HENRI CARTAN
CEUVRES Collected Works
VOLUME I
Edited by R. Rernrnert and J-P.Sewe
SPRINGER-VERLAG BERLIN . HEIDELBERG - NEW YORK 1979
ISBN 3-540-09189-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-09189-0 Springer-VerlagNew York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Cartan. Henri: [Sammlung] (Euvres-Collected Works I Henri Cartan. Ed. by R. Kemmert : J-P. Serrc. - Berlin, Heidelberg. New York : Springer. ISBN 3-540-09189-0 (Berlin. He~delberg,New York) ISBN 0-387-09189-0 (New York, Hsidelberg, Berlin) Vol. 1. - 1979. This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part oT the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use oT ~llustrations,broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means and storage in data banks. Under 5 54 of the German Copyright Law where coples are made Tor other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount ofthe fee to be determined by agreement with the publisher. 0 by Springer-Verlag BerlinHeidelberg 1979. Printed in Germany. Pr~nting:Julius Beltz, HemsbachIBergstr. Binding: Konrad Triltsch, Wi~rz,burg 214013130-54 3 2 1
Preface
We are happy to present the Collected Works of Henri Cartan. There are three volumes. The first one contains a curriculum vitae, a <(Breve Analyse des Travaux>>and a list of publications, including books and seminars. In addition the volume contains all papers of H. Cartan on analytic functions published before 1939. The other papers on analytic functions, e.g. those on Stein manifolds and coherent sheaves, make up the second volume. The third volume contains, with a few exceptions, all further papers of H. Cartan; among them is a reproduction of exposes 2 to 1 1 of his 1954155 Seminar on Eilenberg-MacLane algebras. Each volume ist arranged in chronological order. The reader should be aware that these volumes do not fully reflect H. Cartan's work, a large part of which is also contained in his fifteen ENS-Seminars (1948-1964) and in his book "Homological Algebra" with S. Eilenberg. In particular one cannot appreciate the importance of Cartan's contributions to sheaf theory, Stein manifolds and analytic spaces without studying his 1950151, 1951152 and 1953154 Seminars. Still, we trust that mathematicians throughout the world will welcome the availability of the "Oeuvres" of a mathematician whose writing and teaching has had such an influence on our generation. Reinhold Remmert
Jean-Pierre Serre
Curriculum Vitae
Ne a Nancy Elkve a 1'Ecole Normale SupCrieure AgrCge de mathematiques Docteur es Sciences mathematiques Professeur au Lycee Malherbe Caen Charge de cours a la FacultC des Sciences de Lille Charge de cours, puis maitre de confCrences a la Faculte des Sciences de Strasbourg 1936-40 Professeur a la FacultC des Sciences de Strasbourg 1940-49 Maitre de conferences a la Faculte des Sciences de Paris 1945-47 DCtachC pour deux ans a la FacultC des Sciences de Strasbourg 1949-69 Professeur a la Faculte des Sciences de Paris 1940-65 Charge de l'enseignement des mathkmatiques a 1'Ecole Normale SupCrieure 1969-75 Professeur la FacultC des Sciences d'Orsay, puis a 1'Universite de Paris-Sud 1967-70 Prbident de 1'Union MathCmatique Internationale Professeur honoraire a la FacultC des Sciences de Strasbourg, puis a I'UniversitC Louis Pasteur Professeur honoraire a 1'Universite de Paris-Sud. Foreign Honorary Member of the American Academy (Boston), 1950 Foreign Honorary Member of the London Mathematical Society, 1959 Membre de 1'AcadCmie Royale des Sciences et des Lettres du Danemark, 1962 Membre correspondant de 1'AcadCmie des Sciences (Institut de France), 1965 AssociC Ctranger de 1'Academia di Scienze, Lettere et Arti di Palermo, 1967 Honorary Member of the Cambridge Philosophical Society, 1969 Foreign Member of the Royal Society of London, 1971 Membre correspondant de 1'AcadCmie des Sciences de Gottingen, 1971 Membre correspondant de 1'Academie des Sciences de Madrid, 1971 Foreign Associate of the National Academy of Sciences (USA), 1972 Membre de 1'AcadCmie des Sciences (Institut de France), 1974 Membre correspondant de 1'AcadCmie Bavaroise des Sciences, 1974 Membre associe de 1'Academie Royale de Belgique (classe des Sciences), 1978 Medaille d'or du Centre National de la Recherche Scientifique, 1976. Docteur honoris causa de 1'Ecole Polytechnique Federale de Zurich (1955), des Universites de Munster (1952), Oslo (1961), Sussex (1969), Cambridge (1969), Stockholm (1978). 1904 (8 juillet) 1923-26 1926 1928 1928-29 1929-31 1931-35
Brkve analyse des travaux*
I. Fonctions analytiques
1) Fonctions d'une variable complexe C'est a elles que sont consacres mes tout premiers travaux. Quelques Notes aux Comptes Rendus se rapportent a la fonction de croissance de Nevanlinna et a la repartition des valeurs des fonctions meromorphes. Dans ma These [3], j'ai reussi a prouver, en la precisant, une inegalite conjecturee par Andre BLOCH: pour tout nombre reel h>O, les points du plan complexe ou un polynbme unitaire de degre n est, en valeur absolue, au plus egal a h" peuvent Gtre enfermes dans des disques dont la somme des rayons est au plus Cgale 21 2 eh (e = base des logarithmes neperiens). J'ai montre de plus que l'on peut considerablement generaliser ce resultat; cette generalisation a Cte ensuite reprise et utiliske par Ahlfors. L'inCgalitC de Bloch s'est rCvClCe un instrument precieux dans l'etude de la repartition des valeurs d'une fonction analytique. Dans [25], j'ai etudie la croissance d'un systeme de fonctions holomorphes, c'est-a-dire, en fait, d'une application holomorphe dans un espace projectif, generalisant a cette situation les theoremes de NEVANLINNA. Cette etude a kt6 reprise, d'une f a ~ o nindkpendante, par Hermann et Joachim WEYL. C'est dans ma These [3] que j'ai Ctudie les familles normales d'applications holomorphes d'un disque dans l'espace projectif Pn(@) prive de n 2 hyperplans en position genkique. Ce sujet semble redevenu d'actualite a la suite de quelques travaux recents (notamment de P. KIERNANet S. KOBAYASHI,Nagoya Math. J. 1973).
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2) Probl2mes d'itkration et de limite pour les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes ([I41, [24], [29]) J'ai notamment prouve le resultat suivant: soit D un domaine borne de a)",et soit f une application holomorphe D-D. Si, dans l'adherence de la suite des itCrees fk,il existe une transformation dont le Jacobien n'est pas identiquement nul, f est necessairement un automorphisme de D. Ce resultat est susceptible de nombreuses applications; M. HER* l'a utilise avec succes a diverses occasions. En voici une application immediate [24]: pour n = I, s'il existe un point a du plan complexe @, hors de D, et une courbe fermee de D dont l'indice par rapport * Caite par H. Cartan en 1973.
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a a soit non nul, si de plus f transforme cette courbe en une courbe dont l'indice est non nul, alors f est necessairement un automorphisme de D. Autre application: pour n quelconque, si f: D+D possede un point fixe en lequel le Jacobien est de valeur absolue Cgale a 1, f est un automorphisme de D.
3) Automorphismes des domaines born6s ([I 31, [20], [33]) Que peut-on dire du groupe de tous les automorphismes holomorphes d'un domaine born6 D de C"? (Cf. aussi 4) ci-dessous). Soit G ( a ) le groupe d'isotropie d'un point a E D, c'est-a-dire le sous-groupe forme des automorphismes qui laissent fixe le point a. Un premier rCsultat est le suivant: I'application qui, a chaque element de G (a), associe la transformation linCaire tangente en a, est un isomorphisrne de G (a) sur un sous-groupe (compact) du groupe linCaire GL(n,@).J'ai prouvC cela a partir d'un lemme t r b simple, qui dit que si une transformation holomorphe f de D dans D (non supposCe bijective) laisse fixe un point a E D et est tangente a 17identitCen a, c'est I'application identique. Ce lemme est aussi valable pour les groupes formels (cf. le livre classique de BOCHNERet MARTIN).I1 a aussi l'avantage de pouvoir s'appliquer tel quel aux fonctions holomorphes dans un espace de Banach complexe de dimension infinie, beaucoup Ctudiees aujourd'hui. Le rCsultat prCcCdent m'a conduit a une dkmonstration t r b simple du theoreme suivant: soient D et D' deux domaines cercles dont I'un au moins est suppose born6 (un domaine D est dit cerclC s'il est stable par toute homothCtie de rapport A tel que (A1 = 1 et s'il contient l'origine); alors tout isomorphisme holomorphe f: D+D1 qui transforme l'origine en l'origine est necessairement linkaire. Ce theoreme Ctait auparavant connu dans des cas particuliers, ou sous des hypotheses restrictives relatives a la frontiere (BEHNKE).I1 est, lui aussi, valable dans un espace de Banach. L'article [13] contient beaucoup d'autres resultats, notamment sur l'existence de developpements en sCries de types particuliers. La dktermination du groupe de tousles automorphismes d'un domainecerclC borne a ete faite completement pour le cas de deux variables dans [20]. A part quelques types spCciaux de domaines cercles (qui sont explicites), le groupe de tous les automorphismes se rCduit au groupe d'isotropie de l'origine. 4) Groupes de transformations holomorphes en gknkral
Le groupe des automorphismes holomorphes d'un domaine born6 D de @" est localement compact: c'est un rCsultat nullement Cvident que j'ai prouvC dans [24]. La question se posait ensuite de savoir si c'est un groupe de Lie. Ce probleme ne doit pas Stre confondu avec le fameux cinquieme probleme de HILBERT,qui du reste n'Ctait pas encore rCsolu a 1'Cpoque (1935). Dans [32], j'ai dCmontrC le thCoreme fondamental suivant: tout ccnoyau>>compact de groupe de transformations holomorphes, dans @",est un noyau de groupe de Lie. I1 en resulte d'une part que le groupe des automorphismes holomorphes
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d'un domaine borne est un groupe de Lie (a parametres reels); d'autre part que le groupe des automorphismes d'une varikte analytique complexe compacte est un groupe de Lie, comme BOCHNERl'a montre plus tard. Quant au theoreme fondamental ci-dessus, publie en 1935, il fut retrouve huit ans plus tard par MONTGOMERY SOUS une forme plus generale, valable pour les groupes de transformations differentiables; la methode de Montgomery est essentiellement la msme, mais en utilisant le thkoreme de Baire il reussit a I'appliquer au cas differentiable.
5) Domaines d 'holomorphie et convexite ([I 61, [23]) La notion de ccdomaine d'holomorphie>>est bien connue aujourd' hui. Dans l'article [16], j'ai pour la premiere fois montre qu'un domaine d'holomorphie posskde certaines proprietes de ccconvexitt>>par rapport aux fonctions holomorphes. Cette notion de ccconvexitt>> s'est, depuis lors, montrke feconde est non et elle est devenue classique. Dans [16], j'ai prouve que la ccconvexitC>> seulement necessaire pour que D soit un domaine d'holomorphie, mais qu'elle est suffisante pour certains domaines d'un type particulier (par exemple les domaines cercles). Qu'elle soit suffisante dans le cas general a etC dkmontre peu En mettant en commun nos idkes, Thullen et moi avons aprks par P. THULLEN. Ccrit le memoire [23] consacre a la theorie des domaines d'holomorphie. La notion de convexite holomorphe s'introduit aussi dans les problkmes d'approximation.
6) Problkmes de Cousin Le premier problkme de Cousin (ou probleme additif de Cousin) consiste a trouver une fonction meromorphe dont on se donne les parties principales (polaires). Le deuxikme problkme de Cousin (ou probleme multiplicatif) consiste a trouver une fonction meromorphe admettant un ccdiviseur,, donne (variete des zeros et des p6les avec leurs ordres de multiplicitC). On sait aujourd'hui que le probleme additif est toujours rCsoluble pour un domaine d'holomorphie, et plus gkneralement pour une ccvarietk de Stein,,. Ce resultat a kt6 prouve pour la premikre fois par K. OKA.Avant Oka, j'avais vu (6.[31]) que le probleme additif pouvait se rksoudre en utilisant l'integrale d'Andr6 WEIL,mais comme a cette Cpoque il manquait certaines techniques permettant d'appliquer l'integrale de Weil au cas general des domaines d'holomorphie, je renongai 5 publier ma demonstration. Par ailleurs, je savais que, dans le cas de deux variables, le premier problkme de Cousin n'a pas toujours de solution pour un domaine qui n'est pas un domaine d'holomorphie. En revanche, pour trois variables, j'ai donne le premier exemple (cf. [34]) d'ouvert qui n'est pas domaine d'holomorphie et dans lequel cependant le problkme additif de Cousin est toujours resoluble; il s'agit de C3 prive de l'origine. Ma methode de demonstration pour ce cas particulier (utilisation des series de Laurent) a et6
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Br6ve analyse des travaux
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9) La notion gknkrale d'espace analytique C'est apres 1950 qu'apparait la nCcessite de generaliser la notion de varietC analytique complexe, pour y inclure des singularites d'un type particulier, comme on le fait en GCometrie algkbrique. Par exemple, le quotient d'une varietk analytique complexe par un groupe proprement discontinu d'automorphismes n'est pas une variCtC analytique en gCnCral (s'il y a des points fixes), mais c'est un espace analytique (cf. [43]). Des 1951, BEHNKEet STEINtentaient d'introduire une notion d'espace analytique en prenant comme modeles locaux des ccrevktements ramifiis,, d'ouverts de Cn;mais leur dkfinition Ctait assez peu maniable. Ma premiere tentative date de mon Seminaire 1951-52 (Expose XIII); j'ai repris cette definition des espaces analytiques dans mon SCminairede 1953-54 en introduisant la notion genCrale d'espace annelk, qui a ensuite CtC popularisCe par SERRE,puis par GRAUERTet GROTHENDIECK. En 1953-54, ma dCfinition conduisait aux espaces analytiques normaux (c'est-a-dire tels que I'anneau associC a chaque point soit intkgralement clos). C'est SERREqui, le premier, attira I'attention sur I'utilitC d'abandonner la condition restrictive de normalitk. Ensuite GRAUERTpuis GROTHENDIECK introduisirent la catkgorie plus gCnCrale des espaces annelCs dans lesquels I'anneau attach6 a un point n'est plus nicessairement un anneau de germes de fonctions mais peut admettre des ClCments nilpotents. J'ai demontre dans [48] un thCoreme de ccprolongement~ des espaces analytiques normaux, suggerC par des travaux de W. L. BAILY,et qui s'applique a la compactification de SATAKEdans la thCorie des fonctions automorphes. 1 0 ) Quotients d7espacesanalytiques ([43], [51], et SCminaire 1953-54) Tout quotient d'un espace annelC X est canoniquement muni d'une structure d'espace annele (ayant une propriCte universelle aisee a formuler). Le probleme suivant se pose: lorsque X est un espace analytique, trouver des critkres permettant d'affirmer que I'espace annelC quotient est aussi un espace analytique. J'ai montrC que lorsque la relation d'equivalence est dCfinie par un groupe proprement discontinu d'automorphismes de X, le quotient est toujours un espace analytique. Puis, dans [51], j'ai donnC un critere valable pour toutes les relations d'equivalence ccpropres, et j'ai etendu au cas des espaces analytiques gkneraux un theoreme prouvC (par une autre mkthode) par K. STEINdans le cas des varietCs sans singularitks, et que voici: si f: X+Y est une application holomorphe, et si les composantes connexes des fibres de f sont compactes, le quotient de Xpar la relation d'iquivalence dont les classes sont les composantes connexes des fibres est un espace analytique. D'autres applications du critere sont donnCes dans [51]. 1 1 ) Fonctions automorphes e t plongements Ayant dCfini le quotient d'un espace analytique X par un groupe G proprement discontinu d'automorphismes, il s'agissait de realiser dans certains cas cet
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Brkve analyse des travaux
espace quotient comme sous-espace analytique d'espaces d'un type simple. Le premier cas que j'ai trait6 est celui ou X est un ouvert borne de @" et ou X/G est compact: en m'appuyant sur des resultats de M. HERVE(repris dans [47]), j'ai prouvC dans [43] que les formes automorphes d'un poids convenable fournissent un plongement de X/G comme sous-espace analytique (fermC) d'un espace projectif. Donc X/G s'identifie B l'espace analytique sous-jacent B une
12) Fibrds holomorphes Les premieres indications relatives B l'utilisation de la thCorie des faisceaux pour 1'Ctude des fibrCs holomorphes remontent B une conference que j'ai faite au SCminaire BOURBAKI (dCcembre 1950). Ma contribution a la thCorie a ensuite simplement consisti en une mise au point, au Colloque de Mexico (1956)' des thCorkmes fondamentaux de GRAUERTsur les espaces fibrCs principaux dont la base est une variCtC de Stein, thCoremes dont la dCmonstration n'Ctait pas encore publiCe mais dont les grandes lignes m'avaient CtC communiquCes par l'auteur. Dans la redaction [49], j'ai donne des dCmonstrations completes.
13) Varie'te'sanalytiques rkelles ([44], [45], [46]) L'un des buts de [44] Ctait de prouver l'analogue des theoremes A et B pour les variCtCs analytiques rCelles, dCnombrables 8 l'infini. A cette Cpoque le thCorkme de plongement de GRAUERTn'ktait pas encore connu; il a pour consCquence que les thCoremes que j'ai CnoncCs pour les varietes plongeables sont, en fait, toujours vrais. A partir de 18 on obtient, par les procCdCs usuels de passage du local au global, une sCrie de rCsultats de caractere global; par exemple, une sous-variCtC analytique fermCe d'une variCtC analytique rkelle (dknombrable a l'infini) peut 6tre dCfinie globalement par un nombre fini d'kquations analytiques. Toutefois, il est une propriCtC (d'ailleurs de caractere local) qui diffirencie le cas rCel du cas complexe: le faisceau d'idkaux d6fini par un sous-ensemble analytique rCel n'est pas toujours coherent, contrairement a ce qui se passe dans le cas complexe; j'en donne des contre-exemples dans [44], et je donne aussi un exemple d'un sous-ensemble analytique A de IR3, de codimension un, tel que toute fonction analytique dans R3 qui s'annule
Breve analyse des travaw
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identiquement sur A soit identiquement nulle. D'autres situations pathologiques sont CtudiCes dans les Notes [45] et [46], ecrites en collaboration avec F. BRUHAT.
11. Topologie algbbrique
1) Fibrks et groupes d'homotopie Dans les Notes [89] et [9C)], en collaboration avec J.-P. SERRE, nous introduisons I'opCration qui consiste 5 cctuer,, les groupes d'homotopie d'un espace X ((par le bas,,, c'est-a-dire a construire un espace Y e t une application f: Y+X de maniere que les groupes d'homotopie nj(Y) soient nuls pour i S n (n entier donne), et que nj(Y)+nj(X) soit un isomorphisme pour i > n . L'on peut choisir pour f une application fibr6e (en construisant avec SERREdes espaces de chemins), et I'on a donc une suite spectrale reliant les homologies de X, de Y et de la fibre. Cette mCthode permet le calcul (partiel) des groupes d'homotopie d'un espace a partir de ses groupes d'homologie.
2) DCtennination des algkbres d'Eilenberg-MacLane H. (17, n) ([9'1.], [92], 1931) Rappelons que K(17,n) dCsigne un espace dont tous les groupes d'homotopie sont nuls, sauf n,, qui est isomorphe a une groupe abClien donne 17. Un tel espace est un espace de HOPFet par suite ses groupes d'homologie foment une algebre graduee H.(17,n). Le probleme du calcul explicite de ces algebres avait CtC pose par EILENBERG et MACLANE.Je suis parvenu a ce calcul par des mCthodes purement algkbriques, basCes sur la notion de ccconstruction,,, et qui permettent un calcul explicite. Les resultats s'knoncent particulierement bien lorsqu'on prend comme anneau de coefficients le corps IF, a p klkments (p premier). Le cas ou p = 2 et ou le groupe 17 est cyclique avait CtC entierement rCsolu par J.-P. SERRE,par une mkthode un peu diffCrente. A l'occasion de ces calculs j'ai Ct6 amene introduire la notion d'algkbre graduCe a puissances diviskes; l'algkbre d'Eilenberg-MacLane possede de telles ((puissances divisCes,,. C'est une notion qui s'est avkree utile dans d'autres domaines, et notamment dans la thCorie des groupes formels (DIEUDONNG, CARTIER). 3) Suite spectrale d'un espace ou opdre un groupe discret ([82], [83]) On considere un groupe G opCrant sans point fixe, de fagon proprement discontinue, dans un espace topologique X. Dans une Note commune, J. LERAY et moi avions envisagC le cas ou le groupe est fini. J'ai CtudiC ensuite le cas gCnCra1, qui a de nombreuses applications. On trouve une exposition de cette question au Chapitre XVI de mon livre c~HomologicalAlgebra,, Ccrit en collaboration avec S. EILENBERG.
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Breve analyse des travaux
4) Cohomologie des espaces homog2nes de groupes de Lie ([86], [87]) I1 s'agit de la cohomologie h coefficients reels d'un espace hornogene Glg, G Ctant un groupe de Lie compact connexe et g u n sous-groupe ferme connexe de G. La methode utilisee est celle de I'ccalgebre de Weil>>d'une algebre de Lie. J'obtiens pour la premiere fois une determination complete de la cohomologie reelle de Glg; il suffit de connaitre la <
> dans l'algebre de Lie de G, et 1'homomorphisrne I (G)+ I (g) (ou I (G) designe l'algebre des polynbrnes sur l'algebre de Lie de G, invariants par le groupe adjoint; de mime pour I (g)). Ces resultats ont etC ensuite repris par A. BORELqui les a en partie etendus au cas plus difficile de la cohomologie coefficients dans IF,. A ce sujet, on peut consulter le rapport de BORELdans le Bulletin de 1'A.M.S. (vol. 61, 1955, p. 397-432).
5) Opkra tions de STEENROD La premiere demonstration de la forrnule du produit pour les cccarres de Steenrod,,, irnproprernent appelee <>puisque c'est WU-WENTSUN qui m'avait propose de prouver cette formule, se trouve donnee dans la une demonstration Note [85]. Son seul merite est d'avoir suggere a STEENROD de la formule analogue .9i(xy) = r.+C .9;(x) .Y;(y) pour les operations de j=k Steenrod modulo p ( p premier impair). Aujourd'hui on a de meilleures demonstrations de ces relations. Dans [94], je determine explicitement les relations rnultiplicatives existant entre les generateurs St; de l'algebre de Steenrod pour p premier impair (le cas p = 2 avait ete trait6 par J. ADEM;le cas ou p est impair a ensuite Cte trait6 independarnrnent par J. Adern au rnoyen d'une rnCthode differente de la mienne).
6) Cohomologie a coefficients dans un faisceau Cette notion maintenant fondamentale, aussi bien en Topologie qu'en Analyse, avait ete introduite par J. LERAYd'une f a ~ o nrelativement compliquee. Dans mon SCminaire de 1950-51 j'en donne la premiere exposition axiomatique, qui est aujourd'hui adoptee (voir par exemple le livre classique de R. GODEMENT). Cette presentation a permis ultkrieurement de faire rentrer la theorie des et de lui faisceaux (de groupes abeliens) dans celle des <> appliquer les mCthodes de 1'Algebre homologique (foncteurs derives, etc. ...). D'autre part, c'est dans le cadre de la cohomologie a valeurs dans un faisceau que j'ai place le theorerne de DE RHAM(relatif au calcul de la cohomologie rkelle d'une variktk differentiable au moyen des formes differentielles), ainsi que la c> de PO IN CAR^ des varietes topologiques, triangulables ou non. d'etudier Ces idCes sont devenues courantes; elles ont permis a P. DOLBEAULT le cornplexe de d"-cohornologie d'une variCtC analytique cornplexe.
Breve analyse des travaux
XVII
111. Theorie du potentiel ([70], [711.1, [72], [73], [74], [75], [84])
C'est sous l'influence de M. BRELOTque je me suis interesse pendant la guerre aux problemes de la theorie du potentiel (potentiel newtonien et generalisations diverses). J'ai utilid d'une maniere systematique la notion d'knergie, en commenqant par prouver le theoreme suivant: I'espace des distributions positives d'knergie finie, muni de la norme dkduite de I'energie, est complet. Ce fut l'occasion d'employer la methode de projection sur un sous-ensemble convexe et complet (dans un espace fonctionnel). Le theoreme precedent suggkra a J. DENYd'introduire en theorie du potentiel les distributions de SCHWARTZ; il prouva que I'espace vectoriel de toutes les distributions d'energie finie (et plus seulement les distributions positives) est complet. J'ai aussi introduit la notion de topologie fine (la moins fine rendant continues les fonctions surharmoniques), qui s'est averee utile notamment dans les questions d'effilement a la frontiere, et, plus recemment, dans les nouveaux developpements axiomatiques de la theorie du potentiel en relation avec les ProbabilitQ. J'ai donne la premiere demonstration d'un theoreme que dksirait BRELOT,et qui se formule ainsi: la limite d'une suite decroissante (ou, plus gkneralement, d'un ensemble filtrant dkcroissant) de fonctions surharmoniques, si elle n'est pas identiquement - 0 3 , ne differe d'une fonction surharmonique que sur un ensemble de capacite exterieure nulle. Enfin, je crois avoir Cte le premier a introduire une theorie du potentiel dans les espaces homogenes [7 11.
IV. Algebre homologique Ecrit entre 1950 et 1953, paru seulement en 1956, le livre ccHomological Algebra, est dii a une longue collaboration avec Samuel EILENBERG.On y expose pour la premi6re fois une theorie qui englobe diverses theories particulieres (homologie des groupes, homologie des algebres associatives, homologie des algebres de Lie, syzygies de HILBERT,etc. ...), en les plaqant dans le cadre general des foncteurs additifs et de leurs foncteurs ((derives>>.Les foncteurs Torn(A,B) (foncteurs derives gauches du produit tensoriel A 8 B) sont introduits dans cet ouvrage, ainsi que les foncteurs Extn(A, B) (foncteurs derives droits du foncteur Hom (A,B)). Auparavant, seul le foncteur Extl (A, R) avait it6 explicitement considCr6 dans la litterature (Eilenberg-MacLane). On montre notamment le r81e qu'ils jouent dans la ccformule de Kiinneth,,, qui est pour la premiere fois enoncee en termes invariants. Cet ouvrage de 400 pages semble avoir servi de catalyseur: il a ete a l'origine de rapides developpements tant en Algkbre pure qu'en Geometrie algkbrique et en Geometrie analytique. Le terme lui-mCme d'ccalgebre homologique>>,donnC comme titre a notre livre, a fait fortune. Dans ce livre nous avions trait6 le cas
XVIII
Brtve analyse des travaux
des modules sur un anneau; mais l'exposition avait Cte conduite de telle sorte qu'elle pouvait immkdiatement se transposer a d'autres cas, comme il Ctait d'ailleurs indiquC dans 1'Appendice a notre livre ecrit par D. BUCHSBAUM. I1 d'introduire et d'Ctudier systCmatiquement les devait revenir a GROTHENDIECK <
V. Divers 1 ) Thkorie des filtres J'ai introduit en 1937 la notion de filtre dans deux Notes aux Comptes Rendus ([61], [62]). Cette notion est devenue d'un usage courant en Topologie gCnCrale, ainsi que celle d'ultrafiltre qui lui est liee. Cette dernikre intervient aussi dans certaines thCories logiques.
2) The'orie de Galois des corps non commutatifs ([79]) La thCorie a ensuite CtC Ctendue aux anneaux simples, notamment par DIEUDONNG.
3) Analyse harmonique I1 s'agit d'un article Ccrit en collaboration avec R. GODEMENT [80]. C'est l'une des premieres prksentations ccmodernes>>de la transformation de Fourier dans le cadre gCnCral des groupes abCliens localement compacts, sans faire appel ala thCorie ccclassique>>. 4 ) Classes de fonctions indkfiniment dkrivables ([63]
[68]) J'ai Ctabli par voie ClCmentaire de nouvelles inCgalitCs entre les dCrivCes successives d'une fonction d'une variable rCelle. Puis, en collaboration avec S. MANDELBROJT,nous les avons appliqukes a la solution dCfinitive du problkme de 1'Cquivalence de deux classes de fonctions (chacune des classes ktant dkfinies par des majorations donnCes des dkrivkes successives).
Brkve analyse des travaux
XIX
5) Extension et simplification d'un thkor6me de RADO([40]) J'ai formule ce theoreme de la maniere suivante: une fonction continue f qui est holomorphe en tout point z ou f(z) = 0 est holomorphe aussi aux points ou f(z) = 0. La demonstration que j'en ai donnee est tres simple et basCe sur la theorie du potentiel. De 18on dCduit le theoreme de RADOSOUS sa forme usuelle (i.e.: une fonction holomorphe qui tend vers zero a la frontiere est identiquement nulle, sous des hypothkses convenables relatives a la frontiere). De plus, sous la forme ou je l'knonce, le theoreme s'Ctend trivialement aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, et meme aux fonctions dans un ouvert d'un espace de Banach.
VI. Collaboration au Trait6 de N. BOURBAKI Pendant vingt ans, de 1935 a 1954, j'ai participk au travail collectif d'klaboration des <<Elementsde mathkmatique, de Nicolas BOURBAKI.Ceci doit etre mentionne dans cette Notice, non pour evoquer ma contribution personnelle qu'il est d'ailleurs bien difficile d'kvaluer, mais pour dire tout l'enrichissement que j'en ai retire. Ce travail en commun avec des hommes de caracteres tres divers, a la forte personnalitk, mus par une commune exigence de perfection, m'a beaucoup appris, et je dois a ces amis une grande partie de ma culture mathematique.
I
Liste des travaux
Reproduits dans les (EWRES: Volume I 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.
Sur quelques thtortmes de Nevanlinna Sur un theortme d'Andre Bloch Sur les systemes de fonctions holomorphes a variktks lintaires lacunaires (These) Un nouveau theortme d'unicite relatif aux fonctions mtromorphes Sur la croissance des fonctions meromorphes d'une ou plusieurs variables complexes Sur la fonction de croissance attachte a une fonction meromorphe de deux variables et ses applications aux fonctions meromorphes d'une variable Sur la derivee par rapport log r de la fonction de croissance T(r;f) Sur les zeros des combinaisons lintaires de p fonctions entieres donntes Sur les fonctions de deux variables complexes Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cercles de M. Carathkodory Les transformations analytiques des domaines cerclks les uns dans les autres Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction meromorphe dans tout le plan Les fonctions de deux variables complexes et le probleme de la representation analytique Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borne D en un domaine interieur a D Sur les varietes definies par une relation entiere Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes Les transformations analytiques et les domaines convexes (avec E. Cartan) Les transformations des domaines cercles bornes Les transformations des domaines semi-cercles bornes Sur les transformations analytiques des domaines cercles et semi-cerclks born& Sur une classe remarquable de domaines Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cercles bornes (avec P. Thullen) Zur Theorie des Singularitaten der Funktionen mehrerer komplexen Veranderlichen Sur les fonctions de plusieurs variables complexes. Piteration des transformations intkrieures d'un domaine borne Sur les zeros des combinaisons lineaires de p fonctions holomorphes donntes Determination des points exceptionnels d'un systeme de pfonctions analytiques de nvariables complexes Sur les groupes de transformations pseudo-conformes Sur les groupes de transformations pseudo-conformes Sur I'iteration des transformations conformes ou pseudo-conformes Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines Les problemes de Poincare et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes Sur lesgroupes de transformations analytiques Sur les fonctions de nvariables complexes: les transformations duproduit topologique de deux domaines bornes Sur le premier probleme de Cousin
Liste des travaux
XXII
Volume II
35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58.
Sur les matrices holomorphes de n variables complexes IdCaux de fonctions analytiques de n variables complexes Sur un cas de prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables complexes IdCaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes Probltmes globaux dans la theorie des fonctions analytiques de plusieurs variablescomplexes Sur une extension d'un theorkme de Rado VariCtCs analytiques complexes et cohomologie (avec J.-P. Serre) Un thtortme de finitude concernant les varittts analytiques compactes Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes VariCtks analytiques reelles et varittes analytiques complexes (avec F. Bruhat) Sur la structure des sous-ensembles analytiques reels (avec F. Bruhat) Sur les composantes irrkductibles d'un sous-ensemble analytique reel Fonctions automorphes et series de Poincart Prolongement des espaces analytiques normaux Espaces fibres analytiques Sur les fonctions de plusieurs variables complexes: les espaces analytiques Quotients of complex analytic spaces Probltmes d'approximation dans la theorie des fonctions analytiques Faisceaux analytiques coherents Some applications of the new theory of Banach analytic spaces Sur le theoreme de preparation de Weierstrass Sur I'anneau des germes de fonctions holomorphes dans un espace de Banach Sur les travaux de K. Stein Domaines bornts symttriques dans un espace de Banachcomplexe
Volume I11
59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80.
(avec E. Cartan) Note sur la gtneration des oscillations entretenues Sur les transformations localement topologiques Theorie des filtres Filtres et ultrafiltres Sur les intgalitks entre les maxima des dCrivtes successives d'une fonction (avec S. Mandelbrojt) Solution du probltme de Carleman pour un intewalle ouvert fini Solution du probltme de Carleman pour un intervalle fermC fini Sur les maxima des derivkes successives d'une fonction (avec S. Mandelbrojt) Solution du problkme d'equivalence des classes de fonctions indtfiniment dtrivables Sur les classes de fonctions dCfinies par des intgalitks portant sur leurs dtrivees successives Sur la mesure de Haar Sur les fondements de la theorie du potentiel La thtorie gCntrale du potentiel dans les espaces homogenes Capacitt exttrieure et suites convergentes de potentiels Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles Theorie du potentiel newtonien: Cnergie, capacite, suites de potentiels ThCorie genCrale du balayage en potentiel newtonien Methodes modernes en Topologie Algebrique Extension de la thtorie de Galois aux corps non commutatifs Les principaux theortmes de la thCorie de Galois pour les corps non commutatifs ThCorie de Galois pour les corps non commutatifs (avec R. Godement) Theorie de la dualite et analrje harmonique dans les groupes abeliens localement compacts
Liste des travaux 81. Sur la notion de carapace en topologie algebrique 82. Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe, notions algebriques preliminaires 83. Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe, etude d'un anneau differentiel ou opere un groupe 84. (avec J. Deny) Le principe du maximum en thkorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique 85. Une thkorie axiomatique des carres de Steenrod 86. Notions d'algebre differentielle; application aux groupes de Lie et aux varittts ou opere un groupe de Lie 87. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibre principal 88. Extension du theoreme des ccchaines de syzygies~ 89. (avec J.-P. Serre) Espaces fibres et groupes d'homotopie. I. Constructions generales 90. (avec J.-P. Serre) Espaces fibres et groupes d'homotopie. 11. Applications 91. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane ki(U,n): I. Methode des constructions 92. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane. I1 93. Algkbres dlEilenberg-MacLane 94. Sur I'ittration des optrations de Steenrod 95. Sur la notion de dimension 96. Reflexions sur les rapports d'Aarhus et Dubrovnik 97. Emil Artin 98. Structural stability of differentiable mappings 99. Les travaux de Georges de Rham sur les varietes differentiables 100. Theories cohomologiques
Non reproduits dans les (EWRES: Seminaires de I'Ecole Normale Supkrieure (publies par le Secr. Math., 11 rue P. et M. Curie, 75005 PARIS, et par W. A. Benjamin, ed., New York, 1967) 1948-49 Topologie algebrique 1949-50 Espaces fibres et homotopie 1950-51 Cohomologie des groupes, suites spectrales, faisceaux 1951-52 Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes 1953-54 Fonctions automorphes et espaces analytiques 1954-55 Algkbres d7Eilenberg-MacLane et homotopie 1955-56 (avec C. Chevalley) GeomCtrie algebrique 1956-57 Quelques questions de Topologie 1957-58 (avec R. Godement et I. Satake) Fonctions automorphes 1958-59 Invariant de Hopf et operations cohomologiques secondaires 1959-60 (avec J. C. Moore) PCriodicitC des groupes d'homotopie stables des groupes classiques, d'aprts Bott 1960-61 (avec A. Grothendieck) Familles d'espaces complexes et fondements de la gkomttrie analytique 1961-62 Topologie differentielle 1962-63 Topologie differentielle 1963-64 (avec L. Schwartz) Theoreme dlAtiyah-Singer sur I'indice d'un optrateur differentiel elliptique
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Liste des travaux
Livres (avec S. Eilenberg) Homological Algebra, Princeton Univ. Press, Math. Series, n019, 1966 -traduit en russe. ThCorie tlementaire des fonctions analytiques, Paris, Hermann, 1961 - traduit en allemand, anglais, espagnol, japonais, russe. Calcul differentiel; formes difftrentielles, Paris, Hermann, 1967 - traduit en anglais et en russe.
Divers Sur la possibilite d'btendre aux fonctions de plusieurs variables complexes la theorie des fonctions n s les fonctions univalentes ou multivalentes~de P. Montel, univalentes, Annexe aux ~ L e ~ o sur Paris, Gauthier-Villars (1933), 129-155. (avec J. DieudonnC) Notes de teratopologie. 111, Rev. Sci., 77 (1939), 413-414. Un thkorkme sur les groupes ordonnes, Bull. Sci. Math., 63 (1939), 201-205. Sur le fondement logique des mathtmatiques, Rev. Sci., 81 (1943), 2-11. (avec J . Leray) Relations entre anneaux d'homologie et groupes de PoincarC, Topologie Algtbrique, Coll. Intern. C.N.R.S. n012 (1949), 83-85. Nombres reels et mesure des grandeurs, Bull. Ass. Prof. Math., 34 (1954), 29-35. Structures algebriques, Bull. Ass. Prof. Math., 36 (1956), 288-298. (avec S. Eilenberg) Foundations of fibre bundles, Symp. Intern. Top. Alg., Mexico (1956), 16-23. Volume des polytdres, Bull. Ass. Prof. Math., 38 (1958), 1-12. Nicolas Bourbaki und die heutige Mathematik, Arbeits. fiir Forschung des Landes NordrheinWestfalen, Heft 76, Koln (1959). Notice necrologique sur Arnaud Denjoy, C. R. Acad. Sci. Paris, 279 (1974), Vie Acadtmique, 49-52 (= Asterisque 28-29, S.M.F., 1975, 14-18).
Exposb au Skminaire Bourbaki (Les numeros renvoient a la numerotation globale du Seminaire) 1,8,12. Les travaux de Koszul (1948-49) 34. Espaces fibres analytiques complexes (1950) 73. MCmoire de Gleason sur le 5e probleme de Hilbert (1953) 84. Fonctions et varietes algebroi'des, d'apres F. Hirzebruch (1953) r der analytisch vollstandigen Raume<< 115. Sur un mtmoire intdit de H. Grauert: ~ Z u Theorie (1955) 125. Thtorie spectrale des C-algebres commutatives, d'apres L. Waelbroeck (1956) 137. Espaces fibres analytiques, d'apres H. Grauert (1956) 296. These de Douady (1965) 337. Travaux de Karoubi sur la K-theorie (1968) 354. Sous-ensembles analytiques d'une variete banachique complexe, d'apres J.-P. Ramis (1969)
Table des Matieres
Volume I
Preface . . . . . . . . . Curriculum vitae . . . . Breve analyse des travaux Liste des travaw . . . . .
.................................. .................................. .................................. ..................................
V VII IX XXI
1. Sur quelques thtoremes de Nevanlinna, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences deParis, 185,1253-1255 (1927) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . Sur un theoreme d'Andre Bloch, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 186,624-626 (1928) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sur les svstemes de fonctions holomorphes a varietes lineaires lacunaires (These), Annales Scientifiques de I'Ecole Normale Superieure, 45,255-346 (1928) . . . . . . 4. Un nouveau theorkme d'unicite relatif aux fonctions meromorphes, Comptes Rendus de 1'Acadtmie des Sciences de Paris, 188,301-303 (1929) . . . . . . . . . . . . . . 5 . Sur la croissance des fonctions mtromorphes d'une ou plusieurs variables complexes, Comptes Rendus de I'Academiedes Sciences de Paris, 188,1374-1376 (1929) . . . . 6 . Sur la fonction de croissance attachee a une fonction meromorphes d'une variable, Cornptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 189,521-523 (1929) . . . . . 7 . Sur la derivee par rapport a log r de la fonction de croissance T(r;fJ,Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 189,625-627 (1929) . . . . . . . . . . . . . . 8. Sur les zeros des combinaisons lineaires de p fonctions entieres donnees, Comptes Rendusde I'AcademiedesSciencesde Paris, 189,727-729(1929) . . . . . . . . . . 9 . Sur les fonctions de deux variables complexes, Bulletin des Sciences Mathematiques,54,99-116(1930). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cercles de M. Caratheodory, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 190,354-356 (1930) . . . . . 11. Les transformations analytiques des domaines cercles les uns dans les autres, Comptes Rendus de 1'Acadtmie des Sciences de Paris, 190,718-720 (1930) . . . . . . . . . . 12. Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction mtromorphe dans tout le plan, Comptes Rendusde I'Academiedes Sciencesde Paris, 190,1003-1005 (1930) . . . . . . . . . 13. Les fonctions de deux variables com~lexeset le ~ r o b l k m ede la re~rtsentation analytique, Journal de Mathematiques pures etappliqukes, 9e serie, 10,l-114 (1931) 141 14. Sur les fonctions de deux variables complexes: les transformations d'un domaine borne D en un domaine interieur a D, Bulletin de la SociCtt mathematique de France, 58, 199-219(1930) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 15. Sur les varittes dCfinies par une relation entikre, Bulletin des Sciences Mathkmatiques, 55,24-32et47-64(1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 16. Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes, Bulletin 303 de la SocietC mathematique de France, 5 9 , 4 6 4 9 ( 1 9 3 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . 17. Les transformations analytiques et les domaines convexes, Association fran~aisepour I'avancement des sciences, Nancy, 30-31 (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 18. (avec E. Cartan) Les transformations des domaines cerclts bornis, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 192,709-712 (1931) . . . . . . . . . . . . . . 329
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Table des Matieres
19. Les transformations des domaines semi-cerclts bornes, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 192,869-87 1 (193 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. Sur les transformations analytiques des domaines cercles et semi-cercles bornes, Mathematische Annalen, 106,540-573 (1932) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Sur une classe remarquable de domaines, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences deParis, 192,1077-1079 (1931) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cercles bornes, Congres International des Mathematiciens, Ziirich, vol. 2,57-59 (1932) . . . . . . . . . . . . 23. (avec P. Thullen) Zur Theorie des Singularitaten der Funktionen mehrerer komplexen Veranderlichen, Mathematische Annalen, 106,617-647 (1932) . . . . . . . . . . . . 24. Sur les fonctions de plusieurs variables wmplexes. L'iteration des transformations intkrieures d'un domaine bornC, Mathematische Zeitschrift, 35,760-773 (1932) . . . 25. Sur les zeros des wmbinaisons lineaires de p fonctions holomorphes donnees, Mathematica,Cluj,7,5-29 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. DCtermination des points exceptionnels d'un systtme de p fonctions analytiques de n variables wmplexes, Bulletin des Sciences Mathematiques, 57,333-344 (1933) . . . 27. Sur les groupes de transformations pseudo-wnformes, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 196,669-671 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. Sur les groupes de transformations pseudo-wnformes, Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 196,993-995 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. Sur I'iteration des transformations conformes ou pseudo-conformes, Compositio Mathematica, 1,223-227 (1934) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30. Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de deux domaines, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 199,925-927 (1934) . . . . . 31. Les probltmes de Poincari et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes, Comptes Rendus de I'Acadkmie des Sciences de Paris, 199, 1284-1287 (1934) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Sur les groupes de transformations analytiques, Collection a la memoire de Jacques Herbrand, Hermann, Paris (1936) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. Sur les fonctions de n variables wmplexes: les transformations du produit topologique de deux domaines bornCs, Bulletin de la SocittC mathematique de France, 64,37-48 (1936) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. Sur le premier probleme de Cousin, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 207,558-560 (1938) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volume 11 35. Sur les matrices holomorphes de n variables wmplexes, Journal de Mathematiques pureset appliquees, 19,l-26 (1940) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. IdCaw de fonctions analytiques de n variables complexes, Annales Scientifiques de I'Ewle Normale Suptrieure, 6 1,149-197 (1944) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. Sur un cas de prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables wmplexes, Annales Academiae Scientiarum Fennicae, series A, 61,3-6 (1949) . . . 38. IdCaux et modules de fonctions analytiques de variables wmplexes, Bulletin de la SocittCmathtmatique de France, 78,29-64 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39. Problemes globaux dans la theorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, Congrts International des Mathematiciens, Cambridge, vol. 1, 152-164 (1950). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. Sur une extension d'un thCortme de Rado, Mathematische Annalen, 125, 49-50 (1952). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. Varittes analytiques complexes et cohomologie, Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 41-55 (1953) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
539 565 614 618 654 667 669
Table des Matitres
XXVII
42. (avec J.-P. Serre) Un thtoreme de finitude concernant les varittes analytiques compactes, Comptes Rendus de 1'AcadCmie des Sciences de Paris, 237, 128-130 (1953) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. Quotient d'un espace analytique par un groupe d'automorphismes, Algebraic Geometry and Topology, A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton University Press,9&102(1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44. Varietts analytiques reelles et varietes analytiques complexes, Bulletin de la SocietC mathematique de France, 85,77-99 (1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45. (avec F. Bruhat) Sur la structure des sous-ensembles analytiques reels, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 244,988-991 (1957) . . . . . . . . . . 46. (avec F. Bruhat) Sur les composantes irrkductibles d'un sous-ensemble analytique reel, Comptes Rendus de I'Acadtmie des Sciences de Paris, 244,1123-1 126 (1957) . . . . 47. Fonctions automorphes et shies de PoincarC, Journal d'Analyse Mathimatique, 6, 169-175 (1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48. Prolongement des espaces analytiques normaux, Mathematische Annalen, 136, 97-llO(1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. Espaces fibres analytiques, Symposium International de Topologia Algebraica, Mexico,97-121(1958) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. Sui les fonctions de plusieurs variables complexes: les espaces analytiques, Congrks International des Mathematiciens, Edingurgh, 33-52 (1958) . . . . . . . . . . . . . 51. Quotients of complex analytic spaces, International Colloquium on Function Theory, TataInstitute, 1-15 (1960) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Problemes d'approximation dans la theorie des fonctions analytiques, Atti della 2a Riunione del Groupement des MathCmaticiens d'expression latine, Florence, 24-29 (1961) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. Faisceaux analytiques cohkrents, Centro Internazionale Matematico Estivo, Varenna (1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. Some applications of the new theory of Banach analytic spaces, Journal of the London Mathematical Society, 41,70-78 (1966) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. Sur le thkorerne de preparation de Weierstrass, Arbeitsgemeinschaft fur Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen, Wissenschaftliche Abhandlung, Band 33, 155-168 (1966) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. Sur I'anneau des germes de fonctions holomorphes dans un espace de Banach, Stminaire sur les espaces analytiques, Editions de 1'AcadCmie de la Republique socialiste de Roumanie,Bucarest, 129-135 (1971) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57. Sur les travaux de K. Stein, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universitat Munster (1973) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58. Domaines bornes symetriques dans un espace de Banach complexe, Publicado en (
59. (avec E. Cartan) Note sur la generation des oscillations entretenues, Annales des P.T.T., 14,1196-1207 (1925) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. Sur les transformations localement topologiques, Acta scientiarum mathematicarum, Szeged, 6,85-104 (1933) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61. Theorie des filtres, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 205, 595-598 (1937) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62. Filtres et ultrafiltres, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 205, 777-779(1937) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Sur les inegalites entre les maxima des derivees successives d'une fonction, Comptes Rendusde1'AcadCmiedesSciencesdeParis,208,414-416(1939) . . . . . . . . . .
921 933 953 957 960
XXVIII
Table des Matieres
64. (avec S. Mandelbrojt) Solution du probltme de Carleman pour un intervalle ouvert fini, Comptes Rendus de I'Acadtmie des Sciences de Paris, 208,555-558 (1939) . . . 65. Solution du probleme de Carleman pour un intervalle fermC fini, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 208,7 16-7 18 (1939) . . . . . . . . . . . . . . . . 66. Sur les maxima des dtrivtes successives d'une fonction, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 210,431 -434 (1940) . . . . . . . . . . . . . . . . 67. (avec S. Mandelbrojt) Solution du problkme d'equivalence des classes de fonctions indefiniment dtrivables, Acta Mathematica, 72,3 1-49 (1940) . . . . . . . . . . . . 68. Sur les classes de fonctions dCfinies par des inegalites portant sur leurs dtrivtes successives, Publications de I'Institut Mathematique de Strasbourg, Hermann (1 940) . 69. Sur les classes de Haar, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 211, 759-762 (1940) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70. Sur les fondements de la theorie du potentiel, Bulletin de la Societe mathematique de France,69,71-96 (1941) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71. La theorie generale du potentiel dans les espaces homogenes, Bulletin des Sciences MathCmatiques,66,126-132et 136-144 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. Capacitt exttrieure et suites convergentes de potentiels, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 214,944-946 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . 73. Sur les suites de potentiels de masses ponctuelles, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 214,994-996 (1942) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. ThCorie du potentiel newtonien: energie, capacite, suites de potentiels, Bulletin de la Socitttmathematique de France, 73,74-106 (1945) . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. ThCorie gtntrale du balayage en potentiel newtonien, Annales de I'universitC de Grenoble,22,221-280(1946) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76. MCthodes modernes en Topologie AlgCbrique, Commentarii Mathematici Helvetici, 18,l-15(1945) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77. Extension de la thCorie de Galois aux corps non commutatifs, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 224,87-89 (1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . 78. Les principaux thtortmes de la thkorie de Galois pour les corps non commutatifs, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 224,249-25 1 (1947) . . . . . 79. Theorie de Galois pour les corps non commutatifs, Annales Scientifiques de I'Ecole Normale Superieure, 64,59-77 (1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. (avec R. Godement) Theorie de la dualite et analyse harmonique dans les groupes abtliens localement compacts, Annales Scientifiques de 1'Ecole Normale Superieure, 64,79-99 (1947) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. Sur la notion de carapace en topologie algtbrique, Topologie AlgCbrique, Colloque International duC.N.R.S., n012, 1-2 (1949). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe. Notions algebriques prtliminaires, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 226,148-150 (1948) . . . . . . 83. Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe: etude d'un anneau differentiel ou optre un groupe, Comptes Rendus de 1'Acadtmie des Sciences de Paris, 226,303-305 (1948) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. (avec J. Deny) Le principe du maximum en theorie du potentiel et la notion de fonction surharmonique, Actascientiarum mathematicarum, Szeged, 12,81-100 (1950) . . . 85. Une theorie axiomatique des carrCs de Steenrod, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 230,425-427 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. Notions d'algkbre difftrentielle; application aux groupes de Lie et aux varietes ou opere un groupe de Lie, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles, 15-27 (1950) . . 87. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibre principal, Colloque de Topologie, C.B.R.M., Bruxelles, 57-71 (1950) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. Extension du theoreme des ccchaines de syzygies~,Rendiconti di Matematica e delle sue applicazioni, V, 1 1 , l - l l ( 1 9 5 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89. (avec J.-P. Serre) Espaces fibres et groupes d'homotopie. I. Constructions gtntrales, Comptes Rendus de I'AcadCmie des Sciences de Paris, 234,288-290 (1952) . . . . .
Table des Matieres 90. (avec J.-P. Serre) Espaces fibres et groupes d'homotopie. 11. Applications, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 234,393-395 (1952). . . . . . . . . . . 91. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane H(n,n): I. Methode des constructions, Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 40,467-471 (1954) . . . . . 92. Sur les groupes d'Eilenberg-MacLane. 11, Proceedings of the National Academy of Scimces USA, 40,704-707 (1954) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93. Algkbres d'Eilenberg-MacLane, SCminaire H. Cartan, Ecole Normale Superieure, 1954-1955,exposCs 2 9 11, deuxikme Cdition(l956) . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. Sur I'itCration des operations de Steenrod, Commentarii Mathematici Helvetici, 29, 40-58 (1955) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Sur la notion de dimension, Bulletin de I'Association des Professeurs de MathCmatiques,37,1-12(1957). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96. RCflexions sur les rapports d'Aarhus et Dubrovnik, L'Enseignement MathCmatique, 9,84-90 (1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97. Emil Artin, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg, 28,l-5 (1965) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98. Structural stability of differentiable mappings, Proceedings International Conference of Functional Analysis,Tokyo, 1-10 (1969) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99. Les travaux de Georges de Rham sur les variCtCs differentiables, Essays on Topology and Related Topics, Springer-Verlag, 1-1 1 (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100. Theories cohomologiques, Inventiones Mathematicae, 35,261-271 (1976) . . . . . .
XXIX
1.
Sur quelques thborkrnes de Nevanlinna Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris, 185,1253-1255 (1927)
1. Soit f (x)une fo~~ctioll uniforme et meromo~.pl~e dans tout le plan. DCsignons par E ( a ) I'ensemble des racilies de I'Cquatio~rf ( x ) = ( I , chaql~e racine Ctant prise autant de fois que I'exige son ordre d r runltiplicitP ( a peut d'ailleurs &treinfini). I. a, 6 , c , d etant quntre nombres complexes distincls, il ext;stc clu pBrs ~ r n u fbnction f ( x ) non constante pour. laquelle E ( a ) , E ( b ) , E ( c ) , E ( d ) coi'ncident respectivement avec quatre ensembles d0nnP.s. I1 y a un eels dlpxcc.ption, ou il existe deux fonctior~sdistinctes f (x) et g(s);c'est, le cas ou a , 6 , c, d forment une divi.sion l~armoniqrre,soit ( u , 6 , c , d ) = - I , el oil I'on a ( f , g, c, d ) = - 1 , ce q ~ exige ~ i q u e f ( x ) el g ( s ) admc~.tent-a P I h cornme valeurs exceplionnelles. Ce thCorkme a etPl demorrtrPl par M. Nevanlinna ('); or1 1)t.u1le coniplCter de la manikre suivante : convenons de regardel. conlme iderr~iques au sens large deux ensenlhles qlii ne diff'krent que par rln 11olnl)re firli de points. I bis. 11 cxiste nu plus line Ji)nction f ( x ) non rnlionnelle pour lcquelle E ( a ) , E ( b ) , E ( c ) , E ( d ) cozncident au sem large clvec quatrr cnsemhle.f donnes. Le cas d'exception est toujours le mPme, et J'jx)et g(.x)admettent alors a et b comme valeurs exceptionnelles au sells large. Nous allons maintenant ne faire intervenir que t1ni.s valeurs o, h , c. I1 et I1 bis. I1 exi.st~nu plus DEUX Jbnctzons J ' ( x )et g ( x ) non constantes ( O U , non ralionnslles) pour lesquelles E ( a ) , E ( b ) , E ( c ) cozncident nu senr strict (ou large) avec trois e ~ e m b l e sdonnes. 11 n'y a aucun cas d'exceptio~l; irn exemple du cas ou il existe deux fonctions distinctes, n'ayant d'ailleurs ( I ) Acta mathemativa, 48, 1926, p . 3f1~-391; voir aussi Comptes -1925, p. 99.
r.rnrl~/s. 181,
aucune valeur except.ionnelle, est donnb par
relativement aux valeurs u =o, b = I , c = m. Certains cas particuliers du thCorbme I1 ont CtC dCmontrCs par M . Nevanlinna. '2. Le principe de la dCmor~stratioride tous ces theorkmes repose sur la proposition suivante, consCquencc~ immCdiate d'un thCor&me de M. Borel ( ' ) : l'identitb
2 ~ ~ ( x ) e c ~o .( ~ ) = 1
oh les Ri(x) designent des fonctions rationrlelles non identiquenlent nulles, et les Gi(x) des fonctions entibres, exige que tous les G, ne diffkrent que par une constante, si toutefois 1'identitC ne se dCcompose pas en plusieurs identitks partielles. Dans le cas des thCorkmes I et I bis, I'existence de deux fonctioas f (x) et g ( x ) satisfaisan t aux conditions de 1'CnoncC conduit a une ideatit.4 de cette forme; de mCme, pour les thCorbmes I1 et I1 bis, l'existence de trois fonctions f(x), g ( x ) , h(x). Dans tous les cas la considCration de cette identit6 permet de conclure. 3. Quelques remarques. - I1 n'existe pas en gCnCral de fonction f (x)pour laquelle E(a), E(b), E(c) coi'ncident au sens strict avec trois ensembles d o n n b . Cela rCsulte du thCorkme I1 bis; car s'il existe une telle fonction pour trois ensembles particuliers, il suffit de changer un nomhre fini de points de ces ensembles pour qu'il n'en existe plus. Les theorbmes I et I1 sont susceptibles de gCnCralisations parallkles a celles du thCorkme de M. Borel. P a r exemple deux ensembles d'ordre fini p pourront Ctre regard& comme identiques, en un sens trks large, s'ils ne diffkrent que par un ensemble d'ordre infkrieur a p (il s'agit de l'ordre d e la suite des points de l'ensemble rangds par ordre de modules croissants). De mCme pour deux ensembles d'ordre infini qui ne diffkrent que par iin ensemble d'ordre fini. Les theorbmes I bis et I1 bis, et leurs gCnCralisations, s'appliquent Cgalement aux fonctions uniformes et mCromorp11es au voisinage d'un point aingulier essentiel isolC, en vertu d'un thCorkme gCnCral (a). ( 1 ) E. BORBL, Sur les zkros des fonctions enti6res ( A c t a malhematica. 20, 1897, p. 357-396. ( 2 ) Voir, par exemple, Anons B ~ o c a ,Memorial des Sciences mathematiques, fasc. XX, p. 17.
( 3 ) J'ajouterai, en terminant, que le theoreme 11, par exemple, peut Ctre complCtC par des thCor6mes analogues a ceux de Schottky et de M. Landau relativement au thCorkme de M. Picard. 11 est Cgalement la source d'un crit6re de familles complexes normales, qui permettra de prkciser sa portde en ce qui concerne les fonctions mCromorphes.
Sur un thhrkme d'Andr6 Bloch Cornptes Rendus de I'Aademie des Sciences de Paris 186,624-626 (1928)
1. M. A. Blocti ( ') a CnoncC le thCor6me suivant, qui semble devoir jouer un certain r6le en thCorie des fonctions, et qui est restC, Q ma connaissance, sans dkmonstration : Soit
nn polynorne de degrk n dont tous les zeros sont indt~*ieurrrtrl crrcle-unite. A tout nornbre positif r< I et a tout nornbre positif y, sipetit soit-il. on petit faire cotrespondre un nornbre H dependant uniquernent d~ r ~t de -y (nullement des a ni de n), tel que rinkgalite
soit vkriJieepour. torlte valeut. de .c inferieure a r en ~ ~ ~ o d u.rau l ef , peut-P~IP pour celles comprr'ses danr des contours de longueur totule au plus &galea y. 2. J e suis parvenu a trouver une demonstration ClCmentaire qui donne effectivement une valeur pour H , et qui montre qu'il est inutile d e supposer les a infkrieurs a r en module, ni x infCrieur Q r en module. Voici la forme precise que l'on peut donner a u thCorkme : Soient d a m le plan des points P , , P,, . . . P,, distincts ou non, dont b nombre n et la position sont absolument quelconques; soit deplus k un nornbr~ positif urbitraire. Les points M du plan pour lesquels on a l'intgalite
peuvent &re enferrnts a l'intkrieur de circonfkrences en nornbre ciu plus (;gal -
'
( )
Ann. ~ cNorm., . 30 serie, 43, 1926, p. 3 a 1 .
LLIL plus kgale a 2 e k ( PdCsigne la base des logarithmes nCpCriens). Saus cette forme, le thGorhrnc se gCnCralise immhdiatement pour un nombre quelconque de dimensions, les circonferences Ctant remplacees par des hypersphhres dont la somme des rayons est au plus Cgale a 2 ek. 3. Je me propose maintenant de complCter les ttlCorhmes dlunicitC CnoncCs dans une Note prCcGdente ( ' ). d'ai indiquC (') qu'il est impossible de trouver trois fonctions distinctes f ( x ) ,g ( . x ) , h ( x ) de la variable complexe x7 m6rornorphes dans tout le plan, et prenant ensemble la valeur a , ensemble la valeur b, et erlsemble la valeur c (avec les m&mes ordres de multiplicitC). Nous d i r o ~ ~dksornlais, s pour abrCger : cc prenant ensemble trois valeurs u,b , c D. La dCnlonstration de ce t11Corhmereposait sur un thCorkme de M. Borel, qu'on peul knoncer ainsi : lorsqu'on a une ident.it6
d n , et dont la somme des rayons est
oli les F, dksignent des forict,ior~sentikres sans zCro, les Fi se partagent en un certain nombre de groupes (il peut n'y avoir qu'un groupe), et les rapports mutuels dedeux fonctions d'un m&mcgroupe sont des constantes. 4. d'ai pu dkmontrer un thkorhme plus prCcis : ktnnt d o n n t ~une identitt
o i les Fi de'signent des fonctions mkromorphes (tuns tout le plan, s'il est possible de trouver une injnitb de couronnes homothttiques s'tloignant l'in,fini, a l'intbrieur desquelles les Fi n'aient ni pdle n i ztro, les Fi se partagent en groupes, et les rapports ml~tuelsde deux fonctions d'rrn m&megroupe sont des constantes oil ties fonctions (fordre nrrl. 5. A son tour ce ttiCor6me permet d'en dCrnontrer un qui touche directement aux questions d'unicite : Btant donnkes trois fonctions mtromorphes distinctes f ( x ) , g ( x ) , h ( x ) dont une nu plus est d'ordre nid, et une sutte i n j n i e quelconque Re couronnes homoth(!tiques s'klotgnant d l'infini, il existe au plus deux valeurs a et b qu ( I ) Cornptes rendus, 185, 1 9 ~ 2 7 . p. 1253. Voir aussi B ce sujet une Note rkcente cie M . R . N E V A N L I ~ NConcptes A, rrndus, 186, 1978. p. 289. ( 2 ) Thkorerrle I1 de la premiere Note citee.
( 3 ) soient toujorrrs prises ensemble par les trois fonctioru d a m toirtes ces couronnes. De ce thCor6me on dCduit un autre en renversant 1'CnoncC. Bien entendu, dans les CnoncCs prCcCdents, on peut remplacer (( fonctions mCromorphes dans tout le plan u par <( fonctions mCromorphes au voisinage du point Q l'infini )).
Sur les systhmes de fonctions holomorphes a variktks linkaires lacunaires (Thhse) Annales Scientifiques de 1'Ecole Normale Superieure 45,255-346 (1928)
Introduction.
1. mile Borel a demontre [B] identite
( I )
en 1897 l'impossibilite d'une
x, ( x )+ &(x) +. . .i X, , ( x ) = 0,
entre des lonctions e n t i t r e s , sans zkros, de la variable complexe x. Voici, plus precisement, la forme q u e I'on peut donner a son theoreme : Si l'on a une telle identitc;, ou bien les rapports mutuels des fonctiom sont des constantes, - 011 bies les fonctions se partagent en plusieurs grorrpes, la somme des fonctions d'r~n&me groupe est identiquement nulle, et leurs rapports mutuels sont des constantes.
L o r s q u e p = 3, ce theoreme equivaut ( 2 ) a theoreme ~ d e E. Picard : une fonction entiere ne peut admettre d e u x valeurs exceptionnelles finies o. Or, on a comp.1ete le theoreme de Picard en le (( traduisant en ( I )
(2)
Les Iettres placCes entre crochets renvoient a ]'Index bibliographique. En effet, si I'on avsit
X I + X 2 + X,= X XI
0,
la fonction - 2 , par exemple, serait entikre e t ne prendrait aucune des valeurs rCro et un.
termesjinis n, suivant une expression de A. Bloch, c'est-a-dire en etablissant des propositions relatives aux fonctions holomorphes qui admettent deux valeurs exceptionnelles, et sont definies non plus dans tout le plan, mais dans le cercle-unite :je veux parler principalement du thkoreme de Schottky et du theoreme de Landau. Ces derniers peuvent etre Btablis, soit en partant de la fonction modulaire, soit en s'appugant, conformement au point de vue d e E. Borel, sur la theorie de la croissance des fonctions. Enfin P. Montel a demontre qu'une famille de fonctions holomorphes, admettant deux valeurs exceptionnc*lles fixes finies, est normale ('); ce theorbme, d'ou peuvent se deduire tous les precbdents, au moins du point de vue qualitatif, sera deslgne, au cours de ce travail, sous le nom de critkre de P. J!iontel.
2. La (( traduction en termes finis s du theoreme de E. Borel, dans le cas d'un norribre quelconque de fonctions, a ete abordee en 1926 par A. RIoch dans un Memoire paru dans les Annales de P ~ c o l e il'ormnle supkrierrrc [ A ] . Ce geometre est arrive a vaincre en grande partie les rkelles difficultes que presente cette question, et il a obtenu un theoreme qui est une generalisation immediate du theoreme de Scholtky, mais qui se complique du fait de I'existence de cassinguZiers; ces derniers n'ont Pte que partiellement eclaircis. Voici du moins le ~heor'emeobtenu par A. Bloch si I'on fnit abstraction des cas singuliers (') : Soient
<
n fonctions June variable x?holomorphes d a m le cercle 1x1 I , ne s'y nnnulant pas, et dont la somme n'y devient pas kgule d l'unitt. Les termcs constants a , , b , , . . . , e, sont supposks dlferents de l'unitt, et tels ( 1 ) Rappelons qu'une famille de fonctions holomorphes dans un domaine D est dite norrnale dans ce domaine, si, de toute suite infinie de fonctions de la famille, on peut extraire une suite infinie qui converge uniformdment dans tout domaine fermC intdrieur i D, la fonction limite Ctant, soit une fonction holomorphe,,soit la constante infinie. (2) [A], theoreme VIII, p. 309.
que lrr Jolnme d'rrn nornhre qrrclconqrre d'entre eLrx s:f[flre de zdro cr clc l'trnile. ..ilors f c . coe ~ fficients r z , , b , , . . . , e l ( P I , (i'une rnani21r gtn~:rnIe, les coej~icientsdes termes de ciegrL i, a , , h,, . . . , r , ) ndrnettent rlne bornc srtpe'rieure tldpendcrnt uniqrrrrnent de no, 6, , . . . , e , (el de i ) . Cette proposition est d'ailleurs une consequence d u fait suivant, qui constitue, a propremcnt parler, la generalisation d u theorhmc d e Scliottky : dans tout cercle 1x1 F, les fonctions admettent u n e bornc supcrieure qui depend urriquement de ;, a , , h,, . . . , e , .
<
:I. Aprhs ces travaux cle A. Bloch, il manquait encore, dails le cas tl'une idcntite tleBoreljl) i p termes, un theorbme analogue a u crit6re cle P. AIontel tlans lc cas d'une identite i trois termes. C'cst un thcorGr~iecle cc gelire q u e j'ai cherche i etablir, s a n s d'ailleurs m'appuyer s u r les resultats de A. Bloch, qui ne m c paraissaient pas d k ~ n o n t r k s dc fason certaine. J'ai jug8 utile d e reprelidre la ques~iorldhs le debut. Si jc n'ai pas fail subir de grandes modilications ;i la marche gdneralc tles idces, qui Btait, en cjuelque sorte, conforme b la nature tles clioses, j'ai par contre oriente ma dkmonstration dans u n sens un p r u diff'erent, puisqrle A. I3loch s'etait born; i consitltirer dcs systemes de p fonctions prenant tics ~ ~ ( I ~ donrlde~ c I ~ I ' sli f'originr. En rn'affranchissant de cette restriction, j'ai obtenu u n c sorte de crith-e rk. frlrnilkc con~plexcno~.r)zr~lc (?), tlui laissc encore tles cluestions e n suspens 4; au contraire, le cas p = 4 se trouve complPtement lorsque p eclairci (9). Ce ~ i ' c s tIh, bicn t ~ ~ ~ t c i i ccjll'un lu, resultat tl'ordre purement cjualitatif, obtenu en sooimc p i c e i une etude de la croissancc tles fonctions envisagees. Pour arriver h des resultats d'ordre qr~antitatif,il faudrkii t const~.uirecertains sgstCmes d c fonctions automorphes d e plu-
>
cl1L1.1de, Concliu~~s I I ~ ~ o I I I ~ tlirna I I . ~ un ~ ~ ccrtain ~ ~ d o u ~ a i n e sans , .r.drosdams ce d o ~ ~ ~ a i n c . ( ? ) 1'. \Iolltel non~nle fatnille Liornplexe une famille de sysl6mes de k fonctionsf:, ,fQ, . . ., f : , le syn~bolez servanl a designer le syst6me de la famille considCr6. La famillc c o ~ ~ ~ p l eost x e dite r~or.it?trle.;i cliacune des k falnilles f:, f:, . . ., f/3. est norInale. Voir Chap. I V , 3 'r-2. (:J)
sielirs variables, gcneralisant convellable~nenlla fonction modulaire, et 1'011 n'en a pas encore trouvk ( I ) . Dans le Chapitre premier, jc rappelle brievement quelques points fonclamentaux de la thkorie d ~ fonctions s mbromorphes, et jc f'ais une premihre etude de la croissancc tle- fonctions satisfaisanl it unta itlentite de Borel, en vue de la demonslration future du crithre de farhille complexe lorm male. Ce Cllapilrc ne contient riel1 d'essentiellement nouveau. Dans le Chapitre 11, j'etablis un lemme cnonce sans clemonstration par A. Bloch; i l convenait de le dbmontrer, d'autant plus qu'il joue ensuite un rcile capital. I1 est susceptible de diverses generalisations. Le Chapitre Ill conlient la demonstration du resultat fondamental : l'existcnce du critPre defamille complese normale dont j'ai deja p a r k . Dans le Chapitre suivant, je donne quelques exernples des applications dont il est susceptible. Enfin, le Chapitre V est consacre a la resolution de divers problbmes d'unicite dans la theorie des fonctions meromorphes; cette resolution est etroitement liee i l'etude de .certaines identites de Borel. J'indique, en terminant, une application d u critbre de famille complexe normale aux questions d'unicitk. Qu'il me soit permis de remercier M. Paul RIontel de l'interbt qu'il m'a toujours temoigne; j'espbre avoir li1.6 profit, dans la redaction de ce travail, de ses conseils e t de ses critiques arnicales, et je lui exprime ici toute ma respectueuse reconnaissance. 'I.
Index bibliographique. LA]. ,A. BLOCH.- Sur les s ~ s t t ~ n ede s fonctiu~is holomorpl~es i varietes linkaires lacunaires ( A n n . de l1&cole il'ornzale, 31' slrie, t . b3, 1926, p. 309 -362). 1111. 1':. Bonm. - Sur les zeros des fonctions entitres ( A c t n ntathematicn, t. PO, 1897, p . 357-396). [C:J. G. JULIA.- a . Stir les fanlilles de fonctions analytiques de plt~siet~rs kariahles ( A c t a ncathen~atica,t. 47, 1926, p. 53-11 5 ) . ( 1 ) Ce prohll.me semble,lie B celui de I'uniformisation pour les syste~nesd e p fonctions de p bariahles complexes.
SUR LES S Y S T ~ M E SDE FONCTIONS
5
HOLOMORPIIES, ETC.
1). Sur cjuelques pt*oprietes nour-elles des fonctions entieres O I L mero~norphes (Atrn. de l'dcole Normale: 3'; serie, 1. 36. 1919. p. 93. et t. 37, 1920, p. 165). [ D l . S. ~ . ~ A N D E L B R O J T . Les suites de fotlctions holornorphes. Ii.onctions entieres ( C . R. de 1'Acad. des S c . , t. 185, 1927, p. 1098). 1 I.]. 1'. MONTBL. - Le~ottsstir les familles not.rnales de fottctions nnnlytirlcl~s et lectrs applications (Paris, Gauthier-Villars: 1927). [I:]. ROLFNBVANLINNA. - n. Zur Tlleorie der meromorphen P l ~ n k ~ i o ~(l.lr.trr el~ tnathencntica, t. 'cG, 1925, p. 1-99). b. Einige Eindeutigkeitssatze in d,er Tl~eorieder r n e r o ~ ~ ~ o l . 1:11nl,l~he~~ lionen ( A c t a mathernatico, 1. B8, 1976, p. 367-391). r.. Sur les valeurs ercep~ionnellesdes fonctions mCronlorphes tlnns 1111 cercle ( R u l . de In Sor. t ~ t a t hde . France, t . 55, 1927, 13. 32). d . Un theoreme d'unicite relatif aua fonctions uniformes dans le voisinage d'un point singulier essentiel ( C . R. de te7Arad. des Sc., 1. ,181: 1925: p. 97). [ G I . G. P ~ L Y A -. Hestilnnlu~~g einer ganzrn I"t111htio11endlicltrn Gesc:l1lecl1t5 tlurch viererlei Stellen ( M a t . Tidssl
CHAPITRE 1. PR~LIMINAIRES.
I. - Rappel de quelques propositions fondamentales.
5. Nous aurons constamment a utiliser les resultats fondamentaux de la theorie des valeurs moyennes logarithmiques, fondbe par F. et H. Nevanlinna ( I ) . Rappelons-les bri8vement. Soit f ( x ) une fonction meromorphe dans le cercle 1x1 < I . La formule de Jensen s'ecrit (1)
loglf(0) l =
$J
? li
log I f(,s." ) do
-2 log v
*+z al
I*
log -
I.
IbPI
'
en supposant f(o) fini et different de zero; le premier terme du (1)
Voir, par exemple, I'exposC complci dc la thCorie dans [ F , a].
6
HENRl CARTAN.
second membre represente la valeur moyenne de log1f(x)l s u r la circonference, de rayon r < I , ayant pour centre l'origine. Quant aux sommes qui figurent au second membre, elles sont etendues, respectivement, a u x zeros a, et a u x pbles b, de modules inferieurs a r, chaque zero et chaque pble &ant com-ptb autant de fois qu'il y a d'unites d i n s son ordre dc multiplicite.
la relation ( I ) peut s'ecrire ou encore ( 2')
apres avoir pose T ( r , f )= ~ n ( rf,)+ N ( r , f).
La quantite T(r, f ) caracterise l a croissance de la fonction f ( x ) . On montre q u e c'est une fonction convexe de logr, et, par suite (=),une fonction croi-ssante de r. 6. F. et R. Nevanlinna ont demontre la relation suivante, qui gene(') n elant un nombre positif, on pose
+
loga=loga
+
loga = o
sin?[,
a51. 1-20, est si
( ? ) Car si une fonction rp(r), dtfinie pour finie pour. r = o , et convexe en logr, elle est croissante. Soit en evet o < rl < r,, e t prenons r, compris entre o e r r , . On a par hypothZse p ( r ~ ) 1ogr.o 1 y ( r , ) 1ogr1 1 50. logrz 1 I
11 suffit de faire tendre r, vers zCro pour cohclure ?(rl)5?(r2).
ralise la relation ( I ) :
Cette nouvelle forrnule, qu'ils ont appelee formule de Poisson-Jensen, cst - valable pour toul nornbre x de module inferieur b r. Selon I'usage, a, designe le nornbre complexe conjugue de a,. On peut en tirer l'inegalite (cf. [A], J,ernme 4, p. 320)
(4)
'+P
l ~ g l j ( zr -)p l j - - - r n Ir, + , - ~
(',
I)
J
P
v
(I"l=p<")
Pour I'obtenir, il suffit de rernplacer, dans la relation (3), z par pel?, et cle prendre les parties reelles des deux mernbres; il vient
r'- O,X r (x- a,) V
P
et cette relation conduit a l'inegalite (4). Les logarithmes qui figurent au second rnernbre de ( 4 ) et ( 5 ) sont tous positifs, puisque I x,l, 10, I et ( b, I soat inferieurs a r. Si, en particulier, f (z) est holornorphe, le terme disparait, et l'on tire de ( 4 )
7. Limitattbn de m(r,
y).-
2 log I ,.(,r2- -b-pb,)x I P
Supposons f ( x ) holomorphe et sans
. ( e u u ! l i ~ e ~(;)~ )s d q ) u ~ osuo!l:,uoj q xnap a p lua!lonb n p amJoj q SIIOS aqlaul as ~ ! o ~ n aopd suo!lauoj sa:, luapqssod a n b ?)a!.~do~del Jns aasaq uo!leJJsuomap gun am?Joarjl a:, a p auuop e (,) l a l u o a .d
: lueA!ns Ie,lrlaurepuoj amgJoayl a1 urfua suo[addeu - 9 -11 a p anb luepuadap au so~!l!sod salue~suo:,s a p luos slud!:,l~jao:, sal luop ' s ) u a w n 8 ~ eS!O.IJ a p aiuouhlod u n lue)a '!d
umJoj el a p ql!le8au! a u n ' a : , u a ~ ~ n : , a~~ e 'juawale!p?mm! d aAn0.q rro
Pla~ons-nousdans k cas ori les fonctions n'ont p a s de ~Cros; c'est precisement le cas oh nous nous servirons d u theorkme. Nous allons indiquer effectivement u n e borne supkriertre d e If ( x ) I . Designons en effet par m ( r , f ) la limite vers laquelle tend m(r, f ) lorsque I. tend vers un; cette limite existe, puisque m(r, ,f) croit avec I. en restant borne. Appliquons l'inegalitk en y permutant les lettres r et F, puis en faisant tendre p vers u n ; il vient a la limite 1% I-
I + 1. If ( x )I 5 =,
designe I .L- 1. Renlpla~onsf par -!; il vient
S
j) sent nuls, la relation ( . aprks un passage i la limite, Puisqt~eI$(,., f ) et N r.,
Ill
(
(2)
permet d'ecrire,
l , i ) ~ l l l ( , ~ j ) - l of(o)l, g ~
.'
II vient en definiti\.e
rt, si m j ~f ,) est infkrieur au nombre fixe AI,
On en deduit q u e les fonctions f ( x ) forment une f a n ~ i l l enormale. En effet, si If ( o ) l admet u n e borne superieure valable pour toutes les fonctions de la famille, l'inegalitt. de droite montre q u e 1 f(x)I admet line borne superieure qui n e depend q u e de r; dans le cas contrairc. on peut extraire de Is famille u n e suite inlinie cle fonctions, telle
HENBI CARTAN.
I 0
que les valeurs a l'origine des fonctions de cettc suite tendent vers l'infini, et l'inegalite de gauche montre alors que ces fonctions convergent uniformernent vers l'ilifini dans tout cercle 1x1
on ohtient ainsi, pour log If ( 2 ) 1, u n s limitation interessante, car elle est effectivement atteinte avec la fonction
un calcul facile montre en effet que l'on a tn(~,.f)=~
pour cette fonction.
11. - g t u d e de l a croissance de p fonctions holomorphes, sans zkros,
dont la somme est identique B un.
9. L'6tude qlie nous allons faire ici servira eilsuile i la demonstration du crilPre dc farnille complexe norrnale exposec au Chapitre 111. Soient, dans le cercle-unite,p fonctions F, ( x ) , F,(x), . . . , F,,(x), holomorphes, sans zkros, verifiant l'identitk
Reprenant une methode de dkmonstration ( ' ) qui, rlans le cas ou les fonctions F, sont dkfinies dans tout le plan, conduit au theortrme de li:. Borel (cf. 5 1), rnais l'appliquant i des fonctions definies seulement dans le cercle-unile, nous trouverons une borne superieure pour m ( r , F;). ( I ) J z rn'inspirerai d'une d e m o n s ~ r a t i o ndu thCorC~nede E. Borel donntie p a r R. Nevanlinna ( [ F , b ] . p. 381)
SUR LES S Y S T ~ M E SD E FONCTIONS
HOLOBIORPl1ES,
ETC.
II
Supposons q u e l'on ait 1:,
17,
clF, c/x
1,
-
tlx
autrement dit, supposons q u e les fonctions P i , F,, . . . , F, ne soient liees par aucune relation lineaire homogene i coefficients constants non tous nuls (I). Differentions p - I fois l'identite (9); n o u s o b t e n o n s u n systeme de relations qu'on peut 6crire
2
F'
F,+
F1+ 1i:;
[: = F!+. . .+ 1,1, F2+. + --F;~1; =: .. F,, "',a
et qu'on peut considerer comme un systbme d e p equations lineaires par rapport a u x p inconnues F , , F,, . . . , F,,. Le determinant deu coefficients n'est aulre qile 1;' I -
A(.x) =
I?,
Fi,
17%
.
F'
2
F,)
. . . . . . . . . ... J;:p-i I FiPII F(P--i d P - ... --
-~ -.
D F, F2 . . F,,
)
El.
P,
I:,,
En appliquant la rkgle d e Cramer, on trouve.
en designant par Ai(x) le mineur d u determinant A, relatif a u i'""' 4 6 ment de la pre'mikre ligne. ( 1 ) Si D(x) Btait identic~uementnul, o.n se ramknerait a une identit&, de la meme forrne que ( g ) , entre o n nornbre moindre de fonctions.
! ( x ) v U O ! J 3 U O j el
ne
~(p
'.l)
s u d ~ s a ~( 0u ) v ?s *aj!ns ~ r : d'ja
'~IIU
e uo 6 o y d ~ o m o l o jsa y alIa ammo:,
r: ( 2 ) uo!jelaJ e[ suonbqdde s!qq -(v L ~ ) awp na!I
w a p a:,uasa.ld el a p p ~ 0 q e . pjua!no~d plln:,g!p
sun
- ( ~ ) t u 8 o ly + alqe~edmoajsa aJqmaw puoaas a1 a n b J!OA aJ!ej a p ' ~ 0 ~ ua 8'lsa no!l -r:.~?suow?pel a p asp!,? .(.r)zcl ~aj!m![ ap a q j a m ~ a deA al!le8au! allan
d
- o e ~ ~d bsap a p u e ~ 9sllltl el
R
'.I
'(.r)tir ~ e (!J d *.r)ul s y y all alalvx anbet13 a nod 'lueuS!sap ua 'la
oo b s a y t l ~ o ~ u o suo!lauoj ~qu~ xnap luela
( x ) <j' la
(x)'J 'aj!ns ~ r : d
alrrap!,i;! al!leiiau!,l r: t ~ o'sj!)!sod saJqwou xnap lueja q l a
11
'JO
'NVLUV3 lklKd11
Z1
SUR 1.ES S Y S T ~ M E SDE FONCTIONS
On en deduit, puisque N ( r ,
HOLOMORPHES,
I
ETC.
3
i)est positif o a nul.
et, en portant dans (to),
Ai(x) et A ( 2 ) sent des pnlynomes en
F;, 17; --, -, F/, F/,
.,
'c, h prenanr les F/,
2, . . . , p; d'autre part, nous pouvons appliquer I'inegaF' de s m t e que, designant z I par r, et perlit6 ( 7 ) 1 ... ,
valeurs
I,
(<1, / I;
mutant dan's l'inbgalit,6 ( 7 ) les lettres r. et F, nous trouvons des inkgalit& de la forme
Q ie t H designant des polynomes d e p +
arguments, don1 Ies coefficients sont ties constantes positives ne dependant q u e d e p . 4Prenons les log des deux membres dans chacr~nedes i~lbgalitesprkcedentes, et servons-nous de I'inegalite presque evidente 2
les ( I ; At.ant positifs. On trouve +
F i-
. . .. logX(p. l',)].
F , ) . . . ., I & x ( ~ ,l;,,)
I
,
[J, et V dbsignant des fonctions linbaires d e p + 2 arguments, dent les coefficients sont des constantes positives ne dependant que tlep. On
peut d'ailleurs supprimer le terrne en logp qui est nul,
Btant plus
ue (.r)zu 'a.Iqmam puoaas ne ' a ~ ! n p o ~ l ue! lueualu!eur a1sa.t 11 ' 1 1 .xl
a p l a d o p luepuadap
la 'd a p a n b luepuadap au 3 la 8
aa!l!u'jap ua auop e u o .luamalnas w a p l a clap luepuadap ,,u .d)l(lk!ol +
x 3
.I -d +SO[ q + , , n 5 ( ~ ) w
' ( ~ 1 )al!~eSau!'l a p a8esn lues!ej ua 'aJ!.taa,s lnad a j n a p ? a a ~ d?l!leBau!'~ .l(o)'d I sal!luenb sap ;jr~rraerpr: l a I ( o )I r:~ ana!.raju! a x g j!l!sod aJqmou un w sJole l ! o ~ ' ( 0 ) ' ~ap la ( o ) a ~p Pa.lqmauI puoaas Sue 'aar~asaadt.1 ~ e s9r1aS d sarumos sllou '.lo - a . ~ n ~ ~ ul noeaj p , n b y!leS?u! all93 a p uaSour ne lsa,3
a m o j eI p u a ~ d(91) a~!leS?u!~la u b al.tos a p
(2 ~ d )
UI
+ (?,,I
.d)t= ~ ( 1 ~ *1d l x
e uo s!eN ad ~a!lua,[ op jrralualnas ~oapnad?p.!nb saa!l!sod salnelsuoa s a p lrlela 3 la q ' u .I -
d
' I ( o ) r l : ~ [ d - ( ! ~ q ' d ) y . ~ o l ~ ~y iS -o ~
q + n ~(.I)UI
($1)
lua!a : ( " I ) y SuouahaJ l a '.r = 1x1 aauaaajuoa~!r,el ~ n auuahom s m a l e a el u g u a suorlaad
'aajno ua 'e uo :1111 a n b ]!lad
sun
LES SYSTEMES DE FONCTIONS HOLOIOKDHES,
15
ETC.
lieu dr I ~ ( F ) .011y arrive grQce une methode classique de E. Borel, qui s';~ppliqueaux fonctions croissanles d'une variable rCelle, en parculier B m ( r ) . On verifie aisement la proposition suivante : I,es zwlelrra tle r, s ~ ~ i ! r i e ~ ti~ rR, e spotrr bsquelles on a , h Ptnnt un nombre positif, llinr;gnlitk
pcrlvent 611.eenjiv-~nkes clans ties intervnlles, en nombre Jini 0 1 1 en injnitt r,r ( 11 1 --
cltnor~~brc~ble, ~fontIn .Tomme rles longlleulr est a11 pll~s6gc~lea 2e
".
Si donc on a ici, It ktant plus petit q u e un, (Rl - ,,> -ae
/'
< 1-
I<,
c'est-h-dire ~ L ( K ) h> l o g _ * I-R'
il exist(: certainement une valeur de r, comprise entre R e t laquelle on a
I,
pour
111 j r ]
l.[r+E-7-]jflZ(I')+h~On2.
Prenons alors et portons dans (16). I1 vient
U
A' dkpendant d e h. On peut choisir h assez grand pour q u e -il soit plus petit que u n ; ce choix d e h dCpend uniquement de l'entier p , pnisque B est unt? constante qui ne depend q u e d e p. On peut alors kcrire
d'ou I'on conclut aisbmen t m ( r )$ M ,
JI etant un nombre positif, q u i ne depend que de A et C , donc de p
I6
I I E N I ~ I CARTAN.
et a seulernent. Yuisque H est inferieur h I.,
011
a n J'ortio1.i
m ( R ) 5 M.
De l'etude preckdente, il rksulte finalement que I'une des deux inbgalites suivantes cst verifibe
q i ~ e que l soit le nombre K infkieur a
i~n.
12. Nous en tirons deux propositions fondamentales, corresponda~it respectivement au ces d'un sgslbme unique d e p fonctions Fi, etau cas d'urie famille de tels sgstbmes. T H ~ O R I.~ M - Ek t n n t donna rln systimle d e p fonctions Fi, o n rl
1 etnnt unc comtantepo~1tic.eJise r/ni ne dipend qrle de p . E n eff'et,h l o g y & finit par 6lre superieur h M lorsque 1- lend very I
-I
On a donc, d'aprhs
(I
I.
7), si 1. est assez voisin de u n ,
etant une constante positive fixe qui ne depend que de p ; on en deduit immkdiatement le theorbme (' ). Rappelons que, pour etablir ce theorbme, on a supposk A # o ot A(o)# o. Nous verrons dans un instant qu'on peut s'afrranchir de cette dernikre hypothese. (1) Dans le cas p = z (fonctions holomorphes ayant deux valeurs exceptionncllcs z i r o et un), I'emploi de la fonction modulaire permet de montrer [ F , c] que I'on a m(r) =I. lim m ( r ) C I ; il existe en outre des fonctions pour lesquelles on a lim -
----- log
I-r I
log 2I-r
r
I IleoRknle 11. - ktnnt donntie unc farnille rie systi.rnes de p fonc7
tmns F,, si A(o) et Zcs F,(o) sont suptriez~rsen modzlle a un nombre pusitif ./i.ze a , vnlablc pourtous lessystkmes de la famiZZe, les fonctions F, ,forrtzent une ftrrnille co~rlplexenorrnnle, ce qui veut dire q u c toutes les f'oncttions F, de meme indice i forment une famille normalc. D'ailleurs,
les I'onctions F,, prises dans leur cnselnble, forment aussi une famille nol.lnalc. Eli elTet, m ( r ) est inferieur au plus grand des deux l l o ~ l ~ b r e11 s ct h log -, et, par suite, admet une borne superieure qui ne tldpel~tl I-r quc de 1%. Donc (cf. S 8) la famille cst normale dans tout cercle dc centrc origine et de rayon r inferieur a un; dans ces conditions, elle cst normale dans le cercle-unite, commc on le voit rn appliquant le procedd diagonal classiquc. 13. Chcrcholrs 4 elargir un peu les hypotheses rcstrictives faites jusqu'ici, 111aisen conservant toujours la condition A 9 o. On peut s'aff'ranchir de I'hypothbse A(o)# o. 11 existe en effet u n [ ~ o i nJ l , (1 .I-, ( < I . , I ), tel q u e A(x,) # o. On pcut ecrire, en vertu
<
,
v t , si
rest superieur i~ un nombrc fixe r,, compris entre I., et /in,
li etant un l l o l ~ ~ b positif re qui ne dhpend q u e dc r , ct I.,. Cette inegalite remplacera l'inegalite ( I I ) au cours de la demonstration precedente, qui subsiste ainsi avec ce Ieger. changen~ent.Le thCorPme I restc donc vrai. Ce qui precbde monfre de plus que, darls l'knonce du thkorbme 11, on peut remplacer I'hypothese IA(0) I> a par la su ivan te :pour chaclrn (JPS ~ystkrnesde In f ~ m i l l eil. eziite, a I'in-
I8
HENRl CARTAN.
te'rieur d'un cercle de rayon jixe r, , ayant pour centre l'origine, u n point o r i j A ( x ) 1 a , ce point pouvant hien entendu changer avec le systbme considere; u et r, sont les mbmes pour tous les systbmes de
>
fonctions de la famille. On peut Bgalement remplacer l'hypothkse relative aux F i ( o ) par la suivante : Quelle que soit la fonction Fi appartenant ci l'un quelconque des systemes de la famille, il existe, ci l'inte'rieur d'un cercle de rayon J x e r.,, ayalltpour centre l'origine, I L Rpoint ou 1 F i ( x ) I a.
>
II suffit en effet, dans cette dernikre hypothese, de remplacer, au cours de la demonstration precedente, l'egalite ( 1 5 ) par une inegalite de la forme
+ 'I
X(p, F.)S ~ [ r n ( Fi) ~ ,+ 10.;
Nous designerons dans la suite par T ~ E ~ R E M11E bis, le theoreme I1 ainsi complete. Ces perfectionnements viennent d'btre obtenus au moyen de l'ineyalite (ti'), qui sc deduit de ( 4 ) lorsque f ( x )est holomorphe. Nous aurons besoin, plus loin, d'appliquer I'inegalite ( 4 )4 une fonction f ( x ) ayant des pbles, et de savoir comparer les valeurs d'une expression
I
telle q u e Z 1% ,.(,r ' b_,,; )x
1
pour deux valeurs diffbrentes de x. C'est
precisemeit ce q u e nous apprendrons faire au Chapitre suivant.
I. - Gkneralisation d'un theoreme de Boutroux; diverses propositions qui s'y rattachent.
14. Dans son Memoire des Annales de 1'~coleNormale, A. Bloch enonce e t utilise le theorhme suivant ('), extension au domaine com(1)
LA], Lemme 3, p.
321.
'9
S U R LES SYSTEMES DE PONCTIONS IIOLOPORPHES, ETC.
plexe d'un theorkme de P. Boutroux ( ' ) s'appliquant a u x polynornes d'une variable reelle : Soil
u n polynorne de degrb n dont toils les ;c;las sont inttrieurs nu cercleunite. A tout nombre positif r < I et a tout nombre positif y, si petil soit-il, on peut fuire correspondre rln nombre H dkpendant riniquement de r et de y (nullement des a r ~ de i n), tel que Z'inPgalitk
soit vb.qiee pour toUte valerlr de x i nfirieure a I. en module, sarlfyeutItre pour celles comprises duns des contours de longueur totnle (111 plrls egale a y .
A. Bloch ne semble pas etre parvenu Q demontrer cette proposition. Je vais en donner ici une demonstration elementaire, qui fournit effectivement une valeur pour H ; nous n'aurons pas a supposer les aiinferieurs a un en module, ni .x inferieur A r en module. Voici la forme precise qu'on peut donner au theoreme (') :
.. 1 HEORBME 111.
.
- Soient, duns Ie pk(~n.,des points P, , P,, . . , P,,,di.9tincts ou non, donl le nombre n et la position sont quelconqr~es:soit de plus h u n nombre positif arbitraire. 1,es points M drs plan pour lesqrlels on a I'inc!gnliti produit MP, x MP, x . . . x Ml',,<=hrl
peuvent Ctre enfermis a l'inttneur de circonfkrences, en nombre au plrls egal a n , dont la somme des rayons est Pgale a zeh ( e designe la base
des logarithmes neperiens). 15. Supposons en effet donnee une distribution de points Pi, en nombre n , et soit R un nombre positif arbitraire. Je vais tracer des cercles, en nornbre au plus egal a n , dont la somme d e s rayons sera egale 2/r, de facon que, M etant un point quelconque, assujetti seuG. Valiron en a donne4 une dCrno~lstration: [ H ] , , p . 78-79. J'ai indiqud cet dnoncd dans une Note aua Cornpres rendus d e l'Acadenrie des Sciences, t. 186, 1928, p. 621. (1)
(2)
HENRI CARTAN.
20
lement a n'6tre interieur a aucun de ces cercles, on ait I'inegalite
1
Gi; <
log
I1
1
- log k .
2
J e suppose d'abord qu'il existe un cercle C, de rayon k , qui contienne les n points Pi a son interieur. Je trace alors le cercle I' de mkme centre et de rayon double. I1 est clair que, si M n'est pas int6rieur a I', on a MP, > k,
et par suite
a fot.tiori l'inegalite (18) a lieu.
Si,, au contraire, il est impossible de trouver un cercle de rayon P qui contienne les n poinls, je regarde si I'on peut trouver un cercle de k rayon ( n - I ) ; qui contienne n - r points. D'une facon genbrale, I,.
soit A, le plus grand e i ~ t i e rtel qu il existe un cercle C,, de rayon hi ;, qui contienne A, points Pi; ne considerons dorenavant, parmi les points Pi, que les points non interieurs a C,. Soit ensuite A,LA, le k
plus grand entier tel qu'il existe un cercle C,, de rayon A,i, qui contienne
?,?
des points restants; cessons desorn~aisde considerer ces
A, points (nous dirons qb'ils appartiennent a au cercle C,); et ainsi de suite. A la fin des operations, on aura pcut-6tre a envisager un ou k plusieurs cercles de rayon ;, contenant un seul des poirlts restants. On est ainsi conduit a envisager successivement p cercles C,, C a , . . , Cp, de rayons non croissants, et chaque point P, appar((
.
((
tient r a l'un d'eux et a un seulement. Ces cercles sont donc en nombre au plus egal h n ; d'ailleurs la somme de leurs rayons est egale k a -(A, + A, +. . . + A,) = k. En outre, A etant un entier quelconque n Ii
inferieur ou egal a n, s'il existe quelque part un cercle S, de rayon 1 ,; qui contienne ,uLA points parmi les n points Pi, l'un au moins de ces k ,u points u appartihnt D a un cercle C j de rayon supbrieur ou Bgal h A
SUFI LES SYSTEMES DE FONCTlONS
HOLOMORPHES,
ETC.
21
Ce fait resulte irnrnediatement du procede suivi pour definir les cercles C,, C,, . . . , C,,. Cela pose, t r a ~ o n sles cercles r , , Fa, . . . , 1', respectivftment concentriques aux cercles C;, C,, . . . ,C,, et de rayons doubles. La somme des rayons d e s p cercles ainsi traces est iigale a zk. Soit maintenant M un point quelconque du plan, assujetti seulement a n'6t1.e interieur a aucun des cercles r , , I',, . . . , r , . Nous allons chercher une lirnita
2 log&-
superieure de
1
A etant un enlier quelconque inferieur ou 6gal a cercle S;,, de centre M et de rayon A
k
;,
IL,
contient au plus A
je dis que Ic
- I points Pi.
Supposons en effet qu'un des points Pi soit interieur h S;,, et soit C , le cercle auquel i l (( appartient D. Designons, pour un instant, par R le rayon de SA,par r le rayon de Cj, et par d la distance des centres des cercles SAet Cj. Ces deux cercles se coupent, puisqu'il existe un point interieur a la fois a S),et Cj. On a donc Mais, par hypothkse, le point M, centre de Sj,, n'est pas interieur a rj, concentrique B Cj et de rayon double ; on a donc 2
On diduit de la
rscf.'
/.
$.
Ainsi le rayon de Cj est plus petit que ). D'aprhs la remarque faitc plus haut, le cercle S), ne peut contenir p2A points P,, et par suite en contient au plus A - I . Par consequent, il n'y a aucun point P, A l'interieur du cercle S , , dc k centre M et de rayon --; il y en a un au plus h l'interieur du cercle S, k
k
de rayon 2;) ..., A - I au plus a I'interieurdu cercle S j derayon ~ ). ,I ..., n - I au plus a l'interieur du cercle S, de rayon k. Nous rnajorerons d o n c x log&,en supposant qu'il y ait un point I), I
a la distance
k
du point M, un poir~t la distance
2
;k,
. .., un point a la
ILENRI CARTAN.
22
k
distance A ;, . enfin un point a la distance k ; cela fait bien n points en tout. On peut ainsi ecrire e . 9
(- - ~ l l o g k t dl
= I - log k.
La demonstration s'achhve a.ussit8t; il suffit, en effet, de poser
pour retrouver l'enonce du theoreme 111. La methode utilisee a I'avantage d'indiquer comment on peut -s'y prendre pour tracep effectivement les circonferences r ; il in~portede remarquer qu'il faut commencer par les plus grandes; la demonstration n'a pu se faire que grace a cette precaution.
16. Mais cette methode est susceptible d'6tre generalisbe. Observons que, jusqu'ici, nous avons trouve une limite suphrieure de
valable pour tout point M situe h I'exterieur de certains cercles, ou s u r la circonfkrence de l'un quelconque de ces cercles. Si la demonstration a pu ktre menee jusqu'au bout, c'est grcfce ct la convergence de 1'intkpaleJ log dr. 0
Soit maintenant f ( r ) une fonction quelconque, definie, positive et continue pour r positif, croissante avec vais indiquer une limite superieure de
:, et infinie pour
r = o. Je
2~ ( M P ~valable ), encore t
pour tout point M extkrieur a certains cercles, ou situe s u r la circonfkrence de l'un d'entre eux. Je ne suppose m&me pas que I'integale
S U R LES S Y S T ~ ~ I EDE S FONCTIONS
lIOLO.UORPIIES, ETC.
23
soit convergente., rnais j'introduis une fonction p(r), definie, positive et continue pour r positif, et telle clue I'integrale
soit convergente. ~ ' i n t k g r a l ei p ( r ) d r est converge11te a fortio,i: posons
@(I.)est une fonction definie your
I. positif, positive et croissante, nulle pour I . = o. Elle possbde donc une fonction inverse, soit
nulle pour 2 - o, definie pour t positif et assez petit ('); la fonction Y(z) est elle-meme continue, positive et croissante. -k designant un nombre positif arbitraire, je vais etablir le theorbme suivant : THEORGME 111 b i ~ . 1,es points M du p l a n pour lesquels on a l'inegalitk lkf(t)p.(t)dt I
@(k)
peuvent &tre enfermks a I'intkrieur de circonfkrences, en nornbre p nu plus egal a n, et de rayons p,,, p,, . . . , p,, c)k~.iJantla relation
11 suffit, pour s'en convaincre, de reprendre Ia d6monstration du k theoreme 111; en considerant cette fois, au lieu des ccrcles de rayons h ;E ( I ) D'une rnanihre prCcise, si @ ( r ) augmente indCfniment pour r infini, la fonction Y ( t - )est dkfinie pour Loutes les valeurs positives de t ; si au contraire cI~(rjtend vers nne limite I lorsque r angmente indkliniment, Y ( r )est dcfinie poor 0 5 t < l .
24
I l E N R l CARTIN.
qui contiennent 1 points, les eercles de rayons Y [ : o ( P ) ] qui contiennent 1. points. 11s s o ~ en t nombre p inferieur ou egal a n. Si 1'011 trace encore les cercles c o n c e ~ i t r i ~ uaux e s prkci'dents, et de rayons doubles, leurs rayons p j verifient la relati011
et I'on a , pour tout point M assujetti h n'etre interieur a auculi de ces cercles,
En posant
Y [ t @ ( k )= ] u,
trouve enfin la limitation indiquee dans I'enonce du theorkme 111 his. I1 est clai r q u e les thtoldmes 111 et 111bis restent vrais pour un systkme depoints placts dans un espace u un not~~bre quelconque de dimensions: il sufJit de ren~placerle mot u cercles )) par (< hypersphbres )I. 011
47. Appliquons le theoreme 111 bi.r a deux cas particuliers. Cas ou f
(I-) = log:.
C'est le cas examine au debut. Mais nous allons obtenir ulle proposition plus generale que le theoreme 111, qui correspond au cas oh l'on prendrait ? ( r ) = I . Prenons cette fois I"
-
(P (
r )= ru-r,
a etaut un nombre positif quelconque. On a
SUR LES S Y S T ~ M E SDE FONCTIONS HOLOMORPBES, ETC.
25
On a donc I'inegalite
sauf pour des points M qui peuvent 6tre. enfermes h l'interieur de cercles de rayons pj, tels que
I
Si l'on pose
k
I -
= hea.
le theoritme prend la forme suivante : 1,p.r points M du plan porlr lesyuels on u n
peuvent &treenfermts a l'inttrieur de cimonjtrences, en nombre au plus tgal a n , dont la sonlrne des puissances a'""" des rayons est au plus &ale u e x ( 2/1y,quel que soit le nornbre positif ,a. Bien entendu, les cercles A tracer dependent de a.
2.
Cas oii f ( I . ) = - Ce cas est intbressant quand 1, est entier e t positif; car si I'on se place dans un espace a A + z dimensions, ,f(r) est une lonction harmonique. Prenons 2O
On a donc l'int'galitk
sau f en des points intt'neur.~a des h:ypersphdres de rayons ?,, tels que
HENRI CARTAN.
26
En particulier, l e cas I. = I est le cas du potentiel cree par des masses electriques distribuees dans l'espace k trois dimensions; c'est la surface totale des sphhres exceptionnelles qui est bornee, resultat pressenti par A. Bloch ('). 18. Voyons maintenant ce que deviennent les theorbmes 111 et 111 bis, lorsqu'on passe d'une distribution discontinue de points Pi, en nombre fini, a une distribution continue. Nous remplacons I'expression
par l'integrale SP(p)f(m)dUP.
ete.ndue a tout le plan (ou plus generalement A tout I'espace); l'int8gration se fait par ~ a p p o r tau point variable I', et do, dksigne I'tlement d'aire dans le cas d u plan, l'elkment de volume dans le cas de l'espace. L'intkgrale est une fonction d u point M. La fonction p ( P ) est une densite continue, positive ou nulle, telle que l'integrale
soit convergente et egale A un. I1 est clair que si la seconde integrale est convergente, la premiere l'est aussi; car, eu vertu des hypothhses faites s u r la fonction f ( r ) , f (MP) reste bornee lorsque, M restant fixe, P s'eloigne indefiniment. P l a ~ o n s - n o u stout de suite dans le cas general, oh interviennent les fonctions p, et Ye.Au lieu de considerer les valeurs de l'entier I. pour lesquelles il eriste un cercle de rayon 1 [ 2 8 ( k ) ] qui contient iLpoints, considkrons cette fois les valeurs de r l . pour lesquelles il existe ( ? ) un cercle de rayon u, jouissant de la proprietk suivante : l'integrale. p ( P ) do,, etendue k ce cercle, est egale a @ -. ( u )
S
@(k)
(') [ A ] , P. 356. I1 se peut d'ailleurs qu'il n'y ait point de telles valeurs de u. Dans ce cas, i l n'y aura aucun cercle B tracer. (1)
sun
LES SYSTEBIES DE FONCTIONS HOLOYORPHES. ETC.
27
Plus precisement, rc etant une variable continue qui va decroitre de X- h zbro, soit IL, la plus grande valeur de 11 jo~iissantde la propri8th prec4dente; il existe donc un ccrcle C , , de rayon u , , tel que I8ititi:g r a l e S p ( ~ ) d o , , ~itcndueh ce cercle, soit Cgale b -. '@ ( I t ) Remplacons desormais ;J.(P) par zPlp en tout point d u cercle C,. Soit:ensuite n, la plus grande valeur de 11 qui jouisse de la m&me propriete, etc. Le procede est gkneral. Mais, celte fois, on perit Btre amen6 a envisager unc suite irifinie de circonferences C, ,C,, . . . ,C,,, . . . , correspondant des valeurs if,, II,, . . . , u,,. . . . Traqons les circonferences I',, I',, . . . , concentriques aux precedentes et de rayons doubles. Si le point M n'est inthrieur a aucune de ces dernikres, on trouve pour I'integrale
etenduc i tout le plan, la mkme limitation q u e celle trouvGe tout h I'heure pour It; 1;f (MP;). Soient d'ailleurs p , , p,, ..., p,, . . . les rayons des cercles r , , IT2, ..., r,,, ...; on a p,,= zu,,, et par suite
le premier membre etant une somme ordinaire ou une serie. Par exemple, Ctant d o n n h , d a m l'espace h tlpis dimensions, une distribrition de charg-es Clectriques positi~ve.~, de lnasse totale dgale h un, les points de l'espace oii le potentiel est supkrieer u peuvent &re enf e m h dan.r des s p h h s de snrface totnle 64 ?: k2.
;
19. Hevenons au cas g6neral. On a eti? arnenk :d considerer d e s cercles r , , o u p l u s genkralement d e s hypersphkres r,, en nombre nul, fini ou inhi.-Mais, si l'on connait une borne superieure A de p ( P ) valable dans tout I'espace, on peut indiquer une limite supdrieure drc nombre n des cercles ou des hyperspldres r j , au moins sous certaines conditions qui seront prkcisees dans un instant. Cette lirnite dbpend de A, dc k, e t aussi d u nornhre des dimensions de I'espace; c'est la premiere tois qu'intervient ce dernier.
2
8
IlENRI CARTAN.
Par exemple, si l'integrale prend cp(r) = I , on a
S. f ( r ) d r est convergente, et si I'on 4
11
<= [ . 4 (~k ) ] p ,
U ( k ) designant le volume de l'hypersphitre de rayon /; dans l'espace H p dimensions, dans lequel nous nous p l a ~ o n spar hypothbse. En euet, s'il existe unc hypersphitre de rayon tk. telle que l'integrale r p ( p ) d s , Ltendue h cette hypersphdre soit @ale r , cornme 4 cette integrale est, cl'autre part, inferieure ou Bgale a
d'ou l'on dAduit le resultat annonce. La limite superieure de n se calcule d'une manibre analogue dans le cas general, d condition que r P augrnente indtjnirnent lorsque r tend velr ztro, p designant toujours le nombre de dimensions de I'espace. 11 en est bien ainsi dans le cas du potentiel harmonique. 11.
- Application
iZ 1'8tude de N,?(r,J ) .
20. Revenons a u x pOles b,, de modules inferieurs H r < 1 , d'une fonction f (x) meromorphe d a n s 1e.cercle-unit&,et posons, pour 1x1 I.,
<
N,.(I*, f ) se reduit a N(r, f) pour x = o. Rappelons q u e les logarithmes q u i figurent a u premier membre sont tous positit's; par suite N,(r, f ) est une quantite positive. L'inegalitb (4) s'bcrit alors, en retablissant )x1 a la place de 2 ,
Si'r, 1.ES SYSTkblES DE FOKCTIONS HOLOMORPAES, ETC.
2!)
Nous poserons egalement T , . ( r ,f ) = m ( r . , . f ) + N , l r . . f ) :
T,.(r, f ) se rkduit a T(r, f ) pour x = o. Nous avons vu ( 5 9) que l'on a comme on a evidemmen t N z ( r . , .f,f 2 ) s N x ( r ' , . f 4 ) +y x ( r j f ! ) t
on a aussi Ces inegalites se generalisent pour un nombre quelconque tle fonctions. Nous allons chercher a comparer les valeurs d'une expression tellc que N,(r, f ) , pour deux valeurs differentes de x. Pour simplifier, supposons d'abord r = I . et, changeant un peu les notations, considerons l'expression , -
8
1cs ti Btant des nombres complexes, de modules inferieurs h u n , en nombre fini. Cherchons une limite superieure d u quotient (')
s e t y htal~ttleux nombres de modules inferieurs i
<
I.
21. Partons de la double inkgalit6
qui s'etablit aise~nentpar des. considerations gkometriques : en effet, ( 1 )
Cf. [ A ] . p.
321-322.
30
HENRI CAGTAN.
etant l'afcxe d'un point quelconque, fixe, intkrieur a u ccrclr-unitk, la transformation liomographique t
appliquee A x, transforme la circonfcrence ayant son centre h i'origine, et x pour rayon, en u n e autre circonfercnce, dont un diarnbtre est s u r la droite joignant l'origine a u point d'affixr t . I1 suffit d'ecrire q u e la distance de I'origine B un p ~ i n quelconque t M de cettc derniPrc circonfkrence atteipt son maximum et son minimum lorsquc R.1 vient respectivement aux d e u x extrkmites de ce diamPtrr, pour obtenir l'inegalite precedentc. Partageons les points t, en deux categories, suivant q u e I t , \ est + P, superieur ou inferieur B -
r0
CasoliIt/>
log
1
5 P .
- Ona
'-"' I
1 2 2 5 log -- ' I + l t 1 = l o ~ [ I - ~ I - l ~ l ~ I + , t. ,lJ , I r - 9' 1 + 1 t l . 1 1~
On en dkduit
SUR LES S Y S T ~ Y E SBE FONCTIONS
HOLOMORPHES, ETC.
3I
I+P. et le rnaximum d u second membre a lieu pour ( y1 = f , ( I I = On trouve alors immediatement
log
1 - t.1, -----
r--tl
> (-.1 - p ) 2 4
Soit n I c nombrc des points t, d e modules inferieurs ou esaux
qp. On a , d'apr8s ce qui prkcbde,
i
la sornme qui figure au premier nlembre etant etcndue a ccs points t,. Mais on a evidenlment
les sorrllnes etant toujouis etenducs a u x m&mespoints t,. Si lI. cst un nombre positif arbitraire, on peut, en vertu d u theorkme 111, tracrr des cercles dont la somme des rayons soit (rgalc h 4 e k , et tcls que I'on ait I'inegalite ('1 (23)
Z'og
+
< I 1 log I I<
sauf pcut-etre lorsijue Ic point x est interieur a u x ccrcles precedents. Des inegalitks (zI), ( 2 2 ) ct ( d ) , on deduit
Ilans cctte inesali t(! Ics somrnes sont &tenduesaux points tide modules It-? inferieurs ou egaux h -.
Pour tout point t d e module superieur
i3, on a l'inegalitk (20). On a donc, e n Btendant cctte fois les (I)
que
2.
On suppose Bvidemment
4
e k < I ; donc log
!e,t
k
positif, et mCme plus grand
somrnes B lous les points t;, -
-
,
I-tx
~ l o . - x-t + J . ~ 1 ~ l o l j = , 1. - t
( 2 ; )
L
>I designant le plus grand ( ' ) des dcux nombres
En definitive, I'inPgalitc: ( 2 4 ) est r~rnirpour tau/ corlpk* rie potnft .r inttrier~rsau cerclc de rayon p aynnt porlr centre l'origine. exccplion faite peut-&tre po111. des points x gu'on peut enfrrrne~. ri l'intP~.ie~r~. & circonjerences don/ la somrne dcs rayons est kgalr ci 4rk.
el y ,
I1 suffit de remplacer, dans I'inegalitC ( ~ 4 )J., par A, y par Y-, ~t t , par
+, pour trouver l'inegalitk 6
K T( r ,J ' ) < SIY?( I , f ).
\ 2;)
bl designall1 cette fois le plus grand des nombres
cette inkgalitk est valable pour tout couple de points x et.y, in1erieul.s au cercle de rayon p < r ayant pour centre l'origine, exception faite peut-&tre pour des points x qu'on peut enfermer a l'interieur de circonferences dont la somme des rayons est egale a Grrli, et n Jbrtio1.i inferieure B 4ek. L'inegalite (25) entraine la suivante
82. Ce point etant acquis, nous youvons ktablir quelques thkorkrnes qui, si cornpliques qu'ils puissent paraitre, rendront ensuite de grands services.
(1)
Pratiquement, on peut prendre RI = 4 1 u g J t puisque lug I cst plus grand (I
que
2,
- p)?
1;
k
' ~ ' H E O R ~ M IV. E
unite', et toutes ( p
- Soit f
S O ~ C I I Ir,,,
(x)une fonction holomorphe dalzs le cercle-
:, y et a des nombresposit
< r, < ). S U P ~ J O Sque O ~l'inegnlitk S J
soit vb.$iie en un point x intcrieur au cercle Cp de rayon ayant pour centre l'origl'ne: r ayant une valeur posltive quelconque comprise entre r, et un, on a , pour tout pointy intkrieur url cercle C,, I'inPgalitP
suuj‘ pelrt-6~i.e pou~.des points qu'on peut enf~lstterti I'intil-ieur cic circonferences ( ' ) dont la somme des rayons est Pgrzle ci y . Ln lettre K dksigne rlne constante positive ( ? ), qui dkpend seulement de r, , p , y ct x . En eff'ct, l'inbgalitk ( 1 8 ) per~netd'ecrire, puisque N,.(I.,J') = o,
D'ailleurs, -
et, puisque 011
l o1
+
)
0
>
-I--l . f ( ~ ~' l
/.c/
a n ,/i)i.tiot-~ "1
d'ou
(
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r , i)+".r
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1 .
'/.,,to " i)'(--) -? , 1'
I,L.(,,>
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I
j
,
r - " '
j ) + 'I.-
-
",+!,
lf(,~) I '
2 +
I
--10. 1."-p "u
11 suf'fit de joindre icsrte inegalitk l'inkgalitk (25') dans laquellc r f 6tablir on aurait permute les lettres 3,-et y, et remplack ~ ' ~ a, pour .I le theorbme IV. Ccs c i r e o ~ ~ f i . i ~ e ~tlCpcnde~~t ~ces de la valeur tle I . colisidti.,:c. Xous aurio~ispu Ccrire A -- B n z ( r , f ) , mais l'introduction dr la lcirrc unique K est aussi simple. ( 1 )
(?)
34
HENRI CARTAN.
THEOHBME IV bis. - Soit f ( x ) z~nefonction mb-omorphe danslecerckunitt?. Si les points x,intknkurs au c e d e de rayoh p ayant pou~.centre I'origine, pour lesquels o n a (26)
I
I f ( z )> a ,
ne penrent pas &t~'eenferrnes a l'inte'rierlr de circonfi:l.ences ddnt kc1 sornme drs rctyons soit d,a~le a y, on a , pour toilt point y intirieur all c e d e de rayon ayant pour centre l'origine, et sans exception cette fo is,
(r>ro).
Los notations du theorbmo precedent sont conservies. En effet, l'inegalitk ( 1 8 ) . traitec comme tout 2 l'hclure, perrnet d'ecrire
et, d'aprbs I'hypothbse de l'enonce, on peut choisir x de facon que les in'egalites ( 2 5 ' ) et (26) soient valables toutes deux, ce qui demontrc le theorkme. Tntidi\&,vlsIV ter. - Les conditions dn thdorime /I'bis ttlrnt mnintenues, on a
(r+>r,),
sarlf per~t-c'trepour des points qu'on peut enfermer /i 1'intc;ricur de circonferences dont la sonirne des rayons est &ale ci y.
En effet, I'inkgalite (18j pcrmet d'ecrire
ct I'on peut choisir x de facon quc I'inegalite temps que la suivante T d r ,f
(2(i)
) < M T y ( r ,f ) ,
quel que soit y d e module inferieur A p.
soit verifiee en m6me
SUR LES SYSTEWES UE FONCTIONS HOLOMORPHES, ETC.
35
Mais I'on a , pour tout point d'affixe inferieure a p , sauf peut-6tre pour des points qu'on peut enferrner i I'interieur de circonferences dont la somme des rayons est egale i y, I'inegalitti
ce qui tte~nontrele theor8rno. 23. Avant de terrniner cc genre d e considerations, indiquons, en passant, comrnent l'incgaliti! (25) permet d e complkter un theoreme de S. Rlandelbrojt [Dl. On peut donner a u theoreme primitif la forrne suivan[e : Soit f ( x )une Jbnction holornolphe, sans zh.os, et de module i nferieur ci u n duns le cercle-unite'; x et y ttant deux points quelcongues du cercle tie rayon p I ayant pour ccntre l'origine, le quotient
<
admet des bornes suptrieure ct i nferieure ne dipendunt que de p .
I1 est d'ailleurs facile d e trouver leurs valeurs exactes; ce sont
comme le montre l'inegaiite (8) ou I'on fait m ( I , f ) = o ; ces bornes 4. i-
I ~
sont atteintes avec la fonction e'-". Voici maintenant le theorkme complete : THEORBME V. - Soit f ( x ) ilnc fonction holomorphe, de module inferiew a irn d a m le cercle-unite', pouvant avoir des zeros; d tout nombre positif p inJ'Crieur a un, et d tout nombre positif y arbitmire, on peut fnire correspondre un nombre positif A, independant de la fonction f , cz tel que l'on ait
poirr tout couple de points x et y , inttrieurs au cercle de rayon F, ayant
36
HENKI CAKTAN.
poia. centre l'origine, exception faite peut-e"trepour des points x,qrr'on perrt enferrner a Z'intkrierlr de circonferences dont la sornrne des ruyons est kgale a y .
Soit cn eflet r u n nombre positif' compris entre F ct r ; appliquons I'inegalitb (IS), cn tenant c o ~ n p t edes 6galitcs
il vient, en r e n ~ p l a ~ axn tp a r y ,
et aussi, en r e m p l a ~ a nft par'
1"
Mais, puisque 1x1 e t Jyl sont inferieurs a F, Irs deux inkgalites precedcntes entrainent a.~ortioriles d e u s suivantes :
De la premiere on tire en particulier
portons dans la seconde; il vient
et, en divisant par -log f l ( y )1 qui est positit',
SUR LES SYSTEBIES DE FONCTlONS MOLORLOI(PllES,
ETC.
37
Or, d'aprbs ( 2 7 ) , on a
et par consequent
Mais, sauf pcut-etrc pour des points x qu'on peut enferlner h l'inlrricur de circonferences tlol~tla somule des rayons cst &ale i y, on a , d'apres ( a s ) , 8,
(
1;
;.)
.
-
<XI,
.kl etant le plus grand des deux t~olllbrcs
11 suffit.dc prendre I. superieur a un nornhre pour obtenir I'inCgalite 1% 10;
I.,
plus grand clue ;,
l.r(x)I I./'(J') 1
=
pour tout couple de points x e t y , iutcrieurs a u cercle de rayon ;ayant pour centrc I'origine, exception faite peut-etre pour des poir~tsx qu'on peut enfermer h l'intkrieur de circonferences dont la somme des rayons est egale i y ; le nolnbre A est egal % la plus grande des quantites
et, colnrne on peut choisir I . , aussi voisin de un qu1on veut, on peut prendre A aussi voisin qu'on veut de la plus grande des quantites
38
H E N R I CAHTAN.
I I i~nported e remarquer que, pour unc fonction f (z)donnnee, les circonferences exceptionnelles B tracer dependent du choix de I., .
CHAPITRE 111. U R C R I T ~ R ED E PAIILI,B
(:OMPLBXE N O R I I I A L E .
24. Considerons, dans Ie cercle-unit&, ulle famille infinie de systkmes de p fonctions X , ( x ) , X,(x), . . ., X,(x), holomorphes, saris zeros, verifiant l'identite
pourrail affecter cliaque fonction d'un symbole indiquant le systkme de la famille auquel elle appartient, rnais nous ne le ferons pas, pour si~nplifierI'kcriturc. x,, :Vous ne porteron.s notre attention que sur les rupports rnutueh -
011
x,
. . . , p ) dc.s fonctions J ' u n &me syst21nc. On pourrait, par exemple, supposer X,,= I , ~ n a i scela rornprait la symelrie des ( A , p. = I ,
2,
notations. Nous allons, dans cc Chapilre, ktablir U I I critkre d c famille complexe normale rel:ctifA une tclle famille. En realite, ce ne sera pas tout a fait un critkre de famille complexe normale, au sens adopti: jr~squ'ici par. P. Mantel; nous verrons, en eff'et, qu'nn ne peut pas affirrner que toutes les familles prksence d'une
((
X 4 soicnt Xu
norn~ales.Nous nous trouvons donc en
farnille complexe normale
))
d'un t.ype nouveau.
25. hlontrons d'abord comment certaines considerations geonietriques peuvent conduire ides systemes d e p fonctions holomorphes, sans zeros, dont la sornme est identiquernent nulle. Nous justifierons en In bme temps I'expression systL.tnes dr fonctions ir .vurit!tt!.~lin8airr.r locunuircs, introduite par A. Bloch. 1)lac;ons-nous dans l'espc~cep~.c!j~,c.~if compiexe A p - a tlimensions; un point tie cet espace posskde p - I coordonnees co~nplexeshomo-
SUR 1.F.S SYS'II
HOI.OMORPIIES,
KT(:.
39
les equations de 1) variktks linkaires V,, V,, . . . , V , , a y - 3 dimensions. Les prprr~iersrrhembres d e ces equations sont des formes lineaires d e s p - I roortlonnees, e t y - I quelconques d e ces formes sont supposees linairement independantes. Chacune d'elles n'est definie izpriori q u ' i un facteur constant prbs; norls pouvons disposer de ces facteurs constants, cie f'aron cjur X I , X1, . . . , X,, verifient I'itlentiti.
Supposons alors q u r les p - I coordonnkes homogenes d'un pointh1 tle I'espace soient des t'onctions holomorphes de la variable c o m p l e x e x , delinies dans le cercle-unitb par exemple; si, quel q u e soit x, le point M ( x ) rle virnt s u r aucllne d r s p varietes V , , V , , . . . , V,, q u e nous norrlrnerons alors lncunnir.es, e t si I'on remplace, d a n s X I , X,, . . . , N,,, les coordonnees d u point RI en fonction d e x , on ohtier~tp Sonct ~ o n sXI ( x ) , X , ( x ) , . . . , X,,(.z), holomorphes, sans zeros, tlont la somme est itlentiqr~ementnulle. Pour employer le langage de P. Montel ('), les p I coordonnees tlu point M ;l(lrnettent p combinoivonc. lintaires exceptionnelles X I , xi, . . . , XI,. Le cas p = 3 est celui d'une droite complexe (plan d e la variable complexc) 'a trois points lacunaires, par exemple o , I e t crj (critbrc tlr P. Montel). Le cas y = 4 est celui du plan projectif complexe i quatre droites lacunaires, no11 concourantes trois i~trois.
-
I.
-
Cas de trois fonctions.
26. Avant de traiter le cas general, il sera bon d e nous familiariser avec la rnetl~ode d e dkmonstration, en l'appliquant d'abord au cas p = 3 . Nous allons montrer que, etant donnee, rlans le cercleunite, une famille de systkmes d e trois fonctions X i , S , , X:,,holo(1)
Voir. par exernplc [ E l , Ct~opitrcX.
rnorphes, sans zCros, dont la sornme est iclentiquement nulle, il est possible d'en extraire une suite inlinie de systbmes, pour laquellc Irs rapports rnutuels
X X 2 , -' X, X::
et
X, convergent X:;
:
respectiverne~ll, soil vers
cles fonctions holomorphes sans zeros, soit vers la constante zero, soit vers la constante infinie ('). I1 s'agit de convelgcnce rlnifornze d(rn\ tout domaine ferrnk inte'rieurau domaine considerc', ici le cercle-unitP, et ?toils conoenons, nnc fois pour Lorltes, (le ne j(lmnis enc3is(zgcr~ ' ( I I ~ L I - ( , type de convergence que celui-la, sauf indication contraire. Iritroduisons egalement une convention dr langage : nous cliron, qu'une suite de fonctions holomorphes, saris zbros, converge all sens strict )), ou plus sirnplernent (( converge n, lorsqu'elle converyr vers une limite qui n'est ni la constante zero ni la constantr infinie; dans ce cas, la limitc est une fonction holomorphc sans zeros, en vertu d'nn theoreme classique. Nous mettons donc ii part le cas oh la limite est Cgale Q l'une des valeurs exceptionnelles des fonctiohs dc la suite, ici zero et I'infini. L'inverse d'une f'onction qui coliverge )) (( converge )) aussi; le produit ou le quotient de deux fonctions qui (( convergent a (( converge )) vcrs le produit ou le quotient des lirnites. Dans le cas general oh la suite converge vers une fonction holomorphe ou vers la constante infinie, nous dirons que la suite (( converge au sens large D. ((
((
27. Btant donnee, dans le cercle-uni~t,une Jut~zilli.i n j n i e de systkmes de trois fonctions, holomorphes, sans ;r;l-os, ve'r(fiant i'irlen/i~t
nous allons fai re voir q u'on peul en extroit.~ilne suite in/inic~(ie sysiimes, jouissant d'une des propriktks ssrlivantes : X x xo a . Les rapports msrltuels x, -3 -1et - (( convergent u ; X:, X:, (1)
I1 est a p i n e besoin dc faire rrmarqucr quc ce fait cst
dl* critbre dc P. Monte1 ; car la fonction
X
- 2,par x3
prend ni la vdleur rdro ni la valcur un.
uric
c o n ~ i q u c l l r cdirectc
exemple, e-t I ~ o l o m ophe, ~ e t ne
6 . i., y, Y disignant k s trois indicc>s I , 2 , 3 ranges d a m un certain \ x 1" ordre 2 conclergP uers - I , et 2 et - convergent vers aCro. ' 1, ;. 1,
Dans le cas 6 , nous dirons, en anticipant s u r le cas general, que X, ct X, sont de premikre catkgolze, et X , de seconde catkgorie. Dans le cas a , nous dirons q u c toutes les fonctions sont de premibre categorie. 11 y a, en somme, quatre circonstances possibles, suivant que les trois fonctions sont de premibre categorie, ou q u e l'une d'elles est de seconde categorie. Dans le thkorPme precedent, nous avons enoncb des proprietes de convergence qui ont lieu dans le cercle-unite; mais il suffit, pour l'etablir, de montrer qu'on peut extraire, de la famille donnee, une suite de systbmes jouissant dc. ces mkmes proprietes de convergence dans rln rercle de rayon qr~elconquer , I ayant pour centre l'ori,o'zne. . l2n eff'ct, une fois ce point acquis, donnons-nous une suite infinie de cercles ( I ) C,, C,, . . . , C,,, . . . , dont les rayons tendent vers un. Nous pouvons extraire de la famiile une suite de systbmes pour laquelle un des quatre cas de convergence se trouve realise dans le cercle C , ; de cette suite nous pouvons extraire une suite nouvelle, pour laquelle un e dans le cercle C,; et ainsi de suite. des quatre C A S 'se t r o ~ ~ vrealise Le nombre des cas possibles etant tini (quatre), I'un d'eux se trouvera rkalise pour une infinite de cercles, et le procede diagonal fournira une suite de systkmes pour laqurlle les proprietes de convergence, relatives h ce cas, auront lieu dans le cercle-unite tout entier ( 2 ) .
<
28. Soit donc C, un cercle de rayon fixe r,, envisager diverses hypotheses :
<
I.
C o m m e n ~ o n spar
11'Supposons d'abord qu'on puisse extraire de la famille une suite x converge vers zero dans le cercle C,. de systbmes pour laquelle
' Xi
Toils Ics cercles dont nous parlerons ditsormais ont pour centre I'originc. Nous aurions pu simplifier un peu ce raisonnement; mais il prcsentera I ' a ~ a n tagc de s'appliquer sans nlodification au cas ou p est quelconque. (1)
(5)
42
HENRl CARTAN.
3 converge vers - I , xa
X Y X et 2 = 2. converge vers zero dans le Xp Xx X p
cercle C,. Le theorCrne est donc Btabli dans ce cas. 2" Supposons en second lieu qu'on puisse extraire une suite pour laquelle
S 2 converge vers ,\
--
x
X
XI.
x,
r dans le cercle C, ; alors -2 et 2 con-
vergent vers zero, et le theorbme est etabli dans ce cas egalernent. S 3 ° S u p p o s ~ nenfin ~ qu'on puissewxtraire une suite pour laquelle 2
x;,
((
converge
))
alors Y = -
-
1.
vers une lirnite differente. de - I dans le cercle C, ;
+J
( :;,) I
X,,r-
converge u,
3 = 5 a converge a XV xv
aussi.
XI^
29. Nous pouvons desormais, pour etablir le theor2me , exclure 1'hypothkse I". I1 existe alors un nornbre positif a, jouissant de la X
propriete suivante : tout quotient 2, quels que soient A et p pris
xP
parrni les nornbres I , 2, 3, est superieur en module h a en un point au rnoins d u cercle C,, et inferieur en module a en un point du merne
2
cercle; le nornbre a cst valable pour lous les systbrnes de la farnillc. Deux hypotheses, qui s'excluent rnutuellernent, sont alors possibles : 1. Supposons qu'on puisse extraire de la famille une suite injinic. cie 1
systdmes, pour lnquelle la dkl.ivie logarithmique de 2 reste in fkrienre ou S, kgnle ri u n ( I ) en modrlte en tout point dn cercle C , .
Je dis gue, dans ces conditions,
(21adrnet des bornes supkrieure
et infbrieure fixes dans le cercle C,. En effet,
X
x2 etant Iiolornorphe 2
e t sans zeros, nous pouvons poser pour un instant
f(x)etant une fonction holornorphe.
La dcrivee f'(x) a, par hypo-
(') Au lieu de un, hous pourrions prendre n'importe qriel nonlb1.r positif liac.
sun
43
LES S Y S T ~ D I E SDE FONCTIONS HOLOMORPIIES, ETC.
thkse, son module inferieur ou egal a un en tout point d u cercle C,. Soient alors x , et x2deux points quelconques interieurs a ce cercle; on petit les joindre par un segment de droite de longueur inferieure ic zr,, et I'on a donc, en integrant,
Or,
11
ktant un nombre complexe, on a I'inegalitb
cl'ou I'on deduit ici
Appliquons cette dernibre inegalitk en prenant pour x, un point quelconque du cercle C., et pour x,le point de ca cercle oh I1 vient
011demontrerait
Ainsi,
1%
J-
/ 2 ( < a.
de mCme l'in6galite
( admet cles bornes suphrieure et inferieure fires dails le
cercle C,. La famille cles fonctions
X
x, est
-!
donc nor~nale,et I'on peut, de la X
suite dc syslbmes consideree, extraire une suite infinie pour laquelle -'
x
((converge s dans le cercle C,. On se ramkne h I'une des hypothbsas et 30, et le theoreme est etahli.
9
2"
11. I,'l~ypo~hise yrictdentc CLunt e x c h e , on peut appliquer le theor&me I1 his ( 5 13) h l'identilk
X 1,
En eflet, chacune tles fonctions 4 et
X.,
est superieure en motluleir.
en u n point d u cercle C,,; qrlant au determinant A dl1 Chapitre I, c'est
x,
-.
ici la dCrivee logarithmique
X.
2
X
= 2;o r elle est suyerieure en motlule
Y2 -
x,
X::
i rrn, donc i u n nombre fixe, en un point au moins d u cercle C,,. Par conserloent, on peut extraire d e la famille line suite infinie d c systemes, pour laquelle-'
X X,
X
e t 2 rc convergent
x:,
))
dans le cercle C,, et
le theoreme est compl6tement demontre Remnrqrre. - Ce theorkmc, relatif A des fonctions de x dtjinies duns le cerclc-unit(:, reste vrai si le domaine de variation de x est quclconque, en verlu d u t h e o r i m e classique : S i une fumille cle fonc~ions holomorphes cst normale e n chnqr~ep o i n ~( I ) d'rln domaine, elle esz normale dans Z ~ L I Zle domnine. Nous n'avons pas eu besoin, jusqu'ici, des theorbmes IV, I V his e l IV zer. 11s vont intervenir dans le c a s p = 4 e t dans le cas gendral. 11. - Cas de quatre fonctions.
30. Introduisons d'abord, avec A. Bloch ([A], p. 318), quelques de conventions de langage et d'ecriture. Designons le tr~ro~lskic,n n fonctions X,, X?, . . . , X, d e la variable x, c'est-a-dire le determinant -
-
par la notation I X, X2.. .X,, I. ( 1 ) On dit qu'unc farnille de fonctions est normule cercle de centre P dans lequcl elle est normale.
PIL UIL
point P, s'il existc nn
Observons a u e
u
est la derivee logarithmique de 2.Appliquons cett.e remarque ii
u,
( I ) P o ~ i r1'Ctablil-, rcgardons pour u n instant I U1 U2 I e t I X I X n X s . . .X, I coinme dea pol!nomcs i r11 variables indkpcndantes X I , X,, . ., X,, X',, .. .. Xi,, . . ., X;"-", . ., N,?-O. NOIISallons montrer q u e tout systBme d e n * nombres q r ~ isatisfait i l'kquation iX1X ,... X , I = o satisfait ar~ssia IICquatioo IUlU*I = o ;
.
.
comme les premiers membrcs d e ces deux Cquations sont IinCaires c n X("-'1, il en ~Gsultcraquc Ic polynome ( U, Uz ( est divisible par le polgnomc I XlX,. . . X n 1; e n Cgalant Ics cocfficicnts dc X'(L-I), on ~ ~ O I I V 11identit6 ~I-a chcrchec. Or, soit un systkmc dc n' nombres a/ satisfaisant a la rclatiolr
nous allons faire voir q u e si, dans le polynome I Ul U, 1, on remplace les lettres Xi!) rc.l~ccti\ement par Ics nombres a{, OII trouyc zCro. E n enet, les n fonctions dc x
sont lides par une relation IinCaire t ~ o m o g t n e
.
a coefficie~rt>constants non Lous nuls. Si zl et a, sont nuls, les fonctions X3, X,,, . . , X, sout likes par une relation l i n k i r e I~ornogene;Ics wronskiens U I e t U, s o n t donc identiquement nuls, c t l'on a U I U2 = o. Si a l e t a, ne sont pas nuls tous deux, les n - I fonctions a l X I + a 2 X 2 ,X1, . . ., Xn sont 1iecs.par unc relation lindaire homo-
46
M E N R l CARTRN.
Nous voyons q u e la fraction
q u e nous appellerons fraction dtrivke a n zermes f'ormCe avec les n fonctions X I , X,, . . . , X,,, est la derivke logarithmique de
Avec n fonctions on peut former n ( n - I ) fractions dCrivees i n termes, deux ideux opposees. Nous designerons sous le nom de fraction derivte ri deux termes, IX x I . une expression telle q u e 3
xi X,
11 est clair q u e les fractions derivees, ainsi que les expressions de X1x2'''xn'. la lorme x, x2.. .xn ne changent pas si I'on multiplie tootes les fonctions par une meme fonction de x.
31. Cela pose, enoncons le critbre d e fanlille complexe normale que nous demontrerons ensuite : T H E O H ~ VI. M E - @!ant donnke, duns le cercle-unite', rlne famille infinie de systkmes de quatre fonclions holomorphes, sons atros, vkrifianr l'identite X,+X,+X,+X,,~O.
on peut en extmire une suite injinie de systi.mes, pour laquelle se t~auve rtalisee l'une des circonstances suivantes : a . Ides i n d i c ~ sI , a , 3 , 4 se partagent en deux categories, jouissant d e ~ proprittts suivnntes : l o le quotient de deux fo~tc~ions quelconques cle ghnc, et I'on a donr a,
d'ob encore
U, + r,U1-- o,
; u, U? I = 0.
11 suffit de faire x = o dans ccttc derniere identit6 porlr ktablir la proposition annoncke.
pi-ernic~*ccat~;gol.ie conceigc u ; 2 O Ie quotient d'urre fonction quelconque de zecondc c(~tt;,aoi.iepar unc Jbnction quelconquc de premikl-e cnt&gol*ieconc9elqc ~~er:r zc;lo ( I ) ; 3 O colrllne consbquence de la propri Atb 2". It! quo ti en^ dr la sommr des fonction.~d~ p1.emti.r~caltgo~.iepar /'/me qrlelconqur d'enila clles converge DCI:F ;L;IY). Ajou to n s q u'il existe a11 rnoins cieux indices de ptwniikc cntegorie, c:t qu'il pelrt n'exi.stel. nilcun indice de seconde cnl(:goric. 1). Les indicrr se partaselzl cn d e glaupes ~ ~ dc deux in,dices chacun, ((
x.
X
soienl i,j et k. I. 1,es quotirnls 2 el X I convergent ver.s - I . Xi Pour plus de clarte, examinons les differents cas prevus dans a. Si hi
,
tous les indices sont de prsmikre categorie, tous les quotients - (( conX vergent s, h et ;I. prenant toutes les valeurs I , 2, 3, 4. S'il existe un X, x X seul indicc de seconde categorie, 4 par exemple, -, -1 et 2 (( conX, x, s, vergont
x.
?,;
57
X I X,
Xi X,
convergent vers zero, et
x 2 + '3
Xl
converge
vers zero. Enfin, s'il existe deux indices d e seconde catkgorie, 3 et X? par exemple, converge vers - I ,
4
X convergent vers zero. X, On ~nontrerait,comme au paragraphe 27, qu'il suffit d'etablir ces proprietes deconvergence pou~l'interieurd'uncercle C, (I X I
x,
<
et X.; - et
. Xl
< <
<
32. Cornrnenpo~lspar envisager deux hypotheses particulitres. I" Supposons qu'on puisse extmire de la famille une suite de systemes X pour laquelle -1converge velr ztro duns le cercle C, , en designant pal i, x, j, k , 1 les quatre indlces I , 2 , 3, 4 ranges dans un certain ordre. Considerons I'identite
la fonction
(
I
2)
+-
ne s'annule pas dans le cercle C , , au rnoins i -
1
)
(;c s ~ n ICS t I > I . o ~ I . ~ ~ L 1~ 0J ~t z0 qui
5 ~ 1 . 1C I I I .
p~.ccisCmen~ de d e l i n i t i o ~aux ~ catigorics.
partir d'un certain rang. On est ainsi ramene au cas de trois fonctions holomorphes, sans zeros, B savoir Y,=, y,=
-
+ X-'Xi'
X!, Xi
-*.
1-3 - X . ?(
On peut donc extraire, de la suite consideree, u n e nouvelle suite d e systhmes, pour laquelle se trouve realisbe, dans le cercle C,, l'une des circonstances prevues au paragraphe 27. Examinons-les.
Si Y , , Y,, Y3 sont d e premiPre catrsorie,
x
XI
Y, Y : Y,
, Y,
Y1
e t 1'Y,
x, x,
gent vers zCro d a n s ce cercle; en outre
"+
:+
convergent
r
Y / Y, 1 1 , - converx,' Y, X b " converge v e n rPro.
dans le cercle C,,; d o n c l , --, - ((convergent s, et X,
c(
-
C'est bien Ih un des cas de convergence prevus au theorirme \-I. Y.
Si Y, est de seconde cateyorie, .<,et o fortioti
xX:
X,
e t -x;". en outre,
Y
1converge
xk
xi convergent vers zCro, et K. vers
-I.
C'est IA un des cas
prevus a u thborbrne TI. S i enfin Y, ou Y:, est d e seconde catkgorie, Y,, par exemple, alors Xk
- et Xi
x convergent vers zero, )i1converge vers - I : c'esl encore un X, Xi
d e s cas prevus au theorbme VI. En dbfinitive, le theorhme VI se trouve etabli pour le cercle C,, dans I'hypothkse I". 2" Supposons
5 xi
((
converge
r
gu'on puisse extraire une suite de systkmes pour laquelle Den une limite difirente de - 1 dons le cercle C , .
Conservons les notations precedentes. La fonction limite de Y , , qui n'est pas identiquement nulle par hypothbse, a un nombre fini de zeros dans le cercle C,. Isolons-les h I'aide de petites circonference~I'~, et soit D le domaine interieur au cercle C, et exterieur a ces cir-
conferences. A partir d'un certain rang ( I ) , la fonction Y, ne s'annule pas dans D. Nous pouvons donc appliquer aux trois fonctions Y ,, Y,, Y,, definies dans le domaine D, le crithre de convergence ktahli plus haut. Un raisonnement, semblable i celui qui vient d'dtre fait dans I'hypothbse I", montre que I'on peut realiser, pour Ics fonctions X I ,X,, X,, X,, un des cas de convergence prevus au theoreme VI; la convergence a lieu dans le domaine D, mais, cornme on a affaire a des fonctions holomorphes qui convergent vers des fonctions holomorphes, elle a lieu egalement i l'interieur des circonferences I',. 11 y a donc convergence dans tout le cercle C,, et le theorPme VI est etabli pour le cercle C,, dans I'hypothese a".
33. Nous pouvons desoimais, pour etablir le tl~eorkmedans sa generalite, exclure I'hypothese I " . I1 existe alors un nombre positif -,
fixe a, jouissant de la propriktk suivante : tout quotient 2 est sup& X,
rieur en module B a en un point du cercle C,, et infkrieur 'cn module a en un point du mCme cercle. Plusieurs hypothbses, qui s'excluent mutuellement, sont alors posssibles : HYPOTHESE 1. - Supyosons qu'on puirse ~ x l r a i r ede In Samille irne suite injinie de systi.rne.v,pour laquelle deilx fractions dC~-ivbesci deux lerrnes restent infkrieul-es ou kgales a un en modrlle en tout point du cercle C , .
Soit par exernple
I X x.1 -= x,. X,- I'une
de ces deux fractions dkrivees; on
peut extrrire de la famille une suite pour laquelle le cercle C, ( c f . 129, 1). Si la limite de
c:
K
convcrge
a
X
i2 est d~fferentede -
I,
dans on se
trouve rament a I'hypothhse 2" du paragraphe prhckdent, et le theoreme V1 est etabli pour le cercle C,. Dans le cas oh
X -2convergerait
vers - I , cnvisageons I'autre frac-
x2
( 1 ) Nous in\oquor~s ici Ic t l ~ e o r e n ~ se u i \ d l ~ t: Si une suite (le j b t ~ c t i o n s 11nlo~ morphes f , , ( z ) converjie vdrs ctne . f o n c l i o ~l ~ c o l o n ~ o r p l ~f (e . r ) no^^ iclentique~ne~rt n ~ i l l e leu , ;r:ros rle f (.c) sont les Iirni~esdes ~ 8 1 ~ 0d es &(.I.).
50
H E N R I CAKTAN.
tion derivee de module infkrieur ou egal h rln dans le cercle C , , . i X,Xil X. so1t -.Xi X i Le theorhme VI est etabli, ii moins encore que -1 ne conxi verge vers - I . Si i ou j est egal a I ou 2, soit par exelnple i = I , j = 3, on voit clue. x, x, convergeant vers - I , .x:: - converge vers I , et I'on est ramen6 a X? l'hypothbse 2". S: Sinon, on a i = 3, j = 4, et - converge vers - r : on est alors dans X' le cas b du theoreme V1, qui se trouve donc etabli pour le cercle C,, dans l'hypothhse I . Exclrrom maintenant cc'tte hypothhc'. Nous pouvons alors extraire, de la famille. une suite infinie S de systbmes, jouissant de la propriete suivante : chacune des six fractions derivees a deux termes, sauf une peut-&re, x, X,. par exemple, est supkrieure A un en module en un point au moins du cercle C , , et cela quel que soit le systkme de la suite S. Soit rh un nombre positif fixe, compris eritre r, et un, et designons 1 X.X.' par l'une quelconque des cinq fractions dkrivtes autres 1 x; x ' Le theorkme I V (') permet d'kcrire, pour tout nombre r que XaX,' compris entre r', et un, I'inegalite t 2 )
&
qrrasipw~orrt,il dpres, pour les points y du cercle C,. Par (( quasi partout, a o' prks nous entendons : cr pour tout point du cercle C , , sauf peut-6tre pour des points qu'on peut enfermer A I'interieur de circonferences dont la somme des rayons est egale h o" )). Le nombre positif'c" sera fixe plus loin ( 5 36). On a nfortiori l'inegalitk ),,
(I) (2)
Chapitre 11, fj PP. On peut, sans inconvenient, supposer que le 1n6me nonlbrr K est valable pour
les cinq fractions derivkes
I X.X/I . x,xj
SUI:
I.ES
S Y S T ~ M E SD E FONCTIONS HOLOMORPHES, ETC.
5I
34. Faisons alors l'hypothhse suivante : HYPOTH~SE 11. -- la2 dksignnnt un nombre positif j x e compris entre r; ~ l non , pcut cxlrclirc, de la suite S definie au paragraphe prbcedent, r~rtesuite injinir S', j o ~ ~ i . ~ scie a n la t proprie'tk suic.!ante:chacune des trois (,I
quasi p(zrloi~t,t i pi-ks, infkrieui-e oil &ale rt r ~ nen moditle dans Ic ca.cit~l:, ( ( x 1 l.?.).
<
Le nombre positif 7 sera fixi: dans un instant. Considkrons alors en particulier un systkme, d'ailleurs quelconque, de la suite S', et raisonnons sur ce systkme de fonctions. En vertu de I ' h y p ~ t h ~ s eles , points du cercle C, ou I'une quelconque des trois I'ractions cl6rivi.e~ est superieure a irn en rnodr~le, peuvent dtre onfermes B I'interieur de circonference,~I';,ell nonibre fini, dont la somme dcs rayons est egale i 3s. T r a ~ o n s ,~qelativernenta chaque circonference I',, Ics deux circonferences, avant pour centre I'origine, clui sont tangr~rlesA r,, et excluons du cercle-unite la couronne qu'elles comprcnncnt. L'onsemble des regions ainsi exclues cst constitnil par (IPS couronnes en nombre fini, centrees it I'origil~e,el dont la sornrne des epaisseurs ( ' ) est au plus &galea 6s. II suffit d'avoir pris
pour qu'il existe des regions non exclues, comprises entre les deux circonfkrences de rayons ri et I.,, ayant pour centre I'origine; c:es regions sont constituees par des couronnes Z , , Z,, :. . , Z,,, centrdcs i r2- r i I'origine, tiont kt soname d r . ~ epnisser~rsest au moins &ale a 7. En tout point de ces couronnes, les trois fractions derivees ont Icurs modules inferieurs il un. Je dis q u e le module du quotient des valeurs de I X i X 1 ' en deux ! I points quelconques x, et x 2 d'une de ces couronnes, adrnet cles ( 1 ) Not15clCsignons sons le nom de couron~zela rCgion comprise enlre deur circont'l:~.<.~~:ei corrceotriq~les,ct nons appelons 4paisseur de la couronne la diff6rence des r;lyons de ces dcox circonfCrcnces.
52
HENRI CARTAN.
bornes superieure e t inferieure fixes. En effet, posons pour un instant
La tler~veelogarithmique ( I ) d e ~ ( xest ) inferieure 011 Cgale B un en module en tout point d e la couronne consideree X i Or, on peut joindre les points x, et x, par une courbe, ne sortant pas d e I,, dont la longueur est inferieure ou Bgale a un nombre fixe A , qu'on peut prendre egal a .nr,-+ r, - ra par exemple. IntCgrons de xl Q r, le long cle cette courbe, en choisissant arbilrairement la determination de l o g y ( x , ) , et en suivant par continuite la determination de l o g ? ( ~ j . 11 vient 1 I O ~ ~ ( J-' 10g$9(.T'2) ~ ) 1 < -1. I1 existe donc u n e d6t.ermination d e og:l
'("lit cP
pour layuelle on a
013,u Glalit une quantite complexe, -
/ logrr ( s l o g 1 1s ( ( = I l o ~ ~ r
On a donc ici
11 est ainsi dkmontre q u e le module du quotient des valeurs de
?i,X i >-&
en deux points quelconques d e la couronne X iatlmet des bornes supeX X1! +
rieurt! et inferieure fixes. Si donc la fonction I .\,A, 1 a son module superieur ou kgal Q 11n en un point de Xi,elle est bornee inferieurelnent en module par un nombre fixe, c-.', en tout point de T i ;sillon, elle est bornee superieurement. ( I ) Rappelons que la fraction
'
Xi X'x'X3 I esr, au signe prks, Cg:jI~l2 1;1 tlCrivEc lXlX~l.I~,~~,l
/ X X I logarith.mique de A. I XiX3 I
SUR LES S Y S T ~ M E SDE FONCTlONS
HOLOMORPHES,
ETC.
53
De meme, etant donnee I'une quelconque des couronnes XI, Z,,...,
IX Z,,, chacune des fonctions A et I Y IX,X,I
'I est bornee en module,
!X,X,I
soit superieurement, soit infkrieurernent, en tous .les points de cctte couronne.
3 5 . N'envi.mgvons dksormais que Zes ziafe~~rs I - des rayons des ci~aconfkrences centrc;es a Z'origine et inttrieures ci f'une guefconque cles couronms E,,. . ., Z,,. Nous allons montrer q u e I'on a, pour chacune de ces valeurs clc I.,
K designant une constante positive fixe, c'est-a-dire valable pour tous les systPrnes de la suite S' definie au paragraphe precedent ('). Nous a w n s deja, i l est vrai, introduit au paragraphe 33 une constante K ; rnais il n'y a aucun inconvknient a ecrire encore la meme lettre, car, 6tant donnees p l u s i c ~ ~ rconstantes s positives K , , K,, . . . , KI, nous pourrons toujours, dans Irs inkgalit'es envisagbes, les re~nplacerpar une seule, la plus grande d'entre elles, r t I'appeler K. Cette notation sera tres commode. Pour Btablir l'inegalite (q), supposons par exemple que, pour la valeur de r considerte, la fonction I Y l X 2 I ait son module borne supeI x, x, I
ricurernent sur la circonfkrence 1x1 = I - ; le cas oil le module serflit borne inferieurement se traiterait de rnkrne. Bcrivons I'identitk
+
et prenons la valeur moyenne, srlr la c i r c o n f 6 r e i ~ eIs./= I - des , log I est infkiles deux ~ n e ~ n b r e sil; vient, p~risquele module de --XgX'I
IXIX~I
54
H E N R I CARTAN.
Or, d'apres I'inegalite
(28'),
on a
d'ou
Wais, puisque
x-' a son module X
supkrieur
cl
cn un point
(Ill
cercle C ,
7
et I'inegalite (29) est demontree. x et XI , On a des inegalitcs analogues relativement aux fonctionsL
x*
Xi
et A leurs inverses. Soit alors F un nomhre positif'quelconque inferieur a u n ; desiglions par
el(?)
mip,
la I
r
e d r s six guantitfii 111(,?,
X. X 9 ) .m /( ~ <), , rn ( i, $1 et X
11,
X <)?
X
11((~,<),
X
(?,x:). U1apres ce qui pribclrlr,
l'inkgalizr'
est vr'rzjke poirr des valeurr de r qiri remplissent des intcrc,alles, cn nornblu. fini, donl 11 sornrno des longzreula esz ail rnoins kgnle li
- 1'-
I1 suffit, maintenant, de repre~rdrela nlethode de tlemonstl.a~iont l r ~ Chapitre 1, pour conclure que r n ( r , ) admet ( I ) uno borne supbrieure valable pour tous les systemes de la suite S'. On traitera. en eB'et, I'inegalite prkcedentc comme on a traite I'inegalite (12) tlu paragraphe 10, et I'on arrivera i une inegalite de la fornle ( 1 6 ) . Puis, ~ I I designant par R un nombre positif quelconque infkr*ieor k I.,, ~ I I reprendra le raisonnelnent du paragraphe I I , h c o n d i t i o ~tootcfois ~ c l ~ (') rl est le rayon du cercle C , ! tlefini
;III
p a l . ; i g ~ . ; ~ p l31 ~e
SYSTBIES
SUR
DE FON(:l'lOXS
IIOI,OMORl~HEI;,ETC.
rclmplacer la consideration de I'intervalle
I -
valles dont la sotl~lneest a11 ~noirlsbgale i-. I,.,
-
55
R , par celle d'inter-
On trouve finale-
rnent ( I I I ( I ~ r ~ ( , lest i ) inferieur an plus grand des deux nombres M e t I, log L . , 11 et It btant d c o s ~rombrespositifs, valables pour toas les -
-
I'.,- - I..>
sistknres de la suilc Sf. En particuliet-, I,I(I.,)
< rrz(R) est borne. C.
0 . F. D.
On peut donc exlraire, d e la suite S', une nouvelle suite pour laquelle
X , X
c.t
X. X
((
convergent
))
dans le cercle C , de rayon r , .
Con~mc,caos qr~o~icnl~fs Ile peuvent convcrgcr tous les lrois vers - I , on est 1,arnrne i1'hypoth;se 2 O c l r ~paragraphe 32, et le theoreme V I eat dkrnontre pour Ir cercle C,,.
S definie au paragraphe 33, une suite infinic d r systl.!nt.s jouissant dc la propriCtP suivante : les Noos pouvonsalors cstraire, d e la suite
points du cercle C-?,tle rayon I.,, oil I X,,X, : I4 2 exemple, esl 1.1 X,X2I 1 , sr~pkl-irurk I I rlr ~ ~ ~ ~ o c l unc l e ,p e u v c ~ pas ~ t &trc enfermes i I'interieur dr circonfvt-cnccs do111la soinlncl tlos rayoils soit egale h y. Nous ; t l l u ~ ~tl;ins s , ccs conditions, trouver uno limitation d e
lorsque I. cst sul)i?l*ierlrB
1111 nornbrc
:I(;. On a cn elret I'identite
(I)
tixe
I.:,
colnpris entre I., e.t un.
ugua auuop ( c c ) l a ( 9 s ) 'KE? '(zc) ' ( 1 ~ )sa]!l&au! s a p uos!e~edtuo:, 137.sunwruo:, sju!od sa:, ap uu z = /C=x l ! o ~-saIqe[eA luos (5s) la (PC) sy![eBau! sa[ slanbsal anod z s)u!od xne l a /C s~u!od x n e sunwwo:, slu!od sap luau~au!el.~a:,a p x a p,nb rnod :6 = 2 aldwaxa red 'j!)ad zasse g a!r!oq:, al, lgjns 11 "3 ap.ia:, n p z slu!od sal rnod * s g ~ 8d r: 'lnolaed !sen[)
( *X'X C -E
-
+
y
>
\
I"zY
X"X
I
(
.
x "X
/
,
(PI)
la "3 alum n p /Cs)u!od sal anod <s;rrdg y ' l n o ~ a e d!senb
' Ixx;xl.-.lCx1xI kxSxls- I'xixI.IL'x'xI "zx k'x I " z ~ ' ~ I I " S ' ~ ' ~ I ' ~ a w o j el aapuard lnad ( 0 s ) ?l!luap!,l a 0 I 3 al:,~a:, n p x lu!od.lnol anod
SUR LES SYSTEMES DE FOKCTIONS HOLOYORPHES, ETC.
57
il suftit d e poser
et de partir de 11inegalit8 ( 1 0 ) . On a ici
et Ipin8galitb (36) donne une borne superieure de m / I . ,
i)h l'aide de c lc ,
F; F:, Fj,
.
quantiles de la forme o7(r; P ), P designatit un polynome en i ; F" F" P" '9 2 e t 2.A partir de ce moment, le raisonnement fait au ChaF,
F,
F3
pitre I se repete identique. On peut donc extraire, de la suite considkree, une suite pour X, X X. Iaquelle p, e t 2 a convergent 1) dans le cercle-unite, e t n Ji)r.tiori - r
6
x,
xi. dans le cercle C,; tous les rapports mr~tuels(( convergent n alors,
XP
et le theoreme VI est enfin demontre pour le cercle C,,. D'apres la remarque dCjh faite, il se trouve etahli Pgalement pour le cercle-unite toul enlier.
37. De merne que le crithre relatif au cas y = 3, le thiol-+~~tr 1 7 lrste zlr.ni si b dornaine de onriation de x est guelconque. hiais le raisonnement d u paragraphe "4 ((Hemarqur) n'est plus valable ici; en eff'et, nous ne somrnes pas s Q r s u prio1.i de la propositior~suivante : (< Si le theoreme VI est vrai pour tous les points d'un tlomaine, c'est-i-dire si tout point do domaine est centre d'un cercle pour lequel le theoreme est vrai, il reste vrai pour I'ensemble d u domaine. ), Cela ticnt a ce que le thkorPme VI ne permet pas d'affirmer clue la famille des t'or~cS
tions x, ;~!,par exernple, soit norrnale.
I1 faut donc avoir recours a une :rutre methode. lndiquons qn'il suflit de raarcner le cas d ' l ~ ndornaitte cluelconrlue D au cas d u cercle, en elyectuaot la representation conforrne, s u r un cercle, d u dornaine de recouvrement si~nplement connexe (L7ebel*I~ig.er-ung.~frache) du domailre D.
58
HENRI CARTAN.
Sans nous attarder davantage au cas p = 4, qui sera etudie en ddtail au Chapitre suivant, traitons tout de suite'le cas oh p e s t quelconque. 111.
- Cas gbnbral.
38. THEOREME VII. - &ant donnte, duns le cercle-unitt?, une famille infinie de systbmes de p fonctions holomorphes, sans zbros, vtrijant l'identitt X,+X,+
...+X , = o ,
on peut e n extrnire une mite i n j n i e de systemes, pour laquelle se trouve rtalise'e 1 'une des circonstances suivantes : a . Les indice3
I , 2,
. . . ,p se partagent en deux catigorks, jouissant
des proprittis suivmntes : r le quotient de deux fonctions quelconques de premiere catkgorie (( converge ' 2 le quotient d'une fonction quelconqtle de seconde cntr;gorie par line fonction quelconque de premikre catigoric. converge uer~sztro;3" comrne conskquenco de la propriete zO, le quotient de la somme des fonctions de premiere cnte'gorie par l'une qr~elconque d'entre elles conve?Xc velr ~ 6 1 . 0 .Ajoutons qu'il existe au moins t k u x indices de premiere ct~t@orie,et qu'il peut n'exister ~ L L C ~ L I Z indice de seconde catkgoric.. b. I1 ~ x i s t edetrx grorrpes tl'i~itlicr.~, chaqt~egrorlpe comp~.cnnnt N U moins d e i ~ xindices: nrr/i.s il pcwt ( > x i s t ~des r indice3 n'nppnrtennnt ci alrctln de ces deux groupes, 101:rquep 4 . Duns chaqlrr groupe, on (/istingtre encore entre les indices de premiere catkgorir, m nombre au moins t g a l a deux, et lrs indicrs de seconde cntkgorie, quipeuvent Jailleulr ne pas exister; et t o n peut c5noncer, porll. Ips fonction.~rl'un nlPme porlpe, les m&rnes proprittks de convergence r O , 2 O et 3" que d a m le cas a, acgeccette diprence que la proprie'tt 30 est cetle fois inile'pendante iics cr u tres . ));
>
Le cas ( 1 est en som~rlele cas oil il existe un ~ I ' O I L P P unique compl-ennnt to1r.r IPS indices. Si I'on applique Ir thPori~meVII an cas p = 4,on retrouve le thCorbme VI, qui apparait ainsi colrlme un cas particulier d'un theortlrn~ plus general.
39. Comme Ir thbori.me VI, et pnur la meme raison, le theorvchmeVI1 reste vrai st le tlotn;~inutlv variation d11.zest quelconque. Indiqtlons alors rapidemcrrt la Inarche i snivre pour demontrer le tl~tnrhmeV I I . 011 srlppose qu'il a eti. etabli your p - I , lorsque le dnmaine dc vari2tion de x est quelconq~te,c t I'on montre qu'il est vrai pour p, lol.scluc>It. tlornaine de variation d r x est le c~rcle-unitk. Les fonctious cnvrsagees 6tant supposkes definies dans le cercleunito, il suffit, comrne dans les cas p = 3 e t p = 4, d'btablir les proprietes d~ convergence pour I'interieur d'un cercle C , , d e rayon r,, ayant pour centrr I'origine. Soit C, un cercle concentrique e t de rayon I., c o ~ n y r i sentre I., et un. Envisageons d'abord deux hypothhses parliculiibres :
Hsypnthi:seA . your laqucllc
--
X.
011
c o ~ ~ v e r gvers e zero dans le cercle C , , i et j designant
tleux des indircs I ,
Ilyl~oth?.scH . I:rquelle
2
oeut extrairc. de la famille une suite de systhmes
-
2,
. . . , p.
On prut extraire dc la famille une suite pour
a converge o vers une limitc dirkrente d e
- I dans lk
I
cercle C , . Dans I'unc e t I'autrc hyputhhses, on montre, en raisonnant comme at1 ~)aragr;~plle 32, que Ie tlleorerne VII se trouve etabli pour le cerclc! C,, cotllrne cons8rlucnce du thkorltme VII relatif h p - I fonctions d6finies dans un tlornaine quelconque.
40. On exclut d6sorrnais I'hypothbse A ; plusieurs hypothbses, q u i s'excluent m u t u e l l e m ~ n t ,sont alors possibles.
Ilyl)o/hi.sc I. - On peut extraire de la famille une suite infinie d e systCmes, your laquellc deux fractions derivees d e u x termes restent inferieures ou egales i rrn en module en tout point d u cercle C,. En raisonnant commetia~lsle c a s p = 4,o n voit q u e le thAoreme V1I esl ktabli pour le crrcle C,,, dans I'hypoth6se I. On exclut ensuite I'l~ypoth&se1, ce qui conduit h I'existence d'une suite infinie S, de systkrnes, jouissant de la propriete suivante : cha-
60
H E N R I CARTAN.
cune des six fractions derivkes h deux termes, sauf ulle petit-etre, 'xr+lxp' par exemple, est supl!rieure P ~n en lliolIuIc C I I I UI; 1,oiut da XPIX, cercle C, . On n'envisage dksormais que la suite S , , et I'on I'ait relativcme~ltI cette suite l'hgpothese suivante : Hypothkse 11. - I., etant un nombre c o ~ n p r i se ~ ~ tI .r, ?ct rrn, on oeut extraire de S , une suite infinie de systkmes, pour laquclle il existe un groupe de trois indices i, j, X., pris parmi I , 7, . .., y - I , tels que chacune des trois fractions derivees a trois terrnes formbes avec X,, X, et XI, soit quasi partout, h y, prbs, infcrieure ou Pyale a lrrl en m o t l u l ~ dans le cercle C,(I x ( I . ? ) . Le nombre positil' y2 est ensuitc convenablement choisi. On rnontre, comme dans le-cas y = 4, clue le theorkmc Y 1 I cst Ctabli pour le cercle C,,, dans l'hypothese 11. On exclut ensuite I'hypothhse 11, ce qui conduit h I'existence tl'une suite S,, extraitedc la s u i t e s , ,jouissantdc la yropriGt~soiva~ttr~: 1,p, u designant trois quelconques des indices I , 2 , . ..,p, I'une a11 ~troins des trois fractions derivees h tr0i.s termes formees avcc Xi,X, et X,,
<
X'Ix'xpxv' , est supbrieure h rm en module ell des points ilu lX).~pl.lxm cercle C,, qu'on n e peut pas enfermer h I'intt'ricur tlc circonferences dont l a somme des ravons soit egale h yl. On fait alors I'hypothlse suivante : soit
Hypotlkse I l l . - r , etant un nombre c o n ~ p r i seutre I., et rrlr, on per~t extraire de la suite S, une suite infinie de systlmes, pour I;~quellcil existe un groupe de quatre indices i, j , k , I , pris parrni I , 2 , . . .,1, - I , tel que chacune des fractions derivkes h quatres termes formees avcc Xi,Xj,X, et Xisoit quasi partout, h y:, pres, inferieure ou tlgale i t r r l l en module dans le cercle C , , de rayon I..,, ayant pour centre I'origine. On ecrira cette fois des identitiis dc la forme
et I'or~ pourra trouver, relativement im
(
I.,
, :::,
), une i~legalite
S U R LES
SYSTBUKS DE
FONCTIONS HOI.OMOHPE3ES,
ETC.
analogue P I'inegalitk j3Ci), relative i ns
a
6I
On conclut
encore a la validite d u theorhrne VII pour Ic cercle C,. Le procede ast general : I'exclusion de I'hypothese 111 c o ~ ~ d u ai t ['existence cl'une suite S., extraite d e la suite S,, et 1'011fait, rclativement a S,, tine / _ Y P o ~ ~ @ .ICrqui YF fait intervenir les fractions derivees a cinq termes, etc. La dernikre hypothkse, qui sera la ( p - z)'"""',sera relative i~une suite S,-,, extraite des precedentes; elle sera formulee ainsi : I;,-, ktant un r~ornbrecornpris entre I;,-:; ct I I I L011 , pcut extraire de S,,_:, une suite de systi~mes,pour laquelle chacune des f r a c ~ i o n stlCrivees a p - I terrncs formees avec X I , X,. . . ., X ,-, rcste quasi partout, h y,-, pres, inferieure ou kgale a Irn en module tlans le cercle C , , ,, de rayon I ; , _ ? , ayant pour centre I'origine. On exclut er~fincctte hypothese, cc qui c o ~ i d u i ti ['existence d'uoe suite S,-,, extraite de S,-,, polir laquelle on peut trouver une limitation X I X 2 . ..sp-,
),
de nr ( I . , / x , x Y ,,-, 1 en prockiant eoulrnc au p a n g r a l ~ h e36, et s n invoquant Ics theorbales IV, 1VI~i.re( lVrc,~..I 1 restc albrs A appliquer la methode d u Chapitre I :I I ' i d e ~ ~ t i l d !...a
X, X., X -+-+...+= +I=o. x ,, x,, x,,
pour achever la demonst~.atiol~. Nous pouvons donc considerer le thborilmc \'I1 corlllile delnitivernent etabli.
4 1 . Exlc,~~sion r r i ~ Joncrlr)r~s . ~ ( 1 plrrsio~ls ~ vrr~~iub/c~.r. - 0 11 sa i t q u c Ic critkre d e P. Monte1 s'e(.end taciltrllic~lta u x fonctious tle plusic!u~.s variables complexes ( I ). 011 peut peliser q u e les tl~CortmesVl ct V11 sont susceptibles d'une l~areilleg e ~ i d r a l i s a l i o ~El1 ~ . realitk, cela ne ra pas s J n s de stirieuses difficultbs; je suis pourtant p;~rvc~nu i dkmon~rt!r q u e b th,korPlne IJI s'Plend ~ I L fonclions X dr I I va~~iuhlrs colnplrxcs x ,, x ? , . . . , x,, rJ<Jinies dons l'ftypercylinrhr
<
IxrI
...,
)Xn/
(1)
[ C : a,);v o i r alissi LEI, 1). rA4.
--
62
H E N R I CARTAN.
La dernonstration, qoi est assez longue, srra puhliee dans un Memoire ulterieur.
CHAPITRE 1V. liN CRITERE
D E FAhIIL1.E COMPLEX& NORMALE ( ~ l l i l e ) .
I. - La valeur du critere lorsque 1, = 4 et lorsque p > ;.
,4P. Supposons p = 4 , et exan~irlons les divcrses circonstn~~ccls prevues a u thitorlme VI. Dans le cas a, si toutes les fonctions s o ~ r tde X premiere catkgorie, tous les rapports 2 (< convergent > I ; s'il y a u n t
x,
X
seule fonction de seconde catkgorie, tous les rapports 2 convergent X, au sens large )I. Au contraire, si, dans le cas a , il existe deux Snnctions de secondc ((
X
catkgoric, X, e t X, par exemple, tous les rapports 2 co~tvcrgentau XI, X,
sens large, snll f le rapport -,; ou, d u moins, Ic tl~eorib~nc nc (lit rirn sur
2x. . I1 est intitressant de donner un exemple d'une suitc inlinir S
X
t l ~
X
systemev pour lac~uelle-2 converge vers - I . et *- ccon~ergentvers x, 4 x, X zbro, 10 J'nmille -3 n'ktnnl pas nornzclkc. I'la~ons-nons,it ccl cll'ct, d:,~ts X, le cercle-unite, e t prenons
11
elan1
(111
X.
entier posilil' qui a u g n ~ r n t eintlefinimcnt. La San~ill~: X.
x,
n'est pas normale, car -.' = cnr tend vcrs zero si la pactie rtellc, de . I x, rst nPgative, et vcrs t GC si elle cst positive. X 11 rcste enlin icsalnillor la cas 6 . Supposons, par exclnple, clue 2 x*
SUR I.ES
SYST~:MES D E YONCTIONS
HOLOMORPHES,
63
ETC.'
X et X convergent i vers - c ; alors le theoreme ne dit rien s u r -2.Prex X, J.
nons, en effet,
x , n'cst prrs no~mulc.I 1 suffirait meme de prendre Ln f(~niilks x,
X, = - X , , r t X ,= - X,, la farnille
X
-1
x,
n'etant pas normale.
Par consi.quent, les cas dans lesquels le thebrbme VI ne perrnet pas X
cl'at'firmer clue toutes Ies familles f soient normales peuvent se prkP
senter effectivemrnt. I I ne faut donc pas esperer trouver, lorsque p = 4, un critt'brct tle farnille complexc normale plus complet q u e le thCureme TI. 43. Lorsque p > 4 , au contrairc, on p e u t garder I'espoir d e cornplkter le tltkori.mr VII. Convenons il'apprler cc~s(io/lter/x u ceux tles cas [)revus d a n s I'411uncC d e ce thkori~me,ou il existe des indices n'appartenant A aucun groupe. Supposons d'abord p = 5 : il y a un cas douteux, celui oh i l existe deux groupes d e deux indices chacun, 1 , 2 e t 3,4 par ((
exe~nple.hlurs
X
1 et
X..
convergent vers - I , e t c'est tout ce q u e le x1 ~ h t ' o l + i ~[)(:r~net ~e d'affirmet*. Or, darts tous les exemples de cette circronslat~ct:que j'ai su Irouver, on pouvait, de la suite envisagee, -:
x1
X X rstrairc une suite nouvelle po.ur Iaquelle I'un des rapports -2 e t -2
xi
X3
cotivergeait vers zbl-o. 31il;lis jr lie suis point parvenu i demontrer cln'il ell s o i t tol~joursainsi ( I ) . Poor tenter d'Cclaircir ce point, je m e suis plac6 dans I'hypothPse tl'une suite r; X jouissat~ides ~,roprii.ti..; s u i v a n t e ~: -2 e l - ~ c o l ~ v e v g e nvers ~ - I , et. il est ilnpossible (I)
S,
X,
1
d'extraire d e cette wile ulle suite nouselle pour l a q ~ ~ e l I'une le des fonetions -6 et.
x,
X --.I
s,
64
HENRI CARTAN.
D'une facon generale,p titant qoelconque, le theorbme suivant s'est trouve verifie d a n s tous les exemples qrle j'ai pu construire : La circonstance b du theorbme VII est remplacee par la suivante : les illdices se repartissent en plusieurs groupes, comprenant chacun d e u s indices au moins; les fonctions-d'un m k ~ n egroupe jouissent des mkrnes proprietes de convergence I", 2" ct 3" que dans le cas n , et ces trois proprietes sont indkpendantes. ((
tor1.v
))
Mais, comme je viens de le dire i propos du cas p = 5 , je n'ai pas reussi a etablir ce theorkme.
44 Le theoreme V11 gal-de neanmoins sa valeur dans des cas trbs converge vers zero. Je me petmels d'indiq~ret ici, sans dClnonstratiolr, quelques-unes des consi.qnencei ~ l ccetlr I~ypotlri-se. Yosons
11.w I ~ ~ p o r l ~ Z cIrs c . foncrions E, ct E, qui son1 holomorphcs, convergent vers Y ; Y ' Y' Y' ~ l l o r n:I - c 2 9 P: -' , E , --f convergent vers 261.0; de lntme E, Yl Y, Y, Y, r.1.
,
€1
(:+)",
21
(2)''. el,,..
~III!I ~ I I I .
E ~ O .
soil ~ ' e n l i r rp o s i ~ i fn ; enfin, si n est assez (rand,
En ontre, s111,1>o~on~ pour fixer lcs id&, qne Ics fonctions soient definies dans le c~.rcle-unite, 1.t con.truisons~ pour clraque s ~ s t & m rlc c la suite, une fonction p ( o ) , I~olnmorphe dans li: ccrrle-unite, n'y prenant pas la valcur un, e t y adrnettaat les mPmes z61.o~quc. la fonclion a\(:c ICS m h e s ordtcs dc rnultiplicit6. On a alors la pr~)()osition* ~ ~ i r . ; ~ :n tc cc La siiile rfes foncriorts ~ ( x jconvet-ge nc'cessairement uers ;Pro cf
ir111Cfinimentlorsqu'on se tleplace dans la suite des systkmes, car la fonction
?(XI= l - e t l i ~ converge pas vcrs 1.61.o. Ces c o ~ ~ s i d t t a ~ i omontl.Pnt ns pourquoi il est difficile de trouver un exemple r d l i s e n t I'hjpothtqe envisagCe. IIC
gkneraux. Plaqons-nous dans le cercle-unite, pour fixer les idees, et supposons que chacune des fonctions X , de la farnille prenne u l'origine une zlaleur fix? a,, et que la sornmr d'rin nornbre quelconque des quantitPs aLne soit pas nrille. Appliquons le ~heor(.meVII. II ne peut pas exister deux groupes d'indices ( I ) ; donc le cas a est seul possible. De plus, il n'existe pasde
r-
fonctioo de seconde categorie, puisque tout quotient X i poss+de, h l'originc, une valeur fixe non nulle. Par suite, onperlt extmire de la X farnille rlnr suitr infinie de systkrne.~porrr IagrlrIIr tolls les rapports -1 x ,, x A convergent )) ; autr.erne~~t dit, toutes les families .sont not-rnal(>.s,et !J bornees d a m tout dornrrine f errne intkieur. (' ). Le theorkme VII nous donne donc une certitude dans ce cas general ; on pourrait se placer egalement dans d'autres hyl)othes~s,de facon a exclure la possibilite des cas douteux. Faisor~sune dernibre rernarque : si, cornme A . Bloch, nous avions systematiquernent fixe les valer~rs des fonctions k I'origine, lou us n'aurions pas trouve de cas tlouteux llorsque p = 5 ; mais il s'en serait de nouveau present& d&s que p = 6. I1 nc semble pas que A. Bloch ait s o u p ~ o n n eI'existence de ces cas douteux, et i l enonce un theorbme (') qiii ne parait guere certain ; ou, tout au moitks, r i ~ ndans son Memoire ne conduit B adrnettre son exactitutlc. ((
( j )
11. - Quelques applications du critere.
45. Pour fixer les idbcs, nous nous placerons desorlnais dans le cercle-unite. Sinon, soient X,, X2,...: Xh les fonctions d'un mPme groupe, X,,pal. cxco~l)lc,eta111 xI+x2+..:~x/, devrait converger vers zr;r.o ; or de premiere catkgorie. Le quolient Y. ~. il possede une valeur fixe, non nulle, i I'or~gine. ( 2 ) Cvtte proposition etait \.irtuellernt:~rtcontcnlltLdans le thkori.mv VlI du hlimoire de A. Blocli : [ A ] . 1,. 3 4 3 . X x ( 3 ) En effet, les fonctions 2 e t 2 ne pourraient pas converger toutes deux vers - I , X, XI car elles devraient prendre alors la valeur - I i I'origine; e'ert impossible, p ~ ~ i s q u e X, n'est pas nu1 i I'origine. ( b ) [ A ] , T h e o r h e IX, p. 3 4 5 . (I)
: s!oal ua as!a!pqns a s
st:, a 3 'alnas s u n la a!ao$a~er, apuo3as ap uo!puoj a u n a)s!xa 11 .z
: saluea!ns sa)!l!q!ssod sal suoae snoN
.D
se3 ne suossed
..Y la J ap uo!lelnmaad aed q-!nla:, ay
l!npap --
8-I
la
;ts I & Isaaa
'x no sea a? .oaaz saaa as~aauo:, , X X
sraa ~uaBaaauo:, l'x l a ailaanuon B s.tol+'.l
;-
- saaa lua~aaauo:,"X ;la7X .z X -OJ;)Z
3
saaa aBaaau03
.h' + J la ' I - saaa aBaaauoa - saoljr. I -saaa ~uaSaaauo:,$ )a .r
x
E
Z
x
.I
: xnap ua as!a!pqns as sea a 3 -q se3 a1 red lue3uau1moa ua 'aru+oar[l a3 ap aauoua'l suep sanaaad saauelsuo3.1!:, sasaaa!p sdl ~ U ~ U I ~ A ! S S ~S UZ OI U~ ! ~U SI U X ~ 'IA amgaoaql a1 suonb!ldde la
suosod !suo!~:,uo~ xnap sa3 3 la J l u a ! o ~
.l-j = d sea ne snuu-srlouaoq ! uo!le3!ldmo:, es a p asne:, r: 'leaauag se3 a] suep sed suoaa:,rroua,l au snoN ' e d ~ ' " ' "J aIl!mej el y jyelaa 'alcwaou axaldmo:, all!olej ap aaal!aa un lua!lqo uo 'IIA ~ u ? a o a y la1 luenbrldde anal u 3 'allnu luaruanb!luap! Isa ammos anal la 'soaaz sues 'saqd~omoloq suo!larroj sap luos "X '... '" <'x -2-,I
.z-d ,I =,z-t/
-.
.
'"'
X
.-G,,
-1 L
$id
I
-l=l-(l
.
="x
'I
S
d ='x S UO S O d
.utr
'
J ~ I ~ ~ V v1L svd Z y u a ~ d a uawulos
vl fuop 'soqz suvs 'sayd~ou~oloy 'e-d~ SUO?PUOJz - d JP S~ZII?~S/CS a p ap.uuJ aun suoaap!suo3
SYSTI'.MES UE
F O A C T ~ O N S HOLOMORPHES, ETC.
67 a . 3 , ou .Y1 est de seconde categorie. Si c'est X,, g ((converge n, e t f converge vers zero. Si c'cst S,, ,f converge D, e t g converge vers ztro. p. X , est d e seconde categoric. Alors J'et g convergent 1). y. X , est dc secondecategorie. Alors f et gconvergent versl'intini, et . ,;I'converge D. S U R I.ES
((
((
' I
3" 11 existc deris fonctions de seconde categorie. a. S , et S 2 sont de seconde categorie. Alors J et g convergent vers
zero.
F. X, et S , sont de seconde categorie. Alors f converge vers zero, g converge vers I . Le cas oil S , ct S, sont de seconde categorie s e deduit d e celui-la par permutation clef et F. y. S , et X ., sont d e seconde catkgorie. Alors g et 8 convergent vers
f
I'infini. Le cas oh S , et S,, sont de seconde categorie s e deduit d e celui-la par permutation de J'et g . 8. X, et X, sont de seconde categorie. AIors f et g convergent vers I'infini, et f converge vers - I .
A'
46. Tous les cas ayant ete examines, nous pouvons enoncer lc thkortme suivant : ' ~ H E O R ~ ~VI lEbis. - ~ t a n donnee, t dans le cercle-unite, rtne f a m i l k de systemes de deux ,fonctions f ( x ) et g ( x ) , holomorphes, sans zeros, dont la somme ne prend pas la oaleur u n , on peut e n extraire une suite in.nie de syrtbmes, pour laguelle se trouve ~.lalise'r!l'une des circonstances suiczntes :
Chacune des fonctions f et g 2O
f et g convergent velr L'injini,
.3" g et
((
contarge
et f -
6
((
))
ou concierge vers zero;
converge ;
5 convergent vels l ' i n j n i , et la circonstance analogue,
f
obtenue e n permutant f et g ;
68
HENRI CARTAN.
f
+ g converge vers zero, et gf converge.vers - I ;
50 g converge vers
-
et
I,
f
contrrge vers zkro, et la circons-
tance analogue, obtenue en permutant f e t g . Dans les cas 3" e t la famille des fonctions f peut ne pas &re normale; dans le cas 40, il se peut qu'aucune des familles f e t g ne soit normale. Pour trouver d e s exemples d e ces circonstances, il suffit de se reporter aux exemples donnes au paragraphe 42. Ainsi le cas 30 est rkalise pour les fonctions suivantes 5O,
en conservant les notations du paragraphe 42. Voici un exemple d u cas 4" :
I
et u n e x e ~ n p l ed u cas
5 O
f(x)1-en'?
=
C;).(3:)
- e-"),
:
Dans le cas 4'1, il suffit mCme d e prendre pour /'(x) une famille non normale d e fonctions holomorphes sans zeros, et de prendre ensuite g ( x ) = - . / . ( x ) . Dans le cas 5 0 , on peut d e meme prendre pour f ( x ) une famille non normale de fonctions holomorphes sans zeros, et prendre ensuite g ( x ) I . Voyons ce q u e devient le theorkine \:I bis lorsqu'on suppose q u e les fonctions f ( x ) et g ( x ) d e la famille prennen t respectivement des valeurs fixes a , et b,, i I'origine ( a , # o, 6,# o , a , + b , f I ) . Les cinq circonstances possibles se reduisent alors i trois, e t I'on obtient le THEORBME VI t c ~. Atant donnee, dnns le cercle-unitt, une farnille dc? systi.rnes dc: deuz fonctions f (x)et g ( x ) , holomorphes, sans ztros, dont la somrne ne prendpas la ualeur un, si l'on a
a , et b, itant deux nornbres fixes, on peut extraire cfe In farnille une suite inJinie de systtmes, pourlaquelle re trorlve rinlisee l'une des circonstances suic'antes : I
O
2'
f et g a convergent )) ; f + g converge trerr zkro, ct f; converge vers - I , ce qrli cxige a
3' g converge vers
I,
6-1
et -converge vers ae't.o, ce qui exige 6, = I ;
f
et la circonstance analogue, obtenue en permutant f et g , a , et 6,. Examinons maintenant deux cas particuliers d u theoreme VT bis.
47. Considerons d'abord ulie suite infinie d e systPmes d e d e u x fonctions f (x) et g ( x ) , holomorphes, sans zeros, dont la somme ne prend pas la valeur u n , e t srrpposor~sque f ( o ) et g ( o ) lertdent ~ c r ~z hvo . Je dis que f + gconverge vc8rrzkro ( I ) . En effet, s'il n'en etait pas ainsi, on pourrait, de la suiteconsidCrCe, extraire u n e nouvelle suite S , posshdant la propriete (P) suivante : 1 f +gI est superieur a un nombre fixe a en un point au moins d'un cercle d e rayon fixe r, ayant pour centre I'origine. Appliquons le theorbme V1 bis a la suite S : la circonstance I * d e ce theorbme n'est pas possible; en ellet, on ne peut pas extraire d e S u n e suite pour laquelle f ou g n converge s, puisque f ( 0 ) et g ( o ) tendent vers zero; on ne peut pas non plus extraire une suite pour laquelle f e l g convergent vers zero, car alors f + g convergerait vers zero pour cetle suite, ce qui est en contradiction avec la propriete ( P ) . Les circonstances 2O, 30et 5One sont pas possibles non plus, puisque,/'(o) e t g ( o ) tendent vers zero. Enfin la circonstance 4"est en contradiction avec la propriete (P). Le theorbme VI his serait donc inexact pout; la suite S; par conscquent, I'hypothkse qui a conduit b I'existe~iced e cette suite est inadc. Q . F. D. missible. 48. Considkrons, en second lieu, irlie suite ir!/iriic. (fe sysl?mes de ( 1 ) IXappelons qne nous a \ o n s c o n r e n u , a u ~ ~ a l . a j i l . a l ~ 96, I r e ~ l e~ ~ ' e n \ i s a g eque ~ . la convergence uniforrne clans loclt clontoirtc fernze interiertr a u tlomaine consitlCre.
7O
HENRI CARTIN.
deux fonctions f et g, hol6morphes, sans z Pros, dont lu sommc converge vers zkm. Je dis qu'on peut en extraire une nouvelk suite,pour laquelle se trouve realisee l'une des deux ckonstanccs suivantes : IO
J' ct g c ~ n v e ~ g eoers r ~ t zero ;
' 2
f- converge vers - I . g
En eflet, dans tout cercle de rayon I.
converge m vers - I ; ou bien f converge vers zero,
et alors g converge vers zero. Dans les cas
20
);
et 3", 8 converge vers
19infini,et, pui sque g ( ~ + f converge vers r h o , { converge vrrs
-
I.
7
1)ans le cas 4",1 converge vers - I . Enfin, daiis le cas 31,a, convergp 67
t'converge vers - I . vers I ; par suite f converge vers - I , et 2 n
La proposition est donc demontrie ( I ) . I1 en resulte, en particulier, que si.1f(o) (
.supi~.iel~i ci url nonzbrc J j x e a , et s i f t g convergc velr ;Ira, on cst slir. guc. converge nelr - I . est
'I
Hn effet, de toute suite infinie extraite de la suite considti~.ke, on
t' peut extraire une suite pour laquelle "converge vers - I ; cela suffit
-
m
pour conclure, en vertu d'iin raisoni~enient classiqnc, dont nous aurons i faire l ~ s a g eB diverses reprises. Exposons-le au rnoinc unr3 fois : si. S ; ne convergeait pas vers - I , on pourrail extraire une s t ~ i t c 3
infinie A, telle que
soit suytirieur b
.6'n
1111
nornbre fixe Iell
1.111
( I ) Au lieu d'invoqucr lc tl~CorelncV I bis, c'cat-i-,ti~.c, C I I sulrllnc lc ~l~eoi.Crnc VI, on pcut donncr dc ccttc propo.iticln unc dernonst~~ation rii~.cctc. qui 11,. f : ~ c c r pnz appcl aux theorimes IV e t I V L i s ; clle ressrmble ~ J I ~ ~ I I C i~ I1;)I ~~ )I ~ . I I ~ ~ I I S I I . ; I I ~dl1 OI~ crillrre relatif au c a s p = 3 26-29).
is
S U R LES S Y S T ~ M E SDE FONCTIONS
I~OLOYORPHES, ETC.
7'
point au moins d'un cercle fixe (1x1 < r , < r ) . Or, tle la suite -f7 n on peut extraire une suite qui converge vers - I . [I y a contradiction. 49. Je vais maintenant dernontrer le theorkme suivant :
Considerons une suite i n j n i e de systilmes d e deux fonctions holornorphesp et g, admettant respectivernent les valeurs exceptionnellts (' ) jxes a et p, dont l'une a u moins n'pst pas nulle; si le produit p q converge vers akro, on peut extraire, de l a suite considCree, une suite i n j n i e p o u r laquelle l'une des fonctions p ct q concerge vers atla. Dans le cas oh a = o, on peut supposer une constante. Posons
=I,
en multipliant q par
f e t g sont holomorphes, sans zeros, e t leur somme converge vers zero. D'aprks le paragraphe prkcedent, on peut extraire une suite pour laquelle I'une des fonctions f et I + - converge vers zero, ce qui dhrnontre le theorkme. Dans le cas oh ap # o, on peut supposer a = = I . Posons :
7)
Les t'onctions X,,X, et X, sont holomorphes et n e s'annr~lentpas; en outre, dans tout cercle interieur au cercle-unite, X, ne s'annule pas i partir d'un certain rang, puisque X, converge vers un. Cela suffit pour qu'on puisse appliquer le theorbme VI aux fonctions X I , X2,X:lr X,, dont la somme est identiquement nulle. L'examen de tolls les cas prevus dans l'enonce de ce theorkme rnontre que, dans l'hypothbse oh p q converge vers zero, on peut extraire, d e la suite envisagee, une suite pour laquelle I'une des fonctionsp et g converge vers zero. Remarquons enfin que le thborbme serait inexact si a et P etaient
(7
( 1 ) On dit qrl'nne fonction admet l a ualeur exccptionnellc a , si cllc nc prend pas la valeur a. (I) Ccl cxamen, scmblable a celui qui figure au paragraphe U,n'oUre aucune difficultd, ct j'ai jug6 inutile dr 1t- rcproduirc ici.
72
HENRI CARTAN.
nuls tous les deux. 11 suflirait, pour le mettre en defaut, de prendre
n etant un entier positif qui augrnente indefiniment. Indiquons, pour terminer ces applications, que si I'on a une famille de systbmes de deux fonctions holomorphes p et q , admettant respectivement les valeurs exceptionnelles fixes a et p, dont I'une au moins n'est pas nnlle, et si le produit pq ne prend pas la valeur un, on peut enoncer un critbre de ramille complexe normale. 111.
- Gbnbralisation des theorbmes de Schottky et de Landau.
50. Notre critPre de farnille complexe normale (theorbmes VI et VII),
et les theorbmes que nous venons. d'en deduire, permettent de dernontrer des propositions analogues au theorbme de Schottky ou au theorbme de Landau. Nous supposerons, pour simplifier, p = 4, et nous nous placerons dans le cas, envisage aux, paragraphes 45 et 46, de derix fonctions f ( x ) et g ( x ) , holomorphes, sans zkms, riont la somme ne prend pas la valerlr tin. ecrivons leurs developpements en serie de Taylor dans le cercle-unite :
Nous allons demontrer la proposition suivante : et b , Ctant JxPs, sinriciine des trois quantitks a , + b,, a , - I et b,,- I nullc, ( d ( x ) ( et 1 g ( x ) ( admettent, dans tout cercle 1 x 1 r I , des bornes sriphierire et iyftrierire qui ne dkpendent que de r, no et 6 , . (1,
<<
IZ'PS~
Considbrons en efl'et la famille (F) . . de tous les sgstbmes de deux fonctions f ( x ) et g ( x ) , satisfaisant aux conditions enoncees plus liaut, et telles que j ( 0 )= ( l o .
g ( 0 ) = b".
Reportons-nous au theorbme VI ter; les cas z0 et 3" se trouvent exclus
ici. Dnnc, de toute suite infinie extraite cle la famil!e (F), on peut extraire une liouvelle suite pour lacluc.lle d' et g (( convergent )). Cela suffit pour demontrer la proposition annoncee, en vertu d'un raisonnement classique, semblable a celui qili est expose la fin du paragraphe 48. Puiscjue ( j ( x ) l e t (g(x)ladunettent une borne supi:rieul-e Mkr.), qui ne clPpend q u e de I . , no et b,, les inkgalites fondamentales
oh I'on donne a
J.
uire valeur f i l e ,
par exemple, mont,rel\t q u e / a , .I
rt 10,I rufmcttent unc borne sllpk~.ic~rrre q71i ne dkpend c / ~ ~(Icc ( I , , I),, et rle n. Dans les cas particuliers oh I'une au moins des quantites cr,+ b,, 0 , - I , e t 6,-I est nulle, une etude speciale est nkcessaire. Par
j'+g~,i'let
exemple.sio,=-b.(n,#~,o,#-~),~
dans tout cercle / x 1 que de no e t de
J-.
Si
I,
I$iadmetti:nl.
tles bornes supkrieures qui ne di:pendent (
I
y
I
,
# - )
1 ,
J
et
I+/
admettent des bornes superieures qui ne dependent que d e 6 , e t d e r. La methode de tlkmonstration est toujours la mi:me : oui se rimPiie au tlliorPrl~eV1 ter (' ).
51. AprPs ces gineralisations du thkoreme de Schottky, passons au theorkme de Lantlau. Soient, dans le cercle 1 z 1 R, deux Sonctions holomorphes J ' ( x ) et g(x), qui ne s'annulent pas e t dont la somme ne prend pas la valeur un : J ( x )= / I " + a,.l.+. . . ,
<
\(
I ; ) ( L . )= /to+ //,Xi-. .. (/I"#
0. /,,,#or / I 0 +
/)"#I).
( I ) Dcs rCsultats d c re gcnrc ont dPjk e t e indiq~lPs par A . Bloch : [A], I,. 3 3 1 , tlreoreme 111. Mnis 11o11savon.: voulu ici I r i rilttachc~.k notrc critere dc famille conrplcxc normnle.
-aleruJou axaldruo:, al[!wej a p ~ J ? I !aJjou J ~ ~ e 'suo!lsanb d sa:, salnol suep &?no!a l o J n p aap! aun su!our ne luauuop s a l u a p a q ~ d suo!le:,!pu! sa? *.la? IA aur?Joayl a1 ~ e ds n h a ~ d sea sap uamexa,l { 'alduroa ap ug ua ' s ~ n o r n oluas!npaJ l as !a-sa[[aa!suo!jeJlsuoruap sa1 ~ass!nbsa,nbl ! y suoae,u snou luaanos la 'sa~dru!ssnld sal se:, sal suep anb slellnsaJ ap aauoua suoae'u snou 'apqaa~d!nb aa lnoj s u e a -71 ax9 SueJ a p '"q la "n slua!aWao:, sal quaaaaju! aJ!ej lnad u o 'u Jal -!rn![ m o d ' j la I D J!uaaJalu! aJ!ej a p naq ne ' a n b ugua s u o n b ! p u ~ .J ap l a Oq ap uo!lauoj ua a u ~ o qlsa 1 ( x ~ ) /' 1( J x ( a p ~ a agnoj suep 'anbslnd 'Oq a p uo!lauoj ua a u ~ o qlsa utz, 'laaa u 3 - I D ta 9 ap an6 puadqp a 1 ?n6 a.tna?qdns auJoq aun lawpD H ' ( I -# Oq ' I # Oq) I = Ov ?S -(luapaaard a y d e ~ 8 e ~ e*d/ a ) .1 a p ga O D ap uoyauoj ua a u ~ o qIsa ( ( x u ) B+ ( x u ) / J ' I >.I Ix 1 ala~a:,gnol suep 'anbs!nd 'Oo ap uo!louoj ua a u ~ o qlsa 8 ( ' q + ID) 'lags u 3 " q + lo la O D ap an6 pua4sp au !n6 a ~ n a j ~ a d m n s~ o q dull 12WpD u ']71U S D 1SaLU ~ ' q + ' D ?S la '(1 - # O D ' I # O D ) Oq - = O D ?s 'aldmaxa J B ~-1uarua~edas sau!ruexa a q ? y luapueruap allnu ~ S JI - " q ' I -01) 'Oq + O D sal!luenb s ! o ~ lsap aun,I yo sea sa? ' u 11 O q 'O D ap an6 puadqp au r~lba~ns?~?dns azl~oqaun lawpD u 'allnu uou axg Jnalea aun e 'aldmexa ~ e d' I D !s t O q la O D a p anb puadap au ! n b a ~ n a ! ~ a d nauJoq s aun luallarupe 8 ' q la y ' n 'allnu l!os au I - ~q la 1 - O D ' ~ + qO D sql!ausnb s ! o ~ lsap a u n ~ n e ' n baJa!ueru ap 'sqxg luos "q ga O D !S ~ l u a n b ~ s u oJ aG ~
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SUR
LEs
S Y S T ~ Y E S DE
FoNcTloiYs HoLoMORPHES,ETc.
75
52. Soitf(x) une fonction mkromorphe dans tout le plan, on seulement au voisinage d'un point singulier essentiel isole, que nous supposerons a I'infini. Designons par E ( a ) l'ensemble des points oh la fonction f ( 2 ) prend la valeur a , et, en particulier, par E(m) I'ensemble des phles de la fonction. Dans tout ce qui suivra, on ndmettra, sauf indication contraire, que chaque point de l'ensemble E ( n ) est comptk autant de fois qu'il y a d'unitts dans l'ordre de multiplici~ede la racine correspondante de l'equation f ( x ) = a , si a est jini, d~rpdle correspondant, si a e ~ itlfitli. t Lorsque deux fonctions f ( x ) et g ( x ) , mBromorphes dans tout le plan, admettent le mCme ensemble E(a), nous dirons qu'elksprennent ensemble la valeur a , ou encore que g ( x ) prend la valeur a en mime temps ylle f ( x ) . 11 en est ainsi, t.11 particolier, lorsque chacune des deux fonctions admet a comme valeur exceptionnelle, c'est-8-dire ne prend pas la valeur a ; dans ce cas, I'ensemble E ( a ) est vide. Nous dirons, de mhn~e,que deux fonctions, meromorphes au voisinaye du point i I'in tin i. pr~~nnPnt ensemble la valeur a cru z~oisinagede l'injini, s'il cxiste un cercle de rayon assez grand, h I'extkrieur duquel les ensembles E(a) relatifs h ces deux fonctions coincident. Nous conviendrons Bgalrment de dire qu'une fonction /(XI, mkromorphe au voisinage du point i I'infini, admet (1 comrne valeur exceptionnelle, s'il cxiste uli cerclu ;I l'exteriec~rduquel / ( x ) ne prend pas lavaleur a . (1) Ccrlains des 1.6=11ltat.i de cc Ch;~pitl.c0111 &ti: plibliis dans dcux Notcs alix C o ~ j r p l e s~ C I L I I ~ (I/Se Z'.lcnd. rles S c . , t . 185? 1927, p. 1253, ct 1. 186, 1928, 11. 624. I.ci a f ( i ~ . n ~ : ~ ~dcs i o n sp a ~ , a g r a l ~ l ~4c sct 5 tlc la ~ c c o n d cNotc sont ~ 1 4 prol~ablcmcnr s
IIIl'XilCtCS.
53. G. POlga e t H. Neva~llinna ont kte, je crois, les premiers s'occuperde I'unicili. d e la determination d'une fonction meromorphe, par la connaissance d'un n o ~ n b r efini d'ensernbles E ( a , ) , E(t1,), . .., Etci,,), assujettis ou non la restriction relative aux ordres de rnultiplicitC. H. Nevat~linnaa demontre If: thCori!me suivant ('1 : S i rltlrr.r. Jbnctions, mt:~.ornorphe.s.arr voisintlgc (/I/ poinl il I'injni, srrpposk .singrrliel. c,ssc,ntiel, prenncnt ensemble c:rNc_, anlelrrs distinctes a u uoisinrrge cle l'infini, elles sont ~~t!ce.ssni~*ement r'dentiq~rcs,m&me1or.squ'on ne lien2 pas colnple clcs ol-rlws rle ~/~ulll;olicitr;. Une fonction meromorphe au voisinage d u point 5 l'infini cst donc complPtement determinee par la connaissance, au voisi~tngede cc point, de cinq ense~rlblesE ( a , ) , E ( u , ) , Eta,), E ( a , , ) ,E ( n , , ) . 11 est naturel de chercher B reduire ce nombre d e cinq. On y arrive en s'appuyant sur le theoreme de E. Borel, d e j i cite dans I'lntroduction ( 5 i ) : S i l'on
tr
rrne idcntitd de 111.forme
entre des fonctions enti?~r.s,sc1n.s zt!ms. ou bien 1eu1.s rtrpporls mirtuels sont des comtanles, - oil bien les fonclions se pcrrlagent e n ylusieurs p o r ~ y e s , 1t1 somine des fonclions rl'rrn m$me group(, cst i(lentique~nenl nulle, el lelr~riwpports mutrlels sonl des constantes. Rappelons clue, pour demontrer ce theori:me, H. N e v a ~ ~ l i ~ i(') na etablit la proposition suivante, d'ou il decoule immediatement : si les p fonctions ne solit pas liees par d'autre relation lineaire, homogbne, a coefficients constants non tous nuls, q u e la relation donnee
. . ., p ) sont bornes lorsque raugmente x et par suite les - - I s o n t d e s constantes. (i ~r, =I,
indeiiniment,
2,
P -
[ F , dl. G. Pblya avait ltabli cc ~1iCorCme [ G I dans le cas d e deux fonctions entikres, de gcnrc lini, qui prennent enst.mble quatrc valeurs h i e s distinctes. ( z ) [ F , 61. p. 3 8 1 . ( 1 )
SUR LES
SYSTBMES nE FONCTIONS
Or, pour rnontrer qrle n,(r.
IIOLOIIORPFIES,
ETC.
2)
77
est borne. i l sufit de supposer
que les fonctions sont d8li1iies gu voisinage d u point 9 l'infini, et qu'elles n'ont ni p8les ni zeros dans ce voisinage; dire que nr(r,
< X
)
est borne, c'est dire q u e
>
n'a pas de singularit6 h
!A
I'infini. D'oh une gen6ralis;1tion d u theorbme de Bore1 : N' l'on a lrne irlentit(;(1. la .forme
c n l r ~dc.r .fonctions /tolomo~p/~es, sans ziros, a11 voisin(~g.e(111 point ti l'inPni, 011 Oien leurs rapports mutnels sont rc;guliers a l'injini, - ou bien /es.fonctions se partagent e n pb~sieulrgroupes, la somme des .fonctions d'r~nm&rn~. grouppe cst i(1entiqrlerncnt nulle, el leurs rapporls niutr~elssont rigrr1ic1-.r/i l'infini.
Dans les problkmes que nous allons nous poser, nous nous ramltnerons systematiquement A I'etude d'une identitk, a laquelle nous appliquerons ce deruier theorhme. D'ailleura, celui-ci subsiste evidemment lorsque les fonctions X I , S,, .. ., X,, ont ,des zeros et des pbles, pourvu qu'aucun de leurs rapports mutuels n'en possi.de.
5%. Envisageons d'abord d e u s fonctions f ( x ) et g.(x), meromorplies au voisinage du point i I'inlini, supposk singulier essentiel; admettons qu'elles prennent ensemble, au voisinage de I'infini, quatre valeurs distinctes n , I), c, d , que nous pouvons supposer finies. Cherchons a voir si ces deux fonctions ne seraient pas forcement identiqnes. Designons, d'une facon generale, par ( e , , pe,, e,, c , ) le rapport anharrnonique de quatre nombres e l , e,, e,, r ; :
et posons (37)
I
(f,8.a , 1 ) ) -- X . (f,g, a, L . ) = Y , (f.g,a , d ) = % .
78 HENRI CARTAN. X, Y, Z sont des fon.ctions holomorphes, sans zeros, au voisinage du point a I'infini. Or, I'elimination de f et g entre les relations (37) conduit A une identite de Borel h six termes : ( a - b ) ( c- d ) ( X + Y Z ) + ( a -- c ) ( d- b ) ( Y + Z X ) + ( a - - - d ) ( -bc ) ( % + XY) - 0 .
R e h p l a ~ o n sX, Y, Z par leurs valeurs en fonction de f et g; il vient (38)
( a - b ) ( c - d ) [ (f - a ) ( f - b ) ( g - c ) ( g - d ) + (8'- a ) ( g - b ) (f - c ) ( l ' - d ) I + ( a - c ) ( d- b ) [ if - a ) ( f- c ) ( g - b ) i ~ 4 +!a-d)(b-()[(
+ (g- a ) ( # - c ) (f - b ) (f f -a)(j-d)(g.- b)(g-c)
dl]
+ (g- a ) ( # . - d ) ( j - b ) ( j - c ) ]G o .
Dbsignons respectivement par X:, X:, Xi,Xi, X:, X: les six termes qui figment au premier membre de (38), dans I'ordre o i ~ils se presentent. Ce sont des fonctions meromorphes au voisinage du point a I'infini, et leurs rapports mutuels ne possedent ni z'eros ni pdles. Nous appliquerons donc le theortme de Borel generalise a I'identite (38); les dimerents cas de decomposition possibles sont les suivants : a. Un seul groupe comprenant les six fonctions;
9. Deux groupes de trois fonction!;
y. Un groupe de deux fonctions et un groupe dequatre; t". Trois groupes de deux fonctions. Le cas p se subdivise Iui-mkme en deux cas essentiellement distirlcts, suivant que les trois fonctions d'un meme groupe ont leurs indices inferieurs tous differents, ou que deux de ces indices sent les mCmes. Nous prendrons, comme types de chacun de ces delis cas,
Le cas y se subdivise allssi en deux cas essentiellement distincts :
Enfin, le cas 4 se subdirisc en trois :
Jc dis d'abord que, 11 ct c designant deux quelconques des quatre nornbres a , 6, c , c / ( u $1 v ) , si deux des six rapports anharmoniques (.f, ,o., u , s u ~ reguliers t a I'infini, f ct g. sont idenliques. IIcrivons en clrct ( 1 )
(1. ,y.
11.
(,f. ,q. ( 1 , .
V )
u ,)
=I'
(,TI,
=,'F (x),
P ct P I etant des fonctions regulieres i I'infini. L'Clinlir~ation de g entre ces deux relations conduit a une equation, du second degre au plus ell .f. Si clle permettait de calculer f en fonction de P et P , , f n'aurait pas dc singularite rssrntielle a I'infini. II faut donc clue celte &quation soit identicjuenient rerifiee, autrement dit, que les deux relations kcrites se rkduisent 2 une seule. Or, si l'on y regarde, pour un instant, P el I), comrne des constantes, f e t g comrnedes variables, elles definissent une homographie admettant les points doubles 11, u, u 1 et u,, ce cjni fait au moins trois points doubles. Cette homographie sc reduit donc a la transformation identique, et I'on a
Cela posk, si l'on examinesuccessivement les cas enumeres plus haut, cn ecrivant, pour chacun d'eux, que le rapport de deux fonctions d'un mPnie groupe n'a pas de singularite a l'infini, on trouve precisement, all noi ins clans les cas a, p, , $, y I , y, et ;, , que delia des six rapports anharn~oniquesi f , g,11, c ) sont reguliers a I'infini. On en conclut f r g . Ilans le cas 6,, on a
[(I.,8, b. (')I2=
I.
Si (./', g., 6, 1 . ) r 1 , on a J'=g. Si (f, g, 6, c ) = - I , on tror~ve ensuite (j',g, u. h ) = I , ce q r ~ iest impossible, en vertu de la remarque faite plus haut.
80
II reste equations
IlENRl
CARTAN.
examiner le cas 2 , . L'elimination de f e t ,o. entre les ,Y;+X:=o
X:+X:o
et
donne [ ( a , 6,
d'oi1
I.,
d)12= I ,
( a , h , c , d )=
I.
puisc~ueles nombres ( I , I), c , d sont distincts. On trouve ensuite
cela exige q u e J'et g admettent (1 et 6 comme valeurs exceptionnelles; sinon j ' e t g prendraient ensemble la valeur 0, par exemplc; or on 11'a pas ( a / , 1 )= I . -
55. Tous les cas ayant ete examiees, nous obtenons le theorhme suivant : ' ~ I I ~ O R B D I V111. E - a , 6 , c , t/ dLsignant QIiATRE n01ttbre.rcomplexes distincts, i l existe a11 plus uric J'onction, m i r o m o y h e (111 f?oisinr~ge du point .ringulier essentiel a 1 ' i ~ r / i n iporrr , lalgnelle E ( a ), E ( b ) , E ( c ) , E ( d ) coi'ncideltt respcctic.ement, nu voisinage de l J i n . n i 7 aclr,c qrlrltrse ensembles do~cl,c!rA, 13, C , D. 11 y (1 e ~ : c e p ~ i osi, n les rns/,mbles A et B ttant vides U I I roisinage de l'itt/ini, 0 1 2 n
dans cr. cns, s'il existe l ~ folzction n ~ rel~onc//llttri la lguc.s/ion, il en existe d e u r , et dc~rr~. serrk~nzc~~c~, . / ' ( x ) ct g ( x ) , ct l'on n
1,orsquc rious disunu q u e tleus enscnil)lcs coi'ncident. au voisinage tlc I'infii~i, lou us cntentlons qu'il tlxistc un cercle cle rayon asscz gr:ind, i I'estkricur tluquel ils col~rcitlcnt. Conver~otrsalors de dire q u e dells e ~ i s e ~ n b l cdes points coi'ncident au sc~c.vlu~-,o.c,lorsqu'ils ire dillerent q u e par un ~ l o ~ r ~fini b r ede points. Le t1it'ori.m~\'Ill e1111.aincevicle~ii~nciil Ic suivant :
SUR I,ES SYSTEIIES DE FONCTIONS
IIOLOMORPI1ES,
8I
E1.C..
THEORBME VIIl bis. - (I existe arr plus une fonction me'romorphe dons tout leplan, non rationnelle, porrr laqrrelle E ( n ) , E(b), E(c), E ( d ) coi'ncident au sens large avec quatre ensembles donnks A, B , C, D ; il .y n exception xi, les ensembles A et B n'aynnt qrr'un nombre jini de poinls, on a ( a , I), c , d ) = -
I;
d a m ce cas, s'il existe une fonction repondant ci k1 question, il en existe deux, et deux seulernent, f ( x ) et g ( x ) , et l'on a
Ce theorPme reste vrai a fot.tior.i si I'on supprime les mots au sens large D ; le cas d'exception correspond alors seulement au cas oh les ensembles A et R sont vides. On retrouve ainsi u n thkoriime d i ~ a G. POlya et R. Nevanlinna ( I ) . ((
56. Corrsiderons maintenant trois fonctions f ( x ) , g ( x ) et 17(x), mCromorphes a u voisinage d n point h I'intini, suppose singulier essentiel; admettons qu'elles prennent ensemble, au voisinage d e l'infini, trois valeurs distinctes a , b , c, q u e nous pouvons supposer finies. Nous allons dkmontrer q u e deux de ces fonctions sont necessairement identiques. Posons en effet ( f , g , (7, //)=X. ( f ,,; n. r . ) = Y , ( f , / L , a , /,)=%, ( f , 11, a , 1 . ) = T ,
et Climinons J., g, /i entre ces relations; puis, dans I'identitk obtenue, r e m p l a ~ o n sde nouveau X, Y, Z, T en fonction de j;g , h. I1 vient, tous calculs faits, (39)
p~
( f -a)(g-b)(/~-,,) + ( f - b ) ( g -c)(/, - a ) a ) ( h- 0 ) - ( f - r ) ( g - I / ) ( / L - a ) -(f-a)(hr<,)(I1 - 1)) - ( f - l ) ) ( g - a ) ( / /- c ) z o .
+ ( f- ,.)(hr- -
6 . l'blya [ G I > ' l ~ a ~i ~ l a cdaus ; Ic ca. ( I ~ I11.9 l ' o n c ~ i o oson1 ~ e n t i 2 1 . e ~e t de (I) genre fini, e t ou I'une dcs quatre valeurs a , b , c , d cst precisemcnt egale a l'infini.
R . Nevanlinna [ F , 6. p. 3781 s'est ensuite place dans lc cas general des fonctions n~eromorphesdans tout Ic plan.
les JlCsigl~ons respectivement par X i , X:, X:, - Xt, - Xi, six terlnes qui fig~rrentau premier membre de (39). dans I'ordre oh ils sckprdsentent. Cc sont d e s fonctions rneromorphes an voisinage d u point i~I'inGni, et leurs rapports rnutuels ne possGdent ni zkros ni pi)les. On va lour appliquer, comlne tout A I'heure, le theoreme de Horel gendralisk. On remarque d'aborcl que si les deux rapports aoharmoniques (,/; 8, o , 1)) et (./; g , (1, C) sont reguliers a l'infini, on a J = g . On fait en outre la remarque suivante : Si l'on a une identite
p et g ddsignaot d e u x quelconques des indices I , 2, 3, d i f i r e n t s ou non, deux d e s trois fonctions f , g, h sont identiques. Par exemple, I'identitC Xi-x;=o
donne (,/-u)(,;r-6)(/,
-c)=(.f-
c) ( g - 6 ) ( h
-n),
et, par suite, c o ~ ~ ~g-m e6 n'est pas identiquement nul, f = 11. Cela post?, on examine les cas d e decomposition suivants : a. Un seul groupe comprenant les six fonctions; Deux groupes d e trois fonctions :
9.
-y. Un groupe de d e u s fonctiol~se t un groupe de quatre; d'apres une remarque precedente, il est inutile d'envisagcr le cas ou les indices inft?l-ieurs des deux fonctions du premier groope sont differents. On examinera donc seulement le cas suivant :
8. Trois groupes d e deux fonctions; mais il est inutile d'envisager ce cas, puisque, dans I'un au moins dcs trois groupes, les d e u x fonctions ont des indices inferieurs dill'erents. Si, dans chacun d e s cas a, P I , P3 e t y, on ecrit q u e le rapport d e deux fonctions d'un m6me groupe n'a pas d e singularite a I'infini, on trouve q u e deux des trois f o n c t ~ o n sf , g,h sont identiques, en vertu d e la remarque relative aux rapports anharmoniques. D'ou le
S U R LES S Y S T ~ M E SU E FONCTIONS HOLOMOKPHES, ETC.
83
T H E O R ~IX ME (' ). - I1 existe air plus DEUX fonctions, meromorphes au voisinage du point singulier essentiel d l'infini, pour lesquelles E ( a ) , E(b), E(c) cozncident respectivemnt, au voisinage de l ' i n j n i , avec TRON enscnlbles donnks A , B , C .
57. Ce theori:me entraine le suivant
:
THEOREME IX bis. - I1 existe au plus deux fonctions mkromorphes duns tout le plan, non ~.utionnelles,pour lesquelles E(a), E ( b ) , E ( c ) coincident au sens large avec trois ensembles d o n n b A , B , C. J,e thborhme subsiste a fortiori si I'on supprime les mots au sens large )I. En particulier, il existe au plus deux fonctions, meromorphes dans tout le plan, ayant un nombre fini d e zeros et de pbles ( a ) , et pour lesquelles E ( I ) co'incide au sens large avec un ensemble donne. Or, s'il en existe une, soit f ( x ) , il en existe une autre, I -. Donc la con-
f (x)
naissance de l'e~lsembleE ( I ) determine leszeros it les pbles, qui sont d'ailleurs interchangeables. D'ailleurs, si f ( x ) a au moins un zero ou un polc, les zeros de f ( x ) et -5-
ne coincident pas. D'oh le
f (x)
T H E O R ~X. ME - I1 existe an plus une fonction f ( x ) , mt~omorphedans tolzt le plan, udmettant a11 sens large un ensemble E ( I ) donnt, ayant u n nombre Jini depdles, et de.r zr'ros donnbs en nombre Jni, pourvu qu'elle possi.de nu rnoins un zbn ou u n polle. Dans le cas d'une fonction f ( x ) n'ayant ni pbles ni zeros, il existe une fonction el une seule, admettant le meme ensemble E ( I ) q u e f (x), et n'ayant ni pbles, ni zeros : c'est L. Nous retrouvons la un theo-
f (x,
( 1 ) I,orsql~ej'ai p11bliC ce tlbkor&me daos Ics C o n ~ p t e srendus, deux cas particuliers en avaient seulenlent 6tC envisayCs jusqne-lh : le cds cles fonctions entikres admettant dens vnleurs exceptionnelles (P6lya e t Nevanlinna), e t le cas des fonctions entikres d'ordre f ni non entier [F, b , p. 3871. R. Nevanlinn;~a publiC ensuite ce mdme th6orkme dans les Contptes rendus, t. 18G, 1928, p. 289. ( 2 ) Les ~61.1)~ et Ics pbles ne sont pas donnCs.
84
HENRI CARTAN.
reme dil G. POlya (') dans le cas des fonctions entikres de genre fini, et etendu par R. Nevanlinna [ F , b , p. 3881 aux fonctions entiPrrs de genre quelconque. D'aprbs ces deux auteurs, le theortme est vrai meme si I'on fait abstraction des o r d r ~ de s rriultiplicite des racines de
Nous venons de supposer, pour simplifier, a = o, b = m, c = I ; i l va sans dire que I'on passe de ce cas au cas general par une transformation homographique.
T H E O R ~XI M(2). E - &ant donne's tmis ensembles A, B , C quelconques, il n'existe pas, en gknkrol, de fonction mL:l*omorphedans tout /e plon, pour laquelle E ( a ) , E ( b ) , E ( c ) coi'ncident respectivenzent avec A, B , C . Nous sllons m&me montrer davantage : il n'existe pas, en gentral, de fonction pour laquelle, E ( a ) coi'ncidant avec A, E ( b ) et E ( c ) colncident au sens large avec B et C. Bn effet, en vertrl d u theorkme IX bis, il existe au plus deux fonctions pour lesquelles E(a), E(b), E(c) corncident au sens large avec A, B, C ; soient K , ( ( I ) ct E , ( a ) les ensembles E(a) relatifs h ces fonctions, si elles existent. Prenons alors un ensemble quelconque A', distinct de E , ( a ) et E , ( a ) , et assujetti a co'incider au sens large avec A. I1 n'existe aucune fonction pour laquelle, E(ci) co'incidant avec A', E(b) et E(c) colncidel~tau sens large avec B et C. En particulier, il n'existe pas en ge'ne'ral dc fonction me'romorphe dans tout le plan, uyant des ztros et des pdles en nombre $ni, et admetrant un ensemble E ( I )donne'. Hevenons au theoreme IX. S'il existe deux fonctions f ( x ) el g ( x ) , merornorphes au voisinage du point a I'infini, et prenant ensemble trois valeurs au voisinage tle I'infini, o, I e t a : par excmple, or1 peut ecrire
( I ) G. Polya (Deutsche ~ u t h Ver., . t. 33, 1913. p. 16) enoncc ce tl~Sol.i.mcsou., la forrne suivante : ,Fi les points ou d e u z p o l y n o n ~ e sprenne~zt tlcs vccleurs e r ~ f i e ~ . e s coincident, leur sornnze ou leur diference est constante. ( 2 ) I1 est h peine besoin de rappeler qu'on peut toujours construire une fonction, mCrornorpl~edans t o u t le plan, adrnettant deux ensembles E ( u ) e t I':(6) ~ O ~ I I C SJ,L~I. , exelnple a d m e t t a n t des zeros c t des p&les d0nni.s.
S U R 1,ES SYSTEMES D E FORCTIONS HOLOIIIOIIPl1ES,
ETC.
d'ou I'on tire 1
U el V Ctant tles fonctions holo~norphes,sans zeros, au voisinage du point a l'infini. Rdciproquernent, U et V etant deux telles fonctions, les formules (40) definissent deux fonctions f ct g prenant ensemble les valeurs o, I et rr, au voisinage de I'infini. En particulier, les deux fonctions
sont rnerornorphes dans Lou1 le plan, poss6dent les rnernes ensembles E(o), E ( I ) et E(m), et n'admcttcnz d'uillclal nucune vnlerlr excep~lonnelle( ' ).
58. Constderons rnaintenant quatre fonctions f , , f,, g , , g2,mdrornorphes au voisinage d u point b I'infini suppose singulier essentiel; admettons qu'au voisinage d e I'infini, ce,s cjuatre fonctions prennent ensemble deux valeurs finies n e t 6 , q u e J', et f?prennent ensemble la valeur c, et q u e g , et g2 prennent ensemble la valeur c. Nous pouvons supposer c infini. On est alors ramene ij I'ktude de I'identite h huit t e r ~ n c s
Le rapport d e deux terrnes quelconrjues est ho1ornorl)lie ct ne s'annule pas au voisinage de I'infini. Les cas de deco~npositiona examiner sont trhs nombreux; dans la plupart d'entre e u x , on trouve que d e u s des quatre fonctions sont identiques, mais il y a egalement des cas assez nombreux ou' il n'en est rien. Les hypotheses precedentes etant maintenues, supposons en outre ( I ) Au contraire, nous ;rvons v t r que deux fonctio~rsqui prenncnt c*n>rt~il,lr~ qunlre vale[irs posskdent n6ces~~1irernent deux v;~leursexccption~u*llccithcore~rreVI11).
86
HENRI CARTAN.
que les fonctions f , , f,, g,, g , prennent une infinite de fois chacune des valeurs a et b. Dans ces conditions, il suffit que e s o i t rigulier f2-
a
I'infini, pour que f , et f, soient identiques; en effet, f , prenant une infinite de fois lavaleur b, Ff,a - a prend une infinite de fois la valeur en, e t par suite est identique a un. c. 0 . t'. D. Cette remarque facilite I'examen de tous les cas dc decomposition, et I'on arrive la conclusion suivante : deux des fonctions f ,, f,, g,, g, sont identiques, sauf dans le cas oh I'on a
ce qui entraine inversement
Remarquons d'ailleurs que si I'on a deux fonctions g , et g,, prenant ensemble les valeurs a , b et cc, les formules ( 4 2 ) definissent deux fonctions f , et f,, prenant ensemble les valeprs a , b et cc; de plus les quatre fonctions f , , f,, g,, g, prennent ensemble l e valeurs ~ a et b.
59. L'etude precedente conduit au theoreme suivant : T H E O R ~X11. M E - a et b designant deux nombres complexes Jinis et distincts, comidkrons la f amille de toutes les f onctions mkromorphes a u voisinage dn point a I'inJni, et admettant, a u voisinage de l'inJni, deux ensembles E ( a ) et E(b) donnks, dont chacun contient une injinrte de points. Etant donne rln ensemble M quelconque de points, il existe au plrls UNE Jbnction de la famille pour laquelle E(cc) coi'ncide avec M au s~oisinagede I'infini, sarlf perlt-&tre pour DEUX ensembles exceptionnelr (') R I , et M,, pour chacun desqrrels il existe derlxfonctions; en outre, s'il y a un en.remble exceptionnel, il y cn a dcus. Supposons, en effet, qu'il existe u n ensemble exceptionnel M i , et ( 1 ) Noi~sne considdrons pas comrne distincts deux ensembles qui coincident au voisinage de I'infini.
snient g, et g, les deux fonctions d e la famille pour lesquelles E(m) colncide avec M I ; nous savons, d'aprbs le theorbme IX, qu'il n'existe pas plus d e deux telles I'onctions. Les formules (42) nous font alors connaitre deux fonctions f , et.f, dc la famille, qui admettent u n meme e n s e n ~ b l eE(cc), soit M,; c'est un second ensemble exceptionnel. 11 n'y en a pas d'autre. Soient en effet M, u n ensemble exceptionnel, hi et h, les fonctions correspondan tes ; si M, ne coi'ncide pas avec M,, les fonctions g l , g,, h , , h, son1 dislinctes, e t l'on a alors, d'aprits I'etude precedente,
et, par suite, h , =f , , h, =f,. Donc, si M, ne coi'ncide pas avec M,, il colncide avec M,. L e theorbme XI1 est compl&tement demontre. Nous avons admis, il est vrai, q u e lesensembles MI e t Ma ne coi'ncidaient pas au voisinage de I'infini; pour s'en assurer, il suffit d e verifier ( I ,) q u e chacune des fonctions f , et J;, definies par les formules ( r l z ) , est distincte de chacune des fonctions g , et g,. Par e x e ~ n p l e on , ne petit pas avoir f ,=g, ; on aurait alors en effet
c'cst impossible, puisque g , et 3, prennent ensemble la valeur a, et la prennant effeclivemcnt. (iU. Appliqr~onsle theorbme SII au cas des fonctions m6romorphes dans tout le plan; nous 3 avions suppost. n et b finis et c inlini; nous allons, cettc fois, pour rcndrc le 1hi.orbme plus frappant, supposer II = 0 , O = cc,C = I . NOUSobtenons alors le Ttidolitnl~111 6is. - Consinc'r.ons [a .fclmi[le de toutes les .fonctions mimnzo~phesd0n.r tolit lcpk/~n, ponr. ksquelks E ( o ) rl E(m) coi'ncident nn senr 111'ge n t ~ c/ / t u x ensembles inJinis h n n k s (' ). ~ t c l n donne t un ( 1 ) Ccl;~s ~ ~ f f i car? t , si Ics qllatrc i o n c t i ~ ~ f,, n s f i , ;I, g2sont distinctes, comme elles ; ~ r l ~ ~ ~ c t t c(I't~ntrc n t . , part, Ics I I ~ ~ I rnsernblr.~ I I ~ ~ E ( n )e t E ( 6 ) , elles ne peuvent admettre I U , I I P S le I I I C I I I(~~ n s e n ~ bE(mj. lc 4.n \,I-rtu1111 t h i o r & ~ n cIX. (r) Cci fo~~rtion 3ont s de la for~lrcp ( ~ ) R ( x ) e " ' ~cpetant ), une fnnctiol~miromorphe
88
HENRI CARTAN.
ensemble M quelconque, il existe all plus une fonction de la f nmille pour laquelle E ( I ) cohci(le nvec M all spns large, sauf peut-&tre por~rderlx ensembles exceptionnels ((' M, et kl,,pour chacun desquels il existe deux fonctions; en outre, s'il y a u n ensemble exceptionnel, il y en a d e i ~ x .
Enfin, on peut reprendre 1'8tude d e I'identite ( 4 1 )dans ~ le cas ou les fonctions f , , f ? , g,, g , d u pamgraphe 58 sont rneron~orphesdans tout le plan. Wais, au lieu de sllpposer que ces fonctions prenncnt une infinite de fois chacune des valeurs n et b , il suffit de supposer qu'elles l-a et 6 . Si alors f.fz est constant, on en conclut f , f,, ~et la demonstration s'achbvc comme precedemment. On a donc le theoremc syivant :
prennent au rnoins une fois chacune des valeurs
(1
TH~OREIE XI1 ter.. - Considirons lu famille de toutes les fonctions me'romorphes duns tout le plan, r~dmettantdes ziros et des pdles donnb, et admettant nu rnoins rln =Pro et nu nzoins u n pdlf . Btnnt donnC nn ensemble hl qrlelconqr~e,il cxistc nu plrls rlne (') jonction rle la filmille ponr laquclle E( I ) coiizcide nclec M , sunf pec~t-&reponr deux fnsernbles exceptionnels M , et .\I,, pout. clhucun dr.rqiie1.r il existe deux fonctions : s'il y a u n ensemble exccptionncl, il y en a deux. Nous pouvons ajouter ici : I'orll rlne rlistl.ihrltion donnt;,~dc zPt.os el de pdles, il n'cxiste pas, en g i n i m l , rl'c~n.rcmbleezccptionncl. En effct, il n'en existe pas lorsque les zeros et les pbles donnbs sont en nombre fini, en vertu du theorbme S . Laissons d e a8t6 Ic cas ou i l y aurait un nombre fini dc pijles c t une infinite dc zibros, par exemple, et venons au cas oh les p d e s , ainsi que les zeros, sont cn nombre infini. Designons par A I'ensemble des poles, par R I'ensemble des zeros. En vertu d u theorenle XI1 bis, i l existc au plrls deux couples de fonctions, j',e t f 2 , gl et g,, pour lesquellcs E ( m ) e t E(o) co'incident nu sen.$I(ct.ge avec A e t B, et telles, en outre, q u c les ensembles E ( I ) relatit's iJ', e t ij? coincident au sens large, c t clue les ensembles Ejr) donnee, qui admet des zi1.03 et tles pBlcs 1-1) nombrc infini. K(x) une f o n c t i ~ 1.11ion)~~ nelle arbitrairc, c t G ( . c ) unc fonctiol~t.ntit.rc arbitrai1.e ( 1 ) DCfinis chacun h un no~rrllrelini de points p r i s . ( 3 ) Et, en general, il n'en cxiste pas, en vertu ~ I thkoremc I XI.
relatifs B g, e t g, coincident au sens large. Prenons alors deux ensembles A' r l B' qurlconques, colncidant au sens large avec A et B, et tels que I'ensemble A' ne soit idenlique a aucun des quatre ensembles E(cc) relatifs a chacune des quatre fonctions f , , f2,g,, g,. 11 est clair quc, si I'on considbre maintenant la f'amille dcs fonctions ayant pour pi)les les poinls de A', et pour z6ros les points de B', il n'y a pas d'ensealble E ( I ) exceptionncl pour cette famille.
61. Nous allons eludier maintenant un 1)robllhme d'un genre nouveau, relatif non plus i un systPme de fonctions prenant rxnsernble certaines valeurs, mais une l'an~illeinfinie de tels systernes. Au lieu d'avoir h considerer u n e seule identile de Borpl, nous aurons h (ln considercr trne infinite, et nous leur appliquerons le crittre de fan~ille complexc normalo clu Chapitre 111. Bornons-nous, pour rester dalls le cas simple d'une identiti: a quatre termes. au probleme suivant : Troucer L I I ~criti're de f u/nille complexe nor./rt(r/ep o w r~nef amille de s.ysti,mes de drux fonctions p ( x ) et $ ( x ) , Irolorno~pl/~s d a n ~rrn dolnuine D, n'y prenunt pas la valeur zPi.o, et y prrnunt ensemble 1 1 vc~leul.un.
Posons 'P-l
4T -;
=A;
iL est une fonction holornorplre, sans zkros, et n a ~ avous ~s I'iclentitC:
i laquelle nous appliquons le theoritme VI. 11 suffit d'envisager tolites les circonsl:tnces prevucs dans 1'6nooce tle ce thborbtne; nous n'indiquernns pas le detail. de celle discussion; rlous en avons deja fait tle scnlblablcs ( I ) . On Obouvele theoreme S U ~ V R :I ~ ~ THEORI:NE XJII. - ktc~lztdonne'o une fnmille ( / P .yyrlPmps dv (/(,11.la fonctions q ( x ) 1'1 +(.c), hokomorpJ2e.1,suns ;c;ros, elplu,nnnt c,n.trrnble / / I
90
H E N R l CARTAN.
ualeur u n , on peut en extraire rrne suite injinie de !,ystkmes, pour laquelle se trouve rkaliske l'une ties cir~constnncessr~ivantes: IO
y et $ conoergent au sens large : ri-I
? - I convergrnt very z b n . - rt 1(1circonstoncr et $ onalog~rr,ohtenue en permutant p et +;
2" p ) - I ,
+
+-I
3" et
4" q$
convergent vers un ; +-I
- I,
-
r+-I
et
+-I
conv(,rgent vrrr zkro.
(i2. Le theorkme precbdent permet de demontrer le
THEORBME XIV. -- Soient t k u x fonctions f ( x ) et g ( x ) , ltolomorppher et sans ;Pros (111 ooisinage du point d l'inlini, supposC singulier r.s.~entiel. Si l'on peut trouver une suite injinie de couronnes circuluires C,,, hornothktiques entre elZ(~set s'tloignant li l'~n/ini,de.facon que, dans cllacune d'ell(,.s, les .fonctions f el g yrennent ens(~mhlela vcllcur un, on (I nrkessnirernent f(x)= g(x) ou f ( 2 )r l . ~ ( 2 )
Indiquons sommairement la demonstration. Considbrons la couronne C,, comme iransformee d'une couronne fixe C, par une substitution lineaire x' = S , , ( x ) . Envisageons alors, dans la couronne C,,, la famille des fonctions
e t appliquons-leur le theorkme XllI. Le cas car l'une des fonctions f
( 2 )et
'
I"
ne peut se presenter,
serait bornee s u r une infinite de
f (x)
circonferences s'eloignant h I'infini, donc serait constante. De.m$me, le cas 2" ne ,peut se presenter, car f ou g serait identique (In. Dans le cas 3'>,on a necessairement f j x ) = g ( x ) . Dans le c:~s4" enfin, on a f ( x ) g ( x )=I . L e theorbme est demontre. I1 complkte le theorkme de G . Pblya e t R. Nevanlinna deja citk (Sj 57).
S U I ~ LES S Y S T ~ M E SnE FONCTIONS HOLOMORPHES,
ETC.
9'
t i l . 011pel11 encore le completer de la taron suivante :
THEOREME XV. - Soienl deux fonctions distinctes f ( x ) et g ( x ) , holomotphes et sans zkr-os a11 uoisinage du point sr'nguliet. essentiel ir l'inj'ni. Sccpposon.v j'(.I,) g ( x )$ I .
,
Soit alors uric. suite urbitraire de nornbres co~rtp lexes 5,,o, . . ., G,,, . . . gui tendent vers I'inJini. ktc~ntd o n n k ~une cit-conference r nyunt .son centre tl l'origine ot u n rayon arbiltnirc., i1 cxiste 11npoint z o sur celte circonfkrence, et une suite injinie c L , ,ok,, . . . , CI,, , . . . extraice de Lu suite yrkcedente, qui jouissent de La pt-oprie'tk srri(-nntc: C disignc~ntun cercle dc centre z,, et tte ruyon arbit~.airernentyeti(, el C,,, C,,, . . ., Ck,,, . . . dksignant Les cc.rcles hotr~olhttiquesde C par rapport ci L'origine, duns Les rapports re spec ti':^ c,,, G,,, . . . , c,,,, ..., . " . f-1 . ,
92
H.
C.\RTAN.
-
SUR 1.KS SYSTEWES DE FOSCTIONS
IIOCOMORPHES,
E'l'(:.
Par consequent, il existe s u r I' un point;,, qui jouit de la propriete suivantp : etant donne un cercle C quelconque, d r centrc z,, on peut trouver une suite infinie oymtelle que, dans chacun des crrcles C , , , la fonction
fz ait ao rnuins un "- I
sCn, eu un pblc. Prenons alors an(.
suite infinie de cercles, de centre ;,, dont les rayons tendent vcrs zkro ; pour chacun d'eux nous avons une suite ol,,,. La suite diagonale fournit la suite 4- de I'enonc6, et le theorerne est dernontrk.
Vu e t approur~!: I'aris, le 3 oclobrc rgv.8.
V M et permis d'imprimer : Paris, le 3 octobre 1928.
LE RECTRURDE L ' A C A D ~ BI)H I K I'AHIS, S.
CHARLETY.
4.
Un nouveau thbrkme d'unicitk relatif aux fonctions mkromorphes Comptes Rendus del'Academie des Sciences de Paris, 188,301-303 (1929)
I . Soierlt f ( x ) et g ( x ) deux forlctiorls de la variable cornplexe z, meren~orphesau voisinage d'rin point singulier essentiel isole, que nous s u p p o s e rolls a I'infini. Convenons de dire que ces fonctions prennent ensemble la v&ur (1 ( n pel~t6t1.e infir~i),s'il existe l r r r cercle a l'exterieur duquel les ~~uatio~ls
adrneltenl les 1116rrlt!s racirws. 11 se polrrra, ee particulier, qu'elles rl'ad[nettent a11t:llne racinc~all voisinage d r I'infini; la valrrrr n sera dite alors e~ce~tiorlnelle. Si I'on suppose c:n outre que les ordres de mr1ltil)licit6des racines sont les rnknles dans les d e l ~ vPqllations ( i ) , or1 sait alors q~i'ilne peut exister plus tle d e ~ l xfonctions prerrant enspmt)lc lrnis valeurs distinctes. $i l'oo fait abstraction des ordres de multiplicitt; des racines des equalio~ts( I ) , on sait se~llerntbnt(Nevanlinna) que deux fonctions qui prennent c!ltseIrlhlch cinq valeurs sont rlCcessairerncrlt ident,iques, mais jusqu'ici on Il'avait, PII ahaisst:r c r ~lomhrt.de cinq ~ I I ( :dans d r s cas particuliers, comme le srlivarlt (Yevanlinrla) : si dt
I I. I ,e but tlr c-rtte Note est d'indiq~trrIt. thSo~.irrlrsuivant . b'ir~drcltigkeitss/it~e in der Thcorie der 1 ! Voir N B V A N L I N N A 1:'ir~ige Funktionen ( . . i r t a ntafh.emalica. 'c8. 1926, p. 367-391). Voir aussi le ma
These
: .Sur Ips s).st6rrtesdr.fort.rtions Irolomorph~s.rtr.. (,4rtn. d~
3e serie, $5. 19f28.p. 9,55-:1(6) .
rnemmorp&wt Chapitre V de
!'LC.Norm. sup.,
Il ne peut exister plus de deux fonctiom prenant ensemble quatre valeurs distinctes, mPme s i l'on -fait abstraction des ordres de multiplicite. Voici les grandes lignes de la dCmonstration. Supposons qu'il existe trois fonctions distinctes f ( x ) , g(x)et h(x), prenant enserrlble quatre valeurs a , b, c, d. Reprenons les notations du. MCmoire cite ( I ) ; d'aprds M. Nevan-
lim
( 2 )
r=.
N ( r , a )+R ( r , 6 )+s ( r , c ) +N ( r , d ) =a, T ( r .f )
6 condition d'exclure das valeurs cte r qui remplissent des intervalles I dont la longueur totale est finie. O r , la fonction
f"
h'
h'
a
h-a
admet comme zeros les zeros de f - u , et comrne zeros doubles les zeros de f - b, f - c et J'- d. D'ailleurs, si ['on n'a pas d1identit6 de la forme
A, p, v etant
des constantes dont aucurre rl'est nulle, la fonction g, n'est pas identiquement nulle, et 1'011 a donc
(4)
-
N ( r , a ) + a [ % ( r .6 ) + E ( r .
c.)
+ E ( r , d ) ]< ' l ' ( r . , y ) + O ( l o g r )
O n voit sans peine que (5)
' r ( r , cp)
< 3'r(r, f ) + 0 ( l o g r r ( rf, ) ] + O ( l o g r ) .
Si l'on revient a ( 2 ) en tenant compte tle (4) et ( 5 ), on trcnlv~que
en excluant toujours les intervalles 1. En cornparant de nouveau avec (2), on voit que, pour deux au moins des valeurs a , b , c, d, on doit avoir une identit6 de la forme (3), et l'on peut montrer, d'autre part, que cette dernikre Cventualite est impossible, ce qui Ctablit le thCor6me. 3. 11 resterait a savoir dans quels cas il peut eirectivement exister deux fonctions qui prennent ensemble quatre valeurs. Pour terminer, montrons sur un exenlple qu'il exister q~lc~tre fo~~c-
( 3 ) r.lons prenanl ensenlble trots valeurs, si l'on fait abstraction des ordres de multiplicit6. En effet, J d6s1gnant une fonction p i s la valeur
.
7f - I , IPS qnatre fonctions f , Tr, I' et (f+ I)'
phes et prennent elisemble les valeurs zdro et un. Peut-il e x i s ~ e rplus dc quatre follctions prenant ensernble trois valeurs, ou m&rr~e une illfirli~C?C'est la 1111 prohl&meintkressant.
Sur la croissance des fonctions mkromorphes d'une ou plusieurs variables complexes Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris 188, 1374-1376 (1929)
1. La lecture &une Note de M. A. Bloch ( 2 ) m'a suggCrC une nouvellc dL'finition de la fonction de croissance T ( r , f ) de M M . Nevanlinnn, attachCe A une fonction mCromorphe f (x) de la variable complexe x : Mettons f ( x ) sous la forme g*),
h .( x.)
g et ir itant holomorphes et sans nkros
commum; soit U ( x ) la plus grande des quantitis log I g ( x ) 1 et log 1 h ( x ) I. On a
en supposant, pour simplifier, h(o) # o. Si f ( x ) est une fonction entihe, on peut prendre
l'on retrouve la ddfinition classique de m ( r , f ) . Cette dkfinition peut permettre de simplifier des dtmonstrations antirieures. 2. Passons i une fonction de plusieurs variables complexes; raisonnons sur deux variables x et y. Mettons, avec Poincart et M. Cousin, f (x, y) sous la forme du quotient de deux fonctions enti6res ne s'annulant ensevhle qu'en des points isoles : et
et soit U(x, y) la plus grande des quantilks log I g(x, y ) 1 et log 1 h ( x , y) 1. Notre fonction de croissance sera ( 3 )
(1) Seance d u a2 mai lgag. (') Comptes rendur, 181, 1925, p. 276. ( 3 )
Cette definition concorde avec celle de M. A. RLOCR(loc. cil.).
C'est une fonction continue des variables positives r , et r , . 3. Propriktt fondamentale. - Posons
alors le point de l'espace de coordonnLes El , 5,, T (5, , 5,) dtcrit une surface S conoexe ( I ) (au sens large). Nous allons montrer, en effet, que les sections par les plans i,=aE,+
P,
ou a est rationnel, positif ou nCgatif, et quelconque, sont des courbes convexes; la continuit6 de la surface S entrainera alors sa convexit6. Dkmonstration. - m et p Ctant deux entiers premiers entre eux, positifs ou negatifs, il existe deux entiers a et b tels que
Effectuons le changement de variables 8, = 6u
+ rnv.
I1 vient
Posons, A et nombre positif,
I3 Ctant cfeux constantes positives quelconques et p un r, = Aprl,
r 2 = Bpm.
La quantitC entre accolades est Cgale, i T(p, F), en posant I:(
5
)
une constante additive prks ('),
=j'(.\e'nu;~, Belbll
);
~ 1 "
c'est donc une fonction convexe de logp. Donc T(Apn', Bpp) est convexe en logp ; d'ou la propriCt6 annoncCe. 4. Une Pltude plus approfondie des sections planes de la surface S est facile et digne dlinter&t. Indiqr~ons seulement 1'inCgalitC fondamentale suivante, qui rCsulte de la convexit6 : a p, et p, positifs quelconques corres( I ) &I. VALIRON avait dGjh i n d i q u i une propribte semblable pour la fonction M(rl,r,) ( B u l l . Sc. math., ze skrie, 57, 1923, p . I 7 7 ) . ( ' ) I1 pourrait aussi y avoir un terme en l o g p , dli aux zeros communs a g(x,y ) et h(.z, ,Y):rnais cela ne change rien a la couvexite en logp.
ap la x ap sa1IauuoyeJ suo!l~xojsal as!~?lae~e:, luawama!~?dnss?u~oqluos ( e d ' t d ) E 3 la ( = d ' t d ) t 3 qo sea a? -sj!l!sod EJ la 'J lua!os anb s~anb
l!e u o , ~anb slal
'(ed
' t d ) E 3
a , €
la ( z d " d ) t 3
sj!l!sod SaJqurou xnap luapuod
'S33N313S S3a 3Ih!$(lV3V
941
Sur la fonction de croissance attachke a une fonction mkomorphe de deux variables et ses applications aux fonctions mkromorphes d'une variable Comptes Rendus del'Academie des Sciences de Paris 189,521-523 (1929)
i . La-fonction f(x, y ) &ant supposCe m4romorphe dans Ic domaine
on peut la mettre sous la forme
g et h Ctant holomorphes dans ce domaine, et ne s'annulant ensemble qu'en des points isolCs. La definition, que j'ai donnCe dans une Note prCcCderlte ('), de la fonction de croissance T ( I . , , r, ;f ) est Cquivalente a la dCfinition donnCe par M. A. Bloch (,) : T i r , , r 2 ; f ) = ~ n ( r rj 2, ; f ) + V r i .I - ? ;
f),
en posan t log 1 f ~
(1)
(
r
~
~
r
~
;
On a supposC rl< Hi,
f
(I.,
d", r?
~'92)
1 d9, clop,
)log=I h (&r ,eio*, 6 rzel") ~ ~ 1 (15, ~ do,.~ ~ log ( J L ( o : r.,< H,,
0)
1.
h(o, o )j o.
2. N(r,, r,; f ) est une quantite attachhe aux inf nis de f , ou encore aux zeros de h, situCs dans le domaine D(I., , r,),
En effet, cette quantitC ne change pas si I'on multlplie h ( x , y ) par une fonction holomorphe qui ne s'annule pas dans D ( r , , I., j. O n peut montrer quc N (r, , r, ; f)est une q u a n ~ i t cessentiell~men~ positit., 01, nulle, nulle dans le cas oli h(x, y ) ne s'annulepas dans D ( r , ,r,), c8tcIans ce cas serllement. Enfin, ( ' ) Contptes rendus, 188, l g q , p. 1 3 ~ 4 , (2)
Comptes rendus, 181, 1925, p. 276.
522
A C A D ~ M I E DES SCIENCES.
le point de l'espace de coo~.do~tnr;es dkcrit une surface convexr.. 3. O n peut, dans la for~nule(I), eff'ectuer successivement les integrations par rapport h 0 , et 0,. O n trouve ainsi
et, en permutant l'ordre des integrations,
Dans ces relations, l'expl*ession
dCsigne la somme
Ctcndlie B toutes les r a c i ~ ~ y e s= .r,;, de modules inferieurs h I.,, de 1'Cquation 11(4)y)=o.
chacune dlellesCtant comptee autant de fois que l'exige son ordre de multiplicite. L'expression ( 2 ) nP fitit irlt(,rv(*nir(/UP les z.c:ros cle h ( x , y) rrpprolcnant ri l'ilne ou l'nutre dcs rlerlx vrrri(;t(;.r
En particulier, si h ( x , y) 12c s'nnrtuk. srlr aucrrnrs de re.\ derlx variilt:.s, alors N ( r ,, r, ; f ) est nul, tlt par suite II(x, y ) rzc s ' a n n u l ~pas dun.\ D ( r , , rr ). 4. Soient maintenant ./(.r)une fonction d'une variable, mCrornorplie
(7
(') (:ette propriPt6 r i s ~ l l t r~ i ' ; ~ i l l rd~' ~ c ~~ntlrl:o~.G~~~r ..; tlr hl. IIARTOGS. / < i r ~ i , qFolge~ rcrngen a7c.s der Cacrclc.y'scl~rr~ In/rgr/rlfornte/ (Miir~r.1~. S i t z g s b . , :1G. of, p. 2 . 2 3 ) .
5,23 pour 1x1 R , r un nombre positif infkrieur a R , p un nombre positif. On peut appliquer les formules ( 2 ) et ( 3 ) au calcul d e N , puis SBANCE
<
DU
7
OCTOBRE
1929.
I
Cgaler les deux expressions trouvkes. On obtient la relation fondamentub
Dans ces formules, N ( r ; a ) dCsigne, suivant l'usage, la somme
Ctendue aux zkros ( I ) de f(x)- rr, de modules inferieurs T
(
r
;
)
4 I-,
et l'on a posC
l r e P' d ~ + h . ( r m). ;
( I ) Chaclcir zi-ro esl conlptt! a \ r c soil oldre de n r ~ ~ l t i p l i c i t N t . ( r ; oo) designe la q ~ ~ a n t i landlogr~e i: k Y ( r ; ( 1 ) . al~achPeau\ p61e* tle f(x).
Sur la dbrivbe par rapport a log r de la fonction de croissance T(r;f) Comptes Rendus de 1'AcadCmie des Sciences de Paris 189,625-627 (1929)
1. Soit f(z) une fonction de la variable cornplexe x, rnero~norphe pour ) x l < R . Dans une Note rCceiite ( ' j, j'ai indiqui: la r e l a ~ i o( ?~) ~
d'ou, en particulier, pour p = I ,
(1) Comptes rendus. 189, 19-29, y . 5 2 1 . J e conserve les i~otationsde cette Note. Page 52a de cette Nete, ligne 15, au lieu rle h ( 0 , y ) = o , lire h ( a ,J J ) =o. ( ? ) Paragraph? 4, relation (4).
ACADEMIE DES SCIENCES.
626
Designons, suivant l'usage, par n(r; a) le nornbre des zC1.o~(' ) de J'(.T) -o , dont le module est infkrieur k r . 011sait que rj
La relation
( 2 ) montre
CL) ( r : I / ' I E 11Nir; .
~(IoQ")
clue T ( r ; f ) posskde unr dericvee, el ('on a
t(r; f ) est line fomtion positivr, continue et non d6croissante de I.. 2. ConsidCrons, dans le plan de la variable colnp1rxe.y. le domaii~eriemannien D ( r ) engendre par y =f ( x )pour I.r.Iir. A1)pelons fonctio?? d r wcoilvrement d'une circo?afk?ance C du plan y, le quotient, par la longueur de C, de la somme des longueurs des arcs de C recouverts par D(I.), chacrln d'eux Ctant comptC n fois s'il est reconve1.t par rt feuillets de D ( r ) . De la relation (3) resulte le t h e o r h e suivant : T H E O RI.~ M -ELa fonction de reconvrement de In circor~f'Prence1 y = r n'est outre que t ( r ; f ) . Pills generalement, 7a fonctiorc de reconctlv?nPntde /(I circonfkrence ly -.yo
1 = p est @galeO t (r ; k
y 2 P )
.
3. Designons maintenan1 par A I'uu quelco~rquedes dornaines suivants dans le plan y : r o llintCrieur d'un cc~rcle;20 l'aire comprise entre deux circonferences concentric~ues;3' 1'extPlrieilr d'un cercle; 4')le plan tout entier. Soit do ( y ) 1'ClCment d'aire de ce domaine, l'aire Ctant coiltpLCe SUI- la sphkre de R i e n l a n ~dans ~ les deux derniers cas: soit S l'aire totale de 1. Soit eniir~
En ~itilisantles r.elations ( I ) et
('I)
\LJ(I.:
(2),
on tl-olive aiskmertt ( ')
f)-T(r; j ) l < K .
K ne dependant qlie du do~llairle1 et de J'(o), ~ ~ u l l e m e nde t r. D'aild u ( r ;)' est egale h la fundion de recoeorrm(lnt fh /'nire dn abrnoine A, leurs d(logr) fonction dont la definitior~est analogucl a cellc dorlnee arl pa~~agrat)l~c\ 2.
Chaqur. zero est C O I I I ~;loran1 ~ ~ {le I'oi. q n t b L'e\i,gr SOII or.c(l.e tle ~~~r~ltiplicite. M. Smmrzu [ OILtke tl~eoryqf rt~eromorphicfirttctions ( J o p . Jortrr~trlofiMrrtlt.. 0, 1929, [I. H ~ ) - I ~~ Ia ) i]dGk t ia~nblicr I.+SIII~:I~. par unr n ~ d l l ~ , > t ltliH't;rr~r~r, t, el sru(')
(2)
Iement dans I r c : ~ soil A
est
le ~ I : I I I L O U I ~ I I I ~ C I . .
S ~ A N C ED U
21
6 27
OCTOBHE 1929.
4. Sul)l~osonsmaintenant f(x) rnkromoqhe duns tout le plan, et non mtionnelle. Alors t(r; f), et, d'une facon gCnCrale, toute fonction de I-ecouvrernent, augrnente indkfiniment avec r. A I'aide de (4) et de
H Ctant independant dc r, on demontre : THEOREYE 11. - 11, (I*)et u2(r) designant cteux qrr/~lconq~ies drs Jonciions c i c j
wcolicl,wnent (envisagees aux paragraphvs 2 et
:j),
on
(1,
pour tout a
> 1,
et your toiit r rxterieur a des intervalles duns lesquels la variation totalc de logr est j n i e ( ' ;), \ u , ( f , )~
--~2(r)l<[~,~r)lz;
au.r infercvollesprPccic/ents. 5. c t a n t donnee une courbe fermPe forrn6e d'un l~olribrefini d'arcs a~ialytiques, ou nn dornail~econnexe limit6 par un l~onlbrefini de telles courbes, on peut ellcore clClinir une fonctio~ide rcscouvrernent, h laquellc s'applique encore Ie theorhme 11 dans le cas ou /'(x)est rnkromorph'e dans tout le plan. Pour une courbe fermCe I', on prendra le quotient par a n de la sornme des pseudo-longueurs des arcs dk I? r-ecouverts par D ( r ) ; la pseudo-1011gueur esl, par dkfinition, la longueur de I'arc de ( y I = I qui correspond a I'arc envisage de I', dans une certaine representation conforme de l'intCrieur de I' sur ( y I I . 6. Enfin M. Valiron rn'a suggerk que tous-les rCstlltats prdckdents Ctaient sans doute e~lcorevalables pour une lonction cllgPb).oi'd~mc;romolpite. hous avor~sensuitr. vCrifi6 qu'il en est bier1 ainsi, car les relations ( I ) et (21, par exe~nple,s'appliquc~nt prtBsque sins changclrnel~taux folictions alg6.broldes.
<
i f ) ( : e it~tr~.\-allt.> ~ tlkpel~drnls r u l e l t ~ e n td r In 1'01ic~\io11 j ' ( . r : ) . tlr lhnctions u , et u , envisagees.
1,
o ~ ~ l l e n ~ des ent
Sur les zkros des combinaisons linkaires de p fonctions entikres donnkes Cornptes Rendus de I'Acadernie des Sciences de Paris 189,727-729 (1929)
2 . Soit un systhme de p fonctior~sg,(x),g,(x), . . . ,g,(x), holomorphes pour I x 1 R . Supposons une fois pour toutes qu'tl n'existe pas de ztm conznzun a toutes ces fonctions, nide relation kntaire homogene a coeffcients constants flntre ces fonctions. Soit U ( x ) la plus grande des quantit& log ( g i ( x )( ( j = I , 2, . . . ,p ) ; posons
<
$),
S i p = 2 , .l7(r)n'est autre que ~ ( r ; $ une constante additive prhs ( I ) . 0Si p esr quclconqile, on a , g,,et g;, dksignant deux quelconques des g,,
(;onsidkrons mainter~ar~t (1 cq > p ) combinaisons lineaires homoghes, distinctes p ci p, des fonctions g; ; soient F, , F,, . . . , F,. Posons
la somnle Ctailt kterldlie aux zeros .rP de F,(x), chacun Ctant comptC autant dc fois qu'il y a dluriitCs dans son ordre de multiplicit6 si ce dernier est infkrienr a p - I , p - I fois dans le cas contraire. On n 1'inkg;finlitPimportante
<x q
11)
(q -p)'l'(r)
.
N(r. F , ) l S ( r ) ,
,=I
oil S \ r ) jouit des propriktes Cnoncees par M. H. Nevanlinna dans le cas p = 2 . Pour p = 2 , en effet, on retrouve 1'inCgalitC qui a permis A M. Nevanlinna de complCter de facon si remarquable le thCor6me de Picard( % ) Voir i c e s c ~ j e ~ t r ~dcc nles Nores prP(.t;denles (Concpbs rendus, 188, p. 1 3 7 4 )
Igag,
.J
nod
s~auuo!ldaoxasa[[aaJalu! sap 'apnl!qeq,p ammoo 'lnloxa uo .sea su!elJao s u e a (,:) w o N e l ap a s s ~ q daJ?!uJap ' s z g - f z g .d .'6z61 ' 6 8 ~' s n p u a ~ sajdzuo9 (,) a(66-~:d ' s z 6 1 'gil ' o ~ y ~ z u a y ~ D n zJ uD ~ . ) ' g 'aldmaxa .lsd '.I!OA (,)
UlUO?lyUnJ u a y d ~ o z u o ~ a Jap z u a?JOayJ JnZ
'TNNITNVA~N
'. . . " D 'SUO!I!~UO:, sa:, s u e a 'allnu luamanb!luap! l!os au ly aun:,ne,nb '~a!ln:,!l~ed ua 'la "v sal a a u a siuelsuo:, s~ua!:,yjao:, ;au?80woq aqe?u!l uo!leIaJ aunone als!xa,u p,nb suosoddns .x ua saqdnomoloq loel? 'y sal
!sup "J sal i!s!oq:, uo luop aa?!ueru el ap a ~ p u a d a plnad ap analsh erl 'InU ??OS (A)? lnDJ+p 21 "J S U O Z ~ ~ U Od/ ap su?ow ap uos~~u?gzuo3 dun sud ?sa,u ?nb 'A uos?ou?qzuosa?no?mod .z !d 5 s azuwos ap ?a a?ua.%anuos ??os(?Ld)t a?~?s07 ,, I :anb uo3vJ ap ' d v d sa?m?i+p "A suos~vu?gzuos dp alqv.~qwou?p?l,tu$u? apn no l u g a~qwouun qs?oys 111adu o - .anr3uo3HLl,
p y u e n b el!d uos!eu!quro:, el ap snvJ?p suo~adde' s a ~ ? p u aiuel? l.8 saq .g .SOJ?Z sues s a m l u a suo!l:,uoj I d ap aurnros el a ale89 isa ,(,a + 1) 'sanall!eLa -SO.I~Z s u ~ saJ?zaua s ruo~a3uoJI +d ap su?ow ap azuwos vl D alv& aa,a mad au soqz sap D znb aqzaua uo??3uoJ aun'p ..,,,,,d a~uvss?ndvl '~a!ln:,!wed u g
+
'(I) s ? ~ d e , p'e uo '!w ;s ~ n a t q d n s?i!:,!ld!llnru ap saJpao sJnaI luama~!i:,adsa~luo 'A anbeq:, ap s o ~ a zsal !s !d g d sal:,u!l -s!p '!A suos!eu!qruo:, 6 suo~?p!suo:, la 'sa.r?yua '.8 sa1 suosoddns -6 asaauuop s a a y u a suo!l:,uoj d ap sal~auuo!lda:,xa suos!eu!qruo:, sal Jns IaluoN amap slelIns?J sa1 ap~duro:,aIla !( t ) u o q e h 'N ~ e a?sod d luaru ma:,?^ uoysanb aun g p u o d ? ~( I ) ?l!~e&u!,~ 'anb~o:,~anbd m o d *(,)IaJog
a, designant q nombres complexes distincts, on a, en vertu de (I),
Cette inegalite precise celle de M. Valiron ('). Dans le calcul de N [r, +(ai)], chaque zero de +(ai) n'est jamais comptC plus de v fois. 5. Application anx questions d'unicite'. - Soient f,et f,deux fonctions entikres sans zeros (f,$f,,f,f,$ I).On sait que l'ensemble des zeros de f ,- I ne peut coincider avec I'ensemble des zCros de f,- I . Voici un res~iltatbeaucoup plus prCcis, obtenu grlce a (I).Posons
a , designant les zeros communs a f,- I et f2- I , /3, les zCros de f,- I qui
n'annulent pas f,- I , yk les zCros de f,- 1 qui n'annulent par f ,- I ;. chaque zero n'est comptC qu'line fois dans les sommes prCcCdentes. O n a (2)
d'ailleurs, pour f ,r ( I ) (?)
el',
f , = e2"', la limite est atteinte.
Note deja citde; j'appelle T ( r )ce que M . Valiron appelle v T ( r ) . On exclut eventuellement certains intervalles exceptionnels pour r .
.saxaltlurc~:) c>lqt:!Jen wn.11) ap sea n e aau.loq snou ay u!le ?:,uuII?,~ :'Y!I)OWWUOUI.I srlo,y .($f . ( I ) III\ a ~ ~ r a . ~ o >4 n1 l l l a ( L x . d ) XI amaao.!ql a1 ~ r r n c u a r ! ~ u . ) d s aluos . ~ uo!lsaul) ua saru?.toalll sn.>p so? 11 31) S U ~ ! ~ : , ~ I ~ J sal J . I ~ S( r ) v 1 . 1 ~salqe!.ll!.% ) r n a l ) all . ; ~ I ~ I ! ~ ~s.11 u o.JI n s ( , )
. ( ' g - ~ .d ' 5 6 ~ '61 1 '3
itl>y)s.~xaldrr~o:,.;alqe!.lr:n
"~ljrtcci
' ( c I I - L ~ . d '!881 'P ' I
"t/lauc
. s a 1 3 . 1xnap ~ ap a[qm;,sua,l ap asodluo:, as sa?9les!~ua suo!Jauoj sap a:)uals!xa,p aureruop a1 anbsaol l ~ a n b ! ~ t l d ~suo!~eaap!suo:, ?~s saluaui sal :)nb nprialua luela 'd?u?[ anuwjs!]) ?I 7nol.rwcl satld.iou~o.l?lrr suo!l:,uoj ap la saJ??lua sfio?l.31ioJa p suo.r;q.red snou 'saap! sal .rarrj ano,] ..t'ur?~(l a[ suep la x uuId a1 suep ~rraruaa!I:,ad -saa sanl!s jsarrhz103lanb xazdtilio3 l u a u ~ a l d u ~ sau!wtciop !s xnap ap aruam 110) saj.).ia3: m a p ay ?ul.rol'ati?u~uoyr i l l sti?,y s a q d a o ~ u o ~ a r u no saqd.iomoloy 'aa!e~lrro:, 1113 'rto ',(' ap la s, ap sa.?u$ s.inalun ap awys,Cs ]no7 nod s a q d ~ o u r o a a ~ uno saqd.~oruoloq ,€ a p la x a p sno!l:,uoj sap y luaurruaaa,fj!pu! eaanb!~ddu,sI!ns !nb a:, J n o L
'(11 am?Joayl la I am?Jo?ql a p ruou a[ snos !3! ~rroaannB!j!nb) (,) xnap suo.rpua!iaJ ua s n o -xnc~au?l;f ~ snld saruaaoaql zap !Iqela r! u!snon
aJ.ra!d -J.~I' a l u a q j ! p a!o.i aun .red ra ' p ~ e 1s n ~ dnad u n
. s ? 1 0 ~s~v?ocisap ri;)'? I / ) ajqtuasfia l ~ l u l n u u . rs, ~azi sad;??ltia suo!l.?uoi z n a p dp ~1ia?jo?16 I I au1.104 ~ D ) S I I O S a.rljaw as /?lad 'a?u$a3u~js?pY ~ ~ / ( / . I o u I o .~I n? o~ l( .I i ~'saxal(lu1o3 (/ S ~ ~ / U ? .xtiap IUC~ ap uo!~uuo./aun,nb~ 8 8 "a 1 a.'iuom?p e ( , ) aale:,u!od !auaH ' 1.
( 0 ~ 6 191 ) 1-66 'PS sanbneuraq~e~ sa9uaps sap u!lallna
saxaldu~oasalqapaa xnap ap suogauoj sal m s
u ( x ,. y ) ; et cela, de facon que, e'tant donnhs tleux voisinages quelconqrres q u i ont rine rrjgion conznzune, le quotient des d e u x fonctior~su ( x ,y j correspondnt~tessoit /iolot;zo~.~)he et d t f e r e n t de ze'ro duns cette rdgion c.omn~ritie.Alors i fexistc une fonction entidre U (x,y ) , telle que, a u voisiltrcge de tout point, le qziotient
u(x;
soit bolomorplie et d i j i r e n t de rdt-o.
Y)
2. Convenons d'appeller vnrie'te' caractP~.istiqzietoule v a r d t k dblinie, au voisinage de chacrin d e ses points, 1,ar u n e relation de la forme rl(x,.y)=o,
u ( x , y ) etant holomorphe au voisinage d u point considC1.e. Le thkoreme 1 exprime q u e l'on perit tocijours former- u t ~ fot~ction e entiere U ( x , y ) , s ' n n l ~ u l n n sur t des tla/.ittCs cnt,ac~S/.is~iqnes donndes, el&n o m b r e j n i ou en i~~Jinite'dd~tombr-able, et ne s'ann l ~ l a n tpas ailleut.~,pourc'u clue l ' e ~ ~ s eble m cle ces ~~rc~.ie'~ks n 'aclmette aucune singularit6 ti di.vtancej n i e . Cette derniere condition s'exprime, e n e n e t , d e la maniere suivante : btant d o n n e u n point quelconque d e l'espace, l'cnsemble des varibtbs qui passent au voisinage d e ce point p e u t 6lru defini e n &galanta zero u n e fonction holomorphe d e x et y. E n outre, le theor6rne I m o n t r e q u e 1'01~l)eut a'ssigner rrlt or-dre de mri1ti~)licittul.bitrair-e ci chaccitte des vri~.ie'tCssut* lesqrielles s'annule la fonction chel.chie U ( x , 3'). Voici ce qu'il faut entendre par la. S o i l V \ m e varikte s u r laquelle s'annule U ( x ,y ) . . au Nous dirons q n e i7est simple porlr la fonction U, SI -ne s'annule
OY
qu'en des point.s isoles s u r V ; il e n sora alors de m6me ( I ) 3u pour --, au nloins si la varieti. ii'est pas d c la f o r ~ i l c y = c o m t . , 0.z
auquel cas l'ordre d e nlultiplicite se l a k e definir i m u ~ e d i a t e m e n t . ( I ) Car, pour tt>l~td i o l a c e ~ r ~ e ncix, t
tfj/
s u r la \,;~l.ietC\', o n a I;( relalion
consequence de l a relatie)rr U ( x , y ) = o. S i
dtJ
-
03: .-.
s ' a r ~ n u l a i l e n des p o i n t s non
isolks, il serait nu1 c n l o u t p o i n l tle la varieli., r t par suite auszi
dU
--. dr
3u Si, au contraire, s'annule en tout point de V, et par 3v dU suite egalement - (a moins que la varietC ne soit de la forme dx . d' U x = const.), mais s l y ne s'annule ri~r'endes points isoles sur V, JY
-
la varik~e sera dite double porir la for~clionU. O n dkfinit de iu$me Lint? variete multiple d'ordre a . Si la variete V est multiple d'ordre a , la fonction U peut se mettre soos la forme U(x. y) = [ F ( r . y j l a U 1 ( x , y),
F(.?:,y ) Ctant ilne fonction entierc qui s'annule simplement sur V l et U , ( x , y ) tine fonction entiere qui ne s'annule qu'en des points isolt!s sur V. Le thdoreme I , qui s'etend aux fonctions de n variables complexes, @nkralise le thdorhnze d e W>ierstt.ass, d'aprhs lequel il existe toujours une fonction entiere d'une variable, admettant dcs z6ros donnCs avec des ordres de multiplicitC donnks. D'autre part, il fournit une dbmonstration du thCorPme de l'oincari: poiir un r~orrlbrequelconque de variables.
3. T H L ~ R11. E ~-C Convenorts E d'nppelet. Cquivalentes d a n s u n Oornaitte d e l'espuce ( x , y ) d e u x fonctiotts me't.on~or-phesdont la dife'rence est /lo/omorphe darts ce domaine. Supposons q u e tout poilit d e l'espace soit intkriecrr ci u n (( voisinnge u, d a n s lequel on a dtfini une fonction me'romophe ?(x,y ) , et celn d e facon q u e 7es fonctions y ( x , y ) , relatives a deux o o i s i ~ t u ~aeys a n t une 1-egioncommune, soient tquivalentes clans cette rkgion commune. A1ot.s ilexiste clne fonction @(x,y ) , p a r t o u t nte't.otnorphe i7. distance Jinie, et equivalente, a u voisirtnqe d e tout point d e l'espnca, h la fonction y ( x , y ) corresporlr/nnte. Ce t h e o r ~ m es'etend 6galement aux fonctions d'un nombre quelconqrie de variables complexes. I1 gkneralise le the'or6me d e Afittug-Lejfler, d'apres leqr~elon peut toujours former une fonclion d'one variable ad~neltantdes pciles donnes avec des parties principales donnees, et restant d'ailleurs holomorphe au voisinage de torit autre point du plan.
Le theoreme I peut Ctre ddduit du theoreme 11.
4. Dans cet article, je ddmontrerai un thkorCme fondamental (theoreme A) qui rentre dans l'ordre dlidCes prdcddent. Je rappelle d'abord un theoreme connu :
THEOR~ 111. ME - S o i t d o n n t e , d a n s le p l a n d e la v a r i a b l e conzplexe x, u n e suite infirzie d e points a i ( l i m a i = a);on p e u t toujours for.n~ertine Jbrrction 4 ( x ) , holonzor.phe en tout point diflkrent d e a;, et p r e n a n t e n c h a q u e p o i n t ai une v a l e u r arbitmir-e bi. Si bi est infini, on peut, de facon precise, se donner la partic principale de 4 ( z ) et le ternle constant de son ddveloppement au voisinage de x = a;. Si, au contraire, tous les bi sont finis, la fonction 4 ( x ) sera entiere. Nous indiquerons au no 6 la demonstration d'un thCor6me plus general (theoreme IV), ce qui nous dispense de rappeler ici la dkmonstration du theoreme 111.
5. Je generalise le thCor&me111 de la facon suivante : TH~ORE A.ME Soierzt donntes, d u n s l'espace ( x , y ) , des var.ie'te3 carmte'r.istiqiies Vi, e n nontbre f i n i ou e n infinite' de'nombmble, d o n t I'er~sernblen e pr-ksente a u c u n e s i n g u l a r i t t ci distance finie [en vertu du thdorkme 1, cet ensemble de varietds p e i ~ t&tre defini en egalant a zero une fonction e n t i h e F ( x , y ) ] . Sccpposons q u e l'orz a i t ddjini, s u r chagcie TTilune fonctior~ d e var.iable complexe, uniforme et p a r t o u t me'romorphe s u r V;, e t ddsignons cette fonction p n r cq ( M ) , M e l a n t urz poin t ycielconque d e Vi. Alors on p e u t trouoer icrze fonction @ ( x ,y ) , mkromorphe parlorLt a distance finie (,I ), et p r e n a n t sure chaque Tri les m&mes valeurs clue la fonction cq(M); il vaut mieux dire, a cause des
( I ) BlCme si p ( M ) est partout Ilolomorphc, i l n'est pas sQr (contrairen~entA ce q u i avalt lieu dans Ic cai du tllCoreme 111) qu'o~lpuisse prendre pour *(I,y ) une fonction enliere.
. ( I = ( A'x) uo!lelaJ el y luojs!?es !nb ,€ ap l a 3. ap sa!u!j s.ln.>le.\ s.71 anh a.t!r.llclon n e a%s!nua,u u o 'a.r?llua uo!lelaJ aun,p SF^ a1 sue(~l 'axald~l~rm ~!13alo.lduclcl a1 suep iur!5~ld as ua '!UIJU!,Iy slu!od sal ?la!~t!nP I " ~ e p. r a . ~ j u aaJlrj ~ I ! ( I ~uo J 'anh?.rq?2lu uo!le[a.c aun'p se.1 a1 s u e a (,)
: lue.i!ns aru?Joaql a1 l a j a ua e no f 111 ; ) U I ? . I O a1 ? ~~~a ! ~ r ~ a ! l sea ~ o darumoa luaruas!a?~d amJajuaJ rnb la 'aalou41s ?I:, yrap alllop sues e !nb uo!les!1e~?na2 aunlp alq!ldaasns Isa . 1 a ~ j a ~ - . 3 e l ap l ! ~aur?Joaql ,~ a1 ' a ~ q e y aun,p s~ suo!l -3uol sap auremop np ,I!IJOS sues 'anh lueualu!em suoAJasq0 .g
.s?r18!01? zasse !a!,nbsnT s?lsaJ aul?Jo?ql a?
an,4 a p slrl!od sap aJlrra ua!I un m o p j!lqela
v
. O = (,C .x)d ( , ) ?j?!.rwn v l .rns a l n u u v , s ( x ) h - (/CLr)a an6 ")la? '(.l' ' x )allavuo!pu.r ~ uo!l~uoJ sun a?s!xa '??pluawa.rlnw i .C l a x a p tro?13troJ ua luawallazruo?lu.r ~ a w ~ . r d x al,ns a d 'anb?.rq .rns at/dkrowo.r?w l a azu.ro.[?un ' ( x ) h uoy3uoJ apno7 'o = ( A ' x ) anb?.rqp3lr, ~ aq.rno3 a u n apuuop l u w 1 3
-?.qv a0.rno3
: sanb!aq?81e s a q ~ n o asap a!Jo?ql el suep anh!sse[a lsa !nh 'luen!ns aru,?~oaqia1 as![e.rau?8 I! ' l u a ~ ? ~ !onA p ap lu!od un,p 'urfu3 . I I I~ N I ? J O ?a1 I ~'q!p J suo,ie'l snou '!ssno as!le~aua% 11 so r ( m ) h jues -!I?] {la a,\no.lla.r rrolnh ' 1 aiu?Joaql a1 as!le~?u?9 aru?.ro?ql a? - 0 = 1 ap a5ou!s!on ne I ap aqd~omo.r?ruuo!lauoj aun 'uoy!urf?p ~ e 'de ~ a s (14)t i U ~ ! ~ ~ U a.llou O J ' 0 - C 'Ox~ u ~ np o da2eu!s!o~ n y .[!s!oqa luamalq -eua,\uoa Jayrra un luela zr ',L(Ox- x ) = 1 'aldruaxa ~ e d o] = j a p
v
I
a2cu!s!02\ no 1 a ~ ~ ? r u c a eudn ( p sarltl~ouro1oqsuoylauoj ua ~aru!~dxa,s lua,\rlad ap l u ~ o dnn,p , € l a x s a a u u o p ~ o o asal ",j ap O / C 'ox lu!od lnol ap a41:u!s!o~ n y -(( ala!JeA el Jns axaldruoa alqepen ap uo113uoj aun ~ e puajua d u o , ~a n b aa .ras!a?~d ap lua!~uoa 11 ))
variable cnnzylexe x , rlne suite i l l j r ~ i ed e points n , ( l i m a i = a), nil voisinnge d e chnqite p o i n ~a ; , 1111 de'veloppement
el,
1'.
(-) - a , I
x
d P s i g n a t ~ u,z r polj.tzorne or
2. Il,s.risle a l o r r ant. x -a,
fbttctio~t@ ( x ) , holomo~.p/~e en tout poiltt di-fe'rent d e a , , et a d m e ~ t c t n t a, u 1:oisinuge d e cl~ngrtepoint a;, 7LIt clhveloppeme~zt de la fornte * ( x ) =f,(X
I
+ ( X - ~ I ~ ) ~ ~ + ' , # ' , .T). I
En somme, on peut se doliner, at1 voisinagc d'une infinite de points isoles, autant de ternies du dkvcloppemen~de @ ( x ) que l'on veut; il n'est d ' a i l l e ~ ~ rpas s neccssairch que ? t i reste horn6 lorsque I'indice i nugmente indkliniment. Dkmonsrt.alion. - Soit F(z) rtne fonction entiP1-e admettant chaque ai pour zero d'ordre n;+ I . Cherchons a mettre la fonction inconnue @ ( xj sous la forme F ( x ) G ( x ) . I1 sr~ffitque
reste holomo~.phenu voisinnge de a , ; on connait donc 1'1 partie piincipale de G ( x ) au voisinage de c l ~ a q u eni, e l I'on sail par suite former G ( x ) (Mittng-Leffler).
7. Le theoreme preckden~nous sugge1.e une extension possible du theoreme fondanlental A. On a effectiven~ent le theoreme suivant : T H ~ O R E ME BDotznons . nous, tlans L'espi1ce (x,y),des carat~ d r $ t i ~ u eV;, s en nornbt.e.fini or, en infinit6 de'nomb~.able,d o ~ c t l'ensenzble n'admette nucrine singitlarite' a distance$nie. Srtr chaque V;, dkjnissons-nous n I fonrtiotzs d e rat-iable complexe, un
+-
.
sairernenl borne lorsque l'indice i a u g n ~ e n l eindefinirnen~; niais nous Ccrivons n ao lieu d e n , pour silnplitier les n o t a ~ i o n s ) . I.! elciste nlor.s une f o r ~ c t i o n@ ( x&l y ) ,meromorphe /)ar.~orrla tli.slnncc j i n i e , ~ e l l e~ I L P1 7 0 1 2 i [ i / ,S I L I ' cI~aqrceV,,
Dnns un langage nloins p~*ec.is, n ~ a i splus frappant : on I~erL1se donnet-, srrr chnyne V , , IPS I-nlenrs de @ el d e scs pr.emitles dc;ric~ees.
a* sur V,
Hernnrquons hien q u e la conn;tissance des valeurs dt. (Det~ n t r a i n ecelle rles valeurs
( I )
de
dQ,
--, a u rnoins si V i ax
varietr .x = const. D r inenit,, la connaissance de @,
a?+
. D L ( t
entraine celle de -e l fl.rr!).
--9
Y
n'est pas une
a*
a29
et
DY?
etc.
a ~ ?
I I . - Demonstration des th6orbmee A et B.
8 . Point5 ntultil)le.r et poinls ci'i~~dr;ter.nzinntion. - Faisons d'nbord line remarque importante. Nous a \ o ~ i~i co~isidt;rcbr s uti ensemble do \.;cl.ietCs b , obtenu e n egalant i zCro I I I I C fonction elltiere l:(xl y ) .h o u s srlpposerons LLTLP / o i s porrr /art /P.\ clu'trrcr.rrne d e ces vrr~.ir;tksn'est u e lri /or-nte .z = COIISI.o u y = COIISL. ; s'il n'en Ctuit pas ainsi, nous ~l'aurions clu'b effcctuel. uue s l ~ b s t i ~ t i t i olinlaire n convenahle s u r x et y. Cela ()use, noi1.s s u p j ) u s i ~ ~ . ola ~ lfonctiou s F ( x , .r)choisie de f a ~ o nqlle chaclille des \', soit ~ i ~ t z p pour l e F. iI)
Car. lea coortlol~~~Ce?; x e l y d'un poinl de V, e t a n i des lbnctions d'uu P P I S U I . Y, utle lonctiol~collnuc de f , et I'on a
pal.arnet1.e t , a
r e l a t i t ) ~q~u i
donnr dQ, ox
. dx s~ - 11'est pas
dl
identiquen~entnul.
Dans ces conditior~sun point sera dit mrrltiple pour l'ensemlle
. dF ,IF -et s'annulent
des Vi, SI
dL
dy
en ce point. D'apres le no 2, les points
multiples sont isoks. ~ t a n donne t un point multiple, il se peut que plusieurs nappes distinctos des Vi passent en ce point, c'esta-dire que la relation F ( x , y ) = o definisse plusieurs fonctions distinctes y ( x ) . Revenons au theoreme A, tel qu'il esL enonce au 11" 5 , et indiquons une proprietC essentielle de la fonction cherchde 8 ( x , y ) . Soit M,(x,, y o )un point multiple en lequel il passe plusieurs nappes distinctes. Sur chacune d'elles nous avons une fonction p(M), et ces fonctions peuvent fort Lien prendre des valeurs differentes en M,. La fonction @ ( x ,y ) ne pent donc Ctre holomorphe au voisinage de x,, yo,car elle prendrait en ce point une valeur bien determinee. Ainsi, 8 ( 2 , y ) doit posseder un point d'indetermination en x,, yo.Cela n'empCche pas la fonction 8 de prendre une valeur bien determinee en Mo, lorsque le point x, y vient en x,, yoen restant sur l'une des nappes qui passent en M,; car @ ( x , y ) devient alors une fonction d'une seule variable, et une telle fonction n'a pas de points d'indetermination.
9. Supposons pour un instant le theoreme A dCmontrC, et proposons-nous, connaissant une solution 8 ( x ,y ) , de trotrver fa solution ge'nimle Y ( x , 3 ) , c'ea-a-dire la fonction mkrornorphe la plus g6nCrale telle que Y ( x , y ) - cp ( M ) s'annule sur les Vi. Puisque la difference Y ( x , y ) - 8 ( x , y ) s'annule en mi3me temps que F(x,y ) , la fonction
qui est mdromorphe, n'admet aucune des variCt6s Vi comrne variCtC polaire (on suppose donc essentiellernent.que chaque Vi est simple pour F). O n a ainsi
H ( x , y ) etant la foncbion meronlorphe la plus gCnCrale n'admettant aucune des variCt6s V icomrne variett! polaire. Mais H ( x , y )
peul devenir infinie en des points isolCs situes sur V;; cela n'empCche pas le produit F ( x , y ) H ( x , y ) d'&trenu1 lorsqu'on se deplace sur V i .
10. Pour ddmontrer le ~hdori.me A, nous rdsoudrons deux probl6mes.
Probldme I . - Dbfinir, au voisinage de chaque point d'une quelconque des varidtds Vi, une fonction ~ ( xy ,) qui se reduise i q ( M ) sur Vi, et satisfasse en outre a certaines conditions qui seront prCcisCes; par exemple, y ( x , y ) n'aura pas d'autres infinis que des varidtes x const. ou y = const..
-
Probl2me II. - Definir, au voisinage de chaque point d e l'espace, une fonction meromorphe g ( x 7y ) , de f a ~ o nque : 1' les fonctions g relatives a deux voisinages ayant une region commune soient Cquivalentes dans cette region commune;
reste finie au voisinage de tout point d'une Vi, sauf peut-Ctre en des points isoles. Supposons ces deux problemes rCsolus. T1 existera, d'apres le theoreme 11, une fonction G ( x , y ) , mbromorphe parlont a distance (inie, et equivalente aux g ( x , y ) . S u r V;, la difference
restera finie. sauf peut-Ctre en des points isoles, et, par suite, la difference F ( z , ~ ) G ( x ,y ) - y ( z ,
y ) = ~ ( xy ,j [ ~ ( x y)-~-] , F(x7 Y )
s'annulera sur les varietes Vi. D'ailleurs y ( x , y ) = cq(M) sur Ies Vi. La fonction *(z, Y ) = F(z1 Y ) G(x7 Y ) sera donc une solution du problCme, et le theoreme A se trouvera ddmontre.
- 10
-
11. Re'solution d u probldme I . - Nous sommes au voisinage d'un point xo,yod'une variCtk Vi.Supposons d'abord realisees en ce point les deux conditions suivantes : i0
dP(xe' Y O )#
OY
0,
de sorte que la relation F(x, y) = o
donne, au voisinage de x 0 ,y,,
? =f(..), f (2)Ctant hololnorphe ; a" la fonction
?(M)est hoZon2orphe en z,, yo.
Alors cq(M) peut s'exprimer en fonclion holomorphe de s au voisinage de x = 2,. C'est cette fonction ?(x) que nous pr.endrons pour re'sorcdre le premier probldme. Les points des varietes V i pour lesquels les d e r ~ x conditions prkcedentcs ne sont pas simultanement remplies sont isoles. O n peut les ranger en deux suites :
de facon que, au cas oh la premiere suite serait infinie, l'on ait
et, au cas oh la seconde suite serait infinie, I'on ait
Nous supposerons, pour simplifier, que z,, r,, . . . , .u,,, . . . sont tous diffkrents; dc mCxne y',, y;, . . . , y;,, . . .; s'il n'en n'ktait pas ainsi, il snffirait d'effeclner une substitution lineaire sur .z:et y. Soit alors a definir notre fonction cp(x,y ) a u voisinage dc l'un de ces points.
12. Raisonnons sur un. point de la premiere suite. h u voisinage de x,,,y,,, on peut ecrire
- 11
-
F,,(x,y ) etant holomorphe et non nulle, et P,,(sl,, z ) un polynome (pas forcement indecon~posable)de la forme
dont les coefficients sont des fonclions de x, holomorphes au voisinage de x = x,, nulles pour x = x,. La fonction
est d'ailleurs holomorphe pour I x - x, I < p,, (p, etant un nombre positif assez petit) et y quelconque; de plus, ellc s'annule sur toutes les nappes des V isituees dans la region ( x - x,, ] p,,, a I'exception des nappes situCes au voisinage de y = y m . Effectuons le changement de variables.
<
Comme, pour x = x,,,y =y,,
DiX. Y )
est egal I
I
F.(x,,, yn) #o1 les relations ( 2 ) permettent d'exprimer inversement x et.y en fonction de X s t Y au voisinnge de X = o , Y = o. La relation F ( x , ,y) = o devient unc relation ontre X r t y ; a toute valeur de X voisine de zero col-respondent k raleurs I',, Y , , . . . , Y kvoisines de zero, donc k points ( 5 8
"Y)
Du rrste, Y , , Y,, . . . , Y k sont racines d ' r ~ npolynome Yk+aI~X)Yk-l+
a coefficients holomorphes en
,.. + a k ( X ) = o ,
X, nuls pour X ==o.
.
h,, h , , . . , h k , sont des fonctions uniformes de S , meromorphes au voisinage de X = o. Un raisonnement classique montre alors que ?(I)) peut s'expri.mer a l'aide d'un polynome en Y, dont les coefficients sont des fonctions meromorphes de X. Ces coefficients peuvent effectivcment avoir pour pdlc X = o. D e toute faFon, on peut ecrire
011nul, et R ( Y , X ) n n polynome en Y dont les coefficients sont holomorphes en X ; si l'on remplace Y par
a etant tin cntier positif
O r S(,y, X ) se laisse developper suivant les et l'on a par suite ? ( P i = wn+ w:r> cvi, Ctant holomorphe en
.
X
puissances de X ,
e t y, et ctJ,, etant de la forme
les S sont d'ailleurs des palynomes. Si enfin l'on rernplace X par x - .C,, c r ~ : ~ ( XY, ) devient une F,i<J, y 1 function v,, ( 2 ,y ) , holomorphe au voisinage de x = x,,, y = J , , , , et tv, prend la forme
Nous avons ainsi
et nous prendrons precisement, pour r6soudre le p r o b l ~ m e1,
Ida fonction u,, (2,y ) , q r ~ represente i la partie infinie de cp ( x , . ~ ) .. au voisinage d e x = x,,, y =st,,jouit des propriCtCs suivantes : I " elle est mCromorphe pour I x - x,, I < p,,, y yuelconyue; z" elle cst infinie pour x = z,,,.y quelconque; 3" elle s ' a n n u l e sur- touter les nappesdes VisituCes d a n s la rkgion I x - x, 1 < p,,, & l'exception des nappes s i t d e s a u voisinage d e y =y,. La fonction U,,(X,y ) possedrt donc des points d1indCtermin3tion aux points de rencontre de la variCtC x = x, avec les variCtCs V;, en dahors de .y =y, (si toutefois ces points de rencontre existent). P o u r un point M;l(x;l, y;,) de la deuxi&mesuite ( I ) , on dC6nirait d e m&me Y ( X , y ) = u;I(x, Y ) + v b ( x , Y ) , vb(x, y ) Ctant holomorphe au voisinage de x = x;, y =y;,; la fonction ub(x, y ) : I"
2"
est meromorphe pour est infinie pour y
=,yk,
1-Y
y;, I < pi,, x cjuelconque;
-
x quelconque;
3" s'annule s u r toutes les nappes des V; situCes dans la region 1 y -yb I pi,, I l'exception des nappes situkes au voisinage de x =
xi.
<
Le problerne 1 est entierement rCsolu.
14. Rksolution
problkme 11; &finition d e la jonctiorz g ( x , y ) ari voisinage d e c h a q r ~ ep o i n t s o ,jrOd e l'espnce. dti
-
P r e m i e r cas. x,, y,,n'est pas sur nne.varieb6 V;; je suppose dc plus xo diffkrent de tous les x,, , et yodifferent de tous les y k . Alors je prends.g(x, 3.) 0 . . Deuxi2me cas. - x,, .yo est srlr une variCteLVi;je suppose de plus x , different de tous les z,, ( 5 moins que xo= XI,, =,yl,). et yodifferent de tous les yk ( a moins que x,,= xi,,y , =I,;). Alors je prends
cp(z, y ) Ctant la fonction prCc6demment definie.
- 14
-
Troisiknze cas. - x,, ?*, n'est pas sur une r a r i ~ tY~; ; niais x O =xn(y,,# y n ) , ou encore.,-, = = ~ (.xn b # sb). Si xo= x',,, je prends
si yo= y b , je prends
si, enfin, l'on a en mbme temps x o = x,, y,,=yb, je prends
Quatrikme et dernier cns. - x , , y , est srlr u n e variele \';,
PL
l'on a .ru= J-,, ( y of y l r
= Y ; ( ro #
.L./, ).
Soit y ( x , y ) la fonctioli dPfinie 1,111s haut relativement arl voiyinage de 2 0 , yo. Si x,,= x,,, je p e n d s
, . si, enfin, l'on a en m&me temps x,,= x,,, .,yo= y,. je prends
Les fonctions g(x, y ) etant nlaintenaut ddfinies, il reste a verifier qu'elle's remplissent bien les deun conditions posees lors de l'dnoncd du probleme 11 ( 5 10). Le lecteur h'en assurera sans peine. Nous avorls donc acheve la demonstration du theorC~neA. I1 esl a remarquer que kt f'onction @(x, y ) qrle l'on c o n s t r t r i ~ ainsi n'a pas d'autres irzfirzis qur: des i n / i n ~ s x = const.
ou .y = const. ; elle est donc de la forme
P(x7y'
, P, X,Y ktant
X ( X )Y(.Y)
des fonctions entieres. Ceci est a rapprocher du theoreme : sur une courhe algebrique f ( x , y ) = o, toute fonction ratio.nnelle de z et y peut se ~ilettre sous la fornle
r(z), P eI X titant des polynomes. x (J-)
Dans Le cas d'une relalion entiere F ( z , y ) = o, il n'est pas toujours possil~le,par contre, de nlettre une fonclion mbromorpbe de .r e t j - sous la fornle wy), P et Xc.r)
X
&ant entieres.
25. Sans entrer dans les details, donnons quelque; indications sllr la demonstration d i ~ 1hCor6me B. F ( x , y ) designera cette fois une fonction entiere qui s'annule sur les variktes V;, et pas ailleurs, c h a q r ~ eVi ktcrnt ~,tuIlit,le t1'ol.tlr.e I L I ( I ) ~ O U I ICL - fonction F. Soit, d'autre Ixrrt, pour chaque valeur de l'indice i, f , ( z , y) line fonction entiere s'annulant sur la variCte l';, et pas ailleurs, V i Gtant sinrpie potlr la f o n c t i o n h . Nous avons encore a rksoudre d e u r prob1kme.s :
+
I'~.uDlinte I . - Iltiiinir, nu voisinage de c l ~ a q u epoint d'une quelconque des v;lrietes V i , unc fonction y ( x , y ) , telle que l'on ait, sur la vari'ktk V iconsidbree,
Ies fonction.3 p ( M) kta~ltcelles dont i l est rjuestion dans 1'Cnonck du theor6me B . PI-oDL2nze II. - Ukfinir, n u voisinage de chaque point de I'espace, une fonction mbron~orpheg ( x , y ) , de facon que : (
1)
Hdppelons que n peut v a r i v r a v e c I'indice i.
I O les fonctions g relatives a deux voisinages qui ont une rdgion commune soienl Cquivalentes dans cette rCgion commune; no la diffCrence
reste finie sur chaque V i , sauf peut-&tre en des points isolCs. Une fois ces probl6mes resolus, il existera une fonction mCromorphe G ( x , y) Cquivalente aux g ( x , y), et la difference
restera finie sur chaque V;, sauf en des points isolCs. O r , sur la variCtC V;, le quotient fonction
F(x'y) Ifi(r,
Y )l"+l
reste fini et non nul; donc la
s'annule sur V;, ainsi que ses n dkrivbes partielles
"
3u 35u -, --,, ay dY-
. . .,
da 3. ~i l'on pore
on aula donc, sur V;, da' dy
-
-
9 3Y
=y,(M),
et l'existence de la fonction @ ( x , y ) Ctablit le thkorerne B. TJa function Y ( x , ,y) la plus genkrale, qui satisfait aux m&rnes conditions, e s de ~ la forrne
H ( x , y) &tan1la fonction rnkromorphe la plus gCnerale n'admettant aucune des varietes Vi comlnc varikte polaire.
lu?od zrnlp a.Zvu?s?on 1 1 ~ 77uasswd ? n h s,al+j.~wnsap alqtuasua,l at16 la? 'salla?.i suo?suaw?p x n a p v sy??.rvn ap alqzcrasua tin ' 2 ',C ' x saxaldwo2 Sa/QD?.iVns?o.i? ap a2a(fsac?S U D '?u$?p ~ S~IOSO(?~S : alueA!ns uoysanb el aJpnos?J np l u e ~ e ~ e d nl!e~pua!~uo:, e 11 .sa(qe!JeA xnap ap s n ~ dap s u o y la
-31103 sap nod ~as!1e~?u?9 luaiuale!pamru! sed luass!el as au
a
y saw?Jo?ql sa1 ' a ~ ! o ~ al!e~.~noduolnb aa y luarua.qe.wuo3 .LC .sa?llg .ralsa.i sa!llanssv l u w sa.rlna sa? an6 l u v p u a d salla a.ilva,p sau?v?.ia3 v s!tr?/i~! say '?u!od zrn ua '.rauuop awpw ??lad uo .'sa.l?nu rap Saul1 sal salrrvpuad?pt~?2jvJ p jno? luos ' . w a -4 A-e - sa?nj.i?p sas ap ?a (fi ' x ) u~ o!l~uoJvl 6-
+aP
W
ap ",I p?S?.ivn v?.ins 's.inqvn sa7 .!lqela m o p lsa a aru?Jo?qi a?
!(Al ~ ) : + # ~ ( '(j L ' )..r) + l i ( A - L r ) l J +( A - lx)(hh= ( A - . r ) i aur.loj el snos (A' z ) h aallalu y al!nsua aqa~aq:,u o , ~la '!A Jns 81-s~naleasaa a u u a ~ d!nh (A' ' x )Ih uo!lauoj aun JaurJoj s ~ o l!es p ?I?!J~Ael ~ n s uo!l:,uoj ul np s a n a p sal l!npap ua uo
uo .!A
.(A- 'x)14, (A-
l ~ ) ~ < / - +
( A - l r ) " i= ( A - < r ) i
aw.roj el $nos anuuoau! (,C ' x ) h uo!lauoj el aJnnru y suoqaaaqa 'l!ej e1a3 . ! A J ~ S( N ) O ~ as!npa.I as ~ n 'b( L ' x ) ( l huo!lauoj aun p.~oqe,psuos -s!ug?p snou 'y awqaoayl a1 nod aururoa l u e p a a o ~ d113'!A ?l?!JeA ap 'O,T l u ~ o d n p a S e .u .~ s ~neo (~A ' x ) h .l!urjap s u o l n o ~s n o ~ -1 a w a l q o ~ dnp uoynlos?J el Jns luarualnas sloiu s a n b l a n b . g j BI
"
qrrelconqcte d e l'espace soil donnt! par d e u x relalions
u el v e'lr~nltlcurz:forrcliorts /lolornorpiles a c voisinage d u poinl corisidP1.e. E x i s l e - l - i l d e u x f'onclions enlidres s ' a n n r ~ l a n tsur cel ensemble d e varic'lds, el ne s ' a n n r ~ l a n t pas ensemble ailleurs .3 En d'autres termes, peul-on se d o ~ r n e ra l . b i ~ a i r - e m e n lles vat.ie'tks d'inddlermination d ' u n e f'oncliotl d e a,y , 3 , pal-torit nze'r~omorphe b distance jinie, pour-vlr que ces varie'lks salisfassant arrx conditions dvide~nmenlnkcessair.es poskes plus ilaul ? Dans un prochain MCmoire, je montrerai comment, en se lbasant sur les considerations du present article, on peut etendre aux relations entieres F ( x , y ) = o un certain nomhre de rbsulta~sde la theorie des courhes algebriques.
Les fonctions de deux variables complexes et les domaines cerclCs de M. CarathCodory Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris 190,354-356 (1930)
A tout syst&mede dcuv nonlhres complexes .c et y faisoils col.rrspondrc~ un point d'un espace a cluatre dimensiorls reelles. Deux donlaines ( = )11) et D' de cet espace seront dits en comsponclance nnn(ytiq~tc.s'il existe un systimme de deux fonctions analytiques des variables complexes .cet y ,
x = j ( . r ., y ) ,
Y = g ( . c ,y ) ,
C t a b l i s s a ~uue ~ ~ col.l-espondance biunivocjue entrr les tleuv dornitines. J'appelle dornnine cercle' un domaine qui conticnt I'origine ( x = y = n) a son interieur, et qui, s'il contienl ( x , y ) , contient aussi (xel", yetOj( 0 reel quelconque). Si en outre il contient (xel", yc,lP) ( 0 et r6els quelconques), je l'appelle domninc de Heinhardt ( ;). .l'appelle ~ l o m n i nrctr/(: ~ c;toilC 1 1 ~ domaine qui corltient l'origine sorr inikrieor, et qui, s'il contient ( . I . , y), contient aussi (X.c, ky ( k complexe, I k 1 5 I ). J'appelle domaine muxirnum {in domaine D tel qu'il existe u ~ r cfo~lction f ( x , y ) , holomorphe dans D,et non prolongeable au dvlh. TJn domaine cerclk nan etoile, et. d'une facon gPnt'.rnle, 1111 domaine quelconque D n'est pas forckment univalenl (scltlic.ht) : on peut c.oncevoir que des points distincts de D co~llcidentavec un mPrne poilrl tics l'chspace. 0 1 1 p u t mCme supposer que D admet i son intkrieur des c.nlr~inrl~~msde rarnili. cation, pourvu que le voisinage de tout point de D p~~isscb c:tre rnis en corresp o n d a m analytique avec un domain(. univalent. THEORBHE I . - Si lute
( = ) J'appelle
domrrinr, 1111
e n \ e l n l ~ l eC I I ~ I I I ~ \ Id. e
iiltG~.ir~~r-,I I I ' O I . I .I I~ CI .~ ~ , P
~ I I ~ I I I ~
points frontikres. ( ')
Potir
ces d k i ~ o ~ r i i ~ r a t i o nveil s . CAIIATII~ODOR~. Ucher drc, (;comet/ rr
der
~ I L U -
I ~ ~ ~ S C I L PAbbildul~gerl IL ( M a t l t . .Sr,rtrinur 4t.r Hanthu~.,q.l f n i v . , G , 1928, 1). yti-145).
re/-clt!D !non uuivalent rr pr.ior.i), elle reprend forckment la mime valeur en rleiix points tie D quicoi'ncident avec u n m&mepoint rie l'espace. On doit donc, au point de vue dcs t r a n s f o r r ~ ~ a t i oanalytiques, ~~s considdrer deux tels points conlrne identiques, r t D cornrne u~livalent.S i J'jx,y ) est holomorphe, le 1Ilkor6rneI ddconle du suivant : HEOR ORE ME 11. - Toute Jonction f (x,y ) , holomorphe dans u n domaim cercld D , est dt!velolryable en .rtrie
-
2 P,,(x, y ) ( P , polynome homogbne de 0
riegr6 n ) , zir~iJbrmPment contlergente au coisinage de tout point de D . O n en conclut clue f ( x , y ) est holornorphe dans on do~nainecercld &toilk ( I ) (-ontenant D . TBEOH~IE 111. - Le domaine total rle convergence ( a ) d u n e sdrie XP,,(x, y ) rut irn hmriine cercle ktoild maximum 4 ; rkc&roquement, tout domninr, cercM rnaxil~~iim ert le domaine lotnl de conc.ergence d u n e sink La relation bier1 connue c.ntre les rayons de con\ergence associks d'une sPrie doltble de Taylor exprime que le dornaine de convergence de cette +rip (domaine de Reinhardt) est mazirtlnrt~;c'tlst .le plus grand domaine de Reinhardt inscrit dans notre domain? 4. THEOHEME TV. - I) etnnt irn do~nuine cerclk quelconque, tous les I dolnnincs c e ~ l t sn/asirt~u.contcnant D , contiennent 1'1in d'entre e u x A (plus colitenallt U ) . Tout? fonction holomorphe petit domaine cr,t.clP ma.cir~z~rrn dans D est aossi holornorphe tiar~sA , e t ne y r ~ n ddans 4 que les valeurs qu'elle prenrl dans D . THEOREME V . - dm d~;.rignrintI'klkment de volume de l'espace a quatre
dant une Jbnctlon holomorphe duns un domainr cerclk borne D , on a
I
i ' )\I. lla~.logsa elalrli r~nLretlrtoreme 11 en suppozant a priori que D etait &oil8 a . lr~n..62, 1 y r 6 . p. 1-88 : voir paragraphe 11 ). ( e ) C'c.1 ~ ' I ) ~ , , ~ * I I I I * I1111 I I ( I O I I I ~ I ~ L I C IIC C O I I \ I * I . ; ( ~ I I C ~ 1 r r 1 i l j 1 r . 1 1 1 ~ ( H a r t o g s . / o r . C ~ I 1..
.!3! alq!ssod 1sa.u uo!ldaaxa&p sea u n a n v i,) 'IIA awa=oaqJ n p u o ! ~ -e.~!ldde~psuo!l!puo:) u r e s s d luojs!les au !nb s a u ~ o qsau!eruop sap als!ra p L n bs u o l o ~ .a.i!l.~!.risa.r rrad .a.r!eluau~?[ddr~suo!l!puoa aun ~ u s u u a X o uJan31 ~ as sea lnol ua l n a d !nb l a : ! 3 ! .rarrb!gd\a,l) $uo[ d o ~ l!c.ras l pLnh 'uo!idaaxacp se:, un a.rl?-lnad e X 11 ( , I
- t i ) a.r?yds -dad4 aun dns alq~luas?ddadisa a ' s a ~ p w ~ ~xnap b d ap snld ap iuapuadqp satla ?s :2p.myu?ag ap au?Dulop un m s alq~zuac?~da~ 3sa a ' s a ~ i ? w v . ~xnap ~d w?od un ax$ luass?ol ?nb 'atr1;71ll-?nlua a audoq ap zuapuad~y '~na?~?lu? aU?DwOp Uny S ~ T / @ ~ / ~S ~U D O ?U ~D D~ U . I O ~ DSaf . ~ ~?s - '11 J A XHaUO7H& .( , ) iuaph?un ?la.laa auz~wopun a a , $ ~anb?lAj~uaaau~puodsa~~oa ua s?w adz? inad '~na?.l?ru? iu!od un ax$ ]UDSS?Dl "a~,a~u-?nl ua s a n b q 4 ~ us~u o ? ~ ~ u ~ l o / s u2p o . ~$??u$uI ~ aUll 12UlpD zrlb ' ( U O U no l ~ ? ~ h ! u n?udoq ) aU?DWOp 3noj - 'I[!j 3R31103H&
'[0
=( 0 '0)2 = ( 0 '0)1]
'(A 'X)2= A
'(A ' X ) j =
x anbz1Aj~uv
am~puodsad~oa ua luos s?u.~oq s?]a~aasau?Dwop xnap
?s - 'IA XN7803HJ, 9sE
' ~ ~ 3 ~ 3 saa 1 3 sa1ruqav3v
Les transformations analytiques des domaines cerclCs les uns dans les autres Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris 190,718-720 (1930)
4 . Depuis ma derniere publication ('), j'ai eu connaissance d'un article ou M. Behnke (') Cnonce le thkorerne vI de ma Note. L'article est tout entier consacrC h une dkmonstration de ce thCor6me. J e vais a mon tour donner ici ma dkrnonstration, dont le principe est diffCrent, et qui me parait plus simple. Elle Cvite notamrnent la distinction des trois especes de domaines cerclCs, et s'applique a tous les domaines cerclCs born& tels que je les ai prCcCdemment dCfinis, alors que M. Behnke se lirnite aux domaines cerclCs que j'ai appelCs ktoiles, et doit faire en outre une hypothese restrictive sur la nature de la frontikre de ses domaines. 2. LEMME. - Soit, duns l'espace des deux t.)ariables complexes x ..et y , un domaine bornt D qui contient l'origine (x= y = o ) a son intkrieur. Si un systkm d~ deux fonctions holomorphes dans D X = f ( x , y),
P = g ( z , y),
satisf ait aux conditions suivantes :
et si lepoint (X, Y ) reste intkrieur a D quel que soit le point (x,y ) intkrieur a D , on a f ( , < . ,v) , =x,
g(.z, y ) = y .
ConsidCrons en efret les substitutions itCrCes f i L + , ( ~ ,
.?,I
g,,+, ( x :?.I
=
J [ f , , ( x ?y),g , t ( x ,~ 1 1 , # [ f , t ( ~ , y ) ,~ ? L ( x , Y ) ] .
Comples rendus, 190: 1930, p. 355. Abbilclungen der Kreiskor-per (.-ibh.rualh. Sem. Hambnrg. Univ.,7, 1930, p. 329-3411, (1)
(9,Die
.[o=
(n
.o)+= ( o * o ) h ]
' ( a' x )=~L ' ( a's)@=,z
= ,k '(A"'Z')h=x
a17bavun?q a ~ ~ b ? ~ a3uupuodsa~.ro3 ~uuu ua luos '?u./oq ~ s aa su~ouinn U I , , ~ luop 'V la a s?l3./a3 sau?vurop X17dp ,q- 'awjlloaIrjJ 'Q la?J aJqruou a1 l!os arrb ~ a n h(1ap lu!od un !ssne Isa (,,d ',,ax) 'a ap l u ~ un d Isa (A 'x)!s .z !a e Jna!J?lu! ?u!od un lsa au!8!.10~~[. I : salue,i!ns suoy!puo:, wnap sal .red !ug?p lsa a ?Ia.raa au!eruop unLnh s r ~ o l a d d e l.aur?Jo?iIl ~ aalou s,uoa!.r.r~; .qqela lsa aruural a1 la 'slnu ~uaouanb!luap! snol luos sal aru?ru ap la ''[dsa1 :,UO(I .alewJon sed l!eJas au '~Jsap alpruuj el la
.c
'xna a ~ l u a ' p,ra!ura~d a1
nd l ~ e l a d d ua e 'l!e~neuo 'slnu luaouanb!luap! sed lua!elatu Ydsal snol !(;
sau?2omoq sawouLlod ap sa!J?s 113 ~ a d d o l a ~ aluass!el p as (A ',x).Y la (A 'x)/anb anod lyad zasse 2 suorraJd .u l!os arlb ~ a n b
sal!1e2?u! sa1 anh la1 'I/. j!~!sod aJqurou un aaanoal auop ~ n a duo '3 jy!sod aaqwou un auuop l u e g .aleuIaou all!urej aun al!ns ~ e iuarrraoj d saIIa !a suep sa?uaoq luos "3la "Jsuo!~auo~s a 7
720
A C A D ~ M I EDES SCIENCES.
-
En effet, 0 Ctant un nombre rCel quelconque, les forniules xt=
p-ib@
1,10 '
y ( x . J . ) , e i e + ( z ., y ) ]
e - i e Y [ e l o y ( x . 3,). e s e + ( x .? ) ]
f (s. -1.).
=g(,r..I.).
dCfinissent une transformation de D en lui-m&nie, et l'on vCrifie sans peinc que cette transforrrlation satisfait aux conditions du lemme. O n a donc ce qui peut s'kcrire y ( x e t 0 .y&') +(.r.elO. ye'"
= e~ey(.r..y ) . = c J " ( . r . 3.1.
Pour conclure que les fonctions et Jy sont 1inCaires en x ct y, il suffit de calcliler leurs d e r i d e s partielles successives pour x = - J .= o .
Sur les valeurs exceptionnelles d'une fonction meromorphe dans tout le plan Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris 190, 1003-1005 (1930)
J e me propose de prkciser et d'ktendre aux fonctions meromorphos d'ordre infini un theorkme de M. Collingwood (') relatif aux fonctions d'ordrr fini. Je vais Ctablir la proposition suivante : THEOREME. - Soient y =f ( x ) u r ~ efonction rt~iromorphrdons tolit leplan, :r= g ( y ) la fonction inverse, el a u n nombre cornplexe ( ) tel quc les points critiques de g ( y ) soirnt tous ci zlne distance de a superienre ci u n nombre P e . On a nlors
ci condition ti'ezcl~lrrdes valeurs de I- clui remplissent des interoc~llrsI ( r ) dctns lesquels la 71ar.icltion totale ric log r estjinie (intervalles qui lie dkpendent pas dl. la valeur n considkrke). S i f ( x ) est d'ordre J n i ( ' ) I;, on a , sans inters.nlles exceptionnrl.~,
Dkmonstration. - 11 cxiste par hypothl?se un nombre positif
t, tel que,
( h , Sur Irs valerrrs excryfiorrnrlles des fo~rcfionserrfizres d'ordre / i n i (Comples rertdus, 179. ~ g n i p. . 1125). ( $ ) Nons sr~pposonsqu'il e\iste un tel nonibre: on cor~nnitd r s I'onc~ionsf(s)pour lesl[uelles i1 n'rll rxiste pas. ( c ) Nous utiliso~ls les notations de M . Nevanlinna; lorsc~ueaucnnr confusio~rn'esl possible. nous +c~.ivol~s T ( r ) au lieu de T ( r ,j'). ( ' ) n n ~ 1.e ~ scns. ,C(.Y, 11'a qu'un nonlb1.e fini de points critiques transcendants. 11 sul'lit dvnc rle supposer que n n'est pas urre vtrleur asylnptotique, ni un point d'accrltnul:~tiorrd e ~ ~ o i ncritiques ts algebriqrles.
I
004
A C A D ~ M I EDES SCIENCES.
si llinCgalitC )y-crl
est vCrifiCe, toutes les branches g , ( y ) d e la fonclion inkerse g(y) son1 holornorphes et uniformes; les g , , ( y ) sont d'ailleurs univalentes et ne s'annulent pas (sauf une peut-i.trc.). TJa thiorie des fonctions univalentes moll tre que l'on a log(+l ell(
J')
<~
r
K
r
e
.
,
\
- n
d'ou ~ ( r y ). - N
2
r
+
~ I . a.
q (log I
L
--
I b o n ( ~ 1I
-
n( r, y ) designant le nombre des zeros d e r. O n a d'autre part ( ' )
Rempla~ony s par n
+
11 eiQans
-X(r.
(2) +
a ) < 10s
"1
1 < ;,
L ) < h n nil,,y ) .
:1.
1 SF,( (1)1
f(z) -y, tle modules i n f e ~ieurs
et in tegrons ; il vien t
IJ'(0,
-
0
1
d'ou *
(3)
T ( I . ,f ) - N ( r , a ) < h : , + l n ! : ~ + h / i /
(0
Mais, comrne t r, '5 est rtne fonction croissante d e
(
(I)
I.,
on a
Voir deux de mes Notes anterieures (Comptes rendils, 189, ryf2g, p.
521
e l 6?5),
I
.am$ isa .roQo[ ay ,)1v$0t uo?lu?.lDn 7 ) slanbsal ~ s u ~ p( J ) j sal]t)nda$u?sap p J I I ~ ? . ~ ??sa $ X.rJ .IS
u uo Lajur)ss?o.r2tto?~~uoJ aun luvj? ( . I ) L :4RR37 :ln.i:)u:).3su,) ,,z '(,I)
..120~(3+d)+,y > ( u
lua!a 11
.'*
..I)\
?1!le2?u!~11!1qe1? !nb a:,
-(.I),L,
= n '.lz = , J s u o u a ~ d'(E)s!nd ' ( 9 ) s u e a -pue~2 zasse p a .l !s
u uo ' n ~ ! e ~ ~ !jy!sod q ~ e luel? 3 - . d zu$a~p.to'ptsa ( x ) J !lo s ~ '.I3 ,og61 ~ i l i a vgz
na a ~ ~ v g s
Les fonctions de deux variables complexes et le problhme de la reprksentation analytique Journal de Mathernatiques pures et appliquees, 9e serie 10, 1-1 14 (193 1)
A tout systkme de deux nombres complexes x et y correspond un point d'un espace a quatre dimensions rCelles. Deux domaines D et D' de cet espace seront dits en correspondance analytique s'il existe un systkme de deux fonctions analytiques des variables complexesx et y , .E'=
f ( x l ,?,I,
,),'=g ( , r ,J , ) ,
qui Ctablit une correspondance biunivoque entre les points intdrieurs des deux domaines ; nous diroi~saussi que D' est un transforme analytique de D , ou encore que D se trouve represent4 analytiquement sur Dr. Nous dirons de facon precise, au Chapitre I, quelle sorte de domaines et quelle sorte de transformations nous envisagerons dans la suite. Depuis le Memoire de 1907, oh PoincarC ( I ) a montrC que deux (I) Les jbnctions analytiques de deux variables complexes et la reprbentation conforme (Circolo Mat. d i Palermo, 23, 1907, P. 185-220).
2
IIEI\'RI
CAHTAN.
domaines D et D' ne peuvent pas loujours $tre rnis erl correspondance analytique, le problkme de la represen tation alialytique semble n'iivoil. fait que de lents progrits jusqil'a ces toutes dernieres annCes. L'une tles difficultds consistait, il est vrai, poser le problkme; on peul, en gros, le formuler ainsi : (( indiquer des rkgles gCnCrales permeltant de reconnaitre si deux domaines donnCs peuvent &tre repr~bsentCs analytiquement l'un sur l'autre, et trouver, d'autre part, des familles de domaines particuliers, caracterisks par des propriCtCs simples, de f a ~ o nque tot1 t autre domaine puisse se reprCsenter analytiquement suis l'un de ces domaines particuliers. )) C e double probleme n'est aujourd'l~uiquch partiellement rCsolu . Sans vouloir citer des main~erlanttous les travaux ~*i.cents relatifs ii la question, je me bornerai a trois d'entre eux. Dans le plils ancien, qui remonte i 1921, M. Reinhardt ( I ) a port6 son attention sur lrne famille fort gCnCrale de domaines, qui comprend les domaines d e convergence des series de Taylor a deilx variables; nous reparlvrons (9de ces domaines et des rCsul tats de M. Reinhardt. Plus rCcemment, M. Caratheodory ( 3 ) a indique une methode nouvelle permettant d'aborder le probleme difficile de la representation analytique, en m&metemps qu'il attirait l'attention sur des domaines plus gCneraux que les domaines de M. Reinhardt : les domaines cerclks. Entin M. Bergmann est le fondateur d'une autre mCthode ( 4 ) , hasee sur l'existence de syst4mes orthogonaux complets de fonctions. Dans le present travail je ne ferai appel ni A la tli6orie de hl. CarathCodory (7ni a celle de M. Re]-gmann. Mon but est de resoudre, dans une certaine mesure, le problitme de la reprdsentation analytique pour tous les ciomaines bornks qui admettent une injnitt de transformations a ~ l y t i q u e en s e u x - d m s , laissant j x e un point intkrieur. Nous verrons ( ' ) Ueber A b b i l d u n ~ ~ edurch n analytis(.J~ F~~rzktionerz ~ zcveirr Ver~arrdc~rlic~Jzrrr ( M a t h . Annalen, 83, Igal, p. 211-255). (') Chapitre 11, 8 3; Chapitre IV, 5 7 ; Chapitre V, 5 2. ( = ) Notamment : Ueber die Geornetrie der analytisrl~errA Irbild~~rrgcn (Mat11. Sem. d e r Hamburg. U n i v . , 6, 1928, p. 96-145). (') Voir surtout : Ueber die Existerzz, ?'on R~~)~'~serrtant~~rr~)rreiclrer~ (Malh. A n n . , 102, 1929, p. 420-446). ( & )Sauf a la fin d u Chapitre V.
L E S FONCTlONS D E
D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
3
au Chapitre IV que chacun de ces domaines peut se representer analytiquement sur un domaine cerclC, semi-cerclb, ou inversement cercld, ou, plus gkneralement, sur ce que nous appellerons un domaine ( m , p ) cerclC. Tous ces domaines seront dkfinis et CtudiCs aux Chapitres I1 et 111. Dans une Note aux Comptes rendus de Z'Acadt!mie des Sciences ( ' ), j'ai enonce sommairement quelques-uns des rCsultats exposCs clans ce travail. Comme je le faisais prCvoir, le theorbme VII de cette Note n'est pas toujours exact; i l est CnoncC ici ( a ) avec toute la prCcision dCsirable. En vue de faciliter la lecture, nuus avons jug6 utile de placer ici un ResumC succinct, par chapitre, des matikres qui font I'objet du prCsent Mkmoire.
CHAPITRE I. tiques.
-
-
Gener.alitCs silt. irs J o r n a i n ~ sel les transfornzations a n a l y -
I . 1)omaines. - '2. Le probleme d e I'inversion d'une transformation analylicltte. -- 3. Fortctioits unifornles daus un domaine. - 4. Les transformaliorts art;~lytiquesd'u11 domaine. ( : I I . ~ I * I T R B11. -
Les dornnitres cerclts.
I . I,cs l'onction3 holot~torphesou meror~roryhesdans un domaine cercle. 2. J)C.veloppemen~d'une fol~ctionh o l o n ~ o r p h edans un domaine cercIe. 3. Ley domaineb d r Reinhardt. - 4. Les fonctions r ~ ~ e r o m o r p h edans s un tlo~~raine cercle. - 5. A propos d'une integrale quadruple. - 6. Les transformations analytiques des domaines cercles les uns dans les autres.
CHAPITRE 111. Domaines serni-cerclts, domaines inversen~ent cercles, dornninrs O n , p ) cerclts.
I . Les domaines semi-cercles. - 2. Developpernent d'une fonction holornocphe clans un d o ~ n a i n eserni-cercle. - 3. La tt projection )) d'un domaine sellti-cercle. 4. Les transfor~mationsdes domaines semi-cercles. - 5. Les -
( 1
)
Les jor~ctionscie d e u x var.iabks contplr.ces et les dornaines cercles d e
M. Ca~.atheoJory(190, 1930, p. 355-356). c 2 ) Chapitre I\. , ~ h l o r e n l eXX.
sed suoaaj au s~lousrew 'saxauuoa sauleruop sap anb suoaa2as!~ua,u s u o ~.a!u'j asucls!p B slu!od ap anb asodu~o:,luel?,u ua lnol !uyu!'l y aJpual?,s l r ~ a dau!leruop un : s?uaoq sau!euIop sap anb s u o a a d n ~ : , ~ snou au snou a r ~ baa!p sled Inail au qa:, S!EN .aTug a:,u~ls!p a luos sanay -yur slurod sal snol luop SaurEuIop sap anb suoaaa?p!suo:, au snoN .s?2esrilua sau!Errrop sap saayluoq sap aanlEu EI arls as?ylodby a u n 3 n ~suoaaj arr srlou la 'au!~uIop nE sad luleuauedde,~ au~u~o:, saa?!luoaj slu!ocI sal sanofnol suoaaa?p!suo:, snou .'s.maqvu? s l u ~ o dap alqruasua un snou m o d was 'Ala x saxald -mo3 salqyam xnap sap a ~ d s a , suep ] 'aurewop u n - .saulvnroa - t
.sau!emop a p aJ?!I - r ~ ~ ! l . ~assalJ ed aunbp SJIIIJ!~.C[BUI? S U O ! ~ ~ I I I J O ~ S U ~ .sal I ~ .mS '9 -.S~~QD.IO~VW sau!eruop s a 7 :. - ..llla!.lalll! lr~!od un avy luess!eI saruaru-xna ua suo!lemJoj -Fue.lI a p ?l!ugu! aun luanarupe !uh sau.loq sau!emop xne uo!leo!lddy .elrr!xeru s?p.laD Iuauras.mAu! sau!eruop ! eru!reru s?p.rao-!ruas sau!eruoa .c 'I?lu!renl ip.lerill!aH ap sau!errrop sa? .g - .uuI!rem s?IoJaD sau!emop s a 7
- S ? I ~ J (d'tu) ~D Lau!errlop sap ~ I I ~ ! ~ I : I ~ I . Ivnl! O ~ 110!1~3!1d(ly ~ ~ I I ~ . I ) 'L - 'sa~!e?u![ suo!lnI!ls -qns a p 6013 satIno.14 r n e .InolaH .(3 - .(eluaruepuoj am?Joaql n e sluaru?[d - 1 1 1 0 3 .s .aluapa~a.lduo!ls.lIsuorll?p el e qlnaul?[drno3 - .leluamepuoj ama.[oaql I I uo!l~?.~isuorrr?g ~ .c .qa[c[e!.luz vnap y s a v a [ d u l o ~saua5iouroq sa.l!e?u!l suo!1nl!lqc[us a p SOID sadno.14 sap arlD.larpau .g - . S ? I ! I ~ . I ? U ~ ~ -
.sal".~aa ( d Ltu)sau!emop sa.1 '11 - ' s ? ~ . ) . I ~S ~DU ! H I I I C ) S~ J [ s913.1a3 I U ~ U I ~ S J ~ A Usan!emop ! sa7 - 0 ~ - .sal".~az~ l ~ r a u ~ a s . ~ sa a~un!!e ~ ~ ~sap o p suo!lerr~.~o~sue.i~ s a 7 .t; .?la.la~l u a m -as.laau! au!eruop 1rn;p (I. uo!l3aro.l(l 1!7.s 'a[a.laD luaruasaaAu! au!emop un suep aqd.loluo[oq uo!lnrloj a u u L p~ n a m a c l d u [ a ~ a.L a - .sa[~.la:, Iuaruas -.la.irr! qalr!eruop qa7 '9 - .sa[a.laa san!eruop sa[ la s?l:,.~aa-!was sau!emop --
))
--
1.ES
FONCTJOKS D E D E U X
V4RIARLES
5
COMPLEXES.
tl'autre 11ypothkse s u r la natni-e d e nos dornairies ;ill point d e vue d e l'analysis sitrrs. [,a ~rotioude yoirtt intcriela. a r ~ r dolrlcrine t D est claire si le domaine est univalent (schlicht) : le point :co, y,,sera dit interieur a D s'il existe urle hyperspllkre d e centre x u ,y odont tolls les points appartiennent a D. I;n domaine n'est pas univalent lol.sqll'i1 existe des points diffkrents dri d o m a i l ~ ey ui ont les m t m e s coordor~nCes dans l'esf)ace. Mais un d o ~ n a i n enon univalent peut Ctre rlr~ivalei~t au voisinage d e c l l a c l ~ de ~l ~ intkrieur est la mCme ses points; dans ce cas, la definition d ' u ~point q u e prkckdemment ; n o w dirons alors que le domaine n'estptrsrtrmifik. Nous envisagerons Cgalement des domaii~es ramiiiks. Mais nous devons dire quelles sortes d e ramifications 11011s envisagerons, et dCfinir, de facon ~,rbcise,(In 1)oint intc;rierrr h un domaine ramifiC, dans le cas o i l ce point s o ,y,, se ti*ouve sur ulle variete de ramification. N o l ~ s supposercbns clue le voisinage d u point x u ,y u peut titre mis ell correspondance biunivoque avec un d o r n a i ~ ~univalerlt e d e l'espace (11, v), contenarit l'origine, h I'aitle d e deux fonctions llolomorphes des deux variables complexes 11 el v,
e t cela d e f a ~ o nrlri'a tout systkine de vale~lrsdon116esa x et y , voisines respectivement rle zoet yo,correspo~ldeun 11ombre.fr'nide systkmes d e nt deux les valeurs pour 11 et v. S i les fonctions 2. et .y r e p r e ~ ~ n e toutes mcines valeurs ell tleux points diffkrents d e l'espace (11, les points corrrespondants seront considCres conlme deux points differents d u domaine D. [,es variables 11 et o seront ditea t~arinbli~s irniformisant~.r. (I),
''
D(fl s ' a n n ~ i l epour. u = u = n, iI Si le dCterrlii~~antfonctionnel --n\tt, !-J)
s'aniirile s u r une ou plusieurs variCtCs caractdristiques passant p a r le u = v = o. IJes ~ i ~ a n s f o r m e ede s ces variCtks, dans l'espace (.r,y ) , sont des variktds caract6ristiq1les in~krieuresB D ; ce sorlt dcs r-nriktk~ dr r~rlrti/icationpour D.
Voir Ownon. L e h r b u c l , d r r F u ~ ~ l i t i o ~ z e ~ ~ t lt~. e11. o rp. ~ i e137 .
(I)
et s u i v
6
HENRI
CARTAN.
voici le pl-obleme : Ctant donnees deux fonctions v),
.1.=j'(//.
y=;(u,
v):
l~olomorplies au voisinage de tr = 6-= o, et nulles pour 1r = o = o , exprimer, si c'est possible, 11 et (, en fonction de x et y au voisinage de x=y=o. Rappelons d'abord Le theorkme classique de Weierstrass, en l'appliquant au cas de troi's variables complexes : si F ( x , y, 3) est holomorplle au voisinage de x = y = z = o, si elle est nulle pour .x' = y -- ;= o , et s i F ( o , o , ;) n'est pns identiquement nulle, alors F(x, y, z ) peut se mettre sous la forme ((
I;,ix, y, a ) Ctant liolomorphc el ilon llulle au voisinage tle
r:t P ( a ; x. y ) etant un polynome en ;dont les coefficients sont des fonctions de x et y, holomorphes ail voisinage de x = * y = o , uulles pour .x=y - o )). Cela posC, nous pouvons toujours supposer f ' ( o , v ) et g ( o , v ) non identiqdement nulles, en effectuant au besoin une substitution lineaire convenable sur u et v. En effet, les foilctions J'(rr, v ) et g ( u , s'annulent sur un nombre fini de vari6tCs caractkristiques passant par u = v = o , et l'on peul donc trouver une variet6 (1)
nrr
-+/,I)
YO.
sur laquelle aucune des fonctions J(u, v ) et g ( u , c ) ne s'annule (sauf a .. l'origlne u = (. = 0 ) . Ce point Clant a d ~ n i s ,appliquons le theoreme de W-eierstrass a la fonction .E - f ( 1 1 , v ) .
qili n'est pas identiquement nulle pour x = rr = o. I1 vient 7 -
I
I
)
J'(v: .z.,11) F,(.r, 11.
11)'
et, de mPme, y - g ( ~ r , v ) = ( ) ( v : , y . u ) G,(y, 11, v ) .
Les equations
L E S FONCTIONS DE D E U X V A R I A B L E S C O M P L E X E S .
peuvent, donc s'kcrire, si z, y ,
11 et t 7 sont
assez petits,
'k el 0 , qrii sont des polynomes en 0 , admettent un resultant R(.c, y , IL),qui csl une fonction holomorphe des trois variables x,y, 11 a u voisinage de z = y = 11 = o , nulle pour x = y = 11 = o. L'Climination de
,3
entre les equations ( 2 ) donne 1'Cquatioil
.lppliquo~~ d es nouveau le thkorkme de Weierstrass : si K ( o , o, n'est p a s itlentiqr~ementnrd, l'equation (3) peut slCcrire
11)
les 11, Ctant d(bs fonctiol~s llolomorpl~es dl. L(. et y, riulles pour x = y =0. 1,'4quatioii ( 4 ) donne rn valeurs pour u en for~ctionde x et y ; les Cquations ( 2 ) O I I ~a1oi.s une ou plusieurs racines communes ell (., qui sont elles-mCn~esracines d'une equation algkbrique de la meme forme que l'Cquatio11 (4). R e m a r q ~ ~ o que n s le nombre des solutions (11, (.) nta dkpend pas des valeurs d o ~ ~ n C ae sJ . taty. Nons avons dli ecarter le cab oil l'on a ~ i r a i l
S'il en Ctait ai~rsi,les Cql~ations( 2 ) , 011 ( I ) , auraient toujours au moirrs une racine comrnline en v, lorsque x et y sont nuls, c[~lelque soit r l voisin de zero; o serait fonction d e rl. C'est dire que les relation.^
17ut-clientliert srrr-/orll(, r i n ~v(lt-iete'cclr-~zctPt-i,rliq~~e pc~.cmntpar. IL = ( . = o. Pour ¶u'il en soit ainsi, il suffit d'ai1leu1.s que les relatior~sprkcCdt.ntes aient lieu en ulie infinite tle point.; s'accurnulant an voisinage d e 11 = \ ' = 0. I'olir ecartes one telle eventualitk, il suffi~d e poser la c o ~ ~ d i t i o n srlivante : duns r i i ~voisinag(, asse: twtreinl de L1ol%'gin~ II = o = 0, Le.r jhnctions ./'(/I, V ) el ,q( 11, I I P .s'11t11~1llrnt 1)a.ssirnr~lt~~ntrnen.! en dehor:~ rlc I 'origine . $1)
8
IIEKRI
CARTAN.
Remarquons que si f ( u , o) et g ( u , u ) s'annulent, et, d'une facon genhrale, sont toutes deux constantes (f = a, g = b ) sur une mhme yaridth V, le ddterminant fonctionnel
s'annule sur cette varilti. D(rr. v ) E n effet, d'aprks le thCor6me de Weierstrass, les fonctions J' et g. peuvent se mettre sous la forme
~ ( L L , Ctant nulle s u r V, f , et g , dtant ho\omorphes. O n voit, imrnd(1)
diatement que q, se met en facteur dans -D ( . f , ;.) D(l/,
0)
c . Q. r .
D.
Conse'quence. - Les varihtds sur lesquelles f ( u , c) et g(rr, r) sont simultandment constantes sont isolkes, sauf si les fonctioris f et g ne sont pas indkpendantes. Appliquons ce qui prCcede a un domaine de l'espace (x, y ) , considCrC au voisinage d'un point de ranlification x,, yo.P a r ddfinition, il existe un systhme de deux variables uniformisantes u et v . O n voit maintenant comment u et v peuvent inversement s'exprimer en fonctions de x et y . Pourquoi avons-nous cl~oisila dlfinition, donnde au paragraphe 1, d u voisinage d'un domaine autour d'un point de ramification? Pourquoi n'avons-nous pas, plus gCnCralement, dCfini ce voisinage c o n ~ ~ n e etant le domaine d'existence d'une fonction z d e x et y, racine d'une equation algdbrique a coefficients holomorphes en x ety'? Parco qu'il n'est pas toujours possible d'etablir line corresporidance analytique biunivoque entre un tel voisinage et un voisinage univalent, comme je le montrerai dans un autre travail.
3. FONCTIONS UNIFORMES DANS US DOMAILYE. - J e dis qu'une forlction f(x, y), holomorphe ou mkromorphe, est uniforme au voisinage d'un point x,,, yo d'un domaine D, si elle peut s'exprimer h l'aide d ' l ~ n e fonction uniforme (holomorphe ou mdromorphe) des deux variables uniformisantes u e t o. U n e fonction f(x, Y ) sera dite uniforine dans le domaine 3 ) tout entier, si elle se laisse prolonger analytiquement dans tout le domaine D, a u voisinage de chaque point duquel elle est supposke uniforme,
L E S FONCTIOR'S DE D E U X VARIABLES C O M P L E X E S .
9
et si, de quelque facon qu'on effectue son prolongement le long d'une courbe fermCe C, interieure a D, elle revient a sa determination initiale. Precisons : si le domaine D n'est pas univalent, une courbe peut btre ferme'e dnns l'espace sans Ctre fermke duns le domaine; dans la dCfinition prCcCdente, nous n'avons envisage que des courbes C ferme'es d a m I(. domaine D. YrCcisons maintenant la notion d e de'tcrminution d'une fonction : nous dirons que deux fonctions f(x, y ) et g(x, y) ont la m&medktermination en un point x,,,y,, d'un domaine, si elles coincident dans tout le voisinage d e ce point. P o u r que deux fonctions holomorphes f ( x , y) et g(x, y ) aient la mCme determination en un point x,, yo, il faut et il suffit qu'elles admettent le m&medbveloppement en sCrie double d e Taylor au voisinage de ce point. ou, ce qui revient au m&me, que toutes leurs dCrivCes partielles d e tous leb ordres soient respectivement Cgales en x,, yo. En disant cela, nous supposons, il est vrai, que le point xo,yo n'est pas un point de rainification pour le domaine d'existence des fonctions f et g ; nlais on peut toujnurs se ramener a ce cas a l'aide de deux variables uniforinisantes u et v . I1 existe Cvidemnlent toujours des fonctions llolomorphes dans un domaine quelconque Dl ne serait-ce que x o u y . Jlais, si le domaine D ~i'estpas univalent, une fonction telle que x posskde la m t m e determination en deux points d e D qui ont les m&mescoordonnbes. Posonsnous alors le problkme suivant : Ctant donn6s un domaine D non univalent, et deux points M et M' de ce domaine qui ont les m&mes coortIonnCes, Lrouver une fonction f(x, y), holomorphe et uniforme dans le domaine D tout entier, possedant en M et M' deux dkterminations differentes. Nous verrLons,dits le Chapitre suivanl (3 I ), que le prob l e m yl.Pce'tient n'est pc~sto1rjoul.s possible. Cela nous conduit h faire la conventior~suivante, que noris desigi~eronspar (( convention [A] )) dans tout le reste tle ce travail : (( Un domuineD Ptant de'jinia priori, s i d e u x points M et hl' de cc ciornaine, qlri ont les ~ltkmescool-donndes, sont tels que rorltp fbnction f ( x , y ) , holort1orphr et nniforme duns D, p ~ s s e d e[(I nzPrne dPtc~minationen AI et en ?I1,norrr conc~iendronsde conside'rer dorenac~crntlespoints h l et M' colrlrne I I seul ~ et rnCme point du domaine D. s ,\insi, un d o n ~ a i n eelant defini a priori, on peut avoir a modifier la tlkfinition tle ce domain?, si on veut le regardel. comme un domaine
I0
HENHI CARTAN.
d'existence de fonctions Ilolomorphes. T O I I IPS . ~ (/om(rin~s~n('r'.sog(;.r dans f ( ~suite seront supposes satisfaire a la concqention [.I Voici une conskquence immbdiate de la convention [ A 1. I'artons d'un point M , intbrieur au domaine D , et decrivons une courbe C, intkrieure a D , et revenant en un point M' qui colncide avec M dons l'espace. S i toute fonction, holomorphe et uniforme dans D , revient i'~ la m&me dbtermination lorsqu'on la prolonge le long de i:alors , la c ~ u r b eC est fermke dans le domnine D .
1.
4. LES TRAYSFORMATIONS ANALYTLQllES I)'UN D O I A I X E . - S0it D Un domaine d e l'espace (x,Y ) , et soierlt f ( x , y ) et g ( x , y ) deux fonctions tlolomorphes ( ' ) dans D. La transformation X=f(r,j),
\=g(
. I . . .1/)
fait correspondre a tout point x, y , interie~lra D , un point S , Y , et all donlaine D un domaine A de l'espace X, Y (cette derniere assertion sera prCcisCe dans un instant). Le domaine 4 sera dit transj01mc' nnnlytique du domaine D . S i la convention [ A 1 n'btait pas respectbe pour le domaine D , alors a deux points distincts d u domaine D correspondrait toujours un seul et m&me point X, Y ; on n'aurait donc aucun intCr&ta considC1.er ces points comme distinc~s.C'est la la j~lstification vCritable de la convention [A]. Relativement aux fonctions f (x,y j et g(z7y j, nous ferons la convention suivante, que nous appellerons dorbnavant con(-ention[ U l : (( a et b dCsignant des constantes quelconques, les equations
ne sont vCrifiees qu'en des pointsx, y isoles interieurs all domaine 1)n . Norls excluons ainsi le cas ori les. fonctions f ( x , y ) et g ( x , y ) .sel.oient sirnultnnement constnntes sur une variete camctdristiquc intdrieulr ci T I . Toutes les t1-an.sformations analytiqr~esgrle nous envisngeron.~devront satisfaire a la convention [B]. 11 reste justifier cette convention. Supposons d7aI)ord qu'elle soit ( I ) Lorsque nous ne precisons pas, rious n'envisagrons formes dans le dornaine D.
q11e
des fo~iclions111ri-
LES FONCTIONS D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
II
respectee. Alors nous aurons le droit de dire que j(r,y ) et g(x,y ) cngendrent un domaineA lorsque le point x, y dCcrit D. Soient en eflet .r,,,y,, un point intkrieur Q Dl et X,, Yo le point correspondant. I1 existe, dans le voisinge du point x,,yodu domaine D, un systkme de deux variables uniformisantes u et v ; alors X et Y s'expriment enfonctions de n el cl, et ces fonctions satisfont a la condition poste (.§ 1) pour que rl et o servent de variables ilniformisantes pour ie voisinage de X,, Yo dans A. Supposons maintenant que la convention [ U ] ne soit pas respectte. I'renons d'abord un exemple :
On a ici X = Y = o si x z:= o , quel que soit y. On a inversement
(:herchons le transforme du domaine D ).c)<1,
J,YJ
C'est le doruaine A
A tous les points
IXl
IYl
I,y1<1,
in.ttr.iercr~a D , correspond un point unique
qui est UII point .frontiire de A. Ainsi les domaines D et A sont unival e n t ~ ,mais la correspondance n'est pas biunivoque entre les points interieurs des domaines : I'intCricur de A correspond Q l'intkrieur du domaine D pricle' de la varie'tc;x = o. lJne circonstance analogue se prCsente dans le cas gCnCral : sil'on a
en t0rr.r les points d'une variktk caractkristique V inter-ieure ci D, le point X=cr,
Y=b
est unpoint frontiere du domaine A engendrepnr les fonctions f e t g .
aq.11103 el ((1ap aubuo3lanb lu!od un 1ueu2!s?p "A '5 .z !a au!europ
q .1not1 rro!le:,g!~ua~~ap 1n1ot1 uu sad lsaLu (a.11ua3) au!S!~o~rl.I : saluaA!us suo!lua~uo:, xnap saI suoJaj suorr 'slualearun uou sal3,ia:, sau!emop xna luamaa!lelaH '(0 = q = V ) ~u?%!.Iu,~3.IIU23 .111od iul)/C,, J . ? / ~ . Isau?l)t~/o/) J~ ?in): a~!tls~ ' susp 1 suoJau.roq snou snoN
a
:sdgur),,?nssuo?11puo3x?itJIVJS?~D.Y ?nb axauuo3 ~ u ~ u ~ run / o p(11 ' o ) aJllla:, a[) ?p.laa ~ u ~ u z r / oa pl l a d d ~ ~ r .uu?~~u~J?(l
.v all!eruop a.llllL' 1111 rra (1 Ire.laur.iojsueJ1 u o , n b s ~ o l'a au!emop rrl? sa.Irlar,raln! q a ! ~ ~ rsap . i '.~~o~a:,.ladt? uaLssues ' ~ a d d e q 3 9lyaJass!al uo 'set1 ~rvsrsj . . a1 r)u 1 1 0 rs :al~aziuass~ ~ s [aa ] uoilua~uo:,el ' ? m n s ? ~u g -luapa:,a~dsa3 n s auaureJ Isa uo.1 la 'luala~!un aSauls!o~un . I I I S 111!od ap aSeursro~ . . a1 .~aluas?.rda,r'uo?~?u!/>p .tud ' ~ n a duo 'v y .rna!.ta~rr! 1s;) q = A 'I) = ~ t i r c ~a[ d !s la 'luala~!un sed lsa,u v !S .alq!ssodu~r 1saL3.uo.~~uu?ur.~az?pu?~p ~u?od 1111 aur?trr-!lrl aJ1+ I!v.r,iall rnl) ' l ~ t ~ oa:, t l ap a$vu!s!o~ 1 1 ~ la ?; a p satjd - . I O I ~ ~ OSIIO,ZI~~AU./' ~OI/ sap luair?Jas ,i' la .r 'aita!~alu! ~u!od r ~ r l!el? l 9 =A jurod ;JI 1s ~ . J U ~ ~ T ? . ~ 110s ! I I I I v .,IIII pJo(le1p srlosotl(1us 'la.lfa u g
x
'D
-- x
'hiYJ.lIV3
Z1
IHSBII
L E S FONCTIONS D E DEUX V A R l A D L E S COMPT,EXES.
I
3
en rCsulte, en particulier, que si l'on effectue, le long de cette courbe, le prolongement analytique d'une fonction f(x,y ) uniforme dans D , elle doit revenir a la m&me dbtermination lorsque le pointx, y revient t i son point de dCpart x,,,y o . Si le point xo,yo est un point de ramification, le point x = x,,eib, _y =yoeieest aussi un point de ramification. Comme les variCtCs de ramification sont analytiques, ce sont necessairement des varittes MCme si l'on se borne aux domaines univalents, les domaines cerclks, tels qu'ils viennent d'Ctre dCfinis, sont un peu plus gencraux que ccux considCrCs par M. Caratheodory. Nous rkserverons a ces derniers le nom d e domaines cerclCs itoilis. Dtfinition. - Un domaine D est dit cercle e'loilt 101-squ'ilsatisfait aux conditions suivantes : L'origine est inte'rieure d D ; Si le point x =x,,, y = y o appclrtient d D, le point x = kxo, y = ky, appartient aussi a D, quel put: soit le nornbre complexe k tie module infkrieur O I L egc~lci un. 1
2 O
Un domaine cercle etoile, non ramifiC a I'ot-igine, est nCcessairement univalent et simplement connexe (c'est-a-dire homComorphe h une hypersphhre). Comme l'a montrC M. Caratheodory (loc. c i t . ) ,tout domaine cerclt. I) peut se representer A l'aide d'une image I dans l'espace a trois di1ne11sions reelles x, , x,,y (x,+ ix2=x ) . En effet, B tout point
intkrieur a D, correspondent deux points,
qui appartiennent aussi h D. Ce sont deux points de l'espace ( x , , x,, y ) symdtriques par rapport a l'origine. Au domaine D tout entier correspond ainsi un domaine I de l'espace (x,,x,, y ) . L'origine
14
EIENIII
CARTAN.
est un point interieur a I et un centre de symdtrie. En outre, la section d e I p a r y = o se compose de cercles et d e couronnes centrdes B l'ori,vlllC. Keciproquemen I, P tout domaine 1 d e I'espace (x,,x,, y), qui satisfait aux trois conditions prdcCdentes, correspond un domaine cerclC D et un seul. O n voit ainsi de quel arbitraire dCpend un domaine cerclC. 1,es domaines D et I sont a la fois univalents ou non nnivalents. S i le domaine D admet des variCtCs de ramification 2' = const., le domaine z
1 se ramifie autour d e segments d e droite, passant en direction par l'origine (l'origine elle-m&men'Ctant pas un point d e ramification par h y pothkse), et reciproquement. Nous p l a ~ a n au t point d e vue de la thCorie des fonctionr, nous allons maintenant appliquer la convention [ A ] (') aux domaines cerclPs. Nous etablirons le thCorkme suivant :
T H E O R1.~ IE Si deux points d'un domaine cercle D coiizcident avec un rntme point de l'espnce, toute Jbnction f(x, y ) , rndromorphe et uniforrne (fans D ,possede la ndme determination en ces deux points. S i I'on applique la convention [ A ] , ce theoreme peut encore s'enoncer ainsi : Tout domaine cercle' est univalent.
2.UEVELOPPEMENT D'UNE FONCTI(IN HOLOMORPIIE DANS UN D O M A ~ Y EC E R C L ~ .Avant cl'Ctablir le theoreme I dans le cas ou f(x, y ) est mCromorphe, nous allons tl'abord nous l i m i ~ e rau cas ou f(x, y) est holomorphe (cela suffit d'ailleurs pour que la convention [ A ] entre en vigueur). Nous montrerons le thCor6me suivant :
T H E O R11. ~M EToute fonction f ( x , y ) , holornorphe et uniforme dans un domaine cercle' D, est ddc.eloppable en sPrie de polynomes homogt?nes
un{/:l'ol.~)~in~er~t convelgenlc
(111
soisinng.e de tout point inttrieul- (i D.
L E S FONCTIONS D E D E U K V A R I A B L E S COMPLEXES.
I5
I1 en rCsulte Cvidemment que si deux points du domaine D ont les mOmes coordonnCes 3. et y , f ( z ,y ) possbde la m6me dktermination ell ces deux points. Avant d'aborder la dCmonstration du tl16orkme 11, faisons quelques Ibc!marquee. Ce thkorkme avait Cte Ctabli en 1906 par M. Hartogs ('), dans le cas ori le domaine cerclP D rst etoile' (et par suite univalent). Inversemcmt, du thCorkn~eCnonce ici nous tirons la consCquence sui\ante : Si une fonction f (x, y).e.rt holomorphe dnns un domaine cerclt D ( forctrnent rlniualent ), elk est aussi holornorphe dans lepluspetit domaine C(~I'CIP P~oiltA contenant D. Le domaine A est d6fini de la facon suivante : c'est l'ensemhle des points x = kx,, y = ky,(/ k 15 I ) , x,, y o ktant un point quelcorique de D. I1 est clair, en effet, que si la serie XP,,(x, y ) converge uniformkment au voisinage de x,, yo, elle converge aussi uiiiformCmen t au voisinage d e x = kx,, y = ky, ( ( k 15I ) ; sa somrr~eJ'(x,y ) est donc une fonctio~iholomorphe au voisinage de ce dernier poinl. (:. Q. F. D.
Passons A la dkmonstration du th6orbine 11. Ilontrons d'abord qlie le dCvcloppement ellvisage est possible d'une fapon au plus. Soit en effet m
F'uisque, par hypothbse, la sCrie converge uniformkment a u voisinage de l'origine, on peut differentier un nombre quelconque d e fois par. rapport A x et y, ce qui donne immkdiaternent
( )
//('/JC'I'
cit~alytisc./~e Fun A tioner~11lehrrt.er clttabh. Vrrund. ( Math. Ann. l e paragraphe 11.
62, I\,OG, 11. 1-88). I'oir
r6
HENHI CARTAK.
Les coefficients a,,-,,, sont tlonc bien dbterminbs; ils ne sont autres que les coefficients do dbveloppement de f(x, y ) en sCrie double de Taylor. Cela posC, soit I. un nombre rCel plus grand que un, mais aussi voisin de u n que l'on voudra, et soit D,. le domaine homothelique du Lorsque le point domaine D par rapport B l'origine dans le rapport x, y est intbrieur A D,., le point de coordonnbes rxf?" ye"' est intbrieur a D . Considbrons 1'intCgrale
i-
dans laquelle la variable complexe a dbcrit la circonfkrence C,., de centre origine et d e rayon I.. C'est une fonction holomorphe et uniforme des deux variables complexes x et y, lorsque le point a,y appartient B D,. O r l'origine est intbrieure a D,.; donc F(x, y)est holomorpl~e au voisinage de l'origine, comme f (x,y) d'ailleurs. Mais, si le point x, y est fix6 et assez voisirl de l'origine, la fonction pour I z ( I . , et l'on a par suile est I~olo~norplle
Les fonctions f \ x 7y) et l?(,x,y), qui croi'ncident au voisinage de l'origine, admettent le mOme domaine d'existence, et elles coi'ncident dans tout ce domaine. En ~ a r t i c u l i e rJ(x, , y ) est holomor1)he et uniforme dans D,, et l'on peut Ccrire m
la skrie Ctant uniformbment corivergente lorsque le poirlt z, y est voisin d'un point quelconque intbrieur h D,.. Posons
P,,(x, r) est une fonction holornorplle et uniforme clans
I),., el
1'011
LES FONCTIONS DE D E U X VARIABLES COMPLEXES.
obtient le dkveloppement suivant m
f ( x , ~ ) = p n ( x , ~ ) ,
( 2 )
11
=0
uniformement convergent au voisinage de tout point interieur Mais on a
D,..
.hl l:(
IJrr(zeLu, y e i u )= -. OU,
dz xzeiu,y z e i a )F,
en posant ae"=.t, ei/~u
dt
I'll ( xeia,yeiu) z -, , i l f ( x t , y t ) -~ I L = + Ieinupn ( x ,Y 1.
I1 en risulte que Po est une constante, et P n ( x ,y ) un polynome homogkne de degre n. Pour le voir, il sllffit de differentier un nombre quelconque de fois l'identitd P,(xeia,y e i u )E einu1 ' 1 1 ( ~ , y ) ,
et de faire x = y = o dans les relations obtenues. Les polynomes P , l ( x , y) que nous venons de trouver ne ddpendent pas de la valeur donne'e u r, puisque le developpement de f (x,y) en skrie de polynomes homogknes n'est possible que d'une seule f a ~ o nau voisinage de l'origine. Ainsi la skrie ( 2 ) converge uniformement au voisinage de tout point de D,., quel que soit r plus grand que un; elle converge donc uniformement au voisinage de tout point de D, et le thdor6me I1 est CtabIi. On a
comme on le voit en considdrant la relation (I), et en faisant rendre r vers I'unitC. La relation (3) est fort importante; on en dCduit immCdiatement l'inkgali~e
qui g6nCralise I'inCgalitC de Cauchy I n l l ~ ~ ~ ~ m a x ~ f ( x o e( 0l $Oe )$ aI 7, c ) ,
I8
HEKRI CARTAN
relative au dkveloppement d'une fonction d'une variable, liolomorphe dans un cercle. Remarque. - Soit A le plus petit domaine cerclk ktoilk contenant le domaine cercle D (qui est univalent, d'aprks ce qui prkckde). Comme nous l'avons vu, si f (x, , y ) est holomorphe dans D , elle est holomorphe dans A . J e dis que si rrne fonction mkromorphe f ( x , y ) ne prendpas la vnleul- n dnns D, elkc esl mr'romorphe dnns A et n'y prend pas la valeilr a. En elyet, la fonc tion
est holomorphe dans D , donc dans A . En particulier, si I'inkgalitC
a lieu dans le domaine U , elle a aussi lieu dans le domaine A .
3. LES D O ~ I A I N E SDE REIYHARDT. - Avant d'aborder la dkmonstration d u thkorkme I pour une fonction m ~ r o m o r p h e ,disons quelclues mots sur une classe remarquable de domaines cercles. IJn doniaine connexe D est un domaine de Reinhardt lorsqu'il satisfait aux conditions suivantes : I"
2"
L'origine (centre) est intkrieure a D ; S i le point x = xo,y = y o appnrtient a D l le point
s soient les nomnbres rdcl.~cr et $. nppartient nussi li D , q u ~ l que Tout domaine de Heinhardt est cercle, et par suite rlnivnlent si l'on applique la convention [A]. L'image I d'un domaine de Reintlardt, dans l'espace (x,, x,, y), est de revolution autour de l'axe O y ; rkciproquement, si l'image d'un domaine cerclb est de rkvolution autour de O y , le domaine est un domaine de Reinhardt. Les domaines considkrds effectivement par I I . Reinliardt d a m son 5Idrnoire deja citk sont u n peu plus particoliers. Nous les appellerons ici des domnincs de Reinllnrdt conylets.
L E S F O N C T I O N S D E D E U X VARIARLES COMPT.EXES.
'9
I n domaine 11) est uii c/omaine de Reinhardt compbt lorsqu'il satisfait a la condition suivan~e: si lc point x,, yo appartient a D, le domaine
I.~l5l.~."I.
~ ~ ' I ~ I Y O I
appartient aussi a D. P a r exemple, le domaine de convergence d'une serie double tle Taylor est un domaine de Reinhardt complet. .le ne sais si le theortime suivant a jamais CtC CnoncC dans le cas d'un domaine de Reinl~ardtquelconque :
T H E O R111. ~ ME fiiitr fonction f ( x , y ) , holornorphe et uniforme dans iLn domlline de Reinhardt D , cst de'veloppabl~e n strie double de Taylor
-2 w
f(z, y )
rn
a,n,ltxnayn,
uniformkment convrrgenle au voisinnge de torrl point inte'ricilr a D .
La d6monstration est analogue a celle d u thCorkme 11. On remarque d'abord que le dkveloppement est possible d'une facon au plus. On envisage ensuite 11int6graledouble
C, et
r,
ltJ=r(r>
designant respectivement les circonferences ( z 1 = r et 1).
Le raisonnement s'actlkve sans la moindre difficult6 . COROLLAIRE. - Si f ( x ,y ) est holomorphe dnns u n domaine de Reinhwdt D , elle est airssi Itolomorphe duns leplus pelit domaine de Reinhardt complel A contcnant D . L,e domaine A est le domaine form6 de l'ensemble
des domaines
I
I
O
I
IYI~IY~I~
x,, yo Ctant un point quelconque de D . Le theorkme bien connu de M. Hartogs : Sif ( x ,y ) est holomorphe pour ((
/ccl<~,
IYI
20
l l E N H I CAHTAN.
et aussi pour ( t ( < 1 ,
1-€'<]/
elle est holomorplie pour
n'est qu'un cas particulier de notre corollaire. Ce corollaire se complete de la facon suivante : si unc fonction mCrornorphe f ( 2 ,y ) ne prend pas la valeur n dans D, elle ne prend pas la valeur a dans A ; si l'inegalite lf(~,~!l<M
a lieu dans D, elle a lieu aussi dans A.
4. LES FONCTIOXS MEROMORPHES DANS U N DOMAINE CERCLE. - Arrivons enfin A la demonstration du theorkme I. Nous allons Ctablir le tlieor61ne plus precis suivant :
THEOHEME Ibis. - Soit D u n domaine cerclt;; soit A le plus petit domnine cerclt! dtoilt (univalent) contenant D , c'cst-a-dire le domaine constitut par l'ensemble dcs points lepoint xo,yo etant u n point quelconque de D . Tome fonction f ( x , . y ) , mtromorphe et u n iforme dans D , est arl.rsi mkromorphe et uniforme dans A.
Observons que tout point de D apparlient a A ; mais deux points distincts de D , s'ils ont les mkmes coordonnees, ne font qu'un seul et mdme point de A. C'est du mains de cette facon qu'il faut entendre la ddfinition qui vient d'Ctre donnee d u plus petit domaine cerclk &toil6A contenant D . P o u r Ctablir le thCorkme I bis, il suffit de demontrer la proposition suivante : S i M ( 5 , q) est unpoint guelconqrre de D , mais non rln point de rami'cation, la fonction mdromorphe f ( x , y ) prut se prolonger depuis le centre jusqrr'nu point E , .q le long drl segment dc droite I1 rCsultera de la, en effet, que f ( x ,y ) est mCromorphe et uniforme
LES FONCTIONS D E DEUX VARIABLES C O M P L E X E S .
21
dans A, sauf peut-Ctre au voisinage des variktCs de ramification de D. O r , par hypothkse, f(x, y ) admet ces variCtCs comme singularitks algCbriques, et elle a une valeur bien dktermin6e en chaque point de la variCtC elle-mCme. Puisque, d'autre part, elle est uniforme au voisinage, elle est rCguli6re sur ces variktCs, et par suite dans le domaine A tout entier. c. Q. F. D . Pour dkmontrer la proposition annoncCe, nous aurons h nous servir d'un thCorkme de MM. Hartogs et Levi (' ), qui peut s'Cnoncer ainsi :
Sif(x, y) est mtromorphe et uniforme pour IIxl-ul
lyl
et pour )xI
IyJ
(u,~,p~,vpositifs,v
elle est aussi mkromorphe et uniforme pour
Cela posC, voici la marche que nous allons suivre. Joignons M au centre 0 par une courbe C tout entikre intkrieure a D, ne rencontrant aucune des variCtCs de ramification du domaine D (,). S i 1e nombre positif R est assez petit, tout point P de la courbe C est le centre d'une hypersphhre X(P), d e rayon R, tout e n t i h e intkrieure A D. Nous dCfinirons dans un instant une suite finie d e points pris sur C, et une suite d e domaines Do, D,, . . ., D,,, satisfaisant aux conditions suivantes : Do est intCrieur h X ( 0 ) et contient 0 et M, ; D , est intCrieur h X(M,) et contient M, et M,, . . .; D, est intCrieur T ( M , ) et contient M, et M. Puis nous montrerons par rhcurrence que f ( x , y) est mkromorphe et uniforme dans le domaine form6 de A,, et d'un certain voisinage de l'origine; A, dCsigne l'ensemble des points
( I ) Voir, par exemple, E. E. Levr, St~idii sul punti singolari esse~lsiali,elc. (Annulidi Matem., 30 se~ie,17. rgro, p. 61-87; voir § 8). (') C'est possible, comme on le voit en considerant l'image I d u domaine D dans l'espace (x,, x2,y ) .
22
H E N R l CARTAN.
Yo Ctant un point quelconque de D. La proposition annoncke sera alors etablie. J e pose
x07
r=
R -
43'
et j'assujettis toutes les distances O M , , M,M,,
. . .,
M,M
a
Ctre
r
infkrieures a --;je puis bien trouver sur la courbe C un nombre Cni de points M i , M,, . . . , M,, tels qu'il en soit ainsi. Soient xPet yp les coordonnCes d u point M,. Si I xP(l_(yp I, je prends pour D, le domaine suivant : YP
si 1 xpI
< 1 y, 1, je prends pour D, le domaine
On voit aisCment que D, contient l'hypersphkre de centre M, et de rayon
;r,
et est intkrieur Q l'llypersph(.re de rayon r&=
R. Les
domaines D, satisfont donc a toutes les conditions annoncees. Le domaine Do sera le suivant :
Admettons qu'on ait montrk que f(x, y ) est mkromorphe et uniforme dans le domaine constituk par A,-, et un certain voisinage de l'origine; montrons alors que f (x,y ) est mdromorplle dans le dornaine form6 de A,, et du voisinage de l'origine. Supposons par exemple ( x , ( 2 1 yI,1, et faisons le changement de variables X=s,
Y=y-Y~(L.. .TI'
La fonction f(z, y ) devient urle fonclion F j X , Y); le dornairie L) reste cercld. Le domaine D,, devier~t
LES FONCTIONS D E DEUX VARIABLES COMPLEXES.
23
Je vais montrer que F(X, Y ) est meromorphe dans le domaine
domaine cJui contient A, el le voisinage de l'origine. En effet, M, ktant intkrieur a D,-, , il existe un nombre positif a tel que le domaine 1,-xP<.,
soit intbrieur B D,,
1;1
. P a r suite le domaine
est intkrieur h A,+., . D'autre part, F ( X , Y ) est mdromorphe au voisinage de l'origine (7)
IXI
IYI
Comparons (6) et (7 ). Nous voyons que F ( X , Y) est, en particulier, mkromorphe dans le domaine y dksignant le plus petit des nombres p et ap. Revenons alors au domaine D,), qoi est dCfini par (4). Comme est interieur a D , et cornme d'autre part D est cercle, le domaine
D,
est intkrieur a D. Donc F ( X , Y ) est meromorphe dans le domaine (9). Si l'on a r l a , appliquons le thCor&me de Hartogs-1,evi aux dornaines (8) e;(g). Nous voyons que F ( X , Y ) es,t mbromorphe dans le domaine (5). Si l'on a r > a , alors, en vertu de (g), F(X, Y ) est meromorphe pour
Appliquons le tlleorkme de Hartogs-Levi aux domaines (8) et (9'). Nous voyons que F ( X , Y ) est mCromorphe pour
24
H E N R I CARTAN.
Comparons avec (9). Finaleinent, F ( X , Y ) est mkromorphe dans le domaine ( 5 ) . Ainsi, dans tousles cas, F ( X , Y )est mCromorphe dansledomaine ( 5 ) . C . Q . F . D.
I,e thCorhme I bis est donc entihrement dernontrd. U n e mkthode analogue a celle qui vient d'etre exposee permettrait d'Ctablir la proposition suivante ( cf . le corollaire du th6ori.me 111) : Soient D u n domaine de Reinhardt, A le plus petit domaine de Reinhardt complet contenant D ;toute fonction f ( x ,y ), mdromorphe dans D , est aussi mtromorphe duns A.
THEOREME IV. - Soient f ( x , y ) une fonction holomorphe dans un domnine cercld D , et m
son ddveloppement en strie de polynomes homogbnes. Ddsignons par dw l'tldment de volume dc l'espace a quatre dimensions. Pour que l'intdgrale
existe, il faut et il suf j t que l'intdgrale
existe quel que soit n , et que la skrie
soit convergente. Sn sornme est alolr dgale a I ( f ) . On n donc
L E S FONCTIONS DE D E U X VARIABLES
COMPLEXES.
25
M. Bergmann ( ,) a dkji indiquC une proposition analogue relative aux fonctions holomorphes dans un domaine de Reinhardt,
on a alors
Le prCsent thkorkme s'applique i tout domaine cerclC D (forcCment univalent), Ctoilk 011 non. Pour l'ktablir, nous considCrerons D comme lirnite d'une suite infinie de domaines cerclks D , , . . . , D,, . . ., cornplittement intkrieurs A D , et dont chacun est intkrieur au prCcCdent. P a r dkfinition, on a
car la limite, si elle existe, ne dCpend pas de la facon dont ont Ctt! choisis les Dp. Admettons pour un instant qu'on ait montrC que la sCrie
est convergente et a pour somme
Supposons que l'intkgrale I( f ) ait une valeur finie. O n aura
( I ) Ueber 1iern~itesc.heunendlichen Formen, etc. ( M a t h . Zeitschrvt, 29, 1929, P. (341-677; voir p. 6 4 9 ) .
26
H E K R I CARTAN.
et, par suite, 1'intCgrale
aura une valeur finie. De plus l'expression
sera au plus Cgale A I ( f ), ce qui prouve que la sCrie ( l o ) sera convergente, et que sa somme sera au plus Cgale a I( f ). D'ailleurs cette somme sera au moins Cgale a
et comme cette dernikre intCgrale tend vers I ( f )'lorsque augmente indefiniment, on aura finalement 1'CgalitC ( I I). RCciproquement, si la s6rie (10) est convergente, 1'intCgrale
reste infkrieure a un nombre fixe; donc 11int6graleI ( f ) a une valeur finie. En rCsumC, il suffit, p Ctant fix&,d'8tablir la relation
O r , en vertu de la coiivergence uniforrne du dSveloppement de f (x, y ) , on peut, Ct,ant donnk un nombre positif E , dCter~ninerun entier k tel que l'on ait k -5
<,.(/I
y, I
'
en tout point du domaine D,. On aura alors
LES F O N C T I O N S D E D E U X VARIABLES C O M P L E X E S .
a7
Q,, dCsignant le volume de Dl,. Nous allons montrer que l'on a
1'CgalitC ( I 2 ) en rCsultera. Pour itablir.(13), nous remarquons que l'on a
k
=
~ T 1CPn(xo9 Z yo)
1'9
n=O
ce qui peut encore s'bcrire
on aura donc
La dCmonstration du th&or&meIV est achevCe. Corollaire. - Pour que l'intkgrale I( f ) soit finie, il faut que l'int6grale ~ ~ J . ' ~ ~ ~ l ~ d ~ = l P ~ l ' Q
soit finie; Q d6signe le volume du domaine D, et Po n'est autre quef (070). S i donc SCo, 0 ,
$ 0 7
le volun~eQ doit &trefini. Inversement, on a
et 1'6galitC ne peut avoir lieu que si
28
HEN111 C A R T A N .
D'une faqon gCnCrale, on a
si le polynome Pn(x,y ) du d6veloppement de f (x, y) est connu, l'in tCgrale
est minima pour
f ( x , Y ) -- Pn(x, Y).
6. LESTRANSFORMATIONS ANALYTlQUES DES 1)OMAlNES LES AUTRES.
CERCLES LES UNS DANS
- Toute affinitC analytique
transforme Cvidemment un domaine cerclC D en un autre domaine cercl6 1)'; si D est 6toi16, D' est 4toilC. Soit
le d6veloppement d'une fonction holomorphe dans D'; le dkveloppement de F(ax + by, a'x + b'y) Ef (x, y ) en skrie de polynomes homogbnes en x et y n'est autre que
-
f ( x , y ) = X ~ . ( a x + by, a ' s + bly). n=o
Dans l'affinit6 prCcCdente, les centres des domaines cercl6s D et D' se correspondent. Mais, on connait des transformations analytiques, autres que des affinitks, qui transforment un domaine cerclC en un autre domaine cercl6; par exemple, une hypersphkre admet des transformations analytiques en elle-mCme dans lesquelles le centre vient en un point intkrieur arbitraire, et ces transformations ne sont pas linkaires entibres. Laissant de cGtk le problbme gCnCral qui consiste a trouver toutes
LES FONCTIONS D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
29
les transformations d'un domaine cercl6 en un autre, nous allons nous limiter ici A celles q u i eonservent le centre. Cornmencons p a r un thCor&med'ordre gCnCral :
THEO R ~ EMV. - S i u n domnine cerclt! D est en correspondance analytique avec u n dontaine borne' A, non rarnijt au point 0 hornologue du centre de D, le dornaine D est bornt. Soient en effet X=f(x,y),
Y=g(x, Y )
les Cquations d e la transformation (le point x, y d6crivant D, le point X, Y dCcrit A). O n peut supposer
D'apres l'CnoncC, le dCterminant fonctionnel- D ( f ' g, n'est pas nu1 D(rt-7 Y
)
pour x = y = o. En effectuant s u r X et Y une substitution linCaire convenable, on peut supposer que l'on a
Cette manikre abrCgCe d'Ccrire signifie
D'aprks la relation (3) (Chap. 11, § 2)) on a
Comme, par hypothkse, f(x, y ) et g(x, y ) s o r ~ tbornCes, on voit que x et y sont born&. L(: tl~korkmecst donc Ctabli.
COROLLAIR E. - I)ei~xc/onzaines cerclks, dont l'un est bornt et Z'autre ne l'estpas, ne peuventpas &Iremis en correspondnnce nnalytique, rn&me si /'on n!astreint pas leul:~centres a se correspondre. Nous allons maintenant C~ahlirle tllCorkme suivant :
30
H E N R I CARTAN.
THEOREME V1. - S i la transformation analytique e'tablit une correspondance biunivoque entre lcs points de deux domaines cerclks bornds ( ' ), on a ntce.~sairement
En particulier, soute transformation nnalytique d'un domaine cercle borne en liri-mkrne, qui conserve le centre, est lintaire.
Nous Ctablirons le thdorkme VI comme consdquence d'un thdor6me gdneral relatif aux domaines quelconques (thkorkme VII). Auparavant, faisons une remarque, en admettant provisoirement l'exactitude du thdorkme VI. Les domaines cerclds, nous 17avonsvu (Chap. 11, § I ) , dependent de fonctions arbitraires. Donc, en gdndral, deux domaines cerclds bornes ne peuvent pas se representer 1711n sur 17autre, au moins si l'on veut que les centres se correspondent dans la transformation. Nous dirons qu7un domaine cercld horrlC et tous ses transformds par affinitds analytiques appartiennent h unc mkme classe.
THEOREME VII. - Soit D u n domaine borne quelconque, non r a m i j t a l'origine supposee interieure au domaine. S i les fonctions sont telles que le point X , Y reste constamment inltrieur a D lorsque le point x , y dCcrit D, on a forctment
En effet, au voisinage de 170rigine,les fonctions f (x, y ) et g ( x , y ) sont ddveloppables en sdries de polynomes homogknes
-
( 1 ) D'apres ce qui precede, il suffit que I'un deux soit borne pour que I'autre le soit aussi.
L E S FONCTJONS D E D E U X VARIABLES
COMPLEXES.
31
Supposons que les polynomes P,, ne soient pas tous identiquement nuls, et soit P,(x, y ) le prernier d'entre eux. ConsidCrons les fonctions, dkfinies par rkcurrence,
Dans un voisinage suffisarnment restreint de I'origine, f,+,(x, y ) est dkveloppablc en s@riede polynomes liomog&nes, et l'on voit tout de suite que ce ddveloppement a la forme
ce qui est impossible, car, la fonction f,,,, (x, y ) admettant une borne supCrieure indkpendantc de n , tous les polynomes de son dCveloppement doivent Ctre born& [relation (3), S 21. Ainsi les PI,,et de m6me les Q,:, sont tous identiquement nuls. C. Q . F . D.
Premiire ddmonstration du thdorime Vl (' ). - Nous allons dCduire le thCor&me VI du thCorbme VII. P a r hypothhse, la transformation
transforme le domaine cerclC born6 D en un domaine cerclC born6 D'; soit x=Q(X,Y),
y=Y(X,Y)
[Q(o,o)=Y(o,o)=o]
la transformation inverse. Soit 8 un nombre rCel quelconque. Les formules (
,zf=
e-iO@
[ e ~ Dy ( z 1 Y ) , ei"(s, y)l s f Y ) , [ ( z 1 ~~) "1 ' $ ( x ~ Y ) ~ ~ ( x > Y ) '
(14)
($1
yf=ri~v e z' ~~
dkfinissent une transformation de D en lui-mCme. O r le dkterminant fonctionnel ( I )
D m n'est pas nu1 H l'origine, puisque x et y s'expriment n(.z, Y)
Au moment oil j'ai CnoncC. le prksent theoreme VI dans les Comptes rendus,
M. Rehnke publiait d e ce mbme theoreme une demonstration s'appliquant aux domaines cercles CtoilCs dont la frontiere se compose de rnorceaux analytiques (Die A b b i l c l u n g e ~d~e r Kreiskdrper, Abh. m a t h . Sem. H a m b u r g . Univ., 7, 1930, p. 329-3jr). J'ai moi-mbme publii: la preserlte dernonstrs~ion dans une Note aux Cot?zples t.at~dccs(190, 1930, p. 718).
32
H E N R l CARTAN.
en fonctions uniformes de X et Y au voisinage de X = Y = o. On voit alors imn~hdiatementque les fonctions f (x,y ) et g(x,y j ont la forme
...,
f(x,y)-x+
envisagee au thCor6me VII.
011
g ( x , y),y+
...
en conclut
y(xeio, yelo) = eiOy(x, y ) , + ( x e i Oyelo) , -- eiO+(z,y ) .
S i l'on diffkrentie ces identitks un nombre quelconque de fois par rapport h x et y,et si ['on fait ensuite x =y = o, on trouve que toutes les dkrivCes partielles, d'ordre plus grand que rln, des fonctions 9 et $J s'annulent B l'origine. Ainsi
L)euxil.me de'monstration ( ' ) du theol-eme W.- Les domaines cerclPs D et D' Ctant supposCs se correspondre par une transformation analytique dans laquelle les centres sont homologues, on peut effectuer sur D' une affinitC analytique de facon que la transformation prenne la forme X=cp(x, y ) = x +
...,
Y=+(s,y)r3,+
....
J e vais montrer que l'on a
P o u r cela, je vais montrer d'abord que l'on a
Soient en effet Q et Q' les volumes cie D et D'. Appliquons le th@o(I)
Cette deuxieme demonstration est en relation etroite avec la thhorie de
M. Bergmann. Elle n'est pas essentiellement diffhrente de celle clue M. Welke doit faire paraitre dans les Math. Annalen, et cju'il m'a aimahlement communiquee.
D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
L E S FONCTIONS
r6me IV. On a
(I)
1'CgalitC ne pouvant 6tr.e atteinte que si (15) est vCrifiC. Inversement, on a Q 2 Q',
et, par suite, Q=Q'
L'identitC (15) est donc htablie, et l'on a dw = do,'
Cela posC, on a
1'CgalitC ne pouvant Cttre atteinte que si ' ~ (yx),E X .
Inversement, on a et, par suite, dw D
=Jl X .1 D
dm1.
Rlodifions maintenant un peu les conditions d'application des thCoremes V et VlI. Nous allons (tablir les thCor6rnes suivants :
T H E O R\~M bis. E - Suppo~onsqu'une transformation analytique. transforme rLn dorr~aineccrcli! D en un domaine A pour lequel X est b y est borne' duns D . borne. dlors a x
+
( I
S
) Nous ec~.ironsun seul signe
pour dksigner une integrale quadruple.
34
H E N R I CARTAN.
En effet
THEOREDIE VII bis. - Soit D u n domaine de l'espace ( x ,y ) , non r a m i j t a l'origine supposte inttrieure a D . Si les fonctions sont telles que le point X, Y reste constamment inttrieur d D lorsque le point x,y dtcrit D , et si x est borne dans D , o n n forctment
Demonstration analogue a celle du thdorkme VII. Appliquons ce thkorCme a la recherche des transfol-mations en luimCme du domaine cerclt D d t j n i p a r
Cherchons d'abord les transformations de la forme D1apr6s le theoritme V bis, a x + b y est born6 dans D . On a donc forc6ment b = o, et par suite b'# o (car ah'-- ha'# o). On a ensuite
en effet, si 1 a ( ktait supkrieur transformation, XI,=
A u n , on aurait, en i l k a n t n fois la nl'.c+. . . ;
or nllx doit 6tre born6 dans D. S i I n ( 6tait infkrieur A un, on considkrerait la transformation inverse. Ainsi on a X=f(.r,y)xelO+..
.,
Y=g(x.,y)=n1.r:+O'j.i-.
La transformation ~'=e-lrjX.
Y'=
4 ( Y- a'xe-~b) 0
transforme aussi D en lui-m&me; or on a X 1 = . z + .. . .
Yf=,,y
+ . . .;
...
35
L E S F O N C T I O N S D E D E U S VARIABLES COMPLEXES.
en vertu du thCor61ne VII bis, on a donc
X'= x , et par suite
Cela posi:, x Clant fix&,la transformation
doit transformer en lui-mkme le plan y i distance finie. O n a donc (
)
=(
x )+ ( x )
[ v ( o )= o ]
<
u ( x ) et ~ ( xCtant ) deux fonctions holo~norphespour 1x1 I . La fonction u ( x ) ne s'annule pas, car, si l'on avait n ( x 0 )= o, on aurait X =x,,eio,Y = v ( x , , ) , pour x = x,, quel que soit y. Pour trouver la transformation la plus ge'ntrale de D en lui-mbme, on se r a m h e au cas pr6cCdent en effectuant une homographie sur x, et en ajoutant une constante convenable a y. L a transformation la plus gCnCrale a donc la forme
Les transformations qui Iaissent fixe l'origine rie sont pas toutes IinCaires. Le the'orzme T:Ipeut done &Ireen d tf a u t si on veut l'appliquer ci des domaines cerc1t.r non bornts.
DOMAlNES S E M I - C E R C L ~ S , DOM.\IXES INVERSEMENT CERCLES,
DOMAlNES (772,
1. LESDOMAINES
P)
CERCL~S.
-- Dtjnition.
J'appelle domaine semi-ccrclt un dornaine connexe L) qui satisfait aux conditions suivantes : I
SEMI-CERCLES.
-
L'origine est interieurc a D ;
z0 Si l e p o i n t x = x o , y= yo appartient ci L), l e p o i n t x = x o , appartient aussi ci L), quel que soil le nombre re'el0.
y= y,eie
36
HENRI CAHTAN.
Tous les points, intkrieurs au domaine 11,pour lesquels y = o, jouent le m&mer6le que l'origine : ils restent fixes dans la transformation '
x
,y'=3
el0
du domaine en lui-mcme. Tous ces points seront appelCs des centres du donlaine. Relativement aux domaines semi-cerclCs non univalents, nous ferons la convention suivante : x,, yodCsignant un point quelconque du domaine, la courhe
est Jermee dans le domaine. Nous envisagerons erentuellement des domaines semi -cerclCs ramifiCs i l'origine. S i le point x,, yo est un point de ramification, le poinl x = x o , y =yoeiOest aussi un poinl de ramification. Commc les varidtds dc ramification sont analytiques, ce sont nkcessairement des varii:tCs x = const. Nous retrouverons ce rdsultat comme cas particulier d'une proposition g6nCrale dtablie au paragraphe 3. &ant donnd u i ~domaine semi-cercld D , l'ensemble dcs points x, y de D , pour lesquels y est rdel, constitue un domaine I dans I'espace h trois dimensions ri-elles x, ,x,, y (x =x , ix,). Ce domaine contieut l'origine et admet le plan x, O x , comme plan de symCtrie. RCciproquement, h tout domaine I, de l'espace (x,, x2,y), qui satisfait a ces deux conditions, correspond un domaine semi-cerclC 1)et un seul. Mais nous verrons au paragraphe 3 qu'un doniaine semi-cerclC D et son image I doivent satisfaire a d'autres conditions si l'on applique la convention [ A ] ; ce n'est pas Ctonnant si l'on se rappelle, par exemple, qu'un domaine cerclC est necessairement univalent en vertu de la convention [A]. Tout domaine de Reinhardt est semi-cercld. Pour qu'lin domaine soit h la fois cercld et semi-cercld, il faut et il suffit que ce soit un domaine de Reinhardt.
+
TIIEOR~ME 1.111.
-
Toute fonction f(x, y), holomorphe et uni-
LES FONCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
37
forme dans un domaine semi-cel.cle' I ) , est dtoeloppnble en se'rie de la fonne rn
uniformtment conc3ergentet r z ~zjoisinage de tout point intkrieur h D ; les f,, (x) sont des fonctions de z seul, holomorphes et uniformes dans tout le domaine D.
La dCmonstration est semblable h celle d u thCor6me I1 (Chap. 11). Avant de commencer, on peut supposer que I'origine n'est pas un point de ramification du domaine D, car, si c'cn Ctait un, il suffirait d'effectuer une transformation X=z-xo,
Y=y.
Cela pos6, le dkveloppement ( I ) est possible d'une faqon au plus, car on a Cvidemment
Soient alors r un nombre reel plus grand que rrn, et I),.le do~oairle form6 des points x =so, y = $' (xu, y,, designant un point quelconque de D). DCsignons par C, la circonfkrence I z 1 = r . I,a fonction
est holomorphe et uniforme dans D,., et co'incide avcc f ( J - ,y ) nu voisinage de l'origine. Donc f ( x , y ) est holomorphe dans D,., et l'on a
avec
La sCrie ( 2 ) converge uniformiment au voisinage de tout point x,y intkrieur h D,. Quant a q,,(x, y), c'est une fonction holomorphe et
38
HENRI CARTAN.
uniforme dans D,.; on vCrifie sans peine qu'elle satisfait h l'identitd
d'oli l'on conclut, au voisinage d e l'origine,
L a fonction f,, ( x ) = T n ( x ' y ) , quotient de deux fonctions holornorY" phes dans D,., est elle-m&me mCromorphe dans D,.; d'ailleurs, au voisinage de l'origine, elle ne dkpend que de x. C'est par suite, dans le domaine Dl. tout entier, une fonction de x seul, qui ne peut devenir infinie que pour y = o ; ellc n'est donc jamais infinie. Ainsi f , (x)est holomorphe et urliforme dans D,.. Les fonctions y,, ( x , y j trouvbes ne dkpendent pas de la valeur donnCe A r . Le thkorkme VIlI est donc Ctabli. O n a d'ailleurs
THEOR~ME IX. - Soient f (x,y)une fonction holomorphe dans un domaine semi-cerclk D, et m
son de't~eloppement.Pour que l'integrale
existe, il faut et il suf f t que l'intigrale
existe quel que soit n , et que la strie
~ o iconvergente. t Sa somme est alors &galea I ( f ).
L E S F O N C T I O N S D E DEUX VARIABLES
COMPLEXES.
39 DCrnonstration analogue B celle du thkorkme IV (Chap. 11). 5 . LA PROJECTION D'UN D O I A I N E SERII-CERCLE. - NOUS SOmmeS maintenant en mcsure d'apercevoir les consCquences entrainCes par l'application de la convention [ A ] A U X domaines semi-cerclCs. A chaque point x o , y odu domaine semi-cercle D, associons, dans le p h n de la variable complexe x, le point x,,, qne nous appellerons projcction du point xo,yo. Nous allons montrcr qu'on peut dCfinir, dans le plan x, un domaine d constituC par l'ensemble des projections de tous les points du domaine D. I'our definir le tlon~aincd , i l nous faut, 6tant donnCs deux points Po(x,, ,yo) et P I(x,, y , ) du dornaine D, qui ont la m&mc coordonn6e x,,, dire si leurs deux projections doivent 6tre considCrCes comme deux points distincts du domaine d, ou comme un seul et m&me point de ce domaine. ConsidCrons cet effet les fonctions de x seul, holomorphes et unzformes dans D. Si tolrzes ces fonctions possbdcnt la mCme dktermination en Po et l', , nous conviendrons de regarder les projections de Po et P , comme uu seul et mcme point du domaine d. Au contraire, s'il existe au moins une fonction d e x , holomorpl~eet uniforme dans D, q u i ne poss&de pas la meme determination en Poet en P,, nous conviendrons de regarder les projections de Po et P, comme deux points distincts du domaine d. Le domaine d est ainsi parfaitement dkfini. Nous l'appellerons projection du domninc D. Remarquons que si deux points Po(z,, yo)et P, ( z o , y , ) peuvent Ctre joints par une courbe intkrieure a D et situee dans le plan x = x,,,leurs projections dans d sont identiques. L'intCr&t du domaine d riside dans le thkorhme suivant : ((
))
THEOREME X. - A deuxpoints distincts dl1 tlomaine D , qrli ont les d n l c s coordonnte.r. x et y, correspondent deux points distincts du domaine d. Pour Ctablir cette proposition, nous appliquerons la conventionCA J. Soient P,, et P, deuxpoints distincts de D qui ont les mkrnes coordonnCes; s'ils avaient m&meprojection dans d, toute fonction de x, holomorphe et uniforme dans D, possCderait la mCme determination en Po
40
HEKRI CARTAN.
et en P I . Soit alors J'(x, y) une fonction quelconque, ho1omorl)lle et uniforme dans D ; d'apr6s le thCoreme VJII, elle posskderait la m&me dktermination en Po et en P I . Les points P,, et l', ne seraient donc pas deux points distincts du domaine D (convention [A]). C.
0 . F.
1).
Le theorbme prCcCdent peut encore s'Cnoncer ainsi : toutpoint clc D est d t j n i sans ambiguitt par sa projection dans d et sn seconde coordonnte y. Les varietts de ramijcation du domaine D , s'il en existe, ont la forme x = const., et correspondent a u x points de rondificcltion dtr domaine d . O n voit maintenant de f a ~ o n prkcise quelle est l'image I du , : on considbe a cet effet un domaine D dans l'espace ( x l , x ay) domaine d , univalent ou non, dans le plan x, O x , , et a chaque point (x,),, ( x , ) ~de ce domaine on associe un ou plusieurs segments, portCs par la droite XI=
x?= (x?10,
(X,)O?
A deux symktriques par rapport au plan
ces segments Ctant deux
x l O x a . L'ensemble des segments associks a tous les points du domaine d constitue le domaine 1 ; on suppose que l'origine est un point intCrieur a I. Nous dirons qu'un domaine semi-cerclC est complet si a chaque point du domaine d correspond un segment unique qui coupe le plan x , Ox,. Cette dCfinition Cquivaut a la suivante : si x,, yo est un point de D , x =xo,y = ky, (I k I ( I ) est aussi un point de D. Cet te dernikre dCfinition aurait pu Ctre donnCe d&sle dCbut du Chapitre, mais elle n'a un vCritable sens que si l'on connait la nature des domaines semi-cerclCs non univalents, et nous la connaissons maintenant. Le plus petit domaine semi-cerclC complet A contenant un domaine semi-cerclC donne D se compose, par dkfinition, de l'ensemble des points
IY
z=xo:
/ ~ 1 ~ YI : O
x,, yo Ctant un point quelconque de D. Dans cette dkfinition, deux points X
X
,
-v=kyu.
qui correspondent aux mCmes valeurs de k , x,,,yo, sont considCrCs
LES FONCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
4I
comme distincts s'ils correspondent a deux p o i n ~ sx,, yo distincts du domaine D. Cette convention trouve sa justification dans la nature des domaines semi-cerclCs non univalents. Cor.olk~ire(lid thdorl.me VTII. - S i une fonction f ( x , y ) est holomorphe et miforme dans nn domaine semi-cerclC D, elle est aussi holomorphe et uniforme clans le plus petit domaine semi-cerclC complet contenant D. Ce fait rCsul~eimmkdiatement d u dCveloppement ( I ) . Relativement a ce dCveloppement, nous pouvons dire maintenant que les f, ( x ) sont holomorphes dans d. Les dCveloppements de la forme ( I ) ont CtC longuement CtudiCs par M. Hartogs (loc. cit.). Ce gComktre a en mCme temps CtudiC les domaines ohtenus en associant a chaque point x d'un domaine d un cercle Iyl
ce sont les domaines que nous venons d'appeler semi-cerclCs complets. M. Hartogs avitit dCmontrC que toute fonction f (z, y), holomorphe dans un tel domaine, adrnet un dCveloppement de la forme (I). O n voit que notre thCoriime VlII est plus gCn6ral. 1)omaines semi-cercles normnux. - Nous dirons qu'un domaine semi-cerclC est normal si sa projection d est un cercle (de rayon fini ou infini). D'aprks cchttedkfinition, tout domaine semi-cerclC normal est univalent. Un domaine de Keinl~ardtest semi-cerclC normal; ce n'est Cvidemmerit pas le domaine semi-cerclC normal le plus gCnCral. ConsidCrons un domaine semi-cerclC quelconque ;supposonsd'abord que sa prqjection tl soit simplcment connexe. 11 existe une fonction holomorpl~e I.)
qui effectue la representation conforme de tl sul. un cercle (de rayon lini ou infir~i). ],a transforrnatiori
42
HERR1 CARTAN.
transforme le domaine D en un domaine semi-cerclC normal, donc univalent. S i la projection d n'est pas simplement connexe, on sait qu'on peut toujours transfor.mer le domaine d e n un domaine univalent. I1 existe donc une transformation
qui transforme D en un domaine univalent. D'autre part, on peut ddfinii* un domaine de recouvrement simplement connexe o" du domaine d et transformer 6 en un cercle au moyen de
La fonction q, (x) est uniforme localement dans d, mais non globalement. La transformation X=co(x),
Y z y
transforme alors un certain domaine de recouvrement du dolllaine D en un domaine semi-cerclC normal. Nous obtenons ainsi le thCorkme :
T H ~ O RXI. ~ ME Tout domaine semi-cercle : I" peut se reprbsenter sur un domaine semi-cerclk univalent; 2" peut se representer, OLL posskde un domaine de recoucjrement qui peut se reprksenter sur un domaine semi-cerclt! normal.
4. LES TRANSFORMATIONS DES DOMAINES SEMI-CERCLBS. - Soient D un domaine semi-cerclC, f (x) et g (x)deux fonctions holomorphes dans D. La transformation respecte-t-elle la convention [ R ] ? Considerons i cet effet les Cquations
la premikre donne pour x des valeurs isolkes; soit xo l'une d'elles. Si l'on prend x = x,, la seconde equation donne pour y une valeur bien ddterminbe, sauf si g(xo)= o. Effectivement, si g(x) s'annule dans D
L E S F O N C T I O N S D E D E U X VAIIIABLES C O M P L E X E S .
43
pour x = .xo, on a Y=f(.r,,).
Y=o
pour x = x,, quel que soit y ; donc la transformation ( 4 ) ne respecte pas la convention [ E l . Au contraire, si g ( x ) ue s'annule pas dans D, la convention [B] est respectke. Supposons donc que g(x)ne s'annule pas. La transformation ( 4 ) transforme D en un domaine A Cvidemment semi-cercle'. I1 est clair (') que 1 1 ,fonction X= f(x)
efectue rlno rcpri.crntci~ionconfoi.~neclc lu projection d de D sur la projection 2 de A. Si l'on suppose J(o) =o, la transformation ( 4 ) transforme D en A avec coi~servation de l'origine; on voit que, contrairement Q ce qui avait lieu pour les domaines cerclCs, les transformations d'un domaine cerclb, mPme bornt, en u n autre domaine semi-cercle' (avec consewation de l'origine), dkpendent de fonctcons crrbitrnires.
TI~EORBME XI1 ('). - S i In trunsformcition anulytique (5)
(
r
,)
a
+
Y = + ( x ,y ) o y + ...
( a b f o)(')
Itclbliz une correspondnnce biunivoqlie entre les points de d e u x domaines semi-cerclks D et D' non rumifits d l'origine, dont l'un au moins est born&, on a
La transformation (5) transforme D e n D'; supposons par exemple D bornC. La mkme n~kthodeq u e celle utilisCe dans la premiitre ddmons(') On verifie sans peine, en effet, que deux points distinct9 de d ne peuvent &tretransformks en un m&me point d e 3. (') M. Welke me communicjue une copie d u manuscrit d'un article q u i doit paraitre dans les M a t h . A n n a l e n , e t dans lequel il.6tablit ce m&me theorbme dans le cas des domaines semi-cerclks complets univalents, en se servant d e la theorie de M. Bergmann. (3) Voir, au Chspitre IV, un co~nplementi ce theoreme (5 7, theorBmeXXXI1).
44
HENRI CARTAN.
tration du thCor6me V I (C11;lp. IJ), conduit aux identitis l s ( - r , . 2 ! e i oL):
y ( . ~y! ) ,
+ ( . C ! , ~ C= ~ ~e i' Q ) +(.l:,,,,).
d'oh l'on dCduit les ideiltitts (6). 1,e tlliorhrne esl donc Ctabli. Comme nous l'avons remarquC, la fonclion g ( ~ ne ) s'annule pas dans le domaine D. Le thdorkme XI1 s'Ctend Cvidemmen~aux transformations
d'un domaine semi-cerclC born6 en un domaine semi-cerclC : il suffi t en effet de poser x -- x,= XI, Y = Y'. Remarquons que le thCor6me XI1 peut cesser d'Ctrc exact si aucun des domaines D et D' n'est borne, comme le montrent les transformations d u domaine envisagd a la fin du paragraphe 6 (Chap. 11). Revenons aux images I et I' des domaines D et D' et chcrcl~onsla relation qui doit exister entre les domaines I et I' pour qu'on puisse passer de-D I D' par une transformation de la forme(5), D elant supposC borni. La transformation a forciment la forme (6). Cornme nous l'avons vu, la fonction
x =$(TI
transforme la projection d de D en la projection d' de 1)'. Pour cllaque valeur xode x, on a
l ~ ~ ~ l ~ l l d . ~ " ~ ~ ; par consequent les segments de droite de I et I', correspondant respectivement h xo et h X, =f (x,), se dCduisent les uns des autres par la dilatation Y=Y(~(xo)l.
I g(x) 1 n'est
pas une fonction quelconque des deux variables reelles x, et x, ( x = x, ix,), puisque c'est le module d'une fonction holomorphe sans zCros. P a r consCquent, deux domainesserni-cerclks 1 1 et D', dont l'un est bornk, ne peuvent pns en gkneral Gtre reprksentb l'un s r ~ r l'autrepar une transformation de la forme (5). t Pour plus de simpliciti, bornons-nous au cas oil D et D' ~ o n serni-
+
L E S FOXCTIONS D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
[I 5
cemle's normaux. Alors d est un cercle de rayon fini; donc d', transform6 de d par X =f (z), est aussi un cercle de rayon fini, et l'on a X = ax.
Soit D', le tl-ansformd de D' par
Si D et D' sont en correspondance analytique au rnoyen d'une transformation de la forme (j),alors D se transforme en D', par X,=.Z,
et l'image I se transforme en X,=x,
1,=3'~(,?),
I; par Y,=y
~ ( z =ye"!"), )
u (x) ktant une fonction Itarmonique.
T H ~ O RXI11 ~ M( IE ). .- Si u n domaine semi-cercle' Borne' peut se repre'senter sur u n domaine cerclk. acvec conservation de l'origine, il peut se repre'sentersur u n domaine de Beinhnrdt. Crn domfiine semi-cerclt! borne' donne' ne peut pas, en gkndrc~l,se rcpre'scnter srlr u n domnine de Reinhardt (l'origine restant fixe). Soit X=y(x,y).
Y =+(.r.,j,)
Ly(o.o)=+(o.o) zo],
une transformation du domaine semi-cercli. D en un do~llainecerclC A. En vertu du thkorkme XI, nous pouvons supposer que D n'est pas rarnifiC a l'origine; on a alors y(x. y)
-- a x + tj. +. . . ,
+(S,
3 ) = o'.r + b ' y 4-. ..
(ccb' - bo'f
o),
( I ) Ce thCorerne, cornme le thCoreme XII, .figure dans le MC~l~oire d e j i ~cite dont M . Wellie a bien voulu me conirnuniquer une copie.
46 H E N n I CARTAN. et l'on peut, en effectuant une transformation IinCaire sur A, supposer
Aux transformations x'=
X,
Yr=
de D en lui-mCme, correspondent des transformations
de A en lui-mbme. O r A est borne, puisque D est born6 (thborbme V, Chap. 11). P a r consequent, on a (thdorhme VI, Chap. JI) X1=X,
Y'= Yeto;
A est donc cercle et semi-cerclC : c'est un domaine de Reinhardt.. C . Q. F .
D.
I1 reste h montrer que, en gCnCral, un domaine semi-cerclC born6 D ne peut pas se representer sur un domaine de Reinhardt (l'origine restant fixe). D'aprbs ce qui prCcbde, si la representation est possible, on peut supposer qu'elle a la forme .
Le theorbme XI1 s'applique ; on a donc X =f (x)!
Y =yg(x).
D'aprAs cela, la projection d de D doit pouvoir se reprksenter sur un cercle; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que d soit simplement connexe. Admettons que d soit un cercle, a-utrement dit quc D soit semicerclC normal ; admettons meme que D soit semi-cerclC complet, et par suite simplement connexe (homeomorphe A une hypersphhre). Nous allons voir que toutes ces conditions ne suffisent pas pour que I3 puisse se reprCsenter sur un domaine de Reinhardt A. En effet, la transformation de D en A doit avoir la forme
et l'on peut supposer a = I par une transformation effectu6e sur A. Alors, comme nous l'avons dejh vu, les frontihres des images I et I' de
L E S F O N C T I O N S D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
D et A doivent se correspondre dans une transformation rr(xj ktant hnrmoniqrle. Supposons en particulier que la section du domaine I par
1 .z 1 = I . ,
retant tin certain nomhre positif, soit de rCvolution autour de Oy, c'est-A-dire qu'elle ait la forme Alors 11 ( x ) , 6tant harmonique, et constante pour ( x1 = r, sera necessairement une constante. P a r consequent, dans ce cas, si le domaine D n'est pas lui-m&me un domaine de Reinhardt, il ne peut pas Ctre transform4 en un domaine de Reinhardt. Le thkorbme XllI est ktabli.
6. LES DOMAINES
Dk'nition. - J'appelle domaine inoersement cerclt! un domaine connexe D qui satisfait aux conditions suivantes : INVERSEMENT CERCLES.
-
1,'origine (centre)@ intkrieure a D ; Si le point x = x,, y =y, apprrrsicnt a D, le point x 2:= xoeio, y =yoe-'" uppartient rzrrssi a D, quel que soit lc nombre rtel 8. 1"
3,O
Relativement aux domaines inversement cerclds non univalents, nous ferons la convention suivante : x,, yo designant un point quelconque du domaine, la courbe
est fermie dans Zc domaine. Nous envisagerons Cventuellement des domaines inversement cerclks ramifies a l'origine. Pour qu'un point x, y reste fixe dans la transformation
du dornaine en lui-mtme, il faut et il suffit que x = y = o. I1 se peut que plusieurs points du domaine coi'ncident avec l'origine; de tels points sont isolks.
48
1IE;VRI CAHTAN.
Les vari6tCs de ramification d'un domaine inversement cerclC sont de la forme xy = cons t . &ant donne un domaine inversement cercld D, son image I dans l'espace (x,, z2,y ) satisfait aux m&mesconditions que l'image d'un domaine cercl6, sauf en ce qui concerne les lignes de ramification. T o u t domaine de Reinhardt est inversement cerclC. Tout. domaine qui appartient a la fois ii deux des trois catCgories (domaines cerclCs, semi-cercles, inversement cerclCs) est un domaine de Reinhardt.
7. DEVELOI'PEIHENT D'UNE FONCTIOX
HOLOMORPHE DANS UN BOMAINE INVER-
SEMENT CERCLE.
THEOR~ME XlV. - Toute fonction f (x,y),holorno~pheet uniforme dans un domaine inversement cerclk D , est d~;veloppabl~ en serie de In f orme m
(8)
rn
+Zy"g,(~~)
j ( z . y ) ~ ~ z ~ ~ i u ) nzo 11 = I
(I[=
I)),
unifor~ttimentconoergente au voisinagz. de tout point interieur ci D ; les fonctions I~T"f,(u) et yl'g,,(u) sont holomorphes et unif o m c s dans tout le dornaine D. L a demonstration ressemble a celles dcs thCoremes 11 et VIII. DCsignons par I . u n nombre rCel plus grand que un. Soit A,. le domaine form6 d e l'ensemble des points x =,:
y = ry,, et A; le
domaine form4 de l'ensemble des points x = r x , ,y =
,F(x,,yod ~ s i -
gnant un point quelconque de L)). IAes domaines A, et A',. admettent les mCmes varilitCs de ramification xy = const. que le domaine D. Soit alors D,. le domaine comrnun a D, A,. et A;.. DCsignons par C,.et C,. les circonf6rences 1 a I = I . et
I ;I = r1 - La fonction
est holomorphe et uniforme dans Dl.. Elle colncide avec f (x, y) au
1.ES
FONCTIONS DE D E U X VAIiIABLES COMPLEXES.
voisinage de l'origine : en effet, la fonction de z ( 9 ( . z ) =f
(xz,3
est holomorphe et uniforme pour I
-5/z\$r, r-
et l'on a
On a ainsi
=
a
avec
La sCrie (9) converge uniformCment au voisinage de tout point intirieur AD,.. 1,es intigrales (10) ne dCpendent pas de la valeur donnke a r (r Ctant voisin de un), car l'intdgrale
ne depend pas de la valeur de r, puisque u ( a ) est holomorphe lorsque I . I ]est voisin de un. On a donc, en prenant r = I ,
Les fonctio~isy,, et +,, sont donc holomorphes et uniformes dans tout le domainc II et la serie ( 9 ) converge au voisinage de tout point intbrieur h D, car un telpoint est intericur B D,., si r e s t assez voisin de un.
50
H E N R I CARTAN.
Des identitks (I I ) on dCduit les identitCs y n ( x e i a ,y e - ' " )
e " l z y t l ( x .y ) ,
$,
p-ina $ n ( x . y 1 .
( x e i z : ~ p - i a)
Supposons d'abord que l'origine ne soit pas un point de rarnitica~ioil. Alors les fonctions ?,(x,y) et J/,(x, y ) sont dCveloppables en sCries doubles de Taylor au voisinage de l'origine, et l'on trouve, en diff6rentiant les identitCs prCcCdentes, que l'on a
Les fonctions f,( u ) el g,(u) sont holomorphes au voisinage de I'origine. D'ailleurs p,,(x, y ) est holomorphe et riniforme dans D ; donc
esl mCroniorplle e l uniforme dans D , et ne peut devenir i~ltiriieclue si I'on a x= o, donc u = o. Dem&meg,,(u) est rnCromorl~heet urriforme dans D , et ne peut devenir infinie que si u = o. S i l'origine 0 est un point de ramification, il faut raisonner uil pcu diffgremment. La fonction
est mCromorphe et ul~iformedans D , et satisfait a l'identite
Soit x,, youn point interieur a D ; sur la courhe
Les deux fonctions J, ( x , y ) et xy, Ctant constantes sur cette courbe. sont constantes sur une variCtC caractkristique contenant cette courbe; cette variCt6 est nkcessairemer~~
I.ES F O N C T I O N S D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
5I
C'est dire que, lorsque xy est constant, f,,( z , . y ) est constant. Donc .I;, ( x , y ) ne depend que de u =x y . c. Q. F. D. I,e thCoreme XIV est Ctabli. I1 existe, pour les domaines inversement cercles, un thkorkme analogue aux thdoremes I\.' et l?(.
8 . 1 . ~ PROJECTION )) I)'UN DOMAINE INVERSEMENT CERCLB. - A chaque point x,,yodu domailre inversement cercle D, associons, dans le plan de la variable complexe u , le point u, = x,yo, que nous appellerons projection du point x,, y,,. En procCdant comme on l'a fait pour un domairie semi-cerclC, on peut dCfinir, dans le plan u, un domaine d constitub par I'ensemble des projections de tous les points d u domaine I ) . Pour cela, on fait intervenir l'ensemble des fonctions de u =xy, t~rerornorpheset uniformes dans D. ((
T H ~ O RXV. ~ I I IE 11zh12e.scoordonnees,
- 1 d e ~ ~ x p o i n(tistincts ts du domuine
D, qui ont les
correspondc~ntdeux points distincts du domaine d.
Ce: theortme se demontre comme le thCorPme X. I,es variCtCs de ramification d u domaine D , s'il en existe, correspondentaux points de ramification du domaine d. L)onminesincjersement cerclks normaux. - Nous dirons qu'un domaine irlversement cerclCest normal si sa projectiond est un cercle (de rayon fini ou infini). Tout domaine inversement cerclk normal est univalent. I T ndomaine de Reinhardt est inversement cerclk normal.
9. I,ES TRANSFORMATIONS DES DOMAINES INVERSEMENT C E R C L ~ S .- Soient D Iln domaine inversement cerclC, f (11) et g ( u ) deux fonctions uniformes dans le domaine d (projection de D ) , telles que xf ( 1 1 ) et y g ( u ) soient holomorphes dans T I . La transformation
transforme Cvidernment Ll en un domaine inversement cercl6 A. Cherchons a quelles conditions la convention [B] est respectee dans cette transformation. Supposons que l'on ait
en tous les points d'une variCtC caractbristique k i11tCrieul.e a I). La transformation
transforme V en une vari6tC V8, et
1'011
a , sulbVo,
J e dis que a = b = o. En effet, dans le cas contraire, les variCtCs VO seraient tolites distinctes, et dkpendraient d'un parametre, ce qui est absurde, puisque d e telles variCtCs sont isolCes Lon suppose, bien entendu, Les fonctions x f ( x y ) et y g . ( x y ) indkpendantcs] ( I ) . Ainsi a =b = o ; donc la variCt6 V se transforme en elle-m6me par ( I 4 ) : c'est une variCtC x y = const. En rCsumC,. si l'on veut que la convention [B] soit respectee par la transformalion ( 1 3 ) , il faut supposerque x f ( x y )et y g ( x y ) n e s'annulent pas simultantment sia. une varielt x y = const. Celte condition nCcessaire est suffisante. S i on la suppose remplie, la fonction
transforme la projection d de D en la projection 2 de A. Contrairement a ce qui avait lien pour les domaines semi-cerclbs, il n'est pas toujours possible de transformer un ciomaine invelrernent cerclt? D en un domaine inversement cercl.4 univalent A ( a ) ,au moyen d'une transformation de la forme ( 1 3 ) . Supposons en effet que le domaine D contienne deux points distincts qui coincident tous deux avec l'origine : ces deux points restent fixes dans la transformation ( 1 4 ) . Donc leurs transformks restent fixes dans la transformation
du domaine A en lui-mCme. O n a donc X = Y = o potir chacun des points transformis; ainsi, le domaine A n'est pas univalent. ( ' ) Ces fonctions sont dependantes dans le cas ou 11f (1i)g.t i i ) est une constante, e t dans ce cas seulement. t2) La restriction relative Q la forme de la transformation peut &tre levee grsce au theoreme XXXlI (Chap. I V ) .
L E S FOKCTIOES D E D E U X V A R I A B L E S
COMPLEXES.
THEORLYE XVI. - Si la transformatzon anaZytiqrle
etablit une correspondance biunivoque ent7.e lcs points de deux dornaines inctersement cerclks, non ramvies h l'origine, dont l'un au moins est bornt, on a ~ ( X , ~ ) ' . Z ~ ( X Y ) ,
$(..t.,y)--yg(xy).
DCmonstration analogue a celle d u thkoriime X I [ . Le thCorkmeXVI sera complkte au Chapitre IV (8 7, thCorCme X X X I I ) . I1 peut cesser d'Ctre exact, si aucun des deux dornaines n'est born&, comme le montre l'exemple donnk A la fin d u paragraphe 6 (Chap. IT).
10. I,ES
DO>IAINES INVERSEMEXT CERCLES
THLORBME XVII.
ET LES DOlAliVES CERCLES.
iln domaine inversement cerclk borne D , non ramiJe a l'origine, peut se reprbenter sur u n domaine cerclk, avec conservation de l'origine, ilpeut se repressenter srir u n donzaine de Reinhardt A. Un domaine inurrsernent ccrclk borne' donnk ne perit pas, en ge'ntral, se reprerenter srlr rr n domaine (ie llrinhardt (1'01.igine restant j x e ) . -Si
La premi6re partie d e ce tlieorhme .s'btablit comme la premiere partie du thCorbme X1U. S i la transformation de D en A est possible, on peut lui donner la forme (13). P o u r montrer qu'elle n'est pas possible en gCnCral, bornons-nous au cas ou D est inversement cerclC normal. O n a alors Li=uf(u)g(i~)=au.
puisque d et 2 sont des cercles. D'ailleurs f ( u ) e t g ( u ) sont holomorphes, puisque ces fonctions sont holomorphes pour u = o , et qu'elles r ~ epeuvent devenir infinies que si 14 = O . Commc on a f ( u )g ( u )-- a .
f et g ne peuvent pas s'annuler On a ainsi
5 1,
H E N R I CARTAN.
Supposons par exemple que la section du domaine D par
les nombres a et p &ant independants de la valeur de u , pourvu que 1 tr (=r. S i D est transform4 en un dornaine de Reinhardt par (IS), alors 1 f ( u ) I est constant sur la circonf4rence ( u 1 = r. O r , log I f ( u ) i est une fonction harmonique 1.4gulikre. Donc f ( u ) est une constante, et la transformation ( 1 5 )se rCduit B
Donc D doit titre lui-m&me un domaine de Reinhardt. IL n'en est pas ainsi en gCnCral. c. Q . F . D .
1)e'Jinition. - Soient m et p deux entiers positifs, nuls ou negatifs, premiers entre e u x (si l'un des entiers est nul, nous supposerons l'autre 4gal h rrn). J'appelle domaine (m,p ) cercl6 un domaine D qui satisfait aux conditions suivantes : I"
2"
L'origine (centre) est interieure d I ) ; S i lepoint x =xo,y = y o appartient a D , la cou1.6~
est interierrre a
I)
et fermee dans ll.
Si m p = o, on peut supposer par exemple m = o ( p = I ) , et l'on a affaire B un domaine semi-cerclk. Dans ce qui suit, nous supposerons m p # o. S i nzp o, nous supposerom que l'origine n'est pas u n point de ramijcation pour le domaine D , et que m et p sont positifs. On Ctablit sans difficult6 les thkorkmes suivants :
>
THEOREME XVIII. - Torlte fonclion f (x, y ) , holomorpize dan.r rrn domaine ( m , p ) cerclk D (rnp o ) , est dkveloppable en .rPrie de polr-
>
&
L E S F O 3 C T I O N S D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
-
.3 3
uniJormernent convergence czu voisinage de tout point intericur a D. Le polynorne ~ n t i c r~ , , ( x , est nirssi u n po?vnomc homogine, de degrt? n ,
(,'orolltiir/~. - I'ont domaine ( m , p) cel.cle ( m p
> o ) est univalent.
THE O H E ~ ~1E 1N ( ' ). - Si deux domaines ( m , p) cercles, correspondant nux d m e s vnlertlr dcs cnticrs rn et p ( m p 0')sonr e n correspondancc. nndyciqctr
>
>
COROLLAIKE. - Si un domaine ( m , p ) cer-cle D ( m p o, m # p ) peut sc representer. sur un domainc c~rclPborne A, I'origine restant J x e , D est rtn tiomnine de Heinhardt. **
En effet, o n peut effectuer. sur-A urie affiniti analytique telIe que la transformation d e D en A ait la forme
_
Mais alors A adrnet des transformations en lui-m2me, d e la forme
x
I
x
,i11;0 : _,
.'f
I"= Y ei11'J-+ . . . ;
comrne ces trar~sformatio~ls sent linkaires (theorerne V I ) , A est un 'domaine d e Reinhardt. Comme A est (nz,p ) cerclk, on pcut appliquer le thCoreme X I X A la transformation de D en A : c'est la transforma[inn idcntique. c. Q. F. n. L
y), holomorphe d a m u n rlomnine ( m , p\ c~rclt!D ( m n < o ; on supposera m o, p =- p l ) est ' ~ H E O K E M EY V l I I bis. - 'l'orrte jbnclion j ' ( x ,
(
')
Voii n u (:hapitl-e
I\
,
87
( t h i o r b n ~ eXXXII),
>
u11 complement
a ce t h h
I'rme.
*Exceptionsim= l o u p = l . S i p = 1 p a r e x e m p l e , ~ n a ( ~ ~ u .cym, x + $,by. **(saufsim= l o u p = 1)
56
HENRI CARTAN.
dkveloppable en skrie de yonctions holomorphes
uniformkment convergente au voisinage de tour point interieur a Q,,(X,y ) a la forme v n ( x , y ) ~ ( . x ' y ' ) ~ f n ( ~ ~ ' . Y ' )('1,
D:
h et p ktant deux entiers tels que h m + pp = I . On a en outre
Corollaire. - O n peut dkfinir un domaine d , projection d u domaine D sur le plan u =xpym.
THEOREME X I X bis (=).- Si deux domaines (m, p ) cercles, correspondant a u x m&mesvaleurs des entiers m et p (ny o, m o, p = -p') sont en correspondance analytique
<
>
si en outre ces domnines ne sont pas rnm
O n verrait, en procCdant comme aux paragraphes 5 e t 10, que si un domaine ( m , p) cerclC born6 D ( m p o ) peut se representer sur un domaine cercl6, l'origine restant fixe, il peut se reprksenter sur un domaine d e Reinhardt au moyen d'une transformation de la forme (16) e l quc, en gCnCral, une telle representation est impossible. L'Ctude des domaines ( m , p ) ccrclCs ( m p # 0) se ramkne, dans une certaine mesure, i celle des domaines cerclCs ou inversement cerclCs.
<
(I)
Remarquons que, pour n = n t , on a (x'y ~ ) m jI,,(.zPjl'n ) = C ~ ~ , , ( X P ' . Y ' ~ ) .
(') r8me.
Voir au Chapitre I V , 5 7 (theoreme XXXII), un complement a ce theo-
LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.
Raisonnons par exemple dans le cas oh mp est positif (m et posons Z L X ,
57
>o, p > o),
y:=~.
A chaque point x , y du domai~ie(m, p) cel.clC D correspondent mp points X, Y d'un domaine cercld A. Inversement, si le point X, Y dCcri t A, le point, .z=X"',
y=YP
dCcrit le domaine D recouvert mp fois. En somme, A est en correspondance biunivoque avec un domaine de recouvrement D , d'ordre mp du domaine D ; les variCl6s x = o et y = o sont des variCtCs de ramification pour D , .
CHAPITRE IV. LES DOMAINES Q U I ADMETTENT UNE
IN FIN IT^
DE TRANSFORMATIONS
LAlSSANT FlXE UN POIAT INTERIEUR.
I . GENERALITES. - Demandons-nous si, Ctant donnC un domaine born6 quelconque D, on peut en effectuer une reprksentation analytique biunivoque sur un domaine cercl6, semi-cerclC ou inversement cerclb, ou, plus genkralement, sur un domaine (m, p) cerclb. Un domaine (m, p) cerclC admet, d'aprds sa dCfinition, une infinit6 de trarisformations arialytiques biunivoques en lui-m6me laissant fixe nn point intdrieur (I'origine). Le domaine D doit donc, lui aussi, admettre une infinit6 de transformations analytiques biunivoques en lui-mCme, laissant fixe un point int6rieur. Nous monlrerons, dans ce Chapitre, que cette condition nCcessaire est aussi suffisanto. Bien entendu, tous les domaines envisag6s sont inpposds respecter la conrentiun [A]. &oncons dds maintenant le t hCordme fondamental qui sera Ctahli au paragraphe 3. T ~ i o n k a rYY ~
(I).
-
Tout domnine borne' D , univalent ou non, qui
( 1 ) Lorsclue j'ai Cnonce le thkoreme VII de ma Note aux Comptes rendus 190, 1!)3o. p . 35'1-356), je faisais prCvoir qu'il souffrait sans doute des cas d'ekcrption sous la forme oh il Chit Cnonce. Sous la forme actuelle, le thko-
I
reme XX esl exact et ne s o u f i e aucun cas d'exception.
.sl!el?p id.: snol suep lu!od ne as!iu a.lo3ua sed au a r la 'a?nb!ldmo:, s n ~ d tl1103nsaq isa Ilo!leJlsuow?p el 'rro!le3!l!me.1 ap lu!o(l rln lsa 0 anljs.107 ( , )
3 sop adnod? uti 1uaw~oJ *(_) .lns?~plu!lu?od utr ax!/luass?vl ?n6 'swp-?til ua a ? u ~ o q ~ ? D U I O ~ un,y sanboi~uti?qsan6~l/CIouvsuo?luw.~ofin.~l sa7 - JYX 3 ~ q n o v ~ : luehrns a1 lsa ar.ro?ql el a p aseq el y Isa !nb aur?ao?ql arI .sn1ls . s~s/Claup.,l . a aa!l -qaa as?qlodLg aun:,ne 'I:,! s a p n l ? sau!europ sal ans 'sanayl!e,p suoaaj .,rr s u o .saxarruo:, ~ luarualdurrs la sluale.i!un a u r p 's?uaoq sau!emop sal snol sed m o p anbrydde's au a a l r d e q ~l u a s a ~ da1 suep a?sodxa a!Joaql erl .l!os i!,nb p n b Jna!aalu! luiod uri avg luess!el samaw-xna ua suorlewaojsueJ1 ap 1ud' aJqtuou un'nb luallaurpe'u !nb ' ( a q q d s -.rad,C~~ aun saqd~oruo?uroq)saxauuo:, luauraldur!~ 's?uaoq slualea!un sau!eruop sap als!xa p i n b (g 3) luehrns aal!derl=) ne s u o x a h snoN
.?u~oq?!3.123?uawas.lanu?au?vwop urr .~nsaluss?~da.ras ltrb zuIJ s~y.10,y luowa.lc)noaa~ap auzvwop uti ap?ssod rro '?v.loq qp.1~37vdw~.r~anu? ~uzmcropun .Ins ~aiua.r?.~da.r as inad a .c .'pu~oq? p a 3 au?oulop uti ~ n dluas?.rda~ s JS znb l u f a ~ p . 1 0 zuswa.mro3a.l ,~ ap au?owop
un ap?ssod no lau~oq?pJaa ~ u ~ n ~ uu?i o .ms p .ialuss?dd~~ as 11rada ,z a ,I :pu.loq ?la73,11a73-?w~s ~ u z v u ~ nun p .~ns~aiuosa~da~ as Inad
: aluea!ns anraoj e l A X aur?Jo?rll ne .xauuop aao:,ua lnad uo 'luapdaaad a a l r d e q ~n p a q d e ~ g e a e d.la!uJap n p aldmo:, lueual u z a1 m o d ( , ) u o. ~ l.v.a f ~ w ayvl~u ~ o dun svd lsa,u 0 iu?od su3 s? suvp aruaJoaql a:, ao.rluourap y suo.rau.xoq snou snoN
.a an!enrop
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' v au?~ w o np p ~.qus3nv luuuaiz 0 lulod sl 'V pu.~oy ?13.1~3( d ' w ) aulvwop un Jns juatu -anb~&n~ ~aluas~.ds.~ u JJ' ~ n s d '0 .niauplul lulod un ax$ i u v s s ~ v'azupu ~ . u~tr6i1/Clvuv s u o ~ i v w ~ o ~ / j ap . u vplu,~/ul ~~ aun l m p v ua satrboniut71g .
-ill?
1,ES FOSCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
3!3
Pour Ctablir ce thCor&me,nous nous placerons dans le cas gCnCral o i l le point 0 peut t t r e un point de ramification. Prenons le point 0 comme origine, et soit
la transformation S la plus gCn&raledu groupe G. Pour montrer que G est un groupe clos, nous ferons voir que, Ctant donnC un ensemble infini de transformations S, on peut extraire de cet ensemble une suite infinie de transformations S , , . . . , S,,, . . . ,
de telle maniere que : Les fonctions j;(x,y) et gn(x,y)convergent respectivement vers deux fonctions f,(x, y) et go( x , y ) , holomorphes dans D , la convergence Ctant uniforme au voisinage de tout point intCrieur a D ; 2" La transformation
soit bien line transformation du groupe G. La premikre partie rCsulte immkdiatement du fait que les fonctions f (x, y) et y), &ant uniformCn~entbornkes quelle que soit la substitution S du groupe (en effet, le domaine D est b o d ) , forment une famille normal: dans le domaine D . I1 reste donc a faire voir que si l'on a lim .f,,(.z, , Y ) = j,(Lr., J . ) ,
g(x7
l i m g n ( x , , ~ ) = g o ( * Jr.,) ,
la convergence Ctant uniforme, les formules (1) dkjinissent une transformation biunicloque (kD en lui-&me, laissantjixe l'origine. On a d'abord J;,(o, 0 ) = & ( 0 , 0 ) = 0 ,
puisque I'on a f " ! ~0, ) =g;,!o,
Cela p o d , dCsignons par
0)
=o
60
HESRI
CARTAN.
la transformation inverse de la transformation S,. Si les fonctions F,(X, Y) et G,,(X, Y ) ne convergeaient pas uniformhment vers des fonctions limites dans le domaine D , on pourrait en tout cas extraire de la suite S,, . . . , St,, . . . ilne r~ouvellesuite inGnie pour laqaelle la convergence aurait lieu (il rbsultera d'ailleurs de ce qui s u i ~que F, et Gn convergent effectivement, sans qu'il soit besnin d'ex~rairc:i l n e nouvelle suite). Nous pouvons donc supposer que l'on a lim F n ( X , Y ) = F o ( X , Y ), limGn(X, Y) = G o ( X , Y):
On a Cvidemment
F n ( o , o ) = Go(o, 0 ) = 0.
Cela posC, la transformation (I) fait correspondre a tout point voisin de l'origine 0 un point voisin d e 0 . Je dis que I'on a , si Ic point x, y est voisin de 0,
Cela rtsulte en effet des identit6s
et de la convergence uniforme. J e dis maintenant que la transformation ( I ) fait correspondre a tout point x, y intkrieur h D un point X,Y inthieur h D. En effet, le point x, y Ctant fixk, le point
est inttrieur A D quel que soit n ; donc, a la limite, le point
est interieur a D, a moins qu'il ne soit un point frontibre de D. Montrons qu'il ne peut pas 6tre un point frontibre. Pour cela, raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe une courbe C, interieure a D, partant du point 0 e t aboutissant en un point intbrieur hl,(xo, y o ) , telle que le transform6 d'un point quelconque M de C par ( I ) soit inttrieur a D, sauf le transform6 de Mo qu'on suppose Ctre un point frontzdre de D.
L E S POKCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
61
Nous allons montrer qu'une telle CventualitC est impossible. ConsidCrons en effet les fonctions
Si l'indice p reste fixe, et si l'indice n augmente indefinirnent, ces fonctions convergent uniformkment, au voisinage de l'origine, vers
or ces fonctions sont uniformkment bornCes dans D, ou elles forment par suite une famille normale. D'aprhs un thkor6me connu, elles convergen t uniformdment dans tout le domaine D. Soit alors @,(x,y) la fonclion limite. O n a , au voisinage de l'origine,
O n Ctablirait de mkme l'existence d'une fonclion Yp(x,y),holomorphe dans D , qui satisfait, au voisinage de l'origine, a l'identitk
Des identitCs ~rCc6denteson tire, si le point x, y est voisin d e l'origine,
(4,
\So ( J l Y )= fP[',?(J-l S')1 I V / ) ( J , Y)Il g o ( x ,Y ) _R,I[@,,(.C, Y I , t ~ p ( x Y l )I.
i
Les identiles (3) et (3') ont lieu tant que le point x, y dCcrit la courbe C, puisque le point f,,(x, y ) , go(x,y ) correspondant reste inlerieur a D ; donc le point cP,(x, y ) , Y,(x, y) reste intCrieur a D q u a d x, y dCcrit C . En outre, le point Q , ( x 0 , yo),V',(xo, yo)est bien ddterrninC; c'est un point frontiire, sinon les idenlitCs (4) donneraient pour le point f o ( x , y), go(x,y ) u n point intCrieur, ce qui est contraire ii l'hypothhse. Ainsi le point Ql,(xo, yoj, Yl,(xo, y o )?st frontihre quel que soit p. Or, lorsque p auglnente indefiniment, les fonctions a,($,y ) et Yp(x,y) convergent uniformbment, au voisinage d e l'origine, vers F o [f o ( x lJ ) , ,yo(xly ) ]= YC
el
GoL,/b(x. J , ) , ;;o(x,y i ] = Y .
Comme la famille (Dl,, qrP est normale, la convergence a lieu dans tout le domaine D. En par~iculier,le poirit cP,(xo, y , ) , Vl,(xo, yo) tend
I I E N R ~CARTAN.
62
vers le point. inte'rieur x,,y,,. On arrive a une contradiction, car un point intkrieur ne saurait &treLimite de points frontihres. C. Q. F. I).
Ainsi la transformation ( I ) fait correspondre a tout point x, y intCrieur a D un point intCrieur a D. L'identit6 ( a ) a lieu alors dans tout le domaine D. Or, cela suffit pour que la transformation ( I ) dCfinisse une transformation biunivoque du domaine D en lui-m6me. c.
Q . F.
D.
T H ~ ~ O RXXI1. ~ M E - Soit G le groupe des trunsformations d'un domaine bornt D en lui-mkme, qui laissent J x e un point intkrieur 0; il existe r ~ ngroi~peclos de sr~bstitutionsline'aires homogknes isonzorphc arl g r o v e C .
Supposons le point 0 a l'origine, et admettons d'abord qrle lepoint O ne soit pas rrnpoint de ramijcation pour le domaine D . Toute transformation de D en lui-meme, qui laisse fixe 0, a la forme
J e lni associe la substitution 1inCaire (2)
X1=a,X+6Y,
Y1=ri'X+b')'.
TI n'est pas possible qu'une mCme substitution Z soit associee a deux t~barrsformationsS et S' differentes; car, s'il en Ctait ainsi, la transformation S'S-' aurait la forme
elle se reduirait donc a la transfornlation identique (Chap. 11, tll6o1-&meVII). Cela pose, Z, et Z, ddsignant les substitutions associCes a S , et S,, la substitution associke a S , S, est 2,,Z,. Le groupe I' des substitutions Z et le groupe G sont donc isomorphes. Comme G est clos, I' est clos. O r , I' ne contenant pas de substitutioils dCgCnCrCes, on doit avoii-
1 abt-
la' / = I .
L E S F O R C T I O N S ' D E D E U X V A R ~ A B L E SC O M P L E X E S .
63
I'usson.~nu cas oli D esr rarnijik au point 0. ConsidCrons un voisi[rage D , du point 0 dans le domaine D, et l'ensemble d e ses transformks par toutes les transformations d u groupe G . Le groupe G Ctant clos, si le voisinage D, est assez restreint, tous les transformes d e D , rle contieudront que des points trks voisins d e 0, et leur ensemble cor~stitueraun domaine D', interieur a D, et tout entier tres voisin de 0 . Le domaine D' se transforme Cvidemment en lui-mCme par tnutes les transformations de G . O r , d'aprka la dkfinition d'un point de ramification intkrieur a un tlomaine, il existe, dans le domaine D, un voisinage V du point 0, q11i peut se transformer en un domaine univalent. O n peut choisir D, itssez petit pour que D' soit intkrieur h V. Alors D' se transformera en un domaine univalent A'. Au groupe G des transformations de D' en lui-m&me, correspond un groupe G' de transformations de A' en 111i-mtme, q r ~ ilaissent lixe u r ~point interieur ('). A ce groupe est iissocid un groupe clos de substitutions lindaires, d'aprks ce qui prCchdc. I,e thCorkrne Y I1 esl douc etahli dans tous les cas.
2. KECHEK(:HEDES
GROUPES CLOS D E SUBSTITUTIOXS LINEAIRES H O M O G ~ N E S
(:OMPLEKES A DEUX VARIABLES. tlieorie des groupes.
-
Kappelons quelques rCsultats d e la
r 0 Tout sous-groupe clos C; ci'un groupe de Lie est lui-&me un groupe tie Lie A moins que G ne contienne qu'un nombre fini d'operations.
(7,
Donc tout groupe clos G de substitutions IinCaires homogenes est 1111 groupe tle Lie (iious supposor~s une fois pour toutes que G contient une infinite de substitutions). Corolluire. - Les transformations analytiques d'un doniaine borne eri lui-merne, qui laissent fixe un point intdrieur, forment un groupe de l i e . ( 1 ) C't.3~Ih It. yrinciye de la dkmonstratio~ldu theoreme fondanlental XX dans le cas oil le poinl fixe 0 est un point de ramification. Cette demonslration, trup longue, ne sera pas donnee dans ce Memoire ( c f . 9 1). ( ? ) Voir €?LIE CARTAN, La tACorie des groupesfinis et continus et I'Analysis sitrrs ( klc;n7or.itrI tIrs .St*,r~zutlt.,XLJJ ; Gau~hier-Villare,p. 2 5 ) .
p u o d s a ~ ~suoynlysqris o~ xnap sa9 a p aIqmasua,I
- a g n d !ssna l!y ua
uoynlysqns e l !S .,€A x x aurJoj a1 a l u a p - +-em! luass!aI J a p suo!lnlysqns sa[ !J s o p a d n o ~ 8un a w o j sa?posse sno!lnlysqns sal salnol ap alqurasua'q .un la23 luaurur~al9pa p suog -nlrlsqns xnap sa?!3ossa !su!e luaAno.1) as ,3 a p uoynl!lsqns alnol y anb s u o n b ~ a m a u suo!lnlysqns sal anb salIal .alrunLIluRu!urJal?p m o d lua!e
s ,z la S T
*S3 =
s
suo!lnl!lsqns xnap a~s!xa 11
s
,3 a p anbuoqanb uoynl!lsqns aun s ~ o 110s p .,€A - +x-x aw~0.Jvl aiuv.z~vnu? luass!o] ,3adno.1.5'noannou np suo?~n?.?isqns sal an6 uo3vJ ap 'a]qvua.+uo~ a~tv?u?luo~~nizisqns aun ~ud~aw.roJsu o.11q inad uo 'saxaldwo~ salqv?.ivn xnap D S ~ J ? D ?suo~?npisqns UZ~ ay JL- sop adnoJ.8 un quuop i u v ~ ?'!su!v .LL i as.
-
'
-
( ,) a?u$jp aizw.iaH,p aw~oJaun aiuo?Jonu? SO^ a!7 ap a.[?a?uyadnod.8 ~ n o j.z
asszo] csaxaldwo3 srua?qJaoa p
L E S F O N C T l O K S D E D E U X VARlABLES
COMPLEXES.
une substitution homographique
qui jouit de la proprikte suivante : si I' est transform6 de z , alors -
4 Z
est transformi: de - f-. Tnversement, a
a toute substitution homogra-
phique jouissant de cette propriCt6 correspondent deux substitutions telles que (5) et (!if), qui laissent invariante la forme x G + f i . Au groupe r correspond donc un groupe clos H de substitutions hornographiques. Or, a chaque substitution de H correspond une rotation de la sphere autour d'un diametre (dans I'espace A trois dimensions rCelles). Le groupe H est donc isomorphe & un groupe de rotations de la sphere. Mais on connait tous les groupes clos de rotations de la sph6re :
- ou bien H n'a qu'un nombre fini d'operations; - ou bien H est isomorphe au groupe des rotations autour d'un diamhtre, Cventuellement combindes avec une rotation de 1800 autaur d'un diamhtre perpendiculaire ; - ou bien enfin H est isomorphe au groupe de toutes les rotations de la sphcre. Examirions successivement ces trois cas : Premier cas. - r n'a qu'un nombre fini de substitutions. A chacune
d'elles correspond donc une infinit6 de substitutions de C;'. (;' admet une infinit6 de substitutions de la forme (6)
.cl= .reiO,
Par suite,
y1= ye'O.
Comme G ' est clos, il admet loules les substitutions de cette forme, 0 Ctant un parametre reel quelconque. Comme ces substitutions restent invariantes par toute substitution linCaire homogene, le groupe G luim6me contient toutes les substitutions ( 6 ) , Cventuellement combinkes avec un nombrejini de substitutions lindaires. 1)euxiime cas. - On peut effectuer sur z une homographie conve-
nable, de facon que les valelirs de z correspondant aux extrdmitCs du
66
H E J R I CAItTAS.
diamktre fix(. soienl u et x. L e groupe H ailisi transform6 est alors le groupe des slibstitulions zl=kz
(Ik]=l),
Cventuellemcnt combinees avec la substitution
A l'Iiomograp~.iieeffectuke il y a 1111 i u s t a l ~ tsur 3 , correspond une substitrltion IinCaire sur x et y. J,e groupe I', aprks qu'il i1 CtC transform6 p a r cette substitution, se coirlpose des substitutions xeiw,
?I'=S.e-i~d
( w reel quelconr~rie),
Cvenluellement combiilkes avec la s u b s l i t u t i o ~ ~
Toutes les substilutions de G' ont donc la forme
ou, Cventuellemen t, la forlnc
O r , G' est un groupe dc Lie; c'est donc un groul)e a un ou deux paramktres. S i C;' est un groripe i deux parametres, c'est nkcessairement le groupe dcs substitutions ( 7 ) , ou a et (3 sont reels quclconques, Cventuellement combinCes avec
S i G' est un groupe a un paramktre, G' se compose d'un nombre fini d e familles connexes, et celle qrii contient la substitution identique a la forme zez~nb, v'= ( G reel quelconque), ., d
m et p Ctant d e s entiers positifs, nCgatifs ou nuls; si I I = ~ o ( ~= n o par exemple), on peut supposer p = I ; si mp # o, on peut supposer nz et p premiers entre eux.
LES F O N C T I O N S D E D E U S V A H I A B L E S COMPLEXES.
67
'li.oisi$me e l d ~ r n i e cns. r - r est le groupe de toutes les substitutions IinCaires, de determinant Cgal a trn, qui conservent rz:;tYj. Ce sont les substitutions de la forme .I.c""
coxy - j , e i b ) ' s i r l
sin p
cp,
+ y ~ - ~c o"s )y ?
qui dependent de trois paramktres r6els w , to' et p. On les obtient toutes en faisant varier ind6pendammen~w de o i275 w'de o a 2.;;, 7;
et ~ d c Ao- . Supposons d'abord quc3 les substitutions de G' qui correspondent i la substitution identiquc du groupe r soient en non~breinfini. Alors tollles les substitutions ( 6 ) appartiennent C ' ; par suite toutes les substitutions (8) appartiennent aussi a G', qui est ainsi le groupe (a cluatre paramktres) de toutes les substitutions qui conservent: z + Supl~osons maintenant que les substitutions de G' qui correspondent la substitu~ionidentique du groupe r soient en nombre fini. Elles on t alors la forme
yy.
n etant 1111 entier iixe, k un entier variable. A chaque substitution d e r cosrespo~ldentalors n substitutions de la forme ( 6 )et n substitutions de G ' . Je considbe l'ensemble des substitutions de r qui appartiennent a G' ; elles forment UII groupe clos qui dCpend Cvidemment de deux paranGtres au moins. D'aprks ce qu'on a vu, ce groupe d6pend alors de trois parametres el se confond avec T. Donc T est un sous-groul~ede ( ; I , clt C i ' rCsulte de la combinais,on des substitutions ( 8 ) et ( 9 ) . 1lCsumons tous les rksultats obienus. ' ~ ' H E O R ~ M EXXI11. - 12tont donnc' trn groupe clos de substitutions lineaires itomogi.nes complexes a deux variables, on peut efectuer sur les vczrinbles une substitution lininire telle qLre fe groupe transformt rentre dam Z'une des catdgories srlivantes : 10
G~.oupe.vci un parczmetre : groupe .rksultant de la combinaiso~l
d'un nombre fini de substitutions li11Caires avec toutc:s les substitutions dc la forme ..cl=
,y'=
.Cl'i"lO,
,ycil,b,
m et p dksignant deux entiers prernic1.s entre cux, O un nombre rCel quelconque. 2"
Groupcs u deuxparnmi.~cs:groupe des substitutions .r'=
zel",
2 '=,vclp
(
cc et ,5 reels quelconc[ues).
Cventuellement combinCes avec la substitution
3" Groupes ci troispamrnktrcs : groupe des substitutions
Cventuellement combin6es avec
4"
tiroupes a quatre pamnaitres :groupe tle toutes les subs~itutions qui laissent invariante la forlne x :
+yy.
COROLLAIRE. - ktant donne rrn p u p e clos de substitulions line'aires homogtnes a d e u x variables, on peut efeclrlcr sur les variables une substitution line'aire dc f neon quie lc grouipe transfolme' contiel~neun sousgroupe de /a f ormc y'= 3, r ' ~ O . =& e f ~ l O ,
3. DEMONSTRATIOS DU T H E O R ~ M EFONDAMENTAL. - (:omme nOUS l'avons dkja dit, nous dkmontrerons le thCor6me Y7i seulemcnt dans le cas ou le point j x c 0 n'est pas un point de rainz$cation ponr lc domaine borne' D envisage. C; dksignant le groupe de toules les transformations (en nombre infini) de D en lui-mCme, qui laisserit lixe le point 0 suppose a l'origine, A toute transformation
LES F O N C T I O N S D E D E C X V A R I A B L E S COMPLEXES.
du groupe G est associCe une substitution d'un groupe cios r. O n peut alors effectiler sur D uuc affinitC anal-\.tique, de f a ~ o nque le groupe I' contienne un sous-groupe de la f o r ~ n e S i mp # o, nous supposerons m et p premicrs entre eux, et nl positif; si mp = 0, nous supposerons 1)) = o et p = I . DCsignons par
la transformation de G associCe it la substitution (10). 1,e point x, "Y Ctant fix6 dans D, le point z'y' dicrit, lorsque O varie dv o A 2 r., nne conrbe fermke dcrns I). ( )n a Cvidemment
f[f( x ,y ; 91, g(z,y ; 9 ) ; 6 ' ] = j(s,jl:9 + 6'), ,ql..f(r, y ; 6 ) ,
;(.T,
y ; 0 ) : 0'1 = ' Y ( J , . ,y: 4 -t- 5').
Envisageons alors 1'intCgrale
Le point x, y &ant fixC, cette intbgrale existe; en ell'et, f ( z , y ; a) est une fonction continue de a , puisque le groupe C; est clos. Cette intCgrale est de plus une fonction holomorphe des variables complexes x et y dans le domaine I), comme le montre la differentiation sous le signe , diffbrentiation qui est possible A cause de la continuit6 uniforme des dCrivkes partielles dc f ( x , y ; a ) par rapport h x et y [la continuit6 uniforme rCsulte de ce que les fonctions f ( x , y;a ) sont uniform6ment bornCesl. Enfin, au voisinage dc 0, on a
S
et, par suite, F(x, y) a la formc
en particulier, F(X,y ) n?est pas identiquement nuile.
l?nvisageons de mkme la fonction
Les fonclions F ( x , y ) et G ( x ,.y) sont intlkpenduntes, puisque l'on a , au point 0,
1,orsque le point x, y decrit le dornaine D, le point S
= F(.r,y),
1' = G ( z , , y )
engendre u a domaine 4, sous la reserve que la condition [B] soit respectee (nous nous occuperons de cette question au paragraphe 4). Le domaine A est borne, car F et G sont Cvidemment t~ornCes.J e dis que le domaine A est (m, p ) cci.cl6. Effectuons en effet sur x et y la transforniation ( I I). O n a
I)'ailleurs, le poirlt S , Y Ctant fixC, la courbe
est ferrrtec duns 4, puisque, le point x, y Ctant fixC, le point x',y' dccrit une courbe fermCe dans D lorsquc 8 varie de o a 2 r,. I,e d o ~ n a i ~ lAe n'est pas ramifie A l'origine, puisque D n'est pas ramifie en 0 , et puisque l'on a
I,e tllCor&rnefondamental XX est donc Ctabli dans It: cas oh le point 0
'
7 n'est pas un point de ramification pour le domaine D. Comme nous l'avons dkja dit, nous nous bornerons a ce cas. L E S FONCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S C O M P L E X E S .
4. COMPLC~IENTS A LA DEMONSTRATION tenant si la transformation trouvke = F ( x ,y ) ,
X
PRECEDENTE.
- Chercllons main-
Y = G ( x ,y )
satisfait a la convention [B]. Peut-on avoir F(x,y)=a,
G(x,y)=b
en tous les points d'utie variClC V intirieure au domaine D.? Soit Ve la varikti transforrnee de V par
On aurait, sur V(,, F (I
'
'
=a
,
G ( x l y, ' ) = bei/ln.
S i mnp # o, on a forcknlen? n = b = o, sinon les varitt~ksVo seraient distinctes et forrneraient une fanlille continue, ce qui est impossible. Si m = o, on a forcement b = o. On voit que, dans tous les cas, la variCt6 V se transforme en elle-mCrne par la transformation (12). Je dis que, si rrtp est positif, In convention [B] est respectke d'ellem6mne. Supposons en effet que I'on ait
sllr une variete V intkrieure A D. A cette varikti V correspondrait, dans le dornaine (m,p ) cerclC A, un point fronti2re qui serait ia l'origine; or, A est ilnivakrit (Corollaire du thCor6me XVIII) et contient dkja l'origine a son intkrieur. La proposition est donc btablie. Au contraire, si mp est nu1 ou nCgatif, il n'est pas sQr que la convention [B] soit respectke. Mais nous allons etablir le theortme suivant :
THEOREME XXlV. - Si rrn dorrtaine D se trouve represent& sur un do~naine( 112, p ) cercld A ( m p 5 - o ) , et si lu trnnsformation ne respecte pas In convention [B], onpeut trouoer une trnnsformation de D en un autre ~lomaine( m ,y ) celclt: A , ,trclnsformation qili respecte la conc*ention[ B 1.
PHEMIER CAS : mp =o(m = o, p = I). Supposons que l'on ait
sur une variCtC V interieure au domaine T I . Considt.rons, d'une maniere prCcise, l'ensemble des points de D 1)our lesquels ont lieu les relations ( 1 3 ) ; laissons de ~ 6 t hles points isolPs; il reste d~:s varii.t@s, qui se partagent peut-&tre en plusieurs variCt6s connexes (en nombre fini ou infini). J e dCsigne par V l'une de ces vari6tCs conlieses. La varidtk V n e s'obtient peut-irtre pas tout entiere par prolongenle~~t analytique d'un seul de ses t.16ments; appelons \',, 1 ,, . . . , \ /,, . . . les variCtCs indPcomposables dont l'ensemble constitue 1' (ces varietks ont des points communs, puisque leur ensemble est connexe). Pla~ons-nousau voisinage d'un point de V, qui n'appartient i aucune autre V,,; soit m , le plus grand entier positif tel qutJ la fonctiori
soit uniforme au voisinage du point consid6rC; soit de 1r161nepi, le plus grand entier positif tel que la fonction
soit uniforme. La thCorie des fonctions de deur variables rlous apprencl que : lo 2"
Les entiers m , e t p , ne dependent pas du point de ITl, considkrt.; La fonction
est holomorphe et non nulle au voisinage de tout point de V , , autrr que les points d'intersection avec une V,,. Cela posk, revenons au domaine semi-cerclC A engendrt. par les fonctions F(x, y) et G ( x , y). Soit 8 sa projectiori sur le plan \ (Chap. 111, s3). Je dis que le point S = (I est un point fj-ontih-(~ de Z. En effet, z et y, coordonnkes d'un point dc D , sont des fonctions holo-
L E S FONCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
73
morphes dans A , et admettent des dkveloppements de la forme (Chap. 111, t11kor;me VIII)
les J;, et les gf,ktant holomorphes dans 8. Si X = a btait un point intCrieur ?I 2, x et y allraient des valeurs bien dbterminkes pour X = a , I - = o, ce qui n'a pas lieuj puisque le point r,y est dans ce cas un point quelconque de V. JI; dis maintenant que le point X = (2 est un point fronticre isole'de 2. En elt'et, au voisinage d'un point quelconque de V, la fonctiori
prend toute valeur voisine de a . 11 y a plus : la fonction
C. Q . F . I).
est uniforme an voisinage d'un point ordinaire de V , , et la fonction I
l
r y )a ] '
(nzf>nzk)
I
1
ne l'est pas. Donc ( X - a)'< est uniforme dans 2, et ( X - a)';;;ne l'est pas. C'est dire que le point X = n est un point de ramification d'ordrc m , exactement pour'le domaine 6 (le point X = a lui-mCme esl en dehors de 2). On a donc
soil ni la valeur coiilmulle de ces nombres, et supposons
1;aisons rnairitcnant rentrer dans le domaine 2, pour un moment, toris les points frontikres tels que S = ( I ; appelons a, le domaine airlsi coml,le~C.( ) I I 1)eilt constrwire une fonction @(X), holomorphe ct lroll r~ulledans 2, sauf a11voisinage de X = (1, oil I'on suppose qu'elle
a, ( X ) Ctant holomorphe et no11 nulle pour X = (I. Effectuons alors sur A la transformation
Le domaine A se transforme en un domaine semi-cerclC A , . D'ailleurs 1-, est une fonction holomorphe de z et y dans le domaine D tout entier, y compris les variCtCs exceptionnelles analogues A V. 1IIontrons que J . , est aussi holomorphe sur la variCtC V elle-m&me. O n ii en eff'et, au voisinage de V, Y l (x,y ) = -
Y
0, (S1
-
c! [X-aI7"
G'2.1Y ) [F(.r,y)l; p: [l~(,r~,y)-fl]"L
o r , la fonction G ( J ,y )
-
L!!
[ F ( , z . y )- a ] ' "
est holomorphe. De plus, au voisinagc d'un point de V , , cette fonction n'estpas nulle. P a r consequent la transfor~nation(14) respecte la convention [B], au moins sur la variCtC I TRlais , . alors le point 1 = a fait partie de la projection du domaine A , . J e dis que la convention [ B ] se trouve aussi respectCe sur les variCtCs V,, . . . , V,,, . . . . En effet, si elle ne l'ktait pas, lc point S = a serait un point frontithe pour la projection d u donlaine A , , et i ~ o u s venons de voir qu'il n'en est rien. Ainsi la convention [ B ] est respectCe sur la varikte V tout entiere. E n rCsum6, pour arriver a ce rt.sultat, il a sufIi de construire une fonction @ ( X ) quise comporte convenablenle~ltau woisinage de X = 11. S i l'on veut maintenant que la convention [ B ] soil respec1i.c dans le domaine D tout entier, on construira une fonction ( P ( X ) qui se comporte convenablement au voisinage de tous les poinls, tcls que X = 11, qui correspondent aux diverses vai-idles irnalogues h la \ ariktC \ , ct
J.I<S 1:OZC'rIONS
I)E D E U X
VARIABLES COMPLEXES.
I'on ell'ectllera la transformation
Lc tl~ko~.&~nt: \\:I\est clonc Ctabli dans le cas oil nq)= o.
D E U X I ~(:AS I E: mp
< o.
t ' o ~ ~simplifier r l'esposition, nous supposerons m = I , p =- I . Supposons que'l'on ait
sur cles varietes interieures A D. (:es variCtCs se partagent en variCtCs connexes. (:onsiderons l'une d'elles V ; elle est constituCe p a r des variktes indkcomposables V, , . . . , V,,, . . . . Soit m,, le plus graticl entier positif tel clue
soit uniforme au voisitlage d'un point ordinaire d e V , ; soit p , l e plus grand entier positif 1e1que 1
[ G ( x ,3 / ] E
soit uniforme au voisinage d'un point ordinaire d e \-,. Soit o' la projection d u domaine inversement cerclk A s u r le plan u ( n = X I - ) . R la variCtC \- correspond un point d e o' pour lequel u = o , point que je vais appeler 0 (le domaine 6 pouvant contenir p1usieul.s fois le point 11 = o, il convient d e distinguer ces points les uns des autres). O n montre, comme plus h a u t , que le point 0 est ell rbalite un point fiontiere d e ;(cela veu t dire qu'il ne correspond a auculi poirit x, y de D', non situe sur V). O n voit ensuite que 0 est un point frontikrt: isolC, et cine l'on a le point 0 est uti poiiit d e ramification d'ordre n pour s, n designant la v a l e ~ colnrnune ~r des sommes m,+p,,. Sul~posoitsque ~ n soit , le plus petit des mli (ou l'un des plus petits), e t p , le plus petit desp,. ComplCtons provisoirement le domaine 6 en lui adjoigriant les points frontikres tels q u e 0, et formons une fonc-
sled Isa,u (A 'x)
aed
12ua ? u r ~ o ~ s ulsa,s e~i
la 'li1 Jns allnu sad lsa,u (A
au!emop a? Z~ ~ n allnu s 'aalno u n
' x ) l ~
'A a p a s e u .r s.r o ~tle 'e uo ae3 ' ,I Jns saqd~ouroloq!ssne luos sa1Ia s!elt ',\ ?I?!J~A "1 ~nsa.113-lnad jnes 'a a p lu!od lnol ua saqdaoruolor\ 'Ala .r ap suo!l3uoj sap luos I , \ la ' X sanall!e,a 'V 313.1a3 Irrauras.raau! au!eruop un ua amJojsueal aan0.q as v arr!europ a q
'(Ax)@x='x
A *()
(511
~ ~ o r l e a r ~ o j seul esuonlaa*#n .~~ lu!od nr! alIrlu uou la aqdaouroloq luel? ( n )
asoddns ooll I,IO '0 a p a2eu!s!o~ ne jnes '?l?ldmo:, 2 au!ewop a1 sue[) allnu r~orrla arjd~orrrolorloo!13uoj aun ( r i ) ~ ,am?w ap l!os .0111rodne allnu uou la ar~d.rouro~or~ luel? (11)
am.roj el e .qlalnb asoddns u o , ~po '0 lu!od n p a2eu!s!oa ne ~ uo!l jnvs balald~~roo arl!europ a1 suep allnlr uorr l a a q d ~ o m o l o r' (?I)@
LES FOKCTIONS D E D E U X VARIABLES C O M P L E X E S .
77
les fonclions f,,(u, ), g,(u, ), A,,(u, ), k,,(u, ) sont mCrornorphes au point 0 ,; en outre, Xy ~ , , ( I L , )Y11'gl,(~rl)7 , X:h,,(ll,), Y','~,,(II,)ne deviennent pas intinies. O r , si le point (x, y) est sur V,,X, n'est pas ) restent finies au point 0 ,; de meme, nul; donc les f , , ( r ~ , ) e t les h,,(r~, si I,y est sur IT,, Y, n'est pas nul, donc les G i , ( I~)~et les PI.( r r , ) restent finies en 0,. La convention [ B l est rcspectke sur V , et V q . Elle l'est aussi sur V J 7 . . . , sillon I'on aurait X I = Y , = o sur ces varidtks; mais alors x ( X , , Y , ) et y ( X I , Y , ) auraient des valeurs bien determinkes, ce qui serait prCcis61lient contraire B I'hypothGse. Ainsi, au moyen de la transformation ( I i), la convelition [ B ] se trouve respectbesur la varieti! 1-tout cntibre. Le raisonnement s1ach&vc. alors comrne dans le cas d'nn domaine semi-cerclk.
5. C O M P L E ~ I,\u E K, .I ~I ~I E ~ K ~ FMO~R U A ~ I E X I A L . - Soit D nn dosnail~e horn6 qui a d ~ n em t e infinit6 de transfornlntions en lui-mGme, laissant fixe un point intkrieur 0, supposd B l'origine. Comme plus haut, nor~s adnlettrons, dans ce qlri suit, (111eICpoint 0 n 'estpas un point de rnrnqication pour 1~ domaine D . Soient G le groilpe dc tolltes les tt-anbforniations de D en lui-mhme, qui laissent fixe 0 , et 1'1,: groupe linkaire associe. On peut effectuelsur D une affinitC analytique convcnable, de fac:on que l' rentre dans l'une des categories 6numkr6es au 111CorbmeXXlII. Comme on I'n vu au paragraphe 3, on pcut alors effectuer une ~ransforrnation du domaine D en un domaine (in, p) ce~*cle b o r l ~ eA . Si le groupc (; depend d'un scul paramktre, il n'y it riel1 k dire dc plus. Sl~pposonsrnointennnt qiie G dependc dr' r f e ~ paramkrres ~s esncternent; a1oi.s r contient tontes les s~lbstitutions(I )
et, en oarticulier., les substitutions
7$ IIESRT CARTAN. D'aprks le paragraplit. 3, il existe donc une transformation de la forme ( I 6) qui transforme D en nn domaine cercle born6 A; ;lux substitutions ( I 7 ) correspondent des transforrnations de A en lui-m&me,de la forme \;'=Yeiz+. . .. l'= Ycl?+. . .. Comme -1 est cerclC et borne, ccs transforrnations sont lindaires; ee sont donc les transformations ( 1 7 ) elles-mPmes. l l o n c A e,st un domaine de Reinlrnrdt. S!~/yoson.s que (; dkpende d~ l/uno.c:pnrami.t).~s.Le groupe r contient encore lcs substitutions ( 1 8 ) ; donc 1) peut se transformer en un domaine cerclC born6 A, par une transformation de la fornie (16). Toutes les trarlsformntions tle A en Iui-m&me, qiii col-respondent aux trailsformations de (;, sont linciaires; -1 est donc invariant par toutcs les substitutions dc I'; or, ce s o r ~ ttoutes celles qui laissent invariante Donc A st une hypersphi.l.e. la forme x; + I1 reste A examiner le ccrs oli G dbpendrnit (ie trois parc~rni.t).es.Nous allo~is~rrontrerque si le group(? G dkpend d e trois paramhtres au moins, i l depend de quiltre paramhtl-es. En ctfet, si (; ddpend de trois paramhtres, r corltient le groupe
?y.
[ao)
:I;'=
J ' ( r c . y ; o),
b)'.
cp 1,
J"=
;(J'.
y ; o),
?)
(,)I,
les transfornlatior~scorrespondantes du groupe G . Nous allons formc'r nu systhme dc dcux fonctions
qui subissent la substitution linkaire (19) lorsqu'o~leffectue sur x et y la transformation ( 2 0 ) . T,c domaine A, engendrk par ces fonctions, sera donc invariant par- toutes les substitutions ( 1 9 ) ; ce sera forcdment une h y p e ~ p h c r e J. e dis que la transformation ( 2 1 ) respectern la convention [ B ] ; en efTet, si l'on avait l:(,r., y )= u ,
G (x.J , ) = 1,
en tous les points d'une vari6tC V inldrieure A D, on aurait forcCrllent n = b = o (raisonneme~rtdkjh fait au paragraphe A ) ; l'hyper-
LUS F O N C T I O N S D E D E U X VARIABLES C O M P L E X E S .
79
sphire A devrait admettre l'origine comiiie point frontikre, ce qui est absut.de. I'uisque D peut se reprksenler sur une hypersphkre, le groupe G depeutl dc quatre et non de trois paramhtres. c. Q. F. D. L1 nous reste B foriner les fonctions F(x, y ) et G ( x , y) annoncheg. Observons d'ahord que l'on obtient loutes les transformations (19)en faisant varier indcpendamrnent o de o 2 r;, of de o a 2 n , et y de o . 7 t
a
:.
S i nous posons
rt. =
x , + ix,, y = y , + iy,, les quatre coordon-
nees du poitrt translormk de YC = I , y = o par la transformation (19) sont : z,= coso cosy.
.r2=sinr1)co3p,
y , = cosw'siny, I,,=-sinw'sincp.
On oblienl ai~lsiunc repr6se11~ationparainCtrique de l'hypersphkre
I,'Cl6111entde surface ( a trois dimetisions) de cette hypersphbre est donnC par* ( I T ( ~ , I ,m', y i = sin? cosy d o d o ' d p . 11 esl iuvariant par toute transfol-mation (ICJ), car la surface d e l'hyperspl~itren'est pas changie par une rotation autour du centre. 1,'ClCmerit tl; n'est d'ailleurs autre que l'tle'mcnt de volrrme invariant qui existe toujours dans l'espace d'un groupe lineaire clos ( I ) . DCsignons par T le volume total, d'ailleurs facile a calculer. Cela posC, envisageons la substitution inverse de (19) .L.
=~ ' e - i r ~ c o+ s cy p7 c i ~ ' s i n p ,
",,=-
- SJT[
e-i~'
siny
+ y'eiWcoscp,
et les intcgrales I ? ( .r, j,)
,+
j (.c,y ; a , a', + )
C-'~COS+
sin+^(^, y ; a , a', + ) ] d r ( a ,a', +),
~ ( . l I, ,
)E
iiJ fI[-c - i 3 * > i n + f ( ~y c;, a . a', $1
- + - p i a ~ 0 6 $ d . y( c;~a. , a l . . + ) ] d r ( a a', , +), ( I ) Ifoil., pal- ereinple, I<. CARTAN, Lrr tl~loriedes groupesJirris et corztinus ~t I'AILo().s~s sitt~s(.kfenzor.iol rk.s S(.i~ncasntathdmatigr~es,t . XLII. p. 3 1 - 3 a ) .
80
H E N R I CARTAS.
prisesentre l e s l i m i t e s ( o , ~ tpour ~ ) x et pour x', et
( :) 0,-
pour x. l 7 ( . r - , . ~ )
et G(x, y) sont l~olomorpheset bornries dans U. On vkrilie sans peine qu'elles ont bien la forrne ( 2 1 ) ~et que, si l'on ellkctue sur .r e t y l a transforrr~ation( 2 0 ) ~on a
Avant de rksulner tous les rksultats obtenus, observons clue la mCthode qu'on vient d'employer est tout a fait gCn6rale : (itant rlolznP un domaine born&D , non rclnzific; ti l'origrne, &tns 1'rspace tl'nn r/ombre guelconqz~ede variables complexrs, on perct tl.oriver un .~ystdnletle Ji)nctions holomorphes duns D
telles que toutes 1e.r transformations dc D cn 1r1i-nrdltre, qrli laisse~ztJxe l'origine, se tradzlisentpar des sllb.~titutionslink(~iresSIII*les fonctions 17, G, H. E n effet, si les tra~lsforrnatiollsenvisagCes son1 c11 nornbre infini, elles forrnent un groupe clos ( I ) , et l ' o ~ lse scrt dc 1'eICrnent de volume invariant du groupe linCaire clos associ6. S i les t~~ansfornlations sont en nornbre fini, on remplace les inthgrales par des Illoyennes arithm6tiques. KCsumons maintenant les resultats obtenus dans le 1)rc:sellt paragraphe, en les combina~ltavec le thhorkme X X .
T H E O RXXV. ~ ~ I E- Si lln domailzc born(:
ndnlrt line injinitc (/(. transformations annlytiqucs bil~nic-oquesen 1l1i-rnhtle, laissant /ixe r ~ n point intkrieur ( a ) 0, ces transJbrmntions dc:l,endrnt tl(1 r ~ n ,de11~1'011 quatre parametres. Si elles dkpendent d'un seul pcll.clmi.tre, le domairre D peut .cc rcy)rk-
(I)Le thCoreme XXI s'etentl Cvideu~nlent aii ca4 d'un nornl~re q ~ ~ e l c o ~ l l l ~ de variables con~plexes. ( ? ) On s'est born6 a l l cas oil ( ) n'est l)as un l'oint de ralnilicalior~.
LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.
8I
senter sur un domaine ( m ,p ) cerclt bornt A, lepoint 0 venant au centre de A. Si elks dtpendent de deux paramdtres, le domaine U peut se reprtsenter sur un domaine de Reinhardt bornt A, lepoint 0 venant au centre de A. Si elles dkpendent de quatre paradtres, le domaine D peut se reprtsenter sur une hypersphbre de rayon fini, et ndmet par constquent des transformations en lui-mbme quidtpendent de huit paramkres, lepoint 0 pouvant &re arnent e n u n point quelconque de D. Nous avons vu (') qu'un domaine (m,p ) cercld born6 ( m f p ) ne peut pas, en gCnCral, se reprhsenter sur un domaine de Reinhardt, l'origine restant fixe. Cette proposition est encore vraie si m = p , car un domaine cercl6 born6 ne peut se transformer en un domaine de Reinhardt que par une affiniti analytique, au moins si l'origine reste fixe, En tenant compte du thCor4me XXV, on voit que, en ge'ntral, les transforrnations d'un domaine ( m , p ) cercle' bornt en lui-m&me, qui laissent j x e le centre, dkpendent d'un seulparambtre
(v.
6. KETOURA U X GROUPES CLOS nr; SUBSTITUTION^ LINEAIRES. - Partons tlu Corollaire du th6orAme XXIII. Cherchons tous les groupes clos de substitutions lineaires qui contiennent un sous-groupe donnC de la forme .c'=
xeim'j,
yl=
yei~O.
Nous distinguerons deux cas suivant que m = p (=
I),
ou m # p .
THEOREME XXVI. - Btant donne u n groupe clos de substitutions lintaires homogbnes complexes a deux variables, qui contient le souspoupe ( 2 , )~
.E'=
xeie,
yl= yei0
( 0 reel quelconque),
( ' 1 Chap. 111, 8 11. Voir, au paragraphe 7 , des propositions plus precises (theorkmes XXVIII XXX).
(2)
el
82
HENRI CARTAN.
on peut efectuer sur les variables une substitution 1intai1.e telle que le groupe transforme' rentre dans l'rlnp des cate'gol?bs snic.~antes: I " Groupes a u n paranletre : groupe rksultant de la conibinaiso~~ des substitutions ( 2 2 ) avec les substitutions d'un groupe de subslitutions unimodulaires en nombre fini. 2 O
Groupes a deuxparamttres :groupe des substitutions
Cventuellement combinCes avec la substitulion
30 Groupes u quatre paramktres : groupe dc toutes les sllhstitutions q u i laissent invariante la forme P o u r Ctablir le thCoritme XXVI, il suffit d e passel. e u revue les cas CnumCrCs a u thhorhme XXIII. Nous allons maintenant dCmontrer le thkorkme suivant :
xs+ yy.
T H E O R XX ~ MVII. E
Tout groupe clos cle substitutions lineailrs honaogtnes complexes d denx vvnrinbles, qui conlient rln solis-groiipc. donne' -
rentre dans l'une des cate'gories suivnntes: l o Groupes h unpal.ami.tre :groupe rCsultant de la combinaisoii des substitutions (23) avec celles d'un groupe
( n entier fixe, k entier quelconque), et eventuellement (mais seulement dans le cas oil m =- p ) avec une substitution d e la forme
[l'entier n est le mkme que dans la substitution (z(l)]. 20 Groupes a delixpnmmttres : groupe des sllbstitutions (25)
~'=.~,p yf=,
( aet
il,
reels c[uelconques),
LES F O K C T I 0 6 S D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
83
eventuellernent combinies avec une substitution de la forme
3" (Sculement dans le cas ou m = - p ) C;n)upes ci troispararnkres : groupe de sllbstitutions de la forme
((I). r.)',
p reels que!conques, R
> o fixe).
i.ventuellement, combinCes avec les substitutions d'un groupe de la fnrme (24). (;rorrpes ci quatreparami.tres : groupe de la forme .,
1'1.
(,I.
,L.et(O+w) cosy - ~ ~ . ~ l ( o * sin w ' )
(Y 1
w ' , q reels
quelconques, R
> o lixe).
Pour Ctablir le thiorkme XXVII, reprenons la demonstr*ation du thCorkme XXII1. Soit AX;+
~ ~ y + C s y + ~ ~ ~
la forme d'Hermite invariante par les substitutions du groupe considCre G. Comme G contient les substitutions (23), on a C = o. Effectuons le changement de variables
+
Le groupe transform6 G' laisse invariante la forme X x Yy. NQUS avons vu qu'i toute substitution (S) de G' on peut associer deux substitutions iinimodulaires, dont les coefficients sont opposCs, en multipliant la substitution (S) successivement par deux substitutions de la forme ( 2 2 ) . I;es substitutions obtenues forment un groupe clos I? et nous avons Ctudii: toutes les formes que peut avoir I?, en nous servant des groupes clos de rotations de la sphkre. Mais ici, comme G' con-
$4
H E N R I CARTAN.
tient les substitu~ioi~s (d),
r contient toutes les substitutior~s
i26)
)('=XeiW
>
Y'=Ye-iW
( oreel quelconque).
Deux cas seulement sont possibles :
- ou
contient toutes les substitutions unimodulaires qui bien conservent la forme X x Y P ; - ou bien I? se compose des substitutions (26), Cventuellement combinCes avec la substitution
+
Examinons ces deux cas. Premier cas : I? contient toutes les substitutions unirr~odulairesqui conservent XX Y y . . S i m + p # 0, G' conlient une infinit6 de substitutions de determinant dilferent de nn [les subslilulions (23)]. Donc, a la substitution identique du groupe I? correspondent dans G' line infinite de substitutions de la forme (22). Mais alors G' contient toutes les substitutions (22); I? est donc un sous-groupe de G', et G' n'est autre que le groupe de toutes les substitutions qui conservent X x YY. S i m + p = 0, ou bien G' contient une infinit6 de substitutions(zz), et l'on retombe alors sur le cas prCcCdent, ou bien G' n'en contient qu'un nombre fini, et rksulte alors de la combinaison des substitutions de I? avec celles d'un groupe ( I )
+
+
Deuxi&me cas: I? se compose des substitutions (26), Cventuellement combinees avec la substitution (27). Supposons d'abord que G'contienne une infinite de substitutions de la forme (22). Alors G' les contient toutes; I? est donc un sous-groupe de G'. On voit que G'se compose, dans ce cas, de toutes les substitutions Xi= Xeia, Y ' z Yeip ( a e t P reels), ( ' ) Pour le dCtail du raisonnement, se reporter a la demonstration du theoreme XXIll.
LES FONCTIONS D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
Cventuellenlent combinties avec la substitution
I1 reste a examiner le cas ob G' ne contient qu'un nombre fini de substitutions de la forme (22). Alors elles sont toutes de la forme (28). Supposons d'abord que J? ne contienne pas la substitution (27); alors G' rCsulte de la combinaison des substitutions
et des substitutions (28). Supposons maintenan1 que 1' contienne la substitution ( 2 7 ) ; alors G' contient une substitution de la forme \ 30)
X1= Yeia,
Y/=-
Xeia ;
en la combinant plusieurs fois avec la substitution (29), on voit sans peine que G' contient les substitutions X1= Xelln+p)b,
Y 1 = l'eim+p10
( 0 reel quelconque) ;
on a done forcenient nt -I- p = o. G' comprend alors toules les substilutions (26) combinkes avec les substitutions (28), et en outre contient toutes les substitutions de la forme
ou l'entier n et le nombre reel cc sont fixes, tandis que l'entier k et le riombre reel o sont arbitraires. Si l'on Ccrit que le carrC d'une telle substitution appartient encore a G', on trouve que ces substitutions
peuverlt s'Ccrire de la facon suivante :
En rCsum6, les substitulions de G ' s'obtiennent toutes par la comhinaison des substitutions (26) et (28) avec la substitution
11 suffit de revenir du groupe G' au- groupe G , des variables X, Y aux variables x, y, et de poser = K, pour obtenir le th60reme XXVlI.
86
HBNRI CARTAN.
7. A P P ~ ~ I C AAUX T I OT RNA X S F O R M A T ~ O N SDES
( ~ n , p )CERCLBS. Dans tout ce paragraphe, il ne s'agit que de domaines non rami/&!s a l'origine . DOMAINES
T H E O RXXVIII ~ M E ('). - S i u n domaine cercl.4 borne D n'wtpas transformt d'un domaine de Reinhardt par rtne afJinitt analytiqur, le groupe des transformations analytiques de D en lui-mlrne, qui hissent j x e le centre, rksr~ltede In combinnison des substitutions rf=re'0,
?'=)eli)
avec les substitutions d ' u n groupe de ssr~bstitutions lin.4uit.e~unitr~oduZaires en nombrz Jini (groupe qui se reduit, en gknCra1, B la transformation identique). En effet, les transformations cherchdes sont lindaires (Chap. 11, thborkme V I ) ; il suffit de leur appliquer le tl~dorkmeXXVI.
T H E O RXXIX ~ M E (7. - S i u n domaine de Reinhardt borne' D n'apas la forme
t o u t ~ sles transformations de D en Iui-m&me,qui Ilissrnt /i&e ont In forirte .XI=
.7:cia,
/ P C P I I /I*,,
,
ye'?
En etfet, les transformations cherchdes son1 linkaires (tlikoritrne \-I ). Elles t'orn~entun groupe clos (; qui c o r ~ ~ i ele n tsolls-groupe
et auquel on peut donc appliquer le tlldoritme XXVll. .Ainsi G depelrd de deux ou quatre paramittres. S i G ddpend dc quatre paramktres, et La demonstration de ce thlorGlne, colnlne ccllc
(I)
1111
s ~ i i \ i ~ r ne r ~ ,i 1 i p 1 ~ ~ '
pas connus les resultats genCrau1 Cnoncls au theoreltie \ Y \ . (9 Ce thCorelne a deja etC itahli par. \ I . Heinhn~.tlt (lo,.. domaines de Reinhardt conFre\r..
(tit. 1
[)OIII.
It..
I,ES
FOIVCTIOKS DE DEUX V A R I A B L E S
COMPLEXES.
87
D contient le point x =xu,y = o, il contient tnus les points x,y tels que ) x i 2 +R2/ .yj2s1z0i2; si Ic domailie
D aurait donc la forme (3 I ). Donc G depend de deux paramktres. Le theoritme est Ctabli. HEMARQUE. - Pour qu'un domaine de Reinhardt D puisse se reprkscnter hypersphtre Z de rayon jini, il faut et il su$t qu'il ait la forme (31). L a condition est Cvidemment suffisante. Elle est nkcessaire; soit, cn effet, xu,y, le point de Z qui correspond au centre de D ; on peut transformer ?: en elle-m&mede rnanihre a amener x,, yo au centre de 1;. Or Z est bornee; donc D est born6 (theoritme VII); si D n'avait pas la forme (31), les transformations de Z en elle-mCme, laissant fixe le centre, ne dkpendraient que de deux param6tres (thkorkme prCcCdent), ce qui est absurde. c. Q . F. D. ~111. ltne
T H E O RXXX. ~ M E - Si un domaine ( m , p ) cercle' borne' D (m #p) ne peut pus se repre'senter sur un domaine de Reinhardt dans une transforrnation qui lclisse j x e Z'orisine, il n'ndmet pas d'autres transformations en lti..mt?me, laissant j x c l'origine, qzte les substitutions
c'cyentuellement combinees ncvccclrs substitutions, en nombre j n i , de la forme "ic kK ? ir e ' + . .. . 7.e n t .. . ( n fixe, k variable), ~t peut-&tre aussi (mais seulement dans le cas oil m = - p ) s~ib.rti~/ition de In forme
avec une
En effe~,dire que D ne peut pas se representer sur un domaine de Keinhardt dans une transformation qui laisse fixe l'origine, c'est dire (thkorkme XXV) que lea transformations de D en lui-mCme, qui laissent fixe l'origine, dCpendent d'un seul paramktre. I1 suffit alors de leur appliquer le theoreme XXVII. c. Q. F. D.
88
H E N R I CAHTAX.
Corollaire. - En tenant compte des resultats du Chapitre 111, on voit que : "+-'I
)+I
S i m p > o ( m # p ) , les transformations d'un domaine ( m , p ) cercl6 born6 D en lui-mcme, qui laissent fixe le centre, ont la forme I"
a moins que 1)ne soit un domaine de Reinhardt. 2" Les transformations d'un domaine semi-cerclC born6 D en luirn&me,qui laissent fixe l'origine, ont toutes la forme
sauf peut-Ctre dans le cas ou D peut se reprksenter sur un domaine de Reinhardt avec conservation de l'origine. 30 Les transformations d'un domaine inversemen1 cercle born4 D en lui-meme, qui laissent fixe le centre, ont la forme
=
(
y l z y g(xy),
ou la Eorme .c1=y f; (-q,): y l = xbOl(zy), sauf peut-&re dans le cas oli D peut se representer sur un domaine de Reinhardt avec conservation de l'origine.
4" S i mp < o ( m > o , p = -pl,
rn #pl), les transformations d'un domaine ( m , p ) cercle born6 D en l u i - m h e , qui laissent fixe le centre, ont toutes la forme
sauf peut-&tredar~sle cas oil D peut se reprksenter sur un domaine de Fieintlardt, avec conservation de l'origine. Pour trouver la forme des transformations d'un domaine ( m , p ) cc.rclC borne D en lui-rnbrne, qui laissent fixe l'origine, dans le cas oil D peut se reprbsenter sur un dornaine de Reinhardt, il suffit de combiner les rbsultats du Cllapitre 111 avec le thCor6me XXIX. Nous laissons ce soin au lecleur.
LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.
89 T H ~ O RXXXI. ~ M E - Si un domaine ( m , p ) cerclt borne D peut se transformer en un domaine (m',pl) cerclt! D', l'origine restantjixe, et si l'on a mp1-pm'f o, alors D peut se transformer en un domuine de Reinhardt (l'origine restantjixe), sauf peut-ktresi, mm' -ppl itant nul, la transformation a la forme Y = al.c i-. . . X = / I ~ T + . . ., Nous pouvons supposer m #p et m'#pl; nous avons vu en effet (Chap. 111) que si un domaine ( m , p ) cerclk peut se reprksenter sur un domaine cerclk (l'un au moins des deux domaines ktant bornk), il peut se reprksenter sur un dornaine de Reinhardt ( ' ). Cela posk, soit
la transformation envisagke. Le domaine D admet les transformations suivantes en lui-mCme : y(xl, y') =elm'ey(x,y ) , + ( x l , y') = eip'O+(x, y ); ces transformations ont la forme
Supposons que D ne puisse pas Ctre reprCsent6 sur un domaine de Reinhardt, dans une transformation laissant fixe l'origine. Alors on peut appliquer le thkoreme XXX aux transformations de D en luim6me. On doit donc avoir, quel que soit 6 : ou bien
ablei!n'O
ou bien aa~(eiP'O
(1)
- ha'eip'o
= ableil~'O- ba'eiln'e = 0,
- ei~n'O) = bb'(ei'n'O - a l ~ ' o)
= 0.
Bien entendu, il s'agit toujours uniquement de transformations laissant
fixe I'origine.
HENHI CAHTAB 90 Dans le premier cas, on aurait ( I / ) ' = but== o , ce qui e s l i ~ ~ ~ ~ ) o s s i L (ab' - ba' # 0). On a doric
aal= bb':
o.
ce qui est possible de deux f a ~ o n s:
Dans le premier cas, le domaine D admvt des I ransforrttatio~~s err Inirneme, de la forme
et, comme il est ( r n , p ) cerclb ( m p l - pm' mations
# o), il admet des
transfor-
D'aprGs le thborkme XXV, il pourrait se repr6sent.er sur un dornai~ie de Reinhardt. Dans le deuxikme cas, D admet des transformations en lui-~nk~rte,
s'il ne peut pas se reprbsenter sur un domaine de K e i ~ ~ h a r don t : a forckment I ) L I I / 'f1pIr-Z 0. --
Le thborkme XXXI est ktabli.
T H E O R ~XXXII. M E - S i un domcline (111,~)cer.clP bornt; D(tn # y ) ne peut pas se transformer en u n domcline de Reinhardt, l7o?.iginc. restant j x e , route transformation de D en n n autl-e domuine ( m ,p ) cercle', qui laisse J x e l'origine, a l'une dcs .forrncs suivnntes :
(I)b a n s ce cas, llhypothese rle I'enonce se 1.Prl11ita la 5rlivnntc. : D n'vst pat un domaine de Reinharat.
1.ES
2') A;
VON(:TIOKS
D E L)EUX V A R I A B L E S
COMPLEXES.
11 PSI .sf~l~l;-cf~l~c/k,
3" Si D est inverserr~enlcercli,
1il
~ransfo~.mation envisagke. D'apr6s la dkmonstration du thCoreme
mais la seconde 6ventlralitC n'est possible que si m + p = o. I1 n'y a plus alors qu'a tenir compte des rksultats d u Chapitre 111 pour obtenir le r hkor6me XXXlI.
,x S XI[[. - Soit D rtn clomnine de Reinhurdt bornC qui n'a
'~IIEOR~MI.:
pcis In Jor.rne
'lbrlre 11.c1n.~ forrrzcltion qui laisse fixe I'origine et qui fepresente D srlr un clornc~ij~c: ( m ,p ) cercli A ( m # p ) a la f orme Y = ~ T - + .. . ,
ou la forme \
Soi t, en elluc>t,
=bj,i
.. .
.
y - 6' y t . . . 1
-
a'.c + . . . .
la trarlsfor~ilatio~h envisagke. En raisonnant conlme pour le thCorkme XYXI, on voit que D admet des transformations en lui-m&me
de la forine (32) (OU l'on remplacerait m' et p' respectivenlent par m et p). En vertu du thCor6me XXIX, on conclut nu1= bbl-
d
0.
D'ou le prksent thCorkme.
c.
Q. F. D.
S i u n domaine de Reinhardt bornt D n'a pas la forme (31), toute transformation de D en u n clutre domaine de Reinhardt, qui laisse Jixe l'origine, a la forme I"
X=ax,
ou la forme
X =bj,,
Y=bly
Y = al.r
('1.
En effet, le thCor&me prkckdent et le thCorkme VI s'appliquent. C. Q . F. D .
S i u n domaine de Reinhardt born6 D n'a pas la forme ( 3 I ) , tolcte trnnsformation de D en u n autre domaine de Reinhardt A 2"
x =f ( x ) ,
(35)
Y =?,g(x)
Posons, en effet, x-X,=X',
Y-Y';
le domaine A devient un domaine A' semi-cerclk. Le thCorkme XXXIII s'applique a la t.ransformation de D en A'. I1 suffit alors de se servir du theorkme XII, relatif aux transformations des domaines c. Q. F . D. semi-cercles . Nous avons la une proposition qui peut servir de point de ddpart -
(l)
-
M . Reinhardt a donne cet enonce dans le cas des domaines convexes.
LES FONCTIONS D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.
93 pour la recherche d c toutes les transformations d'un domaine de Reinhardt born6 en lui-m&me('). 30 Le thCor6me XXXIII, combin6 avec les rCsultats du Chapitre 111, permet de determiner la forme la plus gCn6rale de la transfornlation d'un domaine ( m , p ) cerclC en un domaine (m', p') cerclC (l'origine restant fixe) lorsqu'ils peuvent se reprbsenter sur un domaine de Reinhardt (l'origine restant fixe).
LES
DOMAINES
MAXIMA.
O n gait que, Ctant donnC un domaine dans l'espace des deux variables complexes x et y, il n'est pas toujours possible de construire une fonction f ( x , y ) holomorplle dans ce domaine et non prolongeable au delh. Nous dirons qii'un domaine D est maximum s'il existe au moins une fonction f(x, y ) tiolomorphe dans D et non prolongeable au deli.
4 . LES DOMAINES
- NOUS avons vu (Chap. 11, th6ork1ne 11), que toute fonctiou f(x,y ) , holomorphe dans un domaine cerclC D non ramifiC B l'origine, admet un dkveloppement en s6rie de polynomes homogknes C E R C L ~ S MAXIMA.
uniformCmen t convergent au voisinage de tout point intkrieur h D. ( I ) hI. Behnke m'ecrit ( a n mai 1930) que &I. l'hullen tient cle ~+soudrecon)pleternent cette cluestion. D'apres M . Thullen, seuls, parlni Ics dol~iair~rc tit, Hcinhardt horn&, les tlomnines
admettent des transformations eu ens-n161nesq u i rle lailsrnt p a s fiw lc crnlre, et ces transfor.mations sont hie11 fat-iles itrollrrer.
..r!lqt:l? y anSuo1 sn1tI aJl,j e a aur,!.ro?rll np oll.retl a,r?!ura.rd erl .aar~aS.raauo:, ap 1 ~ 0 a[~!t?mop 1 ,)IUWO:, v I I I ~ ~ I I U I1au1pe ~ ~ I A!11b ? ( X L x ) " c ~~{~~ a w a d -tiola.iap un ap?ssod (X'x)[ '.?lap nv a ~ q e a S [ ~ o l o .[rorr ~ t I 1,) v srrep aqd,romo~oquo!l:,uoj nrrn (X'x)J ~!osla 'runru!xe~u?~n,ra:,arr!emop un y l!os : Iuarrrale!p?lrrrlr! a.rllrorrr9p as ?:,(ror1;)~1a p ~!I.Ic(Iapuo:,as er1
'?1!01? 913.1a3 au!etuop url luammap!a? Isa v a:,ua2.1aauo:, ap au!emop a 7 -v Jnarqlu! ~u!od 1no1 ap aSeulsroa . . ne ,)rrr~ojrun~ s a:,ua2aaauo:, a el a n b a~!p ~sa,:,'am~oj!un a:,ua%~a~uo:,ap aulemop un Isa v anb a J r a .aS~aauo:,a u ? s eT 'su!s!oa slu!od saT snol ua 16 O,C lu!od nr? 'anb'sIal OX' O X slulod sap aIqmas -U"I L u ~ ! l ! ~ g ? p~ e dllsa aaua2naauo:, ap IeIol aureruop a1 '?:,uou? ,133 s u e a . a w ~ o J z u ~a3ua3.1anuoa ~ ay au?owop u11 Isa'3 za L ~ n a ? ~ ? z u ? zlos v [email protected]'l 1u+zuo3 v ama3,lanuon 3p lo102 au?uwop a] Lau!nwop un'y szu?odsal snoz ua a 3 ~ a , , u o(~X L x ) " d ~ a t q s v] ?S : I U R A ! ~ S am+ -o?rll neaq a, ?.~~uouu?p e (,) s 2 o l ~ e g. j q .u sap ap luela (,XLx)",l
sau?3omoq saurouiC10d ap a r q s aun .z.lo1.16 . v snou-suouuoa .sed IrJjns au qa:, anb J!OA suoIIe s n o x *?pol? a.1~3z?op 'WIIW.IXVUI a.11~m o d '?p.laa auzvwop u ~ i ' n baqns?J ua 11 I U L ' U ~ ~ U O : ,?~!ol? 3 p ~ a : , au!emop i q a d snld a1 suep a q d ~ o m o ~ oisa q ( , X L x ) / a n b la '([v]u o ! ~ - u a a n o ~ )luaIea!un luamaJ!essaD?u Isa a arlb p p a p suoae ua snoN
LES FOSCTIONS DE DEUX VARIABLES
COMPLEXES.
35
Soient LY,,(.c, y ) une serie de polynomes homogbnes, et A son domaine total de convergence. Nous voulons montrer que A est maximum. Soit A , , A,, . . . , .4,,, . . . une suite de nombres positifs croissants qui augmentent indefiniment, et soit q , , qs, . . ., rip, . . . une suite de nombres positifs decroissants qui tendei~tvers zero. Soit Ep l'ensemble des points (z, y ) en lesquels on a , quel que soit n, el soit A; le do~rlai~lc forme des points interieurs a El. Prenons les homothktiques E, et A, de E;, et A',,par rapport a l'origine dans le rapport I - q,,;l'ensernble El, est l'ensemble des points (x,y ) en lesquels on a , quel que soit n,,
1 plL(, x. j,) < A/,(1 - vl,
)I1,
et A , est le domaine form6 des points interieurs a E,. 'rout point de A , est evidernment interieur a A. R b c i p ~ o ~ u e m e n t , tout point x u ,yo de A est interieur a A, s i p est assez grand. En effet, la sirrie EP,,(x, Y ) converge u n i f o r m h e n t au voisinage de x,, y o ; donc I P,,(x, Y )/ admet une borne supbrieure independante de n et d u point x,y voisin de x,,,j r u . Prenons un entier q assez grand pour que A,, soil supkrieur a cette borne; alors le point x,,, yo est intkrieur it A:,, et, par suite, le point x = kx,, y = ky, appartient A;, quel que soit k suffisamrnent voisin de un. Choisissons p(p 2q ) assez grand pour que le point
a p p a r t i e ~ ~ nd eA;; il appartiendra a fortiori a A;; d o n c ~ z , ,yo apparc. Q . F . D. tient a A,. Ainsi, le clomai~~e A se presente comme limite d'one suite infinie de cloinaines fermcs A,,, complktement intbrieurs A A, et dont chacun contierlt le precedent. Je dis que le domaine A jouit de la proprikte suivante, que j'appellerai (( proprihtk [PI dans la suite de cette etude : ))
PropriPti [PI : Un domaine A jouit de la proprietk [PI si, ktant donnke m e suite infinie quelconque de regions L , , . . . , T p , . . . , interielires h A ct n'ayant aucnn point d'accumulation intkrieur a A, on
96
HENRI CARTAN.
peut former une fonction f ( x , y), holomol*plie d a m A, qui s'annule en un point au moins de chacune des regioos S,.
I1 est clair que tout domaine qui jouit de la propri6tC [ P I est maximum; en effet, il suffit de prendre urie suite infinie de rCgions s'accumulant au voisinage de tout point frontikre dl1 domaine consider6 ( I ) . En outre, tout transform6 analytique d'un domaine qui jouit de la propriCtC [PI jouit aussi de cette propriCtC, et, en particulier, est maximum. Revenons alors ail domaine total de convergence A de la sCrie XPn(s,y ) et aux domaines A, prCcCdemment dCfinis. ~ t a n donnCe t la suite des rdgions X,,, je puis associer A chaque Z, un domaine A,l tel que 3, soit extdrieure A A,,, et cela de facon que p' augmente indCfiniment avec p. P o u r la coinmotlitC du langage, nous pouvons supposer pl=p. Cela posd, il existe Cvidemment dans 2, un poinl x,,y,, qui n'appartient pas a Ep (car si tous les points de XI, appartenaient h E,, ils appartiendraient A A,). Puisque x , , y,, n'appartient pas B R,, il existe une valeur n, de n pour laquelle on a alors que, dans A,, on a
1 P , L , , ( J~,~) l1 < .1/,(1
--7i/,)"l,.
J e pose P n P ( x ,Y.
= Q 1 , ( z l, I . ) .
pnp(xp, Y P )
On a Qp(xp, ~
et, dans A,, par suite, dans A,-,
1 1 )
I Q p i x .2.j I < 1 ;
, on a
Pour plus de details, le lecteur pourra se reporter a mon article intitule :
(I)
Les domaines d'existence rles for~ctions analytiques, qui parnitra t)ienti)t dans le Bulletin de la Soc. Math. de France.
LES FONCTIONS D E DEUX V A R I A B L E S COMPLEXES.
I1 reste a former un produit convergent f ( x ,1,)
(1)
r1
[I
- ()/,(.c!
J.)]~RP[~'.",
/,=I
R , ( x , y ) etant un polynome destine a assurer la convergence. Donnons-nous a cet effet une sCrie convergente CE,, a termes positifs; la sCrie -
(
I - Q1,)=Q1,+ ; ( Q / , ) ? + . . .
convergeant uniformkment dans A,,-, , on peut prendre un nombre suffisant de termes, de facon que le reste soit inferieur a E,, dans A,-, ; l'ensemble de ces premiers termes constitue un polynome R,(x,y), qui rend le produit ( I ) uniformCment convergent a u voisinage de tout point intCrieur h A. Ainsi, nous venons d e montrer q u e A jouit non seulement d e la propriete [PI, mais d'une propri4t6 que nous appellerons [I"]et qui peut s'enoncer ainsi : Propriktt: [I"] : Un domaine A jouit de la propriCtC [I-"] si, 6tant donnee une suite infinie quelconque d e rCgions I,,intkrieures a A, n'ayant aucun point d'accumulation intkrieur a A, on peut former une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans A, qui s'annule sur des variCtCs de l a forme
la varibte Q , = 1 contenant des points intCrieurs
a C,.
T H ~ O RXXXV. E D ~ ~- Torlt dornninc cerclk maximum jouit
la pro-
C~C
p/-ikte Y' ].
En effet, si A est cercle maximum, A est le domaine total d e convergence d'une certaine serie d e polynomes homog6nes et jouit, p a r conskquent, de la proprietC [P' I. COROLLAIRE. - Tout transfirmi e n a l y t i p e d'un domeine cercle ~ n a x i m u mest un rlonznine maximum. ? ' H E o I ~ ~ '\;X ~ I\ i~iI1E.
- I'OII~qu'un c/onz(~inczlnicwlent A , p i contient
- y x a a.r.?rlds.radi l l alrn ,I ss,loIel!os saurerrrop sap al!ur!l aururo:, ?.x?p!sno:, rssuu aJl? lnad r au!errrop a? -"'l,z-- I 1~odde.ra1 suap . ) U.I ~. ~ J O y ,Il ~ o d d e .led ~ '/Cl a p anb!l?qlouroqL1 110s -o.x?z sJah luaprIa7 la luassroJa?p !nb 'sjrlrsod .. saJqurou ap al!ns aun . . '"h '. . ‘I!, i ! o ~ .luap?2aCrda1 III~!IUO:, unaeq:, luop * - . ' ' ' ' ' saur.xaj sarrlerlrop a p a!urjrr! al!ns arln'p alrw!I ~urruo:, ?.x?p!suo:, a.113 lnad r . x .Irrnurlxem ~ Isa anb a!oA a.lrej a3sa.x 11 .?p.xa:, lsa v ~ s u y .uori~!pe.xlr~o:,aun a l!e.iaa!.x,ra 110 '111aci zasst? r ~ o i e. ~~p1,) " x q a.xlu;n a p a ~ ? y d s ~ a d i q sun y .~notl~ u e u a ~ lu:,~ d ."A'".r~ u y o da1 lueualuoa la 'V y .xnau?lur L U ?w.xaj y auiewop un .xaanoal lie.l.xnod .V y J n a r q x a ( I ( yl)O,iy .r.ylu!od a1 la ' y g .xna!.xyu! o/C'"X t,u!od a1 laua ua suosoddns . ? l r o ~ a
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"
? I , ) I J aun ~ ~
-1anb a.r,?yds.c,d,
,?un
la
'g p
als!xa
a.lna?.qj'xa
'y !) .rna?.l?~u? 'v anbuoqanb ? w . l a J
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un
l U n l ? ' ~ 1 1 1~ ~I / ~ ?11 I Sj'd l l l ~ 11 f ' ~ 1 7 1 ~ Id 1 ?13.113 1 ~ ~ j'?OS ~ '~U?.??JO~~
I,KS FOXCTIONS D E D E U X VARIABL-ES COMPLEXES.
99
rieurc k I ) , et telle clue 1'llomothCtique S, d e Xi p a r rapport a I'ori@ne, cl;ins le rapporl 1 -.I,, soit interieur-e a D. Nous pouvons choisir les hypersphkres XL dc faqon quc tout point frontikre d e A soit tin p o i n ~d'accumulation pour les S',, (ou, ce qlii revient au mCme, I I O U ~les X I , ) . D'apri.5 1'hypothPse faite sur A , on peut, a D', et Xb, atlacller un p o l y ~ ~ o llornogtne ~~le Q,,(x,y), d e degrb n,, tel que la variett!
iO1j(x.~)l=l soit exldricure a D;, el c o ~ ~ t i e r i ides ~ e points intCrieurs a Xi. Alors la
coilliendra des points intericurs a El,, e t l'on aura, dans D,,,
011porlrra donc, comme plus haut, former, a l'aide d'un produit corlvergcnt, une fonction f(x, y ) , holomorplle dans A, qui s'annule srlr rille infinilc' de variCtes admettant toulpoirlt frontikre de 4 comme point d'nccumulatioo. A est donc hicn maximum. +
C.
(2.
F. D.
COROI.I..\IRE. -Tout dornnine cerclk A , limite d'une suite injnie de ctonznin~.rc~rclksA,,, dont chacc~neast maximum et contient le prkckdent, cst hi-nzPme maxir~lum. En effet, soient A,, un domaine fermC. intkrieur a 4, et X une hypersphCre extkrieure h A ; A,, est intkrieur iA, s i p est assez grand. Donc il existe line vari6tC l Q ( . r ,y ) 1=1,
rxtkrieuro a A,, (et par suile a A , ) , et qui c o n t i e n ~des points d e 2 . C. Q . F. D .
I,es doinai~lescerclCs concexes, CtudiCs par M . CarathCodory, se preserltenl comme un cas par~iculierdes domaines cerclCs maxima : si, dans l'bnonce du theorhrnc XXX\ I, on assujettit le polynome homogkne Q ( z , y ) it t t r e d u premier degrk, on trouve la condition pour
LOO
IIESRI CARTAN.
qu'un domaine soil cerclk et conbexe. On sait par ailleurs que tout dolnainc convexe, cercle ou non, est masimiim. De m6111equ'il existe un plus petit domaiue cercle convexe contenant un domaine cerclb donn6, de m&rnc.il existe unpluspetit domaine cercle maximum contenan1 iln domai~iecercle donnC, ainsi que nous allons le voir maintenant. T~lionfillr~ XXXVI I.- l ~ t a n donne' t un dolllnine cerclk D, il existe un dnlnaine cercIe'moximr~mA , contcnnnt D l qui jouit de In propriezt sui('ante: toilt dolllnilte cerclk moxinl~rntcnntenont D contient A . P o u r la d k m o l ~ s t r a ~ i onous n , su1)poserons d'abord quc D est bornk. Nous nous appuierons alors sur la 1)roposition suivante :
THEORENE XXXVlII.
I ' o u ~qn'un domnine bornt D soit cerclt ~ttaximum,il faut et il $11 f j t que ce soit le dnnrnine commlln a des dnmnines de In f o u ) ~ -
L a condition est kvidemmcnt suflisante, car, si elle est remplie, les conditions d'application du tl~korerneX S X V I sont aussi remplies. I,a condition est ~iecessaire.Soit en efret l'(x, y) un polynome homogene quelconc~uede degre quelconque; si le nonlhre positif u est assez grand, la variktk
1 l ' ( ~ ,y )
est tout entiere exthrieure a D, puisquc D est bornk. Soit b la borne inferieure des valeurs de o pour lesqnelles il en est ainsi. La varietC
n'a pas de points inthrieurs A D, et contient au moins un point frontiiire de D . Faisons de m&me pour tous les 1)olynomes homogenes de tous les degrks, et co~lsidkrons le domaine A comnlun B tous les domaines tels que
1 l'(,r. , y ) 1 < b.
A contient kvidemmen t D. .le dis qrle A est iden tique i D. Supposons
LES FOKCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
101
en efi'et qu'il existe une hypersphere 2 intCrieure i A et extkrieiire a D. Soit k un nombre positif plils petit que un,mais assez voisin de un pour que l'homothktique Z' de l: par rapport a l'origine, dans le rapdans port k, soit encore exterieure h D ; soit D' l'homothktique de la mCme homothktie. D'apr&s le thCoritme NXXVI, il existe une variCtC
I Q(z,v )l = ~ ,
extdrieure a D', qui contient des points de Z'. Soit n le degrC de Q. Alors le domaine
ii
QI.~..Y)I<
contient D et ne contient pas tous les points cle 2 , donc ne contient pas tous les points de A. Ceci est en contradiction avec la facon dont (:. 0. I:. D. on a dCfini A. Passons a la d6monstra~iondu thCor6me SXXVII pour un domaine cerclC born6 D. Pour chaque polynome homog6ne P (x,y), definissons; comme plus haut, une variCtk 1 P (x, y) 1 = b qui n'a pas de points intCrieurs h D , et qui contient au moins un point Sronti(trede D. Soi t A le domaine commun a tous les domaines
A contient D et est cerclk maximum. Soit alors A' un domaine maximum contenant D. On voit sans peine que tout point de A appartient h A'; car s'il n'en Ctait pas ainsi, on appliquerait le thCor4me XXXVI et I'on arriverait a une contradiction. Le thCor6me XYXVII est donc dCmontrC si D est born&. Remarquons que A est borne. S i le domaine D n'est pas hornC, on le considlare comme limite d'une suite infinie de domaines cerclCs ho~mksI ) , , . . . , Dl,, . . . , dont chacun contient lc pr&cCden~.Soit alors A,, le plus petit domaine cerclC maximum contenant D,,. Les domaines A,, sont bornes, et chacun d'eux contient le prCcCdent ; l'ensemble de tous ces domaines constituc un domaine A, qui esL cerclC et maximum (corollaire du thCorGme XXXVI) et qui contient D. Tout dornaine maximum A', contenant D, contient Dl,, donc A,,, quel q ~ l esoit p , donc A. C.
0 , F. I).
102
I I E N R I CAHTAN.
THEOREME XXXIX. - Si une fonction f ( x , y ) est ilolomorphe clans un dornaine cerclt D, elle est holomorphe dans le plris pelit domaine cerclt! maximum A contenant D . En eflet, on a dans D m
et le domaine de convergence de la sCrie est nn domaine cerclC maximum qui contient D, donc contient A. c . Q . F. D . Corollaires. - 10 S i f ( x , y ) est mCromorphe ct ne prend pas la valeur n dans D, elle est mdromorphe et ne prend pas la valeur a dans A. 20 Tout domaine maximum, cerclC ou non, qui coiltient D , contient A.
THEOREME XL. - ,Ti un domaine cerclP D est mnximum nu sen.v large, il est maximum ( ' ). Nous dirons qu'un domaine cercl6 D esl maximum au sens large si, Ctant donnC un point frontikre quelconque x,, y, de D , il existe uile fonction f (x, y), holomorphe dans D , et non holomorphe en x,, yo. Soient alors D un domaine cerclk, 111aximum an sens large, 1 le plus petit domaine cerclC maximum contenant D. l'our montrer que A est identique a D , je vais morltrer que tout point frontikre de D est un point frontikre de A. O r , soient x,, y,, un point frontihre dc D, et f ( x 7 y ) une fonction holomorphe dans D et non holomorphe en xo,yo; comme f (x, y ) est holomorphe dans A, le point x,,,y,, est c. Q. F. I). un point frontikre de A.
9 . LES DOMAINES D E REINIIARDT M A X I M A . - La tl~Corie 1)rCcCdente s'applique, avec quelques simplifications, ails domaines de Reinhardt maxima. Cette fois, ce sont les s h i e s doubles de Taylor qui jouent un ( 1 ) hI. BRHNKE ( i l b h .Math. Semilzor. 1lrrmbctl.g. U t ~ i o .\I., 3, I g a ; , p. :q0-312) a etabli un theoreme u n yell plus generi~l,mais en f i ~ i s i ~ nIlne t I~ypothkserestrictive sur la nature de?;ftmntikres.
I,ES
F O N C T I O N S D E D E U X V A R ~ A B L E SC O M P L E X E S .
103
rble orimordial. J e voutlrais montrer comment l'on retrouve ainsi certaines propriktbs tle ces s h i e s , notalnmerit en ce qui concerne les rayons de convcrgcnce associ4s. Voici brii.vernerit la suite du raisonncment. Le domaine toti11d(. convergence d'urle sGrie
est un domainede lleinllardt complet, et c'est un domaine de convergence oniforme. 1)onc tout domaine tle T3eintrardt maximum est complet. Mais ce n'est pas tori[.
THLOIIEME NXSI17 bis. - Le domtrine total de conoe?gence d'une sPrie tlouble de l'crylor est u n domaine de I(ein/~ardtmaximurn; rdciroquement, tout domuine cle Il(einhardt maximum est le domaine total tle convergence d'rrnr certainc serie tic Taylor. Talionkni~\IXX\,- his. - 7brrt dontninr de Reinhardt maximum jouit de lt1 proprzkte Prf1. f'rt,przi;tt I"' ( : un clon~aineA jouit de la propri6tC [P"] si, Ctant donnCe une suite infirlie qr~elcorlquede rkgions TI,intkrieures A A, n'ayant aucun point d'iiccumulatio~iintkrieur B A, on peut former une fonction ,J'(x,y ) , Iio1omorl)he dans A, qui s'annule sur des variCtCs IT,, de la for~tlc . I . ~ ~ ' P Y "a,, IJ=
IZ,,?
(t1/,,2 0,
o),
la varidt6 \',,contenant des points interieurs a Z,,. T H E O R ~XYX1-1 ME his. - Pour qn'un clonzaine unicsalent A soit u n domnirle cle Reinltnrdt utaxi/nun/, il faut et il sirf j t quc, ttant donnds rrn domaine f e ~ n i eqlrelconque A,, intkrieur a A, et ~rneitypersphkre quelconqrle S ezthirure a A, il exi-ste rlne variete
exttrielrrr ci A,,, et clyn nt des points intbieurs a 2.
On peul donner B cette condition la forme sirnple suivante.
1°4
H E N R I CARTAN.
Posons k=loglx(,
~ ] = 1 0 gyl.
Un domaine de Reinhardt D a pour image un domaine I du plan 5, q , domaine qui contient le voisinage de 5 = q = - m. Aukenlent dit, il existe un nombre rCel A , tel que la rdgion
appartienne h 1. Cela posC, pour que D soit maximum, il faut et il s u p t que le domaine 1 soit concyexe. Nous retrouvons le thCorhme de Fabry-Faber-Hartogs, qui concerne la forme de la relation R, = p(R,) existant entre les rayons de convergence associCs d'une sCrie double de Taylor. Gtant donnes un domaine de Reinhardt quelconque D, et son image I dans le plan E, q , le plus petit domaine convexe contenant I dC finit le plus petit domaine de Reinhardt muxi~tzumA contenant D .
THEORBME XXXIX bis. - Si une fonction f (x,y) est holomorphe dans un domaine de Reinhardt D , elle est holomorphe dans le plus petit domaine de Reinhardt maximitnz A contenant D. Corollaires. - lo Si f ( x , y ) ne prend pas la valeur a dans D, f ( x , y ) ne prend pas la valeur a dans A. 2 O Tout domaine maximum contenant D contient A. En particulier, le plus petit domaine cerclt! maximum contenant D n'est autre que A . Prenons une serie de polynomes homoghnes
la sCrie de Taylor obtenue en s6parant les dinkrents termes des polynomes. Soient D et A les domaines respectifs de convergence des series ( 2 ) et (3); D est cerclC maximum, A est un domaine de Reinhardt maximum ; A est Cvidemment int6rieur h D. Je dis que A est le plus
105
LES FONCTIOSS D E D E U X VARIABLES C O M P L E X E S .
grand domaine de Reinhardt inscrit dans D. En effet, supposons qu'il existe un domaine de Keinhardt A', contenant A et interieur A D ; puisque f ( x , y ) est holomorpl-ie dans A', le dkveloppement ( 3 ) converge dans A' (Chap. 11, thCorime ITI) ; donc A' est identique k A. c. Q . F. n. On dCduit de la que leplus grand domaine de Reinhnrdt insorit dans iln domaine cerclt maximum est lui-mdme mnzimrlrn. Signalons enfin que la thCorie exposke au paragraphe 1 s'ktend aux domaines (m, p) cerclCs (mp o), a condition de remplacer la consideration des polynomes I-iomogknespar celle des polynomes qui sont a la fois des polynomes entiers en z et Y et des polynomes Iromogknes
>
-I J."' e t
en
I
yY.
3. DOMAINES SEMI-CERCLES RIAXIMA; I)OMAINES ISVERSEPENT
CERCLES MAXIMA.
-
Les methodes cxposCes plus l ~ a u ts'appliquent avec quelques modifications a ]'etude des domaines semi-cercles maxima, ou inversement cerclks maxima. Bornons-nous: faute de place, a Cnoncer les m
principaux rksultats. Les sCries
Zyflf,(x) ont d'ailleurs fait l'objet
nzo
d'importants travaux de M. Hartogs (' ). Le thkorhme XXXIV reste vrai si l'on remplace, dans son CnoncC, m
((
cerclC )) par a semi-cerclk
a,
et
a
2 P,,
xynf,, 9
(1, y)x
0
par n
( x ) a.
0
O n voit aussi que tout domaine semi-cerclC maximum (9jouit de la propriktk [ P 1. fitant donne un domaine semi-cerclC D, de projection d sur le plan x, il existe toujours un plus petit domaine semi-cercl6 niaximum A, contenant D, qui a m&me projection (/ sur le plan x ; toute fonction I-iolomorphe dans D est holomorphe dans A. Le plus petit domaine semi-cerclC maximum contenant un domaine de Reinhardt donnC, est lui-m&me un domaine de Keinhardt. Le plus grand domaine de Reinhardt inscrit dans un domaine semi-cerclk maximum est lui-mitme maximum. ( I )
(')
Loc. rit. (voir. Clla11. 11, § 2 du present travail j. 'rout domnine seini-cerclr maximum esl coil11)let.
Les domaines inversemen t cerclds, e t, plus gCnCralement, les domaines (m, p) cercles (mp o ) posskdent des propriktks analogues.
<
4. APPLICATION AUX DOMAINES I I O R N I ~ SQUI ADDIE'I'TESTIJNE I N P I S I T E IN
TRANS-
- S0it D Un tel domaine. O n peut le reprksenter sur un domaine ( n ~p) , cerclC U' (Chap. IV). P o u r fixer les idees, supposons D' cerclC. Soient
FORMATIONS EN E U X - M ~ M E SLAlSSANT FIXE O N POINT INTERIEUR.
(4
.r'=
f ( J .y).
y f = :r(.r, Y )
les Cquationsde la transformation de D en D', et soicnt x =I
(5)
y = G ( .r'. y')
,)
les dquations de la transformation inverse. F(x1,y') et G (x', y') sont holomorphes et bornCes dans Dl; elles sont donc holomorphes et bornkes ( I ) dans 'A', plus petit domaine cerclC maximum contenant D' ( theori.me XXXIX ). La transformatransforme A' en un domaine A contenant D . hfais cette transtion (5) . . formation respecte-t-elle la convention [R]-1 Bornons-nous alors au cas ori D n'est pas ramifie'. Dans ce cas, la fonction [ L ( . T / , y') D ( x ' , y') = D(F7
-
ne s'annule pas dans D'; donc elle ne s'annule pas dans A', et la convention [ B ] est certainement respectee. E n outre, le dornairle A n'est pas ramifiC. Quant aux fonctions f(x, y ) et g(x,y ) , elles sont holomorphes dans A, qu'elles transforment en A'. Soit maintenant y (x, y) une fonction qilelconque l~olomorpl~e dans D ; je dis qu'elle est holomorphe dans A. En effet, supposons qne le point x', y' appartienne El', et posons
@(XI,
y'), qui est holomorphe dans Dl, ?st I~olomorphedans A'. La
( I ) C a r si F ( z l , JJ') n e p r e n d d a n s D' illlcune \ ; ~ l e ~ tle~ rntotlulr plus - I . , I I ) ~ ~ q u e RI, e l l e rle i)l,end d a n i A' a u c u n e tie c e s valet~t.. ( c v ~ ~ o l l n i(111 ~ x t~t r c o ~ . t ~ t ~ l e
XXXlX).
LES FOKCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
"'7
est donc holomorphe dans A, e t comme elle co'incide avec ~ ( xy ,) dans le domaine D, la proposition est Ctablie. J e dis enfin que A est un domaine maximum. E n effet, A est transform6 d'un domaine.cercl6 maximum A', et le corollaire d u thkorkme X Y Y i's'applique. Nous ohtenons ainsi le thCor4me : TllkonE~~~ X1,I. - Soit D un domaine borne' non r a m i j t qui admet une inlinitt de trunsf ors~lationsen Zui-rrkme, la issant j x e u n point intirieur. I1 existe 1112 domcline borne maximum A, non raml3t, qui contient D et jorlit de la proprikti siizunnte : toute fonction holomorphe dans D est aussi I~olo~norl~l~c~ dans A.
11 est probable que le tllCortme reste vrai si l'on supprime les mots non ranlifiC u. Nous dirons c~u'undomaine A non ram$& est maxznzum nu sens lnrge si, Ctant donnC un point frontikre quelconque x,, y,, de A, il existe une fonction J ' ( x , y ) holoinorpl~edans A et non holomorpl~e en X , , ) J ' u .
THEOREME YI,II. -,Yi 11n domainr born(;D non r a m i ' i ndmet une in$nit6 dc tron.~ f ornzations en b~i-mkrnelaissant k x e u n 'point intirieur, et .vJilest mtrximum czu srns large, il est maximum. En effet, il existe un plus petit domaine maximum A contenant D ; en raisonnanl comnlc pour le tl16orkme XI,, on montre que A cst itlentique a D.
5 . IJES DOMAINES MAJORABLES. - NOUSdirons qu'un domaine D est mnjornhle, s'il ~ ~ ' ( 'pas s t I ' I I ~ ~ J G ,et s'il existe iln domnine A, non ranzqiP, mczximut~lclu sens lnrge, qui contient D et jouit dc In proprie'tt .siiiclante : toute fonction f (x, y ) Iiolomo~phe dans D est aussi holomorphe dnn.r A. On voit sans peir~eque si un domaine A' jouit vis-A-vis de D de la n~ihmepropriCtC que A , A' est identique A A . L e domaine A sera dit associC au domaine TI. Tout tlomaine 111aximnm au sens large, et n fortiori tout domaine
rnaxirnum, esl Gvidemmen t majorable. Tout domaine ( m , p) cercle est majorable.
THF:OREME XIJIJ1. - Soirnt D un dornnine majorcfble, eb A le clomaine ussocie. Si tine transfo~~mntion c6)
r
f
,)
,1"=
,<(.L..
y)
transforme D en un domaine D' non ramlfit, D' est lui-mbrnc. majorable, et If domnine A' a.rsocit! a D' n'est nutre que le transforme de Apnr (6).
En effet, f ( x , y ) et g(x, y), Ctant holomorphes dans D, sont liolo~riorpl~es dans A. En outre, la fonctiori
qui est holomorphe et non nulle dans D, est holomorphe et non nulle dans A. La transformation ( 6 ) transforme donc A en un domaine non ramifiC A'. Soit (7)
x=F(s',y'),
y=G(s',yf)
la transformation inverse. I1 faut montrer : I O Q u e toute fonction p ( x l , y') holomorphe dans D'est holomorphe dans A'; 20 Q u e A' est maximum au sens large.
L e premier point s'Ctablit A l'aide d'une mCthode d6jh utilisCe pour le thCorhme XJA. P o u r montrer que A' est maximum au sens large, raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe un point frontihre xi, yb de A'jouissant de la propriCt6 suivante : toute fonction holomorphe dans A' est holomorphe en xi, y',. Alors F(x', y') et G(x1,y') seraient holomorphes en
xi, yi; en
outre ' D(.z1,y') D(F1 serait holornorphe et non nulle
en x:, y',,. 11 existerait donc un voisinage univalent V' de xi, yi, qui serait transform6 en un voisinage univalent V par.(7); V serait A son tour transform6 en V' par (6). L e point
LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.
'09
serait un point frontiere de A. O r il existe une fonction r ~ ( zy), , holomorphe dans A, et non en x,, y o . La fonction CI(zf, y')=
L F ( z ' , y'), G(.G',y ' ) ]
serait holomorphe dans A', donc l~olomorpl~e en fonction
xi, yk.
Mais alors la
I : [ $ ( J -y,) , g(.r, 2,jI
serait holomorphe en x,,y , , ; comme cette fonction co'incide dans A avec IL(X, y), nous arrivons a une contradiction. C , Q. F. D.
En m&me temps que le thCoreme S L I I I , nous venons d'ktahlir la proposition suivante : COROLLAIRE. - Si A est un domaine nolt ranzvie, maxilnum nu sens large, tout domaine A' non mmlfie', trnnfol.nzc; anaZytiqire de A, est maximum nu sens large. Pour obtenir ce rdsultat, nous n'avons eu besoin d'aucune hypotl~ese npriori sur la nature de la correspondance entre les frontieres. Voici une application intkressante dn theoreme XLI11. Soient A , un domaine cerclC non maximunl, et A le plus petit domaine cerclk maximum contenant A , . Soit D un domaine quelconque, uniquement assujetti a contenir A , et Ctre contenu dans A. J e dis que D est majorable; en eft'et, A est univalent et maximum, et toute fonction holomorphe dans D est holomorphe dans A , puisqu'elle est holomorphe dans A , . En outre, le domaine associk a D n'est autre que A. D'apres le thkorkme TiLIII, toute tt.ansfo1-11ratiolt nnalytiqcre de D en h i - d m e transforme A rn li~i-rn(!me. I1 est probable que les transformations d'un doinainr cercle born6 en lui-mCme laissent nkcessairement fixe le centre, sauf si le domaine est d'un type particulier !"t; il n'y aura donc, en gCnCral ( 2 ) , qlie les transformations ,
.,.'=j,~JJ.
( I ) M. Thr~llena dkrnontrk qu'il ell est Lien ainsi tlsns le Iieinharrlt. Voir. In note ~ I paragraphe I 7 (Chap. 1 V r. ( 2 ) C11apitl.t. I \ , tj 7 , t l ~ l : o ~ cX -X ~ ~V ~I IeI .
cas
ttes do~nainesdc
II0
H E K R l CARTAN.
Or, o n peut manifestement choisir le domaine D de f a ~ o nqu'il n'admette aucune de ces transformations. Alors D n'admettra {iucune transf or~nationen lui-mkme. Sous la rCserve qu'on dCmontre un jour la proposition, relative aux domaines cerclCs, q u i vient d'&tre admise, nous apercevons ici l'existence d'une classe trhs Ctendue d e domaines univalents, qu'on peut supposer bornCs et simplement connexchs, et qui n'adn~ettentaucune transformation en eux-m&mes.
6. SURL E S
TRAKSFORUATIONS ANALYTIQUES D'UKE C L A S S E I ~ A I ~ ~ T I ( : I . L ~ IDE I\I:
D~MAINES. -
Nous allons donner effectivement l'exemple c l ' u ~ ~classe e une d e domaines hornCs, simplement connexes (hom6omoi.phes hypersphhre), qui jouissent d e la propriCt6 suivante : les transformations en lui-mkme d'un domaine d e cette classe, clui laissent fixe un point interieur quel qir'il soit, sont en nomhre j i n i si elles existent. P a r m i ces domaines, il en est qui admettent neann~oinsdes transfor; il eo est d'autres, mations en e u x - m h e s dCpendant d e p;~ramin~res au contraire, dont les transformations en eux-memes fo1*111entun groupe propremen t discontinu. I1 faudra nous servir d e la (( metrique d e 11. (;aratllPlodor? ( I ) . Voici en peu d e mots ce dont il s'agit : si D est borne, la famille des fonctions f (x, y), holomorphes et d e module p111s petit que rln d a n s . D , dCGnit une pseudo-distance attach6e a 1111 C O U I ) ~ C d e deux points quelconques M,(x,, y o ) et M , (x,,y , )de 1 ) ; la pseudo-distancc est la borne supCrieure d e la distance lion euclidienne tles d e l ~ upoints z o=f (xo,y o ) et ,; =f ( x , , y, ), marques clans lc c e d e 1 :1 I. C:ette pseudo-distance cl,,(M,, NI,) est invariante par toute transformation analytique d u domaine D. S i D est contenu clans A , on a ))
<
r d o m a i ~ ~situb c La pseudo-distance existe aussi, bien ententlu, 1 , o ~1111 dans le plan d'unc seule variable complexe. Cela posC, je vais d6Gnir inon domnine 1).J e cur~sitli~i*e cluatre domaines born& simplement connexes; les dcux p r e ~ ~ l i e rAs , et A ; (1)
Voir, par exemple, le \I+lnoire (:itti
t l n ~ ~I 's~ I I I I , O ~ ~ I C L ~ ( I I I
If1
LES FONCTIONS D E D E U X V A I I I A B L E S C O M P L E X E S .
sont dans le plan de la variable complexe x7 et ont en commun une rCgion simplement c o n ~ ~ e xB,e ; les deux autres A, et A; sont dans le plan y, et ont en commun une r6gion simplement connexe B,. Dans l'espace ( x , y ) , D sera form6 de I'ensemble des domaines A et A' ainsi dCfinis .c
dans A, et y dans A , ,
J
dans A', et y dans A;.
Designons par C , l'ensemble des domaines A , el A',,par C, I'ensemble des domaines A, et A,. Soient xo et x, deux points de I3,, yo et y , deux points de C,; Supl'osons
< d C , ( ~ o , S'I).
d ~ , ( ~X~o ) ~
Soienl alors hl, le point de D q u i a pour coordonnCes xo et yo,et M, le point de D qui a pour coordonntes x, et y , . J e dis que I'on a
En ell'et, le domaine .cinterieur a R , ,
y interieur i~ C,
est int6rieur a D ; donc la pseudo-distance de Mo et M, dans ce d,(M,, M , ) ; d'ailleurs, d ' a p r k domaine est au moins Cgale hl. CarathCodory ( I ) , elle est Cgale a d c p ( y oy7, ). Ainsi AD(kfo, M I ) ~ ~ C , ( Y Y O$ ), .
D'autre part, le domaine (9)
.c
interieur i~ C , ,
y interieur a C1
contient 1); donc la pseudo-distance de Mo et M , dans cedomaine est ;IU plus Cgale i d , , ( M , , M, ). O n a d'ailleurs
( I ) On doit k M. Caratht,odory la proposition classique suiva~lte: si D est forme de I), dans le plan x et DLdans le plan y , la pseudo-distance dans D des p o i n ~ s.r,,?,, et x,. est egale a la plus grande des quantitks d D , ( x ox, l ) et ((
/f~'(?,Ol ,),I)
I12
H E N R I CARTAN.
il en rCsulte que la pseudo-distance de M, et M, dans le domaine (9) est dc, (Y,,Y+ ). Ainsi nu(M0. A l , ) > = d c , ( y o ,y i ) .
L'Cgali~C(8) est donc etablie. Cela posC, je vais montrer que toute transformation de C en luimCme, si elle est suffisamment voisine de la transformation identique, a la forme
Soient x, un point de H I , et yo,y , ,y, trois points distincts de C,. La position d'un point quelconque y de C, est dC~ermineesans ambigui'tC par les pseudo-distances dcp(y,yo),dc,,(y,y,) et dc,(y, y2),au moins si les points yo,y , , y, n'ont pas CtC choisis d'une mani6re spkciale. DCsignons par E un nombre positif; soient x un point quelconque de B,, tel que l'on ait
et y un point quelconque de C,, el que l'on ait
,y:, designe un point de C , , distinct de yo,y , et y,. O n a choisi E de facon que les pseudo-distances, dans C,, de deux quelconques des quatre points yo,y , ,y,, y, soient supkrieures a 3 E . Dans ces conditions, on a
et, par suite,
UCsignons par ( S ) une transformation de D en lui-nl&me. Soient (x',,, y,), (x',, y ; ) , (xl,yi), ( X I , y') les transformPs respectifs des points ( x o ,yo), (xo,y , ), (xu,y2),( x , y). Si ( X ) est voisine de la transforulation identiquc', les points xb, x',, xi sont voisins de x,, le point J." a t voisiil de x, elc. Iin vertu des inCgalitCs ( I I), on peut donc, si (S) est assez voisine de la transformation identique, supposer que
L E S FOXCTIONS D E D E U X V A R I A B L E S COMPLEXES.
I
13
l'on a ~ c ( y ' , y ; l ) > c ~ ~ L ( . ~ ' ld~c l3)( ,y ' , y ' , ) > d u , ( x ' , x ' , ) , 'Ic ( y', y; ) > (hi,(...I, x; ).
La pseudo-distance des points x i , yi et xi, y' est alors Cgale a d,,(y1, y',,); or elle est la mSme que la pseudo-distance de x,, yoet x, y . Donc (/,:>( Y', y;, = 4, ( j.3 3'" : on a de m&me
Le point y' est donc bien determine lorsqu'on connaft le point y. Ainsi, lorsque le point (x,y ) est voisin du point (x,, y , ) , on a , si (x', y ' ) designe le transform6 de (x, y ) ,
Mais cette relation a alors lieu dans le domaine D tout entier; ainsi y' ne depend pas de x. O n a de mCme
gtudions alors la transformation. A lout point y interieur a C, correspond un pointy' interieur a C,, et inversement ; donc y'= +(y) effectue une transformation biunivoque du domairle C, en lui-meme. De m&me,xi= ~ ( xtransforme ) le domaine C, en lui-m6me. Ce n'est pas tout. Soit xu un point de B, ; lorsque y decrit C,, le point z;,=
(~(9:,,),
?.I=
+(I,)
est le transfornle du point x,,,y. O r y' ddcrit C , ; dnnc xi est intkrieur a B , , sinon le point x;, y' ne serait pas toujours intkrieur a D. Ainsi ) le domaine B, en lui-mkme. la transformatjon xl= ~ ( x transforme De m&me,y'= + ( y ) transforme B, en lui-mkme. Voyons si toutes ces proprietes ne sont pas contradictoires. La transformation x1= y ( x ) doit transformer A , en lui-mkme, et A', en lui-meme. S~rpposonsque A , soit rrn c e ~ c l c Alors .
ne peul 6tre qu'une substitution homographique liyperholique admet-
I
14
HKNRI
CARTAX. -
L E S FOSCTIORS
D E D E U X VARIABLES.
tant pour points doubles u , et PI les points d'intersection de la circonfkrence A, avec la frontihl-e de.A', . Le domaine D ne posskde donc aucun point invariant dans la transfornlation. Donc, Ptant ckonnt; u n point quelconque inttrieur a D, 1r.r transformations qiri lni.~sentJixe cc point sont e n nombre Jini; car, s'il y en avait une infinilk, ellcs formeraient un groupe clos, et l'on pourrait en trouver ( p i soient arbitrairement voisines de la transformation identiclue, ce qrii serait en contradiction avec ce qui prec6de. D'ailleurs, si A', est un domaine c~uelconque,il n'esl cotlserve par aucune des substitutions hyperboliques envisagkes; alors D n'adnzet pus de transjormation en lui-m&me trts voisine de la u*ansforn~ation identique. Supposons au contraire que A , , A;, A, et 2 ' ) soient des c e d e s ; soient u , et /3, les points d'intersection dc A , et A',, x , et Ij, les points d'intersection de A, et A',. La transfor111a t'ron
dCpend de deux param6tres positifs k, et k 2 , et tl-ansforme 1) tSnluim&me.
Sur les fonctions de dew variables complexes: les transformations d'un domaine bonk D en un domaine intkrieur A D Bulletin de la SociCte mathematique de France 58, 199-219 (1930)
1. Soit, d m s l'espace des deux variables con~plexesx el y, un domainc D , univalent on non ( I ) . Par definition, un domaine A sera dit intireieur a D s'il existe dans A un point 0 qui coincide avec un point interieur a D, et si, etant donnCe une courbe quelconque intkrierire h A et ferrnec dans A , partant de 0 et y revenant, cette courbe est aussi inthrieure a D et fermke dans D. En p r t i c u lier, si D possede une v a ~ i e t ede ramification intkrieul-e h A , cette variete est aussi une variete de ramification pour A. Cela pose, si A est intkrieur a D, deux cas sont possibles : ou bien il existe une courbe intkrieul-e a A , fermee dans D et non fermee dans A , ou bicwil n'existe pas de telle courbe. Dans le second cns, A sera dil univalentpar rapport a D ; cette convention est toule naturelle, car, dans le cas oil D est univalent, A est univaleht s'il est univalent par rapport a D , et rCciproquement. D a m tout cequi suit, nous e ~ l v i s a ~ e r o un n s domaine bo1.1ziD contenant l'originc (x=y = o )a son intCrieur e l non ramifjk i I'origine ; nous envisagerms en ndme temps des systemes de dcux fonctions
( I ) J'adople ici, en ce qui concerne les donraines non univalenls, les conventions que j'ai exposCes dans man Memoire : cc Lea fonctions d e deux variables complexes et leproblbme d e l a repr'esen/ation analytique D, qni doit paraltre sous peu dans le Jourrtal d e Mathematiques (voir, au Chapitre I , les numeros I et 3 ) . Ce travail sera dGsignC ici par la Iettre [A]. J e rappelle que, sauf avis contraire, je 'ne considere que ded domai~resouverts, c'e>t-&-diredont tous les points sont ir&ldrieurs. (2) Cette notaliotl ahrCgCe signifie
holomorphes et uniformes dans Dl telles que le dornaine A, engendrt. (I)par le point X, Y lorsque le point z, y dkcrit llintCrieul. de D, soit lui-rnerne intkrieur a D ; rnnis uous ne supposerons pas a p r i o r i que A soit univalent par rapport a O . Nous dirons aussi, pourabi-eger, que les fonctions J'et g transforrnent D en un dornaine interieur a D. Par exemplc, si D est le dornaine suieant
nous supposerons f ( x , y ) et g ( x , 3.) holornorphes et uniforrnes dans ce dornaine, avec
2. Rappelons une proposition fondanlentale ( 2 ) qui petit s'enoncer de la f a ~ o nsuivante : T~i:oni\reI. -- S o i t D u n d o m a i r ~ eborn4 colttelzant ,!'origine e t nolt ranzi$(; h I'origine. S i les J b n c ~ i o l t s
(I) Dans mon Wtmoirc dkji cite, i'ai convenu de ne parler d e a dolr~aine e n g e n d r t par deux f o n c ~ i o n fs et ,g q u e dans le cas o h le?; equati4~11s
o n t sculement des solutions isolees quelles que soient les constantes a ct 6 . Ici, je ne ferai pas cetle convention restrictive; d'ailleurs, a u lieu d e dire, cnmlne dans le texte : a le domaine engendrk p a r le point X, Y cst interieur a U )I, je pourrais d i r e : a lorsque le p o i ~ l tx, .y dkcrit une courbe quelconque i n t t r i c u r r a D e t fermCe d a n s D, le point X, Y d t c r i t une courbe intkrieure A D e t fcrmCe d a n s D n. (2) H E N R IC.\RTAN,Les transfo~.naationsanalytiques des domaines cercles les uns d a n s les autres (Comptes rendus d e 1'Ac. des Sc., t . 190, 1930, p. 718, 5 2). Voir aussi une demonstration on peu silnpli!iCe d a n s [ A ] (Chap. 11, ne 6, thCoreme VII).
Le but essentiel de .ce travail est d'ktablir le thkoreme suivant :
T H ~ O R E11.ME Soit D un donaine bornt contenant l'origine,
-
et non ramiJit a l'origine. Supposons qrce les fonctions f ( x ,y )
(I)
ax
- by +.. .,
g(x,y ) r a ' x
b'y
2-
+. . .
transforment D en un donzaine A inttrieur ci D. Alol-s : On a 2"
1 ab'- bn'I51; -
Dnns le cns oil IaV-
baf(=l,
le domailze A est ~zkcessairementidentique a D ; autrement d i t , In transformation ( I ) est une transformation biccnivoque d e D en lui-m&me. Ce theoreme est en quelque sorte une extension aux fonctions de deux variables du thCoreme connu : (( Soit
une fonction holomorphe pour ( xI Alors : I O
Ona
2O
Dans le cas ou
< I , de module inferieur a u n .
lo.=I>
on a necessairement
f (z)= o x .
))
La premiere partie du thboreme 11 se d6montre presque immCdiatement, et n'est d'ailleurs sans doute pas nouvelle. Mais-la seconde partie est plus Vinteressante; en outre, son exactitude n e pouvait nullement &treprCvue; je vais en effet indiquer une proposition analogue qui, elle, n'est pas exacte. Considerons pour cela le lemme de Schwarz : (( Soit
une fonction holomorphe pour I x 1 Alors :
d e module infkrieur A un.
2"
Si, en un point parliculier x,, on a
I f (.PO)l alors on a partout
=l.r~ I,
1 f (.r) 1 = 1 . ~ 1 .
))
Essayons d'etendre cette proposition aux fonctions dc deux variables, holonlorphes dans un domaine borne. Limitons-nous au cas de l'hypersphirre / x l ~ + ~ " y ~ ~ < l ;
la premiere partie du lemme de Schwarz se gknkralise de la f a ~ o n suivante ( I ) : (( Si f ( x , ,v) et g ( x , y ) sont holon~orphesdans 1'h)-persphere, et nulles au centre, ct si l'on a
I g ( x : y) I"<
I f !.z, ":'I 12+ alors on a
If ( x , y)" I
1 g ( x , y) j ? $ )
:c
I"+
1,
1 y 1" .,
Mais il n'y a rien d ' a n a l o p e a la scconde partie dl1 lemme de Schwarz ; l'kgalitk
1 f (x'y) 12 - 1 ,g ( x . "Y) I!=
I .z I?- 1 , Y 12
peut en effet avoir lieu en un point particulier z,, y, different de l'origine, s'lns avoir lieu partotit. Prenons par exemplc
l'egalitk a lieu toutes les fois clue y est nul; mais, si y n ' e s ~pas nul, on a ( e n remarquant que x 1 < I , 1 y < I )
3. Avant d'aborder la denlonstrdtion du thkoreme 11; j'etnblirai plusieilrs propositions pr6liminaires. -
-
(') La dimonstralion sera indiqoee a u r l Q I tle c e travail
LEMHE 1.
S o i t U urt domailze b o r n e contenant l'origilte, e t non rnnzifik a I'origine. S i les fonctions f
(I)
--
(I-.)
-
6)-
r
- . . ..
r
q ( r .y )
-6
. .
rl.ansjbrmenl 1) en U I L dorr~ai~i(' intdrieuv & L), nlors Ies modttles des r a c i n ~ sI.' el I." de l'tquation ),"
(,>)
sont a u plus kgnux
((n
('r
-
-
6 ' ) ; . - nb'- l)ul==o
ult
L'on sait en effet qu'au nloj-en d'une m&me substilution lineaire effectrrke sur x,y e t sur X,Y, la substitution (3)
X
= ax
-1-
Y
by.
--
a'x
tb'y
peut prendre la forrne S = "I
.
Y--"' I. "Y>
sauf dans le cas ou )if= 1";dans ce dernier cas, la subslitution peut 6tt.e ramcnee a la forrne
Par consequent, en effectuant sur le donlaine D une transformation linkaire convenable: on peut supposer que la transformation ( 1 ) a l'une des deux formes suivantes t.. .,
(4)
f ( L C , ,v)z
(4')
.f ( x . J , ) =+ k ' x - 6-v
>.IS
. . ..
B ( . c . y ) >."J'- .. ~ ( xy ). x >.'-v . .
Itkrons cette transformalion, et posons, d'une maniere gcnkrale,
Les fonctions f,, e t g,, sont uniforn16nlent bornees dans I), car f et g sont bornees, le domaine D elant lui-m&me borne. Leur3 dCrivCes partielles du premier ordre sont don(: uniformenlent I ~ o r nCes a l'origine. O r on a visible~nent
ce qui exige donc Ih"I21.
1
I nb'puisque ah'-
bccl)jl,
bar= h'h";
la ~ r c m i e r e~ a r t i edu theoreme 11 esl donc Ctabliu.
Remnr(lue. - O n sait que les racines de l'equa~ion( 2 ) restent invariantes si I'on transforme la substitution (3) par une substitution lineaire homogene quelconque de determinant non nul. I1 est bon de remarquer que, si f, e t g,, designent les iter6es d'ordre n d e f et g ,
a pour racines les puissances
trctnsJor.nte I ) e n
ILI""~~
U I L domcr.ilte
des rncines de ]'equation (2).
intcJrieut i~D, et si l'on n
on yeut eJectue1. sur- U u n e tr.ans/ormation linknire d e facon Vcte In trtrnsjormntion ( I ) prSenlte la forme (5 (
J )
i
+
. .,
g(z, y )
y e ! ...
(z
et 13 rkels).
E n effet, d'ap1.6~le lemme I , on a forcelllent
1
;\'
1
=.
1 ;,"1
=I.
S i 'hl#l.'',la transfornlation ( I ) pcut prendre la forme ( d ) , et le present lemme est etabli. S i I.'= I,", la transformation ( r ) peut Ctre ramenee a la forme
(4'). On a dans re cas ,yn(.f> y
+. .,
) = I,
"llY
ce qili exige b = 0.
et, par suite, la transformation a bien la forme (5). COIIOLLAIRE. - Si 1 n0'-- ha' I = 1 , et si A'= nlcessairen~enl /~=h'=ei'J,
I.", a1ot.s o n a
o'=b=o.
En effet, on peut, d'apres ce qui precede, transformer la s u b s ~ i tulion ( 3 ) par rlne substitution linkaire, de facon a 111; h n n e r la forme ( '3'
1
X
= .~eiO!
Y
=eiO ;
I
mais alors la substitution (3) est identique a sa transformke, et ellc a ellc-memc la forme (3').
c. Q.
O n voit qiie si l'on a c/
6' - ha' =
fl
F. D .
-- b'
-= I . 2
on a 1 = if= I ; la transformation ( I ) a donc la forme j'(.r. y ) = ; . I ' -. . .
.
g ( x . y ) G -y
d'aprks lc theorknic I , elfe scJ t'kduit id(~ntiqice.
-. . . ; ICL t t w n s f o r m ~ l t i o ~
4. La metrique de M. Caratheodory. - I,a theorie de hI. Caratheodory ( I ) va nous permettre d'etendre le theorenlc I a un cas plus general; cette extension est indispensable si l'on veutaborder la denlonstration du theoremc [I. T ~ I ~ ~ IT~bis. E M-I Soit : lirr domaine hot-nk. cotptetrant f'orix i n e , el trolr ranpifie'a f'origine. Con.sidC~.orrsune suite infinie tic tr~cirr.~jbrmntiorrs pnalytiques
( ' 1 k'oir., par exemple. Ueber. die (;eomelr.ie der artqlylischen Abbildungen (.W/~lli. Serrt. Hnrribtir.g. L'niv., 6 , 1928, p. gG-I $5).
d o n t cilacurle tr-ansforn~eD en un dornnine int6r.ierr1.a L). Supposons q u e bs fonctions j ;, e l g,, c o ~ ~ v e r g - e~.espectic*emen nt I 1.er.s d e u x f'onctions ~~~~~~~~~phes f ' e l fi. do la forme
la convergence e'lnnt ulz
101/r I J O ~ I Lin/(?~
~ . i e c ~ir.r .D. On a alo1.s
Ce theoreme n'est pas une consequence in~ulridiate drl ~IltSoreme I, car rien ne prouve a pr.ior8i que le point J ' ( r 3.). , m ( z , y ) restc intkrieul. ti D lorsque le point x, &).decrit l'in~dricbur 8 de D ; le point f , p, qui est un p o ~ l l tlimit? de p o i n ~ sinli.ric111.5 a D, pourrait fort bien Ctre nn point frontierc. Avant d'etablir Ic theoreme 1 bts, je rappelle brieve~nenten quoi consistc la methode de M. Carathkodory. S ~ i e nD t un domaine borne (univalent ou null), 0 u t l poirr~ intkrieur que nous supposcrons n'&ti-epas ,In p o i n ~de ran~ilicittion. A chaque point M de D, associons un nombre p o s i ~ i f o unu1 d ( M ) ) , dCfini de la faqon suivante : elan1 donne l'ensemblc des fo~lctions y ( x , .y),nulles en 0, holornorphes et de modt~leplus petitque r r l t dans D, les modules des valeurs prises en M par ces fonctiol~s admettent une borne superieure d ( M ) plus petite q u e I I I L , et, parmi ces fonctions, il en exisle an rnoins une dont le modulc esl egal a d ( M ) at1 point M. Cela tient a ccB quc les f o ~ ~ c t i o n s c?(x, y ) forment une famille norriiale dans D. La fonction d ( M ) varie de faqon continue avec le point CI ; c11 aucun point intkrieur a D, d ( M ) nc peut adlnet11.e de milximuln mCme rela tif . Cela pose. considkrons line transforlnation analytique
qui laisse fixe le point 0 ct transform(! 1) en un dollmine intCriettr. a D ('). Soient M un point quclconqne intkrieur d 11. 71' son transform&. Je dis q u e l'on a (/(Mf)5 d ( M ). (I)
Voir Ic n m I de cct
article, et, e n particulie~,,l a note
(I)
de la page
7.
Soit cancffet ?(z. .I.) une fonction holomorphe dans D. null^ en 0, dont le module est plus petit clue u n dans D et egal a d ( M ' ) au point M'. La fonction
est holomorphe ct de module plus petit que un dans D ; elle est nulle en 0, et son module est egal a d ( 3 1 ' ) arl point M. O n a donc, d'aprls la definition de d ( M ) ,
Plaqons-nous, en particulier, dans le cas oil D est l'hypersphere
le point 0 etnnt a I7origine. O n n alors
M. Par consQque.nt, si une transformation de la forme (6) laisse fixe 170rigine et transforme llhypersph&~.o e n un doninine interieur, on a ( I )
z e t y designant les coordonnCes du point
Revenons a un domaine borne quelconque D, univalent ou oon. Soit 0 un point interieur a D l que nous supposerons n76tre'pasun point de ramification, et que nous prendrons pour origine des coordonnees. Soit 2 une hypersphere de centre 0 completemcnt intericure a D. En tout point de Z ou de sa periphkrie I', d ( M )est different d t zero, sauf nu point 0 ; en effet, si la constante ' k est assez petite, les fonctions k x et k,, out leurs modules inferirurs a u n dans D, et l'une au moins d'entre clles n7cst pas nulle nu point M. Donc d ( M ) n'est pas nol. Cela posk, lorsque M decrit I', d ( M ) admet unc: borne inferieure p cjui est atteinte ell un point de r, ptrisque d ( M ) est une fonction continue. Donc p n'estpas nu/.Soit alors 7- u n nombre positif infericur a p, e t soit D,. I'ensemble des points M de Z pour lesquels on a d ( M )5 1..
(1)
Nous avions annonce c e t t e proposition au n" 2 du prCsent article
0, est un Jomaine fermk cornpleternent interieur ii 3, ct, n fort i o r i , compl6tement intkrieur a D. Si U,. n'est pas connexe, il se compose d.e domaines connexes dont l'un A contient le point 0 B son interieur. En tout point intdrieur. i A , on a
sans kgalite possible, puisque cl(J1) n'adnict aucun ~iiaxiniuni relatif. J e dis que, dans toute t~.nnsfol-mationnnaly~iquedu doniaine 1) en un dornaine interieur D, qui laisse fixe I1origine, 1'intCr.ieur d e A se transforme e n ~ L I Ldomaine inte'rieur. i~A. Dans le cas contraire en effet, il existerait ail moins un point hl interieur a A dont le transforme M' s e r a i ~un point frontiere de A; on nurait donc t l ( X 1 ' ) > d i XI ), ce q u i est impossible, cornme nous I'avons vu. J e dis en outre que le domaine A jouit de la prupri6ti. snivante :
LEYME 3. - E l a n t ct'onn; u n ensemble i r ~ . n qrrelcor~yue i de 41-unsjo~.mationsn n u l y t i q r ~ e s dent chncu~ze laisse f i s e le point 0 ct t r a n s f i r m e le clomairie D en rin donzaine intdr.ieicra ;L D , les transfor-mds tl'un poinl quelconqr~e)I,,, inrd/.irur. ci 1, ~ z o nseiilement solzt tous intdrieirr.~u A , ntnis orzt lous 1~i11.s points limites inte'rieri 1.s ;I A. En cffet, soit hJ,, un point interieur a A, et soit
Soit Al l'ensemble des points de A pour l e s q ~ ~ con ls n
Ar est un d o n ~ a i ~fermk ie conipletenient i n ~ e r i e u rit A. O r , considerons l'une quelconque des t~.ilnsfor~ilations envisagees dans llenonci. du lemrne; elle transforme hl,, en un point M',, pour lequel on n
les tl.ansforrnt.s de Jl, appartieauent done tous
par conskQ.
F. D .
Le theorkrne I b i . ~va se dkduire irnmkdiatement du lemme 3. Reprenons en effet les notations de son Cnonce; tant que le point y ) , g ( x , y ) estaussi intbrieur x , y est intkrieur a A, le point f (z, iA, d'apres ce q u i precede. Appliquons alors le theodrne I au domainc A ct a la transformation
on voit que l'on a , dans A? ( r . y )=r ,
g(z: . y )
=y.
O r J e t g sont holomorphes dans le domaine D tout entier; les identitks precedentes ont donc lieu dans le dornaine 1) tout entier. Lc theoreme 1 bis est ainsi Ctabli.
5. I1 uous faut encore etablir un lemme avant de demontrer le thCorZrne 11.
LEMME 4. - Soit nne suite in$nie de couples de foncliotzs f,, (x, ,Y ), g,, (x,y ) , holomorphes d u n s u n d o m a i r ~ e/luelconque D ; supyosons que, pour chaque z~aleiit.d e n, Le domaine Dl, engetzdt.iyar f,, et g, soit interienr ?z D , e! supposotzs e n oitrre qrie l'otz ail Iim f ,,(.x, y ) --= r. n t -
Itr conilcJrgence~ / C L I Lunqotame ~ au voisinage de toul point intkt.ieur i~D . Alors, d t a t ~ tdon~le'irn point P yuelconqiie i n ~ d r i e u r ci l), le domaitte Dl, contient le point P ti son intdrieur pour rorrtes les va.leurs de tt ii ytrrtir d'utt certcrin r a n g .
En ert'et, supposons d'abord que P ne soit pas un point de ramilication pour le domaine D! et soit Z une hypersphere de centre P interieure i D. Lo dkternlinanl fonclionnel
converge uniformement vers u n dans 2 el, par suile! ne s'y annule pas si I L est ~ S S C Zgrand. Le nombre des solutions du systeme
interieures h 2,est alors donne par I'integrale triple d e Kronecker etendue a la peripherie de 2. Premons pour a et b prkciskrnent les coordonnCes d u point P. S i n augmente indefiniment. f l l ( x , y) et glt(x, y ) convergent uniforrnernent vers x et y; donc la valeur de l'intkgrale de Kronecker tend vers le nornbre des solutions d u systeme .I' -- U. = 0;
,.
interieures a 5, c'est-a-dire vcrs ctn. Par consequent, si IL est assez grand, le systhme ( 7 ) a une solution interieure a 2 ; le domain(! D,, c . Q . E'. D . contirnt donc It: point P a son interieur. S i P est un point de ramification pour D , il suffit d e transformer le voisinage dtr P e n 1111 vnisinage univalent, et l'on retornbe sur le raisonnement precedent. Le lernme est donc e ~ a b l i .
6. Demonstration du theoreme 11. - La premiere partie du theoretme a deja Cte Ctahlie (corollaire du lernrne 1). I1 reste montrer clue, sl 1 flb' - bfl'
1
=I.
la transfornlation ( I ) cst une transformation biunivoque du domaine D en lui-meme. O r , d'apres le lenlrne '2?on peut supposer que la transformation a la forrne
I;r
f'(...
I,)
-
. ..
.re;%+.
g ( . r . . y ) -:j.ei?-t-. . . . ( z e t (3 reels).
Designons cette transformation par S. Pour montrer que S est une t.ransformation hiunivoque de D en lui-mCmc, je ferai voir :
a. Q u e deux points distincts quelconques de D sent transforrnes par S en deux points distincts de D; 0. Q u e tout point d e D est transforrne d'un certain point de D par S.
(S'l)
f,, (
:r
e
. . ..
g,,(.r,y)
Deux clts sont donc 6 rlistinguer.
. ..
i-.
Premier. cas. - a et (3 SOILL tous d e u x commensurables avec T. Alors il existe un e n t i e r p tel quc l'on ait
et, par suite, d'apres le theoremc J,
Autrement dit, SP est la transformation identique. Cela posk : a. Soient 31 et M' deux points quelconques distihcts de D ; si leurs transformes par S ktaient confondus en un mdme point de D , leurs transformbs par SPE SP-1 S ( I ) seraient aussi confondl~s,ce qui n'est pas, puisque SP est la transformation identique. b. Si un point P de D n'Ctait transform6 d!aucun point de D par S, il ne serait transform6 d'aucun point de D par S P G SSP-'? ce qui est absurde.
S est donc bien u ~ ~transformation e biunivoque de I) en lui-meme. /)euxi2nre cas. - L ' u n n u n ~ o i ~ rdes s nombres a et incorrrmensri~~nble avec x .
p
est
U n raisonnement classiqur: montre que l'on peut alors trouver une suite infinie d'entiers I ) , , . . . , I),,, . . . telle que l'on ait
D'aotre part, on peut extraire de la suite p,, unc nnuvelle suite infinie q,, telle que 1'011 ait
i m , , ( r . )= g ( . ~ , , .="y )
+.
11 f m
la convergence etant uniforme au voisinage de tout point i n t e r i e ~ ~ r d D. D'apr&sle theoreme J his, on a
( I ) A eL B d6signant deux transformations, j e tl;signe p a r \ B l e p r o d u i t de c e j tleux ~ransformations,l a ~ransform;~Lion B t t a n t elrectui.~ la p r v m i l r e .
- 14 Cela pose :
a . Soient M e t M' deux points quelconques distincts de D ; si leurs transformks par S Ctaient confondus, lcurs transforn~espar S Q n = Sqn-'S seraient aussi confondus. O r Sqn(M) tend vers M , e t S7n(Mr) tend vers Mr. I1 y a contradiction. b. S i un point P de ~ . n ' & a i transform6 t d'aucun point de D par S, il ne serait transformk d'aucun point de D par S7.r S S q n - - ' . Mais ceci est e n contradiction avec le lemme 4.
S est donc bien une transformation biunivoque de D e n luimCme, e t le theor&ne I1 se trouve e n f n completement d6montr.e. Remarque.
-
S i D est u n domaine cerclk bomb, e l si
I nb'- ba' (
=I.
alocs les foncrions f ( x , y ) et g ( x , ~ ) , jsoltt ttecessairernent linkaires; o n sait e n effet que toutes les transformations d'un domaine cercle borne en lui-meme, qui laissent fixe le centre, sont lineaires ( ).
7. Btude d e quelques cas d'application du theoreme I1
T H L O R11~1.M-ESoit D U I I domaine bor.r~Pcontenar~t I'~ri~ine, et non I-amifid ii l'origine. Supposons Ilue les fonctions
transfornzent D en un dornaine ittte'l.ieur a D ; supposo~tsde plus qu'un certain domaine D , , colttenant l1or.igine,intkteieur a D et univalent par I-apport ic. D l soit transfol-lrtd en hi-mdme de nzanilre biur~ivoquepar la tt~a~tsJot~rnation ( I ) . . l lors cell,, dernit?re definit aussi ctne lransformation bircnic,oqrre de D en hi-mdrne.
E n effet, puisque le domaine D, est transfor.mC c11 l t l i - r ~ ~ P ~ ~ ~ e on a
I nb'-
btr'
I 5I ;
( I ) Voir [ 4 ]C t ~ a h i t r r11, no 6, t l ~ t o r e m eV1. Voir aussi nla Note a u x Cornptes r e n d u s d6ja citke ( t . 190, 1930, p. 7 1 8 ) .
nlais la transfornlation inverse montre que l'on a aussi
et. par suile, Lc thkorkme 11 s'applique alors.
c.
Q. F . D .
d e u z fortctiorts holornor.pJ~esdans 1'J~yper~spJri.r-e
If I!+
l g 12<
1.
On a alors -
-
-1
I ob'- ba' 15 ( 1 - x o z o - y o y , ) ' L ,
et, si l'kgalitt est atteinte, les fonctions j ' ( x , * ) et g ( x , y ) de'finissent urze transformation biunivoque d e /'hyper-sphere e n elle-nz&me,et ,par suite, sont homographiques.
unc transformation biunivoque de l'hypersphere en elle-meme, qui amene le point ,, . t
ail
-- .I' I
7.'
= 1'0
canlre 1 = 0.
X = 0, On peut prendre par exen~plc -
-
= = s o + -yyo-(zozo+ - xxo- yyo
~ X l , . ~ o ~ L V (~z .~. r~) ~ n ~ ~ l l 1
Je considere les fonctions
yoyo)
qui s'annulent poor x =.v = o. On a
I1 suffit d'appliquer le thkoreme I1 aux fonctions f', ( x , y ) gI (x, y ) , pour obtenir Ic theoreme IV.
et.
On etablirait de m&mele thkoreme suivant :
d e u x fbnctions holornorphes, de module plus petit que un pour
r t , si ll(;galitc! est atleinte, les jbrictions f ( x , y ) net g ( x , y ) clr;Jinissent une transfornkation biunivoqae dl1 domaine ( 8 ) e n lrci-nz&me; O I L a ~ O I L C darts , ce cas,
les fbrtctions y et il, (;rant cles fbrtctions honlogl-aphiques d'une sen le cccrkcble complexe.
8. Extension de la th6orie precedente. - Nous allons d'abord pr6ciser le Icmrnc. 4 de la faqon suivante : I.EMME 3. - Soit urte suite inJinie de couples de fonctions j;,( x ,y ) , g,,(x,y ) , ~~~~~~~~~phes duns u n domaine g'uelconque D. Supposor~sque, pour chaque valeur de n , le domaine D, eripgnd1.d par f' et g soit intir-ieur h D: el- supposons e n outre Q U C I'OIL ail i nf
. )
S,
l i ~ n g , ~ ( y) x . =y,
l a cortf9er.gertce6ta1tt zbnqorme a u v o i s i ~ t a g ed e tout point intk1-ieur. i~11. 1)onrtorts-r~ousnrbitrrrirenzent d e u x domaines f e r m e s A e t A', tous d e u x compl2tentenl intkrieurs a D e t cinivalents p a r rapport a D . Il existe a l o r s c i r ~efttier.N tel q u e , pour toute v a l e u r d e I L supc!rieur.e a Pi : lo
le domaine A,,-t~.ansformdd e A p a r
soil ur2ivaler~lp a r rapport a 11 ; a" le domaine Dl, contiertne A' a so12 int&rieur..
De m&me que pour la dkmonstration dn lemme 4 , nous fcrons usage de l'int6grale de Kronecker. L)einontrons d'abord la premiere partie de l'enonce. S i elle n'ktait pas exacte, o n pourrait trouver une suite d'indices p9, . , I),,, . . . , et, pour chaque valeur de l'indicc, deux points distincts M,,,, et Mi,,, de A, tels clue les transformcs de ccs points par SPn soient confondus e n un 1n6me point de D. O n peut e n outre supposer que les points hl,, et M i n tendent respectivement vers deux points M et M' de A, lorsqne n augmente indbfiniment; sinon, il sriffirait d ' e x t r ~ i r ede In suite des indices p,, une nouvelle suite. A cause de la convergence uniforinc, les points M et M' ont n~&nietransforme par In transformation limite de S,,, qui est la transforr~~ntion idcntique; donc hI et MI sont confondus. Supposons d'abord quc M ne soit pas un point de ramification pour D, et soit S une hypersphere, interieure a D l de centre M. Cornme on l'a vu lors dc la demonstration d u lenlme 4 , le determinant fonctionncl
..
ne s'annule pas dans 2 si n cst assez grand, et le nombre des solutions, intericnres a 2 , du syst6me d'Cquations
est donne par I'in~egralede Kronecker Ctendue a la peripherie de
2. I'renons pour a,,,, et 6,. les coordonnees d u point transform6 de
Mpm par S,,,. Quand n augmente indefinimcnt, a,," et bpntendent respectivement vers a et b, coordonnees du point M . Donc la valeur de l'integrale d e Kronecker tend vers le nombre des sol utions, intkrieures a Z, d u systeme d'equations
c'est-A-dire vers un. O r , d'aprks les hypotheses faites, celte integrale est au moins Cgale a deux. Nous arrivons donc a une contradiction. S i M dtait un point de ramification pour le donlaine D, on transformerait le voisinage de M en u n voisinege univalent. et le raisonnement precedent serait encore valable. La premiere partie du lemme est donc demontree. La secollde s'etablit par un procede senlblable; nous laissons au lecteor lc soin de s'en assurer.
THEOREME IV. - Soit D un domaine bornd conle~tarztl'origine 0, el non r a m ~ j da I'origine. Donnons-nous ar.bitraii.ement deux domaines fermCs A et A', contenant 0 i c lei//. intkrieur-,tous deux cornplE.lement inlC~.ieursa 1) et u11ic.alenl.s par rapport a D. Il leur correspond deuz nomb1.e~riels k et k! y lus pelirs que u n , qciijouissent des propr.ii.tds sclican tes :soien t (Ij
f ( r ,y )
ax
+ b-y -I-. . . .
,q (r..),) -
czf.r
b'y
-I
dertx Jbnctions analyligues arbitraires qui transforment D er~ u n domain; inte'rieur Li D. ,4101,s: I " si I abl- bar( par, rapport a D ; 2" si I abr- bar( u son inttr-ieclr.
> k , le tr.ansforrnc: de h p a l - ( I ) > k r , le cr.artsfor.mP
de
n par
est unic.~alertt
( I )
contient A'
Demontrons par cxemple la pre~niereparlie de I'enoncC: la seconde se demontrerai~d'une faqon toule semblable. Si le nombre k n'existait pas, on pourrait trouver une guite infinie de tr,rnsformations X j,(.rl y ) n,,.c + b , y +.. . . (SIL)
-
-
- = g , , ( . r . y ) z n ; , z + b ; , y +. . . . 1
telles que lc transforme de A par St, ne soit pas univalent par
rapport a D, et telles que l'on ait
h dCsignant un entier positif quelconque, soit (S,,)h la hieme itCrCe de la transformation S,, ; le transfor.mC de A p a r (S,,)h n'est pas crrtivalentpar rapport (Z D. En effet, il existe deux points de A qui ont mCme transforme par S,, ; ils ont aussi m&me transforme par ( S , , ) h = ( S , ) h - - ' ~S,,. C . Q . F. D .
Cela posC, soient A;, et A: les racines de l'equation j,*
- ( a,,+ b;,) ), + n;,
- bn a;, = 0.
O n peut supposer que A;, et A,: tendent respectivement vers des limites A'- et A" quand n augmente indefiniment (sinon, on extrairait une nouvelle suite de la suite des S,,). On a Cvidemment ] A' ( = ) I "1 = I . O n peut donc trouver une suite infinie d'entiers qp tels que l'on ait lirn X ' ~ I = J lim 1"Qp = I .
Donnons-nous alors une suite de nombres positifs E , : . . . , . ., tendant vers zero. A chaque entier p on peut faire e,, correspondre un entier n p tel que l'on ait
.
I ( h;p)q~-
h'q,?
r, <
El,.
( ( hLp ) q ~ - L " ~ (P< E p .
On aura lim{>.' )qp= lim().L ) l f ~ =I p t *
Appelons
nP
,,*a
les it6rBes d'ordre q , des fonctions prCcCde, les racines de l'equation i.t-(A,+-
B'p)), + A,, R h -
flap
et grip. D'apres ce qui
B,, A',, = o
qui sont Bgales a (Xnp) et (Iip)Qp,tendent vers un qualldp augmente indkfiniment. La famille des fonctions F p et Gp est normale dans D, puisque D est bornC, et que le point de coordonnkes F p et G p est int6rieur A D. Je puis donc extraire de la suite F p , G p une nouvelle suite
- 40 ( p o u r simplifier, je l'appellerai encore Fp, G,,) telle que l'on ait
la convergence etant uniforme au voisinage de tout point interieur a D. Les racines de l'equation Ll-
( i
7
B')),
- .\H'-
Bkf= o
sont egales a un. Jc peux donc supposer que j'ai efl'ectue prealablerncnt s u r L), ainsi que sur les fonctions Fp et Gp, une transformation linCaire trllc q u e l'on ait
Mais alors, dlaprds le t h e o r h e I bis, on a (
y
)
G(x)y)=y.
Appliquons maintenant le lernrne S aux fonctions Fp et G p , qui convergent respectivcrnent vers x et y. O n voit que le transform6 de A par Fp et G p est univalent par rapport a D. O r ceci est e n contradiction avec ce clui a kte Ctabli au debut ; (( lc transformk de A par ( S , , ) h n'est pas univalent par rapport a D *. Le theorkrne V l est donc Ctabli.
9. Appliquons par exenlple les rksultats precedents i l'hypersphere. O n trouve sans peine la proposition suivante :
d e u x fonctiolls liolomorphes pour
supposo~~ ens outre que OIL ail
If et posons
1 trb'-
'+ bn'
I
&' I=<
=u
II existe deux nombres positifs
1,
( u5 I).
r ( u ) et p ( u ) , qui dkpendent
seulement rle u e t n o n des fonctions envisagtes, e t q u i jouissenl des prop~.ietdssrr ivantes : I"
le domaine transjbrme' de 1 'liypersphdre
par l a trartsforn~ation( I ) est univalent; '2 le domaine trnnsformt! d e l'l~ype1.sph6re( 1 0 ) conlient l'l~ypers/1h21-e 1 :r I?+- 1.v I:< [ p ( u ) I 2 a sqn intkrieur. Les,forictions r . ( c ~ ) el ~ ( L L ) ,nuiles pour. rr = o , croissent avec u , et (c'est la le fait important) tendent vers ~ t r zlor.sque 11 tend uer's u n . 11 serait interessant de determiner effectivement ccs fonctions.
Sur les variktks dkfinies par une relation entihre Bulletin des Sciences Mathematiques 55,24-32 et 47-64 (1931)
Ce travail fait suite a un article paru dans ce Bulletin, et. auquel nous renvoyons le lecteur ( 4 ) . I1 s'agit des varietks obtenues en annulant une fonction enliere de deux variables complexes x et y, ainsi que des fonctions de variable complexe dCtinies s u r de lclles variCtCs ( 2 ) . P a r analogie avec les courbes alg6briques, nous appellerons ces varietks (a deux dimensions rbelles) des corirbes entiPres. Nous designerons par (( thkorhmes A et. B )) Ies thhoremes aiilsi dCnommes dans le MCmoire cite. Au paragraphe I, nous etudions certains aspects de ces theoremes dans des cas simples; ainsi, etant donnees des fonctions entieres F ( x , y ) et G ( x ,y), sans zeros commons, on peut toujours trouver deux fonctions entieres U (2, y) e t V ( x , y ) telles que l'on ait.
S i les fonctions F et Cr peuvent s'annuler simultanemc:nt, il existe deux fonctions entiercs U e t V telles que LiF L - V G G X Y .
X dCsignant une fonction entikre d e x, et Y une fonction entiere de y. D'une faqon gCnerale, on peut indiquer des conditions nkcessaircs et suffisantes pour qu'une fonclion entiere H ( x , y ) se rnette
F e t G &ant des fonctions entieres donnCes, U e t V des fonctions entikres inconnues. ( I ) S u r les fonctions d e d e u x variables complexes Nous designerons cet article par la lettre [ C ] . (') Pour cette notion, voir I C ] , no 5 .
(1.
5 4 . 1933, p. 99-116).
La possibilite de l'extension aux courbes entieres de la thkorie des inte'grales abtliennes et des adjointes est envisagke au paragraphe I t . On y determine la forme la plus generale des inteqales de et de seconde espece, ainsi que celle des fonctions holornorphes et uniformes sur la courbe. Le problCme de la reprksentation par.ambtr.ique des courbes entieres indecomposables est abordt: au paragraphe 111. Signalons notarnment qu'on obtient une representation ~arametriqued'une courbe entit.re simplement connexe en coupant la courbe par un faisceau d'adjointes dependant lineairement d'un parametre. Enfin, au paragraphe IV, il est dit quelques mots des transformations bimkrornorphes des courbes entieres en elles-m&mes, ou les unes dans les autres. Toutes ces questions dernanderaient de longs dkveloppements; on n'a fait que les amorcer ici. Mais une theorie des courbes entieres peut-elle Ctre feconde? I'ourra-t-on l'aborder par une voie en quelque sorte algebrique, et non transcendante comme dans ce travail? Restera-t-elle au contraire dans des gCneralitCs qui, pour interessantes qu'elles soient, ne sont souvent d'aucun secours lorsqu'il s'agit de resoudre en particulier un problerne precis?
1. I'rCcisons des maintenant ce que l'on doit entendre par courbe errti&reindekomposable. Soit la courbe entiere C, dCfinie par la relation P(x,y)=o,
F Ctant une fonction entiere. Lorsque le point ( x , y ) se deplace sur C, y est une fonction holomorphe de x qui poss&deeventuellement des sinsoularites algebriques; si la courbe C peut Ctre obtenue tout entiere par prolougement analytique ( ' ) d'un serrl ClCment de fonction y ( z ) ,ell(: sera dite indticomposable. Sinon, elle se compose d'un nombre fini ou d'une infinite dknom( 1 ) On considlre qu'unc si11g111ari~C algebrique n'empkche pas le prolongen~ent unalytique.
.,
hrable de courhes indecomposables C,, C2, . . ., C,, . . et il existe une fonction entiere f,, ( x , .y) qui s'annule sim ~ l e r n e n t(' ) sur C , et pas ailleurs. Nnus pouvons alors, avec MM. Gronwall et Hahn, mettre la fonclion I J ( z , y)sous la forme
G ( x , ,I/) Ctanl entiere; a,,designe un entier positif, et Q,, ( x , y ) un ~ ~ o l y n o mdcsiine e a assurer la convergence. Comme dans notre Memoire precedent, nous dirons que la courbe C, est multiple d'ordre a,, pour F ( x , y ) . Cela ~,ose,supposons donnee, sur chaque C,,, une fonction mkrolnorphe en toul point de C,, et uniforme, et dbsignons-la syrnboliquement par Ig,(M), M designant un point quelconque de C,. Nous avons montre (thkoreme A, no 5) qu'il existe une fonction @ ( x , y ) , partout meromorphe a distance finie, qui se rCduit a (p,,(M) sur chaque C,. I1 existe m&me une infinitt. de telles fonca la forme tions, et l'on peut toujours supposer que @ ( x ,
V, X,Y ktant entiCres.
2. Voici un complement important a cette proposition. T H ~ ~ R I.E M -ESupposons loules les fonctions q~,,(M) holomorphes; supposons d e plus que, a u voisinage d e tout point ( x o , y o ) , a p p a r l e n a n t ci l'rcne quelconyue des C, ou Lt plusieurs d'entre elles, on puisse lrouver une fonclion holomo~phecp(x,y). q u i se rdduise, s u r chacune des C, q u i passent en ( x o ,- y o ) ,a la fonction y,,( M ) correspondante. A lors il existe une fonction entiere V ( x , y ) q u i se r t d u i t a cp,(M) s u r chaque C,. Soit en effet F,( x , 3') une fonction entiCre qui s'annule simplement sur chaque C,, et ne s7annulepas ailleurs. I1 existeune fonction meromorphe H(.z, J . ) , Cquivalente ( 2 ) , au voisinage de tout
( I ) (?)
Pour cette notion, voir [ C ] , no 2. Voir [ C ] . nw 3 e t 10.
point d'une C,,, A la fonction.\.:,:(;
La fonction
est entiere et se rCduit a cq,(M) sur chaque C,. c.
Q.
v. n .
Supposons e n particulier qu'une fonction nlerornorphe K ( x , y) reste holomorphe ( I ) au voisinage de tout point ou F, (z, y ) r 0. Le theoreme prCcCdent rnontre qu'on peut former une fonction entidre V ( x ,y ) dgale a K ( x , . y ) sur chaque C,,. Plus genkralernent, attribuons a chaque C,, un indice entier et positif a,,,et soit F(x, 3,) une fonction entiere qui s'annule SUI. chaque C , , et pas ailleurs, chaque C,, Ctant multiple d'ordre a,, pour F. Soit la fonction r n d r o n ~ o r ~ hK e ( x , y ) , supposee h010rnorphe au voisinage de tout point ou F = o, et soit H ( x , y ) une fonction rndromorphe equivalente B
K ( x. "k', , au voisinage de chacoii F (x.
de ces points, et holornorphe ailleurs. I,a fonction
est entiere, et la fonction niCroll~orphe
reste holornorphe au voisinage de tout point ou F = o. Par suite, b s Jonctions V et K ont la m&mevaleur, e t , plus gtntralemerjt, toutes leurs d k r i d e s partielles jusqu'a l'ordre a , - I inclus ont respeclivement la mCme valeur e n tout point de C , ( 2 ) .
3. THCORBVE 11. - Si d e u x j'onclions enti2r.e~ F ( x ,y ) et G ( x ,y ) ne s'annulent pas simrlllanement, il exisle d e u x fonctions enti2res U ( x , y ) et V ( x ,y ) lelles que l'on ait
(I)
X I ne faut pas confondre cetle eventual~tt!avec celle o u K(x,y ) se i.Cduit,
sur chaque C,,
A la constante
une fonclion Irolornorpt~e.Par exernple, la fonction
un sur la varikie y nage de I'origine. ( I ) Cf. [C],no 15.
-- x,mais eHe
x
se rPduit
n'est pas lrolomorpl~e au voisi-
En cffet, la fonction
6 joue 1e rdle de K ; d'aprks ce qui prkcede,
il existe une fonction entiere V ( x , y) telle que
soit holomorphe au voisinage de tout point ou F = o. Cornme
est holomorphe en outre au voisinage de tout point ou F # o, AG est une fonction entiere U ( x , y), et le theoreme est dCmontr6. Voyons s'il peut exister un autre systerne de deux fonctions entieres U , ( x , y ) et V l ( x , y ) satisfaisant a
De
(I
j et
( 2 )
l'on deduit
L1- b ce qui prouve que -ne peut Ctre infini que si F = o ; mais CT UI - l!
alors G # o. Donc -est entiere, et I'on a G
A etant line fonction entiere de rz: et ,y. 4. T ~ b o n 111. k ~ ~ E l a n t donnkes d e u x fbnctions entidres quelconques F(x, y ) et G ( x , y ) , telles gire les courbes F = o e t G = o rt'aient aucune'courbe cornrnuI)e, il existe d e u x fonctions entibres U ( x , y ) et V ( x , y ) y u i satisfont iz I'identitk UF , VG
X ( x )Y ( y ) ,
k t a l ~ lurte fonction entibre d e x, Y une fonction enti2re de y.
X
En effet, d'aprks I'hypothkse faite, on n'a F = G = o qu'en dm
points isoles. Considerons les valeurs ])rises par 2G sur la courbe F = o. D'al)rBs le theoreme B, i1 existe une fonction, de la forme
telle que la fonction V
I
i7XY E!E F
-4
ne devienne infinie qu'en des points isoles de la courbe F = o. Comme XY VG AGXY = - - F
I;
ne peut tlevenir infinie que si F = o, elle ne pourrait Ctre infinie qu'en des points isoles; c'est donc une fonction e n t i h e U ( x , y ) , e t le thenreme est dCmontrC. Ce resultat est a rapprocher du theoreme elementaire suivant : etant donnes deux PO!\ nomes F(x, y ) et G ( x , y ), non divis i b l e ~tous deux par un mCn~epolynon~e,il existe dcux poljnornes U (x, y ) et 1 ( x , y ) veriliant l'identite
>; etalit un polynon~eon x . Dans les conditions d u theoreme 111, nous avons X I Tau second membre, et non X ; on ne peut pas faire autremenl, car les x des points comnluns a F = o et G = o peuvent fort bien s'accuniule~.au voisinage d'une valei~rfinie.
5. r l ' ~ ~ lli. ~ ~-ESoienb \ ~ ~d e u x Jortctions errti2r.e~F ( x , y ) et G ( x ,y ) telles gue les coctrbes F = o et G = o n'aient aucune cour~becorrin~urte. Pour. qrr'rine fortctiorz ertti2r-e H ( x , y ) prrisse
U ( x , y ) et V ( x ,y ) blunt d e s Jortctiorzs entidres inconntces, il J h u t et i l suffit q u e , nu uoisinage d e tout point (x,, y o ) commuri ci F = o et (; = o , H ( x , y ) pirisse se m e u r e sous l a Jorarne
t c ( x , y ) et ~ ( xy, ) i t n l ~ t/ ~ o l o m o ~ y ) /a~uevs o i s i r ~ a g ed e
( x , , yo).
-?puoa a p aw?ls,€s un dannodl L [ g ~ d a ~( ox A a ' O X )ju?od a ) ] iu?a.ri -saJ zassw a%wu?s?oa un S U W ~? U ~ U ~ ? U W Jsallnu ~ ~ I Uuou I ~ Ss?ww '?u?od a3 ue sallnu '(OL i o x ) c clod r ~ pa%nu!s.ton nr, s a y d ~ o w -oloy &(..C' L x ) %la ( A ' . z ) J s u o j ~ ~ u oxJn a p saauuop I U V I , ~
m o p 1sai3 anb a!urju!
:sales! slu!od
sap ua,nb aA!.ul:,u
aJla l n a d nu
-
-rn
!-I
' ( . 6 ' x )10 no!ln[os a.qne alnol 'al!ns ~ e d 'la
uo!l3uoj
' a q l u a uo!13uoj aun !nb aa = 9 = !s L,
el anb l!npap
uo
.red aauuop Isa ( L ' x ) I A auIaJoaq1 lip sea a1 srrep arnruo3 .a.r~uoru?pisa aru?.roaql a1 !a.la!~ua
'3 a p lu!od lnol ap aseu!s!oa ne a q d ~ o r u o l o qIsa
.I H
A
uo!l3noj 1!7 . a ~ c d s a , l a p ~n!od aJlne lllol a p a8eu!s!oa ne ,)qd.rotrro[oq ugua ' o = r~n o
-!oh ne
= H
y o,iualr:ar~~b~) aqd.~orrro.r?ru uo!13uql aurr ( . ( " x ) ) I I!OS
lions necessaires et suf$sanles pour. qu'une fonction h ( x , y ) , holonzorphe a u voisinage de ( x o ,.?*,,),puisse se mettre socis la for me h = uf
(3
+ vp,
U ( X ,y ) et r ( x , y ) e'tant ho1omorj)hes a u uoisinage d e (x,,,y o ) . Nous pouvons supposer xo= y o= o. Toutes les fonctions peuvent se developper en series doubles procCdant suivant les puissances positives de x et de y. Une condition evidemment ntcessairc? est
Montrons qu'elle est sufjisnnte, si le determinanl Jbncliong , n'est par nul d Z'origDle (z = y = o). tel D'f A D(X' Y ) h En effet, la fonction - admet un point d'indetermination a l'oriR
gine, mais, sur la courbe f = o , elle est bien ddterminke et poss6de une valeur finie h I'origine. Pour le voir, supposons par
f non nu1 a llorigine -d f et 3I fn e sont pas nuls tous deux exemple do, Y (dr dy S u r la courbe f = o , on peut alors prendre x comme variable independante, et y est fonction uniforlne de z; la partie principale de g ( x , y ) prend la forme kx
k # o en vertu de
h
d'oh il suit que - reste finie pour x = o. S u r la courbe j'= o , la g
h
fonction - peut donc s'exprimer a l'aide d'une fonction v ( x ) , holoR -
morphe au voisinage de x = o. O n a ainsi
a ( x ly ) Ctant holomorphe au voisinage de tout point de f = o , sauf peut-&tre a l'origine. Alors
est necessairernent holomorphe a l'origine, ce q r l i etahlit ( 3 ) . c. Q. F. I , .
amaw ~ n a duo) au!$!~o,lap a$eu!s!o~ne aqd~oruoloqI U W ~( A ' xjq
a w o j el snos aJilaw 0
as inad 5 uo!lc~uojel anb
I!OA
uo '(,)
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-suowpp el suep as!l!in luaruauuos!leJ a1 3ueua~da.1ua ' ~ a j au 3 .211?%?.40,1 ap ~a4vu?s?on n n sayd~ozuojoyjuvj? ( A ' ' x )9 ja ( A ' z ) v
.sa:~trrur.r~jpp ua.19 sau?.,? ~ . r q w o uu n w juassq/j.!jws -ouroy la saJ?wpu?l stro!luja.r ap au?3?~o,jdp ~ . ~ v ~ I ? s 712) ? o (( IA (z) I/ ap lt~auladdo?a.+)p ttp sjua?~tJ -[z~o:,s.rqtua~drat anh 'na!,t .r!ottw ass!ttd ( E ) an6 .IIIO(? ' j g J n s j? la jnq[ j! 'sa,autlop luwry (A' ' z ) . ?a ~ ~(,C '.r.)J'.,I ~ : ~ X O ~ H
' 0 = 3 7" ~ ~ 1 S 7I I) ? ~ ~ ( I ~sju?od U O ~ saj .rut/ assv6 o = H aqJno2 ~ n l l?l[ns ) 1) ja jnt!/' 1.1 'sa.~+!luaJ V U I ; ) ( A ' x ),\ 12 (A' ' x ) l l
o =J, sq.rtro3 111
~trr.ro[01 s ~ i o sd.rjjaur as ass?nd (A' ' X ) H ad???lra cro?j3vo/' aun,nb .rttod .juazu??rn~l?izu!s judlttucrw,~t ) ja ,q n o 7711od jttoj tra of-
( L.Z),-J ( 9 '.+lJ(l
j?v uo,j atib sajjal (.,C ' x ) ! ) jo ( A' x ) , 4 so.r??lt~asrro~~3uo/' a n a p jzra?oS - -s!9 < j 1 ~ W : ! H O ~ H J : aruipoaql a1 c~uopsuoae snoN - 6 -
supposer que c'est un polynome en y ) , et A(x, y ) elant mkromorphe, n ~ a i srestant finie sur la courbe f = o sanf peut-Ctre a l'origine. O n a donc 2 k ~ b g . ht g x k f .
et h g x k = a ( x , y ) est holomorphe an voisinage de l'origine. C. Q . F. D .
I1 existe de m&meun entier h tel que yh'a'f
-
h'g.
LEMME2. - Toute fonction c ( x , y ) dont le developyetnent au voisinage de l'origine commence p a r des ternles de d e g r t m assez g r a n d , peut se mettre sous la fbrme
Prenons en effet m = h + k - I ; c ( x , y,) pcut se mettre sous la forme c ( x , y ) = ~ ~ c i ( x , ~ ~ ) + yY~ )~ . ( x : = c , ( a f + b p ) + c , ( n l f -Lb ' g ) C.
Q . F. I ) .
LEMME3. - P o u r que ( 3 ) pltisse avoir lieu, il f'aut e t i l s u j fit qu'il existe d e u x polynomes U ( z , y ) et V ( x , y ) , tels que le dko~loppementde h-Uf-VS'
commence par des termes de degrC au ntoins e g a l h nz.
La condition est nkcessaire, comme on le voit en Ccrivant
puis en remplaqant les diffkrentes fonctions par leurs developpements respectifs au voisinage de I'origine, et en identifiant. Elle-est suffisante, car, d'apres lc lemme 2, on aura
Cela posk, kcrivons a priori les premiers termes du developpernent de h ; prenons pour U et V des polynomes a coefficients
indbterrninbs ; ecrivons nos relations d'identification en nombrefini, et eliminons les coefficients de U et V entre ces relations. I1 nous restera des relations lineaires e t homog&nesentre les premiers coefficients de h. Ce sont les relations nbcessaires et suffisantes cberchCes. Le theoreme V est donc Ctabli.
E n re'sumk, pour qu'une fonction entibre H ( x , y ) puisse se mettre sous f a jorme U F + V G , F et G etant des fonctions entibres donne'es ne s'annulant simultantment qu'en despoints isoles, U el V ktant des fonctions entizres inconnues, i l f a u t et il sufBt que, e n chaque point ( x , , y,) commun d F = o et G = o, il existe U I L nornbre j n i de relations line'aires el homogdnes entre les premiers coef$cients d u dbveloppernent de H au voisinage de ce point.
7. Soit C une courbe entiere indbeomposable, d'bquation
F dtant une fonction entidre, qui ne s'annule que sur C, et pour laquelle la courbe C est simple
autrement dit, les points de C oh
JJ. = F; s'annule sont irol6s 3F
M designant u n point quelconque de C, considbrons uoe fonction I ( M ) , dCfinie sur C, rneromorphe et uniforme nu voisinage de cllaque point de C, mais non uniforme sur l'ensemble de la courbe; supposons en oulre que, lorsqur: M decrit. sur C un chemin fermd (A une dimension reelle) non dductible zero sur C (en admettant qu'il existe de tels chemins), I ( M ) se reproduise augmentbe d'une constante. Alors
dI
- est nx
uniforme sur la courbe C ; par
nr nous clx
entendons
la dCrivCe par rapport a x de la fonction I ( M ) , considerke comme fonction de z (fonction qui peut avoir des singularitCs algkbriques en u n point oh 0). Soit donc
F'=
le chemin d'intCgration etant s u r la courbe C. D'ailleurs, d'apres le thboreme A , on peut ecrire
R ( x , y ) bran1 meromorphe partout A dislance finie. q i n s i
x et. y
Ctant lies par la relation
1.a fonctioli I ( M ) joue donc, par rapport a la courbe entiere F ( x , . y ) = 0, le m & n ~ rble e qile les intkgrales d e premihre et de
seconde espece par rapport ilux courbcs algebriqoes.
8. Les integr.cr1e.s de 1)r.emi2r.e espece. - l ( M ) sera dite d e premidr-e espcce . ~ellr i r.esle Jiriie en ( 0 1 t r point d e C sitr~da dist a n c e f i n i e . Parler des poinls a l'infini de C n ' : ~ en cff'et pas d e sens, comnie nous 1e ~iio~itrel.ons au no 12.
TH~ORE Vl. I IE 7 ' 0 1 ~ lint(Jgr.nle e d e p~.r~tzii~r.e espzce peul se
Soit en effet y ( M ) une folic~ionmeromorphe et uniformr s u r C, telle quc l'intkgrale j-pi~,rb
reste partout linie. l'our clue l'on puissc ecxvire 5(&1 IF;.= P i x >y).
i1 sufiil, d'aprks le theoreme I , que, au voisinage de tout point. de C,
i1 existe une fonction holomorphe p ( x , y ) qui prenne sur C les mtmes valeurs que (p(M) F;.. ConsidCrons d'abord un point ( x , , y o )d e C en lequel : 1"
FZy#
0,
de sorte que Y s'exprime sur C en fonction unifornie
de x ; a"
cp(M) est holomorphe.
Dans ces conditions, (p(M) peut s'exprimer en fonction holo-
Les points de C pour lesquels l'une au noi ins des conditions prCcCdentes n'est pas rernplie sont isoles. Soit ( s o ,y o ) un tel point; nous supposerons x,= yo = o. h chaque valeur de x voisine de zero la relation P ( z , , y ) =n
fait c o r r e s p ~ n d r en valeurs de +y, soient y 4 ,y,, . d'une kquation
lcs ai Ctant holomorphes en x ; soient M , , correspondants de la courhe C. On a
. ., y,
Ms,. . ., M,,
racines
les points
.
, . . , O,,-, Ctant des fonctions de x , z~niformeset mtrornorphes au voisinage de x = o. Ces fonctions sont r n h e holomorphes, c a r les intCgrales (Po, ( P 4
.
(i=n..
J-
1.
..., n - 1 ,
restent h i e s pour x = o, puisq~ie c p ( M ) d xreste Gnie. O r , effectuons la division de Q ( y , x ) , polynorne en y, par y -y4; il vient
- 14 les bi Ctant des polvnomes en %, a coefficients holornorphes en X . Multiplions les relations ( 4 ) respectivernent. par 6,-,, bn-2, . . ., b , , I et ajoutons, il vient
q(x, y , ) btant holomorplie au voisinage de x = o,
,y, = o : c'est
mQme un polynome en I - ,; d'ailleurs ,Y';-'
+ ht yy-2 + . . .+ b,-,
=
d Q ( y i ,a:). d"~
Ainsi d-Q
( y !x ) T o =~ $ 7 ,) .T,.?.).
d.~
l?(z,y) Ctant holomorphe au voisinage de I'origine (thbordme de Weierstrass). Donc
sur la courbe F = o. O n a eniin
Le thtoreme VI est donc Ctabli. 9. Lcs crdjoilttes. - Nous en tlon~leroi~s une delinition transcendantc. Une fonction entiere P ( x , j - ) sera ditc ndjoiltte (ct la courbt P = o courbe adjointe) si l'inttgrale
est d e premihre especc. Pour qu'il en soit ainsi, il faut cAt i1 suffit clue cette in~egrale reste linie en chaque point ~rrrrltiplede la coarbc. C. On a en cKet
puisqu'ou a, sur la courbe C,
Donc, quelle que soit la fonction entiere I'(.z, y ) , l'integrale envisagee restc finic en tout point sirriple de la courbe C. La definition des adjointes est invariante par rapport aux changements de coordonnees; car si l'on pose ((ibl-- b a l # o )
P ( x , y ) devient Q ( X , Y ) , F ( . r , .y) devient G ( X , Y), et l'on a , sur
C, P I s..,,) (13.
F;
= itrbf- b t c ' )
(?(X,Y)ffX G .;
I1 existe une infinite d't~djointes;par exemple torlte fonction de la forme H = AI:;.- HF', C:F,
A, B, C etant des foncbtions entikres de x et
,I-, est une adjointe,
car on a R d x -. - .\ r[y -+ 13 t/z F,' -
sur la courb(1 1.' = 0 . O n peut se proposer de cllc!rchel* des conditio~lsnecessaires et s~~ffisantes pour qu'unc fonclion enli&re P ( x , y ) soit i ~ t adjointe, ~e conditions qui fassent intcrvenir le comportemcnt )) de P au voisinage dc chaque point n~ultiple.On verifie sans p i n e que, en un point n~ultipled'ordre m a tangentes distiuctes, P ( x , 3.) doit s'annuler ainsi que ses derivees partielles jusqu'a l'ordre m - n inclus; cettcb collditio~lnecessaire est nussi su'ffisanle. Dans le cas d'un poilit ri~ultiplequelconque, 1t.s prernit.~.~ coefficients du developpement de P i ~ uvoisinage de ce point doivent satisfaire a un nornbre fini de relations lineaires honiogenes; en tout cas, il s u j j t que la courbe l'= o admette 1t: point considere comme point multiple d'ordre suffisamment grand. ((
10. Ides ./'onctions holornoi.yhes s l r r In courbe. - Si p ( M ) est uniforme et holon~orphc, p ( M ) dx est une integrale de premiere
.I-
esp8ce. O n peut donc ecrire ?(LM)=
P(x,y ,
-,
F~
P(r,y ) etanl une adjointe. Inversement, pour que
P(I, reste F.Y
finie sur C , il ne suffit pas q u e P soit une adjointe : on doit encore tlxprimer que, en un point multiple ( 4 ) comme en un point ofi P F', = o(F:, f n), F, reste linie sur C. r'
T F I C O RVII. ~ M E-- Q ( x , y ) C ~ a n tr ~ n ea d j o i n t e a r b i l r a i r e , toute fonction ?(M), r ~ n i f o r m eet holomorl)he s u r l a cout.be,peut
w).
re nzettre sous lo / o r m e P ( x , y ) dtant rrne a u t r e Q ( x . yI adjointe.
reste bvidemnient linie sur la courl)t<.O n peut donc Ccrire
P ( x , , y ) e t a ~ ~une t adjointe, ce qui demontre le theorbme. 11 se peut d'ailleurs que les courbe..; P = o et Q = o aient une partie commune.
Cas l)articulier. - Si la courbe C u'a pas de points multiples, la constante un peut &tre considCr6e comme une adjointe; donc toute fbnction unifol-me et holomorphe s r ~ t C . peut se mettre sous la jornle d ' u n e fonction enti2re P(x,y ) . Cette proposition rCsultait d'ailleurs dc. I'Ctltde faite lors de la demonstration du thCorb111e I .
4nplictztion. - Soient, dans Ic plan de la variable complexe X, des points n,, en n o ~ ~ ~ fini b r enu infini (lim a,, = a, dans ce dernier cas). Formons nne fonction ?(x)admettihnt ces points pour p6les, et holomorphe partout ailleurs a distance finie. Considhrons la variBtC ( I )
Prenons par exemple la courbe ya-- x 3 = 0 ; x est urle adjointe. Car I'intP-
gralr
x Y
reste linie. 01.- ne reste pas finie sur l a courhe.
- 17 y = rp(x); elle n'a pas de singularite i distance finie dans l'espace ( x , y ) : c'est une courbe entiere sans points nioltiples. Donc toute fonction holomorphe sur cette variete peut se mettle sous la forme P(x,y ) , P 6tant line f o n c ~ i o nentiere de deux variables. Ainsi :
T H ~ O R EVIII. M E - Y1outefonctiori u n ~ o r . m e3 e x , n'adnzetlant pas d'aulres points singciliers u distance finie que des points a,, (lim a,,= oo si ccs poitits sont en nombre iniini), peut
P ktant une jbnctior~enlik1.e de
deux variables, et cp(x) une Jnction infinie a u x points a,,, holomorpiie atllerirs.
11. Les int&r,ales d e secontle espkcc?. -- Elles son1 de
1ia
fornie
y ( M ) t;tant unifornie et meroinorphc sur la corlrbe C. D'apres le thCoreiiie A, on peut ecrire
Pk et
designant des polynollles; dt. rnenie
I
O n e n deduit. p o ~ ryl ~ r un ddveluppsa~ente n serie double t ~ n i formement convergente, et ]'on trouve linalement. que ?(M)peuL se meltre sous la fornle d'une skrie de termes de la forme
Ainsi toute intkgrale d e seconde e.~pi.ceesl tlr In .for-me
l a sirie t t a n t z~niformementconclt~rgertte.[,a rkciproque n'est pas vraie.
i2. Cornrne au paragraphe 11, i1 s'agit ici d'une courbe entiere indCcomposnble C, d1@quation
F(x, y ) satisfaisant aux condition3 posees au x i 0 7 . La c o r ~ r b eC est une varietk sans singularit6 A distance finie; en particulier, elle s'ktend a l'infini. C'est unt? variett? ouoer5te,car, Btant donnee, s u r C, une suite infinie de points qui sleloignent a lli!lfini dans l'espace ( x , I,), ces poiuts u'dnl aucun point d'accornulation s a r C. L'introduction de points a l'inf ni, potii. uue courbe algebrique (considBrke comrne une varietC dans le plan projectif complexe), en fait au contraire une variete fecnl6e. I1 cst nature1 d e se poser la question suivante : etant donnee une courbc entikra C, est-il possible de lui adjoindre des points a l'infini, t!u nombre fin;, de facon a en faire uile variete V fermee? I1 f i u t alors que, lorsqu'un point (x, y ) dc C dCcrit un chcnlin ciui sleloigne a l'infini, z, y Y et .tendent respect.ivement vers d r s limites don1 l'unc au nloins 2
est inlinic. J e dis que, darts ccs corrditior~s,lci cocirbe C est nlgkbrique. E n voici la raison en quelques mots. La surface de recouvrement ( /leberlagerur~gsflaeche)de la varietk fernlee V se presente conformenlent soit sur une sphere ( l ~ u q u e lcas la courbe esl algkbrique unicursalc), soit s u r tout le plan h distance finie (ce qui est le cas d'une courbe alg6brique de gellrc u n ) , soit enfin s u r u n cercle du plan de la variable complexe z (auquel cas x et y sont des functions fuchsiennes de I , relativen~enta un groupe dont le domaine fondarnental est intkrieur a un cercle interieur lui-mCme a I'; on en deduit que z et y sont liees par une relation algebrique).
Etant donnee une courbe eritiere rton algkbrique, nous ne considererons donc cornme faisant partie de la courbe que les points a distance h i e .
13. Kepresentatior~pnramdtr.ique d ' u n e courbe entiere sintplement connexe. - La coui,be entiere C est dite simplement connexe si toule courbe feririee L, a une dimension reelle, tracee sur C, partage la variete C en deux autres dont I'une admet pour frontiere L et L seulement. Ida thdorie generale de l'uniformisation nous apprend que, dans ce cas, il existe sur C une fonction de variable complexe z = cp ( M ) ( M dksignc un point quelconque de C ) qui etablit une correspondance biunivoque entre C el : I" 2"
soit tout le plan z idistance tinie; soit I'interieur d'un cercle du plan z .
Les coordonnees x et y d'un point de C sont des fonctions holornorphes, u~iiformesde z. O r , d'apres le theoreir~eVTI, on peut ecrire
P et (1 ktant deux adjointes, Q(x, y ) etant d'ai1leu1.s une adjointe arbitraire; par exernple, on peut prendre Q = F;. Ainsi I'adjointe P ( , r , ,),) - z Q ( . r ,-,,)= o .
q u i ddpertd lirte'nir-emertt d u pu1.am2lr.e t,c o r ~ p ela courbe C en ~ L I point L a u p l u s vuriuble nvec z . (Cette adjointe peut se deconiposer en une partie fixe, sans intkret, et une partie mobile.) Inversernent, les coor~tlonntesx et y d u poirzt d'intersectiorr sorzt des fonctiorrs holomor.phes d e z . Ce resultat rappello un resultat classiclue, relatif i la representation paranietrique des courbes algkbriques unicursales d'ordre nr il'aide d'un faisceau lineaire d'adjointes d'ordre ni - 2 . E x e m p l e d'urie courbe entiere, sirnplcment connexe, represelltable sur tout le plan a distance tinie. En dehors d'un cas banal tel que
y -e r =
0,
prenons .r
r
.;in a .
y
= s11 s.
;tit;~ntun paranlllre complexe qui decrit tout It: plan. Q u a n d z lend vers I'intini, la plus grande des q u a n ~ i t e sI x( et y 1 tend uniformenlent vers l'infini. Le point ( x , y ) decrit donc une variet6 sans singularitC a distance finie, c'cst-a-dire une courbe entiere C. Malheureusenlent, on ne voit pas de fonction cntihre simple F(x,.y) qui, 6galee i~ zero, donne la courbe C. De toute facon, norls siivons que ;pcut s'exprin~era I'aidc d'une fonction mkromorphe de x et y .
14. Hepl.eser~tntiol~ paramdtriclue d ' c ~ u ecourbe entikre quelcsongzre. - Si la courbe C n'est pas une variete simplement connexe, elle possede une varikte de recouvrcAmentsimplement connexe C , . I1 existe une fonction de variable complexe z = rq(M), uniforme sur C , , mais non sur C, et qui etablit uue correspondance biunivoque entre C , el : ~ h o i lout t le plan a a distance finie; soit l'interieur c!'un cercle du plan 2, ou cncore, cc qui revient au n ~ & n ~lee demi-[)Ian , z, o(s =z , iz,). 2"
>
+
E x a t n i ~ ~ o nd'abord s le premier cas : x et ?r sont des fonctions enti6res tie z qui se reproduiscan~par des substitutions de la forme
substitutions qui fornlt!nt un groupe. Un tel groupe esl necessaire~nelltcelui dcs puissances d'une mCme translation,
car, s'il y avait deux translations fondamentales, x et y seraient der fonctions elliptiques de z , et par suite auraient des p6les. Ainsi, x et y sont, des fonctions holomorphes et uniformes de
et il y a correspondance biunivoque entre la courbe C e t le plan t prive de zCro et l 1 i n . n i . Inversement, 1 s'exprime par une fonction mkromorphe de x et y ( theoreme A).
dz
- est uniforrne stir
dx
C. el I'inlegrale
reste firlie en ~ o u point l de (;: c'esl donc une inlCgrale dc premiere tlz tl.z
espece. Par suite, - esl de la forme
Pix J I -(2 -~ ' ,i.r. , y )
P et C) eta~r.des
adjoin tea. Cette integrale n'a qu'une periode, la pkriode h ; toil le inlegralc abelicnne attachee a C n'a qu'une pkriode: puisque la varikte C (:st doublernent connexe. ~ t a n donnkes t derlx intCgrales abkliennes de premiere oil de seconde espece, il existe 1oujour.s une comlinaison lineaire de ces inlCgrales qui est unifornle, donc fonction rnkromorphe de x eta)..
Exemple. - Soit
t 6tant un pararnltre cornplexe qiii decrit le plan prive de zbro et
l'infini. Le point (2,y ) engendre une varikte C sans singularite A distance finie, donc une courbe entiere; t peut s'erprimer en fonction rneronlorphe de x et (theorerne A ) .
15. Dans le second cas, ou z = rq, ( M ) decrit le denii-plan t,> o quand M dCcrit C , , x et y sont des fonctions de ;, uniforrnes et holomorphes pour z 2 > o, cjui se reproduisent par les substitutions d'un groupe fuchsien O I I fuchsoi'de G . I1 en sera ainsi tnutes les fois que C nc sera pas sirnplement connexe, ni reprksel~tablesur une sphere privde de d e n points. Consid6rons l'expression
od z', z", z"' ddsignent les derivees successiues de z = ?(M)par rapport a x , z &ant consider6 cornrne fonction de x sur la courbe C. Cette expression est invarjante par rapport a toute transforrnation homographique effectuee sur z ; c'est donc une fonction uni-
forme sur C, et l'on peut bcrire
R ( x , y ) ktant une fonction mkromorphe pnrtout a distance tinie. Exemple. - Soit la courbe entiere
Posons ex=
11.
II vient :t-=logu:
.r=log(r-u).
Soit u ( a ) une fonction qoi effectue la representation conforme du demi-plan z 2 > o sur la surface de recouvrement du plan u prive des points o, I et a.Les formules (6)
z = log n ( z ) ,
y = log[[ - U
( Z )
I
donnent une represeutation pararnktrique de la courbe ( 5 ) ; x et y reprennent toutes deux la meme valeur si a subil les transformations d'un certain sous-groupe I' du groupe niodulaire G. Le groupe G peut &tre dbtini par les deux substitutions fondamentalts
Le groupe l' est le groupe des substitutions de la forme
oh Its ai et les pi sout des entiers positifs, negatifs ou nuls, assujettis aux conditions
L'ktude du groupe J? n'est pas sans inter&. 11 est impossible de lui donner un nombre fini de substitutions fondamentales. O n a un systeme de substitutions fondamentales, en nombre infini, en prenant toutes les substitutions d t la forme
( m et p etant des entiers arbitraires pobitifs, nkgatifs ou nuls) et leurs inverses. 11 n'existe aucunc relation entre ces substitutions fondamentales. O n a un domaine fondamental A, limit6 par une infinit6 de denli-circonfkrences ayant leurs centres sur I'axc r6el et tangentes exterieurement deux a denx; les extremitbs de ces demi-circonferences sont tous les points de l'axe reel dla.bscisses
Ces demi-circonferences sent conjugukes deux a deux; la circon-
est conjuguke de la circonference
I 2 Ilk- ) . Au doniaine fondamental A et a sa frontiere les formules (6) font correspondre une fois et une seule la courbe (5) tout entiere munie d'une infinitb de coupures allant de l'infini a l'infini. Ces coupures rendent la cor~rbesimplcment connexe; sans les coupures, elle est mnltiplement connexe d'ordre inlini.
16. Soient deux courbes entieres C et C' indecomposables. Supposons qu'on puisse etablir une correspondance conforme et biul~ivoqueentre ces dcux vnrietes. D'une maniere precise, supposons qu'il existe deux functio~lsde variable complexe X(M) et Y (M), uniforl~leset h o l o ~ ~ l o r p hsur c s C, telles que le' point (X, Y) dtcrive u ~ l e fois et une ser~le C' quand le point h1 dtcrit C. D'apres le thkoreme A, on peut alors ecrire
f et g e t a ~ ~lleromorphes ~t partout a distance finie. Inversement, M' designant un point quelconqoe d e C', x et y les
coordonntks du point M de C qui lui correspond, les fonctions x ( M r )et , y ( M 1 )sont uniforn~eset holornorphes s u r C', et l'on peut ecrire (8)
. r l ( , ) . ,
y=(;(X,Y),
F et G Btant rnerornorphes purtout a distance finie. Ainsi, les relations ( 7 ) ' ou les variables x et 3, sont likes par 1'Cquation d e la c o ~ l r b eC, permettent d'exprimer inversetnent x et y en fonctions merornorphes des variables X et Y likes par l'equation de C'. Nous dirons qu'elles detinissent une rr.ansjbr.mation c',irne'romoryhe de cour*be a c-oorbe, par analogie avec les transformations birationnelles des courbcs iilgebriques.
17. A quelle condition peut-il exister une tellc correspondance C et C ' ?
eutre
P r e m i e r cas : Si C est silnplenlent connexc, C' doit I'Qtre Cqlement; C et C' doivcnt Ctrc t o ~ l t c sdeux representables conforrnernent s u r le plan, 011 toutcs deux sur le cercle-unite. Soient z et Z les variables d'unifornlisation. O n aura la correspondance la Idus glnerale enlre C et C' e n kcrivant
si z et 7, d6crivcnt tout le plan, et
si 5 et Z decrivent le c e ~ * r l c , - ~ ~ ~I Il ai tle~.sle premier cas, la correspolldance depend dc qu~ttl-epamn~etresreels: dans le second cas, de trois pararnktres. Les relations ( 9 ) et ( l o ) nous tionnent t!galement la tr.arisforltr(zfio~rhirnr;r~onznrl~/te Icc p l u s g i n e r . 0 1 ~de la courbe C erz. ellenlPnie. lI)ecrxii,nrr, ctcs : Si (: est doublell~entconnexe, C' doit l'&tre Cgalement. (: et C' doivent Ctre toutcs d e u r representablcs conforllrement s u r le l)lirn prive d r zc;t.o et l7ill$ni, 011 toutes deux s u r u n ccrcle prire de son centre, o o toutes dcux s u r une m&mecouronne circulaire. Les tr:rn~forrnations l)imeromorphes d e C en C',
-
25 -
ou de C em elle-meme, dependent d e deux parametres dans le premier cas Z = a z , a complexe, ou encore
(
Z = 1'0,
kciO
./. = T,
Z = - , d'un
") o" k est fire). z
sell1 dans
w
Troisikme cas :11 se detinit par l'exclusion des deux autres. C et C' ont des varietes de recouvremenl C , et C',, clui se laissent chacune representer conforinement srlr un cercle: les groupes correspondants G et (3' ont plus d'une substitu~ionfondamentale jsinon l'on serait dans le deuxieme cas). Pour qu'il puisse exister une transformation bimeromorphe de C cn C', il faut et i1 suffit cju'il cxiste unt! substitution homographiquc
qui t r a ~ ~ s f o r mlee groupe G en le groupe G ' ; autrement dit, qlie les groupes C; et G' appartiennent a la mCme r*lasse. Nous dirons aussi que les r o u r b ~ sC et C' { ~ p p a r t i e n n e n rti la m&me classe. O n trouve les transformations bimCromo~.phesde la courbe C en elle-meme, en cherchant les substitutions de la forme ( I I ) qui laissent itlvariailt le groupe G. 11 est aise de montrer q ~ ~ ' e l l e s forlnent un groupe yropr-emertt discontinu, sinon C; n'aurait clu'line substitirtion fondamentale. Par consecjuenl, les trnns.fo~.mntiorls bimSromoty)hes de C e n elle-rndnze f b ~ . m e n tu n ensemble ~)t.opt-erwentdiscorttirzu. Cela veut dire que. ctant donne un point quelconque M de la courbe, il n'existe pas de transformation fai,ant correspondre a M un point nrbi~rairenientvoisin de M et difFerent de M. C'cst la generalisation d'une proposition bien connue relativc: aux courbes algCbriques dc gcnre plus grand que u n .
P.-S. - Au no 13, je n'ai pas donnk d'exemple d'une courbe entiere simplement connexe reprksentable sur un cercle, parce que je n'avais pas su en trouver. IN probleme a resoudre etait le suivant : C o n s l r ~ l i t - etin systZme de d e u x J b r ~ c t i o n s
+1 g ( z )(
holotnotphes y o u r 1 z / < 1 , telles q u e 1 f ( z )( ~lnifornllnzetzt vers l'infini ~ l u a n c t1 z l e n d vers
terlde
UIZ ( I ) .
M. Valiron, a qui j'nvais pose ce probleme, I'a resolu de lavfaqon la plus elbgante en s'inspirant des travaux dc Fatou. J'indique ici rapidzment l'exemple qu'il m'a aimablement communique, en priant le lecteur de se reporter, poor plus de de~ails,ail beau Mbmoire de Fatou [ S u r les kquatiotzs fonctionnelles, ~roisieme Memoire ( H u l l . Soc. m a t h . d e F r a n c e ; t. 48, 1920, p. ao8-314); voir fj 62-65]. s etant rCel ( o < s < I ) , considbrons la substi~utionrationnelle
et la fonction de K e n i g s f ' ( z ) , solution de lJequa~.ionde Schroder
holomorphe pour / z 1 < I . J e d i s q u e / f'(z) ( + 1 f ( z ) I t e n d unifor.rndment vers 1 7 i n . n iq i l a n d 1 z 1 t e n d vers u n . E n effet, d'apres Fatou, on peut exclure du cercle / z 1 < I une infinite de domaines y,, , enlourant les zeros de f ( a ) , dont la somme ( I ) Dans ces conditions, en elTet, lorsaue z d i c r i t le cercle I z 1 < I , le point ( x , y ) engendre uoe variCtk sans singularith A distance finie, domc une courbe entiere C. Y a-t-il correspondance biunivoque entre / z < I e t la courbe C ? S'il n'en Ctait pas ainsi, A uo point quelconque ( x , y ) d e C correspondraicnt plusieurs
points r, se deduisant les uns cles autres par les substitutions d'un groupe G d'homographies conservant 'le cercle-unite. Ce groupe ne pcut contenir une inGnitC d'oplrations, sinon Ies homologues d'un point quelconque z , s'accumuleraient au voisinage de la circonfhrence 1 z I , et les fonclinns f et g seraient bornees ell ces points, ce qui est contraire h I'hypothese faite. Soient donc
-
les s u b s t i t u t i o ~ l srle G . .\lors
reste invariant par les substitutions de G ; inversement, i toute valeur d e t ( / t 1 < I ) correspondent n valeurs d e z , d e modules inf6rieurs a un, qui se dkduisent les unes J e s autres par les substitutions de G . On a donc une correspondance biunivoque entre la courbe C e t le cercle 1 t 1 < I . C. Q.
I. D.
des longueurs des contours est arbitrairement petite, de faqon que
( ja(z)( tende uniformkment vers l'infini quand 1 a ( tend vers u n en restant extkrieur aux y,,. MCme proposition pour f ( z ) , en excluant des domaines y:,. L'on peut en outre s'arranger pour que les y , et les y;, n'aicnt aucun point commun, a c o n d i t ~ o nque f ( z ) et $(I) n'aient aucult ;ero commun. :[I suffit domc de verifier que cette condition est remplie avec la fonction R ( z ) choisie ici. Et en effet, f(z) ne peut avoir de zCro multiple que si.f ( z ) et R1(z)ont un zkro commun; o r ici Rt(a)s'annule pour
d'autre part, les zeros de j ' ( z ) sont, outre z = o et z =- S, 1es antkckdents de z = - s, dont le module est superiei~ra s, puisque
I
zl
> l H(;) I:
aucun d'eux ne pcut donc coi'ncider avec a.
Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes Bulletin de la Societe mathematique de France 59, 46-69 (1931)
I.
- Introduction.
1. O n sait, depuis les travaux d e F. Hartogs ( I ) e t E. E. Levi ( 2 ) ' que les domaines d'existence des fonctio~lsanalytiques d e p1usic:urs variables complexes ne sont pas des domaines quelconques. E n particulier, si le domaine d'existence d'une fonction analytique drzdeux rvariablegcomplexesa pour frontihre une hypersurface (a trois dimensions reelles) qui satisfait a certaines conditions d e rCgularitk, il existe une expression differentielle qui fait intervenir les dkrivCes partielles du premier n ~ e m b r ede l'equation de l'hypersurface et qui doit posseder n n signe determink. G. Julia ( a ) a montrk plus tard q u e l'ensemble des points ou une famille d e fonctions holomorphes est normale jouit d e propriktks tout a fait analogues. Cela est assez nature], car les proprietes des domaines d'existence des fonctions holomorphes ont un rapport etroit avec celles des domaines d e convergence des series d e fonctions holomorphes. Malheureusement, le fait d e connaitre des conditions necessaires et suffisantes pour qu'une hypersurface soit, a u voisinage d ' u n d e ses points, la frontiere d'existence d'une fonction analytique, n'entraine pas la connaissance d e conditions necessaires et suffisantes pour qu'un dornaine donne soit le domaine rota1 d'existenw d'une fonction analytique. A I'heure actuelle, le problkme d e la recherche de telles conditions nbcessaires et suffi(I) Voir, n o t a m ~ ~ ~ e nUeber t, analytische Funklionen rnehrere~ unabhang. Veriind. ( M a t h . Ann., t. fi?, 1906, p. 1-88). ( I ) Annuli d i Matematica, sbrle 1118, t. 17, 1910, p. 61-87, e t t . 18, 1911, P. 69-79 (" Sur Ies familles d~ foncliolts analytiques d e plusieurs vuriables f Acla mathematica, t. 47, 1926, p. 53-115).
santes n'est resolu que dans c e r t a i n ~cas particuliers ( I j. Une classification des dornaines s'impose a ce sujct; elle sera indiquee au no 2. L e present travail est une rontl.ibution i la recherche de conditions nkessaires et suffisantes. Nous en trouverons dans des cas tres etendus. C'est en Ctudiant les propriktes des domaines d e convergence uniforme des series de fonctions holonlorphes que nous obtiendrons de telles conditions. E n passant, nous apporterons quelques complements aux theor6mes de G . Julia. Les problkmes dont nous venons de yarler sont en relation avec un probleme important, non encore rksolu : Est-il vrai qulCtant donne un domaine univalent (9 quelconque, toute fonction holomorpht? dans ce domaine y soit dCveloppablc en serie uniformement convergente de polynomes? Appelons n o r m a l tout domaine D qui jouit dc la propriCtC suivante : Toute fonction holomorphe dans D admet un developpement en sCric de polynomes, qui converge uniformentent au voisinage dc tout point intkrieur a D. u La question est de savoir si lous les domnines univalents sont normaux. O r , nous verrons que les domaines normaox jouissent de proprietes remarquables qui, vraisemblablement, n'appartiennent pas a tous les dornaines univalents. 11 suffirait donc dc donner l'exemple d'un domaine univalent qui ne posshde pas l'une de ces proprietbs, pour montrer du m&me coup l'existence de domaines non normavx. Encore resterait-il a caracteriser les domaines non normaux.
,,
((
2. Sauf evis contraire, nous ~i'envisagerons, pour simplifier, que des domaines unicv-tlents et ouverts, dont tous les points intdrieurs sont a distance h i e (9.Nous raisonncrons sur l'espace de deux variables cnmp1e~esx et y , mais nos raisonnements slappliqueront a un nombre quelconque de variables. Nous nous bor( I ) II en est ainsi, notamment, dans le cirs des domaines de Reinlrardt et, plus gen&ralement, des domaines cerclCs. Voir H . CART.+X,Les fonctions d e deux variables complexes e t l e probleme d e la representation a n a l y t i q u ,
m o p i t r e V (Journ. d e Math., qb sCric, 1 . 10, 1931, p. r - I 14). Ce Memoire sera ~J&Pigdpar la lettre [ C ] dans le prCsent article. (I) Un domainc univalent est un domaine tel qu'un point quelconque de I'esppce nppartienne au plus une fois au domaine. (I) C e h ne vent pa's dire qne nabs n'envisagerons que 6e5 domaines boroCs.
nerons a considkrer des fonctions holomorphes, laissant de c61e les fonctions meromorphes pour ne pas compliquer des questions dCjA difficiles. Nous dirons qu'un doniaine D est marinzum s'il existc une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans D, qui n'est holomorphe en aucun point frontiere de D. Un domaine D sera dit rnaximum a u sens l a r g e si, elant donne un point frontiere quelconque x,, yode D , il existe une fonction f (2,y ) holomorphe dans D et non holomorphe en so, 3.0. Comme cette fonction f peut dependre du point x,, y o , il n'est nullement certain qri'un domaine m a x i m u m a u serts l a r g e soit m a x i m u m . Nous verrons cependant que tout domaine normal, maximum au sens large, est maximum. Un domaine 1) sera dit pseudo-convexe ( 4 ) en un p o i n t frorzti2re so, yo,s'il existe une hypersphere S, de centre x,, y o , et une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans la rCgion commune a 0 et S, et non holomorphe en x,, y,. Uo domaine qui est pseudo-ccnvere en chacun de scs points frontiCres sera dit p a r t o u t pseudoconvexe. I1 est clair qu'un domaine maximum au sens large, et a fortiori un domaine maxin~um,est partout pseudo-convexe. Rien ne prouve que la reciproque soit exacte. E. E. Levi a prCcisCment donnk une condition necessaire et suffisante pour qu'un domaine soit pseudo-convexe en u n point de sa frontiere, dans le cas oh celle-ci est une hypersurface a trois dimensions qui satisfait, au voisinage du point considkre, a certaines conditions de regularite. Pour qu'un domaine h fronti&re rkguliere soit maximum, il faut donc que la condition de Levi soit verifike e n chaque point de la frontiere. Mais nous voulons dcs conditions nkcessaires et sufjsnntes pour qu'un domaine soit maximum. Nous e n trouverons pour tous les domaines normaux (sans faire aucune hypothese restrictive sur la nature de la tront~ere),en introduisant une nouvelle catCgol*ie de domaines, qui.sera definie au no 6 : celle des domaines strictement conve.res. Mais, alors que la catdgorie des domaines partout pseudo-convexes contient celle des domaines maxima, celle des domaines maxima contient cclle des domaines stricteme~lt (I)
Ce t e r ~ n esemble avoir t t C adept6 par les mathtmaticiens allemands.
convexes. A u t r e n ~ e n tdit, tout dornaine s t ~ . i c t e n ~ econvexe ~~t est maximum (theorerne V). L:I proposition reciproque est vraie pour les domaines rtor.maux. Voici rlne autre question : Etant donnk un domaine qui npparhient a l'une des quatrc categories precedentes (partout pseudoconvexe, rnaxi~numau sens large, niaxirnuni, stricternent convexe), les propriett.s qui caracterisent sa categorie se conservent-elks par une transformation analytiquc arbitraire de l'interieur du dornaine en uL autre? Nous verrons ail no9 qu'il en est bien ainsi, sans
f u i r e aucune hypoth6se sur la facon dorzt se comporte In trnrcsforr~ratiorr a u voisinage d e la,fr.orcti&~.e. Voici enfin un dernier prohlkrne : ~ t a n donni. t un dornaine D, non marimrim, toute fonction holornorphe dans D est holornorphe dans un dornaine plris grand, d'apres la definition m&me d'un dornaine maxirnu~n.Mais cela ne prouve pas qu'il existe un dornainc maximum A, tel clue toute fonction holomorphe dans L) soit aussi r classes holornorphe dans A. 11 en est pourtant ainsi p o ~ ~des en l>articulier pour tous les fort generales de dornaines (0, dornaines norrnaux. 11. - Domaines convexes relativement h une farnille de fonctions.
3. Plaqons-nous dans u n espace 6 i u n nolnhre quelconque de dimensions reelles. Sois 9 une farnille d e fonctions (rkelles ou complexes) continues dana u n dornaine ouvert 2 , borne ou non, dont tous!es points sont a distance linie, Par exernple, si 6 a quatre dimensions, o n pourra le considerer conlrne l'espace de deux variables complexes x et y , et envisager, par exernple. la farnille 3i d e toutes les fonctions holornorphes dans u n dornaine Z ('), ou r n h e la farnille forrnee par les fonctions d'une classe particulihre de fonctions holornorphes d a m Z; c'est ainsi que nous envisagerons parfois la farnille de tous les polynornes e n x et y , le dornainc 2 etant alors tout l'espace a distance finie. Voir aussi, A ce sujet, m o n M C n ~ o i r ed u Journal d e Math. d6ji cite. ( = ) Lorsque nous parlons de toutes les fonctions holomorphes dans Z, nous ( I )
n'entendons pas nous ailleurs.
l i m i t e r aux
fonctions q u i ne soot
pas
holomorphes
DEFINITION. - U I Ldomaine D sera dit convexe rclativenlent a une famille 9 d e fonctions continues duns 2 si I) est intk-
rieur ( I ) a 2, et si, e'tant donne's arbitrairement U I L domaine fernmd D o comp12tement intPr.ierrr ( 9u, D l un point frontikre M de D inttrieur a Z (s'il exisre d e tels points), et une l ~ y p e r sphZre S de centre M, intkrieure a 2 , i l existe a u moins Line fbnction f d e la famille 5. relle qrie lr m a x i m u n ~d e sort module dans S soit supdrieur. a u nzaximum d e son nzodule duns Do. Par exemple, un domaine bornk convcxe (au sens ordinaire du mot) n'est arltre qu'un domaine convexe relativement ila farnille des fonctions lineaires a coefficients reels des coordonnees d e l'espace. Dans l'espace de deux variables complexes a. e t y , nn domainc nn?estautre qu'on domaine cerclk convexe centre i l'origine convexe relativement a la fanlille des polvnomes honiogenes du premier degr6 en x e t y; Dans le m&me espace, un domaine cerclc rnaxilnun~,centre a 170rigine, n'est autre qu'un domaine convexe relativement h la famille de tor~sles polynomes hornogenes en x et y. C'est une consequence immkdiate des resultats que j'ai etnblis dans moll MCrnoire [ C ] [voir la note ( ' ) de la page 471. De m&me, un domaine de Reinhardt. ( 9 maximum n ' e s ~autre qu'un dornaine convexe relativernent a la farnille des rnonomes xnLyp( m et p entiers, positifs ou nuls). O n en deduit aussit6t la propriete caracteristique de la relation entre les rayons de convergence associks d'une serie double de Taylor.
(9
domaine intgriei~ra \' )I, ( 1 ) II esl entendu, dans tent ce qui suit, q u e par nous entendons un domaine dont Lous les points interieurs sont intCrieurs a E, sans rien prCjirger des points frontikres. (') Un domaine ferme est dit compliternent ittferieur a un a u t r e si tous ses points frontieres sont inttrieurs i l'autre. ( I ) Un dolnaine cerclk centre a I'origine est defini p a r les proprittts suivantes : I ' I'origine ( x = y = o ) est un point int6rieur; 2. si x,,, yo est un point du domaine, z -- x,ei8. y = y,e10 est aussi iln point d u domaine quel que soit le nombre reel 0. (') Un domaine de Reinhardt (centre B I'origine) est dhfini par les p r o p r i k ~ e s suivantes : I ' I'origiue est un point interieur; '2 si .z,.yo est un point du domaine, x = x,ei8, y = y,ei? est aussi un point d u tiomaine. quels q u e soient les nombres reels 0 e t y . <(
dvau!aruop a n b e q ~ e d a a p Jna!Jaru!'\luaruruap!n;, luayuo:, ' d v +ull,l luop 'saxauuo:, sau!emop s~na!snltlno un,p asodmo:, as dy ! da e sJna!qlu! slu!od's;,p alqmasuaLldy l!os la 'g alpruej el ap s u o ! ~ -:,uoj sal salnol e sj!lepJ J'f3X I I C U ~ W U I O : , ,>lqmasua.l d 3 J!OS
e 110.1 1.10 .)p slrr!otI sap alqurasua'l ~ ! O S la 'dasuep ~ [ I I P O L U uos ap a ~ n a ! ~ ? d narrJoq s I?[ d'.fw 110s '6 aIl!ulej el a p ./ anbuo3pnI) uo!lauoj aun .).?uuop luclq .slueA!us sal S I I O ~E 'al!us . ~ ~ ! t l 'la 'dasap su!oru tie rrn,l e Jna!Jyu! l!os (1 y Jna!,raiu! cr~!od ,111olanb uo5ej a p s!s!oq:, ax]? luaa!op sau!eruop ST):, !lur!a!ns ne J I I ~ ! J ~ I U ! lrrarual -alduro:, la a e Jna!Jalu! lnarualaldruo:, Isa unaeq:, luop ' ' . ' 'd(l L... ''a s a r u ~ asau!eruop j a p a!u!lu! al!us auu'p al!u1!1 nu!eu~opa1
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.a jud!1uoJ ?716(dj') l u a w a n ? ~ v l a .axaouo.) ~) auluwop ]!lad snld a] suo~a11adde'lsnoN -saJlno sal snol v rna?Jplu? 1sa ? n b 'V ' u n 1sa ua 'a luauuafl - u o ~? n b 's v juawan?lwlaJ saxanuo~ 'sau?vzuop sal sno) I U I J W ~ .I( v .1na?~?7u? au?vulop 1111 a 1 ~ 0 sla ' 7 au?vzuop u n sunp sanu?luoa s u o ? ~ ~ u oa .p/ all?zuv./ atln g.??og - .I ~ ~ I I O ~ ..P H J
~
-J!Iqela,I ap u!os ,)I J n a p a l u e suoss!el snou : uo!l!u -gap e[ ap ae!p?ruru! aauanbasuo:, a u n Isa uo!l!sodo~d allan .gv 1uawan!7vla.1 a r a n u o ~azuatu-?nl Isa a au?vurop a? ' ( d a sal snol m o d aruaru el) I( s u v p sariu?luoD s u o . ~ l ~ u oa /p & a l p w v J aun v luawan?lvlaJ axanuo3 Isa da a n 6 v l j ~?S .sau!eruop sa:, snol ap alqruasua'l ap a r u ~ o au!eruoy j a1 l!os -luea!ns ne Jna!J?lu! luauralqdruoa la p e Jnayalu! luamala~druo:, Isa un:,eqa luop
a
' . . . lda' . . . 'la s.?ru~ajsau!eruop a p a!u!lu! al!ns aun l ! o ~ oz .I& e luaruaA!lelaJ axaauos '?~o!l.ro/v ' p a ?f; e luaruaA!lelnJ axa~rroaau!eruop lnol suep sanu!luoJ suo!lauoj a p anpuala snld all!wcj auo'p a!l~etl l!ej I( suep sanu!luo:, suo!l3uoj a p 6 L;JII!wej aun !S ,,I - 'djuap - 3 3 7 ~ d uo?7?u$pp v l ap s a ~ v ~ p p u ~s~1~uarr/i?slro3 w? sarrhlarrd
'x
esr intkrieur au domaine suivant A,,, ; l'ensenlble des A,, correspondant a toutcb les valeurs de p , definit un domainc A qui contient D. Je vais lnontrer : I * que A est convexe rela'tivement ii 9 ; a"-que tout domaine qui contient D et est convexe relativement a 5 contient aussi A. J'aurai alors etabli le theoreme I.
A est conveze relativement a 5. - E n efl'et, soient A,, un domaine ferme completenlent intkrieur a A , et S une hypersphere, intkrieure a S, dont Ic centre M est un point frontiere de A. Si p est assez grand, Ap contient A. et des points interieurs a S ; l'h3persph&re S, contenant alors au moins un point frontieru de A,, contient au moins un point frontiere tie l'un des E f , , dktinis plus haut. 11 existe donc un point P de S, en lequcl une fonction f de la famille 3 a son module plus grand qu'en tout point de D,, c.t mClne qu'en tout point de A,, d'apres la definition de A,. A fortiori, le modulc de f au point P est plus grand que la borne sup& rieure de ce module dans A,,. Le domaine A est donc convexe relativenlent A 6. 2" Supposons qu'il existc u n dornaine A', qui soit convexe relativernent a 3,contienne D et a d ~ n e t t eun point frontiere M inlkrieur a A, Montrons qu'une telle supposition est absurde. E n effet, M serait intkrieur a A, pour des valeurs assez grandes de p; p etant ainsi choisi, soit A; un domaine ferme completement interieur a A' et tel que D p soit completement interieur a A;. Soit aussi S une hypersphere, de centre M, tout entiere interieure B Ap. Puisque A' est convexe relativement a 9,i1 existe une fonction f de la famille d dont le module en un point P de S est plus grand qu'en tout point de A;. La borne supkrieure de f serait donc plus grande dans Ap que dans Dp. O r ceci est en contradiction avec la faqon dont on a dkfini Ap. iu
C.
111.
Q . F. D .
- Domaines etrictement convexea relativement a une famille de fonctions.
5. DEFINITION. - k t a n t donnte une famille 3; d e fonctions contin~iesdans un domaine ouvert D l D sera d i t strictement convexe rekativenlent a la famille bl si a chaque domaine
fermk Do, compl&tement i n t d r i e u r a D , o n y e u t associer u n d o m a i n e fermk D',,, c*omyli!tement inte'rieur a D , qr/i j o i ~ i td e la yr.opriBtt s u i c a n l e :e'tant d o r ~ n hn r b i t r a i r e ~ r ~ e 1111 u t point M intkrieut. a Dl m a i s e x t k r i e u r a DI,, il eziste u n e fortction d e la f a m i l l e d d o n t le t ~ l o d u l ee n M est p l u s g ~ * a n dqu'en toiit y o i n l d e Do. D'apres cette dkfinition, il est, clair q u e si D est strictement convcrc relativement a une famille 5 d e fonctions holomorphes dans o n domaine Z (contenant D ) , il est convert? relativement a 5. Nous verrons ail nu 6 que, dans certains cas, la reciproque est vraie. Cine condition ne'cessnire et sujfisanle pout. ~ U ' U I Ld o n ~ a i n e n e soit p a s . ~ t r i c t e n ~ e nconc~exe. t -- Elle va rksulter immCdiatenlent d e la definition; aussi 116noncerons-nous sans demonstra tion. P o u r ' q u ' u n domaine D ne soit pas strictenlent convexe relativement a unc f'arnille 5 . i1 faut e t il suffit qu'il existe nn domaine f e r ~ n eD,, completement intCrieura 11, et i ~ n e s u i t einfinie de f > o i n ~ s MI, . . . , Mp, . . ., interieurs D , n'ayant aucun point limite interieur i D l e t tels que, elant donnee une fonction quelconque d e 3,son nodule en chacun des points blp soit au tjli~s6gal h la borne superieure d e ce l~iCnlemodule dans Do.
6. P l a ~ o t ~ s ous - n d u n s 17e.spaced e derr x vat.inDles coml~lexesx e l y. P o u r abreger le langage, nous dirons qrie D est convexe relatic~ernenta Z,si D est convexe relativernent a la famille d e toutes les fonctions holomorphes dans 3. Ue mCme, nous dirons que D est striclement convexe s'il est strictenlent convexe relativenlcnt a la famille d e toutes les fonctions holomorphes dans D.
T H ~ O H11. ~M -ESi rln d o m a i t ~ ejel-rne 11 est c o m p ~ t e m e n t i n t e r i e u r a U I L donzaine 2 , e t s i D est convex(: 1.elatic.en1ent it X, il est stt.ictement convexe. SupPosons, en effet, que ne soit pas striclement convexe, et servons-nous de la condition necessaire et suffisanle Cnoncee a la fin d u ~ i i ~ m e prkcedent. ro Conservons les m&mesnotations. Toute fonctio~lholonlorphe dans D , trt de module arl plus egal a rcn dans
Do, aura son module au plus egal a nrz en chacun des points Mp. DCsignons par M un point fronti6re de D qui soit ]taint lirnite des M,. Cela posC, donnons-nous un donlaine ferrne 11, , con~pletement interieur a D , et tel que D, soit compl6temcnt intCrieur I D,. Soit aussi S une hypersphere de centre M et de rayon p assez petit pour que S soit intbrieure a 2. Supposons, en outre, p assez pctit pour qile toute translation, de longueur inferieurc, a z p , transforme D, en un domaine contenant encore le don~aineI),, et transforme Z en un domaine conLenant encore le domaine I). Puisque D est convexe relativemcnt a 5 , il existe una fonction f ( x , y ) , holornorphe dans Z,de module au plus Cgal a u n dans I ) , et de module plus grand que un en un point (i, n) de S. O r , il existe un point Mp(xp,.)ap) interieur a S. J e considere alors la fonction ~ ( - c , y ) = f ( . r - s , , - ~ , . ~ ~-.pi); -.~,,
elle est holonlorphe dans I ) ; son module est au plus Bgal i r ~ r t dans Do et plus grand que rrrz en Mp. 011arrive ainsi a une contradiction. c. Q. F. n .
TH~ORE 111. ME Si un donznine est cortciexe relativentenl ci la famille 3; des yolynomes erL x e&,-,il es/ srrictement convexe relativemen&a 6 ,e t , a fir-tior-i, strictement convex(.. Cornrnc plus haut, on raisonnera par l'absurde, avec cette dirkrence que, le dornaine D nlCtant plus suppose borne, les points M, pourraient n'avoir cette fois aucun p o i n ~lin~itea distance h i e . O r , cette derniere eventualite est a re.jeter, car si les points M, tendent vers l'infini, on pcut evidernment trouver des polynomes du premier degre ( x ou y par c:xernple) q i ~ isoient bornes d i ~ o s le domaine D o ( e n effet Do, etant ferme, est b o r ~ l e )et ne soient pas bornks sur l'ensemble des points Mp. Co~nmeplus haut, on arrive a une contradiction, et le theorerne est dernontre. La demonstration rnarche, en sornme, grgce ail fait suivant : si l'on effectue une translation de l'espace, tout pol? norne en x et 3. reste un polynorne. E n remplaqant les translations par des homotheties, on retrouverait des propositions qui rn'ont servi dans mon Memoire cite [C] :
ayd.rozuoloy '(-5 ' x ) d u o ? ? ~ u o Ja u n a.r!n.r?suon l n a d u o ' a p .rna?~p?u?a2.1zu.11?zr?od u n ~ n v?vvLv,u ' a v sJna?J+ju! ' ' '. . . ''Ms?u?od a p a n b u o q a n b a?ugu! a p s a u n a a u u o p ?UV?JJ .a s u v p s a q d ~ o z u o l o qS U O ~ D U O . / a p g all?urvJ a u n 2, juazuan?? -vlaJ a x a n u o ~/ u a u r a ? ~ ? . /au?vurop ~s un a 2.20s - ' 1 ~~4I U T H O ~ H L "
Ldn
'eelqeylea xnep ep eeqd~omo1oqeuo!puoj eep e3uelspe,p eaupmop e e l - ' ~ 1
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..* .n . 3
-,a Jtla!J?lu! luaruau!el~aa Isa v anh suolCo~snoN '(p ,,u) lueualuoa ( x y l u a r u a ~ y e l a a~x) a ~ u o 3au!euiop l y a d snld 'V anreruop a1 !uyap Isa luop uoEiej el y s ~ o ps n o u - s u o l ~ o d a u a p ~u!od Inol ua,nb ua p u e B snld Isa alnpow a1 IUOP suep aqd~oruoloquo!13uoj aun als!xa 11 ' , a Jnapalxa ap anbuoqanb lured un Inel? : alueA!ns a l ? ! ~ d o ~ d el ap ~.i n .oinb .l 'g y ~na!~?ln!luarua1aldruo3 a r u ~ aaureruop j un ayosse Isa a au!eruop ne ' a x a ~ u o a~ u a r u a l ~ p1ue19 is 'laja u 3
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-all?tuvJ a??aa y ?uawan??vlaJ axanuoD ? u a t u a l ~ ? ?sa ~ ~ s1! ?a ' ~ p . r t ? y u ? a p~ au?vluop un ?sa,a '(slnu no sj!~!sod sJayua d la ~u ) d L r l 1 x satuouow sap all?wvJ vl v ?uawan?/vlaJ a x a n u o ~?sa a u ? v w o p 1111 ?S - './a) 111 X P J ~ H O ~ H L -all?tuvJa3?aD g 3uawa.,??vla.i axanuo2 ?uatua~3?.1~s ?a p l 3 ~ a 3jsa I? ',t'ja x u a sau?801uoq sawouLlod sap all?tuvJ v f p 3uawaq3vjaJ axanuo2 jsa au?vurop un ?S - .s?q 111 I I M T H O ~ H L
d a n s D, cjui s ' a n n u l e en chncun des p o i n t s Mp. et cela d e facon cjue les varie'tds s u r lesyuelles F s ' a n n u l e soient obtenues e n kpakunt & des constnntes certaines fonctions d c lo. J'amilh 3. Montrons d'abord que le theortme V est une consequence d u theoreme VI. Appliquons en effet ce dernier au cas oil la famille d est celle de toutes les fonctions holomorphes dans D l et oh les points MI, admettent coninle points limitcs tous les points frontieres de D . Je dis que la fonction F ( x , y ) correspondante n'est holomorphe en aucun point frontiere de D. Supposons en effetque F soit holomorphe en u n point frontiere M,, et par suite en tous les points frontieres voisins ( I ) . Comme chaque point frontiere cst point limite de points M,, la fonction F serait nulle en tout point de la frontiere voisin de M,. D'autre part. au voisinage de M,. F s'annulerait sur des caracteristiques rkgulieres. en nombre fini, a j a n t u n nombre fini de points d'intersection; la frontiere se composerait d'un certain nombre de ces caracteristiques. Soit 1' u n point frontiere appartenant A l'une de ces caracteristiques rt a une seule; au voisinage de Y, la fonction F ne s'annulerait pas ailleurs que s u r la frontikre. C'est impossible, puisque F s'annule aux points Rip, interieurs A D. L1hypoth6se faite est donc absurde : F ( x , y ) n'est holomorphe en aucun point frontiere de D, et par s ~ l i t eD est maxlmum. c. Q. Y . 11. Passons a la demontration du theoreme 1 I. Considerons D comme le domaine limite d'une suite infinie de domaines ferlnes Dl, . . . , D,,, . . . , dont chacun est completement interieur ti D et completement intkrieur au suivant. La definition d'un domaine D strictemen1 convexe relativenlent li une famille 9 associe a chaque domaine D, un doniaine ferme D;,, completement interieur a D. Soit alors n, la plus Rrande valeur de r t tclle que MI,soit exterieur G D;,. Puisque les points Mp n'ont aucun point l i m i ~ einterieur a D, n, tend vers l'infini avec p. Cela p o d , i1 kxiste, dans la famille 8, une fonction f,(x, y ) , Cgale a a, au point M,, e t dont la borne superieure dans Drip est ( I ) Nous supposons donc que D n'a pasde point fronliere isold. II est d'ailleurs facile de montrer que si D avait un point frontiere isolt, D ne serait pas slrictement convexe. Le thPortrne Y est donc valable sans aucune restriction.
.Jna!Jplo! lu!od anbeq3 ap a9eu!s!oa ne slualer!un lua!os sl!,nb a m p - y - l s a , ~Ls?~tuv.r ~ svd lua!os ao sl!,nb n n ~ n o d.slualen!un uou sau!etuop sap se3 ne ~uarualeS? anb!ldde,s a q g suolle snou anb luamauuos!eJ a? (,)
Lallnsaa11.1e3 'p = w anod aluap!a? anb'sa~dlsa uo!l!sodoad ley .w a?.roB?/va v l a p '?ssnv ?nl ' j s a v anb s!p a r i a a p a ~ ? ? l u o ~ J Jv nl s 8 l a -4~ u a j ~ o d z uasol~u o p U O ~ V Jv l J ~ ~ a s o d d n sua?J s u n s '(&)v lualeA!un au!leruop u n ua a luaruaoj -sule~l!nb
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suep saydaowo1oy L s u o ! ~ ~ uxnap oj ap auralsis un
I!OS la ' ( 9 's 'z ' I = w) w a!ao8?le:, el 7 lueuaiaeddu lualeA!un au!eruop un a j!os 'as!aaad uo5ej a u n l a .aJ?vJl?qJv anti?l.Llvuv u o ~ ~ v w ~ ~ aun o ~ s~ u vv andasuoa d~ ~ as sa?~o.8?/vasaD a p aunavlla anb iueualu!eru aaaluoru suoIle snoN . a l u a p ? ~ ? ~a!ao%ale~ d el e luauuay -aeddr? sa!ao%ale~sa3 ap a n b u o ~ l a n baun,p sau!eruop sa1 snoL
*sanaAuoDluarrralD!als ,p feru!xeru ,,g f a8ale1 suas ne ew!xr?ru ,z f s a x a ~ u o ~ - o p n a slnolaed d ,,I : sau!eruop ap salueA!ns sa!ao8?je~ a a ~ e n bsa1 '.L 'x a3edsal1 suep 'aaa?p!suo~ y auauxe lsa uo 'uo!l~npoalu!'l suep l!p s u o ~ l e snou , ~ aruruon
.6
-a .a .O .o .aauou?.~ ap suorlrpuo~ .. sal salnol l![druaa !nb suep aydaoruo~oy' ( A ' ' x ) ~ uo!larroj null aluas?adaa l!npoad ar;) . ( s s e a l s ~ a ! a ~ap anb!sslela lrraruonuos!ea a1 aaladaa ap l g n s I!) (I y ana!a?lu! lu!od lnol ap a4eu!s!o~ ne juaruaruaoj!un a8aaauoa ~!npoad a3 anb uo3ej ap
'a
l ~ n p o a drrn a.lrllJlsuoD Inad uo,nb allnsaa ua 11 -1 "w anb alyad s n ~ d
de la definition m&me d'un domaine strictenlent convexe, que la proprikte, pour un domaine, d'&tre strictement convexe, se conserve par toute transformation analytique. Montrons, en second lieu, que le tr.a?~.~jbr.n~O d'ulc dornaine D partout pseudo-convexe est U I L domaine A partout pseudoconvexe. Soit (1)
x =.f(rr,
y),
Y = h-.(x , ~ )
la transformation de I) en A , et soit x = F(X,
Y),
y = G(X, Y )
la transformation inverse de A en D. Les domi~inesD et A etant supposks univalents, on a partout
Si A n'etait pas partout pseudo-convexe, il exis~eraitun point frontidre Xo, Yo de A , jouissant de la proprikte suivante : etant donnee une hypersphere quelconque Z,de centre X,,, Yo, toute fonction de X et Y, holomorphe dans ia rCgion commune a A et Z, est holomorphe en X,, Yo. Alors les fonctions
seraient holon~orphes en X,, Yo. La transformation ( 2 ) serait donc rkguliere en Xu,Y,,, et transformerait le voisinage tle Xo, 3 , en un voisinage univalent \ ' d'un point frontiere x , , 3.0 de D . Inversement, dans la rCgion V, f ( x , _ y ) et g ( x , 2.) seraient holomorphes, aver:
Soit alors S une hypersphere de centre xo,jaO, interieure a 1'. Yuisque D est partout pseudo-convexe, il exisi.e une hypersphere Sf intkrieure a S, et une fonction ~ ( x"Y), , holomorphe dans 1~1 region commune a D et S', et non holonlorphe en x , , y o . Poscns
( X , Y ) serait holomorphe dans la rCgion commune 4 A et a une certaine hypersphbre Z de centre X,,, Y o ; elle serait donc holomorphe en X,,Y,. O r on a et, par suite, ? ( x , y ) serait holomorphe e n xol Nous arrivons a tine contradiction. c. Q . F . D . O n montrerait de la mCme facon que le tr-ansformt analytique ?eo.
d ' u n domnirre m a x i m u m a u serzs large est mcrximum a u sens large.
10. 11 nous reste enfin 4 montrer que le transfornzt analytique d ' u n domaine maximzcm est m a x i m u m . Nous Ctablirons d'abord l e lenlnlc suivant :
LEMME. - Soiertt kj'onctiorrs I~olomorphesdans u n domaine A. Si, en chaque point frontiere de A, t u n e air moirzs de ces fonctior~src'esl pas Itolomor~phe,i l existe une combi~raison1inbair.e de ces.fonctior~sqrci n'est holorrzorphe en aururt poirlt Ji.onti2r.e d e A ; 1 c.st donc nzaxiniunl. Soient e n effet f , , . . . , f k ces fonctions. Uonnons-nous une suile ill-finie dc points frontibres dc A , MI, . . . . >I,, . . . , telle que tout point frontiere de A soit point limite de cette suitc. 11 spffitde trouver une conlbinaison Iineaire des j', qui ne soit holo~iiorpheen aucliil point MI,. O r , e n u n point frontiere donne M,, il existe nu 'plus k - I combi~laisonslinkaires homogenes distinctes
'~1.1, q u i soient l l o l o ~ l l o r ~ h e sn MI,; sinon, les j'; seraient toutes holomorphes en MI,. P o u r qu'une combinaison Za;f i soit holomorphe e n MI,, il doit donc exister au moins u n e relation linkaire homogene entre les a i . A chaque M,, est ainsi associee une telle relation; toutes ces relations etant en infinite denombrable, il est clair qu'on peut choisir les constantes ai de maniere qu'aucune de crs relations ne soit satisfaite. I,a fonction correspondante S a ;f i ne sera holomorphe en aucun point M,, e t le lemme est deniontre.
Cela pose, soit D un domaine maximum, et soit A le transform6 de D par une transfornlation (1
?i = f ( x , y ) ,
Y =g(x,y);
soi t (2)
x = F(X,Y),
y = G(X,Y)
la transfornlation inverse. D et A.sont suppases univalents ( n o u s l'avons d i ~plus haul une fois pour toutes). O n a donc
J e vais montrer que A est maximum. J e considere pour cela 11ne fonction Q ( X , y), holornorphe dans D, e t non prolongeable ail d e l i de D ( p a r hypothese, il existe u n e telle fonction). J e pose
+(X, Y) E ?[F(X, Y ) , G(X, Y)]. Les quatre fo.nctions
sont holonlorphes dans A. J e dis que, \,,, Yo etant un point frontiere quelconque de A , 1'11ne ail rnoins d e ces quatre fonctions n'est pas holornorphc en X,, k ,. Sinon, e n raisonnant comrne plus haut, on verrait que q(x,-v) serait holomorphe en un point frontiere x,,y,, de D, ce qui est contrdire a l7hypothese. 11 suffit donc d'appliquer A ces quatrc fonctions e t ail domaine A le lenlme qu'on vient dlCtL~blir. Ainsi A st maximum. C. Q. F. 11.
COROLLAIRE D U I.EMME.
Le domaine commrrlt h plusieurs domriines maxinza ( e n nombre $ni) est lui-m$me nzaximum. -
V. - Les domaines de convergence uniforme des series de fonctions.
11. Soit 2 un domaine ouvert d'un espace & a un nornbre quelconquc de dimensions. Considerons une serie de fonctions (rCelles
o u complexes) continues dans Z
q u i converge ynifortnement (vers une fonction finie) au voisinage d'un point 0 interieur a 8 . L'erisemble des points de Z au voisinage desq~ielsla serie converge uniformement constitue un domaine qui n'est peut-Ctre pas connexe; soit D la partie connexe de ce domaine q u i contient 0. Nous appellerons D lc dontnir~ed e convergence unQornre de la serie.
T H ~ O HYII. ~ ME Soit 5 U I Lf ~a ~ r ~ i l lde e /orzctions continlres d a n s U I L dolnai~teZ. ~ t n l t donnPe t une strie d e foncti0.n~d,? la famille 5,.q r ~ ic o n v e ~ . guniforrniment ~ a u voisinage d'un point 0 int(?riec/rh 2 , le dontaine d e convergence uniforme de cette sCrnieest cortveze r'elativement it la famille b. E n effet, soit Do n n domaine ferme completement i n t e r i e ~ i rau d o ~ n a i n ede convergence uniforme D , et soit S une hypersphere, interieure a Z, a j a n t pour centre un point frontiere de D. Nous allons nlontrer qu'il existe line fonction de la famille 9 telle que le maxinium de son module dans S soit superieur a11 maximum de son module dans Do. Envisageons a cet effet un domaine ferme D l , compl6tement intkrieur A D l qui contienne Do et des points intkrieurs a S. I1 suffit de montrer l'existence d'une fonction de % telle que le maximum de son module dans S soit superieur au maximum de son module dans D l . O r , soit
la serie envisagee, et soit
E ,
le maximum de If,,
dans D , . La
m
sdrie x r , , est convergente, h cause de la convergence uniforme. 1
Soit E l'enremble des points de 2 oli l'on a, qiiel que soit n .
soit A l'ensemble des points interieurs a E, et soit 4 la partie connexe de A qui contient le point 0. 11 est clair q u e A contient D l et est contenu dans D. Puisque A
contient D , , A contient des points interieurh n S ; il existe donc art rnoins un point frontiere de A intkrieur i S, soit M. Dans un voisinage arhitraire d e M, i1 existe o n point ou I'on ;I
pour une certainc. valeur de n (sinon M serait interieur a A). O n peut supposer qu'un tcl point est i n ~ e r i e u ra S. E n rksume, on a iJ;, 1 > E,, en U I ~point dc S, e t Id;, 1 <E, - en le theoreme tout point de D , . Comme f,, appartient a la famillc 9. est dkmontre.
12. Plaqons-nous dans l'espace de deux variables con~plcxesx et y. T ~ k o n k ~\,-I1 k : bis. - S i une skrie dej'onclions holomorphes dans u n domaine Z converge uniforrn2ment ( v e r s u t ~ forzctiorz e finie) a u voisinaqe d ' u n point O intkrierrr i t L, le donznine d e convergence rtniforrne d e l a sCrie est conc'exe r e l a ~ i o e m e nat L.
11 suftil en effet d'appliquer le thkoreme V I I au cas envisage. RBCIPROQUE D U .CHI?OREWE VII bis. - S i rrr1 domnine D est coavexe relativement u u n donzaine 8 , c'est le domaine d e conrergence u n v o r m e d'une cerlairze s t r i e d e Jonctions holomorphes d a n s Z. Considerons en eEel une suite intinie de donlaines SerlnCs D , , . . . , D,, . . . completement interieurs B U , dont chacun est completement interieur au suivanl, tout point interieur a D Ctant interieur a l'un d'entre eux ( e t par suite a tous les suivants). Donnons-nous aussi une suite infinie de points M I , . . . , M,, . . . , interieurs d 2,appartenant la frontiere de D, et admettant comme points limites tous les points frontieres de D interieurs a 8. A chaque 81, associons une hypersphere S,, intdrieure i Z, d e centre Mp et de rayon pp
.
Par hypothese, il existe une fonction J ; , ( x , y ) , holomorphe dans 2 , tellk que la borne supkrieure a, de son module dans D, soit plus petite que la borne supkrieure P, d c son module dans S,; en multipliant. au besoin f, par une constante, on peu t supposer Pp= I .
-
18
=
Soit alors /r, un entier tel que la seric ~
( a , , ) * rsoit
convergente.
La serie collverge uniformcrnent all voisinag? de lout point in~erieura D. .le dis qu'elle ne converge unifornl6nlent au voisinage d'aucun point frontiere de D. Soient en effet P un el point. et K une hypersphere de centre P; il existe line infinit6 d'hyperspheres S, interieures a K. et, par suite, il existe une infinite de fonctions fpdont le modr~leest egal a un en un point de I i (ce point peut varier avec la fonction f,). La convergence n'cst donc pas uniforme dans K. C. Q.
F. D.
13. 11 est a peine besoin de rappcll(1r que la somme d'une sbrie de fonctions holomorphes est U I I ~fonction holomorphe dans le dornaine de convergence uniforme (puisqo'on a exclu l'hypothhse de la convergence vers l'infini). Faisons encore la remarque srlivante : une serie de fonctions )lolomorphes dans Z etant supposee converger uniformement an \ oisi~lagcd'un point 0, l'ensen~bledes points de 2 oil cette famille eal nornlale constitue un domainc; l a p a r t i e connexe D' q u i conlieltt 0 est identiyrre ncc clomnine d~ convergence nrliforme D dkfini p111s haut. I1 est clair, e n efilt. que D' contient D. Inversement, D con~ i e n tD', car si une serie de fonctions, appartenant A une famille normale dans D', converge dans un domaine interieur A D', elle converge. uniformCmen~dnns D'. 24. Cotrlbinons maintenant le thborenle V11 bis auec le thboreme 11. 11 vient imnlkdiatement :
T H ~ O R EV11I. M E- Si le domaine d e convergence u ~ ~ i f o r m e d ' u n e skrie d e f'onctions holomorphes d n n s u n domaine Z est complbtement inttrieul. ( I ) a 2 . i l est strictement convexe, et, en parlicrrlie~.,maximum.. ( 1 ) Par a donlaine ouverl conqleternent interieur P un domaine 2 B, il foul entendre un domaine inttrieur a un domaine fermC lui-meme con~plttement inttrieur A X.
Cette proposition complete le theoreme de G. Julia, relatif a I'ensemble des points ou une famille est normale. E n combinant Ie theoreme VIl avec le theoreme 111, nous trouvons :
T H ~ O R EIX. M --E Le domaine de convergence unifor.me d ' u n e strie de polynomes est strictement convexe relativement a la famille des polynomes, e t , en particulier, m a x i m u m . He'ciproqr~emer~t, tout domaine strictement convexe relativement & la famille des polynomes est le domaine de convergence trnifo~*me d ' t ~ n ecertaine serie de polynomes ('). J'avais deja montre, dans nion Memoire [ C ] , que le domaine de convergence uniforme d'une serie de polynomes homogenes est maximom. D'une faqon precise: en combinant le theoreme VII avec I'un des theoremes I11 bis et 111 ter, nous trouvons :
TH~OREME I X bis. - Le domaine de convergence ur~ifor-me d ' u n e skric de polynomes homogdnes est strictement convexe relativement a la famille des poiynomes homogt?nes. Rkciproquement, tout dom.aine slrictement convexe relativement ci la famille des polynomes homogt?nes est le d o m a i t ~ ede convergence d'une certaine serie de polynomes homogdnes.
T H E O R ~IXMter. E - Le domaine de convergence unijbrme d'trne serie double de Taylor est stt'ictement convexe relativement ci la famille 3 des mononles xTTL.yp ( m et p entiers positifs ou nuls). Reciproqcrement, tout domaine strictement conuexe relativement a d est le domaine de convergence urrifbrrne d'rtne certaine skrie de Taylor.. Comme je l'ai deja dit, on deduit de la la proprietk caracteristique de la relation entre les rayons des cercles d e convergence associes. VI.
- Les domaines normaux.
15. Nous resterons desormais dans I'espace d e deux variables complexes x et 3,. (I)
Cette rl:ciproque s'etablit comme la rtciproque du thCortrne VII bis
(no
12).
Rappelons la definition donnke dans I'lntroduction : (( un domaine univalent D est dit normal si Loute fonction holomorphe dans D y est developpable en sCric uniformement convergente de polynomes. ), Tous les domaines cel.clCs (et a fortiori les domaines de Reinhardt) sont normaux, puibque toute fonction holomorphe dans un domaine cercle y cst developpable en serie uniformement convergente de polynomes homogenes ( [ C ] , theoreme 11). THEOR~CNIE X. -- 7 b u t domaine normal m a x i m u m est strictenzent convexe relatioement ir la fnmille des polynomes. Soient en cffet D un tel dornaine, et f ( x ,y ) une fonction holoinorphe dans D et non prolongable au dela. Son dkveloppement en serie de polynomes aura Cvidernment D pour domaine de convergence uniforme; le thCor8me 1X entralne le thkoreme X. En somnla, pour q u ' u n domaine nornlal soit m a x i m u m , il f a u t et il s ~ r j j i qrr'il t soit striclenaent convexe relativement a l a .f'amille des polyrzomes (consequence des thboremes V et X). THEOREHE XI. S o i t D u n domaine normal. I1 e!ciste u n domaine normal m a x i m u m A, quijouit delapropriete suivante : toute fonction I~olomorpheduns D est aussi ho1omor~)heduns A. -
En cffct, le plus petit domaine convexe (relativement a la famille des polynornes) contenant D est strictement convexe ( t h o reme I11 ), donc niaximum (theorems V). Soit A ce domaine. Soit alors f ( x ,y ) une fonction holomorphe dans D. Son dbveloppement en sCrie de polynomes a pour domaine de convergence ~tnifornleA' un domaine convexe relativement h la farnille des polynomes (theoreme V11). Comme A' contient D , A' contient A, et f ( x , y ) est holomorphe dans A. 11 reste 6 montrcr que A cst normal. O r , tolite fonction holomorphe dans A est a yorliori holomorphe dans D, et admet par suite un dkveloppement en serie de polynomes qui converge uniformkme~ltdans D, donc dans A. c . Q. F. D.
26. LES noMAlNEs MAJORABLES. - J'ai introdui t cette classe de domaines dans mon Memoire [ C ] (Chap V, 5 5). P a r dbjinition, ( L I Z d o ~ ~ z a i nnon e rarnt'e D est (( majorable n, s'il existe un
A r n a i n e A, nott ramifid, rnaxiraunt a u sens l a r g e , q u i contient
D ee jouit d e / a proprietd suivante :toule fonction holornorphe &tzs D est aussi h o l o m r p h e d a m A. Le domaine A est dit associe ilu domaine D. Dans le cas ou le domaine associe est ma.xirnurn, It. dsmaine D sera dit strictement niajorable Le aheorCnae XI peut alors s'dnoncer ainsi : toccl dornuitte rzo1.((
)).
mad est stricterner8t naajorable, e t le domain(&associe esl norntal.
Nous allons indiquer quelques p ~ o p r i e t e scommunes a tous les domaines majorables; elles appartiendront rbn p a r t i c u l i ~ ra t o r ~ les s domaines normaux.
T H ~ O R EXII. M E- T o u t dornaine, rnaxirnunz atr serts l a r g e , q u i contient u n dornaine r n a ~ o r n b l e , contient assoc it?.
It!
tlomaine
Soient en effet D un domaine majorable, A le domaine associC,
A' un domaine m a x i n ~ u mau sens large qui contient D. Si le domaine A' ne contenait pas A, il aurait un point frontiere M interieur a A. Soit f ( x ,y ) une fonction holomorphe dans A' et non holomorphe en M; J ' ( x ,y ) , etant holomorphe dans T I , scrcrit holomorphe dans A, donc e n M. 11 v a contradiction. .(.. 0. v . I,. COROLLAIRE. - Le domaine associt a un dornaine majorable est unique; e n effet, si u n domaine A' jouit, vis-a-vis d e D, d e la m&me propriCt6 que le domaine associt! A, il contient A,. d'apres lrh theoreme precedent. Pour la mCme raison, A contielit A'. C:.
Q . F'.
1,.
T H ~ O R EXIII. M E - Si n n dornaitlc. s t ~ ' i c l e ~ r1~me at ~j o r a b l e est m a x i m u m a u sens l a r g e , i l est tnaxinztrm. Soit en effet D un tel domaine; il est, par hypothese, maxin~um au sens large; comme D se contient lui-ni&mc., on peut lui appliq u e r l e theoreme precCdent. Donc TI contient le d o n ~ a i n eassocik A ; ~ n a i sA contient D. Le d o n ~ a i n eTI esl donc idrntiquc B A, qui liar hypothese est maximum. c. 0. v. n.
COROLLAI~B. - Si U I L dornait~rr ~ u r t r ~est ~ r l trzazitt~urrltru setls l a r g e , il est m a x i m u m ; il est m&me strictc~tt~cnt convexe reln~ivenlent a la hrnillc des poljnomes ( t h e o r ~ m eX ).
THIIOI~EME XIV. - Soient D u n domaine majorable, A le domaine associk. S i une fonction, meromorphe dans D l n ' y prend pus l a vuleur a , elle est mdromorphe tlans A et n ' y p r e n d pus l u t~aleicra : si une fonction est holomorphe et bornCe dnns I), elle est holomorphe et admet la m&me borne duns A. E n c~ffet,si f(z,y ) n e prend pns la valeur a dans D! la fonction
est homolorphe dans D, et par suite dans A. S i maintenant l'on a
c . Q. r. n .
if(... Y ) I 5 M dans D , la fonction f ( x ! y ) ne prend dans D aucune valeur de module plus grand q u e M ; elle ne prend alors dans A aucune de ces valeurs, e t l'on a aussi, dans A,
C O R ~ L L A I I\ E . Si u n domaine majorable est bot.nk, ie d o r n a i n ~associ4 est borne'.
E n emet, les f o n c ~ i o n sx e t y , elant bornees dans le premier t:. y . F. D . dornaine, sont bornees dans le second.
THBOREME X\ ( I ) . - Soient D u n domaine majorable, et A le domaine arsocid. S i rcne transforntation analytiqtce transforme D e n u n d o r n a i n ~1)'non ram~$C, C)' est majorable, et la m & n tmnsformation ~ ~ tr-ccnsfbrme A e n A', domaine associd
I)'.
?I
Soit en cffet
r
(1)
Y
= g(x1 Y
la transformation de O en 1)'. Les fonctions j' et g,etant holomorphes dans Dl sont aussi holomorphes dans A; puisque leur dkterrninant fonctionnel n e s'annule pas dans D , il n e s'annule pas transforme donc A e n un domaine dans A. La transformation (I) non ramifie A'. Puisque A cst maximum au sens large, A' est aussi maximum nu sens large (cJ. no 9). (1)
Cf. [ C ] , Clrapi~reV ,
thkol.enlr: S1.111.
11 reste a montrer que toute fonction @ ( A : Y ), holornorphe dans D', est aussi holomorphe dans A'. Or? posons
La fonction y ( z , y) est holomorphe dans D, donc darls A. en deduit aussitiit q u e @(X, Y ) esl holomorphe dans A'. c . y.
0 1 1
F. 1).
Hemarqrre. - S i D est strictenlent majorable, D'est strictemenr majorable. E n effet, A Ctant maximum. son transfornle A' est rnaximunl ( n o I)). COROLLAII~E DU T H ~ O R ~ J MXV. E - 7'oute transfor.matior~ nnalytique biunivoque d ' u n don~ainenzajorable r n lui-mkme cst en mbme temps rlne transformation nnalrtique hiunic~oqup 414 domaine associe' en lui-mPme. Remarquons entin que tout domaine qui contient u n domaine majorable D et est contenu dans le domaine associe A est lui-meme majorable et admet A cornme domaine associe. A l'aide d e ceLte remarque et du corollaire precedent, j'ai indiqub dans mon MCmoire [C] (Chap. V, 5 5 ) u n procedC general d e construc~ion d e domaines qui n'admettent aucune tr,~nsformation analytiquc. en eux-m&mes.
17. La notion de donlaine normal est susceptible de genkralisation. P a r dkfinition, un domaine Dl interieur a un d o ~ n a i n e2, sera dit normal relativernent a 2 , si toute fonction holomorphe dans D -jest dkveloppable e n serie uniformtinlent convergente d e fonctions holomorphas dans 2 . Les donlaines nornlaux considbrks plus haut se presentent alors cornrne les dornaines norrnaux relativernent a tout l'espace a distance finie ( ' ) .
T H ~ O RXV1. ~ME - Soit D un domaine normalrelativement iz un domaine 2. Soit A le plus petit donlaine convexe (relativement a 2 ) contenant D . Le domaine A est normal, et toute fonction holomorphe dans D est aussi holomorphe dans A. ( I ) II est clair, en effet, que si une fonclion est dkveloppable en skrie uniformCment convergente de fonctions entieres, elle est dCveloppable en skrie uniformCment convergente de polynomes.
E n effet, soit f (x,y ) une fonction holomorphe dans D. Elle y admet un dkveloppcment en sdrie de fonctions holomorphes dans Z. C e ~ t eaerie admet un domaine de convergence uniforme A' qui contient D (par hypothese) et est convexe relativement a Z (theorerne VI1 bis). I1 contimt donc A (thkoreme I), et f(x, y ) cst holomorphe dans A. Le domaine A est normal, car toute fonction holomorphe dans A est a fortiori holomorphe dans D, et, par suite, admet un dkveloppement en sCrie de fonctions holomol-phes dans Z, qui converge uniformen~en~ dans D , donc dans A.
T H ~ O RXVII. ~ M Y-, Soient L; u n d0main.e strictement convexe, D u n domaine completement intkrieur a Z. Si D est normal ~*cjlcct;vementh Z, D est stric-tement majorable.
rt
Soit en effet A le plus petit domaine convt:xe (relativement A Z ) contenant T I . ll'aprds le theoreme IV (no 7), A est complktement intkrieur a 2 , donc strictement convexe (thkoreme lI), et, en parliculier, maxim um. D'apres le thdorkme XVI, toute fonction holomorphe dans D est ar~ssiholomorphe dans A. C. Q . F. D.
Puisque D est strictement majorable, D jouit de toutes les proprietes enonckes au nu 16.
Les transformations analytiques et les domaines convexes Associationfranpise pour I'avancement des sciences, Nancy 30-31 (1931)
Rappelons le theoreme de STUDY, dont on a donne bien des demonstrations : (( Dans toute representation conforme du cercle 1x1 < 1 s u r un domaine convexe, les domaines transform& des cercles 1x1 < r ( r < l ) sont convexes. )) Relativement aux fonctions (1s deux variables complexes x et y, on a 1e theoreme analogue suivant : Soit D u n domaine cercli ('1 convexe ayant pour centre l origine s = y =o ; dans toute transformation analytique (2) $U dornaiize D en u n donznrtte convexe, les dontaines homothetiqztes de D par rapport a l'originc duns u n rapport k 1 ontpour images des dornailzes convexes. La demonstration est semblable h cellc du thdorbrne de Study donnee recemment par M. RADOdans les X a t h . Annulen. Soit A un domaine borne quelconque, et soit 0 un point intkrieur a A ; considkrons, nvec M. C A R A T ~ O D O laR borne Y, superieure au point M (intkrieur a A) du module des fonctions r~ullesen 0, holomorphes et de module infbrieur a u n dans A ; soit d (M) cette borne superieure. On a d(M) 1, et, dans toute transformation analytique qui ltiisse fixe 0 et trsnsforme A en un domaine interieur a A , on a d (MI) d (MI, (1) M' Btant le transform6 du point M. /,a reczproyue est-elle vraie? D'une f a ~ o i lprecise, soient deux points M et M' de A, tels que l'inbgalit6 (1) soit vkrifike ; exisle-t-il une lra~lsformation analytique laissant fixe le point 0, transformant A en un do~naineinterieur a A, et amenant M en MI? Non, en genbral. Bornons-nous desormais a considerer /a classe C? des dollraines i: pour lesquels il ~ s i s t eu n point intirieur 0 tel que la riciproque yrkddelrte
<
<
(I) On appelle domaine ct;rclC ayant pour centre l'origine tout domaine qui admet les transformations x' = xeIQ, y' = yelo (8 reel quelconque). (2) I1 s'agit de transformations x = t ( x , Y), Y = g ( x , y), f ( x ,y) et g ( x , y) Btant deux fonctions analytiques des variables compIexes x et y.
soit vraie. On v6rilie que tout dornaine cerclb convexe appnrtient a e (il
suffit de prendre pour Ole centre du domaine); d'autre part, lapropriete, pour un domaine, d'appartenir a e se conserve par toute transformation analytique. Designons alors par Al l'ensemble des points M de A pour lesquels on a d (M) < I (I < i ) , et remarquons que, pour un domaine cercl6 convexeD (le point 0 &ant pris au centre), le domaine Dl est homothktique de D par rapport au centre dans le rapport Z. Cela Btant, le theoreme annonce au debut est une consequence de la proposition que voici : Si A apparh'ent ci la classe (3 e l est C Q ~ U X E , t a u les domaines Al sont convexes. Dimonstration. - Soient Mi (x,,yi) et M, (x,, yP) deux points q d conques de A, [d (M,) td (Mi) par exemple], et soit B montrer qua tout point Mo ( x o , yo) du segment de droite Mi M, agpartient A A'; il snffit de montrer que d (M,)L d(M,). Or, on a
et, puisque A appartient $I c, il existe une transformation X = f (x,y), Y = g ( xt Y) qui laisse fixe 0 , transforme A en un domaine intbrieur a A, et a d n e M, en Mp. La transformation
laisse fixe 0,transforme A en un domaine interieur B A (parce qne A est C. Q.F. D. canvexe) et amhne M, en M,, ; d'ou d (M,) d (M,). Tout ce qui pr6chde $applique I$ un nombre quelconque de variables complexes.
18. (avec E. Cartan) Les transformations des domaines cerclks bornks Comptes Rendus de1'Academie des Sciences de Paris 192,709-712 (193 1)
1. Rappelons que, dans I'espace de deux variables complexes x et y, un domaine D est dit cercli s'il conlien1 l'origine (x =y = o ) a son intkrieur, et s'il admet les transformations ( 1)
x/=
zetf~!
y'=
yelo
( 0 reel quelconque ).
L'origine est le centre d u domaine. O n sait ( I ) que toute transformabion analytique (') qui laisse fixe l'origine et transforme un domaine cerclC born6 en un domaine cerclC est nCcessairement lineaire. Aussi dirons-nous que deux domaines cercles sont iqrlivalents si l'on peut les transformer l'un dans l'autre par une transformation lineaire homoghne portant sur les variables complexes x et y. Pour determiner la forme la plus gCnCrale d'une correspondance analytique entre deux domaines cercles born& ( 3 ) , dans le cas oh les centres des \ I ) ~ I E N R CARTAN, I Les for~ctionsd e d e u x variables complexes el le proble'rne d e la reprdsenlalion a r ~ a l y t i q u e(Journal de. Math., ge serie, 10, 1931,p. 1 - 1 1 4 ; Chap. 11, thkori?me Vl ). Voir aussi Cornptes rertdus, 190. 1930, p. 718. \ ' ) I1 s'agit de transformations de la forrne
"'=fix, y),
yf=g(z, y),
j et g &ant des fonctions holo~norphesdes variables complexes x e t y . ( 3 ) Si deux domaines cercles sont en correspondance analytique, et si I'un d'eux est borne, 1'autl.e est aussi borne (voir le Mbmoire cite, Chap. lk, $ 6).
71° A C A D ~ M I EDES SCIENCES. domaines ne sont pas homologues, il suffit pratiquement de rCsoudre le problhme suivant : Probldrne. - DC~erminertoutcs les transformations analytiques biunivoques d'un domaine cerclC born6 D en lui-m6me. M. Thullen ( ' ) a d6jB rCsolu ce probkme dans le cas particulier des d2maines de Reinhardt ( l ) , c'est-A-dire des domaines qui admettent les transformations x r =x elB,
yr= y el+'
(8 e t y reels quelconques ).
2. Nous avons rksolu le problhme post5 et avons Btabli les tht5orhmes qui vont suivre. n dCsignant un nombre rCel quelconque compris entre o et I ( a # I ) , designons par A, le domaine cerclC constituk par l'ensemble des points x, y en lesquels sont simultanement vCrifiCes les inCgalitCs suivantes :
GComCtriquernent, A, se compose des points x, y teIs que la distance non euclidienne de x et y, dans le cercle unite, soit infCrieure ti un nombre donnC. T r i ~ o n t l lI.~ - St' un dornnine cerclt bornt D n'est pas tquivalent h un domaine de Reinhardt, et s'il admet au moins une transformation en l u i - d m e . duns laquelle le centre n'est pas fixe, il est tquioalent h un domaine A,. T H E O R11. ~ M-ELes transformations d'un domaine A , en lui-melme sont les ( f ) Zu den
lob, 1931, p.
Abbildungen durch analyfische Funktionen, etc. (Math. Annalen,
24i-259).
('-) Voici le r e s u l ~ a tobtenu par M. Thullen. Si un dolnaine de Reinhardt borne admet a u moins une transformation en lui-meme, dans laquelle le centre n'est pas fixe, il a I'une des trois formes suivantes :
O n connsit d'ailleurs ioutes les transformatiol~sanalytiques qui laissent invariants ces domaines. ( 3 ) Suivant I'usage, y designe la quantite conjuguee d e y .
-
~ S A N CDU E 23 MARS 1931. suivantcs :
8 dksignant u n nombre rkel pelconque, et t u n nombre complexc arbilraire ds module inf &rieura un. Les transformatio?~prickdentes conservent tous les domaines A,, et aussi le dicylindre 1x1<1,
lYl<~,
qui correspondrait au cas a = I . Deux domaines A, et A,, ( a # b ) ne peuvent pas &tremis en correspondance analytique. 3. Appelons ( r )la classe des domaines cercles suivants :
et de leurs transformCs par une substitution lineaire homog6ne arbitraire. Des thkorhmes prCcCdents et des rCsultats de M. Thullen on dCduit les proposilions suivantes : THEOKB~IE 111. - Soit D u n domaine cerclt! born& qui n'appartient pas h la classe (r).Toute tranrformation analytique, q~~itransforme D en u n domaine cerclk D', laisse J x e l'origine, et,pnr suite, est lintaire. TIIEOR~JIE IV. - Soit D u n domaine quelconq~~e de la classe (r).S i D est en correspondnnce analytique acec u n domaine cercli D', il exisle une trans-' formation de D en lui-m6rne, amenant au centre de D l'homologue du centre de D' ; D et D' sont donc kquic~alents. 4. Voici le principe de la dCmonstration des thCori.ms I et 11. Partons de la proposi~ionsuivante ( I ) : (( Si un domaine cerclC borne D n'cst pas equivalent h un domaine de Reinhardt, les seulrs transformalions de D en lui-m&me,qui laissent Gxe le centre, sont lcs substilutions (I), dven~uellement combinees avec un groupe de subslitutions lineaires en nornbre )ni. Cela posi., supposons donnC un domaine cercle born6 D qui ne soit pas ))
(I)
Voir l e Memoire deja cite (Chap.
IV, 5 7,
theoreme XXVIII).
Cquivalent 21 un domaine de Reinhardt, et admettons l'existence d'une transformation S de D en lui-mGme, qui ne laisse pas fixe le centre. ConsidCrons le plus petit groupe G contenant les substitutions (I) et les transformCes de ces substitutions par S. Le groupe G sera le plus petit groupe de Lie contenant deux transformations infinitksimales donndes, dont l'une est
et dont l'autre, de forme inconnue, ne laisse pas fixe l'origine. Mais nous savons que G est un sous-groupe du groupe de toutes les transformations de D en lui-meme; G doit donc satisfaire aux deux conditions supplkmentaires suivantes : l o Toute transformation infinildsimale laissant fixe l'origine est identique a ( 2 ) ; 2" I1 existe un domaine bornC, invariant par G. O r , les mCthodes classiques de Lie permettent de dCterminer tous les groupes qui satisfont aux conditions prCcddentes. 11s se r a m b e n t , en effectuant au besoin une transformation linCaire sur x et y, a deux types G , et G,
Les domaines born& qui restent invariants par G , sont des domaines de Rein tlardt. Ceux qui restent invariants par G, sont, outre le dicylindre, les domaines A,.
19.
Les transformations des domaines semi-cerclCs bornCs Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris 192,869-871 (1931)
M. Elie Cartan et moi-m&me avons determine (') toutes les transformations analytiques des domaines cerclCs bornds. L a mCthode indiquCe au paragraphe 4 de cette Note permet aussi de trouver la forme des transformations des domaines semi-cer,clCs ( ? ) born&. La dCmonstration des thCorLtmes qui vont suivre paraitra dans un autre Recueil ( 3 ) . 1. Rappelons que, dans l'espace de deux variables complexes x et y, un domaine D, univalent ou non, est dit semi-cerclk si, x,,,yo &signant un point quelconque du domaine, la courbe obtenue en faisant varier le nombre rCel 0 de o a 2x, est intCrieure a D et fermCe dansD. O n suppose en outre qu'il y a des points inlCrieurs AD pour lesquels y est nul. L'ensemble de ces derniers points constitue l e p k ~ l zr k , .ymc;tric du domaine. Nous dirons que deux domaines semi-cerclCs D et D' sont t q u i u a l ~ ~ si n~s ('on pent passer de l'un a l'autre par une transformation d e la forme
.fix)et g(x)Ctant holomorplles dans D, et g(x) ne s'annulant pas dans D.
' ) Cornptes reridus, 192, 193r , 1). 709. (') (ruelques auteurs allemands Ieur donnent le nom de domaines de Ilartogs. I :) M. Behnke, i qui j'ai communiquk lnes resultats, vient de m'bcrire que (
M. Siewert, dans un travail non encore publik, aurait obtenu des prpl~ositionsconco~xlnntell p s r ~ i eavec ies theorbnles 1 et I1 de 1s prbsente Note.
$70 ACADBMIE DES SCIENCES. O n connait toutes les transformations d'un domaine de Keinhardt ( I ' ) born6 en lui-meme. Donc, Ctant donnC un domaine semi-cerclC born6 D Cquivalent i un domaine de Reinhardt (?), on peut considher que l'on connait toutes les transforn~ationsde 1) en lui-m&me. J'ai montrC (") que si un domaine semi-cerclC born6 D n'est Gquivalent a aucun domaine de Reinhardt, toute transformation analytique de D en un domaine semi-cerclC D', dnns lnhrrelle rrn certain poinl cirr ylrn t i p .symPtric, de D' correspond a unpoinl drl plon de syrnktri(>de D, a la forme (1). 2. Affranchissons-nous maintenant de la condition en italiques. T R E O R ~1.M E S i rrn domainc semi-cerch; horni; D n'est tqrrivolcnr a N I I C I L Z I domuine de R e i n h a d , f7tsi D adr~let(rtr nroins rrne rrnnsformation clr ktimkme qui n'a pas la f o r m ( I ) , alors r) est c;quivulent a rln domaine A ci:jfini de la facon slrrvante :A est constituC par l'ensemble des points x,y , pour lesquels x est intCrieur i un certain domaine i, non simplement connexe, du plan x, et y est ii~tCrieurau cercle ( y ( I . D'ailleurs, la transformation la plus g h e r a l e de A en lui-m&meest
<
oh xl=f(x) dCsigne la transformation la plus gCnCrale de
i en lui-m+me.
Nous donnerons 4 A le nom de dicylindre gtnPlnlisk. 3. D'aprks le thCorkme I, si rrn domaine semi-cerclk bornP D n'est eqrriculent ni a u n domaine de Reinhardt, n i a u n dicylindrc. gentralist, toutes les transformations d e D en lui-m&meont la forme
Les transformations xt= f jx)forment un groupe G . TEEORBM~ 11. - Le groupe G esl, ou proprement discontinu, ou conlinu a u n seul parasdtre. (') Un domaine univalent D est UTI domriir~eCJP R~irtlzot~it s1il contient l'origine ( a : = y = o ) a son intkrieur, et s'il admet les transformations
x'= x e i Z ,
?,'=?,rip
( a et
7 reels quelconques )
M. Thullen a determine toutes les transformations d'un tel domaine. y'il esl born(! (voir la Note dkja citee). ('1 Dans'ce cas, le domaine de Reinhardt est lui-m8me borne. ( = ) Harn~CARTAN, Le8 fonctions de d e u x variables complexes, etc. (Journal r/e Math., qe serie, 10, 1931,p. 1-114.Voir. au Chapitre IX, le theorkme XXXII).
13 A V R I L 1931. 87 1 THEOK~ME 111. - Lorsque G dtpend d'un paradtre, on peuf transformer D en un domaine semi-cerclt tquivalent A, teE que les transfor~~mtions de A en. lui-&me aient toutes la f orme S ~ A N C EDU
zl=.f(,r),
u'=.ved
( 0 reel).
un domaine semi-cer-clt bornt D n'est tquivsknt a aucun domaine de Heinhardt, et s'il est en correspondance analytique aoec un domaine semi-cercM D ' , il est possible de mettre D et D' en correspondance au moyen d'une transformation de la forme ( I ) ; D et D' sont donc kquivalents. ' ~ ' H ~ O R ~ MIV. E - Si
Sur les transformations analytiques des domaines cerclks et semi-cerclks bornks Mathematische Annalen 106,540-573 (1932)
T a b l e d e s MatiGres.
Page
Chapitre I. Expose des 18sultats . . . . . . . . . . . . 540 Chapitlc 11. Les transformations des domaiiles cercl8s . . . 552 Chapitre 111. Les transfornlations des domaines tcmi-cercl8s
C h a p i t r e I.
Exposi? des rBsu1t;tts. 1. Rappel de quelques de'finitions et hut de ee travail. Nous considkrons les deux variables complexes x et y comme les coordonnkes d'un point d'un espace & quatre dimensions rBelles. Dans cet espace, un domaine cercle' ayant pour centre l'origine (x =: y = 0 ) est, par ditfinition, un domaine connexe qui contient l'origine A son intBrieur, et qui admet les transformations
(1) .r' = .r e f e , y' y eiH (8 rCel quelconque). J'ai morltrklj que si le centre n'est pas un point de ramification pour le domaine, ce dernier est forckment univalent (schlicht). Dans tout ce qui suit, lorsque nous parleroris de domaines cerclits, il ne sera question que de domaines cerc1i.s univalents ayant leur centre A l'origine. Un domaine connexe D , univalent oa non, est dit semi-cercle'" s'il admet les transformations L
R" = x,
(8)
y'
=
y el"
(8 rkel quelconque) ,
I ) [ d l , th8orkmc I, p. 14. Les lettres cntre crochets renvoient & la Bibliographic plac8e i la fin de cet article. ILcs domaines semi-cerclks portent a u ~ s iIc riom dc ndomait~csdc Hartogsr .
"
H. Cartan.
Transformations des domaines cerclbs e t semi-cerclbs.
541
et s'il existe des points, interieurs It D , pour lesquels y est nul. L'ensemble de ces derniers points constitue le plan de symdtrie de D ; les points du plan de sym8trie sont tous des centres: ils restent fixes dans la transformation (2). Contrairement i ce qui a lieu pour les domaines cerclks, un domaine semi-cerclk peut n'etre pas univalent, meme si aucun point du plan de symktrie n'est un point de ramification. J'ai d'ailleurs montrk3) que tout domaine semi-cercl8 D peut Btre dkfini de la fagon suivante: on part d'un domaine quelconque d, univalent ou non, du plan de la variable x; It chaque point x, int8rieur 9. d , on associe, dans le plan de la variable y, un domaine univalent 6 (x) composk d'un cercle et de couronnes circulaires centres i l'origine ( y = 0 ) [le cercle ou les couronnes peuvent d'ailleurs faire dkfaut]. Les domaines 6 ( 2 ) doivent en outre satisfaire It la condition suivante: xo ktant un point quelconque intkrieur i d , et yo un point quelconque intbrieur i S (x,), le point yo doit aussi appartenir A tous les domaines S (x), pour tous les x suffisamment voisins de so. Enfin, il doit exister au moins un domaine S ( 2 ) (et, par suite, une infinit81 contenant le point y = 0 9. son intbrieur. Cela pos8, Z'ensemble des points x, y, & x de'signe un point intdrieur ci d, et y un point intdrieur ci S ( x ) , ddfinit un domaine semi-cercld D ; le domaine d s7appelle la projection de D . Dans le cas 013 tous les domaines 6 ( 2 ) sont des cercles, le domaine semi-cerclk correspondant est dit complet. On d8montre 3, que toute fonction holomorphe dans un domaine semi-cercl8 est aussi holomorphe dans le plus petit domaine semi-cercl8 complet contenant D . Pour qu'un domaine soit i la fois cerclk e t semi-cercl8, il faut e t il suffit qu'il soit univalent, qu'il contienne l'origine 1 son intbrieur, et qu'il admette les transformations (8, et 8, reels quelconques) . x' = x e i e ~ , y ' = y eie2 (3) Un tel domaine porte le nom de domaine de Reinhardt. L'origine est le centre du domaine. Ces definitions Qtant rappelkes, posons le probleme suivant: P r o b l e m e f o n d a m e n t a l . Un domaine connexe D dtant donnd duns l'espace (2,yj, diterminer toutes les transformations analytiques biunivoques4) ---
7 [ d l , Chapitre 111, No 3. ') Par ((transformation analytique biunivoquen d'un domaine D en lui-mbme, nous entendons une transformation oh f ( r , y ) et g (x,y ) dbsignent deux fonctions holomorphes dans D, e t qui btablit une correspondance biunivoque entre les points intkrieurs & D (on suppose que D eat constitub uniquement de points & distance finie).
542
H. Cartan.
de D en lui-mime. En particulier, Qtudier la nature du groupe G constitud par l'ensemble de ces transformations; indiquer eventuellement le nombre de parametres dont depend G ; indiquer les propri6t6s du sous-groupe constitue par les transformations de G qui laissent fixe un point donnC 0, intkrieur A D; etc. Nous nous proposons, dans ce travail, de rboudre ce probleme pour tous les domaines cerclks ou semi-cerclks bornds. Les resultats qui seront ktablis plus loin ont kt& publies sans demonstration dans deux Notes aux Comptes Rendus de l'Acad8mie des Sciences de Paris ([f] et [g]). Le theoreme I de la Note [ g ] n'est pas exact (voir, plus loin, le thCor&meV e t la note 15)).
2. Les transformations des domaines cercle's en eux-mCmes. Rappelons d'abord quelques propositions connues. ThBoreme (A) . 5 ) S i une transformation analytique laisse fixe I'origine et itablit une correspondance biunivoque entre deux domaines cerclks, dont l'un au moins est bornk, cette transformation est nkcessairement linkaire
x'=ax+by,
y'=a'x+b'y.
Dans tout ce qui suit, nous dirons que deux domaines cerclds sont kquivalents si on peut les traneformer l'un dans l'autre par une transformation linkaire homogene portant sur les variables complexes. T h e o r e m e (B)." S i u n domaine cercld borne' D n'est dquivalent d aucun domaine de Reinhardt, les seules transformations analytiques de D en lui-mime, qui laissent fixe le centre, sont les transformations
(1) xl=xeie y'=2/eie (8 riel quelconque), kventuellement combindes avec u n groupe de substitutions linkazres unimodulaires en nombre fini. Le theoreme (A) s'applique en particulier aux domaines de Reinhardt born&. On a le theoreme plus pr8cis7): T h Cor & m e (A bis). S i u n domaine de Reinhardt borne' D n'a pas la forme
A ( X ~ > B ~ ~ ~ < , ( ~A > 0 , B > o ) , toute transformation analytique qui laisse fixe l'origine et transforme D (4)
5, [dl, ") [dl, ') [dl, avaient Btb convexes.
thborkme VI, p. 30. Voir aussi [b] et [ c j. thborkme XXVIII, p. 86. thboreme XXXUI. Le theoreme (A bis), ainsi que le theoreme ( B bis), dbmontrbs par K. Reinhardt [a] dans le cas des domaines de Reinhardt
T1.ansformations des domaines cercles e t semi-cerclbs.
en un dolnaine de Reinhardt A a ne'cessairement la forme XI--ax,
yl=by
x'=ay,
yl=- b x .
Nous dirons que deux domaines de Reinhardt sont tquivalents si on peut les transformer l'un dans l'autre par une transformation ayant l'une ties deux formes prhchdentes. ThC?or&me( B b i ~ ) . ~S)i u n domaine de Reinhardt borne' D n'a pas la forme ( 4 ) ' les seules transformations analytiques de D en lui-m&me, qui laissent fixe le centre, sont les transformalions (31
=
8,
y'
= y ei %
(8, et 8, reels quelconques)
dventuellement combine'es avec une transformation de la forme
Relativement aux domaines de Reinhardt, Peter Thullen a rBcemment Qtabli [el une proposition qui rdsout complAtement, pour ces domaines, le probliime fondamental posh A la fin du 9 1. Voici le theoreme de Y . Thullen: ThBorGme ((2). Un domaine de Reinhardt born6 D n'admet pas d'autres transformations analytiques biunivoques en lui-me'me que celles qui laissent fixe Ee centre9), sauf si D est e'quivalent & I'un des domaines suivants 1" 1 ;y<1; 2" ! x i 4j y ; " < 1 ( a > 0 , d'ailleurs quelconque) . Le domaine 1 porte le nom de dicylindre; les transformations de ce domaine en lui-mCme sont connues depuis longtemps; ce sont les suivantes
combinhes avec
xl=y,
yf=x;
8, et 8, designent deux nombres reels quelconques, t et u deux nombres complexes quelconques de modules infhrieurs B un ( 5 et u designent respectivement les quantiths imaginaires conjuguhes de t et u ) . Les transformations prhcbdentes dBpendent de six paramiitres reels. Quant & la classe des domaines 2 O , elle comprend l'hypersphire
(~("l~l" -
H,
9
-
[dl, theoreme XXIX, p. 86. Ci. theoreme ( B bis).
1,
544
H. Cartan.
qui correspond A. a = 2, et dont les transformations, bien connues, dependent de huit paramktres reels. Si a =+ 2, les seules transformations du domaine 2O en lui-m8me sont les suivantes 1
(0, et
tf?
reels quelconques, t 1
< 1);
elles dependent de quatre parametres reels; l'origine x =. y = 0 peut 8tre amenee en un point quelconque de la varieth y 0. Arrivons maintenant aux propositions nouvelles qui seront d6montrkes au Chapitre 11 de ce travail. Soit a un nombre reel quelconque compris entre zkro et un, et dCsignons par A , le domaine cercl6. constitue par l'ensemble des points x, y en lesquels sont simultankment verifiees les trois inegalites suivantes
-
G6omBtriquement, A, se compose des points x , y tels que la distance non-euclidienne de x et de y , dans le cercle unite, soit inferieure B un nombre donne. Cela pose, nous Btablirons les th&or&messuivants.
d
T h 6 or kme I. Les seules trans/ormutions anulytiques biunivoques d'un domaine cerclC borne' D en lui-meme sont celles qui laissent fixe le centre1'), sau/ si D est kquivalent d un domaine de Reinhardtll) ou d un domaine A,. T h 6or em e 11. Les trans/ormations anulytiques biunivoques d'un domaine A, ( a + 1) en lui-mime sont les suivantes
I
Ces transformations dependent de trois parametres reels; l'origine ( x = y 0 ) peut 8tre amenee en un point quelconque de la variete y = x ( j x 1 < 1). Ces transformations, remarquons-le, ne dependent pas de la valeur de a ; elles conservent chacun des domaines A,, et aussi le dicylindre lx1<1, lyl
-
-
lo) Cf. theoritme (B). 11) Cf. theoritme (C).
I j4
1
Tral~sformationsdes domaines rercl6s c t semi-cercl6s.
545
Tht.orBme 111. Deux domaines Aa et A, ( a =+ b ) ne peuvent pas btre rrtis en correspondance analytique biunivoque. T hCorBme IV. Tous les dom.aines A, sont des dom.aines d'holomorphie: autrement dit, on peut, & chaque domaine AU,associer une fonction f ( x , y ) yui soit l~olomorphe dans ,dl, et ne soit holomorphe en aucun point frontikre de A u .
3. Les transformations des domaines semi-cerclds en eux-mbmes. Rappelons quelques propositions connues. l o l ? )Soient D un 'domaine semi-cerclk bornC, et 0 un point de son plan de sym6trie. Toute transformation analytique qui 6tablit une correspondance biunivoque entre D e t un domaine semi-cercl6 D', dans laquelle le point 0 correspond & un point du plaii de sym6trie de D', a nbcessairement la forme
x= f ( x ) ,
(5)
Y= yg(x),
f ( x ) et g ( x ) &ant des fonctions holomorphes dans le domaine d, projection
de D , et g ( x ) ne s'annulant pas dans d. Pourtant, ce thCorBme peut &re en d6faut dans le cas od Yon peut transformer D en un domaine de Reinhardt A, le point 0 venant au centre de A . 5" Soient D un domaine semi-cercl6 born&, et 0 un point de soil plan de sym6trie. Si D est en correspondance analytique biunivoque avec un domaine de Reinhardt D' qui n'a pas la forme
et si le point 0 correspond au centre de D' dans la transformation, alors cette transformation a la forme ( 5 ) ou la forme
Or, dans ce dernier cas, la transformation
transforme D' en un autre domaine de Reinhardt A', et la correspondance entre D et A' a encore la forme ( 5 ) . Cela pos6, convenons de dire que deux domaines semi-cerclQs sont Cquivalents si on peut les transformer l'un dans l'autre par une transformation de la forme ( 5 ) . Des propositions prbchdentes rksulte alors le th6orkme suivant : I?)
[dl, th6oreme XXXII. p. 90. [ d j , theoreme XXXIII, p. 91.
546
H. Cartan.
Th6or2me ( D ) . S i u n domaine semi-cercle' borne' D n'est e'quivalent d aucun domaine de Reinhardt, toute transformation analytique de D en
u n domaine semi-cerclt D', dans laquelle u n certain point 0 du plan de symklrie de D vient en u n certain point 0' du plan de syme'trie de D', a nkcessairement la forme ( 5 ) . Soit maintenant B s'affranchir de l'hypoth8se suivant laquelle un certain point 0 du plan de sym6trie de D correspond B un certain point 0' du plan de sym6trie de D'. Bornons-nous, pour le moment, B la recherche des transformations analytiques biunivoques d'un domaine semi-cercl6 born6 D en lui-m6me. Nous pouvons laisser de c6t6 le cas oh D est Bquivalent A un domaine de Reinhardt born6 A , car, dans ce cas, il suffit de chercher les transformations de A en lui-mbme; or c'est 1B un probl2me que nous savons rCsoudre (th6or2mes ( B bis) et (C)). I1 y a un autre cas que nous pouvons laisser de c6t6: c'est celui ou le plus petit domaine semi-cercle' maximum 14) D' contenant le domaine semi-cercld envisage' D est e'quivalent d u n domaine de Reinhardt bornt A'. En effet, toute transformation analytique biunivoque de D en lui-m6me est aussi une transformation analytique biunivoque de D' en lui-mbme (la rkciproque peut n'btre pas exacte); quant B la recherche des transformations de D' en lui-mbme, elle se ram2ne & celle des transformations de A' en lui-m6me. Or c'est I& un probl2me que I'on sait r6soudre. Convenons alors d'appeler domaine semi-cercle' ge'ne'ral tout domaine semi-cercl6 D tel que le plus petit domaine semi-cercl6 maximum contenant D ne soit Qquivalent B aucun domaine de Reinhardt. Nous d6montrerons au Chapitre 111 la proposition suivante: Th6or2me V 15). Soit D u n domaine semi-cercle' ge'nkral borne'. Toutes les transformations analytiques biunivoques de D en lui-mime ont la forme x'= f ( x ) , Y'= Y ~ X ) ,
sauf dmns les trois cas suivants: lo D est e'quivalent d u n dicylindre ge'ne'ralise'; 2" D est kquivalent d u n domaine 1<
lxla
<
( a > 0 , M fini ou infini);
l') En ce qui concerne cette notion et la proprietb utilisee deux lignes plus loin, voir [dl, chapitre V. Rappelons ici que tout domaine semi-cerclb maximum est complet. 16)Le present theoreme a 6noncB dans la Note [ g ] sous une forme incomplete, qui le rend inexact.
Transformations des domaines cercles et semi-cerclbs.
547
3" D est kquivalent a un domaine 2-z
(6')
l < ( l - lylS)ei<~
( M fini ou infini).
Donnons quelques explications sur chacun de ces trois cas. Premier cas. J'appelle dicylindre gknkralisk un domaine A constitu6 par l'ensemble des points x , y pour lesquels x est int6rieur B un domaine born6 6 , non simplement connexe, du plan de la variable x , et y est intBrieur au cercle 1 y < 1 . On connaitlO) toutes les transformations d'un tel domaine en lui-m6me; ce sont les suivantes
y',
e i O _ _ _y_ + _ _ t_ _
1+ t y
oh x' = f ( x ) d6signe la transformation la plus g6nerale du domaine b en lui-meme. Deuxidme cas. La projection du domaine ( 6 ) est le cercle 1 x 1 < 1 priv6 de son centre x = 0. Le plus petit domaine semi-cercl6 complet contenant ( 6 ) est le domaine
Ixla+iy9<1 priv6 de la vari6t6 x = 0; c'est d'ailleurs le plus petit domaine semi-cercl6 maximum contenant le domaine ( 6 ) . Donc toute transformation du domaine ( 6 ) en lui-meme est une transformation du domaine
l ~ J " + ~ l ? < l en lui-meme, qui laisse invariante la vari6t6 x formations du domaine ( 6 ) en lui-m6me
=0.
On en d6duit les trans-
1
-
y'= e i h . + d 1i-t~
(8, et 8, rkels, 1 t
I < 1).
Troisidme cas. Le domaine ( 6 ' ) est Bquivalent au domaine de recouvrement du dolnaine ( 6 ) , correspondant B la meme valeur de M ; il suffit en effet de poser Y ix -x=e a , y=Y pour que le domaine ( 6 ) devienne
x-x1 < ( 1 - J Y \ ' ) ~ M~. < la) On trouve facilement ces transformations en considkrant le domaine A', defini en associant au cercle / y / < 1 , au lieu du domaine 8 , le domaine de recouvrement simplement connexe 6 ' de 6 (universelle Uberlagerungsfiiiche). A chaque transformation biunivoque de A en lui-m8me correspond une transformation biunivoque dc A ' en lui-mt:me, et nit:me une infinitb.
548
H. Cartan.
Mais B un point du premier domaine correspondent une infinite de points du second. Remarquons que, pour une valeur donnee de M, les differents domaines ( 6 ) correspondant aux diffkrentes valeurs de n ne sont pas Qquivalents entre eux; mais leurs domaines de recouvrement sont tous Qquivalents entre eux. Faisons encore la remarque suivante: le domaine de recouvrement simplement connexe (universelle ~berlagerungsfEache) d'un dicylindre gkneralid est Qquivalent au dicylindre ordinaire Par consequent, s i un domaine semi-cerclt D rentre dans Tune quelconque des trois cattgories exceptionnelles, o n peut ttablir une correspondance de l a forme X=f(x), Y= ?lg(x)
entre D et un domaine A , de l'espace ( X , Y), q u i admet les transformations X'
=X
e i e ~ , Y' = Y eiez
-
(8, et 0, reels quelconques);
seulement, l a correspondance X f ( x ) entre les projections de D et (1 n'est pas forctment biunivoque. I1 reste A Qtudier les transformations analytiques biunivoques d'un domaine semi-cercle general borne D , dans le cas oh D n'appartient B aucune des trois categories exceptionnelles. Ces transformations ont toutes la forme (5) (th6or;me V). Les transformations x' = f ( x ) correspondantes sont des .transformations biunivoques du domaine d (projection de D ) en luim6me; elles forment un groupe g . Nous de~nontreronsles theor6mes suivants: ThBorGme VI. L e groupe g est proprement cliscontinu, ou continu d un paramktre. Par suite, les transformations de D en lui-meme dkpendent de un ou deux paramBtres (reels). T h e o r e m e VII. Lorsque le groupe g dtpend d'un paramdtre, on pelit transformer D e n un domaine semi-cerclt tquivalent U', de facon que Ees transformations de D' e n lui-m&me aient la forme
I1 est aise de se rendre compte de la forme du domaine U'. Sa projection d' est doublement ou simplement connexe, puisqu'elle est invariante par des transformations dependant d'un p a r a m h e . On peut donc supposer. en effectuant au besoin une representation conforme, que d' est soit une couronne circulaire centree & l'origine, soit le cercle 1 x / < 1 . Dans le cas oh d' est une couronne circulaire centree B l'origine, les transformations x'= p ( x ) sont les suivantes: xei.el
(0, reel quelconciue 1
Transformations des domaines cerclbs et semi-cerclbs.
Qventuellement combinQes avec une transformation de la forme
le domaine D ' admet donc les transformations 6ventuellement combinees avec x r = -k ,
Y'=Y;
on en deduit aisQment la forme de D r . Dans le cas oh d' est le cercle I x 1 < 1 , les transformations x' = p, ( x ) sont: ou bien les substitutions paraboliques admettant un point double donne: ou bien les substitutions hyperboliques admettant deux points doubles donnhs, Qventuellement combinQes avec une substitution Qchangeant ces deux points doubleslG8j.Dans le premier cas, la domaine 6 ( x ) associb li) A chaque point x du cercle fondamental / x ( < 1 est le mdme pour tous lea points de chaque circonference tangente au point double au cercie fondamental; dans le second cas, le domaine b (x) est le mBme pour tous les points de chaque arc de circonferenoe joignant les deux points doubles. En rQsumt5, le domaine semi-cerclb D ' est d'un type particulier, parfaitement dQfini par ce qui precede. Si un domaine semi-cerclk gCne'ra1 borne' D n'est kquivalent d aucun domaine de ce type particulier, et s'il n'est kquivalent ci aucun dicylindre ghkralisk, alors le groupe g, relatif ci ce domaine D , est proprement discontinu. On peut, en dQfinitive, considQrer que le probleme fondamental (fin du § 1) est rQsolu pour les domaines semi-cerclbs born&.
4. Les transformations des domaines cerclds et semi-cerclds bornds les uns dans les autres. Occupons-nous d'abord de la correspondance entre deux domaines cerclks. T h e o r e m e VIII. Soit D un domaine cerclk bornk qui n'est kquivalent d aucun domaine A, ( 0 < a 5 1) n i d aucun dornaine
lo.) Le cas des substitution0 elliptiques ne peut pas se prbsenter, sinon le domaine A , plus petit domaine semi-cercle maximum contenant D , admettrait des transformations laissant fixe un point de son plan de symbtrie et dbpendant au moins de deux paramhtres; A serait alors bquivalent & un domaine de Reinhardt born6 (cf. note 9), ce qui eat contraire 9, I'hypothhse. l')Voir, au 5 1, le mode de definition des domaines semi-cerclbs.
S i D est en correspondance analytique avec un autre domaine cerclt D', les centres se correspondent; la transformation envisagte est donc lintaire et homogene. E n effet, soit 0, le point de D qui correspond au centre 0' de D'. Aux transformations x'= X e i e , y'= Y e i e de D' en lui-m6me correspondent des transformations de D en lui-mdme, e t le point 0, est le seul point de D qui reste fixe dans ces transformations. D'aprb le th6orGme (C) et le thkoreme I, le point 0, se confond nkcessairement avec le centre 0 du domaine D . C. Q. F. D. T h kor&me IX. Soit D u n domaine cerclt bornt qui a t tquivalent ci u n domaine A , ( 0 < a 2 1) ou ci un domaine
lxla+l~la 0). S i D errt en correspondance analytique avec u n domaine cerclt D', il existe une transformation de D en lui-meme, amenant au centre 0 de D le point O,, homologue du centre 0' de D' da,ns la correspondance envisagte. Examinons d'abord le cas oh l'un au moins des domaines D et D ' n'est kquivalent a aucun domaine de Reinhardt; supposons par exemple que ce soit D . Alors D est Qquivalent h un domaine A, (0 < a c= 1); on peut supposer que D eat effectivement un domaine A,. L'examen des transformations de A , en lui-mbme montre qu'il existe une transformatioil et une seule, distincte de la transformation identique, qui laisse fixe un point donne x,, yo de A,, dans le cas oa xo =/= yo; c'est la transformatioil
S dbignant la substitution homographique (unique) qui conserve le cercleunitk et kchange xo et yo. Cela posk, soit 0, le point de D qui correspond au centre 0' de D' dans la transformation envisaghe. D'aprAs ce qui prkc&de, 0, appartient nQcessairement h la vari6tk x = y; il existe donc une transformation de D en lui-mdme, dans laquelle le point 0, vient au centre 0. C. Q. F. D. Examinons maintenant le cas oii D et D ' sont kquivalents h des domaines de Reinhardt. Ou bien D est Qquivalent h un dicylindre ou h une hypersph&re, ou bien D est Qquivale~~t h un domaine Isla+ l y l a < 1 (u>O, u + 2 ) . Dans le premier cas, le thQor&meh dQmontrer est Qvident. Dans le second cas, on peut supposer que D a effectivement la forme
Transformations des domaines cerclbs et semi-cercl6s.
551
or, parmi les transformations d'un tel domaine en lui-mbme, celles qui laissent fixe un point xo, yo ( y o 0 ) dependent d'un seul paramitre; donc le point 0, de D , homologue du centre 0' de D', appartient B la variBt6 y = 0; il existe, par suite, une transformation de D en lui-mbme, dans laquelle le point 0, vient au centre 0. c. Q. F. D.
+
Cor 011a i r e. S i deux domaines cerclts borne's sont en correspondance analytique, ils sont kquivalents (conskquence immediate des theorhmes VIII et IX). En particulier, si u n domaine cercle' borne' n'est kquivalent aucun domaine de Reinhardt, il ne peut se reprdsenter sur aucun d o k i n e de Reinhardt. Passons maintenant A la correspondance entre un domaine cercle borne et un domaine semi-cercl6. ThBorhm e X. S i u n domaine cercle' bornt D est en correspondance analytique avec un domaine semi-cercle' D', il est tquivalent a u n domaine de Reinhardt. Ce thborhme a dejA Bt6 Qtablils) dans le cas ou le centre 0 du domaine D correspond B un point du plan de symetrie de D'. Dans le cas contraire, aux transformations
du dornaine D ' en lui-mbme, correspondent des transformations de D en lui-mbme, dans lesquelles le centre n'est pas fixe, et qui laissent fixes tous les points d'une variete A deux dimensions rhelies. Si D n'ktait Qquivalent B aucun domaine de Reinhardt, il serait equivalent 1 un domaine A, (theordme I). Or, dans toute transformation de A, en lui-mbme, il existe au plus une ligne (A une dimension) de points fixes, comme on s'en assure facilernent. Nous arrivons ainsi B une contradiction, et le thkorhme X est dkmontrk. I1 nous reste maintenant B rechercher B quelles conditions un domaine semi-cerclk peut se representer sur un domaine de Reinhardt borne. Le theordme X conduit au resultat suivant: Theorbme XI. S i u n domaine semi-cercle' borne' n7est e'quivalent a aucun domaine de Reinhardt, i l ne peut se repre'senter sur aucun domaine de Reinhardt. ~ t u d i o n se n h le cas de deux domaines semi-cercl6s D et A qui sont en correspondance analytique, en supposant que ces domaines soient gene'rauz (cf $ 3 ) et que 17un d'eux au moins soit borne. .
I"
[dl, th&or&rneXIII, p. 45. Voir aussi [ c ] .
552
H. Cartan.
Admettons que la correspondance entre D et A n'ait pas la forme
( 51 X=f(x), Y=yg(x), et envisageons la famille ( F ) des transformations de D en lui-meme, qui correspondent aux transformations
x'= X , Y'= Y e i e de A en lui-m8me. J e dis que, dans D , la vari6tQ y = 0 ne se traosforme pas en elle-mBme par toutes les transformations de ( F ) . Supposons en effet que cette variktd soit invariante par ( F ) ; alors la varietk correspondante de A serait invariante par (5''); ce serait donc une variQtQ X = a . Or, soient D' e t A' les plus petits domaines semi-cerclQs maxima contenant respectivement D et A. La correspondance envisagee entre D et A eat aussi une correspondance entre D' et A'; au point X = a , Y = 0 du domaine A' elle fait correspondre un point de D' pour lequel y = 0. Mais alors, d7apr8s le thkor8me (D), la correspondance envisagee a la forme ( 5 ) . Or nous avons fait l'hypoth8se contraire. I1 est donc Qtabli que, si la correspondance entre D e t A n'a pas la forme ( 5 ) , la variCtQ y = 0 n'est pas invariante par toutes les transformations de D en lui-m8me. Le domaine D appartient donc & l'une des trois categories dQfinies au thdor8me V; de m8me A. Or il est clair que deux domaines appartenant & ces categories exceptionnelles ne peuvent 8tre mis en correspondance analytique que s'ils sont Qquivalents. D'oh le thQor8me: Theor6 m e XII. S i deux domuines semi-cerclts ghiraux, dont l'un a u moins est borne', sont en correspondance analytique, ils sont e'quiualents. En outre, la correspondance envisqe'e a ntcessairement la forme P')
x= f(4,
Y= yg(x),
sauf peut-ilre duns le cas ou les domaines appartiennent & rune des trois cate'gories excep~ionnellesde'finies au the'ordme V . C h a p i t r e 11.
Iles tra~lsformationsdes domaines cercles. 5. Principe de la de'monstration du th6orhme I. Soit D un domaine cercld borne qui. ne soit Cquivalent & aucun domaine de Reinhardt. Supposons qu'il existe une transformation S analytique biunivoque de D en lui-meme, dans laquelle le centre n'est pas fixe. Nous voulons montrer que D est equivalent ti un domaine Au. Le domaine D admet la transformation infinitdsimale
f f .y _?t'. A = i x ddl + : ?/' (i
553
Transformations des domaines cercles et semi-cercles.
qui engendre les transformationslg)
(8 rkel). D admet aussi une transformation inhitksimale
obtenue en transformant par S la transformation (7). Les transformations engendrkes par ( 8 ) laissent fme le point transform6 du centre par S , et ne laissent fixe aucun autre point de D; elles ne laissent donc pas fixe le centre x = y = 0 , et, par suite, E (0, 0 ) et q ( 0 , 0 ) ne sont pas nuls tous lea deux. Cela posk, le groupe G de toutes les transformations de D en luimBme (nous ne savons pas encore si G est un groupe de Lie) doit contenir le plus petit groupe de Lie r contenant les transformations (7),et (8). Cela suffit B dkterminer effectivement le groupe r , bien que la transtormation (8) ait une forme inconnue a priori. E n effet, r ne peut pas Btre un groupe quelconque, car: l or n'admet pas d'autre transformation infinittsimale laissant fixe l'origine que la transformation ( 7 ) [cf. thkorhme (B), Chapitre I]; 2" r laisse invariant u n domaine bornt contenant l'origine (a savoir le domaine D envisagk). Nous allons voir que ces deux conditions permettent de determiner tous les groupes r possibles; nous montterons qu'ils se ramhnent, en effectuant une substitution linkaire convenable sur x et y , A l'un ou l'autre des deux groupes suivants
Pour achever la dkmonstration du thQor6me I, il restera A chercher les domaines bornQs invariants par chacun de ces deux groupes. Now verrons que les seuls domaines bornks invariants par TIsont les domaines d e Reinhardt suivants (k > 0 ) ; ; x i 9f k i y l < l --pppp-.
~
I1 est it peine besoin de rappcler que chaque transformation infinitesimale est consideree ici comme engendrant une famille de transformations finies dependant lo)
d'un parametre riel. Par exemple, la transformation (7) e t la transformation a, af cx s6nt regardbes comme diffbrentes.
f + y aay
554
H. Certan.
quant aux domaines bornks invariants par r 2 , ce sont prhcishment les domaines A,, et en outre le dicylindre E n somme, notre mkthode consiste B dkterminer a priori un sousgroupe I' du groupe de toutes les transformations du domaine cerclk D considkrk, puis B dkduire, de la connaissance de I',la forme du domaine D.
Soit B dkterminer le groupe I', plus petit groupe de Lie contenant les transformations ( 7 ) et (8), et satisfaisant en outre aux conditions lo et 2 O du paragraphe prkckdent ?O). Puisque la transformation ( 8 ) est transformke de (7) par S , et que S est une transformation analytique partout rkgulikre dans D , les fonctions E(z, y) et ~ ( zy), , qui figurent dans (8), sont holomorphes dans D . En vertu d'un thkorbme connu'l), elles sont d5veloppables dans D en sQries uniformkment convergentes de polynomes homogknes
5, et TI,, dksignant des polynomes homoghes en z et y de degrk n . D'aprb ce qu'on a vu plus haut, les constantes 5, et go ne sont pas nulles toutes les deux. L e m m e 1. Que D soit CYU ne soit 1~;8e'quivalent ci, un domaine de Reinhardt, on a Fn(z,y)=1;1,(x,y)=O pour n > 2 , et transformation
est une transformation infinittsimale de D en lui-mime. E n effet, formons le crochet des transformations (7) et (8), crochet qui appartient ausai au groupe I'. On trouve
B2= [ A , B l ]
=
m m af - - (n=O ~ ( n - 1 ) ? 5 , , } ~ ~ - (n=O ,Z(n-1)'~,,)~
") La dbtermination de r eat due it M. E. Certan, qui m'a aid6 de ses conseils dens la &solution du pdsent problhme. [dl, thborbme II, p. 14.
Transformations des domaines cerclbs et semi-cerclbs.
555
La transformation
fait aussi partie du groupe r. Or elle engendre des transformations laieaant fixe l'origine. Ces transformations sont donc lindaires (thkorhme A); donc a f dans B B, sont homogenes et du premier les coefficients de aa-i f et 3~
+
degrd. On en ddduit aussit6t le lemme. C. Q. F.D. Co r 011air e. La transformation
fait partie du goupe des transformations de D en Iui-meme. Lorsque D n'est Qquivalent a aucun domaine de Reinhardt, C fait partie du groupe K' dQfini plus haut. Lemme 2. Duns le cas ou D n'est e'quivalent d aucun domaine de Reinhardt, on peut ejjectuer une substitution line'aire homogdne eur x et y, de japon que la transjormation C prtcldente prenne ( d un jacteur riel constant p r b ) t u n e des deux formu suivantes
( 1 - - ~ ~a f) ~ + ( 1 -y2)-. - af ay
(11) En effet, on a
af af. cl=[A, Cl=i(-to+ i)G+i(-~o+qs)G, d'autre part, on a [ A , C,] = - C . En outre, la transformation
laisse fixe I'origine; elle doit donc etre identique It A B un facteur &el constant prhs; d'oa lea identiths
Rkciproquement, de deux quelconques sieme ( A un facteur e t Cl engendrent un groupe r cherchd.
supposons lea identitks (9) satisfaites. Alom le crochet des trois transformations A, C, Cl est 6gal h la troireel constant pr8s). Donc les transformatima A, C groupe B trois paramdtrea, qui n'eat autre que le
556
H. Cartan.
NWS sommes ainsi ramene's ci de'terminer lo,v,, 5,, 7, de fa~onque lea identite's (9) soient satisfaites. Or on peut, en effectuant une substitution linkaire et homogene sur x et y (ce qui transforme le domaine D en un domaine qui est encore cerclk, e t que nous appellerons encore D), se ramener au cas oh 7, = 0 . 0. En changeant au besoin x en k x, k ktant une conOn a alors 5, stante complexe, on peut se ramener au cas oh 5, = 1. Les identitks (9) donnent alors immkdiatement la forme que doit avoir la transformation C
+
p est une constante rkelle, a et b sont des constantes rkelles ou complexes. Mais p et b ne sont pas nuls tous deux. Sinon C engendrerait
u ktant un parametre ⪙ or il n'existe aucun domaine bornk invariant par ces transformations. p et b n'ktant pas nuls tous deux, on vkrifie sans peine qu'on peut effectuer sur x et y une substitution linkaire homogene, de fapon A annuler a . Supposons donc a = 0. J e dis que p 0. Sinon la transformation C engendrerait des transformations pour lesquelles on aurait X'=X+U ( u rkel quelconque);
+
or aucun domaine bornk ne peut admettre de telles transformations. I1 est donc prouvk que p n'est pas nul. En multipliant x et le parametre reel u par un m2me facteur reel et constant, on peut se ramener B l'un des deux cas suivants J e dis que le cas p = 1 ne peut pas se pre'senter. En effet, la transformation C correspondante s'obtiendrait en intkgrant le syst&me dz'du - I
+X'~,
~ = 2 ~ ' ~ ' + b ~ ' ~ ,
et en prenant la solution qui, pour u = 0 , se rkduit B x'= x, y'= y. On trouve ainsi x'-i sitl x - i . z'+i=e x+i' si l'on fait x = 0 , x' prend toutes les valeurs rkelles quand le parametre rkel u varie. I1 n'existe donc aucun domaine bornk qui contienne l'origine e t admette la transformation C. I1 reste donc seulement B envisager le cas oh p = -1. Si b = 0, la transformation C a la forme ( I ) kcrite plus haut. Si b 0, on peut, en
+
!l!ransformations des domaines cerclds et semi-cerclbs.
557
multipliant IJ par une constante complexe convenable, se ramener au cas od b = 1 ; ei l'on pose alors s=X, x-y=Y, la transformation C se trouve ramenke & la forme
Le lemme 2 est donc ktabli. Nous devons maintenant ktudier successivement les cas ( I ) et (11). Supposons d'abord que C ait la forme ( I ) ; on trouve facilement le groupe r, correepondant 1-ti z+t x J-- ,ie __. y1 = e i e (0 rkel, 1 t 1 < I). I +t z ' (1 + t x)= Cherchons les domaines bornks qui contiennent l'origine et sont invariants par TI.D'abord, x ( doit Btre infkrieur & un dans un tel domaine. Ensuite, les transform& de l'origine x = y --- O sont les points suivants
tous ces points seront intkrieurs au domaine. Enfin, soit x,, yo un point quelconque du domaine ( I so1 < 1, yo 0); il existe une transformation de rlqui amene x,, yo en un point pour lequel on a
+
or les transformks de ce point sont les suivants
on trouve ainsi tous les points pour lesquels on a
De tout cela, il rksulte que tout domaine bornk qui contient l'origine et eat invariant par le grsupe r, a la forme Passons au cas oh la transformation C a la forme (11). Le groupe r2 correspondant est y 1 = e i e -Ktte i -!it, ~ (0 &el, 1 t 1 < 1). (10) I+ tx
1+ty
Pour dkterminer les domaines bornks qui contiennent l'origine et sont invariants par r, on procBde comme on vient de le faire pour r,. On trouve, outre le dicylindre x <1 ( y J< 1, les domaines A a . La dkmonstration du thkor&me I est donc achev6e.
H. Cartan.
7. Recherche des transformations des domaines A,. Montrons que les transformations analytiques biunivoques d'un domaine A, (a 1) en lui-meme s'obtiennent toutes en combinant les transformations (10) (groupe r?) avec la transformation
+
Nous aurons alors Qtabli le thQordme I1 ($ 2). L e m m e 3. Un d o m i n e A , ( a 1) n'est e'quivalent ci aucun domaine de Reinhardt. En effet, si A , Qtait Qquivalen{ & un domaine de Reinhardt, alors, d'aprds le thQor6me (C), A , serait Qquivalent & un dicylindre, ou & une bypersphdre, ou B un domaine de la forme
+
(11)
"IX!
+IYIU<1
(a:
> 0,
a:
+ 2).
Or la fronti6re de A, possdde une ligne singuliere & une dimension rkelle (la ligne x = y, 1 x 1 = 1); A , n'est donc Qquivalent ni & un dicylindre (dont la fronti6re poss6de une ligne singulidre & deux dimensions), ni & une hypersph8re. Par suite, la domaine A , serait Qquivalent & un domaine de la forme (11); une transformation linkaire convenable
ferait donc correspondre aux transformations (10) un sous-groupe du groupe
des transformations du domaine (11) en lui-mhme. On vQrifie sans peine que c'est impossible. C. Q. F. D. L e m m e 4. Toute transformation infinite'simale de A , (a 9 1) en lui-mime eet une transformation infinite'simale du groupe r, dtfini plue haut. Soit en effet
une transformation infinitbsimale de A , en lui-meme. Nous avons vu (lemme 1) qu'elle a la forme I A B (1 rQel), avec
+
559
Transformations des domaines cerclks e t semi-cerclhs.
Appelons toujours C et C, les deux transformations infinitksimales qwi, avec A , engendrent le groupe r,:
Pour dkmontrer le lemme, il suffit de faire voir que l'on a
On constate d'autre part que les transformations [C, B] et [C, B,] laissent fixe I'origine; puisque A , n'est Qquivalent B aucun domaine de Reinhardt, elles doivent dtre identiques & A , & un facteur reel constant pr8s. En Qcrivant cette condition, on trouve
avec
On en dQduit aussitet la relation (12). C. Q. F. D. Lemme 5. S i un domaine A , (de l'espace z,y) a t en correspondance analytique avec un domaine A , (de l'espace X, Y), les varie'tts x y et X = Y se correspondent duns la transformation. En effet,, au groupe
-
de transforlnations du domaine A , en lui-meme, correspond, au moyen de la transformation de 3, en A , envisagke, un groupe de transformations de A , en lui-mdme. Ce dernier groupe depend de trois paramGtres e t est engendrk par des transformations infinithsimales; en vertu du lemme 4, c7est le groupe r, lui-mdme. Or la variQt6 X = Y est la seule vari6tQ ir deux dimensions (r6elles) invariante par (10'); de meme, la varihth x = y est la seule vari6tk A deux dimensions invariante par r,. Ces deux varihtks doivent donc se correspondre. C. Q. I?. D. C orollai re. Si une transformatioh S Qtablit une correspondance analytique entre un domaine 3, et un domaine A , , S peut Btre considkrke comme le produit d'une certaine transformation du groupe r, par une transformation T de AU en A,, telle que les centres se correspondent dans .'2
H. Cartan.
Cherchons maintenant la forme d'une telle transformation T, L e m m e 6. Toute transformation analytique d'un dornaine A, en un domaine A,, duns laguelle les centres se correspondent, a la forme ou la forme
X = yeie,
Y=xeie.
E n particulier, les domaznes A, et A, sont forckment identiques. E n effet, la transformation consid6rBe est lin6aire [thBorBme (A)]; elle s'applique donc A tout l'espace. D'autre part, elle transforme les transformations (10) du groupe r, en les transformations (10'); elle transforme donc le plus grand domaine born6 invariant par ( l o ) , dans le plus grand domaine born6 invariant par (10'). Or ces domaines sont respectivement les dicylindres :x1<1, 1y<1 et 1x1 < 1 , ; Y < 1. La transformation consid6rde a donc la forme
Mais, pour qu'une telle transformation convienne, il faut kvidemment que l'on ait 0, = OS2. C. Q . F. D. Le corollaire du lemme 5, joint au lemme 6, entraine aussit6t lea th6orBmes TT et 111 (§ 2).
8. Tout domaine A, est un domaine d'holomorphie. Rap~elons la proposition suivante'": uA chaque domaine cerclh born6 _1 est associ6 un domaine cerclt5 born6 D , contenant A et jouissant des proprikt6s suivantes: lo D est un domaine d'holomorphie (autrement dit, il existe une fonction qui est holomorphe dans D et n'est holomorphe en aucun point frontiBre de D ) ; 2" toute fonction holomorphe dans A est aussi holomorphe dans D ; 3' toute transformation analytique biunivoque de A en lui-m8me est aussi une transformation analytique biunivoque de D en lui-mCme.)> Appliquons cette proposition B un domaine A,; soit D, le domaine associ6. Pour montrer le thQor6me I V (§ 2)' il suffit de faire voir que D, est identique B A,. --
") [dl, Chapitre V, thborkmes XXXVII et XLIII.
Transformations des domaines cercl6s et semi-cerclbs.
56 1
Or D , admet toutes les transformat,ions de A , ; il est donc identique B un domaine A , . I1 nous suffit maintenant de montrer que b = a , et, pour cela, de montrer que A, et D , ont au moins un point frontiere commun, pour lequel x f y . Or 1 z - y j admet, dans A,, un maximum M qui est atteint en un certain point frontiere x,, yo de A , . La fonction 1 z - Y -(zo-yo)
est holomorphe dans A , sans btre holomorphe en x,, yo, et, par suite, xo, yo est un point frontiere de D , . C. Q. F. D. Terminons ce chapitre par une remarque. I1 va sans dire que la mkthode, fondbe sur la theorie des groupes, qui a 6th employee aux paragraphes 6 et 7 pour la dbmonstration du thboreme I, pourrait aussi bien s'appliquer, avec de lkgeres modifications, It la determination des transformations des domaines de Reinhardt. On retrouverait ainsi les rksultats de P. Thullen par une mkthode diffkrente de la sienne. C h a p i t r e 111.
Les transformations des domaines semi-cerclCs. 9. Vue d'ensemble. Considkrons un domaine semi-cerclk bornk D . Parmi les transformations de D en lui-mbme, celles qui ont la forme (13) x' = d x ) , Y'= Y y ( x ) forment un groupe G, et les transformations x'= q ( x ) correspondantes foment un groupe g qui laisse invariant le domaine bornk d , projection de D . Le groupe g eat donc proprement discontinu, ou continu It un, deux ou trois parametres. A chaque transformation de g correspondent des transformations de G, dont chacune est d b f i e par la fonction y ( x ) correspondante. J e dis que, la fonction ~ ( x e'tant ) donnte, la fanction y ( x ) est bien dttermine'e au facteur e i e prh. Soient en effet ~ ( x etj y l ( x ) deux fonctions correspondant B la mbme fonction ~ ( x ) soient ; S et S, les transformations de G correspondant respectivement It y et y, . La transformation (S1)-l S s'kcrit
"'= x,
Y ' Y I ( ~= ) Y~ ( 5 ) ; comme elle transforme chacun des domaines 6 (x) 23) en lui-mbme, on doit avoir
U,
Cf-6 1.
562
H. Cartan.
Cela posk, nous allons prockder de la fagon suivante. L e m m e 7. groupe g , et le transformant le ramener a u cas
~ t a n tdonnds un sous-groupe y ci u n parame'tre d u sous-groupe r correspondant d u groupe G , o n peut, en domaine D en un domaine semi-cercle' e'quivalent, se ozi toutes les transformations de r ont la forme XI=
q ~ ( x ) , y'= y e i e .
Ce lemme sera dkmontrk 1 la fin du chapitre (§ 12). V ous commencerons par l'admettre. De ce lemme il rksulte que le groupe r peut Btre engendrk par deux transformations i~ifinitksimales. Par suite, le groupe G peut toujours itre engendrd par des transformations infinittsimales, ce qui n'ktait nullement kvident a priori. Le lemme 7 &ant admis, nous pourrons dkmontrer le L e m m e 8. S i le groupe g ddpend de plus d'un paramt?tre, le domaine D est kquivalent a u dicylindre 1x1 < I ,
lyi
<1
ou 4 un domaine (u >0 ) ; xiq+ yia< 1 le groupe g ddpend donc de trois paramktres. Enfin, nous sewant du lemme 8, nous ktablirons le thkor6me V (cf. tj 3). Les thkoremes V I e t VII rksulteront alors des lemmes 7 et 8.
10. Dbmonstration du lemme 8. Supposons que le groupe g dkpende de deux ou de trois parametres. Le domaine d est alors simplement connexe, et l'on peut supposer que c'est le cercle I x 1 < 1. Or on connait tous les groupes A deux parambtres qui laiseent ce cercle invariant; un tel groupe est formk de toutes les transformations qui laissent fixe un point donnk de la circonfkrence. Repr6sentons d sur le demi-plan de Poincark x, > 0 (on pose x = x, i x,), de f q o n It envoyer le point fixe 1 l'infini; le groupe i deux parametres envisage prend la forme
-+
(14)
x'
=ax
+b
( a > O quelconque, b reel quelconque).
E n rksumk, si le groupe g depend de plus d'un parambtre, on peut se ramener au cas oh, le domaine d Ctant le demi-plan de Poincar6, le groupe g contient le sous-groupe y formk des transformations (14). Cherchons le sous-groupe r correspondant du groupe G. Le groupe r Gkpend de trois parametres et peut &re engendr6 par des transformations infinitksimales (conskquence du lemme 7, que nous admettons pour le moment). En ou-tre, toujours d'apres le lemme 7, on peut
Transformations des domaines cerclbs e t semi-cerclbs.
563
supposer que les transformations de r qui correspondent aux transformations
xl=x+b de y , ont la forme (15) xl=x+b, yl=yeie. Le groupe I' sera alors engendrk par les trois transformations infinitkimales suivantes
Les deux premikres engendrent le groupe ( 1 5 ) ; le premihre et la troisihme engendrent le sous-groupe de r correspondant aux transformations
( a > 0)
x'=ax
du groupe y. Soit B determiner la forme de la fonction q ( x ) . On a
gcrivons que ce crochet est une combinaison linkaire it coefficients rkels des transformations A , B, C ; il vient
q'(x) =i2
(1,
q(x) =i2x+p+ip1
( p et p, reels et constants).
On trouve alors facilement le groupe
rkel et constant);
r engendrk par A, B et C;
( a > 0 , b rhel),
=ax+b ,ieap y e - i l z
yle-ilzr=
"'
(0 reel quelconque)
Posons x
=X,
ye-ilz
=Y
c'eet
.
;
le domaine D se transforme en un domaine semi-cerclk kquivalent A, qui admet les transformations Supposons d'abord la forme
,LA = 0
. Alors il est clair que A a nhceaaairernent
X,>O,
JYl
( X = x l + iX,),
r Qtant indhpendant de X; le domaine A est donc kquivale& 8, un dicylindre. Supposons maintenant ,LA 9 0 . Le domaine 4 , admettant lea traneformations ( 1 6 ) , a nkcessairement la forme ce qui exige p > 0 (car y
= Yei"
est bonk dans le domaine, par hypothbe).
H. Cartan.
On a d'ailleurs 4X,= de sorte que A a la forme
Ix+il"- J x - i l a ,
Posons X-i -X+i
x',
4r Y
k(X+i)''
= y';
le domaine A se transforme en un domaine Bquivalent A', qui a la forme 1
x'iP+(Y';<
1.
Le lemme 8 est donc dkmontrk.
Le principe est le msme que pour la dkmonstration du thBor&meI (995 et 6). Soit D un domaine semi-cerclk ginha1 born&. Admettons l'existence d'une transformation S de D en lui-msme, n'ayant pas la forme (13) ' ( x ) , y'= y y ( x ) . Le domaine D admet la transformation inhitbimale
et la transformation
transformke de A par S. D'aprBs ce qu'on a vu au Chapitre I (9 4, dBmonstration du thkoreme XII), la transformation B ne transforme pas h variCtt y = 0 en elle-m&me,sinon le domaine D ne serait pas g h k a l . Soit G le plus petit groupe de Lie contenant les transformations A et B. Le groupe G laisse invariant le domaine D , ainsi que le domaine A , plus petit domaine semi-cerclk maximum contenant D . Nous nous appuierons sur le fait suivant: s i une transformation infinithimale de G hisse invariant un point du plan de symitrie de A, elle est identique d la transformation A (& un facteur rkel constant prss). Sinon, en effet, les kransformations de G laissant fixe le point en question dkpendraient de deux parametres au moins; le domaine A pourrait donc se representer sur un domaine de Reinhardt bornk"), et le domaine D ne serait pas gknbral. C. Q. F.D. -
") Ceci, en vertu d'un thhorcrne connu ([dl, theorbme XXV, p. 80).
Transformations des domaines cerclbs e t semi-cerclhs.
565
Cela posh, les fonctions [(x, y) et 7 ( x , y) sont holomorphes dans le domaine D et y sont developpables en series de la forme")
Je dis que bo(x) ne s'annule pas dans A . En effet, si bo(x) s'annulait, la transformation C laisserait fixe un point du plan de symktrie de d ; elle serait donc identique A A, ce qui donnerait
B laisserait invariante la variktB y = 0 , ce qui n'a pas lieu. C. Q. F. D. Puisque bo(x) ne s'annule pas, on peut effectuer le changement de variables
Les domaines D et A se transforment en des domaines semi-cerclks respectivement Bquivalents; ces nouveaux domaines ne sont peut-Stre pas bornks, mais X est borne dans ces domaines, et chaque section X = const. se compose, dans le plan Y, d'un cercle et de couronnes circulaires A distance finie. Appelons de nouveau D et d ces deux domaines, et rkcrivons x et y au lieu de X et Y. Nous aurons alors b,(x) -- i , et la transformation C, qui fait partie du groupe G, aura la forme
+
La transformation C C, laisse invariants les points de la variktk y = 0; elle est donc identique a A B un facteur rkel constant pr$s, qui est d'ailleurs nul. En kcrivant cela, et en posant pour simplifier
en)
[ d l , theoreme VIII, p. 36.
361
566
H. Cartan.
on trouve
(g'
dksigne la dkrivke de /? par rapport B x). Toutes les transformations prkckdentes font partie du groupe G, et, par suite, laissent invariant le domaine D . Or chacune des transformations E e t H engendre un groupe A un paramhtre de transformations de la forme x'==lp(x),
y'=yy(x).
Donc, d'aprds le lemme 8, les transformations infinitksimales
doivent dtre identiques (A un facteur rkel constant prhs). Deux cas sont ) identiquement nul, ou bien B(x) est une conpossibles: ou bien ~ ( x est stante dont le carre est rkel. Btudions successivement ces deux cas. P r e m i e r cas. a ( % )= 0. On a alors
La transformation E, qui laisse fixes les points de la variktk y dtre identique A A ; d'oh P(x) = I ,
= 0,
doit
1 ktant une constante rkelle. Mais, en raisonnant comme lors de la dkmonstration du thkorhme I ($ 6), on voit que 1 ne peut dtre ni nu1 ni positif, et qu'on peut se ramener au cas oh 1= - 1. Les transformations A, C et C, engendrent alors le groupe
567
Transformations des domaines cerclbs et semi-cerclbs.
Puisque le domaine D est invariant par ce groupe, D est un dicylindre gknkralis6") (cf. § 3). D e u x i e m e cas. pa a92 une constante rielle. J e dis que /? n'eet pee imaginaire pur; sinon, en effet, on aurait
et le domaine D admettrait les transformations Y'=Y+U ( u reel arbitraire), ce qui est impossible. ne peut Ainsi, B est une constante rkelle; de meme que plus haut, 6tre ni nu1 ni positif, et l'on peut supposer /?= - 1. Les quatre traneformations infinitksimales
engendrent un groupe qui laisse invariant le domaine D , e t la transa f-laisse invariant le domaine borne d , proformation infinitksimale i a ; 0x
jection de D , et ne laisse fixe aucun point intkrieur B d (remarque d6jA faite). Le domaine d est donc doublement ou simplement connexe. Si d est doublement connexe, on peut le reprksenter conformhment eur une couronne circulaire (17) on aura alors
r< Jxl
(05 r
< 1);
a(x) = 2ax,
a Btant une constante rkelle non nulle.
Si d est simplement connexe, on peut le transformer de fapon que la transformation i a -aa~f -prenne la forme 1aa--f ~ , 1 ktant une constante rkelle; le domaine d eat alors limit6 par deux paralleles B l'axe rkel, ou constituk par un demi-plan limitk par une parallele B l'axe rkel. Supposons d'abord que d soit une couronne de la forme (17), e t que l'on ait a ( x ) = 2 a x . Le groupe engendrk par A, C , C, et E est alors le suivant
P6)
La projection de D n'est pas simplement connexe, sinon D serait Bquivalent
a un dicylindre ordinaire, c'est-&-direa un domaine de Reinhardt.
568
H.Cartan.
0, et 0, ktant deux nombres rkels quelconques ( j t l < 1 ) . La constante a doit donc Btre ntgative, sinon x ne serait pas bornk dans le domaine D ; or on a par hypothkse 1 x 1 < 1 . Cela ktant, le domaine D a nkcessairement la forme 1- : y ' " I < - + -- < M , ix;
a
la constante M pouvant d'ailleurs &re infinie; la projection de D est donc le cercle pointk O < [xi< I .
-
Supposons maintenant que l'on ait icr(x)
( 2 rkel),
d
le domaine d ktant une bande ou un demi-plan. On peut, en multipliant x par une constante rkelle, se ramener au cas od 1= -1. Les transformations A , E, C et C, engendrent alors un groupe, qu'il est inutile d'kcrire, et qui jouit de la propriktk suivante: les transformks d'un point x, y quelconque par ce groupe sont tous les points pour lesquels a une valeur donnke, et y une valeur quelconque de module infkrieur & un. I1 en rksulte que d doit Btre formk de la region du plan situke au-deasus d'une parallele 1 l'axe rkel, qu'on peut supposer Btre I'axe rkel lui-mbme, et que le domaine D a la forme 1<(1-iylS)e"~M
(Mfiniouinfini).
La dkmonstration du thkorkme V est ainsi achevke.
12. DBmonstration du lemme 7. I1 nous reste ii demontrer le lemme 7, knonck au paragraphe 9 de ce chapitre. Nous considkrons, par hypothkse, un groupe de transformations x ' = p)(x; t ) , dkpendant d'un paramktre rkel t, qui laissent fixe la projection d d'un domaine semi-cerclk bornk D . A chacune de ces transformations est associ6e une fonction y ( x ; t ) , holomorphe dans d, et bien dkterminke au facteur ei prks. Enfin, les transformations @
forment un groupe 1 deux paramktres rkels t et 0. Comme nous l'avons dkjh vu, on peut effectuer sur d une reprksentation conforme, et sur t un changement de variable, de fapon que les
Transformations des domaines cerclbs et semi-cerclbs.
fonctions q ( x ; t ) prennent l'une des deux forrnes suivantes (P(x; t ) - x e
(19)
it.
,
Dans le cas (19), d est un cercle centre & l'origine ou une couronne circulaire centrke & I'origine (le rayon intkrieur pouvant dtre nul); dans le cas (20), d est une bande limitke par deux paralleles & l'axe rkel, ou un demi-plan limitk par une parallele A l'axe rkel. Posons log I ( x ; t) ( = eu(z;t). La fonction rkelle u ( x ; t ) est, pour chaque valeur de t, une fonction harmonique r6guli8regi) et bien dkterminke des variables x, et x, ( x = x, + ix,) dans le domaine d. Bcrivons maintenant que les transformations (18) forment un groupe; il vient, t, et t, dksignant deux nombres rkels quelconques, dans le cas (19), U ( X ;t,
(21)
+ t,) = u ( x ; t,) + u(xeitl; t,),
et, dans le cas (20), Remarquons encore que, & tout domaine fermk do completement intCrieur a d, it tout nombre rkel to et & tout nombre positif E , on peut associer un nombre 7 tel que l'inkgalitk It-to\ entraine
<7
1 u ( x ; t ) - u ( x ; to) 1 < E ,
quel que soit x intkrieur it do. Cela tient A ce que les transformations (18), en vertu d'un thkoreme gknkral"), forrnent un groupe clos. I1 rksulte de lit que, LY et /l&ant deux nombres rkels fixes quelconques, l'intkgrale
reprksente une fonction h a r m o n i q ~ e ~dans ~ ) le domaine d . En effet, ~ ( xtj;ne s'annule pas dans d (cf. debut du # 3), [dl, th6ordme XXI, p. 58. En effet, l'intbgra!e existe, a cause de la continuit6 de u(x; t ) par rapport it t ; en outre, on peut la regarder comme limite d'une suite de fonctions harmoniques qui convergent uniformement; c'est donc une fonction harmonique, d'apr8s un thhrhme connu.
570
H. Cartan.
Cette simple remarque et la relation (21) [ou (22)] vont suffire & montrer l'existence d'une fonction V(x), harmonique dans d et telle que l'on ait, dans le cas (19), v ( x e i t ) - V(x) = U ( X ;t ) ; (23) dans le cas (20), Le lemme 7 en rhultera. En effet, il existera une fonction ~ ( x ) , holomorphe et uniforme30) dans d , et telle que
1 Q ( x ) 1 = e-v(z). Les transformations (18) prendront alors la forme xl=p(x;t), y'e(xl)=e*ye(x), et il suffira de poser x=X, ye(x)=Y pour obtenir le lemme 7. Soit donc B montrer l'existence d'une fonction harmonique V ( 2 ) satisfaisant B (23), ou 9. (24). Plagons-nous d'abord duns le cas (19). On a U ( X ;t
+2
4 = u ( x ; tj,
et, par suite, l'integrale 2rr
ne depend pas de t. Clalculons alors I rr
Phzgons-nous maintenant duns le cas (20). Nous construirons d'abord une fonction U(x), harmonique dans d , et telle que l'on ait
En effet, dans le cas oii d est une couronne circuldre centrbe & l'origine, on peut rendre Q (x) uniforme en remplapant, s'il le faut, V(x) par V(x) k log lzl ( k = const. rbelle), ce qui nJemp6che pas la relation (23) d'6tre satisfaite.
+
Transformations des domaines cerclhs et semi-cerclhs.
571
L'existence d'une telle fonction U ( x ) sera montrke plus loin; admettons-la provisoirenient, et achevons le raisonnement. Posons
( x ;t ) = U ( x La relation ( 2 2 ) donne 2
+t ) - u
( 5 ;t ) .
v ( x ;t , + t , ) = v ( x + t,; t,) - u ( x ;t , ) , (26) et l'on a en outre v ( x ; t 212) = v ( x ; t ) .
+
On peut d$s lors raisonner sur v ( x ; t ) comme on a raisonnk plus haut sur u ( x ; t ) . Posons
et, en se servant de ( 2 6 ) , 2n
13. RBsolution d'une 6quation aux dirMrences h i e s . Nous avons admis tout A l'heure la possibilitb de rksoudre l'kquation
+
U ( x 212) - U ( s ) = U ( X ; 2 n ) . (25) Rappelons que u ( x ; 212) est une fonction donnke, harmonique dens d , et que U ( x ) est une fonction inconnue, qui doit Btre harmonique dans d. Rappelons aussi que le domaine d est une bande de la forme a et b ktant deux nombres rkels, dont l'un peut dtre infini (on pose
x =x,+ix,). Soit f ( x ) une fonction holomorphe ayant u ( x ; 2 n) pour partie rhelle. Nous allons montrer l'existence d'une fonction F ( z ) , holomorphe dans d et satisfaisant A l'kquation
(27) F(x+212)- F(x)=f(z). I1 suffira de prendre ensuite pour U ( x ) la partie r&lle de F ( z ) ; on aura ainsi une solution de l'kquation ( 2 5 ) . Pour rksoudre l'kquation ( 2 7 ) , considkrons deux suites inthies de nombres rkels a, et b,, telles que les a, dkcroissent et tendent vers a,
572
H. Cartan.
et que les b, croissent et tendent vers b. Supposons a, soit n, et dksignons par d, la bande
< b,
quel que
Nous montrerons dans un instant qu'il existe, pour chaque valeur de n, une fonction F+,(x) holomorphe dans d, et telle quk l'on ait
Cela ktant provisoirement admis, voyons comment on pourra former F ( x ) par un passage B la limite. La diffkrence ',+I(%) - F n ( x j = On(%) est holomorphe dans d, et y admet la pkriode 2n. Donc, si l'on pose eiz
= 2,
@,(x) devient une fonction uniforme de z dans la couronne elle y admet un dbveloppement de Laurent, prockdant suivant lea puissances positives et nkgatives de z. Prenons un nombre h i de termes de ce dkveloppement, et remplagons z par ei"; nous obtiendrons une fonction enti6re Yn(x) admettant la pbriode 2 n . Or, nous pouvons prendre un nombre de termes assez grand pour que l'on ait, dans d,-,,
I @n(x>- Yn(x) I <
En,
ktant le terme gbnkral d'une sbrie convergente it termes positifs. I1 est clair que la sbrie
E,
Fl(4
+ e (@,,(x) - Yn(x)) n=l
reprksente une fonction F ( x ) qui est holomorphe dans d et y satisfait a l'bquation (27). C. Q. F. D. I1 nous reate donc B montrer comment on obtient une fonction Fn(x) holomorphe dans d, et stttisfaisant a l'bquation (28). Or c'est 19 un probl6me classique; aussi nous contenterons-nous d'en indiquer la aolution aans dkmonstration. L'intCgrale i b,
prise de long de l'axe irnaginaire, a un sens puisque la fonction f(E) est continue et bornke sur le chemin d'intkgration. Cette intkgrale dkfinit, dans le rectangle O<x1<2n, an<x9
Transformations des domaines cerclhs e t scmi-cercl6s.
573
une fonction holomorphe F n ( x ) , continue sur les cBtks verticaux du rectangle. La fonction F,,(x) se laisse prolonger analytiquement dans la bande d, tout entikre; on verifie en effet que, x ktant intkrieur au rectangle 2n<xI<4n, l'expression Fn(x-2 n)
an<xl
+ f ( x - 272)
dkfinit une fonction qui se raicorde avec F,(x) sur le cat6 x, = 2 n ; cette nouvelle fonction est donc le prolongement analytique de F n ( x ) . On dkfinit ainsi, de proche en proche, le prolongement analytique de F,,(x) dans l'un quelconque des rectangles on obtient, en dkfinitive, une fonction holomorphe dans d, et satisfaisant Q l'kquation (28). C. Q . P. D. Nous avons ainsi achevk la rksolution de l'kquation (27) et, en m&me temps, la demonstration du lemme 7. (Eingegangen am 9.8. 1931.)
Bibliographie. [ a ] K. Reinhardt, Uber Abbildungen durch analytische Funktionen zweier Verandcrlichen, Math. Annalen 83 ( 1921), S. 21 1-255. [a'] Kritikos, Uber analytische Abbildungen einer Klasse von vierdimensionalen Gebieten, Math. Annalen 99 (1928), S. 321-341. [ b ] H. Behnke, Die Abbildungen der Kreiskorper, Abh. Math. Sem. Hamburg. Univ. 7 (1930), S. 329-341. [c] H.Welke, Uber die analy tischen Abbildungen von Kreiskorpern und Hartogsschen Bereichen, Math. Annalen 103 ( 1930 ), 8. 437-449. [dl H. Cartan, Les fonctions de deux variables complexes et le problhme de la reprbsentation analytique, Journ. de Math. (9) 10 (1931 ) , p. 1-114. [el P. Thullen, Zu dell Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer Veriinderlichen, Math. Annalen 104 ( 1931), S. 244-259. [f] E. e t H. Cartan, Les transformations des domaines cerclbs bornbs, Comptes Rendus 192 (1931), p. 709. [g] H. Cartan, Les transformations des domaines semi-cerclbs bornbs, Comptes Rendus 192 (1931), p. 869.
Sur une classe remarquable de domaines Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris 192,1077-1079 (1931)
1. J e me propose'de signaler ici une classe rernarquable(I') de domair~es ~ ~ n i v a l e n( t2s) de l'espace de deux variables complexes. Cette classe comprend des domaines simplement connexes ( 3 ) ; tous les domaines de cette classe jouissent des deux propribtbs suivantes : PROPKIETE I. - fitant d o n n t u n donzaine quelconque D de In classe (I'), i l existe au moins une fonction f ( x ,y ) holomorphe dans C) et non dtveloppable dans D en strie r~niformtmentconvergente (') de polynomes. ~'ROPRIETE 11. - &tan2 donnk zin donzaine quelconque ]O de la classe (r),le plus petit domaine m a x i m u m contenant D n t s t pas univalent. En ce qui concerne la propriCt6 I, on connait le thCorkme classique : (( g t a n t donnt!, dans le plan d'une variable complexe x, un domaine univalent et sirnplement connexe quelconque, toute fonction holomorphe dans ce domaine y est dbveloppable en sCrie uniforrndment convergente de polynomes. On voit que ce thkori.nze ne s' Ptend pas n n . ~.fonctions de d e n x vm.in bles. F51 ce qui concerne la propriCtC 11, rappelons qu'un domaine A est dit mnximrrm si c'est le domaine total d'existence d'une fonction holomorphe. O r M. Thulled vient de me commiiniquer Ie thCorkme que voici : (( litant )>
( ? ) C'est-a-dire tels que tout point de l'espace appartienne au plus une fois au domaine. (') C'est-a-dire ho~neomorphesa une hyperspllere. (') Nous disons qu'une skrie converge uniformement dans un domaine D si elle converge uniformement dans tout domaine ferme completement interieur a D.
donne un domaine non ramifiC ( ' ) quelconque D , il existe un dorr~airienon ramifie maximum A qui contient D e t jouit de la proprietti suivante : toute fol~ctionholomorphe dans est aussi holomorphe (') dans A . O n peut appeler A l e p l t s p e t i t dornaine maxin2urn contenant D. 11 Ce I heort:me, que j'avais d'ailleurs Ctabli moi-m&me pour des classes particu1it:res de dornaines ( '), ne dit pas si le plus petit domaine maximum contenant un domaine univl~lentest lui-mCme univalent. La propriCt6 11 des domaines de la classe (r)montre prCcisCment qu'il n'en est pas toujours ainsi. 2. T)Cfinissons maintenant la classe (l') : c'est celle des dornainc.~serrzicerclks univnlents dont In pmjection n'e.rt pus ~rnic'nlente.Cet t e definition ndcessite quelques explica~ions. Rappelons que tout domaine semi-cercle D, univalent ou non, peut &tre dCfini de la f a ~ o r suivante l (") : on part d'un domaine quelconque d, univalent ou non, duplan de la variable complexe x ; a chaque point x, interieur a d, on associe, dans le plan de la variable y, un domairle uni\ alent E(x) compose d'un cercle et de couronnes circulaires centrCes a l'origine (y = o ) [le cercle ou les couronnes peuven t d'ailleurs manquer]. Les domaines ;(x) doivent en oritre satisfaire a la condition suivante : si le point y o est interieur a 6(x), il est aussi interieur A 6(x1),pour tous les x' suffisamment voisins de x; en outre, il doit exister au rnoins un domaine 2 ( x ) contenant le p o i n t y = o k son intCrieur. L'ensemble des points x, y, oil x dCsigne un point quelconque de d, e t y un p i n t quelconque de c'(x), delinit prCcisCment le domaine semi-cercll D ; d s'appelle la projection de D. DCsignons, dans le plan y, par 2, ( x ) le plus petit cercle centre A l'origine et contenant o"(x). Soit D, le domaine semi-cerclk dCfini en associant a chaque point x de dledomaine o",(x). Pour que D l soit univalent, il faut et il suffit q u e d soit univalent; au contraire, D peut Ctre univalent sans que d le soit, comme il est facile de s'en assurer sur un exernple : 11suffit de choisir converlabrement les domaines s"(s).I,a definition, donnCe plus haut, de la classe (r)a maintenant un sens parfaitement clair. (I) Un domaine est dit non ramifit s'il est univntent s u voisinage de chncun de ses points, sans &treforcement unibalent dsrrs son ensem1,le. (') Lorsque nous disons qu'une fonc~ionest holo~norphe dans un domaine. nous sous-entendons qu'elle est urriforme dans ce domaine. ( 3 ) HENRI C A R ~ A Les N , foncfions de d e u x ~ a r i a b l e sconaplexrs, eLc (Journal de Math., ge serie, 10. 1931, p. 1-114, Chap. V ) . (') Voir B ce sujet Ie Chapitre 111 de mon Memoire ciL6 plus haut.
3. Dtrnonstration despropriktks I et 11. - J'ai montrC (Ij que leplus petit domaine maximum A contenant un domaine semi-cerclC D est semi-cercle, a la m6me projection d que D , et contient D , . Si D appartient a la classe (r),D , n'est pas univalent; donc A n'est pas univalent : la propriCt6 11 est Ctablie. J'ai aussi montre (') que si une s6rie de polynoines converge uniformement dans D , elle converge uniform6ment dans A, et en particulier dans D,. O r la somme d'une telle sCrie prend Cvidemment la mCme valeur en deux dks que ceux-ci ont les m h e s coordonnkes x et y. points distincts de I),, Donc, si une fonction f(x, y) holomorphe dans D (et par suite dans D,) ne prend pas la mCme valeur en deux points de I), qui ont les m&mescoordonnkes, elle n'est pas dCveloppable en skrie de polynomes unilormCment convergente dans D. C'est ce qui arrive pour la fonction ?(x), de la seule variable x, qui effectue la ~.eprCsentation conforme, sur un cercle, de la projection d du domaine D. La propriCtC I est donc bien dtablie.
( I )
I I E N R I C A ~ T Alor. N , (.it.
(') Voir moll travail intitulk : Sttr les domaines d'existence des fonctions analytiqiies, q u i paraitra dans Ie bullet it^ de la Societe rnathdrnatique, 1931,fasc. I et 11.
Sur les transformations pseudo-conformes des domaines cerclbs bombs Congrbs International des Mathernaticiens, Zurich vol. 2,57-59 (1932)
+
Notations : 2 variables complexes -I- = x, i.z,, g = y, + zy.,. Dans I'espacc. (z,, z,, y,, y,), on ne considere que des domaincs o ~ i v r r t s ,constit~r6idc point< i t distance finie. Une transformation psendo-conforme d'un dornaine D cn un clomaiuc D' est, par definition, une transformation de la forme
( f et g i t a n t des fonctions analvtiques holomorphes dans D),qui etablit unc correspondance biunivoque entre les points intkrieurs de D et crux de D' ( o n nc \"I)pose rien sur la correspondance entre les frontiPres.) Problkme fondamental (A). - E t a n t donnts d e u s do1naint.s D ct D',1 0 rcconnaitre s'ils peuvent etre mis en correspondance pseudo-coniorme (c'est impossible, eit gkniral, mime si D et D' sont bornes et simple~nentconnescs) : - 2 0 dans l'affirmative, determiner toutes les transfor~nationspsrudo-conformes de D en Dr. - Pour resoudre 2 O , il suffit de resoudre le Problkme fondalr~ental (B). - E t a n t donne un dornaine D,determiner toutes les transformafions pseudo-conformes de D. en lui-mime. Nous voulons indiquer ici la solution des problPmes (A) et (B) dans le cas ou tous les domaines envisages sont cerclis et bornks. I T n donlainc D est ccrcll. s'il adrnet les transformations suivantes en lui-mime (2)
x' = H"', y' = p i e(0 prenant toutes les valeurs reelles) ;
ces transformations laissent fixe l'origine ( x = y = o) qui est supposee interieurc f D et s'appelle.le centre du domaine D . L a solution des problemes ( A ) et (B), liour les domaines cerclks born&, est constituee par la succession des thCor6mcs suivants, qui marquent I'aboutissement de travaux de Reinhardt, Caratheodor?, Kritikos, Behnke, Welke, Thullen, E, et H. Cartan: Thiorkme I. - Toute transformation pseudo-conforrne d'un domainc cercle bornt D en un domaine cercle D', qui fait correspondre les centres de D et D', cst necessairement une affinite
(3)
x'=
ax
+ by,
y'=alx
+ b'y.
- Toute transformation pseudo-conforme d'un domaine de ReinThforbnle hartlt bornk ') D en un domaine de Rcinhardt D', qui fait correspondre les centres rle D et D', a nkcessairement la forme
(4) ou la forme
rl=az, x' = ay,
yl=by y' = bx ;
il y a exception si chacun des do~nainesD et D' peut se dkduire de l'hypersphere
au lnoyen d'une transformation de la forme (4). Thkorbine 2. - U n domaine cerclk bornk D n'admet pas de transformations pseudoconformes ell lui-mime, laissant fixe le centre, si ce n'est les transformations (z), kventuellement combinkes avec un nombre fini de substitutions linkaires unimodulaires. I1 y a exception si D peut se dkduire d'un domaine de Reinhardt au moyen d'une transforniation de la forme ( 3 ) . Thkorbme zbi6.- U n domaine de Reinhardt bornk D n'admet pas de transformations pseutlo-conformes en lui-mime, laissant fixe le centre, si ce n'est les transformations de dkfinition
kventuellelnelit combinkes avec une transformation de la forme
I1 y a exception si D peut se dkduire de l'hypersphere (5) par une transformation de la forme (4). TkCorbme 2ier. - Les transformations pseudo-conformes de l'hypersph6re (5) en elle-mime, qui laissent fise le centre, sont constitukes par les substitutions lineaires, y y ; ces substide la forme ( 3 ) , qui laissent invariante la forme d'Hermite X? tutions dkpendent de 4 paramPtres reels.
+
1)
Un domaine de Reinhardt est caractkris6 par le fait d'admettre les transrormations suivantes en Id-mtme
xlIxeie1,
y'zyeier
(0, et 0, prenant indkpendamment toutes les valeurs rt5elles); ces transformations laissent fire I'origioe x =y = o ( c e n t r e du domaine) qui est supposke intkrieure au domaine. Les domain- de Reinhardt sont donc des do~nainescercl6s d'un type particulier.
ThlorBme 3. - Pour que deux domaines cerclks born6s D et D' puissent etre mis en correspondance pseudo-conforme, il faut et il suffit que l'on puisse etablir entre eux une correspondance de la forme (3). Pour rksoudre complktement le problilme ( A ) , il suffit alors de resoudre le problilme (B). ThLorhljze 4. - Sauf les 2 cas d'exception ci-apres, un domaine cerclk born6 D n'admet pas de transformations pseudo-conformes en lui-mcme, si ce n'est celles qui laissent fixe son centre (pour ces dernikres, voir les theorinles 2, zbis et 2ter). Cas d'exception. - 1 0 D se dkduit d'un domaine (Da)
Ix12+I~J"<
I
(a positif et fini)
par une transformation de la forme (3) ; 20 D se deduit d'un domaine (
)
.
<
I,
1
1
I
/
'-x < I, i r < I -;xy
(a positif, fini ou infini)
par une transformation de la forme (3). Dans chacun de ces cas, le problilme B peut se resoudre effectivement. Pour D, il faut distinguer le cas a= 2 (hypersphPre, dont les transformations sont homographiques et dependent de 8 paramktres) et le cas a # 2 (les transformations de D, en lui-mime dependent alors de 4 paramktres). Pour da, on distingue le cas cr = c m (dicylindre, dont les transformations, bien connues, dependent de 6 parametres) et le cas ou a est fini (les transformations de Ja en lui-mime dependent alors de 3 paramktres).
23. (avec P. Thullen)
Zur Theorie der Singularititen der Funktionen mehrerer komplexen Veriinderlichen Mathematische Annalen 106,617-647 (1932)
Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist, die Ergebnisse zweier kiirzlich erschienenen Arbeiten l) der beiden Verfasser, vor allem die Untersuchungen iiber die Regularitatshiillen zu vervollstandigen und zugleich eine allgemeine Theorie aufzubauen, die sowohl die Theorie der Regularitatsbereiche" und Regularitatshiillen, wie auch die der Bereiche des normalen Verhaltens analytischer Funktionsfamilien urnfaat (insbesondere also die Theorie der Bereiche der gleichmaaigen Konvergenz von Folgen und Reihen analytischer Funktionen). *) Die Grundlage dieser Theorie die natiirlich noch keinen Anspruch auf Vollstandigkeit machen kann - bildet ein Fundamentalsatz (siehe 11, $ 11, der zu dem Begriffe jener Bereiche fiihrt, die ,,in bezug auf eine Klasse 9 von Funktionen konvex" sind (die ,,%'-konvexenbb Bereiche). Dieser Begriff ermoglicht es uns, mit Hilfe des Fundamentalsatzes dm sogenannte Julia-Problem zu losen (111, $ 4 ) und hiermit die oben ge-
*) Anm. von P. Th.: Herrn Prof. Behnko habe ich fiir manchen R a t bei dem r o n mir verfal3ten Teilr der Arbeit zu danken. ') Vgl. a ) H . Cartan, Sur les domaines cl'existence des fonctions d e plusieurs variables complexes, Bulletin d e la Societk mathkmatique 1031. S. 46-ti9. b) P. Thullen, Zur Theorie der Singularitaten der Funktionen zweier komplexen VerLnderlichen. Die Regularitatshiillen, Math. Annalen 106 (1932), S. 64-76. Siehe auch c ) H. Cartan, Les fonctions de deux variables complexes etc., J o u r n . dc Math. (10) !) (1931), S. 1-1 14, Kap. V. ') Diese Bcreiche werden in der iilteren L i t e r a t ~ ~mcist r als ,.genaue Existcnzbereiche analytischer F u r ~ k t i o n e ~bezeichnet. l~'
H. Cartan und I?. Thullen.
618
nannten Theorien vollstlndig zu einer einzigen Theorie, die der 9-konvesen Bereiche, zu verschmelzen. Wahrend wir uns in den beiden zitierten Arbeiten - deren Kenntnis hier nicht vorausgesetzt wird auf zwei komplexe Veranderliche beschdnkten, werden wir im folgenden stets Funktionen beliebig vieler komplexen Veranderlichen z,, z,, .. ., z, zulassen. Einen Bereich B nennen wir einen Regularitatsbereicl~ (domaine d'holomorphie), falls es eine in % eindeutige und regnlare Funktion f (zl, z., . . ., 2,) gibt derart, da13 jeder '23 enthaltende Bereich %', in dem f ( z , , z,, . . ., z,,) eindeutig und regular ist, notwendig mit 5 8 identisch ist. Entsprechend definiert man einen Meromorphiebereich (domaine de m6romorphie). I n der Funktiorientheorie einer Veranderlichen sind bekanntlich alle Bereiche (der Ebene) Regularitats- und Meromorphiebereiche; im Falle mehrerer Veranderlichen dagegen besitzt nicht mehr jeder Bereich die Eigenschaft, Regularitats- oder Meromorphiebereich zu sein (vgl. etwa die bekannten Arbeiten von Hartogs und E. E. Levi). Wir werden nun zeigen, dap man jedem Bereiche 3 einen ihn umJassenden Regularitatsbereich B mit der Eigenschajt zuordnen kann, dap jede i n 93 regulare Funktion auch in B regular ist. Wir nennen B die Regularitatshiille des Bereiches 93 (domaine d'holomorphie associe' a B) Wir werden ferner beweisen, dap der Bereich der gleichmaPigen Konvergenz einer gegen eine regulare Funktion konvergierenden Folge regularer Funktionen stets ein Regularitatsbereich ist (konvergi~rtalso eine solche Folge gleichmaoig in einem Bereiche 93, so konvergiert sie auch noch gleichmaBig im Innern der Regularitatshiille 0 ) ; der Bereich der gleichmiljigen Konvergenz einer gegen die Konstante ,,CCJ" konvergierenden Folge regularer Funktionen ist stets ein Meromorphiebereich. Hieraus 1aBt sich leicht folgern, dap der Bereich des normalen Verhaltens einer regularen Funktionsjamilie stets ein Regularitats- oder ein Meromorphiebereich ist, letzteres nur dann, wenn die Familie eine gegen ,,m" konvergierende Folge enthalt (dieser Satz gibt die Lijsung des Julia-Problems). -
7).
Inhalt. I. Allgemeines uber Bereiche; Regularitatshullen.
# 1 . Bereiche. # 2. Regularitatsbereiche und RegularitLtshiille~l.
s 3.
Haupteigenschaften der Regularitatshiillen.
Die Regularitatshulle eines schlichten Bereiches ist nicht notwendig nieder sch!icht (siehe 111, 5).
s
Singularitaten von Funktionell mehrerer Vcranderlichen.
61 9
Fortsetzung des Inhaltes. 11. Funda~nentalsatzund it-konvcxe Bereiche. 1. Der Fundamentalsatz. # 2. S-konvexe Bereiche und E-konvexe Hiillen. # 3. Haupteigenschaft der ?i'-konvexen Bereiche. # 4. Eine notwendige und hinreichende Bedingung fur Regularitatsbereiche; Existenz der RegularitLtshiille. 111. Bonvergenz- und Norrnalitatsbereiche; Lijsung des Julia-Problems. # 1. Definitionen. # 2. Normalitat,s- und Konvergenzbereiche erster Art. # 3. Konvergenzbereiche zweiter Art. # 4. Losung des Julia-Problems. $ 5. Anwendungen auf Kreiskijrper und Hartogssche Korper; der Rungesche Satz fur mehrcre komplexe Veranderliche. IV. Verschiedene Fragen zur Theorie der Regularitatsllullen. # 1. Eine notwendige Bedingung fur ,,echteU Regularitatshullen. # 2. Eine Erweiterung der Theorie der 9-konvexen Bereiche.
I. Allgerneines iiber Bereiche; Regularitatshiillen.
Gegeben sei der Raum der n komplexen Verkderlichen z,, z,, .. ., z,,. Einen Punkt jz,, z,, . . ., z,) dieses Raumes bezeichnen wir kurz mit M. Der Punkt M,, habe die Koordinaten z,O, z,O, . . ., 2:; die Gesamtheit der Punkte (z,, . . ., z,) mit
nennen wir den Polyzylinder mit dem Mittelpunkte M,, und dem Radius r und bezeichnen ihn mit S(M,,, r ) . Unter dem Abstand 4, zweier Punkte (z:, . . ., za) und ( 2 : ; . .., 2:) verstehen wir die grijl3te der Zahlen I z,l - z? 1, ( z,l - z: 1 , . . . , I z,l - 2,: I ; der Polyzylinder S(M,,, r ) besteht also aus der Menge aller Punkte, deren Abstand von M,, kleiner als r ist. D e f i n i t i o n . Eine zusammenhangende Punktmenge heil3t ein Bereich, falls jeder Punkt der Menge Mittelpunkt eines Polyzylinders ist, dessen samtliche Punkte der Menge angehoren. Ein so definierter Bereich braucht weder schlicht noch beschrankt zu sein. Es ist nun zweckmaOig, die vorstehende Definition eines Bereiches durch eine konstruktive zu ersetzen : I m Raume der z, , z,, . . ., z,, sei eine endliche oder unendliche Folge von Polyzylindern S,, S,, . . . , S i , . . . gegeben; -
-.
"
Vgl. IV,
#
2.
620
H. Cartan und P. Thullen.
jedem Paare Si und Sj sei eine Zahl cij= eji zugeordnet, die entweder 0 oder 1 ist. Eine solche Menge von Polyzylindern S, und Zahlen cij sei kurz mit (8,; cij} bezeichnet. Die Punkte einer Menge {ai; cij) denken wir uns dem Raume iiberlagert; dabei betrachten wir zwei Punkte M' aus Si und M u aus Sj als identisch, wenn sie die gleichen Koordinaten besitzen und zugleich eij = 1 ist. Eine Menge (8,; cij) definiert dann und nur dann einen Bereich 23 -- wir sagen auch ,,die Menge (8,; cij} bildet eine Uberdeckung des Bereiches 23" -, falls folgende Bedingungen erfiillt sind: 1. 1st Si irgendein Polyzylinder der Menge und i > 1, so enthalt diese mindestens einen Polyzylinder Sj mit j < i , so daD die Polyzylinder Si und Sj Punkte ( des Raumes) gemeinsam haben und cij = 1 ist (d. h. 23 ist zusammenhangend); 2. gehort ein Punkt des Raumes drei Polyzylindern Si, Sj, S, an und ist cij = 1, SO ist stets cik L- F~~ (diese Bedingung besagt, daD zwei Punkte, die einem dritten identisch sind, auch untereinander identisch sind). Definition 1. Zwei Bereiche 23 und 23' seien je durch eine Oberdeckung definiert. 23 und 23' heipen identisch, falls man zwischen den Punkten von 23 und '$3' eine eineindeutige Zuordnung mit folgenden Eigenschaften herstellen kann: 1. Zwei einander zugeordnete Punkte besitzen die gleichen Koordinaten; 2. ist M,, ein Punkt aus 23, M,' der ihm zugeordnete Punkt aus 23', ist ferner Mi ( i = 1, 2, . ..) eine gegen M,, konvergierende 5, Punktfolge aus 23, so sol1 stets die Folge der den M i in 23' zugeordneten Punkte gegeri Mi konvergieren, und umgekehrt. Wir sagen ferner: Definition 2. Ein Bereich B' Ziegt im Innern eines Bereiches 23 oder 23 enthalt 23'-, falls man jedem Punkte aus 23' eindeutig einen Punkt aus 23 zuordnen kann und diese Zuordnung folgende Eigenschaften besitzt : 1. Zwei einander zugeordnete Punkte besitzen die gleichen Koordinaten ; 2. ist Mi ein Punkt aus B', Mo der ihm zugeordnete Punkt aus $3, ist ferner M i ( i = 1, 2, . . .) eine gegen Mi konvergierende Punktfolge aus 23', -
5, Wir nennen hierbei eine Punktfolge Mi aus M gegen den P u n k t M, aus $ '3 konvergent, falls - unter S sei ein beliebiger M, enthaltender Polyzylinder der Oberdeckung von b verstanden - von einem festen i ab alle M, in S liegen und der Abstand von Mi und M, gegen 0 strebt.
3 '
Singularitaten r o n Funktionen mehrerer Veranderlicl~en.
621
so sol1 stets die Folge der den i x in B zugeordneten Punkte gegen Mo konvergieren. Liegt B' im Innern von 2 und 8 im Innern von B', so sind B und B' identisch. D e f i n i t i o n 3. Ein im Innern von 23 liegender Bereich B' heiBt schlicht in bezug auf B - oder ein Teilbereich von B ---, falls ein Pullkt aus B rlie zwei verschiedenen Punkten aus B' zugeordnet ist. D e f i n i t i o n 4. Ein Bereich B' liegt ganz im Innern eines Bereiches 23, falls B' im Innern von B liegt und ferner, falls Mi, Mi, . . . eine beliebige Punktfolge aus B', MI, M,, . . . die den Mi' zugeordnete Folge aus B ist, in 23 mindestens ein Punkt P und mindestens eine Teilfolge der M iexistiert, die gegen P konvergiert. B sei ein beliebiger Bereich, M eiii Punkt aus B; unter allen Polyzylindern S ( M , r ) , die im Innern von B liegen, gibt es einen mit dem grdpten Radius Q. Wir bezeichnen diesen Polyzylinder mit S a ( M ) und nennen Q die Randdistanzo) won M in bezug auf %. Q ist dann und nur dann unendlich, falls 23 mit dem ganzen offenen Raum identisch ist. Liegt der Bereich B' im Innern von B urid ist M' ein Punkt aus B', M der ihm zugeordnete Punkt aus B, so verstehen wir unter der Randdistanz von M' in bezug auf % die Randdistanz von M in bezug auf %. Liegt der Bereich B' ganz im Innern von B, so ergibt sich ulimittelbar aus Definition 4, daB die Itanddistanzen der Punkte aus 8'in bezug auf 9 eine nicht verschwindende untere Grenze r besitzen. Wir nennen r die Minimaldistanz won B' in bezug auf B. Wir kommen nunmehr zu dem wichtigen Begriffe der k a n o n i s c h e n U b e r d e c k u n g e i n e s B e r e i c h e s 23: M, sei ein beliebiger fester Punkt des gegebenen Bereiches 8;iWl,M2, .. ., M y , , . . . sei ei~ieabzahlbare Punktfolge, die uberall in dem zu M, gehorigen Polyzylinder St+(Mo) dicht liegt. Wir betrachten dann die Polyzylinder S s ( M 1 ) ,S e (M, ), . . ., 8%(A!,.,),. . . ; in jedem dieser Polyzylinder, z. B. in Sa(M,,,) wdilen wir wiederum eine dort uberall dicht liegende Punktmenge My,,,, M,,,,,, . . ., M . . . ; und so fort. Wir erhalten so eine uberall in B dicht liegende abzahlbare Punktmenge, von welcher jeder Punkt MY, . , , eine endliche Anzahl Indizes ,.,,) ist. Diese Polybesitzt und Mittelpunkt eines Polyzylinders Sa(M,., zylinder ordnen wir in eine einzige Folge, die nur der Bedingung genugen mull, daB S B ( M v ,.,.,) stets an einer auf S % ( M , .,,,,.,_,) , folgenden Stelle steht; die Folge sei jetzt mit S,, S,, . . ., S , , . . . bezeichnet. Die F,; bestimmen wir wie folgt: Sind S i und Sj zwei Polyzylinder, die mindestens ,.,,,.7,
,.?.
,
,.?
,,,
6, Diese Sprechweise beeagt nicht, dalJ ~ r i rw i ~ ~ c nwas , unter dcm ,,Randc.' eines Bereiches zu verstehen ist.
H. Cartan und P. Tllullen
622
einen Punkt P aus 23 gemeinsam haben, so sei F~~ = I , in jedem anderen ~ ) wir eine kanoFalle F '.I. = 0. Die so konstruierte Menge {S,; F ~ nennen nische Siberdeckung des Bereiches 93. D e f i n i t i o n 5. Die Menge { S,; e i f ) sei eine kanonische Oberdeckung des Bereiches 23. Lassen sich die F~~ derart durch ein System von ersetzen, daD stets F ~ 5 ! ~ cij und daD ferner die dann entstehende Menge {S,; e h ) wieder einen Bereich 23' definiert, so heiDt 23' ein Uberlagerungsbereich von 23. K a n o n i s c h e s S y s t e m v o n R a n d p u n k t e n . {Si;F ~ ~sei) eine kanonische llberdeckung eines Bereiches 23. Auf dem Rande eines jeden Polyzylinders Si gibt es wenigstens einen Punkt, der nicht dem gegebenen Bereiche 23 angehort. Wir nennen ihn einen Randpunkt von 23. Einen solchen Randpunkt wahlen wir auf dem Rande jedes Polyzylinders S i . Die so erhaltene Menge von Randpunkten heiDe ein kanonisches System von Randpunkien des Bereiches 23. Es gilt folgender Satz: S a t z 1. 23 sei ein im Innern von 23' liegender Bereich; sind samtliche Punkte eines kanonischen Systems von Randpunkten des Bereiches 23 zugleich Iiandpunkte von 'H', so is2 23 entujeder mit 23' oder mi2 einem Uberlagerungsbereich von 23' identisch. E s stimmt namlich eine gewisse kanonische Oberdeckung von 23 bis auf die cij mit einer kanonischen Oberdeckung von 23' iiberein; da aber 23 im Innern von 23' liegt, mu0 stets c i j 5 sein ( F , ; seien zu 'Xf' gehorig), w. z. b. w. D e f i n i t i o n 6. E sei eine endliche oder unendliche Menge von Bereichen, die einen Punkt Mo gemeinsam haben. Der Durchschnitt 23 dieser Bereiche wird durch eine kanonische Oberdeckung wie folgt definiert: Sa(Mo) sei der groflte Polyzylinder mit M, als Mittelpunkt, der noch irn Innern aller Bereiche der Menge E liegt. Wir wahlen, wie friiher, eine iiberall in S?;(Mo) dicht liegende abzahlbare Folge MI, M., . . ., M,.,, . . . ; und so fort (vgl. S. 621). Die erhalt'enen Polyzylinder 8% (M., ,,, . .,)ordnet man dann wieder in eine einzige Folge S,, S,, . . ., S,, . . . ; es sei F . . = 1, '! falls S, und Sj als Polyzylinder des Raumes betrachtet ein Stiick gemeinsam haben, und falls ferner in jedem der gegebenen Bereiche sich die diesem Raurnstiick iiberlagerten Teile von Si und S, aus denselben Punkte,n des Bereiches zusammensetzen; in jedem andereil Falle sei cij = 0. Die so definierte Menge { S i ; c i j ) bestimmt einen Bereich 93, den wir den Durchschnitt der gegebenen Bereiche nennenC1).
~b
,
-
Durch die Wahl des Punktes M, ist der Durclischnitt B eindeutig bestin~mt'; dieser andert sich nicht, wenn man einen beliebigen andern Punkt des (zunachst, durch M, bestimmten) Bereiches 8 zugrunde legt. 6B)
Singularitaten rorl Funktionen mehrerer Veranderlichen.
9 2. Rrgularitatsbereic.he und Reg~ilaritatshiillen. Ein Bereic,h % sei durch eine Uberdeckung ( 8 ; ;eij) gegeben. Unter einer in 23 regularen F ~ n k t i o nverstehen wir eine Menge von Funktionen f , , f 2 , . . ., 6 , . . .;) mit folgenden Eigenschaften: 1. fi ist in Sj regulk ( i == 1, 2 , . . .); 2. sind S i und Sj zwei Polyzylinder, fur die F~~ = 1, so stimmen ui~cl f;. in dem gemeinsamen Teile von Si und Sj uberein.
fi
Auf die gleiche Weise definiert man eine in 23 meromorphe Funktion. Wie man sieht, lassen wir nur solche Funktionen zu, die in B eindeutig sind. 1st f eine in einem Bereiche B regulare oder merornorphe Funktion, so bezeichnen wir mit f ( M ) den endlichen oder ,,unendlichenU Wert der Punktion im Punkte M aus 8 ; ist f in '.X3 beschrankt, so bezeichnen wir mit max j f ( B )1 die obere Grenze der Werte von , f i in den Punkten von 93. R e g u l a r i t a t s b e r e i c h e i n e r F u n k t i o n . f sei eine in der Umgebung eines Punktes Mo regulare Funktion. Die Methode der analytischen Fortsetzung fiihrt dann, wie folgt, zu einer kanonischen Uberdeckung eines gewissen Bereiches 23: Ss(lM,) sei der groote Polyzylinder mit dem Mittelpunkte Mo, in dem f noch regular ist. Wir wahlen in S3(M0) eine uberall dort dicht liegende Punktmenge MI, ..; nnd so fort (vgl. S. liS1 und Definition 6 ) . Man erhalt wieder eine unendliche Folge von Polyzylindern S,, S , , . . ., S i , . . .; zu jedem Si gehijrt ein Funktionselement 6 der gegebenen Funktion f. Wir wahlen q j = 1, falls Si und Sj einen Teil (des Raumesj gemeinsam haben und f;: und f. dort ubereinstimmen; im anderen Falle sei F~~ = 0 . Den durch diese Oberdeckung bestimmten Bereich 9' 3 l~eilneiiwir den Regula.ritatsbereich der Funktion f. Entsprechend definiert man den iVleromorphiebereich einer Funktion. 1st eine Funktion f in einem Bereiche 8 regular (meromorph), so liegt 23 im Innern des Regularitatsbereiches (Meromorphiebereiches) von f. Satz 1 besagt jetzt folgendes: S a t z 1a. Ist eine Funktion f in einem Bereiche B, aber in keinem Yunkte eines kanonischen Systems von Randpunkten von B regular (bzw. meromorph), so ist B mit dem Regularitatsbereich (bzw. Meromorphiebereich) $' 3' d e ~Funktion f oder mit einem 6'berlagerungsbereich von 23' identisch. :) Mit f' bezeichnen wir kurz die Funktion f ( z , , z,, Vrrauderlirhrn z,. z , , . . ., 2,.
. . ., 2 , )
der n komplexen
H. Cartan und P. Thullen.
624
Definition 7. Ein Bereich % heiBt ein Regularitatsbereich (Meromorphiebereich) schlechthin, wenn es mindestens eine Funktion gibt, die 23 als ihren Regularitatsbereich (Meromorphiebereich) hat. Man uberzeugt sich leicht, daB diese Definition mit der in der Einleitung gegebenen aquivalent ist. Wir werden spater (11, § 4 ) sehen, daB jeder Regularitatsbereich ein Meromorphiebereich ist (dies ist keineswegs trivial). Die Frage, ob umgekehrt jeder Meromorphiebereich ein Regularitatsbereich ist, steht noch ganzlich off en.
Die Regularitatshiille eines Bereiches. Gegeben sei ein beliebiger E sei die Gesamtheit der Regularitatsbereiche der in % reguBereich laren Funktionen. Der Durchschnitt B aller dieser Bereiche ist eindeutig bestimmt (vgl. Definition 6 ) . Nach Definition hat der Bereich B folgende Eigenschaften: 1. % liegt im Innern won B h); 2. jede in % regulare Funktion ist auch in B regular. Nun werden wir spMer zeigen (11.§ 4 ) , daB der Durchschnitt einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Regularitatsbereichen selbst ein Regularitatsbereich ist. Nehmen wir diesen Satz vorlaufig als richtig an! Es ergibt sich dann als eine weitere Eigenschaft: 3. B ist ein Regularitatsbereich. Wir nennen B die R e g u l a r i t a t s h i i l l e von %. Die drei gewonnenen Eigenschaften sind fur die Regularitatshiille B des Bereiches % charakteristisch, d. h. jeder Bereich B', der diese drei Eigenschuften besitzt, ist mit B identisch. 1st namlich f eine Funktion, die B als ihren Regularitatsbereich hat, so ist f in %, also auch in B' (Eigenschaft 2 ) regular, es liegt somit B' im Innern von B; ebenso zeigt man, daB B im Innern von B' liegt, w. z. b. w. Bemerkt sei, daB man B auch durch eine gleichzeitige analytische Fortsetzung aller in $' 3 regularen Funktionen definieren kann.
m.
§ 3-
Haupteigenschaften der Regularitatshiillen. Gegeben sei ein beliebiger Bereich %; die Existenz der zu % gehdrigen Regularitatshiille B setzen wir voraus (wir werden diese spater beweisen konnen; 11, § 4). Aus der zweiten charakteristischen Eigenschaft von B ergibt sich unmittelbar: *) b braucht keineswegs ein Teilbereich von B zu sein. 1st etwa b ein nichtsclilichter Kreiskorper, so ist B ein schlichter, sternartiger Kreiskorper; vgl. die unter ') zitierten Arbeiten und 111, # 5 dieser Arbeit.
Singularitaten von Funktionen mehrerer Verariderliclien.
625
S a t z 2. N i m m t eine in % meromorphe Funktion f' dort den Wert a nicht a n , so ist f auch in B meromorph und ihr Wert dort verschieden von a ; insbesondere ist also max i f (23)1 = max i f ( B ) 1 fur jede i n 93 regulare und beschrankte Funktion. 1 Es ist namlich die Funktion in %, also auch in B regular, f-a w. z. b. w. F olgerung. Ist % beschrankt, so ist auch B beschrankt. Die Absolutbetrage der Funktionen z,, z,, . . . , z,, liegen namlich in %, also auch in B unterhalb fester endlicher Schranken. Bei der Abbildung zweier Bereiche aufeinander gilt: S a t z 3. Wird durch eine regulare Transformation ein Bereich 23, eineindeutig und analytisch auf einen Bereich %, abgebildet, so bildet dieselbe Transformation auch die zugehbrigen Regularit~tshiillenB, und B, eineindeutig u n d analytisch aufeinander ab. Wir beweisen zunbhst den H i l f s s a t z : Der Bereich 23 sei eineindeutig und analytisch auf einen Bereich 93' abbildbar; ist % ein Regularitatsbereich, so ist auch 23' ein Regularitatsbereich. Es sei namlich B' die Regularitatshiille von %'; die Transformation ;--
( T ) z ; = f l ( z , , z q ,..., 2,); z . = f 2 ( z 1 , z 2 ,..., z,,); bilde
... ; zI:=fn(z1,2, ,..., 5,,)
B auf %' ab; die zu T inverse Transformation sei
.
Die Funktionen fi-' ( z ; , . ., zn)) ( i = 1 , 2, . . ., n ) sind in %', also auch in B' regular. Da ferner die Funktionaldeterminante von T-' in %', also auch in B' nicht verschwindet, so wird durch T-' der Bereich B' auf einen % enthaltenden Bereich B abgebildet. Es sei nun f eine Funktion, die 93 als ihren Regularitatsbereich hat. Die Funktion f ( ~ - ' ) ist dann in $' 3' und somit auch in B' regular, also f r f (T-'. T ) in B noch regular. Folglich liegt B im Innern von '$3; da umgekehrt 23 im Innern von B liegt, ist % mit B und damit auch %' mit B' identisch, w. z. b. w. Beweis von S a t z 3. T sei die gegebene Transformation des Bereiches %, in den Bereich %,; die Funktionen von T sind in B, noch regular, und ihre Funktionaldeterminante ist dort verschieden von 0. B, wird alsSdurch T auf einen Bereich Be' abgebildet; B l enthalt %, und ist nach dem Hilfssatz ein Regularitatsbereich. Ferner sind samtliche in 8, regularen Funktionen noch in B; regular; ist namlich f in B, regular,
H. Cartan und P. Thullen.
626
so ist f(T) in B1, also auch in B,, folglich f = ~ ( T T - ' j in Bd noch regular. Bi besitzt somit die drei charakteristischen Eigenschaften der zu 8, gehorigen Regularitatshulle B,, w. z. b. w. F o l g e r u n g e n a u s S a t z 3. I. Ein Bereich B la,% nur solche eineindeutigen und analytischen Transfo~mationeni n sich zu, die auch seine Regu1arittr:tshiille B i n sich uberfiihren. Die Gruppe aller eineindeutigen und analytischen Abbildungen von 23 auf sich ist also stets eine Untergruppe der eineindeutigen und analytischen Abbildungen von B auf sich. 11. Die Regularitatshulle eines Kreiskbrpers (bzw. Reinhardtschen Kreiskorpers) ist wieder ein Kreiskdrper (bzw. Reinhardtscher Kreiskorper) - unter einem Kreiskorper mit dem Mittelpunkte (a,, a,, . . ., a,) verstehen wir dabei einen Bereich, der durch samtliche Trsnsformationen Z:
-
a,
= (z,
- a,) e
i6
(v = 1 , 2 , . . ., n ; A beliebig reell)
auf sich abgebildet wird und den Punkt (a,, a,, .. ., a,) als inneren Punkt enthalt; ein Reinhardtscher Kreiskorper wird entsprechend durch die Transformatioi~en i $, (v = 1 , 2, . . . , n; 8,, beliebig reell) Z: - a, = (z, - a,) e dehiert. Die Regularitatshullen dieser Bereiche wurden schon fruher im Falle n = 2 genauer untersucht '). 111. Als wichtigste Folgerung sei ein Verfahren genannt, das gestattet, beliebig viele - sogar beschrankte und einfach-zuoammenhangende s t a r r e Bereiche zu konstruieren, d. h. solche Bereiche, die auDer der Identitat keine eineindeutigen analytischen Abbildungen auf sich zulassen. Beschranken wir uns auf zwei komplexe Veranderliche! Der Bereich !Xi sei ein Kreiskorper und selbst kein Regularitatsbereich, B sei seine Regularitatshulle (B ist wieder ein Kreiskorper). Nun sind samtliche Abbildungen eines Kreiskorpers - mit Ausnahme von ganz speziellen Bereichen - mittelpunktstreu und ganz linearlo). 1st also %' ein Bereich, der % enthalt, aber noch im Innern von B liegt, und 1aDt ferner B' keine der bekannten (ganz-linearen) Transformationen des Kreiskorpers B zu, so muD 23' ein starrer Korper sein. Vgl. I), vor allern c). Vgl. P. Thullen, Zu den Abbildungen durch analytische Funktionen mehrerer Veranderlichen, Math. Annalen 101 (1931), S. 244-259, und H. Cartan, Sur les transformations analytiques des domaines cercl6s et semi-cerclbs born&, Math. Annalen 106 (1932), S. 540- 573. Uber die mittelpunktstreuen Abbildungen siehe auch H. Behnke, Die Abbildungen der Kreiskorper, Hamb. Abh. 7. Wir setzen voraus, daB B unter keinen der wenigen Ausnahmekorper fIillt; es zeigt sich iibrigens, daS, falls B eiu Ausnahmekorper und zugleich 9 B ist, B einem Dizylinder Iiquivalent ist; vgl. auch IV, 9 1. Q ,
lo)
+
Singularitiiten von Funktionen mehrerer Veriinderlichen.
627
11. F~ndarnenta~lsatz und 9-konvexe Bereiche.
Der Fundamentalsatz. K l a s s e n von F u n k t i o n e n . @ sei eine Menge von Funktionen, die in einem gegebenen Bereiche 23 regular (bzw. meromorph) sein mogen. 9 heil3t eine ,,Klasse in 23 regularer (meromorpher) Funktionen" oder kurz eine i n % regulare (meromorphe) Klasse, falls $I? folgende Bedingung erf iillt : 1st f irgendeine Funktion aus 9 , so enthalt 9 a f ( i= 1 , 2 , . . ., n ) (hierrnit also auch sLmt1. deren Ableitungen azi am,+...+m,,
I ) und a%?. . . a 2 2 2. samtliche Funktionen A{f}"; hierbei bedeutet A eine beliebige komplexe Konstante, p eine beliebige positive ganze Zahl. Als Beispiele seien einige wichtige Klassen genannt: Die Gesamtheit der in 93 regularen (meromorphen) Funktionen; die Gesamtheit der rationalen Funktionen; die Gesamtheit der Polynome oder die der homogenen Polynome; die Gesamtheit der Monome a z;"lz,"z. .. zrnl~. D e f i n i t i o n d e r B e r e i c h e %.!' -1)er Bereich %, liege ganz im Innern des Bereiches 23, r sei die Minimaldistanz von %, in bezug auf %; ferner sei Q < r eine gegebene positive Zahl. Die Gesamtheit aller Punkte M aus %, zu denen es in WXf,mindestens einen Punkt gibt, dessen Abstand von M kleiner ist als g, bildet einen Teilbereich von %, den wir mit 523;" bezeichnen; %$' liegt ganz im Innern von %. F u n d a m e n t a l s a t z . %, sei ein ganz i m Innern eines Bereiches % liegender Bereich, r die Minimaldistanz won %, in bezug auf 23, 9 sei eine i n 23 regulare Klasse. Gilt dann in einem Punkte M, aus % fur jede Funktion f aus R If(M0) IS maxIf(B0) 1, so ist 1. jede Funktion f aus 8 i n dem Polyzylinder S (M,, r ) noch regular und 2. max 1 f ( S (M,. P I ) I 2 max I f ( W ' ) / fur jedes g < r . Beweis. 1. f sei eine beliebige Funktion aus $I?; zur Abkiirzung setzen wir m a x ~ f ( % b T - ~=)A ) ~( 1 1 ) . liche Ableitungen hoherer Ordnung
628
H. Cartan und P. Thullen.
Nach dem Cauchyschen Integralsatze gilt dann am,+%+ ...+ nln 1 (1) ! m ! . . m ! a,?~ a,?;.. .. in jedem Punkte M aus M,,. Da die Ableitungen von f zu 8 gehoren, besteht nach Voraussetzung die Ungleichung (1) erst recht im Punkte M,,. Fur die Potenzreihenentwicklung fur f urn M,, = (z:, z,O, . .. , z,O) gilt daher die Abschatzung
Die Potenzreihe konvergiert somit gleichmal3ig und absolut, solange
(i = l 72 , . .., n ) .
) z i pz:(
f ist also in dem Polyzylinder S (M,,, r - q ) regular und - fur q +0 -
noch regular in S(Mo7T ) . Hiermit ist der erste Teil der Behauptung bewiesen 19). 2. Es sei g < r und q < r - g (also g < r - q); aus ( 2 ) folgt fur jede Funktion f aus 8 die Abschatzung m , + m + ...+ m,, max I f ( 8 ( M Oe))J , < -- 1 (3) A(rl)
2
=m,m, ...m,,=
0
(&)
Kijnnen wir zeigen, da13 sogar stets
-
so ist auch (fur 11 r - g ) der zweite Teil des Fundamentalsatzes bewiesen. Nehlneri wir an, die Ungleichung ( 4 ) ware fiir ein gewisses qo > 0 , ein p,, < r - go und eine Funktion f aus 8 nicht erfullt, es ware also
Setzt man dann
3
f vp= ( -A (,,,o
1
, So wurde max y p (& (Mo, QO 1) 1 bei ge-
nugend grol3em p beliebig grol3. Andererseits ist cp, eine Funktion aus $3' und ferner fiir alle p, max 1 q~,(%f-'"') = 1
I
--
- ..--
Hierunter sei der Wert der betreffenden Ableitung im Punkte N o verstanden. Man beachte, da13 wir bisher nur die erste Klasseneigenschaft benutzt haben; es gilt also dieser Teil des Fundamentalsatzes auch fiir solche Funktionsfamilien, die nur die erste Klasseneigenschaft besitzen. 11)
12)
629
Singularitaten r o n Funktionen mehrerer Veranderlichen.
somit nach ( 3 )
also y, in S (M,, Po) fur alle p beschrankt, was obigem widerspricht, w. z. b. w. Ganz entsprechend beweist man fur meromorphe Klassen : Der Bereich B,, die Zahl r > 0 habe die i m Fundamentalsatze vorausgesetzte Bedeutung; 9 sei eine i n 93 meromorphe Klasse. Gilt dann i n einem Punkte Ma aus B fur jede ( i n Mo und Bo noch regulare) Funktion f aus 9 If(M0)l S m a x I f ( B o ) I 9
so ist fur ein beliebiges u mit 0 < u < r 1. jede i n 8:' noch regultire Funktion f aus Q , auch i m Polyzylinder S (Mo, u ) regular und 2.
max ( f ( S (M,,, Q))I
=< max I f (B?') I
fiir alle
Q
< u.
Der Fundamentalsatz hat naturlich nur fiir solche merornorphe Klassen ': noch regullre Funktion gibt. Sinn, in denen es mindestens eine in 8
$ 2.
-
Si konvexe Bereiche und 9-konvexe Hiillen. Der Bereich 8 sei der Regularitatsbereich einer Funktion q ; 2 ' 3, sei ein ganz im Innern von 23 liegender Bereich, r die Minimaldistanz von 93, in bezug auf 8. Es sei ft irgendeine in B regulare Klasse, welche die Funktion y enthalt; aus dem ersten Teil des Pundamentalsatzes folgt dann, da13 zu jedem Punkte M aus 8 , dessen Randdistanz in bezug auf B kleiner als r ist, mindestens eine Funktion f aus ji) existiert, so da13 @ f;I)' >max f ( 8 , ) , . Diese Tatsache fiihrt uns zu dem Begriffe der 9 -konvexen Bereiche. D e f i n i t i o n 8. 2 sei eine in dem Bereiche 23 regulte (meromorphe) Klasse; B sei der Durchschnitt aller Regularitatsbereiche (Meromorphiebereiche) der Funktionen aus 2;'23 liegt im Innern von B. Der Bereich 23 heifit ,,konvex in bezug auf die Klasse 9 '' - oder kurz Q konvex -, wenn folgende Bedingungen erfullt sind: 1. 8 ist ein Teilbereich von B; 2. ist Bo irgendein ganz i m Innern von 23 liegender Bereich und r seine Minimaldistanz i n bezug auf 93, so existiert zu jedem Punkte M aus 93, dessen Randdistanz i n bezug auf B kleiner als r ist, i n 9 min-
-
630
H. Cartan und P. Thullen.
destens eine Funktion f (regular und beschrankt in Bo), so dab
.
Die zu Anfang d<s Paragraphen gefundene Eigenschaft eines Regularitatsbereiches besagt jetzt: F o l g e r u n g 1 d e s F u n d a m e n t a l s a t z e s . Ist der Bereic?~23 der Regularitatsbereich einer Funktion f', urtd R eine f enthaltende, in 23 reguhire Klasse, so ;st 23 9-konvex. Ebenso findet man: F o lger ung 2 . Der Durchschnitt 23 einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Regularitatsbereichen ist R -konetex; 9 bedeutet hierbei die Klasse aller in 23 regularen Funktionen (folgt unmittelbar aus dem ersten Teile des Fundamentalsatzes) . F o l g e r u n g 3. Ist der Bereich 23 der Durchschnitt einer endlichen oder unendlichen Anzahl von 9-konvexen Bereichen, so ist 23 Q-konvex; 9 bedeute irgendeine in 23 regulare oder meromorphe ~ i a s s e . B e w ei s. B sei der Durchschnitt der Regularitatsbereiche (Meromorphiebereiche) der Klasse 8;23 ist ein Teilbereich von B. Wir haben also nur die zweite Eigenschaft der 9 - konvexen Bereiche (Definition ti ) nachzuweisen. 23, sei irgendein ganz im Innern von '$3 liegender Bereich, r sei die Minimaldistanz von 8, in bezug auf '$3. Es sei ferner bl ein Punkt aus 23 mit der Eigenschaft, daB fiir jede (in '$3, beschrankte) Funktion f aus 9 gilt: f'(M) maxi f@O) I .
I
1s
Wir werden zeigen, daB die Randdistanz eines solchen Punktes M in bezug auf 23 groaer oder gleich r ist (woraus dann oilenbar die Behauptung folgt). Es ist namlich die Minimaldistanz von 23, in bezug auf irgendeinen der gegebenen 9-konvexen Bereiche mindestens gleich r und daher nach Definition 8 die Randdistanz von M in bezug auf jeden dieser Bereiche mindestens r ; es mu13 also der Polyzylinder S (M, r 1 im Innern von "3, des Durchschnitts aller dieser Bereiche liegen, w. z. b. w. Die 6.-konvexe Hiille eines Bereiches 8 . 8 sei eine in % regulare Klasse, B der Durchschnitt aller Regularitatsbereiche der Funktionen aus 9 . B enthalt 23 und ist 9 - konvex (Folgerung 1 und 3 ) . 13) Hat f (bei einer meromorphen Klasse) in M einen Pol, so gibt es in beliehiger Nachbarschaft von M Punkte M', in denen f noch regular, aher beliebig hohe Werte annimmt, also sicherlich auch ( t(M') [ > max 1 f (93,) ( erfiillt ist.
Singularitaten von Funktionen mehrerer Veriinderlichen.
63 1
Der Durchschnitt 23' aller 9-konvexen Bereiche, die 3 enthalten (es existiert wenigstens ein solcher Bereich, namlich B j , ist selbst wieder 3-konvex (Folgerung 3 ) . B' ist nach Definition der kleinste '$3 enthaltende 8-konvexe Bereich; wir nennen B' die 9-konvexe Hulle von B 14). Man erkennt leicht, da13 fiir jede i n B beschrankte Funktion f aus 9 gilt max I f(23') I = max I f ('$3) 1 .
Haupteigenschaft der 8 - konvexen Bereiche. Wir werden jetzt die wichtige Umkehrung von Folgerung 1 des Fundamentalsatzes beweisen : S a t z 4. 9 sei eine i n dem Bereiche 23 regulare (meromorphe) Klasse. 1st B 9 - konvex, so ist 23 ein ~berlagerungsbereich eines Regularitatsbereiches (Meromorphiebereiches). Existiert jerner ein Bereich B, der '$3 als Teilbereich enthult und zugleich Durchschnitt von Regularitatsbereichen ist, so ist B ein Regularitatsbereich ( Meromorphiebereich) . F o l g e r u n g . 1st 9 eine i n B regulcire Klusse und B Q- konvex, so is2 23 ein Regularitatsbereich. (Als Bereich B wahle man den Durchschnitt aller Regularitatsbereiche der Funktionen aus 9 . ) Beweis v o n S a t z 4. 1. Die Punktmenge M , , M ,:,..., Mi ,... sei ein kanonisches System G von Randpunkten des Bereiches 8 . Wir werden zunachst eine in '$3 regulare (meromorphe) Funktion f: konstruieren, die in samtlichen Mi wesentlich singular wird, womit nach Satz 1a der erste Teil des Satzes bewiesen ist. Hierzu wahlen wir eine im Innern von 3 liegende Punktfolge: P I , P,, . . . , P,, . . . , die in '23 keinen Haufungspunkt besitzt, sich aber gegen jeden Punkt Mi des kanonischen Systems 6 hauft. Ferner sei !8,, B,, .., B,, . . . eine Folge von Bereichen mit den beiden Eigenschaften: 1. jedes 23, liegt ganz im Innern von B und B,,, und ist ein Teilbereich von 'S ( m = 1 , 2 , . . .); 2. zu jedem ganz im Innern von liegenden Bereiche $' 3, gibt es ein m a , so daB alle Bn, mit m 2 ma 23, enthalten; bezeichnet man mit r, die Minimaldistanz von 23, in bezug auf %, so ist insbesondere lirn r, = 0 .
.
m-tm
3
Es sei nun qv die Randdistanz von P,, ( Y = 1 , 2, . . .) in bezug auf (es ist lim o = 0 ) . Zu jedem 1) (von einem gewissen v, ab) existiert 1,-*coCV
ein groBtes m - es sei mit m , bezeichnet --, so da13 q, <: rmv. Wir setzei~ znr Vereinfachung m , = v voraus. Id)
B braucht nicht schlicht in bezug auf b' zu sein.
H. Cartan und P. Thullen.
632
Nach Definition 8 gibt es dann zu jedem P, eine [in 23, und P, noch regulare und beschrankte] Funktion f, der Klasse 9, so da13
16)
Wir durfen ohne Einschrankung der Allgemeingultigkeit annehmen, daB
(6) also (6a) Dann aber lassen sich ganze positive Zahlen 1, ( v = 1 , 2 , ...) so bestimmen, da13 max I { f , (23.):"
:
I< .
Es konvergiert daher das unendliche Produkt
gleichmaBig in jedem ganz im Innern von 23 liegenden Teilbereiche, stellt also dort eine regulare (meromorphe) Funktion f dar. f verschwindet auf samtlichen analytischen Flachenstucken fv = 1. Es konnen hochstens endlich viele dieser ,,Nullstellenflbhen" zusammenfallen; sonst gabe es namlich eine unendliche Folge Y , , T , , . . . , v i , . . . , SO daB z. B. der Punkt P,., - nach ( 6 ) liegt P,,, sicher auf f,, = 1 - auch auf samtlichen Flachen fVi = 1 ( i = 1 , 2, . . .) lage; d. h. es ware fVi (P,,) = 1 fur alle i und festes P,.,, was jtia) widerspricht. Nun ist nach Annahme jeder Randpunkt Mi des Systems G Haufungspunkt der P,; es wird also jede Nachbarschaft eines Punktes Mi durch unendlich viele (verschiedene) Nullstellenflachen f, = 1 geschnitten. Da aber in eirier geniigend kleinm Umgeburig eines regularen oder meromorphen Punktes eine Funktion nur auf endlich vielen solcher Flachenstucke verschwinden kann, ist f in samtlichen wesentlich singular. Hiermit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. 2. Der Bereich B sei als Teilbereich eines Bereiches B, des Durchschndts der Regularitatsbereiche aller Funktionen einer gewissen Fam.ilie 8 vorausgesetzt ! Es ist keineswegs sicher, daB die oben kon~truierteFunktion f stets in zwei verschiedenen Punkten M' und M" von 23, die gleiche Koordinaten haben, verschiedene Funktionselemente besitzt. Nun folgt aber aus der Konstruktion von f , da13 auch jedes Produkt f - g , - g, sei irgendeine in
'7
Vg1 Anm.
'9.
$ingularitlten von Funktionen mehrerer VerBndel.lichen.
633
23 regulare Funktion - in samtlichen Punkten MI, MS2,. .. des kanonischen Systems 6 wesentlich singular wird; gelingt es urn daher, eine in 23 regu]&re Funktion Qs zu finden, so daB f . @ in allen ubereinander gelagerten Punktepaaren M' und M" von 23 verschiedene Funktionselemente besitzt, so ist 23 der Regularitatsbereich (Meromorphiebereich) dieser Funktion und somit der Satz dann vollstandig bewiesen. Hierzu gehen wir wie folgt vor: Aus samtlichen Paaren von Polyzylindern Xi und Sj einer festen kanonischen Oberdeckung von 23 greifen wir diejenigen heraus, die als Polyzylinder des Raumes betrachtet einen Teil gemeinsam haben, fiir die aber E . . = 0. Die Menge dieser Polyzylinderpaare ordnen wir in eine einzige 93 Folge 2'. Betrachten wir das I-te Paar dieser Folge, es sei Xi, Sj! In Si und Sj wahlen wir zwei Punkte M,' und ME', die gleiche Koordinaten besitzen (aber verschiedene Punkte des Bereiches 23 sind). Hat nun die Funktion f in M; und M," die gleichen Funktionselemente, so wahlen wir aus der Familie 3 eine Punktion v,, deren Elemente in M,' und M," verschieden sind - nach der uber 23 und B gemachten Annahme existiert mindestens eine solche Funktion --; besitzt dagegen f selbst schon in M; und M," verschiedene Funktionselemente, so setzen wir gl, 1. Wir konnen ohne Einschrankung voraussetzen - indem wir notigenfalls Ml' und M;' durch zwei andere Punkte aus Si und Sj ersetzen, die beide wieder gleiche Koordinaten besitzen -, daB f q ~ ,in M: und MI' verschiedene Funktionswerte annimmt, daB also
-
Unser Ziel ist jetzt, mit Hilfe der gl, eine Funktion @ mit den zu Anfang verlangten Eigenschaften zu konstruieren. Hierzu wahlen wir eine Folge positiver Konstanten q,, so daB die w
Reihe ~ g , g l ,im Innern von 23 normal konvergiert16). Dann bestimmen 1=1 wir eine weitere Folge positiver Zahlen g, < q, (I = 1, 2, ...), die folgenden Bedingungen genugt : 1. Es sei 0 < g , s r],, sonst beliebig. Nach ( 7 ) ist u1 = el Iv1(M;)f(M;) Die positiven Zahlen
16)
-
ejl) 2 q1 (1 2 2)
Vgl. Definition in 111,
5 1.
v,(M:')f(M:')I
+0.
wahlen wir dann derart, daB
H. Cartan und P. Thullen.
634 m
Setzt man dann @ = 2 Q, q, mit 0 < Q~ 5 pi1) fur 1 2 - 2 , so nimmt die 1=1 Funktion f Q, in M: und M:' verschiedene Funktionswerte an, besitzt dort also sicher verschiedene Funktionselemente. werde so gewahlt, daB 2. Q, (0 < 5 e:)) u,
- ie1[v1(M3 f(M.3
- P,(M.~~(M;')I
+ e,[qa(Mi) f ( & )
- q9(Mi1)f(M:'jl
I +0 ;
die positiven Zahlen pf?)5 @,(I)(1 2 3 ) bestirnrne man dann derart, daB
Die Funktion f @ - es sei Q, 5 pj2' fur 12 - 3 - besitzt jetzt sowohl in den Punktepaaren Mi, M; wie in Mi, M: je verschiedene Funktionselemente. Dieses Verfahren 1aBt sich beliebig fortsetzen. Man kann also die Q, so wahlen, daB f @ in samtlichen ubereinander gelagerten Punktepaaren M' und M" von '$3 verschiedene Funktionselemente besitzt, w. z. b. w.
Eine notwendige und hinreichende Bedingung fiir Regularitatsbereiche; Existenz der Regularitatshiille. S a t z 5. '$3 sei ein beliebiger Bereich, 9 die Klasse aller i n '$3 regularen finktianen. '$3 ist dann und nur dann ein Regularitcitsbereich, falls '$3 9-konvex ist. Dieser Satz folgt unmittelbar aus Polgerung 1 des Fundamentalsatzes und der Folgerung von Satz 4. Obrigens ergibt sich aus dem Beweise von Satz 4, daB jeder Regularitatsbereich ein Meromorphiebereich ist (die dort konstruierte Funktion f bzw. f . @ ist in samtlichen Punkten eines kanonischen Systems von Randpunkten wesentlich singular). Wendet man hintereinander Folgerung 2 des Fundamentalsatzes und die Folgerung von Satz 4 an, so ergibt sich: S a t z 6. Der Durchschnitt einer endlichen oder unendlichen Anzahl won Regularitatsbereichen ist selbst wieder ein Regularitatsbereich. F olgerung. Zu jedem Bereiche '$3 existiert eine Ragularitatshiille B . (I3 ist der Durchschnitt aller Regularitatsbereiche der in '$3 regularen Funktionen.) Hieraus ergeben sich jetzt samtliche Eigenschaften der Regularitatshiillen, die wir bereits fruher (I, §$ 2, 3 ) unter der Voraussetzung ihrer Existenz bewiesen haben.
u! au!a suaqsapultu x u e q uaqarzsnviaq aPloj1!3~,aqo!~puaun a q u a 8 ~ a ~ u o8!g?nrqo!a18 q e8108 uaqoqpuaun ua?ap[!qa8 g a!Eme,g lap uauo!qqung UOA iapal snu u.em uuaA '[~nriou aqo!aaaa mau!a u! qg!aq g uauo!Tquna i a i q n 8 a ~ a!I!mvg au!3 ' ~ J V.ra?!aMz a8lo$ au!a 1 < ( z 1 U! 'qiv aaqsJa a8108 a u ~ a1 > 1 z 1 u! . . . ',z '. . . ',z ',z a8[o$ a!p eMqa ?s! sa :uu!s aqo!aaaqzua8~a~uog map ?!tu 8unpu!q~a,l u! m u s?aqs qeq Punuqorazag asa!a (,
.Msn 'q1y.raa pmrou qops g pun pu!s q1n8ar $j uoa uauo!qqun,q ayp map u! 'Om aqund -1aqqg map q!m rapu!1dzdlod aqgod .rap !as ( O K ) a s :Bunqoapraq~ aqospousq au!a qomp - uaqo a!fi qogqrofi - J I M uaragap $j ag?ut -~,grap g-j y3.taraqslvl?2vutroN uaa .(,,lsm.rou qrop $j a!l!ms,q aFp pun qln8ar saqund sau!a 8unqaBmn rau!a u! ua!as $j sns uauo!qqun,q a!p f uauo!qun,q uoa $j a!~ms,qama !as uaqa8a3 .a qo y ara q s q q!lsmr ~ ON 'qs! qos!quap! a8108 rasap zua&aauoa ua8!g~mqo!a18rap aqo!arag gsp 0s 'qq@ vy (.raq!a~z)raqsra a81od aEa map q m u! sa q l q ',,jrv (~aj?amz)rajsra y3?a~aqzuabranuo~u?a IS? zrnq ua2ss r!M '(,,lrv wzamz a610,g au!a ,g ag!aq os 'qo!~puaunu o ! q u n ~ z u a ra!p ~ qs! f(,,lry rajsra a610,g auza ,g I!M uauuau os 'rq&ar rr! g a8[o,q rap uo!qqunjzuarS a!p q s ~ uauo!qqun,q .rap a q o ! a . r a q s q ~ q p arap sqq!uqosqoma sap '8 UOA qo!araql!a& ura qs! a .g a62og rap zua6ranuo;y ua6.zdvtuy3.za26 rap qD!arag aqraluyap 2 u n q o a p ~ a qasa!p ~ qomp raa y3.2aag rap apaq .o= C?3 !as alp& uarapus m! fqzq!s -aq aquamaIasuo!qund uaqora18 a ~ puaqsu!prooa uaqo!a@ q!m uaqyund u! g a8106 rap 7 uo!qqund apaF qrop pun uaqsq mssu!ama8 (samnsx sap) a pun ' S q ~ q' 1 = l?3 !as sa : q ~ l o ja p .l .3 ayp usm ammqsaq [!a& ma ..- '!s '-' ' '=s' [S ~ r a ~ u uoa ~ a810,q ~ ~ uaqo!lpuaun z ~ ~ o uanaqlsqra ~ uusp rap . . 'Gm a8uamqquna apua8aq n z '(9 uo!q!ugaa s ~ q a- 1 8 ~'fisn ) i .. . q q o ~llsraqn qrop aura usm aIqTfi (Om) U! f pu!s quaa~anuoq8rg~mqo!a18 qoou pun r~1n8ar7 aayp map uy ' O K aqund[aqq!N map q!m rapu!ldzL106 aqgod .rap !as (Om)ag :8unqoapraq~aqos!uousq au!a qomp r!fi uara!u -gap g a2[o,q rap zua8raauoa ua8!g~mqo!a18rap @, qo!arag uaa .uara!8 -ranuoq (,,m" aqusqsuoa a!p ua8a8 ' M Z ~ )uoqqund a.ryn8ar au!a ua8a8 2!g~mqo!a12%lop ua8our pun qln8ar saquna sau!a 8unqa8mn raula u! ua!as 7 uauo!qqun,q a!p f - . '7 '. . . 'y uauo!qqun,q uoa g aBlo,q au!a !as uaqa8a~ .a8lo,q rau!a z u a 8 r a a u o ~uaS!g!mqo!al8 rap aqoyarag
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.uauog!ugaa
8 .suraIqoq - z'!lnr sap 3unsg.r f aqD!aJaqsppIt?uIdoN pun aq~!a,raqzua3~aauo~ -111
H. Cartan und P. Thullen.
636
Der Normalitatsbereich '23 einer Familie 8 ist ein Teilbereich von 6, des Durchschnitts der Regularitatsbereiche der Funktionen von 8. Wir sagen, die gegebene in '23 normale Familie 8 ist eine Familie erster Art 19), falls jede in '23 gleichmafiig konvergente Folge von Funktionen aus 8 eine Folge erster Art ist; existiert in 8 mindestens eine Folge zweiter Art, so heifit 8 eine Familie zweiter Art. Entsprechend definiert man einen Normalitatsbereich erster (bzw. zweiter) Art. Es sei hier ein sich unmittelbar aus der Theorie der normalen Familien ergebender Satz angefiihrt : S a t z 7. F sei eine unendliche Folge regularer Funktionen; '23 aei der
Normalitatsbereich der aus den Funktionen der Folge gebildeten Familie. Existiert dann in '$3 ein Punkt M , in desaen Umgebuny die Folge F gleichmapig konvergiert, so ist '$3 mit dem Bereiche der gleichmapigen Konvergenz der Folge F identisch. Der Bereich d e r n o r m a l e n K o n v e r g e n z einer Reihe. Eine m
Reihe
2 f,,
heifie in einem Bereiche '23 normal konvergent, falls alle f, in
-
v=1
'23 regular sind und die Reihe z m a x r'=l
f* ('$3,)
I
fiir jeden ganz im Innern
von '$3 liegenden Bereich '$3, konvergiert. Gegeben sei also eine Reihe
2 f,,, die in der Umgebung eines Punktes M,
v=1
normal konvergent sei. Wortlich wie oben definiert man durch ein kanonische Oberdeckung den Bereich '$3 der normalen Konvergenz der Ra'he 2'. '$3 braucht keineswegs mit B', dem Bereiche der gleichmafiigen Konvergenz der Reihe 2, zusammenzufallen - '$3' wird bekanntlich als Bereich der gleichmafiigen Konvergenz der Folge der Partialsummen definiert. In gewissen wichtigen Fallen sind allerdings die beiden fraglichen Bereiche identisch, so bei den Potenzreihen
m,,m,, .. ., m,,=O
Am,, m,, .. .,mn zlm' zal . . .z?,
oder bei den Reihen m
2 Pl ( z l , ...,zn) -0
[ P (~z l , ...,zn) sei ein homogenes Polynom 1- ten ~ r a d e s ] ,
oder auch bei Reihen der Form
und ahnlichen Reihen. 18)
Vgl.
I?).
Singularitiiten von Funktionen mehrerer Verianderlichen.
637
§ 2.
Normalitits- und Konvergenzbereiche erster Art. S a t z 8. Yj sei der Normalitatsbereich einer Familie erster Art 8. Ist dann $ irgendeine in 53 regulark Klasse, welche samtliche Funktionen aus 8 enthalt, so ist 53 9-konvex. Beweis. '$3 ist ein Teilbereich von 6 , des Durchschnitts der Regularitatsbereiche der Punktionen aus 8. Es genugt also, die zweite Eigenschaft der R-lionvexen Bereiche (Definition 8 ) nachzuweisen. '$3, sei irgendein ganz im 1nnern von liegender Bereich, r seine Minimaldistanz in bezug auf 23. Perner sei M ein Punkt aus 53 mit der Eigenschaft, daD fur jede Punktion f aus R
6
Nach dem Pundamentalsatze ist dann jede solche Funktion f in S(M, r ) regular und max If ( S ( M , Q))I =< max I f(53:e') 1 fur alle p < r . (8) Da nun 8 in '$3 normal von erster Art ist, existiert zu jedenl p < r eine positive Zahl R ( p ) , so daD fur eine beliebige Punktion q, aus 8 max I q,('$3:")) I < R ( p ) . Nach (8) gilt also auch m a x I q , ( S ( M , g ) ) l < R ( p ) fur alle p < r ; d. h. 8 verhalt sich in dem Polyzylinder S ( M , c)j, also auch (fur Q --. r ) in S ( M , r ) normal. Hieraus folgt sofort die B e h a u p t u i ~ g ~ ~ ) . In Verbindung mit Satz 7 ergibt sich: S a t z 9. Yj sei der Bereich der gleichmaaigen Konvergenz einer Folge erster Art F . 1st 9 irgendeine die Funktionen won F enthaltende, in 23 regulare Klasse, so ist % R - konvex. Perner gilt (den Beweis fuhre man genau wie in Satz 8): S a t z 9 a. 23 sei der Bereich der normalen Konvergenz einer Reihe 1. 1st R irgendeine die Funktionen von 2 enthaltende, in 2' 3 regulare Klasse, so ist 2'3 R-konvex. F 01 g e r u n g 1. Jeder Normalitats- oder Konvergenzbereich erster Art (bzw. jeder Bereich der normalen Konvergenz einer Reihe) ist ein Regularitatsbereich. P o l g e r u n g 2. 1st 8 eiwe i n % normale Familie erster Art, $1 eine F enthaltende, i n '$3 reg~clareKlasse, so ist 3 auch in der it-konvexen Hiille von M noch normal. Entsprechend gilt: ") Man vergleiche Beweis v o ~ iFolgrrung 3 des Fundamcntalsatzes.
H. Cartan und P. Thullen.
638
Ist F eine i n 23 gleichmaPig konvergente Folge (bzw. 2 eine i n f'i normal konvergente Reihe), R eine die Funktionen der Folge F (bzw. der Reihe 2') enthaltende, i n B regulare Klasse, so konvergiert F (bzw. 2 ) noch gleichmri'pig (bzw. normal) i n der R - konvexen Hulle von B. Umkehrung von S a t z 8, 9 u n d 9a. Ist 9 eine i n dem Bereiche % regulare Klasse und f'i Q-konvex, so ist 8 der Konvergenzbereich einer Folge erster Art (bzw. der Bereich der normalen Konvergenz einer Reihe), die nur von Funktionen der Klasse Q gebildet wird. Aus Satz 7 ergibt sich dann sofort: 8 ist der Normalitatsbereich einer Familie erster Art, deren samtliche Funktionen der Klasse 9 angehdren. Reweis. Man betrachte die im Beweise von Satz 4 (Seite 631) bestimmten Funktionen y* = {f,)"; die y, sind Funktionen der Klasse R . Aus der Konstruktion der y, ergibt sich unmittelbar, daB 8 entweder mit %', dem Bereiche der gleichmaBigen (bzw. normalen) Konvergenz der m
Folge y l , y s , ..., w,, ... (bzw. der Reihe 2 %), oder aber mit einem Uberr*= 1 lagerungsbereiche von 8 ' identisch ist. 1st 8 nicht identisch mit %', so wahle man die Folge Y ~ , ~ , P , ~ Y , ~ Q B P ~ ,Q. ., P . ,, Y ~ ., ., (bzw. die Reihe y , g, 9, y , Q, p2 ... j
+
-+ +
+
- die eWq,") seien die im zweiten Teile des Beweises (Seite 633f.) bestimmten Funktionen; 23 ist dann notwendig mit dem Bereiche der gleichmaBigen (bzw. normalen) Konvergenz dieser Folge (bzw. Reihe) identisch. Satz 10. Genugt eine i n dem Bereiche 8 regulare Klasse R der Bedingung, dab jede i n % regulure Funktion sich i n eine i m Innern von f'i gleichmaPig konvergente Folge (bzw. normal konvergente Reihe) von Funktionen aus 9 entwickeln l$t, so ist die Regularitatshiille mit der 8 - k o n vexen Hiille von 8 identisch. Es sei namlich B die 9-konvexe Hiille von B ; nach Folgerung 2 (Seite 637) ist jede in B regulare Funktion auch in B regular. B besitzt also die drei charakteristischen Eigenschaften der Regularitatshiille, w. z. b. w. Folgerung. Der Bereich B und die Klasse R mdgen den Voraussetzungen von Satz 10 geniigen. $'3 ist dann und nur dann ein Regularitatsbereich, falls B R - konvex ist "). 01)
Die p, p, sind Funktionen der Klasse .Q.
5 p, p,, konvergiert normal in 'B, Y=
1
die Folge el q l ,ps y e , . . ., p, p,, . . . konvergiert also - wie ja auch die Folge yl, ys, . ., y,, . . - gleichrniiliig gegen Null. g 2 ) Diese Aussage ist scharfer als die von Satz 5.
.
.
Singularitiiten von Funktionen mehrerer Veriinderlichen.
639
Konvergenzbereiche zweiter Art. S a t z 11. Ist 93 der Konvergenzbereich einer Folge zweiter Art, so ist '$3 3-konvez - R bedeute die Klasse aller i n '$3 meromorphen Funktionen. Beweis ?3). Es genugt zu zeigen, da13 93 die zweite Eigenschaft der R - konvexen Bereiche erfullt. 8, sei irgendein ganz im Innern von 2' 3 liegender Bereich, r seine Minimaldistanz in bezug auf 93. Der Punkt M aus '$3 habe die Eigenschaft, da13 fur jede (in 93, beschrankte) Funktion f aus 9 gilt
Wir werden zeigen, da13 die Randdistanz von M mindestens gleich r ist. ql, qs, . . ., q,, . .. sei die gegebene gegen ,,w" konvergierende Folge; es sei u
< r,
sonst beliebig. Alle Funktionen y v =
1 -
F,,
sind fur
v
2 v ( u ) in '$3:'
noch regulk und beschrankt; nach dem Fundamentalsatze (fur meromorphe Klassen) gilt also (9)
max 1 Y,.(S(M, Q ) )
2 max
~yv(93$') fur alle
Q
und v 2 v(u).
Die yiv konvergiereii nach Voraussetzung in B ,': nach ( 9 ) also auch in S!M, u ) gleichmaflig gegen Null. Da ferner die qv (nach dem ersten Teil des Fundamentalsatzes) in S ( M , r ) regular sind, konvergiert die gegebene (fur alle u < r); d. h. Folge der qv in S(J1, u ) gleichmaflig gegen ,,wL'] der Polyzylinder S ( M , r ) liegt im Innern von 9; woraus sich die Behauptung ergibt. F 01 ger u ng. E i n Konvergenzbereich zweiter Art ist ein Meromorphiebereich. Es ist namlich 93 ein Teilbereich von B, des Durchschnitts der Regularitatsbereinhe der Funktionen qv (31 = 1 , 2, . ..); nach Satz 4 folgt also die Behauptung. § 4.
LSsung des Julia-Problems. S a t z 12. Der Normalitatsbereich einer regularen Funktionsfamilie 8 ist ein Regularitatsbereich, falls 3 eine Familie erster Art, ein Meromorphiebereich, falls 5 eine Familie zweiter Art ist. B e weis. Fiir Familien erster Art ist der Satz bereits bewiesen (siehe Folgerung 1 auf Seite 637). 33)
Vgl. Beweis von Folgerung 3 des Fundamentalsatzes und von Satz 8.
H. Cartan und P. Thullen.
640
Es sei also 3 eine Familie zweiter Art; 23 sei der Normalitatsbereich von 8 ; wir betrachten !I3 als Durchschnitt der Bereiche der gleichmaoigen Konvergenz aller konvergenten Folgen (erster oder zweiter Art), die man aus den Funktionen der Familie 3 bilden kann. Jeder dieser Konvergenzbereiche ist nach Satz 8 bzw. Satz 11 $-konvex, also nach Folgerung 3 des Fundamentalsatzes auch ihr Durchschnitt $3' (9 bedeute die Klasse aller in 8 meromorphen Funktionen). Ferner ist 23 ein Teilbereich des Durchschnitts aller Reguiaritatsbereiche der Funktionen von 8,also nach Satz 4 ein Meromorphiebereich, w. z. b. w. Dieser Satz gibt die Losung eines bekannten Problems, das G. Julia durch seine Arbeit "j iiber die normalen Familien analytischer Funktionen gestellt hatte. In jener Arbeit zeigte G. Julia, daW die Punktmannigfaltigkeiten, in denen eine im Innern eines Bereiches % normale Pamilie 8ufhort normal zu sein, den gleichen notwendigen Bedingungen geniigen, wie sie bisher fiir die Singularitatenmannigfaltigkeiten analytischer und meromorpher Funktionen bekannt waren. Er hatte damit die Frage aufgeworfen, ob es stets zu einer solchen Mannigfaltigkeit 92 eine in 8 regulke oder meromorphe Funktion f gibt, die in den Punkten von %1 wesentlich singular wird. Nach Satz 12 ist die .&xisten2 einer solchen Punktion f stets gesichert. Aus Satz 12 folgen jetzt unmittelbar die von G. Julia in der zitierten Arbeit bewiesenen Satze.
Anwendungen auf lireiskorper und Hartogssche Korper; der Rungesehe Satz fiir mehrere komplexe Veranderliche. I. R e i h e n homogener Polynome. Da jede in einem Kreiskorper (mit dem Nullpunkt a19 Mittelpunkt) regulare Punktion sich in eine im Innern gleichmaaig konvergente Reihe homogener Polynome entwickeln 1BOt "1, und umgekehrt der Bereich der gleichmaoigen Konvergenz einer Reihe homogener Polynome stets ein (sternartiger) Kreiskorper ist, so ergibt sich (vgl. Satz 9 a und Umkehrung, Folgerung 1 und Satz lo), daB die folgenden drei Mengen identisch sind : a) die Gesamtheit der Kreisbereiche, die zugleich Regularitatsbereiche sind ; b) die in bezug auf die Klasse der homogenen Polynome konvexen Bereiche ; c) die Bereiche der gleichmaoigen Konvergenz einer Reihe homogener Polynome. Jeder Bereich, der einer der drei Mengen angehiirt, gehort also notwendig auch den beiden anderen an. 24) Vgl. G. Julia, Sur les familles de fonctions andytiques de plusieurs variables, Acta Math. 47 (1926), S. 53-115. g5) Vgl. die unter I), c) zitierto Arbeit,, S. 14 - 17.
Singularitaten von Punktionen mehrerer Veranderlichen.
641
Es folgt ferner (Satz 10 und Polgerung 2 ) , daB die Regularitatshulle B eines Kreiskorpers 8 mit der 9-konvexen Hulle von 8 identisch ist, falls R die Klasse der homogenen Polynome bedeutet 2H). Jede in 8 gleichmaBig konvergente Reihe homogener Polynome konvergiert also auch gleichmallig in 6 ; die Regularitatshulle B ist nicht nur ein Kreiskorper, sondern insbesondere schlicht und sternartig. SchlieBlich gilt noch der Satz: Der grdpfe i m Innern eines gegebenen Regularitatsbereiches liegende Kreiskdrper mit beliebig gegebenem Mittelpunkte ist selbst wieder ein Regularitatsbereich und insbesondere schlicht und sternartig.
11. Potenzreihen. Wie eben schlieBen wir, daB die folgenden Mengen identisch sind : a ) die Gesamtheit der Reinhardtschen Kreiskorper, die zugleich Regularitatsbereiche sind; b) die in bezug auf die Klasse der Monomen A z ~ z?l . . . ( m i2 0 ) konvexen Bereiche; c) die Konvergenzbereiche einer Potenzreihe zm71
Aus b) und c) 1aBt sich ubrigens folgendes ableiten: Sind r,, r, , . . ., r,, assoziierte Konvergenzradien einer gegebenen Potenzreihe, und ist pi = log ri ( i = 1 , 2 , .. . , n ) , so ist die durch die pi i m n-dimensionalen reellen Raume bestimmte ( n - 1)-dimensionale Ruche konvex (im gewohnlichen Sinne des Wortes) i n bezug auf die negativen Richtungen der n Koordinatenachsen. Es ist dies der Inhalt des Satzes von Faber-Fabry-Hartogs fiir n komplexe Veranderliche. Wie oben gilt ferner: Der grdpte i m Innern eines Regularitafsbereiches liegende Reinhardtsche Kreiskdrper mit beliebig gegebenem Jlitfelpunkte ist ein Regularitatsbereich.
111. D i e Reihen
w
cz zf, ( w ) . Beschranken
wir uns auf zwei komplexe
1=0
Veranderliche w und z! Wieder sind die folgenden Mengen identisch: a ) die Gesamtheit der Regularitatsbereiche, die zugleich Hartogssche Korper ") sind; ") Hieraus ergibt sich eine Konstruktion der Regularitatshulle eines beschrar~kten Kreiskiirpers (siehe z. B. die unter ') c) zitierte Arbeit, S. 100 -101). )'2 Ein Bereich heifit ein Hartogsscher Korper, wenn er durch sbmtliche Transformationen w' = w , z' = z ei8 ( 8 beliebig reell) in sich transformiert wird und (@,@) als inneren Punkt enthdt.
642
H. Cartan und P. Thullen.
b) die in bezug auf die Klasse der Funktionen z zf ( w ) konvexen Bereiche ( 1 durchliiuft alle ganzen positiven Zahlen und f ( w ) alle in dem Bereiche regularen Funktionen von w allein); U3
c) die Bereiche der gleichmaoigen Konvergenz der Reihen
2 z zf, (u?) . 2=0
Die Regularitatshulle B eines Hartogsschen Rereiches 23 ist mit der 9-konvexen Hiille von 3' 3 identisch ( 9 bedeutet die Klasse der z 7f ( w ) ) ; B ist ein Hartogsscher Bereich. Bezeichnet man ferner mit k die Klasse aller in 23 regularen Funktionen von w allein und mit 6 die k-konvexe Hulle von 23, so ist die RegularitSitshiille B ein Teilbereich von B . Der Bereich B setzt sich dabei aus samtlichen Punkten ( t o , z) zusammen, fur die ta i m Innern eines gewissen Bereiches b("" (der w-Ebene) liegt und z eine beliebige komplexe Zahl ist. Den so durch B definierten Bereich biu')nennen wir die Projektion des Hartogsschen Korpers %. Die Regularitatshiille B hat nach Definition die gleiche Projektion wie '$3. Da B $? - konvex ist, enthalt B andererseits mit einem Punkte ( w , , z,) auch samtliche Punkte ( w , , z) mit I z 1 < 1 z, 1. Es ist daher B danm und nur dann schlicht, jalls seine Projektion b'"" schlicht ist. I m Gegensatz hierzu ist es leicht, schlichte Hartogssche Korper (die keine Regularitatsbereiche sind) mit nicht-schlichten Projektionen anzugeben. Hiermit ergibt sich die interessante Tatsache, dab schlichte Bereiche existieren, deren Regularitatshullen nicht mehr schlicht sind. IV. P o l y n o m r e i h e n ; d e r R u n g e s c h e S a t z "1. Es sei R die Klasse aller Polynome! Jeder Bereich der gleichmaWigen Konvergenz einer Polynomreihe ist 8 - konvex : umgekehrt ist j eder R - konvexe Bereich der Bereich der gleichmaoigen Konvergenz einer gewissen Polynomreihe.
Es sei nun 23 ein Bereich n ~ i tder Eigenschaft, dab jede i n 23 regulare Funktion sich in eine dort gleichmabig konvergente Polynomreihe entwickeln labt; die Regularitatshiille B ist dann identisch mit der 9-konvexen fiiille von 23 (Smtz 1 0 ) ; B mub insbesondere schlicht sein. Auf Grund dieser Tatsache 1aBt sich leicht zeigen, dafl der aus der Theorie einer komplexen Veranderlichen bekannte Rungesche Satz nicht mehr im Raume von n ( n > 1) komplexen Veranderlichen gilt. E s sei namlich 23 ein schlichter, beschrankter und einfach-zusammenhangender Hartogsscher Bereich mit nicht-schlichter Projektion - solche Hartogssche ") Sf bcdeutet die Klasse der z' f (w). ") Dcr Rungesche Satz besagt: 1st b"' ein schlichter und einfach-zusammenhangender Ijereich der z-Ebenc, so laBt sich jede in B"' regulare Funktion in eine dort gleichmaBig konvergente Reihe von Polynon~enentwickeln.
Singularitaten von Funktionen mehrerer Veriinderlichen.
643
Korper lassen sich beliebig viele angeben -; die Regularitatshiille B von 93 ist dann ein nicht-schlichter Bereich, und es gibt daher mindestens eine in 93 regulare Funktion, die sich nicht in eine in 93 gleichmabig konvergente Polynomreihe entwickeln lafit, w. z. b. w. 30) Man kann nun die Frage stellen: Gilt der Rungesche Satz wenigstens fur einfach-zusammenhangende, schlichte R e g u l a r i t a t s bereich e? Dieses Problem ist bisher noch nicht gelost.
TV. Verschiedene Fragen zur Theorie der Regularititshiillen.
9 1Eine notwendige Bedingung fiir echte Regularitlitshiillen. Bisher haben wir stets die zu einem gegebenen Bereiche 23 gehorige Regularitatshiille B untersucht. Stellen wir uns jetzt die umgekehrte Aufgabe: Gegeben sei ein Regularitatsbereich B; es ist ein von B verschiedener Teilbereich 93 zu finden, so dab B die Regularitatshiille von 93 ist! Existiert zu B ein solcher Bereich 93, so wollen wir B eine echte Regularitatshiille nennen. Unser Ziel ist, eine notwendige Bedingung fur echte Regularitatshiillen anzugeben, und damit zugleich die Existenz solcher Regularitatsbereiche nachzuweisen, die keine echten Regularitatshiillen sind. Hierzu beweisen wir zunbhst S a t z 13. Der Bereich 93, sei ein ganz i m Innern des Bereiches 93 liegender Teilbereich, B, und B seien die Regularitatshiillen von 93, bzw. 93. Ist dann r die Minimaldistanz von 8, i n bezug auf 93, so ist die Minimaldistanz von B, i n bezug auf B mindestens gleich r. 31) Beweis. 1st M irgendein Punkt aus B,, so gilt nach Satz 2 fur jede in B regulare Funktion f f(M)I 5 max/f(%,); es sind also nach dem ersten Teile des Fundamentalsatzes alle diese Funktionen noch in S ( M , r ) regular. Da B ein RegularitMsbereich ist, mu13 S ( M , r ) im Innern von B liegen, w. z. b. w. Es sei nun eine interessante unmittelbare Folgerung angegeben: 93, deren S a t z 14. Br sei die Gesamtheit aller Punkte des Bereiches Randdistanz in bezug auf $' 3 grdper als die feste Zahl r ist. Br ist entweder leer oder zerfallt in ein oder mehrere Teilbereiche %il', B,(~', . . ., 93, ( 1 ) , . .. von %. Ist % ein Regularitictsbereich, so ist auch jeder Bereich 23:' ( i = 1, 2 , . . ., 1,. . .) ein Regularitatsbereich. Vgl. Compt. Rend. 192 (1'331). d. 1077-1079. DaB die Minimaldistanz von 6, in bezug auf B groper r sein kann, liiBt sich an einfachen Beispielen nachweisen. 31)
H. Cartan und P. Thullen.
644
Im folgenden setzen wir - um schlechthin von Randpunkten sprechen zu konnen - den gegebenen Bereich als schlicht und beschrankt voraus. Aus Satz 13 folgt dann sofort die gesuchte notwendige Bedingung fur echte Regularitatshiillen. S a t z 15. Der Regularitatsbereich B sei die Regulariiatshiille eines von ihm verschiedenen Teilbereiches 8. Ist M ein Randpunkl won 6 , jerner f eine beliebige i n B regulare, i n 1C1 singulare Funktion, so ist f notwendig auch i n mindestens einem Randpunkte M' won 3 singular. Beweis. 1st M zugleich Randpunkt von 23, so ist die Aussage des Satzes trivial - man setze M M'. 1st M kein Randpunkt von 23 - solche Punkte existieren nach Voraussetzung sicher -, so betrachte man den Regularitatsbereich 6' der Funktion f. Ware der Satz falsch, so hatte der Bereich B, nach Satz 1 3 also auch 6 , eine Minimaldistanz r > 0 in bezug auf B', was der Voraussetzung widerspricht. Folgerung. Gibt es zu jedem Randpunkte M eines Regularitatsbereiches B eine in B regulare Funktion f , die in M singular, aber i n jedem anderen Randpunkte von B regular ist, so ist B keine echte Regularitatshiille. Beispiele solcher Bereiche sind die Hyperkugel / z, 1 ' ) t/z, / ' ... Jz, 1" 1 oder - im Raume zweier komplexen Vednderlichen ui, z - die Bereiche 1 w 1" ( z1" 1 ( j u reell), ferner alle vollkommen-konvexen Bereiche (konvex im gewohnlichen Sinn des Wortes).
-+ +
-
Bemerkt sei, daP samtliche Satze dieses Paragraphen ganz allgemein jiir 9-konvexe Hiillen gelten - 2 bedeute eine beliebige regulare Klasse.
5
2.
Eine Erweiterung der Theorie der 9 -konvexen Bereichr. Der Theorie der 9-konvexen Bereiche lag der zu Anfang mit Hilfe der Polyzylinder eingefiihrte Begriff des Abstandes zweier Punkte zugrunde jvgl. auch die Begriffe ,,Randdistanzb. und .,Minimaldistanzb6).UTir werden bald sehen, dal3 sich ganz parallele Theorien aufbauen lassen, wenn man von einem Distanzbegriff ausgeht, der durch einen beliebig vorgegebenen, schlichten und beschrankten Kreiskorper - z. B. durch eine Hyperkugel -
vm-
---
definiert ist, wenn man also etwa, wie iiblich,
z:"12
~
-
als Abstand
2- 1 ~.
cler Punkte MI und M2 einfiihrt. Die ganze Theorie der $?-konvexen Bereiche laWt sich dann auf Grund einer Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes ohne Schwierigkeit iibertragen. Xllerdings miissen wir dabei den Regriff dsr ..Klasse" etwas verengen, indem wir eine neue Bedingung - wir nennen sie die ..Eigensclra,'t [A]" - hinzufugen: 1st f eine Punk-
Singularitaten von Funktionen mehrerer Veranderlichen.
645
tion der gegebenen Klasse, so sollen samtliche Funktionen
( a , beliebige Konstante) zur Klasse gehoren. Diese Eedingung erfullt z. B. die Klasse der homogenen Polynome, nicht aber die Klasse der Monome. B ez ei c h n un g. 1st A irgendein beschrankter Kreiskorper mit dem Nullpunkt 0 als Mittelpunkt, so bezeichnen wir mit A(M) den durch Parallelverschiebung 633 aus A entstehenden Bereich; insbesondere gilt A ( 0 ) =. A ; A(M) ist ein Kreiskorper mit M als Mittelpunkt. Die B e r e i c h e %AA' (vgl. S. 627). 23, sei ein ganz im Innern des Bereiches 23 liegender Bereich, A irgendein schlichter, beschrankter Kreiskorper mit dem Mittelpunkte 0 , der nur der Bedingung genugt, da13 sanltliche Bereiche A (M) - M sei ein beliebiger Punkt aus 23, - im Innern von 23 liegen. Unter 23f' verstehen wir dann die Gesamtheit aller Punkte P aus 23, zu denen es in 2' 3, mindestens einen Punkt M gibt, so da13 P im Innern von A(M) liegt. 23k1) ist ein Teilbereich von 23. S a t z 16. (Verallgemeinerung d e s F u n d a m e n t a l s a t z e s . ) 23, sei irgendein ganz i m Innern des Bereiches 23 liegender Bereich, R sei eine i n 23 regulare (meromorphe) Klasse mit der Eigenschaft [ A ] . Gilt dann i n einem Punkte M, aus 23 fur jede ( i n M, und 23, noch beschrankte) Funktion f aus 9 I f(M0)I max I f(Mo!l, und ist ferner 4 ein beliebiger Kreisk6rper mit der Eigenschaft, daB der Bereich 23:' noch ganz i m Innern von 23 liegt, so gilt ffir jede ( i n g:," beschrankte) Funktion f aus 9 : 1. f ist i n dem Bereiche A(M,) regular und
s
2. maxf(A(M,))I ~ m a x I f ( 2 3 h 1 ' ) I . Den Fundamentalsatz erhalten wir, wenn wir statt 3 einen Polyzylinder S ( 0 , p ) wahlen - es sei p < r und r die Minimaldistanz von %, in bezug auf 23 -; es ist dann %hJ' E 23;" und A (M, i S (M,, p i . Wir fuhren den Beweis von Satz 16 zunachst fur sternartige Kreiskorper. H i 1 f s s a t z. Ist P, ein beliebiger Punkt eines sternartigen Kreiskdrpers A , so kann man stets durch eine homogene lineare Transformation
-
A so auf einen Bereich A' ") 32)
abbilden, dab der Bildpunkt P,,' von Po
A' ist selbst wieder ein sternartiger Kreiskorper.
646
H. Ca,rtan u r ~ dP. Thullen.
im I?anern eines Po1yzylindei.s S ( 0 , Q )
und S ( 0 , Q j selbst noch i m Innern von A' liegt. Beweis. Der Punkt Po habe die Koordinaten z r , z;, . . ., 22. Wir diirfen Po+ 0 voraussetzen (fur Po 0 ist der Hilfssatz trivial). Dann gibt es eine homogene lineare Transformation, die Poin einen Punkt P; mit den Koordinaterl ' 0 ' 0 -- - 0 (z;)O=l; (2,) =(zl)O= . . . = ( z,,)
-
abbildet. ;:I' sei der dabei aus A entstehende Bildbereich. Punkt PA enthalt und zugleich ein sternartiger Kreiskorper ist, samtliche Punkte (zi, 0 , . . ., 0 ) mit z i 1 2 1 im Innern von A'. dieser Punkte enthalt A' zugleich seine volle Umgebung; da menge abgeschlossen ist, gibt es also ein festes e > 0 , so daB liche Punkte des Polyzylinders
Da A ' den liegen auch Mit jedem die Punktnoch samt-
in1 Innern von il' liegen. Diirch eine geeignete Streckung 1aQt sich dieser Polyzylinder in einen Polyzylinder der gewunschten Form S ( 0 , ~ )iiberfuhren, w. z. b. w. Beweis v o n S a t z 16. Man beachte folgendes: Geht bei einer homogenen linearen Transformatio?~L der Bereich A i n den Bereich A' iiber, so wird durch L der Bereich A (M) auf den Bereich A'(M') abgebildet, wobei M einen beliebigen Punkt, M' seinen durch L entstehenden Bildpunkt bedeutet. Ferner geht bei einer homogenen linearen Transformation eine Klasse mit der Eigenschaft [ A ] wieder in eine solche Klasse uber. 1st demnach 3 ein sternartiger Kreiskorper, so laBt sich Satz 1 6 auf Grund des Hilfssatzes sofort auf den Fundamentalsatz zuruckfuhren. Es sei nun A ein beliebiger (nicht sternartiger) Kreiskorper, der die Voraussetzung von Satz 16 erfiillt. d sei die Regulantiitshiille von if, 23 die von B. 1st M irgendein Punkt aus B0, so liegt A(M) noch ganz in1 Innern von B und der Teilbereich Bid' ganz im Innern von Man wende jetzt auf den Bereich B und den sternartigen Kreiskiirper A Satz 16 an. Um dann die Behauptung des Satzes auch fur den Kreiskorper A zu gewinnen, braucht man nur J wieder durch A , B durch B zu ersetzen, indem man zugleich beachtet, daQ (nach Satz 2 )
a.
max I f (&MI)
1 = max I f (A (Mi) I ,
also auch max 1 f (B;")I = man I f (8;")1 .
Si~lgularitatenvon Funktionen mehrerer Veranderlichen.
647
A n w e n d u n g v o n S a t z 16. A sei ein beliebiger, aber im folgenden fester, beschrankter Kreiskorper mit dem Nullpunkt 0 als Mittelpunkt. Unter d ( M , r ) verstehen wir den durch die Transformation z/ = r .z; (i= 1 , 2 , .. ., n )
-
und die darauf folgende Parallelverschiebung O M aus A entstehenden Bereich. Sind dann M , und M, zwei beliebige Punkte und ist r die untere Grenze aller Werte Q , fur die ' l ( M 1 ,Q ) den Punkt M, noch enthalt, so wollen wir r den Abstand des Punktes M, von MI nennen. Es ist klar, daB M , von MI den gleichen Abstand hat, wie MI von M?. 3 ( M , r ) konnen wir jetzt als die Gesamtheit aller Punkte betrachten, deren Abstand von M kleiner als r ist. Entsprechend definiert man die ,,Randdistanz" und ,,Mini*maldistanzu. Auf den so eingefuhrten Distanzbegriff 1aBt sich die ganze Theorie der Q-konvexen Bereiche ohne jede dnderung ubertragen, wenn man nur verlangt, daB die betrachteten Klassen die Eigenschaft [ A ] besitzen. Wahlt 1 z, 1' . . . z, 1' < 1 , so man insbesondere fiir A die Hyperkugel z, 1" erhalt man den gebrauchlichen Distanzbegriff. Es gilt also die ganze in dieser Arbeit aufgebaute Theorie auch dann noch, wenn man dem Worte ,.Abstandd den gewohnten Sinn beilegt.
+ +
(Eingegangen am 17. 11. 1831.)
Sur les fonctions de ylusieurs variables complexes. L'itkration des transformations intkrieures d'un domaine bornk Mathernatische Zeitschrift 35,760-773 (1932)
Dans un article rQcentl), je m'ktais occupk des cc transformations intkrieures)) d'un domaine bornk D, c'est-a-dire des transformations (analytiques par rapport aux variables complexes) d'un domaine bornk D en un domaine intkrieur B. D . Je mYQtaisd'ailleurs limitk au cas de deux variables complexes. M. Carathkodory, dans un mkmoire2) dont il a eu l'amabilitk de me communiquer les kpreuves, a repris 1'Qtude de cette question en la simplifiar~tet en la complktant. LCmkmoire de M. CarathBodory, qui est en sommi un expos6 systkmatique de la thkorie de la convergence des suites de transformations analytiyues, contient certains rCsultats qui m'ont amen6 quelques rkflexions faisant l'objet essentiel du prksent travail (Satz 1 4 de M. Carathkodory, $ 5 de ce travail,). L'Qtude de M. CarathQodory, valable pour n variables complexes, ne s'applique malheureusement qu'aux domaines univalents. J'ai cherchk prQciskment i obtenir iui des 6noncks valables aussi hien dans le cas des domaines multivalents cjue dans celui des domaines univalents. Aussi ai-je QtQconduit & placer d'abord (5s 1-4) quelques considerations gknQrales sur les domaines et les transformations analytiyues. Sans chercher a d4velopper compl6tement une thkorie analogue a celle de M. ('arathkodory pour les domaines univalents, je dQmontre quelques propositions qui sont vraies l ) Henri Cartan, Sur les fonctious d e deux variables complexes. Les transformations d'un domaine born6 D en un domaine intkrieur B 1) (Bull. Soc. Math. de France 58 ( 1 9 3 0 ~p. 199-219). Ce travail sera dksignk ici pal [ a ] . 7 CC:. CarathBodory, Uber die Abbildungen, die durch Systeme von analytischei~ Funktionen von mehreren Veranderlichen erzeugt werden, Math. Zeitschr. 34 (1932), p. 738-792. Ce travail sera dBsignP ici par [b).
761
H. Cartan. Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
aussi bien dans le cas multivalent que dans le cas univalent; signalons notamment le theoreme 2 (§ 4), qui correspond au theoreme 10 de M. Carathbodory, bien que la dbmonstration en soit toute diffQrente. Mais les paragraphes 1, 2, 3, 4 ne doivent Btre considkrQs que comme des prbliminaires indispensables A l'exacte comprkhension du paragraphe 5 , qui constitue la partie essentielle de ce travail. Tout ce qui suit s'applique aussi bien au cas d'une variable complexe qu'au cas de n variables complexes. § 1.
GBnBralitBs sur les transformations analytiqnes. Plapons-nous dans l'espace de n variables complexes z, , z, , . . . , z,,, et considbrons un systeme de n fonctions de ces variables, holomorphes dans une hypersphere 2 ayant pour centre un point 0 de cet espace. A chaque point M de 2 ces fonctions font correspondre un point que nous dbsignerons par S ( M ) ; nous dirons aussi que ces n fonctions definissent, dans 2, une transformation analytique S. Si le jacobien de la transformation S est identiquement nu1 dans 2, les n fonctions dkfinissant X ne sont pas independantes; nous dirons alors que la transformation S est de'gtne'rde. Si S est dkgbnQrite, l'ensemble des transformbs des points de 2' a moins de n dimensions complexes. Envisageons maintenant une transformation S non degdndre'e. Ou bien le jacobien de S n'est pas nu1 au point 0 , ou bien il est nu1 en 0 sans Btre identiquement nul. Dans le premier cas (jacobien non nu1 en 0 ) , on sait qu'il existe une hypersphere 2' de centre 0 , interieure & 2, et un domaine univalent 2; contenant a son intQrieur le point 0, = X (01, tels que la transformation S Qtablisse une correspondance biunivoque entre les points interieurs de 2' et ceux de 2;'. Le cas oh le jacobien de S s'annule en 0 sans dtre identiquement nu1 est plus compliquQ. Le probleme de l'inversion de la transformation S , dans ce cas, a kt6 resolu par Osgood qui a montrit ceci"): ou bien il existe, dans toute hypersphere de centre 0 si petite soit-elle, au moins un point, autre que 0 , dont le transforme par S coi'ncide avec S ( 0 ) ; nous dirons alors que le point 0 est un point exceptionnel pour la transformation S , ou encore que la transformation S est exceptionnelle au point 0 ; - ou bien lYhypoth&seprkckdente est exclue, et l'on ditniontre alors l'existence d'une hypersphere -2" de centre 0 , d'une hypersph6re 2'; de centre 0, S ( 0 ) , et d'un entier k 2 2, tels que l'itquation S (&I ) M I ,
-
3,
Osgood, Lehrbuch der Funktionentheorie 2 (2. Aufl.), p. 139 (Satz 2).
-
762
H. Cartan.
oh M, dBsigne un point arbitraire de Y.,; ait exactement k solutions ikl intkrieures 21 2"; ces k solutions sont distinctes si MI ne se trouve sur aucune des variBt6s d'un certain ensemble E, de vari6tBs analytiques A n - 1 dimensions complexes4), en nombre fini, passant par 0 , ; au contraire, si MI vieilt en un point d'une variBtB de l'ensemble E,, les k solutions se confondent totalement ou en partie. L'ensemble El n'est d'ailleurs autre que l'ensemble des transformits par S des points oh s'annule le jacobien de S. 11 rBsulte de 1& que, lorsque 0 n'est pas un point exceptionnel pour la transformation S envisagite, S transforme un voisinage suffisamment petit du point 0 en un dornaine & k cc feuillets )) ; ces feuillets se raccordent suivant une ou plusieurs variBt6s de ramification, qui sont des vari8tBs analytiques 21 n - 1 dimensions complexes passant par le point 0, S ( 0 ) . Nous dirons dans ce cas ( e t aussi dans le cas k = 1 qui est celui oii le jacobien de S ne s'annule pas au point 0 ) que la transformation S est topologique au point 0. En rhumb, une transformation analytique quelconque, supposke dCfinie dans une hypersphBre 2 de centre 0 , est ou bien dCgBn&rBe, ou bien exceptionnelle au point 0 , ou bien topologique au point 0. Disons encore quelques mots sur les points exceptionnels d'une transformation analytique non dBgknkr6e. D'aprBs un thBorBme connu"), si 0 est un point exceptionnel pour la transformation S , l'ensemble des points M , voisins de 0 , dont l'image S ( M ) coincide avec S ( O ) , constitue une ou plusieurs variBtBs analytiques (en nombre fini) passant par 0 ; ces variBGs, qui n'ont pas toutes forcement le m6me nombre de dimensions (complexes), sont transformkes par S en un point unique, le point S ( O ) , e t tous les points de ces variirtBs sont des points exceptionnels pour la transformation S . Mais il se peut qu'il existe encore d'autres points exceptionnels dans un voisinage arbitraire du point 0 . =) 11 ne semble pas que l'on ait 6tudi6 systCmatiquement la distribution de l'ensernble de tous les points exceptionnels voisins d'un point donni! 0. J e suis arriv6 au rBsultat suivant, dont je ne donnerai pas ici la ditmonstration: Btant donnee une
-
Relativement 9, la notion de varibtb analytique & p dimensions complexes, voir Osgood, loc. cit., p. 131 - 133. 7 Osgood, loc. cit., p. 132. O) Par exemple, Btant donnee la transformation ( n 3)
-
-
les points z,, z,, z, ayant pour transform6 le point zi = z,' = z: = 0 remplissent trois varibtbs b une dimension complexe, savoir z, z, = 0 , z, z, = 0 et z, = z, = 0 ; quant aux points exceptionnels, ils remplissent trois varikt6s & deux dimensions complexes, savoir z l = O , z , = 0 et 2 , - 0 .
-
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
763
transformation analytique non dkgknkrke dans une hypersphere 2 de centre 0 , ou bien il existe une hypersphere 2' de centre 0 & l'intkrieur de laquelle ne se trouve aucun point exceptionnel; - ou bien 0 est un point exceptionnel, et il existc alors une hypersphere 2" de centre 0 , intkrieure & 2, telle que l'ensemble des points exceptionnels intbrieurs & ,. " constitue une ou plusieurs vari6tks analytiques (en nombre fini) passant par 0 ; chacune de ces variktks est dbfinie par une ou plusieurs relations analytiques entre les variables somplexes z, , . . ., zn ; ces varibtks n'ont pas toutes forckment le m6me nombre de dimensions.
$ 2.
Domaines et transformations analytiques. Nous considkrerons seulement des domaines ouverts, constituks uniquement de points & distance finie. Les domaines que nous envisagerons pourront n'gtre pas univalents; ils pourront mgme contenir & leur intkrieur des variktks de ramification analytiques A n 1 dimensions complexes, a condition que le voisinage d ' u n point de ramification quelconque puisse ktre considirk comme transforme' d'un voisinage univalent d'un certain point 0 par une transformation topologique en 0 . Un domaine d est dit inttrieur & un domaine D s'il existe une correspondance continue qui associe & chaque point M de d un point M' de D et un seul ayant les m6mes coordonnkes que M . On dit aussi que le domaine D contient le domaine A . Un domaine A est dit sous-domaine d'un domaine D si A est iritkrieur & D, et si en outre la correspondance prkckdente fait toujours correspondre deux points distincts de D & deux points distincts de d , ce que nous exprimerons en disant que A est univalent par rapport a D (par exemple, un domaine univalent, au sens ordinaire du mot, est un sous-domaine de l'espace, et rkciproquement). Un sous-domaine A d'un domaine D est dit compl2tement inttrieur & D si, ktant donrik un ensemble infini quelconque de points de A , les points correspondants de D ont au moins un point d'accumulation intkrieur & D. Un systeme de n fonctions holomorphes (uniformes) dans un domaine D dkfinit une transformatiori S du domaine D. Si S est dbgknkrke au voisinage d'un point particulier de D, S est dkgknkrke au voisinage de tous les points de D ; nous dirons simplement que S est de'ge'ntrte. Si S n'est pas dkgknkrke, on peut se proposer d'ktudier S au voisinage de chaque point de D. Au voisinagc d'un point intkrieur 0 qui n'est pas un point de ramification pour le domaine D, tout ce qui a ktk dit plus haut est applicable. Si le point 0 est un point de ramification, on se ramene au premier cas en considkrant le voisiriage de 0 comme transform6 -
d'un voisinage univalent par une transformation topologique, ce qui permet d'6tudier S comme plus haut. En rhumb, 6tant donnBe, dans un domaine D, une transformation analytique S non dBgBnQrQe,les points de D qui sont exceptionnels vis-&-via de S se repartissent sur des vari6tQsanalytiques, dont le nombre de dimensions complexes est d'ailleurs quelconque; ces variQt6s seront dites exceptionnelles vis-a-vis de la transformation S . Si le domaine D ne contient aucune vari6tQ exceptionnelle, la transformation S sera dite topologique dans D ; dans le cas contraire, S sera dite ezceptionnelle dans D . D'aprBs ce qui prkcBde, si une transformation analytique S est topologique dans un domaine D , elle transforme biunivoquement l'intbrieur de D en l'int6rieur d'un certain domaine D l ; nous Qcrirons
ou remarquera que la transformation inverse S-' est topologique dans Dl. Au contraire, soit S une transformation analytique exceptionnelle dans un domaine D , et soit D S le domaine obtenu en retranchant de D les varikt6s exceptionnelles vis-a-vis de S . La transformation S est topologique dans D" et transforme U " en un domaine Dl:
La transformation S - I transforme topologiquement D l en D S ; elle est indeterminie aux points transformks par S des points exceptionnels de D ; ces points d'indktermination sont des points frontiZros de D l . Par extension, nous emploierons la notation (1) m6me dans le cas oh S est topologique dans D , btant entendu que D S est identique & D dans ce cas.
Limite d'une suite uniformement convergente de transformations. Soit donn6 un domaine D ; consid6rons une suite infinie de systBmes de n fonctions holomorphes dans le domaine D ,
et supposons que, pour chaque valeur de j ( j = 1, 5 , . . ., n ) les fiJ convergent uniformQment') vers une fonction holomorphe f,3 quand i augmente ind6finiment. Soit S , la transformation d6finie par les fonctions fil, . . ., fin, et soit So la transformation d6finie par f,', . . ., Sous dirons que la
fa".
-- ..--
7 Xous
convenons de dire que la convergence est uniforme dans le domaine LJ si elle est uniforme dans tout sous-domaine compl6tement intkrieur a D .
4
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
765
suite des transformations Si ( i= 1, 2 , . . ., k , . . .) converge uniformtment vers la transformation S o . Une famille infinie F de transformations analytiques d'un domaine D .sera dite normale dans ce domaine, si de toute suite infinie de transformations de F on peut extraire une suite infinie qui converge uniformkment dans le domaine D. I1 en est ainsi, par exemple, lorsque les ensembles des points transformks des points de D par une transformation quelconque de F sont uniformkment born&. T h k o r h m e 1. Soit D u n domaine privt de varie'tts de ramification, et soit, dans ce d o m i n e , une suite de transformations analytiques S,, . . ., S,, . . . qui convergent uniforiniment uers une transformation analytique S . Xupposons que: 1" X soit topologique dans D ;2' S transforme D en un domaine D' privt de varitte's de ramification'). Alors, e'tant donnks arbitrairement deux sous-domaines A et (J, complPtement inttrieurs ci D , et tels que A soit complbement inttrieur a A,, on peut trouver un entier K qui jouit de la proprittt suivante: pour toute valeur de k plus grande que K , 1" S , est topologique dans J,; 2" le domaine S , (A,) est u n sous-domaine de U ' ; 3" le domaine S (J) est u n sous-domaine de S,L(il,). La premihre partie du thkorhme rksulte du fait que les jacobieris des transformations S , convergent uniform&ment vers le jacobien de S ; comme ce dernier ne s'annule pas dans D , le jacobien des S , lie s'annule pas dans A, dQ que k est plus grand qu'un certain nombre K,. Donc, si k > K,, nor1 seulement S , est topologique dans A,, mais le domaine S,(A,) ne possBde aucune variktk de ramification. D'ailleurs, le domaine S,(A,) est intkrieur A D' dhs que k est plus grand qu'uii certain nombre K, i K2 2 K,), puisque le domaine S(il,) est complhtemeiit intbrieur A D' et que les transformations S , convergent uniformkmrnt vrrs S . Paur montrer la deuxihme partie du thkorhme, il faut montrer l'existence d'un nombre K, ( K , 2 K,) tel que, pour tout k > K,, le domaine S , (A,) soit ilon seulement intkrieur A D', niais encore univalent par rapport a D'. Or, admettons qu'un tel nombre h:, n'existe pas. On pourrait trouver une suite infinie croissante d'entiers 2 , : . . ., i,,. . . . et une suite correspondante de couples de points distincts ,41;,, e t Pi, du domaine A, tels que les points S A ,(MA,)et 81, (P;.,,)fussent confondus ell url mBme point de D'.On pourrait, en extrayant au besoin de la suite i , ,. . ., A,, . . . -
Ces deux llypothkses equivalent j. la s u ~ v a n t c :le jacob~cn de S ne s'annulc pas dans D . H,
766
H. Cartan.
une nouvelle suite, supposer que les points M,, et P).,tendent respectivement vers deux points M, et Po, int6rieur au domaine D . Les points transformks S (M,) e t S (Po)seraient confondus en u11 meme point de U ' , ce qui exigerait que P, fiit confondu avec M,. Cela pod, soit \' une hypersphhre complhtement intkrieure A D et d o r ~ tle centre est en M,; nous supposerons en outre le rayon de 2 assez petit pour que le domaine S (L) soit univalent. Le nombre des solutions de l'kquation en M qui sont intkrieures A 2 est au moins kgal & deuz si 2, est assez grand; or ce nombre est &gal A une certaine intkgrale (intkgrale de Kronecker) ktendue & la frontihre de X. Lorsque A, augmente indkfiniment, la valeur de cette int6grale tend, A cause de la convergence uniforme, vers la valeur de l'intkgrale donnant le nombre des solutions de l'kquation S(M)
-
S(M,),
c'est-A-dire vers un. Nous arrivons ainsi A une contradiction. C. Q. P. D. La troisihme partie du thkorkme 1 se dkmontre d'une manihre analogue, toujours I l'aide de l'intkgrale de Kronecker. C o r o l l a i r e du thkorkme 1. Les notations du thtordme 1 ttant conservtes, les transformations convergent uniformkment vers 8-' duns le domaine D'. Remarquons d'abord clue la transformation SL' n'est pas forckment dkfinie dans le domaine D ' tout entier; mais, ktant donnk arbitrairement un sous-domaine A' compl6tement intkrieur A D', le thkorkme I montre que A' est un sous-domaine tle S , ( D ) pour toutes les valeurs de k plus gandes qu'un certain nombre K ( A f ) ;par suite, dhs que k > K(A,'), la transformation ~ i est ' dkfinie dans J'. Cela posk, le corollaire, tel qu'il est knonck, signifie que, dans tout sous-domaine 3' compl6tement int6rieur B D', les transformations SL' (qui sont bien dkfinies A partir d'un certain rang) convergent uniformkment vers 8-'.
9 4. Transformations intbrieures et transformations biunivoques d'un domaine. D 6 f i ni t i o n. Nous dirons qu'une transformation S, analytique dans un domaine D , transform.e D en u n domaine intkrieur a D ' s'il existe une correspondarice continue qui associe I chaque point M de D un point J1' de D ' e t un seul ayarit les m6mes coordonnkes que S ( M ) . La dkfinition prkckdente s'applique aussi bien aux transformations exceptionnelles, o t ~m6me dkgkne'rdes, qu'aux transformations topologiques. Elle s'applique en particulier au cas oii le domaine D ' est identique au domaine D : toute transformation analytique S qui transforme D en un
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
767
domaine intkrieur A D sera dite, par abrkviation, transformation inltrieure du domaine D . L e m m e 1. Soient D et D' deux domaines. Considirons une suite de transformations analytiques S,, . . ., S,&,.. . dont chacune transforme D en u n domaine inttrieur d D ' ; supposons que les S , convergent uniformiment dans D vers une transformation S non digindrte. Alors on peut trouver u n sous-domaine univalent 2' de D et u n sous-domaine univalent E' de D', tels que S itablisse une correspondance biunivoque jtopologique) entre 2' et 1'. E n effet, les transformks par S des points de D , ktant limites de points intkrieurs & D', sont des points intkrieurs & D' ou des points fronti6res de D'. Mais, 8 n'ktant pas dkg6n6rke, ces points ne sont pas tous des points fronti6res. Soit donc A un point de D dont le transform6 A' = S ( A ) est intkrieur & D ' ; tous leo points de D suffisamment voisins de A sont transformks par S en des points int6rieurs a D r . Parmi eux, 11 en est au moins un, soit 0 , qui n'est pas un point de ramification pour D et en lequel le jacobien de S ne s'annnle pas. Soit alors 2 un hypersph6re de centre 0 e t de rayon assez petit pour que la transformation S soit topologique dans L et transforme L ell un domairie univalent L' intkrieur A Dr.L'existence de L e t 2' dkmontAe le lemme. C. Q. P. D. L e m m e 2. Soient D et D' deux domnaines. Soient S une transformation analytique qui transforme D en un domaine intirieur ci D', et S f une transformation analytique qui transformne D' en u n domaine intdrieur d D . S i la transformation X'S ") est une transformation biunivoque de D en lui-me'nle, alors on a
D'
=
S (D),
D
-- S f( D ' ) .
lo)
Montrons d'abord que S cst topologic-jue dans D e t transforme D en un sous-domaine de D r . I1 suffit de niontrer que deux points distincts i%ll e t 1% du domaine D sont toujours transformis par S en deux points distincts de D r . Or, supposoris les points &'(MI) et S ( M 2 ) confondus en un m$me point de D ' ; les points S ' S ( M l ) et S f S(&12) seraient confondus en un m$me point de D ; antrement dit, &Il et &1? seraient confondus en un m6me point de D . C'. Q. F. D. C'ela posk, soit L): - S ( D l . La transformation S' est topologique dans 1): i pour la m6me raison clui veut clue S soit topologique dans D ) ; d'autre part, puisclue S ' S est nne transformation biunivoque de D en ") La notation S ' S indique que la transfo~.~nationS est effcctlree d'abord, la transformation S' cnsuitc. 'O) Au sujet de cette notation, roir la fin du paragrapht. '? de ce travail.
766
H. Cartan.
lui-mi?me, S' transforme biunivoquement Di en D . Je dis que Dl n'a aucun point fronti6re intI5rieur D'; en effet, si un tel point M' existait, son transformI5 S'(11.l') serait bien dktermink; d'autre part, & cause de
le point S ' ( M t ) serait uii point fronti6re de D, ce qui est contraire au fait que S f transforme D' en un domaine intdrieur B D. Ainsi, le domaine D: est un sous-domaine de D' et n'a aucun point frontiere intQrieurA D'; il est donc identiclue B D', ce qui dkmontre le lemme. Cor 01 1 ai re. Si le produit de deux transformations intkrieures d'un domaine D est une transformation biunivoque de D en lui-m&me, chacune des transformations envisagees est une transformation biunivoque de D en lui-m&me. T hQor$me 2. S i une suite de transformations biunivoques S,, .. ., S,, ... d'un domaine born6 D en lui-mime converge uniforme'ment vers une transformaiion limiie S , et s'il existe dans D au moins u n point inte'rieur A dont les transformts A: = S , ( A ) tendent vers u n point inte'rieur ci D , alors S est une transformation biunivoque de D en lui-m,6me11). Montrons d'abord que la transformation S n'est pas dQg6nQrQe. 11 esiste, dans le domaine D, un certain voisinage V du point A, tel que, 0 Qtantun point quelconque de V, les transformks 0; = S p( 0 )tendent vers un point 0' intkrieur & L ) . C'ela Qtant, on peut choisir 0 de fapon que 0 ne soit pas un point de ramification pour D, ni 0'. Pour montrer clue X n'est pas d&g6nkrke, il suffit de montrer que les modules des jarobiens des transformations S , admettent, au point 0 , une borne infheure non nulle (au moins & partir d'une certaine valeur de p). Or cela rhsulte du fait que les transformations S i l forment une famille normale dans D (puisque D est born&); par suite, les jacobiens des 8,' admettent, au voisinage de O', une borne supI5rieure fixe. C. Q. P. D. Ainsi, S n'est pas dQginI5rI5e. Avant d'aller plus loin, faisons une remarque: il rhsulte de ce qui prec6de que si une suite de transformations biunivoques d'un domaine born&D converge uniformQment vers u ~ i etransformation dtgtne'rke S . S transforme D en une variQtk analytique tracQe sur la fronti6re de D ; donc, s'il n'existe aucu?le varitte' analytique sur la froniie're de D , S transforme D en u n point unique. C'est le cas, d'ailleurs connu, de l'hypersph6re. Terminons maintenant la dI5monstration du thI5oreme 2. I1 suffit de dQmontrer le lemme: 11) Cf. [b], Satz 10. Notre th6orBme 2 ~'appliqueaux domaines non univalent~, meme s'ils contiennent des vari6t6s de ramification.
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
769
L e m me 3. Si une suite de transformations biunivoques S, , . . . , S, , . .. d'un domaine born6 D en lui-mime converge uniforme'ment vers une transformation limite S non dtgtnkrke, la transformation S est biunivoque. D'aprBs ce qui prkcGde, il existe a l'intkrieur de D un point 0 qui n'est pa5 un point de ramification et dont le transform6 O f = S ( 0 ) est intkrieur & D et n'est pas un point de ramification. Dksignons par 2 un sous-domaine univalent de D, contenant le point 0, et assez petit pour que son transformk 2' par S soit univalent. D'aprBs le corollaire du thQorBme 1 (§ 3 ) , les transformations 8,' convergent uniformkment vers S-' dans 2'; comme elles constituent une famille normale dans D, elles convergent uniformkment dans le domaine D tout entier 13). Soit S f la transformation-limite; Sf est dkfinie dans D, e t d'ailleurs identique & S - I dans 2'. Si nous prouvons que S et S f sont des transformations inthrieures du domaine D, alors la transformation S'S sera bien dQfinie dans D tout entier; comme S'S n'est autre que la transformation identique dans 2 , S'S sera aussi la transformation identique dans D ; en particulier, S'S sera une transformation biunivoque de D en lui-meme. En vertu du corollaire du lemme 2, nous pourrons conclure que S est bien une transformation I biunivoque du domaine D en lui-mbme. I1 suffit donc de montrer que S est une transformation int6rieure du domaine D (le raisonnement sera le mkme pour S f ) '7). Admettoris que S ne soit pas une transformation intkrieure: on pourrait trocver une courbe C , intQrieure & D, partant de 0 e t aboutissant en un point intkrieur P, telle que la transformbe C' de C par S fiit intkrieure B D, exception faite pour le point P' = S (P) qui serait un point frontiere de D. Nous allons montrer qu'une telle Qventualitk est & rejeter. L'indice k restant fixe, et p augmentant indbfiniment, les transformations S i l S , forment une famille normale dans D, et, dans 2 , elles convergent uniformQment vers la transformation S i l S ; elles convergent donc uniformkment dans D vers une transformation T, qui est identique & SF'S dans 2. I1 rQsulte de 1& que le transformk T,L(IC1)d'un point M qui dkcrit la courbe C tend vers une limite quand le point d l tend vers P; d'ailleurs, SF1 Qtant une transformation biunivoque de D en lui-mbme, le point T,(P) est nkcessairement un point frontiZre de D. 12) Ceci, en vertu du thhorhme connu: si une suite de fonctions. appartenant B une famille normale dans un domaine A , converge uniformhment dans un sousdomaine de A , elle converge uniformbment dans A . 13) La dbmonstration qui va suivre est calqube surcelledu theorbme S X I (page 58) de mon mhmoire: Les fonctions de deux variables complexes, ete., Journal de Math. (10) 9 (1931), p. 1-114.
770
H. Cartan.
Faisons maintenant croitre k indkfiniment. Les transformations T k forment une famille normale dans D, et, dans 2, elles convergent uniformkment vers S - l S , c'est-&-dire vers la transformation identique. Donc T , converge uniformkment vers la transformation identique dans le domaine D ; en particulier, le point T k ( P ) tend vers P. Mais nous arrivons & une contradiction, car un point P intkrieur & D ne saurait Btre limite de points fronti6res T k ( P ) . Le lemme 3, e t par suite le thkor8me 2, est donc compl6tement dkmontrk. § 5. Sur l'ithration des transformations inthrieures d'un domaine bornh.
T hkorBme 3. Soit S une transformation inttrieure d'un domuine D . S i une suite de puissances de cette transformation, soit . . . , S1/l,. . . (les exposants positifs 1, ttant bornts ou non) converge uniformtment dans D vers une transformation biunivoque T de D en lui-mime, alors S est une transformation biunivoque de D en lui-me"me. Si les exposants 1, sont born&, il existe une puissance S1' qui est une transformation biunivoque de D en lui-mQme. Le lemme 2, appliqu6 21 S e t 21 S t - s"-', permet de conclure que S est biunivoque. Dans le cas gknkral, on peut raisonner de la fapon suivante: 1" S est topologigue duns D et transforme D en u n sous-domaine 1 de D . Pour le prouver, il suffit de montrer que deux points distincts MI e t M , du domaine D ont toujours deux transform& distincts S ( M 1 ) e t St M , ) . En effet, si S ( M , ) et S ( M , ) 6taient confondus, s ' ~ (ill,)et 8%( M ? ) seraient confondus, et, 21 la limite, T ( M , ) e t T ( M , ) seraient confondus; T &taut biunivoque, iV, et M, seraient confondus. C. Q. P. D. 2' Le domaine A est identique a D . 11 suffit de montrer que tout point de D appartient aussi & A. Or, si un point M, de D n'appartenait pas 1A = S ( D ) ,il n'appartiendrait pas aux domaines S " ( I 1 ) = S . SAL-'(Dl. On serait done en contradiction avec la troisihrne partie du thkor6rne 1 (9 3 ) . C. Q. P. D. ThkorGrne 4 ( t h i i o r 6 m e f o n d a n l e n t a l ) . Soit S une transformation inttrieure d'un domaine born6 D. S i une suite de puissances S r j , . . . , S1'h,. . . ( p , < p, -.: . . p, < . . .) converge uniformtment duns D vers une tran~formationT non dtgintrte, alors la suite SPh+l-'h converge uniforme'ment dans D z'ers la transformation identique. E7z particulier, S est une lransformation biunivoque de D en lui-mime (en vertu du thkor8me 3 ) , et T tgalement (en vertu du lemrne :I). Corollaire. La limite d'une suite uniformtment convergente de puissances croissa7ztes d'une transformation inttrieure 8 u n domaine bornt D
s",
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
77 1
est une transformation biunivoque de D en lui-mime ou une transformation dtgdntrte. D B m o n s t r a t i o n du thhoreme 4. En vertu du lemme 1, on peut trouver deux sous-domaines univalents 2' et 2' du domaine D, tels que la transformation T soit topologique dans 2 et transforme biunivoquement 2' en 2'. En vertu du corollaire du thBor8me I, les transformations (sPh)-' convergent uniformQment vers T-I dans 2'; par suite, les transformations s P k + ~ - P k =( S ~ L ) - ~ . S ~ ~ + ~ convergent uniformkment dans 2' vers la transformation identique. Comme ces transformations appartiennent & une famille normale dans D, elles convergent uniformhment dans D vers la transformation identique. C. Q. F. D. Le thBor6me precedent est tout & fait fondamental. I1 peut servir dans bien des problemes. Indiquons-en, & titre d'exemples, deux applications intkressantes. P r e m i e r e a p p l i c a t i o n d u thkorerne f o n d a m e n t a l . Soit D un domaine born6, et soit 0 un point intkrieur autre qu'un point de ramification. Si une transformation S inttrieure d u domaine D laisse fixe 0 , et si le module, a u point 0 , du jacobien de S est Cgal ci un, S est une transformation biunivoque de D en lui-mtme. Cette proposition, qui faisait l'objet essentiel de l'article [a], peut maintenant se ddmontrer de la fapon suivante: de la suite S, S3, . . ., S P , . .. , qui est normale, on peut extraire une suite uniformkment convergente; le module, au point 0, de la transformation limite T Qtant Bgal A un, T n'est pas d6gBnQrBe. Donc (thBor8me 4 ) S est biunivoque. C. Q. F. D. D e u x i e m e a p p l i c a t i o n d u t h k o r e m e f o n d a m e n t a l . Bornonsnous, pour simplifier, au cas d'une seule variable complexe z. Soit, dans le plan z , un domaine bornt D multiplement connexe (d'ordre fini ou infinij. Soit d'autre part S une transformation intBrieure de D. Pour qu'on puisse affirmer que S est une transformation biunivoque du domaine D en lui-mt,me, il suffit que l'une ou I'autre des deux circonstances suivantes se trouve re'aliste: a ) I1 existe dans D une courbe fermte particulidre C , non topologiquement Cyuivalente ci ze'ro et non re'ductible ci u n point I*), telle que la courbe C' transfo~me'ede C par S soit topologiquement e'quivalente ci C ; 14) Nous disons qu'une courbe fermee 1: inthrieure B 11 c t lion topologiquement equivalente a zitro, est rkductible ci z L n point, s'il esiste un point frontibre No du domaine D, tel que clans un voisinage arbitraire de M, on puisse trouver une courl~e fermhe interieure a D e t top~logic~uement equivalente & T . Si I ) n'admet aucun point front,ibre isol6, aucunt, courbe ferrnee non topologiquement irquivalente & zero n'est rirduotible iL un point.
772
H. Cartan.
0) D n'admet aucun point fronti6re isole', et i l n'existe, d a n s le domaine D , aucune courbe fermte n o n topologiquement tquivalente d zkro dont l a transformte par S soit topologiquement tquivalente ci ztro. D k m o n s t r a t ion. Aucune suite uniformkment convergente extraite de la suite S , s', . .., S1', . .. ne peut avoir pour limite une transformation d&gknkrCe,& cause de l'hypoth6se a) ou de l'hypothbe P). Donc (thkor6me fondamental) S est biunivoque. C. Q. F. D. Comme application. proposons-nous de retrouver un thkor6me de M. Carathkodory ([b], Satz 1 4 ) . Soit D un domaine bornt multiplement corlnexe jd'ordre fini ou infinij, et soit 0 un point intkrieur A D, autre qu'un point de ramification (nous pouvons supposer 0 B l'origine z = 0 ) . I1 existe alors un nombre positif Q, plus petit que u n , qui dkpend seulement de D et du point 0 , et qui jouit de la propriktk suivante: toute transformation intirieure d u domaine D ( 8 ) z'= f j z ) ,
pour laquelle o n a f ( 0 ) LO,
(f'(0)1
> Q,
est n6cmsairement u n e transformation biunivoque de D e n l u i - m i m e (et, par suite, on a f ' ( 0 ) 1 = 1). Supposons en effet qu'un tel nombre SZ n'existe pas. On pourrait alors trouver une suite de trarlsformatio~ls ir~tkrieuresn o n biunivoques s l , . . ., s p , . . . , (8,) 2'-=f P "z), pour lesquelles on aurait lim l f ' ( 0 ) 1 = 1. fp(0) = 0 , p-rm
'
P
Or, on peut supposer que les tra~lsformationsS,, convergent uniformCment vers une transformation limite S (sinon, il suffirait d'extraire de la suite des S , uile suite partielle uniformkment convergente). Soit donc (8)
z'= f ( z )
la transformation limite; on a
S , n'ktant pas dkgknkrke, est topologique (car nous sommes dans le cas d'une seule variable complexe). Puisque S est topologique et est limite de transformations intkrieures, S est une transformation intkrieure du domaine D; S est donc une transformation biunivoque de D en lui-m6me. Cela posk, de deux choses l'une. O u bien D possZde au moins un point fronti6re isolk M,,; dans ce cas la fonction fp est holomorphe en M,,, puisqu'elle est holomorphe en tous les points voisins et born&; comme,
Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.
773
d'autre part, les transformations S - I S, sont interieures et convergent vers la transformation identique, elles laissent fixe le point M, B partir d'une certaine valeur de p. Or elles laissent aussi fixe le point 0 ; elles sont donc biunivogues (on s'en assure en considkrant les itkrkes de chacune d'elles et en appliquant le theoreme fondamental 4). O u bien il existe dans D au moins une courbe fermke C non topologiquement kquivalente & zero et non rkductible un point. Alors, B partir d'une certaine valeur de p, toutes les , trouvent dans le cas a ) (page 771); elles sont transformations s - ~ sse donc biunivoques, et l'on arrive encore B une contradiction. L'existence du nombre D est donc demontree dans tous les cas. La determination effective de Q semble assez facile dans le cas od D est une couronne circulaire. I1 va sans dire que, moyennant quelques prkcautions, les derniers Qnonces qui precedent peuvent 6tre ktendus au cas de plusieurs variables complexes. (Eingegangen am 15. Dezember 1931 .)
Sur les zkros des combinaisons linkaires de p fonctions holomorphes donnkes Mathematica (Cluj) 7,s-29 (1933)
Requ le 3 septembre 1932.
Introduction. Je me propose de developper ici le contenu d'une Note aux Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris (1). Rappelons d'abord une inegalite fondamentale de R. NEVANLINRA, Cette inegalite concerne la theorie des fonctions meromorphes d'une variable complexe. Soit f (x) une fonctioil meromorphe pour I x 1 < R , a, q nombres complexes (R peut &re infini), et soient a , , az, distincts; on a, pour toute valeur de r inferieure B R,
.. .
Voici la signification des symboles utilises: T (r, f ) designe la fonction deAnie par la relation de croissance de NEVANLINNA,
Dans le second membre de (I), Nl(r, a,) est une abreviation pour N1(r, f -ai)(2). Enfin, S (r) designe une fonction de r dont R. NEVANLINNA (3) 189, 1929, p. 727. $(x) etant une fonction mkromorphe, nous d6signons par N(r, g) la vale-ir de la somme (1)
(2)
Btendue aux z k o s hi de + (x), chaque zero Btant comptb avec son ordre de multiplicite ; la meme somme, dsns laquelle chaque zero serait comptb une seule fois quel que soit son ordre de multiplicit6, sera designee par N, (r, @). - Pour la cornmodit6 de
+
l'bcriture, nous avons ajoutb - log 1 f (0) I B la fonction T (r, f ) de R. NEVANL~NNA ; nous supposons d'ailleurs, pour simplitier, que x = 0 n'est pas on pble pour f (x). (3) Voir le livre de R. NBVANLLNNA, Le thdorbme de Picard-Bore1 et la theorie des fonctions meromorphes (Collection Borel, Paris, 1929), p. 141-144. Dans la suite du present travail, je dbsignerai ce livre par [ a ] .
6
H . CARTAN
a indique les proprietes; il nous suffira de savoir ici que la quantite S (r) est, en general, negligeable devant T (r, f ) ; d'une faqon precise, on a, dans le cas ou K est infini, a condition d'exclure eventuellement des valeurs de r qui remplissent des intervalles dont la somme des longueurs est finie; ces intervalles ne dependent que de la fonction f (r), et non des valeurs a ] , . , aq intervenant dans l'inegalite (1). Dans le cas ou R a une valeur finie, on a
..
avec des intervalles exc.eptionnels dans lequels la variation totale de
1
log - est finie. R-r ilinegali&e(1) limite la croissance de la fonction f ( x ) , des qu'on connaft les racines de q ( q > 3) equations f (z)- ai= 0. R. NEVANLINNA en a tire des conclusions fort impol.tantes, qui lui ont notamment permis de preciser la portee du theoreme de Picard-Bore1 relatif aux ealeurs .exceptionnelles" d'une fonction meromorphe dans tout le plan. Or, e~ivisageonsl'inegalite (1) du point de vue suivant: rnettons f ( z ) sous la forme du quotient de deux fonctions g1(x) et g2(x), holomorphes pour I x I < R et sans zeros communs (on sait qu'une telle operation est toujours possible); les racines des equations f (x)-a,=0 se presentent alors comme les zeros des combinaisons lineaires gl(x)-aig2(x). Ainsi, le second membre de (1) fait intervenir les zeros de q combinaisons lineaires distinctes de deux fonctions holomorphes g,(x) et g , ( x ) sans zeros communs. On est alors amene a se demander s'il n'existe pas une inegalite analogue a (I), et relative aux systemes de p fonctions holomorphes donnees et aux zeros de q ( q 9 p) combinaisons lineaires distinctes p a p, de ces p fonctions. Une telie inegalite est a prevoir, car on sait, par exemple, que la somme de p fonctions entieres sans zeros, lineairemer~t independantes, a necessairement une infinite de zeros (4). Effectivement l'inegalite (1) est susceptible d'etre generalisee, comme nous le montrerons au cours de ce travail. Voici le resultat precis que nous etablirons: designons par gl (z),. . . , g, (x) p fonctions holomorphes pour I x I < R et linkairement indt!p
j-1 (4)
-
E. BORRL, Sur les zeros des fonctions entieres (Acta Mathematice, 20, 1897).
7
COMBIN.4ISONS DE F O N C T l O f l S HOLOMORPHES
les c, et~lntdes constantes non toutes nulles). Supposons qu'il n'existe aucune valeur de x annulant simultanement ces p fonctions. Relativement a tel systeme de fonctions, nous definirons (§ 1) une fonction de croissance T(r). ConsidQons d'autre pxrt q ( q > p ) cornbinaisons linbaires homogenes a coefficients constants de ces p fonctions; designons ces combinaisons par Fi (x) (i= 1 , 2 , , q), et supposons-les linhairement distinctes p a p. Designons enfin par Np-1 (r, Fi) la somme l:11
.. .
2log+
r I l k 1
BtenduL aux z e ~ ~ ld o j de la fonction F~(x), chaque zero etant compte autant de fois qu'il y a d'unites dans son ordre de multiplicite si celui-ci est inferieur a p-1, et p-1 fois dans le cas contraire. Cela pose, nous Btablirons (5 2) I'inegalite fondamentale
dans laquelle le reste S ( r ) jouit des mernes proprietes que plus haut, a condition deremplacer, dans les inegalites (2) et (2)', T(r, f ) par l'(r). Pour p=2, cette inegalite se reduit a l'inegalite (1). Pour p 2, l'inegalite (3) est appelee Arendre, dans la theorie des systemes de p fonctions holomorphes, les memes services que l'inegalite de NEVANL~NNA dans la theorie des fonctions meromorphes. Nous l'appliquerons notamment au cas ou les fonctions gj(x) sont entiires (voir 5 4). Auparavant, nous nous occuperons des fonctions algt?broi'des ,,du type generalu (5 3), pour lesquelles l'inegalite (3) fournit une inegalite plus precise que celles connues auparavant. Les paragraphe? 5 et ti seront consacres a quelques applications dc l'inegalite (3) & des problemes d'unicite.
>
1. La fonction de croissance T (r).
.. .
Soient donnees p fonctions g, (x), , g p (x) holomorphes pour 1 x 1 K. Supposons une fois pour toutes qu'il n'existe aucune valeur toutes ces fonctions; supposons en outre, de x annulant ~i~v~ultanbnaent dnns le but de simplifier les calculs qui suivront, qu'aucune de ces fonctions ne s'annule pour x=0(5). Designons par u(x) la fonction reelle qui, pour chaque valeur de x, est 6gale a la plus grande des p R, quantites log I g, (x) I ( i = 1,2, . . ,p), et posons, pour r
<
.
(
r
<
) u(reie)d9-u(0). 0
(b)
Cette hypothese n'a rien d'essenliel, et il serait facile de e'en affranchir.
8
H. CARTAN
La fonction T (r) ainsi definie est une fonction convexe de log r ; en effet, elle est egale B la valeur moyenne, sur la circonference I X I = r, d'une fonction sous-harmonique (e), B savoir la fonction u (x). I1 est clair, d'autre part, que T(r) ne change pas si l'on multiplie toutes les gl(x) par une meme fonction holomorphe sans zeros o (z); en effet u(x) se trouve remplace par u(x)+loglo(x)l, et T(r) se trouve augment6 de
On peut donc dire que T (r) ddpend setilement des quotients mutuels des fonctions gj (5). Plus gerieralement, &ant donnees p fonctions 4, (z), . . , (x) rnkomorphes pour I x 1 < R, il est possible de trouver une fonction +(z), meromorphe pour 1 x I) R, de faqon que les p fonctions
. +,
soient holomorphes pour I r 1 < R, et qu'il n'existe aucun zero commun B toutes les g! ( x ) . Comme fonction de croissance attachet a l'ensemble
des +/(x), nous prendrons la fonction T(r) definie plus haut pour les gl(x) ; cette fonction est parfaitement determinee et depend seulernent des quotients mutuels des +](x). Revenons aux fonctions gj(x) considerees au debut de ce paragraphe, et B la fonction T(r) dkfinie par (4). Je dis que si l'on effectue szlr les gj une substitution lindaire homoghe h coefficients constants, de ddterrninant non nul, la nour~ellefonction de croissance TI (r), attach& a u systbme des p nouvelles fonctions Gj, n.e diffbre de T (r) que par une quantitd qui reste infdrieure h un nombre fixe M guel que soit r. (M dBpend seulement des coefficients de la substitution envisagee). En effet, soit n
la substitution envisagee, et soit n
la substitution inverse. Remarquons tout d'abord qu'il n'existe aucun (6) On invoque ici un theorbme de P. MONTEL (Sur les fonctions convexes et les fonctions sous-harmoniques, Journal de Math. pures et appli@s, 1928, p. a9-60).
90 serie, 7.
C O M B I N A Z S O N S DE F O N C T I O N S H O L O M O H P H E S
9
zero commun a toutes les Gj(z). Cela etant, soit A une borne superieure du module des a: et des A:. Si I'on designe par U (x) la plus grande des quantjtes log ( G,(rr:) 1, on a evidemment les deux inegalites
lu(x)- u(x)I(: log(p A), et, en prenant la valeur moyene de U (s) - u [ s ) le long de la circonference ( z( = r, I r, ( 4 - T (7) I ( 3 log (p A), ce qui suffit a etablir la proposition annoncee. Nous allons maintenant justifier le nom de fonction cle croissance donne a T(r). Montrons d'abord que, dans le cas p = 2, T(r) se confond avec la fonction T(r, f ) de NEVANLINNA (7). en designant par f (x) le 91( 4 quotient -(a). On a en effet, dans ce cas. 92 (x)
+ 1 ;: 1 + log I g,(s) I ,
u (z) = log - et, par suite,
1
g
2"
log 1 .q2(reiO) 1 do - log I g2(0) I = ~ ( r92) ,
=N
0
(8 5-
ce qui donne, en portant dans (5), T(r)
T(r,
f 1. C. Q. F. D.
Si maintenant on effectue la substitution lineaire
V O ~ I'lntroduction. P J'ai signale ce fait pour la premiere fois dans une Note aux Compte~Re* dus (188, 1929, p. 1374). (3 [a], p. a, formule C. (I)
(8)
on aura, d'apres ce qui a 6te vu plus haut, ITI(T)-T(T) I
<Ms
ce qui donne
Nous retrouvons ainsi un theoreme de R. NEVANLINNA. ('0) Revenons au cas ou p est quelconque, et montrons que la fonc tion T(T) fournit une limite superieure de la croissance de tous les quotients mutuels gh(x) ; d'une fapon precise, on a gk (4
K etant une constante qui depend seulemerlt des valeurs des gi(x) pour x = 0. En effet, on peul mettre gh(x) et gh(x) sous la forme gh(2)
Gh(x) uhk(x)
,
gk(x)
= Gh(x) whk ( 2 )
7
whk(x) Btant holomorphe, Gh et Gk etant aussi holomorphes et n'ayant
aucun zero commun. On a alors
-u1(0) $ log I @hh(O)1, en designant par u l ( x ) la plus grande des quantites log Igh(z)l et log l gk(x) I . On a de plus u?(x)
& F o g 1%k(rel
s u(:c),
- log
1 ~ h h ( 01)= N ( r , W k ) , (')
0
d'ou (6)
+
T ( r , ~5 ) T ( r )- N ( r , W D X ) ~ ( 0 ) UI(O) ;
d'ailleurs N(r,
20,
~ h k )
ce qui demontre la proposition annoncke. Plus generalement, soient F l ( x ) et F2(x) deux combinaisons lineaires homogenes distinctes, A coefficients constants, des p fonctions gj(x). On aura
11
C O M B l N A I S O N S D E FONC1'IONS H O L O M O R P H E S
K etant independant de r (K depend des coefficients des deux combinaisons FI et F2 envisagees.). L'inegalite (6) limite la croissance des quotients mutuels des gAx) k l'aide de T(r). On peut egalement limiter la moissance de la suite des z&os de chaque gj(z) et, plus generalement, la croissance de la suite des zeros d'une cornbinaison lineaire quelconque
les aj etant des constantes. On a en effet log I F(rei0) l d0 d'ailleurs
(9)
- log I F(0) 1 ( I I ) ;
z
log I F(x) I u ( x ) -I-log ( P A ) , en designant par A une borne superieure des quantites la, I. D'oh
< T(r) f
~ ( 0) log I F(0) I 4- log (pA). C . Q. F. D. Des inegalites (6) et (7), il resulte e n particulier que si les gl(x) sont entieres, et si T ( r ) est inferieur a un nombre fixe quand r augrnente indefiniment, alors les quotients mutuels des gj(x) sont des constantes, et les g,(x) ne s'annulent pas. (7)
N(r, F )
Maintenant que nous avons etabli les principales proprietes de T(r), nous allons dernontrer un lemme tres elementaire qui nous servira plus loin. LEMME.- Considtrons q (q > p ) combinaisons linbaires homogznes, b coefficients constants, des fonctions gj(x),
... ,q).
( i = 1, 2,
Supposons que tous les dbterminanls d'ordre p d u tableau des a{ soient diffbrents de zbro. Rangeons, pour chaque valeur de z, les fonctions Fi(x) par ordre de module8 n o n moissants, Fa,(z), ,F a p (z) [ a 1 , , ag sont donc des entiers qui dependent de z]. On a alors quel que soit j 5 p, et quel que soit i 5 q - p $ 1,
. ..
K btanl un nombre positif qui dbpend des constaates ni des fonctions gl (x) envisagbes. (1') On suppose, pour simplifier, F(0) 4 0.
4 , mais
...
n o n de x
12
H. CARTAN
En effet, considerons, pour chaq~ievaleur de x, les p - 1 fonctions + , . . , Faq . Si i designe l'un quelconque des q - p + 1 premiers nombres entiers, on peut exprimer les gi(x) lineairement a l'aide de Fai, Fay,, + , . . . , Faq ; comme les coefficients qui interviennent ainsi dependent seulement des a ; , le lemme se trouve demontre. COROLLAIRE I. - Pour chaque *jaleur de x, il y a a u rnoins q - p + 1 fonctions FI qui ne sont pas nulles.
.
COROLLAIRE 11. - Ddsignons par , p2, . . ,P,-, q - p entiers distincts pris d'une f a ~ o n puelconque parmi Ees q premiers entiers, et soit v(x) la plus grande de toutes les quantitds
En effet, on a, d'apres le lemme,
< v(z) + (q - P )
(q- P ) log I gi (4l et cela quel que soit j. D'ou
log K,
et, en integrant,
2. Demonstration de l'inegalite fondamentale. Conservons toutes les hypotheses faites plus haut sur les p fonctions gl(x) (debut du 5 1) et sur leurs q combinaisons lineaires F~(x) (voir le lernme). Supposons e n outre qu'il n'existe aucune relation lindaire homogBne h coefficients conslants entre Ees gj(x) ('2). Cette derniere hypothese est essentielle pour ce qui suit, et sera faite jusqu'a la fin du present travail. Proposons nous, dans ces conditions, d'etablir l'inegalite fondamentale (Voir l'introd~iction)
-
('3 NOUBSupPosons donc, en particulier, qu'aucun des quotients gh(4 -g,f(a) constant.
13
COMULNAISONS DE F O N C T I O N S HOLOMORDHES
Pour cela, partons de l'inegalite (€9, et cherchons une borne sup& rieure de l'integrale
Dans ce qui va suivre, la notation
II 4 i
$2.
.. 4,
!I
..
designera le wronskien de p fonctions dl(x), 42(x)r . , bp(x), c'est-adire le determinant d'ordre p dont 1'616ment appartenant a la ie ligne et a la j. colonne est la derivee d'ordre i 1 de la fonction d j (x). Cela etant, soient a, , a2 ,...,a, p entiers distincts quelconques pris parmi les q premiers entiers, et soient , P2, . . . , &-P les q-p entiers restants. Puisque les F ~ ( x )sont des combinaisons lineaires homoghnes, distinctes p ir, p, des fonctions gj(z), on a
-
.
c(al , a2,. . , a,) designant une constante (c'est-a-dire une quantith independante de x) finie et non nulle, qui depend seulement du groupe des entiers a l , . . . , a, pris parmi les q premiers entiers. D'apres l'hypothese faite plus haut, le second n~embrede (9) n'est pas identiquement nul. On peut donc ecrire (9')
Fal
Fpz
1
1
F'al F'a, -4a1 7
a2
9
...,5 )
Fa, F1'al
Fa, Ff'az
...
...
... ...
Fpq--p 1 F'ap Fa F' Pa,
-
F1 fi. . . Fq11 g1 g 2 . . 9, 11
.
.
-
Fa,
On voit que le premier membre de (9') est une fonction qui ne depend pas du groupe a , , a2, . ,a, ; designons - le par H (x). Soit alors, pour chaque valeur de x, w(x) le plus grand des log des modules de tous les denominateurs tels que celui du premier membre de (9'). On a Bvidemment
..
V(Z)
=log
I H(x) I
+ w(x) ,
v(z) ayant la meme signification que plus haut [inkgalit6 (€91,
H. CARTAN On aura done
d'autre part
(9)
Nous sommes donc conduits, dans
but de trouver une borne
;,.
do, a chercher une limitation de N(r, H). Or, soit xo un zero do H(x) ; d'apres le Corollaire I du Lemme, il existe au moins un groupe d'entiers PI , PL,. . , Pq - p , tel que le produit Fp, FBz. . Fpq - P ne soit pas nu1 pour x =. xo ; l'ordre de multiplicith de xo, considere comme zero de H(x), est donc kgal a l'ordre de multiplicite de x o , considere comme p61e du denominateur du premier membre de (9'). On en deduit facilen~ent
.
.
(Pour la signification du symbole N,,l(r, F), voir 1' Introduction). Pour achever de demontrer l'inegalitk fondamentale (3), il reste a faire voir que l'on a
(10)
'2n
\+
a* < S(r)+O(l).
+
Or w(x) est inferieur a la somme des log des modules de tous les denominateurs tels que celui du premier membre de (9'). Etudions donc ces denominateurs: ils ne changent pas de valeur si l'on multi1 plie toutes les F~(x) par une meme fonction, par exemple. Par F,(x) suite chacun de ces denominateurs peut se mettre sous la forme d'un poly-
(
);:I:
nome entier par rapport aux quantites - log dz
-
et
a leurs p - 2
premieres derivees. On a donc
(13) NOUS supposons, pour simplifier, H(O) fini et different de z6r0, ce qui ne restreint pas la gbneralite.
C O M B I N A I S O N S DB P'ONCTIONS HOLOMORPHES
16
K etant une certaine quantite independante de x. On aura par suite (u)
Or, +(x) designant une fonction meroinorphe quelconque, R. NEVANLINNA (I5) une limitation a l'aide de T(r, 9),
a donne pour la quantite m
limitation dont nous ne donnerons pas ici la forme predse. I1 nous suffit en effet de savoir que de cette limitation on deduit aussit6t une limitation analogue pour
F1(x) , on voit que le second membre de (11) Appliquant a rl)(z)= --Fl(4 se limite Li l'aide des qua'ntites T ; tenant enfin cornpte des inegalites
(16)
T (r, $1)
< T(r) + O(1)
(i = 2, . . . , q ) ,
on obtient l'inegalite (lo), ou S(r) designe une fonction de r que l'on peut limiter a l'aide de T(r) comme il a ete dit d'une facon precise dans YIntroduction. [,'inkgalit6 fondamentale (81 est done entierement demontree. Elle fournit une limitation de la fonctioil de croissance T(r) a l'aide des quantites N, - ~ ( r Fi), , qui sont elles-memes respectivement au plus egales aux quantites N(r, Fi). I1 importe dc remarquer que l'on a ~nversement,d'aprhs (7), N(rl F,)
< T(r) + O(1).
3. Application aux algebroides 1n6romorphes. Une fonction y(x) est dite alg6bro;ide mdromorphe d'ordre v dans le cercle ( x I R, si elle est racine d'une equation
<
+
.. .
+
Av-I (x) yv-I+ AO(X)a 0, +(x, Y) Av (x) yv (1.1) Rappelons que, @ (x) designant une fonction meromorphe quelconque, on a l'habitude de poser (12)
(1s) ('6)
Chap. 1V. Voir plus hact l'inEgalit6 (6').
[u],
.
<
les coefficients Ai(x) Cj = 0,1, , . , V) &ant holomorphes pour I x ) R. On peut evidemment supposer qu'il n'existe aucune valeur de x annulant simultanement toutes les fonctions Aj(x) ; c'est l'hypothhse que nous ferons desormais. Nous supposerons aussi que l'kquation (12) definit effectivement une seule fonction y(x) a v branches, et non plusieurs fonctions distinctes ayant respectivement vl , v2 ,. . .,vk branches (VI $ v2+ . v ~ = v ;)autrement dit, nous supposerons que l'equation (12) ne se decompose pas en plusieurs equations de la m6me forme et de degres moindres. Cela pose, la valeur xo sera dite racine d'ordre a de l'equation
.+
si l'une au moins des v determinations de y(z) prend la valeur a pour engendree par y = y(x) possede x = x o , et si la surface de R~EMANN exactement a feuillets recouvrant y = a et correspondant a x =xo On verifie que a est aussi l'ordre de multiplicite de xo consideree comme racine de ]'equation en x
.
+ (2, a)=O. Designons alors par Nv(r, a ) la somme
Qtendre aux racines Xt de l'equation y (z) = a, chaque racine etant comptee autant de fois qu'il y a d'unites dans son ordrede multiplicite si celuici est inferieur a v, et v fois dans le cas contraire. Envisageons alors v 1) nombres complexes distincts a, , ,a,, et,les expresq (q sions +(x, a 3 , . , +(x, a*) correspondantes. Ce sont q combinaisons lineaires homogenes, distinctes v 1 It v 1, des lettres A/. Donc, si les fonctions Aj(x) ne sont ,?ides p a r aucune relation lint'aire homog6ne b coefficients constants, nous pourrons appliquer a ces q combinaisons 11in6galit6fondamentale (3), ou p serait remplace par v + 1 , et N,,(r, Fi) par Nv(r, at). I1 vient ainsi
> +
..
. ..
+
+
Lorsque I'hypothese que nous venons de faire relativernent aux A!(") est remplie, nous dirons que l'algebrolde definie par (12) est du type gdndral. Remarquons en passant que si un ou plusieurs des coefficients Aj(x) est identiquement nul, l'algebrolde n'est pas du type general.
C O M L I ~ L V A J S O N SIJE FONCT1C)y.S H O L O M O R P I I E S
17
Pour interpreter l'inegalili: (13), 11 reste a chercher la signification de la quantite T(r), qui se trouve definie par la relation
ul(x) designant, pour chaque valeur de x, la plus grande des quantites
og 1 A i ( z )
I . Or on
peut monlrer
('7)
que l'on a
en posant
la somme qui figure au second membre est etendue aux v determinations de y(x); quant ti l'expression N ( r , m), elle designe la somme
etendue aux poles pk de ?/(r),chacun d'eux etant compte avec son ordre de mulliplicite. Pour v = 1, l'inegalite (13) se reduit h l'inegalite fondamentale (1) de R. NEVANLINNA (Voir l'lntroduclion). Toules ies proprietes des fonctions meromorphes uniformes, que l'on peut deduire de l'inegalite (I), s'etendent donc, avec les modifications necessaires, aux algebroides meromorphes d'ordre v du type general. En particulier, une telle algkbro'ide, si elle est meromorphe dans tout le plan ne peut admettre plus de v 1 valeurs exceptionnelles au sens de PICARD(resultat deja connu). I1 serait interessant de rechercher des inegalites analogues a (13) relativement aux algebroides qui ne sont pas du type general; mais une telle recherche est moins facile qu'on ne pourrait le croire tout d'abord. On peut esperer demontrer l'inegalite suivante
-+
1 designant le nombre de relalions lineaires homogenes distinctes quf ('7) Voir par exemple G. VALIRON, Sur la d e v k dee fonctions alg6broi'dce (Bull. d e la Soc. Math. de France, tome LIX, 1931, p. 17-39).
existent entre les Ai(x). J'ai pu demonlrel* cette inegalite dans le cas X=v-1 ; il vicnt alors
G. VALIRON (181 a d'ailleurs montre que cettc derniere inegalitC vaut pour toutes les algebroldes sans exception, au moins si l'on remplace, a u second rnembre, Nl (r, ai) par N (r, ai), c'est-a-dire si I'on tient compte des ordres de multiplicite des racines de y(x) = aim
4. Cas oil les fonctions donnhes sont entieres. Revenons aux p fonctions holomorphes gi (2) considerees plus haut; conservons, relativernent it ces fonctions et aux q cornbinaisons lineaires Fi(z), les hypotheses faites tant au paragraphe 1 qu'au debut d u paragraphe 2 ; rnoyennant ces hypotheses, l'inegalite (3) est valable. Supposons maintenant de plus que les. yi(x) soient errti8res; il e n sera alors de m6me des F, (x). On aura (Voir l'lntroduction) la relation
a condition toutefois d'esclure evcntuellement des valeurs de r qui remplissent des intervalles I de longueur totale finie. On aura donc, en vertu de (3),
5P7
lim et, a fortiori,
Rappelons, d'autre part, que l'on a (fin du
5
2)
I
-
lim (7.
-+
00)
K ( F,) < T (r)
.
=
Voici quelques consequences des inegalites precedentes. S y p o sons d'abord qu'h chaque F ~ ( x )soit attach6 un entier mi tel qsce bes (18)
Corrrptes Rendus, 189, 1929, p. 633-625.
19
COMBINAISONG D E FONCTIONS HOLOMORPHES
zeros de
R,(x) soient tous d'ordre
mi au moins. On aura evidernment
J'oh, en tenant compte de (15) et en portant dans (14'),
L-
A-.
Cette inegalite generalise l'inegalitk connue
correspondant au oas p=-2, et relative aux ordres de rnultiplicite dhs racines de q equations f (z) - ai =0, en designant par f (z) une fonction meromorphe dans tout le plan. On pent appliquer l'inegalittt (16) aux algebroi'des, rneromorphes dans tout le plan, d'ordre \/ et du type general; il suffit pour cela d'y rcmplacer p par vS-1. Appliquons l'inegalite (16) au cas particulier oil q = p + l , et oil
.
(ce ~ u exprime i qcie les fonctions F, ( z ), . . , F p ( r ) n'ont pas de zeros). I1 vient rnd-, 5 j) - 1. (16') Remarquons qlue F,,+,(x) se presente soup la forrne d'unc cornbinaison lineaire homogene, ii coefficients constants, de p fonctions entiems F, (z), . . , F, (x) depourvuee. de zeros. On a en outre suppose que ces p fonctions sont lineairement independantes, et que la combinason Fp+, 14s fait toutes intervenir effectivement. Or l'inegalite (16) exprime que FP+, (z)possede au moins un zero dont l'ordre de multiplicite est a u plus egal it p - 1 ('9) ; en particulier, l;,+l(z) ne saurait Btre la puissance pe d'une fonction enti8re. D'oir : 10. Une fonction entiere sans zeros ne peut Btre identiql~e la somme de plusieurs fonctions entieres, sans zeros, et lirleairement independantes (c'est le theokme de BORELcite dans l'lntroduction) ; 20. La puissurbce ke d'tcne fonction entidre qui a dcs ziros ne pezct 2tre la somme de rnoins de k S - I fovzctims entiBres sans ztros.
.
--
(lo)
On a &me
k d s u l t a t plus ~ & c i s - e u i v a n t ,qui se deduit d e s inkgalit&
r r e s t m t .exkBrieur aux intervaPes.l.
"T
=
(A) J,
'
( 9 &A) -
d
((bO
~
1,
W!I
ylZ,(:c,
',g
SZLO
s
a?nol m o d lu u o s r o p ' d q a p 6 ? jsa ,a~uou?,lap atuzuos v l ?S : alueA!ns u03ej v[ a p arugJoaq1 aa aala~druoalnad u o =Ianaqas,I ap u!os a1 anal3al nv suoss!v[ snou f amaaoaql aalou a p u o ! ~ -eslsuoruap el y JuaLual!avj l!npuo:, anb~vruaaall33 .aarJ!JaA sed p a a s a u ( , P I ) ?l!lesau!.l
uou!s ' '/ d anb puer2 sl11d l!os sa1Ia.p aunaeqa ap
lnejap el anb seIIa) la ' d p cEsawu!ls!p 'sa~!v?u!g suos!vu!qruoa y ap s n ~ d aaAnoJ1 ap alq!ssodru~ lsa I! 'q ~ a ! ~ u aJ!OS , ~ anb p u w 8 !s ' l a ~ au x (2)lLq suospuzqwo9 sat z u r ~ o d d ap suzozu ap au?bowoy arlnauzl uosznuzq -WOJ aulb AD^ -~ a t i c ? ~ d x a asstnd ,s a ~ ~ a u z ~ o y d auos?au!qwoJ ~xa apop -,z : d 5 s auczuos ap ?a a?zta6~anuos?zos (IJ) 9 I;; a t y s n2 4 0 ~ :anb n o i n / a p 'd P d s a j ~ u y s z ppuaucaAza?u!1 '( ;' ' I = 2) (Ic) sa1lazwoyda~rr9 s u o s t w u y u o ~ap a]qnAquou,ap ??.tuglu! alclb no zugl a q z u o u un A ? S ? O ~ J lnad 160 'saauuop puvp ( x ) / b sar?z)zra s7tv/7~uoj s a y - *awqnoaHL ' ( V N N I ' I N V A PapN suas ne) alpauuoyda~xaal!p saas j!l!sod Inejap ap uos!eu!qmoa a u n y n u )sa Invjap a1 'ap.1aua8 snld r q ((")I6 sap a+eau!q uos!vu!c[ruoa 81 m o d 'anb sauaIl!o.p J!OA suollv snoN .saAaIa snld al!a!ld!llnru a p saapro'p no xnaJqruou su!oru luos ( x ) g ap soraz sal anb pu.c.18 snld l u q n v , p Isa (sanpu! sauaoq) un l a oraz aJlua s!aduro3 a.iqruou un lsa lnejap e 7 '(1 SaIIvAJalu! xnv .~na!aglxa ' n p u a ~ u a ua!q ' ~ u e l s aA) ~
- ..
( A J,
(A
'A)
(m f *)
I-*N
-
W!I -
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= ;
(A) 9
aj!~uenb e[ (:':)A uos!vu!qruoa 171 ap gnwjap suora~laddv snou ' ( 2 ) ' b sa.r?r~ua suo!lauoj d sap ' s a ~ ~ b n o a ~ asnl bu v l s u o ~ slua!agjao3 p 'aua8oruor~ aJ!Rau!l uos!srr!qruoa auu 1ueu8!sap ( 2 ) ~ -(o?) s p n j ? p sa1 Jns V N N I ' I N V . \ ~ N ' t j ap awa.roaq1 ne an801vue uo!~!sodo~daun ua-suoa!] l a ' ( , P I ) l a ( P I ) s a l ~ ~ e Z a n xne ! luerralu!vur suouaaau ssoaaz sups saJa!lua suo!~3uoj~ + ayp aruruos a [ ap aruaoj snos 1uarua~!l3agaa l u a s a ~ da s 1 ) uo!lnuoj y a n b a x e d 'luessa~alu!Isa la)lnsaJ na!uaap a 3
C O M B l N A l S O N S D E FOiVCTlONS HOLOMORPHES
21
En effet, E etant un nombre positif donne arbitrairement, on peut trouver un entier n. tel que
Soit alors F ( x ) une combinaison des gj qui ne soit pas une combinaison de moins de p fonctions F i ; on aura, d'apres (14), -
1 - lim
Np- 1 (r,
T(r)
I = ]
1';
Fi)
5. Application B des problbmes d'unicite.
Rappelons d'abord le theoreme de N E V A N L I N N:A ( ~ ) Etant donnies deux fonctions distinctes f , (x) et f2 (z), non constantes, partout mdromorphes ic distance finie, il ne peut exister cinq nombres complexes distincts , . . . ,c5 tels que, pour chaque valeur de i (i = 1 , . . . , 6), les t!qualions
aient les m2mes raeines. Dans cet enonce n'interviennent pas les ordres de rnultiplicite des racines envisagees. On peut encore enoncer ce theoreme de la facon suivante: .etant donnes deux couples de deux fonctions entieres,
s: (4 9: (4 , s; (4 s; (4 9
7
telles que le quotient
3
de deux fonctions dlun meme couple ne 9Hx) soit pas constant, et telles en outre que le determinant form6 avec ces quntre fonctions ne soit pas identiquement nul, il est impossible de trduver 5 systemes de deux constantes a : , a : ( k = l , . . . ,5), telles que tous les determinants d'ordre deiix du tableau des a; soient diffbrents de zero, et telles que, pour chaque valeur de k, les deux fonctions et u: 9: $ a,k 9: aient les mernes zerosu. (B)
Voir l a ] , p. 109.
22
H. CARTAN.
Sous cette forme, ia theoreme de NEVANLINNA est susceptible d e generalisation. Considerons p syst6mes de p fonctions entieres gj (s) (i = 1 , . , p ; j = 1 , . . , p) ; supposons que, pour chaque valeur de i, les p fonctions & (j= 1 , . , p) ne soient liees par aucune relation lineaire homogene a coefficients constants; supposons en outre que 16 determinant des & ne soie pas identiquement nul. J e dis qm'ilest impassible de trouver 2 p + 1 systBmesdo p constantes a: G = I , , p ; k=l, .. , 2 p + 1 ) telles que tous b s dlterrninanls d ' o r d ~ e du tableau des a: s c ~ a n t dife'renls d e ze'ro, et telles que. pour chaque valezsr de k , Its y combinaisons
..
.
..
...
aient toutes les rntrnes zSros avec les m h e s ordres d e rnultiplicitt? (23). Ce resultat peut encore s'enoncer ainsi: Soient donnds 2 p 4 - 1 systbrnes d e p conslantos a:, lelles que tous !es ddterminants d'ordre p d u tableau des Cqik soient difdrents de zero. Soient d'autre part gf.(x) , . . . , gP(x) p fonctions entibres inconnues, assujetties h la condition d'Ctre line'airemcnt irtde'j7cndanies. Si 16s ze'ros de chacune des 2p+ 1 corn binaisons line'uires
sont donne's, alors le problbme de la de'termination des.gJ(x) n e peut admettre p solutions distinctes (par p systernes distincts de p fonctions, nous entendans y systemes de p fonotions dont le determinant n'est pas identiquement nul). Avant de demontrer notre theoreme, et pour rnettre son interel en evidence, donnons l'exemple de p systbmes d s p fonctions entieres gj (x) satisfaisant aux conditions enumerees plus haut, et de 2 p systkrnes de p constantes a;, telles que tous les determinants d'ordre p du tableau des a; soient diffkrents de zero, et telles que Four chaque valeur d e k (k = 1 , . . . , 2 p ) ; les p combinaisons
aient les m h e s zeros avec les m6mes ordres- de multiplicite. (23) La demonstratir~nqui suivra prouve meme qu'il suffit de faire, relat~vement aux ordres de moltiplicit6, I'hypothese moins restrictive que voici : ,&ant donne un zero des p combinaisons (17), ou bien ce zero admet le msme ordre de rnultiplicite pour ces p combinaisons, ou bien son ordre d e multiplicil6 est au moins egal h p-1 pour chacune d'elles'.
C O M B L N A I S O N S D E FONCT1U:YS HOLOLMORPHES
23
I1 suffit de prendre
gi ( x )
=
je(j-')~ ( 1 )
si si
jsp-i+I, j > y-i+ 1 ;
en designant par a une racine ye primitive de l'unite. Dans cet exemple, p parmi les 2 p combinaisons (a savoir celles qui correspondent a k Z p ) n'ont pas de zero ; il est probable qu'il s'agit la non d'une co'incidence fortuite, mais d'une loi generale; on sait du reste qu'une telle loi existe effectivement pour le cas p = 2 (theoreme de NEVANLINNA) (24). Arrivons mainter~ant a la demonstration du theoreme d'unicite enonce plus haut. Considerons donc nos p systemes de p fonctions entieres g!(c), dont le determinant n'est a s identiquement nul, e t telles que, pour chaque valeur de i, les p fonctions $(x) soient lineairement independantes. Posons
Pour chaque valeur de i, appliquons l'ir egalite fondamentale (3) aux p fonctions y:(z) et a leurs 2 p + l combinaisons Ff(r). I1 vierit
Soit alors Fk(z) une fonction entiere qui aurait pour zkros les zeros cornmuns a routes les F: (r) (k fire, i = 1 , p ) cllaque zero de Fk(x) ayant pour ordre de multiplicitk le plus petit des ordres de multiplieite qu'il possede relativement aux F:(x). On peut ecrire
..
+
-0 (!,) T ' J ~ ~ I ~ ~ UmI oI dS 'asoddns uo (ge) ( x ) Y J SUOII;UOJ I+CIZ sal ! r u ~ e d 1-d a p s n l d Jalnuuv lnad au 05: ~ n a ~ eaun'nh a ~anb.1euIa.r2p a q n o na a l ~ o d u i ! I[ ' ~ a l n o r el a ' "" Y'P ' . . . ' a ~ a ! u r a ~ sda p sluarnala s a ( ~ a g d g l n a ra p lgjns I! a p uo!ssa~dxa'l suep ' a ~ u a p ! ~u?a a q l a u r m o d ( c z )
9
led lu~uxa.t!laadsa~ sauuoloa ' ( 2 )y~ -
a p solaz sal
'(2) c
'q la lua!os anb s ~ a n b' l ! e ~ e u o , ~!s anb n a n b ~ z u a a~p lgjns I! ' a ~ u o u u e arnaJoayl a1 J!ualqo Jnod
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(EZ) e UO'I anb allnagj!p sues aJnsse,s u o
COAZBliVAlSONS DL' E'OIVCTIONS HOLOMOHPHES
25
alors, en vertu de (19), les fonctions Ti (r) resteraient bornees quand r augmente indefiniment, et par suite, pour chaque valeur de i les quotients mutuels des g{(x) seraient des constantes ; or on a suppose les g!(x) lineairement independantes. On arriverait done a une contradiction. C. Q. F. D. Le theoreme precedent conduit immediatement & un theoreme d'unicite relatif alix algebro'ides d'ordre v, du typc general, partoat meromorphes h distance finie. On obtient la proposition suivante : Soient v + 1 telles algdbroi'dcs, telles que le diternzinant des coefficients des & p i n tions qui Ecs dtfinissent 9t.e soit pas identiquement 71~1; alors ces '/+1 algthroi'des ,,prennet~tensemble" au plus 2v+ 2 valeurs distinctes. (Nous disons que v + 1 algebroi'des fi (x) (i= 1 , . . . , v + 1) .prcnnent ensembleu la valeur a, si lcs equations fi (2) - u = O ont les m6rnt:s racines, avec les memcs ordres dc multiplicitk). I1 serait interessant de savoir si l'on peut effectivernent trouver v 1 algebroi'des, satislaisant aux conditions p~kcedentes,et prenant ensemble %-I-2 valcurs distinctes.
+
6. Application A des problkmes d'unicitb (Suite). Nous allons, pour terminer, nous occuper du problerne suivant : etiint donnees deux fonctions entiires fi {z) et f2 ( s ) , non constantes, diprirvues de zkros, et telles que f l (x) -!rf2 (z) et fl (x) . fi (x) fl e 1, coniparer l'ensemble des zeros de f ; (x)- 1 ii l'ensemble des zeros de f2 (4-1. On sait (POLYA ct NEVANLINNA) (2-) qile ces deux ensembles ne peuvent pas co'incider, m6me si l'r~n fait abstrac~iondes ordres de multiplicite des zeros de fl (x) - 1 et de f2 (2) - 1. NOUS allons ici demontrei' une proposition beaucoup plus precise, et cela en application de l'inegalite fondamentale (3). Posons 4- r N (7) = lop lai l , 1
2
S'(r) =
2 log+ 1
r
p/
I
,
N "(7) =
2 log -1 . 4-
k
r
lyk
ai designant les zeros cornmuns ii fl(z) - 1 et f2(lc)- 1 , 3/, les zeros
de fl(z) -- 1 qui n'annulcnt pas f2(x) - 1, et yk les zeros de f2(2) - 1 qui n'annulent pas f , ( z ) - 1 ; dans les sommes precedentes, chaque (2')
Voir, par exemple, Ii. ~ ' I . : \ . A T L I N S A , Einzge h;inrieuligheitssiit:e i n der Ttteorle Bt~~zlibione~z (Acta Math~.matica,4S, 1956).
der tnqrornsrpnen
saIIeAJalu! su!slaaa y Jna!Jalxa Isa
),( I
!s
luaruaslaAu! smal[!g,p s u o 'slug a p l o l ~ n a n 8 u o [ap I s a l q q w lusia (22) salge2au! sa1
+
(Z 'I = T) '(4801) 0 (( '/'A) 201) 0 f (1-!J ' 1 ) ' ~> (!/ ' 4 ) ~ (ZZ) ' l = Ev ( b = ~ Zv '0 = lv l u e u a ~ dua '((x)W P no) (x) I j B (uo!lanpoalul,[ J!OA) ([)al!qeifau!,~ap'uo!laaqdda ~ e 'la d
' (Zj ' I ) W = (ZJ '4)J ' (IJ ' 4 ) = ~ (I/
'1)J
caluap!i\a sal!p8aur la s?l!lv8a sa1 p~oi;e,plnol suonb -Jeurau - s l u s p u o d s a ~ ~ o al!a!ld!llnur 3 ap saJpJo xnap sap l!lad snld a1 aaae luauraa!laadsa~ s y d '1 - (x)Zj lo - (x)IJ q sunururoa soaaz sal s o ~ a zmod luede aaa!lua uo!lauoj aun (z)$ l!os - 'NolLvaJsNoruga .(oz) ~ s a!uJnoj d al!ur![ o[ JaJo!qvLue,p a~qrssodur! auop lsa I!
~ o d'la ' 0 = 4 , (*)N = (.c),,N luamalaexa e uo zZa= (z)Z/ ' ~a ( L ) lJ p u a ~ du o , ~!s anb suonbaeura~' ( 0 ~al!1e8au!,l ) aaaluourap a p l u s a g
-1 - (x)zi ap $9 1 - (")I4 ap sorgz sap 2vjoj a2qzuasua62 ap ?~?zotuv2 sn2d nv v sunultuoa sorpz sa2 : luee!ns ?no? ?uan??gsuoa 1 - (x)ZJ t? ja 1 -(x)'J el lpuas 'auraaoa~l a3 ap 'luaddey s!am 'a~!v8lnh aanoua u n a2vgog ,1n?nbuo2 ap sa22vnAajuz sap )uausyduca~)nb r ap srnafvn sap juaula22an?uan? arn2axalp uo~jtpuoa
a~uvg.mdwzpj22vb?uz,2 v uo,2 anb Jaaluour suol1-e snoN -a1pgd!11nru ap aJpJo uos l!os anb ~ a n bs!oj spas eun aldruoa Isa o ~ a z
27
COMBINAISONS DE FOsCl'10!yS HOLOMORPHES
inegalite, quj, jointe a (22), entraine
(24)
N(r,fi-1)-N~(r,fi-l)
I
I
< 0 (log m(r, fi)) + (log r) , N- - N' (r)
0 5 N(r, 4 ) - N(r) O
0
~
[r,fl-l)
< N (r, %j]- N1'(r) < 0 (log mfr, f2))+0 (log r ) .
Ces preliminaires etant poses, ecrivons l'identite
Le premier membre de (26) est la somme de quatre fonctions entieres, et il n'existe aucun zero commun a ces quatre fonctions. D'autre part, nous montrerons tout k l'heure qu'il n'existe aucune relation lineaire et homogene, A cofficients constants, entre les trois premieres de ces quatre fonctions. Admettons ce fait pour un instant: nous pouvons alors appliquer l'inegalite fondamentale (3) a ces trois fonctions et a lear somme qui, d'aprks (26), est Cgale a f - . ~ n a ~ r ~
+
done (p=3, q=4)
a condition que r reste exterieur a certains intervalles 1' de longueur totale finie. Avant d'aller plus loin, etudions T(r) ; on a , d'apres la defiilition de T(r), T(r)
=
1
\
2"
u(rei0) dB
- u(0)
,
.o
avec u(x) U(X)
= c(x) - log I
I,
designant la plus grande des trois quantites
-
log I fi(x) I + log I h(") 1 1
,
log I t 2 ( 4 I
+ log l fdx) - 1 l .
log I
fl!")
- 11
'($2) la (pz) sal![eB?u! sa1 suep (J)L JMI (!j '.L)uzaasldma~~ n a duo
' (G
' I = ?)
( 110
64)
.ae
+ (4.L > (!j'
'alps aad 'qa
4 ~
'~a!lna!yad ua 'auop e n o
-
.(* 20110t ((.)L~oI)ot
(BZ)
+
lua!a I! f (63) la ( ~ 2 )lueuqu!eu suo~edruo=) '(A)J ap p v x a ~ n a p u v ~ap 2 aJpJo,[ luass!uanoj (OE) la ( 6 ~ )sal!gvBau! sag '!su!v -1 salgvaJalu! xnv Jna!Jalxe luvla r
aan0.q uo,g anb alJos a p
(63!(1)0 +(7/'.c)
9
+
--
N
> [lllz;'-IJ'A]
-(A).
,I, (I)= .A)-
-maJ ?!was q6 no '(I §) (9) al!la2arr!'g luenb!gdde ua aJna!Jaju! al!rn!l aun suome snoN ' ( 4 ) ~ap aJna!~adns a p ! g aun l!uJnoj al!ge2au! alla3 ugua no'p '(1)0+ 4P
-
I (e.ta.l)9 1 201
'A),u t ('/ '4)uc
> (A)L no ,e
' (1)o-t l (xI7/1 Bog+ I (x)'f 1 801 > (x)n
+
+
CO.TlBllVAlSONS DE I7OKCT1U~\ .S H U L
D'ailleurs
Tenons compte des inegalites (25); alors (31) donne
Telle est l'inegalitk fondamentale a laquelle nous voulions arriver, et qui est valable si r est exterieur aux intervalles I et If. 11 est facile d'en deduire I'inegalite (20) annmcee plus haut. En eflet, on a vu (inega!ites (29) et (39)) que T(r) est de l'ordre de N(r) Nf(r) Nff(r), de sorte que (32) peut s'ecrire
+
+
<
N(r) N'(r)+Nf'(r)+O (log [Nf(r)-; X"(r)])+O (log v), (32') ce qui entraine immediatement l'inegalite (20). Notre demonstratior~ est done achevee, it cela pres q u e avons admis que les trois fonclions
lou us
sont lineairement independantes. Alontrons qu'il en est bien ainsi et, pour cela, raisonnons par l'absurde. Supposons une identite
+
A fl(f2 - 1) l3 fdf, - l)+C(fl - 1)= 0 , (33) A, B, C etant des constantes non toutes nulles. Alors aucune des trois constantes A , B, C ne serait nullc, sinon f&) s e ~ a i tconstante, ou bien f&)-! serait entiere a t salis z6ros (ee qui est impossible, d'splis le t2(x) 1 theoreme de P~JLYA et NEVANLINNA rill~pelePIUS haut). L'identite
-
jointe
ii
f1(f2-1)-f2(f1-1)+(f,- 1 ) - ( f 2 - I ) - - 0 , (%), donnerait
-
-
(33') (A - C) fi(f2 - l)+(B+C) fz(f1 l)+C(fz 1) = 0 , et l'on aurait, pour la ~nelneraisoil que plus haut, A C f 0, B + C f 0. 2 - 1 serait entiere, et, d'apres (33'), f i - 1 Mais alors, d'aprks (33), f-----fi 1 t2 1 serait aussi enliere. ce qui est encore en contradiction avec le theorkme de F'OLYA-NEVANLINNA. C. 0. F. D
-
-
-
-
Dktermination des points exceptionnels d'un syst&mede p fonctions analytiques de n variables complexes Bulletin des SciencesMathematiques 57,333-344 (1933)
1. Considdrons n. variables conlplexes
, . . . , L,,
comnre Irs coordonndes d'un point dans un espace a a IL dinlensions rdellcs. Soient donndes y fonctions f,, . . . ,f, des n variables xi. . . . , .r.,,! fonctions supposdes holomorphes au voisinage d'un point 0 qucb nous pouvons toujours prendre pour origine ( z ,= . . . J,, = 0). ~ t a n donnd t un point ( a , , . . . , a,,) voisin de 0, considProns le systeme d'dqualions .c4
il arrivera en gdndral (au moins si p 2 - n. ce q u e nous supposerolls d4sormais) que la solution x, = aj ( j= I , . . . , n ) est une solution isolie de ce systeme. 11 en sera notamment ainsi pour tout point ( a , , . . ., a,) suffisamnlent voisin d r I'origine, dims le cas oil le tableau
est de rang n a I'origine. Dans d'autres cas il pourra nrrivcr, a u contraire, que pour certains points particuliers ( a , , . . . , LL,~), 1t.s 6quations (1) admettent une infillit6 de solutions dans tout voisinage, si petit soit-il, du point ( a , , . . . , a,,);nnus dirons alors cjrlt! le point ( a 4 , . . ., a,,) est u n point exceptionnel du systelne drs p fonctions fi.I1 pourra m&mearriver que tous les points voisins de 0 soient exceptionnels. Lorsque le systeme ( I ) a d ~ n e uni: t infinit6 de solutions d a m toll!. voisinage, si petit soit-il, du point ( a , , . . . , a,,),on sait que l e 6quations ( I ) dkfnisscnt, au 1-oisinagc dc ce p o i n ~ ,un n o r n l ~ r c ~ ~ j i ~ l i
de varietts arralytiyues i~.r.kductiblespassarzt p a r ce p o i l ~ t( I ) ; nous les appellerons v a r i t t t s nssocites au point esceptionncl (a,, , a,). 11 est clair que chayue point de l ' u n e quelconque des v a r i t t t s assocites a u n p o i r ~ exceptionnel t est aussi U I L point exceptionnel. En particulier, si I'origine 0 est un point cxcep(ionne1, les varibt6s associbes a 0 sont des lieux de points erceptionncls (9. I1 est nature1 de se demander si l'on obtient ainsi tous les points exceptionnels voisins de 0. Un exemple simple ( p = I L = 3 ) montre qu'il n'en est rien; si l'on prend en cffet
. ..
les varidtbs associces a (complexe)
0 sont les trois varititCh A u n e dimension
tandis que l'ensemble de tous les points cxceptionnelh constituc. trois vari6tbs a d e u x dimensions
Dans ce cas, les points cxceptionnels se rPpartissent sur des vi\rii.tes a n a l y t i y ues. Cette derniere circo~ls~nnce n'est pas fortuite. J e me propose, dans ce petit article, d'indiquer une mbthode permettant, une fois donnkes les p fonctions f , , . . .,f,,de rechercher s j st6matiqueriient tous les points exceptionnels suffisam~nentvoisins de 0. LAecalc~ll nous montrera que, en dehors de deux cas cxtrPmes (cclui ou iI n'y aaucun point exceptionnel voisin de 0, et celui oil tous les points voisins de 0 sont exceptionnels), l'ensenzble de tous les p o i ~ ~ l s exceptionnels s u f 3 s a m m e n t voisins de 0 constitue toujozirs urhe Voir par exemple Oscooo: Lehrbuch der Funktionentheorie, t. 11, I"' pdredition, p. 1 3 2 . ( a ) Les variCtCs associees B un point exception~lel n'out pas for~.dnlcnt toutes le mCme nombre de dimensions, comme le montre I'eremple ( p = I L = 3 ) (I)
tie,
2'
la variCtC x, = o ( h 2 tli~nt.l~sions les variCtCs associees B I'origine sont iei : c:o~nplexes);20 la variCtC x?= x3 = o ( B une tlimension corr~plese).
su!s!oa slu!od sal snol ~ u o pla 'ly ~ e messed d salq!lanp?aa! sanb!lbleue s?~?!.tea srna!sqd no ann Lm a p aoPeu!s!oa ne 'lua!e~!ug?p o = '8 suo!lenb? sal s ~ o l r ! S!BN -,I y saJna!J?lu! la ,,x y sa~na!.t??xa suo!~n[os ap !ug aJqurol1 un,nb ?!eJne,u aw?lsLs a1 l a ',x ap as?!?uoaj el Jns w uo!lelnurnJne,p lu!od un lua!eJne o -- !8 amqlsbs n p suo!lnlos sal : a?uer!ns ?3?!~doad el ap l!e~!noC !nb ',x y a ~ n a ! ~ ? l u ! la ,x y anb!~luanuoa ',,x a ~ a q d s ~ a d b raun l JahnoJl l!e~.mod uo ' l a ~ ~uaa ' u o u ! ~
*,xa p a.r??luo.i/ wf .Ins uo?pnlos azrn su?ozu nw v 1.1 ',x SUVP s u o ~ / n ~ oasp ?/?u~Ju?a u n v ( d ' . . . ' I = ? ) o = !8 suo?i - o n b a g aw?lsLs a7 1 s . a . ~ ? ? ~ u o u~ s/ .Ins l a ,x a.r?yds~adLy a u n suwp sayd.rour -OpOY d ( u X L.. L I ~ ) 6 .~. B ' ( = x'... " x ) ' B S U O ~ J ~ Z I O d/ j u a ? o ~- 'sRnn1
.
.
awqlsLs a] ' 3 :!e I v ~ z r v s ~ w / s ~''3~ saxald vs -woa sa.rqtuou sap l u q o s an6 slanb :a l u v n n s ?l?l.rdo.rd v 1 a p 3uvss?no.C ' o < 3 a.rqwotr zm a$s?da I? s.rogv .o = " x = . . .= ' x an6 zro?lnlos a.rlnw,p swd ~ ? D , Z I
, x s u v p ' a n b suosoddng
suopwnb?,p aur?isLs a] '( a s ! ~ d w o sa.r;!yuo.r/) 'anb?.rluaauo3 a.r?t/ds.radLz/ a v n , x 2.10s
.x w a.rnap?lu?
: !>!oa anh [e~?u?,Osnld ,11u~).10 911I 11p .I,I~~IIG:)J ltlauuap!ar, a h all3 .uo!l!sodo.rd 3 1 1 ~a!lqel? ~ lnad clo ~ u ~ u l u i o .I.)!v.~ t ( z ) -uo!suaynp aun y asa 'o = Ex= 'x ' a ~ a n e ,:suo!suaur!p ~ unap y IS.] ' o = ' x 'onn,l !an!8!~o,l red luussed s?l?!~ea xnap .tns luass!l~ed?a o~ s l ~ u u o ! l d ~sla!od ~ \ ~ sal
.(,) latruo??dagxa ~ u ? o ud n awatu-?nl jsa s p u u o ? ~ -dagxa s?u?od gp a??w?l-?u?od ?no? 'sauraal saalne'p u 3 -0~ u ? o d s p ???ad?uatuwvs$Jns a%wu?s?on trn s u v p lautro?ldaaxa luted
ungnw u L'u 1.1 ' l a u u o ? ~ d a ~ x ~ s u d ~(s1a?s ~ .'jaja t r u 3 -1anuo!1daax;, arrraur-!n[ Isa 0 lu!od a1 no sua a1 suop a n h asod as au 0 ap su!s!o~ slanuo!~da3xa sln!od sal s n o ~a p aqa.raqaaa el ap auxa~qoad a? -(,) suo!suaur!p ap aaqwou aruaur a1 satno1 lnaur?~.~oj sed juo,u s?l?!aeA sa3 !0 .rwdluvssvd (!uy aaqmou ua) salg??anp?.l.l? sanb??Llvuv s????.tvn s.rna?snld n o
-C
-
La determination effective des points erceptionnels d'unsystemr de p fonctions de n variables a un intkr&t par~iculierdans le cas p z n ; si l'on considkre la transformation analytique (ou encore pseudo-con f orme, suivant la terminologie actuelle ) elle 6tablit une correspondance entrc le; points de l'espace ( x I , ..., . . . , y,). On sait que, au voisinagc de chaque point non exceptionnel du systeme des fi, les formules ( 2 ) Btablissent une cor~espondancebiu~tivoque entre le voisinage du point envisagt! de l'espace ( x i , . . . , x,), et un voisinage & u n ou plusieurs feuillets du point correspondant de l'espace ( y , , . . . ,y , ) (,). En un point exceptionnel, les choses se passenl tout autrement. On c o n ~ o i donc t qu'il soit intlressant d'ktudier de plus pi-ds la nature de l'ensemble des points exceptionnels. C'est ce que nous allons faire, en nous placant d'ailleurs tot11 de suiith dans le cas gen8ral p 2 - n.
x,,)et ceux de l'espace ( y , ,
2. Rappelons d'abord' comment on peut Bcrire les kquations d'une variete annlytique V a k dimensions (complexes), passant par l'origine, et irreductible a l'origine (9.11 est toujours possible, en effectuant sur les coordonnees x,, . . . , x, une substitution lineaire convenable, de faire en sorte que la variCt6 V soit d6finie par n - k relations de la forme
de M seraient intkrieurs h 2" ou sur sa frontibre; 2'' Ctant une hypersphtre, o t ~ sait qu'une telle Cventualitk est impossible. Le lemme est donc Ctabli. Le thCorbme en rksulte dr: la fason suivnnte : si les Pquations
avaient une infinite de s o l u ~ i o n s dans Z', elles auraient au moins une solution sur la frontibre de 2'. Si cette circonstance se prksentait pour dcs valeurs des ti de plus en plus petites, on trouverait, en passant h la limite, un point, situt sur la frontihre de X', e t oh les f,s'annuleraient simultankment. Or ceci est contraire h I'hypothbse. C. Q. F. D. (') Pour plus de prkcision, voir par exemple Osooo~,loc. cit., p. 139-140. ('1 Voir par exemple Osoooa, loc. cit., p. 113-120.
oh A,, . . . , A, sont des fonctions holomorphes au voisinage de xi = . . .-- x k = O ; nulles pour xi = . . .=x k = o ; en outre, le polynome P est supposB irrdductible ( ' ). Quant aux Qi, cc sont des polynomes en xk+,, de degres infhrieurs a a , a coefficients holomorphes en x,, . . . , x k , nuls pour xi = . . .= x k = o. Les points dc la varidtB V o l 2 ?- = o constituent une ou plusieurs varidtks ()zk+i
k
dimensions; en ces points, les formules (3) sont illusoires, mais cela n7a pas d'importance pour ce qui suit. Au voisinage d7un dP point de V ou -# o, x k + , , . . . , x,, sont des fonctions holodxk+i morphes (uniformes) de x,, . . . , x k . a
-- r
3. Soient donnees p fonctions f, , . . .,f, de n variables conlplexes x , , . . . , x,, holomorphes au voisinage de l'origine 0. Proposons-nous d'abord de trouver des conditions ntcessaires pour qu'un point ( a , , . . ., a,) voisin de 0 soit un point exceptionnei pour le systeme des fi. Si ( a , , . . . , a , ) est excep~ionnel, il existe au moins une variBtC analytique, passant par ce point, et sur laquelle les fonctions fi sont constantes; donc le systeme
01'1 l'on fait x, = a , ,
. . ., x,,= a,,,peut &tre considdrd comme un
sysL6me de p equations lindaires homogenes a n inconnues dx, , ..., dx,,, qui admet une solution autre que dx, =. . .= dz,= o. I1 en rbsulte que tous les ddterminants d ' ~ r d r en d u tableau
sont nuls au point ( a , , . . . , a,) (0. Ces ddterminants sont des fonctions de z, , . . . , x,,, holomorphes au voi~inagede l'origine, et que nous dbsignerons par cq,, . . . , cqq. ( ' ) OSGOOD, P. 103-105.
Considerons le systeme d'kqua~ions
Il doit etre vkrifie cn chaque point exceptionnel voisin de l'originc. Deux cas sont possibles : I " Le systenle ( 5 ) n'est pas v6riGB idenliquerncnt. RGservons l'examen de ce cas pour tout a l'heure ; 2" Les kquations (5) sont toutes vkrifikes identiquemen~.D a m ce cas, je dis que tout point voisin d e 0 est exceptionnel. E n effet, on pourra dvidemment trouver n fonctions holomorphes F4(.z,,. . . , x,,),. . . , F,, (.c,, . . . , x,,),non toutes identiquement nulles, lelles que le syste~ne( 4 ) soit vkrifiC lorsqu'on y fail
Supposons par exemple F4 non identiquement nullc, ct tllonlrons que tout point o ~ iF, est differente de zkro est un point enceptionnel; il en resultera que tout point ou F4= o est nussi sxceptionnel (9. Au voisinage d'un point ( a , , . . . , a,,) tel quc Fi ( a , , . ., a,,)# o, lc systeme (6) peul s'integrer et do1111c
.
les 'A,(X, ) elant des fonctions holomorphes au voisinage de x i =a,, et telles que h,(ai ) = a, (ceci, en vertu d'un th15ore111eclassique sur les spstemes d'equations diffkrentielles d u premier ordre). Les equations ( 7 ) reprdsentent une variktt': analyticjue (a une' dimension cornplexe) passant par le point ( a , , ..., a,,), et sur laquelle f , , ..., J, sont constantes, puisque le systeme ( 4 ) s'j- lrouve vkrifi6. Donc le ~ o i n (t a , , . . . ,a,,) est exceptionnel. c. Q . P D .
4. Nous devons nous occuper ~ l ~ a i n t e ~du~ ac;ts n ~ou le sjsteme ( 5 ) n'est pas vkrifik identiquement.
cartons tout de sttite le
cas
( 1 ) En particulier, si y = n, on obtient la proposition connue : en un p o i n ~ exceptionnel d'une transforrnation pseudo-conforme, le determinant fonctionnel de la transformation est nul. (') On a vu, en effet, que tout point limite de points exceptionnels est un point exceptionnel.
ou Ie systemt! ( 5 ) n'adniettrait pas de solution voisine de I'origine en dehors, Rveatuellement, de l'origine. Dans ce cas, en sffet, aucun poinl voisin de l'origine 0 n'est exceplionnel; par cons&quent, le point 0 lui-m&men'est pas exceptionnel, el le probleme de la recherche des points exceptionnels voisins dc 0 est r&solu. Si le systemc ( 5 ) admet une infinit8 de solu~ionsvoisiaes de l'originc, les hquations ( 5 ) ddfinissent unc ou plusieurs vari8ti.s ; ~ n a l ~ t i q u cirrdductibles s passant par 0, et c'est s u r ces variCtCs que doivent &trecherchds les points e;cceptioiznels voisins d e 0, s'il y en a. DCsignons ces variCtes par V 4 , V2: . . . , V I . . Soit d'abord M un point qui appartienne a V4 mais n'appartienne i aucune des variCtCs V,, . . ., V,. Si M cst exceptionnel, les varidtds assocides i M font partie d e V , , p~~isqu'clles sont consti~ l ~ d de c s points exceptionncls, e l quc cclux-ci doivent st! trouver sur I'une au moins des vari8t8s V , , . . . , V,.. Cette circonstance va llous permetl.re dc: trouver de nouvelles conditions nCcessaires pour qu'un point de V , , qui n'appartien~a aucune des vari6tb.s 1; ? . . ., V,., soit cxccptionnel. E n cffet, repri'senlons la varikti. V , par des 6qna1ions tle la formo (3). O n cbn tivc
ltrs
4 d t ; ~ ndes ~ fonc~.ionsde z , , . . .
..
.-r:,
,
xk+, holo~norphesa11
dt: x,=. . . = . c k = z k , = O. Tirons (lc la 1es d x , .... n), portotls-lcs dans les 6qua~ions(d), el. chassons le
VOISL~:~~(:
(i=k+
1,
Ok' d@no~tr inattnur -., on obtient un sjsteme dc la for111e d.%k+l
les ,q/ 6Li1nL holomorphes (:11 x l, . . . , z,, au vois~nagc:dc l'origine. l
Ies
+ etn~ltdes Sanctions de x,,. . . , z,,, holomorphes i I'origine;
ces Bquations doivent etre vBrifiBes ell ~ O I I Lpoinl exccptionnel qui appartient a V, et n'appartient a aucune des varidtds V 2 , . . ., Vr.. Ici encore, deux cas son1 possibles : I " LC systeme ( g ) n'est pas vdrifiP i d e n t i q u e n ~ e n ~sur V , . R6servons l'examen de ce cas pour ~ O I I La l'heure; 2" Lc systeme (9) est verifi6 pour tous les points dc V , . J e dis que, dans ce cas, tout p o i n t d e V, est e e c t i v e r n e n t u ~ zpoint e,cceptionnel. I1 suffit de faire la d6monslration pour les points de
..
dP
V , o u -est # o ( ). Soil ( a , , . . . : a,, ) un tel point; au voislc?xk+l nage de ce point, . . . , x,, sonl, sur V , , des fonctions holo~norphes(uniformes) de x , , . . . , .zk. R e m p l a ~ o n s .dans les equat i o n ~(4). XL.,,, ..., x,, eu fonction de x , , ..., .xk, et d x k + , , ..., dx,, en fonction de dx,, . . . , d x k ; il vient
,.
les h.j 6li1nt holo~norphcsen J , , . . . , .ck au voisinage de ( a , , . . . , ax-).Mais, d'apres la fnqon meme dont ont el6 introduits les systemes (8) et (y), le systeme (8)' esl compa~ibleen dx,, . . . , d x k . et cela quelles que soient les v a l e u ~ * s d e x ., ,. . , x k . O n peul donc lrouver k fonctions G, ( s , , ..., xb), . ..: Gk ( x I , ..., x k ) non toutes identicjuement nulles, holomorphes au voisinagc de x, = a , , . . . , xi= ax-,telles que LC systeme (8)' soil vbrifiB des qu'on y fait
nc,
.
G I ( 5 , .. . . . ~ x - )
-
dxk ... -G~.!xI,. . ., xx-j
Soil par exemple G , $ o ; on peut supposer G , ( a , , . . . , ax-) # o , sinon l'on remplacerait lc point ( a , , . . . , ax-) par un point arbi~rairementvoisin, ce qui, on l'a v11, ne change rien au rdsultat. Le systkme (10) peut alors s'intdgrer de la facon suivantc :
les ~ ~ () Btant x , des fonctions holo~norphesau voisinage: de 3,==a,, ( I ) En effet, rappelons, une fois de plus, que tout point li~nite de points exceptionnels est exceptionnel.
et telles que p j ( a 4 ) = a,. Les bquations de la vari6t6 V, donneront ensuite pour zl;,,,. . . , x, des fonctions holomorphes de x i , se rhduisant respectivement a al;,,, . . . , a, pour xi = a,.Finalement, on voit qu'il existe une varibtb analytique (a une dimension complexe) passant par lc point ( a , , . . ., a,,), et sur laquelle les fonc~ionsf , . . . , f, sont constantcc;. Donc le poinl ( a , , . . ., a,) c. Q. F. D. est exceptionncl.
5. 11 nous reste .a examiner le cas ou le systeme (9) n'est pas vhrifiQpour tous les points de V,. Alors I'ensemble des points de V, ou il est v6rifie constitue des vnribtds analytiques irrdductibles, en nombre fini (soient V', , V'I , . . . ), dont chacune cr un nombre de dimensions moindre que le nombre de dimensions de V,. 'rout point exceptionncl voisin de 0 doit appartenir a l'une de ces ~ a r i 6 t i . s011 ~ bien h l'une des varietks V z , . . . , V,. Comparons la situa~iona ce qu'ellebtait nu dkbut du paragraphe4; au lieu d7nvoira envisager les varikths V, , V.,, .. , V,, nous n'avons plus maintenant a envisager que les varid~bsv,, . . , V, (ceci dans In cas oil il aurait Ctd reconnu que tous les points de V, sont exceptionnels) ou bieil nous devons envisager, outre les varidths V2, . . , V,., les varictds V',, V'I, etc., dont le nombre de dimensions est plus petit que le nom5re de dimensions de V, ; certaines d'entre ces varihtbs peuvent d'nilleurs faire partie de V,, ou de V:,, .. . , ou de V,.. 11 est clair qu7en recommencant, sur les varibtbs restantes, les m&mes opbra~ionsque plus haut, e t cela autant de fois qu'il le faudra, on arrivera, au bout d'un nombre fini d'operations, a bpuiser la recherche de tous les points exceptionnels suffisamment voisins de l'origine. O n voit aussi que ces points exceptionnels se repartissent sur un n o ~ n b r efini de varitit6s analytiques irrbductibles passant par 0, - en dehors, bien entendu, des deux cas extremes : celui ou il n'y aurait pas de points exceptionnels, et celui ou tous les points seraient exceptio~nels.
.
.
.
6. Pour n ~ i e u xfaire coinprendre la ~ndthodeprbcbdente, nous nllons I'appliquer a deux des exemplcs q ~ i(ont i 6th citbs au paragraphe 2 . Soit d'abord
- 10 Les conditions de comptabilite du systeme (4) se rdduisent ici A la relation x , x,x, = o. Cette relation definit trois varihtbs analytiques a deux dimensions
Yrenons la varihtk x, = o. Si l'on fait x i= o, d.x4= o dans le systkrnc ( 4 ) ) il se rnduit ;i l'hquation
qui adme1 une solution autre que d x , = dx:,= o. Donc tous les points de la varidt6 x4= o sont exceptionnels; dc m&meles points des variCt6s x2 = o et ic3 = o sont exceptionnels. Appliquons encore notre mCthode au cas
Les conditions de cornpatibiIitB du systeme
( 4j donne111
ce qui dkfinit quatre varietds
La premiere est Bvidemment un lieu de points exceptionnels, puisquc f,,fict f3 son1 nulles sur cettc variBt8. P o u r la varietP ic, = o, faisons x , = o , dx2= o dans le systeme ( 4 ) ; il vicnt
les conditions de cornpatihilit6 donnent
Donc tout point exceptionnel qui n'appartient pas a V, et appartient a V, fait aussi partie de V s et de V , ; on verrait, de meme, que tout point exceptionnel qui n'appartient pas a V, et appartient A I'une des trois varietds V,, V,, V , , a p p a r ~ i e n tndcessairernent aux deux autrcs. Ainsi, les points exceptionnels qui n'appartiennent pas a V, appartiennent a la variete ( a une dimension)
Etl'ec[i\enlent, si 1,011 failx, = x 3= d . ~= , dx:, = o dans le systeme ( 4 ) , celui-ci est. vdrifik identiquement, ct, par suite, la varihtc!
x 2= x:, = o esl un lieu de points exceptionnels.
7. 11 restcrait a rksoudre encore plusieurs questions relativement la distribution dcs points exceptionnels d'un systeme de y fonctions holoillorphes de n variables complexes. P a r exemple, peu t-on se donner arbitrairen~entun ensemble de variktks analyliques irrirdricribles passant par l'originc, r t dkterminer nn systeme de p fonctions, holomorphes en 0, admettant pour poinls exceptionncls tous les points de ces variktes, et n7en admettant pas d'autres nu voisinage dc 0 ?Encore fnudrait-il \ oir si l'onne peut pas limiter supdrieurement lc nolnbre p des fonctions inconnues. Voici un autre probleine : dans le :cab parliculier oil p = n. considkrons la transformation pscudo-conforlne ii
Ellc trirnsformc l'c~nscmble dcs p o i n ~ sexceptionncls \-oisins de 0 en 1111 ensemble de points dont il serait interessant de prkcise~.la nnt,ure. Malhenreusement, il nc s e n ~ b l epas q l ~ ccet cnsemble soit tor~jolirsconstitlld par des variktks analytiques : prenons en effet le cas particulier ou le d6termin;rnt fonctionnel de la transformation cst identiquementnul; dans ce cas, tous les points sont exceptionnels; or on snit que l'ensemble des valeurs prises par r~ fonctions holomorphes non indkpendantes de n variables complexes ne constitue pas toujoul-s une vnridtk anal3 ticjue dans 17espacedes IZ variables transformkes y , , . . . , y,, ( I ) .
27.
Sur les groupes de transformations pseudo-conformes Cornptes Rendus de 1'Acadernie des Sciences de Paris 196,669-671 (1933)
ConsidCrons, dans l'espace de p variables complexes a , , . . . , z,, un groupe G de transformations pseudo-conforrnes dependant de r parametres rCels t,, -.. . , try (GI
J -(9j(zg,
.. ., Z p ;
ti,
.. . r
tr)
(J=I,
- .. y p ) ,
sur lequel nous ferons les hypothbses suivantes : 1. Les fonctions p, sont dCfinies et uniformtment borntes au voisinage de z=t=o; 20 Pour chaque systbrne de valeurs des pararnktres 1, les pi sont holomorphes en z , , . . . , z, ; pour chaque systbme de valeurs des z, les p, sont conlinues par rapport a l'ensemble des variables 1, , . . . , t, ; 3 La transformation identique correspond I, = . . . = t,= o, et la structure du groupe G est de Lie; autrement dit, on peut choisir les parametres 1 de faqon que la loi de composition des pararnktres soit analytique. Je vais dkrnontrer que, dans ces conditions, les pi sont des fonctions analytiques de toutes les variables z et t. En d'autres terrnes, s i Pon a un groupe G de transformations pseudo-conformes, et s i le grocrpe des p a r a d t r e s esl un
&to ACADEMIE DES SCIENCES. p p e de Lie, le p u p e G est lui-mkme ttn grvupe de Lie. Toutefois nous avsns fait I'hypothese primo, qui parait d'ailleurs naturelle ; elle se trouve hvidemment vbrifike si les transformations d e G laissent invariant un domaine bornt. LEMME (I). - Moyennant les hypothkses l o et zO, les p, et leurs dbrivCes dp,ldz, sont continues par rapport a l'ensemble des variables z et t. Ce lemlne Ctant admis, tout revient a montrer qu'a chaque transformation infinitbsimale du groupe des paramktres correspond une transformation de G; il suffit donc d'envisager le cas d'un groupe a unparam2tre ;i admet, pour t = o, une dkn'n'uke d p j l d t Cgale A une fonction hobmorphe de z , , . . , a,. C1es&ce que nous allons faire voir.
e t de pwuver q u e chaque
.
La !oi d e composition pour tPltant supposee &tre I'addition, on a (a)
?j[?i(z; t ) ,
. . ., ~ / ~ ( ta) ;; O ] = y , ( z :
t + 8);
ces identites sont velebles si t, 0 et les z sont assez petits; maison peut, en multipliant le parametre p a r une constante reelle, se ramener au cas oil t et 0 peuvent &trepris eotre - a n e t + z n .
Les y , et les d p , / d a , , Ctant continues par rapport h I'ensemble des variables z et t, sont uniformkment continues; il en rksulte que toute intCgrale
oh u ( t ) est continue, est une fonction hobmorphe des z , a laquelle on peut appliquer la rbgle de diffkrentiation sous le signe somme. ~ c r i v o n sles dkveloppements de pj et de d y , / d z , , tles s k i e s de Fourier pour 0525271 :
( I ) La demonstration de ce lemme est fort simple et repose aur le theoreme clasoique : a Si une suite de fonctions holomorphes et uniformement bornees converge. clle converge uniformbment r ; il suflit slors d'appliquer les propositions de Weierstraw relatives i la convergence uniforme des suites d r fonctions h9lomoryhes.
SEANCE
DU
On voit que l'on passe de (3) a rapport B 2 , .Posons
--L f
6
(4)
MARS
1933.
67 I
en d i l k e n t i a n t terrne a terme par
'? P
?,1;:
v)~-1"ne=+;(~).
2=L"
Les $;'(:) sont holomorphes et le dkterminant fonctionnel des y,. par rapport aux 2 , est Cgal , pour t = o, i
comme il est identique a rln pour t = o, il existe p entiers n , , . . ., n, tels que le diterminant fonctionnel de $7, ..., $2, par rapport a a , , . . ., a,, soit difirent de zeropor~r2 =.o. Posons alors
Effectuons maintenant sur les z la transformation ( I ) ; il vient
l'identitti
(2)
et un calcul ClCmentaire donnent
Or le second membre est une fonction d e t qui admet, pour t = o, une dcrivie tigale A une fonction holornorphe des variables a . Donc, si l'on effectue le changement d e variables Z,=f,(z). ce qui est permis au voieinage d e z j = o puisque le jacobien des f, n'est pas nul, les Cquations ( I ) prennent la forrne Z,=@,(Z,. . . . , z,,;t),
et chaque Q j admet, pour t = o, une dCrivCe d@,/dt Cgale une fonction de Z , , . . . , Z,, holomorphe a u voisinage d u systhme de valeurs Z,=f;(o, C . Q . F. D.
Sur les groupes de transformations pseudo-conformes Comptes Rendus dePAcadCmie des Sciences de Paris 196,993-995 (1933)
,L. Dans une Note rCcente, j'ai Ctabli la proposition suivante (') : Si la s t r ~ l c t ~d'un u e grot~prcontinu G de transformations pseudo-conformes esl c ~ l l ed'un g r o i ~ pde ~ Lie, le groupe G est lui-nzdme un grot~pede Lie. Autremcmt dil, si les transformations de G ont la forme
les fonctions y i Ctant supposCes analytiques par rapport aux variables complexes a , , . . . , z,,, et continues par rapport aux paramktres rkels t i , . . ., t,, et si en outre la loi de composition des pararnklres est analytiqne, alors les y, sont analytiques par rapport a I'ensemble de toutes les variables z et t (9). 11 est nature1 de se demander si I'hypothkse faite relativement B la structure de G est indispensable. En effet, on tend a croire aujourd'l~uique tout groupe continu est un groupe de Lie (au point de vue structure), c'esta-dire que l'on peut choisir les paramktres de f a ~ o nA rendre analytique la loi de composition sur ces parametres ('). En attendant que cette importante propriCtC des groupes continus soit Ctablie, si toutefois elle est exacte, il est intCressant de savoir que l'on peut, dks aujourd'hui, pour le cas des transformations pseudo-con formes, dkmontrer le thkor6me suivant : THEOREME 1. - Tout groupe conlinu de transformationspseudo-conformes est un groupe de Lie. 11 est bon de prCciser ce que nous entendons par groupe continu d e transformations pseudo-conformes. Partons d'un groupe continu abstrait g, Q r paramktres u , , . . ., u,, et a chaque transformation ( 5 ) de ce groupe, suffisamment voisine de la transformation identique (u, = . . .= u, = o ) , faisons correspondre une transformation (S), dans I'espace de p variables
(I)
(?)
Seance du a j mars 1 9 3 3 Co,nptes rendus, 196, 1933, p. 669.
( ' j Pour ~ l u sde tions ( I ) , voir la Note citee. ( & ) Voir, a ce sujet, J.
relalivemenl aux hypotheses faites sue les transforma-
V O N NEUXANU, Annals of Math.. 36, 1933, p . 170-190; CL. CREYALLIY, Comples rendus, 196, 1933, p. 7 4 4
complexes z , , . . . , I,,
Relativenlent aux transformations ( S ) , nous s u p p o s o ~ ~: s 1') Que les .f'; sent dCfinies et uniformCment I)ornkes au voisini~gt. de;=u=o; 2 ' Que, pour chaque systbme de valeurs des parami-tres 11, les , / j sont holomorphes en z , , . . . , z,; pour chaque s y s t t h e de valeurs des z , les ,j', sont continues par rapport A I'ensemble des variables rCelles u , , . . . , u, ; 30 Qu'a la transformation identique de g c01,respond la transformatioll identique a) = qu'a deux transfor~~lations distinctes de g correspondent deux transformations distinctes de G ; qu'au produit de deux transformations de g correspond le produit des transformations correspondantes de G . C'est A de tels groupes que le thborhme I s'applique. 2. Voici une autre proposition, relative A des groupes non supposCs continus a priori : THEORBME 2. - Emnt donne, duns l'espace de p variables complexes a , , . . . , z,, un domaine bornd guelconque D , le groripe G de toutes 1e.r transformations pseudo-conformes biunivoques de D en lui-m"meest ungroupe de Lie, il m0in.r que G ne soil propremenf discontinu ( ' ) dans D. D'une facon prCcise, celles des transformations de G qui sont suffisamment voisines de la transformation identique se confondent avec celles d'un groupe de Lie. Jusqu'ici, le thCorbme 2 avait CtC vCrifiC expkrimentalement pour des classes particulikres de dornaines (domaines cerclCs et domaines analogues, dans le cas de deux variables complexes). O n voit maintenant que, pour determiner, dans l'espace de p variables complexes, tous les domalnes bornbs qui admettent un groupe non proprement discontinu de transformations pseudo-conforrnes, il suffit de dCterminer tous les groupes de Lic ti p variables complexes (ce qui est possible, au moins thkoriquement), puis de chercher les domaines born& invariants par ces groupes. M. Elie Cartan, dans un travail non encore publib, avait d i j i entrepris cette Ctude pour les groupes d e Lie transitifs h deux variables complexez; ses rksultats, combinCs avec le thCor61ne 2, conduisent A la proposition suivante : ( I ) G est proprement discontinu dans D si les transformes d'un point quelconque de D par toutes les transformations de G n'ont aucun point d'accumulation interieur a D.
S i u n donlainr I)ornc:de I'espncc* tle d e u x vur&icl/)lcsconrple.z.es n. et y adrnet rtn g r o u p t~.rrttsi/i j' ife transforrtrations pserrdo-con f;)r/t~cs,ce cfomaineperrt se reprtscnter soit sirr l'hyyrrspherr I .r J 1+ 1 y l2 I , soit srrr. 11, dicylindrc,
l ~ l < ' ,I Y I < ' .
<
3. Les thCor6mes Z e t 2 sont des cas particuliers tl'un tl~kor&~t~cb plus gCnkral qu'il serait trop long d'exposer ici, et qui sera publib dans un autre 13ecuei1, ainsi que la tlCmonstration des thCor6mes 2 e t 8. .le signale qu'au cours de la dCmonstration intervient unc- proposition intkressante cn ellememe, et que voici : THEORBME 3. - Etant d o n r i t ~ s ,d a m l'espace de p variables comylexcs, d e u x /rypersphi.rcs concentriqnes T, et X' (Z' intkrieure ti Z ) , i l c.ciste u n nombre positif a qui jouit ( I t la proprittt suivcznte : il n'esiste, clans X, aucune transformation pseudo-conforme T telle qrre toutes ses puissances soient pseudo-con fornzes d a m Z', et qrre chacune d'elles, y compris la transformation T e l l e - d m e , dkplace chaqite point de 2' d'une distance plus petite gue a . O n peut eff ectivement donner une expression deea en fonction des rayons d e Z e t 2'. L e thiorkme 3 peut encore slCnoncer brikvenlent de la facon suivante : u n groupe de transformations peudo-con.formes ne peut pas contenir de sous-groupes arbitrairement petits.
Sur l'itkration des transformations conformes ou pseudo-conformes Composition Mathematics 1,223-227 (1934)
Dans un Mdmoire l ) consacrd a l'dtude des groupes de transformations pseudo-conforrnes (c'est-&-dire dkfinies par n fonctions analytiques de n variables complexts), j'ai eu I'occasion d'dtablir qu'un groupe de transformations pseudo-conformes ne peut pas contenir de sous-groupes arbitrairement petits, et, ti ce sujet, j'ai annonck sans ddmonstration le thkorkme suivant 2): T H ~ ~ O R1. ~ MSoit, E dans l'espace de n oariables complexes, un polycylindre Z de centre 0 et de rayon R, et soit Q u n nombre positif quelconque infdrieur a R. Si une transformation T est pseudo-conforrne dans Z, ainsi que toutes ses puissances T2, . . . Tk, . . ., et si l'dcart de T et de chacune de ses puissances est, dans Z, azL plus bgal d Q, alors T e d ne'cessairernent la transformation identique. Cet bnoncd demande quelques cxplications et prdcisions. Par distance de deux points, de coordonndes complexes z1 , . . ., Z, et z;, . . ., 26, nous entendons la plus grande des n quantitds (i = 1, . . ., n). I Zi' - zi
.
I
Par polycylindre de centre P et de rayon r, nous entepdons I'ensemble des points de l'espace dont la distance au point P est infdricure ci r. En particulier, pour n = 1 (transformations conforntes), les polycylindres ne sont autres que les cercles du plan. Par kcart d'une transformation T dans un polyeylindre Z, nous entendons la borne supdrieure de la distance d'un point AM A son transformd T ( M ) lorsquc ilf dkcrit Z. Pour achevcr de donncr un sens prbcis a l'dnoncd du thdorhme 1, il nous reste & expliqrler ce q r ~ esignifie la phrase: , , T et toutes 1) Sur les groupes dc transformations analytiques [doit paraitre dans la Collectio~l d'Exposes mathematiques publies a la memoire de J. Herbrand; Paris. Hermarrn]. Paragraphe 8 du mCmoire citC. 2,
463
224
Henri Cartan.
PI
ses puissances sont pseudo-conformes et d'dcart au plus dgal & @ dans 2". Par d6finitioi1, cela signifie: lo que T est pseudoconforme et d'6cart au plus 6gal a @ dans Z; Z0 qu'il existe une transforniation pseudo-conforme dans Z, d'6cart au plus &gal ii Q dails Z, trailsformation que nous d6signerons par T2 et qui satisfait a la coildition suivante: pour tout point M de Z dont le transform6 T ( M ) est intgrieur & Z, le point T 2 ( M )doit coi'ncider avec le transfornik, par T, du point T ( M ) ; 3O d'une faqon gknbrale, supposons ddfinies de proche en proche les transformations T2, P,. . ., Tk-l ; alors il doit exister une transformation Tk, pseudo-conforn~eet d'dcart au plus dgal B @ dans Z, telle que les points T k ( M ) et T(Tk-l(M)) coi'ncident ehaque fois que Tk-'(M) est intdrieur a Z; - et cela, pour toutes les valeurs positives de l'entier k . Si l'on d6signe par Z' le polycylindre de centre 0 et de rayon R - p, il est clair que le point T k ( M )est int6rieur A Z quel que soit M int6rieur a Z' et quel que soit l'entier k. En outre, on vkrifie facilemcilt la relation
pour tout int6rieur a 2. Cela pos6, il suffit, pour dtablir le th6ori.me 1, de d4montrer le thgorkme plus gdn6ral suivant: T H ~ O R ~3.M ESoient toujours Z un polycylindre de centre 0 et de rayon R, et p un nombre prsitif quelcorique infdrieur a R. Soit Z' le polycylindre de centre 0 et de rayon R - Q. Soit T une transformation pseudo-conforme et d'e'cart a u p l z ~ .e'gal ~ ti @ dans Z; supposons que la transformation
qui est pseudo-conforme dans 2 , se laisse prolonger analytiquement duns 2 , et de'signons pur T2 cette nouvelle transformation; supposons quc Z'e'cart de T2 duns Z soit u u plus e'gal a Q, rt que la transformation T2( T 2 ( M ) ) , qui est pseudo-confol-me dans L",se laisse prolonger analytiquement duns Z , et dksignons par T4 cette nouaelle transformation; d'une fagon g4ne'ralr, supposons de'finies dr proche en proche les transformations T2, T4, . . ., P k - l , d'e'carts a u plus kgaz~xa p da?ls 2, et supposons que la transformation
[:kl
S~lrI'it6r:rtior1 cirs trarrsforrnations conformes ou pseudo-conformes.
225
qui ust pseudo-conformt, duns Z'. .ye laisse prolonger analytiquement duns Z; dksignons par T~~cette nouvelle transformation, et supposons sot?'
RP est centre d'un polycylindre Z, 2 de rayoil + ', intdrieur A F en appliquant & ce polycylindre 2 et a la transfornlat,ion T le rdsultat qui vient d'6tre admis, on trorive que T laisse fixe le centre P du polycylindre Z. On a done ii 0 soit infdrieurc
@ -;-
T(P)= P , et ccla quel que soit le point P dont la distance a 0 est infkrieure RAd'oh il suit ( T Ctairt analytique) que T est la trans2
@,
formation identique. I1 nous reste donc seulement a ddmontrer que si T satisfait aux conditioils du theorkme 2, T laisse fixe le centre 0 du polycylindre Z. Or cela r6sulte du thkorknie suivant: T H ~ O R E R3.I E Soit toujours Z un polycylindre de centre 0 et de rayon R. Soit S u n e transformation pseudo-confornle duns Z, et d7Lcart a u plus &gal a Q ( Q < R ) duns Z. On a l'inkgalitk
I1 suffirn d'appliquer cette indgalitk successivement aux transformations T , T2, . . ., T Z ~., . . pour obtenir
le premier membre devant rester bornd, et la quantitd augmentant inddfiniment avec k, il faut que T ( 0 )= 0 , ce qui d6montre lc th4or61ne 2. En ddfinitivc. il nous reste seulenient a ddmontrer le thdorkme 3.
3,
La notation
I M , -M , 1
designe la distance des points M , et M,.
465
226
[4 1
Henri Cartan-
Nous pouvons d'ailleurs supposer, pour simplifier, R = 1. Posons S(M) - M =
U(M) 4); on aura, lorsque M est intCrieur B 2,
( U ( M ) 1 2 1. L'inCgalitC (1) a Ctablir s'Ccrit alors
Or, soit fi(M) celle des n fonctions conlposantcs de U(M) dont On pcut supposer le module, au point 0 , est kgal A U ( 0 ) fi(0)reel et positif (ou nul), car on peut toujours se ramener a ce cas en nlultipliant la i-&me coordonnke de l'espace par un nombre convenable ayant pour module I'unitC. Cela Ctant, soit
I.
I
(0 5 u 5 1).
fi(0)= u
Si u = 1 , alors fi(M) = 1 , d'ou il suit qlle la i-&mecomposante de V(S(0))
I
+ U(0)
est Cgale B 2, c'est-&-dire a 2 U ( 0 )
1;
on a donc, dans ce cas,
1 u (S(0))+U(O) 1 = 2 1 U ( 0 ) I , e t I'inCgalitC (2) est vraie a fortiori. le lemmc de Schwarz. Supposons donc 0 5 u < 1. Alors, dYapr&s on a
ce qui donne, pour M = S(O),
on en dCduit facilement
et, a fortiori, Notation abregCe pour designer n Cgalitts; U(M) dCsigne n fonctions holo) morphes des coordonnees du point M, rcspectivement Cgales aux quotients, par Q, des diffkrences des coordonnCes (de m&me nom) de S ( M ) e t de iM. Par U(M) nous entendons le module de la plus grande des n fonctions dCsignees par la notation U(M).
I
1,
151 Sur l'itkration des transformations conformes ou pseudo-conformes.
1 U ( S ( 0 ) )+U(O) ( 2 4 2 -
227
Q),
ce qui n'est autre chose que l'indgalitd (2).
C. Q. F. D. Pour terminer, signalons que tout ce qui prdckde reste valablc. si l'on remplace les polycylindres par des hypersphtrc!.s., a condition d'appeler distance de deux points ( z , , . . ., z,) et (zi, . . ., x: ) la quailtit6
( R e p le 10 novembre 1933.)
Sur les transformations pseudo-conformes du produit topologique de dew domaines Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris 199.925-927 (1934)
Kappelons le rCsul,ta~classique : dans l'espace de deux variables complexes x et y , le domaine Ixl<1,
ly/
n'admet pas d'autre transformation pseudo-conforme (') biunivoque en luim&meque les transformations
combinkes avec la transformation
( 2 ) L'usage s'est etabli d'appeler ainsi une transformation definie, dans I'espace de n variables complexes? par n fonctions analytiques des n variables complexes.
926 A C A D ~ M I EDES SCIENCES. S ( x ) [ou T ( y ) ] d6signe la transformation (homographique) la plus gCnbrale du domaine I x / I [ou 1 y 1 i ] en lui-m6me. On peut gCnCraliser de la f a ~ o nsuivante. Pla~ons-nousdans l'espace de n variables complexes, et partageons ces variables en deux groupes x ,, ..., .I*,, et y , , . . . , y,, ( n = p +q ) . Toute transformation pseudo-conforme sera dCsignCe par la notation
<
<
f designant p fonctions holomorphes des p + q variables x, et designant q fonctions holomorphes des m61rles variables.
jr,,et
g
ConsidCrons, dans l'espace desp variables (x), un domaine (I) bornr;D.,, et, dans l'espace des (I variables ( y ) , un domaine 1)ornC D,.. I,e produit topologique de ces deux domaines est un domaine D de l'espace ( x , y). THEORBME I. - Tocrte transformation yseutlo-conforme biunic'oqut~de D en lui-&me est le prodpit d'une tmn.rformation biunicnque (1. D,,. en Icrimirtte par rrne transformation biunic3oque rle DD,e n hi-m&me. DLLmoins, c e h esc vrai pour torrtes les transformations cle D qzri sont nssez v o i s i r ~ ~des la transformation identique. I1 rCsulte de la que le groupe du domairle D se cornpose d'un nombre fini ou d'une infinit6 dbnombrable de familles, dont l'une est lc produit direct du groupe de D,. par le groupe de D).. En particulier, si le groupe de D est transitif daris D, le groupe de D,. est transitif dans D,. et le groupe de D, est transitif dans D,.. Le thborkme 1 est un cas particulier du tt~eorkrnesuivant : T H E O R ~11. M E- Soient toujours D,, u n domaine bornr; tle 1 'esyace ( x ) , et D,. u n domaine 6ornC de l'espace ( y ) . Soit A u n domainr (It. l'esyace (z, y) qui contienne a son intirieur le prodrrit topologique de D., cc D,., mais qrli soit inttrierrr au produit topologiq~~e de D,,.par l'espace ( y ) tout entier. Alow .sf une transformation ps~udo-con forme biunic,oqrre rke A en l u i - m k m ~
est asse; voisine de la tranrformation identiqcre, f ( x , y ) est indQendant u'e y, et la transformation z+J(-.)
est une transformation b i r ~ n i t ~ q udee D,,.en lrri-mhe.
Pour Ctablir le theorhme 11, on utilise la mCtrique de M. CarathCodorg. ( I ) I1 s'agit de domaines u n i v a l e n ~ sou non, pouvant poss6der des varib~esd e ramification.
llappelons slue, dirns un d o ~ n i ~ iborr~i. ~ l e A , 1,1 I)sc-~~tlo-disl;~nce d'un 11oi111 \l point 0 Feut Elre d6finie comnie la Ijorne su~)Criellre,au point ;\I, du rnodule des fonctions nulles en 0 et de module inf6rie11rA I I dans ~ 1. Signslons que la ddrnonstration du th6orkn1e I1 nkcessite le lemrne suivant : S i 1 contient l'hypersphcre de centre 0 el de rqyon r , muis est intkrielrr d l'hypersph2re de centre 0 et de rayon l t , la psetrdo-dis~unce d'trn point variable M aupoint 0 est une fonction monotone surchaqlre clemi-clroite issue de 0 , tant que M reste intkriectr a une hypersphdre rje cc2ntre0 et rle rayon F assea petit; il suf J t , pour cela, que l'on ait ;I un
Les dCmonstrations paraitront dans un autre Recueil.
Les problkmes de Poincark et de Cousin pour les fonctions de plusieurs variables complexes Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris 199,1284-1287 (1934)
1. La question reste toujours posCe d e savoir quand une fonction d e n variables complexes, mkromorphe dans un domaine D , peut se mettre sous la forme du quotient de deux fonctions holomorphes dans D. PoincarC a le premier montrC, dans le cas n = 2, qu'une fonction mCromorphe partout Q distance finie est toujours le quotient d e deux fonctions entikres. ~ t a n t donne un domaine quelconque D dans I'espace de n variables complexes, nous conviendrons d e dire que le thdorkme de Poincart est vrai pour D si toute fonction mdromorphe dans D est le quotient de deux fonctions holomorphes dans D . Dans le but de rksoudre le problbme de Poincark, Cousin (') a formu16 deux problkmes plus gknkraux que voici : Premier problkme de Cousin. - O n suppose que le domaine considCrP: D est recouvert Q I'aide d'une infinite dknombrable de domaines partiels Di intCrieurs D , et que, dans chaque Di, on a dCfini une fonction mtromorphe f , ; on suppose en outre que, chaque fois que deux domaines Diet D, ont une partie commune Dij, la diffkrence f;- f est holornorphe dans D;,,. On se propose de trouver une fonction F , mtromorphe dans D , et telle que, dans chaque Di, la di'krence F -f i soit holomorphe. Ueuxikmeproblkme de Cousin. - M&meshypothkses que pour le premier, sauf que les f; sont remplacCes par des ?; holomorphes (dans D;), et que, dans chaque Dij, le quotient y j : 9, est supposC hololnorphe ct jamais nul. O n se propose de trouver une fonction @, holomorphe dans D, et telle que, dans chaque Di, le quotient @ : .gisoit holomorphe et non nul. Si un domaine D est tel que le premier (ou le deuxikme) problbme de Cousin a une solution quelles que soient les donnies, nous dirons que lc premier the'orkme de Cousin (ou le deuxihme) est vraipour le domnine D )).
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ACADEMIE DES SCIENCES.
11 est Cvident qlie si le deuxie'me thCorkme de Cousin est vrai pour un domaine, le thCorkme de PoincarC est vrai pour ce domaine. Mais la proposition rkcclproque n'est pas exacte. Grhce a la terminologie prCcCdente, nous pouvons resumer comrne suit les rCsultats de Cousin : Si D est le produit topologique de n domaines univalents, situes respectivement dans les plans des n variables complexes, le premier theoreme de Cousin est vrai pour 11. Si en outre tous les domaines composants sont simplement connexes (sauf peut-Ctre l'un d'entre eux), le deuxihme thCorkme de Cousin est vrai, et, a Jbrtiori, le thCorkme de PoincarC. ('I)
2. Bornons-nous dbsormais arix domaines rrnivalents a deux variables complexes x et y . Lorsqu'on cherche a resoudre les problkmes de Cousin pour des domaines plus gCnCrarix que ceux considCres par Cousin, on s'apercoit que les thCoremes de Cousin ne sont pas vrais pour tous les domaines, mCme simplement connexes. I1 est alors nature1 de cherclier des conditions iiecessaires et suffisantes pour que les theorkmes de Cousin soielil vrais. (:ommen~onspar le premier. ' ~ ' H E O R ~ M E1. - Si le premirr theoldme de cousin est vlVaipourD , D @stun domaine d'holomorphie (c'est-a-dire le domairie total d'existence d'une certaine fonction holomorphe). On a ainsi une condition nkcessaire. Voici une co~iditionsnffisante : T H E O R ~2. ME un domaine D est concvxe (' ) par rupport aux p o b nomes ou uux Jbnctions rationnelles en x , y , le premier thkoreme de Cousin est vrtri pour D. Ce resultat, qui dkpasse de beaucoup celui de Cousin, s'obtient par une mCthode analogue a la sienne ; mais il faut se servir de l'intkgrale d'dndrk Weil (') (pour les fonctions de plusieurs variables) tandis que Cousin utilisait seulement l'intkgrale. classique de Cauchy (pour les fonctions d'une variable).
-
-
(2') C'est M. Gronwall qui a montre que cette restriction est necessaire, fsit qui semblait avoir Bchappe i I'attention de Cousin ( A m e r . Math. ,foe. Trans., 18, 1917, p. 50-64).
( ' ) Voir 13. CARTAN et P. THULLEN. M a t h . Annalen, 106, 1931, p. 6 17-647. ( ' ) Comptes rendus! 19h, 1932, p. 1304.
Pour certains types de domaines [domaines cerclCs ( 3 ) , domaines de Hartogs (')I, les conditions des theorkmes 2 et 2 sont Cquivalentes ('). O n a donc, pour ces domaines, urn condition ntcessaire et suffisante pour que le premier tht?ori.ma de Cousin soit vrai. 3. Passons au deuxikme thCor6me de C ~ u s i n .La question est moins avancee; cilons simplement le rksultat suivant : T H E O H ~3.ME &it D un domaine pour lequel le premier thtoreme de Corr.rin est vrai (voir thCor6me 2). S i en outre D est e'toilt, OIL encore si D est un clornaine de Hartogs, le deuxikme thtorkrn~de Cousin est uruipour D , Le thCor&rne 3, combin6 avec certaines propriCtCs des doirlaines de mCromorphie,- conduit au resultat suivant : T~EOUBME 4. - Le thtorkme de Pozncart est vrai your tous les domaines cercle's et tous 1e.r domaines de 13arto~s,m6me quand les theorkmes de Cousin ne sont pas vrais. En particulier, le theorkme de PoincarC est vrai pour l'P~ypersphkre,ainsi d'ailleurs que les deux thCor&mesde Cousin. %
( : ) Uo domaine est
cerclt s'il contient x= y = o e t admet x'= xeiOt
j,'=
yeio
les 11-ansformations
( 0 reel).
( ' 1 Xous reservohs le nom de dornaines de Hartogs aux domaines de la forme : x intkrieur a un domaine univalent 6, 1 y 1 < H(;c), R ( x ) etant une fonction positive definie dans d,
Sur les groupes de transformations analytiques Collection a la memoire de Jacques Herbrand. Hermann, Paris, 1936
INTRODUCTION des problhmes fondamentaux des mathbmatiques modernes est de savoir si tous les groupes continus abstraits (& p paramhtres) sont des groupes de Lie, c'est-&-dire s'il est possible, Btant donn6 un groupe abstrait, d'y choisir les paramhtres de faqon que la loi de composition s'exprime analytiquement par rapport aux paramhtres. Dans cet ordre d'idhes, J. VON NEUMANN (I) a rBcemment dBmontr6 que tout groupe continu abstrait qui est compact est un groupe de LIE ; mais la d6monstration fait intervenir les propri6t6s du groupe duns son ensemble, alors qu'on peut penser que seules les propri6t6s locales doivent jouer un rble (autrement dit, seules les transformations voisines de la transformation identique devraient entrer en jeu, ce qui supprimerait, du meme coup, la distinction entre groupes compacts et groupes ouverts). PrBcis6ment, C1. CHEVALLEY ('1 a 6mis I'hypothhse que tout groupe continu abstrait qui ne contient pas de sous-groupes arbitrairement petits (') est un groupe de Lie. Le pr6sent travail est une contribution & 1'6tude des problhmes .pr6cddents. Je n'ai pas born6 mes recherches aux groupes abstraits ; par contre, je les ai b o d e s aux groupes de transformations analytiques ; plus particulihrement, dans le cas des N
( I ) Die Einfithrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen (Annals of Math., P sbrie, 34, 1933, pp. 170-190). (l) Comptes Rendus, 196, 1933, p. 744. Dans cette note, C1. CHEVALLEY donne le r6sultat comme d6montr6 ; mais il m'a communique depuis que les demonstration sont insuffisantes. La proposition citee n'est donc encore qu'une hypothhse. (*) C'est-&-dire : tout groupe continu abstrait dans lequel il existe u n voisinage de la transformation identique qui ne contient aucun sous-groupe.
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GROUPES
groupes de transformations pseudo-conformes (c'est-&-dire de transformations analytiques dans le domaine complexe) , j'ai obten u des rBsultats qui aemblent A peu prhs dbfinitifs. Je ne me sers ni des rBsultats de von Neumann, ni de ceux de Chevalley, et la lecture de ce memoire suppose seulement la connaissance des BlBments de la th6oyie de LIE. Deux des rBsultats essentiels de ce travail ont dBjA CtB publibs, sans dbmonstration, dans une note aux Comptes Rendus ( I ) . 11s s'6noncent ainsi : I.-- Tout groupe continu de transformations pseudo-conformes est un groupe de Lie. 2. - Etant donne', duns l'espace de n variables complexes z,, ..., z,, un domaine bornt D, le groupe G de toutes les transformations pseudo-conformes biunivoques de D en lui-m&me se compose d'un nombre fini ou d'une infinitk dtnombrable de familles continues, dont l'une est un groupe de Lie, invariant dans G ; il n'y a exception que si G est proprement discontinu (auquel cas G ne contient qu'un nombre fini ou une infinite' dknombrable de transformations). Le sens prBcis qu'il faut donner A ces BnoncBs sera expliquB en temps utile. Ces deux propositions rBsultent de thBorhmes plus g6nCraux. Voici d'ailleurs le plan de ce travail : les paragraphes 1, 2, 3 et 4 sont consacrBs A une sBrie de dbfinitions, indispensables pour la comprBhension exacte de ce qui suit. La notion de groupe de transformations (envisag6 du point de vue local) est prCcisBe au paragraphe 1; nous avons, on le verra, imposB des restrictions A la notion de groupe. Ces restrictions se trouveront justifiBes par la suite. AprBs avoir dBfini ce qu'il faut entendre par groupe localement fermk, nous disons quelques mots des groupes de transformations envisagCs du point de vue global (ceci dans le seul cas oh il s'agit de transformations biunivorliles d'un domaine en lui-m&me).Les dBfinitions relatives aux groupes continus se trouvent au paragraphe 2 : groupes continue abstraits (point de vue global), groupes continus abstraits (point de vue local), groupes continus de transformations (point de vue (I)
p. 993.
Sur les groupes de transformations pseudo-conjormes, 196, 1933,
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DE TFUNSPORMATIONS ANALYTIQUEB
local, puis point de vue global); on remarquera qu'il y a deux definitions possibles (non Cquivalentes) d'un groupe continu de transformations envisage du point de vue global : sens restreint, et sens ttendu. C'est au paragraphe 3 qu'on trouvera la notion de groupe quasi continu de transformations, plus g6nCrale que celle de groupe continu ; on a la proposition suivante : Le groupe des transformations pseudo-conformes biunivoques d'un domaine born6 en lui-meme, envisage du point de vue local, est quasi continu. Au paragraphe 4 se trouvent toutes les definitions relatives aux groupes de Lie (point de vue local et point de vue global). Les paragraphes 5, 6, 7, 8 sont consacr6s aux groupes de transformations ~nalytiques,envisaghs du point de vue local. Aux paragraphes 5 et 6 il est question de groupe admettant une transformation infinit6simale)), et l'on donne une condition suffisante pour qu'un groupe admette une transformation infinit6simale donn6e. On y montre aussi qu'un groupe localemend fermt de transformations analytiques ne peut admettre deux transformations infinitesimales sans admettre leur crochet et leurs combinaisone lin6aires (ce qui g6n6ralise une proposition de la th6orie classique de Lie). Au paragraphe 7, on envisage les groupes qui jouissent d'une certaine propri6t6, dite proprittt [PI, et I'on montre que cette propriCt6 est ntcessaire et suffisante pour qu'un groupe quasi continu de transformations analytiques soit un groupe de Lie (point de vue local). On retrouve notamment ainsi deux th6orhmes connus : ((tout sous-groupe continu d'un groupe de Lie est un groupe de Lie n; et : tout sous-groupe d'un groupe de Lie G, ferm6 dans G, est un groupe de Lie D. Enfin, au paragraphe 8, on montre que tout groupe de transformations pseudoconformes (envisagd du point de vue local) possbde la propri6t6 [PI, d'oh r6suIte le th6orhme fondamental suivant (th6orbme 11): Tout groupe quasi continu de transformations pseudo-conformes est un groupe de Lie (point de vue local). Les deux th6orhmes 6noncCs plus haut sont des cons6quences de ce th6orhme fondamental. Le paragraphe 9 est consacr6 3 l'6tude globule du groupe des transformations pseudo-conformea d'un domaine born6 en luimeme. Un dernier paragraphe 10 porte le titre : tc Applications et compl6ments N . ((
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1. - Groupes de transformations
Nous nous bornerons & envisager des transformations continues dans un espace & un nombre fini de dimensions. Soit 6 un espace abstrait & n dimensions rhelles (I), et soit D un domaine dans cet espace, c'est-&-direun ensemble connexe de points de 6 , dont chacun est intCrieur & un voisinage dont tous les points font partie de D. DBsignons par une lettre chaque point de 6. Nous envisagerons des transformations
dont chacune fait correspondre & chaque point M inte'rieur d D un point bien dBterminB M' de l'espace 6, cette correspondance Btant continue. I1 sera commode (7ddntroduire une mttrique dans I'espace 6, c'est-&-direune loi qui associe, & chaque couple de points de 6, un nombre positif ou nul, appelB distance de ces deux points, et satisfaisant aux deux conditions suivantes : lola distance est nulle lorsque les deux points sont confondus, et dans ce cas seulement ; 2" la distance de deux points est une fonction continue par rapport & l'ensemble de ces deux points. Etant donnBe une transformation de la forme ( I ) , dBfinie et continue dans le domaine D, et Btant donnB un domaine A complhtement intBrieur D ( 9 , la distance du point M son transform6 ?(M) admet, lorsque M dBcrit le domaine A, une borne ( I ) C'est-A-dire un ensemble df818ments, appelBs points, dans lequel ont Bt8 d6finis des voisinages satisfaisant aux conditions de HAUSDORF'F (y compris la s6parabilit8), chaque voisinage Btant homBomorpbe A une hypersphere de I'espace A n dimensions. (') Mais cela n'a pas une importance essentielle. On pourrait se passer de cette hypothhse, ce qui cornpliquerait l'expos6. (') C'est-A-dire tel que t ~ u ensemble t infini de points de A ait au moins un point d'accumulation intbrieur & D.
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GROUPES
auperieure finie, que nous appellerons l'tcart de la transformation (1) dans le domaine A. Plus generalement, Btant donnees deux transformations
nous appellerons tcart mutuel de ces deux transformations dans A, la borne aup6rieure de la distance des points y(M) et yl(M) lorsque M decrit A. Condition (a). - Etant donn6 un ensemble E de transformatione de la forme ( I ) , d6finies et continues dans D, nous dirons que cet ensemble satisfait la condition (a) si, de quelque fagon qu'on ae donne deux dornaines A et h1 complhtement interieurs B D, 1'6cart mutuel dans A' tend vers zero avec 1'6cart mutuel dans A ; d'une f a ~ o nprecise : h chaque nombre E'> 0 on doit pouvoir associer un nombre positif E(E,A,A',el) qui jouit de la proprittt suivante : chaque fois que deux transformations de l'ensemble E ont, duns A, un &art mutuel plus petit que E , elles ont, duns A', un tcart mutuel plus petit que E'. Si un ensemble E de transformations remplit la condition (a), il satisfait, en particulier, tI la condition suivante : deux transformations de E ne peuvent &treidentiques dans un domaine partie1 (int6rieur tI D) Bans &re identiques dans le domaine D tout entier. Etant donne un ensemble E de transformations qui contient la transformation identique MI= M, et satisfait tI la condition ( a ) , nous choisirons une fois pour toutes un domaine A, complhtement int6rieur tI D, et nous dirons qu'un sous-ensemble E' de E constitue un voisinage de la transformatio.n identique si E' contient toutes les transformations de E dont 1'6cart (dans A,) est plus petit qu'un certain nombre, - et peut-&tred'autres transformations. Le domaine particulier A, ne joue aucun rble essentiel dans cette definition. Nous arrivons maintenant A la d6finition d'un groupe de transformations. Nous appellerons groupe tout ensemble G de transformations (d6finies et continues dans D) qui satisfait d la condition (a), contient la transformation identique, et satisfait, en outre, tI deux conditions (b) et (c) que voici : (b) I1 existe, dans G, un voisinagez de la transformation identique, dans lequel a 6t6 d6finie une loi de composition ; cette
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
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loi associe, & deux transformations quelconques S et T de I'ens e m b l e c une transformation de G, appel6e produit de S par T, et d6sigriCe par TS. La loi de composition doit satisfaire la condition suivante: & chaque domaine A complhtement int6rieur & D on peut associer un nombre positif Y,(A), tel gue toute transformation S de G, dont 1'6cart est inf6rieur A -q(A) dane A, jouisse des troia propriBt6s suivantes : lo S fait partie d e z ; 2" le point S(M) est int6rieur & D quel que soit M intbrieur & A ; 3" le point TS(M) (transform6 de M par la transformation-produit TS) est identique au point T[S (M)1, et cela quel que soit M int6rieur h A et quelle que soit la transformation T d e z
-
(c) I1 existe un voisinagez de la transformation identique, contenu dans G, et qui jouit de la propri6t4 suivante : quelle que
-
soit la transformation S d e z , on peut trouver, d a n s c au moins une transformation, dCsign6e par S-', telle que le prodnit S-'S soit la transformation identique. Relativement aux conditions (a), (b) , (c) , faisons les remarques suivantes. Tout d'abord, si I d6signe la transformation identique, et S une transformation quelconque du groupe G, le produit SI est identique & S ; il en est de m6me du produit IS, au moins si 1'6cart de S est assez petit. En second lieu, soit S une .-
transformation quelconque de G, et soit T une transformation d e r q u i jouisse de la m6me propri6t6 que S-', a savoir que le produit TS soit la transformation identique; alors T est n6cessairement identique A S-', au moins si 1'6cart de S est assez petit ( I ) . La transformation S-' porte le nom de transformation inverse de S. On verifie que 1'6cart de S-' tend vers z6ro avec 1'6cart de S ; donc, si 1'6cart de S est assez petit, S-' posshde son tour une transformation inverse, et on voit facilement que I'inverse de S-' n'est autre que S.
-
r)
(I) En effet, si 1'6cart de S (de est plus petit. que q (A,) dans A,, les transformks des points de A, par S sont tous distincts, puisque le prorluit S-I S est la transformation identique ; par suite, d'aprbs u n th6oreme de topologie, S transformc A, en u n domaine A , , d'ailleurs int6rieur A D. Cela Btant, s'il existe dans G une transformation T telle que le prodr~it TS soit la transfortnation identique, T et S-' sont identiques entre elles dans A,, donc, d'apres la condition (a), dans le domaine D tout elltier. C.Q.F.D.
Au sujet de la loi de composition ( b ) , remarquons encore ceci : lorsque 1'Ccart de deux transformations de G est suffieamment petit, leur produit appdrtient & G. Par condquent, ei trois transformations S, T, U de F o n t leurs Ccarts assez petite, lea produits UT et TS appartiennent & ??;on peut donc envisager le produit de S par UT, et le produit de TS par U ; en outre, on a U (TS)=(UT) S, au moins si les Ccarts de U, T, S sont assez petits ( I ) . Etant donnC un groupe G, tout voisinage de la transformation identique constitue 3 son tour un groupe de transformations. Comme on le voit, les groupes, tels qu'ils viennent d'&tre dCfinis, sont uniquement envisagds du point de vue local : seules, les transformations voisines de la transformation identique (c'est&-dire d'Ccart assez petit) nous intbressent. Groupes localement fermks. - Soit toujours l'espace 6 et un domaine D de cet espace. Etant donnCe une suite infinie de transformations S,, ..., S,, ..., dCfinies et continues dans D (appartenant ou non & un groupe), nous dirons que ces transformations convergent dans D vers une transformation S si, dans chaque domaine complhtement intdrieur 3 D, 1'6cart mutuel de S et de S, tend vers zCro lorsque k augmente inddfiniment. Cela Ctant, nous dirons qu'un groupe de transformations G est ferrnt, si, de toute suite infinie de transformations de G, on peut extraire une suite partielle qui converge dans D vers une transformation faisant kgaZement partie de G. On ddduit de 1% que si une suite infinie de transformations de G converge, dans un domaine partiel inttrieur d D, vers une transformation limite, celle-ci fait partie de G et la convergence a lieu dans le domaine D tout entier. Un groupe G sera dit Zocalernent fermk s'il existe, dans G, un voisinage de la transformation identique qui soit fermk ('). Cas des groupes de transformations pseudo-conforrnes. Pla~ons-nousdans le cas particulier oh I'espace & est celui de n ( I ) I1 ne s'agit pas 18 d'une condition nouvelle, mais d'une cons& quencp logique des conditions (b) et (a). ( 2 ) On n'exclut pas a priori le cas oh il existerait, dans G, u n (( voisinape de la transformation identique I) qui ne contiendrait pas d'autre transformation que la transformation identique. Tout groupe qui est dans ce cas Serb consid6rE comme (( locnlement ferm6 ) I .
DE TRANSFORMATION8 ANALYTIQUES
variables cornplezes z,,
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..., z, ; nous dirons qu'une transformation M' =(p (M)
eat pseudo-conforrne dans un domaine D de l'espace 6 si les n coordonndes complexes du point MI sont, dans D, des fonctions holomorphes des coordonnBes complexes du point M. Pour exprimer qu'un ensemble E de transformations pseudoconformes satisfait & la condition ( a ) , il suffit d'exprimer que E satisfait & la condition plus simple suivante : (a)' Les transformations de l'ensemble E sont uniformdment borndes duns tout domaine compldtement interieur B D ; d'une fagon prdcise : & chaque domaine A, completement intdrieur & D, on peut associer une hypersphere Z de rayon fini, telle que le point cp(M) reste inthrieur & Z quel que soit M interieur I? A, et quelle que soit la transformation de E. Si la condition (a)' est verifide, la condition (a) le sera aussi ; en effet, de (a)' il resulte que les fonctions (holomorphes) qui ddfinissent les transformations de l'ensemble E envisage for; la conment une famille normale dans D (au sens de P. MONTEL) dition (a) n'est alors que l'expression d'un theoreme classique eur la convergence des suites de fonctions holomorphes qui appartienrlent & une famille normale. Groupes envisagds du point de vue global. - Soit G un groupe de transformations de l'espace 6 definies et continues dans D (le mot groupe Btant toujours pris dans le sens defini plus haut). Supposons cette fois que le point M1=(p(M) soit intdricur B D quel que soit le point M de Dl et quelle que soit la transformation de G. Supposons en outre que :
1" On puisse choisir pour et le groupe G lui-mdme ; 2" Le point TS(M) soit identique au transforme, par T, du point S(M), et cela quel que soit M intCrieur & Dl et quelles que soient les transformations S et T du groupe G. Dans ces conditions, nous dirons que G constitue un groupe du point de vue global. On remarquera que chaque transformation de G est necessairement une transformation biunivoque du domaine D en lui-m&me (cons6quence de l'existence d'une transformation inverse). Ainsi, la notion de groupe envisagd du point de vue global ne s'applique qul&des groupes de transformations biunivoques d'un domaine en lui-mdme.
12
GROUPES
I1 est clair que tout groupe envisag6 du point de vue global peut aussi Btre consid6r6 comme un groupe du point de vue local.
2.
- Groupes continus
Rappelons quelques notions bien connues. ConsiGroupes continus abstruits (point de vue global). d6rons un groupe abstrait (') g, c'est-&-dire un ensemble d'616ments satisfaisant aux trois conditions suivantes : 1" I1 a 6t6 defini une loi de composition, qui, & chaque couple d'B16ments s et t de g, ranges dans un ordre d6termin6, associe un 616ment de g, appel6 produit de s par t, et design6 par ts; cette loi satisfait & la condition suivante : s, t, u designant trois Bl6ments quelconques de g, on a
-
2" L'ensemble g contient au moins un 616ment i tel que l'on ait
is =s
pour tout 6lBment s de g ; 3" A chaque 616ment s de g on peut associer au moins un element de g, d6sign6 par s-', et tel que
On sait que 11unicit6de 1'616ment-unit6, l'unicit6 de 1'616ment inverse d'un 616ment donn6, les relations si =s et ss-'= i, etc.. ., sont des consdquences logiques des conditions pr6ddentes. Ceci rappel6, soit g un groupe abstrait dans lequel les 616ments seraient les points d'un espace abstrait V & p dimensions (rdelles). Supposons en outre que la loi de composition satisfasse & la condition suivante : le produit ts (qui est un point de V) est une fonction continue par rapport B l'ensemble des variables s et t. Dans ces conditions, nous dirons que g est un groupe continu abstrait B p paramdtres (point de vue global). A un tel groupe g on peut associer un groupe G de transformations biunivoques de l'espace V en lui-mCme (point de vue (') Voir, par exemple, VAN nm WAERDFN, Moderne Algebra (Springer 1930), 1. Teil, pp. 15 et suivantes.
DE TRANSFORMATION8 ANALYTIQUEB
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global). En effet, ia un 616ment s de g on peut associer la transformation S qui, A chaque point t de V , fait correspondre le point st. L'ensemble des transformations ainsi obtenues satisfait & la condition (a) du S 1 (l'espace 6 et le domaine D Ctant ici repr6sent6s tous deux par 0 ) . En outre, cet ensemble constitue un groupe, si I'on convient que le produit de deux transformations S1 et S, n'est autre que la transformation assosi6e au produit (dans le groupe abstrait g) des transformations correspondantes S, et s,. Nous donnerons 6galement le nom de groupe continu abstrait au groupe G. Le groupe G est simplement transitif dans V ; en d'autres termes, G contient une transformation et une seule qui amene un point arbitraire de V en un point arbitraire de V. V porte le nom de varidtd du groupe abstrait G. Deux groupes continus abstraits G et G' doivent &treregard& comme identiques (globalement) si I'on peut Ctablir, entre les points des vari6t6s V et V' de ces groupes, une correspondance biunivoque et continue dans laquelle les transformations identiques se correspondent, et qui respecte la loi de composition. Etant donn6 un groupe continu abstrait G (tel qu'il vient d'&tre dhfini, c'est-&-dire envisag6 du point de vue global), on peut avoir int6r&t& ne considhrer, dans G, que les transformations d'kcart assez petit (cf. 5 1) ; d'ailleurs, tout voisinage de la transformation identique, dans un groupe continu abstrait, constitue encore un groupe de transformations ienvisag6 du point de vue local), d6finies et continues dans la vari6t6 V, ou m&meseulement dans un domaine partiel de V. En outre, 6tant donn6 un voisinage G , de la transformation jdentique, chaque transformation de G peut se mettre sous la forme du produit d'un nombre fini de transformations de GI. Mais, pour d6finir, du point de vue local, un groupe continu abstrait, il n'est pas n6cessaire de passer d'abord par le point de vue global. C'est ce que nous allons indiquer maintenant. Ddfinition d'un groupe continu abstrait (point de vue local). - Soit g un groupe de transformations (point de vue local), au sens du 5 1, I'espace 6 6tant ici repr6sent6 par l'espace euclidien p dimensions rdelles, et le domaine D par une hypersphere Z de cei espace. Supposons que g contienne une transfor-
ia
GROUPES
mation et une seule amenant le centre i de X en un point arbitraire s de X, et que, cette transformation Btant dBsignee par
la fonction cp soit continue par rapport d l'ensemble des variables m et s lorsque m et s sont intBrieurs h E. Nous dirons qu'un tel groupe g dBfinit un groupe continu abstrait h p parametres (point de vue local). On remarquera que, chaque transformation de g Btant caractCris6e par le point s en lequel elle amBne le point i, le point i est representatif de la transformation identique ; l'tcart d'une transformation de g tend vers zBro lorsque le point reprksentatif s tend vers i, et dans ce cas seulement ; par suite, si les pointe representatifs s1 et sz de deux transformations de g sont assez voisins de i, ces transformations ont un produit dans g, et le point reprbsentatif cp(s, ; sz) de ce produit est une fonction continue par rapport & I'ensemble des variables s, et sz. Soient donnCs deux groupes continus abstraits g et g' (envisages soit du point de vue local, soit du point de vue global). Nous dirons qu'ils sont localement identiques si I'on peut trouver, dans g et g', deux voisinages de la transformation identique, et Btablir, entre les points reprksentatifs des transformations de ces deux voislnages, une correspondance biunivoque et continue qui respecte la loi de composition (et dans laquelle, par conskquent, les transformations identiques se correspondent). Groupes continus de transformations (point de vue local). Soit de nouveau, comme au S 1, un groupe G de transformations d'un espace 6, dBfinies et continues dans un domaine D de cet espace. Nous dirons que G est un groupe continu d p paramttres (du point de vue local) si on peut Btablir, entre les transformations de G qui appartiennent B un certain voisinage de la transformation identique, et les points d'une hypersphere ferm6e (9 u de l'espace euclidien & p dimensions reelles, une correspondance biunivoque dans laquelle la transformation identique correspond &
(v,
( I ) m d6signe un point variable de Z, et ml le point (de 6) transform6 de m par la transformation envisagCe (celle qui amPne i en s). (=! Par hypersphere fermke, nous entendons I'ensemble des points intkrieurs B une hypersphhre et des points frontiPres. (S) Le mot biunivoque signifie, en particulier, que les transformations associkes A deuv points dislincls de 5 ne sont jamais identiques entre elles.
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
15
un point i intBrieur B o, et qui satisfait B la condition suivante : si
designe la transformation de G qui correspond au point m de o, la fonction @ est continue par rapport ti l'ensemble des variables M et m. On remarquera que tout groupe continu abstrait peut &tre considBrB comme un groupe continu de transformations. Inversement, & tout groupe continu de transformations G (envisage du point de vue local), on peut associer un groupe continu abstrait g (point de vue local). En effet, dhs qu'un point m de a est assez voisin de i, 1'6cart de la transformation correspondante de G est petit. Donc il existe une hypersphhre E,de centre i , int6rieure 3 a , et qui jouit de la propri6tC suivante : Btant donnCs deux points quelconques m, et ma de E, les transformations correspondantes de G ont un produit; & ce produit correspond un point m1 de IS, et on dBmontre facilement que m1 est une fonction y(ml ; m,) continue par rapport B l'ensemble des variables m, et mz. Les transformations ml=cp(m ; s ) , considBrBes comme faisant correspondre 3 chaque point m de E un point m1 de o (s Btant considCr6 comme un parambtre) ddfinissent un groupe continu abstrait g 3 p paramhtres (point de vue local) ; le groupe g est isomorphe au groupe G ; on l'appelle parfois le groupe des paramktres du groupe G. Groupes continus de transformations (point de vue global) .Soit G un groupe de transformations biunivoques d'un domaine D (B n dimensions) en lui-meme, G Btant envisagB du point de vue global (Cf. 5 1 ) . Nous dirons que G est un grolzpe continu ci p paramktres (point de vue global) si on peut Btablir, entre les transformations de G et les points d'un espace abstrait 'I7 h p dimensions rdelles, une correspondance biunivoque qui satisfasse aux deux conditions suivantes : loSi I'on dBsigne par : M1=@(M; m) la transformation de G qui corresporid au point m de V, la fonction @ est continue par rapport i I'cri~ernble des variables M
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GROUPEB
2" I1 existe, dans G, u n voisinage de la transformation identique (au sens du S 1) tel que les points associBs de V constituent u n ensemble fermd dans V. Tout groupe continu abstrait (point de vue global) peut Ctre considQr6 comme u n groupe continu de transformations biunivoques de la vari6tB des parambtres (point de vue global). Inversement, A tout groupe continu de transformations G (point de vue global) on peut associer u n groupe continu abstrait g (point de vue global), isomorphe A G. Le lecteur fera lui-m&mela dBmonstration, qui exige notamment que l'on utilise la condition 2" (formulBe quelques lignes plus haut). De ce qui prBcbde, on dCduit aussi la proposition suivante : Btant donn6, dans GI un voisinage arbitraire de la transformation identique (soit GI), chaque transformation de G est le produit d'un nombre fini de transformations appartenant A GI. On pourrait donner d'un groupe continu de transformations (point de vue global) une autre d6finition, non Bquivalente A la pr6cCdente. Pour Bviter toute confusion, nous rBserverons le nom de groupes continus (point de vue global) au sens restreint H , aux groupes continus tels qu'ils ont Bt6 dBfinis plus haut. Difinition. - Un groupe de transformations G (point de vue global) sera dit continu 6 p parambtres a u sens e'tendu, si l'on peut, entre les transformations de G et celles d'un groupe continu abstrait g A p parambtres (point de vue global), 6tablir une correspondance biunivoque satisfaisant aux conditions suivantes : 1"Si l'on dCsigne par ((
la transformation de G qui correspond A la transformation s de g, la fonction @ est continue par rapport i l'ensemble des variables M ets; 2" Au produit de deux transformations de g correspond le produit des transformations correspondantes de G (en particulier, A la transformation identique de g correspond la transformation identique de G) . I1 est clair que tout groupe continu au sens Ctendu est continu au sens restreint ; la r6ciproque n'est pas vraie, comme le prouve le groupe continu A un parambtre t (reel) x' G x
+t
(mod. 1) ,
y'=
y
+ at
(mod. I),
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
I7
a designant un nombre reel irrationnel : ce groupe de transfor-
nlations d'un tore ( I ) en lui-meme est continu au sens Btendu, nlais non au sens restreint, car la condition 2" du sens restreint n'est pas remplie. On remarquera que tout groupe continu au sens restreint est localement ferme' (au sens du S 1);il n'en est pas toujours de mCme pour un groupe continu au sens 6tendu. Notons que la distinction entre le sens restreint et le sen8 6tendu (7 n'a lieu d'Ctre faite que pour les groupes continus envisag6s du point de vue global. Signalons, sans d6monstration. le theoreme suivant : ((Soit g un groupe continu (point de vue local) de transformations biunivoques d'un domaine born6 D en lui-meme. Plus exactement, designons par g I'ensemble des transformations du groupe qui sont assocides aux points d'une hypersphere de I'espace des parambtres, cette hypersphere contenant le point representatif de la transformation identique. Etant donne un nombre quelconque de transformations quelconques de g, soient s,, s2, ..., s,, effectuons successivement, sur le domaine D, ces transformations; le resultat est encore une transformation biunivcque de D en luimCme. L'ensemble de toutes les transformations que l'on peut obtenir ainsi constitue un groupe continu G (point de vue global). N En g6n6ra1, on pourra seulement affirmer que G est continu au sens e'tendu ; neanmoins si on sait par ailleurs que toutes les transformations de G, dont 1'6cart est plus petit qu'un nombre fixe, font partie de g, alors il est clair que G est un groupe continu au sens restreint. Croupes continus de transformations analytiques. - Si un groupe G (envisag6 soit du point de vue local, soit du point de vue global) est & la fois un groupe de transformations analytiques, et un groupe continu de transformations (sens restreint ou aens dtendu), nous dirons que G est un groupe continu de transformations analytiques. On d6finirait de mCme ce qu'il faut entendre par groupe continu de transformations pseudo-conformes. -
h tore en question est le lieu des systhmes de deux nombres r6els d6finis modulo 1. (') J'ai 616 amen6 faire cette distinction & la suite d'une conversation avec M. E. CARTAN. (I)
2, y,
GROUPES
3. - Groupes quasi-continua de transformations Dtfinition. - Soit G un groupe de transformations d'un espace 6, d6finies et continues dans un domaine D de cet espace (Cf. 4 1 ) ; G peut Ctre envisag6 soit du point de vue local, soit du point de vue global, mais la quasi-continuit6 qui va Ctre d6finie est une propriBt6 locale de G. No& dirons que G est quasicontinu d'ordre a u plus tgal d q, si on peut Btablir, entre les un i certain voisinage transformations de G qui appartiennent ? de la transformation identique, et les points d'un certain ensemble ( E ) , int6rieur ?i l'espace euclidien ?i q dimensions (reelles), bornt et ferme' dans cet espace, une correspondance biunivoque ( I ) satisfaisant ?i la condition suivante : si l'on d6signe par
la transformation de G qui correspond au point m de l'ensemble ( E ) , la fonction @ doit Ctre continue par rapport d l'ensembje des variables M et m, lorsque M varie dans D et m dans (E). On n'exclut pas Ie cas oh l'ensemble (E) serait r6duit un seul point. I1 est clair qu'un groupe quasi-continu de transformations est localement fermt ( O 1 ) . I1 est clair aussi que tout groupe continu (point de vue local) est quasi-continu. On a le th6orBme important suivant :
Thborbme 4. - Etant donnt, duns l'espace de n variables complexes 21, ..., z,, u n domaine bornt D, le groupe G de toutes led transformations pseudo-conformes biunivoques de D en 2uim&me a t quasi-continu d'ordre a u plus dgal d 2 n ( n + l ) ('). De'monstration. - Chaque transformation S de G est d6finie par n fonctions zl,, ..., zl, holomorphes en 21, ..., z, dans le domaine D. A une telle transformation on peut attacher un systBme de 2 n ( n 1 ) nombres rbels, en proc6dant de la facon suivante : choisissons une fois pour toutes un point 0 int6rieur ? Di; puis,
+
Voir la note 3 de la page 14. Cet 6nonc6 n'a rien de d6finitif ; nous verrons en effet plus loin ( 5 8) que G est un groupe continu (et meme un groupe de Lie) B n (n 2) parametres au plus, - moins qlie G ne contienne qu'une infinif6 d6nombrable de transformations. (I)
(')
+
DE TFMNSFORMATIONS
19
ANALYTIQUES
&ant donnCe la transformation S de G, consid6rons d'une part les valeurs (complexes) de zIl, ..., z',, au point 0 , d'autre part les valeurs (complexes) des n' dCrivQes partielles de il,..., z', par rapport & zl, ..., z,,, prises au point 0. Cela fait bien 2 n(n 1) nombres rdels, ou, si l'on veut, un point bien dQterminCde l'espace euclidien 6 & 2 n ( n 1) dimensions. Cela p o d , choisissons une hypersphere ferm6e (I) Z de centre 0, compl&tementinthrieure & D. DQsignonspar g I'ensemble des transformations de G qui am&nent0 en un point de Z ; il est clair que g constitue un voisinage de la transformation identique dans G. Je dis que deux transformations distinctes de g ont toujours pour associQs dans I'espace 6 deux points distincts ; en effet, cela rQsulte d'une proposition connue de la thQorie des fonctions de plusieurs variables complexes (9. Soit alors (E) l'ensemble des points de 6 associQs aux transformations de g. L'ensemble (E) est bornt et fermt, comme cela rQsulte d'un autre thQor&meconnu ('). Enfin, si l'on dQsigne par
+
+
((
))
la transformation de g & laquelle est associQle point m de l'espace 6, la fonction @ est continue par rapport & l'ensemble des variables M et m, lorsque M varie dans D et m dans (e) ; on le dhmontre facilement comme consQquence des deux thQor&mesqui viennent d'Ctre rappelds [(') et (')I. I1 est donc Qtabli que G est quasicontinu d'ordre au plus Cgal & 2 n ( n + 1 ) . La dQmonstration vaut pour tout domaine D born6, que D soit univalent ou ne le soit pas; dans ce dernier cas, il suffit d'avoir soin de prendre pour 0 un point qui ne soit pas un point de ramification (') pour le domaine D.
(') C'est-&-direI'ensemble des points intbrieurs l'hypersphhre et des points frontikres. (*) Voir, par exemple, H. CARTAN, Les fonctions de deuz variables complezes, etc. (Journal de Math., 9 sCrie, t. 10, 1931, pp. 1-114), theoreme VII, p. 30. La dCmonstration vaut pour n variables. (S) H. CARTAN, Sur les fonctions de plusieurs variables complezes, etc. (Math. Zeitschrift, 35, 1932, pp. 760-773) ; thEorhme 2, p. 768. (') Voir par exemple, dans l'article cite ? la inote (3) de cette page, les S S 1 et 2.
CROUPES
4. - Groupes de Lie Cornmencons par le point de vue local. Cm d'un groupe de transformations analytiques. - Un groupe G de transformations analytiques est un groupe de Lie (point de vue local) si c'est un groupe continu (A p parambtres) du point de vue local, et si en outre on peut choisir la loi de correspondance entre les transformations de G et les points de l'hypersphbre a (de l'espace A p dimensions) de facon que les coordonnee3 du point M1=@(M ;m) soient des fonctions analytiques par rapport d 1'e.nsemble de toutes les variables : les coordonn6es de M et celles de m. Dans le cas particulier d'un groupe de transformations pseudo-conformes, il s'agira de choisir la loi de correspondance de facon que les coordonnCes complexes du point
soient des fonctions analytiques par rapport A l'ensemble de toutes les variables, A savoir les coordonndes complexes de M et les coordonn6es rtelles de m. Cas plus ge'ne'ral d'un groupe de transformations continues.Supposons simplement que les transformations d'un groupe G soient continues. G sera nommd groupe de Lie (point de vue local) si G est un groupe continu du point de vue local, et si en outre on peut choisir, au voisinage de chaque point de I'espace 6 dans lequel opbre G, un systbme de coordonndes convenable, et choisir la loi de correspondance entre les transformations de G et les points de l'hypersph8re a , de facon que les coordonndes du point M1=cp(M ; m ) soient analytiques par rapport l'ensemble de toutes les variables: les coordonndes de M et celles de m. On a vu que tout groupe continu abstrait (point de vue local) peut &treconsid6r6 comme un groupe de transformations. En consdquence, un groupe continu abstrait sera un groupe de
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
2
Lie s'il est localement identique 8 un groupe continu abstrait dans lequel les transformations
seraient analytiques (par rapport 8 l'ensemble des coordonndea des points m et s). Dans la th6orie classique de Lie, on d6montre la proposition suivante : Si un groupe de transformations G est un groupe de Lie du point de vue local, le groupe des paramktres (') du groupe G (qui est un groupe continu abstrait g) est aussi un groupe de Lie. En particulier, si un groupe de transformations analytiques eet un groupe de Lie, le groupe des parametres est un groupe de Lie. I1 est nature1 de se demander si cette dernihre proposition admet une rCciproque : Si un groupe G de transformations analytiques est tel que le groupe des parametres soit un groupe de Lie, G est un groupe de Lie. )I Cette rdciproque n'a jamais dt6 d6montrde ; on n'a jamais non plus, du moins 8 ma connaissance, trouv6 un exemple la mettant en d6faut. I1 y a donc 18 un problhme int6ressant. Je signale simplement que ce probleme est rdsolu dans le cas particulier des groupes de transformations pseudo-conformes ; on peut en effet d6montrer facilement (7la proposition suivante : Soit G un groupe continu de transformations pseudo-conforrnes (point de vue local); si le groupe des paramktres de G est un groupe de Lie, le groupe G est lui-m&meun groupe de Lie. Malgr6 la simplicit6 de la dkmonstration, nous ne la reproduirons pas ici ; nous Btablirons en effet plus loin une proposition encore plus gdndrale, 8 savoir : Tout groupe continu de transformations pseudo-conformes (point de vue local) est un groupe de Lie. Comme nous l'avons rappel6 dans l'Introduction, la question ((
( I ) Se reporter h la definition d'un groupe continu abstrait (point de vue local). (" Cf. s 2. H . CARTAN,Sur les groupes de transformations pseudo-conjonnes (Comptes Rendus, 196, 1933, p. 669). Au sujet de la demonstration donnee dans cette note, je signale un defaut d'exposition qui pourrait faire croire que les fonctions envisagees doivent @tresupposees d6vr.loppables en series de Fourier, alors qu'il suffit de les supposer continues ; de toute facon, les coefficients de Fourier existent.
22
GROUPES
est toujours pendante de savoir s'il existe des groupes continus abstraits (point de vue local) qui ne soient pas des groupes de Lie. Mais, comrne conshquence de notre thhorhme, nous pouvons affirmer ceci : s'il existe u n groupe continu abstrait g qui ne soit pas u n groupe de Lie, il est impossible de trouver u n groupe de transformations pseudo-conformes dont g soit le groupe des parambtres. Abordons maintenant le point dc vue global. Ddfinition. - Un groupe de transformations G (point de vue global) est un groupe de Lie d u point de vue global si : 1" G est continu du point de vue global ; 2" G est un groupe de Lie du point de vue local. Suivant que G est continu au sens restreint, ou au sens Btendu, nous dirons que G est un groupe de Lie au sens restreint, ou au sens Btendu. En particulier, un groupe continu abstrait (point de vue global) est u n groupe de Lie, si, envisagB du point de vue local, c'est u n groupe de Lie. Comme consBquence d'une proposition signalhe A la fin du S 2, nous pouvons signaler ceci : Soit g un groupe (point de vue local) de transformations analytiques biunivoques d'un domaine D en lui-m6me ; supposons que g soit un groupe de Lie du point de vue local, et, plus prBcisBment, dBsignons par g l'ensemble des transformations du groupe qui sont associBes aux points de l'hypersphhre cr. Etant donnB u n nombre quelconque de transformations de g, effectuons successivement, sur le domaine D, ces transformations : le rBsultat est encore une transformation analytique biunivoque de D en lui-mCme. L'ensernble de toutes les transformations ainsi obtenues constitue un groupe de Lie du point de vue global ((
.))
5. - Transformations infinit6simales d'un groupe de transformations analytiques Dans ce paragraphe, ainsi que dans les trois suivants, il ne sera question que de groupes de transformations analytiques envisag63 du point de vue local. Ddfinition. - Soit G un groupe de transformations analytiques. Nous ne aupposons pas que G soit un groupe de Lie, ni m6me
D E TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
23
que G soit continu. Nous dirons que G admet la transformation infinitdsimale dM -= (M) (+ etant analytique) (2) dt
+
si G corttient les transformations finies engendrdes par cette transformation infinitdsimale, tout au moins celles qui correspondent d des valeurs assez petites de 1 t ( . Cette d6finition appelle quelques explications. Par hypothkse, G est un groupe de transformations analytiques dans un domaine D de l'espace h n dimensions (rCelles ou complexes). La notation +(M) dCsigns n fonctions des n coordonn6es (r6elles ou complexes) du point M, fonctions suppos6es dCfinies et analytiques lorsque M est intCrieur h D. La notation
dCsigne un systbme de n Cquations diffbrentielles h n fonctions inconnues (r6elles ou complexes) de la variable t. Cela posC, choisissons arbitrairement un domaine A, complbtement int6rieur h D; les thCorbmes classiques d'existence nous apprennent que le systkme diffhrentiel dM' --- = (M') dt
+
admet une solution et une seule
qui satisfasse aux conditions suivantes : lo Les coordonnCes du point M' sont analytiques par rapport h l'ensemble de toutes les variables (savoir : les coordonnCes de M et le paramhtre rCel t) lorsque M est intCrieur h A,, et t infCrieur, en valeur absolue, h un nombre assez petit (soit T ce nombre) ; 2" On a l'identit6
pour tout point M intCrieur h A,. Si nous revenons h notre groupe G , les transformations de G sont analytiques dans A,, puisqu'elles sont, par hypothbse, analytiques dans D. Dire que G admet la transformation infinitksi-
24
GROUPES
<
male (2), c'est dire qu'il existe un nombre positif 9 -7 tel que, pour chaque t satisfaisant i4
la transformation (2) fasse partie de G. I1 est clair que le domaine particulier A, qui a 6th choisi ne joue aucun r&le essentiel dans cette definition. On sait que les transformations (3), envisagees dans le domaine A,, y forment un groupe (au sens du s 1), la loi de composition Btant I'addition pour le parambtre t. Remarque : Pour que G admette la transformation infinitesimale (2), il suffit que G admette les transformations (3) qui correspondent aux valeurs positives assez petites du parambtre t. En effet, G, Btant un groupe, admet, avec chaque transformation d'6cart assez petit, I'inverse de cette transformation. La notion de groupe admettant une transformation infinitdsimale gagne encore en clarte si I'on d6montre le th6orbme suivant :
ThBorfme 2. - Soit D un domaine dans l'espace de n variables (rtelles ou complexes), et soit 4J(M) une fonction analytique (') dans D. Soient les transformations engendrdes par la transformation infinitdsimale
designant un domaine quelconque complbtement int6rieur A D, la fonction Y est analytique par rapport h I'ensemble des variables M et t, lorsque M est intCrieur A A, et ( t 1 infhieur A un certain nombre 7. Soit d'autre part G un groupe de transformations analytiques dans D.Supposons que les transformations (3), qui sont analytiques r, fassent partie de G [Cf. S 1, conen M dans A. Eorsque It Aa
(<
(') C'est-&-direI'ensemble de n fonctions analytiques des coordonnkes du point M.
DE TRANSFORMATIONS
ANALYTIQUES
25
<
dition (b)] pour It 1 2' < 2. Alors la fonction Y est analytique par rapport d l'ensemble des variables M et t pour
M inthrieur 21 D , Au lieu de ddmontrer ce thdorhme, nous allons ddmontrer un thdorhme plus gdndral :
Theorbme 2bis. - Soient p fonctions +, (M) , ..., +,(M) analytiques dans un domaine D. Supposons qu'aucune combinaison lintaire a,+, ... a,,+,,, d coefficients rtels constants, ne soit identiquement nulle, et dtsignons par
+ +
le groupe d un param2tre engendrt par la transformation infinittsimale
Si on pose ait = t,(i =1, ..., p) on sait que, A ddsignant un domaine quelconque complbtement intdrieur h D, la fonction
est analytique par rapport 3 l'ensemble des variables M, t,, ..., t,, lorsque M est intdrieur h A et que It, ( , .. ., I t,l sont infdrieurs & un certain nombre qui ddpend en gdndral de A. Cela Ctant, choisissons un domaine fixe Ao, complhtement intdrieur h D, et supposons Y analytique par rapport h l'ensemble des variables M, t,, ..., t, pour
<
Supposons en outre que, pour 1 ti(
7,
les transformations
M1=Y(M ; t,, ..., t,)
(4)
forment un groupe (de Lie) F dans le domaine Ao. Soit d'autre part G un groupe de transformations analytiques dans D. Supposons que les transjormatiorls (4) fassent partie de
26
GROUPES
G ( I ) pour It, 1
la fonction Y est analytique par
rapport d l'ensemble des variables M, t,, ..., t, pour
<
Dkmonstration. - t,, ..., t, 6tant fix69 ( I t,l 7') , la transforet a fortiori de G ; mation (4) fait, par hypothbse, partie de donc W est une fonction analytique de M lorsque M est int6rieur ?i D. En particulier, nous d6finissons ainsi la fonction Y(M ; t,, ..., t,) pour
I1 reste ?i montrer que Y est analytique par rapport ?i toutes les variables dans le domaine (5). Soit donc A un domaine quelconque, complbtement int6rieur ?i D, et soient u,, ..., up p nombres r6els quelconques, mais fixes, inf6rieurs ?i .tl en valeur absolue. I1 suffit de montrer que Y est analytique en M, t,, ..., t, lorsque M est int6rieur ?t A, et lorsque t,, ..., t, sont respectivement voisins de u,, ..., up. On peut d'ailleurs supposer que A contient A,. Choisissons u n domaine A, complbtement int6rieur ?i Ao. Puisque les transformations (4) forment, dans A,, un groupe de Lie I?, la th6orie classique nous apprend que la transformation
qui a u n sens si M est int6rieur ?i A, et si 1 v, I , ..., I v,l sont petits, fait partie de I? si l vl I , ..., I v, l sont assez petits ; il existe donc p nombres t,, ..., t,, respectivement voisins de u, ..., up, tels que l'on ait la relation
lorsque M est int6rieur B A,. Inversemcnt, ?i chaque systbme de nombres t,, .. ., t,, suffisamment voisins de u,, ..., up, correspond un systbme (unique) de nombres v,, . .., v,, voisins de zCro, tels que la relation prEc6dente soit vCrifike pour tout M int6rieur ?i A,; en outre, v,, ..., v, sont des fonctions analytiques de t l , ..., t, au voisinage de ti =ui. Or on sait (voir 1'6noncC) que 'F(M ; v,, ..., v,) est arlalytique . . (I)
-
Cf. g I , condilion (b'l
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
27
par rapport ZI l'ensemble des variables M, v,, ..., v, lorsque M est inthrieur ZI A, et que Iv, I, . . ., Iv,l sont- suffisamment petits ; d'ailleurs, quand les lvil sont assez petits, 1'6cart de la transformation M1=Y(M ; vl, ..., v,) est plus petit que ?(A) dans A [Cf. S 1, condition (b)]. Dans ces conditions, la transformation (6) fait partie de G ; or, lorsque M est inthrieur A1, cette transformation est identique M1=Y(M; tl,
..., t,),
transformation qui fait aussi partie de G. Donc la relation (6') a encore lieu lorsque M est inthrieur A A. Elle montre que Y(M ; t,, ..., t,) est analytique par rapport A I'ensemble des variables M, v,, ..., v, lorsque M est intdrieur A A, et que t,, ..., t, sont suffisamment voisins de ul, ..., u,. Comme v,, ..., v, sont euxm&mesdes fonctions analytiques de t,, .. . , t,, le thdorbme 2bis est ddmontrd. Revenons maintenant aux transformations infinitdsimales d'un groupe de transformations analytiques. Nous allons indiquer une condition suffisante pour qu'un groupe G admette une transformation infinitdsirnale donnde :
Theorbme 3. - Soit G un groupe localement ferme' (Cf. s 1) de transformations analytiques. Si l'on peut trouver, dans G, une suite infinie de transformations S1, ..., S,, ... qui convergent vers la transformation identique, et s'il existe une suite infinie d'entiers positifs m,, ..., m,, ... tels que la suite des fonctions converge uniformdment vers une fonction analytique $(M) non identiquement nulle, alors le groupe G admet la transformation infinitdsimale
Donnons d'abord quelques prdcisions sur les notations employdes. Soit D le domaine dans lequel les transformations de G sont, par hypothbse, analytiques. Par la notation S,(M), nous ddsignons n fonctions des n coordonndes (rdelles ou complexes) de M, analytiques lorsque M est intdrieur I? D : A savoir les n
28
GROUPES
coordonn6es du point transform6 de M par la transformation Sk. De m&me, la notation Sk(M) -M d6signe n fonctions des n coordonn6es de M ; si nous multiplions ces fonctions par l'entier mk, nous obtenons n nouvelles fonctions qui sont d6sign6es par la notation +,(M) de 1'6nonc6. Nous supposons que ces n produits (qui dBpendent de I'indice k) tendent respectivement vers n fonctions analytiques dans D, et nous dBsignons I'ensemble de ces n fonctions-limites par la notation (M) ; nous supposons que la convergence est uniforme dans tout domaine complbtement int6rieur B D. Par hypothbse, G opbre dans un espace B n dimensions (r6elles ou complexes). Par distance de deux points M (x,, ..., x,) et M'(xll, ..., x,1) de cet espace, nous entendrons la plus grande des quantit6s
+
1 xi1-xi I
( i = l , ..., n) ;
nous d6signerons cette distance par ]MI- MI. De m&me, lorsque nous d6signons n fonctions des coordonn6es d'un point M par une notation unique, telle que +(M), nous d6signerons par
la plus grande des valeurs absolues (ou des modules) des n composantes de cette fonction. Cela p o d , arrivons B la demonstration du th6orbme 3. G, Btant localement fermC, contient un voisinage de la transformation identique qui est ferm6. Ce voisinage est aussi un groupe ; dBsignons-le B nouveau par G. Prenons arbitrairement, une fois pour toutes, deux domaines A et A' complbtement int6rieurs ?D, i le domaine A Btant complbtement int6rieur B A'. I1 existe alors un nombre r qui jouit de la propriCt6 suivante : P d6signant un point quelconque de A, tout point M dont la distance B P est inf6rieure B r est intCrieur B A'. On peut supposer en outre que r a 6t6 choisi inf6rieur au nombre q (A) [Cf. § 1 , condition ( ' b ) ] ;en consCquence, si deux transformations S et T de G ont, dans A, un Ccart inf6rieur B r , on a 1'6galit6 TS(M)=T[S(M)] pour tout M int6rieur B A.
DE TRANSFORMATIONS
29
ANALYTIQUES
+(M) ayant la signification de 1'6nonc6, dhsignons par (3)
Mf=V(M, t)
le groupe B un paramhtre engendrC par la transformation infinitdsimale
On sait, d ' a p r b les thCorbmes classiques d'existence, que analytique en M et t pour ) M intkrieur A A', ItI<.'
Y
est
I
r Ctant un nornbre positif convenable.
DCsignons par A le maximum de I+(M) I dans A', et par p le plus petit des nombres I'
-etr. A Je dis que, si t est compris entre 0 et p, la transformatio~(3) (qui est analytique en M dans A) fait partie de G ; cela ddmontrera le thdorhme. Soit donc to un nombre tel que
DCsignons par q, I'entier le plus voisin du produit m k t o (on donne B m, la signification qu'il a dans I'CnoncC du thkorbme 3). L'entier q, augmente indbfiniment avec k, et on a I'inkgalitk
B 6tant independant de k. Nous allons montrer : lo que, k Ctant fix& les puissances successives de la transformation S,, jusqu'a la qk-"e, existent et font partie de G ; 2" que les transformations Sk% convergent, dans A, vers la transformation
Le groupe G Ctant ferme', nous conclurons que cette dernihre transformation fait partie de G. C . Q . F. D. DCmonstration de 1". - On a, par hypothbse,
30
GROUPES
1 Ir,,(M) I tendant vers z6ro avec -, et cela uniform6ment par rapk port 3 M lorsque M d6crit A'. En tenant compte de ( 7 ) , il vient
qtk(M) ayant une signification analogue 3 celle de qk(M). On aura donc, si k est assez grand,
I
Sk
( M ) -hl
1
(9)
et cela quel que soit M int6rieur 3 A'. Posons alors
si M est int6rieur h A, M, est intkrieur 3 A', d'aprhs (9) ; d'autre part la transformation M2= Sk[Sk(M)
I
a un sens si M est int6rieur A A, et elle appartient 3 G, puisque 1'6cart de S,, dans le domaine A, est plus petit que r. Soit S,' cette transformation de G. En appliquant (9) au point M, (qui est int6rieur 3 A' si M a 6th pris int6rieur 3 A), on trouve
et par suite,
c'est dire que la transformation S," a, dans A, un 6cart inf6rieur h r (du moins si q, -2). Donc la transformation .--
>
fait partie de G, etc. En continuant le raisonnement de proche en proche, on voit que S h q k = Sk ( S h q k - l ) fait partie de G, et que 1'6cart de S k q k dans A est au plus Cgal 3 r. De'monstration de 2". - Revenons aux transformations (3). On a t)], (10) Y(M ;t)-M=t[Q(R4)+q1'(M, q"(M, t) tcndant vers zero avec t, et cela uniformement par rapport & M, lorsque M est interieur & A'. Appliquons cette relation
31
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
A t = 5 , et comparons avec 17in6galit6 (8); il vient Qk
1)
-
. I <-, 4.
(1)
idgalit6 valable pour tout point M int6rieur ?A' i ; le nombre positif E, lend vers z6ro lorsque k augmente inddfiniment. D'autre part, d6signons par M et M' deux points quelconques de A'; la relation (10) donne
I Y (M' ; t)
-Y
(M ; t)
I
< I M' - hf
I
(1
+ Ct) ,
(11) C dPsignant un nombre positif fixe, et t un nombre positif quelconque inf6rieur A T. L'indice k 6tant provisoirement fix6, prenons un point quelconque M dans le domaine A, et posons MI = S k (M)
hl', = 'r M ;--
,
. . . . . . .
. . .
(.
,
. . . . .
Mi+ 1 = SA(Mi) 7
Les points M I . . Mqk, hll, ... hilq
sont lous intkrieurs & A' (I).
On a donc, d'aprhs ( I ) ,
1
Y( M , ) - S ~ M
(i=l,
-.., p k ) ,
et, d'aprhs (11) ,
I
(
Y 1 ,;
-
(i
A) I <
;-
( M', - hi,
(1 + c ) -
;
en combinant ces deux inbgalitbs, on trouve
( I ) La tlt5rnonstratiotr a 616 faile plus h a u l pour XI,, .... XI,, analogue pour MIl, .... Il',,.
; elle
t
~
~
!
32
GROUPES
ce qui entralne a fortiori
D'ailleurs, d'aprhs (I), on a
En dcrivant (111) successivement pour i=
1, ..., q, - 1, on trouve
e ddsignant la base des logarithmes ndpdriens. Ainsi, lorsque l'indice k augmente inddfiniment, la distance du point Mq
= Skqk (M)
au point M'q
= Y (M ; to)
tend vers z6r0, et cela uniform6ment par rapport A M lorsque M ddcrit A. C. Q. F. D. La ddmonstration du thborbme 3 se trouve donc complbtemen t achevde. ComplCment au thtor&me 3. - Conservons aux notations A , A', r et A la signification qu'elles ont dans la ddmonstration prdcddente. D'aprbs ce qui prbcbde, la transformation
fait partie de G lorsque le nombre rdel t, positif ou ndgatif, est infdrieur A un nombre positif assez petit; d6signons ce nombre par TI. NOUS allons montrer maintenant que la fonction Y est analytique en M et t pour
et que toutes les transformations (3) correspondant 6 lont partie de G.
It1
.
DE TRANSFORMATIONS ANALE IQUES
83
I1 suffit de montrer qu'il en est ainsi pour toutee les valeurs de t satisfaisant A It1 < T I , (11) Btant un nombre fixe, infkrieur B
',
mais par ailleurs arbiA traire. Or, soit q un entier positif assez grand pour que l'on ait
Quel que soit t satisfaisant
a
( l l ) , la transformation
fait partie de G ; en outre, les puissances successives de cette transformation jusqu'a la q-"""font partie de G, au moins si q a 6th pris assez grand ; elles font m&mepartie de puisque leur Ccart dans A est au plus Cgal r : on le vkrifierait exactement comme on a fait plus haut pour les puissances de la transformation S,. Cela Ctant, dksignons par Yl(M ;t ) le transform6 de M par la puissance q-"ede la transformat,ion (12) ; cette dhfinition vaut pour tout t satisfaisant A (11); en outre, YI(M;t ) coi'ncide avec Y (M ; t ) lorsque I t l 7'. Donc la fonction Y (M ; t ) est analytique en M et t pour
<
mais alors, d'aprks le theoreme 2, elle est analytique pour
C'est ce que nous avions annonc6. Nous obtenons ainsi le thCorkme (en Ccrivant dCsormais A au lieu de At) :
Theoreme 4. - Soit donne' u n groupe G de transformations arlalytiques duns u n domaine D. A chaque domaine A compl2t e m e ~ z tinte'rieur d D , o n pcut associer un n o m b r e r qui jouit d e la proprie'te' suit-ante : si G admet u n e transformation infinitesimalc dMdt =
+ (hl) ,
34
GROUPEB
et si l ' o n dtsigne par A le m a x i m u m de I+(M) I duns A, les transformations M1=Y(M ;t ) , engendrdes par cette transformation infinittsimale, sont analytiques par rapport c? l'ensemble des variables M et t pour
e n outre, toutes ces transformations font partie de G. 6. - Transformations infinit6simales d'un groupe (suite)
Th6orhme 5.
-Si
un groupe localement fermt de transformations analytiques admet deux transformatio,ns infinitdsimales
il admet aussi le crochet de ces deux transformations infinittsimales, ainsi que toute combinaison lindaire & coefficients rtels constants
Cette proposition, qui gCnQalise u n thCor&me classique de la thCorie de Lie, va dCcouler d u thCor&me 3. Dcsignons en e f f e t par S, ( t ) la transformation M1=Y1(M ; t ) engendrCe par $ , ( M ) , et par S , ( t ) la transformation
crlgelidrire par +,(31). Si It 1 est assez petit, le rksultat S , ( a , t ) par S, (a2t ) fait partie d u groupe G ; soit I(
))
(I)
de
( I ) Par r , ; s ~ t l t a ldc deux ou plusieurs transformations, nous entendons la transformailon obtenue e n effectuar~tsuccessivement ces transformations (ceci, pour Cviler toute confusion a\ec Ir mot produit employ6 au 5 1 ) .
DE TRANSFORMATIONS ANAL'YTIQUEB
35
1'6quation de cette transformation. Lorsque I'entier k augmente indefiniment, la fonction
tend (uniformement) vers a1 $1(M)+a2$.(M); mais alors, en vertu du theorhme 3, le groupe G admet la transformation infinitdsimale
De m&me,pour montrer que G admet le crochet de il suffit de designer par MI=
et $.,
T (M ;t)
la transformation-resultat
et de remarquer que la fonction
tend (uniformement) vers le crochet [$,,
$=I.
Th6or&me6. - Soit G un groupe localernent ferrne' de transformations analytiques. Supposons que G admette p transforrnations infinittsirnales $,, ... , qp. Designons par
le groupe ?I un parametre engendrd par la transformation infinitesimale
et posons a,t=ti
(i=l,
...,PI
Si on choisit un domaine A complhtement interieur ?I D, on sait que Y(M;t1, ..., tp)
36
GROUPES
est analytique par rapport B l'ensemble des variables M, t,, ...,t, lorsque M est interieur ti A, et It, 1 , ..., It,l infhrieurs un certain nombre positif 7. Mais je dis qu'il existe un nombre positif u < 7 qui jouit de la propriBt6 suivante : la transformation M1=Y(M; tll ..., ts)
fait partie de G , quels que soient t,,
..., t,
satisfaisant d
It,l< u. Dtmonstration. - D'apres le theoreme 5, G admet la transformation infinithsimale
quelles que soient les constantes rBelles a,, ..., a,. On peut du reste astreindre ces constantes B la condition que la plus grande des quantitgs ( a II , ..., l a,l soit e'gale un. Moyennant cette condition, le maximum de
dans le domaine A est plus petit q u ' u n nombre positif fixe A, quels que soient a,, ..., a,. Donnons alors B r la signification qu'il a au thboreme 4 : on voit que, si
la transformation ( 1 3 ) fait partie de G. Cela Btant, il suffit de prendre pour u le plus petit des nomhres
T
et',
A
et le thBoreme 6
est d6montr6.
Theoreme 7 . - Soit G u n groupe de transformations analytiques. S i G est quasi-continu d'ordre a u plus Cgal d q (cf. $ 3 ) , G n e peut pas admettre plus de q transformations infinite'simales line'airement distinctes ( I ) . ( I ) Nous disons que p transformatioils infinitdsimales q,, ..., +1,sont lindairement distinctes, si aucune combinaison IinCaire homogbne des fonctions qi, A coefficients rCels non tous nuls, n'est identiquement nulle.
37
DE TAANSFORMATEONS ANALYTIQUES
Supposons en effet que G admette p transformations infinithsimales linkairement distinctes +,, ..., $, et montrons que p < q. En vertu du thkorhme 6, G admet une famille de transformations M1=Y(M ;t,, ...,t,), (It,I
Thhorbrne 8. - Si un groupe quasi-continu G de transformations analytiques (dans un domaine D) admet au moins une transformation infinitksimale, l'ensemble de toutes les transformations infinitksimales de G engendre un groupe de Lie I'
(I) Rappelons comment on peut demontrer cela. I1 existe au moins un point de A qui n'est pas invariant dans la transformation +, ; soit
M, ce point. Celles des transformations infinithimales
e
ai 9' qui laissent
i=l
MI invariant sont des combinaisons lineaires de p, d'entre elles (p, < p). Choisissons-en une (en supposant p, S;O) ; il existe, dans A, un point M, qui n'est pas invariant par cette transformation. Les transformations infinithimales qui laissent invariants M, et M, dependent linbairement de p, d'entre elles (p, < p,). Et ainsi de suite. Ces operations ont une fin. On trouve ainsi k points M,, ..., M,, et chaque transformation infinitesimale Zai 9, deplace l'un au moins de ces poinls. Ecrivons
M i = W (M, ; t,,
..., t,)
( j = I,
..., k)
;
(15)
MI, ..., M, btant fixes, les coordonnees de M,J, ..., M,! sont des fonctions de t,, ..., t, et le tableau des deriveea partielles de ces fonctions est effectivement de rang p pour t, = ... = t, = 0. La thborie des fonctions implicites nous apprend alors qu'A chaque systkme de points MI!, ..., M,', suffisamment voisins de MI, ..., M,, correspond au plus un syst6me de valeurs de t,, ..., t, voisines de zero, et satisfaisant aux relations (15). C.O.F.D.
38
GROUPES
il eziste en outre u n nombre positi? u qui jouit des d e w proprittts suivantes : 1" La fonction Y est analytique par rapport A l'ensemble des variables M, tl, ..., t, lorsque M est inte'rieur B Dl et
2" La transformation (14) fait partie de G (et m6me de G) pour ItiI< u.. De'monstration. - Des thhorbmes 7 et 5, il rhsulte que les transformations infinithimales de G sont des combinaisons linhaires (ii coefficients rhels constants arbitraires) d'un nombre fini d'entre elles, supposhes linhairement indhpendantes : soient q1, ..., +,. En appliquant le thhorbme 6 ii (qui est aussi un groupe) , on trouve que contient une famille de transformations
et ces transformations sont analytiques en M, t,, ..., t, pour
M inthrieur Q A
,
+,
Mais les crochets de +,, ..., deux A deux sont aussi des transformations infinitesimales de G, d'aprbs le thhorbme 5 ; donc ces crochets sont eux-m6mes des combinaisons linhaires de +,, ..., +,. Dans ces conditions, on sait que la famille des transformations (14) constitue u n groupe dans le domaine A : c'est lii, en effet, un des thhorbmes fondamentaux de Lie. Si enfin on applique le theorbme 2 bis, on voit que le thhorbme 8 est entibrement dhmontrh.
7. - Condition necessaire et suffisante pour qu'un groupe
de transformations analytiques soit un groupe de Lie DCfinition. - Nous dirons qu'un groupe de tran~forrnntinns analytiques G jouit de la proprie'te' [PI, si, quelle que soit la suite infinie de transformations S,, ..., S,, ... du groupe G, qui convergent vers la transformation identique, mais dont aucune n'est la
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
39
transformation identique ('), on peut extraire de cette suite une suite partielle 1 9' 1 , et trouver une suite correspondante d'entiers positifs m,, de fapon que la suite des fonctions
converge vers une fonction +(M), non identiquzment nulle, analytique dans D (la convergence &ant uniforme dans tout domaine compl&tement int6rieur B D) . I1 est clair que si un groupe de transformations analytiques G est un groupe de Lie, il jouit de la propri6tC [PI ; cela tient B ce que les fonctions qui d6finissent les transformations de G admettent, par rapport aux paramares dont elles d6pendent, des d6riv6es qui sont elles-m&mesdes fonctions analytiques des coordonnees du point M. I1 est clair aussi que tout sous-groupe d'un groupe de Lie jouit de la propriet6 [PI. Inversement, on a le thBor&meimportant que voici :
ThBor6me 9. - Si un groupe quasi-continu G de transformations analytiques jouit de la proprie'td [PI, crest un groupe de Lie, et, en particulier, un groupe continu. I1 n'y a exception que si le groupe envisage ne contient pas de transformations arbitrairement voisines de la transformation identique. Avant de donner la dQmonstration, signalons tout de suite deux cas particuliers de ce theor&me,d6j& connus (') : Tout sous-groupe continu (point de vue local) d'un groupe de Lie est un groupe de Lie ; Tout sous-groupe g d'un groupe de Lie G, ferme' dans G, est un groupe de Lie. Passons & la demonstration du th6orbme 9. Si le groupe G contient des transformations arbitrairement voisines de la transformation identique, il admet au moins une transformation infinithimale (th6orbme 3) ; en vertu du th6orbme 8, l'ensemble de toutes les transformations infinitesimales de G engendre un groupe M1=@(M ; t,, ..., t,),
(16)
(') Si un groupe ne contient pas de transformations arbitrairement voisines de la transformation identique, nous conviendrons de dire qu'il jouit de la propribtb [PI. (') Voir E. CARTAN, La tht?orie des groupes finis et continus et 1'Analysis Situs (M6morial dcs Sc. Math., fasc. I L I I , pp. 22-24).
509
40
GROUPES
la fonction 4 &ant analytique par rapport h I'ensemble des variables M, tl, ..., t, lorsque M est int6rieur D et
Les transformations (16) appartiennent toutes a pour It,l< u. Choisisaons, ce qui est possible (I), un nombre positif v u assez petit pour que les transformations dont les parametres satisfont I t,l< v (17)
<
soient toutes distinctes, et dCsignons par I? I'ensemble de ces dernihres transformations. L'ensemble r constitue un groupe ferrnd. Nous allons montrer que toutes les transformations de G, dont l'dcart est assez petit, font partie de I?, ce qui dCmontrera notre thCor8me. Pour cela, raisonnons par l'absurde. Supposons qu'on puisse trouver, dans G, une suite infinie de transformations TI, ..., T,, ... qui convergent vers la transformation identique, et dont aucune n'appartienne B r. Pour chaque T,, formons le rdsultat UT,, en designant par U une transformation variable de r ; ce produit fait encore partie de G, au moins si k est assez grand. Lorsque U dCcrit I?, 1'Ccart (dans un domaine fixe A, choisi une fois pour toutes) de la transformation UT, admet une borne infbrieure E, qui est atteinte au moins pour une transformation de r, transformation que nous dbsignerons par U,. Puisque E, est au plus Bgal 1'Ccart de Tk, e, tend vers zCro lorsque k augmente indbfiniment. Posons ((
))
U, Tk =Sk. On a u k =
Sk(Tk)-l,
ce qui montre que l'kcart de U, tend vers zCro avec -.1 k Cela Ctant, choisissons un nombre positif vl< v, et dCsignons par r1l'ensemble des transformations (16) pour lesquelles J t , l < d . L'dcart de la transformation US, est au moins Cgal ii l'dcart de Sk, quelle que soit la transformation U de I?' ; du moins, cela eat vrai d8s que k est assez grand, comme le prouvent toutes les considCrations pr6cCdentes. (I)
Cf. la note (1) de la page 37.
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
41
Mais nous allons arriver, d'aulre part, h une conclusion contraire. En effet, appliquons la propriCtd [PI h la suite des Sk. On peut en extraire une suite partielle (que, pour simplifier, nous appellerons de nouveau S,, ..., S,, ...) et trouver des entiers mk de fapon que les fonctions mk (Sk(M) -MI convergent vers une fonction analytique (2, (M) non identiquement nulle (la convergence Btant uniforme dans tout domaine complhtement intdrieur h D). Soit A le maximum I(2,(M)( dans A. Le produit mk e k tend vers A. Or, dCsignons par U(t) la transformation Mt=Y(M ;t) engendrBe par la transformation infinitCsimale
Si It I est assez petit, U (t) fait partie de J?. Effectuons succeesivement, sur le domaine A, la transformation S,, puis la transforma-
- ; le rCsultat est une transformation Stk; dBsignons ( 3 par etk 1'Ccart de Stkdans A. Si nous montrons que
tion U -
((
))
mk etk tend vers zBro lorsque k-+ cu,nous aurons montrC que elk finit par &treinfBrieur h E,, d'oh la contradiction annoncCe. I1 reste donc simplement h montrer que mkctktend Vera rtro. Pour le voir, envisageons 1'Cquation de la transformation Stk
Le nombre ct, est Cgal au maximum de la distance de M1 h M quand M dCcrit A. Or on a
IX(M) I Ctant born6 lorsque M dCcrit A. D'oh
42
GROUPES
Lorsque k augmente indkfiniment, le maximum (dans A ) de chacune des deux accolades du second membre tend vers zCro. Donc C . Q. F. D. m, E ' ~tend vers zCro.
8. - Etude des groupes de tranformations pseudo-codormw. Dans ce paragraphe, comme dans les prCcCdents, nous n'envisageons les groupes que du point de vue local. Annonpons tout de suite le thCorBme fondamental :
Theoreme 10.
Tout groupe de transformations pseudoconformes jouit de la propritte' [PI. Comme consCquence immCdiate de ce thCorBme et du thCorBme 9, nous avons le -
Theoreme 11. - Tout groupe quasi-continu de transformations pseudo-conformes est u n groupe de Lie. I1 n'y a exception que si le groupe envisage ne contient pas de transformations arbitrairement voisines de la transformation identique. En particulier : Theoreme 11bis. - Tout groupe continu de transformations pseudo-conformes est un groupe de Lie. CombinC avec le thCorBme 1 ( S 3 ) , le thCorBme 11 donne : Theoreme 12. - Etant donnk, duns l'espace de n variables complexes, u n domaine born6 D, le groupe G de toutes les transformations pseudo-conformes biunivoques de D en lui-m&meest u n groupe de Lie (du point de vue local, bien entendu), h moins que G ne contienne pas de transformations arbitrairement voisines de la transformation identique. Tout sous-groupe g de G, fermC dans G, est donc aussi un groupe de Lie, avec une restriction analogue. ~ j o u i o n sque le groupe G de'pend a u plus de n(n 2) param&tres(re'els) ('), la limite 6tant atteinte pour le groupe des transformations de l'hypersphbre
+
transformations qui, comme on sait, sont homographiques. (I)
Voici
(p > 2 n)
pourquoi. Supposons que G depende de
p parametres
; alors celles des transformations de G qui laissent fixe un
point intkrieur 0,choisi une fois pour toutes, dependent au moins de (p - 2n) pararnhtres. Mais ces transfor~~~ations dependent au plus de
DE T R A N S F O R M A T I O N S ANALTTIQUES
43
Maintenant q u e n o u s avons vu I'importance d u theoreme 10, n o u s devons, avant d'aborder sa d6monstration, Btablir u n e in6galit6 fondamentale q u e voici :
Lemme 1. - Soient, duns l'espace de n variables complexes zl, ..., z,, d e u x polycylindres (I) concentriques Z et Z1, de rayons p et p1 (pl< p). Soient donne's d'autre part d e u x nombres positifs u et v , tels que u< 1 v . I1 existe alors un n o m b r e positif a q u i jouit de la proprittt suivante : si u n e transformation MI= T (M)
<
est pseudo-conforme dans Z, et d'e'cart plus petit q u e a dans Z, si e n outre le carrt? T' de cette transformation est pseudo-conforme (') dans Z et d'tcart plus petit que a dans Z, - et ainsi de suite pour les puissances successives jusqu'd Ta-' -, si e n f i n Tu est pseudo-conforme duns Z, - alors o n a, pour tout point M de Z1, I'intgalitt?
Dtmonstration. - Choisissons u n e fois pour toutes un n o m bre pl, compris entre p et,pl, et soit Ell le polycylindre concentrique & Z et d e rayon ptl. 1'1 existe un n o m b r e positif qui jouit d e la propriCt6 suivante : quelle q u e soit la transformation MI=
S (M)
ns paramhtres, car leur groupe est isolnorphe (holo6drique) d'urr groupe de transformations IinAaires, & n variables complexes, qui laissent invariante une forme d'Hermite d6finie positive. Voir H. CARTAN,Les fonctions de deuz variables, etc... (Journal de Math., ge s6rie, 10, 1931, pp. 62-64). ( I ) Rappelons que, par distance de deux points M (z,, ..., zn) et MI (zll, ..., 2-1); nous entendons la plus grande des quantit6s (i = 1, ..., n) ; 12: - z,l nous d6signons cette distance par IMI - M I . Par polycylindre de centre 0 et de rayon p , nous entendons l'ensemble des points de l'espace dont la distance A 0 est infhrieure A p. (l) Par dhfinition, nous dirons que le carr6 de la transformation T est pseudo-conforme dans 2, s'il existe une transformation TZ, pseudoconforme dans Z, et telle que l'on ait TZ(M) -=T (T (M) ) pour tout point M de 2 dont le transform6 T(M) est int6rieur & 2. De proche en proche, on d6finit (si c'est possible) la transformation Th par la condition dl&trepseudo-conforme dans Z et d'y satisfaire & la relation Th (M) = Th-I (T(M) ) en tout point M (de Z) dont le transform6 T (M) est int6rieur A Z.
44
GROUPES
a,
pseudo-conforme dans 8 , et dont 1'6cart dans 8 est infhrieur h on a, pour toht couple de points M, et M, int6rieurs A 8',, l'inhgalit6 ( I )
Cela Btant, appelons a le plus petit des deux nombres (p', p') et (3. Supposons qu'une transformation T satisfasse aux conditions du lemme 1, et posons
-
La transformation S est pseudo-conforme et d'Bcart inf6rieur A a dans E. D'autre part, si M est intBrieur h 8', le point T(M) est intBrieur B XI,, puisque or p', -p'. On peut donc appliquer 1'inBgalit6 (10) A la transzmation S, en prenant M,=M et M,= T(M) (') ; il vient, lorsque M est interieur h 8',
<
Or, d'aprhs (20), on a
d'oh l'inBgalit6 annonc6e (18). Le lemme 1 est donc d6montr6.
Lemme 2. - Soit 8 un polycylindre de l'espace de n variables complexes. I1 existe un nombre a qui jouit de la propridtt suivante: si une transformation T est pseudo.conforme et d'dcart plus petit que or dans 8, ainsi que toutes ses puissances, alors T est la transformation identique. En effet, choisissons un polycylindre Z', concentrique h B et de rayon plus petit; choisissons aussi deux nombres positifs u et v tels que u 1 v, et donnons t~ a la signification qu'il a dans le lemme 1. Si une transformation T satisfait aux conditions du lemme 2, l'inBgalit6 (18) est v6rifiCe pour tout point M de 8', et
<<
( I ) C'est 18 une consBquence d'un thCor6me de WEIERSTRASS : Si une suite de fonctions holomorphes dans u n do~naineB converge uniform& ment dans B vers une fonction limite f , les dCrivCes partielles de ces fonctions convergent vers les dCrivBes de meme nom de la fonction. f , la convergence Ctant uniforme dans tout domaine XI, complbtement lntkrieur ((
A B.
))
(') Ceci est permis si, pour le point M considBr6, T(M) est different de
M. Si T(M) = M, 1'inCgalitC (18) est Bvidemment vBrifiCe (elle se transforme en Cgalitb).
DE TRANSFORM4TIONS ANALYTIQUES
45
pour toutes les valeurs de I'entier q. En particulier, l'in6galit6 de droite donne
ce qui prouve que T(M) =M dans Z'. La fonction T(M) Btant analytique dans Z, le lemme 2 est d6montr6. Une cons6quence du lemme 2 est la suivante : Un groupe de transformations pseudo-conformes ne peut pas admettre de sowgroupes arbitrairement petits. En effet, soit D le domaine dans lequel les transformations du groupe consid6r6 G sont, par hypo. thhse, pseudo-conformes. Prenons un polycylindre Z complhtement inthrieur & D, et donnons & a la signification qu'il a au lemme 2, en supposant toutefois a ri(Z) [Cf. § 1, condition (b)]. Alors G ne contient pas de sous-groupe ( I ) dont toutes les transformations soient d'6cart plus petit que a dans Z. C. Q. F. D. Relativement au lemme 2, remarquons que le choix de a semble dCpendre du choix pr6alable de Z', u et v. On peut se d6barrasser de ces 616ments qui ne jouent aucun r61e essentiel, et d6montrer la proposition suivante (dont la d6monstration sera publike dans un autre recueil) (9: Soit, duns l'espace de n variables complexes, u n polycylindre Z de rayon p, et soit a un nombre positif quelconque inftrieur 6 p. Si une transformation T est pseudo-conforme et d'kcart au plus tgal B a dans X, et s'il en est de m&me,de proche en proche, pour toutes les puissances successives de T, alors T est la transformation identique. Arrivons maintenant i~ la de'monstration du thkor2me 10. Soit D le domaine dans lequel, par hypothhse, les transformations du groupe G sont pseudo-conformes. Nous devons montrer que, 6tant donn6e une suite infinie quelconque de transformations de G, soient TI, ..., T,, ..., qui convergent vers la transformation identique (et dofit aucune n'est la transformation identique) , on peut extraire de cette suite une suite partielle j T k i I, et d6terminer des entiers mi, de f a ~ o nque les fonctions
<
mi (Tki !MI -MI (I) Par sous-grorlpe g d ' u n groupe G, nous entendons un groupe g, dont toutes les transformations font partie de G, et tel e n outre q u e le produit d e d e u z transjormalions de g appartienne toujours il g . (') Compositio hlathemalica, 1934, pp. 223-227.
46
GROUPEB
convergent, dans D, vers une fonction holomorphe +(M) non identiquement nulle, la convergence 6tant uniforme dane tout domaine complBtement int6rieur B D. Pour cela, il euffit ( I ) de montrer que l'on peut attacher, B chaque transformation T du groupe G, un entier positif q, de fagon que la famille de toutee les fonctions qr (T (M) - h1) (21) (T d6crivant le groupe G) soit: lo uniform6ment bornee dana chaque domaine complhtement inthrieur B D ; 2" sans fonctionlimite identiquement nulle. Pour ddfinir les entiers q, , choisissons arbitrairement, une fois pour toutes, un polycylindre fixe Z' complhtement int6rieur B D, puis un polycylindre Z, concentrique B Z', de rayon plus grand, Z Btant lui-m6me complBtement int6rieur B D. Donnonnnous en outre deux nombres positifs u et v satisfaisant 21 u 1 u
<<
par exemple, u =-, v = 2 . Donnons alors B a la signification 2I qu'il a dans le lemme 1, et supposons en outre a q (Z) . Cela Btant, chaque transformation T du groupe G, dont 1'6cart dans Z est plus petit que a ('), nous associons l'entier positif q, dCfini par la condition suivante : T2, . . . ,TQr-I sont pseudo-conformes dans Z et ont, dans Z, un dcart plus petit que a, mais il n'en est pas de m&mepour Tqr. D'aprBs le lemme 2, un tel entier q, existe toujours et est bien dkfini. D'autre part, on vBrifie de proche en proche que les puissances successives de T, jusqu'h T q ~ font , partie de G ('1). I1 en r6sulte notamment que ces puissances sont pseudo-conformes dans D, et que, dans tout domaine complBtement interieur D, les transformations Tqr sont uniforme'ment borne'es (condquence de la condition (a)' des groupes) . Lorsque le point M est int6rieur A Z', on peut appliquer l1in6galit6 fondamentale (18); l'in6galit6 de droite montre que la famille
)
<
q, (T (M) - M) ( I ) Cela suffit, en vertu des propriEt6s des familles uniformkment born8es de fonctions holomorphes. (') Si l'kcart de T dans Z est au moins Bgal a, nous prendrons q, =l. a e r pal. la prkckdente, (') En effet, chacune d'elles est le rEsultat c'est-3-dire le rksultnt de deux transformations de G dont I'kcart, dans Z1, est plus petit que .q(Z;). ((
DE TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
47
est uniforrnkrnent bornde duns Z1. D'autre part, soit Z" un domaine complhtement intdrieur A Z'. Puisque 1'6cart de T*T est au moins bgal B a dans Z, 1'6cart de TQ* dans Z" est au moins Bgal A un nombre positif fixe E (d'aprhs la condition (a) des groupes). L'inBgalit6 (18) de gauche montre alors que, pour chaque transformation T, le maximum de
(T (M) - M)9 lorsque M d6crit Z", est au moins 6gal ue. De tout cela, il rbsulte que la famille (21) est : louniform6ment bornBe dans Z1; 2" sans fonction-limite identiquement nulle. RBsumons ce que nous venons de faire; nous avons choisi, une fois pour toutes, arbitrairement d'ailleurs, le polycylindre Z1 complhtement intdrieur A D ; puis nous avons ddfini, pour chaque transformation T, l'entier q , . Ces entiers 6tant ainsi d6terminCs une4ois pour toutes, il s'agit de montrer maintenant que la famille (21) est uniformbment bornBe dans tout domaine compl2tement intCrieur A D. Pour cela, imaginons que le domaine D ait 6t6 recouvert tout entier A l'aide d'une suite infinie de polycylindres Z1,, ..., Z1,, ..., et cela de facon que chacun d'eux soit complhtement int6rieur B D et ait une r6gion commune avec l'un au moins des prCc6dents. Un tel recouvrement est toujours possible ; on peut d'ailleurs supposer que Z', n'est autre que le polycylindre Z' dont il vient d'&tre question. Cela Ctant, soit D, le domaine constitud par l'ensemble des k premiers polycylindres. Nous allons demontrer, par r6currence, que s'il est dtabli que la famille (21) est uniformhment bornhe dans D,, elle est uniformbment born6e dans D,,,. Pour cela, il suffit de demontrer qu'elle est uniformdment bornbe dans Z',,, . Supposons donc qu'on sache que les fonctions (21) sont uniformbment born6es dans D,. En raisonnant sur Z1,+, comme plus haut sur Z', on voit qu'A chaque transformation T on peut associer un entier QT tel que la famille QT
--
qT [T (M) - >I]
soit : louniformbment bornde dans Z1,+, ; 2" sans fonction-limite identiquement nulle. Je dis que les quotients'
sont inf6rieurs (IT
48 Zi
CROUPES
un nombre fixe ; sinon, en effet, la famille -
q~ q T irr (M) 9 q~ qui est uniformement bornee dans le domaine commun & D, et XIk+,, aurait, dans ce domaine, une fonction-limite identique[T(M)-MI
=--a
ment nulle, ce qui n'est pas. Mais alors, puisque
QT
-
est infCrieur
QT
& un nombre fixe, la famille
est uniformement bornbe dans Z',+,. C. Q. F. D. La demonstration du thCor8me 10 est ainsi compl&tement achevee.
9. - Le groupe des transformations pseudo-conformes biunivoques d'un domaine born6 en lui-meme (6tude globale) Soit D un domaine borne dans l'espace de n variables complexes, et soit G le groupe de toutes les transformations pseudoconformes biunivoques de D en lui-mCme. I1 se peut d'abord que G ne contienne pas de transformations arbitrairement voisines de la transformation identique ; dans ce cas, G ne contient qu'un nombre fini ou une infinite denombrable de transformations, et les transform& d'un point 0 de D (quel qu'il soit) par les transformations de G n'ont aucun point d'accumulation int6rieur & D : le groupe G est proprement discontinu dans le domaine D. Ecartons desormais ce cas. Alors, d'aprbs le theorbme 12, le groupe G est un groupe de Lie du point de vue local. Cela veut dire qu'il existe un groupe l? M1=Y(M;t,,...,tp),
( I t i I <-u )
(la fonction Y Ctant analytiquc par rapport & l'ensemble des variables M, t,, ..., t,) qui jouit des deux propri6tCs suivantes : lo toute transformation de l? fait partie de G ; 2" toute transformation de G dont 1'Ccart (dans un domaine fixe A) est inf6rieur A un certain nombre fixe y, fait partie de l?. Cela Ctant, prenons un nombre quelconque de transformations de I' et effectuons successivemcnt ces transformatio~lssur le domaine D ; le rCsultat est encore une transformation de G. L'ensemhle de toutes les transformations ainsi obtcnues formc c n
Dl? TIIANSPORMATIONS ANALYTIQUES
49
groupe G1 (point de vue global) qui fait partie de G. Le groupe G1 est un groupe de Lie du point de vuc global (Cf. la fin du S 4 ) . Le groupe G' est m&me un groupc de Lie (point de vue global) a u sens restreirtt, puisque toutes les transformations de G1 dont 1'6cart (dans A) est plus petit que y, font partie de r. Je dis que G1 est u n sous-groupe innariant de G, et que le groupe-quotient GIG' n'a qu'un nombre f i r ~ iou une infinit6 de'nornbrable d'opbrations. En effet, soit T une transformation quelconque de G ; le groupe TGITT1est un groupe de Lie ; c'est, d'autre part, u n sous-groupe de G, sous-groupe qui contient toutes les transformations de G suffisamrnent voisiries de la transformation identique. Le groupe TGIT-' est donc identique B G', ce qui prouve que G1est invariant dans G. Pour montrer que G se compose au plus d'une infinit6 ddnornbrable de familles de la forme
GI, TIGr, .. ., TkG1, ... (T,, ..., T,, ... appartenant B G ) , choisissons une fois pour toutes un point 0 intbrieur A D, et montrons ceci : 6tant donn6 arbitrairement un domaine A compl6lement int6rieur B D, les transformations de G dans lesquelles 0 vient en u n point int6rieur & A peu-
B I'aide d'un nombre fini de familles GI. TIG1. .... TkGr
vent toutes &re obtenues
(I'entier k d6pend en g6nbral de A ) . Nous dbmontrerons ceci par l'absurde: supposons qu'on puisse trouver, dans G, une suite infinie de transformations
'r1, ..., Tk, ... dont chacune a m h e 0 en un point int6rieur & A, ct tclle que chaque T, n'appartienne B aucune des familles GI, TIGr, ..., Tk-,G1. Les transformations T, auraient au moins une transformationlimite T appartenant & G ('). On peut meme supposer que T, converge vers T (sinon, il suffirait d'extraire une suite partielle). Mais alors, la transformation
(Td-'
. Tk+,
convergerait vers la transformatiorl identique ; elle ferait donc partie de G1 pour les valeurs assez grandes de k , ce qui est contraire B l'hypoth8se. C. Q . F. D. (') Cf. la note (3) de la page 19.
50
GROUPES
Nous obtenons ainsi le
Theoreme 13. - Etant d o n n t , duns l'espace de n variables c o m p l e x e s , un d o m a i n e b o r n t D , le groupe G de toutes les transformations pseudo-conformes d e D e n l u i - m d m e se c o m p o s e d ' u n t de familles continues, n o m b r e fini o u d ' u n e i i ~ f i n i t de'nombrable d o n t l ' u n e est un g r o u p e d e Lie ( p o i n t de u u e global, sens restreint). I1 n ' y a e x c e p t i o n q u e si G est p r o p r e m e n t discontinu. I1 y a une petite difficult6 que nous avons volontairement pass6e sous silence ; la voici : toute notre thkorie, depuis le paragraphe 1 jusqu'au th6orbme 13, est valable pour des domaines D u n i u a l e n t s o u n o n , pourvu toutefois que c h n q u e point de D posscde un uoisinage u n i v a l e n t . Elle ne s'applique donc pas aux domaines ramifie's. Nkanmoins, les th6orbmes 12 et 13 sont valables m&mepour des domaines ramifi6s (dans l'espace de n variables complexes), pourvu toutefois que le voisinage de chaque point int6rieur puisse se repr6senter sur u n voisinage univalent ( I ) . Sans entrer dans des d6tails trop techniques et fastidieux pour justifier cette affirmation, disons seulement que sa justification r6side essentiellement dans le fait que le theorbme 2bis ( S 5) est valable pour des domaines ramifiCs. 10. - Applications et compl6ments 11 n'est peut-&re pas inutile d'insister sur l'importance du thCorbme 13. Jusqu'ici, on avait seulement pu constater son exactitude dans des cas particuliers : par exemple, dans le cas d ' u n e seule variable complexe, on savait, grlce A la th6orie de la representation conforme, que le groupe d'un domaine born6 simplement connexe est toujours un groupe de Lie A 3 parametres (car un tel domaine peut se reprdsenter conform6ment sur un cercle, dont les transformations homographiques sont bien connues) ; de m6me, le groupe d'un domaine born6 doublement connexe est un groupe de Lie A un parametre (car un tel domaine peut se repr6senter conform6ment soit sur un cercle point6, soit sur une couronne circulaire ; dans le cas de la couronne, le groupe
(I)
Pour plus de precision, voir I'article cite A la note (3) de la page 19.
DE TRANSFORMATIONS
ANALYTIQUES
51
se compose de deux familles continues, dont l'une est un groupe de Lie B un paramktre. Dbs qu'on a affaire B deux variables complexes, on n'a plus rien pour remplacer la thCorie de la repr6sentation conforme, et l'on doit recourir & des strataghmes : c'est ainsi que j'Ctais parvenu B ddterminer, pour tous les types possibles de domaines cerclts ou semi-cercle's borne's (I), le groupe de toutes les transformations pseudo-conformes biunivoques du domaine en lui-m6me (9. On pouvait constater, a posteriori, que les groupes trouvds Ctaient tous des groupes de Lie. A prdsent, grace au th6orkme 13, nous avons la possibilit6 de raisonner en sens inverse, pour ainsi dire. On c o n ~ o i t ,en effet, que le problkme de la classification des domaines born& vis-a-vis des transformations pseudo-conformes (dans l'espace de n variables complexes) se rambne, dans une certaine mesure, a celui de la classification des groupes de Lie h n variables complexes (et B parametres rdels) . Sans rester dans d'aussi vagues gdndralitds, indiquons que la ddtermination des domaines bornds qui admettent un groupe transitif de transformations pseudo-conformes en eux-m6mes, se ramkne purement et simplement a la ddtermination de tous les types (') de groupes de Lie transitifs & n variables complexes. C'est 1h un problkme que l'on sait thCoriquement rdsoudre ; M. ELIE CARTAN (') l'a effectivement rdsolu pour n = 2 et n=3. Ainsi, pour n = 2 , on arrive au rdsultat suivant : Si un domaine born6 (dans l'espace de deux variables complexes) admet u n groupe transitif dc transformations pseudo-conformes biuniuoques en lui-me^me,il peut se repre'sentcr (au moyen d'une transformation pseudo-conforme) soit sur le dicylindre
(I) Henri CARTAS,Sur les transformations ana1,ytiques des domaines cerclCs e t semi-cerclds born& ( M a t h . Annc~len,106, 1932, pp. 540-573). (=) Encore mon raisonnement etait-il incomplet dans I'article cite, car j'avais admis implicitement, sans dCmonstration, le theoreme 5 du present travail. ('1 NOUS dirons que deuv groupm apparticnnent all mPme type si I'on peut passer de I'nn h I'autre par une trnnsiormaiion pseudo-conforme. (') Ses rCsuliais n'ont pas encore CtC publics.
52
GROUPES
soit sur 1'hypersphBre
Quittant le sujet pr6c6dent, nous voulons, pour terminer, signaler une g6n6ralisation possible du th6orbme 6tabli, au S 8, dans le cas particulier des transformations pseudo-conformes : il s'agit de l'inexistence de sous-groupes arbitrairement petits (7. La d6monstration donn6e au S 8 peut en effet s'6tendre au cas plus g6n6ral des groupes G de transformations continues
qui possbdent les deux propri6t6s suivantes : (A) Les coordonn6es de MI admettent des d6riv6es partielles du premier ordre par rapport aux coordonn6es de M, et ces d6riv6es sont des fonctions continues de M ; (B) Si une suite de transformations de G converge vers la transformation identique, les d6riv6es partielles de ces transformations convergent respectivement vers les d6riv6es partielles de la transformation identique (la convergence 6tant uniforme dans tout domaine complbtement int6rieur $ D ; D d6signe le domaine dans lequel sont envisag6es les transformations du groupe G ) . I1 est clair que tout groupe de transformations pseudo-conformes satisfait aux conditions (A) et (B). De meme, soit un groupe continu de transformations continues
telles que la fonction p adnlette des d6riv6es partielles du premier ordre (par rapport aux coordonn6es de M), elles-m&mescontinues par rapport A l'ensemble des variables M, t , , ..., t,; un tel groupe satisfait aux conditions (A) et (B). Cela pos6, on a le
Th6orkme 14.
Si un groupe satisfait aux conditions (A) et (B), il ne contient pas de sous-groupes arbitrairement petits. Voici le principe de la de~nonstration: on 6tablit d'abord, -
-
(I) P. THULLEN avait d6ja d6montr6 (Mat. Annalen, 104, 1931, pp. 373376): (( Si une domaine born6 admet un groupe transitif de transformations pseudo-conformes en lui-meme, c'est un domaine d'holomorphie. )I (') Cf. la note (2) de la page 3.
D E TRANSFORMATIONS ANALYTIQUES
53
comme consCquence de la condition (B) et de la formule des accroissements finis, une inCgalit6 semblable & l'inCgalit6 (18), avec cette diffCrence que le nombre a d6pend non seulement du choix de u et u , mais aussi, a priori, du groupe G envisagC. Cela fait, Ctant donnCe une transformation quelconque S du groupe G, autre que la transformation identique, il est impossible que toutes les puissances de S fassent partie de G et que 1'Ccart de S et de ses puissances soit plus petit que a dans le domaine Z [nous avons conservC les iiotations relatives & l'in6galitC (18)l.
Sur les fonctions de n variables complexes: les transformations du produit topologique de deux domaines bombs Bulletin de la Societe mathematique de France 64,37-48 (1936)
1 . Je rne propose de developper ici le contenu d'une Note aux Comptes rendus d e I'Acadimie des Sciences ( I ) . I1 s'agit essentielle~nentde gBnBralisar, pour n variables complexes, le theoreme classique: dans l'espace de d e u x variables complexes x et y, ie do~naine
n'admet pas d ' a u ~ r etransformation pseudo-conforme voque en lui-m&meque les transformations
(2)
biuni-
combin6es avec la transformation
S ( z ) ou T ( Y ) ddsigne la transfor~na~ion homographique la pl~ls gdnerale du do~naineI z / < I ou 1 y 1 < I en lui-rnCme. Pour gendraliser ce rbsultat, partageons les n variables coinplexes envisagees en deux groupes x,,. . . ., x, et y , , . . . , y,, ( p + q = n ) , et designons la transformation pseudo-conforme la plus gkndrale par la notation
f ( x , y ) d6signe p fonctions holomorphes des p
( I )
+q
variables
T. 199: 1934, p. 92.5-927.
( 9 Suivant
I'usage, nous tlonnons, dans l'espace d e l a variables complexes, le nom d e pseudo-conforme toule transformation tltfinie par I L I'onctions analytiques cles I L variables t.ompleses.
er. y;, el g ( x , y ) ddsigne
q fonctions holomorphes des m6ines variables. Celn Btant, nous dkmontrerons plus loin le
THEOREME I. - Soit, dans I'espace des p variables ( x ) , un domaine ( I ) born4 D,, et, dons l'espace des q variables ( y ) , un domaine born6 D-r; soit D le produit topologique de ces deux domaines ( D est un domaine born6 dans l'espace des n variables zi et y;). Dans ces conditions : toute transformation pseudoconforme biunivoque de D en lui-meme est le produit d'une transformation biunivoque de D , en lui-m&mepar. une transfornzation biunivoque de D,. en lui-meme; autrement dit, une tell(?trunsfor.mation a ndcessairement la forme
ou du moins il en est ainsi pour toutes les tr~nnsformationsde 1 ) qui sont ussez voisines de la transformation jidentique. Cette derniere restriction est qssentielle, conlnle le montrc I'exemple de la transformation ( I , a ) citke plus haut. D1ailleul.s, au sujet de cette restriction, on peut pr6ciser de la f a ~ o nsuivante : le cc grollpe )) d'un domaine D ('c'esl-a-dire le groupe de toutes les transformations pseudo-conformes bil~nivoquesde D en lui-1n6inc) se compose, on le sait (') (au moins dans le cas ou D est borne), d'un nombre fini ou d'une infinit6 ddnombrable de famillcs continues et connexes, dont I'une est un groupe de Lie qui peut d'ailleurs se rdduire a la seule transformation identique. L e th+oreme I peut alors s'Cnoncer ainsi :
Le groupe de Lie connexe d u dornaine D est le produit direct clu groupe de Lie connexe de D, par le groupe de Lie connexe de D,. En particulier, Ic groupe de D n'est trnnsitifque si les gronpes dc D,, et de DJ. sont tous deux transitifs. ( I ) 11 s'agit aussi bien de domaines mul~lvalentsque d e domaines univalents; on n'esclut pas le cas ou les domaines enviiages posskderaient des vari6tCs d e ramification intkrieures. (2) Voir H. CARTAN, Sur les groupes de ~rtrr~sformntions anatytiques (Collection d'exposks mathCmatiques puhlies la mkmoire d e J . Herbrand, fasc. IX, Ilermann, Paris 1335).
2. Pour dbmontrer le theoreme I, nous Ctablirons Ic rbsultat plus gPnCral que ~ o i c :i TH~OIIE 11.YE Soient D, un domaine bornt de l'espace (x) et I), u n domuine bornt de l'espace ( y ) .Soit A u n domaine de l'espace ( x ,y ) qui contienne a son inttrieur le produit topologique de D, el de D,, mnis qui soit inttrieur a u produit topologique de D,, par. l'espace ( y )tout entier. Alors, your toute transformation pseudo-confor.me biunivoque de A en lui-m&me
f (x,yj est indtpendnnt de Y , et la transformation
est une transformation biunivoque de D, en lui-m&me. Du moins, tout cela est urai pour toutes lcs transformations ( 2 , I ) assea voisines de In transformation identique.
3. Pour la dBn~ons~ration du theoreme 11, nous utiliserons la mtitrique de Carathtodory. ~ t a n tdonn6, dnns l'espace de n variables complexes, un dol~iaineborn4 A et de'ux points M et M' intdrieurs a A, on dBsigne par ~ A ( M M'j ;
In borne supPricure, au point M', du module des fonctious holomorphes dans A, de module infbrieur a u n dans A, et nulles en M. On n c l ~ ( MM ; ' ) = d A ( M ' ;M ) < I .
Cette pseudo-distance d Arcste invariante par toute transformalion pseudo-conforme de A en lui-m&me; d'autre part, si A est intCrieur a A , , on a Bviden~ment
Nous aurons a nous servir du lelll~nesuivant :
LEMME I . - Soit A un domaine qui contient l'hypersphdre de centre 0 et de rayon r : mais est inttrieur a l'hypersyhkre de cc.ntr.e 0 et de reyon R ( 0 dhsigne ILn point fixe quelconque
de A). T a n t que la distance euclidiertne d ' u n point varmble M a u point O reste a u p l u s &pale a un certain nombr-e p ( q u i r t e d i p e n d que de r et R ), la pseudo-distance
est une fonclion monotone ( a u sens str-ict) q u a n d M de'cr-it une demi-droite quelconque issue d e 0. Prenons en effet O comme origine des coordonndes, et choisissons les axes de facon que. sur la demi-droite OM envisagee, toutcs les coordonn6es (colnplexes) s o i e n ~ nulles sauf une, que nous appellerons a, el que nous supposerons reelle et positive sur la demi-droitc' OM. Posons
fonc~iondBGnie pour o (-a
< I..
On a
car la fonction 2 e s nulle ~ en 0. et de lnodule inf6rieur B un dam A.
R
Soit a, un point fixe de la demi-droite ( z o < r ) . I1 existe une fonction holomorphe dans A , de module inferieur a un dans A, e l q11i est Bgale a ? ( s o ) pour z = a,. En effet la borne superieure. pour = a o , du inodulc des fonctions nulles en O et de module infhieur a un dans A, est atteinle pour au moins une de ces fonctions, parce qu'elles formen~une famille normale. Si on annule toutes les coordonnbes sauf a , cetLe fonction se ri'duit a unc fonction de la variable a , soit fzo( z),
qui est certainement holomorphe et de n~oduleitlfdrieur i un pour I z J < r ; d'autrr! part
.n axaldwoa aJqluou un,p alla?.J ayaed el suouB!s?p snou ' ( n ) y ,.Ied ( ,)
aaJlrrour ap nnop Ilfjns I!
snoN .(d
5 'z > o )
aqoap-!ruap el ap lu!od
anb aaaiuow snoInoA n n '2 l!oS
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'(,)
O-C
= in anod ;alyns acd 10
d'ou
et par suite, en tenant compte de (3,2):
Si p(p
< r ) a 6t&choisi assez petil pour que
alors I'inCgalitC ( 3 , 3 ) est v6rifiee; cela demontrc le lemnle en le precisant.
4. Abordons maintenant la demonstration du theoreme 11. Tout revient a dCmontrer que, si la transformation T
est assez voisine de la transformation identique (et il faudra preciser lc sens de celte locution), alors la fonction f ( x , y ) ne depend pas des variables y. E n effet, une fois ce point acquis, la transformation inverse T-I ))
aura la m&meforme, pour la m&meraison. Nons aurons donc deux transformations x-+f ( x )
et
x+ f , ( x ) ,
definies dans D,, et dont le produit sera la transformation identique x + x . 11 en r6sultern que chacune d'elles est une transformation biunivoque de D, en lui-meme, ce qlli achevera d'etablirle thdord~ne11. Ainsi tout revient A montrcr que f ( x l y ) ne depend pas dc y. Pour cela, choisissons une fois pour toutes, dans lc domaine A .
a.r??/ds.racliCy,1v /ua?l.rvddw ,A l a A slu?od ray suloitr 7 1 0 un,? a.rlno ua ?s ',"(I17 ?~au~ra?7.1vddw ,z l a r ?S - -111 ~"'~37 a1 suoJ!Iqel? snou '11 arrrmal a1 l u s n y
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-?s!~p.ld eJaAno.q 3~ (( anbynap! uo!leruJojsueal s1 ap au!s!o,i zasse ~ s a !S )> ~ O ! I I I D O I 01 ap suas a1 la 'qalnoru?p m o p eaas 11 aru?~o?qla1 f A ap sed puad?p au ( A 'z)$ anb 'V au!suiop a1 susp ( A ' T ) $ ap anb!li1uus luau1 -a9uo1o.ld ~ e 'da ~ n l m oe ~ u n o d uo '!yqal? 11 amura1 a1 s!oj a u n L~
au?uwop np (,C ' x ) y o d ?no7 .mod
??w 210'1 an6 alla? Isa J UO?~WW.IO./SUW.I~ 01 ?S :aluvn?ns ?l;)?.rdo.id w1 ap ?uwss?noC (,.1 > d '.I > w) d ?a w sLll?sod saJqwolr xnap a?s?ra 'sa+j.ras -uoa 7uv?? sa?~lap?a?.rdsuo??v~ou?a sayylodA?/ sa7 '11 X W ' Y ~ ~ I : luea!lls aurural a[ ~ a ~ l r r o r u ?suoIIe p snoN . ( . i ' ) aaedsa,~ap ,A l a A slu!od xnap ap no ' ( 3 " ) a3edsa'l ap ,x la x slu!od xnap ap auua!p!1311o az~uuis!pel
asd suouDg!spp 'a~l~l!mg,laa!~!~du~!sarrod v . 4 ~ e a.rna!.l?ln! l!os ,.I z noie.1 ap la 'iC'aalua3 ap a ~ a q d s ~ a d i qanb ' [ la y ~.IIIC>!.I~IU!I!OS .I z uo6e.1 ap la Ox amnaa ap a ~ ? q d s ~ a d i qanh , l sIa1 ',.I la .I sj!~!sod saJqurou xnap als!xa I! 'suo!l!pno3 sa3 s u e a .no!le3g!mlu ap lu!od un aJla ua sues e anua!l~eddt!O Aanb la 'uo!~sag!ure,l ap lu!od un a.lla ua suss e auua!l~eddu Ox anb la] (".C' "'x) ~ u ~ ou rd~
La
d b yue le quotient !.vl-..v I 15'-x 1
est infir-ieur h un certain nombre positif K . Dans cet knoncd, d;,;(x; YC')ddsigne la pseudo-distance des points x et x' dans le domaine D,, et d ~ ( xy, ; x', y') ddsigne la pseudo-distance des points (x, y ) et (x', y') dans le domaine A. Pour ddinontrer (5, I ) on remarquc d'abord que l'on a
En effet, si l'on ddsigne pour un instant par D le produit topologique de D, par l'espace ( y ) tout entier, et qu'on observe que A est intdrieur a D. on a C ~ A (yX; ,x', y')? d ~ 1 2y, ; x', y ' ) ; clu(x, y ; x ' . y ' ) = 4,ix; 50, car toute fonc~ionde x e l y, holomorphe et de module infhrieur a a n dans 0, se rdduit a une fonction de x seul, holomorphe et de module infdrieur a un dans D,.. 11 reste donc a ddtnontrer l'inkgalitd (5,3)
d ~ i x",Y ; x', y ' ) s & ( x ; z').
Pour cela, supposons x, y , x',y' fixes; au moyen d'uoe ~rnnsforformation lineaire s u r les coordonndes (conservant les distances), on peut se ramener au cas ou toutes les coordonndes de x et de sf sont dgales sauf une; de m61ne pour y et y'. O n aura donc
.
Celn dtant, a chaque point k(k, , . .,t,) de D,, je fais correspondre le p o i n ~q ( q , , . . ., a,/) dbfini par les fornjules
O n a par hypothbc.
(11 p
r suite
1 7/1-,1,1
I < K 151-
X,
I < KMl
M Btant u n n o ~ n b r efixe; en effet, le domaine D , est. bornk par hypothese. P a r hypothese aussi, le p o i n t y est intbrieur a l'hypersphere de centre y o et de rayon r'. Nous serons donc sGrs que le point q reste intbrieur a ]II.si
car alors le point q sera intdrieor a llhypersphere d e centre yoel de rayoil a r ' . E n d6finitive, il suffit que
pour que le point (5. 71) (dont les coordonndes sont des fonctions holomorphes d e coordonndes de E lorsque 5 decrit le domaine D,) reste intkrieur a A. K Ctant choisi de facon a satisfaire a cctte condilion, je vais construire une fonction G(E), holomorphe et d e module inf4rieur li un dans I).,.. nulle pour E = x, et egale a d ~ ( x y, ; sf, y') pour i .- x'. L1inCgalitP (5,3)en rksultera. Or i1 existe prkcisdment une fonction F ( < , q ) , holomorphe et de modl~leinfdrieur u n dans A , nulle nu point (x, . y ) et Bgale ii dA(*c,3'; x', y') au poinl (x', y ' ) . Si, dans cette fonction, nous renlplaqoos 7, cu fonction de 5 d'apres les formulcs ( i , 4 ) , nous obtiendrnos I;r fonction G(E) annouc6e. Le lemme III est donc tl&inontl+.
ti. Nous arrivons a la ddmonstrntion du lemme 11. Suit R un ~ i o m b r epositif assez grand pour que tor~tetljpersphere de rayon R, dolll le cchnlre 5 appnrtient a I'hypersph6rc
c u t i e n o e le doninine D, a son inti'rieur. 1I';tprt;s la dbfinitioll d e r ( $ 4 ) . I'hj-persphere de rayon r et de centre ( est int8rieure d l~),,.q ~ ~~eI lI soit C hstisfaisalit ( 6 , I ) . Si uous vorllons appliquer
le lelnme I au domaine D, et au point 5 de ce domaine, nous sommes conduit a choisir un nombre positif p(p < r ) satisfaisant a 3p
--
zpt --
nous ajouterons la condition (6'2)
P<:.
p Btant ainsi choisi, choisissons un nombre positif a satisfaisant a
e t enfin un nombre positif (3 satisfaisant
K ayant la m&me signification qu'au lemme 111. a et /3 etant ainsi choisis, il nous reste a dkinontrer l'exactitude du Ie~nme11. Soit donc ( x , y ) un point du domaine ( 4 , 3 ) . Nous voulons demontrer que, dans le domaine D,, les points f ( x , y o ) et f ( x , y ) co'incident. O r , qu'ils coincident ou non, on a, d'apres l'hypothese ( 4 , I ),
On peut donc trouver, dans l'espace ( x ) , Oun point 6 sii.u6 a une distance p du point f ( x , y o ) et tel que le point f ( x , y ) appartienne au segment de droite qui joint f ( x , y o ) a 5. L'inkgalith (6,1) est bien vCrifide par 6, et par suite le lemme I est applicable au domaine D, et a la demi-droite qui joint le point 6 au point f ( x.), ,y, Pour s'assurer que 6 satisfait a (6, I), on Ccrit
'11 - ("A- 'x)/l
?r
> I "A"--
(0.r.
~ ) Id
anb aarf!.qA lnej 11 '(0.r
'3 )
13
[(".dm
' x ) 2 .(o,4" ' x )J ' ]
slu!od xnr: aA!I!urf?p ua a~!p-y-lsa,3
slu!od xnap xne 111 auru1a1 a1 aruaur ap suonb!~ddv
anb JaJnsse snou s u o ~ o psnou 'ela3 Jno,j
-(,A ' , r )la
((1.4( 2 )siu!od xnap ne 111 auImal a1 aanb!lddc suolle snoN
le lemme 111 est applicable. D'ou
Comparons maintenant (6,8) e t (6,y). Les premiers membres sont Cgaux, puisque la pseudo-distance d A reste invariante par la transformation T. O n en dhduit
Maintenant, on pourrait appliquer pareillement le lemme 111 aux deux points ( x , y) e t (a',y'), puis a leur transformks par T; le lecteur s'assurera facilement que les conditions d'application du lclnme 111 sont remplies chaque fois. I1 viendra finalement (6,111
&[ f ( s , y ) ; 5 i = d . = ( x ;5').
Comparons enfin (ti, I o ) e t (6,1 I ) , ce qui donne
E n vertu dl1 lemme I, les points f (x,y,) et f ( x , y), q u i son[ situds sur une meme demi-droite issue de 6, e t a une distancc de au plus 6gale a p, d o i o e n ~coi'ncider. T o u t est donc ddmonlrP.
Sur le premier problcme de Cousin Cornptes Rendus dellAcadernie des Sciences de Paris 207,558-560 (1938)
Soit D un domaine de l'espace de n variables complexes z , , . . . , z,. Une distribution de Cousin de premikre espkce consiste dans la donnCe d'un recouvren~entde D avec des ensembles ouverts D, (en nombre fini ou infini), et, dans chaque D,, d'une fonction f a rnkrornorphe, de manikre que, dans chaque intersection D, r\ D p non vide, la diffhrence f a -f p soit holornorphe. Le premier problkme de Cousin consiste alors a trouver une fonction f rnkrornorphe dans D e t telle que, dans chaque D,, QudiffCrence f -f a soit holornorphe. O n dit que le. premier thCorkme de Cousin est vrai pour un domaine D si, quelle que soit la distribution de Cousin de premikre espkce donnCe dans D , le premier problAme de Cousin admet au moins une solution. O n sait ('), dans le cas de deux variables, que le premier thhorkme de Cousin ne peut 6tre vrai que pour un a domaine d'holomorphie B ("). O n n'est pas parvenu A Ctendre ce rCsultat au cas de plus de deux variables. J e me propose de montrer ici qu'il cesse effectivement d'&tre exact pour tmis variables. I1 suffira pour cela de dCmontrer le thCor4me : THEOKBME. - Le premier thkorkrne de Cousin est vrai pour le dornaine A suivant
H . CARTAN, Comptes rendus, 199, 1934, p. 1284.
(I)
tP) K. Oka
a dhmontre que le premier theorhme de Cousin est effectivement vrai les domaines d'holomorphie univalents (Journal of Science of the Hirosima university, serie A, 7 , 1937, p. 1x5-130).
pour
LOUS
SBANCE
DU 3 OCTOBRE 1938.
Ce domaine n'est autre que le tricylindrc
qu'on a privC de son centre a , = z,= z 3 = o ; on sait que ce n'est pas un domaine d'holomorphie. Pour montrer que le thCorkme de Cousin est nkanmoins vrai pour A, considCrons les trois domaines
d o r ~ tla &union est A. Le premier thCorBme d e Cousin est vrai pour chaque A i ( i = I , 2 , 3 ) , comrne cela rCsulte des travaux de Cousin lui-m&me. &ant donnCe une distribution de Cousin d e premikre espBce dans A , on en dhduit une distribution dans chaque Ai; soit une solution du problhme d e Cousin correspondant. Les diffkrencesf fjsont holomorphes dans A i n A , . Pour obtenir une f qui soit solution du probl&med e Cousin relatif h A, il suffit de trouver trois fonctions hi, holomorphes respectivement dans Ai, et telles que l'on ait, dans A ; n A i ,
,-
on prendra alors pour f la fonction Cgale, dans chaque Ai, a fi- Iti. Tout revient donc a prouver l'existence de trois telles fonctions h, , h,, h,, sachant que f,- j,= g1 est holomorphe dans A 2 n A , ,
fn-fl= gr
est holomorphe dans
A:,nA, ,
f1- f,= g3 est holomorphe dans A , n A,
gcrivons les dhveloppements de Laurent
puisque g,+ g,+.g,==o
dans
A,nAsAA3.
.
560
A C A D ~ M I EDES SCIENCES.
De (I) et ( a ) on dkduit que a,,, n'est # o que s i l'un au plus des exposants n etpestnkgatif; car si n < o e t p < o , on a b,,,=c,,,=o, d o n c a ,,,,,,, = o . O n a des propositions analogues pour b,, et c,,,, et on en dPlduit, par un partage convenable des termes i exposants nkgatifs dans g,, g,, g,, que ces fonctions peuvent se mettre sous la forme
les hiPltant holomorphes respectivement dans A;. On a alors, dans
ce qui achkve la dkmonstration.
A;nA,?
