11 s. Jeder Uebergang von der einen Art der Urtheile zu der andern, der im wirklichen Denken doch oft vorkommt, ist abgeschnitten; denn man darf nicht in derselben Sache dieselben Zeichen in doppelter Bedeutung gebrauchen. Ueberblicken wir die boolesche Formelsprache im Ganzen, so erkennen wir, dass sie eine Einkleidung der abstracten Logik in das Gewand algebraischer Zeichen ist; zur Wiedergabe eines Inhalts ist sie nicht geeignet, und das ist auch nicht ihr Zweck. Und dies ist grade meine Absicht. Ich will die wenigen Zeichen, die ich einführe, mit den schon vorhandenen Zeichen der Mathematik zu einer einzigen Formelsprache verschmelzen. Dabei entsprechen die bestehenden Zeichen ungefähr den Stämmen der Wortsprache, während die von mir hinzugefügten Zeichen den Endungen und Formwörtern zu vergleichen sind, welche die in den Stämmen liegenden Inhalte in logische Beziehungen setzen. Hierzu konnte ich die boolesche Bezeichnungsweise nicht brauchen; denn es geht nicht an, dass in derselben Formel beispielsweise das + Zeichen theils im logischen theils im a.rithmetischen Sinne vorkomme. Die Analogie zwischen den logischen und arithmetischen Rechnungsarten, die für B 00 I e werthvoll ist, kann nur verwirrend wirken, wenn beide in Verbindung mit einander gesetzt werden. B 0 0 I e s Zeichensprache ist nur denkbar in gänzlicher Trennung von der Arithmetik. Ich musste daher andere Zeichen für die logischen Beziehungen erfinden. Sc h r öde r sagt, mit der booleschen Rechnung mit Be-

[5]

101

griffen habe meine Begriffsschrift fast nichts genIein; wohl aber mit der booleschen Rechnung mit Urtheilen. In der That, es ist einer der bedeutendsten Unterschiede meiner Auffassungsweise von der booleschen und ich kann wohl hinzufügen von der aristotelischen, dass ich nicht von den Begriffen, sondern von den Urtheilen ausgehe. Dalnit ist aber keineswegs gesagt, dass ich das Verhältnis der Unterordnung von Begriffen nicht auszudrücken wüsste. Vor den Ausdruck eines beurtheilbaren Inhalts wie 2 3= 5 setze ich einen wagerechten Strich, den Inhaltsstrich, der sich durch grössere Länge vom Minuszeichen unterscheidet:

+

---2+3=5. In diesem St.riche denke ich mir den darauf folgenden Inhalt vereinigt, damit auf ihn andere Zeichen bezogen werden köunen. Es wird in

---2+3=5 noch gar kein Urtheil gefällt; man kann daher, ohne sich eIner Unwahrheit schuldig zu machen, auch schreiben - - - 4 + 2 = 7.. Wenn ich einen Inhalt' als richtig behaupten will, so setze ich an das linke Ende des Inhaltsstriches den .Urtheilsstrich: I 2 + 3 = 5. Wie gründlich man doch zuweilen missverstanden wird! Ich meinte die That des Urtheilens von der Bildung 'des beurtheilbaren Inhalts durch diese Bezeichnungsweise recht deutlich unterscbieden zU'haben, und Ra bus 1) beschuldigt mich einer Vermischung beider! Um die Verneinung eines Inhalts auszudrücken, bringe ich am Inhaltsstriche den Verneinungsstrich an; z. B.: I 4 2 == 7. Hi.ermit ist die Falschheit dieser Gleichung noch nicht behauptet; es ist nur ein neuer beurtbeilbarer Inhalt gebildet, der erst durch den Urtheilsstrich in I 4+2=7 zu dem Urtheile ,,4 2 ist nicht gleich 7" wird. Wenn man zwei beurtheilbare Inhalte A und B in Beziehung zu einander setzen will, hat man folgende Fälle zu beachten:

+

+

1) Die neuesten Bestrebungen auf dem Gebiete der Logik bei den Deutschen und die logische Frage. Erlangen 1880.

[~

102

1) 2) 3) nicht 4) nicht Ich verstehe

.A und B, .A. und nicht B, A und B, A. und nicht B. nun unter -~-A

I_ B

die Verneinung des dritten Falles. Diese Festsetzung mag zunächst sehr gekünstelt erscheinen. Weshalb ich grade den dritten Fall herausgreife und grade dessen Verneinung durch ein besonderes Zeichen ausdrücke, ist zunächst nicht deutlich. Ein Beispiel wird jedoch sofort den Grund einleuchten lassen. I x~ = 4 x 2 =4 Verneint den Fall, dass Xi nicht gleich 4, während doch x 2= 4 sei. Man kann es übersetzen: wenn x 2 = 4 ist, so ist Xl = 4. Diese Uebersetzung lässt die Wichtigkeit der Beziehung erkennen, die in unserm Zeichen liegt. Ist doch das hypothetische U rtheil die F'orm für alle Naturgesetze, für alle ursächlichen Zusammenhänge überhaupt. Freilich ist die Wiedergabe durch "wenn" nicht in allen Fällen dem Sprachgebrauche angemessen, sondern nur, wenn ein unbestimmter Bestandtheil wie hier x dem Ganzen Allgemeinheit verleiht. Setzten wir für x 2, so würde man

l- +

+

I

22

=

+

4

1_ 2 + 2 =4

nicht passend übersetzen: "wenn 2 ~ = 4 ist,- so ist 2 2 = 4". Betrach ten wir nun die Ver bindungen von Bedingungs - und Verneinungsstrich an folgender Zusanlmenstellung! 1) Der Fall "nicht 5) A Der Fall "nicht .A. und E" wird .A. und B" wird B verneint. B bejaht: Bund nicht A. 6) ---:---:-,-.A. Der F'all "A und 2) -~- A Der Fall "A und B" wird bejaht: B" wird verneint: - B A und B. - - B A und B schliessen einander aus. 3) --,--- A Der Fall "nicht 7) Der Fall "nicht ..A und nicht B~' A und nicht B" -,- B wird verneint: .A -.- B wird bejaht: we-der A noch B. oder B.

+

LA

'L'

L.4.

[7]

4)

103

----=-,- A.

Der Fall "A und nicht B" wird -,- B verneint.

8) ---=---,-A Der Fall "A und nicht B" wird be- I B jaht: A und nicht

B. Wenn wir an den Inhaltsstricheri der links stehenden Ausdrücke den Verneinungsstrich anbringen, so erhalten wir die rechts daneben stehenden. Der links verneinte Fall' wird rechts immer bejaht. Der zweite Ausdruck entsteht aus dem ersten dadurch, dass an die Stelle von.A. das verneinte A tritt. In dem Wortausdrucke heben sich dann die beiden Verneinungen von A auf. Der dritte Ausdruck geht aus dem ersten und der vierte aus dem zweiten dadurch hervor, dass B in das verneinte B verwandelt wird. Das "oder" im dritten Falle ist das nicht ausschliessende. Das ausschliessende "oder" kann so ausgedrückt werden:

I L:='-B I AA _11 B

J. i I

oder auch

'I-B .A B

_I

A.

Ich mache hier halt, um auf eInIge Ausstellungen Sc h r öde r s zu antworten. Er vergleicht meine Darstellung des ausschliessenden ,,.A oder B" mit seiner Schreibweise ab l + alb = 1 und findet hier wie auch sonst in meiner Begriffsschrift eIne ungeheure Raumverschwendung. Es ist in der That nicht zu leugnen, dass mein Ausdruck mehr Raum einnimmt als der schrödersehe, der seinerseits wieder weitläufiger ist als der ursprüngliche Booles a + b= 1. Aber diesem Vorwurfe liegt die Meinung zu Grunde, meine Begriffsschrift solle eine Darstellung der abstracten Logik sein. Jene Formeln sind ja nur leere Schemata. Bei der Anwendung hat man an der Stelle von .A und B sich ganze Formeln, vielleicht ausgedehnte Gleichungen, Congruenzen, Projectivitäten zu denken. Dann sieht die Sache ganz anders aus. Der Nachtheil der Raumverschwendung bei der Begriffsschrift verwandelt sich in den Vorthei! der Uebersichtlichkeit, der Vortheil der Gedrängtheit bei B 0 0 I e in den Nachtheil der Unübersichtlichkeit. Die Begriffsschrift nutzt die zweifache Ausdehnung der Schreibßäche aus, indem sie die beurtheilbaren Inhalte von oben nach unten auf einander folgen lässt, während jeder von diesen sich von links nach

[8]

104

rechts ausdehnt. So werden die einzelnen Inhalte von einander deutlich getrennt und doch in ihren logischen Beziehungen leicht übersehbar. Bei B 0 0 I e entstände eine einzige oft überlange Zeile. Doch es würde Unrecht seiu, die hieraus entstehenden leicht erkenn baren Nachtheile B 0 oIe zur Last zu legen, der nie an eine solche Verwendung seiner Formeln gedacht hat. Aber ebenso Unrecht wäre es, die Raumverschwendung im F'alle der bIossen Andeutung des Inhalts als Fehler der Begriffsschrift anzurechnen. Mit dem eben Gesagten hängt eine andere Bemerkung Schröder s zusammen, meine Formelsprache huldige der japanesischen Sitte einer Verticalschrift. Dies sieht in der That so aus, solange man nur die abstracten logischen Formen darstellt. Wenn man aber für die einzelnen Buchstaben ganze Formeln, etwa arithmetische Gleichungen gesetzt denkt, so erkennt man, dass nichts Ungewöhnliches hier vorliegt; denn in jeder arithmetischen Ableitung pflegt man die einzelnen Gleichungen nicht neben einander zu schreiben, sondern der Uebersichtlichkeit halber von oben nach unten auf einander folgen zu lassen. So geht S c h r öde r überall in seiner Beurtheilung von einer unmittelbaren Vergleichbarkeit der Begriffsschrift mit der leibnizbooleschen Formelsprache aus, die nicht vorhanden ist. Er meint am wirksamsten zur Richtigstellung der Ansichten durch die Bemerkung beizutragen, dass beide Bezeichnungsweisen nicht wesentlich verschieden seien, weil man aus der einen in die andere übertragen könne. Aber dies beweist nichts. Wenn dasselbe Sachgebiet durch zwei Zeichensysteme dargestellt wird, so folgt von selbst, dass eine Uebertragung oder Umschreibung aus dem einen in das andere möglich sei. Umgekehrt folgt aus dieser Möglichkeit nichts weiter als das Vorhandensein eines gemeinsamen Sachgebietes; die Zeichensysteme können dabei von Grund auf verschieden sein. Man kann fragen, ob diese Uebertragung überall ausführbar sei, oder ob etwa meine Formelsprache ein kleineres Gebiet beherrsche.. Schröder sagt, mit der booleschen Rechnung mit Begriffen habe ßleine Begriffsschrift fast nichts gemein. Danach könnte es scheinen, dass sie die Unterordnung von Begriftcn nicht darzustellen vermöchte. Ein Beispiel wird vom Gegentheile überzeugen. Das Urtheil --I--:---:1:' = 81 I-xI =9 lautet in Worten: wenn Xl = 9 ist, so ist x' = 81. Man kann /)

[9]

105

nun eine Zahl, deren Quadrat 9 ist, eine Quadratwurzel aus 9 und eine solche, deren vierte Potenz 81 ist, eine vierte 'ff'r urzel aus 81 nennen und dann übersetzen: alle Quadratwurzeln aus 9 sind vierte Wurzeln aus 81. Hierin wird der Begriff "Quadratwurzel aus 9" dem Begriffe "Vierte Wurzel aus 81" untergeordnet. Der lateinische Buchstabe x hat den Zweck, das ganze Urtheil allgemein zu machen in dem Sinne, dass der Inhalt gelten solle, was man auch für x setzen möge. Es entsteht nämlich auch ein richtiges U rtheil, wenn wir für x beispielsweise 1 setzen: I 1 4 = 81 1_11 = 9 ; denn der Fall, wo 1 2 = 9 und 1 4 nicht gleich 81 wäre, ist zu verneinen, weil 1 2 nicht gleich 9 ist. Es wird zuweilen nöthig, die Allgemeinheit auf einen Theil des Urtheils zu beschränken. Dann bediene ich mich der deutschen statt der lateinischen Buchstaben wie in I I a x =0 -,-,,-Cl = x = x, in Worten: wenn jede Quadratwurzel aus x gleich x selber ist, so ist x = o. Hier deutet. die Höhlung u.lit dem Cl au, dass die durch a ausgedrückte Allgemeinheit sich auf den Inhalt dieses ---:---(1 = x

I-al

I-a~=x

beschränken solle. Ich sehe in dieser Bezeichnungsweise einen der wichtigsten Bestandtheile meiner Begriffsschrift, durch den sie auch als blosse Darstellung der logischen Formen einen bedeutenden Vorsprung vor B 0 oIe s Schreibweise hat. Hierdurch wird an die Stelle der booleschen Künstelei ein organischer Zusammenhang zwischen den primary und den secondary propositions gesetzt. Sc h r öde r erkennt den hierin liegenden Vortheil dadurch an, dass er den Versuch macht, ibn in die boolesche Formelsprache einzuführen. Er zeigt jedoch dabei, dass er den Kern der Sache, nämlich die Abgrenzung des Gebietes, auf das sich die Allgemeinheit erstrecken soll, nicht erfasst hat. Nach dem schröderschen Vorschlage würde sich der Unterschied zwischen

- - - x =0

I a -"-"'-,- Cl

x=O

t----a = x x und l-a~ x '-a 2 =x nicht deutlich erkennen lassen. Und doch ist dieser so gross, dass = =

Sitzungsberiohte.

106

[10]

das Letztere falsch, das Erstere richtig ist. Ein Uebelstand bei Sc h r öde r s Vorschlage ist ferner, dass er noch ein Zeicben der Verneinung nöthig macht. Es würde zu weit führen, wenn ich auf alle einzelnen Ausstellungen Sc h r öde r s antworten wollte. Es mag zunächst genügen, seine falsche Auffassung des Zwecks der Begriffsschrift berichtigt und damit die Untriftigkeit wenigstens eines Theiles seiner tadelnden Bemerkungen gezeigt zu haben. Hätte er versucht, einige Formeln des dritten Abschnittes meiner Schrift und die, welche ich vor einiger Zeit die Ehre hatte Ihnen vorzuführen, in die, wie er sagt, bessere Schreibweise zu übertragen, so hätte er an der Schwierigkeit dieses Unternehmens die Irrigkeit seiner Auffassung 'erkannt. Immerhin bin ich ihm für die Besprechung meiner Schrift dankbar.

[4:8J

Heber bie "'iffenfc{)"ftli~e ~ere""tiQaIlQ efue1! ~e9riffefc()rfft.· 3n ben abfttarttren ~~ei!en bel ~ifftnfd)aft Ina~t fief) immer auf'e ~eut bel IDlangeI eint~ IDlitte{~ fü~Ibat, IDlip$ \)erftänbniffe bei ~nbtrll unb AUßltid} ~t~{tr im eignen ~enfen AU nermeiben. ~tibt ~aben if)te Urfad)e in bel Un\)oUfommen~eit bel Sl'rad)e. l)enn ber finnlid)en 3eidJen btbürftn mit nun einmal ~um ~tnftn. Unfel't ~ufmetffamftit ift 'Oon 9latur nad) au~en gerid)ttt. :Dir <5innt~tinbrücft überragen bit ~r~ innerung~bi(ber an ~eb9Qftigftit f0 fe~r I bas fie ben mer{auf unfertr QJorfteUungfn aunäd)ft lUie bei ben ~~iertn faft allein btfiimmen. Unb bitft-r Wb~ängigfeit mürben tnir Qud) faum ft rntrinntn fönnen, tutnn nid}t bit ~U;tnweIt aud) einigtrma;en uon un~ a{l~ün9i9 wäre. Sd)on bit meitltn Xbiftt ~aben burd) bit ~äb ig feit ber Drt~t)eränbtrUn9 einen &influp auf i~re Sinnee~ tinbrüde: ne fönnen bie einen ttie~tn, bit anbtrn fud}tn. Unb

* Siehe Textkritische Bemerkungen.

Anm. des Hrgs.

1 i

[49]

I

ba~

107

nid)t alltin : fit fönntn auel) umgeftaUtnb auf bit ~inge wirfen. ~itft ~ä~igftit ~at nun btr IDltnfd) in bei n)eitem ßrö~trtm IDlapt. ~ennod) würbe unftr mortltaung~Utr(auf QU~ baburd) nod) nid)t bie \)oDe ~rti~eit ge\uinnen; tr tuürbe auf ba~ btfdJränft ft"n, ll)a~ unfere ~anb geftalten, unfert Stimmt au tönen l)ermag, ol)ne bie gro~e &rfinbung ber BeidJen , bie un~ gtgcnwärtig mad)tn, ttlal abroeftnb, un~dJtbar , \)ieUefdlt unfinnlid) ift. Sd} ltugne nicbt, b'l~ "ud} o~nt 3eid}en bit UB"l)rne~lnun9 tine~ l)inge~ dnen .f(rei~ uon (irinntrung~~ bUbern um fid) falnmt(n fann. ~ber mir rönnen biefen ni~t wtiter nad)gtl)en: eine neue QBahrnrl)mung (ä~t biefe ~ilber in mad)t utrfinfen unI) anbtre auftaud)en. ~tnn ",ir aber baG 3eid]en einet mOtfttUung ~er~orbringtn, an bit mir burm eine ~a~rnef)tnung erinnert werben, fo fdJaffen lUir bamit eintn neuen feften IDlitte(l>unft, um ben fiel] morfltUunßtn rammeln. mon bieren \l'ä~{en luir UJitberunl tine au~, Ulll i~l' 3eid}tn ber'OorAubringtn. So bringtn wir Sd}ritt für <5d)titt in bie blnfrt ~elt unfeter morfteUungen ein unb bCluegtn un~ barin nod} ~e1itben I in bellt mir ba~ 6innUd)e fe(bft benuftn, um une 1>on feinem Bmangt AU befreitn. ~ft 3tid)tn finb fitt bQ~ ~tnftn 'Don betfelben ~ebelltun9 roie für bie SdJifffa~rt bit (irflnbung, ben 9Binb ~u gebraud)en I um gtgen ben mJinb au fegtln. ~e~~alb l)tl'ad)te niemanb bit Beid}tn 1 uon fbrer Atntdmöjißtn ~a~( ~änst nid}t roenig ab. 2~r mJettb wirb aud) baburd:> niebt ~trminbtrt, bop w.ir nad) hlngtr Uebung nid)t mt~r nöt~i9 ~"ben, ba~ 3tid}tn mi.rflid) ~trl)otaubtin8tn, ba~ lUir nid)t lnt~f laut au fprtd}en braud)en, um AU benltn; btnn in ~orten brnftn wir troebem unb, tt)eun nid)t in ~ofttn, bod) in mat~tmatifd}tn ober anbtrn 3eid)en. ~ir würben un~ o~nt 3eid)tn aud) fd)werlid) aU1n begriff{id)tn ~tnfen tt~ebtn. 3nbtm wir nämlid) l)etfd}iebentn aber A~nlid)fn l>ingtn baffelbt .3eidJtn gebtn, btatid}ntn roit eigendid) nid.)t mt~r bat tinaelnt 1)ing, fonbtrn ba~ i~nen @tmeinfanlt, btn ergriff. Unb biefen gtminnen \\lir ttft baburd], ba; wir i~n beötid)nen; benn ba er an tim unanfd]auli~ i~, bcbarf er

[50]

108

tiatß anfd,Aldia,tn Ukrtrfter~, llJn un~ trfcf)ti~lt 311 'ÖnntM. So trfd)fitfjt un~ bae EinnCict,r bie ®eft bt'~ Unttnnfid>m. ~itrlnit ~llb bie mrrbirnfte ber 3dd)rl1 nid)t trfd}öl'ft. @~ nlaß inbefftn geni'ltJtn, il)re Unrntbf~rfid)feit bar~ut~lln.
@)"racf)t abfr tr"'tift ficf) 'll~ nHlngtl~aft, \llrnn t~ fldJ bamm !)alt bett, ~'10 ~fnftn "or ~e~rtrn bttl),,~ren. Sie onnigt f~tln b,r elften 2lnforbffung nicf]t, bit mon in bitfrr ~infidJt

au

An fit rteDen muö I ber, tinbeutie 3u frt)n. 21111 gtfä~r(id>ftt" finb . bie ~äne, in benen bit ~tbtutungen bt~ mJerte~ nur \umig tlerfd)itben finb, bit Itiftn linD bod) nict,t gfrid)girtigrß Sd),",anfungen. mon t'itItn ~tifpi~ftn 111(19 nur rinf bur~ ge~tnbf ~rfd}tinUn9 ~ier trwä~nt ",erbtn: ~"fft(bt QBort bitnt aUf j8taticbnuag tint~ ~eßTifftG unb tine~ tinat'fnen unter bitftn faUtnbtn @egenftanbta. Ueberf)aul't ift ftin Unterfcbitb awifdJnt l'tgriff unb ~in3tfntm aU~9tl'rä9t. ,,~a' ~ffrb 11 fonn ein Ciinaeht>eftn, t~ fann au~ bit 2Irt btatid)ntn, wie in btln Sa~: "baG ~ftrb ift tin \)flanoenfreffenbt~ Xf)ier /I. ~ftrb fann tnb'li~ ehwn ~tgriff btbtutrn "-,je in btm S·Qßt: "bi,~ i+1 tin ~fnt M. (' ~fftle bt~tnfd)i J ba~ bit ~eforgung ber @ranllnatif fd)on bi~ formale ~id)tiSffit btr @ebanfenbewegung \)erbürgff. ~it ~ormtn, in bfnen ba~ ~orgern (lu~9tb.rüdt mirb I finb fo ~ielfäftiilt, fo loft unb btl)nbare, ba~ fiel) rei~t morQu~ft,ungtn unbeme·rft burd)1I ftt,ltid)tn fonntn, bie bann bei ber ~u~ö{,lun9 btr notbU>fnWgm ~tbingungen für bie @iUißfeit bt~ Sd)(u~fa~t~ Übtft1angm luerben. ~ieftT tr(,ldt fo fint grÖ~tre ~Ooemtinl)tit oh3 i.,m 'Oon 9ltd)t~ ,uege.n ~ufonlmt. <5tlbft tht f0 gc'l)ifftn~aft" un~ ftrmgtT C$cf)rifUleUrr wie ~ufli~ m'ld)t »irlfad) (tillfcf>ll'tiA'~ 'Oon mor41uefcßungfn ilitbrnucb, bit er ",eber untff frintn <8-Tunb~ fR~tll nOod> unkr ~el1 morauefeßungtn bt~ btfonbtrn SaGt' auf~ fii~rt. <50 benußt fT inl ~e\}jtift bt~ t 9. eaGt'- bt~ trf}Ml ~d)te btr (iItmtntf (in ;tbtm ~Teitdt litgt btm 8,o~rn 9Bjnfel bit gtö;trr efite gtgrnüber) fti0fdJl\)tigtn' bit- a~t: 1) ~mn flnt ~trede nid}i 9rö~,r ale rine anbele tft, 1ft fit glticl) bfrffr obtr ffrhrer al' biefe.

'0

109

[51]

tin Winfe{ gIeid) einell1 anbern ift, fo ift er nid}t orö~er a(e bitfer. 3) mJenn ein ~infeI f(einer alä ein anberer ift, fu ift tr nid)t 8Töjtr ale Diefer. ~tr ~eftr \nirb inbtffen baß Ueberfpringtn biefer Sä~e nur bei bffonbtrer ~ufmerffamltit OfnHl~r I 3uma ( nH~if fit ~en ~enf* gtftßtn fefbfl an Urfl>rünolid)ftit fo nabe au lommen fd)einrnl ba; fit wie jtne felbft gebroud)t \nerben~ C&in ftreng abgegren~ttr .ireie \)on iYormtn bee Sd)lieUtne ift in ber Spralte eben nid}t norbanben, fobafj ein lüdtn(ofer lYorroang an ber fprad}lid)en t10rm non tinent Utberfl'ringen non Slt>ifd)engliebern nid)t au unterfd>tibtn ift. ~Jlan fallit fogar fagtn, ba~ ~rfiertr in btr Sprad)t faft nid)t \)Orfonllnt, hap er btm C5prad}gefü~{e ",ibel~ ftrtbt, tufil er mit dntt unerträglid)en ~eitfd)",eifigfeit \)er~ bunbtn wärt. ~ie (ogifd}tn mer~äUniffe werbtn burd) bic <S\)rad)e fart immer nur llngei:ltutet, bem &rrat~en übtrlaffen, nid)t tigentIid) "u~ßebrüdt. IDae gefdJritbene bat \)or t)tnl oefprod)enen m30rtr nUT bit ~4Uer 'Ooraus. 9Jlan fann eintn @ebanftngang me~rm(1(e übtrblidtn , o~nt eine meränbtrung befürd}ten au lnüffen, unb il)n. fo Rrünblid.}tr auf feine ~ünbieftit "rüfen. l)ie 9ltgeln btr ~09if werben hierbei wie rine mid)tfd)nur äuöerlidJ angelegt, b,,· in btm m!tfen ber ~ortfd)rift felbft feint genügtnbt @ewä~f U,gt.. ~ber au~ fo tnt~t~tn Itid}t ~t~lfr btm ~ugt b,~ ~rüfen~ ben, btfonbtre fold}t, bt.t "U~ leid}ten merfd)iebtn~eittn btr Q3rlf btutung tine~ UBortt~ entfl>ringtn. ~a~ mir troöbem in1 \!t~en mit in ber ~ifftnfd}nft ncm fo Itfblid) un~ aurtd)t finbtn I \)tr~ bRafen \uir ben mtlnnid)f"d)en IDlitteln btr 9lod)l'rüfung I bit un' mtifttn~ ~u Qjrbote flt~en. 1)it ~rfa~rung I bit räunlHd}f jlnfdJauung btlllai)rfn unG ~or ~itltn ~tb(ern. ~i( logifd)en Sltgt(n ßtwä~rtn ~in9r9tn n>mig Sd)u~, mit ~tifpiere (tU" foldJtn @,bitttn Arioen, in Denfn bie IDlitte( btr ~qd}~litlfuns AlS eoeJfagtn 4ßfan.ßtn.. l)irft meoe{n babtn tlud] groje ~~UO$ fDl'btn nidJt nor 3rl.bilmer.n brl\),,~rt, unb ebenf&) roenifl bakn 2)

~tnn

[52]

110

fit bit

~öbtre

9)latbtmatif 'Oon ~t~(trn inlmtr frti ot~Q[ttn, tutH fit bem 3nb,llte flet! äuperlidJ bleiben. ~ie ~er\1orgebobtntn IDlängrl ~abtn i~rtn @runb in eintr gen,iffen ~tid)~eit unb mtränberlid}ftit ber Sprad]t, bit anbttr$ ftit~ ~tbinßung il,fer ~ntlUide{ungefäbi9frit unb »ielfeitigen XaufJlid)ftit ift. Die SpradJt f'lnn in bitftr ()infid)t mit ber ~anb »trgfid)en 'Derben I bit una tro~ f~rcr \jä~igfeit, ticl> beil utrfd)iebtnfttn 2lufg'lbtn 'lnaupafftn, nid)t genügt. mir fd)affen un~ fünftLid)e ~änbe, ~erfaeuße für befonbtre 31Utde, bit fo genon arbeittn, roit bit ~anb ce nid)t »ttlnÖd)le. Unb luoburd) mirb biefe @enauigftit mögUcf1? ~urd} fbtn ~ie Starr~tit, bit UnutränberUcljfeit ber ~~eile I bettn IDlangtl ~it ~llnb f0 »itf~ feUig gefdJidt nHld)t. So gtnügt aud) bie ~ortfprad)e nid)t. ~ir btbiarfen tiltt! @anatn »on 8tfct,en, QUa btm itbe mitl~ btutigfeit utrbannt ift I befftn ftttnger {ogifd}er ~urln btr ~Qlt nid,t entf~(~pftn fann. \~ «
[53]

3titten~ wirb ba~in ft\~l'tn, aud} bQ~ ~eatfd)nttt ~ul'ragtn. Unb grabt fo(!f>e mirfung auf bie

111

fd}arfrr aue~ 9)orfttUllngtn mu~ für bit Strenge bt~ (5d}(it9tn~ erroünfd}t ftt)n. Sie fann aber nur traielt \utrbtn, mtnn bne 3ti~tn unmittelbar bit SadJe beDeutet. n folI, um fo unä~nlict,er freilicb btm rafts (ofen ~liejen unftrtr mirflicbtn @rlhlnfenbt\ntgung. 'Die Sctrift bittet bie '!llögUd)feit mie(e~ A(tid),dtig gtgenwartig 3u balttn, unb mrnn wir (lud} nur eintn !leinen l:beil ba\,on in iebtm ~u9tnblide in'~ ~ugt faffen fönntn, fo ('e~nIten roir bod) eintn aUtJtnltintn (iinbrud (Uld} "Oln Uebrigen, unb bieft~ ftebt, \\lann wir tG braud)en, fofort ~u unferer ~erfü9ung. ~it ~agtn~ l)tr~Altl1iffe ber SdJrfftatid>en auf ber 5rueifnd) (1u~oebebnttn Scbreib'fläd)e fönntn in weit 11lannid}fad)tttr ~tife ~l1m ~u"" t-rude inntrer ~eaitbungtn "errotnt'tt werbtn a{ß ba~ bloöe ~ol9cn unb morbtrgebtn in bcr ein fad) auegtbebnttn 3tH, unb bie~ erfeid}tert bit ~uffinbuno btfftn, morauf \uir unfere 21uf* mtrffamftit gerabt riebttn lUOUtn. ~n ber ~b'lt tntfpridJt ja aud) bit einfad)r 9lei~ung in feiner ~tife ber rolannict,faltigfeit ber (ogifcben ~t~itl)unstn, burd) ll)t(~t bie @eb'lnfrn unter einanDer nerfnü\>ft finb. So tinb grabe bit &igenfcbaften, bUtd) ,ue(~t fid) bie Sd)rift non bem morfteUun9~~tr('lufe \»titer rntftrnt, am meiften getignet, getuifftn gJlängt{n unftrcr 21n(ase ab~u~trfcn. mtnn t~ tiel) nid)t barum ~anbelt, ba~ natürlid)e ~enftn bar!ufteUen, ,,,fe e~ fief} in ~ed)fthnirfun9 mit Dtr \lBortfprod}t ßt'ftaUet bat, fonbern btffen ~inftiti9feittn au ergan~en, bic fiel) aua btm engtn Qlnfd)(uj an btn einen Sinn bt~ @tbör" ergeben ~aben, fo mirb bemnad) bie Sd)rift bt.ln ~aute \'orauoie~en fe~n. iebt'n fe\]n. ~(1~ biefe mor~ügt in ber Wortfct,rift faft gar nid)t ~Ut <&}eltung fommtn, beDarf faum bet ~r\t)ä~nung. l)ie gtgcn~

112

[54]

ber ~örttr auf ber Scbreibtläd)e ~än9t aum gro,en ~l)ti{e ~on btr ~änge ber Beilen ab unb iit infofern bebtutung~~ {o~. ~~ gitbt aber fdJon anbere ~Itten ber Sd)rift, bit iene mort~tUt befftr au~nU~tn. ~ie arit~metifd>t ~orlnelfprad)e ift eine }8egriffäfcbrift, ba ffe o~ne mermittelung be~ ~(1ute~ un~ mittelbarbie SadJe au~brüdt. ~(ä fold}e erreicbt fit bie R'ürat, ",t(d)e ben 3n~oU eine~ einfad)en Urt~ti(~ in einer Btift unters aubringen gtflattet. Sold)e 3nl,alte - ~ier @leict,ungen ober. tlnglehtungen - \uetbtn fo, mie fit aue einanbtr folgtn, unter etnanber gefdJtitben. ®enn au~ awtitn ein britter folgt, trennt man btn britten buret einen ~ori30nt'1(fn 6trid), ber InU "folgs Uet, IJ überfe~t werben fann, ~on ben beiben erften. 3n bieftr ~eife luirt> bit au)eifad)e ~luäbe~nunß ber <5d)reibfläd}e für bit Ueber.~d)tlid)feit ~tr\uert~et. ~a~ ~o(gern ift ~ier' fe~r einförmfg unb beru~t faft immer barauf , bop glefd)e meränberungen mit g(tf~en 3a~len »orgenomlntn auf gltid)e &rgebniffe füllren. ~it~ äft nun freilid) burd)au~ niebt bie ei113ige ~eife be~ Sd)lit~tn0 in ber ~Titbmttif. ~btr, \Utnn btr logifcf,e \Jort~ gang anbrr(S gefct,ief)t, \uirb t~ mtifttn~ nöt~ig fe\)n, i~n burd} iDorte 'lu~aubrüden. ~a fe~(en btillnad) ber 'lrit~lnttifd)tn ~ormrlfl'racbe ~uäbrüde für Iogifcbe metfnüpfungen; unb btt~'l(b \)trbitnt fit ben 9lClllltn einer ~egriff0fd)rift nid)t im ~oUtn Sinnt. @rabe umgefe~rt ift e0 bei btr uon ~ e t b n f 8 ..) ~errü~renben ~tatid}nun9~U'tife logifdJer ~eaie~ungen, bie in nfUtrer Beit t'on iB 0 0 I e , @ r a ~ man n , (5 t. ~ eu 0 n e, ~. S dJ r ö b er unb 2lnbern erneuert ift. ~fer ~at man 8w4r bit togifdJtn tjormen obruof)l nid>t gana "oUftänbig; te febft abtr ber ~n~a(t. 3tber mtrfud) ~ier an bie (SteDe ber tht~

ftitige

~age

m.

J

fad}en

~udJftaben

~uabrude

~on ~n~alten I

etwa ana(\Jtifa,e

@teid]ungen au feßtn, würbe burd) bie UntlbertidJtfid)ftft, Sd)roerfäOigfeit, ja mitlbeutigftit ber entftt~t1tbrn ~ormefn ~tigtn, mit wenfg geeignet biefe j8taeid)nung~\ueife aUf ~i(l)un9 eintr lUG~ren ~tßriffefd)rift ift. ~on einer fO·(dJth möc!Jtt tcl) *) NOfi inelegans sperimeo

~GJmonstrandi

in abstraetil.

Erdm. S. 94.

[55]

113

~o(gtnbt! nertangen. Sie mufj für bie (ogifcf}ttt ~f6ie~unßen einfad}e ~u~brud0l\)eifen booen, bie, an 3a~1 ~luf baß ~lt)tl)&

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*) !3egtltT'f~dft, eine bel atit~mettf~tn ncuf1atbtlbde \J~tlfttlfl't4cf7e be. utnen ~nfnl'. (Htat a. e., t ts 79.

[56]

114 ~'lbe.

~ie

merwenbung meiner 3tieben auf anbern @tbitttn

roirb baburd) nid)t au~gefd){offen. ~ie logifd)tn mtrbäftnifft ft~rtn itberaU ",ieber, unb bie 3eid)tn für bit befonbtrn 3n~altt fönntn f0 gtwählt ltltrbtn, ba~ ~e fidJ in btn ma~men ber ~tgriff~fdJrift einfugen. IDlag bit~ nun gtfdJt~tn ober nid)t, jtbtnfnue. bat eine aufd)aulid)e ~nrfttOun9 btr 1)tnfformtn fine über bit IDlQt~tlnatif ~inQu~rtid)tnbe V3ebtutung. 9Jlöd)ttn be~.1 ~(l(b nudJ ~~i1ofol'~tn ber SadJt einige ~t(ld)tun9 fd)enftn!

Anhang I Die Anmerkungen von H. Scholz zur "Begriffsschrift". H. Scholz schrieb Anmerkungen in sein eigenes Exemplar der "Begriffsschrift". Dabei handelt es sich zunächst um die Kor .. rektur der nicht mehr gebräuchlichen deutschen Schreibweise, ferner um sonstige Berichtigungen und eine Anzahl von inhaltlichen Randbemerkungen. Wir konnten uns auf eine Photoko·pie dieses Exemplars stützen, welche Prof. Bochenski von Prof. H. Scholz erhalten hatte. "Booles rechnende Logik ... ", worauf in den Bemerkungen zu S. 7 und 55 verwiesen wird, gehört zu Freges Nachlaß, der sich im "Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung", Universität Münster, befindet (s. H. Scholz und Friedrich Bachmann. Der wissenschaftliche Nachlaß von Gottlob Frege, in: Actes du Congres international de Philosophie Scientifique, Paris 1935, Actualites scientifiques et industrielles, Paris 1936). Die Ausdrücke FI und R2 in der Anmerkung l1U S. 7 beziehen sich wahrscheinlich auch auf den Nachlaß, doch konnte dies nicht festgestellt werden. Leider war es ebenfalls unmöglich zu entscheiden, was das "FB", das in den meisten Anmerkungen erscheint, bedeutet, wahrscheinlich jedoch "Freges Briefe" (von denen sich die meisten im Nachlaß befinden). Die Besprechung von Schröder, die in der Anmerkung zu S. 7 erwähnt wird, findet sich in der "Zeitschrift für Mathematik und Physik", Bd. 25 (1880), Historisch-literarische Abteilung, SS 81-94. Alle Anmerkungen von Scholz sind handschriftlich am unteren Rand der Seiten angebracht. Seite V: Hier die Anmerkung zu dem Namen "Begriffsschrift" nach Trendelenburg. Seite 2: FB Anm. 3 "beurt. Inhalt". 2 "Inhaltsstrich" . Seite 3: FB Anm. 1.

116 Seite 7:

Seite Seite Seite Seite

15: 23: 54: 55:

Daß der letzte Absatz von § 5 fehlerhaft ist, hat zuerst Schröder in seiner Recension (S. 88) bemerkt. Vgl. weiter: "Booles rechnende Logik ... " S. 13, Anm. und die Briefe Fl und R2 des Briefwechsels mit Russell. Siehe FB Anm. 4. FB Anm. 6. FB Anm. 8. FB Anm. 7. Bemerkung zu dieser Def. m "Booles rechnende Logik ... " (S. 22).

Anhang 11 Husserls Anmerkungen zur "Begriffsschrift". Im Husserl-Archiv in Löwen befinden sich viele der Schriften Freges, die Russerl sorgfältig gelesen hat. Alle in diesem Band enthaltenen "''''erke (mit Ausnahme von "Ueber den Briefwechsel Leibnizens und Huygens mit Papin") sind dort vorhanden, die kleineren Schriften in Form von Sonderdrucken. Das Exemplar der "Begriffsschrift" zeigt auf der rechten oberen Ecke des Buchdeckels die Widmung: "Ehrerbietig überreicht vom Verfasser", und auf dem Titelblatt findet man den Stempel "Ex libris Edmund Russerl ... " . Husserls Exemplar der "Begriffsschrift" enthält viele Anmerkungen vom Anfang bis zur Seite 47. Diese sind teilweise in symbolischer Schrift, teilweise nicht. Die nichtsymbolischen sind z. B. Hervorhebungen im Vorwort (am rechten oder linken Rand der Seiten), von denen wir vor allem auf diejenige auf S. VII (zur Zeile, in der die Worte "Subjekt" und "Prädikat" vorkommen) aufmerksam machen. Abgesehen vom Vorwort sind das Frage .. zeichen auf S. 4 (zur Stelle wo die Negation behandelt wird: Busserl denkt wahrscheinlich an Brentanos "Anerkennung" und "Verwerfung") und die Hervorhebung der Zeilen 4 und 5 von unten auf S. 14 bemerkenswert. J.n Symbolen finden wir z. B. die folgenden Anmerkungen:

S. 5, rechts von L~

:

-(B+,A_)

S. 6, rechts neben der letzten Formel: -(r+ B+ A_) S. 7, rechts neben der letzten Formel des Absatz 5: -(B+, A_,

r _) ?

Der Zweifel an der Richtigkeit von Freges Interpretation der letzten Formel des §5, wurde später, zusammen mi t einigen überleg ungenzurmateriellenlmplikation;vonHusserl ausgebautundalsExtrablatt aufS. 7 seines Exemplars eingelegt. Wir geben dieses Blatt in seiner Gesamtheit wieder. Folgende Bemerkungen sind angebracht:

118

I. Zur Tatsache, daß Schröder in seiner Besprechung den Fehler auf S. 7 der "Begriffsschrift" aufdeckt, wissen wir zumindest, daß HUBserl in seinem Brief an Frege vom 18. VII. 1891 (HusserlArchiv, Löwen) schreibt: "Schröders Kritik Ihrer Begriffsschrift habe ich noch nicht gelesen" .2. In seiner Kritik des Fregeschen Fehlers scheint Russerl eine inkorrekte Äquivalenz vorzuschlagen. Auch Husserls Gegenbeispiel entspricht nicht genau der betreffenden Formel Freges. Andererseits ist Busserls Text von "Frege leitet her" an mit anderer Tinte als der Rest, also etwas später, geschrieben. Deshalb haben wir dieses ganze problematische Fragment mit einer gepunkteten Linie am Rande versehen.

119

EXTRABLATT (eingelegt auf Seite 7 des Husserlschen Exemplars). FREGE, Erläuterung ad S. 5 u. ff. Nehmen wir das Urteil: "Wenn B ist, so ist A". Hier haben wir folgende Möglichkeiten:

· IlIC ·ht{dann kAsein B 1st ann A mc . ht seIn. .

B ist

{ dann kann nur A sein

nicht aber A nicht sein. "Wenn B ist, so ist A" = Es ist nicht (B+ und A-) (Das ist die ältere Brentano'sche Reduktion).

=

-

(B+,

~).

FREGE drückt nun dieses zweite Urteil, welches unter den 4 Möglichkeiten 1) A+B+ 2) A+B_ 3) A-B+ 4) A-B_ die dritte ausschließt, durch das Zeichen aus:

I...._~__ A _ _B [Randbemerkung] Frege identifiziert aber nicht "Wenn A, so B" mit seinem Zeichen. Mir kam es nur hier an auf die Hervorhebung der Beziehung seiner Bezeichnungen zu der alten Brentano'schen Reduktion. Die Quelle dieser Bezeichnung ist wohl folgende:

I

A heißt A+ ....._-.-__ A ~_B

heißt A+ unter der Bedingung B.

Der Vertikalstrich drückt also die Bedingtheit des Seins von Baus. Das Sein von A ist

bedingt

durch das Sein von B

120 Danach würde das erste Beispiel, wo A = die Gleichheit von 3 X 7 und 21, B = den Umstand, daß die Sonne scheint, bedeutet, so auszudrücken sein: daß die Sonne scheint und nicht 3 X 7 = 21 sei, ist ausgeschlossen. Wenn die Sonne scheint, so ist 3 X 7 = 21. Das zweite Beispiel: A Umstand, daß die Welt unendlich sei, B '" daß ein Perpetuum mobile möglich sei, Daß ein Perpetuum mobile möglich sei} . t hl und die Welt nicht unendlich sei IS ausgesc ossen.

= Wenn ein Perpetuum mobile möglich ist, so ist die Welt unend=

lich Die Welt ist unendlich, falls ein Perpetuum mobile möglich ist.

FREGE BEG[RIFFSSCHRIFT) S. 6.

-~L--I-_-_-_-_-==__==-_=;

I.....

wenn r ist, so ist, falls Bist, A. wenn r ist, so ist nicht B+ und A_. = es ist nicht r + und nicht nicht B+ und A_. = - (r +B+A-). Einfache Herleitung : Die Bejahung I..__--..,. . ___ A =

-

B Die Verneinung von _ _....-__ A -

B

_____- _ - - A

-

(r +

-

-

(r + (B+ A-»)

'--"_ _B ~

____ r

(

L~)-)

-

121

[FREGE, BEGR1FFSSCHRIFT, ad S. 7]

r t-rt!

=

-(

A LB,L_)

Frege leitet her =

-

(B+A_r_) was unmöglich folgen kann.

Z.B. Gott ist gerecht, wenn die Menschen, falls sie sündigen, bestraft werden.

r

= daß Gott gerecht sei A = die Menschen sündigen: B = die Menschen werden bestraft. Nach Frege:

-

(B+A-r_)

== es ist wahr, daß Gott ungerecht sei und die Menschen nicht sündigen und die Menschen bestraft werden,

I

was falsch ist. Dagegen folgt nach dem Obigem:

I

Daß Gott ungerecht sei und nicht die Menschen bestraft werden und nicht sündigen

ist nicht.

Das kann man wohl herleiten: (daß Gott gerecht sei und die Menschen bestraft werden und nicht sündigen) ist nicht - - (r +B+A_), und das dürfte wohl äquivalent sein mit = (r_; - (B+A-)).

122 Textkritische Bemerkungen J. Begriffsschrift Der Text der "Begriffsschrift" wurde in verbesserter Form wiedergegeben. Im folgenden geben wir die entsprechenden Originaltexte, wobei "Scholz" auf Berichtigungen hinweist, die von H. Scholz stammen (s. Anhang I).

1. Seite 9 (Scholz):

(XX): :

I 2. Seite 49:

B

47

a a

e a b b c

I

3. Seite 50:

4. Seite 60 (Scholz):

(d == c) (e == a)

I

(55

(52):

I

~

b

UI

I

5. Seite 64 (oben):

F(x)

/(x,y)

"

,...., f (x"' %p) {J

6. Seite 71 (unten) (Scholz) : 7. Seite 72 (unten) (Scholz) : Wenn 8. Seite 73:

100

%

dasselbe wie x ist, so folgt nach ...

... ...

~. . .

123 9. Seite 74:

106

10. Seite 79 (Scholz) :

(112):: - - - - - - - -

zp 11. Seite 87:

53

55

52

75

Irr-;" ·

/(xy,a{J)

• • •• •• •

·

11. Anwendungen der Begriffsschrift Dieses Werk - ursprünglich ein Vortrag - erschien in den "Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft für das Jahr 1879, Jena", Verlag von G. Fischer, vormals F. Mauke, 1879, S. 29-33 (= Sitzung vom 24. Januar). Im Separat-Abdruck heißt es: "Sitzung vom 10. Januar". Das Werk erschien seither in keinem Neudruck. Einige Verbesserungen, die handschriftlich bereits in einigen Exemplaren des Separat-Abdruckes angebracht waren, wurden übernommen. Ursprünglich hieß es dort: Seite 30 (= Seite 2 des Separat-Abdruckes):

die Bezeich ung. . .

111. Über den Briefwechsel Leibnizena und Huygena mit Papin, erschien ebenfalls in den "Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft für das Jahr 1881", Jena, Verlag von G. Fischer, 1881, S. 29-32 (= Sitzung vom 15. Juli 1881). Davon erschien keine Neuauflage.

IV. Über den Zweck der Begriffsschrift, erschien ebenfalls in den "Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft für das Jahr 1882",

124

Jena, Verlag von G. Fischer, 1883, S. 1-10 (= Sitzung vom 27. Januar). Auch ohne Neudruck . .Die drei oben angeführten Aufsätze können auch als zur "Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft" gehö~ig zitiert werden, da die Sitzungs berichte , in denen sie erschienen, als Supplemente zu dieser Zeitschrift galten (siehe: Gustav Fischer, Jena, 1878-1928. Ein Verzeichnis der seit dem 1. Januar 1788 erschienenen Werke und Zeitschriften mit einem systematischen Sachregister, S. 645-648). Über Anwendungen der Begriffsschrift: Suppl. zur "Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft", 13, (Neue Folge 6), 1879. Über den Brie/wechsel Leibniuns und Huygens mit Papin: Suppl. zur "Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft", 15, (Neue Folge 8), 1881/1882. Über den Zweck der Begriffsschrift: Suppl. zur "Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft", 16 (Neue Folge 9), 1882/1883.

v. Über die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffs8chrift, erschien (ohne Neuauflage) in der "Zeit8c~t für Philosophie und philosophische Kritik", 81, 1882, S. 4~56.