Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen I: Die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen

Robert Fricke

Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen Erster Teil Die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen

1. Auflage 1916. Nachdruck 2011.

Geheimer Hofrat Prof. Dr. Robert Fricke (1861–1930) Technische Hochschule Braunschweig Braunschweig Deutschland

Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner-Verlag

ISBN 978-3-642-19556-3 e-ISBN 978-3-642-19557-0 DOI 10.1007/978-3-642-19557-0 Springer Heidelberg Dordrecht London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2010): Primary 33E05, Secondary 30-01, 11F03, 11F06, 11F11, 11F20, 11F27. 1. Auflage 1916 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012 (Nachdruck) Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf : WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort der Herausgeber von Teil III

Dieser Nachdruck des ersten Teils des Klassikers Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen von Robert Fricke (1861–1930) erscheint zusammen mit einem Nachdruck des zweiten Teils und einer Erstver¨offentlichung des dritten Teils aus dem Nachlass des Autors. In den Nachdruck des ersten Teils haben wir auch Frickes Vorwort zur zweiten unver¨anderten Auflage des ersten Teils aus dem Jahre 1930 aufgenommen. Der dritte Teil ist Anwendungen der elliptischen Funktionen gewidmet. Schon 1930, kurz nach Frickes Tod, sollte auch der dritte Teil publiziert werden, aber im Schatten der Weltwirtschaftskrise wurde dieses Projekt nicht realisiert. Wir freuen uns, dass es mit den heutigen technischen Mitteln m¨oglich ist, den ¨ dritten Teil der Offentlichkeit vorzulegen zusammen mit Nachdrucken der ersten beiden Teile, auf die im dritten h¨aufig verwiesen wird. Auf diese Weise wollen wir das Frickesche Werk in sinnvoller Form zum Abschluss bringen. Den Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern des Springer-Verlags danken wir f¨ur die gute Zusammenarbeit. Braunschweig, M¨unster und D¨usseldorf, den 15. Mai 2011

Clemens Adelmann, J¨urgen Elstrodt und Elena Klimenko

V

Robert Fricke

DIE

ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN UND IHRE ANWENDUNGEN VON

DR. ROBERT FRICKE PROFESSOR AN DER 'l'ECBNISCHEN HOCHSCHIiLE IN BllAUNSCHWEIG

ERSTER TEIL

DIE FUNKTIONENTHEORETISOHEN UND ANALYTISOHEN GRUNDLAGEN MI'l' 83 IN DEN TEXT GEDRUOKTEN FIGUREN

LEIPZIG UND BERLIN DRUOK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1916

SCHUTZFORMEL FÜR DIE VEREINIGTEN STAATEN VON AMERIKA COPYRIGHT 1916 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

ALLE RECHTE, EINSCHLIESSLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.

DEM ANDENKEN MEINER FRAU GEWIDMET

Vorwort zur zweiten Auflage. vVie schon im Vorwort zur ersten Auflage ausgeftthrt wurde, verdanke ich die Anregung zur Abfassllng des vorliegenden Werkes der Bearbeitung des Referates "Elliptische Funktionen" 'iIn zweiten Bande der Enzyklopädie der mathematis('hen Wissenschaften. Es erschien mir zweckmäßig, die beim vierten und fünften Abschnitte dieses Referates befolgten Grundsätze auch hei einem umfassenden Lehrbuche der elliptischen Funktionen zur Geltung zu bringen, was bis dahin noch in keinem ausführlichen Buche tiber die genannten Funktionen geschehen war. Es handelte sich vornehmlich clarum, die von F. Klein geschaffene "Stufentheorie" als ordneniles Prinzip der ganzen Behandlung der elliptischen Funktionen zugrunde zu legen, Uln insbesondere dadurch die neuere von Weierstraf~ herriihrende Gestalt. der Theorie zu der älteren, hauptsächlich von J aco bi geschaffenen Gestalt in die richtige Beziehung zu setzen. Im übrigen war es natürlich auch meill Ziel, die Invariantentheorie, die Gruppentheorie, die geometrische Anschauung usw. bei der Behandlung der elliptischen Flmktionell in derselben Weise zur Verwendung zu bringen, wie ich dies in langjähriger Zusammenaroeit mit meinem Lehrer und Freunde F. Klein im Gebiete der Modulfunktioneu und der automorphen Funktionen getan hatte. Nach dem Erscheinen der ersten Auflage des ersten Bandes bedurfte es einer sechsjährigen Zwischenzeit bis zn der 1922 erfolgten Herausgabe des zweiten Bandes, der die algebraischen Ausführungen über Addition, Multiplikation, Teilung und Transformation der elliptischen Funktionen brachte. Der dritte, noch in der Bearbeitung befindliche Band soll t1inige Anwendungen der elliptischen Funktionen behandeln. In einer Einleitung werden die Methoden und Hilfsmittel zur numerischen Berechnung der elliptischen Integrale und Funktionen gegeben. Im übrigen sind die Anwendungen der elliptischeq Funktionen so ausgeclehnt und vielseitig, daß es geboten erschien, hier nur eine zweckmäßige Auswahl zu treffen. In einem ersten von drei Abschnitten werden geometrische Anwendungen besprochen, im zweiten arithmetische. Endlich soll der dritte Abschnitt einige mechanische und physikalische Anwendungen behandeln. Die lange Zwischenzeit seit Erseheillen des zweiten Bandes ist dem dritten jedenfalls iusofern zugute gekommen, als es inzwischen gelang, die arithmetisehen a*

XII

Vorwort zur zweiten Auflage

Anwendungen an einer gewissen, auch die allgemeine Transformationstheorie betreffenden Stelle neuerdings wesentlich zu vertiefen. Der Text der Einleitung und der beiden ersten Abschnitte ist fertig bearbeitet. Wenn mir die Kraft bleibt, hoffe ich, im Laufe des nächsten Jahres den dritten Band herausgeben zu können. . Braunschweig, im Juni 1930.

Robert Frieke.

Vorwort. Zur Einführung des Werkes, dessen ersten Teil ich hiermit vorlege, bedarf es nur weniger Worte. Bei der. einige Jahre zurückliegenden Abfassung des Referates "Elliptische Funktionen" für den zweiten Band der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften habe ich es als eine reizvolle Aufgabe empfunden, die Grundsätze, nach welchen ich den vierten und fünften Abschnitt des Referates ("Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen nach neueren Anschauungen" und "Addition, Multiplikation, Division und allgemeine Transformation der elliptischen Funktionen") entwickelt habe, bei einer umfassenden Lehrbuchdarstellung der Theorie der elliptischen Funktionen zu verwerten. Als die beiden wichtigsten Gesichtspunkte erscheinen mir hierbei erstens die starke Hervorhebung der algebraischen Grundlage, zweitens die Einordnung des Ganzen in die Stufentheorie von F. Klein. Es hat, wie ich nicht zweifele, lange die allgemeine Anerkennung gefunden, daß die Stufentheorie die richtige Grundlage abgibt, um die verschiedenen, zunächst scheinbar auseinanderliegenden Darstellungsformen der Theorie der elliptischen Funktionen in organischen Zusammenhang zu bringen. So nimmt denn auch das vortreffliche, der ersten Einführung dienende Buch von H. Burkhardt auf die Stufentheorie H,ücksicht; und wenn unsere großen Werke über elliptische Funktionen dieses noch nicht tun, so darf man' dabei nicht vergessen, daß die Entstehungszeit derselben mehr als zwei Jahrzehnte zurückliegt. Daß ich, was die Methode der Darstellung, die Verwertung der Invariantentheorie, der Gruppentheorie, der geometrischen Anschauung usw. angeht, den Grundsätzen getreu geblieben bin, welche ich mir in einem mehr als 30-jährigen engen wissenschaftlichen Verkehr mit meinem Lehrer und Freunde F. Klein zu eigen gemacht habe, darf ich als selbstverständlich ansehen. Wenn die gemeinsame Tätigkeit zunächst den höheren Gebieten der Modulfunktionen und der automorphen Funktionen zustrebte, so blieb eben dadurch in dem elementareren Gebiete der elliptischen Funktionen· noch eine Arbeit zu leisten, die mir nicht unwichtig erscheint. Wenn diese Arbeit nun auch in eine Zeit fällt, wo die Funktionentheorie in schnell vorwärts eilender Forschung sich mit weit allgemeineren Problemen beschäftigt und unter der mächtigen Einwirkung der Mengenlehre ein neues Gewand anzulegen im Begriffe steht, so darf doch gesagt werden, daß die elliptischen Funktionen zum

XIV

Vorwort

klassischen Bestande unserer Wissenschaft gehören, dem das Interesse nie versagt werden wird, daß ferner die elliptischen Funktionen für die Anwendungen eine Bedeutung besitzen, die wenigstens von seiten dieser Anwendungen auch heute noch keineswegs in vollem Maße gewürdigt wird. Der vorliegende erste Teil des Werkes bringt die funktionentheoretischen und analytischen Grundlagen, indem er die Theorie der elliptischen Funktionen erster und zweiter Stufe entwickelt. Die übrigen Teile des Werkes sollen so angelegt werden, daß jeder Teil für sich ein tunlichst selbständiges Bild seines Gegenstandes entwickelt. Der zweite Teil wird den algebraischen und arithmetischen Ausführungen gewidmet sein, der dritte den geometrischen und mechanischen Anwendungen. Auf diesen dritten Teil ist meine Hoffnung besonders gerichtet; möchte er dazu beitragen, die bekannten vielseitigen Beziehungen unserer Theorie zu Problemen der Geometrie und Mechanik bis in die numerischen Einzelaufgaben hinein lebhaft und fruchtbringend zu gestalten. Für die mühevolle und sorgfältige Durchsicht der Korrekturbogen danke ich Fräulein Dr. phil. H. Petersen, hier, aufrichtig. Besonderen Dank aber schulde ich der Verlagsbuchhandlung, daß sie trotz aller Schwierigkeiten der Zeit den Druck des vorliegenden Bandes ohne erhebliche Verzögerung durchgeführt hat. Braunschweig, den 26. Oktober 1915.

Robert Fricke.

Inhaltsverzeichnis. Einleitung. Zusammenstellung von Sitzen über analytische Funktionen. § 1. § 2. § 3. § 4. § 5.

§ 6. § 7. § 8. § 9. § 10. § 11. § 12. § 13. § 14. § 15. § 16. § 17. § 18.

§ 19. § 20.

Begriff der analytischen Funktion einer komplexen Variabeln Von den Integralen der analytischen Funktionen . . . . . . . . Erklärung analytischer Funktionen durch Potenzreihen . . . . . Die Oauchysche Integralformel und die Oauchy-Taylorsche Reihe. Die analytische Fortsetzung und die durch dieselbe veranlaßten Ergänzungen der anschaulichen Hilfsmittel. . . . . . , . .. Das Feld F einer analytischen Funktion und die singulären Punkte derselben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . Von den durch analytische Funktionen vermittelten Abbildungen. . . Begriff des Residuums und Sätze über Residuen . . . . . . . . . . Die Reihe und der Satz von Laurent. Folgerungen über eindeutige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " Die ganzen rationalen Funktionen und ihre inversen Funktionen. . . Die ganzen transzendenten Funktionen. Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produktdarstellung der ganzen transzendellten Funktionen. . . . . Die rationalen Funktionen und ihre inverseu Funktionen . . . . . Die linearen Substitutionen und der Begriff der Kreisverwandtschaft Die linearen Substitutionen zweiter Art· und die indirekten Kreisverwandtschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Angaben über algebraische Funktionen und Gebilde . . .. Der Grad des Zusammenhangs einer Riemannschen Fläche Fm. . . . Weiteres über algebraische Funktionen speziell bei p = 0 und p = 1. Grundproblem der Theorie der elliptischen Funktionen . . . . . . Lösung linearer homogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung Ausführungen über die hypergeometrische Differentialgleichung

Seite

1

4 9 14 19 24 30 36 39 44 49 56 61 66 73 76 82 90 97 105

Erster Abschnitt. Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen erster Stufe. Erstes Kapitel.

Die elliptischen Integrale und ihre zur ersten Stufe gehörenden Normalgestalten. § 1. Die Verzweigungform, ihre Invarianten und ihre Normalgestalt erster

Stufe. . . . _ . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . § 2. Exkurs über lineare Substitutionen und deren Gruppen endlicher Ordnung § 3. Die linearen Transformationen der Verzweigungsform in sich . . § 4. Invarianz von J gegenüber beliebiger rationaler Transformation der

Riemannschen Fläche F2

.

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§ 5. Allgemeine Bemerkungen über die elliptischen Integrale . . . . § 6. Die drei Gattungen der elliptischen Integrale und die Elementarintegrale

118 126 133 137 140 142

XVI

InhaItsverzeichms

§ 7. Die zur ersten Stufe gehörenden Normalgestalten der Integrale der drei

Gattungen. . . . . . . . . . . . • . . . • • . . . . .

Seile

152

§ 8. Die Perioden der elliptischen Integrale und die zwischen ihnen be-

stehenden Relationen. . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . § 9. Die transzendent normierten Integrale zweiter und dritter Gattung. .

154 162

Zweites Kapitel. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe und die durch dasselbe vermittelten Abbildungen. § 1. Das Feld F<Xl der Funktion u(z) und seine Abbildung auf die u-Ebene bei Gebrauch spezieller Querschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Die Perioden 00" w. und der Periodenquotient 00 des reduzierten Querschnittsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Übergang zu einem beliebigen Querschnittsysteme und lineare Transformation der Perioden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Verhalten des Integrals erster Gattung bei eindeutigen Transformationen der Fläche F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164 175 180 188

Drittes Kapitel. Die elliptischen J;'unktionen erster Stufe. § 1. Das Integral erster Gattung u als "uniformisierende" Variabele der

Riemannschen Fläche F. . . . . . . . .

.........

194

§ 2. Der Körper der elliptischen Funktionen, die besonderen Funktionen

g:J(u), gJ' (tb) und das Normalintegral {;(u) • . • • • . . . . . . . • . § 3. Potenzreihen für die Funktionen p(tb), )()' (u) und {;(u). . . . . . . . § 4. Darstellung der Elementarintegrale in tb. Vorläufiges über die Additions-

theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . •.

197 199 201

§ 5. Darstellung aller elliptischen Funktionen des Körpers durch die Funk§ 6. § 7. § 8. § 9.

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10.

tionen {;, g:J, p', pU, . .. . . . . . . . . . . . Die ganze transzendente Funktion 6 (tb; g., g3) . . . Darstellung der elliptischen Funktionen durch die 6-Funktion: Die elliptischen Funktionen der zweiten und dritten Art . . . Anzahltheorem über elliptische Funktionen mit gegebenen Polen nebst Folgerungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viertes Kapitel. Die eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe. Die Substitutionsgruppe r Cll) der doppeltperiodischen Funktionen Der Diskontinuitätsbereich der Substitutionsgruppe r Cu ) • • • • " Einführung eines sechseckigen Diskontinuitätsbereichs der r(u) und Erklärung eines reduzierten Periodenpaares . . . . . . . . . . Von den Transformationen der Gruppe r Cu ) in sich. . . . . . Begriff der doppeltperiodischen Funktionen und Residuensätze . Über die Konvergenz gewisser Doppelreihen . . . . . . Existenzbeweis der doppeltperiodischen Funktionen. . . Teilbruchreihen für die Funktionen s(}(u), )(). (u) und {;(7l) nebst Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Funktionen des ringförmigen Bereiches nebst Anwendungen. . . Das System aller elliptischen Funktienen und die Ausartung derselben

204

207 212

217 222

229 233 235 244

250 255 257 260 264

272

XVII

Inhaltsverzeichnis Fünftes Kapitel.

Die elliptischen Modulfunktionen erster Stufe und ihre inversen Funktionen.

Seite

§ 1. Die Modulgruppe r(w) und ihre Erweiterung durch eine Spiegelung § 2. Das Dreiecksnetz der oo-Halbebene und der Diskontinuitätsbereich der § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9.

§ 10.

280

Modulgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Die erzeugenden Substitutionen der Modulgruppe . 296 Die elliptischen Modulfunktionen erster Stufe. . . 299 Die elliptischen Modulformen erster Stufe . . . . 304 Die Perioden 11" 112 als Funktionen der 00" 00 2 , Produktentwicklung der Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Differentiationsprozesse zur Herstellung von Modulformen . . . 313 Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe als Funktionen dreier Argumente . . . . . . . . . . . . ........... 318 Differentialgleichungen der Perioden in bezug auf die Invarianten. Inversion der Modulfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Die normierten Perioden als hypergeometrische Funktionen von J 329

Zweiter Abschnitt. Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen zweiter Stufe. Erstes Kapitel.

Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der Verzweigungsform und der elliptischen Integrale. § 1. Die einfachsten irrationalen Invarianten der Verzweigungsform. . § 2.. Beziehung der irrationalen Invarianten der Verzweigungsform zu den

341

rationalen Invarianten . . . . . . . . . . . . . . . Die Normalgestalt zweiter Stufe der Verzweigungsform . . . . . Die Normalgestalt vierter Stufe der Verzweigungsform . . . . . Die NormalgestaIten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale Die Legendrescben Normalintegrale . . . . . . . . . . . .

345 351 354 359 366

§ 3. § 4. § 5. § 6.

Zweites Kapitel.

Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe. § 1. Das Prinzip der Stufenteilung und der Begriff der elliptischen Funk-

§ 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9.

tion n ter Stufe. . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Kongruenzgruppen zweiter Stufe in der r(u) . . Die Funktionen zweiter Stufe ~(u) - ek und 6 k (u). Die Jakobischen Funktionen snw, cnw, dnw . . . . Die Ableitungen der Funktionen sn w, cn w, dn wund Potenzreihen derselben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung der :B'unktionen sn w, cn w, dn wals Quotienten ganzer transzendenter Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produktentwicklungen der elliptischen Funktionen zweiter Stufe. . . Laurentsche und Fouriersche Reihen für die Funktionen sn, cn und dn Die Fourierschen Reihen für die ganzen Funktionen 6 1 (u), 6 2 (u), 6 8 (u) und die Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . .

V

a**

374 377 382 387 39ß 400 404 408 413

XVIII

Inhaltsverzeichnis Seite

§ 10. Die Thetafunktionen mit beliebiger Charakteristik . . . . . . . . . § 11. Die Thetafunktionen höherer Ordnung mit beliebiger Charakteristik. § 12. Die Thetafunktionen m ter Ordnung als ganze elliptische Funktionen dritter

Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

420 423 426

Drittes Kapitel.

Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation der elliptischen Funktionen zweiter Stufe. § 1. Der Diskontinuitätsbereich der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe § 2. Die elliptischen Modulfunktionen zweiter Stufe. . . . . . . . . . § 3. Die elliptischen Modulformen zweiter Stufe. . . . . . . . . .

434 440 445

§4. Modulfunktionen höherer Stufen in der Theorie der elliptischen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . . . 449 § 5. Die Perioden betrachtet als Funktionen des Integralmoduls . . . . . 460 § 6. Die elliptischen Fnnktionen zweiter Stufe als Funktionen zweier Argumente. Ausartungen . . . . . . . . _ . . . . . . . . . . . . . 466 § 7. Verhalten der elliptischen Funktionen zweiter Stufe bei beliebigen Periodensubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 § 8. Verhalten der Thetafunktionen bei beliebigen Periodensubstitutionen . 477 § 9. Allgemeines Gesetz über das Verhalten der Thetafunktionen bei Periodensubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . 483 § 10. Anwendung auf die Theorie der Gaußschen Summen . . . 491

Einleitung. Zusammenstellung von Sätzen über analytische Funktionen. In der nachfolgenden Einleitung sollen einige Definitionen und Sätze über analytische Funktionen zusammengestellt werden, und zwar in derjenigen vielfach beschränkten Gestalt, in welcher dieselben innerhalb der Theorie der elliptischen Funktionen zur Benutzung kommen. Auf die Beweise der Sätze kann hier zumeist nicht ausführlich eingegangen werden; es ist in dieser Hinsicht vielmehr auf die Spezialwerke über die Theorie der analytischen Funktionen zu verweisen. I )

§ 1. Begriff der analytischen Funktion einer komplexen Variabeln. Die komplexe Variabele z = x + iy soll alle endlichen komplexen Werte annehmen können und zunächst auf diese beschränkt sein. Die Zahlenebene oder "z-Ebene", durch deren Punkte man die Werte von z versinnlicht, stellt demnach nur erst den Inbegriff aller ihrer "im Endlichen gelegenen" Punkte dar. Unter einer "Umgebung" des Punktes zo = xo + iyo der z-Ebene verstehen wir zweckmäßig alle Punkte z, für welche I z - Zo I < h zutrifft; dabei soll h als eine der Bedingung h> 0 genügende endliche reelle Zahl zweckmäßig gewählt sein. Wir fassen also der leichten Anschaulichkeit halber die Umgebung des Punktes z = Zo in der z-Ebene als Inbegriff aller inneren Punkte der Kreisfläche vom Radius h um den Punkt ZOo Die Aussage, daß irgendein Satz in "der" Umgebung von z = Zo gelte, läuft darauf hinaus, daß sich eine Zahl h angeben läßt, für deren zugehörige Umgebung des Punktes Zo der Satz richtig ist. In einer Umgebung von Zo sei jedem Werte z eindeutig ein bestimmter endlicher komplexer ,Vert w = tt + iv zugeordnet; diese Zuordnung werde durch das Symbol w = fez) bezeichnet und weine "Funktion" von z genannt. Sind z und z + Li z zwei verschiedene Punkte jener Umgebung, so hat

(1)

f(z

+ LI z) -

-------~-------

Llz

f(z) --~

1) Wir ber.iehen uns vornehmlich auf W. F. Osgood, "Lehrbuch der Funktionentheorie", Erster Band, Zweite Auflage (Leipzig und Berlin, 1912); dieses 'Werk soll kurz durch Angabe des Autors zitiert werden. Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. 1

1

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

2

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

einen zugehörigen bestimmten endlichen Wert. Man ändere jetzt bei festgehaltenem z den Wert Li z in irgendeiner Weise entsprechend der Vorschrift lim Li Z = 0, jedoch natürlich so, daß z + Li z dauernd der Umgebung von Zo angehört. Zeigt sich, daß die entsprechenden Werte (1) unabhängig von der besonderen Art, in der der vorgeschriebene Grenzübergang vollzogen wird, einen bestimmten endlichen, allein von ß abhängigen Grenzwert besitzen, so bezeichnen wir denselben durch (z) und nennen ihn die "Ableitung" von fez) im Punkte z; wir sagen auch, die Funktion fez) habe im Pttnkte z eine Ableitung. Man sagt: Die Funktion f(z) vedtält sich in der Umgebung von Zo "analytisch" oder stellt dortselbst eine "ana,lytische Punktion" dar, wenn sie in jedem Punkte z dieser Umgebung eine Ableitung besitzt. 1) Ist fez) in der Umgebung von Zo analytisch, so kann man aus der Existenz der Ableitung (z) zeigen 2), daß l' (z) in jedem Punkte jener Umgebung stetig ist. Die Stetigkeit der Ableitung f' (z) braucht demnach nicht als ein Merkmal in den "Begriff" der analytischen Funktion fez) aufgenommen zu werden. Die Stetigkeit von fez) selbst in einem Punkte z ist eine unmittelbare Folge der Existenz der Ableitung in diesem Punkte. Der reelle Bestandteil u und der vom Faktor i befreite imaginäre Bestandteil v der analytischen Funktion: w = u + iv = fez) = fex + iy) sind in der Umgebung von Zo eindeutige reelle Funktionen der reellen Variabeln x und y. Berechnet man für einen einzelnen zugehörigen Punkt z den eindeutig bestimmten Wert f'(z) erstlieh, indem man sich dem Punkte z in Richtung der x-Achse annähert, zweitens dadurch, daß man die Annäherung in Richtung der y-Achse vollzieht, so gewinnt man für ein und denselben Wert f' (z) die beiden Darstellungen:

r

r

f '(z)

=

o(tl + iv) ox

=

OU

ox

+i

f'(z) = o(~+iv) =~. ou

z·oy

z

oy

OV

ox'

t-

ov.

oy

Durch Vergleich der rechten Seiten folgt: Die reellen Funktionen u(x,y) und v (x, y) befriedigen die partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung:

(2)

ou

ox

ov

8y'

0"

8x

ou

- oy'

1) Die Benennung "analytisch" hat vVeierstraß im Anschluß an Lagrange eingeführt. Die oben gewählte Begriffserklärung der analytischen Funktionen hat Riemann in Übereinstimmung mit den Anschauungen Cauchys an die Spitze gesteUt; s. Riemann, "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Größe", Gesammelte mathematische Werke (Leipzig, 1876), S. 3 ff. 2) Osgood, S. 225 und 349.

Begriff der analytischen Funktion

3

welche als die" C au chy- Riem annschen Differentialgleichungen" bezeichnet werden. 1) Eine zwei Punkte der z-Ebene verbindende, in dieser Ebene gelegene Linie soll ein "reguläres Kurvenstück" heißen, wenn sie sich selbst nicht schneidet, nirgends eine Spitze aufweist, dagegen überall (unter Einschluß der Endpunkte) eine bestimmte Tangente hat, die sich längs der Kurve nirgends unstetig ändert. In vielen Fällen reicht man damit aus, als solche Kurvenstücke gerade Strecken oder Kreisbogen zu benutzen. Eine "reguläre Kurve" der z-Ebene soll eine solche Kurve sein, die aus endlich vielen regulären Stücken zusammengesetzt ist; man darf annehmen, daß benachbarte Kurvenstücke in ihrem gemeinsamen Endpunkte unter einem von n verschiedenen Winkel zusammenstoßen, da sie anderenfalls nur ein Kurvenstück bilden würden. Unter Tn wollen wir einen zusammenhängenden, im Endlichen ge_ legenen "Bereich" der z-Ebene verstehen, dessen Rand aus n getrennt verlaufenden, geschlossenen regulären Kurven besteht; hierbei ist n irgend eine endliche positive ganze Zahl. Die Randpunkte selber sollen dem Bereiche T,. nicht angehören. 2) Der Bereich Tn heißt "n-fach zusammenhängend"; durch geeignet gewählte (n - 1) Querschnitte Ql' Q2' ... , Qn-l kann er in einen einfach.zusammenhängenden Bereich T: verwandelt werden. Jeder dieser Querschnitte verbindet zwei Randpunkte von Tn und darf selbst als reguläre Kurve gewählt werden; die Punkte der Querschnitte sind Randpunkte von T: und gehören also nicht mehr diesem Bereiche zu (vgl. Fig. 1, in der n = 3 ist). Ist es nicht nötig, die Zahl n hervorzuheben, so sprechen wir kurz von einem Bereiche T. Da jeder Punkt des Bereiches Tein innerer Punkt desselben ist, so läßt sich um denselben ein Bereich eingrenzen, der durchweg aus Punkten von T besteht. Ist jetzt im Bereiche T eine eindeutige und daselbst überall endliche Funktion w = fez) erklärt, so sagen wir, sie verhalte sich im Bereiche überall analytisch, falls sie in der Umgebung jeder Stelle von T eine analytische Funktion darstellt. Sie wird in jedem Punkte z von T stetig sein und daselbst eine bestimmte endliche und gleichfalls stetige Ableitung (z) besitzen.

r

1) Betreffs des früheren Auftretens dieser Gleichungen s. Osgood, S. 226. 2) Der Bereich heißt deshalb "nichtabgeschlossen"; auch die "Umgebung" eines Punktes Zo war oben als "nichtabgeschlossener" Bereich erklärt. 1*

4

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

So ist z. B. eine rationale ganze Funktion fez) in jedem Bereiche T analytisch, und dasselbe gilt z. B. von den Funktionen e sin z, cos z. Dagegen wird sich eine gebrochene rationale Funktion fez) in allen denjenigen etwa in T n gelegenen Stellen nicht mehr analytisch verhalten, wo sie unendlich wird. Ist 1n die Anzahl dieser Stellen, so wolle man in T n um diese Punkte als Mittelpunkte 1n so klein gewählte Kreise beschreiben, daß diese Kreise weder miteinander noch mit dem Rande von T n kollidieren. Nimmt man die l!'lächen dieser Kreise vom Bereiche T n fort und bereichert man daraufhin den Rand um jene m Peripherieen, so wird fez) in dem damit gewonnenen Bereiche T m+n wieder allenthalben analytisch sein. Z

,

§ 2. Von den Integralen der analytischen Funktionen. Im Bereiche Tn' in welchem fez) als eindeutige analytische Funktion erklärt ist, ziehen wir von einem festen Punkte zo nach einem Punkte z eme reguläre Kurve. Längs dieser Kurve erstrecken wir das Integral:

(1)

'0

wobei wir zur Unterscheidung von der oberen Grenze z die Integrationsvariabele mit ~ bezeichnen. Dieses Integral hat einen bestimmten endlichen Wertl), der einen Zeichenwecbsel erfährt, wenn man über die vorgeschriebene Kurve in umgekehrter Richtung, also von z nach zo, integriert. Gilt weiter zunächst n = 1, und ist im einfach zusammenhängenden Bereiche Tl eine geschlossene reguläre Kurve 0 gezeichnet, so wollen wir unter den beiden Richtungen, in denen wir diese Kurve durchlaufen können, eine beliebig, aber fest wählen. Das in der gewählten Richtung über C erstreckte Integral der analytischen Funktion fez) werde mit:

(2)

Jr(~)d~ (C)

bezeichnet. Alsdann gilt der "Cauchysche Integralsatz" : Das über die geschlossene Kurve C erstr~ckte Integral (2) der analytischen Funktion fCz) hat den Wert O. Dieser für die ganze Theorie der analytischen Funktionen grundlegende Satz wird gewöhnlich in der Art bewiesen, daß man die Stetigkeit der Ableitung t(z) beim Beweise benutzt. 2) Indessen hat E. Goursa t 3) ein Beweisverfahren ausgebildet, das ohne die Stetig1) Osgood, S. 277 ff. 2) Osgood, S. 129 ff. und S. 284. 3) S. dessen Abhandlung "Sur la definition generale des fonctions analytiques d'apres Cauchy", Amer. Math. Soc. Transact, B. 1, S. 14 (1900); übrigens s. auch Osgood, S.349.

Der Cauchysche Integralsatz

5

keit von f'(z) arbeitet. Es wurde dieserhalb auch oben die Stetigkeit der Ableitung f' (z) nicht in die Begriffserklärung einer analytischen Funktion aufgenommen. Indem wir ein für allemal daran festhalten, nur reguläre Kurven als Integrationsbahnen zu benutzen, folgt aus dem Cauchyschen Satze: Im einfach zusammenhängenden Bereiche Tl ist der Wert des Integrals (1) unabhängig von der zwischen 130 und 13 gewählten Bahn, so daß das Integral (1) bei festgehaltener unteren Grenze 130 eine "eindeutige" Funktion F(z) der oberen Grenr:e ist: z

(3)

F(z)

=

!fCs)ds. Zo

Sind nämlich zwischen Zo und 13, wie in Fig. 2, zwei Bahnen 0 1 und O2 gewählt, so wird, wenn wir an die in der vorgeschriebenen Pfeilrichtung e durchlaufene Kurve 0 1 die entgegen der Pfeilrichtung beschriebene Kurve O2 anfügen, dagewonnen. durch eine geschlossene Kurve Durch Zerlegung des über diese Kurve 0 erstreckten Integrals, das infolge des Cauchysehen Integralsatzes den Wert 0 hat, in die beiden auf 01 und auf die dem Pfeil entgegen Zo Fig. 2. durchlaufene Kurve O2 bezogenen Summanden ergibt sich, indem wir neuerdings im zweiten Summanden die ursprüngliche Integrationsrichtung wieder herstellen, der ausgesprochene Satz. Der Cauchysche Integralsatz kommt unten gewöhnlich in einer etwas allgemeineren Fassung zur Verwendung. In einem vorgelegten Bereiche T n denken wir einen durch m reguläre Kurven Ov 02' ... , Om berandeten Teilbereich Tm gelegen. Es wird alsdann fez) nicht nur in Tm' sondern auch noch in jedem Randpunkte von Tm analytisch sein. Durch Hinzufügung von (m - 1) Querschnitten verwandeln wir Tm in einen von einfachem Zusammenhang. Für eine geschlossene Kurve dieses T/ gilt der Cauchysche Integralsatz. Im vorliegenden Falle dürfen wir als eine solche Kurve 0 aber auch den gesamten Rand von T/ benutzen, der sich aus den m Kurven Ou O2 ,,,,, Om undjeweils den beiden "Ufern" der Querschnitte QlI Q2' ... , Qm-l zusammensetzt. Als "positiven Umlaufs sinn" sehen wir, wie bei berandeten Bereichen allgemein üblich ist, den in Fig. 3 durch Fig.3.

°

°

T:

6

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Pfeile angedeuteten an, bei welchem also die Fläche des Bereiches T/ zur linken Hand gelegen ist. Hierbei werden die bei den Ufer des einzelnen Querschnittes in entgegengesetztem Sinne zu durchlaufen sein. Zerlegen wir also das über den Gesamtrand 0 von Tl' genommene Integral in die einzelnen Summanden, welche sich auf die genannten Bestandteile von 0 beziehen, so werden je die beiden Summanden, welche zu den beiden Ufern des einzelnen Querschnitts gehören, sich als entgegengesetzt gleich aufheben. Es restieren also nur die auf die m Kurven Ou O2 , ••• , 0m bezogenen Summanden. So folgt: Das über den Gesamtrand von Tm im positiven Umlattfssinne erstreckte Integral hat den Wert 0: In

~ .(f(s)ds=O.

(4)

k=l (Ck )

Wir kehren zum Bereiche Tl und zu der in demselben gewonnenen eindeutigen Funktion (3) zurück. In einer ganz dem Bereiche Tl angehörenden Umgebung von z wähle man einen zweiten Punkt (z+L1z) und darf alsdann den Wert F(z + Az) als Integral, geführt über die in (3) benutzte Bahn vermehrt um die von z nach Cz + A z) gezogene Gerade, darstellen. Die Differenz der beiden Werte F(z + Li z) und F(z) ist demnach gleich dem Integral, genommen über diese Gerade:

F(z

+ Az) -

f

.+dz

F(z)

=

fes) ds·

z

Hieraus folgt vermöge des Integralbegriffs und der Stetigkeit der Funktion fez) im betrachteten Punkte z, daß:

. F(z + Llz) 1Im

dz=o

Llz

F(z)

,

wie man auch in der Umgebung von z den Grenzübergang lim LI z ~ 0 vollzieht, stets gleich dem bestimmten endlichen Werte fez) ist. Daraus folgt: Die im einfach zusammenhängenden Bereiche Tl eindeutige Funktion F(z), d. h. das Integral der Funktion fez), betrachtet in seiner Abhängigkeit von der oberen Grenze fJ, ist in Tl überall analytisch und hat fez) zur Ableitung. Zu grundlegenden Sätzen führt der Rückgang auf den anfänglich vorgelegten Bereich Tn für den Fall, daß n > 1 ist. Wir verwandeln T n durch (n - 1) Querschnitte Q1) Q2' ... , Qn-l in einen T/ von einfachem Zusammenhang und wollen dabei, um zwischen einem linken und rechten Ufer des einzelnen Querschnittes Q unterscheiden zu können, jeden Querschnitt Q in einer der beiden Arten mit einer durch einen Pfeil anzudeutenden Richtung versehen.

Integrale in mehrfach zusammenhängenden Bereichen

Im Innern von

T/

7

ist die durch das Integral (3) bei festgehaltenem

Zo gegebene Funktion P(z) eine eindeutige analytische Funktion von z. Als neu kommt jedoch hinzu, daß wir die Integration ohne Einbuße der bisher gewonnenen Sätze bis zu irgendeinem "inneren" Punkte z eines Querschnittes Q heran, sowohl von der linken als von der rechten Seite ausdehnen können. Wir wollen einen solchen Punkt z, je nachdem er von links oder von rechts her erreicht wird, mit Zl bzw. zr bezeichnen. Einer Ergänzung bedarf dabei der Begriff der Umgebung eines Punktes Zl oder zr' Die Umgebung eines inneren Querschnittpunktes z wird durch Q in zwei Teile zerlegt, wobei dann der links liegende Teil die Umgebung von Zj ist, der rechts liegende Teil aber die von zr; die vom Querschnitt Q gelieferten Randpunkte der einzelnen Umgebung dürfen derselben als zugehörig betrachtet werden. Entsprechend wollen wir jetzt auch jeden inneren Querschnittpunkt z zweimal,-nämlieh--alsRr-Und- zr dem Bereiche T/ zurechnen. In dem so. ergänzten Bereiche T/ ist P(z) eindeutig, wobei jedoch selbstverständlich für einen inneren Querschnittpunkt z zwischen den beiden Werten P(ZI) und P(zr) zu unterscheiden ist. Hier gilt nun als erster Satz: Sind z und z' irgend zwei innere Punkte eines und des-

selben Querschnittes Q, so gilt: (5) P(zr') - P(zz')

=

Pezr) - P(ZI)'

so daß längs Q die Differenz dm' Punktionswerte in je zwei gegenüberliegenden" Ufm1Junkten" konstant ist. Offenbar ist nämlich jede der beiden Differenzen: darstellbar als das Integral:

z'

,{rm d 6' z

genommen längs des zwischen Z und z' verlaufenden Teiles von Q. Die längs Q konstante Wert differenz (5) werde mit (lJ bezeichnet; ist sie, wie wir einstweilen annehmen wollen, nicht gleich 0, so heißt sie eine "Periode" des Integrales fr (6) d 6, eine Benennung, deren Bedeutung später ersichtlich werden wird. Wie man sich mittels Fig.4 deutlich machen wolle, kann man (lJ als Integral:

(6)

(lJ

=.{rw d6 (P)

darstellen, wo P eine von zlnach zr

Fig.4.

8

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

laufende Kmve ist, welche abgesehen yon ihren Endpunkten nur aus inneren Punkten von Tl' besteht. Denken wir z! und zr unter Fortnahme des Querschnitt Q wieder in einen Punkt z verschmolzen, so liefert P eine geschlossene Kurve im ursprünglichen Bereiche T n und soll, so gedacht, ein "Periodenweg" des Bereiches Tn heißen. Der Vergleich der Gleichung (6) mit dem Cauchyschen Integralsatz wird durch folgende Überlegung näher erläutert. Ist C irgendeine geschlossene Kurve im Tn' so wird das längs 0 erstreckte Integral sich nicht ändern, wenn man die Kurve C im T" einer stetigen und ohne Zerreißen vor sich gehenden Gestaltsänderung unterzieht. Es ist dies eine einfache Folge des Cauchyschen Integralsatzes. Im Tl ist jede geschlossene Kurve durch eine Änderung fraglicher Art auf einen Punkt zU8ammenziehbar; der zugehörige Integralwert ist dieserhalb immer O. Im Tn mit n > 1 ist diese Zusammenziehung auf einen Punkt keineswegs immer und jedenfalls bei dem obigen Periodenwege P nicht möglich. Daher läßt sich über das Integral (ö) zunächst nur aussagen, daß es irgendeinen endlichen Wert w hat. Die gewonnenen Ergebnisse setzen uns in den Stand, auch für 12 > 1 das Integral (3) mit einer im ursprünglichen (unzerschnittenen) Tn frei beweglichen oberen Grenze;: als Funktion dieses Argumentes z zu charakterisieren. Kehren wir noch einmal zum T~ zurück und gestatten der von Zo ausziehenden Integrationsbahn eine einmalige Überschreitung des Querschnitts Q von der rechten zur linken Seite, um z demnächst wieder auf T~ zu beschränken, so gelangen wir jetzt in T~ zu Funktionswerten F l (z), welche in den einzelnen Punkten z zu den bisherigen Werten F(z) in der einfachen Beziehung stehen:

(7) Dabei werden sich die Funktionswerte F I (z) auf dem rechten Ufer von Q stetig und ohne Unterbrechung des analytischen Charakters an die linksseitigen Werte F(z) anschließen. Die erste Begriffserläuterung einer analytischen Funktion knüpften wir zwar oben (am Schlusse von § 1) an eine in T n eindeutige Funktion; es ist aber jetzt sofort verständlich, wenn wir (immer unter der V Ol'aussetzung eines von 0 verschiedenen w) sagen, das Integral (3) stelle in T" eine mehrdeutige analytische Funktion dar, und es seien F(z) ttnd F 1 (z) zwei verschiedene "Zweige" dieser Funktion. Die allgemeine Auffassung ist nun unmittelbar gewonnen. Die (12 - 1) gerichteten Querschnitte Ql1 Q2' ... , Qn-l mögen für unser Integral (im T~) die konstanten Wertdifferenzen wl , w2 , ••• , W,,_l lie-

Integrale als unendlich vieldeutige analytische Funktionen

9

fern. Nach Analogie von (6) können wir W k auch als Integralwert für einen bestimmten Periodenweg P k erklären:

(8)

Wk

=

Jf(~)d~.

( k)

Unter den W seien WlI W 2 , ••• , tO v von 0 verschieden. Ist dann v> 0, so ist das Integral (3) mit einer in Tn frei beweglichen oberen Grenze z eine unendlich vieldeutige analytische Funktion, ttnd es wird irgendein "Zweig" dieser Funktion durch den zuerst herausgegriffenen Zweig F(z) ~n der Gestalt,'

(9) mittelst ganzer Zahlen 1) m darstellbar sein,. umgekehrt können wir irgendein System solcher Zahlen m wählen und dann immer /Zu einem Zweige (9) unserer Funktion mit diesen m gelangen. Man hat eben nur in Tn einen von /zo nach z führenden Integrationsweg zu wählen, welcher die wieder hinzuzudenkenden Querschnitte Q einzeln in der erforderlichen Anzahl von Malen überschreitet.

§ 3. Erklärung analytischer Funktionen durch Potenz reihen. Eine zweite von Weierstraß in seinen Berliner Vorlesungen benutzte Methode der Erklärung analytischer Funktionen ist diejenige durch Potenzreihen. Um die Allgemeingültigkeit und Bedeutung dieser Erklärungsweise zu erkennen, ist zunächst an die grundlegenden Konvergenzsätze der Potenzreihen zu erinnern. Es seI eine kurz durch das Symbol \ß(z) zu bezeichnende Potenzreihe: (1) vorgelegt, wobei z eine komplexe Variabele ist und die co, cl l . • • endliche komplexe Konstante bedeuten. Man denke für n > 0 die reell und nicht-negativ zu nehmenden Wurzeln -Vrc:-I der absoluten Beträge der cn gebildet. Gibt es dann nach Auswahl einer beliebig großen positiven Zahl JJi stets noch ein (und damit unbegrenzt viele) n, so daß:

(2)

-Vrc:-I > 1YI

zutrifft, so kann die Reihe (1) für kein von 0 verschiedenes /Z konvergent sein. Es ist nämlich in diesem Falle leicht zu sehen, daß nach Auswahl eines bestimmten, nicht verschwindenden z in der Reihe (1) Glieder nachweisbar sind, welche absolut genommen eine beliebig groß 1) Wenn nichts weiter hinzugesetzt wird, sind hiermit immer irgendwelche endlichen positiven oder negativen ganzen Zahlen, unter Einschluß der Zahl 0, gemeint.

10

Einleitung: Sätze üb er analytische Funktionen

gewählte positive Zahl übersteigen. Das aber steht mit dem Begriffe der Konvergenz im Widerspruch. 1) Soll demnach Konvergenz vorliegen, so muß eine positive endliche Zahl G angegeben werden können, für welche:

(3) bei allen n

>0

gilt. Man denke sich die Bildpunkte der Zahlwerte

ml auf der Zahlenlinie markiert, die also sämtlich dem von 0 und G

eingegrenzten Intervall angehören. Diese unendlich vielen Bildpunkte werden im genannten Intervalle mindestens eine Häufungsstelle h aufweisen, die auch mit einem der Endpunkte 0 oder G zusammenfallen kann 2); es können aber auch mehrere oder unendlich viele Häufungsvorliegen. Kann man, was bei endstellen der Bildpunkte von lich vielen Häufungi3stellen stets möglich ist, unter diesen eine angeben, die dem Zahlwert nach alle übrigen übertrifft, so nennen wir deren Zahlwert g. Ist eine solche· .Angabe nicht möglich, so gibt es für die Häufungsstellen doch eine obere Grenze, die wir alsdann mit g bezeichnen. In jedem Falle ist g eine bestimmte dem Intervall 0 g c ist, aber stets unendlich viele, für welche V!CJ > g - c gilt. Ist nun zunächst g> 0, so ist R = g-1 eine von 0 verschiedene endliche positive Zahl. Die Reihe (1) soll alsdann erstlich für ein z mit einem absoluten Betrage I z I > R untersucht werden. Man wähle eine positive Zahl s aus dem Intervall:

vrc:l

tfcJ

jzl

+

> s>R,

daß g > 8- 1 folgt. Eine Zahl c der eben genannten Bedeutung wähle man so, daß auch noch g - c > s -1 und also:

80

seg - c)

=

p

>

1

1) Siene hier und weiterhin Osgood, S.89, 96 ff. und 335 ff. 2) Der Punkt h heißt eine Häufungsstelle der markierten Punkte falls sich in jeder Umgebung von h mindestens ein Punkt findet (und damit unbegrenzt viele). Der Begriff der Umgebung eines inneren Punktes oder eines Endpunktes vom fraglichen Intervall der Zahlenlinie ist dabei in sinngemäßer Ubertragung der Erklärung der Umgebung eines inneren Punktes oder Randpunktes vom Bereiche T (vgl. S. 1 und 7) zu geben. Über eine Methode "fortgesetzter Halbierung von Intervallen" oder "Einschachtelung immer kleinerer Intervalle" zum Beweise der im Texte behaupteten Existenz mindestens einer Häufungsstelle h sehe man Osgood, S. 16 und 31; wir kommen auf diese Methode unten bei anderer Gelegenheit zurück.

yfC:l

yfC:l,

Konvergenzsätze der Potenzreihen

11

gilt. Nun gibt es noch eine nicht begrenzte Anzahl von Indizes n (die demnach auch nach oben hin nicht unter einer endlichen Grenze bleiben können), für welche -vrc:l > g - 8 ist. Für alle diese gilt:

VJC:l·, z I > s(g 'cnzn, > pH.

E)

=

P,

Mithin sind in der Reibe Glieder nachweisbar, die absolut genommen jede noch so groß gewählte Zahl übersteigen; die Reihe ist also für den gewählten Wert z divergent. Es sei zweitens Q irgendeine unterhalb R hegende positive Zahl und z sei ein beliebiger komplexer Wert, für dessen absoluten Betrag nur < Q vorgeschrieben sein soll. Man wähle jetzt eine Zahl r entsprechend der Vorschrift:

'z'

Q
"(g

+ E) =

E

der Art wählen, daß

q< 1

Jetzt kann man einen solchen endlichen Index m angeben, daß < 9 8 für alle n > m richtig ist. Also wird für alle diese Indizes n: YfC:l . Iz I < r(g E) = q, Ic zn I< qn gilt.

vrc:l

+

+

7I

zutreffen. Durch Rückgang auf die· geometrische Reihe erkennt man, daß die Reihe (1) jetzt absolut und demnach auch unbedingt, d. h. unabhängig von der Anordnung ihrer Glieder konvergiert. Ist endlich 9 = 0, so können wir in der vorstehenden Betrachtung für Q eine beliebige endliche Zahl wählen und gelangen die Konvergenz der Reihe (1) betreffend zu demselben Ergebnis wie soeben. In dem am Anfang betrachteten Falle, wo also eine endliche Zahl 9 nicht existiert, können wir sagen, es sei 9 = 00. Ist 9 endlich und > 0, so heißt R = g-1 der "Konvergenzmdius" und der um den Nullpunkt der z-Ebene beschriebene Kreis des Radius R der "Konvergenzkreis" der Reihe ~(Z).l) Ist endlich 9 = 0, so tritt die ganze z-Ebene (vgl. S. 1) an Stelle des Konvergenzkreises und ~(z) heißt. dann "beständig konvergent". Um die gewonnenen Ergebnisse formell gleich noch in etwas er1) Über die im Texte gewählte Art der Einführung des Konvergenzkreises s. J. Hadamard, "Essai sur l'etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor", Journ. de Math. (4) Bd. 8 (1892).

12

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

weiterter Gestalt zum Ausdruck zu bringen, schreiben WIr an Stelle von (1):

(4)

Co

+ Cl (z -

zo)

+ c2 (z -

ZO)2

+ cs(z -

ZO)3

+ "',

indem wir unter Zo irgendeinen fest gewählten Wert verstehen. Dabei soll l,ß(z - zo) nicht nur eine symbolische Bezeichnung für die Reihe (4) sein, sondern bei einem z, für welches die Reihe (4) konvergiert, soll l,ß(z - zo) zugleich den eindeutig bestimmten endlichen Summenwert bezeichnen. Verstehen wir unter @n(z - zo) die von der Summe der n ersten Glieder dargestellte rationale ganze Funktion (n - 1)ten Grades:

(5)

@n(z-zO)=CO+C1(Z-ZO)+C2(Z-zo)2+",+cn_1(Z-.zO)n-t,

so darf man im Falle der Konvergenz für jeden Wert n schreiben:

(6) und nennt lRn(z - zo) den "Reihenrest". Für ein endliches g> 0 ist der "Konvergenzkreis" jetzt natürlich der Kreis vom Radius R = g-l um den Mittelpunkt ZOo Die oben gewonnenen Ergebnisse liefern nun folgenden Satz: Ist g = (Xl, so ?'st I,ß (z - zo) für kein von Zo verschiedenes z konvergent. Ist g endlich, so sei T für 9 > 0 ein beliebiger Bereich im "Innern" des Konvergenzkreises und für g = 0 irgendein fest gewählter endlicher Bereich der z-Ebene. 1m Bereiche T konvergiert I,ß (z - zo) überall, ~md zwar in der Ar-t, daß nach Auswahl einer positiven, von 0 verschiedenen, aber beliebig klein wählbaren Zahl d' ein endlicher Index m angebbar ist, so daß für alle n > m die Bedingung:

(7)

IlRn(z-zo)I
erfüllt ist, gleichgültig welcher besondere JVert z aus T vorliegt. Da nämlich alle Punkte z von T die Bedingung Iz I< R erfüllen, bzw. da T (im Falle g = 0) ein bestimmt gewählter endlicher Bereich sein sollte, so läßt sich in jedem Falle eine Zahl Q obiger Bedeutung wählen usw. Wie hervorgehoben, gelten die gemachten Angaben für alle Punkte z in T mit den gleichen Zahlen d' und m; die Reihe l,ß(z - zo) heißt dieserhalb im Bereiche T "gleichmäßig" konvergent. Die Summenwerte l,ß(z - zo) stellen eine im Bereiche T erklärte, daselbst überall eindeutige und endliche "Funktion" vor. Diese Funktion l,ß(z - zo) ist in T aber mtch überall stetig, wie aus (6) und (7) hervorgeht. Es ist nämlich @n(z - zo) für jedes bestimmte n stetig, und der Absolutwert des Reihenrestes kann für hinreichend groß gewähltes n kleiner als d' gemacht werden.

13

Analytischer Charakter der konvergenten Potenzl'eihen

Man denke in T von Zo nach einer beliebigen Stelle z eme reguläre Kurve C gewählt; dann hat das längs dieser Kurve Cerstreckte Integral:

(8) einen bestimmten endlichen Wert 1). Zufolge (6) gilt für jedes n: z

z

z

f~(~ - zo)d~ = f@n(~ - zo)d~ +fffin(~ - zo)d~, Zo

1'.0

$0

wo die rechts stehenden Integrale wieder längs C zu erstrecken sind. Für das erste Glied rechter Hand gilt unabhängig von der ausgewählten Kurve C:

J@n(~ •

-

zo)d~ =

co(z - zo) +

t Cl (z -

ZO)2

+ ... + ~ cn _ 1 (z -

zo)n.

'0 Für das zweite Glied gilt, da die Länge der Kurve C endlich ist, mit Rücksicht auf (7) folgendes: Hat man eine positive, von 0 verschiedene, aber beliebig kleine Zahl 1] gewählt, so gibt es einen endlichen Index 1n der Art, daß für alle n > 1n:

I/ffin(~ - zo)d~ I<

1]

zutrifft. Da nun die unendliche Reihe: (9)

co(z - zo)

+ l Cl (z -

zufolge des bekannten Gesetzes

+ t c2 (z - ZO)3 + '" lim yn = 1 denselben Konvergenzkreis ZO)2

besitzt wie die Reihe (4), so folgt aus den vorstehenden Formeln, daß der Summenwert der in T gleichmäßig konvergenten Reihe (9) gleich dem Integrale (8) ist. Hiernach ist der Wert des Integrales (8) von der Auswahl der Kurve C unabhängig: Das Integral (8) als Summenwert det, Reihe (9) stellt in '. T eine überall endliche, eindeutige und stetige Funktion von z dm'. Weiter findet man im Anschluß an (8) wie oben (S. 6): Die gewonnene Funktion hat im Pw~kte z eine Ableitung, welche gleich ~ (z - zo) ist, Man wolle jetzt die Glieder der Reihe (4) einzeln differenzieren und die in T wiederum gleichmäßig konvergente Reihe bilden: (10)

~'(z -

zo)

=

Cl

+ 2c2 (z -

deren Summenwert, wie angegeben,

zo)

+ 3c3 (z -

~'(z

.co)2

+ "',

- zo) heiße. Die Anwendung

1) Siehe für das Folgende Osgood, S. 303ff.

14

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

der vorstehenden Überlegung auf die Reihe (10) an Stelle der Reihe (4) ergibt sofort: z

\ß(z - zo)

=

Co +J\ß'(~ - zo)d~. Zo

Somit hat \ß(z - zo) in jedem Punkte z von T eine Ableitung, nämlich \ß' (z - Zo)i es ist also \ß(z - zo) im Sinne der S. 2 gegebenen Erklärung in T eine "analytische" Funktion. Indem wir demnach die frühere Bezeichnung f(z) an Stelle von \ß(s - zo) aufnehmen, haben wir das Ergebnis: Eine Potenzreihe (4) stellt in jedem Bereiche T, der im Innern ihres Konvergenzkreises bzw. für g = 0 als beliebiger endlicher Bereich gewählt wurde, eine analytische Funktion: (11)

fez)

=

Co

+ Cl (z -

zo)

+ C2 (z -

ZO)2

+ ...

dat·, die in T differenziert und integriert werden kann, indem man, kurz gesagt, Differentiation bzw. Integration an der Reihe (11) "gliedweise" vollzieht; die dabei entspringenden Reihen haben denselben Konvergenzkreis wie die Reihe (11), sind also insbesondere für g = 0 wieder "beständig konvergent". Aus der letzten Angabe geht hervor, daß auch:

('(z)

=

Cl

+ 2c2 (z -

zo)

+ 3cs(z -

zo)2 + ...

und, indem man dieselbe Schluß weise wiederholt, auch:

f (n)() Z

=

, n n,c

(n+l)! ( + --1.-, - C"+l Z -

Zo )

(n+2)! ( + --2!Cn +2 Z -

zo )2

+ ...

m T für jedes n eine analytische Funktion darstellt, gegeben durch die rechts stehende daselbst gleichmäßig konvergente Reihe. Setzen wir hier und in (11) speziell z = Zo ein, so folgt:

n=1,2,3,···. Es folgt: Ist eine analytische Funktion fez) in einem Bereiche T durch eine daselbst konvergente Reihe (11) darstellbar, so ist diese Reihe notwendig die Taylorsche Reihe:

(12)

fez)

=

((zu)

+ ('(zo) z -;!zo + ("(zo) CZ ~!zo)2 + ...

dieser Funktion.

§ 4. Die Cauchysche Integralformel und die CauchyTaylorsche Reihe. Die Funktion fez) sei innerhalb und auf dem Rande 0 eines einfach zusammenhängenden Bereiches Tl überall eindeutig und analytisch. Man denke jetzt z im Innern von Tl irgendwo fest gewählt, während

15

Beweis der Cauchyschim Integralformel

demgegenüber ~ ein in Tl und auf dem Rande von Tl variabeler Punkt seI. Dann ist der Quotient: f(t)

(1)

t;-z

in der Umgebung jedes von z verschiedenen Punktes des Bereiches Tl und natürlich auch längs des Randes C analytisch 1); indessen ist dies im Punkte ~ = z nicht mehr notwendig der Fall, und insbesondere ist der Quotient (1) hier sicher nicht mehr analytisch, wenn fez) von 0 verschieden ist, da in diesem Falle dem Quotienten im Punkte z kein endlicher Wert zukommt. Zieht man demnach um z als Mittelpunkt innerhalb Tl eine Kreisperipherie k vom Radius r und nimmt die im Innern von k liegenden Punkte dem Bereiche Tl fort, so restiert ein Bereich T2 , und es wird der Quotient (1) in T2 , unter Einschluß der Randkurven C und k überall eindeutig und analytisch sem. Der Oauchysche Integralsatz (4) S.6 ergibt demnach:

d~=O. f b-N) d>-+jf(b) bZ

(C)

~

Z

(k)

I~- z I

Längs des Kreises k ist schreiben:

konstant gleich r, und WIr können

wobei die Integrationsvariabele it von 2n: bis 0 abzunehmen hat. Kehren wir die Integrationsrichtung längs k um, so folgt: f

(!)z d ~

,r

21t

=

tb)z

(C)

iff(Z

+ re~i) dit,

0

(U)

21t

d~ =

ifCf(Z

+ re:ti) -

f(z») dit

+ 2in:f(z).

0

Der Wert des rechts stehenden Integrales ist, wie aus der letzten Gleichung folgt, unabhängig von r. Da andrerseits r zwar > 0 ist, im Punkte fJ aber "beliebig" klein gewählt werden kann, und da stetig ist, so liegt der Wert jenes Integrales zufolge seiner Bauart, absolut genommen, unterhalb einer positiven von 0 verschiedenen, beliebig klein gewählten Zahl o. Das fragliche Integral kann also keinen von 0 verschiedenen Wert haben. Für die im lnnern und auf dem Rande C des Bereiches Tl überall eindeutige und analytische Funktion

fm

1) Es ist leicht zu sehen, daß, wenn fez) und rp (z) in der Umgebung einer Stelle Zo analytisch sind und rp (zo) von 0 verschieden ist, auch der Quotient fez) • rp(z) In der Umgebung von Zo analytisch ist; vgl. Osgood, S. 225.

16

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

z

fez) gilt in jedem inneren Punkte von Tl die "Cauchysche Integralformel" 1),' fez) = ~ f(~) d~ (2)

r

2t1t.}!;-z

'

(C)

wo das Integral im positiven Sinne über den Rand C auszudehnen ist. Wie aus (2) hervorgeht, ist der Innenwert fez) unserer Funktion durch die längs C stattfindenden Randwerte fm bereits eindeutig bestimmt. Wir können sagen: 1st längs des Randes 0 eines Tl eine stetige Folge komplexer Werte f(t,) gegeben, so gibt es höchstens eine in T 11 unter Einschluß des Randes, eindeutige analytische Funktion fez), welche die gegebenen Randwerte hat. Es sei jetzt Zo ein fest gewählter Wert und fez) eine in der Umgebung von ZOo eindeutige analytische Funktion. Nach S. 1 besteht diese Umgebung aus den inneren Punkten einer Kreisfläche mit einem Radius h > 0 um den Mittelpunkt zo' Wir nehmen weiter an, daß auch noch für alle Punkte der Peripherie K des fraglichen Kreises fez) eindeutig und analytisch ist. Es sei z ein beliebig, aber fest gewählter innerer Punkt dieses Kreises, während ~ ein längs der Peripherie variabeler Punkt sei; dann gilt: o=< I z!;-zo - Zo I = (3) q < 1, wo q eme Konstante ist. Es folgt:

~~

Z =

F~

ZO •

-~

-

Zo =

l-~_z:

=

t ~ Zo • ~ (; ~~r, v=o

da die rechts stehende Reihe zufolge (3) konvergent ist. Die Beträge I fm I der längs K zutreffenden Funktionswerte f(t,) haben notwendig eine endliche und bestimmte obere Grenze JJf, so daß für alle Punkte von K: I f(t,) I <M gilt 2). Multiplizieren wir demnach die letzte Gleichung mit f(t,) , so wird die in: '" f(!;) ~- Z

=

~

L.J v=o

(z _ z )v . 0

(~ ~

f(t)

_

Z

0

)V + 1

1) Osgood, S.295. 2) Wäre eine solche Grenze nicht vorhanden, so würde man mitte1st der in der Note S. 10 erwähnten "Methode fortgesetzter Halbierung" oder "Einschachtelung kleinerer Intervalle" (Osgood, S. 16 und 31) zur Existenz mindestens einer Stelle ~o von der Art gefiihrt werden, daß in jeder noch so klein gewählten Umgebung von ~o Beträge I f(!;) I vorkommen würden, die eine beliebig groß gewählte Zahl übersteigen. Dann aber könnte, da f(so) der Annahme gemäß ein bestimmter endlicher Wert ist, fes) im Punkte ~o nicht stetig und also nicht analytisch sein.

17

Folgerungen aus der Cauchy-Taylorschen Reihe

rechts stehende Reihe längs K gleichmäßig konvergent sein; d. h. wenn wIr: n-l

}(!;) = ~ !; - z.L.;

+ ffi n (~)

(z - z )v ~0

v=o

(~_ z )v + I b

0

schreiben, so wird sich nach Auswahl einer beliebig kleinen, positiven, von 0 verschiedenen Zahl o stets ein endlicher Index m angeben lassen, so daß für alle Punkte ~ von K und für alle Indizes n > 'In:

I ffin(~) I < 0

gilt, Durch Integration der letzten Gleichung längs K folgt: n-1

f{5!)zd~ = ~((z - Zo)v! ~(I;~d:+l) v=o

(K)

(I;

(K)

0)

+.!ffin(~)d~ (K)

mit der für alle n > m zutreffenden Ungleichung:

I.{ffin(b) d~ : < 27th· a. (Kl

:Mit Rücksicht auf (2) und unter Benutzung der für alle Indizes n gültigen Abkürzung: 1

(4)

~

f

((!;)d!;

~~-~=C

2i:lt. (I;-Z)"+l (K)

ergibt sich: Dm·

(5)

0

F~mktionswert

fez)

=

Co

"

fez) ist der Summenwert der in:

+ Cl (z -

zo)

+ C2 (z -

zo)2

+ ...

rechts stehenden konvergenten Reihe. Da z im Innern des Kreises K mit dem Radius h > 0 irgendwo wählbar war, so ist die Reihe (5) entweder beständig konvergent oder sie hat einen von 0 verschiedenen endlichen Konvergenzradius R. Im letzteren Falle ist notwendig: h
n!!

f(n)(zo)=2i:lt.

((1;)

(!;-=Zo)"+ld~.

(K)

Fricke: Elliptische Funktionen, Bd, I

2

18

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Unter Zuhilfenahme des Cauchyschen Integralsatzes (4) S. 6 und bei Fortlassung des unteren Index an Zo folgern wir leicht die sich an (2) anschließende Gleichung: I'(n J( ) ~~~f f(';) dr(6) t'

Z -

2in

Cs-z)n+l~'

(0')

welche unter den Voraussetzungen der Cauchyschen Integralformel (2) für jedes n richtig ist. Als Hauptergebnis ist anzumerken: Eine in der Umgebung von Zo übera,u eindeutige und analytische Funktion f(z) ist ebenda in einer und nur einer Weise durch eine nach Potenzen von (z - zo) fortschreitende Reihe ~(z - $0) darstellbm', deren Konvergenzkreis jene ganze Umgebung in sich enthält. Man· kann demnach an Stelle der S. 2 gewählten Erklärung einer "analytischen" Funktion auch die folgende treten lassen: Eine in der Umgebung von Zo eindeutige Funktion heißt "analytiscM', wenn sie sich daselbst durch eine konvergente Potenzreihe ~ (z - zo) darstellen läßt. l ) Als weitere Folgerung aus § 3 (S. 14) merken wir an: Eine in der Umgebung t'on Zo eindeutige analytische Funktion fez) hat für jede endliche Ordnung n eine eindeutige Able.itttng fenJ(z), die ebenda wieder eine analytische Funktion ist. In der öfter genannten Umgebung legen wir durch Zo ein reguläres Kurvenstück 00 von nicht verschwindender aber beliebig kleiner Länge. Kennt man die Funktionswerte fez) längs Co, so sind damit auch die Werte von f' (z) längs 00 eindeutig bestimmt, und also gilt dasselbe von den Werten jeder Ableitung f(n) (z). Insbesondere sind also mit den Werten von f(z) längs Co bereits die sämtlichen Koeffizienten der Tay lor8chen Reihe (12) S. 14 eindeutig bestimmt. Diese Reihe aber liefert die Funktionswerte fez) in der ganzen Umgebung: Eine in der Umgebung von Zo überall eindeutige und analytische Funktion fez) ist daselbst bereits eindeutig bestimmt, wenn ihre Werte nur m'st längs eines durch Zo hindurchziehenden regulären Kurvenstücks Co mit nicht verschwin~ dender, aber beliebig kleiner Länge gegeben sind. Endlich nennen wir als Folgerung der gewonnenen Ergebnisse noch den Satz: 1st in der Umgebung von Zo durch eine Reihe ~(z - zo) mit einem endlichen und von 0 verschiedenen Konvergenzradius Reine Fttnktion fez) gegeben, so kann es in einer Umgebung von Zo mit h > R keine daselbst überall eindeutige und analytische Fttnktion fl (z) geben, die im 1) Man beachte, daß auch hier der Charakter einer Funktion, in der Umgebung von Zo analytisch zu sein, nur erst für Funktionen f(z) erklärt ist, die daselbst eindeutig sind. Eine spätere Ergänzung wird sich auf Punkte Zo beziehen, in deren Umgebung f(z) nicht mehr eindeutig ist.

19

Ketten in einander fortsetz barer Potenzreihen

Innern des Konvergenzkreises von I.ß (z - zo) mit f(z) identisch wäre. Wenn wir nämlich für irgendein z, dessen Betrag Iz I dem Intervall R < Iz I < h angehört, die Cauchy-Taylorsche Reihe ansetzen, so erweist sich diese als mit I.ß (z-zo) identisch, und also wäre entgegen der Annahmesicherh
§ 5. Die analytische Fortsetznng und die durch dieselbe veranlaßten Ergänzungen der anschaulichen Hilfsmittel. Der vorletzte Satz von § 4 kann in folgender Weise verallgemeinert werden: Eine in einem Bereiche T überall eindeutige und analytische Funktion fez) ist im ganzen Bereiche bereits fest bestimmt, wenn ihre Werte nur erst längs eines im Bereiche gelegenen regulären Kurvenstücks Co mit nicht verschwindender, aber beliebig 7cleinet· Länge gegeben sind. Ist nämlich z ein beliebiger innerer Punkt von T, so können wir von einem auf Co gewählten Ausgangspunkte Zo eine reguläre Kurve C nach z ziehen, die nur aus inneren Punkten von T besteht. Für die Entfernungen zwischen den Punkten von C und den Randpunkten von T wird es demnach eine bestimmte untere Grenze h geben, die> 0 ist. Nach dem Konvergenzsatze der Cauchy-TaylorschenReihe muß also für irgendeinen Punkt z' von C eine Darstellung von fez) in Gestalt einer Reihe l.ß(z - l) gelten, deren Konvergenzradius R > h ist. Man teile nun die Kurve C von Zo beginnend in lauter Bogenstücke, deren Längen< h, etwa alle gleich t h, sind oder doch nicht < t h sein sollen. Die Teilpunkte, Zo mitgerechnet, seien zo, Zu Z2' ... Da die Länge von C endlich ist, so werden wir nach einer endlichen Anzahl, etwa nach m Schritten die Kurve C in der Art erschöpft haben, daß der Restbogen von zm bis zum Endpunkte z selbst < hausfällt. Aus den für Co vorgezeichneten Funktionswerten stellen wir die für die Umgebung von Zo gültige Darstellung fez) = l.ßo(z - zo) her. Da Zl im Konvergenzkreise von l.ßo(z - zo) gelegen ist, so sind die Funktionswerte längs eines kleinen durch Z1 ziehenden Kurvenstückehens Ci durch l.ßo(z - zo) eindeutig bestimmt. Damit aber gewinnen wir nach dem vorletzten Satze von § 4 die Funktion fez) in der Umgebung von Z1' eindeutig dargestellt durch eine Reihe 1.ß1 (z - (1). Im Konvergenzkreise von 1.ß1 (z - Z1) aber liegt Z2' und wir gewinnen durch Wiederholung der gleichen Überlegung 1.ß2(Z - Z2) usw. Die m-malige Ausübung dieses Verfahrens führt uns zu den kettenförmig zusammenhängenden (m + 1) Potenzreihen:

1.ß2(Z - (2)'···' I.ßm(z - zm)' deren letzte den Funktionswert f(z) 1m gewählten Punkte z in der Tat

(1)

l.ßoez - ~o), 1.ß1(Z - Z1)'

eindeutig festlegt. 2'

20

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Das beschriebene Verfahren gewinnt dadurch eine weitergehend.e und grundsätzliche Bedeutung, daß wir mit Hilfe desselben die Frage behandeln können, ob es möglich ist, die Funktion fez) unter Wahrung ihres analytischen Charakters über den hier zunächst vorliegenden Bereich T fortzusetzen. Knüpfen wir sogleich an eine beliebige in der Umgebung von Zo durch l{5o(z - zo) gegebene Funktion fez) an, so mögen wir von Zo aus nach irgendeinem Punkte z unserer z-Ebene eine Kurve C zeichnen. Wir wählen alsdann auf dem im Konvergenzkreise von l{5o(z - zo) verlaufenden Teile von C einen neuen Punkt Zl und bilden wie oben die Reihe I{5l (z - Zl)' Für diejenigen Innenpunkte des Konvergflnzkreises von 1{51 (z - Zl)' die zugleich innere Punkte des Konvergenzkreises von l{5o(z - zo) sind, liefert I{5l(Z - zo) wieder die Funktionswerte fez). Ragt indessen der Konvergenzkreis von I{5l (z - Zl) über den von l{5o (z - zo) hinaus, so ist in diesem neu hinzukommenden Teile des ersteren Kreises bereits eine "analytische Fortsetzung" der zunächst nur im Konvergenzkreise von l{5o(z - zo) gegebenen Funktion fez) gewonnen. Können wir nun auf C nach dem gleichen Prinzip weitere Punkte Z2' zs, .. . markieren und an 1{51 (z - Zl) weitere Reihen 1{52 (z - (2)' I{5s (z - zs), .. . kettenförmig wie oben aneinander binden, und gelingt es, nach endlich vielen Schritten zu einer Reihe I{5m (s - zm) zu gelangen, in deren Konvergenzkreise der Kurvenendpunkt z liegt, so sagen wir, die zunächst nur in der Umgebung von Zo gegebene Funktion fez) sei längs der Kurve C bis zum Punkte z fortsetzbar. 1 ) Dieser Prozeß der "analytischen Fortsetzung" längs einer Kurve ist dabei, wenn überhaupt, nur in einer Weise möglich, wie aus der am Anfang des vorliegenden Paragraphen dargelegten Betrachtung einleuchtend ist. Die einzelne Potenzreihe l{5o (z - zo), an welche wir den Prozeß anknüpfen, nennen wir ein "Element" der Funktion fez); natürlich würde fez) ebensowohl vom "Elemente" ~l (z - Zl) oder 1{52(Z - Z2) usw. aus herstellbar sein 2) Um das Prinzip der analytischen Fortsetzung im vollen Umfange verwerten zu können, sind die bisherigen geometrischen Vorstellungen nach zwei Richtungen zu ergänzen. Bezeichnen wir mit Ko, Kj , ••• , Km die Flächen der Konvergenzkreise der Reihen (1), so wird fez) durch die Reihen (1) unmittelbar gegeben 1) Die Betrachtungen des Textes gelten zwar uneingeschränkt auch in dem besonders einfachen Falle, daß l.ßo (z - zo) und dann auch I.ß, (z - z,), 1.ß2 (z - Z2)' .•• , beständig konvergent sind. Da wir indessen in diesem Falle "auch ohne das Prinzip der analytischen Fortsetzung alles Wesentliche über die Funktion fez) werden aussagen können, so dürfen wir zur Erläuterung der folgenden Sätze an Potenzreihen mit endlichen Konvergenzradien R anknüpfen. 2) Über das Auftreten des Prinzipes der analytischen Fortsetzung bei Weierstraß, Riemann und anderen Autoren s. "Osgood" S. 431 und 435.

21

Mehrblättrige Bereiche für mehrdeutige Funktionen

sem In einem Bereiche T, den wir erhalten, indem wir jede Kreisfläche mit der folgenden längs des gemeinsamen Flächenteiles zusammenkleben. Der so gewonnene Bereich kann nun sehr wohl noch über sich selbst hinübergreifen. Wenn wir z. B. eines der Integrale von § 2 (S.4:ff.), die im damaligen Bereiche T analytisch sind, von Zo aus längs eines Periodenweges fortsetzen bis zum Punkt Zo zurück 1), so gelangen wir am Schlusse nicht wieder zu den Anfangswerten der analytischen Funktion. Wir werden nun (um zu unserem aus den (m + 1) Kreisscheiben zusammengeklebten Bereiche T zurückzukehren), sobald dieser Bereich sonst noch längs eines Flächenstücks ( oder mehrerer) über sich selbst hinübergreift, die weitere Verklebung längs dieses Stückes stets, aber auch nur dann vornehmen, wenn in den aufeinander liegenden Teilen von T gleiche Funktionswerte stattfinden. Die grundsätzliche Erweiterung besteht also darin, daß wir gemäß der Natur einer "mehrdeutigen" Funktion fez) fortan mit Bereichen T arbeiten wollen, welche sich übm" sich selbst hinüberziehen dürfen, und solchergestalt irgendwelche Teile der z-Ebene mehrfach bedecken. Es ist dann, wie wir sagen wollen, fez) obschon an sich mehrdeutig, doch eine "eindeutige Funktion der Stelle z im Bereiche T". Überzieht T etwa die Umgebung von Zo mehrfach, so wollen wir die hier übereinanderliegenden Teile von T als verschiedene "Blätter" und (im Anschluß an § 2) die in diesen Blättern stattfindenden Funktionswerte als verschiedene "Zweige" der Funktion fCz) unterscheiden. Die zweite Ergänzung besteht in der Zulassung der Möglichkeit, daß das Argument z der Funktion unendlich groß wird. In der z-Ebene versei ein Kreis um den Nullpunkt mit dem endlichen und von schiedenen Radius g gezogen. Eine vorgelegte Funktion fCz) sei außerhalb dieses Kreises für alle endlichen z eindeutig und analytisch. Schreiben WIr:

°

(2)

,

1

z=-z '

so erscheinen die gesamten endlichen Punkte z mit I z [ > g umkehrbar eindeutig oder kurz "ein-eindeutig" den gesamten Punkten der z'-Ebene mit I z' I< R = g-\ abgesehen vom Nullpunkte z' = 0, zugeordnet. Nun folgt aus der Erklärung des analytischen Charakters leicht, daß die Funktion:

-,) (1) fCz

f(z) = f?

=

des Argumentes z', soweit dieselbe überhaupt erklärt ist, auch wiederum analytisch ist. Erklärt aber ist (z') für alle inneren Punkte des Kreises 1) Die zugehörige Periode ro gilt als von 0 verschieden.

22

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

vom R.adius R = g-l um den Nullpunkt z' = 0, abgesehen von diesem Nullpunkte selber. Wir nehmen nun an, daß {(i) bei Annäherung an den Nullpunkt z' = 0 einem endlichen Grenzwerte Co zustrebe, und daß, sofern wir als Funktionswert ((0) diesen Wert Co annehmen, ((z') dadurch auch im Nullpunkte zu einer eindeutigen analytischen Funktion werde. Dann wird ellle Entwicklung gelten: (3)

Ai)

=

co + c1z'

+ C2z'2+ csZ'3+ ... ,

welche entweder beständig konvergent ist oder einen endlichen Konvergenzradius R besitzt, mit dem wir die eben durch R bezeichnete Zahl g-l als identisch ansehen können. Indem wir durch die Transformation (2) zur z-Ebene zurückgehen, müssen wir, wenn durch die Hereinnahme des Nullpunktes z' = 0 die Eindeutigkeit zwischen z und z' erhalten bleiben soll, der z-Ebene als neues dem Punkte z' = 0 entsprechendes Element einen einzigen unendlich fernen Punkt z = 00 zuerteilen. Sie wird hierdurch im Gegensatze zu ihrer ursprünglichen Erklärung (S. 1) zu einem abgeschlossenen Gebilde und soll in dieser Gestalt den weiteren Betrachtungen beständig zugrunde liegen. Trifft nun die durch (3) zum Ausdruck kommende Vorraussetzung betreffs der Funktion f (z') zu, so sagen wir, f(z) sei nach dem Punkte z = 00 fortsetzbar und in diesem Punkte analytisch. Für die "Umgebung" des Punktes z = 00 gilt dann die Darstellung:

(4)

fez)

=

Co

+ Cl Z + C2 i2 + Cs ZS + ... , 1

1

1

welche außerhalb des Kreises vom R.adius g = R-l um den Nullpunkt der z-Ebene als Mittelpunkt konvergent ist.!) Um den unendlich fernen Punkt der z-Ebene der Anschauung zugänglich zu machen, bedient man sich der "stereographischen Projektion" der z-Ebene auf die Oberfläche einer Kugel. Man denke diez-Ebene horizontal und lege im R.aume um den Nullpunkt jener Ebene eine Kugel des R.adius 1, wie Fig. 5 andeutet. R.echtwinklige R.aumkoordinaten ~, 1], ~ werden so eingeführt, daß die positive ~-Achse senkrecht nach oben weist und also die ~ 1]-Ebene mit der Ebene der VaFig.5. 1) Die Größe g hat hier für die Koeffizienten der Reihe (4) unmittelbar die Bedentung von S. 10, wobei anch der Fall g = 0 einbegriffen sein darf.

Die Kugelfläche als Trägerin der komplexen Werte z

23

riabelenz = X + iy zusammenfällt. In dieser Ebene soll dann einfach ~ = X, 'Yj = y gelten, womit die Raumkoordinaten endgültig bestimmt sind. Als Projektionszentrum wählen wir den tiefsten Punkt P der Kugel (vgl. Fig. 5) und erzielen dadurch in der Tat ein umkehrbar eindeutiges Entsprechen der "ganzen" z~Ebene und der Kugeloberfläche, wobei der Punkt 00 der Ebene dem tiefsten Punkte P der Kugelfläche zugeordnet ist. Es ist leicht, die hergestellte Beziehung durch Formeln auszudrücken. Wie eine elementare Betrachtung zeigt, liefert der Punkt (x, y) der z~Ebene den durch:

(5) gegebenen Punkt der Kugelfläche, und umgekehrt ergibt der Punkt (~, 'YJ,~) dieser Fläche, für dessen Koordinaten also:

(6)

~2

+ 'Yj2 + ~2 =

1

gilt, als zugeordneten Punkt der z-Ebene denjenigen der Koordinaten:

(7)

x

so daß der Punkt Wertes:

=

(~, 'I),~)

1

~

+ h'

Y=

1

+ h" 1)

der Kugeloberfläche als Träger des komplexen

(8) erscheint. Man wolle sich insbesondere mit Hilfe von IPig. 5 klarmachen, in welcher Weise die reelle z-Achse, die imaginäre z-Achse und der "Einheitskreis" der z-Ebene 1) auf der Kugeloberfläche drei zueinander orthogonale größte Kugelkreise liefern. So oft es erwünscht ist, die nur scheinbare Ausnahmestellung des unendlich fernen Punktes der z-Ebene auch anschaulich hinwegzuräumen, werden wir die Kugeloberfläche als Trägerin der Werte der komplexen Variabelen z heranziehen und be~ zeichnen dieselbe dann kurz als die "z- Kl~gel". Als eine Haupteigenschaft der besprochenen Beziehung notieren wir noch, daß die stereographische Projektion eine "konforme" oder "winkeltreue Abbildung" (im Sinne von § 7) der z~Ebene auf die z~Kugel darstellt. 2) Endlich nennen wir noch den Satz: Das System allet· Kreise der z-Ebene, die Geraden als Kreise des Radius 00 einbegriffen, gehen bei der Projektion gerade genau in das System aller Kreise der z~Kugel über. Das Abbild des durch die Gleichung:

A(x2 + y2)

+ Bx + Cy + D =

0

1) D. h. der Kreis des Radius 1 um den Nullpunkt als Mittelpunkt. 2) Siehe das Nähere bei Osgood, S. 235.

24

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

gegebenen Kreises wird nämlich infolge der Gleichungen (5) ff. auf der z-Kugel ausgeschnitten durch die "Ebene": B~

+ O'lj + (D -

A)6

+ (D + A) =

O.

§ 6. Das Feld F einer analytischen Funktion und die singulären Punkte derselben. In der Umgebung einer Stelle Zo sei mittels eines "Funktions elementes ll ~(z - zo) eine analytische Funktion fez) gegeben, welche von hieraus fortgesetzt werden soll. Dabei wird folgende Erklärung grundlegend: Die gesamten Stellen z, welche bei dem eingeleiteten Prozeß der analytischen Fortsetzung in das Innere irgendeines dabei Zt~r Verwendung kommenden Konvergenzkreises hineingezogen werden können, bilden einen zusammenhängenden Bereich, den wir als "Definitionsbereich" oder "Existenzbereich" der analytischen Funktion fez) oder auch kurz als das "Feld"l) derselben benennen und im Anschluß an die letzte Benennung kurz mit F bezeichnen wollen. Dieser Erklärung zufolge ist fez) über das Feld F hinaus nicht fortsetzbar und existiert in diesem Sinne nur im Felde F.2) Dabei ist fez) eine eindeutige Funktion der Stelle z im Felde F, und es sind die gesamten Werte der Funktion fez) im Felde F bereits allein durch das Element ~(z - zo) als "definiert" anzusehen. Man kann sich das Feld F durch Zusammenklebung der bei der analytischen Fortsetzung zur Verwendung kommenden Konvergenzkreise hergestellt denken. Dabei ist natürlich der etwaigen Mehrdeutigkeit der Funktion fez), wie in § 5 näher erörtert ist, Rechnung zu tragen: Sind in der Umgebung irgendeiner Stelle z durch Fortsetzung v verschiedene "Zweige" der Funktion erreichbar, so wird das Feld F diese Stelle mit v "Blättern" überdecken. Eine erste Folgerung über das I!'eld F einer Funktion fez) ziehen wir aus dem Schlußsatze von § 4 (S. 18). Ist Zo irgendeine Stelle in F und gilt für die Darstellung von fez) daselbst die Reihe ~(z - zo) mit dem endlichen Konvergenzradius R, so ist es nach dem genannten Satze unmöglich, fez) über die Peripherie des fraglichen Konvergenzkreises in der Art fortzusetzen, daß auch noch ein Kreis mit einem Radius h > R um den Mittelpunkt Zo vollständig im Felde F läge. Es ergibt sich: Auf der Peripherie des Konvergenzkreises jede)' zur Dar1) Diese wenn auch sonst mehrfach gebrauchte Beuennung empfiehlt sich, weil sie kurz und bezeichnend ist. 2) Jeder Punkt des Feldes F ist der Erklärung gemäß ein "innerer" Punkt desselben. Etwa auftretende Randpunkte (die wir unten betrachten) gelten also als nicht zu F gehörig. Doch nehmen wir späterhin gewisse, isoliert liegende Randpunkte, für welche ein Grenzwert !im {(z) existiert, zum Felde F hinzu.

25

Das ]i'eld einer analytischen Funktion

stellung von fez) dienenden Potenzreihe findet sich mindestens eine Stelle, die dem Felde F nicht angehört. Als zweiten Satz merken wir an: Ist (Cz) längs einer sich selbst nicht überkreuzenden K~wve C, welche von Zo ausläuft und dort mündet, fortsetzbar, und gelangt man am Schlusse nicht wieder Ztt den Anfangswerten der Funktion zurück, so wird bei Herstelltmg des Feldes F in den von C tlmschlossenen Be1"eich hinein mindestens ein Punkt innerhalb C existieren, de1" F nicht angehört. Der Beweis kann mit Hilfe der S. 10 und 16 (unter dem Texte) genannten "Methode der Einschachtelung" geführt werden. Wir gehen hierbei von folgender Erwägung aus. In Fig. 6 sind Cl und C2 zwei geschlossene Kurven, welche ein zwischen::1 und Z2 verlaufendes Stück gemein haben. Die Funktion fez) sei von Zo aus über Cl fortsetzbar und führe am Schlusse zu den Anfangswerten zurück. Ebenso sei fez), und zwar das eben bei Zl erreichte "Element", über C2 fortsetzbar, Fig.6. und auch hier soll die Fortsetzung am Schlusse zu den bei Zl schon gewonnenen Funktionswerten zurückführen. Stellen wir nun aus Cl und C2 unter Fortnahme des gemeinsamen Stückes eine neue Kurve Cs her, so ist einleuchtend, daß fez) von Zo aus auch über diese Kurve Oa fortsetzbar ist, und daß die Fortsetzung zu den anfänglichen Funktionswerten zurückführt. Wir überspannen nun den von der Kurve 0 umschlossenen Bereich mit einem Quadratnetz (vgl. Fig. 7), indem wir etwa alle in diesen "...- - = Bereich fallenden Geraden der Gleichungen: a

x=10" ,

b

Y=-10"

/

/

r

I~,

!

]1'" I

I'---

I I ziehen, unter a und b ganze Zahlen und I unter A eine hinreichend groß gewählte po- zJ , I sitive ganze Zahl verstanden. Hierdurch ~ V i 1/ wird jener Bereich in endlich viele Teilbereiche zerlegt. Wir beginnen jetzt mit dem Fig.7. am Punkte Zo anliegenden Teilbereiche oder, wenn es deren mehrere gibt, mit einem unter ihnen, fügen einen Nachbarbereich hinzu und behandeln die beiden Randkurven wie die Kurven Cl und O2 von Fig. 6. Dem vergrößerten Bereiche fügen wir einen weiteren an usw. Dann ist folgendes einleuchtend: Entweder kommen wir im Verlaufe des Prozesses zu einem Teilbereiche, über dessen Rand wir fez) nicht fortsetzen können - und dann ist der behauptete Punkt, der F nicht angehört, innerhalb 0 nachgewiesen - , oder wir müssen zu mindestens einem Teilbereiche kommen, bei welchem die Funktion, über den Rand I

I

t)

26

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

fortgesetzt, sich nicht reproduziert. Wenn nämlich kein solcher Bereich vorläge, so müßte fez), auch über C fortgesetzt, der Annahme zuwider zu den Anfangswerten zurückkehren. Liegt der zweite Fall vor, so unterziehe man den als existierend erkannten Teilbereich einer erneuten Einteilung mittels der in ihm geb legenen Geraden: x=~ y 1 10,(+1'

=

10)·+1'

unter a1 und b1 wieder ganze Zahlen verstanden. Auf diese neue Einteilung wende man die gleiche Überlegung an und setze nötigenfalls den Prozeß in derselben Art fort. Entweder kommen wir nach endlich vielen Schritten zu einer Geraden

auf der mindestens ein nicht zu F gehörender Punkt liegt, oder der Prozeß hat kein Ende. Dann gibt es eine und, da die Umfänge der ineinander geschachtelten Bereiche die Grenze 0 haben, auch nur eine Stelle Z1' die in allen der Reihe nach herausgegriffenen Bereichen gelegen ist. Diese Stelle Zl hat die Eigenschaft, daß wir um sie eine Kurve von beliebiger Kleinheit (nämlich einen Bereichrand) angeben können, die zur Fortsetzung der Funktion t (z) benutzt, nicht zu den Anfangswerten der Funktion zurückführt. Der Punkt Zl kann demnach nicht innerer Punkt eines bei der Fortsetzung von. fez) auftretenden Konvergenzkreises sein. Wir haben jetzt die Randpunkte, welche F haben kann, näher zu betrachten. Gilt von einem Punkte z, daß in jeder Umgebung desselben Stellen eines gewissen Blattes von F existieren, ohne daß z in diesem Blatte selber dem Felde F angehört, so heißt zein "Randpunkt" des Feldes F und wird ein "singulärer Punkt" der Punktion fez) genannt. Es soll erstlich Zo ein isoliert liegender Randpunkt von F sein, in dessen Umgebung f (z) übrigens allenthalben eindeutig ist. Bei Annäherung an Zo soll lim fez) = 00 gelten, und zwar in der Art, daß es eine bestimmte endliche ganze Zahl m> 0 gibt, für welche: lim (j(z) . (z - zo)m) = c_ m z =zo

einen von 0 verschiedenen endlichen Wert darstellt. Die Punktion fez) . (z - zo)m, welche in der Umgebung von zo, zunächst von Zo selbst abgesehen, eindeutig und analytisch ist, möge nun dadurch, daß wir i.hr im Punkte Zo den Wert c_ m erteilen, auch im Punkte Zo analytisch bleiben und also in der Umgebung von zo, diesen Punkt nunmehr eingeschlossen, eine Darstellung gestatten: fez) . (z - zo)m = c_ m + c_ m +1 (z - zo) + c_ m + 2 (z - zo)2 + .. '.

Pole und Nullpunkte einer analytischen Funktion

27

Für fez) selber folgt hieraus die Darstellung: (1) f(z)=c_ m(Z-Zo)-m+c_ m+1 (Z-ZO)-m+ 1+ .. +C_ 1 (Z- ZO)-l

+ cO+c (z-Zo)+c 2(ZO-Z)2+ .... 1

Einen Randpunkt dieser Art wollen wir hinfort dem Felde F hinzufügen, so daß F hierselbst geschlossen erscheint und den Funktionswert 00 trägt; der singuläre P~tnkt Zo heißt ein "Pol m ter Ordnung" der Ftmk#011, fez). Da die in Zo analytische Funktion f(z), (z - zo)m daselbst nicht verschwindet, so ist der reziproke Wert von f(z)· (z - zo)m in der Umgebung von Zo eine eindeutige analytische Funktion, die für Zo selbst den von 0 verschiedenen Wert c;,. = c:~ hat und also eine Entwicklung: c~

+ C~+l(Z -

zo)

+ C~+2(Z -

zo)2

+ ...

gestattet. Hieraus ergibt sich weiter:

(2)

1 = cm , ( z - Zo )", fez)

+'cm +1 (Z -

Zo )m + 1

+" c'+( 2 Z11l

Zo )m + 2

+ .. '.

Man sagt nun, eine in der Umgebung von Zo durch die Reihe ~(z - zo) gegebene Funktion habe an der Stelle Zo einen "Nullpunkt m/er Ordnung", wenn in ~ (z - zo) die m ersten Glieder durch Verschwinden der Koeffizienten co, cl1 . . • , Cm _ 1 ausfallen, aber cm nicht gleich 0 ist. Nach (2) liefern somit die reziproken Werte von fez) eine Funktion, die an der Stelle Zo einen Nullpunkt mter Ordnung hat. Umgekehrt folgt aus einem Nullpunkt mter Ordnung einer Funktion an der gleichen Stelle ein Pol dieser Ordnung für die reziproken Werte der Funktion. Die vorstehende Betrachtung bedarf einer nur formalen Ergänzung für den Fall, daß Zo nicht endlich ist, d. h. den Punkt 00 der z-Ebene bedeutet. Mittels der Transformation (2) S. 21 hat man alsdann diesen Punkt und seine Umgebung in den Nullpunkt der z' -Ebene und dessen Umgebung überzuführen. Für z' und z~ = 0 an Stelle von l! und Zo gelten dann die vorstehenden Rechnungen unmittelbar. Will man die Variabele z beibehalten, so läuft dies darauf hinaus, daß in den Formeln (1) und (2) an Stelle der Potenzen von (z - zo) die gleichen Potenzen von ~ auftreten. So wird z. B. die Funktion fez) im Punkte z 00 einen Pol mter Ordnung haben, wenn daselbst eine Entwicklung:

(3) mit nicht verschwindendem c_ m gilt. Es soll jetzt zweitens Zo ein isoliert liegender Randpunkt des Feldes F von der Art sein, daß die Fortsetzung von fez) längs einer einmal den Punkt Zo umlaufenden Kurve nicht zu den Anfangswerten

28

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

der Funktion zurückführt. Dagegen soll die Fortsetzung längs einer Kurve, welche v Male um Zo herumläuft, die ursprüglichen Funktionswerte reproduzieren; dabei sei v eine endliche ganze Zahl, die größer als 1 ist, und es soll sich fez) nicht bereits nach einer geringeren Anzahl von Umläufen reproduzieren. Ein Beispiel einer solchen Funktion ist z - zo; wir schreiben dieselbe, unter Einführung der Polardarstellung z - Zo = re3"i für die komplexen Werte z, in der Gestalt:

11

(4)

z' =

Vz -

,'--

Zo =

::Eti

Vr . ev 'JI

_

Das J1'eld dieser Funktion hat in der Nähe von Zo die bekannte Gestalt einer "v-blättrigen Windungsfläche", wie dieselbe für v = 2 durch die Skizze der Fig. 8 dargestellt ist. Die Blätter der Windungsfläche gehen ineinander über, wie bei einer Schraubenfläche mit verschwindender Ganghöhe; doch dringt das oberste Blatt längs eines in Zo mündenden "Verzweigungsschnittes ii durch die darunterliegenden Blätter hindurch und führt zum untersten Blatte zurück. Für den umlaufenden Punkt z gilt dabei das oberste Blatt im VerFig.8. zweigungsschnitt als allein mit dem untersten zusammenhängend. Der Punkt Zo (der einstweilen dem Felde noch nicht angehört) heißt ein "v-blättriger Verzweigungspunld". Grundlegend ist nunmehr, daß die Windungsfläche durch die Transformation (4) auf die einblättrige oder, wie wir sagen wollen, "schlichte" Umgebung des Nullpunktes de1' i-Ebene übertragen wird. In der Tat gilt ja, wenn wir z' = r' e3"'i schreiben, offenbar {}' = ~, so daß ein einv

maliger Umlauf um

Zo

nur erst ein Wachstum von {}' um

2n v

zur Folge

hat. Fügen wir dem gewonnenen Abbilde der Windungsfläche jetzt auch den Nullpunkt i = 0 zu, so erscheint dasselbe hier geschlossen. Entsprechend können wir der Windungsfläche selbst den Verzweigungspunkt Zo hinzufügen, in dem alsdann alle v Blätter aneinander haften. Die Fläche schließt sich dann im Punkte zo' der fortan keinen isolierten Randpunkt der Windungsfläche mehr abgibt. Die Windungsfläche ist nun, freilich erst ohne den Verzweigungspunkt Zo selbst, ein Bestandteil des Feldes F unserer anfanglieh vorgelegten Funktion fez). Es ist zu entscheiden, ob wir anch dem Felde F den isolierten Randpunkt Zo zufügen und dasselbe so bei Zo schließen dürfen. Wir gehen mitte1st der Transformation (4) zur Funktion über: fez)

=

f(zo

+ $'~)

=

r(z')

Verzweigungspunkte einer analytischen Funktion

r

29

und erkennen, daß (l) in der Umgebung des Nullpunktes z' = 0, abgesehen zunächst von diesem selbst, eine eindeutige analytische Funktion ist. Hat sie im Nullpnnkte einen Grenzwert, der auch 00 sein kann, und wird dnrch Hinzunahme des Grenzwertes als Fitnktionswert (0) die Fnnktion (l) attch im Nnllpun7cte analytisch bzw. gewinnt sie daselbst einen Pol m ter Ordnung, so wollen wir auch den Verzweigungspunkt 100 dem Felde F der Funktion ((ß) hinßu,{ügen nnd f(ß o) = (0) als Funktionswert daselbst festsetzen. Wir nennen in diesem Falle die nun zum Felde F gehörige Stelle einen "v-blättrigen Verßweignngspnnkt der Funktion f (10)"• . Somit wird, faUs fez) im Verzweigungspunkte endlich bleibt, in der Umgebung desselben eine Darstellung:

r

r

r

gelten, die jedoch, sofern ein Pol m ter Ordnung in folgende zu ersetzen ist: m

100

vorliegt, durch die

m -1

(6) Hinzuzusetzen ist hier nur noch, daß an Stelle eines endlichen Punktes :10 auch der Punkt 00 der z-Ebene oder z-Kugel treten kann. Die einzige Änderung ist dann (wie S. 27) wieder die, daß in den vorstehenden Potenzentwicklungen 10- 1 an Stelle von (z - 100) tritt. Die endlichblättrigen Verzweigungspunkte und die Pole fassen wir unter der Benennung der "außet'wesentlich" singulären Pttn7cte der Funktion f(ß) zusammen. Diese Punkte gelten, wie festgesetzt, fortan dem Felde F als zugehörig. Das den Stellen von F eindentig zttge01'dnete System allm' Werte von f(ß) faßt man alsdann ttnter dem Namen eines "analytischen Gebildes" ßusammen. Jeder darüber hinaus etwa noch vorkommende singuläre Punkt von fez) (nicht zu F gehörender Randpunkt) heißt ein "wesentlich" singulärer Punkt. In einem solchen Punkte erteilen wir der Funktion fez) im allgemeinen keinen Wert; doch soll damit keineswegs behauptet sein, daß nicht bei speziell gewählten Annäherungen an einen wesentlich singulären Punkt die Funktion einen bestimmten Grenzwert haben könne. Die bisher bekannt gewordenen analytischen Gebilde haben zu einer großen Mannigfaltigkeit verschiedenartiger Gestalten der Felder F hingeführt. Zahlreiche Beispiele einfacher Art werden wir weiterhin kennen lernen. Auch einige nicht mehr elementare Fälle, von denen jedoch nur der erste unten wieder auftritt, seien hier beiläufig genannt. Die "elliptischen Modulfunktionen" liefern Beispiele von analytischen Gebilden, bei

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

30

dmten im Einzelfalle das Feld F aus dmt gesamten Innenpunkten einer schlichten (einblättrigen) Kreisfläche besteht. Die Peripherie dieses Kreises selber muß also überall dicht von wesentlich singulären Stellen besetzt sein; man bezeichnet sie dieserhalb als eine "natürliche Grenze" der Funktion. Die elliptischen Modulfunktionen stellen eine besondere Art eindeutiger "automorpher Funktionen" dar. Bei einer solchen Funktion ist das Feld F wieder ein schlichter Bereich der z-Ebene, der insbesondere (d. h. bei gewissen Arten automorpher Funktionen) wieder nur einen endlichen Teil der z- Ebene bedecken kann und dann als Rand die "natürliche Grenze" der Funktion besitzt. Dabei zeigt die nähere Untersuchung, daß in einem solchen Falle das Feld F entweder einfach oder (wenn dieses nicht der Fall ist) sogleich 00 - fach zusammenhängend ist. Was aber die Gestalt des einzelnen geschlossenen Randstückes angeht, so zeigt sich, daß dasselbe entweder ein Kreis ist oder aber (wenn dies nicht der Fall ist) ein zusammenhängendes Punktsystem von äußerst komplizierter Struktur darstellt, das jedenfalls nirgends den Charakter einer "regulären Kurve" besitzt. 1) Auch für Felder F, welche die z-Kugel oo-fach überlagern, bietet die Theorie der automorphen Funktionen in den zu diesen Funktionen inversen sogenannten "polymorphen Funktionen" interessante Beispiele.

§ 7. Von den durch analytische Funktionen vermittelten . Abbildungen. Es sei durch w = fez) ein analytisches Gebilde mit dem Felde F vorgelegt. Wie oben (S. 1:11.) schreibe man unter Trennung des reellen und imaginären Bestandteiles w = u iv und lege für die Deutung der komplexen Werte w = u + iv eine neue Ebene oder Kugel zugrunde. Der einzelnen Stelle z des Feldes F entspricht dann eindeutig ein Punkt w als "Bild" jener Stelle z. Das hierbei eintretende "Abbild" des gesamten Feldes F soll näher betrachtet werden. Es ist hierbei schrittweise vorzugehen: Zuvörderst ist der Charakter der fraglichen Abbildung im Unendlichkleinen festzustellen, sodann in der Umgebung einzelner Stellen zo, endlich aber das volle Abbild von F ins Auge zu fassen. Es sei erstlich Zo eine nicht-singuläre Stelle in F, und es werde angenommen, daß dt'e Ableitttng f' (e) im Pttnkte Zo nicht verschwinde. 2)

+

Setzen wir:

I f' (zo)

I=

M,

f' (zo)

=

M . e,ll i,

1) Diese Gegenstände sind ausführlich erörtert in den "Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen" von F. Klein und R. Fricke, 2 Bde. (Leipzig, 1897 und 1912). 2) Nach der ursprünglichen Erklärung würde f(z) auch dann eine analytische Funktion sein, wenn f(z) für alle z einen und denselben endlichen Wert Co hat;

Grundeigenschaft der konformen Abbildung

°

31

so ist also M> und endlich. Schreiben wir dz = I dz I . e{ti, so entspricht dem Fortschritt von Zo zu (zo dz) die Änderung des Funktionswertes Wo = f(zo) um: dw = f'(zo)dz = JJ[. 1dz I· e(flH)i.

+

Hieraus folgt, daß zwei Differentialen dz1 , dz2 , die wir als Bogeneiemente von Zo aus gezeichnet denken können, stets von Wo aus zwei Bogenelemente dWll dW 2 liefern, die ihren Beträgen nach den Beträgen von dZll dZ2 proportional sind, und die miteinander denselben Winkel bilden, wie dZ1 und dz2 • Auch ist, wenn wir uns dz um Zo sich drehend vorstellen, der Drehungssinn des Abbildes dw um Wo der gleiche. Wir gelangen so zu dem bekannten Charakter der "konformen" oder "winkeltreuen" Abbildung: 1st im nir:ht-singulären Punkt Zo die Ableitung f' (zo) nicht gleich 0, so übertragen sich die Winkel des Scheitelpunktes z() auf Winkel gleicher Größe und gleichen Drehungssinnes mit dem Scheitelpunkte wo; die durch Zo gelegten Bogendifferentiale 1 dz 1 liefern proportionale Dif/erentiale I dw I = MI dz I, wobei M = I{'(zo) I als "Modul" oder "Verg1'ößerungsverhältnis" der Abbildung bezeichnet wird. Als unmittelbare Folgerung (die sogleich zur Verwendung kommt) setzen wir hinzu: Eine durch Zo ziehende reguläre Kurve überträgt sich auf eine Kurve der w-Ebene, die durch den Punkt Wo hindurchläuft und dabei in Wo eine bestimmte Tangente hat. Gehen wir jetzt sogleich zur Untersuchung der Abbildung in der Umgebung der gedachten Stelle zo! Es erleichtert die Rechnungen, ohne daß eine wesentliche Beschränkung in der Gültigkeit des Ergebnisses und ('(zo) = 1 setzen. eintritt, wenn wir Zo = 0, Wo = Dann gilt: (1) w = z + C2 Z2 + csz s + ... = Z . jß(z) ,

°

wo jß(z) in der Umgebung des Nullpunktes konvergiert und jß(O) = 1 ist. Sind Zu Z2 irgend zwei Punkte derselben Umgebung, so wird auch die unendliche Reihe:

(2)

jß'(Zll Z2)

=

. .. + c

1

+

(zn1 n+l

(Zl + Z2) + cs(zi + Z Z2 + zD + .. . + zn - Z + Zn - Z2 + ... + Zn) + .. . C2

l

1

1

2

1

2

2

2

f' (z) hat dann überall den bestimmten Wert 0, die ReihendarsteIlung von

((zy

reduziert sich stets auf das Anfangsglied co, das Feld F der Funktion ist die schlichte z-Kugel usw. Indessen verlieren viele von den vorangehenden Entwicklungen ihre Bedeutung für den fraglichen Fall, in dem Pole und Verzweigungspunkte nicht auftreten. Bei den jetzt anzustellenden Untersuchungen ist durch die in den einzelnen Teilen der Betrachtung zu formulierenden Voraussetzungen der Fall einer mit einer Konstanten identischen Funktion von vornherein ausgeschlossen.

32

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

gleichmäßig konvergent und damit ihr Summenwert von Zl und Z2 abhängig sein. Offenbar gilt:

~' (Zl' Z2)

stetig

:;=f'(z)=~'(z,z), \ß'(0,0)=1. Wegen der letzten Gleichung und \ß(O) = 1, sowie mit Rücksicht auf die Stetigkeit von \ß und W können wir eine durch [z 1< h näher bezeichnete Umge bung des Nullpunktes derart einführen, daß für jeden Punkt Z und jedes Punktepaar Zu Z2 diesel' Umgebung die Ungleichungen gelten:

i

1-

\ß(z)

I

<

;2' 11

\ß'(Zl1 Z2)

1

<

;2'

Hieraus ergibt sich:

(3)

1

1- Y2< 1 ~(z)

1

1

< 1 + V2'

sowie, wenn wir:

\ß(z)

=

Qe')i

setzen, für \ß (z) insbesondere:

(4)

1

1 ---:::

V2

< Q < 1 + V21 ' --ce

Es gilt nun erstlich der Satz: In der erklärten Umgebung des Nullpunktes können keine zU'ei verschiedenen Punkte Zl' Z2 den gleichen Fttnktionswert w liefern. Es ist nämlich:

f (Zl) - f (Z2)

=

(Zl -

Z2) • ~'(zu

Z2)

wegen (3) nur dann gleich 0, wenn Z1 = Z2 ist. Wir denken jetzt, indem wir Z = re{)i setzen, um den Nullpunkt der z- Ebene alle konzentrischen Kreise Kr der Radien l' < h gelegt und wollen dieselben auf die w-Ebene abbilden. Das Abbild des Kreises Kr heiße Cr . Wir setzen: w=Re Oi ,

wo also:

R=rQ,

ß=-&+t)

zutrifft (s. Gleichung (1). Längs der Kurve Cr gilt also zufolge (4):

(1- V2-~)

1;

< R < (1 + V2 -~) r '

während andererseits ß beim Beschreiben der Kurve C,. (entsprechend dem Wachstum des Winkels -& von 0 bis 2n bei einem im Interval (4) veränderlichen t) eine stetige Änderung um den Gesamtbetrag 2n erfährt. Selbstverständlich ist Cr wie das Original Kr eine geschlossene Kurve. Aus diesen Darlegungen ergibt sich, daß die Kurve Cr um den Nullpunkt der w-Ebene herumläuft und dabei von diesem Punkte stets

Abbildung der Umgebung einer nichtsingulären Stelle

eine Entfernung

> (1- ;2) r hat.

Die Kurve

er

33

kann sich nicht selbst

schneiden; denn wir würden in diesem Falle zwei verschiedene Punkte zll Z2 mit dem gleichen w finden. Auch zeigt der Charakter der Abbildung im Unendlichkleinen, daß er nirgends eine Spitze haben kann und überall eine eindeutig bestimmte Tangente besitzt, deren Richtung sich längs er stetig ändert; denn f' (z) ist längs Kr eindeutig und stetig, und es gilt daselbst überall: 1- ~

V2

< I f' (z) I < 1 + -\= . V2

Das Abbild er des Kreises Kr ist somit eine den Punkt w = 0 als "inneren" Punkt umlaufende, sich nicht selbst schneidende, spitzenfreie und "eckenfreie" reguläre Kurve. Man betrachte nun zwei Kreise Kr, Kr', mit r' > r. Die beiden Abbilder er und er' haben dann keinen Punkt gemein, da man ja sonst wieder zwei verschiedene Zl' Z2 mit dem gleichen w nachweisen würde. Auch umgibt er' die Kurve er notwendig außerhalb, wie man durch Einführung der Geraden durch den Nullpunkt der z-Ebene und durch deren Übertragung auf die w-Ebene unter Rücksicht auf die bisherigen Ergebnisse leicht streng nachweist. Man setze nun, unter nirgendeine fest gewählte positive ganr.e Zahl verstanden: h

r=1 n '

l'

n-1

(n-l)h n

=---

und denke die n zugehörigen Kurven er gezeichnet, wobei die erste sich auf den Nullpunkt zusammenziehende Kurve ero als solche mitgezählt ist. Das einzelne Intervall von r v bis r v + 1 teile man demnächst wieder in n gleiche Teilintervalle und denke für die (n - 1) Teilpunkte r die zugehörigen Kurven er gezeichnet. Indem man so fortfährt, ist nur noch die Stetigkeit der Abbildung heranzuziehen, um zum Schlusse zu gelangen. Wir dürfen an Stelle des Nullpunktes sogleich einen beliebigen, endlichen und nichtsingulären Punkt Zo des Feldes F mit dem Funktionswerte 'Wo = f(zo) heranziehen, sofern nur f' (zo) einen nichtverschwindenden Wert hat: Die Umgebung einer endlichen, nichtsingulären Stelle Zo von F mit dem Funktionswerte Wo = f(zo) wird, falls die Ableitung daselbst einen nichtverschwindenden Wert f' (zo) . besitzt, durch die analytische Funktion w = fez) konform auf einen den Bildpunkt Wo als "inneren" Punkt umgebenden "schlichten" Bereich der w-Ebene abgebildet. Eine Folgerung, die jetzt zwar selbstverständlich ist, aber grund_ sätzliche Bedeutung besitzt, beruht auf der Erwägung, daß durch die Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. 1

3

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

34

gewonnene Beziehung die Umgebung der Stelle Wo eindeutig, stetig und konform auf einen den Punkt Zo als inneren Punkt umgebenden Bereich der z-Ebene rückwärts übertragen wird. Bezeichnet man diese Zuordnung von Werten z zu den Werten w in der Umgebung von Wo durch z = rp (w), so ist hiermit eine Funktion ep (w) gewonnen, welche in jedem Punkte w der fraglichen Umgebung eine eindeutig bestimmte, von der Richtung der Differentiation unabhängige Ableitung ep'(w) besitzt; denn es ist ep' (w) = (f' (z) )-1, falls z die dem w zugeordnete Stelle ist: 1st Zo eine im Endlichen gelegene, nichtsinguläre Stelle der Funkti01z fez) mit dem Funktionswerie wo, und ist I f'(zo) I > 0, so ist für die Umgebung der Stelle Zo die Inversion der Funktion w = fez) möglich und führt zu einer analytischen Funktion z = ep (w), für welehe der Punkt Wo nieht singulär ist. Es soll jetzt angenommen werden, daß in dem endlichen, nichtsinguiären Punkte Zo die ersten (v - 1) Ableitungen der Funktion fez) verschwinden, während fepJ(zo) den von Null verschiedenen endlichen Wert e,,"v! hat; natürlich soll v> 1 sein. Ist f(zo) = Wo, so gilt in der Umgebung von Zo eine Darstellung:

w - Wo

=

=

(z - zo)"(cv + C"+1(Z - zo) (z - zo)vjß(z - zo).

+ cv+2(z -

zo)2

+ ...)

Da jß(O) = Cv von 0 verschieden ist, so können wir im Innern des Konvergenzkreises von jß(z - zo) eine Umgebung von Zo eingrenzen,. in der jß(z - zo) überall von 0 verschieden und selbstverständlich endlich ist. Man wähle nun unter den v Werten von V Cv einen einzelnen beliebig aus und nenne denselben c~. Dann ist, wenn wir vorschreiben, daß Vjß (z - zo) im Punkte Zo den W ert c~ annehmen soll, durch diese Wurzel Vjß(z ~.i~) eine im eingegrenzten Bereiche eindeutige analytische Funktion gegeben 1), deren Reihendarstellung diese sei: Vjß(z---Zo)

=

c~

+ e;(z -

zo)

+ c~(z -

ZO)2

+ ....

Es ist hierdurch zugleich:

w' = (w -

wor

=

(z - zo)(c~

+ c~(z -

zo)

+ c~(z -

ZO)2

+ ...)

der Umgebung von Zo eindeutig erklärt. Auf die hier vorliegende Gleichung ist nun die Überlegung anwendbar, welche oben an (1) S. 31 angeschlossen wurde. Die Umgebung von Zo überträgt sich auf einen schlichten Bereich um den

111

1) Siehe hierzu die an Gleichung (4) S. 28 sowie die unten S. 76ff. folgenden Entwicklungen.

Auftreten von Verzweigungspunkten im konformen Abbilde

35

Nullpunkt der w'-Ebene. Indem wir sodann aber auf die Darlegungen von S. 28 zurückgreifen, gewinnen wir den Satz: Die Umgebung einer enrllichen nichtsingulären Stelle zo, in welcher f'(z), f"(z), ... , f(v-l)(z) verschwinden, während i f(v) (zo) I > 0 ist, wird durch die Funktion w = fez) auf eine v·blättrige Windungsfläche mit dem Verzweigungspunkte Wo abgebildet, wobei die Inversion unserer Funktion die für die Umgebung eines Verzweigungspunktes charakte1'istische Entwicklung (5) S.29 liefert: 1 2 3

(z - Zo)

=

c~(w - woY" + c;(w - w o);- + c;(w - wo)"

+ ....

Bei der vorstehenden Betrachtung wurde die Umgebung von Zo auf einen den Nullpunkt der w'-Ebene umgebenden Bereich durchaus konform abgebildet. Die Entwicklungen von S. 28 zeigen aber, daß beim Fortgang von der w'-Ebene zur w-Ebene eine Unterbrechung der Winkeltreue der Abbildung in dem dem Nullpunkte w' = 0 entsprechenden Punkte Wo eintritt. Indem wir sofort zur Beziehung zwischen z und w zurückkehren, haben wir den Satz zu notieren: Im Punkte zo, dessen Umgebung bei der Abbildung durch w = fez) eine v-blättrige Windungsfläche mit dem Verzweigungspunkte Wo lieferte, ist die Konformität der Abbildung in der Art unterbrochen, daß sich Winkel des Scheitelpunktes Zo auf Winkel v-facher Größe des Scheitelpunktes Wo übertragen. Für die singulären Punkte im Felde F und die Stelle 00 ist die Betrachtung mit Hilfe der bisherigen Methoden leicht durchgeführt. In der Umgebung eines v-blättrigen Verzweigungspunktes Zo hat F die Gestalt einer v-blättrigen Windungsfiäche. Liegt Zo im Endlichen und findet sich daselbst nicht zugleich ein Pol von fez), so gilt die Reihendarstellung (5) S. 29. Ist Cl von 0 verschieden, so überträgt sich die v-blättrige Umgebung von Zo auf einen schlichten, den Punkt w = Co umgebenden Bereich der w-Ebene. Ist aber cm mit m> 1 der erste nichtverschwindende unter den Koeffizienten Cu c2 , ••• , so gewinnen wir als Abbild eine m-blättrige Windungsfläche mit dem Verzweigungspunkt w = co' So oft m ~ v ist, t,ritt im Punkte w = Co eine leicht näher angebbare Unterbrechung der Konformität der Abbildung ein. Ferner gilt der Satz: Hat w = fCz) im endlichen Punkte Zo einen Pol mter Ordnung, und ist Zo nicht zugleich ein Verzweigungspunkt (vgl. Gleichung (1) S. 27), so wird die Umgebung von zo, falls m = 1 ist, auf einen schlichten Bereich um die Stelle oc der w-Kugel abgebildet, falls m > 1 ist, aber auf eine m-blättrige Windungsfiäche mit dem Verzweigungspunkt 00 und mit Unterbrechung der Konformität daselbst. Auch den Zusammenfall eines Poles mit einem Verzweigungspunkte wird man leicht erledigen, ebenso die besondere Lage des Punktes Zo als Punkt 00 der z-Kugel, wo im einfachsten Falle, d. h. wenn die 3*

36

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Stelle <Xl weder Pol noch VerzweigungsPl!nkt von fCz) ist, die Entwicklung C4) S. 22 gilt. Wir gelangen zum Schluß, indem wir noch einen Blick auf das Gesamtfeld F der Funktion w = fez) werfen: Durch die Funktion w = fez) wird das Feld F derselben auf einen die w-Ebene oder w-Kugel überlagernden Bereich F' eindeutig abgebildet, welcher das Feld der zu w = fez) inversen analytischen Fttnktion z = p (w) ist. Die Abbildttng ist im allgemeinen eine konforme; eine UnterbrecJmng der Konformität tritt nttr ein in Verzweigungspttnkten, wobei jedoch auch hier die Abbildtmg konform bleibt, wenn ein v-blättriger Verzweigungspttnkt des einen Feldes im andern wieder einen Verzweigungsptmkt der gleichen Blätterzahl liefert. Gegenüber diesen Angaben könnte nur noch das Bedenken geltend gemacht werden, ob nicht etwa die Funktion z = p(w) über das Abbild F' .des Feldes F hinaus fortsetzbar sein möchte, so daß dann F' zwar ein Bestandteil des Feldes von p(w) wäre, aber dies Feld nicht völlig erschöpfte. Doch würde in diesem Falle die Abbildung des wahren Feldes von p(w) auf die z-Ebene ein notwendig über F hinausreichendes Feld von fCz) liefern; das Bedenken ist also abzuweisen.

§ 8. Begrift· des Residuums und Sätze über Residuen. Um einen Punkt Zo im Innern des Feldes der Funktion fCz) beschreibe man innerhalb des Konvergenzkreises der zugehörigen Potenzreihenentwicklung von f(z) eine geschlossene Kurve C, die einmal um Zo herumlaufen soll, wenn es sich um einen gewöhnlichen Punkt handelt, dagegen v Male, falls Zo ein v-blättriger Verzweigungspunkt ist. Man berechne das zugehörige Integral: (1)

1 j'fm cl 6, -".~

Mt

(C)

genommen über die Kurve C im positiven Umlaufsinne. 1) Zufolge des Ca uchy schen Integralsatzes (S. 4) ist der Integralwert (1) von der besonderen Auswahl der Kurve C innerhalb des Konvergenzkreises der Potenzreihe unabhängig. 2) Der Integralwert (1) ist somit für die 1) Man hat also nach S. 5 u. f. die Kurve G in der Richtung zu durchlaufen, bei welcher man den von G umschlossenen, Zo enthaltenden Bereich zur linken Hand hat. Ist Zo die Stelle 00, so wolle man sich die Verhältnisse auf der z-Kugel vorstellen. 2) Um im Falle eines v-blättrigen Verzweigungspunktes den Cauchyschen Integralsatz in seiner ursprünglichen Gestalt (S. 4ff.) anwenden zu können, wolle man die Betrachtung mitte1st der Transformation (4) S. 28 in die z' -Ebene verlegen oder auf die unten (S. 38) folgende Erweiterung des Cauchyschen Integralsatzes für mehrblättrige Bereiche Bezug nehmen.

37

Begriff des Residuums

Ftmktion f(z) und die Stelle Zo eindetttig bestimmt ttnd heißt das "Residuttm" der Funktion fez) im Pllnkte ZOo Aus der gliedweise integrierbaren Potenzreihenentwicklung kann man in jedem ]'alle das Residuum leicht berechnen. l ) Es ergibt sich: Ist Zo kein Verzu'eigungspllnkt, so ist das Residuum für jeden endlichen, nicht-singttliiren Pllnkt gleich 0, für einen Pol gleich dem Koeffizienten C_ 1 der Potenz (z - ZO)-1 in der betreffenden Entwicklung (1) S. 27 ttnd schließlich für die Stelle 00 gleich - Cl' wo Cl der Koeffizient von z- 1 in der zttgehörigen Entwicklung (3) S. 27 ist. Weiter aber findet man: Ist Zo ein v-blättriger Vcrzweigungspunkt, so ist das Residuum von fez) wiederum 0, falls Zo im Endlichen liegt und nicht zugleich ein Pol ron fez) ist; ist aber die im Endlichen liegende Stelle Zo zugleich ein Pol von fez), wo alsdann die Entwicklung (6) S. 29 gilt, so ist das Residuum gleich vc_.; handelt es sich schließlich um die Stelle Zo = 00 mit der Reihendarstellung : fez)

c_mz"

=

+

ra-l

C_ m

+ ... + + clz • + c z. • +"',

+ l z'

Co

2

°

welche die Möglichkeit eines Poles gleich mit umfaßt, so ist das Residullm von fez) gleich .- vc.. Von verschiedene Residuen kommen der Funktion fez) hiernach allein für Pole im Endlichen und für die etwa im Felde F liegenden Stellen 00 zu. Es sei nun T irgendein in F gelegener Bereich, der sich auch über sich selbst hinüberziehen darf, aber allerdings die z-Ebene nirgends von T bestehe aus endlich vielen oo-fach bedecken soll. Der Rand regulären Kurven, von denen keine durch einen Pol von fez) oder eine Stelle 00 hindurchlaufen soll, und die, wie wir der Einfachheit halber annehmen wollen, auch die etwaigen Verzweigungspunkte vermeiden mögen. Die nächsten Umgebungen der in T gelegenen Pole, Verzweigungspunkte und Stellen 00 2) wollen wir mitte1st kleiner, die betreffenden Punkte umlaufenden Kurven 01) 2 , • •• ausschneiden 3) und

°

°

1) Diese Rechnungen beruhen auf den Formeln:

j'

•

(C)

d~ =2in, ~-zo

J'

(~-zo)nd~=O

" f ur

>1 ' n<

(C)

welche man bei Gebrauch eines Kreises C um Zo unter Einführung von Polarkoordinaten ~ - Zo = re{fi leicht beweist und auch flir den Fall eines v-blättrigen Verzweigungspunktes Zo ohne Mühe verallgemeinert. 2) Die Sprechweise schließt sich an die Vorstellungen auf der z-Kugel an. Punkte 00 können nur in endlicher Anzahl dem Bereiche T angehören, da dieser überhaupt keine Stelle z unendlich-blättrig bedecken sollte. 3) Man beachte, daß die Anzahl der singulären Punkte von fez) in T nur endlich sein kann. Würden sich z. B. in T unendlich viele Pole finden, so würden wir (auf der z-Kugel) in T nach der "Methode der Einschachtelung" min-

38

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

°°

dem Bereiche T fortnehmen; der Restbereich heiße T', er wird durch 0, 1 , 2 , • •• berandet. Im so vorbereiteten, ganz im Endlichen gelegenen Bereiche T', unter Einschluß des Randes, ist nun fez) überall analytisch, so daß der Cauchysche Integralsatz (4) S. 6 die Gleichung ergibt:

(2)

.rf(~) d~ +!fm d~ +!fm d~ + ...

(0)

(0,)

(02 )

=

o.

Der Integralsatz bezog sich oben allerdings nur erst auf Bereiche, die keinen Teil der z-Ebene mehrfach bedecken. Aber wir können T' durch eine Anzahl von Querschnitten immer in endlich viele Teilbereiche zerlegen, die einzeln genommen keinen Teil der z-Ebene mehrfach bedecken. Bei Addition der auf diese Teilbereiche bezogenen Formeln (4) S. 6 werden sich dann die jeweils längs der beiden Ufer des einzelnen Querschnittes erstreckten Integrale aufheben, so daß die eben angegebene Gleichung (2) für T' als richtig erkannt wird. Mit Rücksicht auf die jetzt vorliegende Durchlaufungsrichtung der Kurven 011 02' ... erkennen wir in den betreffenden Integralen in (2) die mit - 2i:n: multiplizierten zugehörigen Residuen von fez). Indem wir diese Glieder der Gleichung (2) transponieren, entspringt der Satz: Das über den Rand des Bereiches T im positicen Umla~tfungssinne genommene lntegml:

°

(3)

~ rfmd~

2~n.J (0)

J

ist gleich der Summe der Residuen von fez) für alle in T gelegenen Pole ttnd Stellen 00. Im Anschluß an die S. 27 eingeführte Sprechweise sagt man, die Funktion fez) habe in einem v-blättrigen Verzweigungspunkte zo, der zunächst im Endlichen liege, einen "Nttllpunkt m ter Ordnung", wenn in der zugehörigen Entwicklung (5) S. 29 das Absolutglied Co verschwindet und der erste nicht-verschwindende Koeffizient cm ist. Liegt ein Pol und damit die Entwicklung (6) S. 29 vor, in der c_ m nicht gleich 0 sein soll, so hat fez) im Verzweigungspunkte einen "Pol m ter Ordnung". Für einen in einer Stelle 00 gelegenen Verzweigungspunkt überträgt man diese Ausdrucksweise leicht; z. B. wird fez) hier einen Nullpunkt mter Ordnung haben, falls das erste wirklich auftretende Glied der zugem

hörigen Reihenentwicklung cmz mit m > 0 ist. Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Als "logarithmisches Rel'

destens eine Häufungsstelle dieser Pole nachweisen. Diese Stelle müßte aber für f(z) wesentlich singulär sein (s. S. 31 ff.), was innerhalb F ausgeschlossen ist.

Begriff des logarithmischen Residuums

39

siduum" der Funktion fez) im Punkte Zo bezeichnet man den Wert des Integrals:

(4)

1

2in

frm (et) d~

=

1

f

2in

(C)

d logf(~),

(C)

wo die Integrationsbahn wieder die in (1) benutzte, den Punkt Zo umlaufende kleine Kurre 0 sein soll. Doch soll, wie wir hier hinzusetzen müssen, 0 so klein gewählt werden, daß fez) weder auf C noch in dem von G umschlossenen Bereiche, abgesehen nur etwa vom Punkte Zo selber, einen Nullpunkt besitzen sol1.1) Die Ausrechnung des Integrales (4) in den einzelnen Fällen liefert nun ein höchst einfaches Ergebnis, das ohne Ausnahme für alle Innenpunkte des Feldes F gilt: Das logarithmische Residuwn von fez) ist in jedem Punkte zo, in welchem fez) weder einen Nullpunkt noch einen Pol hat, gleich 0; dasselbe ist für einen Nullpunkt m ter Ordnung von fez) gleich mund füt· einen Pol m ter Ordnung unserer Funktion gleich - m. Wir gehen jetzt auf den oben bereits erklärten Bereich T im Felde F zurück und wollen betreffs des Randes G von T über die oben schon gegebenen Bestimmungen hinaus noch festsetzen, daß G jedenfalls auch durch keinen Nullpunkt von fez) hindurchlaufen soll. Aus dem oben schon bewiesenen Residuensatze ergibt sich dann betreffs der logarithmischen Residuen von fez) sofort der weitere Satz: Das über den Rand G des Bereiches T im positiven Umlaufssinne genommene Integral:

(5)

1

Jfet) rw d~ =

2in

(C)

1

2in.

j"d logf(~)

(C)

ist gleich der Summe der. Ordnungen aller in T gelegenen Nullptmkte von fez), vermindert um die Sttmme det' Ordnttngen aller daselbst befindlichen Pole der Funktion fez).

§ 9. Die Reihe und der Satz von Laurent. Folgerungen über

z=

eindeutige Funktionen. Durch zwei konzentrische Kreise Kl und K 2 des Mittelpunktes 0 und der Radien r l und r2 , die endlich und von 0 verschieden

seien und die Bedingung r l > r2 befriedigen sollen, sei ein zweifach zusammenhängender Bereich T 2 von der Gestalt eines Kreisringes ein1) Man beachte, daß in der Umgebung eines inneren Feldpunktes Zo stets nur endlich viele Nullpunkte von fez) auftreten können (vgl. Note 3 S. 37), 80 daß man also die Umgebung auch stets so klein wählen kann, daß höchstens Zo Nullpunkt von fez) ist.

40

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

gegrenzt. Die Funktion fez) soll in T2 unter Einschluß der beiden Randkurven eindeutig und überall analytisch sein. Ist alsdann z irgendein fest gewählter innerer Punkt VOll T 2' für welchen also:

1'2< I z! < r l

(1)

zutrifft, so gilt zufolge des Cauchyschen Integralsatzesi):

(2)

fez)

=

~- (fm d~ - ~ (fi'(L d~ 2~nJ h- z

2tnJ h(x.l

(X,)

Z

'

wo beide Kreise in denjenigen Richtungen zu durchlaufen sind, welche für die inneren, den Nullpunkt enthaltenden, Kreisscheiben .den positiven Umlaufssinn liefern. Da die Integrationsvariabele ~ längs K l den konstanten Betrag I ~ I = r l hat und z in Übereinstimmung mit (1) fest gewählt ist, so können wir die S. 16 gegebene Entwicklung (indem wir den damaligen vVert Zo durch 0 ersetzen) wiederholen und finden: 1

[;f(h) d"'~ _ -

-2 . .-

2n.

(X,)

+ Cl Z + c2 Z 2 -L

Co

o-z

I

"',

wo rechts eine für den ausgewählten 'Vert z konvergente Reihe steht, deren Koeffizienten durch:

--~J. f(h) cl t 2~n ~"+l -

C =

"

(X,)

gegeben sind. Aber eine entsprechende Entwicklung kann man auch für das zweite Integral in (2) rechter Hand durchführen. Da nämlich für einen längs K 2 variabelen Punkt ~

lil=~
!

Z

zI

I

und nach oben geschehener Wahl von z konstant ist, so gilt: 00

- t0!)-Z

=

~ z-n . fm~n-l, n=l

und man findet wie oben (S. 16 u. f.), daß die hier rechts stehende Reihe längs K 2 gleichmäßig konvergiert. Daraufhin gewinnt man: __ 1__

(f(h) cl"' =

2inJ;-z

~

C

~ + C -2 ~ + C-3 ~3 + ... Z2

-lz

Z

(x.)

1) Die Gleichung (2) entspricht der "Cauchyschen Integralformel" (2) S. 16 und ergibt sich in derselben Weise wie diese Formel aus dem Cauchyschen Integralsatze.

Die Laurentsehe Reihe

41

als Darstellung des links stehenden Integrales mitteist einer im Punkte z konvergenten Reihe, deren Koeffizienten erklärt sind durch:

c_ n =

2~nJf(~)~n-Id~. (K,)

Durch Addition der beiden für die Integrale in (2) rechter Hand gewonnenen Reihenentwicklungen ergibt sich der Satz: Der in einem inneren Punkte z des ringförmigen Bereiches T2 eintretende Funktionswert fez) ist der Summenwert der nach beiden Seiten hin unendlichen, ün Pttnkte z konvergenten, sogenannten "Laurentschen Reihe'il): (3)

fez)

=

...

+ C_ 3 :. + C_ 2 zl. + C_ 1 ~ + Co + cIz + C2 Z 2 + "',

deren von der Auswahl der Stelle z unabhängige Koeffizienten durch die angegebenen bestimmten Integrale geliefert werden. Man setze nun: fi (z)

=

Co

+ Cl Z + C2Z 2 + C3 ZS + .. "

. , ) 1 t2(Z = C_ 1 Z

+ C_ 2 -i'1 + C- SZS1 + ...

und nenne die Konvergenzradien dieser Reihen R I und R v wobei natürlich die zweite Reihe für i z I > R 2 konvergiert. Wir wollen hierbei den extremen Fall, daß die erste Reihe für alle endlichen z konvergiert, gleich mit einbegreifen, indem wir dann R I = 00 nehmen; ebenso lassen wir die Möglichkeit R 2 = 0 zu. Da die Laurentsche Reihe (3) für jeden Innenpunkt des Bereiches T 2 konvergiert, so ist jedenfalls BI > r l und R 2 < 1'2' Indessen ist leicht zu sehen, daß hier die Gleichheitszeichen nicht gelten können. Für die inneren Punkte von T2 gilt nämlich zufolge (3) als Darstellung von f(z): (4)

fez)

=

fI(z)

+ f.(z).

Es ist aber klar, daß durch die gleichzeitige analytische Fortsetzung von fi (z) und f2(z) auf Grund von (4) diejenige von fez) mitgegeben ist. Nun war zufolge der Voraussetzung fez) auch noch für alle Punkte von K I eindeutig und analytisch, und dasselbe gilt von der durch ihre Potenzreihe erklärten Funktion f2 (z). Demnach ist auch t~ (z)=f(z)-f. (z) längs K I noch überall analytisch (frei von singulären Punkten), so daß K I innerhalb des Kreises vom Radius R I liegt. Ebenso zeigt man, daß notwendig R 2 < r 2 sein muß. Die vorstehende Betrachtung zeigt zugleich, daß der Gültigkeitsbereich der Gleichung (3) über den Bereich T 2 hinausreicht. Es gilt 1) Über das Auftreten der Laurentsehen Reihe und des gleich zu nennenden Laurentschen Satzes sehe man die Literaturnachweise bei Osgood, S.346.

42

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

nämlich der Satz: In jedem Bereiche T, deHsen sämtliche Pnnkte z die Bedingung:

Rl >lzi>R2

befriedigen, ist die Laurentsehe Reihe (3) gleichmäßig konvergent und Ziefert als Snmmenwerte die Fnnktionswerte fez), welche der anfänglich vorgelegten Fnnktion oder ihrer Fortsetznng in T znkommen. 'Weiter ist der Satz anzumerken: Die im Bereiche T2 eindentige und daselbst überall analytische Funktion fez) läßt sich in diesem Bereiche nnrauf eine einzige A1·t in eine Laurentsche Reihe entwickeln. Gilt nämlich in T2 die Darstellung: +00

fez)

~
=

V=-o:l

so wird diese Reihe längs eines Kreises K, der mit K l und K 2 konzentrisch ist und im Innern des Ringes T2 verläuft, sicher gleichmäßig konvergent sein. Verstehen wir nun unter nirgendeine ganze ZahF), 80 ist in:

wo die Integrale über K in dem für den umschlossenen Bereich positiven Umlaufssinne geführt sein sollen, die rechts stehende Reihe wegen ihrer gleichmäßigen Konvergenz gliedweise integrierbar:

~JßfL d~ = -~ ~(cf~·-n-ld~). 2~n. ~n+l 2zn.L.J l'

(K)

1'=-00

(K)

Von den hier rechts auftretenden Integralen ist aber nur das eine für = n von 0 verschieden und gleich 2i1t, während alle übrigen verschwinden. Es ist demnach:

v

cn

=

_l_J 2in

f(~) d~

t"+l

,

(K)

womit wir (zufolge des Cauchyschen Integralsatzes) auf die obige Koeffizientenbestimmung der Reihe (3) zurückkommen. Die soeben angesetzte Laurentsehe Reihe für fez) ist also notwendig mit der Reihe (3) identisch, womit der aufgestellte Satz bewiesen ist. Als "Laurentschen Satz" bezeichnet man das durch die bisherigen Entwicklungen festgestellte Ergebnis: Eine in dem durch die Ungleichungen (1) festgelegten Bereiche T2 eindeutige und analytische Funktion r(z) ist in einer und nur einer Art als Summe: fez) 1) Siehe die Anmerkung S. 9.

=

t~ (z)

+ f2(z)

Der Laurentsche Satz nebst Folgerungen

43

zweier Funktionen fl (z) und f2(z) darstellbar, von denen die erste innerhalb des Kreises K l überall eindeutig und analytisch ist, während die zweite außerhalb des Kreises K 2 , unter Einschluß der Stelle 00, überall eindeutig und analytisch 1·st und im Punkt 00 verschwindet. Einige besondere Folgerungen beziehen sich auf die Fälle, daß fez) auch innerhalb K 2 oder auch außerhalb Kloder endlich in beiden Bereichen zugleich eindeutig bleibt. Es gelte erstlich die Voraussetzung, daß fez) auch innerhalb K i eindeutig sei und, höchstens vom Nullpunkte z = 0 selbst abgesehen, sich daselbst überall analytisch verhalte. Da f1 (z) innerhalb K 2 überall eindeutig und analytisch ist, so wird ein etwa im Nullpunkte auftretender singulärer Punkt von f(z) , der (wegen der Eindeutigkeit von fez»~ entweder wesentlich ist oder einen Pol mter Ordnung darstellt, notwendig von der Funktion f2(z) = fez) - f l (z) aufgenommen, die indessen für alle von 0 verschiedenen z eindeutig und analytisch sein wird. Nimmt man nun erstlich an, daß fez) auch im Nullpunkt analytisch bleibt, so gilt (vgl. S. 17) für alle z mit Iz I < BI und also, insbesondere auch in T2 eine Darstellung: fez)

=

Co

+ c1 z + C2 Z 2 + csz s + ... ,

und da dies notwendig die Laurentsche Reihe ist, so muß im vorliegenden Falle f2(z) mit 0 identisch sein. Liegt im Nullpunkte ein Pol mter Ordnung von fez), so findet man in derselben Art als in T2 gültig: fez)

=

+ ... + C_ 1 Z + Co + C1 Z + ... ;

1 1 1

c_ m -,;;- +C_ m +1 111-1 z z

und da dies wiederum die Laurentsche Reihe sein muß, so gilt:

(5)

1

1

1

.f'(z)=c-1 -+c --+···+c Z -2 z -m -rn. '

/2

Z

Trifft keiner dieser beiden Fälle zu, so ist der Nullpunkt für f(z) und damit für f2(z) wesentlich singulär: Ist fez) auch innerhalb K 2 , höchstens vom Nttllpunkt abgesehen, eindeutig und analytisch, so ist f2 (z) identisch 0 oder die rationale Funktion (5) oder durch eine für alle von o verschiedenen z konvergente unendliche Beihe darstellbar, je nachdem fez) auch im Nullpunkt analytisch ist oder daselbst einen Pol mter Ordnung oder endlich einen wesentlich singulären Punkt hat. Offenbar ist auch die Umkehrung dieses Satzes richtig. Entsprechende Betrachtungen gelten, falls fez) auch außerhalb K l eindeutig und, höchstens abgesehen von der Stelle 00, analytisch ist. Wir merken den Satz an: Ist fez) außerhalbKl , höchstens von dem

44

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Punkte stanten (6)

00 Co

abgesehen, eindeutig und analytisch, so ist f1 (z) mit einer Konidentisch 1) oder eine rationale ganze Funktion mten Grades: f1(z)

=

Co

+ clz + C2 Z2 + ... + crnzm

oder durch eine "beständig konvergente" unendliche Reihe \l3 (z) darstellbar, je nachdem fez) auch im Punkte 00 analytisch ist oder daselbst einen Pol mter Ordnung oder einen wesentlich singulären Punkt hat. Attch hier gilt offenbar die Umkehrung des Satzes. Diese drei Fälle wollen wir noch mit dem Falle einer identisch verschwindenden Funktion f2(z) kombinieren: 1st fez) auf der ganzen z-Kugel, höchstens vom Pttnkte z = 00 abgesehen, eindeutig und analytisch, so ist fez) mit einer Konstanten Co identisch oder eine rationale ganze Funktion (6) rom m ten Grade oder darstellbar durch eine "beständig konvergente" unendliche Reihe \l3(z), je nachdem fez) auch im Punkte 00 analytisch bleibt oder daselbst einen Pol m ter Ordnung oder einen wesentlich singulären Punkt hat. Auch die Umkehrung des Satzes trifft zu.

§ 10. Die ganzen rationalen Funktionen und ihre inversen Funktionen. Die vorstehenden allgemeinen Entwicklungen über analytische Funktionen sollen nun an einzelnen Funktionsarten , insoweit dies fUr unsere späteren Zwecke wünschenswert ist, erläutert und weiter entwickelt werden. Folgende Erklärung schließt sich an den letzten Satz von § 9 an: Eine Funktion, deren Feld F die schlichte (einbläftrige) und vollständige z-Kugel ist und die den Punkt z = 00 als einzigen singulären Punkt hat, heißt eine "ganze rationale" Funktion ttnd werde mit der besonderen Bezeichnung g(z) belegt. 2) Der singuläre Punkt ist, als dem Felde Fangehörig, außer wesentlich und also, da g(z) in der Umgebung desselben eindeutig ist, notwendig ein Pol. Ist die positive ganze Zahl m die Ordnung desselben, so heißt g(z) eine "ganze rationale Funktion mten Grades" und ist durch einen Ausdruck (6) S.44 fUr alle Werte von z gegeben. 1) Siehe die Anmerkung 2 S. 30. 2) Wir erklären die Funktionen f(z) hier und in der Folge zumeist aus ihren wesentlichen Eigenschaften, d. h. etwa durch Angabe ihres Feldes F und der Art und Lage ihrer singulären Punkte. Dieser Standpunkt ist derjenige Ri em an n 8, worüber man insbesondere den Art. 20 seiner 1851 erschienenen Dissertation "Grundlagen für eine allgemeine 'l'heorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Größe" (Gesammelte mathematische Werke, Leipzig 1876, S. 1 ff.) vergleiche. Die Darstellung einer Funktion, etwa mittels einer Potenzreihe oder eines sonstigen analytischen Ausdrucks, ist dann immer erst eine Folge der unabhängig hiervon gegebenen Erklärung der Funktion.

45

Erklärung der ganzen rationalen Funktionen

Über die etwaigen Nullpunkte von g(z) gibt das am Schlusse von § 8 (S. 39) aufgestellte Theorem Aufschluß. Da g(z) nicht mit 0 identisch ist, so können wir in der endlichen z-Ebene eine geschlossene, sich nicht selbst schneidende, reguläre Kurve C der Art wählen, daß in dem von C umschlossenen endlichen Bereiche, den Rand C selbst mit einbegriffen, kein Nullpunkt von g(z) gelegen ist. Natürlich findet sich in diesem Bereiche auch kein Pol, so daß nach dem genannten Theoreme die fragliche Kurve C als Integrationsbahn:

2~1tfd logg(~) =

(1)

0

(C)

lieferl. Nun aber wird die z-Kugel durch die Kurve C in zwei Bereiche zerlegt, einmal den eben ins Auge gefaßten Bereich, sodann den ganzen Rest der z-Kugel, welcher den Pol mter Ordnung und alle etwaigen Nullpunkte von 9 (z) enthält. Indem wir C als Rand dieses zweiten Bereiches auffassen und auf ihn das fragliche Theorem anwenden, folgt aus (1) sofort: Die ganze rationale Funktion mten Grades

9 (z) hat einen oder mehrere Nullpunkte, und es ist die Summe der 01"dnungen aller ihrer Nullpunkte gleich m. Ist bei der durch z = s zu bezeichnenden Stelle ein Nullpunkt der Ordnung U von g(z) gelegen, so ist nach S. 27 hierselbst g(z): (z-s)-x von 0 verschieden und analytisch. Die sonst etwa vorkommenden Nullpunkte von g(z) besitzt g(z)· (z -- s)-" in den gleichen Ordnungen, olme darüber hinaus noch weitere Nullpunkte aufzuweisen.

Im übrigen hat

g(z) . (z - s)-" wieder dasselbe Feld F wie g(z) und ist im Endlichen polfrei. Diese Betrachtung kann man durch Hinzunahme der weiteren etwa 110ch auftretenden Nullpunkte von g(z) fortsetzen. Seien die unterschiedenen Nullpunkte von g(z) bei Sv S2' •.•, Sk gelegen und seien U l1 U 2 , ••• , U k ihre Ordnungen, so gilt für die positiven ganzen Zahlen U nach dem zuletzt gewonnenen Satze:

(2)

U1

+ + ... + u U2

k =

m,

so daß insbesondere ihre Anzahl k der Bedingung 0 Dann erkennt man m:

< k :::::: 1n

genügt.

g(z)· (z - Sl)-X,(Z - S2r x,.,. (z - Skr"k eine Funktion des bisherigen Feldes F, die für alle endlichen z analytisch und frei von Nullpunkten ist. Nach dem zuletzt ausgesprochenen Satze kann sie demnach auch keinen Pol bei z = 00 mehl' beAitzen und ist also nach dem Schlußtheorem von § 9 mit einer Konstanten identisch. Den Werl der letzteren bestimmen wir mitte1st des Ausdruckes

46

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

(6) S. 44 leicht zu cm und kleiden das gewonnene Ergebnis In den Satz: Die ganze rationale Funktion g(z) vom mter. Grade gestattet die "Linearfaktorenzerlegung" :

(3)

g(z)

=

cm(z - sS"(z - S2)"2 . .. (z - Sk)\

wobei die ganzen positiven Exponenten " an die Bedingung (2) gebunden sind. Hierin ist eine bekannte Ausdrucksform für das ,,Fundamentaltheorem der Algebra" gewonnen. Mit Rücksicht auf die Fortsetzung der Untersuchung wollen wir unter der Annahme, daß der Grad m > 1 Bei 1), sogleich für die erste Ableitung g'(z), welche eine ganze rationale Funktion (m - 1yen Grades ist, die Linearfaktorenzerlegung in der Gestalt:

(4)

g'(z)

=

mcm(z - tl),'(z - t 2Y·2

. .. (z -

tYl

angeben, wobei die positiven ganzen Zahlen A an die Bedingung:

(5)

Al

+ A + ... + AI = 2

m- 1

gebunden sind. Die Werte der Funktion g(z) in den 1 Punkten t o t 2 , ••• , t l mögen el , e2 , ••• , el sein; dieselben sind alle endlich, aber brauchen natürlich keineswegs durchweg voneinander verschieden zu sein. Ist jetzt Wo irgendein endlicher komplexer Wert, der fest gewählt ist, so ist auch (g(z) - wo) eine ganze rationale Funktion mten Grades. Hat dieselbe bei Zo einen Nullpunkt von einer Ordnung fL> 1, so hat daselbst g'(z) einen Nullpunkt (fL - 1)!er Ordnung, so daß Zo einer der 1 Werte tl , t2 , ••• , t l ist und (da für diesen Wert g(z) offenbar gleich Wo wird) Wo zu den Werten el> e2 , ••• , el gehört. Nehmen wir demnach Wo zunächst als von diesen Werten e verschieden an, so wird (g(z) - wo) nur Nullpunkte erster Ordnung aufweisen und also an genau m verschiedenen Stellen des Feldes F verschwinden: Die rationale ganze Funktion g(z) vom m ten Grade nimmt einen beliebigen, von den el , e2 , ••• , el verschiedenen, endlichen komplexen Wert Wo in genau m verschiedenen Punkten des Feldes F an und· soll dieserhalb als eine m-wenige Funktion im Felde F bezeichnet werden. Dieses Ergebnis wird in seiner vollen Bedeutung erst überblickt, wenn wir auf die allgemeinen Abbildungssätze von § 7 (S. 30 ff.) eingehen. Aus ihnen folgt: Die Umgebung einer beliebigen endlichen von den tl , t2 , ••• , t l verschiedenen Stelle Zo wird durch die Funktion 20 = g(z) auf einen schlichten Bereich um den Bildpunkt Wo der 20Ebene konform abgebildet. Es treten aber folgeude Unterbrechungen der Konformität der Abbildung auf: Erstlich wird die schlichte Um1) Im Falle m = 1 wird man die aufzustellenden Sätze leicht direkt bestätigen; übrigens kommen wir auf diesen Fall unten noch ausführlich zurück.

Abbildung der z-Ebene durch eine ganze Funktion

47

gebung der Stelle r: = 00 auf eine m-blättrige Windungsfläche mit dem Yerzweigungspunkte w = 00 abgebildet, so daß die Winkel des Scheitelpunktes z = 00 sich auf m-fach vergrößerte Winkel übertragen. Zweitens aber beachte man, daß im einzelnen Punkte t die Ableitung g' (z) verschwindet, und daß gC 1 +i.)(z) die erste dortselbst nicht verschwindende Ableitung ist: Die schlichte Umgebung der einzelnen Stelle t wird durch die Funktion w = gez) auf eine Windungsfläche mit v = 1 + Ä Blättern und dem Yerzweigungspunkte e = get) abgebildet, so daß die Winkel des Scheitelpunktes t im Abbilde v-fach vergrößert erscheinen. Die v Blätter der Windungsfläche hängen im Yerzweigungspunkte e, der der Stelle t der z-Ebene entspricht, zusammen. Während demnach ein dicht bei e gelegener Wert Wo noch v getrennte übereinander liegende Punkte der Windungsfläche liefert und also in v dicht bei t nebeneinander liegenden Punkten z als Funktionswert eintritt, werden diese v Punkte z, sobald wir Wo gleich e werden lassen, an der Stelle t zum Zusammenfall kommen. Wir sagen demnach, daß an der Stelle t der z-Ebene v dem Ftmktionswerte e entsprechende Punkte z zusammenfallen. Übertragen wir diese Sprechweise auch auf den Punkt z = 00 und den zugehörigen m-blättrigen Yerzweigungspnnkt w = 00, so gilt der Satz, daß irgendein komplexer Wert Wo in genau m Punkten der z-Kugel von der Funktion g(z) angenommen wird, ausnahmslos. Das durch die Funktion w = g(z) gelieferte Abbild des gesamten Feldes F und damit das Feld F' der inversen Funktion z = rp(w) ist in seiner Gestaltung nun zu überblicken. Dieses Feld F' bedeckt die w-Kugel überall m-blättrig, wobei jedoch an der Stelle 00 alle m Blätter in dem daselbst gelegenen Yerzweigungspunkte zusammenhängen und nach Art der Blätter einer Windungsfläche beim Umlauf um z = 00 ineinander übergehen, während in entsprechender Weise im einzelnen der 1 im Endlichen gelegenen Yerzweigungspunkt ei gewisse Vi = 1 + Ä; Blätter zusammenhängen und beim Umlauf von ei ineinander übergehen. Mehrblättrige zusammenhängende Bereiche dieser Art hat Riemann 1) allgemein zum Studium der algebraischen Funktionen (vgl. § 16) eingeführt. Man benennt dieserhalb den Bereich F' als eine "Riemannsehe Fläche" und spricht in unserem Falle genauer von einer "geschlossenen m-blättrigen Riemannschen Fläche mit (l 1) Verzweigungspunkten"; die Fläche möge, damit in der Bezeichnung sogleich die Blätteranzahl m mit zum Ausdruck kommt, fortan durch das Symbol Fm bezeichnet werden.

+

1) In Abteilung I, Artikel 1 der Abhandlung "Theorie der Abelschen Funktionen", Journ. f. Math., Bd. 54 (1857) oder Riemanns Werke, S.95.

48

Einleitung: Slitze über analytische Funktionen

Es ist nun sehr wichtig, daß wir die Riemannsche Fläche Fm auch synthetisch aufbauen können. Man denke auf der z-Kugel die Stellen e und den Punkt 00 markiert. Da die Werte eu e2 , ••• , el nicht voneinander verschieden sein müssen und übrigens 1 > 1 gilt, so handelt es sich mindestens um 2, höchstens um (l 1) markierte Punkte. Man ziehe nun etwa von e1 aus durch die sämtlichen markierten Stellen e bis zum Punkte 00 eine sich selbst nicht überkreuzende, reguläre Kurve und durchschneide die w-Kugel längs dieser Kurve. Die beiden Schnittränder unterscheiden wir mit Rücksicht auf die Durchlaufungsrichtung der Kurve von el nach 00 als rechtes und linkes Ufer des Schnittes. Die zwischen den einzelnen, aufeinanderfolgenden markierten Punkten verlaufenden Teile des Schnittes wollen wir der Reihe nach S17 S2' ... nennen und jeden von ihnen als einen "Verzweigungs schnitt" bezeichnen. Die zerschnittene w-Kugel stellt einen "einfach zusammenhängenden" Bereich dar, der eine einzige von den beiden Schnittufel'll gelieferte Randkurve besitzt. Von der so vorbereiteten w-Kugel wollen wir jetzt m Exemplare übereinander geschichtet denken, die also zunächst außer Zusammenhang sind. Es sei alsdann Wo irgendein komplexer Wert, der jedoch weder einen Verzweigungspunkt noch einen sonstigen Punkt eines Verzweigungsschnittes liefert. Zu Wo gehören m verschiedene Werte Zu $2' .•. , Zm unserer m-deutigen Funktion Z = fJJ (w), die wir uns in irgendeiner Reihenfolge auf die m Exemplare der w-Kugel bei Wo verteilt und aufgetragen denken. Jetzt vollziehe man in jedem der m Blätter die analytische Fortsetzung unserer Funktion, beginnend mit dem aufgetragenen Werte Zi = fJJ (wo), Die m berandeten und je einen einfach zusammenbängenden Bereich darstellenden Blätter tragen dann Funktionswerte, die wir durch die Bezeichnungen fJJl (w), fJJ2 (w), ... , fJJm (w), den Z17 Z2' ••. , zm entsprechend, unterscheiden. Dabei ist fJJ;( w) in ihrem Bereiche eine eindeutige Funktion; denn im Innern dieses Bereiches Kommt kein singulärer Punkt der Funktion vor, und also muß die Fortsetzung über jede im Bereiche geschlossene Kurve nach einem S. 25 bewiesenen Satze zu den Anfangswerten der Funktion zurückführen. Man fasse nun die Randwerte des ersten Funktionszweiges fJJl (w) längs des rechten Ufers vom ersten Verzweigungsschnitte S1 ins Auge, welche sich den Innenwerten stetig anschließen. In der unzerschnittenen w-Ebene setzen sich diese Funktionswerte über die "Kurve" Sl hinweg stetig fort. Die Folge ist, daß die am rechten Ufer von Sl stattfindenden Randwerte von fJJl (w) auf dem gegenüberliegenden linken Ufer durch einen bestimmten unter den m Zweigen fJJl (w), fJJ2 (w), ... , fJJm (w)

+

Synthetischer Aufbau einer Riemannschen Fläche

49

erreicht werden müssen. Handelt es sich dabei um den Funktionszweig q;j(w), so wollen wir nunmehr das rechte Ufer von S1 im ersten Blatte mit dem linken Ufer von S1 im i ten Blatte zusammenheften. In derselben Weise fortfahrend heften wir auch die rechten Ufer von Sl in den übrigen (m - 1) Blättern je an bestimmte linke Ufer von 8 1 an und nehmen die gleiche Operation für alle übrigen Verzweigungsschnitte 8 2,83" .. vor. 80 entsteht am Ende wieder unsere geschlossene m-blättrige Riemannsche Fläche Fm' in welcher die zunächst m-deutige Funktion z = q; (w) nunmehr eine "eindeutige Funktion des Ortes" geworden ist. Die Riemannsche Fläche Fm ist ein wichtiges Hilfsmittel zur Veranschaulichung des Verlaufs der Funktion q; (w) und des Zusammenhangs ihrer verschiedenen Zweige. Allerdings ist ein unmittelbares anschauliches Erfassen der gesamten Fläche nur bei besonders einfach gebauten Flächen möglich. In dieser Hinsicht ist nun sehr wichtig, daß wir im vorliegenden Falle den Zusammenhang der m Blätter von Fm dadurch einer zeichnerischen' Darstellung noch unmittelbarer zugänglich machen können, daß wir Fm riickwärts auf die z-Ebene abbilden. Die m "iiber"einander liegenden Blätter von Fm lietern dabei m "neben"einander gereihte je einfach zusammenhängende Bereiche, welche in ihrer Gesamtheit die z-Kugel überall schlicht und ohne Lücke überspannen. Die Randkurven dieser Bereiche entsprechen den Ufern der Verzweigungsschnitte; der einzelne Punkt z = t j ist rings von 2v j oder (falls er von e1 herrührt) von Vi Bereichen umgeben, der Punkt z = 00 von allen m Bereichen. Die Brauchbarkeit dieses Bildes für die Darstellung des Blätterzusammenhanges würde hier an einem Beispiele zu erläutern sein. Doch kommen wir auf den gleichen Gegenstand bei Besprechung der rationalen Funktionen zurück und werden dort ein für spätere Entwicklungen wichtiges Beispiel betrachten.

§ 11. Die ganzen transzendenten :Funktionen. funktion und Logarithmus.

Exponential-

Einer weiteren Klasse ganzer Funktionen legen wir die folgende Erklärung zugrunde: Eine Funktion, det'en Feld die schlichte z-Ebene, abgesehen vom einen Punkte z = 00, ist, und die im Endlichen überall analytisch ist, heißt eine "ganze transzendente" Funktion und soll wieder durch w = g(z) bezeichnet u:erden. Der einzige Randpunkt z = 00 des Feldes F ist ein wesentlich singulärer Punkt der Funktion (vgl. S. 44), die In ihrem Felde durch eine beständig konvergente unendliche Reihe:

(1) darstellbar ist.

g(z)

=

Co

+ c1 z + C2 Z 2 + caz3 + ...

Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. 1

4

50

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Die Beschaffenheit der Funktion in der Umgebung ihres wesentlich singulären Punktes wird durch folgende Betrachtung festgestellt. Ist M ein "beliebig" groß gewählter positiver Betrag, so ist in jeder Umgebung des Punktes z = 00 eine Stelle nachweisbar, in der der absolute Betrag Ig(z) I die Zahl M übertrifft. Gäbe es nämlich einen Kreis mit dem Radius r um den Nullpunkt z = 0 der Art, daß für alle endlichen z mit Izl> r die Ungleichung: Ig(z) I < M

(2)

zutrifft, so würde dieselbe insbesondere längs jedes Kreises K mit einem Radius B, der größer als r ist, zutreffen. Ist nun nirgendeine der Zahlen 1, 2, 3, ... , so findet man, indem man die längs K gleichmäßig konvergente Reihe (1) für g(s) durch sn+l teilt und über KaIs Integrationsbahn gliedweise integriert (vgl. Note 1 S. 37):

jt

'g(t) n

+1

dfb

=

2i~c

n'

(K)

Hiernach gilt mit Rücksicht auf die längs K gültige Ungleichung (2) offenbar: ! C I n

1<2..)" = = 2:1t RnM+ 1 . .!dr-' ;, I

M. Rn

(K)

Da M ausgewählt ist, aber B oberhalb des Betrages t· noch beliebig wählbar ist, während cn einen von der Auswahl des Runabhängigen konstanten Wert bedeutet, so kann zu folge der letzten Ungleichung cn keinen von 0 verschiedenen Wert haben. Es würde also g(z) mit der Konstanten Co identisch sein, womit sich unsere Behauptung bestatigt hat. Nun gilt aber weiter: Ist 0 eine positive, von 0 verschiedene, aber beliebig klein gewählte Zahl, so kann man in jeder Umgebung der Stelle 00 einen Punkt z angeben, in dem:

I g(z) I < 0 zutrifft. Beim Beweise dieser Behauptung müssen wir drei Fälle unterscheiden. Hat erstlich g (z) unendlich viele Nullpunkte, so haben diese Nullpunkte auf der z-Kugel mindestens eine Häufungsstelle. 1) Eine solche Häufungsstelle kann aber im Endlichen nirgends auftreten, da in ihr g (z) sich nicht analytisch verhalten könnte. Mithin ist der Punkt 00 die einzige Häufungsstelle der Nullpunkte, so daß in jeder Umgebung von 00 ein Punkt angebbar ist, in welchem g(z) gleich 0 1) Siehe das in der Note 2 S. 10 erwähnte und S. 25 ausgeübte Beweisverfahren nach der "Methode der Einschachtelung".

Der wesentlich singuläre Punkt einer ganzen transzendenten Funktion

51

und also kleiner als d' ist. Hat zweitens g(z) überhaupt keine Nullpunkte, so erkennt man in:

g1(Z)

=

1 g(z)

sofort wieder eine ganze transzendente Funktion. Für diese ist in jeder Umgebung von 00 ein Punkt z nachweisbar, in dem I g1(Z) I > d'-l und also I g(z) I< d zutrifft. Hat drittens g(z) endlich viele Nullpunkte Z1' Z2' ... , zn der Ordnungen m17 m2 , ••• , mn , so hat (g(Z»)-1 ebendort Pole dieser Ordnungen und verhält sich übrigens im Endlichen allenthalben analytisch. Gilt für die Umgebung des Poles Zi die Entwicklung:

!- = c(i)-mi (z - z.)mi + cU) (z-z.)- rni + 1 + .. ·+c(i) (Z-Z.)-1 +c(i) + ... , ' -mi+1' -1' 0

g(z) SO

erkennt man jetzt in: n

g1 (Z) =

_1_ _

g (z)

~[di) (Z-Z.)- rni + c(i)

~

i=1

-mi

z

-mi+1

(Z-Z.)-rni + 1 + ... +C(i) (Z-Z.)-1] z -1 z

leicht eine ganze transzendente Funktion. Schreiben wir die hier rechts auftretende Summe in Abhängigkeit von z kurz :E(z), so gilt: g

woraus sich ergibt:

~z) = g1 (z) + :E(z),

I 1 I I g(z)

I

I

I> Ig1 (z) I-I :E(z) i'

Nun hat :E(z) im Punkte 00 den Grenzwert 0, so daß wir eine Umgebung von 00 eingrenzen können, in welcher überall I:E(z) I < 1 gilt. Daselbst kann man dann noch eine Stelle nachweisen, für welche i g1(Z) I> 1 d-\ also I g(Z)-1 I > d- 1 und damit I g(z) I M zutrifft, so kann man durch I z I > z' einen Bestandteil jener Umgebung erklären, in dem dann wiederum ein Punkt z" nachweisbar ist, für welchen I g(z") I > M gleichfalls zutrifft. Indem wir so fortfahren, erkennen wir: In jeder Umgebung von 00 sind unbegrenzt viele Punkte nachweisbar, in denen I g(z) > M gilt, und ebenso natürlich unbegrenzt viele Punkte, in denen i g(z) I < d zutrifft. Ist jetzt Wo ein beliebiger endlicher komplexer Wert, der fest gewählt ist, so ist (g (z) - wo) wieder eine ganze transzendente Funktion. Es folgt sofort: In jeder Umgebung des wesentlich singulären Punktes

+

00

sind unbegrenzt viele Stellen z nachweisbar, in denen: I g(z) - Wo i < d'

4*

52

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

zutrifft, in denen also, wie man sagen kann, die Funktion g(z) dem willkürlich ausgewählten Werte Wo "beliebig" nahe kommt. Der Satz gilt, wie wir schon wissen, in sinngemäßer Übertragung auch für den Wert Wo =

00.

Das eigentümliche hiermit festgestellte Verhalten einer ganzen transzendenten Funktion in der Umgebung ihrer wesentlich singulären Stelle soll nun an dem bekannten Beispiele der im Endlichen nirgends verschwindenden Funktion: w = eZ = e,,+iy = eX (cos y + i sin y)

erläutert werden. Schreiben wir w = u + iv, so ergibt sich die durch die Exponentialfunktion e vermittelte konforme Abbildung sehr leicht aus: u = e'" cos y, v = e'" sin y. Man zeichne in der z-Ebene die unendlich vielen, zur reellen Achse parallelen, äquidistanten Geraden der Gleichungen: Z

y

=

0, y

=

± 2n,

y

=

± 4n,

y

=

± 6n, ....

Sie zerlegen die z-Ebene in unendlich viele Bereiche, welche die Gestalt von Parallelstreifen haben; wir wollen dabei von den beiden berandenden Geraden immer nur die untere (die zu kleinerem y gehörende) als dem Bereiche zugehörig ansehen. Ist Zo irgendein endlicher Wert, so haben wir in jedem unserer Streifen einen . und nur einen mit Zo "homologen" Punkt. Wir gelangen zur Punktreihe: zo,

Zo

+ 2in,

Zo

+ 4in,

Zo

+ 6in,

und erkennen, daß alle diese Punkte einen und denselben Funktionswert Wo tragen. Alle Werte, welche unsere Funktion w = e' überhaupt im Endlichen annimmt, treten demnach auch bereits in einem ersten Streifen, etwa dem durch 0 < y< 2 n charakterisierten, auf. Ist andererseits Wo = roei30 , wo 0 ~ -Iro < 2n gelte, irgendein von 0 und 00 verschiedener komplexer Wert, so finden wir, daß dieser Funktionswert an der Stelle: Zo = Xo + iyo = log r o + i-lro jenes ersten Streifens, aber auch nur an dieser Stelle, wirklich eintritt. Dem wesentlich singulären Punkte z = 00 können wir uns im Streifen sowohl nach links wie nach rechts hin annähern: Die Funktion w hat bei diesen Annäherungen bestimmte Grenzwerte, nämlich 0 und 00. 1) Wir haben damit folgenden Satz festgestellt: Der gesamte "endliche" Parallel1) Wir merken noch an: Nähern wir uns der wesentlich singulären SteUe mittels einer nicht zur y- Achse parallelen Geraden an, so tritt stets ein Grenzwert wein, nämlich entweder 0 oder 00. Bei Annäherung parallel zur yAchse aber hat unsere Funktion keinen Grenzwert.

Z=

00

Abbildung der z-Ebene durch die Exponentialfunktion

53

streifen wird durch die Funktion w = e' konform auf die schlichte w-Ebene, abgesehen von den beiden Punkten w = 0 und w = 00, abgebildet; diese beiden Punkte sind für die inverse Funktion z = log w wesentlich singulär. Man mache sich die Beschaffenheit dieser Abbildung im einzelnen anschaulich, indem man die Parallelen zur x-Achse auf die Geraden, welche von w = 0 ausstrahlen, und die den Streifen durchziehenden Parallelen zur y-Achse auf die konzentrischen Kreise um w = 0 überträgt. Die Abbildung der gesamten endlichen z-Ebene, d. i. des Feldes F unserer Funktion, auf die w-Ebene ist nun unmittelbar ersichtlich: Das Feld der inversen Funktion z = log w ist eine unendlich-blättrige Riemannsche Fläche F mit den beiden oo-blättrigen Verzweigungspunkten w = 0 und w = 00, die als wesentlich singuläre Stellen von log w dem Felde F nicht zugehöt·en. Beim synthetischen Aufbau dieser F hat man die w-Ebene im Anschluß an die obige Streifenteilung der z-Ebene längs der positiven reellen w-Achse mit einem von 0 nach 00 ziehenden "Verzweigungsschnitt" S zu versehen und Exemplare der so vorbereiteten w-Ebene sowohl nach oben als unten hin in unendlicher Zahl übereinander zu schichten. Sodann hat man jedes rechte Schnittufer an das linke des nächst darüber folgenden Blattes zu heften, wodurch die F00 gewonnen wird. Der Zusammenhang der Blätter wird auch hier, wie bei der am Schluß von § 10 (S. 49) betrachteten Fläche, am übersichtlichsten durch die Übertragung der F auf die schlichte, endliche z-Ebene dargestellt, wo ja jeder einzelne Parallelstreifen das konforme Abbild eines bestimmten Blattes der F ist. Insbesondere aber können wir mitteIst dieses Abbildes der F das Verhalten der Funktion w = e' in der Umgebung des wesentlich singulären Punktes 00 veranschaulichen. Es ist zu diesem Zwecke entweder die z-Kugel heranzuziehen, auf welcher die den Geraden y = 2nn entsprechenden Kreise nach (7) S. 23 durch die Ebenen der Gleichungen: 00

00

00

00

00

00

''/)') = 0

und

s-

-~+ 1n = 0' 2 1)n

n=

± 1, ± 2, ± s, ' "

ausgeschnitten werden, oder man muß mitte1st der Transformation (2) S.21 die Umgebung von z = 00 auf diejenige von l = 0 in einer neuen l-Ebene abbilden. Benutzen wir etwa die letzte Methode, so übertragen sich die Geraden y = 2nn auf die Kreise:

Y' = 0

und

X'2

+ y'2 + _1_ y' = 2nn

•

0

'

n=±l,

±2, ±3,""

Die Einteilung der l-Ebene durch diese Kreise ist in Fig. 9 (S.54) angedeutet. Unter ihnen findet sich insbesondere die x'-Achse, und alle

54

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

übrigen Kreise berühren die x'-Achse im Nullpunkte, wobei der Nullpunkt in der Art eine Häufungsstelle der Kreise ist, daß sich in jeder Umgebung desselben sowohl oberhalb als unterhalb der x'-Achse unendlich viele Kreise finden. Je zwei benachbarte Kreise schließen nun einen sichelförmig gestalteten Bereich ein, der sich an den wesentlich singulären Punkt :l = 0 mit zwei Spitzen tangential zur x'-Achse beiderseits heranzieht. Die Spitzen, d. i. der Punkt f/ = 0, sollen der Sichel nicht zugerechnet werden; auch sehen wir nur den einen berandenden Kreis als zur Sichel gehörig an. Dann ist die Sichel gerade genau ein eindeutiges Abbild der gesamten W - Ebene, abgesehen von den beiden Punkten W = 0 und W = 00. Die Häufung der Sicheln gegen den Punkt rl = 0 hin Fig. 9. veranschaulicht nun unmittelbar folgenden Satz: Ist Wo ein beliebiger von 0 und 00 verschiedener komplexer Wert, so gibt es in jeder Umgebung von r/ = 0 noch unendlich viele Punkte, in denen unsere Funktion w den Wert Wo annimmt. Die Werte 0 und 00 sind die Grenzwerte von w in den beiden Spitzen der einzelnen Sichel. Da z' = 0 einen nicht zur Sichel gehörenden Punkt darstellt, so können wir zwar in jeder Umgebung von rl = 0 in der Sichel Punkte nachweisen, in denen w dem Werte 0 bzw. 00 beliebig nahe kommt; aber allerdings wird keiner dieser beiden Werte innerhalb der Sichel wirklich erreicht.!) Wir schließen noch folgende gleich zur Anwendung kommende Betrachtung hier an: In der endlichen z-Ebene sei eine im Punkte Zo beginnende und ebenda endigende, also geschlossene Kurve C gezeichnet, die sich übrigens sehr wohl auch beliebig oft selbst überkreuzen darf. Ihr entspricht in der endlichen w-Ebene eine von Wo = e ausziehende gleichfalls geschlossene Kurve C', die "nicht" durch den Nullpunkt w = 0 hindurchzieht. Wir können C stetig und ohne Zerreißen in der endlichen z-Ebene unter Festhaltung des Punktes <10 auf diesen Punkt zusammenziehen. Dem steht eine entsprechende Zusammenziehung von Cf auf den Punkt Wo gegenüber, ohne daß bei dieser Zusammenziehung Cf über Zo

1) Eine ganze transzendente Funktion g(z) nimmt in keinem Punkte ihres Feldes F den Wert 00 an. Nach einem von E. Picard entdeckten Satze kann es höchstens noch einen weiteren Wert Wo geben, der von g(z) in keinem Punkte des Feldes angenommen wird. Bei der Exponentialfunktion liegt in der Tat ein solcher Wert vor, nämlich wo=O. Siehe übrigens betreffs des Picardschen Satzes "Osgood", S. 707.

Darstellung ganzer transzendenter Funktionen ohne Nullpunkte

55

den Nttllpunkt w = 0 hinweggeschoben würde oder auch nur den Nullpunkt erreichte. Zeichnet man andererseits in der endlichen w-Ebene von einer von 0 verschiedenen Stelle Wo aus irgend eine geschlossene, also in Wo endigende Kurve C', welche durch den Nullpunkt w = 0 nicht hin durchläuft, und wählen wir unter den unendlich vielen korrespondierenden Punkten Zo = log Wo irgendeinen bestimmten aus, so überträgt sich C' auf eine in der endlichen z-Ebene liegende Kurve C, welche in Zo beginnt und einem homologen Punkte (zo + 2ni1t) endigt. Ist nun C' unter Festhaltung von Wo auf diesen Punkt zusammenziehbar 1), ohne dabei über den Nullpunkt hinweggezogen zu werden, oder auch nur diesen Punkt zu erreichen, so entspricht dem eine in der endlichen z-Ebene vor sich gehende stetige Abänderung von C bei Festbleiben des Anfangs- und des Endpunktes von C in der Art, daß C schließlich gleichfalls auf einen Punkt, nämlich Zo zusammenschrumpft: Also ist der Endpunkt ($0 + 2niJ't) mit dem An{angspunkte identisch, d. h. auch C ist eine "geschlossene" Kurve. Mit Hilfe dieser Betrachtung gelingt es leicht folgenden Satz zu zeigen: 1st g(z) irgendeine (nicht mit einer Konstanten identische) rationale oder transzendente ganze Funktion, so ?:st: (3) go(z) = eY(z) eine ganze transzendente Funktion ohne Nullpunkte, tmd umgekehrt ist jede ganze transzendente Funktion go (z) "ohne Nullpunkte" in der Gestalt (3) mittelst einer ganzen Fttnktion g(z) darstellbar. Der erste Teil dieses Satzes ist einleuchtend, da go(z) für alle endlichen $ eindeutig und analytisch ist, nicht mit einer Konstanten identisch ist und für kein endliches $ verschwindet. Um die Umkehrung zu zeigen, bilde man von der Funktion w = go(z) den Logarithmus:

z' = log w = log go (z) und ordne irgendeinem ersten zo, dem Wo = go($o) als von 0 verschiedener endlicher Wert eindeutig zugehört, unter den unendlich vielen entsprechenden Werten z' irgendeinen bestimmten z~ zu. Eine beliebige von Zo ausziehende geschlossene Kurve C in der endlichen z-Ebene liefert in der w-Ebene von Wo aus eine gleichfalls geschlossene Kurve 0', die nicht durch w = 0 hindurchläuft. Zieht man C auf den Punkt Zo zusammen, so schrumpft entsprechend C' auf den Punkt Wo zusammen, ohne daß hierbei C' über den Nullpunkt w = 0 hinweggeschoben würde oder auch nur diesen Punkt erreichte; denn kein endliches $ liefert den Funktionswert w = O. Zufolge der vorausgeschickten Betrachtung über1) Solche Deformationen von Kurven sollen, ohne daß dies jedes Mal hervorgehoben wird, immer stetig und ohne Zerreißen ausgeführt werden.

56

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

trägt sich demnach 0' auf eine von z~ ausziehende "geschlossene" Kurve der Ebene von z'. Bei Fortsetzung längs irgendeines geschlossenen Weges 0 in der endlichen z-Ebene wird demnach die im Punkte Zo eindeutig erklärte Funktion z' = log go (z) stets wieder zum Anfangswerle zurückkehren. Die Fortsetzung liefert demnach eine in der ganzen endlichen z-Ebene eindeutige und selbstverständlich analytische Funktion, d. h. eine Funktion g(z), womit unser Satz bewiesen ist.

§ 12. Produktdarstellung der ganzen transzendenten Funktionen. Die in Gleichung (3) S. 46 bewerkstelligte Produktzerlegung einer ganzen rationalen Funktion ist auf Grund einer von Weierstrass 1) ausgebildeten Theorie auf ganze transzendente Funktionen g(z) übertragbar. Hat erstlich g(z) im Nullpunkte z = 0 selber einen Nullpunkt der Ordnung ", so soll dieser vorweg besonders behandelt werden. Man erkennt in diesem Falle in z-Y.· g(z) sofort eine ganze transzendente Funktion, die für z = 0 nicht verschwindet, im übrigen aber alle Nullpunkte mit g(z) gemein hat. Man betrachte demnach weiter die nicht bei z = 0 gelegenen Nullpunkte von g(z), sofern solche vorkommen. Ist Zl irgend ein von 0 verschiedener endlicher Wert, so ist in:

(1) wobei gl (z) irgendeine ganze (rationale oder transzendente) Funktion ist, eine ganze Funktion dargestellt, die nur einen, bei Zl gelegenen, Nullpunkt erster Ordnung hat; und zugleich ist nach dem Schlußtheorem von § 11 jede ganze (rationale oder transzendente) Funktion, welche Zl als einzigen Nullpunkt, und zwar von der ersten Ordnung, hat, in der Gestalt (1) darstellbar. Eine solche Funktion (1) heißt nach Weiers t I' ass eine "Prim(unktion". Es erledigt sich nun zunächst der Fall, daß g(z) nur endlich viele Ntdlstellen hat, sehr leicht. Die nicht bei Z = 0 gelegenen Nullpunkte seien Zu Z2' ... , Zn' wobei wir (was für die Schreibweise der Formeln eine Erleichterung sein wird) in dieser Reihe jeden Nullpunkt höherer Ordnung so oft hintereinander aufführen wollen, als seine Ordnung angibt. Ist Z = 0 ein Nullpunkt der Ordnung" von g(z), so wird z-Y.. g(z) in derselben W~ise wie das Primfunktionenprodukt:

1) in der Arbeit "Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen" Abh. der Ber!. Akad. von 1876 oder Weierstrass' Werke, Bd. 2, S. 77. S. auch "Osgood", S. 535.

Produktdarstellung ganzer Funktionen mit endlich vielen Nullpunkten

57

verschwinden, so daß der Quotient von z-Y. . g(z) und diesem Produkte eine ganze Funktion ohne Nullpunkte darstellt, die sich nach § 11 als Exponentialfunktion einer ganzen Funktion go(z) ausdrücken läßt. Jede ganze Funktion g(z) mit endlich vielen Nullstellen ist hiernach als Produkt:

(,) II (1 - z.;,z) e n

(2)

g (z)

=

ego • z"

9 (z) k

k=l

darstellbar.]) Für die ganzen rationalen Funktionen ordnet sich dieser Gleichung die Darstellung (3) S. 46 unter. Eine Hauptleistung von Weierstrassbesteht nun in der Übertragung der Darstellung (2) auf den Fall, daß g(z) unendlich viele Nullpunkte hat, wobei die ganzen Funktionen gk(Z) derart auszuwählen sein wUrden, daß das entsprechend fitr n = 00 gebildete Produkt (2) konvergiert. Dies eneicht man in gewissen, noch näher zu bezeichnenden Fällen dadurch, daß man gk(Z) mit folgender ganzen rationalen Funktion gleichsetzt: g

k

(z)

=

~ + ~2 (~) 2+ .)0.3 (~)3 + ... + 1-h (~)h Zk Zk Zk '

Zk

deren Grad h eine bestimmte endliche von k unabhängige Zahl sein soll. Wir wollen hierbei die Möglichkeit, daß gk(Z) identisch versch~V1:ndet, mit h = 0 eingeschlossen denken. Die außerhalb z = 0 gelegenen Nullpunkte bilden jetzt eine unendliche Reihe Zl' Z2' Za, ... , in der wir wieder jeden Nullpunkt in einer seiner Ordnung entsprechenden Anzahl von Malen aufgeführt denkel!. Setzen wir Zk i = r k , so dürfen wir die Anordnung so getroffen annehmen, daß stets: 11

1"k

> r k_ 1

gilt. Die Nullpunkte haben als einzige Häufungsstelle den wesentlich singulären Punkt 00 unserer Funktion g(z), d. h. es ist: lim r k = 00. k=",

Ist demnach r irgendeine bestimmte endliche positive Zahl, so gibt es einen zugehörigen endlichen Index m derart, daß: (3) rk>r für alle k>m zutrifft. Es sei nun T irgendein endlicher Bereich der schlichten z-Ebene. :Man wähle dann eine endliche Zahl r so, daß der Kreis des Radius r um den Nullpunkt der z-Ebene den Bereich T einschließt und seinem Rande nirgends nahekommt. Es wird demnach eine bestimmte zwischen 1) Der Fall, daß g(z) im Nullpunkte nicht verschwindet, ist natürlich mit" = 0 eingeschlossen.

58

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

o und Punkte

1 gelegene Zahl q angegeben werden können, so daß für alle Z des Bereiches T die Bedingung:

l;l
und also um so mehr:

~I rk


fUr alle Ir,

>m

gilt, unter m den schon in (3) benutzten Index verstanden. Es wird nun zunächst der Ausdruck:

rr (1 m-1

zY.

(4)

-~~)

.

egk(z) ,

k=1

der sicher eine ganze Funktion darstellt, alle innerhalb und auf der Peripherie des Kreises vom Radius r um den Nullpunkt z = 0 gelegenen Nullpunkte der vorgelegten ganzen Funktion g(z) erschöpfen. Für jeden endlichen Index n> m gilt andererseits:

rr (1 n

(5)

k=m

-~)

ek(z) =

i(IOg(l-":")+gk(Z)) ek=m

Zk'

~

,

wobei die rechts im Exponenten auftretende Funktion log

(1 -~) für Zk

jedes Ir, >m zufolge (3) eine in T eindeutige Funktion von z ist, welche wir als Summe der in T konvergenten Reihe: log (1-~) Zk

=-

~

-

Zk

t

(~)2 Zk

_t

(~)3_ Zk

....

erklären können. Die Frage ist nun, ob in (5) auch n = 00 werden darf, ohne daß dieser Ausdruck aufhört, in T eine analytische Funktion von z darzustellen. Um hierüber zu entscheiden, schätze man das einzelne Glied der in (5) rechter Hand im Exponenten stehenden Reihe auf seinen absoluten Betrag ab. Aus der für gk(Z) vorgeschriebenen Gestalt folgt:

10g(1 _~) Zk

+ gk(Z) =

00

_

00

~ (~)l =

""

.L.J

l=h+1

1

Zk

_

(~

)h+1 "" ~ (~)1-"-1

~k..L.J 1 l=h+1

und also, da l > 1 ist, mit Rücksicht auf die oben für vorausgesandten Ungleichungen: I log

i

(1 -~) + gk(Z) I < 1j'h+--=-. (~)h + q zk

rk

Zk

I z I und rk

1.

Wenn demnach die absoluten Beträge rk der Nullstellen Zk die Bedingung erfüllen, daß die unendliche Reihe:

:2 eJ+1 00

k=m

Produktdarstellung ganzer Funktionen mit unendlich vielen Nullpunkten

59

oder (was auf dasselbe hinauskommt) die Reihe:

(6) konvergiert, so wird die in (5) rechts im Exponenten stehende Reihe für 12 = 00 absolut und also unbedingt (d. i. unabhängig von der Anordnung der Glieder) sowie gleichmäßig (nämlich für alle in T gelegenen z) konvergieren. Differenzieren wir nun die Reihe: 00

~ (log (1 k=m

-

:J + gk(Z))

gliedweise, so folgt als "abgeleitete Reihe": 00

. 1 Z Zh-l) 1 ~ ( --+-+-+ ... +-Z - Zk Zk Z~ Z~

.

k=m

Auch diese Reihe konvergiert, wie mittels desselben Abschätzungsverfahrens bewiesen wird, in T unbedingt und gleichmäßig. Also zeigt die schon S. 13ff. benntzte Schlußweise, daß durch die letzte Reihe in T die Ableitung der durch die vorletzte Reihe daselbst dargestellten stetigen Funktion geliefert wird. Diese Reihe und demnach auch ihre Exponentialfunktion, d. i. das unendliche Produkt:

stellen hiernach nnter Voraussetzung der Konvergenz der ttnendlichen Reihe (6) eine in T überall analytische Funktion dar. Indem wir dieselbe mit dem Produkte (4) multiplizieren, ergibt sich weiter, daß das ttnendliche Prodnkt:

zr.JI (1 - :J 00

l'k(z)

k=l

tmabhängig von der Anordnung der Faktoren eine im Bereiche T, d. h. also in jedem endlichen Bereiche der z-Ebene, eindeutige ttnd daselbst überall analytische Funktion von z darstellt. Wir haben damit eine ganze transzendente Funktion gewonnen, welche genau dieselben Nullpunkte wie g(z) hat. Nach dem Schlußtheorem von § 11 unterscheiden sich demnach diese beiden Funktionen nur um einen Exponentialfaktor eUo (·). Wir haben also folgenden grundlegenden Satz gewonnen: Kann man eine endliche, nicht-negative ganze Zahl hangeben, so daß die absoluten Beträge r k der unendlich vielen

60

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Nullpunkte Zl' Z2' . •• der ganzen Funktion 9 (z) eine "konvergente" Reihe (6) liefern, so gestattet die Funktion g(z) die Darstellung in Gestalt des tt1~endlichen Produktes:

17 (1 - ;J 00

g(z)

(7)

ego (z)zy.

=

b(Z) ,

k=l

welches in jedem endlichen Bereiche der z-Ebene unabhängig von der Anordnung der Faktm"en konvergiert und den Funktionsu'ert g(z) liefert. Die (für die künftige Verwendung statthafte) Beschränkung liegt hiernach darin, daß wir die Existenz einer bestimmten endlichen ganzen Zahl h voraussetzen, für welche die Reihe (6) konvergiert. Im übrigen werden wir h so klein als möglich wählen, d, h. falls h > 0 ist, soll nicht schon für die um eine Einheit verkleinerte Zahl h die Konvergenz der Reihe (6) zutreffen. Die so bestimmte ganze Zahl h nennt man die "Höhe" der ganzen transzendenten Funktion g(z), vorausgesetzt, daß go(z) eine "rationale" ganze Funktion ist, deren Grad h' die Zahl h nicht übertrifft. Ist go(z) zwar rational, aber von einem Grade h' > h, so nennt man h' die "Höhe" von g(z). Die Funktion log g(z) ist unendlich vieldeutig und hat in jedem Nullpunkte von g(z) einen wesentlich singulären Punkt. Dagegen ist die Ableitung von log g(z) wieder eindeutig und abgesehen von unendlich vielen in den Nullpunkten von g(z) liegenden Polen erster Ordnung im Endlichen überall analytisch. Es gilt die folgende Darstellung:

(8)

,

dlogg(z)

-----clZ--

=

go(z)

~

(1

1

Zh-l)

+ z +~ z-z; + ~ + Zl + ... + Z% n

z

k=l

als "Partialbruchentwicklung" der links stehenden Funktion, wobei die unendliche Reihe, abgesehen davon, daß in den Punkten Zl' Z2' • . • jeweils einzelne Glieder der Reihe Pole besitzen, in jedem endlichen Bereiche der z-Ebene unbedingt und gleichmäßig konvergiert. Dies ist bereits durch die obige Konvergenzbetrachtung mit bewiesen. Übrigens sind dieselben Hilfsmittel mit dem gleichen Erfolge auch beim Beweise der nachfolgenden weiteren Darstellungen anwendbar:

(9)

d'logg(z)

dz'

=

" n ~(l go (z) - z' - ~ (z..:= zk)' k=l

1

z~

-

2z

zi - ... -

(h-l)Zld) Z%

Dabei gilt, um es nochmals zu betonen, die Konvergenz der Reihe (6) stets als Voraussetzung.

61

Erklärung und Darstellung der rationalen Funktionen

§ 13. Die rationalen Funktionen und ihre inversen Funktionen. Die ganzen rationalen Funktionen gehören als eine besondere Art der Klasse der "rationalen Funktionen" an, welche wir in folgender Art zu erklären haben: Eine Funktion, deren Feld die schlichte und t'ollständige z-Kugel ist, heißt eine "rationale Funktion" 'und werde mit der besonderen Bezeichnung R (z) belegt. Eine solche Funktion R (z) hat an singulären Punkten nur Pole, und zwar kann R (z) nur endlich viele Pole haben, da ja sonst mindestens eine Häufungsstelle der Pole eintreten würde, in der Rez) entgegen der Annahme sich nicht analytisch verhalten könnte. Mögen im Endlichen insgesamt n Pole auftreten, nämlich bei z = S1' S2' ... , sn; dabei sei 1ni die Ordnung des Poles Si' Die Funktion R(z) gestattet dann in der Umgebung von Si die Darstellung: c(i)

R(z)

=

-mi ---(Z - 8 i ) "'i

c(i)

C(i)

-mi +l + ---.:::-+ ... +---+ C + c· (Z - 8i )m, Z _ 8i -1

1

(i)

(')(

0

1

z-

S.) ,

+ ....

Hieraus geht hervor, daß die Differenz: C(il

r

C(il

-m.+l

-mo

R\z) - - - ' - (Z -

8i ) m i

(Z -

'

C(il

... - ... - -

8 i )"'i- 1

-1

Z-

8;

im Punkte Si endlich und analytisch bleibt; dabei stellt sie wieder eine rationale Funktion dar, welche die übrigen Pole von R(z) in den bis· herigen Ordnungen, aber keine weiteren Pole besitzt. Indem man ent sprechende Aggregate für die übrigen im Endlichen liegenden Pole abzieht, gewinnt man schließlich in:

R(z) -

[c':!.l,,,. :2 --'- + = n

i

1

111,

(z - 8i )i

c':!.\".+l (Z -

'

m -1 8;) ;

c':!.\ J + ... + -Z8i

eine Funktion, die im Endlichen keine singulären Punkte mehr hat, mithin eine ganze rationale Funktion (vgl. S. 44) darstellt. Wir wollen den Grad dieser ganzen Funktion mo nennen, wobei wir auch die Möglichkeit mo = 0 zulassen, wenn nämlich die ganze Funktion mit einer Konstanten identisch ist, wenn also R(z) bei z = 00 keinen Pol hat. Setzen wir für die ganze Funktion ihren Ausdruck (6) S. 44 an, so ergibt sich f~ir die rationale Funktion R(z) eine Darstellung in Gestalt der "Partialbruchentwicklung" " ~[CCY}m. cCY}m.+l c':!.ll l (1) R(z)=cO+c1 z+"·+c,,, zm o +..:::;.; - - ' - + - - ' - '-=-+"+----1· o

i=l

(z-s;)1Jt i

(z-siyni

1

Z-8i~

Verstehen wir unter gl (z) die nachfolgende ganze Funktion: gl (z) = (z - Sl)1f!l(Z - S2)m, ... (z - sr,)"''',

62

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

so wird das Produkt R(z)· gl (z) eine rationale ganze Funktion, die durch go(z) bezeichnet werde. Es folgt hieraus für die rationale Funktion R(z) eine Darstellung als Q~wtient zweier "ganzer" rationaler Funktionen: R(z)

(2)

=

9o(Z) . 91 (z)

Die Summe der Ordnungen aller Pole von R(z) heiße m: 1no

+ m + m 2 + ... + mn = 1

m

und werde der "Grad" der rationalen Funktion R(z) genannt. Da das Feld der Funktion R(z) die schlichte und vollständige z-Kugel ist, so können wir den Schlußsatz von § 8, S. 39, wieder genau in derselben Art auf R Cz) anwenden, wie dies bei den ganzen rationalen Funktionen S. 45 geschah. Die Summe der Ordnungen aller Nullpunkte von R(z) ist wieder gleich m. Ist aber Wo ein beliebiger endlicher vVert, so hat (R(z) - wo) als rationale Funktion dieselben Pole wie R(z) in den gleichen Ordnungen. Also ist auch die Summe der Ordnungen der Nullpunkte von (R(z) - wo) wieder gleich m. Wir können dies Ergebnis genau wie bei den ganzen Funktionen in die Gestalt kleiden: Die rationale Funktion R(z) 1.;om m ton Grade heißt anf der z-Kugel m-wertig, insofern sie irgendeinen komplexen Wert wo' den Wert 00 nicht ausgeschlossen, stets in m Punkten der z-Kugel annimmt, auch hier unter dem Vorbehalte, daß diese m Punkte keineswegs durchweg voneinander verschieden zu sein brauchen. Was die letztere Möglichkeit von Koinzidenzen unter denm Punkten mit gegebenem Wo angeht, so gelangen wir hier wieder zu ähnlichen Ergebnissen wie bei den ganzen rationalen Funktionen. 1) Ist Wo zunächst ein beliebiger endlicher komplexer Wert, der in einem ersten, gleichfalls endlichen Punkte Zo stattfinde, so wird, falls R' (zo) nicht verschwindet, die Umgebung von Zo durch unsere Funktion w = R(z) auf einen schlichten Bereich um Wo abgebildet. Ist indessen R' (zo) = 0, und ist, wie wir gleich annehmen, R (") (zo) die Ableitung niederster Ordnung, welche in Zo nicht verschwindet, so wird die schlichte Umgebung von Zo auf eine v-blättrige Windungsfiäche mit dem Verzweigungspunkte Wo abgebildet. Genau wie S. 47 erkennen wir, daß von den m Stellen der z-Kugel, u'elche den Funktionswert Wo tragen, v Stellen bei Zo koinzidieren. Die erste Ableitung R'(z) hat im zuletzt betrachteten Falle bei Zo

m>

1) Die nächstfolgende Betrachtung setzt wieder 1 voraus; jedoch wird man im niedersten Falle m = 1 den aufzustellenden Satz über die Abbildung der z-Kugel mitte1st der Funktion w = R(z) leicht direkt bestätigen. Übrigens kommen wir auf den Fall 'In = 1 im § 14 ausführlich zurück.

Abbildung der z-Ebene durch eine rationale Funktion

63

einen Nullpunkt der Ordnung (v -1). Da gl (zo) nicht verschwindetl), so folgt auf Grund der Darstellung (2) unserer Funktion, daß Zo eine (v - 1)-fache Wurzel der Gleichung: ~ ~W~W-~W~W=O ist. Auch umgekehrt liefert eine (v - 1)-fache Wurzel Zo diesel' algebraischen Gleichung, welche von den besonderen Werten s1) S2' ••. , s" verschieden ist, immer eine Stelle Zo betrachteter Art, deren schlichte Umgebung sich also auf eine Windungsfläche um Wo = R(zo) überträgt. Aber auch die n Pole Si ordnen sich hier leicht ein. Ist nämlich die Ordnung mi des einzelnen Poles Si gleich 1, so ist Si keine Lösung der Gleichung (3), und es wird die schlichte Umgebung von Si auf einen gleichfalls schlichten Bereich um den Bildpunkt 00 übertragen. Ist aber m; > 1, so wird die Umgebung von Si auf eine (mi - 1)-blättrige Windungsfläche mit dem Verzweigungspunkte 00 abgebildet, und hierfür ist eben wieder charakteristisch, daß die Gleichung (3) die (mi - 1)-fache Wurzel Si hat. Schließlich wird auch die Stelle z = 00 leicht erledigt. Liegt hierselbst ein Pol der Ordnung mo= 1 oder ist R (00) gleich dem endlichen Werte co, jedoch so, daß (R(z) - co) bei z = 00 einen einfachen Nullpunkt hat, so liefert die Umgebung von z = 00 ein schlichtes Abbild um den Bildpunkt. Im ersten Falle ist go(z) vom Grade mund gl (z) vom Grade (m - 1); im zweiten Falle aber ist (go (z) - cOg1 (z» vom Grade (m - 1) und gl(Z) vom Grade m. Für beide Fälle ist charakteristisch, daß die Gleichung (3) den Grad (2m - 2) aufweist. Liegt aber bei z = 00 ein Pol der Ordnung v = 1no> 1, oder hat daselbst (Rez) - co) einen Nullpunkt der Ordnung v> I, so gewinnen wir als Abbild der schlichten Umgebung von z = 00 eine v-blättrige Windungsfläche. In beiden Fällen aber stellt man leicht (2m - v - 1) als Grad der Gleichung (3) fest. Der Gleichmäßigkeit wegen werden wir sie auch in

diesem Falle als eine Gleichung (2m - 2)ten Grades auffassen, welche neben (2m - v - 1) endlichen Lösungen noch die (v - 1)-fache Lösung 00 hat. Hiermit sind zugleich alle Vorbereitungen getroffen, um das Gesamtbild der z-Kugel übel' der w-Kugel und damit das Feld der zu w = R(z) inversen Funktion z = cp(w) zu übersehen. Werden wieder (wie S. 46) die unterschiedenen Lösungen der Gleichung (2m - 2)ten Grades (3) mit t1) t2 , ••• , t1 bezeichnet und ist t i eine lrfache Wurzel, so bildet sich die schlichte Umgebung von t; auf eine Windungsfläche mit der Blätteranzahl Vi = l; 1 und dem Verzweigungspunkt

+

1) Der Wert

Wo

war als endlich vorausgesetzt.

64

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

R(t;) ab. Die Umgebung jedes anderen Punktes Zo aber liefert wieder ein schlichtes Abbild um den Bildpunkt wo' Wir gelangen also zu dem Ergebnisse: Das durch die Funktion w = R(z) gelieferte Abbild der z-K~tgel und damit das Feld der inversen Funktion z = qJ(w) ist eine zusammenhängende, geschlossene, m-blättrige Riemannsche Fläche Fm über der w-Kugel mit den 1 Verzweigttngsp!tnkten el , e2, ••• , el ; im Verzweigungspunkte e; hängen dabei Vi = Ä; + 1 Blätter zusammen und gehen beim Umlauf um diesen Punkt, wie es die zugehörige Windungs{läche zeigt, ineinander über. Die Abbildung ist im allgemeinen eine konforme; nur tritt eine Unterbrechung der Konformität in bekannter Weise (vgl. S. 35) in jedem der Verzweigungspunkte ein. Da Ä1 + Ä2 + ... + Äl gleich dem Grade (2m - 2) der algebraischen Gleichung (3) ist, so besteht zwischen der Gesamtzahl m der Blätter und den Anzahlen v der in den einzelnen Verzweigungspunkten zusammenhängenden Blätter die Relation: ei =

I

(4)

'" v.· - 1 O=-m+1+":::;';-'2i=1

Auch hier ist ein synthetischer Aufbau der Riemannschen Fläche Fm genau in derselben Weise durchführbar, wie derselbe S. 48 ausführlich für den Fall einer ganzen rationalen Funktion beschrieben wurde. Ebenso ist die Anordnung und der Zusammenhang der Blätter wieder in besonders anschaulicher Weise dadurch darstellbar, daß man Fm rückwärts auf die z-Kugel abbildet, wo die m übereinander geordneten Blätter m nebeneinander gelagerte Bereiche ergeben, die die z-Kugel gerade schlicht und vollständig bedecken. Wir erläutern diese Maßregel an der späterhin noch näher zu betrachtenden Funktion sechsten Grades: 4(z2- z +1)" W =

27z2 (1 _

Z)2 ,

die wir auch durch die Proportion geben können: (5) w: (w - 1): 1 = 4(Z2 - Z + 1)3: (2z 3 - 3z2 - 3z + 2)2: 27 z2(1-z)2. Die zugehörige Gleichung (3) hat, wie man leicht ausrechnet, je eine Doppelwurzel an den beiden Stellen z = ~::±=:V3, die beide w = 0 liefern, je eine einfache Wurzel an den drei Stellen z = ..- 1, t, 2, die übereinstimmend w = 1 ergeben, und endlich je eine einfache Wurzel an den drei Stellen z = 0, 1, 00, die wieder ein und denselben Wert w, nämlich 00 liefern. Die zur sechsdeutigen Funktion z = qJ(w) gehörende Fläche F6 hat demnach zwei je dreiblättrige Verzweigungspunkte, die bei w = 0 übereinanderliegen, drei zweiblättrige Verzweigungspunkte bei w = 1 und ebenfalls drei zweiblättrige Verzweigungspunkte bei w = 00.

65

Eine besondere sechsblättrige Riemannsche Fläche

Beim synthetischen Aufbau dieser F6 wollen wir (unter geringfügiger Abweichung von der S. 48 befolgten Maßregel) die w-Ebene längs der ganzen durch die drei Verzweigungspunkte w = 0, 1, 00 ziehenden reellen Achse durchschneiden. Ohne indessen die zwölf "Halbblätter" dann unmittelbar längs der "Verzweigungsschnitte" S zusammenzuheften, wollen wir sogleich ihre zwölf konformen Abbilder in der schlichten z-Ebene aufsuchen. Um die Zeichnungen anschaulich zu gestalten, wollen wir dasjenige Halbblatt der w-Ebene, welches die komplexen Werte w mit "positiven" imaginären Bestandteilen trägt, und das wir dieserhalb als das "positive" Halbblatt oder die "positive"Halbebene be- <:J:)lL.~{fLL.:L!.L:.{L.{LfiZ'L'LLLLLilLLilL"""'LLLL!.Lj.LLLLLtLLL~~ zeichnen, mit einer Schraffierung verFig.10. sehen (vgl. Fig.1 0), während das "negati ve" Halbblatt frei bleiben soll. Indem wir die sechs Abbilder der positiven Halbblätter in der z-Ebene gleichfalls schraffieren, entspringt die Bereicheinteilung der z- Ebene, wie sie in Fig.11 dargestellt ist. Es sind also zwölf von Kreisen und Geraden begrenrde dreieckige Bereiche, ~celche die zwölf Halbblätter der F6 konform abbilden und in ihrer Nebeneinanderordnung den Zusammenhang der Blätter von F6 zur Anschauung bringen. Die in Fig. 11 in Klammern anFig, 11. gegebenen Zahlen sind die Funktionswerte w, die den Argumenten z =

1 +W'3' --=2-' -

1, .t, 2, 0, 1,

00

entsprechen und also von den Verzweigungspunkten herrühren. Die wahre Bedeutung dieser Figur wird uns später in anderem Zusammenhange beschäftigen. Die Richtigkeit der Angaben wolle man hier zunächst auf elementarem Wege bestätigen, indem man z. B. für z = t + iy die Funktion w in die Gestalt setzt: W =

oder für z

=

e,'J;

III

(3 - 4y')3 ~.,---;----C--'-o;-o 27(1 4y')'

+

die Form:

w=

2 (1 - 2 cos 4J-)3 27 (1 - cos-lt)

oder die Funktion für reelle z berechnet usw. F ri c k.: Elliptisch. Funktionen. Bd. 1

5

66

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

§ 14:. Die linearen Substitutionen und der Begriff der Kreisverwandtschaft. Einige besondere Ausführungen haben wir an die Entwicklungen von § 13 für den niedersten Fall anzuschließen, daß nämlich die Blätteranzahl der daselbst mit Fm bezeichneten Riemannsche Fläche insbesondere m = 1 ist. F1 ist die schlichte und vollständige w-Kugel, welche, da Verzweigungspunkte jetzt ausgeschlossen sind, ohne Ausnahme konform auf die z-Kugel bezogen ist. Eine Funktion, welche die schlichte und vollständige z-Kttgel ausnahrnslos konform auf die schlichte und gleichfalls vollständige w-Kugel abbildet, ist eine rationale Funktion ersten Grades oder kurz eine "lineare" Funktion und hat die Gestalt: az+b

(1) w= cz+d' Aus der Gestalt der Ableitung: dw dz

ad-be (ez d)'

+

oder auch durch direkte Betrachtung von (1) folgt, daß der Ausdruck (ad - bc), den man als "Determinante" der linearen Funktion (1) bezeichnet, von 0 verschieden sein muß: (2) ad - bc O. Gewöhnlich deutet man die komplexen Werte w gleich auf der z-Kugel selber, schreibt dann z' an Stelle von wund:

+

(3)

,

az+b

z= -ez+d

anstatt der Gleichung (1). Man sagt im Anschluß hieran, die z-Kugel werde mittelst der "linearen Substitution" (3) in sich selbst transformiert. Eine solche Transformation hat nun neben ihren Eigenschaften der Eindeutigkeit und Winkeltreue die dritte grundlegende Eigenschaft, daß sie die Kreise der z-Kugel stets wieder in Kreise überführt. Man sagt, das System aller Kreise der z-Kugel sei gegenüber der Transformation mittelst einer linearen Substitution (3) invariant. Operieren wir mit der z-Ebene, so müssen wir, entsprechend dem Schlußsatze von § 5, S. 23, die gesamten Geraden der z-Ebene als Kreise mit dem Radius 00 den Kreisen zurechnen; auf der z-Kugel werden diese besonderen Kreise einfach diejenigen durch den Punkt z = 00. Eine umkehrbar eindeutige Beziehung einer Ebene auf eine zweite oder auch einer Ebene auf sich selbst, bei der Kreisen immer wieder Kreise entsprechen, nennt man nach Moebius 1) eine "Kreisverwandt1) "Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung". Abh. der Leipz. Ges. d. Wiss., Bd. 2 (1855), S. 529 oder Moebius, Ges. Werke, Bd. 2, S. 243.

Geometrische Deutung der Substitutionen z' = az

+b

67

schaft". Eine solche Kreisverwandtschaft liegt also, wie wir behaupten, bei jeder Transformation (3) unserer z-Kugel in sich vor. Der Beweis dieser Behauptung werde zunächst für den Fall geführt, daß c = 0 ist und also eine "ganze" lineare Funktion:

z' = az

+b

vorliegt. Hier ist zufolge (2) sicher a von 0 verschieden. Wir schreiben a = I a I e ai und können den Übergang von z zu z' durch Vermittlung zweIer Variablen z", z'" so vollziehen: z"

=

eaiz,

Z'"

=

la :z",

z' = z'"

+ b.

Die vorgelegte "ganze" lineare Substitution können wir demnach erzeugen, indem wir nacheinander die drei noch spezieller gebauten Substitutionen: (4) z, = I a:' z, z' = z b

+

ausüben. Daß nun jede dieser Substitutionen eine Kreisverwandtschaft liefert, macht man sich leicht mitte1st einer geometrischen Deutung der Substutionen klar. In der Tat wollen wir geradezu eine mechanische Deformation der z-Ebene oder z·Kugel in sich vornehmen, bei welcher der einzelne Punkt z nach seinem durch die Substitution zugeordneten Punkte i in geeigneter Weise hingeführt wird. Die erste Substitution (4) wird einfach mitte1st einer Drehung der z-Ebene um ihren Nullpunkt durch den Winkel a vollzogen. Die einzelnen Punkte z wandern hierbei über konzentrische Kreise um den Nullpunkt; diese Kreise sollen demnach die "Bahnkwrven" der Substitution heißen. Die vom Nullpunkte ausziehenden geradlinigen Strahlen, welche die Bahnkurven senkrecht schneiden, heißen die "Niveaukurven" der Substitution; die auf gemeinsamer Niveaukurve liegenden Punkte werden bei der fortschreitenden Bewegung stets auf einer solchen Kurve verbleiben. Auf der z-Kugel beschreibt man die Verhältnisse am einfachsten unter Gebrauch einer geographischen Sprechweise. Nach den Formeln (5):/f. S. 23 entspricht dem Nullpunkt z = 0 der "Nordpol", dem Punkte 00 der "Südpol" der Kugel. Die eben gewonnenen Bahnkurven der ersten Substitution (4) liefern die "Parallelkreise", die Niveaukurven aber ergeben die "Meridianhalbkreise". Hier ist nun die Substitution einfach mitte1st der Drehung der Kugel um ihre "Achse" durch den Winkel a zu vollziehen, wobei die beiden festbleibenden Pole als die "Fixpunkte" der Substitution bezeichnet werden. Daß bei der Drehung der Kugel die Kreise immer wieder in Kreise übergehen, ist unmittelbar einleuchtend. 5*

68

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Bei der zweiten Substitution (4) entspricht dem einzelnen Punkte reff; ein Punkt desselben .& und des zu l' proportionalen Radiusvektor r' = I air. Bei der mechanischen Deformation müssen wir uns die fJ-Ebene oder fJ-Kugel als eine elastische Membran denken. Der einzelne Punkt wird dann, wenn wir sogleich die fJ·Kugel benutzen, über seinen Meridianhalbkreis hingeführt, und zwar in der Richtung auf den Südpol oder Nordpol, je nachdem I a I > 1 oder< 1 ist. l ) Die Meridianhalbkreise sind also jetzt die "Bahnkurven", und wir dürfen uns die Bewegung derart vollzogen denken, daß die Parallelkreise als "Niveaukurven" dienen. .Auch bei dieser Bewegung bleiben die beiden Pole fest, stellen also wieder "Ji'ixpunkte" der Substitution dar. In der fJ-Ebene sind wir hier einfach zu einer "Ähnlichkeitstransformation" gelangt, so benannt, weil jede Figur in eine ihr ähnliche übergeht, also insbesondere ein Kreis stets wieder in einen Kreis. Ehe wir die dritte Substitution (4) erledigen, wollen wir aus den beiden ersten die Substitution: fJ =

z' = az =

I alerxi z

zusammensetzen und haben dabei, um nicht zu den bisherigen Fällen zurückzukommen, I a I< 1 und a als im Innern des Intervalles O
(5)

r

=

Cl . e-----:a-

unter Cl den Parameter verstanden. .Auf der fJ-Kugel liefern die Spiralen eine Schar kongruenter "Loxodromen", deren einzelne jeden der beiden Pole unendlich oft spiralig umläuft, und die man gewöhnlich als "isogonale Trajektorien" der }feridianhalbkreise einzuführen pflegt. Da nun zwei einander entsprechende Punkte fJ und fJ' = az stets auf ein und derselben Loxodrome liegen, so können wir die Schar (5) der Loxodromen als die "Bahnkurven" bei der mechanischen .Ausführung der Substitution benutzen. Die zu (5) orthogonale Schar: 3-rx

(6)

r

=

C2 • e-log I a I

1) Den Fall I a 1= 1 der sogenannten "identischen" Substitution, bei der jeder Punkt z an seiner Stelle bleibt, dürfen wir außer acht lassen.

Geometrische Deutung der Substitutionen z' = az

+b

69

liefert wieder kongruente logarithmische Spiralen bzw. Loxodromen. Diese werden durch unsere Substitution ineinander übergeführt, und zwar die vom Parameter O2 in die des Parameters: O~ =

O2

a'

•

Ia I e10g a 1

1 •

Bei der mechanischen Überführung der z-Kugel auS der Anfangslage in die Endlagen mögen demnach die Loxodromen (6) die Niveaukurven abgeben. Fig. 12 erläutere diese Vorstellungen an einem der z-Ebene angehörenden Bilde. Die letzte Substitution (4) hat wieder elementaren Charakter, insofern sie durch eine "Parallelverschiebung" oder "Translation" der z-Ebene in sich vollzogen wird, bei der insbesondere der Nullpunkt auf geradliniger Strecke zum Punkte b hingeführt wird. Die Schar der Fig. 12. zu dieser Strecke parallelen Geraden liefert die "Bahnkurven", die orthogonale Geradenschar die "Niveaukurven". Auf der z-Kugel liefern die Bahnkurven eine Schar von Kreisen, die sich im "Südpol" berühren, die Niveaukurven ergeben die zugehörige orthogonale Kreisschar. Der "Südpol" z = 00 ist jetzt der einzige sich selbst entsprechende Punkt oder "Fixpunkt" der Substitutionen. Daß wir hier mit einer Kreisverwandtschaft zu tun haben, ist wieder einleuchtend. Liegt jetzt zweitens eine Substitution (3) mit nicht verschwindendem c vor, so können wir schreiben: z'

=

+

az b ez+d

=

-

(ad - be) e'z+ed

+ '!:.. e

Benutzen wIr somit die Abkürzungen: - c' , - cd_ = b' '!:. = b" . ad-bc=a, .ad-be 'c '

70

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

so können wir die vorgelegte Substitution durch Vermittlung zweier Variablen rl' und :l" so auflösen:

z" = a' z

+ b',

Z

."

=

1

7' z'

=

z'" + b".

Jede Substitution mit nicht verschwindendem c läßt sich demnach durch drei aufeinanderfolgende Substitutionen erzeugen, von denen die erste und dritte der schon erledigten Art z' = az + b angehören, während als neu die zweite Substitution von der Gestalt: Z

,

1

=~

z hinzukommt. Daß aber auch diese eine Kreisverwandtschaft darstellt, ist wieder sofort einleuchtend; denn es entspricht bei ihr dem Kreise:

A(x2 + y2)

+ Bx + Gy + D =

der Kreis von der Gleichung: D(X'2 + y'2) + Bx' - Gy'

0

+.A =

O.

Der ausgesprochene Charakter unserer linearen Substitutionen (3) ist damit allgemein als zutreffend erkannt. • Die geometrisch-mechanischen Ausführungen über die Substitutionen (4) überträgt man leicht auch auf alle Substitutionen (3) mit nicht verschwindendem c. Man stelle erstlich fest, daß eine solche Substitution immer zwei "Fixpunkte" kat. Soll nämlich durch (3) der Punkt z sich selbst zugeordnet sein, so ist z' = z, und also genügt z der quadratischen Gleichung:

(7)

cz 2 +(d-a)z-b=Ü.

Sind erstlich die Lösungen dieser Gleichung voneinander verschieden, so wollen wir sie Zl und Z2 nennen. 1) Die Substitution (3) muß sich dann umrechnen lassen auf die Gestalt: z'-z z-z ~,~~1 = '11~ ~~, (8) Z - z. Z - Ri. ' wo der konstante Faktor m als "Multiplikator" der Substitution bezeicnnet wird. Es ist nämlich der liuks stehende Ausdruck selbst wieder eine lineare Funktion von z, welche die rechts stehende Gestalt haben muß, da ihr Nullpunkt in Zl und ihr .Pol in Z2 gelegen ist. Führen wir an Stelle von z die Variable:

(9) ein, so rechnet sich unsere Substitution (8) auf die neue Gestalt um:

Z'=mZ=lmle,lliZ, 1) Da c als von 0 verschieden gilt, so sind z, und

Z2

endlich.

Einteilung der Substitutionen in elliptische, hyperbolische

UBW.

71

auf welche unmittelbar die fÜr die beiden ersten Substitutionen (4) gegebenen Ausführungen übertragen werden können. Das Bild der ZKugel mit ihren Parallelkreisen, Meridianhalbkreisen und Loxodromen hat man dann durch die Transformation (9), welche ja selber wieder eine Kreisverwandtschaft liefert, auf die. ß-Kugel zu übertragen, wobei die Meridiankreise in die Schar der Kreise durch die beiden Punkte Z1' ß2 übergeht, die Parallelkreise in die zur eben gewonnenen orthogonalen Kreisschar, während die Loxodromen auf der z-Kugel Doppelspiralen liefern, welche jede der eben genannten Kreisscharen isogonal durchsetzen. Ist erstlich I ml = 1, so heißt die Substitution "elliptisch".l) Die Kreise durch Zl und Z2 liefern die Niveaukurven, die orthogonale Kreisschar stellt die Bahnkurven; die Substitution hat den Charakter einer Drehung der z-Ebene um Z1 und Z2' Ist /L = 0, so heißt die Substitution "hyperbolisch". Nun sind die Z1 und Z2 verbindenden Kreise die Bahnkurven, und die zu ihnen orthogonalen Kreise liefern die Niveaukurven. Es findet eine Deformation der Ebene vom einen Fixpunkte in der Richtung auf den anderen längs der Bahnkurven statt, wie man sich die an Fig. 13 (die auch zur Erläuterung des elliptischen Falles dienen kann) deutlich mache. Ist weder I m I = 1 noch /L = 0, Fig.13. so heißt die Substitution "loxodromisch"; ihr entspricht eIlle schraubenartige Deformation der z-Kugel in sich. Sind zweitens die Lösungen der Gleichung (7) einander gleich und gleich ßo, so muß sich die Substitution umrechnen lassen auf: z' -

1

_

Zo -

Z-

1

Zo

+ b'

•

Wir müssen nämlich bei Einführung der neuen Veränderlichen: (10)

Z=_l_ Z-ZQ

1) Der Fall tn = 1 kann in Gleichung (8) nicht vorliegen, da er zur "identischen" Substitution .8' = Z und damit zu c = 0 führen würde.

72

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

zu einer in Z geschriebenen Substitution der dritten unter (4) genannten Art gelangen, da der "Südpol" Z = 00 der Z- Kugel der einzige sich selbst entsprechende Punkt ist. Übrigens werden wir diesen Punkt als Koinzidenzpunkt zweier Fixpunkte fassen, damit der Satz, eine Substitution (3) habe stets zwei Fixpunkte, allgemein gilt. Eine Substitution der jetzt vorliegenden Art heißt ,,parabolisch". In der Z-Ebene hatten wir zwei einander orthogonale Scharen paralleler Geraden, welche die Bahn- und Niveaukurven lieferten. Ihre durch (10) gelieferten kreisverwandten Abbilder in der z-Ebene ergeben zwei zueinander ortho-

!

gonale Scharen von Kreisen des in Fig. 14 dargestellten Typus; jetzt also besteht die einzelne Schar aus lauter sich 1m Fixpunkte Zo berührenden Kreisen. 1) Es bedarf kaum der Hervorhebung, daß wir die Benennungen "elliptisch", "hyperbolisch" und "parabolisch" auch auf die Substitutionen (4) anwenden, sowie daß wir z' = I a I eaiz mit ja I ~ 1 und 1) Die Benennungen "elliptisch", "hyperbolisch" usw. für die verschiedenen Arten der Substitutionen (3) sind von Kl ein eingeführt. Eine ausführliche Behandlung der linearen Substitutionen auf Grundlage ihrer Beziehung zur projektiven Geometrie findet man in den "Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen" von F. Klein und R. Fr icke (Leipzig, 1897), Bd. 1, Einleitung. Man findet hier auch die Originalliteratur nachgewiesen. Übrigens vergleiche man auch Osgood, S. 258ff.

Einführung der Substitutionen zweiter Art

73

0< a < 2n

"loxodromisch" nennen. Übrigens werden uns späterhin vornehmlich elliptische, hyperbolische und parabolische Substitutionen begegnen.

§ 15. Die linearen Snbstitutionen zweiter .Art und die indirekten Kreisverwandtschaften. Mit z bezeichnen wir den zu z = x + iy konjugiert komplexen Wert x - iy. Der Übergang von z zu z' = z, bei dem also jedem Werte z sein konjugierter zugeordnet ist, wird als "Spiegelung" der z-Ebene an der reellen Achse bezeichnet. Diese Transformation stellt eine eindeutige und auch wieder konforme Abbildung der z-Ebene auf sich selbst dar; doch besteht ein Unterschied gegen die bisherigen konformen Abbildungen darin, daß im Abbild eines Winkels die Schenkel desselben vertauscht oder umgelegt erscheinen. Wir sprechen in diesem Sinne von einer konformen Abbildung "mit Umlegung der Winkel". Übrigens werden die Kreise der z- Ebene durch z' = wieder in Kreise übergeführt. Man wolle jetzt auf die durch z' = transformierte z-Ebene gleich noch irgendeine lineare Substitution (3) S. 66 mit nicht verschwindender Determinante ausüben. Man gelangt so zu der durch:

z

z

(1)

dargestellten Transformation des Punktes z in den Punkt z'. Wir bezeichnen (1) als eine lineare Substitution "zweiter Art" und ihr gegenüber eine Substitution (3) S. 66 genauer als eine solche der "ersten Art:' Jede lineare Substitution zweiter Art stellt eine eindeutige konforme Abbildung der z-Ebene auf sich selbst mit Umlegung der Winkel dar1 bei der Kreise immer wieder in Kreise übergehen. Die hier vorliegenden Kreisverwandtschaften mit Umlegung der Winkel bezeichnet man als "indirekte" und nennt diejenigen des § 14 demgegenüber "direkte" Kreisverwandtschaften. Unter den Substitutionen (1) wollen wir nur eine einzige Art besonders betrachten, nämlich die gleich näher zu erklärenden "Spiegelungen" oder "Inversionen" an Kreisen; man nennt sie auch "Transformationen durch reziproke Radien" an Kreisen. In dem besonderen Falle1 daß der Kreis, an dem die Spiegelung vorgenommen werden soll, und der allgemein der "Symmetriekreis" der Spiegelung heißen soll, eine Gerade ist, haben wir mit einer elementaren Spiegelung zu tun, wie für die reelle Achse als "Symmetriekreis" wir sie anfangs durch z' = darstellten.

z

74

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Den Charakter der Spiegelungen mit Symmetriekreisen endlicher Radien erläutern wir durch das Beispiel:

(2)

z'

=

:z'

wo der Quotient ~ einen reellen positiven Wert haben soll. Schreiben c wir (>2 für diesen Wert, so wird durch unsere Substitution der Punkt ß = re3'i oder, wie wir sagen dürfen, der Punkt der Polarkoordinaten

(r, &) in den Punkt (~2, &) übergeführt.

Der Symmetriekreis ist hier

der Kreis des Radius Q um den Nullpunkt; jeder Punkt dieses Kreises, ist durch die Substitution (2) sich selbst zugeordnet. Weiter vertauscht die Substitution das Äußere mit dem Inneren dieses Kreises und zwar in der Art, daß einander zugeordnete Punkte gleiche Amplituden & haben und Radienvektoren r und r', welche durch die Relation rr' = (>2 verbunden erscheinen. Die obengenannten Namen der Substitution (2) finden in diesem geometrischen Charakter derselben ihre Begründung. Da die Substitution (2) sich dem Ansatz (1) einordnet, so liefert die eben beschriebene "Transformation durch reziproke Radien" am Kreise des Radius (> um den Nullpunkt eine konforme Abbildung mit Umlegung der Winkel und insbesondere eine indirekte Kreisverwandtschaft. Dieser Charakter unserer Transformation bleibt natürlich gewahrt, falls an Stelle des Kreises vom Radius (> um den Nullpunkt irgendein beliebiger Kreis der z-Ebene mit endlichem Radius als Symmetriekreis der Spiegelung tritt. Andrerseits ist aber auch leicht zu sehen, daß die Spiegelung an diesem neuen Symmetriekreise gleichfalls unter den Substitutionen (1) enthalten ist. Wenn wir nämlich zuvor die Transformation z' = und dann erst die Spiegelung an dem neuen Symmetriekreise vornehmen, gelangen wir zu einer ausnahmslos konformen Beziehung der z-Ebene auf sich selbst ohne Umlegung der Winke] und damit zu einer Substitution (3) S. 66, woraus für die Spiegelung die Gestalt (1) entspringt. Auch die Spiegelung an irgendeiner Geraden der z-Ebene, welche denselben elementaren Charakter hat wie die oben betrachtete Spiegelung z' = z an der reellen Achse, findet sich unter den Substitutionen (1), wie man wieder durch Kombinierung mit der besonderen Spiegelung z' = und Benutzung der dadurch zu erzeugenden Substitution erster Art zeigt. Mit Rücksicht auf spätere Anwendungen wollen wir diese besondere Klasse der Spiegelungen unter den Substitutionen (1) auch direkt da.lurch charakterisieren, daß wir die ihnen eigentümlichen Koeffizienten

z

z

Die Spiegelungen oder Inversionen an Kreisen

75

a, b, c, d angeben. Bei den zu diesem Ende anzustellenden Rechnungen schreibt man die Substitutionen (1) zweckmäßig so, daß die Determinante gleich 1 ist: (3) ad - bc = 1. Dies ist immer erreichbar, da man die Koeffizienten a, b, c, d, ohne die Substitution wesentlich zu ändern, noch mit einem gemeinsamen Faktor versehen kann und dieser dann eben so wählbar ist, daß die multiplizierten Koeffizienten die Determinante 1 haben. Durch die Forderung (3) ist übrigens die Schreibweise der Substitution noch nicht eindeutig bestimmt, da man ohne die Substitution und die Gleichung (3) zu ändern noch einen gleichzeitigen Zeichenwechsel von a, b, c, d vornehmen kann. Doch ist es nicht erforderlich, diese Zweideutigkeit noch irgendwie zu heben. Eine einzelne Spiegelung stellt nun ein umkehrbares Entsprechen von Punkten z und z' dar. Nennt man bei irgendeiner unserer Substitutionen (erster oder zweiter Art), welche z in z' überführt, diejenige Substitution, welche umgekehrt z' wieder nach z zurückführt, zur ersteren "invers", so ist eine Spiegelung offenbar sich selbst invers. Nun ist, wenn ii, b, c, d die zu a, b, c, d konjugierten Zahlwerte sind, zur Substitution (1) die folgende invers:

, dz-'6 z =-cz+a' wie man durch Auflösung der Gleichung (1) nach z unter Austausch der Bezeichnungen z und z' findet. Da im Falle einer Spiegelung die eben angeschriebene Substitution wieder mit (1) identisch sein muß, so gilt für eine Spiegelung:

J=

11 a,

b= -

11 b,

c=

-

11 C,

ii =

11 d,

unter 11 einen Proportionalitätsfaktor verstanden. Die Bedingung (3) ergibt dann, daß dieser Faktor 11 entweder gleich + 1 oder - 1 sein muß. Wir behaupten nun, daß der Fall 11 = + 1 uns gerade bereits alle unsere Spiegelungen liefert. Hier ist d konjugiert komplex zu a, während bund c rein imaginär sind; wir schreiben also:

a=a1 +ia2 ,

b=ib2 ,

c=ic2 ,

d=a 1 -ia2 ,

wo a ll a2 , b21 c2 reelle Zahlen sind, die zufolge (3) die Bedingung:

W ~+~+~~=1 erfüllen. Die sich selbst entsprechenden Punkte (Fixpunkte) der Substitution finden wir, indem wir in die Substitution z' = z und also z' = x + iy, z = x - iy eintragen. Es gilt der Satz: Unter den ge-

76

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

mäß (3) geschriebenen Substittttionen (1) sind die Spiegelungen durch die besondere Gestalt:

(5) ausgezeichnet, wo all a2, b2, c2 vier reelle die Relation (4) befriedigende Zahlen sind. Der Symmetriekreis der Spiegelung (5) hat die Gleichung:

(6) derselbe hat zufolge (4) einen von 0 verschiedenen reellen Radius, der insbesondere für C2 = 0 unendlich groß ist. Zum Beweise dieser Behauptung beachte man, daß die auch für (j = 1 leicht durchführbare Rechnung zwar gleichfalls auf sich selbst inverse Substitutionen zweiter Art führt, daß jedoch diesen letzteren Substitutionen keine Symmetriekreise mit reellen Radien zugehören. Die Substitutionen (5) müssen also unsere gesamten Spiegelungen bereits erschöpfen; und in der Tat können wir auch durch zweckmäßige Auswahl von all a2 , b2 , c2 den Kreis (6) mit jedem beliebigen Kreise bzw. mit jeder beliebigen Geraden der z-Ebene identifizieren. i )

§ 16. Allgemeine Angaben über algebraische Funktionen und Gebilde. Bei Gelegenheit der Inversion der rationalen Funktionen gelangten wir zur Vorstellung der m-blättrigen Riemannschen Flächen Fm mit 1 Verzweigungspunkten, für welche wir auch einen synthetischen Aufbau besprachen (vgl. S. 48). Wir wollen jetzt an eine beliebige Fläche dieser Art anknüpfen, die wir uns wie oben in folgender Weise synthetisch herstellen. Auf der z-Kugel markieren wir irgend 1 verschiedene Stellen el) e2 , ••• , eil wobei die ganze Zahl l> 1 und endlich sei. Wir ziehen eine reguläre Kurve, die sich nicht selbst schneidet, von Ci über C2 , ca bis Cl und bezeichnen die durch die Punkte e begrenzten Teile der Kurve mit SlI S2' ... , 8 1_ 1 , Längs jedes dieser Kurvenstücke durchschneiden wir die z-Kugel, nennen die SII S2' ... , SI_i wieder "Ver1) Über die Behandlung der Substitutionen zweiter Art auf Grundlage projektiver Vorstellungen im Raume der z-Kugel (s. S. 22) vergleiche man wieder die in der Note S. 72 genannten Vorlesungen, Bd. 1, Einleitung. Dabei erweisen sich die sich selbst inversen Substitutionen (1) als "Perspektivitäten", welche die z-Kugel in sich überführen. Liegt das Perspektivitätszentrum außerhalb der Kugel, so haben wir mit einer unserer Spiegelungen zu tun, wobei die Polarebene jenes Zentrums den Symmetriekreis auf der z-Kugel ausschneidet. Die im Texte nicht behandelten Substitutionen mit (j = - 1 haben Perspektivitätszentren innerhalb der Kugel; man hat im Einzelfall eine sogenannte "Diametralsy=etrie", d. h. eine Transformation, bei der je zwei bezüglich des Perspektivitätszentrums diametrale Punkte der z-Kugel ineinander übergehen.

Herstellung einer beliebigen m-blättrigen Riemannschen Fläche

77

zweigungsschnitte" und unterscheiden beim einzelnen ein rechtes und ein linkes Ufer. Wir lagern nun eine endliche Anzahl m 1) von Exemplaren der so vorbereiteten z-Kugel übereinander und beginnen damit, die m linken Schnittufer S1 in irgendeiner Anordnung den m rechten Ufern zuzuordnen und je zwei einander zugeordnete Ufer (wie S. 48 u.f.) aneinander zu heften. Demnächst verfahren wir gerade so längs S2' S3' ... , SI_1' So entspringt eine geschlossene m- blättrige Fläche Fm' welche jedenfalls an keinen anderen Stellen als den eu e2 , ••• , el Verzweigungspunkte aufweist. Beim einzelnen Punkte ei kommen wir von einem ersten Blatte spätestens nach m Umläufen in dieses Blatt zurück; kommen wir nach Vi Umläufen zum ersten Male wieder in das Ausgangsblatt zurück, so haben wir bei ei einen v i - blättrigen Verzweigungspunkt. Übrigens kann auch die Uferzuordriung eine solche sein, daß man bei einmaligem Umlauf um einen einzelnen Punkt ek von jedem Blatte aus sogleich zu diesem zurückgeführt wird; dann hätten wir jedoch nicht nötig gehabt, diese Stelle ek zu markieren. Auch können an einer Stelle e, wie schon das Beispiel von S. 64 lehrt, sehr wohl mehrere Verzweigungspunkte übereinander liegen. Die wirkliche Anzahl der Verzweigungspunkte kann demnach auch < 1 oder > 1 sein. Wir wollen fortan unter 1 die wirkliche Anzahl der Verzweigungspunkte verstehen; halten wir auch an der Bezeichnung fest, daß dieselben bei z = eH e2 , ••• , el liegen, so brauchen diese 1 Werte jetzt nicht mehr voneinander durchweg verschieden zu sein. Übrigens möge ei ein V i blättriger Verzweigungspunkt sein. Hierüber hinaus wollen wir noch die wesentliche Forderung stellen, daß es möglich sein soll, von einem ersten Blatte durch geeignete Wege in der Fläche Fm zu jedem anderen Blatte hinfJugelangen. Wäre dies nicht möglich, so würde die Fläche in mindestens zwei getrennte Stücke zerfallen, deren jedes für sich geschlossen in gewisser Blätteranzahl die z-Kugel überdeckte, und wir könnten das einzelne dieser Stücke der weiteren Betrachtung zugrunde legen. Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Eine Funktion, del'en Feld eine zusammenhängende geschlossene Riemannsche Fläche Fm mit 1 Verzweigungspunkten ist, heißt eine "algebraische" Funktion von z und möge im Anschluß an die bereits S.48 bentttzte Scht'eibweise durch w = rp(z) bezeichnet werden. Die Annahme, Fm sei das Feld von rp(z), ist so zu verstehen, daß, wenn wir die Funktion w = rp(z) etwa in der Umgebung 1) Damit wir Verzweigungspunkte anbringen können und nicht zum einfachen Falle der rationalen Funktionen zurückgeführt werden, muß natürlich m>l sein.

78

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

einer von jedem ei verschiedenen Stelle Zo durch ein "Funktions element" (vgl. S. 20) geben, die analytische Fortsetzung von hier aus als Feld der Funktion w gerade unsere Riemannsche Fläche Fm liefere. Hieraus geht sofort hervor, daß die m Blätter der Fläche m Zweige unserer Funktion tragen, von denen keine zwei identisch sein können. Indem wir die Blätter der Fläche numeriert denken, wollen wir diese m Zweige entsprechend durch die Bezeichnungen wi = Pi (z), Ws = Ps (z), ... , w m = Pm(z) voneinander unterscheiden. Im Anschluß hieran erklärt nun folgende einfache Betrachtung den für die Funktion W = p(z) eingeführten Namen. Wir wollen in der schlichten z - Ebene von einer Stelle Zo aus, die mit keinem der Werte ei zusammenfalle, eine beliebige geschlossene Kurve 0 nach Zo zurück beschreiben, die jedoch auch, um eindeutige Fortsetzbarkeit der Funktion zu sichern, durch keine der l Stellen ei hindurchlaufen soll. Bei Zo geben wir die m Zweige W l = Pi (z), ... , w m = Pm (s) etwa durch "Funktionselemente" und setzen zugleich alle m Funktionen Pt(z), ... , Pm(z) über 0 fort. Am Schlusse erhalten wir alle m Anfangszweige wieder, aber im allgemeinen in einer abgeänderten Reihenfolge; denn auf der Riemannschen Fläche Fm entsprechen dem Umlaufe 0 offenbar m Kurven, deren einzelne bei Zo in einem gewissen Blatte beginnt und wieder bei zo, jedoch in irgend einem Blatte, endigt. Bilden wir nun aber eine symmetrische Funktion der wl l . . . , w m , etwa die Potenzsumme : (1) WI + w;+ ... -+- w~" so ist klar, daß diese in der schlichten z-Ebene eine Funktion darstellt, die, über die geschlossene Kurve 0 fortgesetzt, notwendig zu ihren Anfangs werten zurückkehrt. Auch die Verzweigungspunkte selbst bilden keine Schwierigkeit. In der Umgebung eines einzelnen solchen Punktes e werden zwar die v in Betracht kommenden Glieder der Summe (1) Ent1

wicklungen nach Potenzen von (z - e) -;- mit ganzzahligen Exponenten besitzen l ); aber die Summe (1) muß wieder, insofern sie sich beim Umlauf um e als daselbst eindeutig erweist, eine Entwicklung nach Potenzen von (z - e) mit ausschließlich ganzzahligen Exponenten aufweisen. Somit wird die Summe (1) eine eindeutige Funktion von z darstellen, deren Feld die schlichte und vollständige z-Ebene ist; wir haben also in (1) eine rationale Funktion von z gewonnen, und dasselbe gilt demnach nach bekannten Sätzen der Algebra von allen rationalen symmetrischen Funktionen der wp W~, . . . , w m • 1) Ist e =

00,

so hat IDan (z - e) durch

Z-l

zu ersetzen.

79

Grundbegriff der algebraischen Funktion

Verstehen wir in der Umgebung von Zo unter wirgendeinen Zweig unserer Funktion, so ist daselbst die Gleichung:

(2)

(w-w i )(W-W2 )

•••

(w-w m )=0

identisch erfüllt, da ein bestimmter Faktor mit 0 identisch ist. Multiplizieren wir aber die linke Seite dieser Gleichung aus und ordnen nach abfallenden Potenzen von w, so werden die Koeffizienten von wm - i , w m - 2, ••• rationale symmetrische Funktionen der w 1 , w 2 , ••• , w m und also rationale Funktionen von z, die wir R i (z), R 2 (z), ... , Rm(z) nennen wollen. Wir gelangen zu dem Ergebnis: Es gibt m rationale Funktionen R 1 (z), ... , Rm(z) von der Art, daß die "algebraische" Gleichung mten Grades für w: (3)

wm

+ R 1 (z)W m - i + R 2 (z)W m - 2 + ... + Rm(z) =

0

dtwch unsere algebraische Fttnktion w = fJ! (z) auf der ganzen Riemannschen Fläche Fm erfüllt ist. Da nämlich der in (3) links stehende Ausdruck in irgendeinem ersten Blatte der Fläche Fm in der Umgebung von 100 eine mit 0 identische Funktion von z liefert, so muß sich dieser Ausdruck bei analytischer Fortsetzung über das ganze Feld der Funktion w hin als mit 0 identisch erweisen. Stellen wir jede der in (3) auftretenden rationalen Funktionen R(z) als Quotienten zweier ganzer Funktionen dar (S. 62) und zerlegen die Nennerfunktionen in ihre Linearfaktoren (S. 46), so möge die ganze Funktion go(z) der Generalnenner der m Quotienten sein. l ) Multiplizieren WIr die Gleichung (3) mit go(z), so geht sie in die Gestalt über:

(4)

go (z)w m

+ gl(Z)W m - 1 + g2(Z)W m - 2 + ... + gm(z) =

0,

wo jetzt die g (z) ganze rationale Funktionen ohne einen allen gemeinsamen Linearfaktor sind. In dieser Gestalt wollen wir die algebraische Gleichung für w kurz durch das Symbol:

(5)

G(w, z)

=

0

bezeichnen, wo also der links stehende Ausdruck em "Polynom" (eine rationale ganze Funktion) in wund z darstellt. Das Polynom G(w, z) hat als eine besonders wichtige Eigenschaft diejenige der ,,lrreduzibilitätlt, welche besagt, daß G(w,z) nicht in das Produkt zweier Polynome zerlegbar sei. Daß kein von w unabhängiger 1) Es ist l!licht ausgeschlossen, daß von den m Funktionen R (z) einige identisch verschwinden. Jedoch kann dies nicht von allen m Funktionen R (z) zugleich gelten, da sonst w selbst mit 0 identisch wäre. Die im Texte vorgeschriebene Zerlegung bezieht sich natürlich nur auf die nicht identisch verschwindenden R (z).

80

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Faktor absonderungsfähig ist, wurde bereits im Anschluß an (4) hervorgehoben. Ist also überhaupt eine Zerlegung: G(w, z)

=

GI(w, ß)' G2 (w, z)

möglich, so müssen beide Faktoren w in Graden ml und m2 enthalten, die in Summa gleich m und also einzeln< m sind. Mindestens einer der Faktoren, etwa Gt(w, z), muß für unsere Funktion w identisch verschwinden. l ) Dann b-esteht aber, wie die analytische Fortsetzung zeigt, die Gleichung GI(w, z) = 0 auf der ganzen Fm' so daß diese Gleichung beim einzelnen z durch die m im allgemeinen verschiedenen Werte w 17 w 2 , ••. , w m befriedigt wird und also der Annahme zuwider den Grad m erreichen müßte. Ein analytisches Gebilde der vorliegenden Art, das man geradezu auch durch die irreduzible algebraische Relation (5) als erklärt ansehen kann, heißt insbesondere ein "algebraisches Gebilde". Es bezieht sich diese Benennung auf die einzelne algebraische Funktion w, der die voraufgehende Betrachtung gewidmet ist. Alle sonstigen algebraischen Funktionen von ß, welche unsere Fläche Fm zum Felde haben, mögen als "zu dem algebraischen Gebilde gehörig" bezeichnet werden. Wir wollen hierbei sogar noch einen Schritt weiter gehen und alle auf' der Fläche Fm eindeutigen Funktionen, die in den Verzweigungspunkten das erforderliche Verhalten zeigen (vgl. S. 28 ff), ttnd die bis auf endliche viele Pole 2) überall analytisch sind, als Ileum algebraischen Gebilde gehörig" bezeichnen. 3) Es ist nun zunächst einleuchtend, daß jeder rationale Atlsdruck R(w, ß) von wund z ßU, unserem Gebilde gehört.4 ) Aber es gilt auch umgekehrt der Satz, daß jede im Sinne unserer Erklänmg ßum algebraischen Gebilde gehörende Funktion lV in wund z 1'ational darstellbar ist:

> 0,

(6)

W

=

R(w,z).

1) Da das Produkt in jeder Umgebung einer Stelle Zo identisch verschwindet, so hat ebendort mindestens einer der Faktoren unendlich viele Nullpunkte, woraus das identische Verschwinden dieses Faktors folgt. 2) Die Endlichkeit der Anzahl der Pole nehmen wir hier in die Erklärung auf. Bei der algebraischen Funktion w folgt diese Endlichkeit aus der Geschlossenheit des Feldes auf Grund einer schon öfter durchgeführten Überlegung. 3) Hierin liegt tatsächlich eine Erweiterung, wie denn z. B. jetzt auch alle rationalen Funktionen R(z) von z allein zum Gebilde gehören, obwohl bei ihnen das Feld die schlichte z-Ebene ist. 4) Dabei soll nur der Fall, daß R (10, z) mit LX> identisch ist, ausgeschlossen sein, insofern hier die im Texte gegebenen Erklärungen nicht passen würden.

Die zu einem algebraischen Gebilde gehörenden algebraischen Funktionen

81

Man nellne nämlich W lI W 2 , . • . , W m die den m Blättern von Fm entsprechenden Zweige der Funktion lY und bilde die m Summen: Wl'W~

+ W2W~ + ... + Wmw:"

s

für

Wir erkennen wie oben bei (1) in ihnen

1n

=

0, 1, 2, ... , m - 1. rationale Funktionen von

z und gelangen zu m Gleichungen:

W 1 wl

+ W2W~ + ... + ll';nw:n =

R(·')(z).

Da keine zwei unter den Zweigen W 17 W 2 , ••• , w m identisch sind, so ist die Determinante dieses Systems eine nicht identisch verschwindende Funktion, deren Quadrat in z rational ist und die Diskriminante der Gleichung mten Grades (3) liefert. 1) Stellen wir demnach die Lösung W 1 unseres Systems als Determinantenquotient dar, so erweist sich lVi rational in z, wl l 'W 2 , ••• , w'" und dabei insbesondere symmetrisch in W 2 , ws, ... , 't()m' Nun sind aber 'W 2 , 'Ws, ... , w m die Wurzeln derjenigen Gleichung (m - lYon Grades, deren linke Seite wir mitte1st Division der linken Seite von (3) durch (w - w 1 ) gewinnen. Die rationalen symmetrischen Funktionen der 'W 2 , 'Wa, .•• , w m sind demnach in den Koeffizienten dieser Gleichung (m - 1)ten Grades, d. h. also in z und 'Wl rational darstellbar. Also erhalten wir auch eine Darstellung:

Wl

=

R(wlI z).

Von hieraus gelangen wir am einfachsten mitte1st der analytischen Fortsetzung zu der auf alle Blätter der Fm bezogenen Gleichung (6). Das System aller Funktionen R(w, z) hat die Eigenschaft, daß sowohl die Summe wie die Differenz, das Produkt und der Quotient 2 ) zweier Funktionen des Systems wieder eine Funktion eben dieses Systems liefern. Einer von R. Dedekind 3) innerhalb der Zahlentheorie eingeführten Sprechweise folgend bezeichnet man, um die aus der Reproduktion gegenüber Addition usw. hervorgehende Zusammengehörigkeit der Funktionen unseres Systems zu kennzeichnen, dieses System als einen "Körper" von Funktionen oder "Fun7ctionenkörper". Genauel' spricht man zum Unterschiede von etwaigen sonstigen zum Gebilde gehörenden analytischen Funktionen von dem zum algebraischen Gebilde (5) gehörenden Körper der "algebraischen" Funktionen. 1) S. etwa H. Weber, "Lehrbuch der Algebra" (Braunschweig, 1898), Bd. 1, S. 167.

2) Nur hat man die mit 0 identische Funktion, welche dem Systeme angehören muß, niemals als Divisor zuzulassen, da wir die mit 00 identische ~'unktion R(w, z) oben ausgeschlossen haben. 3) Vgl. P. G. Lejeune Dirichlet "Vorlesungen über Zahlentheorie", herausgegeben und mit Zusätzen verselen von R Dedekind, 4. Auti. (Braunschweig 1894), S. 452. Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd, 1

6

82

Einleitun g: Sätze über analytische Funktionen

Für gewöhnlich definiert man das einzelne algebraische Gebilde durch Angabe einer irreduziblen algebraischen Gleichung (5) und hat dann hinterher die diesem Gebilde zugehörige Riemannsche Fläche Fm zu konstruieren.!) Wenn wir oben, der Methode Riemanns folgend, die algebraische Funktion w = p (z) durch Angabe ihres Feldes Fm erklärten, so tritt dann freilich die Frage auf, ob auch für jede beliebig gewählte Riemannsche Fläche Fm eine zugehörige Funktion existiert, welche diese Fm zum Felde hat. Ri emann 2) selbst hat diese Frage bejahend beantwortet, wenn auch seine Beweismethode sich als nicht einwurfsfrei erwies. Da das fragliche Existenztheorem Rieman ns in der Folge keine grundsätzliche Rolle spielt, so gehen wir auf die späterhin gefundenen Beweismethoden sowie auf die gleichfalls gewonnene Verbesserung des ursprünglichen Riemannschen Beweisverfahrens nicht ein. S) Wir begnügen uns mit der Angabe des Satzes, daß in der Tat zu jeder Riemannschen Fläche Fm eine Funktion w = p(z), die Fm zum Felde hat, existiert; damit gibt es dann zugleich einen ganzen Körper zugehöriger algebraischer Funktionen, der durch Fm als eindeutig definiert anzusehen ist. Die ausführliche Behandlung dieses Gegenstandes gehört in die allgemeine Theorie der algebraischen und der Abelschen Funktionen.

§ 17. Der Grad des Zusammenhangs einer Riemannschen Fläche Fm' Neben den algebraischen Funktionen R (w, z) sind jetzt weiter als zum betrachteten algebraischen Gebilde gehörende analytische Funktionen die Integrale der algebraischen Funktionen:

(1)

• .[R(w,z)dz '0

zu nennen, welche man als die "algebraischen" oder "Abelschen" Integrale des Gebildes bezeichnet. Unter Zo und z hat man dabei Stellen in der Fläche Fm zu verstehen und als Integrationsbahn irgend eine in Fm von Zo nach z ziehende reguläre Kurve zu denken. Für die Untersuchung diesel' Integrale und insbesondere ihrer Vieldeutigkeit sind die in § 2, S. 4ff., allgemein entwickelten Sätze maßgeblich. 1) Man vgl. hierüber "Osgood", S.400. 2) "Theorie der Abelschen Funktiouen", Journ. f. Math., Bd. 64 (1867), Art. 3 der Einleitung; siehe auch Riemanns Werke, S. 89 ff. der ersten Auf!. 3) S. hierüber H. W ey 1, "Die Idee der Riemannschen Fläche" (Leipzig und Berlin, 1913), S. 91 ff., wo auch die in Betracht kommende Literatur zusammengestellt ist (S. 93).

83

Einfach zusammenhängende Riemannsche Flächen

Als erste hierbei grundsätzliche Frage tritt diejenige nach dem Grade des "Zusammenhangs" der Fläche Fm auf. Die besonderen bei der Inversion der rationalen Funktionen S. 64ff. gewonnenen Flächen Fm konnten in jedem Falle eindeutig und stetig 1) auf eine schlichte und vollständige Kugelfläche abgebildet werden. Flächen Fm' die eindeutig und stetig at~f eine schlichte und vollständige Kugelfläche abbildbar sind, besitzen demnach den "Zusammenhang der Kttgelfläche", und wir nennen sie dieserhalb "einfach zusammenhängend". Es liegt hier freilich gegenüber den S.3 betrachteten Bereichen Tl mit einer Randkurve insofern ein Unterschied vor, als clie Kugelfläche ein geschlossener Bereich ist, der keinen einzigen Randpunkt besitzt. 2) Einen "Querschnitt" im damaligen Sinne können wir demnach auf der Kugelfläche nicht anbringen, wohl aber einen in sich zurücklaufenden und sich selbst nicht kreuzenden Schnitt, einen sogenannten "Rückkehrschnittii• Dabei ist es das Kennzeichen des "einfachen ii Zusammenhanges der Kugelfläche, daß jeder Rück7cehrschnitt diese Fläche in zwei getrennte 8tücke zerlegt. Aus funktionen theoretischen Erwägungen leiteten wir bei einer Fläche Fm der fraglichen Art die Relation (4) S. 64 für die Gesamtblätteranzahl m und die den 1 Verzweigungspunkten zukommenden Blätteranzahlen vlI V 2, .•• , VI ab. Wir behaupten jetzt, daß diese Relation für alle Flächen Fm vom Zusammenhang der Kugelfläche charakteristisch ist. In der Tat ist diese Relation nichts weiter als ein Ausdruck des "Eulerschen Polyedersatzesli, den wir in der bekannten Gestalt: ~

E+F=K+2

darstellen, unter E, F, K die Anzahlen der Ecken, Flächen und Kanten des Polyeders verstanden. Um dies einzusehen, wolle man die Riemannsche Fläche Fm mit einem "geschlossenenii, sich selbst nicht überkreuzenden, überall stetig gekrümmten Schnitte 8 versehen, der vom ersten Verzweigungspunkt el durch alle übrigen hin und bis zum ersten zurückläuft. Die zwischen e1 und e2, e2 und es usw. verlaufenden Teile von 8 denken wir als Verzweigungsschnitte 8 1,82, ••• benutzt. Nun sollte Fm eindeutig und stetig (nicht notwendig konform) auf eine Kugeloberfläche beziehbar sein. Vollziehen wir die Übertragung, so wird jedes Blatt infolge seiner Durchschneidung längs 8 zwei einfach zusammenhängende Bildbereiche liefern und die ganze Kugelfläche erscheint schlicht und vollständig bedeckt durch 2m solche Bereiche. Die Ecken der vorliegenden Kugel1) ja soga,r konform, was jedoch jetzt zunächst unwesentlich ist. 2) Dieser Unterschied wird später dadurch aufgehoben, daß wir einen einzelnen Punkt auf der Fläche markieren und als "Randpunkt" ansehen. 6*

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

teilung entsprechen den 1 Verzweigungspunkten. Von jeder Ecke laufen 1

2v; Kanten aus, so daß die Kantenanzahl ~ Vi ist. i=l

Für die gewonnene Einteilung der Kugelfläche gilt der Eulersche Satz (2), und zwar haben wir, wie gerade festgestellt, zu setzen: 1

E

=

l,

F=

K =~Vi'

2m,

i=l

Schreiben wir noch: 1

1

- l +~Vi =~(Vi- 1), i=1

;=1

so folgt durch Eintragung der angegebenen Werte in (2) nach Division mit 2:

o=

I

-

m

+ 1 +~

Vi

2 ~,

i=l

womit die Relation (4) S. 64 in der Tat wiedergewonnen ist. Zur Erläuterung der allgemeinen Sätze über den Zusammenhang der Flächen Fm betrachten wir jetzt zunächst ein Beispiel, das alsbald in den Mittelpunkt unserer Untersuchung rücken wird, nämlich eine zweiblättrige Riemannsche Fläche F2 mit vier Verzweigungspunkten. Bei der Herstellung dieser Fläche haben wir längs des ersten von e1 nach e~ laufenden Schnittes Sl das linke Ufer des oberen Blattes an das rechte des unteren Blattes zu heften und weiter natürlich das linke untere Ufer an das rechte obere. Damit dann aber bei e2 auch wirklich ein Verzweigungspunkt auftritt, ist längs S2 das einzelne linke Ufer mit dem rechten des gleichen Blattes zu verbinden. Längs S3 sind die Blätter wieder wie längs Sl über Kreuz aneinander zu beften. Wir wollen die Sachlage durch Fig.15 zur Anschauung bringen, in der wir diejenigen Teile Sl und S3 der übrigens punktierten Kurve S, in denen die beiden Blätter über Kreuz zusammenhängen, stärker markiert haben. Es ist nun leicht zu zeigen, daß die hier vorliegende Fläche den "Zusammenhang eines Kreisringes" besitzt. Wir können sie geradezu, indem wir die Blätter der Fläche als elastische Membranen denken, durch stetige Gestaltsänderung in einen Kreisring überführen. Wir nehmen zunächst eine stetige Deformation derart vor, daß alle vier Verzweigungspunkte auf eine Gerade rücken, auf der sie in der Anordnung e1 , e2 , es, e4

Zweiblättrige Riemannsche Fläche mit vier Verzweigungspunkten

85

aufeinanderfolgen: 81 und 8 3 seien dann die geradlinigen Strecken von e1 nach e2 bzw. ea nach e4 • Bei den Blättern der Fläche F! denken wir zunächst die oberen Seiten als Trägerinnen der Werte des Argumentes z und etwaiger Funktionen. Es erweist sich indessen als zweckmäßig, daß wir bei einem, etwa dem oberen Blatte, die untere Seite zu dieser Trägerin machen. Wir können dies dadurch erreichen, daß wir den Zusammenhang beider Blätter längs 81 und 8 3 vorübergehend nochmals aufheben, das obere Blatt um die durch die Punkte e laufende Gerade umklappen, so daß die bisher obere Seite nun die untere ist, und endlich die Zusammenheftung der Blätter wiederherstellen. Dabei gehören jetzt sowohl längs 81 als 83 das linke untere mit dem "linken" oberen Ufer und das rechte untere mit dem "rechten" oberen Ufer zusammen. Die jetzt gewonnene Gestalt der Fläche wird noch etwas anschaulicher, wenn wir das obere Blatt unter Rücksicht auf die Elastizität der Membranen ein wenig heben. Dabei wird die Fläche die in Fig. 16 skizzierte Gestalt darbieten, wo an Stelle der bisherigen Verzweigungsschnitte 81 und 8 3 zwei langgezogene Löcher auftreten und übrigens jedes der beiden Blätter übel' den in der Figur gezeichneten Rand hinaus ins Unendliche fortzusetzen ist. Fig. 16. Die einander zugekehrten Seiten der Blätter sind die Trägerinnen der Werte z bzw. etwaiger Funktionswerte. Um die Geschlossenheit des einzelnen Blattes im Unendlichen der Anschauung zugänglich zu machen, wollen wir, einer schon bisher vielfach benutzten Maßregel folgend, das obere Blatt nach oben hin, das untere aber nach lmten hin kugelförmig in das Endliche ziehen. Unsere Fläche gewinnt dabei die in Fig. 17 angegebene Gestalt, wobei die Außenseite die Trägerin der z-Werte ist. Jetzt ist es nur noch ein Bchritt, um durch eine weitere stetige GestalhälJderung den "Kreiuing" der Fig. 18 (S. 86) zu gewinnen. Klein 1) benutzt an Stelle des Kreisringes auch eine mit e1'rifm Henkel verse}uriC Kugel, wie 1) "Über Riemanns Theorie der algebraischen Funktionen und ihrer Integrale" (Leipzig, 18821, S. 27.

Fig.17.

86

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

dieselbe in Fig. 19 dargestellt ist und aus dem Kreisring leicht durch stetige Deformation hergestellt werden kann. Diese Vorstellung macht die Verallgemeinerung besonders anschaulich, indem wir uns leicht das Bild einer mit einer gewissen Anzahl, sagen wir, mit p Henkeln versehenen Kugelfläche bilden können (vgl. Fig. 20, wo p = 3 ist). Gehen wir von einer zwei blättrigen Fig.18. Fläche F2 mit (2 p 2) Verzweigungspunkten ev e2 , • •• , e2p + 2 aus, deren Blätter (analog den oben beschriebenen Verhältnissen) längs 8 v 8 3 , •.• , 82P +1 über Kreuz zusammenhängen, so führt die Wiederholung der an der obigen Fs vollzogenen Umgestaltung hier, wie man leicht übersieht, zu einer mit p Henkeln versehenen Kugel. Aber auch jede andere Riemannsche Fläche Fm kann in eine mit einer gewissen Anzahl von Henkeln versehenen Kugelfläche stetig umgestaltet werden 1), so daß wir im Bilde dieser Fläche zttgleich den Grad des Zusammenhanges der ursprünglichen Fm anschaulich zu erfassen imstande sind.

+

Fig.19.

1) Es geht dies aus Untersuchungen von J. Lüroth und A. Clebsch über

die Gestalt der Riemannschen Flächen hervor; siehe Lüroth "Note über Verzweigungsschnitte und Querschnitte in einer Riemaun sehen Fläche", Math. Ann., Bd. 4 (1871), S. 181 und Clebsch "Zur Theorie der Riemannschen Flächen", Math. Ann., Bd. 6 (1872), S. 216. Man hat zunächst jeden Verzweigungspunkt mit v Blättern, sofern v> 2 ist, in (v - 1) zweiblättrige Verzweigungspunkte aufzulösen. Sodann zeigt sich, daß man den Schnitt S durch die Verzweigungspunkte derart auswählen kann, daß folgende Gestalt der FHLche vorliegt. Die beiden untersten Blätter bilden für sich genommen eine F2 mit (2p 2) Verzweiguugspunkten, wie wir sie schon im Texte betrachteten; jedes folgende Blatt ist dann nach unten hin nur an das unmittelbar darunterliegende mit zwei Verzweigungspunkten in einem zwischen ihnen verlaufenden Verzweigungsschnitte geheftet. Eine' F. mit zwei Verzweigungspunkten verwandelt man nun mitte1st einer Operation, wie wir sie im Texte an der F2 mit vier Punkten e ausübten, leicht stetig in eine schlichte Ebene um. Bezieheu wir diese Umwandlung auf die beiden obersten Blätter der Fm, so ergibt sich eine F"'_l von gleicher Bauart. Die mehrfache ·Wiederholung des gleichen Verfahrens führt schließlich zu einer F. mit (2p 2) Verzweigungspunkten, welche wir bereits in eine Kugelfläche mit p Henkeln umwanFig. 20. delten.

+

+

Riemannsche Flächen des Geschlechtes p

87

Wir haben diese allgemeine Angabe ohne ausführlichen Beweis gemacht, da sich unsere späteren Entwicklungen allein auf die F2 mit vier Verzweigungspunkten beziehen. Um aber die Stellung dieser F2 in der allgemeinen Theorie der algebraischen Funktionen zu kennzeichnen mögen auch noch folgende Ausführungen über eine beliebige Fm Platz finden. Es ist zunächst unzweifelhaft, daß die Anzahl 1J der Henkel ein wichtiges Attribut der Riemannschen Fläche F7ft ist. Man faßt alle Flächen mit dem gleichen p zu einem "Geschlechte" von Flächen zusammen und spricht in diesem Sinne von "einer Riemannschen Fläche Fm des Geschlechtes p". Es wird erwünscht sein, eine Regel zu besitzen, nach der wir unmittelbar für die gegebene Fläche Fm das Geschlecht p bestimmen können. Diese Regel liefert uns der auf unsere Henkel:fläche übertragene Eulersche Polyedersatz. Da dieser Satz gewöhnlich nur für einfach zusammenhängende Flächen aufgestellt wird, so werden einige Andeutungen über die verallgemeinerte Formel am Platze sein. Die Fm durchschneiden wir wieder längs einer alle Verzweigungspunkte durchlaufenden, stetig gekrümmten Kurve S, welche sich nicht überkreuzt, aber in sich zurückläuft. Das eindeutige stetige Abbild des Schnittes S auf der Henkel:fläche liefert dann wieder eine polyederartige Einteilung dieser Fläche mit: I

(3)

E=l,

F=2m,

K=;Ev i • i

;=

1

An jedem der 1J Henkel wollen wir weiter einen Rückkehrschnitt Q ausführen in der Art, wie in der unten folgenden Fig. 23 die Querschnitte Qu Q~, Q~ gelegt sind. Dabei möge der Einfachheit halber Q durch keine der E Ecken unserer polyedrischen Teilung hindurchlaufen. Den Schnitt Q wollen wir der polyedrischen Teilung zufügen und überlegen, wie dieselbe dadurch geändert wird. Jedenfalls ist Q eine sich nicht überkreuzende geschlossene Linie, welche die Henkel:fläche nicht "zerstückt" (nicht in getrennte Stücke zerlegt). Daraus folgt, daß Q nicht im Innern einer einzigen unter den 2m "Flächen" verläuft; denn diese ist einfach zusammenhängend, so daß eine in ihrem Innern geschlossene Linie notwendig ein getrenntes Stück abschnitte. Q wird demnach mehrere "Flächen" durchziehen und damit durch die "Kanten" der Einteilung in mehrere, sagen wir in t Segmente zerlegt. Jedes dieser Segmente erhöht die Flächenzahl um eine Einheit; der gemeinsame Endpunkt zweier Segmente liefert eine neue Ecke und vermöge der Teilung der von Q in dieser Ecke zerschnittenen Kante der anfänglichen Teilung die Erhöhung der Kantenanzahl gleichfalls

88

Einleitung: Sätze itber analytische Funktionen

um eine Einheit. Außerdem kommen die t Segmente selbst als neue Kanten hinzu, so daß unsere Anzahlen nach Zusatz des einzelnen Schnittes Q die folgenden sind:

E+t, F+t,

K+2t.

Man wolle nun weiter die beiden mitte1st des Schnittes Q getrennten Henkelstücke auseinanderbiegen und die Löcher durch zwei neue, Flächen decken. Dann liefert jede der t neuen Ecken ein Eckenpaar, es sind weiter zwei Flächen hinzugekommen, und jedes der t Segmente von Q liefert ein Kantenpaar, so daß unsere Anzahlen die folgenden sind:

E+2t,

F+2+t,

K+3t.

Jetzt vollziehe man die gleiche Operation an allen p Henkeln nenne die entsprechenden Zahlen t genauer tl l t 2 , ••• , t p und gelangt schließlich zu einer Einteilung mit folgenden Anzahlen: Ei = E

+ 2 ;2ti)

Fi = F

+ 2p + ;2t

il

K1 = K

+ 3;2ti .

Aber die so gewonnene Fläche hat wieder den Zusammenhang der KugelF1 = K 1 2, was als verallgemeinerte fläche, und also gilt EI Eulersche Polyederformel liefert:

+

+

E+F+2p=K+2. Tragen wir hier die Werte (3) ein, so ergibt sich der Satz: Eine rnblättrige R?'ernannsche Fläche Fm mit 1 Verzweigungspunkten, in denen bzw. Vii V 2 , . . . , VI Blätter zusammenhängen, hat das Geschlecht:

+ 1 +:2 I

(4)

p

=

-

rn

Vi

~.

;=1

Eine Riemannsche Fläche des Geschlechtes p bezeichnen wir nun 1m Anschluß an die Sprechweise S. 3 (jedoch unter Vorbehalt einer gleich noch zu erörternden Ergänzung) als ,,(2p + l)-fach zusammenhängend" und begründen diese Ausdrucksweise damit, daß es möglich ist, die Fläche durch 2p Que~'­ schnitte in einen einfach zusammenhängenden von den Schnittufern berandeten Bereich Ztt zerlegen. Im Falle p = 1 können wir den Kreisring der Fig. 18 benutzen. Wir ziehen, Fgi.21. wie Fig. 21 andeutet, zunächst den Rückkehrschnitt Qi' Derselbe "zerstückt" die Fläche nicht; denn es ist möglich, wie Fig. 21 gleichfalls darlegt, einen Schnitt Q2 von einem Uferpunkte des Schnittes Ql zum gegenüberliegenden Uferpunkte zu führen,

Grad des Zusammenhangs der Riemannschen Flächen

89

ohne Ql zu überschreiten. Auf dem unzerschnittenen Ringe würde auch Q2 ein Rückkehrschnitt sein; man bezeichnet zwei in dieser Art zusammengehörige Schnitte als ein Paar "konjugierter" Rückkehrschnitte. Nach (eJ ~ Durchschneidung längs Ql können wir den Ring auseinanderbiegen und in die Gestalt des Zylinders e:~ der Fig. 22 überführen. Schneiden ???% wir den Zylinder jetzt längs Q2 ~ auf, so ist die Abwickelung des:0 ~ ;~ selben auf das in Fig. 22 gleich 0 ,;:;:::;::/;:;:; ;;; mit angegebene Viereck möglich: Fig.22. Durch die Schnitte Ql und Q2 wird hiernach der Kreisring in einen einfach zusammenhängenden Bereich Tl mit einem in sich zurücklaufenden, aus den vier Schnittufern bestehende1~ Rande verwandelt. Haben wir nun eine Fläche mit p Henkeln, so können wir an jedem Henkel ein Paar "konjugierter Rückkehrschnitte" Ql' Q2; Q~, Q~; ... ; Qip - 1 , Q~P-l) anbringen (vgl. Fig. 23 für p=3) und verwandeln

~~

Fig.24.

unsere Fläche hierdurch in einen p-fach zusammenhängenden Bereich Tp, welcher p getrennte, aus je vier Schnittufern bestehende Randkurven aufweist. Indem wir jetzt noch (p-l) eigentliche Querschnitte Qs, Q;, ... , Q~P - 2), wie Fig 23 darlegt, zwischen den bisherigen Randkurven anbringen, gelangen wir zu einem einfach zusammenhängenden Bereiche. Diese an sich anschauliche Maßregel ist nun aber, um zum Schlusse zu führen, noch zu modifizieren. Wir wollen die Schnitte Qs, Q~, : .. , Q~p-2) unter Dehnung der Schnitte Q2' Q;, ... , Q~p-l) auf Punkte zusammenziehen und sodann (wie Fig. 24 wieder für p = 3 erläutert)

90

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

die Q2' Q~, ... , Q~P - 1) noch weiter derart über die Fläche hinziehen, daß sie alle von einem gemeinsamen Ausgangspunkte .A. auslaufen und zu ihm zurückkehren. Wir wollen geradezu (und dies ist die noch vorbehaltene Ergänzung) diesen Ausgangspunkt .A. zu Anfang auf der Fläche markiert denken und (bevor irgendein Schnitt vollzogen ist) als einzigen Randpunkt der Fläche auffassen. Dann bekommt jeder unserer Schnitte Q2' Q~, ... , Q~p-1) den Charakter eines eigentlichen "Querschnittes"; und dasselbe gilt natürlich auc~ von den demnächst noch auzubringenden Schnitten Q1' Q~, ... , Q~p-l), insofern der einzelne von ihnen zwei schon vorhandene Randpunkte (Uferpunkte des bereits gezogenen Schnittes Q~)) verbindet. Unsere obige Behauptung, die Henkelfläche und damit die Riemannsche Fläche Fm (auf der wir uns natürlich auch den "Randpunkt" .A. markiert denken müssen) können durch 2p "Querschnitte" in einen einfach zusammenhängenden Bereich verwandelt werden, ist damit erwiesen. 1)

§ 18. Weiteres über algebraische Funktionen speziell bei p = 0 und p = 1. Grundproblem der Theorie der elliptischen Funktionen. Bei den nächsten Betrachtungen, welche sich auf die geometrischen Vorstellungen von § 17 gründen, sollen die mit Konstanten identischen Funktionen ausdrücklich ausgeschlossen werden. Wir hatten die mit endlichen Konstanten identischen Funktionen oben mit Rücksicht auf den Körperbegriff den Funktionen des Körpers zugerechnet. Soweit die aufzustellenden Sätze auch für solche Funktionen gelten, sind sie triviaP) Man wolle zunächst den am Schlusse von § 8, S. 39 aufgestellten zweiten Residuensatz etwa auf denjenigen einfach zusammenhängenden Bereich anwenden, in den eine vorgelegte Fm i:Jach Art von Fig. 23 durch p Paare konjugierter Rückkehrschnitte Qv Q2; ... ; Q~p-1), Q~P-l) nebst zwischengefügten (p - 1) Schnitten Q3' Q~, ... , Q~p-2) zerlegt wird. Bei Durchlaufung des Randes dieses Bereiches werden die heiden Ufer jedes einzelnen Schnittes in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen. Bilden wir demnach das auf den gesamten Rand des fraglichen Bereiches bezogene Integral (5) S. 39 für irgendeine Funktion fez) des durch Fm erklärten Körpers (wobei wir annehmen dürfen, daß die Schnitte Q nicht gerade durch Nullpunkte oder Pole von fez) hin1) Der Zusatz des "Randpunktes" ist zur strengen Erfüllung unseres Satzes natürlich auch in dem zunächst besonders besprochenen Falle p = 1 nötig. 2) Der sogleich zu erklärende Begriff der "Wertigkeit" verliert bei einer mit
Begriff der Wertigkeit einer algebraischen Funktion

91

durchlaufen), so heben sich je die beiden Bestandteile des Integrales, welche sich auf die Ufer des einzelnen Querschnittes beziehen, als entgegengesetzt gleich auf, und das Gesamtintegral bekommt den Wert 0: Für jede nicht mit einer Konstanten identische Funktion des Körpers ist die Summe der Ordnungen aller m~f Fm eintretenden Pole der Funktion gleich der Summe der Ordnungen aller Nullpunkte.!) Unter Aufnahme einer für die rationalen Funktionen S 62 besprochenen Denkweise können wir auch sagen: Eine nicht mit einer Konstanten identische Funktion des Körpers hat auf der Riemannschen Fläche genau so viele Pole e1'ster Ordntmg als Nullpunkte erster Ordnung; ist diese Anzahl gleich n, so nimmt die Funktion jeden beliebig vorgeschriebenen komplexen Wert wieder genatt in n Punkten der Fm an, und sie möge dementsprechend fortan als eine "n-wertige" Funktion des KÖ1pers bezeichnet werden. Der zweite Teil des Satzes folgt aus dem ersten wieder durch die schon bei den rationalen Funktionen ange wandte Schluß weise (vgl. S. 46 und 62). Natürlich dürfen bei den n Punkten, in denen die Funktion einen vorgeschriebenen Wert annimmt, irgend welche Koinzidenzen eintreten; z. B. liefern k zusammenfallende Nullpunkte dann eben einen Nullpunkt kter Ordnung. 2) Für irgendeine Funktion W des Körpers können wir die Darstellung (6) S. 80 in z und der damaligen Funktion w zugrunde legen, aus welcher unter Rücksicht auf (5) S. 79 folgt:

(1)

dW = (JR dz oz

+ oR. d70 = ~Ii _ q~. 070

dz

OZ

OW

(°0;1 (~~)

1) Für die Abschätzung der Ordnung eines etwa in einem Verzweigungspunkte liegenden Nullpunktes oder Poles gelten natürlich die schon S. 38 angegebenen Regeln. 2) Nach der S. 39 gegebenen allgemeinen Fassung des benutzten Residuensatzes wäre es übrigens gar nicht nötig gewesen, die Fm vorab durch Querschnitte in einen einfach zusammenhängenden Bereich zu verwandeln. Wir hätten in einem Blatte der Fm um eine Stelle zo' in der die Funktion weder einen Nullpunkt noeh Pol hat, eine Kurve herumlegen können und hätten dann wie S. 62 bei den rationalen Funktionen verfahren. Andererseits mag auch noch folgende besonders elementare Auffassung Erwähnung finden, bei welcher wir die 2m "Flächen" der polyedrischen Einteilung auf der "Henkelfiäche" zugrunde legen; die "Kanten" dieser Einteilung denken wir nötigenfalls so abgeändert, daß sie nirgends durch einen Nullpunkt oder Pol der Funktion laufen. Das auf den Rand der einzelnen "Fläche" bezogene Integral (5) S. 39 gibt die Summe der Ordnungen der Nullpunkte in dieser "Fläche", vermindert um die Summe der Ordnungen der daselbst gelegenen Pole. Die Summe aller 2m Integrale ist aber wieder gleich 0, da die beiden "Ufer" jeder Kante bei der Integration in entgegengesetztem Sinne durchlaufen werden. Aus dem Verschwinden der Integralsumme aber folgt wieder das Ergebnis des 'l'extes.

92

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Ist nun Weine n-wertige Funktion des Körpers, so wird die Fläche Fm durch W konform auf eine n-blättrige Riemannsche Fläche Fn über der W-Ebene abgebildet. Die Umgebung einer endlichen, von einem Verzweigungspunkte ei verschiedenen Stelle Zo in einem Blatte der Fm liefert dabei ein schlichtes Abbild, falls die Ableitung (1), welche zufolge der rechten Seite von (1) selber wieder eine Funktion des Körpers ist, im Punkte Zo endlich und von 0 verschieden ist. Hat die Funktion (1) im Punkte Zo aber einen Nullpunkt der Ordnung )", 80 überträgt sich die Umgebung von Zo auf eine Windungsfläche von v = )., 1 Blättern. Bei einer eingehenden Untersuchung würden wir die Verzweigungs punkte von Fm' die Pole von W usw. noch besonders zu untersuchen haben. Doch führt uns dies wieder zu weit in die allgemeine Theorie der algebraischen Funktionen ab. Jedenfalls haben wir den Satz gewonnen, daß die Fm mittels der n-wertigen Funktion W des Körpers eindeutig, stetig und konform auf eine n-blättrige Riemannsche Fläche F" übertragen wird, die selbstverständlich wieder dem gleichen Geschlechte pangehört. Ist nun z. B. die in Gleichung (5) S. 79 vorliegende Funktion w eine n-wertige Funktion, so wird jetzt umgekehrt auf der n-blättrigen Fläche Fn über der w-Ebene das bisherige z in Abhängigkeit von w eine n-deutige algebraische Funktion, welche man übrigens direkt wieder durch die Gleichung (5) S. 79 gegeben denken kann. Diese Gleichung wird in z eben auf den n ten Grad ansteigen, ein Umstand, den WIr gelegentlich durch die Schreibweise:

+

m

n

G(w, '5) = 0 (2) der Gleichung zwischen wund z hervorheben. Dabei ist natürlich diese Funktion z von w auf der Fn m-wertig. Wir können nun aber gleich noch einen Schritt weiter gehen und betreffs der Funktionen R(w, z) folgenden einleuchtenden Satz aussprechen: Die gesamten Funktionen des bisherigen Körpers bilden, in Abhängigkeit von w betrachtet, gerade genau den durch die Riemannsehe Fläche Fn zu definierenden Körper algebraischer Funktionen von w. 1) Zu dem gleichen Ergebnis gelangen wir, wenn wir an Stelle von wirgendeine nicht mit einer Konstanten identische Funktion W des ersten Körpers zugrunde legen. Um aber gegenüber diesen unendlich vielen Riemannschen Flächen zu einer Auffassung, die keine Fläche bevorzugt, zu gelangen, könnten wir sie etwa durch unsere Henkelfläche ersetzen, die wir F nennen wollen, und auf die alle jene Flächen 1) Hier sind die mit endlichen Konstanten identischen Funktionen natürlich mit einbegriffen.

Allgemeinste Auffassung eines Körpers algebraischer Funktionen

93

eindeutig und stetig bezogen sind. Jeder Funktion entspricht dann eine eindeutige Belegung von F mit Werten, und wir werden die Belegung wieder "m-wertig" nennen, wenn eine beliebig gewählte komplexe Zahl immer an m Stellen von F aufgetragen ist. Den bisherigen Körpern algebraischer Funktionen entspricht dann ein sie alle liefernder "Körper von Belegungen" der Fläche F von folgender Eigenschaft: 1st irgendeine m-wertige Belegung mit Zahlen z und irgendeine zweite n-wertige Belegung mit Zahlen w herausgegriffen, so gilt für die durch die Punkte von F einander zugeordneten Zahlen wund z eine algebraische Relation (2) vom Grade m in w ~md vom Grade n in z identisch, d. h. über die ganze Fläche F hin Ist diese Gleichung irreduzibeP), so ist "jede" Belegung des Körpers der vorliegenden Belegungen von F in der Gestalt W = R(w, z) darstellbar, wie auch ttmgekehrt jeder nicht mit 00 identische ~'ationale Ausdruck R(w, z) eine unserer Belegungen liefert. Der entwickelten allgemeinen Auffassung entsprechend haben wir die unterschiedenen Riemannschen Flächen Fm' F", ... , welche den einzelnen Belegungen von F zugehören, als nicht wesentlich verschieden anzusehen, und ebensowenig können die ihnen zugehörigen Körper algebraischer Funktionen als wesentlich verschieden gelten. Die Sachlage läßt sich auch noch in folgender Art analytisch einkleiden. Es sei von zwei Belegungen z, Z aus eine Fläche Fm über der z-Ebene und eine F" über der Z-Ebene hergestellt. Ist w mit ß durch eine irreduzible Gleichung (2) verknüpft, so ist durch w und ß gewissermaßen ein Koordinatensystem auf Fm gegeben, welches die Punkte von Fm eindeutig zu bestimmen gestattet. Dasselbe möge durch Wund Z auf Fn geleistet werden. Nun entspricht aber jedem Punkte von Fm eindeutig ein solcher von F", und zwar ist diese Beziehung darstellbar durch ein Gleichungenpaar:

(3) W=R 1 (w,z), Z=R 2 (w,z). Aber auch umgekehrt entspricht einem Punkte von Fn stets em und nur ein Punkt von Fm' geliefert durch:

(4)

w = Ra(W, Z),

z = R4 (W, Z).

1) Die Fälle der Reduzibilität der Gleichung (2) können wir wieder nicht allgemein verfolgen. Wir weisen nur auf das Beispiel hin, daß wir neben der schon gewählten m-wertigen Belegung z eine zweite Belegung wals rationale Funktion lten Grades 10 = R(z) von z aussuchen, deren Wertigkeit dann n = 1· m ist. Spalten wir R (z) in den Quotienten gl (z) : go (z) zweier ganzen Funktionen, so schreibt sich die Gleichung (2) vom Grade m in wund n in z so: (go (z) w - gl ez)m =

o.

Ihre linke Seite stellt die mte Potenz eines Polynoms dar. Zu einem ähnlichen Ergebnis gelangt man übrigens in allen Fällen der Reduzibilität.

94

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Die ein-eindeutige Beziehung der beiden Flächen at~feinander ist demnach durch eine umkehrbar rationale Transformation vollziehbar. Umgekehrt ist wieder einleuchtend, daß, wenn diese Beziehung zwischen zwei Flächen vorliegt, sie in unserem Sinne als nicht wesentlich verschieden zu gelten haben. Gegenüber diesen allgemeinen Auffassungen ist für die ausführliche Untersuchung eines einzelnen Funktionenkörpers die Auffindung einer Funktion von möglichst kleiner Wertigkeit m und damit die Gewinnung einer Riem annschen Fläche von möglichst kleiner Blätterzahl m von grundlegender Bedeutung. Bei den S. 48 und 64 besprochenen Flächen des Geschlechtes p = 0 gab es stets einwertige Funktionen. Diese Flächen erhielten wir bei Inversion der rationalen Funktionen w = Rez); auf der einzelnen solchen Fläche über der w-Ebene ist dann eben z eine einwertige Funktion, welche die Fläche auf eine Fi , nämlich die schlichte z-Ebene abbildet. Beim Beweise des am Schlusse von § 16 (S. 82) angegebenen Riemannschen Existenztheorems findet man nun, daß attf jeder Biemannschen Fläche des Geschlechtes p = 0 eine "einwertige" Funktion konstruiert werden kann. i ) Bezeichnen wir die 'Werte derselben mit z, so ist offenbar auch jede lineare Funktion von z: , az+ b (5) z = cz+ d eine einwertige Funktion des zur gegebenen Riemannschen Fläche gehörenden Körpers; und umgekehrt können wir, wie leicht zu sehen ist, jede einwertige Funktion dieses Körpers in einer unter ihnen, die z heiße, in der Gestalt (5) darstellen. Da hierbei nul'ZU fordern ist, daß die Determinante (ad - bc) der linearen Funktion (5) von 0 verschieden ist (vgl. S. 66), und übrigens für die Funktion z' nur die "Verhältnisse" der Koeffizienten a, b, c, d maßgeblich sind, so haben wir die Auswahl unter d1'eifach tmendlich vielen einwertigen Funktionen unsrer Fläche. In dem ausgewählten z stellen sich nun die gesamten Funktionen des Körpers in der Gestalt R(z) dar. Es folgt: 1m Falle p = 0 haben wir im wesentlichen nU1' einen einzigen Funktionenkörpel', denjenigen der "rationalen Ftmktionen einer komplexen V Miabeln". Auch die dem Körper zugehörigen Integrale erledigen sich sofort durch die bekannte Formel: n

fR(z) dz

=

Bi (z)

+:E 0i log (z -

Si)'

i=l

welche sich den Bezeichnungen von S. 61 anschließt. 1) Man vgL etwa die Behandlung des Riemannschen Existenzsatzes iu den "Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen" von F. Klein und R. Fricke (Leipzig, 1890 und 1892), Bd. 1, S.493ft'. Dieses weiterhin oft zu nennende Buch soll fortan durch "Modulfunktionen" zitiert werden.

Die algebraischen Funktionen bei p = 0 und p = 1

95

Ist zweitens p = 1, so ist die Existenz einer einwertigen Funktion ausgeschlossen, da man einen Kreisring (vgl. Fig. 18, S. 86) nicht eindeutig und stetig auf eine schlichte Kugelfläche abbilden kann. Eine ßweiblättrige l?läche F2 mit vier Verzweigungspunkten hatte uns oben (S. 84) ein erstes Beispiel für eine Fläche des Geschlechtes p = 1 geliefert. Beim Beweise des Riemannschen Existenztheorems gelingt es, für it'gendeine Fläche des Geschlechtes p = 1 eine zweiwertige Funktion ßU konstntieren, welche noch dazu an zwei willkürlich wählbaren Stellen der Fläche ihre beiden Pole erster Ordnung haU) Bezeichnet man die Werte dieser zweiwertigen Funktion wieder mit z, so ist zugleich: (6) ;/ = az + b die allgemeinste zweiwertige Funktion der Fläche, welche an den beiden vorgeschriebenen Stellen ihre Pole hat; dabei sind a, b willkürliche verschieden sein. endliche Konstante, nur muß a von Die zweiwertige Funktion z bildet nun die anfänglich vorgelegte Fläche konform auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche F2 ab, die als zum Geschlechte p = 1 gehörig vier getrennt liegende Verzweigungspunkte hat (vgl. Formel (4) S. 88). Mindestens drei von den vier Verzweigungspunkten liegen im Endlichen, etwa wieder bei el) e2 , es' Der vierte Verzweigungspunkt ist entweder auch endlich, etwa bei e4 gelegen, oder er liegt bei z = 00; letzteres tritt stets und nur dann ein, wenn die beiden für z vorgeschriebenen Pole zusammenfallen und dadurch einen einzigen Pol zweiter Ordnung liefern. Wir können die beiden eben unterschiedenen Fälle in einen Ausdruck zusammenziehen. Wir setzen im ersten Falle, unter a eine nichtverschwindende komplexe Konstante verstanden:

°

a(z - e1)(z - e2 )(z - es)(z - e~)

=

g(z)

und wollen bei Anordnung dieser ganzen Funktion vierten Grades g(z) nach abfallenden Potenzen von z die Schreibweise: (7)

g(z)

=

az1

+ 4bz 3 + 6cz 2 + 4dz + e

gebrauchen, wo die Koeffizienten a, b, . .. natürlich nichts mit denen in (5) und (6) zu tun haben. Wir fassen dann die beiden fraglichen Fälle einfach dadurch zusammen, daß wir von der ganzen Funktion g(z) nur das Getrenntliegen der "vier" Nttllpunkte f'ordern, aber ein Verschwinden des höchsten Koeffizienten a zttlassen; wird a = 0, so rückt dann eben einer der vier Nullpunkte nach z = 00 • Umgekehrt können wir für jede ganze Funktion (7), welche die eben ausgesprochene Forderung erfüllt, eine Fläche F2 konstruieren, 1) V gl. etwa wieder "Modulfunktionen", Bd. 1, S. 540ff.

96

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

deren Verzweigungspunkte die "vier" Nullpunkte von g(z) sind, und deren Geschlecht dann wieder p = 1 ist. Nun erkennt man sofort in: w = yg(z) = yazC t-LjolJz3+6c$2+4dZ+ e eine zur F2 gehörende algebraische Funktion. Dieselbe erscheint mit z verbunden durch die Gleichung:

(8)

w2

-

(az!

+ 4bz s + 6cz 2 + 4dz + e)

=

0,

welche irreduzibel ist, da g(z) nicht das Quadrat einer ganzen Funktion ist. Wir gelangen also zu folgendem Ergebnis: Alle beim Geschlechte p = 1 existierenden Körper algebraischer Ftmktionen werden w~s geliefed von den durch (8) gegebenen algebraischen Gebilden, wo die in Klammern stehende ganze Funktion getrennt liegende Nttllpunkte haben soll. Beim einzelnen Gebilde sind die gesamten Funktionen des zugehörigen Körper's gegeben durch: (9) R(z, yaz4 + 4bz 3 + 6cz 2 + 4dz + e), die zugehörigen Integmle aber durch: (10)

jR(z, -Vaz4

+ 4bz + 6cz + 4dz + e)dz. 3

2

Die Eigenschaften dieser Integrale näher festzustellen, ergibt sich hier als nächstes Problem. Aber indem wir dieses Problem aufgreifen und zur Durchführung bringen, tritt eine neue und grundsätzliche Wendung in unseren Entwicklungen ein: Wir werden erkennen, daß die gesamten Funktionen des Körpers, in Abhängigkeit von einem bestimmten tmter den Integralen (10) betrachtet, zu eindeutigen Funktionen werden. Diese fundamentale Tatsache der "Eindeutigkeit" wird uns daraufhin veranlassen, die Größen (9) als Funktionen jenes Integrales ausführlich zu untersuchen. Wir werden sie als solche mit dem Namen der "elliptischen Funktionen" belegen und unseren bisherigen Körper algebraischer Funktionen des Geschlechtes 1 in einen "Körper elliptischer Funktionen" umwandeln. Daneben tritt dann noch eine zweite Frage auf (welche sich beim Geschlechte p = unmittelbar erledigte), nämlich wie man beim Geschlechte p = 1 einen Überblick über die gesamten wesentlich verschiedenen Körper algebraischer Funktionen verschaffen kann. Auch für diese Aufgabe wird uns jenes eben genannte Integral die geeignetsten Hilfsmittel zur Lösung an die Hand geben. Die bei den hiermit genannten Aufgaben, nämlich den einzelnen "Körper elliptischer Funktionen" ausführlich zu untersuchen und zweitens den Überblick über das "System aller tcesentlich verschiedenen Körper elliptischer- Funktionen" zu gewinnen, setzen das "Grund problem" unserer

°

Einführung der linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung

97

folgenden Untersuchungen zusammen. Ehe wir an die Behandlung desselben gehen, sind indessen unsere vorbereitenden Entwicklungen noch nach einer anderen Seite hin zu ergänzen.

§ 19. Lösung linearer homogener Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Einige Grundsätze aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen n ter Ordnung kommen weiterhin für den Fall n = 2 zur Verwendung und sollen hier sogleich für diese Ordnung entwickelt werden. l ) Eine lineare homogene Differentialgleichung dieser Ordnung sei in der Gestalt :

(1) vorgelegt, wo f1 (z) und f2 (z) analytische Funktionen sein sollen. Ist Zo irgendeine Stelle, in deren Umgebung f1(Z) und t;(z) analytisch sind, so soll zunächst gefragt werden, ob sich ebenda eine analytische Lösung S von (1) angeben läßt, und welches die allgemeinste Lösung diesel' Art ist. Die Reihenentwicklungen VOll f1 (z) und f2 (z) in der Umgebung von Zo seien: f1(Z) = ao + a1 (z - zo) + a2 (z - ZO)2 + "', f2(Z) = bo + b1 (z - zo) + b2 (z - zo)! + .... Hat mindestens eine dieser Reihen einen endlichen Konvergenzradius, so bezeichnen wir den kleineren unter den Konvergenzradien oder, falls beide gleich sind, den gemeinsamen Radius mit B; handelt es sich um zwei beständig konvergente Reihen, so sei B als positive Größe beliebig gewählt. Die Lösung S möge, falls sie existiert, als analytische Funktion von z die Entwicklung haben:

S = Co

+ Cl (z -

zo)

+ C2(z -

ZO)2

+ ...

Innerhalb des Konvergenzkreises dieser Reihe ergeben sich, indem wir rechts gliedweise differenzieren, sofort die Reihenentwicklungen für

~; und ::~. Die letztere Entwicklung muß (vgl. S. 14) identisch sein mit derjenigen Entwicklung, welche man aus der rechten Seite von (1) durch Eintragen der Reihen und Umordnung nach ansteigenden Po1) Siehe L. Fuchs, "Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen", Journ. f. Math., Bd. 66 (1866) und Bd. 68 (1868). Eine umfassende Darstellung der Theorie der linearen Differentialgleichungen n ter Ordnung gab L. Schlesinger, "Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen", zwei Bände (Leipzig 1895 und 1898). Fric ke: Elliptische Funktionen. Bd. 1.

7

98

Einleitung: Sätze über analytische 1<'unktionen

tenzen von (e - fJo) gewinnt. Dies ist aber stets und nur dann der Fall, wenn die Gleichung:

(2)

(n

+ 2)(12 + l)cn+2 = cobn + clb l + ... + cnbo + Cl an + 2c2 an _ l + 3cS an _ 2 + ... + (n + l)cn +1 a() n_

für alle Indizes 12 = 0, 1,2, ... gilt. Während demnach Co und Cl unbestimmt bleiben, berechnen sich aus der Rekursionsformel (2) alle weiteren Koeffizienten C2 , cs , ... in der Gestalt: (3)

< <

wo die und bestimmte rationale ganze Ausdrücke in den Koeffizienten a k und bk sind; dabei sind, was man beachten wolle, in diesen ganzen rationalen Ausdrücken nur Pluszeichen enthalten. Um nun die Konvergenz der für ~ angesetzten Reihe zu erörternt wähle man fJ beliebig, aber fest im Innern des Kreises vom Radius R um Zo und bestimme ferner eine positive Zahl r aus dem Intervall:

(4)

Iz

-

Zo

I<

r

< R.

Dann können wir (vgl. S. 16) eine bestimmte endliche Zahl M angeben, so daß längs der Peripherie des Kreises vom Radius r um z() die Ungleichungen I h (z) I < M und I f2(Z) I <.M zutreffen. M soll außerdem jedenfalls der Bedingung:

Mr> 2

(5)

genügen. Wie S. 50 ergibt sich für die absoluten Beträge der Koeffizienten in den für h (z) und ~ (z) angegebenen Reihen: I

ak I

< ~,

I bk I

<

ff .

Wenn wir demnach die sämtlichen Koeffizienten ak und bk durch Mr- k ersetzen, außerdem aber i Co I und I Cl I an Stelle von Co und Cl treten lassen, so wird zufolge der angegebenen Bauart der c'n' c~ in den ak , bk jedenfalls I cn I vergrößert. Ist die Reihe für ~ auch nach dieser Vergrößerung der Beträge I cn I konvergent, so konvergiert sicher auch die ursprüngliche Reihe Co + Cl (z - Zo) + . , , im ausgewählten Punkte z, Nun kommt aber der vollzogene Ersatz der a k , bk einfach darauf hinaus, daß wir die bisherigen fl (z), f2(Z) zugleich durch die Funktion: M

z-zo

1--l'

ersetzen, oder daß wir an Stelle der Differentialgleichung (1) die folgende treten lassen:

d

2 ( 1 _ Z- l' Zo) dz ~2 = M

(ddz~ + p) , b

99

Konvergenzuntersuchung der Lösung S

Hier kann man entweder aus den dieser Gleichung zugehörigen Relationen (2) oder auch durch direktes Operieren mit dieser Differentialgleichung die Rekursionsformel in die einfachere Gestnlt kleiden: (n

+ 2)(n + 1)cn+

2 -

(n

+ 1) n

Cnr+l =

M(n

+ 1)cn + + cn)' 1

aus welcher sich weiter ergibt: Cn +2 r

n+Mr Mr 2 - c n + 1 r n + 2 +cn (n+2)(n+l)

2_

Die im vorliegenden Falle für n > 2 eintretenden c: und c~ sind durchweg reell und positiv. Ersetzen wir somit die noch frei wählbaren co' Cl durch ihre absoluten Beträge, so werden zufolge (3) die Beträge Ic n I nicht verkleinert. Es ist also ausreichend, wenn wir für positive co, CI die Konvergenz zeigen. Dann aber werden alle cn positiv, und es ergibt sich aus der letzten Gleichung mit Rücksicht auf (5) für alle n = 0, 1, 2, ... : cn + 2 r 2 > cn + 1 r.

Somit ist auch cn +1 r > cn für alle n = 1,2,3,"" so daß wir wieder aus der letzten Gleichung für n = 1,2,3" .. die Folgerung ziehen: c . r 2< c 1/,2

n+l

r

(10+ Mj' n+2

_ ]Y[1'~ __ ). +(n+2)(n+l)

Man schreibe diese Ungleichung um in die Gestalt: /

Cn +2(Z-Zot+2[

1vlr 2

/iz-zo[(n+Mr

Cn+l(Z-zot+ll<--"-i~~

n+2~'+ (n+2)(n+l)

)

und beachte, daß der Klammerausdruck rechter Hand sich für lim n = co dem Grenzwerte 1 nähert. Der links stehende Quotient zweier aufeinander folgender Reihenglieder nähert sich somit für lim n = co zufolge (4), absolut genommen, einem unterhalb 1 gelegenen Grenzwerte, womit die Konvergenz der für ~ angesetzten Reihe im Punkte z bewiesen ist. Es ist hiermit bewiesen, daß die für die Lösung ~ der Differentialgleichung (1) angesetzte Reihe in der Umgebung von zo mindestens ebensoweit konvergiert, als die für t~ (z) und f2(Z) geltenden Reihen zugleich konvergent sind. Wir erhalten also in ~, und zwar für jede Auswahl von Co und cl) eine Lösung von (1); und andererseits ist hiermit jede analytische Lösung von (1) in der Umgebung von zo gewonnen, da ja für jede Reihe Co + Cl (z - zo) + ... , welche die Gleichung (1) identisch befriedigt, die Relation (3) gilt. Den besonderen Auswahlen Co = 1, Cl = und sodann Co = 0, Cl = 1 entsprechen zwei partikuläre Lösungen:

°

(6)

I ~1 =

1~2

=

+ * + c~(z - ZO)2 + Ca(z - ZO)3 + ... , ., + (z - zo) + C~ (z - Zo)2 + .. "

1

7*

Einteilung: Sätze über analytis che Funktionen

100

wobei in der ersten Reihe das lineare Glied und in der zweiten das Absolutglied fehlt, was beide Male durch einen Stern angedeutet ist. Schreiben wir statt der bisherigen co, Cl fortan a und b, so ist folgender Satz gewonnen: Die Differentialgleichung. (1) besitzt in der Umgeb~mg 1 ) jeder Stelle zo, in der fl (z) und f2 (z) iiberall analytisch sind, Lösungen S, welche ebenda gleichfalls iibM'all analytisch sind; dabei läßt sich jede dieser Lösungen in den beiden partikulären Lösnngen (6) mittels zweier Konstanten a" b in der Gestalt:

S=

(7)

aSt

+ bS

2

darstellen, wie auch umgekehrt für jede Auswahl endlicher Konstanten a, b in (7) eine Lösung vorliegt. Soll die Summe (aSt + b S2 ) als Funktion von z mit 0 identisch sein, so muß in der Reihenentwicklung derselben der Koeffizient jedes Gliedes gleich 0 sein, so daß zufolge (6) insbesondere a = 0, b = 0 zutreffen muß. Die Lösungen SI' S2 sollen in dem Sinne voneinander "linear-unabhängig" heißen, als hiernach eine Gleichung aSt + bS2 = 0 mit nicht zugleich verschwindenden a, b nicht identisch bestehen kann. Greifen wir nun (immer in der Umgebung von zo) irgend zwei Lösungen:

(8) auf, so gilt identisch: a' s~

+ b' s~ =

(a' 0;

+ b' r) St + (a' ß + b' ~) S2'

Man folgert hieraus leicht: 1st die Determinante (o;~ - ßr) der Koeffizienten in (8) von 0 verschieden, so sind s~, linear-~tnabhängig.. und wenn ~, s~ linear-unabhängig sind, so ist wngekehrt (o;~ - ßr) von 0 verschieden. In diesem Falle kann man die Gleichungen (8) nach SlI S2 lösen S2 linear und homogen in s~, ~ darstellen. Diese Darund also stellungen können wir dann auch in (7) eintragen, so daß wir in der Umgebung von Zo zur Dctrstellung aller Lösungen in der Gestalt (7) an Stelle der obigen SI> S2 irgend zwei linear-unabhängige Lösungen zugrunde legen können. Indem wir jetzt über die Umgebung von Zo hinausgehen, hat es zunächst keine Schwierigkeit, auf Grund der Überlegungen von S. 24 ff. ein "Feld" F des Funktionenpaares fl (z), f2 (z) zu erklären. Man hat hierbei einfach den Prozeß der analytischen Fortsetzung gleichzeitig auf fl(Z) und f2(Z) auszuüben und bei dem einzelnen Paare von Funktionselementen, sofern die beiden Konvergenzkreise verschieden sind, nur den

s;

su

1) Eine "Umgebung" von Zo sollte nach S. 1 stets als "Kreisfläche" des Mittelpunktes Zo gewählt werden.

Herstellung des Feldes der Lösungen

~

101

kleineren Kreis zuzulassen. Auch hat man natürlich, falls das System der aneinander geklebten Konvergenzkreise um singuläre Punkte herum über sich selbst hinübergreift, die übereinander liegenden Teile der Kreise nur dann zu verkleben, falls sowohl (1 (z) als (2(Z) bei dem betreffenden Umlaufe zu den anfänglichen Funktionswerten zurückkehren. vVir wollen zunächst außer den "singulären" Punkten (Polen, endlich-blättrigen Verzweigungspunkten 1), wesentlich singulären Punkten) für mindestens eine der Funktionen h (z), (2 (z) auch aUe Stellen 00, welche dem Felde F etwa angehören, als "Rand punkte" von F auffassen. Dann ist sofort einleuchtend: In der Umgebung jedes "lnnenpunktes" Zo von F gelten über die Nattlr der Lösungen ~ von (1) die obigen Sätze; irgendeine bei einer speziellen Slelle Zo aufgegriffene Lösung ~(z) von (1) ist im lnnern von Funbegrenzt (ortsetzbar, erweist sich daselbst überall als analytisch und stellt beständig eine Lösung t·on (1) dar. Man hat nur zu beachten, daß in der Umgebung von Zo der Ausdruck: d!;

d2~

dz' - (1 (z) dz - (2(Z) ~

als Funktion von z identisch verschwindet und also auch bei Fortsetzung beständig mit 0 identisch bleiben muß. Die bei Fortsetzung auftretenden Funktionswerte ~ stellen demnach immer wieder eine Lösung von (1) dar, müssen also die oben gewonnenen Gesetze der Lösungen befriedigen. Die endlich-blättrigen Verzweigungspunkte und die Stellen 00 machen übrigens keine Schwierigkeiten. Haben wir einen v-blättrigen Verzweigungspunkt bei Zo oder eine Stelle z = ( 0 2), so führen wir als neue Variable bzw.: 1 z' = (z - zo)-V

oder

,

1

z=-z

em und rechnen m beiden Fällen 3) die Gleichung (1) m die Gestalt: -

d2~

dz"

=

,d~

-

,

f 1 (z ) dz' + f 2 Cz ) ~

um, wo f1 (i), f2 (z') in der Umgebung von z' = 0 eindeutig sind. Hier ist dann einfach zu prüfen, ob f1 (z') und f2(z') bei z' = 0 beide analytisch sind, oder ob mindestens eine dieser Funktionen daselbst einen 1) Findet man bei der analytischen Fortsetzung Koinzidenz eines v1 -blättrigen Verzweigungspunktes von f 1 (z) mit einem v2 -blättrigen von f 2 (z), so hat F daselbst einen v-blättrigen Verzweigungspunkt, unter v das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von V 1 und V 2 verstanden. 2) Letztere Stelle nach der eben gegebenen Bestimmung als isolierten Randpunkt von F. 8) Natiirlich darf auch wieder ein v-blättriger Verzweigungspunkt bei z = 00 liegen, wo man dann (z - zo) durch Z-l zu ersetzen hat.

102

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Pol oder, was im Falle eines Punktes z = 00 ja zunächst nicht ausgeschlossen ist, einen wesentlich singulären Punkt hat. Im zweiten und dritten Falle rechnen wir die betrachtete Stelle den Polen bzw. wesentlich singulären Stellen des Funktionenpaares fl(z), hez) zu und erklären nunmehr als "singuläre Stellen" der Differentialgleichung (1) die gesamten Pole und wesentlich sin.qulären Punkte des Funktionenpaars fl (z), f2 (z). Ehe wir auf die Untersuchung dieser singulären Stellen näher eingehen, ist über die Vieldeutigkeit der Lösungen ~ im Felde Feine grundlegende Betrachtung auszuführen. In der Umgebung einer nichtsingulären Stelle seien ~l' ~2 zwei linear-unabhängige Lösungen und ~ irgendeine Lösung von (1). Man beschreibe von Zo eine im Felde F geschlossene Bahn C bis Zo zurück und setze ~ über C fort. Ist es möglich, C stetig und ohne Zerreißen auf einen Punkt zusammenzuziehen, ohne daß die Bahn C hierbei über eine singuläre Stelle von (1) hinweggezogen wird, so kehrt ~ längs C notwendig zu seinen Anfangswerten zurück. Ist diese Zusammenziehung von C nicht möglich, so können wir nur folgern, daß die Fortsetzung von ~ über C hin am Schlusse wieder zu einer Lösung r von (1) für die Umgebung von Zo hinführt, wo sich alsdann ~' wieder linear und homogen in den ~1' ~2 darstellt. Wenden wir dieses Ergebnis insbesondere auf ~i und ~2 selbst an, so mögen Wll" am Schlusse zu:

(9) gelangen. Diese Lösungen 6~, S; müssen dann wieder linear-unabhängig sein, da eine am Schlusse identisch bestehende Gleichung a~~ + b~~ = 0 auch schon zu Anfang bestehen müßte. Wir gelangen demnach zu folgendem grundlegenden, die Vieldeutigkeit der Lösungen ~ im Felde F regelnden Satze: Ein System linear-unabhängiger Lösungen Si' ~2 geht bei Fortsetzung über einen im Felde F geschlossenen Weg C l:n ein System der Gestalt (9) mit I ClO - ßr I > 0 über, so daß sich das System 6v 62 bei Fortsetzung über C, wie man sagt, linear mit nicht-verschwindender Determinante (CI 0 - ßr) substituiert; so oft C, ohne über singuläre Punkte von (1) hinweggeschoben zu werden, stetig nnd ohne Zerreißen in F auf einen Punkt zusammenziehbar ist, liegt die "identische Substitntion" (vgl. S. 68) d. h. diejenige mit a = 0 = 1, ß = r = 0, vor. Dieses Ergebnis eröffnet uns zugleich die Möglichkeit, Darstellungen der Lösungen S von (1) in der Umgebung eines isoliert liegenden singnlären Pnnkte8 Zo dieser Differentialgleichung zu machen, wobei man, falls Zo ein Verzweigungspunkt oder eine Stelle 00 ist, zuvor die Transformation auf die oben gena11llte Variabele z' vornehme. C umlaufe Zo

Verhalten der Lösungen bei Umläufen

103

im positiven Sinne und sei so gewählt, daß kein weiterer singulärer Punkt in oder auf C liegt. Dem Umlauf entspreche die Substitution (9) eines ausgewählten Systems linear-unabhängiger Lösungen ~1' ~2' Wir fragen nun, ob es eine nicht identisch verschwindende Lösung

Z

=

A~l

+ B~2

geben kann, welche beim Umlauf C in sich selbst multipliziert mit einem konstanten Faktor !1- übergeht, so daß die Gleichung Z' = !1-Z bestehen würde. Dann mUßte:

A(asl

+ ßS2) + B(Ybl + OS2) =

identisch gelten, woraus wir, da

(10)

!1- A bl

+ t-t B S2

Sv S2 linear-unabhängig sind:

A(a-!1-)+By=O, Aß+B(o-!1-)=O

folgern. Zwei nicht zugleich verschwindende Konstante A, B, welche die Gleichungen (10) befriedigen, liefern auch umgekehrt eine gewünschte Lösung Z. Damit nun die Gleichungen (10) durch zwei nicht zugleich verschwindende A, B befriedigt werden können, muß· ihre Determinante verschwinden: (11)

a-!1- Y I o'_t-tI=t-t2-Ca+o)t-t+ao-ßy=0.

I ß,

Es gibt demnach für unseren singulären Punkt Zo höchstens zwei Faktoren t-t1' t-t2 oder gar nur einen t-t, in dem Falle nämlich, daß die Gleichung (11) zusammenfallende W~trzeln hat. 1) Man beachte noch, daß die Faktoren t-t als Lösungen von (11) sicher endlich und von 0 ver-schieden sind. Tragen wir nun einen aus (11) berechneten Faktor t-t in (10) ein, so können zwei Fälle eintreten. Entweder sind die linearen Gleichungen (10) fül' die gesuchten A, B identisch erfüllt, oder es gibt, abgesehen von einem gemeinsamen Faktor, den wir dim A, B zusetzen dUrfen, nur ein System nicht zugleich verschwindender Lösungen A, B von (10). Im ersten Falle ist a = 0 =!1-, ß = y = 0, und es sind die A, B willkürlich wählbar: In der Tat nehmen jetzt bereits die beiden linear-unabhängigen Lösungen Sl' ~2 bei einem Umlauf um den singulären Punkt Zo den Faktor t-t an, und dasselbe gilt also für jede Lösung. Liegt dieser Fall nicht vor, so gibt es, abgesehen von einem konstanten Faktor, den wir der Lösung zusetzen mögen, eine und nur eine Lösung Z, welche bei Umlattf um Zo den a~tS (11) berechneten Faktor t-t annimmt. 1) Aus der Bestimmtheit der Faktoren /L folgt zugleich ihre Unabhängigkeit von der Auswahl des Systems Sl' S2' die man auch leicht durch direkte Rechnung beweisen kann.

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

104

Für die in Rede stehende Lösung Z können wir nun leicht in der Umgebung von Zo eIne Darstellung angeben. Setzen wir:

(12)

Q=

log /L

27;:;; ,

so ist Q bis auf eine additive ganze Zahl bestimmt; wir behalten uns eine spezielle Auswahl von Q vor und denken zunächst eine beliebige Wahl getroffen. Dann ist:

e~ log (z -

zo) _

(

-

z-

Zo

) ~

eine in der Umgebung von zo, abgesehen von diesem Punkte selbst, überall analytische Funktion, die bei dem Umlaufe um Zo gleichfalls den Faktor [.t annimmt. Somit ist Z· (z - zo) - ~ ebendaselbst überall analytisch und kehrt beim Umlaufe um Zo zu seinen Anfangswerten zurück. Für dieses Produkt gilt demnach (vgl. S. 41) eine Laurentsche Entwicklung nach Potenzen von (z - zo), die durch 2(z - zo) bezeichnet werde: und die in der Umgebung von zo, abgesehen vielleicht!) von diesem Punkte selbst, konvergiert. Hat jetzt die Gleichung (11) verschiedene Wurzeln /LI' [.t2' so mögen ihnen die bis auf konstante Faktoren eindeutig bestimmten Lösungen ZlI Z2 von (1) zugehören, welche man leicht als linear-unabhängig erkennt. 2) Wählen wir zwei zugehörige Ql' Q2' so folgt: Sind die beiden Wurzeln /LI' [.t2 von (11) verschieden, so gibt es zwei bis auf konstante Faktoren bestimmte, linear-unabhängige Lös~mgen Z1' Z2 mit den Darstellungen:

(13)

Z1

=

(z -

ZO)~l' ~1 (z

- zo), Zs = (z -

ZO)~2. ~2(Z -

zo)' "">

Sind die heiden Wurzeln /L von (11) einander gleich, so setzen wir eine erste Lösung Z1 mit der Darstellung: Z1

=

(z - zo)e. 21 (z - zo)

an. Ist Z2 eine von Z1 linear-unabhängige Lösung, so tritt jetzt bei dem Umlaufe um Zo an Stelle von (9): Z~

=

aZu

Z~

=

rZ1

+ IJZ

2,

1) Es kann ja der besondere Fall eintreten, daß .\3(z - zo) überhaupt keine Glieder mit negativen Potenzexponenten aufweist. 2) Besteht nämlich aZ, bZ2 = 0 identisch, so folgt durch Ausführung des Umlaufs um Zo als wieder identisch gültig a /Ll Z, b /L2 Z2 = O. Durch Kombination beider Gleichungen folgt leicht a = 0, b = O.

+

+

Darstellungen von

in der Umgebung eines singulären Punktes

~

10&

wo natürlich a = /1' ist. Da aber die zugehörige Gleichung (11) auch als zweite Lösung wieder /1' haben muß, so ist auch 0 = /1', und also gilt~ Z~

=

/1'Zv

Z~

=

yZl + /1'Z2.

Ist nun erstlich y = 0, so haben wir den schon vorhin erwähnten Fall, daß alle Lösungen beim Umlauf wn Zo den Faktm" /1' annehment wo dann also Darstellungen gelten: (14)

Zl = (z - zo)~ . 2 1 (z - zo),

Z2 = (z - co)~ . 2 2 (z - zo) ,

Ist zweitens i y ! > 0, so beachte man, daß die Lösung ZI bis auf einen konstanten Faktor bestimmt ist, da jetzt der eben erledigte Fall nicht vorliegt. Nach bestimmter Auswahl von Zl möge an Stelle der zuerst aufgegriffenen Lösung Z2 die folgende: Z2= 2in/1'y-1Z2 treten, die hernach gleich selbst wieder Z2 heiße. Offenbar gilt dann für den Umlauf um zo: Z~

= p,Zl'

Z~

= 2inp,Zl

+ p,Z2.

Hieraus aber folgert man ohne Mühe, daß die Funktion: Z2 - log (c - co) . ZlI

welche in der Umgebung von zo' abgesehen von Zo selbst, überall analytisch ist, gegenüber dem Umlauf um Zo einfach wieder den Faktor /1' annimmt und also eine Darstellung (c - zo)~ . 2 2 (z - co) gestattet. Jetzt existieren zwei linear-unabhängige Lösungen mit den Dm"stellungen:

(15) ZI =(z-zo)~ .21(c-z o), Z2=(z-zo)~(22(c-zo)+log(c-co)·21 (c-zo»r wo ZI bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist und Z2 nach Auswahl von ZI insoweit ttnbestimmt bleibt, daß Z2 durch irgendeine Lösung (Z2 + a Zl) ersetzbar ist. Alle in (13)ff. zur Benutzung kommenden Laurentschen Reihen konvergieren in der Umgebung des singulären Punktes co, abgesehen vielleicht von diesem Punkte selbst.

§ 20. Ausführungen über die hypergeometrische Differentialgleichung. Die vorstehenden Ausführungen werden späterhin insbesondere im Falle der "hypergeometrischen" Differentialgleichung: (1)

d's [ (a+ß+1)c-y] ds z(z-l)dzi+ dz+aß~=O

zur Verwendung kommen. Wir wollen hierbei unter (x, ß, y reelle Größen verstehen, die weiterhin noch gewissen Beschränkungen unterworfen werden sollen.

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

106

Die bisher mit f1(z) und f2(z) bezeichneten Funktionen sind für die Differentialgleichung (1) rational und haben Pole bei z = 0 und z = 1. Das Feld F des Funktionenpaars ist die schlichte z-Kugel; singuläre Punkte der Differentialgleichung sind im Endlichen nur die Punkte z = 0 tmd z = 1, denen wir nötigenfalls als dritten singulären Punkt elen noch näher zu untersuchenden Punkt z = 00 hinzuzufügen haben. Um diese Untersuchung sogleich durchzuführen, setzen wir z = ~ und rechnen (1) auf die Gestalt um:

i(i - 1) :;,~

+ [(2 -

ß)J;{ -

r)z' - (1 - a -

:~ s= O.

Hieraus geht zunächst hervor, daß z' = 0 und also z = 00 ein singulärer Punkt unserer Differentialgleichung ist. Andererseits gewinnen wir aus der letzten Gleichung die Kenntnis einer grundlegenden Eigenschaft der Gleichung (1) auf folgende Art. Die auf rf transformierte Gleichung hat zwar nicht unmittelbar die Gestalt (1) einer hypergeometrischen Differentialgleichung, kann aber durch die Transformation S = z'~ wieder auf diese Gestalt gebracht werden. Man wird nämlich durch diese Transformation zu der Gleichung:

s'

d b' + 2)z' - (2~ - a - ß + l)J dz' + [~(~ - r + 1) - (Q - a~>Q - ß)J s' 0

(s' - 1) dZ'2 + [(2~ - r d2~'

Z'

=

geführt und erkennt sofort, daß hier wieder eine Gleichung (1) vorliegt, flllls ~ entweder = (X oder = ß gesetzt wird. Im ersten Falle treten an Stelle der a, ß, r die Größen:

(2)

(x'

=

ß' =

(X,

a-

r

+ 1,

r' =

ß + 1,

(X -

im zweiten Falle aber:

(3)

(x'

=

ß- r

+ 1, ß' = ß, r' =

- a

+ ß + 1.

Das gewonnene Ergebnis läßt sich noch in eine wesentlich einfachere Gestalt kleiden, wenn wir statt der (x, ß, r drei neue Größen A, !-L, v einführen, welche mit den (x, ß, r durch:

(4)

{

r, [.L = r ß, v = ß - IX, t(1 - A - [.L - v), ß = t(1 - A -!-L + v),

A= 1 (X

=

(X -

r

=

1- A

zusammenhängen. Die Transformationen (2) und (3) der (x, ß, r nehmen nämlich, auf A, [.L, v umgerechnet, die einfachen Gestalten an: A'

=

v,

A'

=

-

v,

[.L' =

[.L ,

[.L' =

[.L,

v'

=

v=

A, -

A.

Transformation der hypergeometrischen Differentialgleichung

107

Bezeichnen wir die linke Seite der Differentialgleichung (1) durch das Symbol D(t" z; 1, (t, v), so erweist sich dieser Ausdruck D als invariant gegenüber jedm" det" beiden Transformationen:

(5) t,'=zCtt" z'=z-\ l'=v, (t'={t, v'=l, (6) t=#t" z'=z-\ l'=~v, fL'={t, v=-l, da D' = D(t, z'; 11', v') bis auf die Faktoren z"- 2 bzw. z,~- 2 gleich D ist: D'=Z,,-2D bzw. D'=Zi9 - 2 D. Setzt man ferner t, = z = 1 - z' in (1) ein, so folgt:

,1.',

s',

z'(z' - l)::~+[(a

+ ß + l)z' - (a + ß -

r

+ l)l~} + aßs' = 0,

womit wieder eine Gleichung (1), nämlich diejenige mit: (x'

=

a , ß'

=

,1.,

ß, r' = a + ß - r

+1

,1.'

gewonnen ist. Für die {t, v liefern diese Gleichungen: = [L, [L' = 1, v' = v, so daß D invariant ist auch gegenüber der Transfm"mation: (7) t,' = t" z' = 1 - z, l' = [L, {t' = 1, v' = v. Es ist nun ein einfacher, aber wichtiger Grundsatz, daß, wenn man zwei Transformationen, die beide D (von Faktoren abgesehen) in sich überführen, hintereinander ausübt, hierdurch eine aus jenen zusammengesetzte dritte Transformation entsteht, gegenüber der D in gleichem Sinne invariant sein muß. Wir wenden dies Prinzip zunächst nur auf die Transformationen (5) und (7) an, kombinieren die entspringenden Transformationen aber sowohl unter sich als auch wieder mit (5) und (7). Es zeigt sich, daß wir von (5) nnd (7) aus anf diese Weise insgesamt nur zn sechs verschiedenen Transformationen, die "identische" Transformation ~'=~, z' = z, l' = 1, ... mitgerechnet, hü~gelangen, die wir 1:n leicht vm'ständlicher 'Weise tabellarisch zusammenstellen: I

I

1 i Lv I " [

z

I' ~

I---~- ---1-_-1-_1_11

-

Z1

I {t i

,1.

I I

V

I~-i--I--I--i-

> Ivl{t11

I~---~-r~--'-~i-~I

I--$"-

za~ (1-

'lob

I

{t

v

I

I.

I

1,~; 1-~--,1.-I-{t-1

-(-;,-=~:)::-I.

z

-t-,l-I-v---u-/

~ Iz- 1 i

I

I

l'

108

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

Hier ist an erster Stelle die identische Transformation genannt, an zweiter die Transformation (7) und an dritter Stelle die Transformation (5). Die vierte Transformation entsteht, wenn wir zunächst die dritte und auf die transformierten Größen sodann die zweite Transformation ausüben. Beginnen wir mit der zweiten Transformation und üben sodann die dritte aus, so folgt die fünfte. Endlich ergibt sich die sechste Transformation etwa durch Kombination der fünften und der zweiten. Man überzeugt sich leicht durch direkte Rechnung, daß irgend zwei unter den sechs Transformationen kombiniert immer wieder eine unter diesen Transformationen liefern. Man sagt, um dieses Sachverhältnis zum Ausdruck zu bringen, sie bilden eine "Gruppe" von sechs zusammengehö1·igen Transformationen, nennt die Anzahl sechs der Transformationen die" Ordnung" der Gruppe und bezeichnet diese durch das Symbol G 6• Kehren wir die einzelne Transformation um, 80 entsteht die zur ihr "inverse" Transformation. Man stellt ohne Mühe fest, daß (außer der identischen) die zweite, dritte und sechste Transformation je sich selbst invers sind, daß aber die vierte und fünfte zueinander invers sind. Man sagt auch, die zweite, dritte und sechste Transfonnation seien von der Periode zwei, insofern zweimalige Ausführung einer dieser 'rransformationen die identische Transformation erzeugt. Die vierte und fünfte Transformation haben im gleichen Sinne die Periode drei.!) Kombinieren wir nunmehr die Transformationen (5) und (6), so ergibt sich als neue Transformation, gegenüber welcher D wieder invariant ist: (8) s'=z-ls, z'=z, ,1,'=-,1" ~'=~, v'=-v. Demnächst wolle man die zweite Transformation der G6,hierauf(8) und dann nochmals die zweite Transformation der G6 ausüben, wodurch man erhält: s'=(l-z)-/'s, /=z, ).'=,1" ~'=-~, v'=-v. Endlich kombiniere man diese Transformation mit (8). Wir stellen die 1) Die Gß des Textes ist, wie man sieht, vom Standpunkte der abstrakten Gruppentheorie (die nur auf die "Struktur" der Gruppen achtet und die besondere Darstellungsform derselben als unwesentlich -betrachtet) einfach mit der Gruppe der sechs Permutationen von drei Dingen (hier entweder die drei Größen A, 11, 'V oder, wenn man will, die drei singuHtren Punkte z = 0, 1, (0) identisch. Faßt man die Ge in der Gestalt der sechs linearen Substitutionen: "

,Z =

z,

z

=

1-

z,

z

,

=

1 -z-'

,

Z"=

z-l

- z-, z

,

=

1

1 -z '

, z z=--, z-l

gelangt man zu der in der "Theorie der regulären Körper" oder in der "Theorie der Gruppen linearer Substitutionen einer Variablen" wohlbekannten "Diederg1"1qJpe" Ge; siehe darüber Klein, "Vorlesungen über das Ikosaeder", (Leipzig, 1884) S. 9 und 36 oder "l\fodulfunktionen" Bd. 1 S. 15. Übrigens kommen wir im nächsten Kapitel (S. 126 ff.) auf die fraglichen Gruppen ausführlich zurück. 80

Die 24 Transformationen der hypergeometrischen Differentialgleichung

109

drei so gewonnenen Transformationen, unter Hillzunahme der identischen Transformation, wieder tabellarisch zusammen:

Diese vier Transformationen bilden für sich eine "Gnlppe" G 4 der Ordnumg vier, wie man lel~cht zeigt.l) Man kombiniere schließlich die vier Transformationen der G4 einzeln mit den sechs der G6 und gelangt so zu 24 verschiedenen Transformationen mit einem (wenigstens was die z, 1, [L, v angeht) unmittelbar übersehbaren Bildungsgesetze. Diese 24 Transformationen bilden wiederum eine Gruppe G24 der Ordnu11g 24, welche die besonderen Tr(J;nsformationen (5), (6) und (7) enthält; von diesen letzteren aus gelangen wir also insgesamt zn 24 verschiedenen Transformationen, welche die linke Seite der hypergeometJ'ischen Differentialgleichnng (1) bis anf einen Faktor in sich iiberfiihren. 2) Die vorstehenden Betrachtungen sind für die Lösungen der Differentialgleichung (1) in den Umgebungen der singulären Stellen wichtig. Die hierbei eintretenden Entwicklungen gründen sich auf folgende Tatsache: Man kann zttnächst für die Umgebnng des singulären Ptmktes z = 0, falls r weder gleich noch gleich einer negativen ganzen Zahl ist, eine bis auf einen konstanten Faktor eindetdig bestimmte Lösung der Differentialgleichung (1) angeben, welche auch im singtllären Punkt z = 0 selbst analytisch bleibt. Trägt man nämlich

°

~ = Co

+ Cl Z + C2 Z 2 + ...

in die Gleichung (1) ein, so ist für das identische Bestehen dieser Gleichung in /ö, die Konvergenz der Reihe vorausgesetzt, die für alle Indizes n = 0, 1, 2, . .. gültige Gleichung:

(9)

(a + n)(ß + n) cn+l =cn(l+n)(y+n)

1) Es handelt sich hier im Sinne der abstrakten Gruppentheorie um dieselbe Gruppe, welche in der "Theorie der Gruppen linearer Substitutionen einer Variablen" als "Yierergruppe" auftritt; vgl. die Nachweise der letzten Note. 2) Diese G24 ist im Sinne der abstrakten Gruppentheorie identisch mit der Gruppe der 24 Permutationen von vier Dingen; in der "Theorie der regulären Körper" tritt die G.. als "Oktaedergruppe" auf (vgl. vorletzte Note).

Einleitung: Sätze über analytische Funktion

110

hinreichend und notwendig. Dies führt auf:

S= c (1 +~ z + a(a+ 1)·ß(ß+ 1) Z2+ a(a+ 1)(a+ 2) ·ß(ß+ 1)(ß+2) zs+ .. ) o

1·,.

1·2'''(1'+1)

1.2·3'1'(1'+1)(1'+2)

,

wo in der Klammer die wohlbekannte Gestalt der "hypergeometrischen" Reihe gewonnen ist, nach welcher auch die Differentialgleichung (1) ihren Namen trägt. Für diese Reihe hat Gaußl) die abkürzende Bezeichnung F(a, ß, r; z) eingeführt; wir wollen entsprechend dieser Schreibweise a, ß, r, z als "erstes", "zweites" usw. "Argument" von F bezeichnen. Das dritte Argument r darf, wie schon bemerkt, weder gleich 0, noch gleich einer negativen ganzen Zahl sein, da ja sonst in den Koeffizienten unserer Reihe von einer gewissen Stelle an der Faktor im N eImer auftreten würde. 2) Da übrigens aus (9) offenbar

°

lim n=CfJ

Cn +1 =

Cn

1 folgt, so ist die Reihe für

I

z

I

<1

konvergent und für

I z I > 1 divergent, sofern sie nicht dadurch, daß eine der Größen a, ß mit einer unterhalb 1 gelegenen ganzen Zahl gleich ist, bei einem gewissen endlichen Gliede abbricht 8): Die unter der genannten beschränkenden Vora'ussetzung betreffs des dritten Argumentes y anzusetzende hypergeometrische Reihe: F(

(10)

a,

ß,y,. Z) = 1 + 1. ~ l' Z

+ a(a1 .+2 1). l' .(1'ß(ß++1) 1) Z 2 + ...

hat, falls sie überhaupt eine "unendlichd' Reihe ist, den Konvergenzradius

R=1. Setzt man

(11)

Co =

1, so ist:

s=

F(a,

ß,

y; z)

eine erste Lösung der Differentialgleichung (1) in der Umgebung der singulären Stelle z = 0, aus welcher die allgemeinste in diesem Punkte 1) In der für die hypergeometrische Reihe und Differentialgleichung grundlegenden Arbeit "Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1

+~ x + ... ", 1·1'

Göttinger Abhandl. von 1813 oder Gauß' Werke, Bd. 3, S. 123. 2) Man muß in diesem Falle (worauf wir unten zurückkommen werden) die Anfangskoeffizienten co, cl' ... bis c_ 'Y gleich 0 setzen, c1 _ y aber gleich 1 wählen. Die sich ergebende Lösung ist wieder im singulären Punkte z = 0 analytisch und besitzt dortselbst einen Nullpunkt der Ordnung 1 -,.. 3) Ist etwa a eine negative ganze Zahl, BO ist offenbar F (a, ß, 1'; z) eine ganze rationale Funktion des Grades - a. Der Fall a = 0 ist elementar, insofern man in diesem Falle als allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) findet:

s= Af-r(1- z)-ß+r- 1 dz + B,

unter A und B Konstante verstanden.

111

Die hypergeometrische Reihe

analytisch bleibende Lösung durch Zusatz eines Faktors Co herstellbar ist. Man gehe nun auf die obigen 24 Transformationen unserer Differentialgleichung (1) zurück. Die einzelne derselben hat, was S anlangt, die Gestalt = zm(l - z)n Ist die Gleichung D = für S identisch erfüllt, so wird, da D' bis auf einen Faktor gleich D ist, eine Lösung der transformierten Gleichung D' = 0 seill; und umgekehrt ergibt jede Lösung dieser Gleichung in S = z-m(l - z)-nb' eine solche die Lösung der ursprünglichen. Indem wir nun nach (11) fü}' F(Cf.', ß', r'; z') eintragen, gewinnen wir für die Differentialgleichung (1) einen Ansatz 'fon 24 zunächst formal 'rerschiedenen Lösungen: (12) S= z-m(l - z)-n. F(a', ß', r'; z'), wobei die LösU11,g (11) selbst, der identischen Transformation der G24 entsprechend, mitgezählt ist. Was die Konvergenz der einzelnen dieser Reihen angeht, sofern dieselbe eine unendliche Reihe ist und auch nicht etwa dadurch, daß eine der Gleichungen r' =0,-1, -2, ... zutrifft, unbrauchbar wird, so ist das Innere des Konvergenzkreises stets durch I z' I < 1 gegeben. Je nachdem , , 1 ' 1 , z-l , 1 , z Z =z, z = -z, z =--Z' z =z-' z =l-z' z =z-l

s'

°

s.

s'

s'

s'

ist, wird man in jedem Falle den Konvergenzkreis in der z-Ebene leicht feststellen. Der einzelne sillguläre Punkt liegt dabei je in zweien unter diesen sechs Konvergenzkreisen, so daß von den 24 in Ansatz gebrachten Lösungen (12) sich je 8 auf die Umgebung des et"11zelnen unter den drei singulären Punkten beziehen. Z. B. erhalten wir für die Umgebung von z = 0 vier Reihen nach Potenzen von z und vier solche nach Potenzen von ~z-1", wobei das Innere des "Konvergenzkreises" zfür die letzten vier Reihen von allen den Werten z geliefert wird, die einen reellen Bestandteil < t besitzen. Da die drei singulären Punkte bei den Transformationen der Gleichung (1) in sich ausgetauscht werden, so übertragen sich die für einen einzelnen unter den drei Punkten gemachten Ausführungen eben durch jene Transformationen auf die beiden anderen Punkte. Es ist demnach ausreichend, wenn wir ausführlich nur etwa den Punkt ß = betrachten. Die acht zum singulären Punkte z = 0 gehörenden Ansätze (12) sind die folgenden:

°

F(Cf., ß, r; z), Zl- r F (ß - r 1, Cf. - r 1, 2 - r; z), (l-z)-a-,HrF(-Cf.+r, -ß+r, ri z), zl- r (l- z)-a-,Hr F(- ß + 1, - Cf. + 1,2 - r; z),

+

+

112

Einleitung: Sätze über analytische Funktionen

(l-z)-a F (ct, -ß+r, ri i~l)'

(l-z)-i~F(-ct+r, ß, ri z~l)' zl-r(l- Z)-a+r-lF(- ß + 1, a - r

+ 1,

2 - r,· ~-~-~) z

-1/ '

Diese acht Ansätze sind aber nur formal alle voneinander verschieden. Da nämlich der dritte, ebenso wie der fünfte und sechste Ansatz, zu einer Potenzreihe mit dem Anfangsgliede 1 führt, so ergeben diese drei Ansätze einfach F(et, ß, Yi z) wieder, was man auch leicht durch Ausrechnung einiger Reihenglieder bestätigt findet. Ebenso führen die vier restierenden Ansätze (sofern dieselben brauchbar sind) zu elller und derselben Lösung. Wir kommen somit auf die heiden nunmehr durch: (13)

f Zl

=

lZ2

=

F(et, ß, r; z), zl-r F(ß - r

+ 1,et -

r

+ 1,

2 - ri z)

zu bezeichnenden Lösungen zurück. Ist nun erstlich r keine ganze Zahl, so haben WIr III Zl' Z2 die beiden Lösungen (13) S. 104 der allgemeinen Theorie gewonnen: Ist r nicht ganzzahlig, so liefem die in (13) dargestellten Zu Z2 für die Umgebung des singulären Punktes z = 0 zwei linear-tmabhängige Lösungen, die übrigens durch ihre Eigenschaften, daß die Anfangsglieder der Potenzreihen 1 bzw. zl-y sind, eindeutig bestimmt sind.

Ist zweitens r ganzzahlig, so haben wir zu unterscheiden, ob r< 1, 1 oder > 1 ist. Im ersten Falle bleibt nur die Lösung Z2 brauchbar und zeigt, daß wir in diesem oben ausgeschlossenen Falle 1) eine im Punkte z = 0 analytisch bleibende Lösung mit einem daselbst gelegenen Nullpunkte der Ordnung (1 - r) haben. Ist r = 1, so liefern die beiden Reihen (13) ein und dieselbe Lösung, da F(et, ß, Yi z) im ersten und zweiten Argumente symmetrisch ist. Im dritten Falle, r > 1, wird die zweite Reihe (13) unbrauchbar, und es verbleibt nur die Lösung F(et, ß, Yi z). In allen diesen Fällen kann man sich eine zweite Lösung vermittelst einer Methode verschaffen, nach der man bei jeder linearen homogenen Differentialgleic7mng zweiter Ordnung aus einer ersten partikttlären Lösung mittelst zweier Quadmturen die allgemeine Lösung ftn=

1) Siehe jedoch die zweite Note S. 110.

113

Herstellung zweier linear-unabhängigen Lösungen

det. Ist nämlich Zl eine erste partikuläre Lösung der Gleichung (1) S. 97 und

~

irgendeine Lösung derselben, so gilt: /

d! ~

dz'

=

dtZ, dz2

=

d~

(1 \.z) dz

+ (2(Z)~,

{()dZ,++()Z 1 Z

dZ

/2 Z

Durch Elimination von (2(Z) folgt:

_~_ (Z d~ _ ~ ~~) dz 1 dz dz

=

f 1 (z) \

(Z

1

1·

~l_ dz

dZ,) dz '

I'

~

so daß es gelingt, den hier links und rechts in der Klammer auftretenden Ausdruck durch eine erste Quadratur zu berechnen; man findet:

Z 1

d~ _ ~ dZ, = dz dz

unter A eine Konstante verstanden. sofort weiter:

Ae!fl(Z)dz

'

Aus dieser Gleichung aber folgt

so daß wir mitte1st einer zweiten Quadratur die allgemeine Lösung der Gestalt gewinnen:

~ = AZ1!(Z;2e!tI(Z)dZ) dz

~

in

+ BZ

l1

unter B eine zweite Konstante verstanden. Im Falle der hypergeometrischen Differentialgleichung liefert diese Methode die allgemeine Lösung:

~ = AZ1

jez-

Y

(1-z)-u- ß+Y- 1 Z~2) dz

+ BZl •

Wir wollen diese Gleichung in dem unten allein in Betracht kommenden Falle r = 1 noch weiter verfolgen, indem wir unter Zl die Lösung F(et, ß, 1; z) verstehen; auch wollen wir A = 1, B = 0 setzen, was die besondere Lösung: Z2 = Zl!(z-l(l- Z)-a-i~ Z~2) dz liefert. Der Ausdruck in der Klammer gestattet eine Reihenentwicklung, deren erstes Glied Z-1 ist und die übrigens jedenfalls in der Umgebung von z = 0 konvergiert, da Z1 hier analytisch ist und den Wert 1 hat. Die Integration und Multiplikation des Integrales mit Zl = F(et, ß, 1; z) ergibt für Z2 eine Darstellung der Gestalt:

Z2

=

~2(Z)

+ log Z· ~1 (z),

wo ~1 (z) einfach unsere hypergeometrische Reihe F(et, ß, 1; z) ist und die Reihe P2(Z), insofern wir die Konstante B = 0 setzen wollten, das Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. 1

8

Einleitung:

114

~ätze

über analytische Funktionen

Absolutglied 0 hat. Die hiermit gewonnene Darstellung von Z2 ordnet sich dem allgemeinen Ansatze (15) S. 105 unter, so daß die damaligen Aussagen für die hier betrachtete Lösung gelten. Insbesondere wird

auch ~2 (z) für Iz I < 1 konvergent sein; im übrigen sind die hier vorliegenden ~l (z), \152 (z) eindeutig bestimmt, \151 (z) als hypergeometrische Reihe F(a, ß, 1; z) und ~2(Z) durch die Forderung des verschwindenden Absolutgliedes. Übrigens ist es nicht schwer, die Reihe \152(Z) explizite anzugeben. Schreiben wir: \151 (z) = Co + Clz + C2Z~ + "', ~2(Z) = co' + Cl' Z + c2' Z2 + "',

so ist Co = 1, co' = 0 und die erste Reihe ist die hypergeometri sche mit '}' = 1, so daß sich aus (9): _CE _

(14)

(a

+n -

1)(ß

Cn-l

n2

+n -

1)

ergibt. Trägt man nun in die Gleichung (1) die Lösung Z2 ein, entwickelt nach Potenzen von z und setzt den Koeffizienten von zn gleich 0, so ergibt sich eine Rekursionsformel zur Berechnung der c",', welche man unter Benutzung von (14) leicht auf die Gestalt bringt:

S" = cn

cn-l

cn -

l

1 2 + a + 1n-1 + ~ß-+c--n--c1 - n'

gültig für n = 1, 2, 3, ... 1) Auf Grund der bekannten Ausdrücke für die Koeffizienten co, C11 C2 , ••• sowie der Festsetzung co' = 0 bestimmen sich jetzt leicht alle weiteren Koeffizienten Cl" c2', ••• , und man wird für ~2(Z) auf folgende, fortan durch das Symbol F l (a, ßi z) zu bezeichnende Reihe geführt:

Fl(a,ßiz)=;:~(~+t-t)z a(a+1)·ß(ß+1) (~+ _1_ + ~ +_1__ ~ _.!) Z2

(15) +

1·2·1·2

a

a+1

ß

ß+1

1

2

_1_+_1_ +~+ _1_+_1_

+ a(a+1)(a+2)·ß(ß+1)(ß+2) (~+ 1·2·3·1·2.3 a a+1

a+2

ß

ß+l

ß+2

- t - t - t) Z3 +.. " 1) Wenn eine der Größen a, ß, etwa die erste, ganzzahlig und< 0 ist und damit F(IX, ß, 1; z) eine rationale ganze Funktion des Grades - IX darstellt, so ist die Rekursionsformel des Textes nur für die Indizes n:<:: - IX zu benutzen. Für n = 1 - IX und n 1 - IX sind alsdann die folgenden Rekursionsformeln zu benutzen: , (a+n-1)(ß+n-I), cn = n2 Cn-l'

>

Die im Texte sogleich anzugebende Reihe F i (a, ß; z) verliert in diesem Falle, wie. man leicht nachweisen wird, ihre Gültigkeit nicht.

115

Herstellung zweier Lösungen für den Fall i' = 1

die, wie schon hervorgehoben wurde, für Iz I< 1 konvergiert. merken als Ergebnis an: Ist y = 1, so besitzen Wi1· in:

{ Zl Z2

(16)

=

=

Wir

F(et, ß, 1; z), F 1 (a, ß; z) + log z· F(a, ß, 1; z)

ein System linea1·-unabhängiger Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung (1). Zur Vorbereitung der späteren Anwendungen wollen wir für jeden der beiden anderen singulären Punkte ein Paar von Lösungen der Differentialgleichung (1) zusammenstellen, die sich jetzt unmittelbar durch je zwei geeignet ausgewählte unter unseren 24 Transformationen ergeben. Für z = 1 nehmen wir an, daß das hierbei in Betracht kommende dritte Argument y' = et + ß - y + 1 nicht ganzzahlig sei, und haben dann tür die Umgebung des singulären Punktes z = 1 als linearunabhängige Lösungen: 17 {Zl=F(et,ß,a+ ß - r +l; 1-z), ( ) Z2=(I-z)-a-,HYF(-a+r, -ß+r, -a-ß+r+1; 1-z), wo übrigens, wie wir doch noch hinzusetzen wollen, die hier mit Zl' Z2 bezeichneten Lösungen keineswegs die Fortsetzungen der oben bei z = 0 so bezeichneten Lösungen zu sein brauchen. Für den dritten singulären Punkt z = 00 kommt unten gerade der Fall in Betracht, daß nach Ausführung der Transformation das dritte Argument r' = IX - ß + 1 gleich 1 ist, was ß = a zur Folge hat. Für die transformierte Gleichung müssen wir jetzt ein Lösungssystem in der Gestalt (16) ansetzen. Die einfache Zwischenrechnung liefert das Ergebnis: Ist ß = a, so hat man tür die Umgebung des singulären Punktes z = 00 ein System linear-unabhängiger Lösungen der hypergeometrischen Differentialgleichung in der Gestalt:

(18)

! Zl

=

z-" F(a, a-r + 1, 1;~),

Z2

=

z- a (F1 (a, a - r

1 + 1; z) -

log.z. F(et, u - r

+ 1, 1; 1z) ) .

Hiermit sind alle Vorbereitungen getroffen, deren wir zur Behandlung der Theorie der elliptischen Funktionen bedürfen.

8*

Erster Abschnitt.

Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen erster Stufe. Das S. 96 entwickelte Grundproblem der Theorie der elliptischen Funktionen hat als erstes Ziel, den einzelnen Körper algebraischer Funktionen des Geschlechtes p= 1, den wir durch eine Riemannsche Fläche F2 mit zwei Blättern und vier getrennt liegenden Verzweigungspunkten erklären können, und die dem Körper zugehörigen Integrale:

(1)

JR(z, -Vaz4

+ 4bz 3 + 6cz 2 + 4dz + e) dz

näher zu untersuchen. Integrale dieser Art sind sehr früh bei Untersuchungen über Rektifikation von Kurven, insbesondere der Ellipse, aufgetreten 1), und diese Beziehung zur Ellipse hat für die Integrale (1), welche wir fortan allgemein als "elliptische" Integrale bezeichnen, den Namen abgegeben. Wie 'Yir schon S. 96 andeuteten, wird in die Untersuchung dadurch eine grundsätzliche Wendung hineinkommen, daß die algebraischen Funktionen des vorgelegten Körpers, in Abhängigkeit von einem gewissen unter den Integralen (1) betrachtet, zu eindeutigen Funktionen werden, die wir eben in dieser Abhängigkeit als "elliptische" F~tnktionen bezeichnen werden. Der Körper algebraischer Funktionen geht dabei in einen "Körper elliptischer Funktionen" über, dem dann weiter unsere Betrachtung gelten wird. Darüber hinaus haben wir als zweites Ziel, welches unser Grundproblem stellt, nach S. 96 zu nennen, daß wir einen Überblick über das Gesamtsystem aller Körper algebraischer Funktionen des Geschlechtes p = 1 oder, was auf dasselbe hinauskommt, aller Körper elliptischer Funktionen gewinnen sollen. Diese Aufgabe ist sehr wohl einer algebraischen Behandlung fähig und soll sogleich in dieser Weise in Angriff genommen werden. Aber auch hier wird die Hereinnahme jenes 1) Bogendifferentiale von der fraglichen Gestalt für die Ellipse sowie für die verlängerte und verkürzte Zykloide finden sich bereits bei J. vValli s, der in der Zeit von 1655-59 Untersuchungen über die Bogenlängen der genannten Kurven anstellte; siehe darüber W. Kutta, "Elliptische und andere Integrale bei Wallis", BibI. math., 3. Reihe, Bd. 2 (1901), S.230. .Man vgI. auch die geschichtlichen Notizen in dem Referate II B 3 "Elliptische Funktionen" von R. Fricke im Bd. 2, Teil 2 der "Enzyklopädie der mathematischen 'Wissenschaften", S. 182; wir zitieren diese Darstellung als "Referat über elliptische Funktionen".

Geschichtliches über elliptische Funktionen

117

besonderen Integrales eine neue Wendung in die Entwicklung hineinbringen, bei welcher wir an den Begriff der elliptischen Funktionen denjenigen der "elliptischen Modulfttnktionen" anzureihen haben werden. Die Behandlung der angegebenen Probleme, die wir hier zunächst vorlegen, ist nicht diejenige, welche geschichtlich zuerst entstanden ist· Die Theorie der elliptischen Integrale bei A. M. Legendre 1), sowie diejenige der elliptischen Funktionen bei C. F. Gauß2), N. H. AbeP) und C. G. J. Jacobi 4 ) hatte eine Gestalt, welche wir erst im nächsten Abschnitt näher kennen lernen werden. Der Vorrang gebührt derjenigen Gestalt, in welche K. Weierstraß5) die Theorie der elliptischen Funktionen gekleidet hat; dieser Gestalt der Theorie schließt sich der vorliegende erste Abschnitt an. Das Verhältnis der Weiershaßschen Darstellung der Theorie der elliptischen Funktionen zu der älteren Gestalt derselben findet seine klarste Ausdrucksform in der von F. Klein 6) aufgestellten "Stttfentheorie". Wir können die einfachen arithmetisch-gruppentheoretischen Grundlagen der Stufen theorie erst unten zur Darstellung bringen. Die 1) S. dessen "Traite des fonctions elliptiques", 3 Bde. (Paris 1825-1828); Leg en dr e benennt die Integrale als "fonctions elliptiques". 2) "Gesammelte Werke", Bd. 3 und 8 (Göttingen, 1866 und 1900); siehe auch L. Schlesinger "Über Gauß' Arbeiten zur Fnnktionentheorie", Gött. Nachr. von 1912 (Beiheft). ß) Die Untersuchungen Ab eIs beginnen 1826 und sind vornehmlich in den fünf ersten Bänden des JOUIn. für Math. veröffentlicht; siehe auch "Oeuvres compl. de N. H. Abel", nouv. edition par L. Sylow et S. Lie (Kristiania, 1881). Die beiden wichtigsten Abhandlungen sind "Recherches sur lea fonctions elliptiques", Oeuvres, Bd. 1, p. 279 und "Precis d'une theorie des fonctions elliptiques", Oeuvres, Bd. 1, p. 518. 4) Jacobis erste Mitteilungen sind im Jahre 1828 in den Astron. Nachrichten und im Journ. f. Math. erschienen. Die Hauptschrift "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" ist 1829 in Königsberg als selbständiges Buch erschienen. Die Vorlesungen Jacobis "Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihen abgeleitet" sind 1838 von C. W. Borchardt ausgearbeitet. Man vgl. übrigens Jacobis "Gesammelte Werke", Bd. 1 und 2 (Berlin, 1881 und 82). 5) In seiuen Berliner Vorlesungen seit dem 'Winter 1862/63. Siehe auch H. A. S ch w arz "FOl'meln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen", nach Vorlesungen und Aufzeichnungen des Herrn K. Weierstraß, (Göttingen, 1881 ff.). Vgl. endlich "Referat über elliptische Funktionen", S. 246. 6) Siehe Kleins Abhandlungen "Über unendlich viele Normalformen des elliptischen Integrals erster Gattung", Math. Ann., Bd. 17 (1880), S. 133 und "Zur Theorie der elliptischen Funktionen n ter Stufe", Leipziger Ber. von 1884, S. 61. Vgl. übrigens "Modulfunktionen", Bd. 2, S. 1 und "Referat über elliptische Funktionen", S. 247 und 277.

118

I, 1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

Integrale und Funktionen der ersten Stufe werden diejenigen sein, mit denen die Weierstraßsche Behandlung der Theorie arbeitet; und demgegenüber gehären die Größen der älteren Theorie zur zweiten bzw. vierten Stufe. Schon hier ist folgende Erklärung verständlich: Wir gelangen zur Theorie der elliptischen Integrale und Funktionen "erster" Stufe, wenn wir uns bei den alsbald einzuführenden Invarianten der in (1) unter dem Wurzelzeichen stehenden ganzen Funktion vierten Grades ausschließlich auf den Gebrauch "rationaler" Invarianten beschränken. In diesem Sinne wird es schon hier gestattet sein, die Bezeichnung "erste Stufe" zu benutzen.

118

I, 1. Die elliptischen Integrale und ihl'e Normalgestalten erster Stufe

Erstes Kapitel.

Die elliptischen Integrale und ihre zur ersten Stufe gehörenden Normalgestalten. Wir nehmen nunmehr den Gedankengang von S. 96 wieder auf und wenden uns zur Untersuchung der Integrale einer vorgelegten Riemannsehen Fläche F2 mit vier getrennt liegenden Verzweigungspunkten. Diese Fläche ist eine unter unendlich vielen F2 , welche ein und denselben Körper algebraischer Funktionen definieren; in der Tat ist ja jede andere F2 , welche auf die zunächst vorgelegte Fläche im Sinne von S. 93ff. umkehrbar rational bezogen ist, ebenso gut brauchbar, als Grundlage der Betrachtung der Funktionen des Körpers und der Integrale zu dienen. Wir werden danach streben, die Integrale tunliehst in eine Gestalt zu kleiden, die gegenüber Wechsel der Fläche invariant ist. Auf der anderen Seite werden wir, sobald es sich um die Bevorzugung einer besonderen F 2 und um den Aufbau der ihr zugehörigen "Normalgestalten" der Integrale handelt, dem Prinzip der "ersten" Stufe folgend nur mit "rationalen" Invarianten arbeiten.

§ 1. Die Verzweigungsform, ihre Invarianten und ihre Normal. gestalt erster Stufe. Um Kollisionen der Bezeichnungen zu vermeiden, soll die ganze Funktion, deren Nullpunkte die vier Verzweigungspuukte sind, fortan durch:

(1) fez) = aoz4 + 4at zS + 6a 2 z 2 + 4asz + a4 bezeichnet werden. Unter den sonstigen zweiwertigen Funktionen des Körpers (deren einzelne jedesmal eine der anderen F2 liefert) wollen. wir zunächst nur diejenigen Funktionen z' zulassen, welche mit z vermöge einer linearen Gleichung: (2)

,

az+b

z ~ cz -f d

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_2 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

119

Lineare Transformation der Verzweigungsform

von nicht verschwindender Determinante (ad - bc) zusammenhängen. Die Beziehung, welche hierdurch zwischen der z-Ebene und der z'-Ebene begründet ist, stellt eine "Kreisverwandtschaft" dar, und wir gewinnen also Anschluß an die vorbereitenden Entwicklungen von S. 66ft'. Bei der Umrechnung des Ausdrucks (1) auf z' muß man, um die zu z' gehörende Funktion f' Cz') zu gewinnen 1), welche die neue Fläche F~ festlegt, nach Einführung von z' noch mit (- cz' a)4 multiplizieren. Die Rechnungen gestalten sich übersichtlicher, wenn wir in folgender

+

Art eine "homogene Schreibweise" einführen: Wi1' setzen z

=

~ nnd fiihZ2

ren Zl und Z2 nebeneinander als "binäre Variable" ein, wobei wir festsetzen, daß Zu Z2 niemals zugleich verschwinden und stets endlich sein sollen. Dem einzelnen Werte z entsprechen dann natürlich unendlich viele Paare Zu Z2; dieselben gehen aus emem unter ihnen durch die Substitution: (3) z~ = oZv z~ = oZ2

hervor, unter 0 irgendeinen endlichen, von 0 verschiedenen komplexen Proportionalitätsfaktor verstanden. An Stelle von (1) tritt nun eine homogene Funktion vierten Grades: f(zll

Z2) =

~

.

fCz)

<Jd er, Wie man sagt, eUle "Form" vierten Grades: (4)

f(Zl'

Z2) =

aozf

+ 4alz~z2 + Ga2ziz; + 4a3z1z~ + a4~;

wir wollen sie die" Verzweigungsform" der Fläche F2 nennen und weiterhin der Kürze halber durch f. bezeichnen. Von (2) gehen wir durch Lösung nach z zunächst zur "inversen" Substitution und spalten die letztere sodann m: (5) wobei diese binäre oder homogene, Substitution wieder die bisherige nicht verschwindende Determinante (ad - bc) hat. Auf diese Weise sind die Rechnungen gut vorbereitet, indem man durch Eintragung der Ausdrücke (5) für Zl und Z2 in (4) nach der erforderlichen Neuordnung {ler Glieder die transformierte Form f;, erhält. Wir wollen nun Formen, die auf diese Weise durch lineare Substitutionen auseinander hervorgehen, miteinander "äquivalent" nennen und übertragen diese Bezeichnung auch auf die ihnen zugehörigen Riemannschen Flächen; "gleichwertig" sind diese Flächen auch in dem Sinne, daß sie einen und denselben Körper algebraischer Funktionen de1) Es dürfte kaum nötig sein, darauf hinzuweisen, daß hier die Ableitung von f bedeutet.

r natürlich nicht

120

I, 1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

finieren. Es stellt sich hier nun die Frage ein, wie man zwei Formen unmittelbar ansehen kann, ob sie äqnivalent sind oder nicht, sowie dann weiter, wie man unter allen äqnivalenten Formen fz eine besonders zweckmäßig gebante zum endgültigen Gebrauche auswählen kann. Auf diese Fragen antwortet die "Invariantentheorie der binären Formen".l) Um in dieser Hinsicht keine besonderen Vorkenntnisse vorauszusetzen, stellen wir folgende Erklärung au die Spitze: Als eine rationale Invariante von fz bezeichnen wir jede rationale Funktion der Koeffizienten Go, a1> ... , a41 welche, gebildet für die Koeffizienten a~, a~, ... , a~ einer mit fz äquivalenten Form f;', bis auf einen Faktor, der eine Potenz der Determinante (ad - bc) der benutzten Substitution (5) ist, gleich der ursprünglichen, d. h. für die ao, a1, • . . , a4 gebildeten Funktion ist; falls der Faktor gleich 1 (d. i. gleich der nullten Potenz der Determinante ad - bc) ist, so spricht man von einer "absoluten" In variante. Da die einzelne' Invariante z. B. auch gegenüber der Substitution (3), aus welcher a; = o-'ai folgt, ihre charakteristische Eigenschaft bewahren muß, so ist sie notwendig eine homogene Funktion der Go, a1, ••• , a 41 und insbesondere muß die "Dimension" dieser homogenen Funktion gleich 0 sein, wenn eine absolute Invariante vorliegen soll. Wir fragen nun zunächst, ob es möglich ist, ganze rationale Invarianten herzustellen, und wollen eine solche, wenn ~ ihre Dimension ist, durch das Symbol: bezeichnen. Ist die Determinante D = ad - bc der Substitution (5) gleich 1, so nennen wir diese Substitution "unimodular". Ist D nicht gleich 1, so können wir die Substitution (5) in die beiden Substitutionen: Zl = Z2 = 1/15 z~

YDz;,

"d,

Zl =

,

bl"

ybZ1 - y'n Z2'

Z2

c,

=

-

a"

ynZ1 + yn-Z2

zerlegen, deren zweite unimodular ist, während die Wirkung der ersten auf ga einfach die folgende ist:

(6) Wir dürfen uns demnach zunächst auf die Feststellung der Wirkung irgendwelcher unimodularer Substitutionen auf ga beschränken. Nach einer S. 69ff ausgeführten Rechnung kann man nun jede Sub1) S. etwa A. Clebsch, "Theorie der binären algebraischen Formen", (Leipzig, 1872), S. 134.

Einführung der Invarianten g2 und g8

121

stitution (2) durch Kombination von höchstens vier Substitutionen herstellen, deren jede eine der Gestalten hat: ,az ,-1, b Z=a;, Z=z' z = z - . Im ersten Falle dürfen wir die Koeffizienten so gewählt denken, daß ad = 1 zutrifft. Diese besonderen Substitutionen sind dann sämtlich unimodular; und es kommt auch die durch ihre Kombinierung zu gewinnende Substitution (2) unimodular heraus. Die drei ebengenannten Substitutionen liefern die nachfolgenden homogenen Substitutionen, denen wir sogleich die zugehörigen Transformationen der Koeffizienten ao, all . . • anreihen:

(7) (8)

Zl

(9)

{

= dz~,

Zl =

z;,

Zl =

z~

a~ =

Z2 Z2

=

a~ =

az;,

= - z~,

a~

[t k

d4 -

k •

ak ,

= (- 1)ka4 _

+ bz~, Z2 = z;, aobk + (D ai bk- 1 + (D a 2 bk -

2

k,

+ ... + ak •

Sollen wir also in ga wirklich eine Invariante vor uns haben, so ist hierzu notwendig und hinreichend, daß gö diesen Charakter der Invarianz bezüglich der drei Transformationen (7), (8) und (9) besitzt. Es ist nun zunächst sehr leicht, für ~ = 2 eine Invariante g2 herzustellen. Man beachte nämlich, daß jedes der drei Produkte ak a4 _ k gegenüber den Transformationen (7) und (8) absolut invariant ist, wobei im ersten Falle die Relation ad = 1 mit in Betracht kommt. Die Transformation (9) aber liefert: a~ a~_k

=

aÖb4 + 4a Oal b5 +

+ ((k

2-

4k

(W -

+ 4)aoGs -

4k

(k 2 -

+ 6)a Oa2 - W 4k)a a2)b + a a 1

k

4k)ai)b 2

4 - k•

Zufolge der rechten Seite wird die lineare Kombination:

A OaO a4 + Al al a s + A 2 a; der drei Produkte ak a4 - k auch gegenüber deI· Transformation (9) absolut invariant sein, falls die beiden Gleichungen: 2

9

~Ak=Ü' ,:2(k2 -4k)Ak =Ü

k=U

k=O

zutreffen. Wir lösen dieselben durch A o = 1, Al = - 4, finden damit eine erste Invariante: g2 =

~

= 3 und

aOa4 - 4al a s + 3a~.

Noch weit leichter gewinnen wir eine Invariante gs, nämlich Gestalt der Determinante: aO, a l , a 2

gg =

al

,

G2 ,

a,s ,

a2 , as, a 4

III

122

1,1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

deren absolute Invarianz gegenüber den drei Transformationen (7), (8) und (9) leicht beweisbar ist. Das Verhalten von g2 und gs gegenüber einer nicht-unimodularen Substitution regelt sich auf Grund der Gleichung (6). Als Ergebnis merken wir somit an: Die Verzweigungsform fz hat die beiden Invarianten der Dimensionen 2 und 3:

(10)

fg2 =

lgs =

aOa4 - 4a 1 a3 + 3a~, aO a2 a4 +2 a1 a2 a3 - aoa 2s - a 12 a4

-

a23 ,

welche sich bei Übergang ztf einer beliebigen äquivalenten Form bis auf die 4te bzw. 6te Potenz der Substitutionsdeterminante D reproduzieren:

(11) Wir benutzen die bisherigen Entwicklungen sofort zur Auswahl einer besonderen mit (1) äquivalenten Form, einer sogenannten "Normalgestaltil der Verzweigungsform, die wir als "Verzweigungs(orm erster Stufe" bezeichnen werden. Wir begehen hierbei eine weiterhin noch zu besprechende Unsymmetrie, indem wir einen der vier Verzweigungspunkte ek (Nullpunkte von f.) etwa e4 mittelst einer ersten Substitution: z~ =

Z2'

z~ = -

Z1

+ e4 z2

nach z' = = werfen. 1) Die Folge ist, daß in der zu gewinnenden äquivalenten Form f;, der Keoffizient a~ verschwindet. Dagegen wird a'l nicht verschwinden, da kein zweiter Verzweigungspunkt nach z' = = fallen kann. Wir führen daraufuin als zweite Transformation:

aus, welche für die i-Ebene den Charakter einer Translation besitzt und also den Punkt z' = = zum Fixpunkte hat. Die Substitution ist im ii.brigen so gewählt, daß in f:~' auch noch der dritte Koeffizient a~ verschwindet, während a~ = a~ ist. Wir setzen endlich drittens: z~' = Va~

z;,

1

und erzielen hierdurch eine Form von der Gestalt: Es ist nun nicht nötig, die a~/, a~' auf dem Wege der drei ausgeübten Substitutionen zu berechnen. Man wolle vielmehr auf Grund der allgemeinen Vorschrift (10) für f.':', die Invarianten g~', g~' berechnen, wobei man findet: 1) Liegt dort bereits ein Verzweigungspunkt, so ist diese Transformation natürlich nicht erforderlich.

Die Verzweigungsform erster Stufe

123

Nun sind aber alle drei zur Verwendung gekommenen Substitutionen unimodular; also gilt g~' = g2' g~' = gs und damit: 4a~' = - g2' a4 = - gs' Die gewonnene Normalgestalt der Verzweigungsform, welche wir unter Fortlassung der obet'en Indizes so sch1'eiben: (12) f. = 4Z~Z2 - g2Z1Z~ - gszi, ist durch die Eigenschaft ausgezeichnet, daß die Invarianten g2 und gg unmittelbar iht'e Koeffizienten abgeben; sie soll fortan unsere" Verzweigungsform der ersten Stufe" sein. 1) Man gewinnt nun leicht einen Satz über die gesamten rationalen Invarianten der Form (4). Irgendeine solche Invariante läßt sich als rationale homogene Funktion der a k in die Gestalt des Quotienten zweier ganzen Invarianten gö(a01 a u ... , a4) setzen. 2) Da nun die Form (12) aus (4) durch eine unimodulare Substitution entstand, so wird gö unverändert bleiben, wenn wir an Stelle der ak die Koeffizienten crer Form (12) eintragen; es läßt sich sonach gö als ganze rationale Funktion der g2' gg darstellen. Da ferner gö homogen von der Dimension d' in den ak ist, so werden in dem gewonnenen Ausdrucke von gö nur Glieder mit g;g~ auftreten, in denen A und (-t nicht-negative ganze Zahlen sind, die der Gleichung: (13) d' = 21 + 3 (-t genügen. Wir haben also als Ergebnis: Jede ganze rationale Invariante der Form (4) läßt sich als ganze rationale Funktion der g2' gs in der Gestalt:

(14)

g(f =~CI.'ltg~g~ A, /1

1) Die hier mit g2 und gs bezeichneten Invarianten der biquadratischen binären Form gehören zu den ersten Beispielen, welche für den Invariantenbegriff beigebracht wurden, und sind von A. Cayley und Boole aufgefunden; s. Cayleya Veröffentlichung im Cambridge Math. Journ., Bd. 4 (1845), S. 193 oder CayI ey, "Oollected Mathematical Papers", Bd. 1 (Cambridge, 1888), S. 80ff. Für die elliptischen Funktionen hat Oh. Hermi te jene Invarianten zuerst verwertet, indem er freilich niCht durch eine lineare Substitution, sondern durch eine in invariante Gestalt gekleidete Transformation 6ten Grades zur Normalform (12) des Textes gelangt; s. Hermite, "Sur Ia theorie des fonctions monogenes a deux indeterminees", Journ. f. Math., Bd. 52 (1854): S. 1 oder Hermi te, "Oeuvres", Bd. 1 (Paris, 1905) S.350. Ganz allgemein bat dann Weierstraß die elliptischen Integrale in Übereinstimmung mit der Form (12) des Textes in der Gestalt:

jR(Z, V4Z3 - g~-z-- gs)dz seiner Darstellung der Theorie zugrunde gelegt; s. darüber die fünfte Note S. 117. 2) Schreibt man die rationale homogene Funktion der ak als Quotient zweier ganzer homogener Funktionen, so folgt aus dem Umstande,. daß die neuen Koeffizienten a" linear und homogen in den alten ak sind, sehr leicht die Invarianteneigenschaft von Zähler und Nenner des Quotienten, je für sich genommen.

124

I,1. Die elliptischen Integrale und ihre NOfmalgestalten erster Stufe

darstellen, wo sich die Summe auf alle Lösungen der Gleichung (13) in nicht-negativen ganzen Zahlen A, (1 bezieht nnd die CA,!< von den a" unabhängige Konstante sind. Daß umgekehrt jeder solche· Ausdruck eine Invariante liefert, ist selbstverständlich. Unter den Invarianten go ist insbesondere die "Diskriminante" der Verzweigungsform enthalten, welche durch die Bezeichnung Li hervorgehoben werden soll. Man gewinnt den Ausdruck (14) von LI am einfachsten auf Grund des Satzes, daß das Verschwinden von LI für das Auftreten einer mehrfachen Lösung der kubischen Gleichung 4z 3 -- g2z - g3 = 0 charakteristisch ist; die dann also auch die quadratische Gleichung 12 Z2 - g2 = 0 befriedigt. Die Elimination von z aus bei den Gleichungen liefert: Die Diskriminante LI der Verzweignngsform stellt sich in den Invarianten g2 ttnd g3' wie folgt, dar:

(15)

LI

=

g~ -

27g~

und ist demnach eine Invariante sechster Dimension in den a,," Als einfachste absolute rationale Invariante führen wir den Quotienten von g~ und LI ein, den wir als die wichtigste Invariante aller folgenden Betrachtungen durch die besondere Bezeichnung J hervorheben wollen. Solcmge die Verzweigungspunkte, wie wir ja zunächst annahmen, getrennt liegen, kann J niemals unendlich werden, da Li stets von 0 verschieden ist; übrigens können wir die Erklärung von J zufolge (15) in die beiden Gestalten kleiden: 27 g2

J-l=--3

Li'

die wir auch tn Gestalt der Proportion: (16)

J: (J - 1) : 1 =

g~ :

27 g~ : LI

znsammenfassen können. Mit Hilfe von J können wir die Darstellungen (14) der go noch ein wenig umformen, wobei zu unterscheiden ist, ob die Dimension 0' gerade oder ungerade ist. Ist erstlich 0' = 2 c gerade, so muß zufolge (13) auch (1 = 2v gerade sein; an Stelle von (13) tritt die Gleichung c = A + 3v. Die Gleichung (14) läßt sich alsdann so schreiben:

g2.

=

g~ ~ CA,!' ~f)P, 2,1'

so daß Wir mit Benutzung von (16) gewinnen:

(17)

rho

=

g~~ C~(J -:;-~r, p

wobei sich die Summe auf alle nicht-negativen ganzen Zahlen v be-

Darstellung aller Invarianten von f. durch g2' gs und J

125

t8

zieht, die nicht größer als sind. Ebenso findet man für ungerade 1 die Darstellung: Dimensionen 0 = 28

+

(18) wo jetzt v alle nicht-negativen ganzen Zahlen durchläuft, die nicht größer als t (8 - 1) sind. Berücksichtigt man noch, daß eine absolute Invariante stets als Quotient zweier gö gleicher Dimension darstellbar ist, so folgt: Jede absolute rationale Invariante der Verzweigungsform ist als rationale Funktion von J darstellbar. Daß umgekehrt jede rationale Funktion von J eine absolute Invariante ist, erscheint wieder selbst· verständlich. Es ist endlich die Frage, ob zwei vorgelegte Verzweigungsformen äquivalent sind, jetzt unmittelbar zu beantworten. Als ersten Satz merken wir an: Zwei Verzweigungsf'ormen sind stets und nur dann durch unimodulare Sttbstitutionen ineinander überführbar, wenn sie gleiche Invarianten g2 und g3 haben. Haben nämlich beide Formen dieselben Invarianten g2' g3' so ist jede von ihnen mitte1st einer unimodularen Substitution in die Form (12) mit diesen g2' g3 überführbar, und also sind sie selber durch unimodulare Substitutionen ineinander überführbar. Daß andrerseits irgend zwei Formen, von denen die eine aus der anderen durch eine unimodulare Substitution entsteht, gleiche g2' g3 haben, ist wieder selbstverständlich. Zu speziellen, und zwar besonders einfachen Fällen gelangen wir, wenn entweder g2 = 0 oder g3 = 0 zutrifft. Ist g2 = 0, so darf g3 nicht auch noch verschwinden, da LI nicht 0 ist. In diesem Falle üben wir auf die Form (12) die nun freilich nicht mehr unimodulare Substitution:

aus und finden (bei Fortlassung der oberen Indizes) als äquivalente Form:

(19)

fz

=

4z~ Z2 - 4z~

=

4Z2(Z~ - z~).

Alle Formen mit J = 0 sind hiernach mit der besonderen Form (19) und also untereinander äquivalent. Ist g3 = 0 und also g2 nicht gleich 0, so übe man auf (12) die Substitution:

aus und findet als äquivalente Form:

(20)

t: =

4Z~Z2 - 4$lZ~

=

4Z1Z2(Z~ - zV.

126

1,1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

Alle Formen mit J = 1 sind mit der besonderen Form (20) und also wieder untereinander äquivalent. Liegt endlich keiner dieser beiden Spezialiälle vor, so übe man auf (12) die wieder nicht mehr unimodulare Substitution: 15 = 1

--.4fij; z'

V 90

v

152 =

4-)8z~ (V;:

aus und erhält als transformierte Form: f z -- 4 1513 152 - J27_ J1 ( 151 15S2 + $24) . (21) Hieraus ergibt sich als Hauptsatz: Zwei Verzweigungsformen sind stets und nur dann äquivalent, wenn sie dieselbe absolute Invariante J haben. Der Satz schließt in dieser Gestalt die beiden Spezialiälle mit ein; zum Beweise hat man eben nur noch zu erwägen, daß zwei Formen mit gleichen J ein und derselben Form (21) äquivalent sind.

§ 2. Exkurs über lineare Substitutionen und deren Gruppen endlicher Ordnung. Die Verzweigungsform erster Stufe fz wurde vorhin dadurch eingeführt, daß wir einen unter den vier Verzweigungspunkten, nämlich e4J nach dem Punkte 00 der $ - Ebene verlegten. Trotz diesel' unsymmetrischen Bevorzugung eines unter vier gleichberechtigten Punkten gelangten wir zu einer Form mit "rationalen" Invarianten als Koeffizienten. Diese Erscheinung findet ihre Erklärung in dem Umstande, daß es lineare Sub~titutionen gibt, welche die vier Verzweigungspunkte in gewisser Weise permutieren und also f. in sich transformieren. Die Form fz bleibt dieserhalb eben die gleiche, falls wir an Stelle von e4 einen der anderen Punkte ek nach 00 verlegen. Um die Sachlage näher bezeichnen zu können, müssen wir ein paar Bemerkungen übel' das Rechnen mit linearen Substitutionen und über Gruppen solcher Substitutionen voraussenden. Eine lineare Substitution der Variabelen 15:

r.

,

az

+b

cz + d nicht verschwindender Determinante D = ad - bc wollen wir kurz durch das Symbol 15' = 8(15) bezeichnen. Die Substitution ändert sich nicht wesentlich, falls wir die vier Koeffizienten a, b, c, d mit irgendeinem endlichen und von 0 verschiedenen gemeinsamen Faktor (j versehen. 1) Die Determinante nimmt dabei den Faktor 6 2 an, und wir 15 =

1) Dies wird natürlich sofort anders, falls wir an Stelle von z' = S (z) mit der "homogenen binären" Substitution: arbeiten.

127

Grundregeln über lineare Substitutionen

könnten 0 insbesondere auf zwei Weisen so bestimmen, daß die Substitution "unimodular" wird; doch ist hierauf zunächst kein Gewicht zu legell. 'Vollen wir die Substitution nur durch Angabe ihrer vier Koeffizienten bezeichnen, so bedienen wir uns der symbolischen Schreibwelse: 8 = (a, (1)

b).

c, d

Man wolle nun

ZWeI

Substitutionen:

hintereinander ausüben, d. h. auf z' = 8 1 (z) die Substitution 8 2 anwenden; man gewinnt: z" = 8 2 (z') = 82 (81 (z» = (a,a, + b2 c,)z + (a 2 b, + bid,) (c,a,

+ d c,)z + (c 2

2

b,

+d

2

d,)

und also wieder eine lineare Substitution, deren Determinante, wie man leicht feststellt, das Produkt der Determinanten von 8 1 und 8 2 ist. Diese dritte, aus 8 1 und 8 2 "erzeugteU Substitution wollen wir symbolisch als "Pro duke' 82 , 8 1 oder 8 2 8 1 von 8 2 und 8 1 bezeichnen. Dies wird um so mehl' berechtigt sein, als die Formel

(2) ein der Produktregel der Determinanten analoges Bildungsgesetz befolgt. Übrigens folgt aus den angegebenen Formeln, daß 8 2 .81 und 8 1 • 8 2 im allgemeinen verschieden sind: Für die symbolischen Produkte 8 2 • 81 gilt das kommtdative Gesetz nicht. Erzeugen wir aus drei Substitutionen 8 11 8 2 , 8 3 , die wir nacheinander ausüben, die Substitution 8 3 .82 .811 so würde die Herstellungsweise dieser Substitution genauer durch 8 3 , (82 .81 ) zu bezeichnen sein, da wir doch zunächst die Substitution z" = 8 2 • 8 1 (z) zu bilden haben und alsdann auf z" die Substitution 8 3 ausüben. Man kann aber z''' = 83 (82 (81
=

(d,- -c, ab)

die zu (1)

"inverse" Substitution, so gilt 8' . 8 = 1; wir bezeichnen dieserhalb die zu 8 inverse Substitution auch durch 8- 1• Üben wir die Substitution

128

I, 1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

8 n Male hintereinander aus, so entsteht

sn,

die nie Po'tenz von S. Ist Sn = 1, ohne daß übrigens bereits eine niedere Potenz S, S2, ... , S,,-1 gleich 1 wäre, so heißt S "periodisch" und 12 die "Periode" von S. Aus der S. 70 ff. besprochenen geometrischen Natur unserer Substitutionen geht hervor, daß nur die "elliptischen" Substitutionen periodisch sein können, und diese auch nur dann, wenn der S. 70 mit !L bezeichnete, "Drehungswinkelll zu 2n in einem rationalen Verhältnis steht. ]!'ühren wir an Stelle von z eine neue Variabele Z wieder mitte1st fliner linearen Substitution ein, die wir aber, um sie besonders hervorzuheben, Z = T(z) nennen, so rechnet sich S, in der neuen Variabelell geschrieben, auf: Z' = TST-l(Z) um. Man sagt, die Substitution T S T- 1 entstehe aus S durch "Transformation" vermittelst der Substiftdion T. Von solchen Transformationen haben wir bereits S. 70 Gebrauch gemacht, indem wir, falls eine nichtparabolische Substitution S vorliegt, deren "FixpunkteIl nach Z = 0 und Z = 00 warfen, um dadurch S auf die Gestalt:

= =,

Z' mZ m ,. (jtiZ zu transformieren. Je nach der Natur des rechts auftretenden Faktors m nannten wir dann S "elliptisch", "hyperbolisch" oder "loxodromisch". Bei einer "parabolischen" Substitution S fanden wir S. 71 entsprechend oie transformierte Gestalt: Z'=Z+b. Man wolle sich hier auch der geometrischen Deutung unserer Substitution durch ihre "Bahn- und Niveaukurven" erinnern und vergegenwärtige sich nochmals die verschiedene Gestaltung dieser Kurvenscharen bei den vier Gattungen unserer Substitutionen. Wir sagen nun von einem System von Substitutionen:

(4) So = 1, 8 17 S2' S3' ... , dasselbe bilde eine "Gruppe" G, falls zu jeder Substitution S des Systems (4) auch die inverse S-1 im System enthalten ist, und falls mit irgend zwei Substitutionen Si' Sk des Systems attch immer die at~S ihnen zu erzeugende SubstitnNon Sk' Si = SI dem System angehört. Mit Sund S-1 ist auch S· S-1 = 1 in der Gruppe enthalten; wir haben dementsprechend die identische Substitution So = 1 sogleich in (4) aufgenommen. Die Anzahl m der Substitutionen (4) heißt die "Ordnung" der Gruppe; dieselbe soll entsprechend genauer durch Gm bezeichnet werden. Führen wir eine neue Variabele Z mittels einer Transformation T flin, so liefert die einzelne Si der Gm' auf Z umgerechnet, die trans-

129

Einführung der Gruppen linearer Substitutionen

formierte Substitution S~ = T SiT-l, Ist Sk' Si = Si' so folgt aus dem assoziativen Gesetze (3): S'k . S'i = TSk T-l. TS; 1'-1 = T(SkS)T-l = S'I i und hieraus insbesondere, falls Bi = Sk-1 ist, S~· S; -:- 1 und also S; = S'k 1• Somit ergibt sich, daß auch die transformierten Substitutionen S~ = 1, S:, S~, ... eine Gruppe bilden, von welcher wir sagen, sie erdstehe aus Gm dttrch Transformation vermittelst T, und die tvir deshalb symbolisch durch: G~ = TG m T-l bezeichnen. Die Substitutionen beider Gruppen sind einander eindeutig zugeordnet, indem S; der Substitution Si und S; -1 der zu Si inversen Si- 1 entspricht. Auch folgt aus Sk' Si = Si für die G~, die analoge Relation S~· S; =" S;. Das Gesetz, nach dem bei Kombination zweier Substitutionen jedesmal eine dritte entsteht, ist also für beide Gruppen völlig gleich gestaltet; die Gruppen Gm und G~ heißen dieserhalb "isomorph". Mit S sind auch sämtliche Potenzen S2, S3, S\ ... in Gm enthalten. Ist demnach, wie wir jetzt annehmen wollen, die Ordnung m endlich, so müssen die unendlich vielen Potenzen von S nur eine endliche Anzahl verschiedener Substitutionen darstellen. Man kann also zwei verschiedene ganze Zahlen tt, v angeben, so daß Sil = Sv zutrifft. Wir folgern hieraus, indem wir unter tt die größere unter beiden Zahlen verstehen, S,ll- l' = 1; also ist S periodisch und damit elliptisch: Eine Gruppe Gm von endlicher Ordnttng m enthält neben der identischen Substitution So = 1 nur noch elliptische Substitntionen, und zwar natürlich nur solche von endlicher Periode. Ist n. die Periode von S, so haben wir in: S, S2, SB, ... , Sn-I, Sn = 1 alle aus S erzeugbaren Substitutionen. Man erkennt sofort, daß diese n Sttbstiltttionen für sich eine Gruppe Gn bilden, die man als "zyklisch" bezeichnet und, a7s in Gm enthalten, eine "Untergruppe" von Gm nennt. Die wirkliche Herstellung von Gruppen endlicher Ordnung kann man auf folgende Erwägung gründen. Wir denken die z-Ebene im Raume horizontal angeordnet und konstruieren irgendwo im Raume eine Kugeloberfläche, auf welche wir vom höchsten Punkte der Kugel aus die z-Ebene stereographisch projizieren; die Kugelfläche wird so die Trägerin der komplexen Werte Z.l) Drehen wir nun die Kugel um irgendeinen ihrer Durchmesser durch den Winkel 2n, so geht jeder n

1) Siehe die spezielle S. 22 durchgeführte Projektion dieser Art. Fricke: Elliptische Funktionen. Bd.l

9

130 J,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

Punkt z der Kugel in einen Punkt z' derselben über, und wir erhalten eine Abbildung der Kugelfläche auf sich selbst, die kongruent und also kouform ist. Dabei führt die n-malige Wiederholung der Drehung jeden Punkt z an seinen ursprünglichen Ort zurück. Nun stellt die stereographische Projektion eine konforme Abbildung dar (vgl. S. 23); jene Drehung liefert also eine umkehrbar eindeutige und konforme Beziehung der z-Ebene auf sich selbst und also nach S. 66 eine lineal·e Substitution z' = 8 (z). Da aber die n-malige Ausübung der Drehung jeden Punkt ß an seine Anfangsstelle zurückführte, so ist Sn = 1, d. h. S ist elliptisch von der Periode n. 1) Das Prinzip, mittels dessen wir auf dieser Grundlage Gruppen Gm erklären können, ist nun folgendes. Wir denken konzentrisch mit der Kugel im Raume irgendeine regelmäßige Figur konstruiert. Die gesamten Drehungen der Kugel, welche diese Figur mit sich selbst zur Deckung bringen, ergeben dabei ein System gleichartiger Operationen, an dem man die oben bei den Gm aufgestellten Gruppeneigenschaften sofort erkennt. Der Übergang zur z-Ebene liefert dann in der Tat eine Gm gewünschter Art. 2) Dieses Prinzip soll nun an einigen, sogleich weiter zu benutzenden Beispielen erläutert werden. Zuerst zeichnen wir in irgendeinel' Diametralebene der Kugel einen schiefwinkligen mit der Kugel konzentrischen Rhombus. Hier gibt es außer der "identischen" Drehung im ganzen drei Drehungen des Rhombus in sich, nämlich die beiden Drehungen der Periode zwei um die Diagonalen des Rhombus und die Drehung der Periode zwei um den zur Rhombusebene senkrechten Kugeldurchmesser. Man kann auch sagen, es handele sich hier um die Drehungen der Periode zwei um drei zueinander senkrechte Achsen durch den Kugelmittelpunkt. . Die zugehörige G4, der vier Substitutionen 8 0 = 1, SlI 8 2 , 8 3 heißt "Vierergruppe". Es ist an der Rhombusfigur leicht ersichtlich, daß für die drei Substitutionen 8 1 , 8 2 , 8 3 der G4, die Beziehungen:

8k • Si

=

SI

gelten, wenn i, k, l irgendeine Permutation der Indizes 1, 2, 3 ist. Hier ist also insbesondere auch 8k · Si = 8 i . Ski man nennt die beiden Sub1) Die "Parallel"- und "Meridiankreise" der Kugeldrehung liefern bei der Projektion unmittelbar die Bahn- und Niveaukurven der elliptischen Substitution, welche wir S. 71 besprachen. 2) Auf diese Weise gewinnt Klein in den "Vorlesungen über das Ikosaeder" (Leip~ig, 1884) die gesamten Gruppen endlicher Ordnung von linearen Substitutionen; siehe da,selbst S. 1 ff. sowie S. 115 ff. und die an diesen Stellen genannten Originalarbeiten.

131

Untersuchung der Vierergruppe G.

stitutionen So Sk dieserhalb miteinander "vertauschbar". Daß übrigens = 1 ist, brauchen wir kaum hervorzuheben. Wir können die Vierergruppe G4 auch leicht dUl~ch eine in der z-Ebene zu zeichnende Figur erklären. Legen wir nämlich durch je zwei unter den drei zu den S1> S2' S3 gehörenden Drehungsachsen die Diametralebene der Kugel, so schneiden diese drei Ebenen auf der Kugeloberfiäche drei einander senkrecht schneidende größte Kugelkreise aus, die diese Oberfläche in acht Kugeloktanten zerlegen. Die stereographische 1 Projektion liefert in der z-Ebene ein System von drei sich senkrecht schneidenden Kreisen (vgl. Fig. 25), wobei die Schnittpunkte zweier Kreise die Fixpunkte einer der Substitutionen Si sind, für welche der dritte Kreis eine Bahnkurve ist; in der Figur sind die Fig. 25. Fixpunkte von Si mit z" z; bezeichnet. Durch jede solche Figur ist eine Vierergruppe G4 unserer At"t erklärbar, und alle diese G4 sind d~rrch "Transformation" ineinander über(ührbar. Benutzen wir nämlich die Transformation:

S;

1

Z

=

T(z)

=

~ -z~ . z-~~, Z2 -

so kommen den Substitutionen der G:

Zl

=

Z -

Z1

TG4 T-l die Pixpunkte zu:

0, Z~ = 00, Z2 = 1, ... , so daß die drei Kreise der Fig. 25 übergehen in die reelle Z-Achse, die imaginäre Z-Achse und den Kreis des Radius 1 um Z = O. Üben wir jetzt die S. 22 besprochene besondere stereographische Projektion aus, so werden die Achsen der drei Kugeldrehungen direkt die Achsen des damaligen Koordinatensystems der ~, 11, S. Wir werden auch noch den folgenden Satz zu benutzen haben: Jede Gruppe G4 , die außer der identischen Substitution So = 1 drei Substitutionen der Periode 2 enthält, ist e'ine Vierergruppe. Sind . nämlich in dieser G4 wieder Si' Sk' SI die drei elliptischen Substitutionen in beliebiger Anordnung, so ist die in G4, enthaltene Substitution Sk Si weder gleich So noch Si noch auch gleich Sk' da andernfalls Sk = Si bzw. eine der Substitutionen Sk' Si gleich So wäre. Somit ist notwendig Sk,Si = SI1 woraus sofort Sk,Si = Si,Sk wieder folgt. Nun können Sk und Si nicht beide Fixpunkte gemein haben, da diese Substitutionen sonst identisch wären. Ist demnach Zi ein Fixpunkt von Si' der nicht zugleich Pixpunkt von Sk ist, so gilt:

Z1

=

Si(S;.(Zi»

=

Sk(Si(Zi»

=

Sk(Zi)' 9*

132

I, 1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

d. h. der von z; verschiedene Punkt 8 k(Zi) ist der zweite Fixpunkt z/

z;

z,'

=

8 k (z;).

Auch dieser Punkt ist, wie man sieht, nicht Fixpunkt von 8k , so daß überhaupt keine zwei unter den sechs Fixpunkten von 8 i, 8 k , Si zusammenfallen können. Man setze nun k = 1 und 1: = 2, lege durch zll Z2' z/ den "Niveaukreis" von 8 1 und senkrecht zu diesem den eindeutig bestimmten, durch Z2 laufenden "Bahnkreis" von 8 1 ; der zweite Kreis schneidet auf dem ersten den zweiten Fixpunkt zs' von 8 2 aus (vgl. Fig. 25). Man füge jetzt drittens den zum ersten Kreise senkrechten, durch zl1 z/ laufenden Niveaukreis von 8 1 hinzu, der, insofern er durch die beiden Punkte Z1 und z/ = 8 2 (Z1) hindurchläuft, ein "Bahnkl'eis" von 8 2 ist und also auch den zweiten Kreis senkrecht schneidet. Die beiden Schnittpunkte Zs und za' (vgl. Fig. 25) sind dann notwendig die Fixpunkte von 8 s' Aus der Bedeutung der Niveau- und Bahn kreise von 8 2 und 8 1 folgt nämlich für die fraglichen Schnittpunkte Zs = 8 2(zs'), zs' = 8 1(zs) und also Zs = 8 2.81(Zs) = 8 3(zs), sowie za' = 8 1. 8 2(zs') = 8 s (zs'). Hiermit sind wir vollständig zur Fig. 25 zurückgelangt, und also ist die vorgelegte G4 tatsächlich eine Vierergruppe. Ein zweites Beispiel einer Gm von endlicher Ordnung erklären wir so: In einer beliebigen Diametl'alebene der Kugel zeichnen wir mit derselben konzentrisch ein reguläres Polygon mit n Ecken. Dann gibt es, die identische Drehung mitgerechnet, im ganzen 211, Kugeldrehungen, welche das Polygon in sich überführen. Es sind dies erstens n eine "zyklische" Untergruppe Gn liefernde Drehungen um den zur Ebene des Polygons senkrechten Kugeldurchmesser, und zweitens n Drehungen der Periode 2 um Achsen, die für ungerades 11, die n Verbindungsgeraden der Ecken mit den gegenüberliegenden Seitenmitten sind, für gerades n aber die {n durch den Mittelpunkt laufenden Diagonalen und die t n Verbindungsgeraden gegenüberliegender Seitenmitten. Zieht man von den beiden Endpunkten des zur Polygonebene senkrechten Kugeldurchmessers je die 11, Geraden nach den Polygonecken, so entsteht eine "Doppelpyramide". Diese Doppelpyramide wird durch die Drehungen der G2n wieder in sich übergeführt, und wir hätten die Erklärung der Gruppe auch an diese reguläre Figur anknüpfen können. Die G sn ist eine Gruppe von "Doppelpyramidentypus"; gebl'äuchlicher ist die Bezeichnung "Diedergruppe", welche wir' in der Folge anwenden wollen. Für 12 = 2 gelangt man, wie leicht zu sehen ist, zur Vierergruppe zurück. Im Falle 12 = 4 sind in der Diedergruppe Gs zwei Vierergruppen als Untergruppen enthalten; z. B. erhalten wir eine solche G4 , wenn wir

Die Diedergruppe G2 " und die Tetraedergruppe G12

133

die beiden Mittellinien des Quadrates und den zur Quadratebene senkrechten Kugeldurchmesser als die drei Drehungsachsen für die G4, benutzen. Zur Erklärung einer letzten Gruppe Gm endlicher Ordnung konstruieren wir ein mit der Kugel konzentrisches reguläres Tetraeder. Hier gibt es zunächst Drehungen des Tetraeders in sich um eine Achse, die von einer der vier Ecken nach der Mitte der Gegenseite läuft; offenbar liefert jede Achse .eine zyklische Untergruppe Gs von drei Drehungen (die identische Drehung immer mitgezählt). Die viel' Ecken liefern dabei neben der identischen Drehung im ganzen acht Drehungen je von der Periode drei. Verbindet man ferner je zwei diametrale unter den sechs Kantenmitten geradlinig,' so entstehen drei Achsen, die sich in der Kugelmitte senkrecht kreuzen. Die ihnen zugehörige Vierergruppe liefert gleichfalls Drehungen des Tetraeders in sich, so daß neben der identischen Drehung noch drei Drehungen von der Periode zwei hinzukommen. vVeitere Drehungen des Tetraeders in sich existieren nicht: Die "TetraedergrUlJpe" ist eine Gm welche acht Substitutionen der Periode drei, drei Substitutionen der Periode zwei und natürlich So = 1 enthält; die drei Substitutionen der Periode zwei bilden mit So = 1 cme ~n der G12 als Untergruppe enthaltene Vie1'ergruppe G4: 1)

§ 3. Die linearen Transformationen der Verzweigungsform in sich. Unter Rückgang auf den am Anfang von § 2 entwickelten Gedankengang fragen wir nunmehr nach Substitutionen S, welche das System der vier Nullpunkte eu es, es und e4 = 00 der Verzweigungsform f. erster Stufe in sich überführen, und deren entsprechende homogene binäre Substitutionen alsdann die Verzweigungsform f. selbst, abgesehen von einem Faktor, in sich transformieren werden. Da in f. ein Glied mit zi zi nicht auftritt, so verschwindet die Summe der drei im Endlichen gelegenen Nullpunkte cl) e2 , es: (1) Ist wieder i, k, 1 irgendeine Permutation der Indizes 1, 2, 3, so zeigt man mit Benutzung der Relation (1), daß die Substitution:

(2) 1) Auf die entsprechend zu erklärende.n Gruppen des Oktaeders und Ikosaeders, welche Gruppen G24 und Geo sind, gehen wir hier noch nicht ein, da diese Gruppen zunächst noch nicht gebraucht werden; siehe betreffs derselben Klein, "Vorlesungen über das Ikosaeder", S. 15 ff.

134 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

welche elliptisch von der Periode 2 ist, die beiden Punkte ek und el austauscht und ebenso die beiden Punkte ei und e4, = 00. 1) Es gibt nur eine einzige Substitution, welche diese Permutation der vier Punkte e vollzieht 2); denn gäbe es noch eme zweite S(, so würde Si' S:;\ ohne die identische Substitution zu sein, vzer Fixpunkte el1 ••. , e4 haben, dem Umstand entgegen, daß eme von 1 verschiedene Substitution höchstens zwei Fixpunkte hat. Uben wir auf die vier Werte:

Si(oo) = eo

Si(el ) = ek ,

S;(ei) =

00,

SkSi(ei)

=

Si(e k ) = ej

die Substitution Sk aus, so folgt: SkSi(oo) = el'

SkSi(el ) =

00,

ek ,

SkS;(e,,) = eil

d. h. es ist SkSi = SI' Da überdies Si = 1 gilt und also Si 1 mit Si gleich ist, so bilden die vier Substitutionen So = 1, S11 S2' S3 eine Vierergruppe (vgl. S. 131). Die vier Pttnkte e11 e2 , es und e4, = 00 werden durch die vier eine Vierergntppe G4 bildenden Substittdionen So = 1, S11 Si' S8 in sich transformiert, wobei insbesondere die dt'ei letzten Substitutionen die V1'er Punkte auf die drei möglichen Arten zu Paaren permutieren. Schreiben wir für die Determinante - 2e/ - ekel von Si kurz D i , so können wir noch fragen, welchen Faktor f z bei Ausführung der unimodularen Substitution:

(3)

_.~ ,;r Di

Zl -

Z1

'+ ei ,/Tl + ekel Z2', r Di

Z2 =

1 , _ ~(. "' '

,;_-c- Z1

r Di

, ; - "'2

v Di

z;,

annimmt. Da die zweite Potenz dieser homogenen Substitution Z1 = Z2 = - z~ ist und also f. unverändert läßt, so kann der fragliche Faktor nur + 1 oder - 1 sein. Die Rechnung zeigt f. = fz" d. h. die Verzweigungstorm wird durch die homogenen unimodularen Substitutionen (3) unmittelbar in sich selbst transformiert. Wir fragen nun, ob es außer der G4 noch weitere Substitutionen gibt, welche die vier Punkte e ineinander überführen. Ist S eine solche 1) Die Determinante von Si kann man mit Hilfe der Relation (1) in die Gestalt ek ) • (ei - Ci) kleiden; eie ist also 0, da die drei Nullpunkte eu e2 , es von einander verschieden sind. 2) Die beiden Fixpunkte von Si liegen sowohl mit 00 und ei als auch mit ek und el je auf einem Kreise; da bei trennen sie sowohl 00 und ei als auch ek und el "harmonisch". Wir haben hier mit dem Satze der projektiven Geometrie zu tun, daß es zu zwei Punktepaaren der Ebene (der "Geraden" mit reellen und komplexen Punkten) ein und nur ein drittes Punktepaar gibt, welches mit jedem der beiden gegebenen Paare in der bezeichneten Art ein harmonisches Quadrupel bildet. Die sechs Fixpunkte der drei Si sind dü; Nullpunkte einer bekannten Kovariante sechsten Grades von fz. Man vgl. das S. 120 genannte Werk von Cl e b s eh, S. 175. (Ci -

+

Die Transformationen der Verzweigungsform in sich

135

Substitution, so dürfen wir annehmen, daß dieselbe den Punkt e4 = 00 zum Fixpunkte hat. Wäre nämlich S (00) = eil so hätten wir sofort in SiS eine neue Substitution mit dem Fixpunkte 00. Die Substitution S darf man hiernach in der Gestalt:

(4)

z' = S(z) = az

+b

ansetzen. Bei der durch S bewirkten Permutation der el , e2 , ea haben WIr zweI Fälle zu unterscheiden. Entweder tauscht S zwei Punkte ek , el aus und hat dann ei zum Fixpunkte, oder S bewirkt eine zyklische Permutation der drei e. Im ersten Falle ist S elliptisch von der Periode zwei und hat demnach die Gestalt:

z'

Da hieraus insbesondere el

=

-

z

+ 2e;.

ek + 2ei und also: ei + ek + el = 3 ei

=

-

folgt, so ergibt sich aus (1) sofort: ei = 0 und

e!

=

-

ek •

Wir sind demnach zu dem schon S. 125 besprochenen Falle mit g3 = 0 zurückgeführt und haben die Verzweigungsform erster Stufe in der einfachsten daselbst unter (20) gegebenen Gestalt vorauszusetzen. Man bezeichnet diesen besonderen Fall als den "harmonischen"; in der Tat werden ja, welche mit der Form (20) S. 125 äquivalente Form wir auch wählen mögen, die vier Punkte e der letzteren stets auf einem Kreise liegen und auf demselben ein harmonisches Punkt quadrupel darstellen.!) Benutzen wir die Form (20) und vollziehen die S. 22 besprochene stereographische Projektion auf die Kugelfläche, so liefern die vier Punkte e die Eckpunkte eines einem größten Kugelkreiseeingeschriebenen Quadrates. Die Überlegungen von S. 132 liefern jetzt das Ergebnis: Im harmonischen Falle gibt es im ganzen acht, eine Diedergruppe Gs bildende Substitutionen, w"elche das System der vier Punkte e in sich überführen; die eine der beiden in der Gs enthaltenen Vierergrttppen {vgl. S. 132, unten) ist unsere bisherige G4. Übrigens ist in der Gs eine zyklische Untergruppe G4 enthalten und als "erzeugende" Substitution dieser G4 eine elliptische Substitution der Periode vier, welche die vier Punkte e zyklisch permutiert. Man zeigt sofort, daß dieser Austausch der Punkte e bei der Form (20) S. 125 durch die Substitution: , z-l Z =--

z+l

1) Wir weisen hier auf die im folgenden Abschnitte (bei der zweiten Stufe) zu entwickelnden Sätze über das "Doppelverhältnis" der Verzweigungspunkte hin.

136 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

geleistet wird. Wir stellen noch fest, daß die unimodulare homogene Substitution: einen Zeichenwechsel der Verzweigungsform (20) S. 125 blwirkt: fz. = - fz. Wir haben zweitens die Möglichkeit zu besprechen, daß die Substitution (4) die im Endlichen liegenden Verzweigungspunkte zyklisch permutiert. Dann gilt also: ek = (( ei + b, el = aek + b, ei = ael + b, woraus wir durch Addition mit Rücksicht auf e1 + e2 Cs = 0 sofort b = 0 finden. Von den e darf nun keines verschwinden, da sonst alle drei gleich 0 sein würden. Das Produkt der drei vorstehenden Gleichungen liefert also mit Rücksicht auf b = 0 weiter a S = 1 j es ist also, da a = 1 die identische Substitution liefern würde, a eine komplexe dritte Wurzel der Einheit. Wir wollen weiterhin die Abkürzung

+

2ilt

e3 = Q gebrauchen und dürfen insbesondere S(z) = QZ setzen, da, falls S(z) = Q2 Z wäre, an Stelle dieser Substitution einfach ihre zweite Potenz S2(Z) = QZ treten könnte. Aus ek = Qei) el = (lei folgt nun sofort g2 = O. Wir haben also jetzt den auch bereits S. 125 besprochenen anderen Spezialfall g2 = 0 mit der besonderen Verzweigungsform (19) (S. 125) vor uns, den wir hinfort als den "äquianharmonischen" Fall bezeichnen wollen. Benutzen wir die Form (19) S, 125, so dürfen wir in einfachster Weise e1 = 1, e2 = Q, es = Q2 schreiben. Über dem Dreieck dieser drei Endpunkte, als Grundfläche, wolle man nun ein reguläres Tetraeder aufbauen und durch dessen vier Ecken die mit ihm konzentrische Kugelfläche einführen. Vollziehen wir die stel'eographische Projektion der z·Ebene auf diese Kugelfläche, indem wir als Projektionszentrum die Spitze des Tetraeders benutzen, so werden die rier Punkte e auf der Kugeloberfiäche die vier Eckpunkte jenes regulären Tetraeders. Hier liefert nun die vorbereitende' Entwicklung von S. 133 sofort den Satz: Im äquianharmonischen Falle gibt es im ganzen zwölf eine Tetraedergruppe G 12 bildende Substitutionen S, welche das System der vier Verzweigungspunkte e in sich transformieren; die nach S. 133 in der Tetraedergntppe als Untergruppe enthaltene Vierergruppe G4 ist diejenige unserer obigen Substitutionen So, Sl' S2' S3' Der Substitution z' = QZ lassen wir die unimodulare homogene Substitution: Zl

= QZ~,

$2 =

Q2Z~

entsprechen und notieren noch den Satz: Die Verzweigungsjonn (19) S. 125 reproduziert sich bei Ausübung der vorstehenden Sttbstitution bis fJ,uf eine multiplikati'Ce dritte Wurzel der Einheit: f; = Q fz.

Der harmonische und der äquianharmonische Fall

137

§ 4. Imarianz von J gegenüber beliebiger rationaler Transformation der Riemannschen Fläche Fs. Die linearen Funktionen von z erschöpfen nun keineswegs alle zweiwertigen Funktionen des zur F2 gehörenden Körpers algebraischer Funktionen. Ist w = R(z, irgend eine solche zweiwertige Funktion, so wird mittelst dieser Funktion die F2 wieder auf eine zweiblättrige Riemannsche Fläche F~ mit vier Verzweigungspunkten abgebildet, welche wir statt der F2 zur Definition unseres Funktionenkörpers zugrunde legen können. Die Verzweigungspunkte der F~ seien die Nullpunkte einer zugehörigen Funktion:

Mz»)

(1)

cp(w)

=

bow 4

+ 4b w + 6b w + 4baw + b 1

8

2

2

41

deren Invarianten wir mit g;, g~ und J' bezeichnen wollen. Dann ist insbesondere J' wieder gegenüber beliebiger linearer Tmnsformation von w absolut invariant. Hier tritt nun die Frage auf, wie sich die Invariante J' der Funktion (1) zur Invariante J der ursprünglichen Funktion fez) verhält. Die Antwort ist, daß geradeztt J' = J ist, daß also J den Charakter der absoluten Inrarianz nicht nur gegenüber linearer Transformation von z, sondern auch gegenüber jeder umkehrbar rationalen Transformation der F2 wieder auf eine zweiblättrige Fläche (vgl. S. 93) bewahrt und also als eine Invm'iante c?es ganzen Funktionenkörpers anzusehen ist. Dieser Satz wird später in Sl hr einfacher Weise mittels des schon öfter erwähnten Integrals bewiesen werden können. Da es sich aber hier offenbar um einen grundlegenden Satz handelt, so wird es angebracht erscheinen, schon jetzt mit den allein erst zur Verfügung stehenden algebraischen Mitteln einen Beweis des Satzes auszuführen. Eine kurze Bemerkung über die zweiwertigen Funktionen des Körpers ist vorauszuschicken. Es sei weine derselben, und es mögen die beiden Pole von w auf der F2 getrennt, und zwar bei z = sund 15 = t gelegen sein, natürlich daselbst immer nur in einem der bei den Blätter. 1) Bei der Stelle s gelte die Entwicklung: w = -~~ 1_ z-s

bei 15

=

+ a0 + a1 (15 -

s)

+ ... ,

t entsprechend: w

=

zb~lt + bo + b1 (15 - t)

+ ... 2),

1) Liegen heide Pole übereinander, so ist t = s. 2) Ist s einer der Verzweigungspunkte, BO ist z - s an Stelle von (z - s) zu setzen; ist s = 00, so hat man Z-1 für (z - s) einzutragen. DaRseibe gilt natürlich von der Stelle' .

y

138 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

wobei a_ l und b_ 1 nicht-verschwindende reelle oder komplexe Koeffizienten sind. Es sei nun u/ eine zweite zweiwertige Funktion mit denselben Polen und dem Anfangskoeffizienten a~ 1 bei z = s. Dann ist (a_ 1 w' - ((lW) eine l!~unktion, welche höchstens noch bei z = t einen Pol erster Ordnung haben könnte und demnach einwertig sein würde, wenn sie diesen Pol wirklich hätte. Aber nach S. 95 gibt es auf der F2 keine einwertige Funktion, so daß (a_ 1w' - a~lw) auch bei t endlich bleibt und damit einer Konstanten gleich wird a_ 1 w' - a~ 1 w = c. Setzen wir zur Abkürzung: a'

--=!. a -1

=

c

a-' a -1

=

b

'

so folgtl): -Alle zweiwertigen Funktionen mit den gleichen Polenc sind in einer beliebigen unter ihnen, w, linecw in de1' Gestalt darstellbar: u/ = aw + b. (2) Hieraus ergibt sich insbesondere, daß eine zweiwertige Funktion w, welche ihre Pole an zwei in der F2 übereinander liegenden Stellen z = s hat oder in einem Verzweigungspunkte z = s einen Pol zweiter Ordnung besitzt, stets eine lineare Funktion: w = _a_ + b = bz + (a - bs) z-s

z-s

von z ist. Da nun J gegenüber linearer Transformation von z sicher invariant ist, so brauchen wir nur noch solche Funktionen w zu prüfen, deren Pole zwei nicht übereinander liegende Stellen der F2 sind. Da überdies jede lineare Transformation von w die Invariante J' von (1) wieder unverändert läßt, so können wir nötigenfalls durch eine solche Transformation erstlieh erreichen, daß die beiden Pole von w auch wirklich getrennt liegen, und zweitens, daß einer der Pole von w in einen Verzweigungspunkt der F2 fällt. Indem wir f. als Verzweigungsform erster Stufe ausgesucht denken, schreiben wir vor, daß der eine Pol von w in dem Verzweigungspunkt z = 00 der F2 gelegen sei. Der zweite Pol liegt nun in irgendeiner endlichen Stelle bei z = s; und indem wir über diese Stelle s lllchts weiter voraussetzen, wird unsere Überlegung für jede von z nicht linear abhängende zweiwertige Funktion w des Körpers gelten. Im übrigen dürfen wir unter den zweiwertigen Funktionen dieser Pole 00 und s wiederum eine beliebige aussuchen, da alle weiteren zufolge (2) in jener linear darstellbar sind. Wir wählen nun die nachfolgende Funktion:

( 3)

w

=

v7w + V(CS> z- s

'

1) Man überträgt die Überlegung des Textes leicht auf den Fall, daß tu und w' an einer und derselben Stelle der F, je einen Pol ztveiter Ordnung haben.

139

Invarianz von J gegenCi.ber rationaler Transformation

welche mit Hücksicht auf die Gestalt (4z 3 - g2z - gs) von ('(z) den gestellten Anforderungen in der Tat genügt. Das Vorzeichen von Vi(s) ist fest zu wählen; und es wird dann w in demjenigen Blatte der F2 , in welchem V1CZ) = V{'(s) bei z = s zutrifft, seinen Pol haben, während tu im anderen Blatte daselbst endlich bleibt. Die Darstellung (3) gilt aber auch unmittelbar in dem Falle, daß s einer der drei im Endlichen liegenden Verzweigungspunkte ei ist; in der Tat gewinnt man in diesem Falle sofort für die Umgebung von ei mit Rücksicht auf fee,) = 0 die Entwicklung: w

F2

=

2 V(ei

VCk) (Ci- el)

z - ei

(1

+ a1 (z -

+ a2 (z -

ei)

e;)2

+ .. -).

Unterscheiden wir nun die in übereinander liegenden Punkten der eintretenden Funktionswerte von w durch die Bezeichnungen tu1

und w2 : so ergibt sich:

w1

+ VtW

Vf(z) z-s

=

10

1 1

. 10 . W = 12

I

'

U'

2Vf(s) z-s'

=

2

f(z)-f(s)

4(z·+ZS+S2)_g.

(z-s)"

z-s

---- = -

-------....

Die zwischen z und U' bestehende algebraische Relation, welche nach (2) S. 92 in jeder dieser Größen vom zweiten Grade sein muß, hat demnach die Gestalt: w 2 (z

- s) - 2 VfCs)w - 4(Z2

+ zs + S2) + g2 =

O.

Lösen wir sie nach z auf, so ist der Ausdruck unter dem dabei auftretenden Wurzelzeichen unsere unter (1) gemeinte Funktion rp (w). Die Rechnung liefert als Ausdruck derselben:

rp(w)

=

1W1 - 6sw 2 - SVnS)w

so daß die Koeffizienten bo, bl l

bo =

t,

b1 = 0,

b2

=

-

s,

... ,

+ (4g

2 -

12s 2),

b4 die folgende Bedeutung haben:

bs = - 2 Yf(s) , b4

=

4g2

-

12 S2.

Die in den bo, bl l . . • , b4 anzusetzenden Ausdrücke (10) S. 122 für die Invarianten g~ und g; ergeben damit:

±(4g2 - 12s 2) + 3s 2 = g2' - 12s 2) - ('es) + S3 = 4s 3 - g2 s - fes)

g~ g~

=

-1s(4g~

=

=

g3'

Es ist also g~ = g2' g~ = gs und damit auch J' = J, so daß die Invarianz von J gegenüber beliebiger umkehrbar rationaler Transformation der F2 in eine F~ bewiesen ist.

140 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

§ 5. Allgemeine Bemerkungen über die elliptischen Integrale. Bei den nächsten Entwicklungen setzen wir die Verzweigungsform wieder in der allgemeinen Gestalt (4) S. 119 gegeben voraus und werden erst im übernächsten Paragraphen auf die Verzweigungsform erster Stufe (12) S. 123 zurückkommen. Irgendeine Funktion R (z, Vf"(z») des durch die F2 gegebenen Körpers wollen wir in der Umgebung einer Stelle Zo der Fläche in ihre Potenzreihe entwickeln und haben dabei die Entwicklungsgröße (wir wollen sie weiterhin als die "normale Variable" der Stelle Zo bezeichnen): (1)

Z

,

= Z-

zo'

,

1

,

z = --, z = z

~;:;---

VZ -

Zo

1

Z

,

1

= -VCC

z

zu benutzen, je nachdem Zo eine gewöhnliche endliche Stelle meinem Blatte oder die Stelle 00 eines Blattes oder ein endlicher Verzweigungspunkt oder schließlich die Stelle 00, falls da selbst ein Verzweigungspunkt liegt, ist. Für R(z, Vj"(Z») gilt dann in der Umgebung von eine Entwicklung: (2) R(z,

Vf(z») =

c_/ltz'-m + c_ nt +1 z-"'+ 1+ ... + C_ 1 z'-1

Zo

+ Co + Cl Z' + ....

Im allgemeinen treten keine Glieder mit negativen Exponenten von z' auf; solche finden sich nur für die Umgebungen der in endlicher Anzahl auftretenden Pole unserer Funktion. Man kann nun auf Grund der Darstellung (2) sofort das Verhalten des Integrals der Funktion R(z, Vf"(,e») in der Umgebung von angeben:

Zo

J 'R(z, Vl(z»)dz =J"(c_mi- m+ C_ m+1 /-"'+1+ ... +C_ 1 Z'-1+ Co + Cl z' + .. .)dz; die Beziehung des Differentials dz' der "normalen Val'iabelen" der Stelle zo zum Differential dz stellt man in den vier Fällen (1) leicht fest. Liegt in der endlichen Stelle Zo kein Pol von R(z, Vj"(zl), so ist auch das Integral als Funktion von Z'1) im Punkte Zo analytisch, so daß eine singuläre Stelle des

vetZz»)

Integrales jedenj"alls nur in einem Pole von R(z, oder an einer Stelle Zo = 00 und damit nur an endlich vielen Stellen der F2 auj"treten kann. Was die Natur der singulären Stelle angeht, so kann nur ein Glied der Reihe bei der Integration ein nicht-algebraisches Glied, nämlich eines von der Gestalt C· log z', liefern. Man stellt leicht fest, daß der Koeffizient C von log z' je nar.h dem vorliegenden Falle (1) die Bedeutung hat:

1) Dieser Zusatz ist mit Rücksicht auf die Verzweigungspunkte erforderlich.

Allgemeines tiber die elliptischen Integrale

141

Nehmen WIr als selbstverständlich C = 0 für einen nicht-singulären Punkt hinzu, so ergibt der Vergleich mit der S. 37 aufgestellten Erklärung des "Residuums" einer Funktion in einem einzelnen Punkte der F2 den Satz: 0 ist für jede Stelle der F2 direkt mit dem zugehö1'igen "Residttum" der Fttnktion R(z, Vf(zl) identisch und soll demnach auch für das Integral als dessen zur Stelle Zo gehöriges "Residuwn" benannt werden, Wir ziehen sogleich eine Folgerung, welche aus dem ersten Residuensatze (S. 38) mitte1st einer Überlegung gewonnen wird, wie wir sie S. 90 für beliebiges Geschlecht p an den zweiten Residuensatz (S. 39) angeschlossen haben, Nach S. 88 ziehen wir zwei Querschnitte Ql' Q2' die nicht gerade durch einen singulären Punkt unseres betrachteten Integrals hindurchlaufen sollen, und verwandeln unsere F 2 in dieser Art in einen einfach zusammenhängenden Bereich. Eine Stelle Zo mit nicht-verschwindendem Residuum 0 soll ein "logarithmischer Unstetigkeitspunkt" des Integrals genannt werden. Das über den Rand der zerschnittenen Fläche erstreckte Integral (3) S. 38, also in unserem Falle: ./ -fR (z, w ~1r

v1(Z»

dz,

stellt nach dem fraglichen Satze die Summe der Residuen aller logarithmischen Unstetigkeitspunkte dar. Aber dies Integral, welches ja (vgl. S. (0) über die beiden Ufer des einzelnen Querschnittes im entgegengesetzten Sinne zu erstrecken ist, hat dieserhalb den Wert O. Es folgt: Beim einzelnen unserer Integmle ist die Summe der Residuen aller logarithmischen Unstctig7ceitspunkte gleich O. Hiernach kann es insbesondere kein Integral mit mtT einem 199m'ithmischcn Unstetigkeitspunkte geben. Was sonstige Glieder mit negativen Exponenten von z' angeht, so prüft man die viel' Fälle (1) leicht durch. Man findet: In der Entwicklttng des Integrals treten Glieder mit negativen Exponenten von z' stets und nUT dann auf, wenn in det' Reihenentu:icklung für R(z, Vf(z») Anfangsglieder "vor" der den Logarithmus liefernden Potenz von z' vorkommen. Wir notieren insbesondere: Das Integral ist im P~tnkte Zo als Funktion von z' analytisch, trenn je nach dem vorliegenden Falle (1) in der Entwicklung von R (z, V f' (z)) das Glied Co bzw. C2Z' 2, C-1 Z' - t, cs z' 3 oder ein noch späteres das AlIfangsglied liefert. Da unsere unzerschnittene F2 einen meh1fach zusammenhängenden Bereich darstellt, so sind für das Verhalten der elliptischen Integrale gegenüber geschlossenen Umläufen die S. 7 ff. entwickelten allgemeinen Prinzipien maßgeblich. Setzen wir ein Integral übel' einen geschlossenen Weg auf der F2, der nicht gerade durch einen singu-

142 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

lären Punkt des Integrales läuft, fort, so kehrt das Integral, abgesehen von einer additiven Konstanten, zu seinen Anfangswerten am Schlusse des Weges zurück. Ist diese additive Konstante von 0 verschieden, so heißt sie nach S. 7 eine "Periode" des Integrales und der Weg ein "Periodenweg". Auf die hiermit berührten Verhältnisse gehen wir alsbald ausführlich ein. Hier nennen wir nur erst die Umkehrung: Eine Funktion von z, welche auf der F2 in jeder Stelle, abgesehen von Polen und logarithmischen Unstetigkeitspun7cten, analytisch ist 1), und welche bei Fortsetzung über irgendeinen geschlossenen Weg von einer additiven Konstanten abgesehen z~t ihren Anfangswerten zurückkehrt, ist ein zur F2 gehörendes elliptisches Integral. In der Tat ist die Ableitung dieser Funktion nach z auf der F2 eindeutig und bis auf Pole iiberall analytisch, stellt also eine Funktion R (z, Vf(z») dar. Da es sich hier vorab nur um die Untersuchung der Integrale in bezug auf ihre möglichen singulären Punkte handeln soll, so ist es erlaubt und im Interesse der Eindeutigkeit der zu betrachtenden Größen sogar geboten, die weiterhin zu benutzenden Integrationswege a~tf die durch zwei Querschnitte Ql' Q~ zerschnittene Fläche F2 zu beschränken, d. h. das Überschreiten eines der Querschnitte durch einen Integrationsweg einstweilen zu vet·bieten. Diese Vorschrift wird weiterhin noch eine Ergänzung finden müssen, welche sich auf die Integrale mit logarithmischen Unstetigkeitspunkten bezieht.

§ 6. Die drei Gattungen der elliptischen Integrale und die Elementarintegrale. Die gesamten elliptischen Integrale unserer F2 teilen wir nun in drei "Gattungen" ein: Zur ersten Gattung rechnen wir alle Integrale, welche auf der F2 überall analytisch 1) sind, zur zweiten Gattung gehören die Integrale, welche singuläre Punkte, jedoch mtr Pole besitzen, die dritte Gattung bilden alle übrigen Integrale, deren einzelnes also mindestens zwei logarithm~'sche Unstetigkeitspunkte aufweist. Zur Prüfung des analytischen Charakters hat man sich dabei stets einer Entwicklung nach Potenzen der betreffenden in (1) S.140 gegebenen Variabelen z' zu bedienen. Ein in diesem Sinne überall analytisches Integral wird bei Fortsetzung über die Fläche hin stets endlich bleiben: Ein Integral erster Gattung bezeichnet man demgemäß auch als ein "überall endliches Integral". Ist nun u(z) irgendein Integral erster Gattung, so muß, wie wir schon feststellten, in der Umgebung von Zo die Ableitung von u nach 1) In einem Verzweigungspunkte ist natürlich hier und weiterhin wieder gemeint, daß die Funktion in der zugehörigen normalen Variabelen analytisch sei.

143

Das Integral erster Gattung

z je nach dem vorliegenden Falle (1) S. 140 eine Entwicklung gestatten: dd tt z

=

Co

+ .. " .

=

zC1+ ..

"

=

c_!= Vz - Zo

+ .. "

=

(~~Z:')3 Y

+ ....

Hieraus ergibt sich, daß das Produkt dieser Ableitung und der Funktion V{(z) eine algebraische, auf der F2 überall analytische Funktion darstellt und also (vgl. S. 91) mit einer Konstanten a identisch ist. Setzen wir noch eine Integrationskonstante b hinzu, so folgt: Jedes Integral erster Gattung der

F2 ist in der Gestalt:

(1)

+b

af_dZ

VlCz)

darstellbar; es gibt also im wesentlichen, d. h. abgesehen von einer multiplikativen und einer additiven Konstanten, überhaupt nur ein einziges Integral erster Gattung der F2 :

(2)

u=

f!iw'

Diese einzigartige Stellung des überall endlichen Integrales u begründet den Vorrang, der dieser Größe u in unseren künftigen Entwicklungen zukommen wird, und die Existenz dieser einzigen Größe ist als eine grundlegende Tatsache der ganzen Theorie der elliptischen Funktionen anzusehen. Um invariante Darstellungen der Integrale, welche wir ja anstreben wollten (vgl. S. 118), vorzubereiten, führen wir an Stelle von z, wie S. 119, homogene Variabele zll Z2 ein und schreiben zur Abkürzung:

(3)

- z;dz

Zl dZ2 -

=

Z2dzl

=

(z, dz).

Hiermit ist ein "homQgenes Differential zweiter Dimension" gewonnen, welches, wie man leicht ausrechnet, sich bei Ausübung der homogenen Substitution (5) S. 119 so verhält:

(z, dZ)

=

D .

Cz', dz'),

d. h. die Substitutions determinante D als Faktor annimmt. Das Integral u selbst kleidet sich in die homogene Sclireibweise: (4)

u

.

-fCz, dz)

=

v7: '

sem Differential schreiben WIr:

(5)

d

_

tlz -

(z, -

dz)

'/'C-'

t

'I z

es ist wie u selbst in den Zu Z2 homogen nullter Dimension. Um die. Bedeutung dieses Differentials noch weiter aufzuklären, berechne man im einzelnen Punkte Zo der F2 den Wert der Ableitung von u nach der zugehörigen in (1), S. 140 erklärten "normalen Varia-

144 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

belen" z'. Deuten wir diesen Wert durch Anhängung des Index so gilt, je nach dem vorliegenden Falle (1), S. 140: 1

(6)

= - V~~~

,

2

= Vf'(zo) ,

Zo

an,

1

= - Val .

Der Wert dieser Ableituflg ist stets endlich und von Null verschieden; Im ersten Falle ist nämlich Zo eine endliche, von einem Verzweigungspunkte verschiedene Stelle; im zweiten Falle ist ao (der erste Koeffizient von fez») von Null verschieden; im dritten Falle ist die Ableitung f' (z) von fez) im Verzweigungspunkte Zo von Null verschieden; und im vierten verschwindet zwar ao, aber nicht a,. Nun ist die Bedeutung der Funktion z' von z die, daß diese Funktion die "Umgebuug" der Stelle Zo der F2 (welche im Falle eines Verzweigungspunktes Zo zweiblättrig ist) auf eine schlichte Kreisfläche um den Mittelpunktz' = 0 ab bildet. Aus bekannten Sätzen über konforme Abbildung (vgl. S. 33) folgt demnach sofort weiter: Das Integral erster Gatttmg u(z) bildet ausnahmslos die Umgebung jeder Stelle Zo der Fläche F2 auf einen "schlichten" Bereich um den Bildpnnkt dm' u-Ebene ab. Für die Umgebung der einzelnen FlächensteIle Zo hatten wir z' als die "normale Variabele" bezeichnet (v gl. S. 140). Man sagt dabei von einer Funktion der Fläche F2 , daß sie an der Stelle Zo ein endliches und von 0 verschiedenes Differential besitze, wenn ihre Ableitung nach z' daselbst endlich nnd von 0 verschieden ist. Das Differential dz wlirde bei Weiterbildung dieses Sprachgebrauches in einem der vier Verzweigungspunkte, die wir der KUrze halber hier einmal alle im Endlichen gelegen annehmen wollen, einen Nullpunkt erster Ordnung, an der einzelnen Stelle 00 einen Pol zweiter Ordnung bekommen. Beim homogenen Differential (z, dz) wUrden zwar diese beiden Pole in Fortfall kommen, aber die Nullpunkte in den Verzweigungspunkten bestehen bleiben. Auch hier hebt sich nun das hinfort als "Differential erster Gattttng" Ztt bezeichnende duz ganz besonders hervor, insofern es auf der ganzen 'Fläche F2 ausnahmslos endlich und nicht-verschwindend ist. Indem wir uns den Existenzbeweis der folgenden Integrale durch wirkliche Herstellung derselben vorbehalten, stellen wir jetzt für die zweite und dritte Gattung folgende Erklärung auf: Als ein zur Stelle z = t gehöriges "Elementa1'integral" zweiter Gattung Zt bezeichnen Wi1" ein Integral, welches nur an dieser Stelle de'r F2 einen Pol erster Ordnung hat und in der zugehörigen normalen Variabelen die Entwicklung gestattet: (7)

Zt=~+CO+C1Z'+"';

als ein zu den beiden Stellen z = t und z = to gehöriges "Elementarintegral" drittet· Gattung Pt t bezeichnen wit" ein Integral, welches als einzige , 0

Die Elementarintegrale zweiter und dritter Gattung

145

singuläre Stellen zu;ei logarithmische Unstetigkeitspunkte der Residuen 1 und - 1 bei z = t bzw. z = to aufweist und also in der zu z = t gehörenden normalen Variabelen z' eine Entwicklung,'

(8)

Pt,t. = log z' + c~

+ c~z + .. "

bei z = to eine entsprechende mit - log z' beginnende EntwickZttng besitzt. Es ist einleuchtend, daß diese Integrale, wenn sie überhaupt existieren, nur erst bis auf ein beliebiges additives Integral erster Gattung (au + b) eindeutig bestimmt sind. Mit Rücksicht auf das Integral dritter Gattung Pt t ist die oben bereits angedeutete Ergänzung der Zerschneidung unse~~r Riemannsehen Fläche F2 auszuführen. Die bisherigen Querschnitte QlI Q2 denken wir so gewählt, daß keiner von beiden durch t oder to hindurchläuft. Führt das Argument z einen geschlossenen Umlauf um die Stelle t der F 2 im positiven Sinne aus, so wächst dabei der Integralwert um den Betrag 2i% (vgl. S. 52), desgleichen bei einem Umlauf um to um den Betrag - 2i%. Wir werden jetzt einfach im Inner1~ der F2 eine sich selbst nicht überkreuzende Linie L t von t o nach t ziehen, diese als Schnitt betrachten und bei den Änderungen von ß ein Überschreilen auch dieses dritten Schnittes verbieten. Insbesondere werden wir also, wenn wir Pt,t. als bestimmtes Integral zwischen den Grenzen Zo und z berechnen, die Integrationsbahn als eine Linie L z wählen, die L t nicht überkreuzt. Dann ist in der zerschnittenen Fläche Pt,t. eine eindeutige Funktion der Stelle z. Für diese zu einer beliebigen Stelle t bzw. einem beliebigen Stellenpaare t, t o gehörenden Elementarintegrale entwickeln wir nun einen gegenüber 'den linearen Substitutionen von z "invarianten" Aufbau. 1) Die Ableitung des Elementarintegrales Zt nach der normalen Variabelen z' hat auf der F2 nur einen einzigen bei t gelegenen Pol, zweiter Ordnung; daraufhin wird der Differentialquotient: iJ,Zt d~(z

eine zweiwertige algebraische Funktion der F2 mit einem Pole zweiter Ordnung an der Stelle t. Nach S. 138 ist eine solche Funktion durch Angabe der Stelle t, abgesehen von einer multiplikativen und einer additiven Konstanten, eindeutig bestimmt. Ist t zunächst endlich und kein Verzweigungspunkt, so gilt, falls im Punkte t der mit dem rich1) Diese Darstellung der Integrale rührt von Klein her; siehe dessen Abhandlung ,;Über hypel'elliptische Sigmafunktionen", Math. Ann., Bd. 27 (1886), S. 431. Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd.

10

146 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

tigen Vorzeichen genommene Wert von Vf(z) durch Vf(t) bezeichnet wird, für die Umgebung dieser Stelle die Entwicklung: ,/-

r fez)

=

((t) + 2Ve{i) (z -

-

Vf(t)

t)

+ .. "

während im anderen Blatte Vf(z) die entgegengesetzten Werte hat. Hiernach wird: Vf(z)

+Vf(t) + 2 :~ (z v f(t) (z -

t)

t)2

eine erste zweiwertige Funktion gewünschter Art; denn sie wird außer bei z = t (in einem Blatte) nirgends auf der F2 unendlich, auch nicht bei z = 00. Die Hinzufügung einer multiplikativen und einer additiven Konstanten ändert Zt um einen von z unabhängigen Faktor bzw. um ein additives Integral erster Gattung. Wir wollen den von 0 verschie-

denen Faktor t Vf(l) und das additive Glied i4f"(t) hinzufügen und erhalten auf diese \Veise die durch cI> (z, i) zu bezeichnende Funktion

(9)

cI> ( t) Z,

=

v'f(Z) -,If(t) + {(tl + 1- f' (t) (z - t) + ;2 r (t) (z - W . 2 (z _ t)2

Der besondere Vorteil dieser Funktion besteht darin, daß sie in und t symmetrisch ist. Setzt man zur Abkürzung:

f(i) + tf'(t)(z - t)

+ 12f"(t)(z -

so berechnet man leicht:

k(z, i)

=

aoz 2 t 2 + 2a1 (z 2t + zt 2) + a2(z2

t)2

=

z

k(z, t),

+ üt + t 2) + 2a3 (z + t) + a4

und hat dann an Stelle von (9) die Darstellung:

(10)

cI>(z t) ,

=

Vf(z)

l1Ct5 +

h(z, t) 2(z-t)"

wodurch mit Rücksicht auf die Gestalt von k(z, t) die Symmetrie von cI>(z, t) in beiden Argumenten ersichtlich wird. Um den invarianten Charakter der Funktion (10) darzulegen, führen wir für z die homogenen Variabelen Zj, Z2 ein und spalten gleich auch t in den Quotienten der homogenen Größen tl1 t 2 , für welche wir bei Beweglichkeit der Stelle tauf Fj dieselben Vorschriften geben, wie für die Zl' Z2 (vgl. S. 119). Erweitern wir den in (10) rechts stehenden Quotienten mit .e~t~, so benutzen wir die Abkürzung: Z2t2(Z -

t) = Zlt2 -

Z2t1 =

(z, t)

und nehmen die Bezeichnungen z~· fez) = fz' t~· f(t) = ft für die Formen wieder auf. Auf der anderen Seite bemerken wir, daß die d9Ppelt qtta-

dratiscke Form: z~t~·

k(z, i)

=

h__ ,t

Invarianter Aufbau des Elementarintegrals zweiter Gattung

147

einfach die zweite Polare von fz nach t oder, was auf dasselbe hinauskommt, die zweite Polare von ft nach z darstellt: 12h

.,t =t2?~+2tt ozi

o'fz 1 2 OZl OZ2

1

+t2_~!~ 2.0 Z§

.2 02 ft oti + 2 Zl Z2 0 to'ft0t + .e20t~·

02ft

2

=zl

1

2

Die Funktion w(z, t) als homogen von nullter Dimension in jedem der beiden Variabelenpaare wird von der Einführung der homogenen Variabelen nicht weiter getroffen; immerhin könnten wir, wenn Zähler und Nenner in (10) rechts homogen geschrieben sind, an Stelle von W(z, t) uns der Bezeichnung Wz,t bedienen:

(11)

W

z,1

=

-Vl Vlt + hz,t. 2 (z, t)2

Es ist nun vor allem wichtig, daß W(z, t) auch dann eine zweiwertige Funktion mit einem Pole zweiter Ordnung in t bleibt, wenn t in einen endlichen Verzweigungs punkt (wir wollen einen solchen wieder mit e bezeichnen) oder in einen Punkt 00 der F2 hineinrückt. Aus (9) folgt nämlich sofort:

W(z, e)

=

t f' (e) (z -

e)- 1

+ l4 f" (e) ;

nach S. 138 müssen wir hier in der Tat zu einer linearen Funktion von z gelangen. Andererseits folgt aus der homogenen Darstellung (11) von W(z, t), daß t = 00, d. h. also t2 = 0, keine Ausnahmerolle spielen kann. In der Tat findet man denn auch aus (11), falls bei 00 kein Verzweigungspunkt liegt: .

wez, (0) =

t('Vao'Vf(z)

eme Funktion von z, die bei lim

z= co

00

+ aoz2 + 2a1 z + a2),

in dem Blatte, in welchem:

(-Vf(~~) -Vao z

=

+1

zutrifft, einen Pol zweiter Ordnung hat, im anderen aber endlich bleibt. Ist aber bei 00 ein Verzweigungspunkt gelegen, d. h. ist ao = 0, so gilt:

W(z, (0)

=

a1 z

+ ta2

in Übereinstimmung mit dem Umstande, daß jetzt wieder eine lineare Funktion von z vorliegen muß: W Cz, t) ist eine symmetrische Funktion zweier auf der F2 frei beweglichen Stellen, die bei Festhaltung der einen Stelle eine zweiwertige algebraische Funktion der anderen Stelle mit einem Pol zweiter Ordnung an der festgehaltenen Stelle wit·d. Man multipliziere nun W(z, t) mit dem Differential erster Gattung duz und integriere längs einer von Zo bis z laufenden, die Schnitte Ql 10*

148 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

und Q2 nicht überschreitenden Kurve, die zunächst den Pol t meiden z soll. Das Integral:

Jw(z, t) duz

(12)

ist, etwa bei variabel gedachter oberer Grenze z, eine analytische Funktion von z, die die Stelle t als einzigen singulären Punkt hat; und zwar muß, falls wir auf dem eingeschlagenen Wege wirklich zum Elementarintegrale zweiter Gattung gelangen wollen, bei t eine Entwicklung (7) S.144 vorliegen. Um das Verhalten des Integrales (12) bei t festzustellen, sei wieder zunächst t endlich und kein Verzweigungspunkt. Dann gilt für die Umgebung von t (vgl. (9) und die oben (S. 146) angegebene Entwicklung von -V1~z»): w(z, t)

J!'fW 1

=

+ tf'(t)(z - t)-l +"', ) (z - t) + ... ,

{(t)(z - t)-2

1 ({'(t) = Vf(t) 1 - 2f(t)

und damit folgt:

W(z, t)duz =

Vl(t)(z -

t)-2

+ * + ...) dz,

wo durch den Stern angedeutet sein soll, daß ein Glied mit (z - t)-l nicht auftritt. Hiernach ist: Z

-

Vf (t) fW(z , t)duz = 1

Z·,zo t

'0

für die vorliegende Stelle t unser zu konstruierendes Elementarintegral zweiter Gattung (7); die Integralgrenzen Zo und z haben wir am Symbol Z als obere Indizes angefügt. Liegt zweitens t in einem endlichen Verzweigungspunkte, so gilt: z •

z

( c1J(z e)du ' ,

z

=

z

lf'(e) r----~~----=c:

J

4

~

(z -- e)

Vf\z)

+ lf"(e)Jr11dZ_. fez) 24

~

~

Die Entwicklung der rechten Seite in der Umgebung von e ist leicht durchgeführt und ergibt nunmehr in: z

-

JW(z , e)du Vf'(e) 2

= Z

Zz,zo e

Zo

das Elementarintegral. Ebenso leicht beweist man die Formeln: z

-~JW(z, oo)du z = Zz,zo ,/ co, r ao '.

z

ia~fW(z, (0) duz = '.

von denen die zweite oder erste gilt, je nachdem punkt ist oder nicht.

00

Z:::·,

ein Verzweigungs-

149

Invarianter Aufbau des Elementarintegrals dritter Gattung

Aus der an Gleichung (6) angeschlossenen Betrachtung geht nun hervor, daß die vier in den Darstellungen des Elementarintegrales vor dem Integral auftretenden Faktoren die Werte des Differentialquotienten - ~;: je für die Stellen t sind, wenn wir nach Vorschrift von (1), S. 140, mit t' die jeweilige "normale Variabele" bezeichnen. Wir gelangen also zu dem Ergebnis: Das Elementarintegral zweiter Gattung stellt sich in der oben konstruierten algebraischen Funktion w(z, t) dU1"ch die ausnahmslos gültige Formel dar: d f'w(z, t)duz. (-a;I)."

•

(13)

Z;,zo

=

-

'0 Das Integral dritter Gattung PI,lo ist nun sehr leicht erledigt. Es besteht nämlich der Satz, daß das in (13) rechts stehende Integral eine algebraische Funktion von t oder, wenn wir z und t austauschen, eine algebraische Funktion von z ist, und zwar eben diejenige Funktion, deren Integral Pt t liefert. Aus (9) folgt nämlich sofort: ,

j

t

W(z

0

•

I

,

t)dtt

= I

yAz) + VB~ _ vlTz) + vro~ + .L!f"(t)dt 2(z-t)

2(z-to)

~

24

Vf(t)

,

~

wo wir der Bequemlichkeit halber t und to vorerst endlich denken. 1) Wir benutzen hierbei als Integrationsbahn die bereits oben (S.145) eingeführte Linie LI) welche dann von einer sogleich weiter für z zu wählenden Integrationsbahn L. ebensowenig wie die Querschnitte Ql' Q2 überschritten werden darf. In z stellt nun die rechte Seite der letzten Gleichung eine zweiwertige algebraische Funktion mit den beiden Polen erster Ordnung bei t und to dar, insofern sich die Pole, welche die beiden ersten Glieder, einzeln genommen, bei z = 00 haben, in ihrer Differenz aufheben. Multiplizieren wir jetzt mit duz und integrieren zwischen den Grenzen Zo und z längs einer vorschriftsmäßig gewählten Linie L., so ist: •

(14)

t

.t(jW(z, t)du Zo

l)

duz

to

in der Tat unser Elementarintegral dritter Gattung. Dasselbe ist nämlich als Funktion von z bis auf die Stellen t und to analytisch. In der Umgebung von t, falls dies eine gewöhnliche Stelle, d. h. kein Verzwei1) Man beachte, daß im letzten Gliede rechts ein Integral zweiter Gattung mit dem Pole bei t = 00 steht. Dieser hebt sich aber gegen den Pol des ersten Gliedes bei t = 00 fort, da ja die Gleichung des Textes ein Integral zweiter Gattung in t mit einem bei z gelegenen Pole darstellt.

150 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

gungspunkt, ist, wird das Integral (14) abgesehen von dem Gliede log (z - t) der Entwicklung analytisch. Dieselbe Aussage gilt für die Umgebung eines Verzweigungspunktes t = e, abgesehen von dem Gliede e. Auch die Umgebung von to wird man entsprechend leicht log erledigen. Auf den Fall, daß t = 00 (oder to = (0) zutrifft, brauchen wir nicht besonders einzugehen, da die Stelle 00 infolge des invarianten Aufbaus des Integrales (14) keine Sonderrolle spielt: Das unter Angabe der Grenzen durch P;;:oo zu bezeichnende Elementarintegral drüter Gattung stellt sich mittelst dm' oben konstruierten Funktion lP (z, t) in der Gestalt (14) dar, d. h. ausführlich gescht'ieben:

rz -

z

pz,zo t,t o

I

=f(f'VM -VTCt5 +t)'

h(z, t)

2(z -

dU) du

I.

to

Zo

oder %n homogener Gestalt: z

P:,:o ,

=

0

I

I( ) ji(J -2nv'~+hz - , / T . -v-'- t,dt) (z, dz). (z, t)2 V f~ ft

Zo

to

Man bezeichnet z und Zo als die "Argumente", t und to als die "Parameter" dieses Integrals und überträgt diese Bezeichnung auch auf das Integral zweiter Gattung (13). Das Doppelintegral (14) gestattet übrigens Umänderung der Reihenfolge der beiden Integrationen 1); es gilt also, wenn wir gleich noch die Symmetrie von lP in z und t benutzen: t

z

P:;tz: =

f (flP (z, t) du $0

t

t)

duz

=

to

z

f (flP (t, z) dtt to

z)

du t •

Zo

Das rechts stehende Integral ist nach (14) aber PI,to. Das Elementarintegral dritter Gattung bleibt unverändert beim Aust~~~sch der Argumente und Parameter 2): (15) Differenziert man die vorletzte Gleichung nach t, indem man sich etwa gleich des Differentials elt' der normalen Variabelen t' der e111zeInen Stelle bedient, so folgt:

J z

d~' (P;;t.

~~

lP (z, t) duz· '0 Aus (13) folgt also: Die Differentiation des Elementat'integrals dritter 0

)

=

1) Man vgl. etwa Osgood, S. 307, 7. Satz. Die Vorbedingungen dieses Satzes sind im Texte erfüllt, da flir zwei auf LI bzw. L z bewegliche Argumente t und z die Funktion ;p (z, t) stetig ist und bei festgehaltenem einen Argument eine algebraische Funktion der anderen liefert. 2) Wir kommen auf diesen Satz in § 8 nochmals zurück.

Aufbau aller Integrale in den Elementarintegralen

151

Gattung Pt':o nach dem Parameter t liefert das Elementarintegral zweiter Gattung Z:';oo des Parameters t in der Gestalt:

Z"'o 1

(16)

d

= __

dt'

(pz"o) 1,1 0

'

Wir kommen jetzt noch einmal auf ein beliebiges Integral:

.fR(z, Yfez) dz

(17)

unserer F2 zurück und wollen einen additiven Aufbau desselben aus einer algebraischen Funktion, dem Integral erster Gattung und den betrachteten Elementarintegralen der zweiten und dritten Gattung durchführen. Mögen beim In,tegral (17) zunächst n logarithmische Unstetigkeitspunkte der Residuen 0 11 02' ... , On an den Stellen tl1 t2 , ••• , tn vorliegen. Wir nehmen dann irgendeine von den bisherigen verschiedene Stelle to hinzu und bilden das Aggregat:

das übrigens an der Stelle t o infolge des Verschwindens der Residuensumme (vgl. S. 141) keinen neuen logarithmischen Unstetigkeitspunkt bekommt. Die Differenz: n

(18)

JR (z, "Vfez) dz -

~ 0kP1k' 1

0

k=l

liefert ein Integral, das an singulären Punkten höchstens noch Pole aufweist. Findet sich an der Stelle s ein Pol vter Ordnung, so beachte man, daß in:

Z

•,

dZ.

duz'

d'Z.

du;'

... ,

dv - 1 Z •

du;=-i-

eine Funktionenreihe vorliegt, in der das erste Glied ein Integral, die übrigen Glieder algebraische Funktionen sind; dabei weisen diese Funke tionen allein an der Stelle s der F2 Pole auf, und zwar der Ordnungen 1, 2, 3, ... , v. Man kann daraufhin ein Aggregat:

BZ

+ B' dZ. + B"d Z. + ... + B(v_i)cf~izs 2

duz

8

d!;b;

du;-i

mitte1st konstanter Koeffizienten B derart aufbauen, daß der Abzug dieses Aggregates vom Integral (18) den Pol bei s gerade weghebt. Verfahren wir in dieser Weise mit allen Polen von (18) (die endliche Anzahl derselben sei gleich m), so restiert schließlich ein. überall endA.'). Die Konstante A' und alle algebraischen liches Integral (Au Bestandteile ziehen wir in R i (z, "VfCz)) zusam~en und gelangen so zu dem Ergebnis: Jedes Integral (17) unserer F2 läßt sich aus einer alge-

+

152 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

b1"aisehen Ftmktion, dem Integral erster Gattung und den Elementarintegralen zweiter ttnd drittm" Gathtng in der nachfolgenden Gestalt attfbatten: 'In

(19)

jR(z, -vtTz)dz

=

R 1 (z, fflz)

n

+ Att +~BiZSi+ ~OkPtk>to. ;=1

10=1

§ 7. Die zur ersten Stufe gehörenden NormalgestalteIl der Integrale der drei Gattungen. Während bei den Entwicklungen von § 6 auf 'Vahrung des allgemeinen invarianten Oharakters der Formeln Gewicht lag, soll jetzt die Verzweigungsform in ihrer zur ersten Stute gehärenden Gestalt bevorzugt werden. Wir gelangen so zu den Normalgestalten erster Stttfe für die Integrale; man nennt sie auch die" WeiM"straßsehen N(Yrmalintegrale", da W eierstraß diese Integralgestalten in seinen Vorlesungen zugrunde legte (vgI. S. 117). Als "Normalintegral erster Gattung C1"ster Stttfe" benutzen wir hinfort: (1)

d. h. wir legen die untere Grenze im Verzweigungspunkte bei z= 00 fest. Als "Normalintegral zweiter Gattung erster Stufe" bezeichnen wir das folgende: z (2) Z = Z=,Zo = zdz

-f

Y'4z 3 - g2 Z -

g3'

wobei die untere Grenze einstweilen unbestimmt bleibe. Das Besondere ist also, daß wir jetzt nur das eine Integral mit dem Pole im Punkte 00 zulassen. Nach den Formeln von S. 147 u. f. ist die Beziehung zum Elementarintegral Z", einfach durch:

(3) festgelegt. Übrigens liefert die auf (13) S. 149 folgende Formel bei Austausch der Bezeichnungen z und t für die erste Stufe:

<0 '0 Hieraus ergibt s:ch mit Hücksicht auf (13) S. 149 eine Darstelhtng des Elementarintegrales zweiter Gattung Z;,zo mit beliebigem "Parameter" t durch das Nonnalintegral zweiter Gattung erstm· SÜtte (2) in der Gestalt:

(4)

(~). ZZ,Zo d ttt

t

=

Jll1Z>+vf(t) _ Vf(zo)+v7(t) 2 (z - t) 2 (zo - t)

+ Z',z,

153

Die Normalintegrale erster Stufe

unter Hinzunahme einer zweiwertigen algebraischen Funktion. Diese Reduktion des Integrales zweiter Gattung mit beliebigem "Parameter" t auf das Integral mit t = 00 rechtfertigt die Beschränkung auf dieses Normalintegral (2). Als "Normalintegral dritter Gattung erster Stttf'e" benutzt man gelegentlich das folgende:

1; z

dz (z - t)Y4z" -

lIt=II',Zo =

(5)

t

92Z -

93

Zo

mit der Bedingung, daß t kein Verzweigungspunkt sein soll; die untere Grenze soll wieder unbestimmt bleiben. Hier liegt also die Besonderheit vor, daß das Integral in zwei übere'inander liegenden Stellen der Fläche F2 logarithmische Unstetigkeitspunkte hat, ~tnd zwar solche der Re'11 1 s~ua +-==. -W(t)

Um die Beziehung des Integrales (5) zu dem Elementarintegrale P:;t:o des vorigen Paragraphen klarzulegen, entnehmen wir von S. 149 die Gleichung:

J

t

cp (z

to

,

t) d~t

t

=

ylTz) + Yf'~t) 2 (z -

t)

_

v7(z) + y1(tJ - zt,to 2 (z -

to)

,

multiplizieren mit duz und integrieren zwischen den Grenzen wodurch WlY erhalten:

Zo

und z,

(6)

+ t vl"(t) II:'" - t Vf'(to) II:;zo -

uz,zo zt,to.

Hierdurch ist also das links stehende Elementarintegral, abgesehen von einem logarühmischen Gliede und einem Integral erster Gattung, mittelst der beiden zu t und t o gehörenden Integrale (5) dargestellt. Diese Gleichung bleibt auch in dem Falle brauchbar, daß to oder t oder beide Stellen zugleich in endliche Verzweigungspunkte rücken; so gilt z. B. für to = ei und t = ek die nachfolgende einfache Darstellung des Elementarintegrals: (7) Dagegen wird die Gleichung (6), welche ja nicht mehr den Charakter der Invarianz hat, unbrauchbar, falls einer der logarithmischen Unstetigkeitspunkte des darzustellenden Elementarintegrals in den Verzweigungspunkt 00 fallt. Wird z. B. to = 00 gesetzt, so werden die beiden letzten Glieder der rechten Seite von (6) unendlich. Allerdings

154 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

kann man hier sofort (mitte1st funktionentheoretischer Betrachtung) den Ansatz: pz,z, = llog ly'ret)II;'" Au"z, t,oo

(Z-t)t + Zo -

2

+

2

bilden, wo A eine von z und Zo unabhängige Größe ist. Man kann A etwa in der Weise bestimmen, daß man die letzte Gleichung für Zo = eo z = ek spezialisiert (wobei A unberührt bleibt), die Gleichung (7) aber für Zo = 00, z = t. Dann werden die linken Seiten zufolge des Satzes von der Vertauschbarkeit der Argumente und Parameter (S. 150) bei den in § 6 konstruierten Elementarintegralen dritter Gattung einander gleich, und die Gleichsetzung der rechten Seiten liefert für A die freilich nicht ganz einfache Bestimmungsgleichung :

2 Uek' ei • A =

-

ut,oo •

2 zek, ei

-

t y'rCf) . 2 IIet k, ei .

Die hier auftretenden, doppelt genommenen Integrale zwischen Verzweigungspunkten als Grenzen: haben die Bedeutung von "Perioden" dieser Integrale, zu deren Betrachtung wir uns jetzt wenden. 1) .

§ 8. Die Perioden der elliptischen Integrale nnd die zwischen ihnen bestehenden Relationen. Die Riemannsche Fläche F2 wurde S. 85 unter Verzicht auf Konformität der Beziehung durch stetige Umformung in die Oberfläche eines Kreisringes verwandelt. Letztere wurde durch die beiden in Fig. 21, S. 88 gewählten Querschnitte Ql und Q, in einen einfach zusammenhängenden Bereich zerschnitten und konnte durch eine weitere stetige Umwandlung in das Viereck der Fig. 22, S. 89 umgeformt werden. Hier sind je die beiden Ufer des einzelnen Querschnittes zu zwei gegenüberliegenden Viereckseiten geworden; je zwei homologe Punkte des einzelnen Seitenpaares liefern also ein und denselben Punkt der F2• Wir müssen zunächst darauf hinweisen, daß die hier vorgenommene Zerschneidullg eine spezielle ist. Es ist wünschenswert, sich ein Bild 1) An die Darstellung (19) S. 152 eines beliebigen elliptischen Integrales der F2 könnten wir jetzt eine Darstellung durch die beiden Normalintegrale u und Z und ein Aggregat von Integralen TIt anreihen, zu denen dann noch ein algebraisches Glied und ein Aggregat logarithmischer Glieder der im Texte hervorgetretenen Bauart hinzukämen. Doch hat diese Darstellung eines beliebigen Integrales der F2 wesentlich infolge der hinzutretenden logarithmischen Glieder nicht die Einfachheit der Darstellung (19) S. 1&2.

Herstellung des allgemeinsten Querschnittsystems

155

von der möglichen Verallgemeinerung zu machen. Zu diesem Zwecke sei jetzt Q1 eine ganz beliebige geschlossene reguläre Kurve auf der F2 , die sich selbst nicht überkreuzt und (um ein rechtes und linkes Ufer unterscheiden zu können) mit einem gewissen Richtungssinne zu durchlaufen ist. Von dem Verlauf einer solchen Kurve Q1 kann man sich auf der F2 selbst keine recht auschauliche Vorstellung bilden, und auch die Ringfläche bietet hier noch keine recht befriedigende Grundlage. Dagegen ist das Bild der Kurve Q1 im Viereck der Fig. 22 ein sehr anschauliches; Q1 liefert hier irgendeine Anzahl getrennt verlaufender, das Viereck durchsetzender Linienstücke, die einen Richtungssinn haben und in der Art zusammenhängen, daß beim Erreichen einer Seite des Vierecks das nächstfolgende Kurven stück im homologen Punkte der Gegenseite beginnt. Die Kurvenstücke liefern hierbei eine ringförmig geschlossene Kette. Umgekehrt liefert jede Kette von Kurvenstücken dieser Art, die unser Viereck, ohne sich zu überkreuzen, durchsetzt, eine brauchbare geschlossene Kurve Q1 auf der F2' Zur Erläuterung ist in Fig. 26 eine solche aus drei Kurvenstücken bestehende Kette gezeichnet; die das Viereck durchziehenden punktierten Geraden sollen die Zuordnung der Randpunkte veranschaulichen. Um nun Ql als Querschnitt zu benutzen, zerschneiden wir das Viereck längs der von Ql gelieferten Kurvenstücke in eine gewisse Anzahl von Flächenstücken und legen sodann diese in deJ Art aneinander, daß je zwei homologe Stücke von Gegenseiten des Vierecks zur Deckung kommen. Es bleibt dann freilich (wie man sich am Beispiele der Fig. 26 und 27 klar machen wolle 1» ein Paar homologer Seitenstücke noch offen (in Fig. 27 die beiden geraden Stücke oben und unten). Doch können wir diese beiden Stücke durch Zusammenbiegen des I gewonnenen Gebildes zu einem I im Raume gelegenen Ringe ~~i-/ll_auch noch zur Deckung 1: bringen. Dieser Ring hat dann, ! 2 I wie die lVIantelfläche eines Zylinders zwei Ränder, welche Fig.26. ""--_--1 Fig.27. den Ufern unseres Querschnitts Ql entsprechen, Dubei sind die Punkte diesel' beiden Rändel' eindeutig und stetig einander zugeordnet, nämlich

1

U

1) Von den beiden das Innere derFig. 27 durchsetz enden gekrümm ten Schnitten Q. und Q; sehe man zunächst ab. Die bei den sich senkrecht kreuzenden punktierten Geraden der Fig. 27 rühren vom Rande des Vierecks der Fig. 26 her; die eingetragenen Nummern der Flächenstücke entsprechen den in Fig. 26 angegebenen Nummern.

156 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

fils gegenüber liegende Uferpnnkte von Ql auf der F2 oder auch als je zwei Randpunkte, die einen und denselben Punkt der nnzerschnittenen F2 liefern. Wir gewinnen nun leicht ein anschauliches Bild über die jetzt noch möglichen zu Ql "konjugierten" Schnitte Q2' In Fig. 27 ist ein erster Querschnitt Q2 dieser Art von einem rechtsseitigen Uferpunkte des Schnittes Ql nach dem entsprechenden linksseitigen Punkte durch den Ring hindurchgelegt. Würden wir jetzt Fig. 27 längs Q2 zerschneiden und die beiden Stücke so aneinandeTlegen, daß die beiden Fig. 27 oben und unten begrenzenden Geradenstücke zur Deckung kommen, so hätten wir damit die F2 in dasjenige ebene Viereck stetig deformiert, welches den beiden neuen Querschnitten Ql und Q2 entspricht. Homologe Punkte der Gegenseiten sind dabei natürlich wieder einander zugeordnet. Jetzt ist es nur noch ein Schritt, um das allgemeinste Querschnittsystem der F2 anschaulich zu erfassen. 'Vir können nämlich noch an Stelle von Q2 einen Schnitt Q~ treten lassen, indem wir aus Q2 ein inneres Stück herausnehmen und statt dessen eine Anzahl von Umläufen um den vorhin aus Fig. 27 hergestellten Ring in der einen oder anderen Richtung einhängen. So entsteht der in Fig. 27 punktiert angedeutete Querschnitt Q~, indem wir einen solchen Umlauf einhängen. Man mache sich an der Figur deutlich, daß es sich dabei um einen Umlauf handelt, der auf der F2 aus der geschlossenen Kurve Ql durch stetige Verschiebung hervorgeht. Solche durch stetige Verschiebung ineinander übe:rführbare geschlossene Wege sind für unsere Zwecke äquivalent. Somit geht jeder beliebige Schnitt Q2 aus dem zuerst gewählten Q2 einfach dadurch hervor, daß wir diesem Wege Q2 eine Anzahl mit + Ql oder - Ql 1) äquivalenter Wege einhängen. Wir können nun, genau wie dies vorhin in Fig. 26 geschah, den Bereich der Fig. 27 durch jeden beliebigen Schnitt Q2 in eine Anzahl von Streifen zerschneiden und diese dann (Übergang von Fig. 26 zu Fig. 27) durch Aneinanderfügen homologer Stücke der beiden Fig. 26 oben und unten berandenden Gegenseiten wieder zusammenfügen. So gelangen wit· endlich zu einem Vie1'eck, dessen Gegenseiten von den Schnittufern des jetzt ganz beliebig gewählten Schnittsystems Ql' Q2 herrühren. Es braucht übrigens kaum noch hinzugesetzt zu werden, daß wir auch dieses Schnittsystem auf F2 noch irgendeiner ohne Zerreißen vor sich gehenden stetigen Verschiebung unterwerfen dürfen, ohne daß dasselbe an seiner Brauchbarkeit einbüßt.

+

1) Wir sprechen von einem Wege Ql oder - Qu je nachdem wir Ql im ursprünglichen Richtungssinne oder diesem entgegengesetzt durchlaufen.

Das allgemeinste Querschnittsystem der Riemannschen Fläche

157

Wollen wir uns ein die gegenseitige Anordnung und den Richtungssinn der bei den Querschnitte Ql' Q2 betreffendes schematisches Bild machen, so bedienen wir uns der Fig. 28, welcher die ursprüngliche ~weiblät~rige. Fläche ~ 2 zugrun~e liegt .. ~oll /----~ _// __ Jedoch für eIll auf dIe zerschmttene Flache ( /) beschränktes zeine Integrationsbahn L z von . (
(1)

a,i =.fR(z, Yf
erklärt werden können, wobei wir durch das Vorzeichen bei + Qi noch ausdrücklich hervorheben wollen, daß die Integration den Richtungssinn des Weges Q; befolgen soll. Der bequemen Ausdrucksweise halber nennen wir a,1 die "erste" und a,2 die "zweiteU Periode des fraglichen Integrales. Beschränken wir die obere Grenze des Integrales auf die durch Ql und Q2 zerschnittene Fläche, so ist in dem damit gegebenen einfach zusammenhängenden Bereiche das Integral, falls es der ersten oder zweiten Gattung angehört, als eindeutige Funktion seiner oberen Grenze erklärt. Die Integrale dritter Gattung betreffend haben wir Fig. 29 gleich so vorbereitet, daß sie für die Untersuchung der Elementarintegrale paßt. Kommen mehr als zwei, etwa v logarithmische Unstetigkeitspunkte t der Residuen Co, ClI • . • , C~_l vor, so wolle man in der durch Ql' Q2 zerschnittenen Fläche das Integral über einen geschlossenen Umlauf um alle v Punkte t führen. Ohne Änderung des Integralwertes können wir diesen Umlauf, wie Fig. 30 darlegt, auf v kleine Kreise

158 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

und eine Reihe dazwischen liegender Integrationswege zusammenziehen, welche letztere je zweimal in entgegengesetzten Richtungen zu durchlaufen sind. Die Integralwerte, welche von diesen letzteren Wegen herrühren, heben sich also auf, während die v Kreise einzeln die Integralwerte 2 ix Co, 2 ixCu ... , 2ix CV_ l liefern. Das Gesamtintegral ist zufolge des Satzes vom Verschwinden der Residuensumme (vgl. S. 150) gleich Null. Wenn wir demnach (entsprechend dem Schnitte L t in Fig. 29) ]'ig. so. jetzt wieder einen Schnitt LI von to über tu t 2 • •• bis t"_l ziehen und solcherart. unsere bereits längs Ql und Q2 zerschnittene Fläche nun freilich wieder in einen "zweifach" zusammenhängenden Bereich verwandeln, so ist doch gleichwohl im letzteren unser betrachtetes Integral dritter Gattung wieder eine eindeutige Funktion seiner oberen Grenze. Für die so aus dem einzelnen elliptischen Integrale gewonnene, im beschränkten Bereiche eindeutige Funktion besteht nun nach S. 7 der Satz, daß dieselbe in gegenüberliegenden Uferpunkten des einzelnen Schnittes eine Wertdifferenz hat, die längs dieses Schnittes konstant bleibt. Als "Wertdifferenz längs eines Querschnittes" wollen wir immer den Überschuß des "rechtsseitigen" übel' den "linksseitigen" Integralwert bezeichnen. Bei dem Schnitte L t müssen wir die durch die Punkte tl , t 2, ... , t v _ 2 abgeteilten Stücke L)l), L)2 l, .: ., L)V-l) unterscheiden. Mitte1st der Fig. 28 ff. zeigt man alsdann für das in (1) betrachtete Integral leicht den Satz: Die Wertdifferenz längs Ql ist - 2 2 , die längs Q2 aber + 2 1 " und falls die dritte Gattung vorliegt, ist die Wertdif(erenz längs L)k) gleich ta

2i:n:(Co + Cl

+ ... + C

k_

t )·

Wir wollen jetzt sogleich die Verzweigungsform erster Stufe zugrunde legen, übrigens aber (was wir doch hervorheben wollen) vorerst noch an einem beliebigen Querschnittsystem festhalten. Für die Normalintegrale u und Z benutzen wir fortan die besondere SchreibweIse der Perioden:

(2)

w. -fdu, (+ Qi)

1);

=Jd Z, (t-

Q,l

woraus sich übrigens zufolge (4) S. 152 für das besondere durch (13)

8.149 gegebeneElementarintegralZt die beidenPerioden (

:;t) .

Für das Elementarintegral drittel' Gattung schreiben WIr:

(3)

1);

ergeben.

159

Grundlegende Sätze über die Perioden

als Bezeichnung der Perioden und merken übrigens an, daß die Wertdifferenz längs L t für dieses Integral - 2in ist. Ein erster wichtiger Satz ist nun der folgende: Von den Perioden W l1 Ws des Integrals erster Gattung kann keine gleich Null sein. Wären nämlich beide gleich Null, so wäre u auf der unzerschnittenen Fg eindeutig und überall analytisch, also mit einer Konstanten identisch. 2i:tu

Wäre aber nur Ws von Null verschieden, so würde man in e w. auf dieselbe Art eine Konstante erkennen. Zur Gewinnung von Beziehungen zwischen den Perioden zweier Integrale kann man so gelangen. Der geschlossene Rand 0 des aus F2 durch Zerschneidung längs Ql und Q2 entstehenden einfach zusammenhängenden Bereiches setzt sich (vgl. Fig. 28 u. 29) zusammen aus dem linken Ufer von + Q2 (wir wollen für dieses in der Richtung von Q2 zu durchlaufende Ufer + Qi schreiben) und den entsprechend zu bezeichnenden Wegen + QI, - Q;, - Q~; die Schnittufer sind dabei in der Richtung beschrieben, daß der Umlauf längs des Randes 0 des Bereiches im "positiven" Sinne vorliegt. Ein in dieser Richtung über den Rand 0 erstrecktes Integral läßt sich denmach so zerlegen:

f=f+f+f+f, (0)

wofür

w

WIr

(H;) (-QP (Hi) (-Q~)

auch schreiben können:

f=f-f+J-f· (C)

(+ Q;) (+ Q~)

(+ Qi)

(+ Q~)

Sind nun F I (z) und F s(z) irgend zwei auf der nötigenfalls auch noch mit einem oder zwei weiteren Schnitten L t versehenen Fläche eindeutig erklärte Integrale 1), deren durch (1) erklärte Perioden a; und a;' seien, so läßt sich das Integral:

fF2(Z) dFl (z) (C)

auf Grund der Regel (4) leicht berechnen. Da nämlich dF l (z) algebraisch und also längs beider Ufer von Qi gleich ist, so kann man in (4) rechts die beiden ersten Integrale zusammenziehen in ein längs + Q2 zu erstreckendes Integral des Produktes von dF1(z) und dem Überschuß der linksseitigen Werte F 2 (z) über die rechtsseitigen. Es folgt damit:

- a;

f Fs(z)dF1(z) -fF~(z)dFl(z) (Ht)

(H;;)

=

-

.Q~'fdF1(Z) =

-

.Q;.Q;.

(+ Q.)

1) Einen zu F 1 (z) gehörenden Schnitt L würden wir übrigens entbehren können, da von F 1 (z) sogleich nur das Differential dF1 (z) verwendet wird.

160 I,

1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

Indem man das dritte und vierte Integral in (4) rechts genau so behandelt, gewinnt man als Ergebnis:

(5)

!F2 (z) dF1 (z)

=

.Q;.Q~ - .Q;.Q~.

(C)

Der links stehende Integralwert bleibt nun unverändert, falls Wir die Integrationskurve C stetig und ohne Zerreißen innerhalb der zerschnittenen Fläche zusammenziehen; nur dürfen wir sie dabei nicht über eine singuläre Stelle von F 2 (z) oder q~~~ hinwegschieben, unter z' die "normale" Variabele (vgl. S. 140ff.) verstanden. Es eröffnet sich damit eine zweite Berechnungsart des Integrales (5), welche wir sogleich in den verschiedenen wichtigen Spezialiällen darlegen. Als erstes Beispiel wählen wir F 1 (z) = U, F 2 (z) = Zt; die Gleichung (5) nimmt die besondere Gestalt an:

r

•

Zt d ~~z =

dtLt( 7it' 00 1 'Y}2

-

002 171

)

•

(C)

Hier können wir C auf einen unendlich kleinen, im positiven Umlaufsmne um den Pol von Zt zu beschreibenden Kreis zusammenziehen, längs dessen Peripherie: 1 , d dut d' Z

,; = ?

+ + Co

Cl Z

+"',

Uz

= dt' .

z

gilt. Das Integral hat demnach einfach den Wert ~~t. 2 in, und es ergibt sich der Satz: Zwischen den Perioden (2) der Normalintegrale erster und zweiter Gattung von der ersten Stufe besteht die Gleichung:

(6) 00 1 'Y}2 002'Y}l = 2in, welche man als die "Legendresche Relation" bezeichnet. 1) t Setzen wir zweitens F l (z) = u und wählen als F 2 (z) em 1 Elementarintegral Pt,to (vgl. (8), S. 145), also nicht notwendig das besondere in (14) S. 149 gegebene Pt,to ' so ist: p t t du z = 00 1 .Q(t, to) - 00 .Q(t, to) 2 2 1 .

f

'0

(C)

Hier können wir C auf den in Fig. 31 skizzierten Weg zusammenziehen, der sich aus zwei unendlich kleinen Kreisen um to und t1 sowie zwei längs der Ufer von L t verlaufenden Wegen Fig,3l. zusammensetzt. Die Kreisintegrale verschwinden mit verschwindenden Radien. Es gilt nämlich zufolge (8) S. 145 z. B. für den Kreis um t:

----

J

Pt,toduz =

~:,tJ(log z' + c~ + c~z' + ...) dz',

1) In Legendres "Traite des fonctions elliptiques" Bd. 1, S. 62 ff. hat die Relation eine wesentlich andere, im zweiten Abschnitte zu besprechende Gestalt.

Beziehungen zwischen den Perioden der elliptischen Integrale

161

wo nur das erste Glied der Klammer eine Bemerkung erfordert. Setzt man z' = ?'e Cu, so ist das über den Kreis genommene Integral: 2,.

.flog z' . dz'

+ iti)e,9-idft,

irJClog r

=

o

dessen Verschwinden für lim l' = 0 man sofort' erkennt. Es bleiben somit nur die beiden Integrale längs der Ufer von L t . Da aber die Wert differenz von Pt,I, längs L t gleich - 2in: ist, so folgt als Illtegralwert: I

- 2in:JdUz =

2in:·UI ,I.,

-

I •.

wenn wir wie oben die Integralgrenzen als obere Indizes anschreiben. Für die Perioden 00 1 , 00 2 tmd diejenigen des Elementarintegrales PI, I. dritter Getttung besteht die Relation: . (7) oo1.Q~,t.)- oo2.Q~,lo)= - 2i7i' ttt,t., wo für das rechts stehende Integral et'ster Gattung L t als Integrationsbahn gilt. Wir bilden weiter aus (5) den Ansatz:

fp

t, tQ d P 8, So =

Q(s, Sol .Q(t, I.) 1

2

.!~.<s,2 "0) .Q(t,lt ' o)'

(C)

hierbei wollen wir unter den P irgendwelche Elementarintegrale dritter Gattung verstehen, d. h. es können entweder direkt die durch (14) S.149 gegebenen Integrale sein, oder sie können von diesen auch durch irgendwelche additiven Integrale erster Gattung abweichen. Hier darf man C zusammenziehen auf eine nach Art von Fig. 31 um LI herumlaufende Kurve und zwei unendlich kleine Kreise um die Pole erster Ordnung dPS,8.

von -a;T' Die erste Bahn liefert, was man wie im vorigen Beispiele

J

leicht feststellt:

~

-

· 2 ~tr.

C'1P 8,8 0 = -

2'~7t pt,8,8to0 '

to

Für die beiden Kreise um s und die untere Grenze von Pt,Io ist:

f

d Ps, s o '

Pt,lo-aT dz

=

So

findet man (vgl. (8) S. 145), falls

,';,2'0'

8 0, , $ 0 '

Pt,to ·2~n: - Pt,to ·2~n:

=

Zo

~,Sf)

•

2tn: P t,lo '

Es ergibt sich somit: Für irgend zwei Elementarintegrale dritter Gattung Ps,so, PI,to und ihre Perioden besteht die Relation:

( 8)

p'"

'0 _ t,t o

pt,lo

e,so

=

_~ (.Q('"

2in

F r i e k.: Elliptische Funktionell. Bd. 1

1

Sol

.Q (I, t o) _ 2

Q,C', '0) QCt, te»). 2"1

11

162

1,1. Die elliptischen Integrale und ihre Normalgestalten erster Stufe

Letzten Endes betrachten wir noch den Ansatz:

f

du, ( 1 , 1 Z s dPI,I.=-(fs'1')1,Q,2

0)

(1,10

-1}2,Q,1

») .

(C)

Hier dürfen wir die Kurve C auf drei unendlich kleine Kreise um die Stellen s, t und to zusammenziehen. Die Auswertung der drei Integrale ist durch die bisherigen Methoden zu leisten und ergibt:

fZ~ dPI,lo= (d;:,/0)z=.2in + Z;,lo.2in:, (0)

wo im ersten Gliede rechter Hand der Wert der Ableitung von Pt,l. im Punkte s gemeint ist. Das Resultat können wir in die Gestalt kleiden:

+ du d'~'ZI,lo_

dP

t,lo) ( du Z

8

-

.

1 (n(t,l 2i;t '1')1~"2

-

S

Z=S

o)

-

n(I,lol)

1}2';"1

•

Während nun hier Z. immer das besondere Integral (13) S. 149 ist, verstehen wir bisher unter PI,lo irgendein Elementarintegral dritter Gattung (vgl. (8) S. 145). Wählen wir jetzt das besondere Integral (14) S. 149, so wird die linke Seite der letzten Gleichung:

j'w (s, t)du + ~~~ z;t, I

t

10 \

10

dieser Ausdruck ist aber wegen (13) S. 149 mit Rücksicht auf die Symmetrie von q,(s, t) in beiden Argumenten gleich 0, so daß für die Perioden des Integrals (14) S. 145: n (I, to) '1/1';"2 -

n (I, (0 )

1}2~"1

-

-

°

gilt. Ziehen wir noch die Relation (7) heran, so sind die ,Ql' ,Q,1I berechenbar. Mit Benutzung der Legendreschen Relation (6) findet man: D(e Perioden des besonderen durch die Gleichung (14) S. 145 gegebenen Elementarintegrals dritter Gattung lassen sich durch die Perioden des Normalintegrals zweiter Gattung und das Integral erster Gattung so darstellen: n~~ t~ n~~ ~~ (9) ""1 = -1}l U ~"2 = -1}2 U , , wo das rechts stehende Integral längs der Linie L t

ZH

erstrecken ist.

§ 9. Die transzendent normierten Integrale zweiter und dritter Gattung. Ein Elementarintegral zweiter oder dritter Gattung ist durch seinen bzw. seine beiden singulä,ren Punkte nur erst bis auf ein additives Integral erster Gattung bestimmt. Wir können dieses letztere Integral in

Die transzendent normierten Integrale zweiter und dritter Gattung

163

einer und nur einer Weise so wählen, daß die zweite Periode des in dieser Art abgeänderten Integrales verschwindet. Das so 7.U gewinnende Integral soll als ein "transzendent normiertes Elementarintegral" bezeichnet werden, im Gegensatz zu den "algebraisch normierten" Integralen -von § 7. Bei der zweiten Gattung halten wir an dem besonderen Integrale (13) S. 149 als dem zuerst gegebenen Zt,Zo fest. Das transzendent normierte, dtwch Angabe von t eindetdig bestimmte Elementarintegral zt,Zo unserer zerschnittenen Fläche F2 1) ist dann einfach durch:

zt,Zo =

-

(1)

Zt,Zo =

dU t

1)

_,' 2tt Z,ZO

d

t

0)2

gegeben, und seine Perioden sind:

(2)

d!lt _

([Ti' 'YJ,

=

-

dU t 2 in .~; ,

dt'

WIe man mit Hilfe von (6) S. 160 leicht feststellt. Bei der dritten Gattung knüpfen wir wieder an ein beliebiges Integral p:::.o an. Das transzendent normierte, dMrch Angabe von t und to

P::::

eindeutig bestimmte Elementarintegral dann:

(4)

n(t,

"'''1

[0)

=

2i n

-

0)2

tt

f, t o

,

unserer zerschnittenen F2 ist

. . (I, to ) _

"'''2

0

-,

wie unter Benutzung von (7) S. 161 leicht folgt. Man bilde nun die Gleichung (8) S. 161 für die bei den transzendent normierten Integrale PI, 1 und P., Dann sind die beiden Perioden Q,~I, 10) und .Q;~" '0) gleich 0, so daß aus (8) S. 161: '0'

0

(5)

ps,t, t8., -_ pt,s, 10So o

folgt: Für das transzendent normierte Integral dritter Gattung gilt der "Satz von der Vertauschbarkeit der Argumente und Parameterli (s. S. 150). Dieser Satz bleibt erhalten für alle Integrale:

(6) unter C eine von z und t unabhängige Konstante verstanden, und, wie man leicht zeigt, auch nur für diese. Für das besondere Integral (14) S. 149 galt der fragliche Satz der Vertauschbarkeit, so daß sich dieses 1) Man beachte wohl, daß die transzendente Normierung sich auf die Auswahl des Querschnittsystems Q" Q2 stützt. 11*

164

I,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

Integral unter den in (6) dargestellten finden muß. Es sind aber die Perioden des Integrales (6): 2 i 11: ( -;;;--

,

+C

(i)l

)

t, 10 U,

C (i)2 U I, 1 . 0

Dieselben werden zllfolge (6) S. 160 in der Tat mit den Größen (9) S. 162 identisch, wenn man C =

-

!!!. setzt: Das besondere Integral (14) S. 149 Cl,

hängt mit dem transfJendent normierten Elementarintegral drittel" Gatttmg P:; ~o unserer zerschnittenen F2 in folgender Weise zusammen:

(7)

164

1,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

Zweites Kapitel.

Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe und die durch dasselbe vermittelten Abbildungen. Untel den elliptischen Integralen der vorgelegten Riemannschen Fläche F2 nahm das Integral erster Gattung u insofern eine besondere Stellung ein, als es bis auf eine multiplikative und eine additive Konstante eindeutig bestimmt war. Die dieserhalb einzigartige Funktion u der F2 wird nun alsbald in den Mittelpunkt unserer Beobachtungen treten; ihr hervorragender Wert beruht auf der Einfachheit und Übersichtlichkeit der konformen Abbildung, welche sie von der F2 vermittelt. Mit diesel' besonderen Funktion u werden wir uns demnach zunächst ausführlicher zu beschäftigen haben.

§ 1. Das Feld Foo der Funktion u(z) und seine Abbildung auf die u-Ebene bei Gebrauch spezieller Querschnitte. Die Funktion u(z) = !~z,,,, setzen wir in der Gestalt (1) S. 152 als Normalintegral erster Gattung erster Stufe gegeben voraus. Diese Funktion hat die beiden grundlegenden Eigenschaften, bei Fortsetzung über die F2 hin überall endlich zu bleiben und eine überall endliche und von Null verschiedene Ableitung ~~~ zu besitzen. Aus letzterer Tatsache zogen wir bereits S. 144 die Folgerung, daß die Abbildung der Umgebung irgendeiner Stelle der F2 (auch diejenige der zweiblättrigen U mge bung eines Verzweigungspunktes) stets einen schlichten, den Bildpunkt der u-Ebene rings umgebenden Bereich liefert. Demgegenüber hat z. B. das Integral zweiter Gattung Zt erstlieh dZ

einen Pol, nämlich an der Stelle t; und anderseits hat -dz: zwei Null. punkte auf der F2 , deren Umgebungen demnach bei Abbildung der F2

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_3 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

Feststellung der Vieldeutigkeit von u(z)

165

auf die Zt-Ebene zweiblättrige Verzweigungspunkte liefern (vgl. S. 35). Das Integral u(z) erster Gattung verdient infolge seiner genannten einfachen Eigenschaften in der Tat den Vorrang vor den sonst noch auf der F2 betrachteten Funktionen. -\iVir stellen nunmehr genauer die Vieldeutigkeit der Funktion u(z) und damit das Feld F derselben über der z-Ebene fest; hierbei werden die allgemeinen Entwicklungen von S. 7 ff. und, was die Definition des Feldes F angeht, die Festsetzungen von S. 24 ff. maßgeblich sein. Das Querschnittsystem QI' Q2 sei vorerst beliebig gewählt. Beschränken wir z auf die zerschnittene F2, so erhalten wir Integralwerte u(z), welche den ersten "Zweig" unserer Funktion aufbauen. Wir gestatten jetzt dem z freie Beweglichkeit auf der F2 über die Quersschnitte hinweg und beschreiben von einer Stelle z mit dem Werte u des ersten Zweiges eine auf der F2 geschlossene Bahn C nach dieser Stelle zurück. Unsere Funktion setzt sich längs C stetig und eindeutig fort und möge am Schlusse den Zweig u'(z) liefern, der bis auf eine additive Konstante gleich dem Anfangszweige u(z) ist. Diese Konstante läßt sich aber nach unseren Festsetzungen über die Wert differenzen des Anfangszweiges u(z) längs der Ufer der Querschnitte Q1J Q2 (vgl. S. 158) leicht angeben. Man erkennt sofort: Durch eine erste Überschreitung von Qs von rechts nach links gelangt man bei stetiger Fortsetzung des u vom Anfangszweige aus zum Zweige u':=i t~ WlJ usw. Allgemein gilt: Überschreitet der Weg C den Schnitt Q2 m i Male öfter von rechts nach links als umgekehrfl), den Querschnitt QI aber m2 Male öfter von links nach rechts als in entgegengesetzter Richtung, so ist die Beziehung zwischen dem Schlußzweige u' (z) und dem anfänglichen:

+

(1)

u'

=

u

+ mi W I + m2 W 2 •

Umgekehrt können wir I wenn ein beliebiges Paar ganzer Zahlen 'In I , m 2 vorgelegt ist, sofort einen Weg C angeben, welcher vom Anfangszweige u zum zugehörigen Zweige (1) hinführt. Die Vieldeutigkeit der Funktion u(z) ist also einfach die, daß ihre unendlich vielen Zweige eindeutig allen unendlich vielen Paaren mil m2 ganzer Zahlen zugeordnet sind, wobei der symbolisch etwa durch (mil m2 ) zu bezeichnende Zweig der Funktion mit dem Anfangszweige durch die Relation (1) zusammenhängt. Wollen wir daraufhin das Feld F der analytischen Funktion u(z) herstellen, d. h. nach S. 24ff. diejenige Riemannsche Fläche F CA konstruieren, in welcher u(z) eine eindeutige Funktion der Stelle ist, so 00

1) Hierbei darf natürlich die ganze Zahl Zahl 'In.) auch gleich 0 oder negativ sein.

'In,

(sowie die gleich zu nennende

166

1,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

müssen wir für jeden Zweig (m u m2 ) ein etwa durch Fr""") zu bezeichnendes besonderes Exemplar der "zerschnittenen" F2 zur Verfügung stellen und diese unendlich vielen Exemplare sodann nach folgender einfachen Regel längs der Querschnittufer zusammenheften: An das linke Ufer Ql des Exemplars F~m"m.) ist allemal das rechte Ufer Ql von F~m"m.+1) zu heften; desgleichen ist an das linke Ufer Q2 von F~m"m.) stets das rechte Ufer Q2 vom Exemplar F~m,-l,m.) zu heften. Das so zu gewinnende Feld F 00 der analytischen Funktion n (z) stellt eine oo-blättrige Riemannsche Fläche über der z-Ebene dar, welche nirgends einen Rand besitzt ~tnd keine anderen Verzweigungspttnkte aufweist, als je die vier, welche dem einzelnen Exemplar F~m"m.) eigen sind. Die vier Randkurven (Querschnittufer) des einzelnen Exemplars bilden ja die Übergangslinien zu den vier benachbarten Exemplaren F~m"md 1), F~m) ± l,m.). Auch die Kreuzungsstellen der Qu Q2 liefern keine neuen Verzweigungspunkte. Führt man in der F00' etwa beginnend vom linken Ufer Q2 des Exemplars F~m"m.), einen Umlauf um diese Stelle aus, so gelangt man nach Durchschreiten der vier hier zusammenstoßenden Ecken der Exemplare F~m),m.), F~m"m.-l), F~m,-1,m.-l), Fhm,-1,m.1 und also nach einmaligem Umlauf zum Ausgangspunkte zurück. Die wichtigste Eigenschaft des Feldes F ist nun aber die, daß dasselbe einen Bereich von einfachem Zusammenhange darstellt. Dies ist allerdings nicht ohne weiteres einleuchtend. Nun haben wir bei früheren Gelegenheiten (vgl. S. 49 und 65) den Blätterzusammenhang eines mehl'blättrigen Feldes F einer analytischen Funktion w = fez) in höchst anschaulicher Weise dadurch klarlegen können, daß wir das konforme Abbild von F in der w-Ebene betrachteten. In den genannten }i'ällen reihten sich die über einander liegenden Blätter des Feldes F in der w-Ebene neben einander, wobei jener Blätterzusammenhang in einem übersichtlichen Bilde zutage trat. Wir wollen auch im vorliegenden Falle einen Versuch Q mit dieser Methode machen S1 ~ __ S und also das konforme A.bbild ~_ '-.erQ 2 des Feldes F auf die u-Ebene 2 untersuchen. Um hierbei mit einer be'j "J3 stimmten Aufgabe zu tun zu li ll'ig. 32. haben, ist es nötig, besondere Q3 83 Querschnitte einzuführen. Die drei endlichen Verzweigungspunkte el , e2 , es mögen zunächst nicht auf einer Geraden liegen; sie bilden dann ein nicht verschwindendes Dreieck, dessen Schwerpunkt der Nullpunkt z = 0 ist. Ziehen wir demnach die drei von z = 0 durch die Punkte ei nach z = 00 laufenCD

CI>

167

Das Feld F", der Funktion u(z)

den geradlinigen Strahlen, so werden diese (vgl. Fig. 32) drei Winkel (Xi bilden, die einzeln im Intervall 0 < (Xi < 115 liegen. Die drei von ei bis z = 00 laufenden Teile dieser Strahlen benutzen wir als "Verzweigungsschnitte" Si beim Aufbau der F2 und unterscheiden wieder bei Si gemäß der gewählten Richtung (vgl. Fig. 32) ein rechtes und ein linkes Ufer. Die Querschnitte Q1' Q2 mögen die in Fig. 32 angegebene Lage haben; der Verlauf in der Umgebung der Stelle z = 00 ist in Fig. 33 dargestellt, wo zugleich der Kreuzungspunkt von Q1 und Q2 zu sehen ist. Soweit die Querschnitte im oberen BlaU verlaufen, sind sie in den Figuren ausgezogen; der Verlauf im unteren Blatteistp unktiert. Man kann Qi beiderseits uumittelbar Sl_ an Si heranziehen; dann setzt sich Qi aus dem linken Ufer von Si, von 00 bis ei zu durchlaufen, und dem rechten, von ei bis 00 zu beschreiben, zusammen. Da Vf(z) in gegenüberliegenden Uferpunkten von Si entgegengesetzte Werte hat, so finden WIr unter Gebrauch einer bereits S. 159 benutzten Bezeichnungsweise: (2)

iOJ; =

f

(-s})

dtt z

=

f

dtlz ;

(+sn

denn diese beidenIntegrale sind einander gleich, und ihre Summe ist gleich OJ i . Der Symmetrie halber führen wir noch den dritten, bereits in Fig. 32 angedeuteten geschlossenen Weg Qs ein, welcher den Integralwert ros liefere; Gleichung (2) ist dann auch für i = 3 gültig. Ziehen wir die drei Wege Qi nur erst bei z = 00 unmittelbar an den hier liegenden Verzweigungspunkt heran, so können wir sie, wie Fig. 34 andeutet, zu einem geschlossenen Wege 0 aneinanderFig.34. hängen, welcher (vgl. Fig. 34) im oberen Blatte der F2 stetig Zerreißen auf einen Punkt zusammengezogen werden kann. demnach:

(3)

0

=

f duz f duz +f du. +f duz =

(C)

(Q.)

(Q.)

(Q,)

=

OJ 1

+ OJ2 + OJ3,

so daß OJ 3 = - OJ 1 - OJ 2 zutrifft. Das obere Blatt der F2, welches wir zunächst auf die u-Ebene abbilden wollen, wird durch die drei von Pi = 0 durch die Punkte e. nach

168

1,2. Das elliptische ]ntegral erster Gattung erster Stufe

z = 00 gezogenen Strahlen in drei Zweiecke (e-Kugel!) zerlegt, die wir ihren Winkeln entsprechend mit (ai) benennen. In Fig. 32 ist as weder < al , noch < a2 ; wir beginnen unter dieser Voraussetzung mit (a3) und wählen die untere Grenze des Integrals UZ,oo in der Ecke 00 von (as). Wir schreiben: dz

(4)

du

=

2V(z

~ e1 ) (z-e2 ) (z -

es)

und verstehen unter Amp (z) die Amplitude der komplexen Zahl r;. Längs der durch e2 ziehenden Seite des Zweiecks (as) ist Amp (dz) konstant; desgleichen ist Amp ((z - e2)-t) längs S~ konstant, ebenfalls längs des Restes zwischen e2 und dem Nullpunkt, jedoch ist der letztere konstante Wert Amp ((z - e2 f

t)

(5)

Amp ((r; - elr~- (r; -

um

~ kleiner als der erste. Endlich ändert sich

es)-t),

falls z die fragliche Seite von (a 3 ) stetig von 00 bis 0 beschreibt, gleichfalls stetig und beständig in demselben Sinne, wobei man den Gesamtzuwachs von (5) leicht zu -Hal - ( 3 ) berechnet. Ist also a l = a s, so ist auch die Amplitude (5) konstant; ist as > all so findet eine Abnahme statt, und zwar um den Gesamtbetrag -H as - al ), den man in Fig. 32 leicht konstruieren kann und der jedenfalls

<~

ist.

Nun folgt aus (4): t (z - e3 ))-t, Amp (dt~) = Amp (dz) + Amp ((z - e2 f t ) + Amp ((z Das Abbild der Seite von (a 3 ) besteht sonach aus zwei stetig gekrümmten Kurvenstücken, von denen das erste von u = 0 nach M = t 1iJ2 zieht, das zweite von hier bis zu einem bestimmten Punkte u(O), und die bei M = tliJ 2 unter rechtem Winkel zusammenstoßen. Insbesondere sind heide Stücke für aa = a l gerade; für a s > a l sind sie gegen das zu konstruierende Abbild des Zweiecks (as) konkav, und ihre "Gesamtbiegung" be-

elr

trägt

Ha

3-

al ) und ist jedenfalls

< ~.

Es ist einleuchtend, daß sich

diese beiden Stücke in keinem Falle überkreuzen können. Genau so behandle man die zweite Seite des Zweiecks (aa), wobei zu benutzen ist, daß a s nicht < a2 sein sollte. Das rechte Ufer von SI liefert ein stetig gekrümmtes Kurvenstück, das sich bei M = 0 unter dem Winkel

t

as < ~ an das Bild der ersten Seite von (as) ansetzt

und bis u = - tliJl reicht. Hier setzt sich unter einem rechten Winkel ein zweites stetig gekrümmtes Kurvenstück an, welches bis zu dem schon gewonnenen Punkte tt(O) reichen muß und dort mit dem Abbilde der ersten Seite von (a s) den Winkel a s bildet. Die Stücke sind für

Abbildung des Zweiecks (as) auf die ((3 ="2

169

~!-Ebene

gerade; für "3>"2 sind sie gegen das zu konstruierende Abbild

konkav und haben eine Gesamtbiegung vom Betrage -H"3 - (2) < ~­ Auch diese beiden Stücke können sich somit keinesfalls kreuzen. Es tritt nun die Frage auf, ob das als Abbild des Randes von ("3) gewonnene Kurvenviereck ein gewöhnliches ist oder vielleicht ein überschlagenes Viereck mit Seitenkreuzungen sein könnte. Um hierüber zu entscheiden, lassen wir eine Tangente vollständig um das Viereck herumlaufen, deren Richtungsänderungen dann die Biegungen messen. Die plötzlichen Richtungsänderungen in den vier Ecken sind alsdann als unstetige Zuwüchse der Biegung um endliche Beträge mitzurechnen. Die gesamte Richtungsänderung beim vollen Umlauf der Tangente ist:

-H"s - (1)

+ -Haa -

(2)

+ 2· ~ + (77: -

"s)

+ (77: -

t"s)

=

277:_

Es handelt sich also um ein gewöhnliches Kurvenviereck olme Seitenkreuzungen. Während nun die in Rede stehende Abbildung von (as) auf die u-Ebene in den Punkten PS = 00, el , el! in bekannter Weise aufhört konform zu sein, ist sie an allen übrigen Stellen, insbesondere also in allen Innenpunkten PS von (a 3) konform mit dem Abbildungsmodulus (Vergrößerungsverhältnis) :

(6) Die Umgebung jedes Innenpunktes liefert also (wie wir ja schon früher feststellten) ein schlichtes und vollbedecktes Abbild um den Bildpunkt u. Der einfach zusammenhängende Bereich (aa) ergibt somit als stetiges eindeutiges Abbild wieder einen einfach zusammenhängenden Bereich der u-Ebene, der in unser Kurvenviereck nach innen hin eingespannt ist und jeden seiner Innenpunkte in dessen nächster Umgebung schlicht und vollständig umgibt. Aus diesen Voraussetzungen läßt sich leicht mit voller Strenge der Schluß ziehen, daß die schlichte und vollständige Innenfläche des gewonnenen Kurvenvierecks das Abbild des Zweiecks (aa) ist. Die Umgebungen der drei Punkte PS = 00, eil e9 des Zweiecks (aa) sind jeden- ~.:..:x///.r<-< falls schlicht auf drei Sektoren an o denEckenu=Ü,-tw1,tw2 der VierFig.35. ecksfläche abgebildet. Wirschneiden jene Umgebungen aus und nennen den Restbereich (in Fig. 35 schraffiert) B.; entsprechend schneiden wir von der Vierecksfläche die drei Sektoren

170

1,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

ab, worauf von dieser Fläche der Bereich B u (in Fig. 36 schraffiert) übrig bleibt. Das konforme Abbild von B z ist dann jedenfalls in den Rand 'Ut 1 von B u nach innen hin eingespannt. Im übl'iO'en _,~~r-~-ID 0 2 2 besteht der Vorteil, daß wir im ganzen Bereiche B. für den Abbildungsmodul (6) zwei von 0 verschiedene positive endliche Schranken mund Mangeben können:

(7)

clUI m<--<M. Idz

})'ig. 36. Man wolle nun, wie Fig. 36 näher darlegt, von einem Randpunkte Uo des Bereiches B u eine reguläre, sich selbst nicht kreuzende Kurve Cu durch BI/, hindurch nach einem zweiten Randpunkte U 1 ziehen und versuche Cu rückwärts auf B. zu übertragen. Jedenfalls beginnt das Abbild C. in dem U o korrespondierenden Randpunkte Zo (vgl. Fig. 35) und führt zunächst in das Innere von B •. Solange wir bei der Übertragung einem inneren Punkte tt von Cu einen Innenpunkt z von B. entsprechend finden, ist die Fortsetzung der Abbildung stets eindeutig bestimmt; denn die Umgebungen dieser beiden Punkte z und u sind eindeutig und konform aufeinander bezogen. Auch liefert die Zurücklegung eines Bogenstücks endlicher Längesu von Cu, solange sich das Abbild in B z und also das Stück der Kurve Cu im konformen Abbilde des Bereiches B. a,uf der u-Ebene befindet, stets wieder einen Bogen endlicher Länge sz, für welche man ja aus (7) sofort die Ungleichungen gewinnt:

M-ls u < s.< m- 1 s". Nun ist aber folgendes einleuchtend. Erstlich kann bei Weiterführung der Abbildung von Cu kein innerer Punkt dieser Kurve einen Randpunkt von B. liefern; denn u ist in B. eindeutig, und die Bilder der Randpunkte von B z liegen bereits auf dem Rande von B u fest. Wir können demnach die Abbildung eindeutig bis zum Endpunkte u1 von Cu fortführen. Sodann muß aber dieser Endpunkt notwendig den entsprechenden Randpunkt Zl liefern. Würde nämlich der U 1 entsprechende Punkt XI] erst noch ein innerer Punkt von B. sein, so würde daS! Abbild von B. hier über den Rand von Ba hinausreichen. l ) Da aber das Abbild nicht ins Unendliche reicht, so müßten wir draußen noch einen Rand, dem Rande von B z entsprechend, treffen; jedoch bildeten wir alle Randpunkte von B. mittels der eindeutigen Funktion u bereits ab, nämlich auf den Rand von B". Es ist somit $1 sicher ein Randpunkt von B.i 1) Dann würde natürlich das Abbild hier mehrblättrig sein. Einfach zusammenhängende Bereiche können auch ohne inneren Ve\'zweigungspunkt an sich sehr wohl Teile der Ebene mehrfach bedecken.

171

Abbildung von (a.) auf ein schlichtes Viereck der u-Ebene

und daß er der dem Randpunkt u1 entsprechende Randpunkt sein muß, ist wieder eine leichte Folge der Eindeutigkeit von u im Bereiche B z• Wir stellen weiter fest, daß sich o~/i":'L______ -----1';'2 die Kurve Cz nicht selbst überkreuzen 'K 2 - - 3 / :: / kann; denn dem Kreuzungspunkte ent- \\ ,/ 1I ! \\ \ / spräch en zweI. versch'18 dene u. A us dem;' / :1 a ' selben Grunde werden zwei Kurven Ou \ / _) ;' und Ou' unserer Art (vgl. Fig. 36), die \, I /-~ ---11/ (W--{lJl keinen Punkt gemeinsam haben, Ab\- ~ W z I 2 2 1 \ / bilder der 0. und C; liefern, die gleich \ / \ falls keinen Punkt gemein haben. \ / \ / Man überspanne nun B u mit einer \ / geeigneten Kurvenschar, etwa mit einer \ / Schar paralleler Geraden oder auch mit ':Ql Fig 37einer Schar konzentrischer Kreise des Mittelpunktes u = 0, und diskutiere auf Grund der bisherigen Ergebnisse deren Abbilder auf B •. Es ist jetzt einleuchtend, daß diese Abbilder B z schlicht und vollständig bedecken müssen. Damit aber ist unsere Behauptung, das Abbild des Zweiecks (as) sei die schlichte Innenfläche unseres Kurvenvierecks, vollständig bewiesen. Die in Fig. 37 punktierten Verbindungsgeraden der Eckpunkte - tOJ lI und tOJ2 des Abbildes von (as) haben (vgl. (3) S. 167) die Längen t I OJ 1 I, t IOJ 2 I, ~-I OJs I· Die dritte Seite durchzieht sicher das Innere des Abbildes; dasselbe gilt von den beiden ersten Seiten, sofern sie nicht (für a s = IX1 bzw. a s = ( 2) einen Bestandteil vom Rande des Abbildes liefern sollten. Es folgt, daß das punktierte Dreieck der Eckpunkte --~ OJ 1 , 0, t OJ 2 notwendig spitzwinklig ist, was wir unten weiter verfolgen. Zuvörderst wollen wir eine kleine Veränderung der Verzweigungsschnitte SI und S2 vornehmen, indem wir nämlich, sofern die beiden ausziehenden Seiten unseres eben besprochenen Dreiecks von ~~ = nicht am Rande des Abbildes von (as) liegen, diese Seiten auf diez-Ebene zurück abbilden und diese Abbilder fortan als Verzweigungsschnitte SI' S2 gebrauchen wollen. Fig. 38 veranschauliche die Lage dieFig.38. ser neuen Schnitte. Die Querschnitte Q; ziehen wir wieder an diese neuen Schnitte dicht heran; das rechte Ufer von Qi setzt sich dann aus den beiden Ufern von Si im oberen Blatte, das linke aus den Ufern von Si im unteren Blatte I

\

I

/

°

°

172

1,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

der F2 zusammen. Diese Angaben beziehen sich nur auf i = 1 und 2; 8 3 behalten wir in der bisherigen Gestalt bei und denken längs S3 beide Blätter der F2 zusammenhängend. Bei Fortsetzung der Abbildung der zerschnittenen F2 auf die Lt-Ebene ist zunächst unmittelbar einleuchtend, daß das rechte Ufer des neuen Schnittes 8 2 die Gerade von t 00 2 bis 00 2 liefert, so daß die Gerade von 0 bis 00 2 das Bild des rechten Ufers von Q2 ist. Ebenso überträgt sich das rechte Ufer von Q1 auf die der Querschnittrichtung entsprechend ziehende Gerade. Um sogleich auch die im unteren von - 00 1 bis Blatte liegenden link eu Querschnittsufer, die mit den schon abgebildeten rechten Ufern den Gesamtrand der zerschnittenen F2 bilden, zu erledigen, ziehen wir auch noch die Gerade von - 00 1 nach 00 2, deren Mittelpunkt n = 1 (- 00 1 (0 2 ) = 002 - t Ws als Bildpunkt von es bei der Fortsetzung der Abbildung gewonnen wird. 1) Vom Verzweigunspunkte es mit dem Integralwerte t (- 00 1 (0 2 ) beschreibe man nun in beiden Blättern genau übereinanderliegende Integrationswege , zunächst vielleicht geradlinig bis z = 0, dann (um beide Querschnitte zu erreichen) einmal geradlinig nach e2 , andererseits ebenso nach el . Die einander entsprechenden in beiden Blättern hinzukommenden Integralwerte sind dabei stets einander entgegengesetzt. Wir erkennen sofort, daß die Bilder der linken Querschnittufer den schon gewonnenen Bildern der rechten Ufer bezüglich des Punktes u = t (- 00 1 (0 2 ) diametral sind: Der Rand der zerschnittenen F2 wird durch den in dieser F2 eindeutig erklärten "ersten Zweig" u(z) auf die vier Seiten des geradlinigen Parallelogramms der Ecken u = 0, - 00 17 - 00 1 00 2 ,002 abgebildet. Je zwei homologe Punkte u und u ± wi zweier Gegenseiten des Parallelogramms entsprechen dabei einem Paare gegenüberliegender Ufel'punkte am zugehörigen Querschnitt, ein Ergebnis, das in Übereinstimmung ist mit dem, was wir bereits oben (S. 165) über die Wertdifferenzen des "einzelnen Zweiges" u längs jedes Querschnittes feststellten. Das konforme Abbild der zerschnittenen F2 , welche einen einfach zusammenhängenden Bereich darstellt, auf die tl-Ebene ist nun in den Rand des Parallelogrammes eingespannt, umgibt jede innere Stelle schlicht und vollständig und reicht nirgends ins Unendliche. Dabei

°

+

+

+

+

1) Wie auch im übrigen die Lagenverhältnisse sein mögen, sicher ist, daß· dieser Punkt t (- Oll 00.) außerhalb des schon konstruierten Abbildes vom Zweieck (IX8 ) liegt. Man errichte in den Seitenmitten - t 001' t 00. des geradlinigen Dreiecks 0, - 001' 002 die Lote zu den Seiten (vgl. Fig. 37), so werden diese Lote außerhalb jenes Abbildes liegen oder doch nur auf dem Rande, nämlich wenn IX l = IX. bzw. IX 2 = IX. zutrifft. Erinnert man sich jetzt noch, daß jenes geradlinige Dreieck "spitzwinklig" ist, so ist die Behauptung über die Lage des Bildpunktes von es evident.

+

Abbilduug der zerschnittenen Fläche auf ein geradliniges Parallelogramm 173

entspricht selbstverständlich dem einzelnen Punkte des Bereiches F2 stets nur wieder ein Punkt u. Die vorhin für den Bereich (as) und sein Abbild durchgeführte Überlegung ist hier ohne Schwierigkeit zu wiederholen, wobei man sich sehr wohl, wenn es die Anschauung erleichtert, F2 als zerschnittene Ringfläche (vgl. S. 88), ja selbst als Viereck der Fig. 22, S. 89 vorstellen mag. Wir erhalten das grundlegende Resultat: Unsm'e längs der Schnitte SI' S2 der Fig. 38 durchschnittene F2 wird durch den "Anfangszweig" u(z) konform auf' die schlichte und vollständig bedeckte Innenfläche des gm'adlinigen Parallelogrammes der Ecken tt = 0, - WlI W 1 + W 2, W 2 abgebildet, welches in dem hier zunächst vomusgesetzten Falle dreier nicht in einer Geraden liegenden Punkte ei durch die von - W l nach W 2 reichende Diagonale in zwei SlJitzwinklige Dreiecke zerlegt wird. Ehe wir zum Felde F zurückkehren, bleibt der besonders einfache Fall dreier in einer Geraden liegenden Punkte e2 zu erledigen. Es handelt sich hierbei nicht um einen Ausnahmefall, sondern um einen Grenzfall der bisherigen Betrachtung, was leicht figurlich näher erläutert werden kann. Im Grenzfalle verschwindet einer der drei Winkel ai , während die beiden anderen gleich ]I; werden. Es liegt den Maßverhältnissen der Fig. 32, S. 166 am nächsten, wenn wir a 2 = setzen, wobei 00

°

sich dann die Verzweigungs- ~~~~~~~~~~~~~~~~~ schnitte SI und 8 3 , soweit sie zur Deckung kommen,aufheben. Die eintretenden Verhältnisse Fig.39. erläutert Pig. 39, in der wir jedoch, ehe wir zur Abbildung schreiten, die Querschnitte wieder unmittelbar an die Verzweigungspunkte und an /" die Gerade durch die Punkte ei heranziehen. Diese Gerade zerlegt jedes der Blätter in zwei Halbblätter; der bequemen Ausdrucksweise halber wollen wir, wie Fig. 39 zeigt, zwei untereinanderliegende Halbblätter mit einer Schraffierung versehen. Der Rand des schraffierten oberen Halbblattes wird nun durch u auf vier Gerade abgebildet, die unter rechten Winkeln zusammenFig.40. stoßen und also ein Rechteck bilden; die Ecken u=O, iW2' --~wl + tW2' - iW l entsprechen in dieser Reihenfolge den Randpunkten 13= 00, e2, e3 , ej des Halbblattes (vgl. Fig. 40).1) Die Fläche des Halbblattes bildet sich dann wieder konform auf die schlichte und vollständige 1) Übrigens haben wir weder hier noch im allgemeinen Falle auf eine richtige Orientierung des Abbildes gegen das Original in den Figuren Gewicht gelegt.

174

I, 2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

Innenfläche des Rechtecks ab. Längs der Strecke e2 , es fügt sich das nicht schraffierte obere Halbblatt an, das man leicht auf das in Fig. 40 freigelassene Rechteck der Ecken }w 2 , w~, -- }w1 + 00 2 , - t W1 + t 00 2 überträgt. Endlich gelangen wir über den Verzweigungsschnitt e1 , es in die beiden unteren Halbblätter, denen die beiden weiteren Teilrechtecke der Fig. 40 entsprechen. Der obige Abbildungssatz iibet· die zerschnittene F2 gilt also atteh hier, nur mit det· Besonderheit, daß das Parallelogramm det· Ecken u = 0, W j , - 00 1 + Ws, - 00 1 jetzt ein Rechteck ist, Das gewonnene Parallelogramm, das wir fortan als "Periodenparallelogramm" der u-Ebene bezeichnen, ist das Abbild der F2 durch den Anfangszweig der unendlich vieldeutigen Funktion u(z); wir können auch sagen, es sei das durch u(z) gelieferte Abbild des ersten Exemplars F2(O,O) vom Felde F", dieser Funktion. Gehen wir jetzt über Ql in das benachbarte Exemplar F~o, + 1), so gehört diesem der Zweig tt' = u + 00 2 an; und also ist das Abbild dieses Exemplars F~o, + 1) durch die zugehörigen Werte der Funktion u das mit dem ersten kongruenten Parallelogramm der Ecken 00 2 , 200 2 , - 00 1 + 2002 , - 00 1 + ws, welches sich längs der von 002 nach - 001 + 00 2 ziehenden Seite, dem überschnittenen Querschnitt Q1 entsprechend, glatt an das erste Parallelogramm anfügt. Bei Fortsetzung des Verfahrens findet man allgemein als Abhild des Exemplars F~mv 7n.) das geradlinige Parallelogramm der Ecken: u

=

(m 1 - 1)

m 1 w1 + m 2 w2 , 00 1

+ (m + 1) 2

m 1 w1 + (m s + 1) ws,

00 21

(m 1 -

1)

00 1

+m

2

w2 ,

Alle diese Parallelogramme fügen sich glatt aneinander an (vgl. Fig. 41) und überspannen die ganze endliche tt-Ebene schlicht und lückenlos mit einem "Parallelogrammnetze". Die Eckpunkte u

\~\

\-~\

=

m1

001

+

m 2 WlI

heißen die "Gitterpunkte" des Netzes; SIe entsprechen den Kreuzungspunkten der " Übergangslinien" Q1' Q2 im Felde F und bringen das oben schon festgestellte Ergebnis, daß je00

Das Parallelogrammnetz der tt-Ebene

175

der solcher Kreuzungspunkt von vier Exemplaren F2 umgeben ist, zur Anschauung, Wir gelangen zu dem fundamentalen Ergebnis: Das Feld F der Fttnktion u(z) wird durch ebendiese Funktion konform auf die schlicht ttnd vollständig bedeckte u-Ebene, abgesehen vom einzigen Punkte u = 00, abgebildet, wobei die unendlich vielen "übereinander" gelagerten Exemplat'e F2 die "nebeneinander" geordneten Parallelogramme des beschriebenen Netzes liefern, Die Rolle des Punktes H = 00 wolle man sich noch besonders veranschaulichen, und zwar entweder auf der "u-Kugel" oder mitte1st der bekannten Transformation u' = tt- I , DeI' Punkt u = 00 ist bei analytischer Fortsetzung von u (z) nie en'eichbar; gleichwohl finden sich in "jeder" Umgebung des Punktes u = 00 unendlich viele Parallelogramme des Netzes. i ) Es bedarf jetzt weiter keiner Erläuterung, daß das Feld F in der Tat einen einfach zusammenhängenden Bereich darstellt; am gewonnenen Abbilde des Feldes F ist diese Tatsache einleuchtend, 00

00

00

§ 2. Die Perioden W p W 2 und der Periodenquotiellt des reduzierten Querschnittsystems.

W

Wir hatten die Bezeichnungen so verteilt, daß der Winkel IX3 in Fig. 32 weder kleiner als /Xl noch kleiner als «2 sein solle. Lassen wir diese Annahme zunächst fallen, so bleibt gleichwohl der Satz bestehen~ daß das Dreieck der Ecken 0, - Wl , W 2 und der Seitenlängen I Ws !, Iw2 i, W I [ "spitzwinklig" und im Grenzfalle "rechtwinklig" ist. Es gelten also für alle Anordnungen i, k, 1 der drei Indizes 1, 2, 3 die Ungleichungen: 1

i W; 12+ 1 W k [2 > I W

j

[2,

wobei natürlich das Gleichheitszeichen im Einzelfalle nur in einer dieser drei verschiedenen Bedingungen gelten kann. Wir können diese drei Ungleichungen einer sehr wichtigen geometrischen Interpretation unterziehen, indem wir den Quotienten der Perioden Wi' Ws einfühl'en, Dieser weiterhin dUt'ch W zu bezeichnende "PeriodenqHotient" ist, wie aus den Figuren des vo'rigen ParagrapheJ1f hervorgeht, eine endliche, nicht t'eelle Größe; und zu;ar ist, wenn wit·:

(1)

~ 0)2

=

W =

g + i1)

setzen, bei der in den Figut'en 32 ff'. bevorzugten Anordnung der Bezeichnungen eu e2 , es für die Verzweigtmgspunkte, wie ein Blick auf die Figuren 1) In der u-Ebene selbst ist eine Umgebung von ~t = Kreises mit irgendeinem endlichen Radius um ~t = O.

00

das Äußere eines

176

I,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

lehrt, der von i befTeite imaginäre Bestandteil von ()J positiv: r; > 0. Unter Benutzung der Relation ()Ja = - ()Jl - ()J2 schreiben sich nun die drei obigen Ungleichungen so um: I ()Jl 12+ 1()J2 12 > 1()Jj + ()J2 12, 1()J2 12 1()Jj ()J2 12 > I()J1 12,

+

SIe liefern also

(2)

1ca 1 + ()J21 2 + 1()Jj 12 > 1()J21 2 ; Bedingungen:

n die

°>

III ~,

+

~

>-

1,

~2 + JI 2

+ ~ 2: 0.

Zur geometrischen Interpretation führen wir jetzt die n()J-Ebene" ein und lesen aus (2) den Satz ab: Das auf der f 2 eingeführte Querschnittsystem liefert als Periodenquotienten ()J eine bestimmte endliche komplexe Zahl, dm"en Bildpunkt dem in Fig. 42 stark umrandeten von zwei --I Halbgeraden und einem Halbkreise eingegrenzten I : Bereiche angehört. Auf der ,,()J-Kugel" stellt dieser : Bereich ein "K1"eisbogendreieck" mit verschwindenI : den Winkeln in den Ecken ()J = 0, - 1, 00 dar; ,J 2 wir nennen demnach auch in der ()J-Ebene den -Q fraglichen Bereich ein "Kreisbogendreieclc", das mit seinen drei Spitzen die reelle ()J-Achse in den Punkten ()J = 0, - 1, 00 erreicht. Wollen wir die Anlagerung des Dreiecks an die imaginäre ()J-Achse GJ·-l W-Q Fig. 42. zum Ausdruck bringen, so sagen wir auch wohl, die dritte Spitze reiche an den Punkt ca = i 00 heran. Da wir vorhin die oben gelegentlich benutzte Annahme (Xa > ((17 a s > (X2 zunächst fallen ließen, so ist unser Querschnittsystem Ql' Q2 noch in dl'ei Weisen wählbar, insofern wir ja die Bezeichnungen el , e2, es der Verzweigungspunkte zyklisch permutieren können. l) Es läuft dies darauf hinaus, daß wir statt der Perioden ()Jl' ()J2 entweder: oder aber:

()J;

=

()Ja =

()Jj - ()J2'

-

ca;

()Jl

=

als Perioden zu gebrauchen haben. Die drei zugehörigen, hiernach noch zulässigen Periodenquotienten:

(3)

()J,

()J , =

-OJ-l ..

(r)

--,

ca"

1

-(0

-1

1) An der Reihenfolge der Bezeichnungen der Punkte ei bei einem Umlauf um z = 0 soll jedenfalls festgehalten werden. Würden wir die Bezeichnungen e1 und e. austauschen und iufolgedessen die Perioden (01 = 00 2 , 002 = 00 1 gebrauchen, ~o würde, was sich in der Folge als unzweckmäßig erweisen würde, der Periodenquotient (j)' = (j)1 : (j)2 eine komplexe Zahl mit negativem imaginären Bestandteil sein.

177

Einführung des Periodenquotienten w

müssen natürlich alle drei ihre Bildpunkte in dem Kreisbogendreieck der Fig.42 finden. In (3) haben wir aber zwei einander inverse lineare Substitutionen von OJ vor uns, welche nach S. 128 als elliptisch von der Periode 3 zu bezeichnen sind. Sie bilden mit der identischen Substitution eine zyklische Gruppe dritter Ordnung und haben die beiden zur reellen m-Achse symmetrisch liegenden Punkte: (lJ

=

-l+ill s

---2----'

für welche wir die schon S. 136 eingeführten Bezeichnungen Q und Q2 wieder aufnehmen, zu :B'ixpunkten. Der eine dieser Punkte, nämlich Q, liegt im Innern des Kreisbogendreiecks der Fig. 42, und zwar gewissermaßen als "Höhenschnittpunkt" dieses Dreiecks, wenn wir nämlich als "Höhen" des Dreiecks die drei in Fig. 42 gezeichneten, gegen die reelle OJ-Achse orthogonal gerichteten Kreise bezeichnen, welche von den Ecken des Dreiecks senkrecht zu den Gegenseiten laufen. Man mache sich deutlich, daß durch die Substitutionen (3) unser Kreisbogendreieck in der Tat in sich transformiert wird; es erscheint dabei um den Punkt w = Q als Mittelpunkt gedreht, und zwar kommt der ersten Substitution (3) der Drehungswinkel

2t, der zweiten aber der Drehungswinkel

4g'JC

zu.

Einer von den drei noch zur Auswahl stehenden Werten w, OJ '; m" gehört hiernach immer dem in Fig. 42 schraffierten Drittel unseres Kreisbogendreiecks an. Zugleich findet sich in diesem Drittel auch nur einer der Punkte w, (lJ', OJ", es sei denn, daß wir gerade mit drei Punkten zu tun haben, welche auf den drei von Q nach den Spitzen des Kreisbogendreiecks ziehenden Teilen der "Höhen" gelegen sind. Zwei von den drei Punkten OJ, OJ', m" liegen dann auf dem Rande des schraffierten Drittels, nämlich einer auf dem Kreisbogen von Q nach 0, ein zweiter auf der Geraden von Q nach i 00. Um eine eindeutige Auswahl der Perioden vollziehen zu können, wollen wir unter den beiden hier in Frage kommenden Randkurven des schraffierten Bereiches zum Zwecke einer bequemen Sprechweise nur die Gerade von Q nach ioo als dem schraffierten Bereiche angehörig ansehen, die auf dem Kreissextanten zwischen Q und 0 gelegenen Randpunkte jenem Bereiche aber nicht als angehörige betrachten. Die Grenzfälle mit Periodenrechtecken liefern Punkte OJ auf der imaginären Achse. Indem wir uns vorbehalten, auf diese unten noch zurückzukommen, geben wir nun folgende Erklärung ab: Um ein eindeur tig bestimmtes Querschnittsystem Ql' Qs zu gewinnen - wir wollen dasselbe als das "reduzierte Querschnittsystem" der F2 und die zugehörigen Fricke: Elliptische Funktionen. Bd.l

12

178

1,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

W l , W 2 als das "reduzierte Periodenpaar" bezeichnen - , verteilen wir die Bezeichnu.ng so, daß:

(4) zutrifft, sofern nicht der spezielle Fall folgt dann sofort: ~

> - t,

~2

IWl I= I co21 = IWs I vorliegt.

Daraus

+ 1)2 +2 ~ > 0,

d. h. W gehört, wie wir es wünschten, dem schraffierten Bereiche der Fig.42, unter Einrechnung des von (1 nach ioo ziehenden Randes an. Diese Festsetzung kommt, wie man durch Abschätzung der Integralwerte w t zeigen kann, und wie wir später noch auf anderem Wege einsehen werden, einfach darauf hinaus, in Fig. 32, S. 166, den Winkel IXs als größten Winkel IX zu wählen oder, falls zwei größte Winkel avorliegen, diese IXs und IXl zu nennen. Hinzu kommt nur noch der besondere Fall IX l

=

«2

=

s

IX =

2t, d. h. nach S. 136 der "äquianharmonische" Fall. Dann

aber gilt einfach: W2=

die

F~

Winkel

Q2 WU

Ws =

QW 1 ,

W =

(1;

läßt sich mitte1st einer Drehung um den Punkt z = 0 durch den 23%

in sich überführen. Die drei noch zur Auswahl stehenden

Querschnittsysteme gehen bei dieser Drehung ineinander über; sie erscheinen somit gleichwertig, und es liegt kein Anlaß vor, eines unter ihnen vorzuziehen. An dem gewählten Periodenpaare wollen wir mit Rücksicht auf Vereinfachungen im späteren Gebrauch noch ein paar unwesentliche Abänderungen vornehmen. Wir bemerken zu diesem Zwecke, daß der schraffierte Bereich der JNg. 42 durch das von Q nach i ziehende Segment des "Einheitskreises" (Kreises mit dem Radius 1 um W = 0) in zwei Kreisbogendreiecke der Winkel ~, ~, 0 zerlegt wird. Jenes Segment des Einheitskreises möge dabei dem oberen Dreieck (dem mit der dritten Ecke bei i 00) zugehören. Dann liefern die Periodenparallelogramme mit IW 1 I> I w2 1 jeweils Punkte W des oberen Dreiecks, diejenigen mit I W 1 I < I W 2 i solche des unteren; die "Periodenrhomben", I W 1 I = I w 2 1, gehören gemäß der getroffenen Festsetzung zum oberen Dreieck. Gilt nun für das zunächst ausgewählte Periodenpaar I Wli < I w 2 1, d. h. haben wir ein W des Kreisbogendreiecks mit den Ecken i, Q, 0, so wollen wir, ohne das Querschnittsystem als ganzes zu ändern, doch die in sofort verständlicher Weise durch:

Q; = Q2'

Q~ = - Ql

festgelegte Umformung vornehmen, d.h. wir wählen den bisherigen

Endgültige Auswahl des reduzierten Querschnittsystems

179

zweiten Querschnitt zum ersten und den umgekehrt zu durchlaufenden bisherigen ersten Querschnitt zum zweiten. Es läuft dies darauf hinaus, daß wir "an Stelle der bisherigen (01) Ws die folgenden Perioden: w~

=

00 2 ,

00; =

-

00 1

gebrauchen wollen, wobei an die Stelle von

(5)

00

der Periodenquotient :

,

-1 00 = Cl

°

tritt. Hier haben wir eine elliptische Substitution der Periode 2 vor uns, welche das Kreisbogendreieck der Ecken ·i, 'b in das zum oberen .hezüglich der imaginären Achse symmetrischen Dreieck d~r Ecken i, _(12, iooüberführt, wie es in Fig.42 .durch Punktierung angedeutet ist. Das S. 172 vom "ersten Zweige" u(z) gelieferte Periodenparallelogramm hat nach dieser Abänderung bei positivem Umlauf die Eckenfolge 0, Ws, 00 1 + Ws, 00 1, Der Gleichmäßigkeit wegen wollen wir für 1001 I > I 00 2 1 an Stelle des bisherigen "ersten Zweiges" u(z) fortan lieber u' = u + 001 als ersten Zweig benutzen. Dies läuft einfach darauf hinaus, bei der Abbildung der zerschnittenen F2 (vgl. S. 167ff.) die untere Grenze des Integrales u im Scheitelpunkte 00 des Zweiecks (a2 ) anzunehmen. Wir erzielen so den Vorteil, daß nun vom ersten Zweige u gerade wieder das Parallelogramm mit der Eckenfolge 0, Ws, 00 1 + Ws, 001 (bei positivem Umlanf) geliefert wird. Die Periodenrechtecke sind durch die vorstehende Betrachtung bereits mit erledigt. Wir können in der zugehörigen Fig. 39, S. 173 an Stelle des dort eingeführten Systems Qv Qs auch Q~ = Qs, Q; = - Ql gebrauchen und erhalten dann wieder ein Rechteck. Liegt nicht gerade der Spezialfalleines Quadrates vor, so werden wir dasjenige Schnittsystem bevorzugen, für welches 1 00 1 1 > I Ws 1 wird. Im "harmonischen" Falle (vgl. S. 135), wo es = 0, es = - e1 und 00 1 = iW 2 zutrifft, sind beide Schnittsysteme gleichwertig, und es liegt kein Anlaß vor, eines !! unter ihnen zu bevorzugen. 1) Der Bereich, dem der Bildpunkt von 00 nunmehr in jedem Falle angehört, ist in Fig. 43 nochmals besonders dargestellt. Er setzt sich aus zwei bezüglich der imagio Fig.48. nären w-Achse symmetrischen Kreisbogendreiecken der 1) Die F2 gestattet dann (vgl. S. 135) acht eine Diedergruppe Gs bildende lineare Transformationen in sich. Eine derselben ist, wenn wir eIltsprechend der Form (20) S. 125 uns der Funktion w = 2Vz (Z2 - 1) bedienen, durch .e' = - z, w' = iw gegeben; diese Transformation tauscht die beiden gleichwertigen Schnittsysteme aus. 12*

180

I, 2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

Winkel ~,

i, 0 und der Ecken i,

Q, ioo bzw.

i, -

Q2, ioo zusammen

und soll dieserhalb als "Doppeldreieck" bezeichnet werden. Gemäß der getroffenen Verabredung gelten von den Randpunkten des Doppeldreiecks nur die als demselben zugehörig, welche den in Fig. 43 stärker markierten Teil des Randes bilden. Unter Zusammenfassung der gewonnenen Ergebnisse merken wir als Satz an: Das auf der F2 im allgemeinen eindeutig erklärte reduzierte Querschnittsystem liefert ein gleichfalls eindeutig bestimmtes 1"ed'uziertes Periodenpaar ro1 , ro 2 mit einem Quotienten ro, dessen Bildpunkt dem Doppeldreieck der Fig. 43 angehört . .Allein im harmonischen Falle haben wir "zwei" reduziet'te Schnittsysteme, die aber dasselbe w, nämlich ro = i, liefern; und im äquianharmonischen Falle liegen "drei" redu.zierte Schnittsysteme vor, die jedoch übereinstimmend ro = Q ergeben. Die vorstehende Betrachtung hat uns zu einem komplexen Zahlwerte ro geführt, welcher der F2 in jedem Falle eindeutig zugeordnet ist und demnach als ein Charakteristikum, eine Art 1,Maß" oder, wie man sagt, ein "Modul" der F2 zu gelten hat. Es ist nun leicht zu sehen, daß diesel' Wert ro gegenüber den eindeutigen Transformationen der F! in eine andere zweiblättrige Fläche des Geschlechtes p = 1 (vgl. S. 137) invariant ist. Der "Modul" ro wird demnach als solcher des ganzen durch die F2 erklärten Funktionenkörpers anzusehen sein. Ehe wir indessen hierauf eingehen, ist unsere Betrachtung nach anderer Seite hin zu ergänzen.

§ 3. Übergang zu einem beliebigen Querschnittsysteme nnd lineare Transformation der Perioden. Die Beziehung zwischen der endlichen u-Ebene und der unzerschnittenen Fläche F2 ist 1-oo-deutig: Jedem endlichen Punkte u entspricht eindeutig eine Stelle der F2' jeder Stelle der F2 sind umgekehrt unendlich viele Punkte u zugeordnet, die homolog in den Parallelogrammen unseres Netzes (Fig.41, S. 174) liegen und weiterhin als "äquivalente" Punkte der u-Ebene bezeichnet werden sollen. Ist u ein erster einer Stelle z der F2 zugeordneter Punkt, so sind sämtliche mit u äquivalente Stellen durch:

(1) gegeben, wenn Wir hier mll m2 alle Paare ganzer Zahlen durchlaufen lassen. Ist Uo ein der Stelle Zo entsprechender Punkt, so überträgt sich ein auf der f 2 geschlossener Weg von Zo nach diesel' Stelle zurück auf

Einführung eines beliebigen Schnittsystems

181

einen Weg VOll U o nach einem äquivalenten Punkte und umgekehrt. Ist der Weg insbesondere aach in der u-Ebene geschlossen, so läßt er sich stetig und ohne Zerreißen in diesel' Ebene auf einen Punkt zusammenziehen; dann und nur dann wird der entsprechende geschlossene Weg auf der F2 gleichfalls stetig und ohne Zerreißen auf einen Punkt zusammenziehbar sein. Es geht dies aus der Beziehung beider Wege auf einander leicht hervor. Wir wollen nun an Stelle des bisherigen reduzierten Querschnittsystems Q1J Q2 nach S. 156 irgendein Querschnittsystem Q~, Q~ auf del' F2 einführen. Nachdem die Richtung von Q~ willkürlich festgesetzt ist, wollen wir diejenige von Q; so wählen, daß bei der Kreuzungsstelle der Schnitte die in Fig.44 skizzierte gegenseitige Lage der Schnittrichtungen zutrifft. Umlaufen wir, von der in der Figur durch ein kleines Kreissegment bezeichneten Ecke beginnend, den Rand der durch Q;, Q~ zerschnittenen Fi in der positiven Richtung, 80 haben wir zunächst das linke Ufer von Q;, dann das linke Ufer von Q~ usw. zu Fig.44. beschreiben. Wir erzielen durch unsere Vorschrift, daß die Querschnittufer hier in derselben Anordnung aufeinanderfolgen, wie beim Umlauf der durch die reduzierten Querschnitte Ql' Q2 zerschnittenen F2·' Die zu unseren neuen Querschnitten gehörenden Perioden:

(2)

ro; = Jdu. (Qi)

bleiben ungeändert, wenn wir das Schnittsystem irgendwie stetig und ohne Zerreißen über die F2 hinschieben. Natürlich sollen dabei die Schnitte außer an ihrer Kreuzungstelle stets voneinander entfernt gehalten werden, damit das Querschnittsystem als solches beständig brauchbar bleibt. 1) Insbesondere wollen wir von dieser Erlaubnis in der Weise Gebrauch machen, daß wir die Kreuzungsstelle dC1' Q~, Q; nach z = 00, und damit nach derjenigen dm- reduziet·ten Schnitte Ql' Q2 hinschieben. Das Abbild der durch Q;, Q~ zerschnittenen F2 auf die u-Ebene ist ein einfach zusammenhängender Bereich, der, wie auch die Schnitte Q~ verlaufen mögen, niemals eine Stelle der u-Ebene mehrfach bedecken kann. Da nämlich die Umgebung jeder Stelle der F2 auf die schlichte und vollständige Umgebung des Bildpunktes u bezogen ist, so müßten, wenn gleichwohl noch eine Stelle U o vom Abbild mehrfach bedeckt 1) Man stelle sich diese Verschiebungen der Anschaulichkeit halber etwa auf der Ringfläche der Fig. 18, S. 86, vor.

I,2, Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

wäre, dieser Stelle U o mehrere Stellen z der F2 entsprechen; das aber widerspricht der Beziehung zwischen der ~t-Ebene und der F2 • Das Abbild stellt uns ein die u-Ebene schlicht bedeckendes Kl1rvenviereck mit den Ecken 0,00;, m~ m~, m~ dar, dessen Seiten den vier Querschnittufernkorrespondieren. Dabei wird von zwei homologen Punkten der Gegenseiten der eine immer durch eine Substitution u' = u ± 00; in den anderen übergeführt. Wir wollen nun unter Festhaltung der Kreuzungsstelle der Schnitte Q; und also unter Festhaltung der Ecken 0, 00;, 00; + m~, m~ des Abbildes eine stetige Deformation· der Qi vornehmen, welche eine Geraderichtung der Seiten unseres Kurvenvierecks zum Ziele hat. Beginnen wir mit der Deformation von Q; und also mit der Geraderichtl1ng der von nach m~und von m~ m~ nach 00; laufenden Seiten, so müssen wir nur nötigenfalls (damit das Querschnittsystem in jedem Augenblick als solches brauchbar bleibt) mit dem Querschnitte Q{ dem vorrückenden Schnitte Q; ausweichen. Sind jene beiden Gegenseiten gerade geworden, so bleibt nun Q~ liegen, und es sind dann noch die heiden anderen Gegenseiten durch die erforderliche stetige Verschiebung von Q{ gerade zu richten: Wie auch das Schnittsystem Q;, Q;" auf der F9 gewählt sein mag, es wird nötigenfalls nach einer stetigen Verschiebung des Schnittsystems das Abbild der zerschnittenen F2 auf die u-Ebene das "geradlinige Parallelogmmm" der Ecken 0, 00;, m~ + 00;, m~ sein, die in dieser Anordnung bei einem positiven Umlattf um das Pamllelogramm aufeinanderfolgen, wenn man nul' die Schnittn'chtungen entsprechend de1' in Fig. 44 gegebenen Vorschrift wählt. Sehen wir homologe Punkte der Gegenseiten des neuen Parallelogramms als nicht verschieden an, so ist die Fläche dieses Parallelogramms eindeutig auf die unzerschnittene F2 und damit auch eindeutig auf das von den reduzierten Qi gelieferte Periodenparallelogramm bezogen, wenn wir in ihm gleichfalls äquivalente Randpunkte als nicht verschieden ansehen. Diese Beziehung beider Parallelogramme aufeinander ist dabei eine solche, daß die U mgebungen zweier korrespondierender Stellen mitte1st einer Gleichung (1) mit bestimmten m1 , m2 aufeinander bezogen sind. Die einander entsprechenden Umgebungen sind also inhaltsgleich, und wir gewinnen den Satz: Das vom Querschnittsystem Q;, Q; geliefe~te geradlinige Parallelogmmm der Ecken 0, 00;, 00; + 00;, 00; hat denselben Flächeninhalt wie das von den reduzierten Qü Q2 gelieferte Periodenpamllelogmmm der Ecken 0, 00 2, 001+ 002, 001, Da nun Q;, Q; geschlossene Wege der F2 sind und also die Punkte m~ mit u = 0 äquivalent sein müssen, so gibt· es zufolge (1) vier hesondere ganze Zahlen a, ß, r, 8 derart, daß: (3) m~ = am1 + ßro 2 , 00; = rml + 0'002

+

°

ro;,

+

Grundlegung der linearen Transformation

183

zutrifft. Rechnet man sich nach elementaren Regeln die Inhalte der heiden Parallelogramme aus und setzt dieselben gleich, so liefern die Gleichungen (3) das Ergebnis: (4) ad'-ßr=1. Damit haben wir den Satz gewonnen: Ein beliebiges nach Vorschrift gerichtetes Querschniitsystem Q;, Q;, der Fil liefert ein neues Periodenpaar -ro;, 00;, welches mit dem reduzierten Paar (01) 00 2 durch zwei Gleichungen (3) mit ganzzahligen Koeffizienten der Determinante 1 zusammenhängt. Dieses Ergebnis ist der Umkehrung fahig. Mit irgend vier ganzen Zahlen a, ß, 'J', (j. der Determinante 1 bilden wir uns aus den reduzierten Perioden 001 , 00 2 nach (3) die beiden Größen 00;, (l);, konstruieren das mit dem ursprünglichen Periodenparallelogramm zufolge (4) inhaltsgleiche Parallelogramm der Ecken 0, (l)~, 00; + 00;, oo~ und wollen gleich auch "Von diesem Parallelogramm aus genau wie in Fig. 41 ein Parallelogrammnetz herstellen, welches die ganze endliche u-Ebene schlicht und lückenlos überspannt. Irgend zwei homologe Punkte u, u' in zwei Parallelogrammen dieses neuen Netzes hängen mitte1st ganzer Zahlen m~, m; durch die Gleichung: tf' =

U+ m; 00; + m~ 00;

zusammen. Dieselbe rechnet sich auf Grund von (3) in: t~' = U + (m~a + m~'J') 001 + (m;ß + m;o) 00 2 um, so daß u und u' im obigen Sinne (1) äquivalent sind. Die Auflösung der Gleichungen (3) nach (l)1' (l)2 liefert zufolge (4): .

(l)1 = ooo~ - ßoo;, 00 2= - 'J'oo~ + aoo~. Hieraus folgt leicht, daß auch umgekehrt irgend zwei äquivalente, d. h. durch eine Gleichung (1) zusammenhängende Punkte u, u' im neuen Parallelogrammnetze wieder homologe Punkte zweier Parallelogramme sind. Das einzelne Parallelogramm des neuen Netzes weist demnach keine zwei im Sinne von (1 ) äquivalenten Punkte auf, natürlich abgesehen davon, daß homologe Punkte der Gegenseiten stets äquivalent sind. Sehen wir je zwei solche Punkte als nicht verschieden an, so wird, wie jetzt feststeht, jenes Parallelogramm für jeden endlichen Punkt u einen und nur einen als "äquivalent" aufweisen. Bilden wir nunmehr die u- Ebene rückwärts auf die F2 ab, so folgt aus dem eben ausgesprochenen Satze, daß das einzelne Parallelogramm des neuen Netzes dabei gerade eine einfache und vollständige Bedeckung der F2 liefert, wobei sich die Gegenseiten des Parallelogramms zu zwei Querschnitten Q~, Q; zusammenfügen. Hiermit ist die Umkehrung der obigen Betrachtung, welche an irgend ein neues Querschnittsystem Q;, Q~ anknünfte, beendet. Bezeichnen wir den Übergang von(l)p (l)2

184

1,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

zu oo~, oo~ vermöge zweier Gleichungen (3) mit ganzzahligen Koeffizienten der Determinante 1 als "lineare Transformation" oder "Transfo1'mation ersten Grades der Perioden"!), so gilt der Satz: Dm' Übergang vom redulZierten Querschnittsystem Q11 Q2 z'u ilrgendeinem System Q~, Q~ stellt sich als lineare Transformation (3) der zugehörigen Perioden dar, wie auch umgekehrt irgendeine solche linear'e Transformation dm' oov 00 2 einen Übergang von Ql1 Q2 zu einem dm2 transformierten Perioden entsprechenden Querschnittsystem Q;, Q; liefert. Natürlich ist immer an den vorgeschriebenen Schnittrichtungen (vgl. Fig. 44) festzuhalten. 2) Ist neben Ql1 Q2 und Q~, Q; in Q~, Q; ein drittes vorschriftsmäßig gerichtetes System vorgelegt, so sei: 00;' =

a' 00 1

+ ß' 00 2 ,

oo~ =

r' 00] + ~. 002

das ihnen entsprechende Periodenpaar. Setzt man hier rechter Hand für 001, 00 2 die vorhin angegebenen Ausdrücke diesel' reduzierten Perioden in oo~, oo~ ein, so ergibt sich: ro~ = (O~ =

+ (- a'ß + ß'a) 00;, (,,'rr - ~'y)oo~ + (- r'ß + ~/a)(O;.

(c/rr- ß'r)oo~

Hier stehen rechts als Koeffizienten der 00;, oo~ wieder vier ganze Zahlen der Determinante 1. Der Übergang von irgendeinem 1fnserer Querschnittsysteme zn irgendeinem anderen ist also immer eine linear'e Transfot"lnation der zugehörigen Perioden. Man wolle sich übrigens noch die Beziehungen des Parallelogrammnetzes der oo~, 00; etwa zum ursprünglichen Netze der (Oll 00 2 veranschaulichen. Die Gitterpunkte des einen Netzes (m 1 001 + m2 00 2) stimmen in ihrer Gesamtheit mit denen des anderen Netzes (m~oo~ m;oo~) genau überein. In Fig. 45 ist als Beispiel dasjenige der linearen Transformation

+

oo~

=

00 1 +00 21

oo~

=

00 1

+ 200 2

ausgeführt. Das neue Netz ist punktiert angedeutet, nur ist das erste 00;, oo~) stark umrandet, Parallelogramm (dasjenige der Ecken 0, oo~, oo~ um es besser hervorzuheben; aus dem gleichen Grunde ist das erste Parallelogramm des ursprünglichen Netzes in Fig. 45 schraffiert. Die besondere lineare Transformation 00; = - 00 11 00; = - 00 2, welche einfach auf einer gleichzeitigen Änderung heider Schnittrichtungen unter

+

1) Man wolle hierbei die Bezeichnung "linear" oder "ersten Grades" auf den Umstand beziehen, daß die Determinante (4) der vier ganzzabligen Koeffizienten (x, Pt y, ~ gleich "eins" ist. Wir gehen späterhin in der Transformationetheorie genauer auf die hier in Betracht kommende Terminologie ein. 2) Würden wir diese Bedingung aufgeben, so müßten wir auch Determinanten a~ -' ßr = - 1 zulassen, wa,s für spiitel'e Entwicklungen unzweckmäßig sein würde ..

Weitere Ausführungen über die lineare Transformation

185

Beibehaltung der Schnitte selbst beruht, ändert das Parallelogrammnetz nicht und läßt insbesondere den Periodenquotiellten (iJ unverändert; die fragliche Transformation soll demnach als von der "identischen Trans-

formation" ro~ = ro1 , ro~ = ro 2 nicht wesentlich verschieden angesehen werden. Aus dem gleichen Grunde werden dann überhaupt je zwei Transformationen (3), die durch gleichzeitigen Zwischenwechsel der vier ganzzahligen Koeffizienten a, ß, 'Y, ~ ineinander übergehen, als nicht wesentlich verschieden zu gelten haben. Solche zwei Transformationen liefern insbesondere den gleichen Periodenquotienten: ,

(5)

(iJ

aOJ

=

r

OJ

+ß +~ ,

da gleichzeitiger Zeichenwechsel von a, ß, 'Y, ~ den Wert ro' nicht ändert. Wir werden uns unten ausführlich mit der Lage der Bildpunkte aller dieser Werte (iJ' in der (iJ-Ebene zu beschäftigen haben, welche aus dem Punkte ro des Doppeldreiecks der Fig. 43, S. 179, durch alle möglichen linearen Transformationen (5) gewonnen werden können. Ein paar Angaben über die Lage aller dieser Bildpunkte ro'. sollen indes gleich hier Platz finden. Setzen wir wieder unter Trennung der reellen und imaginären Bestandteile (iJ = ; + in, ro' = ; ' + irj', so folgt aus (5) unter Rücksicht auf (4): ;' _ (ag ß) (rg + ~) + ar1)' Crs + ~)2 + r'1)' ,

+

r/

1)

Crs

+ ~)' + "'1]'

186

I, 2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

Da nun 'I) > 0 und endlich war, und da andrerseits die ganzen Zahlen 'J' und b nicht zugleich = 0 sein können, so ist auch '1)' > 0 und endlich. Dieses Resultat geht auch unmittelbar aus der Gestalt des Parallelogramms der transformierten Perioden ro~, ro~ hervor. Alle Punkte der ro-Ebene mit 1) > 0 bilden die oberhalb der reellen ro-Achse gelegene "Halbebene" ; wir wollen sie im Anschluß an das Vorzeichen der Werte 'I) als die "positive ilJ-Halbebene" bezeichnen und notieren den Satz: Die Bildpunkte aller durch unsere linearen Transformationen (5) aus dem reduzierten ro zu gewinnenden Quotienten ro' gehören der positiven ro- Halbebene an. Wir untersuchen weiter, ob neben dem reduzierten ro noch irgendein zweites ro' im Doppeldreieck der Fig.43, S. 179 seinen Bildpunkt finden kann. Es müßte dann:

ys<,

ys 2<'1/,

2=1)

gleichzeitig gelten, und also auch: !: ( 'J's

+ b)2 + 'J' 'I) < ~ ys 1) <.!.31) 2

2

=

=

2

zutreffen, so daß für die ganze Zahl 'J' nur die drei Möglichkeiten und ± 1 bleiben. Da für 'J' = 0 notwendig a == d = ± 1 ist und (aus oben angegebenem Grunde) IX = d = 1 gesetzt werden darf, so würde in diesem Falle ro' = OJ + ß gelten, unter ß eine ganze Zahl verstanden. Nun hat unser Doppeldreieck der Fig. 43 die Breite 1, und von den Randpunkten sollten nur die zur Linken der imaginären ro-Achse dem Doppeldreieck angehören. Somit kann, falls nicht ß = 0 ist und also nicht die "identische Transformation" ro' = ro vorliegt, 0)' nicht auch noch dem Doppeldreieck angehören. Somit bleibt nur 'J' = ± 1 zu diskutieren, und wir dürfen uns (da gleichzeitiger Zeichen wechsel der Koeffizienten a, ß, 'J', b statthaft ist) auf 'J' = 1 beschränken. Dann aber findet man aus den letzten Ungleichungen leicht:

o

+

(~

+ b)2 ~ t -

('1/ -

:sr

wobei das zweite Gleichheitszeichen nur für 1)

~ -t, =

~3 und also für ro

=

(I,

d. h. im äquianharmonischen Falle gelten kann (vgl. Fig. 43, S. 179). In diesem Falle ist ~ = - t, und also sind die Werte b = 0 und b = 1 zulässig; ist jedochro nicht gleich (I, so folgt aus I ~ + bl < t und - t ~ ~ < t notwendig b = O. Prüfen wir zunächst 0) = Q, 'J' = 1, b

=

1 weiter, so folgt 1)' =

'1],

so daß auch

'1)'

= ~3 und also

0)'

=

Q

gilt, da kein anderer Punkt des Doppeldreiecks der Fig. 43 die Ordinate

v;

Der Bereich der reduzierten Periodenquotienten

187

hat. Es muß also ;', wofür sich aus der vorletzten Gleichung von

S.185 der Wert Ha + ß) ergibt, gleich -l, und also a + ß = - 1 sein. Gleichung (4) liefert aber für r = 8 = 1 weiter a - ß = 1; es ist somit a = 0, ß = - 1, und wir gewinnen die Substitution:

(6)

,

ro

=

00

1

+1'

die, wie wir schon von S. 177 her wissen, Q zum Fixpunkte hat. Prüfen wir endlich die letzte Möglichkeit, daß ro und ro' zugleich dem öfter genannten Doppeldreieck angehören, nämlich r = 1, 8 = 0, so folgt aus (4) sofort ß = - 1 und damit:

r = a - ~-: f;;;; r< t liefert:

1]'=

7)2'

Die Forderung -

_~__ _ .1
~.;. 7)"

+ _3_

s' + 7)' 2 = 2 ~2 + 7)" -! < ; < t und ~2 + r;2 > 1 gilt, so sieht

°

und da man sofort, daß nur a = und außerdem, jedoch nur im Falle ro = Q,. die Zahl a = - 1 zulässig ist. Der Wert oe = -1 liefert uns die zu (6) inverse Substitution: ,

(7)

Ci)

-00-1

=----00

'

°

die wir auch bereits von S. 176 kennen. Ist ro von Q verschieden, so bleibt nur noch die Möglichkeit oe = und damit die Transformation: -1 ro , =._ ...

(8)

00

Aus ihr ergibt sich I ro' I . I ro I = 1, und da, wie wir ja fordern, I ro I > 1 und I ro' I >1 gelten soll, so ist I ro' I = I ro I = 1. Von den Punkten ro mit I ro I = 1 gehören aber nur die dem Doppeldreieck an, welche ein ~ im Intervalle - t ~ ~ : : : haben. Da auch:

°

r

-~ =~'+7

°

diesem Intervall angehören soll, so folgt ~ = und also ro = i. Dann aber liegt der harmonische Fall vor, und wir haben, worauf wir schon S. 179 hinwiesen, in ro";' i den einen Fixpunkt der Substitution (8) vor uns. Hiermit haben wir folgendes Resultat gewonnnen: Nicht nur liegen alle reduzierten roim Doppeldreieck der Fig. 43, sondern umgekehrt ist dieser Bereich fiir die reduzierten Periodenquotienten charakteristisch, insofern jede von der identischen Transformation verschiedene lineare Transformation (5) aus dem redttzierten ro ein ro' liefert, das eben nicht jenem Doppeldreieck angehört; Ausnahmen bilden nur der harmonische Fall mit ()J = i, wo wieder ro = i durch die Transformation (8) geliefert wird, sowie f

188

I, 2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

der äq'uianharmonische Fall mit 00 = Q, wo die Transformationen (6) und (7) wieder 00' = Q ergeben. Es handelt sich in diesen beiden letzten Fällen einfach um jene Transformationen, welche den Übergang zwischen den oben (S. 178 ff.) ausdrücklich als gleichwertig bezeichneten reduzierten Querschnittsystemen vermitteln.

§ 4, Vel'halten des Integrals erster Gattung bei eindeutigen Transformationen der Fläche Fgo Ist w = R(z, Yf(z») irgend eine zweiwertige 1!~unktion der F2 , so können wir die F2 umkehrbar rational auf eine zweiblättrige Fläche F~ über der w- Ebene beziehen, deren vier Verzweigungs punkte durch die in (1) S. 137 gegebene Funktion cp(w) als deren Nullpunkte festgelegt sind. Wenn wir nun auf dieser Fläche F ~ das Integral erster Gattung, welches ihr zugehört, in der Gestalt:

u'=J~~) mit irgendeiner fest gewählten unteren Grenze bilden und übertragen auf die ursprüngliche F2 , so hat daselbst diese Funktion u' alle Kennzeichen eines Integrals erster Gattung. Das Integml ~t' der F~ hängt mit unserem bisher auf' der F2 benutzten Integrale tt demnach durch eine Relation: tt' = au + b (1) zusammen. Hieraus können wir sogleich folgende wichtige Folgerung ziehen_ Bilden wir die beiden Wege Q1' Q2 des reduzierten Querschnittsystems der F2 auf die F~ ab, wo sie die Wege Q;, Q~ liefern mögen, und schreiben wir: tt'

so gilt zufolge (1) einfach: 00 1 =

ami>

0);

=

aw 2 ,

so daß insbesondere der Quotient m' von 0); und m; gleich dem ursprünglichen Periodenquotienten ro ist. Mit Rücksicht auf die letzten Ergebnisse von § 3 folgt: Die Q;, Q~ liefern unmittelbar das reduzierte Querschnittsystem der F~, und vor allem~ erweist sich der "Modul" mals invariant gegenüber beliebigel- Transf'onnation der F2 auf eine andere zum Körper gehörende F;, so daß der Modul ro als ein Attribut des ganzen Körpers anzusehen ist. Der Modul ro reiht sich in dieser Weise als gleichberechtigt neben die absolute rationale Invariante J, welcher der gleiche

Die Transformationen der Fläche

F~

in sich

189

Grad der Unveränderlichkeit zukam (vgl. S. 137). Diehier zutage tretende Beziehung wird uns unten noch ausführlicher beschäftigen. Die Verzweigungsform cp(w u ws) hatte nun dieselben Invarianten wie {(zu Z2)' Wir können demnach w noch BO linear transformieren, daß die Verzweigungspunkte der transformierten F~ wieder gen au nach denselben Stellen 00, el , e2 , es hinfallen, wo sie auch bei der F2 liegen. Zu dieser F; aber können wir auch noch auf folgende Art gelangen. Nach (2) S. 138 und S. 145 haben wir in:

(2) unter A und B Konstante verstanden, die allgemeinste zweiwertige Ji'unktion der F2 , welche an deI' beliebig vorgeschriebenen Stelle s der F2 einen Pol zweiter Ordnung hat. Diese Funktion liefert dann unmittelbar eine F;, die bei w = 00, der Stelle s entsprechend einen Verzweigungspunkt hat. Dabei kann man über die Konstanten A, B in einer und nur einer Art so verfügen, daß die drei endlichen Verzweigungspunkte die bisherigen Lagen el) e2 , es gewinnen.1) Insofern beide nun vorliegenden Flächen F2 und F; genau dieselbe Lage der Verzweigungspunkte haben, sprechen wir von einer eindeJ1ttigen 1'rans{ormation der Fi in sich. Da die Stelle s, welche nach der Transformation den Verzweigungspunkt 00 liefert, auf der F2 willkürlich wählbar ist und demnach auch frei beweglich gedacht werden kann, so erhalten Wi1' sogleich ein zweifach unendliches Kontinuum von solchen eindeutigen Transformationen de?' F2 in sich, die übrigens offenbar in ihrer Gesamtheit eine "Gruppe" bilden (vgl. S. 108). Stetiger Änderung der Stelle s entsprechend, darf man sich diese "kontinuierliche Gruppe" unter dem Bilde gewisser "stetiger" Verschiebungen der Fläche F2 in sich vorstellen. 2) Lassen wir die Querschnitte QlI Q2' wie in Fig. 32, S. 166, um die Verzweigungspunkte herum (nicht durch dieselben hindurch) laufen, so können wir bei den stetigen Verschiebungen der F2 in sich, an denen die Ql' Q2 zunächst teilnehmen werden, diese geschlossenen Kurven doch in der Art stetig verschieben, daß sie den Verzweigungspunkten ausweichen. Sie bleiben dann unmittelbar als Schnitte des reduzierten Systems 1) Jedoch gibt es im harmonischen Falle zwei Auswahlen der Konstanten, im äquianharmonischen sogar drei, eine Folge der linearen Transformationen von w, welche in diesen Fällen die F; bei festbleibendem Verzweigungspunkte 00 in sich üherführen (vgl. S. 133ff.). 2) Die Existenz dieser "kontinuierlichen Gruppe" wird durch die Besonderheiten des harmonischen und des äquianharmonischen Falles nicht berührt. Wir kommen hierauf unten zurück.

190

I,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

für die Flächen F~ brauchbar, wäbrend andrerseits u, auch über die neuen Umläufe ausgedehnt, die Integralwerte Wo W 2 liefert. Wählen wir das Integral u' der F~ wieder als Normalintegral erster Stufe, so sind wegen der Gleichheit der Flächen F2 und F; und ihrer Scbnittsysteme die w~ gleich den bisherigen W u W 2 • In der Bezugehörigen Perioden ziehung (1) zwischen u und u' trifft also einfach a = 1 zu. Andrerseits: haben wir, da die untere Grenze von u' von der Stelle s der F2 geliefert wird, das Absolutglied b in (1) gleich --:- us, zu setzen. Zur Abkürzung schreiben wir: v = - uS'OO (3)

w;,

Cf)

und erschöpfen hierbei mit der Stelle s ersichtlich gerade die ganze F2 , wenn wir mit dem Werte - v unser erstes Periodenparallelogramm und also mit dem Werte v das Parallelogramm der Ecken 0, - W 2 , - W 1 - W 2 , - w1 vollständig beschreiben. Wir haben hiermit den wichtigen Satz gewonnen: Die kontinuim'liche Gruppe aller zweifach unendlich vielen Transformationen der F2 in sich stellt sich im Integral erstm' Stufe u einfach durch die Translationen dar:

(4)

u' = u

+ v,

wobei v die Fläche des Periodenparallelogramms der Ecken 0 I - W 2 , W1 W g, w1 vollständig zu beschreiben hat. Verstehen wir unter v einen unbeschränkten endlichen komplexen "Parameter", so bilden die gesamten Transformationen (4) die kontinuierliche Gruppe aller Translationen der u-Ebene in sich. Es gilt offenbar der Satz: Die Gruppe aller Translationen (4) der u-Ebene in sich ist 1-oo-deutig auf die kontinuierliche Grttppe der Transformationen der F2 in sich bezogen. Es liefern nämlich alle diejenigen Translationen (4), deren Parameter v sich um die ganzzahligen Kombinationen (mt W 1 m 2 w2 ) der Perioden voneinander unterscheiden, ein und dieselbe Transformation der F2 in sich. Die gesamten Transformationen der F2 in sich können wir also auch dadurch gewinnen, daß wir v über irgendein Parallelogramm des Netzes der Periodenparallelogramme hinführm~, wobei von je zwei homologen Punkten der Gegenseiten immer nur einer zuzulassen ist. Dies läßt sich in besonders bequemer Weise z. B. so erzielen, daß wir:

+

(5)

1{' =

u + P,1 W 1 + P,2W2

setzen und unter p'u P,2 stetige reelle Größen verstehen, welche unabhängig voneinander 1m Intervall: variabel sind.

o
Die kontinuierliche Gruppe der Transformationen der F. in sich

191

Auch umgekehrt ist übrigens leicht einleuchtend, daß jede Translation (4) eine eindeutige und damit umkehrbar rationale Transformation der F2 in sich bedeuten muß. Da nämlich einem einzelnen vVerte u ein bestimmter Punkt der F2 entspricht, so können wir kurz von "einem Punkte u" der F2 sprechen. Natürlich geben dabei äquivalente Werte u im Parallelogrammnetz ein und denselben Punkt der F2 • Die einzelne Translation (4) bedeutet nun einfach, daß wir dem Punkte u den Punkt (u v) der F2 zuordnen. Diese Zuordnung ist eine umkehrbar eindeutige für die ganze F2 ; wenn wir nämlich u über ein Periodenparallelogramm hinführen oder sonst irgenwie ein volles System "inäqttivalenter" Punkte beschreiben lassen, so wird Cu + v) ein ebensolches System beschreiben und umgekehrt. Entspricht der Stelle z der F2 die Stelle z', so wird also z' die F2 gerade einmal einfach und vollständig beschreiben, wenn dies die Stelle z ausführt, und umgekehrt. Somit liefert z', in Abhängigkeit von z gedeutet, eine zweiwertige algebraische Funktion 1) der F2 , die die F2 wieder auf eine F~ abbildet. Diese F; ist dann aber einfach jene mit der F2 kongruente Fläche, auf welche das "Periodenparallelogramm" der Ecken v,v + W 2 , V + W 1 + W~, v1 = W 1 durch z' abgebildet wird. WTir sind demnach zu unserem obigen Ausgangspunkte zurückgekehrt. Nach den Rechnungen von S.138 und 146 ff. wird die in (2) konstruierte zweiwertige Funktionw stets und nur dann in z linear, wenn der Pol s in einen Verzweigungspunkt hineinrückt. Für s = 00 ist natürlich w mit z identisch. Wir haben demnach nur noch die drei Möglichkeiten s = eil e2 , es' Die drei zugehörigen linearen Substitutionen von z bilden mit der identischen Substitution dia S. 134 aufgestellte "Vierergruppe" G4 der linearen Transformationen der VerzweigungsC0 1 (CI:) form und also der F2 in sich. Um diese Vierergruppe G4 in Gestalt der zugehörigen Transformationen (5) des Integrals u darzustellen, erinnern wir daran, daß die drei in der G4 enthaltenen elliptischen Substitutionen der Periode 2 die vier Verzweigungspunkte in den drei möglichen Arten zu Paaren permutierten. Nun liefern die 0 (00) tco. (1). Verzweigungspunkte im Periodenparallelogramm die Fig.46. Ecken, die Seitenmitten und den Mittelpunkt, wie dies näher in Fig. 4& zur Darstellung gebracht ist. Die gesuchten Transformationen (5) müssen

+

+

1) Da u und u' = u v analytisch (nämlich linear) zusammenhängen, so ist die durch die Zuordnung der Stellen z, z' gelieferte Beziehung der F. auf sich selbst konform, natürlich mit den in den V'erzweigungspunkten (der F2 und der Ff) eintretenden Unterbrechungen.

192

1,2. Das elliptische Integral erster Gattung erster Stufe

also diese Punkte in richtiger Weise permutieren. Wir erkennen sofort: Die Viel'ergruppe G 4 der linearen Transformationen der F2 in sich stellt sich mittelst des Integmls erster Gattung u durch die vier T1'ansformationen dm':

(6)

u' = u, u' === u

+

ur =

Oll

2 '

U

+ cu! +2 cu~.

Eine bisher noch nicht genannte Transformation der F2 wird durch die Transformation:

III

sich

, u =-u

des Integrals erster Gattung geliefert; ihre Bedeutttng ist einfach die, daß sie die beiden Blätter der F2 austauscht. Kombinieren wir diese Transformation mit der bisherigen kontinuierlichen Gruppe der Translationen (4), so ergibt sich ein zweites Kontinuum von Transformationen:

u' =

-

u

+ v,

welche freilich nicht für sich, wohl aber mit den Transformationen (4) zusammen eine erweiterte Gruppe bilden. Um die Transformationen der F2 in sich sämtlich, und jede nur einmal zu gewinnen, haben wir uns natürlich wieder auf die Transformationen (5) zu beschränken. Wir werden später nochmals auf den vorliegenden Gegenstand zurückkommen; doch merken wir hier schon den Satz an: Liegt weder der harmonische, noch der äquianharmonische Fall vo~, so werden die gesamten ~tmkehrbar mtionalen Transformationen der F2 1:n sich durch das Integral erster Gattung in der GestaU,'

(7)

it' =

± u + [L1 W 1 + [L2 W 2 ,

[L1 und [L2 wie oben gebraucht, geliefert; sie bilden eine aus zwei Kontinuen bestehende Gruppe, in der die bisherige kontinuierliche Gruppe als Untm'gruppe enthalten ist. Daß aber in jenen beiden besonderen Fällen nochmalige Gruppenerweiterungen möglich sind, geht schon aus den Entwicklungen von S. 135ft'. hervor, wo wir die Vierergruppe G4 zur Diedergruppe Gs bzw. zur Tetraedergruppe G12 aller linearen Transformationen der Verzweigungsform in sich erweiterten. Natürlich sind diese Gruppenerweiterungen auch vom Integral erster Gattung u aus unmittelbar verständlich. Im harmonischen Falle ist w = i und (l)j = iw2 ; das Parallelogramm der reduzierten Perioden ist also ein Quadrat. Hier kommt als wesentlich neue Transformation die durch: u'= iu

gegebene hinzu. Liegt aber der äquianharmonische Fall vor, so gilt (I) = Q, (1)1 = Q(l)j, und das Parallelogramm der reduzierten Perioden ist

Erweiterungen der Gruppe der Transformationen der

~.

in sich

193

em aus ZWeI gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzter Rhombus. In diesem Falle kommt als neu die Transformation: ~~' =

(In

zu den bisherigen hinzu. Im übrigen wollen wir die hier eintretenden Verhältnisse an dieser Stelle nicht näher untersuchen, da uns die einfachsten Hilfsmittel für diese Untersuchung hier noch nicht zur Hand sind.

Erweiterungen der Gruppe der Transformationen der

f.

in sich

193

Drittes Kapitel.

Die elliptischen Funktionen erster Stufe. Das Hauptergebnis des vorigen Kapitels war die Abbildung des Feldes F der Funktion nZ'OO auf die schlicht und vollständig bedeckte endliche tt-Ebene. Wir wollen jetzt im vollen Umfange die Folgerungen ziehen, welche aus dieser Tatsache für den Körper der algebraischen Funktionen und die Integrale der F2 sich ergeben. Hierbei ist weiter yon grundsätzlicher Bedeutung, daß die übereinanderliegenden Exemplare der F2 im Felde F beim Übergange zur n-Ebene die nebeneinandergeordneten Parallelogramme im Netze der Periodenparallelogramme werden, wobei die homologen Punkte dieser Parallelogramme oder, wie wir sagten, die "äquivalenten" Punkte im Parallelogrammnetze ein und dieselbe Stelle z der F2 lieferten. Wird sich aus der Schlichtheit des fraglichen Abbildes die "Eindeutigkeit" der elliptischen Funktionen ergeben, so folgt ans der Eigenart des Abbildes als Netz der Periodenparallelogramme als weitere grundlegende Eigenschaft der elliptischen Funktionen diejenige· der "doppelten Periodizität". Diese Eigenschaft der elliptischen Funktionen ist im Falle der Funktionen" - es sind dies die elliptischen Funktionen ,lemniskatischen 1 des harmonischen Spezialfalles - schon sehr früh durch Gauß 1) erkannt worden. Bei Abel und ,Tacobi wird die Eindeutigkeit der elliptischen Funktionen nahezu als eine Selbstverständlichkeit angesehen 2), während die doppelte Periodizität als Eigenschaft dieser Funktionen speziell hervorgehoben wird, besonders stark bei J aco bP) Im übrigen brauchen wir hier kaum zu betonen, daß die Frage nach der Gestaltung des "Feldes" einer Funktion und damit zugleich die Frage nach der Eindeutigkeit oder Mehrdeutigkeit derselben den Vorrang vor der Feststellung etwaiger weiterer Eigenschaften der Funktion besitzt. Diese 00

00

1) S. die Nachweise S. 117 über Gauß. 2) Man vgl. Ab el, "Recherehes sur les fonctions elliptiques", § 1, J oum. f. Math., Bd.2 (1827) oder Abels "Werke", Bd. 1, S. 266ff. Jacobi betreffend kommen die Artikel 17 ff. der "Fundamenta nova" (s. die Nachweise S.117) in Betracht. 3) S. den Schluß von Artikel 19 der "Fundamenta nova". Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. 1 13

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_4 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

194

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

Auffassung ist für die Anordnung des Gedankenganges unserer Darstellung bestimmend gewesen.

§ 1. Das Integral erster Gattung u als "uniformisierende" Yariabele der Riemannschen Fläche F2 • Irgendein vorgelegter Körper algebraischer Funktion des Geschlechtes p = 1 sei wie bisher durch diejenige zugehörige Riemannsche Fläche F2 repräsentiert, deren Verzweigungspunkte die Nullpunkte der Verzweigungsform "erster Stufe" fz sind. Das Feld F des zugehörigen Integrals erster Gattung erster Stufe uz,oo wird dann dmch diese analytische Funktion ~t auf die schlichte und abgesehen vom Punkte 00 vollständige ~t-Ebene abgebildet und liefert daselbst das im vorigen Kapitel bereits vielfach benutzte Netz der Periodenparallelogramme. Das Querschnittsystem QlI Q2 darf beliebig ausgewählt sein; insbesondere ist es ·also, wenn man bestimmte Querschnitte vor Augen haben will, gestattet, sich des reduzierten Systems zu bedienen. Nun sei R(z, Y7(Z)) irgendeine dem Körper angehörende algebraische Funktion; dieselbe ist auf der F2 eindeutig und sei m-wertig, wo dann (vgl. S. 95) stets m> 1 gilt. Diese Funktion ist auch im Felde F von u selbstverständlich eindeutig und gewinnt bei der Fortsetzung in diesem Felde an homologen Stellen der Flächenexemplare F2 stets gleiche Werte. vVenn wir nun diese Funktionswerte bei der Ab bildung des Feldes F mit auf die u-Ebene verpflanzen, so bekommt also jeder endliche Punkt u einen bestimmten Funktionswert, und es setzen diese Funktionswerte eine etwa durch: R(z, Vf(z)) = 1jJ(u) (1) zu bezeichnende eindmdige analytische Punktion 1jJ(u) zusammen, die wir nunmehr als eine "elliptische Punktion" bezeichnen: Die algebraischen Punktionen desd~trch die F2 repräsentierten Körpers werden, in Abhängigkeit vom Integral erster Gattung u aufgefaßt, zu "eindeutigen" elliptischen Punktionen, deren gemeinsames Peld die schlichte und vollständige u- Ebene, abgesehen vom Punkte u = 00, ist. Durch Einführung des Argumentes tt werden also die in z "zweideutigen" Funktionen des Körpers in "eindetttige" Funktionen von u umgewandelt; man sagt, sie seien durch ~t "unitormisiert", und bezeichnetdieserhalb u als eine "uniforrnisierende V ariabele" der F2' Die homologen Stellen der Flächenexemplare F2, die gleiche Werte der einzelnen Funktion R (z, Yl(z)) tragen, ergeben in der u-Ebene "äquivalenteIl Stellen im Parallelogrammnetz. In solchen Stellen wird demnach die einzelne elliptische Funktion 1jJ(u) immer gleiche Werte 00

00

00

Die algebr. Funktionen der F2 als eindeutige doppeltper. Funktionen von

t~

191)

haben. Man kann diesen Schluß auch dadurch begründen, daß man In der endlichen tt-Ebene von irgendeiner Stelle H nach einer äquivalenten Stelle: u' =u

+ tf1

1 UJ 1

+ tf1

2 UJ 2

eine Kurve zieht und längs derselben 1jJ Cu) fortsetzt. Diese Kurve liefert dann eben als Ab bild auf der F2 einen geschlossenen Weg, über den fortgesetzt R (z, Vl(z)) am Schlusse zum Anfangswel'te zurückkehrt: Es gilt demnach allgemein:

(2) ~md

1jJ(u

+ 1n

1 UJ 1

+ 1n

2 UJ 2 ) =

1jJ(u)

insbesondere:

(3) woraus die Gleichung (2) mit beliebigen ganzen Zahlen 11l 1 , m 2 umgekehrt wieder folgt. Die elliptische Funktion 1jJ(u) heißt dieserhalb "doppeltperiodisch", und man nennt UJl' UJ 2 ein "Paar primitiver Perioden", insofern jede in (2) gemeinte Periode sich als eine ganzzahlige Kombination der beiden Perioden UJ 1 und UJ 2 aufbatten läßt. Wir wollen die von R(z, -Vnz)) gelieferte elliptische Funktion 1jJ(tt) auch als solche "m-wertig" nennen. Hierdurch kommt dann zum Ausdruck7 daß ein beliebig gewählter komplexer Zahlwert von der elliptischen Funktion 1jJ(u) immer gerade genatt in m Punkten des einzelnen Periodenparallelogramms angenom'inen wird. Nur müssen wir dabei, um eine ausnahmslos eindeutige Beziehung des Parallelogramms auf die F2 zu gewinnen, wieder wie schon früher homologe Punkte der Gegenseiten des Parallelogramms als nicht verschieden ansehen oder etwa von je zwei solchen Punkten immer nur einen als dem Parallelogramm angehörig betrachten. Natürlich dürfen, wie auf der F2 (vgl. S. 91), die m Stellen des Parallelogramms, in denen 1jJ(u) ein eu vorgeschriebenen komplexen Wert annimmt, auch miteinander irgend wie koinzidieren. Solche Koinzidenzen treten dann freilich nur bei einer beschränkten Anzahl von komplexen Werten auf. 1) An singulären Punkten hat die elliptische Funktion 1jJ (u) in jedem endlichen Bereiche der u-Ebene nur Pole; und zwar finden sich im einzelnen Parallelogramm gerade genau m Pole erster Ordnung, die natürlich auch irgendwie zu Polen höherer Ordnung zusammenfallen können. Jedenfalls ist die elliptische Funktion 1jJ (u) in der ganzen endlichen u-Ebene frei von wesentlich singulären Ptmkten. Demgegenüber folgt aus der Struktur des Parallelogramlllnetzes sofort: Der Punkt u = 00 ist ein wesentlich 1) Nach S. 92 handelt es sich hier um jene besonderen Werte der algebraischen Funktion w = R(z, -vtTz), welche bei Abbildung der F2 auf eine Fm über derw-Ebene die Verzweigungspunkte ergeben. 13*

196

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

s'ingulärer P~fnkt der elliptischen Funktion 'ljJ (u). In jeder noch so "klein" gewählten Umgebung des Punktes 00 fanden wir ja (vgl. S. 175) stets noch unendlich viele Parallelogramme, so daß 'ljJ(u.) in jeder Umgebung von 00 einen vorgeschriebenen komplexen vVert an unendlich vielen verschiedenen Stellen wirklich annimmt.!) Wir wenden uns ferner zur Betrachtung der Integrale der F2 , und zwar zunächst zu derjenigen irgendeines einzelnen Integrales zu:eiteJ' Gattung. Ein gescblossener Weg in der endlichen u- Ebene und also im Felde F", von n liefert (vgl. S.181) auf der Fläche F2 einen geschlossenen Weg, der sich stetig auf einen Punkt zusammenziehen läßt. Das Integral liefert also bei Fortsetzung über einen solchen Weg stets den Wert 0, so daß dasselbe eine eindeutige Funktion im Felde F"" ist. Bei Übertragung der Werte dieser Funktion auf die tt-Ebene finden wir: Ein Integral zu;eitm" Gattung, als Funktion von tt aufgefaßt, liefert eine in der ganzen endlichen tt-Ebene eindeutige, etwa dW'ch s(u) zu bezeichnende Funktion, so daß u auch Nil- die Integrale zweiter Gattung den Chara7ctm" als "uniformisierende" Variabele behält. Aber' freilich ist nicht mehr in äquivalenten Punkten des Parallelogrammnetzes gleich. Liefert das Integral, über die geschlossenen Wege Ql' Q2 fortgesetzt, die Perioden 171' 172' so ergibt ein geschlossener Weg der F2 , welcher von u zu u'=u+m1()J1+m2())2 führt, eine entsprechende Änderung des Integrals zweiter Gattung um (m 1 171 m 2 172)' Die eindeutige analy#sche F1mktion s{u) erfüllt die Bedingungen:

sen)

+

+

(4) s(u ())1) = aus denen dann wieder:

sen) + 1711

s(u

+ ()J2)

=

s(u)

+ 112,

(5) eine unmitlelbat'e Folge ist. Wir werden 1711 'Y12 als ein Paar "p1"ünitivel' Perioden" des Integrals zweiter Gattung bezeichnen. An singulären Punkten hat auch s(u) in jedem endlichen Bereiche der u-Ebene nur Pole, die in äquivalenten Punkten des Parallelogrammnetzes gelegen sind_ Handelt es sich insbesondere um ein "Elementarintegral" zweiter Gattung (vgI. S. 144), so findet sich in jedem Periodenparallelogramm ein und nur ein Pol erster Ordnung. Während demnach ~ (u) in dm" ganzen endlichen u-Ebene j'rei von wesentlich singulären Stellen ist, bewahrt natürlich dm' Punkt u = 00 seinen wesentlich singulären Charakter auch für s(u). Man braucht ja nur zu beachten, daß in "jeder" Umgebung des Punktes 00 noch unendlich viele verschiedene Pole von s(tt) nachweisbar sind. 1) Ivlan vgI. hiermit das Verhalten einer ganzen transzendenten Funktion in der Umgebung ihres wesentlich singulären Punktes 00 (S, 51),

Die Integrale zweiter und dritter Gattung als Funktionen von u

197

Bei den Integralen dritter Gattung reicht nun freilich die "uniform isierende Kraft" von 1~ nicht mehr aus. Jedes solche Integral hat nämlich auf der F2 mindestens zwei logarithmische Unstetigkeitspul1kte (vgl. S.141). Die von demselben gelieferte analytische Funktion des Argumentes u hat demnach im einzelnen Parallelogramm mindestens zwei solche Unstetigkeitspunktej die Funktion ist also bereits in der Umgebung jedes solchen Punktes unendlich vieldeutig.

§ 2. Der Körper der elliptischen Fnnktionen, die besonderen Funktionen S9{U), go'(u) und das Normalintegral ~(u). Indem wir an dem eben benutzten Parallelogrammnetz der u-Ebene festhalten, wollen wir den Gedankengang des vorigen Paragraphen in der Art umkehren, daß wir eine von der F2 unabhängige Erklärung der elliptischen Funktionen an die Spitze stellen: Als eine zum Parallelogrammnetz gehörende elliptische Funktion soll jede analytische Funktion 1jJ (u) bezeichnet werden, welche die schlichte u-Ebene, abgesehen vom Punkte 00, zum Felde hat, tmd welche die durch: (1) zum Attsdt·uck kommende Eigenschaft der doppelten Perl~odizität besitzt. Diese Begriffserklärung führt unmittelbar zu den Funktionen von § 1 zurück. Übertragen wir nämlich die Werte einer einzelnen Funktion 1jJ(u) auf die F2 , so gewinnen wir daselbat zufolge (1) eine eindeutige Funktion der Stelle. Da aber 1jJ(u) in einem endlichen Bereiche der u-Ebene, und also insbesondere im einzelnen Parallelogramm an singulären Punkten nur Pole in endlicher Anzahl aufweisen kann, so wird dasselbe von der auf der F2 erhaltenen Funktion auf dieser Fläche gelten. Die Funktion erweist sich demnach als eine algebraische Funktion der F2 (vgl. S. 77 unten), so daß wir in der Tat zum Ausgangspunkt von § 1 zurückgekommen sind. ",Vas die Zusammenhänge der elliptischen Funktionen unseres Parallelogrammnetzes untereinander angeht, so übertragen sich nun unmittelbar alle früher über die algebraischen Punktionen der F2 aufgestellten Sätze: Die gesamten elliptischen Funktionen unseres Pamllelogmmmnetzes bilden einen "Körper" zttsammengehöriger Fun7ctionen (vgl. S. 81) j it·gend zwei dieser Funktionen 'l/J1 (tt), 1jJ2(U), deren Wertigkeiten mund n sind, hängen durch eine algebraische Relation:

(2) n ten bzw. m ten Grades in 'l/J 1 und 'l/J 2 zusammen; alle Funktionen des Körpers sind in zweien untm" ihnen, 1jJl (tt) und 'l/J2(u) rational darstellbar,

198

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

sobald nur die zwischen diesen beiden Funktionen bestehende Relation (2) irreduzibel ist (vgl. S. 93). Für diese rationale Darstellung aller Funktionen des Körpers eignen sich nun vornehmlich jene beiden Funktionen, welche von unserer auf die Verzweigungsform erster Stufe gegründeten Fläche F2 in z und Vf(z) geliefert werden. Wir sind damü zu jenen beiden wichtigen elliptischen Funktionen erster St~tfe hinpeführt, welche der Weierstraßschen Theorie (vgl. S. 117) z~tgrunde liegen, Hnd z['elche wir im Anschluß an Weierstraß durch die besonderen BezeichnHngen:

(3)

Vnz) =

z = fP(u),

so'(u)

attszeichnen. Die Schreibweise der zweiten Funktion begründet sich dadurch, daß aus: dz du = - - = Vf(z)

Ja unmittelbar die Beziehung: ~o

'()

u

dp(u) =au

hervorgeht, so daß fP'(u) die erste A.bleitung von so(u) nach u ist. A.us der Gestalt der Verzweigungsform erster Stufe ergibt sich weiter: Die zwischen den Funktionen erster Stufe so (tt) und So' (H) bestehende algebraische Relation ist:

(4)

SJ' (ZtY = 4S0(u,)3 - gz So Cu) - ga;

da nun so(u,) zweiwertig und so'(tt) dreiwet·tig ist, diese Relation aber irreduzibel ist, so ist jede elliptische Fu,n7ction des I{örper's in der Gestalt:

(5)

'IjJ(u)

=

R(SJ(u), SJ'(u)

als rationale Funktion '/:on SJ(u) und so'(u) darstellbar. Was die Integrale zweiter Gattung 1) angeht, so wollen wir hinfort die Bezeichnung ~(u) nur noch für diejenige eindeutige Funktion gebrauchen, welche von dem in (2) S. 152 aufgestellten Normalintegral zweiter Gattung erster Stufe geliefert wird:

ZZ, Zo =

~(u).

Wir bezeichnen ~(u) auch als ]'unktion von u, als das "Normalintegral zweiter Gattung erster Stufe ii und werden übrigens im nächsten 1) Betreffs dieser Integrale gilt folgender Satz: Eine Funktion, welche die schlichte ~!-Ebene, abgesehen vom Punkte 00, zum Felde hat und sich bei Vermehrung von ~! um Oll und 012 bis auf zwei additive Konstante reproduziert, ist ein Integral zweiter Gattung. Die Ableitung nach u ist nämlich eine elliptische Funktion, und das Integral gehört weder zur ersten Gattung, da der Punkt 00 nicht zum ]'elde gehört, noch zur dritten Gattung, da logarithmische Unstetigkeitspunkte nicht auftreten. Siehe ührigens die algebraische Gestalt des SatzesS. 142.

Die Funktionen &O(u),

~/(u)

und die Darstell. der Normalintegr. durch sie 199

Paragraphen eine Festsetzung über die untere Grenze des Integrals treffen. Der Zusammenhang von ~(u) mit &,,(u) geht aus der rechten Seite der Gleichung (2) S. 152 sofort hervor. Entspricht der unteren Grenzezo des Integrals der Wert U o des Argumentes u, so folgt: Das Normalintegral zweiter Gattung erster St~tfe ~(u) stellt sich in der Funktion $0 (u), wie folgt, dar: " (6) ~(u) = -J~(u)du. Auch das in (5) S. 153 gegebene Integral dritter Gattung erster Stufe II;' Zo können wir sofort als Funktion von u umschreiben. Entspricht der Stelle t der F2 der Wert v des Integrals erster Gattung, so folgt als Darstellung jenes Integrals dritter Gattung aus (5) S. 153:

Uo

Übrigens werden wir unten wichtigere Darstellungen für die Elementarintegrale dritter Gattung zu besprechen haben.

§ 3. Potenzreihen für die Funktionen go(u,), go'(u,} und

~(u).

Unter den verschiedenartigen analytischen Darstellungen der elliptischen Funktionen &J(u), ... , welche man kennt, betrachten wir hier zunächst Entwicklungen nach Potenzen von u, welche sich also auf die Umgebung der Stelle u = 0 beziehen. Da die Fläche F2 bei z = 00 einen ihrer Verzweigungspunkte hat und diese Stelle der f 2 als untere Grenze des Integrals u gewählt wurde, so fallen umgekehrt die beiden Pole, welche die zweiwertige Funktion &J(tt) im ersten Periodenparallelogramm hat, in der Ecke u = 0 zu einem Pole zweiter Ordnung zusammen. Beschreibt man in den beiden Blättern der F2 von der unteren Grenze 00 zwei genau übereinander liegende Integrations bahnen für das Integral erster Gattung, so sind die zugehörigen Integralwerte stets einander entgegengesetzt. Zu zwei Werten u und - ~t gehören demnach dieselben ,Verte der eindeutigen Funktion z = &J(tt). Die Funktion &J(U) ist eine "gerade" Funktion von u, welche in jedem Gitterpun7cte (ml Wl + 1n 2 ( 2) des Parallelograrnmnetzes einen Pol zweiter Ordnung hat ttnd übrigens in der Umgebung jeder endlichen Stelle u analytisch ist. Für die Umgebung der Stelle z = 00 der R,iemannschen Fläche gilt die Entwicklung:

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

200

-Vz) =

es trifft demnach lim (t~· z=oo

lim

(t~2.

u=o

1 und also:

-

g;;(u)

=

1

zu. Nehmen wir diese Angaben mit den allgemeinen Sätzen über die Entwicklung einer analytischen Funktion für die Umgebung eines Poles in eine Potenzreihe zusammen (vgl. S. 27), so ergibt sich für SJ(u) der Ansatz:

SJ(tt)

=

1

~t2

+ Co + Cl U 2 + C2 U 4 +"';

°

dabei ist der Konvergenzlweis dieser Reihe dei' K1'eis mit dem 1I1ittelpun7cte u = 0, dessen Peripherie dw'ch einen am Nullpunkte nächstgelegenen, von verschiedenen Gitterpwnkt (mi (lJl + m 2 (lJ2) hindui'chläuft. 1) Zur Bestimmung der Koeffizienten co, Cl' • •• dient nun ein sehr einfacher Kunstgriff'. Aus (4) S. 198 folgt durch Differentiation nach u:

12SJ(u)2 - g2' Trägt man hier rechts und links ftir SJ(tt) die in Ansatz gebrachte 2SJ"(u)

=

Reihenentwicklung ein, so ergibt die Koeffizientenvergleichung zun1lchst: Co = 0,

20c1 = g2;

für v> 1 aber folgt als Rekursionsformel zur Bestimmung von c.:

tcv (v (2v - 1) - 6)

=

C1 C._ 2

+ C2 C,__ 3 + C3 C._ 4 + ... + C._ 2 C1.

Diese Formel versagt nur für v = 2; haben wir aber c2 auf anderem Wege bestimmt, so können wir alle weiteren c. aus ihr berechnen. Zur Bestimmung von c2 tragen wir die für g;;(u) angesetzte Reihe rechts und links in (4) S. 198 ein; der Vergleich der Absolutglieder rechts und links liefert 28 c2 = g3' Die in den berechneten Ausdrücken der Cv auftretenden numerischen Nenner wollen wir in die Primfaktoren zerlegen und leiten übrigens aus der Reihe für g;;(u) durch Differentiation gleich auch die für g;;/(U) ab. Die Potenzreihen der elliptischen Funktion erster Stufe SJ (u) tmd g;; (u) für den schon vorhin festgelegten Konvergenzkreis um u = haben die Anfangsglieder :

I

°

I

so (u) -u' - !.- + * + -~ u 2 + _Jb_ .u4 + ---g~ - u 6 + _3!}2 g~- u B + ... ' 2'·5 2'·7 2 4 .3.5' 2 4 .5.7.11

(1) /Cl'(tt) ö·

=

_

~. + * + Jb_ + 937 2.5

1~3

!t

1t3

+ _!LL u5 + ~g!fl!l.~ u7 +... 2 .5' 2·5.7·11 ' 3

1) Benutzen wir das reduzierte Querschnittsystem, so sind in alle1~ Fällen und - 0)2 am Nullpunkt nächstgelegene Gitterpunkte. Ist das Periodenparallelogramm ein "Rhombus", so liegen die Gitterpunkte ± Oll ebenso nahe am Nullpunkte, im äquianharmonischen Falle auch noch ± (Oll = ± "'3' Wir kommen später ausführlich hierauf zurück.

+

012

+ "")

Potenzreihen für SJ(tt), 50' (tb) und !;(u)

201

wobei die 1'echts eingcfügten Sterne darauf aufmerksam machen sollen, daß in der ersten Reihe das Absolutglied ~tnd in der zweiten das Glied mit dm" Potenz ~t- 1 nicht ctuftritt. Wie man sieht, sind die Koeffizienten Cl und c2 abgesehen von numerischen Faktoren mit den beiden ganzen rationalen Invarianten zweiter und dritter Dimension g2 und g3 der Verzweigungsform identisch. Weiter aber liefert mit Rücksicht auf die Entwicklungen von S. 123 die Rekursionsformel der Cv unmittelbar das Resultat: Der Koeffizient c" der Potenz u h in der Entwicklung von S;)(~t) ist eine ganze rationale Invariante der Verzweigungsform von de~" Dimension (v 1) und läßt sich demnach auf Grund des Ansatzes (14) S. 123 als ganze rationale Fttnktion der g2' g3 bis (Utf nwnerische Faktoren sofort anschreiben. Die Funktionen &J(u), &J'(u) zeigen hier ihren Charakter als elliptische Funktionen erster Stufe insofern aufs neue, als die "rationalen" Invarianten die Entwicklungskoeffizienten in (1) zusammensetzen. Wollen wir übrigens die Abhängigkeit von g2 und g3 in den Symbolen unserer Funktionen mit zum Ausdruck bringen, so schreiben wir ausführlicher:

+

SO(u; g2' g3), &J'(u; g2' g3)' Auf Grund von (6) S. 199 gewinnen wir aus (1) nun auch eine Potenzreihe für die eindeutige _Funktion s(tt) in der Umgebung von ~t = O. Hierbei ist es besonders zweckmäßig, über die untere Grenze des Normalintegrales zweiter Gattung nunmehr so zu verfügen, daß in der sich ergebenden Potenzreihe [ur s(tt) kein Absolutglied atlf'tritt; s(u) wird auf diese Weise eine ~tngeracle Funktion von u. Das nunmehr eindeutig bestimmte Normalintegral zweiter Gatttlng crster BÜtfe S(u) gestattet in der Umgebung von tl = 0 die Darstellung: ( 2)' ~f- (~l)

g, =--u + *-~3--:5U 1

3

g3

5

g~

7

g. g3

9

-22.5:7tt -~--:52.7tl-2'--:-3.5.7.111l-""

deren Konvergenzkreis natürlich wieder der bisherige ist. Der Stern soll darauf aufmerksam machen, daß in der Entwicklung dieser ungeraden Funktion das Glied mit ~tl fehlt. Soll die Abhängigkeit von g2 und g3 besonders hervorgehoben werden, so bedienen wir uns der Bezeichnung ~ (ni g2' g3) für das Integral zweiter Gattung erster Stufe.

§ 4. Darstellung der Elementarintegl'ale in u. Vorläufiges über die Additionstheoreme. Die Beziehung des Elementarintegrales Zt zum Normalintegral zweiter Gattung ist in (4) S. 152 aufgestellt. Die Entwicklung von Zt in der Umgebung der Stelle t hatte das Anfangsglied z'-I, unter z' die "normale" Entwicklungsgröße (s. S.140) verstanden. Der Faktor ddt' auf Ut

202

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

der linken Seite der genannten Gleichung wird hier in neuer Weise verständlich. Entspricht nämlich der Stelle t der F2 der Punkt v des Perioden parallelogramms, so bewirkt jener Faktor, daß ddt' . Zt als FunkUt

tion von n in der Umgebung jener Stelle v einfach das Anfangsglied (tt - V)-l der Potenzreihenentwicklung gewinnt. Man erkennt nun nach den S. 197 auf die elliptischen Funktionen angewandten Überlegungen in s(n - v) ein Integral zweiter Gattung mit einem bei v gelegenen PoleI) und zufolge (2) S. 201 mit dem Anfangsgliede Cu - V)-l der Entwicklung nach Potenzen von (u - v). Somit ist -dd~ . Zt bis auf eine additive Konstante gleich s(u - v)j und Ut

die Gleichung (4) S. 152 ergibt in unseren jetzigen Bezeichnungen, wenn tto der Stelle Zo entspricht:

5'(u _ v) _ 5'(n _ v)

~

~

0

=

SJ'Cu)

+ SJ'SO(V») (v) _

5/ (~~)

2 (P(u) -

Wir erkennen hieraus, daß:

s(tt - v) - s(tt)

+ p'evt P(V»)

2 (so (u o) -

+ s(v) -

...L I

5'(tt) _ 5'(tt I

~

~

01"

r/(u)+so'(v)

2 (s0(tt) _

gJCV))

einen von 1t unabhängigen Wert hat, der sich, da das Quadrat dieses Ausdrucks in u und v symmetrisch ist, auch als von v unabhängig erweist. Zur Berechnung dieses Wertes entwickeln wir den Ausdruck etwa nach Potenzen von u, wobei also nur ein einziges Glied, nämlich das Absolutglied auftreten darf, das dann eben jenen zu berechnenden Wert ergibt. Die Rechnung, welche die Reihen (1) und (2) des vorigen Paragraphen zu benutzen hat, liefert auf diese Weise den Wert 0 für die gesuchte von u und v unabhängige Größe. Fü1' das Elementarintegral zweiter Gattung s(u - v) mit dem Pole v gewinnen wir somit die Darstellung: (1) s(u - v) = s(tt) _ f;(v) g;/ Ctf) r/(v) .

+ 2 (SJ(tt)+- SJ(v»)

Nehmen wir einen Zeichenwechsel von v in dieser Gleichung vor, so nimmt dieselbe, da ~o eine gerade Funktion und ~o' sowie S ungerade Funktionen sind, die Gestalt an: (2) s(tt v) = r;(u) s(v) SJ'(tt) - r/(v)

+

+

+2

(P(U) -

SJ(V»)

und lehrt somit, daß sich S, gebildet für die Summe (u + v), in einfacher Weise rational dttrch die Funktionen S, SO, So', gebildet für die einzelnen Summanden u, v, ausdrücken läßt. ,ViI' haben damit das sogenannte "Additionstheorem" für das N ol'mulintegral zweiter Gattung erster Stufe 1) Siehe auch die Note S. 198.

203

Additionstheoreme der Funktionen t(u) und SJ(u)

gewonnen, einen ersten Spezialfall einer Reihe wichtiger Theoreme, die wir später in einem besonderen Kapitel behandeln werden. 1m Mittelpunkte der algebraischen Entwicklungen zum invarianten Aufbau der Elementarintegrale stand die in (10) S. 146 gegebene algebraische Funktion zweier Flächenpunkte ([J (z, t), die symmetrisch in ß und t war und etwa bei festgehaltenem t eine zweiwertige Funktion von z mit einem Pole zweiter Ordnung an der Stelle t lieferte. Zufolge der vorhin angegebenen Beziehung des Elementarintegrals Zt zum Normalintegral s(u) rechnet sich die Gleichung (13) S. 149 in die folgende . Gestalt um:

J ([J (z, t) du. u

S(~l - v) - s(uo - v)

=

-

Uo

Dmch Differentiation nach ~t finden wir mit Rücksicht auf (6) S. 199 sofort den Satz: Unsere Funktion ([J (z, t) ist in der neuen Bezeichnung einfach identisch mit \;J(u - v): (3) . ([Jet, t) = p(u - v). Tragen wir den ausführlichen Ausdruck von ([J(z, t) unter Benutzung der Verzweigungsform erster Stufe ein (vgl. S. 146) und nehmen noch €men Zeichenwechsel von v vor, so folgt: '{I (~t + V \ _ (2 p(u) fJ(v) - t g2) (SQ(u) + p(v» - g3 -rJ'JYlp' (v) . ( 4) g

2 (SQ(u) -

) -

p(V)2

Hier haben wir das "Additionstheorem" für die Funktion gJ vor uns und erkennen, detß sich attch SJ (tt + v) in einfacher Art rational durch die Funktionen 1;0 und SJ' der Summanden u, v darstellt. Eine etwas einfachere Gestalt des Theorems (4) ergibt sich aus (2), indem man diese Formel einmal nach tt und so dann nach v differenziert: .

p"(u)

-8J(u+v)=-gJ(u)+ 2(p(tb)-gJ(V)-

- gJ(u

+ v)

..

=

-

g;, (v) -

SQ"(v) 2 (SQ(1~) _ so (v»

+

(SQ'(u)-SJ'(v»SJ'(u)

2(p(1b)-SQ(V»2

,

(S/(u)-gJ'(v»SJ'(v) - 2 (gJ(1b) - SJ(v»' ..... .

Addiert man diese Gleichungen und benutzt die Relation: 60"(U) - 8J"(v) = 6 (\Q(U)2 - ~Q(V)2), so ergibt sich leicht als neue Gestalt des A.dditionstheorems:

(5)

p(u

+ v)

=

1. (fJJ'(U) - SO'(V»)2 4 gJ(U) - gJ(V)

&Q(u) - SJ(V).

Behandelt man diese Gleichung genau wie soeben die Gleichung (2), so gelangt man leicht auch zu einem Ausdrucke für das Additionstheorem der Funktion 8J '. Die gewonnenen Formeln haben übrigens für unsere Entwicklungen von S. 189 ff. noch eine sehr bemerkenswerte Bedeutung. Wir lernten

204

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

damals eine kontinnierliche Gruppe von zweifach nnendZ,ich vielen Transfm'm(dionen der Riemannschen Fläche F2 in sich kennen, welche wir mitte1st des Integrals erster Gattung in der Gestalt: tt'

=

H

+v

dargestellt fanden, unter v einen Parameter verstanden, der die Fläche des Periodenparallelogramms zu beschreiben hatte. Hier ist es nnn offenba'i" die Bedeutttng der Additionstheoreme ;

rpeu $J'(n

+ v) = + v) =

R1(rp(u), SQ'(u), ~J(v), rp'(v)), R 2 (rp(u), SQ'(u), rp(v), rp'(v),

daß sie unmittelbar den algebraischen Ausdntek jener Tmnsformationen der

F2 in sich d(trstellen.

Um schließlich auch noch die Elementarintegmle dritter Gattnng zu erledigen, haben wir einfach auf den Ausdruck (14) S. 149 dieser Integrale zurückzugehen und denken die damaligen Integrationswege auf das Periodenparallelogramm übertragen. Behalten wir für das Integral; auch wenn wir nunmehr tt als Argument einführen, die Bezeichnung P bei, so ergibt sich: Das Elementarintegral dritter Gattttng P~::oo mit den Grenzen U o und u und den "Parametern" V o und v stellt sich mittelst der Funktion rp so dar:

J (Jrp(u u

(6)

P~:'~oo =

Uo

v

v) dv) du;

'1)0

nach Ausführung de1' Integration in bezttg auf v gewinnt man als Darstellung von P'"v, '1'0 U o im Integml zweiter Gattung: u

(7)

P~::: J(s(tt - v) - s(tt - vo)) du. Uo

§ 5. Darstellung aller elliptischen:.Funktionen des Körpers durch

die Funktionen ;, So, So', So", ••• Nach (5) S. 198 ist jede elliptische Funktion 1jJ(u) des vorliegenden Körpers als rationale Funktion von rp(tt) und rp'(tt) darstellbar. Bei der wirklichen Ausrechnung solcher Darstellungen im Einzelfalle kann man sich funktionentheoretischer Schlußweisen bedienen, welche sich auf die Eigenschaften der algebraischen Funktionen und der Integrale der F2 gründen. Wir notieren z. B. den Satz, daß eine elliptische Funktion des Körpers, welche im Periodenparallelogramm entweder pol(rei ist oder doch nur einen einzigen Pol erster Ordnttng haben "könnte", notwendig mit einer Konstanten identisch ist. Wir, machen ferner auf den Satz aufmerksam, daß eine Funktion, welche entweder eine Konstante

Darstellung aller elliptischen Funktionen durch ~, SJ, g/, S/', . . .

205

oder ein Integral erster Gattung scin kann, notwendig mit einer Konst(mte identisch ist, wenn sie sich bei Vermehrung von u um (JJ2 nicht ändert. Die Darstellung (5) S. 198 einer einzelnen Funktion 1/1(u) des Körpers kann man nun durch Vermittlung einer anderen, besonders übers::>, SJ', So", ... gewinnen, welche sichtlichen Darstellung von 1/1(tt) in wir hier besprechen wollen. Statt des bisherigen Integrals s(u) benutzen wir hierbei zweckmäßig das "transzendent normic1"te" Integral (vgl. darüber oben S. 163):

s,

(1) welches zufolge der Legendreschen Relation (6) S. 160 folgenden Bedingungen genügt:

sen +

-

(2)

(JJl)

=

2 ion; sen) - -'--,

,-

s(n

W2

+

(JJ2)

=

seit)

und also insbesondere bei Vermehrung von u um (JJ2 unverändert bleibt. Die darzustellende Funktion 1/1(u) habe nun an der Stelle v des Periodenparallelogramms einen Pol vter Ordnung, und zwar gelte für die Umgebung desselben die Entwicklung:

1/1(tt)

c_Jtt - v)-l' + c_ 1 (tt - V)-l =

+ c_ + 1 (n - V)-l'+l + .. . + Co + C1(tf - v) + ... . v

In der gleichen Umgebung gelten die Darstellungen: -

1

s(tt-v)=tt_v+"" s::>(v- 2) (tf

-

v')

=

S::>(tt - v)

(-1)" . (~=22.! (~! _ 1)1'

\)2 + ~Ö (tt -

(u

=

..L I

c'0

+ c'1 (tt -

v)

V)2 + ..

"

+ ... ,

wobei wichtig ist, daß in jeder Reihe nur ein einziges Glied mit negativem Exponenten auftritt. vVir können daraufhin leicht ein Aggregat:

(3)

A~(u - v)

+ Bso(tt -

v)

+ Oso'(u -

v)

+ DSJ"(tt -

v)

+ ...

bilden, dessen Entwicklung nach Potenzen von (u - v) in den v ersten Gliedern mit der Reihe für 1/1(tt) genau ttbereinstimmt; man hat zu setzen:

A=c_ lI B=c_ 2 , O=-ic_ s, D=~C_4"" Einen von v verschiedenen Pol hat übrigens das Aggregat im Perioden11arallelogramm nicht. Zieht man dieses Aggregat also von 1/1(n) ab, so bleibt die Differenz im Punkte v analytisch und wird übrigens nur wieder die sonstigen Pole von 1/1 (tt), und keine weiteren, aufweisen. Man wolle nun für jeden diesel' übrigen im Periodenparallelogramm gelegenen Pole ein entsprechendes Aggregat abziehen und gelangt schließlich zu einer Differenz, welche im Parallelogramm überall polfrei (analytisch) ist. Wegen der ersten Glieder in den Aggregaten (3) scheint

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

206

zunächst noch die Möglichkeit zu bestehen, daß diese Differenz em Integral und dann natürlich ein solches erster Gattung ist. Aber die Differenz ändert sich zu folge (2) bei Vermehrung von u um ro 2 nicht und ist deshalb mit einer Konstanten A o identisch. Die elliptische Funktion W(u) des vorliegenden Körpers läßt sich demnach durch das transzendent normierte Integral zweiter Gattung, die fiJ- Funktion und ihre Ableitungen in der Gestalt:

(4) weu)

=

Ao+

...z {Ak~(U k

vk )

+ BkhO(U- vk ) + Ck&O' (u-v k ) + ... }

darstellen, wobei sich die Summe auf die verschiedenen im Periodenparallelogramm gelegenen Pole von W(u) bezieht. l ) Bei Vermehrung von u um rol ändert sich das erste Glied des einzelnen Aggregates in (4) rechts zufolge (2) um 2in

---.A k• W 2

Da W(u) selbst indessen bei Vermehrung des U um rol unverändert bleibt, so folgt: Die auf die gesamten im Periodenparallelogramm gelegenen Pole 1;on w(u) bezogene Summe der Koeffizienten A k verschwindet:

(5)

...zAk

=

k

O.

Dieser Satz läßt sich auch unmittelbar auf Grund des an (3) S. 38 angeschlossenen aUge'meinen Residuensatzes beweisen, wie späterhin noch näher auszuführen ist. Im übrigen erkennen wir in Gleichung (5) einfach den S. 141 aufgesteUten Satz wieder, daß die Summe der Residuen aller logarithmischen Unstetigkeitspunkte des Integrals: !w(u)du verschwindet, wobei sich die Sprechweise "aller Unstetigkeitspunkte" natürlich der F2 entsprechend nur auf ein einzelnes Periodenparallelogramm bezieht. Zufolge (6) können wir übrigens in (4), ohne den Charakter dieser Gleichung zu ändern, auch wieder das ursprüngliche S statt des transzendent normierten Integrals ~- einführen. Es ergibt sich einfach:

(6) w(u)

=

A~

+ ...z (Ak~(U k

wobei die Konstante

A~

vk )

+ BkfiJ(u -

vk )

+ 0kfiJ'(tt -

vk )

+ ... },

gegeben ist durch: A~

=

Ao

+ w. ...zAkv 1)•

k

k •

1) In algebraischer Gestalt findet man die gleiche Überlegung S. 151 zur Aufstellung des allgemeinsten elliptischen Integrals der F. angewandt. Übrigens erkennt man in der Gleichung (4) ein Analogon der Partialbruchzerlegung (1) S. 61 einer rationalen Funktion.

Darstellung aller elliptischen Funktionen durch SJ(u) und So' (u)

207

Will man nun von hieraus die rationale Darstellung von 1jJ(n) in KJ(u), KJ'(n) gewinnen, so hat man zunächst die aus (4) S, 198 durch Differentiation entspringenden Gleichungen:

KJ"(n)

=

6~;)(n)2-

}g2'

ho'''(n)

=

12KJ(n)KJ'(tt),· ..

zu benutzen, welche alle höheren Ableitungen KJ"(n), KJ"'(n),··· als rationale ganze Funktion von hJ (u) und KJ' (n) darstellen. Die alsdann noch bleibenden Ausdrücke: ~(t(

- vk ),

KJ(n - vk ),

KJ'(n - vk)

sind hierauf weiter auf Grund der Additionstheoreme (1 )ff. des vorigen Paragraphen durch ~(tt), hO (t~), KJ' (n) auszudrücken, wobei sich zufolge (5) die mit ~(u) behafteten Glieder in der Summe gerade aufheben. Das Ergebnis ist die Darstellung von 1jJ (u) in der Gestalt (5) S. 198 als rationale Funktion vom ~;) (u) und KJ' (u).

§ 6. Die ganze transzeIHlente Funktion 6 (u; Y2' Y3)' Wir haben jetzt die Aufmerksamkeit auf die Existenz einer gewissen ganzen transzendenten Funktion von n zu lenken, die in dem Gesamtsystem aller im Anschluß an die F2 betrachteten Funktionen als das einfachste Element zu betrachten ist. Durch Integration von ~(u) erhält man eine unendlich vieldeutige Funktion: (1)

js(u)dn,

+

die in den Gitterpunkten des Parallelogrammnetzes (mi rot m 2 ro 2) logarithmische Unstetigkeitspunkte hat, in der Umgebung jedes anderen endlichen Punktes u indessen analytisch ist. In der Umgebung des Gitterpunktes (mi ro1 + m2 ro 2) ist das Integral (1) zufolge der Gleichung:

s(n - m1ro 1 - 1n2 ro 2 ) + 1n1"11 + m2 'Y)2 und der Reihenentwicklung (2) S. 201, abgesehen von einer daselbst analytischen Funktion, gleich log (tt - '1111 ro1 - m2 ro 2 ). Demnach wird die ~(n)

=

Exponentialfunktion des Integrales (1): ef("(U)dU (2) in den Gitterpunkten und also in der ganzen endlichen 1t-Ebene wieder überall analytisch; sie ist also in jedem endlichen Bereiche der n-Ebene eine eindeutige, endliche und analytische Funktion von tt. Die Funktion (2) ist weiter durch die Eigenschaft ausgezeichnet, daß sie in jedem Gitterpunkte einen Nnllpunkt erstm' Ordnnng hat nnd in jedem anderen endlichen Pnnkte n von 0 verschieden ist; es handelt sich h'ier also um eine ganze transzendente Fnnktion von u.

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

208

In (1) blieb die untere Grenze noch unbestimmt, so daß unsere ganze Funktion (2) nur erst bis auf einen konstanten Faktor bestimmt ist. Wir wollen nun die hier noch erforderliche Festsetzung so treffen, daß:

lim (u- 1 . efnn)dU)

=

u=o

1

gilt. Dies erreichen wir in der Art, daß wir zunächst das Integral aufstellen:

J" (6CU) u

-~)

du,

1I

welches übrigens zufolge (2) S. 201 in der Umgebung des Nullpunktes die Entwicklung' gestattet: (3)

J o

(6(U) -

~J dtt

=

-

2<.~~ u4,_ 28.:~ 5.7 u

___ g2ß,,-_ 2 5 .3.5 2 .7.11

u10 _

6-

27

.l~5'-:-7tt8

••.

Das Integral (1) gestalten wir alsdann einfach zu folgendem bestimmten u Integrale aus: log tt (u) -~.) du.

r

+o (6

'/,1/

Die nunmehr eindeutig bestimmte Exponentialfunktion dieses Integrals ist die von W eierstraßeingeführte und von ihm durch (3(u) bezeichnete ganze ü'anszendenie Fttnktion: (4)

welche weiterhin die mannigfachste Verwendung finden wird; sie ist eine ttngerade Funktion von u, die (wie oben schon bemerkt) in jedem Gitterpunkte einen Nnllpunkt erster Ordnung hat, aber sonst für jedes enilliche u von 0 verschieden ist. Tragen wir die in (3) rechts stehende Reihe als Argument in die Exponentialreihe ein und setzen den Faktor u hinzu, so ergibt sich als Potenzrm'he für die u-FunMion:

+ g2 5 g. 7 g~ 9 929.. 11 (5) 'V"" () U =u *-2<.3.5 U - 2 3 .3.5.7 u -29.32.5.7tt -2~':-5'.7.11 u - ...

Die rechnerische Herstellung dieser Reihe aus der Reihe (3) bezieht sich natürlich auf die Umgebung des Nullpunktes u = O. Die Reihe (5i selbst ist jedoch "beständig konvergent", da (3 (u) eine ganze transzendente Funktion ist. Durch den Stern auf der rechten Seite von (5) soll hervorgehoben werden, daß' das Glied mit der Potenz ~~3 in der Potenzreihe von 0(u) ausfällt.

209

Erklärung der Funktion 6 (tb)

Wollen wir die Abhängigkeit der Funktion C5(tt) von den Invarianten g2' gs zum Ausdruck bringen, so bezeichnen wir die Funktion durch das Symbol C5(tt; g2' gs)' "ViI' werden späterhin eine partielle Differentialgleichung aufstellen, welche diese Funktion in bezug auf ihre drei Argumente tt, g2' gs befriedigt. Aus dieser Differentialgleichung läßt sich eine Rekursionsformel zur Berechnung d61' Koeffizienten der Potenzreihe (5) ableiten. Man findet auf diesem 'Wege in derS. 117 genannten Schrift von H. A. S ch warz die Koeffizienten der Potenzreihe (5) der Funktion 6(u) bis zur Potenz tt 35 einschließlich wirklich berechnet. Wir haben endlich das Verhalten der Funktion 6(tt) bei Vermehrung von tt um Perioden festzustellen. Aus der Definition von 6 (tt) ergibt sich unmittelbar folgende Darstellung des Integrals zweiter .Gattung ~(u) dnrch die 6-Funktion: ~(tt) =dlog 6(u)

(6)

du

6'(~.

=

6(u)

Aus (4) S. 196 folgt demnach, wenn k einer der beiden Indizes 1 oder 2 ist: 6'C'U+(iJk) 6'(tt) 6 (tt+ (iJk) = 6(U)

+ 'YJk'

Durch Integration und Herstellung der Exponentialfunktion des Ergebnisses findet man: 6(u OJ k) = c· e'/ku • 6 (u), unter c eine von tt unabhängige Größe verstanden. Tragen wir tt = - tOJk ein und berücksichtigen, daß 6 (tt) eine ungerade Funktion ist und 6(tOJk) nicht verschwindet, so erhält man:

+

l/ k W k

c· e---2-

=

-

1,

woraus sich c sofort ergibt: Bei Vermehrung von u ttm Perioden zeigt die Fttnktion 6 (u) das Verhalten:

(7) 6(u + OJ l )

=

-

e'h (U+ t w1 )6(tt), 6(tt

+ OJ2) =

_

e'/2(U+ t w2 )6(u),

ändert sich also ttm die multiplikatipe Exponentialfunktion des Integrals er'ster Gattung: 'YJkU + ~-'YJkOJk+ ni. Übrigens zeigt man von (7) aus durch den Schluß der vollständigen Induktion mit Hilfe der Legendreschen Relation· (6) S. 160 leicht die für beliebige ganze Zahlen mll JN 2 gültige Regel:

6e )

rn,w,+11I2W.) r!(U + 112 OJ + 112 OJ ) = . (- 1)m m +n1 +'il . e(m Jil+ m )(u+ 2 (8) i:J tt . 2 2 1 1 Aus der Funktion C5 (u) stellt man einfach in der Gestalt 6 (u - v) 1

.

2

1

I 'l.

1

2,l'j2

eine ganze transzendente Funktion von u her, welche an der' beliebig Fricke: Elliptische Funktionen. Bd.l

14

210

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

vorzttsch;'eibenden Stelle v des Periodenparallelogramms ihren Nullpunkt erster Ordnung hat und dann natürlich auch in den mit v äquivalenten Punkten des Parallelogrammnetzes verschwindet. Man kann diese Funktion selbstverständlich auch im Anschluß an das Integral zweiter Gattung durch: U

(9)

G(tt -v)

_ l )a" J( ~(U-V) _U-1)

=

(tt - v).e"

erklären; bei Vermehrung von u um wk ändert sie sich um den Faktor:

_ e'lk("-V+ §"'k)= e'lk(U-V++Wk)+Jti.

(10)

Übertragen wir die Funktionswerte G(n-v) auf die Riemannsche Fläche F2 , wo dem Werte v die Stelle t entspreche, so ergibt sich eine auf der F2 überall analytische, etwa durch E (z, t) zu bezeichnende Funktion, welche nttr einen einzigen an der Stelle t gelegenen Nttllpnnkt erster Ordmtng hat, sonst aber überall endlich und von 0 verschieden ist. Bei Fortsetzung über den geschlossenen Weg Qk geht diese Funktion in sich selbst, mttltiplt'ziert mit der Exponentialfunktion eines Integrals erster Gatttmg über:

(11) Nach Weierstraß, der Funktionen dieser Art zuerst betrachtetel), bezeichnen wir E(z,t) als eine "Primfunktion U der Fläche F2 2); sie ist auf der F2 unendlich vieldeutig, ihr Feld F ist mit dem der Funktion u identisch. Wir hä tten die Primfunktion E (z, t) auch bereits bfili der algebraischen Behandlung der F2 (vgl. S. 145ff.) einführen können und wollen hier nachträglich eine invariante Darstellung derselben auf der F2 angeben. Zu diesem Zwecke leiten wir aus (9) die Gleichung ab: 00

G(u-'v)

u-'v

~)dU_Ju(o("(U_V) __ ~)d" j';(\(U-")---u-v u-v

---=-~·eV G(tto-v) It o - V

-

"

.

Faßt man die Integrale rechter Hand zusammen und ändert die zunächst von tto über v nach tt laufende Integrationsbahn in der Art unter Festhaltung von U o und tt ein wenig ab, daß sie nicht mehr durch v hin1) Siehe den in vVeierstntß "vVerken", Bd. 2, S. 235 veröffentlichten Brief an Schwarz vom 3. Oktober 1875; die Bezeichnung E ist diesem Briefe entlehnt. 2) Bei der Produktdarstellung der algebraischen Funktionen der F. (siehe darüber die Entwicklungen des nächsten Paragraphen) spielt E(z, t) dieselbe Rolle wie die "Primzahlen" bei der Zerlegung der rationalen Zahlen.

Invariante Darstellung der 6-Funktion auf der Riemannschen Fläche ·211

durchläuft, so darf man die Differenz (s(t~ integrieren und findet:

v) -

Cu - V)-l) gliedweise

u

jt(U-V)dU

6(t~ - v) - - - = e Uo 6(uo - v)

•

Hieraus geht, wenn wir neben v noch eine· ~telle Vo einführen, u

6(u-v) 6(uo -vo) -= 6(uo -v)6(1t-Vo)

~--------

j(!;(U-V)- ;(I<-vo)du

eu

0

•

hervor, wo jetzt zufolge (7) S. 204 rechts im Exponenten unser Integral P~: ~:o gewonnen ist. Notieren wir hier also gleich als ein zunächst beiläufiges Ergebnis: Das Elementarintegral dritter Gattung P::':: hängt mit der G-Funktion so zt~sammen:

(12 Vo

pU,Uo

)

e

V,·o

=

6(tt-v) 6(u o - v o) 6 (u. _ v) 6(1~-"Vo) .

Man lasse nun die Stelleu unendlich nahe an v und U o ebenso an heranrücken; wir haben dann zu setzen:

v + dv, und gewinnen aus den Eigenschaften der G-Funktion: u

=

G(u - v) = G(dv) = dv, G(uo - vo) = o(dvo) = dv o, G(u - vo) = 0(v - vo)' G(uo - v) = 6(vo - v) = - G(v - vo), Gleichung (12) nimmt hiernach die Gestalt an:

e

pV +dv, vo+'dvo dv· dv o vv =-~---. (6(V-Vo)2

Da die Bezeichnung u jetzt frei geworden ist, wollen WIr weiterhin u statt v schreiben, um den Index 0 bei Vo fortlassen zu können. Lösen wir die letzte Gleichung nach G(t~ - v) auf, so ergibt sich: 0(tt - v)

=

.. e-Pu,v -v dudv·

u+du, v+dv

-

.

Wir brauchen jetzt nur noch diese Gleichung auf die Fläche F2 zu übertragen, wobei wir das Integral dritter Gattung in seiner ursprünglichen invarianten Darstellungsform P;;f: wieder einzuführen haben. So gewinnen wir als invariante Darstellung der Primfunktion und damit der G-Funktion auf der Riemannschen Fläche F2 durch das ElementarintegJ'al dritter Gattung: (13)

V

z+dz,t+dt

G(u-v) = E(z,t) = - du.dttt·e-Pz,t . Diese von Klein aufgestellte Gleichung ist um so wichtiger, als sich gezeigt hat, daß sie für Riemannsche Flächen beliebigen Geschlechtes p verallgemeinerungsfahig ist. Sie behält dabei ihre rechtsseitige Gestalt 14*

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

212

vollständig bei; nur hat man sich bei der Herstellung des "überall endlichen Differentials" du" sobald p> 1 ist, an Stelle von Z homogener Variabeln Zu Z2 wie oben (S. 119ff.) zu bedienen. An Stelle der "Funktion Ci E(z, t) tritt alsdann für p> 1 die von Klein mit .Q(Zl' Z2; t v t2) bezeichnete "Primf'orm".l)

§ 7. Darstellung der elliptischen Funktionen durch die 6-Funktion. Aus der oben gegebenen Erklärung der Funktion 6(tt) fließen umgekehrt die Darstellungen:

(1)

~(u)

=

~~~:(tl),

so (u)

=

_

~210lu~('iJ.,

gJ' (u) =

_

d3l:~t~(u)

des Integrals zweiter Gattung und der Funktionen &J(~~), gJ'(tl), von denen wir die erste bereits oben (S. 209) zu nennen hatten. Auch die Darstellung des Elementarintegrales dritter Gattung dtwch die Fttnktion IS (tl): pU'''o~_loO'C5(tl=v)G(t'o - vo) ( 2) V,"o -

0G(uo=v)G(H=vol

ist eine unmittelbare Folge der Gleichung (12) S. 211; das hier dargestellte Integral gestattet, wie man sieht, "Vertauschttng der Argnmente und Parameter" (vgl. S. 150 und 163). Hierüber hinaus können wir für jede beliebige elliptische Funktion 1/J (tl) des vorgelegten Körpers eine Produktdarstellung mittels der IS-Funktion aufbauen, welche auf der Eigenschaft dieser letzteren Funktion als "Prim funktion" beruht. Die Funktion 1/J (u) sei m-wertig, und es mögen ihre m Nullpunkte im ersten Periodenparallelogramm 2) bei Vl' V 2 ,· •. , V m gelegen sein, ihre m Pole bei w l1 W 2 , •.• , w m ; ein Nullpunkt oder Pol höherer als erster Ordnung muß hierbei so oft aufgeführt sein, als seine Ordnung erfordert. 3) Die in Aussicht genommene Darstellung von 1/J(u) könnten wir leicht auf Grund der Sätze von § 5, S. 204ff., gewinnen,doch ist mit Rücksicht auf die Entwicklungen des nächsten Paragraphen folgende selbständige 1) Siehe Klein, "Über hyperelliptische Sigmafunktionen", J.\!Iath: Ann. Bd. 27 (1886), S. 431 (insbes. § 12), "Zur Theorie der Abelschen Funktionen", Math. Ann. Bd. 36 (1889), S. 1 ff. Man vgl. auch "Modulfunktionen", Bd. 2 S. 502 ff. 2) Natürlich müssen wir, wie oben (S.195), von zwei homologen Punkten der Gegenseiten wieder nur einen als zum Parallelogramm gehörig ansehen; wir rechnen etwa die bei den von 0 nach Oll und 012 ziehenden Seiten zum Parallelogramm, wo dann die gegenüberliegendeu Seiten den Nachbarparallelogrammen angehören. 3) Wir erinnern daran, daß, wenn von den m Punkten, in denen 1/J (u) irgendeinen vorgeschriebenen komplexen Wert 1/Jo aunimmt, etwa 'V Punkte bei t!o koinzidieren, diese Stelle bei Abbildung des Periodenparallelogramms auf eine m-blättrige Fläche über der 1/J-Ebene einen v-blättrigen Verzweigungspunkt liefert.

Darstellung der elliptischen Integrale und Funktionen durch die 6-Funktion 213

Überlegung vorzuziehen: Man bilde, den Nullpunkten und Polen

VOll

'ljJ(u) entsprechend, den nachfolgenden Quotienten zweier m-gliedriger 6-Produkte:

c5(u - v,)· 6(u - v.) ...

(3)

6(~~

- v rn)

G(u--=-w,). 6(~I-w.)·:. 6 eu-=:'" w rn).

Die hierdurch gegebene eindeutige Funktion von u stimmt, was Lage und Ordnung der Nullpunkte und Pole angeht, genau mit 1jJ(tt) überein, so daß das Produkt von 'ljJ(u) und dem reziproken ,Werte des Ausdrucks (3) eine in der ganzen endlichen u-Ebene endliche, nichtverschwindende analytische Punktion ist. Demnach ist auch noch der natürliche Logarithmus dieses Produktes in der ganzen endlichen u-Ebene analytisch und eindeutig. 1) Bei Vermehrung von u um wk nimmt aber unser Produkt zufolge (7) S.209 den von u unabhängigen Faktor an: Jener Logarithmus ändert sich also bei Zunahme von u um W k um einen von u unabhängigen additiven Betrag und erweist sich demnach als ein Integral erster Gattung. 2) Hieraus ergibt sich, daß unsere Funktion 'ljJ Cu) in folgender Art darstellbar sein muß:

1[LCu)

=

e. e

Au

e

6(u-v, ) 6(u- v2)··· 6(u - vm ) c5(u-w, ) 6(u- w2 ) · · · 6 (u-w",) ,

unter A und Konstante verstanden. bleibt notwendig unbestimmt, solange wir nur erst die Nullpunkte und Pole von 'ljJ(u) geben. Dagegen ist A aus der Bedingung bestimmbar, daß 'IjJ(u) bei Vermehrung des Argumentes u sowohl um W1 als W 2 unverändert bleiben muß. Diese Forderung liefert die beiden Gleichungen:

e

welche, unter 1n1 und 1n2 zwei ganze Zahlen verstanden, auch so geschrieben werden können: (4) (Aw 1 lAw 2 -

111 (V1 112

+ V 2 + ... + V m + v'" -

(V 1 + V2 + ...

W1 -

W2 -

••• -

tu",)

U'l -

W2 -

... -

W"') =

=

+ 21n2 7ri: -

2ml7r~·

Wir wollen diese beiden Gleichungen zunächst zur Elimination der beiden ersten Glieder Aw1 , .A w2 verbinden und gewinnen so mit Benutzung der Legendreschen Relation (6) S. 160: (5) V1 + V 2 + ... + v", - W 1 10 2 ••• - w rn = m1w 1 + 1n2 w 2 • 1) Die Funktion log z hat nach S. 52ff. eben nur z = 0 und z = 00 zu singulären, und zwar wesentlich singulären Punkten und erweist sich nur bei Umläufen um diese Punkte als mehrdeutig. 2) Siehe die Note S. 198 in sinngemäßer übertragung auf die Integrale erster Gattung. i 'C

214

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

Hierdurch ist die höchst wichtige Tatsache aufgedeckt, daß die Nttllpunkte v und Pole w unserer elliptischen Fttnktion 'ljJ(u) nicht, wie z. B. die Nullpunkte und Pole einer rationalen Funktion, völlig frei beweglich sind, sondern jedenfalls durch "eine" Relation, eben die Gleichung (5) mit zwei ganzen Zahlen m 17 m a aneinander ,qebttnden sind. Umgekehrt liefert uns für die hier vorgelegte Funktion die Gleichung (5) die besonderen ihr zugehörigen ganzen Zahlen m17 m2 , Kombinieren wir jetzt die Gleichungen (4) zur Elimination der Glieder mit 1iJ, '1)2' so folgt unter erneuter Anwendung der Legendreschen Relation (6) S, 160:

A

=

m 1 '1)1

+ m2 112'

Unsere m-wertige elliptische Funktion 'ljJ(n), für deren Nnllpunkte und Pole die Relation (5) mit zwei ganzen Zahlen mlJ m 2 gültig ist, läßt sich in folgender Ad als Quotient zweier 1n-gliedrigen G-Produkte darstellen 1):

(6)

.I.() 'f" U!

=

C . e(mI'l1 +m 2 1')U 0(t~ )2 ,

VI)

G(t~ -

V 2 )'"

6(u -w1 ) 0(u - w2 )·"

6(u -

V m) 6(t~-wm)"

Übrigens erkennt man leicht, daß auch die Umkehrung gilt: Sind zwei Punktsysteme des Periodenparallelogramms Vii va, .,., vm nnd WH w2 , ••• , w". irgendwie so gewählt, daß die Gleichung (5) mit ganzzahligen 1nlJ 1n2 gilt, so gewinnt man in (6) stets eine zugehörige elliptische' Fnnktion, deren Wertigkeit < m ist. Wir haben hierbei der :Möglichkeit, daß die Wertigkeit < m ist, Raum gegeben, um die Fälle, daß Nullstellen v mit Polen w zum Zusammenfall und damit zum gegenseitigen Fortheben kommen, nicht auszuschließen. Die Gleichung (5) bringt das "Abelsche Them'em"2) für das elliptische Integral erster Gattung zum Ausdruck und soll weiterhin unter dieser Benennung zitiert werden, Die Bedeutung dieser Formel und der in ihr auftretenden ganzen Zahlen m1,m2 wird durch folgende Betrachtung aufgeklärt. Wir wollen die ln-blättrige Riemannsche Fläche Fm über der 'ljJ-Ebene einführen, auf welche das Periodenparallelogramm durch die Funktion 'ljJ(n) abgebildet wird, Auch umgekehrt wollen wir uns sogleich wieder die Fm auf alle Periodenparallelogramme unseres Netzes abgebildet denken, wo dann im einzelnen Parallelogramme gerade m Bilder der ,,'ljJ-Ebene" als nebeneinander gelagerte Bereiche Platz finden. Die Bilder solcher Blätter der Fläche Fm' welche vom Quer1) Wie die Darstellung (6) S, 206 der Partialbruchzerlegung (1) S. 61 der rationalen Funktion gegenüberstand, so entspricht die jetzige Darstellung (6) von 'lj>(t~) der Linearfaktorenzerlegung der rationalen Funktionen (vgl. (2) S. 62 und (3) S.46), 2) So benannt nach Jacobis Vorschlag; s, Abel, "Memoire sur une propriete generale d'une classe tres-etendue de fonctions transcendantes ", (verfaßt 1826), Oeuvres completes de N. H. Abel, Christiania (1881), Ba. 1 S, 145,

Das Abelsche Theorem für das Integral erster Gattung

215

schnittsystem durchzogen sind, reichen dabei vom einzelnen Parallelogramm in benachbarte Parallelogramme hinein. Beschränken wir uns auf das einzelne Parallelogramm, so erscheinen die Bilder jener besonderen Blätter den Schnitten entsprechend zerstückt. Ist nun 1/Jo irgendein endlicher komplexer Wert, so mögen die Nullpunkte von (1/J(n) -1/Jo)' etwa im ersten Parallelogramm, bei UD U 2 , ••• , ~bm liegen. Einer Änderung von 1/Jo um d1/J mögen die Änderungen der Nullpunkte um dn D dn 2 , ••• , dU m entsprechen. Da die Pole ihre Stellen tt behalten haben, so gilt eine Gleichung (5) mit ganzen Zahlen m H m2 , sowohl wenn wir die vk durch die 'u" ersetzen, als auch wenn wir die Werte (n k + dn k ) an Stelle der vk eintragen. Hiernach ist die Summe (dn1 + dU2 + ... + du rn) selber eine ganzzahlige Kombination (m~ OJ 1 + m~ OJ 2 ) der Perioden. Da aber jene Summe unendlich klein = 0, m~ = 0, und also gilt: ist, so folgt

m;

(7)

dtt 1

+ dU + ... + dnrn 2

=

0.

"Vir wollen dies Ergebnis zunächst auf der Fm weiter verfolgen und beschreiben von den m übereinander liegenden Stellen 1/Jo m kongruente Integrationsbahnen in den m Blättern bis zu einem beliebigen Systeme von m übereinander liegenden Endpunkten 1/J; diese m vVege dürfen abgesehen davon, daß sie genau übereinander verlaufen sollen, beliebig gewählt werden und insbesondere auch irgendwie über Querschnitte hinwegschreiten. Dann folgt aus (7) durch Integration über die gewählten Bahnen:

(8) als Ausdruck des Abelschen Theorems, wobei dttk das Differential des Integrals erster Gattung im kten Blatte ist. Nun setze man insbesondere 1/Jo = (Xl und 1/J = 0. Für die m Anfangswerte des Integrals dürfen wir die obigen WH W 2, ••. , w m benutzen. der o~eren Die Integrationsbahnen werden dann, dem Werte 1/J = Grenze entsprechend, zu Endwerten v;, v~, ... , v;n .führen, welche zufolge (8) mit den Anfangswerten durch die Relation:

°

rn

~(v{ k=1

w k)

=

°

verbunden sind. Hier liegen dann aber keineswegs alle Endwerte v{ notwendig auch im ersten Parallelogramm; denn die m Integrationswege können ja irgendwie die Querschnitte überschritten haben. Wir können vielmehr nur aussagen, daß die v{ in ihrer Gesamtheit ein mit den vk

216

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

äquivalentes Punktsystem im Parallelogrammnetz darstellen. Es existiert also eine Gleichung: m

.2: (v

v;)

k -

=

Jn 1 (\)1

k=l

+ ?n

2 (\)2

mit ganzen Zahlen m 1, ?n2,deren Addition zur letzten Gleichung uns dann in der Tat zur obigen Relation (5) zurückführt. Übrigens ist hiernach einleuchtend, daß wir die Nullpunkte Vk und Pole Wk von 1/J (tt), sofern sie nicht alle dem gleichen Parallelogramm anzugehören brauchen, immer so wählen können, daß die Gleichung:

.2: CVk m

(9)

Wk) =

0

k= 1

unmittelbar gültig ist. Dann tritt an Stelle von (6) die noch etwas einfachere Darstellung unserer Funktion 1/J(u):

1/J U

c.

=

6(U-Vl)6(u-v.) ... 6iu_=~,J

( ) 6(u-w1 ) 6(1~-W2)'" 6(t~-wrX Als Beispiele für diese Gleichung betrachten wir die Darstellungen von !{)(~t) und S{)'(~t). Die beiden Pole der zweiwertigen Funktion !J(u) fallen bei u = 0 zusammen. Ein Nullpunkt U o ist der im Innern des spitzwinkligen Dreiecks der Fig. 37, S. 171 sichtbare Scheitelpunkt des Winkels lXa j genauere Angaben über seine Lage lassen sich allgemein nicht machen. i ) Jedenfalls dürfen wir aber als zweiten Nullpunkt - U o gebrauchen und befriedigen damit die Relation (9). In der zugehörigen Darstellung (10) haben wir dann C so zu bestimmen, daß die aus (1) S.200 folgende Bedingung: lim (u2!Jett» == 1 (10)

'lt=o

erfüllt ist. Wir erhalten so:

(11)

!J

(tt)

=

_

+

6 (u - tlo)~(u ttol 6(u o)' 6(n)' .

Die drei Pole der Funktion !J'Cu) fallen wieder bei u = 0 zusammen. Ihre drei Nullpunkte entsprechen den endlichen Verzweigungspunkten eIl e2, e3 und sind also im Perioden parallelogramm bei (\)11 (\)2 ~ t((\)1 + (\)2) gelegen. Man wird leicht die Richtigkeit der na~hfolgenden Dal'stellung erkennen:

t t

(12)

,

!J Cu) =

-

2

6(u-~)

6(U-

OJ;) 6(U+~1

t OJ

2)

-~~--~-------------.

6(~') 6(~')

6r"11-(jJ-,-)· 6(U)3

1) In den Spezialfällen 92 = 0 und g3 = 0 liegen die Verhältnisse jedoch sehr 'einfach. Im äquianharmonischen Falle (vgl. Fig. 37, S. 171, wo jetzt das damalige Kurvenviereck geradlinig wird) können wir ± t(OJ l - OJ 2 ) als Nullpunkte der $9Funktion heranziehen; im harmonischen Falle (vgl. Fig. 38 und 40, S. 173) koinzidieren die Nullpunkte von &J(u) im Mittelpunkte des Periodenquadrates.

Die Funktionen

So (u),

So' Cu) als Quotienten von 6-Produkten

217

Übrigens merken wir bei dieser Gelegenheit die aus UnSerf1U früheren Entwicklungen (S. 166ff.) sich unmittelbar ergebenden Gleichungen an:

(13) Schließlich wollen wir noch (go(u) - go(v» der Darstellung (10) unterwerfen. Die Pole dieser zweiwertigen "Funktion von n" liegen wieder bei n = 0 vereint, und als Nullpunkte können wir einfach v und - v benutzen. Wir gelangen zur Darstellung: go ( n)

(14)

- go(v )

=

-

6(lb

+ v)

6(u - v)

6(1b)~ 6(V)2~'

§ 8. Die elliptischen Fuuktionen der zweiten und dritten Art. Von Oh. Hermite 1) ist eine Erweiterung des Begriffs der elliptischen Funktionen eingeführt, welche wir im Anschluß an unsere Sprechweise so erklären können: Eine Funktion l/J (n), deren Feld die schlichte ~!- Ebene, abgesehen 'rom Punkte CXl ist, heißt eine elliptische Funktion zweiter Art, falls sie bei Vermehrung von u ~.1n 03" in sich selbst, multipliziert mit einem von u ~tnabhängigen Faktor 1k' übergeht:

'lj!(u + 03 1 ) = A1l/J(U), 'lj!(t! + 03 2) = A2l/J(U). Die bisherigen elliptischen Funktionen werden demgegenüber als solche von der ersten Art bezeichnet. Übrigens werden diese letzteren von den elliptischen Funktionen zweiter Art mit umfaßt, insofern in (1) die besonderen Faktoren 11 = 1, }'2 = 1 nicht ausgeschlossen sind. Hieran schließt sich weiter die folgende Erklärung: Eine Ftmktion 'lj!(u), deren Feld die schlichte tt-Ebene, abgesehen vom Punkte CXl ist, heißt eine elliptische Funktion dritter A)·t, falls sie bei Vermehrung von u um O3 k in sich selbst, multipliziert mit der Exponentialfunktion eines Integrals erster Gattung, übergeht: (2) 'lj!(t! 03 1) = e2i1t(l'lU+Vl)l/J(~!), 'lj!(u 03 2 ) = e2i1t(fl2U+V2)l/J(~!).

(1)

+

+

Es ist einleuchtend, daß diese Art sowohl die Funktionen zweiter als diejenigen erster Art in sich begreift. 2). Zu den Funktionen dritter Art gehört insbesondere die Funktion G(u). Inwieweit im übrigen für das von unserer F2 gelieferte Parallelogrammnetz bei willkü~rlich gewählten Faktoren Ak bzw. Koeffizienten fLk' V k zugehörige Funktionen existieren, ist gleich näher festzustellen. 1) S. die Abh andlungenreihe "Sur quelques applications des fonctions elliptiques" in den Pariser Comptes Rendus, Bd. 85-94 (1877 -82) oder Ch. Herrn i te, "Oeuvres", publ. par E. Picard, 3 Bde. (Paris, l(105ff.), Bd. 3, S. 266ff. 2) Die Faktoren 2 in: sind zur Vereinfachung späterer Rechnungen in die Exponenten aufgenommen.

218

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

Zwei Funktionen gleicher Art, welche bei Vermehrung von u um einen und denselben Faktor annehmen, bezeichnet man als "gleichändrig". Einleuchtend sind dann folgende Sätze: Der Quotient zweier gleichändrigen elliptischen Funktionen ist stets eine elliptische Funktion erster Art; alle mit einer gegebenen Funktion zweiter oder dritter Ar·t '!/J(u) gleichändrigen Funktionen gewinnen wir durch Jjllultiplilcation von 1jJ(~t) mit den gesamten Fttnktionen erstm' Art. Es ist nun leicht einzusehen, daß wir in den elliptischen Funktionen zweiter und dritter Art wesentlich neue Funktionen keineswegs zu erblicken haben. Eine einzelne Funktion 1jJ (u) kanl1 nämlich, da sie im Periodenparellelogramm frei von wesentlich singulären Punkten ist, ebenda nur endlich viele, etwa m Nullpunkte erster Ordnnng haben, desgleichen nur endlich viele, etwa n Pole erster Ordnung. Mögen die ersteren bei Vi' v2 , ••• , v m , die letzteren bei wl' w 2 , ••• , wn gelegen sein, wobei wir etwaige Nullpunkte oder Pole höherer Ordnung wie oben (S. 212) wieder in der ~feise berücksichtigen wollen, daß wir die betreffenden Stellen v bzw. w der Ordnung entsprechend mehrfach aufführen. Nun folgt aus den Bedingungen (1) bzw. (2) sofort, daß die vorgelegte Funktion '!/J('u) in den übrigen Parallelogrammen des Netzes an den mit den v und w äquivalenten Stellen ihre Nullpunkte und Pole besitzt. Es wird demnach der aus der 6-Funktion aufgebaute Ausdruck: (lJk

(3)

6(tt - v, ) 6(tt - v2 ) " , 6(u - v m) 6(u - 10, ) 6(u - 10 2 )'" 6(u-w n )

eme eindeutige Funktion von u darstellen, welche genau in derselben Weise verschwindet und unendlich wird wie '!/Jeu). Das Produkt von '!/J(tt) und dem reziproken Werte des Ausdrucks (3) ist demnach eine in der endlichen u-Ebene überall eindeutige endliche und von 0 verschiedene Funktion. Der natürliche Logarithmus dieser Funktion ist also eine in der ganzen endlichen u-Ebene eindeutige analytische und damit polfreie Funktion, und dasselbe wird demnach auch von der nach u genommenen Ableitung dieses I,ogarithmus gelten. Aber das Produkt von 1jJ(u) und dem reziproken Werte von (3) verhält sich zufolge (1) bzw. (2) sowie (7) S. 209 bei Vermehrung von n um (lJk wie eine elliptische Funktion dritter Art. i ) Demnach wird die eben erwähnte Ableitung des Logarithmus bei Vermehrung von g um (lJk sich bis auf eine additive Konstante reproduzieren und stellt also notwendig ein Integral erster Gattung dar. Durch Integration und 1) Man beachte, daß die dritte Art die l!'unktionen der beiden ersten Arten mit umfaßt.

Darstellung der elliptischen Funktionen 2. und 3. Art durch die 6-1!'unktion

219

Übergang zur Exponentialfunktion ergibt sich daraus unmittelbar der Satz: Die elliptische Funktion zweiter oder dritter Art i/JCtt) läßt sich mittels des lntegmls erste;' Gattung tmd der G-Funktion in der Gestalt darstellen: (4) 'ljJ(n) = C.eAu2+Bu. 6(u-v1 )6(u-v2 )···6(u-vm). 6(u - w 1 )6(u - w 2 )· • ,6(u-w,,)

Aber auch umgekehrt ist einleuchtend, daß jeder solche Ausdruck (4) mit irgendwie gewählten Konstanten A, B, 0, Nnllpunkten v ~tnd Polen weine ellipüsche Funktion einer der eh'ei Arten darstellt. Dies ergibt sich aus der Bauart der rechten Seite von (4) mit Rücksicht auf das Verhalten der G-Funktion bei Vermehrung von u um rok • Wir denken nun in (1) bzw. (2) das rechts stehende Faktorensystem willkürlich gewählt und fragen, ob wir in (4) über die Nullpunkte und Pole sowie die Konstanten A und B so verfügen können, daß wir eine Funktion dieses Faktorensystems gewinnen. Bei der folgenden Betrachtung können wir die Funktionen zweiter Art zunächst denen der dritten Art unterordnen; sie entsprechen einfach den 'Verten /-LI = 0, f.La = Oder beiden Koeffizienten f.L. Übrigens schreiben wir zur Abkürzung:

(5)

VI

+ v2 + ... + vm = V,

w1 + w 2 +

... + wn = vV:

Das Verhalten des in (4) rechts stehenden Ausdrucks bei Vermehrung von tt um Perioden folgt aus (7) S. 209, Damit den Relationen (2) genügt wird, müssen die Gleichungen bestehen:

(6) 2Awl+(m-n)1h=2inf.L1' 2AOJ2+(m-n)1]2=2inf.L2, Aroi + Brol - (V - W) 1]1 + (m - n) ({-1]i ro i + 115 i) = 2 in Vi + 21n2 n i, Aro;+ Bro 2 - (V - W)1]2 + (m - n) (t1]2ro2 + ni) = 2inv2 - 2m1 ni, unter 1n1 und m2 zwei ganze Zahlen verstanden. Die beiden letzten Gleichungen lassen sich mittelst der beiden Gleichungen (6) in die folgenden Gestalten nmrechnen:

(7) {Bro 1 - (V - Whi = 2~nvl - i.nf.Ll ro l - (m - n)n~ + 2m2n~, Bro 2 - (V - W)1]2= 2~nv2 - ~nf.L2ro2 - (m - n)n~ - 2mIn~, Liegt nun die zweite Art vor, so ist f.Li = f.L2 = o. Die beiden Gleichungen (6) für A und (m - n) haben die Determinante: 2 (ro l 1]2 - ro 2 1]1)

=

4 in,

so daß jetzt A = 0 und m = n gilt. Die Gleichungen (7) kürzen sich unter Einführung der Multiplikatoren 11) 12 auf: log 11 + 2m 2 ni, (V - Wh2 = log 12 - 2m1 ni

Bro 1 - (V - W)1]l Bro2 -

=

220

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

und ergeben für Bund (V - W):

(8)

jB

+m

m 1 1h

=

'1h logl.-1J2 log 1.1 2in

2 '1/2 -

.

+ 111 2 UJ2 -

V1 +v~+,,+vm- W 1 =W=" -Wm = m 1 UJ 1

Ist m

w 1 10g )'2

-

0)2

2in·

log 1.1

•

0, so sind die .Faktoren Äl I Ä2 durch die Relation: UJ 1 log AS - UJ 2 logA1 = 2 in (m 1 UJ 1 + m2 UJ 2)

=

aneinander gebunden und also nicht frei wählbar; in diesem Falle reduziert sich 1jJ(u) auf die Exponentialfunktion eines Integrals erster Gattung. Schließen wir diesen .Fall aus, so folgt: Für willkürlich gewähltes Faktorensystem Al' .1 2 und beliebig vorgeschriebene Anzahl m > 0 gibt es zugehörige elliptische Funktionen zweiter Art,. dieselben haben allgemein die Gestalt:

(9) weisen also im Periodenparalle~ogmmm ebenso viele Nullpunkte wie Pole auf B hat die in (8) angegebene Bedeut~tng,. ml l m 2 ergeben sich aus der zweiten Gleichung (8), welche eine dem Abelschen Theorem (5) S. 213 entsprechende Beziehung zwischen den Nullpunkten und Polen von '1fJ(tt) darstellt. Handelt es sich weiter um eine .Funktion dritter Al,t, die nicht schon der ersten oder zweiten Art angehört, so verschwinden die Koeffizienten !Li' [L2 jedenfalls nicht beide. Die Lösung der Gleichungen (6) liefert nun:

(10)

A

=

-

+(1h,u

2=

'1/2 [Ll)'

m -

n

=

UJ 2 [Ll'

UJ1 !L2 -

Hieraus folgt zunächst: Die Koeffizienten [Lu !12 sind nicht unabhängig voneinander wählbar; vielmehr muß (UJ 1 [L2 UJ 2 [Ll) eine ganze Zahl sein, die wir (attch wenn sie gleich 0 oder negativ ist) als die "Ordnung" der elliptischen Funktion dritter Art bezeichnen, und die den Überschttß der Anzahl m der Nttllpun7de von '1fJ(n) über die Anzahl n der Pole im Pe1'iodenparallelogretmm darstellt. Weiter ergibt die Auflösung der Gleichungen (7) für Bund (V - fV): =

f (11)

B

=

l+ V1

.

Jn 1'1/1

V2

+ 111 2'1/2 -

+ ... + V

-

(UJ 1 V 2 =

m -

.

(rh v2 -:-- 'l/2 Vl) W1 -

C<J 2V i ) -

W2 -

••• -

tUJ i C<J 2 ([Ll -

te[Ll UJ 1 '1/2 1

[L2 UJ 21h)

+ 2(?JZ - n)('l/i w" = ?JZ UJ 1 + m UJ 2 [La) + Hm - n)(UJ 1 1

rh)~

2

(l)2)'

Ist die aus der zweiten Gleichung (10) zu bestimmende Ordnung gleich 0, und setzt man m = 0, n = 0, so folgt als eine weitere emschränkende Bedingung für die [L, v: UJ 1 V 2 -

UJ 2 V 1

+ t UJ

1 UJ 2 (!Ll

=

[La)

=

Jn 1 UJ 1

+ m 2UJ

2,

Elliptische Funktionen 2. und 3. Art mit gegebenen Faktorensystemen

221

und es reduziert sich 'ljJ(tt) auf die Exponentialfunktion einer ganzen Funktion zweiten Grades von u. Schließen wir diesen Fall aus, so folgt: Sind die !11,!12 V 1, V 2 bis auf die schon formttlierte Bedingung der !11' !12 gewählt, so gibt es für jede Auswahl zweier nicht-negativen (und nicht ßttgleich verschwindenden) ganzen Zahlen m, n, deren Differenz die durch !11' !12 festgelegte "Ordnung lC ist, zugehörige elliptische Funktionen dritter Art. Für deren im Periodenparallelogramm gelegenen Nullpunkte und Pole gilt die dem Abelschen Theorem (5) S. 213 entsprechende zweite Relation (11), welche zttgleich die ganzen Zahlen m v m 2 festlegt; mit ihnen baut sich B in Gestalt der ersten Gleichung (11) attf, während A durch (10) gegeben ist. Die elliptischen Funktionen dritter Art von der Ordnung 0 sind übrigens mit den Funktionen der zweiten Art nahe verwandt und können durch Zusatz von Exponentialfaktoren zu Funktionen zweiter Art gemacht werden. Ist nämlich m = n, so folgt aus der zweiten Gleichung (10): !Li =

/L2_ •

[01

(02

Nennen wir den gemeinsamen Wert dieser Quotienten abkürzend 7:, so €rgibt sich leicht: Eine elliptische Funktion dritter Art 'ljJ(u) der Ordnung 0 liefert in der Gestalt: (12) 'ljJ1(U) = e-nit:u''ljJ(u) eine solche der zweiten A,.t von den Fakto,.en: Al = eni (2"1-f l l W,), A2 = e"'i(2v.-f"W.).

Soll eine unserer. Funktionen 'ljJ (u) polfrei sein und weder mit €iner Konstanten noch mit der Exponentialfunktion eines Integrals erster Gattung identisch sein, so muß sie der dritten Art angehören tmdhat die Gestalt:

(13)

1jJ(u)

=

Oe Au'+ Bu • G(u - v1) G(u - v2)

••.

G(u -

Vm)i

wir bezeichnen sie kurz als eine nganze elliptische Fttnktion m icr Ordnung".]) Die zweite Gleichung (11) lautet jetzt: V1

(14) -

+ V 2 + ... + v", =

((iJ1 1J2 -

(iJ2 v 1 )

-

+ m 2 (iJ2 (12) + tm ((iJl -

m 1 (iJt

t(iJl (iJ2 (!11 -

(iJ2)'

wie denn auch übrigens in den Gleichungen (10) und (11) einfach n = 0 einzutragen ist. Mit Rücksicht auf die gleich folgende Untersuchung erinnern wir, oie Funktion (13) betreffend, nochmals an folgende Verhältnisse. Sind 1{l1 Cu) = q . eA,u'+B,u G(u - v1) 6(u - v2) •.. G(n - v m), 'ljJ2 Cu)

---

=

O2 • eA • u·+ B • u 6(u - w 1 ) G(u - w 2 )

•.•

G(u - w m )

1) Auch andere Benennungen, wie z. B. die der "Jacobischen Funktionen", kommen vor.

222

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

irgend zwei gleichändrige ganze elliptische Funktionen m/er Ordnung, so mögen für die erste Funktion m;, m~ die beiden ganzen in (14) rechts auftretenden Zahlen sein, für die zweite aber m{', m'2. Wegen der Gleichändrigkeit ergeben die Gleichungen (10) und (11): Al = A 2) B l - B 2 = (m~ - m~') 111

+ (m; -

rn~') 172·

Setzen wIr also abkürzend: m l'- " ml = m ll

"m, z = m 2,

1n 2 -

Ql C

•

=

C'

so folgt für den Quotienten '!fJ (u) unserer beiden Funktionen, der eine elliptische Fuuktion erster Art ist:

( 15) '!fJ(n) =

lP,(u)

'l/J2 (u)

= C. e(m"h+>n

2

'i 2 )

_I3(u.=v,)I3(u-v.) .. ,~(u-vm) l3(u - w,) l3(u - w.) ... C) (u - W".)

••

mit der aus (14) hervorgehenden Bedingung: VI

+ V 2 + ... +vm -

W1 -

w2

-: ••• -

Wm =

m1 CO t

+ m2 co 2•

Wir sind hier also genau zur Darstellung (6) S. 214 der elliptischen Funktionen erster Art durch die (3- Funktion zurückgeführt. Umgekehrt gewinnen wir dU1'ch :lJ1ultiplikation deI' besonderen ganzen elliptischen Funktion m le ,' Otdmmg '!fJ 2 (u) mit allen möglichen m-wertigen Funktionen erster Art '!fJ(u) der Pole W ll w2, ..• , W m in der Gestalt '!fJ2(U) . '!fJ(tt) die gesamten mit '!fJ1 (u) gleichändrigen ganzen elliptischen Funktionen m ler Ordnnng.

§ 9. Anzahltheorem über elliptische Funktionen mit gegebenen Polen nebst Folgerungen. Das Abelsche Theorem (5) S. 213 deckt UDS ein eigentümliches Gesetz auf, welches die elliptischen Funktionen, d. i. diejenigen der ersten Art beherrscht. Sind etwa die Pole, deren Gesamtzahl m sei, im Periodenparallelogramm festgelegt, so sind die 1n Nullpunkte nicht mehr völlig frei wählbar, vielmehr ist, wenn (m - 1) nntct diesen Nullpunkten beliebig gewählt sind, der mte auf Grund deI' Gleichung: (1) v m = m l CO l 1n2 C0 2 w1 w2 w m - v l - v2 - ••• - vm _ 1

+

+ + + ... +

im Periodenparallelogramm eindetdig mitbestimmt. 1) Die gleiche Eigenschaft haftet natürlich den algebraischen Funktionen der F2 an, wie schon S. 214ff. ausgeführt wurde. Ist '!fJ(u) = w(z) eine m-wertige algebraische Funktion der F2, so möge dieselbe den speziellen komplexen Wert '!fJo in den 11t Stellen zll Z2) ••• , zm und den 1) Schreiben wir einen dieser Bedingung nicht genügenden mten Nullpunkt vor, so ist eben nur erst eine elliptische Funktion zweiteI' Art mit diesen Nullpunkten und Polen angebbar.

Weiteres über das Abelsche Theorem

z;,

223

... ,

Wert 1/J in den Stellen z~, z,;, annehmen. Die Gleichung (8) S.215 ergibt dann, für die F2 umgeschrieben:

z;

zu wobei die Integrationswege und damit die Zuordnung der Punkte den Punkten zkdadurch vorgezeichnet sind, daß die Wege aufderm-blättrigen Riemallnschen Fläche Fm über der 1/J-Ebene kongruente übereinallderliegende Kurven von 1/Jo nach 1/J sein müssen (vgl. S. 215). Wir wollen beiläufig bemerken, daß wir die letzte Gleichung auch in allgemeiner Art aufbauen dürfen. Erstlich dürfen wir jede einzelne Integrationsknrve unter Festhaltung ihrer Endpunkte sootig ändern, auch irgend welche Periodenwege einhängen, wobei dann freilich das Integral sich um entsprechende Multipla von /JJ1 und /JJ 2 ändert. Andererseits gilt:

woraus man leicht den Schluß zieht, daß man die oberen Grenzen der Integrale z~ irgend wie den unteren Zk zuordnen darf. Das Abelsche Theorem nimmt alsdann die Gestalt an: z'k (2) = m1 /JJ1 + tn 2 /JJ2'

L: Jdzt 'in

k=l Zk

wobei die m Punkte z;, in denen unsere m-wenige algebraische Funktion den Wert
224

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

~

hängig voneinander 'Wählen, wodurch alsdann R(z) bis auf einen konstanten Faktor bestimmt ist (vgl. S. 61 ff).

In anderer Gestalt ist uns die hier betrachtete Eigenschaft der elliptischen Funktionen (erster Art) bereits S. 205ff. begegnet. Da im Ausdruck (6) S. 214 einer m-wertigen Funktion '!/Jett) mit vorgeschriebenen Polen 'W 11 'W 2 , • •. ,'lOm neben (m-l) willkürlich wählbaren Nullstellen 1) auch noch der Faktor 0 als endliche Konstante willkürlich wählbar ist, so existieren m-fach unendlich viele Funktiouen '!/J(tt) mit vorgegebenen m Polen. 2) Dies ist nUll gerade die Tatsache, welche in der Darstellung (6) S. 206 von '!/J Cu) unmittelbar zum Ausdruck kommt, insofern die zunächst in der Anzahl (m + 1) auftretenden Koeffizienten A o, A k , Bk,' .. zufolge der damaligen Relation (5) S.206 sich auf m willkürlich wählbare komplexe Koeffizienten reduzieren. Wir wollen die vorliegenden Verhältnisse in Gestalt eines Anzahltheorems charakterisieren, das uns in der aufzustellenden Gestalt später gute Dieuste leisten wird. In der Formel (6) S. 206 ist der Möglichkeit der Koinzidenz der Pole explizite Rechnung getragen. Fallen die 1ft Pole an den v verschiedenen Stellen 'W 17 'lO2' ••• , 'W v irgendwie zusammen, so können wir, indem wir gleich auf die Relation (5) S. 206 Rücksicht nehmen, irgendeine der zugehörigen Funktionen '!/J(tt) in der nachfolgenden Gestalt darstellen: v-1

(3) '!/J(tt)=A o +~Ak(r;(tt - 'Wk) - r;(u - 'W,,) k=l

Okf.!' (tt - 'Wk)

+ :2 (Bk If! (tt ';11

'Wk)

+

k=l

+ DklfJ" (u -

'Wk)

+ ...).

Zugleich können wir die jetzt noch restierenden m Koeffizienten A o, A 17 ... , A v - 1 , Bk, Ok, ... ganz willkürlich wählen und gewinnen dann jedesmal eine zugehörige Funktion 'ljJ(u) mit den vorgeschriebenen m Polen. Diese Pole dürfen sich dabei sehr wohl zum Teil, ja sogar vollständig gegen Nullpunkte der dargestellten Funktion 'ljJ(u) fOl·theben; im Extremfalle, wo sich alle Pole fOl·theben, ist nur A o von 0 verschieden, dagegen alle übrigen Koeffizienten gleich 0, so daß '!/J(tt) mit der Konstanten A o identisch ist. Gemäß der hiermit festgelegten Auffassung haben wir zum Ge1) Wir erinnern hier gleich daran, daß auch Koinzidenzen von Nullpunkten mit Polen eintreten dürfen, wo alsdann eine entsprechende Herabminderung der 'Wertigkeit eintritt. Es handelt sich also im Texte um alle Funktionen, welche keine anderen Pole haben als die w" w 2 , ••• ,w m • 2) Als "einfach-unendlich" gilt bei dieser Sprechweise der Wertbereich einer komplexen Variabelen.

System linear-unabhängiger Funktionen mit

'/I!

225

Polen

samtsystem aller Funktionen 'l/J(u) mit den m vorgeschriebenen Polen insbesondere auch die m Funktion:

1, s(n-Ul1) - s(u -

(4)

Mi v ), - _ -,

s(u - UI"-l) - s(u - Uh), .. _,

1O v ),

so(u - w,,), ~Jr(n welche den einzelnen m Gliedern in (3) rechter Hand entsprechen, als zugehörig anzusehen_ Diese Funktionen haben die wichtige Eigenschaft, ein System von m "linear-unabhängigenil Funktionen darzttstellen. Hierdurch soll zum Ausdruck kommen, daß zwischen den m Funktionen (4) keine lineare Helation: v-I

A o ·1

+ 2) Ak(s(u -

+L: (BkrJ!(u v

U'k) -

s(u - 10.»)

k=l

WIe)

k=l

+ ...)

=

0

mit nicht durchgängig verschwindenden Koeffizienten identisch, d. i. unabhängig von u, bestehen kann. Die Richtigkeit dieser Behauptung zeigt man sofort, indem man die Existenz einer solchen identischen Gleichung annimmt und die auf der linken Seite der Gleichung gegebene, mit 0 identische Funktion -in der Umgebung der Stelle Ulk in eine Reihe nach Potenzen von (n - Ulk) entwickelt. Die Potenzen mit negativen Exponenten werden dabei mit Koeffizienten behaftet auftreten, die vou den A", Bk, C", ... nur um nichtverschwindende numerische Faktoren abweichen (vgL S, 200ff.). Da aber die dargestellte Funktion mit 0 identisch ist, so treten solche Glieder überhaupt nicht auf, und also sind die A k , Bk, Ck , . • • für alle k = 1, 2, .. " v notwendig gleich O. Dann aber verschwindet zu folge der letzten Gleichung auch noch A o' Unmittelbar einleuchtend ist nun nach den obigen Entwicklungen weiter folgende Aussage: In den m linear-unabhängigen besonderen FunktiOizen (4) unseres Gesamtsystems allm' Funktionen 'l/J (u) mit· den vorge-

sclwiebenen m Polen Ul1, Ul 2, . . " Ul m ist jede andere Funktion dieses Systems linear und homogen mit konstanten Koeffizienten (nämlich eben in der Gestalt (3)) darstellbar; und umgekehrt ist jede solche lineare und homogene Verbindung der Funktionen (4) auch eine Funktion unseres Systems. MitteIst einiger Sätze der Determinantentheorie können wir diesem Ergebnis eine noch etwas allgemeinere Gestalt verleihen. Sind 'l/J 1 (u), 'l/J2(U)" ", 'l/Jm(U) irgend welche m unter unseren Funktionen, so gelte für 'l/Ji(U) die Darstellung: l'

(5) 'l/J;(u)

=

-1

l'

A~i) +~ A~)(s(u- Ulk) - s(u-wv) +;2 (B~)~o(u-Ulk)+" .). k=1

k=1

Da die Funktionen (4) linear-unabhängig sind, so folgt aus den fraglichen Determinantensätzen: Die m Funktionen 'l/J 1 (u), '!jJ2(~t), ... , 'l/J',n(U) Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Ud. 1

15

226

I, 3. Die elliptischen Funktionen erster Stufe

sind stets und nllr dann linear-ttnabhängig, wenn die Determinante der m 2 Koeffizienten A,B, ... einen nichtverschwindenden TVert hat. Es ergibt sich zugleich die Möglichkeit, aus dem Gesamtsystem unserer Funktionen 'l/J(u) mit vorgegebenen m Polen anf nnendlich viele verschiedene Arten ein System linea1'-nnabhängiger Fttnktionen auszuweihlen. Haben wir irgendein solches System gewählt, so können wir die ,zugehörigen m Gleichungen (5) nach den unter (4) genannten Funktionen auflösen und damit diese insbesondere als lineare-homogene Verbindungen der 'l/J;(n) darstellen. Damit kann man dann aber die gewählten 'l/Ji( n) überhaupt für die Darstellung aller Funktionen 'l/J (tt) unseres Systems heranziehen. Wir sind damit zu dem in Aussicht genommenen "Anzahltheorem" hingelangt: Unter allen elliptischen Ftmktionen (erstet· Art) mit m vorgegebenen Polen kann man attf nnendlich viele Arten m linear-unabhängige Funktionen 'l/J 1 (n), 'l/J 2 (n), ... , 'l/J1It (u) answählen, in denen jede weitere solche Punktion in der Gestalt "

(6) linear nnd homogen mit konstanten Koeffizienten darstellbar ist; nnd umgekehrt ist natü1'lich jeder solche Ansdruck mit irgendwie gewählten m endlichen komplexen Konstanten eine der in Rede stehenden Funktionen, wodurch die m-fach nnendliche Mannigfaltigkeit unseres Fnnktionssystems wieder zum Ausdrnck gelangt. Denjenigen Teil dieses Satzes, der sich auf die Darstellung der Funktionen 'l/J(n) bezieht, kann man auch so aussprechen: Zwischen je (m + 1) Funktionen 'l/Jo(n), 'l/J1 Cu), ... , 'l/J11l(n) rnit vorgegebenen m Polen besteht stets eine lineare Relation,'

(7) mit nicht dtl;t'chgängig verschwindenden Koeffizienten identisch. Entweder sind nämlich bereits die 'l/J1 (n), 'l/J 2 (n), ... , 'l/Jm (tt) "linear-abhängig", oder sie sind zur Darstellung von 'l/J o(tt) in der Gestalt (6) geeignet, woraus dann eben eine Relation (7) mit Co = - 1 folgt. Der gewonnene Satz gilt entprechend für die algebraischen Funktionen der Fläche F2 mit vorgegebenen Polen. Um die Bedeutung des Satzes hervorzuheben, weisen wir nochmals auf die entsprechend bei einer Fläche des Geschlechtes p = 0 vorliegenden Verhältnisse hin. Zur Darstellung der algebraischen Funktionen benutzen wir, wie schon vorhin bemerkt wurde, eine F17 so daß alle Funktionen mit m vorgegebenen Polen in der Gestalt: R(z)

=

co +c,Z+C2Z2+···+cm z'" g(z)

darstellbar sind, unter g(z) die bestimmte ganze Funktion verstanden,

Anzahltheoreme für elliptische Funktionen erster und dritter Art

227

deren Nullpunkte die vorgeschriebenen Pole sind. I ) Die Koeffizienten co, Cu ... , Cm bleiben hier frei wählbar; genau wie oben folgt jetzt das "Anzahltheorem", daß auf einet· Fläche des Geschlechtes 0 bei m vorgegebenen Polen (rn 1) linear-unabhängige zugehörige F~tnktionen angegeben tverden können, in denen dann alle weiteren linear und homogen darstellbar sind. Übrigens sind beide Sätze Spezialfälle des sogenannten "Riemann-Rochschen Satzes", welcher auf einer Fläche beliebigen Geschlechtes p die Anzahl linear-unabhängiger Funktionen mit m vorgegebenen Polen festlegt. 2) Auf Grund der SchluBbetrachtung von § 8 (S. 222) wollen wir noch eine Folgerung aus dem Anzahltheorem auf die ganzen elliptischen Funktionen ( dritter Art) m ter Ordnung aussprechen. ·Wie wir daselbst sahen, gewinnen wir gerade genau alle mit: (8) 1/Jo(tt) = C· eAu'+Bu 6(tt - w1 ) G(tt - w2 ) ••• G(u - wm )

+

gleichändrigen ganzen elliptischen Funktionen mterOrdnung, wenn wir diese besondere Funktion mit den gesamten m-wertigen elliptischen Funktionen ( erster Art) der Pole W u w 2 , ••• , w'" multiplizieren. Sind nun unter den letzteren Funktionen 1flI (u), 1iJ2 (u), ... , 1fl",(u) irgend m linear-unabhängige, so ist jede weitere in ihnen linear und homogen darstellbar, so daß wir alle mit der Funktion (8) gleichändrigen ganzen Funktionen mter Ordnung in der Gestalt:

CI1/JO(U)1iJ1 (tt)

+ C21/JO(U)1fl2(u) + ... + cm 1/Jo(n)1/Jm (u)

gewmnen. Offenbar stellen die m Produkte:

1/Jk(U)

=

1/Jo(U)1iJk(tt)

m besondere mit der Funktion (8) gleichändrige ganze elliptische Funktionen m ter Ordnung dar, die voneinander linear-unabhängig sind. Wir gelangen also zu der Folgerung: Untm' allen gleichändrigen ganzen elliptischen Funktionen (dritter Art) der Ordnung in kfmn man auf' unendlich viele Arten m linear-unabhängige 1/JJu), 1/J 2 (u), ... , 1/J",(tt) aussuchen, in denen dann alle weiteren in der Gestalt:

C11/Jl Cu) + C21/J2(U) + ... + cm 1/Jm (tt) homogen und linear mit konstanten Koeffizienten da1'stellbar sind. Einen Teil dieses Theorems können wir auch in die Aussage kleiden: Zwischen je (m + 1) gleichändrigen ganzen elliptischen Funktionen (dritter Art) (9)

1/J(tt)

=

1) Es bedarf kaum des Hinweises darauf, daß, wenn g(z) den Grad 1n nicht erreicht, ein oder mehrere Pole bei z = 00 liegen; damit g(z) eindeutig bestimmt ist, denken wir den Koeffizienten des höchsten Gliedes gleich 1 gesetzt. 2) S. Roch, "Über die Anzahl der willkürlichen Konstanten in algebraischen Funktionen", Journ. f. J\!Iath., Bd. 64 (1865), S. 372. 15*

228

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

m ler Ordnung besteht notwendig eine lineare Relation mit nicht cltwchgängig verschwindenden Koeffizienten identisch. Der zuletzt gewonnene Satz ist auch unter dem Namen des "Satzes von Hermite" oder des "Hermiteschen Prinzips" bekannt und mag auch späterhin unter dieser Benennung zitiert werden. Der Satz tritt bei Hermite in einem Briefe an Jacobi vom August 1844 auP); er steht daselbst natürlich außer Zusammenhang mit den hier vorausgeschickten allgemeinen funktionentheoretischen Erwägungen, ist auch zunächst nur ausgesprochen für gewisse spezielle Funktionen von der Art, wie sie hier allgemein als ganze elliptische Funktionen rn/er Ordnung bezeichnet sind. Das Beweismittel sind Fouriersche Reihen der fraglichen Funktionen, auf die wir später ausführlich zu sprechen kommen. Übrigens besteht Grund zu der Annahme, daß der nach Hermite benannte Satz bereits im Jahre 1800 G(~uß bekannt gewesen sein muß.2j

1) S. Jacobis "Werke", Bd. 2 S. 96 oder Hermites ,;Werke", Bd. 1 S.18. 2) S. darüher P. Günther, "Die Untersuchungen von Gauß in der Theorie der elliptischen Funktionen", Gött. Nachr. von 1894 S.102 und L. Schlesinger, "Über Gauß' Arbeiten zur Funktionentheorie", Gött. Nachr. von 1912, Beiheft S. 44.

228

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

Viertes Kapitel.

Die eindeutigen doppeltperiodischen }1'unktionen erster Stufe. Nächst der Eindeutigkeit ist die doppelte Periodizität die wichtigste Eigenschaft der elliptischen Funktionen. Es ist möglich und oftmals durchgeführt, die Darstellung der ganzen Theorie an dlm Begriff der "eindeutigen doppeltperiodischen Funktion" einer Variabelen anzuknüpfen. vVie sich alsdann der Aufbau der Theorie gestaltet, soll im vorliegenden Kapitel dltrgestellt werden. Diese Entwicklung ist für uns noch nach anderer Richtung hin von grundsät.zlicher Bedeutung. Wir haben oben (S. 137 ff.) erkannt, daß der einzelne Körper algebraischer Funktionen des Geschlechtes p = 1 eindeutig durch den Wert der absoluten Invariante J charakterisiert werden kann, und daß andererseits zu jedem beliebigen endlichen komplexen Werte J ein bestimmter Körper gehört. Späterhin (S. 180) fanden wir, daß sich noch in einer anderen Art eine "Maßgröße" oder ein "Modul" für den einzelnen Körper algebraischer und damit elliptischer Funktionen angeben läßt; ein solcher Modul war nämlich der Quotient UJ der reduzierten Perioden UJ17 UJ 2 des Integrals erster Gattung. Dem einzelnen Körper gehörte ein eindeutig bestimmter endlicher komplexer Wert UJ mit positivem imaginären Bestandteile zu, und es lag der Bildpunkt dieses Wertes UJ in dem in Fig. 43, S. 179 dargestellten "Doppeldreieck
R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_5 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

Einführung der Substitutionsgruppe

TC")

229

Hier entsteht nun die Frage, ob wir J und damit den Funktionenkörper so wählen können, daß wir irgendeinen beliebig vorgeschriebenen endlichen Bildpunkt ()J des fraglichen Doppeldreiecks wirklich erreichen. Die Entwicklungen des vorliegenden Kapitels werden diese Frage bejahend beantworten. Damit werden wir aber zugleich die Problemstellung für das nächste Kapitel gewinnen, in dem die sich hier ergebende Beziehung zwischen J und [() weiter aufzuklären ist.

§ 1. Die Substitutionsgruppe r(u) dm' doppeltperiodischen ]i'unktionen. Unter Vorbehalt einer genaueren Erklärung verstehen wir unter

'IjJ (u) eine eindeutige analytische Funktion, welche die beiden endlichen von 0 verschiedenen Perioden

'IjJ(u

(1)

+ [()1) =

[()1,[()2

'IjJ(u),

hat:

'IjJ(u

+ ()J2) =

1j;(u).

Diese Funktion wird dann auch unverändert bleiben, wenn wir ihr Argument um (m J ()J1 + 1n2 ()J2) vermehren:

+

+

(2) 'IjJ(u m1 ()J1 m2 ()J2) = 'IjJ(u), unter 1n 1,m2 irgendein Paar ganzer Zahlen I) verstanden. Die gesamten, allen Paaren ganzer Zahlen 1111/ m2 entsprechenden Substitutionen: (3) bilden eine "Gruppe" von Translationen, die wir als die "Sttbstitutionsgmppe der doppeltperioclischen Funktionen" benennen und durch T
8 = 8~" . S~'2 darstellen: man sagt dieserhalb, 81' 8 2 bilden ein Systern von et'zeugenden Substitutionen der Gntppe T. Bei dieser Auffassung denken wir mit 8 1 1) ',Vir erinnern daran, daß wir bei der Bezeichnung "ganze Zahl" (ohne Zusatz) stets die Zahl 0 und die negativen ganzen Zahlen einbegreifen wollen.

230

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

und S2 die zu ihnen inversen Substitutionen S1-1, 8;;1 sogleich mitgegeben. Irgend zwei endliche Punkte der u-Ebene, von denen der eine in den anderen durch eine Substitution S von r (und also der zweite in den ersten durch S-1) transformiert wird, sollen "bezüglich der Gruppe r äquivalent" heißen. Es ist dies derselbe Äquivalenzbegriff, mit dem wir oben (S. 180ff.) arbeiteten, insofern ja in je zwei äquivalenten Punkten die Funktion '!/J(u) gleiche Werte haben muß. Die im vorigen Kapitel auftretenden Perioden 03 1 , 03 2 lieferten einen Periodenquotienten

OJ =

(0\ 0).

der eine endliche, nicht-reelle Zahl war. Daß

der imaginäre Bestandteil von OJ positiv war, konnte dann nötigenfalls durch Zeichenwechsel der einen Periode stets erreicht werden. An der letzteren Verabredung werden wir auch hier festhalten, falls der Quotient OJ der beiden jetzt vorgelegten Perioden OJ 11 ()2 nicht reell ist. Im übrigen ist von vornherein durchaus nicht abzusehen, ob nicht auch der Fall eines reellen Periodenquotienten 03 zu brauchbaren Ergebnissen zu führen vermag. Wir werden demselben demnach hier eine besondere Voruntersuchung widmen. Ist OJ reell, so können wir nötigenfalls durch Zeichenwechsel von 03 1 auch 03 > als erfüllt ansehen. Da ClJ1 = 03 2 auszuschließen ist (was auf "einfachperiodische" Funktionen führen würde), so verstehen wir etwa unter ClJ1 diejenige unter beiden Perioden, welche den größeren Betrag hat. Alle mit u = 0 äquivalenten Punkte, die wir jetzt durch:

°

(4) bezeichnen wollen, liegen auf der Geraden G der u-Ebene durch die Punkte 0, OJ 2 , ClJ1 . Sie liefern, wie man sofort sieht, ein System von Werten u, das sich gegenüber Addition und Subtraktion reprodttziet·t; es folgt dies unmittelbar aus der Ganzzahligkeit von mund n. Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem unter den von 0 verschiedenen Werten (4) ein Wert 03 0 = mo03 1 + noClJ 2 von kleinstem Betrage I ClJ o I angebbar ist oder nicht. Im ersten Falle findet sich zwischen äquivalenten Punkten (m03 1 nOJ 2 ) und: den beiden mit

°

mOJ 1 + nOJ 2 + 03 0 = (m

+ mO)OJ1

+ + (n + n

O)03 2

kein weiterer mit 0 äquivalenter Punkt; denn wäre (m' ClJ1 + n' 03 2) em solcher, so würde man sofort:

I (m' - m)ClJ1 + (n' - n)ClJ 2 i <: 03 0 I erkennen und hätte in 03 0 nicht den mit 0 äquivalenten Punkt von kleinstem Betrage. Man erkennt hieraus sofort, daß jetzt die gesamten mit u = 0 äquivalenten Punkte durch: (5)

Unbrauchbarkeit eines reellen Periodenquotienten cu

231

gegeben sind. Unter diesen finden sich insbesondere die Punkte u = w1 und u = W 2 ; wir können also W 1 = pW o und W 2 = qOJ o setzen, wobei p und q zwei ganze Zahlen sind. Da übrigens:

'm Ow1 + nOw2 = (mop ist und also die Gleichung:

(6)

mop

+ 1?oq) Wo =

Wo

+ noq= 1

gilt, so folgt aus der Ganzzahligkeit von mo und no, daß p und q relative Primzahlen sind. Gegenwärtig ist also w rational, und zwar gleich dem Bruch w

=

~, der sich nicht weiter heben läßt. q

Nehmen wir umgekehrt wals rational gegeben an und schreiben etwa sofort wieder w gleich einem irreduzibelen Bruche 12, wo p und q q

als positive ganze Zahlen vorausgesetzt werden dürfen, so gelangen wir leicht wieder zur Existenz eines mit 0 äquivalenten Punktes (mO w1 + nO( 2) von kleinstem Betrage. Man kann nämlich für jede ganze Zahl m die zweite ganze Zahl n in einer und nur einer Weise so bestimmen, daß:

°

(7) < Im W 1 + nw, i < W 2 gilt und also der Punkt (mw 1 + n( 2) dem Intervall der Geraden G zwischen den Punkten bund W 2 angehört, unter Einschluß des Endpunktes offenbar:

°

und Ausschluß des 'Endpunktes w2 • Da aber zufolge w

(m

+ q)w + (n 1

p)w 2 =

mW l

=

-~ q

+ nW2

gilt, so reduzieren sich diese (allen ganzen Zahlen m entsprechenden) unendlich vielen dem fraglichen Intervall angehörenden Punkte auf nur endlich viele, insofern wir ja bereits alle verschiedenen Punkte gewinnen, wenn wir m auf die q Werte m=0,1,2, ... , q -1 beschränken. Es gibt nächst gelegenen also unter diesen Punkten einen am Nullpunkte u = wo' womit wir unseren obigen Ansatz wieder gewonnen haben. Im vorliegenden Falle lassen sich die gesamten Substitutionen der Gruppe r auf die Gestalt:

°

u' = tt + lw o, 1 = 0, ± 1, ± 2, ... bringen, und die beiden Gleichungen (1) sind durch die eine:

1/J (u + wo) = 1/J (tt) ersetzbar. Der Fall eines reellen rationalen Periodenquotienten w ist deshalb auszuschließen, weil er uns nicht doppeltperiodische, sondern "einfachperiodische" Funktionen liefert. Der andere Fall, daß der Periodenquotient w reell und irrational ist, wird nunmehr dahin zu charakterisieren sein, daß jetzt unter den

232

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

von 0 verschiedenen mit t~ = 0 äquivalenten Punkten (4) keiner mit kleinstem Betrage i mW 1 nW 2 i angebbar ist. Man kann dies auch unmittelbar in der Weise einsehen, daß man für jede ganze Zahl m die eindeutig zugehörige Zahl n wie oben gemäß der Bedingung (7) wählt. Jetzt können keine zwei unter den einfach unendlich vielen Punkten (mw 1 + nw 2 ) des in (7) bezeichneten Intervalles zusammenfallen. Würde nämlich:

+

<:

gelten, so würde sich, da m m' gilt, W sofort wieder als rationale reelle Zahl ergeben. Die unendlich vielen Punkte jenes endlichen Intervalles müssen demnach mindestens eine Häufungsstelle haben. Ist nun o eine beliebig klein gewählte, von 0 verschiedene positive Zahl und grenzt man um die Häufungsstelle als Mittelpunkt ein Intervall der Länge 0 ein, so kann man in diesem Intervall zwei verschiedene mit o äquivalente Punkte (?nw 1 nw2 ) und (rn' W 1 12' wz) angeben. Dann aber erkennt man sofort in:

+

Wo =

(m' - m) Wl

+

+ (n' -

n)

0)2

=

mOw l

+nO

0)2

einen mit 0 äquivalenten, aber von 0 verschiedenen Punkt, dessen Betrag I Wo I < 0, d. h. kleiner als die beliebig klein gewählte Zahl 0 ist. Es ist also in der Tat bei reellem irrationalen w kein von 0 verschiedener Punkt (4) mit kleinstem Betrage angebbar. Bei dieser Sachlage kann man jetzt in jeder Umgebung il'gendeines endlichen Punktes u einen und (lqmit sogar beliebig viele ,on tt verschiedene, aber bezüglich r mit 'u hyuivalente Punkte angeben. Nun soll die Funktion 1f; (u) in allen äquivalenten Punkten gleiche 'Werte haben. Ist aber 1f;(u) nicht mit einer Konstanten identisch und verhält sich diese Funktion im Punkte u analytisch, so läßt sich um den Punkt u eine Umgebung eingrenzen, in der der besondere im Mittelpunkte der Umgebung vorliegende Funktionswert 1f;(u) nicht ein zweites Mal angenommen wird. Es folgt, daß in unserem Falle die Funktionl/J(u), wenn sie nicht mit einer Konstanten identisch sein soll, in keinem endlichen Punkte u analytisch sein würde. Nun haben wir aber das Kennzeichen, analytisch zu sein, oben in die Erklärung der Funktion 1f;(u) aufgenommen. Es ergibt sich demnach: Der Fall eines inoationalen Perioden quotienten w ist deshalb abzuweisen, weil jede zugehörige eindentige "analytische" Funktion 1f;(u) mit einer Konstanten identisch sein müßte. Auf diese Weise ist der Boden für die weiter folgende Untersuchung geebnet: Wir lassen mtr noch diejenigen Gruppen r(u) zur Untersuchung zu, deren Periodenquotienten 0) endliche komplexe Zahlen mit nichtvmoschwindenden, und zwar positiven imaginiiren Bestandteilen sind.

Begriff eines Diskontinuitätsbereiches

§ 2. Der Diskontinnitätsbereich der Substitutionsgruppe

233 r(u).

Um die gesamten mit irgendeinem endlichen Punkte Uo äquivalenten Punkte (uo+ ml GJ l + 1n2 GJ 2 ) leicht übersehen zu können, denken wir uns in der u-Ebene das geradlinige Parallelogramm der Ecken 0, (()2' (()l + GJ 2 , GJ 1 gezeichnet und stellen genan wie in Fig.41, S.174, durch liIckenlose Aneinallderreihnng von Parallelogrammen, die mit dem ersten kongruent silld, ein ganzes Parallelogrammnetz her, welches die tc-Ebene bis auf den Punkt 00 schlicht bedeckt. Die bezüglich r (u) äquivalentenPunkte sind dann einfach die homologen Punkte in den Parallelogrammen dieses Netzes. Das znerst gezeichnete Parallelogramm ist in Fig. 47 durch Schraffierung hervorgehoben. Von den Randpunkten des Parallelogramms wollen wir nur diejenigen als dem Parallelogramm angehörig betrachten, welche auf den beiden l!'ig.47. Seiten von nach GJ 2 und von nach GJ lI unter Ausschluß der beiden Endpunkte GJ 2 und GJ lI gelegen sind. Um dies in der Figur hervorzuheben, sind diese heiden Seiten in Fig. 47 etwas stärker ausgezogen. Nach dieser Verabredung ist der folgende Satz einleuchtend: Für jeden endlichen Pttnkt U o dm' tl-Ebene liefert ttnser Parallelogramm einen und nur einen äquivalenten Pnnkt. Der Punkt ·U = 00 (der wesentlich singuläre Punkt der elliptischen Funktionen) ist bezüglich r(u) nur mit sich selbst äquivalent. Er gehört dem Parallelogrammnetze nicht an, wenn auch in jeder Umgebung dieses Punktes unendlich viele Parallelogramme sich finden; man bezeichnet den fraglichen Punkt dieserhalb als einen "Grenzpunkt" der Gruppe r(n). Auf alle übrigen Punkte der u-Ebene bezieht sich nun folgende grundlegende Erklärung: Unter einem "Diskontinuitätsbereiche" der Grttppe r(u) versteht man einen aus einem oclm' meh1'eren Stücken bestehenden Bereich der tt-Ebene, welcher für jeden vom Grenzpunkte der Gruppe versehiedenen Punkt no einen und nur einen äquivalenten aufweist, 1tnd. welcher den Grenzpunkt der Gruppe selbst nicht enthält.!)

°

°

1) Wir haben die Definition des "Diskontinuitätsbereiches" hier gleich so allgemein gefaßt, daß sie für die im nächsten Kapitel zu besprechende Gruppe r('o),

234

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

Üben wir auf einen Diskontinuitätsbereich der rCu) jede Substitution dieser Gruppe einmal und nur einmal aus, so ergeben sich unendlich viele Bereiche, welche in ihrer Gesamtheit jeden vom Grenzpunkte der rC") verschiedenen Teil der u-Ebene schlicht und ohne Lücke bedecken müssen. Dies ist, wenn wir das in Fig. 47 schraffierte Parallelogramm als Diskontinuitätsbereich benutzen, ja unmittelbar einleuchtend. Dieser Bereich geht durch die Substitution:

+ m1 OJ1 + m2 OJ2 das Parallelogramm der Ecken m OJ + 1n OJ m OJ + (m + 1) OJ + 1) OJ1 + (m 2+ 1) OJ2, (m + 1) OJ1 + m OJ 2 über, und diese Paralleu' = u

in 2 2, 1 1 1 1 2 2, (m 1 1 2 logramme bedecken in ihrer Gesamtheit die u-Ebene, abgesehen vom Punkte 00, schlicht und lückenlos. Man kann diese Bedeckung der u-Ebene aber auch schrittweise vornehmen. Die Gegenseiten des in Fig. 47 schraffierten Diskontinuitätsbereiches sind, wie die beiden Pfeile der Figur andeuten sollen, durch die beiden erzeugenden Substitutionen der G1'uppe rC u ): S1 (H)

= U

+ OJu

S2 (u)

= tt

+ (()2

aufeinander bezogen. Üben wir nun auf den schraffierten Bereich zunächst die vier Substitutionen Si t, St- 1 aus, so gewinnen wir die vier benachbarten Parallelogramme, in welche wir die Symbole der zugehörigen Substitutionen gewissermaßen als "Namen" eintragen wollen. Das schraffierte Parallelogramm würde dann folgerecht den "Namen" 1 der "identischen" Substitutionen u' = u erhalten müssen. Das Parallelogramm S1 hat nun noch drei ungedeckte Seiten; längs dieser Seiten tragen wir jetzt die neuen Parallelogramme S~, S1S2' S1S21 an (vgl. Fig. 47). In dieser Weise fahren wir fort, indem wir an ein schon gewonnenes Parallelogramm S die benachbarten S S{:- \ S Si}: 1, soweit dieselben nicht schon hergestellt sind, antragen. Diese schrittweise zu vollziehende Herstellung des ganzen Netzes versinnlicht uns im geometrischen Bilde die Erzeugtmg der ganzen Gntppe rCu) aus S1 und S2' Es ist nun zu bemerken, daß ein Diskontinuitätsbereich der Gruppe r noch in höchst mannigfaltiger Weise wählbar ist. Irgendein Stück eines zuerst gewählten Bereiches kann man demselben nehmen und durch ein äquivalentes Stück ersetzen, ohne daß der neue Bereich aufbei der jedoch die Anzahl der Grenzpunkte nicht gleich 1, sondern unendlich ist, gleich mit gilt. Übrigens ist der Begriff des Diskontinuitätsbereiches allgemein grundlegend für die Theorie der "eigentlich diskontinuierlichen" Gruppen linearer Substitutionen einer komplexen Variabelen; man sehe darüber die "Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen" von F. Klein und R. Fricke, Bd. 1 S. 62 (Leipzig, 1897) oder "lVIodulfunktionen", Bd. 1 S. 185.

235

Ein Parallelogramm als Diskontinuitätsbereich

hörte, ein Diskontinuitätsbereich der Gruppe zu sein. Nun ist es allerdings zweckmäßig, den Bereich (was hier ja möglich ist) aus einem einzigen Stücke aufzubauen. Aber auch dann zeigt uns die bereits S. 182ft'. entwickelte "lineare Transformation der Perioden" noch eine große Mannigfaltigkeit VOll Gestalten für einen Diskontinuitätsbereich unserer r(u). Sind (wie S.182) a, ß, 'J', 0, irgend vier ganze Zahlen der Determinante 1:

(1) ao-ß'J'=l, so setzen WIr wieder: (2) und wollen jedes so erreich bare Paar w~, W'2 als ein "Paar primitiver Perioden" für unsere rCu) bzw. für die ihr zugehörigen doppeltperiodischen Funktionen bezeichnen; zu diesen Paaren primitiver Perioden gehören natürlich auch die ursprünglichen W1 , W 2 . Da sich diese W j , W 2 zufolge (1) in der Gestalt:

0 w~ - ßw;, W 2 = - 'J' w~ + a w; auch ihrerseits als ganzzahlige Kombinationen der w~, w~ darstellen lassen, so ist unsere r(u) auch als Gruppe der Substitutionen: W1 =

(3)

u'=u+m~w;+m~w;,

m;,

zu bilden für alle Paare ganzer Zahlen m~, darstellbar. Wenden wir nun auf diese neue Gestalt der rCu) die am Anfang des vorliegenden Paragraphen durchgeführte Betrachtung an, so eI"f}ibt sich als neue Gestalt des Diskontinuitätsbereiches der r(u) das geradlinige Parallelogramm der Ecken 0, w~, w~ + w~, w~. Die Beziehungen zwischen diesen den sämtlichen primitiven Periodenpaaren zugehörigen Parallelogrammen sollen im folgenden Kapitel näher untersucht werden. Als Ziel unserer nächsten Betrachtungen aber sehen wir an, unter allen diesen zunächst gleichberechtigten Parallelogrammen ein eindeutig zu erklärendes als besonders geeignet auszusuchen. Hierhin führt die nachfolgende Untersuchung.

§ 3. Einführung eines seckseckigen Diskontinuitätsbereichs der r(u) und Erklärung eines reduzierten Periodenpaares. Wir gehen von irgendeinem Paare primitiver Perioden W u W 2 unserer TC") aus, verstehen unter tto einen beliebig gewählten Punkt der tt-Ebene und bezeichnen die gesamten mit U o äquivalenten Punkte durch t(o, tl u u2 , U a, .. '; dabei sei etwa tl1 = n o + W u u2 = U + W 2 , im übrigen aber seien die Bezeichnungen ttk vorerst willkürlich auf die mit tto äquivalenten Punkte verteilt. Diejenige Substitution der Gruppe r Cu), welche Ho in uk transformiert, werde mit Bk bezeichnet. \Vir denken das Parallelogramm der Ecken uo, U o W 2 , t~o + W 1 + W 2 , tto W 1 ge-

+

+

236

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

zeichnet und von ihm aus sogleich das ganze zugehörige Parallelogrammnetz hergestellt, dessen "Gitterpunkte" die Punkte uk sind. Dieses Netz überzieht die u-Ebene mit zwei Systemen äquidistunter paralleler Geraden (vgI. Fig. 47). Der senkrechte Abstand zweier benachbarten Geraden im einen System sei E v im anderen E 2 ; unter E verstehen wir einen dieser Abstände, der nicht größer ist als der andere. 1) Die beiden Diagonalen des einzelnen Parallelogramms mägen die Längen D 1 und D 2 haben; D sei eine unter ihnen, die nicht kleiner ist als die andere. Ist ~~ irgendein endlicher Punkt, so kann man sofort einen Gitterpunkt nachweisen, dessen Entfernung von u kleiner als D ist; andererseits ist die Gesamtzahl aller Gitterpunkte, welche von u einen Abstand < D haben, beschränkt, indem sich für diese Anzahl eine bestimmte endliche, allein von .~ abhängige obere Schranke angeben läßt. 'Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Unter B o verstehen wir das System aller Punkte der tt-Ebene, welche von ~~o nicht 1.ceiter entfernt sind als von irgendeinem der mit U o äquivalenten Punkte U v U 2 , ~~3' . . . . Es gibt jedenfalls unendlich viele solche Punkte; denn wenn wir z. B. um U o den Kreis mit dem Radius tE beschreiben, so gehört sicher jeder Punkt dieser Kreisfläche dem System B o an. Um weitere Angaben über das Punktsystem 130 zu machen, bezeichnen wir mit G k die Gerade der u- Ebene, welche die Verbindungsgerade der Punkte U o und ~(k in ihrem Mittelpunkte senkrecht schneidet. 2) Es ist einleuchtend, daß VOll Uo aus gesehen kein Punkt von B o jenseits irgendeiner Geraden Gk gelegen sein kann. Alle Punkte diesseits der Geraden liegen U o näher als Uk, alle Punkte auf Gk haben von U o und ~~k gleichen Abstand. Hieraus geht sogleich weiter hervor: Ist u irgendein Punkt des Systems B o, so gehört jeder Punkt der Vel'bindungs geraden von u nach U o diesem Systeme an. Gäbe es nämlich auf dieser Verbindungsgeraden einen Punkt u', der nicht zu B o gehörte, so würde ein Gitterpunkt ~~k nachweisbar sein, dem ~t' näher läge als dem Punkte uo' Dann aber müßte die nicht durch U o ziehende Gerade Gk die Verbindungsstl'ecke VOll U o nach u' überkreuzen, und auch der Punkt u könnte nicht zu 130 gehören. Das Punktsystem B o bildet demnach ein Kontinuum. Bezeichnen wir mit tl s und u4 bie beiden Gittel'punkte U o - (01 und Uo - (02' so bilden die beiden Paare paralleler Geraden G lI Gs und G2, G4 ein Parallelogramm mit dem Mittelpunkte uo, dessen Diagonalen 1) E ist also der kleinere Abstand, wenn E E 2 yel'schieden sind, oder " einer unter ihnen, wenn sie gleich sind. 2) Je ist irgendeiner der Indizes 1, 2,3, .. '.

Herstellung eines besonderen Diskontinuitätsbereiches BQ

237

und D; sein mögen; D' sei eine derselben, die nicht kleiner als die andere ist. Kein Punkt von B o kann hiernach um weiter als tD' von U o abstehen: Das Punktkontinuum B o liegt ganz im Endlichen, indem jeder Punkt n desselben von U o einen Abstand ~ tD' hat. Von zwei weiteren Eigenschaften des Kontinuums B o soll die eine sogleich, die andere späterhin zur Verwendung kommen. Lassen wir an Stelle von U o irgend einen anderen endlichen Punkt u~ treten und bauen von ihm aus mit dem bisherigen primitiven Periodenpaar 0]1' (()2 ein neues Parallelogrammnetz auf, so wird dieses aus dem ersten Netze einfach durch die Translation hervorgehen, welche Uo nach 'u~ verschiebt. Da hierbei die Maßverhältnisse unverändert bleiben, so ist einleuchtend, daß das entsprechend zu u~ gehörende Punktsystem B~ einfach auch dU1'ch jene Translation aus B o hervorgeht. \Veiter geht das erste Parallelogrammnetz in sich selber über, wenn wir die u-Ebene um den Punkt Uo durch den Winkel 7t drehen. Da auch hierbei die Maßverhältnisse unverändert bleiben, so folgt: Das Punktkontimtum B o geht bei der D1'ehung wn U o durch den Winkel 7t in sich selbst t'ibm' und hat somit U o zum Mittelpunkte. Um nun festzustellen, welcher Teil des durch die Geraden G1 , G2, Gs, G4 umgrenzten Parallelogramms das Kontinuum B o ist, denke mun auch noch die übrigen Geraden G5, G6, ' " gezeichnet. Dann bleibt um U o herum ein Bereich der tt-Ebene von Geraden frei, und dieser liefert dann einfach die Innenpunkte des Systemes Bo- Doch braucht man hierbei keineswegs alle Geraden G k zu zeichnen. Die einzelne Gk kann in das Innere des von G1)"" G4, umrandeten Parallelogramms ja nur dann eintreten, wenn der Abstand des Punktes Uk von U o kleiner als D' ist, Für die Anzahl der Gitterpunkte Uk, die diese Bedingung erfüllen, läßt sich aber wieder eine allein von D' und E abhängige Dbere Schranke angeben. Wir erkennen: B o ist ein endlicher, von endlich vielen Geraden begrenzter Bereich, der in U o einen Mittelpunkt hat. Ist Gk eine Gerade, welche sich an der Berandung von B o beteiligt, so kann, wie oben festgestellt ist, kein Punkt des Bereiches B o, von U o aus gesehen, jenseits G k liegen. Es folgt: Die Winkel in den Ecken des Polygons B o sind alle konkav. Übrigens ergibt sich sogleich weiter aus dem Umstande, daß U o Mittelpunkt von B o ist: Der Rand von B o ist ein geradliniges Polygon von gerader Seitenanzahl 2n; je zwei diametrale Seiten sind parallel und gleich. Es sei wieder Gk irgendeine der 2n Geraden, welche den Rand des Bereiches B o liefern, Die Punkte U o und 1tk liegen in gleichen Abständen beiderseits von Gk, und die Verbindungsgerade diesel' Punkte schneidet Gk senkrecht, etwa im Punkte u~. Die Drehung der u-Ebene D~

238

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

um U o durch den ~Winkel n; werde durch das Symbol To bezeichnet; SIe und die Translation Sk sind gegeben durch: To(u)

=

-

n

+ 2uo,

Sk(U) =u

+ (uk -

uo).

Da beide Transformationen unser Parallelogrammnetz in sich überführen, so leistet dasselbe die aus ihnen zusammengesetzte Transformation:

Tk(u) = SkTo(U) = - u + (tto + Uk) = - u + 2u{, welche die Drehung der tt-Ebene um den Punkt u~ durch den Winkel n; darstellt. Gehört nun der Punkt u' der Geraden G k (vgl. Fig. 48) dem 'tLk Bereiche B o (als Randpunkt) an, so gibt es keinen Gk Gitterpunkt Mi' welcher näher an u' gelegen wäre als Mo. 1)," Üben wir jetzt die Drehung T k aus, so folgt, daß es in dem transformierten und also in dem ursprüngv,.--, \ lichen Systeme der Gitterpunkte keinen gibt, an dem .,/ ""'-, \ der mit u' bezüglich ufo diametrale Punkt tt" der Ge" "1'0 Fig.48. raden G k (vgl. Fig.48) näher gelegen wäre als an uo. Von zwei solchen bezüglich u" diametralen Punkten u' und tt" der Geraden G k gehören also entweder beide oder keiner dem Bereiche B o an. Es ergibt sich so: Die von G k gelieferte Seite des Randes von B o hat zum Mittelpunkt, so daß die beiden Endpunkte diese/' Seite (Ecken von BQ) vom Zentrwn Uo gleichen Abstand haben: Der Rand von B o ist hiernach ein "Polygon im Kreise", und es hat dies Polygon, wie wir wiederholen, den Kreismittelpunkt tto selbst zum Zentrum. ~ Bezeichnen wir die begrenzte Strecke der Geraden G k , welche B o berandet, als "Seite" Gk unseres Polygons, und ist Gi die gegenüberliegende Seite, so stellen Gi und G k "Niveaugerade" der Translation Sk dar (vgl. S. 67), während die durch Uo und in ihrer Verlängerung durch Uk hindurchziehende Verbindungsgerade der Mitten jener Seiten eine die Niveaugeraden senkrecht schneidende "Bahngerade" der Translation Sk ist. Es folgt: Bei Ausübung der Tj'anslation Sk kommt die Seite Gi unseres Polygons gerade genau mit der Gegenseite G k zttr Deckung, so daß homologe Punkte je zweier Gegenseiten des Polygons bezüglich der Gruppe Du) äquivalent sind. Es sei nun SI irgendeine von So = 1 verschiedene Substitution der Gruppe r, und es gehe B o durch die Transformation SI in BI = SI(Bo) über. Diese beiden Bereiche B o und BI können nicht übereinandergreifen ; denn ihre Innenflächen liegen auf verschiedenen Seiten der Geraden GI. Sind SI und Sm voneinander und von So verschieden, so können auch die Bereiche B! und B m nicht übereinandergreifen; denn sonst müßte dasselbe von den Bereichen S;;:lSI (Bo) und B o gelten, obwohl die Sub-

u"

stitution S;;:18/ von So verschieden ist. Denkt man demnach alle, den

Der Bereich B o als zentriertes Sechseck im Kreise

239

Substitutionen unserer r(u) entsprechenden Bereiche B o, B lI B 2, Ba, ... gezeichnet, so kann kein Stück der u-Ebene mit einem nicht-verschwindenden Flächeninhalte von mehr als einem Bereiche bedeckt sein. Es kann aber auch keinen endlichen Punkt u geben, der nicht bedeckt wäre. Es findet sich nämlich in irgendeiner Entfernung> D von u (vgl. S. 236) stets eine nicht verschwindende, endliche Anzahl von Gitterpunkten, und unter ihnen also einer 'UM von dem u nicht weiter absteht als von den übrigen. Dann aber liegt u im Innern oder doch auf dem Rande von B h• Die gesamten Bereiche B o' B l , B 2 , • • • liefern eine schlichte und lückenlose Bedeckung der ganzen endlichen tt-Ebene, so daß wü' im Bereiche B o (unter Vorbehalt einer Bestimmung über die Zut'echnung der Randpunkte zum Bereiche) einen Diskontinuitätsbereich der Gruppe r(u) erkennen. Wir betrachten nun einen Eckpunkt des Bereiches B o' Derselbe sei im Bereichnetze von v Bereichen B o, Bi, Bk, ... umlagert; dann ist sicher v > 3, da die Polygonwinkel konkav sind. Von den v in Rede stehenden Winkeln gehört nur ein erster dem Bereiche B o an. Indessen findet sich flir jeden der (v - 1) übrigen Winkel ein bestimmter äquivalenter Winkel in B o. Auch sind diese (v -1) Winkel des Bereiches B o untereinander und vom ersten verschieden, was man leicht aus dem Umstande folgert, daß äquivalente Winkel (als durch Translationen ineinander übergehend) gleichgerichtete Schenkel haben. Man sagt, daß diese v Winkel von B o zu einem "Zyklus" zusammengehören; es ist einleuchtend, daß die Summe der Winkel des Zyklus gleich 27C ist. Nun mögen sich die 2n Ecken von B o im ganzen auf lL solche Zyklen verteilen. Dann ist die Winkelsumme von B o gleich 2/L7C, und da sie andrerseits gleich (2n - 2)7C ist, so ist die Zyklenanzahl durch:

/L=n-1 gegeben. Da ferner jeder Zyklus mindestens dt'ei Ecken enthält, so ist die Eckenanzahl 2n mindestens gleich 3/L. Man findet also:

2n:>-3lL=3n-3,

3>n,

so daß nur die beiden Möglichkeiten n = 3 und n = 2 in Betracht kommen: Der Diskontinuitätsbereich B o dm' r(u) ist entweder ein "Sechseck im Kreise", das den Kreismittelpunkt Uo selbst zum Mittelpunkt hat, oder ein Rechteck; im ersten Falle haben wir zwei Eckenzyklen, im letzten Falle einen. Übrigens können wir das Rechteck als Grenzfall eines solchen Sechsecks ansehen, indem sich nämlich alsdann zwei Gegenseiten des Sechsecks auf Punkte zusammengezogen haben. Da eine Änderung des Punktes Uo nur eine entsprechende Translation von Bobewirkt (vgl. S. 237), so merken wir noch den Satz an: Der Diskontimtitätsbereich der

240

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

r(u) als Sechseck B o ist in Gestalt und Orientierung eindeutig bestimmt, kann abm· noch einer beliebigen Parallelverschiebung 1mterzogen werden. Die Gestalt des Sechsecks ist hierneben in Fig. 49 veranschaulicht. Die drei mit Nummern versehenen Pfeile mögen die nun durch Sl' S2' S3 zu bezeichnenden Substitutionen festlegen, welche die Seiten des Sechsecks in die Gegenseiten überführen. Liegt (wie in Fig. 49) nicht der Grenzfall eines Rechteckes vor, so bestimmen wir betreffs der Verteilung der Indizes 1, 2 und 3 folgendes: Gibt es ein eindeutig bestimmtes Paar kleinster Seiten des Sechsecks, so gehöre zu diesem die Transb3 1ation S3; hat das Sechseck indessen vier kleinste Seiten, während die beiden letzten Seiten größer als jene sind, so soll diesem Paar SJ zugehören. Nur wenn wir ein gleichseitiges Sechseck haben, bleibe b} Fig.49. die Verteilung der Indizes unter Einhaltung der in Fig. 49 vorgeschriebenen Reihenfolge willkürlich wählbar. Gl~ichzeitige Umkehrung der drei Pfeilrichtungen ist eine unwesentliche Anderung; sie kommt auf Ersatz der drei Sk durch ihre inversen Substitutionen Ski hinaus. Indem wir den Grenzfall des Rechteckes unten erledigen, setzen wir zunächst im allgemeinen Falle: (k=1,2 J 3),

wobei neben Oll und Ol 2 noch eine dritte Periode C0 3 eingeführt ist und natürlich die COll C0 2 nicht mit den bisher so bezeichneten Perioden identisch zu sein brauchen. Diese drei Perioden CO l , C0 2, COs sind bis attf einen gemeinsamen Zeichenwechsel für unsere T(u) einzeln eindeutig bestimmt; nur im Falle des gleichseüigen Sechsecks, wo: C0 1 : C0 2 : (03 = 1;12: Q : 1, (1) gilt, können die C0 1, C0 2 , (Os noch zyklisch permutim·t werden. Die Seitenzuordnung lehrt, daß die in Fig. 4D mit a l , a2 , as, bezeichneten Ecken den einen, die drei Ecken b den anderen Eckenzyklus bilden. Man lese aus der Figur ab, daß: b2 = S1 (bs) , bs = S2 (b 1 ), b1 = S3 (b 2) gilt. Hieraus folgt: b2 = 81 S2 8S(b 2 ), und da So die einzige Substitution von pu) ist, welche b2 in sich transformiert, so gilt S1 S2SS = 1. Zwischen den drei Periodm~ CO t , C02, (03 besteht die Relation: (2)

Erklärung des reduzierten Pedodenpaares

so daß sich insbesondere für

(3)

OOs

241

die Dwrstellung ergibt:

OOa = -

00 1 -

002 ,

Man wird längst bemerkt haben, daß wir hier unmittelbar zu den Entwicklungen von S. 171ft'. zurUckgefUhrt sind. Das durch die Punkte a1 , a2, a3 gelieferte Dreieck hat die Seiten i 001 I, I 00 2 1, I OOal und ist spitzwiuklig. Die damalige Entwicklung zeigt also: Der in jedem Falle (auch dem äquianhannonischen Falle des gleichseitigen Sechsecks) eindeutig bestimmte Qiwtient 00 der beiden Perioden 00 11 002 ist ein Innenpunkt des in der Fig.42, S.176 schraffierten Bereiches, oder er liegt (im Falle von vier kleinsten Seiten des Sechsecks und im äquianharmonischen Falle) auf dem von 00 = Q nach 00 = i 00 ziehenden Rande dieses Bereiches. Insbesondere ist es der in Fig. 49 gewählten Anordnung der Pfeile 1 und 2 zu danken, daß 00 ein komplexer Wert mit positivem imaginären Bestandteile ist. Die fUr den Fall des Rechtecks noch nötigen Ergänzungen sind nun leicht gegeben. Ist das Rechteck kein Quadrat, so verbinde der Pfeil 1 die beiden kleineren Seiten; die Richtungen der Pfeile seien so gewählt, daß 00 wieder einen positiven imaginären Bestandteil erhält. Die Perioden 00 1, 00 2 sind wieder bis auf einen gemeinsamen Zeichenwechsel eindeutig bestimmt, unddm' Punkt 00 liegt auf dem von 00 = i nach 00 = i 00 ziehenden geradlinigen Rande des in Fig.42, S.176 schraffierten Bereiches; im harmonischen Falle (dem eines Quadrates) können wir überdies noeh die Änderung oo{ = OOs, oo~ = - 00 1 t'ornehmen (vgl. S. 179), die aber den Quotienten 00 = i nicht ändert. Will man an Stelle des Sechsecks lieber mit einem Parallelogramm arbeiten, so trenne man, wie Fig. 50 zeigt, das Dreieck a1 b2 (ts ab und ersetze es durch das äquivalente c bs a2 ; des02 gleichen ersetze man das Dreieck a 2 a s bJ durch //-~'" c (~1 bso Die Gegenseiten des Parallelogramms sind a.1~-_//_----'-'\ dann durch SI und S2 aufeinander bezogen. Zweck- I mäßig wird Ubrigens sein, daß wir auch hier (wie oben, vgl. S. 179), sobald i 00 1 i < I 00 2 I ist, noch die Änderung 00; = 00 2 , oo~ = - 00 1 vornehmen, was dem Übergange von Fig. 42 zu Fig. 43, ~-----_:o.>·c S. 176ft'., entspricht. Die nwmnehr fii1' tmsere Fig.60, r(u) erklärten p1'i1nitiven Perioden 00 1 , 00 2 sollen als die "r'ecluzierten(( Perioden bezeichnet ~cerden; sie sind bis auf einen gemeinsamen Zeiehenwechsel eindeutig (im harmonischen Falle (00 = i) zweideutig, im iiquianharmonischen (00 = Q) dreideutig) bestimmt. Der Quotient 00 ist in jedem Falle eindeutig bestimmt undUeferl einen Punkt im Innern oder auf dem stark markierten Rande des Doppeldreiecks der Fig. 43, S.179. Fricke: Elliptische E'unktionen. Bd.l

16

242

I, 4. Die doppeltperiodiEchen Funktionen erster Stufe

Der Mittelpunkt tto des Sechsecks B o konnte noch beliebig verschoben werden, ohne daß die Gestaltund Orientierung von B osich änderte. Wirtreffen die Anordnung etwa so, daß ein erstes dem reduzierten Periodenpaar entsprechendes Parallelogramm die Ecken 0,00 2,00 1 +00 2,00 1 bekommt. Damit dieses Parallelogramm ein Diskontinuitätsbereich der r(Ulist, rechnen wir wie oben (vgl. S. 233) von den Randpunkten nur die beiden von nach 00 1 und 00 2 ziehenden Seiten,jedoch ohne die Endpunkte 00 1, 00 2, dem Parallelogramm zu. Das gewonnene Ergebnis ist um so wichtiger, als wir auch umgekehrt leicht folgenden Satz zeigen können: Bauen wir mit irgend zwei Perioden Wo 002 , deren Quotient 00 dem Doppeldreieck der Fig. 43, 8.179, angehÖ1"t, das Parallelogramm der Ecken 0, 002 , (01 + 00 2 , 00 1 auf und erklären damit eine Gruppe r(ul, so liegt für diese r(u) in jenen 00 1 , 00 2 stets unmittelbar das reduzierte Periodenpaar vor. 1) Liegt nämlich ein Periodenrechteck vor, so sei U o dessen Mittelpunkt, und ul1 U 2 , ••• seien die Mit.telpunkte der übrigen Rechtecke des Netzes. Hier ist dann unmittelbar einleuchtend, daß das erste Rechteck das System aller Punkte u d~tl"stellt, die von U'o nicht weiter abstehen als von einem der äquivalenten Punkte uk • Das Rechteck ist also unser eindeutig bestimmter Bereich B o und 00 11 00 2 die reduzierten Perioden. Liegt kein Rechteck vor, so wird das Parallelogramm durch seine kleinste Diagonale in zwei spitzwinklige Dreiecke zerlegt. Man wolle diese Zerlegung an allen Parallelogrammen des Netzes vornehmen, wor" auf die u~Ebene mit einem Netze spitzwinkliger Dreiecke überzogen erscheint. Wenn man jetzt in jedem Dreieck den Mittelpunkt des umbeschriebenen Kreises : geradlinig mit den drei ----,'c---- ----':'----,, ' ' Seiten mitten verbindet, so entsteht, wie die Fig. 51 veranschaulicht, ein Sechsecknetz. Fassen wir nun etwa das Sechseck mit dem Mittelpunkt U o = 0 ins Auge, so gehören die sechs Seiten desselben zu denjenigen Geraden, die wir oben G k nannten. Das zum Punkte U o= 0 gehörende SechsFig.51.

°

\

\1

\

I

\

\

-\

!

1) Der Satz ist auf arithmetischem Wege bereits S, 186 ff, bewiesen, Ist für die Gruppe r(u) des Textes in (j}'" (j) '2 irgendein Paar primitiver Perioden vor-

Überblick über das System aller Gruppen

243

r(U)

eck B o ist also ein Teil des in Fig. 51 vorliegenden Sechsecks um U'O = O. Der Teil kann aber vom Ganzen nicht verschieden sein, da B o sonst nicht mehr ein Diskontinuitätsbereich der rCu) wäre; es ist nämlich das Sechseck der Fig. 51 mit dem Mittelpunkte uo = 0 eben auch ein Diskontinuitätsbereich unserer Gruppe. l ) Unser Sechseck liefert nun unmittelbar Wl , WIl HIs das reduzierte Periodenpaar. Unsere Ergebnisse eröffnen uns einen geordneten Überblick über die gesamten existierenden Gruppen rCn). Sie werden alle, tmd jede nitr einmal, von aUen wesentlich verschiedenen reduzierten Periodenpaaren geliefert. Der Wert W hat den gesamten Bereich des Doppeldreiecks der Fig.43, S. 179, zu beschreiben. Beim einzelnen W wähle mHn W 2 als endliche, von 0 verschiedene komplexe Zahl willkürlich und erkläre 0)1 durch die Gleichung W l = 0) • OJ 2 , Ist OJ weder gleich i noch gleich (I, S() wird auf diese vVeise jede Gruppe zweimal geliefert, da gleichzeitiger Zeichen wechsel von OJ 1 , OJ 2 ja die Gruppe nicht ändert. Für W = i (Periodenquadrat) wird sogar jede Gruppe viermal, für OJ = Q (gleichseitiges Sechseck) jede sechsmal geliefert. Um jede Gruppe r Cu ) nur einmal zu gewinnen, schreibe man einfach vor, daß die Amplitude der komplexen Zahl OJ 2 im allgemeinen zwisehen 0 und %, im harmonischen Falle zwischen o und und im äquianha1'monischen zwischen 0 und .~ liegen soll, jedesmal unter Einsehluß der untet'en ttnd Aussehluß der oberen Grenze. Eine Ausartung der Gruppe rCu) tritt ein, falls OJ in die Spitze i 00 des oft genannten Doppeldreiecks hineinrückt, während OJ 2 irgendeinen endlichen, von 0 verschiedenen Wert hat. Wir können vorerst noch bei endlichen OJ als erstes Parallelogramm dasjenige der Ecken ±~',

i

±

~'

+ OJ2

wählen. "N as aus diesem Parallelogramm für lim OJ = i 00 wird, ist leicht zu sehen. Wir können (auf der u-Kugel) eine beliebig kleine Umgebung des Punktes u = 00 ausschneiden und alsdann immer noch j O)! zwar endlich, aber so groß wählen, daß der Rest der u-Kugel gelegt, so entsteht deren Quotient w' aus dem Quotienten w der heiden Perioden wt ' w 2 durch eine "lineare Transformation":

, OJ

aw+ß =

y-~+~'

Es wurde nun S, 186 u. f. bewiesen, daß, wenn hier nicht die identische Transformation vorliegt, neben 00 nicht auch noch 00' dem Doppeldreieck der Fig. 43 angehören kann (mit den bekannten Ausnahmen im harmonischen und äquianharmonischen Falle). Das heißt aber eben, daß jedes neue primitive Paar w{, w~ nicht das "reduzierte" sein kann. 1) Man mache sich mitteIst der Fig. 51 klar, in welcher Weise die vier SechseckBestandteile, welche das Parallelogramm der Ecken 0, 00 2 , 00, 00" w, bedecken, sich zu einem vollen Sechseck zusammenhauen lassen.

+

16*

244

I,

4,.

Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

bereits vollständig von den zu den Substitutionen 1t' = u + m2 oo 2 gehörenden Parallelogrammen bzw. von Teilen derselben bedeckt erscheint. Für lim 00 = ioo arten die Parallelogramme in Kreisbogenzweiecke der u-Kugel aus, die sich von zwei entgegengesetzten Richtungen mit ihren Spitzen an den Punkt u = 00 heranziehen. Für lim 01 = ioo artet die Gruppe rCu) in die Gruppe aller Substitutionen:

u'

= 1t

+ m2 01 2

aus; als Diskontinuitätsbereich bietet sich ein "Parallelst1'eifen" der u-Ebene dar, beW'en:d von zwei parallelen Geraden, die durch die Punkte 1t = 0 ttnd u = OO a senkrecht zttr Verbindungslinie dieser beiden Pwnkte lattfen.

§ 4. Von den 'l'ransformationen der Gruppe

r(u)

in sich.

Ein Problem, aus dem man sehr viele wichtige Fragestellungen der Theorie der elliptischen Funktionen entwickeln kann, ist, alle linearen Transfm'mationen der einzelnen Gruppe r(u) in sich aufzustellen. Der Ansatz zur Behandlung dieser Aufgabe ist in den Erklärungen von S. 128 enthalten. Führen wir an Stelle von u eine neue Variabele U mitte1st einer linearen Transformation U = T(u) ein, so werden die Substitutionen tt' = S(u) von r in die Substitutionen: U' = TST-l(U) transformiert, welche in ihrer Gesamtheit die "transformierte Gruppe" r' = T rT-l bilden. Es handelt sich also jetzt um die Aufgabe, die lineare Transformation T in allgemeinster Weise derart zu bestimmen, daß diese transformierte r' mit der ursprünglichen Gruppe r gleich ist. Da der Grenzpunkt T( (0) der transformierten r' mit dem der ursprünglichen r, d. h. mit dem Punkte 00, zusammenfallen muß, so ist dieser Punkt 00 ein Fixpunkt von T (vgL S. 70), und also ist Teine lineare ganze Transformation:

(1)

T(tt) = au

+ b,

in der a eine von 0 verschiedene Konstante ist. Die zu T lllITerSe Transformation ist: T-l(tt) = a-lu - a- 1 b. Wir wählen nun 00 1 , 00 2 als reduziertes Perioden paar der Gruppe und verstehen unter SI und S2 die erzeugenden Substitutionen: SI(U) = tt

+

00 11

8 2 (u) =

U

r

+ 00 2

der Gruppe. Für die ihnen entsprechenden erzeugenden Substitutionen der transformierten Gruppe: 1'81 1'-1(U) = U + QII 1'S21'-1(U) = U + SJ. 2

Ansatz für die Transformationen der

r(U)

berechnet man dann einfach als Beziehung der

(2)

~1 = aW lI

245

in sich

S~lI ~a

zu den

(JJ1I (JJa:

~a = a(JJa'

Da sich nun diese erzeugenden Substitutionen wegen r' = rauch in der Gruppe r finden müssen, so sind ~1I ~2 als ganzzahlige Kombinationen der (JJ1I (JJ2 darstellbar. Und da andererseits auch 8 1 und 8 1 in der Gruppe: U' = U + 1n1 ~1 + 1na ~2 enthalten sind, so sind auch (JJ1' (JJa ganzzahlige Kombinationen der Es gelten demnach zwei Gleichungen:

~2'

(3)

~l = aW i

+ ßw 2 ,

~2 =

~1I

r W 1 + oWa,

wo die a, ß, r, 0 ganze Zahlen der Determinante 1 oder - 1 sind. Da jedoch der Quotient ~ = ~1 : ~a mit dem Periodenquotienten (JJ gleich ist und also wie dieser einen positiven imaginären Bestandteil hat, so ist, Wle man aus (3) leicht ausrechnet, nur:

ßr

ao -

1

=

zulässig. Mit Benutzung von (2) ergibt sich jetzt weiter: OJ

+

aro ß =yro+-;t'

Der Satz von S.187 (s. auch die Note S.242) liefert daraufhin unmittelbar das Ergebnis: Für das Zahlenquadrupel IX, ß, r, 0, das wir in dem Symbol

e:~) zusammenfassen, haben wir, wenn weder der harmonische,

noch der äquianharmonische Fall vorliegt, nur die beiden Möglichkeiten:

(a,y, ß) (± 1,0, ±0 1 ).'

(4)

~

=

für W = i, wo noch die Substitution (8) S. 187 hinzukommt, liegen die vIer Möglichkeiten vor: = (± 1, ° ) (0, ±01) ' (a,p) y, 0, ± 1 ' =t= 1,

(5)

~

endlich für (JJ = (1, wo noch die Substitutionen (6) und (7) S. 187 hinzutreten, die sechs:

(6)

ß)

= ( a, y, ~

(± 1, 0 ) (0, 0,

±1

'

=t= 1)

± 1, ± 1

'

(± 1, ± 1) . =t= 1,

°

Tragen wir die gefundenen Zahlenquadrupel in (3) ein und vergleichen die Ergebnisse mit (2), so folgt, daß zunächst in jedem Falle a = + 1 und a = - 1 als Werte des ersten Koeffizienten a der Substitution (1) zulässig sind. Für W = i und also W 1 = iW2 ergibt sich außerdem noch der Ansatz:

246

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

welcher a = + i liefert. Für die beiden Ansätze hinzu: aW i

=

.Q1 = aW 1

=

.Q1 =

+ W2,

W =

Q und also .Q2

± (w 1 + w2 ),

=

W1 =

QW 2 kommen noch

aW 2

=

± (w 1 + w2 ),

.Q2

=

aW 2

=

+ WH

die uns a = + Q2 und a = + Q liefern. In allen diesen Fällen wird auch tatsächlich die Gruppe r durch T in sich transformiert, und zwar, was besonders bemerkenswert ist, ohne daß der zweite Koeffizient b der Transformation T irgendeiner Beschränkung unterliegt. Sehreiben wir, um die Unbeschränktheit von b anzudeuten, im Anschluß an die Bezeichnungen von S. 190ff. die Variabele v statt b, so können wir als Ergebnis notieren: Die G1'uppe r WÜ'd in jedem Falle d~trch die gesamten Transformationen:

(7) T(tt) = + u + v in sich transfonniert) attßerdem im ha1'1nonischen Falle noch durch die gesconten Transformationen: (8) T(u) = + itt + v, und entsprechend im äquianharmonischen Falle durch:

T(u) = ± QU + v, T(!~) = ± Q2 U + v. Wir sind hiermit zu den Ergebnissen zurückgeführt, welche wir bereits oben (S. 190ff.) auf algebraischer Grundlage gewonnen hatten. Die Transformationen T(u) = u + v für alle endlichen v liefern die damals oft genannte kontinuierliche Gruppe. Eine planmäßige Bearbeitung diesel' Gruppe und der in ihr enthaltenen Untergruppe würde die Ansätze liefern, die zu den Additionstheoremen sowie zur Division und Transformation der elliptischen Funktionen hinführen. Wir werden demnach noch oft Gelegenheit haben, auf die fragliche Gruppe und ihre Untergruppen zurückzugehen. Unter den übrigen Transformationen T müssen wir hier vor allem noch auf u' = - u hinweisen, eine Transformation, die uns von algebraischer Seite durch die Vertauschung der beiden Blätter der Fläche F2 geliefert wird. Fügen wir die Substitution u' = - u der rCu) hinzu, so gewinnen wir in den gesamten Substitutionen:

(9)

(10)

u'

=

± u + m1 wl + m2w2

eine etwa dW'ch ri~i oder r(2) zu bezeichnende erweiterte Gruppe, die wir als die "Substitutionsgruppe der geraden doppeltperiodischen Funktionen" bezeichnen, insofern die einzelne derselben ja in der Tat gegenüber der Substitution u' = - u invariant ist. Bezüglich dieser 1(2) sind im Periodenparallelogramm, das wir etwa wieder mit den reduzierten Perioden aufbauen, stets die zwei Punkte

System aller Transformationen erster Art der

r

CU )

in sich

247

u und (- u + ca j + OJ 2 ), die im Parallelogramm diametral liegen, äquivalent. Wir zerlegen das Parallelogramm etwa durch seine kleinste (im Rechteckfalle durch eine) Diagonale in zwei Dreiecke (vgl. Fig.51, S. 242) und haben im einzelnen Dreieck einen Diskontinuitätsbereich der r(2)' Die Punkte auf den Dreieckseiten selbst sind dann zu Paaren einander äquivalent. Haben wir z. B. ein OJ mit "positivem" reellen Be- . standteile, so nehmen wir das Dreieck der Ecken 0, OJ 2 , ca 1 zum Diskontinuitätsbereiche. Hier sind dann: (11) u' = - u + ca 1 , ~t' = - tt + ca!, u' = - u + ca 1 + OJ 2 drei in der r(2) enthaltene elliptische Substitionen der Periode 2, welche die Seitenmitten des Dreiecks zu Fixpunkten haben und je zwei zur Mitte symmetrische Punkte der einzelnen Seite als äquivalent erweisen. 1) Von der einzelnen Seite hat also hier je nur die eine Hälfte dem Diskontinuitätsbereiche anzugehören (vgl. Fig. 52), von den drei Ecken etwa nur die bei u = 0; in Fig. 52 ist der Diskontinuitätsbereich durch Schraffierung hervorgehoben, und die Zuordnung der Seitenhälften ist durch Pfeile angedeutet, Eine zweite Art linearer Substitutionen, die indirekte Kreisverwandtsch aften darstellen (d. h. solche mit U mlegung der Winkel), war S. 73ff. eingeführt und besprochen. Auf tt Fig, 52, angewandt erhalten wir die einzelne solche Substitution, wenn wir VOll u zum konjugiert komplexen Wert u gehen und auf diesen sodann irgendeine Substitution erster Art ausüben. Wir fragen nUD, ob wir vielleicht auch solche Substitutionen zweiter Art angeben können, welche r(u) in sich transformieren. Eine etwa durch U = T(u) zu bezeichnende Substitution zweiter Art, welche dies leistet, müßte jedenfalls wieder den Grenzpunkt 00 zum Fixpunkte haben und also die Gestalt aufweisen:

T(u)

=

au + b.

Haben WIr em brauchbares T gewonnen, so erhalten wir sogleich unendlich viele in der Gestalt T· T, wo T die gesamten Substitutionen (7) 1) Hat 00 negativen reellen Bestandteil, 80 wählt man zweckmäßig das Dreieck der Ecken 0, - 00" 002 zum Diskontinuitätsbereich der r(i) und hat dann an Stelle der Substitutionen (11) die nachfolgenden: tt' =

-

tt

+

01 2 ,

248

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

bzw. (8) oder (9) durchlaufen soll. Berufen wir uns hierauf, so ist es keine Beschränkung, wenn wir in dem Ansatz für die gesuchten Transformationen T den Koeffizienten b = 0 setzen und die Amplitude -& der bzw. 0 <-& < oder komplexen Zahl a auf das Intervall 0 < -& < o < -& <}% beschränken. Wir wollen ferner bemerken, daß die durch einmalige Wiederholung von T zu gewinnende Transformation erster Art: T2(n) = aiin

%

t%

natürlich auch die r(u) in sich überführt. Da hiernach T2 zu den Transformationen (7) ff. gehört, andrerseits aber a· ii als Produkt zweier nicht-verschwindender, konjugiert komplexer Zahlen a, ii reell und> 0 ist, so bleibt nur aä = 1 übrig. Wir haben also a = e:Ji zu setzen und den Ansatz:

T(zt)

=

e:Ji.

U

z1;l prüfen. Für die erzeugenden Substitutionen der transformierten Gruppe: T 8 1 T -1 (U) = U + .!~u T S/f -1 (U) = U + .Q2 berechnet man leicht die Beziehungen:

(12) wo wieder rok der zu COk konjugiert komplexe Wert sein soll. Diese .Ql,.Q2 mUssen nun wieder ganzzahlige Kombinationen der (01) co 2 sein und umgekehrt, wenn T rT -1 = r zutreffen soll. Jetzt ist der Quotient .Q = ro und hat also negativen imaginären Bestandteil; es müssen sich demnach .Q1 und -.Q2 durch eine "lineare Transformation" (vgl. Note 1, S. 184) aus den CO ll C0 2 berechnen: .Ql =

aco1

+ ßco2

-.Q2 =

r C01

+ ~C02'

(a~

- ßr

=

1).

Hieraus folgt auf Grund von (12) für den Quotienten co der Peri-

+ aco + ~ro + ß = 0, wenn wir co ~ + i'l'/ setzen,

rcoro

eine Relation, die sich, Gleichungen spaltet: r(~2

=

+ '1'/2) + Ca + ~H + ß =

Da nun '1'/ > 0 ist, so folgt durch die Gleichung:

~ = a,

0,

Ca -

111

die beiden

~h = O.

und also liegt der Punkt co auf dem

r(~2 + '1'/2)+ 2a~ + ß = 0, (a 2- ßr (13) dargestellten Kreise. Ist die ganze Zahl l' = 0, so folgt aus (13):

+

=

1)

a = 0 = ± 1, ~ = i-ß = - faß. Die für unser Doppeldreieck der Fig. 43 charakteristische Bedingung

System aller Transformationen zweiter Art der T
249

- 1 < 2 ~ < 1 liefert also als einzige Möglichkeiten ß = 0 und ß= IX = ± 1. Ist ]I von 0 verschieden, so schreiben wir die erste Gleichung (13) so:

(14) wodurch der Kreis mit dem Radius dinaten ~ =

-'=-, 'I

'I)

1,,-1

I

und den Mittelpunktskoor-

= 0 dargestellt ist. Da der Punkt

10

=

Q mit der

Ordinate 'I) = fV3 der an der reellen w-Achse nächst gelegene endliche Punkt unseres Doppeldreiecks ist, so sind nur die ganzzahligen Werte " = ± 1 brauchbar. Unter allen Kreisen (14) erreichen dann aber nur der mit IX = 0 das Doppeldreieck (nämlich als Randkreis desselben) und der für IX = " = ± 1 (nämlich im einzelnen Punkte OJ = Q). Boll demnach die Gruppe r durch eine Transformation T in sich überführbar sein, so muß der Qttotient 10 der redttzierten Perioden entweder auf der imaginäl'en 10- Achse ~ = 0 odm' auf dem Rande 2 ~ + 1 = 0 oder endlich auf dem Rande ~2 + '1)2 = 1 des in Fig. 43, B. 179, schraffierten Dreiecks liegmz, und tDir haben für das Zahlenquadrupel a, ß, ", iJ bzUJ. die Kombinationen: (15)

zu denen für

( Cl,

ß) -_ (± 1,0, °± 1)'

'1,0

10 =

(±

1, ± 1) ( 0, =t= 1) ± 1 ' ± 1, 0 '

0,

Q noch die Möglichkeit hinzukommt:

(16)

( Cl,

ß)

y,o

=

(±± 1,1, °± 1).

Daß m allen Fällen r(u) tatsächlich durch T 111 sich transformiert wird, ist aus der ,,symmetrie" der betreffenden- Periodenparallelogramme einleuchtend. T bedeutet nichts anderes als die "Bpiegelung" (vgl. S. 73) der tl-Ebene in sich an der durch den Nullpunkt u = laufenden Geraden der Amplitude t& (und Jt + -~&). Haben wir den ersten Fall (15) und damit ein Rechteck, so folgt aus den vorstehenden Formeln:

°

T (tt)

=

+ ()Jl U = -

C0 1

=t= ()J' (0;2

u.

°

Hier aber liegt für das obere Zeichen die Spiegelung an der Rechteckseite durch die Punkte und 10 1 - wir wollen sie kurz die Gerade (0, (0 1 ) nennen - vor; für das untere Zeichen aber die Spiegelung an der Geraden (0, (0 2 ), Im dritten Falle (15) ist i 10 1 = 1, und das Parallelogramm ist ein Rhombus. Jetzt gilt: ~ () T U

=

+ =- tf = + =- tt,

-

1iJ 2 CD 1

-

1iJ1 002

und hier haben wir für das obere Zeichen die Spiegelung 4n der "Diagonale" (0, OJ 1 (0 2 ), für das untere aber diejenige an der Diagonale

+

250

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

(0, (iJi - (iJ2) des mit dem ersten benachbarten Rhombus der Ecken 0, (iJi' (iJi - (iJ2' - (iJ2' Liegt der zweite !i'all (15) vor, so tri tt die Symmetrie am Parallelogramm der reduzierten Perioden nicht hervor, wohl aber am Parallelogramm der Ecken 0, (iJi + (iJ2' 2 ro1 + (iJ2' (iJH wie man sich mit Hilfe von Fig. 53 deutlich machen wolle. Es liegen wieder zwei laufende Symmetriedurch den Nullpunkt tt = linien vor, und unsere obigen Gleichungen geben als zugehörige Spiegelungen:

°

T (u)

=

=+= Cl)' u 0)2

=

+ Clll:t(jJ~ U. ro -

1

Im harmonischen Fall kommen für die a, ß, r, 0 die erste und dritte Kombination (15) zugleich zur Geltung. Beim Quadratnetz laufen 1<'ig.53. in der Tat vier Symmetrielinien durch den einzelnen Gitterpunkt. Für (iJ = Q kommen der zweite und dritte Fall (15) zugleich in Betracht, und der Ansatz (16) liefert noch als 5. und 6. Spiegelung: Das gleichseitige Sechseck im Kreise (vgl. S. 239) hat in der Tat sechs durch seinen Mittelpunkt laufende Symmetrielinien. In allen Fällen ist durch die oben ausgesprochene Bedingung < -Ir < Ttbzw. < -Ir < tTt und < -Ir < tTt eine bestimmte unter den Spiegelungen ausgezeichnet. i )

°

°

°

§ 5. Begriff der doppeltperiodischen Funktionen und Residuensätze. Es sei jetzt irgendeine besondere Gruppe r(u) vorgelegt und für dieselbe ein primitives Periodenpaar (iJ1l ro 2 ausgewählt; das zugehörige Parallelogramm der Ecken 0, (iJ2' (iJi + ro 2 , roi oder allgemeiner mit den Ecken n o , n o + (iJ2' U o + OJ1 + 0)2' n o + (iJ1 benutzen wir als Diskontinuitätsbereich der r(u). Wir stellen nun folgende endgültige Erklärung der doppeltperiodischen Funktionen auf: Eine Ztt~· Gruppe r(u) gehörende eindeutige doppeltperiodisehe Funktion soll eine analytische Funktion 'I/J (u) sein, welche die schlichte u-Ebene, abgesehen vom Punkte u = 00 (dem 1) Fügt man der Gruppe

r die einzelne der gewonnenen Spiegelungen T

hinzu, so entsteht eine erweiterte Gruppe

r(2)'

welche neben den Substitutionen

1, S" S., S8' ... der r noch die Substitutionen zweiter Art T, S, T~ S2 T, S8 T, ... enthält. Alle existierenden Erweiterungen der Gruppe r(u) sind aufgestellt und figürlich erläutert in den "Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen" von Klein und Fricke (Leipzig 1897). Bd. 1, S.224ft'.

251

Begriff der eindeutigen doppeltperiodischen Funktionen

G1'enzpunkte der r(U)), zum Felde hat und l!ei Ausübung irgelideiner 81tbstitution von r(U) ihren Wert behält:

(1) In Punkten, die bezüglich r äquivalent eind, liegen demnach stets gleiche Funktionswerte vor, so daß alle Werte, die von 1/! (tl) überhaupt angenommen werden, bereits im Periodenparallelogramm erreicht werden, Der Punkt u = 00 muß notwendig ein wesentlich singulärer Punkt VOll 'Ij.,(n) sein (was ja auch schon in die Definition der Funktion aufgenommen wurde); denn in jeder Umgebung der Stelle 00 liegen unendlich viele Parallelogramme des Netzes und sind also unendlich viele verschiedene Punkte nachweisbar, in denen die Funktion einen und denselben Wert annimmt. Im Endlichen soll aber erkläl'ungsgemäß kein weiterer wesentlich singulärer Punkt von 1/! (u,) auftreten, Wenden wir diese Aussage insbesondere auf das Perioden parallelogramm an, so ergibt sich in bekannter Weise: Die Fttnktion 1/!(tt) kann im Periodenpa·rallelogramm nur endlich viele Pole haben, sowie überhaupt einen vorgeschriebenen komplexen 'Wert daselbst nur in endlich vielen Punkten annehmen. Wir wenden nun zunächst die Residuensätze von S. 37 ff. an, indem wir annehmen, daß wir auf irgendeinem Wege eine zur r(u) gehörende doppeltperiodische Funktion 1/!(u) wirklich gewonnen haben. Nach der Erklärung von S.37 ist das "Residuum" der Funktion 1/!(u) für einen etwa bei u = w gelegenen Pol der Koeffizient c_ 1 des Gliedes mit der Potenz (u - W)-l in der zugehörigen Potenzreihenentwicklung: 1/!(u) =

C_ m

--~...

(U-wt'

c_ m + + --~-_.+ ... + ---+ Co + Cl ~tt (U_w)m-l u-w 1

C_ 1

/

w)

+ ... ,

In einem mit w äquivalenten Punkte w' wird eine Entwicklung nach Potenzen von (u - w') mit den gleichen Koeffizienten gelten, 80 daß zu äquivalenten Polen gleiche Residuen der Funktion 1jJ(u) gehören. Wir haben uns oben durch die Unbestimmtheit der ersten Ecke U o des Parallelogramms eine gewisse Freiheit in der Lagerung des Parallelogramms vorbehalten. Da 1/! (u) nur endlich viele Nullpunkte und Pole im Parallelogramm haben kann und andererseits unbegrenzt viele inäquivalente Ecken U o zur Verfügung stehen, so dürfen wir Uo so gewählt denken, daß auf dem Rande des Parallelogramms der Ecken uo' U o + W 2 , tto + Wt + W 2 , U o + W 1 sich weder ein Nullpunkt ' noch ein Pol von 1/!(u) findet. Übrigens wollen wir mit C den aus den vier Seiten sich zusammensetzenden Rand des Parallelogramms bezeichnen und haben dabei, wenn wir einen Umlauf um das Parallelogramm im positiven Sinne ausführen wollen, C in der Richtung zu beschreiben, daß

252

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

+

+

die Eckenf6lge uo, U o (iJ2' Ho (iJ1 + (iJ2' U o + W 1 vorliegt. Bei den nachfolgenden über den geschlossenen Rand C auszudehnenden Integralen soll diese Integrationsrichtung stets innegehalten werden. Nach dem Residuensatze (3) S.38 ist das über C genommene Integral:

(2)

-2

~- [1fJ (tt) du ~7r.

(C)

gleich der Summe der Residuen von 1fJ(u) für alle im Parallelogramm gelegenen Pole. Nun können wir aber den vier Seiten des Parallelogramms entsprechend jedes über C erstreckte Integral so zerlegen:

so daß die Umkehrung der Integrationsrichtung bei zweien von diesen Integralen auch folgende Zerlegung als möglich ergibt 1):

Hier sind die Teilintegrale, welche sich auf je zwei Gegenseiten des Parallelogramms beziehen, in eine Klammer zusammengefaßt. Ist nUll zunächst f(u) irgendeine längs C eindeutige analytische Funktion, so ist

.f +

Uo +(V2.

Uo+W] +012

und ebenso gilt:

Uo

=.f

fCu

+(

fCu

+ (iJ2)clu.

1)

du,

Ua

Ul l

.r

UD

((u) du

+ 012 + 001

Uo

fett) du

uo +w2.

=

+

,f

(Ui

Un

Das über C genommene Integral läßt sich somit in die Gestalt: ~+~

ff(u) du ~

=

f

(f(u + ws)

=.r

~+%

=

~

f(u» du

(f(u

+ (iJ1) -

f(u») dtL

~

setzen. Ist demnach f( u) irgendeine unserer doppeltperiodischen Funktionen 1fJ(u), so verschwindet das Integral (2): Bur jede bei unserer

Gruppe r(u) etwa existierende doppeltperiodische Funktion 1fJ(tt) verschwindet die Summe der Residuen aller im Periodenpamllelogramm gelegenen Pole. Aus der Begriffserklärung von 1fJ (u) folgt, daß mit dieser Funktion auch deren Ableitung 1fJ' (tt) eine zur Gruppe r CU ) gehörende doppeltperiodische Funktion ist. Dasselbe gilt demnach auch vom Quotienten: 1/J'(u)

-.;pTiiY =

1)

dlog1/J(u) du

8. die entsprechenden Zerlegungen auf der Riemannschen Fiäche F. oben 8.159.

Residuensätze iiber doppeltperiodische Funktionen

253

so daß unser Integral über C auch für diese Funktion verschwindet. Daraufhin liefert der zweite Residuensatz (5) S. 39 sofort: Für ,jede zur r(U) gehörende doppeltperiodische Funktion '!/J (u) ist die Summe der Ordmtngen aller im Parallelogramm gelegenen Nullpunkte gleich der Summe der Ordnungen aller daselbst gelegenen Pole. Wir bezeichnen den gemeinsamen endlichen ganzzahligen vVert dieser Summe mit m und nennen m die "lVertigkeit" der Funktion '!/J(tt). In gewohnter Schlußweise ziehen wir die Folgerung, daß, 'Wenn '!/J o irgendein endlicher komplexer Wer·t ist, die doppeltperiodische .Funktion ('!/J (tl). - '!/Jo) als Summe der Ordnungen ihrer im Periodenpamllelogramm gelegenen Nullpunkte auch wieder m liefert. Da solche Nullpunkte auch auf dem Rande C liegen können, so ist an der Bestimmung festzuhalten, daß nur die bei den von U o auslaufenden Seiten des Parallelogramms (unter Ausschluß der Endpunkte Uo + 0)11 tto 0)2) diesem BeTeiche als zugehörig gelten. Man kann das gewonnene Ergebnis auch in die Form kleiden: Eine m-wertige doppeltperiodische Funktion '!/J(u) nimmt einen beliebig 'I)orgeschriebenen Wert 1/10 (auch die Werte 0 und 00 eingeschlossen) stets in m Pttnkten des Parallelogmmms wirklich an, wobei unter diesen m Punkten beim einzelnen 1/10 natür'lich irgendwelche Koinziclenzen stattfinden können. Dabei gilt für solche Koinzidenzen die früher schon öfters aus den Reihenentwicklungen entnommene Betrachtung: Für einen endlichen TYert '!/Jo wird eine Koinzidenz 'I)on v zugehörigen Ptmkten an der Stelle u = 'I) stets tmd mw dann eintreten, ~cenn an dieser Stelle die Ftmlition 1/1'(u) einen Nullpunkt (v -lYer Ot'dnu1zg besitzt; fii1' den Wert 1/10 = 00 sind die Koinzidenzen unmittelbar aus den Ordnungen der Pole von '!/J(u) ersichtlich. Die gewonnenen Ergebnisse gestatten uns, ein Resultat von grundsätzlicher Bedeutung abzuleiten. Wir setzen die Funktionswerte '!/J(tt) = z und wollen das Parallelogramm konform auf die z-Ebene abbilden. Das Abbild wird jede Stelle der z-Ebene bis auf gewisse Verzweigungspunkte m-blättrig überdecken .•Teder (v-l)-fache Nullpunkt'/) der Funktion 1{1'(u) liefert für den endlichen Wert z='!/J(v) einen v-blättrigen Verzweigungspunkt; die Pole von 1/1(~l) im Parallelogramm - es seien n unterschiedene, und ihre Ordnungen seien !-Li' !-L2' • •• , !-Ln - liefern n bei z = 00 übereinanderliegende Verzweigungspunkte bzw. mit !-Lu !-L2' ... , !t n Blättern. vVeitere Verzweigungspunkte treten nicht auf. Nach der Regel (4) S.88 berechnet sich das Geschlecht p dieser Flüche Fm zu:

+

p

=

-

m

+ 1 +2) ~-2_1 +;E /L ~_1,

wo sich die erste Summe auf die im Endlichen, die zweite auf die bei

254

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

z

= 00 gelegenen Verzweigungspunkte bezieht. Die Pole von 1/J'(u) fallen mit denen von 1/J (tt) zusammen; die Ordnung ist je um eine Einheit größer, also Cu 1). Die Wertigkeit von 1/J'(tt) ist demnach:

+

~ Cu

woraus sich ergibt:

+ 1) = ~

~

n

+~ !L =

p,-.! 2

=

rn

+ n,

tI~='fI,. 2

INun ist die Wertigkeit (m + n) von 1/J' (u) auch gleich der Summe aller : Ordnungen (v - 1) der Nullpunkte dieser Funktion, woraus sich:

:2 1J2~

=

1n

t1~

ergibt. Somit istp = 1: DU1'ch eine m-u;ertige doppeltperiodische Funktion z = 1/J(u) wird das Periodenpamllelogmmm konform auf eine geschlossene m-blättrige RieJlzannsche Fläche Fm über der z-Ebene abgebildet, deren Geschlecht p = 1 ist. . Daß hiel'bei eine Fläche "des Geschlechtes 1", d. h. eine solche vom Zusammenhange des Kreisringes (vgl. S. 84ff.), herauskommen muß, ist anschaulich unmittelbar einleuchtend. Das einzelne Paar der Gegenseiten des Parallelogramms. fügt sich in der.Abbildung zusammen und liefert einen Rückkehrschnitt Q auf der Fm. Die beiden so zu gewinnenden Schnitte Ql' Q2 zerlegen dann die Fm in einen auf das Parallelogramm eindeutig bezogenen Bereich, der, wie das Parallelogramm, einfachen Zusammenhang besitzt. Jede weitere doppeltperiodische Funktion der r(u) liefert nun, auf die F übertragen, daseibst eine algebraische Funktion 1), und umgekehrt liefe-rt uns jede algebraische Funktion der Fm für die r(u) eine .doppeltperiodische Funktion. Der Anschluß an die auf algebraischer Basis entwickelte Theorie der elliptischen Funktionen des vorangehenden Kapitels ist damit erreicht: Entweder gibt es überhaupt keine doppeltperiodische Funktion der vorgelegten r(u), oder W1:r haben hier mit einem der im vorigen Kapitel gewonnenen Pet'iodenparallelogmmme zu tun; und' dann haben sofort die gesamten damaligen Entwickltmgen über den zugehörigen Körper elliptischer Funktionen Gültigkeit. Man kann nun den Existenzbeweis von Funktionen 1/J(u) bei beliebig gegebener Gruppe r(u) mitte1st direkter funktionentheoretischer Erwägungen fUhren, wie sie bei den Existenztheoremen der algebraischen und der automorphen Funktionen Vel'wendung finden.~) Es empilt

1) S. die allgemeine Erklärung einer algebraischen Funktion S. 77 unten. 2) l\Ian sehe hierüberz. B. W ey 1 "Die Idee der Riemannschen Fläche", (Leipzig, 1913) Kap. 2 und die "Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen" von Klein und Fricke, Bel.:2 S. 8ff. sowie etwa auch "Modulfunktionen", Bd.1 S. 508ff.

Abbildung des Parallelogramms auf eine Riemannsche Fläche

255

fiehlt sich indessen hier einen anderen Weg zu gehen, den wir ohnedies zu betreten haben. Wir werden den Existenzbeweis der zu einer beliebig gewählten r(u) gehörenden Funktionen 1/J (u) dadurch führen, daß wir diese Funktionen unmittelbar durch konvergente Produkte und Reihen zur Darstellung bringen. Eine hierbei grundlegende Konvergenzbetrachtung stellen WH' in § 6 voran. l )

§ 6. Über die Konvergenz gewisser Doppelreihen. Für eine beliebig vorgelegte Gruppe r(u) wollen wir unter (01) (02 zunächst der Bequemlichkeit halber das reduzierte Periodenpaar verstehen. "Vir zeichnen das zugehörige Parallelogrammnetz und wollen für die Gitterpunkte desselben die abgekürzte Bezeichnung: (1)

ml

(01

+ 1n

2 (02 =

(m u

1n 2 )

einführen. Der Abstand des einzelnen Gitterpunktes vom Nullpunkt ist der absolute Betrag I(ml , 1n2 ) I. Indem wir den Gitterpunkt u = 0, ausschließen, bilden wir und damit die Kombination ml = 0, 1n2 = mit einer positiven ganzen Zahl k die auf alle übrigen Gitterpunkte bezogene Summe:

°

(2) wobei durch den oberen Index am Summenzeichen hier und weiterhin, falls nichts anderes bestimmt ist, die Auslassung der genannten Kombiangedeutet sein mag. Wir stellen die Frage, ob nation 1nl = 0, m2 = man die ganze positive Zahl 7c so wählen kann, daß die Doppelreihe (2) konvergiert. Da die Reihe (2) nur reelle positive Glieder enthält, so wird sie im Falle der Konvergenz auch "unbedingt", d. i. unabhängig von der Anordnung der Glieder, gegen einen bestimmten endlichen Summenwert konvergieren. Wir dürfen daraufhin bei der Konvergenzuntersuchung eIne besondere gleich näher anzugebende Gliederanordnung bevor-

°

1) Die Begriffsbestimmung der doppeltperiodischen Funktionen im Anschluß an das Periodenparallelogramm und die aufCauchyschen Hilfsmitteln beruhende Aufstellung der Residuensätze ist zum ersten Male im Zusammenhange von J. Liou ville in einer 1847 gehaltenen Vorlesung gegebeu; dieselbe ist von C. W. Borchardt ausgearbeitet und unter dem Titel "Leyons Bur les fonctions doublement periodiques faites en 1847 par M. J. Liouville" im Journ. f. Math., Bd. 88 (1879), S. 277 veröffentlicht. Es spielt hier insbesondere der Satz, daß es keine einwertige FunkEon 'l/J (t~) geben kann, eine grundlegende Rolle. Dieser Satz ist durch die im Texte aufgestellte Beziehung auf eine Fläche des Geschlechtes 1 selbstverständlich; doch kann er auch sehr leicht aus dem ersten Residuensatze (Verschwinden der Summe der Residuen aller Pole) geschlossen werden.

256

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

zugen, die durch Fig. 54 begründet wird. Hier sind die sämtlichen von u = 0 verschiedenen Gitterpunkte auf den Rändern einer einfach unendlichen Reihe konzentrischer und ähnlicher Parallelogramme untergebracht, die in der Figur punktiert sind. Das nie Parallelogramm trägt diejenigen 4n Gitterpunkte, deren Zahlenpaare 1ft!> m 2 die Bedingung befriedigen:

i 1ni

i+

j

1ft2

i = n.

Sind e1 und e2 die Längen der Lote vom Nullpunkte auf die Seiten des ersten dieser Parallelogramme, und ist e eine dieser bei den Zahlen, die nicht größer ist als die andere, so gilt (vgl. Fig. 54) für die 4n Gitterpunkte auf dem Rande des nlen Parallelogramms: 1

i (1111-;1n2) i <

}'ig.54.

1

n.e·

Verstehen WIr demnach unter .'E" die Summe der 412 Glieder von (2), welche zum nten Parallelogramm gehören, so gilt:

~n <~.

ar-I.

Wenn WIr also jetzt für die Reihe (2) die Anordnung:

'5"=

~

~ +~ +~ ":'2 ~3

~l

..L ••• I

bevorzugen, so ist klar, daß unsere Reihe jedenfalls dann konvergiert, wenn die Reihe 1 + (t)k-l + + (iY-l + ...

et)k-l

konvergent ist. Diese Reihe ist zwar für k = 2 noch divergent, aber für alle ganzen Zahlen k > 2 ist sie konvergent und gibt z. B. für k = 3 den bekannten Sllmmenwert: 1

+ n-)2 + (t)2 + (t)2 + Ci? + ... = 1~'

Wir haben demnach als Resultat anzumerken: Die Doppelt'eilw (2) ist für alle ganzen Zahlen k > 2 konvergent. Hiernach wird auch die Reihe:

(3)

;S (mi'

nl

2)-k

für alle ganzen Zahlen k > 2 absolut und also unbedingt konvergent sein. Da übrigens mit jedem Zahlenpaar 1n v m 2 auch das Paar - mll

257

Konvergenzbeweis gewisser Doppelreihen

auftritt, so ist der Summenwert für alle ungeraden Zahlen' k = 3,5, ... gleich O. Wir lassen demnach weiter nur die geraden Exponenten zu und wollen für die betreffenden Reihen die Bezeichnungen einführen: -

111 2

(4) FVir jede ganze Zahl k > 2 ist hierdurch ein bei unserer Gruppe r(u) eindeutig bestimmter endUcher Summenwert Gk (()J1' ()J2) der rechts stehenden konvergenten Reihe erklärt, dessen Abhängigkeit von den Perioden ()J1I W 2 uns noch mehrfach beschäftigen wird. Eine erste grundlegende Eigenschaft der Werte Gk (()J1I ()J2) folgt aus der unbedingten Konvergenz unserer Doppelreihen. Führen wir an Stelle der bisherigen reduzierten Perioden W lI ()J2 mitte1st "linearer Transformation" (vgl. S. 184) irgendein zur Gruppe r(u) gehörendes priruiti ves Periodenpaar:

(5)

(o:~-ßr=l)

ein, so sind bekanntlich die Werte (m~ ()J~ + m;w;) in ihrer Gesamtheit den Werten (m 1 ()Jl + 1rI 2 ()J2) gleich, und es entspricht die Kombination m~ = 0, m~ = insbesondere der Kombination m1 = 0, 1n 2 = 0, Bilden wir demnach die Reihe (4) für ()J~, ()J~ an Stelle der W ll ()J2' so wird dieser Ersatz einfach auf eine Umordnung der Reihenglieder hinauslaufen. Der Summenwert ist aber von der Gliederanordnung unabhängig, und also folgt das grundlegende Ergebnis: Dm" Summenwert Gk (()JlI ( 2) erweist sich als der gleiche für je zwei primitive Periodenpaare unserer r(u), er ist gegenüber irgendeiner linea1'en Transformation (5) der Perioden invariant:

°

(6)

§ 7. Existenzbeweis der doppeltperiodischen Funktionen. Für den einzelnen Körper elliptischer Funktionen konstruierten wir oben (S. 208) eine ganze transzendente Funktion G(H), die in jedem Gitterpunkte einen Nullpunkt erster Ordnung hatte, in jedem anderen endverschieden war, Auf Grund der Entwicklichen Punkte H aber von lungen von S. 56ff. über die Produktdarstellung der ganzen transzendenten ]1'unktionen können wir auf independentem Wege für unsere hier vorgelegte r(u) mitte1st eines unendlichen Produktes eine entsprechende ganze transzendente Funktion herstellen, die wir unter Vorbehalt näherer Vergleichung mit der früheren Funktion G(tl) gleich selbst wieder durch das Symbol G(tl) bezeichnen. Es ist nämlich die

°

Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. t

17

258

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

damalige Reihe (6) S. 59 für das aufzustellende Produkt mit Nullpunkten in den Gitterpunkten einfach unsere jetzige Reihe: ~'I (m1, rn 2 ) li/V

1-("+1\

7112.

deren Konvergenz für h = 2 bewiesen ist. Somit haben wir (vgL S. 59) in:

(1)

°

wo beim Produkte die einzige Kombination m1 = 0, 1na = auszulassen ist (Index am Produ1ctzeichen!), eine ganze transzendente Funktion der "Höhe" 2 von dm' gewünschten Beschaffenheit, d. h. von der richtigen Lage und Ordnung der Nullpunkte. Ob wir hierin die 6-Funktion, welche uns von S,208 her bei den Körpern elliptischer Funktionen bekannt ist, wieder gefunden haben, wird bald näher zu untersuchen sein. Vorher wollen wir gleich noch aus der von S. 59 her feststehenden tMzbedingten Konvergenz des Produktes (1) denselben Schluß ziehen, wie im vorigen Paragraphen bei den Summenwerten Gk((f)l, (f)2)' Bezeichnen wir die in (1) erklärte Funktion in ihrer Abhängigkeit von u, (f)1 und (f)2 genauer durch 6(u 1 (f)1' (f)2)' so wird stets derselbe Produktwert erscheinen, wenn wir unter Festhaltung von u die Perioden (f)l' (f)2 durch ein anderes primitives Periodenpaar ersetzen: Die in (1) erklärte ganze transzendente Funktion 6(t! Iroll (f)2) erweist sich als invariant gegenübm' irgendeiner linearen Transformation de1' Perioden:

(2)

6(tt 1a(f)l

+ ßro 2, r OO l + 8(f)2) =

6(u I (f)ll (f)2)'

Um genauere Angaben über unsere Funktion 6(n) zu machen, gehen wir auf die Sätze von Seite 60 (am Schlusse des damaligen § 12) em und bilden die Ableitungen von log 6(u):

-l J

(3)

dlog6(u) du d'log6(u)

d~~'

~~

+

__ + (m"m.) - 2...___ + (m"m,)"

~'(_1

=

U

U-(ll!llm,)

~

,m2

lU 1

1 ~' (( 1 U'! + ~ u - (1n,;1n~)

)

)2 - ((nL"1mJ)2) '

?n1 ,111 2

S

~ (

d log6(u)

~d !t S-

~

=

2~

u-

1

)3

(m,~ m.)

,

Utl,m2

sowie allgemein für v

(4)

> 3:

(_ 1)'-1 d'lOdgu6,(~

=

wo für v >3 die Kombination

(v _ 1)1 ~ (' ~

1nl

= 0,

1n2

=

1 )" u-(In" mJ '

° bei der Summe nicht

Existenzbeweis der doppeltperiodischen Funktionen

259

mehr auszulassen ist. Wir haben hier eine Reihe von Funktionen, die die schlichte u-Ebene, abgesehen vom Punkte 00, zum Felde haben; dabei hat die v te Funktion in jedem Gitterpunkte einen Pol v ter Ordnung und ist in jedem anderen endlichen Punkte u analytisch. Die einzelne der rechts stehenden Reihen ist in jedem endlichen Bereiche der u-Ebene unbedingt und gleichmäßig konvergent, wobei jedoch in jedem Gitterpunkte ein einzelnes Reihenglied den daselbst gelegenen Pol der dar: gestellten Funktion liefert. Es ist nun unmittelbar einleuchtend, daß wir hier für v ~ 3 lauter doppeltperiodische Funktionen unserer rCu) vor uns haben. Es bewirkt ja z. B. die Vermehrung von u um (02 nur eine Gliederumordnung in der einzelnen unbedingt konvergenten Reihe. Nicht ganz so unmittelbar ist dasselbe an der zweiten Reihe (3) einzusehen. Greifen wir hier für irgende~ne endliche positive ganze Zahl n und für stehendes 'inl den Bestandteil:

heraus 1), so gilt für die durch diesen Bestandteil der zweiten Reihe (3) erklärte rationale Funktion w,,(u) von u: W (n n

+

(0 ) _

2

W (u) ,.

=

( _ _ ~1 ____

u-(m,,-n-l)

)2 _ (u-(m1,n) __ 1 __)2.

Da nun die rechte Seite dieser Gleichung für lim n = 00 die Grenze 0 hat und lim wn(u) als Bestandteil einer absolut konvergenten Reihe eine bestimmte Funktion w(u) darstellt, so gilt für diese Funktion w(u (02) = w(u). Die zweite Reihe (3) setzt sich aber aus lauter solchen Bestandteilen zusammen und hat also auch die Periode (02' Der Existenzbewe1:s der doppeltperiodischen Funktionen für unset'e beliebig vorgelegte Gruppe rCu) ist da'init erbracht. Insbesondere haben wir für jede ganze Zahl v >2 eine v-wertige Funktion '!/J(u) mit einem Pole vter Ordnung in jedem Gitterpunkte konstruiert, und speziell die erste unter ihnen wird unser Parallelogramm auf eine zweiblättrige Fläche F2 des Geschlechtes 1 und also mit 4 Verzweigungspunkten abbilden. Wir sind demnach nunmehr berechtigirvon einem "Körper doppeltperiodischer Funktionen" für jede unserer Gruppen pu) zu sprechen und dürfen für diesen Funktionenkörper alle Entwicklungen des vorigen Kapitels als gültig in Anspruch zu nehmen.

+

1) Hier soll der Index am Summenzeichen bedeuten, daß bei m 1 = 0 im Gliede mit m. = 0 der Subtrahend der Klammer auszulassen ist. 17*

260

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

:§ 8. Teilbruchreihen für die Funktionen &o(u), gJ'(u) und nebst Folgerungen.

~(u)

Wir betrachten nun zunächst die zweiwertige Funktion:

1jJ(u)

~2 + ~' ((u-(~l!m2)r - (11I1~1nJr)

=

17t 1t Ut2.

unserer Gruppe rCu) näher. Da mit jedem Zahlenpaare 1n17 1Il 2 auch - m1, - m2 in der Reihe vorkommt, so ist aus der Bauart der Reihe ersichtlich, daß "IjJ (u) eine gerade Funktion ist. Die Funktion: 1

"IjJ(U) - u2 ist in der Umgebung von tt = 0 analytisch und hat, wie wieder die Reihe zeigt, im Punkte tt = 0 den Wert O. Sie gestattet demnach III -dieser Umgebung die Entwicklung: t:p(u)

=

1

tt'

"IjJ(U) - u' = qJ(tt) = qJ"(O) . 2! Nun gilt aber: qJ(2k)(U) = (2k + I)! ~' ( ,L.;

+ qJ(4)(0) . tt4! + ... 4

1

U -

(m" m.)

)2k+2.

Setzen wir hier U = 0, so ergibt sich rechter Hand, abgesehen von dem numerischen E'aktor (2k + I)!, die in (4) S.257 eingeführte Summe des Wertes Gk+l(0J 1, OJ 2 ). Die Reihenentwicklung der Funktion 1jJ(u) für die Umgebung des Punktes U = 0 hat demnach die Gestalt:

(1)

"IjJ(u)

1

=! tt

+ 3G~tt2 + 5 Gsu4 + 7 G4 U6 + 9G5 u8 + ...

Man wird bereits erkannt haben, daß wir hier die Funktion !J (u) des zur Gruppe rCu) gehörenden Körpers doppeltperiodischer Funktionen vor uns haben; denn ("IjJ(u) - !J(tt) ist als polfreie doppeltperiodische Funktion mit einer Konstanten identisch, und der Wert dieser Kon. stanten ist 0, da zufolge der Reihenentwicklungen von "IjJ(u) und S.J(tt) (vgl. (1) S. 200) die Differenz ("IjJ(u) - gJ(u» für U = den Wert hat. Umgekehrt ziehen wir aus der Identität &o(u) = "IjJ(u) jetzt sofort das Ergebnis: Die Fttnktionen erster Stufe &0(U) und !J'(u) der Gr'uppe r(u) lassen sich in die folgenden als "Teilbrucl11'eihen" zu bezeichnenden Reihen entwickeln:

°

I

!J(tt)

(2)

!J'(u)

=

:.

+ 2.1'.((U~(~tl,m)2 - ((1I~1~mJ)2), rn1,m'J.

=

-

2

~ Ct-=-(~!l!1i~/' 1nV m 2

°

Invarianz der Funktionen erster Stufe bei linearer Transformation

261

die abgesehen da,von, daß in jedem Gitterpunkte je ein Glied einen Pol besitzt, in jedem endlichen Bereiche der u-Ebene unbedingt und gleichmäßig konvergieren. Weiter kann hiernach die in der ersten Gleichung (3) S. 258 ge- . lieferte Funktion vom Integral zweiter Gattung ~(u) nur um eine additive Konstante abweichen. Da aber infolge jener Gleichung: lim (~~~?(u) -~) u=o

du

u

=

0

gilt, so zeigt der Vergleich mit
~(u) =

1 + ~'. (1 1rn +~-2 U) , -------+ (m" --(mI' rn.) (m"

~ U

U -

1Il.)

2)

von deren Konvergenz dasselbe gilt wie von derjenigen der Reihen (2). Kehren wir endlich mitte.lst des Integrales: eF(U)dU =

G(u)

zum Ausgangspunkte (1) S. 258 unserer gegenwärtigen Entwicklung zurück, so ist klar, daß diese Funktion von der S. 208 eingeführten Funktion G(u) nur um einen konstanten Faktor abweichen kann. Aber auch die Funktion (1) S. 258 befriedigt wie die in (f» S. 208 dargestellte Funktion G(tt) die Bedingung: lim ('j(u) = 1. li=o

u

Also haben wir in (1) S. 2M unmittelbar unsere frühere G-Funktion in Gestalt eines doppelt unendlichen Produktes wiedergewonnen. Soll die Abhängigkeit der Funktionen f;(u), SJ(u), SJ'(u) auch von W 1 , W 2, wie sie in den Teilbruchreihen zum Ausdruck kommt, hervorgehoben werden, so schreiben wir ~(u! 011 ,01 2 ), !J(u! 01 11 01 2 ), !J'(1( 1 0117 ( 2 ). Aus der "unbedingten" Konvergenz der Teilbruchreihen folgt alsdann, wie bei der Funktion G(u): Das Integral zweiter Gattung erster Stufe ~ tmd die doppeltperiodischen Funktionen m'ster Stufe SJ und SJ bleiben unverände1·t, falls man in ihnen Oll' 012 irgendeiner linearen Transformation unterwirft: f b(u I a01 1 + ßw 2, YW 1 + 0'012 ) = b(u i W l1 01 2 ), (4) 1 ~(u: aW1 + ßw2, YW 1 ~ O'( 2) = ~o~ul W 1, ( 2), I

'SJ (tt

I aW 1

+ ßw2,

}'W11 r}( 2) =

s;)

(tl

1

01 11 ( 2 )·

Vergleichen wir die Reihe (1) mit der ursprünglichen Potenzreihe (1) S. 200 der SJ-Funktion, so zeigt sich, daß die Summenwerte G 2 ( W l1 012 ),

262

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

Gs(ro t , ro 2 ) unserer Doppelreihen (4) S. 257 zu den rationalen Invarianten gj und gs der biquadratischen binären Form in der Beziehung stehen:

2~~-5 g2

=

2/ 7gs

3 G2 ,

=

5 Gs'

Wir erkennen: Die Werte det· mtionalen Invarianten g2' gs hängen emdmttig vom Periodenpaat'e rot, ro 2 ab:

(5) g2(ro l1 ro 2) = 60

1 )4, :2, ((--) -

1II1,rtI'J.

~,~

:2' ((----). I )6

gs(rol> ro 2) = 140.

~.~

1/1'1,111'2,

erweisen s1'ch zufolge der unbedingten Konvergenz der hier rechts stehenden Reihen gleichfalls als invariant gegenüber einer beliebigen linearen Tmnsformation der Pet'ioden:

~tnd

g2«(Y. rot + ßroa, yro t + ~ro2) {

(6)

gs«(Xro t + ßOJ 2, rOJt

=

+ ~OJ2) =

g2(rol> ro 2 ), gs(OJl> OJ 2)·

Die absolut konvergente Reihe (3) muß bei Vermehrung von ~t um Perioden rot, OJ 2 die Eigenschaften des Integrales zweiter Gattung: ~(u

+ OJ t ) =

~(u)

+ Y)1>

~(1t

+ OJ2) =

~(u)

+ 1)2

besitzen. Greifen wir aus dieser Reihe die endlich vielen Glieder:

°

°

heraus, wo der Index am zweiten Summenzeichen hier zu bedeuten hat, daß für mt = in dem zu m2 = gehörenden Reihengliede der zweite und dritte Summand auszulassen ist, so ist hierdurch für jedes Paar endlicher positiver ganzer Zahlen k, 1 eine rationale Funktion Wk,I(~t) gegeben. Für lim 1 = 00 erhalten wir in' Wk,oo(U) einen Bestandteil der absolut konvergenten Reihe (3) und damit für jedes k eine bestimmte Funktion. Diese Funktionen Wk,oo (it) nähern sich für lim k = 00 der Funktion ~(u) als Grenze an. Aus der Erklärung von Wk,I(U) folgt: Wk

,

leU + OJ) 2

+k

+1

+ .::;.; ~'_ W,__ ) I) (mi' In,)' ,

Wk 1(1t) = ~ ( ____ ~. _________ ~1_~_ ,

L.i

~t -

(mu-l-I)

ml=-J~

u - (mu

'm 2=--l

wo rechter Hand in einer endlichen Anzahl von (4k + 2) Gliedern ~t auftritt. Für lim 1 = 00 wird die Summe dieser endlich vielen Glieder gleich 0, und man gewinnt als eine Eigenschaft der Funktion Wk,oc(u): +k +00 Wk , ",Cu + OJ 2;'\ - Wk,,00 (u) = L.i ~ (~' __ L.i (})~l' m"].)2

UJ2._).

ml=-k

1n'l.=-:lO

Die Konvergenz der rechts stehenden Reihe ist durch diese Gleichung mit Rücksicht auf die absolute Konvergenz der Reihe (3) selbstverständlich, kann aber auch leicht direkt dargetan werden. Für !im k = 00

Bedingt konvergente Reihen für die Perioden

263

1)1' 1)2

konvergiert die linke und also die rechte Seite der letzten Gleichung gegen den Wert s(tt + 1iJ 2) - s(u) = 1J2' Die zweite Periode 1}2 des Integrals zweiter Gattung erster Stttfe s(u), welche dm' Periode 1iJ 2 von u entspricht, gestattet in 01 1, 1iJ;j die Darstellung:

~: ~ ~ ( ~'(m'11m;lf)'

(7)

1f11- -

00

'm2.-- 00

Die absolute Konvergenz der Reihe (3) S. 257 für k = 2 war oben nicht beweisbar. Bei der in (7) vorgezeichneten Anordnung, bei welcher also zuerst bei stehendem 1n1 über 1n 2 von - 00 bis + 00 zu summieren ist und hernach für 1n1 von - 00 bis + 00 summiert werden muß, wird indessen eine konvergente Reihe des in (7) angegebenen Summenwertes gewonnen. Es ist jetzt auch hinterher verständlich, daß die in Rede stehende Reihe nicht mehr absolut konvergent sein kann. Sie müßte ja im Falle der absoluten Konvergenz gegenüber den linearen Transformationen der Perioden invariant sein, während wir doch wissen, daß der Summenwert der Reihe (7) bei Ausübung der Transformation (5) S.257 in:

w;

übergeht.

= 1iJ 2 Durch Ausübung der speziellen Transformation auf die Gleichung (7) oder auch durch eine ähnliche Betrachtung, wie sie uns vorhin zur Gleichung (7) hinführte, gewinnt man übrigens die entsprechende Gleichung für die PIJriode 1}1 von s(u): 1iJ; =

-

1iJ1

(8) Wir wollen hierbei nochmals besonders hervorheben, daß zufolge dm' absoluten Konvergenz der Reihe (3) in den vorstehenden Entwic7.:lungen 1iJ 1 , 1iJ 2 irgendein primitives Periodenpam' unsel'm' Du) sein darf; natiit'lich sind die 111' 112 die "ihnen zugehön'gen" Perioden des Integrals zweiter Gattung.!) 1) Die im Texte behandelten Teilbruchreihen für

jJ(~~)

und

scn)

verdanken

+ __

ihre absolute Konvergenz den Zusatzgliedern ____~_ bzw __~ __ t6 __ (mt' m.)· ' (mu m.);!1 1l 111 2 ) und dasselbe gilt bei dem Doppelprodukt für die 6-Funktion von den "konvel'genzerzeugenden" Zusatzfaktoren:

(m

" er;;;;;;;;)

1 (

"

+2-(;;,;;m~-)

) 2

.

Die Einführung dieser die Konvergenz bewirkenden Elemente geschah durch VV eie rstraß in der S. 56 namhaft gemachten Arbeit. Um die grundlegende Bedeutung dieses Schrittes zu erkennen, vgI. man die im übrigen sehl' tiefdringende Unter-

264

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

§ 9. Die Funktionen des ringförmigen Bereiches nebst Anwendungen. Neben den bisherigen Reihendarstellungen unserer elliptischen Funktionen erster Stufe sind auch noch "Fouriersche Reihen" sowie mit ihnen verwandte Reihen und Produkte wichtig. Man kann diese Darstellungen aus den Teilbruchreihen entwickeln; doch führe.n die diesem Zwecke dienenden Reihenumformungen nicht in das innere Verständnis der neuen Darstellungen ein, so daß wir hier einen von den bisher aufgestellten Reihenentwicklungen gänzlich una bhängigen Weg gehen wollen, der unmittelbar an das Wesen unserer Funktionen anknüpft. Wir denken Wl , W 2 als irgendein primitives Periodenpaar der pu) gewählt und wollen die mit dem zugehörigen Parallelogramm netz versehene u-Ebene vermittelst der Exponentialfunktion: 2iJtu

(1)

t

=

e '".

auf die t-Ebene abbilden. Als konformes Abbild gewinnen wir eine unendlich-blättrige Riemannsche Fläche F", mit den beiden Verzweigungspunkten t = 0 und t = 00. Die unendlich vielen beim einzelnen von o und 00 verschiedenen t übereillanderliegenden Punkte der Fläche F er.> entsprechen einem System äquivalenter Punkte u, u ± W 2 , U ±2 W 2 , u + 3 W 2 , • • •• Die durch u = 0 und u = W 2 laufende Gerade und die zu ihr parallelen Geraden des Netzes liefern in der t-Ebene ein System konzentrischer Kreise um den Mittelpunkt t = 0 (vgl. Fig. 55); die Abbilder der Geraden des anderen Systems koinzidieren in der t-Ebene und liefern eine einzige logarithmische Spirale (vgl. Fig. 55), welche man als Verzweigungs schnitt für die F 00 gebrauchen kann. Das erste Parallelogramm des Netzes (dasjenige der Ecken 0, W 2 , W l + ())2' ())l) ergibt im Abbilde den in Fig. 55 schraffierten Kreisring, welcher nach suchung von G. Eisenstein "Genaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Funktionen als Quotienten zusammengesetzt sind", Journ. f. Math. Bd. 35 (1847), S. 153 oder auch G. Eisensteins "Mathematische Abhandlungen" (Berlin, 1847) S. 213. In dieser Abhandlung ist die spä.tere Weierstraßsche Theorie, insofern sie sich auf der Produktentwicklung der 6-Funktion und den Teilbruchreihen für g; (u) usw. aufbaut, ziemlich vollständig vorausgenommen. Die Unvollkommenheit besteht jedoch darin, daß Eisenstein, da ihm eben die Weierstraßschen Zusatzfaktoren fehlen, die im Mittelpunkte stehende Größe, nämlich die Funktion 6 (u), nur durch ein ,.bedingt konvergentes" Produkt darzustellen vermag. übrigens gelten dieselben Bemerkungen auch von A. Cayley, der zwei Jahre vor Eisenstein eine verwandte Untersuchung "Memoire sur les fouctions doublement periodiques", Journ. de Math. Bd. 10 (1845) p. 385 veröffentlichte.

Abbildung der 1!-Ebene mitte1st einer Exponentialfunktion

26&

außen durch den "Einheitskreis" (Kreis mit dem Radius 1 um t = 0) der t-Ebene begrenzt ist; den Ecken des Parallelogramms entsprechen die durch (0), (82)"" bezeichneten Punkte der Fig. 55.

Big. 55.

Um das Verhalten von t gegenüber den Substitutionen der Gruppe leicht bezeichnen zu können, führen wir die seit Ja co bi in der Theorie der elliptischen Funktionen vielfaltig benutzte Exponentialfunktion des mit ni multiplizierten Periodenquotienten: q = eniOJ r(u)

ein. Indem Wir, wie früher,

q = e-

+ i1) schreiben, (cos n~ + i sin n~),

8 =

n11

~

wird:

und also entnehmen wir aus dem Umstande, daß 'I] > 0 ist, die für die Folge wichtige Tatsache, daß de1' absolute Betrag der Zahl q kleiner als 1 ist:

(2)

Iq i

=

e- n11

< 1.

'Während nun t gegenüber der Substitution u' = u + 8 2 invariant ist, liefert u' = u + 8 1 auf t transformiert die loxodromische Substittttion:

(3)

°

der beiden .Fixpunkte t = und t = 00 (vgl. S. 71). Die Gruppe T(u) reduziert sich demnach bei Übergang zu t auf die zyklische Gruppe r(t) der loxodrom ischen Substitutionen: t'=q2I1t,

(n=O,

±1, ±2, ...).

266

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

Diese r(t) hat die Punkte t = 0 und t = 00 zu Grenzpunkten; der in Fig. 55 schraffierte Kreisring kann als ein Diskontimtitätsbereich der r(t) benutzt werden. Die Schnittpunkte der konzentrischen Kreise mit der in Fig. 55 angedeuteten logarithmischen Spirale sind die Punkte: t = q2n, (n = 0, + 1, ± 2, ... ); wir wollen für dieselben kurz die Bezeichnung der "Gitterpunkte" bei• behalten. l ) Da die doppeltperiodischen Funktionen 1/1 (u) gegenüber der Substitution u' = u + 01 2 invariant sind, so liefern sie in Abhängigkeit von t Funktionen, welche die schlichte t-Ebene, abgesehen von den beiden wesentlich singulären Punkten t = 0 und t = 00, zum Felde haben. Da sie überdies gegenüber der Substitution (3) unveränderlich sind, so werden wir sie als Funktionen des in Fig. 55 schraffierten ringförmigen Bereiches oder kurz als "Funktionen des Kreisrings" bezeichnen dürfen. Auch das transzendent normierte Integral zweiter Gattung (vgl. S. 163), welches wir als Funktion von t ausführlicher zu betrachten haben und mit der Bezeichnung:

(4) belegen wollen, hat die schlichte t-Ebene bis auf die wesentlich singulären Stellen 0 und 00 zum Felde. Dasselbe gehört insofern auch mittelbar zu den "Funktionen des Kreisringes", als gegenüber der Substitution (3) die Funktion z(t) das Verhalten zeigt (vgl. S. 163):

(5)

z (q 2 t)

=

z(t) _ ~_i~. 0)2

Endlich können wir nach den Entwicklungen von S. 209 auch noch die 6-Funktion so mit einem Exponentialfaktor versehen, daß das Produkt gleichfalls bei Ausübung der Substitution ~t' = u + 01 2 unveränderlich ist. Dieses Produkt wollen wir als Funktion von t mit der besonderen Bezeichnung: >]'1.

n'.!.

7tiu

---+--

e 2w. w. 6(u) = set) (6) belegen. Die Funktion set) hat dann wieder dasselbe Feld wie die bisherigen und gehört insofern zu den Funktionen des Kreisringes, als gegenüber der Substitution (3) das besonders einfache Verhalten zutrifft: (7)

s(q 2 t)=-t- l ·s(t),

1) Eigentlich sollte man, wie aus (3) hervorgeht, nicht q sondern q' als wesentliche Größe einführen; in der Tat ist q! weiterhin für die Funktionen erster Stufe immer die eigentliche Entwicklungsgröße. Daß Ja C 0 bi sich der Größe IJ. bediente, hat, wie wir weiterhin noch darzulegen ·haben werden, seinen Grund darin, daß Jacobis Funktionen die elliptischen Funktionen der zweiten Stufe sind.

Aufstellung eines einfach unendlichen Produktes für 6(u)

267

man leicht mit Hilfe der Legendreschen Relation (6) S. 160 nachweist. Wir wenden nun auf die Funktionen des Kreisrings die allgemeinen Sätze über Darstellung durch unendliche Produkte (vgl. S. 56ff.) sowie durch Laurentsche Reihen (vgl. S. 39ff.) an. Die außerhalb des Einheitskreises liegenden Nullpunkte von s Ct) sind die "Gitterpunkte" q-2, q-4, q-6, .... Da die Reihe:

WIe

1

q

1

2

+ iq + 1

4

I

q

1

6

+ ...

zu folge (2) konvergiert, so liefert das Produkt: 00

IIU n=l

t q 2n),

welches unbedingt konvergent ist, eine ganze transzendente Funktion der Höhe 0, das die erwähnten Nullpunkte mit set) gemeinsam hat. Ebenso haben wir in: 00 Il(l - t- 1 q 2n) n=l

eine Funktion, welche die ganze t-Ebene, abgesehen vom Punkte t = 0, zum Felde hat, daselbst überall endlich ist und dieselben im Inneni des Einheitskreises gelegenen Nullpunkte wie s Ct) aufweist. Hiernach wird 00 die Funktion: {(t) = (t - 1) Il(1 - t q 211) • fICI - t- 1 q 2n) n=l

n=l

dasselbe Feld und dieselben Nullpunkte wie s (t) haben. Nun gilt weiter:

(Cq 2 t)

=

(q 2 t -1)

h (1 -

tq 2~+2)

.

n=l

iJ (1 -

wofür man auch schreiben kann:

fCq 2 t)

=

-

t- 1 q 2n-2) ,

n=l

(1 - t- 1) fIcI - t q 2n) n=l

•

h

(1 - t- 1 q 2n).

n=l

Die Funktion (Ct) zeigt also gegenüber der Substitution (3) das in (7) angegebene Verhalten von s (t). Somit ist der Quotient von s Ct) und ((t) auch gegenüber der Substitution (3) invariant und muß, da er in Abhängigkeit von tt eine poHreie doppeltperiodische Funktion liefert, mit einer Konstanten identisch sein. Fassen wir die heiden absolut konvergenten Produkte in eines zusammen, so folgt:

set)

=

o· (t - 1) b (1- t q 2 n ) (1 -

t- 1 q 2n).

n=1

Nun folgt aus (1) und (6):

~~~ (t~l) = 2~';r,

lim (~tL) t=l

t-l

=

.

~,

2zn

.

268

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

Die für set) angesetzte Gleichung liefert also bei dem gleichen Grenzübergange:

Die Fu,nktim~ set) gestattet hiernach eine Darstellung ~n Gestalt des unbedingt konvergenten einfach unendlichen Frodttktes:

(8)

s Ct)

iln (t -

=

1)

fI Jl-t!J.~i2~q."T'q~"L, n=l

welches mittelsi der Gleichung (6) mtf GCu,) iibertragen nach el:nfaclwr Zwischenrechnung das unbedingt konvergente einfach unendliche Ft"odukt: 2n'u+ q ,n ,;.1<' 1 - 2q .n cos --w. ~ . n'U TI 00 -ne 'sm~2 -··--(1-=q""C2=11'"o).c----00

(9)

r;; ( ) ~ U

=

2

n=l

für die G-Funktion liefert. Der in (8) unter dem Produktzeichen stehende Ausdruck kann noch so umgeformt werden:

.(

sm nn'OJ

+ n'U)

..... . ----

~.

. ( n:n:OJ Sin

n'U) w•

sin2n~--

-- .

Die neue Produktdarstellung der 6-Funktion Hißt sich also auch in die folgende Gestalt setzen:

Gen) =

li"lU:.l.

1fU e2w• sin __

w··-· --'7t

w.

n.( 00

n=l

Sin

n1tlil

+:n:U). co

'. •

. Sin

( nitro

sm n n' ro

-

1fU) co

.

2

Wir merken noch beiläufig die durch Logarithmieren und darauf folgende Differentiation dieser Gleichung sich ergebende Reihe für das Integral zweiter Gattung an: (10)

Es ist dies diejenige Reihendarstellung von ~(tt), die man für gewöhnlich durch Umformung der Teilbruchreihe (3) S. 261, herleitet. Man benutzt dabei die bekannte Teilbruchreihe der ctg-Funktion und hat übrigens dieselbe Gliederanordnung durchzuführen, welche bei Ableitung der Gleichung (7) S. 263, benutzt wurde. vVeit wichtiger ist, daß wir nun audl die Laurentschen Reihen für die Darstellung der Funktionen des Kreisringes heranziehen. Die Funktion z (t) hat in den Gitterpunkten t = 1, q±2, q±4,... Pole erster Ordnung, wird sich also für jeden ringförmigen Bereich der Fig. 55 in eine eindeutig bestimmte Laurentsche Reihe entwickeln lassen, die diesen

269

Laurentsehe Reihe für das Integral zweiter Gattung

Ring zum Konvergenzbereich hat. Wir wollen den in Fig. 55 schraffierten Bereich B o, den nach außen folgenden ringförmigen Bereich (dessen äußerer Rand durch t = q-2 läuft) B 1 nennen; den aus heiden zusammengesetzten Ring nennen wir kurz (Bo + B 1 ). Da (~(u) - u- 1) bei u = 0 analytisch bleibt, so gilt zufolge (1) dasselbe von s(tl i

-+-

2i,,: . __ l_ w, 1 - t

•

bei t = 1. Diese Funktion gestattet also eine eindeutig bestimmte Laue reutsehe Entwicklung:

z(t)

(11)

+ 2in . -~ = w. 1- t

+'"

~ C tn

...:::..,.

n

,

n=-CJ::,

deren Konvergenzbereich der Ring (Bo + BJ ist. Um die Koeffizienten cn zu bestimmen, versteben wir unter t einen in BI liegenden Punkt, so daß Itl > 1 gilt. Dann ist q 2 t in B o gelegen, so daß i q2 t I< 1 gilt

und übrigens die für q2 t an Stelle von t gebildete letzte Gleichung rechts eine konvergente Reihe liefert:

n=-CI':!

Mit Benutzung von (5) folgt weiter:

",=-(1:;

Da nun Itl > 1 und i q I< 1 gilt, so können wir die rechte Seite dieser Gleichung in folgender Art entwickeln: 2t

oder unter Zusammenfassung gleich hoher Potenzen von t: Z (t)

1 + 2in ~ 'l-t = .2

-1

~( 2n ~ cnq - 2in) .~2

tn

+ Co +

00

~

(

2in) q2ntn .

Cn -~-2

n=l

Diese Reihe bezieht sieb auf den Bereich B l und muß also wegen der eindeutigen Bestimmtheit der Laurentsehen Reihe in ihrem Konvergenzbereiche mit der Reihe (11) unmittelbar identisch sein. Also folgt: ev"

(C

n

2in) -. (02

q2n =cn'

=

C =

n

2in

q-2n 1_q-2n

--.----

w. -

..

fur n

2in q2n ---~-.w. 1 _ q2n

für

< 0 ,. n> O.

270

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

Fassen WIr die beiden Reihenglieder mit t n und t-tl zusammen, so folgt:

Ersetzen wir t durch t- l (was auf Zeichenwechsel vor tt hinausläuft), so tritt bei z(t) und bei der rechts stehenden Reihe gleichfalls einfach ein Zeichenwechsel ein, Die Addition der entstehenden Gleichung zu letzter Gleichung liefert: 2c

o

=

~~~ (~~.. + _~) 00.

1-

t

t -

1

=

~~n. 00 2

Also haben WIr das Ergebnis gewonnen: Für die Fttnktion z(t) gilt die im ~'ingt'örmigen Bereiche (Bo + BI) konvergente Laurentsehe Entwicklung: (12) Führen wir tt und damit die doppeltperiodischen Funktionen wieder ein, so folgt: Das Integral zweiter Gattung erster Stufe läßt sich in folgende Fowriersche Reihe entwickeln:

(i3) aus denen man durch Differentiation folgende FOU1'iersche Reihen für die elliptischen Fnnktionen erster Stufe gewinnt:

(14)

nit

,

SO Cu)

=-

(n)3

2w~

cos .._00.

~ Sin - - 00,

+

n'q2n . 2nnu + 16n"~ -;;;r ~ 1'::-q2n sm ----c.;~-. 00

n= 1

Der Konvergenzbereich der Reihen (13) und (14) in der u-Ebene entspricht dem über dem Ringe (Bo + Bl ) liegenden Teile der Riemannschen Fläche F00; der Bereich ist also ein Parallelstreifen der u-Ebene, bestehend aus allen denjenigen Parallelogrammen, welche beiderseits an der durch tl = 0 und u = ro2 hindurchlaufenden Geraden anliegen. I) 1) Daß die durch Differentiation nach u entstehenden Reihen (14) denselben Konvergenzbereich haben wie die Reihe (14), unterliegt keinem Zweifel. Es handelt sich in (14) bei Umrechnung auf t um die Laurentschen Reihen der 9 und p' entsprechenden Funktionen des Kreisrings, welche (BQ Bi) zum Konvergenzbereiche haben. .

+

Fouriersehe Reihen für die Funktionen erster Stufe nebst Folgerungen

271

Zum Zwecke einer wichtigen Anwendung der Gleichung (13) entwickeln wir ~(u) nach (2) S.201 für die Umgebung von u = 0 nach Potenzen von u und tragen auch für ctg

n

1~ die Anfangsglieder der auf

w.

die gleiche Umgebung von u = 0 bezogenen Potenzreihe ein; es ergibt sich bei Zusammenfassung der Potenzreihen :

(n)2 - w.--"1').) tt + -3 1. 5 (1-3 (n)4 -w. --14 g2)

( -1 -. 3 w.

= 4n

1 U 3 +-~-

5 7

(2 3 3

(n)6 w -

2

-

-1

4

g3)

U5

+ ...

+'"

~ -~sin 2n~.

w.~ 1 - q2n

w.

n=l

Differenziert man einmal nach u und setzt sodann u = 0, so gewinnt man für 172 folgende konvergente einfach unendliche Reihe:

(15) Indem man drei bzw. fünf Male nach tt differenziert und sodann u = 0 einträgt, folgen als konvergente einfach unendliche Reihen für g2 und g3: n 3q2n (2n)4(1-+20 2;+"" -)' 1 _

g =w. 2

(16)

[

93

q2 n

1l!

,

n=1

+'"

=

(2co.n)6 (_1 _J_ ~ ~1~:_). 1_ 216

q2 n

3,.;;;,.,; n=l

Man kal1l1 zu diesen Darstellungen auch durch Umformungen der Doppelreihen (7) S. 263 und (5) S. 262 gelangen. Da set) in der ganzen t-Ebene, abgesehen von den beiden wesentlich singulären Punkten t = 0 und t = 00, analytisch ist, so wird die Laurentsche Reihe dieser Funktion: n= -

00

abgesehen von den beiden Punkten t = 0 und t = 00 allenthalben konvergieren. Gegenüber der erzeugenden Substitution (3) der T
+'"

s(q 2t) =.:;s(Cnq 2n) tn = -.:;sCn+1 tn , n=-ctJ

n=-oo

woraus sich mit Rücksicht auf die Einzigkeit der Laurentschen Entwicklung die Rekursionsformel: Cn +1 = - cnq2n zur Bestimmung der Koeffizienten ergibt. Es folgt für n > 0:

272'

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

und also gelangen wir unter zweckmäßiger Zusammenfassung der Glieder zu der Reihe: set) = - Co (t - 1) - qi'2(t2 - t- i ) q2-3(t 3 - t- 2) - (i· 4 (t} - t- 3)

+

+ ...).

.Zur Bestimmung des von t unabhängigen Faktors - Co teilen wir diese Gleichung durch (t - 1) und setzen sodann t = 1. Der links stehende Quotient nimmt zufolge (S) den Wert stimmung von (17)

-

1

~ Co .

2

eine Gleichung, der wir die Gestalt geben:

Co

~ =

2: ;;r an; wir erhalten also zur Be-

2n -

(1 - 3 q i'2

aJ2

+ 5q

2.S _

7 q3-4

+ 9q

4.5 -

•• )-

Hier steht rechts eine für jede r(u) konvergente Reihe, die einen von 0 verschiedenen Summenwert haben m~cß, und {ur die wir unten noch andere Gestalten kennen lernen werden. Nennen wir den in (17) rechts stehenden Ausdruck als Funktion von W l , w2 kurz q; (w 1 w2), so folgt 11unmehr endgültig als Lattrentsche Reihe für set) aS) !p(w u w2 ) .sct ) = -i(t-1) - q1'2 (t' - t- 1) q2S (t 3 - t- 2) _ ... )

+

Die Multiplikation dieser Gleichung mit:

führt zufolge (6) zur Funktion 6(u) zurück. Führen wir auch rechts u wieder ein, so ergibt sich also eine in der ganzen endlichen u-Ebene konvergente Fouriersche Reihe für die 6-Funktion:

(19) wobei der endliche und von 0 verschiedene Wert!p (w lI w2 ) gegeben ist durch die Reihe: (20) !p(w1, w2) = 2n (1 - 3 q1.2 5 q2.3 - 7 qH 9q4-5_ .. -). aJ 2

+

+

§ 10. Das System aller elliptischen, Funktionen und die Ausartung derselben. Nach S. 96 sollte es nicht nur unsere Aufgabe sein, den einzelnen Körper elliptischer Funktionen zu untersuchen, sondern zugleich einen Überblick über das System aller Körper elliptischer Funktionen zu gewinnen. Auf algebraischer Grundlage ist diese Aufgabe oben (S. 137 ff.) in der Weise gelöst, daß wir für den einzelnen Körper elliptischer Fttnktionen den zugehörigen Wert der rationalen absoluten Invariante J als charakteristisch erkannten: Jedem Körper gehörte ein endlicher komplexer (oder reeller) Wert J zu, und jedem solchen Wert J entsprach eindeutig

Erklärung der elliptischen Modulfunktion J(w)

273

ein Körper elliptischer Fnnktionen. Hiermit ist bereits eine endgültige Lösung unserer zweiten Aufgabe gewonnen. Nun fanden wir zweitens S. 175ff. einen "Modul" für den einzelnen Körper elliptischer Funktionen in dem Quotienten OJ des reduzierten Periodenpaares. Dieser Modul war für jedtm KÖrper· ein eindeutig bestimmter endlicher komplexer Wert, dessen Bildpunkt ioo in dem hierneben als Fig. 56 reproduzierten Doppeldreieck der Fig.43, S. 179, gelegen wal'. Nach den Entwicklungen des vorliegenden Kapitels*gilt aber auch hier die Umkehrung: Jedem endlichen komplexen lYerte OJ, dessen Bildpunkt dem Doppeldreieck der Fig. 56 angehörtl), 4! entspricht eindeutig ein Körpe1' elliptischer Funktionen. Die Aufgabe, den Überblick über das Gesamtsystem dieser Körper zu gewinnen, hat damit eine zweite endgültige Lösung gewonnen. Fig.56. Auf Grund dieses Ergebnisses finden wir, daß nicht nur der Punkt OJ des Doppeldreiecks eindeutig voh J abhängt, sonder,n daß auch umgekehrt J eine eindeutige Funktion des im Doppeldreiecke beliebig variabeleJ~ endlichen ~Moduls OJ ist. 'ViI' wollen die absolute rationale Invariante J in dieser Abhltngigkeit durch J(OJ) bezeichnen und nennen sie als Funktion des Moduls OJ kurz eine "Modulfunktion" oder genauer eine "elliptische Modulfunktion". Was die Beschaffenheit dieser Modulfunktion J( OJ) angeht, so greifen wir zunächst auf die Darstellungen (16) S.271 der rationalen Invarianten g~, g3 in OJ 2 und q zurück. In diesen Gleichungen stehen rechts in den Klammern Reihen, die in jedem bestimmten, ganz im Innern des Einheitskreises der q-Ebene gelegenen Bereiche gleichmäßig konvergent sind. Jedes Glied der Reihen ist ebenda eine eindeutige analytische Funktion von q, so daß sich aus einem bekannten Satze der Funktionentheorie 2) ergibt: Die tMtter (16) S. 271 in den Klammern /tur Darstellung von g2 und g3 dienenden Ausdrücke sind in jedem ganz im Innern des Einheitskreises der q-Ebene liegenden Bereiche eindeutige analytische Fun7ctionen von q. 1) Es gilt natiirlich wieder die Bestimmung, daß nur diejenigen Randstücke dem Bereiche der Fig. 56 als zugehörig gelten, welche in der Figur stark markiert sind. 2) Der Satz, daß eine in einem gewissen Bereiche gleichmäßig konvergente Reihe eindeutiger analytischer Funktionen ebendort selbst wieder eine eindeutige analytische Funktion darstellt, ist von Weierstraß in den Berliner Berichten vom 12. August 1880 veröffentlicht; s. auch vVeierstraß "vVel'ke", Bd. 2, S. 201 ff. Einen einfa.chen Beweis mittels Cauchyscher Methoden findet man bei "Osgood" S.303. Fricke: Elliptische Funktionen. Bd.l

18

274

1,4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

Ordnen wir die Reihen (16) S. 271 nach ansteigenden Potenzen von q an, so ergeben sich folgende Darstellungen:

rg2 (~~r (i~ + 20~~ Xs (m) q m) , =

(1)

19s

=

2

(~~r (2~6 -~-2 X5(m)q2m).

. '

u~=l

Hierbei bedeuten Xs (m) und X5 (rn) von m abhängige ganze Zahlen, und zwar ist Xk(m) (für le = 3 und 7c = 5) die Summe der leien Potenzen allel' Teiler t von m (t = 1 und t = m mitgerechnet):

(2)

Xk(m)

=

~tk. t

Als Anfangsglieder der Reihen (1) ergeben sich:

(3)

g2

=

(2",)4 (h + 20q2 + 180q4 + 560q6 + ...),

gs

=

(~:r (2~6

j

-;;-

-

t

q2 - 77 q4 - 1~08

r/ - ...).

Für die Diskriminante LI = g~ - 27 g~ ergeben sich folgende An fangsglieder der Potenzreihe nach q: (4)

LI

=

(~:r q2(1

- 24 q2

+ 252 q

4 -

1472 q6

+ .. -).

ny'il

Gehört 0) dem Doppeldreieck der Fig. 56 an, so gilt i q I < e --2 Doch beachte man sogleich (vgl. den Anfang von § 9, S.264), daß sich die Entwicklungen (16) S. 271 auf irgendein primitives Pel'iodenpaar 0)11 0)2 der Gruppe r(u) bezogen. }1'Ül' jedes solche Paar ist der Periodenquotient 0) eine endliche komplexe Zahl mit positivem imaginären Bestandteile, und also ist Iq i < 1; einer weiteren Beschränkung unterliegt aber 0) und damit auch q nicht. Es folgt also der für die weitere Fortsetzung unserer, Untersuchung wichtige Satz: In jedem bestimmten, ganz im Innern der "positiven 0) -Halbebene" (vgl. S. 186) gelegenen Bereiche sind g2' gs Hnd LI eindeutige analytische FHnletionen von 0)2 und q Hnd damit von 0)1 und 0)2' und zwar sind sie in diesen beiden Argt~menten 0)1' 0)2 homogen von den Dimensionen - 4, - 6, - 12. Kehren wir auf Grund der Gleichung (16) S. 124 von g2) gs und LI zu J zurück, so ergibt sich: Die Modul{unktion J (0)) ist in jedem bestimmten, ganz im Innern der O)-Halbebene gelegenen Bereiche (in dem, wie wir wissen, LI nirgends einen Nullpunkt hat) eine eindeutige überall cmalytische Fnnktion des Moduls 0); sie läßt sich ebenda als eindeutige Fnnktion von q in die konvergente Reihe entwickeln:

(5)

= J = _~ Li

_1_ 1128

q-

2+ SI 72

+ 182jl qS + ... 16

Sätze über die

~rodulfunktion

275

J(ro)

Der Punkt q = 0 entspricht der an den unendlichfernen Punkt· der (iJ-Ebene heranragenden Spitze des Doppeldreiecks der Fig.56, S. 273, welche zunächst für die von unseren elliptischen Gebilden gelieferten (iJ unzugänglich ist, obschon jeder endlich.e, in der Umgebung jener Spitze liegende Punkt (iJ von den bei den Körpern elliptischer Funktionen auftretenden Periodenquotienten erreichbar ist. Wir erkennen jetzt, daß die JJlodulfunktion J ((iJ) bis in den Punkt q = 0 fortsetzbar ist und daselbst in der "q2-Ebene" einen Pol erster Ordnung gewinnt. i ) Diesem· Ergebnis folgend wollen wir fortan die "Spitze (iJ = ioo" des Doppeldreiecks der Fig. 56 diesem Bereiche zurechnen. Der so ergänzte Bereich ist dann durch die Modulfunktion J ((iJ) eindeutig auf die schlichte J-Ebene, unter Einschluß des Punktes J = 00, bezogen. Wir werden diese Abbildung unten noch genauer zu betrachten haben; doch notieren wir gleich hier einige Sätze, welche sich aus den bisherigen Entwicklungen unmittelbar ergeben. . Aus der Gleichung: ,. q2= e-21H1(cos 2nl;

+i

sin

2n~)

geht hervor, daß q2 längs der Symmetrielinie des Doppeldreiecks der Fig. 56, S. 273 (imaginären (iJ-Achse zwischen (iJ = ioo und (iJ =i) reell und positiv ist, während q2 längs der unseren Bereich links berandenden Geraden I; = - -} reell und negativ ausfällt. Aus den Reihenentwicklungen folgt, daß längs beider Geraden J reell ist, ·und zwar ist jedenfalls in der Umgebung von (iJ = ioo auf der ersten Geraden J positiv und auf der zweiten negativ. Nun wissen wir aber bereits, daß für (iJ = Q (äquianharmonischer Fall) g2 und damit J verschwindet, während für (iJ = i (harmonischer Fall) g3 = 0 und also J = 1 ist. Somit überträgt sich die imaginäre (iJ-Achse zwischen i und ioo auf die positive reelle J-Achse von J = 1 bis J = 00, die von I (iJ = Q nach ioo laufende Gerade I; = - i aber auf die J=O IJ =l negative reelle J-Achse von J = 0 bis J = ~ 00 (vgl. Fig.57, wo die in den Ecken des schraffierten ElemenI tardreiecks stattfindenden Werte J angegeben sind). i w-o Zwei bezüglich der imaginären Achse symmetrisch Fig. 57. liegende Punkte (iJ liefern konjugiert komplexe Werte q und also konjugiert komplexe 'Verte J. Aber zwei auf dem vom Einheitskreise der (iJ-Ebene gelieferten Rande symmetrisch zur imaginäten (iJ-Achse liegende Punkte (iJ des Doppeldreiecks (von denen nur der

I

1) Wir erinnerndaran, daß q~ die richtige Entwicklungsgröße für die elliptischen Funktionen erster Stufe ist (vgI. Note S.266). 18*

276

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

links liegende diesem Bereiche zugerechnet wird) liefern ein und dieselbe Gruppe r(") und also den gleichen Wert J. Dieser Wert ist also seinem konjugiert komplexen Werte gleich, d. h. er ist reell. 'ViI' finden somit: Der Band des schraffierten Elementardreiecks der Fig. 56 (und damit attch derjenige des freien Dr'eiecks) iiberträgt sich attf die reelle J-Achse, das schraffierte Dreir;ck. selbst überträgt sich auf die "positive J-Halbebene", das freie auf die "negative J-Halbebene".l) Wir haben hiermit volle Aufklärung gewonnen über die gegenseitige Beziehung jener beiden Größen, des unbeschränkt veränderlichen J und des im Doppeldreieck beliebig variablen w, welche uns das Gesamtsystem aller Körper elliptischer Funktionen zu überblicken gestatteten. Wünschenswert bleibt allerdings, daß wir die letzten Entwicklungen auch noch' nach der algebraischen Seite ergänzen. In der Tat können wir ja die Veränderungen von J dadurch hervorrufen, daß wir die drei im Endlichen liegenden Vm'zweigungspttnkte el , e2 , es der Biemannschen Fläche F2 unter Wahrung ihrer Relation,' e1 +e2 +eS =ü beliebigen Lagenänderungen unterwerfen. Natürlich darf man dabei in jedem Falle unter den durch lineare Transformationen von z ineinander überführbaren Flächen F2 eine möglichst bequeme zur Berechnung des zugehörigen Wertes von J herausgreifen: Wir lenken insbesondere die Aufmerksamkeit auf die symmetr'ischen Flächen F2' Dieselben entsprechen den S. 247 betrachteten Gruppen r(U), die durch eine Transformation zweiter ArtT in sich überführbar sind; die zugehörigen Punkte w sind die Randpunkte des schraffierten Elementardreiecks der Fig. 56, die den Punkten der reellen J-Achse entsprechen. Ist erstlich w rein imaginär, so haben wir ein Periodenrechteck, und die drei Punkte el1 e2 , es liegen auf einer Geraden, die wir zur reellen Achse der z-Ebene wählen. Wir bleiben mit Fig. 39, S. 173, m Übereinstimmung, wenn wir etwa: el = - 1) - 1 < e3 = e < 0, e2 = 1 - e setzen. Die Darstellungen der g2' gs in den el , e2, es:

g2 = - 4 (e l e2 + e1 es + c2 eS ) , gs = 4e1 e2 eS ergehen also im fraglichen Falle: g2=4(e 2-e+1), gs=4(e2 -e),

so daß gs = g2 - 4 gilt und g2 genau einmal alle reellen vVerte des 1) Die Benennungen entsprechen, wie bei der "po3itiven ro-Halbebene", den Vorzeichen der imaginären Bestandteile der komplexen Werte J.

277

Die symmetrischen Flächen F. und die reellen Werte J

Intervalles 4
J

3

_9'1 = Li g~ -

> e>-l

S

g2 27 (g. - 4)"'

genau einmal das. Intervall aller endlichen reellen Zahlen J> 1. Nehmen wir den Grenzwert e = - 1 hinzu, der g2 = 12 und J = 00 liefert, so artet die F2 durch Zusammel1t'all der heiden Verzu:eigungs[iunkte el und es in eine zweiblättrige Riemannsche Fläche mit "zwei" Verzweigungspunkten e2 = 2 und 00 aus, die dementsprechend dem Geschlechte p = 0 angehört. Indem wir uns vorbehalten, auf diese Ausartung der Fi sogleich 11 äher einzugehen, knüpfen wir vorerst an den harmonischen ]j'all (lJ = i an, dem wir eben die Verzweigungspunkte el = -1, e2 = + 1, es = 0 entsprechen ließen. Um von hieraus eine weitere stetige Lagenänderung der Verzweigungspunkte vorzunehmen, setzen wir: el

=

-

cos-&

+ isin-&,

e2

=

cos-&

+ isin4t,

und lassen den Winkel -& stetig das Intervall 0 <

es {1

=

-

2isin-&

< ; durchlaufen.!)

Nun liefert die 8.168 ff. behandelte Abbildung der Fläche F2 auf die u- Ebene ein rhombisches Periodenparallelogramm, und (lJ bewegt sich auf dem im Kreisbogendreieck der Fig. 42, 8.176, gelegenen Quadranten des Einheitskreises der (lJ-Ebene. Für

-11: =

:

haben wir den äquianharmonischen

Fall. Beschreibt der Winkel-& mit dem-Werte 0 beginnend das Teilintervall

o <-& <

1t

6' so durchläuft: J =

_ (1 - 4 sin':l'2~_ (1- 4 sin',ff)' 27 sin',ff

+

die positiven reellen Werte von J = 1 bis J = 0 genau einmal, und (lJ beschreibt das Zwölftel seines Einheitskreises von (lJ = ibis (lJ = (1. Für den Rest des Intervalles~- < -& < .~- wird 1es

I> i el I.

Dann aber

wird (bei Gebrauch der Bezeichnungen von 8. 167 ff.) 1(lJsl < I (lJI I, entgegen den Vorschriften von 8. 178, welche auf das schraffierte Drittel der Fig. 42,8.176, als Bereich für die "reduzierten" (lJ führte. Wir müssen 1) Drehen wir die z-Ebene um ihren Nullpnnkt durch einen rechten Winkel, so gelangen wir jetzt zum Falle zweier reellen und zweier konjugiert komplexen Verzweigungspunkte. Es möchte scheinen, daß bei der Betrachtung des Textes symmetrische Riemannsche Flächen mit zwei Paaren bezüglich der reellen Achse symmetrisch gelegener Verzweigungspunkte nicht zur Geltung kommen. Indessen läuft durch vier so gelegene Punkte immer ein Kreis hindurch; indem wir diesen aber durch eine geeignete lineare Substitution von z zur reellen Achse machen, gelangen wir zum ersten Falle des Textes zurück.

278

I, 4. Die doppeltperiodischen Funktionen erster Stufe

jetzt die Indizes 1,2,3 in richtiger Weise permutieren oder die S. 176 eingeführte lineare Transformation: ()J~

= ()J2'

0);

= -

0)1 -

()J2

der Perioden ausführen, damit ()J' den Rand des Doppeldreiecks der Fig. 56, S.273, von ()J = Q gegen ()J = ioo beschreibt, wenn ()J den Sextanten des Einheitskreises von 0) = Q gegen den Punkt 0) = - 1 durchläuft. Für die Berechnung der absoluten Invarianten J ist eine Permutation der Indizes bei el , e2 , es ohne Folge. ~/[an stellt aus dem obigen Ausdrucke von J leicht fest, daß J vom vVerte 0 beginnend gerade einmal alle negativen reellen Werte beschreibt, wenn it von.~ aus das

< it Intervall !"... 6 =

< ~-2

durchläuft.

Nehmen wir auch hier den Grenz-

wm-t it = ; hinzu, so wird wieder J = 00, und wir gelangen aufs neue durch Zusammenfall zweier Verzweigungspunkte zu einer zweiblättrigen Fläche des Geschlechtes O. Die Ausartung der F2 in eine Fläche des Geschlechts p = 0 haben wir von den symmetrischen Fällen aus in zwei Arten erreicht, die einfach darauf hinauslaufen, daß wir den Punkt 00 der J-Ebene einmal in Richtung der positiven, sodann in Richtung der negativen reellen J- Achse erreichen, oder (was auf dasselbe hinausläuft) daß wir zur Spitze ioo des schraffierten Dreiecks der Fig. 56, S. 273, entweder längs der imaginären ()J-Achse oder längs des linken Randes gehen. Statt dessen kanu man in der J-Ebene auch irgendeinen anderen Weg zum Punkte 00 einschlagen,' der dann einen bestimmten Weg des Punktes q2 zum Nullpunkte der q2_Ebene und eine bestimmte Annäherung bis zur Spitze ioo· des oft genannten Doppeldreiecks liefert. In algebraischer Gestalt läuft diese Maßregel d~rauf hinaus, daß wir einen der Verzweigungspunkte, etwa eu bei irgend einer endlichen, von 0 verschiedenen Stelle, z. B. bei z = 1, fixieren, dann aber e2 und es unter Obacht auf e2 + es = - 1 auf irgendwelchem Wege bei z = - t zum Zusammenfall bringen. Wir erhalten dann am Schlusse eine zweiblättrige Fläche, welche nur noch die beiden Verzweigungspunkte 1 und 00 hat und demnach wieder zum Geschlechte 0 gehört. Es handelt sich hier um dieselbe Ausartung, welche wir S. 243 bei den Gruppen T(u) kennen lernten; die ausgeartete T(n) war die zyklische Gruppe all~r Substitutionen u' = 26 + m 2 ()J2, der Diskontinuitätsbereich derselben ein geeigneter "Parallelstreifen" der u-Ebene. Die Funktionen dieser ausgeartetm~ pu) haben nttr noch die "eine" Periode 0)2; es sind also die einfach-periodischen F26nktioncn, in welche die elliptischen Funktionen nunmehr ausgeartet sind.

Ausartung der elliptischen Funktionen

279

Dieses Ergebnis wird durch die Entwicklungen von S. 268ft'. unmittelbar bestätigt. Im Falle der Ausartung, d. h. für q = 0, werden zufolge (15) S. 271 und (14) S. 270 die Funktionen g;J(u) und g;J'(u) folgende

trigonometrische Funktionen:

(6)

[g;J(U.)

=

t(:Y + (:Y

-

1I g;J '() tt =

sin- 2

~~,

2 (:n:)3:n:u.:n:u cos - . sm- 3 - ,

-

(ili

00 2

(i)2

das Integral zwel:ter Gattung wird: (7)

s(u)

1

=

-

3

(:n:)2 u + -:n: "'2

cto" :n:u -

"'2"

"'.'

und die Sigmafunktion geht zufolge (19) ttnd (20) S. 272 in die Gestalt über:

(8)

6(u)

=

u• '" e!.(!!...)2 :n:u 6 w. sin - ·

~~. 1t

"'.

Auch algebraisch ist die Natur der Ausartung sofort verständlich. Das bisherige Integral erster Gattung u ist im Falle der Ausartung elementar und wird durch Logarithmen darstellbar. Dasselbe bildet die geeignet zerschnittene Fläche F2 auf jenen Parallelstreifen der u~Ebene ab, den wir als Diskontinuitätsbereich der ausgearteten r(u) einführten. Die algebraischen Funktionen der F2 werden dabei umgekehrt zu Exponentialfunktionen von u mit der Periode w 2 •

Ausartung der elliptischen Funktionen

279

Fünftes Kapitel.

Die elliptischen Modulfnnktionen erster Stufe und ihre inversen Funktionen. Die Haupteigenschaft der soeben betrachteten Funktion J( ro) des Moduls ro gründet sich auf die Gleichungen (6) S. 262, denen zufolge 92 und g3 und also auch J( ro) gegenüber irgendwelchen "linearen Transformationen" der Perioden roll ro 2 unveränderlich sind. Von hieraus gewinnt man den deutlichsten Einblick in die Natur dieser Modulfunktion J(ro) , nämlich dadurch, daß man genau wie im vorigen Kapitel eine geometrisch - gruppentheoretische Betrachtung, und zwar jetzt über die gesamten "linearen Transformationen" der Perioden voranstellt. Auf dieser Grundlage werden wir den allgemeinen Begriff einer "elliptischen 1Ylodnlfnnktion erster Stufe" aufstellen können, wobei sich die vereinzelten im vorigen Kapitel in dieser Hinsicht schon betrachteten Abhängigkeiten in eine allgemeine funktionentheoretische Auffassung einordnen werden. Der Name "elliptische Modulfunktion" ist

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_6 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

280

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

von R.Dedekind eingeführt.l) Die grundlegenden Arbeiten Kleins über Modulfunktionen und ihre Verwendung in der 'l'ransformationstheorie der elliptischen Funktionen beginnen 1878. 2) In umfassender 'Weise ist das ganze Gebiet in dem S.94 genannten Werke von Klein und Fricke behandelt. Wir geben weiterhin nur diejenigen Entwicklungen, welche für das Verständnis der Theorie der elliptischen Funktionen unentbehrlich sind. Indem wir die Perioden rot> ro 2 innerhalb gewisser Grenzen als willkürlich variabel auffassen, werden nun auch die elliptischen Funktionen selber in ihrer Abhängigkeit von ca 1 , ca a und damit als Funkt~'Ot~en dreier Argumente tt, ro v ro 2 zu betrachten sein. Bei dieser Auffassung werden wir die Aufmerksamkeit auf zwei gewisse schon seit längerem bekannte Differentiationsprozesse zu lenken haben, welche uns insbesondere zur Kenntnis einer wichtigen partiellen Differentialgleichung fur die 6-Funktion hinführen. Auf der gleichen Grundlage erwachsen gewisse lineare Differentialgleichungen, denen die Perioden als Funktionen der rationalen Invarianten genügen. Wir gelangen hierbei zu den den elliptischen Modulfunktionen inversen Funktionen und werden aus jenen Differentialgleichungen wichtige analytische Darstellungen dieser inversen Funktionen gewinnen.

§ 1. Die Modlllgruppe

uml ihre Erweiterung dlirch eine Spiegelung. Die "linearen Transformationen" der Perioden ca l1 ca 2 liefern für T(e»)

den Modul der Körper elliptischer Funktionen, d. i. für den Periodenquotienten ca die ganzzahligen Substitutionen dm' Detenninante 1:

('I)

ca

,

=

1Xe)

yro

+ I~ n'

0 ß a - 'Y

=

1

•

Um einen ersten Überblick über alle Substitutionen (1) zu gewinnen, bemerken wir, daß sie den gesamten Lösungen der zweiten Gleichung (1) in ganzen Zahlen a, ß, 'Y, 0 entsprechen, wobei jedoch 1) Siehe D ed e kin d s Erläuterungen zu zwei nachgelassenen Fragmenten Riemanuscher Untersuchungen, dessen erstes aus dem September 1852 stammt, in Ri emanns "Werken", S.427ff, (Leipzig, 1876). Weiter kommt in Betracht Dedekinds "Schreiben an Herrn Borchardt über die Theorie der elliptischen Modulfunktionen", Journ. f. JliIath., Bd. 83 (1877), S. 265. 2) Siehe insbesondere die Abhandlung "Über die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen 5. Grades", Math. Ann. Bd. 14, (1878) S. 111 sowie die mehr programmatisch gehaltene Note "Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen", :Math. Ann. Bd. 17 (1879 S. 62.

281

Arithmetische Sätze über lineare ru-Substitutionen

zwei Lösungen, die durch gleichzeitigen Zeichenwechsel aller vier Zahlen c<, ,3, y, 0 ineinander übergehen, ein und dieselbe Substitution (1) liefern. Ist r = 0, so folgt aus ao = 1 sofort Ci = 0 = ± 1, und wir dürfen nach dem eben Gesagten a = 0 = + 1 setzen; ß bleibt als ganze Zahl willkürlich wählbar, so daß wir den Wm'ten, . " - 2, -1,0, + 1, + 2"" von ß entsprechend eine einfach unendliche Reihe von Substittdionen (1) mit l' = finden. Ist l' nicht gleich 0, so dürfen wir l' > annehmen. Für r = 1 sind a und 0 willkürlich wählbar, worauf ß = ao - 1 wird. Also haben wir fÜ1' irgendein Zahlenpaar a und l' = 1 den ·Werten· . " - 1,0, 1, 2, .. , von 0 entsprechend wieder eine einfach unendliche Reihe von Substitutionen (1). Ist y > 1, so ist die Zahl a notwendig relativ prim zu y, da a 0 - ßy = 1 sein muß. Wählen wir a als beliebige zu l' teilerfremde ganze Zahl, so können wir mitte1st einiger Elementarsätze über die "Kongruenzen der ganzen Zahlen" beweisen, daß zum gewählten Zahlenpaar a,r' tciede1' eine einfach unendliche Reihe von Substitutionen (1) gehöl-t. Zwei Zahlen a und b, deren Differenz durch l' teilbar ist, heißen nach dem ,,:Modul" y oder kurz modulo y kongruent, was man mitte1st des Zeichens der Kongruenz durch: (mod. y) a == b,

°

°

=

ausdrückt. Jede ganze Zahl ist modulo '1' mit einem bestimmten unter den l' Divisionsresten 0, 1, 2, .. " '1' - 1 kongruent. Zwei ganze Zahlen sind mod. '1' dann und nur dann kongruent, wenn sie dem gleichen unter den Divisionsresten 0, 1, .. " l' - 1 kongruent sind. Man bilde nun mit der zu '1' relativ primen Zahl a die (1' - 1) ganzen Zahlen a, 2 a, 3a, .. " (1' - 1) a. Keine unter ihnen ist mod. l' mit kongruent; auch sind keine zwei verschiedene unter ihnen miteinander kongruent, va, (mod. y) sofort (/L - v) a == 0, (mod. '1') folgen würde, da aus /La und also mit Rücksicht auf die gegen l' teilerfremde Zahl a notwendig (/L - v) durch '1' teilbar sein müßte, Bei dieser Sachlage erweisen sich die (1' - 1) Zahlen a, 2 a, 3 a, .. " ('1' - 1) a notwendig in irgendeiner Reihenfolge mit den (r - 1) Divisionsresten 1, 2, .. " l' - 1 modulo '1' als kongruent. Eine und nur eine Zahl der ersteren Reihe, etwa 0oa, ist insbesondere mit 1 kongruent:

°

a 00

= 1,

(mod. r),

Ist vI' ein beliebiges Multiplum von l' und setzt man 0 = 00 + vI', so ist auch ao = 1, (mod. '1'). Ist umgekehrt 0 irgendeine dieser Kongruenz genügende ganze Zahl, so folgt aus ao - a80 = a(o - 00) - 0, (mod. 1'), daß 0 in der Gestalt 0 = 00 + vr enthalten sein muß. Der

282

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

ganzzahlige Quotient von (IX 0' - 1) und r heiße nun ß, der von (IX 0'0 - 1) und r aber ßo; dann gilt einfach ß = ßo + VIX, und wir finden den Satz: Zu einem beliebigen Paare ~'elativer Primzahlen IX und r > 1 gibt es in der Tat eine einfach unendliche Reihe zugehöriger Substitutionen (1) mit ß = ßo VIX und 0' = 0'0 vr, wo v alle ganzen Zahlen· ", - 2, - 1, 0, 1, 2, ... zu durchlaufen hat. Auf die Substitutionen (1) wollen wir nun die S. 126ff. allgemein für lineare Substitutionen ausgeführten Rechnungen anwenden; doch wollen wir für die Substitutionen (1) nicht das damalige Symbol S benutzen, sondern ro' = V(ro) schreiben, da die Symbole S, T und U für gewisse spezielle Substitutionen (1) vorbehalten werden sollen. Für die Kombination zweier Substitutionen Yl l V; gelten die im Anschluß an (2) und (3) S. 127 ausgesprochenen Regeln. Aus der Gleichung (2) S. 127 folgt insbesondere, daß die aus Vi und Y 2 zusammengesetzte Substitution V 2 • V; wiederum ganzzahlig und von der Determinante 1 ist: Die gesamten Sttbstitutionen (1), unter denen zu jeder

+

+

Substitution V =

(;:!) natürlich auch ihre inverse V-i

=

(~~~) auf-

tritt, bilden eine Gruppe, die wir als die Gruppe des Moduls ro oder kurz als die "JJ!Iodulgruppe" benennen und durch r(w) bezeichnen. Natürlich gehört auch die "identische Substitution" Yo = 1 oder ausführlich Vo =

(~:~) der

r(Ol)

an.

Jede Substitution V transformiert die reelle ro-Achse in sich. Wir haben auch bereits S.186 festgestellt, daß durch jede Substitution ro' = V( ro) die "positive ro- Halbebene" in sich trctnsformiert wird, und damit natürlich auch die negative Halbebene. Wir ziehen nun auch die S. 71 ff. entwickelte Einteilung der Substitutionen in elliptische, parabolische, hyperbolische und loxodromische heran, sowie die Veranschaulichung der einzelnen Substitution durch ihre Bahn- und Niveaukurven. Ist r = 0, so hat die Substitution (1) die Gestalt ro' = ro + ß; sie bedeutet eine Translation in Richtung der reellen ro-Achse und stellt eine parabolische Substitution des Fixpunktes ro = 00 dar. Ist r 0, so hat V die im Endlichen liegenden Fixpunkte:

<

(2)

;},y

(IX -

0'

±

yea-+ 0')2 -

4),

und der Multiplikator m der Normalgestalt (8) S. 70 von V berechnet sich leicht zu:

(3) Wir erkennen auf Grund der Festsetzungen von S. 71 sofort: 1st (X + 0' = 0, so gilt m = 1, 2md V ist "elliptisch" von der Periode 2

Einführung der Modulgruppe

r("J)

283

+

(vgl. S. 128); ist la ~ 1= 1, so gilt m = Q oder Q2, und V ist nelliptisch" von der Periode 3; ist IIX + ~ I = 2, so fallen die Fixpunkte ZMsammen, nnd V ist "parabolisch"; ist endlich la + ~ i > 2, so ist m reell, positiv und von 1 verschieden, womit sich V als "hyperbolisch" erweist. Hieraus geht weiter hervor: Loxodromische Snbstittttionen sind in der 1YIodulgruppe rCLU) nicht enthalten. Die Fixpunkte einer elliptischen Substitution V sind zwei endliche, bezüglich der reellen w-Achse symmetrisch liegende Punkte. Die Schar der durch diese Punkte laufenden Kreise sind die Niveaukurven ; die orthogonale Kreisschar, in der sich die reelle OJ-Achse findet, liefert die Bahnkurven. Der Fixpunkt einer parabolischen Substitution V ist ein rationaler Punkt der reellen w-Achse (den Punkt OJ = 00 eingerechnet). Die reelle Achse und alle sie im Fixpunkte berührenden Kreise liefel'll die Bahnkurven, die zu ihnen orthogonalen Kreise die Niveaukurven. Da (a ~)2 - 4 für i a ~ > 2 niemals ein Quadrat ist, so sind die Fixpunkte einer hyperbolischen Substitution V stets zwei irrationale reelle Punkte, die die Wurzeln einer ganzzahligen quadratischen Gleichung, nämlich der zur Substitution gehörenden Gleichung (7) S. 70 sind. Hier liefern die durch die beiden Fixpunkte laufenden Kreise, unter ihnen die reelle w-Achse, die Bahnkurve und wie immer die zu ihnen orthogonale Kreisschal' die Niveaukurven. Gehen wir von den Substitutionen (1) wieder zu den "linearen Transformationen" der Perioden zurück, so entsprechen der einzelnen Substitution (1) immer die beiden "homogenen Substittttionen":

+

(4)

f w~

l())~

+ :

=

aW i

=

-

+ß

ami -

W2,

ßOJ 2 ,

w;

=

m;

=

r OJ 1 + ~())2' - r m1 - ~())2'

e111 Umstand, den wir schon oben in Betracht zu ziehen hatten (z. B. S. 185). Auch diese homogenen ganzzahligen S11,bstitutionen der Determinante 1 bilden in ihrer Gesamtheit, wie man leicht feststellt, eine Grnppe; wü' wollen sie im Anschluß an die bisherige Sprechweise als die "homogene JYlodulgruppe" rCr,,) bezeichnen; auf sie ist die uJ'sp1-üngliche r(rv) einzweideutig bezogen. Grundsätzliche Bedeutung hat eine Erweiterung der ursprünglichen w) durch eine gewisse "Spiegeltmg". Unter den linearen Modulgruppe Substitutionen "zweiter Art" (Kreisverwandtschaften mit Umlegung der -Winkel), die wir S. 73ft allgemein betrachteten, wurden insbesondere die "Spiegelungen" oder "Inversionen" an Kreisen ausführlich untersucht. Die einzelne solche Spiegelung stellten wir damals in der Gestalt (5) S.76 dar, ihr "Inversions- oder Symrnetriekreis" ist durch (6) S.76 gegeben. Jeder Punkt dieses Kreises bleibt bei der Spiegelung fest;

rc

284

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

im übrigen tauscht dieselbe das Äußere des Symmetriekreises mit dem Illnern aus, und zwar nach dem S. 74 besprochenen Gesetze der "Transformation durch reziproke Radien". Ist der Symmetriekreis insbesondere eine Gerade, so wird die Substitution eine "Spiegelung" an dieser Geraden im elementaren Sinne. Eine Spiegelung dieser letzteren Art, nämlich diejenige an der imaginären w-Achse, möge nun eingeführt werden. Ist ro der zu w = ~ in konjugiert komplexe Wert ca = ~ - in, so ist jene Spiegelung durch die Snbstitution zweiter Art w'= - 0) gegeben; wir wollen sie durch das Symbol V o bezeichnen:

+

(5)

w'=Vo(w)=-ro.

Transformieren wir nach den S. 128 allgemein besprochenen Grundsätzen die Substitution V

=

(;:~) der

pw)

mittelst der Substitution zweiter

Art Va' so gewinnen wir mit Rücksicht auf die Realität der a, aus V die Substitution:

V' = V o V V-I = (CX, 0 _ r,

ß)

(j

ß, 1', d'

t

welche offenbar wieder in der pw) enthalten ist. Es l:St durch das Entsprechen von V und V' eine umleehrbar eindeutige Beziehung de1" r('u) attf sich selbst gegeben oder, mit anderen Wm"ten, die Gruppe rio) wird durch die Substitution Vo in sich selbst tt"ansformiert (vgl. S. 129): (6) Man bilde nun das durch Substitutionen zweiter Art: (7)

r(w)

V o zu bezeichnende System aller

w' = V (w) = VVo(w) =

;:=-~

für alle Substitutionen V von r(w). Bezeichnen wir wie soeben V oVkVO-l mit V~, so gilt für die Kombination irgendwelcher Substitutionen V, V mit Rücksicht auf die Gültigkeit des assoziativen Gesetzes (vgl. S. 127), das auch bei Substitutionen zweiter Art bestehen bh'ibt:

(V1Vo),(VaV o) = V1 '(VOV2VO-l)= VI V;, V1 "(Va Vo) = (V1 Va) Vo' (VI V o)· Va = V1 · (Vo Va) = (V1 V;) VO' Es folgt: Die gesamten Substitutionen erster und zweiter Art V und V bilden wieder eine Gruppe, die Wi1" als die durch die Spiegelung Vo erwdtm·te lJlodulgruppe oder leurz als die "Modulgntppe zweite1" Art" benennen und durch: ['lW) = Ti w ) pw) V o

+

bezeichnen,. dabei gilt die Regel, daß zwei Substitutionen gleicher Art

285

Erweiterung der Modulgruppe durch eine Spiegelung

kombinim't immer eine Sttbstilut-ion "erster" Art lielern, zn'ei solche ungleicher Art aber eine Substitution zweiter Art. Unter den Substitutionen zweiter Art der erweiterten r(w) wollen wir noch alle diejenigen aufsuchen, welche die Periode 2 haben. Aus (7) ergibt sich: --2 (a 2 -ßy)ro-ß(a-.J) V (0) = -. . l' (a -.J) üJ + (0' - ßr)

Soll hier die identische Snbstitution Vo = 1 vorliegen, so muß: 0: 2 -

ßy

=

02

-

ßy

±

=

ß(a - 0) = 0,

1,

1'(0: - 0) = 0

zutreffen. Zufolge der zweiten Gleichung (1) sind diese Forderungen für = 0' sämtlich erfüllt, und zwar die erste mit dem oberen Zeichen. Wäre auch a - 0::; 0 zulässig, so müßte ß = l' = 0 sein, worauf die zweite Gleichung (1) in der Gestalt (XO = 1 nur die beiden Lösungen (X = 0 = ± 1 zuläßt, die zu (X = 0 zurückführen. Die in der T(w) enthaltenen Sttbstitutionen zweiter Art det, Periode 2 sind diejenigen von der Gestalt: a

(8)

0)

, = -aro- -- -ß

rro- a '

a2

--

ß

11

f

= 1"

sie erweisen sich sämtlich als Spiegelungen, und zwar hat man für l' = 0, d. h. lÜ1' 0)' = - OJ + ß, die Symmetriegerade 2 ~ = ß nncl für ir I > 0 den Symmetriekreis der Gleichung: l' (g2

+ 1)2) -

2a~

+ ß=

0,

die man mit Hille der zweiten Gleichnng (8) auch so nmgestalten kann: (9)

(~ - yIX)' + 1)2 = (1)" Y ,

Es handelt sich also hier um den Kreis des Radius reellen rationalen Punkte

0)

=

a

r

Il' 1-1

mit dem

als Mittelpunkte,

§ 2. Das Dreiecksnetz der w·Halbene und der Diskontinuitätsbereich der Modulgrllppe. Da die Spiegelung Vo die einzelne der beiden O)-Halbebenen in sich überführt, so wird überhaupt jede Substitution der r(w) die positive m-Halbebene und ebenso die negative wieder in sich transformieren. Geht ein Punkt 0) durch irgend eine Substitution der r(eu) in 0)' über, so wird durch ebendiese Substitution der zu OJ bezüglich der reellen Achse symmetrische Punkt 0) in den zu 01' symmetrischen ru' übergeführt. Die Betrachtungen, welche sich auf die Herstellung eines "Diskontinuitätsbereiches" der Gruppe T(w) beziehen (vgl. S. 233), gestalten

286

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

sich demnach in beiden Halbebenen symmetrisch, und es wird also ausreichend sein, wenn wir die Untersuchung für die positive m-Halbebene durchführen. Allgemein gilt zunächst folgende Erklärung: Zwei Punkte 01, von denen der eine in den anderen durch eine Substitution von rCN) übergeht,

heißen bezüglich der Gruppe ji\"') "äquivalent"; gehört diese Substitzdion dm' ersten Art an, so sind beide Punkte auch be1'eits bezüglich der ursprünglichen ModttlgnlpJ)e rCm) äquivalent. Die reellen Punkte 01, unter ihnen auch der Punkt 00, bilden die Randpunkte der positiven O1-Halbebene. vVir versuchen zunächst für die Innenpunkte der Halbebene einen Diskontinuitätsbereich der Gruppe r Cw) zu gewinnen und verstehen darunter einen aus Innenpunkten bestehenden Bereich, der für jeden inneren Punkt der 01- Halbebene einen und mtr einen bezüglich der Gruppe rCn,) äqttivalenten Pun,kt aufweist (vgl. S. 233). Zu diesem Ziele führt uns nun äußerst leicht das System aller Symmetriekreise der in rCm) enthaltenen Spiegelungen (8) S. 285. Wir schicken hierbei folgende Betrachtung voraus. Ist V k irgendeine der Spiegelungen und bedeutet V für den Augenblick irgendeine Substitution erster oder zweiter Art von r(w), so ist die durch Transformation mitte1st V aus V k hm'vorgehende Substitution:

VV k V-l=V; erstlieh in rCm) enthalten und hat zweitens die Periode 2, d. h. sie ist wieder eine Spiegelung. Jeder Punkt desjenigen Kreises, in welchen der Symmetriekreis von V k durch V übergeführt wird, erweist sich als Fixpunkt von V {; dieser Kreis ist also der Symmetriekreis von V; Jeder Symmetriekreis der r(w) wird denmach vermittelst irgendeiner Substitution dieser Gruppe wieder in einen Symmetriekreis übergeführt. Bei dieser Transformation durch Verhalten wir natürlich auch wieder alle Symmetriekreise. Um nämlich irgendeinen beliebig vorgeschriebenen zu gewinnen, haben wir ja nur von dessen Spiegelung VI zur Spiegelung V-lVI V zu gehen, deren Symmetriekreis dann eben durch V in denjenigen von V! übergeht: Das System allet· Symmetriekreise . der in TCw) enthaltenen Spiegelungen 'Wird durch jede Substitution der ", Grttppe rl w ) in sich transformiet·t. Um uns ein Bild von diesem Kreissystem zu schaffen, zeichnen wir in der O1-Halbebene zunächst alle unter diesen Kreisen enthaltenen Symmetriegeraden 2 ~ = ß, wo ß alle ganzen Zahlen 0, ± 1, ± 2, . .. zu durchlaufen hat. Alle übrigen Spiegelungen haben Ir! > 0, und wir dürfen, da die Koeffizienten der einzelnen Substitution noch einem ge-

Das System der Symmetriekreise der Modulgruppe

287

meil1samen Zeichenwechsel unterworfen werden können, y als positive ganze Zahl wählen. Ist l' = 1, so ist a als ganze Zahl willkürlich wählbar, während ß = a 2 - 1 gilt; wir erhalten also alle Kreise des Radius 1 um die ganzzahligen Punkte Cf) = 0, ± 1, ± 2, . ". Ist r = 2, so ist, damit ß ganzzahlig ausfällt, IX auf die ungeraden ganzen Zahlen einzuschränken; es schließen sich also die Kreise der Radien .~ um die Punkte Cf) = ± -f, ± i, ± -i, ... an. Bis hierher ist das Kreissystem, soweit es der positiven 1 0 Halbebene angehört, in Fig.58ent- - i - 1 - t 2" worfen, die man sich nach rechts Fig. 58. und links hin entsprechend fortgesetzt zu denken hat. Wir erblicken, daß diese Kreise ein System yonKreisbogendreiecken eingrenzen, und finden unter denselben insbesondere jenes Elementardreieck der Ecken OJ = i, OJ = Q und OJ

=

i

00

und der Winkel

i, i, 0, welches mit dem ihm rechts benach-

barten Dreiecke den im vorigen Kapitel oft genannten Bereich der "reduzierten" Periodenquotienten OJ lieferte. Wir wollen jenes Dreieck der Ecken i, (1, i 00 (mit Rücksicht auf einen sogleich einzuleitenden Spiegelungsprozeß) als "Ausgangsdreieck" bezeichnen und stellen sogleich den Satz fest: Kein Symmetriekreis einer Spiegelung von Cw ) kann ,in das Innere des Ausgangsdreiecks eindringen. Dies ist fiir die in Fig. 58 gezeichneten Kreise unmittelbar ersichtl,ich; alle übrigen aber haben Radien ::; {, und da ihre Mittelpunkte auf der reellen Achse liegen, so können sie eben das Ausgangsdreieck nicht erreichen. Man mache sich nun mit Hilfe der Fig. 58 deutlich, daß das mit einer Schraffierung versehene Ausgangsdreieck durch die Spiegelungen an seinen drei Seiten gerade genau in die drei benachbarten freien Dreiecke übergeführt wird. Es ist ja auch schon wegen der Invarianz des Systems aller Symmetriekreise gegenüber den Substitutionen von rCw) einleuchtend, daß die Seiten des Ausgangsdreiecks durch jene Spiegelungen wieder in Symmetriekreise der TCeu) übergehen. Zugleich folgt auch aus diesem Prinzipe, daß keines der drei neuen Dreiecke von irgendeinem weiteren Symmetriekreise durchzogen werden kann; es würde ja andernfalls, wenn wir die Spiegelung rückgängig machen, auch ein in das Ausgangsdreieck eindringender Symmetriekreis gefunden werden. Nun geht offenbar auch jedes der neuen Dreiecke, z. B. dasjenige

r

288

I, 5. Die Modulfuuktionen erster Stufe und ihre Imersion

mit den Ecken i, (I. und 0, durch die Spiegelungen an seinen drei Seiten in drei benachbarte, in der Figur schraffierte, Dreiecke über (von denen eins natürlich das Ausgangsdreieck ist); und es sind auch die Seiten dieser Dreiecke Symmetriekreise der rCw), und ihr Inneres wird von keinem Symmetriekreis durchzogen. Die Winkel aller neuen Dreiecke, die ja mit dem Ausgangsdreieck direkt oder indirekt kreisverwandt sind, betragen immer Punkte

w =

i, ~

i und

w =

und 0. Wenn wir demnach zunächst um die (I

herum, wo die Winkel ~. bzw. ~ vorliegen,

den Spiegelungsprozeß fortsetzen, so muß derselbe hier nach vier bzw. sechs Schritten zum Abschluß kommen, d. h. wir gelangen um den Punkt i herum nach vier, um den Punkt Q herum nach sechs Spiegelungen zum Ausgangsdreieck zur liek. Setzen wir nun den hiermit eingeleiteten Spiegelungsprozeß weiter fort, so bleiben die vorstehenden Angaben in allen wesentlichen Punkten erhalten. Jedes auf diese Weise erreichbare Kreisbogendreieck ist von Symmetriekreisen der rCm) begrenzt, und kein Symmetriekreis kann durch sein Inneres dringen. Das Dreieck hat, wie das Ausgangsdreieck, die Winkel ~, 0; der Scheitelpunkt des letzteren Winkels ist ein rationaler reeller Punkt w (alle Symmetriekreise (9) S. 285 schneiden die reelle w-Achse in rationalen Punkten), und das Dreieck liegt im übrigen ganz innerhalb der positiven w-Halbebene. Um das Ergebnis des fortgesetzten Spiegelungsprozesses der Anschauung zugänglich zu machen, bemerken wir zunächst, daß das ganze System der Symmetriekreise durch die Translation w' = w 1 in sich übergeführt wird. Haben wir demnach die aus dem System der Symmetriekreise entstehende Figur in dem durch - 1 < ~ < bestimmten Parallelstreifen der w-Halbebene gewonnen, so brauchen wir sie in den übrigen sich rechts und links anschließenden Parallelstreifen der Breite 1 nur kongruent zu .wiederholen. VVeiter beachte man, daß die sechs, um den Punkt OJ = (I herumliegenden Kreisbogendreiecke der Fig. 58 'ein größeres von "Halbkreisen" eingegrenztes Dreieck der Winkel 0 und der Ecken bei w = 0, - 1 und i 00 zusammensetzen. Dieses größere Dreieck kann auf drei Arten in sich selbst gespiegelt werden, und die drei Symmetriekreise dieser Spiegelungen sind einfach die drei durch w = (I ziehenden Symmetriekreise der Fig. 58, welche die Unterteilung des Dreiecks in die sechskleinerenDreieckeliefern. Man überzeuge sich an der Hand der c Fig. 59, daß überhaupt jedes von drei Fig. ;;9.

i,

+

°

Der Spiegelungsprozeß zur Herstellung des Dreiecksnetzes

°

289

Halbkreisen begrenzte Dreieck mit Winkeln und Ecken auf der reellen ro-Achse immer drei und nur drei Spiegelungen in sich zuläßt und durch Eintragen der drei Symmetriekreise in sechs kleinere Dreiecke der Winkel ~,

i, 0

eingeteilt wird. Der einzelne dieser drei Symmetriekreise läuft

durch eine Ecke des gegebenen Dreiecks und schneidet die Gegenseite unter rechtem Winkel. Wir wollen diese drei Symmetriekreise, insoweit sie dem Dreieck angehören, als dessen "Höhe" bezeichnen; ihre Fußpunkte nennen wir die Seitenmitten, ihren gemeinsamen Schnittpunkt den Mittelpunkt des Dreiecks. Spiegeln wir übrigens das Dreieck an einer seiner Seiten, z. B. an der in Fig. 59 mit a b bezeichneten, so erhält das benachbarte Dreieck als dritte Ecken den in der Figur mit d bezeichneten Punkt; für die beiden längs a b benachbarten Dreiecke liefert also der Symmetriekreis c d die beiden zur gemeinsamen Seite a b gehörenden "Höhen". Auf Grund dieser Ergebnisse wollen wir nun den Spiegelungsprozeß unmittelbar an das von drei "Halbkreisen" begrenzte Dreieck der Winkel und der Ecken 0, - 1, i (Xl anknüpfen und stellen aus ihm zunächst durch Spiegelung am unteren Halbkreise das in Fig. 60 schraffierte Dreieck der Ecken 0, - t, - 1 her ..Reihen wir dasselbe dem oberen Dreieck an, so bleiben vom in Rede stehenden Parallelstreifen der positiven m-Halbebene zunächst unten noch zwei Halbkreisflächen offen. In diesen finden erstlich zwei Spiegelbilder des eben gewonnenen schraffierten Dreiecks längs seiner unteren beiden Seiten Platz. In den dann noch unbedeckt bleibenden vier Halbkreisflächen zwischen dem bisher gewonnenen Netze der Dreiecke und der reellen m-Achse finden vier weitere in Fig. 60 auch noch gezeichnete und schraffierte Dreiecke Platz, sofern wir an allen vier eben noch offenen Kreisen zugleich je ein neues Dreieck durch Spiegelung erzeugen. Die Anzahl der noch offenen Halbkreisflächen an der reellen Achse ist aber auf 8 gestiegen. Nach n solchen Schritten haben wir, das ursprüngliche Dreieck m#gezählt, im ganzen 2" Dreiecke el'halten, welche LtnSeren Streifen der positiven m- Halbebene schlicht und ohne Lücke bis anf 2" del" 1"eellen ro-Achse anliegende noch unbedeckt bleibende Halbkreisflächen überdecken. Einen Halbkreis, der in den beiden reellen Punkten m =0, und m = b auf der reellen Achse senkrecht aufsteht, "1---'",!--"--,.-wollen wir mit (a, b) bezeichnen. Unter ---'-.,-----'~CO'-----'__ . 2 den acht nach drei Schritten des SpiegeFig.60.

°

Frickc: Elliptische Funktionen. Bd.l

19

290

I, Q. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

lungsprozesses an der reellen Achse noch unbedeckt bleibenden Halbkreisen liegt der Halbkreis (- t, 0) am rechten Endpunkte 0 des Parallelstreifens. N ach dem Gesetze der Transformation durch reziproke Radien zeigt man sofort, daß nach viel' Schritten der Halbkreis (- t, 0) und allgemein nach

n Schritten der Halbkreis (- n ~

l'

0)

a~ rechten Ende die Kette der

2n noch offen bleibenden Halbkreise abschließt. Es gilt der Satz, daß diesel' Halbkreis (mit seinem am linken Ende symmeb'ischen Halbkl'eise

(- 1, - n ~

1)) del' gl'ößte untet· den

,2n Halb7cl'eisen ist.

Dies kann

man in folgender vVeise zeigen: Zunächst sind je zwei bezüglich des Mittelpunktes (jJ = - t symmetrisch liegende unter den 2n Halbkreis~m einander gleich, da der eine das Spiegelbild des ander.n bezüglich der "Geraden" (- t, i (0) ist. Die 2 n - 1 Halbkreise zwischen (jJ = - t und (jJ = 0 werden nun durch den Punkt (jJ = i in zwei Reihen zu je 2 n - 2 HalbkreisAn zerlegt, von denen die links liegende Reihe, d. h. die zwischen - t und -l, durch die Spiegelung am Halbkreise (- 1, - t) (gemeinsame ,)HöhA" zweier Dreiecke der Figur 60) in die rechts liegende übergeht. Jeder Halbkreis wird hierbei aus dem Inner.n des Symmetriekreises (- 1, -}) nach dem Äußeren geworfen und also aus einem kleineren in einen größeren transformiert.. Der größte Kreis gehört also der Kette zwischen - -~- und 0 an. Diese wird nun wieder durch den Punkt - {~ in zwei Ketten zu je 2 n - 3 Halbkreisen zerlegt, von denen die links liegende Kette in die rechts liegende durch Spiegelung am Symmetriekreise (-}, ~ -1-) übergeht; diesel' letzteren Kette gehört also wieder der größte Kreis an. In derselben Art schließt man weiter, bis endlich nur noch die beiden Kreise ( - ~ , - n ~

1) und (- n ~ 0) 1)

liegen, deren erster durch Spiegelung am Kreise (- n _1

vor-

l' - 11~ 1) in

den größeren zweiten übergeht. Unsere Behauptung ist damit bestätigt. Die beiden größten unter den 2 n an der reellen Achse noch frei bleibenden Halbkreisen haben somit die Radien 2n~2' Alle Punkte (jJ

=

~

+ ir; des Parallelsheifens mit 1) > 2n ~2 sind sonach in das Innere

des von den 2n Kreisbogendreiecken gebildeten Netzes hineingezogen oder liegen doch wenigstens auf dem Rande dieses Netzes. J\'Ian kann das Ergebnis auch in folgende Gestalt kleiden: Wählt man eine positive von 0 vel'schiedene Zahl E beliebig klein ttnd bestimmt so dann eine ganze Zahl n in Übereinstimmung mit· n

>-

1+

~,

so wird nach n

Schl'itten des Spiegelungsprozesses ein Netz von ,2n D1'eiecken gewonnen

291

Sätze über das Dreiecksnetz der Modulgruppe

sein, dem jedenfalls alle Punkte 00 = ; + i1] des Parallelstreifen mit 1] > c angehören. Man wolle nun jedes der 2n Dreiecke durch seine drei "Höhen" in die sechs Teildreiecke zerlegen, was einfach dadurch geschehen kann, daß man für je zwei benachbarte Dreiecke, die also eine Seite und zwei Ecken gemein haben, den die beiden dritten Ecken verbindenden zur reellen oo-Ashse orthogonalen Halbkreis zeichnet.· Überdies soll in allen Parallelstreifen der 00 Halbebene in kongruenter Weise der Spiegelungs0

\ )

ar=:_!..

;J Fig.81.

prozeß und die Unterteih;mg der Dreiecke vollzogen werden. Jeder Streifen wird dann nach n Schritten des Prozesses 3· 2 n + 1 Dreiecke der Winkel ~,~,

°

tragen, und diese Dreiecke ordnen sich iibemll schlicht und

ohne Lücke in der 00- Halbebene aneinander derart, daß nach dem n ten Schritte im einzelnen Parallelstreifen an der reellen Achse anliegend noch eine Kette von 2 n Halbkreisflächen, deren Radien < -2 ~ 2 sind, unbedeckt n

~

I

bleibt. Fig. 61 möge eine Anschauung von der Natur des entstehenden Dreiecksnetzes vermitteln; die Eintragungen J = 0, J = 1, J = 00 beziehen sich auf die Modulfunktion J( (0), auf welche wir bald zurückkommen. Ist aber irgendein bestimmter Innenpunkt der oo-Halhebel1e 00 = ; + i'Y) fixiert, so ist man nach den vorstehenden Ergebnissen

sicher, daß man nach n >

-

1

+ ./~

Schritten des Spiegelungsprozesses

das Dreiecksnetz so weit entwickelt hat, daß der gewählte Punkt Netze angehört. 19*

00

dem

292

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Der Spiegelullgsprozeß ist nicht abschließ bar. Bei jedem Schritte wird die Anzahl der an der reellen Achse anliegenden, noch unbedeckt bleibenden Halbkreisflächen im einzelnen Parallelstreifen auf das Doppelte erhöht; ,und beim (n + 1)ten Schritt gewinnt das Dreiecksnetz im Parallelstreifen 2 n neue Spitzen in rationalen reellen Punkten ro. Wir können sogar leicht zeigen, daß jeder beliebig gewählte reelle rationale Punkt ro sicher nach einer leicht angebbaren endlichen Anzahl vmtt Schritten vom Dreiecknetz als eine Spitze desselben erreicht wird, Um dies zu zeigen, wollen wir der Bequemlichkeit wegen den durch o ~ ~ : : : 1 charakterisierten Streifen betrachten, dessen äußerste reelle Punkte· ro = und ro = 1 ja bereits dem "Ausgangsdreieck" für den Spiegelungsprozeß, d. i. dem Dreieck der Winkel und der .Ecken 0,

°

°

1, ioo angehören. Sei demnach ro

° =

ct.- ein beliebig, aber bestimmt ge-

r wähltel' rationaler Punkt zwischen und 1, so dürfen wir 01 und r als teilerfremde positive ganze Zahlen annehmen, von denen 01 < rund r> 1 gilt. Nun gibt es nach S. 281 für das vorliegende Zahlenpaar 01, r zwei weitere ganze Zahlen ß und ~, damals ßo und ~o genannt, die die Gleichung OI~ ßr = 1 befriedigen, während 0 dem Intervall 1 < {j < r angehört. Dann ziehen wir zunächst aus der Gleichung: =

a~ - 1 ~ 1 ß= - = 01 --- - r r r mit Rücksicht auf 1 :::::: {j < r die Folgerung, daß ß eine ganze Zahl des Intervalls < ß < 01 sein muß.

°

Die vom "rationalen reellen" Punkte 00 ausziehenden "Symmetriekreise" zerfallen nun in zwei Arten (vgl. Fig. 61). Ein solcher der einen Art besteht aus zwei Seiten von Dreiecken des Netzes der Fig. 61 und hat zur Gleichung ~ = v, unter v il'gendeine ganze Zahl verstanden; eine solcher der anderen Art besteht aus vier Dreiecksseiten und hat die Gleichung 2 ~ = 2 v + 1. Letztere sind im Dreiecksnetze der Fig. 60, auf welches wir den Spiegelungsprozeß ja zunächst bezogen, "Dreieckshöhen", erstere aber Dreiecksseiten. Transformieren wir nun die "Symmetriekreise" ~ = v mittelst der Substitution: ro

,

aro + ~ =rro.fJ'

so erhalten wir eine einfach unendliche Schar von Symmetriehalbkreisen:

(1)

(~, ~

t :~) , (v

=

.. " -

2, -1, 0, 1, 2, ...) ,

welche sämtlich vom vorgelegten rationalen Punkte ct.- aus7.iehen und

r

die an diesen Punkt heranreichenden Dreiecke der Winkel

°

eingrenzen.

Weitere Sätze über das Dreiecksnetz der NIodulgruppe

Man betrachte nun die bei den zu v = 0 und v = benachbarten Halbkreise (1). Aus: a ß 1 ",-_ß-a 1 -1'- -- -;t = -1'~' l' tY - l' 1'(1'-J)

-

293

1 gehörenden

folgt mit Rücksicht auf 0< 8< ,}" daß der erste Halbkreis .links und der zweite rechts vom rationalen Punkte ~ liegt. Sie grenzen somit das l'

erste unter den Dreiecken mit der Spitze ~ ein, welches man beim Spiegelungsprozeß erreicht.. Die dritte Seite dieses Dreiecks ist der Halbkreis

=

(*, ~ i),

dessen Radius:

i

f·

t (~~ -~) = 2tY(/- ~) > ist; hierbei gilt das Gleichheitszeichen nur für '}' = 28, mithin nur für '}' = 2, da rund 8 relativ prim sind. Schließen wir den Fall '}' = 2 zunächst aus, so gibt es im fraglichen Dreieck Punkte ro = ; + in mit 1) > 2 '}'- 2. Ein solcher Punkt liegt aber im Innern des durch n Spiegelungen erreichten Dreiecksnetzes, d, h. unser in Rede stehendes Dreieck gehört zu den 2n Dreiecken, welche wir- nach 12 Schritten des Prozesses erhalten, sobald nur: __1__ . < _~ n > (_21')'_ 1

2n + 2 = 1'"

gilt. Verstehen wir unter E(a) die größte ganze Zahl, welche nicht größer als die reelle Zahl a ist, so genligen wir dieser Bedingung, wenn wir n

=

E

(1':)

setzen. Das Ergebnis, das wir sogleich auch auf alle

übrigen Parallelstreifen mit beziehen, gilt dann auch für '}' = 2 und '}' = 1: Ist ro = ~ ein beliebiger, auf seine kleinste Benennung gebrachter l'

rationaler Bruch, so wird der reelle rationale Punkt ro =!' spätestens nach !

E

(1'4)

l'

Schritten des Spiegelungsprozesses als Spitze des bis dahin erzeug-

ten D1'eiecksnetzes erreicht. 'ViI' kehren zum Dreiecksnetze der Fig. 61 zurück und weisen nochmals darauf hin, daß die "Symmetriegel'aden" desselben teils aus zwei, teils aus vier Dreiecksseiten aufgebaut erscheinen. Beschreiben wir irgendeine andere gegen die reelle ro-Achse senkrechte Gerade G etwa von einem Punkte ro = ; + in mit 'Yj > 1 aus, so haben wir zu unterscheiden, ob der Fußpunkt von G ein rationaler Punkt ~ oder irrational l'

ist. G durchläuft im obersten Dreieck der Winkel 0 (vgl. Fig. 61) drei der kleineren Teildreiecke, im nächsten zwei oder drei, in allen folgenden zwei, drei oder vier Teildreiecke (s. auch Fig. 59). Wir erkennen sofort:

294

1,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Hat die gegen die 1'eelle Achse senkrecht verlanfende Gerade G einen rationalen F,nßpnnkt ~-, so ist die Anzahl der 'wn ihr durchschrittenen Dreiecke des Netzes der Fig. 61 lwtwendig kleiner als (3

+ 4 E (1'~) ),

und

sie erreicht in der Spitze ~ des letzten D1"eiecks die reelle Achse. Ist umT

gekehrt die Anzahl der von G durchlaufenen Dreiecke endlich, so gibt es unter ihnen ein letztes, in dessen Spitze somit G die reelle Achse erreichen muß. Eine solche Spitze ist aber immer ein rationaler Punkt 00; also folgt: Hat die gegen die reelle oo-Achse senk1'echt verlaufende Gerade einen irrationalen Fußpnnkt, so ist die Anzahl det· von G durchlaufenen Dreiecke nicht endlich. Wir kommen hierauf unten noch etwas ausführlicher zurück. Nachdem nunmehr die Natur des Dreiecksnetzes der Fig.61 ausführlich behandelt ist, können wir die Frage nach dem Diskontinuitätsbereiche zunächst der erweiterten Modulgruppe r<w) sofort beantir; der Halbworten. Ist irgendein bestimmter innerer Punkt 00 = ~ ebene gewählt, so können wir ihn durch Umkehrung des Spiegelungsprozesses in einen bezüglich T(w) äquivalenten Punkt des Ausgangsdreiecks der Ecken 00 = i, (I, ioo transformieren; auch ist es nicht schwer, für die Anzahl der hierzu erforderlichen Spiegelungen aus ~ und r; eine endliche obere Schranke zu berechnen. Das Ausgangsdreieck weist demnach sicher einen mit 00 = ~ + ir; äquivalenten Punkt auf. Andrerseits wird das Ausgangsdreieck durch irgendeine Substitution von T(w) in ein Dreieck des Netzes übergeführt. Soll letzteres mit dem Ausgangsdreieck wieder identisch sein, so muß die Substitution die Spitze ioo zum Fixpunkte haben und also eine der beiden Gestalten w' = w + ß, w' = - w+ ß aufweisen. Da sie auch die Ecke w = i zum Fixpunkt haben muß, so ist ß= 0; und da sie endlich drittens auch w = Q in sich transformieren muß, so ist 00' = unbrauchbar. Eine von der identischen verschiedene Substitution dm' G1'uppe T(w) tmnsforrniert das Ausgangsdreieck in ein von ihm verschiedenes Dreieck des Netzes. Ein Innenpunkt des Ausgangsdreiecks wird demnach durch eine von der identischen verschiedene Substitution der Dw) stets in einen Innenpunkt eines anderen Dreiecks übergeführt. Ein Randpunkt wird freilich durch die Spiegelung an der betreffenden Seite wieder in einen Punkt des Ausgangsdreiecks transformiert; aber dieser Punkt ist mit "dem ersten identisch. Die Ecken i und Q werdim auch noch durch elliptische Substitutionen (Q auch noch durch eine weitere Spiegelung) in Punkte des Ausgangsdreiecks, aber dabei doch wieder nur in sich

+

w

Der Diskontinuitätsbereich der Modulgruppe

295

selbst transformiert: Keine zwei verschiedenen Punkte des Atlsgangsdreiecks können somit bezüglich r(w) äquivalent sein. Wir wollen weiterhin auch noch die bei w = <X> gelegene Spitze des Ausgangsdreiecks diesem als zugehörig betrachten. Dieselbe ist bezüglich T(w) mit allen rationalen reellen Punkten w äquivalent. Das Ergebnis ist dann so auszusprechen: Für die positive w-Halbebene unter Einschluß der reellen raf'ionalen Randpunkte bildet das K?'eisbogendreieck der Ecken i, (I, i ex> einen Diskontinuitätsbereich der erweiterten Modulgruppe fiiw), Zu einern Diskontinuitätsbereiche ~er ursprünglichen Gruppe TCw) führt endlich folgende Überlegung, Ist der vorhin willkürlich gewählte Punkt w = ~ + iT} mit einem Randpunkte w' des Ausgangsdreiecks äquivalent, so ist w' mit ca immer auch bereits bezüglich der TCw) äquivalent. Hätten wir nämlich zunächst vom Spiegelungsprozeß eine Substitution zweitm' Art: m'=V(w) gewonnen, die 03 in 03' transformiert, so wird die Spiegelung V o an der bzw. an einer der heiden Seiten des Ausgangsdreiecks, welche w' enthalten, sofort eine Snbstitution erste1' Art V oV liefern, welche w In 0)' transformiert: OJ' =

V o(03')

=

VoV (01),

Ist hingegen w' ein Innenpunkt des Ausgangsdreiec;ks, so ist die in r("') enthaltene Substitution, welche ca in m' überführt, eindeutig bestimmt. Sie ist von der ersten Art und also in TCw) enthalten, wenn auch schon ca in einem schraffierten Dreiecke des Netzes lag, die ja alle untereinander direkt kreisverwandt sind, Lag indessen ca in einem freien Dreieck, so ist zwar noch nicht w', wohl aber der ~it ö)' bezüglich der imaginären w-Achse symmetrisch gelegene Innenpunkt des benachbarten Dreiecks mit ca in bezug auf r(o) äquivalent. Diese Sachlage führt zu dem Ergebnis: Für die positive O3-Halbebene ~mter Einschluß der reellen rationalen Randp2lnkte wird ein Diskontinuitätsbereich det, !trsprüngTiehen Modulgruppe r(w) geliefert durch dasjenige Doppeldreieck, welches aus den beiden zur imaginären Achse symmetrisch liegenden "Elementard1'eiecken" der Ecken i, 'I, iex> und i, - '1 2, iex> zttsammengesetzt ist; von den Randpunkten gelten indessen nw' diejenigen des links tiegenden schraffierten Dreiecks dem Doppeld1'eieck als zugehörig, Wir sind hiermit zu dem im vorigen Kapitel oft genannten Bereiche der "reduzierten" Periodenquotienten zurückgeführt, der zum ersten Male in Fig. 43, S. 179 zur Darstellung kam. .

296

I,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

§ 3. Die erzeugenden Substitutionen der ModuJgruppe. Für die Spiegelungen an den drei Seiten des Ausgangsdreiecks der Ecken i, (I, ioo wollen wir die symbolischen Bezeichnungen 8,1', U einführen; und zwar sei:

(1)

8(ro)

=

-~, co

T(ro)=-ro-l,

U(ro). =

-

ro ,

d. h. U ist die S. 284 mit V o bezeichnete Spiegelung an der imaginären ro-Achse, 8 diejenige am Einheitskreise usw. Wir wissen (vgI. S. 294 u. f.), daß das Ausgangsdreieck durch irgendeine Substitution erster oder zweiter Art V von TC'") in ein bestimmtes Dreieck des Netzes übergeführt wird, dem dann diese und auch nur diese Substitution V von TCw) eindeutig zugehört. Würde nämlich das Ausgangsdreieck auch noch durch V' in dasselbe Dreieck, wie durch V, übergeführt, so würde V-I V' das Ausgangsdreieck in sich transformieren und also nach S. 294 gleich der identischen Substitution 1 sein, was zu V' = V hinführt. Die umkehrbar eindeutige Beziehung der Dreiecke. des Netzes auf die Substitutionen von TC") gestattet, dem einzelnen Dreiecke das Symbol V seiner Substitution als "Namen" zu erteilen. Das Ausgangsdreieck erhält dabei den Namen ,,1", die drei ihm benachbarten Dreiecke die Namen S, 1', U. ~st V wieder eine beliebige Substitution erster oder . zweiter Art von TCw), so beschreibt (jJ' = V (ro) das Dreieck "V", falls ro das Ausgangsdreieck beschreibt. Tritt (jJ stetig etwa in das mit ,,1" benachbarte Dreieck U hinüber, so wandert (jJ' in das mit "V" homolog benachbarte Dreieck, welches somit aus dem Dreiecke fJ durch die Substitution V und also aus dem Dreieck 1 durch VU hervorgeht. Analog finden wir überhaupt, daß mit einem beliebigen Dreiecke V immer die drei Dreiecke V8, VT, VfJ, benachbart sind. :Mit dem Dreiecke 8 sind demnach beispielsweise benachbart die Dreiecke 8 2 = 1, 8 T, 8 U, mit 8 l' die folgenden Dreiecke 8 l' 8, 81'2 = 8, 8 TU. Durch Übergang zu benachbarten Dreiecken können wir aber vom Dreieck 1 aus zu jedem Dreieck hingelangen. Demnach wird sich jede Substitution von T(w) in Gestalt eines "Produktes" aus Faktoren 8, 1', U darstellen lassen; und zwar brauchen wir zufolge der Gleichungen 8 2 = 1, 1'2 = 1, fJ2 = 1 hierbei nur solche "Produkte" zuzulassen, bei denen niemals zwei aufeinanderfolgende Faktoren gleich sind. Wir können das Ergebnis auch dahin aussprechen, daß 8, l' ttnd U erzettgende Substitutionen der erweiterten Modulgntppe TCOJ) seien. Die Substitutionen der Modulgruppe erster Art TCw) werden von denjenigen symbolischen Produkten aus Faktoren 8, T, U geliefert, die

297

Erzeugung der Modulgruppe

gerade Faktorenanzahl haben. Indem wir die Faktoren zu Paaren zusammenziehen, ergibt sich, daß wir ein System von erzeugenden Substitutionen für r(w) in den drei Substitutionen: [1=TS S=UT, T=SU, gewonnen haben, wenn WIr mit ihnen auch ihre inversen Substitutionen: [1-1 = ST S-1 = TU, T-1 = US, mitgegeben denken. Übrigens ist T-l = T, da wir in T die elliptische Substitution der Periode zwei mit dem Fixpunkte m = i vor uns haben; weiter ist [1-1 = U2, da U die elliptische Substitution der Periode drei mit dem Fixpunkte m = Q ist. Zufolge (1) haben die Substitutionen S, T und U die Gestalten:

Sem)

=

m

+ 1,

T(m)

=

-1

[1(m) =

-;-,

W+1. -w

Aus S2 = 1, ... folgt unter RücKsicht auf das für unsere symbolischen Produkte gültige assoziative Gesetz:

UTS = TS· SU· UT = 1. Hiernach läßt sich [1 aus Sund T erzeugen: U-1 = TS, U = U-2 = (TS)2, und wir entnehmen aus der Periode 3 von U die zwischen Sund T bestehende Beziehung (TSY = 1. Die nrspriingliche Moclulgruppe r(w) besitzt als ein System von erzeugenden Substitutionen dt'e beiden :

(2)

Sem)

=

m

+ 1,

T(w)

=

-1 -;,;-,

!3wischen denen die Relation besteht: (3) TSTSTS= 1; mit S ist natürlich S-1 als gegeben anzusehen; zufolge (3) kann man sogar S - 1 in der Gestalt : S-1 = TSTST durch Sund T darstellen. Die symbolischen Produkte aus Faktoren Sund T, welche zur Darstellung der Substitutionen V von r(w) dienen 1), brauchen zufolge der Relation T2 = 1 Faktoren T immer nur in ersten Potenzen zu enthalten. Es gilt also für V eine Darstellung 2): V = Sm , TB"'. I Sm, ... TS"'p, wo die Exponenten m ganze Zahlen sind, von denen man m 2 , ms,"', 1) Wir erinnern c1aran, daß für diese Produkte das kommutative Gesetz nicht gilt. 2) Diese Darstellung von V ist zufolge der Relation (3) nicht eindeut1g bestimmt.

298

1,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

m._ 1 als von

°

verschieden vorauszusetzen hat. In nichtsymbolischer Gestalt läßt sich demnach die Substitution 0)' = V(O)) der Gruppe r(w) so schreiben: 1

-

ro

+ rn~'

so daß der Erzeugung von V durch Sund T explizite eine Kettenbnwhentwicklung der Substitution 0)' = V( 0)) entspricht. Als "homogene" Substitutionen Sund T wollen wir die beiden folgenden bezeichnen: , 0); = 0)1 + 0)2 , co 2 = 0)2' S

(4)

r

)

(T)

,

0)1

=

0)2

,

(l)2

= -

(l)1'

Die "zweite Potenz" T2 dieser homogenen Substitution T ist: und wird zweckmäßig durch das Symbol,,- 1" bezeichnet. Der einzelnen nichthomogenen Substitution V entsprechen immer zwei homogene, die wir folgerecht durch + V und - V = + V· T2 zu bezeichnen haben. Es ergibt sich hieraus, daß die homogene Modulgr~tppe r(w) durch die beiden in (4) gegebenen Substitutionen Sund T erzeugbar ist. Die homogene r(w) liefert uns die gesamten "linearen Transformationen der Perioden (l)l' O)t und damit auch zugleich alle Parallelogrammteilungen der tt-Ebene, welche bei einer einzelnen Gruppe r(u) des vorigen Kapitels möglich sind (vgl. S. 183 und S. 235). Die Wirkung, welche die Substitutionen S± 1 auf ein gerade vorliegendes Parallelogrammnetz ausüben, wird durch Fig. 62 veranschaulicht. Von dem durch Schraffierung hervorgehobenen Parallelogramm der Ecken 0, 0)2 0)1 + 0)2' 0)1 bleibt die Seite (0, 0)2) liegen, während die Gegenseite in ihrer Richtung entweder um die Periode + [02 (für S+1) oder um die Periode [02 (für S-1) verschoben wird. Sm erfordert dann einfach die ! m jmalige Ausführung dieser Gestaltsänderung in der einen oder anderen Richtung. Bei Ausübung von T bleibt das Parallelogrammnetz unverändert, und es werden nur die Perioden anders bezeichnet. Übt man aber demnächst wieder S oder eine Potenz von S Fig.62. aus, so läuft dies einfach darauf hinaus, daß nun die vorhin um den Punkt u = 0 gedrehte Parallelogrammseite (s. Fig. 62) unverändert bleibt, während die ihr gegenüber-

Erzeugung der homogenen Modulgruppe

299

liegende Seite in ihrer Richtung eine entsprechende Verschiebung um ein Periodenmultiplum erfährt. Es geht hieraus hervor, daß wir' z. B. vom Parallelogmmm der reduzierten Perioden zu jedem ander'cn Parallelogramm der Gruppe r(u) gelangen können, indem wir abwechselnd immer eine der beiclen von 'u = ausziehenden Parallelogrammseiten festhalten ~tnd die Gegenseite in ihrer Richtung um ein Periodenm~tltiplum verschieben, wobei jeweils die clr'itte und vierte Seite eine entsprechende Drehung ttm die Endpunkte der fest liegenden Seite erfahren.

°

§. 4. Die elliptischen ltlodulfunktionen erster Stufe. Die über die Modulgruppe r(w) gewonnenen Resultate gestatten uns, die Natur der Modulfunktion J( (JJ) genauer zu beschreiben und allgemein den Begriff einer "elliptischen Modulfunktion erster Stufe" aufzustellen. Wir rekapitulieren zunächst die Eigenschaften von J(w), die bereits oben S. 273 ff. aufgefunden wurden. Die Funktion J«(JJ) ist in jedem bestimmten, im Innern der (JJ-Halbebene gelegenen Bereiche eine eindeutige, daselbst überall analytische l!-'unktion, welche die Eigenschaft hat, gegenüber jeder Substitution der Gruppe T(w) invariant zu sein [vgl. (6) S, 262]:

(1)

J (~~+ ~) yro+.J

Da sie hiernach insbesondere ist, so ist sie bereits in jedem heitskreises der q2-Ebene, wenn Ebene nicht enthält, eindeutig Die Entwicklungsgröße:

=

J«(JJ).

gegenüber der Substitution S invariant bestimmten Bereiche im Innern des Eindieser Bereich nur den Nullpunkt dieser und überall analytisch.

(2) ist selbst gegenüber S invariant und bildet emen einzelnen Parallelstreifen der Dreiecksteilung der (JJ -Halbebene auf die Fläche des Einheitskreises der q2-Ebene ab. Von der Art dieser Abbildung möge Fig.63 eine Anschauung vermitteln. Die Spitze ioo des Streifens findet ihr Bild im Nullpunkte q2 = 0, wobei die außerordentliche Kleinheit des Abbildes vom Doppeldreieck ,,1" der (JJ-Halbebene beachtenswert ist!). Die übrigen Dreiecke ragen mit Spitzen an die "rationalen" Punkte 2) des Einheitskreises der q2-Ebene heran, und es gilt für die Art, wie die 1) Dieser Umstand ist für numerische Berechnungen höchst wichtig, insofern Potenzreihen nach q2 = e21tiW , falls man ro auf das Doppeldreieck 1 beschränkt, wegen der rapiden Abnahme der Beträge I q 2 1 , I q4[ , ••• gut konvergieren. 2) Gemeint sind damit die Punkte des Einheitskreises,deren Amplituden zu 7t in einem rationalen Verhältnis stehen.

300

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Fig.63.

Radien des Einheitskreises das neue Dreiecksnetz durchschreiten, die leicht erkennbare Übertragung der Sätze von S. 293 ff. Die für i q I< 1 konvergente Reihendarstellung:

(3)

12 3 • J

=

~2 + 744 + 196884 q2 + ...

zeigte überdies, daß J in den Nullpunkt der q2-Ebene und damit in die Spitze des Doppeldreiecks 1 der w-Halbebene fortsetzbar ist und daselbst den Wert 00 annimmt. Eine weitere wichtige Eigenschaft war die, daß J( w) im Diskontinuitäisbereiche der Gruppe r<wl, der ja mit dem Doppeldreieck der Fig. 56, S. 273, identisch ist, jeden komplexen Wert einmal und nur einmal annimmt. Durch w) wurde jenes Doppeldreieck auf die schlichte und vollständigeJ-Ebene abgebildet. Dabei übertrugen sich die drei zu den Spiegelungen T, S, U gehörenden Seiten des Elementardreiecks auf die reelle J-Achse, und zwar auf die durch J < 0 bzw. 0 < J < 1 und J > 1 charakterisierte Strecken. Die Spiegelung tJ und damit (zufolge

Je

Grundeigenschaften der Funktion J(ü»)

301

Cl)) überhaupt jede Substitution zweiter Art derr(eu) transformiert J

semen konjugiert komplexen Wert :t: aw-ß) = J(w). J (--=~(4) yw-o

In

Das schraffierte Elementardreieck liefert im Abbild die "positive" J-Halbebene, das freie die "negative" Halbebene. Wir wollen nun zunächst (was oben noch nicht geschah) darauf hinweisen, daß die Abbildung des einzelnen Dreiecks auf eine der J Halbebenen in den Ecken des Dreiecks aufhört, konform zu sein. Ein Winkel des Scheitelpunktes w = Q wird im Abbild verdreifacht, ein solcher des Scheitelpunktes w = i aber verdoppelt. Da J(Q) = 0 und J( i) = 1 ist, so folgt nach früheren allgemeinen Sätzen: Die Funktion J hat im Punkte w = Q einen Nullpunkt dritter Ordnung, und (J - 1) hat im Punkte w = i einen Nullpunkt zweiter Ordmmg. Die Umgebung des Nullpunktes der q2-Ebene überträgt sich konform auf die Umgebung des Punktes co der J-Ebene. Als Funktion von w hat jedoch J in derselben Art wie q2 bei w = co einen wesentlich singulären Punkt, was nach S. 29 und 52 ja nicht ausschließt, daß J bei spezieller Annäherung an den Punkt co gleichwohl einen Grenzwert hat. Als wesentlich neu tritt uns nun die aus (1) hervorgehende Tatsache entgegen, daß jedes Doppeldreieck des zur T(eu) gehörenden, die ro-Halbebene schlicht und vollständ(q bedeckenden Netzes wiedentm ein konformes Abbild der schlichten und vollständigen JEbene ist; bezüglich neu) äquivalente Punkte tragen ja in der Tat zufolge (1) gleiche Funktionswerte J( w). Besonders wichtig werden daraufhin die Betrachtungen von S. 294 über die gegen die reelle OJ-Achse senkrecht verlaufenden Geraden G, d. h. über die Art, wie diese Geraden das Dreiecksnetz durchdringen. Ist der Fußpunkt der Geraden rational, so verbleibt dieselbe, wenn wir sie gegen die reelle Achse durchlaufen, zuletzt in einem bestimmt angebbaren Dreiecke, dessen Spitze der rationale Fußpunkt von G ist: Längs eineT gegen die reelle w-Achse senkrecht verlaufenden Geraden G mit "rationalem" Fußpunkt finden -Werte J statt, die gegen den rationalen Punkt hin einen Grenzwert haben, nämlich den Wert co. Wenn also auch der rationale Punkt w, wie der ihm äquivalente Punkt oc, als wesentlich singtdät· für J (co) zu bezeichnen ist, so dürfen wir doch den bei der vollzogenen Annäherung eintretenden Grenzwert co als Wert -von J( w) im rationalen Punkte betrachten. Hat demgegenüber G einen irrationalen Fußpunkt, so ist die Anzahl der längs G aufgereihten Dreiecke des Netzes nicht endlich. Hieraus allein folgt freilich noch nicht, daß nun J( w) gegen den Fußpunkt

302

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

°

von G hin keiner Grenze zustreben könne; denn z. B. eine Gerade, die sich etwa von ro = i unter einem von verschiedenen spitzen Winkel von der reellen Achse fort gegen ro = 00 erhebt, durchläuft auch unendlich viele Dreiecke, bildet sich aber in der q2-Ebene auf eine logarithmische Spirale um den Nullpunkt ab und liefert also für J eine Grenze, nämlich 00. Anders liegt es jedoch mit unserer Geraden G eines irrationalen Fußpunktes. Man beachte, daß G- unendlich viele Dreiecke der Winkel 0, welche das Netz der Fig. 60, S. 289 zusammensetzen, durchschreitet; beim Eintritt in ein solches Dreieck ist J reell und > 1. Im Innem des Dreiecks (vgL Fig. 59, S. 288) laufen aber vom "Mittelpunkte" nach den beiden äußeren Ecken Ca und c in Fig.59) zwei Kreisbogen mit reellen J < 0; einen dieser Bogen muß G- vor Verlassen des Dreiecks überschreiten, so daß dann eben auch ein reeller vVert J < 0 eintritt. Umständlicher ist der Nach weis von reellen Werten des Intervalles 0 < J < 1 längs G. Man nehme an, daß die Gerade G mit dem irrationalen Fuß_ punkte roo im Augen blicke das Doppeldreieck " V" durchschreite. Dann wird durch V-I das betreffende Stück von G in den Diskontinuitätsbereich ,,1" zurückgeworfen; und die gesamte Gerade G geht hierbei in einen zur reellen ro-Achse senkrechten Halbkreis von endlichem Radius über, der die Halbebene vom Punkte V-1(00) nach V-l(ro O) durchsetzt. Dieser Halbkreis muß vom Doppeldreieck ,,1" aus in der Richtung auf V -1 (roD)' nachdem er eine begrenzte Anzahl von Doppeldreiecken "SV" durchschritten hat, die Kette dieser Doppeldreiecke Sv verlassen; und in dem Augenblick ist J reell und im Intervalle 0 < J::::::: 1 gelegen. Es liegen demnach auf G unbegrenzt viele Punkte sowohl mit reellem J:<:: 0, als auch mit reellem J> 1, wie auch schließlich unendlich viele Punkte mit reellem J des Intervalls 0:<:: J < 1: Längs einer gegen die reelle ro-Achse senkrecht verlattf"enden G-eraden G mit "ir~'ationalem" Fußpunkte schwankt der Wert von J( 0)) unauf"hörlich und nähert sich keiner Grenze. Während demnach J(m) in jedem Innenpunkte der positiven 0)Halbebene sich analytisch verhält, ist jeder reelle Punkt ro ein wesentlich singulärer für diese Funktion, und es ist auf keine Weise möglich, bei analytischer Portsetzung von J (ro) einen reellen Punkt m in das Innere eines Konvergenzkreises der dabei auftretenden Potenzreihen hineinzuziehen. Die Peripherie des Konvergenzkreises für die Potenzreihenentwicklung von J( ro) in der Umgebung eines Innenpunktes Wo der positiven Halbebene wird vielmehr die 'reelle ro-Achse berühren, so daß die Konvergenzradien verschwindend klein werden, wenn sich 0)0 irgendeinem reellen Punkte ro annähert. Die reelle ro-Achse, Bols aus lauter wesentlich singulären Punkten zusammengesetzt, ist also nach S. 30

Die co-Halbebene als Feld der Funktion J(co)

303

als eine "na,türliche Grenze" von J( w) zu bezeichnen, über welche hinaus diese Funktion nicht fortsetz bar ist, und auf welcher nur noch den rationalen Punkten "Grenzwerte" der Funktion J(w) zugehören: Das Feld F der Funktion J( w) ist die schlichte tmd vollständige positive wHalbebene ohne die Randpunkte (die reelle w-Achse). Für J, als Funktion von q2 aufgefaßt, gelten ganz entsprechende Sätze. Die Peripherie des Einheitskreises besteht aus lauter wesentlich singulären Punkten dieser Funktion, wobei allerdings bei radialer!) Annäherung an einen "rationalen" Punkt der Grenzwert J = 00 eintritt. Die Peripherie des Konvergenzkreises der Reihe (3) (Einheitskreis der q2-Ebene) ist also zugleich eine "natürliche Grenze" der durch diese Reihe dargestellten Funktion von q2, deren Feld F somit die Innenfläche des fraglichen Kreises ist. Wir betrachten weiter die konforme Abbildung des Feldes der Funktion J( w) auf die J- Ebene. Jedes Elementardreieck des Netzes der w-Halbebene ergibt ein "Halb blatt" der J-Ebene, und zwar das einzelne schraffierte Dreieck unseres in Fig. 61, S. 291, skizzierten Netzes ein "positives" J-Halbblatt, jedes freie Dreieck ein "negatives" Halbblatt. Diese unendlich vielen Halbblätter hat man sich längs ihrer drei durch die Punkte J = 0, 1 und 00 abgeteilten Randstücke aneinander geheftet zu aenken (immer ein positives Halbblatt an ein negatives) genau in der Weise, wie es der Zusammenhang der Dreiecke des Netzes vorschreibt. Es entsteht als konformes Abbild der w-Halbebene über der J- Ebene und damit als Feld der zu J( w) inversen Funktion w (J) eine unendlich-blättrige Fläche F"" die nur an den Stellen J = 0, 1 und 00 Verzweigungspunkte aufweist, und die wie ihr Original, die w-Halbebene, einen "einfach-zusammenhängenden" Bereich darstellt; und zwar liegen bei J = 0 lautet· 3-blättrige Verzweigungspunkte übereinander, bei J = 1 latder 2-blättrige ttnd schließlich bei J = 00 lauter oo-blättrige. In dieser Fläche F", ist w (J) eine eindeutige Funktion des Ortes, welche den unendlich vielen Blättern entsprechend unendlich viele "Zweige" besitzt, die durch Fortsetzung um die Verzweigungspunkte herum auseinander hervorgehen. Dabei ist irgendeiner dieser Zweige w' (J) durch mnen Anfangszweig m (J) in der Gestalt: (5) m'(J)= ClfJJ(J)+ß yro(J)

darstellbar, wo

(x,

+ö

ß, 'J', 0 ganze Zahlen der Determinante 1 sind; und wir

1) Man sieht übrigens (durch Rückgang auf die co-Halbebene und den Punkt co = i (0) leicht, daß der Grenzwert J = 00 eintritt auch bei Annäherung längs einer regulären Kurve, welche den "rationalen" Punkt des Einheitskreises der q2_ Ebene unter einem von 0 verschiedenen Winkel (gegen diesen Kreis) erreicht.

304

1,5. Die lVIoclulfunktionen erster Stufe uncl ihre Inversion

erhnlten die gesamten Zweige, wenn wir (;: ~) alle Substitutionen der Modulgntppe r('") dttrchlaufen lassen. Indem wir die charakteristischen Eigenschaften von· J( w) zusammenfassen, gelangen wir zum allgemeinen Begriff einer Modulfunktion: Als eine "elliptische Modulfunktion erstC1' Stufe" bezeichnen wir jede analytische Funktion von w, welche die schlichte positive w-Halbebene (ohne den Rand) zttm Felde hat, gegenüber den Substitutionen der JYIodulgJ'uppe r('") invariant ist ttnd beim Grenzübergang lim w = i 00 sich als eine Funktion· von q2 erweist, die im Nullpunkte der q2_ Ebene analytisch ist OdC1' einen Pol endlichC1' Ordnung aufweist. Eine solche Funktion ist, in Abhängigkeit von J aufgefaßt, natürlich eine eindeutige Funktion des Ortes in der eben konstruierten F "" welche ja ein eindeutiges Abbild der positiven w-Halbebene ist. Da indessen übereinanderliegende Punkte in dieser F 00 Punkten der Cil-Halbebene entsprechen, die bezüglich der rem) äquivalent sind, so wird unsere fragliche Funktion von J iu übereinanderliegenden Punkten der F ro stets die gleichen Werte annehmen; sie ist demnach eine eindeutige Funktion von J. Dabei ist sie in der ganzen J-Ebene, unter Einschluß des Punktes J = 00 (der dem Nullpunkte der q2-Ehene entspricht), abgesehen von Polen, überall analytisch. Eine solche Funktion ist aber nach S. 61 eine rationale Funktion von J: Jede elliptische Modulfunktion erster Stufe ist mtional· in der speziellen Funktion J( w) dieser Art dars~ellbar,. und umgekehrt ist jede rationale Funktion von J( Cil) als Funktion von Cil aufgefaßt auch eine elliptische Modulfunktion erster Stufe. Vergleichen wir hiermit den S. 125 im Anschluß an Gleichung (18) daselbst aufgestellten Satz, so erkennen wir, daß die gesamten absoluten mtionalen Invarianten der biqnadratischen binären Verzweigungsform, als Funktionen von Cil aufgefaßt, ~ms gerade unsere gesamten Modulfunktionen erster Stn/e liefern.

§ 5. Die elliptischen Modulformen erster Stufe. Die heiden ganzen rationalen Invarianten g2 und g3 der Verzweigungsform waren in den Perioden Cil I , Cil 2 nach S. 262 durch die in der m-Halbehene unbedingt konvergenten Reihen: ( 1) 92 (w l ' w) 2

=

)4

60 ~'( __~ __ ,.::::;.;

(in"ln 2 )

,

darstellbar, wo (mv 1n2) eine Abkürzung für (mI Cil I + m 2 Cil2 ) ist. Weiteren Aufschluß über die Natur dieser Funktionen erhielten wir durch

305

Erklärung der Modulformen erster Stufe

die Darstellungen (16) S. 271 und (3) S.274, von denen die letzteren hier reproduziert seien:

j

g2(OJ 1 , OJ2)

(2)

=

(~~r (J\ + 20. q2 + 180q'1 + 560q6 + ...),

ga ( OJ lI (iJ2 ) -_ (211')6 '00 2

(1 216 -

7 2 1708 6 sq - 77 q4, - ----s-q - ...).,

diese na;ch Potenzen von q2 fortschreitenden Reihen waren für Iq I < 1 konvergent. Hiernach sind OJ~' g2 und OJ~· gs im Innern der OJ-Halb· ebene eindeutige und überall analytische Funktionen, die sich auch noch für lim (iJ = ioo als Funktionen von q2 im Nullpunkte der q2-Ebene analytisch verhalten. Als eine Haupteigenschaft der Funktionen g2' gs der Perioden OJ lI OJ 2 folgten aus der unbedingten Konvergenz der Reihen (1) die Gleichungen (6) S. 262, welche zum Ausdruck bringen, daß diese Funktionen gegenüber den Substitutionen der homogenen Modulgruppe rCw) invariant sind. ' Im Anschluß hieran stellen wir sogleich folgende allgemeine Erklärung auf: Als eine "elliptische Modulform erster Stufe" wollen wir jede homogene Funktion ganzzahliger Dimension d der OJ lI OJ2 bezeichnen, die, mit OJ; d multipliziert, als analytische Funktion von OJ die positive OJ-Halbebene (ohne den Rand) zum Felde hat, die gegenüber den Substitutionen der homogenen Gruppe rCw) invariant ist, und die schließlich, wieder mit OJ;d multipliziert, für den Grenzübergang lim OJ = ioo als Funktion von q2 im Nullpunkte der q2_Ebene analytisch bleibt oder doch mw einen Pol besitzt. Die Dimension d muß geradzahlig sein, da die Substitution OJ~ = - OJ lI OJ~ = - OJ 2 in der rCw) enthalten ist und also ihr gegenüber die Modulform unveränderlich sein soll. Ist die Modulform im Innern der OJ-Halbebene polfrei und hat, sie für lim OJ = ioo einen endlichen Grenzwert, so heißt sie eine "ganze" Modulform erster Stufe; hierher gehören insbesondere die Modulformen g2( OJ lI OJ2 ) und gs (0)1' OJ 2) der Dimensionen - 4 und - 6. Wir werden gleich erkennen, daß überhaupt jede ganze Modulform erster Stufe von negativer gemdzahliger Dimension ist; wir setzen demnach sogleich d = ~ 2v und benutzen für eine einzelne ganze Form dieser Dimension allgemein die Bezeichnung g" (OJl l OJ 2). Es ist nun zunächst einleuchtend, daß die Modulformen "nullter" Dimension einfach mit den Modulfunktionen erster Stufe identisch sind, sowie daß ferner der Quotient irgend zweier Modulformen gleicher Dimension wieder eine "Modulfunktion" erster Stufe darstellt. Insbesondere wird also auch der Quotient zweier ganzer Formen g~ (OJ 1, OJ 2 ) und gv (OJ 1, OJ 2 ) gleicher Dimension - 2v eine Modulfuntion erster Stufe und damit eine rationale Funktion von J sein, deren Nullpunkte und Pole von den Null]'ricke: Elliptische Funktionen. Bd.1

20

306

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

punkten des Zählers g~ bzw. des Nenners g. geliefert werden, soweit sich dieselben nicht bei Bildung des Quotienten fortbeben. Daraus folgt umgekehrt, daß alle ganzen Modulformen g;(W 1,W2) der Dimension - 2v durch eine unter ibnen g,. (w 11 w2) in der Gestalt: g: (w 1 , w2) = g,. (w 1, w2) • R (J(w) (3) mittels rationaler Funktionen von J darstellbar sind; und umgekehrt ist offenbar auch jedes solche Produkt g.' R (J) eine ganze Modulform g;~ wenn sich nur die sämtlichen Pole von R (J) im Produkte g,. . R (J) gegen Nullpunkte von g,. (w 1, w2) fortheben. Aus diesen Betrachtungen ergibt sieb ein wichtiger Satz über die Anzahl der Nullpunkte einer ganzen Form g. (w 1, w2) im Diskontinuitätsbereiche der Modulgruppe r(w). In der Diskriminante LI = g~ - 27 g~ besitzen wir eine besondere Modulform gs (w 1 , w2), welche im Innem der w-Halbebene nirgends verschwindet, und deren Verb alten im Nullpunkte der q2-Ebene, d. i. für lim w = ioo, aus der schon S.274 mitgeteilten Reihenentwicklung:

(4)

LI (w 1, w2 )

=

%)12 q2 (1 -

( 2(l)2

24 q 2 + 252 q 4

-

1472 qs + ...)

hervorgeht. LI hat demnach im Nullpunkte der q2-Ebene selber einen Nullpunkt erster Ordnung: Insofern nun die bei w = i 00 gelegene Ecke unseres Doppeldreiecks der Fig. 56, S. 273 (Diskontinuitätsbereicbes der TCw») sieb gerade auf die schlichte und vollständige Umgebung des Nullpunktes der q2-Ebene abbildet, dürfen wir sagen, daß LI oder genauer W~2 • LI "im Diskontinuitätsbereiche der r(w) pemessen" einen Nullpunkt erster Ordnung in der Ecke ioo besitze. Soll demnach LI· R(J) eine ganze Form g6 (w 11 w2 ) sein, so darf R(J) nur einen Pol erster Ordnung, und zwar bei J = 00, baben und stellt demnach eine lineare ganze Funktion (AJ B) von J dar. Jede ganze Modulform gs (w 1, w2 ) der Dimension - 12 ist hiernach in dm' Gestalt:

+

LI . (AJ + B) = Agi + BLI = (A + B) g~ - 27 Bg~ oder, wenn wir A + B = a, - 27 B = b setzen, in der Gestalt:

(5) gs (w 11 w2) = ag~ + bgi darstellbar, unter a und b Konstante verstanden; und ttmgekehrt haben wir für irgend zwei endliche Konstante a ttnd b in (5) stets eine ganze Modulform der Dimension - 12 vor uns. Es ist nun einleuchtend, daß LI· (AJ + B) in der J-Ebene einen und nlfr einen Nullpunkt erster Ordnung hat, und daß man diesen Nullpunkt, wenn man das Verhältnis der Konstanten A und B zweckmäßig wählt, an jede vorgescbriebene Stelle der J-Ebene bringen kann. Wir gewinnen den Satz: Eine ganze Modtdform erster Stufe (- 12)!er Dimen-

Die Nullpunkte der Modulformen g2 und !J.

-307

sion hat "im Diskontinuitätsbereiche der r(w) gemessen" einen tmd nur einen Nullpunkt erster Ordnung; wir können die Lage desselben willkürlich 'Vorschreiben und bestimmen dadurch die Modul/arm g6 (w t , ws) bis auf einen konstanten Faktor eindeutig. Der Erläuterung bedürfen hierbei jedoch noch die Punkte W = i und W = ((. Ist zunächst Wo ein endlicher von den Punkten w = i und w = (! verschiedener Punkt des Diskontinuitätsbereiches der r(w), und ist J(w o) = Ja, so ist die Umgebung von Wo konform auf diejenige von J o abgebildet. Die Form ALl· (J - J o) hat demnach im Punkte Wo ihren Nullpunkt erster Ordnung. Weiter hat in der Ecke ico, wie wir feststellten, die Form A· Li einen Nullpunkt, der "im Diskontinuitätsbereich gemessen" von der ersten Ordnung ist. Auch die Umgebung von Wo = (! ist nicht mehr konform auf die Umgebung von J = 0 bezogen, liefert vielmehr über der J-Ebene eine dreiblättrige Windul1gsfläche (S.303) mit dem Verzweigungspunkte J = O. Die Form ALl, J hat in der schlichten J-Ebene und also "im Diskontinuitätsbereich gemessen" bei (! einen Nullpunkt erster Ordnung und eben deshalb in der dreiblättrigen Windungsflächel) und also in der w-Halbebene bei Wo = Q einen Nullpunkt dritter Ordnung. In entsprechender Weise findet man, daß ALl· (J - 1) im Punkte Wo = i der w-Halbebene einen Nullpunkt zweiter Ordnung besitzt. Hiermit ist in Übereinstimmung, daß Li· J = g~ die dritte Potenz der ganzen Modulform g2 (w l, ( 2 ) und ~ LI . (J - 1) = g~ die zweite Potenz der ganzen Modulform g3 (w t , ( 2) ist. Wir ziehen umgekehrt die Folgerung: Die Modulform 92 (wll ( 2) hat in der w-Halbebene bei w = Q (tmd damit natüloZich auch in allen mit Q äqttivalenten Pt~nkten) einen einfachen N2tllpunkt, so daß sie "im Diskontinuitätsbereiche gemessen" in der fraglt:ehen Ecke einen Nullpunkt der gebrochenen Ordnung t aufweist, ohne übrigens noch einen weiteren Nullpunkt in jenem Bereiche zu besitzen. In entsprechender Weise folgt. für 93: Die Modulform g3(W ll ws) hat in de?o w-Halbebene bei w = i (und damit in allen mit i äquivalenten Punkten) einen einfachen Nullpunkt; "im Diskontinuitätsbereich gemessen" hat sie also in der Ecke i einen Nnllp1mkt der 01 dnung i, ohne übrigens in diesem Bereiche noch einen weiteren Nullpunkt aufzuweisen. 2) 0

1) S. hierzu die Entwicklungen S. 28ff. 2) Die Angaben über die Lage der Nullpunkte von g2 und g3' welche mit der algebraischen Theorie in Übereinstimmung sind (vgl. S. 178 ff), lassen sich leicht an den Reihen (1) bestätigen. Beispielsweise können wir die Reihe fiir !J2 durch Zusammenfassung der Glieder zu je dreien in die Gestalt kleiden: (6) g, (00" 00,)

=

20

1 )4 + (------1 )4 }. - -)4 + ( ~ {(-(m,-1 ,1n2) (-1n 2 ,111, -1II2 ) ( - 111, + 111" - 111, )

Der Faktor 60 in (1) rechter Hand ist hier durch 20 ersetzt, weil wir in (6) rechter 20*

308

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Es soll jetzt eine beliebige ganze Modulform erster Stufe g.( (J)v (J)2) der geradzahligen Dimension - 2v dargestellt werden. Man beachte zu diesem Zwecke, daß die Ausdrücke:

1, g2' gs g;, g2gS, g§gs . in den (J)l' (J)2 die Dimensionen 0, - 4, - 6, - 8, - 10 und -- 14 haben. Wir können uns unter diesen .Ausdrücken demnach einen bestimmten, etwa durch g~g~ zu bezeichnenden, so wählen, daß das Produkt g~g; ·gv eine durch 12 teilbare Dimension - 12(t bekommt; man· hat einfach diejenige Zahlenkombination x, Ä zu wählen, für welche (2x + 3Ä + v) ein Multiplum VOll 6 wird:

+ 3A + v =

6(t. Mittels der besonderen Form Lifl der Dimension -12 (t läßt sich die ganze Modulform g~g~g, alsdann zufolge eines oben aufgestellten Satzes in der Gestalt: g~g~ . gv = Li" . R(J) mit Hilfe einer rationalen Funktion von J darstellen. Ist nun erstlich R(J) mit einer Konstanten C identisch, so folgt: gv = C· Li"g2"g:;J.· Schließen wir den Fall einer identisch verschwindenden oder auch nur mit einer Konstanten identischen Form gv aus 1), so ist C von 0 versein und schieden und also muß, da g. polfrei sein soll, x = 0, Ä = (t > zutreffen. Die Form gp( (J)1J (J)2) ist in diesem Falle, abgesehen von einem konstanten Faktor, eine Potenz von Li mit positivem ganzzahligen Exponenten (t tmd hat als solche einen einzigen Nullpunkt der Ordnung (t = im Diskontinuitätsbm·eiche der Gntppe r(w); iMe Dimension ist - 2v = - 12 (t, d. h. eine "negative" ganze Zahl. Ist die Funktion R(J) nicht konstant, so hat sie mindestens einen Pol, der durch einen Nullpunkt von Lif' aufgehoben werden ·muß. .Also ist (t > 0, die Pole von R(J) dürfen nur bei J = 00 liegen, und ihre Zahl muß < (t sein, d. h. R(J) ist eine ganze Funktion höchstens (tten Grades. Es ergibt sich demnach für gy die Darstellung: (7) gv = Lillg;:Y.g:;A (AoJf' + AJ,u-1 + ... + A,,) 2x

°

°

i

Hand, sobald diese Summe wieder auf alle Paare nicht zugleich verschwindender Zahlen m" m2 bezogen wird, jedes Glied der Reihe (1) dreimal erhalten. Nun gilt aber: 1

---m-.-Q-+C-1Il1

1

Q -

1Il.

m1 Q

+ 1n.'

( - 1/11

+ 1l!2) Q -

1.'2

-+ m.'

m 1 = 1111 Q

so daß für (jJ = I.' jedes einzelne Glied der Reihe (6) und also auch die Summe aller Glieder verschwindet. 1) Für 'IJ = 0 entspricht eine beliebige Konstante, für v =!= 0 die Konstante 0 der Begriffserklärung einer ganzen Modulform.

Darstellung aller ganzen Modulformen durch g2 und g3

309

mit p, > 0, wobei die rechts stehende ganze Funktion für" > Oden Faktor J und für l> den Faktor (J - 1) haben muß, da g. polfrei ist. Für" > 0, l > muß demnach (1, > 2 sein; da übrigens" - 0, 1,2 und l - 0, 1 gilt, so ist in jedem Falle:

°

°

v = 6p, - 2" ~ 3l > 0, d. h. g. hat wieder negative Dimension - 2 v. Die III (7) rechts stehende ganze Form hat "im Diskontinuitätsbereiche" der r(w) Nullpunkte in der Gesamtordnung: n

l

p

P,-a-2=6 und ist durch Angabe dieser Nullpunkte bis auf einen konstanten Faktor bestimmt. Ist ,,> 0, so können wir den Faktor g"2y. gegen den in (7) fo:r:theben; ebenso können wir rechts nun auftretenden Faktor LlJ = für A = 1 den Faktor g:;l gegen den jetzt auftretenden Faktor LI (J - 1) = 27 fortheben. Der noch übrig bleibende Faktor ist:

g;

g:

d ll - a (A oJ,ll-a

+ A' JII-a + ... + A'I'-a ), 1

-1

wo 0 = 0, 1 oder 2 ist; derselbe kann auf Grund der Relationen (16) und (15) S. 124 in eine ganze rationale Funktion der g2,gS von der Dimen-' sion - 12 (p, - 0) in den (lJl' (lJa umgeschrieben werden. Setzen wir die bei Fortheben von g"2" und g"f;A noch übrig gebliebenen Potenzen von gal gs hierzu, so ergibt sich für g. eine ganze rationale Funktion der ga, gs von der Dimension - 2v in den (lJll (lJa' Wir gelangen zur Darstellung:

(8) wo l und m ganze nicht-negative Zahlen sind, die wegen der Dimension in den (lJl, (lJa der Relation: (H) 2l + 3m = v genügen. Diese Darstellung Echließt den oben erledigten Fall, daß g. gleich C, Llil ist, mit ein: Eine ganze Modulform erster Stufe g.((lJl' (lJ2) ist von negatit"er 'geradliniger Dimension, hat im Diskontinuitätsbereiche der r(w) Nullpunkte in der Gesamtordnung und ist durch die Lage

f

dieser Nullpunkte bis auf einen konstanten Faktor bestimmt; sie läßt sich mittels der g2' gs in der Gestalt (8) darstellen, wo die l, m nicht-negative ganze, der Relation (9) genügende Zahlen sind, und es ist umgekehrt offenbar jeder solche Ausdmck (8) eine ganze Modulform erster Stufr, Für v = 1 hat die Gleichung (9) keine Lösungen in nicht-negativen ganzen Zahlen; für v = 2, 3, 4, 5 liegt je nur eine einzige Lösung vor, und erst für v = 6 haben wir die bei den Lösungen 1 = 3, m = 0 und 1 = 0, m = 2: Ganze Modulformen erster Stufe (- 2)1er Dimension existieren

310

I, o. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

nicht, für die Dimensi011en - 4, - 6, - 8 tmd -10 liegt bis auf konstante Faktoren je nur eine einzige ganze Modulform vor, nämlich g2' g3' g; und 92.'73; erst bei der Dimension - 12 tritt eine Formenschar mit beweglichem Nt{llpunkte: (10) 01g; 02g; auf· Letzten Endes wolle man noch die vorstehenden Entwicklungen mit den Gleichungen (13) und (14) S. 123 sowie der damaligen Überlegung in Vergleich stellen. Wir erkennen sofort: Die ganzen rationalen Invarianten der biq'uadratischen binären Verzweigungsform liefern uns, in Abhängigkeit von, den Perioden W u Ws betrachtet, gerade genau unsere ge~ samten ganzen elliptischen Moclulformen erster Stufe.

+

§ 6. Die Perioden '1)H '1)2 als Funktionen der 00 1, Produktentwicklung der Diskriminante.

00 2,

Auf Grund der aufgestellten Sätze können wir eine Produktentwicklung der Diskriminante gewinnen, welche späterhin vielfach gebraucht wird. Wir haben zu dem Zwecke an die Perioden 'f/1' 'f/2 des Integrals zweiter Gattung erster Stufe anzuknüpfen, deren Eigenschaften zunächst zu rekapitulieren sind. Die erste Definition dieser Perioden 'f/1' 'f/s ist durch die Gleichungen (2) S. 158 gegeben. Die'daselbst benutzten Querschnitte Ql' Q2 der Riemannschen Fläche F2 lieferten uns ein Paar primitiver Perioden wl , W 2 und zusammengehörig damit ein Periodenpaar 'f/u 'f/2 des Normalintegrals zweiter Gattung. In (6) S. 160 fanden wir, daß diese beiden Periodenpaare durch die nach Legendre benannte Relation:

(1) W1'f/2-W2'f/1=2itr: verknüpft sind. Aus der Definition mitteIst der Quersclmitte geht zugleich hervor, daß, wenn wir (unter Wechsel des Querschnittsystems) von W l1 Ws durch eine "lineare Transformation" zu irgendeinem anderen Paare primitiver Perioden: w~

=

aW 1

+ ßw2 ,

übergehen, dann eben auch die müssen, damit wir in: 'f/2 =

U'f/1

'f/1' 'f/2

+ ß'f/2'

w~

=

rW1

+ 6w 2.

die gleiche Substitution erfahren 'f/~

=

'Y'f/l

+ 6'1')2

wieder die zu w~, w~ gehörenden Perioden des Integrals zweiter Gattung vor uns haben. Man sagt, um dies auszudrücken, daß sich die 'f/1' 'f/s mit den Wl , Ws "kogredient" substituieren. Mit Rücksicht auf a6 - ß'Y = 1 geht hieraus hervor, daß der Ausdruck (w 1 'f/2 - W S'f/1) gegenüber den kogredienten Substitutionen invariant ist, was die Relation (1) bestätigt.

Die Perioden

111' 112

als Funktionen von

C0 1

und

C0 2

311

Eine wesentliche Ergänzung finden diese Ansätze in den Gleichungen (8) und (7) S. 263. Dieselben lehren, daß die 1)11 1)2 im Bereiche der positiven w-Halbebene als eindetdige Funktionen (- 1)ier Dimension dm' w p W 2 anfzufassen sind. Die auf den rechten Seiten dieser Gleichungen stehenden Reihen erkannten wir als bedingt konvergent. Dem entspricht, daß diese Funktionen 171 (w p ( 2 ), 1)2 (w p ( 2 ) gegenüber den Substitutionen der rCm) eben nicht invariant sind, sondern sich mit den w 1, W 2 kogredient substituieren. Vermittelst der. Entwicklungsgröße q2 fanden wir für 1)2 die in (15) S.271 angegebene unbedingt konvergente einfachun~dliche Reihe, aus der wir unter Zuhilfenahme der Legendreschen Relation (1) eine entsprechende Reihe für 1)1 ableiten können; diese Darstellungen, welche den analytischen Charakter unserer beiden Funktionen 1)1 (w u ( 2 ), 1)2(WV ( 2 ) einleuchtend kennzeichnen, sind:

(2)

1171 172

;~ + ~2~1 (1 - 24 ~.~ 11~~~),

2

=

-

=

",,2 ( ~ nq2n) 3 C0 2 1 - 24..::;.; 1 _ q2 n '

n=l

Diese Reihen stehen nun im nahen Zusammenhange mit dem un00

endlichen Produkte

II (1 -

q2n), von dem wir S.267 erkannten, daß

11.=1

es für irgendein primitives Periodenpaar, d. h. im Innern der positiven w-Halbebene unbedingt konvergent ist. Wir wollen mittels dieses Produktes sogleich die im Innern der w-Halbebene überall eindeutige endliche homogene Funktion (- 12)ter Dimension der W u ws:

(3) herstellen, welche für lim w = i 00 als Funktion von q2 analytisch bleibt und im Nullpunkte der q2-Ebene selber einen Nullpunkt erster Ordnung aufweist. Gegenüber der erzeugenden Substitution S der homogenen Modulgruppe (vgl. (4) S. 298) bleibt 1fJ(wl1 ( 2 ) offenbar invariant:

1fJ(w1

+ w2 , ( 2)

=

'I/;(w v (

2);

denn S ändert weder W2 noch q2. Wenn wir demnach zeigen können, daß 1fJ(wl1 ( 2 ) auch gegenüber der zweiten Erzeugenden T der homogenen TCOl) invariant ist, so haben wir in 1fJ(w l1 ( 2 ) eine ganze Modulform erster Stufe (- 12)ter Dimension, deren Nullpunkt in der Spitze i 00 des Diskon~inuitätsbereiches liegt. Dann aber kann 1fJ(wl1 ( 2 ) nach den Sätzen von S. 308 ff. von der Diskriminante .d nur um einen konstanten Faktor abweichen.

312

I,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Um zu diesem Ziele zu gelangen und die Verbindung mit den Gleichungen (2) herzustellen, bilden wir den Logarithmus der in (3) erklärten Funktion: (4)

log ljI( Wl ,

12 log 2n -12log W 2 + 2niw

( 2) =

'" + 24~log (1 n=l

q2

fl).

Wir können und wollen hierbei das einzelne Glied der unendlichen Reihe log (1 - q2 n) in dem in Betracht kommenden Bereiche ! q2 1 < 1 dadurch eindeutig festlegen, daß die Funktion log (1 - q2 n) im N ullpunkte der q2-Ebene selber verschwinden soll. Dann hängt die Vieldeutigkeit von log ljI(w u ( 2 ) allein noch am Gliede - 12 log W 2 • Indessen ist nicht mehr nötig, hier zur Erzielung der Eindeutigkeit von log ljI(W u ( 2 ) etwa eine beschränkende Festsetzung über die Beweglichkeit von W a zu treffen, da wir durch Differentiation nach W 1 und W 2 sogleich wieder zu eindeutigen Ausdrücken gelangen. Die in (4) rechts stehende Reihe ist gliedweise differenzierbar 1); wir gewinnen, indem wir die Gleichung (4) in bezug auf W 1 und (iJ2 differenzieren:

olO~1jJ(ro1~2)

=

olog 1jJ(w

=

0001

000.

ll

w.)

2~i co 2

(1 _ 24 ~

12 _ 2nico1

_

nq2~).

~1_q2n n=l

w.

w~

(1 _ 24 ~ ~

n=l

nq2~).

1_

q2n

Zufolge (2) ist also der Zusammenhang der Funktion ljI(W V (iJ2) mit den Perioden 111, 1'J2 der folgende:

(5)

o]og'P(wllw.)

oco,

olog 1jJ (co"00.)

6i

=;r1'J2'

000,

6i

=--;-1'J1·

Diese Gleichungen gelten für irgendein primitives Periodenpaar WD W 2, wobei 1'J17 1'J2 die ihnen zugehörigen Perioden des Integrals zweiter Gattung sind. Bilden wir dieselben also für das gleichfalls primitive Paar w~ = W2, w~ = - Wu so treten an Stelle von 1'J17 1'J2 die Perioden 1'Jr = 1'J2' 1'J~ = - 1'Jl' und wir erhalten die Gleichungen:

Der Vergleich derselben mit den Gleichungen (5) ergibt:: Y-IoO" (1jJ (00"

oco,

'"

- 00,))

1jJ( co" 00.)

=

0

,

~-log ('I/>(co,,_-= 00,)) 0 co.

l/-' (co" co.)

=

0

,

so daß der hier unter dem Logarithmus stehende Quotient sowohl von als W 2 unabhängig und also einer Konstanten 0 gleich ist: ljI(w 2, - ( 1) = Oljl(w lI ( 2)·

W1

1) Vgl. "Osgood", S. 103 und 303.

313

Produktentwicklung der Diskriminante Li

Zur Bestimmung von 0 tragen wir w] = i, W 2 = 1 'ein, was den Innern der Halbebene gelegenen Punkt w = i liefert. Hier ist 1/J zufolge (3) von 0 verschieden und endlich, so daß: Illl

0=

1/1(1, - i )

'I/J(i,+ 1)

gilt. Nun ist aber die Dimension von 1/J durch 4 teilbar, so daß

1/J (i W ll i w2)

1/J (w lI

=

( 2)

zutrifft. Setzen wir hier wl = 1, W2 = - i, so folgt 1/J(i, l)=1/J(l,-i), und also ist 0 = 1, so daß 1/J (wl I w2 ) tatsächlich gegenüber der Substitution T invariant ist. Wir haben damit in 1/J (w lI w2 ) eine ganze Modulform erster Stufe (- 12)!er Dimension mit dem Nullpunkt in der Spitze i 00 erkannt, so daß wir mit einer neuen Konstanten eden Ansatz gewinnen:

1/J(W u

w2 ) =

C.d(wu (

2 ).

Nun fanden wir bereits S.274 als Reihenentwicklung von .d: .d(wl l

( 2) =

(::t q (1 2

24 q2

+ 252 q

1472 q6

4 -

+ .. -).

Das Anfangsglied der Entwicklung von 1/J(w u w 2) nach Potenzen von 2q2; somit ist c = 1, d. h. die q2 ist aber zufolge (3) eben auch

(::f

Funktion 1/J (w u (0 2 ) ist mit .d (OO u (0 2) identisch. Die Diskriminante .d(ool , (0 2) gestattet als Modulform erster Stufe die in jedem Innenbereich der positiven w- Halbebene unbedingt und gleichmäßig konvergente Prod~tktentwicklung ..

(6)

.d(oo], (

2) =

?t) 12q2 (

2 ( C0

2

rr 00

(1 - q2u) )24;

n=l

die Gleichungen (5) aber liefern als Darstellungen der Perioden 111/ 112 des Normalintegrals zweiter Gattung erster Stufe in det, Diskriminante .d: 17 log Li (7) 'YI1 = '6 a~-;-'

?ti

§ 7. Differentiationsprozesse zur Herstellung von Modulformen. Die Ausübung der Differentiation irgendeiner Funktion von III

bezug auf

00 1 , 00 2

bezeichnen wir durch die Symbole ~__ _17_.

Übt man eine Substitution der homogenen

(1)

w~ = aOO I

+ ßw 2 , w; =

17 co 1

T(w):

rWl

+ oW 2

aus, deren inverse Substitution: 00] =

Wll 00 2

ow~

- ßw;,

00 2 =

-

roo~

+ aoo~

'

17 co.

314

1,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

ist, so substitutieren sich die Differentiationssymbole nach folgender Regel:

(2) Handelt es sich insbesondere um eine Funktion f( WlI ( 2), die gegenüber der vorgelegten Substitution unveränderlich ist: f( w~, w;) = f( wlI ws), so erfahren die ersten Ableitungen

W;,

w~

_!L, -! ( u 01 1

bei Übergang zu den

U 01 2

dieselbe Substitution (2) wie die Differentiationssymbole. Die

beiden dnrch

(;:~) und (~ß.~) gegebenen Substitutionen heißen zu-

einander "kontragredient"; somit gilt der Satz: Die beiden partiellen ersten Ableitungen einer gegenüber der Substitution (1) unveränderlichen Funktion erfahren bei Ausübung dieser Substitution die zu den Wl , w2 bzw. der Sttbstitution (1) "kontmgrediente
(3) einen "Differentiationsprozeß
w1

-,,--, vOll

so daß, wenn f(w~, w~) , o((oo~, 00;) W1

'" u01!

0 + Ws, -,,-r UC02

=

0+

Wl - , , uCü l

0

Ws -,,-, uOO2

f(w v ws) gilt, eben auch:

=

+ W ,0((00;,00;) _ 2

", u~

-

0((011> W1

01 2 )

"

u~

+w

2

of(011) 0)2) Cl

u~

zutrifft. Ist f( WlI ( 2 ), wie dies bei den Modulformen vorliegt, homogen in den Wl , Ws und etwa von der Dimension d, so ist dies Ergebnis selbstverständlich, da dann zufolge des Eulerschen Satzes von den homogenen Funktionen die Gleichung gilt: W1

of -Cl-

u C0 1

+ W 2 -"of-

uC0 2

=

d . f( W u

( 2).

Die ersten Ableitungen aller Modulformen erfahren gegenüber der Substitution (1) die gleiche Substitution (2), sie sind also nach der schon S. 310 benutzen Sprechweise als "kogredient" zu bezeichnen. Hieraus folgt der bekannte Satz, daß die "Funktionaldeterminante
+

315

Die Funktionaldeterminanten der Formen g., gs, Ll

Waren die letzteren ganze Modulformen, so ist auch ihre Funktionall1eterminante polfrei und stellt also eine ganze Modulform dar. Es sollen zunächst die Funktionaldeterminanten der Formen g2' g3 und Ll untersucht werden. "ViI' schreiben: Jj}2_ Og2 i3 0)1 ' (0). 0>

=

0>

vgg vgs (0), ' (0).

g6 ((jJ1' (jJ2)'

insofern hierdurch infolge der vorausgeschickten Bemerkungen eIne ganze Modulform erster Stufe der Dimension - 12 erklärt ist.· Auf Grund der Relation Ll = g~ - 27 g~ folgert man hieraus mitte1st einfacher Determinantensätze : ogs

ogs

og.

(0),' (0).

oLl

oLl

=

3g~g6'

-

Og2

000, ' 0 w. oLl

oLl

000 1 ' 0 0). Zur Bestimmung von g6 formen wir· die letzte Gleichung unter Benutzung des Eulerschen Satzes von den homogenen Funktionen in: (0)1 ' -a;;;~-

og. (0), ' g2

oLl 3Ll 000 , ' um und ziehen die Potenzreihen nach

q2 unserer Formen heran. Aus (2) und (4) S. 305ff. folgt, daß die Entwicklung von 3Ll ~g. mit der v

Potenz q4 beginnt, während reihe von

g2 _!Ll V 001

ist. Da

g3

li2

für

0),

(~~) 17 q2 das Anfangsglied der Potenzq2 =

0 von 0 verschieden ist, so muß

die Form g6 ihren einen im Diskontinuitätsbereich der r(w) auftretenden Nullpunkt in der Ecke ioo haben, und also ist diese Form bis auf einen konstanten Faktor mit Ll identisch. Setzen wir demnach 96 = cLl, berechnen auch für die rechte Seite der letzten Gleichung das Anfangsglied der Entwicklung nach q2 und setzen dasselbe dem Anfangsgliede der linken Seite gleich, so folgt: i (2n)17 2 _ - 12 -;-2 q -

woraus sich c =

-

::

27

(2n)6

2 (jJ2 -;-

ergibt.

2

1 • 216 •

(2n)12 q,

c· -;-,

Die drei Funktionaldeterminanten der

Modulformen erster Stufe 92,93' Ll sind demnach: Og2

0 g.

(0)1'

000--;

Og8

Og8

(0)1 '

000.

2i =--Ll 3n

'

2

316

1,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Neben dem Differentiationsprozeß (3), auf den wir unten nochmals zurückkommen, ist ein zweiter "Differentiationsprozeß" wichtig, den wir unter Vorbehalt einer unwesentlichen Abänderung durch: o 0

ow,' 0 w. oLl

oLl

oOl,' 0 Ol. erklären; es handelt sich also einfach um die Funktionaldeterminante zweier Formen, von denen die erste noch unbestimmt ist, während wir Li als zweite Form wählen. Auf eine Modulform angewandt ergibt dieser Prozeß wieder eine Modulform. Dies Sachverhältnis bleibt unverändert, wenn wir das vorstehende Differentiationssymbol mit Li-I multiplizieren, wodurch dasselbe unter Benutzung· von (7) S. 313 die Gestalt annimmt: o 0 0 0 6 0 00 ,' 8ffi-;: 6 (0 0 ) 0 00 , ' 0 w. o log Ll 0 log Ll ni = ni '/h 0 w, + 1')2 0 w. . 000,-' 0 002 -1')2' 1')1 Für das rechts in der Klammer stehende Symbol wollen WIr die Bezeichnung D~ einführen: o 0 (4) D~ = 1')1 000, + 1')2 000. und können dann für diesen Prozeß auch umgekehrt die Darstellung als Funktionaldeterminante : o 0

(5)

D'I=

ni 6Ll

000,' -000.

benutzen. Die Invarianz des Symboles D'I ebenso wie diejenige des unter (3) eingeführten Symboles, für welches wir im Anschluß an (4) die Abkürzung:

Dw =

(6)

o

10 1 - , , U(01

+

()

03 2 - , , ulO2

gebrauchen wollen, ist übrigens auch unmittelbar einleuchtend, insofern sich ja die 1')11 1')2 mit den 1011 102 kogredient (vgl. S. 310) und also zu kontragredient substituieren. den

J-, Ju co !

UC02

Die beiden Symbole D w und D~ kann man auch in algebraische Gestalt umrechnen, wobei man von der Erwägung auszugehen hat, daß die Modulformen rationale Funktionen von g2 und gs sind und also g2 und gs an Stelle der 1011 10 2 als unabhängige Variable eingeführt werden können. Es ist zu setzen: (7) ~ = _0_ Og2 + ~~_ Og8 _0_ _ ~_ og. + _0_ Og8 . oOl, 0 g. 0 W, 0 g3 0 w, ' 0 w. - 0g2 0 W. 0g3 0 W. '

317

Die beiden Differentiationsprozesse D w und D 'I

wodurch zunächst D w die Gestalt:

D

w

=

OJ

+~ 0 g.

(~ og. log. Ofil t

Dw = Dw

+ OJ (~ og. + ~ 0 g2 000. 0g. o 0 (g2) Og2 + Dw(gs) og. Og.) Ofilt

2

Og.) 000.

I

annimmt. Nun liefert ja D w für eine Modulform einfach die "Homogeneitätsrelation" : D w (g2) = - 4g21 Djgs) = - 6gs '

Die algebraische Gestalt des Prozesses Dw ist also:

(8)

Dw

=

o

4g2 ag~

=

0 6gs og•.

=

Aus der Gestalt (5) von D 'I finden wir mit Rücksicht auf (7) und die Relation Li = g~ - 27 g; mitte1st des Multiplikationstheorems der Determinanten: 13 D 'I =

Og2

'lti

6L1

o g2

oro l

I

-aio-;

I

-o~-;

i3g.

- 54gs

3g~,

Og2

'

-(r;;;~

0 g.

Setzen WIr den schon oben bestimmten Wert der Funktionaldeterminante von g2 und gs ein, so folgt als algebraische Gestalt des Differen-

tiationsproßesses D ,I : (9)

D",

=

6 gs

-

J-g2 - }g; -J--9. . 0

U

Die hieraus sofort hervorgehenden Gleichungen:

(10) D ,j (g2) = - 6gs1 D,/gs) = - t g~, D,j(d) = 0 bestätigen mit Rücksicht auf (5) die obigen Angaben über die Funktionaldeterminanten der g2' gs, Li. Als weiteres Beispiel betrachten wir D,,(J), wofür wir unter Rücksicht auf log J = 3 log g2 -log Li ge.' wmnen: D,I(J) = J D 'I (log J) = 3JD '1 (log g2) - J D 'I (log Li)

D,1(J)

=

3g~

d

D,/g 2)

J

=

LI

D,1CLi).

Mit Rücksicht auf (10) folgt:

D,1(J)

(11)

=

-

18 9iJ"

Benutzen WIr übrigens die transzendente Gestalt (4) von D 'I und beachten, daß J eine Funktion des Periodenquotienten OJ allein ist, so ergibt sich: D CJ) - ( ~ + ~) d J _ ('I)t _ fil t·'1)2) d J '1

-

r;1

0filt

r;2

0fil • dfil -

00.

fiI§

dfil

und also mit Benutzung der Legendreschen Relation (1) S.31O: (12)

D (J\ ~

/

=

2in -~. -00~

·dfil

318

1,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Hier tritt 1m Nenner 'das Differential:

(13) auf; der invariante Oharakter dieses Differentials "zweiter Dimension" ist auch wieder unmittelbar einleuchtend, insofern ja die dOO ll dOO 2 sich zu den 0011 00 2 kogredient substituieren. Auf Grund der Gleichung (11) können wir übrigens nüttelst des ProzessesD~ aus der JJiodulfunktion erster Stufe J die drei Modulformen g2' g3 und Li berechnen; wie man leicht zeigt, gelten die Darstellungen: (14)

[D,PW

g2=12J(J-l)'

[D'j (J)]"

gS=-216J'(J-l)'

[D,p))" A=i728J4(J_l)S'

Zu weiteren wichtigen Folgerungen gibt die Anwendung der Diffel'entiationsprozesse auf die Perioden 00 11 00 2 und '111' '112 selbst Anlaß. Wir gewinnen hierbei Differentialgleichungen, denen die Perioden in bezug auf die "Invarianten" g2' g3 genügen. Wir kommen hierauf unten ausführlich zurück.

§ 8. Die doppeItperiodischen Funktionen erster Stufe als Funktionen dreier Argumente. Während wir früher die elliptischen Funktionen eines gegebenen Moduls 00 oder einer gegebenen absoluten Invariante J zu einem "Körper" zusammenfaßten und unsere Betrachtungen wesentlich auf die Funktionen eines einzelnen solchen Körpers richteten, eröffnen uns die letzten Entwicklungen über Modulfunktionen die Möglichkeit, alle diese Körper elliptischer Ftmktionen erster Stufe zusammen Ztt betrachten, indem wir u, 00 1 und 00 2 zugleich in den bekannten Gebieten als willküTlich variabel annehmen. Dabei erscheinen die G, (p, ~O', ... als eindeutige Funktionen dreier Argumente tt, 001) 00 2 , was wir schon oben durch die ausführliche Schreibweise:

s,

(1)

G(uIOOi>

00 2 ),

s(ulOO l l 00 2 ),

go(ttlOJ lI

00 2 )""

zum Ausdruck brachten. In Abhängigkeit von 00 11 00 2 zeigen die Funktionen (1) nach S. 258 ff. insoweit durchweg das Verhalten von Moaulformen erster Stufe, als sie gegenüber den Substitutionen der homogenen r(w) invariant sind. Gegenüber den Translationen. der Gruppe r(u) bleiben sie entweder invariant (elliptische Funktionen erster Stufe im engeren Sinne go, &0', ... ), oder sie zeigen ein charakteristisches kovariantes Verhalten \6-Funktion, Integral S sowie übrigens die elliptischen Funktionen zweiter und dritter Art (vgl. S. 217». Um dies Sachverhältnis gruppentheoretisch zu formulieren, bilden wir durch Kombination jeder Substitution von r(u) mit

Die 6, {;, gJ, So', ... als Funktionen dreier unabhängigen Variabeln

319

jeder von T<w) die etwa durch Du, w) zu bezeichnende Gruppe aller ternären Substitutionen:

r u: = u + m1 W 1

(2)

w~

lW

aW i rWi

=

2 =

+ m2 W 2 + ßW2 + ow2 ,

wo die miJ m 2, a, ß, 'Y, 0 die bekannte Bedeutung haben. Gegenüber den Substitutionen dieser ternären Gruppe pu, w) sind dann eben die elliptischen Funktionen erster Stufe erster Art durchweg invat'iant, während diejenigen der zweiten und dt'itien Art (unter ihnen die 6-Funktion) sowie das Integral\;, in beknnnter Weise kovariant sind. Weiter ergibt sich aus der Produktentwicklung (1) S. 258 der 6-Funktion und aus den Teilbruchreihen (2) und (3) ·S. 260 für ~, So' und \;, dnß diese Funktionen in ihren d1'ei Argumenten homogen sind, und zwar sind die Dimensionen von 6, \;, ~, s/ bzw. ], - 1, - 2, - 3. Dem entspricht es, daß wir z. B. für die Funktionen ~ und b'y' in den Fouriel'schen Reihen (14) S. 270 Darstellungen von w~'50(~tlwi,W2) und w~. So' (u I WlI ( 2) in den "beiden" Argumenten::' und q2 allein geco. winnen konnten. 1) Der analytische Charakter unserer Funktionen geht besonders einleuchtend aus der Darstellung (19) S. 272 der 6-Funktion hervor, welcher wir die Gestalt geben können:

(3)

1

1(.

- 6 (u I W 1 ' co.

( 2)

=

~

e2

(u) 2 -

w,

W 2 112

~(

l)n

.-:;.; n-O

• ~1-=---31· 2

_

q

n(n+i)'

q

sm

(2n+1),,;u

co

+~5q·2-:3----7··-3~4 _ q

+... . 2

Die rechts im Zähler stehende Reihe ist bei gegebenem q2 mit einem absoluten Betrage Iq2 1< 1 in jedem endlichen Bereiche der u-Ebene absolut und gleichmäßig konvergent. Wegen des bekannten Verhaltens der 6-Funktion gegenüber den Substitutionen (2) dürfen wir sogar W auf den Diskontinuitätsbereich der Gruppe r(w) beschränken (wo alsdann: I q2] < e-"'y's zutrifft) und u auf ein Periodenparallelogramm. Wir haben demgemäß in (3) eine Funktion der beiden Argumente .!!.. und q2 oder auch .!!.. und 00 2

(.02

vor uns, die bei stehendem Werte des einen Argumentes eine "analytische" Funktion des anderen wird, ein Satz, der sich sofort auch a~tf die übrigen betrachteten Funktionen überträgt, insofern sich dieselben durch die 6-Funktion in bekannter Art darstellen. W

1) Bei der Darstellung von coi So hat man das rechts auftretende Glied nach (15) S. 271 in q? auszudrikken.

1).

co.

320

1,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Zu bemerkenswerten Ergebnissen führt die Ausübung der Prozesse D w und D~ auf unsere Funktionen. D w wird stets zur "Homogeneitätsrelation" führen, also z. B. zn den Gleichungen: 06

~t OU

_ r; + D w (--) \:) -~,

+ D w (10) --

0&0 ~t OU

_ 2 10,···

Ziehen wir die algebraische Gestalt (8) S. 317 des Prozesses D w heran, so ergeben sich Gleichungen folgender Art: 06

(4)

06

06

~ + 6 g3 ~ = U CI 6, ug. uU J4 g2 ug.

l4g

2

09 ~ ug.

+ 6gs OSJ ~= ugs

.. ' u~J

+ 2&9, .••

Wir haben hier. lineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung unserer Funktionen vor uns, die z. B. durch die Potenzreihenentwicklungen (5) S.208 und (1) S.200, deren Koeffizienten ganze Funktionen der g2' g3 sind, identisch befriedigt werden. Doch bringen diese Differentialgleichungen natürlich nur zum Ausdruck, daß jedes Glied der einzelnen Potenzreihe eine homogene Funktion der jeweils in Betracht kommenden Dimension in den 00 17 00 2 ist. Etwas umständlicher ist die Feststellung der Wirkung des Diffeanalytischen Umrentiationsprozesses D,.1 Man kann hier entweder mit ,,, formungen arbeiten oder funktionentheoretische Uberlegungen heranziehen, wie wir am Beispiele der Su-Funktion darlegen wollen. Betrachten wir D'1(Su) insbesondere in Abhängigkeit von u und schreiben:

Dip)

=

qJ(u),

so folgt durch Differentiation nach u:

oOu D'I(S.J) = D'I(S;;') = qJ'(u), da bei unserer analytischen Funktion s.) die Abänderung der Diffel'entiationsreihenfolge statthaft ist. 1) Nun gilt aber: (5) Su'2 = 4S.1 3 - g2 s·) - gs, 2y;" = 12g;)2 - g2' Die Anwendung von D'I auf die erste diesel' Gleichungen liefert: 2g;'}' D'I CS/) = 125J2 Dr, (I") - g2 D ,/(;J) - g.7D ig2) - D/g3) also mit Benutzung der zweiten Gleichung (5) und der Relationen (10) S. 317 weiter: s./ . g/ Cu) - $/' qJ (u) - 3gaS;; - 13 g; = O. Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung für qJ (u), die nach elementaren Methoden lösbar ist. Zur Erleichterung der Lösung 1) Vgl. "Osgood", S. 3051:f.

Wirkung des Prozesses

n'l auf die p-Funktion

321

führen WH' an Stelle der gesuchten Funktion g; (~f) zunächst die Funktion l/J (u) mitte1st der Substitution: g; = l/J - sJ' ~ - 2~,}2 Bin, Auf Grund der Relationen (5) sowie der Gleichung (6) S, 199 transformiert sich die Differentialgleichung für g; Cu) in folgende für die Funktion l/J (u): .1.' Cu) l/J (u) g 8~:_ = 0

S<SJ

'I'

+ l3 2 p

'

deren allgemeines Integral nach einer bekannten Elementarformel:

l/J(u) = tg2 + CS'/ ist, unter C eine von 1,( unabhängige Größe verstanden, Zur Bestimmung von C dienen die Reihen nach Potenzen von u, welche sich auf die U mge bung von u = 0 beziehen, Aus (1) S, 200 folgt zunächst:

D'I (5'/)

=

g;

=

3

1~8 u 2

-

-l! ~f4 2

-

9

;:~ u 6 -

• , "

während die Gleichungen (1) S.200 und (2) S.201 liefel:n: 2(,)2 = \ '/'5'..L ;, I ,

+!lß1' u 2 + [/1 u 4 + g.100 g3 u 8 + ' " 10 84

19 3 2

Durch Addition beider Gleichungen folgt:

l/J(u) = ~g2 + '" + '" + * + .. " wobei die Sterne andeuten sollen, daß jedenfalls die drei Glieder mit u2, 1,(4 und u 6 ausfallen. Da hiernach l/J im Punkte u = 0 endlich bleibt, so ist C = 0 und also l/J mit der von u 1,mabhängigen Größe t g2 identisch, was die eben angegebene Reihe von l/J, soweit sie entwickelt ist, bestätigt. Für D~(I(,J) = g; ergibt sich hieraus:

D,I(ffJ) = ~ so'(; - 2ffJ2 + tY2' Zum gleichen Resultat führt folgende funktionentheoretische Betrachtung, Indem wir an der Abkürzung D,;(so(u)) = g;(u) festhalten, folgt durch Ausübung des Prozesses D 'I auf die Gleichung:

ffJ(u + 0)1 i 0)1) 0)2) = 8;,1(1,(! 0)1) 0)2) als Periodeneigenschaft von g;(u) mit Rücksicht auf die Periodizität von ~;)': 1I1
WIr

hier 111 durch

+ +

(~(u

+ 0)1) -

+

~(u)),

so folgt:

+

g;(u + 0)1) ~(u + 0)1) ffJ'(U ro 1 ) = g;(u) ~(uh/(u), Hiernach hat (g;(u) ~(U)S9'(U)) die Periode 0)1' und man zeigt auf demselben Wege, daß dieser Ausdruck auch die Periode ro~ hat. Demgemäß ist auch:

(6) Fricke: Elliptische Funktionen. Bd, 1

21

322

I, 5. Die J\Iodulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

d. h. also die Funktion ",,(u) doppeltperiodisch. Der einzige im Periodenparallelogramm mögliche Pol liegt bei tl = 0; hier aber ist die Funktion (6) endlich und hat, wie wir wissen, den Wert tgs' Sie ist also unabhängig von tt mit tg2 identisch. Die A.usiibtmg des Differentia-

tionsprozesses D'I attf (7)

liefert das ResuUat: D~(!i') = - ~~}' - 2s0 2 + tg2' ~J

Benutzen wir die algebraische Gestalt (9) S.317 von D'I und ziehen die zweite Gleichung (4) heran, so gewinnen wir zwei Gleichungen: OS;) 6 op 2' " 4g ~ + g3'~ = \J + UgJ , 2 (J 92

6

op + 3g2 1 2 g3 og~

(Jgs

0j!J _ 2-2 ogs -~.J

+ ",gJ r' -

1

3g2'

aus denen sich die Ableitungen von ~J nach g2 und g3 berechnen lassen. Das Resultat ist: 0&0 1 2 9 g3&9 2 + (14g22 U - 2g3'" 9 r) &9 , + 2g2g3' s Li og~= 2g2 gJ (8) Li ~So = - 9gagJ + 692 &02 - ({gau - 392Ü gJ' - g~. (Jg.

l

Ähnliche Entwicklungen ka~n man für S/, ~ und 6 anstellen. Die Wirkung von D 'I auf ~ findet man am einfachsten durch Integration der Gleichung (7) in bezug auf u, indem man diese Gleichung mittelst bekannter R~lationen in die Gestalt setzt:

D 'I~ ((9)

= _

0 (~Ii:1) oU " _ ~{;}" 2~

+ leg . 12.2

Integration und Zeichenwechsel ergeben:

f2g2U + 0, wo wieder von tt unabhängig ist. Man stellt aber leicht fest, daß für u=O die linke Seite verschwindet, während die rechts stehende Funktion von u für u = 0 den Wert 0 annimmt. Es folgt also 0 = 0 und damit: (9) D,1W = ~8;} + tgJ' -12g2 u, Durch nochmalige Integration und entsprechende Bestimmung der "Konstanten" ergibt sich weiter: D,/log 6) = - H 2 + ~SJ - ii,g2U2. (10) Nach (1) S. 212 können wir diese Relation auch in die Gestalt setzen:

°

D'I(~)

i3'log 6 ou!

=

~&9

+ t&9' -

+ (i31~g6)2 + 2D~ (1og 6) + _~12g2 tt OU

2

=

0.

Entwickelt man diese Gleichung und benutzt die algebraische Gestalt (9) S. 317 des Prozesses D~, so ergibt sich die folgende lineare partielle

Differentialgleichung zweiter Ordnung: ( 11)

02~ _ 12g 06 _ '!g2 _o_~ ou' 3 Og. 3 2 ogs

+ leg u26 = 1~ 2

0

323

Partielle Differentialgleichung der 6-Funktiol1

der Funktion 6 (n i roH ro 2), für welche wir dieser Differentialgleic7mng entsprechend übrigens besser die S.209 eingefiiln·te Schreib'iceise G(n; g2' gs) zn gebranc7zen hätten. Es ist dies die bereits S. 209 erwähnte Differentialgleichung, vermittelst deren in der S. 117 genannten Schrift von Schwarz die Koeffizienten der Potenzreihe für die 6-Funktion bis zur Potenz n 35 berechnet sind. Trägt man den Ansatz: 6(n)

=

n

+ * + G2 tt5 + G stt 7 + G 4 tt 9 + G5 ttll + ...

die Differentialgleichung ein, so muß dieselbe in tt identischbefriedigt sein. Setzt man aber, nachdem man die linke Seite der entstehenden Gleichung nach Potenzen von tt angeordnet hat, den Koeffizienten von tt 2n -1 gleich 0, so ergibt sich die Rekursionsformel: 111

(12)

aus der man die Koeffizienten der fraglichen Reihe schrittweise berechnen kann.

§ 9. Differentialgleichungen der Perioden in bezug auf die Invarianten. Invel'sion der Modulfunktionen. Zu wichtigen Folgerungen führt die Anwendung der Differentiationsprozesse D w und D~ auf die Perioden roll W 2 und 'f/11 'f/2 selber. Wenn wir hierbei die algebraische Gestalt dieser Prozesse in Anwendung bringen, haben wir uns auf den Standpunkt zu stellen, daß wir die Pen:oden W 1 , W 2 ttnd 1]1' 1]2 der nrspriinglichen algebraischen Theorie entsprechend als Funktionen der Invarianten g2' gs ansehen. Insbesondere für die W u W 2 läuft dies darauf hinaus, daß wir die Gleichungen 92 = 92 (wo ( 2 ), 9s = g3 (rol1 ( 2), welche die beiden Invarianten als eindeutige Modulformen darstellen, invertieren in w1 = (;)1 (92' gs), ro 2 = ro 2 (g2' g3)' Die absolute Invariante J = J( w) war eine eindeutige Funktion des Periodenquotienten wallein, deren Inversion demnach eine Funktion w = ro(J) von J allein liefert. Das Feld dieser Funktion ist die S. 303 betrachtete unendlich-blättrige Riemannsche Fläche F 00' welche ausschließlich bei J = 0, 1 und = verzweigt war; jeder Zweig w' (J) dieser Funktion stellte sich in einem Anfangszweige ro(J) als ganzzahlige lineare Funktion (5) S. 303 der Determinante 1 dar. Für diese zu den Modulformen 92,9s und zur Modulfunktion J inversen Funktionen haben wir nun zunächst aus den Prozessen D w und D~ eine Reihe von Differentialgleichungen abzuleiten, die dann ihrerseits zu weiteren Folgerungen Anlaß geben. 21*

324

WH'

I, 5, Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Ist 7c ein beliebiger unter den beiden Indizes 1 und 2, so haben erstlich die beiden Homogeneitätsrelationen:'

Dw«(f)k) = (f)k' Dw('YJk) = - 'YJk' die bei Benutzung der algebraischen Gestalt (8) S,317 des Prozesses D", die folgenden linearen homogenen partiellen Diffet'entialgleichnngen erster Ordnung liefern: (1) Die Wirkung von D'I auf (f)k ist einfach D'I«(f),,) = 'YJ", Die algebraische Gestalt von D'I liefert demnach folgende zweite lt'nem'e partielle Differentialgleichung e?'sfel' Orclnnng tür (f)k

(2) welche man mit der ersten Gleichung (1) zu einer Darstellung der Ableitungen von (f)k nach g2 und g3 in (f)", 1h, g2 und g3 vereinigen kann, Etwas umständlicher ist die Berechnung von D'I('YJk)' Übt man anf die aus der Legendreschen Relation (1) S.310 folgende Gleichung (f)l 'YJ2 = 2in + (f)2 1h den Prozeß D'I aus, so ergibt sich mit Rücksicht auf D~«(f)iJ ='YJ,,: (f)l D ln2) + 'YJ2'YJ1 = (f)2 D 'I('YJ1) + 'YJl'YJ2, und also besteht jedenfalls die Gleichung: D'L~

(3)

=

!!_'li~,

00 2

C0 1

Da nun (f)2 und 'YJ2 gegenüber der Erzeugenden S der homogenen Modulgruppe (vgl, S, 298) invariant sind und der Prozeß D'I gleichfalls invarianten Chamkter hat, so steht auf der linken Seite der Gleichung (3) ein Ausdruck, der gegenüber S selber invariant ist. Da derselbe aber zufolge der Gleichung (3) auch bei Ausübung der zweiten erzeugenden Substitution T der homogenen T(Ol) in sich übergeht, so ist er gegenüber der ganzen T(w) invariant. Die Abhängigkeit der Periode 'YJ2 von (f)l' (f)2' wie sie z. B. in der Gleichung (15) S. 271 zum Ausdruck kommt, zeigt daraufhin, daß in (3) eine ganze Modulform (-4)terDimension vorliegt, welche also nach S. 310 abgesehen von einem konstanten :Faktor c mit g2«(f)U (f)2) identisch sein muß:

Q:(~

=

cg2 (0)1'

2

01 2 ),

Nun folgt aus (15) S, 271:

'YJ2

=

t n201 2' 1(1 -

24 q2 -

••• )

Partielle Differentialgleichungen der Perioden in bezug auf g2 und gs

und daraus weiter:

IJ~;22

=

_

325

~.(:,)4 + ... ,

wo die ausgelassenen Glieder mit q2 verschwinden. Der Vergleich mit dem Anfangsgliede der Entwicklung von 92 nach Potenzen von qS (vgl. (2) S. 305) ergibt c = - f:J und damit:

P"liTJ,) = W,

D'I~~ = _ l g w2

12

2·

Dasselbe Ergebnis kann man auch aus (9) S. 322 gewinnen. Setzt man zur Abkürzung D~ = 'ljJ(u) und wendet auf die Gleichung:

m

~(u + 0h. C0 11 co2 ) = ~(u! CO ll co 2) + Y!k dieselbe Überlegung an, wie S. 321 auf die entsprechende die go-Funktion betreffende Gleichung, so folgt bei Benutzung von (9) S. 322:

D'I(Y!k) = - A g2 co". Unter Heranziehung des algebraischen Ausdrucks von D'I folgt als zlceite lineare partielle Differentialgleichung m·ster Ordnung für y!,,: (4) Man kann diese Gleichung mit der zweiten Gleichung (1) zur Darstellung der Ableitungen von 1h nach g2 und g3 in co"' Y!k' g2 und g3 verbinden. Verstehen wir unter lL (co 11 co:) eine zweckmäßig gewählte homogene Funktion (- 1)ter Dimension der co 1 , co 2, so werden die mit dem Multiplikator lL versehenen Perioden: Ausdrücke "nullter" Dimension in den C0 11 C0 2 sein, die denmach Funktionen von J allein sind. Man nennt '!?'" die mit dem Multiplikator lL "nm'rlZierten Perioden" und wird entsprechend als uormierte Perioden des Integrals zweiter Gattung: anzusetzen haben, die dann ihrerseits auch Funktionen von J allein sind. An Stelle der bisherigen partiellen Differentialgleichungen treten alsdann für die mit lL normierten Perioden ,!?, und H gewöhnliche Differentialgleichungen in bezug auf J als unabhängige Variabele. Um diese Differentialgleichung für ,!?,k aufzustellen, entwickeln wir die Gleichung Y!k = D~(COk) so: lLHk

=

D,/lL- 1'!?'k)

=

lL- 1D'I(,!?,k)

-1 ds!'k D (J) lL H k = Il(jJ· 'I

-

+ ,!?,k D '1(lL- 1)

S!,k fL2

D 'I ( lL ) .

Setzen wir für D'I(J) seinen Ausdruck (11) S. 317 ing2 ,gs, LI ein und lösen

326

nach

I, 5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

d;} auf~

so ergibt sich die gewünschte Differentialgleichung. Eine

entsprechende Umgestaltung kann man an D,/'1h) = -:- Ag2Wk anknüpfen: Die normierten Perioden ,Q,k' H" befriedigen als Fttnktionen von J das System der linearen homogenen Differentialgleichungen erster Ordmm,g:

dQjc \

(5)

=

LfDilL ) .Q _ ~~~ Ir

_

dJ

~Hk dJ

k

18lLg~gs

___ Ll_.Q

=

216/L2 g2g3

k

18gig.

k'

~D,/tiH.

+ 18/Lg~g.

k

Unter den verschiedenen Multiplikatoren p" mit denen man in angegebener Art die Perioden normiert hat, zeichnet sich der Multiplikator p, = fA dadurch aus, daß man ihn vermittelst der aus (6) S.313 hervorgehenden Gleichung:

lf!L1 =

::

/!~(ll (1- q2n)Y

als ellle eindeutige Funktion von 0011 wj erklären kann. Derselbe bietet zugleich den Vorteil, daß D,/p,) zufolge (10) S. 317 verschwindet. Ersetzen wir die Koeffizienten in (5), soweit sie nach Eintragung von p, = lf!A nicht verschwinden, durch ihre Ausdrücke in J, so ergibt sich: Fiir die normierten Perioden:

Ir

(6)

=~k

If!:T

k

nehmen die Differentialgleichungen (5) die Gestalt an:

(7)

dQ! clJ

=

____ ~~ __ ,

cl Hk

-irr =

2Y3Ji(J--lfr

Qk

24-v-i";~(J _-~;f·

Hieraus ergibt sich sogleich eine weitere wichtige Folgerung. Man trage den aus der ersten Gleichung (7) hervorgehenden Ausdruck: Irk =

2

-

1

d

2"'3 J8(J _ 1)2 dJ Qk Vu

in die zweite Gleichung (7) für Hk ein. Durch Ordnung der entstehenden Gleichung folgt sofort: Die in (6) gegebenen nm·mierten Perioden .Ql' .Q2 befriedigen als Funktionen von J die lineare homogene Differentialgleichung zweiter 01·dnung:

(8)

Ji(J - 1) ~2E. dJ2

+ (!J _ 6

.!) d~ • dJ

+ J_ .Q = 144

0,

deren Koeffizienten in J rational sind. Indem man ebenso den aus der zweiten Gleichung (7) hervorgehenden Ausdruck für a k in die erste Gleichung einsetzt, folgt als lineare homogene Differentialgleichung zweitet' Ordnung fiir die in (6) gegebenen normierten Perioden 14,~:

(9)

J(J - 1) ~:

+ (*,T - -D ~~ + 1:' H =

O.

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung der normierten Perioden

327

Um eine zweite naheliegende Normierung zu erklären, erinnern wir daran, daß nach S. 317 der Ausdruck D ~ (J) eine Modulform (- 2)ter Dimension ist. Wir setzen unter Benutzung von (11) S. 317: !L

=3:2 VD~(J) = g2 V~,

so daß wir hier freilich mit einer Funktion zu tun haben, welche im Innern der ro-Halbebene, nämlich in den Nullpunkten von gs verzweigt ist. Die mit diesem Multiplikator normierten Perioden ,Q,k und H" sind:

.. -

(10)

g!

vi;

H, _

}lLI '

rok

""k -

k -

1}k

v:=r. g•yg; ,

für diese,Q,k merken wir noch die mittelst der Relation (12) S. 317 ableitbaren Gestalten an:

(11)

,Q,1

=

V7tj· V:;'

~~ t;'V!;

.

Die Wirkung des Prozesses D'I auf den neuen Multiplikator ist, wie man leicht feststellt:

D~ (~:~~) =

-

~~~83~ .

Aus dem allgemeinen Ansatze (5) ergeben sich daraufhin für die normierten Perioden (10) die Differentialgleichungen:

I

dt2 k 7J-4,Q, 1 H M=i2J(J-1) "-18 k'

(12)

dHk

dJ

1 =

8J(J - 1) ,Q,k -

7J-4 12J(J - 1)

Hk

mit rational von J abhängenden Koeffizienten. Diese Differentialgleichungen kann man unter Zerlegung der Koeffizienten in Partialbrüche auch so schreiben:

12 d.Q~ dJ

12 dH~ dJ

= =

(4J + J -1 3) ""k .. - 2H k' '3

~

lt 2

(~J

-

~-),Q, - (~. + J~-) J -1 k J -1

H,

k"

Differenziert man die erste Gleichung nochmals nach J, so folgt:

12

(~~2k = (~ + ;r:~1) ~j, - t

dd" -

(;.

+ (J ~1)") ,Q,k

Multipliziert man mit 12 und setzt für 12 dd.Q} , 12 dd~/ die aus den beiden voraufgehenden Gleichungen folgenden Ausdrücke in ,Q,k' Hk, J ein, so zieht sich das Ergebnis leicht auf die folgende Gestalt zusammen: d 2 .Qk

144 dJ'

27 + (32 J' + (J _ 1)' -

23) ,Q,k =

J(J _ 1)

O.

328

1,5. Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Also folgt der Satz : Die in ~10) m·klärten Perioden Q,k befriedigen die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung: (13)

d'.Q,

äi'

3 + (2 9J' + 16(J _ 1)2 -

23) Q, =

144J(J _ 1)

0

mit einem in J rationalen Koeffizienten. Diese Gleichung ist gegenüber der Gleichung (8) für die mit IVA normierten Perioden dadurch ausgezeichnet, daß in ihr kein Glied mit der Ableitung erster Ordnung auftritt. Die Gleichung (13) führt uns leicht zu einer vielfach betrachteten Differentialgleichung dt·itter Ordnung, welcher der Periodenquoilent ()) als Funkti011 von J genügt. Indem wir die Gleichung (13) für Q,1 und Q,2c einzeln anschreiben, folgt durch Kombination beider Gleichungen:

Da nun ()) auch als Quotient der beiden normierten Periodeu (11) geschrieben werden kann, so gilt: dro _

(lJ -

r> _ 2 (r>

~"2

~"a

d.Q"

liJ -

r>

~"1

d.!l2)

liJ '

und hieraus folgt weiter durch logarithmische Differentiation mit Rücksicht auf die letzte Gleichung: (14)

(~~) dJ2

(d.!~) dJ ----=-2-- .

(~;)

.Q"

Nochmalige Differentiation nach J liefert:

Das letzte Glied rechter Hand wird entfernt, indem man das mit t multiplizierte Quadrat der Gleichung (14) abzieht; das erste Glied der rechten Seite berechnet sich aber aus der für Q,2 angesetzten Gleichung (13) rational in J. Man gelangt zu dem Ergebnis: Die zur lJIodul(unktion J( ())) inverse Funktion ()) (J) befriedigt die Differentialgleichung dritter Ordnung: (15)

Differentialgleichung dritter Ordnung für cu in bezug auf J

329

Bezeichnen wir den hier links stehenden Differentialausdruck dritter Ordnung 1) kurz durch das Symbol [wJ J :

(16) so können wu' die durch w (J) befriedigte Differentialgleichung (15) die Gestalt kleiden:

lwJJ =

4

-9-J-'

3 + ~'---C7 8(J - 1)'

III

23

Die wesentliche Eigenschaft des Differentialausdrucks [w JJ ist die, daß de1'selbe invariant gegenüber einer beliebigen linearen Transfonnation con w ist. 2) Indem wir uns darauf berufen, daß die sämtlichen Zweige der unendlich vieldeutigen Funktion w (J) lineare Funktionen eines ersten Zweiges sind, hätten wir auch ohne die voraufgehenden Rechnungen in [w JJ eine eindeutige und, wie leicht zu zeigen ist, rationale Funktion von J erkennen können. Auch kann man hieraus mitte1st funktionentheoretischer Schlüsse die Gleichung (15) explizite aufbauen, nämlich durch Bestimmung der Pole usw. der rationalen Funktion [w]r In ähnlicher Weise kann man durch Betrachtung der normierten Perioden in der J-Ebene bzw. im Felde F der Funktion w(J) die obigen linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung für diese normierten Perioden aufbauen. Doch gehören diese Entwicklungen in eine ausführliche Theorie der Modulfunktionen hinein. 3) 00

§ 10. Die normierten Perioden als hypergeometrische . tionen von J.

}~unk-

Die linearen homogenen Differentialgleichungen (8), (9) und (13) in § 9 ordnen sich der in der Einleitung, S. 97 ff., entwickelten allgemeinen rrheorie solcher Differentialgleichungen zweiter Ordnung unter. Indem wir die Sätze jener Theorie auf die hier vorliegenden Differentialgleichungen in Anwendung bringen, gelangen wir freilich mehrfach zu bereits bekannten Ergebnissen zurück. Andererseits gewinnen wir 1) Der Ausdruck (16) wird vielfach als"SchwarzscherDifferenlialausdruck" bezeichnet; s. H. A. Schwarz, "Über diejenigen Fälle, in welchen die Gaußische hypergeometrische Funktion eine algebraische ,Funktion ihres vierten Elementes ist," Journ. f. Math. Bd.75 (1872) S.292. 2) S. Klein, "Vorlesungen über das Ikosaeder". (Leipzig 1884), S. 74. 3) Vgl. "Modulfunktionen" Bd. 1, S. 32ff. sowie Klein und Fricke, "Vorlesungen liber die Theorie der automorphen Funktionen". Bd. 2, S. 117 ff.

330

1,5. Die :Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversiou

aber auch wertvolle Ergänzungen der bisherigen Resultate in Anbetracht der analytischen Darstellung der Perioden als Funktionen von J. Wir wollen uns hierbei auf die Perioden des Integrals erster Gattung und auf die Normierung durch lilLi beschränken. Setzen wir w/ilLI = Qk, so ergibt sich übrigens für die anderen, unter (10) S. 327 erklärten normierten Perioden einfach: OJk fb

vj '= ~!

VLI

VS V3'

Qk

yJ f!J -~I,

so daß wir die Darstellung dieser normierten Perioden auf die der Qk =

(1)

w/VLI

zurückführen können. Die Gleichung:

J(J -

1)~~ + (f J - t) ~~ + 11;- Q

=

0

für die Qk = w/VA ist nun insbesondere eine "hypergeometrische" Differentialgleichung (1) S. 105 mit folgenden Werten der Parameter (x, ß, r dieser Gleichung: 2 (2) r=s' Die normierten Perioden Qk nennen wir dieserhalb "hypergeometrische" Funktionen der absoluten Invariante J und haben für die Potenzreihendarstellung dieser Funktionen die Hilfsmittel von S. 109ff. zur Verfügung. An "singulären" Punkten weist die Differentialgleichung (1) wie die allgemeine hypergeometrische Differentialgleichung (1) S. 105 die drei Punkte J = 0, 1, 00 auf. Ein eindeutig bestimmtes System linear-unabhängiger Lösw~gen Ql (J), Q2 (J) wird von den "reduzierten Periodenpaaren" wl , w2 geliefert, welchen die Punkte w des oben oft genannten Doppeldreiecb- der Fig.43, S. 179 entsprechen. Für diese beiden partikulären Lösungen S->'lI Q2 ist zunächst das Verhalten bei Umläufen um die singulären Punkte 0, 1, 00 festzustellen. Hierbei ist die Tatsache grundlegend, daßzufolge der GIeichu.ng:

(3)

Q2 =

1-j!LI =

OJ 2

ttiw

2%

00

e ~6 (II(l

_ q2 n»)2

n=1

Q2 und deshalb auch Ql = w Q2 im Innern der positiven w-Halbebene eindeutige Funktionen von w sind. Umläuft J den Punkt 00 im positiven Sinne (auf der J-Kugel gedacht), so geht der dem reduzierten Periodenpaar entsprechende Anfangszweig w (J) in w' = w + 1 über. Zufolge (3) geht demnach die Parti1ti

kl1larlös';lng Q2 (J) der Differentialgleichung (1) über in Q~ = e5- Q2' wofür wir auch Q~ = - i(JQ2 schreiben können. Da nun Ql (J) = wQ2

Verhalten der Lösungen

.Q11 .Q.

331

bei Umläufen

ist, so entspricht dem positiven Umlaufe um den singulären Punkt die Substitution:

00

.Q~ = - iQ (.Ql + .Q2), .Q~ = - iQ.Q2 (4) des ausgewählten Systems linear-unabhängiger Lösungen der Gleichung (1); im Anschluß an die S.298 eingeführte Bezeichnungsweise nennen wir die Substitution (4) kurz S. Bei einem positiven Umlaufe um den bei J = 1 gelegenen singulären Punkt geht der erste Zweig (jJ (J) der unendlich vieldeutigen Funktion (jJ von J über in (jJ' = - ~ . Dieser cu

Substitution entspricht die S. 298 mit T bezeichnete homogene Substitution (jJ~ = (jJ2' (jJ; = - (jJl' bei der L1 unverändert bleibt. Hiernach geht .Q~2 bei Fortsetzung längs eines positiven Umlaufs um den singulären Punkt J = 1 in .Q12 über, so daß die Partikularlösung.Q2 bei 1I1ti

jenem Umlaufe· in .Q~ = e 6 .Q1I d. h. in die mit einer zwölften Wurzel der Einheit multiplizierte Partikularlösung .Ql übergeht. Diese Gleichung schreibt sich auf Grund von (3) explizite: 1t i

00

2ne-6(~ (Il(l

Jtiw

'V'1ti

co

s (II(1 _ q2n))2, - q'2n)? = e-(lw· 2ne-

n=l 2 i 7t

n=l

sofern man e---;;- = q' schreibt und rechter Hand (jJ . .Q2 für .Ql einträgt. Für (jJ = i wird q' = q, und die in der letzten Gleichung rechts und links stehenden Ausdrücke verschwinden für diesen Wert von (jJ nicht; nach Fortheben gemeinsamer Faktoren rechts und links ergibt sich: l'

ni

l' 7t

1=e-6- ·i,

e-S-

i

=

-

i.

Bei einem positiven Umlauf um den Punkt J = 1 gehen die partikulären Lösungen .Ql,.Q2 der Differentialgleichung (1) über in: .Q~ = i.Q2' .Q~ = - i.Ql' (5) eine Substitution, die wir durch das Symbol T bezeichnen. Bei einem positiven Umlauf um J = 0 setzt sich der Anfangszweig (jJ(J) fort in (jJ' = co.t 1 (s. die Substitution U von S.297). Gegenüber der homogenen - cu

Substitution (jJ~ = (jJl + (jJ2' (jJ~ = - (jJl bleibt L1 unverändert, so daß .Q~2 bei jenem Umlaufe in .Q12 und also .Q2 in die mit einer zwölf~en Wurzel der Einheit multiplizierte Partikularlösung .Ql übergeht. Wir haben v1ti

also erneut den Ansatz .Q~

=

e-6- .Ql. Ersetzen wir dabei .Ql wieder

2in:(ru +1)

durch (jJ.Q2 und schreiben e--W(3) wie vorhin explizite: 1li(w+l)

2ne-~-

00

U]C 1 n= 1

=

q', so ergibt sich auf Grund von ",'ni

niw

00

S (jJ . 2neG (II(l _ q2n)Y q'2n))2 = e-

n= 1

332

1,5. Die l\iIodulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

Setzen wir w =

(J

°

ein, so stehen in dieser Gleichung rechts und links von ver-

schiedene Beträge. Da aber für w =

(J

auch

(»+1 -(f)

= (J und also q' = q ist, so

folgt nach Fortheben gleicher Faktoren rechts und links: J' 11

1= e

l' 11 i

i

(J,

6

Bei ell18m positiven Umlauf um den Punkt J tikulären Lösungen .Q1).Q2 über in:

=

°

gehen somit die par-

(6) WIr benutzen für diese Substitution das Symbol U. Ein geschlossener 'Veg, der, wie Fig. 64 zeigt, aus drei Umläufen . ~ um die Stellen 0, 1, 00 zusammenl ~I"\... . gesetzt ist, läßt sich auf der J. Kugel I ~ stetig und ohne Zerreißen auf einen Punkt zusammenziehen, ohne daß dero 1 CXJ selbe über eine singuläre Stelle hinFig.64 weggescho ben zu werden braucht. Schreiben wir die in (6) angegebene Wirkung des Umlaufs um J = symbolisch in der Gestalt:

Jl

°

.Q~, .Q~

=

U (.Q11

.Q2)

und benutzen für die in (5) und (4) angegebenen Substitutionen die entsprechenden Bezeichnungen, so führt der in Fig. 64 angegebene Umlauf bei der Anordnung 0, 1, 00 der singulären Punkte die partikulären Lösungen .Ql' .Q2 in: über; und da diese Lösungen zufolge der vorausgeschickten Betrachtung mit den anfänglichen .Ql' .Q2 identisch sein müssen, so müssen die jetzigen binären Substitutionen S, T, U genau wie die gleich benannten Substitutionen der Modulgruppe (vgl. S. 297) die Relation:

U·T·S=l betriedigen, wobei die Kombination zweier Substitutionen symbolisch als Produkt geschrieben ist. In der Tat zeigt die Rechnung, daß die Substitutionen (4), (5) und (6) dieser Relation genügen. Weiter ergeben die Formeln (5) und (6), daß die jetzigen binären Substitutionen T und U die durch:

T2

=

1,

zum Ausdruck kommenden Periodizitäten haben; demgegenüber hat S keine endliche Periode. Dies ist in Übereinstimmung mit dem bereits

Übergang zu besonderen Lösungen

für

die singuH1ren Punkte

333

bekannten Satze, daß die Lösungen der Differentialgleichung (1) in der ro-Halbebene eindeutige Funktionen sind. Das Feld der Lösungen der Differentialgleichung (1) ist geradezu jene tmendlich-blättrige Fläche F 00 über der J..Ebene, welche wir S. 303 durch Abbildung der m-Halbebene vermittelst der Funktion J( ro) herstellten. In der Tat sind die .Q,U.Q,2 in dieser F 00 eindeutige Funktionen des Ortes; zugleich können keine zwei verschiedene Blätter der F gleiche Funktionswerte .Q,1' .Q,2 tragen, da ihnen für den Quotienten ro = Q,1 :.Q,2 zwei verschiedene Substitutionen der r(r'J) zugehören. Für den Umlauf um einen singulären Punkt gibt es nach den allgemeinen Regeln von S. 103 ff. entweder eine oder zwei Lösungen der Differentialgleichung (1), die sich beim Umlauf nur um einen konstanten Multiplikator (.t ändern. Diese Multiplikatoren !L bestimmen sich durch Lösung einer quadratischen Gleichung, welche man nach der Vorschrift (11) S. 103 aus den Substitutionskoeffizienten des zunächst aufgegriffenen Lösungssystems der Differentialgleichung aufbaut. Nun sind für unser ausgewähltes System .Q,11 .Q2 die den Umläufen um J = 0, 1, 00 bzw. entsprechenden Substitutionen, wie wir fanden, kurz durch: 00

2 2) U= (-Q:-Q Q-,

0

'

l'

=

(

O,i) -i,O '

S=(-iQ,-i Q) O,-~Q

zusammenzufassen. Man setze die genannten quadratischen Gleichungen an und wird durch deren Lösung finden: Beim singulären Punkte J = 0 liegen die beiden Multiplikatoren !L = 1 ttnd Q vor, beim Punkte J = 1 die beiden Multiplikatoren (.t = ± 1, während der dritte singuläre Ptl1lkt J = 00 mtr den einen Multiplilmtor (.t = -iQ lietert. Nach S. 104ff. ist in jedem Falle die zum einzelnen Multiplikator gebörende Lösung der Differentialgleichung (1) bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt. Man beweist ohne Mühe auf Grund von (6), (5) und (4): Zu den lYIultiplilcatoren !-L = 1 und (! des Punktes J = 0 gehören die Lösnngen (S~l - (!2.Q,2) und (.Q,1 - (! .Q2)' Ztt den Mtlltiplikatoren !-L = + 1 und - 1 des singuläl"en Pttnktes J = 1 aber (Q,1 + i.Q2) und (!~1 - iS2. 2 ), während zwn einzigen Multiplikator - iQ des Punktes J = 00 die Lösung S2. 2 gehöl't. Nun haben wir in (13) S. 112, wenn wir z = J setzen und die für uns in Betracht kommenden vVerte (2) der Parameter oe, ß, 'Y eintragen, gerade auch zwei durch die hypergeometrische Reihe gelieferte Lösungen der Multiplikatoren 1 und (! für die Umgebung des singulä:ren Punktes J= O. Mit diesen Lösungen müssen also die oben genannten Lösungen (.Ql - Q2.Q,2) und (.Q,1 - (! .Q2) bis auf zwei konstante Faktoren A o, B o übereinstimmen. Für die Darstellung unSC1'er normierten Perioden als hyper-

334

I, 5, Die Modulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

geometrischer Funktionen von J J = 0 den Ansatz:

gewi1~nen

wir somit in der

von

t; J),

f .Ql -

Q2.Q2

=

A oF(-I2, -12,

l.Ql -

Q.Q2

=

BoJ{-F(f2, f2,!; J),

(7)

Umgebw~g

Ao

und B o ,'eine Zahlen .sind, Für den singulären Punkt J= 1 haben wir den Ansatz (17) S, 115 zur Verfügung, der für die bei uns vorliegenden Werte (2) der (x, ß, l' zwei Lösungen der Multiplikatoren lL = 1 und - 1 liefert, Indem wir noch z = J eintragen, gewinnen wir den Satz: In dm' Umgebung des sing'ulären Punktes J = 1 gelten für unsere normierten Perioden .Ql' .Q2 die folgenden Darstellungen als hypm'geomef1'ische Fttnktionen: wo

f.Ql

(8)

+ i.Q2 =

l.Ql -

i.Q2 =

Al F(-I2, 12, t; 1 - J), Bi (J - l)f F(i2, 12, -}; 1 - J),

wo Al, B l wieder numerische Konstante sind, Da bei unserer Gleichung (1) die beiden Parameter IX und ß einander gleich sind, so haben wir nach S, 115 für die Umgebung des singulären Punktes J = 00 eine mit einem logarithmischen Gliede behaftete Lösung. Die allgemeinen Formeln (18) S, 115 liefern zunächst III unserem Falle die partikulären Lösungen:

(1 5. 1) z.2-- J-..L(F 12 1T2'12'J

Iog· J

F(l12'12' ,5 1.'J1))' '

wo F 1 die in (15) S. 114 erklärte Reihe mit verschwindendem Absolutgliede ist. Die Lösung .Q2' als zum Multiplikator lL = - iQ gehörig, ist jedenfalls bis auf einen Faktor gleich Z1; für .Q1 haben wir eine lineare Kombination der Zu Z2 anzusetzen:

Am leichtesten ist die Bestimmung der numerischen Konstanten ,

A 2 , B 2 , O2 im letzten Falle; wir ziehen zu diesem Zwecke die Potenz1

reihen nach q2 heran. Zunächst erklären wir J12 auf Grund von (3) S. 300 in der Umgebung der Spitze (lJ = i 00 des in Fig. 56, S. 273 dargestellten Diskontinuitätsbereiches der Modulgruppe durch: 1

rtt"ru

Y2V3 J12 = e--6 (1 + 62 q2 + ... ).

Ansatz der hypergeometrischen Reihen für die normierten Perioden

335

Durch Multiplikation mit den aus (3) folgenden Gleichungen: niw

1fim

ergibt sich weiter:

a 2J12 = V2Y3 a J12 = V21/3

j

+ 60q2 + ...), 2%co(1 + 60q2 + ...). 2%(1

Setzen WIr m die erste Gleichung für a folgt:

li2l!S C2F(12, f2, 1; ~) =

2

2%(1

den Ausdruck CSZ1 em, so

+ 60q2 + .. -).

Für J = 00 nimmt die links stehende hypergeometrische Reihe den Wert 1 an, während die rechte Seite gleich 2 % wird, da q2 verschwindet. Hieraus ergibt sich: C =-~. 2

V2 V3

Weiter folgt aus (3) S. 300 durch Logarithmiernng: 2i%co = -logJ - 310g 12 + 744 q2 +

...

und daraus weiter durch Multiplikation mit der soeben für a stellten Gleichung: i

V2 V3 a1Ji\ =

(1

+ 60q2 + ...) (-logJ -

Blog 12

2

aufge-

+ 744 q2 + ...).

Die rechts in der ersten Klammer stehende Reihe ist, wie eben fest-

J\, 1; ~),

gestellt wurde, gleich F(i~' i

V2VS a

j

so daß:

Jf2 =-logJ· F(12, 152' 1 ;~) - 310g 12 .F(l2,

J\, 1; ~)

+ 744 q2 + ... gilt. Tragen wir nun in i V2V3 a 1Ji1iJ für a 1 den oben gewonnenen Ansatz (A 2 Z 2 + B 2 Z 1 ) ein und ersetzen die Z durch ihre ReihendarsteIlungen, so ergibt sich: i

V2V3 a Jf2 1

=

-

iV2V3 A

2

logJ.F(12, f2, 1; ~)

+ iV2i!3 B 2 F(f2' f2, 1; ~) + i V2V3 A 2 F 1 (12, J\; ~). Der Vergleich der rechten Seiten der letzten beiden Gleichungen liefert mit Rücksicht auf den Umstand, daß die Reihe F 1 für J = 00 verschwindet: i V2 V3 B 2 = - 3log 12.

336

1,5. Die JliIodulfunktionen erster Stufe und ihre Inversion

1f!

Damit ist ein endgültiges Resultat erzielt: Die mit LI normierten Perioden des reduzierten Paares stellen sich als hypergeomefJrisclte Funkti01~en der rationalen Invat'iante J in der Umgeb~mg des singulären P.unktes J = 00 folgendermaßen dar: 9

(i V2V3.Ql =J-h.(

()

(l2, i\.;}) - (31og 12 + logJ)F(A,fi,1;~)), 2 'J_L F (l 5 1 1) lt~ 12' 12' ; J . F1

. ,1 -:;;-3 ~ V 2. V .Q2 =

.

12

Für den Periodenqiwtienten ro und also für die zur Modulfun7ction erster Stufe J( ro) inverse Funktion gewinnen wu' hieraus in der Umgebung VOtl J = 00 die Darstellnng:

(10)

: 2?ltro

=

-logJ - 3log 12

F,

(1~' f2; ~)

+ ~-(~-~). F 12' 12,1;J

Die Anfangsglieder diesel' Reihendarstellung von ro sind: 2iltro = -logJ - ßlog 12 %J-1 + m11 J-2 + ...

+

Etwas umständlicher ist die Berechnung der Koeffizienten A o , BQ und AlJ Bi in (7) und (8). Wir haben hierbei zwei Wege zur Verfügung. Erstlieh können wir auf die ursprüngliche Bedeutung der Perioden zurückgehen, die wir S. 157 als Werte des Integrals erster Gattung, genommen übel' gewisse geschlossene Umläufe auf der Riemannschen Fläche F2' erklärten. Hierbei stellen sich die Konstanten A, B selbst als gewisse bestimmte Integrale dar, die man wenigstens näherungsweise nach bekannten Methoden berechnen kann. Eine zweite Methode bemht auf dem Satze von Gauß über die Konvergenz der hypergeometrischen Reihe für den Wert 1 des vierten Argumentes und auf der Darstellung des Summen wertes jener Reih.e durch die. II-Funktion. 1) Diese Methode eignet sich besonders für die numerische Berechnung der Konstanten A, B, weil man für die II-Funktion die von Gauß berechnete und am Schlusse der eben genannten Abhandlung mitgeteilte Tabelle zur Hand hat. Wir wollen die erste Methode für die Bestimmung der Al> B 1 benutzen, die zweite für die Berechnung von A o, B o' 1 Erklären wir Ji2 durch die S. 334 genannte Reihe, so hat diese Funktion auf der imaginären ro-Achse zwischen i 00 und i positi ve reelle Werte und nimmt insbesondere für ro = iden Wert 1 an. Für ro = i ist gs = 0, dem harmonischen Falle entsprechend. Die drei endlichen 1) S. die "Disquisitiones generales circa seriem infinitam etc." in Gauß' "Werken", Bd, 3., S. 123 oder Gött. Abhandl. von 1818.

Endgültige Darstellung der

.Q"

in der Umgebung des Punktes J =

.Q.

00

337

Verzw.eigungspunkte mögen bei e1 = - 1, es = 0, ea = + 1 liegen; der in Fig. 39, S. 173 mit Q2 bezeichnete geschlossene Weg liefert uns dann die Periode w 2. Indem wir g2 = 4, der Auswahl der Punkte e entsprechend, in das Normalintegral erster Gattung eintragen, folgt: 1

w2

=

2

1

JY4Z:~4Z = frZ(::-l) ,

""

""

wo das Integral längs der reellen z-Achse ausgeführt werden mag und die Quadratwurzel VZ(Z 2 - 1) daselbst positiv genommen werden soll. Für die numerische Berechnung des Integrals ist es bequemer, erst noch durch z = z' -1 zu transformieren, was nach Fortlassung des oberen Index der neuen Integrationsvariabeln liefert: 1

2 fyzf=-zi)'

w = -

o

Hiernach ist W 2 reell und negativ. Da andererseits .Q2 (d) zufolge der zweiten Gleichung (9) längs des in Rede stehenden Stückes der imaginären w-Achse reell und positiv ist und .Q2 (1) der bei w = i eintretende endliche Grenzwert dieser positiven Werte ist!) , so ist auch .Q2(1) reell und positiv. Da nun aus g2 = 4, gs = sofort Li = 64 folgt, und w2 1f!d -.Q2 für w = i, d. h. also für J = 1, als reell und positiv erkannt wurde, so muß 1f!Li reell und negativ, mithin gleich sein. Die Multiplikation der für W 2 angegebenen Gleichung mit liefert somit: 1

°

y2 lVX= - y2

.Q2 (1)

y2 j'--~~-rZ(l-z') .

=

o

Tragen wir nun III die erste Gleichung (8) den Wert w = ~ ein, so wird J = 1 und .Ql(l) = i.Q2(1), während sich die hypergeometrische Reihe auf ihr Absolutglied 1 reduziert. Es folgt also: 1

(11)

Al = 2i.Q2(1)

=

2i

Y2 r J o

dz . rZ(l-z')

Damit B l in der zweiten Gleichung (8) eindeutig bestimmt ist, 1 setzen wir fest, daß (J - 1)2" längs des öfters genannten Stückes der imaginären w-Achse positiv sein soll. Der Quotient der beiden Gleichungen (8) liefert eine Entwicklung der Gestalt: .

CD CD

+-: = ~

B A'

1

(J -

1F (1 + a l (J 1

1)

+ ...).

1) Über die Konvergenz der in der zweiten Gleichung (9) stehenden hypergeometrischen Reihe für J = 1 8011 einstweilen nichts vorausgesetzt werden. Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. 1

22

338

I, 5. Die Modulfunktionen .erster Stufe und ihre Inversion

Durch Differentiation nach ro folgt weiter:

+ 3a

~=~L(J-1)-~ (1 2A,

(ro+t)'

1

(J -1)

+ ,..). dro dJ,

Aus (11) und (12) S. 317 ergibt sich aber:

_dJ =

dro

9 2 9 ~ f['J!.'i 7H Li

(H';-3 :o~~

=

7H

2

1

J3 (J _ 1) '2 •

,

2

wobei Ja längs der imaginären ro-Achse oberhalb i reell genommen werden muß, da die links stehende Ableitung ebenda negativ imaginäre Werte hat. Tragen wir diesen Ausdruck für die Ableitung von J nach ro in die voraufgehende Gleichung ein, so gewinnen wir: •

-~-; (CiJ + tJ2

2

=

2

/ -

:111~~V~ i s (1 2~nA,

+ 3a1 (.J -

1)

+ ...). ,

.

woraus sich für J = 1 und also ro = i .ergibt: 1t

Al

=

Bl

y3 (.Q,2 (1) )2.

Drücken WIr auf Grund von (11) den Wert .Q,2 (1) durch Al aus, so finden wir für Bi einen eindeutigen Ausdruck in Al' Die beiden mtmerischen Koeffizienten Al und B l in den Darstellungen (8) der nonnierten Perioden als hypergeometrischer Funktionen sind die folgenden:

-j' 2i'j/2 VZ(t::..::z~' I

(12)

Al

dz

=

o

B

i =-

4n

A,VS '

Nach dem obengenannten Satze von Gauß konvergiert die hypergeometrische Reihe F (a, ß, 'Yj z) für z = 1, falls a + ß < 'Y ist; der Summenwert der Reihe für z = 1 ist im Falle der Konvergenz: (13)

(

ffi a, ß, y; 1)

=

ll(y-1)llCy-a-ß-1) ll(y _ a _ 1) ll(, - ß - 1) ,

Hier ist lI(x) die bekannte Gaußsche lI-Funktion, welche zur r-Funktion inder einfachen Beziehung lI(x) = I (x + 1) steht. Von den besonderen Funktionswerten: (14)

lI(-

t) =

ret) =

'j/;t,

lI(O) = r(l) = 1

haben wir einige Male Gebrauch zu machen,l) Die genannte Konvergenzbedingung . ist bei den hier in Betracht kommenden hypergeometrischen Reihen durchweg erfüllt. Setzen wir demmich zunächst in der zweiten Formel (9) für J den Wert 1 em, so ergibt sich aus (13) und (14): .Q,2

(1)

=

_____

2nV%___._.

V2V3 ll(- ,'2 ) ll(-y'I)

1) VgL Gauß "Werke", B. 3 8.148 Formel (52) und S. 146 ...

Endgültige Darstellungen der

.Q1l.Q2

in den Umgebungen von J

=

1 u. J

=

0

339

Damit der Koeffizient B o in der zweiten Gleichung (7) eindeutig bestimmt ist, setzen wir fest, daß längs des zwischen 00 = Q und 00= i 1 gelegenen Stückes des Einheitskreises der 00- Ebene Js reelle Werte haben soll. Nähern wir uns längs dieses Kreisbogens dem Punkte 00 = i 1 an, so ist bei 00 = i zn setzen .Ql = i.Q2, J = 1, J3 = 1, .Q2 = .Q2(1), so daß die E'ormeln (7) für den Wert 00 == i die nachfolgende Gestalt annehmen:

Ci -

(1)

=

(i - Q) .Q2 (1)

=

(2).Q2

A o F(12, 12,i; 1),. B o F(f2' i~' {; 1).

Nun berechnet man aus (13) und (14):

F(l

1

2.

12'12'-3'

F(5.5

1) _ ,;-

II(-t) Vtr:(if(-~-{,?:)"

4.

12,i2,'3',

1)

=

,;-

IIC!) ytr:(!I(_T\)2'

Tragen wir diese Werte und zugleich den für .Q2 (1) berechneten Ausdruck in die soeben für A o und BQ angegebenen Gleichungen ein, so gec langen wir zu folgendem Ergebnis: Die beiden numerischen Konstanten A o, B o in den auf die Umgebung von J= 0 bezogenen Darstellungen (7) der normierten Perioden als hypergeometrischer Funktionen von J haben die folgende Bedeutung:

Eine Bestätigung dieses Ergebnisses können wir noch aus der von Gauß a. a. O. unter (54) S.148 angegebenen Relation:

il(-- x). ilex) =._1Cx~ Slll1(; X entnehmen. Auf Grund derselben liefern die Gleichungen (15): •

A B

° °

=

2'

1(;

sSlll

-"~-

VB

S-

. -- =

3itr:.

1(;

3

Das gleiche Ergebnis gewinnt man aus den Gleichungen (7), indem man zunächst aus der ersten: (16) ableitet und so dann die aus dem Quotienten beider Gleichungen entspringende Relation: (j)-Q (j) _

('2

=

A:B J'3 (1 + b J + ...) 1

1

nach 00 differenziert sowie weiter mit Hilfe der Gleichungen (11) und (12) S. 317 und der eben angegebenen Relation (16) umgestaltet. 22'"

Zweiter Abschnitt.

Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen zweiter Stufe. Wie bereits in der Einleitung zum ersten Abschnitte, S. 117, bemerkt wurde, ist die Gestalt der Theorie der elliptischen Funktionen bei Gauß,Abel und Jacobi verschieden von der Weierstraßschen Gestalt dieser Theorie, deren Behandlung der erste Abschnitt gewidmet ist. Wir bezeichneten die Größen der Weierstraßschen Theorie als Funktionen der ersten Stufe und sahen ihren Charakter darin, daß bei ihrem Aufbau ausschließlich "rationale Invarianten" der zugrundeliegenden Verzweigungsform benutzt wurden. Der genannten älteren Gestalt unserer Theorie liegen demgegenüber Normalgestalten der Verzweigungsform zugrunde, deren Koeffizienten sich späterhin im Sinne der linearen Invariantentheorie als "in'ationale" Invarianten erwiesen haben. Es entspricht einer wiederholt gemachten Erfahrung, daß wir betreffs des gegenseitigen Verhältnisses der neneren und älteren -Gestalten der Theorie der elliptischen Funktionen vermittelst des Integrals erster Gattung u und seiner Perioden 01 1 , 01 2 zu der klarsten Auffassung gelangen. Dieselbe ist in dem arithmetisch zu formulierenden "Stufenprinzip" von KI ein 1) enthalten, welches die ternäre Gruppe r(u, w) betreffen wird, die wir S.319 aufstellten. Im Sinne Kleins sind die Größen der älteren Theorie als elliptische Funktionen bzw. Modulfunktionen der "zweiten" Stufe zu bezeichnen; jedoch greifen sie gelegentlich in die vierte Stufe hinüber. Die grundsätzlichen funktionentheoretischen Auffassungen des ersten Abschnitts, die sich aufCauchy und namentlich aufRiemanngründen, können natürlich durch eine veränderte Gestalt unserer Theorie weder verändert noch ergänzt werden. Unser Ziel wird vielmehr nur sein, in diese Auffassungen die ältere Theorie mit ihrem eigentümlichen analytischen Charakter einzufügen. In den Bezeichnungen schließen wir uns meist an J ac 0 bi an, da dessen Bezeichnungsweise sich durch bald neunzigjährigen Gebrauch eingebürgert hat. 1) S. die S. 117 genannten Nachweise.

Erstes Kapitel.

Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der Verzweigungsform und der elliptischen Integrale. vYenn auch die in der älteren Theorie der elliptischen Funktionen auftretenden N ol'malgestalten der Integrale keineswegs allein durch lineare Transformation der Variabelen z tatsächlich gewonnen worden sind, so kann man doch gleichwohl durch ausschließlich lineare Transformationen zu ihnen allen gelangen. Durch Einschränkung auf solche Transformationen gelingt es aber, der Entwicklung einen einheitlichen und abgeschlossenen Charakter zu verleihen. Die nachfolgende Darstellung schließt sich unmittelbar an die Entwicklungen von S. 118.ff. an. Die neu hinzutretende Idee ist, daß wir neben den rationalen nun auch irrationale Invarianten der Verzweigungsform zulassen wollen. Die einfachsten unter ihnen liefern uns diejenigen Normalgestalten der Integrale, welche wir als zur zweiten und zur vierten Stufe gehörig bezeichnen werden, und die eben die Integralgestalten der älteren Theorie sind.

§ 1. Die einfachsten irrationalen Invarianten der Verzweigungsform. Die S. 119 eingeführte "Verzweigungsform" der zweiblättrigen Riemannsehen Fläche F2 über der z-Ebene:

f.

=

ftoZi

+ 4alz~z2 + 6a2z~z~ + 4aSzlz~ + ft4Z~

hat die vier Verzweigungspunkte der F2 , welche wir bei e(l), e(21, e(S), e(!) gelegen annehmen, zu Nullpunkten. Um die homogene Schreibweise konsequent durchzuführen, schreiben wir die einzelne Zahl eCk) als Quotienten e~k): e~k) zweier Größen eik), e~k), die wie die Zu Z2 (vgl. S. 119) endlich sein sollen und nicht zugleich verschwinden dürfen. Das einzelne Wertepaar eik), e~k) ist dann natürlich durch die Verzweigungsform f. nur erst bis auf einen endlichen, von 0 verschiedenen gemeinsamen Faktor Vk bestimmt. Setzen wir zur Abkürzung: Zle2 - Z2el

=

(z, e)

und schreiben die Linearfaktorenzerlegung der Form fz: fz = (z, e(l»(z, e(2»(z, e(S»(z, e(!», so sind überdies, falls wir nachträglich die vier Größenpaare eik ), e~k) um vier Faktoren Vk ändern wollen, diese Faktoren an die Bedingung gebunden, daß ihr Produkt gleich 1 sein muß. Denken wir die Linearfaktoren wieder miteinander multipliziert, so ergeben sich die fünf Koef-

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_7 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

342 II, 1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Il'ltegrale fizienten ao, a l , . . . , a4 in Gestalt ganzer homogener Funktionen vierter Dimension der eil), e~l), •.• , e~4), und zwar sind diese Funktionen linear und homogen in den beiden Größen 4k ), e~k) jedes der vier Paare. Bei Zusatz von vier Faktoren Vk des Produktes 1 bleiben diese Funktionen, wie es sein muß, unverändert. Wie in (5) S. 119 substituieren wir nun an Stelle der Z1l Z2: .

- bz;, Z2 = - cz~ + az~, wo die "Determinante" D = ad - bc der Substitution von null ver(1)

dz~

Zl =

schieden sein soll; wir können diese Substitution auch umgekehrt durch:

(2)

Dz;

aZl

=

+ bz

2,

Dz;

=

cZ1

geben. Die Ausübung der Substitution (1) auf z1 + 4 al' z1'3 Z2' + ••. f , = I"+" = aO"4

+ dZ

t~

2

liefert:

+"4 a4 z2 ,

wobei sich die fünf Koeffizienten a~,"', a~ der transformierten Form mit Hilfe der Substitutionskoeffizienten linear und homogen in den ursprünglichen Koeffizienten ao, ... , a4 darstellen. Der Begriffsbestimmung einer rationalen Invariante der Form f" wie sie S. 120 gegeben wurde, liegt diese Darstellung der a~, . .. , a~ in den ao,' .. , a4 zugrunde. Wir können nun die Transformation (1), statt sie unmittelbar auf fz anzuwenden, auch auf die vier Linearfaktoren (z, e) einzeln ausüben. Dabei ergibt sich:

(z, e)

=

(dz{- bz;) e2

-

(-

+ az;) e

cz~

l =

z; (ce 1 + de2 ) - z;(ael

+ be2).

Setzen wir also der Substitution (1) entsprechend:

(3)

e;

=

ael

+ be

2,

e;

=

ce1

+ de

2,

so gilt (z, e) = (z', e'), wo rechts die "transformierte Linearform" steht. Das Produkt der vier transformierten Linearfaktoren oder Linearformen ist dann natürlich gleich f;', so daß sich die Koeffizienten a~, ... , a~ nach demselben Gesetze aus den vier Größen paaren aufbauen wie die ao' ... , a4 aus den vier Paaren ell e2 • Die vier Paare 4k ), e~k) erfahren zufolge (3) ein und dieselbe Transformation, sie sind nach der Sprechweise von S. 310 "kogredient". Der aus irgend zwei Paaren hergestellte Ausdruck:

e;, e;

(eU), eCk)

=

e~)e~')

-

e~i)eik)

geht demnach bei Ausübung der vorgelegten Substitution in sich selbst, multipliziert mit der ersten Potenz der Substitutionsdeterminante, über:

(eU), eCk))' = D· (eU>, eCk)). Indem wir den S. 120 gegebenen Begriff der rationalen Invariante einer Form auf den Begriff' dm' rationalen "simultanen" Invariante eines

Die einfachsten irrationalen Invarianten der Verzweigung'sform

343

Systems von Formen, die gleichzeitig einer linearen Transformation unterworfen werden, ausdehnen, erkennen wir in (eU), eCk») eine einfachste simultane Invariante der i ten und der kIen Linearform. Da i und k verschieden sein müssen, falls diese Invariante nicht identisch verschwinden soll, so haben wir abgesehen von einem Zeichenwechsel die sechs Invarianten: (4) (e(l), e(2»), (e(l), e(3»), (e(1), eC 4»), (e(3), e(4»), (e(4), e(2»), (e(2), e(3»). Unter den simultanen rationalen Invarianten aller vier Linearformen wollen wir nun diejenigen auszeichnen, welche in den beiden Größen 4k ), e~k) jedes der vier Paare homogen von einer und derselben Dimension 0 sind. Eine solche Invariante wird unverändert bleiben, wenn wir unsere Größenpaare um vier Faktoren Vk des Produktes 1 ändern. Hierdurch kommt bereits zum Ausdruck, daß die Invariante allein von den Koeffizienten 0 O, " , , a4 der Form f. abhängt. In der Tat hängt zunächst der Quotient der Invariante und der otenpotenz eines nichtverschwindenden unter den Koeffizienten ao, ... , a4 allein von den vier Quotienten eCk) = eik) : 4k) ab; diese aber sind als \Vurzeln der biquadratischen Gleichung f. = 0 irrationale Funktionen der ao, .. " a4 allein. Eine simultane Invariante der vier Linearformen, welche in den eik ), 4k ) jedes Paares homogen von ein und derselben Dimension 0 ~'st, heißt dieserhalb eine "irrationale" Invariante der Verzweigungsform f.; wir nennen sie insbesondere eine "ganze" irrationale Invariante von f;, wenn sie eine "gnnze" rationale Funktion der eik ), e~k) ist. Wir können nun aus (4) unmittelbar folgende drei einfachsten ganzen irrationalen Invarianten von f. herstellen: (5) L = (e(l), e(2») (e(3), e(4»), M = (e(1), e(3») (e(4), e(2»), N = (e(l), e(4») (e(2), e(3»); dieselben sind nicht voneinander unabhängig, vielmehr zeigt eine einfache Rechnung, daß folgende Relation besteht: ~

L+M+N=Q

Bei Ausübung einer linearen Substitution ändern sich diese Invarianten um das Quadrat der Substitutionsdeterminante: L' = D2 L, M' = D2 M, N' = D2 N. Wir fanden oben (S.134) vier eine Vierergruppe G4 bildende (nichthomogene ) lineare Substitionen, welche das System der vier Punkte eCk) in sich überführten; den drei von der identischen Substitution verschiedenen Substitutionen dieser G4 entsprachen die drei Arten, die vier Punkte eCk) zu Paaren zu permutieren. Schreiben wir die einzelne dieser· Substitutionen homogen und "unimodular" (S. 120), so sind ihr gegenüber die L, M, N absolut invariant. Dies Ergebnis ist rein kombinatorisch aus

344 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale der Bauart (5) unserer Invarianten verständlich. Tauscht man z. B. die oberen Indizes 1 und 2 sowie gleichzeitig die Indizes 3 und 4 aus, so bleiben demgegenüber bei der Bedeutung der Symbole (e{i), eCk»~ die L, M, Nunverändert. Wir wollen im Anschlusse hieran gleich noch die Wirkung der übrigen Permutationen der vier Zahlenpaare e~k), e~k) auf die Ausdrücke (5) feststellen, wobei es sich natürlich wieder um eine rein kombinatorische Frage handelt, und zwar hier um eine solche, die mit den Substitutionen von ß außer Zusammenhang steht. Da die Permutationen der eben genannten G4 die L, M, N unverändert lassen, so können wir nach einer beliebigen Permutation der oberen Indizes ohne erneute Änderung der L, M, N noch diejenige Permutation der G4 ausüben, welche den Index 4 an die letzte Stelle versetzt. l ) Wir gewinnen demnach bereits alle Änderungen der L, M, N, wenn wir nur die sechs Permutationen der drei ersten Indizes ausüben. Es hat nun z. B. die Permutation 2, 3, 1 folgende Abänderung der Ausdrücke L, M, N zur Folge: L' = (e(2), e(3» (e(ll, e(4» = N, M' = (e(2), e(1))(e(4), e(S) = L, N' = (e(2), e(4) (e(s), eil»~ = lJII, d. h. sie permutiert einfach auch die L, M, N zyklisch. Wir stellen hier gleich die Wirkung aller sechs Permutationen der drei Indizes -1, 2, 3 tabellarisch zusammen: L, M, N 1,2,3 I

2, 3, 1 \

3,1,2-\

N,

L,

JYI

M,

N,

L

1, 3, 2[- M,

- L, - N

_ _ _ _ _ _ _ _ 0 _ _ _ _ •_ _ _ _

3, 2, 1 ! - N, - M, - L ---!-_._-_. ._-_._--~--2, 1, 3 I - L, - N, - M Hieraus geht der für die Rechnungen des nächsten Paragraphen wichtige Satz hervor, daß die drei Differenzen: (7) A=M-N, M=N-L, N=L-M

der Ausdrücke L, M, N gegenüber den Permutationen der vier Größenpaare e~k), e~k) ihrerseits die sechs möglichen Permutationen erfahren. 1) Steht der Index 4 bereits hier, so ist eben die "identische" Permutation aus der G, hinzuzufügen.

345>

Die sechs Gestalten des Doppelverhältnisses

Die Quotienten der L, M, N sind die einfachsten "absoluten" irmtionalen Invarianten der Vm'zweigungsform Versehen wir diese Quotienten mit negativen Vorzeichen, so gelangen wir zu den sechs "Doppelverhältnissen" dm' vier Punkte e(kl, deren Invarianz gegenüber linearer Transformation wohlbekannt ist. Ein erstes unter diesen Doppelverhältnissen möge durch den negativ genommenen Quotienten von L, und M gegeben sein und durch A bezeichnet werden:

t:.

(8) Die fünf übrigen Doppelverhältnisse oder besser gesagt "Gestalten" des Doppelverhältnisses der vier Punkte e(k) lassen sich in der eben angegebenen Gestalt A linear darstellen. In der Tat ergeben sich aus der Relation (6) leicht die Gleichungen: 1 N A-1 M

(9)

-N=l-A'

- T =--J,-'

-~= 1-· A 111 '

-~V =y-~'

L

l

§ 2 Beziehung der irrationalen Invarianten der Verzweigungsform zu den rationalen Invarianten. Nach (7) § 1 verschwindet die Summe der Invarianten A, M, N. Dagegen sind, falls wir die el(k), e2(k) und damit die Koeffizienten a o , a l , ... , a 4 der Verzweigungsform fz als frei veränderlich ansehen, zufolge einer einfachen Rechnung die symmetrischen Funktionen:

G2 =MN+NA+AM,

Gs=AMN

der drei ganzen irrationalen Invarianten A, M, N nicht mit 0 identisch. Diese G2 und Gs sind symmetrisch in den vier Größenpaaren e/ kl , e2 (k) aufgebaut, da sie sich bei den Permutationen derselben nicht ändern. Es ist leicht einzusehen, daß wir in den G2 , Gs bis auf numerische Faktoren unsere rationalen Invarianten g2' gs wiedergewonnen haben. Man wolle nämlich, unter k eine beliebige der beiden Zahlen 2 und 3 verstanden, Gk durch die k te Potenz von: 00 =

e~l) e~2) e*3) e~!)

teilen und gewinnt so in a o- k Gk eine ganze symmetrische Funktion der Wurzeln eil), e(2), e(S), e(4) der biquadratischen Gleichung:

z4

+ 4 -z a s +6a z + 4 --z as + a. - O., ao an eto ao 1

2

2

dabei treten im Ausdruck ((0 -k GI; die k ten Potenzen der Wurzeln e{l), .. , e(4), aber keine höheren auf. Hieraus folgt nach bekannten Sätzen über sym-

S46 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale

metrische Funktionen 1), daß ao-k Gk eine rationale ganze Funktion .k ten Grades der Koeffizienten der eben genannten biquadratischen Gleichung ist; Gk selbst ist somit eine ganze rationale homogene Funktion .k ter Dimension der fünf Größen ao, a1> " ., a4. Nach den Entwicklungen von S. 121ff. sind aber für k = 2 und 3 die einzigen überhaupt existierenden rationalen ganzen Invarianten, ab·gesehen von numerischen ]'aktoren, die in (10) S. 122 gegebenen g2' gs' Wir haben demnach die Ansätze:

G2 = cg2, Gs

=

c' g3'

unter c und c' zwei numerische Konstante verstanden. Zur Bestimmung ·der letzteren wählen wir fz als Normalgestalt erster Stufe der Verzweigungsform und setzen zu diesem Zwecke: eil) =

e(l),

41) =

1;

ei2) =

e(2), e~2) = 1;

eiS) =

e(S), e~3) =

Für die L, M, N erhält man daraufhin: L = e(2) - e(l), JJ1 = e(l) - e(3),

N =

1; e(S) -

ei4)

=

1;

e~4) =

O.

e(2),

sowie weiter fül' die A, lvI, N mit Rücksicht auf die bei der Verzweigungsform erster Stufe gültige Relation e(l) e(2) e(3) = 0:

+ +

A

=

-

SeeS),

M

=

-

N

Se(2),

Für G 2 und Ga ergibt sich somit: G2 = 9 (e(2)e(3) + e(S)e(l) + e(1)e(2),

Gs

=

=

-

-

Se(l).

27 e(l) e(2) e(3) .

Auf der anderen Seite stellen sich g2 und g3 in den e(I), e(2), e(3) auf -Grund der identischen Gleichung: 4zs - g2''3 - 93 = 4(z - e(l) (z - e(2) (z - e(3)) m den bekannten Gestalten: 92 = - 4 (e(2) e(S) e(3) e(1)

+

+ e ll) e(2)),

9s

=

4 e(l) e(2) e(3)

dar. Der Vergleich mit den zuletzt für G2 und Ga angegebenenen Ausdrücken ergibt den Satz: Die Beziehung zwischen den irrationalen Invarianten L, M, N und den rationalen 92' gs ist die folgende:

Cl)

{

(N-L) (L-M)

+ (L-M) (M -N) + (M -N) (N -L)=-tg2'

CM-N)(N-L)(L-M)=-~g3'

Das Quadrat des Differenzenproduktes der vier vVurzeln e(l) , e(2), e(S) , e(4) liefert die Diskriminante der Form Bedienen wir uns wieder der homogenen Schreibweise, so wird L2 . M2 . N2 als ganze rationale Invariante sechster Dimension in den ao, a1 , . . . , 04 bis auf einen

r..

1) Man vgl. z.B. Weber, "Lehrbuch der .Algebra", 2. Auf!. (Braunschweig, 1898) Bd. 1, S. 167.

347

Beziehungen der irrationalen Invarianten zu den rationalen

numerischen Faktor die Diskriminante A = g~ - 27 g: liefern müssen. Setzen wir demnach, unter c eine neue numerische Konstante verstanden: L2M2N2 = cA = c(g~ - 27 gi) , so ist c leicht dadurch bestimmbar, daß man für g2 und g3 ihre aus (1) folgenden Ausdrücke in L, M, N einträgt und fiir L, Mund N irgendein spezielles, die Relation L + M + N = 0 befriedigendes Wertsystem einträgt. Man setze z. B. ein M = L, N = -2 L und findet, da g2=4L2,g3=O wird, 4L6=C(4VY und damit c=fs. Der Zt~­ sammenhang der irrationalen Invarianten L, --ZIf, N mit der Diskriminante A ist demnach:

(2) Die vorstehenden Formeln gestatten auch die Beziehung zwischen dem Doppelverhältnis 1 und der absoluten rationalen InvarianteJ anzugeben. Setzen wir in Übereinstimmung mit (9) S. 345 in die vorstehenden Gleichungen (1) und (2): L=-).M, N=(J.-1)M Bin, so ergibt sich: Y2 = t ll.1 2(12 -). + 1), g3 = - ti MS (2).3 - 3).2 - 3.J. 2), A = 16M6 ().2(). _ 1)2).

+

Diese Ausdrücke der g2' gö, L1 trage man in die Relation (16) S. 124 ein und gewinnt als Beziehung zwischen dem Doppelverhältnis ). und der absoltden rationalen 'Invariante: (3) J: (J -1): 1 = 4 (.J.2- 1 + 1)3: (2;.3-3).2-31 + 2)2: 271 2 (1- 1)2. Hierdurch ist J als eine rationale Funktion sechsten Grades von 1 und umgekehrt 1 als eine sechsdeutige algebraische Funktion von J

erkannt. Dabei ist entweder aus der Herleitung der Gleichung (3) oder auch unmittelbar aus ihrer Gestalt ersichtlich, daß die sechs Lösungen dieser algebraischen Gleichung tür 1 bei gegebenem J sich aus einer unter ihnen in den sechs vm"schiedenen Gestalten des Doppelverhältnisses der vier Punkte e(k): (4') 1'=1 A'=~ )'=1-). 1'=--~- 1,=1.-1 .J.'=_I.,

').".

'i-V

')."

1.-1

daj"stellen. In der Tat überzeugt man sich leicht, daß die in (3) für J gegebene rationale Funktion von Ä: J

=

4 (I.' - I.

+ 1)'

-27V(f _ ).),-

durch jede der sechs unter (4) genannten linearen Transformationen von A in sich übergeführt wird, so daß der vorstehenden Gleichung

348 1I,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale mit}" alle sechs in (4) gegebenen ,1.' genügen. Diese sechs Sttbstitutionen bilden eine Gruppe Gs der Ordnung 6, deren sogleich näher aufzuweisende Struktur uns übrigens von S. 132 .her bereits bekannt ist. Vorher machen wir noch darauf aufmerksam, daß uns die hier vorliegende rationale Funktion sechsten Grades J(},,) und ihre inverse algebraische Funktion }"(J) bereits S. 64ff. ausführlich beschäftigt hat; in der Tat ist die unter (5) S. 64 zwischen wund z angesetzte Gleichung unmittelbar unsere hier vorliegende Gleichung (3). Die sechsblättrige Hiemannsche Fläche F6 über der J-Ebene, welche zur Funktion A(J) gehört, ist daselbst näher beschrieben,. auch die Ab bildung der Fs auf die schlichte },,-Ebene in Fig. 11, S. 65, die wir hier als Fig. 65 reproduzierthaben, dargelegt. Die in Klammern gesetzten Zahlen beziehen sich auf die Werteverteilung von J. Jedes der zwölf KreisFig. S5. bogendreiecke ist ein konformes Abbild der einzelnen durch die reelle Achse abgetrennten J-Halbebene (vgl. Fig. 10, S. 65); und zwar liefern dabei die sechs schraffierten Dreiecke die Bilder der sechs "positiven" Halbblätter der Fs . Diese Figur, welche oben den Zweck hatte, den Zusammenhang der Blätter der Fs in einem schlichten Bilde darzustellen, gewinnt im jetzigen Zusammenhang eine weitere Bedeutung. Irgendein vorgegebener Wert J findet in sechs "homologen" Punkten der schraffierten oder der freien Dreiecke der Fig. 65 statt oder auch in sechs homologen Randpunkten der Dreiecke, wenn es sich nämlich um einen reellen Wert J handelt. Je sechs solche "homologen" Punkte hängen vermöge der sechs Substitutionen (4) zusammen. Wir sind damit zu dem Satze gelangt: Die in Fig. 65 gezeichnete Einteilung der },,-Ebene in zwölf abwechselnd schraffierte und freie K1'eisbogendreiecke wird d~trch die sechs Sttbstitutionen (4) der vorhin eingeführten Gs in sich iibergeführt. Man wolle dies an den einzelnen Substitutionen (4) näher verfolgen. Erstlich bilden die drei Substitutionen: l' A

-1

=

;1. _

1'

l' A

=

;1.-1

-Y'"

1 ' __ ' ,A 11.

eine zyklische Untergruppe G3 aus elliptischen Substitutionen der beiden Fixpunke A =

..!...±-:y~

=

-

Q±l,

welehe in Fig. 65 von je sechs Kreis-

Gruppentheoretische Ausflihrungen über die Beziehung zwischen J und Ä.

°

349

bogendreiecken umlagert sind, und in denen übrigens J = gilt. Weiter haben wir noch drei elliptische Substitutionen der Periode zweI: A' =

~Ä.' l' = 1 - 1' Ä A' =-~.-l'

deren Fixpunkte l = 1, - 1; l = <Xl, -~ und l = 0, 2 sind. Man veranschauliche sich in Fig. 65 die Art, wie durch die einzelne dieser Substitutionen das Netz der zwölf Dreiecke in sich übergeführt wird. In den Fixpunkten jeder der drei zuletzt genannten elliptischen Substitutionen der Periode zwei finden übrigens die Werte J = <Xl und J = 1 statt. Um die Gs in die allgemeinen Erörterungen von S. 126ft'. über end· h e Gruppen 7,..~1'4 I. lC .ft0.:t~~ linearer Substitutionen einzufügen, projizieren wir die mit ihrem Dreiecksnetze versehene l- Ebene stereoauf graphisch eine KugeloberJ.co Fig.6S. fläche. Wir denken zu diesem Zwecke die l- Ebene horizontal angeordnet und mit dem Mittelpunkte l=t, deren Oberwählen die Kugel des Radius~ fläche also gerade durch die beiden Punkte l = - Q± 1 hindurchzieht. Vollziehen wir im übrigen die Projektion nach den allgemeinen Vorschriften von S. 22 u. f., so gelangen wir zn einer Kugelteilung, deren Natur durch Fig.66 dargelegt ist. Die drei durch 1 = - Q± 1 hindurchlaufenden Kreise der }.-Ebene werden drei größte Kugelkreise, die die Oberfläche in sechs kongruente Kugelzweiecke zerlegen; die reelle ,1.-Achse wird der zu jenen drei Kreisen orthogonal verlaufende größte Kugelkreis, der jedes der ebengenannten Zweiecke in zwei symmetrische Dreiecke zerlegt. Wie wir von diesel' Einteilung der Kugeloberfläche in zwölf sphärische Dreiecke nach den allgemeinen Entwicklungen von S. 132 über die Diedergruppen zu unserer hier vorliegenden Gs gelangen, ist nun leicht zu sehen. Im Sinne der damaligen Erklärungen zeichnen wir in der zur reellen l-Achse gehörenden Diametralebene der Kugel das gleichseitige Dreieck der Eckpunkte 1 = 0, 1, <Xl. Dann ist unsere Gs der Substitutionen (4) einfach die Diedergruppe Gs aller Kugeldrehungen, welche jenes Dreieck in sich überführen. Die einfachste Gestalt unserer Diedergruppe Ge gewinnen wir übrigens, wenn wir die Substitutionen (4 ) (nach den allgemeinen Vorschriften von S. 128) mitte1st der Substitution:

ys

b =t>Ä.+l Ä.+t>

350 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale auf b transformieren. Dabei gelangen die beiden Fixpunkte der zyklischen Gs nach b = 0 und b = 00, während die reelle 1-Achse den Einheitskreis der b-Ebene liefert. Die Substitutionen der G6 rechnen sich um auf die Gestalt:

(5)

(>=0,1,2).

Die Gleichung (3) aber nimmt die Gestalt an: J: (J - 1): 1 = 4b3 : (b3 +1)2: -

W-

1)2,

deren Invarianz gegenüber den Substitutionen (5) unmittelbar ersichtlich ist. Wir wollen auch noch den Begriff des "Diskontinuitätsbereichesl< (vgl. S. 233) auf unsere Gruppe Gs anwenden und nennen zu dem Zwecke zwei Punkte 1 und 1', die durch irgendeine Substitution der Gs zusammenhängen, bezüglich dieser Gruppe "äquivalent". Es ist ersichtlich, daß wir aus irgend zwei nebeneinander liegenden Dreiecken der Fig. 65 einen Bereich (D oppeldrei eck ) zusammensetzen können, der für jeden Punkt der 1-Ebene einen und nur einen äquivalenten Punkt aufweist. Wir wählen zu diesem Zwecke etwa die beiden Dreiecke der Ecken l = O,~, _ Q± 1. Die Randpunkte dieses Doppeldreiecks sind dann freilich noch zu Paaren einander äquivalent und gehen durch eine der beiden Substitutionen: l' = _.~-

},-1 '

l' = 1 - 1

ineinander über. Das ausgewählte Doppeldreieck ist in Fig. 67 dargestellt, und es mögen etwa die stark markierten Randstücke dem Bereiche als zugehörig angesehen werden, die Randpunkte 1 mit einem von 0 verschiedenen positiven imaginären Bestandteil jedoch nicht. Ein Diskontinuitätsbet'eich der Gruppe G6 der Substitutionen (4) -1.-=-::o~~b-t:).-'-;-l- wird durch das in Fig. 6'7 schraffierte Doppeldreieck geliefert, dessen Werte 1 durch die Bedingung:

(6)

AI <1 +l < 1

charakterisierbar sind, unter l den zu l konjugiert komplexen Wert verstanden; gemäß der getroffenen Festsetzung darf in dieser Bedingung eines der Gleichheitszeichen n!{r dann gelten, wenn 1 reell t~st oder einen negativen imaginä1'en Bestandteil hat. Gilt es, in Zukunft unter den sechs Werten von l einen einzelnen zu bevorzugen, so wird es zweckmäßig erscheinen, immer den die Bedingung (6) erfüllenden Wert zu wählen. Für die Normalgestalt erster Stufe der Verzweigungsform haben wir früher die Wurzeln z durch e1 ) e2, es, 00 bezeichnet. Bei der hier vor2

:Fig.67.

Endgültige Auswahl des Doppelverhältnisses l

351

gelegten beliebigen Gestalt f~ der Verzweigungsform haben wir die vier Wurzeln z vorerst e(l), e(2), e(S), e(!) genannt, Es handelt sich jetzt noch darum, eine Bestimmung darüber zu treffen, wie diese vier Wurzeln den vorgenannten Wurzeln der Normalform erster Stnfe entsprechen sollen, sofern wir l unmittelbar in den Wurzeln dieser Normalform fz darstellen wollen. Als zweckmäßig wird sich späterhin folgende Zuordnung der Bezeichnungen erweisen: e ll)

=

00,

e(2) = e2 ,

e(S)

= eM

e(4)

=

el .

Für die Darsfellung des Doppelverhältnisses l in den Wurzeln el , e2 , es der normalen Verzweigungsform erster Stufe folgern wir darattfhin aus (8) S. 345 die Regeln: (7)

§ 3. Die Normalgestalt zweitel' Stufe der Verzweigullgsform. Die irrationalen Invarianten L, M, N bzw. die absolute irrationale Invariante l treten als Koeffizienten in einer neuen Normalgestalt der Verzweigungsform auf, welche wir als die Normalgestalt "zweiter Stufe" bezeichnen werden. Wir gelangen zu dieser neuen Gestalt, wenn wir z derart linear in z' transformieren, daß drei von den vier Nullpunkten der transformierten Form (;. bei z' = 0, 1 und 00 gelegen sind. Hierbei müssen notwendig die vier Nullpunkte von fz unsymmetrisch behandelt werden, wodurch das Auftreten der irrationalen Invarianten begründet ist. Um zunächst alle Möglichkeiten gleichmäßig zu berücksichtigen, verstehen wir unter i,7c, l, mirgendeine Anordnung der Indizes 1,2,3,4, Wir wollen alsdann z = e(i) nach z' = 0, z = eCk) nach z' = 1, z = eCm ) nach z' = 00 durch lineare Transformation hinverlegen. Die lineare Substitution, welche dies leistet, ist eindeutig bestimmt und gegeben durch die erste der beiden folgenden Gleichungen:

z

,

=

e(nt) _ eCk) z _ eCi) -----.-e(i) _ e(m) ,

1-z

eCk) z _

,

e(i) _ eCru) z _ eCk) =---.--' e(i) _ eCk) z _ e(m) ,

die zweite gleich zu benutzende Gleichung ist eine unmittelbare Folge der ersten. Bei Einführung der homogenen Schreibweise bedienen WIr uns zunächst eines Proportionalitätsfaktors tL, indem WIr:

(1)

f

z~ = tL

l z~ -

z~ = z~ =

(e("'), eCk») (z, e(i»), tL (e C'), eCm») (z, eCk»), tL (eU!, eCk») (z, e(m»)

:352 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale schreiben. Wir wollen [t so bestimmen, daß die hiermit gegebene homogene Substitution "unimodular" wird (vgl. 120). Dies ist der Fall, wenn:

[t2(e(i), eCk» (eU), eCm » (ecml, eCk» = 1 gilt; hierdurch ist [t bis auf das Vorzeichen bestimmt, wir denken dieses

(2)

Vorzeichen beliebig, aber fest gewählt. Aus (1) und (2) ergibt sich zunächst unmittelbar:

,(3) z~(z~ - z~) z~ = ,u(z, eCi» (z, eCk» (z, eCm», so daß wir jetzt nur noch zu untersuchen haben, in welcher Weise sich (z, e(l» in z~ und z~ ausdrückt. Jedenfalls gilt der Ansatz: . (z, e(l» = az~ + bz~. Tragen wir rechts die Ausdrücke (1) für z~, z~ in den Zl' Z2 ein, so gilt in Zl' Z2 identisch: (z, eC!) = [t(a(e C11l ), eCk» (z, e(i» + b(e(i), eCk» (z, eCm»). Man gewinnt hieraus a und b am einfachsten, indem man zunächst z = eCm ) und sodann z = e(i) einsetzt; es ergibt sich: (eU>, eCrrt» a=-~~ --Cm p,(e(il, e » (e(m), eCk» ,

Bedienen wir uns der Abkürzungen: B (4) A = (e(i), eCk» (eU), eCm »,

=

(eU), e(l) (eCm), eCk»,

so können wir die beiden Gleichungen für a und b mit Benutzung von .(2) in die einfache Form kleiden: und also wird:

a = [tA, (z, e(l»

=

[t(Az~

+ Bz~).

Die Multiplikation dieser Gleichung mit dem aus (3) hervorgehenden Ausdruck für das Produkt (z, eCi» (z, eCk» (z, eC"'» liefert jetzt:

(z, eU» (z, eCk» (z, eU» (z, eCm »

=

z~

(z; - zD (Az~

+ Bz~) z~,

'wo rechts die auf die neuen Variabelen transformierte Form gewonnen ist. In den A, B haben wir nun in der Tat unsere ganzen irrationalen Invarianten wiedergewonnen. Wählen wir die Permutation i = 1, k = 2, .l = 3, m = 4, so gilt direkt A = L, B = M, was wir zusammenfassend durch (A, B) = (L, M) kennzeichnen wollen. Bei den Permutationen der Vierergruppe G4, bleiben nach S.343 die L, M unverändert. Gegenüber allen 24 Permutationen der vier Indizes 1,2,3,4 erfahren die L, M .demnach im ganzen sechs .Änderungen, welche in der Tabelle S. 344 zusammengestellt sind. Die sechs möglichen Wertepaare A, B sind dem,gemäß die folgenden:

,(5) (A,B) = (L,M), (N,L), (M,N), (-M,-L), (-N,-M), (-L, -N).

Normalgestalt zweiter Stufe der Verzweigungsform

353

Wir sind auf diese Weise zu folgendem Ergebnis gelangt: Als Normalgestalt zweiter Stufe der Verzweigungsform bezeichnen wir:

(6)

fz

=

Z1 (Z2 -

zJ) (Az1 + Bz2) Z2;

dieselbe ist in sechs Gestalten mittelst linearer unimodularer Transformation erreichbar, insofern sich für die Koeffizienten A, B die sechs DarBtelhmgen(5) in den ganzen irrationalen Invarianten ergeben. Zu jeder einzelnen dieser sechs Darstellungen (6) führen von der zunächst vorgelegten Form stets vier Substitutionen (1), welche aus einer unter ihnen durch die vier Permutationen der Vierergruppe G4 , angewandt auf die Indizes i, k, l, m, hervorgehen. Schreiben wir die Gleichung (6) in der Gestalt:

(7)

f.

=

BZl (Z2 -

Zl) (Z2 -

ÄZ1) Z2'

so korrespondieren den sechs in (5) gegebenen Werten B die sechs Gestalten, welche das Doppelverhältnis Ä unserer vier Punkte e(1), e(2), e(3), e(4) hat. Halten wir an der ursprünglichen Erklärung (9) S. 345 von Ä fest, so ergibt sich diejenige Normalgestalt zweiter Stufe der Verzweigungsform:

(8) welche wir weiterhin bevorzugen werden. Es mag noch gestattet sein, je die sechs besonderen Normalformen (7) zu notieren, die im harmonischen und im äquianharmonischen Falle eintreten. Im ersteren Falle sind die sechs Lösungen Ä der Gleichung (3) S. 347, dem Werte J = 1 entsprechend, zu Paaren einander gleich, und zwar gleich - 1, t und 2. Setzen wir im Anschluß an Fig. 39, S. 173, el = - 1, es = 0, es = 1 für die drei endlichen Nullpunkte der Verzweigungsform erster Stufe ein und bedienen uns der Gleichung (7) S.351 zur Berechnung von A, so folgt als in (8) einzutragen Ä = t, und übrigens gilt:

1m km'monischen Falle berechnen sich als die sechs Gestalten der Verzwei· gungsform zweiter Stufe:

1± Lz 1 (Z2 -

Z1) ( Z.2

+ Zl) Z2'

zl)(2 Z2

-

LZ1 (Z2 -

Zl) (Z2 -

±

(9)

±

LZ l (Z2 -

Zl) Z2'

2zl )

Z2'

Im äquianharmonischen Falle ist J = 0, und die sechs Ä werden zu je drei den beidenWerten - Q ± 1 gleich. Im Anschluß an Fig. 38, S. 171, setzen wir el = (I, e2 = 1, es = (12 für die drei endlichen Wurzeln der Verzweigungsform erster Stufe, worauf die Gleichung (7) S. 351 als in (8) einzutragen den Wert Ä = - (I ergibt. Man führt die Rechnung Frick.: Elliptische Funktionen. Bd.l

23

354 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale leicht weiter und findet: Im äqu,ianharmonischen Falle sind die sechs Gestalten der Verzweigungsform zweiter Stufe:

(10)

{

LQ.,.,Zl (Z2 -

- L Q Zl (Z2

-

Zl) (Z2 Zl) (Z2

+ Q2 Z1 ) Z2'

+ Q Zl) Z2'

(v = 0,1,2).

§ 4. Die Normalgestalt vierter Stufe der Verzweigungsform. Die Vierergruppe G4 ist S. 131 ausführlich behandelt, und zwar ohne daß betreffs der Auswahl der Variabeln z irgendeine besondere Voraussetzung gemacht war. Die Substitutionen der G4, bezeichneten wir durch So = 1, S1> S2' SB; die Fixpunkte der drei letzteren Substitutionen Si mögen jetzt durch E(i), E(- i) bezeichnet werden. Wir fanden, daß der G4, ein bestimmtes System von drei einander orthogonal schneidenden Kreisen in der Art zugehört, daß die beiden Schnitt,(-2) punkte je zweier unter diesen Kreisen das Fixpunktepaar E(i), E(-;- i) einer zuFig.68. gehörigen Substitution Si liefern. Die betreffende Fig. 25, S. 131, ist hier als Fig.68 mit der neuen Bezeichnung der Fixpunkte reproduziert. Unserer Verzweigungsform fz gehört nun eine solche Vierergruppe G4 von Substitutionen zu, welche die vier Nullpunkte der Form in der bekannten Weise zu Paaren permutieren. Wir wollen jetzt eine dritte Normalgestalt der Verzweigungsform fz dadurch erklären, daß wir die Vierergruppe G4, mitte1st einer linearen Transformation auf ihre einfachste Ausdrucksform bringen. Zu diesem Zwecke verstehen wir unter i irgendeinen der sechs Indizes ± 1, ± 2, ± 3 und wollen eine neue Variabele s' so einführen, daß z = E(i) und z = E(- i) die Werte z' = 0 bzw. z' = 00 liefern. Unter den vier dann noch verfügbaren Indizes wählen wir k beliebig und verlangen weiter, daß dem Werte z = E(k) der Wert z' = 1 der neuen Variabelen entspricht. Diese Bestimmungen, welche, wie man sieht, in 6· 4 = 24 Weisen durchführbar sind, legen die auszuübende Substitution eindeutig fest, und zwar in der Gestalt: ,

F.(k)_s(-i)

z-ß)

Z = .--.---- . - - - . • (k) _

.(i)

z _ .(- i)

Um diese Substitution homogen zu schreiben, spalten wir nicht nur die Variabelen, sondern auch die Werte E je in Quotienten zweier Verhältnisgrößen E17 E2 und bedienen uns der bisherigen symbolischen Bezeichnungen (z, E(i»), (E(k), E(i»), '" im üblichen Sinne. Unter Aufnahme

355

Notizen über die Oktaedergruppe

eines Proportionalitätsfaktors v zerlegen wir alsdann die eben gegebene Substitution in: (1) z~ = V (eCk), c(-i))(Z, cU)), z; = V (cCkl, cCi))(z, cC-i)) und müssen, um hier eine unimodulare Substitution zu haben, v auf eine der beiden Arten aus: (2) v 2 (eCk), cC-i)) (eCk), cU)) (cCil, cC-i)) = 1 berechnen. In der z'-Ebene, die wir unter Fortlassung des oberen Index gleich wieder als z-Ebene bezeichnen, sind nun die drei Kreise der Fig. 68 einfach die reelle Achse, die imaginäre Achse und der Einheitskreis. In der transformierten Gestalt besteht somit die Vierergruppe G;1 aus den Vier Substitutionen:

z'=+z, Z'=±Z-l.

(3)

Statt die 24 Arten, diese Gestalt der G;1 zu gewinnen, nebeneinander zu betrachten, können wir übrigens auch in der Weise verfahren, daß wir eine Art bevorzugen und hinterher diejenigen 24 Substitutionen charakterisieren, welche von der bevorzugten neuen Variabelen zu allen 24 gleichberechtigten hinführen. Dieser Ansatz nimmt eine besonders einfache Gestalt an, wenn wir die neue z-Ebene genau unter Einhaltung der Vorschrift von S. 22 auf eine Kugeloberfläche projizieren. Auf dieser Kugelfläche sind dann die Fixpunkte 0, 00, ± 1, ± i der Substitutionen (3) unser G;1 die Ecken eines mit der Kugel konzentri· schen Oktaeders. Die nach dem allgemeinen Ansatze von S. 130ft'. herzustellende "Oktaedergruppe", cl. h. die Gruppe aller derjenigen Kugeldrehungen, bei denen jenes Oktaeder mit sich selbst zur Deckung kommt, liefert uns dann gerade die 24 hier gesuchten linearen Substitutionen von z. Wir können diese 24 Substitutionen in folgender Art zusammenfassend schreiben: 'a, (4) z ' _ - ~ ß,

'e<. - 1

~ Z

+ 1l'

'" Z Z _

,~

1

z +1'

'u Z -

~

'a Z

t

+i

z _ {,

+ ii '

'e< Z -

~

Z

Ca =

0, 1,2, S)

und fügen noch einige Angaben über die Struktur der Oktaedergruppe hinzu. In dieser G24 sind zunächst drei zyklische Untergruppen G4 enthalten, deren einzelne aus den Drehungen um zwei gegenüberliegende Oktaederecken bestehen; so gehört z. B. zu den heiden diametralen Punkten ß = ± 1 die G4 : ,

iz + 1

Z =-z+i'

1

z'

ß.

'Weiter haben wir vier zyklische Untergruppen Ga, deren einzelne neben der identischen Substition die Drehungen um zwei gegenüberliegende 23*

356 TI,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale Seitenmitten des Oktaeders enthält; ein Beispiel eines solchen Paares von Seitenmitten wird von den bei den Werten:

z=

-

. 1

+i

--2-- (1

-

± y3)

geliefert, die zugehö"'ige zyklische Gs besteht aus: , -z+i -iz+i

z

=

~t'

~z+-i'

z.

Endlich folgen noch sechs zyklische Untergruppen G2 , deren einzelne neben der identischen Substitution die Drehungen um zwei diametrale Kantenmittelpunkte des Oktaeders umfaßt; ein Beispiel wird von den beiden Kantenmittelpunkten z = 1 ± V2 geliefert, die zugehörige G2 besteht aus den Substitutionen: , z+l

z

=

z -1'

Z.

Die Vierergruppe G4 der Substitution (3) ist selbst in der Oktaedergruppe G24 als Untergruppe enthalten. Selbstverständlich kann man auch durch direkte Rechnung leicht zeigen, daß die Vierergruppe G4 durch Transformation mitte1st jeder der 24 Substitutionen (4) in sich übergeführt wird. I ) Durch eine erste unter den 24 Substitutionen, welche die zur anfänglich vorgelegten Form f. gehörende G4 in ihre einfachste Gestalt (3) transformieren, werde der erste Nullpunkt e(l) jener Verzweigungsform in den Wert z = [t der neuen Variabelen übergeführt. Die gesamten 24 Substitutionen, welche die Normalgestalt (3) der Vierergruppe herstellen, liefern dann an Stelle von e(l) 24 Werte, welche aus jenem ersten Werte [t wieder d1,f,1'ch die 24 Substitutionen (4):

(5)

(" = 0, 1, 2,3)

zu berechnen sind. Jedoch erhalten wir hierbei nur sechs wesentlich, d. h. in Ansehung der Lage ihrer Nullpunkte, verschiedene transformierte Verzweigungsformen, da je vier unter den 24 Werten (5) als die vier Nullpunkte einer einzelnen transformierten Form zusammengehören. In der Tat entstehen aus dem einzelnen Werte [t' durch die vier in der G24 enthaltenen Substitutionen der Vierergruppe als vier Nullpunkte einer transformierten Form z = ± [t', ± [t'-1. 1) Die Vierergruppe wird dieserhalb als eine "ausgezeichnete" Untergruppe der Oktaedergruppe G24 bezeichnet; man vgl. übrigens betreffs der Struktur und Darstellung der Oktaedergruppe Klein, "Vorlesungen über das Ikosaeder", (Leipzig,

1884) S.15.

Die Normalgestalt vierter Stufe der Verzweigungsform

357

Wenden wir die uni modulare Substitution (1) an, so hat· hiernach die transformierte Form die Gestalt: a~(zl --lLZ2)(Zl

+ lLZ2)(Zl -lL-1Z2)(Zl + lL-1Z2)'

wenn a~ der Koeffizient von zi in der transformierten Form ist. Um die homogene Schreibweise völlig durchzuführen, setzen wir lL = lLi : lL2 und schreiben als weitere Bedingung für die Bestimmung der Verhältnisgrößen lLu lL2 vor: a~

=

lL~lL~,

wodurch die lLu lL2 bis auf eine Potenz der imaginären Einheit i als gemeinsamen Faktor bestimmt sind; diese Potenz sei beliebig ausgewählt. Wir gelangen attf diese Weise zu der mittelst einer unimodularen linearen Snbstitntion erreichbaren Normalgesfalt:

~ ~=W~-~~~~-~~ die wir im Sinne der im folgenden Kapitel zn gebenden allgemeinen Erklärnngen als die Normalgestalt "vierter" Stnfe der Verzweignngsform zn bezeichnen haben. Schreiben wir die Substitutionen (3) der G4 homogen und unimodular (unter beliebiger Auswahl des bei der einzelnen Substitution dann noch verfügbaren Vorzeichens), so wird die Normalform (6) diesen Substitutionen gegenüber unmittelbar in sich transformiert, wie man leicht feststellt. Gegenüber allen 24 entsprechend homogen und unimodular geschriebenen Substitutionen der Oktaedergruppe erhalten wir also trotz der 24 verschiedenen Gestalten (5) von lL nnr sechs verschiedene Normalgestalten (6) vierter Stnfe der Verzweignngsform. Sehr leicht sind die Beziehungen zwischen lLu lL2 bzw. lL und den rationalen Invarianten hergestellt. Berechnen wir auf Grund der Regeln (10) S. 122 die ganzen rationalen Invarianten g2' gs für die Form: fz = lLilLizi - (!Li + lL~)Z~ z~ + lL~lL~Z~, so ergeben sich für 12g2 und 216gs sehr leicht folgende Ausdrücke

(7)

{ 12g2

lL~

=

Für die Diskriminante Li (8)

+ 14lLilL~ + lL~,

216gs = lL~2 - 33lL~lL~ - 33lLilL~ =

g~

16A

=

27g~

+ lL~2.

findet man hieraus die Beziehung:

!LilL~(lLi -

lL~)4.

'fragen wir diese Ausdrücke für g2' gs, Li in die Proportion (16) S. 124 ein, so ergibt sich als Beziehnng zwischen lL nnd der absolnten rationalen Invariante J:

(9) J: (J-1): 1 = (lL 8 + 14lL4+ 1)3: (lL 12 - 33.u8-33.u4+ 1)2: 108.u4(lL4-1)4.

358 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale Wir haben damit die sogenannte "Oktaedergleichung" gewonnen 1), deren 24 Lösungen {t bei gegebenem J sich in einer unter ihnen durch die 24 Oktaedersubstitutionen (5) darstellen. Auch zur absoluten irrationalen Invariante J. ist !L leicht in Beziehung zu setzen. Berechnen wir J. nach der Regel (8) S.345 für die Form (6), so kann man das Resultat leicht wieder in die Gestalt einer Proportion kleiden: (10) 1: (A - 1) : 1 = 4{t2: (fL2 + 1)2: - (fL2 - 1)2. Bei gegebenem A liegt hier eine biquadratische Gleichung für fL vor (Gleichung der Vierergruppe), deren vier Lösungen fL sich in einer unter ihnen in der Gestalt fL' = + {t, ± {t-1 darstellen. Der einzelnen unter den sechs Gestalten des Doppelverhältnisses A gehören demnach immer gewisse vier unter den 24 Ausdrücken (5) für fL zu, und zwar solche vier fL, die die Nullpunkte einer der sechs Verzweigungsformen vierter Stufe zusammensetzen. Die sechs Gestalten der Yerzweigungsform zweiter St~tfe sind in dieser Weise den sechs Normalgestalten vierter Stufe der Ym'zweigungsform eindeutig zugeordnet. Wir wollen noch die unimodularen Substitutionen ausrechnen, welche die Verzweigungsform zweiter Stufe:

r:,

=

z~(- z~

+ z~)(Lz~ + Mz;)z;

in der Art in diejenige vierter Stufe:

f.

=

(fL2 Z1 - {tl z!) (fL2 Z1

+ {t1Z2)(fL1 Zl -

fL2 Z2)({t1Zl

+ {t2 Zi)

überführen, daß die Relation (10) zwischen J. und fL besteht. Wir können dies z. B. dadurch erreichen, daß wir die vier Faktoren von f:' in der eben angegebenen Reihenfolge denen von f. entsprechen lassen. Es ist also zu setzen: z~ = a({t2z1 - !L1Z2),

z; = b(fL1Z1

+ fL2Z2)'

wobei, damit die Determinante 1 vorliegt, die Faktoren a und b die Bedingung befriedigen müssen:

(11) ab(fL~ + fLi) = l. Für den zweiten Faktor (- z; + z;) haben wir unter Einführung einer dritten Konstanten c den Ansatz: - z~

+ z; =

(b{t1 - afL2) Zl

+ (b{t2 + a{t1) Z2 =

Es ist demnach zu setzen: b{tl - afL2 = CfL2'

woraus wir finden: a ({ti

+ fL~) =

C(fL~ - fL~),

1) Vgl. Klein, a. a. 0., S. 60.

C{t2Z1

+ CfL1 Z2'

Transformation der Verzweigungsform zweiter Stufe in diejenige viertel' Stufe

359

Durch Multiplikation dieser Gleichungen ergibt sich bei Benutzung von (11) für c die Gleichung:

!Li + !L~ = 2 C2!L1!L2 (!L~ - !Ln, aus welcher sich c bis auf das willkürlich zu wählende Vorzeichen bestimmt; man findet mitBenutzung von (8): a

. /Li - 14

=

b=

2f:d-'

/L1 /L.

f;Li ,

C

= /Li + /Li . 2112

Der dritte Faktor von f;' ergibt den Ansatz:

Lz~ + Mz; = (aL!L2 + bM!Lt) Z1 - (aL!Ll - bM!L2) Z2 = d!Lt Z1 - d!L2Z2' wo die neu eingeführte Konstante d, damit f:' = fz wird, aus:

abcd =

/L1 /L. (/Lt -

4V'LI-vLJ

/Lt)

d = --~- = 1

2V:d

zu berechnen ist und also gleich 2Y'A gefunden wird. Die Gleichungen:

aLfl2 + bM!Lt = d!Ll' aL!Lt - bM!L2 = d!L2 ergeben daraufhin mit Rücksicht auf die schon berechneten Werte von a, b, d für L und M folgende Ausdrücke in den !Lv !L2: L = 4!Li!L~, M = (!L~ - !LV 2, woraus sich in der Tat die Relation (10) wieder ergibt. Als unimodulare Substitution, welche die Verzweigungsform zweiter Stufe f: in diejenige vierter Stufe fz transformiert, haben wir somit die folgende gewonnen:

(12) 2fAz; = (!L~ - !LD(!L2 Z1

-

!Lt Z2)'

.

2Y'Az~ = 2!Lt!L2(!Lt Z1 + !L2Z2)'

§ 5. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale. Das elliptische Integral erster Gattung hatten wir oben (S. 143) für beliebig gegebene Verzweigungsform fz in die homogene Gestalt: u =

_J(Z,d.Z)

111,-

gekleidet, in welcher das unter dem Integralzeichen stehende Klammersymbol das homogene Differential: (z, dz) = Z1 dZ 2 - Z2dz1 = - z~dz ist, das S. 143 eingeführt wurde und sich daselbst gegenüber jeder "unimodularen" z-Substitution als absolut invariant erwies. Durch solche Substitutionen konnten wir aber fz auf die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe transformieren. Wir bezeichnen entsprechend als Normalintegral erster Gattung "zweiteI'" Stufe" das folgende: 14, =

-

fr

(z,dz) Z1(Z. -z1)(Lz1

+ Mi~)z~'

360 H,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale behalten uns jedoch vor, dasselbe unten noch mit einem von z unabhängigen Faktor zu versehen, und erinnern sogleich auch daran, daß das Integral zweiter Stufe hier in einer unter sechs gleichberechtigten Gestalten erscheint. Weiter ist eine der gleich berechtigten Gestalten des Integrals erster Gattung vierter Stufe:

-fy _-

tt =

([L~ zi

(z,dz)

- i-Lr z~) (~~ zi -

..' p.~ z~)

In nicht-homogener Gestalt können wir diese beiden Darstellungen des Integrals erster Gattung so schreiben:

(1)

tt =

1 f ==d=z== YM Y;(lz)(l - lz)' 1

n =;;,~

j'

dz

y(p,'_z2)(1_

p,'~2)'

Das Integral vierter Stufe wollen wir noch mitte1st der linearen Substitution: ,

z=

~z

transformieren, so daß dasselbe unter Fortlassung des oberen Index bei -

z' die Gestalt gewinnt:

(2)

tt -

1f

-dz . Y(l - z')(l- p,4 z')

p,i

Es wird kaum eines Hinweises bedürfen, daß die Variabeln z in (1) und (2) nicht identisch sind, aber natürlich linear voneinander abhängen. Das in (1) rechts stehende Integral:

J"Vz(i - ~)~l

-J.z)'

das den sechs Werten des Doppelverhältnisses It entsprechend in sechs gleichberechtigten Gestalten angesetzt werden kann, wird auch als das· "Riemannsche Normalintegral" bezeichnet, da dasselbe von Riemann in seinen "Vorlesungen über elliptische ji1unktionen"1) zugrunde gelegt wird. Das in (2) gewonnene Integral:

.r J

dz

Y(l- z2)(1-fL4 z')

hat die Gestalt des Legendreschen Normalintegrals erster Gattung~ das insbesondere auch in der J aco bischen Theorie der elliptischen Funktionen benutzt wird. Aber man würde die Jacobische Theorie nicht in die richtige Beziehung zu den elliptischen Funktionen erster Stufe setzen, falls man in dem letzten Integral das Legendre-Jacobische Normalintegral erblicken sollte. Vielmehr entsteht das letztere durch Ausübung der 1) Mit Zusätzen herausgegeben von H. S ta h1 (Leipzig, 1899).

Die Normalintegrale erstei' Gattung zweiter und vierter Stufe

361

quadratischen Transformation rJ = rJ'2 aus dem Integrale zweiter Stufe,. wie unten darzulegen ist. Dagegen sollte das zuletzt angegebene Integral als das "Abelsche Normalintegral" bezeichnet werden; in der Tat ist dasselbe von Ab el in den "Recherches sur les fonctions elliptiques" 1) durch lineare Transformation gewonnen, und es werden a. a. O. die verschiedenen der Oktaedergruppe entsprechenden Gestalten VOll "" bereits angegeben, welche natürlich nur sechs verschiedene Werte von ",,4 liefern (S. 356). Die Beziehung der Integrale zweiter und vierter Stufe zum Normalintegral erster Stufe (Weierstraßschen Normalintegrale) ist aus den Rechnungen der vorangehenden Paragraphen leicht festzustellen. Mit Rücksicht auf die späteren Ausführungen über die Jacobische Theorie haben wir diese Beziehung insbesondere für die zweite Stufe weiter zu verfolgen. Wir nehmen die Bezeichnungen e(l), e(2), C(3), e(4) für die Nullpunkte einer zunächst beliebig gegebenen Verzweigungsform fz wieder auf und wählen in den Formeln von S. 351 ff. für i, k, l, m, wie auch schon S. 352 geschah, die Kombination 1,2, 3,4. Das in rJ' geschriebene Integral zweiter Stufe gewinnt man dann nach S. 351 durch die Transformation: , e(4) e(2) z c(1) rJ = C(l) - e(2) z - e(4) , (3) ---~. -"~--

ellle Gleichung, aus welcher mit Rücksicht auf den Ausdruck von

(4)

l

=

-

(e O ) _ (e(n _

C(2)

(C(3) _

c(4)

e(3)(C(4) _

e(')

Ä:

leicht noch die Folgerungen:

(5)

,

e(1)

=

C(4)

Z

=

e(')

l=rJ=----·-~ e(1) e(2) z _ e(4)

,

1

=

ArJ

,

=

e(1) -

e(4)

e(ll -

e(3)

-~-~--

z _

e(3)

z _

e(4)

. --

gezogen werden. Ist nun fz die Verzweigungsform erster Stufe, so hatten wir deren Nullpunkte bereits S. 351 in folgender Anordnung mit den C(l), e(2), ... identisch gesetzt:

(6) Indem wir diese Anordnung bevorzugen, gelangen wir von der ersten Stufe aus zu einem ersten unter den sechs gleichberechtigten N ormalintegralen zweiter Stufe vermittelst der Transformation:

(7)

l_lrJ'=Z-12

z - e, '

1) S. insbesondere Abel, "Oeuvres completes", neue Ausgabe von Sylow und Lie, Bd. 1, S.459, Formel (9).

362 H, 1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale

während wir für A auf die schon S. 351 angegebene Darstellung:

(S) zurückkommen. Für f. ist entsprechend der Festsetzung (6) in die Formeln, welche die irrationalen Invarianten erklären, an Stelle der allgemeinen Gestalt der Verzweigungsform: fz = (z, e(l» (z, e(2» (z, e(S» (z, e(4» nunmehr die Verzweigungsform erster Stufe mit folgender Anordnung der Faktoren einzutragen:

f.

es (2) (Zl - el Z2)' Denken wir also die Transformation (7) homogen und unimodular geso ausdrücken: schrieben, so wird sich f. in =

4z2 (z 1 - e2 (2) (Zl

-

z;, z;

f.

z;(z; - z;)(Lz; + Mz;)z;,

=

wobei für L und M die Darstellungen gelten: L = - 1M, M = (e(l), e(S» (e(4), e(2» = 4(e2 Für

el ).

vi. ergibt sich damit als Darstellung in den neuen Variabeln: Vr. Ve e;: .V4z;(z; =

-

z;)(z; - AzDz;.

2 -

c --e;-

Das Vorzeichen der rechts auftretenden Wurzel V 2 wollen wir vorerst beliebig, aber fest gewählt denken und an der Auswahl weiterhin festhalten. l ) Den im Nenner des Integrals stehenden Faktor Ve2 multiplizieren wir nach links hinauf. Das so entspringende Integral:

(9)

,/--~ uJle-e= 2

1

e;:

J

dz' . V4z'(1-z')(1-l.z;)

wollen wir endgültig als das Normalintegral erster Gattung zweiter Stufe :(in einer ersten ttnter den sechs Gestalten) erklären. Wir gebrauchen für dasselbe die Bezeichnung w, so daß dieses Integral unter Fortlassung des oberen Index bei z' erklä,rt ist durch:

(10)

w

=

f

..

_~

.. _dz _.. _ - - .

V4z(1-Z)(1 -I.z)

Was die Integrale der beiden anderen Gattungen angeht, so mögen wieder nur für die zweite Stufe einige Ausführungen angeschlossen werden. Das Normalintegral zweiter Gattung erster Stufe: 1;

=

-

r.

J V4 z· -

zdz g2 Z -

gs

hatte den Pol bei z = 00. Wir gelangen bei Gebrauch der bisherigen Transformationen zu dem bei Legendre und Jacobi vorliegenden Integrale, falls wir den Pol zunächst nach z = e1 verlegen. Diesem 1) Unten (in § 4 des folgenden Kapitels) wird

Ve "':'e, 2

eindeutig fixiert.

363

Normalintegral zweiter Gattung zweiter Stufe

Zwecke dient die Formel (4) S. 152; dieselbe nimmt, wenn wir die Integrale durchweg unbestimmt schreiben und für fo die Verzweigungsform erster Stufe eintragen, die Gestalt an:

J'

-

W(z, el)du

=

V,-c-4,,""'"s--g-z---g9( 3 ... z - 'e) l

+ s.

Die Funktion W(z, el) hat nach S.147 die Bedeutung:

w(z, el)

=

tf'(e1 )(z - e1 )-l + iJ"(e

j ),

bestimmt sich also, wenn wir für fez) seine Bedeutung eintragen, zu:

w(z e)

=

'1

(e, - el ) (e3__-=-~ z-el

+e

1

=

_

Ce _ e ) 2

1

(1 _ ee -eel.. ~.z-e, =C,) + e . L2

2

l

Durch Eintragung dieses Ausdruckes von W(z, el) in das eben angegebene Integral und Division mit Ve2 -=-e~ ergibt sich:

J'(l -

es

e.

-=- el . e: - Cl.) d(~b Ve2 _ el) =-_~ el

,,-

.

Ve 2 --e,

el

(s + e u+ -V4~"- ~ eZ-g8). 2

~ (z

l )

Transformieren wir nun das links stehende Integral auf Grund von (7), (8) und (9) auf die der zweiten Stufe zugrunde liegende Variabele z', so folgt:

(11)

f -

.(l-i.z')dz' V4z'(I-z')(I-i,z')

=_:c_~=•• (s+eQtt+r4Za-g,Z-g3). Ve,-e l

2(z-el )

"

Das links gewonnene Integral ist das Normalintegral ztceiter Gattung ßweiter Stufe, welches wir einführen wollen; wir nehmen für dasselbe die frühere Bezeichnung Z wieder auf und haben also unter Fortlas~mng des oberen Index bei z' folgende Erklärung des Integrals Z:

(12)

Z = '-

f'-Vi;(1"":

(1 - i,z)dz

z)(l- i,-';) =

fV 14z(i=--

i,Z-z)

dß,

dessen Zusammenhang mit dem Integral erster Stufe S durch (11) angegeben ist. Das in (5) S. 153 angegebene Normalintegral dritter Gattung erster Stufe, welches unbestimmt geschrieben:

j '(z-t)V4z"--.-g.z-ga f z-t dz

du

lautet, war unter der Voraussetzung gebildet, daß t endlich und von den ek verschieden war. Diese Voraussetzung, an der wir fest halten, hat zur Folge, daß die beiden logarithmischen Unstetigkeitspunkte in der zweiblättrigen Riemannschen Fläche gerade übereinander liegen, nämlich an den beiden durch z = t gegebenen Stellen. Beim Übergang zur zweiten Stufe auf Grund der Transformationen (7) hat man zu setzen: IX =

e, - el ------t -eI'

364" II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale

so daß in der transformierten Riemannschen Fläche die Unstetigkeitspunkte bei :/ = Cl übereinander liegen. Durch Multiplikation mit d(u

Ve2 - e;),

(13)·

r

Integration und eine einfache Umformung ergibt sich: dz'

J(z'-a)V4z'(1-Z')(i-xz')

=

~-=~ (u

-

Ve2-~\

+ (t -

e 1

)J

du ) .

z-t

Dieses Integml bezeichnen wir als Normalintegral dritter Gattung zweiter Stufe; dasselbe möge entsprechend der früheren Bezeichnung wieder durch das Symbol II gekennzeichnet werden, so daß wir bei Fortlassung des oberen Index an z': (14)

II

=

J'(z-=

dz

a)

V4 Z (1-c-.-:..ccczc-:)-=CI.c-_-c·=J.C-Cz)

zu schreiben haben. Den sechs verschiedenen Gestalten des Doppelverhältnisses l entsprechen sechs verschiedene Arten, die Integrale der zweiten Stufe herzustellen, wie schon wiederholt hervorgehoben wurde. Wir gelangen zu allen sechs Gestalten, wenn wir in den Transformationsformeln (3) ff. die oberen Indizes der e(kl permutieren. Mit Rücksicht auf die Invarianz von l gegenüber den Substitutionen der Vierergruppe G4J deren Substitutionen übrigens, beiläufig bemerkt, in der Variabeln z der zweiten Stufe die einfache Gestalt: , , 1 , Xz -- 1 , z-1 Z =---fJ = Z, Z =;:z, Z =;'z=1' J.z-J. annehmen, gelangen wir bereits zu allen sechs gleichberechtigten Gestalten, wenn wir in (7) und (8) die sechs Permutationen der unteren Indizes an den e1 , e2 , es vornehmen. Die sechs gleichberechtigten Variabeln z hängen dabei (ebenso wie die sechs Werte l) linear zusammen; ttnd wir gelangen, wie man aus (7) und (8) leicht berechnet, zn folgenden sechs, den links angeschriebenen Permutationen entsprechenden Transformationen: eu e2 , e3 ; z' = z, l' = l, , l' =!. el l es, e2 ; z = }'z,

(15)

J. '

,

z

e2 , eu es;

z = :Z--=--i'

},' =

1 -l,

e2 , e3 , el

z =··z-l ,

) '--

.

-1--i'

.1.'=

A-- I. J.

;

(1- J.)z

,

es, eu e2 ;

Z

e3 , e21 el;

z

,

), z

= IZ-=-l' -

(1- J.)z l-AZ

,

1

,

l' = --"-1.-1'

die eine Gruppe G6 linearer Substitntionenpaare bilden.

Zusammenhang der sechs gleichberechtigten Integrale zweiter Stufe

365

Will man die sechs Gestalten des Integrals w miteinander in. Beziehung setzen, so ist zunächst zu beachten, daß der unteren Grenze <Xl des Integrals erster Stufe u bei allen sechs Integralen w die untere Grenze z' = 0 entspricht. Da nun bei den Substitutionen (15) der Wert z = 0 immer auch z' = 0 liefert, so werden die sechs Integrale (mit den unteren Grenzen 0 angesetzt) zugleich verschwinden und also bis auf Faktoren, die von z unabhängig sind, gleich sein. Diese Faktoren sind zunächst nur bis auf das Vorzeichen bestimmt, da wir mit der einzelnen linearen Substitution (15) immer noch einen Austausch der Blätter der F2 und also einen Zeichenwechsel der Wurzel unter dem Integralzeichen verbinden können. Im übrigen hat man zu beachten, daß dw = du ve;-=--e~ ist, und muß das Verhalten der rechts stehenden Wurzel gegenüber den Permutationen der eu es, es feststellen. Lassen wir den Substitutionen (15) die Transformationen:

(16)

w'= w,

wyI,

~w,

iwVl - A,

wy'1 -

iwVA,

X

entsp;echen und denken dabei vI, Yl=-T irgendwie eindeutig gewählt, so würde dadurch über die Blätte1'zuordnung bei den Substitutionen (15) eine eindeutige Bes#mmung getroffen seh~. Wollen wir etwa die dritte Gestalt des Integrals w direkt aus dem Integral u herstellen, so ist in (3), (4) und (5) einzutragen: (17) e(l) = 00, e(2) = el , e(S) = es, e(4) = es, was folgende Transformation ergibt:

(18)

Z

,

e, - e2

=

1_z,=z_-e,

----

z - e2

z -- e2 '

'

(19) Die Form

f.,

homogen und unimodular transformiert, liefert:

fz =

z{ (z; - zI) CL' z{ wobei für L' und M' gilt:

L' = - A' lJi',

+ lJl' z~) z~,

M' = 4(el

-

e2 ),

A' 1m Sinne von (19) gebraucht. Für die Wurzel

-e;

vT.

Yi

ist zu setzen:

= i Ve s y' 4z~ (z~ - z;) (z~ - A' zn z~, so daß für die neue Gestalt des Integrals erster Gattung zweiter Stufe sich ergibt: (z', dz') . ,r---dz) w - - J y'4z{ (z; -_ z;')(zr-tz;J Z; = - z y es - el • - y'f;

!'(Z,

,- . r

= iuy'e2

-

e; = iw,

womit die unter (16) an dritter Stelle stehende Transformation w' wieder gewonnen ist.

=

iw

366 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale

Auch beim Integral zweiter Gattung zweiter Stufe:

Z

=}(1 -

AZ) dw

wollen wir noch die Wirkung der weiterhin besonders wichtigen dritten Transformation (15) feststellen. Wir setzen, z', A' und w' im Sinne dieser. Transformation gebraucht, an:

Z'

=

J(1

-

A") Z d' w

=

'fl -

- - /'Z -

1,.

l-z

dW.

Nun zeigt man sehr leicht durch Differentiation die Richtigkeit der Gleichung:

Multipliziert man diese Gleichung mit i und zieht sie alsdann von der voraufgehenden Gleichung ab, so folgt:

j(l- A'z')dw' -iw - i r~(~-=~.:2

=

-if(l- Az)dw.

Die dritte Gestalt Z' des Integrals zweiter Gattung zweiter St-ufe hängt demnach mit der ersten Z wie folgt zusammen: Z '. = - 1 , .'Z

(20)

-

+.1,.W +. 1,.

r

z

-(1 -- -J.z) -.

l-z

Zu demselben Ergebnis müssen wir gelangen, falls wir die fragliche dritte Gestalt von Z sogleich vom Normalintegrale ~ aus mitte1st der Transformation (18) herstellen. An Stelle der Gleichung (11) tritt alsdann unter Austausch von e1 und e2 die folgende Gleichung für Z':

(21) Z' =

f(l-

,1,' z')

dw' =

:----~= (~+ c1u

~';e y ~2 -e 1

+V4z8(zo- ~zo - g8), 2

e~)

wo rechter Hand zur Vermeidung von Verwechslungen die der ersten Stufe zugrunde liegende Variabele Zo genannt ist. Der Pol dieses Integrales entspricht der Stelle e2 der ursprünglichen Riemannschen Fläche. Die in die Gestalt: _ iZ =

-

i ((1 - AZ) dw

JI

=

;--!_- (~+ e2 u

~Ve2-el

+V4Z~~(zo - JL~o - 9.!!.) e, )

umgeschriebene Gleichung (11) führt, mit (21) kombiniert, leicht zur Beziehung (20) zurück.

§ 6. Die Legendreschen Normalintegmle. Die bei Leg end I' e und im Anschluß an ihn bei Ja c 0 b i vorliegende Normalgestalt des Integrals erster Gattung stimmt äußerlich genommen, mit dem Integral vierter Stufe überein. Wie indessen bereits

Die Legendreschen Integrale der drei Gattungen

367

oben (S. 360) hervorgehoben wurde und im nächsten Kapitel näher darzulegen ist, würde man die bei Ja co bi vorliegenden Entwicklungen nicht in richtiger Weise an die Theorie der elliptischen Funktionen erster Stufe anschließen, wenn man das Integral vierter Stufe tatsächlich als das Legendresche Normalintegral auffassen würde. Die Einführung der Legendreschen Integrale hat vielmehr in folgender Weise zu geschehen: Die Normalintegrale der zweiten Stufe w, Z tf-nd II, die wir etwa in ihren Gestalten (10), (12) w~d (14) § 5 gegeben denken~ gehen durch die quadratische Transformation: (1)

in die bei Legendre und Jacobi zugrunde liegenden Integrale über:

j 'V(1 z =f II f (I'=0lI

w

(2)

dz'

=

.....................

z") (1 - J.z") ,

(l-h") dz' V(l -- z") (1 - J.z")

=

=

fV~ -lz.'!. dz' 1-

z"

,

dz' (1 _---;c~2) li- - J. z' ') •

Für Yl, eine Größe, die wir unten als Modulfunktion vierter Stufeeindeutig erklären, wollen wir die Jacobische Bezeichnung keinführen. Es ist dies die Größe, welche in der älteren Theorie, d. h. bei den elliptischen Funktionen zweiter Stufe, an Stelle aerGrößeJ der ersten Stufe tritt; sie trägt entsprechend den Namen "Modul" oder genauer "Legendresehet·" oder "Jacobischer Integralmodul", was allerdings insofern unserem bisherigen Brauche widerspricht, als wir den Periodenquotienten ()J als "Modul" bezeichneten, die algebraischen Invarianten jedoch als Funktionen dieses Moduls ()J auffaßten. Setzen wir übrigens noch ~ = ß und lassen bei z' den oberen Index fort, so nehmen unsere Normalintegrale die Gestalt an:

(3)

I:=f:~~~~~·.-)~;::~~.fVl, Il

=

r--.--~-. ~~.-==--==. (z' - (3') V(l k'

J

ZO) (1 -

';:- as,

ZO)

Wir sind hiermit in der Tat zu elliptischen Integralen gelangt, bei denen die für das Normalintegral vierter Stufe charakteristische Gestalt der Verzweigungs form vorliegt. Nur gehören diese Integrale überhaupt nicht mehr als solche zu unserem durch die ursprüngliche Fläche F2 festgelegten algebraischen Gebilde des Geschlechtes 1, vielmeh1' zu einem netten Ge-

368II, 1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale bilde, welches aus jenem durch Zusatz der aus (1) hervorgehenden Funktion z' = entsteht. Die hierbei in Betracht kommenden algebraischen Entwicklungen sollen zunächst etwas weiter verfolgt werden; eine allseitig!'l und durchsichtige Darlegung der Verhältnisse gewinnen wir erst von der transzendenten Seite aus im nächsten Kapitel. Indem wir z wieder als Variabele der Integrale zweiter Stufe benutzen, wollen wir das Feld F der beiden algebraischen Funktionen Vz(l - z) (1 - AZ), V; oder, was auf dasselbe hinauskommt, des Funktionenpaares V(l - z) (1 - Aß), Vi über der ß-Ebene konstruieren. Das Feld F ist über der z-Ebene nur an den vier Stellen z = 0, 1, A- 1, 00 verzweigt. Dabei ändert ein einmaliger Umlauf um eine der Stellen und 00 die Funktion Vi im Zeichen, während V(l - z) (1 - Aß) un-verändert bleibt; ebenso ändert ein einmaliger Umlauf um eine der :Stellen 1 und A-1 die Funktion V~i=-z)ll=lz) im Vorzeichen bei unveränderter Wurzel Vi. Somit ist an jeder der vier Stellen 0, 1, A-1 00 jedes einzelne Blatt des Feldes F mit einem zweiten Blatte durch einen zweiblättrigen Verzweigungspunkt verbunden, und vor allem ist F den

Vz

°

vier Zeichenkombinationen bei ± V(l - z) (1 - Aß), ± Vi entsprechend eine zusammenhängende vierblättrige Fläche F4, übel' der z-Ebene. Wie diese F.1 aus der ursprünglichen F2 durch doppelte Überlagerung ,herstell bar ist, werden wir unten in sehr einfacher Weise darlegen. Einstweilen genügt es festgestellt zu haben, daß das Feld des Funk,tionenpaat'es VC1 - z) (1 - AZ), Vi über der z-Ebene eine vierblättrige Fläche F4 mit acht, zu je zwei an den vier Stellen 0, 1, }. - 1, 00 liegenden, zweiblättrigen Verzweigltngsptmld;en ist, deren Geschlecht p sich somit nach .der Regel (4) S. 88 wieder zn 1 berechnet. Auf dieser F4 des Geschlechtes 1 ist nun z' = Vi eine "zweiwertige" Funktion, welche demnach geeignet ist, die F4, erneut auf eine zweiblättrige Fläche F~ abzubilden. Zum Unterschiede von der ursprüng~lichen F2 wollen wir für die eben erhaltene zwei blättrige Fläche des 'Geschlechtes 1 die Bezeichnung F~ zunächst beibehalten, lassen hingegen den Index an der Variabeln z' entsprechend der Schreibweise ,(3) der Integrale dieser F~ fort. Auf der F~ ist alsdann die Funktion (1 - z2)(1 - AZ2) = Z2) (1 - Je2 Z2) eindeutig, so daß die vier Verzweigungspunkte, welche die F~ als eine Fläche des Geschlechtes 1 besitzt, bei Z = ± 1 und z = ± Je-I gelegen sind. Vor allem haben wir das Ergebnis gewonnen: Die Legend1'eschen Normalintegrale, als solche .der ursprünglichen Fläche F2 gedacht, sind die Normalintegrale vierter Btttfe (Abelschen Normalintegrale) der eben gewonnenen Fläche F~ des ,Geschlechtes 1.

,y

vU -

369

Legendres Bezeichnungen der Integrale

Schreiben wir, um die Integrale (3) äußerlich mit den Integralen vierter Stufe in Übereinstimmung zu bringen,

p,~ = k = VI, so muß zwischen dieser Größe p,i und dem geeignet gewählten Doppelverhältnis Al der vier Verzweigungspunkte der F~ dieselbe Relation bestehen, welche wir unter (10) S. 358 zwischen p,2 und 1. aufstellten. Setzen wir aber, um die früheren Bezeichnungen der Verzweigungspunkte für die F~ zu gebrauchen:

e(1)

=

1, erZ)

=

1,

-

e(S) =

k-\

er!)

1. __ 1 -

(e(1)_e(2)) (e(3)_e(!))

(e(l) _

e(S)) (e(!) _

k-\

_____

so ergibt sich:

=

-

-_~_~=~ (1 _ k- l )2 -

e(2)) -

__

~-'/J (/Li - 1)2'

womit die Relation (10) S. 358 in der Tat wieder gewonnen ist. Übrigens ist zu bemerken, daß weder Z noch II auf der F~ ein Elementarintegral im Sinne von S.144 ff. darstellt. Es hat nämlich auf dieser Fläche Z zwei beiz = 00 übereinander liegende Pole erster Ordnung, und II besitzt vier logarithmische Unstetigkeitspunkte, die zu je zwei bei z = ± ß übereinander liegen. Beiläufig erwähnen wir noch Legendres eigene Bezeichnungen für die drei Integrale (3) 1):

J--== ~--;--V1- c' 'E

F (c, q;)

=

d

sm 2 cp

o

,

f Vl-cZsin2q;dq;, ffJ

(4)

E(c, q;)

=

o

II(n, c, q;)

=

j~ o

(1

dcp

+ n sin' cp) Vl -

_

c' sin' cp

.

Legendres ursprüngliche Bezeichnung des Moduls ist also c statt des späteren kj überdies ist q; = arc sin z als unabhängige Variabele gedacht, und die Integrale sind mit bestimmten Grenzen versehen. Endlich entsteht das Integral dritter Gattung aus dem Integrale (3) erst durch Behaften mit dem Faktor - ß2, und es ist statt - ß- 2 die Bezeichnung n gebraucht. Für Yl-c2 sin 2 q; bedient sich Legendre der Abkürzung:

(5)

VI - c2 sin 2 q;

=

Li(c, q;).

Die Bezeichnungen Legendres haben die Wahl der Jacobischen Benennungen wesentlich beeinflußt. 1) S. dessen "Traite des fonctions elliptiques". (Paris 1825), Bd. 1 S. Uff. Fricke: Elliptische Funktionen. Bd.l

24

370 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale Die Perioden der Integrale der bei den ersten Gattungen treten bei Leg end I' e zuerst in der Gestalt der sogenannten "vollständigen Integmle" auf. Um dieselben zu erklären und mit unseren Perioden (iJll (iJ2 von u und 'rJ11 'rJ2' von ~ in die richtige Beziehung zu setzen, ist es unerläßlich, für die Wurzeln unter den Integralzeichen genaue Zeichendiskussionen anzustellen und also die beiden Blätter der Riemannschen Fläche F2 deutlich auseinanderzuhalten. Wir knüpfen im übrigen die Betrachtung an die Integrale der zweiten Stufe (von denen aus die Legendreschen hernach leicht wieder erreicht werden) und bedienen uns der von J aco bi eingeführten, sehr verbreiteten Bezeichnungen. In Fig.38, S.l71, haben wir ein Bild der ursprünglichen zweiblättrigen Riemannschen Fläche, in welcher die VerzweigungsschniUe 8 1, 8 2, 8s von den Punkten ell e2, es aus zum vierten Verzweigungspunkte 00 laufen. Zufolge der damaligen Entwicklungen gilt für die Perioden von u:

z=

C()

wo die Bahn des ersten Integrales das linke Ufer von 82 im oberen Blatte, die Bahn des zweiten das rechte Ufer von 81 im oberen Blatte in den durch die Integralgrenzen angegebenen Richtungen ist. Zwei entsprechende Gleichungen gelten für die Periodenhälften t 'rJ2' - t t)1' wenn wir nur u durch [; ersetzen. Aus t (iJ2 und t (iJl gehen die entsprechenden Periodenhälften des in (10) S. 362 gegebenen Integrals zweiter Stufe w durch Multiplikation ~ hervor. Man bezeichnet diese Periodenhälften von w mit mit Kund iK': (6) t (iJ2 2 - e~ = K, t (iJl Ve2-=-e~ = iK'.

Vc;--

Ve

Um diese Größen direkt am Integral zweiter Stufe zu erklären, müssen wir die ursprüngliche Riemannsche Fläche mittels der Substitution (7) S. 361 transformieren. Die neue F2' deren Variabele wir sogleich wieder z nennen, ist in 82 Z~<:Z::; Fig.69 dargestellt. Die z-o (00) Z=l (e ) Verzweigungspunkte 2 Fig.69. liegen jetzt bei z = 0, 1, 00, A-1; in Klammern ist angedeutet, wie dieselben den Verzweigungspunkten der ursprünglichen Fläche zugeordnet sind. Die Verzweigungsschnitte 8 1 und 8 2 sind gerade gerichtet und verlaufen also längs der reellen z-Achse.

Übergang von den Perioden zu den vollständigen Integralen Legendres

371

Aus der Erklärung der Periodenhälften durch die obengenannten bestimmten Integrale ergibt sich nun zunächst: 1

t W2 ye2 ~e~ =

K

= j'J/4Z

(l_d;) (1- }.,z)'

r J V4Z

dz (l=-=Z)=(=l=-=-=)'=Z) '

o

00

- t

,/~~W 1 V e2 e1 = -

iK' =

o

wo das erste Integral am linken Ufer von 8 2 im oberen Blatte, das zweite am rechten Ufer von 8 1 im gleichen Blatte zu führen ist. Die auf der F2 eindeutige Funktion 4,0'(1 - ,0') (l-=-lz)- soll dadurch bestimmt werden, daß wir 4 z längs der Bahn des ersten Integrales reell und positiv wählen und für y(1 - ,0') (1 -1,0') an der unteren Integralgrenze ,0' = 0

y

y

+

y

den Wert 1 vorschreiben. Dann ist im zweiten Integrale 4,0' negativ imaginär und YC1-z)(1-,1,z) an dessen unterer Grenze wieder gleich +1. Wir wollen nun das zweite Integral mitte1st der dritten Substitution (15) S. 364 auf die entsprechende gleichberechtigte Gestalt überführen. Hierbei gilt jedenfalls: _ dz' _ = + i dz , J/4z' (1 - Z')(l -

).' z')

J/4z(1 - z) (1 - ).z)

und die Grenzen werden ,0" = 0 und ,0" = 1. Treffen wir demnach die Bestimmung, daß längs der neuen Integrationsbahn V4,0" wieder reell und positiv ist und VCr-=- ,0")(1 -,1,' ,0") an der unteren Grenze ,0" = 0 den Wert + 1 hat, so ist mit Rücksicht darauf, daß das in der letzten Gleichung rechts stehende Differential dz längs der für K' geltenden Integrationsbahn reell und negativ ist, in jener Gleichung das obere Zeichen zu wählen, so daß: dz

.

~-~~-

J/4z(1- z)(l- }.,z)

=-~

dz'

.-

"jI4Z'(l- z')(l-- }.,'z')

zu gelten hat. Hieraus ergibt sich aber, wenn wir gleich wieder den Index bei der Integrationsvariabelen ,0" fortlassen:

K'-jJ/4Z(1 1

o

dz Z)(l-}.,' z)'

emB Gleichung, die .derjenigen für K gen au entspricht. Bei Übergang zu den Legendreschen Integralen mitte1st der bekannten quadratischen Transformation führen wir statt }. wieder die Jacobische Bezeichnung k 2 ein. Zugleich schreiben wir: ,1,' = 1 - ,1, = 1 - k 2 = k'2 24*

372 II,1. Die Normalgestalten zweiter und vierter Stufe der elliptischen Integrale

und haben damit die Größe:

(7)

k ' = -V1 - k 2 gewonnen, welche in der älteren Theorie als der "komplementäre lntegralmodul" bezeichnet wird. Die beiden in (6) eingeführten Größen K und E', d. h. die eine Periodenhälfte des Integrals zweiter Stufe wund die durch i geteilte zweite Periodenhälfte, können mittelst der Legendreschen Integt·ale erklärt werden durch:

-f

77 .L.l.

o

f' 1

1

(8)

E' -

dz .. I Y(l- z2)(1 ~ k 2(2)

-.

dz Y(l- Z')(=l=_=;k:=;:,·ii=z=.iC·)'

o

mit der Bestimmung, daß die Wurzeln an der unteren Grenze z = 0 der geradlinigen Integrationsbahn übereinstimmend gleich + 1 sein sollen. Schreiben wir nach Le gendre:

z = sin 'PI so können wir die Gleichungen (8) auch in die Gestalt kleiden: 1t

K'

(9)

=

f

2" d

o

Dies aber sind die sogenannten "vollständigen Integrale" Legendres. Entsprechend gestalten sich die älteren Bezeichnungen betreffend die Perioden des Integrals zweiter Gattung. Das in (12) S. 363 gegebene Integral, am linken Ufer von S2 im oberen Blatte der F2 von z = 0 bis z = 1 erstreckt, liefert die der Größe K entsprechende mit E bezeichnete Halbperiode:

E

(10)

-f 1

-

o

(1 - i.z) d z

JI4Z(1- z) (1 -I.z)

.

Die Gleichung (11) S.363 ergibt sofort: E

=

e OJ Ye. -1~"-= e (t112 + t 2 2), 1

woraus WIr mit Benutzung der ersten Gleichung (6) folgern: (11)

1)2 =

, j------

2 JI es - el E -

2e K

Ye

2

2 -

e1

•

Die K ' entsprechende Größe E' gewinnen wir, wenn wir das Integral (21) S. 366 unter Festhaltung der bisherigen Bestimmungen über -Vz' (1 - z ') (1 - A' z ') geradlinig von z' = 0 bis z = 1 ausführen: (12)

E' =

f o

I

1

(l-l.'z)dz

YZ(l-z)(l=T~·

Die ursprüngliche Gestalt der Legendl'eschen Relation

373

Die Integrationsbahn entspricht derjenigen von Obis 00 am rechten Ufer des Schnittes Si im oberen Blatte der in Fig. 69, S. 370, dargestellten F2' welche für ~ nnd u die Periodenhälften - t'l)1 nnd - t ro1 liefert. Die genannte Gleichung (21) S. 366 1) ergibt somit: E'

.-~= (- {'I)1 - tel (lJ1),

=

~-Ve2 -el

woraus weiter mit Benutzung der zweiten Gleichung (6): (

13)

"71

=

2iel K'

,

.,j---- e1

E - ~J---=

2~r e2

-

r ei

el

-

gewonnen wird. Die beiden Größen E und E' stellen sich mittelst der Legendreschen Integrale in der Gestalt:

J,JI/11

(14)

E

=

1

o

=[, /1 - k"~ dz • JI z' 1

k 2 z2

~ z' dz,

E'

1-

o

dar, wo die Integrale längs der reellen Achse von z = Obis z = 1 zu führen sind und die Wurzeln an der unteren Grenze übereinstimmend den Wert + 1 haben sollen. Führen wir wieder die Bezeichnungen cp und Li ein, so entstehen Legendres "vollständige Integrale" der zweiten 7t 7t Gattung: 2

(15)

2

E' =.{Li(k', cp)dcp.

E =.{Li(k, cp)dcp,

o

o

Für das Normalintegral (12) S.363 zweiter Gattung ist nur erst E eine Periodenhälfte, wogegen E' eine Periodenhälfte des in (21) S. 366 gegebenen Integrales Z' ist. Die auf die Gestalt: Z

=

'Z' - ' , +

~

~w

Vi

(l -':Xz) ___ _

1-z

umgerechnete Gleichung (20) S. 366 liefert jedoch als zweite Periodenhälfte für Z sofort i(E' - K'). Die Folge dieses Umstandes ist, daß die I,Legendresche Relation" (6) S. 160, auf K, K', E und E' umgerechnet eine etwas kompliziertere Gestalt annimmt. Berechnen wir aus (6):

(lJ

= 2

2K

- -------

Ye.-e

und benutzen die Ausdrücke (11) und (13) von sich die Relation (6) S. 160 um auf: (16) KE' + K'E - KK' =~.

1

'I')~

und

'1')11

so rechnet

1) Die daselbilt benutzte, der dritten Substitution (15) S. 364 entsprechende Transformation dw' = i· dw hat zwischendurch ihre nähere Begründung gewonnen.

374

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

Dies ist aber in der Tat, in J aco bis Bezeichnungen geschrieben, die ursprünglich von Legendre angegebene Relation. 1)

1) S. den "Trait6 des fonctions elliptiques", Bd. 1 S. 62 ff.

374

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

Zweites Kapitel.

Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe, Nach den algebraischen Vorbereitungen des vorigen Kapitels sind wir nunmehr imstande, das von Klei n 2) aufgestellte "Prinzip der Stufenteilung" zu formulieren, welches uns gestatten wird, die Entwicklungen der älteren Theorie der elliptischen Funktionen in ihrem Verhältnis zur Weierstraßschen Theorie in einfachster Weise zu erfassen. Wir behandeln im vorliegenden Kapitel zunächst die Funktionen der zweiten Stufe ak solche von u, W ll W 2 ; weitere Ausführungen über die Modulfunktionen zweiter Stufe folgen im nächsten Kapitel.

§ 1. Das Prinzip der Stufenteilung und der Begriff der elliptischen Funktion n ter Stufe. Die S. 319 symbolisch durch r cu, w) bezeichnete Gruppe aller Substitutionen der drei Variabelen u, tt'

=

w;

=

(jJ~

=

u

W1, W2:

+ ml'wI + m2 w2 , ami + ßro 21 rill1

+ d'co

2,

unter ml l m2 beliebige ganze Zahlen und unter IX, ß, 'Y, 0 irgendwelche vier ganze Zahlen der Determinante 1 verstanden, hatten wir S. 318 ff. dem Begriff der doppeltperiodischen oder elliptischen Funktionen erster Stufe zugrunde gelegt. Dieselben waren eindeutige homogene analytische Funktionen von ~l, WlI W 21 welche gegenüber den Substitutionen der rCu,w) entweder invariant oder doch in charakteristischer Weise kovariant waren. Die Erweiterung dieses Funktionsbegriffes soll nun darauf beruhen, daß wir neben der Gesamtgruppe rcu , w) auch gewisse gleich näher zu bezeichnende Untergruppen der pu, rv) zulassen und dann auch solche Funktionen in Betracht ziehen wollen, welche zwar im übrigen den Oharakter der Funktionen erster Stufe besitzen, jedoch erst gegenüber den Substitutimwn jener Untergruppen die Eigenschaften der Invarianz bzw. Kovarianz besitzen. Die Untergruppen, um die es sich für uns handeln soll, sind aber folgendermaßen zu erklären: Ist nirgendeine positive ganze Zahl, so 2) S. die Nachweise S. 117.

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_8 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

375

Begriff der Hauptkongruenzgruppe n t •• Stufe

baden alle diejenigen Substitutionen von gruenzen l ) befriedigen:

(1)

ml=Ü,

rC u , w),

1X=~=1,

m 2 -Ü,

deren Koeffizienten die Kon-

ß-Y-Ü

(mod.n),

eine Untergr~tppe der r cu , w), 'Welche 'Wir mi.t Klein als die "Hauptkongruenzgruppe der n ten Stufeil bezeichnen. Man wird in der Tat leicht bestätigen, daß zwei die Kongruenzen (1) befriedigende Substitutionen, miteinander kombiniert, stets wieder eine den Bedingungen (1) genügende Substitution liefern. Die Bezeichnung "Hauptkongruenzgruppe" n ter Stufe deutet an, daß neben ihr durch Kongruenzen modulo n noch andere Untergruppen erklärbar sind; wir werden dies im Falle n = 2 unten weiter auszuführen haben. Die eben eingeführte Benennung kann man auch auf die Gruppe r
=

u

+ m! + m Wl

2

W2

gebildet, bei denen die ganzen Zahlen ml1 m2 die beiden ersten Kongruenzen (1) befriedigen. Innerhalb der homogenen Modulgruppe rCw) liefern alle Substitutionen: w~

=

Ci:

W1

+ ßW

2,

w; = Y Wl

+ 0' W

2,

deren ganzzahlige Koeffizienten die vier letzten Kongruenzell (1) e.rfüllen, die "Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe". Die so benannte Untergruppe der pu,w) entsteht dann einfach, indem wir jede Substitution der einen der eben genannten zwei besonderen Hauptkongruenzgruppen mit jeder der anderen zu einer ternären Substitution kombinieren. Einen Diskontinuitätsbereich der in der rC u ) enthaltenen Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe können wir in einer ersten Gestalt sofort angeben, da diese Untergruppe aus allen Substitutionen: tt' = u

+ m~ . (nw + m; . (nw

m;

1)

2)

besteht; in denen jetzt m~, wieder beliebige ganze Zahlen sind. Ein Diskontinuitätsbm'eich der fraglichen Untergruppe wird also z. B. durch ein Parallelogramm der Ecken tf = 0, nw 2 , nw! nw 2 , nW 1 geliefert, 'Welches, wie man sofort überblickt, aus n 2 Parallelogrammen des zur rC u ) gehörenden Netzes zusammengesetzt werden kann. Wir wollen die Anzahl n 2 diesel' Parallelogramme als unteren Index dem Symbol r anhängen und also die Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe innerhalb der rCu) durch das Symbol r;:~) bezeichnen. Die durch Kongruenzen modulo n innerhalb der Modulgruppe rCm) erklärbaren Untergruppen sind

+

1) S. über den Begriff der Kongmenz S. 281.

376

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

in dem Werke "Modulfullktionell" Bd. 1, S. 387 ff. sehr ausführlich betrachtet. Der Diskontilluitätsbereich der Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe in der w-Halbebene setzt sich aus einer a. a. O. S. 397 unter (7) angegebenen endlichen Anzahl von Doppeldreiecken des zur r(w) gehörenden Dreiecksnetzes (vgl. Fig. 61, S.291) zusammen. Erst mittelst dieser Diskontinuitätsbereiche kann man den Begriff der "elliptischen Funktionen der n ten Stufe" genauer umgrenzen. Eine "elliptische Funktion nter Stufe" soll eine eindeutige homogene Funktion t/J (u I w1 , ( 2) ganzzahliger Dimension d der drei Argumente u, w l , W 2 sein, die gegenüber den Substitutionen der Hauptkongrttenzgruppe nter Stufe innerhalb der r(u, w) im'ariant oder in gewisser Art kovariant ist; dieselbe soll bei stehenden Werten W t , W 2 eine analytische Fnnktion von u sein, die im Diskontinuitätsbereiche der r~u"l frei von wesentlich singulären Stellen ist und also die ganze u-Ebene abgesehen von der Stelle u = 00 zum Felde hat; es soll ferner,'

bei stehendem Werte von ~ eine analytische Funktion von w sein, die co.

im Diskontinuitätsbereiche der Haupt7congruenzgrUlflpe nter Stufe innerhalb der ModuZgmppe pro) frei von wesentlich singulären Punkten ist und also die positive w-Halbebene zttm Felde hat. Einer näheren Erläuterung bedarf hierbei der Rand der positiven w-Halbebene, d. h. die reelle w-Achse, deren rationale Punkte der Halbebene zuzurechnen sind (vgl. S.295). Der Diskontinuitätsbereich der Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe ragt an solche Punkte mit einer endlichen Anzahl von Spitzen heran (s. das Netz der Dreiecke in Fig. 61, S. 291). Hier müssen allgemein entsprechende Verhältnisse vorliegen, wie wir sie bei den Funktionen erster Stufe in der an den Punkt w = 00 heranragenden Spitze des Diskontinuitätsbereiches der Gesamtgruppe r(ro) antrafen. Der an einen rationalen reellen Punkt w heranragende Zipfel des Diskontinuitätsbereiches der Untergruppe wird durch eine geeignete Exponentialfunktion (vgl. die S. 299ft'. viel gebrauchte Funktion q2 = e2JtiW ) auf die schlichte Umgebung eines Punktes abgebildet; in diesem Punkte muß dann eben die elliptische Funktion n ter Stufe, genau wie dies für n = 1 im Nullpunkte der q2-Ebene der Fall war, ihren analytischen Charakter bewahren oder doch nur einen Pol aufweisen. Wiihrend nun der allgemeine Fall der n ten Stufe zu denjenigen Entwicklungen hinführen würde, welche in der älteren Theorie der elliptischen Funktionen bei der Multiplikation, Division und Transformation n ten Grades der elliptischen Funktionen sich ergeben haben, fin-

Begriff der elliptischen Funktion n'er Stufe

377

den wir für n = 2 nicht nur den Spezialfall der Multiplikation usw. zweiten Grades, sondern wir gelangen, indem wir den Fall der zweiten Stufe systematisch entwickeln, gerade genau zu der vornehmlich durch J ac 0 bi in feste Formen gefügten älteren Theorie der elliptischen Funktionen. Es soll dies in der Anordnung entwickelt werden, daß wir zunächst die Abhängigkeit der Funktionen von u bei stehenden m17 m2 betrachten, also die "doppeltperiodischen Funktionen zweiter Stufe" untersuchen. Hieran soll sich im nächsten Kapitel die Besprechung der "Modulfunktionen zweiter Stufe" anschließen. l )

§ 2. Die Kongruenzgruppen zweiter Stufe in der

r(u).

Die Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe ri ist nicht die einzige Untergruppe der r(u), welche wir durch Kongruenzen modulo 2 angeben können. Um die gesamten "Kongruenzgruppen zweiter Stufe" aufzustellen, bemerken wir, daß es im ganzen vier mod. 2 inkongruente Typen von Substitutionen der r(u) gibt, entsprechend den folgenden vier für die ganzzahligen Koeffizienten 1nll 111 2 gültigen Kongruenzen: u)

=

(2) (mv m2 ) (0, 0), (1,0), (0,1), (1,1) (mod.2).2) Nehmen wir die bereits S. 229 ff. benutzte Bezeichnung 8 für die Substitutionen der pu) wieder auf, so können wir vier spezielle diesen Kongruenzen genügende Substitutionen in den Gestalten:

8l (u)=u+m u S2(u)=u+m 2 , 8s (tt)=u-ml -m2 auswählen. Die riu ) besteht aus den gesamten die erste Kongruenz (2) erfüllenden Substitutionen. Kombinieren wir die Substitutionen der riu ) mit 8 11 so erhalten wir das symbolisch durch 8 1 • riu) zu bezeichnende System aller Substitutionen der r(u), welche die zweite Kongruenz (2) erfüllen. Entsprechend finden wir für die dritte und vierte Kongruenz (2) die symbolisch durch 8 2 • riu), 8 3 • riu ) zu bezeichnenden Substitutionssysteme. Die Gesamtgruppe r(u) ergibt sich durch Zusammenfassung dieser einzelnen Systeme: pu) = riu ) + 8 1 • riu ) + 8 2 • P4u ) + 8s . riu).

8 o(u)=u,

Wir denken uns die Substitutionen der chend in 4 Zeilen angeordnet ..

pu)

dieser Zerlegung entspre-

1) Betreffs der älteren Geschichte der Modulfunktionen verweisen wir auf das Referat II B 4 (Automorphe Funktionen und Modulfunktionen) in der "Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften", Nr. 2. 2) Zur Abkürzung ist das Kongruenzenpaar: in den Ausdruck (mu 111.)

=

'In!

i,

.

1n2 _

k

(i, k) zusammengezogen.

(mod. n)

378

Ir, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

Man zeigt nun leicht, daß, wenn man aus zwei "bestimmten" unter diesen viel' Zeilen (die auch identisch sein dürfen) zwei "beliebige" Substitutionen herausgreift, durch deren Kombination eine Substitution einer "bestimmten" dritten Zeile entsteht. So geben zwei Substitutionen aus einer und derselben Zeile, kombiniert, stets eine Substitution der riu ), d. h.
riu) + SI . riu), ri + S2' ri"l, riu ) + S3 . ri"l, U)

welche wir znfolge (2) auch nnmittelbar durch die Kongruenzen:

=

=

=

(3) m2 0, 1n1 0, m1 1n2 (mod.2) erklären können. Da wir alsbald erkennen werden, daß sich die Diskontinuitätsbel'eiche diesel' Untergruppen je aus zwei Parallelogrammen ,des urspl'ünglichen Netzes der pu) zusammensetzen lassen, so mögen die Untergruppen symbolisch durch r~u) bezeichnet werden und, wenn wir sie voneinander unterscheiden wollen, genauer durch r~ul, I1u), r~u). Je zwei Substitutionen Si und Sk deI' r(u) sind mitei~and~r ve~­ tauschbar, Si' Sk = Sk' Si; (vgl. S. 131). Wenn wir demnach auf Grund der allgemeinen Regeln von S.128ff. eine einzelne unserer Untergruppen r(~) oder die TC'4) vermittelst irgend einer Substitution S der r(u) "transformieren", so erweist sich hierbei die tl'ansformierte Gruppe mit der ursprünglichen identisch: S. r~'). S-l = r~u), S· r~u) . S-1 = r~u). ]J![an nennt dieserhalb jede der drei Kongruenzgntppen r~u) sowie die Hauptkongruenzgmppe riu ) "inder Gesarntgntppe r Cu ) ausgezeichnet". Anders gestalten sich indessen die Verhältnisse innerhalb der ternären Gruppe rCu,w), in welcher Wlr die t'(u) als ternäre Untergruppe ,der Substitutionen:

Die Kongruenzgruppen zweiter Stufe in der Gruppe

die Modulgruppe

379

nu)

aber als ternäre Untergruppe:

r(w)

aufzufassen haben. Transformieren wir jetzt eine beliebige Substitution S (u) = u + m 1 W 1 + m2 fi)2 der r(u) vermittelst irgendeiner Substitution V der r(w), so ergibt sich als transformierte Substitution S' = V· S· 17- 1 die folgende:

tt' =

u

+ (mI d' -

r)W 1 + (-

Jfl2

Die ganzzahligen Koeffizienten den 1n1l 1n2 in der Gestalt: 1n;

=

1n I

O' - m2

1n1

ß + 1n2a)w 2, W;

m;, m~

r,

1n~

=

(1)

W;

=

W2.

von S' berechnen sich also aus

= -

1n 1

zweI Gleichungen, aus denen sich zufolge ad' -

ß + 1n2 a,

ßr = 1 umgekehrt:

ergibt. Hieraus folgt zunächst, daß zwei gerade Zahlen 1n1l 1n2 immer auch wieder gerade 1n;, m~ liefern, sowie daß ein willkürlich gewähltes Paar gerader Zahlen immer auch durch ein gewisses eben solches Paar 1n1 , m~ geliefert wird. Für die Hauptkongruenzgruppe r~u) gilt demnach bei Transformation durch irgendeine Substitution 17: 17. r~u). 17- 1 = r~u),

m;, m;

so daß die Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe r~u) auch innerhalb der ternären Gruppe r(u,w) ausgezeichnet ist. Demgegenüber werden die drei Gruppen r~u) durch die Substitutionen V ineinander transformiert. Die Art, wie dies bei der einzelnen Substitution V geschieht, richtet sich nach den Resten, welche die Koeffizienten IX, ß, r, d' bei Division durch 2 ergeben. Da Cid' - ßr = 1 ist, so muß eines der Produkte ad' und ßr gerade und eins zugleich u"ugerade sein. Ist also mindestens eine der Zahlen ß, r gerade (was drei Fälle liefert), so gilt IX -- d' 1, (mod. 2); ist mindestens eine der Zahlen IX, d' gerade (was wieder drei Fälle ergibt), so gilt ß - r 1, (mod. 2). ·Wir finden so, daß sich die Substitutionen der r(w) modulo 2 auf sechs inkongruente Typen reduzieren, welche wir symbolisch durch:

=

v.o -= (1,0, l' 0) v: =_ (1,0, 1)l' 1

V. _ 2 =

(1,0) 1, l'

17 _ 3 =

(0,1. 0' 1) V

4

_ =

(1,1, 0' 1) 175=_ (0,1, 11)

bezeichnen können; im nächsten Kapitel kommen wir hierauf ausführlich zurück. Die Substitutionen Vo des ersten Typus sind mod. 2 mit der identischen Substitution kongruent und bilden in ihrer Gesamtheit w ). die Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe in der Modulgruppe Alle diese Substitutionen transformieren jede der drei r~u) einzeln in

n

380

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

sich. Transformieren wir durch eine Substitution Vi vom zweiten Typus, so gilt für die ganzzahligen Koeffizienten 1n~, m~ von S': m~

m~-

1n 1 ,

ml

+ 1n

(mod. 2).

2,

Die drei Kongruenzen (3) ergeben somit: m~

m;,

m~

- 0,

m~

= 0,

wir finden somit als transformierte Gruppen: v,1 . r 2,C,,). V-I -- r Cu ) v,I . r 2,Cll). V-I = r Cu ) 1 2, , I 2, ,

(mod.2);

VI . r

Cu).

2,

V-I I

=

r Cu2,).

In dieser Art findet man jedem der sechs inkongruenten Typen von Substitutionen V entsprechend als eindeutig zugehörig eine der sechs Permutationen der drei r~u); auch gelangen wir dabei zu allen sechs Permutationen, d. h. keine zwei modulo 2 inkongruente Substitutionen V liefern die gleiche Permutation. Die drei Kongruenzgruppen ~u) werden dttrch die Substitutionen der rCu,,,,) stets nur wieder ineinander transformiert und erfahren dabei alle sechs Permutationen; man nennt sie deswegen innerhalb der r(u,w) "gleichberechtigt". Will man die Diskontinuitätsbereiche der in Rede stehenden Kongruenzgruppen in einer Art einführen, die der Gleichberechtigung der drei Gruppen r~u) entspricht, so knüpft man zweckmäßig für die Gesamtgruppe an das S. 167 eingeführte, der Relation:

tJ

W1

+ W 2 + Ws =

°

entsprechende Tripel reduzierter Perioden W v W 2, Ws an. Deutet man die letzteren in der u-Ebene durch drei "Vektoren", so bilden diese ein Dreieck (vgl. Fig. 70), an dem die Reduktionsbedingung da"') durch zum Ausdruck kommt, daß dasselbe spitzwinklig oder "'2 im Grenzfalle rechtwinklig ist. V on hieraus gewannen wir durch fortgesetzte Ergänzung von Dreiecken zu Parallelo"'2 grammen das die ganze endliche u-Ebene überspannende DreiFig.70. ecksnetz der Fig. 52. S. 247; und es entstand weiter das Sechsecknetz der r(u), indem wir in allen Dreiecken die Mittellote der Seiten (je bis zum Mittelpunkte des umschriebenen Kreises) zeichneten, wie Fig. 51, S. 242 darlegt. Für die Hauptkongruenzgruppe r~') haben wir jetzt einfach ein mit dem Dreieck der Fig. 70 ähnliches und ähnlich gelegenes Dreieck der doppelten Seitenlängen, d. h. ein Dreieck der drei "Vektoren" 2 W u 2 W 2 , 2 Ws zu zeichnen, welches aus vier Dreiecken des ursprünglichen Netzes aufgebaut werden kann (vgl. Fig. 71). Die Wiederholung der beschriebenen Konstruktion im Anschluß an dieses größere Dreieck führt dann zttm Sechsecknetze der r~u). Weiter zerlegt nun aber jede der drei Mittellinien das große Dreieck in zwei Teildreiecke, von denen emes

Die Diskontinuitätsbereiche der Kongruenzgruppen zweiter Stufe

381

spitzwinklig ist oder beide rechtwinklig ausfallen. Das spitzwinklige Dreieck oder ein beliebiges unter den beiden t'echtwin7cligen führt, der beschriebenen Konstruktion zugrunde gelegt, zum Sechsecknetze der zugehörigen r~u). Natürlich arten im Falle des rechtwinkligen· Dreiecks die Sechsecke in bekannter Art zu Rechtecken aus (vgl. S. 239). Beispielsweise gelangen wir zu der durch die zweite Kongruenz (3) 2"'2 erklärten r~u), wenn wir die zur Seite 2 W 2 des großen Fig.71. Dreiecks gehörende Mittellinie bevorzugen. Die drei Seiten des Teildreiecks liefern dann die Vektoren 2 W u W 2, - 2 W 1 - W 2 bzw. 2w1 + W 2 , W 2 , 2w3 , beide Male in Übereinstimmung mit der die zweite r~u) erklärenden Kongruenz (3} Die algebraischen Beziehungen zwischen der Gesamtgruppe r(u) und den Kongruenzgruppen zweiter Stufe begründet man am einfachsten in der Art, daß man an eine zweiblättrige Fläche F2 mit vier endlichen Verzweigungspunkten eCk) und auf ihr an zwei Querschnitte Q1' Q2 anknüpft, die nicht an die Verzweigungsschnitte herangezogen sind; Fig. 72 möge die Verhältnisse veranschaulichen. Die Funktion u bildet die zerschnittene Fläche auf ein (im allgemeinen nicht geradliniges) Parallelogramm ab, dessen vier Ecken uo' U l = U o + W 2 , ~t2 = U o + Wl + W 2 , /41 ~t3 = ~to + W l den vier Zipfeln der F2 entFig 72. sprechen, die im Schnittpunkte der Querschnitte Ql' Q2 zusammenstoßen. Lagern wir nun zwei solche Parallelogramme wie in Fig. 73 aneinander, so entsteht im vergrößerten Parallelogramm der Ecken UD' U o + W 2 , U o + 2 W! + W 2 , U o + 2 W l ein DiskontinuiItO+20l t +6lt tätsbereich einer der drei Gruppen r 2")' wobei die Gegenseiten des Parallelogramms durch die Erzeugenden u' = u + 2w u u' = u + W 2 aufeinander bezogen sind.!) Das Abbild dieses Diskontinuitätsbel'eiches über U,3'UOHJJ1 der 1$- Ebene, bei dessen Herstellung wir einander zugeordnete Randpunkte zu verschmelzen haben, ist nun aber leicht auch unmittelbar von der F2 der Uo Fig.73. 1) Wenn wir hier unter 0)" 0)2 irgendein Paar primitiver Perioden verstehen, ist die zum Diskontinuitätsbereiche der Fig. 73 gehörende Gruppe nicht notwendig .die r~ul, wohl aber eine unserer drei Gruppen r~u). .

.

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

382

Fig. 72 aus zu gewinnen. Wir haben die F2nurerstlängs Q2' abernichtlängs Qv zu, dttrchschneiden, zwei so vorbereitete Exemplare der F2 übereinander zu schichten und die Ufer der beiden Schnitte Q2 über Kreuz aneinander zu heften. Die entspringende F4 mit acht Verzweigungspunkten hat nach der Regel (4) S. 88 selbstverständlich wieder das Geschlecht p = 1; ihre algebraischen Funktionen liefern uns, in Abhängigkeit von tt betrachtet, die zur rhu ) gehörenden elliptischen Funktionen zweiter Stufe. Zufolge der voraufgehenden Entwicklungen können wir in der bezeichneten Art von der F2 aus zu drei verschiedenen "gleichberecht1:gten" Flächen F4 aufsteigen. Wollen wir von einer derselben, z. B. der eben beschriebenen F4 zu der der Gruppe r~u) zugehörigen Riemannschen Flächeüber der z-Ebene gelangen, so haben wir entsprechend zu verfahren. Auf der F4 schließt sich QI erst nach zweimaliger Durchlaufung (natürlich in verschiedenen Blättern der F4)' Man schneide die F4 längs dieser geschlossenen Kurve auf, lagere wieder zwei solche F4 iibereinande~' und hefte die Schnittttfer über Kreuz aneinander. So entsteht eine mit 16 Verzweigungspunkten ausgestattete F8 des Geschlechtes p = 1, welche der "ausgezeichnetenli Untergruppe riu ) entsprechend einzig ist. Die weitere algebraische Behandlung dieser Fläche bietet keine Schwierigkeit und würde uns (bei einer unter den drei F4) zu den Betrachtungen von S. 368 unmittelbar zurückführen. Indessen ist eine unmittelbare Betrachtung der elliptischen Funktionen zweiter Stufe, welche sich auf den Gebrauch der 6-Funktion aufbaut, vorzuziehen; wir werden dabei die algebraische Theorie leicht zwischendurch ergänzen können.

§ 3. Die Fuuktionen zweiter Stufe

VgJ(u) -

CI.

und 6" (u).

Nach (13) S. 217 stellen sich die drei Werte eu e2 , es, falls wl> W 2 , das S. 167 eingeführte Tripel der reduzierten Perioden bilden, m der Gestalt: W3

(1)

(k = 1, 2, 3)

+

dar. Verstehen wir unter w{ = aW I ßw 2 , w; = rWl + DW 2 ein beliebiges Paar primitiver Perioden, so ist umgekehrt WI = DW; - ßw~, W2 = rw{ aw~, und wir finden z. B. für eJ mit Rücksicht auf dieInvarianz der g;J- Funktion gegenüber den Substitutionen der r(w) als Darstellung in den w{, w~:

+

Bildung elliptischer Funktionen zweiter Stufe

383

Nehmen WIr an, daß ß gerade und also 0 ungerade ist, so folgt auf Grund der doppelten Periodizität der s"-Funktion weiter: CO; I , ,) el = SO ( -2-! 001, 002 in Übereinstimmung mit (1). Überhaupt stellt man leicht fest, daß die Gleichungen (1) in unveränderter Gestalt für die Darstellung der ek gelten, sooft 001 , 00 2 ein primitives Periodenpaar ist, welches aus dem redttzierten Paar durch eine modulo 2 mit der Identität kongnwnte Substitution der r(w) hervorgeht. Die Periode OOs ist dabei aus den 00 11 00 2 allemal durch die Relation: 00 1 + 00 2 + OOs = 0 zu berechnen. Um den nachfolgenden Entwicklungen die hinreichende Allgemeinheit zu geben und andererseits doch die Gleichungen (1) als gültig voraussetzen zu können, denken wir 0011 00 2 als ein primitives Paar bezeichneter Art gewählt. Die zugehörigen Perioden des Integrales zweiter Gattung sollen wie bisher 'tJu 'tJ2 heißen; die mit 'tJs zu bezeichnende Periode ist entsprechend der letzten Gleichung aus: 'tJl + 'tJ2 + 'tJs = 0 zu bestimmen. Jede der drei Differenzen (S,,(n) - ek ) stellt eine zweiwertige }1-'unkti on erster Stufe der Dimension - 2 in u, 0011 00 2 dar, welche einen Pol zweiter Ordnung im Punkte tt = 0 und einen Nullpunkt der gleichen Ordnung im Punkte i OOk besitzt, sowie natürlich in allen bezüglich pu) äquivalenten Punkten dasselbe Verhalten zeigt. Stellen wir diese Funktion auf Grund der Regel (6) S. 214 durch die 6-Funktion dar, so ergibt sich bei der Art ihres Unendlichwerdens für u = 0:

(2)

(

)

S"u -ek=e

'/k u

I/6 (u- ~k))2 2 \.6(~!i)6(U)

.

Hieraus geht hervor, daß auch noch nie Quadratwurzeln der drei Funktionen (S9(U) - ek ), welche wir durch: ( co k) 6(u-----, ---ö'/k u \ 2 -Vso(u)-ek=-e" .~~ 1

6 (-f)6(u)

näher festlegen wollen, eindeutige Funktionen von u sind. Wir benutzen für dieselben die Bezeichnungen: . '1f1 k

Cu I 001l

(0 2 )

=

-Vso Cu) --:e: =

;--------

VS,,(u) -

SJ (0);_)

und erkennen in ihnen homogene Funktionen ( - 1)ler Dimension der u, 001 , 002 , die bei tt = 0 übereinstimmend unendlich werden wie u -1.

384

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

Um die Darstellung dieser drei Funktionen in der 6-Funktion übersichtlich zu gestalten, führen wir mit W eierstraß die drei Funktionen:

6(U _ DJk)

{3)

6 k (u

I ())1'

())2)

=

ei'ik "

-

()2

6 DJk 2

flin, worauf sich unsere drei Funktionen l/J k einfach in der Gestalt:

(4) darstellen. Daß die Quadrate der drei Funktionen l/Jk invariant sind gegenüber den Substitutionen der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe innerhalb der Modulgruppe ['Cw), folgt aus der am Anfang des Paragraphen durchgeführten Betrachtung. Im übrigen wollen wir das Verhalten unserer Funktionen gegenüber den Substitutionen der Gruppe ['Cw) erst später ausführlicher untersuchen und betrachten dieselben einstweilen ausschließlich in ihrer Abhängigkeit von tt. Das Verhalten der Funktionen 6 k (u) bei Vermehrung von n um Perioden ergibt sich aus den Formeln (7) und (8) S.209 unter gelegentlicher Benutzung der Legendreschen Relation (6) S. 160. Wir ziehen die beiden (l-leichungen (7) S. 209 und die für 1ft1 = m2 = - 1 gebildete Formel (8) S.209 zusammen m:

6 (u

(5)

+ ()),,) =

-

'Ik (u+twk) e . 6 (tt).

Auf Grund der Erklärung (3) der Funktionen 6 k (n) folgt dann leicht als Verhalten derselben bei Vermehrung von H um Perioden:

j

+ ())k) = - e'lk(U+t"'k) 6 k Cu) , 6 k (H + ())l)= + e'IZ(U+t wl) 6 k(tt) , 6 k (U

(6)

U+k)

Für die drei Funktionen l/J k (u) ergibt sich hieraus sofort weiter:

{7)

l/Jk(u

+ ())k) =

l/Jk(n),

'l/Jk(n

+ ())l) =

-l/Jk(tt),

U+k)

Das Produkt der drei Funktionen l/Jk(H) ist somit gegenüber allen Sub;stitutionen der T(u) invariant; dies ist in Übereinstimmung mit der Tatsache, daß das mit dem Faktor - 2 multiplizierte Produkt die b9 '. Funktion darstellt:

- 2'l/J1 (n) 'l/J 2 (tt) l/J3 (n)

(8)

=

go'(u).

Aus (7) folgt als grundlegendes Resultat: Die drei Funktionen 'l/J1 (u), 'l/J 2 (n), 'l/J 3 (u) gehören als elliptische Funktionen zweiter Stufe ZH den drei durch die Kongruenzen: 1n 2

= 0,

m)

= 0,

1n1

=

1~2'

(mod.2)

Funktionssysteme für die drei Kongruenzgruppen zweiter Stufe r~u)

385

erklärten Kongrttenzgrttppen zweiter Stttfe, die wir jetzt in dieser Anordnung n~\ n~l, n~), nennen wollen; die einzelne Funktion '1f1 k (u) ist gegenüber den Substitutionen ihrer r~~) invariant, ist homogen (- l)ter Dimension in den 'Le, ()Jt, ()J2 und besitzt im Diskontinuitätsbereiche der r~~) zwei Pole und zwei Nullpunkte je von der ersten Ordnung. So ist z. B. in Fig. 74 w, (00) der Diskontinuitätsbereich der Gruppe n~) skizziert, nämlich als Parallelogramm der Ecken u = 0, 2()J2' ()J1 2()J2' ()J1' Die Pole der Funktion '1f1 1 Cu) sind durch (00), die Nullpunkte durch (0) angedeutet; äquivalente Randpunkte, z. B. die vier Ecken, gehören 0 (00) Fig. 74. natürlich zusammen und liefern den einen Pol, die beiden Randpunkte (()2 und ()J1 + ()J2 den zweiten. Man veranschauliche sich entsprechend die Verhältnisse für '1f1 2 (u) und '1f1s(u), wobei man als Diskontinuitätsbereich der r~~) etwa das Parallelogramm der Ecken 0, 2()J2' ()J1 + 3()J2' (()1 + ()J2 benutzen wolle. Sind die Indizes 1, 2, 3 in irgendeiner Reihenfolge durch k, 1, m bezeichnet, so ist z. B. aus der Relation (8) einleuchtend, daß neben Wk (u) auch die Funktion:

+

fPk(U) = '1f1 1 (u) '1f1 m Cu) = -

(9)

2~;~2)

gegenüber den Substitutionen der Gruppe n~) invariant ist. Aus der Darstellung unserer Funktionen in der go-Funktion aber geht hervor, daß '1f1k (u) und fP k (u) aneinander gebunden sind durch die Relation: fP%

=

('1f1~ -

(e j

-

ek ) ('1f1% -

(em

-

ek ) ,

in der wir der Kürze wegen die Argumente u fortgelassen haben. Für die Grttppe n~) haben wir hiernach die beiden Funktionen zweiter Stufe (- l)ter bzw. (- 2yer Dimension '1f1 k (u) und fPk(tt) zw' Verfügung, von denen sich die zweite durch die erste vermittelst der Quadratwurzel:

(10) fPk = 1/('1f1z: - (e j - ek)) ('1f1r - (em --.:.. ek)) darstellen läßt. Die Untergruppe r~U) war der gemeinsame Bestandteil der drei Gruppen r*~) Wir merken den Satz an: Ein Funktionssystem dm' Hauptkongruenzgrnppe zweiter SÜtfe wird von den nebeneinander gestellten Fnnktionen '1f11 (tt), '1f12 (tt), '1f1s Cu), geliefert; dieselben sind aneinander gebunden durch die Relation:

= '!f;~ + e2 = '!f;~ + es' Die Fortbildung der algebraischen Theorie auf Grundlage der gewonnenen Ergebnisse ist nun sehr leicht vollzogen. Auf der ursprüng-

(11)

'!f;i

+e

l

Fricke: ElJipthche Funktionen. Bd.l

25

386

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

lichen Riemannschen Fläche Fa über der Ebene von z = &J(u) ist die etwa durch: (12) Zk = 1fJ k = Yz - e" zu bezeichnende Funktion in der Umgebung jeder Stelle eindeutig; denn sie reproduziert sich nach einem auf der Fa geschlossenen Umlauf um einen der Punkte e" und 00, und sie ist in der Umgebung jeder anderen Stelle z bereits in z eindeutig. Man sagt, die Funktion (12) sei auf der Fa unverzweigt. Gleichwohl ist sie auf der Fa nicht eindeutig, da sie zufolge (7) z. B. bei Durchlaufung des Periodenwegs, der die Periode fi}j liefert, Zeichenwechsel erfährt. Solche auf Flächen mehrfachen Zusammenhanges unverzweigte, aber nicht eindeutige Funktionen nennt man nach We ber 1) "Wurzelfunktionen" der Fläche. Auf der Fa stellen also unsere drei Fttnktionen zweiter Stufe 1fJk drei Wurzelfunktionen z" = Y z - ~ dar. Bildet man den Diskontinuitätsbereich der n~) mittelst der Funktion z = &J (u) über der z- Ebene ab, so ergibt sich eine vierblättrige Fläche F ~k) des Geschlechtes 1; es ist dies einfach diejenige Fläche, deren Herstellung durch doppelte Überlagerung der F2 wir S. 382 besprachen. Auf dieser Fläche F~k) ist z k = V:Z-=--c" nun wieder eine eindeutige, ~md zwar zweiwertige algebraische Funktion. Bilden wir weiter diese F~k) mittelst der zweiwertigen Funktion Zk = Y';-"::"ek oder auch den Diskontinuitätsbereich der r~'f direkt durch die elliptische Funktion Zk = 1fJ,,(u) ab, so gewinnen wir wieder eine zweiblättrige Riemannsche Fläche F~k) über der z" -Ebene, nämlich diejenige der vier Verzweigungspunkte ± Ye j - ek , ± Yem - ek • Zufolge der Lage der Verzweigungspunkte ist eine zweite algebraische Funktion der F~k), welche wir unmittelbar zur Verfügung haben, der elliptischen Funktion fPk (u) entsprechend: (13)

,

YCzz -

(e! -

ek »

(zZ -

(em -

ek »·

Nach den allgemeinen Sätzen über algebraische Funktionen ist jede algebraische Funktion der F~k) rational in Zk und der Wurzel (13) darstellbar. Wir merken somit als Ergebnis in algebraischer Gestalt an: Den drei Kongruenzgrt!ppen zweiter Stufe r~u) entsprechen drei koor"k dinierte Riemannsche Flächen F~k) des Geschlechtes p = 1, wobei der Körper der algebraischen Funktionen der einzelnen F~k) in der Gestalt:

(14)

R (Zk' 'V(z;

-

ek» (ZZ -

(ei -

durch die rationalen Funktionen von

Zk

(e m -ek))

ttnd de1' Wilrzel (13) geliefert wird.

1) S. dessen "Theorie der Abelschen ]'unktionen vom Geschlechte 3" (Berlin 1876), Abschnitt III.

Algebraische Folgerungen über die Funktionen zweiter Stufe

387

Das Integral erster Gattung u nimmt, wie man leicht ausrechnet, auf der F~k) die nachfolgende Gestalt an:

(15) 1m übrigen ist selbstverständlich, daß die algebraischen Funktionen (14) in Abhängigkeit von u betrachtet, den Körper dcr Zttr r~~l gehörenden elliptischen Funktionen zweiter Stufe liefern, so daß sich diese Funktionen gerade genau mit den gesamten rationalen Funktionen R (1/Jk (u), rpk (u» der 1/Jk(u) , rpk (u) decken.

§ 4:. Die Jacobischen Funktionen sn w, cn w, dn w. Es ist nunmehr darzulegen, in welcher Weise sich die Jacobische Theorie der elliptischen Funktionen hier einordnet. Dabei haben wir, was die Herstellung der algebraischen Grundlage und den Aufbau der Integrale angeht, eine der drei gleichberechtigten Gruppen I1u1, nämlich die soeben mit rk~) bezeichnete Gruppe, zu bevorzugen. Zweitens sind unsere bisherigen }1'unktionen mit einem solchen, allein von den Perioden OOu 00 2 abhängigen Fakto'r zu versehen, daß die multiplizie1·ten Funktionen homogen von der Dimension 0 in u, 00 1 , 00 2 sind. Der hinzuzusetzende Faktor ist Ve;--=-e~; derselbe ist in den 001' 00 2 von der Dimension - 1, wie z. B. unmittelbar aus der Darstellung:

ye;-=- e -V~-(~) - ~J (rot) 1=

hervorgeht. Für den algebraischen Standpunkt, der zunächst voranzu-' treten hat, halten wir an der schon S. 362 gegebenen Erklärung fest, daß das Vorzeichen von ye2 - e1 vorerst noch beliebig, aber ein für alle Mal fest zu wählen ist. Statt Zl = Yz - e1 (die zur rk:) gehörende Wurzelfunktion) führen wir jetzt den mit ye2 -=~ multiplizierten reziproken Wert von Zu welcher in der Tat von der Dimension 0 in u, 001 , 00 2 ist, als neue Variabelez' ein:

(1) Diese Variabele z' ist somit die Quadratwurzel der in der ersten Gleichung (7) S. 361 erklärten Variabelen z', hat also dieselbe Bedeutung wie die Variabele z' in den Legendreschen Integralen (2) S. 367 oder wie ß in den Integralen (3) S. 367. Der daselbst vollzogene Übergang von den Integralen zweiter Stufe zu den Legendreschen Integralen kommt also darauf hinaus, daß wir eine mitte1st 2 - e~ zu einer Funk-

ye

25*

388

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

tion nullter Dimension der u, (JJlI (JJ2 ausgestattete 'Vurzelfunktion der Gruppe r~u) als neue Variabele einführen und damit der algebraischen Betrachtun1g die Fläche F~) zugrunde legen. An die Gleichung (1) reihen wir, der zweiten und dritten Gleichung (7) S. 361 entsprechend, noch die beiden Gleichungen:

(2)

y'r=- Z'2 =l/~=-~' V1 z-e 1 '

k 2 Z'2

= Vz-e z - ~" 1 /

1

an, wobei für das Doppelverhältnis A die J aco bische Bezeichnung k 2 eingesetzt ist. Hier haben wir zwei algebraische Funktionen der Flächen F~3) und F~2) vor uns, wie aus der Schreibweise:

(3) der Gleichungen (2) sofort ersichtlich ist. Das Legendresche Integral erster Gattung w = u Ve2 - el ist in U, (JJl' (JJ2 gleichfalls von nullter Dimenflion. Als bestimmtes Integral haben wir es in die Gestalt:

(4)

w

=

j

,'

dz'

~

o

V(1-Z")(1=-li/z'2)

zu setzen, da der unteren Grenze z = 00 von u zufolge (1) die untere Grenze z' = 0 entspricht. An Stelle der (JJl' (JJ2 treten für das Integral w (auf der ursprünglichen F2 gedacht) zufolge (6) S. 370 die Perioden:

(5) Es besteht nun folgender Hauptsatz: Die drei in (1) und (2) gegebenen Größen z', y'1-z'2, V1-k2z'2 sind, wenn wir sie als elliptische Funktionen zweiter Sttlfe nullter Dimension in Abhängigkeit von w = tlVe2 - e1 statt von u auffassen, unmittelbar die drei Jacobischen Funktionen:

(6)

z' = sin am w,

y'1 -

Z'2

= cos am w,

y'1- k 2 Z'2

=

Li am w.

Diese Bezeichnungsweisen "Sinus amplitudinis w" usw. erinnern an die bei Legendre vorliegende Gestalt des Intgrales (vgl. (4) S.369): cp

w

=.Ivi~1:si-;;;-; , o

welche durch die Substitution z' = sin'P gewinnbar isU) J ac 0 bi bezeichnet 'P = am UJ als "Amplitude von w", worauf alsdann z' der Sinus 1) Bei anfanglichen Untersuchungen war k' reell, positiv und reeller Winkel.

< 1,

rp

ein

Einführung der drei Jacobischen Funktionen snw,

CIlW,

389

dllW

dieser Amplitude wird. Gudermann 1) hat an Stelle der Jacobischen Bezeichnungen (6) die kürzeren Symbole:

(7)

V1 - /2 =

z' = snw,

cnw,

V1 -

k2z'2

=

dnw

eingeführt, welche wir weiterhin durchweg gebrauchen werden. Die Beziehung der J aco bischen Funktionen zu unseren Funktionen zweiter Stufe lf!k(U) ergibt sich unmittelbar:

(8)

sn w

=

Ve2~ e1

cnw

1/'1 (u) ,

dnw

'1fJJ (u) 1/'1 (u) ,

=

=

'l/Js (u). 1/'1 (u)

Wollen wir die Zugehörigkeit der Funktionen cn wund dn w zu den Gruppen rt) und n;2 besser hervorkehren, so schreiben wir an Stelle der zweiten und dritten Gleichung (8):

(9) Die Verwandtschaft mit den Funktionen erster Stufe ist durch:

(10)

snw

=

~ !.

V SJ (u) -

1

e1

cnw

=

'

VSJ(u)-e;

-~~==,

V 8'1 (u) -

du

e1

V8'1(ul-e;

w = ~yr=8'1~(~u):=-=------'e:

gegeben. Natürlich können wir die zweite und dritte Gleichung auch durch die beiden folgenden ersetzen:

(11)

cnw

=

dn w =

8'1' (u)

_

2 (8;) (u) - e1)V 8'1 (u) -

8;)' (u)

_

es '

2 (8'1(u) - e1)V 8'1 (u) -

. e!

An sich sind die drei Funktionen sn w, cn w, dn w in derselben Art gleichberechtigt wie die drei Gruppen r~~). Die Voranstellung der I1~) in der algebraischen Theorie würde freilich äußerlich einen Vorrang der Funktion sn w nach sich ziehen. Dieser kommt auch bei vielen älteren Darstellungen der Theorie der elliptischen Funktionen zur Geltlmg, indem die Funktion z = sn w dttrch Inversion des elliptischen Integrals erster Gattung: z W =

[=:---__ dz....= __ ===-=:

.J V(1 o

z!) (1 - k 2 z 2)

gewonnen wird, während hierauf die Funktionen cn wund dn w dU1'ch sn w in der Gestalt erklärt werden: cnw =

VI -

sn 2

w,

dnw =

Vr=k sn2w·. 2

Die drei Funktionen zweiter Stufe lf!k (u) sind ungerade Funktionen von u, die bei u = 0 übereinstimmend unendlich werden wie u- 1 (vgl. S.383ft). Die Darstellung (8) der J acobischen Funktionen in den lf!k (u) 1) S. dessen "Theorie der Modularfunktionell und Modularintegrale", Journ. f. Math., Rde. 18-25 (1838ff.).

390

II,2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

lehrt also, daß sn weine ungerade Funktion ist, cn wund dn w abm' gerade Funktionen sind, sowie daß für w = 0 bzw.lim w = 0: (12) gilt.

limo (~~) w=O

=

1,

cn 0 = 1,

dn 0

=

1

Bei Vermehrung von w um 2 K und um 2iK' (der Vermehrung von tt um m2 und mj entsprechend) leiten wir aus (7) S. 384 sofort folgendes Verhalten der Ja co bischen Funktionen ab:

sn(w + 2iK') = + snw, cn(w+2iK')=-cnw, dn(w + 210 = + dnw, dn(w + 2iK') = - dnw. Invariant sind unsere drei Funktionen erst gegenüber den erzeugenden Substitutionen ihrer drei Untergruppen zweiter Stufe, die wir in der hier zu benutzenden, auf w transformierten Gestalt r~~), r~~), r~~), nennen; in der Tat ergeben sich aus (13) sofort die Gleichungen: sn(w + 4K) = snw, sn(w + 2iK') = snw, ( cn(w + 4K) = cnw, cn(w + 2K + 2iK') = cnw, (14) dn(w + 2K) = dnw, dn(w + 4iK') = dnw. Im Diskontinuitätsbereiche der einzelnen r~W) ist die zugehörige Funktion zweiwertig. Da das Verhalten der Funktionen gegenüber den Erzeugenden der Gesamtgruppe r(w) bekannt ist (vgl. Gleichungen (13)), so ist es ausreichend, die genauere Werteverteilung unserer Funktionen in dem Parallelogramm der Ecken w = 0, 2K, 2K + 2iK', 2iK', d. h. im Diskontinuitätsbereiche der Gesamtgruppe r(w) zu kennen. Es ist wichtig, wenigstens in den vier Punkten w = 0, K, K + iK', iK', von (l)\ ~1 des Integrals denen die drei letzten den Periodenhälften ~', u entsprechen, die Werte der Funktionen sn, cn und dn zu kennen. Aus (10) und den bekannten Beziehungen des "Integralmoduls" k = und des "komplementären Moduls" k' = Vi--=1 zu den eu e2 , ea ergibt sich bei Hinzunahme der Formeln (12) und der zwischen den sn, cn, dn bestehenden Relationen eine Werteverteilung unserer Funktionen in den fraglichen Punkten w, die wir tabellarisch zusammenstellen: (13)

sn(w + 2K) = - snw, ( cn(w+2K)=--cnw,

ru.Lt

VI

w 0 ~---~~-

K

dn

--I

1

1

0

±k'

+~ k

ik' +-- k

o

00

00

0

±l

...

iK'

cn

--

K+iK' ~~

II

sn

I

I

00

Erklärung von "JIe. - e"

k, k' als eindeutige Funktionen der w" Ws

391

Daß hier einige Vorzeichen noch unentschieden gelassen sind, beruht auf dem Umstande, daß wir von seiten der algebraischen Theorie eine endgültige Festsetzung, mit welchem Vorzeichen die drei Quadratwurzeln Ye 2 -..::.... eu k = Yl, k' = yr=--;:genommen werden sollen, nicht getroffen haben. Würden wir dies jetzt nachholen, was an sich keine Schwierigkeit bereiten würde, so wäre weiter die Frage, inwieweit von der Auswahl des primitiven Periodenpaares ro v ro 2 die Entscheidung über die unentschiedenen Vorzeichen in der Tabelle mit bedingt ist.!) Wir werden demnach hier einen anderen Weg gehen, der uns zugleich zu der grundsätzlich wichtigen .Auffassung der in Rede stehenden Größen Ye2 - eu k, k' als Funktionen der ro l , ro 2 bzw. des Periodenquotienten ro hinführt. Wir setzen fest, daß: (15)

sn(K + iK')

snK = 1,

=

~,

dnK = k'

ye

sem soll. Dies bedeutet, daß 2 - eu Je und Je' in den eindeutigen Funktionen 1fJl (u) und 1fJs (u) die Darstellungen:

ye~~e~

= 1fJ

l(~2),

1p,

k =

(W, t ~)

1p,

()' ~.

k'

=

1ps

(~.)

1p,

(~2)

besitzen sollen. Zufolge der Gleichungen (4) S. 384 können WIr hierfür auch schreiben:

(16) Mit Benutzung des Umstandes, daß 6(u) ungerade ist, die 6 1 (u), 6 2 (u), 6 s (u) aber gerade Funktionen sind, folgt aus (3) S.384 leicht:

6, (i)

~ G,(- i) ~ ,-im", 6(:'(;(>

1) Würden wir etwa für das "reduzierte" Periodenpaar w, ' w.' das einem Punkte w im Doppeldreieck der Fig. 43, S. 179, entspricht, die Tabelle endgültig herstellen, so würde sie unverändert nur dann noch erhalten bleiben, wenn wir

392

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

so daß wir die drei fraglichen Größen in der ursprünglichen 6-Funktion so darstellen können:

In (16) und (17) haben wir jetzt eindeutige Darstellungen der Größen ye2 - e~, kund k' als Ftmktionen von 0)1 und 0)2 vor uns. Nach diesen Festsetzungen wird es sich noch darum handeln, das in der Gleichung: cn(K +iK')

(18)

± i~'

=

rechter Hand geltende Vorzeichen zu erkennen. Nun gilt aber:

.,

cn(K + ,tK)

t (O~ (~ t -~)

'P2 ((01 =

!P1

6

)

-

2(~1 t (O~

)

~(;:t (02)'

und WIr lesen ferner aus (3) S. 384 ab:

~ ,t'",'h""':ii:}

6,("'{"') -

so daß WIr unter Benutzung des oben flir 6 1 ((01

t

(0 2 )

angegebenen

Ausdrucks in der ursprünglichen6-Funktion für cn(K + iK') die Darstellung finden:

eu(H iK')

~ ,t

,(0,

+""-"'+'''"l

(:i~lr

Andrerseits folgt aus (17) sofort:

:'

~- ,tl''', -w""l GgD',

über die am Anfang des § 3, S. 383, getroffene Beschränkung hinaus nur noch solche primitive Periodenpaare (02 zulassen, welche aus dem reduzierten Paare durch die modulo 4 mit der identischen Substitution kongruenten Substitutionen der r<w) hervorgehen; man vgl. hierzu die im nächsten Kapitel folgenden Betrachtungen über e~, kund k' als Modulfunktionen vierter Stufe. 2 -

(01'

ye

Werteverteilung der Funktionen sn, cn, dn im Periodenparallogra= 393-

so daß wir durch Multiplikation dieser und der voraufgehenden Gleichung und Benutzung der Legendreschen Relation (6) S. 160 erhalten:. i . k . cn (K + ~'K') -_ - e~ +(w, '1o-"'o'l,) _ k' - - e1L2 -_ - ~.• >

In Gleichung (18) gilt somit das untere Zeichen, und die Tabelle der Werte snO, ... , dn(iK') nimmt endgültig die Gestalt an: dn

sn

0

0

1

1

K

1

0

k'

K+iK'

1 'k

--

ik' k

0

iK',

00

00

00

I

cn

I

W

I

Des besseren Überblicks halber haben wir auch noch in den Figuren 75ff. die Diskontinuitätsbereiche der drei Gruppen r~~), r~~), r~:) ge6K+Si-

4K+2iK'

0(0)

(1)

~--1':~Tii-n1J7I(l1'

0(1)

Fig.75.

(0)

Fig.76.

zeichnet und die Werte der drei zugehörigen Funktionen snw, cnw' und dnw, wie sie sich aus den eben tabellarisch zusammengestellten Ergebnissen mit Benutzung der Regeln (13) ergeben'4ilJ-..--cr.r-~ jeweils in Klammern eingetragen. Längs je der beiden gegenüber liegenden Seiten des einzelnen Doppelparallelogramms finden natürlich allemal glei- (00) ehe Funktionswerte statt. Wie sich die drei Flächen F~l),... aus diesen Diskontinuitätsbereichen herstellen lassen, möge am Beispiele der F~1) gezeigt werden. Für die "ungerade" Funktion sn w gilt zufolge (13) die Regel: .

sn(2K - w)

=

snw.

Stellen w, die bezüglich des Punktes w = K diaFig. 77. metralliegen, tragen somit gleiche Werte sn. Ordnen wir, wie dies in Fig. 78 geschehen ist, den Diskontinuitätsbereich der r~w) symmetrisch um den Punkt K an, so erblicken wir etwa in der schraffierte~

394

II,2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

Hälfte des Parallelogramms ein vollständiges Abbild der Ebene von z= sn w. Es wiederholen sich hier wieder ähnliche Betrachtungen, wie sie S. 247 ausgeführt sind. Das schraffierte Dreieck können wir als Diskontinuitätsbereich derjenigen Gruppe wählen, die aus der r~w) durch Zusatz von w' = 2K-w entsteht; die Erzeugenden dieser erweiterten Gruppe weisen die beiden Hälften je der einzelnen Seite des schraffierten Dreiecks der Fig. 78 ein" . ,anderzu. 1)DieSeitenmittenundEcken 3l!.-,K . des D' releck sergeben d'18 V erzwel-iK' Fig.78. gungspunkte der F~l), deren zweites Blatt dem freien Dreiecke der Fig. 78 entspricht. Was die beiden anderen Funktionen angeht, so wird man entsprechende Betrachtungen an die heiden Gleichungen: cn(2K 2iK' - w) = cnw, dn(2K - w) = dnw anknüpfen. Für die Darstellung sonstiger zu den Gruppen r~wJ gehörender elliptischer Funktionen zweiter Stufe sind die vorstehenden Betrachtungen zugleich grundlegend. Aus früheren Formeln, z. B. den Gleichungen (10) und (11), ergibt sich leicht:

+

(19)

snw· cnw· dnw

=

-

~ ye~,:,,:::~. (8J(~'~)el)';

demnach ist das links stehende Produkt eine zur Gesamtgruppe

r(w)

gehörende Funktion. Daraus folgt weiter, daß zur r~~) neben sn w auch noch die Funktion cn w . dn w gehört und entsprechend dn w . sn w zur r~~) sowie endlich sn w . cn w zur r~~). Für den algebraischen Standpunkt ist also: cnw· dn w = YCl- (2)(1 - k 2 ( 2) diejenige algebraische Funktion von z = sn w, die von sich aus zur Fläche Fk1) hinführt. Gegenüber der Substitution w' = 2 K - w, welche .Jen Austausch der bei den Blätter der Fb1) bedeutet, muß cn w . dn w Zeichenwechsel erfahren, was man auch direkt für die "geraden" Funktionen cn w, dn waus den Regeln (13) entnimmt. Auf Grund bekannter 'Sätze notieren wir (wieder unter Bevorzugung der r~~» als aus den bisherigen Ergebnissen leicht folgend den Satz: Jede zur r~~) gehörende ellip,tische Funktion zweiter Stufe ist rational durch sn wund cn w . dn w darstellbar: R(snw, cnw· dnw); 1) Dies soll durch die drei Pfeile der Fig. 78 angedeutet sein.

Verhalten von sn, cn, dn bei Vermehrung von w um

I{, iI{', I{

+ iI{'

395

sie ist aber insbesondere bereits in einer det· Gestalten: R(sn w), cn w . dn w . R(snw) darstellbar, falls sie gegenüber de1; Substitution w' = 2K - w unverändert bleibt bzw. Zeichenwechsel erfährt. Entsprechende Sätze für die Gruppen r~~) und r~~) wird man leicht aufstellen. Dm eine erste Anwendung dieser Regeln zu vollziehen, wollen wir das Verhalten der Funktionen sn, cn, dn bei Vermehrung des Argumentes w um die Beträge K, iK', K + iK' feststellen. Die zu diesem Zwecke auszuführenden Überlegungen beschreiben wir wieder bei einem zur r~~) gehörenden Beispiele. Die Funktion sn (w + K) erleidet gegenüber der Substitution w' = 2K - w zufolge: sn (w' + K) = sn (3K - w) = sn (- K - w) = - sn (w + K) Zeichen wechsel und gehört übrigens zur r~~). Es gilt also: snew + K) = cnw· dnw· R(snw); wir können statt dessen auch schreiben: sn (w

~n~ ._~n~'/()

=

R 1 (sn w),

wenn zur Abkürzung dn 2 • R(sn) = (1 - k 2 sn 2)R(sn) = R 1 (sn) gesetzt wird. Nun heben sich aber im schraffierten Bereiche der Fig. 78 die bei iK' und (2K + iK') gelegenen Pole des Faktors dnw im Zähler und des Nenners en w gerade auf, der Pol (K + iK') von snew + K) wird durch den daselbst gelegenen Nullpunkt von dn w aufgehoben und endlich ebenso der Nullpunkt w = K des Nenners cnw durch den ebendort gelegenen Nullpunkt des im Zähler stehenden Faktors sn (w + K). Demnach ist R 1 (sn w) polfrei und also von w unabhängig; da endlich R 1 (sn 0) = 1 ist, so gilt: sn(w + K)= cdn w. nw

Genau so leicht können wir jeden anderen der neun Fälle behandeln. Wir gelangen betreffs des Verhaltens unserer drei Funktionen snw, cnw, dnw bei Vermehrung des Argumentes um K, iK', K + iK' zu Ergebnissen, die wir hier gleich wieder tabellarisch zusammenstellen:

w

w

I

w'

snw'

cnw'

+K

cnwl dn

k'snw!

+ iK'

w •-

1

ksn7V

I·

~dnw I

dnw' k'

dn w

idnw i icnw -ksnw I ----;-----

-snui

~w + K+ ~~~- -k~:1: I - k~~~V I ik:::vW .

396

II, 2. Die elliptischeu Funktionen zweiter Stufe

Bei der Durchführung dieser Untersuchung leisten die Figuren 75ff. mit den eingetragenen Werten der Funktionen sn, ... gu~e Dienste.

§. 5. Die Ableitungen der Funktionen sn w, cn w, dn wund Potenzreihen derselben. Auf Grund der funktionentheoretischen Sätze des vorigen Paragraphen können wir leicht über die Ableitungen der Funktionen sn w, cn w, dn weine Reihe von Theoremen aufstellen. Aus den Formeln von S. 388 ff. ergibt sich zunächst auch ohne Inanspruchnahme eines funktionentheoretischen Schlusses unmittelbar: dsnw

(1)

dw

=

cnw· dnw.

Mit Rücksicht auf die beiden Relationen: sn2 w

+ cn

2

w

=

1,

k 2 sn 2 w

+ dn

2

w= 1

folgern wir hieraus weiter die beiden neben (1) tretenden Formeln: (2)

dcnw

-- =

dw

-

sn w . dn w

ddnw

'

--iTw- =

-

2

k snw· cnw.

Nun ist aber überhaupt jede Ableitnng beliebiger Ordnung einer unserer drei Funktionen wieder eine elliptische Funktion der gleichen Gruppe r~W). Betrachten wir als Beispiel wieder die Funktion sn w, so erkennen wir in deren Ableitung beliebiger gerader Ordnung 2v: d 2v snw dw 2v

eine Funktion der rt), welche auch noch gegenüber der Substitution w' = 2 K - w invariant ist und also bereits in sn w selbst rational ist. Da sie ferner nur mit sn w selbst unendlich werden kann und im Pole erster Ordnung von sn weinen Pol (2 v + 1)ter Ordnung hat, so haben wir mit einer ganzen rationalen Funktion (2 v + 1)ten Grades von sn w zu tun. Endlich ist die fragliche Ableitung eine ungerade Funktion von w, und also treten in ihrem Ausdruck in sn w nur ungerade Potenzen der selbst ungeraden Funktion sn w auf. Wir haben somit (unter FortlasBung der Argumente w bei sn zu) folgenden Ansatz: (3) wo die Koeffizienten a~:) von w unabhängig sind. Differenzieren wir nochmals nach w, so folgt mit Benutzung von (1) weiter: d 2v + 1 su dw2Vi-1

(4) -----

=

cn . dn (a(v) 0

+ 3a(v) 8n 2 + 5a(v) sn4 + ... + (2v + 1)a(")sn2v ) 1 2 v '

397

Darstellung der Ableitungen der Funktion sn w

wo auch bei cn und dn das Argument w hinzuzudenken ist. Der Gestalt nach hätten wir diesen Ansatz auch durch eine direkte funktionentheoretische Überlegung gewinnen können. Die Koeffizienten a(v) sind leicht durch eine Rekursionsformel beft rechenbar. Differenziert man nämlich die Gleichung (4) nochmals nach w und benutzt die Relationen (2) sowie die zwischen sn, cn, dn be-stehenden Beziehungen, so muß man zu einem Ergebnis der Gestalt: d 2v + 2 ~~s_n dw2v+2

=

sn (a("+l) 0

2 + ... + a(v+l) sn2>+2) + a(v+l)sn 1 v+l

gelangen können. Die Rechnung zeigt, daß sich zienten der rechten Seite von (3) so ausdrückt:

(5)

aÄ+1)

=

(2!1'

a;~+l)

in den Koeffi-

+ 1)2(1 + k2)a~') + (2!1' + 2)(2!1' + 3)a;~~1'

~ 1)2!1'k2a,~~1 -

(2!1'

wobei nur hinzuzusetzen ist, daß für die beiden höchsten Indizes !1' = v und !1' = v + 1 die a;~~ l' a'~,'l2 gleich 0 zu setzen sind. Da a~O) = 1 ist, :so findet man mitte1st dieser Rekursionsformel: a~l) = - 1 - Jc2, ail ) = 2k 2, a&2) = 1 + 14k 2 + k4, at2) = - 20k 2 - 20J;;4, a~3) = - 1 - 135k2 - 135k4 - 7,;6, a~3) = 182k2 + 868k4 + 182k6, a~3) = - 840k4 - 840k 6, a~3) = 7207"6 a&4) = 1 + 1228P + 5478k4 + 1228k6 + k8, Mit Rücksicht auf die Gestalt der Rekursionsformel (5) folgern wir leicht allgemein: Die Ableitungen der Fwzldion sn w sind in den Gestalten (3) und (4) mittelst ganzer rationaler Funktionen von sn 2 darstellbar, wobei die Koeffizienten a(V) ganze ganzzahlige Funktionen vten Grades von k 2 sind. Bei der Fun'ktion cn w ist jede Ableitung gerader Ordnung invariant gegenüber der Substitution w' = 2K + 2iK' - w und also rational in cn wallein. Wie oben schließen wir, daß die Ableitung der 2 vten Ordnung eine ganze Funktion (2 v + 1)ten Grades von cn w ist, und da dieselbe bei der Substitution w' = w + 2K Zeichenwechsel erfährt, so setzt sich diese ganze Funktion nur aus ungeraden Potenzen von cn w zusammen. "ViI' gelangen zum Ansatz:

(6)

1I, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

398

Als Rekursionsformel für die Bestimmung der Koeffizienten erhält man Wie oben: 7;(1'+1) = _ (211. - 1)2(.tk 2 b(v) + (2(.t + 1)2(2k 2 - 1)b(v) (7) fl r ,H-l fl

+ (2(.t + 2)(2(.t + 3)(1- P)b~~1· Für die. niedersten Indizes vergibt sich: b&1) = - 1 + 2k 2, W) = - 2k 2, b&2) = 1 - 16k2 + 16k4; bi2) = 20k 2 - 40k4 , b~2) = 24k4, b&3) = - 1 + 138].;2 - 408k4 + 272k 6, b~3) = - 182k 2 + 1232k4 - 1232k6, b~3) =

-

b~3) =

-

840k4 + 1680k6 , 720k 6•

Endlich gilt für die Ableitungen der Funktion dnw der Ansatz: Z2,' d

(8)

c..clw __~ 2"

=

v,

dn(e(v) + e(1)dn 2 + e(1'ldn4 + ... + e(l'ldn 2v)

cl2v + 1 dn clW 21 '+1

._-- - - =

0

1

2

_

k 2 sn. cn(e(I')+3c(I')dn 2 +bd ' )dn4 + ... +(2v+ 1) cCv ) dn 2v )

-

0

1

v

2

mit der Rekursionsformel zur Berechnung der Koeffizienten c~): (9)

e~'+1)

=

-

-

(2(.t - 1) 2!le;;'~1 + (2(.t

+ 1)2 (2 ) C;:~l' (2(.t + 2) (2(.t + 3) (1- k2

P) c~)

Hier wie in Gleichung (7) ist rechter Hand e~) = 0 zu setzen, so oft > v zutrifft. Wir geben wieder für die niedersten Indizes die W erte e,~;) explizite an: ebl) = 2 - k2, eil) = - 2, C~2) = 16 - 16k 2 + k4, c(2) = - 40 + 20k 2, 42) = 24. C&3)'= 272 - 408k 2 + 138k4 - k6, 43) = - 1232 + 1232k 2 - 182k4, 43) = 1680 - 840k 2, 43) = - 720. (.t

Mit Rücksicht auf die Bauart der Rekursionsformeln (7) und (9) können wir den Satz aussprechen: Für die Ableitungen der Funktionen cn w und dnw gelten die Darstelltmgen (6) und (8), in denen die Koeffizienten b~) und e;:') ganze ganzzahlige Funktionen vten Gmdes von k 2 sind. Als ein unmittelbares Ergebnis dieser Rechnungen gewinnen wir die Potenzreihen der Funktionen sn w, cn wund dn w tiir die Umgebung des Punktes w = 0, deren gemeinsamer Konvergenzkreis bis an den nächsten Pol, d. h. bis an den am Nullpunkte w = 0 nächst gelegenen, mit i K'

399'

Potenzreihen für die Funktionen sn w, cn wund dn w

bezüglich der Gesamtgruppe haben anzusetzen:

r(w)

äquivalenten Punkt heranrcicht. Wir

(10)

wobei die Koeffizienten die folgenden Werte der Ableitungen für w sind:

a = (d 2v + l snw) b, = (d 2V cnw) 2v l " dw + w=o" dw 2 " w=o'

C

= (d!v dnw )

dw 2 "

v

w=o

= ()

.

Setzt man aber in (4) und in den ersten Gleichungen (6) und (8) den Wert w = 0 ein, so folgt:

av =

a~),

bv = b&v)

+ bi + ... + W), p

)

c,. = cg l

+ ci") + ... + cI,v>,

Es folgt: In den für sn w, cn wund dn w angegebenen Potenzreihen (10) sind die Koeffizienten a" bv' Cl' ganze ganzzahlige Funktionen vten Grades von k 2• Für die niedersten Indizes gilt explizite: 1 - k 2, a1 = =

a2

=

aB

=

a4

=

1 + 14k 2 + k4, - 1 - 135k2 - 135k4 - k 6, 1 + 1228k 2 + 5478k4 + 1228k6

b1

=

--

1,

b2 = 1 + 4le 2, ba = - 1 - 447c 2 b4

=

Cl =

1 -

+ le8, . .,

-

16k4,

+ 4087c 2 + 9127c4 + 647c 6, . . . ., le 2

c2

=

C

s

=

4k 2 + k4 167c 2 - 44le4

c4

=

647c2

-

le 6,

+ 912le4 + 408Jc6 + Jc8, . .,

Man kann übrigens auch unmittelbar durch Eintragung der Ansätze (10) in die Differentialgleichungen (1) und (2) zu Rekursionsformeln für die Koeffizienten a", b", c" gelangen. Diese Formeln haben, wenn wir den Gleichungen (10) entsprechend a o = bo = Co = 1 setzen, die Gestalten:

400

-- bv

II,2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

=

av _ 1 Co

+

c

v;

o+ C

-,:. c,. = av _ 1 b

v;

+ C;l) a

1) a._ 2 Cl

V

c

v_ S 2

+ ... + G:=~) a + (2v -

1) a"

b

_2 l

1 C._ 2

1) aOcv _ 1'

+ Cv ; 1) a._ S b2 +- .. + G:=~)al bv_: + (2v - 1) aob._ l1

wo die rechts stehenden Klammersymbole Binomialkoeffizienten der Potenzen 2v und (2v - 1) sind. Schreiben wir die Koeffizienten a v, bv, c. als Funktionen von k 2, so zeigen die für die niedersten Indizes explizite angegebenen Gestalten .dieser Funktionen, daß eben für diese Indizes v die Regeln gelten:

I

av

k2 = (~.)

2 , a.(k, )

k2 • • b

(_1_) k2 =

C

k 2"

(11)

k2 ,

•

l'

• C.

G.)

=

l'

(k 2)' ,

b,,(k 2),

von denen die dritte eine Folge der zweiten ist. Mittels der drei eben angegebenen Rekursionsformeln zeigt man aber durch den Schluß der vollständigen Induktion, daß diese Regeln (11) allgemein gültig sind. Die eigentliche Bedeutung derselben wird unten bei der Besprechung der linearen Transformation der Funktionen sn w, cn w, dn w aufgeklärt werden. Endlich weisen wir noch darauf hin, daß zu folge der zweiten und dritten Rekursionsformel b. nur den Grad (v - 1) in P erreicht, während in c. das Absolutglied verschwindet.

*

6. Darstellung der Funktionen snw, cnw, dnw als Quotienten ganzer transzendenter Funktionen.

Nach (8) S.389 und (4) S.384 gilt: snw: cnw: dnw; 1 = Ve;--=~ G(u) ;'G 2 (u); Gs(u); G1 (u). Will man also die Funktionen sn w, cn w, dn wals Quotienten ganzer transzendenter Funktionen darstellen, so kann man hierzu die vier rechts stehenden Glieder dieser Proportion gebrauchen, die ganze transzendente Funktionen sind und durch ihre Nullpunkte die Nullpunkte und Pole .der Funktionen sn w, cn w, dn w liefern. Dabei sind diese Funktionen homogen von nullter Dimension in u, W lI W 2 und können also auch als Funktionen von wund k 2 aufgefaßt werden. Als solche gestatten sie Entwicklungen in beständig konvergente Potenzreihen nach w, deren Koeffizienten wieder ganze rationale Funktionen von k 2 sind.

401

Einführung der ganzen transzendenten Funktionen Al(w)

Natürlich können wir an Stelle dieser vier Funktionen, ohne die angegebene Proportion und die Nullpunkte der Funk~ionen irgendwie zu stören, auch vier andere Funktionen treten lassen, die aus ihnen durch Behaften mit einem gemeinsamen ganzen transzendenten und nullpunktfreien Faktor hervorgehen. In der Tat treten nun in der älteren Literatur bei Gaußl) und besonders ausführlich bei Weierstraß2) vier solche Funktionen auf, die von letzterem zu Ehren Ab e1 s 3) mit All (w), Al2 (w), Al3 (w), Al(w) bezeichnet werden und zu den vier eben betrachteten Funktionen in der einfachen Beziehung stehen:

I

(1)

ye-;-=~ 6(u)

=

Cf C1+k')W' All. (w),

6 2 (u)

=

ci C1+k')w' Al2 (w),

6 s (tt)

=

eiCl+k')w' Als (w),

6 l (u) =

ciCl+k')w' Al (w).

Die Darstellung der drei Funktionen snw, cnw, dnw in diesen Funktionen Al(w) ist dann einfach:

(2)

snw

=

Al, (w) AI(w) ,

Al. (w)

cnw= Al(w) ,

dn w

=

Als_(w) • Al(w)

Wir können aus unseren früheren Formeln das Auftreten des Exponentialfaktors in (1) rechts sehr leicht verständlich machen. Es gilt nämlich zufolge der Beziehung zwischen S9(U) und sn w, sowie zwischen den Cl' e2, Cs und Ä = Jc2:

(3)

+

=

sn w

p(u)-e, = _ 1 _ .

e2

-

e,

Setzen wir nun für ( 4)

e. - e,

~(t~)

~o (U) __~_,_=~1_. ren) + ~(1 +Jc2). e. - e,

e. - e,

•

seinen Ausdruck in der 6-Funktion: ~o

(te)

=

-

d"loO" 6(u) ~;l"'u2--

elll, so folgt für die rechte Seite von (3): 1 e=e . SO (u) "+31 (1 + Jc2) = •

1

-

d 2 Iog (-.lCl+k')W",/--"" ) dw' C 6 Y c2 - Cl \J(U) •

Es ergibt sich somit aus (1) und (3):

(5)

1

sn 'w

=

-

d"log Al, (w) --dw'--'

Die Bedeutung des Zusatzfaktors können wir also dahin kennzeichnen, 1) S. Gauß' Werke, Bd. 8 S.96. 2) S. die 1840 verfaßte Abhandlung "Über die Entwicklung der Modularfunktionen", Weierstraß' Werke, Bd. 1 S. 1. 3) A be I hatte im "Precis d'une theorie des fonctions elliptiques" Introduction, Nr. 10 auf die Möglichkeit hingewiesen, die elliptischen Funktionen als Quo-

tienten beständig konvergenter Reihen darzustellen; s. A bels "Werke", Bd. 1 S.527. Fricke: Elliptische Funktionen. Bd. i

26

402

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

dajJ die vermöge desselben erzielte Funktion All (w) zu der in (3) links stehenden Funktt'on in derselben einf'achen Beziehung steht wie die Funktion 0(u) zu $I (u). An (5) reihen sich die drei weiteren Gleichungen: dn'1O cn'w

1

k'cn'1O dn'w

(6)

d'logAl.(1O) dw' ,

=; -

=

_

k2 sn 2 w =

d'logAls(1O) d1O"

_ d21ogAl(w).

dw'

Die letzte Gleichung (6) geht aus (5) hervor, wenn wir sn w . Al(w) für All (w) eintragen und bei der Zwischenrechnung von den Differentialrelationen (1) und (2) S.396 Gebrauch machen. Entsprechend ergeben sich die erste und zweite Gleichung (6), wenn wir nacheinander für Al(w) in die dritte Gleichung Al2 (w) : cnw und Als(w) : dnw eintragen. Für die Aufstellung der beständig konvergenten Potenzreihen der Funktionen Al(w) gewinnen wir unten partielle Differentialgleichungen, denen die Al(w) als Funktionen von wund k2 genügen, und die der partiellen Differentialgleichung (11) S.322 für die 6-Funktion entsprechen. Aus ihnen folgen Rekursionsformeln zur Berechnung der Koeffizienten jener Potenzreihen. Wir können aber auch schon hier die fraglichen Reihen auf Grund von (6) aus denjenigen der Funktionen sn w, cn w, dn w herstellen. Das Produkt irgend zweier Potenzreihen von der Gestalt:

A o +A--+A -+.·.+A' -+ ...' 111221 vl 10

~v'

10.

in denen die A v ganze ganzzahlige Funktionen vten Grades von k sind, liefert wieder eine solche Reihe, in der die Koeffizienten dasselbe Bildungsgesetz in k befolgen. Nun gilt für le· sn w zufolge (10) S.399 eine solche Reihe, und wir finden: k 2 sn 2 w

=

10'

2k 2 2T - (8le 2

w' w· + 8k;l--):tf + (327:;2 + 208k4 + 32k6)6T -"',

wo insbesondere im Gliede mit w 2v eine ganze ganzzahlige Funktion vten Grades von k2 auftritt, die mit le 2 verschwindet. Die letzte Gleichung (6) liefert demnach vermittelst zweimaliger Integration für die Umgebung von w = 0: .

10gAl(w)

=

-

Co + C1 W (32k 2

-

1O'

2k\T

+ (8k 2 + 8~)

10 6

6T

+ 208k + 32k ih- +"', 4

6)

u· 8

wo Co und Cl die Integrationskol1stanten sind. Nun ist aber 0 1 (u) eine gerade Funktion von u, die für u = 0 den Wert 1 annimmt, und

Potenzreihen für die ganzen transzendenten Funktionen Al(w)

403

zufolge der letzten Gleichung (1) gilt dasselbe für Al(w) als Funktion von w; es gilt also Co"" 0, q = 0 und:

+ (8k2 + 8k4) ~; (32k2 + 208k4 + 32k + ....

logAl(w)

-

=

2k 2 ~;

-

6)

*;

Gehen wir zur Exponentialfunktion von 10gAl(w) über, so folgt: (7)

Al(w) = 1- 2k 2 : ;

+ (8k 2 + 8k4) :~ -

(32 k 2 +68k4 +32k6 ) ~; + ...

als beständig konvergente Reihe der ganzen transzendenten Funktion Al(w).

Durch Multiplikation dieser Reihe mit denen von sn w, cn w, dn w erhält man auf Grund von (2) die beständig konvergenten Reihen der ganzen transzendenten Funktionen Al1 (w), Al2 (w), Als(w): Al.1 (w)=w-(l

+k2)r~+(1+4k2+k4) :; -(1 + 9k2+9k4+k6) ~!7 + ...

w2 (8) [ Al2 (w) = 1 - 2T

Als(w) = 1 - k2

+ (1 + 2k

2)

w'

4! -

(1 + 6k 2 + 8k4 )

~!' + (2k2 + k4) ~~ -

(8Jc2

WS

6!

+ ...

+ 6k + k6):; + .... l

Es gelten für die ganzen ganzzahligen Funktionen von Jc2, die hier als Koeffizienten auftreten, mehrere den Gleichungen (11) S. 400 entsprechende Relationen, welche wir aus jenen Gleichungen leicht herstellen. Wir schreiben zu diesem Zwecke unsere Reihen (8) und (7) abgekürzt:

Dann ergibt sich zunächst zufolge der Herleitung der vierten Reihe aus der sn-Reihe, daß die erste Relation (11) S.400 für die Koeffizienten D. erhalten bleibt: (9) Übrigens findet man bei dieser Herleitung, daß abgesehen von D o ~ 1 die D. mit lc 2 verschwindende ganze ganzzahlige Funktionen (v _ l)ten Grades von lc'J sind. Weiter gilt, unter a. die Koeffizienten der Bn-ReihQ verstanden:

A. = a. Do+

Ct 1) ll

a"_l

D1

t

+ C 1) a~:::';D2 + ... + C2! l)aoB:.~ ll

1l

und durch analoge Gleichungen stellen sich B. und C. mitte1st der 26"

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

404

Koeffizienten b. und e. der Reihen für cn UJ und dn w dar. Aus (11) S. 400 und der eben angegebenen Gleichung folgt jetzt unmittelbar, daß für die Koeffizienten der vier Al-Reihen die folgenden Relationen gelten:

k 2 •• B'(~t)

(10)

C,.(k 2)

=

,

k2·.C.(~.) =B,(k2), k 2v • D. (~.)

=

D,(7c 2),

von denen die letzte die schon unter (9) genannte ist. Auch ist aus den früheren Gesetzen der b., e. und den eben über die D. gemachten Angaben ersichtlich, daß abgesehen von B o = 1 und Co = 1 die sämtlichen ganzen Funktionen v ten Grades C,. von k 2 mit k2 verschwinden, während die B. nur den Grad (v - 1) in 7>;2 erreichen.

§ 7. Produktentwicklungen der elliptischen Funktionen zweiter Stufe. Wir haben oben (S. 264 ff.) die Abbildung der u-Ebene auf eine Riemannsche Fläche F über der t-Ebene vermittelst der Funktion: 00

(1) untersucht und in Fig. 55 erläutert, wobei das Periodenparallelogramm der Ecken 0, OJ 2, OJ 1 OJ 2, OJ1 in den schraffierten Kreisring der Figur überging. Die elliptischen Funktionen (erster Art) erster Stufe wurden, als Funk· tionen von t aufgefaßt, zu den eindeutigen Funktionen des Kreisrings ; und auch die Funktionen s(u) und 6(u) wurden nach geeigneter Normierung eindeutige Funktionen von t, welche gegenüber der erzeugenden Substitution t' = q2 t der damals durch rct) bezeichneten Gruppe ein einfaches Verhalten darboten. Im Anschluß hieran hatten wir Produktentwicklungen dieser Funktionen von t und Laurentsehe Reihen nach Potenzen von t untersucht. Indem wir zuvörderst entsprechende Produktdarstellungen für die Funktionen zweiter Stufe angeben wollen, haben wir nicht nötig, ausführlich auf funktionentheoretische Betrachtungen in der t-Ebene zurückzugehen. Es genügt vielmehr, auf die aus (8) S. 268 sich ergebende Darstellung der 6-Funktion:

+

.

(2)

6(u)

'i,U'

=

7tiu

e2w• -% .

27: (t -

1).

I/(l- t l n_=1

00

00

n)

I!(l-t- l l n=l

n(l-ln)~ n=l

n)

EinflIch unendliche Produkte für die 6-Funktionen zweiter Stufe

405

zurückzugehen, um von hier aus rein rechnerisch zu verfahren. Man wolle sich nur daran erinnern, daß die rechter Hand auftretenden Produkte in jedem endlichen Bereiche der t-Ebene, der den Nullpunkt t = 0 weder im Innern noch auf dem Rande enthält, absoZ,ut und gleichmäßig konvergent sind. Man wolle nun in (2) der Reihe nach für u die Werte: co,

u=-

2 '

eintragen, denen die Werte t

q, t

=

=

1 und t

-

=

-

q entsprechen.

Wir erhalten auf diese Weise Produktdarstellungen für 0 (~'), 6(~'),

o(COI t 00.),

welche unter wiederholter Verwendung der Legendreschen

Relation (6) S. 160 die einfachen Gestalten annehmen:

o (CO I) = 2

(3)

i COt e 'I~Wl 211:

co.) _ co. !le-"'~

O ( 2 --;re

0(001+ lll.) 2

=

8

q

-

-t n°O (1 - q2n-1)2 1-

n=1

TI'" (1 + qq2n)2 2n' n=l

q

2n

,

1_

1-t.i lll. e 'I.~".- - ~l-"'J (1 + q2n~ 1): V2

q

211:

n=1

1-

q2n

Die Zusammenfassung der in den Zählern und Nennern zunächst getrennt auftretenden Produkte je in ein einziges ist wegen der unbedingten Konvergenz der Produkte statthaft, Um für die in (3) S.384 erklärten Funktionen 01 Cu), 02 Cu), 0s Cu) Produktdars,tellungen zu gewinnen, hat man in (2) für u der Reihe nach einzutragen u - ~', u - ~', 1~

-

i,

sodann den Exponentialfak-

tor znzusetzen und durch den in Betracht kommenden Ausdruck (3) zu teilen. Die Rechnung führt auf folgende Prodttktdarstellungen der drei geraden Fitn7ctionen zweiter Stufe 0 1 Cu), ... :

406

Ir, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

daß diese Produktdarstellungen in jedem endlichen Bereiche der u-Ebene unbedingt und gleichmäßig konvergieren. Teilen wir diese Gleichungen durch die von S.268 her bekannte Gleichung: (5)

r:: () \:J U =

0).

'I u' -zl-

% e

""'.

II'" sm ro. .

2nu 1 - 2q 2r, cos ~_

nu

(1 _

+

,

q~n

0). q 2n)2--'

n=l

so erg~ben sich zufolge t4) S. 384 Produktentwicklungen für die drei Funktionen zweiter Stufe 'ljJl (u), 'ljJs(u), 'ljJsCu). Zwischen den vier in den vorstehenden Formeln auftretenden Prodnkten l ): (6) Il(l - qh), II(l + q2n), II(l - q2n-I), + qSn-l)

D(1

besteht eine wichtige Beziehung. Zufolge der unbedingten Konvergenz dieser Produkte gelten nämlich die Gleichungen:

II(l - q2n). II(l + q2n) = II(1 _ qh), II(l - q2n-l) fl(1 + q2n-t) = II(l _ q4n-2). Multiplizieren wir diese beiden Gleichungen miteinander, so erscheint rechts bei Zusammenfassung beider Produkte in eines das erste Produkt (6) wieder. Die Werte der drei letzten Produkte (6) ergeben also miteinander multipliziert 1: (7) IIC1 + q2n). fl (1 - q2n-I). II(l + q2n-l) = l. Ehe wir zu Produktdarstellungen für die Funktionen sn w, cn w, dn w übergehen, wollen wir die in (17) S. 392 als eindeutige Funktionen

Ye s-

der Perioden erklärten Größen el' k, le' mit entsprechenden Darstellungen versehen. Dieselben ergeben sich, wenn wir in die in (17) S.392 rechts stehenden 6-Quotienten die inzwischen gewonnenen Produktausdrücke (3) eintragen, dabei wiederholt von der Legendreschen Relation (6) S. 160 Gebrauch machen und endlich bei der Berechnung der Gleichung für

Ye9 -1\

-Ve2':':":el

die eben angegebene Relation (7) heranziehen:

=::- II(l 00

2

n=l

00

q2n)2 .fl"C1+q2n-l)4, n=l

(8) Erklären wir die beiden Ausdrücke -Ve2 - es und schluß an die Gleichungen: le'2 _ e. - es kS = es - e! - e. - el' e. -.eI

Yes -

el 1m An-

. 1) n hat stets alle ganzen positiven Zahlen zu durchlaufen, was der Kürze halber nicht immer angegeben ist.

Produktdarstellungen für die Wurzeln der Integralmoduln u. die Diskriminante

407

als eindeutige Funktionen der Perioden durch:

r C2 -

e; =

k' res

eu

ye;~ e1 = k ~ eu

so finden wir als Produktdarstellungen für die fraglichen Quadratwurzeln der Differenzen der e:

I

'"

res - es

=

res

!l(1 - qh)2.

=: I/(1'"

-Ve2-c~

(9)

:.

2

-e;-

=

n=l

!lP - q2n-1)4, 00

'"

q2n)2. I/(1 n=l

+ q2n-l)4,

l I/(1- q2n)2. II(l + q2n)4. 1

4: 2

'"

00

n~l

n=l

Andrerseits ergeben die Gleichungen (8) die Möglichkeit, auch die achten Wurzeln aus den Integralmoduln k 2 und k'2 als eindeutige Funktionen des Periodenquotienten (jJ zu erklären, was durch die Gleichungen geschehen soll:

(10)

Yk=V2 4

('1

.!. fIOo + q2n ) q8 1+q2n-1' n=l

W-fI(l-q ). . 1 +q2n-1 CIJ

---"®1

2n-l"

n=l

Multiplizieren wir diese beiden Gleichungen miteinander und benutzen die Relation (7), so ergibt sich durch Ausziehen der Kubikwurzel für die 24. Wurzel des Produktes k 2 • k'2 der Integralmoduln die Darstellung als eindeutige Funktion des Periodenquotienten (jJ:

W1kk' v

(11)

=~12 -JifI(__ l_). v'"' q 1 + 2n-1 n=1

q

Die Diskriminante LI stellt sich als Quadrat des' Differenzenproduktes der ev ~,es so dar: LI = 16 [(es - e1) (e2 - es) (es - e1)J2. Die Gleichungen (9) ergeben sonach mit Benutzung der Relation (7) als Produktentwicklung der Diskriminante LI: 2

12

'"

LI = (ro~) q2!!!1 _ q2 n)24,

(12)

was wir auf anderem Wege bereits 8.313 erhalten hatten. Den Übergang zu den Jacobischen Funktionen snw, cnw, dnw vollziehen wir jetzt auf Grund von: snw=

°

ve;-::-~ (u) 01

(tt)

02 (tt)

,cnw=01 (ul'

dn w = 0. (u) . 01 (u)

Nach Eintragung der Produktausdrücke für Vc2 - e1 und die 6-Quotienten wolle man bei sn w von der Relation (7) Gebrauch machen und

II,2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

408

vi?

kann übrigens die von u freien Produkte nach (10) durch Vk und ausdrücken. Führen wir wund K an Stelle von u und W 2 auf Grund der bekannten Beziehungen ein, so finden wir als in jedem endlichen Bereiche der w-Ebene ttnbedingt konvergente P1·oduktda'l'stellllngen der Funktionen sn w, cn w, dn w:

Vk- snw = (13)

V-; cnw _

k k

1

1

00

2K

=

1_2q2nCosnw+q4n K

(

1

n=1

1

=

00

-";20

2K

(

rr n= 1

TL=1

,

1

2 2n-1

q

-

2q4cos--fI --

00

-= dnw

yk'

- nWfI

2 q 4 sin-

2 2n-1

q

(1 + 2q2n-l COS n20 + K ,

1

-

2 2.-1

q

.

n20 + 4n-2 COBX q

1+2lncos.or~+q4n K

-

,,;W

cos K

)

)

n2O+ 4n-2 cos-kq

q4n_')

+ q4n-2

,

,

.

§ 8. Laul'entsche und Fouriel'sche Reihen für die Funktionen sn, cn und dn. Aus den vorstehenden Produktentwicklungen kann man auf rein rechnerischem Wege (nach Vorgang von Jacobi) zu Fourierschen Reihen für die Funktionen sn w, cn wund dn w gelangen. Doch führt eine selbständige Herleitung dieser Reihen aus den Eigenschaften unserer drei Funktionen sogleich tiefer in die Bedeutung dieser Reihen ein (vgl. S. 269). Für die Untersuchung der Funktion sn w bilden wir die u-Ebene mitte1st der Exponentialfunktion: 7fi - (

Oll)

u--

ni , -(w-iK)

(1) t :;;:: eW ' 2 === e2K auf eine unendlich-blättrige Fläche F 00 über der t-Ebene ab, wobei wir zu ähnlichen Verhältnissen kommen wie S. 264. Arbeiten wir des besseren Anschlusses an sn w halber sogleich mit der w·Ebene, so wird das aus zwei Parallelogrammen des ursprünglichen Netzes zusammengesetzte Parallelogramm der Ecken w = ± iK', w = 4K ± iK' eindeutig auf einen Ring der t-Ebene abgebildet, dessen innerer Rand der Einheitskreis der t-Ebene ist, während der äußere Rand aus diesem Kreise mitte1st der Substitution t' = q-1t hervorgeht. Wir wollen diesen ringförmigen Bereich B o nennen. Üben wir auf das fragliche "Doppelparallelogramm" der w-Ebene die sämtlichen Substitutionen:

w' = w

± 2iK',

w' = w

± 4iK',

w' = w

±

6iK', ...

aus und fügen die entstehenden Doppelparallelogramme dem ursprüng-

Vorbereitungen zur Aufstellung einer Fouriersehen Reihe für sn

409'

lichen an, so ergibt sich ein Parallelstreifen der w-Ebene, der sich auf ein schlichtes Blatt der F00 über der t-Ebene abbildet. Den beiden erzeugenden Substitutionen: w' = w

der Gruppe

rc

w)

+ 2iK',

+ 2K

w' = w

entsprechen die Substitutionen:

(2)

= qt,

t'

= - t,

t'

aus denen wir eine wieder mit r(t) zu bezeichnende Gruppe herstellen., Der Bereich B o geht durch die erste dieser Substitutionen in einen ringförmigen Bereich B 1 über, welcher sich längs des Einheitskreises glatt an B o anlagert. Den aus B o und B 1 zusammengesetzten "Doppelring'" nennen wir (Bo + B 1 ). Im Punkte t = 1 (der Stelle w = iK' entsprechend) liegt ein Pol erster Ordnung der Funktion sn w. Der entsprechende Wert von u ist. ~1, in dessen unmittelbarer Nähe zu folge (1) und der Eigenschaften

der Funktionen 6 und 6 1 (vgl. (3) S.384) folgende Entwicklung giit: .

t-l = ~ 00 2

(u -

6(U-

.

00 1 )

2

= n~ 00.

e- -4-6 (;). .

00 1 )

2

1h lJJ l

= _ n~

(00 1 )

2

6 1 (u).

Andrerseits ist zufolge der aus (2) und (1) S.401 sich ergebenden Darstellung der Funktionen sn w durch die Funktionen 6 (u), 6 1 (u) unendlich nahe am Punkte tl

=

-f, (;)

dem Nullpunkte von 6 1 (tl):

V~ 6(~1)

.

sn w

6. (u)

=

.

Durch Multiplikation dieser Gleichung mit der voraufgehenden folgt: lim «t-1). snw) t=1

=

-Ye2 -e1 • e - -"'''2 4 6

ni - -

-

(;)2

((;))2 .-!. • 2

Trägt man für yer - e1 und 6 (~1) die Produktentwicklungen (9) S. 407' und (3) S.405 ein, so folgt unter Benutzung von (7) S. 406: lim

«t -

1) .

sn w)

t=1

=

ni

t

bq"Ill(l-l"i

. .

11(1 + q2n)4

.

Aus der letzten Gleichung (9) S. 407 ergibt sich damit: lim t=1

«t -

1) .

sn w)

= (;).

ni

Vea - e1

=

~. 2Kk

Als Funktion von t ist sn wim Innern des Ringes B o überall analytisch, während auf jeder der beiden Randkurven ein Paar von Polen gelegen ist. Da sn w gegenüber der zweiten Substitution (2) Zeichenwechsel erfährt und also eine ungerade Funktion von t ist, so existiert

410

Ir,2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

für den Bereich B o als Konvergenzbereich eine bestimmte Laurentsche Reihe: +00

snw

~ cr. t 2n ...:;;

=

n=

1

_00

als Darstellung von sn w. In den Punkten t = 1 und t = - 1, den auf dem inneren Rande von B o gelegenen Polen, wird sn w unendlich wie: 'lti

(

2Kk t - 1)

so daß die Differenz: sn w -

'!ti ( 2 Kk t

-1

'!ti

und 'Dtk

1 + t +1)1

_ 1

Ct + 1)

l!Ii

-1

,

'!ti

sn w - Kk t i _

=

t

1

an den beiden fraglichen Stellen analytisch bleibt. Im Innern von B o ist It I > 1, so daß für den Subtrahenden daselbst die konvergente Entwicklung: 0 '!ti t ~'!ti " " t 21O - 1 Kk· t'- 1 =jKk":;'; , n=-oo

und also für die Differenz die Darstellung: o

sn w -

'lti

t Kk t ' l

=..:;.;

00

""( C" -

'!ti)

Ia

t2n-1

n= -?'ol

+..:;.; Cn ""

t 2n - 1

n=l

gültig ist. Die hier links stehende Funktion ist im Innern des Doppelringes (Bo + Bi) überall analytisch, während auf dessen Rande Pole liegen; die auf der rechten Seite stehende Laurentsche Reihe hat somit (Bo + Bi) zum Konvergenzbereiche. Man verstehe jetzt unter t einen Punkt im Illnern von Bi, so daß I< 1 und also die konvergente Entwicklung:

;~ t'~l = - k~ ~ t

2n - 1

n=l

gilt. Tragen wir dieselbe in die letzte Gleichung ein, so ergibt sich für sn w die im Innern vOn Bi konvergente Entwicklung: +00

snw

.L.J (c

=

""

n=::-oo

.

-~) n Kk

t 2n -

1

Dem jetzigen Punkte t entspricht durch die zur ersten Substitution (2) inverse Substitution der im Innern von B o gelegene Punkt t' = q- 1 t. Da sn w gegenüber dieser Substitution unverändert bleibt und für den Re. reich B o die ursprünglich angesetzte Laurentsche Reihe gilt, so ist: +00

sn w =~(cuq-(h-l). t h n=

-00

- 1

411

Herstellung Fourierseher Reihen für sn und cn

die für B 1 gültige Laurentsche Entwicklung, welche demnach wegen ihrer eindeutigen Bestimmtheit mit der eben zuvor angegebenen Reihe identisch sein muß. Es gilt also: c _ 'Jti = C q-(2n-1) C =!!i. q2n-1 "

,

Kk"

Kk

n

q2n-1_ l '

womit die für den Bereich B o gültige Laurentsche Reihe von sn w gewonnen ist; tragen WIr für t den zweiten Ausdruck (1) ein, so folgt: 2n-1 -2-

. ~ +'" snw = Kk,2,;'

(3)

n=

J'tiw

q

(2n-1)q2n-1_1e 2K.

'Jt~

-00

Für die Funktion cn w gilt eine ganz entsprechende Überlegung. In nächster Nähe der Stelle ~1 hat man zunächst: 62

('t)

cnw=--=

62(-~1)

6 1 (u)

6 1 (u)

-e -

_)hW16(~lt002) 4.

6(~2)61(U)'

so daß sich durch Multiplikation mit dem S. 409 für (t - 1) angegebenen Ausdrucke ergibt: •

'Jti

11m (l - 1)· cn tu)

=

-

-

e

_(~l+~.)Wl

002

1=1

4.

6(00"21)6(00-12 + 0)2) -

6 (~2)

•

Durch Eintragung der Produkte für die rechts stehenden 6-Werte findet man unter Benutzung der Gleichung (7) S. 406 und der Legendreschen Relation (6) S. 160:

lim (t-1)cnw) t=1

=

- - 1 - - - - - - - 'Jt

4nq"2 II(l- q2n)2.

.. _ _

fl(l + q2n)4

=-----=:.-=2-kk' 0)2V';;;--=- e1

woraus das Verhalten von cn tu in den Polen t = 1 und t = - 1 zu entnehmen ist. Im ührigen hat man nur noch zu beachten, daß cn w bei Ausübung der ersten Substitution (2) Zeichenwechsel erfährt. Tragen wir in die für Bo gültige Laurentsche Reihe von cu w an Stelle von t gleich wieder den zweiten Ausdruck (1) ein, so folgt:

(4)

cn w =

+00

2n-1

--

ni'w

q 2 .(2n-l)"2K Kk"::"; q2n-1 +1 e . 'Jt

~

n=-oo

Die dritte Funktion dn tu bleibt bei der zweiten Substitution (2) unverändert und ist also als gerade Funktion von t anzusetzen. Das Verhalten von dn w im Punkte t = 1 schließt man am kürzesten aus der Relation: dsnw dt -_.- . = cn tu . dn tu dt

dw

'

412

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

welche mit Rücksicht auf das schon festgestellte Verhalten von sn w und cn w im fraglichen Punkte die Gestalt annimmt: 7ti

(

1

-2Kk t-1

)2·2K=2Kk i 1 ·t_1· dnw . 7t

7t

Da übrigens dn weine gerade Funktion ist, so ergibt sich, daß dn w in den Punkten t = 1 und t = - 1 unendlich wird wie: 1

7t

2

K .t- i

und

-

7t

2 it

1

.t+1.

\Veiter ist noch zu beachten, daß auch dn w wie cn w gegenüber der ersten Substitution (2) Zeichenwechsel erfährt. Es reiht sich an (3) und (4) als Darstellung von dn w:

(5) Zu Fourierschen Reihen für unsere Funktionen gelangen wir nun einfach durch Zusammenfassung der Glieder in (3), (4) und (5) zu Paaren: Für die Funktionen sn w, cn wund dn w gelten folgende Darstellungen in Fouriersehen Reihen: 2n-l

~

Kk

~ snw

q~2~.

= ..:::.,; 1 - q2n-t • n=l

(6)

Kk

-

2,.;

cn w

2K ~~ dn w 11'

=

::2"" n=l

~n

nw

sm (2n - 1) 2K'

-1

q~2 --

- - - . COS

1+l n -

1

(2n - 1)

7t

W

~

2K'

~ 4"n == 1 + ",,' --"~ cos n7tw • ~ 1 +q2n

n=l

K'

der gemeinsame Konvergenzbereich derselben entspricht dem Ringe B o und stellt also einen Parallelstreifen der w-Ebene dar, begrenzt durch zwei Gerade, deren eine dttrch die Pole w = iK' + 2vK läuft, während die andere die Pole w = - iK' + 2vK verbindet. Zu bemerkenswerten Spezialfällen der Gleichungen (6) gelangt man durch Eintragung der besonderen Werte w = 0, K, K + iK', wobei man die Werte der linken Seiten der Gleichungen (6) an diesen Stellen aus der Tabelle von S. 3~3 meist direkt ablesen kann. Wir notieren etwa die für w = 0 entstehenden Gleichungen:

(7)

Einführung der Thetafunktion 411 (V, q)

413

§ 9. Die Foul'iel'sclte Reihen für die ganzen Funktionen 6 1 (u), 6 2 (u), 6 3 (u) und die Thetafunktionell. Die ganzen transzendenten Funktionen 6 1 (u), 6, (u), 6 3 (u) sind nach geeigneter Normierung durch einen Exponentialfaktor (S. 266) in Abhängigkeit von t betrachtet Funktionen, die in der ganzen t-Ebene, abgesehen von den beiden wesentlich singulären Punkten t = 0 und t = co analytisch sind. Hieraus bestimmt sich der Konvergenzbereich der zugehörigen Laurentschen Reihen und der aus ihnen hervorgehenden Fourierschen Reihen, welche letztere in jedem endlichen Bereiche der te-Ebene unbedingt und gleichmäßig konvergent sind. Wir brauchen nun für die Gewinnung der fraglichen Reihen nicht wieder eine grundsätzliche funktionentheoretische Betrachtung anzustellen, sondern können an die Fouriersche Reihe (19) S.272 für die 6-Funktion anknüpfen und "on hieraus den Übergang zu den Entwicklungen der drei 6-Funktionen zweiter Stufe durch einfache Umrechnung gewinnen. Ehe dies geschehen kann, ist noch eine kurze Vorentwicklung auszuführen, welche den in (19) S. 272 links stehenden Faktor cp(!JJ lI !JJ2) betrifft. Versieht man die in der mehrfach genannten Gleichung rechts 1

stehende Reihe mit dem Faktor q4, so gelangt man zur Jacobischen .{Tl-Reihe, welche man unter Einführung der Variabelen: (1)

v=

an Stelle von u bzw. w durch:

(2)

00

tt w - =0~ 2K

(2n+1)'

-&1(v)=2~(-1)nq2-

sin(2n+1)n:v

n=O

zu erklären pflegt; will man die Abhängigkeit von w bzw. von q her1

vorheben, -so schreibt man .{Tl(V, q). Das Produkt von q4 und cp(w17 !JJ2) nennen wir gleich selbst wieder cp(w lI !JJ2) und haben also für diese allein von den Perioden abhängige Funktion die Darstellung:

(3) -

fJ! ( !JJ1, ) W2

=

-2n.!. q 4 (1 O2

-

3 q1- 2 + 5 q2 -3 --,- ~I q3·4 + ...),

welche für jedes im Innern der positiven Halbebene gelegene !JJ konvergiert und, woran wir beiläufig erinnern, einen von 0 verschiedenen Summenwert liefert. Letzteren können wir nun leicht mitte1st der Diskriminante LI darstellen, was hier zunächst geschehen soll. Zu diesem Zwecke leiten wir erstlich eine wichtige partielle Differentialgleichung für die Funktion -&1 (v, q) aus der Reihe (2) ab. Da es

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

414

sich bei Differentiationen nach v im Grunde um Differentiationen der Laurentschen Reihe nach t handelt, so gilt: 0'&

00

Ov-t

=

2n 2 ~

-

(-

1)n(2n

+ 1)2 . q

(2 n +_~)' 2

sin (2n

+ l)nv,

n=O

wo die Reihe den gleichen Konvergenzbereich hat, wie die Reihe (2). Bis auf einen konstanten Faktor gelangt man zu derselben Reihe, wenn man .&1 einmal nach 00 differenziert. Die Vergleichung der sich ergebenden Formel mit der letzten liefert den Satz: Die Funktion .&1 (v, q) befriedigt die pm-tielle Differentialgleichung: 02~

(4)

(:V'

4ni 0A&' .

=

000

Diese Gleichung wollen wir auf u und den S. 316 erklärten Differentiationsprozeß D~ umrechnen. Zunächst gilt:

o·{/,,, =

oo20'~

cv'

2

cu'

002.& . [C210g&, 2 1 OU'

=

+ (ClOg &,)2]

cu'

wie man durch einfache Differentiation feststellt. Bei der Ausübung von D~ auf .&1 hat man zu beachten, daß 00 2 als Nenner in v vorkommt und außerdem 00 im zweiten Argumente q der Funktion auftritt. Es folgt: D (log.&) ~

1

~D ~ (.&) 1

=

&,

=

.1_(f/ &,

2

0&,_ . ~ CV

ooi

+ ~~D ~ (00»). 000

Bei Benutzung der Legendreschen Relation (6) S. 160 findet man:

DYj (00).

1700

= f/t ~ V1

+ f/2 ~ = 000

1),

(/2

2

~ -

'112 ~- = -

00,

:t

2in ~. 2

Die letzte Gleichung ergibt somit: .17&, = 4 nt~

2<>. (~""t'oo, '11. olog&, &U

W 2 'l11

+ 2D'I (Iog'lll <>.») .

Hiel'llach lautet die umgerechnete Differentialgleichung (4):

(5)

c'log&,

cU'

+ (Clooug &,)2 + 2u'1.- clog&~ ou + 2D•(log.&) = 00,

1

O.

Nun gilt zufolge ,der Gleichung (19) S. 272 bei der jetzigen Bedeutung von cp(w 1 , ( 2 ): , log6(u)

=

tu2:'

2

+ log'&l(v) -logcp(ro

l l ( 2 ),

während andrerseits nach S. 322 die 6-Funktion die Differentialgleichung befriedigt:

Berechnung des Faktors in der Gleichung zwischen 6(u) und -l1'1 (v)

415

Aus der voraufgehenden Gleichung ergibt sich aber:

+ o'log-l1'l

02log 6 _ 1), ~-0)2

( 0Iog6)2 =

ou

2D,;Clog6)

+ 2uJ~ qlog4T + (01~~~l)2

u2 1)i

1

O)~

Ott'

lot~

0).

+ 2D~(10g.ß'1) -

~~2D~(1:)

=

6~'

2D'I(10glP).

Tragen wir diese Ausdrücke für die ersten drei Glieder der Differentialgleichung :der 6-Funktion ein, so folgt bei Benutzung der Gleichung (5): u2

Ci + D~(1:) + 12g2) + (:: - 2D/loglP))

O.

=

Da diese Gleichung in u identisch besteht, so muß:

:! + D~(~) + 12g2 2

2

0,

=

2D'I(loglP) - :'!

0

=

zutreffen. Die erste dieser Gleichungen bestätigt sich auch sofort, wenn wir:

D,

I

(1),)

=

0),

'Y)2 D ~ (~) 0).

+ ~D C0 2

~

('Y)2)

~

= _

co.

setzen und den S. 325 bestimmten Ausdruck von zweite Gleichung können wir umschreiben in:

D~(log 1P 2)

-'-

D~(Iog

=

(0 2 )

+ D~ (0.

D~('Y)2)

D,/log (:)

=

eintragen. Die

O.

Diese Gleichung bleibt unverändert bestehen, falls wir dem Ausdrucke unter dem Logarithmus den konstanten Faktor 2:n: zufügen. Wir gelangen dadurch zu der homogenen Funktion (- 3)ter Dimension der Perioden: 2n (6) '1/1 ( 00 11 002) =~;. IP = (0, q2 (1 - 6 q + 9 q

2 (2n)8.l

2

4+"',)

für welche also die Gleichung gilt:

D (log '1/1) ~

=

'Y) olog'l)J 1

OC0 1

+ 'Y)2 olog'lf! = 0(0.

O.

Daneben reihen wir jetzt die "Homogeneitätsl'elation": .,,) D w (1 og'l' -

olog'lf!

OOlTro~

+ 002 Ologtp 3 - 0 0). --

und finden durch Auflösung nach den Ableitungen von log '1/1 unter Benutzung der Legendreschen Relation und der Gleichungen (7) S.313: iJlog1/J Tro~

- 31),

= 2Tn- =

olog'lf! 31)1 ~ = 2in =

1010gd

'i (} (O~,

lologd

.Zw-;'

416

H, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

wofür wir auch schreiben können:

Die ellle dieser Gleichungen ist übrigens eine Folge der anderen, da der unter dem Logarithmus stehende Quotient homogen von nullter Dimension in den OJ v OJ2 ist. Wir schließen aber aus den vorstehenden Gleichungen, daß dieser Quotient überhaupt von den OJ l1 OJ 2 unabhängig und also eine numerische Konstante ist. Erklären wir Li im Anschluß an (12) S. 407 als eindeutige Funktion der Perioden OJ v OJ2 durch:

V

(7)

VA = (2lt)S qt fI(1 _ = n

002

q2n)6 =

1

(211')3 qt(l _ 6 q2 + 9 q4+ ...), 002

so ergibt der Vergleich mit (6) als Darstellungen von von rp durch die Diskriminante Li:

{8)

'1f.! =

VLi,

rp

'1f.!

und damit

y;~ Vd.

=

Die Beziehung von 0(u) zur Funktion -3'1 (v) nimmt daraufhin die neue Gestalt an: (9) wo -3'1 (v) durch die in jedem endlichen Bereiche der v-Ebene ttnbedingt und gleichmäßig konvergente Reihe (2) gegeben ist und der linkm- Hand bei 0(u) anftretende Faktor als eindeutige Funktion de1- Perioden OJ l , OJ~ erklärt ist durch:

(10)

Yw V 2~

R -

Li

=

2,,: 1 co. q"4 (1

- 3 ql.2

+ 5 q2'S -

7qS4

+ ...),

eine Gleichung, die wir atteh ersetzen können dtwch:

(11) Der Übergang zu den drei (j-Funktionen zweiter Stufe ist nun sehr leicht vollzogen. Wir erklären erstlieh (vgl. (9) S.407) durch:

f~ve2 -

I

(12)

e1 =ll(l- q2n)

.fIcl + q2n-l)2,

q2n)

(1 - q2n-l)2,

--e; fICI ·n (v~ V',ve2 ~.<; - :";l/!,(l- ;~'.i1 co •

n=l

=

n=l

(1 +q'")'

die drei links stehenden Ausdrücke als eindeutige Funktionen von

OJ.

Übergang von den 6-Funktionen zweiter Stufe zu den Thetafunktionen

417

Mit Hilfe dieser Erklärung können wir aus (11) und den Produktentwicklungen (3) S.405 entnehmen:

V-

A -co. J}V/ LJ'

r:!

\:)

2%

(13)

() C0 1

-

2

V---"- VLi . 6 (--"-) co 8 2% V LJ

co 3

~ co~--"e - e

, 'I1W -

_.'

-

~e 8 .

=

e

%

3'

2

'I'W'~ . -_. co 4 . _ -

, ro;: V ~ VLi . 6(COlt_0J~)

- e17

VV e3

8

--"-

=

lVii! e-S-

%

+ . 'I'W"

I-

V ~.- ve;-=~

Nnn gilt aber znfolge der Erklärung der 6-Funktionen zweiter Stufe (vgl. S. 384): 6(~') 6 1 (tt) = e-t'l1u 6(1l ~I),

. 6(~') . 6 2(n) =e-t'h

.

6(C0 1 t-('~") 6 3(u)

u

+ 6(u + ~2),

e-t('I 1 +'h)U 6(u

=

+ C0

1

Setzen Wir demnach der Reihe nach in (9) statt u ein tt

t

t CO,). + co;, U + ~2

und u + C0 1 OJ!, so gelangen wir unter Benutzung der Gleichungen (13) und der Legendreschen Relation nach einer leichten Zwischenrechnung zu den Gleichungen: ,;;;- 4 ; - r:! ( ) V .--;: y e2 - es . \J1 tt

-

=

e2w , -Ir1 (v

=

e2w, q4 e

, ;;;-

V ': ye;-~-el . 6" Cu)

,1-

V:: ye2 -

Setzen wir:

(14)

r-

i t

el

•

6 s(u)

-}

• ""u'

~ e 2 01, q

=

'I, u' '10'"

1

iqt ertiv • -Ir1 (v +~)

7tiv

e

-Ir1

(

V

+ CO) -2 '

.

+ t),

7tiV

-Ir1(v

+ !....~ CO).

-Iro(v),

=

-Ir1(V+t)=-Ir2(V), qt ertiv -Ir1 (v

+ !....~ CO) =

-Irs (v),

so haben wir damit die drei geraden Thetafunktionen Jacobis gewonnen, die also mit den 6-Funktionen zweiter Stufe durch:

I~ Ve (

(15)

2-

Cs . 6

~~

1

Cu)

=

e

2W:

-Iro(v),

jV:: V",; .6,(.) ~ ':::: ",(v), lV:' K"~ e1 . 6 3(u)

Fr i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. 1

=

e 2w, -Irs(v) 27

418 .

1I,2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

zusammenhängen. Als Funktionen von v und q schreiben wir die Thetafunktionen ausführlich -f7o(v, q), -f71 (v, q), ... ; ihre Reihenentwicklungen pflegt man zunächst in die Gestalt zu kleiden:

:E (- 1)nqn2e2nJtvi, +00

-f7o (v, q)

=

n=-oo

n=

(16)

-00

n=-oo

:E qn2e2nJtDi. +00

-f7s (v, q)

=

n=-J.:;

Die -f71-Reihe gewinnt man sofort aus der Gleichung (2); aus der -f7c Reihe gehen dann die übrigen drei Reihen einfach auf Grund der Erklärungen (14) hervor. Als Fouriersche Reihen der -f7-Funktionen haben wir hiernach: -f70(V' q)

(17)

!

-f71 (v,

q)

1 - 2qcos2nv

=

=

-f7 s (v, q)

=

9

1

9

2q4 sinnv - 2q4 sin3nv

=

-f72 (v, q)

+ 2rz4cos4nv -

1

2q9cos6nv

+' .. ,

+ 2q4 sin5nv - " ' , 25

25

+ 2q4 cos3nv + 2q4 cos5nv +"., 1 + 2q"cos2nv + 2q4cos4nv + 2q9cos6nv +' .. ,

2q4 cosnv

womit dann auf Grund von (15) zugleich die }1~ourierschen Reihen für die drei G-Funktionen zweiter Stufe gewonnen sind. Natürlich sind diese Reihen sämtlich wie die -f7J -Reihe in jedem endlichen Bereiche der v-Ebene unbedingt und gleichmäßig konvergent. Tragen wir in (9) und (15) für die G-Funktionen die ProduktA (0) und (4) S. 405ft'. ein und ziehen die Formeln (11) und (12) S.416 heran, so ergeben sich für die -f7-Funktionen folgende Produktentwicklul1gen: -f70(v, q)

=

-f71 (v, g)

=

-f72 (v, q)

=

-f7s (v, q)

=

h (1 -

'l2n)

n=l

h (1 -

n=l

1

2q4 sin nv . fl (1- q2n) 'X:

n=l

(18)

2 q2n-l cos 2nv

1

n (1- 2 00 •

n=l

2q4 cos nv . fl (1_g 2n ) II (1 ~

00

n=l

fl(l00

n=1

q2n)

n=l

+ q4n-2),

'l 2n cos 2nv

+ 'l4n),

+ 2q2n eos 2nv + q4n),

flCl + 2q2n-l cos2nv + q4n-2), '"

n=1

Grundeigenschaften der Thetafunktionen

419

welche gleichfalls in jedem endlichen Bereiche der v-Ebene unbedingt konvergent sind. Bei Änderung von u um m1 und m2 und also von v um mund 1 zeigen die Thetafunktionen folgendes Verhalten:

&o(v + m) = - q-1 e-2n'd&O(V), &o(v + 1) = + &o(v), &1 (v + m) = - q-1 e-2n'vt&1 (v), &1(V + 1) = - &1 (v), (19) &2 (v + m) = + q-1 e-2n'vt&2 (v), &2(V + 1) = - &2(V), &s(v + m) = + q-1 e-2n'vi&S (v), &s(v + 1) = + &s(v), wie man aus dem entsprechenden Verhalten der 6-Funktionen oder auch direkt aus den Reihen (16) abliest. Das Verhalten der Thetafunktionen bei Vermehrung des Argumentes v um Periodenhälften, wie es sich aus (14) und (19) leicht berechnen läßt, stellen wir gleich tabellarisch zusammen: v'

v

I

=

I

+00

v

+t

v+ +

1 oo 2 ----------

~~-n'V-i;-l(v)I-&-s-(v-)

-&O-(-V,)---I-iq---+

&2CV) &2(V') =

I q-fe-n'Vi&S(V) I - &1 (v)

&s(v')

I---;-fe-~~~~(v) -I--.;~~

=

_iq-+e-n'Vi&o(V) iq-f e- nVi &1(V)

Setzen wir in den drei geraden Thetafunktionen v = 0, so ergeben sich die drei kurz durch .{to' &2' &s zu bezeichnenden "Thetal1ullwerte": -B'o = 1 - 2 q + 2 q4 - 2 q9 + 2 q16 - 2 q25 + ... , (20)

J

&2

1

9

25

49

+ 2q"4 + 2q"4 + 2q4 +. ", 1 + 2q + 2 q4 + 2 q9 + 2 q16 + 2q25 + "';

2q""4

=

1&s =

sie sind identisch mit den in (12) eindeutig erklärten Wurzelausdrücken:

(21) Y';-Ve2 - e1 = &al

YC;:-J!e2

-

es = &01

~-J!es -=-~ =

&2'

Für die durch (10) S. 407 miterklärten vierten Wurzeln der Integralmoduln k 2 und k'2 findet sich weiter:

Vk =

(22)

~2

3

I yk' :0 I =

3

so daß zwischen den drei Thetanullwerten die Relation besteht: (23) &~ + &~ = &~. Der Nullwert der ersten Ableitung von -&1 (v) heiße kurz -&~: (24)

I

&1

=

27t(q-4 - 3q"4 + 5q"4 - 7 q4 1

9.

25

49

+ ...); 27*

II,2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

420

teilen wir durch 00 2 , so gelangen wir zur rechten Seite; der Gleichung (10) zurück, so daß wir finden: (25) Da (vgl. z. B. die Formeln (11) und (12»):

y~ ~~- ea -v'es -

e1

11e

2

e1

=

V;; f/

Li

gilt, so liefern die Formeln (21) und (25) zwischen den Thetanullwerten weiter die Beziehung:

(26)

{}~ =

n{}O{}2{}S'

Die doppeltperiodischen Funktionen sn w, cn w, dn w selbst stellen sich in den Thetafunktionen so dar:

(27)

,r Vk

sn w

=

it, (v) itu(v)'

,/k V 7? cn w

=

it2 (v) ito (v)'

1

yl? dnw =

(v) itu(v) ,

,f}3

wofür wir auch schreiben könnten:

(28)

s nw _itS.it,(v)

-", '11 2

"'()' 0 V

it2(v) vv-"2',,0(V)' '11 'lJ

cn",,_ito

'11

Die zwischen den sn w, cn w, dn w bestehenden quadratischen Relationen schreiben sich demnach in den Thetafunktionen so: (29)

{

{}~{}1 (V)2 {}~{}1 (V)2

+ {}Ö''}2 (v)2 = {}E ltoev)2, + {}~{}S(V)2 = {}~{}o(v?,

so daß zwischen den Quadraten der vier Thetafunktionen zwei lineare Relationen mit von v unabhängigen Koeffizienten identisch bestehen. Wir können hinzusetzen, daß für je drei unter diesen vier Quadraten eine solche Relation besteht; denn aus (29) folgen mit Hilfe von (23) sofort die beiden weiteren Relationen: {}5{}O(V)2 + {}~{}2(V)2 = {}~{}3(V)2, { (30) {}~{}l(V?

+ {}~{}2(V)2 ={}~{}3(V)2.

§ 10. Die Thetafunktiouen mit beliebiger Charakteristik. Die Nullpunkte der Thetafunktionen liegen in den Ecken, den Seitenmitten und dem Mittelpunkte des ursprünglich ausgewählten Perioden~ parallelogramms der Ecken 0,00 2 , 00 1 + 00 2 , 00 1 , Will man die Thetafunktionen zur Darstellung der elliptischen Funktionen der drei verschiedenen Arten gebrauchen, ähnlich wie oben (S. 212 ff.) zu diesem Zwecke C3 (u) herangezogen wurde, so hat man entsprechend dem Übergange von C3 (u) zur Funktion C3 (u - uo) mit beliebigem N ullpunkte uo eine Thetafunktion mit derart abgeändertem Argumente her-

Thetafunktionen mit beliebiger Charakteristik (g, h)

421

zustellen, daß der Nullpunkt an einer beliebig vorzuschreibenden Stelle des Parallelogramms liegt. Wir können hierbei an irgendeine unter den vier Thetafunktionen anknüpfen; jedoch empfiehlt es sich, -/t3 (v) zu bevorzugen. Wir setzen an:

-/ts(v _

goo;- h)

und haben damit eine Funktion hergestellt, deren Nullpunkt bei: Vo =

(l+g)OO+(l-h) 2

liegt. Wenn wir demnach unter 9 und h zwei reelle Größen der Intervalle - 1 < g < + 1, - 1 < h < + 1 verstehen, so werden gerade die gesamten Punkte V o des auf die v-Ebene übertragenen Periodenparallelogramms erschöpft. Doch gelten die nachfolgenden Betrachtungen auch dann, wenn wir unter 9 und h irgendwelche reelle Größen verstehen. Die in Ansatz gebrachte Funktion wollen wir noch mit einem unten näher zu bestimmenden Exponentialfaktor versehen und schreiben alsdann abkürzend: ea• + b -/t3 (v _ 00 2= -/t (v) • uh

9 h)

Die Zusammenstellung (g, h) der beiden reellen Zahlen g, h nennen wir die "Charaktm'istik" der hergestellten }1'unktion und bezeichnen die letztere auch· als "Thetafunktion der Charakteristik (g, h)". Den hinzugefügten Exponentialfaktor bestimmen wir in der Weise, daß die Funktion -/tuh (v) sowohl bei Vermehrung von v um 1 und um ro als auch in ihrer Abhängigkeit von ro ein tunlichst einfaches Verhalten zeigt. Vermehren wir v um ro, so finden wir unter Benutzung der letzten Formel (19) S.419: -/tUh (v + ro) = e- nih . e(a+Ttig)w. q-le-2Ttiv-/tgh(V). Es wird sich also empfehlen, a = - nig zu setzen, damit der zweite Exponentialfaktor rechts gleich 1 wird. Schreiben wir den noch nicht bestimmten Faktor el) in Abhängigkeit von ro allein cp(ro), so gilt also:

-/tgh(v)

=

cp(ro). e- nigv • -/ts(v -

g-",-;:jL).

Bei der Auswahl von cp (ro) gehen wir von der Tatsache aus, daß die unter (4) S. 414 angegebene Differentialgleichung der -/tl-Funktion t'on allen mer Thetafunktionen -/t,,(v, q) befriedigt wird: o'~(v, q) _ 4' o~(v, q) (1) 6v--'--- ~n; ~, wie z. B. aus den Reihenentwicklungen (17) S.418 sofort folgt. Es ist

422

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

nun möglich, den Faktor cp(w) so zu bestimmen, daß auch &g,,(v) dieser Differentialgleichung genügt. Gebrauchen wir für die beiden ersten Ableitungen von &3 (v, q) nach dem ersten Argumente die Bezeichnungen &~ und &~, während wir die erste Ableitung nach dem im zweiten Argumente q enthaltenen wals Differentialquotient schreiben, so gilt:

02{}gh(V,q) = --8v'---

-7ti v { , , ( 9ro-h) " . ,( 9ro-h) cp () w . e U &s v --2--- - ;;:;n~g&s v - --2 . 9ro-h)} - n 2g 2<>. "'s ( v - -2-

,

{} -f o{} (v -9ro-h) o gh(V,q)=m(w)-.e2 _l.g&'(v_fl!'l_-h) 7tiYV l oro -r oro 2 3 2 3

M

+ dlog

&

3

(v _ !Lro_~2 h) }.

Nun ist, da für die &3-Funktion die Differentialgleichung (1) gilt:

&'~(v -

gro

:;71,) =

o,ff

4ni

(v_ 9ro -

h)

---''---o-;~--'

so daß aus den vorstehenden Gleichungen sich ergibt: 2 2,ff g h (v, q)

.

--2v-2- - 4nz

o,ff g h

Cv, q)

000

=

-

.'

(

)

(d log

4nZ&gh v, q . ---Tro-- -

1,' 2) lng .

4;

Soll demnach die Differentialgleichung (1) auch von der Funktion &gh erfüllt sein, so haben wir cp(w) aus: dlog
1

• 2

=4;nzg

zu

.11tig2.w

tp(w)=c·e 4

zu bestimmen, unter c eine numerische Konstante verstanden. Wir verfügen über diese Konstante in der Art, daß wir nunmehr endgültig: 9ro-h) (2) &glt(v,q)=e-7tir;(v-±uu'-i") &s ( v--2schreiben. Dann gilt der Satz: Die Thetafunktion (2) der Charakteristik (g, h) hat 1'hren einzigen im Periodenparallelogramm gelegenen Nullpun7ct erster Ordnung mz der oben angegebenen Stelle vo' genügt als Funktion von v und w der partiellen Differentialgleichung (1) und zeigt bei Vermehrung von v um 1 und um w das Verhalten,'

(3)

{&u lt (v &g h(v

+ 1) =

+ w) =

e- 7tiY &gh(V) e- 7t i hq-l e-27t;v&gh (v).

Da die beiden reellen Größen g, h auf die Intervalle - 1 < g < + 1, - 1 < h ~ + 1 beschränkt werden können, so sind die einzigen ganzzahligen Charakteristiken, die man auch als "Hauptcharakteristiken" bezeichnet, die vier (0,0), (1,0), (0,1), (1,1). Mit Hilfe der Tabelle von S. 419 stellt

Begriff der Thetafunktionen mter Ordnung der Charakteristik (y, h)

423

man leicht fest, daß diese genau zu den vier ursprünglichen Thetafunktionen führen:

(4)

4t01 (v)

=

4to(v),

4tl1 (v)

it1 (v),

=

itlO (v)

=

4t2 (v),

4too (v) = 4t3 (v).

Das Formelpaar (3) faßt entsprechend die vier Paare (19) in einen Ausdruck zusammen.

§ 11. Die Thetafunktionen höherer Ordnung mit beliebiger Charakteristik. Die Entwicklungen von § 10 verallgemeinern wir jetzt durch folgende Erklärung: Indem wir die Zahlen g, h in der bisherigen Bedeutung beibehalten, verstehen wir ~mter einm' Thetafunktion der positiven ganzzahligen Ordnung m und der Charakteristik (g, h) eine ganze transzendente Funktion it~n~)(v, q), welche bei Vermehru,ng von v 1un 1 ~md ~tm ro das Verhalten zeigt: 4t(m) (v + 1) = c- 7ti g 4t(m) (v) , gh J gh \ (1) l4t(m)(v + 01) = e- nihq-m e-2m7tiv it(m) (v) , gh glt

uni! welche als Funktion von v und ro die Differentialgleichung: i32{T~~)(V,q)

(2)

---~---

o v'

i3{T~~)(v,q)

.

4~%m - - - - i3 ro

=

befriedigt. Für m = 1 kommen wir auf die in § 10 betrachteten Funktionen 4tgh (v) zurück. Betrachten wir zunächst die Charakteristik (0,0), so wird eine hierher gehörige Funktion zufolge der ersten Gleichung (1) in eine Laurentsche Reihe nach t = e2niv entwickelbar sein, welche wieder denselben Konvergenzbereich wie die ursprünglichen it-Reihen hat. Wir setzen diese Reihe gleich in die Gestalt: it(m)(v) 00

+00 ~

=

...::::..;

cn e2nniv ,

n=-a;)

wo die Koeffizienten

Cn

von v unabhängig sind. Hieraus folgt:

it~~)(v

und da andererseits:

+ ro)

+00

~ ( Cnq2n) e2nniv;

=

n=- co

q-me-2m7ti"it~7:)(v)

=

+'" ,2; (Cn+mq-m)e2n7tiv n=-

00

gilt, so liefert die zweite Gleichung (1) wegen der eindeutigen Bestimmtheit der Laurentschen Reihe in ihrem Konvergenzbereiche die Rekursionsformel:

424

Il, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

Ist m = 1, d. h. haben wir den bisher allein betrachteten Fall der Thetafunktionen erster Ordnung, so sind alle Koeffizienten durch einen unter ihnen, etwa co, aus der Rekursionsformel berechenbar. Ist m> 1, so haben wir entsprechend der Bauart dieser Formel etwa co, Ci .•. , Cm-i vorerst noch unbestimmt zu lassen und finden dann aus einem unter diesen Koeffizienten, den wir c. nennen, durch wiederholte Anwendung der Rekursionsformel: Ckm+. =

c.qk2 m+2k,.,

(k~-oo, ... ,+oo; ,'~O.l,2, .. ·,m-l),

so daß mit C. alle diejenigen Koeffizienten cn eindeutig bestimmt sind, deren Indizes n modulo m n;lit v kongruent sind. An Stelle der m Koeffizienten c. wollen wir noch eintragen:

und findet dann unter Zusammenfassung aller Reihenglieder, die das einzelne c; als Faktor aufweisen, für -&~~) (v) ein Aggregat der Gestalt:

(3)

-&~~)(v) = c~-&~':;)(v\

+ c~-&&~)(V)l + ... + c~_i-&~~)(v)m_V

wobei -&(rn)(v) zu erklären ist durch: 00 v + 00

-&~~)(v).

(4)

=

2)q k=-

(km+ .)' m

e2 (km+,.)ttiv.

00

Die hier rechts stehende Reihe können wir nun auch so schreiben: 112.

qn, e2 • ttiv

'2J +

00

qk2me2k71i(mv+vw).

k=-oo

Damit aber kommen wir auf die -&s-Funktion mit den Argumenten (mv vro) und qm zurück:

+

(5)

(In)() -&00 v, q v

.2

=

-

2vJtiv

qme

-&3 ( mv

+ vro, qm , )

so daß sich die besonderen Funktionen (4) der Oharakteristik (0,0) in der einfachen Gestalt (5) dtlrch die ursprüngliche -&s-Funletion darstellen lassen. Man beachte weiter, daß die m Funktionen (4) linear-unabhängig sind. Bestände nämlich zwischen ihnen eine lineare homogene Relation mit nicht durchweg verschwindenden Koeffizienten identisch, so würde dieselbe auf t umgeschrieben eine Laurentsche Reihe mit nicht durchweg verschwindenden Koeffizienten 1), aber von identisch verschwindendem Summenwerte liefern, was unmöglich ist. Da übrigens jede die Bedingungen (1) befriedigende Funktion der Charakteristik (0,0) in der Gestalt (3) durch die Funktion (4) darstellbar war, so gewinnen wir das 1) Man beachte, daß ol1.~n~) (v). diejenigen Glieder der Laurentschen Reihe liefert, deren Exponenten modulo 'In mit " kongruent sind.

425

Die Thetafunktionen mter Ordnung der Charakteristik (0, 0)

Ergebnis: Die Reihen (4) liefern m ganze transzendente, voneinander linear-unabhängige Funktionen, die den Bedingungen (1) für die Charakteristik (0,0) genügen; nnd umgekehrt ist jede solche Fnnktion in den m Fnn7ctionen (4) linear und homogen mit von v unabhängigen Koeffizienten darstellbar. Was nun zweitens die Differentialgleichung (2) angeht, so ist aus der Reihe in (4) rechts leicht zu zeigen, daß jede der m Funktionen ,fr~~) (v)" jene Gleichung befriedigt. Hieraus folgt, daß ein Ausdruck:

(v q)

(6)

,fr(m) 00'

m-1

=

~C

,fr(m)

(v q)

~.oo',

.=0

mit von v unabhängigen Koeffizienten cl' die Gleichung (2) stets und nur dann befriedigt, wenn: m-1

d

~~ (v , q) dro ,fr(m) 00

~

.V

=

°

dc.

identisch besteht. Dies erfordert aber, daß alle m Ableitungen d;;; verschwinden, weil wir andernfalls bei Umschreibung auf t wieder zu einer Laurentschen Reihe mit nicht durchweg verschwindenden Koeffizienten, aber identisch verschwindendem Summenwerte gelangen würden. Die cl' sind also auch von ro unabhängig. Die ,fr~~) (v, q). sind m voneinander linear-unabhängige Thetafunktionen m ier Ordnnng der Charakteristik (0,0); dnrch sie läßt sich jede solche Fnnktion in der Gestalt (6) mittels numerischer, d. h. von v nnd ro nnabhängiger Koeffizienten d(trstcllen. Die Thetafunktionen mter Ordnung der übrigen Charakteristiken (g, h) kann man genau, wie dies in § 10 für die erste Ordnung ausgeführt wurde, aus denjenigen der Charakteristik (0, 0) herstellen. Setzt man:

A,(m)C) v,q

"'Ilh

=!p

() <>.(m)( gW-h) ro ·e-:n:iIlV ·"'00 v- 2m ,q ,

wo !p (ro) von v unabhängig ist, so genügt diese Funktion jedenfalls den Bedingungen (1). Die Forderung, daß die Differentialgleichung (2) erfüllt ist, führt aber, von unwesentlichen Änderungen abgesehen, wieder genau zur Entwicklung von S. 422 zurück. Für das Bestehen der Gleichung (2) ist die Bedingung: dlog
'ltig'

="4m hinreichend und notwendig, wodurch !p (ro) bis auf einen numerischen Faktor eindeutig bestimmt ist. Um eine Formel zu gewinnen, in der die Gleichung (2) S.422 als Spezialfall m = 1 enthalten ist, setzen wir: dw

(7)

426

II,2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

und haben auf diese Weise sicher eine Thetafunktion mter Ordnung der Charakteristik (g, h) gewonnen. Ist andrerseits eine beliebige solche :Funktion in &~n;:) (v) vorgelegt, so erkennt man in:

It)

gw nig ( v+----

e

4m

m&(1Tt)(v+ gro

=fi,) -,

2m

glt

sofort eIne Thetafunktion m ter Ordnung der Charakteristik (0, 0). Die Gleichung (7) liefert uns gerade genau die gesamten Thetaft{nktionen m ter Ordmmg der Oharakteristik (g, h), falls rechter Rand &S~) alle Thetafunktionen mter Ordnung da Oharakteristik (0, 0) dnrchlättft. Die weiter über die Charakteristik (0, 0) entwickelten Sätze übertragen sich jetzt sofort auf jede andere Charakteristik. Wir gelangen zu dem Ergebnis: Den m besonderen Funktionen &~~)(v)y entsprechen vermöge (7) m linear-unabhängige Thetafunktionen Inter Ordnung &~~) (v, q)y der Oharakteristik (g, h), in denen sich jede Funktion dieser Art linear und homogen mit nwnerischen Koeffizienten darstellt.

§ 12. Die Thetafunktionen 'mter Ordnung als ganze elliptische Funktionen dritter Art. Führen wir an Stelle von v das Argument tt wieder ein, so können wir die Gleichungen (1) S. 423, denen eine Thetafunktion mter Ordnung der Charakteristik (g, h) genügt, in die Gestalt:

setzen. Wir erkennen nach den Erklärungen tionen dritter Art, und Gleichungen (2) S. 217 Bedeutung:

also in unseren Thetafunktionen mter Ordnung von S. 217 und S. 221 ganze elliptische Funkzwar haben die in den Exponentialfaktoren der auftretenden Koeffizienten !/O, v hier die folgende vl

=

-

t

m0 -

t h,

Nach einem S. 220 aufgestellten Satze muß für jede elliptische Fnnktion dritter Art der Ausdruck (0 l !L2 - °2 1-1-1) eine ganze Zahl darstellen, welche wir als "Ordnung" der Funktion bezeichneten, und welche den Überschuß der Anzahl der Nullpunkte über diejenige der Pole der Funktion im Periodenparallelogramm liefert. Wir folgern aus den eben angegebenenen Werten von !/ol' 1-1-2: Eine Theta/unktion mter Ordnung gehört auch als elliptische Funktion dritter Art zur Ordnung m und hat

Thetafunktionen .ft~~ (11, q) und ganze elliptische Funktionen 3. Art

427

demnach als ganze Funktion im Periodenparallelogramm insgesamt m einfache Nullpunkte, die natürlich auch irgendwie zusammenfallen dürfen. Um die Beziehung der Thetafunktionen zu den ganzen elliptischen Funktionen dritter Art weiter darzulegen, verstehen wir unter 1fJ(u) il'gendeine ganze elliptische Funktion dritter Art der Ordnung mund gehen auf die eben bereits genannten Gleichungen: 1fJ(u + ro1 ) = e2i7t(1111t+Vl)1fJ(U), 1fJ(~t + 002) = e2i7t (p,U+v.)1/;,(u) zurück, wobei also für (l-11 (l-2 die Bedingung gilt: ro1 !l2 -

W 2 !l1 =

m.

Da im übrigen die [~1) !l2' V 1 , V 2 . beliebige komplexe Größen sind, so scheinen zunächst die Funktionen 1fJ(n) insofern weiter als die Thetafunktionen zu reichen, als doch in den entsprechenden Definitionsgleichungen (1) S. 423 die g, h reelle Werte haben sollten. Dieser Unterschied

ist indessen nnl' scheinbar nnd kann durch eine "Normierung" von 1fJ(u) mit einem Exponentialfaktor himceg gehoben werden. In der Tat wollen wir von 1fJ('lt) zur Funktion: _ n//'--2_u.'l._7t-ilu

r:p(tt) = e w. 1fJ(n) übergehen, indem wir uns die nähere Bestimmung von il vorbehalten. Das Verhalten dieser Funktion r:p (n) bei Vermehrung des Argumentes ~t um ro 2 und um 00 1 ist infolge der vorstehenden Gleichungen: r:p(u + 00 2) = e- 7ti (Z"'.+,ll,W.- 21")r:p(U), r:p ( u + ro1)

=

"

-7ti(Ä.CUl+PlWl-2vl) -nt -2iJtm-

e

q

e

,)

'". r:p ~ u .

Wir können nun il eindeutig durch die Forderung festlegen, daß die beiden Klammerausdrücke in den Exponenten rechter Hand reell ausfallen. Schreiben wir unter Trennung der reellen und imaginären Bestandteile l = l' + iJ.", 00 2 = ro; + iw~, ... , so kleidet sich jene Forderung in die Gleichungen: l' ro~ l' ro~

+ l" ro; = + l" ro; =

2v~ - (l-; ro; - !l~ 00;, 2v~ - !l; w~ -

(l-~ wJ',

aus denen wir, da 00; ro; - 00;' ro; < 0 gilt, l' und il T, und damit l eindeutig berechnen können. Auf diese Weise gewinnen wir zwei eindeutig bestimmte reelle Größen:

(1)

9=

().

+ !l2)ro2 -

2v2 ,

h

=

(il

+ ,U1)ro1 -

2v1;

auch können wir, da in den Bedingungsgleichungen der Funktion 1fJ (u) €ine Abänderung von VI und V 2 um irgendwelche ganze Zahlen ohne Folge ist, die Größen VI und V 2 so bestimmt denken, daß die beiden reellen Zahlen g, h unseren oben vorgeschriebenen Intervallen -1
II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

428

- 1 < h < + 1 angehören. Es rechnet sich nun das oben für q;(u) angegebene Gleichungenpaar, wenn wir noch die Bezeichnung gebrauchen:

q;(u)

=

q;(vw 2 )

=

6(v),

in die folgende Gestalt um: 6(v + 1) = e- 7tig 6(v), { (2) 6(v + w) = e-7tihq-me-2m7tiv6(v). Hiermit haben wir in der Tat die Bedingungsgleichungen (1) S.423 der Thetafunktionen wieder gewonnen und wollen die Funktion 6(v) dieserhalb genauer mit 6bnl)(v) bezeichnen. Die an jene Gleichungen (1) S.423 geknüpften Rechnungen des vorigen Paragraphen dürfen wir demnach auf ()~~(v) in Anwendung bringen. Auf Grund jener Rechnungen oder auch aus dem gleich wieder ausführlich zu betrachtenden Hermiteschen Prinzip (vgI. S.228) folgt die DarsteIlbarkeit jeder Funktion 6~~) (v) in der Gestalt:

6b~!(v)

=;

co&~~)(v)o

+ Cl&~n~)(V)l + ... + Cm_l&t~)(V)m_l

mit Koeffizienten, die von v unabhängig sind. Das hier rechts stehende Aggregat liefert offenbar auch dann noch eine die Relationen (2) befriedigende Funktion, wenn die Cv irgendwelche Funktionen von w sind. Hieraus geht hervor, daß zwar für m = 1 jede Funktion 6~rI:,l(v) durch Behaften mit einem weiteren von wallein abhängenden Faktor zu einer Thetafunktion gemacht werden kann, daß dies indes für m > 1 nicht mehr stets möglich ist; denn diese Möglichkeit erfordert nach dem Schlußsatze von § 11 offenbar, daß die Quotienten der co, cl I ••• , C",_1 von w unabhängig sind, was eine Besonderheit ist. Nennen wir demnach jede den Bedingungen (2) genügende ganze transzendente Funktion eine "allgemeine" Thetafunktion m,ter Ordnung 6~~>C v) der Charakteristik (g, h), so umfassen dieselben zwar die Thetafunktionen &~/~(v) als Spezialfälle, werden ihrerseits aber nicht durch diese Thetaftmktionen erschöpft; die zweite Bedingung (2) S. 423, die Diffm'entialgleichung der Funktionen &~~)(v), kommt demnach für die allgemeinen Thetafunktionen 6~~:)(v) in Fortfall. Die Beziehung zu den ganzen elliptischen Funktionen dritter Art gestaltet sich nun einfach so, daß die letzteren nach Hinzttfiigung des oben bestimmten Exponentialfaktors gerade die gesamten allgemeinen Thetafunktionen ()~rIJ.l (v) liefern. Eine Bemerkung ist noch über die Beschränkung der reellen Zahlen g, h auf die Intervalle - 1 < g < + 1, - 1 < h < + 1 nachzutragen. Ä.ndern wir etwa in der Gleichung (7) S. 425, welche wir auf beliebige reelle g, h beziehen, 9 und h um irgendwelche gerade ganze Zahlen, so

Beziehung der "allgemeinen" 'l'hetafunktion zu den .&~~)(v, q)

429

bleibt die durch jene Gleichung dargestellte Thetafunktion keineswegs unverändert. Indessen bleibt sie eine Thetafunktion der anfänglichen Charakteristik, da in den erklärenden Gleichungen (1) S. 423 und auch (2) S. 428 eine Ä.nderung der g, h um gerade ganze Zahlen folgenlos ist. Die Zulassung von Zahlen g, h außerhalb der angegebenen Intervalle würde uns also keine neuen Funktionen mehr liefern können. Für die gleichitndrigen ganzen elliptischen Funktionen dritter Art hatten wir S. 227 auf Grund funktionentheoretischer Erwägungen das Hermitesche Prinzip abgeleitet: Unter den gleichändrigen ganzen elliptischen Funkt1"onen d1"itter Art m ter Ordnung gibt es stets im ganzen In linear-unabhängige, in denen alle weiteren linear und homogen mit von u unabhängigen Koeffizienten darstellbar sind. Zu diesem Prinzipe führten uns die Reihenentwicklungen des § 11 aufs neue hin, und zwar sowohl für die allgemeinen Thetafunktionen mter Ordnung wie auch für die speziellen, für die letzteren in der besonderen Gestalt, daß die Funktionen gleicher Charakteristik stets in m linear-unabhängigen unter ihnen linear und homogen mit numerischen, d. h. auch von ca unabhängigen Koeffizienten darstellbar waren. Die ganzen elliptischen Funktionen dritter Art wurden S. 221 aus 6-Produkten aufgebaut. Statt der 6-Funktionen können wir auch die Thetafunktionen erster Ordnung &gh (v) benutzen. Ein Produkt von m Funktionen &Il h (v) erster Ordnung stellt zufolge (3) S. 422 allemal eine allgemeine Thetafunktion mter Ordnung: m

8~~(v,q) =lJ&fj"",(v,q) v=l

dar, deren Charakteristik sich aus: g

gl

+ g2 + ... + gm'

h - h1

+ h2 + ... + km

(mod.2)

bestimmt. Sind die Charakteristiken (g~, h,,) sämtlich ganzzablig ("Hauptcharakteristiken"), so gilt dasselbe von Cg, h). Einige hierauf bezügliche Ausführungen mögen sich hier anschließen. Im Falle der Ordnung m = 2 haben wir in den vier Quadraten der ursprünglichen &-Funktionen und in ihren Produkten zu zweien lauter Funktionen 8~21. (v) vor uns; und zwar verteilen sie sich auf die vier ganzzahligen Ch arakteristiken so: (0,0)

&0 (v) 2,

(1,0) (0,1) (1,1)

&0 (v) &1 (v), &0 (v) &a (v), &0 (v) &2 (v),

&1 (v)2,

&2 (v) 2,

&3 (V)2,

&2 (v) &3 (v), &1 (v) &2 (v),

&l(V)&a(v).

Je die zwei Funktionen der drei letzten Paare sind linear-unabhängig,

430

Ir, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

WIe man z. B. aus dem Umstande entnimmt, daß die eine Funktion gerade und die aridm'e ungerade ist. Es läßt sich also z. B. jede Funktion ()~~ (v) in der Gestalt: ()~22

(v)

Co &0('1,')&2 (v)

=

+ Cl &1 (v) &3 (v)

darstellen, wo die Koeffizienten co, Cl von v unabhängig sind. Auch &0 (V)2, &1 ('1,'l erkennt man leicht als linear-unabhängig, so daß z. B. die Funktionen &2 ('1,')2 und &3 ~V)2 in den Gestalten:

&2 (v)2 = co&oev)2 &3 ('1,')2 = C~-&0(V)2

+ Cl &1 (V)2,

+ C;&l ('1,')2

darstellbar sein müssen. Die Koeffizienten lassen sich leicht durch die Thetanullwerte &0' -&17 &2' &3 darstellen. Es ergibt sich nämlich, wenn wir v = 0 eintragen: sOWIe wenn wir v =§ setzen und die Tabelle von S.419 benutzen:

+ Cl'<>'2 Co'<>.2 V 3 v 2· Hieraus berechnet man, wenn man bei der Bestimmung von die Relation (23) S.419 benutzt: O=

(3)

<>.2

Co v 3

&2

1

+ Cl

( )2 V

&3 ('1,')2

= =

<>.2

V

-&~

,(T2

o

2'

&0

. 0.2 _

v 0 -

()2 v -

c;

noch

-&5 ()2 -&. 2 &1 V , 0

!! &0 ('1,')2 - !! &1 ('1,')2, o

0

w01nit die Relationen (29) S. 420 wiedergewonnen sind. Bei beliebiger Ordnung m > 2 werden diese Relationen (3) von Bedeutung. Zufolge derselben gelangen wir nämlich bereits zu allen linearunabhängigen Produkten von je m Faktoren, wenn wir &2 (v) und &3 (v) höchstens in den ersten Potenzen zulassen. Wir gelangen alsdann gerade genau zu 4 m Produkten:

&0 1,'1,')m-,' &1 ('1,')", &0 (V)m-v &1 ('1,')V-1 &2 (v), &0 (V ),"-V &1 (V)V-1 &8 (V), &0 (v )11I-V &1 (V)"-2 &2 (v) &3 (v),

(v=0,1,2, ... ,m), (1·=1,2,3, ... ,m), (v = 1, 2, 3, ... ,m), (v= 2,3,4, ... ,m),

von denen man leicht erkennt, daß sie sich zu je m auf die vier ganzzahligen Charakteristiken verteilen. Auch erweisen sich je die n Produkte der gleichen Charakteristik als linear-unabhängig, so daß sie für die Darstellung aller Funktionen der in Betracht kommenden Charakteristik zugrunde gelegt werden können. Die Verhältnisse gestalten sich ein wenig verschieden, je nachdem m gerade oder ungerade ist.

431

Thetafunktionen mter Ordnung für ganzzahlige Charakteristiken

Als Beispiel betrachten wir etwa eine ungerade Ordnung die Charakteristik (1,1). Die zugehörigen 'In Produkte sind:

j-B-o(V):=:ftl(V), -B-o(v) --B-2(v)ftsev), fto(v)

'In

und

fto(v)m-s-B-~,~~3, fto(~)1n-5-B-1(V)\ ... , ftl(v)m,

(4)

-B-1(v) ft 2(v)ftS(v), .. .

. . . , ft o(v) ft1(v ),,,-sft 2(v )fts (v),

+-1, In . der zwel'ten un d dnt . t en m - - 1 P 1'0wo b el' .In der ers t en Z'l el e m ~2 ~2 dukte stehen. Jene Produkte sind ungerade, diese gerade Funktionen. Würde demnach zwischen den Funktionen (4) eine lineare Relation mit von v unabhängigen Koeffizienten identisch bestehen, so würde notwendig bereits eine solche Relation entweder für die geraden oder für die ungeraden Funktionen gelten. Setzen wir aber eine solche Relation etwa für die ungeraden Funktionen an, so wird dieselbe nach Fortheben des gemeinsamen Faktors ft l (v) aller Glieder die Gestalt annehmen: cofto(v)m-1

+ Cl ft o(V)m-

3

+ CiJfto(V)m-5,ß-1 (V)4 + ... =

ft 1 (V)2

O.

Für v = 0 folgt co-B-om - 1 = 0, so daß Co = 0 ist und also: Cl fto(V)m-s + c2ft O (V)m- 5ft 1(V)2 + ... = 0 nach Fortheben von ft 1 (v)2 gewonnen wird. Indem man erneut v = 0 einträgt, folgt ebenso Cl = 0 usw. In derselben Weise zeigt man, daß auch zwischen den geraden Funktionen (4) keine lineare Beziehung der fraglichen Art identisch bestehen kann. Das System der 'In Funktionen (4) ist also nach dem ~ermiteschen Prinzip zur Dartenung aller Funktionen (Ji~') (v) geeignet. Im niedersten Falle 'In = 3 haben wir hiernach die drei Funktionen:

(5) für die Signatur (1,1) zugrunde zu legen, die letzte als einzige gerade Funktion. Jede gerade Funktion (J~{ (v) ist demnach mit der dritten Funktion (5) bis auf einen von v unabhängigen Faktor identisch, während sich jede ungerade Funktion in den beiden ersten Funktionen (5) darstellen läßt. Als linear-unabhängige Funktionen (J~i (v) gewinnen wir auf der anderen Seite aus (7) S. 425 die drei Thetafunktionen: <>-(3)(,

'lI

) 11 'l:,qv

t

e-ni(v-i\w- )-B-(3)( oov

=

_m-1

) 6,q,·,

welche Wlr unter Benutzung von (5) S. 424 auch in die Gestalt kleiden können: (2v+l)ni (2v-l)2

ft\~(v, q)v = e

6

q

12

(2v-1)niv

e

m-1

fts (Sv - - 2 + vro, q5) .

II, 2. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe

432

Nach Eintragung der {t3-Reihe ergibt sich: + 00

7t i --

~

e 6{ti32(v,q)o=.L.J(-1)nq

(6 n + 1)' - - -(6n+l)n:lv 12

e

'

n=-IXI

n= -co n:1

--

-e 6

3(2n+l)2 - - 3(2n+l)7ti. 4

+00

q)2

{ti~(V,

~

L. (- 1)nq

=

n=

e

.

-00

An letzter Stelle haben wir zufolge der zweiten Gleichung (16) S. 418 die ungerade Funktion i {tl (3v, q3) vor uns; durch Subtraktion der beiden ersten Gleichungen folgt eine zweite ungerade Funktion, durch ihre . Addition eine gerade Funktion: 7ti

(6n+1)2

+00

e- 6 {t131(v, q)o - i{t~3{(v, q)l = 2~(- l)nq- iil-cos (6n + 1)n:v. n=

-00

Für die hier rechts stehende Reihe gilt also der Ansatz: +00

(6n+l)'

~(_1)n q-12- cos(6n + 1)n:v = c· {to (V){t2 (v) {ts (v),

(6)

n=-oo

wo c von v unabhängig ist, aber m noch enthalten mag. Zur Bestimmung der Größe c leiten wir vorerst eine auch in anderer Hinsicht sehr wichtige Reihenentwicklung für die 24. Wurzel aus der Diskriminante L1 ab:

l~ 2yLI = qf211(1 _ q2n).

(7)

2,,;

n=l

Aus der zweiten Gleichung (18) S.418 folgt: {tl (~, q)

YSq 4 11 (1 - q2n) . II (1 + q2n + q4n) _lei?

=

_1

00

=

n=l

n=l

so daß wir für die eindeutige Funktion (7) von 1

(8)

rw; 2.trA 1 ~ (1 ~) V L1 = 113 3' q

V~

VI

m

00

Y3q41IC1 _ q6n), n=l

die Darstellung:

3

gewinnen. Aus der unter (17) S.418 gegebenen {tl-Reihe aber folgt: ~

VI

(13' q)

00

=

(2k+1)'

2 .L.; ~ (. 1)k -4- . q sm

(27c+l),,; 3 .

k=O

Alle Glieder dieser Reihe, in denen k .1 (mod.3) ist, fallen aus; WIr haben also nur zu setzen k = 3n, wo n die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... durchläuft, und k = - 3n - 1, wo 12 die Zahlen - 1, - 2, - 3, ... zu durchlaufen hat. Wir erhalten also: 00

{tl(hq)

=

(6 n + 1)'

-

00

(-6n-1)2

2:2 (_1)nq-4- sini+ 2~ (_1)n-1 q-4- sin (-~), n=O

n=-l

Die gerade Thetafunktion dritter Ordnung der Charakteristik (1,1)

433

was sich sofort zusammenfaßt zu:

Indem wir V3 nach links setzen und q3 an Stelle VOll q eintragen, ergibt sich die Reihenentwicklung für die in (8) rechts stehende Funktion und damit die Reihe für die 24. Wurzel aus Li: 1

~

Y;:2y L (- l)nq-~ _

(9)

+'"

LI

(6n+1)2.

=

n=

=

-00

+00

q-{2;E (- 1)n q3n2 +n. n=-oo

Die Bestimmung der Größe c in (6) ist nun sofort geleistet. Indem wir v = 0 setzen, tritt links gerade die in (9) gewonnene Reihe auf, so daß wir zu der Relation gelangen: ~24Y;:;-' - VLI =

"""

cfrOfr2 {fs.

Für das Produkt der Nullwerte der drei geraden 'rhetafunktionen aber folgt aus (26) und (25) S.420: fr fr fr o 2 3

=

W2

n:

-V~-; ~ILI. 2n: r

Die Größe c läßt sich also mittelst der Diskriminante so darstellen: C=

n: w• •

1

yLi'

1

und die Gleichung (6) kann man in die endgültige Gestalt setzen: (10)

+'"

(6n+1)2

~ (- 1)nq~ n=-",

cos (6n

+ 1):n:v =

,

~iro (V)ir:~~~~irs~2. ~V~

Die gerade Thetafunktion dritter Ordnung der Charakteristik (1,1)

433

Drittes Kapitel.

Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation der elliptischen Funktionen zweiter Stufe. Als eine Eigenschaft einer elliptischen Funktion zweiter Stufe haben wir nach Jen allgemeinen Erklärungen von S. 376 auch noch zu fordern, daß dieselbe als Funktion von OJ 1 und OJ 2 unverändert bleiben soll gegenüber den Substitutionen der in der Modulgruppe r(w) enthaltenen Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe. Diese im Laufe der letzten Entwicklungen zurückgetretene Eigenschaft unserer Funktionen haben wir jetzt näher zu untersuchen. Wir werden uns dabei nicht auf die Stufe 2 beschränken können, müssen vielmehr mit Rücksicht auf die Größen Vk, 1f!k7c', Li usw. vielfach auch auf höhere Stufen eingehen, ohne indes die letzteren einer grundsätzlichen Untersuchung zu unterziehen.

1f!

F ri c k e: };lliptische Funktionen. Bd. 1

28

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0_9 , © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

434 1I, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Für den Entwicklungsgang wird das fünfte Kapitel des ersten Abschnitts vorbildlich sein. Das Verhalten der auch u enthaltenden elliptischen Funktionen zweiter Stufe gegenüber den Substitutionen der Gesamtgruppe rCw) wird uns zur Lehre von der "linearen Transformation" der Funktionen zweiter Stufe führen, der bei den Funktionen erster Stufe freilich noch kein Analogon gegenüberstand, da diese Funktionen gegenüber der Gesamtgruppe rCu,) invariant sind.

§ 1. Der Diskontinuitätsbereich der Haulltkongmenzgl'uppe zweiter Stufe. Alle in der Modulgruppe rCrn) enthaltenen Substitutionen: ro'

deren Koeffizienten die

(1)

=

V(w) = ; : t-~, befriedigen: ß-Y=O (mod.2),

~,ongruenzen

a_o-l,

bilden eine Untergruppe, die wir als "Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe" benennen wollten, und die zunächst mit der B.~zeichnung r~~l belegt werden möge. Nach der S. 284 ausgeführten Uberlegung erkennt man, daß die r~~~ ebenso wie die Gesamtgruppe rCrn) durch die Spiege. lung an der imaginären w-Achse D(O)) = - (jj in sich transformiert wird. Der Zusatz von rJ zur ri~f liefert demnach eine Gruppe: ['Cw) (2)

=

rC"') (2)

+ ['Coe) • U. (2) ,

die wir als die "erweiterte Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe" bezeichnen, und die neben den die rt~f bildenden Substitutionen "erster Art" V noch die gesamten die Kongruenzen (1) befriedigenden Substitutionen "zweiter Art": aro ß 0)' = V ( 0)) = V U ( ro)

=c,.-=-

1'0-0'

enthält. Um die Diskontinuitätsbereiche dieser Gruppen zu gewinnen, betrachten wir, wie bei der Gesamtgruppe ['Cw) (vgl. S. 286if.), zunächst die in der r~~i enthaltenen Spiegelungen, fiir welche die Gleichung 0= a charakteristisch ist (vgl. 8.285). Ist Y = 0, so ist die Gleichung des Symmetriekreises (der hier eine Gerade darstellt) 2~ = ß; für y
(~

- ~r + +

n2 =

(~r.

wenn WIr (wie S. 175) 0) = ~ in schreiben. Da ß zufolge (1) eine gerade Zahl ist, so sind die Geraden unter den Symmetl'iekreisen durch ~ = 0, ~ = ± 1, ~ = ± 2, ... gegeben;

Die Symmetriekreise der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe

435

unter den eigentlichen Kreisen haben wir für r = 2 diejenigen mit den größten Radien, nämlich die Kreise der Radien 1 um die reellen Mittelpunkte m = ± -h ± ~, ± -%, .. '. Die drei speziellen unter den Symmetriekreisen, welche durch die Gleichungen:' ~

= 0,

~

+ 1 = 0,

(g+ ~)2 + r/ = (t)2

°

dargestellt sind, grenzen das obere Kreisbogendreieck der Winkel in Fig. 60, S. 289 ein. Die zugehörigen Spiegelungen bezeichnen wir, um eine mit (1) S. 296 möglicbst konforme Scbreib"eise zn gebrauchen, durch: 1"(00) = - m- 2, D(m) = - w, (2)

°

Von jenem Kreisbogendreieck der -Winkel aus stellten wir durch den Spiegehmgsprozeß ein ganzes Netz solcher Dreiecke her, welches die positive m-Halbebene schlicht und vollständig bedeckte, und dessen Natur S. 288 ff. ausführlich dargelegt wurde. Nehmen wir noch hinzu, daß die drei Symmetriekreise ("Höhen" des ersten Dr;iecks der Winkel 0): 2~+1=0,

~2+'Yj2=1,

(~t1)2+'Yj2=1,

welche die Zerlegung des fraglichen Dreiecks der Winkel 0 in die sechs Elementardreiecke der Gesamtgruppe TCw) leisteten, nicht zu den Symmetriekreisen der i'i~f gehören, so gelangen wir zu dem Ergebnisse, daß das in Fig. 60, S. 289 begomune, die posithe m-Halbebene schlicht bedeckende Dreiecksnetz dcr Winkel 0 gerade genmt die gesamten Symmetriek~'eise der Untergrnppe erschöpft. In der Tat gehören alle diese Kreise der r~~] an, da sie durch Ketten von Spiegelungen (2) vom ersten Dreieck aus erreichbar sind. Es kann aber auch kein weiterer Symmetriekreis hinzukommen; denn wäre irgendeines der Dreiecke des fraglichen Netzes von einem weiteren Kreise der ri~Y durchzogen, so würde auch das erste Dreieck von einem bezüglich der ri~Y äquivalenten Kreise durchzogen. Homologe Punkte in den Dreiecken des fraglichen Netzes, d. h. solche Punkte, die aus einem unter ihnen durch irgendeine Kette von Spiegelungen (2) hervorgehen, erweisen sich bezüglich der ri~J? als äquivalent. Für jeden bestimmten im Innern der m-Halbebene gewählten Punkt gibt es demnach sicher mindestens einen bezüglich der

rC

Ui )

Il~] äquivalenten Punkt im "Ausgangsdreieck" des Netzes, d. h. im Dreieck der Spitzen OJ = 0, - 1, ioo. Andrer- ---:c:WLo_--c]-----:::-'-::--seits können keine zwei verschiedene Punkte dieses DreiFig.79· ecks bezüglich der ri~f äquivalent sein. Zwar sind bezü glich der Gesamtgruppe rC,n) die Punkte des Dreiecks immer zu sechs äquivalent, indem 28*

436 TI,3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation sie entsprechend der in Fig. 79 ausgeführten Unterteilung des Dreiecks in sechs Elementardreiecke der F(w) aus einem unter ihnen, ca, durch die sechs Substitutionen:

(3)

jVo:ca) =

1VaC m)

=

~:l(m) =

- OJ

ro + l' V4 (m)

=

=:' T~~(ca)

;;;+1'

=

v (m) = 5

~+ro1, ro

hervorgehen. Keine einzige dieser Substitutionen gehört aber der r~~? an, so daß in der Tat keine zwei bezüglich dieser Untergruppe äquivalente, voneinander verschiedene Punkte im Dreieck der Ecken OJ = 0, - 1, ioo auffindbar sind. Das Kreisbogendreieck dm' Winkel mit den Ecken OJ = 0, 1, i 00 ist. demnach ein Diskontinuitätsbereich der er'-

°

=

weiterten Hauptlwngruenzgruppe zweiter Stufe ri~), und diese Gruppe ist also erzeugbar- durch die drei unter (2) angegebenen Spiegeltmgen S', T', U. Der Rückgang zur Gesamtgruppe r(w) wird dadurch vollzogen, daß wir jedes der DreiecJ.re des eben besprochenen Netzes durch seine drei "Höhen" (vgl. Fig. 59, S. 288) in sechs Dreiecke der r(w) zerlegen. Irgendein Dreieck des zur T("') gehörenden Netzes ist mit einem bestimmten unter den sechs Dreiecken der Fig. 79 bezüglich l::'i~i äquivalent. Zu diesem Dreiecke aber gelangen wir vom Diskontinuitätsbereiche der T(w), d. h. vom Elementardreiecke der Ecken m = 'i, Q, i 00 durch eine bestimmte unter den sechs Substitutionen (3). Wir erschöpfen demnach die r(w) gerade einmal und vollständig, wenn wir jede der sechs Substitutionen (3) mit den gesamten Substitutionen der Untergruppe f'i~; kombinieren:

(4)

-r(w)

=

-r(rv) (2)

r-(w) TT r-(W)TT + -r(w)-v (2) 1 + (2) r 2 + . . . + (2) r 5;

hier 1m ersten Gliede der rechten Seite für ri~] Vo gleich ~ieder ri~; geschrieben. Die Substitutionen der Gesamtgruppe ordnen sich auf diese Weise den sechs Gliedern der Gleichung entsprechend in sechs Systeme an, von denen keine zwei eine Substitution gemeinsam haben; das erste System umfaßt die Untergruppe ri~»), jedes folgende System entsteht aus dem ersten durch Kombinierung mit einer der Substitutionen (3). Wij'

drücken dies dahin aus, daß wir die r(~~ eine Unt ergruppe "des Index 6' in der Gesamtgruppe nennen, ~md bezeichnen sie dieserhalb weiterhin durch r~o,). Um den Übergang zur ursprünglichen Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe ri~) zu gewinnen, lagern wir neben den in Fig. 80 schraffierten Diskontinuitätsbereich der r~w) sein in der Figur freigelassenes Spiegelbild bezüglich der imaginären m-Achse. Zu einem beliebig im Innern

Diskontinuitätsbereich der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stuf!!

437

der Halbebene gewählten Punkte ro gibt es dann im Bereiche der Fig. 80 stets zwei und nur zwei bezüglich der r~(U) äquivalente Punkte ro' und ca" = U(ca '). Von den beiden diese Äquivalenzen vermittelnden Substitutionen entsteht die eine aus der anderen durch Zusatz von U, so daß eine von der ersten und die andere von der zweiten Art ist. Die erste unter ihnen gehört bereits der r(~f an; wir erkennen hieraus: Der aus zwei Dreiecken der Winkel 0 zusammengesetzte Bereich der Fig. 80 ist ein Diskontinuitätsbereich der ursprünglichen Hauptkongmenzgrnppe zweiter Stttf'c r(~f. -(i]~~--1~-· Auch die Herstellung der r(~9 aus erzeugenden Fig. 80. Substitutionen ist von der r~w) aus sofort verständlich. Eine Substitution erster Art der [t') stellt sich symbolisch als Produkt von Spiegelungen (2) mit einer geraden Faktorenanzahl dar. Dabei brauchen, da U2 = 1, 8'2 = 1, 1"2 = 1 gilt, keine zwei aufeinanderfolgende Faktoren einander gleich zu se111. Man kann demnach jede Substitution der r(~f symbolisch als Produkt der drei Substitutionen: S' = UT', 1" = 8'U, [J' = 1"8' und ihrer inversen Substitutionen: S'-1 = T'U, T'-1 = US', [J'-l = 8'1" schreiben. Die letzten drei Substitutionen gelten mit S', T', [J' zugleich als gegeben; zwischen den drei ersten besteht die Relation: [J'T' S' = 1" . (8')2. (U)2. 1" = 1, so daß sich [J' in der Gestalt S' -1 T' -1 durch S' und T' ausdrückt. So bleiben schließlich nur S' und T': Die ursprüngliche Hattptkongruenzgruppe zweiter Stufe r~~y läßt sieh aus den beiden Substitutionen:

(5)

S'(ro)

=

ro

+ 2,

T'(ro)

=

-2:+1

erzeugen. Die erste führt den linken geraden Rand des in Fig. 80 gezeichneten Diskontinuitätsbereiches in den rechten über, was in der Figur durch einen Pfeil angezeigt ist; die Substitution T' führt entsprechend den rechten halbkreisförmigen Rand des Bereiches in der linken über. Der fortgesetzten Kombination der Substitutionen S' und T' entspricht geometrisch die schrittweise zu vollziehende Bedeckung der ro-Halbebene mit Paaren von Kreisbogendreiecken der Winkel 0; die hier vorliegenden Verhältnisse sind ganz analog denen, die wir oben (S.296:ff.) für die gesamte Gruppe r(,n) ausführlich besprachen. Übrigens gilt: S'm(m) = ro

+ 2m,

T'm(OJ)

=

-1

2111 __ 1 c,

438 II,

3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Tmnsformation

Schreiben wir aber irgendeine Substitution der r~~J in der Gestalt:

w'

S''''lT'm2S'm31''m4 ... T'm2v(w),

=

so haben hierbei die Exponenten m irgendwelche ganzen Zahlen zu bedeuten, die wir übrigens, von der ersten und letzten abgesehen, stets als von 0 verschieden voraussetzen dürfen. Bei der angegebenen Gestalt der Potenzen S'm, T'm gelangen wir somit zu einer Kettenbruchentwicklung der Substitutionen der ri~?:

w'=2m _ _1_ 1

21112

---

2ms - . .

1 . ------1 2m 2v

-;;"

welche sich der S. 298 aufgestellten Kettenbruchentwicklung der Substitutionen der Gesamtgruppe rCcu) anschließt. Da die Spiegelung tJ in der r~cu) enthalten ist, so wird das Substitutionssystem r~v). U wieder mit r~v) identisch sein. Es gilt somit auch: r~OJ)

11 =

n

f~v)7Jf =

w) .

(UV).

Setzen wir demnach die aus der zweiten, vierten und sechsten Substitution (3) hervorgehenden Substitutionen UVk = Vk , so können Wir die Gleichung (4) in die Gestalt kleiden:

r Cw)

=

r~")

+ r~w) Vi + r~n) V2 + ... + i'~w) V5,

wobei also an Stelle des Systemes (3) die sechs Substitutionen Art treten:

J Vo(w)

(6)

= w, Vi (w) =

1V (w) ;;;~1' 3

=

V4 (w)

W

=

+ 1,

V2 (w)

;;;-=-+\,

ers~er

w_+:,

=

V5 (w)

=

~1.

Im einzelnen Systeme r~v) Vk sind die Substitutionen erster Art durch

riW

Vk zu bezeichnen. Für die ursprüngliche Modulgruppe das Symbol rCw) ergibt sich damit die Darstellung:

CI ") TT + r(lu) Tl + ''') + r (2) rC "') -- r C (7) (2) ~. 1 Ci) I' 2 . . . + rCw) (2) TT I' Ö' wobei wieder die gesamten Substitutionen der r("') in sechs Systeme angeordnet sind, von denen entsprechenJe Aussagen gelten, wie von den in (4) roohts stehenden sechs Systemen. Die ri~f heiße demnach wieder eine Untergruppew~;vom Index 61/ innerhalb de1' Gesamtgrttppe r C'") 1~nd werde fm·tan durch r~ ,) bezeichnet. Wir nennen zwei Substitutionen Vi und Vk der gesamten Gruppe rCe,) modulo 2 einander kongruent, falls die Koeffizienten derselben die Bed ingungen erfüllen: O:i

== (Xk,

ßi

= ß/;,

J'i

= rk,

(j'i -

(J"

(mod.2);

Ausführungen über die Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe

439

wir fassen dieselben kurz in die Kongruenz Vi - V k (mod. 2) zusammen. Ist Vi V k und V, - v'n (mod. 2), so lehren die Regeln (2) S. 127 der Zusammensetzung der Substitutionen, daß auch V; Yt Vk 17m gilt. Ist V mit der identischen Substitution 170 = 1 kongruent, so gilt sowohl V k 17== V k als auch V 17k - V k für jede Substitution V k der TCw). InsbBsondere folgt 17k VV; 1 - 1, sobald V -- 1 (mod. 2) zutrifft. Nach der S. 128 erklärten Sprechweise heißt dies, daß eine Substitution V der Untergruppe r~w) bei Transformation vermöge irgendeiner Substitution Vk von r("') wieder eine Substitution V' = Yc VV;l der r~w) liefert. Da

=

wir auch umgekehrt eine beliebige Substitution V' der r~w) nach diesem Gesetze aus der dieser Untergruppe angehörenden Substitution 17= V;lV' V k gewinnen, so geht die Untergruppe rl;"'), wenn wir sie (wie dies S. 129 bei den endlichen Gruppen ausgeführt wurde) durch irgendeine Substitution Y k der Gesamtgruppe transformieren, hierbei in sich selbst über:

(8)

TT

fk

T(W) G

17-k 1

_

-

r(m).

6,

die Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe heißt dieserhalb eine "ausgezeichnete li Unterg1'uppe der Modulgruppe r("'). Die gesamten Substitutionen des Systems r~w) Vk sind untereinander und also mit Vk kongruent; demgegenüber sind die sechs Substi tutionen (6), wie man sieht, modulo 2 durchweg inkongruent, so daß es, da die r Ccu) zufolge (7) durch die sechs Systeme r~w) V k erschöpft wird, im ganzen sechs modnlo 2 inkongruente Substitutionen in der TCw) gibt. Dies kann man auch leicht unmittelbar bestätigen, indem man die inkongruenten Lösungen der Kongruenz: (XO - ßr - 1 (mod.2) in Quadrupeln ganzer Zahlen (x, ß, 'Y, a abzählt. Sind V, V', V", ... Substitutionen der r~W), während Vk , V" 17m dem Systeme (6) angehören, so gilt mit Rücksicht auf (8): VVk

•

V' VI

=

V· V k V' V;;l. V k 17/-- VV" . V k V; -

V'" . 17m ,

falls wir die mit Vk VI kongruente unter den Substitutionen (6) mit V", bezeichnen. Wenn wir also irgend zwei Substitutionen der Systeme r~w) V k und r~"') V, miteinander kombinieren, so entsteht immer eine

Substitution eines bestimmten dritten Systems r~w) v,n. Wir können dies dahin ausdrücken, daß die sechs Systeme r~') V" gegenüber Kombination eine Gruppe G6 der endlichen Ordnung 6 bilden. Die Sachlage läßt sich auch in der Weise auffassen, daß wir die mod. 2 kongruenten Substitutionen des einzelnen Systems r~(;') Vk als nicht wesentlich verschieden

440 Ir, 3. Die l\!Iodulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation auffassen und durch eine unter ihnen, etwa Vk , repräsentieren . .Für die sechs "Repräsentanten" (6) gelten dann die Kongruenzen: V k V! -

17m

(mod.2),

und man kann das gewonnene Ergebnis auch so aussprechen: Die gesamte Modulgruppe r(w) reduziert sich modulo 2 aH! die sechs inkon,gruenten Substitutionen 170 = 1, 171, 172 , .•• , 175 , 1velche gegenüber Kombination eine Gruppe G6 der endlichen Ordnung 6 bilden. Da übrigens, wie schon am Anfang des Paragraphen benutzt wurde, die r~W} auch durch die Spiegelung U in sich transformiert wird, so w) als "ausgezeichnete" ist sie auch noch in der erweiterten Modulgruppe Untergrttppe enthalten, und zwar in ihr als eine solche vom Index 12 entsprechend der Zerlegung der pr,,) in die 12 Systeme:

rC

r(w} =

n;"') + r~w) 171 +

r~w)

172

+ ... + r~") 17

5

+ r~o)U + r~w)(u 171 ) + ... + rKn)(u 175 ),

Übertragen wir die Kongruenzbetrachtungen auf die rc(OJ), so ergibt sich der Satz: Die erweiterte Modulgrttppe DW} reduziert sich modulo 2 auf zwölf inkongrtwnte Substitutionen 1, 171 , ••• , 175 , U, U 171 , • • • , UVo, welche gegenüber Kombination eine G1'nppe G 12 dm' endlichen Ordnun,g 12 bilden.

§ 2. Die elliptischen Jllodulfunktionen zweiter Stufe. Für die Begriffsbestimmung der elliptischen Modulfunktionen zweiter Stufe sind die auf die erste Stufe bezüglichen Erklärungen von S.299ff. vorbildlich. Der Diskontinuitätsbereich der r~(") ist in Fig. 81 in die zwölf Elementardreiecke derrC''') zerlegt, welche im Innern desselben gelegen sind. Trennen WIr .

1

+i

durch dIe von Ci) = - 2

zur imaginären Achse parallel laufende Gerade die drei rechts gelegenen Elementardreiecke ab und üben W·-1 auf dieselben die Subu' l!'ig. 81. Fig.82. stitution S' -1 aus, so ergibt sich der Bereich der Fig. 82, der offenbar gleichfalls als Diskontinuitätsbereich der r~OJ) brauchbar ist. Hier kommen dann für die l quivalenz der Randpunkte zu Paaren alle drei S.437 aufgestellten erzeugenden SubRtitutionen S', T', U' der r~(V) gleichmäßig zur Geltung; durch S' wird die eine Randgerade in die andere übergefübrt, durch T' der eine von cu = 0

Begriff der Modulfunktionen zweiter Stufe

441

auslaufende, den Bereich begrenzende Kreisquadrant in den anderen und endlich durch U' der eine von OJ = - 1 ausziehende Quadrant in den zweiten. An dieser Figur mache man sich deutlich, daß die drei Zipfel, mit denen der Bereich an die Punkte OJ = i 00, w = 0 und OJ = - 1 heranragt, vermittelst der Exponentialfunktionen: n/

q = e7tiW ,

q' = e-;;;,

q" = e '" Tl

je auf die schlichte und vollständig bedeckte Umgebung des Nullpunktes der Ebene von q, q' und q" abgebildet werden, wobei dann jedesmal die äquivalenten Randpunkte im Abbilde zur Deckung kommen. Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Als eine ellipt1'sche Modttl-

funktion zweiter Stufe bezeichnen wir jede analytische Fttnktion von w, welche die (aus· ihren gesamten Innenpunkten bestehende) positive OJ-Halbebene zwn Felde hat, gegeniiber den Substitutionen der Hauptkongnwnzgruppe zweiter Stufe r~") inva?'iant ist und sich bei Annäherung an die drei Spitzen des Diskontinuitätsbereiches als eine Funktion der betrefFenden Variabeln q erweist, die im N ullpun7cte q = 0 analytisch ist oder einen Pol endlicher Ordnung aulu.;eist. Eine erste diesen Bedingungen genügende Funktion haben wir in der lVIodulfunktion erster Stufe J( OJ) vor uns, deren Werte verteilung im Diskontinuitätsbereiche der r~") durch eine der beiden letzten Figuren klargelegt ist. Jedes der sechs schraffierten Dreiecke ist ein volles Abbild der positiven J-Halbebene, jedes freie ein solches der negativen J-Halbebene (vgl. S. 303). Irgendeinen vorgeschriebenen komplexen Wert nimmt demnach die Punktion J(w) stets an sechs Stellen des Diskontinuitätsbereiches an (wobei man natürlich zwei äquivalente Randpunkte nur als einen Punkt zu zählen hat). Diese sechs Punkte OJ liegen im allgemeinen voneinander getrennt; doch kommen folgende Ausnahmen vor: Die sechs Punkte mit J = 0 fallen zu je drei an den beiden Stellen OJ = (! und OJ = - (!2 zusammen, desgleichen fallen die sechs Punkte mit ,J = 1 an den drei Stellen w = i, w = - 1 + i (= 1 + i) und w = -- ~±_~ (=

~t_i) zu Paaren zusammen, und endlich fallen gleichfalls zu Paaren

die sechs Pole in die Spitzen des Diskontinuitätsbereiches. Dem entspricht es, daß ein einfacher Umlauf z. B. um den Punkt OJ = (! in der w-Halbehene (der ja die sechs hier heranragenden Dreiecke der Pig. 81 durchläuft) sich auf einen dreifachen Umlauf um J = 0 in der J-Ebene abbildet. Die Umgebung von ca = Q liefert; wie wir dies ja bereits S. 303 ausführlich erörterten, eine dreiblättrige Windungsfläche (vgl. S. 28) mit dem Verzweigungspunkte J = O. Das durch die Funktion J( OJ) gelieferte Abbild des ganzen Diskontinuitätsbereiches der r);w)

442 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation über der J-Ebene ist daraufhin leicht zu übersehen. Indem wir je zwei äquivalente Randpunkte des Bereiches im Abbilde -verschmelzen, gewinnen wir offenbar eine sechsblättrige geschlossene Riemannsche ;Fläche F6 über der J-Ebene, deren Verzweigungspunkte den Ecken der Elementardreiecke im Bereiche der Fig.81 entsprechen. Es liegen somit bei J = zwei dreibläUrige Verzweigungspunkte übereinander, desgleichen bei J = 1 und bei J = 00 je drei zweiblättrige Verzweigungspunkte. Hiernach hat die F6 zu folge der Regel (4) S.88 das Geschlecht p = 0, d. h. sie stellt eine einfach zusammenhängende geschlossene Ji'läche dar; sehen wir in Fig. 81 äquivalente Randpunkte als identisch an, so kommt diese Tatsache des einfachen Zusammenhangs an der Gestalt dieses Bereiches unmittelbar zur Anschauung. Dies Ergebnis wird für die Darstellung der gesamten Modulfunktionen zweiter Stufe grundlegend. Die Wege der ro- Halbebene zwischen Punkten, die bezüglich der r~w) äquivalent sind, übertragen sich auf geschlossene Wege der F61): Die Modulfunktionen zweiter Stufe liefern, als Funktionen von J aufgefaßt, gerade die gesamten algebraischen ]'unktionen der Riemannschen Ji'läche Fs des Geschlechtes p = 0. Der Körper der algebraischen Funktionen einer solchen Fläche gestaltet sich aber sehr einfach: Es existieren e/:nweTtige Funktionen auf der Fläche; ist z eine solche, so wird der Funktionenkörper gerade von den gesamten rationalen Funktionen R(z) geliefert (vgl. S. 94). Zugleich ist mit z jede lineare Funktion nicht-verschwindender Determinante von z wieder einwertig, und wir erschöpfen durch diese linearen Funktionen von z alle einwertigen Funktionen der Fläche. Eine einzelne dieser Funktionen können wir dadurch festlegen, daß wir drei Werte der Funktion, z. B. die Werte z = 0, 1, 00 als an irgend drei verschiedenen Stellen der Fs zutreffend vorschreiben. Hiervon wollen wir jetzt in der Weise Gebrauch machen, daß wir diejenige einwertige Funktion z bevorzugen, welche in den drei den Zipfeln ro = ioo, und -1 des Diskontinuitätsbereiches entsprechenden Punkten der FG die Werte 0, 1 und 00 annimmt. In Abhängigkeit von co nennen wü' diese Modulfunktion zweiter Stufe A(ro ), so daß also ihre Definition unter den gesamten einwertigen Funktionen durch:

°

°

(1)

l(ioo)=O,

l(O) = 1,

.1.(-1)=00

gegeben ist. Die gesamten elliptischen ]Jlodulfunktionen zweiter Stufe werden dann gemde geliefert dU1'ch den KÖTper der mtionalen Funktionen R(l(ro») von lero). Es ist nun leicht zu erkennen, daß wir in A( ro) das früher mit J. 1) S. die entsprechenden Betrachtungen für die erste Stufe S. 303ff.

Die JYIodulfunktion zweiter Stufe A(00)

443

bezeichnete "Doppelverhältnis" und damit den Legendreschen Integralmodul k 2, in Abhängigkeit von w betrachtet, wiedergewonnen haben. Um dies zu zeigen, ziehen wir zunächst einige Folgerungen aus dem Umstande, daß die r~o) in der Gruppe r(rn) sowie auch in der erweiterten r(wj als "ausgezeichnete" Untergruppe enthalten ist. Ist V irgendeine Substitution der r(w), so ist ;.(V(w» eine Funktion von w, die gegenüber den Substitutionen der Gruppe V-i r~v) V invariant ist. Aber diese Gruppe ist mit r~w) identisch (S. 439), so daß l(V(w» wieder eine Modulfunktion zweiter Stufe ist. Bildet man entsprechend l (V(w» mit irgendeiner Substitution zweiter Art V der T(w), so hat man zu berücksichtigen, daß durch TT eine konforme Abbildung "mit Umlegung der Winkel" (indirekte Kreisverwandtschaft, vgl. S. 73ff.) dargestellt wird. Ist demnach l(V(w» der zu l(V(w») konjugiert komplexe Wert, so wird erst l(V(w» wieder eine Modulfunktion zweiter Stufe sein. Wir gehen nun insbesondere auf die drei erzeugenden Spiegelungen: -( ' S w),

=

1 =, OJ

T(w)=-aJ-l,

U(w)=-05

der r(w) zurück (vgl. S. 296). Jede dieser Spiegelungen stellt eine umkehrbar eindeutige Transformation des Diskontinuitätsbereiches der r~") dar, wie dies für Sund U unmittelbar aus Fig. 81, für T aber ebenso aus Fig. 82 hervorgeht. Demnach wird, wenn V eine beliebige jener drei Spiegelungen ist, ~(V(w» wieder eine "einwertigeii Modulfunktion zweiter Stufe und also l(V(w» eine lineare Funktion von l(w) seln, unter I (w) den zu l (w) konjugiert komplexen Wert verstanden: J.(J! (0))) .-;0

.

aJ:(m)

+b

=c-----. cJ~((O)+cl

Es ist nun sehr leicht, auf Grund der Bestimmungen (1) die explizite Gestalt dieser drei linearen Funktionen von X( w) festzustellen. Da nämlich z. B. durch S. die Spitzen i= und des Bereiches der Fig. 81 ausgetauscht werden, während der Punkt 0) = - 1 in sich transformiert wird, so entsprechen den drei Werten I (w) = 0, 1, = die drei Werte l (V (w» = 1, 0, =, woraus sich sofort ergibt d = b, b = -- a, C = 0. Indem man die Betrachtung auf T und U ausdehnt, findet man folgende Wirkung dieser drei Spiegelungcn auf X( w):

°

(2)

}.

(~1)

=

-

-l(w) + 1,

_

l(- w -1)

=

I(oo) =----, l(- 05) = l(w). A(oo)-l

Nun lassen sich aber alle Substitutionen der j'(w) aus S, T, U erzeugen. Wir gelangen hierbei, da modulo 2 kongruente Substitutionen auf lew) die gleiche Wirkung ausüben, im ganzen zu zwölf verschie-

444 Ir, S.

Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

denen linearen Substitutionen von A, von denen sechs der ersten und sechs der zweiten Art angehören. Für die unter (6) S.438 angegebenen sechs Substitutionen erster Art finden wir:

X(V2 (ca))

A(CO) - 1 -~-~--. }.(co) .

=

In gekürzter Gestalt schreiben wir die sechs so gewonnenen A-Substitutionen:

(4 ') '", '

=

"

"', '"

'

=

).

,'

1.-1' '"

=

I. -

1

~i-'

1 '

'"

=

1

,

"l-' A

=

1

,

1-=-i' l =

1

=}"

Sie liefern eine neue Darstellung der Gruppe G6 , auf die sich die Ti"') modulo 2 reduziert; im übrigen sind wir zurückgeführt zur Diedergruppe G6 , welche wir genau in dieser Gestalt bereits S. 347 gewonnen hatten und damals an die allgemeinen gruppentheoretischen Entwicklungen von S. 128ft'. anschlossen. Wir gelangen noch unmittelbarer zu den letzteren Entwicklungen zurück, wenn wir auch die Wirkung der Substitutionen zweiter Art, von denen wir drei bereits unter (2) erledigten, allgemein feststellen. Wir haben zu diesem Zwecke einfach die sechs Substitutionen (4) mit der dritten unter (2) gegebenen Substitution }o' = I zu kombinieren, was die sechs 1-Substitutionen zweiter Art ergibt: (5) l'

=

I , A' = =~ A.=1'

l'

= I ~\ J.

A'

=!, I.

l'

=

-~, 1-1.

l'

=1- i

Diese bilden zusammen mit den Substitutionen (4) eine "dur'eh Spiegelungen erweiterte" Diedergruppe G12 , welche uns in neuer Gestalt die G12 liefert, auf die sicb die r(roJ) modulo 2 reduziert. Die Substitutionen (5) sind, abgesehen von der dritten und fünften, durchweg Spiegelungen; ihre Symmetriekreise sind, falls wir 1 = x + iy setzen, gegeben durch:

y=O,

X2

+y2_2x=O,

x 2 +y2=1, 2x=l,

Zeichnen wir diese vier Kreise in der l-Ebene, was in Fig. 83 geschehen ist, so entsteht eine Einteilung dieser Ebene in zwölf Kreisbogendreiecke, welche den zwölf Dreiecken der Fig. 81 entsprechen. Hier haben wit, die Abbildung des Diskontinuitätsbereiches der T~"') auf die schlicht und vollständig bedeckte },-Ebene vor ~ms. Zugleich haben wir diejenige Figur wiedergewonnen, an welche wir S. 348ft'. die geometrischen Entwicklungen über die Diedergruppe anknüpften. Die Modulfunktion J( OJ) als sechswertige Funktion auf der oben betrachteten F6 ist eine rationale Funktion sechsten Grades von l. Die sechs schraffierten Dreiecke der Fig. 83 sind Bilder der positiven J-Halb-

Identität der Modulfunktion I.(w) mit dem Integralmodul I. = k 2

445

ebene, die sechs freien Dreiecke Abbilder der negativen Halbebene. Die sechs Punkte A, in denen J verschwindet, fallen zuje dreien an den beiden Stellen A = - (1 und )_ = - (12 m77:t'f:"'7='""1~'477777'777H~""'4"=77TT777=7;.,w.:LLLA zusammen; die sechs Punkte mit J = 1 fallen zu Paaren an die drei Stellen il. = - I, il. = -~- und )_ = 2, endlich die sechs Punkte mit J = 00 zu Paaren an die drei Stellen Fig. 83. A = 0, A = 1 und }. = 00. Für die Bestimmung von J als rationale Funktion sechsten Grndes von A gilt somit der Ansatz: J

=

(J_" -). + 1)" c --~ -1. 2 (1--1.)2'

J - 1 -

=

3 3J..2 31. + 2)' c , (21.. -------------.

1."(1-}_)2

Die Konstanten c und e' kann man durch die Forderung bestimmen, daß die durch Subtraktion der beiden vorstehenden Gleichungen sich ergebende Gleichung: e(1,2 - A + 1)3 - C'(2}_3 -- 3A 2 - 3}_ + 2)2 = A2 (1- A)2

°

in ), identisch bestehen muß. Setzt man il. = und hemach A =-1 em, so folgt: e _ 4c' = 0, 27 c = 4, woraus c = 24'1' c' = i7 folgt. Man kann demnach J als rationale Funktion von il. durch die Proportion darstellen: (6) J: (J -1): 1 = 4(12-1+1)3:(2;.3-3J_2-31+2)2:27A 2 (1-1)2. Damit haben wir die Gleichung (3) S. 347 zwischen der absoluten rationalen Invariante J und dem Doppelverhältnis }_ endgültig wiedergewonnen und können den Satz aufstellen: Die Modulfunktion z'u:eiter Stnfe il. (())), in dC1' alle Funktionen dieser St1tfe rational darstellbar sind, ist identisch mit dern Doppelverhältnis }. und also dem Legendreschen 1ntegnd'l1lodul 1. 2, au{get'aßt als eindeutige Funktionen des Periodenquotienten ()).

§ 3. Die ellilltischell J)Iodulformell zweiter Stufe. Für die Begriffsbestimmung einer Modulform der zweiten Stufe sind die auf die erste Stufe bezüglichen Erklärungen von S. 305 vorbildlich. Wir haben zunächst von der bisher betrachteten nicht-homogenen Hauptkongruenzgruppe r~0J) zur "homogenen Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe" überzugehen, die wir wieder durch r~lO) bezeichnen; sie besteht nach S. 375 aus den gesamten Substitutionen:

(1)

446 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transfonnation

der homogenen

rCe,),

welche die Kongruenzen:

(2)

0: -

(j -

1"

ß - /' -

0

(mod. 2)

befriedigen. Ein gleichzeitiger Zeichenwechsel der vier Koeffizienten ß, /" 0 ändert die einzelne homogene Substitution wesentlich, d. h, läßt sie in eine andere Substitution übergehen. Dagegen sind zwei nichthomogene Substitutionen, die durch Zeichenwechsel der a, ß, /" 0 ineinander übergehen, nicht voneinander verschieden, so daß allgemein einer Substitution der nicht-homogenen F(r'J) zwei verschiedene in der homogenen r(w) efitsprechen. Die S. 438 für die nicht-homogenen Substitutionen aufgestellte Gleichung: r(rn) = r~r,,) r~u) Vi r~") V2 r~") V5 0:,

+

+

+ ' .. +

überträgt sich unverändert auf die homogenen Gruppen r(rn) l1ndqw)r und zwar deshalb, weil mit der einzelnen in der r~") enthaltenen Substitution (1) stets auch:

(3) dieser Gruppe angehört. i ) Die homogene Kongruenzgruppe zweiter Stufe r~rn)ist also wieder eine Untergruppe des Inde,c 6, und zwar, w1'e man leicht feststellt, eine ,pusgezeic7mete" Untergruppe h~ der homogenen Gesamtgr~tppe rCrn).

Wir stellen nun folgende Erklärung auf: Als eine elliptische JJ!lodttlform zweiter Stufe bezeichnen wir jede homogene Funktion ganzzahligm' Dimensionen cl dm' W i , W 2 , die, lWit W 2 - d multipliziert, als eine analytische Ftmktion von W die positive w-Halbebene ,cunt Felde hat, die gegenüber den Substitutionen der homogenen Hauptkongruenzgrttppe zweiter Stute invariant ist, und die in den drei Spitzen des Diskontinuitätsbereiches mit W~-(l bzw. W 1 - d und (w i + ( 2 )-d multipliziert, als Funktion von q bzw. qr und q" (vgl. S. 441) analytisch bleibt oder einen Pol endlicher Ordntmg besitzt.

>

1) Bei elen Hauptkongruenzgruppen n ler Stufe ri~l mit n 2 gestalten sich die Verhältnisse anders; geniigt die Substitution (1) den Kongl'uenzen: a=O'=l,

ß==y

0 (mod,n),

so wird nun die Substitution (3) diese Bedingungen eben nicht mehr befriedigen, so daß sie in der "homogenen" Hauptkongruenzgruppe nicht enthalten ist, Die nicht-homogene Gruppe r(~? spaltet sich demnach bei Fortgang zu den homogenen Substitutionen in zwei Systeme von Substitutionen, von elenen das eille die homogene ri~] ist und das andere aus dieser letzten Gruppe durch Zusatz der Substitution co; = - CO " 00; = - co 2 entsteht. Der Index der homogenen r1~] als Untergruppe in der Gesamtgruppe r(w) ist demnach für 2 doppelt 80 groß als der

n>

Index der nicht-homogenen

r(r:;l'

Begriff und DarHtellung der Modulformen zweiter Stufe

447

Zu diesen Modulformen gehören natürlich auch die ganzen lVIodulformen erster Stufe der Dimensionen - 4, - 6 und - 12: g2(WU w2),

gs(w u w2)

LlC(1) ( 2),

deren Heranziehung uns zu einem wichtigen Satze über die Anzahl der Nullpunkte und Pole irgendeiner Form zweiter Stufe im Diskontinuitätsbereiche der r~w) hinführen wird und uns zugleich eine Darstellungsart aller lVIodulformen zweiter Stufe liefert. Nach den Entwicklungen von S. 306 ff. hat g2 je einen Nullpunkt erster Ordnung an den beidel1 Stellen w = Q und w = - r/ des Diskontinuitätsbereiches oder, wie wir auch sagen können, an den Stellen l =

1

±2il(~;

desgleichen hat g3 je einen Null-

punkt erster Ordnung an den drei Stellen l = - 1, ~, 2, und endlich hat LI je einen Nullpunkt zweiter Ordnung in den drei Bereichspitzen, d. h. bei l = 0, 1 und <XI. Da jede Modulform zweiter Stufe gegenüber der Substitution: w~ = -

WD

w; =

-

OJ 2

invariant ist, so muß ihre Dimension d notwendig eine ger'ade Zahl sein. Setzen wir demnach d = 2v und nennen eine beliebig vorgelegte Form dieser Dimension 'l/J2,' (w ll OJ 2), so liefert das Produkt: 'l/J2',(OJ1, w2) .

(g;~--J

eine Form nullter Dimension und also eine Modulfunktion zweiter Stufe, die als solche rational in l darstellbar ist: Die Modulformen zweiter Stufe sind darstellbar in der Gestalt: (4) 'l/J2vCw17 w2)= (g_2J8_f· R(l), woraus wir ablesen, daß die Summe der Ordnungen aller Nullpunkte ver'inindertum die Summe der Ordmmgen aller Pole im Diskontinuitätsbereiche der' r~U» gleieh - v ist. Als ein wichtiges Beispiel einer Modulform zweiter Stufe (- Gier Dimension leiten wir aus den Gleichungen (16) S. 124 und (6) S.445 ab:

,r'

V LI =

l(l-l)

27g3 2i,3'=3Ti=- 31

+ 2;

da diese Form polfrei ist, so hat sie drei Nullpunkte im Diskontinuitätsbereiche, die in den drei Spitzen desselben liegen. Der S. 316 eingeführte Differentiationsprozeß D'I war gegenüber allen Substitutionen der r<w) invariant. Da indessen lew) nur gegenüber den Substitutionen der r~w) unveränderlich ist, so wird die Anwendung von D~ auf l nur erst eine l\fodulform zweiter Stufe, und zwar der Dimensionen - 2 liefern: D Cl) = dl D (w) = _ .~'0 cl). = 2i7t di. 'I

dw

'I

w§ dw

CD,

dCD 2

-

(02

dw,

448 Ir, 3. Die JYIodulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Da die Umgebung jedes inneren Punktes der ro-Halbebene sich konform auf die Umgebung eines endlichen Punktes der }.-Ebene abbildet, so kann D,,(l) zufolge der rechten Seite der letzten Gleichung nur in den Spit7.en des Diskontinuitätsbereiches verschwinden oder unendlich werden. Die Darstellungen von }. nach Potenzen der S. 441 genannten Größen q, q', q" zeigen, daß in den Spitzen ioo und 0 des Diskontinuitätsbereiches je Nullpunkte erster Ordnung, in der dritten bei ro = - 1 gelegenen Spitze ein Pol erster Ordnung eintreten. Demnach ist: 1

T D,P)

D'j(log 1)

=

eine ganze, d. h. polfreie Form (- 2)ter Dimension, deren einer N ullpunkt erster Ordnung in der Spitze ro = 0 gelegen ist. Von hieraus gewinnen wir durch Ausübung der Substitutionen T und Sauf ro m:

- DJlog l

CJ) =

-

+ 1»)' =

D,/log (1 - l(ro»)

=

D (100' (_/'(iOL))

=

D'I (logt -=-,.)

D (100' ~-) '1\ '"';'-1 zwei ganze Formen (- 2)ter Dimension, deren Nullpunkte in den Spitzen ioo bzw. - 1 liegen. In anderer Gestalt sind uns diese drei Formen seit lange bekannt. Man beachte, daß der Quotient von y:d und 1(1 - 1) eine ganze Form (- 6)ter Dimension liefert, die einen einzigen Nullpunkt dritter Ordnung in der Spitze ro = - 1 hat. Nach den S. 346ff. mitgeteilten Gleichungen gilt aber in den damaligen Bezeichnungen: D,) (log 1 (ro

~

t:>

;'((0)-1

_l!~--;;= + 4]}P = + 4(e(1) - e(3l)3 = + 4(e - eo )3. ;'(1 _ 1.) 1 •. Auch noch die Kubikwurzel dieses Ausdrucks ist zufolge der nU'stellung durch die ~;)-Funktion:

ev;.(r~l) = V±-J (e

1 -

e2 ) 0=

v± 4 (v (~,) - So (~2))

eine ganze l'ilodulform zweiter Stufe der Dimension - 2, die ihren Nullpunkt erster Ordnung in der Spit:;;e UJ = ~ 1 hat. Der Quotient der-

1)

selben und der Form D 'I (log J. ;. ist demnach eine polfreie Ftmktion zweiter Stufe und als solche mit einer Konstanten identisch:

D'I(log;'~-i)

=

c(e2 -

Cl)'

Zur Bestimmung der Konstanten c spezialisiere man diese Gleichung für die Umgebung der Spitze ro = ioo, wo ), = 1Gq gilt und (e2 - e1 ) zufolge (12) S. 416 gleich D,)(log (- 16q))

=

(:Y

wird; wir finden:

D, (logq) I

=

niD (ro)

=

2('~)2 = C(or_)2, 00 2

0):2

Darstellung allel' ModulfoImen zweiter Stufe durch eil e,

449

so daß c = 2 ist. Dtwch Heranziehung der Substitutionen Sund T gelangen wir schließlich zu folgenden drei Beziehungen:

(5)

~-D'I(logJ.~ 1) = e2 -

e =

&0(~2) - S:)(~t),

lD A) 2 ry (100' l:l

es

&0 (W.) 2 -

=

e2

-

l

=

SO (Wt - -+ 2Ws) - ,

(I

D og -----1 ) = e - e = SJ (W +2 W 2) (W2t ) ' -1 -t {o-2 'I 1-1. 3 1 0 so daß wit· in den Differenzen der el , e2 , es die einfachsten Modulformen zweitm' Stufe (- 2)ter Dimension mit Nullpunkten in den Spitzen des Diskontinuitätsbereiches vor uns haben. l ) Da die Summe der drei e verschwindet, so können wir durch Kombination der Gleichungen (5) die e auch einzeln berechnen; so z. B. findet sich: e

1

=

-

1

6

D floO"

'1\

~-) -

"J.-l

J_ D 6

'I

1_).

(log __

l-J.

Als linear-unabhängige ganze Formen (- 2)ter Dimension kann man e1 und e2 heranziehen, aus denen man in der Gestalt (ae l be2 ) unter geeigneter Auswahl der Koeffizienten a, b eine Form herstellen kann, die an einer beliebig vorgeschriebenen Stelle des Diskontinuitätsbereiches ihren Nullpunkt erster Ordnung hat. Alle ganzen Formen zweiter Stufe lassen sich dann als Produkte solcher Linearfaktoren (ae 1 be2) darstellen, alle Formen dieser Stufe überhaupt als Quotienten solcher Produkte. Doch brauchen wir hierauf nicht weiter einzugehen.

+

+

§ 4:. Modulfunktionen' höherer Stufen in der Theorie der elliptischen Funktionen. Infolge der einfachen Produktdarstellungen (10) und (11) S.407 sind unter den Wurzeln der Integralmoduln P, k'2 diejenigen achten Grades und deren Potenzen, außerdem aber auch noch lVkk'

vk, yk'

1) Statt die Bedeutung von n,/J.) dnrch eine funktionentheoretische Überlegung festzustellen, hätten wir dieselbe auch aus:

mit Benutzung von (3) S. 347 und (11) S. 317 berechnen können. Andrerseits hätte

. .

swh das Verhalten der e. - et

=

-L W) 50 (W ~ - 8J (W)

-t ,... als ganzer Modulformen

zweiter Stufe mit Nullpunkten in Spitzen des Diskontinuitätsbereiches leicht auch mit Hilfe von (12) S. 416 folgern lassen. :Ir r i c k e: Elliptische Funktionen. Bd. 1

29

450 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation frühzeitig betrachtet und als eindeutige Funktionen von w erkannt. 1) Diese Eigenschaft der Eindeutigkeit in w haben nun, wie aus der Theorie der Modulfunktionen folgt, freilich aUe übrigen Wurzeln aus kj auch; das Besondere der genannten Wurzeln besteht indessen darin, daß sie und nur sie unter allen Wurzeln aus k 2, k'2, k 2 k'2 zu Untergruppen der rew) gehören, die sich durch Kongruenzen ähnlich wie die Hauptkongruenzgruppe darstellen lassen. 2) Die zwölfte Wurzel auS der Diskriminante: ~/2"" VL1 =-q6 (1_ q2rn)2

1[J 00

OJ!

.

m=l

und ihre Potenzen sind gleichfalls Modulformen, die zu Kongruenzuntergruppen gehören; auch diese Funktionen bzw. ihre Produktausdrücke finden sich seit lange in der Theorie der elliptischen Funktionen. 3) Bei der Untersuchung dieser Größen ist die von Klein eingeführte Funktion:

(1) in welcher n eine positive ganze Zahl ist und p, h irgendwelche ganzen Zahlen bedeuten, von grundsätzlicher Bedeutung. 4) Bei festem n entsprechen diese Funktionen, wie man sofort übersieht, den Thetafunktionen mit gebrochenen Charakteristiken der Nenner n bzw. 2n (vgl. S.421). Indessen sind die Funktionen (1) bei Untersuchungen über elliptische Funktionen n ter Stufe deshalb so sehr viel brauchbarer als die Thetafunktionen, weil die 0 gh (u!W ll W 2) gegenüber den Substitutionen der Modulgruppe rew) ein leicht angebbares Verhalten zeigen, während in dieser Hinsicht bei den Thetafunktionen eine weiterhin noch besonders zu besprechende Schwierigkeit vorliegt. Das Verhalten der Funktion (1) bei Vermehrung von t~ um Perioden liest man leicht aus (8) S. 209 unter Zuhilfenahme der Legendreschen Relation (6) S. 160 ab: 1) Ihr Verhalten gegenüber beliebigen Substitutionen der n W ) ist durch Hermite erforscht; s. dessen Abhandlung "Sur la resolution de l'equation de cinquieme degre" in den Pariser Comptes Rendus, Bd.46 (1858) oder in Hermites Werken, Bd. 2 S. 5. 2) S. Klein, "Zur Theorie der elliptischen Modulfunktionen" Math.Ann.Bd.17 S. 65 (1879) sowie "Modulfunktionen", Bd.l S. 659ff. und die daselbst angegebenen Abhandlungen. 3) S. z. B. Jacobi, "Fundamenta nova", Art. 36; "Werke", Bd. 1 S. 144. 4) S. Klein, "Über die elliptischen Normalkurven der n ten Ordnung und die zugehörigen Modulfunktionen der n ten Stufe", Leipziger Abhandl. Bd. 13 (1885) S. 339, auch "Modulfunktionen", Bd. 2 S. 22.

Grundeigenschaften der Funktionen 6 g n.(u I w"w.)

451

(2) (-

1)

m,m.+rn'+nl'

( m1(lh+m2W2) (m,lh+m.~,J \u+----~

e

2

2in

" •

-(m,h-m.g) r::: ( ) 'Jgh U .

en

Hieraus folgt übrigens beiläufig für den Quotienten der Funktion (1) und der ursprünglichen 6-Funktion:

+

+ 6(u +In, w, +

6 g ll(u

1n, W t

') ->li "-'--- (m,"-m.u)

2)

In, (

In. ( 2 )

=

e

6 g b (u)

.

n

6fu)'

ein fUr eine elliptische Funktion n ter Stufe charakteristisches Verhalten (vgl. S. 374). Da die 1)11 1)2 mit den UJ lI UJ 2 kogredient sind, so ist die Wirkung einer Substitution dern w ) auf die Funktion (1) sofort In der Gestalt:

(3) 6 gh (u! aUJ 1 + ßUJ 21 rUJl + ~UJ2) = 6"g+Yh,ßg+vh (u;! UJ 1 , UJ 2) angebbar. Ändern wir 9 und h um Multipla von n, etwa um an und bn, so ändert sich, wie man aus (2) und der Legendreschen Relation (6) S. 160 berechnet, die Funktion (1) nur um eine multiplikative Einheitswurzel: (4)

6g+ an ,

(tt)

Hbn

=

(-

ab+a+b -"-~ (ah-bg)

e

1)

n

6 gh (u),

so daß man bereits alle wesentlich verschiedenen Funktionen (1) bei gegebener Stufe n erhält, falls man 9 und h auf die ganzen Zahlen 0,1,2, ... , n-1 beschränkt. Gilt für die in (3) ausgeübte Substitution: a

(mod.n),

ß-r-O

~=1;

so stehen in den Gleichungen: 9

+ (ct: 1 9 + ~: h) n,

ß9 + ~ h = h

+ (! 9 + ~: _1 h) n,

IX g

+ rh =

rechter Hand in den Klammern ganze Zahlell. Die Relation (4) liefert also als Wirkung einer Substitution der Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe:

(5)

-(-1)

(

C<

-1

r

6 gh (u! aUJ 1 + ßUJ 2, rUJl

-n- g +-;"+1

)

+ ~Ol2) =

(,3-,;9+--;;--h+1 ,,-1 )en.(r!y·+(J-a)Oh-rh')6gh(u!Oll,0l2), 7t i

so daß zwar die Funktion (1) gegenüber diesen Substitutionen noch nicht völlig invariant ist, sich jedoch nur um eine multiplikative Einheitswurzel 2nten Grades ändert. Den "Null wert" der Funktion (1) bezeichnen wir mit 6 gh (Ol1 , UJ 2 ):

(6)

6 9 ,,(Ol1, Ol 2)

=

-

e

_ (g

'I, +1"1.)(0"" 2,,'

+hw.)

6

gw

+ hw

(-'-n-2

I 1

Oll' Ol 2 )

oder auch, wenn die Argumente selbstverständlich sind, kurz mit 6 g ". Die Gleichungen (3), (4) und (5) übertragen sich sofort auf diese Null29*

452 II,3. DieModulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

werte. Die Kombination g = 0, h = 0 ist hier auszuschließen, da die Funktion (6) fUr diese Kombination identisch verschwindet. Da übrigens 0- u,-h = - 0 gh gilt, so erhalten wir beim einzelnen n sicher bereits alle wesentlich verschiedenen Funktionen (6), wenn wir etwa den ersten Index g als nicht-negative ganze Zahl

<~

wählen.

Aus (2) S. 404 ergibt sich nach kurzer Zwischenrechnung eine fiir unsere folgenden Betrachtungen grundlegende Produktdarstellung der Funktion (6):

(7)

0 gh (00 11

00 2 )

·iI (1 -

m=l

q2m)2

Die in der älteren Theorie der elliptischen Funktionen vorliegenden Entwicklungen über das Verhalten von Vk, 1!F, lf/k-;tC', lf/A usw.gegenUber den Substitutionen der r(w) lassen sich nun alle leicht mittels der Funktionen 0 gh in den drei niedersten Fällen n = 2, 3 und 4 ableiten. FUr n = 2 haben wir drei Funktionen 0 gh nämlich 0 011 0 1°' (\11 für welche wir aus (7) die Darstellungen gewinnen: rti

00

II (1 + q21n)2, CI)

0 01 • II(l - q2m)2 = ~~ e- 2·2·

m=l

m=l

m=l

m=l

m=l

rn

=1

Multiplizieren wir diese Gleichungen miteinander, so folgt bei Benutzung von (7) S.406:

Der links mit dem 0-Produkt multiplizierte Faktor ist aber zufolge der 00 17 00 2 ; (12) S. 407 die eindeutige Funktion (- 3)ter Dimension für diese gilt somit die Darstellung:

YA

(8)

y

Diese Darstellung von LI setzt uns nun in den Stand, das Verhalten dieser eindeutigen Funktion der 001' 00 2 gegenUber irgendwelchen Substitutionen der r(w) auf Grund der Formeln (3), (4) und (5) fest-

Verhalten von V~ bei linearer Transformation

453

zustellen. Üben wir zunächst die erzeugenden Substitutionen Sund T aus, so folgt aus (3): 41r Li (ro1

+ ro 2, ro 2)

(1-1)"J!2

= s-s-c5' 01

11

12

~/-(

r A ro 2,

-

(1- i)V2

)

ro1 = 6---66--' -10

01

-11

Auf Grund der Regel (4) hat man 0 121 0_ 10, 0_ 11 bzw. auf 010,010,011 zu reduzieren und findet:

(9) V A(ro 1

+ ro 2, ro 2)

VLi (ro

i V A(ro ll ro 2 ),

=

2, -

ro1 )

=

-

i V"~i(ro1' ro2 )·

Für eine beliebige Substitution V der Hauptkongruenzgruppe vierter Stufe r~~) ist a8 _ 1 (mod. 8), woraus a = 8 (mod. 8) folgt. Also liefert für eine mit der identischen Substitution 1 modulo 4 kongruente Substitution V die füru = 0 und n = 2 spezialisierte Gleichung (5): ßg+r h 0 gh (aro 1 + ßro 2, yro1 + 8ro2) = (-1)-T-0 gh (ro ll ro2)· Hieraus geht sofort hervor, daß das Produkt 001010011 gegenüber der fraglichen Substitution V invariant ist: Die vierte Wurzel der Diskriminante LI ist eine eindeutige Modulform vierter Stufe von der Dimension - 3. Gegenüber einer beliebigen Substitution V ändert sich VLi um eine von den Koeffizienten a, ß, y, 8 eindeutig abhängende vierte Einheitswurzel. Auch diese Abhängigkeit können wir leicht angeben. Schreiben wir zunächst:

V

V.d(aro 1

+ ßro2,

rro 1

+ oro

2)

=

i" . Vd(roj) ros),

=

so ist der Exponent !L in a, ß, r, 0 darzustellen. Gilt V' V (mod.4), so ist V-l V' 1 (mod.4), so daß V und V' gleiche Wirkungen auf ')IA ausüben. Wir dürfen demnach bei der folgenden Rechnung in der Schreibweise der Substitutionen die Koeffizienten irgendwie modulo 4 reduzieren und z. B. durch ihre kleinsten nicht-negativen Reste modulo 4 ersetzen. Ist nun zunächst a ungerade, so ist a 2 1 (mod.4). Die Ausübung der Substitution S-aß auf die in der eben angesetzten Gleichung enthaltenen ro1 , ros liefert demnach mit Benutzung der ersten Relation (9):

=

'jYA(arol l yro + aro 2) j

=

ill--aßV.d(roll ros)'

Üben wir jetzt T aus, so folgt mitte1st der zweiten Gleichung (9): 4 V A(aro2,

-

aro1+ rro 2 )

=

i 1l - a ii'-1V A(roll ro j ). 4-

Drittens wende man auf die ro1 , ro2 die Substitution Say an und findet: V:;j(aro - aro1 ) -- il'-aß+ay-dl r D r A(ro11 ro) 2' sowie nach erneuter An wendung von T: VA( - aro1, - aro2) = i 1l - a p+a y-2')1A(ro ll ro2),

vLi(aro aro) r 1> 2

=

il' -a ,f1+ar Vr A(ro l' ro) 2'

454 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Endlich aber gilt: da

'Vd

Vd(aw

a-l

aw j )

l1

y

== (- 1)-2-YL1(w1, ( 2 ) =ia -

1 d(w!) (

2 ),

von ungerader Dimension ist. Es folgt also: 'Vd(w 1, ws) = ifi-aiHay+a-1Vd(wll OJ 2 ),

und demnach ergibt sich für ungerades a: fL

= ocß -

+1

ocl' - a

(mod.4).

Ist zweitens a gerade, so schreiben wir auf Grund der zweiten Gleichung (9): 'Vd(IXOJ 1 + ßw 2, 1'OJ 1

+ oOJ

2)

i

=

yd(1'OJ + ow 1

2, -

aOJ 1

-

ßOJ s)

und können, da jetzt l' notwendig ungerade ist, zur weiteren 'Entwicklung der rechten Seite die eben gewonnene Regel anwenden. Es ergibt sich: fL -

1X1'

+ 1'0 + l'

(mod.4),

so daß es gelingt, heide Fälle in den einen Ausdruck: fL

= 1X (IXß 2

1X1' - a

+ 1) + (1 -

1X 2) (a1'

+ 1'0 + 1')

(mod.4)

zusammenzuziehen. Die vierte Wu'rzel der Diskriminante zeigt gegenüber einer beliebigen Substitution der homogenen Modulgruppe r(w) das Verhalten: (10) d (IXOJ 1+ ß OJ s,1'OJ 1+ 0 OJ 2 )=ia'(ap-!a y-a + 1) + (1-a')(<< +rf + l l r'j!:d( OJ 1,OJ 2).

'V

Eine genau entsprechende Entwicklung gilt im Falle n = 3 für die dritte Wurzel der Diskriminante d. Wir haben hier die vier verschiedenen Funktionen 0 01 , 0 10, 0 111 0 12, und es ergibt sich, wenn wir

y

die früher benutzte Abkürzung e

3

=

Q

wieder aufnehmen, aus (7):

m=l

m=l

m=O

Multiplizieren wir nun die vier in diesem gemeinsamen Ausdrucke enthaltenen Formeln, so lassen sich die rechts stehenden Produkte zusammenziehen, und wir gelangen nach einer kurzen Rechnung zu dem Ergebnis: ~ ~ lJ ~ lJ ~ • \/2"')4 ~rrOC 1 - q2"')8 = - 3 +2 i']/S . lJ lJ -;:;;; q 3 01

lO

l1

(

12

m=1

Hier steht links neben dem Sigmaprodukt die dritte Wurzel der Diskriminante d, so daß für diese eindeutige Funktion von OJ l1 OJ 2 die folgende Darstellung durch die zu n = 3 gehärenden 0 gh gewonnen wird:

y

(11)

Verhalten von

VLI

3 -_.

455

bei linearer Transformation

Hiermit ist der Boden geebnet, um auf Grund der Regeln (3), (4) und (5) auch das Verhalten von d gegenüber den Substitutionen der homogenen r(w) festzustellen. Wir stellen zunächst folgende Wirkung

V

VA

der Substitutionen Sund T auf

(12)

11d(ro + ro 1

fest:

ro 2) = I? 11d(ro u ro?,),

2,

11L1(ro2, -- ro

1) =

i/d(ro

ll

roll)'

Als Wirkung einer modulo 3 mit ,,1" kongruenten Substitution finden wir aus (5), falls die transformierte Funktion mit 6~" bezeichnet wird: 6~h =

-

(= 1) (

a-:!U+Lh+t) (j>'_o+~-1h+1) 1T.i(Eg.+O--"uh_Lh') 3

3

3

e3

3

0

3

3

3

6 gh.

Nun gilt modulo 2: - h a- 1- ~ 1'3="00" r - 1J g" -= g, 7,2 v = '-3-=~= so daß sich der erste Exponent wesentlich zusammenziehen läßt; berücksichtigt man bei dieser Rechnung noch, daß a und ß nicht zugleich gerade sind, und daß also das Produkt (a -1) (ß + 1) und ebenso auch (~ - 1) CI' + 1) geraden ganzen Zahlen gleich sind, so folgt leicht:

6;"

=

Ccrto)uh+(fU+yh rti(Eu,+o-aUh_J.. h,)

1)

C =

e3

S

3

3

6 gh .

In dem zu untersuchenden 6-Produkte ersetzen wir zweckmäßig 6 1 ,2 durch 6 1 , -1' welche Funktion von der ersteren nur um einen konstanten Faktor abweicht. Dann findet sich: 'rr:' , , \.')10 6 11 6 1 -1 6 01

1ti

=

Y

/1

J (= 1)y+31 e-s'"3 . erti 3 -

Da nun, wie schon festgestellt, ;- = I', ,~=

2rtiy '3 3'

6 01 6 10 6 11 6 1 _

1,

ß (mod. 2) gilt, so zieht

sich der rechts' vor dem 6-Produkt stehende Faktor zu 1 zusammen, und also ist das Produkt gegenüber der ausgeübten Substitution invariant: Die dritte Wurzel der Diskriminante ist eine eindeutige Modulform dritter Stufe der Dimension 4. Gegenüber einer beliebigen Substitution V ändert sich -VLi um eine multiplikative dritte Einheitswurzel: =

-V L1(cxro1 + ßro 2 ,

I'ro 1

+ ~OJ2) =

Q'u

f! A(ro

ll

roll)'

wobei die Abhängigkeit der ganzen Zahl lL von den Substitutionskoeffizienten genau wie oben in Erfahrung gebracht werden kann. Die Rechnung gestaltet sich hier insofern noch etwas einfacher, als f! A gegenüber der Substitution T invariant ist. Wir geben sogleich das zeigt gegenüber Resultat an: Die dritte Wurzel de1' Diskriminante einer beliebigen Substitution de1" homogenen rCw) das Verhalten:

VA

(113)

VLl(aro + ßro 1

21

yro 1

+ ~OJ2) =

Qca'+Y') (a,'l+yd)

f! d(ro

ll

ro 2).

456 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

VLi

V

V

Mit den Wurzeln und L1 ist auch deren Quotient VJ : LI eine eindeutige Modulform, welche invariant ist gegenüber allen Substitutionen, die mod. 3 und mod. 4 zugleich mit 1 kongruent sind. Diese Substitutionen bilden die Hauptkongruenzgruppe zwölfter Stufe: Die zwölfte Wurzel der Diskriminante 1-f!L1 ist eine eindeutige ~JJfodul­ form zwölfter Stufe der Dimension - 1. Das Verhalten von 1Vd gegenüber einer beliebigen Substitution der homogenen rCm) geht aus (10) und (13) durch Quotientenbildung hervor. Im Falle n = 4 stellen sich die drei schon bei n = 2 aufgetretenen Funktionen 0 gh wieder ein, außerdem die sechs neuen Funktionen 0011 0217 010' 012' 0 w 13 , Setzt man ihre Produktentwicklungen (7) an und kombiniert sie zu Paaren, so ergibt sich unter Heranziehung der sechsten Wurzel der Diskriminante:

=

1-f!L1

°

°° 01

,

(14)

21 ,

°° °° 10

12 ,

11 13 ,

t'L1 V:d

V2 q~ II (1 + q2rn),

Slli

=

a:l

eS.

m=l

51t-i

=

e-s-

II (1 (Xl

q-~

q2m-1)

m=l

VA =

1t i

e4 q-~

II(1 + q2m-1). 00

m=l

Für die in \.10) S. 407 als eindeutige Funktionen erklärten achten Wurzeln der Integralmoduln 70 2 und 70'2 ergibt sich demnach folgende Darstellung durch die zu n = 4 gehörenden 0 g ,,: (15)

Diese Gleichungen gestatten uns das Verhalten der Wurzelnvk und gegenüber den Substitutionen der nicht-homogenen rCm) feststellen. Wir berechnen zunächst aus (3) und (4) folgende Wirkung der erzeugenden Substitutionen Sund T:

W

( 16)

yk('ro

+ 1) = e~i ~(ro) , Yk'(ro)

Vk(~ 1) = VI? (ro),

(17)

yl?(ro

+ 1) = ~

V'k'(ro) ,

Vk' (~ 1) = yk( ro).

Bei einer geraden Anzahl von Anwendungen der Substitution S findet man aus (16): 'J!:7ti

(18)

Yk(ro

so daß zwar

+ 2v) = e'Vk(ro),

Vil gegenüber

W(ro

S2v invariant ist,

+ 2v) = Vl?(ro),

yk

aber nur erst dann,

Die Wurzeln

Vk, VI?

457

als Modulfunktionen 16. Stufe

wenn 2v durch 16 teilbar ist. Für eine beliebige homogene, modulo 16 mit der identischen Substitution ,,1" kongruente Substitution folgt aus (5): r::.' _

'0 17 1t -

O'-el

y

,-.J

(_l)is"+iil"+-jf g1t '0 r::. g 1t,

so daß die drei Produkte 0 01 0 21> 0]0012) 0 11 0 13 invariant sind. Aus (15) sind folgt demnach: Die achten Wnrzeln der lntegralmodttln Tlk, eindeutige Modulfunktionen der 16. Stufe. Bei einer Substitution mit ß - 0, r (mod. 16) folgt aus ao _1 (mod. 16), daß 0= a (mod.8) gilt; und zwar ist 0 - a - 0 oder = 8 (mod. 16), je nachdem a 0 - ± 1 bzw. - ± 3 (mod. 8) ist. Es folgt:

t'P

°

=

(19) wo rechter Hand das Legendre-Jacobische Zeichen aus der Theorie der quadratischen Reste gemeint ist. I) Da die Produkte 0 01 0 2]) 010012,011 0 13 bei der Substitution w{ = - Wll w; = - W 2 invariant sind, so dürfen wir a _ 0- 1 (mod.4) voraussetzen und lesen alsdann aus (5) S.451 ab:

0;"

1)

,,~, J-lgh+"'--=-!:g+~lh+ /J_g+L"

v-ag"

i 8 0 gh • Hieraus leitet man leicht den folgenden Satz ab: Bei einer 8ttbstitution mit ß = r - 0 (mod. 16) zeigen die Funktionen (15) das Verhalten: (20)

=

(-

4

4

4

"

16

16.

t'k (ayroro ++ ,yß) = (!) yk (w) ' t'P (/X~C<)jJ) a yro + 0

=

(~) a

t'P (w).

Gegenüber einer beliebigen mod. 2 mit 1 kongruenten Substitution nimmt yk eine von den Koeffizienten a, ß, r, 0 eindeutig abhängende achte Einheitswurzel als Faktor an: 4 -

vk

+ ß) rro+d'

(aro

e-4 ~;r k(w). ft n-l

=

Bei der Berechnung dieses Faktors dürfen wir in der Schreibweise der Substitutionen die Koeffizienten jetzt modulo 16 irgendwie reduzieren. Wir üben nun auf w in der letzten Gleichung zunächst 8- a I~ aus, wobei der zweite Koeffizient der links entstehenden Substitution (1 - ( 2)ß durch 16 teilbar ist und der vierte Koeffizient die etwa durch a- 1 zu bezeichnende, modulo 16 bestimmte Zahl 0' ist, die der Kongruenz ao'-l (mod.16) genügt. Die Wirkung von 8- a (l auf Yk(w) bestimmt sich aus (18); man findet:

yk Cro ~roa 1) =

7ti( aß)

e4

/l-2"

l!k(w).

1) Wir gebrauchen dies Zeichen in der Bedeutung (19), auch wenn a eiuenegative Zahl ist. S. über die zahlentheoretische Bedeutung des Legendre-Jacobischen; Zeichens etwa D irichl et - D e d e kin d, ,;Vorlesungen über Zahlentheorie" (Braunschweig, 1894), S. 91 ff.

458 H, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Üben wir jetzt auf ro die Substitution T aus, so folgt (vgl. (17):

VI (~-~-~~)

= e~ (" - 't) yk' (ro) \-oe-1ro+r ' sowie, wenn wir nunmehr Sa Y ausüben, weiter (vgl. (18):

yk C=~t-l~)

11: i ( a,l'!) e 4 ," --2-

=

-Vk'(ro).

Die nochmalige Anwendung von T liefert mit Benutzung von (20):

-Vk (:~)

=

(~) flk(ro)

=

11:\ aß) e 4 fl-T

yk(ro),

woraus die Bedeutung von !L abgelesen werden kann: Bei Ausübung einer Substitution der Hauptlcongnwnzgruppe zweiter Stufe zeigen die Funktionen (15) folgendes Verhalten:

(21) Vk (;:

t !)

1tiyö

1I:iaß

=

(-~) e-s Yk(ro), yk' (;: t~)

=

s - -f/k'(ro). (~) e--

Die zweite Gleichung, welche das Verhalten von W regelt, ist eine einfache Folge der ersten. Aus dieser folgt nämlich durch zweimalige Anwendung der zweiten Gleichung (17):

yk' (~+~) -oero-ß

(!\) oe

=

'ltiaß

e-S

-Vk'

(:-1). ro

Wendet man hier auf ro die Substitution T an, so folgt:

VlZ ( IJro-r ) -ßro+oe

1ti a I'

=

(!) e~8 yk'(ro) oe '

woraus durch Austausch der Bezeichnungen die zweite Gleichung (21) folgt. Nach S. 438 können wir endlich jede Substitution der nicht-homogenen r(w) in der Gestalt V Vp darstellen, wo V 1 (mod. 2) gilt und V. eine der sechs modulo 2 inkongruenten Substitutionen ist, auf welche sich die Modulgruppe r(w) modulo 2 reduziert. Die Wirkung von Vv auf }lk und yk kann man nun leicht aus (16) und (17) berechnen und damit von (21) aus die Wirkung einer beliebigen Substitution feststellen. Üben wir z. B. auf ro in der ersten Gleichung (21) die Substitution S aus, so folgt mit Benutzung der ersten Gleichung (16), wenn WIr a + ß = ß', )' + (j = (j' schreiben:

=

l

yk (oero + Nun gilt aber:

rro +

ß:) = (!) e1tia~'--aJ.+~i~lro).

iJ

oe

yk'(ro)

460

II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

durch welche diese Größe als eindeutige Funktion von ro erklärt· war, entnehmen wir sofort als neue Darstellung derselben:

l.j1/k V

r

(23)

I"

_ -

.1+i

3 - 6

__

i!2 i!..:1611 6 13

in den zu n = 4 gehörenden 0 gh • Es handelt sich also hiet' um eine untet' dt'ei koordiniet'ten Modulfunktionen 48 ter Stufe, welche von nttme'fischen Faktot'en abgesehen die t'ezipt'oken We1·te del' dni Pt'odukte -V Li 0 01 0 21> 11Li 0 10 0 12 , V.d·0 11 0 13 sind. Das Verhalten dieser Größen gegenüber den Substitutionen der r(w) stellt man mit Hilfe der bisherigen Methoden leicht fest. Jedoch ist es nicht einmnal nötig, zu diesem Zwecke neue Untersuchungen anzustellen. Da nämlich l ykk ' gleich dem Quotienten von (Vkk')S und (Ykk,)2 ist und das Verhalten von ykk' gegenüber den Substitutionen der pw) bereits festgestellt ist, so kommt es nur darauf an, das Verhalten von (vkk'Y aufzufinden. Nun folgt aber aus (11) S. 407:

m=l

m=l

rn::=

1

und also ergibt sich aus der ersten Gleichung (12) S. 416 und der 6 --Produktdarstellung von 'V Li:

(Vkk')2 =

(24)

der

V':d

3

'j/4(ei

Das Verhalten von -V.d und (e2 ist aber bekannt.

-

-

e1 )

e1 ) gegenüber den Substitutionen

T(w)

§ 5. Die Perioden betrachtet als Funktionen des Integralmoduls. Die Inversion der Modulfunktionen höherer als erster Stufe haben wir insoweit auszuführen, daß wir die Perioden, und zwar in Gestalt von Legendres "vollständigen Integralen" K, K', E, E' (vgl. S. 371ff.) als Funktionen des Integralmoduls }., = k2 darstellen.· Diese Entwicklungen scbließensich den S. 323ff. durchgeführten Untersuchungen für die erste Stufe an. Um weiterhin Unterbrechungen zu vermeiden, schicken wir folgende Rechnung voraus. Durch Subtraktion der dritten Gleichung (5) S. 449 von der zweiten ergibt sich: tDilog A(1 - A») = e1

+e

2 -

2es = - 3es '

Berechnung der Ableitung von K in bezug auf I.

Nun gilt aber (vgl. (24) § 4):

AC 1 - A) und da D,;(log Ll)

461

y:d

4(e _ -)-p e1 9

=

0 ist, so ergibt sich die dritte der Gleichungen.

=

D'l(log

(C2 -

Ca)

1D'I(log (ca -

(1)

=

Cl) =

D~(log (c2 -

Cl)

=

cl) 2c2 , 2c3 , 2,

während die beiden ersten aus der dritten durch Vermittlung von (5) S. 449 folgen. Schreibt man diese Gleichungen in der Gestalt: DiCk - Cl)

2clck - Cl)'

=

so gewinnt man durch geeignete Kombination derselben die Wirkung des Differentiationsprozesses D~ auf die cl1 C2 , Cs einzeln in der Gestalt:

(2) D'I(CI ) =-Hci+2c2CS)' Dic2)=-Hc;+2c3C1), D'I(CS )=-HcH2c1 c2 ). Wenn wir nun den Prozeß D'I auf irgendeine Funktion g; von 00 allein, die demnach auch als Funktion von A allein angesehen werden kann, ausüben, so gilt:

Dig;)

=

(~! D'I(A)

~~ . }_D'i(logA),

=

und also folgt mit Benutzung von (5) S. 449 die Regel:

(3)

D'i(CP)

2(c2

=

Cs}A

-

~r·

Wir wenden diesen Ansatz an auf:

g;

=

log

log (~OO 2 YC2=---e~)

J( =

und benutzen zur Berechnung der Wirkung von D'I auf den rechter Hand stehenden Ausdruck die dritte Relation (1) sowie die Gleichung (11) S.372: 112 2 (C2 - Cs), KJ. dK df = ;;;+ C3 = ( e2 - Cl ) KE - (C2 - C3) • 2

Durch Division mit (C 2 -Cl) folgt als Differcntialrclation zwischen J( und E:

(4)

2A(1 - A) Weiter folgt aus

iJ(' =

i ~K' dJ.

Setzt man aber g;

=

00

~~ = E - (1 - A)K. ooJ(

=

durch Differentiation nach A:

iK' dK K dl

+ J(~~. dl

in (3) ein, so ergibt sich:

D~ ( (0) = -

2in, (

7

2

2 c2 - cs)

=

woraus man durch Division mit (c2

Cl) erhält:

-

dro

2A(1 - A) dl_

dro A. dl'

=

-

ni

2-k"

462 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Die vorletzte Gleichung liefert also bei Benutzung von (4): dK'

2A(1 - A) -df

=

-

K'

2K + K n

CE -

(1 -

A)K).

Mitte1st der Legendreschen Relation (16) S.373 gewinnt man demnach als Differentialrelation zwischen K ' und E': 2l(1 - l) d~'

(5)

=

lK' - E'.

Nach (11) S.372 gilt:

(6) und also bei Anwendung des Prozesses D'I: B

~--

2Ve2 -

+ :Jle; ; = D,/es e

ei D~(E)

2 -

Ci)

D~('YIs

=

j

+ e2(lJ2)'

Die rechte Seite entwickelt sich mit Benutzung der zweiten Gleichung (2) und des S.325 angegebenen Ausdruckes von D~('YI2) weiter so: D./'Yls

+ e2(lJs) =

-

12 gs(lJs + es'YI2 -

He~

+ 2eI eS)(lJ2'

Trägt man für gj seinen Ausdruck in den e ein und entwickelt andrerseits D,-/e2 - ei)' so folgt nach kurzer Rechnung:

+ 2es ye~-=-e~ E =

2 V~-'::""-e~ D~(E)

e2 'Y12

(lJ2(e~

-

+ eieS),

sowie wenn wir 'YI2 auf Grund von (6) durch E ausdrlicken: 2Ve2 "':"'-e~ D,/E)

+ 2cs V~-=--e~E

2 V~-~ D,/E)

=

2(e2

-

2es Ve 2

=

---e; E -

es) Ve s - el E -- (lJs(e2

-

(lJs(2e;

+ eIeS),

cs) (es - ei ).

Entwickeln wir D,/E) nach der Regel (3), so ergibt die Division mit 2 (e2 - es) Ve 2 - ei als zweite Diffel'entialrelation zwischen E und K:

(7)

2A

dB dJ..

=

E- K

Schließlich folgt aus der Legendreschen Relation (16) S.373: ~(KE') _ K' d(K - E) + (K _ E) dK' dJ.

-

dJ..

d'J. '

woraus man unter Benutzung von (4), (5) und (6) als zweite Differentialrelation zwischen E' und JC erhält:

(8)

2(1 -1)

d;;"

=

K' - E'.

Wie bei der ersten Stufe (vgl. S. 326ff.) gewinnen wir aus den aufgestellten Differentialgleichungen erster Ordnung durch Kombination lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung, denen die vollständigen Integrale K, JC, E, E' als Funktionen von A genügen. Wir

Lineare Differentialgleichung für die vollständigen Integrale X, X'

463

wollen dies nur noch für Kund K' weiter verfolgen und berechnen zu diesem Zwecke aus (4):

E= 21(1 - It) dd~ + (1- It) K,

dE dT

=

d'X 2,1(1 - It) d,,'

+ (3 -

dX 51t) dT - X.

Trägt man diese beiden Ausdrücke von E und ~~ in (7) ein, so gewinnt man die fragliche Differentialgleichung zweiter Ordnung. Zu genau derselben Gleichung gelangt man durch eine an (5) und (8) angeschlossene Rechnung für K': Die vollständigen Integrale Legendres Kund K' sind als Funktionen von It Lösungen der linearen homogenen Differentialgleichung fJ'Weiter Ordnung: d' s ( ds 1 1(It-1)d,,'+ 21t-1 ) d,,+4~=0.

(9)

Wir sind hier genau wie bei der ersten Stufe (vgl. S. 330) zu einer "hypergeometrischen" Differentialgleichung geführt, und zwar sind die Parameter a, ß, r in der allgemeinen Gleichung (l)S. 105 gleich t, t, 1 zu setzen, damit wir zur Gleichung (9) gelangen; die drei S. 106 mitlt, (-t, v bezeichneten Größen werden somit hier übereinstimmend gleich O. Wir wollen, um Verwechselungen des "Parameters" 1 mit der unabhängigen Variabelen A der Differentialgleichung (9) zu vermeiden, die letztere Variabele durch ihre andere Bezeichnung k 2 kennzeichnen. Die sechs S. 107 tabellarisch zusammengestellten Transformationen der hypergeometrischen Differentialgleichung in sich können wir für unsere Differentialgleichung (9) so schreiben: A'

=

k 2,

~'

=

~,

1 -],;2,

1

p,

k" -

~

1

1 1 _ k"

k~,

k' ~,

k'

Tc' _

1'

7c' ~,

wobei untereinander stehende Werte It' und ~' zueinander gehören. Die 24 formal unterschiedenen Lösungen der Differentialgleichung mitte1st der hypergeometrischen Reihe reduzieren sich hier auf die sechs Lösungen:

Die Peripherien der Konvergenzkreise diesel' Reihen sind die drei in Fig. 83 S. 445 durch die beiden Punkte 1 = k 2 = - (I und = - (12 hindurch ziehenden Kreise; z. B. ist der Konvergenzkreis der ersten Reihe die Fläche des Kreises vom Radius 1 um den Nullpunkt k 2 = 0, derjenige der dritten Reihe das Äußere dieses Kreises usw. In jeder der vorstehend angegebenen Reihen ist nun der Parameter

464 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

r = 1, so daß ein zweites Integral der Differentialgleichung stets mitte1st der des ,des die

Reihe (15) S. 114 und eines mit einem Logarithmus behafteten Glieanzusetzen ist. So haben wir, wenn wir z. B. für die Umgebung singulären Punktes k 2 = 0 Reihen nach Potenzen von k 2 benutzen, beiden linear-unabhängigen Integrale:

Um nun die beiden Lösungen X und X' der Differentialgleichung (9) in diesen Integralen darzustellen, nehmen wir an, daß X und X' einem primitiven Periodenpaare 0)11 OJ 2 entsprechen, wobei also der Quotient OJ ,dem Bereiche der Fig. 56 S. 273 angehört; dies setzt voraus, daß der Wert k 2 dem Doppeldreieck der Fig. 83, S. 445, angehört, welches sich symmetrisch um das von k 2 = 0 bis Jc2 = t reichende Stück der reellen k2-Achse als Mittellinie anordnet. vVir notieren uns zunächst aus .(8) S. 406 die drei Gleichungen:

I

x =.~ !lC 1 - q2Jn)211 (1 + q2m-I)4,

(10)

Jc

4 qt

=

TI'" (~ q2"'---)4 1 + q2m

.

-1

,

k'

TI'" (~.=JZ2m-l)4. 1 + q2 rn-1

=

m=l

m=l

Aus der ersten folgt, daß bei verschwindendem k 2 und also verschwindendem q der Wert X

=

-'i

zutrifft; und bei Benutzung dieses Ergeb-

nisses liefert die zweite Gleichung (10) für lim k

IoO' Jc '"

2 100' 2 + ~~"!

=

so daß umgekehrt:

"

2

X'

=

=

2 100' 2 - !!

K' =

21[

0

0 näherungsweise:

=

2 100' 2 - X' t:l

,

2 log 2 - log 7c

gilt. Setzen wir andererseits X und K' homogen und linear mitte1st der zunächst noch unbekannten Koeffizienten A, B, 0, D in den beiden angegebenen Integralen der Differentialgleichung an:

K K'

CA + 2B log 7c) F (t, t, 1; k 2) + BFI (t, t; 7c 2), (0 + 2D logk) F(t, t, 1; Jc2) + DFICt, t; k 2),

= =

'So ergibt sich aus den Absolutgliedel'n der Reihen Fund F I (vgl. S. 110 und 114) für lim k 2 = 0:

X

=

A

+ 2 B log k,

X'

=

0

+ 2 D log 7c;

:also folgt durch Vergleich mit den soeben fiir lim k Grenzwerten von X und K': 11:

A = 2' '

B = 0,

0 = 2 log 2, D =

=

0 ausgerechneten

-l

K und

Je

als hypergeometrische Funktionen

VOll

465

k2

Die1;ollständigen Integrale Legendres Kund K' sind als hypergeometrische Funktionen des Integralmoduls k 2 gegeben durch:

(11)

(

K - ,,; F' 1 1 1. ".2) - '2 \2'2' '".' -10g7')F('l k 2), K" ' --- C~loo'2 b h", l2" 1· Jc2) _ l2 F I Cl.!.. 2' 2'

wobei die rechts benutzten Reihen auch noch explizite angegeben sein mögen:

FG-, t, 1; k 2 = 1 + Ct)2Jc2 + et·t)27c4 + (t+~)2Jc6 +"', t F I (t, t; k = e}Y7c 2 + (}·t)2 (1 + 3:.Dkt + et+t)2(1 + 3~4 + 5~6)k6 + "'; 2)

log Jc muß für reelle positive k selbm' ~'eell werden. Die Darstellungen (11) bleiben gültig im Innern des Kreises vom Radius 1 um den Nullpunkt k 2 = O. Bei einem Umlauf um diesen Nullpunkt führen sie zu einem bekannten Ergebnis zurück, das wir in die Gestalt kleiden können: K(w

+ 2) =

K(w),

IC(m

+ 2) =

- 2iK(w)

+ IC(w).

Die Fläche jenes Kreises setzt sich aber aus drei Doppeldreiecken zusammen, welche den Substitutionen 1, Sund T bzw. den ihnen entsprechenden Doppeldreiecken im Netze der Fig.61, S.291, zugehören. Liegt demnach, wie wir annahmen, 01 in dem der identischen Substitution 1 entsprechenden Doppeldreiecke, so werden auch noch (w + 1) Werte liefern, für welche die Darstellungen (11) gelten. Die und =2 OJ Wirkung der Substitutionen Sund Tauf k 2 ist bekannt. Als Wirkung erstlich von Sauf Kund IC stellt man aus (10) leicht fest: K(m

+ 1) =

k'(01)K(w),

1C(w

+ 1) =

-

ik'(w)K(w)

+ k'(w)K'(01),

woraus wir nach kurzer Zwischenrechnung als zweite Darstellung unserer

in (11) gemeinten K, IC gewinnen: K = ik'-I

(12)

1

K'

F(t,t, 1; E2~i)' k

=

k'-l { (2 log 2 -log ,;,)

k"

F(-},}, 1; k2~1) -

k'

tFI({' ti k2~1)}'

die wir auch durch eine direkte Betrachtung, d. h. nicht durch Vermittlung der Substitution S, hätten aufstellen können. Das Innere des Konvergenzbereiches. diesel' neuen Darstellung umfaßt alle Werte k 2, deren reelle Bestandteile < ~ sind. Um die Wirkung von Tauf K (w) und K' (w) zu bestimmen, folgern wir aus: und iIC(m) 4K

=

4K(W)2 mK(w):

=

(:::}f wi (&9 (~1) =

]'ricke: Elliptische Funktionen. Bd.l

01; S,I

(\.J (~2) -

(~2))

=

-

(1'))

401~ K(w)2

=

4K' (m )2. 30

466 TI,3. Die M"odnlfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Es gilt also:

K(-:/)

=

± K'(m),

wo rechts ein bestimmtes unter den bei den Zeichen gilt, da K( m) eine eindeutige Funktion von m ist. Setzen wir aber in die letzte Gleichung m = i ein (ein Wert, für den Kund K' nicht verschwinden), so ergibt sich mit Rücksicht aufiK' = mK die Gültigkeit des oberen Zeichens:

K(-:,l) = K'(m),

K'

(-6/) =

K(m).

Von (11) aus gewinnen wir jetzt unmittelbar als neue Darstelltmgen unserer

K,K':

rK

(13)

lK'

= =

(2 log 2 - log k')

~2 F(~2' J2' 1·,

Fei, t

1; 1 - k 2)

-

t

F 1 (t,

ti

1 - k 2 ),

1 - k 2) ,

gültig im Innern des Kreises vom Radius 1 um den Punkt k 2 = 1. In ähnlicher Weise kann man durch Ausübung der Substitution S T die noch fehlenden drei Darstellungen der vollständigen Integrale als hypergeometrische Funktionen von k 2 gewinnen.

§ 6. Die elliptischen Funktionen zweiter Stufe als Funktionen . zweier Argumente. Ausartungen. Die elliptischen Funktionen erster Stufe waren homogene Funktionen der drei Argumente ~t, mu m2 von einer im allgemeinen nicht verschwindenden Dimension (vgl. S. 318 ff.). Demgegenüber sind die zur zweiten Stufe gehörenden Funktionen der älteren Theorie, also die Funktionen sn, cn, dn, die .fr-Funktionen, auch die Al-Funktionen, wie von vornherein hervorgehoben wurde (vgl. S. 387), in jenen drei Argumenten homogen von nttllter Dimension. Auf diese Weise werden jene Funktionen der zweiten Stufe solche ron "zu'm:" Argumenten, dem Integral erster Gattung und dem Modul. Bei den .fr-Funktionen gaben wir den Argumenten die Gestalten v und q oder auch v und m, bei den Funktionen S11, C11, dn und den Al-Funktionen treten in den Potenzreihen (vgl. S. 399ft) die Argumente wund k 2 auf~ in den Produktentwicklungen und Fouriersehen Reihen aber wund q. Als Funktionen ihrer beiden Argumente v und m befriedigten die .fr-Funktionen die Differentialgleichung:

(1) wie S. 421 aus den vier Thetareihen abgelesen wurde. Besteht diese Gleichung für eine der vier Thetafunktionen, so kann man sie für die

Partielle Differentialgleichung der Thetafunktionen

467

anderen drei auch auf Grund der Verwandlungs tafel von S. 419 herleiten. Übrigens ist die Gleichung (1) für dt'e it'cFunktion natürlich nur eine auf diese Funktion umgerechnete Gestalt dm' Diffet'entialgleichung (11) S. 322 der 6-Funkiion. Man kann nämlich diese Differentialgleichung mit Benutzung der S. 325 bewieBenen Relation:

W

~~J=-~~~ leicht auf die Gestalt umrechnen:

.

~~

L: o'6(u) ---ou'- + 2D~( log(e 2w, 6(u») =~--. 6(~t) co~ 'l)2 U '

Aus der Beziehung (9) S.416 zwischen 6(u) und it'l(V) ergibt sich durch zweimalige Differentiation nach tt und nachherige Division mit jener Relation: ~1~_ i:J26(u) = __ ~_ 0''&, (v) 6(u) ou' COi.&l(V) ov'

+ ~~ O.&l~~ + '11. + 'lJ~:u_2. co~.&,(v)

OV

co.

co;

Indem man andrerseits auf: '12 U2

log(e- 2w • 6(u»

=

log it'l(V) - -pogd -pog002

den Prozeß D II anwendet, folgt wegen DIICLJ) D II (log (e--'f~' 6 (u»)

=

=

+ tlog2~

0:

D II (log it'l (v» -

-2'1)· .

co.

-Im ersten Argumente v = UOO;1 der it'l-Funktion ist WB als Nenner enthalten; mit Rücksicht hierauf gilt: 0 log.&, (v) -1) 0 log.&, (v) D II ( 10git'1(v» =---(}v--- uD ,I (002 +---a~-- D~(oo), D~(log it'l (v») so daß wir finden:

1

=

-

600'(e:%'~:: 6(u»))

2D 1I

El

0.&, (v)

~t'l).

1

0.&, (v) 2in

-~C:V) --1;v - .~§ -- :tt~(v) '-}J~-'-;r' =

2tt'l)~

___ __ co~.&, (v)

o.&,(v) _ _ ~in __ 0.&,('11) _ '1)'. OV co§.&, (v) OCO co.

Hiermit sind beide Glieder der linken Seite der Differentialgleichung für die 6-Funktion auf it'1 (v) transformiert, und jene Gleichung gewinnt damit die Gestalt: 1 0''&, (v) --co§4t, (v) GV 2

4in 0.&, (v) co;.&, (v) oco

-~------~----

'I);u' + ---w; =

'I)~u' ----.

coi

Nach Fortheben überflüssiger Bestandteile kommen wir damit tatsächlich zur Differentialgleichung (1) zurück. Den drei Differentialgleichungen (1) für die geraden it'-Funktionen entsprechen Differentialgleichungen für die drei Funktionen zweiter Stufe 6,.(u I0011 (0 2), welche man ohne Mühe aus der Differentialgleichung der ursprünglichen 6-Funktion herleitet. Eine größere Beachtung 30*

468 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation haben die Differentialgleichungen gefunden, die den Gleichungen (1) entsprechend für die vier Al-Funktionen bestehen, und zwar deshalb, weil vermittelst dieser Differentialgleichungen die Potenzreihen der AlFunktionen berechnet werden können (vgl. S. 403). Um zunächst die Beziehungen zwischen den ir- Funktionen und den Al-Funktionen aufzustellen, hat man zwischen den Gleichungen (1) S. 401 und (9) S. 416 sowie (15) S.417 die (5 zu eliminieren. Mit Rücksicht auf das Verhalten unserer Funktionen für ~~ = folgt: 'I."'

e2

irl

["2

,f)-' ~- (1 + h') w'

(v)

=

2~

e6

_~ (1 + /;2.) w2

~j'2 u'l

e 2ol• ir,.(v)

=

ir,,·e 6

°

All (w),. Al,,(w),

wo v = 0, 2, 3 zu nehmen ist und ir~ der Nullwert der ersten Ableitung von ir1 (v), entsprechend den Nullwerten ir,. der drei geraden irFunktionen, ist. Den linksseitigen Exponenten können wir mit Benutzung von (11) S.372 so entwickeln: w' 'I) w' e -!-' = ----. ___ 2 ___ = ,,_ (E - - _ ! . - K).

'I) H'

2

Da

Wll'

co.

lie, _ e,

4K

~

e e,

K

2 -

den Quotienten der e in die Gestalt: e2

3e.

il'(e-;-=e;5

e. -e,

2e 2 -2e, -(e.-e,)

---3(62-=-;;;)--

2-k' -3-

=

umrechnen können, ""S1T' folgt weiter:

'IJ,-t~' = 2

10'

2K

co.

(E _ K)

+ .16 (1 + 71;2) w

2•

Die Beziehungen zwischen den ir-Funktionen tmd den Al-Funktionen haben somit die Gestalt:

j

(v)

=

:~ e~-,;=}'W2 All (w),

{t,(v)

=

ir",.e 21i- w' Al"(w),

{tl

(3)

R-E

wo wieder v = 0, 2, 3 zu nehmen ist und unter Alo(w) die S.401 mit Al (w) bezeichnete Funktion verstanden ist. Für die auszuführende Rechnung ist es noch etwas zweckmäßiger, den Exponenten in v, den e und den ursprünglichen Perioden auszudrücken. Wir berechnen zu diesem Zwecke aus (11) S.372: 112

+ Cl W 2 =

2-Ve~-=--:e~

(E - K)

und werden zu folgenden Gestalten der Gleichungen (3) geführt:

f

(v)

=

lir (,)

=

{tl

(4)

• t

2,f)-k C-tUJdJl. +e , w,)v' All (w), <>.

v"e

-t'''2(IJ,,+e,w,)v2Al ( .)

.

•

Ui,

(,.=0,2,3) .

Zusammenhang zwischen den Al-Funktionen und den Thetafunktionen

469

Um zunächst für v = 0, 2 und 3 die Gleichung (1) auf die entsprechende Al-Funktion zu transformieren, haben wir zu berücksichtigen, daß w = v . (lJ2 Ve 2 ~-c~ von v uncl (lJ abhängt, und folgern aus der zweiten Gleichung (4) unter Fortlissung des Index verstiich durch zweimalige Differentiation Dach v: 02&(V)_ ov

-~-

{Te

2(' _ e2

-tw.('I.+e"".)v'f

t(lJ2

(10) ( + el 0)2)v (}Al -;T;;;--

el

)~Al(W)_2 2'/-=---(lJ2

Cl.

U W'

( (lJ2 (1)2 " T Cl (lJ2 ) -

'1}2

Y e.•

el

+e

0)22(172

l

(lJ2 )2 V.2)Al(w )lJ'

sodann durch einmalige Differentiation nach (lJ:

(}!_(tJ2 = {Tc -t W2("-' +e,'".).' {rllog & A lew) clw

cro

+ cAl.(W) 010

. v . MOl 2

v'e.-=e:)

-1-

dw'

_

'1.'2 ~[Ol2('1)2±.~_fD-,)J Al(w) dw

1

2

0 A ~ (w) . ~~')}. O(k 2)

dro

Zur Bestimmung der in der letzten Gleichung auftretenden Ableitungen nach (lJ wenden wir den Prozeß n'l auf (lJ2(172 + Cl (lJ2) an:

D,/(lJ2(1)2 +

el (lJ2)

(lJ2(D'I(172)

C''72+ Ct (lJ2)D'I((lJ2) +

=

+ D'I(el (lJ2))'

D q ((lJ2) ist gleich 172' D'I(172) bestimmt sich aus (2), und für D,I(el (lJ2) gilt bei Benutzung der ersten Gleichung (2) S. 461 : Diel (lJ2)

also folgt: D 'I (0)2 (t72 + el (lJ2)

=

el 172 -

=

172 (172 +

Cl

-~(lJ2(C~ + 2e2 eS );

0)2) + el (lJ2'12 -

Ersetzen wir tg2 durch seinen Ausdruck wir hierfür auch schreiben:

D'I ((lJ2 (172 +

Cl

(lJ2)

=

}(lJ~ (lg2 + 2ei + 4e2 eS )'

- e2 eS) in den e, so können

(e~

e2eS )' allein abhängig,

(lJ~(2e~ +

(t72 + Cl (lJ2)2 -

Nun ist aber (lJ2( 172 + el (lJ2) vom Periodenquotienten (lJ so daß andererseits: ) _ _ ~~'" d[Ol2(1)2+~lW2)] D 'I (0)2 (1/2 + el 0)2 )) -_d[Ol2(1].+ejOl2)]D.( 1 ,; 0) 2' cl (. w

/m

rot

gilt. Wir ziehen hieraus die Folgerung: Ol.t ('Yl

d[w. (1J2_±~1 ol 2)] = _ dro

2~:n:

"2

+ e1 (lJ2)2 _

(lJ2(2e 2 2

-1-

l'

e e )). 2

3

Durch eme ähnliche jedoch weit kürzere Rechnung findet man: dew, v'e~-=e,) dro

__ 2Olii:n: ("1/2 + ea 0)2 )1/-=--ye2 eil

-

während man aus der zweiten Formel (5) S. 449 leicht ableitet: d(k2) -_.= _

dw

2

.(e _ e )k2 = _

Ol 2

:n:t

2

a

2

.(e _ e )k'2.

Ol 2

'ltt

a

1

Unter Benutzung dieser Zwischenresultate folgert man aus den oben

470 11,3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation vorbereiteten Gleichungen für die Ableitungen der Funktion {}- nach v und w: ~'~ivl_ 4i:n: ~~(v) =.&. c-~w'('I"+e,W2)v' {w2(e _ c) o'Al(~() ov' 00 2 2 1 ow' oA1 (w) ) ,oAl(w) +4 1I( )k'2 + '2 W lI( Ws Ca Cl a(k2) 2 e.3 - Cl U; --aW-

+ (W~ . ~ei ~ 6,e• . w 2- W2(1]2 ~ ~

+ Cl Ws) -

4i:n: ~·Jdog ~)' Al(w)}. w

Da nun die linke Seite dieser Gleichung identisch verschwindet, so folgt nach Division mit w~(Cs - Cl) bei Benutzung von: 2 ei + e. e. _ Il,,_=-_e l _ k 2 (e. - el )2

e. - e, -

-

als Gleichung für die drei Funktionen Alo, Al!, Al3 : o'Alv(w) + 2k 2 .oAlv(w) + 4k2k'20Alv(w) ow' w ow " o(k') 2

+(k w

2

1 ('I). ---=-e. e - + 1

w.

Cl

4in dlOg~,,)) + -. Alp(w) w. -d w

O.

=

Für Al(w) gilt diese Gleichung ohne weiteres mit, wenn man entspre~' chend der ersten Gleichung (4) den Null wert .&,' durch ersetzt. Endlich gilt nach (9) S.416 und (15) S.417ff.:

2lt

~'

-.;;,;:- V.d

2ll= V ~:;-r:----=' I' e, - e 1

.&0

=

-V;;;--;! .1r----

"C2 - Cö '

.&2

=

V;;; t"eS-ci) r' '" ,:

Also folgt z. B. für .&0 mit Benutzung von (1) S.461: -2 D,,(log -I}-o) ,

=

4i: ~ 1cz,g .ß'o w.

(

0

=

-

4 in cllog oB'o w.- '--;[;,;- =

•

Di10g ( -

'1)2 ;;; " -

•

2) - }

D'IClog (e2 - ca»,

Cl'

Ebenso erledigt man die anderen drei Fälle. Als Diffcrentialgleichungcn dcr Al-Funktionen gcwinnen wir so cndlich:

+ 2k2WO~_~(!L') + 4k2k'2°fl(':1.+1.hv2Al(w) f o"AI(w) ow' OW o(k') Iq'~~.(W)

(5)

=

0

,

+ 2k2wO~~!r) + 4k2k'2°:tk,~Wl+(k'2+k!w2)All(w)=0,

1?2 Al. (w) + 2 k'2 w ?_AI~(w) + 4k 2k'2 0 ~I,S~ + (1 + Jc2 W2) Al Cw) ow' OW o(k-)

0

= 2 '

o2AI8(?~ + 2k2w?A13,Cu) + 4k2k'2 0..A 1,"_(1,t1 + W+ Jc2 t.V2) Als(w) =ü. ow' OW o(k') Diese Differentialgleichungen liefern nun in der Tat leicht Rekursionsformeln zur Berechnung der Koeffizienten der Al-Reihen. Tragen wirz. B. die schon S.403 angesetzte Reihe:

Partielle Diti'erentialgleichungell der Al-Funktionen

471

in die zweite Gleichung (5) ein und ordnen das Ergebnis nach Potenzen VOll W, so gelangen wir, da die entspringende Potenzreihe identisch verschwinden muß, durch Nullsetzen des Koeffizienten von 'W 2 .-+1 zu der Rekursionsformel :

A"+1

=

-

4k2 (1 - 7>;2) dd1.~ - (1 (Iv )

+ 7;;2 + 4v7;;2)A"

- 2z,(2v

+ 1)k2 A"_l'

Aus den heiden Anfangskoeffizienten Ao = 1 und Al = - 1 - k 2 sind demnach alle weiteren mitte1st dieser Furmel berechenbar, und wir finden Bestätigungen' der S, 403 über die All - Reihe gemachten Angaben. Die Rekursionsformeln für die Koeffizienten der drei anderen Al-Reihen lauten bei Benutzung der S. 403 angegebenen Reihenansätze:

B )'+1 --

-

4 N7• 2 (1

01'+1

=

-

4k 2 (1 - k 2)

D"+l

=

-

4k 2 (1 - P) ~$j

-

k 2)dB" d(k')

:-{1i~

+ 47,,2)'B v (4v + 1)k 2 0" -

(1

-

-

)' -

v

2 v (2 v - 1)k,2B1'-1, 2v(2v - 1)k2 0"_1,

4vk 2 D,. - 2v(2v - 1)7>;2 D v-

1,

vermittelst deren mall aus den Anfangswerten: B o = 00 = D o = 1,

B1

=

-

1,

01 =

-

k2,

D1 = 0

die weiteren Koeffizienten berechnen kann. Wir schließen hier noch einen Überblick über die gesamten Körper elliptischer F'unktionen zweiter Stufe an, wobei wir, wie wiederholt bemerkt wurde,

'W

und k 2 oder auch wund

m =

~Jf als die unabhängigen

Variabeln der elliptischen Funktionen zweiter Stufe anzusehen haben. Bei stehendem Werte k 2 bzw. m haben wir ein System von drei koordinierten Körpern elliptischer Funktionen, darstellbar durch die Körper der rationalen Funktionen:

R(snw, cn'W·dnw), R(cnw, dnw·snw), R(dnw, snw·cnw)i gemeinsam enthalten sind diese drei Funktionenkörper in dem der Hauptkongruenzgruppe zweiter Stufe innerhalb der r(u) entsprechenden, aus den rationalen Funktionen: R(sn w, cn w, dn w) bestehenden Körper elliptischer Funktionen (vgl. S. 385) Wir erschöpfen offenbar die Gesamtheit aller existiemlden Funktionenkörper diese')' Art, indem wir P alle komplexen Werte dttrchlaufen lassen, oder (was auf das8elbe hinaus7cmmnt) indem wir m den Diskontinuitätsbereich (Fig. 82, S. 440) der Haupt7congruenzgruppe r~w) beschreiben lassen. Den drei Spitzen dieses Diskontinuitätsbereiches entsprechen drei

472 II, 3, Die Modul funktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

Ausartungen der elliptischen Funktionen, welche wir leicht vom Integral erster Gattung zweiter Stufe:

(6) aus charakterisieren und zum Teil wenigstens durch die früher aufgestellten Reihenentwicklungen unserer Funktionen bestätigen können, Den drei Bereichspitzen (iJ = i co, 0 und - 1 entsprechen die Werte k 2 = 0, 1 und co. Für 1;;2 = 0 folgt aus (6):

w=

JV

dz

-== 1-

o

=

Z'

'

z = sin w,

arc Sln z,

so daß die elliptischen Funktionen in trigonometrische ausarten: (7) snw = sinw, cnw = cosw, dnw = 1. Im Falle 1;;2

=

1 ergibt die Gleichung (6): z

W=j~~ = Llog (1 + Z) 1 - z' 2 1 -z '

z = %gw,

o

so daß jetzt die elliptischen F2tnktionen in hype1'bolische ausarten: snw

(8)

=

%gw,

cnw

dnw

=

=

_1_._,

lE05w

Nur der dritte Fall (iJ = - 1 und k 00 macht einige Umstände, da in dieser dritten Bereichecke der Nullpunkt der Modulform (e 2 - el ) zweiter Stufe liegt (vgl. S, 4048) und also (sofern wir (iJ1 = - (iJ2 endlich gewählt denken) w, Kund iK' identisch mit 0 werden, Für lim k 2 = co ist dies Verschwinden aber ein solches, daß z. B. 2=

für lim k 2 = co eine nicht identisch verschwindende Variabele ist, falls 2t willkürlich variabel ist, Formen wir demnach vorerst für beliebiges z k 2 die Gleichung (6) um in: , J, ( 'K') / " dz w

=

c,w-/

=,

Y(l-Z')

so erhalten Wlr für }im k 2 = 00: '" w

,

=

j~

dz zY-;;:::':l =

(}.=Z2)'

' '

arc sm

-

(1) z'

00

so daß die elliptischen Funktionen für Funktionen von w m{sarten, I

(iJ

=

-

1 wieder in trigonometrische

Ausartungen der elliptischen Funktionen zweiter Stufe

473

Der Integralmodul k 2 bleibt als Modulfunktion zweiter Stufe bei allen Substitutionen der Hauptkongrnenzgruppe zweiter Stufe r~u) unverändert. Dasselbe wird demnach von den Al-Funktionen sowie den Funktionen sn w, cn w, dn w gelten, wenn wir sie als Funktionen der Variabelen wund k 2 ansehen und nur k 2, aber nicht wals von den Perioden W lI W 2 abhängig betrachten. Indessen entspricht dieser Standpunkt nicht unserer ursprünglichen Erklärung einer elliptischen Funktion zweiter Stufe (vgl. 376), welche sich auf die Abhängigkeit von tt, 01 0 01 2 bezieht. Alsdann nämlich ist w = u -Ve~-=e: das Produkt des ersten Argumentes tt und der lVlodulform vierter Stufe der Dimension - 1: i9)

,;::V e2 - el

\

=

yLi--=-,;) ,

2kl;; (e,

die zufolge der Entwicklungen von S. 454ff. bei e111er beliebigen Sub«-1

stitution der "homogenen" r~OJ) den Faktor' (- 1f-2 annimmt. Um den gleichen Faktor wird sich also w ändern, so daß im strengen Sinne nur erst die "geraden" Funktionen von w ZU1' zweiten Stufe gehören würden, während sn w tr,nd All (w) genau genommen als elliptische Ftm7ction "vierter" Stnfe (erster bzw. dritter Art) Z·!(, bezeichnen s'ind. Die zu n = 2 gehörenden Funktionen 6 g ,,(tt I 01 1 ,012 ), welche zufolge (5) S. 451 gegenüber einer mod. 4 mit 1 kongruenten homogenen Substitution das VeJ'halten zeigen:

erweisen sich demgemäß als elliptischeFunktionen (dritter Art) "achter" Stufe. Eine Sonderstellung aber nehmen die Thetafunktionen ein wegen der in ihren Definitionsgleichungen (9) S. 416 und (15) S. 417 auftretenden Faktoren:

VA,

j!e2

'=-e;,

t/e =- eu 3

1/e

2-

e~,

welche nicht mehr eindeutige Modulformen sind. Hierauf werden wir noch ausführlich zurückkommen müssen.

§ 7. Verhalten der elliptischen Funktionen zweiter Stufe llei

beliebigen Periodensubstitutionen. Es bleibt jetzt noch übrig festzustellen, wie sich die elliptischen Funktionen bei beliebigen Substitutionen der homogenen Modulgruppe r(w) verhalten. Betrachten wir zunächst die drei Funktionen snw, enw, dn 'W, so sind sie nach S. 389 aus den Funktionen erster Stufe und den e1, e2 , es durch Quadratwurzeln berechenbar. Da die Funktionen erster Stufe gegenüber der r(w) invariant sind und die e1, e2, e3 sich bei den

474 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Substitutionen der r(w) nur permutieren, so hängen die transformierten Funktionen in einfachster Weise algebraisch mit den ursprünglichen zusammen. Wegen der Permutationen der ei , e2, es kommen wir für das Quadrat z = (snw)2 und A = k2 einfach auf die sechs in (15) S. 364 dargestellten, eine Diedergruppe Gs bildenden Paare linearer Substitutionen von z und A zurück. Da die Funktionen cnw, dnw zur zweiten Stufe gehören, so werden diese Funktionen gegenüber der r(w) eine diedrische Gs von Transformationen bilden; nehmen wir jedoch snw hinzu, so wird das Funktionssystem snw, cn w, dnw, das zu der rhtrch die Ko'llgruenzen: a_ d -1, (mod.4) erklärten Kongruenzgruppe "viertm'" Stufe gehört, gegenüber der "homogmzen" r(w) "zwölf" eine Gruppe Gi2 bildende Transformationen liefern. Um die Gestalt dieser Transformationen a.nzugeben, wolle man in Gleichung (4) S. 384 die Weierstraßschen Funktionen 6 k (u I W 1 , ( 2 ) durch die drei zu n = 2 gehörenden Kleinschen 6 uh (u IWj , ( 2) ersetzen, wobei wir an Stelle von (4) S, 384 besser: 'lf!g,,(ul

WlI (

6

2) =

gh

6 g ,,(u I 0),,0).) 0)) 6 (u I 0) 0))

(0)

11

l'

2

2

schreiben. Für die Funktionen sn, cn unddn, welche wir als solche von wund k2 auffassen, haben wir dann die Darstellungen:

72)

( snw,lc

-)_., =.,. ye~-e: (I 'U C0 1 , 't'lO

cn (w, k 2)

=

0)2

~~~~H-:~~:!~,

dn (w k2) =1/1" (u : 0)" 0).) . ,

'lfJ,o Cu : 0),,0).)

Gegenüber einer Substitution der homogenen r(w) gilt zufolge (3) S.451 mit Rücksicht auf die Invarianz von 6(1t I W 1 , ( 2 ):

I

'lf!gh(U, aW i

+ ßw2,

l'W1

+ d( 2) =

'lf!ag+Yh,ßu+dh(U

i W 1,

wlI),

wobei wir rechter Hand die transformierten Indizes zufolge (4) S.451 beliebig mod. 2 reduzieren dürfen. Die Wirkung der homogenen Substitutionen Sund T (vgl. (4) S. 298) auf die Modulform vierter Stufe (- 1)tex Dimension el bestimmt sich aus der Darstellung (9) S. 473 derselben mittels der Regeln (9) S. 453 sowie (16) und (17) S. 456. Man findet:

-ve;--

(S)

(T)

476 Ir,3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare fransformation Wie es sein muß, bilden die auf die Funktionen cn und dn allein bezogenen Transformationspaare für sich eine Gruppe Gs der Ordnung 6. Die Al- Funktionen verhalten sich gruppentheoretisch genau so wie die Funktionen sn, cn und dn. Zufolge (1) S.401 haben wir mitte1st der Funktionenl/Jg,,(u IOOu (0 2) die Darstellungen:

YC2 -.:.-('~ C5 ( zt ! CU u

All (w, k 2)

=

e·- t (1+k')W 2

Al2 (w, k})

=

e- if (1+k )W'1/Jol (u Icu!, cu 2 ) • G(u I CU 1 ;

Al3(w, Jc2)

cu 2 ),

1

=

2

- J~ (1 + k2) ,,2

e s

--~(l +k2)

Al(w, k 2) = e

10'

6

(0 2 ),

1/J u (tt I001 ,

(0 2 )

•

G(u i (01)

I OOu

(0 2)

.

G(nl OOu (0 2),

1/J10 (tt

(0 2 ),

Die Funktion All geht bei allen zwölf Transformationen his auf einen 1!'aktor in sich selbst übel': All (± W, k 2) = All

±

(± k' 10, F~ 1) ± k' etk' =

All (± iw, 1 - 7;;2) All

All (w, k Z),

k'-l) (± ikw, k'--

All (=F kw,

~)

All(=F ik'w,

1

=

1

=

w'

All (w, k2),

"

± ie2w- Al] (w, 7;;2),

=

.1Pw'

±ike2

All (w, Jc2),

=F k All (w, P),

~p-) = =F ik'e~w'All(w, k2).

Die drei geraden Funktionen Alz, Als, Al liefern wieder eine Darstellung der Gs, welche abgesehen von zutretenden Exponentialfaktoren aus den sechs Permutationen dieser drei Funktionen besteht. Man wird die betreffenden Formeln leicht aus den Darstellungen der Al durch die 1/Jgh oder" auch auf Grund der Relationen:

aus den bisherigen Resultaten ableiten. Ganz besonders einfach fällt die der Substitution - B TB entsprechende Transformation aus: All

(lew, l~)

=

k All (w, h"),

A l2 (Jcw, 1.12 )

=

Al3 (w, Jc2),

1~)

=

Al2(w, JcZ),

~4l(kw, 1~2)

=

Al(w, Jc2).

Als (Jcw,

Die für die elliptischen Funktionen zweiter Stufe hiermit gewonnenen Ergebnisse müssen sich mit Hilfe der Potenzreihenentwicklungen diesel' Funktionen (vgl. S. 399ff.) bestätigen lassen. Um dies an einem

Lineare Transformation der Funktionen Al(w)

477

einfachen Beispiele auszuführen, benutzen wir etwa für die All-Funktion den Ansatz:

und wenden hierauf die erste der vier zuletzt angegebenen Transformationen an. Es ergibt sich als identische Gleichung:

woraus

WIr

ablesen:

k,2 v • A,.

(7:')

=

A v (k 2)

in Übereinstimmung mit der ersten Relation (10 S. 404. Die drei anderen Relationen (10) S.404 gewinnt man auf demselben Wege aus der Wirkung der Substitution - S1'S auf die Funktionen Al2 , Al3 und Al.

§ 8. Verhalten der Thetafunktionen bei beliebigen Pel'iodensubstitntiollell. Die vier Thetafunktionen ,f},(v, q) stellen sowohl als Funktionen ihres ersten Argumentes v wie auch namentlich in reihentheoretischer Hinsicht (vgI. (16) und (17) S. 418) Gebilde von besonders einfacher Beschaffenheit dar, und sie sind dementsprechend von früh an (bei Ga uß und J aco bi) als wesentliche Grundlagen der Theorie der elliptischen Funktionen in Anspruch genommen. Um so interessanter ist es, daß bei de1' Untersuchnng des Verhaltens der 1'hetat~mktionen gegenüber den Snbstittti?'onen der )J![odtüg'rUIJpe T<"') die Theorie ele}' eindeutigen Modulfnnktionen, die uns in den vorrmfgehenden EntwicUungen alle Fragen Z/t beantworten gestattete, nicht mehr völlig zureichend ist. Es ist dies in dem schon am Ende des vorletzten Paragraphen erwähnten Umstande begründet, daß in den Gleichungen (9) und (15) S.416ff., welche den Übergang von der Sigmafunktion zu den 'l'hetafunktionen darstellen, die Größen LI, y~ ~-ek auftreten, welche von gebrochener Dimension in den OJl I [02 sind und nicht mehr eindeutige Modulformen darstellen. Die Eindeutigkeit der Thetafunktionen selber in v und q oder in v und ()J wird erst wieder durch den Zusatz der ·Wurzel -V ()J2 erzielt. Die

11

1/

ye;

~-el' sind dann zwar wieder eindeutig Größen v;~ LI und -V~~in ()Jl' ()J2 bzw. in ca, haben aber den Charakter von Modulformen verloren und entziehen sich den in der 'rheorie der Modulfunktionen gebräuchlichen, auf Kongruenzen gegründeten gruppentheoretischen Betrachtungen. Daß die Theorie der elliptischen Funktionen bei einer so

478 II,3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation elementaren Frage, wie sie durch das Problem des Verhaltens der Thetafunktionen gegenüber der r("') dargestellt wird, über die sonst so zugkräftige Stufentheorie hinausragt, darf als eine der bemerkenswertesten Tatsachen angesehen werden, denen wir im Laufe unserer Entwicklungen begegnet sind. Das V erhalten der Thetaquotienten gegenüber den Substitutionen der r(w) können wir sofort angeben. Schreiben wir, was für die gegenwärtige Untersuchung zweckmäßiger ist, nicht v und q, sondern .3!.. und 0) als Argumente der Thetafunktionen, so ergeben sich aus (27) S. 420 in Verbindung mit den Darstellungen der sn, cn, dn durch die 'I/1g" (vgl. S. 474) die Gleichungen:

ül.

~O(~,ül) ---~(U-~)

~

~_

1

~2

00

(02'

e-

t_,

:;-;-k-~/-~~ "". 'I/1lO(~t I0)110)2)' r ' r e2 el 1

00 )

~ '(~:~~) 1

1

=

=

Vi?

V~=t,= '1/101 (u 10)11 0)2),

00 2 '

Die 'I/1glt(u 10)11 0)2) sind drei Funktionen zweiter Stufe, die gegenüber den sechs inkongruenten Substitutionen ihre sechs Permutationen erfahren (vgl. 474). Ferner ist ye;-.:::... e~ eine eindeutige Modulform der vierten Stufe, deren Verhalten gegenüber beliebigen homogenen Substitutionen der Perioden 0)11 0)2 ~uf Grund der Darstellung (9) S. 473 4aus dem entsprechenden Verhalten von VLI, kk' und (e 2 - e1 ) folgt. i ) Für die sechs mod. 2 zu unterscheidenden Systeme von Substitutionen finden wir unter Einhaltung der in der Tabelle S.459 vorliegenden Reihenfolge leicht folgende Darstellungen der transformierten Werte Ve; - e~ der Modulform Y 2 - 1 :

e e

( 1,0) 0,1 '

ye; -

( 1,0)

ye~ -=e~

i, 1 '

e~

=

(-

a-l

0-1 =

-= e

1)~2~ Ve2

(~ 1)2- k

1

I

ye;=e

( 0,1) 1,0 ' ( 0,1) 1, 1 '

1) S. insbesondere (10) S. 454 und die Tabelle S. 459.

ll

Lineare Transformation der Thetaquotienten

( 1,1) 1, 1,1) (

°'

479

a-1

Ve?--e~

0,1 '

=

(-

1)-2- k' -Ve2-e~.1)

Endlich sind yf und yTc' Modulfunktionen achter Stufe, deren Verhalten gegenüber den Substitutionen der r(w) S. 459 tabellarisch zusammengestellt ist. Hieraus ergibt sich, wenn wir unsere drei Thetaquotienten der Kürze halber ohne Angabe der Argumente durch (~) .

1ti

bezeichnen und unter

die achte Einheitswurzel

E

e:( =

1

~~ ~ verstehen,

unmittelbar folgendes Resultat: Die drei Thetaquotienten sind elliptische Funktionen achter Stufe, die gegenüber den sechs mod.2 ßtt unterscheidenden Systemen der "hf)mogenen" Substitutionen das Verhalten zeigen:

--I

&:

( & )'

I

(~'~) (_1)"~1 ,

&:

(& )'

i

I

c-ai'

(!,,) I (_ 1'5";1 EYO' (.{j-,) 1(_lJ~1 ru,i+yo (&s) .&, ! &, i &,

---I-------------i.

( ~:. ~) i,

& )' (~:

i

---'-------~l--------'-----·--~-- -1----------------------

(- 1)" ~1

cal>

i--------------

(.&-,,) I (- 1)~~ 1 erd (
I (J

d~~ c"iil- yd (&.) &,

__1 ______--------- _ -I-------------!-------------------

1) (1,0, 0··

I

R

'J

t-i' 13"1'

(&.) .&,

I !

(:~ I·· -':-::~"ß (:~ ---I

G:~)

1___

•

3

t-I'

(&0)

c- yu &, _,

i "-=-..! ( 1,1) 0,1 ! (- 1) 2

• -",

ri'

13"1' -yu

(&s) :0:-;-

-I-;,~'-,,'~"(~) .. ----1----- ------------

,H, " (i:) -

i-ii caß

Ii

_ i=' (!:) 1(- 1f2

(~:)i __~-i1 Ey~_~~L_1 I 1(1fS- c-

.&)

a-1

E-«ß(~

yö

1

c"I'+YO'

(~~__

"-1

E-al>-YÖ

(!:)

Auch die Quadrate der Thetafunktionen und damit überhaupt deren Produkte zu zweien sind den bisherigen Methoden ohne Rest zugänglich. Mit Rücksicht auf die vorstehende Tabelle brauchen wir das Verhalten nur eines einzigen Thetaquadrates gegenüber den Substitutionen der r(rn) anzugeben; wir wählen zu diesem Zwecke das Quadrat der -If1 -Funktion, für welches wir aus (9) S. 416 die Darstellung ablesen: -Ifi

(~:' W)

2

=

;~ VLi

~.

0

e--W;/<-

Geu IWlJ

w 2)2.

1) In einigen Fällen hat man ein paar einfache Kongruenzbetrachtungen im Anschluß an ar} - iJy _1 (mod. 4) auszuführen, um die einfachen Gestalten der Gleichungen des Textes zu gewinnen.

480 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Abgesehen von Bestandteilen der Transformationsformel, welche von und dem Exponentialfaktor herrühren, tritt also hier nur wieder dieselbe vierte Einheitswurzel auf, welche wir in (10) S.454 für Yd bestimmten. Um die Einheitswurzel in eine bequemere Gestalt setzen zu können, unterscheiden wir die beiden Fälle einer ungeraden und einer geraden Zahl IX. Das Quadrat der &l-Funktion zeigt gegenüber einer beliebigen Snbstittttion der Gruppe r(w) das Verhalten:

()J2

(

~~

a OJ +

ß)

(1)it 1 rOJ, +O'OJ 2 ' YOJ-f-O'

(l

a-l

ül

2rni~

-1 f i i a (!1- Y) (r +~) eW'(Yw, + cJ w.) &1 (~-,

2

=

OJ 2

.

"-

(-1) 2 iy (0 + 1) (I' ül + ~) e""

2yltiu'__ U (Y"" + 0 w z ) &1 (;;,

ro)", 9

ül) , 2

wo der erste Ansdruck bei ttngeradem nnd. der zweite bei geradem IX gilt. Bei Herstellung des Exponentialfaktors rechter Hand ist von der Legendreschen Relation (6) S. 160 Gebrauch gemacht. Für eine Substitution der Hanptkongruenzgruppe rJ OJ ) ist IX _ 0' (mod.Ac), und übrigens sind ß und r gerade, IX ungerade. Die erste Formel (1) können wir in diesem Falle so schreiben.

,ftl (~~,

O)'f

0-1

=

(-

2yltiu'

1)-2-· iig-y (1' 0) + 0') eW'(Y "', + J "")

&1

(~>

r

0)

Da man entsprechend für die {l'3-Funktion aus der Tabelle:

abliest, so zeigt gegenüber der fache Verhalten:

rt)

die ,fta-Funktion das besonders ein-

Indem wir nun an die ersten Potenzen der 'l'hetafunktionen herangehen, können wir zunächst nur die Wirkung der erzeugenden Substitutionen Sund .T der homogenen r(w) feststellen. Für die Substitution S lehrt ein Blick auf. die Reihen (17) S. 418 unmittelbar:

+ 1) = o5&1(~;' 0)), J&o(;/ + 1) = &3(;2' 0)), 1,ft2(~~' + 1) = 05&2(:; 0)), 1&1(ro~'

i

(3)

0)

0)

0)

l &a(~-, + 1) ,fto(~, 0)); 00 2

OJ

=

\W 2

Wirkung von Sund T auf die Thetafunktionen WH'

481

haben hier die ungerade .ft-Funktion vorangestellt und verstehen 7ti

übrigens unter c wieder die achte Einheitswurzel aus der Gleichung (1) ab:

.ft1 (~~-_ 00 , '

Ci. Für T lesen wir

-~-) = + r 1 v'=o; e~~'f..ft (~ w). _

00

-

1

00 2 '

-vrro-+

>

Für die hier und weiterhin auftretenden Wurzeln ~, welche für l' 0 bei den auf das Innere der positiven w-Halbebene beschränkten Werten w niemals rein imaginär werden können, treffen wir die Be-

>

+8

stimmung, daß unter Y1'W

für l' 0 stets der eindeutig besUmmte, einen "positiven" reellen Bestandteil besitzende Wert gemeint sein soll. Dann ist (wegen der Eindeutigkeit der Thetafunktionen) im vorstehenden Ansatze nur ein bestimmtes unter den beiden Vorzeichen der rechten Seite gültig. Um das richtige Vorzeichen zu finden, üben wir auf die erste Gleichung (3) die homogene Substitution Taus:

womit W11" also für die Wirkung von S T den Ansatz haben. Man beachte nun, daß 1'W + 8 positiven oder negativen imaginären Bestandteil hat oder (wie wir sagen wollen) dem ersten oder vierten Quadranten der komplexen Ebene angehört, je nachdem l' > 0 oder< 0 ist. Reell + 0, sofern nicht l' = 0, 0 = 1 ist, nie werden; auch verkann w + 8 stets im gleichen Quadranten, falls wir w durch einen bleibt bezüglich der pw) äquivalenten Wert ersetzen. Wiederholen wir S T einmal, so folgt als Wirkung der homogenen Substitution (ST? nach kurzer Zwischenrechnung:

y

yiw yy

.ft

1

(-~- ~) = 1/00 - 1 Y 1 JI

=

00,

00 2 ' 00

=

=

=

00

we-;;'~(::~w,) .ft (~ w). 1

00 2 '

Es fragt sich dabei, welches Vorzeichen in

V oo

,/·11w ± r w-1

1

=w

=

zu gelten hat. Da nun die beiden Wurzeln linker Hand dem vierten Quadranten angehören, so kann ihr Produkt nicht im ersten Quadranten liegen; es gilt also das untere Zeichen:

.ft

1

(-~00 ,

=

00 2 '

..-:-- ~) W

=

1

=

-

1100-= i

ew;g,: ~ w.) .ft

1

(3::.

00.'

w).

Jetzt übe man die homogene Substitution S aus und findet mit Benutzung des Umstandes, daß .ft1 ungerade ist: Fricke: Elliptische

Funktionen.~:Bd.

1

31

482 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

1)

1) = - V-w e,"-i~(0, {t (U- ) 1) + t.,V we'"'w ,!!u~, ( -u w) . ---

u -.& (-----= -.& (11 ---- 1

°1 ' °

1

U

.& ( ---1

_

0, '

_

---E- 1

=

0)

13

w

___ 0 , ' _

j-

W'

,&

1 0.'

W

,

-

1

0)2'

V-

Va;

Nun ist aber, wie man sofort feststellt, i = ~, und also gilt in der oben für die Wirkung von T auf die .&l-Funktion angesetzten Gleichung das untere Zeichen rechter Hand. Mit Rücksicht auf das Verhalten der .&-Quotienten folgt: [

(4)

J

)

(-~

.&

1 _

Oll ' -

OJ

.& (~__~1 0

-0)

1

'-0)

.&2 (~ _ 0)1 '

~

1 _) =

1

) +8

1

(02'

,

w) , V=-o; e'/;;:::.& (~ w) V-=---;;; eu,· w~ .& (;~2' w). ,r-;:; e;;~~.& (U V2 0'

=

2

0 0)2'

-

=

-V=- we::(~:.& (_u, w) ltiu'2.

~-) = + 13 w

.&3(-~--~) - w ' - 00 1

r

_

,

niu'2.

+8

3

~

Durch Wiederholung und Kombination der Transformationen (3) und (4) können wir schrittweise die Wirkung der übrigen Substitutionen der r(w) auf die .&-Funktionen feststellen. Es dürfte z. B. zweckmäßig sein, für ein besonderes System mod.2 inkongruenter Substitutionen die Transformationen der .& aufzustellen, um hernach nur noch von der Wirkung der Substitutionen der Untergruppe r~w) handeln zu müssen. Die Substitutionen 1, S, T sind erledigt; für S T finden wir aus (3) und (4):

( (U

-00+1)

'1471 _.,;;. ,---= ~-

(5)

j

1) U - -w -+-1) w1 ' - w

1~ _ W + .&o (-------_ w ' w

l

.&

=

=

1

(

~2 -

-w+1

U

.&3 ( - ----) _ w ' w 1

=

=

-

V---- w e'''1

-&1 ~;,

W

u'

U .&3 ( -0)2'

w

,V - e"'l"-_i 7t_ i F8

j-

0)

(U

7tiu' w• w•

iu ' 0) e"'lW.,&

8

V-

ltiu'l

0

(U-

w.'

---- - U 0) eW' w.,& ( 2 w ' 2

0)

), ) ,

)

0))

, ,

VVirkung von ST, TS-1 und STS auf die Thetafunktionen

483

und endlich ergibt sich für STS:

(7)

~Würden wir nun das Verhalten der Thetafunktionen gegenüber einer beliebigen Substitution der homogenen r~"') kennen, so würden wir durch Kombination mit den vorstehenden Regeln auch das Verhalten der ,ft-Funktionen gegenüber jeder Periodensubstitution angeben können. Nun können wir durch Kombination der voraufgehenden Formeln das Verhalten der Thetafunktionen gegenüber den Erzeugenden der r~w) leicht feststellen; es wird indessen erst noch einer weiteren und interessanten Untersuchung bedürfen, um von hieraus einen allgemeinen Einblick in das Verhalten der Thetafunktionen gegenüber den Substitutionen der r~w) und damit der r(w) zu gewinnen.

§ 9. Allgemeines Gesetz über das Verhalten der Thetafunktionen bei Periodeusubstitutionen. Die nicht-homogene r~w) erzeugten wir aus den in (5) S. 437 gegebenen Substitutionen S' und T'. Die beiden homogenen Substitutionen

S'

=

(~: ~), T'

=

(~2:~) erzeugen (mit ihren inversen Substitutionen)

aber erst diejenige durch r~~) zu bezeichnende homogene Gruppe vierter Stufe, welche durch: a = iJ _ 1, 2ß - 2y (mod.4)

°

erklärt ist und in den bisherigen Entwicklungen schon wiederholt auftrat. Aus ihr entsteht die homogene Kongruenzgruppe zweiter Stufe r~w) erst durch Zusatz der symbolisch durch - 1 zu bezeichnenden homogenen Substitution (~~: ~

J

Es zeigte sich nun oben (S. 480), daß sich die .&a-Funktion gegenüber der r~w) besonders einfach verhält. Gegenüber Sd 1 ist diese Funktion überhaupt invariant (vgl. (3) S.480). Um die Wirkung von T'±l festzustellen, ziehen wir aus der letzten Gleichung (4) S. 482 durch Anwendung von S'± 1 die Folge: .& ( 3

u _

00 ,

_-=-~)

+ 2 0)2' ± 2 + 00

=

8

-V-=- ro =+= 2 eW2 (:,;;: w,).& (~ ro). 00.' 3

31*

484 II, 3. Die Modulf'unktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Übt man jetzt T aus, so folgt wieder unter Benutzung von (4) S. 482: ±2ttiu'l

V __ ,C±2W,-W.)&o(3". ro). + 200m + 1)=i .!.=t=2-v=-we w oo!' ~--

&s('±

U

200 1 -

002

,_

W

0

Mit Rücksicht auf den Umstand, daß &s eine gerade Funktion ihres ersten Argumentes, können wir hierfür auch schreiben: =F2niu2.

---

&a(

+

U 200 t

+ w!' +

+

00) 2 00 1

ro).

=i 1/.!.=t=2 V_roew,C=F 2W ,+w.)& (!:!..-

V

3 00 2 '

Q)

Man entscheidet nun leicht, welches Vorzeichen in:

/.!. =t=-2 V=w Vro

i1

=

i

vI=---.

1

1ro

=t=-2 V- ro

± v=t= 2m +-r

=

vor dem Wurzelzeichen rechter Hand zu gelten hat. Da nämlich die links stehenden Wurzeln einzeln dem vierten Quadranten angehören und demnach ihr mit i multipliziertes Produkt positiven reellen Bestandteil hat, so gilt das obere Zeichen. Die Substitutionen S'±1 und T'±1 üben auf die &s-Funktion die folgende Wirkwng aus:

(1)

l

&s(~> ro ± 2) {J3 (=t= 200~

+

00 2

=

'

{Js(~, ro),

=t= 2: + 1)

+21tiu'

=

.

V=t= 2ro +1 eO>' (=F 2~;+;;;-2) {Js (~, ro) .

Auf die Substitution - 1 kommen wir noch zurück. Gegenüber einer beliebigen Substitution der homogenen r~w) zeigt die {Js- Funktion zufolge (2) S. 480 das Verhalten: 0-1

{J (-c---~._-

r W + 0' w

3

t

j

yniu'

+1) = + i- 2 Vrro + 0 eO>' Cyw, +6",.) {J (!!.. ro). r + d' 3 w Cl 00

'

2 '

W

Das rechts gültige Zeichen ist zwar noch unbekannt, aber in jedem Falle eindeutig bestimmt, wenn wir nur die obige Festsetzung über YiW- +(t noch dahin ergänzen, daß für I' = 0 (und also 0 = ± 1) dMo Wert + 0 gleich 1 oder i sein soll, je nachdem 0 = + 1 oder - 1 ist. Alle Substitutionen der homogenen r~o» mit dem gleichen Paare 1',0 gehen aus einer unter ihnen nach dem Gesetze:

Yrro

ro; = (a + 2nr)roj + (ß + 2no)ro2, ro; = rro 1 + O'ro 2,

(n=O,±1,±2,···)

hervor. Da zufolge (1):

{J3(:~' ro' + 2n)

=

&8(:;' ro')

ist, so gilt in der soeben für &a angesetzten Gleichung bei allen Substitutionen mit dem gleichen Paare 'J',o rechts ein und dasselbe Zeichen. Dasselbe ist also allein von I' und 0 abhängig und werde dieserhalb symbolisch durch (I', 0) bezeichnet. Wir haben also den Ansatz:

(2)

& (_..'!"'.._~_ 3

r 001

+ ö'

W!'

0-1

Cl 00

rW

+1)0' "'" (I'' 0) i - ~+~ + 2

yniu'

e'v,Cr 01, +001,) {Ja (!:!..00 2

'

ro)

Einführung des Vorzeichens

(r,

~)

bei der Transformation von &s

485

und notieren aus den bisherigen Ergebnissen sogleich:

(3)

(0,1)=1,

(-2,1)=1,

(2,1)=1,

(0,-1)=1,

wobei die letzte Angabe eine Folge unserer Festsetzung über Yrw+~ im Falle l' = 0, ~ = - 1 ist und übrigens die Substitution - 1 erledigt. Für den {t3- Nullwert, den wir {ts (w) schreiben, folgt aus (1): f{ts(w

(4)

±

2) = {ts(w),

l{ts(=t=2:=tl)

=

V+~2-w-+---C-1 {ts(w),

und andererseits liefert die Formel (2) den Ansatz: 0-1

{t3(;:!~)=(r,~){2-Yrw +(j

(5)

41s (w).

Beim Kombinieren der Substitutionen können wir gleich mit diesen Formeln arbeiten und entledigen uns auf diese Art der Exponentialfaktoren, die zwar keine Schwierigkeit machen, aber lästig sind. Nur müssen wir natürlich nach wie vor die homogenen Substitutionen anwenden, zwar nicht der Thetafunktion {ts (w) selbst halber (die ja in wl , w~ homogen von nullter Dimension ist), sondern weil wir eben zur Ergründung ihres Verhaltens mit rw + (j zu arbeiten genötigt sind. Da nach dem eben Gesagten bei gleichzeitigem Zeichenwechsel von oe, ß, 1', 0' die linke Seite von (5) unverändert bleibt, so gilt:

Y

-d-I

(- 1', ~ d')i-i-y=- r w -=-g Für l'

=

0-1

=

(1', 0')i-2 Yr~+(f.

0 führt dies auf Bekanntes (vgl. (3». Ist l' ~ 0, so gilt~

V- r w - 0' =-isgn(r) Vrw

+ 6.

wenn wir unter sgn(,,), d. h. "Signum" von ", das Vorzeichen von l' ver-stehen; man zeigt nämlich sofort, daß im Falle sgn (1') = + 1 der Wert - i sgn(r) Vr w + 0' dem vierten, für sgn(,,) = 1 aber dem ersten Quadranten angehört. Das Symbol (1',0') gehorcht demnach für r~O der 0+1 Regel: (6) (- 1', - 0') = ( - 1) 2 sgn (1') (1', 0). =

Verstehen wir (wie früher) unter ro den zu w konjugiert komro symmetrisch zur imaplexen Wert, so sind je zwei Punkte wund ginären Achse gelegen, und die beiden zugehörigen Werte q sind wieder konjugiert komplex. Somit folgt aus: =

{t3 ( w)

=

1 + 2 q + 2 q4

+ 2 q9 + ....

unmittelbar, daß zu ro und - w auch konjugiert komplexe Werte des 41s-Nullwertes gehören, was wir durch:

(7)

{t3(=ro)=~3(W)

486 Ir,

S. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

zum Ausdruck bringen. Setzen wir nun in (5) für 00 den Wert - w ein, so folgt, wenn wir auf die linke Seite die Relation (7) gleich wieder anwenden:

L)

ir (- _c~,;)~ 3 -yw+cY

=

_

~ (~- ß ) -yro+cY

3

0-1

2 y'~ym + 0 {}s(oo). (r ' 0)i-

=

Erst:tzen wir hier jeden Bestandteil der Gleichung durch seinen konjugiert komplexen Wert, so erfordert nur wieder die Quadratwurzel eine Überlegung. Konjugiert zu y=. roo +~ ist y= roo +-6; jedoch ist dabei der eine Fall r=O, iJ=-l auszunehmen, wo (obiger Festsetzung zufolge) - y=-yro-0 zu rro + 0 konjugiert sein würde. Schließen WIr diesen Fall aus, so ergibt sich:

Y-

irs c.~;

0)-: 0')

0-1

=

(1', 0) (- i)2 y' - 1'00

+ iJ

irs (00).

Berechnen wir den links stehenden Ausdruck unmittelbar auf Grund von (5), so folgt: 0'-1 0-1 (- 1', '0) i T = (r, 0) (- i) 2 Das Symbol (r, 0) hat demnach abgesehen vom Falle r = 0, 0 = - 1 die Eigenschaft: - <1-1 (8) (- r, iJ) = ( - 1)-2- (1', iJ). Durch Kombination von (6) und (8) ergibt sich weiter als für y;C gültig: (9) (r, - iJ) = sgn(r) (r, 0). Rekursionsfornieln zu Berechnung der Werte (r, d') findet man durch Ausübung der Substitutionen S'± 1 und T'± 1 auf die in (5) enthaltenen (i) unter Benutzung von (4). Erstlich ergibt sich:

°

irs(::t~~~~)

0--1 =

2 y'roo (r, 0)i-

+ 5 ± f:rr irs(OO).

Indem man auf den links stehenden Ausdruck die Regel (5) direkt anwendet und das Ergebnis mit der rechten Seite der letzten Gleichung vergleicht, folgt als erste Rekursionsformel für das Symbol (r, 0): y

(10) (1',0') = ( - 1)-2 (1', iJ ± 2r). Bei Ausübung der Substitution T'±1 auf 00 in (5) dürfen wir r;C 0 und r =+= 20' ;C 0 voraussetzen; für r = kommen nur die beiden schon bekannten Symbole (0, ± 1) in Betracht, für r =+= 20 = 0 ist (insofern rund 0 teilerfremd sind) iJ = ± 1 und also r = ± 2, so daß wir auf die aus dem Bisherigen schon bekannten Symbole (± 2, 1), (± 2, - 1) zurückkommen. Aus (5) und der zweiten Gleichung (4) folgt nun: (0: =+= 2 ß) w + ß .-w --=--; -- ---irs ((l' =+= 2J')~-+ = (r, o)~ 2 r + 0 200 + 1 irs(OO).

°

(j)

O-l-V----------+-2w+i -v+

487

Rekursionsformeln fllr das Symbol (1, ct)

Gelten erstlich die unteren Zeichen, so haben wir die Vorzeichenbestimmung in:

V; 2--;i--i + 0 Y2[0+1 --~-

=

± Y(Y--tTI)w+d

auszuführen. Ist r < 0, so liegt das links stehende Produkt im ersten oder vierten Quadranten, so daß das obere Zeichen gilt. Für r > liegt der links stehende Wert im ersten oder zweiten Quadranten; die rechte Seite aber liegt, je nachdem das obere oder untere Zeichen gilt, im ersten oder dritten Quadranten für r + 20 > und im vierten oder zweiten Quadranten für r + 2 (j < 0. Also gilt für r > 0, r 20 > das obere und für r > 0, r + 20< das untere Zeichen. Entsprechende Schlüsse gelten bei Diskussion der Gleichung:

°

°

°

'Vr -26)+1 ._OJ--.-+dl/=-2-~+1 =

+

°

+ y~r -2<5')00+-0. .

°

Das untere Zeichen gilt, wenn r < 0, r - 20 > gilt; in allen übrigen Fällen gilt das obere Zeichen. Hiernach haben wir als weitere Rekürsionsformeln für r (11)

<° und l' + 20 <0:

(r, 0) = ± (l' + 20, 0),

wo das untere Zeichen nur im Falle:

(12)

sgn(r

+ 20) =

er, 0) = ± (r -

20, 0),

sgn(r)

zutrifft, und weiter für r (13)

=

-

1

<0 und r - 20 <0:

wo das untere Zeichen nur für: sgn(r)

(14)

=

-

sgn(r - 20)

=

-

1

gültig ist. Durch die Rekursionsformeln (10), (11) und (13) ist nun der Wert von (l',o) für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen l',o, von denen die erste gerade ist, berechenbar. Ist I r I > I o!, so hat man eine der Formeln (11), (13) so oft anzuwenden, bis man zu einem Paar r " 0 gelangt, bei dem! l" I < 10 i zutrifft. Hierauf ist (10) so oft anzuwenden, bis man zu einem Paar r', 0' mit! r' : > lo'! kommt. Da die Zahlen der sich einstellenden Paare stets teilerfremd bleiben, so können wir bei der Verringerung ihrer Absolutwerte nicht zu einer vers.chwindenden ersten Zahl gelangen, bevor die zweite Zahl gleich ± 1 geworden wäre. Sobald aber die zweite Zahl gleich ± 1 geworden ist, wird man durch Anwendung von (11) oder (13) auf einen der vier Werte:

(15)

(2,1)=1,

(-2,1)=1,

(2,-1)=1,

(-2,-1)=-1

rekurrieren können. Wir dürfen hiernach geradezu den Satz aussprechen:

488 II,

3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation

Durch die Rekursionsfm'meln (10), (11) und (13) im Verein mit den Angaben (15) kann das Symbol (r, 8) für jedes Paar teilerfremder ganzer Zahlen r, 8, von denen die erste gm'ade ist, als endgültig und eindeutig definiert angesehen werden. Das in (11) und (13) gültige Vorzeichen läßt sich übrigens in einfacher Weise mitte1st des Symboles sgn darstellen. Wir wollen uns 0 mittelst des Symboles sgn zunächst den Ausdruck: für (16) [r,8J = tel + sgn(r) + sgn(8) - sgn(r . 8»

r<

herstellen, dessen Bedeutung einfach die ist, daß Er, 8J die negative oder positive Einheit bedeutet, je nachdem beide Zahlen r, 8 negativ sind oder eine der drei anderen Zeichenkombinationen vorliegt. Wir können alsdann die Formel (11) ohne Zusatz der Regel (12) in die Gestalt kleiden: er, 0) = er t,2,r~' + 28, 0).

,r] . er

Gilt nämlich die Bedingnng (12), d. h. ist r > 0, r + 28 < 0, so ist 8< 0 und also [1' + 28, oJ = - 1, [1', 8J = + 1, so daß die letzte Gleichung, wie es sein muß, (r, 0) = - (r + 20, 8) lautet. Soll andrerseits [r + 20, oJ = - [r, 8J sein, so ist notwendig 0 < 0, und es sind r + 28 und r von verschiedenem Zeichen, d. h. es ist (da 0 < 0 ist) r + 28< 0 und r> 0, so daß wir zur Bedingung (12) zurückkommen. Ebenso zeigt man, :daß die Gleichung (13) mit der Regel (14) durch die eine Formel:

(1',0)

=

[r

[y,2:(] . (1' -

20, 0)

ersetzbar ist. Aus dieser Sachlage ergibt sich als naturgemäßer Schritt, daß wir an Stelle von (1', 8) zweckmäßiger Weise überhaupt mit dem Vorzeichen er, oJ . (r, 0), für welches wir die kürzere Bezeichnung:

(17)

[r,8J er, 0)

=

[~]

einführen, arbeiten sollten. \Vir haben dabei nur noch hinzu zu setzen, daß wir für r = etwa einfach:

°

(18)

[;1]=(0,±1)=1

setzen wollen. Die Rekursionsregeln für dieses neue Symbol sind dann: (19)

[d~2,r]=[~],

und man hat das Symbol durch diese Regeln und die Angaben:

(20)

[~2]=1, [~D=I,

[;lJ=l

489'

Einführung zweier weiteren Yorzeichensymbole

als in allen Fällen eindeutig festgelegt anzusehen. Übrigens nimmt die Regel (9) die Gestalt an:

[=.!~J=[tJ,

(21)

während aus (8) und (6) sich ergibt: 0-1

(22)

[~lJ = (-lf2 - sgn(
[=n

0-1

= (_1)-2

sgn(
Die Elemente der Zahlentheorie kennen nun in dem bei den quadratischen Resten auftretenden Legen dre-J aco bischen Zeichen

[tJ

(t) ein

Symbol 1), dessen Analogie zu selbst dann augenfällig hervortreten müßte, wenn nicht durcb andere Untersuchungen (vgl. § 10) die Beziebung zwischen beiden Symbolen bereits bekannt geworden wäre. Es besteht der Satz, daß das Symbol

[tJ

gerade/nt identisch ist mit dem

Legendre-Jacobischen Zeichen (~), wenn wir dasselbe ntli' in der Weise erweitern wollen, daß es für 0 = ± 1 den 'Wert + 1 haben soll. Natürlich kommen fü;r uns nur die Paare teilerfremder Zahlen 1', 0 in Betracht, bei denen die erste Zahl I' gerade ist. Zunächst kommen, wenn wir [~J als Legendre-Jacobisches Zeichen lesen, die erste Regel (19) sowie die Gleichungen (21) und (22) auf bekannte Regeln über jenes Zeichen zurück, die (nach der getroffenen Erweiterung) auch für = ± 1 gültig bleiben. Auch die Gleichungen (20) gelten für das Legendre-Jacobische Zeichen. Da nun unser


[tJ

obiges Vorzeichen durch die Gleichungen (19) und (20) eindeutig festgelegt ist, so ist unsere Behauptung, dasselbe sei mit dem LegendreJakobischen Zeichen identisch, bewiesen, wenn wir für das LegendreJacobische Zeichen noch die Relation:

(23) nachzuweisen imstande sind, und zwar natürlich auch in dem (in der Zahlentheorie nicht zur Geltung kommenden) Falle, daß ± 21' einen der 'Verte + 1 oder - 1 hat. Das Reziprozitätsgesetz der quadratischen Reste ist für irgendzwei teilerfremde, positive oder negative, ungerade Zahlen P, Q mitte1st unseres Zeichens [P, Q] so darstellbar 2):


(24)

(~)

P-l

=

Q-l

(-1)-2 '"2-[P, Q] (~),

1) S.hierüber Dirichlet-D e de kin cl, Vorlesungen überZahlentheorie" (4. Aufi. Braunschweig 1894), insbesondere S. 104 ff. 2) Ygl. Dirichlet-Dedekind, a. a. O. S. 109.

490 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation ·eine Formel, die auch für die Werte + 1 oder - 1 von P und Q gültig bleibt. Ferner giltl) für jede ungerade Zahl P: (25)

r enthaltene Potenz von 2, so ist:

Ist nun 2}· die höchste in

Also folgt unter Benutzung von (24) und (25), da y und y' gleiches V orzeichen besitzen:

[1', tJ] Trägt man hier (0' [1', tJ

cJ'-l

(t) =

± 21')

± 21' J (0'; 2Y)

=

)"-1 S-l

(_l)J.~s . (_1)2"'2

(n·

an Stelle von tJ ein, so folgt: (_

l/·(q:i:.~t~l . (_ l{;~·~;-l (0'~,2Y),

eine Gleichung, die man mit Rücksicht darauf, daß r gerade, tJ ungerade und r Multiplum von r' ist, leicht so umformt:

[r, tJ ± 2r] Es gilt somit:

Cf±2y)

[71,0

. y =

(_1)1.

± 2r] ((),f'2Y)

oLl

2 •

=

1"-1 0-1

(_1/-8 . (-1)2-'j!

(-

(7)'

1/ ~- [r, tJ] (t);

dies ist aber die .zu beweisende Formel, da der erste rechts stehende Faktor dann und nur dann gleich - 1 ist, wenn r das Doppelte einer ungeraden Zahl und damit A = 1 ist. Unsere Behauptung, daß sich das bei der T1"ansfm"lnation der fta-Funktion auftretende Vorzeichen (1', tJ) mittelst des in (16) gegebenen Symbols im Legendre-Jaeobischen Zeichen in der Gestalt: (26) (r, 0) = [r, tJ] (~) darstelle, ist damit vollständig bewiesen und hierdurch zugleich die interessante Tatsache erkannt, daß die Gesetze des Zeichens (r, 0') mit der Primfaktorenzerlegung der Zahlen rund tJ zusammenhängen. Das Verhalten aller vier Thetafunktionen gegenüber den Substitutionen von r(w) ist nun mit Benutzung der Ergebnisse des vorigen Paragraphen leicht angebbar. Für das Verhalten der ft1-Funktion gegenüber irgend einer Substitution der r~w) finden wir aus (2) und der Tabelle von S.479 mit Benutzung des Umstandes, daß a - tJ (mod. 4) zutrifft: . er-1 yniu,2 .& (-~~-- ~+ß)=(r tJ)C-2-s"ß-ys~/r-~-+tJeW2(1'";;+-cl'w,).j} (~.OJ). 1

Y co!

+ 8 co. ' Y co + 0"

V

1) Vgl. Dirichlet-Dedekind, a. a. O. S. 108 und 110.

1

co.'

Darstellung des Vorzeichens (y, 8) durch das Legendre-Jacobische Zeichen

491

Durch Kombination mit den sechs besonderen mod.2 inkongmenten Substitutionen) auf welche sich die Entwicklungen von S. 480ff. bezogen, folgt dann aus der eben aufgestellten Gleichung weiter das Verhalten von it1 (~,

OJ)

gegenüber beliebigen Substitutionen der

T(w).

Die Ta-

belle von S. 479 macht endlich auch die übrigen it- Funktionen den Substitutionen der T(w) allgemein zugänglich. Da übrigens zufolge (9) S. 416 mit dem Verhalten der itl-Funktion gegenüber den Substitutionen der T(ro) dasjenige der eindeutigen Funktion

-V~ Y'A

der

OJ l , OJ 2

mit bestimmt ist, so können wir nun auch

unter Heranziehung der Formeln (10) S.454 und (13) S.455 das Verhalten der eindeutigen Funktion:

11LI . 1I~LI l,/;~ 2% von

OJ

=

-V~~. 2YLl 2",

gegenüber den Substitutionen der

T(r,,)

angeben.

§ 10. Anwendung auf die Theorie der Gaußsehen Summen. Man hat früher das Verhalten der '&-Funktionen gegenüber den Substitutionen der I'(rn) mit Hilfe der sogenannten "Gaußschen Summen" festgestellt. 1) Diese Summen, welche in einer bekannten nahen Beziehung zur Theorie der quadratischen Reste stehen 2), und die andrerseits mit den {t-Reihen eng verwandt erscheinen (s. unten), decken den inneren Grund der Tatsache auf, da:ß wir bei den voraufgehenden Entwicklungen zum Legen dre-J aco bi sehen Zeichen gefiJhrt werden mußten. Nachdem es gelungen ist, die Bestimmung des Vorzeichens er, 6') auf elementarem Wege mitte1st des lleziprozitätssatzes der quadratischen Heste auszuführen, kann man nun umgekehrt die Auswertung der GaußBchen Summen von hieraus leisten, und zwar erscheint dieser Weg gegenüber den sonst benutzten Methoden zur Auswertung jener Summen 3) ganz besonders einfach. 1) S. Hermite, "Sur quelques formules relatives a la transformation des fonctions elliptiques", Pariser Compt. Rend., Bd. 46 (1858); eine ausführliche Darstellung der Hermiteschcn Methode gab Königsberger im 2. Bde. seiner "Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Funktionen" (Leipzig 1874), S. 53ff. 2) Man vgl. Gauß' Abhandlung "Summatio qual'umdam serierum singularium", Göttinger Abh .. Bd. 1 (1811) oder Gauß, "Werke", Bd. 2, S. 9. 3) Man sehe z. B. die Behandlung der Gaußschen Summen bei Bachmann, "Die analytische Zahlentheorie" (Leipzig 1894) S. 146 ff. oder die S. 489 genannten Vorlesungen von Dirichlet-Dedekind, S. 287ff.

492 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare Transformation Ist

ß = r = 0 (mod. 2), so gilt:

~3(;: t~)

(1)

=

[1',

0-1

oJ (t)

i-2-

Vr w -+ 0 {t3 (ro),

falls wir, was geschehen soll, 'I' als von 0 verschieden annehmen. Üben wir hier auf ro die Substitution T aus, so folgt mit Benutzung der vierten Gleichung (4) S. 482 und der offenbar zutreffenden Relation:

-V'I' . ~oo-+ 0 -V=-;;;

für die

m

=

oJ V- oro

[1',

+r

der bisherigen Bedeutung gebrauchten u,

~3(=~:t-~)

ß,

y, 0:

tri cl'

=

(~) e4V~(f~+ 'I' ~3(ro).

Wir schreiben hierfür unter Änderung der Bezeichnung der Koeffizienten:

(2)

= =

eine Gleichung, die also Cl 0 0 (mod. 2) zur Voraussetzung hat. Die Gleichungen (1) und (2) fassen wir in den gemeinsamen Ausdruck zusammen:

(3) und wollen weiterhin 'I'

>0

voraussetzen; dann ist:

(4)

=

(8)l' e

_tri y 4

-

=

,

=

je nachdem ß 'I' - 0 (mod.2) oder a - 0 0 (mod.2) zutrifft. Wir gelangen nun zu einem neuen Ausdruck für c, indem wir in (3) für die rechts und links stehenden Funktionen ihre Reihen eintragen. Dabei ergibt sich zunächst:

n=-OCl

n=-oo

Hier trage man, unter

ro

=

und gelangt zu der in

n=-fY)

-

eine reelle positive Variabele verstanden, em: o . "oo+ß_"+"i

1]

identisch bestehenden Relation:

1]

Y + ~'l1."

-

1'w+(Y-Y-

i2~

n=-:I)

Da eine der beiden Zahlen u, 'I' gerade ist, so liefern modulo

r kon-

n 2 a 1t i

gruente Zahlen n gleiche Werte e";Y-. Dieser Umstand gibt uns An-

Übergang zu den Gaußsehen Summen

493

laß, die Summe linker Hand in der Art zu entwickeln, daß wir n = l + rm setzen, m die gesamten ganzen Zahlen von - 00 bis + 00 durchlaufen lassen und hernach für l über die Werte 1,2, ..., r summieren:

m=-(f)

1=1

n=-(j)

Es ist sehr interessant, daß wir ll1 der auf m bezogenen Summe wieder nichts anderes als einen Spezialfall der Funktion:

&3(V, m)

+co

=

'L)e>n27tiw+2m17vi. 1n=-oo

vor uns haben, nämlich einfach die Funktion:

der reellen positiven Variabelen r;. Ziehen wir nun die in die Gestalt: niv 2

e-C;;- &8(-~' -~)

ni

e""T Y=w&a (v, m)

=

umgeschriebene letzte Relation (4) S. 482 heran, so folgt, indem wu' m = i1)

,v= i

eintragen: l' 17

)'

e-Y"1&3G~, ~) =

.

e:' y= ir;&3C, ir;)

und also durch Heranziehung der Reihen:

nt=-oo

n~=-

r.J'J

Auf Grund dieses Resultates nimmt die Gleichung (5) die folgende Gestalt an: +00

Jti

r

cnti

m

e4 -V=-ir; 'L) (e-m27t'I~'/~y+2117iy) m=-oo

Da nun I'

Yr

>0

=

+.J:' cf cyiy~ ~e-n'7t'I-n27ti-i.

_=-00

1=1

vorausgesetzt war, so gilt:

:;-~yi = + i Vr, y ~1)

wobei positiv zu nehmen ist. Die vorstehende Gleichung kürzt sich demnach zu:

494 II, 3. Die Modulfunktionen zweiter Stufe und die lineare 'l'ransformation Wir haben hier zwei einander wertgleiche Reihen vor uns, welche nach positiven ganzzahligen Potenzen der reellen Variabelen e-n~ fortschreiten und für alle unter 1 gelegenen Werte diesel' Variabelen konvergieren. Also sind die Reihen glied weise identisch, und indem Wll' insbesondere die Absolutglieder einander gleich setzen, folgt:

Die hier links stehende Summe ist nun In der Tat die zu den heiden ganzen Zahlen C(, r gehörende Gaußsche Summe. Da eine der beiden Zahlen C(, r gerade ist, so bleibt das einzelne Glied der Summe unverändert, wenn man l durch eine mod. r kongruente Zahl ersetzt. Wesentlich ist also für die Herstellung der Reihe nur, daß l il'gendein System von r modulo r inkongruenten Zahlen durchläuft. Da ~ teilerfremd gegen r ist, so haben wir auch in lo ein solches System, wenn l die Werte 1, 2, ..., r durchläuft. ""ViI' können unsere Summe demnach so umformen:

VY

d'·aoni P--..::.,;e Y

Y on; "'., 1"-+P-jJoni

=...:::.,;e

1=1

Y

[=1

Y

,{ni ["--=..::.,;e Y, ~

[=1

insofern wieder unter den Zahlen ß und ~ eine gerade ist. Man sehe nun etwa bei Bachmann a. a. O. nach, daß die beiden hier vorliegenden Fälle, daß entweder r oder ~ gerade ist, während ist, die einzigen Fälle übrigens rund 8 teilerfremd sind und r > der Gaußschen Summe sind, welche von Bedeutung sind; alle übrigen Fälle sind teils elementar, teils leicht auf jene beiden zurückführbal'. FÜ1" die beiden wesentlichen Fälle dm" Gaußschen Summen erhalten wir durch Eintragung der Wm·te c folgende Summenwerte "

°

Y

~ 2. e

on;

1"-

r

-(Y) ,/J V r, niS

=

e

4

Cr

=0, ~ -

1, (mod. 2)),

[=1

y

"Sni

~ /-y -= i wo r

(f)

>

°

1-y

2

(~) Vr, (r - 1, Ö' = 0, (mod. 2)),

[=1

gilt,

-Vr positiv

zu nehmen ist und selbsvm'ständlich (~) bzw.

das Legendre-Jacobische Zeichen ist.

Auswertuug der

GaußB~hen

Summen

495

Hiermit ist die 'l'heorie der elliptischen Funktionen zweiter Stufe in ihren Grundlagen vollständig entwickelt. Die Verallgemeinerung auf höhere Stufen führt uns zu den Problemen dm" "Teilung und Transformation" der elliptischen Funktionen (erster und zweiter Stufe), welche wir im zweiten Bande behandeln. Die algebraisch-arithmetischen Ausführungen des zweiten Bandes sind auch bedeutungsvoll für die Durchführung "numerischer Berechnungen" im Gebiete der elliptischen Funktionen, wie wir sie bei der Besprechung der "Anwendungen der elliptischen Funktionen" durchzuführen haben werden.

Sachregister. (Die Zahlen geben die Seiten an.) .Abbildung der OJ-Halbebene auf die qEbene 300. - durch eine analytische Funktion 31. .Abelsche Integrale 82. - 8 Normalintegral 361. -s Theorem 214. Ableitung einer Funktion 2. -en der Funktionen sn, cn, dn 396. -en des Logarithmus einer ganzen transzendenten Funktion 60. Additionstheoreme 202. Äquianharmonischer Fall 136. Äquivalente Punkte der u-Ebene 180. Äquivalenzbegriff bei linearen Substitutionen 119 . .Äquivalenz bezüglichderGruppeTCu) 230. Algebraische Funktion 77. - Gestalt der Differentiationsprozesse D w und D 'I 317. - Integrale 82. -s Gebilde 80. Allgemeine Thetafunktionen m ter Ordnung 428. Amplitude des Legendreschen Integrals 1. Gattung 388. Analytische Fortsetzung 20. - Funktion 2, 18. -r Charakter der Potenzreihe 14. -s Gebilde 29. Anzahltheorem über die Nnllpunkte einer Thetafunktion m ter Ordnung 425 ff. - - - - ganzer Modulformen 307 ff. - - elliptische Funktionen mit gegebenen Polen 226ff. .Arithmetische Betrachtung der OJ-Substitutionen 281. .Assoziatives Gesetz bei linearen Substitutionen 127. Ausartung der elliptischen Funktionen 1. Stufe 278. - - - - 2. Stufe 472. Ausgezeichuete Untergruppen 2. Stufe 378, 439. Außerwesentlich singulärer Punkt 29. Bahnkurve einer Substitution 67. .Belegung einer Fläche mit Funktions. werten 93.

Bereich der reduzierten Periodenquotienten 187. Beständig konvergente Potenzreihe 11. Blätter eines Bereiches 21. Cauchy - Riemannsche Differentialgleichungen 2. Cauchys Integralformel 16. - Integralsatz 4. Cauchy-Taylorsche Reihe 17. Charakteristik der Thetafunktionen 421. Darstellung der elliptischen Funktionen als Aggregate 206. - - - - als Quotienten von 6 Produkten 214. - - - - 2. und 3. Art durch die 6Funktion 219 ff. - des allgemeinsten elliptischen Integrals 152. Definitionsbereich einer Funktion 24. Determinante einer linearen Substitution 66. Diametralsymmetrie 76. DiedNgruppe 108, 349. - Go beim Doppelverhältnis ). 348. Diedrische Kugelteilung 349. Differential 1. Gattung 144. Differentialgleichung derG-Funktion 322. - - Thetafunktionen 414, 421. - 3. Ordnung für OJ(J) 328. -en der Funktionen Al(w) 470, --en - vollständigen Integrale K, Je 463. - von Cauchy' und Riemann 2. Differentiationsprozeß D 'I zur Herstellung von Modulformen 2. Stufe 447 . -e D w und D~ 314ff. Diskontinuitätsbereich der Hauptkongruenzgruppe 2. Stufe r~w) 437. - der Modulgruppe 295. - einer Gruppe 233. Diskriminante der Yerzweigungsform 124. Doppelreihen für g2 und gs 262. - - 111 und 11, 263. Doppelpyramidentypus bei Gruppen 132. Doppelte Periodizität der elliptischen Funktionen 195 . Doppeltperiodische Funktion, Begriff der·selben 250.

R. Fricke, Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen, Erster Teil, DOI 10.1007/978-3-642-19557-0, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012

Sachregister Doppeltperiodische Funktionen, Existenzbeweis derselben 259. Doppel verhältnis der vier Verzweigungspunkte 345. Dreiecksnetz der ro-Halbebene 289 ff. Eindeutigkeit der elliptischen Funktionen 194. Einheitskreis der z-Ebene 23. Einschachtelung,Jlifethodeder-l0, 16, 25. Elementarintegrale, Darstellung derselben in u 202 ff. - 3. Gattung 145. - 2. Gattung 144. Elliptische Funktionen, Begriff derselben 194, 197. 3. Art 217. - - 1. Stufe 198. - - - als Funktionen von drei Argumenten 318. --, Grundproblem ihrer Theorie 96. n ter Stufe 376. 2. Art 217. 2. Stufe 382 fl. - - als Funktionen von zwei Argumenten 466. Elliptische Integrale 116, 140. - - , Einteilung in Gattungen 142ff. - - 1. Stufe 152. - -, Legendresche Normalformen367ff. - - 2. und 4. Stufe 359ff. Elliptische Jlifodulformen, s. Jlifodulformen. - Modulfunktionen, s. Modulfunktionen. - Modulfunktion J(ro) 273. Elliptische Substitution 71. Erweiterte Modulgruppe 284. Erzeugung der Hauptkongruenzgruppe 2. Stufe 437. - - Modulgruppe 297. Eulerscher Polyeders atz 83. Existenz algebraischer Funktionen 82. -bereich einer ]<'unktion 24. der doppeltperiodischen Funktionen 259. Exponentialfunktion 52. Feld einer Funktion 24. Fixpunkte einer Substitution 67, 70. Fouriersche Reihe für die 6-Funkt. 272. - - n für die geraden 6-Funktionen 413 ff. - -n für gJ(u), gJ' (u), t(u) 270. - -n für sn, cn, dn 412. Funktionaldeterminanten der lVIodulformen 316ff. Fricke: Elliptische Vuüktionen. Bd. 1

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Funktion, Begriff der analytischen - 2,18 Funktionenkörper 81. Funktionselement 20. Gammafunktion 338. Ganze elliptische Funktionen m ter Ordnung 221. Modulformen 1. Stufe 305. - rationale Funktion 44. - tranzendente Funktion 49. Gattungen der elliptischen Integrale 142. Gaußsche lI-Funktion 338. - Summen 494. Geschlecht einer Riemannschen Fläche 87. Gitterpunkte im Parallelogrammnetz 174. Gleichändrige elliptische Funktionen 2. oder 3. Art 218, 429. Gleichberechtigte Kongruclllzgruppen 2. Stufe 380. Gleichmäßige Konvergenz 12. Grenzpunkt der Gruppe T(u) 233. Grundproblem der Theorie der elliptischen Funktionen 96. Gruppe der doppeltperiodischen Funktionen 229. - - ro-Substitutionen (Modulgruppe) 282. -, endliche-linearer Substitutionen 128. - von Transformationen bei der hypergeometrischen Differentialgleichung 108. Häufungsstelle 10. Harmonischer Fall 135. Hauptcharakteristiken der Thetafunktionen 422. Hauptkongruenzgruppe n ter Stufe 375. - 2. Stufe in der Modulgruppe 436ff. Henkelfiächen 86. Hennitescher Satz 228. Höhe einer ganzen transzendenten Funktion 60. Homogenes Differential 143. Homogene Variabele 119. - ro-Substitionen 283. Hyperbolische Substitutionen 71. Hypergeometrische Differentialgleichung 105. - - für die normierten Perioden .Q" .Q. 330. - - - - vollständigen Integrale K, K' 463.

Hypergeometrische Reihen 110. - - für die normierten Perioden .Q" .Q. 334ff. - - - - vollständigen IntegraleK, IC 465ff. 32

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Sachregister

Identische Substitution 127. Index einer Untergruppe 438. Integral, s. algebraische -e, Abelsche -e, elliptische -e usw. - 1. Gattung, eingehende Theorie 164ff. -formel von Cauchy 16. -modul 367. -satz von Cauchy 4. Integration der Potenzreihen 13. Invariante Darstellung der Elementarintegrale 146 ff. Invarianten, Begriff der - 120. - der Verzweigunsform als Modulformen 310. - , irrationale - der Verzweigungsform 343. -, rationale - der Verzweigungsform 122, 124. Invarianz der Funktionen erster Stufe 261. -von Jbei rationaler Transformation 137. Inverse Substitution 127. Inversion an einem Kreise 73. der Funktionen 34. - der Modulfunktion J(ro) 336. - des elliptischen Integrals 1. Gattung 2. Stufe 389. Irreduzibilität eines Polynoms G(w,z) 79. Jacobische Funktionen (ganze elliptische Funktionen) 221. - - sn, cn, dn 389. - Integralmoduln 367, 372. - Thetafunktionen 417. Kettenbruchentwicklung der ro-Substitutionen 298, 438. Körper algebraischer Funktionen 81, 92. - elliptischer Funktionen 96, 197. Kogrediente Variabelenpaare 310. Kommutatives Gesetz, Ungültigkeit bei linearen Substitutionen 127. Komplementärer Integralmodul 372. Konforme Abbildung 31. Kongruenzgruppen 2. Stufe 377. Kongruenz, im arithmetischen Sinne 281. Konjugierte Rückkehrschnitte 89. Kontinuierliche Gruppe bei der Fläche F. 189. Kontragrediente Variabelenpaare 314. Konvergenz der hypergeometrischen Reihe a,n der Konvergenzgrenze 338. - erzeugende Zusatzfaktoren 57ff. 263. "-kreis 11. -radius 11.

Kreisring 86. - als Abbild des Periodenparallelogramms 265. -, Funktionen des - 8 266. Kreisverwandtschaft 66. -, indirekte 73. Kugeldrehungen zur Erklärung von Gruppen 130. Kugelfläche zur Darstellung komplexer Werte 22. Laurentsehe Reihe 41. -1' Satz 42. Legendre-Jacobisches Zeichen 489. Legendresche Normalintegrale 367 ff. - Relation 160, 373. -1' Integralmodul 367. - vollständige Integrale 372ff. Lemniskatische Funktionen 193. Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung 97. - - - - für die normierten Perioden .Qj, .Q. 326. - - - - für die vollständigen Integrale J{, J{' 463. Lineare Substitutionen 66, 126. - - 2. Art 73. Lineare Transformation der Funktionen Al(w) 476.

-

- - Jacobischen Funktionen sn, cn, dn 475. Perioden 184. - - - -, geometrisch gedeutet 298. - - - Thetafunktionen 479 ff. Linearfaktorenzerlegung ganzer Funktionen 46. Linear-unabhängige Funktionssysteme bei gegebenen Polen 225, 425ff. - - Lösungen einer Differentialgleichung 100. Logarithmische Spirale 68. - 8 Residuum 38. - Unstetigkeitspunkte beiIntegralen 141. Loxodrome 68. Loxodromische Substitutionen 71. Mehrfach zusammenhängender Bereich 3. Modul der Abbildung 31. - - Riemaunschen }'läche F. 180. Modulformen 1. Stufe 305. - 2. Stnfe 446. Modulfunktionen 1. Stufe 305. Modulfunktion J(ro) 273. Modulfunktionen 2. Stufe 441. Modulgruppe 282.

Sachregister Modulgl'uppe 2. Art (erweiterte -) 284. Multiplikator einer Substitution 70.

NaWrliche Grenze der Modulfunktionen 303. - - einer Funktion 30. Niveaukurve einer Substitution 67. Normale Variabele einer Stelle der Fläche F2 143. Normalgestalten der Verzweigungsform 123, 353, 357. Normalintegrale 1. Stufe 152. - von Legendre 367 ff. - 2. und 4. Stufe 359 ff. Normalintegral von Abel 361. - - Riemann 360. - 2. Gattung 1. Stufe t(1~) 198. Normierung der Perioden 325. Nullpunkt einer Funktion 27. Oktaedergleichung 357. Oktaedergruppe 109, 355. Ordnung einer ganzen elliptischen Funktion 3. Art 220. Gruppe 128. - - Thetafunktion 423. Parabolische Substitutionen 72. Parallelogrammnetz 174. Parallelstreifen der u-Ebene als ausgearteter Diskontinuitätsbereich 244. Partialbruchreihen, s. Teilbruchreihen. Partialbruchzerlegung der rationalen Funktionen 61. Pa,rtielle Differentialgleichnng der 6Funktion 322. - - Thetafllnktionen 414, 421. - -en der Al-Funktionen 470. - -en für die Perioden 324 ff. Periode einer elliptischen Substitution 128. - eines Integrales 7. -n der Elementarintegrale 3. Gattung 162. -n - elliptischen Integrale 142. -n - Normalintegrale 1. und 2. Gattung 158. Periodenparallelogramm 174. Periodenquotient 175. Periodenrelationen 161 ff. Periodenweg 8. Periodizität der Funktionen sn, cn, dn390. Perspektivität 76. Picardscher Satz 54.

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Pol einer Funktion 27. Positiver Umlaufssinn 5. Potenzreihe 9. - der 6-Funktion 208. -n - Funktionen Al(w) 403. --n - - 8J(u), SJ' (u), t(u) 200. -n - - sn, cn, dn 390. -n für 92' 93' LI und J 274. Primform 212. Primfunktion 56, 210. Primitive Periodenpaare 195, 235. Prinzip von Hermite 228, 429. Produktdarstellung der Diskriminante LI 313. - - drei geraden 6-Funktionen 405. - - elliptischen Funktionen 2. Stufe 405, 408 - - 6-Fllnktion 258, 268. - - Thetafunktionen 418. - ganzer transzendenter Funktionen 60. ,- von Modulfunktionen höherer Stufen 407 ff. Querschnitt in einem berandeten Bereiche 3. Querschnittsysteme auf Riemannschen Flächen 88 ff. Querschnittsystem, reduziertes - auf der F2 177, 241. Randpunkt eines Bereiches 26. Rationale Funktion 61. - Punkte der reellen ru-Axe 292ff. Reduzierter Periodenquotient 187. Reduziertes Periodenpaar 178. - Querschnittsystem 177, 241. Reguläre Kurve 3. Reihe für die 24. Wurzel der Diskriminante LI 433. -n, einfach unendliche - für 9., 9., 112271. Heihenrest 12. Residuensätze 38 ff. Residuum einer Funktion 37. Riemann-Rochscher Satz 227. Riemannsche Fläche 47, 64, 76. -s Normalintegral 360. Rückkehrschnitt 83. -e, konjugierte - 89. Schlichtheit eines Bereiches 28. Schwarzseher Differentialausdruck 329. Sechsecknetz 242. Sechseck, zentriertes - im Kreise als Diskontinuitätsbereich 239. 32*

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Sachregister

Sigmafunktion 208, 258. -en höherer Stufen 450. -en 2. Stufe 384. Simultane Invarianten eines Formensystems 342. Singulärer Punkt einer Funktion 26. Singuläre Stellen bei linearen Differentialgleichungen '102. Spiegelung 73. Stereographische Projektion 22. Stufenteilung, Prinzip der - 117,374. Substitution, lineare - 66ff., 126. Substitutionsgruppe der doppeltperiodischen Funktionen 229. - - geraden doppeltperiodischen Funktionen 246. --n endlicher Ordnung 128 ff. - des Periodenquotienten ro (Modulgruppe) 282. Symmetriekreise der Modulgruppe 285. Symmetriekreis einer Spiegelung 73. Symmetrische Periodenparallelogramme 249. Taylorsche Reihe 14. Teilbruchreihen 60. - für SJ(u), SJ' (u), ~(u) 260. Ternäre Gruppe r(u, w) 319. Tetraedergruppe 133. Thetafunktionen 417. - der Charakteristik (g, h) 421. .- höherer Ordnung 423. Transformation der hypergeometrischen Differentialgleichung 107. durch reziproke Radien 73. - einer Gruppe 129. - - Substitution 128. -en der Gruppe r(lt) in sich 244ff. -en - Verzweigungsform in sich 134. Transzendent normierte Integrale 2. und 3. Gattung 163. Überall endliches Integral 142. Umgebung eines Punktes 1. Unbrauchbarkeit eines reellen Periodenquotienten 231 ff. Uniformisierende Variabele 194.

Unimodulare Substitution 120. Untergruppe 129. Vergrößerungsverhältnis der Abbildung 31. Vertauschbare Substitutionen 131. Vertauschbarkeit von Parameter und Argument bei Integralen 3. Gattung 150, 163, 212. Verzweigungsform 119. 1. Stufe 123. - 4. Stufe 357. - 2. Stufe 353. Verzweigungspunkt 28. Verzweigungsschnitt 28. Vierergruppe 109, 130. Vollständige Integrale Legendres 372 ff. - - - als hypergeomefrische Funktionen von k' 465 ff. Weierstraßsche Funktionen Al(w) 401ff. - - -, Beziehung zu den Thetafunktionen 468. - 8J(u), gJ' (u) 198. gerade Ci-Funktionen 384. Normalintegrale 152. Ci-Funktion 208, 258. Wertigkeit einer algebraischen Funktion 91. - - doppeltperiodischen Funktion 253. elliptischen Funktion 195. - - ganzen rationalen Funktion 46. - - rationalen Funktion 62 . Wesentlich singulärer Punkt 29, 50. - - - der elliptischen Funktionen 195. Windungsfiäche 28. Winkeltreue Abbildung 31. Wurzelfunktionen 386. Wurzeln der Diskriminante, Verhalten bei linearer Transformation 454 ff. - - Integralmoduln, Verhalten bei linearer Transformation 459ff. Zusammenhang einer Riemannschen Fläche 83. Zweiblättrige Fläche mit vier Verzweigungspunkten 95. Zweig einer analytischen Funktion 8,21. Zyklische Gruppe 129.