Calculo Para La Ingenieria

C´alculo para la ingenier´ıa Salvador Vera 28 de marzo de 2004

ii c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004. Copyright

´Indice general 1. Conceptos b´ asicos 1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . 1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. El c´ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Representaci´on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Dominio impl´ıcito de una funci´ on . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . 1.3.5. Composici´ on de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . 1.3.8. Im´ agenes directa e inversa de un conjunto . . . . . . . 1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.10. La funci´ on valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. L´ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. L´ımite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Definici´on de l´ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Propiedades de los l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Continuidad de una funci´ on en un punto . . . . . . . . 1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . 1.5.6. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.7. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.8. T´ecnicas elementales para el c´ alculo de l´ımites . . . . 1.5.9. Infinit´esimos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.10. Infinit´esimos m´ as frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . 1.6. Funciones hiperb´ olicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Coseno y seno hiperb´ olico . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. F´ormula fundamental de la Trigonometr´ıa hiperb´ olica 1.6.3. Significado del t´ermino “hiperb´ olicas”. . . . . . . . . . 1.6.4. Otras razones hiperb´ olicas . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. F´ormulas del ´angulo doble . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1 5 10 10 11 13 17 17 21 25 27 27 31 37 37 38 38 40 49 49 57 58 58 60 62 67 70 74 75 77 77 78 78 79 79

´INDICE GENERAL

iv 1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . 1.6.7. Gr´afica de las funciones hiperb´ olicas 1.6.8. Funciones hiperb´ olicas inversas . . . 1.6.9. Identidad hiperb´ olica . . . . . . . . . 1.6.10. F´ormula logar´ıtmica de las funciones 1.7. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 1 . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hiperb´ olicas . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . inversas . . . . .

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80 80 81 82 82 83

2. Funciones de varias variables: L´ımites 2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Dominio de una funci´ on de varias variables . . . . . . . . 2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . 2.1.4. Composici´ on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Gr´afica de una funci´ on de dos variables . . . . . . . . . . 2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables 2.2. L´ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. L´ımite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . 2.2.4. L´ımite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Comprobando l´ımites aplicando la definici´on . . . . . . . 2.2.6. C´alculo de l´ımites mediante operaciones algebraicas . . . 2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´on . . . . . . . . . . . . 2.2.8. Infinit´esimos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.9. Inexistencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

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85 85 85 89 94 96 102 110 111 111 111 113 115 118 122 124 125 128 137 139

3. Derivada de Funciones de una variable 3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Definici´on de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8. Significado gr´afico de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . . 3.1.9. La ecuaci´ on de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.10. La ecuaci´ on de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical 3.2. Funci´on derivada. reglas de derivaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Funci´on derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Reglas de derivaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . 3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . 3.2.5. Derivaci´on de funciones impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Derivaci´on logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Aproximaci´on lineal y notaci´on diferencial . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 141 141 142 144 144 144 145 146 148 148 150 150 151 151 152 154 156 158 160 161 162

´INDICE GENERAL

v

3.3. L´ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Infinit´esimos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Infinit´esimos m´ as frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆopital. . . . . . . . . . 3.4. L´ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´ on no polin´omica . . . . . . 3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6. Aplicaciones de la f´ormula de Taylor a c´ alculos aproximados . 3.5.7. Aplicaciones de la F´ormula de Taylor al c´ alculo de l´ımites . . 3.6. Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. M´aximos y m´ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. M´aximos y m´ınimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Determinaci´on de funciones conocidos sus puntos cr´ıticos . . 3.6.4. Problemas de aplicaci´ on de m´ aximos y m´ınimos . . . . . . . . 3.7. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Derivaci´ on de funciones multivariables 4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. La funci´ on derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Funciones de m´ as de dos variables . . . . . . . . . . 4.1.5. Raz´on de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Interpretaci´on geom´etrica de las derivadas parciales 4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . 4.2. Derivadas parciales de ´ordenes superiores . . . . . . . . . . 4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . 4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Generalizaci´on del concepto de diferenciabilidad . . 4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . 4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . 4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . 4.4.6. Condici´on suficiente para la diferenciabilidad . . . . 4.4.7. Caracterizaci´on de las funciones diferenciables . . . . 4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . 4.4.9. La derivada seg´ un una direcci´on curva . . . . . . . . 4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Definici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . 4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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164 164 164 165 173 175 175 176 179 181 184 185 187 188 188 192 196 196 200 203 203 203 204 206 208 210 211 212 214 219 219 223 225 226 229 231 231 235 236 238 240 241 241 241 243 245 245 245

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´INDICE GENERAL 4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . 4.6.4. La diferencial como aproximaci´on del incremento . . . . . . 4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . 4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . 4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . 4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ıcitas de una variable 4.8.2. Composici´ on de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´ orica: Diferencial . . . . . 4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´actica: Parciales . . . . . 4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . 4.9. Funciones impl´ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 4.10.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ıticos . . . . . . . 4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 4.10.5. M´aximos y m´ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Integral definida. C´ alculo de primitivas 5.1. La estimaci´on de un ´area. Sumas de Riemann. . . . . . . . . 5.1.1. Significado geom´etrico de la integral . . . . . . . . . . 5.1.2. C´alculo de l´ımites utilizando el concepto de integral . 5.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . 5.2. El teorema fundamental del C´alculo . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . 5.3. Integraci´ on inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . 5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . 5.4. Integraci´ on mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . . 5.5. Integraci´ on por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Integraci´ on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Integraci´ on de fracciones elementales . . . . . . . . . . 5.6.2. Integraci´ on mediante desarrollo en fracciones simples . 5.7. Integraci´ on de expresiones trigonom´etricas . . . . . . . . . . . 5.7.1. Integraci´ on de potencias de funciones trigonom´etricas 5.7.2. Integraci´ on de funciones racionales del sen y del cos . 5.8. Integraci´ on de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . 5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2. La sustituci´on trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . .

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248 252 254 259 259 260 262 263 267 267 268 271 273 281 287 287 292 296 296 296 298 305 311 316

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

319 319 319 324 330 333 337 341 341 342 343 346 350 350 351 358 358 360 362 362 363 366

´INDICE GENERAL 6. Aplicaciones de la integral. 6.1. C´alculo del ´area de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. C´alculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´etodo de secciones . . 6.2.2. Volumen de un s´olido de revoluci´on: M´etodo de discos . . . 6.2.3. Volumen de un s´olido de revoluci´on: M´etodo de los cilindros 6.3. L´ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Problemas propuestos del Cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

. . . . . . .

367 367 370 370 371 371 377 378

Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos

379

Bibliograf´ıa

383

´ Indice alfab´ etico

384

c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004. Copyright

viii

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Conceptos b´ asicos 1.1.

La recta real

Suponemos conocidos los n´ umeros reales, as´ı como su representaci´ on en la recta real. Los n´ umeros reales se pueden representar mediante expresiones decimales finitas o infinitas. Si la expresi´ on decimal es finita o peri´ odica infinita, entonces el n´ umero real se puede expresar como el cociente de dos n´ umeros enteros y se dice que el n´ umero real es racional. Rec´ıprocamente cualquier n´ umero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una expresi´ on decimal finita o infinita peri´ odica. Cuando la expresi´ on decimal tiene infinitas cifras que no se repiten de manera peri´ odica se dice que el n´ umero real es irracional. Los n´ umeros reales admiten una representaci´ on geom´etrica en una recta. En dicha representaci´ on cada n´ umero real se representa por un solo punto de la recta y cada punto de la recta representa un solo n´ umero real. En consecuencia, hablaremos indistintamente de n´ umero o de punto. Por convenio, los n´ umeros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a la izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representado los n´ umeros reales. −3

−2

−1

0

1

2 √

−1 2

2

3 π

Figura 1.1: La recta real

1.1.1.

Orden, desigualdades e intervalos

Definici´ on 1.1 (N´ umeros positivos y n´ umeros negativos). 1) Para cada n´ umero real a est´ a definida una y s´ olo una de las siguientes relaciones: 1

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

2

a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0; b) a es igual a cero, a = 0; c) a es menor que cero (es negativo), a < 0. 2) Si a y b son n´ umeros positivos, entonces a) Su suma es positiva, a + b > 0. b) Su producto es tambi´en positivo, ab > 0. Definici´ on 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´ umeros reales a y b. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo. a
⇔

b−a>0

Si a es menor que b, tambi´en se dice que b es mayor que a y se escribe b > a El s´ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b. Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b. Proposici´ on 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d son n´ umeros reales, se tiene: 1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c 2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d  a+c 0, entonces ap < bp 5. Si a < b y n < 0, entonces an > bn Nota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar las mismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambos miembros, por un n´ umero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´ı, −2x < 6

↔

x > −3

Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambi´en se llama inecuaci´ on.

Definici´ on 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´ umeros reales tales que a ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntos comprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos (a, b) = {x ∈ R/ a < x < b} Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos comprendidos entre a y b, incluidos dichos puntos [a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b} Nota: Usamos par´entesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determinar´ a en cada caso a qu´e nos estamos refiriendo.

3

1.1. LA RECTA REAL Tambi´en se definen los siguientes tipos de intervalos: Intervalos semiabiertos [a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b} (a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b} Intervalos infinitos (−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b}

(−∞, b) = {x ∈ R/ x < b}

(a, +∞) = {x ∈ R/ a < x}

[a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x}

(−∞, +∞) = R

Ejemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´ on de las siguientes desigualdades a) 2x − 3 < 5

b) 3 − 2x < 5

Soluci´ on. a) Operando, como si se tratara de una ecuaci´ on, resulta: 2x − 3 < 5

→

2x < 5 + 3

→

x<

8 2

→

x<2

Por tanto, el conjunto soluci´ on es el intervalo (−∞, 2). b) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 invertimos el sentido de la desigualdad. As´ı, 3 − 2x < 5

→

−2x < 5 − 3

→

x>

2 −2

→

x > −1

Luego el conjunto soluci´ on es el intervalo (−1, +∞). Ejemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´ on del siguiente sistema de desigualdades  2x + 1 ≥ −1 3x − 7 ≤ 2 Soluci´ on. Se trata de hallar la intersecci´ on de los conjuntos soluci´ on de cada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuaciones por separado y luego hallamos la intersecci´ on     x ≥ −1 2x ≥ −2 2x ≥ −1 − 1 2x + 1 ≥ −1 x≤3 3x ≤ 9 3x ≤ 2 + 7 3x − 7 ≤ 2 Luego el intervalo soluci´ on es [−1, 3]

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

4

Ejemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles). Hallar el conjunto soluci´ on del siguiente sistema de desigualdades  2 − 3x ≥ −1 2 − 3x ≤ 11 Soluci´ on. Podemos resolver cada inecuaci´ on por separado, o bien, utilizar el hecho de que la expresi´ on 2 − 3x aparece en ambas inecuaciones y trabajar conjuntamente. As´ı,  2 − 3x ≥ −1 − 1 ≤ 2 − 3x ≤ 11 2 − 3x ≤ 11 restando 2 en los tres miembros, resulta −3 ≤ −3x ≤ 9 y dividiendo por -3 1 ≥ x ≥ −3

Luego el conjunto soluci´ on es el intervalo [−3, 1]. Ejemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´aticas). Hallar el conjunto soluci´ on de la inecuaci´ on x2 < 6x − 8 Soluci´ on. El camino m´ as f´ acil para resolver estas inecuaciones es dejar solamente cero en el segundo miembro. As´ı, x2 − 6x + 8 < 0 hallamos las ra´ıces del polinomio p(x) = x2 − 6x + 8, √  6±2 6 ± 36 − 32 4 2 = = x − 6x + 8 = 0 → x = 2 2 2 Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´ olo en sus ceros1 , podemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cada uno de los intervalos x < 2,

2 < x < 4,

x>4

que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos y viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervalo el polinomio conserva el signo). As´ı, p(0) = +8 > 0,

p(3) = 9 − 18 + 8 = −1 < 0,

p(5) = 25 − 30 + 8 = +3 > 0

Como la desigualdad se cumple s´ olo en el intervalo central, se concluye que el conjunto soluci´ on es 2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4) 1

agina 61 ver Corolario 1.3 en la p´

5

1.1. LA RECTA REAL

Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto soluci´ on de la desigualdad x−2 <2 x−4 Soluci´ on. Dejamos cero en el segundo miembro, y operamos x−2 x−2 x − 2 − 2x + 8 6−x <2 → −2<0 → <0 → <0 x−4 x−4 x−4 x−4

Consideramos la funci´ on racional

r(x) =

6−x x−4

Y teniendo en cuenta que una funci´ on racional puede cambiar de signo tanto en los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que la funci´ on puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos resolver la desigualdad comprobando el signo de la funci´ on racional en cada uno de los intervalos x<4

4<x<6

x>6

que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos y viendo el valor de la funci´ on en ese punto. As´ı, r(0) =

6 < 0, −4

r(5) =

1 > 0, 1

r(7) =

−1 <0 3

Como la desigualdad se cumple s´ olo en los dos intervalos de los extremos, se concluye que el conjunto soluci´ on es x<4 ´ o x > 6, es decir, la uni´ on de los intervalos (−∞, 4) ∪ (6, +∞)

1.1.2.

Valor absoluto y distancia

Definici´ on 1.4 (Valor absoluto). Se llama valor absoluto de un n´ umero real x, y se denota por el s´ımbolo |x|, a dicho n´ umero si es positivo, y a su opuesto si es negativo.  x si x ≥ 0 | x |= −x si x < 0 Es decir, |x| representa la distancia desde el origen al punto x.

Ejemplo, |3| = 3, |0| = 0, | − 3| = 3.

Nota: El valor absoluto de un n´ umero nunca es negativo. Puede sorprender que −x sea positivo, sin embargo, esto no es nada sorprendente, ya que podemos pensar en −(−3) = +3 que tambi´en es positivo, a pesar del signo menos inicial, ya que los dos signos menos se compensan. Igual ocurre con −x donde el signo menos que aparece de manera expl´ıcita se compensa con el signo menos que x tiene impl´ıcitamente, ya que hemos supuesto, en el

segundo apartado, que x es negativo.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

6

Ejemplo 1.6. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones: √ √ √ √ (a) |1 + 2 − 3| (b) |1 + 2 − 10| Soluci´ on. Tenemos que comprobar si la expresi´ on que hay dentro del valor absoluto da como resultado un n´ umero positivo o negativo, si es positivo la dejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo en positivo. En consecuencia: √ √ √ √ (a) |1 + √2 − √3| = 1 + 2 − √ 3√ √ √ (b) |1 + 2 − 10| = −(1 + 2 − 10) = −1 − 2 + 10 Propiedades del valor absoluto 1. |x| ≥ 0 El valor absoluto nunca es negativo. 2. |x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir. 3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir. 4. |x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo. √ x2 = |x| 5. 6. −|x| ≤ x ≤ |x| 7. |x + y| ≤ |x| + |y| 8. |xy| = |x| · |y| Si p es positivo, se tiene: 9. |x| ≤ p ⇔ −p ≤ x ≤ p   x≥p o 10. |x| ≥ p ⇔  x ≤ −p

|x| < p −p 

k Q

0 k Q

|x| = p

p 3 

Q |x| > p 

3 

-

Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse de la forma: |x| ≥ p ⇔ −p ≥ x ≥ p

Habr´ a que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado. Nota: Tenemos que tanto x como −x son ra´ıces cuadradas de x2 , ya que (+x)2 = x2 y √ (−x)2 = x2 . Sin embargo, en C´ alculo, para evitar la ambivalencia, el s´ımbolo x denota exclusivamente la ra´ız no-negativa de x. √ As´ı, por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra´ıces cuadradas, 2 y -2, con el s´ımbolo 4 √ solamente nos referimos a la ra´ız cuadrada positiva 4 = +2. Para indicar la ra´ız cuadrada √ negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos − 4 = −2.

7

1.1. LA RECTA REAL

Ejemplo 1.7 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecuaciones: 1. |x − 5| = 4,

2. |x − 5| = −4,

3. |x − 5| = 0,

4. |x + 1| = 3x − 9

Soluci´ on. 1. |x − 5| = 4 2. |x − 5| = −4 3. |x − 5| = 0

4.

⇒

   x−5=4  x=9 o´   x − 5 = −4 x=1

No tiene soluci´ on. ⇒

x−5=0

⇒

x=5

 3x − 9 ≥ 0 ⇒ 3x ≥ 9 ⇒ x ≥ 3     y       x ≥ −1  x+1≥0 x=5 x + 1 = 3x − 9 10 = 2x |x + 1| = 3x − 9 ⇒   ´o       x + 1 ≤0 x ≤ −1   No  −x − 1 = 3x − 9 8 = 4x

                  

⇒x=5

En general, el m´etodo m´ as directo de atacar un problema referente a valores absolutos requiere la consideraci´ on por separado de distintos casos. En particular, siempre habr´ a que considerar si lo que hay dentro del valor absoluto es positivo o es negativo. Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse otros m´etodos m´ as sencillo, por ejemplo, la ecuaci´ on |x+1| = 3x−9 tambi´en puede resolverse gr´ aficamente, estudiando los puntos de corte de las gr´ aficas de las funciones f (x) = |x + 1| y g(x) = 3x − 9. Otra manera de abordar p esta ecuaci´ on es resolviendo la ecuaci´ on irracional: (x + 1)2 = 3x − 9

Ejemplo 1.8 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientes desigualdades: 1. 4.

|x − 1| ≤ 3, |x − 1| ≥ 2

2. 5.

|2 − 4x| ≤ 6, |2x − 3| ≤ −2,

3. 6.

|x| ≥ 2 |2x − 3| ≥ −2

Soluci´ on.   1. |x − 1| ≤ 3 ⇒ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ − 2, 4

2. |2 − 4x| ≤ 6 ⇒ −6 ≤ 2 − 4x ≤ 6 ⇒ −8 ≤ −4x ≤ 4 ⇒ 2 ≥ x ≥ −1 ⇒   ⇒ −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ − 1, 2 3. |x| ≥ 2 ⇒



x≥2 x ≤ −2



 
⇒ x ∈ − ∞, −2 ∪ 2, +∞

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

8

 x≥3 ⇒ 4. |x − 1| ≥ 2 ⇒ −2 ≥ x − 1 ≥ 2 ⇒ −1 ≥ x ≥ 3 ⇒ x ≤ −1  
⇒ x ∈ ∞, −1 ∪ 3, +∞ 

5. |2x − 3| ≤ −2 ⇒ No tiene soluci´ on.

6. |2x − 3| ≥ −2 ⇒ Se cumple siempre, luego x ∈ (−∞, +∞) Ejemplo 1.9 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigualdades:  |2x − 2| ≤ 4 |2x − 3| ≥ 1 Soluci´ on. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la intersecci´ on de los conjuntos soluci´ on.  ) −4 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3  |2x − 2| ≤ 4  x≥2 ⇒ |2x − 3| ≥ 1 −1 ≥ 2x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒ x ≤ 1      ⇒ x ∈ − 1, 1 ∪ 2, 3

Expresi´ on de intervalos mediante valor absoluto

Cualquier intervalo se puede expresar en t´erminos de valor absoluto de la siguiente forma:     b−a a+b |≤ a, b = x ∈ R/ |x − 2 2 Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces: |x − m| ≤ r Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritm´etica de sus extremos. es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es m=

a+b 2

Ejemplo 1.10 (Expresi´on de intervalos mediante valor absoluto). Expresar mediante valor absoluto los siguientes intervalos:      
 
1. − 2, 2 , 2. − 1, 3 , 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞ , 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞ . Soluci´ on.   1. − 2, 2 = {x ∈ R/

|x| ≤ 2}

9

1.1. LA RECTA REAL 2. 3. 4.



 − 1, 3 = {x ∈ R/ |x − 1| ≤ 2}   − ∞, −2 ∪ 2, +∞) = {x ∈ R/ |x| ≥ 2}   − ∞, 1 ∪ 5, +∞) = {x ∈ R/ |x − 3| ≥ 2}

Ejemplo 1.11. Expresi´ on mediante valor absoluto de un entorno reducido, es decir, de un entorno en el que se ha suprimido el centro. Por ejemplo, un entorno reducido de 4 de radio 2. Soluci´ on. (2, 4) ∪ (4, 6) = {x ∈ R/

0 < |x − 4| < 2}

La manera de expresar que x 6= 4 es mediante la desigualdad 0 < |x − 4| Distancia entre dos puntos de la recta real Definici´ on 1.5 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La distancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene definida por el valor absoluto de su diferencia p d = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2 Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 −x1 | = |x1 −x2 | A la diferencia de los n´ umeros (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida. As´ı, a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 − x1 ; y, b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 − x2 . En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha

(orden creciente de los n´ umeros) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden decreciente de los n´ umeros).

Ejemplo 1.12 (Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 5 Soluci´ on. a) La distancia entre -2 y 5 viene dada por: d = |5 − (−2)| = |7| = 7 b) La distancia dirigida desde -2 a 5 es 5-(-2)=7 c) La distancia dirigida desde 5 a -2 es -2-5=-7 Distancia = 7

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Figura 1.2: Distancia en la recta real

5

6

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

10

Ejercicios propuestos de la secci´ on 1.1. La recta real Soluciones en la p´ agina 379

1.1.1. Resolver las desigualdades: a) x <

1 x

b) 3 ≤ x2 − 6x + 8 ≤ 8

1.1.2. Resolver las ecuaciones: x − 2 =3 b) x − 1

a) |3x − 6| = x + 2 1.1.3. Resolver las desigualdades

x − 2 <3 b) x − 1

a) |3x − 6| < x + 2

1.2. 1.2.1.

El plano y el espacio cartesiano Sistema rectangular de coordenadas cartesianas

a) Plano cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano, en el plano, se construye mediante dos rectas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas. La recta real horizontal se llama tradicionalmente eje x y la vertical eje y. Su punto de intersecci´ on se llama origen de coordenadas. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. Cada punto del plano se identifica por un par ordenado (x, y) de n´ umeros reales, llamados coordenadas del punto. El n´ umero x se llama coordenada x o abscisa y representa la distancia dirigida desde el eje y al punto. El n´ umero y se llama coordenada y u ordenada y representa la distancia dirigida desde el eje x al punto. y Cuadrante II

3 2 y 1

−3 −2 −1 −1 −2

Cuadrante III −3

Cuadrante I x

(x, y) y

1

x

2x3

Origen Cuadrante IV

Figura 1.3: El plano cartesiano

11

1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO

Nota: Usamos par´entesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determinar´ a en cada caso a qu´e nos estamos refiriendo.

b) Espacio cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano, en el espacio, se construye mediante tres rectas perpendiculares, llamadas ejes de coordenadas. El primer eje se llama tradicionalmente eje x, el segundo eje y, y el tercero eje z. Su punto de intersecci´ on se llama origen de coordenadas. Un sistema de referencia tridimensional puede tener orientaci´ on positiva u orientaci´ on negativa. Tiene orientaci´ on positiva si un “tornillo” situado en el eje z que gire desde el eje x hacia el eje y, avanza hacia la direcci´ on positiva del eje z; y orientaci´ on negativa si avanza en direcci´ on contraria z

z

6

6

y -

x -

x

y

Orientaci´ on positiva

Orientaci´ on negativa

Figura 1.4: Las dos orientaciones del espacio. Los ejes de coordenadas, tomados de dos en dos, determinan tres planos coordenados, denominados por plano xy, plano xz y plano yz. Estos planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El primer octante es aquel en que las tres coordenadas son positivas. Cada punto del espacio se identifica por una terna ordenada (x, y, z) de n´ umeros reales, llamados coordenadas del punto. El n´ umero x se llama coordenada x o abscisa y representa la distancia dirigida desde el plano yx al punto. El n´ umero y se llama coordenada y u ordenada y representa la distancia dirigida desde el eje xz al punto. El n´ umero z se llama coordenada z o cota y representa la distancia dirigida desde el eje xy al punto. P (x, y, z) z y x

x

y

z

Figura 1.5: El espacio cartesiano

1.2.2.

Distancia entre dos puntos

a) En el plano. Para hallar la distancia entre dos puntos del plano (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ). Formamos con ellos un tri´ angulo rect´ angulo, con lados paralelos

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

12

a los ejes de coordenadas, y aplicamos el teorema de Pit´ agoras. y y1 y2

(x1 , y1 ) d

|y2 − y1 |

(x2 , y2 ) |x2 − x1 |

x1

x2

x

Figura 1.6: Distancia entre dos puntos En su virtud, resulta d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 de donde, tomando la ra´ız cuadrada positiva, ya que la distancia entre dos puntos es un n´ umero positivo, resulta p d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Proposici´ on 1.2 (Distancia entre dos puntos del plano). La distancia d entre los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por p d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

b) En el espacio. Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio, (x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ), se aplica el teorema de Pit´ agoras dos veces y se obtiene la siguiente f´ ormula p d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

c) En el espacio n-dimensional. Se llama punto x de un espacio ndimensional al conjunto ordenado (n-upla) de n´ umeros reales (x1 , x2 , · · · , xn ) El n´ umero xi se llama coordenada i-´esima del punto x; i = 1, 2, . . . , n. Definici´ on 1.6 (Distancia entre dos puntos de Rn ). La distancia entre dos puntos x = (x1 , · · · , xn ) e y = (y1 , · · · , yn ) se define por la f´ ormula p (1.1) d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · (xn − yn )2

Ejemplo 1.13 (Distancia entre dos puntos). Hallar la distancia: a) Entre los puntos (−2, 4) y (2, 1). b) Entre los puntos (2, 2, 3) y (3, 4, 5).

Soluci´ on. Aplicando, en cada caso, la f´ ormula (1.1), resulta p √ √ a) d = [2 − (−2)]2 + (1 − 4)2 = 16 + 9 = 25 = 5 p √ √ b) d = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 + (5 − 3)2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3

13

1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO

1.2.3.

El c´ırculo y la esfera

a) La circunferencia en el plano. Teniendo en cuenta que la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r est´ a formada por los puntos del plano cuya distancia al centro (x0 , y0 ) es el radio r, resulta Proposici´ on 1.3 (Ecuaci´ on de la circunferencia). El punto (x, y) est´ a en la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´ olo si (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2

(1.2)

Demostraci´ on. En efecto, si (x, y) es un punto de la circunferencia, su distancia al centro (x0 , y0 ), ser´ a r, en consecuencia p (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r

y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´ on de la circunferencia (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2

Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0) y radio r, su ecuaci´ on ser´ a x2 + y 2 = r2 Se llama c´ırculo o disco al interior de una circunferencia. En consecuencia Proposici´ on 1.4 (Ecuaci´ on de un c´ırculo o disco). El punto (x, y) est´ a en el c´ırculo de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´ olo si (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r2

(1.3)

Si consideramos que el c´ırculo incluye la circunferencia, su ecuaci´ on es (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2 y

y (x0 , y0 )

(x0 , y0 )

r

r (x, y)

(x, y)

x (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2

x (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < r2

Figura 1.7: Circunferencia y c´ırculo

Ejemplo 1.14 (Hallando la ecuaci´on de una circunferencia). Una circunferencia tiene su centro en el punto (−2, 1) y contiene al punto (1, 3) a) Halla la ecuaci´ on de la circunferencia b) Halla la ecuaci´ on del c´ırculo delimitado por la circunferencia

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

14

Soluci´ on. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1) y el punto (1, 3). En consecuencia, p √ √ r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 = 9 + 4 = 13

Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´ on de la circunferencia. √ [x − (−2)]2 + (y − 1)2 = ( 13)2 de donde, (x + 2)2 + (y − 1)2 = 13 b) Ecuaci´ on del c´ırculo. (x + 2)2 + (y − 1)2 < 13 y (1, 3)

(−2, 1)r

x

Figura 1.8: (x + 2)2 + (y − 1)2 ≤ 13 Ecuaci´ on general de la circunferencia. Si en la ecuaci´ on can´ onica de la circunferencia (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 eliminamos los par´entesis y simplificamos, resulta una ecuaci´ on del tipo Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0,

A 6= 0

(1.4)

que es la forma general de la ecuaci´ on de la circunferencia. Nota: Observese que los coeficientes de x2 y de y 2 han de ser iguales para que se trate de una circunferencia.

Ejemplo 1.15 (Completando cuadrados). Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuaci´ on en forma general es 4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0 Soluci´ on. Pasamos de la forma general a la forma can´ onica completando cuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 4 para que los coeficientes de x2 e y 2 sean 1. 4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0

→

x2 + y 2 + x − 4y +

13 =0 4

15

1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO en segundo lugar agrupamos los t´erminos semejantes. (x2 + x+

) + (y 2 − 4y+

)=−

13 4

Completamos los cuadrados   1 13 1 2 x + 1x + + (y 2 − 4y + 4) = − + + 4 4 4 4 (mitad)2

(mitad)2 de donde resulta

  1 2 x+ + (y − 2)2 = 1 2

y por tanto, la circunferencia tiene centro en el punto ( −1 2 , 2) y radio 1. Ejemplo 1.16 (Conjunto soluci´on con un u ´ nico punto). Discutir la gr´ afica de la ecuaci´ on 3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0 Soluci´ on. Pasamos de la forma general a la forma can´ onica completando cuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 3 para que los coeficientes de x2 e y 2 sean 1. 3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0

→

x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 = 0

en segundo lugar agrupamos los t´erminos semejantes (x2 − 6x+

) + (y 2 − 4y+

) = −13

completamos los cuadrados, con lo que resulta (x2 − 6x + 9) + (y 2 − 4y + 4) = −13 + 9 + 4 de donde (x − 3)2 + (y − 2)2 = 0 y esta ecuaci´ on s´ olo se cumple cuando x = 3 e y = 2. Es decir, la gr´ afica de la ecuaci´ on se reduce al punto (3, 2) Ejemplo 1.17 (Ecuaci´on sin conjunto soluci´on). Discutir la gr´ afica de la ecuaci´ on x2 + y 2 + 2x − 4y + 9 = 0

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

16

Soluci´ on. Pasamos de la forma general a la forma can´ onica completando cuadrados. Agrupamos los t´erminos semejantes, tenemos (x2 + 2x+

) + (y 2 − 4y+

)+9=0

completando cuadrados (x + 1)2 − 1 + (y − 2)2 − 4 + 9 = 0 de donde resulta (x + 1)2 + (y − 2)2 = −4

que no tiene soluci´ on ya que la suma de dos cuadrados no puede dar un resultado negativo. Nota: La ecuaci´ on general Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 no siempre representa una circunferencia, sino que, en algunas ocasiones se reduce a un punto, y en otras no tiene soluci´ on

b) La esfera en el espacio. Teniendo en cuenta que la superficie esf´erica de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r est´ a formada por los puntos del espacio cuya distancia al centro (x0 , y0 , z0 ) es el radio r, resulta la siguiente Proposici´ on 1.5 (Ecuaci´ on de la superficie esf´ erica). El punto (x, y, z) est´ a en la superficie esf´erica de centro (x0 , y0 , x0 ) y radio r si y s´ olo si (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 (1.5) Demostraci´ on. En efecto, si (x, y, z) es un punto de la superficie esf´erica, su distancia al centro (x0 , y0 , z0 ), ser´ a r. En consecuencia p (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r

y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´ on de la superficie esf´erica (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2

Si la esfera tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y radio r, la ecuaci´ on de la superficie esf´erica ser´ a x2 + y 2 + z 2 = r2 Se llama esfera o bola al interior de una superficie esf´erica. En consecuencia Proposici´ on 1.6 (Ecuaci´ on de una esfera o bola). El punto (x, y, z) est´ a en la esfera de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r si y s´ olo si (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < r2

(1.6)

Si consideramos que la esfera incluye la superficie esf´erica, su ecuaci´ on es (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ≤ r2

17

1.3. FUNCIONES

Ejemplo 1.18 (Hallando la ecuaci´on de una esfera). Una superficie esf´erica tiene su centro en el punto (−2, 1, 3) y contiene al punto (1, 3, 2) a) Halla la ecuaci´ on de la superficie esf´erica b) Halla la ecuaci´ on de la esfera delimitada por la superficie esf´erica Soluci´ on. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1, 3) y el punto (1, 3, 2). En consecuencia, p √ √ r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 4 + 1 = 14

Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´ on de la superficie esf´erica. √ [x − (−2)]2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = ( 14)2 de donde, (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 14 b) Ecuaci´ on de la esfera. (x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ≤ 14

Ejercicios propuestos de la secci´ on 1.2. El plano y el espacio cartesiano Soluciones en la p´ agina 379 1.2.1. Hallar x tal que la distancia del origen al punto (x, 4) sea 5. 1.2.2. Hallar y de modo que la distancia de (−1, 2) a (2, y) sea 5. 1.2.3. Discutir las gr´ aficas de las ecuaciones: a) x2 + y 2 + 6x − 4y + 12

b) x2 + y 2 − 2x + 4y + 5 = 0

c) x2 + y 2 − 4x − 6y + 14 = 0

1.2.4. Hallar, en cada caso, el conjunto de todos los puntos que verifican la desigualdad a) x2 +y 2 −6x−4y +9 ≤ 0

1.3. 1.3.1.

b) x2 +y 2 −4x−2y +1 > 0

c) x2 +y 2 +2x−4y +6 < 0

Funciones Definiciones

En la vida real nos encontramos con magnitudes que est´ an relacionadas entre s´ı, bien, porque existe una relaci´ on num´erica entre ella, de manera que el valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo la distancia recorrida por un autom´ ovil depende del tiempo que lleva circulando. La demanda de un determinado producto depende de su precio; o bien, porque existe entre ellas una relaci´ on no num´erica, de cualquier naturaleza. Por

18

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

ejemplo los ciudadanos y los pa´ıses del mundo est´ an relacionados por la nacionalidad. De las causas de estas relaciones se ocupan las distintas ramas del saber (F´ısica, Econom´ıa, Derecho, etc.). En C´ alculo nos ocupamos del estudio de estas relaciones vistas en s´ı mismas, desposey´endolas del significado material de las magnitudes que intervienen. Adem´ as, nos limitamos, en gran medida, a un tipo particular de relaciones denominadas funciones. Una funci´ on es una correspondencia entre dos magnitudes (num´ericas o no num´ericas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la correspondencia siempre hay que entenderla en una direcci´ on determinada, por ejemplo, el espacio funci´ on del tiempo (el espacio ser´ıa la imagen y el tiempo el origen). No obstante, hay que advertir que no se considera funci´ on a cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea funci´ on, la imagen de cada elemento tiene que ser u ´nica y estar bien determinada. Por ejemplo, la relaci´ on entre los ciudadanos y los pa´ıses del mundo mediante la nacionalidad no es una funci´ on, porque existen ciudadanos con doble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea funci´ on, los originales no pueden tener m´ as de una imagen, si bien, varios originales distintos s´ı que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una correspondencia puede ser funci´ on en un sentido y no serlo en el sentido contrario. Nota: Aunque el concepto de funci´ on nace del estudio de la relaci´ on existente entre dos magnitudes que est´ an vinculadas por una relaci´ on de causalidad (causa-efecto), y se establece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente. Sin embargo, en Matem´ aticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque no exista ning´ un tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones de manera artificial.

La idea de ((funci´ on)) que se adquiere en los primeros contactos con el C´ alculo, tanto en la Ense˜ nanza Secundaria como en el Bachillerato, por lo com´ un, suele identificar el concepto de funci´ on con una ((f´ ormula)), por ejemplo f (x) = x2 − 5x + 6, y se entiende que esta f´ ormula asocia a cada n´ umero real x otro n´ umero real f (x). Basta sustituir x por un n´ umero concreto y hacer las operaciones indicadas, para obtener su imagen. Tambi´en se comprende que ciertas f´ ormulas, tales como √ g(x) = x − 4, no est´en definidas para todos los n´ umeros reales, y por tanto, que haya n´ umeros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah´ı el estudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso el de Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones definidas ((a trozos)), ((en partes)), o ((seg´ un los casos)). Es decir, funciones en las que no todos los n´ umeros tienen el mismo tratamiento, sino que seg´ un sea el n´ umero se le aplica una f´ ormula u otra para calcular su imagen. El ejemplo

19

1.3. FUNCIONES m´ as caracter´ıstico de este tipo de funciones es la funci´ on valor absoluto h(x) = |x| que se define ((a trozos)) de la siguiente forma  x si x ≥ 0 h(x) = −x si x < 0

M´ as incomprensible suelen se las funciones que se definen ((con un punto aparte)) como la funci´ on  sen x si x = 6 0 x k(x) = 1 si x = 0 o las funciones definidas ((seg´ un la naturaleza)) del punto, como por ejemplo  x si x ∈ Q l(x) = −x si x ∈ R − Q en donde a los n´ umeros racionales se les aplica una f´ ormula y a los irracionales otra. Dentro de esta asociaci´ on de ideas, funci´ on versus f´ ormula, todav´ıa es mucho m´ as incomprensible el hecho de que haya funciones para las que no exista una ((f´ ormula)) que las represente. Otra asociaci´ on de ideas que tambi´en suele resultar perniciosa a la hora de generalizar el concepto de funci´ on es el identificar la funci´ on con su ((gr´ afica)). Tanto la ((f´ ormula)) como la ((gr´ afica)) son dos instrumentos que nos ayudan, enormemente, a comprender el concepto de ((funci´ on)), pero no debemos identificar los instrumentos con el concepto mismo, ni sentirnos “atrapados” por los instrumentos a la hora de generalizar los conceptos. Estas identificaciones de ideas que realizan los alumnos de Secundaria y Bachillerato no nos deben de preocupar en demas´ıa ya que responden a las mismas identificaciones de ideas que han realizado los matem´ aticos a lo largo de la historia de las Matem´ aticas, pero es bueno explicitarlas y ponerlas de manifiesto con objeto de superarlas. Estas observaciones ponen de manifiesto que el requisito de que una funci´ on sea una f´ ormula es indebidamente restrictivo, y m´ as a´ un, el identificar las funciones con sus gr´ aficas. Por otro lado, tambi´en resulta importante hacer una clara distinci´ on entre la funci´ on misma y los valores de la funci´ on. Es decir, una cosa es la funci´ on f y otra el valor f (x). Una primera aproximaci´ on al concepto de funci´ on podr´ıa ser la siguiente definici´ on: Una funci´ on f de un conjunto A a un conjunto B (A y B no necesariamente distintos) es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un cierto subconjunto D de A, un elemento (y s´ olo uno) bien determinado y de B (adem´ as, ni A ni B pueden ser el conjunto vac´ıo).

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

20

Esto lo indicaremos de la siguiente forma, f

D⊆ A− → B o bien f : D ⊆ A → B f : x→ 7 y, o bien y = f (x) Esta definici´ on admite la posibilidad de que la funci´ on pueda no estar definida para ciertos elementos de A, as´ı como que haya elementos de B que no sean im´ agenes de elementos de A. Es decir, que tanto en A como en B puede haber elementos no relacionados mediante la funci´ on f . Y adem´ as, admite la consideraci´ on de funciones para las cuales los conjuntos A y B no son necesariamente de n´ umeros reales. Sin embargo, la definici´ on presenta un inconveniente y es que no es totalmente clara, ya que no se define lo que deba interpretarse por ((regla de correspondencia)). Una forma m´ as precisa de definir el concepto de funci´ on consiste en imaginarla como el conjunto formado por las parejas de elementos que est´ an relacionados entre s´ı. La funci´ on as´ı concebida ser´ıa un conjunto de pares ordenados f ⊆ A×B. Evidentemente cualquier conjunto de pares ordenados no define una funci´ on, ya que el primer elemento de las parejas no se puede repetir dentro del conjunto. La funci´ on, as´ı concebida, ser´ıa un conjunto, y la podemos pensar como el conjunto de puntos que integran la gr´ afica de la funci´ on. La definici´ on, en estos t´erminos, es la siguiente: Definici´ on 1.7 (Funci´ on). Sean A y B conjuntos (no vac´ıos y no necesariamente distintos). Una funci´ on de A a B es un conjunto f de pares ordenados de A × B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b′ ) son elementos de f , entonces b = b′ . f = {(a, b) ∈ A × B / (a, b) ∈ f y (a, b′ ) ∈ f ⇒ b = b′ } Resulta conveniente tener siempre presente esta doble concepci´ on de las funciones: una est´ atica, como un conjunto de pares ordenados (a, b); y otra din´ amica, como una transformaci´ on del primer elemento de cada par en el segundo b = f (a). Si (a, b) es un elemento de una funci´ on f , entonces, en vez de escribir (a, b) ∈ f , se escribe: b = f (a)

o´

f : a 7→ b

es decir, por lo general, se hace referencia al elemento b como el valor de f en el punto a, o la imagen de a bajo f . Al exigir que la imagen ha de estar bien determinada lo que estamos haciendo es eliminar la posibilidad de definir una funci´ on mediante la que se estableciera, por ejemplo, que la imagen de 4 ser´ a 2 o −2, seg´ un nos convenga en cada caso. Dominio y recorrido de una funci´ on

21

1.3. FUNCIONES

Dominio. Al conjunto de todos los elementos de A que pueden aparecer como primeros miembros de elementos de f se le llama dominio de f , y se denota por Df , o simplemente D. Es decir, el dominio est´ a formado por todos los elementos de A que tienen imagen. Recorrido. Al conjunto de todos los elementos de B que puedan aparecer como segundos miembros de elementos de f se le llama rango, recorrido, imagen o conjunto de valores de f y se denota por Rf , o simplemente R. Es decir, el recorrido est´ a formado por todos los elementos de B que son imagen. En el caso de que Df = A, la funci´ on se llama ((aplicaci´ on)), y se dice que f mapea o proyecta A en B (o que es un mapeo o proyecci´ on de A en B) y se escribe f : A → B.

Nota: No obstante, hay que advertir que algunos autores exigen en la definici´ on de funci´ on que el dominio coincida con el conjunto inicial, Df = A, e identifican ((funci´ on)) con ((aplicaci´ on)). Sin embargo, nosotros entendemos que no es necesario incluir dicha restricci´ on en la definici´ on de funci´ on, y preferimos considerar las ((aplicaciones)) como un caso particular de las ((funciones)). Nosotros hablaremos indistintamente de la funci´ on f : A → B con dominio D ⊆ A, y

de la aplicaci´ on f : D → B, salvo que, por cualquier motivo, tengamos que diferenciarlas.

Y, en general, escribiremos f : D ⊆ A → B para hacer referencia a cualquiera de las dos

funciones.

En las funciones que se estudian en C´ alculo los conjuntos A y B son subconjuntos de R o de Rn , y escribiremos: f : D ⊆ R −→ R

f : x 7−→ y o bien, y = f (x) En esta notaci´ on se enfatiza el dominio D de la funci´ on, sin embargo, el rango no queda expl´ıcito. En C´ alculo nos ocupamos mucho m´ as del dominio que del rango. Las funciones de este tipo se llaman funciones reales de una variable real (funciones reales porque las im´ agenes, f (x), son n´ umeros reales; de una variable real porque x ∈ R).

1.3.2.

Representaci´ on de funciones

Existen diversas maneras de visualizar una funci´ on, las m´ as usuales son mediante las cuatro representaciones siguientes: 1. 2. 3. 4.

Verbal – mediante una descripci´ on con palabras. Num´erica – mediante una tabla de valores. Algebraica – mediante una ecuaci´ on. Visual – mediante – una gr´ afica, – un diagrama de flechas, – una m´ aquina.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

22

Unas representaciones responden mejor a la concepci´ on est´ atica de la funci´ on, como conjunto de pares ordenados; y otras a la concepci´ on din´ amica, como proyecci´ on o transformaci´ on. Nota: Si bien, una misma funci´ on puede representarse mediante todas las maneras posibles, incluso, a veces, es conveniente utilizar varias representaciones de una misma funci´ on para tener un conocimiento m´ as completo de la misma. Hay que tener en cuenta que ciertas funciones se describen de manera m´ as natural con uno de los m´etodos que con otro.

a) Descripci´ on verbal. Una funci´ on puede venir definida mediante una descripci´ on verbal. Por ejemplo, la funci´ on que indica la relaci´ on existente entre el peso de las manzanas y el precio que hay que pagar por ellas, suponiendo que el kilo de manzanas cuesta 1.5 euros. b) Representaci´ on tabular. Una manera importante de representar una funci´ on es mediante una tabla. Es lo que hacemos, normalmente, cuando vamos a representar gr´ aficamente una funci´ on: darle valores y formar una tabla con ellos. La tabla puede construirse de manera horizontal o vertical. x y x0 y0 x1 y1 .. .. . .

x x0 x1 · · · y y 0 y1 · · ·

Este procedimiento es especialmente u ´til cuando se trata de representar funciones no num´ericas. Por ejemplo, si queremos asociar una serie de pa´ıses con sus capitales, podemos tener la siguiente funci´ on: Capital Buenos Aires Santiago Madrid M´exico Lima

Pa´ıs Argentina Chile Espa˜ na M´exico Per´ u

c) Expresi´ on algebraica. En C´ alculo la principal manera de representar una funci´ on es mediante una ecuaci´ on que liga a las variables (dependiente e independiente). Para evaluar la funci´ on se a´ısla la variable dependiente en la parte izquierda de la ecuaci´ on, con objeto de obtener la relaci´ on funcional. As´ı, si escribimos la ecuaci´ on 3x + 2y = 1 de la forma y=

1 − 3x 2

tenemos descrita y como funci´ on de x y podemos denotar la relaci´ on funcional mediante la expresi´ on f (x) =

1 − 3x 2

23

1.3. FUNCIONES

Lo que nos permite evaluar la funci´ on f en cualquier punto de su dominio, sin m´ as que sustituir x por el valor concreto. As´ı, f (5) =

−14 1 − 3(5) = = −7 2 2

Esta manera de expresar las funciones permite definir funciones por secciones, es decir, mediante varias f´ ormulas, de tal manera que seg´ un los casos se aplica una u otra. Ejemplo 1.19 (Evaluando una funci´on definida por varias f´ormulas). Dada la funci´ on definida por ( x2 + 3 si x ≥ 1 f (x) = 2x + 5 si x < 1 Evaluar f (0), f (1) y f (2). Soluci´ on. Lo que significa la expresi´ on de f (x) es que antes de decidirnos por la f´ ormula a aplicar hay que ver de qu´e n´ umero se trata. As´ı, para evaluar los n´ umeros mayores o iguales que 1 se aplica la expresi´ on x2 + 3, y para evaluar los n´ umeros menores que 1 se aplica la expresi´ on 2x + 5. En consecuencia, f (0) = 2 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5 f (1) = 12 + 3 = 1 + 3 = 4 f (2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7 d) Gr´ afica. Una manera de visualizar una funci´ on es por medio de una gr´ afica. La gr´ afica de una funci´ on de una variable, por lo general, es una curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representaci´ on de una funci´ on. Para que una curva represente una funci´ on no puede tener dos puntos en la misma vertical, ya que para que una correspondencia entre dos magnitudes sea funci´ on, la imagen tiene que ser u ´nica. Por lo tanto, una recta vertical puede cortar a la gr´ afica de una funci´ on a los sumo una vez (test de la recta vertical ). y

6

y y = f (x) •y x

x -

6

• y2 • y1

x

x -

Figura 1.9: Gr´afica de una funci´on de una variable. La circunferencia no es la gr´afica de una funci´ on (test de la recta vertical).

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

24

Nota: Aunque la gr´ afica de una funci´ on y la propia funci´ on son dos conceptos totalmente diferentes (la gr´ afica no es m´ as que uno de los multiples instrumentos que podemos utilizar para visualizar la funci´ on), es usual identificar una funci´ on con su gr´ afica. As´ı, por ejemplo, es costumbre referirse a la par´ abola y = x2 , como si ambos conceptos fueran lo mismo. (Nosotros, para evitar sutilezas, por lo general, diremos la par´ abola de ecuaci´ on y = x2 ).

De lo dicho se desprende que existe una gran cantidad de ((curvas)) que quedan excluidas del concepto de funci´ on, entre ellas, la circunferencia y la elipse. Sin embargo, no por ello quedan excluidas de nuestro estudio. Sino que aplicaremos las propiedades de las funciones a las correspondencias que no lo son descomponi´endolas en funciones. Por ejemplo, la ecuaci´ on de una 2 2 circunferencia x + y = 1 no representa (globalmente) una funci´ on, ya que para cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra, con lo cual se viola el concepto de funci´ on. En consecuencia, la descomponemos en dos funciones: una que toma el valor positivo (semicircunferencia superior), y otra el valor negativo (semicircunferencia inferior). En efecto, tenemos: √  p y1 = +√1 − x2 2 2 2 2 2 x +y =1 ⇒ y =1−x ⇒ y =± 1−x ⇒ y2 = − 1 − x2 y

y

6 x2 + y 2 = 1

√

6 y = + 1 − x2

-x

-x

y

6 -x √ y = − 1 − x2

Figura 1.10: La circunferencia no es una funci´on, pero podemos descomponerla en dos funciones.

e) Diagrama de flechas. Existe otra manera de visualizar una funci´ on, sobre todo a nivel te´ orico, como una proyecci´ on de una parte del conjunto A hacia una parte del conjunto B. Para visualizarla se utiliza un diagrama de flechas. ar Df A

f

Rr b Rf B

Figura 1.11: Funci´on vista como proyecci´on

Cuando (a, b) ∈ f , nos imaginamos que f toma el elemento a del subconjunto Df de A y lo proyecta o mapea en el elemento b = f (a) del subconjunto Rf de B.

25

1.3. FUNCIONES

f ) La funci´ on como una m´ aquina. Existe otra manera de visualizar una funci´ on, concebida como una transformaci´ on, especialmente u ´til para comprender algunas propiedades te´ oricas, y que consiste en imaginar la funci´ on como una ((m´ aquina)) que acepta elementos de Df como materia prima produciendo elementos correspondientes de Rf como producto final. x →

f

→ f (x)

Figura 1.12: La funci´on como una m´aquina de transformaci´on. Esta representaci´ on aclara la diferencia entre f y f (x); lo primero es la m´ aquina y lo segundo el producto de la m´ aquina al ser alimentada por x.

1.3.3.

Dominio impl´ıcito de una funci´ on

El dominio de una funci´ on puede venir expresado expl´ıcitamente junto con la ecuaci´ on que define la funci´ on (dominio expl´ıcito), o bien, no se expresa porque se entiende que viene determinado impl´ıcitamente en la ecuaci´ on que define la funci´ on (dominio impl´ıcito). El dominio impl´ıcito es el conjunto de todos los n´ umeros para los que est´ a definida la ecuaci´ on que define la funci´ on. Por ejemplo, la funci´ on √ f (x) = x + 3 x ∈ {1, 6, 13} tiene como dominio expl´ıcito solamente Df = {1, 6, 13}, y por tanto s´ olo se debe aplica a los n´ umero indicados, mientras que la funci´ on √ f (x) = x + 3 tiene como dominio impl´ıcito Df = {x / x ≥ −3} que son todos los n´ umeros para los que tiene sentido la ecuaci´ on que define la funci´ on. En las aplicaciones pr´ acticas del C´ alculo, cuando se conoce el significado de las magnitudes que intervienen, el dominio de la funci´ on, por lo general, queda determinado por el contexto del problema (dominio contextual). Ejemplo 1.20 (Hallando el dominio de una funci´on). Encontrar el dominio de las funciones a) f (x) =

x 2 x −1

b) g(x) =

√

x−1

x−2 c) h(x) = √ x−1

d) k(x) = ln x

Soluci´ on. a) Se trata de encontrar aquellos n´ umeros, x, para los cuales tiene sentido la f´ ormula dada para f (x). Es decir ¿qu´e valores pueden darse a x, de manera que al realizar las operaciones indicadas en la expresi´ on que define f (x) se obtenga un valor num´erico y no tropecemos con una operaci´ on imposible?

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

26

Es evidente que, en este caso, el dominio de la funci´ on es todo el conjunto R excepto los n´ umeros 1 y -1, es decir, Df = R − {−1, 1}, pues la expresi´ on puede ser calculada para cualquier n´ umero real, excepto para esos dos n´ umeros. En efecto, 2 2 = 22 − 1 3 0 0 f (0) = 2 = =0 0 −1 −1

f (2) =

Sin embargo, al sustituir cualquiera de los n´ umeros 1 o -1 tropezamos con una operaci´ on imposible, como es dividir por cero. 1 1 = −1 0 −1 −1 = f (−1) = 2 (−1) − 1 0 f (1) =

12

La determinaci´ on de los n´ umeros 1 y -1 se realiza resolviendo la ecuaci´ on x2 − 1 = 0

→

x2 = 1

→

x = ±1

T´engase en cuenta que en una fracci´ on la u ´nica limitaci´ on que existe es que el denominador no puede tomar el valor cero, mientras que el numerador puede tomar cualquier valor. b) Se trata de una ra´ız cuadrada, luego el radicando no puede ser negativo. En consecuencia x−1≥0

→

x≥1

⇒

Dg = [1, +∞)

c) En esta caso, al estar la ra´ız cuadrada en el denominador no puede tomar el valor cero, luego el radicando ha de ser estrictamente positivo, En consecuencia x − 1 > 0 → x > 1 ⇒ Dh = (1, +∞) d) El logaritmo s´ olo est´ a definida para los n´ umeros positivos. En consecuencia Dk = (0, +∞) Nota: Al calcular el dominio de una funci´ on deben tenerse en cuenta, entre otras, las siguientes circunstancias: 1. 2. 3.

Que no se puede dividir por cero. Que las ra´ıces de ´ındice par s´ olo est´ an definidas para los n´ umeros positivos y el cero. Que los logaritmos s´ olo est´ an definidos para los n´ umeros positivos.

27

1.3. FUNCIONES

1.3.4.

Restricciones y extensiones de funciones

Restricci´ on Si f es una funci´ on con dominio Df y D1 es un subconjunto de Df , D1 ⊆ Df , se puede definir una nueva funci´ on f1 con dominio D1 por medio de f1 (x) = f (x) para cada x ∈ D1 . Esta funci´ on se llama restricci´ on de f al conjunto D1 . Es decir, f1 = {(a, b) ∈ f / a ∈ D1 } y se escribe f1 = f |D1 para denotar la restricci´ on de la funci´ on f al conjunto D1 . Extensi´ on Si g es una funci´ on con dominio Dg y D2 ⊇ Dg , entonces cualquier funci´ on g2 con dominio D2 tal que g2 (x) = g(x) para todo x ∈ Dg se llama una extensi´ on de g al conjunto D2 . Nota: Usualmente no nos referiremos expl´ıcitamente a las restricciones de una funci´ on, sino que lo haremos de manera impl´ıcita utilizando el siguiente lenguaje: Sea f una funci´ on definida en un entorno de x0 , entonces ... o bien, sea f una funci´ on definida y que cumple tal condici´ on en un conjunto D1 , entonces ... u otras expresiones similares. Entendemos que, en dichos casos, la funci´ on puede tener un dominio superior, pero que el entorno o el conjunto D1 , respectivamente, est´ an contenidos en ese dominio. Sin hacer disquisiciones exquisitas sobre si nos estamos refiriendo a la funci´ on o a una restricci´ on de la misma.

1.3.5.

Composici´ on de funciones.

Composici´ on de funciones, en general. Componer dos funciones consiste en aplicar la segunda funci´ on al resultado de la primera. Es decir, para ((componer)) dos funciones se aplica primero f a cada x en Df y despu´es se aplica g a f (x), siempre que sea posible (es decir, cuando f (x) pertenezca a Dg ). f

g

x 7−→ y 7−→ z
x 7−→f (x)7−→ g f (x)

Por ejemplo, si f est´ a definida en todo R por f (x) = x3 y g est´ a definida s´ olo para √ on g ◦ f s´ olo se puede definir para x ≥ 0, y x ≥ 0 por g(x) = x, entonces, la composici´ √ para estos n´ umeros reales deber´ a tener el valor x3 .

En consecuencia, para poder componer dos funciones el conjunto final de la primera funci´ on tiene que coincidir, de alguna manera, con el conjunto inicial de la segunda. f

g

A −→ B −→ C Definici´ on 1.8 (Composici´ on como aplicaci´ on sucesiva de funciones). Sea f una funci´ on con dominio Df en A y rango Rf en B y sea g una funci´ on con dominio Dg en B y rango Rg en C. La composici´ on g ◦ f (observe el orden) es la funci´ on desde A a C dada por g◦f = {(a, c) ∈ A×C / existe un elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g}

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

28

De la propia definici´ on se desprende inmediatamente que si f y g son funciones, entonces la composici´ on g ◦ f es una funci´ on con Dg◦f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg }
Rg◦f = {g f (x) / x ∈ Dg◦f }

La composici´ on de funciones tambi´en se puede interpretar como una sustituci´ on de una funci´ on en la otra. En este sentido, la composici´ on tambi´en se puede definir de la siguiente forma Definici´ on 1.9 (Composici´ on como sustituci´ on de la variable). Sean f y g dos funciones cualesquiera. Se llama composici´ on de f con g, y se representa por g ◦ f , a la funci´ on definida del siguiente modo:   g ◦ f (x) = g f (x) El dominio de g ◦ f es el conjunto de todas las x del dominio de f tales que f (x) est´e en el dominio de g Dg◦f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg } Obs´ervese que el orden en que se escribe la composici´ on g ◦f es el inverso al orden en que act´ uan las funciones (primero f , despu´es g). La composici´ on de funciones se puede visualizar mediante un diagrama de m´ aquinas (Fig. 1.13) o un diagrama de flechas (Fig. 1.14) x →

f

→ f (x)

→

g

  → g f (x)

Figura 1.13: La m´aquina g ◦ f est´a compuesta por las dos m´aquinas. f x

g R

•

• f (x)

R

•  g f (x)

*

g◦f Figura 1.14: Composici´on de funciones De la definici´ on se deduce que la composici´ on de funciones no siempre est´ a definida, siendo necesario y suficiente para ello que el recorrido de la primera tenga puntos comunes con en el dominio de la segunda. Es decir, Rf ∩ Dg 6= ∅

29

1.3. FUNCIONES con objeto de que se pueda establecer la conexi´ on
x 7−→ f (x) 7−→ g f (x)

para alg´ un elemento x ∈ Df .

Nota: No obstante, en ocasiones, y sobre todo a nivel te´ orico, nos va a interesar que el dominio de la funci´ on compuesta no se reduzca a un conjunto de ((puntos aislados)), sino que se trate de un ((conjunto abierto)), con objeto de poder asegurar determinados teoremas, por ejemplo, de derivaci´ on. En el caso particular de que el recorrido de la primera funci´ on est´e totalmente contenido en el dominio de la segunda, resultar´ a que el dominio de la composici´ on coincidir´ a con el dominio de la primera funci´ on.

f

g R

Df

R

Dg *

A

B

C

g◦f


Figura 1.15: f Df ⊆ Dg ⇔ Dg◦f = Df Si no se da esta situaci´ on, entonces exigiremos la posibilidad de poder restringir la funci´ on f a un nuevo dominio Df∗ , que cumpla
las condiciones exigidas en el teorema correpondiente, y para el que se cumpla f Df∗ ⊆ Dg , con objeto de que Dg◦f = Df∗ . Ahora bien, en la pr´ actica, cuando vamos a resolver un problema de composici´ on de funciones, para ver si es posible la composici´ on, simplemente nos fijaremos en los conjuntos inicial y final de cada funci´ on, sin hacer referencia a los dominios. En consecuencia, bastar´ a observar si el conjunto final de la primera funci´ on coincide (o se puede hacer coincidir, de alguna manera) con el conjunto inicial de la segunda, y posteriormente haremos referencia al dominio de la composici´ on obtenida. Es decir, para componer buscaremos la posibilidad de la situaci´ on: f g A −→ B B −→ C

para poder establecer:

g◦f

A −→ C

Para representar la composici´ on de funciones, algunas veces, son c´ omodos los siguientes diagramas conmutativos: f

A −−−−→ B hց ւg C Decir que el esquema es conmutativo significa que da lo mismo pasar de A a C por la derecha que por la izquierda. Lo que equivale a escribir: h = g ◦ f . Tambi´en es costumbre representar el diagrama anterior con un aspecto m´ as lineal f g A −→ B −→ C

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

30

Hay que advertir que, en general, la composici´ on de funciones no es conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser´ a f ◦g 6= g◦f , incluso, puede suceder que est´e definida la composici´ on en un orden y no en el otro. Sin embargo, s´ı se cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. Composici´ on de funciones reales de una variable real. Componer dos funciones consiste en aplicar la segunda funci´ on al resultado de la primera. Ahora bien, desde el punto de vista anal´ıtico, este concepto puede tener una segunda lectura. Anal´ıticamente, la composici´ on de funciones, tambi´en significa sustituir una funci´ on en la otra. Es decir, si tenemos la funci´ on y = f (x) que establece la dependencia entre y y x, y la funci´ on x = g(t), que establece la dependencia entre ´ltima en
x y t, podemos sustituir esta u la primera y obtener y = f g(t) . A la funci´ on as´ı obtenida (que env´ıa t a y) se le llama composici´ on de f con g y se denota por f ◦ g. Obs´ervese que el orden en que se escribe la composici´ on f ◦ g es el inverso al orden en que act´ uan las funciones (primero g, despu´es f ). Conviene tener siempre presente esta doble visualizaci´ on de la composici´ on de funciones: como aplicaci´ on sucesiva de dos funciones, y como sustituci´ on de la variable por una funci´ on de otra variable. En esquema ser´ıa lo siguiente: (a) Como aplicaci´ on sucesiva de funciones: f

g t•

R

x•

R *

•y

f ◦g Figura 1.16: Composici´on de funciones (b) Como sustituci´ on de la variable: y = f (x) x = g(t)




y = f g(t)

Es evidente, como ya se ha dicho, que para poder componer dos funciones, en su totalidad, el rango de la primera ha de estar contenido en el dominio de la segunda g(Dg ) ⊆ Df , en caso contrario, despu´es de aplicar g no podr´ıamos aplicar f . Sin embargo, esta restricci´ on no es necesaria para poder realizar, parcialmente, la composici´ on de las funciones, s´ olo que, en este caso, habr´ a que reducir el dominio de la composici´ on a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Desde el punto de vista formal la composici´ on, de funciones reales de una variable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones

31

1.3. FUNCIONES

g : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composici´ o
n de f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la funci´ on (f ◦ g)(x) = f g(x) . )  g f
g:I⊆R→R I− →J − →R (f ◦ g)(x) = f g(x) f :J ⊆R→R f ◦g :I ⊆R→R En el caso de que no se cumpla la condici´ on g(I) ⊆ J, la composici´ on tambi´en es posible, siempre que g(I) ∩ J 6= ∅. En tal caso habr´ a que restringir las funciones a aquellos puntos en los que la composici´ on sea posible. Es decir, a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Ejemplo 1.21 (Componiendo funciones). Dada las funciones f (x) = 3x − 1

y

g(x) = x2 + 2

Hallar f ◦ g(x) y g ◦ f (x)


Soluci´ on. Tenemos que f ◦ g(x) = f g(x) , luego, bastar´ a con sustituir en f (x) el valor de x por g(x). As´ı,
f ◦ g(x) = f g(x) = 3g(x) − 1 = 3(x2 + 2) − 1 = 3x2 + 6 − 1 = 3x2 + 5
Mientras que g ◦f (x) = g f (x) , luego, bastar´ a con sustituir en g(x) el valor de x por f (x). As´ı,

2 g◦f (x) = g f (x) = f (x) +2 = (3x−1)2 +2 = 9x2 −6x+1+2 = 9x2 −6x+3 Nota: Como se observa en este ejemplo, en general, la composici´ on de funciones no cumple

la propiedad conmutativa. Es decir, f ◦ g 6= g ◦ f .

1.3.6.

Funciones inyectivas e inversas

Funci´ on inyectiva. Una funci´ on se dice que es inyectiva cuando elementos distintos tienen im´ agenes distintas, es decir, cuando no existen dos elementos distintos con la misma imagen. Por tanto, f es inyectiva si y s´ olo si: f (a) = f (a′ ) ⇒ a = a′ O bien, alternativamente, f es inyectiva si y s´ olo si, para a y a′ en Df , se tiene a 6= a′ ⇒ f (a) 6= f (a′ ) Formalmente se puede establecer la siguiente definici´ on: Definici´ on 1.10 (Funci´ on inyectiva). Sea f una funci´ on con dominio Df en A y rango Rf en B. Se dice que f es inyectiva o uno a uno si, cada vez que (a, b) y (a′ , b) son elementos de f , entonces a = a′

32

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS Si f es inyectiva se dice que f es una inyecci´ on.

Funci´ on inversa. Se llama rec´ıproca de una funci´ on a la correspondencia que se obtiene al intercambiar las im´ agenes por los correspondientes originales de dicha funci´ on. Evidentemente la rec´ıproca de una funci´ on no tiene por qu´e ser otra funci´ on. En efecto, basta que dos elementos diferentes tengan la misma imagen, para que la rec´ıproca asigne a esa imagen los dos originales, lo que contradice la definici´ on de funci´ on. Sin embargo, si la funci´ on es inyectiva, entonces la rec´ıproca es una funci´ on y, adem´ as, es inyectiva. Es decir, si f es inyectiva desde A a B, entonces el conjunto de pares ordenados en B × A que se obtienen al intercambiar las componentes de cada uno de los pares ordenados de f da una funci´ on g que tambi´en es inyectiva. Teorema 1.1 (Existencia de funci´ on la inversa). Una funci´ on posee funci´ on inversa si y s´ olo si es inyectiva Las relaciones entre una funci´ on f y su inversa g son las siguientes: ( f Dg = Rf , Rg = Df − → A − ← −− − − B g (a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ g o bien b = f (a) ⇔ a = g(b) La funci´ on g se llama funci´ on inversa o rec´ıproca de f y se denota por f −1 . En consecuencia: ( f Df −1 = Rf , Rf −1 = Df − − − → A ←−−1 −− B (a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1 o bien b = f (a) ⇔ a = f −1 (b) f En consecuencia, se puede establecer la siguiente Definici´ on 1.11 (Funci´ on rec´ıproca o inversa). Sea f una inyecci´ on con dominio Df en A y rango Rf en B. Si g = {(b, a) ∈ B × A / (a, b) ∈ f }, entonces g es una inyecci´ on con dominio Dg = Rf en B y con rango Rg = Df en A. La funci´ on g se llama funci´ on inversa de f y se denota por f −1 Desde el punto de vista del mapeo, la funci´ on inversa se puede interpretar de la siguiente forma: Si f es inyectiva mapea elementos distintos de Df hacia elementos distintos de Rf . De tal manera que cada elemento b de Rf es la imagen bajo f de un u ´nico elemento a de Df . La funci´ on inversa f −1 mapea el elemento b hacia este elemento u ´nico a. Proposici´ on 1.7 (Composici´ on de funciones rec´ıprocas). Dos funciones son rec´ıprocas si y solamente si, al componerlas se obtiene la identidad. Es decir,
f f −1 (x) = x para todo x del dominio de f −1 y
f −1 f (x) = x para todo x del dominio de f

33

1.3. FUNCIONES f

ar Df

rb Rf

f −1

A

B

Figura 1.17: Funci´on inversa

Nota: En consecuencia, para que dos funciones reales de variable real, f y g, sean inversas la una de la otra se ha de cumplir: 1. 2. 3.

Dg = R f , y R g = Df . Que ambas sean inyectivas: f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 y g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ x1 = x2

Que su composici´ on sea la identidad f g(x) = g f (x) = x

Ejemplo 1.22 (Componiendo funciones rec´ıprocas). Comprobar que las siguientes funciones son rec´ıprocas f (x) = x3 + 1

y

g(x) =

√ 3

x−1

Soluci´ on. Se tiene: a) Los dominios y recorridos de ambas funciones coinciden con el conjunto de los n´ umeros reales. En consecuencia Dg = Rf , y Rg = Df b) Ambas funciones son inyectivas. En efecto. f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x31 + 1 = x32 + 1 ⇒ x31 = x32 ⇒ x1 = x2 g(x1 ) = g(x2 ) ⇒

√ 3

x1 − 1 =

√ 3

x2 − 1 ⇒ x1 − 1 = x2 − 1 ⇒ x1 = x2

c) La composici´ on de f con g viene dada por √
3
f g(x) = 3 x − 1 + 1 = x − 1 + 1 = x

y la composici´ on de g con f viene dada por

p √
q
3 3 g f (x) = 3 x3 + 1 − 1 = x3 + 1 − 1 = x3 = x



Luego se tiene que f g(x) = g f (x) = x y, en consecuencia, podemos concluir que f y g son inversas una de otra. En la Figura 1.18 aparecen las gr´ afica de las funciones f y g. Como puede verse, son sim´etricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = x. Es decir, la gr´ afica de f −1 es una reflexi´ on de la gr´ afica de f en la l´ınea y = x.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

34 3

y=x

y

2 1

f (x) = x3 + 1 x

0 -1

g(x) =

√ 3

-2

x−1

-3 -3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 1.18: Proposici´ on 1.8 (Rec´ıproca de la rec´ıproca). Si g es la inversa de f , entonces tambi´en f es la inversa de g. Es decir, la rec´ıproca de la rec´ıproca es la propia funci´ on.
−1 f −1 =f

Nota: Hay que advertir que aunque para denotar a la funci´ on inversa se utiliza el exponente −1, no por eso se trata de una potencia. La utilizaci´ on de esta notaci´ on es c´ omoda porque algunas propiedades de la funci´ on inversa recuerdan las propiedades de las poten
−1 = f. cias, como es que la rec´ıproca de la rec´ıproca coincide con la propia funci´ on f −1 Sin embargo, hay que advertir que esta notaci´ on puede inducir a enga˜ no, ya que, en general f −1 (x) 6=

1 f (x)

C´ alculo de la correspondencia rec´ıproca. Para calcular la rec´ıproca de una funci´ on se pueden seguir dos procedimientos: a) Deshaciendo operaciones. Consiste en deshacer las operaciones en el orden inverso al que est´ an realizadas en la funci´ on dada. Este m´etodo solamente es aplicable a funciones que vienen definidas mediante ecuaciones sencillas, en las que aparece una sola vez la variable independiente x. Partiendo de x vemos qu´e operaciones hay que realizar para construir la funci´ on f (x). La inversa se obtiene deshaciendo las operaciones en el orden inverso al que est´ an realizadas en la funci´ on dada. b) Despejando la variable independiente. Consiste en despejar la variable independiente, x, en la ecuaci´ on y = f (x), con objeto de obtener la rec´ıproca, x = g(y) (que puede expresarse en t´erminos de x intercambiando x por y para obtener y = g(x)). Nota: Los pasos a seguir para calcular la funci´ on inversa son: 1.

Comprobar que la funci´ on es inyectiva y, en consecuencia, tiene funci´ on inversa (Teorema 1.1 p´ ag. 32).

2.

Despejar x en funci´ on de y: x = g(y) = f −1 (y).

3.

intercambiar x por y, con objeto de tener la funci´ on inversa en t´erminos de x: y = g(x) = f −1 (x).

35

1.3. FUNCIONES 4.

Definir el dominio de f −1 como el recorrido de f .

Ejemplo 1.23 (Deshaciendo operaciones). Calcular la rec´ıproca de las siguientes funciones a) f (x) = x + 3

b) f (x) = 3x

b) f (x) = 5x3 + 2

Soluci´ on. Las tres funciones son inyectivas y est´ an definidas para todos los n´ umeros reales, en consecuencia, sus correspondencias rec´ıprocas son funciones. Para calcularlas, partimos de x y deshacemos las operaciones, en el orden inverso al que est´ an dadas. As´ı, a) La funci´ on f supone sumar 3. En consecuencia, su rec´ıproca consistir´ a en restar 3. f (x) = x + 3 ⇒ f −1 (x) = x − 3 b) La funci´ on f supone multiplicar por 3. En consecuencia, su rec´ıproca consistir´ a en dividir por 3. f (x) = 3x

⇒

f −1 (x) = x/3

c)La funci´ on f supone: 1o ) Elevar al cubo

2o ) Multiplicar por 5

3o ) Sumar 2

En consecuencia, su rec´ıproca consistir´ a en: 1o ) Restar r 2

Luego, f −1 (x) =

3

2o ) Dividir por 5

3o ) Extraer la ra´ız c´ ubica.

x−2 5

Ejemplo 1.24 (Hallando la funci´on rec´ıproca). Hallar, si existen, las funciones inversas de: a) f (x) = x2 b) f (x) = x2 con Df = {x ∈ R/ x ≥ 0} c) f (x) = x2 con Df = {x ∈ R/ x ≤ 0} Soluci´ on. a) La funci´ on f (x) = x2 con dominio Df = R no es inyectiva y en consecuencia la correspondencia inversa no es una funci´ on. En efecto, la funci´ on f es la funci´ on f = {(x, x2 ); x ∈ R}, y f´ acilmente se ve que no es uno a uno. En efecto, f (2) = f (−2) = 4, y en consecuencia los dos pares ordenados (2, 4) y (−2, 4) pertenecen a f . En general, se tiene  x1 = x2 2 2 f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ⇒ x1 = −x2 b) En este caso, al haberse restringido el dominio de la funci´ on, exclusivamente, a los n´ umeros no negativos, la funci´ on resulta inyectiva. En efecto, f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x21 = x22 ⇒ x1 = x2

36

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

En consecuencia, la funci´ on tiene inversa. El procedimiento para calcular la funci´ on inversa consiste en expresar x en funci´ on de y. √ y = x2 ⇒ x = y y ∈ Rf = {y ∈ R; y ≥ 0} √ O bien, expresado en t´erminos de x, f −1 (x) = x c) Este caso es similar al caso anterior. La funci´ on tambi´en es inyectiva y, en consecuencia, tiene inversa. √ f −1 (x) = − x Proposici´ on 1.9 (Simetr´ıa de las correspondencias inversas). La gr´ afica de una correspondencia f y la de su rec´ıproca f −1 son sim´etricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = x Demostraci´ on. En efecto, por definici´ on de la inversa, se tiene (a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1 y

f

y=x

(b, a) f −1 (a, b) x

Figura 1.19: Simetr´ıa de las correspondencias inversas Para que la correspondencia rec´ıproca f −1 de una funci´ on f sea otra funci´ on, la funci´ on f ha de ser inyectiva. Gr´ aficamente puede determinarse si una funci´ on es inyectiva o no mediante el criterio de la recta horizontal. Una funci´ on es inyectiva si y s´ olo si su gr´ afica no tiene nunca dos puntos en la misma horizontal. Por tanto, una funci´ on f tiene funci´ on inversa si y s´ olo si cada recta horizontal corta a la gr´ afica de f a lo sumo una vez. Nota: En consecuencia se tienen los dos criterios: a) Criterio de la recta vertical. Para que una curva represente una funci´ on, no puede tener dos puntos en la misma vertical. b) Criterio de la recta horizontal. Para que una funci´ on sea inyectiva y, en consecuencia, tenga funci´ on inversa, su gr´ afica no puede tener dos puntos en la misma horizontal.

Proposici´ on 1.10 (Las funciones estrictamente mon´ otonas son inyectivas). Si una funci´ on f es estrictamente mon´ otona en un intervalo, entonces es inyectiva en ese intervalo.

1.3. FUNCIONES

37

Demostraci´ on. Una funci´ on es estrictamente mon´ otona en un intervalo si es: o bien estrictamente creciente, en dicho intervalo; o bien estrictamente decreciente. Por otro lado, una funci´ on es inyectiva si puntos distintos tienen im´ agenes distintas. Es decir, x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) Elijamos x1 y x2 en el intervalo dado. Si x1 6= x2 ser´ a: o bien x1 < x2 ; o bien x1 > x2 . Y al ser f estrictamente mon´ otona ser´ a f (x1 ) < f (x2 ); o bien f (x1 ) > f (x2 ). En ambos casos f (x1 ) 6= f (x2 ). Por tanto f es inyectiva en el intervalo.      f (x1 ) < f (x2 )   x1 < x2  o´ o ´ ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) ⇒ x1 6= x2 ⇒     f (x1 ) > f (x2 ) x1 > x2

Nota: El rec´ıproco de esta proposici´ on no es cierto. Es decir, una funci´ on inyectiva no

tiene porqu´e ser estrictamente mon´ otona. Es m´ as, puede ser estrictamente creciente en un intervalo y estrictamente decreciente en otro intervalo, con tal de que no haya dos puntos en la misma horizontal

Corolario 1.1. Si una funci´ on es estrictamente mon´ otona, entonces tiene funci´ on inversa. Demostraci´ on. En efecto, si la funci´ on es estrictamente mon´ otona, entonces ser´ a inyectiva y, en consecuencia, tendr´ a inversa.

1.3.7.

Funciones suprayectivas y biyectivas

Definici´ on 1.12 (Funci´ on suprayectiva). Sea f una funci´ on con Df ⊆ A y rango Rf ⊆ B. Se dice que f es suprayectiva o sobreyectiva cuando el rango coincide con el conjunto final Rf = B Definici´ on 1.13 (Funci´ on biyectiva). Sea f una funci´ on con Df ⊆ A y rango Rf ⊆ B. Se dice que f es biyectiva si es, simult´ aneamente, inyectiva y suprayectiva. Si una funci´ on es biyectiva, se dice que es una biyecci´ on.

1.3.8.

Im´ agenes directa e inversa de un conjunto

Sea f una funci´ on arbitraria con dominio Df en A y rango Rf en B. Se define2 , Definici´ on 1.14 (Imagen directa de un conjunto). Si E es un subconjunto de A, entonces la imagen directa de E bajo f es el subconjunto de Rf dado por f (E) = {f (x); x ∈ E ∩ Df } 2

Para m´ as detalles sobre estos temas v´ease [3, Bartle], citado en la bibliograf´ıa.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

38

Si E ∩ Df = ∅, entonces f (E) = ∅. Si E contiene un u ´nico elemento p de Df , entonces el conjunto f (E) contiene un u ´nico punto f (p) Definici´ on 1.15 (Imagen inversa de un conjunto). Si H es un subconjunto de B, entonces, la imagen inversa de H bajo f es el subconjunto de Df dado por: f −1 (H) = {x; f (x) ∈ H}

1.3.9.

Funciones pares e impares

Definici´ on 1.16 (Funciones pares e impares). Una funci´ on y = f (x) se dice que es par si f (−x) = f (x) Una funci´ on y = f (x) se dice que es impar si f (−x) = −f (x) Nota: En las funciones pares al cambiar x por −x se obtiene la misma expresi´ on total.

En las funciones impares al cambiar x por −x la expresi´ on total cambia de signo.

Ejemplo 1.25. Determinar si las siguientes funciones son pares o impares a) f (x) = x2 − 1

b) g(x) = x3 + x

c) h(x) = x2 + x

Soluci´ on. a) Esta funci´ on es par ya que f (−x) = (−x)2 − 1 = x2 − 1 = f (x) b) Esta funci´ on es impar ya que g(−x) = (−x)3 + (−x) = −x3 − x = −(x3 + x) = −g(x) c) Esta funci´ on no es ni par ni impar. En efecto,  6 h(x) = 2 2 h(−x) = (−x) + (−x) = x − x 6= −h(x) Proposici´ on 1.11 (Simetr´ıa de las funciones pares e impares). La gr´ afica de una funci´ on par es sim´etrica respecto del eje vertical y la gr´ afica de una funci´ on impar es sim´etrica respecto del origen de coordenadas.

1.3.10.

La funci´ on valor absoluto

Ejemplo 1.26. Representar la funci´ on f (x) = |x| Soluci´ on. Ejemplo 1.27. Representar la funci´ on f (x) = |x2 − 6x + 5|

Soluci´ on.

39

1.3. FUNCIONES y

y

(−x, y)

(x, y)

(x, y) x

x (−x, −y)

Funci´ on par: f (−x) = f (x)

Funci´ on impar: f (−x) = −f (x)

Figura 1.20: Simetr´ıa de las funciones pares e impares

@

@

y6 @

@

x -

Figura 1.21: Gr´afica de la funci´on valor absoluto f (x) = |x|

Ejercicios propuestos de la secci´ on 1.3. Funciones Soluciones en la p´ agina 379

1.3.1. Dada la funci´ on f (x) =

√

x + 1, hallar

a) f (−2)

b) f (−1)

c) f (3)

d) f (x + ∆x)

1.3.2. Hallar el dominio de las funciones a) f (x) =

p

x2 − 1

b) g(x) = ln(x − 3)

1.3.3. Dadas las funciones f (x) =
a) f g(1)


b) f g(0)

y 5 4 3 2 1

√

c) h(x) = arc sen(x − 1)

x y g(x) = x − 1, hallar


c) f g(x)


d) g f (1)


e) g f (0)

6

x 0 1 2 3 4 5 6

Figura 1.22: Gr´afica de la funci´on f (x) = |x2 − 6x + 5|


f) g f (x)

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

40

1.4.

L´ımite de sucesiones

Sucesi´ on Una sucesi´ on es un conjunto de infinitos n´ umeros ordenados seg´ un alg´ un criterio. Ejemplo, 1 1 1 1 1 {1, , , , , · · · , , · · · } 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 n { , , , , ,··· , ,···} 2 3 4 5 6 n+1 π {1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } 2 Las sucesiones se pueden considerar como funciones, donde el primer conjunto es el de los n´ umeros naturales. 1 2 3 ··· n ··· ↓ ↓ ↓ ··· ↓ ··· { a1 a2 a3 · · · an · · · }

N ↓ R

Aunque las sucesiones son funciones, es costumbre representarlas mediante sub´ındices en lugar de la notaci´ on funcional. As´ı, en vez de a(n) se escribe an . Nota: El motivo de esta notaci´ on es que con an queremos enfatizar, m´ as que la imagen del n´ umero n, el t´ermino que ocupa en lugar n en la sucesi´ on.

A los n´ umeros que componen la sucesi´ on a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama t´erminos de la sucesi´ on y a an se le llama “t´ermino general” o “n-simo t´ermino” de la sucesi´ on y denotaremos la sucesi´ on por {an }. Definici´ on 1.17 (Sucesi´ on). Una sucesi´ on an es una funci´ on cuyo dominio es el conjunto de los n´ umeros naturales a : N → R. A los valores de la funci´ on a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama t´erminos de la sucesi´ on y al t´ermino an se le llama “t´ermino general” o “n-simo t´ermino” de la sucesi´ on y denotaremos la sucesi´ on por {an }. La gr´ afica de una sucesi´ on es un conjunto de infinitos puntos separados (aislados) unos de otros. an an = n1 6 r 1 r r r r n 0 1 2 3 4 5 -1

n an an = n+1 6 1 r r r r r n 0 1 2 3 4 5 -1

Figura 1.23:

an an = sen n π2 6 r r 1 r r -n 0 1 2 3r 4 5 -1

1.4. L´IMITE DE SUCESIONES

41

L´ımite de una sucesi´ on Centraremos nuestra atenci´ on en ver si los t´erminos de una sucesi´ on se van aproximando cada vez m´ as a alg´ un valor. A ese valor se le llama l´ımite de la sucesi´ on. Las sucesiones que tienen l´ımite se llaman convergentes. 1 1 1 1 1 {1, , , , , · · · , , · · · } → 0 2 3 4 5 n n 1 2 3 4 5 ,···} → 1 { , , , , ,··· , 2 3 4 5 6 n+1 π {1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } → Sin l´ımite 2 Definici´ on 1.18 (L´ımite de una sucesi´ on). Se dice que el l´ımite de la sucesi´ on {an } es ℓ y escribimos l´ım an = ℓ

n→∞

Si para cada ε > 0 existe k > 0 tal que |an − ℓ| < ε siempre que n > k. l´ım an = ℓ ⇔

n→∞




∀ε > 0 ∃k > 0 ∀n ∈ N n > k ⇒ |an − ℓ| < ε

Las sucesiones que tienen l´ımite finito se llaman convergentes y las dem´ as divergentes Gr´ aficamente, la definici´ on dice que desde un lugar en adelante (n > k), todos los t´erminos de la sucesi´ on tienen que estar comprendidos dentro de la franja limitada por las rectas y = ℓ − ε e y = ℓ + ε an

r

Para n > k los t´erminos de la sucesi´ on est´ an todos entre ℓ − ε y ℓ + ε

r r

ℓ+ε ℓ ℓ−ε

r

r r r

r r r

r

r

r r r

r

r r r r

n 1 2 3 ...

k

Figura 1.24: n→∞ l´ım an = ℓ

Nota: Para que exista el l´ımite, ℓ, por muy estrecha que sea la franja (ℓ − ε, ℓ + ε), siempre

se puede encontrar un t´ermino a partir del cual todos los que le siguen est´ an dentro de la franja.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

42

Ejemplo 1.28 (Determinando la convergencia o divergencia de una sucesi´on). Determinar la convergencia o divergencia de las sucesiones a) an = 2 + (−1)n

b) bn = sen

nπ 2

Soluci´ on. a) Los t´erminos de la sucesi´ on an = 2 + (−1)n son 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, · · · Como la sucesi´ on siempre tiene t´erminos que oscilan entre 1 y 3, resulta que no tiene l´ımite y en consecuencia diverge (por oscilaci´ on). nπ son b)Los t´erminos de la sucesi´ on bn = sen 2 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, · · · Como la sucesi´ on siempre tiene t´erminos que oscilan entre -1 y 1, resulta que no tiene l´ımite y en consecuencia diverge (por oscilaci´ on).

C´ alculo de l´ımite de sucesiones Proposici´ on 1.12 (Propiedades algebraicas de los l´ımites de sucesiones). Si l´ım an = ℓ1 y l´ım bn = ℓ2 n→∞

n→∞

entonces se cumplen las siguientes propiedades 1. l´ım (an ± bn ) = ℓ1 ± ℓ2 n→∞

3. l´ım an bn = ℓ1 ℓ2 n→∞

5. l´ım (an )bn = (ℓ1 )ℓ2 , si ℓ1 > 0

2. l´ım ran = rℓ1 , r ∈ R n→∞ an ℓ1 4. l´ım = , bn = 6 0 y ℓ2 6= 0 n→∞ bn ℓ2

n→∞

Reglas elementales para el c´ alculo de l´ımites. Las reglas m´ as frecuentes para eliminar la indeterminaci´ on del l´ımite de una sucesi´ on son las siguientes: ∞ . Se suele eliminar dividiendo numerador y 1. Indeterminaci´ on del tipo ∞ denominador por un t´ermino que elimine uno de los dos infinitos (por ejemplo, m´ axima potencia de n).

2. Cociente de dos polinomios. Es un caso particular de la anterior. Este caso se reduce al cociente de los t´erminos de mayor grado, y se simplifica la n. ap np ap np + ap−1 np−1 + · · · + a0 = l´ ım n→∞ bq nq n→∞ bq nq + bq−1 nq−1 + · · · + b0 l´ım

1.4. L´IMITE DE SUCESIONES

43

3. Indeterminaci´ on del tipo ∞ − ∞. En el caso de que se trate de ra´ıces cuadradas la indeterminaci´ on se suele eliminar multiplicando y dividiendo por el conjugado, con objeto de tener suma por diferencia, de manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra´ız cuadrada. 4. Indeterminaci´ on del tipo 1∞ . Se aplica el n´ umero e.   1 n l´ım 1 + = e = 2,718 n→∞ n que se generaliza para los l´ımites del tipo:   1 an = e = 2,718 l´ım 1 + n→∞ an siempre que l´ım an = +∞ o´ l´ım an = −∞ n→∞

n→∞

Ejemplo 1.29. Calcular los siguientes l´ımites: n+3 n = l´ım 3 = 0 3 n→∞ n + 4 n→∞ n " 2n 2n  3n # −1  3n −2 −1 −1 1 1 =e 3 = √ 1+ = l´ım 2. l´ım 1 − 3 2 n→∞ n→∞ 3n 3n e 1.

l´ım

3.

l´ım

n→∞

√ n

1

a = l´ım a n = a0 = 1 n→∞

1 ln n ln n 1 = = l´ım = l´ım =1 ln 5n n→∞ ln 5 + ln n n→∞ ln 5 0+1 +1 ln n   ln n(1 + n3 ) ln n + ln(1 + n3 ) ln(n + 3) 5. l´ım = l´ım = l´ım = n→∞ n→∞ n→∞ ln n ln n ln n ! ln(1 + n3 ) = l´ım 1 + =1+0=1 n→∞ ln 4.

6.

l´ım

n→∞

l´ım

n→∞




 p n2 − n2 + (a + b)n + ab p = n − (n + a)(n + b) = l´ım n→∞ n + (n + a)(n + b)

−(a + b) − ab −(a + b)n − ab n q p = l´ım n→∞ n + n2 + (a + b)n + ab n→∞ 1 + 1 + (a+b) + n

= l´ım

= ab n2

=−

a+b 2

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

44 Criterio de Stoltz.

Es un criterio relacionado con las Reglas de L’Hˆ opital que s´ olo se puede aplicar a las sucesiones. Y del que, sin a´nimo de demostrar nada, podemos dar la siguiente justificaci´ on: an an+1 an an+1 an an+1 − an l´ım = l´ım ⇒ ≈ ⇒ ≈ n→∞ bn n→∞ bn+1 bn bn+1 bn bn+1 − bn

El Criterio de Stoltz se puede resumir en el siguiente esquema: an  0 ∞  an+1 − an = o´ = l´ım n→∞ bn n→∞ bn+1 − bn 0 ∞ l´ım

Formalmente el Criterio de Stoltz puede enunciarse de la siguiente manera Teorema 1.2 (Criterio de Stolz). Sean {an } y {bn } dos sucesiones. an+1 − an an an+1 − an Si existe l´ım , entonces l´ım = l´ım n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn n→∞ bn+1 − bn siempre que: 1. {bn } es una sucesi´ on mon´ otona divergente, o bien, 2. an → 0, bn → 0 y bn es mon´ otona.

Ejemplo 1.30 (Aplicando el criterio de Stolz). Calcular los siguientes l´ımites: 1.

2 + 4 + · · · + 2n  ∞  = = n→∞ 3 + 9 + · · · + 3n ∞ l´ım

(2 + 4 + · · · + 2n + 2n+1 ) − (2 + 4 + · · · + 2n ) 2n+1 = = l´ ım n→∞ (3 + 9 + · · · + 3n + 3n+1 ) − (3 + 9 + · · · + 3n ) n→∞ 3n+1  n+1  +∞ 2 2 = =0 = l´ım n→∞ 3 3

= l´ım

ln(n + 1) − ln n n+1 ln n  ∞  = l´ım = = l´ım ln =0 n→∞ n→∞ n→∞ n ∞ n+1−n n √ ln n n  ∞ l´ ım ln n l´ım √ n n→∞ n→∞ n = e∞ = 3. l´ım n = e =e

2.

l´ım

n→∞

=

l´ım

en→∞

ln(n + 1) − ln n n+1 l´ım ln n+1−n n = eln 1 = e0 = 1 = en→∞

ln(n2 + n) p l´ ım n n = 4. l´ım n2 + n = en→∞ n→∞   ln (n + 1)2 + n + 1 − ln(n2 + n) l´ım n+1−n = en→∞ = l´ım ln

= en→∞

n2 + 2n + 1 + n + 1 n2 + n = eln 1 = e0 = 1

1.4. L´IMITE DE SUCESIONES

45

Teorema 1.3 (Criterio de la Ra´ız n-sima). Sea {an } una sucesi´ on estrictamente creciente tal que l´ım an = +∞, entonces: n→∞

l´ım

n→∞

√ n

an = l´ım

n→∞

an+1 an

Demostraci´ on: En efecto, aplicando el Criterio de Stolz a la ra´ız resulta: ln an+1 − ln n √ ln an l´ım l´ım ln n an l´ım √ n n→∞ n→∞ n→∞ n+1−n = n =e =e l´ım an = e n→∞ an+1 l´ım ln an = l´ım an+1 = en→∞ n→∞ an Ejemplo 1.31 (Aplicando el criterio de la ra´ız). Calcula los siguientes l´ımites: p 1. l´ım n (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) = n→∞

(2n + 1)(2n + 2) (n + 2)(n + 3) · · · (n + n + 2) = l´ım = +∞ n→∞ n→∞ (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) (n + 1)

= l´ım

2.

1p n (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n) = n→∞ n r n (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n) = l´ım = n→∞ nn (3n + 4)(3n + 5) · · · (3n + n + 4) (3n + 1) · · · (3n + n) : = = l´ım n→∞ (n + 1)n+1 nn (3n + 4)(3n + 5) · · · (3n + n + 4)nn = = l´ım n→∞ (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n)(n + 1)n+1 (3n + n + 1)(3n + n + 2)(3n + n + 3)(3n + n + 4)nn = l´ım = n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1)(n + 1)n 43 444 1 (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n + 4)
4 = = = l´ım n n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1) n+1 333 e 33 e n l´ım

Simplificaci´ on de sumas.

Algunas sumas se pueden simplificar expresando sus t´erminos de forma telesc´ opica, es decir, como la diferencia de dos t´erminos consecutivos, de manera que al sumar se eliminan los t´erminos intermedios. Ejemplo 1.32 (Simplificando sumas). Calcula el siguiente l´ımite.   1 1 1 l´ım + + ··· + = n→∞ 1 · 2 2·3 n(n + 1)   1 1 1 1 1 = l´ım 1 − + − + · · · + − =1 n→∞ 2 2 3 n n+1

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

46

C´ alculo de l´ımites por acotaci´ on. Teorema 1.4 (Teorema del encaje para sucesiones). Si l´ım an = ℓ = l´ım bn

n→∞

n→∞

y existe un entero k tal que an ≤ cn ≤ bn para todo n > k, entonces l´ım cn = ℓ

n→∞

Ejemplo 1.33 (Encajando sucesiones). Calcular el siguiente l´ımite. p (n − 1)! √ √ l´ım √ n→∞ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) Soluci´ on. Teniendo en cuenta las siguientes desigualdades, p √ √ √ (n − 1)! 1 2··· n − 1 √ √ √ √ 0≤ √ = √ ≤ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) √ √ √ 1 (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n − 1) √ √ √ →0 = ≤ √ 1+ n (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) Resulta:

p (n − 1)! √ √ l´ım √ =0 n→∞ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n)

La constante de Euler. Para resolver algunos l´ımites puede tenerse en cuenta la siguiente igualdad: 1 1 1 + + · · · + = ln n + γ + ǫn 2 n donde: 1. ǫn → 0 2. γ = Constante de Euler ≈ 0′ 5 Ejemplo 1.34 (Aplicando la constante de Euler). Calcular los siguientes l´ımites: + · · · + n1 ln n + γ + ǫn = l´ım =1+0+0=1 1. l´ım n→∞ n→∞ ln n ln n √ √ √ 1 1 e e 3 e··· n e e1 e1/2 · · · e1/n e1+ 2 +···+ n 2. l´ım = l´ım = l´ım = n→∞ n→∞ n→∞ n n n n · eγ eǫn eln n+γ+ǫn = l´ım = eγ e0 = eγ = l´ım n→∞ n→∞ n n 1+

1 2

1.4. L´IMITE DE SUCESIONES

3.

47

ln(1 + 12 + · · · + n1 ) ln(ln n + γ + ǫn ) = l´ım = n→∞ n→∞ ln(ln n) ln(ln n)
  n ln ln n · 1 + γ+ǫ ln(ln n) + ln 1 + ln n = l´ım = l´ım n→∞ n→∞ ln(ln n) ln(ln n) l´ım

γ+ǫn
ln n

=1

Sucesiones mon´ otonas Definici´ on 1.19 (Sucesi´ on mon´ otona). Una sucesi´ on {an } se dice que es mon´ otona si sus t´erminos son crecientes a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · o decrecientes a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · · Ejemplo 1.35 (Determinando la monoton´ıa de una sucesi´on). Determinar la monoton´ıa de la sucesi´ on an =

3n n+2

Soluci´ on. Determinar que una sucesi´ on no es mon´ otona puede hacerse, de una manera f´ acil, comparando tres t´erminos de la misma. Sin embargo, determinar que es mon´ otona es algo m´ as complicado, ya que hay que determinar que sus t´erminos crecen o decrecen siempre, para todo valor de n. Para determinar la monoton´ıa de una sucesi´ on pueden seguirse varios m´etodos. Veamos aqu´ı varios de ellos. En primer lugar hallamos an y an+1 . En este caso, 3(n + 1) 3n an+1 = an = n+2 (n + 1) + 2 a) Construyendo comparativamente an y an+1 . 1 1 < → n+2 (n + 1) + 2 3n 3(n + 1) 3n < < → an < an+1 → n+2 (n + 1) + 2 (n + 1) + 2

(n + 1) + 2 > n + 2 →

luego la sucesi´ on es mon´ otona (estrictamente creciente). b) Deshaciendo comparativamente an y an+1 . Partimos del supuesto de que an < an+1 y deshacemos las operaciones. As´ı, 3n 3(n + 1)
3n(n + 3)
´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

48

3n2 + 9n
3x x+2

Hallamos su derivada f ′ (x) =

3x + 6 − 3x 6 3(x + 2) − 3x = = 2 2 (x + 2) (x + 2) (x + 2)2

que es positiva para todo x, luego podemos concluir que la funci´ on f es creciente en todo R. En consecuencia la sucesi´ on an es creciente. Definici´ on 1.20 (Sucesi´ on acotada). Una sucesi´ on {an } se dice que es acotada si existe un n´ umero real positivo M tal que |an | ≤ M para todo n.

{an } acotada ⇔ ∃M ∈ R+ ∀n ∈ N |an | ≤ M

Teorema 1.5 (Sucesiones mon´ otonas y acotadas). Si una sucesi´ on {an }es mon´ otona y acotada, entonces es convergente.

Nota: Adem´ as de los m´etodos aqu´ı expuestos para el c´ alculo de l´ımite de sucesiones veremos otros m´etodos basados en los criterios para el c´ alculo de l´ımite de funciones, as´ı como un caso particular para comprobar que el l´ımite de una sucesi´ on es cero, basado en la convergencia de las series.

Ejercicios propuestos de la secci´ on 1.4. L´ımite de sucesiones Soluciones en la p´ agina 379 1.4.1. Escribir los cinco primeros t´erminos de las sucesiones a) an = (−1)n+1 n

b) bn = (−1)

n(n+1) 2

c) cn =

n! (n − 1)!

1.4.2. Escribir una expresi´ on del t´ermino general de las sucesiones a) 2, −4, 6, −8, 10, . . .

b)

2 3 4 1 , , , ,... 2·3 3·4 4·5 5·6

c)

1 1 2 4 8 , , , , ,... 2 3 9 27 81

1.4.3. Determinar si son convergentes las siguientes sucesiones y en caso afirmativo calcular su l´ımite. n  (n − 1)! n! k b) bn = c) cn = n a) an = 1 + n (n + 1)! n 1.4.4. Determinar la monoton´ıa de las siguientes sucesiones  n  n sen n 3 2 b) bn = a) an = b) bn = n 3 2

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1.5.

49

L´ımite y continuidad de funciones

1.5.1.

Definici´ on de l´ımite

Nota: El concepto de l´ımite es fundamental en el C´ alculo, de manera que para poder profundizar en el conocimiento de la materia es impresindible, tanto el manejo pr´ actico de las reglas para el c´ alculo de l´ımites, como la comprensi´ on te´ orica del concepto de l´ımite. Suponemos conocida la idea intuitiva de l´ımite y las reglas b´ asicas para el c´ alculo de l´ımites. No obstante, profundizaremos en ambos puntos. En este curso centraremos la atenci´ on en los potentes instrumentos para el c´ alculo de l´ımites de funciones de una variable, como son 1.

agina 74). Los infinit´esimos (apartado 1.5.9, en la p´

2.

Las reglas de L´Hˆ opital (apartado 3.3.3, en la p´ agina 165).

3.

agina 187). El desarrollo de Taylor (apartado 3.5.7, en la p´

4.

agina 324). El concepto de integral (apartado 5.1.2, en la p´

As´ı mismo estudiaremos los l´ımites para funciones de varias variables en el cap´ıtulo 2.

Idea intuitiva. En el lenguaje ordinario la palabra l´ımite tiene un car´ acter est´ atico y significa t´ermino, conf´ın o lindero. Sin embargo, en C´ alculo, el concepto de l´ımite es un concepto din´ amico y tiene que ver con la idea de acercarse los m´ as posible a un punto o un valor (x → x0 ). En otras ocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo m´ as posible del origen, o hacer lo mas grande posible un n´ umero (x → ∞). Y, en otras ocasiones, el concepto de l´ımite tiene que ver con traspasar una frontera, aparentemente infranqueable, como es el caso de la suma de infinitos n´ umeros. Veamos la noci´ on de l´ımite a partir de un ejemplo. x2 − 1 , x 6= 1 x−1 a) Estudiar su comportamiento en los alrededores del punto x = 1 b) Esbozar su gr´ afica.

Ejemplo 1.36. Dada la funci´ on f (x) =

Soluci´ on. a) Para estudiar el comportamiento de la funci´ on en los alrededores del punto x = 1 damos a x valores cada vez m´ as pr´ oximos a 1. Aproxim´ andonos tanto por la izquierda como por la derecha. Los correspondientes valores de f (x) se muestran en la siguiente tabla

x se acerca a 1 por la izquierda

x f (x)

0.5 1.5

0.75 1.75

0.9 1.9

0.99 1.99

0.999 1.999

f (x) se acerca a 2

x se acerca a 1 por la derecha

1 ?

1.001 2.001

1.01 2.01

1.1 2.1

1.25 2.25

1.5 2.5

f (x) se acerca a 2

b) Al representar estos puntos, se ve que la gr´ afica de f es una recta con un hueco en el punto (1, 2) (v´ease Figura 1.25).

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

50

y 3 2 1 −3 −2 −1 −1

x 1

2

3

−2

Figura 1.25: x→1 l´ım

x2 − 1 =2 x−1

Aunque x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos a 1 cuanto queramos y como resultado f (x) se aproxima cuanto queramos al valor 2. Por eso decimos que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a 1 es 2, y lo denotamos como x2 − 1 =2 l´ım f (x) = 2 o bien, l´ım x→1 x→1 x − 1 En consecuencia podemos dar la siguiente descripci´ on intuitiva del concepto de l´ımite. Decimos que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a x0 es ℓ, si f (x) se aproxima, tanto como se quiera, a un u ´nico n´ umero ℓ cuando x se aproxima a x0 por ambos lados, y escribimos l´ım f (x) = ℓ

x→x0

Nota: Al calcular el l´ımite de la funci´ on f en el punto x0 , el valor de la funci´ on en dicho punto, f (x0 ), no afecta al l´ımite. Es m´ as no importa que la funci´ on no est´e definida en dicho punto. Hablaremos indistintamente de l´ımite en x0 , o bien, l´ımite cuando x tiende o se aproxima a x0 .

Para muchas funciones se puede intuir el valor del l´ımite usando una calculadora y evaluando los valores de la funci´ on en varios puntos pr´ oximos a x0 . Ejemplo 1.37 (Estimaci´on del l´ımite con calculadora). Dada la funci´ on f (x) = √

x−2 , x−1−1

x 6= 2

a) Estudiar su comportamiento en los alrededores del punto x = 2 b) Esbozar su gr´ afica. Soluci´ on. a) Para estudiar el comportamiento de la funci´ on en los alrededores del punto x = 2 damos a x valores cada vez m´ as pr´ oximos a 2. Aproxim´ andonos tanto por la izquierda como por la derecha. Los correspondientes valores de f (x) se muestran en la siguiente tabla

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

x se acerca a 2 por la izquierda

x f (x)

1.5 1.707

1.75 1.866

1.9 1.949

1.99 1.99

51

x se acerca a 2 por la derecha

1.999 1.999

2 ?

2.001 2.0005

f (x) se acerca a 2

2.01 2.005

2.1 2.49

2.25 2.12

f (x) se acerca a 2

b) Al representar estos puntos, se ve que la gr´ afica de f es una curva con un hueco en el punto (2, 2) (v´ease Figura 1.26 y 3 2 1 −3 −2 −1 −1

x 1

2

3

−2

Figura 1.26: x→2 l´ım √

x−2 =2 x−1−1

Aunque x no puede ser igual a 2, podemos acercarnos a 2 cuanto queramos y como resultado f (x) se aproxima cuanto queramos al valor 2. Por eso decimos que el l´ımite de f (x) cuando x tiende a 2 es 2, y lo denotamos como x−2 l´ım f (x) = 2 o bien, l´ım √ =2 x→2 x→2 x−1−1 Inexistencia de l´ımite. En los ejemplos anteriores cuando x se acerca a x0 , tanto por la derecha como por la izquierda, f (x) se acerca, en ambos casos, a un mismo valor ℓ, que llam´ abamos l´ımite de la funci´ on. En ocasiones esto no ocurre y entonces decimos que la funci´ on f no tiene l´ımite en el punto x0 . Las situaciones m´ as frecuentes que conducen a la inexistencia del l´ımite de la funci´ on f en el punto x0 son las siguientes: 1. L´ımites laterales diferentes. f (x) se aproxima por la derecha de x0 a un valor y por la izquierda a otro valor diferente. 2. El l´ımite se hace infinito. f (x) crece o decrece sin tope cuando x se acerca a x0 , por la derecha o por la izquierda. 3. Inexistencia del l´ımite por oscilaci´ on. Las valores de f (x) oscilan, indefinidamente, entre dos valores fijos cuando x se acerca a x0 . Ejemplo 1.38 (L´ımites laterales diferentes). Probar que el siguiente l´ımite no existe |x| l´ım x→0 x

2.5 2.22

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

52

Soluci´ on. Consideremos la funci´ on |x| x

f (x) =

Para comprender su significado, demos varios valores a x. As´ı, f (3) =

3 |3| = = 1, 3 3

f (0) =

0 = no definido, 0

f (−3) =

| − 3| +3 = = −1 −3 −3

En general, f (x) para valores positivos de x toma el valor 1, y para valores negativos de x toma el valor -1. En efecto x>0

⇒

|x| = x

⇒

x<0

⇒

|x| = −x

|x| x = =1 x x |x| −x f (x) = = = −1 x x

f (x) =

⇒

En consecuencia, la funci´ on f puede definirse por casos de la siguiente forma  |x| 1 si x > 0 = f (x) = −1 si x < 0 x Y su gr´ afica viene reflejada en la figura 1.27 y  1 b6

-x

- b−1

Figura 1.27: f (x) =

|x| z

En consecuencia el l´ımite no existe, ya que se tiene l´ım = 1

x→0+

6=

l´ım = −1

x→0−

Ejemplo 1.39 (Comportamiento no acotado). Discutir la existencia del siguiente l´ımite 1 l´ım x→0 x2 Soluci´ on. Consideremos la funci´ on f (x) =

1 x2

Demos valores a x cada vez m´ as cercanos al origen

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

x se acerca a 0 por la izquierda x f (x)

-0.5 4

-0.25 16

-0.1 100

-0.01 10000

53

x se acerca a 0 por la derecha

-0.001 1000000

0 ?

0.001 1000000

f (x) crece sin tope

0.01 10000

0.1 100

0.25 16

0.5 4

f (x) crece sin tope

De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 0, tanto por la derecha como por la izquierda, f (x) crece sin l´ımite. Es m´ as, podemos hacer que f (x) crezca cuanto queramos sin m´ as que acercarnos suficientemente al origen. As´ı, por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que 100 000 000, bastar´ a tomar un valor de x menor que 1/10 000. En efecto, 0 < |x| <

1 10 000

⇒

f (x) =

1 > 100 000 000 x2

Como f (x) no se aproxima a ning´ un n´ umero real cuando x se acerca a 0, decimos que el l´ımite no existe. La gr´ afica de la funci´ on f viene reflejada en la figura 1.28 y 6 4 2

x −6 −4 −2

Figura 1.28:

2

4

6

1 l´ım = No existe x→0 x2

Nota: Aunque el l´ımite no existe, como n´ umero real, la situaci´ on reflejada en este ejemplo es lo suficientemente importante y lo suficientemente frecuente en C´ alculo, como para tenerla en especial consideraci´ on. As´ı, en las situaciones del ejemplo anterior se dice que el l´ımite de la funci´ on cuando x tiende a cero, es infinito, y se expresa l´ım

x→0

1 = +∞ x2

No obstante hay que decir que +∞ no es ning´ un n´ umero real, sino que es un s´ımbolo que se utiliza para reflejar el comportamiento no acotado de la funci´ on.

Ejemplo 1.40 (Comportamiento oscilante). Discutir la existencia del siguiente l´ımite   1 l´ım sen x→0 x Soluci´ on. Consideremos la funci´ on   1 f (x) = sen x Su gr´ afica viene representada en la figura 1.29.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

54

y 1

x 1

−1

−1

Figura 1.29: x→0 l´ım sen

  1 = No existe x

El l´ımite no existe, puesto que siempre es posible coger una sucesi´ on de puntos, con l´ımite cero; y sin embargo, la sucesi´ on formada con sus im´ agenes no tiene l´ımite. {xn } → 0 y sin embargo

{f (xn )} no tiene l´ımite

como puede verse en la siguiente tabla x f (x)

2 π 1

2 3π -1

2 5π 1

2 7π -1

2 9π 1

2 11π -1

x→0 No tiene l´ımite

Para probar que el l´ımite no existe, tambi´en podemos encontrar dos sucesiones diferentes con l´ımite cero tales que sus im´ agenes tengan l´ımites diferentes.    {xn } → 0 {f (xn )} → ℓ1 mientras que {x′n } → 0 {f (x′n )} → ℓ2 6= ℓ1 Por ejemplo, para la sucesi´ on 1 1 1 1 } = { , , , · · · } → 0 se tiene nπ   π 2π 3π   1 1 } = {sen } = {sen (nπ)} = {0, 0, 0, · · · } → 0 {f (xn )} = {f nπ 1/nπ {xn } = {

mientras que para la sucesi´ on 2 2 2 2 } = { , , , · · · } → 0 se tiene (2n − 1)π π 3π 5π     2 2 {f (xn )} = {f } = {sen }= (2n − 1)π 1/(2n − 1)π   (2n − 1)π } = {1, 1, 1, · · · } → 1 6= 0 = {sen 2

{xn } = {

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

55

Definici´ on 1.21 (La definici´ on ε − δ de l´ımite). Se dice que el l´ımite de la funci´ on f en el punto x0 es ℓ, y se denota por l´ım f (x) = ℓ

x→x0

si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − ℓ| < ε

siempre que

0 < |x − x0 | < δ

l´ım f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − ℓ| < ε

x→x0

(1.7)

Nota: La definici´ on refleja la siguiente idea: El hecho de que f (x) est´ a tan cerca de ℓ como queramos, quiere decir que para cualquier ε, todo lo peque˜ no que queramos, estar´ a f (x) entre ℓ − ε y ℓ + ε, es decir, ℓ − ε < f (x) < ℓ + ε que en valor absoluto se expresa como |f (x) − ℓ| < ε y esta situaci´ on tiene que darse cuando x se acerca suficientemente a x0 . Este acercamiento se mide encontrando alg´ un δ para el cual x est´e entre x0 − δ y x0 + δ, es decir, x0 − δ < x < x0 + δ que en valor absoluto se expresa como |x − x0 | < δ El hecho de que el punto x0 no interviene en la definici´ on de l´ımite se indica con la expresi´ on 0 < |x − x0 | < δ A pesar de la importancia de la definici´ on ε − δ, a nivel te´ orico, especialmente en la

demostraci´ on de teoremas; a nivel pr´ actico, en el c´ alculo de l´ımites, la definici´ on ε − δ no es u ´til. La definici´ on ε − δ solamente nos permite comprobar si un l´ımite dado es correcto

o no, pero no nos permite calcular l´ımites, el posible l´ımite tendremos que intuirlo por otro m´etodo. Adem´ as, su aplicaci´ on para comprobar l´ımites suele ser artificial y dif´ıcil.

La definici´ on de l´ımite se refleja en el gr´ afico de la figura 1.30 Ejemplo 1.41 (Hallando δ para un ε dado). Sabiendo que l´ım (2x + 1) = 7

x→3

hallar δ tal que |(2x + 1) − 7| < 0,01 siempre que 0 < |x − 3| < δ. Soluci´ on. Dado ε = 0,01 queremos encontrar el δ apropiado. Para ello intentamos establecer una relaci´ on entre los dos valores absolutos |(2x + 1) − 7| < 0,01

y |x − 3| < ε

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

56 y

Para x entre x0 − δ y x0 + δ los valores de la funci´ on f (x) est´ an todos entre ℓ − ε y ℓ + ε y = f (x)

ℓ+ε ℓ ℓ−ε x x0 − δ x0 x0 + δ

Figura 1.30: n→∞ l´ım an = ℓ

de manera que desde el segundo se pueda llegar hasta el primero. La manera de hacerlo consiste en expresar el primer valor absoluto en funci´ on del segundo. As´ı, |(2x + 1) − 7| = |2x − 6| = 2|x − 3| < 0,01 En consecuencia se tiene que |x − 3| <

0,01 = 0,005 2

Por tanto, eligiendo δ = 0,005, se tiene que 0 < |x − 3| < 0,005 ⇒ |(2x + 1) − 7| = 2|x − 3| < 2(0,005) = 0,01 Luego hemos encontrado un δ para el ε dado. Esto no demuestra la existencia del l´ımite dado. Para demostrar que el l´ımite existe tenemos que encontrar un δ para cada ε. Ejemplo 1.42 (Usando la definici´on ε − δ). Usando la definici´ on ε − δ probar que l´ım (5x − 2) = 3 x→1

Soluci´ on. Tenemos que probar que para cada ε > 0, existe un δ > 0, que depender´ a del ε correspondiente, tal que 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(5x − 2) − 3| < ε Para ello intentamos establecer una conexi´ on entre ambos valores absolutos, expresando el segundo en funci´ on del primero |(5x − 2) − 3| = |5x − 5| = 5|x − 1| < ε Luego, para que se cumpla la desigualdad |(5x − 2) − 3| < ε se ha de cumplir que 5|x − 1| < ε y, en consecuencia |x − 1| <

ε 5

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

57

ε Luego eligiendo δ = , se tiene que la desigualdad 5 ε 0 < |x − 1| < δ = 5 implica que |(5x − 2) − 3| = |5x − 5| = 5|x − 1| < 5 y la veracidad del l´ımite queda probada.

ε 5

=ε

Proposici´ on 1.13 (Unicidad del l´ımite). El l´ımite de una funci´ on en un punto, si existe es u ´nico.

1.5.2.

L´ımites laterales

Al calcular el l´ımite de una funci´ on f en un punto x0 , nos acercamos al punto x0 tanto por la derecha como por la izquierda. Si limitamos nuestro estudio, exclusivamente, a los puntos que est´ an a la derecha de x0 , o bien a la izquierda, respectivamente, obtenemos lo que se llaman los l´ımites laterales. Definici´ on 1.22 (L´ımites laterales). Se dice que el l´ımite de la funci´ on f cuando x tiende a x0 , por la derecha, es ℓ, y se denota por l´ım f (x) = ℓ

x→x0 +

si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − ℓ| < ε

siempre que

0 < x − x0 < δ

l´ım f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − ℓ| < ε

x→x0 +

(1.8)

Se dice que el l´ımite de la funci´ on f cuando x tiende a x0 , por la izquierda, es ℓ, y se denota por l´ım f (x) = ℓ x→x0 −

si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − ℓ| < ε

siempre que

0 < x0 − x < δ

l´ım f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < x0 − x < δ ⇒ |f (x) − ℓ| < ε

x→x0 −

(1.9)

Nota: Para simplificar la escritura, en ocasiones escribiremos f (x0 +) = l´ım f (x) x→x0 +

f (x0 −) = l´ım f (x) x→x0 −

Ejemplo 1.43 (Calculando un l´ımite lateral). Hallar el l´ımite de la funci´ on √ f definida por f (x) = x en el punto x = 0

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

58

Soluci´ on. La funci´ on solamente est´ a definida a la derecha del origen, por lo tanto no podemos hablar de l´ımite por la izquierda, pero si de l´ımite por la derecha. Si observamos la gr´ afica se tiene √ l´ım x = 0 x→0+

y 2 1 −3 −2 −1

x 0 1

2

3

√

Figura 1.31: f (x) = x

Teorema 1.6 (Unicidad de los l´ımites laterales). El l´ımite de la funci´ on f en el punto x0 existe y es igual a ℓ si y solamente si, los dos l´ımites laterales existen y son iguales a ℓ. ⇔

l´ım f (x) = ℓ

x→x0

1.5.3.

l´ım f (x) = l´ım f (x) = ℓ

x→x0 −

x→x0 +

Propiedades de los l´ımites

Proposici´ on 1.14 (Propiedades algebraicas de los l´ımites). Son ciertas las siguientes propiedades:     1. M´ ultiplo escalar: l´ım r f (x) = r l´ım f (x) , r ∈ R x→x0

2.

3.

4.

x→x0

  Suma o diferencia: l´ım f (x) ± g(x) = l´ım f (x) ± l´ım g(x) x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

l´ım f (x) f (x) x→x0 = , Cociente: l´ım x→x0 g(x) l´ım g(x) x→x0

5.

x→x0

  Producto: l´ım f (x) · g(x) = l´ım f (x) · l´ım g(x)

r

Potencia: l´ım [f (x)] =

1.5.4.

x→x0



x→x0

si l´ım g(x) 6= 0 x→x0

r l´ım f (x)

x→x0

Continuidad de una funci´ on en un punto

En el lenguaje cotidiano la palabra continuo se utiliza para indicar que algo dura sin interrupci´ on, o bien que las cosas tienen uni´ on entre s´ı. En C´ alculo el significado es similar. Decir que una funci´ on f es continua en un punto x0 significa que no sufre interrupci´ on en x0 , que no se rompe ni tiene huecos, que su gr´ afica “atraviesa” el punto (x0 , y0 ).

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

59

Definici´ on 1.23 (Continuidad en un punto). Una funci´ on f se dice que es continua en el punto x0 si se verifican las tres relaciones siguientes: 1. f (x0 ) est´ a definido

2. l´ım f (x) existe

3. l´ım f (x) = f (x0 )

x→x0

x→x0

lo que se puede resumir escribiendo f es continua en x0 ⇔ l´ım f (x) = f (x0 ) x→x0

(1.10)

Nota: Las situaciones por las que una funci´ on no es continua en un punto son las siguientes: 1.

La funci´ on no est´ a definida en el punto.

2.

El l´ımite de la funci´ on en el punto no existe.

3.

El l´ımite de la funci´ on en el punto existe pero no coincide con el valor de la funci´ on en dicho punto.

Definici´ on 1.24 (Discontinuidad en un punto). Se dice que la funci´ on f es discontinua en un punto x0 si la funci´ on est´ a definida en un entorno de dicho punto (excepto quiz´ as en x0 ) y no es continua en dicho punto. Una discontinuidad se dice evitable si la funci´ on puede hacerse continua redefiniendola en dicho punto; y se llama inevitable si esto no es posible. Nota: Para hablar de discontinuidad se exige que la funci´ on est´e definida en los alrededores √ del punto. No tiene sentido decir que f (x) = x es discontinua en x = −3, ya que en los alrededores de -3 la funci´ on no est´ a definida. Para que la discontinuidad de una funci´ on f en un punto x0 sea evitable el l´ımite de la funci´ on en dicho punto tiene que existir, con objeto de hacerla continua redefiniendo f (x0 ) con el valor del l´ımite f (x0 ) = l´ım f (x) x→x0

Es evidente que la nueva funci´ on que se obtiene con esta redefinici´ on de f (x0 ), es continua en x0

La gr´ afica de una funci´ on de una variable es una curva en el plano. Esta y

6 y = f (x) x -

Figura 1.32: Gr´afica de una funci´on de una variable. curva puede presentar las situaciones de discontinuidad que se muestran en la figura 1.33. Definici´ on 1.25 (Continuidad en un intervalo). Una funci´ on f se dice que es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos del intervalo.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

60

Figura 1.33: Situaciones de discontinuidad en funciones de una variable

Una funci´ on es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el intervalo abierto (a, b) y adem´ as: l´ım f (x) = f (a)

x→a+

y

l´ım f (x) = f (b)

x→b−

Nota: Una funci´ on se dice que es continua por la derecha en x0 cuando l´ım f (x) = f (x0 )

x→x0 +

y se dice que es continua por la izquierda cuando l´ım f (x) = f (x0 )

x→x0 −

1.5.5.

Propiedades de las funciones continuas

Proposici´ on 1.15 (Propiedades algebraicas). Si f y g son continuas en x0 , entonces tambi´en son continuas: 1.

M´ ultiplo escalar: rf

2.

3.

Producto: f g

4.

Suma y diferencia: f ± g f Cociente: , si g(x0 ) 6= 0 g

Proposici´ on 1.16 (Continuidad de las funciones elementales). Las siguientes funciones son continuas en todos los puntos de su dominio 1. 2. 3. 4.

Polin´ omicas Racionales Radicales Trigonom´etricas

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.

61

Exponenciales

En general, cualquier funci´ on elemental es continua en todos los puntos en los que est´ an definidas. Teorema 1.7 (Continuidad de la funci´ on compuesta). Si g es continua en x0 y
f lo es en g(x0 ), entonces la funci´ on compuesta dada por f ◦ g(x) = f g(x) es continua en x0 . Nota: La importancia de este teorema la podemos ver con un simple ejemplo. Si la funci´ on

y = f (x) es continua en un punto, entonces tambi´en son continuas en ese punto ef (x) ,
sen f (x) , etc.

Teorema 1.8 (Teorema del valor intermedio). Si f es continua en [a, b] y C es cualquier n´ umero entre f (a) y f (b), entonces existe al menos un n´ umero c entre a y b tal que f (c) = C. El teorema afirma que si x toma todos los valores entre a y b, entonces la funci´ on continua f debe tomar todos los valores entre f (a) y f (b).

Corolario 1.2 (Teorema de los ceros de Bolzano). Si f es continua en [a, b] y Sig f (a) 6= Sig f (b), entonces existe al menos un n´ umero c entre a y b tal que f (c) = 0. Nota: Con Sig f (a) 6= Sig f (b), queremos indicar que f (a) y f (b) tienen signos distintos.

Es decir; o bien, f (a) < 0 y f (b) > 0; o bien, f (a) > 0 y f (b) < 0.

Corolario 1.3 (Intervalos de signo constante). Una funci´ on solamente puede cambiar de signo al pasar por por puntos en los que sea nula o puntos en los que sea discontinua Ejemplo 1.44 (Probando la existencia de ra´ıces). Probar que 1.

La ecuaci´ on x3 + 2x − 1 = 0 tiene, al menos, una ra´ız real en el intervalo (0, 1)

2.

La ecuaci´ on x3 − 3x + 1 = 0 tiene, al menos, una ra´ız real

Soluci´ on. a) Consideramos la funci´ on f (x) = x3 +2x−1, que al ser polin´ omica es continua en todo R, y en consecuencia en [0, 1], adem´ as, se tiene f (0) = −1 < 0 y f (1) = 2 > 0 luego, aplicando el Teorema 1.2 de los ceros de Bolzano, podemos concluir que existe al menos un c en (0, 1) en el cual f (c) = 0. b) Consideramos la funci´ on f (x) = x3 − 3x + 1, que al ser polin´ omica es continua en todo R. En esta ocasi´ on no se nos da el intervalo, en consecuencia lo determinamos nosotros. Buscamos, para ello, un punto donde la funci´ on sea negativa y otro donde sea positiva. As´ı, f (0) = +1 > 0 y f (−2) = −8 + 6 + 1 = −1 < 0 En consecuencia la ecuaci´ on tiene, al menos, una ra´ız en el intervalo (−2, 0).

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

62

1.5.6.

L´ımites infinitos

Comencemos realizando nuevamente el ejemplo 1.39. All´ı se dijo que el l´ımite no exist´ıa como n´ umero real, pero que la situaci´ on planteada merec´ıa un tratamiento particular. Ve´ amoslo. Ejemplo 1.45 (Comportamiento no acotado). Discutir la existencia del siguiente l´ımite 1 l´ım 2 x→0 x Soluci´ on. Consideremos la funci´ on f (x) =

1 x2

Demos valores a x cada vez m´ as cercanos al origen x se acerca a 0 por la izquierda x f (x)

-0.25 16

-0.1 100

-0.01 10000

-0.001 1000000

x se acerca a 0 por la derecha 0 ?

0.001 1000000

f (x) crece sin tope

0.01 10000

0.1 100

0.25 16

f (x) crece sin tope

De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 0, tanto por la derecha como por la izquierda, f (x) crece sin l´ımite. Es m´ as, podemos hacer que f (x) crezca cuanto queramos sin m´ as que acercarnos suficientemente al origen. As´ı, por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que 100 000 000, bastar´ a tomar un valor de x menor que 1/10 000. En efecto, 0 < |x| <

1 10 000

⇒

f (x) =

1 > 100 000 000 x2

Como f (x) no se aproxima a ning´ un n´ umero real cuando x se acerca a 0, decimos que el l´ımite no existe. Ahora bien, aunque el l´ımite no existe, como n´ umero real, la situaci´ on reflejada en este ejemplo es lo suficientemente importante y lo suficientemente frecuente en C´ alculo, como para tenerla en especial consideraci´ on. As´ı, en estas situaciones, se dice que el l´ımite de la funci´ on cuando x tiende a cero, es infinito, y se expresa 1 = +∞ x→0 x2 l´ım

No obstante hay que decir que +∞ no es ning´ un n´ umero real, sino el reflejo de una situaci´ on concreta. Ahora bien, para que quede probado que el l´ımite es infinito, no basta con probar que la funci´ on toma valores superiores a 100 000 000 en los alrededores del origen, sino que hemos de probar que la funci´ on, en los alrededores del

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

63

origen, toma valores superiores a cualquier n´ umero real M , por muy grande que sea. En efecto. Sea M > 0 un n´ umero positivo cualquiera, ser´ a 1 0 < |x| < √ M

⇒

1 >M x2

f (x) =

Lo que prueba que f (x) toma valores arbitrariamente grandes en los alrededores del origen. Es decir, para cualquier numero positivo M , se tiene que f (x) > M

cuando

1 0 < |x| < √ M

Lo que prueba que el l´ımite es infinito. La gr´ afica de la funci´ on f viene reflejada en la figura 1.34 y 6 4 2

x 2

−6 −4 −2

4

6

1 l´ım = +∞ x→0 x2

Figura 1.34:

Veamos otra situaci´ on parecida. Ejemplo 1.46 (L´ımites + y - infinito). Estudiar el comportamiento de la siguiente funci´ on en los alrededores del punto x = 2 f (x) =

1 x−2

Soluci´ on. Demos valores a x cada vez m´ as cercanos a 2 x se acerca a 2 por la izquierda x f (x)

1.75 -4

1.9 -10

1.99 -100

x se acerca a 2 por la derecha

1.999 -1000

f (x) decrece sin tope

2 ?

2.001 1000

2.01 100

2.1 10

2.25 4

f (x) crece sin tope

De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 2, por la derecha, f (x) crece sin l´ımite, mientras que cuando x se acerca a 2, por la izquierda, f (x) decrece sin l´ımite. Es m´ as, podemos hacer que f (x) crezca cuanto queramos sin m´ as que acercarnos suficientemente al origen, por la derecha; y que f (x) decrezca cuanto queramos sin m´ as que acercarnos suficientemente al origen, por la izquierda. As´ı, por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que 100 000 000, bastar´ a tomar un valor de x > 2 y menor que 2 + 1/100 000 000. En efecto, 2<x<2+

1 100 000 000

⇒

f (x) =

1 > 100 000 000 x−2

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

64

Por otro lado, si, por ejemplo, queremos que f (x) sea menor que -100 000 000, bastar´ a tomar un valor de x < 2 mayor que 2 − 1/100 000 000. En efecto, 2>x>2−

1 100 000 000

⇒

f (x) =

1 > 100 000 000 x−2

En estas situaciones, se dice que el l´ımite de la funci´ on cuando x tiende a 2, por la derecha, es m´ as infinito, y el l´ımite de la funci´ on cuando x tiende a 2, por la izquierda, es menos infinito, y se expresa 1 = −∞ x→2− x − 2

1 = +∞ y x→2+ x − 2

l´ım

l´ım

No obstante, igual que en ejemplo anterior, hay que decir que +∞ y −∞ no son ning´ un n´ umero real, sino el reflejo de una situaci´ on concreta. Ahora bien, para que quede probado que el l´ımite es m´ as infinito o menos infinito, no basta con probar que la funci´ on toma valores superiores a 100 000 000 o menores a -100 000 000 en los alrededores de x = 2, sino que hemos de probar que la funci´ on, en los alrededores de x = 2, toma valores superiores a cualquier n´ umero real M , por muy grande que sea, o menores a cualquier n´ umero real negativo N (por muy grande que sea, en valor absoluto). En efecto. Sea M > 0 un n´ umero positivo cualquiera, ser´ a 2<x<2+

1 M

⇒

f (x) =

1 >M x−2

Lo que prueba que f (x) toma valores arbitrariamente grandes a la derecha del 2. Es decir, para cualquier numero positivo M , se tiene que f (x) > M

cuando

2<x<2+

1 M

Y, por otro lado, sea N = −M < 0 un n´ umero negativo cualquiera. Ser´ a 2>x<2−

1 M

⇒

f (x) =

1 < −M x−2

Lo que prueba que f (x) toma valores negativos (arbitrariamente grandes en valor absoluto) a la izquierda del 2. Es decir, para cualquier numero negativo N = −M , se tiene que f (x) < −M

cuando

2>x>2−

1 M

Lo que prueba que el l´ımite es menos infinito. La gr´ afica de la funci´ on f viene reflejada en la figura 1.35 Definici´ on 1.26 (L´ımites infinitos). Se dice que el l´ımite de la funci´ on f en el punto x0 es m´ as infinito, y se denota l´ım f (x) = +∞

x→x0

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

65

y 6 4 2

x 2

−4 −2 −2

4

6

8

−4 −6

Figura 1.35: x→2− l´ım

1 = −∞, x−2

l´ım

x→2+

1 = +∞ x−2

si para cada M > 0 existe un δ > 0 tal que f (x) > M

0 < |x − x0 | < δ.

siempre que

l´ım f (x) = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M

x→x0

(1.11)

Se dice que el l´ımite de la funci´ on f en el punto x0 es menos infinito, y se denota l´ım f (x) = −∞ x→x0

si para cada N < 0 existe un δ > 0 tal que f (x) < N

siempre que

0 < |x − x0 | < δ.

l´ım f (x) = −∞ ⇔ ∀N < 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ R, 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < N

x→x0

(1.12)

Las definiciones se ilustran en la Figura 1.36 Para definir el l´ımite infinito por la izquierda, basta con sustituir 0 < |x − x0 | < δ

por

x0 − δ < x < x0

y para definir el l´ımite infinito por la derecha, basta con sustituir 0 < |x − x0 | < δ

por

x0 < x < x0 + δ

Si el l´ımite de la funci´ on f en el punto x0 es m´ as o menos infinito, o bien alguno de los l´ımites laterales es m´ as o menos infinito, entonces decimos que la funci´ on f presenta en x = x0 una discontinuidad infinita o asint´ otica. Proposici´ on 1.17 (Propiedades de los l´ımites infinitos). Si f y g son funciones tales que l´ım f (x) = +∞

x→x0

y

l´ım g(x) = ℓ

x→x0

entonces son v´ alidas las siguientes propiedades:

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

66

Para todo x 6= x0 que est´ e aqu´ı {z } |

f (x) est´ a aqu´ı

y

x0

x

δ δ

x0

f (x) est´ a aqu´ı

N

M

z }| { Para todo x 6= x0 que est´ e aqu´ı

y

Figura 1.36: x→x l´ım f (x) = +∞,

l´ım f (x) = −∞

x→x0

0

1. 2.

  Suma o diferencia: l´ım f (x) ± g(x) = +∞ x→x0

  Producto: l´ım f (x)g(x) = +∞ x→x0   l´ım f (x)g(x) = −∞ x→x0

3.

x

δ δ

l´ım

x→x0

si ℓ > 0

si ℓ < 0

g(x) =0 f (x)

Propiedades similares son v´ alidas si l´ım f (x) = +∞ x→x0

Las propiedades anteriores pueden recordarse de la siguiente forma: +∞ ± ℓ = +∞ −∞ ± ℓ = −∞ p (+∞) = +∞ p (−∞) = −∞ −p (+∞) = −∞ −p (−∞) = +∞ ℓ ℓ =0 =0 +∞ −∞ No est´ a permitido dividir por cero. Sin embargo, Cuando el l´ımite del denominador es cero, el cociente puede tener l´ımite infinito, si bien, hay que determinar el signo del denominador para poder determinar el signo del infinito. As´ı,   p −p   = +∞   + = −∞ + p −p 0 0 =? =? p −p   0 0   = −∞ = +∞ 0− 0− Definici´ on 1.27 (As´ıntotas verticales). Diremos que la recta x = x0 es una as´ıntota vertical de la gr´ afica de la funci´ on f , si el l´ımite de f (x), cuando x tiende a x0 por la derecha o por la izquierda, es +∞ (o −∞).

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

67

Nota: Cuando la funci´ on f venga definida por un cociente f (x) =

g(x) h(x)

las as´ıntotas verticales habr´ a que buscarlas en los ceros del denominador h(x) = 0.

1.5.7.

L´ımites en el infinito

Con concepto de l´ımite de una funci´ on cuando x tiende a +∞ o −∞ se pretende estudiar el comportamiento de la funci´ on cuando x crece (o decrece) sin l´ımite. Es decir, x toma valores extremadamente grandes, positivos (o negativos). El concepto es an´ alogo al de l´ımite de una sucesi´ on. Ve´ amoslo con un ejemplo, Ejemplo 1.47. Estudiar el comportamiento de la funci´ on f (x) =

3x |x| + 1

cuando x crece o decrece sin l´ımite. Soluci´ on. Los valores de f (x), cuando a x crece o decrece sin l´ımite, vienen recogidos en la siguiente tabla. x decrece sin l´ımite

x f (x)

−∞ ← −3 ←

-1000 -2.997

-100 -2.97

x crece sin l´ımite

-10 -2.73

f (x) se acerca a −3

0 0

10 2.73

100 2.97

1000 2.997

→ +∞ →3

f (x) se acerca a 3

De la tabla se desprende que los valores de f (x) tienden a 3 cuando x crece sin l´ımite y a −3 cuando x decrece sin l´ımite. En consecuencia diremos que 3x = −3, x→−∞ |x| + 1

l´ım f (x) = l´ım

x→−∞

y

3x =3 x→+∞ |x| + 1

l´ım f (x) = l´ım

x→+∞

La gr´ afica de la funci´ on f es una curva con dos as´ıntotas horizontales: la recta x = 3, por la derecha; y la recta x = −3, por la izquierda. (v´ease Figura 1.37). En consecuencia podemos decir que: El l´ımite de la funci´ on f , cuando x tiende a +∞ es ℓ, si f (x) est´ a tan pr´ oximo a ℓ como queramos, siempre que x sea los suficientemente grande, y se escribe: l´ım f (x) = ℓ x→+∞

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

68

y 3 2 1 −30

−20

−10

x

−1

10

20

30

−2 −3

Figura 1.37: f (x) =

3x |x| + 1

De manera an´ aloga, se dice que el l´ımite de la funci´ on f , cuando x tiende a −∞ es ℓ, si f (x) est´ a tan pr´ oximo a ℓ como queramos, siempre que x tome valores negativos, suficientemente grande en valor absoluto, y se escribe: l´ım f (x) = ℓ

x→−∞

Formalmente se puede dar la siguiente definici´ on: Definici´ on 1.28 (L´ımites en el infinito). El l´ımite de la funci´ on f , cuando x tiende a +∞ es ℓ, y se denota l´ım f (x) = ℓ

x→+∞

si para cada ε > 0 existe un M > 0 tal que |f (x) − ℓ| < ε

siempre que

x>M

l´ım f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃M > 0 : ∀x ∈ R, x > M ⇒ |f (x) − ℓ| < ε

x→+∞

(1.13)

El l´ımite de la funci´ on f , cuando x tiende a −∞ es ℓ, y se denota l´ım f (x) = ℓ

x→−∞

si para cada ε > 0 existe un N < 0 tal que |f (x) − ℓ| < ε

siempre que

x
l´ım f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃N < 0 : ∀x ∈ R, x < N ⇒ |f (x) − ℓ| < ε

x→−∞

Las definiciones se ilustran en la Figura 1.38

(1.14)

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES y

y

f f (x) est´ a aqu´ı

69

f

ε ε

ℓ

f (x) est´ a aqu´ı

ε ε

ℓ x

x

N

M

Para todo x aqu´ı

Para todo x aqu´ı

Figura 1.38: x→−∞ l´ım f (x) = ℓ,

l´ım f (x) = ℓ

x→+∞

Definici´ on 1.29 (As´ıntotas horizontales). Si l´ım f (x) = ℓ

x→−∞

o

l´ım f (x) = ℓ

x→+∞

entonces la recta y = ℓ se llama as´ıntota horizontal de la gr´ afica de f . Nota: La as´ıntota por la derecha y la as´ıntota por la izquierda pueden coincidir o no. Ahora bien, la gr´ afica de una funci´ on puede tener a lo sumo dos as´ıntotas horizontales, una por la derecha y otra por la izquierda.

Los l´ımites en el infinito comparten muchas propiedades con los l´ımites de funciones en un punto x0 y con los l´ımites de sucesiones. Proposici´ on 1.18 (Propiedades algebraicas de los l´ımites en el infinito). Son ciertas las siguientes propiedades: 1.

Constante: l´ım c = c

2.

M´ ultiplo escalar: l´ım

3.

Suma o diferencia: l´ım

4.

  Producto: l´ım f (x) · g(x) = l´ım f (x) · l´ım g(x)

5.

Cociente: l´ım

x→+∞

x→+∞

    r f (x) = r l´ım f (x) , x→+∞

x→+∞

  f (x) ± g(x) = l´ım f (x) ± l´ım g(x) x→+∞

x→+∞

x→+∞

l´ım f (x) f (x) x→+∞ = , x→+∞ g(x) l´ım g(x)

6.

Potencia: l´ım [f (x)] =

7.

Ra´ıces: l´ım

x→+∞

x→+∞



si

l´ım g(x) 6= 0

x→+∞

r l´ım f (x)

x→+∞

q p n f (x) = n l´ım f (x)

x→+∞

x→+∞

x→+∞

r

r∈R

x→+∞

Las mismas propiedades se dan cuando x → −∞

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

70

1.5.8.

T´ ecnicas elementales para el c´ alculo de l´ımites

Todas las funciones elementales son continuas en todos los puntos en los que est´ an definidas. En consecuencia para calcular el l´ımite de una funci´ on elemental en un punto de su dominio bastar´ a con hacer la sustituci´ on directa. Es decir l´ım f (x) = f (x0 ) x→x0

El problema est´ a en calcular el l´ımite de una funci´ on elemental en un punto en el que no est´ a definida. Es decir, en un punto tal que al hacer la sustituci´ on directa nos encontramos con una indeterminaci´ on. Habr´ a que hacer las operaciones necesarias para romper la indeterminaci´ on. Teorema 1.9 (Funciones que coinciden en todos sus puntos excepto en uno). Sea x0 un n´ umero real y sean f y g dos funciones que coinciden en todos los puntos de un entorno de x0 , salvo quiz´ as en x0 . Entonces, si existe el l´ımite de una de ellas en x0 , tambi´en existe el l´ımite de la otra y adem´ as son iguales. f (x) = g(x) para x 6= x0 ⇒ l´ım f (x) = l´ım g(x) x→x0

x→x0

Demostraci´ on. Supongamos que existe el l´ımite de g(x) cuando x → x0 y que dicho l´ımite es ℓ. Entonces, por definici´ on, se tiene que para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que |g(x) − ℓ| < ε siempre que

0 < |x − x0 | < δ

Ahora bien, teniendo en cuenta que f (x) = g(x) para todo x del entorno de x0 , salvo quiz´ as para x0 y teniendo en cuenta que x0 no se contempla en la definici´ on de l´ımite (ya que 0 < |x − x0 |), resulta que |f (x) − ℓ| < ε

siempre que

0 < |x − x0 | < δ

luego el l´ımite de f (x) cuando x → x0 tambi´en es ℓ. a) T´ ecnicas de cancelaci´ on. Se aplica en las funciones racionales cuando nos encontramos con una indeterminaci´ on del tipo 0/0. Sea r(x) =

p(x) q(x)

y supongamos que nos encontramos con la situaci´ on l´ım

x→x0

0 p(x)  p(x0 ) = = q(x) q(x0 ) 0

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

71

Al ser p(x0 ) = 0 quiere decir que p(x) es m´ ultiplo de (x − x0 ). Del mismo modo, al ser q(x0 ) = 0 quiere decir que q(x) es m´ ultiplo de (x − x0 ). En consecuencia, en virtud del Teorema 1.9, cancelando el factor (x − x0 ) en el numerados y denominador podemos eliminar la indeterminaci´ on y aplicar la sustituci´ on directa. p(x)  p(x0 ) (x − x0 )p1 (x) 0 p1 (x) p1 (x0 ) l´ım = l´ım = = = l´ım = x→x0 q(x) x→x0 (x − x0 )q1 (x) x→x0 q1 (x) q(x0 ) 0 q1 (x0 )

Ejemplo 1.48 (C´alculo de l´ımites mediante cancelaci´on de factores). Calcular x2 − 5x + 6 l´ım 2 x→2 x + 2x − 8 Soluci´ on. Al probar la sustituci´ on directa nos encontramos con una indeterminaci´ on del tipo 0/0. En consecuencia factorizamos numerador y denominador y cancelamos los factores comunes, con lo cual se tiene, x−3 x2 − 5x + 6  0  2−3 −1 (x − 2)(x − 3) = = l´ım = = = l´ım 2 x→2 x + 4 x→2 x + 2x − 8 x→2 (x − 2)(x + 4) 0 2+4 6 l´ım

b) T´ ecnicas de racionalizaci´ on. Se aplica en las funciones irracionales cuando nos encontramos con indeterminaciones del tipo 0/0 o bien ∞ − ∞. En el caso de que se trate de ra´ıces cuadradas la indeterminaci´ on se suele eliminar multiplicando y dividiendo por el conjugado, con objeto de tener suma por diferencia, de manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra´ız cuadrada. Ejemplo 1.49 (C´alculo de l´ımites mediante racionalizaci´on). Calcular √ x−1 l´ım x→1 x − 1

Soluci´ on. Al aplicar la sustituci´ on directa nos encontramos con una indeterminaci´ on del tipo 0/0. En consecuencia racionalizamos el numerador, multiplicando y dividiendo por el conjugado, del numerador, de manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra´ız cuadrada. En efecto,
√
√ √ √ x−1 x+1 x − 1 h0i ( x)2 − 12
= l´ım
= l´ım = = l´ım √ √ x→1 x − 1 x→1 (x − 1) x→1 (x − 1) 0 x+1 x+1 1 1 x−1 1
= l´ım √ = l´ım =√ = √ x→1 (x − 1) x→1 2 x+1 x+1 1+1 c) C´ alculo de l´ımites mediante el n´ umero e. Las indeterminaciones ∞ del tipo 1 se pueden resolver haciendo transformaciones para expresar el l´ımite de cualquiera de las formas siguientes:   1 x 1/x l´ım (1 + x) =e l´ım 1 + =e x→∞ x→0 x

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

72 o bien, de manera general


1/h(x) l´ım 1 + h(x) = e,

si l´ım h(x) = 0

x→x0

x→x0

ag. 169) mediante las reglas de Nota: Estos l´ımites se resuelven en la secci´ on 3.3.3 (p´ L’Hˆ opital.

2 Ejemplo 1.50. Calcular: l´ım x − 3 x − 4 x→4





Soluci´ on. Si hacemos la sustituci´ on directa nos encontramos con una indeterminaci´ on del tipo 1∞ . El l´ımite se resuelve mediante el n´ umero e de la siguiente forma 2  2   1 l´ım x − 3 x − 4 = l´ım  1 + (x − 4) x − 4  = e2

x→4





x→4

d) Teorema del encaje y de la acotaci´ on. Si una funci´ on est´ a comprendida, en los alrededores de un punto, entre dos que tienen el mismo l´ımite, en dicho punto, entonces dicha funci´ on tambi´en tiene el mismo l´ımite en dicho punto. ) f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) ⇒ l´ım h(x) = l´ım f (x) = l´ım g(x) l´ım f (x) = l´ım g(x) x→x0 x→x0 x→x0 x→x0

x→x0

Teorema 1.10 (Teorema del encaje). Si f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x en un entorno de x0 , excepto quiz´ as en el propio x0 , y si l´ım f (x) = ℓ = l´ım g(x)

x→x0

x→x0

entonces l´ım h(x) = ℓ

x→x0

Demostraci´ on. Dado ε > 0 existen δ1 y δ2 tales que |f (x) − ℓ| < ε

siempre que

0 < |x − x0 | < δ1

|g(x) − ℓ| < ε siempre que

0 < |x − x0 | < δ2

y Sea δ el menor de δ1 y δ2 . Entonces si 0 < |x − x0 | < δ, se siguen las dos relaciones |f (x) − ℓ| < ε y |g(x) − ℓ| < ε lo cual, expresado mediante desigualdades, significa que −ε < f (x) − ℓ < ε y

− ε < g(x) − ℓ < ε

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

73

de donde, sumando ℓ ℓ − ε < f (x)

y g(x) < ℓ + ε

y teniendo en cuenta que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x), se tiene ℓ − ε < f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) < ℓ + ε de donde, ℓ − ε < h(x) < ℓ + ε que en valor absoluto, se expresa |h(x) − ℓ| < ε lo que significa que l´ım h(x) = ℓ x→x0

Si una funci´ on tiene l´ımite cero, en un punto, y otra est´ a acotada en los alrededores del punto, entonces su producto tambi´en tiene l´ımite cero en dicho punto. ) g(x) acotada ⇒ −k ≤ g(x) ≤ k ⇒ −kf (x) ≤ f (x)g(x) ≤ kf (x) ⇒ l´ım f (x) = 0 x→x0

    0 ≤ l´ım f (x)g(x) ≤ 0 ⇒ l´ım f (x)g(x) = 0 ⇒ 0 · Acot = 0 x→x0

x→x0

Nota: Si f (x) < 0, cambiar´ıa el sentido de la desigualdad, pero el resultado final ser´ıa el mismo. El teorema se cumple aunque la funci´ on g(x) no tenga l´ımite en el punto x0 . De ah´ı la importancia del teorema.

Ejemplo 1.51 (Cero por acotado). Calcular el siguiente l´ımite   1 l´ım x sen x→0 x Soluci´ on. Dado que la funci´ on seno est´ a acotada −1 ≤ sen resulta

1 ≤1 x

  1 = 0 · Acot = 0 l´ım x sen x→0 x

Nota: El resultado es correcto, a pesar de que l´ım sen x→0

1 no existe. x

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

74

1.5.9.

Infinit´ esimos equivalentes

Definici´ on 1.30 (Infinit´ esimos). Una funci´ on, f , se dice que es un infinit´esimo en un punto x0 , si su l´ımite en dicho punto es cero. f infinit´esimo en x0 ⇔ l´ım f (x) = 0 x→x0

Definici´ on 1.31 (Infinit´ esimos equivalentes). Dos infinit´esimos, en un mismo punto, se dice que son equivalentes, cuando el l´ımite de su cociente es la unidad. f (x)  0  l´ım = = 1 ⇔ f (x) ∼ g(x) x→x0 g(x) 0 Teorema 1.11 (Sustituci´ on de infinit´ esimos). Cuando, en un l´ımite, un infinit´esimo est´e multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro equivalente. f (x) = 1. g(x) Y supongamos que nos encontramos con un l´ımite en el que aparece f (x) multiplicando o dividiendo:

Demostraci´ on. Supongamos que, en x0 , es f (x) ∼ g(x), ser´ a l´ım

x→x0

l´ım f (x)h(x) = l´ım

x→x0

x→x0

f (x) g(x)h(x) = l´ım 1 · g(x)h(x) = l´ım g(x)h(x) x→x0 x→x0 g(x)

Es decir, hemos sustituido f (x) por g(x) y el nuevo l´ımite puede resultar m´ as f´ acil que el anterior. Proposici´ on 1.19. Si un infinit´esimo est´ a sumando o restando, en general, no se le puede sustituir por otro equivalente.

l´ım f (x) ± h(x) 6= l´ım g(x) ± h(x)

x→x0

x→x0

Existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar infinit´esimos al caso de sumas, como es el siguiente Proposici´ on 1.20. La suma de varios infinit´esimos de distinto orden se puede reducir al de menor orden. (x2 )f (x) (x2 + x3 + x6 )f (x) = l´ım x→0 x→0 g(x) g(x) l´ım

1.5. L´IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

75

Infinit´ esimos m´ as frecuentes en z → 0

1.5.10.

Trigonom´ etricos sen z ∼ z tg z ∼ z

arc sen z ∼ z arc tg z ∼ z z2 1 − cos z ∼ 2

Exponenciales, logar´ıtmicos, potencias y ra´ıces  z ∼ ln(1 + z)    z    ez − 1 ∼ z a − 1 ∼ z · ln a ln(1 + z) ∼ z  (1 + z)r − 1 ∼ r z     z  √ n 1+z−1∼ n Ejemplo 1.52. Calcular los siguientes l´ımites: 1. 4.

2 sen2 x x→0 x2 (1 + cos x)   1
x1 l´ım x 1 − x→∞ 5 l´ım

2. 5.

ex − 1 x→0 sen 2x √ n x−1 √ l´ım m x→1 x−1 l´ım

3. 6.

ln x 1−x sen2 x + x3 l´ım x→0 1 − cos x l´ım

x→1

Soluci´ on. 0 2 2x2 2 2 sen2 x = l´ım 2 = = l´ım = =1 x→0 x (1 + cos x) x→0 1 + cos x + cos x) 0 2 x e − 1 0 1 x l´ım = = = l´ım x→0 sen 2x x→0 2x 0 2 0 1−x ln(1 + x − 1) x−1 ln x = l´ım = = l´ım = l´ım − = −1 l´ım x→1 x→1 1 − x x→1 1 − x x→1 1 − x 0 1−x       1
x1 1
x1 l´ım x 1 − −1 = = ∞ · 0 = l´ım −x x→∞ x→∞ 5 5 1 1 1
= − ln = −(ln 1 − ln 5) = −(0 − ln 5) = ln 5 = l´ım −x ln x→∞ x 5 5   √ √ √ n 0 ln 1 + ( n x − 1) x−1 ln n x  √ = √ = l´ım m = l´ım  = l´ ım √ x→1 x→1 ln 1 + ( m x − 1) x→1 ln m x 0 x−1

1. l´ım

x→0 x2 (1

2. 3. 4.

5.

1 n ln x x→1 1 ln x m

= l´ım

sen2 x x2 sen2 x + x3  0  = l´ım = = l´ım 2 = 2 x→0 1 − cos x x→0 x /2 x→0 1 − cos x 0

6. l´ım

=

m n

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

76

L´ımite de sucesiones consider´ andolas como funciones Si unimos los puntos que representan una sucesi´ on obtenemos la gr´ afica de una funci´ on. Sin embargo, podemos obtener infinitas funciones que contienen los puntos de una misma sucesi´ on. Lo normal es coger la funci´ on que tiene la misma f´ ormula que la sucesi´ on, es decir considerar que la variable n es continua y no discreta. Si la funci´ on que representa a la sucesi´ on tiene l´ımite, ese es el l´ımite de la sucesi´ on, pero si la funci´ on no tiene l´ımite, entonces la sucesi´ on si puede tenerlo. Por tanto, se pueden aplicar los infinit´esimos y las reglas de L’Hˆ opital a las sucesiones, el l´ımite que encontremos ser´ a el l´ımite de la sucesi´ on y si la sucesi´ on considerada como funci´ on no tiene l´ımite entonces habr´ a que aplicar otro criterio. Ejemplo 1.53. Calcular los siguientes l´ımites: 1.

l´ım

n→∞

√ 3

n−

√ 3




n − 1 = l´ım

n→∞

√ 3

n 1−

√ 3

= l´ım − n n→∞

r 3

n−1 n

r 3

!

=

!

√ −1 = l´ım − 3 n =0 n→∞ 3n

−1 1+ −1 n

r   a a −a 3 2. l´ım n 1 − 1 − = = l´ım −n n→∞ n→∞ n 3n 3 1 √  √ a n−1 n−1 n n a− a = l´ım n a 1 − 1 3. l´ım n n→∞ n→∞ an

√

!

=

   n−n+1  √ √ 1 1 −n n n n(n−1) n−1 = l´ım n a 1 − a = l´ım n a 1 − a = n→∞

n→∞

 √ = l´ım n n a − n→∞

4.

ln a n(n − 1)



=0

1p + 2p + · · · + np  ∞  (n + 1)p = = l´ ım = n→∞ n→∞ (n + 1)p+1 − np+1 np+1 ∞ l´ım

(n + 1)p " 

= l´ım

n→∞

(n + 1)p+1 1 − = l´ım

n→∞

1  (n + 1) 1 − 1 − "

1 n+1

n n+1

p+1 # =

l´ım p+1 # = n→∞

1 p+1 (n + 1) n+1

=

1 p+1

´ 1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS.

77

Ejercicios propuestos de la secci´ on 1.5. L´ımite de funciones Soluciones en la p´ agina 379 1.5.1. Hallar, si existen, los siguientes l´ımites √ x−3 x−4 b) l´ım a) l´ım 2 x→9 x − 9 x→4 x − 16 1.5.2. Determinar los valores de a y b que hacen  1  ax + b f (x) =  5

c) l´ım (x2 + x) sen x→0

1 x

continua la funci´ on si x ≤ 1 si 1 < x < 3 si x ≥ 1

1.5.3. Hallar, si existen, los siguientes l´ımites x x b) l´ım a) l´ım x→2+ x − 2 x→2− x − 2

c) l´ım

x→2

x x−2

1.5.4. Hallar, si existen, los siguientes l´ımites a) l´ım

x→2

1.6.

x (x − 2)2

b) l´ım

x→−2

x (x + 2)2

c) l´ım

x→2

x2 − 4 (x − 2)3

Funciones hiperb´ olicas.

Las dos funciones siguientes, a primera vista, no presentan ninguna particularidad, incluso pueden parecer dos funciones “ingenuas”:  ex + e−x   f (x) = 2 −x x e −e   g(x) = 2

Sin embargo, el comportamiento de estas dos funciones es bastante curioso ya que nos recuerdan las funciones circulares de la trigonometr´ıa, por eso reciben unos nombres especiales: coseno hiperb´ olico y seno hiperb´ olico.

1.6.1.

Coseno y seno hiperb´ olico

Definici´ on 1.32. Se llaman funciones hiperb´ olicas a las siguientes:  ex + e−x   cosh(x) = 2 ex − e−x   senh(x) = 2

Con las funciones hiperb´ olicas se puede construir una trigonometr´ıa muy parecida a la ordinaria. Una primera analog´ıa la podemos ver en el 0 donde toman los mismos valores que el coseno y el seno de la trigonometr´ıa ordinaria. En efecto:  1+1 2 e0 + e−0  = = = 1  cosh 0 = 1 cosh(0) = 2 2 2 e0 − e−0 1−1 0  senh(0) = = = = 0  senh 0 = 0 2 2 2

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

78

Sin embargo, una diferencia fundamental est´ a en que estas funciones no son peri´ odicas, ni van oscilando en torno al cero. En efecto.  ex + e−x  assiempre es ≥ 1)  Siempre es positivo (y adem´ cosh x = 2 x > 0 ⇒ senh x > 0 ex − e−x  Puede ser positivo o negativo  senh x = x < 0 ⇒ senh x < 0 2

1.6.2.

F´ ormula fundamental de la Trigonometr´ıa hiperb´ olica

Si en vez de hacer la suma de los cuadrados hacemos la diferencia, tenemos: 2

2

cosh x − senh x =



ex + e−x 2

2

−



ex − e−x 2

2

=

e2x + 2ex e−x + e−2x e2x − 2ex e−x + e−2x 2+2 4 − = = =1 4 4 4 4 Que nos da la f´ ormula fundamental de la trigonometr´ıa hiperb´ olica: =

cosh2 x − senh2 x = 1 Que tambi´en puede expresarse de la forma: cosh2 x = 1 + senh2 x Lo que permite expresar cada una de las funciones hiperb´ olicas en t´erminos de la otra. p ( cosh x = + 1 + senh2 x p senh x = ± cosh2 x − 1

Esto no quiere decir que el senh tome dos valores simult´ aneamente, sino que en cada caso, habr´ a que elegir como signo de la ra´ız el del propio x.

1.6.3.

Significado del t´ ermino “hiperb´ olicas”.

Estas funciones se llaman hiperb´ olicas porque la trigonometr´ıa que se construye con ellas viene definida sobre una hip´erbola, de manera an´ aloga a c´ omo la trigonometr´ıa ordinaria se construye sobre una circunferencia. Trigonometr´ıa circular: Un punto (x, y) de la circunferencia cumple: Trigonometr´ıa hiperb´ olica: Nota: En la trigonometr´ıa hiperb´ olica nos limitamos a la rama derecha de x2 + y 2 = 1 la hip´erbola.   x = cos t se tiene : Y llamando: y = sen t cos2 t + sen2 t = 1

´ 1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS.

79

6 '$ (x, y)

y

-x

&%

Figura 1.39: x2 + y2 = 1 y6

(x, y) • 1

Un punto (x, y) de la hip´erbola cumple: -x

0

x2 − y 2 = 1   se tiene : x = cosh t Y llamando: 2 y = senh t cosh t − senh2 t = 1

Figura 1.40: x2 − y2 = 1

1.6.4.

Otras razones hiperb´ olicas

Las dem´ as razones hiperb´ olicas se definen igual que en la trigonometr´ıa circular: tgh x =

1.6.5.

senh x ex − e−x = x cosh x e + e−x

coth x =

cosh x ex + e−x = x senh x e − e−x

F´ ormulas del ´ angulo doble


2 (ex )2 − e−x e2x − e−2x (ex − e−x )(ex + e−x ) senh 2x = = = = 2 2 2 ex − e−x ex + e−x = 2 · senh x · cosh x =2 2 2 senh 2x = 2 senh x cosh x
2
2 (ex )2 + e−x (ex )2 + 2 + e−x − 2 e2x + e−2x = = = cosh 2x = 2 2 2
2
2  x 2 (ex )2 + 2ex e−x + e−x − 2 ex + e−x e + e−x = = −1=2 −1= 2 2 2 = 2 cosh2 x − 1 = 2 cosh2 x − (cosh2 x − senh2 x) =

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

80

= 2 cosh2 x − cosh2 x + senh2 x = cosh2 x + senh2 x cosh 2x = 2 cosh2 x − 1 = cosh2 x + senh2 x

1.6.6.

El cuadrado del senh y del cosh

Las siguientes f´ ormulas se emplean en el c´ alculo de integrales. cosh 2x = 2 cosh2 x − 1 ⇒ 2 cosh2 x = 1 + cosh 2x ⇒ cosh2 x =

cosh 2x + 1 2

cosh 2x = cosh2 x + senh2 x = (1 + senh2 x) + senh2 x = 1 + 2 senh2 x ⇒ ⇒ 2 senh2 x = cosh 2x − 1 ⇒ senh2 x =

1.6.7.

cosh 2x − 1 2

Gr´ afica de las funciones hiperb´ olicas

Gr´ afica de la funci´ on f (x) = senh x senh x =

ex − e−x = 1/2ex − 1/2e−x 2 y

6 1/2 ex senh x 1/2 e−x

-x

−1/2 e−x

Figura 1.41: f (x) = senh x

Gr´ afica de la funci´ on f (x) = cosh x cosh x =

ex + e−x = 1/2ex + 1/2e−x 2

Gr´ afica de la funci´ on f (x) = tgh x tgh x =

senh x ex − e−x = x cosh x e + e−x

´ 1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS. y

81

cosh x 6 1/2 ex 1/2 e−x

-x

Figura 1.42: f (x) = cosh x

tgh 0 = 0 l´ım

ex

x→+∞ ex

e−x

− + e−x

ex − e−x x→−∞ ex + e−x l´ım

e−x −2x 1−0 ex = l´ım 1 − e = l´ım = = =1 −x −2x x→+∞ x→+∞ 1 + e ∞ 1+0 e 1+ x e ex h∞i −1 −x 0−1 e2x − 1 = l´ım e x = = = −1 = l´ım 2x x→−∞ e x→−∞ e + 1 ∞ 0+1 +1 e−x h∞i

1−

y

61 tgh x

-x

−1

Figura 1.43: f (x) = tgh x

1.6.8.

Funciones hiperb´ olicas inversas

Para las funciones hiperb´ olicas inversas en vez de la palabra arco se utiliza la palabra argumento. y = arg cosh x ⇐⇒ x = cosh y y = arg senh x ⇐⇒ x = senh y



← Siempre positivo

Dado que la funci´ on cosh no es inyectiva, ya que existen dos argumentos con el mismo coseno hiperb´ olico: cosh y = cosh (−y), su correspondencia rec´ıproca no es funci´ on, ya que para cada valor de x tendr´ıamos dos posibles valores para su imagen: y y −y. Para salvar esta circunstancia elegiremos siempre el valor positivo del argumento.

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

82

y

6

cosh x arg cosh x

-x

Figura 1.44: f (x) = arg cosh x

1.6.9.

Identidad hiperb´ olica

 ex + e−x   cosh x = 2ex ex + e−x ex − e−x 2 −x + = = ex cosh x + senh x = x e −e  2 2 2  senh x = 2   ex = cosh x + senh x ⇒ x = ln cosh x + senh x

1.6.10.

F´ ormula logar´ıtmica de las funciones hiperb´ olicas inversas

Sea y = arg cosh x, a partir de ah´ı, los valores del cosh y y senh y son los siguientes: a) Por la propia definici´ on del arg cosh, ser´ a: cosh y = x. b) A partir de la f´ ormula fundamental podemos expresar el senh en funci´ on del cosh, y a partir de ah´ı, expresarlo en funci´ on de x. cosh2 y − senh2 y = 1 ⇒ senh2 y = cosh2 y − 1 ⇒ q p ⇒ senh y = + cosh2 y − 1 ⇒ senh y = x2 − 1

Y sustituyendo ambas expresiones en la identidad logar´ıtmica resulta: h i p   y = ln cosh y + senh y = ln x + x2 − 1 de donde:

i h p arg cosh x = ln x + x2 − 1 De la misma forma se obtiene la expresi´ on para el arg senh: Sea y = arg senh x, a partir de ah´ı, los valores del cosh y y sen y son los siguientes:

1.7. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´ITULO 1

83

a) Por la propia definici´ on del arg senh, ser´ a: senh y = x. b) A partir de la f´ ormula fundamental podemos expresar el cosh en funci´ on del senh, y a partir de ah´ı, expresarlo en funci´ on de x. cosh2 y − senh2 y = 1 ⇒ cosh2 y = senh2 y + 1 ⇒ q p ⇒ cosh y = + senh2 y + 1 ⇒ cosh y = x2 + 1

Y sustituyendo ambas expresiones en la identidad logar´ıtmica resulta: h i p   y = ln cosh y + senh y = ln x + x2 + 1 de donde:

i h p arg senh x = ln x + x2 + 1 ey + e−y para el 2

Tambi´en puede hacerse despejando y en las ecuaci´ on x = arg cosh, o bien en x =

1.7.

ey − e−y para el arg senh 2

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 1

Ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 1 Soluciones en la p´ agina 379 1.1.

Hallar los intervalos definidos por las siguientes desigualdades: a) x2 − 2x < 3,

1.2.

1.3.

c) |2x − 6| ≤ 4,

d) |7 − 3x| ≥ 2,

Hallar el dominio de las siguientes funciones: √ 1 + x−1 x−3

b) f (x) = √

√ 1 + x+1 3−x

Hallar, si existen, los siguientes l´ımites de sucesiones 3n2 − 2n + 5 , n→∞ 6n2 + 5n − 1 p
4n2 + n − 2n , c) l´ım a) l´ım

n→∞

1.5.

x−2 < 2, x−4

Dada la circunferencia de ecuaci´ on x2 + y 2 + 4x − 2y + 1 = 0 a) Hallar el centro y el radio b) Determinar si los puntos (0, 0), (−2, −1) y (−2, 1) est´ an dentro, fuera o en ella. a) f (x) =

1.4.

b)

p

9n2 + n + 1 −  2 n n + 5n + 1 d) l´ım n→∞ n2 + 2n + 5 b) l´ım

n→∞

p


9n2 − 2n ,



x+1 3

Hallar, si existen, los siguientes l´ımites de funciones x2 − 4 , a) l´ım 2 x→2 x + 3x − 10

b) l´ım

x→2

√

x−1−1 , x−2

c) l´ım

x→2



1 x−2

´ CAP´ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

84

Problemas resueltos del Cap´ıtulo 1 1.1 (Aplicando el criterio de Stolz). Calcular el siguiente l´ımite:   ln (n + 1)!   l´ım n→∞ ln (n + 1)n

Soluci´ on. Aplicando el criterio de Stolz, resulta

(n + 2)!       ln ln (n + 2)! − ln (n + 1)! ln (n + 1)! (n + 1)!  = l´ım  = l´ım     l´ım = n→∞ n→∞ ln (n + 2)n+1 − ln (n + 1)n n→∞ ln (n + 1)n (n + 2)n+1 ln (n + 1)n ln(n + 2) ln(n + 2)    n  = l´ım n = = l´ım n→∞ n→∞ n+2 n+2 ln (n + 2) ln(n + 2) + ln n+1 n+1 1 1 1  n = l´ım = =1 = n→∞ 1 + 1/∞ 1+0 n+2 1 + ln / ln(n + 2) n+1 Donde se ha tenido en cuenta que

l´ım ln

n→∞



n " n n n+1 #  n + 1 n+2 1 1 1+ = ln e1 = 1 = l´ım ln 1 + = ln l´ım n→∞ n→∞ n+1 n+1 n+1

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 1 Soluciones en la p´ agina 380 1.1.

Hallar, si existen, los siguientes l´ımites de sucesiones a) l´ım

n→∞

r n

3n + 2 3n − 5

!(n2 +3)

Cap´ıtulo 2

Funciones de varias variables: L´ımites 2.1. 2.1.1.

Funciones de varias variables Definiciones

Funci´ on de una variable Una funci´ on de una variable es una correspondencia entre dos magnitudes. Por ejemplo, el espacio y el tiempo. No obstante, hay que advertir que no se considera funci´ on a cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea funci´ on, la imagen de cada elemento tiene que ser u ´nica y estar bien determinada. Una manera de visualizar una funci´ on es por medio de una gr´ afica. La gr´ afica de una funci´ on de una variable, por lo general, es una curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representaci´ on de una funci´ on. Para que una curva represente una funci´ on no puede tener dos puntos en la misma vertical (criterio de la recta vertical), ya que para que una correspondencia entre dos magnitudes sea funci´ on, la imagen tiene que ser u ´nica. y

y6 y = f (x) •y x

6

• y2 • y1

x -

x

x -

Figura 2.1: Gr´afica de una funci´on de una variable. La circunferencia no es la gr´afica de una funci´ on.

Para poder aplicar las propiedades de las funciones a las correspondencia que no lo son hay que descomponerlas en funciones. Por ejemplo, la ecuaci´ on 85

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

86

de una circunferencia x2 +y 2 = 1 no representa (globalmente) una funci´ on, ya que para cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra, con lo cual se viola el concepto de funci´ on. En consecuencia, la descomponemos en dos funciones: una que toma el valor positivo (semicircunferencia superior), y otra el valor negativo (semicircunferencia inferior). En efecto, tenemos: √  p y1 = +√1 − x2 2 2 2 2 2 x +y =1 ⇒ y =1−x ⇒ y =± 1−x ⇒ y2 = − 1 − x2 y

y

6 x2 + y 2 = 1

y

√

6 y = + 1 − x2

-x

-x

6 -x √ y = − 1 − x2

Figura 2.2: La circunferencia no es una funci´on, pero podemos descomponerla en dos funciones.

Funci´ on de varias variables. Una funci´ on de varias variables es una correspondencia entre m´ as de dos magnitudes. En este caso, las im´ agenes tambi´en ser´ an n´ umeros reales, pero los originales no ser´ an n´ umeros individuales, sino parejas o ternas de n´ umeros reales. Es decir, para poder dar el resultado de la funci´ on necesitamos tener varios datos. En consecuencia, los valores de la funci´ on (las im´ agenes), que ser´ an n´ umeros reales, dependen (son funci´ on) de m´ as de una variable. Ejemplo: Si expresamos el a´rea de un tri´ angulo en funci´ on de la base y de la altura, tendremos una funci´ on de dos variables.






B
B
h B

B

B

b

1 a = bh 2

⇒

a = f (b, h)

b > 0,

h>0

Figura 2.3: En general, ser´ a: f : D ⊆ R2 −→ R

f : (x, y) 7−→ z

z = f (x, y)

Ejemplo: Si expresamos el volumen de un paralelep´ıpedo rectangular (caja de zapatos) en funci´ on de sus aristas, tendremos una funci´ on de tres variables.

87

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

z y x

v = xyz ⇒ v = f (x, y, z), x > 0, y > 0, z > 0

Figura 2.4: En general ser´ a, f : D ⊆ R3 −→ R

f : (x, y, z) 7−→ v

v = f (x, y, z)

Denotamos una funci´ on de dos o m´ as variables por una notaci´ on similar a la utilizada con las funciones de una sola variable. As´ı, en los ejemplos anteriores, tenemos: 1 z = f (x, y) = xy | {z } 2

y

2 variables

v = f (x, y, z) = xyz | {z } 3 variables

Definici´ on 2.1 (Funci´ on de dos variables). Sea D un conjunto de pares ordenados de n´ umeros reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corresponde un n´ umero real f (x, y), entonces se dice que f es funci´ on de x e y. El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores de f (x, y) es el recorrido de f . Para la funci´ on dada por z = f (x, y), a x e y se les llaman variables independientes, y a z variable dependiente. Nota: N´ otese el doble papel que juega la letra z en la notaci´ on: En funciones de dos variables se le suele usar para denotar los valores de la funci´ on, escribiendo z = f (x, y) (aqu´ı, la z es la “funci´ on”, la variable dependiente), mientras que en funciones de tres o m´ as variables suele aparecer denotando a una de las variables de la funci´ on, por ejemplo, en v = f (x, y, z) (aqu´ı la z es una variable independiente).

El par ordenado (x, y) puede tener una doble interpretaci´ on: por un lado, lo podemos considerar como una pareja de n´ umeros reales (es decir, vemos dos n´ umeros, dos variables); y por otro, lo podemos considerar como una unidad, como las componentes de un vector, v = (x, y) (y, en este sentido, s´ olo veremos una variable, un vector). En consecuencia las funciones de varias variables, tambi´en, pueden considerarse como funciones de una sola variable vectorial. f : D ⊆ R2 −→ R

f : (x, y) 7−→ z

f : v 7−→ z

z = f (v)

z = f (x, y) con v = (x, y)

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

88

En general, tendremos funciones del tipo: f : D ⊆ Rn −→ R

f : (x1 , . . . , xn ) 7−→ y f : x 7−→ y

y = f (x1 , . . . , xn )

y = f (x)

que llamaremos funciones reales de n variables reales, si consideramos a los puntos de Rn como n-adas de n´ umeros reales (es decir, veremos n variable), o bien, funciones reales de variable vectorial, si consideramos a los elementos de Rn como vectores (es decir, s´ olo veremos una variable: un vector). Es decir, una funci´ on f : D ⊆ Rn −→ R es una regla que asocia a cada n-ada ordenada de n´ umeros reales (x1 , . . . , xn ) de D, o bien, a cada vector x de D, un n´ umero real (y s´ olo uno) bien determinado f (x1 , . . . , xn ). En consecuencia, una funci´ on de varias variables est´ a constituida por: a) Su dominio D ⊆ Rn , b) su codominio R, c) la regla, z = f (x), que asocia a cada elemento del dominio x ∈ D, su imagen z ∈ R. A la magnitud que se despeja (la imagen) se le llama variable dependiente y a las otras variables independientes. A las funciones de varias variables tambi´en se les llama campos escalares. Igual que en una variable, para que la correspondencia sea funci´ on la imagen tiene que ser u ´nica. Para poder aplicar las propiedades de las funciones a las correspondencias que no lo son, hay que descomponerlas en funciones. Ejemplo. La ecuaci´ on de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 1 no representa (globalmente) una funci´ on, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos valores de la tercera, lo que viola el concepto de funci´ on. z

6 y -

x

Figura 2.5:

x2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ z 2 = 1 − x2 − y 2 ⇒ p on) ⇒ ⇒ z = ± 1 − x2 − y 2 (no es funci´ ( p z1 = +p 1 − x2 − y 2 (si es funci´ on) ⇒ on) z2 = − 1 − x2 − y 2 (si es funci´

Funciones vectoriales. Una funci´ on se dice que es vectorial cuando el resultado no es un n´ umero, sino un vector, es decir, una pareja de n´ umeros o una terna de n´ umeros. Ejemplo. Si las ecuaciones param´etricas de una recta son las siguientes:   x=1−t y = 2 + 3t  z =1+t

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

89

para cada valor del par´ ametro tiempo, t, obtenemos las tres coordenadas del punto de situaci´ on, (x, y, z). En general, tendremos,

f:

f : D ⊆ R −→ R3   x = x(t) y = y(t) t 7−→ (x, y, z)  z = z(t)

Tambi´en se pueden definir funciones vectoriales que dependan de varias variables. Por ejemplo: f : D ⊆ R2 −→ R3 f:

(x, y) 7−→ (xy, x2 y, lnx)

En general, podemos establecer la siguiente clasificaci´ on:  n = m =1 funci´ on de una variable      n>1 funci´ on de varias variables m=1 f : D ⊆ Rn −→ Rm    n cualquiera    funci´ on vectorial m>1

Campos vectoriales. Se llaman campos vectoriales a las funciones vectoriales de Rn en s´ı mismo. Es decir, se llama campo vectorial a las funciones del tipo f : D ⊆ Rn → Rn . Una pr´ actica para visualizar los campos vectoriales consiste en jugar con la naturaleza “dual”de los elementos de Rn ; los elementos del dominio x ∈ D se ven como puntos y los de la imagen f (x) como vectores. El vector f (x) se representa mediante una flecha que se puede colocar en cualquier punto del espacio, sin embargo, para tener una visualizaci´ on del campo, la flecha se colocar´ a de manera que su punto inicial sea el punto x. Ejemplo. El campo F : R2 → R2 de ecuaci´ on, F(x, y) = (x, y), que asocia al punto (x, y) ∈ R2 el vector (x, y) ∈ R2 , se llama campo radial en R2 , y se puede representar gr´ aficamente como un conjunto de flechas en direcci´ on radial, cuya longitud crece al alejarnos del origen de coordenadas y disminuye al acercarnos a ´el.

2.1.2.

Dominio de una funci´ on de varias variables

El dominio de una funci´ on se define como el conjunto de puntos que tienen imagen. En la pr´ actica el dominio de una funci´ on de varias variables, normalmente, viene determinado por el contexto del problema (por ejemplo a´rea de un tri´ angulo). Por eso, para definir las funciones es usual dar simplemente la f´ ormula z = f (x), sin especificar el dominio D. Dominio impl´ıcito en la f´ ormula. Cuando no se dispone de un contexto

90

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES KA A A YH H I H@ @  








y

6






*    x H @ R HH @ j A A AU

Figura 2.6: Campo radial en R2 de aplicaci´ on, tambi´en es usual definir las funciones dando simplemente la regla z = f (x), sin especificar el dominio D. En tal caso se entiende que el dominio viene impl´ıcito en la propia f´ ormula, y queda determinado por todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la f´ ormula que define la funci´ on. O sea, el dominio est´ a formado por todos aquellos valores tales que al sustituirlos en la f´ ormula y realizadas las operaciones indicadas se obtiene un valor num´erico y no una operaci´ on imposible. Es decir, se entiende que el dominio de la funci´ on f es el mayor subconjunto D de Rn para el cual la regla f (x) tiene sentido (si el dominio es m´ as peque˜ no hay 1 que indicarlo). Por ejemplo, si definimos la funci´ on a = 2 xy el dominio ser´ıa cualquier pareja de n´ umeros reales (x,y). Ahora bien, si queremos que esa funci´ on represente el a´rea de un tri´ angulo, los valores x e y tienen que ser positivos. Por lo tanto dicha restricci´ on habr´ a que indicarla junto con la on estaf´ ormula a = 12 xy x > 0, y > 0. Si no se indica ninguna restricci´ mos suponiendo que el dominio es el m´ aximo “permitido”por la f´ ormula. El conocimiento del dominio nos permite saber qu´e valores pueden sustituirse en la f´ ormula y cuales no. El dominio de una funci´ on de dos variables f (x, y) ser´ a una regi´ on del plano, y el dominio de una funci´ on de tres variables f (x, y, z) una regi´ on del espacio. Y vendr´ a determinado por la propia f´ ormula (dominio impl´ıcito), o bien, por una restricci´ on arbitraria que nosotros impongamos. Se llama Rango o Recorrido de una funci´ on al conjunto de elementos que son imagen. En general, nos ocuparemos del Dominio y s´ olo en casos particulares nos ocuparemos del Recorrido. Ejemplo 2.1 (Encontrando un dominio). Encontrar el dominio de definici´ on de funci´ on xy f (x, y) = 2 . x + y2 Soluci´ on. Se trata de encontrar aquellas parejas de n´ umeros (x, y), para las cuales tiene sentido la f´ ormula dada para f (x, y). Es decir, ¿qu´e valores pueden darse a x e y, de manera que al realizar las operaciones indicadas en

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

91

la f´ ormula se obtenga un valor num´erico y no tropecemos con una operaci´ on imposible? Es evidente que, en este caso, el dominio de la funci´ on es todo el espacio R2 excepto el origen de coordenadas, es decir, Df = R2 − {(0, 0)}, pues la f´ ormula puede ser calculada para cualquier pareja de n´ umeros reales, salvo para la pareja (0, 0). En efecto, 1·1 1 = 2 +1 2 −6 −2 · 3 = f (−2, 3) = 2 2 (−2) + (3) 13 0·3 0 f (0, 3) = 2 = =0 0 + (3)2 9 f (1, 1) =

12

Sin embargo, al sustituir la pareja (x, y) por (0, 0) tropezamos con una operaci´ on imposible, como es dividir por cero. f (0, 0) =

0 0·0 = 02 + 02 0

Ejemplo 2.2. Encontrar el dominio de la funci´ on f (x, y, z) = p

x+y+z x2 + y 2 + z 2

Soluci´ on. El mismo razonamiento del ejemplo anterior nos conduce a Df = R3 − {(0, 0, 0)} Nota: Recordemos que al calcular el dominio de una funci´ on deben tenerse en cuenta, entre otras, las siguientes circunstancias: 1. 2. 3.

Que no se puede dividir por cero. Que las ra´ıces de ´ındice par s´ olo est´ an definidas para los n´ umeros positivos y el cero. Que los logaritmos s´ olo est´ an definidos para los n´ umeros positivos.

Ejemplo 2.3 (Representando un dominio). Encontrar el dominio de definici´ on de las siguientes funciones, indicando su significado gr´ afico. 1. 3.

y f (x, y) = p 2 px − y x2 + y 2 − 9 f (x, y) = x

5.

f (x, y) = ln xy

7.

f (x, y) = arc sen(x + y)

Soluci´ on.

2. 4. 6.

x f (x, y) = p 2 x + y2 − 9 sen (yz) f (x, y, z) = p 4 − x2 − y 2 − z 2 1 f (x, y) = xy

92

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

y 1. f (x, y) = p x − y2 p Para que la ra´ız cuadrada x − y 2 est´e definida, el radicando no puede ser negativo, luego x − y 2 ≥ 0, pero, al estar en el denominador, ha de ser distinto de cero, x − y 2 6= 0. En consecuencia,  x − y2 ≥ 0 x − y 2 > 0 ⇒ x > y 2 ⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 /x > y 2 } x − y 2 6= 0 Para representar la inecuaci´ on x > y 2 representamos la ecuaci´ on x = y 2 , y obtenemos una par´ abola. En los puntos de la par´ abola se tiene la igualdad x = y 2 . En consecuencia, a la derecha de la par´ abola 2 ser´ a x > y . Luego el dominio de la funci´ on coincide con el interior de la par´ abola, excluido el contorno. y 2 6x = y

x > y2

-x

sin el contorno

Figura 2.7: Dominio de la funci´on: f (x, y) = p

y x − y2

x 2. f (x, y) = p x2 + y 2 − 9 Para que la ra´ız cuadrada est´e definida, el radicando no puede ser negativo, luego x2 + y 2 − 9 ≥ 0, pero al estar en el denominador, no puede ser cero, x2 + y 2 − 9 6= 0. En consecuencia y

6 - x

x2 + y 2 − 9 > 0 ⇒ x2 + y 2 > 9 ⇒

Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 > 9}

Exterior del c´ırculo de centro el Origen y radio 3, excluido el contorno Figura 2.8: p x2 + y 2 − 9 3. f (x, y) = x Igual que en el caso anterior, para que la ra´ız cuadrada est´e definida, el radicando no puede ser negativo, luego x2 + y 2 − 9 ≥ 0. Ahora bien,

93

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

en este caso, al estar en el numerador, no se le exige que sea distinto de cero. No obstante, al estar x en el denominador, no puede ser cero, x 6= 0. En consecuencia y

x2 + y 2 − 9 ≥ 0 ⇒ x2 + y 2 ≥ 9

6

x 6= 0 ⇒

- x

Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≥ 9, x 6= 0} Exterior del c´ırculo de centro el Origen y radio 3, incluido el contorno y excluido el eje OY. Los puntos (0, 3) y (0, −3) quedan excluidos.

Figura 2.9: sen (yz) 4. f (x, y, z) = p 4 − x2 − y 2 − z 2 En numerador no tiene ning´ un problema, est´ a definidos para cualquier valor de x e y. Luego, z

6 y -

4 − x2 − y 2 − z 2 > 0 ⇒ x2 + y 2 + z 2 < 4 ⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 + z 2 < 4} El dominio es el interior de la esfera de centro el Origen y radio 2, excluido el contorno.

x

Figura 2.10: 5. f (x, y) = ln xy   x>0    y>0  D = {(x, y) ∈ R2 /[x > 0, y > 0] ⇒ f xy > 0 ⇒ x<0  o´ [x < 0, y < 0]}   y<0 Es decir, el dominio est´ a formado por el primer y el tercer cuadrante, excluidos los ejes de coordenadas. 6. f (x, y) =

1 xy

xy 6= 0 ⇒ x 6= 0 e y 6= 0 ⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 /xy 6= 0} El dominio comprende todo el plano menos los dos ejes de coordenadas 7. f (x, y) = arc sen (x + y) Que f (x, y) sea el arc sen de x + y, significa que x + y es el seno de un ´ angulo. Para que x + y pueda ser el seno de un a´ngulo ha de estar comprendido entre 1 y -1, −1 ≤ x + y ≤ 1. En consecuencia

94

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

y

@ 6 @ y =1−x @ @ -x @ @ @ @ y = −1 − x @ @ @ @

−1 ≤ x + y ≤ 1 ⇒



x+y ≤1⇒y ≤1−x −1 ≤ x + y ⇒ y ≥ −1 − x

⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x + y ≤ 1} El dominio es la franja comprendida entre las rectas y = 1 − x e y = −1 − x, incluidas ambas rectas.

Figura 2.11:

2.1.3.

Operaciones con funciones de varias variables.

Las funciones de varias variables se pueden combinar de la misma forma que las funciones de una sola variable. Por tanto se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir, etc. f (x, y) ± g(x, y)

,

f (x, y) · g(x, y)

,

f (x, y) g(x, y)

, ···

As´ı, las operaciones entre funciones de varias variables se definen de manera an´ aloga a como se definen en el caso de una sola variable: (f + g)(x, y) = f (x, y) + g(x, y) (f g)(x, y) = f (x, y)g(x, y)   f f (x, y) (x, y) = g g(x, y) No obstante, hay que hacer notar que operar con funciones significa operar con las im´ agenes de un mismo punto. ր (x, y) ց

f (x, y) g(x, y)

ց f (x, y) + g(x, y) ր

En consecuencia, para que la operaci´ on con las im´ agenes se pueda considerar como una operaci´ on de funciones, las dos funciones tienen que estar definidas sobre ese mismo punto. Por tanto, para operar, todas las funciones tienen que ser del mismo n´ umero de variables (aunque en la f´ ormula no tienen por que aparecer todas). Ejemplo, se pueden sumar las funciones:  f (x, y) = x 2x + y = f (x, y) + g(x, y) = (f + g)(x, y) g(x, y) = x + y Sin embargo, no se puede expresar como suma de funciones la siguiente suma:  f (x) = x 2x + y = f (x) + g(x, y) = (f + g)( ? ) g(x, y) = x + y

95

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Considerando los dominios, se tiene, ) f : Df ⊆ Rn → R f + g : Df ∩ Dg ⊆ Rn → R g : Dg ⊆ Rn → R

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

Es decir, el dominio de la funci´ on suma es la intersecci´ on de los dominios de las funciones sumandos. Igual ocurre con la diferencia y el producto. Sin embargo, en el cociente hay que hacer una restricci´ on adicional y eliminar aquellos puntos que anulan el denominador, ya que no est´ a permitido dividir por cero. As´ı, Df /g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg / g(x) = 0} Ejemplo 2.4 (Hallando el dominio de una suma de funciones). Encontrar el dominio de la funci´ on: x2 y

x−1 +p y − x2 1 − x2 − y 2 Soluci´ on. Hallamos el dominio de cada uno de los sumandos, por separado. Y luego hallamos la intersecci´ on de los dominios obtenidos. f (x, y) = p

y − x2 > 0 ⇒ y > x2 ⇒ D1 = {(x, y) ∈ R2 / y > x2 } 1 − x2 − y 2 > 0 ⇒ x2 + y 2 < 1 ⇒ D2 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 < 1} La intersecci´ on de estos dominios est´ a constituida por los puntos interiores al c´ırculo unitario x2 + y 2 = 1 (excluyendo su frontera) que est´ an en el 2 interior de la par´ abola de ecuaci´ on y = x (excluyendo su frontera). y 1 x -1

1 -1

Figura 2.12: Dominio de la funci´on f (x, y) = p

x−1 x2 y +p 2 y−x 1 − x2 − y 2

Funciones polin´ omicas. En varias variables se suele utilizar una terminolog´ıa similar a la utilizada en una variable. As´ı, una funci´ on que se puede expresar como suma de funciones de la forma c xm y n (donde c es un n´ umero real y m y n son enteros no negativos) se conoce como funci´ on polin´ omica de dos variables. Por ejemplo, son funciones polin´ omicas de dos variables, las siguientes: f (x, y) = x2 + y 2 − 3xy + x + 2 y g(x, y) = 2xy 2 − y + 3

96

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

la primera de segundo grado y la segunda de tercero. Al cociente de dos funciones polin´ omicas se le llama funci´ on racional.

2.1.4.

Composici´ on de funciones

Composici´ on de funciones, en general. Componer dos funciones consiste en aplicar la segunda funci´ on al resultado de la primera. Es decir, para ((componer)) dos funciones se aplica primero f a cada x en Df y despu´es se aplica g a f (x), siempre que sea posible (es decir, cuando f (x) pertenezca a Dg ). Hay que advertir que, en general, la composici´ on de funciones no es conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser´ a f ◦g 6= g◦f , incluso, puede suceder que est´e definida la composici´ on en un orden y no en el otro. Sin embargo, s´ı se cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. Composici´ on de funciones reales de una variable real. Componer dos funciones consiste en aplicar la segunda funci´ on al resultado de la primera. Ahora bien, desde el punto de vista anal´ıtico, este concepto puede tener una segunda lectura. Anal´ıticamente, la composici´ on de funciones, tambi´en significa sustituir una funci´ on en la otra. Es decir, si tenemos la funci´ on y = f (x) que establece la dependencia entre y y x, y la funci´ on x = g(t), que establece la dependencia
entre x y t, podemos sustituir esta u ´ltima en la primera y obtener y = f g(t) . A la funci´ on as´ı obtenida (que env´ıa t a y) se le llama composici´ on de f con g y se denota por f ◦g. Obs´ervese que el orden en que se escribe la composici´ on f ◦ g es el inverso al orden en que act´ uan las funciones (primero g, despu´es f ). Conviene tener siempre presente esta doble visualizaci´ on de la composici´ on de funciones: como aplicaci´ on sucesiva de dos funciones, y como sustituci´ on de la variable por una funci´ on de otra variable. En esquema ser´ıa lo siguiente: (a) Como aplicaci´ on sucesiva de funciones: g t•

f R

x•

R *

•y

f ◦g Figura 2.13: Composici´on de funciones (b) Como sustituci´ on de la variable: 
y = f (x) y = f g(t) x = g(t)

Es evidente, como ya se ha dicho, que para poder componer dos funciones, en su totalidad, el rango de la primera ha de estar contenido en el

97

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

dominio de la segunda g(Dg ) ⊆ Df , en caso contrario, despu´es de aplicar g no podr´ıamos aplicar f . Sin embargo, esta restricci´ on no es necesaria para poder realizar, parcialmente, la composici´ on de las funciones, s´ olo que, en este caso, habr´ a que reducir el dominio de la composici´ on a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Desde el punto de vista formal la composici´ on, de funciones reales de una variable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones g : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composici´ o
n de f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la funci´ on (f ◦ g)(x) = f g(x) . )  g f
g:I⊆R→R I− →J − →R (f ◦ g)(x) = f g(x) f :J ⊆R→R f ◦g :I ⊆R→R

En el caso de que no se cumpla la condici´ on g(I) ⊆ J, la composici´ on tambi´en es posible, siempre que g(I) ∩ J 6= ∅. En tal caso habr´ a que restringir las funciones a aquellos puntos en los que la composici´ on sea posible. Es decir, a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Composici´ on de funciones vectoriales. Para funciones de varias variables la situaci´ on es, en principio, algo m´ as complicada. T´engase en cuenta n que dos campos escalares f, g : D ⊆ R → R no se pueden componer, pues la operaci´ on de composici´ on entre funciones solamente se puede realizar cuando el rango de una de ellas est´ a contenido (o al menos tiene alguna conexi´ on) en el dominio de la otra, y los campos escalares tienen rango en R y dominio en Rn . Por lo tanto, los campos escalares solamente se podr´ an componer con funciones de una sola variable, por la derecha; o con funciones vectoriales, por la izquierda. Es decir, f

g

Rn − →R− →R

f

g

Rn − →R− → Rm

g

f

Rm − → Rn − →R

Pensando en la composici´ on como la sustituci´ on de las variables (se tratar´ıa de la composici´ on por la izquierda), para componer la funci´ on z = f (x, y) tendremos que sustituir las dos variables x e y, respectivamente, por dos funciones g1 y g2 que las conecten con otras variables, donde g1 y g2 pueden ser funciones de una o varias variables (ambas de las mismas). As´ı, si consideramos las funciones x = g1 (u, v),

y = g2 (u, v)

podemos sustituir en la funci´ on z = f (x, y) y obtener la funci´ on compuesta:
z = f g1 (u, v), g2 (u, v)

que en esquema ser´ıa:

z = f (x, y)



x = g1 (u, v) y = g2 (u, v)




z = f g1 (u, v), g2 (u, v)

98

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Ahora bien, la pareja de funciones x = g1 (u, v), y = g2 (u, v) que sustituimos, tambi´en puede considerarse como las componentes de una sola funci´ on vectorial g : D ⊆ R2 → R2 , de tal manera que a cada punto (u, v) ∈ D 2 la funci´ on vectorial g le asocia
el punto g(u, v) ∈ R , cuyas coordenadas
son (x, y) = g1 (u, v), g2 (u, v) . O sea, g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) . Y esto permite interpretar la sustituci´ on de las variables como la aplicaci´ on sucesiva de dos funciones: una vectorial y la otra real. En esquema ser´ıa: f

g

R2 − → R2 − → R (u, v) 7→ (x, y) 7→ z de donde,



f ◦ g(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v)

Ejemplo 2.5 (Componiendo funciones). Hallar la funci´ on compuesta de la 2 funci´ on f (x, y) = xy + xy con las funciones x = g1 (u, v) = u + v

e

y = g2 (u, v) = uv

Soluci´ on. Si queremos interpretar la composici´ on como la aplicaci´ on sucesiva de dos funciones, consideramos la funci´ on vectorial
g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) = (u + v, uv)

y, en esquema, resulta

f (x, y) = xy 2 + xy g(u, v) = (u + v, uv)



f

R2 − →R g 2 R − → R2

)

g

f

R2 − → R2 − → R (u, v) 7→ (x, y) 7→ z

de donde, la composici´ on buscada, ser´ a:

h(u, v) = (f ◦ g)(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v) = f (u + v, uv) = = (u + v)(uv)2 + (u + v)uv = u3 v 2 + u2 v 3 + u2 v + uv 2

N´ otese que la funci´ on resultante de la composici´ on, h = f ◦ g, es una funci´ on distinta de f , g, g1 y g2 , es decir, se trata de una nueva funci´ on h, tal que f (x, y) = h(u, v) 6= f (u, v) En la pr´ actica se pueden simplificar los c´ alculos, sustituyendo directamente:

f (x, y) = f (u+v, uv) = (u+v)(uv)2 +(u+v)uv = u3 v 2 +u2 v 3 +u2 v +uv 2 = h(u, v)

Ejemplo 2.6. Hallar la funci´ on compuesta de la funci´ on f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz con las funciones x = g1 (t) = et , y = g2 (t) = sen t y z = g3 (t) = t2

99

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Soluci´ on. Consideramos la funci´ on vectorial
g(t) = g1 (t), g2 (t), g3 (t) = (et , sen t, t2 ) y, en esquema, resulta

f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz g(t) = (et , sen t, t2 )



f R3 − →

R g R− → R3

)

g

f

R − → R3 − → R t 7→ (x, y, z) 7→ w

de donde, la composici´ on buscada, ser´ a:

h(t) = (f ◦ g)(t) = f g(t) = f g1 (t), g2 (t), g3 (t) = f (et , sen t, t2 ) = = et sen2 t (t2 )3 − et sen t t2 = t6 et sen2 t − t2 et sen t

En la pr´ actica se pueden simplificar los c´ alculos, sustituyendo directamente: f (x, y, z) = f (et , sen t, t2 ) = et sen2 t (t2 )3 −et sen t t2 = t6 et sen2 t−t2 et sen t = h(t)

En este caso, tambi´en es posible la composici´ on en el orden inverso. En efecto, tenemos )  f f g f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz R3 − →R R3 − → R − → R3 g g(t) = (et , sen t, t2 ) (x, y, z) 7→ t 7→ w R− → R3 de donde, la composici´ on buscada, ser´ a:

h(x, y, z) = (g ◦ f )(x, y, z) = g f (x, y, z) = g xy 2 z 3 − xyz = 2 3 2
= exy z −xyz , sen (xy 2 z 3 − xyz), (xy 2 z 3 − xyz)

Ejemplo 2.7. Hallar la funci´ on f (x, y) = xy 2 − xy √ on compuesta de la funci´ con las funciones g(t) = t Soluci´ on. Este caso es distinto de los dos anteriores, ya que aqu´ı, para poder componer, la funci´ on f tiene que actuar primero, y despu´es la g. En efecto, en esquema, resulta )  f f g f (x, y) √ = xy 2 − xy R2 − →R R2 − → R− →R g g(t) = t (x, y) 7→ t 7→ z R− →R de donde, la composici´ on buscada, ser´ a: p
p h(t) = (g ◦ f )(x, y) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xy

N´ otese que la funci´ on resultante de la composici´ on solamente estar´ a definida para aquellos puntos (x, y) en los cuales se cumpla que xy 2 −xy ≥ 0, es decir, Dh = {(x, y) ∈ R2 / xy 2 − xy ≥ 0}

100

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

En la pr´ actica, tambi´en se pueden simplificar los c´ alculos sustituyendo directamente, pero en este caso, sustituimos en la funci´ on g: p
p 2 g(t) = g f (x, y) = f (x, y) = xy − xy = h(x, y)

En estos casos, la sustituci´ on puede hacerse, indistintamente, “de fuera a dentro” o “de dentro a fuera”, en efecto, p
g(t) = g f (x, y) = g(xy 2 − xy) = xy 2 − xy = h(x, y) Ejemplo 2.8. Componer las funciones, en el orden en que pueda hacerse: √ 1. f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 y g(z) = z Soluci´ on. )  f 2 −→ f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 f g R R √ R2 −→ R −→ R g g(z) = z R −→ R p   g f (x, y) = h(x, y) = 16 − 4x2 − y 2

2. f (x, y, z) = (2x, x+y, x+z) , g(x, y, z) = (x+y, y+z) y h(x, y) = x+y Soluci´ on.  f f (x, y, z) = (2x, x + y, x + z)  R3 −→ R3 g g(x, y, z) = (x + y, y + z) R3 −→ R2  h h(x, y) = x + y R2 −→ R

    

f

g

h

R3 −→ R3 −→ R2 −→ R

h  i   h g f (x, y) = h g(2x, x+y, x+z) = h(3x+y, 2x+y+z) = 5x+2y+z

La funci´ on g debe interpretarse como: (1a componente +2a , 2a + 3a )

Caso general. En general, interpretando la composici´ on de funciones como sustituci´ on de las variables, para componer la funci´ on z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) tendremos que sustituir las n variables x1 , x2 , · · · , xn , respectivamente, por las funciones g1 , g2 , · · · gn que las conecten con otras variables u1 , u2 , · · · , um , donde g1 , g2 , · · · gn pueden ser funciones de una o varias variables (todas de las mismas). As´ı, si consideramos las n funciones x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um )

x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um ) .. .

xn = gn (u1 , u2 , · · · , um ) podemos sustituirlas en la funci´ on z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) y obtener la funci´ on compuesta:
z = f g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )

101

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ahora bien, las n funciones

x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , xn = gn (u1 , u2 , · · · , um )

pueden considerarse como las componentes de una sola funci´ on vectorial g : D ⊆ Rm → Rn ,

de tal manera que a cada punto (u1 , u2 , · · · , um ) ∈ D ⊆ Rm la funci´ on g le asocia el punto g(u1 , u2 , · · · , um ) = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , cuyas coordenadas son
(x1 , x2 , . . . , xn ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )

O sea,


g(u1 , u2 , . . ., um ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )

que en esquema ser´ıa:

g

f

Rm −−−→ Rn −−−→ R (u1 , u2 , · · · , um ) 7→ (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ z De esta manera se ve el proceso de composici´ on de funciones de varias variables como un proceso entre dos funciones, que se puede enunciar formalmente de la siguiente forma: Definici´ on 2.2 (Composici´ on de funciones). Dada la funci´ on f : D f ⊆ Rn → R definida en el conjunto Df de Rn y la funci´ on g : Dg ⊆ Rm → Rn definida en el conjunto Dg de Rm , cuyo rango est´ a contenido en Df (es decir, g(Dg ) ⊆ Df ), entonces se puede formar la composici´ on de ambas funciones f ◦ g : Dg ⊆ Rm → R, definida como: (f ◦ g)(u) = f g(u)),

u ∈ Dg

Esquem´ aticamente ser´ıa. )  f g
g : Dg ⊆ Rm → Rn →R → Df − Dg − (f ◦ g)(u) = f g(u) n m f : Df ⊆ R → R f ◦ g : Dg ⊆ R → R

y mediante diagramas,

O bien, teniendo en consideraci´ on los dominios, En el caso de que no se cumpla la condici´ on g(I) ⊆ J, la composici´ on tambi´en es posible, siempre que g(I)∩J 6= ∅. En tal caso habr´ a que restringir las funciones a aquellos puntos en los que la composici´ on sea posible. Es decir, a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Igual que en una variable, en general, la composici´ on de funciones no cumple la propiedad conmutativa, y s´ı la asociativa.

102

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES g u

f R

•

R

• x

Rm

*

Rn

•z R

f ◦g Figura 2.14: Composici´on de funciones g

f R

Dg

R

Df

Rm

*

Rn

R

f ◦g Figura 2.15: Composici´on de funciones

2.1.5.

Gr´ afica de una funci´ on de dos variables

Igual que ocurre con las funciones de una variable, el dibujo de la gr´ afica de una funci´ on de dos variables puede resultar muy esclarecedor para el conocimiento del comportamiento de la funci´ on, ya que nos permite visualizar, mediante im´ agenes gr´ aficas, sus propiedades abstractas, con objeto de comprenderlas y recordarlas mejor. Funciones de una variable. La gr´ afica de una funci´ on de una variable, por lo general, es una curva en el plano. y

6 • (x, y)

y = f (x) x -

Figura 2.16: Gr´afica de una funci´on de una variable. Un punto (x, y) del plano para estar situado en la gr´ afica ha de cumplir dos condiciones: en primer lugar, que su primera coordenada, x, est´e en el dominio de la funci´ on, x ∈ Df ; y en segundo lugar, que su segunda coordenada, y, sea la imagen, mediante la funci´ on de la primera, es decir, y = f (x). En base a esto, los puntos (x, y) de la gr´ afica se pueden expresar

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

103


de la forma x, f (x) . Es decir,

gr´ af f = { (x, y) ∈ R2 / x ∈ Df , y = f (x) }

o bien, de manera esquem´ atica,  
x ∈ Df ⇔ (x, y) = x, f (x) (x, y) ∈ gr´ af f ⇔ y = f (x)

Funciones de dos variable. La gr´ afica de una funci´ on de dos variables f (x, y) es el conjunto de puntos del espacio (x, y, z) para los cuales se tiene que z = f (x, y) y (x, y) ∈ Df . gr´ af f = { (x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ Df , z = f (x, y) }

Es decir, (x, y, z) ∈ gr´ af f ⇔

(

(x, y) ∈ Df

z = f (x, y)

)


⇔ (x, y, z) = x, y, f (x, y)

z6 z y x x

y -

Df

Figura 2.17:

La gr´ afica de una funci´ on de dos variables ser´ a una superficie en el espacio. La proyecci´ on de la gr´ afica sobre el plano horizontal coincide con el dominio de la funci´ on. Los puntos de la gr´ afica se representan por (x, y, f (x, y))

En consecuencia, a cada punto (x, y) del dominio D le corresponde un u ´nico punto (x, y, z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) del dominio. Ejemplo 2.9. Representar la funci´ on: f (x, y) = 2x + y − 4 Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo R2 . Para representar la funci´ on ponemos z en lugar de f (x, y), para ver si se trata de una ecuaci´ on conocida, con lo que tenemos: z = 2x + y − 4, de donde resulta z6 4 y 2x + y − z = 4 que es la ecuaci´ on de un plano en el espacio. Para tener una visualizaci´ on del plano en 2 el espacio representamos el tri´ angulo formado por los x −4 tres puntos en los que el plano corta a los ejes de Figura 2.18: coordenadas.

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

104

Para hallar las coordenadas de un punto de un plano se dan valores arbitrarios a dos de las variables y se calcula el tercer valor a partir de la ecuaci´ on del plano. En nuestro caso, se da el valor cero a dos de las variables y se calcula el valor correspondiente de la otra variable. Observaci´ on. La ecuaci´ on del plano se generaliza al espacio de n dimensiones mediante lo que se denomina hiperplano. As´ı, tenemos las siguientes representaciones: x 2 0 0

y 0 4 0

z 0 0 -4

f (x) = ax + b f (x, y) = ax + by + c

Recta en el plano Plano en el espacio f (x1 , . . . , xx ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn + b Hiperplano en Rn+1 p Ejemplo 2.10. Representa la funci´ on: f (x, y) = 9 − x2 − y 2

Soluci´ on. El dominio de la funci´ on viene determinado por 9 − x2 − y 2 ≥ 0 z6 3 y 3

x 3

Figura 2.19:

de donde x2 + y 2 ≤ 9 que es el c´ırculo con centro el origen de coordenadas y radio 3 (incluido su contorno). Para representar la funci´ on p sustituimos f (x, y) por 9 − x2 − y 2 de donde z, con lo que resulta: z = 2 2 2 2 z = 9 − x − y o bien x + y 2 + x2 = 9 que es la ecuaci´ on de la esfera de centro el origen de coordenadas y radio 3. Y al limitarnos a valores de z positivos, se reduce a la semiesfera superior.

Ejemplo 2.11. Representa la funci´ on: f (x, y) =

p 16 − 4x2 − y 2

Soluci´ on. El dominio de la funci´ on vendr´ a determinado por 16−4x2 −y 2 ≥ 0 z 6 4

y 4 x

2

Figura 2.20:

de donde 4x2 + y 2 ≤ 16, o lo que es lo mismo, y2 x2 4 + 16 ≤ 1 que es la elipse con centro el origen de coordenadas y semiejes 2 y 4 respectivamente (incluido su contorno). Para representar la funci´ on sustituimos f (x, y) p por z, con lo que resulta: z = 16 − 4x2 − y 2 de donde z 2 = 16 − 4x2 − y 2 con lo cual 2 2 z2 = 1 que 4x2 + y 2 + z 2 = 16 o bien, x4 + y16 + 16 es la ecuaci´ on del elipsoide de centro el origen de coordenadas y semiejes 2, 4 y 4 respectivamente. Y al limitarnos a valores de z positivos, se reduce al semielipsoide superior.

Ejemplo 2.12. Representa la funci´ on: f (x, y) = 3

105

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES z 6

Para representar le funci´ on ponemos z en lugar de f (x, y), con lo que tenemos: z = 3 que es la ecuaci´ on del plano horizontal de altura 3.

y x

Figura 2.21: z = 3 Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo R2 . Cortes con los planos coordenados. Para ayudarnos en la representaci´ on gr´ afica de las superficies, estudiaremos la curva en que la superficie corta a los planos coordenados. z 6

z 6

x=0

-

y

x

-

y

x

Figura 2.22: Planos coordenados x = 0 e y = 0.

Ejemplo 2.13. Representa la funci´ on: f (x, y) = x2 + y 2 Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo R2 . Para representar la funci´ on ponemos z en lugar de f (x, y), con lo que tenemos: z = x2 + y 2 z6 que, en principio, no sabemos de qu´e superficie se trata. Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coory denados: - corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´ abola x - corte con el plano y = 0 z = x2 que es otra par´ abola. Si supi´eramos los cortes que se producen en la gr´ afica meFigura 2.23: diante planos horizontales la tendr´ıamos perfectamente determinada. Estos cortes son las curvas de nivel. Curvas de nivel. La intersecci´ on del plano horizontal, de altura k, z = k con la superficie z = f (x, y) se llama curva de contorno de altura k.  f (x, y) = z curva de contorno de altura k z=k La proyecci´ on de esta curva de contorno sobre el plano horizontal de coordenadas OXY , se llama curva de nivel de altura k de la funci´ on f . f (x, y) = k

curva de nivel k

106

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES z

6 curva de contorno

-y x

curva de nivel

Figura 2.24: Curva de contorno y curva de nivel.

Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la funci´ on es constante, es decir, los puntos donde la funci´ on toma el mismo valor, o sea, las curvas de altura constante sobre la gr´ afica de la funci´ on. Las curvas de nivel permiten representar superficies tridimensionales mediante un mapa plano. Es importante elegir los valores de z adecuadamente para que el mapa traslade una clara visualizaci´ on de la superficie. El espaciado entre las curvas de nivel nos da una idea del crecimiento de la funci´ on. As´ı, mucho espacio entre dos curvas de nivel significa que la superficie crece lentamente. Dos curvas de nivel muy pr´ oximas significa que la superficie crece r´ apidamente. Dos curvas de nivel diferentes de un mismo campo escalar no se pueden cortar, puesto que la funci´ on f asocia un u ´nico n´ umero z = f (x, y) a un punto cualquiera (x, y)

Figura 2.25: La distancia entre las curvas de nivel muestra el crecimiento de la superficie Ejemplo:Representar la funci´ on: f (x, y) = x2 + y 2 Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo R2 . Para representar la funci´ on 2 2 sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = x + y . Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados: - corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´ abola 2 - corte con el plano y = 0 z = x que es otra par´ abola. Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo que

107

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

resulta la ecuaci´ on x2 + y 2 = z, en donde, para cada valor de z tenemos una √ circunferencia de radio z. Podemos dar varios valores a z para ir viendo las curvas de contorno a distintas alturas: -

nivel nivel nivel nivel

z z z z

=0 =1 =4 =9

−→ −→ −→ −→

x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2

=0 =1 =4 =9

−→ −→ −→ −→

se reduce al punto (0, 0) circunferencia de radio 1 circunferencia de radio 2 circunferencia de radio 3

Figura 2.26: Gr´afica y curvas de nivel de la funci´on f (x, y) = x2 + y2

Ejemplo 2.14. Representa la funci´ on: f (x, y) =

p x2 + y 2

Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo R2 . Para on prepresentar la funci´ 2 2 sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = x + y . Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados: p - corte con el plano x = 0 z = √ y 2 =| y | que es una recta quebrada - corte con el plano y = 0 z = x2 =| x | que es otra recta quebrada. Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo que resulta la ecuaci´ on x2 + y 2 = z 2 , en donde, para cada valor de z tenemos una circunferencia de radio z Damos varios valores a z para ver las curvas de contorno a distintas alturas: -

nivel nivel nivel nivel

z z z z

=0 =1 =2 =3

−→ −→ −→ −→

x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2

=0 =1 =4 =9

−→ −→ −→ −→

se reduce al punto(0, 0) circunferencia de radio 1 circunferencia de radio 2 circunferencia de radio 3

Las curvas de nivel son circunferencias como en el caso anterior, pero los cortes con los planos coordenados son rectas y no par´ abolas. La gr´ afica resultante es un cono. Ejemplo 2.15. Representa la funci´ on: f (x, y) = 25 − x2 − y 2

108

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Figura 2.27: Gr´afica y curvas de nivel de la funci´on f (x, y) =

p

x2 + y 2

Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo R2 . Para representar la funci´ on 2 2 sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = 25 − x − y . Hallamos los cortes de la superficie con los planos coordenados: - corte con el plano x = 0 z = 25 − y 2 que es una par´ abola hacia abajo - corte con el plano y = 0 z = 25 − x2 que es una par´ abola hacia abajo. Para hallar las curvas de nivel suponemos z constante, con lo que resulta la ecuaci´ on x2 + y 2 = 25 −√ z, en donde, para cada valor de z < 25 tenemos una circunferencia de radio 25 − z Damos varios valores a z para ver las curvas de contorno a distintas alturas: -

nivel z nivel z nivel z nivel z nivel z nivel z

= 0 −→ x2 + y 2 = 25 = 9 −→ x2 + y 2 = 16 = 16 −→ x2 + y 2 = 9 = 21 −→ x2 + y 2 = 4 = 24 −→ x2 + y 2 = 4 = 25 −→ x2 + y 2 = 0

−→ −→ −→ −→ −→ −→

circunferencia de radio 5 circunferencia de radio 4 circunferencia de radio 3 circunferencia de radio 2 circunferencia de radio 1 se reduce al punto(0, 0)

La gr´ afica ser´ıa un paraboloide invertido. Ejemplo 2.16. Representa la funci´ on: f (x, y) = y 2 − x2 Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo R2 . Para representar la funci´ on sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = y 2 − x2 . Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados: - corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´ abola hacia arriba - corte con el plano y = 0 z = −x2 que es una par´ abola hacia abajo. Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo que resulta la ecuaci´ on y 2 − x2 = z, en donde, para cada valor de z tenemos una hip´erbola Damos varios valores a z para ver las curvas de contorno a distintas alturas:

2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Figura 2.28: Gr´afica y curvas de nivel de la funci´on: f (x, y) = 25 − x2 − y2 para valores positivos de z - nivel z = 0 −→ y 2 = x2 −→ {y = x o y = −x} dos rectas - nivel z = 1 −→ y 2 − x2 = 1 −→ hip´erbola centrada en eje OY - nivel z = 4 −→ y 2 − x2 = 4 −→ hip´erbola centrada en eje OY para valores negativos de z - nivel z = −1 −→ x2 − y 2 = 1 −→ hip´erbola centrada en eje OX - nivel z = −2 −→ x2 − y 2 = 4 −→ hip´erbola centrada en eje OX La gr´ afica es la silla de montar

Figura 2.29: Gr´afica y curvas de nivel de la funci´on f (x, y) = y 2 − x2 Resumen de algunas gr´ aficas f (x, y) = k plano horizontal de altura k f (x, y) = ax + by + c plano 2 2 f (x, y) = x p + y paraboloide f (x, y) = px2 + y 2 cono f (x, y) = pr2 − x2 − y 2 semiesfera superior f (x, y) = r2 − ax2 − by 2 elipsoide superior f (x, y) = y 2 − x2 silla de montar.

109

110

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Funciones de tres o m´ as variable. La gr´ afica de funciones de tres o m´ as variables se define de forma an´ aloga al caso de una y dos variables. As´ı, en general, la gr´ afica de una funci´ on de n variables f : Df ⊆ Rn → R, se define como el conjunto gr´af f = { (x1 , x2 , . . . , xn , y) ∈ Rn+1 / (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Df , y = f (x1 , x2 , . . . , xn ) }

Ahora bien, podemos visualizar la gr´ afica de una funci´ on de una y de dos variables, sin embargo, para n ≥ 3 la gr´ afica de la funci´ on ya no puede ser visualizada, pues se encuentra en el espacio (n + 1)-dimensional (≥ 4dimensional) Superficies de nivel. El concepto de curva de nivel, definido para funciones de dos variables, se puede extender a funciones de tres variables y definir las superficies de nivel. Si f es una funci´ on de tres variables y c es una constante, entonces a la gr´ afica de la ecuaci´ on f (x, y, z) = c se le llama superficie de nivel de la funci´ on f . En cada punto de una superficie de nivel dada, la funci´ on f toma un valor constante, f (x, y, z) = c. Este concepto se puede generalizar a cualquier dimensi´ on, aunque, para n ≥ 3 no tenga un significado gr´ afico. Ejemplo 2.17. Describir las superficies de nivel de la funci´ on f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 Soluci´ on. Cada superficie de nivel satisface una ecuaci´ on de la forma x2 + y 2 + z 2 = c. Luego las superficies de nivel son esferas de centro el origen de coordenadas y radio la ra´ız cuadrada de c. Si damos varios valores a c obtendremos varias esferas conc´entricas.

2.1.6.

Otras representaciones de las funciones de varias variables

En Matem´ aticas a los conceptos te´ oricos se les buscan representaciones que nos permitan visualizar, mediante im´ agenes gr´ aficas, sus propiedades abstractas, con objeto de comprenderlas y recordarlas mejor. As´ı, para tener una visualizaci´ on gr´ afica de las propiedades de las funciones, hemos imaginado que las funciones de una variable representan curvas en el plano y las de dos variables superficies en el espacio. Sin embargo, este sistema no nos permite visualizar las funciones de tres o m´ as variables y tenemos que conformarnos con imaginar una generalizaci´ on de los conceptos aprehendidos en dos o tres dimensiones. En realidad una funci´ on no es ni una curva ni una superficie, sino una correspondencia entre magnitudes, y seg´ un sea el significado f´ısico que le demos a esas magnitudes (espacio, tiempo, temperatura, etc.) la funci´ on

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

111

tendr´ a un significado f´ısico u otro. Por eso, aunque la representaci´ on gr´ afica haya pasado a formar parte integrante del contenido te´ orico de las funciones, no debemos olvidar que es simplemente un instrumento de ayuda, y, por lo tanto, no nos debemos sentir atrapados por ese instrumento. Para comprender algunos conceptos, como por ejemplo las curvas de nivel, son tambi´en apropiadas otras representaciones de las funciones distintas de la representaci´ on gr´ afica. As´ı, las funciones de dos variables se pueden interpretar como la temperatura en cada punto de una placa horizontal, siendo esta placa el dominio de la funci´ on. Las de tres variables se pueden interpretar como la temperatura en cada punto de una regi´ on del espacio. Las curvas de nivel ser´ıan las curvas de igual temperatura, es decir, las isotermas. En el caso de tres variables las superficies de nivel ser´ıan las superficies de igual temperatura (superficies isotermas). A las funciones de varias variables tambi´en se les puede dar otras interpretaciones, por ejemplo, en un mapa del tiempo las curvas de nivel de igual presi´ on se llaman isobaras. En las representaciones de los campos de potencial electrico, las curvas de nivel se llaman l´ıneas equipotenciales.

2.2. 2.2.1.

L´ımite y continuidad Introducci´ on

La gr´ afica de una funci´ on de una variable es una curva en el plano. y

6 y = f (x) x -

Figura 2.30: Gr´afica de una funci´on de una variable. Esta curva puede presentar las siguientes situaciones de discontinuidad. En dos variables pueden darse situaciones de discontinuidad de todo tipo.

2.2.2.

Entorno de un punto en el plano

De manera an´ aloga a como se definen los entornos en la recta real mediante intervalos, se definen los entornos en el plano mediante discos. As´ı, un δentorno alrededor de (x0 , y0 ) va a ser un disco centrado en (x0 , y0 ) con radio δ. Es decir, se define el δ-entorno alrededor de (x0 , y0 ) como el conjunto de puntos (x, y) del plano que distan de (x0 , y0 ) menos que δ. p {(x, y) ∈ R2 ; (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ}

112

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Figura 2.31: Situaciones de discontinuidad en funciones de una variable

que tambi´en se puede expresar sin la ra´ız cuadrada de la siguiente forma: {(x, y) ∈ R2 ; (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 } y δ (x0 , y0 )

x

Figura 2.32: Entorno de un punto

Cuando en la definici´ on ponemos el signo < se dice que el disco es abierto y cuando ponemos el signo ≤ decimos que el disco es cerrado. En el primer caso no est´ a incluido el contorno y en el segundo s´ı. Regiones abiertas y regiones cerradas Un punto (x0 , y0 ) de una regi´ on R del plano se dice que es un punto interior de R si existe un δ-entorno alrededor de (x0 , y0 ) que pertenece totalmente a R. Si todos los puntos de una regi´ on R son interiores entonces decimos que R es una regi´ on abierta. Un punto (x0 , y0 ) se dice que es un punto frontera de R si cada disco abierto centrado en (x0 , y0 ) contiene puntos del interior de R y puntos del exterior de R. Por definici´ on, una regi´ on debe contener todos sus puntos

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

113

interiores, pero no tiene por qu´e contener a sus puntos fronteras. Si una regi´ on contiene todos sus puntos fronteras, entonces se dice que es una regi´ on cerrada. Una regi´ on que contiene a algunos pero no a todos sus puntos fronteras no es ni abierta ni cerrada. y Punto frontera Punto interior Frontera de R

x

Figura 2.33: Punto interior y punto frontera

2.2.3.

L´ımite y continuidad en dos variables

Al calcular el l´ımite de una funci´ on en un punto nos interesamos por los valores que toma la funci´ on en los alrededores del punto. El l´ımite de la funci´ on en un punto va a ser el valor que deber´ıa tomar la funci´ on en dicho punto, de acuerdo con los valores que toma en los alrededores del mismo. Este valor puede coincidir o no con el valor que realmente toma la funci´ on en el punto en cuesti´ on. Es decir, el l´ımite de una funci´ on en un punto P es ℓ si los valores que toma la funci´ on en los alrededores de P est´ an tan cerca de ℓ como queramos (el valor que la funci´ on tome en P no interesa a la hora de calcular el l´ımite)

Figura 2.34: L´ımite de una funci´on de dos variables.

Para poder hablar de l´ımite de una funci´ on en un punto, la funci´ on tiene que estar definida en los alrededores del punto. Formalmente la definici´ on de l´ımite es la siguiente:

114

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Definici´ on 2.3 (L´ımite de una funci´ on en un punto). Sea f una funci´ on de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x0 , y0 ), excepto quiz´ as en el punto (x0 , y0 ). Entonces, l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = ℓ

si y s´ olo si para cada ε > 0 existe un correspondiente δ > 0 tal que p |f (x, y) − ℓ| < ε, siempre que 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ

Que podemos esquematizar de la siguiente forma l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = ℓ ⇔

⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0) 0 < (x−x0 )2 +(y −y0 )2 < δ 2 ⇒| f (x, y)−ℓ |< ǫ Gr´ aficamente, esta definici´ on de l´ımite significa que para un punto cualquiera (x, y) situado en el disco de radio δ, el valor f (x, y) est´ a comprendido entre ℓ − ε y ℓ + ε. Hay que tener en cuenta que para que exista el l´ımite todos los puntos del entorno tiene que tener su imagen aproximadamente a la misma altura (entre ℓ − ε y ℓ + ε). Si unos puntos del entorno se aproximan a un valor y otros a otros, entonces el l´ımite no existe. En la definici´ on de l´ımite, el punto en cuesti´ on no cuenta. Es decir, da igual cu´ al sea el valor de f (x0 , y0 ), incluso da igual que no exista dicho valor. Al poner 0 < nos estamos ocupando de todos los puntos del δ-entorno, salvo del centro. No obstante, hay que advertir que en el c´ alculo de l´ımites de funciones continuas dicho valor s´ı que adquiere gran importancia. Definici´ on 2.4 (Continuidad). Una funci´ on se dice que es continua en un punto, si el valor que toma la funci´ on en el punto coincide con el l´ımite en dicho punto. f (x, y) continua en (x0 , y0 ) ⇐⇒

l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = f (x0 , y0 )

Una funci´ on se dice que es continua en una regi´ on R si es continua en cada punto de R  1 si x2 + y 2 ≤ 1 Ejemplo 2.18. Dada la funci´ on f (x, y) = 0 si x2 + y 2 > 1 hallar gr´ aficamente: l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y)

y

l´ım

(x,y)→(1,0)

f (x, y)

Soluci´ on. Para hallar el l´ımite de la funci´ on en cada uno de los puntos especificados, hallamos las im´ agenes de los puntos de un entorno de cada uno de los puntos.

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

115

En un entorno del punto (0, 0) todos los puntos tienen como imagen f (x, y) = 1, luego el l´ımite en dicho punto tambi´en es 1. En un entorno del punto (1, 0) una parte de los puntos tienen como imagen f (x, y) = 1, y otra parte de los puntos tiene como imagen f (x, y) = 0, luego el l´ımite en dicho punto no existe, ya que todos los puntos del entorno deber´ıan orientar su imagen hacia el mismo sitio.

Figura 2.35:

2.2.4.

l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 1

y

l´ım

(x,y)→(1,0)

f (x, y)

no definido

L´ımite de las funciones elementales

De forma an´ aloga a una variable, en varias variables se cumplen las siguientes propiedades: Teorema 2.1 (Propiedades de las funciones continuas). Si k es un n´ umero real y f y g son funciones continuas en (x0 , y0 ), entonces las funciones siguientes tambi´en son continuas en (x0 , y0 ): 1. 2. 3. 4.

M´ ultiplo escalar: kf Suma y diferencia: f ± g Producto: f g Cociente: f /g, si g(x0 , y0 ) 6= 0

Del teorema 2.1 se desprende la continuidad de las funciones polin´ omicas y racionales en cada punto de sus dominios. Teorema 2.2 (Continuidad de una funci´ on compuesta). Si h es continua en (x0 , y0 ) y g es continua en h(x0 , y0 ), entonces la funci´ on compuesta dada por (g ◦ h)(x0 , y0 ) = g[h(x, y)] es continua en (x0 , y0 ). Es decir, l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

g[h(x, y)] = g[h(x0 , y0 )]

on de dos variables, Nota. Obs´ervese que, en el teorema 2.2, h es una funci´ mientras que g es una funci´ on de una sola variable. De los teoremas 2.1 y 2.2 se desprende la continuidad las funciones f (x, y) = sen x2 y

y

g(x, y) = ex

2 +y 2

116

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

y, en general, de todas las funciones elementales en todos los puntos en los que est´ an definidas. Es decir, todas las funciones elementales son continuas en todos los puntos en los que est´ an definidas, luego para calcular el l´ımite de una funci´ on elemental en un punto (x0 , y0 ) en el que est´e definida bastar´ a sustituir x e y por x0 e y0 , respectivamente. El problema estar´ a en los puntos en los que la funci´ on no est´e definida. Por lo tanto, al calcular un l´ımite lo primero que intentaremos es la sustituci´ on directa, y s´ olo en el caso de que nos encontremos con una indeterminaci´ on intentaremos romperla por alg´ un m´etodo. En dos variables no tienen sentido las reglas de L´Hopital Ejemplo 2.19 (Calculando l´ımites por sustituci´on directa). Calcular los siguientes l´ımites: 1. 2.

3. 4.

l´ım

(x,y)→(2,3)

l´ım

xy = 6

(x,y)→(2,−3) x2

l´ım

(x,y)→(0,1)

xy −6 −6 = = 2 +y 4+9 13

arc sen xy 1 + xy

=

arc sen 0 0 = =0 1+0 1

π π y sen xy = 2 sen 2 = 2 sen = 2 · 1 = 2 4 2 (x,y)→(π/4,2) l´ım

Ejemplo 2.20 (Hallando la discontinuidad). Hallar los puntos de discontinuidad de la funci´ on: xy + 1 f (x, y) = 2 x −y Soluci´ on. Al tratarse de una funci´ on racional ser´ a continua en todos los puntos en los que est´ a definida. Es decir, la continuidad coincide con el dominio de la funci´ on. En consecuencia, al ser un cociente, ser´ a discontinua en aquellos puntos que hacen cero el denominador. x2 − y = 0 ⇒ y = x2 luego, la funci´ on es discontinua a lo largo de la par´ abola y = x2 Ejemplo 2.21. H´ allense los puntos de discontinuidad de la funci´ on: f (x, y) = cos

1 xy

Soluci´ on. El u ´nico problema que presenta la funci´ on es en el cociente, donde el denominador debe ser distinto de 0. Teniendo en cuenta que xy = 0 cuando x = 0 (eje OY) o cuando y = 0 (eje OX). La funci´ on ser´ a discontinua en los dos ejes de coordenadas.

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

117

Figura 2.36: f (x, y) =

xy+1 x2 −y

Ejemplo 2.22 (Extendiendo una funci´on por continuidad). Calcular el valor de c para que la siguiente funci´ on sea continua en todo el plano  p 1 − x2 − 4y 2 si x2 + 4y 2 ≤ 1 f (x, y) = c si x2 + 4y 2 > 1 p Soluci´ on. La gr´ afica de la funci´ on 1 − x2 − 4y 2 es una especie de semielip2 2 soide superior, con contorno p sobre la elipsepx + 4y = 1. En el contorno 2 2 2 toma el valor 0, en efecto, 1 − x − 4y = 1 − (x + 4y 2 ) que vale 0 para x2 + 4y 2 = 1. Fuera del contorno ha de ser constante (= c). Luego, para que se mantenga continua sobre el contorno, fuera del contorno ha de valer cero, por lo tanto c = 0.

Figura 2.37: f (x, y) =

p

1 − x2 − 4y 2

118

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Ejemplo 2.23 (L´ımite infinito). Calcula los siguientes l´ımites: 1. 2.

 1 cos(x2 + y 2 )  = 1 − + = 1 − ∞ = −∞ 1− 2 2 x +y 0 (x,y)→(0,0) l´ım

l´ım

(x,y)→(0,0)

2.2.5.

ln(x2 + y 2 ) = ln 0+ = −∞

Comprobando l´ımites aplicando la definici´ on

Mediante la definici´ on de l´ımite se puede comprobar si un l´ımite dado es correcto o no, pero no se pueden calcular l´ımites. La comprobaci´ on suele ser complicada y artificial. (Tenemos que imaginar que alguien nos va a dar el valor de ε y nosotros tenemos que encontrar el correspondiente valor de δ que hace que sea cierta la implicaci´ on. En general, nuestro δ depender´ a del ε que nos den: δ = δ(ε)). En cada caso necesitaremos probar que, para cada ε > 0, existe un δentorno alrededor de (x0 , y0 ) tal que |f (x, y) − ℓ| < ε siempre que (x, y) 6= (x0 , y0 ) est´e en el entorno. Es decir, necesitamos probar que cualquiera que sea ε > 0, existe, para ese ε, un δ > 0 que hace cierta la implicaci´ on: 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2

=⇒

|f (x, y) − ℓ| < ε

o bien, lo que es lo mismo, p 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ

=⇒

|f (x, y) − ℓ| < ε

Sin embargo, en la generalidad de los casos, no es posible la demostraci´ on lineal de esta implicaci´ on. Es decir, en la generalidad de los casos, no nos va a ser posible partir directamente del primer t´ermino de la implicaci´ on para llegar al segundo; sino que vamos a necesitar un razonamiento de “ida y vuelta”. Es decir, partiremos del segundo t´ermino y desde ah´ı veremos qu´e valor debe tomar δ, para que del primer t´ermino de la implicaci´ on se siga el segundo. El valor de δ lo determinaremos expresando |f (x, y) − ℓ| en funci´ on de δ, relacion´ andolo, para ello, con (x − x0 )2 + (y − y0 )2 . Es decir, obtendremos |f (x, y) − ℓ| < g(δ) de manera que, para el valor de δ que se obtiene de g(δ) = ε, resulta que de 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 se sigue que |f (x, y) − ℓ| < ε

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

119

Nota: La dificultad para entender la comprobaci´ on de la implicaci´ on, 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2

⇒

|f (x, y) − ℓ| < ε

est´ a, como ya se ha dicho, en que, en la generalidad de los casos, no es posible la demostraci´ on lineal de la implicaci´ on. As´ı como, en el hecho de que el valor de δ no est´ a dado, desde un principio, sino que lo debemos encontrar durante el proceso. En consecuencia, el tipo de razonamiento que se hace es el siguiente: Intentamos demostrar que |f (x, y)−ℓ| < ε ¿bajo qu´e condiciones se cumple esto? En un momento de la demostraci´ on necesitamos utilizar que 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 2 . Esa necesidad es lo que hace que sea cierta la implicaci´ on. Por otro lado, hay que decir que la u ´nica restricci´ on que tenemos que poner a δ = δ(ε) para poder concluir que |f (x, y) − ℓ| < ε es que δ sea positivo cuando ε tambi´en lo sean (δ y ε son distancias). El hecho de tratarse de desigualdades es lo que complica la demostraci´ on, aunque al mismo tiempo la enriquece.

Ejemplo 2.24 (Comprobando un l´ımite mediante la definici´on). Comprobar aplicando la definici´ on que el siguiente l´ımite es correcto. l´ım

(x,y)→(0,0)

p x2 + y 2 sen

1 =0 x2 + y 2

Soluci´ on. Necesitamos probar que, para cada ε > 0, existe un δ-entorno alrededor de (0, 0) tal que |f (x, y) − 0| < ε siempre que (x, y) 6= (0, 0) est´e en el entorno. Es decir, necesitamos encontrar un valor de δ, tal que de p 0 < (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ se siga que

|f (x, y) − 0| < ε Es decir, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´ on. x2 + y 2 < δ 2

=⇒

|f (x, y)| < ε

Para ello, tenemos que encontrar un valor positivo para δ tal que cuando x2 + y 2 < δ 2 , se tenga que |f (x, y)| < ε (el valor de δ depender´ a del que tenga ε). El proceso es el siguiente: partimos de la expresi´ on |f (x, y)|, la relacionamos con x2 + y 2 , con objeto de expresarla en funci´ on de δ y vemos cu´ anto tiene que valer δ para que esa expresi´ on sea menor que ε; teniendo en cuenta que al estar en un entorno del origen es x2 + y 2 < δ 2 , o bien p x2 + y 2 < δ

120

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES Para poder concluir que |f (x,y)|<ε,

|f (x, y)| = |

p

x2 + y 2 sen

|

ha de ser {z

p p 1 x2 + y 2 < δ = ε | ≤ | x2 + y 2 | = x2 + y 2 | {z } Por estar (x, y) en el entorno de (0, 0)

δ=ε

}

luego hemos encontrado un valor para δ, el propio ε, que es positivo p cuando ε tambi´en lo es, y con el que se concluye que |f (x, y)| < ε, cuando x2 + y 2 < δ. En consecuencia el l´ımite es correcto. Nota: Para conseguir relacionar la expresi´ on |f (x, y)|, con x2 + y 2 y obtener una desigualdad del tipo |f (x, y)| ≤ g(x2 + y 2 ) utilizamos las acotaciones que sean necesarias. En este ejemplo se ha utilizado el hecho de que | sen α| ≤ 1

Observaci´ on. La funci´ on f , del ejemplo anterior, definida por p 1 f (x, y) = x2 + y 2 sen 2 x + y2

es discontinua en (0, 0), ya que no est´ a definida en dicho punto. Sin embargo, el l´ımite es ese punto existe. En consecuencia podemos evitar la discontinuidad redefiniendo la funci´ on f en (0, 0), de manera que su valor sea igual a su l´ımite en ese punto. Es decir, ( p 1 x2 + y 2 sen x2 +y si (x, y) 6= (0, 0) 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0)

En consecuencia a este tipo de discontinuidades se les conoce como evitables. Ejemplo 2.25. Comprobar aplicando la definici´ on que el siguiente l´ımite es correcto. 1 =0 l´ım (x2 + y 2 ) sen xy (x,y)→(0,0) Soluci´ on. Igual que antes, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´ on. (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ 2

=⇒

|f (x, y) − 0| < ε

Es decir, tenemos que encontrar un valor positivo para δ tal que cuando x2 + y 2 < δ 2 , se tenga que |f (x, y)| < ε. Para ello partimos de la expresi´ on |f (x, y)|, la relacionamos con x2 + y 2 , con objeto de expresarla en funci´ on de δ y vemos cuanto tiene que valer δ para que esa expresi´ on sea menor que ε; teniendo a x2 + y 2 < δ 2 , p en cuenta que al estar en un entorno del origen ser´ 2 2 o bien x + y < δ |f (x, y)| = |(x2 + y 2 ) sen

1 | ≤ |x2 + y 2 | = x2 + y 2 < δ 2 = ε {z } | xy Por estar (x, y) en el entorno de (0,0)

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

121

√ positivo cuando ε luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε, que es p los es, y con el que se concluye que |f (x, y)| < ε, cuando x2 + y 2 < δ. En consecuencia el l´ımite es correcto. Ejemplo 2.26. Comprobar aplicando la definici´ on que el siguiente l´ımite es correcto. l´ım y = b (x,y)→(a,b)

Soluci´ on. Necesitamos probar que, para cada ε > 0, existe un δ-entorno alrededor de (a, b) tal que |f (x, y) − b| < ε siempre que (x, y) 6= (a, b) est´e en el entorno. Es decir, necesitamos encontrar un valor de δ, tal que de p 0 < (x − a)2 + (y − b)2 < δ

se siga que

|f (x, y) − b| < ε Para ello partimos de la expresi´ on |f (x, y) − b| y tratamos de relacionarla 2 2 con (x − a) + (y − b) , con objeto de expresarla en funci´ on de δ y vemos cuanto tiene que valer δ para que esa expresi´ on sea menor que ε p p |f (x, y) − b| = |y − b| = (y − b)2 ≤ (x − a)2 + (y − b)2 < δ = ε

luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε, que hace cierta la relaci´ on; y en consecuencia el l´ımitepes correcto. p (En la demostraci´on hemos tenido en cuenta que: | y − b |= (y − b)2 ≤ (x − a)2 + (y − b)2 . Este tipo de recursos son muy usuales en las comprobaciones de l´ımites).

Acotaciones usuales en el c´ alculo de l´ımites: En el c´ alculo de l´ımites, adem´ as de las acotaciones | sen x| ≤ 1 y | cos x| ≤ 1, se utilizan las siguientes: 0 ≤ |x| =

√

x2 ≤

p |x| x x2 + y 2 ⇒ p ≤ 1 ⇒ −1 ≤ p ≤1 x2 + y 2 x2 + y 2

0 ≤ x2 ≤ x2 + y 2 ⇒ 0 ≤

x2 ≤1 x2 + y 2

Ejemplo 2.27. Comprobar aplicando la definici´ on que el siguiente l´ımite es correcto. 5x2 y =0 l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2

122

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Soluci´ on. Igual que antes, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´ on. (x − 0)2 + (y − 0)2 < δ 2

=⇒

|f (x, y) − 0| < ε

Es decir, tenemos que encontrar un valor para δ tal que cuando x2 +y 2 < δ 2 , se tenga que |f (x, y)| < ε. Para ello partimos de la expresi´ on |f (x, y)|, la 2 2 relacionamos con x + y , con objeto de expresarla en funci´ on de δ y vemos cuanto tiene que valer δ para que esa expresi´ on sea menor que ε; teniendo en cuenta que al estar en un entorno del origen ser´ a x2 + y 2 < δ 2 , o bien p x2 + y 2 < δ p 5x2 y x2 |f (x, y)| =| 2 x2 + y 2 < 5δ = ε |= 5|y| | |≤ 5|y| ≤ 5 x + y2 x2 + y 2 luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε/5 2 (En la demostraci´ on hemos utilizado la acotaci´ on | x2x+y2 |≤ 1, y por otro p p lado hemos tenido en cuenta que: | y |= y 2 ≤ x2 + y 2 ).

Ejemplo 2.28. Comprobar aplicando la definici´ on que el siguiente l´ımite es correcto. xy p =0 l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2

Soluci´ on.

p √ y xy |= |x| · | p |≤ |x| = x2 ≤ x2 + y 2 < δ = ε |f (x, y)| =| p x2 + y 2 x2 + y 2

luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε

Ejemplo 2.29. Comprobar aplicando la definici´ on que el siguiente l´ımite es correcto. x4 y l´ım =0 (x,y)→(0,0) x4 + y 4 Soluci´ on. |f (x, y)| =|

p p x4 x4 y |= | ||y| ≤ |y| ≤ y 2 ≤ x2 + y 2 < δ = ε 4 4 4 4 x +y x +y

luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε

2.2.6.

C´ alculo de l´ımites mediante operaciones algebraicas

Los l´ımites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades respecto de las operaciones (suma, diferencia, producto, cociente, potencia, etc.) que las funciones de una sola variable. No obstante hay que advertir que con las funciones de varias variables no se pueden aplicar las Reglas de L´H¨ opital.

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

123

Ejemplo 2.30. Calcular los siguientes l´ımites: 

 x2 − 1 y−1 2. l´ım + 2 y −1 (x,y)→(1,1) x − 1 2 x + y2 p 4. l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1

6x − 2y 1. l´ım (x,y)→(1,3) 9x2 − y 2 (x3 − 1)(y 4 − 1) 3. l´ım (x,y)→(1,1) (x − 1)(y 2 − 1)
1 1 + x2 y x2 5. l´ım (x,y)→(0,3)

Soluci´ on. 1.

6x − 2y 0 2(3x − y) =[ ]= l´ım = 2 2 0 (x,y)→(1,3) 9x − y (x,y)→(1,3) (3x)2 − y 2 l´ım

2 1 2 2(3x − y) = l´ım = = (3x + y)(3x − y) (x,y)→(1,3) (3x + y) 6 3   2 0 0 y−1 x −1 =[ + ]= + 2 2. l´ım y −1 0 0 (x,y)→(1,1) x − 1   (x + 1)(x − 1) y−1 0 0 = l´ım + =[ + ]= x−1 (y + 1)(y − 1) 0 0 (x,y)→(1,1)   1 5 1 =2+ = x+1+ = l´ım y+1 2 2 (x,y)→(1,1) =

3.

l´ım

(x,y)→(1,3)

(x3 − 1)(y 4 − 1) 0 =[ ]= 2 (x − 1)(y − 1) 0 (x,y)→(1,1) l´ım

=

(x − 1)(x2 + x + 1)(y 2 + 1)(y 2 − 1) = (x − 1)(y 2 − 1) (x,y)→(1,1) l´ım

= 4.

l´ım

(x,y)→(1,1)

(x2 + x + 1)(y 2 + 1) = 3 · 2 = 6

x2 + y 2 0 p =[ ]= 0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1 p (x2 + y 2 )( x2 + y 2 + 1 + 1) = = l´ım x2 + y 2 + 1 − 1 (x,y)→(0,0) p (x2 + y 2 )( x2 + y 2 + 1 + 1) = = l´ım x2 + y 2 (x,y)→(0,0) p x2 + y 2 + 1 + 1 = 2 = l´ım l´ım

(x,y)→(0,0)

5.

l´ım

(x,y)→(0,3)

2

1+x y




1 x2

∞

= [1 ] =

l´ım

(x,y)→(0,3)

x2 y h 1 i 2 x2 y x2 = e3 (1 + x y)

Aqu´ı se ha tenido en cuenta la definici´ on del n´ umero e, 1

l´ım (1 + z) z = e

z→0

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

124

2.2.7.

Teorema del encaje y de la acotaci´ on

Si una funci´ on est´ a comprendida, en los alrededores de un punto, entre dos que tienen el mismo l´ımite, en dicho punto, entonces dicha funci´ on tambi´en tiene el mismo l´ımite en dicho punto. ) f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) =⇒ l´ım h(x) = l´ım f (x) = l´ım g(x) l´ım f (x) = l´ım g(x) x→x0 x→x0 x→x0 x→x0

x→x0

Si una funci´ on tiene l´ımite cero, en un punto, y otra est´ a acotada en los alrededores del punto, entonces su producto tambi´en tiene l´ımite cero en dicho punto. ) g(x)acotada ⇒ −k ≤ g(x) ≤ k ⇒ −kf (x) ≤ f (x)g(x) ≤ kf (x) ⇒ l´ım f (x) = 0 x→x0

0 ≤ l´ım f (x)g(x) ≤ 0 ⇒ l´ım f (x) = 0 ⇒ 0 · Acot = 0 x→x0

x→x0

Nota: Si f (x) < 0, cambiar´ıa el sentido de la desigualdad, pero el resultado final ser´ıa el mismo.

Ejemplo 2.31 (Calculando l´ımites por acotaci´on). Calcula los siguientes l´ımites. 1. 3.

l´ım

(x2 + y 2 ) sen

l´ım

(x sen

l´ım

(x2 + y 2 ) sen

(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

1 xy

x3 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 y(x − 1)3 4. l´ım (x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2

2.

1 1 + y sen ) y x

l´ım

Soluci´ on. 1.

2. 3.

4.

(x,y)→(0,0)

1 = 0 · Acot = 0 xy

x3 x2 = l´ ım x = 0 · Acot = 0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

l´ım

(x,y)→(0,0)

(x sen

1 1 + y sen ) = 0 · Acot + 0 · Acot = 0 y x

y(x − 1)3 = (x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2 l´ım

=

l´ım

(x,y)→(1,−2)

(x − 1)y

(x − 1)2 = 0 · Acot = 0 (x − 1)2 + (y + 2)2

Este l´ımite tambi´en puede hacerse mediante el cambio de variables

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

125

u = x − 1, v = y + 2 , en efecto, (v − 2)u3 y(x − 1)3 = l´ ım = (u,v)→(0,0) u2 + v 2 (x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2 l´ım

=

2.2.8.

l´ım

(u,v)→(0,0)

(v − 2)u

u2 = (−2) · 0 · Acot = 0 u2 + v 2

Infinit´ esimos equivalentes.

Igual que en una variable, los infinit´esimos se aplican en los l´ımites de funciones de varias variables. Definici´ on 2.5 (Infinit´ esimo en un punto). Se llama infinit´esimo en un punto X0 a una funci´ on cuyo l´ımite en dicho punto sea cero. l´ım f (X) = 0 X→X0

Definici´ on 2.6 (Infinit´ esimos equivalentes). Dos infinit´esimos en un mismo punto se dice que son equivalentes, cuando el l´ımite de su cociente es 1. f (X)  0  l´ım = = 1 =⇒ f (X) ≈ g(X) (en X = X0 ) X→X0 g(X) 0

Sustituci´ on de infinit´ esimos. Si un infinit´esimo est´ a multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro equivalente para simplificar los c´ alculos. f (X) = 1. Y supongaSupongamos que f (X) ≈ g(X), entonces ser´ a l´ım X→X0 g(X) mos que f (X) aparece multiplicando dentro de un l´ımite. l´ım f (X) · h(X) = l´ım

X→X0

X→X0

f (X) g(X)h(X) = l´ım g(X) · h(X) X→X0 g(X)

Con lo cual hemos sustituido f (X) por g(X) y el l´ımite puede resultar m´ as f´ acil. Sumas de infinit´ esimos. Cuando un infinit´esimo est´ a sumando o restando, en general, no se puede sustituir por otro equivalente.     l´ım f (X) + h(X) 6= l´ım g(X) + h(X) X→X0

X→X0

No obstante, existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar infinit´esimos al caso de sumas. Sin embargo, hay que advertir que en varias variables esta sustituci´ on es mucho m´ as restrictiva que en una variable. En una variable dijimos que la suma de varios infinit´esimos de distinto orden se puede reducir al de menor orden. Por ejemplo, (x2 )f (x) (x2 + 3x3 − 5x4 )f (x) = l´ım x→0 x→0 g(x) g(x) l´ım

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

126

Sin embargo, en varias variables esto no es cierto de manera general. En una variable la regla se basa en el hecho de que al aplicar las reglas de L´Hˆ opital el primer t´ermino que dejar´ a de ser cero es el de menor grado, y, en consecuencia, se puede establecer la equivalencia. Sin embargo, en dos variables no son aplicables las reglas de L´Hˆ opital. En consecuencia, resulta que no podemos hacer el cambio (x − y 2 )f (x, y) (x)f (x, y) 6= l´ım g(x, y) (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) g(x, y) l´ım

puesto que si hacemos l´ımites direccionales a trav´es de la curva x = y 3 , el t´ermino que, en principio, es de menor grado, se transforma en un t´ermino de mayor grado. (y 3 − y 2 )f (x, y) (x)f (x, y) (x − y 2 )f (x, y) = l´ım 6= l´ım g(x, y) g(x, y) (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) l´ım

x=y 3

En consecuencia, en varias variables la suma de infinit´esimos solamente se puede reducir al de menor grado cuando los infinit´esimos sean homog´eneos. Es decir, que contengan las mismas variables. As´ı, (x2 )f (x) (x2 + 3x3 − 5x4 )f (x) = l´ım x→0 x→0 g(x) g(x) l´ım

o bien, (y 2 + 3y 3 − 5y 4 )f (x, y) (y 2 )f (x, y) = l´ım g(x, y) g(x, y) (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) l´ım

e incluso,

l´ım

(x,y)→(0,0)

i h (x2 y)2 + 3(x2 y)3 − 5(x2 y)4 f (x, y) g(x, y)

=

l´ım

(x,y)→(0,0)

h

i (x2 y)2 f (x, y) g(x, y)

Sin embargo (x2 y)f (x, y) (x2 y + x3 y 2 + x6 )f (x, y) 6= l´ım x→0 g(x, y) g(x, y) (x,y)→(0,0) l´ım

Evidentemente la suma que se sustituye no puede ser una suma parcial, sino que la suma que se sustituye ha de ser total, es decir, considerada como una unidad, ha de estar multiplicando o dividiendo.

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

127

Algunos infinit´ esimos en el Origen (z → 0). Los infinit´esimos m´ as usuales, en el origen son: Trigonom´etricos: sen z ≈ z

arc sen z ≈ z

tg z ≈ z

arctan z ≈ z

1 − cos z ≈

z2 2

Logar´ıtmicos:

ln(1 + z) ≈ z ⇒

          

z ≈ ln(1 + z) ez − 1 ≈ z az − 1 ≈ z ln a (1√+ z)n ≈ 1 + nz n 1 + z ≈ 1 + nz

La z puede ser cualquier funci´ on. Lo importante es que toda la funci´ on tienda a cero, aunque (x, y) tienda a un valor distinto de (0, 0). As´ı, por ejemplo, si

l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = 0

⇒


sen f (x, y) g(x, y) f (x, y)g(x, y) ⇒ l´ım = l´ım h(x, y) h(x, y) (x,y)→(x0 ,y0 ) (x,y)→(x0 ,y0 ) Ejemplo 2.32 (Calculando l´ımites mediante infinit´esimos). Calcula los siguientes l´ımites. 1.

xy sen(xy) = l´ım = l´ım y = 2 x (x,y)→(0,2) x (x,y)→(0,2) (x,y)→(0,2) l´ım

2

etg(x y) − 1 1 tg(x2 y) x2 y 2. l´ım = l´ ım = l´ ım = 2 2 2 2 (x,y)→(0,0) 2 sen(x y) (x,y)→(0,0) 2x y (x,y)→(0,0) 2x y 3.

(x2 − y)2 1 − cos(x2 − y) = l´ım = √ 2 √ (x − y) (x,y)→(1,1) 2(x − y)2 (x,y)→(1,1) √ √ (x2 − y)2 (x + y)2 (x + y)2 4 = l´ım = l´ ım = =2 2(x2 − y) 2 2 (x,y)→(1,1) (x,y)→(1,1) l´ım

4.

exy − 1 xy = l´ım = l´ım 1 = 1 sen x ln(1 + y) xy (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

5.

3 x3y sen x sen(3y) = l´ım = 2xy 2 (x,y)→(0,0) 2xy (x,y)→(0,0)

l´ım

l´ım

128 6.

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES (y − 1)(y + 3)x2 /2 (y 2 + 2y − 3)(1 − cos x) = l´ ım = x2 (y − 1) x2 (y − 1) (x,y)→(0,1) (x,y)→(0,1) y+3 4 = l´ım = =2 2 2 (x,y)→(0,1) l´ım

(1 − cos 2x)(cos 3y − 1) 7. l´ım = l´ım 5x2 y (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)

9y 2 4x2 2 (− 2 ) 5x2 y

= 8.

=

−9y =0 (x,y)→(0,0) 5 l´ım

x2y (ex − 1)(e2y − 1) = l´ım =2 xy (x,y)→(0,0) xy (x,y)→(0,0) l´ım

Ejemplo 2.33. Calcular el siguiente l´ımite:

ln x tg(y − 1) (x,y)→(1,1) xy − x − y + 1 l´ım

Soluci´ on. Aplicando infinit´esimos en el numerador, ln x = ln(1 + x − 1) ∼ x − 1 ,

tg(y − 1) ∼ y − 1

y agrupando t´erminos en el denominador, resulta: ln x tg(y − 1) (x − 1)(y − 1) = l´ım = (x,y)→(1,1) xy − x − y + 1 (x,y)→(1,1) x(y − 1) − (y − 1) (x − 1)(y − 1) = l´ım =1 (x,y)→(1,1) (x − 1)(y − 1) l´ım

2.2.9.

Inexistencia de l´ımites

Cuando no sepamos calcular un l´ımite, intentaremos demostrar que dicho l´ımite no existe. Esto lo podemos hacer por dos m´etodos: -Mediante los l´ımites direccionales. -Mediante los l´ımites reiterados. L´ımites direccionales Aunque la definici´ on de l´ımite de funciones de dos variables va en total paralelismo con la definici´ on de l´ımite de funciones de una sola variable, existe una diferencia fundamental a la hora de determinar la existencia de un l´ımite. En una variable, la existencia del l´ımite, es equivalente a la coincidencia de los l´ımites laterales. Es decir, para determinar si una funci´ on de una variable tiene l´ımite en un punto determinado, solamente necesitamos comprobar qu´e ocurre al aproximarnos por dos direcciones –por la izquierda y por la derecha–. Si la funci´ on tiene el mismo l´ımite por la izquierda y por la derecha podemos concluir que el l´ımite existe. Si embargo, en dos variables esto no es as´ı. −→←−

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

  

129

Rr @ r 1•i  I @   

En dos variables, en principio, no tiene sentido hablar de l´ımites laterales ¿qu´e significan derecha e izquierda en el plano?, por eso hablamos de l´ımites direccionales, ya que, en dos variables existen infinitos caminos para acercarnos al punto, es m´ as, podemos acercarnos siguiendo un camino recto o un camino curvo. Es decir, al escribir (x, y) → (x0 , y0 ) entendemos que el punto (x, y) se aproxima al punto (x0 , y0 ) en cualquier direcci´ on. Y, para que exista el l´ımite, los l´ımites siguiendo todas las direcciones o trayectorias tienen que coincidir. La exigencia de la definici´ on a todos los puntos del entorno significa todas las posibles formas de aproximarse. En consecuencia, para ver que una funci´ on no tiene l´ımite en un punto se siguen varios caminos de aproximaci´ on al punto y si la funci´ on tiene un l´ımite distinto por cada camino, entonces el l´ımite ((doble)) no existe. El problema ser´ a determinar si existe un camino que conduce a otra parte. En la pr´ actica los caminos que se suelen seguir son rectas y par´ abolas. (El camino por rectas se sigue cuando las potencias del denominador son del mismo grado, y el camino por par´ abolas cuando son de distinto grado, intentando igualar los grados). No debe olvidarse que la recta ha de pasar por el punto en cuesti´ on, es decir su ecuaci´ on ha de ser y − y0 = m(x − x0 ). Hay que advertir que este m´etodo s´ olo es refutativo, es decir, nos permite negar la existencia del l´ımite pero no afirmarla. As´ı, si encontramos dos l´ımites direccionales diferentes, entonces podemos afirmar que el l´ımite ((doble)) no existe. Pero si todos los l´ımites direccionales que tomamos nos dan el mismo l´ımite, no por eso podemos afirmar la existencia del l´ımite. Lo m´ as que podemos decir es que, de existir el l´ımite doble, su valor ser´ a el de los direccionales, pero nadie asegura que siguiendo otra direcci´ on, diferente a las tomadas hasta ese momento, obtengamos un resultado diferente. Ejemplo 2.34 (Calculando l´ımites direccionales). Probar que el siguiente l´ımite no existe. xy l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 Soluci´ on. Si nos acercamos al origen a trav´es de la recta y = x, se tiene 1 xx xy x2 = l´ ım = l´ ım = 2 2 2 2 2 x→0 2x 2 (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) x + x y=x l´ım

x→0

luego, de existir el l´ımite, deber´ıa ser 1/2. Mientras que si nos acercamos al origen a trav´es de la recta y = −x, se tiene −1 x(−x) −x2 xy = l´ ım = l´ ım = 2 2 2 2 2 x→0 2x 2 (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) x + (−x) l´ım

y=−x

x→0

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

130

luego, de existir el l´ımite, deber´ıa ser −1/2. Lo que contradice el resultado anterior, y en consecuencia el l´ımite doble no puede existir. En general, los l´ımites direccionales los haremos contemplando todas las rectas a la vez, y no una a una, como se ha hecho aqu´ı. As´ı, si nos acercamos al origen a trav´es de la recta y = mx se tiene l´ım

(x,y)→(0,0) x2

xmx xy xy = l´ım = l´ım = 2 2 2 2 2 2 (x,y)→(0,0) x + y +y (x,y)→(0,0) x + m x y=mx y=mx

x→0

m m = = f (m) 2 x→0 1 + m 1 + m2

= l´ım

El l´ımite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, seg´ un la recta por la que nos aproximemos al punto tendr´ıamos un valor del l´ımite u otro. As´ı, si consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento, tenemos: Para m = 1, nos estar´ıamos moviendo por la recta y = x, y ser´ıa l = 1/2, mientras que para m = −1, estar´ıamos movi´endonos por la recta y = −x, y ser´ıa l = −1/2. y al haber encontrado dos caminos que conducen a l´ımites diferentes podemos afirmar que el l´ımite no existe. En efecto, esto quiere decir que en cualquier disco abierto centrado en (0, 0) hay puntos (x, y) en los cuales f toma los valores 1/2 y −1/2. Luego f no puede tener l´ımite cuando (x, y) → (0, 0). En este ejemplo podemos visualizar lo que ocurre en el origen de una manera muy

gr´ afica. Imaginemos una alfombra de goma, con un agujero en el centro, y la atravesamos con dos listones, uno por debajo y el otro por encima, de manera que se crucen en el agujero (el de abajo de la alfombra pasar´ıa por encima del otro). El que est´ a por encima de la alfombra lo fijamos al suelo y el que est´ a por debajo lo levantamos hasta una altura de un metro, sin que se rompa la alfombra. Es evidente que el agujero se estira todo el metro.

Figura 2.38: f (x, y) =

xy x2 +y 2

Observaci´ on. Podemos observar que aunque la funci´ on f , del ejemplo anterior, definida por xy f (x, y) = 2 x + y2

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

131

s´ olo es discontinua en el punto (0, 0), sin embargo, dicha discontinuidad es inevitable, ya que no es posible redefinir la funci´ on en (0, 0), de manera que sea continua en dicho punto, puesto que el l´ımite en (0, 0) no existe. Ejemplo 2.35. Demostrar que el siguiente l´ımite no existe. y2 (x,y)→(0,0) x + y 2 l´ım

Soluci´ on. Nos acercamos al origen a trav´es de la recta y = mx. y2 m2 x2 m2 x y2 = l´ ım = l´ ım = l´ ım =0 x→0 x + m2 x2 x→0 1 + m2 x (x,y)→(0,0) x + y 2 (x,y)→(0,0) x + y 2 l´ım

y=mx

para todo camino recto de la forma y = mx el l´ımite vale 0, sin embargo, no podemos afirmar que el l´ımite valga cero, ya que en otras direcciones puede tener otro valor. En efecto, si nos acercamos al origen por el camino curvo x = y 2 , resulta: y2 1 y2 = l´ ım = l´ım 2 2 2 (x,y)→(0,0) x + y 2 (x,y)→(0,0) y + y x=y 2

x=y 2

y→0

Luego el l´ımite no existe ya que al movernos por una par´ abola obtenemos distinto valor que al movernos por una recta. Observaci´ on. Cuando nos acercamos al origen a trav´es de las rectas y = mx, estamos contemplando todas las trayectorias rectil´ıneas menos una. En efecto, la recta x = 0 no est´ a contemplada en la ecuaci´ on y = mx. En determinadas ocasiones esta recta conduce a otro l´ımite y no es necesario acudir a otro tipo de trayectorias. As´ı, en el ejemplo anterior no hubiera sido necesario acudir a las trayectorias parab´ olicas. En efecto, y2 y2 = l´ ım =1 2 (x,y)→(0,0) x + y 2 (x,y)→(0,0) 0 + y l´ım

x=0

x=0

y→0

Ejemplo 2.36. Demostrar que el siguiente l´ımite no existe. 2x2 y (x,y)→(0,0) x4 + y 2 l´ım

Soluci´ on. Nos acercamos al origen a trav´es de la recta y = mx. l´ım

2x2 y 2x2 y 2mx 2x2 mx = l´ım = l´ım 4 = l´ım 2 = 0 2 4 2 x→0 x + m2 x2 x→0 x + m2 (x,y)→(0,0) x + y +y y=mx y=mx

(x,y)→(0,0) x4

para todo camino recto de la forma y = mx el l´ımite vale 0, sin embargo, no podemos afirmar que el l´ımite valga cero, ya que en otras direcciones puede

132

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

tener otro valor. En efecto, si nos acercamos al origen por el camino curvo y = x2 , resulta: 2x2 y 2x2 x2 2 = l´ ım = =1 4 2 4 4 (x,y)→(0,0) x + y 1+1 (x,y)→(0,0) x + x l´ım

y=x2

y=x2

x→0

Luego el l´ımite no existe ya que al movernos por una par´ abola obtenemos distinto valor que al movernos por una recta. Tambi´en pod´ıamos haber acudido directamente a las trayectorias parab´ olicas sin pasar previamente por las rectil´ıneas. As´ı, 2x2 (ax)2 2x2 a2 x2 2x2 y 2a2 = l´ ım = l´ ım = = f (a) x→0 x4 + (ax2 )2 x→0 x4 + a2 x4 (x,y)→(0,0) x4 + y 2 1 + a2 l´ım

y=ax2

luego el l´ımite no existe, por depender de a. Ejemplo 2.37. Calcular el siguiente l´ımite:

7x(x − 5) y+2 (x,y)→(5,−2) l´ım

Soluci´ on. Nos aproximamos al punto (5, −2) mediante rectas que pasen por dicho punto y + 2 = m(x − 5), de donde, 7x(x − 5)  0  35 7x(x − 5) 7x = l´ım = = l´ım = = f (m) x→5 m(x − 5) x→5 m y+2 0 m (x,y)→(5,−2) l´ım

luego el l´ımite dado no existe, por depender de m. Ejemplo 2.38. Calcular, si existe,

xy − x − y + 1 2 x + y 2 − 2x − 2y + 2 (x,y)→(1,1) l´ım

Soluci´ on. Agrupando t´erminos en el numerador y denominador y haciendo el l´ımite resultante por rectas y − 1 = m(x − 1), resulta: xy − x − y + 1 = + y 2 − 2x − 2y + 2 x(y − 1) − (y − 1) = l´ım = (x,y)→(1,1) (x − 1)2 − 1 + (y − 1)2 − 1 + 2 (x − 1)(y − 1) (x − 1)m(x − 1) = l´ım = l´ım = 2 2 x→1 (x − 1)2 + m2 (x − 1)2 (x,y)→(1,1) (x − 1) + (y − 1) l´ım

(x,y)→(1,1) x2

y−1=m(x−1)

=

m = f (m) 1 + m2

Luego, al depender de m, el l´ımite no existe. Determinaci´ on de la trayectoria d´ıscola Cuando tengamos la sospecha de que un l´ımite no existe, y sin embargo, las trayectorias habituales (rectas y par´ abolas) conducen al mismo resultado, podemos intentar buscar una trayectoria d´ıscola por dos procedimientos:

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

133

1. Mediante la sustituci´ on impl´ıcita 2. Mediante la aplicaci´ on sucesiva de la regla de L´H¨ opital a) Mediante la sustituci´ on impl´ıcita En lugar de trayectorias del tipo y = f (x), se pueden utilizar trayectorias definidas impl´ıcitamente F (x, y) = 0. As´ı, en el caso de fracciones, sustituiremos todo el numerador o el denominador por lo que nos interese para conseguir el l´ımite deseado, siempre que la sustituci´ on que hacemos se corresponda realmente con una trayectoria que pasa por el punto objeto de l´ımite. Nota. Para ver si una ecuaci´ on del tipo F (x, y) = 0 se corresponde con una trayectoria v´ alida de aproximaci´ on al punto en cuesti´ on, hay que comprobar que se cumplen las condiciones exigidas en el teorema 4.14 de la funci´ on impl´ıcita (p´ ag. 289). Mientras el alumno no conozca dicho teorema, adem´ as de comprobar que la trayectoria pasa por el punto en cuesti´ on, debe que comprobar que alguna de las variables es funci´ on de la otra en un entorno de dicho punto, para ello puede limitarse a ecuaciones en las que es posible despejar una de las inc´ ognitas en funci´ on de la otra y obtener una funci´ on, o bien a ecuaciones de curvas conocidas.

Ejemplo 2.39. Demostrar que el siguiente l´ımite no existe l´ım

(x,y)→(0,0) x2

x + y2

Soluci´ on. Si nos acercamos al origen a trav´es de la familia de curvas definidas por la ecuaci´ on x2 + y 2 = λx resulta l´ım

(x,y)→(0,0) x2 x2 +y 2 =λx x→0

x 1 x = l´ım = 2 x→0 λx +y λ

luego el l´ımite no existe, por depender de λ Nos queda comprobar que las trayectorias utilizadas son v´ alidas. En efecto, la ecuaci´ on que hemos utilizado en la sustituci´ on se puede expresar de la siguiente forma, x2 − λx + y 2 = 0

→

λ2 λ + y2 = 0 (x − )2 − 2 4

→

λ λ2 (x − )2 + y 2 = 2 4

luego se trata de circunferencias con centro en el punto (λ/2, 0) y radio r = λ/2 que pasan por el origen de coordenadas. Nota: Hay que hacer notar la importancia de comprobar que la trayectoria utilizada es una trayectoria id´ onea. Es decir, una trayectoria que no s´ olo contenga al punto en cuesti´ on, sino que lo atraviese. Veamos un ejemplo en el que se obtiene un resultado incorrecto por seguir una trayectoria no id´ onea.

134

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Ejemplo 2.40 (Trayectorias no id´oneas conducen a resultados incorrectos). Explicar porqu´e no es posible utilizar la trayectoria x2 + y 2 = x3 para probar que el siguiente l´ımite no existe x3 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

Soluci´ on. Es evidente que el l´ımite dado existe y vale cero. En efecto, x2 x3 = l´ ım x = 0 · Acot. = 0 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

Ahora bien, si sigui´eramos la trayectoria x2 + y 2 = x3 resultar´ıa lo siguiente x3 x3 = l´ ım =1 x→0 x3 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

Lo que contradice el resultado anterior. Este hecho se debe a que la trayectoria utilizada no es una trayectoria id´ onea. En efecto, trayectoria x2 + y 2 = x3 contiene al (0, 0) –ya que dicho punto cumple la ecuaci´ on–. Sin embargo la trayectoria no pasa por el origen. Se trata de una curva que no pasa por el origen de coordenadas, pero que tiene un punto exterior aislado –precisamente el origen de coordenadas– y da la apariencia de pasar por ´el, cuando no es cierto. En efecto, la gr´ afica 2 2 3 de la curva x + y = x viene representada en la Figura 2.39 y

x

Figura 2.39: Gr´afica de x2 + y2 = x3 La determinaci´ on del dominio de las funciones impl´ıcitas en la trayectoria nos dice que la funci´ on s´ olo est´ a definida para x ≥ 1 y para el (0, 0). En efecto, despejando y resulta, p x2 + y 2 = x3 ⇒ y 2 = x3 − x2 ⇒ y = ± x3 − x2

y para que la ra´ız cuadrada est´e definida, ha de ser  x≥1 3 2 3 2 x −x ≥0⇒x ≥x ⇒ x=0

b) Mediante la aplicaci´ on sucesiva de la regla de L´Hˆ opital

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

135

Hacemos el l´ımite mediante trayectorias rectil´ıneas (o l´ımites reiterados) y obtenemos un valor concreto. Suponemos, entonces, que la trayectoria d´ıscola viene definida mediante una funci´ on polin´ omica y = p(x). Sustituimos en el l´ımite y aplicamos sucesivamente la regla de L´Hˆ opital hasta obtener un valor distinto al obtenido anteriormente. Posteriormente calculamos el polinomio que cumple las condiciones exigidas a p(x). Nota: La determinaci´ on del polinomio p(x) que cumple las condiciones dadas, es inmediata a partir del polinomio de Taylor –o de Mac Laurin– (Teorema 3.7 de la p´ ag 178) p(x) = p(0) + p′ (0)x +

Ejemplo 2.41. ¿Es cierto que

p′′ (0) 2 p′′′ (0) 3 x + x ··· 2 3!

y + ex − 1 = 1 ?. Responde justiy+x (x,y)→(0,0) l´ım

ficando la respuesta Soluci´ on. Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y = mx obtenemos que el l´ımite, de existir, deber´ıa de valer 1. Pero esto no nos permite afirmar que dicho l´ımite exista. mx + ex − 1 0 0 y + ex − 1 = [ ] = l´ım =[ ]= l´ım x→0 y+x 0 mx + x 0 (x,y)→(0,0) y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆ opital, con lo cual m + ex m+1 = = 1 para m 6= −1 x→0 m + 1 m+1

= l´ım

Sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la par´ abola 2 y = x − x resulta que el l´ımite, de existir, deber´ıa de valer 3/2, en efecto y + ex − 1 x2 − x + ex − 1 x2 − x + ex − 1 0 l´ım = l´ım = l´ ım =[ ]= 2 2 x→0 x→0 y+x x −x+x x 0 (x,y)→(0,0) y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆ opital, de donde 0 3 2 + ex 2x − 1 + ex = [ ] = l´ım = x→0 x→0 2x 0 2 2

= l´ım

Con lo cual podemos afirmar que el l´ımite propuesto no existe. Hemos utilizado la par´ abola y = x2 − x y no otra, por la siguiente raz´ on. Supongamos que nos acercamos al punto (0, 0) mediante la curva y = g(x), y que aplicamos sucesivamente L’Hˆ opital, y queremos que resulte 0 0 g ′ (x) + ex g ′′ (x) + ex g(x) + ex − 1 = [ ] = l´ım ′ = [ ] = l´ım 6= 1 x→0 g (x) + 1 x→0 x→0 g(x) + x 0 0 g ′′ (x)

= l´ım

Para ello tendr´ a que ser g(0) = 0, g ′ (0) = −1, g ′′ (0) 6= 0 que se consigue con g ′′ (x) = 2 → g ′ (x) = 2x − 1 → g(x) = x2 − x

136

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Nota: La determinaci´ on del polinomio p(x) que cumple las condiciones dadas, es inmediata a partir del polinomio de Taylor en el origen (Teorema 3.6 de la p´ ag 177) p(x) = p(0) + p′ (0)x +

p′′ (0) 2 x 2

de donde, para p′′ (0) = 2 resulta p(x) = 0 − x + x2 = x2 − x

Ejemplo 2.42. Calcular, si existe, el valor del siguiente l´ımite: l´ım

(x,y)→(0,0)

y + sen x y+x

Soluci´ on. Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y = mx obtenemos que el l´ımite, de existir, deber´ıa de valer 1. Pero esto no nos permite afirmar que dicho l´ımite exista. y + sen x  0  mx + sen x  0  l´ım = = = l´ım = x→0 mx + x 0 0 (x,y)→(0,0) y + x y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆ opital, con lo cual m+1 m + cos x = = 1 para m 6= −1 m+1 m+1 sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la c´ ubica y = x3 −x resulta que el l´ımite, de existir, deber´ıa de valer 5/6 y + sen x x3 − x + sen x x3 − x + sen x  0  l´ım = = l´ım = l´ ım = x→0 x3 − x + x x→0 x3 0 (x,y)→(0,0) y + x = l´ım

x→0

y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆ opital, con lo cual

5 6x − sen x  0  6 − cos x 3x2 − 1 + cos x  0  = = = 6= 1 = l´ım = l´ım 2 x→0 x→0 x→0 3x 0 6x 0 6 6

= l´ım

Con lo cual podemos afirmar que el l´ımite propuesto no existe.

Hemos utilizado la c´ ubica y = x3 − x y no otra funci´ on, por la siguiente raz´ on. Supongamos que nos acercamos al punto (0, 0) mediante la curva y = p(x), y que aplicamos sucesivamente L’Hˆ opital, y queremos que resulte p′ (x) + cos x  0  p(x) + sen x  0  y + sen x = l´ım = = l´ım = = l´ım x→0 p′ (x) + 1 x→0 p(x) + x 0 0 (x,y)→(0,0) y + x p′′ (x) − sen x  0  p′′′ (x) − cos x = l´ım = 6= 1 = l´ ım x→0 x→0 p′′ (x) 0 p′′′ (x) Para ello tendr´ a que ser ′′′ p (0) 6= 0, p′′ (0) = 0, p′ (0) = −1, p(0) = 0 que se consigue con a a p′′′ (x) = a → p′′ (x) = ax → p′ (x) = x2 − 1 → p(x) = x3 − x 2 6 L´ımites parciales iterados (o reiterados). Si estos dos l´ımites son distintos, entonces la funci´ on no tiene l´ımite, pero si son iguales o alguno de ellos no existe, entonces no se puede asegurar nada sobre el l´ımite doble.

2.2. L´IMITE Y CONTINUIDAD

137

Se pueden calcular los siguientes l´ımites: l´ım

x→x0

l´ım

y→y0





 l´ ım f (x, y) y→y 0

x6=x0

 l´ım f (x, y)

x→x0

y6=y0

Figura 2.40: L´ımites iterados Ejemplo 2.43. Demostrar que el siguiente l´ımite no existe. x2 − y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 l´ım

Soluci´ on. l´ım

x→x0

l´ım

y→y0





l´ım y→y

0

x6=x0

l´ım x→x

0

y6=y0

 x2 − 0    x2 − y 2  = l´ ım = l´ım 1 = 1 2 2 2 x→x0 x + 0 x→x0 x +y

 0 − y2    x2 − y 2  = l´ ım = l´ım − 1 = −1 2 2 2 y→y x→x x +y 0 0 + y 0

Luego el l´ımite doble no existe.

Ejemplo 2.44. Demostrar que el siguiente l´ımite existe, y sin embargo no existen ninguno de los iterados. l´ım

(x,y)→(0,0)

(x sen

1 1 + y sen ) y x

Soluci´ on. El l´ımite doble existe. 1 1 l´ım (x sen + y sen ) = 0 · Ac + 0 · Ac = 0 + 0 = 0 y x (x,y)→(0,0) Mientras que los iterados no existen, en efeco    1  1 l´ım (x sen + y sen ) = l´ım No definido + 0 = No definido l´ım y→y x→x0 x→x0 0 y x x6=x0    1 1  l´ım l´ım (x sen + y sen ) = l´ım 0 + No definido = No definido y→y0 x→x0 x→x y x 0 y6=y0

2.2.10.

L´ımites en el infinito

Se trata de ver el comportamiento de la funci´ on en el contorno de una circunferencia de radio infinito.

138

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES

Ejemplo 2.45. Calcular los siguientes l´ımites. 1. x→∞ l´ım

y→∞

x2

1 + y2

2. x→∞ l´ım e−(x

2 +y 2 )

y→∞

Soluci´ on. 1.

l´ım

x→∞

y→∞

2.

x2

1 1 = =0 2 +y ∞

l´ım e−(x

2 +y 2 )

x→∞

y→∞

= x→∞ l´ım

y→∞

1 e(x2 +y2 )

=

1 1 = =0 ∞ e ∞

Ejemplo 2.46. Representa la funci´ on: f (x, y) = e−(x

2 +y 2 )

Soluci´ on. El dominio de la funci´ on es todo R2 . Para representar le funci´ on sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = e−(x

2 +y 2 )

Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados: 2 - corte con el plano x = 0 z = e−y 2 - corte con el plano y = 0 z = e−x Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante e−(x

2 +y 2 )

=z

de donde − (x2 + y 2 ) = ln z ⇒ x2 + y 2 = − ln z

Damos varios valores a z para ir viendo las curvas de contorno a distintas alturas: para el nivel z = 1 ⇒ x2 + y 2 = 0 ⇒ el punto (0,0) para niveles 0√< z < 1 ⇒ − ln z es positivo, luego se trata de circunferencias de radio − ln z Y teniendo en cuenta que el l´ımite en el infinito es cero, resulta la siguiente gr´ afica:

Figura 2.41: f (x, y) = e−(x

2 +y 2 )

Las definiciones de l´ımite y continuidad pueden extenderse a funciones de tres variables considerando puntos (x, y, z) dentro de la esfera abierta (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 < δ 2

2.3. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´ITULO 2

139

de radio δ y centro (x0 , y0 , z0 ). De la misma forma, pueden extenderse, de manera natural, a funciones de m´ as de tres variables.

2.3.

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 2

Ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 2 2.1.

Soluciones en la p´ agina ?? Descr´ıbase el dominio de los siguientes campos escalares: p

4 − x2 − y 2 y c) f (x, y) = arc cos x xy e) f (x, y) = x−y g) f (x, y) = x2 + y 2 i) f (x, y) = ln (4 − xy)

a) f (x, y) =

2.2.

x+y x−y d) f (x, y) = ln (4 − x2 − 4y 2 )

b) f (x, y) =

f) f (x, y) = ln (4 − x − y)

h) f (x, y) = ex/y

Consideremos las siguientes funciones: f (x, y, z) = x2 + y 2 − z g(x, y, z) = x2 − y 2 + z

ψ(x) = cos x ϕ(x) = sen x

Expresa, en la forma m´ as simplificada posible: a) (f + g)(x, y, z) c) g(f (x, y, z), g(x, y, z), 4x2 z) e) g(ψ(x), ϕ(x), 0)

2.3.

Descr´ıbase la gr´ afica de las siguientes funciones: a) f (x, y) = p k c) h(x, y) = px2 + y 2 e) m(x, y) = r2 − ax2 − by 2

2.4.

b) f (ψ(x), ϕ(x), 1) d) r ψ(f (x, y, z)) f (x, y, z) + g(x, y, z) f) 2

b) g(x, y) = p ax + by + c d) l(x, y) = r2 − x2 − y 2 f) n(x, y) = y 2 − x2

Describir las curvas f (x, y) = k o superficies de nivel f (x, y, z) = k, para los siguientes campos f y los valores de k que se indican: p a) f (x, y) = 25 − x2 − y 2 b) f (x, y) = x2 + y 2 c) f (x, y) = xy d) f (x, y) = 6 − 2x − 3y e) f (x, y, z) = 4x + y + 2z f) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 g) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 h) f (x, y, z) = 4x2 + 4y 2 − z 2

k k k k k k k k

= 0, 1, 2, 3, 4, 5 = 0, 2, 4, 6, 8 = ±1, ±2, · · · , ±6 = 0, 2, 4, 6, 8, 10 =4 =9 =1 =0

140 2.5.

CAP´ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´IMITES H´ allense, si existen, los siguientes l´ımites: ln |1 + x2 y 2 | (x,y)→(1,1) x c) l´ım √ (x,y)→(0,4) y x2 + y 2 e) l´ım cos (x,y)→(0,0) x+y+1 x sen y g) l´ım (x,y)→(1,0) x2 + 1 x3 y 3 − 1 i) l´ım (x,y)→(1,1) xy − 1 x p k) l´ım 2 (x,y)→(0,0) x + y2 xy m) l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x3 p o) l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 x3 sen (y 2 − 4) q) l´ım (x,y)→(0,0) (y + 2) sen x y sen (xy) s) l´ım 2 2 (x,y)→(0,0) 1 − ex +y a)

2.6.

l´ım

l´ım



(x,y)→(0,π/2)

xy + y − 2x − 2 x + 1   cos x − 1 y−2 h) l´ım (x,y)→(0,2) x2 y2 − 4 x−y j) l´ım (x,y)→(0,0) x + y xy l) l´ım (x,y)→(0,0) |xy| xy 3 n) l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 6 x2 + y 2 p p) l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1 exy − 1 r) l´ım (x,y)→(0,0) sen x ln (1 + y) ln (1 + yx2 ) p t) l´ım (x,y)→(0,0) tg y · 1 − cos (x2 + y 2 ) f)

l´ım

(x,y)→(−2,2)

Est´ udiese la continuidad de las siguientes funciones, prolong´ andolas por continuidad, si es posible, a puntos que no sean de su dominio. a) x sen d)

2.7.



1 1 1 + + (x,y,z)→(1,2,6) x y z d) l´ım sec x tg y

b)

x2

1 + y2

1 sen xy x

2x + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 e) ln (1 − x2 − y 2 ) b)

x3 + ln y (y − 1)3 + x6 x3 + ln (y + 1) f) y 3 + x6

c)

Estudiese la continuidad de las siguientes funciones:   2  x − y si 2 x +y si (x, y) 6= (1, −3) a) b) x+y 10 si (x, y) = (1, −3)  0 si  3  3 3 x x − 4y  p si (x, y) 6= (0, 0)  2 + y2 d) x2 − 4y 2 c) x   0 28 si (x, y) = (0, 0) ( xy si (x, y) = 6 (0, 0) 4x2 + 5y 2 e) si (x, y) = (0, 0)  3 0 2  x sen (y − 4) si (x, y) 6= (0, −2) f) (y + 2) sen x  0 si (x, y) = (0, −2)

(x, y) 6= (0, 0) (x, y) = (0, 0) si (x, y) 6= (0, 0) si (x, y) = (0, 0)

Problemas resueltos del Cap´ıtulo 2 2.1. Soluci´ on.

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 2 Soluciones en la p´ agina 380 2.1.

Cap´ıtulo 3

Derivada de Funciones de una variable 3.1.

Derivada y continuidad. Recta tangente y recta normal

3.1.1.

Idea intuitiva de recta tangente.

Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea a otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve. - ¿Puede la recta tangente cortar a la curva en m´ as de un punto?. - ¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?.  6  '$     y

y

y

6

&% -x

-x

6

-x

Figura 3.1: Idea intuitiva de recta tangente

Una primera aproximaci´ on al concepto nos permite enunciar la siguiente definici´ on: Definici´ on 3.1. Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta que pasa por P con la misma direcci´ on que la curva. Podemos insistir un poco m´ as en el concepto se˜ nalando que la recta tangente es una recta que toca a la curva en un punto, pero que, adem´ as, la curva se aplana en las proximidades del punto de tangencia, tratando de 141

142 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE confundirse, por un instante, con la propia recta. Este aplanamiento en los alrededores del punto de tangencia es lo que hace que la curva sea suave y que se aproxime a la recta tangente en los alrededores del punto de tangencia, y esto es lo que realmente caracteriza la recta tangente. y = f (x)

y 6 Q

f (x0 + h)

f (x0 )

P









r(h)  Recta tangente a la gr´afica 





de y = f (x) en x = x0

xx0

x0 + h

Figura 3.2: Recta tangente a una funci´on. El residuo r(h) es la distancia (vertical) entre la curva y la recta tangente, y es lo que nos va a permitir determinar si una curva tiene o no recta tangente en uno de sus puntos. En efecto, una primera observaci´ on nos hace ver que el residuo r(h) tiende a cero a medida que h tiende a cero. Sin embargo, este hecho no es importante para la existencia de la recta tangente, pues el que l´ımh→0 r(h) = 0 lo u ´nico que nos dice es que la funci´ on es continua en P , y seguir´ıa siendo cero cualquiera que fuera la recta que pase por P , aunque no fuera la recta tangente, e incluso, aunque la funci´ on no tuviera tangente. Lo importante, cuando se estudia la recta tangente, es que el residuo r(h) tiende a cero m´ as r´ apido de lo que lo hace h. Esto significa que: r(h) =0 h→0 h l´ım

Gr´ aficamente, este l´ımite viene a significar el hecho de que la curva se “embarra” con la recta tangente en los alrededores del punto P . En otras palabras, la curva tiene que ser “suave”en P , para que “se pueda ver localmente como una recta”(su recta tangente).

3.1.2.

Rectas tangentes no intuitivas

La tangente a una recta es la propia recta.  y6  









x -

Figura 3.3: La tangente a una recta es la propia recta

143

3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL

En un punto de inflexi´ on la tangente atraviesa la curva. Pudi´endose distinguir tres tipos de puntos de inflexi´ on: de tangente vertical, de tangente horizontal y de tangente oblicua. y

y

6

y

6

-x

6

-x

-x

Figura 3.4: La tangente en un punto de inflexi´on. En un punto anguloso, de desv´ıo brusco o de retroceso, la curva o bien no tiene tangente o la tangente es vertical. La tangente no puede ser oblicua, ya que este caso la correspondencia no ser´ıa funci´ on. y

y

6

@ @ @

@

y

6

-x

No hay tangente

y

6

-x

-x

Tangente vertical

No hay tangente

6 @ @

@

@

@

-x

No es funci´ on

Figura 3.5: En los puntos de retroceso o no hay tangente o la tangente es vertical.

En los puntos de discontinuidad no se define la recta tangente y

6

 

y b

  -x

6

 

rP PP P b

-x

Figura 3.6: En los puntos de discontinuidad no se define la recta tangente.

144 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3.1.3.

La pendiente de la recta tangente

y 6

El valor aproximado de la pendiente de la recta tangente ser´ıa:

y = f (x) Q

f (x)

  

tan α ≃

 f (x) − f (x0 )  

 P  α  x−x 0 

f (x0 )

x0

 

f (x) − f (x0 ) x − x0

Y su valor exacto: x -

tan α = l´ım

x

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

Figura 3.7: Pendiente de la recta tangente.

3.1.4.

Definici´ on de derivada

Definici´ on 3.2 (Derivada en un punto). Sea x0 un punto interior de Df . Se llama derivada de la funci´ on f en el punto x0 al siguiente l´ımite si existe y es finito. f (x) − f (x0 ) f ′ (x0 ) = l´ım x→x0 x − x0 Observaciones: Cuando dicho l´ımite sea infinito se dice que la funci´ on no es derivable, aunque tiene derivada infinita. (gr´ aficamente significa que la recta tangente en ese punto es vertical). Para que la derivada exista el punto x0 tiene que ser un punto interior del dominio, es decir, la funci´ on tiene que estar definida en un entorno del punto, con objeto de que cuando x → 0 el valor f (x) que aparece en el numerador est´e definido. No olvidar que la derivada es un l´ımite, aunque buscaremos reglas para calcular derivadas sin tener que hacer dicho l´ımite. A la expresi´ on forma:

f (x) − f (x0 ) , se le llama cociente incremental y se expresa de la x − x0 f (x) − f (x0 ) △f △y = = △x △x x − x0

Con lo cual la derivada no es m´ as que el l´ımite del cociente incremental cuando el incremento de x tiende a cero. f ′ (x0 ) = l´ım

△x→0

3.1.5.

△f (x0 ) △x

Otra forma de la derivada

Tenemos que: f ′ (x0 ) = l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL

145

Llamando h al incremento, ser´ a: x − x0 = h → x = x0 + h con lo cual resulta: f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h

f ′ (x0 ) = l´ım y 6

f (x0 + h)  

P α x − x

 f (x0 )

x0

f (x0 + h) − f (x0 )

0

h ←−

x x = x0 + h

Figura 3.8: Derivada de una funci´on.

Ejemplo 3.1. Calcular, aplicando la definici´ on en las dos formas, la deriva2 da de la funci´ on f (x) = 3x , en el punto x = 2. Soluci´ on. f (x) − f (2) 3x2 − 12 3(x2 − 4) = l´ım = l´ım = x→2 x→2 x − 2 x→2 x−2 x−2 3(x + 2)(x − 2) = l´ım = 12 x→2 x−2

f ′ (2) = l´ım

3(2 + h)2 − 12 f (2 + h) − f (2) = l´ım = h→0 h→0 h h 12 + 12h + 3h2 − 12 3(4 + 4h + h2 ) − 12 = l´ım = = l´ım h→0 h→0 h h = l´ım (12 + 12h) = 12 + 0 = 12

f ′ (2) = l´ım

h→0

3.1.6.

Derivadas laterales

Si el l´ımite que define la derivada lo tomamos solamente por la derecha o por la izquierda, obtenemos las derivadas laterales. Definici´ on 3.3. Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquierda, respectivamente, a los siguientes l´ımites, si existen y son finitos: f ′ (x0 +) = l´ım

x→x0 +

f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) = l´ım h→0+ x − x0 h

146 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = l´ım h→0− x − x0 h Para que se pueda definir la derivada por la derecha en el punto x0 , la funci´ on tiene que estar definida, al menos, en un intervalos del tipo [x0 , b), y para que exista la derivada por la izquierda, la funci´ on tiene que estar definida, al menos, en un intervalo del tipo (a, x0 ]. Para que la funci´ on sea derivable las dos derivadas laterales tienen que coincidir. f ′ (x0 −) = l´ım

x→x0 −

Teorema 3.1 (Coincidencia de las derivadas laterales). Una funci´ on es derivable en un punto sii las derivadas laterales coinciden en dicho punto. Ejemplo 3.2. Calcular las derivadas laterales de la funci´ on valor absoluto, en el origen de coordenadas. Soluci´ on. La funci´ on es f (x) = |x|. Luego resulta, |x| x f (x) − f (0) = l´ım = l´ım =1 x→0+ x x→0+ x x→0+ x−0 f (x) − f (0) |x| −x f ′ (x0 −) = l´ım = l´ım = l´ım = −1 x→0− x→0− x x→0− x x−0 Luego la funci´ on no es derivable en el origen. f ′ (x0 +) = l´ım

@

@

y6 @

@

x -

Figura 3.9: f (x) = |x|

3.1.7.

Derivada y continuidad

Teorema 3.2 (Derivabilidad implica continuidad). Si una funci´ on es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Demostraci´ on. En efecto, tenemos que: f (x) − f (x0 ) y es finito. f es derivable en x0 ⇐⇒ ∃ l´ım x→x0 x − x0 f es continua en x0 ⇐⇒ l´ım f (x) = f (x0 ) ⇐⇒ l´ım f (x) − f (x0 ) = 0 x→x0

x→x0

Con lo cual, resulta: f derivable en x0 =⇒ l´ım f (x) − f (x0 ) = l´ım

x→x0

x→x0

f (x) − f (x0 ) (x − x0 ) = f ′ (x0 ) · 0 = 0 x − x0

=⇒ f es continua en x0

3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL

147

Sin embargo, existen funciones que son continuas pero que no son derivables. Ejemplo 3.3. Comprobar que la funci´ on f (x) = |x2 − 4| es continua en el punto x = 2, pero no es derivable en dicho punto. Comprobar el resultado gr´ aficamente. ¿En qu´e otro punto tampoco ser´ a derivable?. Soluci´ on. a) f es continua en x = 2 y

l´ım f (x) = l´ım |x2 − 4| = |0| = 0 = f (0)

x→2

6

x→2

b) f no es derivable en x = 2 |x2 − 4| f (x) − f (2) = l´ım = f ′ (2) = l´ım x→2 x − 2 x→2 x−2 x  (x + 2)(x − 2) |x2 − 4|  −2 2  = l´ım =4 l´ım x→2+ x→2+ x−2 x−2 2 = Figura 3.10: f (x) = |x − 4|  2   l´ım |x − 4| = l´ım −(x + 2)(x − 2) = −4 x→2− x − 2 x→2− x−2 Luego la funci´ on no es derivable en x = 2. √ Ejemplo 3.4. Comprobar que la funci´ on f (x) = 3 x es continua en el punto x = 0, pero no es derivable en ese punto. Comprueba el resultado gr´ aficamente. Soluci´ on. a) f es continua en x = 0 √ l´ım f (x) = l´ım 3 x = 0 = f (0) x→0

x→0

b) f no es derivable en x = 0 r r √ 3 x − 0 f (x) − f (0) x 3 1 f ′ (0) = l´ım = l´ım = l´ım 3 2 = l´ım = +∞ x→0 x→0 x→0 x→0 x−0 x x x2 Luego la funci´ on no es derivable en x = 0. y

6 -x

Figura 3.11: Gr´afica de la funci´on f (x) =

√ 3

x. No es derivable en el origen

148 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3.1.8.

Significado gr´ afico de la derivada: Suavidad.

Una funci´ on es continua en un punto , si su gr´ afica atraviesa dicho punto. Una funci´ on es derivable en un punto si su gr´ afica lo atraviesa con suavidad. qP P a 

Continuas

Una funci´ on no es derivable: En los puntos angulosos. En los puntos de tangente vertical.

Derivables

En los puntos de discontinuidad. Discontinuas

Figura 3.12: Funciones Ejemplo 3.5. Est´ udiese cu´ al de las tres funciones siguientes atraviesa el origen con m´ as suavidad. f (x) =

(

1 si x 6= 0 x 0 si x = 0

sen

g(x) =

(

1 si x 6= 0 x 0 si x = 0 x sen

h(x) =

(

1 si x 6= 0 x 0 si x = 0

x2 sen

Soluci´ on. La funci´ on f no es continua en 0, por lo tanto no lo atraviesa. La funci´ on g es continua en 0, pero no es derivable 0, luego lo atraviesa, pero sin suavidad. La funci´ on h es continua y derivable en el origen, luego lo atraviesa con suavidad.

Figura 3.13: La derivabilidad de la funci´on muestra la suavidad de la curva

3.1.9.

La ecuaci´ on de la recta tangente

La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la funci´ on, con lo cual:

149

3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL y 6 f (x)    y

 P  α  x−x 0  f (x0 ) x0

Tenemos que:     y − f (x ) 0 = f ′ (x0 ) y − f (x0 )  x − x 0   tan α = x − x0 tan α = f ′ (x0 )

x x

Figura 3.14: Recta tangente.

de donde resulta la siguiente ecuaci´ on: y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )

Luego, la ecuaci´ on de la recta tangente es: y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 )

(3.1)

Ejemplo 3.6. Hallar la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva y = en el punto x = 1. Comprobar el resultado gr´ aficamente. Soluci´ on. y 6 





Tenemos que: f (x) =

 x √

Figura 3.15: y = x

√

√

x

x ⇒ f (1) = 1, y

1 1 f ′ (x) = √ ⇒ f ′ (1) = 2 2 x

de donde, la ecuaci´ on de la recta tangente es x+1 1 y − 1 = (x − 1) o bien, y = 2 2

Ejemplo 3.7. Demostrar que la recta y = −x es tangente a la curva dada por la ecuaci´ on: y = x3 − 6x2 + 8x

Hallar el punto de tangencia.

Soluci´ on. La pendiente de la recta tangente ha de ser y ′ = −1. Como y ′ = 3x2 − 12x + 8, resulta, 3x2 − 12x + 8 = −1, de donde, 3x2 − 12x + 9 = 0, con lo que, simplificando, resulta: √  4±2 4 ± 16 − 12 3 ⇒ y = −3 ⇒ P (3, 3) 2 = = x − 4x + 3 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = 3 ⇒ Q(1, 3) 2 2 Comprobamos las posibles soluciones:  P (3, 3) ⇒ y + 3 = −(x − 3) ⇒ y + 3 = −x + 3 ⇒ y = −x Q(1, 3) ⇒ y − 3 = −(x − 1) ⇒ y − 3 = −x + 1 ⇒ y = −x + 4 No

Las dos soluciones de la ecuaci´ on obedecen a que la curva tiene dos rectas tangentes con la misma pendiente y ′ = −1, una en el punto P (3, 3) y otra en el punto Q(1, 3).

150 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3.1.10.

La ecuaci´ on de la recta normal

Ejemplo 3.8. Hallar, gr´ aficamente, un vector perpendicular al vector ~v = (2, 3) e indicar la relaci´ on que existe entre sus componentes y sus pendientes. Soluci´ on. y 6 ~v

 ~ v k Q

Q p Q

Q x Q

Figura 3.16:

Tenemos que: ~v = (2, 3) ~vp = (−3, 2)



Las componentes se cambian de orden y una de ellas de signo.

y para las pendientes:  −1 La inversa m = 3/2 m′ = m′ = −2/3 m cambiada de signo.

Proposici´ on 3.1. Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y cambiadas de signo. Definici´ on 3.4 (Recta normal). Se llama recta normal a una curva, en un punto de la misma, a la perpendicular a la recta tangente en dicho punto. La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la funci´ on, y la de la recta normal con su inversa cambiada de signo, con lo cual resulta lo siguiente: y 6 f (x)   A  y  A P A α   A x − x0 f (x0 ) AA x x0 x

Figura 3.17: Recta normal.

3.1.11.

Ecuaci´ on de la recta tangente: y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 ) Ecuaci´ on de la recta normal: y − f (x0 ) =

−1

f ′ (x0 )

(x − x0 )

Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical

Cuando la derivada se hace cero en un punto, entonces la tangente es una recta horizontal y = y0 , y la recta normal es la recta vertical que pasa por el punto x = x0 . Cuando la derivada se hace infinita en un punto, entonces la tangente es la recta vertical que pasa por el punto x = x0 , y la recta normal es la recta horizontal que pasa por el punto y = y0 .

´ DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. ´ 3.2. FUNCION Ejemplo 3.9. Hallar las rectas tangente y normal a la curva y = origen de coordenadas

151 √ 3

x en el

1 1 Soluci´ on. Tenemos y = x1/3 , y su derivada y ′ = x−2/3 = √ , de donde, 3 3 3 x2 y 6 f ′ (0) = +∞, con lo cual: -x

Ecuaci´ on de la recta tangente: x = 0 Ecuaci´ on de la recta normal: y = 0

Figura 3.18: f (x) =

3.2. 3.2.1.

√ 3

x.

Funci´ on derivada. reglas de derivaci´ on. Funci´ on derivada

Dada una funci´ on y = f (x), si hallamos su derivada en cada uno de los puntos en los que sea derivable se obtiene una nueva funci´ on llamada funci´ on derivada de la anterior. x x0 x1 .. .

f (x) f (x0 ) f (x1 ) .. .

x x0 x1 .. .

f ′ (x) f ′ (x0 ) f ′ (x1 ) .. .

y = f ′ (x)

y = f (x)

Para hallar la f´ ormula de la funci´ on derivada basta con aplicar la definici´ on de derivada en un punto gen´erico: f (x + h) − f (x) h→0 h

f ′ (x) = l´ım

△f △x→0 △x

f ′ (x) = l´ım

△f dy = △x→0 △x dx

y ′ = l´ım

Ejemplo 3.10. Hallar, aplicando la definici´ on, la derivada de la funci´ on: f (x) = x2 Soluci´ on. Podemos aplicar la definici´ on de derivada en cualquiera de sus dos formas: x2 − c2 (x + c)(x − c) f (x) − f (c) = l´ım = l´ım = 2c ⇒ f ′ (c) = l´ım x→c x − c x→c x→c x−c x−c ⇒ f ′ (c) = 2c ⇒ f ′ (x) = 2x (x + h)2 − x2 f (x + h) − f (x) = l´ım = h→0 h→0 h h

f ′ (x) = l´ım

x2 + 2hx + h2 − x2 = l´ım (2x + h) = 2x h→0 h→0 h

= l´ım

152 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ejemplo 3.11. Hallar, aplicando la definici´ on, la derivada de la funci´ on: √ f (x) = x Soluci´ on. Podemos aplicar la definici´ on de derivada en cualquiera de sus dos formas: √ √ √ √ √ √ x− c f (x) − f (c) ( x − c)( x + c) ′ √ √ f (c) = l´ım = = l´ım = l´ım x→c x→c x→c x−c x−c (x − c)( x + c)

1 1 1 x−c √ = l´ım √ √ √ = √ ⇒ f ′ (c) = √ (x − c)( x + c) x→c x + c 2 c 2 x √ √ f (x + h) − f (x) x+h− x ′ f (x) = l´ım = l´ım = h→0 h→0 h h √ √ √ √ ( x + h − x)( x + h + x) x+h−x √ = l´ım = l´ım √ √ √ = h→0 h→0 h( x + h + x) h( x + h + x) = l´ım

x→c

= l´ım √ h→0

3.2.2.

1 1 √ = √ 2 x x+h+ x

Reglas de derivaci´ on.

Derivada y operaciones: funci´ on rf f +g f ·g 1 g f g

derivada rf ′ ′ f + g′ f ′ g + f g′ −g ′ g2 ′ f g − f g′ g2

Derivada de la funci´ on compuesta. Regla de la cadena:     h(x) = g f (x) =⇒ h′ (x) = g ′ f (x) · f ′ (x)

que se puede expresar de la forma:

dh dg df dz dz dy = =⇒ = dx df dx dx dy dx Derivada de la funci´ on rec´ıproca o inversa: y = f (x)

=⇒

1 dx = dy dy/dx

=⇒

x′y =

1 yx′

´ DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. ´ 3.2. FUNCION Derivada de las funciones elementales: funci´ on k x xr √ x √ n

x

ln x lgb x ex ax xx sen x cos x tg x 1 cos x 1 csc x = sen x sec x =

cot x arc sen x arc cos x arc tg x arc sec x arc csc x arc cotg x senh x cosh x tgh x

derivada 0 1 rxr−1 1 √ 2 x 1 √ n n xn−1 1 x 1 1 = lgb e x ln b x ex ax ln a xx (ln x + 1)

funci´ on k u ur √ u

cos x − sen x

sen u cos u

1 = sec2 x cos2 x sec x tg x − csc x cot x

√ n u ln u lgb u eu au fg

tg u 1 cos u 1 csc u = sen u sec u =

−1 = − csc2 x sen2 x

cot u

1 √ 1 − x2 −1 √ 1 − x2 1 1 + x2 1 √ |x| x2 − 1 −1 √ |x| x2 − 1 −1 1 + x2 cosh x senh x 1 cosh2 x

arc sen u arc cos u arc tg u arc sec u arc csc u arc cotg u senh u cosh u tgh u

derivada 0 u′ rur−1 u′ u′ √ 2 u u′ √ n n un−1 u′ u ′ u u′ = lgb e u ln b u u ′ e u au u′ ln a f′
f g g ′ ln f + g f u′ cos u −u′ sen u u′ = u′ sec2 u cos2 u u′ sec u tg u −u′ csc u cot u −u′ = −u′ csc2 u sen2 u u′ 1 − u2 −u′ √ 1 − u2 u′ 1 + u2 u′ √ |u| u2 − 1 −u′ √ |u| u2 − 1 −u′ 1 + u2 u′ cosh u u′ senh u u′ cosh2 u √

153

154 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ejemplo 3.12. Derivar las siguientes funciones: √ √
x 2 (c) y = e3x (d) y = 23x+1 (e) y = x2 3−x (a) y = x 2 (b) y =

Soluci´ on.

√

√

2 x 2−1 √
x √ 2 ln 2 (b) y ′ = (a) y ′ =

(c) y ′ = 3e3x

(d) y ′ = 3 · 23x+1 ln 2 (e) y ′ = 2x3−x − x2 3−x ln 3 = (2x − x2 ln 3)3−x Ejemplo 3.13. Derivar las siguientes funciones: (a) y = (4x + 7x2 )10

(b) y = sen3 2x cos 3x

(c) y = sen2 (x + sen x)2

Soluci´ on. (a) y ′ = 10(4x3 + 7x2 )9 (12x2 + 14x) (b) y ′ = 3 sen2 2x · 2 cos 2x cos 3x − 3 sen3 2x sen 3x (c) y ′ = 2 sen(x + sen x)2 cos(x + sen x)2 · 2(x + sen x)(1 + cos x) sen2 3x x3 Soluci´ on. Aplicamos las propiedades de los logaritmos, antes de derivar, con lo cual, f (x) = 2 ln(sen3x) − 3 ln x

Ejemplo 3.14. Derivar f (x) = ln

de donde, f ′ (x) = 2

3.2.3.

3 3 cos 3x 3 − = 6 cot 3x − sen 3x x x

Derivadas de funciones con un punto aparte

Supongamos una funci´ on definida con un punto aparte  g(x) si x 6= a f (x) = k si x = a se nos presenta la duda de cu´ al ser´ a el valor de f ′ (a), es decir,  ′ g (x) si x 6= a ′ f (x) = ? si x = a Si la funci´ on tiene, en la f´ ormula, un punto aparte, la derivada en ese punto no tiene porqu´e ser cero, ya que la derivada depende de los valores que

´ DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. ´ 3.2. FUNCION

155

tome la funci´ on en los alrededores del punto. Adem´ as, a cualquier funci´ on le podemos separar un punto de su f´ ormula, sin que por ello se haga su derivada cero en dicho punto. Por ejemplo,   2 2x si x 6= 3 x si x 6= 3 ′ 2 ⇒ f (x) = 2x = f (x) = x = 6 si x = 3 9 si x = 3 o bien, f (x) = x =



x si x 6= 2 ⇒ f ′ (x) = 1 = 2 si x = 2



1 si 1 si

x 6= 2 x=2

Si la funci´ on tiene un punto aparte, para derivarla, podemos seguir dos caminos: 1.

Aplicar la definici´ on de derivada.

2.

Comprobar si es continua, si no es continua no es derivable, y si es continua podemos calcular la derivada en ese punto mediante el l´ımite, en ese punto, de la derivada en los dem´ as, en el cado de que exista. Si el l´ımite no existe habr´ a que aplicar la definici´ on. f ′ (x) = l´ım g ′ (x) x→a

Es decir, f (x) =



g(x) si x 6= a ⇒ f ′ (x) = k si x = a

(

g ′ (x) si x 6= a l´ım g ′ (x) si x = a x→a

Bien entendido que si dicho l´ımite no existe entonces hay que aplicar la definici´ on. Ejemplo 3.15. Hallar la derivada de la funci´ on: ( sen x si x 6= 0 x f (x) = 1 si x = 0 Soluci´ on. La derivada para x 6= 0 no tiene ning´ un problema, g(x) =

sen x x cos x − sen x ⇒ g ′ (x) = x x2

Para hallar la derivada en el origen procedemos de la siguiente forma: (a) Estudiamos la continuidad en el origen: l´ım f (x) = l´ım

x→0

x→0

sen x = 1 = f (0) ⇒ f es continua en x=0 x

(b) Calculamos la derivada en x = 0, aplicando la definici´ on:

156 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE sen x −1 sen x − x  0  f (x) − f (0) = l´ım x = l´ım = = x→0 x→0 x→0 x−0 x x2 0 aplicando L’Hˆ opital, dos veces, resulta,

f ′ (0) = l´ım

− sen x cos x − 1  0  = l´ım = =0 x→0 x→0 2x 0 2

= l´ım

con lo cual la funci´ on derivada es:   x cos x − sen x x2 f ′ (x) =  0

x 6= 0

si si

x=0

En este caso, la derivada en el punto x = 0 tambi´en se pod´ıa haber calculado a partir de la derivada en los puntos x 6= 0, en efecto, x cos x − sen x  0  cos x − x sen x − cos x  0  = = = l´ım = 2 x→0 x→0 x 0 2x 0 − sen x −x sen x = l´ım =0 = l´ım x→0 x→0 2x 2

f ′ (0) = l´ım

El hecho de que f ′ (0) = 0, significa que la gr´ afica tiene tangente horizontal en el punto x = 0, si hubi´eramos inclinado la curva habr´ıamos obtenido otro resultado.

Figura 3.19: gr´afica de f (x) =

3.2.4.

sen x x

Derivada de funciones definidas a trozos

Para derivar una funci´ on definida a trozos  f (x) si x ≤ c h(x) = g(x) si x > c 1.

Se deriva la funci´ on en cada uno de los intervalos abiertos en los que est´e definida.

2.

Se estudia la derivabilidad de la funci´ on en los puntos de separaci´ on y en los extremos de los intervalos cerrados, si los hubiera.

Para hallar la derivabilidad en los puntos de separaci´ on se estudia primero si es continua, si no es continua no es derivable, y si es continua se calcula la derivada, bien aplicando la definici´ on de derivada, o lo que es m´ as f´ acil,

´ DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. ´ 3.2. FUNCION

157

por sustituci´ on directa por la derecha y por la izquierda (si obtenemos dos valores iguales, esa es la derivada, y si obtenemos valores diferentes, entonces la funci´ on no es diferenciable).    ′ f (x) si x < c o bien x ≤ c ′ h (x) = g ′ (x) si x > c Observaci´ on 1: Si la funci´ on es derivable ponemos x ≤ c y si no es derivable x < c. Observaci´ on 2: No debe olvidarse comprobar previamente la continuidad, ya que el hecho de que los valores laterales de la derivada sean iguales, por s´ı solo, no significa que la funci´ on sea derivable, sino que la funci´ on entra y sale con la misma pendiente en x = c, pero pudiera ser en puntos diferentes. Ejemplo 3.16. Derivar la siguiente funci´ on:  2x + 3 si x ≤ 2 f (x) = x2 − 2x si x > 2 Soluci´ on. Primero hallamos la derivada en los intervalos abiertos  2 si x < 2 ′ f (x) = 2x − 2 si x > 2 para ver si es derivable en x = 2, estudiamos previamente la continuidad:  f (2− ) = 7 no es continua ⇒ no es derivable f (2+ ) = 0 Al no ser derivable en x = 2 no podemos poner x ≤ 2, sino x < 2.

En este caso, el hecho de que f ′ (2− ) = f ′ (2+ ) no tiene ning´ un valor. Ejemplo 3.17. Derivar f (x) = x|x − 2| Soluci´ on. Eliminamos el valor absoluto de la f´ ormula expres´ andola a trozos.  2 x − 2x si x ≥ 2 f (x) = x|x − 2| = 2 −x + 2x si x < 2 Con lo cual la funci´ on derivada es:  2x − 2 si f ′ (x) = −2x + 2 si

x>2 x<2

Comprobamos la derivabilidad en el punto x = 2   f (2+ ) = 0 f ′ (2+ ) = 2 es continua no es derivable f (2− ) = 0 f ′ (2− ) = −2

158 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ejemplo 3.18. Determinar los coeficientes a y b para que la funci´ on  2 x + 1 si x ≥ 1 f (x) = ax + b si x < 1 sea derivable en el punto x = 1. Comprobar el resultado  2x ′ Soluci´ on. La funci´ on derivada ha de ser f (x) = a para lo cual ha de cumplir:  f (1− ) = f (1+ ) ⇒ a + b = 2 a=2 f ′ (1− ) = f ′ (1+ ) ⇒ a = 2 b=0 y










f (x) = -x

Figura 3.20: f

3.2.5.

si x ≥ 1 si x < 1 

Luego:

6

r


gr´ aficamente.



x2 + 1 si x ≥ 1 2x si x < 1

′

f (x) =



2x si x ≥ 1 2 si x < 1

La continuidad significa que los dos tramos de la curva est´ an empalmados. La derivabilidad significa que el empalme se ha hecho con suavidad, es decir, con una tangente com´ un.

Derivaci´ on de funciones impl´ıcitas

Una funci´ on es una relaci´ on entre dos magnitudes. Cuando en la f´ ormula que las relaciona, una de las magnitudes viene despejada en funci´ on de la otra, entonces se dice que la funci´ on viene definida de manera expl´ıcita y = f (x) Cuando ninguna de las dos magnitudes est´ a despejada en funci´ on de la otra, sino que las magnitudes est´ an relacionadas mediante una ecuaci´ on, se dice que la funci´ on est´ a definida de manera impl´ıcita. F (x, y) = 0 Las funciones definidas de manera impl´ıcita se pueden derivar directamente, sin necesidad de despejar una de las variables. Para ello basta con tener en cuenta que la variable y es funci´ on de la x y que, por tanto, cada vez que la derivemos hay que multiplicarla por su derivada (se trata de derivar una funci´ on compuesta). Pueden derivarse ecuaciones que no son funciones, pero que podr´ıan descomponerse en varias funciones, sin necesidad de descomponerlas, la derivada obtenida vale para todas las funciones.

´ DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. ´ 3.2. FUNCION

159

Ejemplo 3.19. Derivar la ecuaci´ on: x2 + y 2 = 4 Soluci´ on. Una manera de hacerlo ser´ıa descomponiendola en dos funciones:  √ −x −x  =  y1 = + 4 − x2 → y1′ = √ 2 y1 4−x x2 + y 2 = 4 → √ −x −x ′  2  y2 = − 4 − x → y2 = − √ = 2 y2 4−x

Sin embargo, no es necesario despejar la funci´ on, sino que podemos derivar directamente en la ecuaci´ on, x2 + y 2 = 4 → 2x + 2yy ′ = 0 → y ′ =

−x y

Observaci´ on: Hay que evitar derivar funciones que no existen. Por ejemplo la ecuaci´ on x2 + y 2 = −2 no representa ning´ un punto del plano y por tanto no tiene ning´ un significado anal´ıtico. No obstante, al ser una expresi´ on algebraica podr´ıamos aplicarle las reglas de derivaci´ on y derivarla 2x + 2yy ′ = 0, y podr´ıamos pensar que y ′ = −x/y, sin embargo, estas operaciones no tienen ning´ un sentido. Ejemplo 3.20. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia: (x − 2)2 + (y − 2)2 = 2 en los puntos en que x = 3. Comprobar el resultado gr´ aficamente. Soluci´ on. Derivamos de manera impl´ıcita, 2(x − 2) + 2(y − 2)y ′ = 0

→

y′ = −

x−2 y−2

hallamos los puntos correspondientes a x = 3 2

2

x = 3 → 1+(y−2) = 2 → (y−2) = 1 → y−2 = ±1 → y = 2±1 =



3 1

Con lo cual, para x = 3 tenemos dos puntos de la circunferencia P (3, 1) y Q(3, 3). Hallamos la tangente en cada uno de ellos. −1 (x − 3) → y − 1 = x − 3 → y = x − 2 −1 −1 (x − 3) → y − 3 = −x + 3 → y = −x + 6 Q(3, 3) → y − 3 = 1 P (3, 1) → y − 1 =

160 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE y

6 @ @ '$ @q @ @ @ q &% x -

Figura 3.21: Tangentes a (x − 2)2 + (y − 2)2 = 2

3.2.6.

Derivaci´ on logar´ıtmica

Dada una funci´ on y = f (x), la derivaci´ on logar´ıtmica consiste en tomar ln en los dos miembros de la igualdad y derivar, despu´es de simplificar. La derivaci´ on logar´ıtmica se aplica: 1.

Para derivar funciones exponenciales

2.

Para simplificar la derivaci´ on de productos y cocientes.

Observaci´ on: La derivaci´ on logar´ıtmica se puede aplicar incluso si la funci´ on toma valores negativos. Ejemplo 3.21. Derivar y = xtg x Soluci´ on. Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta: 1 1 y′ = ln x + tg x → 2 y cos x x     ln x tg x tg x ln x y′ = y + + = xtg x 2 2 cos x x cos x x

ln y = ln xtg x → ln y = tg x ln x →

Observaci´ on: La derivaci´ on logar´ıtmica tambi´en se puede hacer aplicando la identidad logar´ıtmica y = eln y . As´ı, en el ejemplo anterior tendr´ıamos: tg x

y = xtg x = eln x = etg x ln x →     ln x tg x ln x tg x ′ tg x ln x tg x y =e + + =x cos2 x x cos2 x x Ejemplo 3.22. Derivar y =

x3 sen2 x (x + 1)(x − 2)2

Soluci´ on. Tomando ln en los dos miembros de la igualdad ln y = ln

x3 sen2 x (x + 1)(x − 2)2

´ DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. ´ 3.2. FUNCION

161

Aplicando las propiedades de los logaritmos resulta, ln y = 3 ln x + 2 ln(sen x) − ln(x + 1) − 2 ln(x − 2) Derivando

y′ 3 2 cos x 1 2 = + − − y x sen x x+1 x−2

de donde, despejando y ′ resulta:   3 2 cos x 1 2 x3 sen2 x ′ + − − y = (x + 1)(x − 2)2 x sen x x+1 x−2

3.2.7.

Derivadas de orden superior

A la derivada de una funci´ on se le llama derivada primera; a la derivada de la derivada primera, derivada segunda; y as´ı sucesivamente. y ′′ = (y ′ )′ =

d dy d2 y d ′ (y ) = = 2 dx dx dx dx

Ejemplo 3.23. Hallar la derivada tercera de la funci´ on: f (x) = x cos x Soluci´ on. f ′ (x) = cos x − x sen x f ′′ (x) = − sen x − sen x − x cos x = −x cos x − 2 sen x f ′′′ (x) = − cos x + x sen x − 2 cos x = x sen x − 3 cos x Ejemplo 3.24. Hallar, por inducci´ on, una f´ ormula para la derivada n-sima de la funci´ on: f (x) = ln x Soluci´ on.

1 = x−1 x f ′′ (x) = −x−2 f ′′′ (x) = +2x−3 f iv (x) = −3 · 2x−4 f ′ (x) =

Luego, podemos suponer que,

f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)! x−n Para que quede demostrado tenemos que probar que f (n+1) (x) sigue la misma regla. En efecto,
′ f (n+1) (x) = f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)!(−n)x−n−1 = (−1)n n! x−(n+1)

con lo que queda demostrada la proposici´ on.

162 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3.2.8.

Aproximaci´ on lineal y notaci´ on diferencial

Aproximaci´ on lineal: Consiste en aproximar una funci´ on, en los alrededores de un punto, mediante la recta tangente a la funci´ on en ese punto. Es decir, para calcular los valores de la funci´ on en los puntos pr´ oximos a uno conocido, en vez de sustituir las coordenadas de dichos puntos en la f´ ormula de la funci´ on las sustituimos en la ecuaci´ on de la recta tangente, y tomamos el valor obtenido como una aproximaci´ on del buscado. Equivale a aproximar el incremento por el diferencial. △f ≈ df Teniendo en cuenta que:   △f (x0 ) = f (x0 + △x) − f (x0 ) df → df = f ′ (x0 )△x  tg α = f ′ (x0 ) = △x

Resulta:

f (x0 + △x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )△x O bien: f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )△x y 6

y = f (x) Q

f (x)

f (x0 )



  

   f (x) − f (x0 )



α P  x − x0  x0

x -

x

Figura 3.22: △f ≈ df

Teorema 3.3 (Teorema de aproximaci´ on lineal). Si la funci´ on es derivable en el punto x, entonces la diferencial es una buena aproximaci´ on del incremento. Es decir, la curva y la recta tangente est´ an muy pegadas en los alrededores del punto, y por lo tanto, el error en la funci´ on es mucho menor que el error en la x.

´ DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. ´ 3.2. FUNCION

163

En efecto: △f − f ′ (x)△x △f − df = l´ım = l´ım l´ım △x→0 △x→0 △x→0 △x △x



 △f ′ − f (x) = f ′ (x)−f ′ (x) = 0 △x

Notaci´ on diferencial. Cuando hablemos del diferencial de una funci´ on, en vez de △x usaremos dx, con lo cual resulta  dy △x = dx ⇒ f ′ (x) = ′ ′ dy = f (x)△x = f (x)dx dx Ejemplo 3.25. Calcular el valor aproximado de arc tg 1′ 1 Soluci´ on. Consideramos la funci´ on f (x) = arc tg x, cuya derivada es f ′ (x) =

1 1 + x2

Y teniendo en cuenta que: △f ≈ df ⇒ f (x) − f (x0 ) ≈ f ′ (x0 )△x ⇒ f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )△x Tomando x = 1′ 1, x0 = 1 y △x = 0′ 1, resulta: arc tg x ≈ arc tg x0 +

1 △x 1 + x20

de donde, π 1 1 (0′ 1) = + 0′ 1 = 0′ 78 + 0′ 05 = 0′ 83 1 + 12 4 2 √ Ejemplo 3.26. Dada la funci´ on y = 3 x arc tg 1′ 1 ≈ arc tg 1 +

1.

Hallar la ecuaci´ on de la recta tangente en el punto x = 1

2.

Utilizar la recta tangente para calcular el valor aproximado de

√ 3

1′ 03

Soluci´ on. La ecuaci´ on de la recta tangente en el punto x = 1 viene dada por.
y − f (1) = f ′ (1) x − 1 Teniendo en cuenta que  √  f (1) = 3 1 = 1 √ 1 1 −2 1  f (x) = 3 x = x 3 ⇒ f ′ (x) = x 3 = √ 3 3 3 x2

Resulta la ecuaci´ on de la recta tangente,

1 y = 1 + (x − 1) 3 Con lo cual el valor aproximado pedido es: √ 3

0′ 03 1 = 1 + 0′ 01 = 1′ 01 1′ 03 ≈ 1 + (1′ 03 − 1) = 1 + 3 3

164 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3.3. 3.3.1.

L´ımite de funciones Infinit´ esimos equivalentes

Definici´ on 3.5 (Infinit´ esimos). Una funci´ on, f , se dice que es un infinit´esimo en un punto x0 , si su l´ımite en dicho punto es cero. f infinit´esimo en x0 ⇔ l´ım f (x) = 0 x→x0

Definici´ on 3.6 (Infinit´ esimos equivalentes). Dos infinit´esimos, en un mismo punto, se dice que son equivalentes, cuando el l´ımite de su cociente es la unidad. l´ım

x→x0

0 f (x) = = 1 ⇔ f (x) ∼ g(x) g(x) 0

Teorema 3.4 (Sustituci´ on de infinit´ esimos). Cuando, en un l´ımite, un infinit´esimo est´e multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro equivalente. f (x) = 1. Y supongamos g(x) que nos encontramos con un l´ımite en el que aparece f (x) multiplicando o dividiendo:

Demostraci´ on. Supongamos que, en x0 , es f (x) ∼ g(x), ser´ a l´ım

x→x0

l´ım f (x)h(x) = l´ım

x→x0

x→x0

f (x) g(x)h(x) = l´ım 1 · g(x)h(x) = l´ım g(x)h(x) x→x0 x→x0 g(x)

Es decir, hemos sustituido f (x) por g(x) y el nuevo l´ımite puede resultar m´ as f´ acil que el anterior. Proposici´ on 3.2. Si un infinit´esimo est´ a sumando o restando, en general, no se le puede sustituir por otro equivalente.

l´ım f (x) ± h(x) 6= l´ım g(x) ± h(x) x→x0

x→x0

Existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar infinit´esimos al caso de sumas, como es el siguiente

Proposici´ on 3.3. La suma de varios infinit´esimos de distinto orden se puede reducir al de menor orden. l´ım (x2 + x3 + x6 ) = l´ım x2 x→0

3.3.2.

x→0

Infinit´ esimos m´ as frecuentes en z → 0

Trigonom´ etricos

sen z ∼ z tg z ∼ z

arc sen z ∼ z arc tg z ∼ z z2 1 − cos z ∼ 2

Exponenciales, logar´ıtmicos, potencias y ra´ıces  z ∼ ln(1 + z)     ez − 1 ∼ z   z a − 1 ∼ z · ln a ln(1 + z) ∼  (1 + z)r − 1 ∼ r z     z n  √ 1+z−1∼ n

3.3. L´IMITE DE FUNCIONES

165

Ejemplo 3.27. Calcular los siguientes l´ımites:

1. 4.

2 sen2 x + cos x)   1
x1 l´ım x 1 − x→∞ 5 l´ım

x→0 x2 (1

2. 5.

ex − 1 x→0 sen 2x √ n x−1 √ l´ım m x→1 x−1 l´ım

3. 6.

ln x 1−x sen2 x + x3 l´ım x→0 1 − cos x l´ım

x→1

Soluci´ on. 1. l´ım

0 2 2 sen2 x 2x2 2 = = l´ım = =1 = l´ım 2 x→0 1 + cos x x→0 x (1 + cos x) + cos x) 0 2

x→0 x2 (1

0 1 x ex − 1 = = l´ım = x→0 2x x→0 sen 2x 0 2 0 ln(1 + x − 1) ln x x−1 1−x 3. l´ım = = l´ım = l´ım = l´ım − = −1 x→1 1 − x x→1 x→1 1 − x x→1 0 1−x 1−x       1
x1 1
x1 −1 = = ∞ · 0 = l´ım −x 4. l´ım x 1 − x→∞ x→∞ 5 5 1 1 1
= − ln = −(ln 1 − ln 5) = −(0 − ln 5) = ln 5 = l´ım −x ln x→∞ x 5 5   √ √ √ n 0 ln 1 + ( n x − 1) x−1 ln n x  √ √ = = = l´ ım 5. l´ım m = l´ım  √ x→1 ln m x x→1 x→1 ln 1 + ( m x − 1) 0 x−1 2. l´ım

1 ln x n x→1 1 ln x m

= l´ım

6. l´ım

x→0

3.3.3.

=

m n

0 sen2 x x2 sen2 x + x3 = l´ım = = l´ım 2 =2 x→0 1 − cos x x→0 x /2 1 − cos x 0

Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆ opital.

Formas indeterminadas Las reglas de L’Hˆ opital pretenden resolver los siete casos de indeterminaci´ on del l´ımite: 0 , 0

∞ , ∞

0 · ∞,

1∞ ,

00 ,

∞0

Hay que hacer notar que las Reglas de L’Hˆ opital s´ olo se pueden aplicar ∞ 0 directamente a los dos casos 0 y ∞ . Para resolver los cinco casos restantes habr´ a que transformarlos en uno de los dos tipos anteriores. No son indeterminaciones las siguientes expresiones:

166 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ac =0 ∞

0 · Ac = 0

0+∞ = 0  +∞ 2 =0 3 (0′ d)+∞ = 0  −∞  +∞ 3 2 = =∞ 3 2 (0′ d)−∞ = +∞

1 0−∞ = +∞ = ∞  +∞0 3 =∞ 2 (1′ d)+∞ = ∞  −∞  +∞ 3 2 = =0 2 3 (1′ d)−∞ = 0

3+∞ = ∞

3−∞ = 0

10 = 1

70 = 1

Los siguientes l´ımites no est´ an definidos (por oscilaci´ on): l´ım sen x 1 l´ım sen x x→0+ sen x l´ım x→+∞ 43

x→+∞

l´ım cos x 1 l´ım cos x x→0+

x→+∞

l´ım tg x 1 l´ım tg x x→0+

x→+∞

Reglas de L’Hˆ opital Las reglas de L’Hˆ opital se pueden resumir en el siguiente esquema: l´ım

f (x)  0 ∞  f ′ (x) = l´ım ′ = o´ g(x) 0 ∞ g (x)

Observaciones: 1.

La Regla s´ olo es aplicable mientras se mantiene la indeterminaci´ on 00 , ∞ o ∞ , por lo que antes de derivar siempre hay que comprobar.

2.

Si la indeterminaci´ on se mantiene indefinidamente, entonces la regla no es aplicable.

3.

En cualquier momento se pueden hacer transformaciones algebraicas o aplicar infinit´esimos con objeto de simplificar las derivadas.

Formalmente una Regla de L’Hˆ opital puede enunciarse de la siguiente manera. Teorema 3.5 (Regla de L’Hˆ opital). Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a, b) y derivables en el intervalo (a, b), con l´ımite cero por la derecha del punto a, y adem´ as la derivada de la funci´ on g no se anula en

3.3. L´IMITE DE FUNCIONES

167

ning´ un punto del intervalo (a, b), entonces, si existe el l´ım

x→a+

existe el l´ım

x→a+

f (x) y adem´ as ambos coinciden g(x)

f ′ (x) tambi´en g ′ (x)

Ejemplo 3.28. Calcula los siguientes l´ımites

1.

2.

3. 4.

ex − 1  0  1 ex = = = l´ım x→0 sen 2x x→0 2 cos 2x 0 2 l´ım

0 −1 + x1 −x + 1 1 − x + ln x  0  = l´ım = l´ım = = = x→1 −π sen πx x→1 −πx sen πx x→1 1 + cos πx 0 0 0 −1 −1 = l´ım = 2 = 2 x→1 −π sen πx − π x cos πx 0 π l´ım

0 cos x 1 sen x = l´ım = = =1 2 x→0 1 + 2x x→0 x + x 0 1 l´ım

∞ ∞ ex ex ex +∞ = = = = +∞ = l´ ım = l´ ım 2 x→∞ x + x x→∞ 2x + 1 x→∞ 2 ∞ ∞ 2 l´ım

2

1

1

1 −3 ∞ x x x3 x3 = l´ım 3 1 = l´ım = = +∞ ım 5. l´ım 2 = l´ x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ ln x ∞ 3 3x 3 x

Simplificaci´ on del l´ımite. Siempre que sea posible, antes de abordar la Regla de L’Hˆ opital, es conveniente intentar simplificar el l´ımite con objeto de que no se complique con la derivaci´ on. Para ello se sacan fuera del l´ımite los factores que tengan un valor num´erico. Ejemplo 3.29. Calcular el siguiente l´ımite (1 + cos x)(x3 − 3) sen x x→0 (x2 − x) cos x l´ım

Soluci´ on. (1 + cos x)(x3 − 3) sen x (1 + cos x)(x3 − 3) sen x  0  = l´ ım = · l´ım 2 = l´ım x→0 x→0 x − x x→0 (x2 − x) cos x 0 cos x =

2(−3) 1 cos x l´ım = (−6)( ) = 6 1 x→0 2x − 1 −1

El primer l´ımite lo hemos resuelto directamente por sustituci´ on, y s´ olo hemos aplicado L’Hˆ opital en el segundo limite, lo que ha simplificado notablemente los c´ alculos.

168 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Indeterminaciones del tipo 0 · ∞ ∞ Se transforman en una indeterminaci´ on del tipo 00 , o ∞ , mediante operaciones algebraicas,o bien, mediante las siguientes transformaciones

f (x) · g(x) = Ejemplo 3.30. Calcular:

f (x) 1/g(x)

f (x) · g(x) =

l´ım x ln

x→+∞

g(x) 1/f (x)

x−1 x+1

Soluci´ on. x−1 ln  x−1  x + 1 = 0 = l´ım x ln = ∞ · 0 = l´ım 1 x→+∞ x→+∞ x+1 0 x 2 x+1x+1−x+1 2 x − 1 (x + 1) (x − 1)(x + 1) = l´ım = = l´ım 1 x→+∞ x→+∞ − x2 − x12 ∞ −4x −4 −2x2 = l´ım = = = −2 2 x→+∞ 2x x→+∞ x − 1 ∞ 2

= l´ım

Indeterminaciones del tipo ∞ − ∞ ∞ Se transforman en una indeterminaci´ on del tipo 00 , o ∞ , mediante operaciones algebraicas, como puede ser: buscando un com´ un denominador, multiplicando y dividiendo por el conjugado; o bien, mediante las siguientes transformaciones: B
1 − B A−B =A 1− = 1A A A

A − B = AB

1
1 = − B A

1 B

−

1 A

1 AB

Ejemplo 3.31. Calcular los siguientes l´ımites: 1. l´ım

x→+0



1 1 − x sen x



2.

l´ım

x→+∞

p  x2 + 3x − x

Soluci´ on.    1 sen x − x  0  1 = − = = ∞ − ∞ = l´ım 1. l´ım x→+0 x sen x x→+0 x sen x 0 sen x − x  0  cos x − 1  0  − sen x = l´ım = = =0 = l´ ım = l´ım x→+0 x→+0 x→+0 x2 0 2x 0 2 

3.3. L´IMITE DE FUNCIONES

2.

169 √

p    l´ım x2 + 3x − x = ∞ − ∞ = l´ım x

x→+∞



x→+∞



= ∞ · 0 = l´ım x x→+∞

!

r

3 1+ −1 x

= l´ım

x→+∞

q 1+

= l´ım

1 x

x→+∞

−3 q x2 · 2 1 +

3 x

− x12

! x2 + 3x −1 = x 3 x

−1

=

0 = 0

3x2 q x→+∞ 2x2 1 +

= l´ım

3 x

=

3 2

Este l´ımite tambi´en pod´ıa haberse resuelto multiplicando por el conjugado, o bien, aplicando infinit´esimos. Indeterminaciones del tipo 00 , ∞0 , 1∞

Se transforman en una indeterminaci´ on del tipo 00 , o neperianos. En efecto, llamando y al l´ımite en cuesti´ on:

∞ ∞,

tomando logaritmos

y = l´ım f (x)g(x) tomando ln en ambos miembros y operando, resulta, ln y = ln l´ım f (x)g(x) = l´ım ln f (x)g(x) = l´ım g(x) ln f (x) Que es un l´ımite del tipo 0 · ∞, y una vez resuelto, resulta: y = el´ım g(x) ln f (x) El l´ımite tambi´en puede resolverse aplicando directamente la identidad logar´ıtmica y = eln y . l´ım f (x)g(x) = eln l´ım f (x)

g(x)

= el´ım ln f (x)

g(x)

= el´ım g(x) ln f (x)

El tercer caso 1∞ admite una forma simplificada de resoluci´ on que elimina el ln y puede facilitar la derivaci´ on, en efecto, aplicando infinit´esimos, resulta, l´ım f (x)g(x) = el´ım g(x) ln f (x) = el´ım g(x) ln(1+f (x)−1) = el´ım g(x)(f (x)−1) o bien, teniendo en cuenta la definici´ on del n´ umero e 1

e = l´ım (1 + z) z z→0

resulta,   l´ım f (x)g(x) = 1∞ = l´ım(1 + f (x) − 1)g(x) = 1

= l´ım(1 + f (x) − 1) f (x)−1

g(x)[f (x)−1]

= el´ım g(x)[f (x)−1]

170 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ejemplo 3.32. Calcular, por los dos m´etodos, el siguiente l´ımite: 1

l´ım (cos x) x2

x→0

Soluci´ on. 1.

  1 l´ım (cos x) x2 = 1∞

x→0

1

Llamamos y al l´ımite: y = l´ım (cos x) x2 , tomamos ln y operamos, x→0

con lo que resulta,

ln cos x  0  − sen x = = = l´ım x→0 x→0 2x cos x x2 0 −1 −x = = l´ım x→0 2x cos x 2

1

ln y = ln l´ım (cos x) x2 = l´ım x→0

de donde, el l´ımite pedido es: y=e 2.

−1 2

=

1

1 =√ e e 1 2

Por el otro m´etodo ser´ıa: − sen x 1 l´ım l´ım 2 (cos x − 1)  ∞ 1 −1 2 x→0 x→0 x 2x = e 2 x l´ım (cos x) = 1 =e =e

x→0

Ejemplo 3.33. Calcular:

  Soluci´ on. l´ım xtg x = 00

l´ım xtg x

x→0+

x→0+

Llamando y al l´ımite: y = l´ım xtg x , tomando ln y operando, resulta, x→0+

  ∞ ln x ln y = ln l´ım xtg x = l´ım tg x ln x = 0 · ∞ = l´ım = = + + + ∞ x→0 x→0 x→0 cot x = l´ım

x→0+

1 x −1 sen2 x

== l´ım

x→0+

− sen2 x −x2 = l´ım = l´ım x = 0 x x→0+ x x→0+

de donde, y = e0 = 1 Ejemplo 3.34. Calcular los siguientes l´ımites: 1

1. l´ım (1 + 2x + 3x ) x x→0

Soluci´ on.

2.

1

l´ım (1 + 2x + 3x ) x

x→+∞

3.

1

l´ım (1 + 2x + 3x ) x

x→−∞

3.3. L´IMITE DE FUNCIONES

171

 1  3 0+ = 3+∞ = +∞ 1 x x x1 0 0 01 0 1. l´ım (1+2 +3 ) = (1+2 +3 ) = 3 = 1 1 x→0  3 0− = 3−∞ = =0 +∞ 3 luego el l´ımite no existe.   1 2. l´ım (1 + 2x + 3x ) x = (1 + 2+∞ + 3+∞ )0 = ∞0 → x→+∞

1

y = l´ım (1 + 2x + 3x ) x x→+∞ 1

ln(1 + 2x + 3x )  ∞  = = x→+∞ x ∞

ln y = l´ım ln(1 + 2x + 3x ) x = l´ım x→+∞

2x ln 2 + 3x ln 3 x x 1 + 2x + 3x = l´ım 2 ln 2 + 3 ln 3 =  ∞  = = l´ım x→+∞ 1 + 2x + 3x x→+∞ 1 ∞ x x 3 2 ln 2 + x ln 3 x 0 + ln 3 3 3  x  x = l´ım = l´ım = ln 3 x→+∞ 1 x→+∞ 0 + 0 + 1 3 2 + + 3x 3 3 luego, ln y = ln 3 → y = 3

En este ejemplo no ha sido posible aplicar L’Hˆ opital por segunda vez, ya que con dicha regla no es posible “romper”la indeterminaci´ on. 3.

1

l´ım (1 + 2x + 3x ) x = (1 + 0 + 0)0 = 10 = 1

x→−∞

Ejemplo 3.35. Calcular:

Soluci´ on.

πx x tg 2a l´ım 2 − x→a a 

 x 1− a l´ım πx πx  x πx x→a     l´ım tg 1− cot x tg 2a = 1∞ = ex→a 2a a =e 2a = l´ım 2 − x→a a l´ım

x→a π 2a

=e

−1 a

−1 2a sen2 πx l´ ım 2 sen 2a = ex→a πa

πx 2a

Ejemplo 3.36. Estudiar el dominio y continuidad de la funci´ on:  2 + cos x1   si x 6= 0  1 3 + ex f (x) =  2   si x = 0 3

2

= eπ

172 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Soluci´ on. 1

1.

Dominio. La funci´ on est´ a definida en todo R, ya que si 3 + e x = 0, 1 x resulta e = −3 que no es posible.

2.

Continuidad. La funci´ on es continua en todo R, salvo quiz´ as en x = 0, l´ım f (x) = l´ım

x→0+

x→0+

l´ım f (x) = l´ım

x→0−

x→0−

2 + cos x1 1 x

3+e 2 + cos x1 1

3 + ex

2 + Ac Ac = =0 ∞ ∞ 2 + Ac Sin l´ımite = = = Sin l´ımite 3+0 3

=

Luego la funci´ on no es continua en x = 0. Ejemplo 3.37. Dada la funci´ on:  x − sen x    x3 f (x) =  1   6

si

x 6= 0

si

x=0

Hallar f ′ (0) y f ′′ (0)

Soluci´ on. Continuidad: La funci´ on es continua en todo R, salvo quiz´ as en x = 0, 1 1 − cos x  0  x2 x − sen x  0  = = = = l´ ım = l´ ım 3 2 2 x→0 x→0 2 · 3x x→0 x 0 3x 0 6 l´ım

luego la funci´ on es continua en todo R.

Derivada en x = 0: Aplicamos la definici´ on. x − sen x 1 − 3 f (x) − f (0) x3 6 = l´ım 6x − 6 sen x − x = f (0) = l´ım = l´ım x→0 x→0 x→0 x x 6x4 0 6 − 6 cos x − 3x2  0  6 sen x − 6x  0  = l´ım = l´ım = = = = 3 x→0 x→0 0 24x 0 72x2 0 6 cos x − 6  0  −6 sen x = l´ım = =0 = l´ım x→0 x→0 144x 0 144 ′

Derivada segunda en x = 0: Hallamos f ′ (x), para x 6= 0 f ′ (x) =

x − x cos x − 3x + 3 sen x (1 − cos x)x3 − (x − sen x)3x2 = = 6 x x4 −2x − x cos x + 3 sen x = x4

Para calcular f ′′ (0), aplicamos la definici´ on de derivada:

3.4. L´IMITE DE SUCESIONES

173

−2x − x cos x + 3 sen x −0 f ′ (x) − f ′ (0) x4 f (0) = l´ımx→0 = l´ımx→0 = x x −2 − cos x + x sen x + 3 cos x −2x − x cos x + 3 sen x = l´ım = = l´ım 5 x→0 x→0 x 5x4 −2 + 2 cos x + x sen x −2 sen x + sen x + x cos x = l´ım = l´ım = x→0 x→0 5x4 20x3 − cos x + cos x − x sen x − sen x + x cos x  0  = l´ım = l´ım = = x→0 x→0 20x3 0 60x2 2 −1 −x −x sen x  0  = l´ım = = = l´ım 2 2 x→0 60x x→0 60x 0 60 ′′

Ejemplo 3.38. Dada la funci´ on: ( sen x f (x) =

x 1

si si

x 6= 0

x=0

Hallar f ′ (0) y f ′′ (0). Soluci´ on. f (x) − f (0) f ′ (0) = l´ım = l´ım x→0 x→0 x

luego,

sen x −1 sen x − x  0  x = l´ım = = x→0 x x2 0 − sen x cos x − 1 = l´ım =0 = l´ım x→2 x→0 2x 2

( x cos x − sen x f ′ (x) = x2 0

si si

x 6= 0

x=0

de donde, x cos x − sen x −0 f ′ (x) − f ′ (0) x2 = l´ım = f (0) = l´ım x→0 x→0 x x cos x − x sen x − cos x x cos x − sen x  0  = l´ım = = = l´ım 3 x→0 x→0 x 0 3x2 −x sen x −1 −x2 = l´ım = l´ ım = 2 2 x→0 x→0 3x 3x 3 ′′

3.4.

L´ımite de sucesiones

Una sucesi´ on es un conjunto de infinitos n´ umeros ordenados seg´ un alg´ un criterio. ejemplo, 1 1 1 1 1 {1, , , , , · · · , , · · · } → 0 2 3 4 5 n 1 2 3 4 5 n { , , , , ,··· , ,···} → 1 2 3 4 5 6 n+1

174 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE π {1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } → Sin l´ımite 2 Las sucesiones se pueden considerar como funciones, donde el primer conjunto es el de los n´ umeros naturales.

{

1 ↓ a1

2 ↓ a2

3 ↓ a3

··· ··· ···

n ↓ an

··· ··· ···

}

N ↓ R

La gr´ afica de una sucesi´ on es un conjunto de infinitos puntos separados (aislados) unos de otros.

an an = n1 6 r 1 r r r r n 0 1 2 3 4 5 -1

n an an = n+1 6 1 r r r r r n 0 1 2 3 4 5 -1

an an = sen n π2 6 r r 1 -n r r 0 1 2 3r 4 5 -1

Figura 3.23:

L´ımite de sucesiones consider´ andolas como funciones Si unimos los puntos que representan una sucesi´ on obtenemos la gr´ afica de una funci´ on. Sin embargo, podemos obtener infinitas funciones que contienen los puntos de una misma sucesi´ on. Lo normal es coger la funci´ on que tiene la misma f´ ormula que la sucesi´ on, es decir considerar que la variable n es continua y no discreta. Si la funci´ on que representa a la sucesi´ on tiene l´ımite, ese es el l´ımite de la sucesi´ on, pero si la funci´ on no tiene l´ımite, entonces la sucesi´ on si puede tenerlo. Por tanto, se pueden aplicar los infinit´esimos y las reglas de L’Hˆ opital a las sucesiones, el l´ımite que encontremos ser´ a el l´ımite de la sucesi´ on y si la sucesi´ on considerada como funci´ on no tiene l´ımite entonces habr´ a que aplicar otro criterio. Ejemplo 3.39. Calcular los siguientes l´ımites: h∞i 1 1 n+3 = l´ım = = =0 1. l´ım 3 n→∞ 3n2 n→∞ n + 4 ∞ ∞

" 2n    3n # −1 3n −2 −1 −1 1 2n 1 = l´ım 1+ 2. l´ım 1 − =e 3 = √ 3 2 n→∞ n→∞ 3n 3n e 3.

h∞i 5n 1/n ln n = = l´ım = l´ım 1 = 1 = l´ım n→∞ 5n n→∞ n→∞ 5/5n n→∞ ln 5n ∞

4.

n 1/(n + 3) ln(n + 3) h ∞ i = = l´ım =1 = l´ım n→∞ n + 3 n→∞ n→∞ ln n ∞ 1/n

l´ım

l´ım

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR175

5.

2 ln n · (ln n)2  ∞  = l´ım = n→∞ n→∞ n ∞ 1 l´ım

3.5.

1 n

2 ln n =0 n→∞ n

= l´ım

Estudio local de una funci´ on. Polinomio de Taylor.

3.5.1.

Introducci´ on.

El valor de un polinomio se puede calcular en cualquier punto, sin m´ as que operar. Por ejemplo, si el polinomio es p(x) = 3 + 2x + x2 , podemos calcular su valor en el punto 0′ 1, sin m´ as que realizar una serie de operaciones elementales, en efecto: p(0′ 1) = 3 + 2 · 0′ 1 + 0′ 12 = 3 + 0′ 2 + 0′ 01 = 3′ 21 Sin embargo, el valor de las funciones no polin´ omicas lo conocemos en unos puntos, pero no en otros. Por ejemplo, si la funci´ on es f (x) = arc tg x, sabemos sus valores en algunos puntos, pero en los dem´ as necesitaremos π ′ una calculadora. En efecto, arc tg 1 = 4 , pero arc tg 1 1 =? no sabemos cu´ anto puede valer. Esto hace que las funciones polin´ omicas sean m´ as c´ omodas de manejar que las dem´ as funciones. Planteamiento del problema: Con la aproximaci´ on local pretendemos calcular el valor aproximado de una funci´ on en un punto, conocido el valor exacto de la funci´ on en un punto cercano. Conocemos f (x0 ) y 6 f (x)q Queremos calcular el valor, aunque sea aproximado, de f (x), siendo x un punto cercano a x0 . f (x ) q

0

x0

x

-x

Figura 3.24: La aproximaci´ on mediante la recta tangente y mediante el teorema del valor medio, suelen ser malas aproximaciones, en cuanto nos alejamos un poco del punto. Con el polinomio de Taylor lo que buscamos es una funci´ on polin´ omica que coincida, lo m´ as posible, con la funci´ on dada, al menos en los alrededores del punto. Buscamos una funci´ on polin´ omica que se acerque a la curva m´ as que la recta tangente.

176 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE y

6

fp f (x)q q p(x)

f (x0 ) qp(x ) 0 -x x0 x

p va a ser un polinomio que en el punto x0 va a coincidir con f y en los alrededor de x0 va a ser muy cercano a f f (x0 ) = p(x0 ) → f (x) ≈ p(x)

Figura 3.25:

Como valor aproximado de la funci´ on en el punto x tomaremos el valor del polinomio en dicho punto.

3.5.2.

Algunas propiedades de los polinomios

Desarrollo de un polinomio en potencias de (x − x0 ) El polinomio p(x) = 4 − x − 2x2 + x3 se dice que est´ a centrado en el origen. El polinomio p(x) = 2 + 3(x + 1) − 2(x + 1)2 − 4(x + 1)3 que est´ a centrado en x0 = −1 El polinomio p(x) = 3 + 2(x − 2) + 4(x − 2)2 − 5(x − 2)3 que est´ a centrado en x0 = 2 Para centrar un polinomio en el origen basta con desarrollar los par´entesis y simplificar la expresi´ on. Centrar un polinomio en un punto x0 es un poco m´ as laborioso. No obstante, toda funci´ on polin´ omica se puede expresar mediante un polinomio centrado en cualquier punto mediante la sustituci´ on: x = (x − x0 ) + x0 Ejemplo 3.40. Expresar p(x) = 4 − x + 2x2 + x3 mediante un polinomio centrado en x0 = 2 Soluci´ on. Hacemos el cambio x = (x − 2) + 2 y resulta:  2  3 p(x) = 4 − (x − 2) − 2 + 2 (x − 2) + 2 + (x − 2) + 2 =     = 4−2−(x−2)+2 (x−2)2 +4(x−2)+4 + (x−2)3 +6(x−2)2 +12(x−2)+8

De donde resulta:

p(x) = 18 + 19(x − 2) + 8(x − 2)2 + (x − 2)3 El desarrollo de las potencias de estos par´entesis puede resultar muy laborioso, de ah´ı que se haya buscado otro m´etodo mucho m´ as simple para centrar un polinomio en cualquier punto. Este m´etodo se llama desarrollo de Taylor y se basa en el conocimiento del significado de los coeficientes de los polinomios. Relaci´ on entre los coeficientes de un polinomio y los valores de sus derivadas. F´ ormula de Mac Laurin. Ejemplo 3.41. Hallar la relaci´ on que existe entre los coeficientes de la funci´ on polin´ omica p(x) = 2 + 3x + 5x2 y los valores de dicha funci´ on y de sus derivadas el el origen.

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR177 Soluci´ on. Teniendo en cuenta que: p(x) = 2 + 3x + 5x2 p(0) = 2 p′ (x) = 3 + 10x p′ (0) = 3 ′′ p (x) = 10 p′′ (0) = 10 Resulta que la funci´ on polin´ omica se puede expresar de la siguiente forma: p′′ (0) 2 x 2 A esta expresi´ on se le llama F´ ormula de Taylor en el origen o f´ ormula de Mac Laurin, y se puede generalizar para cualquier polinomio. p(x) = 2 + 3x + 5x2 = p(0) + p′ (0)x +

Teorema 3.6. Toda funci´ on polin´ omica p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn se puede expresar de la siguiente forma: p(n) (0) n p′′ (0) 2 x + ··· + x 2! n! Demostraci´ on. Teniendo en cuenta que: p(x) = p(0) + p′ (0)x +

p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn p′ (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · + nan xn−1 p′′ (x) = 2a2 + 3 · 2a3 x + · · · + n(n − 1)an xn−2 ··· p(n) (x) = n!an

p(0) = a0 p′ (0) = a1 p′′ (0) = 2a2 ··· p(n) (0) = n!an

Resulta, p′′′ (0) p(n) (0) p′′ (0) , a3 = , an = 2 3! n! Con lo cual la funci´ on polin´ omica se puede expresar de la siguiente forma: a0 = p(0), a1 = p′ (0), a2 =

p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn = p(0)+p′ (0)x+ Es decir,

n X p(k) (0)

p(x) =

k=0

k!

p′′ (0) 2 p(n) (0) n x +· · ·+ x 2! n!

xk

Ejemplo 3.42. Halla un polinomio de 4o grado que cumpla: p(0) = 1,

p′ (0) = 0,

p′′ (0) = 0,

p′′′ (0) = 6,

piv (0) = 48

Soluci´ on. Teniendo en cuenta que: p(x) = p(0) + p′ (0)x +

p′′ (0) 2 p′′′ (0) 3 piv (0) 4 x + x + x 2 6 24

resulta: p(x) = 1 + x3 + 2x4

178 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Relaci´ on entre los coeficientes de un polinomio, centrado en el punto x0 y los valores de sus derivadas en dicho punto. F´ ormula de Taylor Ejemplo 3.43. Dado la funci´ on polin´ omica p(x) = 2 + 3x + 5x2 1.

Expresarla en potencias de x − 1.

2.

Hallar la relaci´ on que existe entre los nuevos coeficiente y los valores de la funci´ on y de sus derivadas en el punto x = 1.

Soluci´ on. Haciendo el cambio x = (x − 1) + 1 resulta:  2 p(x) = 2 + 3x + 5x2 = 2 + 3(x − 1) + 3 + 5 (x − 1) + 1 =   = 2 + 3(x − 1) + 3 + 5 (x − 1)2 + 2(x − 1) + 1 = 10 + 13(x − 1) + 5(x − 1)2

Y por otro lado tenemos:

p(x) = 2 + 3x + 5x2 p(1) = 10 p′ (x) = 3 + 10x p′ (1) = 13 ′′ p (x) = 10 p′′ (1) = 10 De donde resulta que la funci´ on polin´ omica se puede expresar de la siguiente forma: p(x) = 2 + 3x + 5x2 = 10 + 13(x − 1) + 5(x − 1)2 = p(1) + p′ (1)(x − 1) +

p′′ (1) (x − 1)2 2

A esta expresi´ on se le llama F´ ormula de Taylor en el punto x = 1, y se puede generalizar para cualquier polinomio y cualquier punto. Teorema 3.7. Toda funci´ on polin´ omica p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn se puede expresar de la siguiente forma: p(x) = p(x0 ) + p′ (x0 )(x − x0 ) +

p(n) (x0 ) p′′ (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!

Demostraci´ on. Haciendo el cambio x = (x − x0 ) + x0 podemos expresar el polinomio en potencias de x − x0 y resulta: p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn = = b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )2 + · · · + bn (x − x0 )n Con lo cual,

p(x) = b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )2 + · · · + bn (x − x0 )n p′ (x) = b1 + 2b2 (x − x0 ) + 3b3 (x − x0 )2 + · · · + nbn (x − x0 )n−1 p′′ (x) = 2b2 + 3 · 2b3 (x − x0 ) + · · · + n(n − 1)bn (x − x0 )n−2 ··· p(n) (x) = n!bn

p(x0 ) = b0 p′ (x0 ) = b1 p′′ (x0 ) = 2b2 ··· p(n) (x0 ) = n!bn

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR179

de donde resulta, b0 = p(x0 ), b1 = p′ (x0 ), b2 =

p′′′ (x0 ) p(n) (x0 ) p′′ (x0 ) , b3 = , bn = 2 3! n!

Con lo cual la funci´ on polin´ omica se puede expresar de la siguiente forma: p(x) = p(x0 ) + p′ (x0 )(x − x0 ) + Es decir, p(x) =

p′′ (x0 ) p(n) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!

n X p(k) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k

Ejemplo 3.44. Utilizar la f´ ormula de Taylor para expresar en potencias de x − 2 el polinomio: p(x) = 5 − x + 2x2 − x3 + x4 Soluci´ on. Teniendo en cuenta que: p(x) = 5 − x + 2x2 − x3 + x4 p′ (x) = −1 + 4x − 3x2 + 4x3 p′′ (x) = 4 − 6x + 12x2 p′′′ (x) = −6 + 24x piv (x) = 24

p(2) = 19 p′ (2) = 27 p′′ (2) = 40 p′′′ (2) = 42 piv (2) = 24

Resulta el siguiente polinomio de Taylor, p′′ (2) p′′′ (2) piv (2) p(x) = p(2) + p′ (2)(x − 2) + (x − 2)2 + (x − 2)3 + (x − 2)4 = 2 6 24 42 24 40 = 19 + 27(x − 2) + (x − 2)2 + (x − 2)3 + (x − 2)4 = 2 6 24 2 3 = 19 + 27(x − 2) + 20(x − 2) + 7(x − 2) + (x − 2)4

3.5.3.

Polinomio de Taylor de una funci´ on no polin´ omica

Dada una funci´ on f se trata de encontrar un polinomio de grado n que tome aproximadamente los mismos valores que f en los alrededores de un punto x0 .  y = f (x) f (x) ≈ pn (x) x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) pn (x) Suponemos conocido el valor de la funci´ on y el de sus derivadas en el punto x0 y queremos calcular el valor aproximado de la funci´ on en un punto cercano x, utilizando para ello una funci´ on polin´ omica de aproximaci´ on. Como funci´ on polin´ omica de aproximaci´ on, lo l´ ogico es buscar una funci´ on polin´ omica que

180 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
pase por el punto x0 , f (x0 ) , que pase con la misma pendiente que la funci´ on f , que pase con la misma concavidad, etc... Es evidente que en cuanto en m´ as condiciones coincidan la funci´ on f y la funci´ on polin´ omica pn a su paso por el punto (x0 , y0 ), en m´ as se aproximar´ an al alejarnos del punto. Por eso, la funci´ on polin´ omica de aproximaci´ on deber´ a cumplir: pn (x) ≈ f (x) ⇐⇒  pn (x0 ) = f (x0 ) Las dos pasan por el punto (x0 , y0 )    ′ ′   pn (x0 ) = f (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con la misma pendiente p′′n (x0 ) = f ′′ (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con la misma concavidad    ···   (n) pn (x0 ) = f (n) (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con otras coincidencias

Un polinomio que cumpla estas condiciones es f´ acil encontrar mediante la f´ ormula de Taylor, en efecto: (n)

pn (x) = pn (x0 ) + p′n (x0 )(x − x0 ) +

pn (x0 ) p′′n (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!

Y teniendo en cuenta los valores asignados al polinomio resulta: pn (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f (n) (x0 ) f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!

Un polinomio, as´ı construido, es de esperar que se aproxime suficientemente a la funci´ on f , al menos en los alrededores del punto x0 , y tambi´en cabe esperar que cuanto mayor sea el grado n del polinomio mayor ser´ a la aproximaci´ on. Por lo que podemos asegurar que: f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!

Que se puede expresar de la forma: f (x) ≈ pn (x) =

n X f (k) (x0 ) k=0

k!

(x − x0 )k

y es el polinomio de Taylor para una funci´ on no polin´ omica. Observaciones: 1.

El n-simo polinomio ser´ a de grado ≤ n, ya que el u ´ltimo coeficiente puede ser cero, al haberlo definido como f (n) (x0 ), y la funci´ on f no es polin´ omica, por lo que su derivada puede tomar cualquier valor.

2.

El primer polinomio de Taylor siempre coincide con la recta tangente a la curva dada en el punto x0 . En efecto, y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) es la ecuaci´ on de la recta tangente.

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR181

3.5.4.

Polinomio de Taylor de las funciones elementales

Ejemplo 3.45. Hallar el 5o polinomio de MacLaurin de las siguientes funciones y generalizarlo para el n-simo polinomio. 1.

f (x) = ex

2.

f (x) = sen x

3.

f (x) = cos x

Soluci´ on. El 5o polinomio de Taylor en el origen para una funci´ on f viene definido por: f (x) = f (0) + f ′ (0)x +

f ′′ (0) 2 f ′′′ (0) 3 f iv (0) 4 f v (0) 5 x + x + x + x 2 6 24 120

Por consiguiente: 1. f (x) = ex f (x) = ex f ′ (x) = ex f ′′ (x) = ex f ′′′ (x) = ex f iv (x) = ex f v (x) = ex 2. f (x) = sen x

 Resulta el siguiente polinomio de Taylor, f (0) = 1    ′  x2 x3 x4 x5 f (0) = 1   + + + ex ≈ 1 + x +  ′′ 2! 3! 4! 5! f (0) = 1 y de manera general ′′′ f (0) = 1   n  X xk  f iv (0) = 1  x ≈  e  k! f v (0) = 1 k=0

f (x) = sen x f ′ (x) = cos x f ′′ (x) = − sen x f ′′′ (x) = − cos x f iv (x) = sen x f v (x) = cos x 3. f (x) = cos x f (x) = cos x f ′ (x) = − sen x f ′′ (x) = − cos x f ′′′ (x) = sen x f iv (x) = cos x f v (x) = − sen x

 Resulta el siguiente polinomio, f (0) = 0    ′ x3 x5 f (0) = 1    + sen x ≈ x −  ′′ 3! 5! f (0) = 0 y de manera general ′′′ f (0) = −1   n 2k+1  X k x  f iv (0) = 0   (−1) sen x ≈  (2k + 1)! f v (0) = 1 k=0  Resulta el siguiente polinomio, f (0) = 1    ′ x2 x4 f (0) = 0    + cos x ≈ 1 −  ′′ 2! 4! f (0) = −1 y de manera general ′′′ f (0) = 0   n 2k  X k x  f iv (0) = 1   (−1) cos x ≈  (2k)! f v (0) = 0 k=0

Ejemplo 3.46. Hallar el 4o polinomio de MacLaurin de la funci´ on: f (x) = (1 + x)r Generalizarlo para el n-simo polinomio, y aplicarlo para calcular: √

(1 + x)

2

,

1 , 1+x

√

1 + x,

(1 + x)3

182 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Soluci´ on. f (x) = (1 + x)r f ′ (x) = r(1 + x)r−1 f ′′ (x) = r(r − 1)(1 + x)r−2 f ′′′ (x) = r(r − 1)(r − 2)(1 + x)r−3 f iv (x) = r(r − 1)(r − 2)(r − 3)(1 + x)r−4 Resulta el siguiente polinomio de Taylor, (1+x)r ≈ 1+r x+

f (0) = 1 f ′ (0) = r f ′′ (0) = r(r − 1) f ′′′ (0) = r(r − 1)(r − 2) f iv (0) = r(r − 1)(r − 2)(r − 3)

r(r − 1) 2 r(r − 1)(r − 2) 3 r(r − 1)(r − 2)(r − 3) 4 x + x + x 2! 3! 4!

y de manera general el n-simo polinomio ser´ a: (1 + x)r ≈ 1 +

n X r(r − 1)(r − 2) · · · (r − k + 1)

k!

k=1

xk

de donde resulta: √ √ √ √ √ √ √ 2( 2 − 1) 2 2( 2 − 1)( 2 − 2) 3 2 (1 + x) ≈ 1 + 2x + x + x + 2! √ √ √ √ 3! 2( 2 − 1)( 2 − 2)( 2 − 3) 4 x + 4! 1 −1(−2) 2 −1(−2)(−3) 3 −1(−2)(−3)(−4) 4 = (1+x)−1 ≈ 1+ x + x + x = 1+x 2! 3! 4! = 1 − x + x2 − x3 + x4 √

1 + x = (1 + x)1/2 ≈ 1 +

1 −1 2 2

2!

x2 +

1 −1 −3 2 2 2

3!

x3 +

1 −1 −3 −5 2 2 2 2

4!

x4 =

1 2 1·3 3 1·3·5 4 1 x + x − x =1+ x− 2 2·4 2·4·6 2·4·6·8 3·2 2 3·2·1 3 3·2·1·0 4 x + x − x = 1 + 3x + 3x2 + x3 + 0 (1 + x)3 = 1 + 3x + 2! 3! 4! Si n es un entero y positivo el desarrollo se interrumpe, ya que siempre llegar´ a un momento en que n − k + 1 = 0, precisamente para k = n + 1. Es decir, el desarrollo de (1 + x)n s´ olo llegar´ a hasta el t´ermino xn , ya que los restantes se anulan. Se obtiene as´ı, el Binomio de Newton. n   X n k (1 + x) = x k n

k=0

El polinomio de Taylor del cociente de dos polinomios Existen funciones para las que el polinomio de Taylor se puede obtener de una manera artificial, sin necesidad de tener que hacer las derivadas de la

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR183 funci´ on, es el caso del cociente de dos polinomios, cuyo polinomio de Taylor se puede obtener haciendo la divisi´ on de los polinomios, pero ordenados de menor a mayor. Ejemplo 3.47. Hallar el 3o polinomio de Taylor de la funci´ on: f (x) =

2x + 3 x−1

Soluci´ on. Hacemos la divisi´ on ordenando los polinomios de menor a mayor grado. −1 + x −3 − 5x − 5x2 − 5x3

3 + 2x −3 + 3x 5x −5x + 5x2 5x2 −5x2 + 5x3 5x3 −5x3 + 5x4 5x4

Con lo cual resulta el siguiente polinomio de Taylor: 2x + 3 ≈ −3 − 5x − 5x2 − 5x3 x−1 Polinomio de Taylor de funciones compuestas Para calcular el polinomio de Taylor de las funciones compuestas, en vez de derivar directamente dichas funciones, en la generalidad de los casos, resulta mucho m´ as f´ acil de calcular dicho polinomio transformando el polinomio de Taylor de las funciones elementales que la componen Ejemplo 3.48. Hallar el 4o polinomio de Taylor de la funci´ on: f (x) = e−x

2

Soluci´ on. En vez de derivar directamente la funci´ on f (x), resulta m´ as conveniente transformar el polinomio de Taylor de las funci´ on y = ex . En efecto, tenemos que, x2 ex ≈ 1 + x + + ··· 2 de donde, sustituyendo x por −x2 , resulta 2

f (x) = e−x ≈ 1 + (−x2 ) +

x4 (−x2 )2 + · · · 1 − x2 + + ··· 2 2

184 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Ejemplo 3.49. Hallar el 3o polinomio de Taylor de la funci´ on: f (x) = sen(sen x) Soluci´ on. En vez de derivar directamente la funci´ on f (x), resulta m´ as conveniente transformar el polinomio de Taylor de las funci´ on y = sen x. En efecto, tenemos que, x3 + ··· sen x ≈ x − 3! de donde, sustituyendo x por el propio desarrollo de sen x, es decir, por x3 x− + · · · , resulta 3! x3 + · · · ]3 3! + ···] − + ··· ≈ f (x) = sen(sen x) ≈ [x − 3! 3! x3 x3 2x3 x3 ≈x− − + ··· ≈ x − + ··· = x − + ··· 3! 3! 3! 3 [x −

x3

3.5.5.

Resto de Taylor

Con el t´ermino Resto de Taylor nos referimos al error que se comete al aproximar una funci´ on no polin´ omica mediante su polinomio de Taylor. Si aproximamos la funci´ on f mediante el n-simo polinomio de Taylor, el error vendr´ a dado por la diferencia de los valores que toman la funci´ on y el polinomio.  y = f (x) f (x) ≈ pn (x) ⇒ |Rn (x)| = |f (x) − pn (x)| pn (x) Teorema 3.8 (Teorema del Resto). Sea f una funci´ on definida en el intervalo cerrado [a, b] tal que f (n) es continua en [a, b] y f (n+1) existe en (a, b). Sean x y x0 puntos de [a, b], siendo x 6= x0 . Y sea pn (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 2! n!

Entonces existe un punto c entre x y x0 tal que el error que se comete al aproximar la funci´ on f mediante el n-simo polinomio de Taylor en un entorno del punto x0 viene definido por la f´ ormula: Rn (x) =

f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 (n + 1)!

(3.2)

A esta expresi´ on del Resto de Taylor se le llama expresi´ on de Lagrange. Existen otras expresiones para calcular el error, sin embargo, ´esta es la m´ as f´ acil de recordar puesto que se trata del t´ermino siguiente del desarrollo, salvo que la derivada se toma en un punto intermedio c.

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR185

3.5.6.

Aplicaciones de la f´ ormula de Taylor a c´ alculos aproximados

Para hallar el valor de una funci´ on en un punto x1 se desarrolla la funci´ on en un punto cercano x0 y se toma, como valor aproximado de la funci´ on, el que tome el polinomio.  f (x1 ) f (x1 ) ≈ pn (x1 ) pn (x) en x0 cercano a x1 a dado por: El error cometido en la aproximaci´ on, seg´ un (3.2), vendr´ Rn (x1 ) =

f (n+1) (c) (x1 − x0 )n+1 (n + 1)!

Como el punto c no est´ a determinado, el error no se conoce con exactitud, pero s´ı se puede conocer una acotaci´ on del error teniendo en cuenta que c est´ a entre x0 y x1 . Ejemplo 3.50. Utilizar el 2o polinomio de Taylor para calcular aproxima′ damente e0 2 . Indicar el error cometido. Soluci´ on. f (x) = ex f ′ (x) = ex f ′′ (x) = ex − − −− f ′′′ (x) = ex

   x2    ex ≈ 1 + x + 2 ′   0′ 2 ≈ 1 + 0′ 2 + 0 04 = 1′ 22   e  2 f ′′′ (c) = ec

f (0) = 1 f ′ (0) = 1 f ′′ (0) = 1

Para calcular el error cometido tenemos en cuenta que:

0 < c < 0′ 2 → 0 < c < 1 ⇒ e0 < ec < e < 3 → ec < 3 con lo cual,

ec 3 · 0′ 008 |Rn (0′ 2)| = | 0′ 23 | < = 0′ 004 6 6 √ Ejemplo 3.51. Aproximar 3 e con un error menor que 0′ 01

Soluci´ on. Necesitamos una funci´ on para hacer su desarrollo de Taylor, y un punto donde hacerlo. De las distintas opciones que podemos pensar para calcular la ra´ız dada, elegimos la m´ as f´ acil. √ 1 3 e = e1/3 → f (x) = ex x0 = 0, x1 = 3  x f (x) = e f (0) = 1    ′ x  f (x) = e f ′ (0) = 1 x2 xn  x    e ≈ 1 + x + 2 + · · · + n! .. .. . . (n) x (n)  f (n+1) (c)xn+1 ec xn+1 f (x) = e f (0) = 1   Rn (x) = =   − − −−  (n + 1)! (n + 1)!   (n+1) x (n+1) c f (x) = e f (c) = e

186 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Teniendo en cuenta que c est´ a situado entre x0 y x1 , resulta, 0
1 < 1 → e0 < ec < e < 3 ⇒ ec < 3 3

Luego, tendr´ a que ser: c 1 n+1 1 n+1 1 1 1 3( 3 ) Rn ( ) = e ( 3 ) < = n < 0′ 01 = (n + 1)! (n + 1)! 3 3 (n + 1)! 100

Es decir hay que encontrar el valor de n que cumple, 3n (n + 1)! > 100

Esto se hace probando, es decir dando valores a n. n = 1 → 3 · 2 = 6 < 100 n = 2 → 32 · 3! = 9 · 6 = 54 < 100 n = 3 → 33 · 4! = 27 · 24 = 648 > 100 ⇒ n = 3

Luego el polinomio de Taylor buscado es el tercero, ex = 1 + x +

x2 x3 + 2! 3!

Con lo cual resulta 1 ( 31 )2 ( 13 )3 1 1 1 + + =1+ + + = 1′ 39 3 2! 3! 3 18 162 Ejemplo 3.52. Estimar sen 10o usando el tercer polinomio de Taylor en x0 = 0. Hallar una cota del error cometido. √ 3

e = e1/3 ≈ 1 +

Soluci´ on. f (x) = sen x f ′ (x) = cos x f ′′ (x) = − sen x f ′′′ (x) = − cos x − − −− f iv (x) = sen x

f (0) = 0 f ′ (0) = 1 f ′′ (0) = 0 f ′′′ (0) = −1 f iv (c) = sen c

     x3    sen x ≈ x − 6  sen c    x4 R3 (x) =   24 

Ahora bien, el valor de x que aparece en las operaciones no puede venir medido en grados, sino que, para operar, el a´ngulo ha de expresarse en radianes. π Teniendo en cuenta que 10o = rad. resulta: 18 π π π3 rad. ≈ − 3 = 0′ 1736468 18 18 18 · 6 Y el error cometido en la aproximaci´ on viene acotado de la siguiente forma: 1  π 4 π sen c  π 4 ≤ = 0′ 00004 R3 ( ) = 18 24 18 24 18 sen 10o = sen

3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR187

3.5.7.

Aplicaciones de la F´ ormula de Taylor al c´ alculo de l´ımites

Consiste en sustituir las funciones que intervienen en el l´ımite por sus desarrollos de Taylor. En la pr´ actica, para simplificar los c´ alculos, solamente se sustituyen por la parte del desarrollo de Taylor que realmente influye en el l´ımite. El problema ser´ a determinar cu´ antos t´erminos del desarrollo se deben utilizar. sen x − x Ejemplo 3.53. Calcular l´ım x→0 x3 Soluci´ on. sen x − x  0  = l´ım = x→0 x→0 x3 0 l´ım

(x −

x3 + ···) − x −1 −x3 6 = l´ ım = 3 3 x→0 6x x 6

ex − e−x − 2x x→0 x − sen x

Ejemplo 3.54. Calcular l´ım

Soluci´ on. Teniendo en cuenta los desarrollos de las funciones que intervienen: ex = 1+x+

x2 x3 + +· · · 2 6

e−x = 1−x+

x2 x3 − +· · · 2 6

sen x = x−

x3 +· · · 6

resulta, ex − e−x − 2x  0  = = l´ım x→0 x − sen x 0 1+x+ = l´ım

x→0



x2 x3 x2 x3 + + ··· − 1 − x + − + · · · − 2x 2 6 2 6 = 3
x x− x− + ··· 6 3

= l´ım

2 x6

3 x→0 x 6

=2

1 − cos(x2 ) x→0 x · sen x + 2 · cos x − 2

Ejemplo 3.55. Calcular, si existe, el valor de l´ım utilizando polinomios de Taylor.

Soluci´ on. Teniendo en cuenta el desarrollo en series de potencias de las funciones sen x y cos x, sen x = x −

x5 x3 + − ··· 6 120

tenemos. cos x2 = 1 −

cos x = 1 − x4 x8 + − ··· 2 24

x2 x4 + − ··· 2 24

188 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE de donde, sustituyendo las funciones por sus desarrollos en series, resulta: 1 − cos(x2 ) l´ım = x→0 x · sen x + 2 · cos x − 2
x4 + ··· 2 = l´ım =

x→0 x3 x2 x4 x x− + · · · + 2(1 − + − ··· − 2 6 2 24 1− 1−

x4 = l´ım = l´ım 2 4 = −6 = l´ım x→0 −2x4 x→0 −x x→0 −x4 x4 x4 + + 6 12 12 12 12 x4 2

3.6.

x4 2

Extremos de funciones de una sola variable

3.6.1.

M´ aximos y m´ınimos absolutos

a) En Intervalos cerrados Supongamos que la funci´ on f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces alcanza un m´ aximo y un m´ınimo en dicho intervalo.

Figura 3.26: Puntos cr´ıticos

El m´ aximo y el m´ınimo absoluto solamente pueden estar situados: 1.

En puntos donde f ′ (x) = 0

2.

En puntos donde f ′ (x) no est´ a definida

3.

En los extremos del intervalo.

Puntos cr´ıticos de una funci´ on: Se llaman puntos cr´ıticos de una funci´ on a los puntos en los que la derivada sea nula o no est´e definida. C´ alculo del m´ aximo y del m´ınimo absoluto. Para hallar el m´ aximo y el m´ınimo absoluto de una funci´ on continua en un intervalo cerrado, 1.

Se hallan los puntos cr´ıticos,

3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 2.

189

Se hallan los valores de la funci´ on en los puntos cr´ıticos y en los extremos del intervalo. El mayor valor obtenido es el m´ aximo absoluto y el menor el m´ınimo.

Observaci´ on: Si la funci´ on no es continua el m´etodo anterior no es v´ alido, ya que los valores de la funci´ on en los puntos cr´ıticos no determinan nada.

Figura 3.27: Funci´on no continua

Ejemplo 3.56. Hallar los extremos absolutos de la funci´ on: f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15 en el intervalo [0, 3]. Soluci´ on. 1.

Hallamos los puntos cr´ıticos: a) Puntos en los que la derivada no est´ a definida: No existen ya que f ′ (x) = 6x2 − 6x − 12 est´ a definida en todo R b) Puntos en los que la derivada vale cero:

de donde,

6x2 − 6x − 12 = 0 → x2 − x − 2 = 0 x=

2.

1±

√

1+8 1+3 = = 2 2



2 −1

Comparamos los valores de la funci´ on en los puntos cr´ıticos y en los extremos del intervalo: f (0) = 15 M´ aximo f (2) = 16 − 12 − 24 + 15 = −5 f (3) = 54 − 27 − 36 + 15 = 6

m´ınimo

Ejemplo 3.57. Hallar los extremos absolutos de la funci´ on: f (x) = x5 − x en el intervalo [2, 4].

190 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Soluci´ on. 1.

Hallamos los puntos cr´ıticos: a) Puntos en los que la derivada no est´ a definida: No existen ya que ′ 4 f (x) = 5x − 1 est´ a definida en todo R b) Puntos en los que la derivada vale r cero: 1 1 5x4 − 1 = 0 → x4 = → x = ± 4 6∈ [2, 4] 5 5 Luego no existe ning´ un punto cr´ıtico dentro del intervalo, por tanto:

2.

Comparamos los valores de la funci´ on en los extremos del intervalo: f (2) = 30 m´ınimo f (4) = 1020 M´ aximo

Ejemplo 3.58. Hallar los extremos absolutos de la funci´ on: f (x) = 3 − |x − 2| en el intervalo [1, 4]. Soluci´ on. Para hallar la derivada de la funci´ on eliminamos el valor absoluto, f (x) = 3 − |x − 2| =



3 − (x − 2) si x ≥ 2 = 3 − (−x + 2) si x < 2



5 − x si x ≥ 2 1 + x si x < 2

Con lo cual, la funci´ on derivada es: ′

f (x) = 1.



−1 si 1 si

x>2 x<2

Hallamos los puntos cr´ıticos: a) Puntos en los que la derivada no est´ a definida: x = 2 b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen.

2.

Comparamos los valores de la funci´ on en los puntos cr´ıticos y en los extremos del intervalo: f (1) = 2 f (2) = 3 M´ aximo f (4) = 1 m´ınimo

191

3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE b) M´ aximos y m´ınimos absolutos en intervalos abiertos

Para hallar el m´ aximo y el m´ınimo de una funci´ on continua en un intervalo abierto se “cierra” el intervalo hallando los l´ımites de la funci´ on en los extremos del mismo. Ejemplo 3.59. Hallar los extremos absolutos de la funci´ on: f (x) = en todo R.

x2 x2 + 1

Soluci´ on. Hallamos la derivada de la funci´ on, f ′ (x) = 1.

2x3 + 2x − 2x3 2x 2x(x2 + 1) − x2 · 2x = = 2 2 2 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1)2

Hallamos los puntos cr´ıticos: a) Puntos en los que la derivada no est´ a definida: No existen. b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2x = 0 → x = 0

2.

Comparamos los valores de la funci´ on en los puntos cr´ıticos y en los “extremos” del intervalo:

192 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE x2 =1 x→−∞ x2 + 1 f (0) = 0 → m´ınimo x2 f (+∞) = l´ım 2 =1 x→+∞ x + 1 Luego la funci´ on no tiene m´ aximo.

f (−∞) = l´ım

Figura 3.28: y =

3.6.2.

x2 +1

x2

M´ aximos y m´ınimos relativos o locales

Crecimiento y decrecimiento. Una funci´ on es creciente all´ı donde su derivada es positiva y decreciente donde es negativa. ∀x ∈ (a, b) f ′ (x) ≥ 0 ⇒ f es creciente en (a, b)

∀x ∈ (a, b) f ′ (x) ≤ 0 ⇒ f es decreciente en (a, b) Estudios de los m´ aximos y m´ınimos locales a partir del signo de la primera derivada. Si la funci´ on es continua, los m´ aximos locales se presentan donde la funci´ on cambia de creciente a decreciente, y los m´ınimos locales donde cambia de decreciente a creciente. Si la funci´ on es continua, los m´ aximos y m´ınimos relativos solamente se pueden presentar en los puntos cr´ıticos.

Figura 3.29: En un m´aximo la funci´on cambia de creciente a decreciente

Ejemplo 3.60. Estudiar los extremos relativos y absolutos de la funci´ on −x f (x) = en todo R 1 + x2 Soluci´ on. f es continua en todo R, ya que 1 + x2 no se anula nunca. Puntos cr´ıticos: f ′ (x) =

−1 − x2 + 2x2 x2 − 1 −(1 + x2 ) + x(2x) = = (1 + x2 )2 (1 + x2 )2 (1 + x2 )2

3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE

193

de donde: f ′ (x) = 0

→

x2 − 1 = 0

→

x = ±1

a) Extremos relativos: Estudiamos el signo de la derivada. 4−1 3 f ′ (−2) = = =+ 2 (1 + 4) 25 −1 = −1 = − f ′ (0) = 1 4−1 3 f ′ (2) = = =+ (1 + 4)2 25 Con lo cual hay un m´ aximo en x = −1 y un m´ınimo en x = 1

b) Extremos absolutos: Hallamos los valores de la funci´ on en los puntos cr´ıticos y en los extremos del intervalo. −x =0 f (−∞) = l´ım x→−∞ 1 + x2 f (−1) = 1/2 ← M´ aximo absoluto f (1) = −1/2

Figura 3.30: y =

−x 1 + x2

←

m´ınimo absoluto −x f (+∞) = l´ım =0 x→+∞ 1 + x2

4 Ejemplo 3.61. Encontrar los extremos relativos de la funci´ on f (x) = x+ x en R Soluci´ on. La funci´ on es continua en R − {0}

Puntos cr´ıticos. Hallamos la derivada de la funci´ on: f ′ (x) = 1 −

4 x2

a) Puntos donde la derivada no esta definida. x = 0 b) Puntos donde la derivada vale cero: f ′ (x) = 0 → x = ±2 Intervalos de crecimiento: f ′ (−3) = 1 − 4/9 = + → creciente

f ′ (−1) = 1 − 4 = − → decreciente f ′ (1) = 1 − 4 = − → decreciente

Figura 3.31: y = x +

4 x

f ′ (3) = 1 − 4/9 = + → creciente

194 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Concavidad. Puntos de inflexi´ on. Una funci´ on, derivable en un intervalo, se dice que es c´ oncava hacia arriba sobre dicho intervalo si su derivada es creciente y c´ oncava hacia abajo si su derivada es decreciente. Los puntos en los que la concavidad cambia de sentido se llaman puntos de inflexi´ on. [ f′ ↑ ⇒ f f′ ↓ ⇒ f

Criterio de la derivada segunda. f ′′ = + ⇒ f ′ ↑ ⇒ f

f ′′ = − ⇒ f ′ ↓ ⇒ f

f ′′ = 0 ⇒ ¿?

\

S

T

 ′′  f (x0 ) = 0
o´ on ⇒ x0 , f (x0 ) punto de inflexi´  ′′ f (x0 ) no definido

Aplicaciones de la f´ ormula de Taylor para el estudio de m´ aximos y m´ınimos. Desarrollemos, mediante el n-simo polinomio de Taylor, la funci´ on f en el punto x0 f (x) = f (x0 )+ f ′ (x0 )(x−x0 )+

f (n−1) (x0 ) f (n) (c) f ′′ (x0 ) (x−x0 )2 +· · ·+ (x−x0 )n−1 + (x−x0 )n 2! (n − 1)! n!

supongamos que la primera derivada de la funci´ on f que no se anula en el punto x0 es de orden n. Ser´ a:  f ′ (x0 ) = 0   f (n) (c) .. f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )n .  n!  f (n−1) (x0 ) = 0 de donde,

f (x) − f (x0 ) =

f (n) (c) (x − x0 )n n!

Como c est´ a entre x0 y x, tomando x suficientemente pr´ oximo a x0 podemos (n) suponer que el signo de f (c) coincide con el signo de f (n) (x0 ), de donde:  (n)  f (x0 ) = + ⇒ f (x) − f (x0 ) > 0 → m´ınimo n par    (x − x )n = + (n) aximo 0  f (n) (x0 ) = − ⇒  f (x) − f (x0 ) < 0 → M´  n impar f (x ) = + 0   ⇒ f (x) − f (x0 ) = ± → inflexi´ on (x − x0 )n = ± f (n) (x0 ) = −

3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE

195

Con lo cual podemos afirmar lo siguiente: Si la primera derivada que no se anula en un punto cr´ıtico es par, entonces hay un m´ aximo si dicha derivada es negativa y un m´ınimo si es positiva. Si la primera derivada que no se anule es de orden impar, entonces existe un punto de inflexi´ on. Ejemplo 3.62. Estudiar la naturaleza del origen en las siguientes funciones: (a)

f (x) = x4

(b)

f (x) = x3

(c)

f (x) = −x4

Soluci´ on. 1. f (x) = x4 f ′ (x) = 4x3 → f ′ (0) = 0 f ′′ (x) = 12x2 → f ′′ (0) = 0 f ′′′ (x) = 24x → f ′′′ (0) = 0 f (IV ) (x) = 24 → f (IV ) (0) = 24 > 0 par y positivo → m´ınimo 2. f (x) = x3 f ′ (x) = 3x2 → f ′ (0) = 0 f ′′ (x) = 6x → f ′′ (0) = 0 f ′′′ (x) = 6 → f ′′′ (0) = 6 6= 0 impar → punto de inflexi´ on 3. f (x) = −x4 f ′ (x) = −4x3 → f ′ (0) = 0 f ′′ (x) = −12x2 → f ′′ (0) = 0 f ′′′ (x) = −24x → f ′′′ (0) = 0 f (IV ) (x) = −24 → f (IV ) (0) = 24 < 0 par y negativo → M´ aximo. Ejemplo 3.63. Estudiar la naturaleza de los puntos cr´ıticos de la funci´ on: f (x) = x3 − 3x2 + 2 Soluci´ on. Hallamos la derivada para buscar los puntos cr´ıticos. f ′ (x) = 3x2 −6x

→

3x2 −6x = 0

→

x2 −2x = 0

→

x(x−2) = 0

luego los puntos cr´ıticos son x = 0 y x = 2. Calculamos el valor de la derivada segunda en cada uno de los puntos cr´ıticos. f ′′ (x) = 6x − 6

(

f ′′ (0) = −6 → f (0) m´ aximo relativo

f ′′ (2) = 6 > 0 → f (2) m´ınimo relativo

196 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

3.6.3.

Determinaci´ on de funciones conocidos sus puntos cr´ıticos

La dificultad de este tipo de ejercicios est´ a en saber aprovechar toda la informaci´ on que nos da el enunciado. Ejemplo 3.64. Hallar a, b, c y d para que la funci´ on f (x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un m´ınimo relativo de valor −3 en x = 0 y un m´ aximo relativo de valor 4 en x = 1. Soluci´ on.



f (0) = −3 M´ınimo relativo de valor −3 en x = 0 → f ′ (0) = 0  f (1) = 4 M´ aximo relativo de valor 4 en x = 1 → f ′ (1) = 0 Hallando la derivada f ′ (x) = 3ax2 + 2bx + c, y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones:     d = −3  d = −3  d = −3 d = −3           c=0 c=0 c=0 c=0 a+b+c+d=4    b = 21   a+b=7   a+b=7      a = −14 a = −14 3a + 2b = 0 3a + 2b + c = 0

luego la funci´ on buscada es: f (x) = −14x3 + 21x2 − 3.

Ejemplo 3.65. Hallar a, b y c tales que la gr´ afica de la funci´ on f (x) = 3 2 ax + bx + cx tenga una tangente horizontal en el punto de inflexi´ on (1, 1). Soluci´ on. Pasa por el punto (1, 1) → f (1) = 1

Tangente horizontal en (1, 1) → f ′ (1) = 0 Punto de inflexi´ on en (1, 1) → f ′′ (1) = 0

Hallando la primera y segunda derivada f ′ (x) = 3ax2 + 2bx + c, f ′′ (x) = 6ax + 2b y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones:     a+b+c=1  c=1−a−b  c=1−a−b  c=3  3a + 2b + c = 0 2a + b = −1 b = −1 − 2a b = −3     6a + 2b = 0 3a + b = 0 a=1 a=1

luego la funci´ on buscada es: f (x) = x3 − 3x2 + 3x.

3.6.4.

Problemas de aplicaci´ on de m´ aximos y m´ınimos

Para resolver problemas de m´ aximos y m´ınimos con enunciado es conveniente seguir los siguientes pasos: 1.

Asignar letras a todas las magnitudes que intervienen e intentar relacionarlas entre s´ı. (Seg´ un se asignen las letras, la resoluci´ on del problema puede resultar m´ as f´ acil o m´ as dif´ıcil. A veces conviene contar con los ´ angulos).

3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE

197

2.

Preguntarse ¿qu´e es lo que hay que hacer m´ aximo o m´ınimo?. Esa magnitud es la que hay que derivar.

3.

Encontrar una f´ ormula para la magnitud que hay que derivar y expresarla en funci´ on de una sola variable y entonces derivar.

Naturaleza de los puntos cr´ıticos. La naturaleza de los puntos cr´ıticos puede determinarse por cualquiera de los siguientes criterios. 1.

Por la propia naturaleza del problema.

2.

Comparando el valor de la funci´ on en los puntos cr´ıticos y en los extremos del dominio.

3.

Estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados de cada punto cr´ıtico.

4.

Estudiando el signo de la segunda derivada en los puntos cr´ıticos.

Observaci´ on: Si el problema pide un m´ aximo y encontramos un m´ınimo, el m´ aximo habr´ a que buscarlo en los extremos del dominio. Ejemplo 3.66. Un granjero tiene 200 m de tela met´ alica que va a utilizar para construir tres lados de un corral rectangular; se va a usar un muro recto que ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qu´e dimensiones maximizar´ an el a ´rea del corral?. Soluci´ on. La magnitud a maximizar es el a´rea.  a=x·y x a = x(200−2x) = 200x−2x2 2x + y = 200 → y = 200 − 2x y de donde, x

a′ (x) = 200 − 4x → 200 − 4x = 0 → x = 50

Comprobamos que realmente se trata de un m´ aximo, a partir de la segunda derivada: a′′ (x) = −4 ⇒ a′′ (50) = −4 → m´ aximo Luego la soluci´ on es x = 50 e y = 100. Ejemplo 3.67. Una l´ amina met´ alica rectangular mide 5 m. de ancho y 8 m. de largo. Se van a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar la pieza met´ alica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa. ¿C´ omo debe hacerse para obtener una caja del m´ aximo volumen posible? Soluci´ on. la magnitud a maximizar es el volumen. 2 3 2 +=40x v ′ (x) = 12x2 − 52x + 40 ⇒ 12xv2 − + 2x)(5 40 = 0− → − 13x + 10 0 = 52x x(8 − 2x)3x = 4x − 26x de donde

198 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

luego: x=

13 ±

√

√  169 − 120 13 ± 49 13 ± 7 x = 3′ 3 no v´ alida = = = x=1 6 6 6

Comprobamos que realmente se trata de un m´ aximo, a partir de la segunda derivada: v ′′ (x) = 24x − 52 ⇒ a′′ (1) = −28 → m´ aximo Ejemplo 3.68. Deseamos construir una lata cil´ındrica con 40 cm3 de capacidad. El material del fondo y de la tapa es dos veces m´ as caro que el del lateral. Hallar el radio y la altura de la lata m´ as econ´ omica. Soluci´ on. La magnitud a minimizar es el coste. Suponiendo que el precio por unidad de superficie del lateral es p el de las bases ser´ a 2p, con lo que resulta:    Sb = πr2 + πr2 = 2πr2 2p coste Sb = 4πr2 p c = 4πr2 p + 2πrhp Sl = 2πrh p coste Sl = 2πrhp y teniendo en cuenta que v = 40 resulta πr2 h = 40 → h = c = 4πr2 p + 2πrhp = 4πr2 p + 2πr luego, c′ (r) = 8πrp −

40 de donde, πr2

40 80 p = 4πr2 p + p 2 πr r

80 p, con lo que resulta, r2

80 80 80 80 10 8πrp − 2 p = 0 → 8πr − 2 = 0 → 8πr = 2 → r3 = = →r= r r r 8π π

r 3

10 π

Comprobamos que realmente se trata de un m´ınimo, a partir de la segunda derivada: 160 c′′ (r) = 8π + 3 ⇒ c′′ (r) > 0 → m´ınimo r la altura correspondiente a este radio ser´ a: r r 40 40 40 3 1000 3 10 =4 h= r = √ = r =4 = 4r 3 3 100π π 100π 3 100π 3 100 π π2 π2 Ejemplo 3.69. Hallar el punto m´ as cercano y m´ as alejado de la par´ abola y = 4 − x2 al punto (0, 1)

199

3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE

Soluci´ on. Consideremos un punto gen´erico X(x, y) de la par´ abola y = 4−x2 . Su distancia al punto P (0, 1) vendr´ a definida por la expresi´ on: p d = (x − 0)2 + (y − 1)2

cuyo valor ha de ser m´ aximo o m´ınimo. Ahora bien, para facilitar la resoluci´ on del problema, eliminamos la ra´ız cuadrada elevando al cuadrado. d2 = x2 + (y − 1)2

y teniendo en cuenta el valor de y = 4 − x2 resulta: Figura 3.32: y = 4 − x2 d2 = x2 + (4 − x2 − 1)2 = x2 + (3 − x2 )2 = x2 + 9 − 6x2 + x4 = x4 − 5x2 + 9 Y dado que, al ser d positivo, el valor m´ aximo o m´ınimo de d se corresponde 2 con el de d , podemos optimizar la expresi´ on: g(x) = d2 = x4 − 5x2 + 9 Hallamos los puntos cr´ıticos r

5 2 Para estudiar la naturaleza de los puntos cr´ıticos podemos acudir al signo de la segunda derivada: g ′′ (x) = 12x2 − 10 ′

3

g (x) = 4x − 10x

→

2

x(4x − 10) = 0

g ′′ (0) = −10 → M´ aximo relativo q g ′′ (+ 52 ) = 12 25 − 10 = 30 − 10 = 20 q g ′′ (− 52 ) = 12 25 − 10 = 30 − 10 = 20

→

x = 0, x = ±

→ m´ınimo relativo → m´ınimo relativo

El m´ aximo relativo no es el m´ aximo absoluto, ya que la funci´ on no tiene m´ aximo absoluto por alejarse hacia el infinito. El m´ınimo absoluto estar´ a en uno de los dos m´ınimos relativos, para determinarlo hallamos el valor de la funci´ on g en cada uno de ellos. r r 25 25 25 − 50 + 36 11 5 5 g(+ )= − +9= = = g(− ) 2 4 2 4 4 2 Luego los puntos de la par´ abola y = 4 − x2 que se encuentran m´ as cercano al punto (0, 1) son: r r 5 3 5 5 3 )=4− = → P1 (+ , ) f (+ 2 2 2 2 2

200 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE r 5 3 5 5 3 )=4− = → P2 (− , ) f (− 2 2 2 2 2 mientras que el punto m´ as alejado no existe. r

3.7.

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 3

Ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 3 Soluciones en la p´ agina ?? 3.1.

Problemas resueltos del Cap´ıtulo 3 3.1. Utilizando el polinomio de Taylor de orden 3 centrado en el origen de la funci´ on ln(1 + ln(1 + x)), y el de orden cuatro centrado en el origen de 1 − cos(1 − cos x), calcula l´ım

x→0

3 sen(x3 ) + 1 − cos(1 − cos x)
2 ln 1 + ln(1 + x) + e−2x − 1

Soluci´ on. Los desarrollos de Taylor de las funciones que intervienen en el l´ımite los obtenemos a partir de los desarrollos de Taylor de las funciones elementales. En efecto,
3 x3 x3 x9 sen x ≈ x− +· · · ⇒ sen x3 ≈ x3 − +· · · = x3 − +· · · ⇒ sen x3 ≈ x3 −· · · 3! 3! 3! cos x ≈ 1 −

x4 x2 x4 x2 + · · · ⇒ 1 − cos x ≈ − + ··· 2! 4! 2! 4!

de donde,

1 − cos(1 − cos x) ≈ Por otro lado, Z ln(1 + x) =

x 0

dt = 1+t



x4 x2 − + ··· 2! 4! 2!

Z

x 0

2

1 dt = 1 − (−t)

Z

− x 0



x4 x2 − + ··· 2! 4! 4!

4

+ ··· ≈

[1 − t + t2 − · · · ] dt = x −

x4 + ··· 8

x2 x3 + − ··· 2 3

de donde, x3 x3 x2 x2 + · · · )2 + · · · )3 (x − (x −
x3 x2 2 3 2 3 + − ···) − + ··· ln 1 + ln(1 + x) ≈ (x − 2 3 2 3 3 2 3 3 2 x x x x x + − ···) − ( − + ···) + ( − ···) ≈ (x − 2 3 2 2 3 7x3 − ··· ≈ x − x2 + 6 Y, finalmente, tenemos ex ≈ 1 + x +

x2 x3 + + ··· 2 3!

⇒

ex − 1 ≈ x +

x2 x3 + + ··· 2 3!

de donde, e−2x − 1 ≈ −2x +

(−2x)2 (−2x)3 8x3 + + · · · ≈ −2x + 2x2 − + ··· 2 3! 6

3.7. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´ITULO 3

201

de donde, sustituyendo, resulta: l´ım

x→0

3 sen(x3 ) + 1 − cos(1 − cos x)
= 2 ln 1 + ln(1 + x) + e−2x − 1

4

3[x3 − · · · ] + [ x8 − · · · ] = x→0 7x3 8x3 2[x − x2 + − · · · ] + [−2x + 2x2 − + ···] 6 3 3[x3 − · · · ] 3[x3 − · · · ] = l´ım =3 = l´ım 3 3 x→0 x→0 14x 8x 6x3 [2x − 2x2 + − · · · ] + [−2x + 2x2 − + ···] 6 6 6 = l´ım

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 3 Soluciones en la p´ agina 380 3.1.

202 CAP´ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

Cap´ıtulo 4

Derivaci´ on de funciones de varias variables 4.1.

Derivadas parciales

4.1.1.

Introducci´ on

Funciones de una variable. Recordemos que para una funci´ on de una variable f : D ⊆ R → R definida en el intervalo abierto D de R, se define la derivada de f en x0 ∈ D, denotada por f ′ (x0 ), como el valor del siguiente l´ımite, si existe y es finito. f ′ (x0 ) =

f (x) − f (x0 ) dy f (x0 + h) − f (x0 ) (x0 ) = l´ım = l´ım x→x h→0 dx h x − x0 0

Si f ′ (x0 ) existe, su valor nos da la pendiente de
la recta tangente a la gr´ afica de la funci´ on y = f (x) en el punto x0 , f (x0 ) . El valor de f ′ (x0 ) tambi´en representa la raz´ on de cambio instant´ aneo de y respecto de x.

Nota: La raz´ on de definir la derivada en un punto perteneciente a un conjunto abierto D (dominio de la funci´ on), es para poder asegurar que para h ∈ R peque˜ no, se tenga (x0 + h) ∈ D y que as´ı tenga sentido la expresi´ on f (x0 + h) que aparece en la definici´ on de derivada. La importancia de estudiar el concepto de derivada radica en que a partir de la derivada de una funci´ on en un punto se puede obtener informaci´ on sobre el comportamiento de la propia funci´ on, aunque esta informaci´ on es s´ olo ′ local , es decir, a partir de f (x0 ) obtenemos informaci´ on sobre el comportamiento de f , pero s´ olo alrededor de x0 . As´ı, por ejemplo, el simple hecho de la existencia de f ′ (x0 ) se˜ nala un comportamiento suave de la gr´ afica de
′ la funci´ on en los alrededores del punto x0 , f (x0 ) ; el signo de f (x0 ) se˜ nala el crecimiento o decrecimiento de la funci´ on alrededor del punto, etc. Esta informaci´ on, aunque s´ olo es local, es muy importante. No obstante, a partir de la funci´ on derivada f ′ (x) podemos obtener una informaci´ on m´ as global del comportamiento de la funci´ on. 203

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 204 CAP´ITULO 4. DERIVACION Funciones de dos variables. El concepto de derivada se puede generalizar a funciones de dos variables z = f (x, y). La idea intuitiva responde a la siguiente cuesti´ on: ¿C´ omo se va a ver afectada una funci´ on de dos variables por una variaci´ on de una de sus variables, mientras que la otra variable permanece fija? Podemos responder a esta cuesti´ on considerando cada vez s´ olo una de las variables. Esto es, hacemos la derivada de la funci´ on cada vez con respecto a una variable, manteniendo constante la otra. Este proceso se conoce como derivaci´ on parcial, y su resultado se llama derivada parcial de la funci´ on respecto a la variable independiente elegida. Para ello partimos de la idea del concepto de derivada de funciones de una variable “el l´ımite, cuando el incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremento de la funci´ on dividido entre el incremento de la variable”. Suponemos que una de las variables es constante e incrementamos s´ olo la otra, es decir, hacemos la derivada suponiendo que la funci´ on depende s´ olo de una de las variables. Con ello se reduce la discusi´ on al caso uni-dimensional considerando una funci´ on de varias variables como una funci´ on de una sola variable (cada variable separadamente), manteniendo fijas las dem´ as.

4.1.2.

Definici´ on

Supongamos que en cierto entorno del punto (x0 , y0 ) est´ a dada la funci´ on z = f (x, y). Si fijamos la variable y: y = y0 , obtenemos una funci´ on de una sola variable x: z = f (x, y0 ). La derivada “habitual”de esta funci´ on en el punto x = x0 se llama derivada parcial de la funci´ on f en el punto (x0 , y0 ), respecto de x, y se denota por ∂f (x0 , y0 ) , ∂x

o bien

∂f (x0 , y0 ) ∂x

De esta forma, ∂f (x0 , y0 ) ∂x

def =

df (x, y0 ) dx



x=x0

Nota: Se˜ nalemos que la designaci´ on de la derivada parcial de la funci´ on ∂f (x0 , y0 ) f , respecto de la variable x, por es tradicional. Aunque es m´ as ∂x ∂f ∂f (x0 , y0 ), ya que la expresi´ on es un s´ımbolo u ´nico, correcto escribir ∂x ∂x que designa la nueva funci´ on, cuyo valor se analiza en el punto (x0 , y0 ). Teniendo en cuenta la definici´ on de derivada de una funci´ on de una sola variable, resulta la siguiente definici´ on de derivada parcial para funciones de dos variable. Definici´ on 4.1. Dada una funci´ on de dos variables f : D ⊆ R2 → R 2 definida en el abierto D de R , se define la derivada parcial de f con respecto

4.1. DERIVADAS PARCIALES

205

a x en el punto p = (x0 , y0 ) de D como el valor del siguiente l´ımite, si existe y es finito. f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = l´ım h→0 ∂x h Del mismo modo, se define la derivada parcial de f con respecto a y en p, como el siguiente l´ımite, si existe y es finito. ∂f f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ım k→0 ∂y k N´ otese que en cada caso aplicamos la definici´ on de derivada incrementando solamente una de las variables, mientras que la otra permanece fija. M´ as expl´ıcitamente podemos escribir: f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = l´ım ∆x→0 ∂x ∆x ∂f f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = l´ım ∆y→0 ∂y ∆y C´ alculo de derivadas parciales aplicando la definici´ on. Ejemplo 4.1. Calcular, aplicando la definici´ on, las dos derivadas parciales de la funci´ on f (x, y) = xy + x − y, en el punto p(0, 0). Soluci´ on. f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = h→0 h→0 ∂x h h h h·0+h−0−0 = l´ım = l´ım 1 = 1 = l´ım h→0 h h→0 h→0 h ∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım = k→0 k→0 ∂y k k 0·k+0−k−0 −k = l´ım = l´ım = l´ım −1 = −1 k→0 k→0 k k→0 k Ejemplo 4.2. Calcular las dos derivadas parciales en el punto p(0, 0) de la funci´ on:  2  xy si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0) Soluci´ on. ∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım = h→0 h→0 ∂x h h h · 02 −0 2 + 02 0 h = l´ım = l´ım 0 = 0 = l´ım h→0 h h→0 h→0 h

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 206 CAP´ITULO 4. DERIVACION ∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım = k→0 k→0 ∂y k k 0 · k2 −0 2 2 0 = l´ım = l´ım 0 = 0 = l´ım 0 + k k→0 k k→0 k→0 k Ejemplo 4.3. Calcular, aplicando la definici´ on, las dos derivadas parciales 2 2 de la funci´ on f (x, y) = 2x − xy + y , en el punto p(1, 0). Soluci´ on. f (1 + h, 0) − f (0, 0) ∂f (1, 0) = l´ımh→0 = ∂x h 2(1 + h)2 − (1 + h) · 0 + 02 − (2 − 0 + 0) = l´ım = h→0 h 2 2 2 + 4h + 2h − 2 2(1 + 2h + h ) − 2 = l´ım = = l´ım h→0 h→0 h h 4h + 2h2 = l´ım = l´ım (4 + 2h) = 4 h→0 h→0 h f (1, 0 + k) − f (1, 0) f (1, k) − f (1, 0) ∂f (1, 0) = l´ımk→0 = l´ımk→0 = ∂y k k 2 · 12 − 1 · k + k 2 − (2) 2 − k + k2 − 2 = l´ım = l´ım = 0→0 k→0 k k 2 −k + k = l´ım (−1 + k) = −1 = l´ım k→0 k→0 k

4.1.3.

La funci´ on derivada parcial

Si hallamos las derivadas parciales de una funci´ on de dos variables z = f (x, y) en un punto gen´erico (x, y) de su dominio, obtenemos, a su vez, funciones de dos variables, llamadas funciones derivadas parciales. As´ı: ∂f f (x + h, y) − f (x, y) ∂f f (x, y + k) − f (x, y) (x, y) = l´ım , (x, y) = l´ım h→0 k→0 ∂x h ∂y k Ejemplo 4.4. Hallar, aplicando la definici´ on, las derivadas parciales de la funci´ on: f (x, y) = x2 y 3 + 5 Soluci´ on. f (x + h, y) − f (x, y) (x + h)2 y 3 + 5 − (x2 y 3 + 5) ∂f (x, y) = l´ım = l´ım = h→0 h→0 ∂x h h x2 y 3 + 2hxy 3 + h2 y 3 + 5 − x2 y 3 − 5 2hxy 3 + h2 y 3 = l´ım = l´ım = h→0 h→0 h h = 2x y 3

4.1. DERIVADAS PARCIALES

207

f (x, y + k) − f (x, y) x2 (y + k)3 + 5 − (x2 y 3 + 5) ∂f (x, y) = l´ım = l´ım = k→0 k→0 ∂y k k x2 y 3 + 3x2 y 2 k + 3x2 yk 2 + x2 k 3 + 5 − x2 y 3 − 5 = l´ım = k→0 k
3x2 y 2 k + 3x2 yk 2 + x2 k 3 = l´ım = l´ım 3x2 y 2 + 3x2 yk + x2 k 2 = k→0 k→0 k = 3x2 y 2

C´ alculo de derivadas parciales mediante las reglas de derivaci´ on. Si observamos los resultados del ejemplo anterior, podemos concluir que no es necesario aplicar la definici´ on para calcular las derivadas parciales, sino que se pueden calcular aplicando las reglas ordinarias de derivaci´ on. Esto se deduce de la propia definici´ on, ya que de la definici´ on de las derivadas parciales, como derivadas ordinarias con la condici´ on de que se han fijado todas las variables excepto una, respecto de la cual se toma la derivada, se deduce que al calcular las derivadas parciales se pueden utilizar las reglas del c´ alculo de las derivadas ordinarias. Es decir, ∂f (x, y) Se puede calcular mediante las reglas de derivaci´ on, es decir, como ∂x una derivada ordinaria, de la funci´ on f respecto de la variable x, suponiendo y constante (es decir, como si la funci´ on f dependiera s´ olo de x, porque y es un n´ umero). En consecuencia, consideramos que y es constante y derivamos con respecto a x. ∂f (x, y) Se puede calcular mediante las reglas de derivaci´ on, es decir, como ∂y una derivada ordinaria, de la funci´ on f respecto de la variable y, suponiendo x constante (es decir, como si la funci´ on f dependiera s´ olo de y, porque x es un n´ umero). En consecuencia, consideramos que x es constante y derivamos con respecto a y. Ejemplo 4.5. Calcular las dos derivadas parciales de las siguientes funciones: 1. f (x, y) = x2 + 2xy 2 − y 3 a) Fijemos en la f´ ormula la variable y, es decir, supongamos que y es un n´ umero, con lo cual obtenemos una funci´ on de una sola variable x; y calculando su derivada tendremos: ∂f = 2x + 2y 2 ∂x b) De la misma forma, fijemos ahora la variable x es decir, supongamos que x es un n´ umero, con lo cual obtenemos una funci´ on de una sola variable y; y calculando su derivada tendremos: ∂f = 4xy − 3y 2 ∂y

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 208 CAP´ITULO 4. DERIVACION 2. z = (x2 + y 2 )e−xy ∂z = 2xe−xy + (x2 + y 2 )(−ye−xy ) = (2x − x2 y − y 3 )e−xy ∂x ∂z = 2ye−xy + (x2 + y 2 )(−xe−xy ) = (2y − x3 − xy 2 )e−xy ∂y 3. z = xyex/y ∂z 1 = yex/y + xy( ex/y ) = (y + x)ex/y ∂x y x2 −x x(y − x)ex/y ∂z = xex/y + xy( 2 ex/y ) = (x − )ex/y = ∂y y y y Ejemplo 4.6. Dada la funci´ on: f (x, y) = 4x3 y 2 − 4x2 + y 6 + 1. Hallar las dos derivadas parciales en el punto (1, 1) Soluci´ on. Calculamos las derivadas parciales mediante las reglas de derivaci´ on y luego sustituimos las coordenadas del punto. ∂f (x, y) = 12x2 y 2 − 8x → ∂x ∂f (x, y) = 8x3 y + 6y 5 → ∂y

∂f (1, 1) = 12 − 8 = 4 ∂x ∂f (1, 1) = 8 + 6 = 14 ∂y

Notaci´ on: Se utilizan las siguientes notaciones: zx =

∂f ∂f ∂z = = (x, y) = fx = fx′ = fx (x, y) = Dx f (x, y) = D1 f (x, y) ∂x ∂x ∂x

zy =

∂f ∂f ∂z = = (x, y) = fy = fy′ = fy (x, y) = Dy f (x, y) = D2 f (x, y) ∂y ∂y ∂y

Cuando se trate de un punto gen´erico (x, y), normalmente no indicaremos las coordenadas, simplemente pondremos fx . Sin embargo, cuando se trate de un punto concreto (x0 , y0 ), siempre las indicaremos, para saber de qu´e punto se trata. En este caso, en algunas ocasiones utilizaremos la siguiente notaci´ on: # ∂f ∂f (x0 , y0 ) = ∂x ∂x (x0 ,y0 )

4.1.4.

Funciones de m´ as de dos variables

El concepto de derivada parcial se puede generalizar a funciones de cualquier n´ umero de variables. Bastar´ a con derivar la funci´ on suponiendo que depende, en cada caso, de una sola variable, con las dem´ as fijas. As´ı, si w = f (x, y, z), entonces hay tres derivadas parciales, las cuales se obtienen considerando cada vez dos de las variables constantes y derivando respecto de la otra. Es

4.1. DERIVADAS PARCIALES

209

decir, para definir la derivada parcial de w con respecto a x, consideramos que y y z son constantes y escribimos f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z) ∂w = l´ım ∆x→0 ∂x ∆x Para definir la derivada parcial w con respecto a y, consideramos que x y z son constante y escribimos ∂w f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z) = l´ım ∆y→0 ∂y ∆y Para definir la derivada parcial w con respecto a z, consideramos que x y y son constante y escribimos f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z) ∂w = l´ım ∆z→0 ∂z ∆z Ejemplo 4.7. Hallar las derivadas parciales de la funci´ on: f (x, y, z) = e−5z cos πx sen 4y Soluci´ on. En cada caso, suponemos constante dos de las variables, con lo cual se obtiene una funci´ on de una sola variable, respecto de la cual se deriva. ∂f = −πe−5z sen πx sen 4y ∂x ∂f = 4e−5z cos πx cos 4y ∂y ∂f = −5e−5z cos πx sen 4y ∂z Notaci´ on vectorial para definir las derivadas parciales. Como acabamos de ver, el concepto de derivada parcial se extiende a funciones de tres variables f (x, y, z) de la siguiente forma: f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z) f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f = l´ım = l´ım t→0 ∆y→0 ∂y ∆y t An´ alogamente se calculan las dem´ as derivadas parciales. Para los incremento, ∆x, ∆y, etc., en vez de usar las letras h, k, etc., se pueden usar h1 , h2 , etc., o bien, podemos usar siempre la letra t. Del mismo modo se extiende a funciones de cuatro variables f (x, y, z, u) f (x, y + t, z, u) − f (x, y, z, u) ∂f = l´ım t→0 ∂y t Desde el punto de vista te´ orico, para definir las derivadas parciales en el caso general de funciones de n variables f : D ⊆ Rn → R, conviene usar notaci´ on vectorial. Para ello consideramos los vectores e1 , e2 , · · · , en ∈ Rn de la base can´ onica de Rn , cuyas componentes son: e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1)

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 210 CAP´ITULO 4. DERIVACION con lo cual, para cualquier n´ umero t ∈ R, resulta: te1 = (t, 0, · · · , 0), te2 = (0, t, · · · , 0), · · · , ten = (0, 0, · · · , t) de donde, para cualquier punto p ∈ Rn , de coordenadas p = (x1 , x2 , · · · , xn ), se tiene: p + tei = (x1 , x2 , · · · , xn ) + (0, · · · , t, · · · , 0) = (x1 , x2 , · · · , xi + t, · · · , xn ) Es decir, p + tei tiene las mismas coordenadas que p, salvo la i-´esima coordenada que se ha incrementado en t. En consecuencia, podemos enunciar la siguiente definici´ on: Definici´ on 4.2 (Derivadas parciales). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´ on definida en el conjunto abierto1 D de Rn , y sea p ∈ D. Se define la derivada parcial de f con respecto a su i-´esima variable en el punto p, como el siguiente l´ımite, si existe y es finito: f (p + tei ) − f (p) ∂f (p) = l´ım t→0 ∂xi t Del mismo modo puede definirse la derivada parcial en un punto gen´erico x ∈ D, como f (x + tei ) − f (x) ∂f (x) = l´ım t→0 ∂xi t

4.1.5.

Raz´ on de cambio

Las derivadas parciales tambi´en pueden interpretarse como la raz´ on de cambio instant´ aneo de la funci´ on respecto de una variable, mientras la otra permanece fija. As´ı, ∂f (x0 , y0 ) Se puede interpretar como la ∂x funci´ on f cuando se conserva ∂f (x0 , y0 ) Se puede interpretar como la ∂y funci´ on f cuando se conserva

raz´ on de cambio instant´ aneo de la fija la variable y y var´ıa la x. raz´ on de cambio instant´ aneo de la fija la variable x y var´ıa la y.

Es decir, las derivadas parciales miden la velocidad de variaci´ on parcial de la funci´ on con respecto a cada variable, cuando las dem´ as se mantienen fijas. Ejemplo 4.8. Un cilindro recto tiene 4 cm. de radio y 20 cm. de altura. Hallar la raz´ on de cambio del volumen del cilindro respecto del radio y respecto de la altura. Soluci´ on. Tenemos que V = πr2 h, luego: Para hallar la raz´ on de cambio del volumen respecto del radio, r, fijamos 1 La raz´ on de definir las derivadas parciales en un punto perteneciente a un conjunto abierto D (dominio de la funci´ on), es para poder asegurar que para t ∈ R peque˜ no, se tenga p + tei ∈ D y que as´ı tenga sentido la expresi´ on f (p + tei ) que aparece en la definici´ on de derivada parcial. No obstante, este requisito puede reemplazarse por la exigencia de que p sea un punto interior del dominio. Es decir, para poder hablar de la derivada de una funci´ on en un punto, la funci´ on tiene que estar definida en cierto entorno del punto.

211

4.1. DERIVADAS PARCIALES

la altura, h, y derivamos con respecto a r. A continuaci´ on evaluamos la derivada parcial para r = 4 y h = 20. ∂V = 2πrh ∂r

→

∂V (r = 4, h = 20) = 2π · 4 · 20 = 160π cm3 /cm de r ∂r

Para hallar la raz´ on de cambio del volumen respecto de la altura, h, fijamos el radio, r, y derivamos con respecto a h. A continuaci´ on evaluamos la derivada parcial para r = 4 y h = 20. ∂V = πr2 ∂h

→

∂V (r = 4, h = 20) = 16π cm3 /cm de h ∂h

En el primer caso, si mantenemos fija la altura e incrementamos el radio, se produce un incremento del volumen de 160π cm3 /cm de r. Mientras que en el segundo caso, si mantenemos fijo el radio e incrementamos la altura, se produce un incremento del volumen de 16π cm3 /cm de h

4.1.6.

Interpretaci´ on geom´ etrica de las derivadas parciales Recta tangente

z

6

P•

x

z

6 P

z = f (x, y) y0

x0

z = f (x, y)

@ R z = f (x, y0 ) @

•

x0

• p(x0 , y0 )

x



Q k Q z = f (x0 , y) y0

y -

Recta tangente

y -

•

p(x0 , y0 )

Figura 4.1: Curvas z = f (x, y0 ) y z = f (x0 , y). Si en la ecuaci´ on z = f (x, y) fijamos la variable y, y = y0 , resulta una funci´ on de una sola variable, z = f (x, y0 ) = g(x). Desde el punto de vista geom´etrico, la funci´ on g(x) = f (x, y0 ) representa la curva que se obtiene de la intersecci´ on de la superficie z = f (x, y) con el plano y = y0 z = f (x, y) y = y0



z = f (x, y0 ) = g(x)

En consecuencia, la derivada parcial de la funci´ on f , respecto de la variable x, en el punto p representa la pendiente de la tangente a la curva g(x) = f (x, y0 ) en el punto P correspondiente de la gr´ afica, es decir, la inclinaci´ on de la superficie en la direcci´ on del eje x.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 212 CAP´ITULO 4. DERIVACION An´ alogamente, la funci´ on g(y) = f (x0 , y) representa la curva que se obtiene de la intersecci´ on de la superficie z = f (x, y) con el plano x = x0 z = f (x, y) x = x0



z = f (x0 , y) = g(y)

La derivada parcial de la funci´ on f , respecto de la variable y, en el punto p representa la pendiente de la tangente a la curva g(y) = f (x0 , y) en el punto P correspondiente de la gr´ afica, es decir, la inclinaci´ on de la superficie en la direcci´ on del eje y. En un lenguaje m´ as informal, diremos que los valores de ∂f /∂x y ∂f /∂y en el punto (x0 , y0 ) representan la pendiente de la superficie en el punto (x0 , y0 , z0 ) en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente. Ejemplo 4.9. Hallar la pendiente a la superficie f (x, y) = 16 − x2 − 4y 2 en el punto P (3, −1, 3), en las direcciones de los ejes x e y. Soluci´ on. En la direcci´ on del eje Ox, la pendiente viene dada por ∂f = −2x ∂x

→

∂f (3, −1) = −6 ∂x

→

tan α = −6

En la direcci´ on del eje Oy, la pendiente viene dada por ∂f = −8y ∂y

→

∂f (3, −1) = 8 ∂y

→

tan β = 8

El que la derivada parcial en una direcci´ on sea positiva y en otra negativa significa que, desde el punto p, en la direcci´ on del eje Ox la funci´ on decrece, mientras que en la direcci´ on del eje Oy crece.

4.1.7.

Continuidad y derivadas parciales

Recordemos que para n = 1, es decir, para las funciones de una variable, de la existencia de la derivada en un punto se deriva tambi´en que la funci´ on es continua en ese punto. Sin embargo, para funciones de varias variables, la existencia de las derivadas parciales no garantiza la continuidad de una funci´ on. En efecto, la existencia de fx depende del comportamiento de la funci´ on s´ olo en la direcci´ on del eje x, y la existencia de fy del comportamiento de la funci´ on s´ olo en la direcci´ on del eje y, mientras que la continuidad depende del comportamiento de la funci´ on en todos los puntos del entorno. Esto significa que una funci´ on puede tener derivadas parciales en un punto aunque no sea continua en dicho punto. Tenemos pues, que cuando n ≥ 2, incluso de la existencia de todas las derivadas parciales en cierto punto, no se deduce la continuidad en ese punto.

213

4.1. DERIVADAS PARCIALES

Por otro lado, igual que ocurre para funciones de una variable, resulta evidente que de la continuidad de las funciones de n variables en un punto dado, no se deriva la existencia de sus derivadas parciales en ese punto. En consecuencia, para funciones de n variables, n ≥ 2, ni de la continuidad de esa funci´ on en un punto se deduce la existencia de las derivadas parciales, ni de la existencia de las derivadas parciales se deduce la continuidad en el punto. Ejemplo 4.10. Estudiar la continuidad y calcular las dos derivadas parciales en el punto p(0, 0) de la funci´ on f : R2 → R definida por:  xy  si (x, y) 6= (0, 0) 2 x + y2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0)

Soluci´ on. 1.

Continuidad: La funci´ on no es continua en el punto p(0, 0), ya que no existe el l´ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto mediante las rectas y = mx resulta: l´ım

(x,y)→(0,0) x2

xy xmx xy = l´ım = l´ım = 2 2 2 2 2 2 (x,y)→(0,0) x + y +y (x,y)→(0,0) x + m x y=mx y=mx

x→0

m m = 2 x→0 1 + m 1 + m2

= l´ım

luego el l´ımite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, seg´ un la recta por la que nos aproximemos al punto tendr´ıamos un valor del l´ımite u otro. 2.

Existencia de las derivadas parciales. A pesar de que la funci´ on no es continua en el punto p(0, 0), las derivadas parciales en dicho punto existen. En efecto: f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = h→0 h→0 ∂x h h h·0 −0 2 2 = l´ım h + 0 =0 h→0 h ∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım = k→0 k→0 ∂y k k 0 · k2 −0 2 2 = l´ım 0 + k =0 k→0 k

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 214 CAP´ITULO 4. DERIVACION Ejemplo 4.11. Estudiar la continuidad y calcular las dos derivadas parciales en el punto p(0, 0) de la funci´ on f : R2 → R definida por:  1 si xy 6= 0 f (x, y) = 0 si xy = 0 Soluci´ on. Entendamos primero el significado de la expresi´ on que define la funci´ on. Tenemos que la imagen de un punto (x, y) es 1 si las dos componentes son distintas de cero, y 0 si alguna de las componentes es cero. Es decir, para x 6= 0 e y 6= 0, se tiene: f (x, y) = 1,

f (x, 0) = 0,

f (0, y) = 0,

f (0, 0) = 0.

En consecuencia, 1.

Continuidad: La funci´ on no es continua en el punto p(0, 0), ya que no existe el l´ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto mediante la recta y = x resulta: h i l´ım f (x, y) = l´ım 1 = 1 6= f (0, 0) = 0 (x,y)→(0,0)

(x,y)→(0,0)

y=x

mientras que si nos acercamos al punto mediante la recta x = 0 resulta: h i 0 = 0 6= 1 l´ım f (x, y) = l´ım (x,y)→(0,0)

2.

4.2.

(x,y)→(0,0)

y=0

Existencia de las derivadas parciales. A pesar de que la funci´ on no es continua en el punto p(0, 0), las derivadas parciales en dicho punto existen. En efecto: i ∂f dh dh i (0, 0) = f (x, 0) 0 = =0 ∂x dx dx x=0 x=0 h i h i d d ∂f = =0 (0, 0) = f (0, y) 0 ∂y dy dy y=0 y=0

Derivadas parciales de ´ ordenes superiores

Derivadas parciales de segundo orden Las derivadas parciales de una funci´ on de dos variables f (x, y), son, a su vez, funciones de dos variables, fx (x, y), fy (x, y) y, por lo tanto, podemos obtener de ellas, nuevamente, sus derivadas parciales. Llamadas derivadas parciales de segundo orden. As´ı, resultan las siguientes cuatro derivadas parciales de segundo orden:         ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f , , , ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y

´ 4.2. DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SUPERIORES

215

Notaci´ on: Para simplificar los par´entesis usaremos la siguiente notaci´ on:   2 ∂ ∂f ∂ f = D1 (D1 f ) = D11 f (fx )x = fxx = = ∂x ∂x ∂x2   ∂2f ∂ ∂f = D2 (D1 f ) = D21 f = (fx )y = fxy = ∂y ∂x ∂y∂x   ∂ ∂f ∂2f (fy )x = fyx = = D1 (D2 f ) = D12 f = ∂x ∂y ∂x∂y   ∂ ∂f ∂2f (fy )y = fyy = = D2 (D2 f ) = D22 f = ∂y ∂y ∂y∂y

Para evitar confusi´ on con el orden de derivaci´ on (fxy = D21 f ), utilizaremos el siguiente criterio: se empieza derivando por la variable “m´ as cercana” a la funci´ on. As´ı, derivar primero con respecto a x y a continuaci´ on con respecto a y, se escribir´ a con cualquiera de las expresiones: ∂2f = fxy = Dyx f ∂y∂x

mientras que derivar primero con respecto a y y a continuaci´ on con respecto a x, se escribir´ a con cualquiera de las expresiones: ∂2f = fyx = Dxy f ∂x∂y Nota. El criterio utilizado aqu´ı, unas veces va de izquierda a derecha fxy y otras de derecha a izquierda Dyx f , por eso algunos autores utilizan criterios diferentes. Sin embargo el utilizado aqu´ı es el m´ as aceptado. Ejemplo 4.12. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la funci´ on f (x, y) = sen(x2 y) Soluci´ on. fx = 2xy cos(x2 y)

fxx = fx x = 2y cos(x2 y) + 2xy − 2xy sen(x2 y) = = 2y cos(x2 y) − 4x2 y 2 sen(x2 y)

fxy = fx y = 2x cos(x2 y) + 2xy − x2 sen(x2 y) = = 2x cos(x2 y) − 2x3 y sen(x2 y)

fy = x2 cos(x2 y)

fyx = fy x = 2x cos(x2 y) + x2 − 2xy sen(x2 y) = = 2x cos(x2 y) − 2x3 y sen(x2 y)

fyy = fy y = x2 − x2 sen(x2 y) = −x4 sen(x2 y)

Derivadas parciales cruzadas. Las derivadas parciales fxy y fyx , se llaman derivadas parciales cruzadas y cuando son continuas coinciden.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 216 CAP´ITULO 4. DERIVACION Teorema 4.1 (Igualdad de las derivadas parciales cruzadas). Si f es una funci´ on de dos variables x e y y tal que f , fx , fy , fxy y fyx son continuas en una regi´ on abierta R, entonces se tiene que las derivadas parciales cruzadas coinciden para cada (x, y) de R, fxy (x, y) = fyx (x, y) Este teorema se llama Teorema de Schwartz, y puede enunciarse en t´erminos m´ as restrictivo de la siguiente forma Teorema 4.2 (Teorema de Schwartz). Sea f : D ⊆ R2 → R una funci´ on definida en el abierto D de R2 . Si las derivadas parciales fxy : D ⊆ R2 → R y fyx : D ⊆ R2 → R existen y son funciones continuas en D, entonces fxy = fyx El teorema de Schwartz tambi´en puede enunciarse en los siguientes t´erminos: Si fx , fy , y fxy son continuas en un entorno del punto (x0 , y0 ), entonces existe fyx (x0 , y0 ) y se verifica fyx (x0 , y0 ) = fxy (x0 , y0 ). Ejemplo 4.13. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la funci´ on 2 2 f (x, y) = x2 yex +y Soluci´ on. fx = 2xyex

2 +y 2

+ x2 y 2xex

2 +y 2




= (2x3 y + 2xy)ex

2 +y 2

2 2
+ (2x3 y + 2xy) 2xex +y = 2 2 = (4x4 y + 10x2 y + 2y)ex +y 2 2 2 2
fxy = (2x3 + 2x)ex +y + (2x3 y + 2xy) 2yex +y = 2 2 = (4x3 y 2 + 2x3 + 4xy 2 + 2x)ex +y 2 2 2 2
2 2 fy = x2 ex +y + x2 y 2yex +y = (2x2 y 2 + x2 )ex +y 2 2 2 2
fyx = (4xy 2 + 2x)ex +y + (2x2 y 2 + x2 ) 2xex +y = 2 2 = (4x3 y 2 + 2x3 + 4xy 2 + 2x)ex +y 2 2 2 2
2 2 fyy = 4x2 yex +y + (2x2 y 2 + x2 ) 2yex +y = (4x2 y 3 + 6x2 y)ex +y

fxx = (6x2 y + 2y)ex

2 +y 2

Ejemplo 4.14. Comprobar que las derivadas parciales cruzadas de la siguiente funci´ on, en el punto (0, 0) no coinciden.

Soluci´ on.

 3 3  x y − xy 2 2 x +y f (x, y) =  0

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

´ 4.2. DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SUPERIORES

217

Si (x, y) 6= (0, 0), las derivadas parciales son:   (3x2 y − y 3 )(x2 + y 2 ) − (x3 y − xy 3 )2x ∂ x3 y − xy 3 ∂f = = = ∂x ∂x x2 + y 2 (x2 + y 2 )2 3x4 y + 3x2 y 3 − x2 y 3 − y 5 − 2x4 y + 2x2 y 3 x4 y + 4x2 y 3 − y 5 = 2 2 2 (x + y ) (x2 + y 2 )2

= ∂f ∂ = ∂y ∂y =



x3 y − xy 3 x2 + y 2



=

(x3 − 3xy 2 )(x2 + y 2 ) − (x3 y − xy 3 )2y = (x2 + y 2 )2

x5 − 4x3 y 2 − xy 4 x5 + x3 y 2 − 3x3 y 2 − 3xy 4 − 2x3 y 2 + 2xy 4 = (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

En el punto (0, 0), las derivadas parciales son: ∂f f (h, 0) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım h→0 h→0 ∂x h

h3 ·0−h·03 h2 +02

h 3

−0

=0

3

0 ·k−0·k −0 f (0, k) − f (0, 0) ∂f 2 2 (0, 0) = l´ım = l´ım 0 +k =0 k→0 k→0 ∂y k k De donde, aplicando directamente la definici´ on de derivada parcial, resulta:

∂ ∂2f (0, 0) = ∂y∂x ∂y



∂f ∂x



∂f ∂f (0, k) − (0, 0) ∂x (0, 0) = l´ım ∂x = k→0 k = l´ım

k→0

∂2f ∂x∂y

(0, 0) =

∂ ∂x



∂f ∂y



04 ·k+4·02 k3 −k5 (02 +k2 )2

k

−0

= −1

∂f ∂f (h, 0) − (0, 0) ∂y ∂y = (0, 0) = l´ım h→0 h = l´ım

h→0

h5 −4h3 ·O−h·04 (h2 +02 )2

h

−0

= +1

El teorema 4.2, de igualdad de las derivadas parciales cruzadas, tambi´en se aplica a funciones de tres o m´ as variables siempre y cuando f y todas sus derivadas parciales primeras y segundas sean continuas. Por ejemplo, si f es una funci´ on de tres variables, w = f (x, y, z), y f y todas sus derivadas parciales primeras y segundas son continuas en una regi´ on abierta R, entonces en cada punto de R el orden en la derivaci´ on de las derivadas parciales segundas cruzadas es irrelevante. Esto es, fxy (x, y, z) = fyx (x, y, z) fxz (x, y, z) = fzx (x, y, z) fyz (x, y, z) = fzy (x, y, z)

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 218 CAP´ITULO 4. DERIVACION Derivadas parciales de tercer orden Si adem´ as, las derivadas parciales de tercer orden son continuas, entonces no importa el orden de derivaci´ on de las derivadas parciales cruzadas de tercer orden. En consecuencia, si hacemos las derivadas parciales de tercer orden, resultan 23 = 8 derivadas, pero si son continuas se reducen a 3 + 1 = 4 derivadas distintas: n f xxx fxxy fx n f xyx ( fxy fxyy f n f yxx ( f yx fyxy fy n f yyx fyy fyyy

ր ց

( f xx

fxxx

fxx ր fxxy fx ց ր ր Si son continuas → f fxy ց ց ր fy fxyy ց ր fyy ց fyyy

Es decir, si las derivadas parciales son continuas no importa el orden de derivaci´ on, sino el n´ umero de veces que se ha derivado respecto de cada variable. Ejemplo 4.15. Hallar las derivadas parciales de tercer orden de la funci´ on: f (x, y) = x2 + 2xy 2 − y 3 Soluci´ on.

fxx = 2 ր f (x, y) = x + 2xy − y ց 2

2

fx = 2x + 2y

ր ց

2

3

ր fy = 4xy − 3y ց

fxy = 4y

2

fyy

ր ց ր ց

ր = 4x − 6y ց

fxxx = 0 fxxy = 0 fxyy = 4 fyyy = −6

Derivadas parciales de orden n Si hacemos las derivadas parciales de orden n, resultan 2n derivadas, pero si son continuas se reducen a n+1 derivadas distintas. Es decir, si las derivadas parciales son continuas no importa el orden de derivaci´ on, sino el n´ umero de veces que se ha derivado respecto de cada variable. Ahora bien, aunque el resultado final de las derivadas parciales no depende del orden de derivaci´ on, el proceso de derivaci´ on puede resultar mucho m´ as complicado en un orden que en otro. Ejemplo 4.16. Dada la funci´ on f (x, y) =

y2

xy . Hallar D2311 f y D1132 f + z2

219

4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES. Soluci´ on.


D2311 f = D231 D1 f = D231




D1132 f = D113 D2 f = D113





y y2 + z2



=0

x(y 2 + z 2 ) − xy2y (y 2 + z 2 )2



= D113



xz 2 − xy 2 (y 2 + z 2 )2



=

 2xz(y 2 + z 2 )2 − (xz 2 − xy 2 )2(y 2 + z 2 )2z = = D11 (y 2 + z 2 )4     2xz(3y 2 − z 2 ) 2z(3y 2 − z 2 ) = D11 = D1 =0 (y 2 + z 2 )3 (y 2 + z 2 )3 

4.3.

4.3.1.

Derivadas direccionales.

Derivadas direccionales

Las derivadas parciales fx (x, y) y fy (x, y), representan, respectivamente, la pendiente de la superficie z = f (x, y) en las direcciones del eje OX y del eje OY . Para hallar la pendiente en cualquier otra direcci´ on se utilizan las derivadas direccionales. Es decir, las derivadas parciales nos dan una medida de la variaci´ on de una funci´ on solamente en la direcci´ on de cada eje coordenado. Es natural buscar un concepto m´ as general de derivada a fin de que nuestras consideraciones no queden restringidas a las direcciones particulares de los ejes coordenados y nos permita estudiar la raz´ on de incrementos en una direcci´ on cualquiera. La derivada direccional responde a este prop´ osito. Queremos estudiar la variaci´ on de la funci´ on f en el punto p cuando el argumento var´ıa en la direcci´ on marcada por el vector ~v. Para ello partimos de la idea del concepto de derivada de funciones de una variable “el l´ımite, cuando el incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremento de la funci´ on dividido entre el incremento de la variable”.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 220 CAP´ITULO 4. DERIVACION z

Es decir, la derivada direccional de la funci´ on f , en el punto p, en la direcci´ on del vector ~v, viene definida por el l´ımite:

6

• f (x) f (p) • @

D~v f (p) = l´ım

x→p

@· @

z = f (x, y)

y0 x0

p(x0 , y0 )

x

y -

•

R ~v @ t @ @• x(x, y)

Figura 4.2: Derivada direccional.

f (x) − f (p) t

donde x es un punto pr´ oximo a p y adem´ as situado en la direcci´ on marcada por el vector ~v, y t es la longitud orientada del segmento px , es decir, la longitud de este segmento con signo positivo, si el → tiene la misma direcvector − px ci´ on que el vector ~v, y con signo negativo en caso contrario.

Para la derivada direccional usaremos cualquiera de las notaciones: ∂f (p) ∂~v Desde el punto de vista gr´ afico, el problema se ha reducido a dos dimensiones mediante la intersecci´ on de la superficie con el plano vertical que pasa por el punto p y es paralelo al vector ~v. Este plano corta a la superficie mediante una curva C, y definimos la pendiente de la superficie en (x0 , y0 , z0 ) como la pendiente de la curva C en ese punto. C´ alculo de la derivada direccional conocido el vector director: D~v f (p) =

1. Vector director unitario ~u : Si el vector director es unitario resulta:  − → − → k pxk = |t| ⇒ px = t~u ⇒ x − p = t~u ⇒ x = p + t~u k~u k = 1 de donde, D~v f (p) = l´ım

t→0

f (p + t~u ) − f (p) t

(4.1)

2. Vector director no unitario ~v : Si el vector no es unitario, resulta:  − → − → k px k = |t| ⇒ px 6= t~v k~v k = 6 1 luego no podemos hacer la sustituci´ on anterior. Por lo tanto, si el vector no es unitario, hallamos el vector unitario de la misma direcci´ on y sentido que el dado, y a ese nuevo vector hallado le aplicamos el resultado anterior. ~v ~u = k~v k

221

4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES.

El concepto de derivada direccional generaliza el concepto de derivada parcial, de manera que las derivadas parciales pueden obtenerse como casos particulares de las derivadas direccionales. As´ı, fx es la derivada direccional en la direcci´ on del vector (1, 0) y fy en la direcci´ on del vector (0, 1), es decir: fx (p) = D~u f (p) para ~u = (1, 0)

fy (p) = D~u f (p) para ~u = (0, 1)

Se debe observar que puede existir la derivada direccional de una funci´ on, en un punto, con respecto a un vector, y sin embargo, puede suceder que no exista la derivada direccional con respecto a otro vector. Ejemplo 4.17. Hallar la derivada direccional de f (x, y) = x2 + 3xy 2 en el punto p(1, 2), en la direcci´ on que apunta hacia el origen. Soluci´ on. Hallamos el vector director y comprobamos su m´ odulo. √ √ − → ~v = po = o − p = (0, 0) − (1, 2) = (−1, −2) → |~v | = 1 + 4 = 5 6= 1 luego, ~u =

 −1 −2   −1 −2   ~v 2t  t = √ ,√ → p+t~u = (1, 2)+t √ , √ = 1− √ , 2− √ |~v | 5 5 5 5 5 5

de donde, f (p) = f (1, 2) = 12 + 3 · 1 · 22 = 1 + 12 = 13       2t  t 2 2t 2 t t 2− √ +3 1− √ = f (p + t~u )=f 1 − √ , 2 − √ = 1 − √ 5 5 5 5 5    2t t2 3t 4t2 8t √ √ √ =1 − + + 3− + = 4− 5 5 5 5 5 2t t2 24t 12t2 12t 24t2 12t3 =1 − √ + + 12 − √ + −√ + − √ = 5 5 5 5 5 5 5 5 12t3 38t 37t2 − √ =13 − √ + 5 5 5 5 con lo que resulta, 12t3 38t 37t2 − √ − 13 13 − √ + f (p + t~u ) − f (p) 5 5 5 5 D~v f (1, 2) = l´ım = l´ım = t→0 t→0 t t   −38 37t 12t2 −38 = l´ım √ + = √ − √ t→0 5 5 5 5 5 El que la derivada direccional sea negativa significa que la funci´ on decrece en esa direcci´ on.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 222 CAP´ITULO 4. DERIVACION C´ alculo de la derivada direccional conocido el ´ angulo director. Conocido el ´ angulo θ que forma el vector director con la direcci´ on positiva del eje OX, se tienen inmediatamente las coordenadas del vector director unitario. En efecto, ~u = (cos θ, sen θ). El concepto de derivada direccional se puede generalizar para cualquier n´ umero de variables. As´ı, para el caso general podemos enunciar la siguiente definici´ on: Definici´ on 4.3 (Derivada direccional). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´ on definida en el conjunto abierto D de Rn y sea p ∈ D un punto dado de D. Sea ~u un vector unitario dado. Se define la derivada de la funci´ on f en ∂f (p), o bien D~u f (p), como el p, en la direcci´ on del vector ~u , denotada ∂~u siguiente l´ımite, si existe y es finito. f (p + t~u ) − f (p) t→0 t

D~u f (p) = l´ım

Ejemplo 4.18. Hallar la derivada direccional de f (x, y, z) = xyz en el punto p(1, 0, −1), seg´ un la direcci´ on del vector ~v = (1, 1, 1). Soluci´ on. Hallamos el vector unitario ~u con la misma direcci´ on y sentido que ~v , para ello lo dividimos por su m´ odulo. |~v | = luego,

√

1+1+1=

√

3 6= 1

→

~u =

 1 1 1  ~v = √ ,√ ,√ |~v | 3 3 3

 1 1 1   t t  t p + t~u = (1, 0, −1) + t √ , √ , √ = 1 + √ , √ , −1 + √ 3 3 3 3 3 3

de donde,

f (p) = f (1, 1, 1) = 1 · 0 · (−1) = 0      t t t  t t t √ f (p + t~u ) = f 1 + √ , √ , −1 + √ = 1 + √ −1 + √ = 3 3 3 3 3 3    2 t3 t t t √ = √ −√ −1 = 3 3 3 3 3 con lo que resulta, t t3 √ − √ −0 f (p + t~u ) − f (p) 3 3 3 D~v f (1, 1, 1) = l´ım = l´ım = t→0 t→0 t t   2 1 −1 t √ −√ =√ = l´ım t→0 3 3 3 3

223

4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES.

4.3.2.

Relaci´ on entre la derivada direccional y las derivadas parciales

Veamos a partir de un ejemplo un resultado que justificaremos m´ as adelante. Ejemplo 4.19. Hallar la derivada direccional de f (x, y) = x2 + y 3 en un punto gen´erico p(x, y), seg´ un la direcci´ on de un vector gen´erico unitario ~u = (u1 , u2 ). Soluci´ on. Tenemos, p + t~u = (x, y) + t(u1 , u2 ) = (x + tu1 , x + tu2 ) de donde, f (p) = f (x, y) = x2 + y 3 f (p + t~u ) = f (x + tu1 , x + tu2 ) = (x + tu1 )2 + (x + tu2 )3 = = x2 + 2xtu1 + t2 (u1 )2 + x3 + 3x2 tu2 + 3xt2 (u2 )2 + t3 (u2 )3 con lo que resulta, D~u f (x, y) = l´ım

t→0

f (p + t~u ) − f (p) = t

x2 + 2xtu1 + t2 (u1 )2 + y 3 + 3y 2 tu2 + 3yt2 (u2 )2 + t3 (u2 )3 − (x2 + y 3 ) = t→0 t
= l´ım 2xu1 + t(u1 )2 + 3y 2 u2 + 3yt(u2 )2 + t2 (u2 )3 = 2xu1 + 3y 2 u2

= l´ım

t→0

El c´ alculo de la derivada direccional aplicando la definici´ on resulta bastante engorroso, no obstante, el resultado de este ejemplo nos puede hacer intuir una propiedad que demostraremos m´ as adelante (ver teorema 4.5 en la p´ agina 240) D~u f = fx · u1 + fy · u2 . Es decir, la derivada direccional se puede obtener como la suma de los productos de las derivadas parciales por las componentes del vector unitario de direcci´ on. Esto nos permite obtener las derivadas direccionales de una manera mucho m´ as f´ acil que aplicando directamente la definici´ on. Sin embargo, esta f´ ormula no es v´ alida para todo tipo de funciones, sino solamente para las ((diferenciables)), de ah´ı que, en ocasiones, tengamos que acudir al inc´ omodo l´ımite de la definici´ on. Ejemplo 4.20. Comprobar que las derivadas direccionales calculadas en los on anterior. ejemplo 4.17 y 4.18 cumplen la relaci´ Soluci´ on. 1.

En el ejemplo 4.17 tenemos los siguientes datos: f (x, y) = x2 + 3xy 2 ,

p(1, 2)

 −1 −2  y ~u = √ , √ 5 5

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 224 CAP´ITULO 4. DERIVACION luego:

fx = 2x + 3y 2 fy = 6xy



fx (1, 2) = 2 + 12 = 14 fy (1, 2) = 12



de donde, −38 −14 −24 ∂f (p) = fx (p) · u1 + fy (p) · u2 = √ + √ = √ ∂~u 5 5 5 2.

En el ejemplo 4.18 tenemos los siguientes datos:  1 1 1  f (x, y) = xyz, p(1, 0, −1) y ~u = √ , √ , √ 3 3 3 luego:

de donde,

  fx = yz  fx (1, 0, −1) = 0  fy = xz fy (1, 0, −1) = −1   fz = xy fz (1, 0, −1) = 0

−1 −1 ∂f (p) = fx (p) · u1 + fy (p) · u2 + fz (p) · u3 = 0 + √ + 0 = √ ∂~u 3 3 Derivada direccional y continuidad. La existencia de todas las derivadas direccionales de una funci´ on en un punto no garantiza la continuidad de la funci´ on en dicho punto, ya que el c´ alculo de las derivadas direccionales equivale a acercarse al punto s´ olo mediante rectas. Ejemplo 4.21. Estudiar la continuidad y calcular todas las derivadas direccionales en el punto p(0, 0) de la funci´ on f : R2 → R definida por:  2  x y si (x, y) 6= (0, 0) x4 + y 2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0) Soluci´ on. 1.

Continuidad: La funci´ on no es continua en el punto p(0, 0), ya que no existe el l´ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto mediante las par´ abolas y = ax2 resulta: x2 y a x2 ax2 a = l´ ım = l´ım = 4 2 4 2 4 2 x→0 1 + a 1 + a2 (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) x + a x l´ım

y=ax2

x→0

luego el l´ımite no existe ya que depende del valor de a. Es decir, seg´ un la par´ abola por la que nos aproximemos al punto tendr´ıamos un valor del l´ımite u otro.

225

4.4. DIFERENCIABILIDAD 2.

4.4.

Existencia de las derivadas direccionales. A pesar de que la funci´ on no es continua en el punto p(0, 0), las derivadas direccionales en dicho punto existen en todas direcciones. En efecto, sea ~u = (a, b) ∈ R2 un vector unitario dado, ser´ a:
f (0, 0) + t(a, b) − f (0, 0) f (ta, tb) − f (0, 0) ∂f (0, 0) = l´ım = l´ım = t→0 t→0 ∂~u t t  (ta)2 (tb)   0 si b = 0 4 2 (ta) + (tb) = = l´ım t3 a2 b a2 t→0  t = si b 6= 0  l´ım 3 2 4 t→0 t (t a + b2 ) b

Diferenciabilidad

En esta secci´ on vamos a generalizar los conceptos de incremento y diferencial, as´ı como el concepto de diferenciabilidad a funciones de dos o m´ as variables. Recu´erdese que para una funci´ on de una variable, dada por y = f (x), se define el incremento como ∆y = f (x + ∆x) − f (x), y la diferencial como dy = f ′ (x) dx. Para funciones de dos variables, z = f (x, y), el incremento de la funci´ on se generaliza de manera natural. En efecto, llamando ∆x y ∆y a los incrementos de x e y respectivamente, el incremento de la funci´ on se define por ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) Sin embargo, la generalizaci´ on del diferencial no resulta tan natural. As´ı, si z = f (x, y) y ∆x y ∆y son los incrementos de x y de y, entonces, las diferenciales de las variables independientes x e y se van a definir como dx = ∆x

y

dy = ∆y

mientras que la diferencial total de la variabla z se va a definir mediante la expresi´ on: ∂z ∂z dz = dx + dy ∂x ∂y El porqu´e de esta definici´ on merece una extensa explicaci´ on. Por otro lado distinguiremos entre funci´ on derivable y funci´ on diferenciable. As´ı, diremos que una funci´ on de varias variables es derivable si existen sus derivadas parciales (en tal caso no queda asegurada la continuidad). Y diremos que es diferenciable cuando adem´ as de existir las derivadas parciales, ocurre algo m´ as, y ese algo m´ as tiene que garantizar la continuidad.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 226 CAP´ITULO 4. DERIVACION

4.4.1.

Generalizaci´ on del concepto de diferenciabilidad

Al generalizar un concepto de R a Rn , tratamos de conservar las propiedades importantes que consideremos en el caso uni-dimensional. Por ejemplo, en R la existencia de la derivada en un punto x implica la continuidad en el mismo. Sin embargo, para funciones de dos variable, hemos visto que la existencia de las derivadas parciales en un punto no implica la continuidad en ese punto, ni siquiera la existencia de todas las derivadas direccionales implica la continuidad. Por esta raz´ on las derivadas parciales, al igual que las derivadas direccionales, son una extensi´ on en cierto modo poco satisfactoria del concepto de derivada uni-dimensional. Por tanto, parece natural el deseo de tener una noci´ on de derivada para funciones de varias variables que implique la continuidad. Introducimos ahora una generalizaci´ on m´ as conveniente que implica la continuidad y, al propio tiempo, nos permite extender los principales teoremas de la teor´ıa de la derivada uni-dimensional a las funciones de varias variables. El concepto que mejor sirve a tal prop´ osito es la noci´ on de diferencial. Generalizaci´ on del concepto unidimensional. Para funciones de una sola variable f : D ⊆ R → R el concepto de diferenciabilidad se confunde con el concepto de derivabilidad, as´ı, una funci´ on y = f (x) es diferenciable en un punto x0 ∈ D sii posee derivada en ese punto. Sin embargo, para varias variables estos dos conceptos no son equivalentes. As´ı, para funciones de dos variable, hemos visto que la existencia de las derivadas parciales en un punto no implica la continuidad en ese punto, ni siquiera la existencia de todas las derivadas direccionales implica la continuidad. Esto nos obliga a buscar el verdadero significado del concepto de diferenciabilidad, separ´ andolo del concepto de derivabilidad, de manera que represente la “suavidad” de la funci´ on y de ´el se deduzca la continuidad, como ocurre en una variable. Recordemos que una funci´ on de una variable f : D ⊆ R → R se dice que es diferenciable en x0 ∈ D si el siguiente l´ımite existe y es finito: l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

En tal caso el valor del l´ımite se llama “derivada de f en x0 ” y se denota por f ′ (x0 ). Recordemos tambi´en que dicho l´ımite admit´ıa una segunda expresi´ on que era equivalente a la anterior: f (x0 + h) − f (x0 ) l´ım h→0 h Un primer intento para conseguir un concepto equivalente para funciones de varias variables ser´ıa copiar la definici´ on anterior extendi´endola a la nueva situaci´ on. Esto, sin embargo, conduce a una expresi´ on que carece de sentido. En efecto, para n variables tendr´ıamos: f (x) − f (x0 ) l´ım x→x0 x − x0 donde aparece una divisi´ on por un vector ~v = x − x0 , operaci´ on que carece de sentido con vectores de Rn , n > 1. Un segundo intento ser´ıa sustituir el vector del denominador por su norma o por su longitud orientada. Pero en este caso la expresi´ on carece de inter´es, ya que dicho l´ımite s´ olo existe en puntos muy concretos del dominio, con lo cual se trata de una propiedad muy restrictiva de dif´ıcil verificaci´ on, y, por lo tanto, deja de representar el concepto de funci´ on diferenciable. En efecto, para que exista el l´ımite, l´ım

x→x0

f (x) − f (x0 ) kx − x0 k

su valor ha de ser 0, ya que, por ejemplo, todas las derivadas direccionales en el punto x0 tienen que coincidir.

227

4.4. DIFERENCIABILIDAD

Esto hace que tengamos que replantearnos el concepto de funci´ on diferenciable de manera que la nueva visi´ on del concepto sea extendible a n variables. Replanteamiento del concepto. Partamos de la interpretaci´ on geom´etrica del concepto. Una funci´ on de una variable y = f (x) es diferenciable en un punto x0 de su dominio, si su gr´ afica tiene recta tangente en dicho punto. Pero, ¿qu´e entendemos por recta tangente a una curva en uno de sus puntos?. De todas las rectas que pasan por el punto ¿cu´ al es la recta tangente?. La recta tangente es una recta que toca a la curva en un punto, pero que, adem´ as, la curva se aplana en las proximidades del punto de tangencia, tratando de confundirse, “por un instante”, con la propia recta. Este aplanamiento en los alrededores del punto de tangencia, este “tratar de confundirse” con la recta tangente, es lo que hace que la curva sea suave y que se pueda aproximar mediante la recta tangente en los alrededores del punto de tangencia, y esto es lo que realmente caracteriza el concepto de funci´ on diferenciable.

y = f (x)

y 6 Q

f (x0 + h)

f (x0 )

P 

 

x0



r(h)  Recta tangente a la gr´afica 

o 



de y = f (x) en x = x0

f ′ (x0 )h

x-

x0 + h

Figura 4.3: Diferencial de una funci´on.
La recta tangente a la gr´ afica de la funci´ on y = f (x) en el punto P = x0 , f (x0 ) viene definida por la ecuaci´ on y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) Y en las proximidades del punto tenemos,

f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + r(h) donde r(h) es la distancia (vertical) entre la curva y la recta tangente. Este residuo r(h) es lo que nos va a permitir caracterizar el concepto de diferenciabilidad. En efecto, una primera observaci´ on nos hace ver que el residuo r(h) tiende a cero a medida que h tiende a cero. Sin embargo, este hecho no es importante en la definici´ on de diferenciabilidad, pues el que l´ımh→0 r(h) = 0 lo u ´nico que nos dice es que la funci´ on es continua en x0 , y seguir´ıa valiendo cero cualquiera que fuera la recta que pase por P , aunque no fuera la recta tangente, e incluso, aunque la funci´ on no tuviera tangente. Lo importante, cuando se estudia la diferenciabilidad de funciones, es que el residuo r(h) tiende a cero m´ as r´ apido de lo que lo hace h. Esto significa que: l´ım

h→0

r(h) =0 h

Gr´ aficamente, este l´ımite viene a significar el hecho de que la curva se “embarra” (“se confunde”) con la recta tangente en los alrededores del punto P . En otras palabras, la curva tiene que ser “suave”en P , para que “se pueda ver localmente como una recta”(su recta tangente). Tratemos de expresar estos conceptos de manera algebraica, desprendi´endolos de sus significados geom´etricos, con objeto de poderlos generalizar a varias variables. Una recta
cualquiera que pase por el punto P = x0 , f (x0 ) vendr´ a definida por la ecuaci´ on: y =

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 228 CAP´ITULO 4. DERIVACION f (x0 ) + A(x − x0 ), o lo que es lo mismo y = f (x0 ) + Ah donde A es la pendiente de la recta y h = x − x0 . Si queremos que, de todas las rectas que pasan por P , nuestra recta sea la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P , tendr´ a que cumplirse: r(h) =0 h Por lo tanto, podemos establecer la siguiente definici´ on de diferenciabilidad para funciones de una variable: f (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + r(h)

donde

l´ım

h→0

Definici´ on 4.4. Una funci´ on f : D ∈ R → R es diferenciable en x0 ∈ D si existe una constante A tal que r(h) =0 h Esta definici´ on es equivalente a la anterior, en efecto, despejando A de la expresi´ on anterior resulta: f (x0 + h) − f (x0 ) r(h) A= − h h de donde, al tomar l´ımite cuando h → 0 se ve la equivalencia entre la definici´ on de diferenf (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + r(h)

con

l´ım

h→0

ciabilidad y la existencia de la derivada, resultando A = f ′ (x0 ).

Generalizaci´ on para dos variables. Desde un punto de vista gr´ afico, una funci´ on de dos variable f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en un punto p(x0 , y0 ) de su dominio, si su gr´ afica tiene plano tangente en dicho punto. Pero, ¿qu´e entendemos por plano tangente a una superficie en uno de sus puntos?. De todos los planos que pasan por el punto, ¿cu´ al es el plano tangente?. El plano tangente es un plano que toca a la superficie en un punto, pero que, adem´ as, la superficie se aplana en las proximidades del punto de tangencia, tratando de confundirse, “por un instante”, con el propio plano. Este aplanamiento en los alrededores del punto de tangencia, este “tratar de confundirse” con el plano tangente, es lo que hace que la superficie sea suave y que se pueda aproximar mediante el plano tangente en los alrededores del punto de tangencia, y esto es lo que realmente caracteriza el concepto de funci´ on diferenciable.
Un plano cualquiera que pase por el punto P = x0 , y0 ; f (x0 , y0 ) vendr´ a definida por la ecuaci´ on: z = f (x0 , y0 ) + A(x − x0 ) + B(y − y0 ). Si queremos que este plano sea tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P , tendr´ a que cumplirse:
r(h, k) =0 f (x0 , y0 )+(h, k) = f (x0 , y0 )+Ah+Bk+r(h, k) con l´ım (h,k)→(0,0) k(h, k)k Por lo tanto, podemos establecer la siguiente definici´ on de diferenciabilidad para funciones de dos variables: Definici´ on 4.5 (Funci´ on diferenciable). Una funci´ on f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en el punto p(x0 , y0 ) ∈ D si existen dos constantes A y B tales que
f (x0 , y0 ) + (h, k) = f (x0 , y0 ) + Ah + Bk + r(h, k) con

r(h, k) =0 (h,k)→(0,0) k(h, k)k l´ım

f es diferenciable en la regi´ on D si es diferenciable en todo punto de D

229

4.4. DIFERENCIABILIDAD

4.4.2.

Diferenciabilidad y derivadas parciales

Proposici´ on 4.1 (Diferenciabilidad implica existencia de las derivadas parciales). Si una funci´ on f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en el punto p ∈ D, entonces existen sus derivadas parciales en dicho punto. Demostraci´ on. Supongamos que la funci´ on f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en el punto p(x0 , y0 ) ∈ D, entonces existen las constantes A y B tales que:
f (x0 , y0 )+(h, k) = f (x0 , y0 )+Ah+Bk+r(h, k) con

r(h, k) =0 (h,k)→(0,0) k(h, k)k l´ım

Ahora bien, poniendo h = (h, 0) en la expresi´ on anterior resulta: r(h, 0) r(h) f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) = = −A h h h de donde, al tomar l´ımite cuando h → 0 resulta   f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) r(h) = l´ım −A l´ım h→0 h→0 h h de donde obtenemos ∂f f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) h→0 h ∂x

A = l´ım

De manera an´ aloga, poniendo h = (0, k) obtenemos: f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 ) ∂f = (x0 , y0 ) k→0 k ∂y

B = l´ım

Se tiene, entonces, que una condici´ on necesaria para que una funci´ on f (x, y) sea diferenciable en un punto p = (x0 , y0 ) es que existan sus derivadas parciales en ese punto. Sin embargo, esta condici´ on no es suficiente, ya que la existencia de todas las derivadas parciales no garantiza la diferenciabilidad. No obstante, lo interesante de esta propiedad es su negaci´ on l´ ogica, o sea: Si una funci´ on no tiene todas sus derivadas parciales, entonces no es diferenciable. Como consecuencia de este resultado, podemos establecer la siguiente Proposici´ on 4.2. La funci´ on f : D ⊆ R2 → R definida en un conjunto abierto D de R2 , es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) ∈ D, si: 1.

Existen las derivadas parciales de f en p A=

∂f (x0 , y0 ), ∂x

B=

∂f (x0 , y0 ) ∂y

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 230 CAP´ITULO 4. DERIVACION 2.

El residuo r(h, k) definido en la expresi´ on:
f (x0 , y0 ) + (h, k) = f (x0 , y0 ) + Ah + Bk + r(h, k)

tiene la propiedad

r(h, k) =0 (h,k)→(0,0) k(h, k)k l´ım

Esta definici´ on de diferenciabilidad s´ı que garantiza la continuidad de la funci´ on en aquellos puntos en los que es diferenciable, como sucede con las funciones de una variable. Nota: Con objeto de recorda mejor la expresi´ on, el l´ımite que caracteriza la diferenciabilidad se puede expresar de la siguiente forma:
f (x0 , y0 ) + (h, k) − f (x0 , y0 ) − Ah − Bk r(h, k) √ l´ım = l´ım (h,k)→(0,0) k(h, k)k (h,k)→(0,0) h2 + k 2 Y llamando ∆f = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) y λ(h, k) = Ah + Bk resulta r(h, k) ∆f − λ(h, k) √ =0 = l´ım (h,k)→(0,0) k(h, k)k (h,k)→(0,0) h2 + k 2 l´ım

(4.2)

Con lo cual la proposici´ on 4.2 se puede enunciar de la siguiente forma: Corolario 4.1 (Caracterizaci´ on de la diferenciabilidad). La funci´ on f : D ⊆ R2 → R definida en un conjunto abierto D de R2 , es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) ∈ D, si: 1.

Existen las derivadas parciales de f en p A=

2.

∂f (x0 , y0 ), ∂x

B=

∂f (x0 , y0 ) ∂y

El siguiente l´ımite vale cero: l´ım

(h,k)→(0,0)

∆f − λ(h, k) r(h, k) √ =0 = l´ım k(h, k)k (h,k)→(0,0) h2 + k 2

donde, ∆f = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) y λ(h, k) = Ah + Bk Proposici´ on 4.3 (Segunda forma de la diferenciabilidad). Una funci´ on f dada por z = f (x, y) es diferenciable en (x, y) si ∆z puede expresarse en la forma ∆z = fx (x, y)∆x + fy (x, y)∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y donde ambos ε1 y ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0).

231

4.4. DIFERENCIABILIDAD

4.4.3.

La diferencial

Si la funci´ on f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) ∈ D, entonces a la parte lineal en h y k (λ(h, k) = Ah + Bk) de la expresi´ on del residuo
f (x0 , y0 )+(h, k) = f (x0 , y0 )+ Ah + Bk +r(h, k) con

l´ım

(h,k)→(0,0)

r(h, k) =0 k(h, k)k

se le llama diferencial de la funci´ on f en (x0 , y0 ) y se denota por df (x0 , y0 ). As´ı, df (x0 , y0 ) = Ah + Bk

Y dado que, como se vio en la proposici´ on 4.1, A y B representan las derivadas parciales de la funci´ on f en el punto (x0 , y0 ), resulta: df (x0 , y0 ) =

∂f ∂f (x0 , y0 )h + (x0 , y0 )k ∂x ∂y

Y teniendo en cuenta que si f (x, y) = x, se tiene h = dx y si f (x, y) = y, se tiene k = dy, podemos escribir: df (x0 , y0 ) =

∂f ∂f (x0 , y0 )dx + (x0 , y0 )dy ∂x ∂y

O de manera m´ as general: Definici´ on 4.6 (La diferencial). Si la funci´ on f : D ⊆ R2 → R es difer2 enciable en el conjunto abierto D de R , entonces, para cada x = (x, y) ∈ D, se llama diferencial de la funci´ on f en x y se denota por df , a la expresi´ on: df =

4.4.4.

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

(4.3)

Diferenciabilidad y continuidad

Teorema 4.3 (Diferenciabilidad implica continuidad). Si la funci´ on f : D ⊆ R2 → R definida en un conjunto abierto D de R2 , es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) ∈ D, entonces es continua en ese punto. Demostraci´ on. Si f es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) se tiene
f (x0 , y0 )+(h, k) = f (x0 , y0 )+Ah+Bk+r(h, k) con

r(h, k) =0 (h,k)→(0,0) k(h, k)k l´ım

Tomando l´ımite cuando (h, k) → (0, 0) y teniendo en cuenta que r(h, k) =0 (h,k)→(0,0) k(h, k)k l´ım

⇒

l´ım

(h,k)→(0,0)

r(h, k) = 0

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 232 CAP´ITULO 4. DERIVACION tenemos que l´ım

(h,k)→(0,0)


f (x0 , y0 )+(h, k) =

l´ım

(h,k)→(0,0)


f (x0 , y0 )+Ah+Bk+r(h, k) = f (x0 , y0 )

luego la funci´ on es continua en p = (x0 , y0 ).

El rec´ıproco no es cierto, ya que existen funciones continuas que no son diferenciables. Ejemplo 4.22. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen de la siguiente funci´ on y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto.   p xy si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) =  0 si (x, y) = (0, 0)

Soluci´ on.

(a) Continuidad en (0, 0): y xy p = l´ım x p = 0 · Acot = 0 = f (0, 0) l´ım (x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 luego la funci´ on es continua en (0, 0)

(b) Diferenciabilidad en (0, 0): Calculamos las derivadas parciales aplicando la definici´ on. h·0 ∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − 0 (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım h→0 h→0 h→0 ∂x h h

√

h2 + 02 =0 h 0·k √ f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − 0 ∂f 02 + k 2 (0, 0) = l´ım = l´ım = l´ım =0 k→0 k→0 k→0 ∂y k k k

luego, el candidato a diferencial es: λ(h, k) = 0h + 0k = 0 Por otro lado, el incremento de la funci´ on es: ∆f (0, 0) = f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) = f (h, k) − 0 = √

hk + k2

h2

luego, resulta el siguiente l´ımite

hk √ −0 2 2 ∆f − λ(h, k) r(h, k) h √ √ +k = l´ım = l´ım = l´ım (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) k(h, k)k h2 + k 2 h2 + k 2 hmh m hk = l´ım 2 = = l´ım k=mh h + m2 h2 1 + m2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2 h→0

Luego el l´ımite no existe, por depender de m, y en consecuencia la funci´ on no es diferenciable en (0, 0). Al no ser diferenciable resulta que df (0, 0) no existe, con lo cual λ(h, k) = 0h + 0k = 0 no tiene ninguna significaci´ on.

233

4.4. DIFERENCIABILIDAD

Ejemplo 4.23. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen de la siguiente funci´ on y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto. ( xy si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0) Soluci´ on. (a) Continuidad: Nos acercamos al origen a trav´es de la recta y = mx l´ım

(x,y)→(0,0) x2

xy m xmx = y=mx l´ım 2 = = f (m) 2 2 2 +y x +m x 1 + m2 x→0

luego la funci´ on no es continua en (0, 0) (b) Diferenciabilidad: Al no ser continua la funci´ on en el punto (0, 0) no puede ser diferenciable en dicho punto, en consecuencia resulta que df (0, 0) no existe. Ejemplo 4.24. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen de la siguiente funci´ on y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto. p f (x, y) = x2 + y 2

Soluci´ on.

(a) Continuidad: La funci´ on es continua en (0, 0), en efecto p p √ x2 + y 2 = 02 + 02 = 0+ = 0 = f (0, 0) l´ım (x,y)→(0,0)

(b) Diferenciabilidad: Las derivadas parciales en el origen no existen, en efecto ∂f f (h, 0) − f (0, 0) (0, 0) = l´ım = l´ım h→0 h→0 ∂x h

√ √ h2 + 02 − 0 h2 |h| = l´ım = l´ım h→0 h h→0 h h

y dicho l´ımite no existe, puesto que l´ım

h→0+

|h| =1 h

y

l´ım

h→0−

|h| = −1 h

Luego, la funci´ on no es diferenciable en el origen por no existir las derivadas parciales en dicho punto y ser la existencia de las derivadas parciales en un punto p una condici´ on necesaria para la diferenciabilidad de la funci´ on en dicho punto. En consecuencia resulta que df (0, 0) no existe. Ejemplo 4.25. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de la funci´ on f (x, y) = xy 2 en el origen y hallar su diferencial en ese punto.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 234 CAP´ITULO 4. DERIVACION Soluci´ on. Estudiemos primero la diferenciabilidad en el origen ( ) ) 2 f (x, y) = y f (0, 0) = 0 x x f (xy) = xy 2 λ(h, k) = 0h + 0k = 0 fy (x, y) = 2xy fy (0, 0) = 0 ∆f (0, 0) = f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) = f (h, k) − 0 = hk 2 luego, hk 2 − 0 ∆f − λ(h, k) r(h, k) √ √ = l´ım = = l´ım (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) k(h, k)k h2 + k 2 h2 + k 2 h = 0 · Acot = 0 = l´ım k2 √ 2 (h,k)→(0,0) h + k2 l´ım

Luego la funci´ on es diferenciable en (0, 0) y en consecuencia es continua en dicho punto. Al ser diferenciable resulta, df (0, 0) = λ(h, k) = 0h + 0k = 0 Ejemplo 4.26. Dada la funci´ on  2  x + y2 f (x, y) = xy  x+y

si x · y 6= 0 si x · y = 0

Calcula sus derivadas parciales en el punto (0, 0). Estudia su continuidad y diferenciabilidad en dicho punto.

Soluci´ on. Entendamos primero el significado de la expresi´ on que define la funci´ on. Para hallar la imagen de un punto (x, y) tenemos que determinar, primero, si las dos componentes son distintas de cero, o si alguna de las componentes es cero; y seg´ un el caso se le aplica una f´ ormula o la otra. Es decir, para x 6= 0 e y 6= 0, se tiene: f (x, y) =

x2 + y 2 , xy

f (x, 0) = x,

f (0, y) = y,

f (0, 0) = 0.

En consecuencia, Derivadas parciales en el punto (0, 0). Para calcular las derivadas parciales de la funci´ on en el punto (0, 0) utilizamos la definici´ on de derivada parcial. fx (0, 0) = l´ım

h→0

f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0) = l´ım = h→0 h h (h + 0) − (0 + 0) h = l´ım = l´ım = 1 h→0 h→0 h h

f (0, k) − f (0, 0) f (0, 0 + k) − f (0, 0) = l´ım = k→0 k→0 k k (0 + k) − (0 + 0) k = l´ım = l´ım = 1 k→0 k→0 k k

fy (0, 0) = l´ım

235

4.4. DIFERENCIABILIDAD

Continuidad en (0, 0). La funci´ on no es continua en el punto p(0, 0), ya que no existe el l´ımite en dicho punto.En efecto, si nos acercamos al punto mediante la recta y = x resulta: f (0, 0) = 0 + 0 = 0 l´ım

(x,y)→(0,0)

f (x, y) =

x2 + y 2 2x2 = l´ım 2 = 2 6= 0 = f (0, 0) x→0 x xy (x,y)→(0,0) l´ım

y=x

(el l´ımite no existe en el punto p(0, 0), ya que si nos acercamos al mismo a trav´es de la recta x = 0 se obtendr´ıa 0 como l´ımite). Diferenciabilidad en (0, 0). Al no ser continua en el punto (0, 0), la funci´ on no puede ser diferenciable en dicho punto. En consecuencia, la funci´ on no es ni continua ni diferenciable en el punto (0, 0) y, sin embargo, posee derivadas parciales en dicho punto.

4.4.5.

Diferenciabilidad de funciones de n variables

El concepto de diferenciabilidad se puede extender a funciones de cualquier n´ umero de variables, de manera an´ aloga a como se ha hecho al caso de dos variable. Definici´ on 4.7. Se dice que la funci´ on f : D ⊆ Rn → R definida en un conjunto abierto D de Rn , es diferenciable en el punto x0 = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, si existen las derivadas parciales de f en x0 ∂f Ai = (x0 ), i = 1, 2, . . . , n ∂xi y si el residuo r(h) definido en la expresi´ on: f (x0 + h) = f (x0 ) +

n X

Ai hi + r(h)

i=1

(donde h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn es tal que x0 + h ∈ D) tiene la propiedad l´ım

h→0

r(h) =0 khk

Esta definici´ on de diferenciabilidad tambi´en garantiza la continuidad de la funci´ on en aquellos puntos en los que es diferenciable, como sucede con las funciones de una y dos variable. Nota: Con objeto de recorda mejor la expresi´ on, el l´ımite que caracteriza la diferenciabilidad se puede expresar de la siguiente forma: P f (x0 + h) − f (x0 ) − n r(h) i=1 Ai hi p = l´ım l´ım h→0 khk (h,k)→(0,0) h21 + · · · + h2n P Y llamando ∆f = f (x0 + h) − f (x0 ) y λ(h) = n i=1 Ai hi resulta l´ım

h→0

La Diferencial

r(h) ∆f − λ(h) =0 = l´ım p h→0 khk h21 + · · · + h2n

Si la funci´ on f : D ⊆ Rn → R es diferenciable en el punto x0 = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, entonces

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 236 CAP´ITULO 4. DERIVACION a la parte lineal en hi , i = 1, 2, . . . , n (λ(h) = A1 h1 + · · · + An hn ) de la expresi´ on del residuo f (x0 + h) = f (x0 ) + A1 h1 + · · · + An hn + r(h)

con

l´ım

h→o

r(h) =0 khk

se le llama diferencial de la funci´ on f en x0 y se denota por df (x0 ). df (x0 ) = λ(h) = A1 h1 + · · · + An hn Y dado que los coeficientes Ai i = 1, . . . , n representan las derivadas parciales de la funci´ on f en el punto x0 , resulta df (x0 ) =

∂f ∂f (x0 )h1 + · · · + (x0 )hn ∂x ∂y

Y teniendo en cuenta que si f (x1 , . . . , xn ) = x1 , se tiene h1 = dx1 y si f (x1 , . . . , xn ) = xn , se tiene hn = dxn , podemos escribir: df (x0 ) =

∂f ∂f (x0 )dx1 + · · · + (x0 )dxn ∂x ∂y

Y, en general, podemos enunciar la siguiente Definici´ on 4.8 (La diferencial). Si la funci´ on f : D ⊆ Rn → R es diferenciable en el conjunto abierto D, entonces para cada x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, se llama diferencial de la funci´ on f en x, y se denota por df , a la expresi´ on df =

4.4.6.

∂f ∂f dx1 + · · · + dxn ∂x ∂y

Condici´ on suficiente para la diferenciabilidad

Hemos visto que ni la existencia de todas las derivadas parciales, ni, si quiera, la de todas las derivadas direccionales es suficiente para establecer la existencia de la diferencial (puesto que ni una ni otra implican la continuidad). Sin embargo, demostraremos que la existencia de las derivadas parciales ((continuas)) implica la existencia de la diferencial. Teorema 4.4 (Derivadas parciales continuas implican diferenciabilidad). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´ on definida en el conjunto abierto D de Rn . Si las funciones (derivadas parciales) ∂f ˜ : D ⊆ Rn → R, ∂xi

i = 1, 2, · · · , n,

˜ ⊆D D

˜ entonces f es diferenciable en x0 son continuas en el punto x0 ∈ D, Demostraci´ on. (Opcional, caso n = 2) Sea la funci´ on f : D ⊆ Rn → R tal que las funciones derivadas parciales sean continuas en un punto p = (x0 , y0 ). Sea x = (x, y) un punto pr´ oximo a p y sea q = (x0 , y0 + k). Tenemos:     ∆f = f (x) − f (p) = f (x) − f (q) + f (q) − f (p)

237

4.4. DIFERENCIABILIDAD

z

6 y0

x0 x

y -

p(x0 , y0 ) c2 • • • q(x0 , y0 + k) @ h • c1 @ @• x(x, y) k

Figura 4.4: valor medio.

Aplicando el teorema del valor medio en cada corchete, resulta ∆f = fx (c1 )h + fy (c2 )k Y al ser las parciales continuas en el punto p ser´ a:

∆f = fx (p) + ǫ1 h + fy (p) + ǫ2 k = fx (p)h + fy (c2 )k + ǫ1 h + ǫ2 k

Luego f es diferenciable en p

El rec´ıproco de este teorema no es cierto, ya que existen funciones diferenciables en un punto p y sin embargo sus derivadas parciales en dicho punto no son continuas. Por lo tanto, si las derivadas parciales no son continuas, entonces no podemos asegurar nada. No obstante, este teorema permite comprobar la diferenciabilidad de una funci´ on de una manera f´ acil, y se puede extender a un dominio D de la siguiente forma: Si las derivadas parciales son continuas en un dominio D entonces la funci´ on es diferenciable en ese dominio. Ejemplo 4.27. Estudiar la diferenciabilidad de las funciones (a) f (x, y) = xy 2

(b) g(x, y) = ex

2 +y 2

(c) h(x, y, z) = sen(x + y 2 − z 2 )

Soluci´ on. (a) Las derivadas parciales de la funci´ on f (x, y) = xy 2 son: fx (x, y) = y 2

fy (x, y) = 2xy

que, al ser polin´ omicas, son funciones continuas en R2 , luego la funci´ on es diferenciable en R2 . (b) Las derivadas parciales de la funci´ on g(x, y) = ex x2 +y 2

gx (x, y) = 2xe

2 +y 2

son:

x2 +y 2

gy (x, y) = 2ye

que, al ser producto de polin´ omica con exponencial compuesta con polin´ omica, son funciones continuas en R2 , luego la funci´ on es diferenciable en R2 .

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 238 CAP´ITULO 4. DERIVACION (c) Las derivadas parciales de la funci´ on h(x, y, z) = sen(x + y 2 − z 2 ) son: hx (x, y, z) = cos(x + y 2 − z 2 ) hy (x, y, z) = 2y cos(x + y 2 − z 2 ) hz (x, y, z) = −2z cos(x + y 2 − z 2 ) que, al ser producto y composici´ on de funciones elementales, son funciones continuas en R3 , luego la funci´ on es diferenciable en R3 .

4.4.7.

Caracterizaci´ on de las funciones diferenciables

Condiciones para la diferenciabilidad Recapitulando, podemos resumir las condiciones de diferenciabilidad de la siguiente forma: Condiciones necesarias de diferenciabilidad: Si la funci´ on es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. Si la funci´ on es diferenciable en un punto, entonces existen las derivadas parciales en ese punto. Condici´ on suficiente de diferenciabilidad: Si las derivadas parciales son continuas en un punto, entonces la funci´ on es diferenciable en ese punto. Los rec´ıprocos de los teoremas anteriores no son ciertos. Aunque lo que s´ı podemos utilizar son sus negaciones l´ ogicas. Condiciones necesarias de diferenciabilidad: Si la funci´ on no es continua en un punto, entonces no es diferenciable en ese punto. Si no existen las derivadas parciales en un punto, entonces la funci´ on no es diferenciable en ese punto. Condici´ on suficiente de diferenciabilidad: Si la funci´ on no es diferenciable en un punto, entonces las derivadas parciales no son continuas en ese punto. Para recordarlas podemos realizar el siguientes esquema gr´ afico Diferenciabilidad de las funciones elementales Con objeto de desarrollar una intuici´ on que permita detectar a priori la diferenciabilidad de las funciones de varias variables deben tenerse en cuenta las siguientes proposiciones

4.4. DIFERENCIABILIDAD '

'

#

Diferenciables Parciales continuas

"

&

$

'

$

Continuas

$

&

%

Diferenciables

%

&

%

$

'

Existen derivadas parciales

!

&

239

Figura 4.5: Parciales cont⇒diferenciable ⇒continua Diferenciable ⇒existen parciales

%

Proposici´ on 4.4. Toda funci´ on polin´ omica f : R2 → R,

f (x, y) =

n X

aij xi y j

i,j=0

es diferenciable en todo punto (x0 , y0 ) ∈ R2 Proposici´ on 4.5. (a) La suma y el producto de funciones diferenciables es otra funci´ on diferenciable. (b) El cociente de dos funciones diferenciables es otra funci´ on diferenciable en todos aquellos puntos que no anulen el denominador. Proposici´ on 4.6. La composici´ on de dos funciones diferenciables es otra funci´ on diferenciable. Ejemplo 4.28. Estudiar la diferenciabilidad de las funciones (a) f (x, y) =

x2 − xy + 1 x2 + y 2

(c) h(x, y) = x2 ex

(b) g(x, y) = ex

2 +y 2

+ sen

2 +y 2

1 − y2 1 + x2

Soluci´ on. (a) La funci´ on es diferenciable en R2 − {(0, 0)} por tratarse del cociente de dos funciones polin´ omicas y el u ´nico punto que anula el denominador es el (0, 0). (b) La funci´ on es diferenciable en todo R2 por tratarse de la composici´ on de dos funciones diferenciables. (c) La funci´ on es diferenciable en todo R2 por tratarse de suma de funciones diferenciables.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 240 CAP´ITULO 4. DERIVACION

4.4.8.

Diferenciabilidad y derivadas direccionales

on El c´ alculo de la derivada direccional aplicando el l´ımite (4.1) que aparece en la definici´ (p´ ag. 220) resulta un poco engorroso. No obstante, para las funciones diferenciables existe la posibilidad de calcular las derivadas direccionales de una manera mucho m´ as f´ acil. Como la suma de los productos de las derivadas parciales por las componentes del vector unitario de direcci´ on. En efecto, Teorema 4.5 (Derivada direccional y derivadas parciales). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´ on diferenciable en el punto x0 ∈ D, y sea u = (u1 , · · · , un ) un vector unitario. Entonces n X ∂f ∂f (x0 ) = (x0 )ui ∂u ∂x i i=1

Demostraci´ on. Al ser f diferenciable en x0 se tiene que: n X ∂f (x0 )hi + r(h) donde f (x0 + h) − f (x0 ) = ∂x i i=1

l´ım

h→0

r(h) =0 khk

Limitemos el incremento de la funci´ on f s´ olo a la direcci´ on marcada por el vector u. Para ello, escribamos el vector h como h = tu, t ∈ R, luego ser´ a: hi = tui , con lo cual nos queda n X ∂f f (x0 + tu) − f (x0 ) = (x0 )tui + r(tu) ∂x i i=1 de donde, dividiendo po t, resulta

n

X ∂f r(tu) f (x0 + tu) − f (x0 ) (x0 )ui + = t ∂x t i i=1

Y teniendo en cuenta que khk = ktuk = |t|kuk = |t|, pues el vector u es unitario. Es decir, t es la longitud orientada por u del vector h, es decir, la longitud de este vector con signo positivo, si el vector h tiene la misma direcci´ on que el vector u, y con signo negativo en caso contrario. Es decir, t = ±khk. Con lo cual decir que h → 0 equivale a decir que t → 0. En consecuencia tomando l´ımite en la expresi´ on anterior cuando t → 0, (y teniendo en cuenta que los primeros sumandos del 2o miembro no dependen de h ni de t) resulta n

l´ım

t→0

X ∂f r(h) f (x0 + tu) − f (x0 ) = (x0 )ui ± l´ım h→0 khk t ∂x i i=1

El l´ımite que aparece en el primer miembro es la derivada direccional de la funci´ on f en el punto x0 seg´ un la direcci´ on del vector unitario u (ver (4.1)), y el l´ımite que aparece en el segundo miembro es cero por ser la funci´ on diferenciable. En consecuencia resulta: n X ∂f ∂f (x0 ) = (x0 )ui ∂u ∂x i i=1 Ejemplo 4.29. Calcular, usando las derivadas parciales, la derivada direccional de la funci´ on f (x, y) = x2 + y 2 en el punto p(1, 1) en el sentido del vector que parte de p y forma un ´ angulo de 60o con el sentido positivo del eje OX. Soluci´ on. Hallamos el vector unitario de direcci´ on, ~u = (cos α, sen α) =

√ 1 3
, 2 2

Hallamos las derivadas parciales en el punto p(1, 1)  fx (1, 1) = 2 fx = 2x fy (1, 1) = 2 fy = 2y de donde,

D~u f (1, 1) = fx (1, 1)u1 + fy (1, 1)u2 = 2

√ √ 3 1 +2 =1+ 3 2 2

241

4.5. GRADIENTE

4.4.9.

La derivada seg´ un una direcci´ on curva

La derivada direccional tambi´en se puede aplicar para direcciones curvas. En este caso se entiende que el vector director es el vector tangente a la curva. Vector tangente a una curva plana

y6

f (x0 )

Como vector tangente podemos elegir cualquiera de los vectores siguientes, todos ellos paralelos entre s´ı:

y = f (x) *  dy

P  dx x0

~v T = (dx, dy) k (1,

-x



dy ) = 1, y ′ (x) k x′ (t), y ′ (t) dx

Figura 4.6: Vector tangente. Ejemplo 4.30. Calcular la derivada del campo escalar z = arctan(xy) en el punto p(1, 1), seg´ un la direcci´ on de la par´ abola y = x2 , en el sentido del crecimiento de la abscisa. Soluci´ on. Hallamos el vector tangente unitario a la par´ abola y = x2 , en el punto p(1, 1), con la primera componente positiva.
~v T = 1, y ′ (x) = (1, 2x) → ~v T (1, 1) = (1, 2) √

√

2 1 ~uT (1, 1) = ( √ , √ ) 5 5 Hallamos las derivadas parciales de la funci´ on en el punto p   ∂z y 1 1  de donde, ∂z  = (1, 1) = =   ∂x 1 + x2 y 2 ∂x 1+1 2 ∂z 1 1 1 2 3 ∂z x  = √ + √ = √  ∂z (1, 1) = x = 1   = 2 2 ∂~ u 2 2 T 5 5 5 2 ∂y 1+x y ∂y 1+1 2 |~v T (1, 1)| =

4.5.

Gradiente

4.5.1.

Definici´ on

1+4=

5

→

Si la funci´ on es diferenciable, entonces la derivada direccional y el diferencial recuerdan un producto escalar −→ D~u f = fx u1 + fy u2 = (fx , fy ) · (u1 , u2 ) = ∇f ·~u −→ df = fx dx + fy dy = (fx , fy ) · (dx, dy) = ∇f · ~v T Este resultado nos hace tener en consideraci´ on el vector cuyas componentes son las derivadas parciales de una funci´ on en un punto. As´ı, Dada una funci´ on diferenciable de dos variables, se llama vector gradiente de dicha funci´ on en un punto p, al vector cuyas componentes son las derivadas

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 242 CAP´ITULO 4. DERIVACION parciales de la funci´ on en dicho punto. Y se denota por cualquiera de los −→ s´ımbolos gradf (p), ∇f (p) o ∇f (p).   −→ ∂f ∂f gradf (p) = ∇f (p) = ∇f (p) = (p), (p) ∂x ∂y (El s´ımbolo ∇ se denomina ((nabla))). De manera an´ aloga se define el vector gradiente para tres o m´ as variables   −→ ∂f ∂f ∂f gradf (p) = ∇f (p) = ∇f (p) = (p), (p), (p) ∂x ∂y ∂z Formalmente la definici´ on es la siguiente: Definici´ on 4.9. Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´ on diferenciable definida en el conjunto abierto D de Rn . Se define el (vector) gradiente de la funci´ on f n en el punto x0 ∈ D, como el vector de R dado por   ∂f ∂f ∂f (x0 ), (x0 ), · · · , (x0 ) gradf (x0 ) = ∂x1 ∂x2 ∂xn Ejemplo 4.31. Hallar el vector gradiente de la funci´ on f (x, y) = x2 y + xy 3 en el punto (−1, 2) Soluci´ on. Hallamos las derivadas parciales y las evaluamos en el punto (−1, 2)  fx = 2xy + y 3 fx (−1, 2) = − 4 + 8 = 4 fy = x2 + 3xy 2 fy (−1, 2) = 1 − 12 = −11 de donde,

−→ ∇f (−1, 2) = (4, −11)

Ejemplo 4.32. Hallar el vector gradiente de la funci´ on f (x, y, z) = en un punto gen´erico. Soluci´ on. Hallamos las derivadas parciales  1   fx =   z   −→  1 1 −x − y  1 ∇f = , , fy =  z z z z   x+y   fz = − 2  z

Nota. Para funciones de una variable y = f (x) ten´ıamos que: df = f ′ (x)dx = f ′ (x) · h

x+y z

243

4.5. GRADIENTE Para funciones de varias variables tenemos que:   dx df = fx dx + fy dy = (fx , fy ) = ∇f · h dy

Si se comparan ambas expresiones, se observa que el gradiente, ∇f , puede pensarse como la generalizaci´ on del concepto de derivada para funciones de varias variables. Si bien, hay que advertir que mientras que la derivada de una funci´ on de una variable en un punto es un n´ umero, la derivada de una funci´ on de varias variables es un vector.

4.5.2.

Vector gradiente y derivada direccional

A partir del vector gradiente, la derivada direccional de una funci´ on diferenciable f en un punto p en la direcci´ on del vector unitario ~u , se puede expresar como un producto escalar −→ ∂f (p) = ∇f ·~u ∂~u Es decir, la derivada direccional de la funci´ on f en el punto p en la direcci´ on del vector unitario ~u es el producto escalar del vector gradiente de f en el punto p por el vector ~u. Este hecho permite obtener las siguientes propiedades Propiedades: Si la funci´ on f es diferenciable, se tiene: (a) Si en un punto p el gradiente es cero, entonces todas las derivadas direccionales en ese punto valen cero. ∇f (p) = 0

⇒

D~v f (p) = 0,

cualquiera que sea ~v

Es decir, si todas las derivadas parciales son nulas, entonces todas las derivadas direccionales tambi´en lo son. (b) La derivada direccional es m´ axima en la direcci´ on y sentido del gradiente, m´ınima en sentido contrario, y nula en la direcci´ on perpendicular al gradiente, adem´ as, el valor m´ aximo de esta derivada es el m´ odulo del gradiente. En efecto, teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores es el producto de los m´ odulos de los vectores por el coseno del a´ngulo −→ que forman, y llamando θ al a´ngulo que forman el gradiente ∇f y el vector de direcci´ on ~u, resulta −→ −→ −→ −→ ∂f (p) = ∇f ·~u = k∇f k · k~uk · cos θ = k∇f k · 1 · cos θ = k∇f kcos θ ∂~u Ahora bien, −1 ≤ cos θ ≤ 1, luego el valor m´ aximo del producto −→ k∇f kcos θ se obtiene cuando cos θ = 1 y el valor m´ınimo cuando

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 244 CAP´ITULO 4. DERIVACION cos θ = −1, es decir, −→ Cuando ∇f y ~u son vectores de la misma direcci´ on y sentido, se tiene θ = 0, y por lo tanto cos θ = 1, de donde, −→ −→ −→ −→ ∂f (p) = ∇f ·~u = k∇f k · k~uk · cos 0 = k∇f k · 1 · 1 = k∇f k ∂~u −→ Cuando ∇f y ~u son vectores de la misma direcci´ on pero de sentidos opuestos, se tiene θ = π, y por lo tanto cos θ = −1, de donde, −→ −→ −→ −→ ∂f (p) = ∇f ·~u = k∇f k · k~uk · cos π = k∇f k · 1 · (−1) = −k∇f k ∂~u −→ Y cuando ∇f y ~u son vectores perpendiculares, se tiene θ = π/2, y por lo tanto cos θ = 0, de donde, −→ −→ −→ ∂f (p) = ∇f ·~u = k∇f k · k~uk · cos π/2 = k∇f k · 1 · 0 = 0 ∂~u Esquem´ aticamente: −→ −→ ∇f ր ր ~u ⇒ D~u f (p) = k∇f (p)k M´ axima −→ −→ ∇f ր ւ ~u ⇒ D~u f (p) = −k∇f (p)k m´ınima −→ ∇f ⊥ ~u ⇒ D~u f (p) = 0 Ejemplo 4.33. La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una placa met´ alica, viene dada por T (x, y) = 20 − 4x2 − y 2 , midi´endose x e y en cent´ımetros. Desde el punto (2, 3) ¿En qu´e direcci´ on crece la temperatura m´ as r´ apidamente? ¿A qu´e raz´ on se produce ese crecimiento?. Soluci´ on: La direcci´ on de m´ aximo crecimiento es la direcci´ on del gradiente, y la raz´ on de ese crecimiento su m´ odulo, en consecuencia hallamos el gradiente y lo evaluamos en el punto (2, 3) −→ −→ ∇f = (Tx , Ty ) = (−8x, −2y) → ∇f (2, 3) = (−16, −6) luego la direcci´ on de m´ aximo crecimiento es la del vector −→ ~v = ∇f (2, 3) = (−16, −6) y la raz´ on de m´ aximo crecimiento es el m´ odulo de gradiente, luego, p √ −→ D~v T (2, 3) = k∇f (2, 3)k = k(−16, −6)k = 162 + 62 = 292 = 17′ 09o /cm.

Hay que hacer notar que aunque el gradiente apunta en la direcci´ on de m´ aximo crecimiento de la temperatura, no por eso apunta al lugar m´ as caliente de la placa. Es decir, el gradiente proporciona una soluci´ on local al problema. Una vez abandonada ese posici´ on, la direcci´ on de m´ aximo crecimiento puede cambiar, ya que la trayectoria de m´ aximo crecimiento no tiene por qu´e ser lineal.

245

4.6. PLANO TANGENTE

4.5.3.

Gradiente y curvas de nivel

z6 z = f (x, y) z=k

y −→ SS (( ∇f o ( : ((

p

x

~v T

Figura 4.7: Gradiente-curva de nivel.

Las curvas de nivel de la superficie de ecuaci´ on z = f (x, y) se obtienen d´ andole a z un valor num´erico concreto. En consecuencia, caminando sobre la curva de nivel, los valores de la funci´ on no cambian durante el recorrido. Es decir, al movernos por la superficie siguiendo una curva de nivel, los valores de la funci´ on se mantienen constante, y, por lo tanto, es de esperar que la derivada de la funci´ on en esa direcci´ on sea cero. Es decir, −→ D~uT f (p) = ∇f ·~uT = 0

Esto significa que en cada punto de una curva de nivel el vector gradiente es perpendicular al vector tangente a la curva de nivel y, en consecuencia, en cada punto de una superficie, el vector gradiente es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. Otra manera de verlo es la siguiente: En cada punto (x, y) de la curva de nivel se tiene f (x, y) = k, de donde, df (x, y) = 0, y por lo tanto, en ese punto, fx dx + fy dy = 0, de donde, expres´ andolo en forma vectorial resulta (fx , fy ) · (dx, dy) = 0

4.6. 4.6.1.

⇒

−→ ∇f ·~v T = 0

⇒

−→ ∇f ⊥ ~v T

Plano tangente Vectores normales

Vector tangente (a) A una curva plana. y6

f (x0 )

Como vector tangente podemos elegir cualquiera de los vectores siguientes, todos ellos paralelos entre s´ı:

y = f (x)

*  dy

P  dx x0

~v T = (dx, dy) k (1, x -


dy ) = 1, y ′ (x) dx

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 246 CAP´ITULO 4. DERIVACION

(b) A una superficie. De manera an´ aloga, a lo anterior ∂z ) ր ∂x ~v T = (dx, dy, dz) ∂z ց x = cte. → ~v T = (0, dy, dz) k (0, 1, ) ∂y y = cte. → ~v T = (dx, 0, dz) k (1, 0,

Vector normal a una curva plana Se llama vector normal a una curva, en un punto de la misma, al vector perpendicular a su recta tangente en dicho punto. An´ alogamente, se llama vector normal a una superficie, en un punto de la misma, al vector perpendicular a su plano tangente en dicho punto. Es evidente que si existe un vector normal entonces existen infinitos, ya que si ~v p es un vector normal, entonces tambi´en lo es λ~v p , con λ ∈ R (a) Curvas dadas de forma expl´ıcitas y = f (x) Dada una funci´ on de una variable y = f (x) y un punto (x0 , y0 ) de la misma, el vector tangente
a su gr´ afica en dicho punto vendr´ a definido por (dx, dy),
o bien, h, f ′ (x0 )h , o m´ as simplificado, ~v T = 1, f ′ (x0 ) , y en consecuencia, el vector normal a la curva en el punto (x0 , y0 ) vendr´ a definido por
~v p = −f ′ (x0 ), 1 y = f (x)

y 6 f (x0 + h)

f (x0 )

Q    *o AK~v p   A dy f ′ (x0 )h P A dx  h  xx0 x0 + h

Figura 4.8: Vector normal a una curva. Donde se ha tenido en cuenta que para calcular un vector perpendicular a otro conocido del plano basta con cambiar las coordenadas de orden y una de ellas de signo. (b) Curvas dadas en forma impl´ıcita F (x, y) = 0 Dada una curva plana de ecuaci´ on y = f (x), igualando a cero (o a una constante) la ecuaci´ on, podemos considerar la curva y − f (x) = 0 como una curva de nivel de una funci´ on de dos variables F (x, y) = 0, siendo F (x, y) = y − f (x), con lo cual el vector gradiente de esta funci´ on ser´ a un

247

4.6. PLANO TANGENTE vector normal a la curva dada. ~v p = ∇F

Ejemplo 4.34. Hallar el vector normal a la par´ abola de ecuaci´ on y = x2 en el punto (1, 1) Soluci´ on. Igualando la ecuaci´ on a cero, resulta y 6 4

y = x2

y = x2 → y−x2 = 0 → F (x, y) = y−x2 de donde,

3



~v T 2 YH ~v H Hp
1 H
P −2 −1

1

x 2

Fx (x, y) = −2x Fx (x, y) = 1



∇F (x, y) = (−2x, 1)

luego,

2

Figura 4.9: y = x

~v p = ∇F (1, 1) = (−2, 1)

Vector normal a una superficie (a) Superficies dadas de forma expl´ıcitas z = f (x, y) El vector normal ~v p a una superficie S en un punto P de la misma, ser´ a un vector perpendicular al plano tangente a la superficie en dicho punto. Ahora bien, el vector perpendicular al plano tangente en el punto P ser´ a perpendicular a cualquier recta tangente a la superficie en dicho punto. Un vector, gen´erico, tangente a la superficie viene dado por las componentes (dx, dy, dz). En particular, los vectores tangentes a la superficie, en el punto P , en las direcciones de los ejes OX y OY vienen dados respectivamente por:     ∂f ∂f (x0 , y0 ) , ~v T y = 0, 1, (x0 , y0 ) ~v T x = 1, 0, ∂x ∂y El vector normal a la superficie ha de ser perpendicular a los dos vectores ~v T x y ~v T y , luego se puede obtener a partir del producto vectorial de los mismos, as´ı i j k
~v p = ~v T x ×~v T y = 1 0 fx (x0 , y0 ) = − fx (x0 , y0 ), −fy (x0 , y0 ), 1 0 1 fy (x0 , y0 )

nota: Para que la existencia del plano tangente en el punto P (x0 , y0 , z0 ) est´e garantizada, la funci´ on ha de ser diferenciable en el punto p(x0 , y0 ) (b) Superficies dadas de forma impl´ıcita F (x, y, z) = 0 Dada una superficie de ecuaci´ on z = f (x, y), igualando a cero (o a una

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 248 CAP´ITULO 4. DERIVACION constante) la ecuaci´ on, podemos considerar la superficie z − f (x, y) = 0 como una “superficie de nivel”de una funci´ on de tres variables F (x, y, z) = 0 siendo F (x, y, z) = y −f (x, y), con lo cual el vector gradiente de esta funci´ on ser´ a un vector normal a la superficie dada. ~v p = ∇F Es evidente que si la funci´ on viene definida de manera expl´ıcita z = f (x, y), entonces ambos procedimientos coinciden. En efecto, haciendo F (x, y, z) = z − f (x, y), resulta ~v p = ∇F = (Fx , Fy , Fz ) = (−fx , −fy , 1) Ejemplo 4.35. Hallar un vector perpendicular al plano 3x − y + 2z = 3 Soluci´ on. Consideramos la funci´ on: F (x, y, z) = 3x − y + 2z, de donde Fx = 3,

Fy = −1 Fz = 2

luego, ~v p = ∇F = (3, −1, 2) Ejemplo 4.36. Hallar un vector perpendicular a la superficie x2 + yz = 5 en el punto (1, 2, 2) Soluci´ on. Consideramos la funci´ on: F (x, y, z) = x2 + yz, de donde Fx = 2x,

Fy = z

Fz = y

→

∇f = (2x, z, y)

luego, ~v p = ∇F (1, 2, 2) = (2, 2, 2)

4.6.2.

Plano tangente

Consideraciones geom´ etricas Ecuaci´ on de un plano Para hallar la ecuaci´ on de una recta, de una curva, de un plano, o de cualquier lugar geom´etrico, el procedimiento habitual es el denominado del “punto gen´erico”, que consiste en suponer un punto gen´erico X de la figura geom´etrica correspondiente y relacionarlo con los datos que disponemos. Buscaremos una relaci´ on que vincule al punto X con los datos del problema y que cumplan los puntos de la figura geom´etrica y s´ olo ellos. La relaci´ on puede ser vectorial, trigonom´etrica o de cualquier tipo. (a) Ecuaci´ on de un plano conocido un punto del mismo y dos vectores paralelos al plano, pero no paralelos entre s´ı. Si unimos el punto P con el punto X mediante −−→ el vector P X, resultar´ a que los tres vectores ~ u, ~v −−→ an linealy P X son coplanarios y por lo tanto ser´ mente dependientes y, en consecuencia, el determi3 ~v :• X nante de la matriz de sus componentes ser´ a cero. P •  ~ u −→ −−→ − PX  P X Linealmente dependientes ⇐⇒ ~ u = 0 ~ u  ~v ~v

4.6. PLANO TANGENTE

249

(b) Ecuaci´ on de un plano conocido un punto del mismo y un vector normal al plano. Si unimos el punto P con el punto X mediante el ~n 6 −−→ −−→ vector P X, resultar´ a que los vectores P X y ~n son perpendiculares y por lo tanto su producto escalar -• X P • ser´ a cero. −−→ −−→ ~n ⊥ P X ⇐⇒ ~n · P X = 0

Plano tangente Desde el punto de vista geom´etrico se llama plano tangente a una superficie en un punto al plano que contiene a todas las rectas tangentes a la superficie en dicho punto, o mejor dicho, a las rectas tangentes de todas las curvas trazadas sobre la superficie que pasan por el punto. Si todas las tangentes no est´ an sobre el mismo plano, entonces se dice que el plano tangente no existe. Desde el punto de vista anal´ıtico para que exista el plano tangente a una superficie en un punto de la misma, la funci´ on que define la superficie ha de ser diferenciable en el punto correspondiente. (a) Superficies dadas de forma expl´ıcita z = f (x, y) El plano tangente ha de contener todas las rectas tangentes a la superficie en el punto correspondiente, luego, en particular, ha de contener las rectas tangentes en las direcciones de los ejes OX y OY , por lo tanto, los vectores     ∂f ∂f (x0 , y0 ) , ~v T y = 0, 1, (x0 , y0 ) ~v T x = 1, 0, ∂x ∂y ser´ an paralelos al plano buscado.
Por tanto el plano tangente buscado contiene al
punto x0 , y0 ; f (x0 , y0 )
y es paralelo a los vectores ~v T x = 1, 0, fx (x0 , y0 ) y ~v T y = 0, 1, fy (x0 , y0 ) , por lo que su ecuaci´ on ser´ a: x − x0 y − y0 z − z0 1 0 fx (x0 , y0 ) = 0 0 1 fy (x0 , y0 ) de donde resulta z − z0 − fx (x0 , y0 )(x − x0 ) − fy (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0 que se puede expresar de la forma: z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) o bien, despejando z, y poniendo z0 = f (x0 , y0 ) resulta z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )

(4.4)

NOTA: Si la funci´ on no es diferenciable, entonces la ecuaci´ on anterior no representa el plano tangente, ya que en este caso el plano tangente no existe. Es decir, si la funci´ on no es diferenciable, pero tiene derivadas parciales,

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 250 CAP´ITULO 4. DERIVACION podemos construir la ecuaci´ on anterior, pero en este caso dicha ecuaci´ on no representa el plano tangente, sino simplemente un plano que pasa por el punto (x0 , y0 ). Al mismo resultado llegamos sabiendo que el vector ~v p = (−fx , −fy , 1) − → es perpendicular al plano buscado. En este caso ser´ a ~v p · px = 0, y en consecuencia obtenemos el mismo resultado. −fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) − fy (x0 , y0 ) · (y − y0 ) + z − z0 = 0 de donde, z − z0 = fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 ) que es el mismo resultado anterior. Ejemplo 4.37. Hallar la ecuaci´ on del plano tangente al paraboloide z = x2 + y 2 en el punto P (2, −1; 5) Soluci´ on. Hallamos el gradiente en el punto p(2, −1)   zx (2, −1) = 4 zx = 2x ∇z(2, −1) = (4, −2) zy (2, −1) = −2 zy = 2y de donde: z − 5 = 4(x − 2) − 2(y + 1) o bien, simplificando, 4x − 2y − z = 5

(b) Superficies dadas de forma impl´ıcita F (x, y, z) = 0

Supongamos que la superficie viene definida de manera impl´ıcita, mediante la ecuaci´ on F (x, y, z) = 0. Si la funci´ on viene definida de manera expl´ıcita z = f (x, y), f´ acilmente puede convertirse a la forma impl´ıcita. En efecto, dada una superficie de ecuaci´ on z = f (x, y), igualando a cero (o a una constante) obtenemos la ecuaci´ on, z − f (x, y) = 0, y la podemos considerar definida de manera impl´ıcita. Por tanto tenemos la ecuaci´ on z − f (x, y) = 0 que puede considerarse como una “superficie de nivel ”de una funci´ on de tres variables F (x, y, z) = 0, siendo F (x, y, z) = y − f (x, y), con lo cual en cada punto (x, y, z) el vector gradiente de esta funci´ on ser´ a un vector normal a la superficie dada. ~v p = ∇F En consecuencia, el plano tangente a la superficie en el punto P (x0 , y0 , z0 ) ser´ a el plano que contiene a P y tiene por vector normal a ∇F (x0 , y0 , z0 ). Para hallar su ecuaci´ on, tomamos un punto gen´erico X(x, y, z) del plano, y −→ tendr´ a que ser ∇F (x0 , y0 , z0 ) ⊥ P X, y en consecuencia su producto escalar −→ ha de ser cero ∇F (x0 , y0 , z0 ) · P X = 0, luego su ecuaci´ on ser´ a: ∂F ∂F ∂F (x0 , y0 , z0 )·(x−x0 )+ (x0 , y0 , z0 )·(y −y0 )+ (x0 , y0 , z0 )·(z −z0 ) = 0 (4.5) ∂x ∂y ∂z

4.6. PLANO TANGENTE

251

Recta normal Se llama recta normal a una superficie S en un punto P (x0 , y0 , z0 ) de la misma, a la recta que pasa por P y tiene por vector director al vector normal a la superficie en dicho punto. Es decir, la recta perpendicular al plano tangente a la superficie en P . Teniendo en cuenta que el vector normal a la superficie en el punto P (x0 , y0 , z0 ) es ∇F (x0 , y0 , z0 ), podemos concluir que la ecuaci´ on de la recta normal a la superficie en el punto P viene definida por las ecuaciones: x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )

(4.6)

Ejemplo 4.38. Hallar la ecuaci´ on del plano tangente y de la recta normal al paraboloide de ecuaci´ on z 2 − 2x2 − 2y 2 − 12 = 0, en el punto (1, −1, 4) Soluci´ on: Consideramos la funci´ on F (x, y, z) = z 2 −2x2 −2y 2 −12 y hallamos su gradiente en el punto (1, −1, 4)   Fx = −4x  Fx (1, −1, 4) = −4  Fy = −4y Fy (1, −1, 4) = 4 ∇F (1, −1, 4) = (−4, 4, 8) k (−1, 1, 2)   Fz = 2z Fz (1, −1, 4) = 8

Luego el plano tangente es: −1(x−1)+1(y +1)+2(z −4) = 0 y simplificando resulta x − y − 2z + 6 = 0 y la recta normal

y+1 z−4 x−1 = = −1 1 2

Existencia del plano tangente

Para construir la ecuaci´ on del plano tangente a una superficie en un punto lo u ´nico que necesitamos son las derivadas parciales de la funci´ on en dicho punto, sin embargo, no siempre dicha ecuaci´ on representa al plano tangente. Para que la ecuaci´ on (4.4) represente, realmente, el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P (x0 , y0 , z0 ) es necesario que la funci´ on f sea diferenciable en el punto p(x0 , y0 ). No debe olvidarse que las derivadas parciales pueden existir, incluso, en puntos donde la funci´ on no es ni siquiera continua, y no tiene sentido hablar de plano tangente en dichos puntos. El concepto geom´etrico de tangencia es el mismo que el concepto anal´ıtico de diferenciabilidad. As´ı, si la funci´ on f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en p(x0 , y0 ) entonces diremos que la ecuaci´
on (4.4) define al plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P x0 , y0 ; f (x0 , y0 ) . Si la funci´ on no es diferenciable en el punto p(x0 , y0 ), entonces el plano tangente a la superficie en el punto correspondiente no existe, con lo cual el plano obtenido con la ecuaci´ on (4.4) no representa al plano tangente en el sentido preciso que se entiende en matem´ aticas. Formalmente podemos enunciar la siguiente Definici´ on 4.10 (Plano tangente y recta normal). Si F es diferenciable en el punto P (x0 , y0 , x0 ) de la superficie S dada por F (x, y, z) = 0 tal que ∇F (x0 , y0 , z0 ) 6= 0. 1.

El plano que pasa por P y es normal a ∇F (x0 , y0 , z0 ) se conoce como el plano tangente a S en P .

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 252 CAP´ITULO 4. DERIVACION 2.

La recta que pasa por P y que tiene la direcci´ on de ∇F (x0 , y0 , z0 ) se conoce como la recta normal a S en P .

Significado geom´ etrico de la tangencia Si la funci´ on f es diferenciable en el punto p(x0 , y0 ), ser´ a: f (x0 +h, y0 +k) = f (x0 , y0 )+

r(h, k) ∂f ∂f (x0 , y0 )h+ (x0 , y0 )k+r(h, k) con l´ım =0 (h,k)→(0,0) k(h, k)k ∂x ∂x

con lo cual, poniendo h = x − x0 , k = y − y0 , la expresi´ on anterior se convierte en: f (x, y) = f (x0 , y0 ) +

∂f ∂f (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ) + r(x − x0 , y − y0 ) ∂x ∂x donde

l´ım

(x,y)→(x0 ,y0 )

z

Ahora bien, teniendo en cuenta la ecuaci´ on del plano tangente

6

f (x)• r   z   •   f (p)•   @     @· y0 p k x0 • t h @ @• x x

r(x − x0 , y − y0 ) =0 k(x − x0 , y − y0 )k

z = f (x0 , y0 )+fx (x0 , y0 )(x−x0 )+fy (x0 , y0 )(y−y0 )

y -

donde z representa la altura en el punto x = (x, y) hasta el plano tangente. Resulta que el residuo r(x − x0 , y − y0 ) se puede expresar como r(x − x0 , y − y0 ) = f (x, y) − z

Es decir, el residuo es la diferencia entre la z de la funci´ on z = f (x, y) en el punto x = (x, y) y la z en el mismo punto del plano tangente a la gr´ afica en p = (x0 , y0 ) El hecho de que f sea diferenciable en p = (x0 , y0 ) no s´ olo nos dice que r es muy peque˜ no en torno al punto p, sino, adem´ as, que es mucho m´ as peque˜ no que la distancia de p a x, → . El hecho de que el residuo r → 0 cuando x → p s´ es decir r << k− pxk olo nos dice que la funci´ on es continua en p. Lo que realmente da el car´ acter de tangencia es el hecho de que r → → 0 cuando x → p. Este hecho geom´etricamente viene a significar que la superficie k− pxk se aplana en los alrededores del punto p tratando de confundirse, por un instante con el plano tangente.

Figura 4.10: Plano tangente.

4.6.3.

Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio

(a) Curvas dadas en forma param´ etrica Ejemplo 4.39. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva x=t

y = t2

z = t3

en el punto t = 1 Soluci´ on. Hallamos las coordenadas del punto P y del vector tangente ~vT correspondientes al valor del par´ ametro t = 1 t = 1 → P (1, 1, 1)   ′ x (t) = 1  x′ (1) = 1  ′ ′ y (1) = 2 y (t) = 2t ~vT = (1, 2, 3)   ′ z (1) = 3 z ′ (t) = 3t2 de donde,

253

4.6. PLANO TANGENTE

z6 f (p)

•

~vT

-

z0 y0 x0 x

p

y -

Las coordenadas de un punto gen´erico X(x, y, z) de la curva vendr´ an dadas en funci´ ametro t, re
on del par´ sultando X x(t), y(t), z(t) . En consecuencia, el vector tangente en dicho punto gen´erico ser´ a
′ ′ ′ ~vT = x (t), y (t), z (t) , de donde resultan

•

(a) Recta tangente en el punto P (x0 , y0 , z0 ) x − x0 y − y0 z − z0 = ′ = ′ x′ (t0 ) y (t0 ) z (t0 )

Figura 4.11: curva en el espacio

(b) Plano normal en el punto P (x0 , y0 , z0 ) x′ (t0 )(x−x0 )+y ′ (t0 )(y−y0 )+z ′ (t0 )(z−z0 ) = 0

(a) Recta tangente en el punto P (1, 1, 1) x−1 y−1 z−1 = = 1 2 3 (b) Plano normal en el punto P (1, 1, 1) 1(x − 1) + 2(y − 1) + 3(z − 1) = 0 Ejemplo 4.40. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva x=t−2

y = 3t2 + 1

z = 2t3

en el punto donde corta al plano yz Soluci´ on. En el punto donde la curva corta al plano yz ser´ a x = 0, luego t − 2 = 0, de donde t = 2. En consecuencia.

de donde,

t = 2 → P (0, 13, 16)   x′ (t) = 1  x′ (2) = 1  y ′ (t) = 6t y ′ (2) = 12 ~vT = (1, 12, 24)  ′  z ′ (t) = 6t2 z (2) = 24

(a) Recta tangente en el punto P (0, 13, 16) x y − 13 z − 16 = = 1 12 24 (b) Plano normal en el punto P (0, 13, 16) x + 12(y − 13) + 24(z − 16) = 0

→

x + 12y + 24z − 540 = 0

Curvas dadas como intersecci´ on de dos superficies Sean las superficies definidas por las ecuaciones F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0. Dichas superficies se cortar´ an en la curva definida por el sistema de ecuaciones: y − y0 z − z0 x − x0 = = (a) Recta tangente en el punto P (x0 , y0 , z0 ) v1 v2 v3 (b) Plano normal en el punto P (x0 , y0 , z0 ) v1 (x − x0 ) + v2 (y − y0 ) + v3 (z − z0 ) = 0

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 254 CAP´ITULO 4. DERIVACION ∇F

6

~vT

F



Los vectores gradientes ∇F y ∇G en cualquier punto de la curva de corte ser´ an normales a sus respectivas superficies y por tanto ser´ an normales a la curva de G corte, en consecuencia el vector perpendicular a ambos definido por su producto vectorial ~vT = ∇F ×∇G ser´ a tangente a la curva de corte, de donde, si sus comcurva en el espacio ponentes son ~vT = (v1 , v2 , v3 ) resultan

•

Figura 4.12:

∇G

 3 

F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0

Ejemplo 4.41. Hallar la ecuaci´ on de la recta tangente y del plano normal a la curva definida por la intersecci´ on del elipsoide x2 +4y 2 +2z 2 = 27 y el hiperboloide x2 +y 2 −2z 2 = 11 en el punto P (3, −2, 1) Soluci´ on. Hallamos los vectores gradientes en    Fx = 2x  Fy = 8y F (x, y, z) = x2 + 4y 2 + 2z 2   Fz = 4z    Fx = 2x  2 2 2 Fy = 2y G(x, y, z) = x + y − 2z   Fz = −4z

luego, el vector tangente ser´ a: i j ~vT = 6 −16 6 −4 y en consecuencia

el punto P (3, −2, 1)  Fx = 6  Fy = −16 ∇F (3, −2, 1) = (6, −16, 4)  Fz = 4  Fx = 6  Fy = −4 ∇G(3, −2, 1) = (6, −4, −4)  Fz = −4

k 4 = (80, 48, 72) = 8(10, 6, 9) −4

(a) Recta tangente en el punto P (3, −2, 1) x−3 y+2 z−1 = = 10 6 9 (b) Plano normal en el punto P (3, −2, 1) 10(x − 3) + 6(y + 2) + 9(z − 1) = 0

4.6.4.

La diferencial como aproximaci´ on del incremento

Sea f : D ⊆ R2 → R una funci´ on diferenciable en el conjunto abierto D de R2 . Entonces, para cada x ∈ D tendremos f (x + h) = f (x) +

∂f ∂f h1 + h2 + r(h) ∂x ∂x

donde

l´ım

h→0

r(h) =0 khk

on, Vimos en la definici´ on (4.3) que a la parte lineal en h1 y h2 de esta expresi´ λ(h1 , h2 ) = fx h1 + fy h2 , se le llama diferencial de la funci´ on f en el punto x = (x, y) y se denota por df (x, y), o simplemente por df . Es decir, df =

∂f ∂f h1 + h2 ∂x ∂y

255

4.6. PLANO TANGENTE

Y teniendo en cuenta que si f (x, y) = x, se tiene h1 = dx y si f (x, y) = y, se tiene h2 = dy, podemos escribir: df =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

z

6

f (x + h)• r   •z     •   f (x)     @ df  @· y +-h2 y x h 2 x • h1 @ t @ @• x + h x + h1

Figura 4.13: ∆f ≈ df Con lo cual resulta f (x + h) = f (x) + df (x) + r(h) Ahora bien, dado que l´ımh→0 r(h) = 0 se tiene que, para khk peque˜ no, ser´ a r(h) ≈ 0 y en consecuencia f (x + h) ≈ f (x) + df (x) Si observamos la gr´ afica 4.13, vemos que se tiene, f (x + h) ≈ z Es decir, la z de la funci´ on z = f (x + h) en el punto x + h = (x + h1 , y + h2 ), coincide, de manera aproximada, con la z, en el mismo punto, del plano tangente a la gr´ afica en un punto cercano x = (x, y) Lo anterior tambi´en se puede expresar de la forma f (x + h) − f (x) ≈ df (x) Es decir, ∆f ≈ df Geom´etricamente se pueden dar las siguientes interpretaciones:

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 256 CAP´ITULO 4. DERIVACION (a) El valor aproximado de una funci´ on f (x), en un punto x, se puede obtener sustituyendo el valor de x en la ecuaci´ on del plano tangente, en un punto cercano x0 , pr´ oximo a x. Es decir, para hallar el valor aproximado de una funci´ on en un punto, calculamos la ecuaci´ on del plano tangente, en un punto cercano, y sustituimos las coordenadas del punto sobre la ecuaci´ on de dicho plano. (b) Al pasar del punto x al punto cercano x + h, el incremento que sufre la funci´ on ∆f = f (x + h) − f (x) coincide, de manera aproximada, con el diferencial df . Es decir, la diferencial de una funci´ on es una buena aproximaci´ on del incremento Puesto que el plano tangente, y en general cualquier plano en el espacio, se representa por una ecuaci´ on lineal en las variables x, y y z, llamamos a esta aproximaci´ on de la funci´ on mediante su plano tangente, o lo que es lo mismo a la aproximaci´ on del incremento por el diferencial, aproximaci´ on lineal. C´ alculo de valores aproximados Los resultados anteriores nos sirven para calcular valores aproximados. En efecto, supongamos que queremos calcular, aunque sea de manera aproximada, el valor de una funci´ on en un punto (x, y), pero no sabemos calcular el valor de la funci´ on en dicho punto, f (x, y), o dicho c´ alculo resulta extremadamente complicado; y sin embargo, supongamos que sabemos calcular el valor de la funci´ on y el de sus derivadas parciales en un punto cercano (x0 , y0 ). Pues bien, podemos utilizar el valor de la funci´ on y el de su derivadas parciales en este punto (x0 , y0 ) para calcular el valor aproximado de la funci´ on en el punto desconocido (x, y). Para hacer c´ alculos aproximados de operaciones podemos utilizar cualquiera de las dos opciones: (a) Para hallar el valor aproximado de una funci´ on en un punto, calculamos la ecuaci´ on del plano tangente, en un punto cercano, y sustituimos las coordenadas del punto sobre la ecuaci´ on de dicho plano. f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fx (x0 , y0 )(y − y0 ) (b) Aproximar el incremento mediante la diferencial f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 ) Hay que advertir que estas aproximaciones s´ olo ser´ an validas para valores muy cercanos al punto conocido y para funciones diferenciables. Ejemplo 4.42. Comparar el incremento con el diferencial del a ´rea de un rect´ angulo.

257

4.6. PLANO TANGENTE

Soluci´ on. Incrementemos los lados de un rect´ angulo x e y, en dx y dy, respectivamente. El ´ area del rect´ angulo viene definida por a = x · y, de donde: El incremento del ´ area ser´ a: ∆a = ydx + xdy + dxdy dy

xdy

y

Y el diferencial

dxdy

∂a =y ∂x ∂a =x ∂y

ydx x

dx

  

da = ydx + xdy

 

En consecuencia, ∆a = da + dxdy Es decir ∆a = da + r(h, k)

Figura 4.14: ∆a ≈ da

Ejemplo 4.43. Dada la superficie de ecuaci´ on z = xexy−2 se pide: (a) Hallar la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie dada en el punto P (2, 1, 2). (b) Usar el plano tangente para obtener una aproximaci´ on del valor de la funci´ on en el punto q(1′ 9, 1′ 02). Soluci´ on. (a) El plano tangente viene definido por la ecuaci´ on: z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) para lo cual fx = exy−2 + xyexy−2 fy = x2 exy−2



fx (2, 1) = e0 + 2 · 1 · e0 = 1 + 2 = 3 fy (2, 1) = 4e0 = 4

de donde, la ecuaci´ on del plano tangente es z − 2 = 3(x − 2) + 4(y − 1) que se simplifica en z = 3x + 4y − 8

(b) El valor aproximado de la funci´ on se calcula sustituyendo los valores de x e y en la ecuaci´ on del plano tangente, as´ı, ′

′

z(1′ 9, 1, 02) = 1′ 9e1 9·1 02−2 ≈ 3 · 1′ 9 + 4 · 1′ 02 − 8 = 5′ 7 + 4′ 08 − 8 = 1′ 78 (los c´ alculos suelen resultan m´ as f´ aciles si se sustituye directamente sobre la ecuaci´ on del plano tangente, antes de eliminar los par´entesis, despejando previamente z, en efecto z = 3 + 3(−0′ 1) + 4(0′ 02) = 3 − 0′ 3 + 0′ 08 = 1′ 78) Ejemplo 4.44. Usar la diferencial, dz, para aproximar la variaci´ on que p experimenta la funci´ on z = 6 − x2 − y 2 cuando (x, y) se desplaza desde el punto (1, 1) al punto (1,02, 0,95).

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 258 CAP´ITULO 4. DERIVACION Soluci´ on. Tenemos que la variaci´ on de z puede aproximarse por ∆z ≈ dz =

−y ∂z −x ∂z dy dx + p dx + dy = p 2 2 ∂x ∂y 6 − x2 − y 2 6−x −y

Ahora bien, llamando (x, y) = (1, 1) y (x+∆x, y+∆y) = (1,02, 0,94) tenemos dx = ∆x = 0,02

y dy = ∆y = −0,06

con lo cual, resulta ∆z ≈

−1 −1 0,04 (0,02) + (−0,06) = = 0,02 2 2 2

los resultados anteriores pueden extenderse a funciones de tres o m´ as variables, como se hace en el siguiente ejemplo. √ Ejemplo 4.45. Estimar 2′ 012 + 1′ 982 + 1′ 052 Soluci´ on. Necesitamos una funci´ on y un punto pr´ oximo, al dado, sobre el que sepamosphacer los c´ alculos con facilidad. En este caso, la funci´ on es f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 y el punto p(2, 2, 1). En consecuencia, p √ f (2, 2, 1) = 22 + 22 + 11 = 9 = 3  x ∂f 2 2 ∂f   =p   ∂x (2, 2, 1) = √ = 3 ∂x x2 + y 2 + z 2  9   ∂f y ∂f 2 2 =p (2, 2, 1) = √ = 2 2 2 ∂y ∂y 3 x +y +z  9    1 1 ∂f ∂f z   (2, 2, 1) = √ = =p  ∂z 3 ∂z 9 x2 + y 2 + z 2 de donde, sustituyendo en la ecuaci´ on del “plano”tangente (en este caso ((hiperplano))):

z = f (x0 , y0 , z0 )+fx (x0 , y0 , z0 )(x−x0 )+fy (x0 , y0 , z0 )(y −y0 )+fz (x0 , y0 , z0 )(z −z0 )

resulta, p 2 2 1 2′ 012 + 1′ 982 + 1′ 052 ≈ 3 + (0′ 01) + (−0′ 02) + (0′ 05) = 3′ 01 3 3 3

Propagaci´ on de errores. Cuando se realizan mediciones f´ısicas de una magnitud, se cometen lo que se llaman errores de medici´ on. Si posteriormente realizamos operaciones con esos valores medidos, los errores de medici´ on se propagan, a trav´es de los c´ alculos realizados, a los nuevos resultados obtenidos. Lo que se llama error propagado. As´ı, si x representa el valor medido de una variable y x + ∆x su valor exacto, entonces ∆x es el error de la medida. Finalmente, si el valor x medido

4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA

259

se usa para calcular otro valor f (x), la diferencia entre f (x + ∆x) y f (x) se llama el error propagado. errorde medida

z}|{ f (x + ∆x ) −f (x) = | |{z} {z } valor medido

valor exacto

∆y |{z}

error propagado

Pueden utilizarse las diferenciales para aproximar la propagaci´ on del error introducido por los errores de medici´ on. Ejemplo 4.46. El radio r y la altura h de un cilindro circular recto se miden con un error posible del 4 % y del 2 %, respectivamente. Aproximar el error porcentual m´ aximo al medir el volumen. Soluci´ on. El volumen del cilindro viene definido por V = πr2 h de donde, ∂V ∂V dV = dr + dh = 2πrh dr + πr2 dh ∂r ∂h Para los errores dados, tenemos dr =

4r , 100

dh =

2h 100

luego el error propagado es dV = 2πrh

4r 2h 8πhr2 2πr2 h 10πr2 h 10 V + πr2 = + = = 100 100 100 100 100 100

Luego el error propagado es del 10 %.

4.7. 4.7.1.

Funciones vectoriales y matriz Jacobiana Funciones vectoriales de variable vectorial

Definici´ on 4.11. Se llama funci´ on vectorial de variable vectorial a las funciones del tipo: f : D ⊆ R n → Rm (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ (y1 , y2 , · · · , ym ) Es decir,  y1 = f1 (x1 , x2 , · · · , xn )    y2 = f2 (x1 , x2 , · · · , xn ) f (x1 , x2 , · · · , xn ) = (y1 , y2 , · · · , ym ) donde  ···   ym = fm (x1 , x2 , · · · , xn )

Tenemos pues que una funci´ on f : D ⊆ Rn → Rm es una regla que asocia a cada n-ada ordenada de n´ umeros reales (x1 , x2 , · · · , xn ) de D, una m-ada ordenada de n´ umeros reales bien determinada (y1 , y2 , · · · , ym ) de Rm . O bien, en t´erminos vectoriales, una regla que asocia a cada vector x de D, un vector bien determinado y de Rm .

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 260 CAP´ITULO 4. DERIVACION En otras palabras, una funci´ on vectorial es un vector cuyas componentes son funciones escalares. f = (f1 , f2 , · · · , fm ) Es decir,

f : D ⊆ Rn → Rm


(x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ f1 (x1 , x2 , · · · , xn ), f2 (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , fm (x1 , x2 , · · · , xn )

Por ejemplo, las curvas param´etricas pueden considerarse como funciones vectoriales de R en R2 . As´ı, si las ecuaciones param´etricas de una curva vienen definidas por:  x(t) = 2t + 3 y(t) = t − 5 las podemos interpretar como una funci´ on vectorial de la siguiente forma: ) f
R −−−→ R2 f (t) = (2t + 3, t − 5) = x(t), y(t) t 7→ (2t + 3, t − 5) Por ejemplo, la funci´ on vectorial f (x, y) = (x + 2, x − y, y + 4) viene definida por: f

R2 −−−→ R3 (x, y) 7→ (x + 2, x − y, y + 4)

)

f (x, y) = (x + 2, x − y, y + 4) =
= f1 (x, y), f2 (x, y), f3 (x, y)

Campos vectoriales. Se llaman campos vectoriales a las funciones vectoriales de Rn en s´ı mismo. Es decir, se llama campo vectorial (en Rn ) a las funciones del tipo f : D j Rn → Rn . Una pr´ actica para visualizar los campos vectoriales consiste en jugar con la naturaleza “dual”de los elementos de Rn ; los elementos del dominio x ∈ D se ven como puntos y los de la imagen f (x) como vectores. El vector f (x) se representa mediante una flecha que se puede colocar en cualquier punto del espacio, sin embargo, para tener una visualizaci´ on del campo, la flecha se colocar´ a de manera que su punto inicial sea el punto x.

4.7.2.

Continuidad de las funciones vectoriales

Los conceptos de l´ımite, continuidad y diferenciabilidad pueden extenderse a funciones vectoriales. Estos conceptos siempre tienen dos visiones; una general que es m´ as bien te´ orica y consiste en la traslaci´ on de los conceptos unidimensionales a niveles vectoriales, y otra por componentes que es m´ as bien pr´ actica y que consiste en trasladar los conceptos a las funciones coordenadas.

L´ımite de una funci´ on vectorial Definici´ on 4.12. Sean f : D ⊆ Rn → Rm y x0 ∈ D (siendo D un abierto de Rn ); Se dice que f tiene por l´ımite ℓ, cuando x tiende a x0 , si l´ım kf (x) − ℓk = 0 x→x0

Se escribe entonces l´ım f (x) = ℓ. x→x0

Merece destacar que el l´ımite vectorial se ha definido en t´erminos num´ericos. En efecto, para cada x se tiene que kf (x)−ℓk es un n´ umero, m´ as preciso, la aplicaci´ on x → kf (x)−ℓk es una funci´ on num´erica de D en R+ , y es ya familiar el l´ımite para estas funciones.

Bola. Cabe interpretar la definici´ on de l´ımite por medio de la noci´ on de bola.

Definici´ on 4.13. En Rn , se llama bola abierta, de centro x0 ∈ Rn y de radio r ∈ R∗+ , al conjunto de puntos x de Rn tales que kx − x0 k < r.

4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA

261

Se designa por B(x0 , r), o simplemente por B, cuando no haya temor de confusi´ on: B(x0 , r) = {x ∈ Rn / kx − x0 k < r} As´ı, por ejemplo, en la recta real R, la bola se llama entorno y est´ a formado por los puntos del intervalo (x0 − r, x0 + r); en el plano eucl´ıdeo R2 , la bola se denomina disco y est´ a formada por los puntos interiores al c´ırculo de centro x0 y radio r; en el espacio de tres dimensiones R3 la bola B(x0 , r) est´ a formada por los puntos interiores a la esfera de centro x0 y radio r. La noci´ on de l´ımite de una funci´ on puede interpretarse entonces de la siguiente manera: Definici´ on 4.14. Se dice que l´ım f (x) = ℓ si, para toda bola B′ de centro ℓ y radio x→x0

ǫ > 0, existe una bola B de centro x0 y radio r, incluido en D, tal que F (B) j B′ .

Coordenadas y l´ımite. Teniendo en cuenta que una funci´ on vectorial f : D ⊆ Rn → Rm es un vector cuyas coordenadas son funciones escalares f = (f1 , f2 , · · · , fm ). Es decir,
f (x1 , x2 , · · · , xn ) = f1 (x1 , x2 , · · · , xn ), f2 (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , fm (x1 , x2 , · · · , xn ) Se tiene que: 1.

Si f , con f = (f1 , f2 , · · · , fm ), tiene por l´ımite ℓ, con ℓ = (ℓ1 , ℓ2 , · · · , ℓm ), entonces cada una de las funciones coordenadas de f tienen por l´ımite, respectivamente, ℓ1 , ℓ 2 , · · · , ℓ m .

2.

Si las coordenadas de f tienen por l´ımite, respectivamente, ℓ1 , ℓ2 , · · · , ℓm , entonces f tiene por l´ımite ℓ = (ℓ1 , ℓ2 , · · · , ℓm ).

En consecuencia, se puede enunciar el siguiente teorema: Teorema 4.6. Para que f tienda a un l´ımite ℓ, es necesario y suficiente que las coordenadas de f tengan por l´ımites respectivamente las coordenadas de ℓ.

Continuidad Definici´ on 4.15. Sean f : D ⊆ Rn → Rm y x0 ∈ D (siendo D un abierto de Rn ); Se dice que f es continua en x0 , si l´ım f (x) = f (x0 ). x→x0

En otros t´erminos, f es continua en x0 si l´ım kf (x)−f (x0 )k = 0, o bien, f es continua x→x0

en x0 si, para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que: kx − x0 k < δ

=⇒

kf (x) − f (x0 )k < ǫ.

Sirvi´endonos de la noci´ on geom´etrica de bola podemos dar la siguiente definici´ on: f es continua en x0 si, para toda bola B de centro f (x0 ) existe una bola B′ de centro en x0 , incluida en D, tal que f (B′ ) j B. Se dice que f es continua sobre un dominio D, si f es continua en todo punto x0 de D. Coordenadas de una funci´ on continua. El concepto de continuidad se puede establecer en t´erminos de las funciones coordenadas. As´ı, Teorema 4.7. Para que f sea continua, en un dominio D, es necesario y suficiente que todas las coordenadas de f lo sean.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 262 CAP´ITULO 4. DERIVACION Composici´ on de funciones continuas Aunque la composici´ on de funciones se tratar´ a m´ as detalladamente en el ep´ıgrafe siguiente dedicado a la Regla de la cadena, la vemos aqu´ı con objeto de demostrar que la composici´ on de dos funciones continuas es a su vez otra funci´ on continua. Definici´ on 4.16 (Composici´ on de funciones). Dadas la funci´ on g : Dg ⊆ Rn → Rp definida en el conjunto Dg de Rn y la funci´ on f : Df ⊆ Rm → Rn definida en el conjunto Df de Rm , cuyo rango est´ a contenido en Dg (es decir, f (Df ) ⊆ Dg ), entonces se puede formar la composici´ on de ambas funciones g ◦ f : Df ⊆ Rm → Rp , definida como:
(g ◦ f )(u) = g f (u) , u ∈ Df Esquem´ aticamente ser´ıa.

f : Df ⊆ Rm → Rn g : Dg ⊆ Rn → Rp



g

f

→ Rp Df − → Dg − g ◦ f : Df ⊆ Rm → Rp

)


(g ◦ f )(u) = g f (u)

y mediante diagramas, teniendo en consideraci´ on los dominios,

f

g R

Df Rm

R

Dg Rn

*

Rp

g◦f

Figura 4.15: Composici´on de funciones Igual que en una variable, en general, la composici´ on de funciones no cumple la propiedad conmutativa, y s´ı la asociativa. Teorema 4.8 (Composici´ on de funciones continuas). Dadas la funci´ on g : Dg ⊆ Rn → Rp definida en el conjunto Dg de Rn y la funci´ on f : Df ⊆ Rm → Rn definida en el conjunto Df de Rm , cuyo rango est´ a contenido en Dg (es decir, f (Df ) ⊆ Dg ), Si la funci´ on f es continua en el punto x0 y la funci´ on g es continua en el punto y0 = f (x0 ) entonces la funci´ on compuesta g ◦ f tambi´en es continua en x0 . Demostraci´ on. Sea x0 ∈ Df e y0 = f (x0 ) ∈ Dg . Puesto que g es continua en y0 , para toda bola B de centro g(y0 ) existe una bola B′ , de centro y0 , tal que g(B′ ) j B. Puesto que f es continua en x0 , para toda bola B′ de centro f (x0 ) = y0 , existe una bola B′′ de centro x0 tal que f (B′′ ) j B′ . Aplicando g a los dos miembros de esta relaci´ on; se obtiene: g ◦ f (B′′ ) j g(B′ ) j B y, por consiguiente, g ◦ f es continua en el punto x0 .

4.7.3.

Derivadas parciales de funciones vectoriales

Aunque a nivel te´ orico las derivadas parciales de funciones vectoriales pueden definirse en t´erminos vectoriales, en la pr´ actica, se establecen en t´erminos de las funciones componentes. Teniendo en cuenta que una funci´ on vectorial f : D ⊆ Rn → Rm es un vector cuyas coordenadas son funciones escalares f = (f1 , f2 , · · · , fm ). Es decir,
f (x1 , x2 , · · · , xn ) = f1 (x1 , x2 , · · · , xn ), f2 (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , fm (x1 , x2 , · · · , xn )

4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA

263

Se tiene que:

∂f (x1 , x2 , · · · , xn ) = ∂x1 ··· ∂f (x1 , x2 , · · · , xn ) = ∂xn


∂f1 ∂f2 ∂fm (x1 , x2 , · · · , xn ), (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , (x1 , x2 , · · · , xn ) ∂x1 ∂x1 ∂x1


∂f1 ∂f2 ∂fm (x1 , x2 , · · · , xn ), (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , (x1 , x2 , · · · , xn ) ∂xn ∂xn ∂xn

Ejemplo 4.47. Hallar las derivadas parciales de la funci´ on f (x, y, z) = (xey cos z, xey sen z, tan z) Soluci´ on. Derivando componente a componente, se tiene, fx = (ey cos z, ey sen z, 0) fy = (xey cos z, xey sen z, 0) fz = (−xey sen z, xey cos z, 1 + tan2 z)

4.7.4.

Funciones vectoriales diferenciables

agina 228 se estableci´ o, para funciones num´ericas de una sola En la definici´ on 4.4 de la p´ variable, que: Una funci´ on f : D ∈ R → R es diferenciable en x0 ∈ D si existe una constante A tal que f (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + r(h)

con

l´ım

h→0

r(h) =0 h

En tal caso, a la expresi´ on lineal λ(h) = Ah se le llama diferencial de f , y se tiene: df (x0 ) = λ(h) = Ah = f ′ (x0 ) dx agina 235 se estableci´ o, para funciones num´ericas de n variables, En la definici´ on 4.7 de la p´ que: Una funci´ on f : D ⊆ Rn → R es diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D, si existen n constantes Ai , i = 1, 2, · · · , n tales que f (x0 + h) = f (x0 ) +

n X

Ai hi + r(h)

con

i=1

En tal caso, a la expresi´ on lineal λ(h1 , · · · , hn ) = y se tiene: df (x0 ) = λ(h) =

n X i=1

Ai hi =

Pn

i=1

l´ım

h→0

r(h) =0 khk

Ai hi se le llama diferencial de f ,

n X ∂f ∂f ∂f ∂f (x0 )dxi = (x0 )dx1 + (x0 )dx2 +· · ·+ (x0 )dxn ∂x ∂x ∂x ∂x i 1 2 n i=1

En cada uno de los casos, la diferencial de una funci´ on en un punto aparece como una aplicaci´ on lineal que se aproxima a la funci´ on f en ese punto. Se trata de generalizar esta importante noci´ on a las funciones de varias variables, ya tengan im´ agenes reales o vectoriales. La generalizaci´ on se va a hacer por la v´ıa de definir la diferencial como una aplicaci´ on lineal /. Recu´erdese que una aplicaci´ on λ(h, k) es lineal si cumple la propiedad λ(ah, bk) = aλ(h, k)+bλ(h, k), siendo a y b n´ umeros. Recu´erdese tambi´en la relaci´ on de las aplicaciones lineales con las matrices. As´ı, se establece la siguiente definici´ on: Definici´ on 4.17 (Funciones diferenciables). Una funci´ on f : D ⊆ Rn → Rm se dice diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D, si existen una aplicaci´ on lineal λ(h) tal que r(h) =0 f (x0 + h) = f (x0 ) + λ(h) + r(h) con l´ım h→0 khk

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 264 CAP´ITULO 4. DERIVACION En tal caso, a la expresi´ on lineal λ(h) se le llama diferencial de f , y se designa por df (x0 ) Nota: Es evidente que esta definici´ on generaliza las dos anteriores, ya que para f : D j R → R tenemos la primera definici´ on, y para f : D j Rn → R la segunda. Con objeto de eludir el cociente en el l´ımite que aparece en la definici´ on, se puede modificar la definici´ on de funci´ on diferenciable en los siguientes t´erminos. Una funci´ on f : D ⊆ Rn → Rm se dice diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D, si existen una aplicaci´ on lineal λ(h) tal que f (x0 + h) = f (x0 ) + λ(h) + khkǫ(h)

(4.7)

l´ım ǫ(h) = 0

(4.8)

con:

h→0

Nota: Muchos autores prefieren dar la definici´ on de funci´ on diferenciable unificando los dos apartados 4.7 y 4.8 en un solo l´ımite. As´ı, se tiene: Definici´ on 4.18. Sea f : D j Rn → Rm y sea x0 un punto interior de D. Se dice que f es diferenciable en x0 si existe una aplicaci´ on lineal λ : Rn → Rm , dependiente, en general, de x0 tal que f (x0 + h) − f (x0 ) − λ(h) l´ım =0 h→0 khk Proposici´ on 4.7. Si la funci´ on f : D ⊆ Rn → Rm es diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D entonces existen sus derivadas parciales en dicho punto. Demostraci´ on. Supongamos, para simplificar la escritura, que n = 3. Supongamos, por tanto, que la funci´ on f : D ⊆ R3 → Rm es diferenciable en el punto x0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ D, entonces existen una aplicaci´ on lineal λ(h) tal que, para todo h tal que x0 + h ∈ D, se tiene: f (x0 + h) − f (x0 ) = λ(h) + khkǫ(h) con l´ım ǫ(h) = 0 h→0

Designemos por {e1 , e2 , e3 } la base can´ onica de R3 . Elijamos en primer lugar h del modo siguiente: h = (t, 0, 0) = te1 (t ∈ R). Puesto que la diferencial es lineal, se tiene λ(h) = λ(te1 ) = tλ(e1 ), en consecuencia la relaci´ on (4.7) se escribe: f (x0 + t, y0 , z0 ) − f (x0 , y0 , z0 ) = tλ(e1 ) + |t| ke1 kǫ(te1 ) y, como l´ım ǫ(te1 ) = 0, se obtiene: t→0

l´ım

t→0

f (x0 + t, y0 , z0 ) − f (x0 , y0 , z0 ) = λ(e1 ). t

Resulta as´ı que la funci´ on f admite, en (x0 , y0 , z0 ), derivada parcial respecto de x, que vale: ∂f λ(e1 ) = (x0 , y0 , z0 ). ∂x An´ alogamente, tomando h(0, t, 0) y despu´es h(0, 0, t) se probar´ıa que f admite, en el punto (x0 , y0 , z0 ), derivadas parciales con relaci´ on a y y z, respectivamente iguales a: λ(e2 ) =

∂f (x0 , y0 , z0 ) ∂y

y

λ(e3 ) =

∂f (x0 , y0 , z0 ). ∂z

4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA

265

La diferencial. Tomando h = (dx, dy, dz), y teniendo en cuenta que la diferencial es lineal, resulta: λ(h) = λ(e1 )dx + λ(e2 )dy + λ(e3 )dz. Es decir, df (x0 ) = λ(h) =

∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

Y para el caso de n variables, resulta: df (x0 ) = λ(h) =

∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + · · · + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn

Coordenadas y diferenciabilidad de las funciones vectoriales. Los conceptos de continuidad y diferenciabilidad de funciones vectoriales se establecen en t´erminos de las funciones componentes. Es decir, se dice que la funci´ on f = (f1 , f2 , · · · , fm ) es continua (respectivamente, diferenciable) en el punto x0 ∈ D, si y s´ olo si todas y cada una de las funciones componentes fi : D ⊆ Rn → R, i = 1, 2, · · · , m, lo son. Ahora bien, teniendo en cuenta que las coordenadas de la funci´ on f son f = (f1 , f2 , · · · , fm ), ser´ a: ∂f1 ∂f2 ∂fm
∂f = , ,··· , i = 1, 2, · · · , n ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi de donde, ∂f ∂f dx1 + · · · + dxn = ∂x1 ∂xn ∂f1 ∂f2 ∂fm
∂fm
∂f1 ∂f2 = , ,··· , , ,··· , dx1 + · · · + dxn = ∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂xn ∂xn ∂xn
∂f1 ∂f1 ∂fm ∂fm = dx1 + · · · + dxn , · · · , dx1 + · · · + dxn = (df1 , df2 , · · · , dfm ) ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn

df (x0 ) =

Luego el diferencial de una funci´ on vectorial se puede calcular por componentes: df (x0 ) = (df1 , df2 , · · · , dfm )

(4.9)

Ejemplo 4.48. Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la funci´ on f : R 2 → R 2 , definida por f (x, y) = (x + y, |y|) Soluci´ on. (a) La funci´ on es continua en todo R2 , pues las funciones componentes f1 , f2 : R2 → R,

f1 (x, y) = x + y,

f2 (x, y) = |y|

lo son.

(b) La funci´ on no es diferenciable en el origen, pues la funci´ on f2 (x, y) = |y| no lo es.

El jacobiano Si la funci´ on f : D ⊆ Rn → Rm es diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D entonces, su diferencial ser´ a: df (x0 ) = λ(h) =

∂f ∂f ∂f dx1 + dx2 + · · · + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn

Que se puede expresar de manera matricial, de la forma:   dx1   ∂f
 dx2  ∂f ∂f , ,··· , df (x0 ) =  .  = Jf (x0 )dx ∂x1 ∂x2 ∂xn  ..  dxn

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 266 CAP´ITULO 4. DERIVACION A la matriz Jf (x0 ) se le llama ((matriz Jacobiana)) de la funci´ on f en el punto x0 . Ahora bien, teniendo en cuenta que la funci´ on f = (f1 , f2 , · · · , fm ), ser´ a: ∂f1 ∂f2 ∂fm
∂f = , ,··· , ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi

Con lo cual resulta que la matriz jacobiana es,  ∂f1 ∂f1 ···  ∂x1 ∂x 2   ∂f2 ∂f2  ··· Jf =  ∂x1 ∂x 2  ···   ∂fm ∂fm ··· ∂x1 ∂x2

Observaciones:

i = 1, 2, · · · , n

 ∂f1   ∇f1 ∂xn   ∂f2   ∇f2     = .  ∂xn    ..   ∂fm  ∇fm ∂xn

(a) Abreviadamente, una matriz A se escribe A = [aij ], siendo el elemento aij el elemento perteneciente a la fila i y la columna j. As´ı, la matriz jacobiana se puede expresar como:     ∂fi Jf (x) = Dj fi (x) = (x) ∂xj

(b) Los elementos de la fila i de la matriz jacobiana coinciden con las componentes del vector gradiente ∇fi (x) (c) Para m = 1 se tiene Jf (x0 ) = ∇f (x0 ).

(d) Para n = m, el determinante de la matriz Jf (x0 ) se llama jacobiano . Para el jacobiano tambi´en se utiliza la siguiente notaci´ on:   ∂(f1 , . . . , fn )/∂(x1 , . . . , xn ) = det Dj fi (x) = Jf (x) (e) Si comparamos la expresi´ on de la diferencial de una funci´ on de una variable, de una funci´ on de varias variables y de una funci´ on vectorial tenemos: 1.- Para funciones de una variable tenemos: df = f ′ (x) · h 2.- Para funciones de varias variables: df = ∇f · h 3.- Para funciones vectoriales: df = Jf · h donde se ha usado, respectivamente, el producto num´erico, el producto escalar y el producto matricial. (f) Si se comparan las tres expresiones, se observa que el gradiente, ∇f , puede pensarse como la generalizaci´ on del concepto de derivada para funciones de varias variables, y la matriz jacobiana, Jf , para funciones vectoriales. Si bien, hay que advertir que mientras que la derivada de una funci´ on de una variable en un punto es un n´ umero, la derivada de una funci´ on de varias variables es un vector, y la derivada de una funci´ on vectorial una matriz. Ejemplo 4.49. Hallar el diferencial de la funci´ on vectorial f : R2 → R2 definida por: f (x, y) = (x2 + 3y 2 , 5x3 + 2y 6 ) Soluci´ on. El Jacobiano de la funci´ on viene definido por:   ∂f1 ∂f1    ∂x ∂y  2x 6y = Jf =  2 5  ∂f2 ∂f2  15x 12y ∂x ∂y

267

4.8. REGLA DE LA CADENA de donde, df =



2x 15x2

6y 12y 5




dx = 2xdx + 6ydx, 15x2 dx + 12y 5 dy dy

Al mismo resultado hubi´eramos llegado operando por componentes, en efecto,
df = (df1 , df2 ) = 2xdx + 6ydx, 15x2 dx + 12y 5 dy

4.8. 4.8.1.

Regla de la cadena Funciones compuestas, inversas e impl´ıcitas de una variable

Composici´ on de funciones. Componer dos funciones consiste en aplicar la segunda funci´ on al resultado de la primera. Anal´ıticamente tambi´en significa sustituir una funci´ on en la otra. Es decir, si tenemos la funci´ on y = f (x) que establece la dependencia entre y y x, y la funci´ on x = g(t), que establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta
u ´ltima en la primera y obtener y = f g(t) . A la funci´ on as´ı obtenida (que env´ıa t a y) se le llama composici´ on de f con g y se denota por f ◦ g. Obs´ervese que el orden en que se escribe la composici´ on f ◦ g es el inverso al orden en que act´ uan las funciones (primero g, despu´es f ). Conviene tener siempre presente esta doble visualizaci´ on de la composici´ on de funciones: Como aplicaci´ on sucesiva de dos funciones, y como sustituci´ on de la variable por una funci´ on de otra variable. En esquema ser´ıa lo siguiente: (a) Como aplicaci´ on sucesiva de funciones:

g t

f R

•

R

• x

*

•y

f ◦g Figura 4.16: Composici´on de funciones (b) Como sustituci´ on de la variable: y = f (x) x = g(t)




y = f g(t)

Es evidente que para poder componer dos funciones el rango de la primera tiene que estar contenido en el dominio de la segunda g(Dg ) ⊆ Df , en caso contrario, despu´es de aplicar g no podr´ıamos aplicar f . Hay que advertir que, en general, la composici´ on de funciones no es conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser´ a f ◦ g 6= g ◦ f , incluso, puede suceder que est´e definida la composici´ on en un orden y no en el otro. Sin embargo, s´ı se cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. Desde el punto de vista formal la composici´ on puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones g : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama
composici´ on de f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la funci´ on (f ◦ g)(x) = f g(x) . )  g f
g:I⊆R→R I− →J − →R (f ◦ g)(x) = f g(x) f :J ⊆R→R f ◦g :I ⊆R→R

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 268 CAP´ITULO 4. DERIVACION Regla de la cadena. La regla de la cadena nos dice que “la composici´ on de dos funciones diferenciables es diferenciable y su derivada es el producto de las derivadas de cada una de las funciones que se est´ an componiendo”. Es decir, la derivada de la composici´ on de dos funciones es el producto de las derivadas de dichas funciones, cada una de ellas aplicada en el punto correspondiente. Formalmente la regla de la cadena se puede enunciar de la siguiente forma: Si g es diferenciable en un punto x0 ∈ I y f es diferenciable en g(x0 ) ∈ J, entonces la composici´ on f ◦ g es diferenciable en x0 , y su derivada es
(f ◦ g)′ (x) = f ′ g(x) g ′ (x)

que se puede expresar con la notaci´ on de Leibnitz, haciendo u = g(x) e y = f (u) dy dy du = dx du dx

Funci´ on inversa. La funci´ on rec´ıproca o inversa asigna a las im´ agenes los correspondientes originales (consiste en invertir las flechas). Sin embargo, la rec´ıproca de una funci´ on no siempre es otra funci´ on, basta que dos elementos distintos tengan la misma imagen para que la rec´ıproca no sea funci´ on, ya que asignar´ıa a un elemento dos im´ agenes distintas, lo que no est´ a permitido para las funciones, aunque s´ı para las correspondencias en general. Por lo tanto, para que la rec´ıproca de una funci´ on sea otra funci´ on, dicha funci´ on ha de ser inyectiva. f − → I − y = f (x) ↔ x = f −1 (y) ← −− − − J f −1

Desde el punto de vista anal´ıtico para obtener la inversa bastar´ a con despejar la variable independiente y expresarla en funci´ on de la variable dependiente. Formalmente podemos decir que si la funci´ on f : I ⊆ R → R es inyectiva, con rango J ⊆ R, entonces existe la funci´ on f −1 : J ⊆ R → R, llamada “inversa”de f, tal que

y f f −1 (y) = y, y ∈ J f −1 f (x) = x, x ∈ I

Derivada de la funci´ on inversa La derivada de la funci´ on inversa es la inversa de la derivada de la funci´ on. Formalmente se puede enunciar diciendo que si la funci´ on f es diferenciable y tal que f ′ (x0 ) 6= 0, x0 ∈ I, entonces existe la funci´ on inversa f −1 , al menos en un entorno de f (x0 ), dicha funci´ on tambi´en es diferenciable, y su derivada es: f −1

o con la notaci´ on de Leibnitz


′

dy 1 = dx dx dy


f (x) =

1 f ′ (x)

o bien,

yx′ =

1 x′y

Funciones impl´ıcitas Si consideramos una expresi´ on del tipo F (x, y) = 0 nos preguntamos ¿en que condiciones es posible despejar y en t´erminos de x y establecer una funci´ on del tipo y = f (x)?. Evidentemente no siempre es posible obtener dicha funci´ on. Por ejemplo de x2 + y 2 = 1 no se obtiene una funci´ on y = f (x). Cuando de F (x, y) = 0 se puede despejar la variable y, y escribir y = f (x), se dice que esta u ´ltima funci´ on est´ a dada impl´ıcitamente en F (x, y) = 0.

4.8.2.

Composici´ on de funciones vectoriales

Para funciones de varias variables la situaci´ on es, en principio, algo m´ as complicada. T´engase en cuenta que dos campos escalares f, g : D ⊆ Rn → R no se pueden componer, pues la operaci´ on de composici´ on entre funciones solamente se puede realizar cuando el rango de una de ellas est´ a contenido en el dominio de la otra, y los campos escalares

269

4.8. REGLA DE LA CADENA

tienen rango en R y dominio en Rn . Por lo tanto, los campos escalares solamente se podr´ an componer con funciones de una sola variable, por la derecha; o con funciones vectoriales, por la izquierda. Es decir, f

g

g

f

Rm − → Rn − →R

Rn − →R− →R

Pensando en la sustituci´ on de las variables, para componer la funci´ on z = f (x, y) tendremos que sustituir las dos variables x e y, respectivamente, por dos funciones g1 y g2 que las conecten con otras variables, donde g1 y g2 pueden ser funciones de una o varias variables (ambas de las mismas). As´ı, si consideramos las funciones x = g1 (u, v),

y = g2 (u, v)

podemos sustituir en la funci´ on z = f (x, y) y obtener la funci´ on compuesta:
z = f g1 (u, v), g2 (u, v) que en esquema ser´ıa:

z = f (x, y)



x = g1 (u, v) y = g2 (u, v)




z = f g1 (u, v), g2 (u, v)

Ahora bien, la pareja de funciones x = g1 (u, v), y = g2 (u, v) puede considerarse como las componentes de una sola funci´ on vectorial g : D ⊆ R2 → R2 , de tal manera que a cada punto (u, v) ∈ D la funci´ o n g le asocia el punto g(u, v) ∈
R2 , cuyas coordenadas son
(x, y) = g1 (u, v), g2 (u, v) . O sea, g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) . Y esto permite interpretar la sustituci´ on de las variables como la aplicaci´ on sucesiva de dos funciones. En esquema ser´ıa: g f R2 − → R2 − → R (u, v) 7→ (x, y) 7→ z de donde,



f ◦ g(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v)

Ejemplo 4.50. Hallar la funci´ on compuesta de la funci´ on f (x, y) = xy 2 + xy con las funciones x = g1 (u, v) = u + v e y = g2 (u, v) = uv Soluci´ on. Si queremos interpretar la composici´ on como la aplicaci´ on sucesiva de dos funciones, consideramos la funci´ on vectorial
g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) = (u + v, uv) luego, en esquema, resulta

f (x, y) = xy 2 + xy g(u, v) = (u + v, uv)



f

R2 − →R g R2 − → R2

)

g

f

R2 − → R2 − → R (u, v) 7→ (x, y) 7→ z

de donde, la composici´ on buscada, ser´ a:

h(u, v) = (f ◦ g)(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v) = f (u + v, uv) = = (u + v)(uv)2 + (u + v)uv = u3 v 2 + u2 v 3 + u2 v + uv 2

N´ otese que la funci´ on resultante de la composici´ on es una funci´ on distinta de f , g, g1 y g2 , es decir, es una nueva funci´ on h, tal que f (x, y) = h(u, v) 6= f (u, v) En la pr´ actica se pueden simplificar los c´ alculos, sustituyendo directamente: 2 f (x, y) = f (u + v, uv) = (u + v)(uv) + (u + v)uv = u3 v 2 + u2 v 3 + u2 v + uv 2 = h(u, v)

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 270 CAP´ITULO 4. DERIVACION Ejemplo 4.51. Hallar la funci´ on compuesta de la funci´ on f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz con las funciones x = g1 (t) = et , y = g2 (t) = sen t y z = g3 (t) = t2 Soluci´ on. Consideramos la funci´ on vectorial
g(t) = g1 (t), g2 (t), g3 (t) = (et , sen t, t2 )

luego, en esquema, resulta

f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz g(t) = (et , sen t, t2 )



f

R3 − →R g R− → R3

)

g

f

→ R R − → R3 − t 7→ (x, y, z) 7→ w

de donde, la composici´ on buscada, ser´ a:

h(t) = (f ◦ g)(t) = f g(t) = f g1 (t), g2 (t), g3 (t) = f (et , sen t, t2 ) = = et sen2 t (t2 )3 − et sen t t2 = t6 et sen2 t − t2 et sen t

En la pr´ actica se pueden simplificar los c´ alculos, sustituyendo directamente: f (x, y, z) = f (et , sen t, t2 ) = et sen2 t (t2 )3 − et sen t t2 = t6 et sen2 t − t2 et sen t = h(t) Ejemplo 4.52. √ Hallar la funci´ on compuesta de la funci´ on f (x, y) = xy 2 − xy con las funciones g(t) = t Soluci´ on. Este caso es distinto de los dos anteriores, ya que aqu´ı, para poder componer, la funci´ on f tiene que actuar primero, y despu´es la g. En efecto, en esquema, resulta )  f f g f (x, y) √ = xy 2 − xy R2 − →R R2 − → R− →R g g(t) = t (x, y) 7→ t 7→ z R− →R de donde, la composici´ on buscada, ser´ a: p
p h(t) = (g ◦ f )(x, y) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xy

N´ otese que la funci´ on resultante de la composici´ on solamente estar´ a definida para aquellos puntos (x, y) en los cuales se cumpla que xy 2 − xy ≥ 0, es decir, Dh = {(x, y) ∈ R2 / xy 2 − xy ≥ 0} En la pr´ actica, tambi´en se pueden simplificar los c´ alculos sustituyendo directamente, pero en este caso, sustituimos en la funci´ on g: p
p g(t) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xy = h(x, y)

Caso general. En general, para componer la funci´ on z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) tendremos que sustituir las n variables x1 , x2 , · · · , xn , respectivamente, por las funciones g1 , g2 , · · · gn que las conecten con otras variables u1 , u2 , · · · , um , donde g1 , g2 , · · · gn pueden ser funciones de una o varias variables (todas de las mismas). As´ı, si consideramos las n funciones x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um )

x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um ) .. .

xn = gn (u1 , u2 , · · · , um ) podemos sustituirlas en la funci´ on z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) y obtener la funci´ on compuesta:
z = f g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )

271

4.8. REGLA DE LA CADENA Ahora bien, las n funciones x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , xn = gn (u1 , u2 , · · · , um )

pueden considerarse como las componentes de una sola funci´ on vectorial g : D ⊆ Rm → n R , de tal manera que a cada punto (u1 , u2 , · · · , um ) ∈ D ⊆ Rm la funci´ on g le asocia el punto g(u1 , u2 , · · · , um ) = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , cuyas coordenadas son
(x1 , x2 , · · · , xn ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um ) O sea,


g(u1 , u2 , · · · , um ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )

que en esquema ser´ıa:

f

g

Rm −−−→ Rn −−−→ R (u1 , u2 , · · · , um ) 7→ (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ z De esta manera se ve el proceso de composici´ on de funciones de varias variables como un proceso entre dos funciones, que se puede enunciar formalmente de la siguiente forma: Definici´ on 4.19 (Composici´ on de funciones). Dadas la funci´ on f : Df ⊆ Rn → R n m n definida en el conjunto Df de R y la funci´ on g : Dg ⊆ R → R definida en el conjunto Dg de Rm , cuyo rango est´ a contenido en Df (es decir, g(Dg ) ⊆ Df ), entonces se puede formar la composici´ on de ambas funciones f ◦ g : Dg ⊆ Rm → R, definida como: (f ◦ g)(u) = f g(u)), Esquem´ aticamente ser´ıa. g : Dg ⊆ Rm → Rn f : Df ⊆ Rn → R



u ∈ Dg

f

g

Dg − → Df − →R f ◦ g : Dg ⊆ Rm → R

)


(f ◦ g)(u) = f g(u)

y mediante diagramas,

g u

f R

•

Rm

R

• x Rn

*

•z R

f ◦g Figura 4.17: Composici´on de funciones O bien, teniendo en consideraci´ on los dominios, Igual que en una variable, en general, la composici´ on de funciones no cumple la propiedad conmutativa, y s´ı la asociativa.

4.8.3.

Regla de la cadena. Perspectiva te´ orica: Diferencial

Teorema 4.9 (Regla de la cadena). Sea g : Dg ⊆ Rm → Rn una funci´ on definida en el conjunto abierto Dg de Rm , diferenciable en x0 ∈ Dg . Sea f : Df ⊆ Rn → Rp una funci´ on definida en el conjunto abierto Df de Rn , tal que g(Dg ) ⊆ Df , diferenciable en y0 = g(x0 ) ∈ Df . Entonces la composici´ on f ◦ g : Dg ⊆ Rm → Rp es diferenciable en x0 y adem´ as, en dicho punto, d(f ◦ g) = df ◦ dg

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 272 CAP´ITULO 4. DERIVACION g

f R

Dg

R

Df

Rm

*

Rn

R

f ◦g Figura 4.18: Composici´on de funciones

Demostraci´ on. Esquem´ aticamente, la situaci´ on de partida es, g

f

Rm −−→ Rn −−→ Rp x0 7−→ y0 7−→ z0 (Si p = 1, la funci´ on f ser´ıa num´erica, que es el objeto de estudio de este curso, sin embargo estudiamos el caso general ya que el valor de p no afecta a la demostraci´ on del teorema). Por ser g diferenciable en x0 , se tiene: g(x0 + h) − g(x0 ) = dg(h) + khkǫ1 (h)

con

l´ım ǫ1 (h) = 0

h→0

(4.10)

Consideremos ahora la imagen de x0 por g: y0 = g(x0 ) ∈ g(Dg ) ⊆ Rn . Puesto que f es diferenciable en y0 , se tiene: f (y0 + k) − f (y0 ) = df (k) + kkkǫ2 (k)

con

l´ım ǫ2 (h) = 0

k→0

(4.11)

Elijamos k = g(x0 + h) − g(x0 )

(4.12)

entonces k es una funci´ on de h que tiende a 0 cuando h tiende hacia 0. Despejando g(x0 + h) en (4.12), se tiene: g(x0 + h) = g(x0 ) + k = y0 + k, y sustituyendo en (4.11), y0 + k = g(x0 + h) resulta:

y0 = g(x0 )

k = g(x0 + h) − g(x0 )




f g(x0 + h) − f g(x0 ) = df g(x0 + h) − g(x0 ) + kkkǫ2 (k)

ahora bien, teniendo en cuenta que por (4.10) es g(x0 + h) − g(x0 ) = dg(h) + khkǫ1 (h), resulta


f g(x0 + h) − f g(x0 ) = df dg(h) + khkǫ1 (h) + kkkǫ2 (k)


y al ser df una aplicaci´ on lineal, ser´ a df dg(h) + khkǫ1 (h) = df dg(h) + khkdf ǫ1 (h) , con lo que resulta:



f g(x0 + h) − f g(x0 ) = df dg(h) + khkdf ǫ1 (h) + kkkǫ2 (k) (4.13)

de donde, para khk = 6 0, se tiene

 
kkk ǫ2 (k) f ◦ g(x0 + h) − f ◦ g(x0 ) = df ◦ dg(h) + khk df ǫ1 (h) + khk

luego (4.13) se puede expresar de la forma:

f ◦ g(x0 + h) − f ◦ g(x0 ) = df ◦ dg(h) + khkǫ(h)

(4.14)

273

4.8. REGLA DE LA CADENA donde

  df ǫ (h)
+ kkk ǫ (k) 1 2 ǫ(h) = khk  0

si h 6= 0 si h = 0

(el valor ǫ(0) = 0, se deduce al sustituir h por 0 en (4.13)). Nos queda por demostrar que ǫ(h) tiende hacia 0 cuando h tiende hacia 0. Es decir, tenemos que demostrar que el siguiente l´ımite es nulo:  
kkk
kkk l´ım ǫ(h) = l´ım df ǫ1 (h) + ǫ2 (k) = l´ım df ǫ1 (h) + l´ım ǫ2 (k) h→0 h→0 h→0 h→0 khk khk

Primer sumando; puesto que df es lineal, es continua, y se puede decir que:
l´ım ǫ1 (h) = 0 =⇒ l´ım df ǫ1 (h) = 0 h→0

h→0

Segundo sumando; puesto que dg es continua, existe una constante a > 0 tal que, para todo h ∈ Rm , se verifica que kdg(h)k ≤ akhk. Por consiguiente, seg´ un (4.12) y (4.10), se tiene:   kkk = kg(x0 + h) − g(x0 )k = k dg(h) + khkǫ1 (h) k ≤ kdg(h)k + khkkǫ1 (h)k con lo cual,

y, por tanto:


kkk ≤ akhk + khkkǫ1 (h)k = a + kǫ1 (h)k khk l´ım ǫ2 (k) = 0

k→0

=⇒

l´ım

h→0

Y, en consecuencia, se concluye que l´ım ǫ(h) = 0.

kkk ǫ2 (k) = 0 khk

h→0

La relaci´ on (4.14) prueba, entonces que f ◦ g es diferenciable en x0 , y tambi´en que su diferencial en ese punto es la compuesta dg ◦ df de las diferenciales de g y f .Con lo cual el teorema 4.9 queda demostrado.

4.8.4.

Regla de la cadena. Perspectiva pr´ actica: Parciales

En la Regla de la Cadena hay que diferenciar el aspecto te´ orico del aspecto pr´ actico. El aspecto te´ orico presenta una gran elegancia y simplicidad, sin embargo no nos deja ver la riqueza de sus m´ ultiples aplicaciones pr´ acticas. As´ı, el teorema 4.9 puede enunciarse en t´erminos de derivadas parciales de la siguiente forma: Teorema 4.10 (Regla de la cadena). Sea g : Dg ⊆ Rm → Rn una funci´ on definida en el conjunto abierto Dg de Rm , diferenciable en x0 ∈ Dg . Sea f : Df ⊆ Rn → R una funci´ on definida en el conjunto abierto Df de Rn , tal que g(Dg ) ⊆ Df , diferenciable en y0 = g(x0 ) ∈ Df . Entonces la composici´ on f ◦ g : Dg ⊆ Rm → R es diferenciable en x0 y adem´ as, en dicho punto, sus derivadas parciales son: n X
∂gi ∂f ∂ (f ◦ g)(x0 ) = g(x0 ) (x0 ). ∂xj ∂yi ∂xj i=1

j = 1, 2, . . . , m

(4.15)

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 274 CAP´ITULO 4. DERIVACION La f´ ormula (4.15) se comprende mejor si la desarrollamos en sus componente. En efecto, si la funci´ on g depende de m variables, x1 , · · · , xm , (y1 , · · · , yn ) = g(x1 , · · · , xm ), tendr´ıamos la situaci´ on siguiente: g

f

Rm −−→ Rn −−→ R (x1 , · · · , xm ) 7→ (y1 , · · · , yn ) 7→ z donde g es una funci´ on de n funciones coordenadas, cada una de ellas dependiendo de las m variable x1 , · · · , xm . Al hacer la composici´ on con f , se obtiene la funci´ on f ◦g que depende, tambi´en, de las m variables x1 , · · · , xm . Para estas funciones, las derivadas parciales de las f´ ormulas (4.15) se puede expresar de la forma:  ∂f ∂g1 ∂f ∂gn ∂z   = + ··· +   ∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂yn ∂x1  .. (4.16) .   ∂z ∂f ∂g1 ∂f ∂gn    = + ··· + ∂xm ∂y1 ∂xm ∂yn ∂xm Es decir, de manera esquem´ atica, pensando en t´erminos de sustituci´ on de las variables, y usando la misma letras para denotar a las funciones as´ı como a sus im´ agenes, tenemos:  ∂f ∂y1 ∂f ∂yn ∂z    = + ··· +   y = y (x , · · · , x )    1 1 1 m ∂x ∂y ∂x ∂y 1 1 n ∂x1   1  . . .. .. ⇒ z = f (y1 , · · · , yn )        ∂z ∂y ∂f ∂f ∂yn yn = yn (x1 , · · · , xm ) 1   = + ··· + ∂xm ∂y1 ∂xm ∂yn ∂xm

Y forzando un poco m´ as la notaci´ on, resulta,

 ∂z ∂z ∂y1 ∂z ∂yn    = + ··· +   y = y (x , · · · , x )  1 1 m  ∂y1 ∂x1 ∂yn ∂x1  ∂x1    1 .. .. ⇒ z = z(y1 , · · · , yn ) . .        ∂z ∂y ∂z ∂z ∂yn yn = yn (x1 , · · · , xm ) 1   = + ··· + ∂xm ∂y1 ∂xm ∂yn ∂xm

Luego, seg´ un la regla de la cadena se tiene: n

X ∂z ∂yi ∂z = . ∂xj ∂yi ∂xj

j = 1, 2, . . . , m

(4.17)

i=1

Es evidente la ventajosa simplicidad de la f´ ormula de las derivadas parciales de la funci´ on compuesta con esta presentaci´ on. Sin embargo, debemos hacer o notar que: 1 no se hacen expl´ıcitos los puntos donde est´ an calculadas las derivadas, y 2o se usan letras iguales para denotar cosas distintas, a saber: las funciones y sus im´ agenes.

275

4.8. REGLA DE LA CADENA

Aqu´ı se ha seguido el orden alfab´etico de las variables x → y → z. Sin embargo, en la pr´ actica, cuando el n´ umero de variables es reducido, no se suele seguir este orden, ya que se acostumbra a utilizar letras distintas sin sub´ındices. Para varias variables, m´ as acorde con la notaci´ on pr´ actica hubiera sido seguir con el orden t → x → z, con lo que hubiera resultado:  ∂f ∂x1 ∂f ∂xn ∂z     = + ··· +  x = x (t , · · · , t )    1 1 1 m ∂x1 ∂t1 ∂xn ∂t1   ∂t1  .. .. ⇒ z = f (x1 , · · · , xn ) . .        xn = xn (t1 , · · · , tm )   ∂z = ∂f ∂x1 + · · · + ∂f ∂xn ∂tm ∂x1 ∂tm ∂xn ∂tm

Veamos la materializaci´ on de esta f´ ormula a los distintos casos concretos.

Regla de la cadena con una variable independiente Si la funci´ on g depende de una sola variable, tendr´ıamos la situaci´ on siguiente: g f R −−→ Rn −−→ R t 7→ (x1 , · · · , xn ) 7→ z

donde g es una funci´ on de n funciones coordenadas, cada una de ellas dependiendo de una sola variable t. Al hacer la composici´ on con f , se obtiene la funci´ on f ◦ g que depende, tambi´en, s´ olo de t. Para estas funciones, las derivadas parciales de las f´ ormulas (4.15) del teorema anterior son derivadas totales, quedando como: n

X ∂f
dgi d (f ◦ g)(t) = (f ◦ g)′ (t) = g(t) (t) dt ∂xi dt

(4.18)

i=1

donde gi , i = 1, 2, · · · , n, son las funciones coordenadas de g. Que se puede expresar, de manera esquem´ atica, de la forma: ∂f dx1 ∂f dxn dz = + ··· + dt ∂x1 dt ∂xn dt

Es decir, de manera esquem´ atica, pensando en t´erminos de sustituci´ on de las variables, tenemos:     x1 = x1 (t)   ∂f dx1 ∂f dxn dz .. z = f (x1 , · · · , xn ) = + ··· + ⇒ .   dt ∂x1 dt ∂xn dt   xn = xn (t)

La suma que aparece en la igualdad (4.18) tambi´en puede expresarse como un producto interior de dos vectores, de la siguiente forma:    dx1 /dt 



d ∂f ∂f  g(t) , . . . , g(t)  ...  = ∇f g(t) · g′ (t) f ◦ g (t) = dt ∂x1 ∂xn dxn /dt

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 276 CAP´ITULO 4. DERIVACION
donde, g′ (t) representa el vector g1′ (t), . . . , gn′ (t) . De esta manera, la extensi´ on de la regla de la cadena tiene un parecido m´ as ´ıntimo con el caso unidimensional, salvo que ahora el gradiente ∇f desempe˜ na el papel de la ′ derivada f . Planteamiento pr´ actico. Con objeto de recordar con facilidad las f´ ormulas correspondientes a la regla de la cadena planteamos un segundo razonamiento (m´ as pr´ actico) centrado en dos variables. Supongamos una funci´ on de dos variables z = f (x, y), y supongamos que cada una de las variables x e y depende de una tercera variable t, mediante las funciones x = x(t), y = y(t). Podemos sustituir los valores de x e y en la funci´ on z = f (x, y), con lo cual z pasar´ıa a depender directamente de t y podr´ıamos calcular la derivada de z respecto de t.  
dz x = x(t) ⇒ z = f x(t), y(t) = h(t) ⇒ z = f (x, y) = h′ (t) y = y(t) dt Esto que puede hacerse por sustituci´ on de las variables (sustituyendo primero y derivando despu´es), tambi´en puede hacerse por la regla de la cadena. Para obtener la f´ ormula correspondiente, partimos de dz, y a partir de ah´ı obtenemos dz/dt, por simple divisi´ on. En efecto, dz =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

⇒

dz ∂f dx ∂f dy = + dt ∂x dt ∂y dt

Otra manera de obtener la f´ ormula es mediante un diagrama en a´rbol, donde la derivada de la funci´ on z respecto de la variable t se obtiene “sumando”todos los caminos que van de t a z. dx dt  *



tH

HH dy j dt

∂z

x H ∂x

HH jz * 

y  ∂z

⇒

dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt

∂y

Esta regla puede enunciarse de una manera m´ as formal mediante el siguiente Teorema 4.11 (Regla de la cadena con una variable independiente). Sea z = f (x, y), donde f es una funci´ on diferenciable de x e y. Si x = g(t) e y = h(t), siendo g y h funciones derivables de t, entonces z es una funci´ on derivable de t, y su derivada es dz ∂z dx ∂z dy = + dt ∂x dt ∂y dt

4.8. REGLA DE LA CADENA

277

Demostraci´ on. Puesto que g y h son funciones derivables respecto de t, resulta que ambos ∆x y ∆y tienden a cero cuando ∆t tiende a cero. Adem´ as, al ser f una funci´ on diferenciable de x y de y, se tiene que ∂z ∂z ∆z = ∆x + ∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y ∂x ∂y donde ε1 y ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0). Luego para ∆t 6= 0, se tiene ∂z ∆x ∂z ∆y ∆x ∆y ∆z = + + ε1 + ε2 ∆t ∂x ∆t ∂y ∆t ∆t ∆t de donde se deduce que     dx ∂z dx ∂z dy dy dz ∆z ∂z dx ∂z dy = l´ım = + +0 + +0 = δt→0 ∆t dt ∂x dt ∂y dt dt dt ∂x dt ∂y dt

Ejemplo 4.53. Dada la funci´ on z = x2 y − y 2 , donde x = sen t, y = et . Hallar dz/dt cuando t = 0, (a) Por sustituci´ on previa (b) Mediante la Regla de la Cadena. Soluci´ on. (a) Mediante la sustituci´ on previa es un proceso elemental, basta con sustituir x e y por sus valores y derivar una vez hecha la sustituci´ on.   x = sen t z = x2 y − y 2 → z = et sen2 t − e2t y = et

de donde,

dz = et sen2 t + 2et sen t cos t − 2e2t dt y, en consecuencia, resulta  dz = 1 · 0 + 2 · 1 · 0 · 1 − 2 · 1 = −2 dt t=0 (b) Aplicando la Regla de la Cadena, resulta

∂f dx ∂f dy dz = + = (2xy) cos t + (x2 − 2y)et dt ∂x dt ∂y dt Que podemos expresarlo en t´erminos de t, o dejarlo como est´ a. En consecuencia, dado que  x=0 t=0⇒ y=1 resulta:  dz = 0 + (0 − 2) · 1 = −2 dt t=0 Ejemplo 4.54. La altura de un cono recto circular mide 15 cm. y aumenta a raz´ on de 0′ 2 cm. cada minuto. El radio de la base mide 10 cm. y aumenta a raz´ on de 0′ 3 cm. cada minuto. Hallar la variaci´ on de volumen que experimenta en la unidad de tiempo.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 278 CAP´ITULO 4. DERIVACION 1 Soluci´ on. El volumen del cono viene definido por: V = πr2 h, de donde, 3 dV ∂V dr ∂V dh 2 dr 1 dh = + = πrh + πr2 dt ∂r dt ∂h dt 3 dt 3 dt

h r

Figura 4.19: cono. resulta, dV dt

#

h=15 r=10

y, teniendo en cuenta que,   ′  h (t) = 0′ 2 h = 15 se tiene para r′ (t) = 0′ 3 r = 10

2 1 −110π = π · 10 · 15 · 0′ 3 + π · 100 · 0′ 2 = cm3 /min 3 3 3

Regla de la cadena para dos variables independientes Si la funci´ on g depende de dos variables, t1 y t2 , (x1 , · · · , xn ) = g(t1 , t2 ), tendr´ıamos la situaci´ on siguiente: g

f

R2 −−→ Rn −−→ R (t1 , t2 ) 7→ (x1 , · · · , xn ) 7→ z donde g es una funci´ on de n funciones coordenadas, cada una de ellas dependiendo de las dos variable t1 y t2 . Al hacer la composici´ on con f , se obtiene la funci´ on f ◦ g que depende, tambi´en, de las variables t1 y t2 . Para estas funciones, las derivadas parciales de las f´ ormulas (4.15) del teorema anterior son las siguientes: n X
∂gi ∂ ∂f (f ◦ g)(x0 ) = g(x0 ) (x0 ). ∂tj ∂xi ∂tj

j = 1, 2

(4.19)

i=1

donde gi , i = 1, 2, · · · , n, son las funciones coordenadas de g. Que, al igual que la f´ ormula (4.16), se puede expresar de la forma:  ∂z ∂f ∂x1 ∂f ∂xn   = + ··· +  ∂t1 ∂x1 ∂t1 ∂xn ∂t1 ∂z ∂f ∂x1 ∂f ∂xn    = + ··· + ∂t2 ∂x1 ∂t2 ∂xn ∂t2

Es decir, de manera esquem´ atica, pensando en t´erminos de sustituci´ on de las variables, tenemos:   ∂z  ∂f ∂x1 ∂f ∂xn  x = x (t , t )   1 1 1 2 = + ··· +     ∂t1 ∂x1 ∂t1 ∂xn ∂t1 .. ⇒ z = f (x1 , · · · , xn ) .   ∂f ∂x1 ∂f ∂xn ∂z      = + ··· + xn = xn (t1 , t2 ) ∂t2 ∂x1 ∂t2 ∂xn ∂t2

279

4.8. REGLA DE LA CADENA

La regla de la cadena, en este caso, consiste en un conjunto de dos f´ ormulas, una para cada derivada parcial D1 (f ◦ g), D2 (f ◦ g). Cada una de las cuales es una suma que tambi´en puede expresarse como un producto interior, y la f´ ormula (4.19 toma otra vez una forma parecida al caso unidimensional.

∂ ∂tj



 dx1 (x0 )    dtj  



∂f ∂f   .. f ◦g (x0 ) = g(x0 ) , . . . , g(x0 )   = ∇f g(x0 ) ·Dj g(x0 ) .   ∂x1 ∂xn  dxn  (x0 ) dtj

para j = 1, 2.
donde Dj g(x0 ) representa el vector Dj g1 (x0 ), . . . , Dj gn (x0 ) .

Planteamiento pr´ actico. Con objeto de recordar con facilidad las f´ ormulas correspondientes a la regla de la cadena planteamos un segundo razonamiento (m´ as pr´ actico) centrado en dos variables. Supongamos una funci´ on de dos variables z = f (x, y), y supongamos que cada una de las variables x e y dependen de otras dos variable s y t, mediante las funciones x = x(s, t), y = y(s, t). Podemos sustituir los valores de x e y en la funci´ on z = f (x, y), con lo cual z pasar´ıa a depender directamente de s y t y podr´ıamos calcular las derivadas parciales de z respecto de s y respecto de t.  ∂z     =?
x = x(s, t) ∂s ⇒ z = f x(s, t), y(s, t) = h(s, t) ⇒ z = f (x, y) y = y(s, t)   ∂z =? ∂t Esto que puede hacerse por sustituci´ on de las variables (sustituyendo primero y derivando despu´es), tambi´en puede hacerse por la regla de la cadena. Para obtener la f´ ormula correspondiente, partimos de dz, y a partir de ah´ı obtenemos ∂z/∂s y ∂z/∂t por simple divisi´ on. En cada caso, d se transforma en ∂, ya que al hacer la divisi´ on suponemos que la “otra”variable permanece constante. En efecto,  ∂z ∂f ∂x ∂f ∂y   = + t = cte.  ∂f ∂f ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s dz = dx + dy ⇒ ∂f ∂x ∂f ∂y ∂z  ∂x ∂y   = + s = cte. ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t

Otra manera de obtener la f´ ormula es mediante un diagrama en a´rbol, donde la derivada de la funci´ on z respecto de cada variable se obtiene “sumando”todos los caminos que van desde la variable correspondiente a z, suponiendo el resto de las variables fijas.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 280 CAP´ITULO 4. DERIVACION ∂x ∂s  *

t =cte.

→

s =cte. →



sH

∂z

x H ∂x

HH jz *  

HH ∂y j ∂s

y  ∂z

∂x ∂t  *

x H ∂x



tH

HH ∂y j ∂t

⇒

∂z ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s

⇒

∂z ∂f ∂x ∂f ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t

∂y ∂z

HH j *z 

y  ∂z

∂y

Estos resultados se pueden enunciar de una manera m´ as formal mediante el siguiente Teorema 4.12 (Regla de la cadena con dos variables independientes). Sea z = f (x, y), donde f es una funci´ on diferenciable de x y de y. Si x = g(s, t) e y = h(s, t) son tales que existen todas las parciales primeras ∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s y ∂y/∂t, entonces ∂z/∂s y ∂z/∂t existen y vienen dadas por ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t Demostraci´ on. Para obtener ∂z/∂s mantenemos t constante, con lo cual se tiene que g y h son funciones derivables de la u ´nica variable s, y, en consecuencia, podemos aplicar el teorema 4.11 para obtener el resultado deseado. De la misma forma, para obtener ∂z/∂t mantenemos s constante, con lo cual g y h son funciones derivables de t solamente, y en consecuencia tambi´en podemos aplicar el teorema 4.11 para obtener el resultado deseado.

Ejemplo 4.55. Dada la funci´ on z = 2xy, donde x = s2 + t2 e y = s/t. ∂z ∂z Hallar y ∂s ∂t (a) Por sustituci´ on de las variables. (b) Por la regla de la cadena. Soluci´ on. (a) Mediante la sustituci´ on previa es un proceso elemental, basta con sustituir x e y por sus valores y derivar una vez hecha la sustituci´ on. z = 2xy



x = s2 + t2 y = s/t



s s3 → z = 2(s2 + t2 ) = 2( + st) t t

281

4.8. REGLA DE LA CADENA de donde,

∂z 3s2 6s2 + 2t2 = 2( + t) = ∂s t t 3 −s −2s3 + 2st2 ∂z = 2( 2 + s) = ∂t t t2 (b) Aplicando la Regla de la Cadena, resulta ∂z ∂f ∂x = ∂s ∂x ∂s s = 4s + t

∂f ∂y 1 2x = (2y)(2s) + (2x)( ) = 4sy + = ∂y ∂s t t 2 2 4s2 2s2 + 2t2 6s2 + 2t2 (s + t2 ) = + = t t t t +

∂z 2s ∂f ∂x ∂f ∂y −s = + = (2y)(2t) + (2x)( 2 ) = 4ty − 2 x = ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t t t 2 s − 2s3 − 2st2 2 − 2s3 4t 2st s 2s 2 = = 4t − 2 (s + t2 ) = t t t2 t2

4.8.5.

Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana

La introducci´ on del Jacobiano nos va a permitir utilizar el lenguaje algebraico de las matrices y las transformaciones lineales y nos va a permitir ver la regla de la cadena como un resultado de asombrosa sencillez y elegancia, como lo es en el caso de funciones de una variable. Recordemos, primeramente, lo que establece la regla de la cadena para funciones de una sola variable: la composici´ on de dos funciones diferenciable es diferenciable y su derivada es el producto de las derivadas de cada una de las funciones que se est´ an componiendo. Queremos establecer un resultado similar para funciones vectoriales de cualquier n´ umero de variables. Hasta ahora hemos definido los conceptos de “derivadas parciales”, “derivadas direccionales”, “gradiente” y “diferencial”, para funciones de varias variables, pero no hemos definido lo que se entiende por “derivada”de este tipo de funciones. Definici´ on 4.20 (Derivada). Sea la funci´ on f : D j Rn → Rm definida en el conjunto abierto D de Rn y sea x0 ∈ D. Se dice que esta funci´ on es diferenciable en x0 si existe una transformaci´ on lineal f ′ (x0 ) : Rn → Rm , llamada derivada de f en x0 , tal que f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 )h + r(h)

donde

l´ım

h→0

r(h) = 0, khk

(para h tal que x0 + h ∈ D) NOTA: Siendo r una funci´ on que toma valores en Rm , la interpretaci´ on del l´ımite anterior ser´ıa de que todas las funciones componentes tender´ an a cero cuando, al dividirlas por khk, h tiende a cero. Hemos definido la derivada de una funci´ on vectorial como una transformaci´ on lineal T : Rn → Rm . Toda transformaci´ on lineal tiene asociada una matriz de orden m × n que la representa. Matriz de una transformaci´ on lineal. La matriz asociada a la transformaci´ on lineal n m T : R → R se construye de la siguiente forma: Sean β1 = {e1 , e2 , · · · , en } y β2 = {¯ e1 , ¯ e2 , · · · , ¯ en } las bases can´ onicas de Rn y Rm respectivamente. Entonces el vector T (ej ) se puede escribir como combinaci´ on lineal de los vectores de β2 , es decir, T (ej ) = a1j ¯ e1 + a2j ¯ e2 + · · · + amj ¯ em

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 282 CAP´ITULO 4. DERIVACION A la matriz A = (aij ), i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n, cuya j-´esima columna est´ a constituida por las coordenadas de la imagen del j-´esimo vector ej de la base can´ onica de Rn respecto de la base can´ onica de Rm , se le llama matriz de la transformaci´ on T respecto de las bases β1 y β2 . Es decir, la transformaci´ on T : Rn → Rm queda un´ıvocamente determinada cuando se da la imagen de una base de Rn . Sean β1 = {e1 , e2 , · · · , en } y β2 = {¯ e1 , ¯ e2 , · · · , ¯ en } las bases can´ onicas de Rn y Rm respectivamente. Las im´ agenes de los vectores de la base β1 , por estar en Rm , se pueden expresar mediante combinaci´ on lineal de los vectores de β2 . Sean las im´ agenes de los vectores de la base β1 mediante la transformaci´ on T las siguientes:  T (e1 ) = a11 ¯ e1 + a21 ¯ e2 + · · · + am1 ¯ em  ···  T (en ) = a1n ¯ e1 + a2n ¯ e2 + · · · + amn ¯ em Si x es un vector arbitrario de Rn , e y su imagen en Rm , ser´ a: x = x1 e1 + · · · + xn en

→

y = y1 ¯ e1 + · · · + ym ¯ em

se verificar´ a: y1 ¯ e1 + · · · + ym ¯ em = T (x) = T (x1 e1 + · · · + xn en ) = x1 T (e1 ) + · · · + xn T (en ) =

= x1 (a11 ¯ e1 + · · · + am1 ¯ em ) + · · · + xn (a1n ¯ e1 + · · · + amn ¯ em ) =

= (a11 x1 + · · · + a1n xn )¯ e1 + · · · + (am1 x1 + · · · + amn xn )¯ em de donde

 y1 = a11 x1 + · · · + a1n xn  ···  ym = am1 x1 + · · · + amn xn

Son las ecuaciones de la transformaci´ on T respecto de las bases β1 y β2 . Las ecuaciones se pueden escribir en forma matricial del siguiente modo:      x1 a11 · · · a1n y1  .   .   . . . . .  . = . .   ..  am1

ym

···

amn

xn

Es decir, y = Ax, donde las columnas de la matriz A son las coordenadas de las im´ agenes de los vectores de la base can´ onica β1 respecto de β2 .

Matriz jacobiana. Sea f : D ⊆ Rn → Rm una funci´ on diferenciable en x0 ∈ D, entonces, seg´ un la definici´ on 4.20, ser´ a: f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 )h + r(h)

donde

l´ım

h→0

r(h) =0 khk

(para h tal que x0 + h ∈ D).

Considerando el vector h = tej , ej de la base can´ onica de Rn y t ∈ R, con t suficientemente peque˜ no como para asegurar que x0 + h ∈ D, resulta: f (x0 + tej ) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(tej ) + r(h) Y teniendo en cuenta que f ′ (x0 ) es una transformaci´ on lineal, ser´ a: f ′ (x0 )(tej ) = tf ′ (x0 )(ej ), luego, f (x0 + tej ) = f (x0 ) + tf ′ (x0 )(ej ) + r(h) de donde, f (x0 + tej ) − f (x0 ) r(h) − t t y teniendo en cuenta que khk = ±t, podemos escribir f ′ (x0 )(ej ) =

f ′ (x0 )(ej ) =

r(h) f (x0 + tej ) − f (x0 ) ∓ t khk

283

4.8. REGLA DE LA CADENA

Al tomar l´ımite cuando t → 0 (i.e. cuando khk → 0) el segundo sumando del lado derecho tiende a cero, quedando s´ olo: f ′ (x0 )(ej ) = l´ım

t→0

f (x0 + tej ) − f (x0 ) t

Al descomponer f como (f1 , f2 , . . . , fn ), y tomando l´ımites en cada una de las coordenadas, vemos que ´estos son las derivadas parciales respecto de la variable xj de cada una de las componentes. es decir,  X  m ∂f2 ∂fm ∂fi ∂f1 (x0 ), (x0 ), . . . , (x0 ) = (x0 )¯ ei f ′ (x0 )(ej ) = ∂xj ∂xj ∂xj ∂x j i=1 Entonces la j-´esima columna de la matriz que representa a la transformaci´ on lineal (derivada) f ′ (x0 ) : Rn → Rm est´ a formada por las derivadas parciales de las funciones componentes de f respecto de su j-´esima variable. Es decir,  ∂f  ∂f1 ∂f1 1 (x0 ) (x0 ) . . . (x0 ) ∂x2 ∂xn  ∂x1     ∂f2  ∂f ∂f 2 2   (x ) (x ) . . . (x ) 0 0 0  ∂x1  ∂x ∂x 2 n     .. .. ..     . . ··· .   ∂fm ∂fm ∂fm (x0 ) (x0 ) . . . (x0 ) ∂x1 ∂x2 ∂xn

A esta matriz de orden m × n, en cuya i-´esima linea y j-´esima columna aparece la derivada i parcial ∂f (x0 ) de la i-´esima funci´ on componente de f respecto de su j-´esima variable, xj evaluada en x0 , se le llama matriz jacobiana de la funci´ on f en x0 y se denota Jf (x0 ). Esta es entonces la derivada de la funci´ on diferenciable f en x0 (identificando, como siempre, a la transformaci´ on lineal f ′ (x0 ) : Rn → Rm con la matriz que la representa). Gradiente y matriz jacobiana. Consideremos el caso m = 1. En este caso, la funci´ on f : D j Rn → R definida en el conjunto abierto D de Rn ser´ a diferenciable en x0 ∈ D si se da la transformaci´ on lineal f ′ (x0 ) : Rn → R cuya representaci´ on matricial es la matriz 1×n   ∂f ∂f ∂f Jf (x0 ) = (x0 ) (x0 ) · · · (x0 ) ∂x1 ∂x2 ∂xn

tal que

f (x0 + h) = f (x0 ) + f ′ (x0 )h + r(h)

con

l´ım

h→0

r(h) = 0. khk

Ahora bien, Si h = (h1 , h2 , . . . , hn ) ∈ Rn es tal que x0 + h ∈ D, se tiene   h1   h2   ∂f ∂f ∂f   (x0 ) (x0 ) · · · (x0 )  .  = f ′ (x0 )h = Jf (x0 )h = ∂x1 ∂x2 ∂xn  ..  hn

=

∂f ∂f ∂f (x0 )h1 + (x0 )h2 + · · · + (x0 )hn ∂x1 ∂x2 ∂xn

agina 235), vemos Comparando este resultado con el obtenido en la definici´ on 4.7 (p´ que se trata exactamente de la misma definici´ on, s´ olo que en aqu´ella se hablaba de la existencia de las derivadas parciales y ahora hablamos de la transformaci´ on lineal f ′ (x0 ) (la derivada de f en x0 ) o de un modo m´ as preciso, de la matriz que la representa. Es decir, el residuo r(h) queda determinado de la misma manera en ambas definiciones y se le pide que cumpla la misma propiedad.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 284 CAP´ITULO 4. DERIVACION Puede demostrarse que la funci´ on f : D j Rn → Rm es diferenciable en x0 ∈ D (seg´ un la definici´ on 4.20) si y s´ olo si sus funciones coordenadas fi : D j Rn → Rm lo son (con as a´ un, teniendo en cuenta que la derivada de la la definici´ on de diferenciabilidad 4.7). M´ i-´esima funci´ on coordenada fi en x0 es la matriz de orden 1 × n   ∂fi ∂fi ∂fi (x0 ) (x0 ) · · · (x0 ) Jfi (x0 ) = ∂x1 ∂x2 ∂xn tenemos que la derivada de la funci´ on f : D j Rn → Rm es la matriz que en su i-´esima fila tiene la derivada de su i-´esima funci´ on componente. Esquem´ aticamente:  ∂f 1 (x0 )  ∂x1   ∂f2  (x0 )  Jf (x0 ) =  ∂x1  ..   .  ∂fm (x0 ) ∂x1

∂f1 (x0 ) ∂x2 ∂f2 (x0 ) ∂x2 .. . ∂fm (x0 ) ∂x2

... ... ··· ...

 ∂f1 (x0 ) ∂xn    ←  ∂f2 ← (x0 )    ∂xn =   ..   . ←  ∂fm (x0 ) ∂xn

Jf1 (x0 ) Jf2 (x0 ) .. . Jfm (x0 )

 → →   

→

Obs´ervese tambi´en que la matriz 1 × n, Jfi (x0 ), derivada de la funci´ on fi : D j Rn → R, se identifica de manera natural con el vector gradiente de fi en x0   ∂fi ∂fi ∂fi (x0 ), (x0 ), · · · , (x0 ) Jfi (x0 ) = grad fi (xo ) = ∂x1 ∂x2 ∂xn As´ı, el gradiente de una funci´ on de n variables (definido en 4.9) es como la derivada de la funci´ on (en el sentido de la definici´ on 4.20). Ejemplo 4.56. Derivar la funci´ on f : R2 → R2 dada por f (x, y) = (x2 + 3y 2 , x3 + 2y 5 ) Soluci´ on. Las funciones coordenadas vienen definidas por: f1 (x, y) = x2 + 3y 2 , luego,



∂f1  ∂x Jf =   ∂f2 ∂x

f2 (x, y) = x3 + 2y 5

 ∂f1  ∂y   = 2x2 3x ∂f2 

6y 10y 4

∂y



Ejemplo 4.57. Hallar la derivada en on f : R2 → R3 definida
el punto (0, 0) de la funci´ x+y por f (x, y) = x + y, e , sen(x + y) . Soluci´ on. Las funciones coordenadas vienen definidas por: f1 (x, y) = x + y,

f2 (x, y) = ex+y ,

f3 (x, y) = sen(x + y)

luego,  ∂f

1

(0, 0)

 ∂x   ∂f2 Jf =   ∂x (0, 0)   ∂f 3 (0, 0) ∂x

 ∂f1 (0, 0)   ∂y  1  ∂f2 (0, 0) =  ex+y  ∂y  cos(x + y)  ∂f3 (0, 0) ∂y

1



ex+y  cos(x + y) x=0 y=0



1 = 1 1

Regla de la cadena. Caso general. Esquem´ aticamente la situaci´ on ser´ıa:

 1 1 1

285

4.8. REGLA DE LA CADENA

g

(f ◦ g)′

′

f′

R g(x0 )

x0 g

Rm



Rn

f

f ◦g

j R f (g(x0 ))  *

Rp

Figura 4.20: Composici´on de funciones

Supongamos que la funci´ on g : Rm → Rn es diferenciable en x0 y la funci´ on f : Rm → R es diferenciable en g(x0 ). Lo que dice la regla de la cadena es que la funci´ on compuesta f ◦ g : Rm → Rp ser´ a diferenciable en x0 y que n

(f ◦ g)′ (x0 ) = f ′ (g(x0 ))g′ (x0 ) entendi´endose el lado derecho de esta expresi´ on como una composici´ on de transformaciones lineales, o bien, en t´erminos matriciales J(f ◦ g)(x0 ) = Jf (g(x0 ))Jg(x0 ) entendi´endose el lado derecho de esta u ´ltima expresi´ on como una multiplicaci´ on de matrices. Es decir, la (matriz que representa a la) derivada de la composici´ on es igual al producto de las (matrices que representan a las) derivadas de las funciones componentes.

Ejemplo 4.58. Dadas las funciones g : R2 → R3 y f : R3 → R2 , definidas por: g(x, y) = (3x, xy, y 2 ) f (x, y, z) = (x2 + 3y 2 , 2xyz) Hallar la derivada de la composici´ on f ◦ g : R 2 → R 2 (a) Mediante la regla de la cadena. (b) Realizando previamente la composici´ on.

Soluci´ on. (a) La matriz jacobiana de la composici´ on vendr´ a definida por el producto de

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 286 CAP´ITULO 4. DERIVACION las matrices jacobianas correspondientes, es decir,
J(f ◦ g) = Jf g(x, y) Jg(x, y) = 

∂f1  ∂x =  ∂f2 ∂x


g(x, y)
g(x, y)

∂f1 ∂y
∂f2 g(x, y) ∂y
g(x, y)



0 x = 2y     3 0 2(3x) 6(xy) 0 y x  = = 2(xy)(y 2 ) 2(3x)(y 2 ) 2(3x)(xy) 0 2y     3 0  2 6x 6xy 0 y x  = 18x3 + 6xy 3 = 3 2 2 2xy 6xy 6x y 6xy + 6xy 0 2y   18x + 6xy 2 6x2 y = 12xy 3 18x2 y 2 =



2x 2yz

6y 2xz

0 2xy



3 y g(x,y) 0

 ∂g1 
 ∂x ∂f1 g(x, y)    ∂z   ∂g2  ∂x 
∂f2  g(x, y)  ∂g ∂z 3 ∂x 

 ∂g1 ∂x   ∂g2  = ∂x   ∂g3  ∂x

6x2 y 6x y + 12x2 y 2 2 2



=

(b) Aplicando previamente la composici´ on, resulta:

(f ◦ g)(x, y) = f g(x, y) = f (3x, xy, y 2 ) = (3x)2 + 3(xy)2 , 2(3x)(xy)(y 2 ) = = (9x2 + 3x2 y 2 , 6x2 y 3 )

de donde, la derivada de la composici´ on es la matriz:   18x + 6xy 2 6x2 y J(f ◦ g) = 3 2 2 12xy 18x y que coincide con la obtenida mediante la regla de la cadena. Ejemplo 4.59. Dadas las funciones g : R3 → R3 y f : R3 → R2 , definidas por: g(x, y, z) = (xy, yz, x + y + z) f (x, y, z) = (x2 + y 3 , y + z 2 − 1) Hallar la derivada de la composici´ on f ◦ g : R2 → R2 en el punto (1, 1, 1) (a) Mediante la regla de la cadena. (b) Realizando previamente la composici´ on. Soluci´ on. (a) La matriz jacobiana de la composici´ on vendr´ a definida por el producto de las matrices jacobianas correspondientes. En este caso, a ser g(1, 1, 1) = (1, 1, 3), ser´ a,
J(f ◦ g)(1, 1, 1) = Jf g(1, 1, 1) Jg(1, 1, 1) = Jf (1, 1, 3) Jg(1, 1, 1)

luego

   2 3 0 2x 3y 2 0 = 0 1 6 0 1 2z (1,1,3)     1 1 0 y x 0 = 0 1 1 Jg(1, 1, 1) =  0 z y  1 1 1 1 1 1 (1,1,1) Jf (1, 1, 3) =



4.9. FUNCIONES IMPL´ICITAS

287

de donde, resulta: J(f ◦ g)(1, 1, 1) =



2 0

3 1

  1 0  0 6 1

1 1 1

  0 2 1 = 6 1

5 7

 3 7

(b) Aplicando previamente la composici´ on, resulta:

(f ◦ g)(x, y, x) = f g(x, y, z) = f (xy, yz, x + y + z) = x2 y 2 + y 3 z 3 , yz + (x + y + z)2 − 1 de donde, la derivada de la composici´ on es la matriz:  2xy 2 2x2 y 2 + 3y 2 z 3 J(f ◦ g) = 2(x + y + z) z + 2(x + y + z) de donde resulta:  (f ◦g)(1, 1, 1) =

2xy 2 2(x + y + z)

2x2 y 2 + 3y 2 z 3 z + 2(x + y + z)

3y 3 z 2 y + 2(x + y + z)

3y 3 z 2 y + 2(x + y + z)





= (1,1,1)



2 6

5 7

 3 7

que coincide con la obtenida mediante la regla de la cadena. El teorema que establece rigurosamente la regla de la cadena en el caso general puede enunciarse de la siguiente forma: Teorema 4.13. Sea f : Df j Rn → Rp una funci´ on definida en el abierto Df de Rn y m n g : Dg j R → R una funci´ on definida en el abierto Dg de Rm tal que g(Dg ) j Df . Si g es diferenciable en x0 ∈ Dg y f es diferenciable en g(x0 ) ∈ Df entonces la funci´ on f ◦ g : Dg j Rm → Rp es diferenciable en x0 y su derivada viene dada por la matriz:
J(f ◦ g)(x0 ) = Jf g(x0 ) Jg(x0 ) La demostraci´ on puede verse en [2, Pita]

4.9. 4.9.1.

Funciones impl´ıcitas Funciones de una variable

La ecuaci´ on de una curva en el plano puede expresarse bien en forma expl´ıcita, y = f (x), o bien en forma impl´ıcita, F (x, y) = 0. No obstante, si tenemos una ecuaci´ on de la forma F (x, y) = 0, no siempre representa ´esta una funci´ on. Es decir, dada la ecuaci´ on F (x, y) = 0 nos planteamos la cuesti´ on de si es siempre posible despejar y en t´erminos de x y dejar establecida la funci´ on y = f (x). La respuesta a esta cuesti´ on es negativa. En efecto: De la 2 2 expresi´ on x +y −1 = 0 no podemos establecer una funci´ on y = f (x) despe2 + y 2 = 1 define dos funciones, a saber, jando y en t´erminos de x, ya que x √ √ y = f1 (x) = 1 − x2 e y = f2 (x) = − 1 − x2 . La ecuaci´ on F (x, y) = 0 siempre representa una relaci´ on, esto es, el conjunto de todos los pares que satisfacen la ecuaci´ on. No obstante, nos planteamos la siguiente pregunta ¿cu´ ando la relaci´ on definida por F (x, y) = 0 es tambi´en una funci´ on? En otras palabras, ¿cu´ ando la ecuaci´ on F (x, y) = 0 puede resolverse expl´ıcitamente respecto a y en funci´ on de x, obteni´endose soluci´ on u ´nica? La cuesti´ on anterior puede plantearse en t´erminos de curvas de nivel. As´ı, podemos preguntarnos lo siguiente, dada la funci´ on z = F (x, y), ¿es su

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 288 CAP´ITULO 4. DERIVACION nivel cero, F (x, y) = 0, una curva que se puede ver como la gr´ afica de una funci´ on y = f (x)?. As´ı mismo, si conocemos algo referente a la continuidad o diferenciabilidad de F ¿qu´e podemos concluir en relaci´ on a la continuidad o diferenciabilidad de f ? El teorema de la funci´ on impl´ıcita trata localmente esta cuesti´ on. Es decir, hacemos un planteamiento local de la cuesti´ on anterior: Dada la funci´ on z = F (x, y), sea (x0 , y0 ) un punto para el cual F (x0 , y0 ) = 0. De F (x, y) = 0, ¿se puede obtener (despejando y en t´erminos de x) una funci´ on y = f (x), definida en una vecindad de x0 , tal que y0 = f (x0 )? Cuando tal entorno y tal funci´ on y = f (x) existen, decimos que la funci´ on y = f (x) est´ a definida impl´ıcitamente por la expresi´ on F (x, y) = 0, o bien que es una funci´ on impl´ıcita dada en F (x, y) = 0. Gr´ aficamente, la situaci´ on puede visualizase, en el ejemplo de la circunferencia, de la siguiente forma: y 6 La ecuaci´ on x2 + y 2 = 1, en general no dem fine una sola funci´ on y = f (x), sin embargo, √ si nos√limitamos a un entorno del punto m -x (1/ 2, 1/ 2), s´ı que queda definida una sola funci´ on (reduci´endonos a ese entorno), mien−1 1 tras que en un entorno del punto (1, 0) no queda definida dicha funci´ on (ya que cada punto tendr´ıa dos im´ agenes, al haber dos puntos en Figura 4.21: x2 + y2 = 1 la misma vertical). El teorema de la funci´ on impl´ıcita resuelve localmente la cuesti´ on planteada, y nos dice que, dado un punto (x0 , y0 ) tal que F (x0 , y0 ) = 0, en determinadas condiciones existir´ a un entorno de (x0 , y0 ) de manera que, en este entorno, la relaci´ on definida por F (x, y) = 0 es tambi´en una funci´ on. Esas condiciones son que Fx y Gy sean continuas en un entorno de (x0 , y0 ) y que Fy (x0 , y0 ) 6= 0. El teorema de la funci´ on impl´ıcita tambi´en nos dice que dicha funci´ on, y = f (x), tiene derivada continua y nos da la manera de calcular dicha derivada, y ′ = −Fx /Fy . Planteamiento pr´ actico. Supongamos la ecuaci´ on F (x, y) = 0, si supi´eramos despejar y en t´erminos de x, tendr´ıamos y = f (x), y podr´ıamos calcular dy =?. dx dy =? F (x, y) = 0 → y = f (x) → dx El problema se presenta cuando no sabemos o no queremos despejar y en t´erminos de x ¿c´ omo podemos calcular dicha derivada?. Partamos de que F (x, y) = 0, ser´ a dF (x, y) = 0, de donde dF = Fx dx + Fy dy = 0 →

dF dx dy dy = Fx + Fy = 0 → Fx + Fy =0 dx dx dx dx

4.9. FUNCIONES IMPL´ICITAS

289

de donde, si Fy (x, y) 6= 0, se tiene dy −Fx (x, y) = dx Fy (x, y) Al mismo resultado llegamos si consideramos la funci´ on z = F (x, y) = F (x, f (x)) entonces podemos aplicar el Teorema 4.11 y obtenemos dx dy dz = Fx (x, y) + Fy (x, y) dx dx dx Como z = F (x, y) = 0 para todo x en el dominio de f , se tiene dz/dx = 0 y en consecuencia dy dx + Fy (x, y) =0 Fx (x, y) dx dx Y si Fy (x, y) 6= 0, podemos concluir con que dy −Fx (x, y) = dx Fy (x, y) Teorema 4.14 (De la funci´ on impl´ıcita). Supongamos la funci´ on z = F (x, y). Sea (x0 , y0 ) ∈ R2 un punto tal que F (x0 , y0 ) = 0. Supongamos que la funci´ on F tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B con centro en (x0 , y0 ) y que Fy (x0 , y0 ) 6= 0. Entonces F (x, y) = 0 se puede resolver para y en t´erminos de x y definir as´ı una funci´ on y = f (x) con dominio en una vecindad V de x0 , tal que y0 = f (x0 ), la cual tiene derivada continua en V que puede calcularse como y ′ = f ′ (x) =

−Fx (x, y) , Fy (x, y)

x∈V

Esquem´ aticamente ser´ıa:  F (x0 , y0 ) = 0  −Fx (x, y) Fx y Fy continuas ⇒ y = f (x), tal que y0 = f (x0 ), y adem´ as y ′ =  Fy (x, y) Fy (x0 , y0 ) 6= 0

Debe tenerse en cuenta que el teorema de la funci´ on impl´ıcita es un teorema de existencia. Dice que existe una funci´ on y = f (x) definida impl´ıcitamente por F (x, y) = 0, sin embargo, no dice c´ omo se puede determinar dicha funci´ on. Es m´ as, podr´ıa ocurrir que la estructura algebraica de la ecuaci´ on F (x, y) = 0 no permitiera el despeje de y en t´erminos de x. De ah´ı la importancia del teorema que afirma que, si se cumplen las hip´ otesis, aunque no podamos despejar y en t´erminos de x, tal funci´ on existe, y adem´ as el teorema nos dice c´ omo calcular su derivada.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 290 CAP´ITULO 4. DERIVACION Tambi´en hay que advertir que se trata de un teorema local. Nos asegura la existencia de la funci´ on y = f (x), o bien la posibilidad de despejar y en t´erminos de x a partir de F (x, y) = 0, pero solamente en las cercan´ıas del punto (x0 , y0 ). Tambi´en debe tenerse en cuenta que para el caso de una variable existe la posibilidad de calcular la derivada de la funci´ on impl´ıcita aplicando directamente las reglas de derivaci´ on sobre la ecuaci´ on F (x, y) = 0. Simplemente habr´ a que tener en cuenta que cada vez que derivemos la variable y habr´ a que multiplicar por su derivada y ′ . Ejemplo 4.60. Calcular y ′ , siendo y 3 + y 2 − 5y − x2 + 4 = 0 (a) Aplicando las reglas de derivaci´ on. (b) aplicando el teorema de la funci´ on impl´ıcita. Soluci´ on. (a) Mediante las reglas de derivaci´ on tenemos: 3y 2 y ′ + 2yy ′ − 5y ′ − 2x = 0

→

y′ =

3y 2

2x + 2y − 5

(b) Mediante el teorema de la funci´ on impl´ıcita, hacemos F (x, y) = y 3 + y 2 − 5y − x2 + 4, con lo cual, Fx = −2x Fy = 3y 2 + 2y − 5



→ y′ =

2x −Fx = 2 Fy 3y + 2y − 5

Ejemplo 4.61. Razonar si la ecuaci´ on ey = x3 +3y determina una funci´ on y = f (x) que cumple f (1) = 0 y que es derivable en x = 1. Calcular f ′ (1) y la recta tangente a f (x) en (1, 0). Soluci´ on. El teorema de la funci´ on impl´ıcita afirma que la ecuaci´ on F (x, y) = 0 define una funci´ on y = f (x) derivable en un punto x0 , si se cumplen las tres condiciones siguientes: El punto P (x0 , y0 ), con y0 = f (x0 ), cumple la ecuaci´ on F (P ) = 0, las derivadas parciales de F en P son continuas, y Fy (P ) 6= 0. El punto P (1, 0) cumple la ecuaci´ on dada, en efecto: e0 = 13 + 3 · 0 = 1 + 0 = 1 Las derivadas parciales de F (x, y) = ey − x3 − 3y son continuas en todo R2 y por tanto en P , por tratarse de una funci´ on polin´ omica y una exponencial, en efecto: Fx (x, y) = −3x2 Fy (x, y) = ey − 3

4.9. FUNCIONES IMPL´ICITAS

291

Y adem´ as: Fy (1, 0) = e0 − 3 = 1 − 3 = −2 6= 0. Luego podemos afirmar la existencia de la funci´ on y = f (x) que cumple f (1) = 0 y que es derivable en x = 1. En virtud del teorema de la funci´ on impl´ıcita tenemos: f ′ (x) =

3x2 3 3 −Fx (x, y) = y → f ′ (1) = =− Fy (x, y) e −3 −2 2

y teniendo en cuenta que la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (1, 0) viene definida por: y = f (1) + f ′ (1) · (x − 1) resulta:

3 y = 0 − (x − 1) 2

→

3x + 2y = 3

Ejemplo 4.62. Dada la ecuaci´ on x2 + y 2 = 2 (a) Justificar que la ecuaci´ on x2 + y 2 = 2 define, en un entono del punto (1, 1), una funci´ on y = y(x) (b) Calcular y ′ (1), y ′′ (1) Soluci´ on. (a) Para que quede garantizada la existencia de la funci´ on y = y(x), deber´ an cumplirse las tres condiciones siguientes: El punto (1, 1) cumple la ecuaci´ on. En efecto 12 + 12 = 1 + 1 = 2 Las derivadas parciales de la funci´ on F (x, y) = x2 + y 2 − 2 son continuas en un entorno del punto (1, 1). En efecto, Fx = 2x

Fy = 2y

que son continuas en R2

Fy (1, 1) 6= 0. En efecto, Fy (1, 1) = 2 6= 0 √ Luego existe la funci´ on y = y(x). Que en este caso es y = + 2 − x2 . (b) Para calcular las derivadas podemos aplicar las reglas de derivaci´ on. En efecto, x2 + y 2 = 2

→

2x + 2yy ′ = 0

→

y′ =

−x y

→

y ′ (1) =

−1 = −1 1

y derivando nuevamente, 2+2y ′ y ′ +2yy ′′ = 0 → 1+(y ′ )2 +yy ′′ = 0 → y ′′ =

−2 −1 − (y ′ )2 = = −2 y 1

Nota: Hay que aclarar que los papeles de las letras x e y son perfectamente intercambiables. As´ı, si la funci´ on z = F (x, y) es tal que en el punto (x0 , y0 ) vale cero, F (x0 , y0 ) = 0, que en una bola con centro en (x0 , y0 ) tiene derivadas parciales continuas y que su derivada respecto de x es distinta de

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 292 CAP´ITULO 4. DERIVACION cero en (x0 , y0 ), es decir, Fx (x0 , y0 ) 6= 0. Entonces, el teorema de la funci´ on impl´ıcita garantiza la existencia de una funci´ on x = g(y) tal que x0 = g(y0 ), para y en una vecindad de y0 , y adem´ as su derivada, en esa vecindad, es: −Fy (x, y) dx = g ′ (y) = dy Fx (x, y) Es evidente que si en el punto (x0 , y0 ) se tiene Fx (x0 , y0 ) 6= 0

y Fy (x0 , y0 ) 6= 0

entonces el teorema de la funci´ on impl´ıcita nos dice que en los alrededores de (x0 , y0 ), la gr´ afica de la curva F (x0 , y0 ) = 0 se puede ver como la gr´ afica de una funci´ on y = f (x) o bien como la gr´ afica de una funci´ on x = f (y). Puntos regulares. Si z = F (x, y) es una funci´ on tal que F (x0 , y0 ) = 0 y en una bola B con centro en (x0 , y0 ) las parciales Fx y Fy son continuas
2 y si Fx (x0 , y0 ) 6= 0 ´ o Fy (x0 , y0 ) 6= 0 (o equivalentemente si Fx (x0 , y0 ) +
2 Fy (x0 , y0 ) 6= 0) entonces (x0 , y0 ) se dice que es un punto regular de la curva F (x, y) = 0. Es decir, los puntos regulares son aquellos puntos (x0 , y0 ) tales que en una bola con centro en ellos, a partir de F (x, y) = 0, se puede despejar x o y en t´erminos de y o x, respectivamente, y establecer una funci´ on con derivada continua x = g(y) ´ o y = g(x). Si el punto (x0 , y0 ) no es regular de F (x, y) = 0, se dice que es un punto singular.

4.9.2.

Funciones de dos variables

Dada una ecuaci´ on F (x, y, z) = 0 nos planteamos ahora la cuesti´ on de ¿cu´ ando de dicha expresi´ on se puede despejar z en t´erminos de x e y y formar as´ı una funci´ on z = f (x, y)? Es decir, ¿cu´ ando el nivel cero, F (x, y, z) = 0, de la funci´ on w = F (x, y, z) se puede ver como la gr´ afica de una funci´ on z = f (x, y)? Planteamiento pr´ actico. Supongamos la ecuaci´ on F (x, y, z) = 0, si supi´eramos despejar z en t´erminos de x e y, tendr´ıamos z = f (x, y), y podr´ıamos ∂z ∂z =? y =?. calcular ∂x ∂y  ∂z   =? ∂x F (x, y, z) = 0 → z = f (x, y) →   ∂z =? ∂y El problema se presenta cuando no sabemos o no queremos despejar z en t´erminos de x e y ¿c´ omo podemos calcular dichas derivadas?.

4.9. FUNCIONES IMPL´ICITAS

293

Partamos de que F (x, y, z) = 0, ser´ a dF (x, y, z) = 0, de donde

dF = Fx dx + Fy dy + Fz dz = 0

→

 dx dy dz dF   = Fx + Fy + Fz =0 dx dx dx dx dx dy dz   dF = Fx + Fy + Fz =0 dy dy dy dy

Ahora bien, (a) Para y = cte., en el primer caso resulta: Fx + 0 + Fz

∂z ∂z −Fx (x, y, z) =0→ = ∂x ∂x Fz (x, y, z)

(b) Para x = cte., en el segundo caso resulta: 0 + Fy + Fz

−Fy (x, y, z) ∂z ∂z =0→ = ∂y ∂y Fz (x, y, z)

Teorema 4.15 (De la funci´ on impl´ıcita). Supongamos la funci´ on w = 3 F (x, y, z). Sea p = (x0 , y0 , z0 ) ∈ R un punto tal que F (x0 , y0 , z0 ) = 0. Supongamos que la funci´ on F tiene derivadas parciales continuas en alguna bola B con centro en p y que Fz (p) 6= 0. Entonces F (x, y, z) = 0 se puede resolver para z en t´erminos de x e y y definir as´ı una funci´ on z = f (x, y) con dominio en una vecindad V de (x0 , y0 ), tal que z0 = f (x0 , y0 ), la cual tiene derivadas parciales continuas en V que pueden calcularse como ∂z −Fx (x, y, z) = , ∂x Fz (x, y, z)

−Fy (x, y, z) ∂z = ∂y Fz (x, y, z)

(x, y) ∈ V

Esquem´ aticamente ser´ıa:   ∂z −Fx (x, y, z)   F (x0 , y0 , z0 ) = 0 =   ∂x Fz (x, y, z) Fx , Fy , Fz continuas ⇒ z = f (x, y), tal que z0 = f (x0 , y0 ), y ∂z −F   y (x, y, z)  = Fz (x0 , y0 , z0 ) 6= 0  ∂y Fz (x, y, z)

Las derivadas parciales tambi´en pueden calcularse a partir de las reglas ordinarias de derivaci´ on, suponiendo una de las variables constante, con la u ´nica observaci´ on de multiplicar por la derivada parcial correspondiente, cada vez que derivemos z. Ejemplo 4.63. Calcular

∂z ∂z y siendo 3x2 z − x2 y 2 + 2z 3 + 3yz − 5 = 0 ∂x ∂x

(a) Mediante las reglas ordinarias de derivaci´ on. (b) Mediante las f´ ormulas de la funci´ on impl´ıcita.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 294 CAP´ITULO 4. DERIVACION Soluci´ on. (a) Mediante las reglas ordinarias de derivaci´ on tenemos: −6xz + 2xy 2 3x2 + 6z 2 + 3y 2x2 y − 3z 3x2 zy + 2x2 y + 6z 2 zy + 3z + 3yzy = 0 → zy = 2 3x + 6z 2 + 3y

6xz + 3x2 zx − 2xy 2 + 6z 2 zx + 3yzx = 0 → zx =

(b) Mediante el teorema de la funci´ on impl´ıcita, hacemos: F (x, y, z) = 3x2 z − x2 y 2 + 2z 3 + 3yz − 5, con lo cual,  ∂z Fx (x, y, z) = 6xz − 2xy 2  = ∂x 2 Fy (x, y, z) = −2x y + 3z  ∂z Fz (x, y, z) = 3x2 + 6z 2 + 3y = ∂y

−Fx −6xz + 2xy 2 = 2 Fz 3x + 6z 2 + 3y −Fy 2x2 y − 3z = 2 Fz 3x + 6z 2 + 3y

Ejemplo 4.64. Razonar si la ecuaci´ on x3 + 2y 3 + z 3 − 3xyz − 2y + 1 = 0; determina una funci´ on z = f (x, y) en un entorno del punto (0, 1). Calcular ∂f ∂f (0, 1), (0, 1) y la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie en el punto ∂x ∂y (0, 1, f (0, 1)). Soluci´ on. El teorema 4.15 de la funci´ on impl´ıcita afirma que una ecuaci´ on F (x, y, z) = 0 define una funci´ on z = f (x, y) diferenciable en un punto p = (x, y), si se cumplen las tres condiciones siguientes: el punto P = (x, y, z) cumple la ecuaci´ on F (P ) = 0, las derivadas parciales de F en P son continuas, y Fz (P ) 6= 0. En nuestro caso, el punto P que cumple la ecuaci´ on dada viene definido por las coordenadas: x = 0, y = 1

→

2 + z3 − 2 + 1 = 0

→

z = −1

Las derivadas parciales de F (x, y, z) = x3 + 2y 3 + z 3 − 3xyz − 2y + 1 son continuas en todo R3 y por tanto en P , en efecto: Fx (x, y, z) = 3x2 − 3yz Fy (x, y, z) = 6y 2 − 3xz − 2 Fz (x, y, z) = 3z 2 − 3xy Y adem´ as: Fz (0, 1, −1) = 3 6= 0 Luego podemos afirmar la existencia de la funci´ on z = f (x, y) diferenciable en el punto p = (0, 1). En virtud del teorema de la funci´ on impl´ıcita tenemos: ∂f −Fx (x, y, z) −3x2 + 3yz (x, y) = = ∂x Fz (x, y, z) 3z 2 − 3xy

→

∂f −Fx (0, 1, −1) (0, 1) = = −1 ∂x Fz (0, 1, −1)

−Fy (x, y, z) −6y 2 + 3xz + 2 ∂f −Fy (0, 1, −1) −4 ∂f (x, y) = = → (0, 1) = = ∂y Fz (x, y, z) 3z 2 − 3xy ∂y Fz (0, 1, −1) 3

4.9. FUNCIONES IMPL´ICITAS

295

y teniendo en cuenta que la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P (0, 1, −1) viene definida por: z = f (0, 1) + resulta:

∂f ∂f (0, 1) · (x − 0) + (0, 1) · (y − 1) ∂x ∂y

4 z = −1 − x − (y − 1), o bien, simplificando 3x + 4y + 3z = 1 3

Ejemplo 4.65. Sea F una funci´ on diferenciable y con derivadas parciales continuas tal que F (9, 2, −4) = 0 y ∇F (9, 2, −4) = (−1, 0, 5). ¿La ecuaci´ on F (x, y, z) = 0 define una funci´ on diferenciable z = f (x, y) tal que f (9, 2) = ∂f ∂f −4? En caso afirmativo, determina (9, 2) y (9, 2) y, con su ayuda, ∂x ∂y calcula la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto (9, 2, −4). Soluci´ on. El teorema 4.15 de la funci´ on impl´ıcita afirma que una ecuaci´ on F (x, y, z) = 0 define una funci´ on z = f (x, y) diferenciable en un punto p = (x, y), si se cumplen las tres condiciones siguientes: el punto P = (x, y, z) cumple la ecuaci´ on F (P ) = 0, las derivadas parciales de F en P son continuas, y Fz (P ) 6= 0. En nuestro caso, el punto P que cumple la ecuaci´ on dada viene definido por P (9, 2, −4) Por hip´ otesis, las derivadas parciales de F son continuas en todo R3 y por tanto en P . Sus valores vienen dados por las coordenadas del gradiente: ∇F = (Fx , Fy , Fz ) → Fx (9, 2, −4) = −1, Fy (9, 2, −4) = 0, Fz (9, 2, −4) = 5 Y adem´ as: Fz (9, 2, −4) = 5 6= 0 Luego podemos afirmar la existencia de la funci´ on z = f (x, y) diferenciable en el punto p = (9, 2). En virtud del teorema de la funci´ on impl´ıcita tenemos: ∂f (x, y) = ∂x ∂f (x, y) = ∂y

−Fx (x, y, z) Fz (x, y, z) −Fy (x, y, z) Fz (x, y, z)

∂f (9, 2) = ∂x ∂f → (9, 2) = ∂y →

−Fx (9, 2, −4) 1 = Fz (9, 2, −4) 5 −Fy (9, 2, −4) 0 = =0 Fz (9, 2, −4) 5

y teniendo en cuenta que la ecuaci´ on del plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P (9, 2, −4) viene definida por: z = f (9, 2) + resulta:

∂f ∂f (9, 2) · (x − 9) + (9, 2) · (y − 2) ∂x ∂y

1 z = −4 + (x − 9) + 0(y − 2), o bien, simplificando x − 5z = 29 5

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 296 CAP´ITULO 4. DERIVACION

4.10.

Extremos de las funciones de varias variables

4.10.1.

Introducci´ on

Funciones de una variable La funci´ on f : I ⊆ R → R, definida en el intervalo abierto I de R, se dice que tiene un m´ aximo (m´ınimo) local o relativo en un punto x0 ∈ I si en un entorno Vx0 de x0 se tiene f (x0 ) ≥ f (x) (f (x0 ) ≤ f (x), respectivamente) para todo x en Vx0 . En otras palabras, f tiene un m´ aximo (m´ınimo) local en x0 si f (x0 ) es el valor m´ as grande (m´ as peque˜ no) de la funci´ on en torno a x0 .

y

Q

f (x1 ) y = f (x) f (x0 )

P x x0

x1

Figura 4.22: y = f (x) tiene un m´ınimo local en x = x0 y un m´aximo local en x = x1 .

Una condici´ on necesaria para que la funci´ on f tenga un extremo (m´ aximo o m´ınimo) local en x0 es que, si f ′ (x0 ) existe, entonces f ′ (x0 ) = 0. Geom´etricamente esta condici´ on significa que si la gr´ afica de la funci´ on es suave en x0 , su recta tangente en dicho punto debe ser horizontal. Es decir, en un extremo local la gr´ afica de la funci´ on o no tiene recta tangente, o si la tiene es una recta horizontal.

4.10.2.

Definiciones

M´ aximos y m´ınimos absolutos. Los valores f (x0 , y0 ) y f (x1 , y1 ) tal que f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y) ≤ f (x1 , y1 ) para todo (x, y) en D se conocen como m´ınimo absoluto y m´ aximo absoluto de f en la regi´ on D. Teorema de existencia del m´ aximo y del m´ınimo absoluto. Toda funci´ on continua, definida en una regi´ on cerrada y acotada, alcanza, en dicha regi´ on, un valor m´ aximo absoluto y un m´ınimo absoluto. M´ aximo y m´ınimo relativo. Definici´ on 4.21 (Extremo local). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´ on definida en el conjunto abierto D de Rn . Se dice que f tiene un m´ aximo (m´ınimo) local o relativo en el punto x0 ∈ D si f (x0 ) ≥ f (x) (f (x0 ) ≤ f (x) respectivamente) para toda x en una bola B de centro en x0 . f (x0 , y0 ) es m´ınimo relativo ⇔

f (x, y) ≥ f (x0 , y0 ) ∀(x, y) ∈ Bx0

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 297 f (x0 , y0 ) es m´ aximo relativo ⇔

f (x, y) ≤ f (x0 , y0 )

∀(x, y) ∈ Bx0

Es decir, al igual que en el caso de funciones de una variable, la funci´ on f tendr´ a un m´ aximo (m´ınimo) local en x0 ∈ D si f (x0 ) es el valor m´ as grande (m´ as peque˜ no, respectivamente) de todos los valores de f (x) para x en una bola de centro en x0 . Puntos cr´ıticos. Se llaman puntos cr´ıticos de una funci´ on a aquellos puntos en los que el gradiente vale cero o no est´ a definido, es decir, 1.

Puntos en los que todas las derivadas parciales valen cero (simult´ aneamente). fx (x0 , y0 ) = 0 y fy (x0 , y0 ) = 0

2.

Puntos en los que alguna de las derivadas parciales no est´ a definida. fx (x0 , y0 ) 6

6

6



-

m´ınimo

o fy (x0 , y0 )

6

-

M´ aximo

no existe

-

m´ınimo

6



M´ aximo

Punto silla

Figura 4.23: Puntos cr´ıticos. En el primer caso, si f es diferenciable, ser´ıa ∇f (x0 , y0 ) = 0 y, por tanto, todas las derivadas direccionales en (x0 , y0 ) deben ser nulas y en consecuencia todas las rectas tangentes a la superficie en el punto (x0 , y0 ) son horizontales, lo que significa que el plano tangente a la superficie en dicho punto es un plano horizontal. En el segundo caso, al no existir alguna de las derivadas parciales en el punto (x0 , y0 ), la funci´ on no es diferenciable en dicho punto y por tanto carece de plano tangente en el mismo. Lo que, gr´ aficamente, significa que se trata de un punto “anguloso”. En consecuencia, en ambos casos tenemos puntos candidatos a extremos relativos. No podemos asegurar la existencia de extremo relativo ya que, en ambos casos, puede darse la situaci´ on de un ((punto silla)). Definici´ on 4.22 (Punto silla). Si un punto cr´ıtico (x0 , y0 ) no corresponde ni a m´ aximo ni m´ınimo relativo, entonces el punto de la superficie (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) se llama punto silla. Es decir, (x0 , y0 ) corresponde a un punto silla si en todo disco abierto centrado en (x0 , y0 ) la funci´ on toma valores por encima y por debajo de f (x0 , y0 )

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 298 CAP´ITULO 4. DERIVACION El ejemplo m´ as t´ıpico de punto silla es el que corresponde a la situaci´ on denominada ((silla de montar)), no obstante, pueden darse otras situaciones m´ as irregulares. Teorema 4.16 (Los extremos relativos se producen solamente en puntos cr´ıticos). Si f (x0 , y0 ) es un extremo relativo de f en una regi´ on abierta R, entonces (x0 , y0 ) es un punto cr´ıtico de f . Demostraci´ on. En efecto, si g(x) = f (x, x0 ) tiene un extremo relativo en x0 , entonces g ′ (x0 ) = 0 o no existe. Pero g ′ (x0 ) = fx (x0 , y0 ) De la misma forma, si h(y) = f (x0 , y) tiene un extremo relativo en y0 , entonces h′ (y0 ) = 0 o no existe. Pero h′ (y0 ) = fy (x0 , y0 ) Al afirmar el teorema que en un m´ aximo y en un m´ınimo relativo, las derivadas parciales o no existen o valen cero, lo que nos viene a decir es que los extremos de una funci´ on, en una regi´ on abierta, se producen solamente en los puntos cr´ıticos. Sin embargo, hay que advertir que no en todo punto cr´ıtico existe un m´ aximo o un m´ınimo, ya que se puede producir lo que se llama un punto silla, que no son ni m´ aximos ni m´ınimos relativos. Si la regi´ on fuera cerrada podr´ıan darse lo que se llaman extremos en la frontera.

4.10.3.

Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ıticos

a) M´ etodo algebraico. Existen funciones que, por su sencillez, permiten estudiar la naturaleza de sus puntos cr´ıticos mediante argumentos exclusivamente algebraicos. Es decir, el estudio de la naturaleza de los extremos relativos, se hace a partir de la propia funci´ on, mediante transformaciones algebraicas de la misma. Comparando el valor de la funci´ on en el punto cr´ıtico con el valor de la funci´ on en los alrededores del punto cr´ıtico. Ejemplo 4.66. Determinar los extremos relativos de la funci´ on: f (x, y) = 3x2 + y 2 − 6x − 4y + 8 Soluci´ on. Hallamos las derivadas parciales y determinamos los correspondientes puntos cr´ıticos: Puntos en los que alguna de las derivadas parciales no est´ a definida, y puntos en los que las dos derivadas parciales son nulas. En el caso de funciones polin´ omicas las parciales est´ an siempre definidas, por tanto:    x=1 6x − 6 = 0 fx (x, y) = 6x − 6 p(1, 2) y=2 2y − 4 = 0 fy (x, y) = 2y − 4 Para estudiar la naturaleza del punto cr´ıtico p(1, 2) comparamos el valor de la funci´ on en el punto cr´ıtico con el valor de la funci´ on en los alrededores

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 299 del punto cr´ıtico.

f (1, 2) = 1

6

f (x, y) = 3x2 + y 2 − 6x − 4y + 8 =

Figura 4.24: m´ınimo.

= 3(x2 − 2x) + y 2 − 4y + 8 =

= 3(x2 − 2x + 1 − 1) + y 2 − 4y + 4 − 4 + 8 =

= 3(x − 1)2 − 3 + (y − 2)2 − 4 + 8 =

= 3(x − 1)2 + (y − 2)2 + 1 ≥ 1

Resulta que para cualquier punto (x, y) se tiene que f (x, y) ≥ f (1, 2), luego f (1, 2) es un m´ınimo (absoluto). Ejemplo 4.67. Determinar los extremos relativos de la funci´ on: p f (x, y) = 1 − x2 + y 2

Soluci´ on. Hallamos las derivadas parciales y determinamos los correspondientes puntos cr´ıticos: Puntos en los que alguna de las derivadas parciales no est´ a definida, y puntos en los que las dos derivadas parciales son nulas.  2x −x   p p fx (x, y) = =  2 x2 + y 2 x2 + y 2 −y −2y   =p fy (x, y) = − p  2 2 2 2 2 x +y x +y

Donde el u ´nico punto cr´ıtico es el punto (0, 0), en donde no est´ an definidas ninguna de las dos derivadas parciales. Para estudiar la naturaleza del punto cr´ıtico p(0, 0) comparamos el valor de la funci´ on en el punto cr´ıtico con el valor de la funci´ on en los alrededores del punto cr´ıtico. z6 (0, 0, 1) @ @

@

@ -y

x

f (0, 0) = 1 f (x, y) = 1 −

p

x2 + y 2 ≤ 1

Resulta que para cualquier punto (x, y) del plano se tiene que f (x, y) ≤ f (0, 0), luego f (0, 0) es un m´ aximo (absoluto).

Figura 4.25: m´aximo. b) Criterio de los cortes con los planos verticales. Para comprobar que en un punto cr´ıtico no existe ni m´ aximo ni m´ınimo cortamos la superficie mediante planos verticales que pasen por el punto cr´ıtico, si las curvas resultantes tienen puntos por encima y por debajo del

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 300 CAP´ITULO 4. DERIVACION punto cr´ıtico, entonces se trata de un punto silla. El m´etodo es s´ olo refutativo y no permite afirmar la existencia de m´ aximo o m´ınimo, sino s´ olo de punto silla. Ejemplo 4.68. Determinar los extremos relativos de la funci´ on: f (x, y) = 1 − x2 + y 2 Soluci´ on. Hallamos las derivadas parciales y determinamos los correspondientes puntos cr´ıticos: Puntos en los que alguna de las derivadas parciales no est´ a definida, y puntos en los que las dos derivadas parciales son nulas. En el caso de funciones polin´ omicas las parciales est´ an siempre definidas, por tanto:   x=0 fx (x, y) = −2x p(0, 0) y=0 fy (x, y) = 2y

Donde el u ´nico punto cr´ıtico es el punto (0, 0). Para estudiar la naturaleza del punto cr´ıtico p(0, 0) comparamos el valor de la funci´ on en el punto cr´ıtico con el valor de la funci´ on en los alrededores del punto cr´ıtico. 6



f (0, 0) = 1 f (x, y) = 1 −

x2

Figura 4.26: Punto silla.

+

y2

=



f (x, 0) = 1 − x2 < 1 f (0, y) = 1 + y 2 > 1

Para estudiar la naturaleza del punto cr´ıtico p(0, 0) se ha cortado la superficie mediante los dos planos verticales y = 0 y x = 0 con lo que se han obtenido las curvas f (x, 0) = 1 − x2 y f (0, y) = 1 + y 2 . Para la primera, el punto x = 0 es un m´ aximo; y para la segunda, el punto y = 0 es un m´ınimo. Luego el punto cr´ıtico p(0, 0) es un punto silla. c) Criterio del hessiano. Los m´etodos algebraicos solamente son u ´tiles para funciones relativamente f´ aciles. Para funciones m´ as complicadas no son operativos y necesitamos acudir a criterios anal´ıticos, estudiando las derivadas parciales segundas. Caso particular de funciones de dos variables. Para estudiar la naturaleza de los puntos cr´ıticos, formamos la matriz hessiana en dichos puntos:   fxx fxy Hf (x, y) = fyx fyy

Y comparamos los signos de los dos determinantes principales: fxx fxy
= fxx fyy − fxy 2 D1 = fxx , D2 = |Hf (x, y)| = fyx fyy

Resultando, para el caso de dos variables:

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 301 H + – 0

fxx + m´ınimo − M´ aximo Silla Duda

Nota: El criterio del hessiano puede fallar a la hora de estudiar la naturaleza de los extremos relativos de dos formas: Bien porque alguna de las derivadas parciales no est´e definida, entonces no se puede aplicar el criterio; o bien, porque el hessiano sea cero, en cuyo caso el criterio no da informaci´ on. En este caso habr´ a que aplicar otras t´ecnicas, como puede ser el cortar la superficie por planos verticales. Al ser fxy = fyx , se tiene que cuando el hessiano es positivo, entonces las dos derivadas parciales fxx (x0 , y0 ) y fyy (x0 , y0 ) deben tener el mismo signo, lo que significa que se puede reemplazar una por la otra en la definci´ on del criterio.

El criterio del hessiano tambi´en se conoce como criterio de las derivadas parciales segundas, y se puede enunciar formalmente mediante el siguiente teorema Teorema 4.17 (Criterio del hessiano). Sea f una funci´ on con derivadas parciales primeras y segundas continuas en una regi´ on abierta que contiene un punto (x0 , y0 ), para el que fx (x0 , y0 ) = 0 y fy (x0 , y0 ) = 0. Y sea d el valor del siguiente determinante fxx (x0 , y0 ) fxy (x0 , y0 ) d = |Hf (x0 , y0 )| = fyx (x0 , y0 ) fyy (x0 , y0 ) 1. 2. 3. 4.

Si Si Si Si

d > 0 y fxx (x0 , y0 ) > 0, entonces f (x0 , y0 ) es un m´ınimo relativo. d > 0 y fxx (x0 , y0 ) < 0, entonces f (x0 , y0 ) es un m´ aximo relativo.
d < 0, entonces x0 , y0 , f (x0 , y0 ) es un punto silla. d = 0, entonces el criterio no da informaci´ on.

Ejemplo 4.69. Encontrar los extremos relativos de la funci´ on: f (x, y) = x3 − 6xy + 3y 2 − 1 Soluci´ on. Hallamos las dos derivadas parciales y determinamos los puntos cr´ıticos: Puntos en los que alguna de las derivadas parciales no est´ a definida, y puntos en los que las dos derivadas parciales son nulas. En el caso de funciones polin´ omicas las parciales est´ an siempre definidas, por tanto:    fx (x, y) = 3x2 − 6y = 3x2 − 6y = 0 x(3x − 6) = 0 x=0 fy (x, y) = −6x + 6y −6x + 6y = 0 x=y x=2 Luego los puntos cr´ıticos son p(0, 0) y q(2, 2). Para estudiar la naturaleza de los puntos cr´ıticos, hallamos la matriz hessiana en cada uno de ellos:     6x −6 fxx fxy = Hf (x, y) = −6 6 fyx fyy

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 302 CAP´ITULO 4. DERIVACION Con lo cual resulta: 0 −6 = −36 < 0 ⇒ (0, 0, −1) es un punto silla |Hf (0, 0)| = −6 6 12 −6 = 72 − 36 = 36 > 0 y fxx = 12 > 0 ⇒ f (2, 2) es un |Hf (2, 2)| = −6 6 m´ınimo relativo. Ejemplo 4.70. Hallar y clasificar todos los puntos cr´ıticos de la funci´ on f (x, y) = x4 + y 4 + 6x2 y 2 + 8x3 Soluci´ on. Los puntos cr´ıticos son aquellos que anulan simult´ aneamente las dos derivadas parciales, o bien donde alguna de las derivadas parciales no existe. Al ser la funci´ on dada una funci´ on polin´ omica es diferenciable en todo R2 , luego los puntos cr´ıticos vendr´ an dado por las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones   x(4x2 + 12y 2 + 24x) = 0 Fx ≡ 4x3 + 12xy 2 + 24x2 = 0 4y(y 2 + 3x2 ) = 0 Fy ≡ 4y 3 + 12x2 y = 0 Para resolver el sistema igualamos a cero cada factor de la primera ecuaci´ on con cada factor de la segunda ecuaci´ on:   o x=0 1 P1 (0, 0) o y=0 1     1o x=0 x=0 x=0 P1 (0, 0) 2o y 2 + 3x2 = 0 y2 = 0 y=0     2o 4x2 + 12y 2 + 24x = 0 4x2 + 24x = 0 4x(x + 6) = 0 P1 (0, 0) 1o y=0 y=0 y=0 P2 (−6, 0)    2 2 2 2 o 4x + 12y + 24x = 0 4x + 12y + 24x = 0 2 P1 (0, 0) 2 2 o y 2 = −3x2 y + 3x = 0 2 Por tanto, las soluciones son P1 (0, 0), P2 (−6, 0) Para determinar si se trata de m´ aximo o m´ınimo, hallamos la matriz hessiana.     fxx fxy 12x2 + 12y 2 + 48x 24xy Hf (x, y) = = fyx fyy 24xy 12y 2 + 12x2 Con lo cual resulta que: 144 0 = 62208 > 0 y fxx = +144 > 0 ⇒ |Hf (−6, 0)| = 0 432 P2 (−6, 0) se corresponde con un m´ınimo relativo. 0 0 = 0 → el hessiano no nos determina la natu|Hf (0, 0)| = 0 0 raleza del punto cr´ıtico. Para estudiar la naturaleza del punto cr´ıtico

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 303 P1 (0, 0) cortamos la superficie mediante el plano vertical y = x, con lo que obtenemos la curva z = x4 + x4 + 6x4 + 8x3 = 8x4 + 8x3 y estudiamos la naturaleza del origen en esta curva. Tenemos: zx′ = 32x3 + 24x2 → zx′ (0) = 0 → x0 = 0 es un punto cr´ıtico zx′′ = 96x2 + 48x → zx′′ (0) = 0 zx′′′ = 198x + 48 → zx′′′ (0) = 48 6= 0 → x0 = 0 es un punto de inflexi´ on. Luego el punto P1 (0, 0) se corresponde con un punto silla, ya que en cualquier entorno suyo hay tanto puntos por encima de f (0, 0) como puntos por debajo. d) Puntos cr´ıticos en una funci´ on compuesta. Igual que ocurre en los problemas de optimizaci´ on de funciones de una variable, donde es posible sustituir la funci´ on objetivo por otra m´ as simple. En varias variables tambi´en es posible simplificar los c´ alculos de derivaci´ on, sustituyendo la funci´ on objetivo por otra m´ as simple, que nos facilite los c´ alculos de las derivadas parciales y sobre todo de resoluci´ on del sistema resultante. Esto es posible cuando la funci´ on objetivo sea la composici´ on de una funci´ on con una funci´ on mon´ otona. Por ejemplo, los puntos cr´ıticos de la funci´ on exponencial f (x, y) = eg(x,y) coinciden con los puntos cr´ıticos de la funci´ on exponente w = g(x, y), ya que la funci´ on exponencial z = et es mon´ otona, y adem´ as creciente, luego se conserva incluso la naturaleza del p g(x, y) punto cr´ıtico. Lo mismo ocurre en funciones del tipo f (x, y) =
o bien, f (x, y) = ln g(x, y) , s´ olo que estos dos casos habr´ a que eliminar aquellos puntos cr´ıticos que quedan fuera del dominio de la funci´ on. Ejemplo 4.71. Encontrar y clasificar todos los puntos cr´ıticos de la funci´ on f (x, y) = ex

2 y−x y 2 +x y

Soluci´ on. a) Resolvamos primero el ejemplo sin tener en cuenta la simplificaci´ on. Los puntos cr´ıticos son aquellos que anulan simult´ aneamente las dos derivadas parciales, o bien donde alguna de las derivadas parciales no existe. Como la funci´ on dada es diferenciable en todo R2 , por ser la composici´ on de una funci´ on polin´ omica con la funci´ on exponencial, los puntos cr´ıticos vendr´ an dados por las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones. )  2 2 fx (x, y) ≡ (2xy − y 2 + y)ex y−x y +x y = 0 y(2x − y + 1) = 0 2 2 x(x − 2y + 1) = 0 fy (x, y) ≡ (x2 − 2xy + x)ex y−x y +x y = 0 Para resolver el sistema igualamos a cero cada factor de la primera ecuaci´ on con cada factor de la segunda ecuaci´ on:   o y=0 1 P1 (0, 0) o x=0 1

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 304 CAP´ITULO 4. DERIVACION 1o 2o



y=0 x − 2y + 1 = 0



y=0 x+1=0



y=0 x = −1



P2 (−1, 0)

   y=1 −y + 1 = 0 2x − y + 1 = 0 P3 (0, 1) x=0 x=0 x=0      −1 1 2o 2x − y = −1 y = 2x + 1 x = −1/3 P4 ( , ) 2o x − 2y = −1 e′2 = e2 − 2e1 −3x = 1 y = 1/3 3 3

2o 1o



−1 1 , ) 3 3 Para determinar si se trata de m´ aximo o m´ınimo, hallamos la matriz hessiana.   fxx fxy Hf (x, y) = fyx fyy Por tanto, las soluciones son P1 (0, 0), P2 (−1, 0), P3 (0, 1), P4 (

Para lo cual calculamos las derivadas parciales segundas 2

2

fxx = 2yex y−x y +x y + (2xy − y 2 + y)fx 2 2 fxy = (2x − 2y + 1)ex y−x y +x y + (2xy − y 2 + y)fy 2 2 fyy = −2xex y−x y +x y + (x2 − 2xy + x)fy Con lo cual resulta que: 0 1 = −1 < 0 |Hf (0, 0)| = 1 0

0 −1 = −1 |Hf (−1, 0)| = −1 2 2 −1 = −1 |Hf (0, 1)| = −1 0

→ → →

es un punto silla.

es un punto silla.

es un punto silla.

2 −1/27 −1 −1/27 e e 4 1 −1 1 3 3 3 |Hf ( , )| = = ( − )e−1/27 = e−1/27 > 2 −1 3 3 9 9 9 e−1/27 e−1/27 3 3 0 y fxx > 0 → es un m´ınimo. b) Este ejemplo puede resolverse de una manera mucho m´ as f´ acil teniendo t en cuenta que la funci´ on z = e es mon´ otona, y, en consecuencia, los puntos cr´ıticos de la funci´ on compuesta z = eg(x,y) coinciden con los puntos cr´ıticos de la funci´ on g(x, y) que figura en el exponente, y que es mucho m´ as f´ acil de estudiar que la funci´ on compuesta. Adem´ as, al ser creciente la funci´ on exponencial (a m´ as m´ as) se conserva la naturaleza de los puntos cr´ıticos. En consecuencia podemos estudiar los puntos cr´ıticos de la funci´ on g(x, y) = x2 y − x y 2 + x y,

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 305 que figura en el exponente, y endosar los resultados a la funci´ on compuesta 2 2 f (x, y) = ex y−x y +x y . En este caso, los puntos cr´ıticos vendr´ an dados por las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones.   gx (x, y) ≡ 2xy − y 2 + y = 0 y(2x − y + 1) = 0 gy (x, y) ≡ x2 − 2xy + x = 0 x(x − 2y + 1) = 0 Que es el mismo sistema de ecuaciones anterior, cuyas soluciones son: P1 (0, 0), P2 (−1, 0), P3 (0, 1), P4 (

−1 1 , ) 3 3

Para determinar si se trata de m´ aximo o m´ınimo, hallamos la matriz hessiana.   g g Hg(x, y) = xx xy gyx gyy

Para lo cual calculamos las derivadas parciales segundas gxx = 2y gxy = 2x − 2y + 1 gyy = −2x

Como puede verse, las ventajas sobre el m´etodo anterior, aqu´ı son notable. Con lo cual resulta que: 0 1 = −1 < 0 → es un punto silla. |Hf (0, 0)| = 1 0 0 −1 = −1 → es un punto silla. |Hf (−1, 0)| = −1 2 2 −1 = −1 → es un punto silla. |Hf (0, 1)| = −1 0 2 −1/27 −1 −1/27 e e 4 1 3 −1 1 3 3 |Hf ( , )| = = ( − )e−1/27 = e−1/27 > −1 −1/27 2 −1/27 3 3 9 9 9 e e 3 3 0 y fxx > 0 → es un m´ınimo. Que son los mismos resultados anteriores.

4.10.4.

Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange

Planteamiento del problema. En los problemas cl´ asicos de m´ aximos y m´ınimos se trata de hacer m´ axima o m´ınima una funci´ on f (x, y) sujeta a una restricci´ on g(x, y) = 0. Gr´ aficamente el problema consiste en determinar el punto m´ as bajo (o m´ as alto) de la superficie de ecuaci´ on z = f (x, y) que est´ a situado sobre la curva de ecuaci´ on g(x, y) = 0, y se puede resolver de dos maneras diferentes:

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 306 CAP´ITULO 4. DERIVACION a) Mediante un corte vertical de la superficie. b) Mediante cortes horizontales (curvas de nivel). Desde el punto de vista anal´ıtico, el primer caso corresponde a reducir el problema a una variable, y el segundo al m´etodo de los multiplicadores de Lagrange. a) Mediante un corte vertical. Gr´ aficamente consiste en cortar la superficie f (x, y) mediante el plano (o cilindro) vertical de base la curva plana g(x, y) = 0 y hallar los extremos de la curva espacial resultante. Anal´ıticamente esto se consigue despejando la variable y en la ecuaci´ on g(x, y) = 0, y sustituyendo el valor obtenido, y = φ(x), en la en la funci´ on f , con lo cual el problema se reduce al c´ alculo de m´ aximos y m´ınimos de una funci´ on de una sola variable.
f (x, y) = f x, φ(x) = h(x) El problema se presenta cuando no es posible o no es pr´ actico despejar la variable y en la ecuaci´ on g(x, y) = 0.

Observaci´ on. El extremo de la funci´ on f (x, y) condicionado por la ecuaci´ on g(x, y) = 0, no es extremo de la funci´ on f (x, y), considerada aisladamente, sino de la intersecci´ on de la funci´ on con el plano vertical. Ejemplo 4.72. Hallar el m´ınimo de la funci´ on f (x, y) = x2 + y 2 condicionado por la restricci´ on x + y − 1 = 0, reduci´endolo a una variable. Soluci´ on. Gr´ aficamente se trata de encontrar el punto m´ as bajo de la su2 2 perficie de ecuaci´ on f (x, y) = x + y que se encuentra sobre la recta de ecuaci´ on x + y − 1 = 0. Anal´ıticamente, el problema puede reducirse a una sola variable. En efecto, despejando y en la restricci´ on resulta: y = −x + 1 y sustituyendo el valor obtenido en f (x, y), resulta una funci´ on de una sola variable. f (x, y) = x2 + (−x + 1)2 = x2 + x2 − 2x + 1 = 2x2 − 2x + 1 Es decir, h(x) = 2x2 − 2x + 1 de donde, h′ (x) = 4x − 2 = 0 → x = 1/2 → y = 1/2 Luego el m´ınimo de la funci´ on es f (1/2, 1/2) = 1/4 + 1/4 = 1/2

Para comprobar que se trata de un m´ınimo acudimos a la derivada segunda h′′ (x) = 4, en consecuencia h′′ (1/2) = +4, luego se trata de un m´ınimo.

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 307 f (x, y)

z 

 





•

x

y    x+y−1=0  1 1  p( 2 , 2 )

Figura 4.27: C´alculo de extremos mediante un corte vertical

Nota: Este ejemplo se ha resuelto reduci´endolo a una sola variable. Con el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange se trata de resolver el problema sin reducirlo a una sola variable, es decir, sin despejar la variable y de la ecuaci´ on g(x, y) = 0. b) Mediante las curvas de nivel. Consideramos las curvas de nivel de la funci´ on f (x, y), f (x, y) = z Como se trata de encontrar el m´ aximo o el m´ınimo de la funci´ on f (x, y), se trata de encontrar el m´ aximo o el m´ınimo valor de z. Para ello imaginamos que las curvas de nivel se “desplazan” en la direcci´ on del crecimiento de z. Como el punto soluci´ on (x, y) tambi´en ha de cumplir la ecuaci´ on de la restricci´ on g(x, y) = 0, deber´ a estar en la intersecci´ on de una curva de nivel con la gr´ afica de g(x, y) = 0, luego, se trata de encontrar: a) Si buscamos un m´ınimo: El primer punto en que las curvas de nivel tocan a la gr´ afica de la restricci´ on g(x, y) = 0 b) Si buscamos un m´ aximo: el u ´ltimo. Nota: Este m´etodo es utilizado en programaci´ on lineal para determinar la soluci´ on optima de una funci´ on objetivo sujeta a un conjunto de restricciones.

Ejemplo 4.73. Hallar el m´ınimo de la funci´ on f (x, y) = x2 + y 2 condicionado por la restricci´ on x + y − 1 = 0, mediante las curvas de nivel. Soluci´ on. Consideramos las curvas de nivel de la funci´ on f (x, y) = x2 + y 2 . Para ello sustituimos f (x, y) por z, y consideramos que z es un n´ umero, en cuyo caso tenemos que las curvas de nivel vienen definidas por x2 + y 2 = z luego se trata de circunferencias con centro en el origen de coordenadas y √ radio z, y al crecer z, las circunferencias se alejan del origen. La primera circunferencia que toca a la recta de ecuaci´ on x + y − 1 = 0 lo hace en el punto (1/2, 1/2). Luego ese punto corresponde al menor valor

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 308 CAP´ITULO 4. DERIVACION y 6 @ I @

 x -

y @ 6 @ @r @

@ R @



x @@

Figura 4.28: C´alculo de extremos mediante curvas de nivel de z, para el cual (x, y) est´ a en una curva de nivel y en la restricci´ on. En consecuencia el m´ınimo solicitado es f (1/2, 1/2) = 1/2. La situaci´ on en el espacio puede verse mediante el siguiente gr´ afico z f (x, y) = x2 + y 2

x

y x+y−1=0 p( 21 , 12 )

Figura 4.29: C´alculo de extremos mediante curvas de nivel M´ etodo de los multiplicadores de Lagrange. En el m´etodo gr´ afico de las curvas de nivel se trata de encontrar el punto (x, y) donde la curva de nivel de la superficie de ecuaci´ on z = f (x, y) es tangente a la curva de ecuaci´ on g(x, y) = 0. Ahora bien, dos curvas son tangentes si sus vectores normales son paralelos. En consecuencia, dado que los vectores normales a dichas curvas son los vectores gradientes, se tiene que, en el punto de tangencia, el vector gradiente ∇f debe ser un m´ ultiplo escalar del vector gradiente ∇g. Luego ∇f (x, y) = λ∇g(x, y) donde el escalar λ se conoce como multiplicador de Lagrange. Las condiciones necesarias para la existencia de tales multiplicadores vienen recogidas en el siguiente teorema Teorema 4.18 (Teorema de Lagrange). Sean f y g funciones con derivadas parciales primeras continuas tal que f tiene un extremo en el punto (x0 , y0 ) de la curva de la ligadura g(x, y) = 0. Si ∇g(x0 , y0 ) 6= 0, entonces existe un n´ umero real λ tal que ∇f (x, y) = λ∇g(x, y)

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 309 El teorema de Lagrange tambi´en se cumple para funciones de tres o m´ as variables, usando un argumento paralelo con las superficies de nivel.

El m´etodo de los multiplicadores de Lagrange usa el Teorema 4.18 para hallar los extremos de una funci´ on f sujeta a una ligadura g(x, y) = 0. Teorema 4.19 (M´ etodo de los multiplicadores de Lagrange). Si f y g satisfacen las hip´ otesis del teorema de Lagrange y f tiene un m´ aximo o m´ınimo sujeto a la ligadura g(x, y) = 0, entonces dicho extremo se produce en uno de los puntos cr´ıticos de la funci´ on L dada por L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) Nota: Puesto que λ puede ser indiferentemente positivo o negativo, la relaci´ on anterior puede sustituirse por esta otra: L(x, y, λ) = f (x, y) + λg(x, y) Para funciones de tres variables se tiene L(x, y, z, λ) = f (x, y, z) + λg(x, y, z)

En consecuencia, si las funciones f y g tienen derivadas parciales continuas, entonces, los extremos de la funci´ on f (x, y), condicionados por la restricci´ on g(x, y) = 0, se producen en los puntos cr´ıticos de la funci´ on: L(x, y, λ) = f (x, y) + λ g(x, y) Dichos puntos cr´ıticos vendr´ an determinados por las soluciones del sistema:   Lx = 0  fx + λ gx = 0  Ly = 0 fy + λ gy = 0   Lλ = 0 g(x, y) = 0

El procedimiento m´ as c´ omodo para resolver el sistema consiste en eliminar λ entre las dos primeras ecuaciones y sustituir el resultado en la tercera. En el proceso de resoluci´ on del sistema hay que procurar evitar perder soluciones en las simplificaciones. Por ejemplo, de la ecuaci´ on λ x = x se obtienen dos soluciones x = 0 y λ = 1, mientras que si “tachamos” la x perdemos la soluci´ on x = 0. Para determinar su naturaleza estudiamos el signo del determinante: Lλλ Lλx Lλy 0 gx gy = − → m´ınimo aximo ∆ = Lxλ Lxx Lxy = gx Lxx Lxy = + → M´ Lyλ Lyx Lyy gy Lyx Lyy = 0 → duda Resolvamos el ejemplo 4.72 mediante el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 310 CAP´ITULO 4. DERIVACION Ejemplo 4.74. Hallar el m´ınimo de la funci´ on f (x, y) = x2 +y 2 condicionado por la restricci´ on x + y − 1 = 0, mediante el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange. Soluci´ on. Formamos la funci´ on de Lagrange: L(x, y, λ) = f (x, y) + λ g(x, y) Que, en nuestro caso, es: L(x, y, λ) = x2 + y 2 + λ(x + y − 1) Los puntos cr´ıticos de esta funci´ on vendr´ an determinados por las soluciones del sistema:  λ = −2x  Lx ≡ 2x + λ = 0  − 2x = −2y ⇒ x = y λ = −2y Ly ≡ 2y + λ = 0 1 1  Lλ ≡ x + y − 1 = 0 x + y = 1 → 2x = 1 → x = → y = 2 2

Luego el u ´nico punto cr´ıtico es el punto p( 21 , 21 ). Para determinar su naturaleza estudiamos el signo del determinante: 0 gx gy = − → m´ınimo aximo ∆ = gx Lxx Lxy = + → M´ gy Lyx Lyy = 0 → duda

De donde,

0 1 1 1 1 ∆L( , ; −1) = 1 2 0 = −2 − 2 = −4 ⇒ m´ınimo 2 2 1 0 2

Ejemplo 4.75. Inscribir un rect´ angulo de a ´rea m´ axima, con los lados paralelos a los ejes de coordenadas, en la regi´ on del primer cuadrante limitada por la par´ abola y = 3 − x2 y los ejes de coordenadas. Soluci´ on. La funci´ on a maximizar es el a´rea del rect´ angulo, a = x · y. La restricci´ on viene determinada por el hecho de que el punto (x, y) debe pertenecer a la par´ abola y = 3 − x2 , luego tenemos: Y al ser x > 0 por ser (x, y) un punto del primer cuadrante, resulta: x=1

→

y=2

→

λ = −1

Luego el u ´nico punto cr´ıtico es el punto P (1, 2). Para determinar su naturaleza estudiamos el signo del determinante: 0 gx gy 0 2x 1 = − → m´ınimo aximo ∆ = gx Lxx Lxy = 2x 2λ 1 = + → M´ gy Lyx Lyy 1 2x 0 = 0 → duda

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 311

a=x·y x2 + y − 3 = 0

y 3

• (x, y)

2 1

x 1

2

Figura 4.30: y = 3 − x2



L(x, y, λ) = xy + λ(x2 + y − 3)

de donde, los puntos cr´ıticos vendr´ an determinados por las soluciones del sistema:  Lx ≡ y + 2xλ = 0  Ly ≡ x + λ = 0  Lλ ≡ x2 + y − 3 = 0  λ = −y −y 2 2x 2x = −x ⇒ y = 2x λ = −x x2 + 2x2 − 3 = 0 → 3x2 = 3 → x2 = 1

De donde,

4.10.5.

0 2 1 aximo ∆L(1, 2; −1) = 2 −2 1 = 2 + 2 + 2 = 6 > 0 ⇒ M´ 1 1 0

M´ aximos y m´ınimos absolutos

Estamos interesados, ahora,en encontrar el valor m´ aximo y el valor m´ınimo que alcanza una funci´ on continua sobre un recinto cerrado y acotado. Bajo estos supuestos, los extremos absolutos de la funci´ on, limit´ andonos a dicho recinto, pueden producirse solamente en dos lugares diferentes; o bien, en alg´ un extremo relativo que es a su vez extremo absoluto; o bien, en el contorno del recinto. Si la funci´ on no es continua o el recinto no es cerrado y acotado, entonces, ni est´ a garantizada la existencia de los extremos absolutos, ni que est´e situado en dichos lugares.

Toda funci´ on continua definida en un recinto cerrado y acotado alcanza un valor m´ aximo y un valor m´ınimo sobre dicho recinto. Para hallar los m´ aximos y m´ınimos absolutos de una funci´ on continua en un recinto cerrado y acotado realizaremos el siguiente proceso: 1.

Hallamos los puntos cr´ıticos en el interior del recinto. Para ello hallamos los puntos cr´ıticos de la funci´ on, ignorando el contorno del recinto, y una vez hallados los puntos cr´ıticos seleccionamos los situados en el interior del recinto.

2.

Hallamos los puntos cr´ıticos en el contorno del recinto. Para ello estudiamos los extremos de la funci´ on condicionados por el contorno; bien aplicando los multiplicadores de Lagrange, o bien por sustituci´ on de la variable.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 312 CAP´ITULO 4. DERIVACION 3.

Comparamos los valores de la funci´ on en los puntos cr´ıticos hallados. El mayor corresponde al m´ aximo y el menor al m´ınimo.

Ejemplo 4.76. Determinar los extremos absolutos de la funci´ on f (x, y) = x2 + y 2 en el recinto x2 − 2x + y 2 − 3 ≤ 0. Soluci´ on. Localizamos el recinto expresando la ecuaci´ on en forma can´ onica (x − 1)2 + y 2 ≤ 4, luego se trata del c´ırculo C con centro en el punto C(1, 0) y radio 2. Se trata de una funci´ on continua definida en un recinto cerrado y acotado, luego alcanzar´ a un m´ aximo y un m´ınimo en dicho recinto. Para encontrarlos seguimos los siguientes pasos: (a) En primer lugar determinamos los puntos cr´ıticos del interior del recinto, igualando a cero las derivadas parciales.   fx ≡ 2x = 0 x=0 P1 (0, 0) ∈ C fy ≡ 2y = 0 y=0 (b) En segundo lugar determinamos los puntos cr´ıticos en la frontera del recinto, para ello construimos la funci´ on lagrangiana: L(x, y, λ) = x2 + y 2 + λ(x2 − 2x + y 2 − 3) y buscamos sus puntos cr´ıticos:   Lx ≡ 2x + 2λx − 2λ = 0  x + λx − λ = 0  λ = −1 → 1 = 0 Ly ≡ 2y + 2λy = 0 y + λy = 0 → x=3  2  y=0 2 2 2 Lλ ≡ x − 2x + y − 3 = 0 x − 2x + y − 3 = 0 x = −1

Los puntos cr´ıticos del contorno son: P2 (3, 0) y P3 (−1, 0). (c) Comparamos los valores de la funci´ on en cada uno de los puntos cr´ıticos, el mayor ser´ a el m´ aximo y el menor el m´ınimo.  f (0, 0) = 0  m´ınimo f (3, 0) = 9 M´ aximo  f (−1, 0) = 1

Para determinar los m´ aximos y m´ınimos absolutos de una funci´ on continua en un intervalo cerrado y acotado no es necesario determinar la naturaleza de cada uno de los puntos cr´ıticos. Ejemplo 4.77. Determinar los extremos absolutos de la funci´ on f (x, y) = x2 + 3y 2 en el recinto x2 − 2x + y 2 − 3 ≤ 0. Soluci´ on. Localizamos el recinto expresando la ecuaci´ on en forma can´ onica (x − 1)2 + y 2 ≤ 4, luego se trata del c´ırculo C con centro en el punto C(1, 0)

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 313 y radio 2. Se trata de una funci´ on continua definida en un recinto cerrado y acotado, luego alcanzar´ a un m´ aximo y un m´ınimo en dicho recinto. Para encontrarlos seguimos los siguientes pasos: (a) En primer lugar determinamos los puntos cr´ıticos del interior del recinto, igualando a cero las derivadas parciales.   x=0 fx ≡ 2x = 0 P1 (0, 0) ∈ C y=0 fy ≡ 6y = 0 (b) En segundo lugar determinamos los puntos cr´ıticos en la frontera del recinto, para ello construimos la funci´ on lagrangiana: L(x, y, λ) = x2 + 3y 2 + λ(x2 − 2x + y 2 − 3) y buscamos sus puntos cr´ıticos:   Lx ≡ 2x + 2λx − 2λ = 0  x + λx − λ = 0  λ = −3 → x = 3/2 Ly ≡ 6y + 2λy = 0 3y + λy = 0 → x=3  2  y=0 2 2 2 Lλ ≡ x − 2x + y − 3 = 0 x − 2x + y − 3 = 0 x = −1

on, 94 − 3 + y 2 − 3 = 0, de donde, Para x = 32 , resulta, de la tercera ecuaci´ q 9 15 2 y = 6 − 4 = 4 , y en consecuencia y = ± 15 4 Luego los puntos cr´ıticos del contorno son: q q 3 15 ), P ( , − P2 (3, 0), P3 (−1, 0), P4 ( 23 , 15 5 2 4 4 ). (c) Comparamos los valores de la funci´ on en cada uno de los puntos cr´ıticos, el mayor ser´ a el m´ aximo y el menor el m´ınimo. f (0, 0) = 0 → m´ınimo f (3, 0) = 9 f (−1,q0) = 1
9 45 f 23 , 15 = + 4 = 54 aximo 4 4 → M´ q
4 9 45 54 f 23 , − 15 aximo 4 = 4 + 4 = 4 → M´

Para determinar los m´ aximos y m´ınimos absolutos de una funci´ on continua en un intervalo cerrado y acotado no es necesario determinar la naturaleza de cada uno de los puntos cr´ıticos. Ejemplo 4.78. determinar los extremos absolutos de la funci´ on f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 ) en el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 tales que 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 314 CAP´ITULO 4. DERIVACION Soluci´ on. La funci´ on f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 ) = xy − x3 y − xy 3 es continua 2 en todo R . El recinto dado es el cuadrado unidad situado en el primer cuadrante. Por tanto, se trata de una funci´ on continua definida en un recinto cerrado y acotado, luego alcanzar´ a un m´ aximo y un m´ınimo absoluto. Para encontrarlos, seguimos los siguientes pasos: (a) En primer lugar determinamos los puntos cr´ıticos del interior del recinto, igualando a cero las derivadas parciales   y(1 − 3x2 − y 2 ) = 0 fx (x, y) ≡ y − 3x2 y − y 3 = 0 x(1 − x2 − 3y 2 ) = 0 fy (x, y) ≡ x − x3 − 3xy 2 = 0 Para resolver el sistema igualamos a cero cada factor de la primera ecuaci´ on con cada factor de la segunda ecuaci´ on:   1o y=0 P1 (0, 0) o 1  x=0    P2 (1, 0) y=0 y=0 1o y=0 2 2 2 o 2  1 − x − 3y = 0  1 − x = 0  x = ±1  Q1 (−1, 0) 6∈ A P3 (0, 1) y = ±1 1 − y2 = 0 2o 1 − 3x2 − y 2 = 0 o Q2 (0, −1)6∈ A x = 0 x = 0 1  x=0  2  2 2 2 2 o y = 1 − 3x2 3x + y = 1 1 − 3x − y = 0 2 2 2 2 2 o x2 + 3 − 9x2 = 1 x + 3y = 1 1−x − 3y = 0 2     y 2 = 1 − 3/4 = 1/4 y 2 = 1 − 3x2 y 2 = 1 − 3x2 y 2 = 1 − 3x2 x = ±1/2 x = ±1/2 x2 = 1/4 −8x2 = −2 y = ±1/2 P4 (1/2, 1/2) x = ±1/2 el resto no (b) En segundo lugar determinamos los puntos cr´ıticos de la frontera del recinto. Estos puntos cr´ıticos ser´ an los cuatro extremos del recinto P1 (0, 0), P2 (1, 0), P3 (0, 1), P5 (1, 1), y los puntos cr´ıticos situados en los cuatro segmentos de la frontera del recinto, que los hallamos por sustituci´ on en z = f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 ) = xy − x3 y − xy 3 , estudiando los puntos cr´ıticos de las funciones resultantes, que son de una sola variable. x = 0 → z = 0 → z ′ = 0 para cualquier valor de y → P6 (0, y) x = 1 → z = y − y − y 3 = −y 3 → z ′ = −3y 2 = 0 → y = 0 → P2 (1, 0) y = 0 → z = 0 → z ′ = 0 para cualquier valor de x → P7 (x, 0) y = 1 → z = x − x3 − x = −x3 → z ′ = −3x2 = 0 → x = 0 → P3 (0, 1) (c) Por u ´ltimo comparamos los valores de la funci´ on en cada uno de los puntos cr´ıticos, el mayor ser´ a el m´ aximo absoluto y el menor el m´ınimo. f (0, 0) = f (1, 0) = f (0, 1) = 0 f (0, y) = f (x, 0) = 0 f (1, 1) = 1 − 1 − 1 = −1 m´ınimo f (1/2, 1/2) = 1/4 − 1/16 − 1/16 = 2/16 = 1/8 M´ aximo

4.10. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 315 Para determinar los m´ aximos y m´ınimos absolutos de una funci´ on continua en un recinto cerrado y acotado no es necesario determinar la naturaleza de cada uno de los puntos cr´ıticos.

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 316 CAP´ITULO 4. DERIVACION

4.11.

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 4

Ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 4 Soluciones en la p´ agina ?? 4.1.

Est´ udiese la continuidad y diferenciabilidad en R2 de la funci´ on f definida por ( x sen y si (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 f (x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0)

4.2.

Encontrar y clasificar todos los puntos cr´ıticos de la funci´ on f (x, y) = 2x2 −y 3 −2xy

Problemas resueltos del Cap´ıtulo 4 4.1. ¿La ecuaci´ on 3y 3 x4 − x2 y = 2 define una funci´ on y = f (x) derivable en x = 1? Justifica tu respuesta y en caso afirmativo calcula f ′ (1) y con su ayuda determina la
ecuaci´ on de la recta tangente a la curva 3y 3 x4 − x2 y = 2 en el punto 1, f (1) Soluci´ on. El teorema de la funci´ on impl´ıcita afirma que una ecuaci´ on F (x, y) = 0 define una funci´ on y = f (x) derivable en un punto x0 , si se cumplen las tres condiciones siguientes: El punto P (x0 , y0 ) con y0 = f (x0 ) cumple la ecuaci´ on F (P ) = 0, las derivadas parciales de F en P son continuas, y Fy (P ) 6= 0. - El punto que cumple la ecuaci´ on dada, viene definido por: 3y 3 14 − 12 y = 2

→

3y 3 − y − 2 = 0

de donde, aplicando Ruffini, se tiene: 3 1

↓ 3

0 3 3

−1 3 2

−2 2 0

3

2

⇒ 3y −y−2 = (y−1)(3y +3y+2) = 0 ⇒ √

9 − 24



y=1 3y 2 + 3y + 2 = 0 −3 ±

√

−15 6 6 resulta que, para x = 1, el u ´nico punto P (1, f (1)) que cumple la ecuaci´ on dada es el punto (1, 1). - Las derivadas parciales de F (x, y) = 3y 3 x4 − x2 y − 2 son continuas en todo R2 y por tanto en P , por tratarse de una funci´ on polin´ omica, en efecto: puesto que 3y 2 + 3y + 2 6= 0, ya que, si no, ser´ıa x =

−3 ±

=

Fx (x, y) = 12y 3 x3 − 2xy Fy (x, y) = 9y 2 x4 − x2 - Y adem´ as: Fy (1, 1) = 9 − 1 = 8 6= 0. Luego podemos afirmar la existencia de la funci´ on y = f (x) que cumple f (1) = 1 y que es derivable en x = 1. Adem´ as, en virtud del teorema de la funci´ on impl´ıcita tenemos: f ′ (x) =

−Fx (x, y) −12y 3 x3 + 2xy −10 −5 = → f ′ (1) = = Fy (x, y) 9y 2 x4 − x2 8 4

y teniendo en cuenta que la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (1, 1) viene definida por: y = f (1) + f ′ (1) · (x − 1) resulta:

y =1−

5 (x − 1) 4

→

5x + 4y = 9

4.11. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´ITULO 4

317

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 4 Soluciones en la p´ agina 381 4.1.

Demostrar la relaci´ on existente entre la derivada direccional y las derivadas parciales de una funci´ on diferenciable, aplicando la regla de la cadena con una variable independiente

´ DE FUNCIONES MULTIVARIABLES 318 CAP´ITULO 4. DERIVACION

Cap´ıtulo 5

Integral definida y C´ alculo de primitivas. 5.1.

La estimaci´ on de un ´ area. Sumas de Riemann.

5.1.1.

Significado geom´ etrico de la integral

Con la integral definida se pretende calcular el a´rea de una regi´ on del plano limitada por una curva cualquiera.

Nota. Es una costumbre muy extendida resaltar las a´reas marc´ andolas con m´ ultiples l´ıneas paralelas. Mucha gente traza estas l´ıneas de manera oblicua. Sin embargo, esta manera de trazar las l´ıneas no conduce a ning´ un resultado pr´ actico. Si queremos que el rayado nos de luz y podamos visualizar algunas propiedades, este rayado habr´ a de hacerse con l´ıneas verticales u horizontales. As´ı, entre cada dos l´ıneas podemos imaginar un estrecho rect´ angulo. Lo que es fundamental en el c´ alculo integral. En particular: 1.

  Si la funci´ on f es positiva sobre el intervalo cerrado a, b . La integral definida de la funci´ on f sobre dicho intervalo representa el a´rea de la regi´ on limitada por la curva, el eje OX y las perpendiculares por los puntos a y b.

319

´ 320CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS y6

y = f (x)

x a Z

Figura 5.1:

2.

b b

f (x) dx = ´ area bajo la curva. a

  Si la funci´ on f es negativa sobre el intervalo cerrado a, b . La integral definida de la funci´ on f sobre dicho intervalo representa el a´rea de la regi´ on limitada por la curva, el eje OX, y las perpendiculares por los puntos a y b, pero con signo negativo. y6 a

b x

y = f (x) Figura 5.2:

3.

Z

b a

f (x) dx = − ´ area sobre la curva.

Si la funci´  on toma valores positivos y negativos sobre el intervalo cerrado a, b . Entonces, la integral definida de la funci´ on f sobre dicho intervalo representa la suma de las a´reas de las regiones comprendidas entre la funci´ on, el eje de las x, y las perpendiculares por a y b, pero asign´ andole a cada una de ellas el signo + o − seg´ un que est´e por encima o por debajo del eje x. Por lo que en tal caso la integral no nos da una medida del a´rea. y6

y = f (x) x a

Figura 5.3:

Z

b

b

f (x) dx = ´ area 1 - ´ area 2 + ´ area 3. a

´ DE UN AREA. ´ 5.1. LA ESTIMACION SUMAS DE RIEMANN.

321

C´ alculo de integrales mediante ´ areas Lo normal ser´ a calcular ´ areas a partir del concepto de integral. No obstante, en ocasiones, el significado gr´ afico de la integral nos permitir´ a calcular algunas integrales mediante ´ areas. Ejemplo 5.1. Hallar gr´ aficamente la siguiente integral: Z 4 (x − 2) dx 1

Soluci´ on. Representamos la funci´ on y = x − 2 y hallamos las a´reas correspondientes. 1 2·2 1·1 = A2 = =2 2 2 2 La integral vendr´ a definida como la suma aritm´etica de las a´reas correspondientes, asignado signo negativo a las a´reas situadas por debajo del eje horizontal y positivo a las situadas por encima. Es decir: Z 4 1 3 (x − 2) dx = −A1 + A2 = − + 2 = 2 2 1 A1 =

y 6 x 1

4

Figura 5.4:

Ejemplo 5.2. Hallar gr´ aficamente

Z

5

−5

p 25 − x2 dx

√ Soluci´ on. Representamos la funci´ on y = 25 − x2 y hallamos las a´reas correspondientes. Para ello eliminamos la ra´ız cuadrada. p y = 25 − x2 (⇒ y > 0) → y 2 = 25 − x2 → x2 + y 2 = 25

Luego se trata de la semicircunferencia superior de radio 5 y centro el origen de coordenadas. y

6

-x 5

−5

Figura 5.5:

25π π r2 = 2 2 La integral vendr´ a definida como el a´rea del semic´ırculo. Es decir: Z 5p 25π 25 − x2 dx = 2 −5 A=

Ejemplo 5.3. Calcular gr´ aficamente

Z

2π

sen x dx 0

´ 322CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Soluci´ on. Representamos la funci´ on y = sen x y hallamos las a´reas correspondientes. Al ser la funci´ on sim´etrica respecto del eje horizontal resultan las ´ areas iguales y por tanto se compensan, dando una integral nula. En efecto. y

6 x -

Z

0

2π

sen x dx = A − A = 0

Figura 5.6:

El m´ etodo exhaustivo o de llenado para el c´ alculo de ´ areas Este m´etodo era utilizado por los griegos para el c´ alculo de a´reas planas y consiste en lo siguiente: Para calcular el a´rea de una regi´ on plana irregular se sigue el siguiente proceso: (a) Para el c´ alculo aproximado del a´rea. Se rellena la regi´ on lo m´ as posible de pol´ıgonos (tri´ angulos, cuadril´ ateros, rect´ angulos, trapecios, etc.) y luego se toma como valor aproximado del a´rea de la regi´ on la suma de las a´reas de todos estos pol´ıgonos. A ≈ A1 + A2 + A3 + A4 + A5 (b) Para el c´ alculo exacto del a´rea se sigue el siguiente proceso: 1.

Se idea un procedimiento de divisi´ on en pol´ıgonos que vaya aproximando de manera sucesiva al a´rea total buscada.

2.

Por paso al l´ımite se llena la figura y se calcula el a´rea exacta.

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular el a´rea del c´ırculo conociendo la longitud de la circunferencia. Para ello ideamos el siguiente procedimiento: 1.

Dividimos el c´ırculo en tri´ angulos is´ osceles iguales, con v´ertice com´ un en el centro del c´ırculo. El proceso de “llenado” se obtiene aumentando el n´ umero de tri´ angulos. El a´rea del circulo ser´ a aproximadamente la suma de las a´reas de los tri´ angulos. El a´rea de cada tri´ angulo es 1 T = 2 bh donde b es la base y h la altura

2.

Por paso al l´ımite obtenemos el a´rea total del c´ırculo (la altura del tri´ angulo se transforma en el radio del c´ırculo y la suma de las bases en la longitud de la circunferencia.

´ DE UN AREA. ´ 5.1. LA ESTIMACION SUMAS DE RIEMANN.

323

C ≈ T1 + T2 + · · · + T 8 1 1 1 ≈ bh + bh + · · · + bh 2 2 2
1 ≈ h b1 + b2 + · · · + bn 2 ↓ ↓ 1 z}|{ C = R 2πR = πR2 2

@ T3 T2 T4 @ T1 @ @ T T5 @ 8 T6 T7 @

La dificultad de este procedimiento est´ a en idear, en cada caso, el proceso de “llenado”, y principalmente en saber dar el “paso al l´ımite”. Sumas de Riemann Riemann utiliz´ o el m´etodo exhaustivo, pero utilizando siempre rect´ angulos. El proceso de “llenado” consiste en estrechar al m´ aximo los rect´ angulos. Se divide la regi´ on en rect´ angulos. En la pr´ actica dichos rect´ angulos ser´ an horizontales o verticales. Sin embargo, para el planteamiento te´ orico supondremos que dichos rect´ angulos son verticales. Los rect´ angulos no tienen por qu´e tener la misma anchura. La altura del rect´ angulo puede ser cualquier valor comprendido entre el valor m´ınimo y el m´ aximo de la funci´ on en cada uno de los subintervalos. De esta manera el a´rea de la regi´ on se puede aproximar, cuanto queramos, mediante la suma de las a´reas de los rect´ angulos. y 6

x

-

a

x1

x2

x3

b

´ Figura 5.7: Area bajo la curva ≈ suma de las ´ areas de los rect´ angulos.

Teniendo en cuenta que el ´ area de un rect´ angulo se obtiene multiplicando la base por la altura, tenemos las siguientes sumas, seg´ un tomemos los rect´ angulos de altura m´ınima, intermedia o m´ axima. 6 a

6 x1 x2 x3 b ≤

a

6 x1 x2 x3 b ≈

a

6 b ≤

a

x1 x2 x3 b

´ 324CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS

m1 (x1 − a) + m2 (x2 − x1 ) + m3 (x3 − x2 ) + m4 (b − x3 ) ≤ ≤ f (x∗1 )(x1 − a) + f (x∗2 )(x2 − x1 ) + f (x∗3 )(x3 − x2 ) + f (x∗4 )(b − x3 ) ≈

Z

b a

f (x) dx ≤

≤ M1 (x1 − a) + M2 (x2 − x1 ) + M3 (x3 − x2 ) + M4 (b − x3 )

A la suma de las ´ areas de los rect´ angulos se les llama sumas de Riemann. A la primera de ellas se le llama suma inferior y a la u ´ltima suma superior. En general, poniendo ∆xi = xi − xi−1 , resulta: Z

b

a

f (x) dx ≈ f (x∗1 )∆x1 + f (x∗2 )∆x2 + · · · + f (x∗n )∆xn

La integral como el l´ımite de una suma La integral puede interpretarse como el l´ımite de la suma de las a´reas de los infinitos rect´ angulos infinitesimales. Es decir, Z

b

f (x) dx = l´ım

a

∆xi →0 n→∞

n X
f (x∗1 )∆x1 +f (x∗2 )∆x2 +· · ·+f (x∗n )∆xn = l´ım f (x∗i )∆xi ∆xi →0 n→∞ i=1

que podemos expresar como: Z

a

b

f (x) dx = l´ım

n X

∆xi →0 n→∞ i=1

f (xi )∆xi

donde xi es un punto cualquiera del subintervalo correspondiente.

5.1.2.

C´ alculo de l´ımites utilizando el concepto de integral

  Supongamos que utilizamos una partici´ on regular del intervalo 0, 1 , es decir, todos los subintervalos con la misma anchura, por ejemplo, dividi´endolo en n partes iguales. Tendremos todos los rect´ angulos con la misma base, ∆x = 1/n. Como altura de cada rect´ angulo podemos tomar la imagen del extremo del subintervalo correspondiente. En este caso, la integral  derecho  entre 0, 1 de una funci´ on continua se puede expresar de la siguiente forma:

´ DE UN AREA. ´ 5.1. LA ESTIMACION SUMAS DE RIEMANN.

y6

325

y = f (x)

x 1 2 3 n n n

···

1

Figura 5.8: Z

1 0

2 1 n 1
1 1 = f (x) dx = l´ım f ( ) + f ( ) + · · · + f ( ) n→∞ n n n n n n 1 2 n
1 f( ) + f( ) + · · · + f( ) = = l´ım n→∞ n n n n n X k 1 f( ) = l´ım n→∞ n n k=1

Y viendo la igualdad de derecha a izquierda, tenemos:

n 1 2 n
1 1X k l´ım f( ) = f ( ) + f ( ) + · · · + f ( ) = l´ım n→∞ n n→∞ n n n n n k=1

Z

1

f (x) dx 0

lo que nos permite calcular el l´ımite de algunas sumas a partir del concepto de integral. Ejemplo 5.4. Calcular el siguiente l´ımite:   1 2 n l´ım + 2 + ··· + 2 n→∞ 1 + n2 2 + n2 n + n2 Soluci´ on. Sacamos factor com´ un la base de los rect´ angulos, 1/n, y el resto lo expresamos en funci´ on de k/n.   2 n 1 + 2 + ··· + 2 = l´ım n→∞ 1 + n2 2 + n2 n + n2   2n n2 n 1 + + · · · + = l´ım = n→∞ n 1 + n2 22 + n2 n2 + n2 ! 1 1/n 2/n 1 = = l´ım + + +··· + n 2 n→∞ n (n) + 1 ( n1 )2 + 1 ( n2 )2 + 1 Z 1 n 1 X k/n ln 2 x = l´ım dx = = k 2 2 n→∞ n 2 (n) + 1 0 x +1 k=1

Ejemplo 5.5. Calcular el siguiente l´ımite:   n n n + 2 + ··· + 2 l´ım n→∞ n2 + 1 n +4 n + n2

´ 326CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Soluci´ on. Sacamos factor com´ un la base de los rect´ angulos, 1/n, y el resto lo expresamos en funci´ on de k/n. l´ım

n→∞



 n n n = + + ··· + 2 n2 + 1 n2 + 4 n + n2   1 n2 n2 n2 = = l´ım + + ··· + 2 n→∞ n n2 + 1 n2 + 4 n + n2 ! 1 1 1 1 = l´ım + + +··· + = n→∞ n 1 + ( nn )2 1 + ( n1 )2 1 + ( n2 )2 Z 1 n h i1 π 1 1 1X = dx = arc tg x = = l´ım 2 n→∞ n 4 0 1 + ( nk )2 0 1+x k=1

Ejemplo 5.6. Calcular el siguiente l´ımite: l´ım

n→∞



n n n + + ··· + 2 2 (n + 1) (n + 2) (n + n)2



Soluci´ on. Sacamos factor com´ un la base de los rect´ angulos, 1/n, y el resto lo expresamos en funci´ on de k/n.  n n n + + ··· + = l´ım n→∞ (n + 1)2 (n + 2)2 (n + n)2   n2 n2 n2 1 + + ··· + = l´ım = n→∞ n (n + 1)2 (n + 2)2 (n + n)2   2  2 2 ! n n n 1 + + ··· + = l´ım = n→∞ n n+1 n+2 n+n   !2 !2  2 1 1 1 1 = + + ··· + = l´ım  1 2 n→∞ n 1 + nn 1+ n 1+ n !2 Z  2 Z 1 n 1 1 1X 1 1 = dx = dx = = l´ım k n→∞ n 1 + x (1 + x)2 1 + 0 0 n k=1 h −1 i1 −1 1 = +1= = 1+x 0 2 2 

Ejemplo 5.7. Calcular el siguiente l´ımite: l´ım

n→∞



1 1 1 + + ··· + n+1 n+2 n+n



Soluci´ on. Sacamos factor com´ un 1/n y el resto lo expresamos en funci´ on de

´ DE UN AREA. ´ 5.1. LA ESTIMACION SUMAS DE RIEMANN.

327

k/n. l´ım

n→∞



 1 1 1 + + ··· + = n+1 n+2 n+n   n n n 1 + + ··· + = = l´ım n→∞ n n+1 n+2 n+n ! 1 1 1 1 = = l´ım + + ··· + 1 2 n→∞ n 1 + nn 1+ n 1+ n Z 1 n h i1 1X 1 1 = l´ım = ln 2 dx = ln |1 + x| = n→∞ n 0 1 + nk 0 1+x k=1

Ejemplo 5.8. Calcular el siguiente l´ımite: √ √ √ n n e + e2 + · · · + n en l´ım n→∞ n Soluci´ on. Sacamos factor com´ un 1/n y el resto lo expresamos en funci´ on de k/n. l´ım

n→∞

√ n

e+

√ n

e2 + · · · + n

√ n

en

 1  1/n e + e2/n + · · · + en/n = n→∞ n Z 1 n h i1 1 X k/n e = ex dx = ex = e − 1 = l´ım n→∞ n 0 0 = l´ım

k=1

Ejemplo 5.9. Calcular el siguiente l´ımite: n 1 X 7 k n→∞ n8

l´ım

k=1

Soluci´ on. Sacamos factor com´ un 1/n y el resto lo expresamos en funci´ on de k/n. T´engase en cuenta que al ser k el ´ındice del sumatorio, todas las dem´ as variables son constantes y se pueden introducir en el sumatoria, incluida la propia n. Z 1 n n n   1 X 7 1 1 X 7 1X k 7 l´ım = k = l´ım k = l´ım x7 dx = n→∞ n8 n→∞ n n7 n→∞ n n 0 k=1 k=1 k=1 h x8 i1 1 = = 8 0 8

Ejemplo 5.10. Calcular el siguiente l´ımite:   2 n−1 1 + 2 + ··· + l´ım n→∞ n2 n n2

´ 328CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Soluci´ on. Sacamos factor com´ un 1/n y el resto lo expresamos en funci´ on de k/n. T´engase en cuenta que la falta de un rect´ angulo infinitesimal no afecta al resultado.     1 1 2 n−1 2 n−1 1 = l´ım = + 2 + ··· + + + ··· + l´ım n→∞ n n→∞ n2 n n2 n n n   Z 1 n−1 1 2 n−1 1 1Xk = l´ım x dx = = 0 + + + ··· + = l´ım n→∞ n n→∞ n n n n n 0 k=0 h x2 i1 1 = = 2 0 2   Intervalo de integraci´ on distinto del 0, 1

En el c´ alculo de l´ımites mediante integrales, el intervalo de integraci´ on puede ser En efecto, si utilizamos una partici´ on regular, la integral entre  cualquiera.  a, b de una funci´ on continua se puede expresar de la siguiente forma:

y 6

y = f (x)

  Al dividir el intervalo a, b en n partes iguales, la base de cada uno de los n rect´ angulos infinitesimales ser´ a: ∆x = b−a , y por lo tanto las coordenadas de n los puntos x1 , x2 , . . . ser´ an:

x a x1 x2

···

b

Figura 5.9: x1 = a +

b−a , n

b−a 2 = a + (b − a), . . . n n b−a k . . . xk = a + k = a + (b − a) n n

x2 = a + 2

...

Y tomando f (xi ) como altura de los rect´ angulos, resulta: Z

a

b

  b−a b−a b−a = + f (x2 ) + · · · + f (xn ) f (x1 ) n→∞ n n n  b − a = l´ım f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) = n→∞ n n n
b−aX k b−aX f (xk ) = l´ım f a + (b − a) = l´ım n→∞ n n→∞ n n

f (x) dx = l´ım

k=1

k=1

Y viendo la igualdad de derecha a izquierda, tenemos: n

b−aX f l´ım n→∞ n k=1

  Z b k a + (b − a) = f (x) dx n a

´ DE UN AREA. ´ 5.1. LA ESTIMACION SUMAS DE RIEMANN.

329

  Si b − a es un n´ umero entero, entonces podemos dividir el intervalo a, b en (b − a)n partes iguales, con lo cual la base de los rect´ angulos infinitesimales 1 k b−a = . Con lo cual xk = a + . Y resulta: resultantes ser´ıa ∆x = (b − a)n n n  Z b (b−a)n  k 1 X f (x) dx = f a+ l´ım n→∞ n n a k=1

  La clave para determinar los l´ımites de integraci´ on a, b , est´ a en conocer el primer y el u ´ltimo valor de f (x), es decir, f (a) y f (b). M´ as que la f´ ormula, debe buscarse el proceso de integraci´ on, utilizando un gr´ afico auxiliar. Unas veces habr´ a que pensar que s´ olo la unidad se ha dividido en n partes y otras que todo el intervalo de integraci´ on se ha dividido en las n partes.   π 2π (n − 1)π π Ejemplo 5.11. Calcular l´ım + · · · + sen sen + sen n→∞ n n n n   Soluci´ on. Podemos suponer que el intervalo 0, π lo hemos dividido en n partes iguales. La base de los rect´ angulos infinitesimales ser´ a ∆x = π/n, y los puntos de la partici´ on x1 = π/n, x2 = 2π/n, . . ., xn = nπ/n. Falta un nπ = sen π = 0. t´ermino, pero no afecta al resultado, ya que sen n π n

0

π n π n

π n

···

2π 3π n n

···

π

de donde,   2π (n − 1)π π π + · · · + sen sen + sen = n→∞ n n n n   Z π h iπ π 2π nπ π = l´ım + · · · + sen sen + sen = sen x dx = − cos x = n→∞ n n n n 0 0 = − cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2 l´ım

Como regla pr´ actica para determinar los l´ımites de integraci´ on y el correspondiente incremento de x puede utilizarse la siguiente: Una vez determinado el valor de x = kπ n , tenemos: x=

kπ n

  k=0 k=n  k=1

Ejemplo 5.12. Calcular

→ → →

x=0 x=π x = πn

⇒ ⇒ ⇒

  n X kπ 1 sen l´ım n→∞ n n k=1

a=0 b=π ∆x =

π n

´ 330CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Soluci´  on. Igual que en el ejemplo anterior, podemos suponer que el intervalo 0, π lo hemos dividido en n partes iguales. La base de los rect´ angulos infinitesimales ser´ a ∆x = π/n, y los puntos de la partici´ on x1 = π/n, x2 = 2π/n, . . ., xn = nπ/n. π n

π n π n

0

π n

···

2π 3π n n

···

π

En consecuencia necesitamos sacar factor com´ un el incremento de x ∆x = πn , de donde,       n n n X 1X kπ kπ 1 πX kπ 1 sen sen = l´ım = = sen l´ım l´ım n→∞ n n→∞ n n n π n→∞ n n k=1 k=1 k=1 Z iπ 1 π 1h 1 1 2 = sen x dx = − cos x = (− cos π + cos 0) = (1 + 1) = π 0 π π π π 0 Ejemplo 5.13. Calcular el siguiente l´ımite: √ √ √ n n n e + e2 + · · · + e2n l´ım n→∞ n   Soluci´ on. Podemos suponer que el intervalo 0, 2 lo hemos dividido en 2n partes iguales. La base de los rect´ angulos infinitesimales ser´ a ∆x = 1/n, y los puntos de la partici´ on x1 = 1/n, x2 = 2/n, . . ., xn = 2n/n = 2. 1 n

1 n

0

1 n

1 n 2 n

3 n

1 ···

2

n n

2n n

···

En consecuencia, sacamos factor com´ un 1/n y el resto lo expresamos en funci´ on de k/n. l´ım

n→∞

√ n

e+

√ n

e2 + · · · + n

√ n

e2n

 1  1/n e + e2/n + · · · + e2n/n = n→∞ n Z 2 2n h i2 1 X k/n = l´ım e = ex dx = ex = e2 − 1 n→∞ n 0 0 = l´ım

k=1

5.1.3.

Propiedades de la integral definida

a) Relativas al intervalo de integraci´ on. 1.

  Si a < b no tiene sentido hablar del intervalo b, a . No obstante, se admite por convenio que: Al intercambiar los l´ımites de integraci´ on, la integral cambia de signo.

´ DE UN AREA. ´ 5.1. LA ESTIMACION SUMAS DE RIEMANN. y

y

6 −→ +

a

6

-x b

←− −

a

Z

-x b

a

f (x) dx = −

b

Z

331

b

f (x) dx

a

2. Si los l´ımites de integraci´ on coinciden, la integral vale cero. Z a f (x) dx = 0 a

3.

La integral de una funci´ on siempre est´ a contenida entre dos valores: El rect´ angulo m´ınimo y el rect´ angulo m´ aximo. y

6

M m -x a

4.

Z

m(b − a) ≤

b

b

f (x) dx ≤ M (b − a)

a

(5.1)

Cualquiera que sean los n´ umeros a, b y c, se cumple que: y

y

6 a

Z

-x b

c

b

f (x) dx =

a

6

Z

a

-x c

b

c

f (x) dx +

a

Z

b

f (x) dx

c

siempre que la funci´ on sea integrable sobre dichos intervalos. Esta propiedad se cumple aunque el punto c no est´e situado entre a y b. − + a

b

c

b) Relativas al integrando. 1.

La integral de la suma es la suma de las integrales. Z b a

2.

Z b Z b  f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx a

a

Un factor constante puede sacarse fuera de la integral. Z

a

b

rf (x) dx = r

Z

b

f (x) dx a

´ 332CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS 3.

La integral de una funci´ on positiva, es positiva.   x ∈ a, b

f (x) ≥ 0, 4.

Z

⇒

b

f (x) dx ≥ 0

a

Si una funci´ on es menor que otra, entonces su integral tambi´en lo es.   x ∈ a, b

f (x) ≤ g(x),

Ejemplo 5.14. Sabiendo que Z 4 f (t) dt hallar:

Z

Z

⇒

b

f (x) dx ≤

a

4

1

f (t) dt = −5 y

Z

Z

b

g(x) dx

a

2

1

2f (t) dt = −1

2

Soluci´ on. Z

2

2f (t) dt = 2

1

Z

2

1

4

f (t) dt =

1

luego

Z

Z

f (t) dt = −1 →

2

f (t) dt +

1

Z

Z

2

4

Soluci´ on. R4 1 R1 4

2

f (t) dt = −5 +

1

Calcular

f (t) dt =

4

Ejemplo 5.15. Sabiendo que: Z 4 Z
f (x) − g(x) dx = 10, Z

4

1

1

Z

2

2f (t) dt =

1

−1 + 2

Z

−1 2

4 2

f (t) dt = −5

−9 1 = 2 2


f (x) + g(x) dx = 3

Z

4

g(x) dx = 5

0

g(x) dx 0

) R4 )
R4 f (x) − g(x) dx = 10 1 f (x) dx − 1 g(x) dx = 10
R1 R1 f (x) + g(x) dx = 3 4 f (x) dx + 4 g(x) dx = 3

) Z R1 R1 Z 1 1 − 4 f (x) dx + 4 g(x) dx = 10 13 2 g(x) dx = 13 → g(x) dx = R1 R1 2 4 4 4 f (x) dx + 4 g(x) dx = 3

de donde,

Z

1

g(x) dx = 0

Z

4

g(x) dx + 0

Z

1

g(x) dx = 5 + 4

13 23 = 2 2

´ 5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

333

Ejemplo 5.16. Establecer una relaci´ on de desigualdad entre las siguientes parejas de integrales: Z

1√

x dx

0

Z

1

Z

3

x dx 0

2√

Z

x dx

2

x3 dx

1

1

Soluci´ on. Si observamos las gr´ aficas de ambas funciones en los dos intervalos de referencia, resulta: x3

y6

√ x

0

1

2

5.2.

0≤x≤1→

x -

1≤x≤2→

√ √

x≥

x3

⇒

x ≤ x3 ⇒

Z Z

1√ 0 2√ 1

x dx ≥ x dx ≤

Z

1

x3 dx

0

Z

2

x3 dx

1

El teorema fundamental del C´ alculo

La funci´ on integral o funci´ on ´ area Dada una funci´ on integrable en un intervalo cerrado [a, b], se define su funci´ on integral sobre dicho intervalo como el a ´rea bajo la curva desde el punto a hasta un punto variable t ∈ [a, b] O bien, dado que es m´ as habitual hablar y6

y = f (x) F (t) =

F (t) a

x

-x

t

Z

t

f (x) dx a

b

Figura 5.10: de F (x) en lugar de F (t), basta con intercambiar los papeles de ambas variables. y6

y = f (x) F (x) =

a

F (x) a

t

Z

-x

x

Figura 5.11:

b

x

f (t) dt

´ 334CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Teorema fundamental del C´ alculo Teorema 5.1. Si f es una funci´ on continua en el intervalo cerrado [a, b], Rx entonces su funci´ on integral, F (x) = a f (t) dt a ≤ x ≤ b, es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y su derivada F ′ (x) = f (x).  f continua R x en [a, b] F ′ (x) = f (x) F (x) = a f (t) dt

Demostraci´ on. Aplicando la definici´ on de derivada a la funci´ on F , resulta, Rx R x+h f (t) dt − a f (t) dt F (x + h) − F (x) a = l´ım = F (x) = l´ım h→0 h→0 h h Rx R x+h Rx f (t) dt − a f (t) dt a f (t) dt + x = l´ım = h→0 h R x+h f (t) dt f (x) · h = l´ım x = l´ım = f (x) h→0 h→0 h h En la demostraci´ on se ha tenido en cuenta que, para h peque˜ no, Z x+h f (t) dt ≈ f (x) · h ′

x

En efecto, y6

La integral

y = f (x) f (x)

F (x) a

-x b x 6 x+h

t

Z

x+h

f (t) dt x

representa el a´rea del rect´ angulo infinitesimal de base h y altura f (x).

h

Figura 5.12:

De una manera m´ as formal, teniendo en cuenta la desigualdad (5.1), se puede establecer de la siguiente forma: R x+h Z x+h f (t) dt ≤ Mx mx h ≤ f (t) dt ≤ Mx h → mx ≤ x h x de donde, tomando l´ımite, l´ım mx ≤ l´ım

h→0

h→0

R x+h x

f (t) dt ≤ l´ım Mx h→0 h

de donde, f (x) ≤ l´ım

h→0

R x+h x

f (t) dt ≤ f (x) h

⇒

l´ım

h→0

R x+h x

f (t) dt = f (x) h

´ 5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

335

Lecturas del teorema fundamental del C´ alculo Del Teorema fundamental del C´ alculo se pueden desprender las siguientes interpretaciones: 1.

Si la funci´ on f es continua R xsobre el intervalo cerrado [a, b], entonces su funci´ on integral F (x) = a f (t) dt , es una primitiva de f (x).

2.

Toda funci´ on continua sobre un intervalo cerrado, tiene una primitiva sobre dicho intervalo.

3.

La derivada de una integral, con l´ımite superior variable, respecto de dicho l´ımite superior, coincide con el valor del integrando en dicho l´ımite superior. Z x d f (t) dt = f (x) dx a

4.

La derivada del ´ area coincide con el valor de la funci´ on en la frontera:

y 6 F (x) a

C´ırculo '$

F ′ (x)

πr2

x x

b

2πr &% ℓ = a′ (r)

Esfera '$ 4 V = πr3 3 A = 4πr2 &% A = V ′ (r)

Figura 5.13:

Derivada de integrales d Ejemplo 5.17. Hallar dt

Z tp x2 + 1 dx 0

Soluci´ on. Aplicando directamente el teorema fundamental resulta, Z p d tp 2 x + 1 dx = t2 + 1 dt 0 Ejemplo 5.18. Hallar

d dt

Z

3

sen2 x dx

t

Soluci´ on. Para poder aplicar el teorema fundamental, el l´ımite variable, respecto del que se deriva, ha de ser el l´ımite superior de la integral, en consecuencia habr´ a que intercambiar los l´ımites, Z t Z d 3 d 2 − sen2 x dx = − sen2 t sen x dx = dt t dt 3

´ 336CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Derivada de integrales cuando el l´ımite superior es una funci´ on Cuando la variable de integraci´ on no coincide con la variable de derivaci´ on, aplicamos el teorema de la derivada de la funci´ on compuesta  Z u d u = g(x) = f (t) dt = f (t) dt = du = g ′ (x)dx dx a a Z u  d du du = = f (u) = f [g(x)] · g ′ (x) f (t) dt du dx dx a Z 2 d t Ejemplo 5.19. Hallar cos x2 dx dt 0 d dx

Z



g(x)

Soluci´ on.

d dt

Z

t2

0

cos x2 dx = cos(t2 )2 · 2t = 2t cos t4

Derivada de integrales cuando los dos l´ımites son funciones Aplicando los resultados anteriores, resulta, ! Z a Z g(x) d f (t) dt + f (t) dt = f (t) dt = dx h(x) h(x) a ! Z h(x) Z g(x) d − f (t) dt + f (t) dt = −f [h(x)]h′ (x) + f [g(x)]g ′ (x) = = dx a a d dx

Z

g(x)

= f [g(x)]g ′ (x) − f [h(x)]h′ (x)

Es decir, Z

g(x)

h(x)

f (t) dt = f [g(x)]g ′ (x) − f [h(x)]h′ (x)

Ejemplo 5.20. Hallar

d dx

Z

(5.2)

x3

ln t dt x2

Soluci´ on. Aplicando la f´ ormula (5.2) resulta, Z x3
d ln t dt = ln x3 · 3x2 − ln x2 · 2x = 9x2 ln x − 4x ln x = 9x2 − 4x ln x dx x2 Z √x d cos t2 dt x>0 Ejemplo 5.21. Hallar dx 1/x Soluci´ on. Aplicando la f´ ormula (5.2) resulta, √ Z x √ 1 1 1
2 −1 1 1 d cos t2 dt = cos( x)2 · √ − cos · 2 = √ cos x + 2 cos 2 dx 1/x x x x x 2 x 2 x

´ 5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Ejemplo 5.22. Hallar el l´ımite

l´ım

x→0+

R x2 0

337

√ sen t dt x3

Soluci´ on. La sustituci´ on directa da la indeterminaci´ on 0/0 que se rompe aplicando la Regla de L’Hˆ opital. En efecto, √ sen t dt h 0 i 2 2x2 sen x · 2x = = l´ ım = = l´ ım l´ım 3 2 2 x 0 3x 3 x→0+ 3x x→0+ x→0+ Rx cos t2 dt Ejemplo 5.23. Hallar el l´ımite l´ım 0 x→0 x R x2 0

Soluci´ on. La sustituci´ on directa da la indeterminaci´ on 0/0 que se rompe aplicando la Regla de L’Hˆ opital. En efecto, Rx cos t2 dt h 0 i cos x2 = l´ım = =1 l´ım 0 x→0 x→0 x 0 1 R sen x √ tg t dt Ejemplo 5.24. Hallar el l´ımite l´ım R 0tg x √ + x→0 sen t dt 0

Soluci´ on. La sustituci´ on directa da la indeterminaci´ on 0/0 que se rompe aplicando la Regla de L’Hˆ opital. En efecto, p R sen x √ √ tg t dt tg(sen x) cos x tg x cos3 x 0 √ =1 = l´ım p l´ım R tg x √ = l´ım 1 tg x x→0+ x→0+ x→0+ sen t dt 0 sen(tg x) 2 cos x

5.2.1.

Regla de Barrow: La integral como una primitiva

Teorema 5.2 (Regla de Barrow). Si f es una funci´ on continua en el intervalo cerrado [a, b] y G es una primitiva cualquiera de f , entonces: Z b f (x) dx = G(b) − G(a) a

Demostraci´ on. Sea f continua en [a, b] y G una primitiva R xcualquiera de f . Por ser f continua sobre [a, b], su funci´ on integral F (x) = a f (t) dt ser´ a una primitiva de f . En consecuencia tendremos dos primitivas de una misma funci´ on que, por tanto, se diferenciaran en una constante G(x) = F (x) + C, de donde,   Z b Rb G(b) = F (b) + C G(b) = a f (t) dt + C G(b) = f (x) dx + G(a) G(a) = F (a) + C G(a) = 0 + C = C a de donde, Z

a

b

f (t) dt = G(b) − G(a) ⇒

Z

b a

f (x) dx = G(b) − G(a)

´ 338CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Observaciones: 1.

La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relaci´ on las integrales con las derivadas. Sin embargo hay que advertir que solamente es aplicable a funciones continuas definidas en intervalos cerrados.

2.

Para hallar la integral definida de una funci´ on continua en un intervalo cerrado seguiremos el siguiente proceso: a) Se halla una primitiva cualquiera de la funci´ on, sin tener en cuenta la constante (la m´ as sencilla). b) Se sustituyen en esta primitiva los l´ımites de integraci´ on -el superior y el inferior- y se restan los resultados. Z

b

f (x) dx =

a

Ejemplo 5.25. Calcular

Z

1

Z

f (x) dx

b

a

h ib = G(x) = G(b) − G(a) a

x2 dx

0

Soluci´ on. Basta con encontrar una primitiva de x2 y evaluarla en los extremos de integraci´ on. Z

1 0



x3 x dx = 3 2

1 0

=

1 1 −0= 3 3

Ejemplo 5.26. Hallar el a ´rea de la regi´ on bajo la gr´ afica de y = sen x entre 0 y π. Soluci´ on. El ´ area viene definida por la siguiente integral, y 6

y = sen x

π

0

x -

A=

Z

π 0

h iπ sen x dx = − cos x = − cos π + cos 0 = = −(−1) + 1 = 1 + 1 = 2

Figura 5.14:

Ejemplo 5.27. Calcular Soluci´ on. Z √3 1

Z

√ 1

3

0

dx 1 + x2

√  √3 π π dx π 3 − arc tg 1 = − = = arc tg = arc tg x 1 2 1+x 3 4 12

´ 5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

339

Integraci´ on de funciones definidas a trozos Ejemplo 5.28. Dada la funci´ on definida por f (x) = calcular

Z

(

x2 x

2

si 0 ≤ x ≤ 1 si 1 ≤ x ≤ 2

f (x) dx. 0

Soluci´ on. Descomponemos la integral con objeto de integrar por tramos, utilizando en cada tramo la funci´ on correspondiente. Z

2

f (x) dx = 0

Z

1

2

x dx +

0

Z

2 1



x3 x dx = 3 Z

Ejemplo 5.29. Calcular la integral

1



x2 + 2 0

2 1

=

1 1 11 +2− = 3 2 6

2 0

|1 − x| dx

Soluci´ on. Separamos los dos casos del valor absoluto.   1−x 1−x si 1 − x ≥ 0 = f (x) = |1 − x| = x−1 −1 + x si 1 − x < 0

si si

x≤1 x>1

de donde, 2 1  2  x x2 + −x = (x − 1) dx = x − (1 − x) dx + |1 − x| dx = 2 0 2 1 0 0 1 1 4 1 =1− + −2− +1=1 2 2 2  si x ∈ [0, 1]  1 −2 si x ∈ (1, 2] Ejemplo 5.30. Dada la funci´ on f (x) =  x si x ∈ (2, 3] Z Z

2

Z

Z

1

2

x

f (t) dt

determinar F (x) =

0

Soluci´ on. El valor de F (x) depender´ a del tramo en el que est´ a situada la x 1 0

x ∈ [0, 1] ⇒ F (x) = x ∈ (1, 2] ⇒ F (x) =

Z

1

x

f (t) dt =

0

Z

Z

x

0

x

f (t) dt = 0

−2

Z

0

1

t 2

3

 x 1 dt = t 0 = x 1 dt +

Z

1

x

 1  x −2 dt = t 0 + − 2t 1 =

= 1 − 2x + 2 = −2x + 3

´ 340CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS x ∈ (2, 3] ⇒ F (x) =

Z

x

f (t) dt =

0

Z

1

1 dt + 0

Z

2 1

−2 dt +

Z

x

t dt = 2

 1  2  t2 x x2 4 x2 = 1 − 4 + 2 + − = −3 = t 0 + − 2t 1 + 2 2 2 2 2

de donde, la funci´ on F vendr´ a definida por:

y

6y = f (x) a

y

6 y = F (x)

x -

a

Figura 5.15:

x -

 x    F (x) = −2x + 3   x2  −3 2

si x ∈ [0, 1] si x ∈ (1, 2] si x ∈ (2, 3]

´ INMEDIATA. 5.3. INTEGRACION

341

B. C´ alculo de primitivas. 5.3.

Integraci´ on inmediata.

Definici´ on 5.1 (Primitiva). Una funci´ on F (x) se llama primitiva de otra funci´ on f (x) si F ′ (x) = f (x). Proposici´ on 5.1. Si una funci´ on tiene una primitiva, entonces tiene infinitas, que se diferencian entre s´ı en una constante. Definici´ on 5.2 (Integral indefinida). Se llama integral indefinida de una funci´ on f (x) al conjunto formado por todas sus primitivas, y se denota por: Z f (x) dx = F (x) + C Ejemplo 5.31. Hallar

Z


x3 + 2x2 + 1 dx

Soluci´ on. Buscamos una primitiva del integrando, es decir una funci´ on tal que al derivarla nos de el integrando. En consecuencia, Z


x4 2x3 + +x+C x3 + 2x2 + 1 dx = 4 3

Nota. Como consecuencia del Teorema fundamental del C´ alculo se puede afirmar que toda funci´ on continua tiene una primitiva. Pero eso no significa que esa primitiva R sen x se pueda expresar en t´erminos elementales. Por ejemplo la integral x dx solamente se puede calcular desarrollando en series el senx, con lo cual obtenemos como resultado de la integral, un desarrollo en serie. Es decir, obtenemos el desarrollo en serie de la primitiva, pero no obtenemos la primitiva expresada en t´erminos elementales.

5.3.1.

Propiedades de la integral indefinida

1. d 2. 3.

R

R

R


f (x) dx = f (x) dx


′ f (x) dx = f (x)

df (x) = f (x) + C

R R [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx R R 5. r f (x) dx = r f (x) dx Un factor constante puede sacarse fuera del signo de 4.

R

integraci´ on.

´ 342CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS

5.3.2.

Tabla de integrales inmediatas R

R

R

R

R

R

R

R

R

dx = x + C xn+1 +C xn dx = n+1 dx = ln |x| + C x ex dx = ex + C ax ax dx = +C ln a dx = arc tg x + C 1 + x2 1 x dx = arc tg + C 2 2 a +x a a dx √ = arc sen x + C 1 − x2 dx x √ = arc sen + C 2 2 a a −x

R

sen x dx = − cos x + C

R

sec2 x dx = tg x + C

R

senh x dx = cosh x + C

R

R

R

cos x dx = sen x + C

csc2 x dx = − cot x + C cosh x dx = senh x + C

dx = tgh x + C cosh2 x R dx = − coth x + C senh2 x R

Aunque no son inmediatas, tambi´en deben tenerse presente las siguientes integrales por aparecer con mucha frecuencia. R 1 R 1 √ −1 √ dx = 2 x + C dx = + C x2 x x R R tg x dx = − ln | cos x| + C cotg x dx = ln | sen x| + C R dx 1 x − 1 +C = ln 2 x −1 2 x + 1     √ √ R R dx dx √ √ = ln x + x2 + 1 + C = ln x + x2 − 1 + C 1 + x2 x2 − 1  Z  √ 1 2 Ejemplo 5.32. Hallar la integral x+ √ dx x

Soluci´ on. Realizando el cuadrado tenemos:   Z  Z  √ 1 2 1 x2 x+ √ dx = x+2+ + 2x + ln |x| + C dx = x 2 x Z (x + 1)2 dx Ejemplo 5.33. Hallar la integral x3 + x

Soluci´ on. Operando tenemos: Z 2 Z Z x + 2x + 1 (x2 + 1) + 2x (x + 1)2 dx = dx = dx = x3 + x x(x2 + 1) x(x2 + 1)  Z  2 1 dx = ln |x| + 2 arc tg x + C = + x 1 + x2

´ MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE 5.4. INTEGRACION Ejemplo 5.34. Hallar la integral

Z


2 tg x + cot x dx

Soluci´ on. Operando tenemos: Z

343

Z

2 tg2 x + 2 tg x · cot x + cot2 x dx = tg x + cot x dx = Z Z

2 2 = tg x + 2 + cot x dx = tg2 x + 1 + 1 + cot2 x dx = Z Z Z Z

2 2 2 = tg x + 1 dx + 1 + cot x dx = sec xdx + csc2 xdx =

= tg x − cot x + C

Ejemplo 5.35. hallar

Z

p 2x x2 + 1 dx

Soluci´ on. En este caso tenemos que tener en cuenta la derivada de una funci´ on compuesta. Z

Z p 2 2x x + 1 dx =

5.4.


3/2
1/2 x2 + 1 x +1 2x dx = +C = 3/2
p 2 2 x +1 = x2 + 1 + C 3 2

Integraci´ on mediante cambio de variable

El cambio de variable en una integral indefinida se puede efectuar de dos formas: 1. Cambiando la variable x por una funci´ on x = g(t), donde g(t) es una funci´ on mon´ otona continuamente derivable de una nueva variable t.   Z Z   x = g(t) = f g(t) g ′ (t) dt f (x) dx = ′ dx = g (t)dt 2.

Cambiando parte del integrando por una nueva variable g(x) = t: Z

  f g(x) g ′ (x) dx =



g(x) = t ′ g (x)dx = dt



=

Z

f (t) dt

En la pr´ actica se combinan ambos m´etodos, ya que x = g(t) ↔ t = g −1 (x). La funci´ on que se utilice tendr´ a que tener derivada continua para que se pueda realizar la nueva integral, e inversa para poder deshacer el cambio. Z
4 Ejemplo 5.36. Hallar la integral x x2 + 3 dx

´ 344CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Soluci´ on. Hacemos el cambio de variable buscando la derivada de una potencia: " # Z Z Z
4 u = x2 + 3 1 2 4 du = u4 du = x x + 3 dx = = u 2 2 du = 2x dx
5 x2 + 3 1 u5 +C = +C = 2 5 10 Z cos 3t Ejemplo 5.37. Hallar la integral dt (1 + sen 3t)5 Soluci´ on. Hacemos el cambio de variable buscando la derivada de una potencia: " # Z Z u = 1 + sen 3t 1 cos 3t dt = (1 + sen 3t)−5 3 cos 3t dt = = (1 + sen 3t)5 3 du = 3 cos 3t dt Z −1 −1 1 u−4 1 +C = +C = +C u−5 du = = 3 3 −4 12u 12(1 + sen 3t)4 Z Ejemplo 5.38. Hallar la integral ex sen ex dx

Soluci´ on. Hacemos el cambio de variable buscando la derivada del sen: " # Z Z x u = e ex sen ex dx = = sen u du = − cos u + C = − cos ex + C du = ex dx Z
Ejemplo 5.39. Hallar la integral ln cos x tg x dx

Soluci´ on. Hacemos el cambio de variable llamando t a una parte del integrando, de manera que podamos identificar dt en el resto:   Z Z t = ln cos x
 ln cos x tg x dx =  = − t dt = − sen x dt = dx = − tg x dx cos x 2 1 t2 = − + C = − ln(cos x) + C 2 2 Z √ Ejemplo 5.40. Hallar la integral x x + 1 dx √ Soluci´ on. Hacemos el cambio de variable llamando t = x + 1, sin embargo, para hallar dt no derivamos directamente, sino que previamente eliminamos la ra´ız cuadrada: # Z " √ Z √
t = x + 1 → t2 = x + 1 2 = t − 1 t · 2t dt = x x + 1 dx = x = t2 − 1 → dx = 2t dt
5
3 √ √ Z
2 x+1 2 x+1 2t5 2t3 4 2 = 2t − 2t dt = − +C = − +C 5 3 5 3

´ MEDIANTE CAMBIO DE VARIABLE 5.4. INTEGRACION

Ejemplo 5.41. Hallar la integral

Z

345

e6x dx e6x + 1

Soluci´ on. Teniendo en cuenta que el numerador es la derivada del denominador, salvo un factor constante, hacemos el cambio de variable buscando la derivada del ln: " #
Z Z e6x + 1 = t ln e6x + 1 e6x dx dt 1 ln |t| = = = +C = +C e6x + 1 6 t 6 6 6e6x dx = dt Ejemplo 5.42. Hallar la integral

Z

e3x dx e6x + 1

Soluci´ on. En este caso hacemos el cambio de variable buscando la derivada del arc tg: " # Z Z e3x = t 1 1 1 e3x dx dt = = = arc tg t+C = arc tg e3x +C 3x 6x 2 e +1 3 t +1 3 3 3e dx = dt Ejemplo 5.43. Hallar la integral

Z

√ sen x √ dx x

Soluci´ on. En este caso hacemos el cambio de variable buscando dejar el seno exclusivamente en funci´ on de la variable de integraci´ on:   √ √ Z Z x=t √ sen x   √ dx = dx = 2 sen tdt = −2 cos t + C = −2 cos x + C x √ = dt 2 x Z dx √ Ejemplo 5.44. Hallar la integral (x + 2) x + 1 Soluci´ on. En este caso hacemos el cambio √ de variable buscando eliminar la ra´ız cuadrada, para lo cual hacemos x + 1 = t, sin embargo, en vez de derivar esta expresi´ on directamente, la elevamos al cuadrado previamente: # " √ x + 1 = t → x + 1 = t 2 → x = t2 − 1 dx √ = = dx = 2tdt (x + 2) x + 1 Z Z √ 2t dt 2 dt = x+1+C = = 2 arc tg t + C = 2 arc tg (t2 + 1)t (t2 + 1) Z p Ejemplo 5.45. Hallar la integral x2 x3 + 1 dx Z

Soluci´ on. En este caso podemos elegir entre dos opciones; hacemos el cambio de variable buscando eliminar la ra´ız cuadrada, o bien, tenemos encuenta

´ 346CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS que lo expresi´ on que hay fuera de la ra´ız es la derivada del radicando. En el primer caso, Z

2

p

x3

" √

x3 + 1 = t → x3 + 1 = t2

#

2 = 3

Z

t · t dt = 3x2 dx = 2tdt Z 3 p 2 2 p 3 2 t3 2 x + 1 + C = (x3 + 1) x3 + 1 + C +C = t2 dt = = 3 33 9 9 x

+ 1 dx =

y en el segundo, Z

2

x

p

x3

"

#

Z Z 1 √ 1 + 1 dx = = t dt = t1/2 dt = 3 3 3x2 dx = dt 3 p 2 p 3 1 t3/2 2 +C = x + 1 + C = (x3 + 1) x3 + 1 + C = 3 3/2 9 9 x3 + 1 = t

El cambio de variable en la integral definida Cuando se hace un cambio de variable en una integral definida hay que cambiar los l´ımites de integraci´ on en funci´ on de la nueva variable. Si no queremos cambiar los l´ımites de integraci´ on habr´ a que deshacer el cambio antes de la sustituci´ on. En general,  Z t1  Z x1   x = g(t) → dx = g ′ (t) dt = f (x) dx = f g(t) g ′ (t) dt x0 = g(t0 ) ; x1 = g(t1 ) x0 t0 Ejemplo 5.46. Hallar

Z

0

1p

1 − x2 dx

Soluci´ on. Para resolver esta integral hacemos la sustituci´ on trigonom´etrica x = sen x, con objeto de eliminar la ra´ız cuadrada generando un cuadrado en su interior.   Z 1p x = sen t → dx = cos t dt = 1 − x2 dx =  x = 0 → 0 = sen t → t = 0 0 x = 1 → 1 = sen t → t = π/2 Z π/2 p Z π/2 Z π/2 1 + cos 2t 2 2 = 1 − sen t cos t dt = cos t dt = dt = 2 0 0 0   sen 2t π/2 π t + = = 2 4 4 0

5.5.

Integraci´ on por partes.

Integrando del producto de dos funcionesR d(u v) =R v du + u dv R la diferencial R R resulta, d(u v) = v du + u dv , de donde, u v = v du + u dv . Esto

´ POR PARTES. 5.5. INTEGRACION

347

nos permite expresar una de las dos integrales en funci´ on de la otra: Z Z u dv = u v − v du La constante de integraci´ on s´ olo se a˜ nade al final del proceso. Si la integral fuera definida, ser´ıa: Z

a

b

h ib Z b f (x)g ′ (x) dx = f (x)g(x) − f ′ (x)g(x) dx a

Z

Ejemplo 5.47. Hallar la integral

a

x sen x dx

Soluci´ on. Z

x sen x dx =

"

u=x

)

du = dx

#

= v = − cos x Z = −x cos x + cos x dx = −x cos x + sen x + C

dv = sen x dx

Ejemplo 5.48. Hallar la integral

Z

x3

p 1 + x2 dx

Soluci´ on. En este ejemplo la elecci´ on de u y dv no resultan evidentes. Forzamos la situaci´ on para que el dv elegido sea f´ acil de integrar. ) u = x2 √ dv = x 1 + x2 dx de donde,    du = 2x dx Z √ R √ 1 + x2 2x dx (1 + x2 )3/2 1 2  = = (1 + x2 )3/2  v = x 1 + x dx = 2 2 · 3/2 3 con lo que resulta, Z

Z p x2 (1 + x2 )3/2 1 2 x 1 + x dx = − (1 + x2 )3/2 2xdx = 3 3 x2 (1 + x2 )3/2 1 (1 + x2 )5/2 1 2 = − = x2 (1 + x2 )3/2 − (1 + x2 )5/2 + C 3 3 5/2 3 15 3

Ejemplo 5.49. Hallar la integral

Z

ln x dx

´ 348CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Soluci´ on. Elegimos u = ln x y como dv el propio dx. # " ) Z Z 1 u = ln x du = dx = x ln x − dx = x ln x − x + C ln x dx = x dv = dx v=x Z Ejemplo 5.50. Hallar la integral arc tg x dx Soluci´ on. Elegimos u = arc tg x y como dv el propio dx. 

 ) Z u = arc tg x du = dx x dx  2 arc tg x dx =  = x arc tg x − = 1+x 1 + x2 dv = dx v=x Z 1 1 2x = x arc tg x − dx = x arc tg x − ln(1 + x2 ) + C 2 2 1+x 2 Z Ejemplo 5.51. Hallar la integral x2 ex dx Z

Soluci´ on. Elegimos u = x2 y dv = ex dx. " ) # Z Z 2 u = x du = 2xdx 2 x 2 x x e dx = = x e − 2xex dx = x2 ex − I1 v = ex dv = ex dx

Aparece una nueva integral I1 que tambien calculamos por partes. " ) # Z Z u = 2x du = 2dx x x I1 = 2xe dx = = 2xe − 2ex dx = 2xex − 2ex dv = ex dx v = ex de donde resulta, Z x2 ex dx = x2 ex − (2xex − 2ex ) + C = (x2 − 2x + 2)ex + C Z

Ejemplo 5.52. Hallar la integral

ex sen x dx

Soluci´ on. Elegimos u = ex y dv = sen xdx. Z

ex sen x dx =

"

u = ex

)

du = ex dx

#

= v = − cos x Z = −ex cos x + ex cos x dx = −ex cos x + I1

dv = sen xdx

Aparece una nueva integral I1 que tambi´en calculamos por partes. " ) # Z Z u = ex du = ex dx x I1 = e cos x dx = = ex sen x − ex sen x dx dv = cos xdx v = sen x

´ POR PARTES. 5.5. INTEGRACION

349

Apareciendo, nuevamente, la integral que, en un principio, trat´ abamos da calcular. Sustituimos y operamos como si se tratara de una ecuaci´ on, agrupando las dos integrales, Z Z ex sen x dx = −ex cos x + ex sen x − ex sen x dx de donde resulta,

2

Z

ex sen x dx = −ex cos x + ex sen x

y despejando la integral y a˜ nadiendo la constante, resulta Z −ex cos x + ex sen x ex sen x dx = +C 2 Z p a2 − x2 dx Ejemplo 5.53. Hallar la integral √ Soluci´ on. Elegimos u = a2 − x2 y dv = dx. ) " √ Z p −x dx # 2 − x2 a u = √ du = a2 − x2 dx = a2 − x2 = dv = dx v=x

Z p x2 dx = x a2 − x2 + √ a2 − x2

Aparece una nueva integral I1 que calculamos sumando y restando a2 en el numerador. Z 2 Z Z Z a − (a2 − x2 ) a2 a2 − x2 x2 dx √ √ √ = dx = dx− √ dx I1 = a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2 a2 − x2 La primera integral es inmediata. Para calcular la segunda integral racionalizamos la expresi´ on con lo cual resulta, Z p x 2 I1 = a arc sen − a2 − x2 dx a

Apareciendo, nuevamente, la integral que, en un principio, trat´ abamos da calcular. Sustituimos y operamos como si se tratara de una ecuaci´ on, agrupando las dos integrales, Z p Z p p x 2 2 2 2 2 a − x dx = x a − x + a arc sen − a2 − x2 dx a de donde resulta, Z p p x 2 a2 − x2 dx = x a2 − x2 + a2 arc sen a

y despejando la integral y a˜ nadiendo la constante, resulta Z p 1 p a2 x a2 − x2 dx = x a2 − x2 + arc sen + C 2 2 a

´ 350CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS

5.6.

Integraci´ on de funciones racionales

Se llaman funciones racionales a las que vienen definidas por el cociente de dos polinomios. Z Pm (x) dx Pn (x)

5.6.1.

Integraci´ on de fracciones elementales

Se denominan fracciones simples (o elementales) a las fracciones racionales de los cuatro tipos siguientes: I.

1 x−a

II.

1 (x − a)n

III.

Ax + B + px + q

x2

IV.

(x2

Ax + B + px + q)n

siendo x2 + px + q irreducible. Las siguientes integrales racionales son inmediatas: Z ′ Z f (x) 1 dx = ln |x − a| + C dx = ln |f (x)| + C x−a f (x) Z Z dx (x − a)−n+1 −1 −n = (x − a) dx = +C = +C n (x − a) −n + 1 (n − 1)(x − a)n−1 Z 1 dx = arc tg x + C 1 + x2 Integrales del tipo: Z 1 dx 2 x + px + q

Z

Ax + B dx siendo x2 + px + q 6= 0 + px + q

x2

En el trinomio cuadrado del denominador se separa el cuadrado perfecto del binomio. Z 1 Ejemplo 5.54. Hallar la integral dx 2 x + 4x + 13 Soluci´ on. Expresamos el denominador como el cuadrado de un binomio, x2 + 4x + 13 = (x + 2)2 − 4 + 13 = (x + 2)2 + 9 de donde, Z

dx = 2 x + 4x + 13

Z

dx 1 = 2 (x + 2) + 9 9

Z

dx =  x+2 2 +1 3 Z 1 x+2 1/3 dx 3 = arc tg +C =  2 9 3 3 x+2 +1 3 

´ DE FUNCIONES RACIONALES 5.6. INTEGRACION Ejemplo 5.55. Hallar la integral

Z

2x2

351

1 dx − 4x + 10

Soluci´ on. Expresamos el denominador como el cuadrado de un binomio, sacando previamente 2 factor com´ un, 2x2 − 4x + 10 = 2[x2 − 2x + 5] = 2[(x − 1)2 − 1 + 5] = 2[(x − 1)2 + 4] de donde, Z

1 dx = 2x2 − 4x + 10 2

Z

1 dx = (x − 1)2 + 4 8

Z

dx =  x−1 2 +1 2 Z x−1 1/2 dx 1 2 +C = arc tg =  2 8 4 2 x−1 +1 2

Ejemplo 5.56. Hallar la integral

Z

x2



3x + 2 dx − 4x + 8

Soluci´ on. Esta integral es del tipo ln + arc tg. Para ello buscamos en el numerador la derivada del denominador 2x − 4 y luego separamos en dos integrales; la primera es un ln y en la segunda buscamos el arc tg, expresando el denominador como el cuadrado de un binomio, Z

Z Z (3x + 2) dx (x + 2/3) dx 3 2x + 4/3 =3 = dx = 2 2 2 x − 4x + 8 x − 4x + 8 2 x − 4x + 8 Z Z Z 3 3 3 2x − 4 + 4 + 4/3 2x − 4 16/3 dx = dx = dx + = 2 2 2 x − 4x + 8 2 x − 4x + 8 2 (x − 2)2 + 4 Z 1/2 dx 3 = = ln |x2 − 4x + 8| + 4   2 x−2 2 +1 2 3 x−2 = ln(x2 − 4x + 8) + 4 arc tg +C 2 2

5.6.2.

Integraci´ on de funciones racionales con ayuda del desarrollo en fracciones simples.

Al integrar una funci´ on racional se deben seguir los siguientes pasos: 1.

Divisi´ on de los polinomios.- Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, la primera operaci´ on es efectuar la divisi´ on. P (x) R(x)

Q(x) C(x)

´ 352CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS

De donde, aplicando la prueba de la divisi´ on, resulta: P (x) = Q(x) · C(x) + R(x)

→

R(x) P (x) = C(x) + Q(x) Q(x)

Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales; la primera es inmediata por ser la integral de un polinomio, y la segunda es m´ as f´ acil que la inicial ya que el grado de R(x) es inferior que el de Q(x). Z 2.

P (x) dx = Q(x)

Z

C(x) dx +

Z

R(x) dx Q(x)

Factorizaci´ on del denominador. Pueden darse los siguientes casos: a) El denominador tiene s´ olo ra´ıces reales simples. b) El denominador tiene s´ olo ra´ıces reales, aunque alguna de ellas es m´ ultiple. c) Entre las ra´ıces del denominador las hay complejas simples, alguno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible. d)

3.

Entre las ra´ıces del denominador las hay complejas m´ ultiple, alguno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible que se repite.

Descomponer la fracci´ on en fracciones simples.

La determinaci´ on de los coeficientes se puede hacer por dos m´etodos: 1.

Identificando los coeficientes de los t´erminos del mismo grado de x.

2.

Dando valores arbitrarios a x.

NOTA: En todo momento debemos comprobar si la fracci´ on que vamos a integrar es o no una fracci´ on elemental, o la derivada de un ln. Z 2x3 + 3x2 − 6x − 12 Ejemplo 5.57. Hallar la integral dx x2 − 4 Soluci´ on. Efectuamos la divisi´ on de los polinomios, 2x3 + 3x2 − 6x − 12 x2 − 4 −2x3 + 8x 2x + 3 2x3 + 3x2 − 6x − 12 3x 2 → = 2x + 3 + 2 3x + 2x − 12 2 x −4 x −4 −3x2 + 12 2x

´ DE FUNCIONES RACIONALES 5.6. INTEGRACION

353

Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este caso ambas resultan inmediatas; la primera por ser polin´ omica, y la segunda por ser la derivada de un logaritmo. Z

2x3 + 3x2 − 6x − 12 dx = x2 − 4

Z

(2x + 3) dx +

Ejemplo 5.58. Hallar la integral

Z

Z

2x dx = x2 + 3x + ln |x2 − 4| + C −4

x2

2x3 − 5x2 − 4x + 13 dx x2 − 4x + 4

Soluci´ on. Efectuamos la divisi´ on de los polinomios, 2x3 − 5x2 − 4x + 13 −2x3 + 8x2 − 8x 3x2 − 12x + 13 −3x2 + 12x − 12 1

x2 − 4x + 4 2x + 3

Por consiguiente, aplicando la prueba de la divisi´ on, resulta: 2x3 − 5x2 − 4x + 13 1 = 2x + 3 + 2 x2 − 4x + 4 x − 4x + 4 Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este caso ambas resultan inmediatas; la primera por ser polin´ omica, y la segunda por ser elemental. Z

2x3 − 5x2 − 4x + 13 dx = x2 − 4x + 4

Z

Z

1 (2x + 3) dx + dx = 2 x − 4x + 4 Z 1 1 = x2 + 3x + dx = x2 + 3x − +C 2 (x − 2) x−2

(a) El denominador tiene s´ olo ra´ıces reales simples. p(x) A B N p(x) = = + + ··· + q(x) (x − x1 )(x − x2 ) · · · (x − xn ) x − x1 x − x2 x − xn Ejemplo 5.59. Hallar la integral

Z

x2 + 3x − 4 dx x2 − 2x − 8

Soluci´ on. Efectuamos la divisi´ on de los polinomios, x2 + 3x − 4 −x2 + 2x + 8 5x + 4

1

x2 − 2x − 8

→

5x + 4 x2 + 3x − 4 =1+ 2 2 x − 2x − 8 x − 2x − 8

´ 354CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera es inmediata, por ser polin´ omica, pero la segunda no. Z

x2 + 3x − 4 dx = x2 − 2x − 8

Z

1 dx +

Z

x2

5x + 4 dx = x + I1 − 2x − 8

Para calcular la segunda integral factorizamos el denominador y descomponemos la fracci´ on en fracciones simples. 2

x − 2x − 8 = 0 → x =

2±

√

4 + 32 2±6 = = 2 2



4 −2

de donde resulta,

x2

5x + 4 A B A(x + 2) + B(x − 4) 5x + 4 = = + = − 2x − 8 (x − 4)(x + 2) x−4 x+2 (x − 4)(x + 2)

Los coeficientes los calculamos dando valores a x, x = 4 → 24 = 6A → A = 4 x = −2 → −6 = −6B → B = 1 Con lo cual resulta, Z Z Z 4 1 5x + 4 dx = dx + dx = 4 ln |x − 4| + ln |x + 2| I1 = 2 x − 2x − 8 x−4 x+2 de donde, Z

x2 + 3x − 4 dx = x + 4 ln |x − 4| + ln |x + 2| + C x2 − 2x − 8

(b) El denominador tiene s´ olo ra´ıces reales, aunque alguna de ellas es m´ ultiple. p(x) p(x) A B C D = = + + + q(x) (x − x1 )(x − x2 )3 x − x1 x − x2 (x − x2 )2 (x − x2 )3 Ejemplo 5.60. Hallar la integral

Z

x4 − x3 − x − 1 dx x3 − x2

Soluci´ on. Efectuamos la divisi´ on de los polinomios, x4 − x3 − x − 1 −x4 + x3 −x − 1

x

x3 − x2

→

−x − 1 x4 − x3 − x − 1 =x+ 3 3 2 x −x x − x2

´ DE FUNCIONES RACIONALES 5.6. INTEGRACION

355

Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, la primera inmediata, por ser polin´ omica, y la segunda no. Z

x4 − x3 − x − 1 dx = x3 − x2

Z

x dx +

Z

−x − 1 x2 dx = + I1 x3 − x2 2

Para calcular la segunda integral factorizamos el denominador y descomponemos la fracci´ on en fracciones simples. x3 − x2 = x2 (x − 1) de donde resulta, −x − 1 −x − 1 A B C Ax(x − 1) + B(x − 1) + Cx2 = = + + = x3 − x2 x2 (x − 1) x x2 x − 1 x2 (x − 1) Los coeficientes los calculamos dando valores a x, x = 0 → −1 = −B → B = 1 x = 1 → −2 = C → C = −2 x = 2 → −3 = 2A + B + 4C → −3 = 2A + 1 − 8 → 2A = 4 → A = 2 Con lo cual resulta, Z Z Z Z 2 1 −2 1 −x − 1 dx = dx+ dx+ dx = 2 ln |x|− −2 ln |x−1| I1 = x3 − x2 x x2 x−1 x de donde, Z

x2 1 x4 − x3 − x − 1 dx = + 2 ln |x| − − 2 ln |x − 1| + C 3 2 x −x 2 x

(c) Entre las ra´ıces del denominador las hay complejas simples, alguno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible. p(x) p(x) A Mx + N B C = = + 2 + + q(x) (x − x1 )(x − x2 )2 (ax2 + bx + c) x − x1 x − x2 (x − x2 )2 ax + bx + c

Ejemplo 5.61. Hallar la integral

Z

8x2 + 6x + 6 dx x3 − 3x2 + 7x − 5

Soluci´ on. Factorizamos el denominador y descomponemos la fracci´ on en fracciones simples. 1 1 1

-3 1 -2

7 -2 5

-5 5 0

x3 − 3x2 + 7x − 5 = (x − 1)(x2 − 2x + 5) √ 2 ± 4 − 20 2 x − 2x + 5 = 0 → x = Sin soluci´ on. 2

´ 356CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS De donde resulta, 8x2 + 6x + 6 A Mx + N 8x2 + 6x + 6 = = + 2 = 3 2 2 x − 3x + 7x − 5 (x − 1)(x − 2x + 5) x − 1 x − 2x + 5 A(x2 − 2x + 5) + (M x + N )(x − 1) = (x − 1)(x2 − 2x + 5) Los coeficientes los calculamos dando valores a x, x = 1 → 20 = 4A → A = 5 x = 0 → 6 = 5A − N → N = 5A − 6 = 25 − 6 = 19 x = 2 → 50 = 5A + 2M + N → 50 = 25 + 2M + 19 → 2M = 6 → M = 3 Con lo cual resulta, Z Z Z 8x2 + 6x + 6 5 3x + 19 dx = dx + dx = 5 ln |x − 1| + I1 3 2 2 x − 3x + 7x − 5 x−1 x − 2x + 5 Para calcular la integral I1 siempre seguimos el siguiente procedimiento: En primer lugar expresamos la parte literal del denominador como el cuadrado de un binomio y al binomio le llamamos t, x2 − 2x + 5 = (x − 1)2 − 1 + 5 = (x − 1)2 + 4 Con lo cual resulta la siguiente integral, I1 =

Z

3x + 19 dx = 2 x − 2x + 5

Z

# Z " x−1=t 3x + 19 3t + 22 dx = = dt = 2 (x − 1) + 4 t2 + 4 dx = dt

Para resolver esta integral separamos la parte literal de la parte num´erica; con la parte literal buscamos un ln y con la num´erica un arc tg Z Z Z Z 3t 22 3 22 2t 1 = dt + dt = dt + dt = t2 + 4 t2 + 4 2 t2 + 4 4 t2 /4 + 1 Z 1/2 22 3 t 3 2 ·2 dt = ln |t2 + 4| + 11 arc tg = = ln |t + 4| + 2 2 4 (t/2) + 1 2 2 =

3 x−1 ln |x2 − 2x + 5| + 11 arc tg 2 2

con lo cual, resulta Z 3 x−1 8x2 + 6x + 6 dx = 5 ln |x−1|+ ln |x2 −2x+5|+11 arc tg +C 3 2 x − 3x + 7x − 5 2 2 (d) Entre las ra´ıces del denominador las hay complejas m´ ultiple, alguno de los factores es un polinomio de segundo grado irreducible que se repite.

´ DE FUNCIONES RACIONALES 5.6. INTEGRACION

357

Estas integrales se resuelven buscado una f´ ormula recurrente, o mediante el m´etodo de Hermite. M´ etodo de Hermite. Consiste en tratar todas las ra´ıces como si fueran simples y a˜ nadir un t´ermino complementario que es la derivada respecto de x de un cociente en el que el denominador se obtiene multiplicando los factores de ra´ıces multiples elevados a su exponente disminuido en una unidad y el numerador es un polinomio de grado una unidad menos que el denominador resultante. Z Z p(x) p(x) dx = dx q(x) (x − x1 )(x − x2 )2 (ax2 + bx + c)(dx2 + ex + f )2 p(x) A B Mx + N Px + Q = + + + + q(x) x − x1 x − x2 ax2 + bx + c dx2 + ex + f   Rx2 + Sx + T d + dx (x − x2 )(dx2 + ex + f ) de donde, Z Z Z Z p(x) A B Mx + N dx = dx + dx + dx+ q(x) x − x1 x − x2 ax2 + bx + c Z Px + Q Rx2 + Sx + T + dx + dx2 + ex + f (x − x2 )(dx2 + ex + f ) Nota. Debemos observar lo siguiente: 1.

Como el t´ermino complementario es una derivada no necesitamos integrarlo.

2.

Las ra´ıces simples no aparecen en el denominador del t´ermino complementario.

Esquem´ aticamente el m´etodo de Hermite se puede recordar de la siguiente forma:   polinomio de grado   p(x) X todas las ra´ıces d  el que resulte en el denominador -1  = +   como simples producto de factores m´ ultiples, q(x) dx eleados a su exponente -1

Ejemplo 5.62. Calcular,

Z

dx

(1 + x2 )2

Soluci´ on. Dado que x2 + 1 = 0 no tiene ra´ıces, se trata de una ra´ız compleja de multiplicidad 2. Con lo cual, aplicamos el m´etodo de Hermite y resulta:   d Ax + B Mx + N 1 + = 1 + x2 dx 1 + x2 (1 + x2 )2

´ 358CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Derivamos el cociente y sumamos las fracciones, 1 (1 + x2 )2

=

A(1 + x2 ) − 2x(Ax + B) Mx + N + = 1 + x2 (1 + x2 )2

=

(M x + N )(1 + x2 ) + A(1 + x2 ) − 2x(Ax + B) (1 + x2 )2

calculamos los coeficientes dando valores a x  x=0 →1=N +A    x = 1 → 1 = (M + N )2 + 2A − 2(A + B) x = −1 → 1 = (−M + N )2 + 2A + 2(−A + B)    x = 2 → 1 = (2M + N )5 + 5A − 4(2A + B)   N +A=1       2M + 2N − 2B = 1 a a 3 + 2 −2M + 2N + 2B = 1       10M + 5N − 3A − 4B = 1 4a − 2 · 2a

 N +A=1    2M + 2N + 2A − 2A − 2B = 1 −2M + 2N + 2A − 2A + 2B = 1    10M + 5N + 5A − 8A − 4B = 1

 A=1−N    2M + 2N − 2B = 1 4N = 2 → N = 1/2    6M + N − 3A = −1

luego, Z

dx = (1 + x)2

5.7.

Z

1/2 dx + 1 + x2

Z

 A = 1/2    2M − 2B = 0 N = 1/2    6M − 3A = −3/2

 A = 1/2    B=M N = 1/2    6M = 0

 A = 1/2    B=0 N = 1/2    M =0

  1 d 1/2 x x dx = arc tg x + +C 2 dx 1 + x 2 2(1 + x2 )

Integraci´ on de expresiones trigonom´ etricas

5.7.1.

Integraci´ on de potencias de funciones trigonom´ etricas

Consideremos integrales del tipo: Z senm x cosn x dx existen dos casos para los que se puede resolver la integral, 1.

Si alguno de los exponentes es un n´ umero impar y positivo, se separa uno para el diferencial y el resto se transforma en el contrario, mediante la formula fundamental de la trigonometr´ıa sen2 x + cos2 x = 1, y al contrario se le llama t. El segundo coeficiente puede ser cualquier n´ umero real. Por ejemplo, si m = 2k + 1 , entonces, p sen2k+1 x = sen2k x · sen x = (sen2 x)k sen x = ( 1 − cos2 x)k sen x

´ DE EXPRESIONES TRIGONOMETRICAS ´ 5.7. INTEGRACION 2.

359

Si los dos exponentes son pares positivos, se van rebajando los grados con las siguientes f´ ormulas trigonom´etricas. sen2 α =

1 − cos 2α 2

Ejemplo 5.63. Hallar la integral

Z

cos2 α =

1 + cos 2α 2

sen3 x cos2 x dx

Soluci´ on. Tenemos, Z

3

Z

2

sen x cos x dx = sen2 x cos2 x sen x dx = Z Z = (1 − cos2 x) cos2 x sen x dx = (cos2 x − cos4 x) sen x dx =   Z −t3 t5 cos x = t = − (t2 − t4 ) dt = = + +C = − sen x dx = dt 3 5 =

Ejemplo 5.64. Hallar la integral

Z

− cos3 x cos5 x + +C 3 5

sen3 2x dx (cos 2x)3/2

Soluci´ on. Tenemos, Z

sen3 2x dx = (cos 2x)3/2 = Z

Z

Z

sen3 2x (cos 2x)−3/2 dx = sen2 2x (cos 2x)−3/2 sen 2x dx =

= (1 − cos2 2x)(cos 2x)−3/2 sen 2x dx =  Z  −3/2 1/2 = (cos 2x) − (cos 2x) sen 2x dx =  Z  −1 −3/2 1/2 = (cos 2x) − (cos 2x) (−2 sen 2x) dx = 2   Z −1 t−1/2 1 t3/2 −1 cos 2x = t + +C = (t−3/2 −t1/2 ) dt = = = −2 sen 2x dx = dt 2 2 −1/2 2 3/2 = t−1/2 +

1 t3/2 + C = (cos 2x)−1/2 + (cos 2x)3/2 + C 3 3

Ejemplo 5.65. Hallar la integral

Z

sen4 x dx

´ 360CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS Soluci´ on. Tenemos, Z  1 − cos 2x 2 sen x dx = dx = 2 Z Z 
1 + cos 4x  1 1 1 − 2 cos 2x + 1 − 2 cos 2x + cos2 2x dx = dx = = 4 4 2 Z Z

1 1 = 2 − 4 cos 2x + 1 + cos 4x dx = 3 − 4 cos 2x + cos 4x dx = 8 8 1 4 sen 2x sen 4x  3x sen 2x sen 4x = + − + +C 3x − +C = 8 2 4 8 4 32 Z

Z

4

5.7.2.


2 sen x dx = 2

Integraci´ on de funciones racionales del sen y del cos

R Consideremos las integrales del tipo R(sen x, cos x) dx, donde R es una funci´ on racional. En general, esta integral siempre se puede transformar en una integral racional mediante el cambio tg(x/2) = t. Como resultado de esta sustituci´ on tenemos: tg(x/2) = t → x/2 = arc tg t → x = 2 arc tg t → dx = √

1 + t 2    x/2 

1

2 dt 1 + t2

t 1 x x =√ cos = √ 2 2 2 1+t 1 + t2 2t 1 x t x √ = sen x = 2 sen cos = 2 √ 2 2 1 + t2 1 + t2 1 + t2 2 x 1 t 1 − t2 x − = cos x = cos2 − sen2 = 2 2 1 + t2 1 + t2 1 + t2 sen

 

t

El cambio general tg(x/2) = t siempre resuelve la integral, pero en muchos casos conduce a c´ alculos complicados. Existen tres casos particulares en los que la integral se puede resolver de una manera m´ as f´ acil que con el cambio general. 1.

Si la funci´ on R(sen x, cos x) es impar respecto a sen x, o sea, si R(− sen x, cos x) = −R(sen x, cos x), entonces la integral se racionaliza con ayuda de la sustituci´ on cos x = t

2.

Si la funci´ on R(sen x, cos x) es impar respecto a cos x, o sea, si R(sen x, − cos x) = −R(sen x, cos x), entonces la integral se racionaliza con ayuda de la sustituci´ on sen x = t

3.

Si la funci´ on R(sen x, cos x) es par respecto a sen x y cos x, o sea, si R(− sen x, − cos x) = R(sen x, cos x),

´ DE EXPRESIONES TRIGONOMETRICAS ´ 5.7. INTEGRACION

361

entonces la integral se racionaliza con ayuda de la sustituci´ on tg x = t En este caso, como resultado de esta sustituci´ on tenemos: √

1+ 

t2



 x



 

t

tg x = t → x = arc tg t → dx = sen x = √

t 1 + t2

cos x = √

1 dt 1 + t2

1 1 + t2

1 Ejemplo 5.66. Hallar la integral

Z

1 dx sen x

Soluci´ on. La funci´ on es impar respecto al sen x, por tanto, hacemos el cambio cos x = t, de donde resulta, Z

√

# 1 − t2 −dt −dt = =√ − sen x dx = dt → dx = 2 sen x 1 − Zt Z Z dt 1 −dt −dt √ √ dx = dx = I = dx = 2 2 2 2 1−t t −1 1−t 1−t

1 dx = sen x

"

cos x = t → sen x =

Que es una funci´ on racional,

t2

1 A A A(t − 1) + B(t + 1) 1 = = + = −1 (t + 1)(t − 1) t+1 t−1 (t + 1)(t − 1)

Los coeficientes los calculamos dando valores a x x = 1 → 1 = 2B → B = 1/2 x = −1 → 1 = −2A → A = −1/2 de donde, I=

Z

−1/2 dt+ t+1

Z

1/2 −1 1 1 t − 1 dt = ln |t+1|+ ln |t−1| = ln +C = t−1 2 2 2 t + 1 1 cos x − 1 +C = ln 2 cos x + 1

Ejemplo 5.67. Hallar la integral

Z

dx (2 + cos x − 2 sen x) sen x

Soluci´ on. Hacemos el cambio general tg(x/2) = t, con lo cual resulta, dx =

2 dt 1 + t2

sen x =

2t 1 + t2

cos x =

1 − t2 1 + t2

´ 362CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS de donde, Z

dx = (2 + cos x − 2 sen x) sen x

Z

1 t2

2 dt = 1 + t2

1− 4t 2t − ) 2 2 1+t 1 + t 1 + t2 Z Z 1 + t2 dt = dt = I = t(t2 − 4t + 3) 2 + 2t2 + 1 − t2 − 4t t 1 + t2 (2 +

que es una integral racional, para resolverla la descomponemos en fracciones simples. √ √  4± 4 4±2 4 ± 16 − 12 3 2 = = = t − 4t + 3 = 0 → t = 1 2 2 2 A B C A(t − 3)(t − 1) + Bt(t − 1) + Ct(t − 3) 1 + t2 = + + = t(t − 3)(t − 1) t t−3 t−1 t(t − 3)(t − 1)

Los coeficientes los calculamos dando valores a x

t = 0 → 1 = 3A → A = 1/3 t = 1 → 2 = −2C → C = −1 t = 3 → 10 = 6B → B = 10/6 = 5/3 de donde, I=

Z

5.8. 5.8.1.

1/3 dt + t

Z

Z 5/3 −1 1 5 dt + dt = ln |t| + ln |t − 3| − ln |t − 1| = t−3 t−1 3 3 x x x 5 1 = ln tg + ln tg − 3 − ln tg − 1 + C 3 2 3 2 2

Integraci´ on de funciones irracionales Radicales semejantes

Las integrales del tipo   Z  ax + b mk /nk  ax + b m1 /n1  ax + b m2 /n2 R x, , ,··· , dx cx + d cx + d cx + d se convierten en racionales con el cambio de variable, r ax + b α ax + b =t → = tα donde α = mcm{n1 , n2 , · · · , nk } cx + d cx + d Ejemplo 5.68. Calcular la integral

Z

(2x − 3)1/2 dx (2x − 3)1/3 + 1

´ DE FUNCIONES IRRACIONALES 5.8. INTEGRACION

363

Soluci´ on. Expresamos las ra´ıces con ´ındice com´ un. p √ Z Z Z 6 (2x − 3)3 (2x − 3)1/2 2x − 3 p √ dx = dx = I dx = 3 6 (2x − 3)1/3 + 1 2x − 3 + 1 (2x − 3)2 + 1

y hacemos el siguiente cambio: √ 6 2x − 3 = t → 2x − 3 = t6 → 2 dx = 6t5 dt → dx = 3t5 dt de donde,

Z

Z t3 3t8 5 3t dt = dt = I t2 + 1 t2 + 1 que es una integral racional, para resolverla efectuamos la divisi´ on de los polinomios. I=

t2 + 1 3t6 − 3t4 + 3t2 − 3

3t8 −3t8 − 3t6

− 3t6 3t6 + 3t4

Por consiguiente:

3t4 −3t4 − 3t2

−3t2 3t2 + 3 3

3 3t8 = 3t6 − 3t4 + 3t2 − 3 + 2 2 t +1 t +1

Con lo cual, la integral se transforma en dos integrales, que en este caso ambas resultan inmediatas; la primera por ser polin´ omica, y la segunda por ser elemental. Z

Z

3t7 3t5 3t3 3 dx = − + − 3t + 3 arc tg t + C = t2 + 1 7 5 3   1 1 1 7/6 5/6 3/6 1/6 1/6 = 3 (2x − 3) − (2x − 3) + (2x − 3) − (2x − 3) + arc tg(2x − 3) +C 7 5 3

I=

6

4

2

(3t − 3t + 3t − 3) dx +

5.8.2.

La sustituci´ on trigonom´ etrica

Las integrales de la forma: Z  p  R x, ax2 + bx + c dx,

a 6= 0,

b2 − 4ac 6= 0

se suelen resolver mediante la sustituci´ on trigonom´etrica o bien la sustituci´ on hiperb´ olica. Para ello, formamos previamente el cuadrado perfecto en el trinomio ax2 + bx + c, y realizando la correspondiente sustituci´ on lineal, la integral se reduce a uno de los siguientes tipos: Z Z Z p p p


R t, t2 − p2 dx, R t, t2 + p2 dx R t, p2 − t2 dx,

´ 364CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS A la primera integral se le aplica cualquiera de las sustituciones: t = p sen u,

t = p cos u,

t = p tgh u

a la segunda, las sustituciones: t = p sec u,

t = p cosh u

y a la tercera, las sustituciones: t = p tg u,

t = p senh u

En general, para elegir el tipo de sustituci´ on que se va a aplicar, se tiene en cuenta que de lo que se trata es de eliminar la ra´ız cuadrada, buscando un cuadrado en su interior, para ello se elige la f´ ormula fundamental de la trigonometr´ıa o de la trigonometr´ıa hiperb´ olica que convenga. cos2 α + sen2 α = 1 cosh2 α − senh2 α = 1

→ cos2 α = 1 − sen2 α

→ cosh2 α = 1 + senh2 α

En todos estos casos, el cuadrado se elimina con la ra´ız, ya que el radicando resulta positivo. Z p Ejemplo 5.69. Calcular la integral 1 − x2 dx

Soluci´ on. Aplicamos la sustituci´ on x = sen t y transformamos la integral en una integral trigonom´etrica.  Z p  Z p x = sen t 2 = 1 − x dx = 1 − sen2 t cos tdt = dx = cos tdt Z Z Z 1 + cos 2t t sen 2t 2 = cos t cos t dt = cos tdt = dt = + +C = 2 2 4 2 sen t cos t 1 1 p t + C = arc sen x + x 1 − x2 + C = + 2 4 2 2 de donde, al deshacer el cambio, se ha tenido en cuenta que: p sen t = x → t = arc sen x, cos t = 1 − x2 Z p Ejemplo 5.70. Calcular la integral x2 − 1 dx Soluci´ on. Aplicamos la sustituci´ on x = cosh t y transformamos la integral en una integral hiperb´ olica.   Z p Z p x = cosh t 2 x − 1 dx = = cosh2 t − 1 senh t dt = dx = senh t dt Z Z Z senh 2t t cosh 2t − 1 dt = − +C = = senh t senh t dt = senh2 t dt = 2 4 2 h i p p t 1 2 senh t cosh t 1 − + C = x x2 − 1 − ln x + x2 − 1 + C = 4 2 2 2

´ DE FUNCIONES IRRACIONALES 5.8. INTEGRACION

365

de donde, se han tenido en cuenta las siguientes f´ ormulas: senh2 t =

cosh 2t − 1 , 2

senh 2t = 2 senh t cosh t

y al deshacer el cambio, se ha tenido en cuenta que: i h p cosh t = x → t = arg cosh x = ln x + x2 − 1 , Ejemplo 5.71. Calcular la integral

senh t =

Z p 4x − x2 dx

p x2 − 1

Soluci´ on. Formamos previamente el binomio cuadrado en el radicando.     4x − x2 = − x2 − 4x = − (x − 2)2 − 4 = 4 − (x − 2)2

de donde, aplicando la sustituci´ on x − 2 = 2 sen t, transformamos la integral en una integral trigonom´etrica, en efecto,  x − 2 = 2 sen t = 4x − = 4 − (x − = dx = 2 cos t dt Z p Z p = 4 − 4 sen2 t 2 cos t dt = 4 1 − sen2 t cos t dt = Z Z Z  sen 2t  1 + cos 2t +C = dt = 2 t + = 4 cos t cos t dt = 4 cos2 t dt = 4 2 2 x−2 x − 2 1p = 2t + 2 sen t cos t + C = 2 arc sen 4x − x2 + C = +2 2 2 2 x − 2 x − 2p = 2 arc sen 4x − x2 + C + 2 2 Z p

x2 dx

Z p

2)2 dx



de donde, se han tenido en cuenta las siguientes f´ ormulas: cos2 t =

1 + cos 2t , 2

sen 2t = 2 sen t cos t

y al deshacer el cambio, se ha tenido en cuenta que: x−2 x−2 → t = arc sen , cos t = sen t = 2 2

r

1−

x − 2
2 1 p 4x − x2 = 2 2

Z p Ejemplo 5.72. Calcular la integral 4 + x2 dx Soluci´ on. Aplicamos la sustituci´ on x = 2 senh t y transformamos la integral

´ 366CAP´ITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS en una integral hiperb´ olica.   Z p Z r  x 2 x/2 = senh t dx = = 4 + x2 dx = 2 1+ dx = 2 cosh t dt 2 Z Z Z 1 + cosh 2t 2 = 2 cosh t · 2 cosh t dt = 4 cosh t dt = 4 dt = 2   senh 2t t + + C = 2t + senh 2t + C = =4 2 4 x = 2 arg senh + 2 senh t cosh t + C = 2 ! r r   x 2 x 2 x x 1+ = 2 ln +2 + 1+ +C = 2 2 2 2 √ x + 4 + x2 x p + = 2 ln 4 + x2 + C = 2 2  xp  p 4 + x2 + C = 2 ln x + 4 + x2 + 2

5.9.

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 5

Ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 5 Soluciones en la p´ agina ?? 5.1.

Calcular las siguientes integrales Z 2 a) sen x cos3 x dx

Problemas resueltos del Cap´ıtulo 5 5.1. Soluci´ on.

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 5 Soluciones en la p´ agina 381 5.1.

Cap´ıtulo 6

Aplicaciones de la integral. 6.1.

C´ alculo del ´ area de una figura plana.

En general, para calcular el ´ area de una regi´ on plana: 1.

La dividimos en franjas, infinitamente estrechas, de manera horizontal o vertical,

2.

Suponemos que las franjas son rect´ angulos, con lo cual su a´rea se obtendr´ a como el producto de la base por la altura (la base ser´ a el diferencial correspondiente dx o dy), es decir, da = h dx, o bien, da = h dy.

3.

Calculamos el ´ area total como la suma de las a´reas de los infinitos rect´ angulos: Z b da A= a

Los l´ımites de integraci´ on se determinan estudiando el recorrido del diferencial correspondiente. Si las curvas se cortan dentro del intervalo de integraci´ on, entonces habr´ a que descomponer la integral en dichos puntos y calcular las a´reas por separado. En particular, ´ Proposici´ on 6.1 (Area bajo una curva). El a ´rea del trapecio curvil´ıneo limitado por la curva y = f (x), siendo f (x) ≥ 0, por las rectas verticales x = a y x = b y por el segmento [a, b] del eje Ox viene definido por la integral, Z b A= f (x) dx a

367

CAP´ITULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

368

´ Proposici´ on 6.2 (Area entre dos curvas). El a ´rea de la regi´ on limitada por las curvas y = f1 (x) e y = f2 (x), siendo f1 (x) ≤ f2 (x), y por las rectas x = a y x = b viene definida por la integral, Z

a

b

 f2 (x) − f1 (x) dx

Ejemplo 6.1. Hallar el a ´rea de la regi´ on comprendida entre la par´ abola x = y 2 + 1 y la recta x = 3 Soluci´ on. En primer lugar localizamos el recinto. Podemos utilizar la funci´ on tal como viene definida o bien trasladarla y girarla con objeto de hacer coincidir la recta x = 3 con uno de los ejes de coordenadas. En este ejemplo, utilizaremos la funci´ on tal como viene definida y dividiremos el recinto en franjas horizontales o verticales. (a) Franjas horizontales: y 2 1 x −1 −1

1

2

3

el diferencial de a´rea viene definido por: da = h dy = (3−x)dy = [3−(y 2 +1)]dy = (2−y 2 )dy

−2

A=

Los puntos de corte de ambas curvas son: √ √ x = 3 → 3 = y 2 + 1 → y = ± 2 → (3, ± 2)

Con lo cual el a´rea total ser´ a: √

Z

2

√ − 2

da = 2

Z

√

2

0



y3 (2 − y )dy = 2 2y − 3 2

 √2 0

√ √ ! √ 8 2 2 2 = =2 2 2− 3 3

(b) Franjas verticales: y 2

En este caso los l´ımites de integraci´ on son: x1 = 1 y x2 = 3

1 x −1 −1

1

2

3

−2

A=

el diferencial de a´rea viene definido por: √ da = h dx = (2y)dx = 2 x − 1 dx = 2(x − 1)1/2 dx Con lo cual el a´rea total ser´ a:

Z

1

3

da = 2

Z

3 1/2

1

(x − 1)



2 dx = 2 (x − 1)3/2 3

3 1

=2



√  8 2 2 √ 2 2−0 = 3 3

Ejemplo 6.2. Calcular el a ´rea de la regi´ on comprendida entre las par´ abolas x = y2 + 1 y x = 3 − y2 .

´ ´ 6.1. CALCULO DEL AREA DE UNA FIGURA PLANA.

369

Soluci´ on. En primer lugar localizamos el recinto. Podemos utilizar las funciones tal y como vienen definidas o bien intercambiar la x por la y con objeto de que sean funciones respecto de x. En este ejemplo utilizaremos las funciones tal y como vienen definidas y dividiremos el recinto en franjas horizontales. Los puntos de corte de ambas curvas los obtenemos por igualaci´ on: y 2 + 1 = 3 − y 2 → 2y 2 = 2 → y = ±1

y 1

Es decir, P (2, 1) y Q(2, −1)

x 1

−1

2

el diferencial de a´rea viene definido por:

3

  da = h dx = (xd −xi )dy = (3−y 2 )−(y 2 +1) dy = = (2 − 2y 2 )dy

Con lo cual el a´rea total ser´ a: Z

A=

1

da = 2

−1

Z

1

da = 2 0

Z

1 0

1  1 8 y3 = 4(1 − ) = (2 − 2y )dy = 4 y − 3 0 3 3 2

Tambi´en podemos dividir la regi´ on en franjas verticales, pero en este caso el c´ alculo del ´ area resulta un poco m´ as complicado, ya que tenemos que descomponer la regi´ on en dos regiones. En efecto, A=

Z

2

da1 +

1

=

Z

1

2

Z

3

da2 =

2

√ 2 x − 1dx +

Z

1

Z

2

3

2

2y1 dx +

Z

3

2y2 dx =

2

2 3   √ −2(3 − x)3/2 2(x − 1)3/2 +2 = 2 3 − xdx = 2 3 3 1 2 4 4 8 = + = 3 3 3

Ejemplo 6.3. Calcular el a ´rea de la regi´ on limitada por las gr´ aficas de y = (x − 2)2 e y = 3. Soluci´ on. Para facilitar los c´ alculos podemos desplazar el recinto 2 unidades a la izquierda, con objeto de centrarlo en el eje de ordenadas, con lo cual la regi´ on estar´ a limitada por las gr´ aficas de las funciones y = x2 , e y = 3. y y y = (x − 2)2 y = x2 4 4 3 3 ⇒ 2 2 1 1 x x 1 2 3 4

−2−1

1 2

CAP´ITULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

370

Dividiendo el recinto en franjas verticales, tenemos: da = h dx = (3 − y) dx = (3 − x2 )dx y los l´ımites de integraci´ on: √ x2 = 3 → x = ± 3 de donde, A=

Z

√

3

√ − 3

da = 2

Z

√

3



x3 (3 − x )dx = 2 3x − 3 2

0

√3 0

√ ! √ √ 3 3 =2 3 3− =4 3 3

Tambi´en podemos dividir el recinto en franjas horizontales, y tenemos: √ da = h dy = (2x)dy = (2 y) dy = 2y 1/2 dy de donde, A=

Z

0

3

da = 2

Z

3 0

"

2y 3/2 y 1/2 dy = 2 3

#3

√ =4 3

0

6.2.

C´ alculo del volumen de un cuerpo

6.2.1.

Volumen de un cuerpo cualquiera: M´ etodo de secciones

En general, para calcular el volumen de un cuerpo: 1.

Lo dividimos en secciones, rebanadas o lonchas, infinitamente estrechas, mediante cortes con planos perpendiculares a una direcci´ on determinada (normalmente uno de los ejes de coordenadas o una recta paralela a uno de ellos),

2.

Suponemos que las secciones son cil´ındricas, con lo cual su volumen se obtendr´ a como el producto del a´rea de la base por la altura (la altura ser´ a el diferencial correspondiente dx o dy), es decir, dv = S(x) dx, o bien dv = S(y) dy.

3.

Calculamos el volumen total como la suma de los vol´ umenes de las infinitas secciones: Z b V = dv a

Los l´ımites de integraci´ on se determinan estudiando el recorrido del diferencial correspondiente. En particular,

´ 6.2. CALCULO DEL VOLUMEN DE UN CUERPO

371

Proposici´ on 6.3 (M´ etodo de las secciones). Si el a ´rea de la secci´ on de un cuerpo por un plano perpendicular al eje Ox puede expresarse en funci´ on de x, es decir, S = S(x), siendo a ≤ x ≤ b, entonces el volumen de la parte del cuerpo comprendida entre los planos x = a y x = b, perpendiculares al eje Ox, viene definido por la f´ ormula: Z b V = S(x) dx a

6.2.2.

Volumen de un s´ olido de revoluci´ on: M´ etodo de discos

Al cortar un s´ olido mediante planos perpendiculares al eje de giro las secciones que se obtienen son discos, con lo cual su volumen viene determinado por dv = πr2 dx, o bien, dv = πr2 dy, si el eje de giro es frontera a la regi´ on que gira; y por dv = π(r22 − r12 ) dx, o bien, dv = π(r22 − r12 ) dy, si el eje de giro es exterior a la regi´ on que gira. En consecuencia, Proposici´ on 6.4 (Giro de trapecio curvil´ıneo). Si un trapecio curvil´ıneo limitado por la curva y = f (x), el eje Ox y las verticales por los puntos x = a y x = b gira alrededor del eje Ox, entonces el volumen del cuerpo de revoluci´ on que se engendra viene definido por la f´ ormula: Z b V =π y 2 dx a

Proposici´ on 6.5 (Giro de regi´ on entre dos curvas). Si la regi´ on limitada por las curvas y = f1 (x), e y = f2 (x), siendo 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x), y las verticales por los puntos x = a y x = b gira alrededor del eje Ox, entonces el volumen del cuerpo de revoluci´ on que se engendra viene definido por la f´ ormula: Z b V =π (y22 − y12 ) dx a

6.2.3.

Volumen de un s´ olido de revoluci´ on: M´ etodo de los cilindros

Si dividimos un s´ olido de revoluci´ on mediante cilindros conc´entricos con el eje de giro, cada cilindro con un espesor infinitesimal. El volumen de cada uno de estos cilindros vendr´ a determinado por: dv = 2πrh dx, o bien dv = 2πrh dy. La regi´ on generatriz deber´ a estar a un solo lado del eje de giro, en caso contrario habr´ a que descomponer la integral y hacer los vol´ umenes por separado. Tambi´en habr´ a que descomponer la integral si la regi´ on viene determinada por dos curvas que se cortan dentro del intervalo de integraci´ on. Este m´etodo tambi´en se llama de ((capas)).

CAP´ITULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

372

Ejemplo 6.4. Hallar por el m´etodo de discos y por el de capas el volumen del s´ olido generado al girar la regi´ on comprendida entre la par´ abola x = y 2 + 1 y la recta x = 3 alrededor de la recta x = 3. Soluci´ on. En primer lugar localizamos el recinto. y

Podemos utilizar la regi´ on tal como viene dada o bien trasladarla y girarla con objeto de que el giro de la regi´ on de haga sobre uno de los ejes de coordenadas. As´ı, pueden utilizarse, por ejemplo, las funciones y = −x2 + 2, o bien, y = x2 − 2, y girarlas sobre el eje Ox. En este ejemplo utilizaremos la funci´ on tal como viene definida.

2 1 x −1 −1

1

2

3

−2

1. M´etodo de discos: Hallamos el volumen de un disco elemental dV , y 1

y

y

2 (x, y)

(x, y)

1 x

−1

1

2

y

2

x

⇒

3

1

−1

−2

2

3

4

5

−2

Figura 6.1: M´etodo de discos

dV = πr2 dy = π(3 − x)2 dy = π(3 − y 2 − 1)2 dy = π(2 − y 2 )2 dy Hallamos los l´ımites de integraci´ on para la variable y: →

x=3

3 = y2 + 1

→

√ y=± 2

con lo cual, el volumen total, al ser sim´etrico, ser´ a: V =

Z

√

2

√

− 2

dV = 2

Z

√

0

2

dV = 2π

Z

0

√

2


2 2 − y 2 dy =

 √2 3 5 4y y = 2π = 4 − 4y 2 + y dy = 2π 4y − + 3 5 0 0 √ √ ! √ √ √ √ √ 60 2 − 40 2 + 12 2 64π 2 8 2 4 2 = 2π + = = 2π 4 2 − 3 5 15 15 Z

√

2

2. M´etodo de las capas.


4

´ 6.2. CALCULO DEL VOLUMEN DE UN CUERPO y 1

y

y

2

1 x

1

2

3

y

2

(x, y)

−1

373

(x, y) x

⇒ −1

−2

1

2

3

4

5

−2

Figura 6.2: M´etodo de capas

Hallamos el volumen de un cilindro elemental dV , √ dV = 2πrh dx = 2π(3 − x)(2y)dx = 4π(3 − x) x − 1 dx con lo cual el volumen total ser´ a. Z 3 Z 3 √ V = dV = 4π (3 − x) x − 1 dx = 1

1

 Z √2 x − 1 = → x = t2 + 1 → dx = √ 2t dt = (3 − t2 − 1)t2t dt = = 4π x0 = 1 → t0 = 0; x1 = 3 → t1 = 2 0  3 √2 Z √2 Z √2 5 2t t = (2 − t2 )t2 dt = 8π (2t2 − t4 )dt = 8π = 8π − 3 5 0 0 0 √ √ ! √ √ ! √ √ √ 25 2 23 64π 2 4 2 4 2 20 2 − 12 2 = 8π − − = = 8π = 8π 3 5 3 5 15 15 

t2

Ejemplo 6.5. Calcular el volumen generado al girar la regi´ on comprendida 2 2 entre las par´ abolas x = y + 1 y x = 3 − y , alrededor del eje OY , aplicando el m´etodo de discos y el de capas. Soluci´ on. En primer lugar localizamos el recinto. y 2 1 x −1 −1

1

2

3

−2

1. M´etodo de discos:

Podemos utilizar la regi´ on tal como viene dada o bien intercambiar la x por la y con objeto de que sean funciones respecto de x. En este ejemplo utilizaremos la funci´ on tal como viene definida. Los puntos de corte de ambas curvas los obtenemos por igualaci´ on: y 2 + 1 = 3 − y 2 → 2y 2 = 2 → y = ±1 Es decir, P (2, 1) y Q(2, −1)

CAP´ITULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

374 x y 1

x y

(xi , y) 1

(xd , y) x 2

3

1 x

⇒

−3

−1

−2

−1 −1

1

2

3

Figura 6.3: M´etodo de discos

Hallamos el volumen de un disco elemental dV ,   dV = πr22 dy − πr12 dy = π(x2d − x2i )dy = π (3 − y 2 )2 − (y 2 + 1)2 dy = π(8 − 8y 2 )dy

Los l´ımites de integraci´ on para la variable y son y = ±1. Con lo cual, el volumen, al ser sim´etrico, ser´ a: V =

Z

Z

1

dV = 2

1

dV = 2π

0

−1

Z

1

0

(8 − 8y 2 )dy =

 1   32π 8 8 = = 2π 8y − y 3 = 2π 8 − 3 3 3 0

2. M´etodo de las capas (cilindros).

x y

x y

1

1

(x, y) x 1

2

3

−1

⇒

x −3

−2

−1 −1

1

2

3

Figura 6.4: M´etodo de cilindros Hallamos el volumen de un cilindro elemental dV , dV = 2πrh dx = 2πx(2y)dx = 4πxy dx Ahora bien, el valor de y cambia a partir de x = 2, por tanto tendremos que descomponer la integral en este punto. Los l´ımites de integraci´ on para la variable x son x0 = 1, x1 = 2 y x2 = 3. Con lo cual el volumen total ser´ a: Z 3 Z 2 Z 3 Z 2 √ √ x 3 − x dx x x − 1 dx + 4π dV2 = 4π dV1 + V = 1

2

1

2

´ 6.2. CALCULO DEL VOLUMEN DE UN CUERPO

375

Ambas integrales se resuelven por cambio de variable, I1 =

Z

2

1

 Z 1 x − 1 = t2 = (t2 +1)t2t dt = x = t2 + 1 → dx = 2t dt 0 1  5 Z 1 2 2 2t3 16 2t 4 2 = + = + = (2t + 2t )dt = 5 3 0 5 3 15 0

√ x x − 1 dx =



 Z 0  √ 3 − x = t2 → x = 3 − t2 = (3 − t2 )t(−2t) dt = x 3 − x dx = dx = −2t dt 1 2  0 Z 0 3 5 −6t 2 2t −6 2
8 = (−6t2 + 2t4 )dt = =2− = + =− + 3 5 1 3 5 5 5 1

Z I2 =

3

Con lo cual, el volumen es,

40 160π 32π 16 8
= 4π + = = 15 5 15 15 3 √ Ejemplo 6.6. Dada la regi´ on limitada por las gr´ aficas de y = x, y = 0 y x = 4, obtener, aplicando el m´etodo de discos y el de capas, el volumen del s´ olido formado haciendo girar dicha regi´ on en torno al eje OX y al eje OY . V = 4π(I1 + I2 ) = 4π

Soluci´ on. 1. Giro en torno al eje OX (a) M´etodo de los discos: y 2 1 −1 −2

y

(x, y) x

2 1 ⇒

x

1 2 3 4

x

x

−1 −2

Figura 6.5: M´etodo de discos y cilindros Por el m´etodo de discos, el diferencial de volumen es: dV = πr2 dx = πy 2 dx = πx dx de donde, el volumen total ser´ a: Z 4 Z V = dV = 0

0

4



x2 πx dx = π 2

4

= 8π

0

(b) M´etodo de cilindros. El diferencial de volumen es, dV = 2πrh dy = 2πy(4 − x) dy = 2πy(4 − y 2 ) dy = 2π(4y − y 3 ) dy

CAP´ITULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

376

de donde, el volumen total es, V =

Z

2

dV =

0

Z

2 0

2  y4 2 = 2π(8 − 4) = 8π 2π(4y − y ) dx = 2π 2y − 4 0 3

2. Giro en torno al eje OY . x y 2 (x, y) 1

x y 2 1

⇒

x

1 2 3 4

−1

x

−1

Figura 6.6: M´etodo de discos y cilindros (a) M´etodo de discos. El diferencial de volumen es, dV = π(r22 − r12 ) dy = π(16 − x2 ) dy = π(16 − y 4 ) dy de donde, el volumen total es: V =

Z

2

dV = 0

Z

2

0

2  32 128 π y5 = π(32 − ) = π(16 − y ) dy = π 16y − 5 0 5 5 4

(b) M´etodo de los cilindros. El diferencial de volumen es, √ dV = 2πrh dx = 2πxy dx = 2πx x dx = 2πx3/2 dx de donde, el volumen total es V =

Z

0

4

dV =

Z

4 0

"

2x5/2 2πx3/2 dx = 2π 5

#4 0

=

2π · 2 · 32 128 π = 5 5

Ejemplo 6.7. Obtener el volumen del s´ olido formado al girar la regi´ on 2 limitada por las gr´ aficas de y = (x − 2) e y = 3, en torno a la recta y = 3, aplicando el m´etodo de discos y el de capas. Soluci´ on. Para facilitar los c´ alculos podemos desplazar el recinto 2 unidades a la izquierda, con objeto de centrarlo en el eje de ordenadas. Con lo cual el volumen se generar´ a al girar la regi´ on limitada por las gr´ aficas de y = x2 e y = 3, en torno a la recta y = 3. Tambi´en se podr´ıa voltear la regi´ on con objeto de hacerla girar en torno al eje Ox, sin embargo, la integral resultante en esta caso es un poco m´ as dif´ıcil.

6.3. L´IMITE DE SUMAS

377

y = (x − 2)2

3 2 1

2 yy=x

y ⇒

(xi , y)

x

3 2 1

−2 −1

1 2 3

y

y

(xd , y) x 1 2

Figura 6.7: M´etodo de discos y cilindros 1. M´etodo de discos. Hallamos el volumen de un disco elemental dV : dV = πr2 dx = π(3 − y)2 dx = π(3 − x2 )2 dx = π(9 − 6x2 + x4 ) dx √ Los l´ımites de integraci´ on para la variable x son ± 3, y al ser la regi´ on sim´etrica resulta: V =

Z

√

3

√

dV = 2

− 3

Z

√

3

dV = 2π

0

Z

0

√

3

(9 − 6x2 + x4 ) dx =

√ !  √3 5 √ √ x 3 9 = 2π 9x − 2x3 + = = 2π 9 3 − 2 · 3 3 + 5 0 5 √ √ √ √ 45 3 − 30 3 + 9 3 48π 3 = 2π = 5 5

2. M´etodo de los cilindros. Hallamos el volumen de un disco elemental dV : √ √ dV = 2πrh dy = 2π(3 − y)2 y dy = 4π(3 − y) y dy Los l´ımites de integraci´ on de la variable y son 0 y 3, con lo cual el volumen total ser´ a: Z 3 Z 3 Z 3
√ V = dV = 4π (3 − y) y dy = 4π 3y 1/2 − y 3/2 dy = 0 0 0 #3 " " √ # √ 5/2 √ 2·9 3 48π 3 30 − 18 √ 2y 3/2 3= = 4π = 4π 2y − = 4π 2 · 3 3 − 5 5 5 5 0

6.3.

L´ımite de sumas

Los siguientes l´ımites pueden calcularse mediante integrales: Proposici´ on 6.6. n 1 X i
= f l´ım n→∞ n n i=1

Z

0

1

f (x) dx

CAP´ITULO 6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.

378

Ejemplo 6.8. Calcular el siguiente l´ımite, l´ım

n→∞

√

4n + 1 + · · · + n3/2

√

4n + n

.

Soluci´ on. Este l´ımite lo podemos resolver mediante integrales, en efecto: √ √ √ 4n + 1 + · · · + 4n + n 4n + 1 + · · · + 4n + n = l´ım = l´ım n→∞ n→∞ n3/2 n · n1/2 r √ n n i 1 X 4n + i 1X √ 4+ = = l´ım = l´ım n→∞ n n→∞ n n n i=1 i=1 " #1 Z 1 Z 1 √ 2(4 + x)3/2 2 √ 1/2 4 + x dx = (4 + x) = = (5 5 − 8) = 3 3 0 0 √

0

6.4.

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 6

Ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 6 Soluciones en la p´ agina ?? 6.1.

Problemas resueltos del Cap´ıtulo 6 6.1. Soluci´ on.

Problemas propuestos del Cap´ıtulo 6 Soluciones en la p´ agina ?? 6.1.

Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos Cap´ıtulo 1 Ejercicios de la secci´ on 1.1 (p´ ag. 10) 1.1.1. a) (−∞, −1) ∪ (0, 1) 1.1.2. a) x1 = 1, x2 = 4 1.1.3. a) 1 < x < 4

b) [0, 1] ∪ [5, 6]

b) x1 = 1/2, x2 = 5/4

b) x < 1/2, x > 5/4

ag. 17) Ejercicios de la secci´ on 1.2 (p´ 1.2.1. x = ±3

1.2.2. y1 = 6, y2 = −2.

1.2.3. a) Circunferencia C(−3, 2), r = 1, 1.2.4. a) C´ırculo C(3, 2), r = 2,

b) Punto (1,-2)

c) Sin soluci´ on.

b) Exterior c´ırculo C(2, 1), r = 2

c) Sin soluci´ on.

ag. 39) Ejercicios de la secci´ on 1.3 (p´ 1.3.1. a) No definido, b) 0, c) 2, d)

√

x + ∆x + 1

1.3.2. a) (−∞, −1] ∪ [1, +∞], b) (3, +∞), c) [0, 2] √ √ 1.3.3. a) 0, b) No definido, c) x − 1, d) 0, e) -1, f) x − 1

Ejercicios de la secci´ on 1.4 (p´ ag. 48)

1.4.1. a) 1, −2, 3, −4, 5, . . . , b) −1, −1, 1, 1, −1, . . . , c) 1, 2, 3, 4, 5 . . . 1.4.2. a) (−1)n+1 2n, b)

n 2n−2 , c) n−1 (n + 1)(n + 2) 3

1.4.3. a) converge a ek , b) converge a 0, c) converge a 0 (nota: n! ≤ nn−1 1.4.4. a) no mon´ otona, b) mon´ otona decreciente, c) mon´ otona creciente.

Ejercicios de la secci´ on 1.5 (p´ ag. 77) 1.5.1. a) 1/8, b) 1/6, c) 0 1.5.2. a = 2, b = −1

1.5.3. a) −∞, b) +∞, c) No definido. 1.5.4. a) +∞, b) −∞, c) +∞.

ag. 83) Soluciones a los ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 1 (p´ 1.1. a) (−1, 3), b) (−∞, 4) ∪ (6, +∞), c) [1, 5], d) (−∞, 5/3] ∪ [3, +∞) 1.2. a) C(−2, 1), r = 2, b) fuera, circunferencia, dentro 1.3. a) [1, 3) ∪ (3, +∞) b) [−1, 3)

379

380SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 1.4. a) 1/2 b) 1/2 c) 1/4 c) e3 1.5. a) 4/7 b) 1/2 c) e1/3

Soluciones a los problemas propuestos del Cap´ıtulo 1 (p´ ag. 84) 1.1. a) e7/3

Cap´ıtulo 2 Soluciones a los ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 2 (p´ ag. 139)

2.1.

2.2. 2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

 a) x2 + y 2 ≤ 4 C´ırculo b) x 6= y Plano, salvo y=x     ´ op. d) x2 + 4y 2 < 4 Int. elipse  c) |y| ≤ |x|, x 6= 0 Angulos e) x 6= y Plano, salvo recta y = x f) x + y < 4 Semiplano  2   g) R Todo el plano h) y 6= 0 R2 , salvo eje OX   i) xy < 4 franja entre hip´erbola  a) 2x2 b) 0 c) 4x2 y 2 d) cos (x2 + y 2 − z) e) cos (2x) f) |x|  a) Plano horizontal b) Plano c) Cono d) Semiesfera sup. e) Semielipsoide sup. f) Silla de montar  a) Circunferencias conc´entricas b) Circunferencias conc´entricas    c) Hip´erbola d) Rectas paralelas f) Esfera  e) Plano   g) Paraboloide h) Cono  c) 0 d) No existe a) ln 2 b) 53     f) 0 g) 0 h) − 81  e) 1 i) 3 j) No existe k) No existe l) No existe   m) No existe n) No existe o) 0 p) 2    q) 0 r) 1 s) 0 t) No existe  a) f (0, 0) = 0 b) R2 − {(0, 0)} c) y 6= 1 − x2 , y > 0 d) f (0, y) = y e) x2 + y 2 < 1 f) y > −1 , y 6= −x2  b) y 6= −x c) (x, y) 6= (0, 0)  a) Continua d) |x| 6= 2|y| e) (x, y) 6= (0, 0) f) Continua en (0, −2),  y 6= −2, x 6= ±kπ

ag. 140) Soluciones a los problemas propuestos del Cap´ıtulo 2 (p´ 2.1.

Cap´ıtulo 3 Soluciones a los ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 3 (p´ ag. 200) 3.1.

Soluciones a los problemas propuestos del Cap´ıtulo 6 (p´ ag. 201) 3.1.

381

Cap´ıtulo 4 Soluciones a los ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 4 (p´ ag. 316) 4.1. La funci´ on no es continua en (0, 0) y por tanto no es diferenciable en dicho punto. Apl´ıquese infinit´esimo sen y ∼ y y luego trayectorias rectil´ıneas. En el resto del plano es diferenciable por tratarse de una funci´ on elemental. 4.2. P1 (0, 0) → punto silla, P2 (−1/6, −1/3) → m´ınimo relativo.

Soluciones a los problemas propuestos del Cap´ıtulo 6 (p´ ag. 317) 4.1. Sea z = f (x, y), hagamos x = x0 + tu1 e y = x0 + tu2 , en consecuencia z = g(t). H´ allese g ′ (0) mediante la definici´ on de derivada y mediante la regla de la cadena e igu´ alense los resultados.

Cap´ıtulo 5 Soluciones a los ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 5 (p´ ag. 366) 5.1. a)

sen3 x sen5 x − +C 3 5

ag. 366) Soluciones a los problemas propuestos del Cap´ıtulo 5 (p´ 5.1.

Cap´ıtulo 6 Soluciones a los ejercicios propuestos del Cap´ıtulo 6 (p´ ag. 378) 6.1. a)

sen3 x sen5 x − +C 3 5

Soluciones a los problemas propuestos del Cap´ıtulo 6 (p´ ag. 378) 6.1.

382SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Bibliograf´ıa [1] Larson - Hostetler “C´ alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica”. Mc Graw Hill, 1992. [2] Claudio Pita Ruiz “Calculo Vectorial”. Prentice Hall Hispanoamericana, Mexico, 1994. [3] Robert G. Bartle “Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico”. Editorial Limusa, S.A. M´exico, 1982.

383

´Indice alfab´ etico Binomio de Newton, 182 Campo escalar, 88 vectorial, 89 Composici´ on de funciones, 27, 96 vectoriales, 97, 268 Concavidad, 194 Continuidad, 58 en dos variables, 113 Crecimiento, 192 Curvas de nivel, 105 Derivadas direccionales, 219 parciales, 203 cruzadas, 215 de ´ ordenes superiores, 214 notaci´ on vectorial, 209 Diferenciabilidad, 225 Diferencial, 231 Distancia: entre n´ umeros reales, 9 entre puntos del espacio, 12 entre puntos del plano, 11 Dominio, 20, 89 impl´ıcito de una funci´ on, 25 de varias variables, 89 Entorno, 111 Extremos, 188, 296 condicionados, 305 de una variable, 188 absolutos, 188 relativos, 192

Funci´ on de una variable, 21 dominio impl´ıcito, 25 l´ımite, 49 de varias variables, 86 composici´ on, 27, 96 continuidad, 113 dominio, 89 gr´ afica, 102 l´ımite, 113 operaciones, 94 derivada parcial, 206 dominio, 20 impl´ıcita, 287 inversa, 31 inyectiva, 31 recorrido, 20 vectorial, 88, 259 Gradiente, 241 Hessiano, 300 Infinit´esimos, 125 Integraci´ on cambio de variable, 343 funciones irracionales, 362 funciones racionales, 350 funciones trigonom´etrica, 358 inmediata, 341 m´etodo de Hermite, 357 por partes, 346 sustituci´ on trigonom´etrica, 363 tabla, 342 Integral, 319 384

´INDICE ALFABETICO ´ aplicaciones, 367 ´areas, 367 indefinida, 341 l´ımite de una suma, 324 Jacobiano, 265 L´ımite de funciones, 49 de dos variables, 113 de sucesiones, 41 mediante integrales, 324 Mac Laurin, 176 Multiplicadores de Lagrange, 305 Plano tangente, 245, 248, 249 Primitiva, 341 Puntos de inflexi´ on, 194 Raz´ on de cambio, 210 Recorrido, 20 Recta normal, 251 Regla de Barrow, 337 Regla de la cadena, 267 Sucesi´ on acotada, 48 l´ımite, 41 mon´ otona, 47 Sumas de Riemann, 319 Taylor, 175 c´ alculos aproximados, 185 l´ımites, 187 polinomio, 175 resto, 184 Teorema de Schwartz, 216 fundamental, 334 Vector normal, 245 Volumen, 370 de revoluci´ on capas, 371 discos, 371

385