Lecture Notes in Mathematics A collection of informal reports and seminars Edited by A. Dold, Heidelberg and B. Eckmann, Z(Jrich
38
R. Berger. R. Kiehi E. Kunz. H.-J. Nastold
Differential rech n u ng in der analytischen Geometrie 1967
Springer-Verlag. Berlin. Heidelberg. New York
Professor Dr. R. Berger I. Mathernatisches Institut der Freien Universit~t Berlin
Dr. R. Kiehl III. Mathematisches Institut der Universit~t M~nster
Dr. E. Kunz Mathematisches Institut der Universit~t Heidelberg
Professor Dr. H.-J. Nastold IiI. Mathematisches Institut der Universit~t Mtinster
All rights, especially that of translation into foreign languages, reserved. It is also forbidden to reproduce this book, either whole or in part, by photomechanical means (photostat, microfilm and/or microcard)or by other procedure without written permission from Springer Verlag. O by Springer-Verlag Berlin 9 Heidelberg 1967. Library of Congress CatalOg Card Number 67 - 29615. Printed in Germany. Title No. 7558.
Inhaltsverzeiehnis
Einleitung w 1.
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. w 2. 2.1.
2.2. 2.3.
2.4. 2.5.
w 3. 3.1.
3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.
Kategorien von Ringen in der analytischen Geometrie.
12
Affinoide Algebren. Analytische Algebren. Komplette Algebren. Grundk6rpererweiterung.
12
Differentialmoduln.
41
17 29 33
Definition und universelle Ei~enschaften. Einfaehe Eigensehaften des Differentialmoduls. Ausdehnung des Differentialmoduls auf allgemeinere Ringklassen. Differentialmodul und Komplettierung bzw. direkte Limites. Differentialmodul und Grundk6rpererweiterung. Regularitatskriterien,
41 48
53 68 79
Anwendungen.
Der Rang des Differentialmoduls. Regularitatskriterien. Ausgezeichnete Ringe. Anwendung der Regularitatskrlterien auf die Bedingung R k und S k. Charakterisierung lokaler vollst~ndiger Durchschnitte. Eine verzweigungstheoretische Anwendung.
83 90 93 98 102 106
110
~.
Absolute Regularitat.
q.1.
Kennzeichnung absoluter Regularita% mi% Hilfe des Differentialmoduls. Analytlsche Separabilitat. Ein hinrelchendes Kmiterium fQr absolute Regularitat. Charakterlsierung absoluter RegularitY% und analytlscher Separabilita% in der GrundkSmpeme~wei%emun E mi% k p''.
1_27
Literaturverzeichnis
132
~,2o
~.3.
q.~.
110 124 126
Einleitunz
Self der Ver~ffentlichung
dem grundlegenden Arbeit von Tare Ober
"Rigid analytic spaces" [25| land die Theomie de~ analy• Raume Y Ober einem nichtamchimedisch steigendes
Interesse
komplett bewerteten K~rper k
(vgl. z.B. [61 , [41 , [5] , [11]
und [19] ).
Andems als im klassischen Fall des GrundkSPpePs k = C, jedoch in Analogie zum algebralschen Geometrie, set Raume die K a t e g o r i e ~ d e r
kann man f~m die Theorie die-
"affinoiden" AlgebPen Ober k zum Aus-
gangspunkt nehmen. Das sind die Restklassen~inge k < < XI,..,,Xn>>
alle~ strikt konvergenten
der Ringe
Potenzreihen fiber k, d.h.
derjenisen Potenzrelhen
Z avXv
(ave k ,
v = (vl, .
,Vn), . . X.v
.= X~ .
die f~r alle Punkte (xl,... Xn)e k n mlt I xil ~ Punkt y e Y
besitzt eine UmgebungsbasisL~
X~),
I konvergieren.
Jeder
(y), so daS jedes Ug l~ (y)
in seinen Eigenschaften vollstandig beschrieben wird dutch eine affinoide Algebra ~ ,
die als Ring "ausgezeichnetem"
auf U holomorpher
2
Funktionen aufzufassen ist. Neben den Algebmen ausO~inTeressieren die lokalen analytischen Al~ebren ~beP k; es sind dies die Fasern Ay des Raumes: Ay
= ~6--~---v~yAll~im,
A ~
dem Strukturgambe in den Punkten y
e O~. Diese Ringe lassen sich kennzeich-
nen als lokale k-Algebren, die (als Moduln) endlich Ober einem konvergenten Potenzreihenring k [XI,...,X n] sind. I s t ~
das maximale Ideal
aus A K ' das zum Punkt y 6 U geh6r%, dann hat man einen Isomorphismus (Au)~
= ~
der Komplettierungen der lokalen Ringe ( ~ ) ~
und Ay
.
Die so entstehenden kompletten lokalen k-Algebren slnd endlich ~ber einem formalen PotenzPeihenring k ~Xl,...,X nj .
Etwas allgemeiner liegen also einer algebraischen Behandlung dem analytischen Raume die folEenden drei Kategorien yon Rin~en zugrunde: Die KategoPien
0% , bzw. O ~ b z w .
~
deP k-Algebren, die endlich Ober einem
Ring k<<XI,...,Xn>> bzw. k {X1,...,Xn} bzw.
k ~Xl,...,Xnl sind.
Es ist zweckma~ig (z.B. fOP eine Theorie der Schemata yon endlichem Typ ~bem einem analytischen Raum) neben den Katego~ien 6/ , ~
und ~
auch noch die KategoPien der endlich ePzeug%en Rin~erweite~ungen der Rinse aus C~, ~ ,
~
zu betrachten. Wi~ bezeichnen diese drei Kategorien,
for die unsere Un%ersuchungen weitgehend parallel verlaufen werden, mi% ~
. Mit ~ w i r d
aus den Ringen v o n ~
die Kategorie von lokalen Ringen bezeichnet, die dutch Lokalisierungenach Primidealen entstehen.
Das Hauptziel der folgenden Untersuchungen ist eine fOP die genannten Kategorien weitgehend gemeinsam aufgebaute Theorie der "Differentialmoduln". Die Differentlalmoduln haben - obwohl rein algebraisch definiert - ahnlich wie in der algebraischen Geome•
Ober einem GrundkOrper geome-
trische Bedeu%unE: Sie liefern~ sebildet fur alle lokalen Ringe der Struktursarbe eines Raums Y eine auf Y koharente Garbe, die im sinEularitatenfreien Fall das BOndel der kovarianten Tangentialvektoren damstellt, im Fall des Auftretens yon Sinsularitaten einen Ersatz fur dieses B~ndel.
Die lokalen Rinse der Struktursarbe eines Raumes Y sind regulam lokale Ringe senau in den nichtsinsularen Punkten (seometrisch: Mannigfalti Skeitspunkten) des Raumes Y. Ein zentrales Problem der folsenden Untersuchun E ist die Aufstelluns von "differentiellen Resulamitatskriterien" fur die lokalen Rinse aus den yon uns betrachteten Katesomien und die
4
Hemleitung yon Folgerungen aus diesen RegulariTaTskriterien.
Dabei
widmen wit uns insbesondere den bei Chamakteristik p > 0 auftmetenden Phanomenen. Im einzelnen bringt w I die Definition und grundlegenden EigenschafTen der Kategorie (]~, 6 ~ u n d
9 . Es wemden die Zusammenhange mit der
analytischen GeomeTrie (= Theomie der analytischen Raume) und die Beziehungen der Kategorien untereinande~ dargestellt. Dieser Paragraph kann als eine erste knappe Einf~hmung in die nichta~chimedische Funktionentheorie vom algebraischen Standpunkt aus dienen. Besondems i n t ~ essieren in den drei Kategorien Existenz und Ei~enschaften der gefase~ten Summe, femner die FunkTo~en "G~undk6rpe~er~eiterung", die jedem k-Algebma aus (]~(k), ~ ( k ) , O[~%(K) bzw. ~ ( K )
dutch
~ (k) eine K-Algebra aus 62t(K),
zugeordnet wird, wenn K ein kompletter bewemteter
ObePk6rper von k isT. Diese "analytlsche" Grundk~rpererweitemung besitzt f~m die analytische GeomeTmie ahnliche Bedeutung wie die Grundk6rperemwei%emung in der alEebralschen Geometrie.
w 2 gibt die Defini%ion und die wichtigsZen allgemeinen Eigenschaften der DiffePentialmoduln.
FOP die Kategomien ~ , ~ % u n d
~
kann eine
gemeinsame Definition des Differentialmoduls wie folgt gegeben werden: Ist C
>
A ein Morphismus aus einer der Kategorien, so sei I der Kern
des kanonischen Ringmorphismus A ~ A Summe bezeichnet. Dann ist D ( C; ~ = I/IZ
9 A, wenn A ~ c
ein A-Modul. Sind il,i2: A ~ A u ~
die kanonisehen Injektionen, dann ist d: A~"-~a~ I yon A fber C und as gilt D(A) = AdA
A die gefaserte A
I/I 2 eine Derivation
D(A) heist der Differentialmodul
yon A fber C. FOm die Anwendungen ist es wichtig, da6 der Differentialmodul eine universelle Eigensehaft besitzt (einen Funktor repr~sentiert). FUr jeden Homomorphismus
~ : C
9 A yon kommutativen Ringen mit Eins existiert
der universelle Differentialmodul mit einer Derivation d: A
~
UD(~) yon A fber C:
uo(~) ~ber c ( d . h .
gende univemselle Eigensehaft hat: Ist
5
: A
d o~
9
UD(~) ist aim A-Modul
: 0), der die fol-
M irgendeine Derivation
von A fiber C in einen A-Modul M, so gibt es genau eine A-lineare Abbildung h: UD(~)
~
M sit 6 = h , d
(Mit anderen Worten: U D ( ~ ) r e p r ~ s e n t i e r t
den
Funktor Derc(A,M) , wenn Derc(A,M) die Menge aller Derivationen yon A Gber C in M bedeutet und M alle A-Moduln durchlauft). Den universell endliehen Differentialmodul, dem jedoeh nieht immer existiemt, erhalt man, wenn man
in der obigen Definition nut Derivationen in endlich erzeugte A-Moduln zulaSt. Andere "universelle DiffePentialmoduln" ergeben sich, wenn A ein topologischer Ring ist (was bei den K a t e g o P i e n ~ , O ~
dem Fall ist),
und wenn M eine passende Kategorie yon %opologischen A-Moduln durchl~uft. Die so konstruierten Differentialmodulnlassen sich als Funktoren yon (A,C) auffassen. Wit untersuchen univePselle Eigenschaften des DiffePentialmoduls D(~) fur einen Morphismus C
~
A mum den Kategorien ~ ,
oder ~ . Eines unserer E~gebnisse besagt, dab fflr C ~%ode~
~dem
~
A aus~
,
universell endliche Differentialmodul stets existiert
und sit D(~) Obemeinstimmt. Dieses Resultat ist mum im F a l l ~ n i c h t t r i v i a l . Um den Diffementialmodul auf die Ringe a u s ~
und i ~
wim uns des Begriffs dew univemsellen Ausdehnung : A
~
B ein Ringhomomomphismus, d: A
m
auszudehnen, bedienen
einer Demivation. Ist M eine Derivation von A
in einen A-Modul H, D: B ---~ N eine Demivation yon B in einen B-Modul N, so heist D eine Ausdehnung yon d, wenn es eine A-lineare Abbildung h: M
~
N gibt, die das Dia~ramm
M
A
A
9
-~
N
~
g
kommutativ macht. FOr jade Derivation d und jades Ringhomomorphismus gibt es eine (bin auf kanonische Isomorphie eindeutige) universelle Ausdehnung D, aus der sich jade beliebige Ausehnung ~
eindeutig
in der Form A = H.D mit elmer B-linearen Abbildung H ergibt (mit anderen Worten: Der Funktor Derd(B,N) , wobei Derd(B,N) die Mange der Ausdehnungen yon d zu Derivationen B
>
N bezeiehnet und N alle
B-Moduln durchlauft, ist darsTellbar). Ist nun B eine endlich erzeugTe Ringerweiterung eines AE ~
,(~,~
)
bzw. Lokalisierung elmer s61ehen Emweiterung, so definiert man D(~
als die universelle Ausdehnung des DifferenTialmoduls D(~). Allgemeiner setzt man D(~) = D(~) / BdC for ~eden k-Algebrahomomorphismus
C
~
B.
Dieser Differentialmodul hangt naeh seiner Definition yon der Wahl von A ab. Es stellt sich jedoch in vielen Fallen heraus, dab er in Wirklichkeit yon der Wahl yon A unabhangig und ein Funktor int. Dies ist z.B. der Fall, wens Char.k = p > 0
und Ik:kP] < •
ist, wail damn D(~) = UD(~)
int. Ist k beliebig, abet B endlich erzeugTe Ringerweiterung eines A so wird gezeigt, dab D(~) der universell endliche Differentialmodul und folglich ein Funktor int. Die erste Behauptung braucht nicht
8
mehr richtig zu sein, wenn A
Sind r e d ~
bzw. red l ~ Y
6 0~,
~
ist.
die vollen Unterkategorlen v o n ~
bzw. i ~
,
bestehend aus allen reduzierten Ringen aus diesen Kategorlen, so zeig% man fur B 6 r e d ~
, red i ~
, da~ der oben definierte Differentialmodul
yon B unabhanglg yon der Wahl yon A und ein Funktor ist (fOr niehtreduziemte Ringe geht die Funktomeneigenschaft i.a. verloren). Der Beweis beruht auf dem folgenden Satz, der auch selbstandiges Interesse besi%z%: Sind A,A' 6 6%, 05~, ~
zwei Ringe, aus denen B e red ~
(bzw. B ~ red I ~ )
als endlich erzeugte Erweiterung (bzw. als Lokalisierung einer endlich erzeugten Erweiterung) entsteht, dann stimmen die ganzen Abschlie~ungen yon A und A' in B Uberein und sind endlich Qber A,A'~ also wieder in (~ ,6~/n, ~
9 Man erhalt dutch dlesen Satz die M6glichkeit, den Differen-
tlalmodul yon B (Qber einer k-Algebra C) auf kanonische Weise zu konsTruiePen.
Am Schlu~ yon w 2 wlrd un%ersucht, wle sich der DifferenTialmodul bei Komple%tlerung und analytlscher Konstantenerweitemung verhalt.
Den differentiellen Regularltatskri%erien und ihren Anwendungen is% der w 3 gewidmet. Falls Char.k = p 9 0 ist, wlrd in w 3 ste%s vorausgesetzt,
dab Ik:kP] < ~ FUr [k:kP]< ~
i~t.
Der Fall [k,k p] = ~
ist eine k-Al~ebra B e ~
wird in [12] behandelt. , I~
zugleich eine kP-Algebra
desselben Typs, folglich ist der Differentialmodul D(~p) definiemt. Im Fall Char.k = p > 0 bedient man sich for die Regularitatskriterien dieses Differentialmoduls,
fOm Cham.k = 0 des Differentialmoduls D(~)
g
Die Regularitatskriterien sagen aus, dab unter geeigneten Vomaussetzungen ein Ring B g i ~
genau dann regular ist, wenn der Differentialmodul
yon B (Ober k bzw. k p) den "~ichti~en" Rang besitzt bzw. ein freier B-Modul ist.
Als Anwendung de~ Regularitatskriterien wird (f~r [k:k p] <
~
!) be-
wiesen, daS die Ringe aus ~ ausgezeichnet (excellent) i.S. yon Grothendieck [ 7] sind. Ferner werden unter der VorausselmJng, dab die homologische Dimension des Differentialmoduls endlich ist, Beziehungen zwischen den Serreschen Bedingungen R k und Sk fur B und seinen Differentialmodul angegeben, aus denen man auf natOrliche Weise Kriterien f~r die Normalitat yon B bsw. die Reflexivitat des Differentialmoduls yon B gewinnt, wenn B ein lokaler vollstandiger Durchschmitt ist. Diese Kriterien sind in der algebraischen Geometrie bekannt, es ergeben sich
10
hie~ abet auch f~r die algebraische Geometrie neue Beweise. Weitere Anwendungen befassen sich mit Kennzeichnung von lokalen vollstandigen Durchschnitten bzw. einem Satz vom Typ des Zariskischen Satzes Qber "Purity of the branch locus". Der letzte Paragraph befa~t sich mit Kritemien fGr absolute Regulamitat von Ringen A ~ (A 9 Ot,6~w, ~ ,~ Primideal von A). Ein solcheP Ring heist absolut regular, wenn fGr jede analytische KonstantenerweitePung ~ von A und jedes Primideal~ Ring ~ W
yon ~ sit ~ n A = ~ deP
regular ist. Dies ist eine Verscharfung des Begriffs
"geometrisch regular" bei Grotendieck [7] . Das Hauptergebnis besagt im wesentlichen: Ist A ~ O6 ,6~', i ' ( w o b e i O ~ ' d i e Unte~kategorien v o n ~ , ~
vollen
sind, bestehend aus allen Restklassenringen
yon konvergenten bzw. formalen Potenzreihenringen)und ist ~ Primideal yon A, so da~ A ~
ein
integer ist, so sind folgende Aussagen
aquivalent: a) A~ ist absolut regular b) Der Rang von D(~ -~) ist gleich der Dimension von A. c) Es gibt eine noethersche Normalisierung B yon A, so daS (mit ~ = ~nB) der Homomorphismus B~ ~ A injektiv und A~ Qber B~ unverzweigt ist.
11
Schlieblich wird noch gezeig%, dab sich die absolute Regularitat ahnlich wie in dem algebraisehen Geome%rie schon in der Konstanten-1 er~eite~ung mit k p
testen labt.
Es sei noch er~ahn%, dab im affinoiden Fall ~ d i e
algebraische Geo-
metmie ~bem einem beliebigen Grundk6~pem enThalten ist: Man versieh% k mi% dem %mivialen Bewer%ung. Alle Beweise lassen sich mi% den en%spmechenden Vereinfaehungen leichT auf diesen Fall ObertraEen.
Die voPliegende Ambeit ~bemschneidet sich %eilweise mit der nach ihmem FeP%igstellung emsehienenen AmbeiT [28] yon Dieudonn~-Gmo%hendieck. Abgesehen yon anderen Beweisen un%emscheiden sich die beiden APbeiten vom allem dadumch, dab bei Dieudonn~-GPo%hendieck der F a l l 6 ~
im Vo~-
dergmund steht, wahrend in der vomliegenden AmbeiT der Schwerpunk% beim F a l l ~
bzw. ~
lieg%.
12
w I. Katesorien yon Rinsen in der analytischen Geometrie. 1.1. Affinoide Algebren
[25] , [20]
Im folgenden sei k stets ein nichtarchimedisch komplett bewerteter K~rper, t
I I: k
~
R seine Bewertung, ~ sein Bewertungsrins,
ein Element + o aus dem maximalen Ideal m von ~ .
Mit k << XI,...,X n > > =
k<<X>>
={~ e
k[[X]] ; ~ =
~,ar Xr, m r
bezeichnen wit den Unterrin S des Rinses k [[ XI,..,Xn]]
* o}
= k [[X ]] der
formalen Potenzreihen, bestehend aus den "strikt konvergenten" Potenzreihen~ des sind 8enau die im abgeschlossenen Einheitspolyzylinder E n =
[ c = ~ l , . . ; n ) 6 kS; IcMI
9
I} konvergenten Potenzreihen.
Diese
Rinse treten an die Stelle der Polynomringe k [X] im Falle der klassischen algebraisehen Geometrie Gber dem Grundk6rper k. Sie sind noethersch, tragen mit der Norm II f II = II X arXr II = Max I ap I die Struktur einer r k-Banach-Algebra,
in welcher jedes Ideal ~% c k < < X ~
ist, und k [XI,..,X n] ist dicht in
k <<X~,..,Xn> >
abseschlossen [25]
Definition 1.1.1.: Die K a t e g o r i e ~ d e r
affinoiden Al~ebren besteht aus den Ouotienten A =
13
k<<X>>/O~
von einem der R i n g e < < X > >
mit k-Algebrahomomorphismen
nach einem Ideal ~
~
als Morphismen.
A ist mit der Quotientennor~ wieder eine k-Banach-Algebra, Topologie yon der Ouotientendarstellung
deren
unabhangig ist. Die Morphismen
sind stetig. O~ ist abgeschlossen gegenOber Ouotientenbildung lichen Ringerweiterungen:
enthalten.
und end-
Mit A ist auch ~ede Algebra B, die verm6ge
eines k-Algebrahomomorphismus ~
k~X>>
~
: A
~
B endlicher A-Modul ist, in
Allgemeiner tragt for A 9 6~ jeder endliche A-Modul M
die Struktur eines kompletten topologischen A-Moduls, diese ist eindeutig bestimmt,
und jede A-lineare Abbildung zwischen solchen A-Moduln
ist stetig. Eine andere Kennzeichnung der A e ~
wird geliefert dumch das
Noethersche Normalisierun~slemma
1.1.2.:
Die affinoiden Algebmen A &
sind die endlichen Erweitemungen
der Ringe k < < X >>.
Bezeichne man mit Sp (A) = [ x = m ~ A~ m maximales
Ideal in A} das
Spektrum der maximalen Ideale yon A, so ist f~r x e Sp(A) stets IA/x
:k] < ~
setzungsbewertung
, und A/x tragt daher eine eindeutig bestimmte Fomtder Bewertung I
I v~
k, die sir ebenfalls sit I I
bezeichnen. norm yon
Mit ~ (x) = ~ m o d
~ ~ A: I ~I
x ~ A/x definiert man nun die Spek•
= Max I ~ ( x ) I " I ~I ~ x6Sp(A)
~ kennzeichnet
die
&
%opologisch
nilpotenten,I~l
Die Ringe k < < X 1 , . . , X n > > b z w . a t 6 A, a r
~
O] , A
& ~
=~ I die poZenzbeschr~nkten
Elemente yon A.
A~XI,..,Xn>>={
[[X]]
~ ~
gekennzeichnet
bildungseigenschaft:
F~r Elemente x 1,..,xn~ B & ~ ,
: A
~
dumch die folgende universelle Ab-
B und Elemente rl,.
gibT es genau einen Momphismus setzung
~ : A<<X>>
>
; f =~arX r
sind die "f~eien" bzw. "Ober A fmeien"
affinoiden AiEebren,
Morphismus ~
A
,r n 6 B
~: k < < X > >
B von ~
I x i I"
~
~
O~ ~
I , bzw. einen
I xi I "
I,
B bzw. genau eine Fort-
, so da~ ~ (X i) = x i.
Die auftretenden RinEe A e O~ und topologischen A-Moduln M sind topologische k-VekZorraume,
deren Topolo~ie dutch ein Gitter A o bzw. M o
das ist ein ~-Un%emmodul mit { % n
Ao}~%e " bzw.
A 0 bzw. M o mi% A = k
Ao
bzw. M = k. M 0
[t n, Mo]e%e~ als Nullumgebungsbasis
yon A bzw. M definiert wir~.
deP Topologie
Im Falle A 6 ~ kann A o a l s V - A l g e b r a ,
im
Falle eines A-Moduls M kann M o als Ao-MOdul gewahlt we~den.
Sind M und N solche komplette %opologische A-Moduln, komplettes Tensorproduk%
M ~ N A
folgenderm~en
so kann man ein
erklamen: Man bilde%
das gew6hnliche Tensompmoduk% M ~ N ~ betmachte% auf ihm die dutch das A
15
Bild bei
>
M o 9 No Ao
M ~ A
M O A
und komplettieNt:
N
im obigen Sinne definierte TopoloEie
N = M ~ N. DeN so erhaltene komplette topoA
logische A-Modul besitzt die univeNselle Abbildungseigenschaft des TensoNpNoduktes bzgl. stetigeN A- lineaNeN Abbildungen in komplette topoloEische A-Moduln.
Gefasemte Summe i n ~ . C
>
B
is% A ~
B
1.1.3.:
Zu A,B,C 6 ~ u n d
wieder 6 ~ u n d
Momphlsmen C ~ ~
A,
die gefaserte Summe von A und B
C bmgl. ~
und ~ Ober C.
Das komplette Tensomprodukt yon AlgebNen a u s ~
hat die folgenden Eigen-
schaften, welche es offenbaN auch chamakteNisieNen:
Es ist assoziativ und kommutativ, es ist
A/~
~
B ~' A ~ B / (~.(A ~ B),
C
C
gorie S ~ d e r
0
C
falls B endlich ObeN C ist,
Neben den KategoNie ~
k~X>>
A O B = B, es is% A
k<
> i, k<<X,Y>>
und,
k A ~ Ba C
A O B. C
den affinoiden AlgebNen
betNachten win die Kate-
semilokalen affinoiden Algebren, deren 0bjekte die Paare e~
(A,S) sind, wobei A & (]6und S das Komplement in A yon
z ~=1= m i i s t , wenn
die m i maximale Ideale yon A sind, und deren Morphismen (A,S) ~ ~
(B,T)
16
die Momphismen ~ : A----~ B aus ~ m i t
~ (S)c T sind. Jedem (A~S)
ist der semilokale Ring S -I A zugeordnet,jedem Morphismus (A,S) S-IA
m
(B~T) ein k-Algebrenhomomorphismus
der semilokalen Ringe
~ T-IB. Die volle Un•
lokalen affinoiden
Algebmen emhal% man entsprechend mit S = Cm, m maximales Ideal von A. Ihre 0bjek%e bezeichnen wit auch mit (A,m). Lemma 1.1.4.: Sind ml,..,m n maximale Ideale von A e C~ , S = C(i~__1)mi)~ so existiemt eine Noethemsehe Normalisierung ~bem k < < X > > ~
k < < X > > ~ A, A endlich
mit
XI,..,XdE ml,..,mn, (XI,..,Xd)C k < < X > >
so da5 also die ml~..,m n Ober dem maximalen Ideal liegen. Man erhalt dann den zu (A,S)g slO~ geh6mi-
gen semilokalen Ring S-IA aueh so: B = A(X l,...,Xn) dem STandamdming k < < X > >
(x) e l ( ~ u n d
mit T = C ( 0 mi')' ~ i i=I
ist S -I A = T-IB. Dabei is% m i ~ k < < X > >
(X) = (X) 9 k < < X > >
Beweis: Sei zunaehst k<>irgendeine yon A, also A endlich ~bem k < < Y > > Ym potenzbesehrankt
(X)"
Untemmaum yon A is%, is%
I in A/m i. Es existieren
also Pim(Y~e v [ Y ] mi• h6chstem Koeffizien%en Pit (Yr)e
=44t,01 B,
Noe%hemsche Normalisierung
. Da k < < Y > >
in A, also IY m + m i l ~
Dann ist auch Pr (Yr) = ~ i=l
ist endlich Obe~
I, so daS Pir(Ym) ~ m i.
~ [Y] mit h6ehstem Koeffizienten
I.
17
Wim setzen X r = Pr (Yr) und emhalten
~Xrl
a I.
Xr s k < < Y > >
und X r 6 m i for i = l,...,n. Nach [25] , Prop. 4.2. ist wegen Pm (Yr) - Xr = o Ober k < < X > > .
k<>endlich
Qber k < < X > > ,
Aus DimensionsgrOnden
isT k < < X > >
also A endlich = k<<Xl,..,Xd> >
eine freie affinoide Algebra. ~hnlich wie in [18] , w 42, kann man fQr die zu (A,S), (B,T),(C,R)e slO~ gehbrigen semilokalen Ringe S~ A, T -I 9 B, R -I, C
ein lokales komplettes
Tensompmodukt so d4finieren:
S -1. A
~ T -l, B = R'~C
(S,T) = C(~J k durchlauf%, umfassen,
( A ~ B) , wobei fQm S = C (~J mi), T = C ( ~ n j ) C (S,T)
ik) , wenn I k alle (maximalen)
Primideale yon A ~ B = D C
die Qber einem m i und einem nj liegen, also m i. D + nj. D for alle Paare (i,j). Es ist (A Q B, ( S , T ~ e C
sl~
und (A ~ B ) C (S,T)
dem zugehbrige semilokale Ring.
1.2.
Analytische Algebren.
Zu einer affinoiden Algebra A ~ O~ und end-
lichen Mengen fl,f2,...,fmis affinolde Teilbereiche yon $ P A m Sp (A<<XI,...,Xm;
n 6 A werden in [25] spezielle definiert:[xe SpAilfi(x ~ ~ I, Igj(X)l~ I}~
Y1,...,Yn>>/(Xi-fi;
I - gjYj)). Mittels dieser
speziellen affinoiden Teilbereiche wird auf der Menge X = Sp(A) der
18
maximalen Ideale yon A die Struktu~ eines G-~eringten Raumes definiert [25]
, [11] , [19] : Diese besteht aus einer Topologie auf
Sp(A), einer Basis S fur diese Topologie,
einer Grothendieck-Topo-
logie T auf S und einer Garbe 0 X yon Ringen auf S bzgl. der Grothendieck-Topologie
T. Die Topologie auf Sp(A) wird gerade dutch die Menge
der speziellen affinolden Teilbereiche als Basis definiert ist diese
(jedoch
~ S). FUr einen Punkt y s Sp(A) erhalt man eine Umgebungs/
basis l~(y) in den Mengen =
Sp(A~X1,...,Xm~
Ufl,...,fm;tn
= {x
Sp(A);Ifi(x)ll
tln} =
/(X 1 - t-nfi)), wenn fl,...,fm 6 A alle end-
lichen MengenC A mi% fi(y) = 0 und n a l l e
natOrlichen Zahlen durch-
lauft [ 25] . Die Faser Oy der Strukturgarbe
0 X im Punkte y e X
erhalt man als direkten Limes Oy = lim U , ~ (yf
0x(U). Dabei ist fur
Ufl,...,fm;tn
Ox(U) =
A<<X1,...,Xm~
/(X i - t - n f l ) e ~
hOrige affinoide Algebra, die wit auch mit A U bezeichnen.
, die zugeNach ~25] ,
Lemma 8.6., ist A U flach Gber A. Bezeichnet Ay die nach dem maximalen Ideal y= A lokalisierte affinolde Algebra A, so hat man zwischen Ay, der Faser des affinen Schemas Spec(A) in y, und Oy, der Faser des G-geringten Raumes zu A in y (den wit im folgenden auch mit Sp(A)
19
bezeichnen wollen - die unTePliegende Mange deT maximalen Ideale yon A bezeichnem wir zum UmTel-schied damn sit
ISp(A) -)Ides folgen-
den Zusammenhang: Lemma 1.2.1.
([25], Prop. 9.3.)
0y isT ein lokalem Ring mit dem
maximalen Ideal y, 0y. Der dutch A phismus Ay
0y gegebene lokale HomomoT-
0y induzieTT einen IsomoTphismus
^
Ay
~ 9
A
0y deT
^
KomplettieTungen
deT lokalen Ringe. y0y ist dam maximale Ideal des
A
lokalen Ringes 0 A/y n ~
Y
und man hat kanonische
Ay/(yAy)n ~
0y/(y0y) n ~
IsomoTphismen
^0y/(y~y) n f0T alle n.
Die obigen G-geringten Raume Sp(A) zu affinoiden AlgebTen A g 0~ hei~en affinoide Raume. Sie bilden die lokalen Bausteine der inI25] [11]und [19] definierten global - analy%isehen, R~ume
deT nichtamchimedischen
FunktionenTheorie.
kurz G-analyTischen Wit haben es hieT
nut mit deT Kategomie der affinoiden R~ume und deT KateEoTie deT Keime G-analytischer
Raume zu Tun. LetzteTe ist aquivalent zum
Kate~orie der Keime affinoider Raume Definition 1.2.2.: Die Kate~orie6~
dam analytischen Algebren besteht
ass den endlichem ETweiterungen del~ Ringe k{XI,...~Xm}
= k{X} deT
20
(in einer Umgebung des Nullpunktes) Morphismen
Es gilt
~ : A
)
~ (r(A)) s
konvergenten Potenzreihen.
Ihre
B sind die k-Algebrenhomomorphismen.
r(B). Dabei bezelchnet r(A) = ~ m i das Jacobsoni=1
Radlkal yon A, den Durchschnitt der endlich vielen maximalen Ideale m i yon A. Bemerkung:
Die 0uoTienten k[ X] / ~
sind in0~%enthalten.
yon k [X] nach einem I d e a l ~ c k { X}
FOP diese gilt namlich wieder ein
Noe%hersches Normalisierungslemma: Ist fOP A= k { X} /~
yl,...,y d ein ParametersysTem,
d.h. yl,...,y d
e mA, dem maximalen Ideal yon A~ dim A = d und dim A/(yl,...,y d) = O, so is% der kanonische Homomorphlsmus k {YI,...,Yd}
~
k {yl,...,yd}
und A ist endlich Ober k{ y}([3] Im allgemelnen e n t h a l t O ~ yon k {x}
C A, Yi
"
Yi' elm Isomorphismus
, exp. 18 Theorem I, Com. 3) .
auch lokale Ringe, die nicht Quotienten
sind. Die Restklassenk6rper
dem letzteren sind namllch
samtlich = k, wahrend als RestklassenkOrper
der emsTemen ~ber k end-
liche KOmper auftmeten k6nnen .
Lemma 1.2.3. 6 6~.-
([3] , exp. 19, Cot. 2 yon Pmop. 6): Die lokalen Ringe
wit bezeiehnen die Ka%egorle der lokalen analytischen Algebren
21
mit 1 6 ~
- sind henselsch~ d. , ~ede endliche Erweitevung B eines
Ringes A 6
I0~,
insbesondere jedes B 9 0 ~ ,
endlich vielem lokaler A-Algebmen B i 6 1 6 ~ o d e r
ist dimektes Produkt aquivalent damit:
FUr jede endllche Erweiterung B yon A und ~edes maximale I d e a l ~ ist die Lokalisierung B ~
wieder endlicher A-Modul.
Offenbar ist die Faser im O-Punkt ~o = lira ~---~o)
A u = lira, n ~o
B
0 = (XI,...,Xm)~
k<>
Sp k < < X l , . . . , X m > > ~
= k [XI,..sXm} , dem
Rin E der konvemgenten Potenzmeihen in XI~..~X m. Eine Umgebungsbasis ~(0)
wimd namlich gebildet yon den Umgebungen
Uxl,...,Xm;t n
AllgemeineP besitzz jedem Punkt x &[ Sp(A) I , A e O~ , elne solche abs%eigende abzahlbare Umgebungsbasls: die Ufl~..sf m ;tn, n = I~2,...
Satz 1.2.4.
IsT x = (fl,..sfm) s so bilden
eine solche.
Die Fasemn der affinoiden Raume Sp(A), A s ~ ,
und damit
auch die~enigen der G-analytischen Raume, sind genau die lokalen analytischen Algebmen e 1 ~ .
Beweis:
Sei zunachst x e I Sp(A) I . Naeh Lemma 1.1.4. existiert
B = k<<X>>
c
A, A endlich ~be~ B, so daS das maxlmale Ideal
x 6 I Sp(A) IOber dem maximalen Ideal ISp(B)~, liegt.
(X)C k < < x > >
, dem O-Punkt yon
22
Nach [ 6] und [ 20] definiemt Sp(i): Sp(A)
>
Sp(B) einen endllchen
Morphismus der analytischen Raume. Ist {xl,...,xm} : Sp(i)-1(0), also etwa x : x I, und durchlauft U 6 l~(0) wie oben eine Umgebungsbasis von 0e I Sp(B) I mi% BU als zugeh6rigen affinoiden Algebren, so durchlauft Sp(i)-1(U)
= [Sp(A ~ B
BU) [eine ebenfalls aus speziellen affi-
noiden TeilbePeichen zu den Algebren A ~ BU = A ~ BU (da A Ober B B
B
endlich ist) bestehende Umgebungsbasis der Punktmenge [xl,...,Xn}C]Sp(A) [ 9 Folglich ist 0xi _= l i m ~ i=:l
(A O BU) ~ A
Ue l/[,(o)
B
O (lim B
BU): A ~) k [x]
U~ l ~ ( o )
und der
B
letztere Ring ist, da A endlieh 0hem B ist, endlieh fiber k {x] . Zum Umkehrung beweisen wit folgenden etwas allgemeine~en
Zusa%z:
Is% ~ ~
~,nund sind ml,...,m m die maximalen Ideal yon if, so
gib% es affinoide Algebren
B = k<<X>>
i~
A, A endlich Gber B~ mit
Sp (i) "I (o) - [xl,...,Xm] entspmeehend den ml,...,m m, so dab for eine Umgebungsbasis [U, U 8 l~(o)] mit den zugeh6rigen affinoiden Algeb1~en Bu 0 = lira A O BU 9 Insbesondeme gibt es f ~ U---~Co ) S Algebren, so dab
~ e 1 0~ so le he affinoiden
Sp (i) -I (0) = [xl} nut aus einem Punkt besteht.
Bewels: Da ~ endlieh Ober einem k {X] is%, l~Bt sieh ff als k [X]- Algebra
23
endlich pmasentieren: Man hat eine exakte Folge (~) 0 ---~ (fl (Y)'''''fn (Y))
~
k{X][Y]
m~
) 0 mit Y= (YI,..Ym),
fi (Y) 6 k {X] [Y] , sit der zusatzlichen Eigenschaft, da~ fGr ~edes Yj unte~ den f~''''fn ein fj(Y) = fo (Yj)e k { X} [Y~I mit h~chstem Koeffizieten I vo~kommt. Fa~t man k {X] wie oben als Faser im 0-Punkt von Sp (k<<X>>) auf, so gibt es dort fflr die endlich vielen Koeffizienten g k {X] dec Polynome fi (Y) eine gemeinsame Umgebung V e 1~(0), in weleher diese Potenzreihen s~mtlieh konvergie~en. Da 0 e ISp (k<<X~) 1 eine Umgebungsbasis aus speziellen affinoiden Teilbemeichen isomorph zu Sp(k<<X~) besitzt, kann ohne Einsch~ankung V = Sp(k<<X>>) und damit fl,..,fne k < < X > > [ Y ] a n g e n o m m e n B = k~X>>eine (~
0
>
werden. Wi~ definieren nun mit
B~Algebra A, also B
(fl,..,fn)
~
A, dutch
B [Y]
A
>
O. Zu~olge der oben
genannten zusatzlichen Eigenschaft der fl,..,fn ist A endlich fiber B und somit A 66~. Wenn wiP nun U (zu AlgebPen BU gehS~end) eine Umsebungsbasis
~
(0) in Sp (B) durchlaufen lassen, (e ~) mit BU fiber B
tensorieren und zum diPekten Limes
lim
flbergehen, ePhalten wit
u, ~---to)
0
> (fl (Y)'''' fn (Y))
~
B [Y] @ (lim_ B
UT~Y(o)
BU )
~
lim _ A@B., --~ 0 ~
B
u
'
2~
also 0
9
(fl (Y)'''' fn (Y))
Vemgleich miE (~) erglbE ~
~
lim
k {X}IY] ~
_~ lim
A BOBu
u.~(o~"
miE ~
~
0
= A Q BU . B
Wie im Beweis yon SaEz 1.2.4. isE ahem ~ = lim
IsE Oe ~
so kann somiT Sp(i)-l(o)
A
I I
nut aus einem PunkE besEehen.
Lemma 1.2.5.: Die freien Ringe k {X1,..,Xn} sind gekennzeichneE die folgende universelle Abbildungsei~enschafE: xl,..,Xne B e (/~%,
@ : k{X}
=
dutch
FOr ElemenEe
Xl,..,x n e m(B), dem Jacobson-Radikal
glbt es genau einen Momphismus
Ox.
von B, $~
B miE @ (X i) = x i.
Beweis: HaE B die maximalen Ideale nl,..,n m so gibe es nach obigem ZusaEz eine Darstellung
B = lim_ U
AU , ~ O t
Es gibe daher ein A U = A, so dab die Xl,..,x n 6 B yon ElemenEen Y l ' " " ~Yn g A k o n ~ a e n .
Sind'N,l,1,
oJ
' "~n
~ A diegl~xlmalen
Idealen
" ~ 1 ' " .,~l, ~
yon B enTsprechenden maximalen Ideale yon A, so sind yl,..,ynE~1,..,~4~ m Man emhalt daher in U v
: Sp(A<>/
(Yi - t-v
Yi ))'
V = 1,2, .... wie zu Beginn yon 1.2. elne absEeigende Folge von Um-
ebun en
Pun men enf 1
die
25
i.a. allerdings keine Umgebun~sbasis bilden werden). Da It-Vy i1 ~- I isT
in AU v = A~> /
(Yi - t-w Yi )
existieren
nach dec univecsellen Abbildungseigenschaft von k ~ X > > a u s deutig bestimmte Horphismen k < < t - V x >> mit t-v Xi
- T
-v
~
AU
1.1. ein-
m i t t -v X i
)
AU
v,, die miteinandec vectraglich sind. Damit ech~it
man einen eindeutig bestimmten Mocphismus k [ X } = li~! k< lim >
lim
~v
__~IV
dec zusammen mit dem kanonischen Horphismus
m lim A U = B U ~
den gew0nschten Momphismus k [X}
B
liefert. Xhnliche Betrachtun~en zeigen (vgl. auch [3] , exp. 13, Theocem 1.3.) Satz 1.2.6.: Die Kategocie i0~1 ist aquivalent zu dec zuc Kategorie dec Keime G-analytischec Raume dualen Kategocie. Da in dec Kategorie O ~ e f a s e c t e
Summen existieren, existieren in der
dualen Kategorie dec affinoiden Raume ~efasecte Produkte. Falls k nicht algebraisch abgeschlossen ist, liegen Ober einem Paar von Punkten (x,y) 6 I Sp (A)I X I Sp (B) 1 i.e. endlich viele Punktee ISp(A)xSp(B)I-" ISp(A ~ B) I. Es existieren daher gefaserte Produkte mum wiedec in dec k Kategorie dem endlichen dimekten Summen yon Keimen G-analytischec Raume,
26
deNen 0bjekte n-Tupel yon Keimen G-analytischeN
Raume, n beliebig,
sind. Die MoNphismen yon elnem solchen n-Tupel yon Keimen in ein m-Tupel yon Keimen sind die (n,m)-Neihigen MatNizen bestehend aus MoNphismen yon Keimen. Also existieNen in den dazu dualen KategoNie (Xa~ gefaseNte Summen. Dies ist den GNund, weswegen win anstelle von l~sogleich
die Ka%egoNie betNachten,
i0~% ist nich% stabil 8egen-
ObeN Bildung gefaseNteN Summen.
GefaseNte Summe in O ~ c 9
A ~ B: C
A, C
>
~ 1.2.7.: Zu A,B~C ~ (/n%und MoNphismen
B existieNt ein "analytisches TensoNpNodukt"
Dieses ist im
6~ndie gefaseN%e Summe yon A und B bzgl.
und ~ ObeN C. Ist W n wie eben eine "Um~ebungsbasis", C = i~ n
so da~
CWn , CWne 6~ , des~leichen U n und Vn, so da~
A = lim~ AUn n
' ~n
~ 0t, B = lim~ n
veNtN~gliche MoNphismen CWn
(solche UmEebunEsbasen
> ~n
BVn ' BVn6 ~ u n d
,
CWn
9
gibt es!)~ so eNhalt man
BV
n
miteinandeN
exis%ieNen
A ~ B = lim C m
Aus den EiEenschaf%en des kompletten Tensomproduktes
in~
~ Bv n CW n n
(s.I.1.3.)
erhalt man mi%tels der DarstellunE als direkter Limes die analogen
2?
ebenfalls kennzeichnende, Eigenschaften des analytischen Tensorproduktes:
Es ist assoziativ und kommutativ,
es ist A ~ B-- B, A
as is% A/. ~ B:A ~ B / ~ . ( A ~ B~ k{X} ~ klY}-kIX,Y] C C C k
und,
falls B endlich 0ber C ist, A ~ Bm A | B. Ohne 0ber die duale C C Kategorie der Raumkeime zu ~ehen, erhalt man die Existenz ~efaserter Summen in0~n direkt folgendemmaBen: Man zeigt zunachst die ~xistenz gefaserter Summen Ober (dem Initialobjekt) k, d.h. die Existenz direkter Summen in 6 ~ B = k{Y] , jeweils freie Potenzrelhenrlnge~ auf Grund der universellen Eigenschaft reihenrln~e in ~ ft~r alle C. ~
r
so gilt for k{X,Y}
(1.2.5.) der freien Potenz-
offenbar Mot (k{X}, C ) x M o r
(k{Y}, C)-- Mot (k{X,Y] C)
. k{X,Y} ist also direkte Summe yon A : k{X} und
B : k{Y], d.h. es ist for A , B G ( ~
Sind A = k{X},
k{X] O k[Y]= k{X,Y]. k
Im allgemeinen Fall ist
A endlich Ober einem k{X}= A 1 und B endlich Ober einem
I
k~Y| : B 1 . Wit zeigen die Existenz von A ~ B u n t e r k
der Voraussetzung
der Existenz yon A 1 0 B: Sei also (g ,~ )g Mor(A,C)• Mor(B,C) for ein k C & (~.
Wegen A I C~ A, A endlich Ober AI, ist mit ~ I = ~ /At
28
(~1'
@
) e Mom(A,C)
Eenau ein7 e
N o r ( A 1 ~ B,C), k
A1 ~
A1
~:
xMor(B,C).
Nach V o r a u s s e t z u n ~
so da~ mi% den k a n o n i s c h e n M o r p h i s m e n
B und j: B
A I~
k
B
a I : ~, ~
und ~ : 3{ 9 j
k
ist. Da mit D = A 1 ~ B 6 6X,% A O D die F a s e r s u m m e k A1 flbem A I (bzgl. der k a n o n i s c h e n in der K a t e g o r i e
~ibt es dann
Injektion A I C~A
dem k - A l g e b r e n
k-Algebrahomomorphismus
w
yon A und D
und ~ : A I
>
D)
ist, gibt es somi% ~ e n a u e i n e n
: A O
C~ so da~ mit dem k a n o n i s c h e n
D
A1
k-Algeb~ahomomorphismen
= w 9 ~ und~ s,j:
B
~
=6 9 s is%. Mit P
Ober
folglich
D~
da
A endlieh
da~ A | D ~ AI
~
fiber
s:
D
)
A @ D A1
A ~ D und AI
= w
~
~
.
A 1 ist,
und
is% auch A O D = Fe ~ . AI
slch mit V e m % a u s c h u n g
A1 ~
: A
A O D is% dann in der Tat ~ AI
Bleibt num noch zu zeigen,
endlieh
A | D und A1
r: A
= w
(s,j).
A | D ist a b e t AI es
is%
De
~
Die E x i s % e n z yon A I ~
B emgibt k
yon A und B ~enau so~ da die E x i s t e n z
yon
B 1 oben schon n a c h g e w i e s e n wurde.
- FQr M o m p h i s m e n ~
: C
>
A,
~ : C
>
B i n G , % erh~It m a n s c h l i e ~ l i c h
29
die Existenz der gefasem%en Summe yon A ~ k
B
und j: B
A ~ B in 0~ aus der Existenz C
und mit den kanonischen Morphismen i: A
9
Morphismen
A ~ B k C
A~ k
B . ES i s t
wo das Ideal $ = (i, 6 (c) - j, ~
A ~ c
(c))
B " A ~ k
~ ceC
,rb S = ~J m i, m i C A maximal, so kann man (A,S) i=1
affinoiden Raume zu A, Xl,..,x n
0x. 6 0 ~ . l
Sind Sp(A) die
die den maximalen Idealen ml,..,m n
Punkte won ]Sp(A) I, 0xl,
garbe yon Sp(A) in Xl,..,Xn, i=1
B/$ ,
A ~ B ist. k
eindeutig eine analytische Algebra & 0~%zuordnen:
entsprechenden
B
aus der Existenz des Kokerns zu dem Paar yon
~ j.P
Ist (A,S)s s l 0 t ,
~ A ~ k
..,
0Xn
die Fasern der Struktur-
so geh6r% zu (A,S)E
Die Zuordnung (A,S)
~
sl~
der Ring
~ definiert einen i=I 0xi
Funktor yon sl~in0O~b.
1.3. Komplette Al~ebren. Die Verbindung zwischen den zu (A,m) g 1 ~ A4wund
geh6rigen lokalen Ringen
den zugehSrigen lokalen Ringen &16~% wird hergestellt ~ber
ihre Komplettierungen
nach den jeweiligen Radikal%oplogien,
dutch die Potenzen des Jacobson-Radikals.
definierT
30
Die letztemen stimmen Obemein (Lemma 1.2.1.). Dasselbe gilZ folglich auch for die zu den (A,S) E s ~ 0 ~
geh6rigen semilokalen Ringe S -I, A
und die zugeh6rigen semilokalen Ringe g ~ :
0xi ~ l ~ . d i e
Ist S = C ( 0 ) m i i=I
und
zu dem dutch (A,m i) bestimmten Raumkeim geh~rige ana-
lytische Algebra (Satz 1.2.4.), so wemden dutch die kanonischen Iokalen Homomorphismen A~ i
~
0xi
/k m 0x'l
Isomorphismen~i
(Lemma 1.2.~.) induziert. Zusammen mit den Homomorphismen S-~ A
9A~. i
erhalt man einen kanonischen Homomorphismus S -1 9 A---m
~ ~ i=I 0xi
dem semilokalen Ringe, der das Radikal yon S -l, A in das Radikal von
i=l
Ox. x
abbildeT. Der dadurch induzierte Homomorphismus dem Kom-
plettierungen naeh den Radikaltopologien
S-
A
~
~ i=l
0
xi
A
ist wegen S"I
A
~ 9
~
/k ein Isomorphismus. A~.
Die KompletTierungen dem semilokalen Ringe ~ & ~
sind, da @ endlich
Ober einem konvergenten Potenzreihenring k IX} ist, endlich Ober einem formalen Potenz~eihenring k IX~
Definition 1.3.1:
Die Katesorie ~
der kompletten Al~ebmen besteht aus
den endliehen E~weiterun~en der Ringe k I XI,..,Xn~
= k IX~
de~ formalen
31
Potenzreihen mit k-AlgebrahomomoPphismen
A
Wie im Falle O ~
enthalt die Komplettiemungen
gilt~ (v(A)) ~
(B). ~
;
B.als MoPphismen.
der semilokalen Rinse s -I, A zu den (A,S) 9 s ~ 0 ~ und der semilokalen Rinse & 0~%] genauer: 6~,
^ >~
.
Man hat jeweils Funktoren s ~ 6 ~
A ;[und
Eine andere Kennzeichnung der AlgebPen ~ ~
ist die fol-
gende: Es sind die kompletten semilokalen k-Algebren, dePen LokalisiePungen nach den maximalen Idealen
~bem k endliche Restklassenk6rper
besitzen. Die lokalen Ringe ~
- wit bezeichnen die Kategorie der lokalen
kompletten Algebren mit
1 ~
Insbesondere sind die B 9 ~ Bi 6
if
- sind wieder henselsch
(s. Lemma 1.2.3.).
direkte Produkte endllch vieler lokaler
.
FOr lokale Homomorphismen A ~ ~ de Endlichkeitskriterium:
B
in i ~
B is% vermSge ~
und 1 ~ hat man das folgenendlich Gber A genau dann,
wenn B quasiendlich Gber A ist, d.h., wenn mit K = A/m als Restklassenk~rper yon A =
B ~ K A
endlichdimensional Ober K ist.
Lemma 1.3.2.: Die freien Ringe k
~X1,..,Xn~
sind sekennzeichnet dutch die universelle
Eigenschaft: FUr Elemente Xl,..,x n 9 B ~ ~
,
32
xl,..,x n e r (B), gibt es genau einen Morphismus in ~
@
: k ~X~
~
B
mit @ (X i) = xi.
Gefaserte Summe i n ~ C ~ >
B ist
; 1.3.3.:
A ~ B = c
lim ~
yon A und B bzgl. ~ A,B,C sind.
Zu A,B,C 6 ~
A/m i ~ c~
B/n i6 ~
und ~ ~ wobei m,n,~
und Morphismen C ~ >
A,
die gefaserte Summe in die Jacobson-Radikale
yon
(S. [ 3] , exp. IO - 08 f.f.)
Die Bildung gefaserter Summen ist mit Komplettierun~ FOr A,B,C e ~ u n d
Morphismen C ' , A, C ~
vertraElich~
B ist ~
--
1.3.4.:
%
c
Beweis: Mit
D = A ~ B C
D/m. D + n.D ---A/m ~
und den obigen Bezeichnungen is% B/n --'A/m ~) B/n
c/,~
c
Tensorproduktes,
(Rechtsexaktheit
unive~selle Eigenschaft und A/m, C/~
also endlichdimensiona!
~bem k).
des analytischen
, B/n artinsch,
D/m-D + n.D ist somit ebenfalls
artinsch, also definie~t auch m,D+n.D die Radikaltopologie k ~ 2 1 ist (m.D+n-D)k&
yon D. FUr
m l.D+n I.D und stets ist (m.D+n.D)k~
mk.D+n k D.
Es ist daher die Komplettiemung
D=
lim i
" D/m I". D+nl,D--~lim
A / m I" ~
" B/n I=
^i lira ^A/m^ ~ ~/~i"
:
~ ~ ~.
33
Ebenso zeigt man: FOr (A,R), (B,S), (C,T)6 s l G u n d Morphismen (C,T) ~ ~ zu (A,R)
(A,R), (C,T)
~ ~
(B,S)
ist die Komplettierun E des
~ (B,S) geh6rigen semilokalen Ringes (C,T)
(R,~(A
ilCB> ~" R-/~A.I,~/~, C ~ B. A
Das "komplette Tensorprodukt"
A | B in ~ hat analoge EiEenschaften C
wie das komplette Tensorprodukt A ~ B C produkt A ~ B i n ~ , C
"
k
und das analytischen Tensor-
welche es wiederum kennzeichnen: Es ist assoziativ
und kommutativ, es ist
k
in~
k Ii 1" k Ix,YI
A {) B : B, es ist A/~ | A C
-= A ~ C
B/~ 9
B C
und, falls B endlich ~ber C ist, ist
A| C
C A
Man kann die Existenz der Pasersumme A ~ B i n ~ C
auch genauso nach-
weisen, wie in 1.2. die Existenz der Fasersumme in 0 ~
direkt bewiesen
wurde (Def. 1.3.1. und Lemma 1.3.2.!).
1.4.
Grundk6rpererweiterung
Ist K ein vollstandig bewerteter Oberk6rper unseres bewerteten Grundk6rpers k (so dab also die Bewertung yon K die Bewertung yon k induziert), so kann man den "Funktor Grundk6rpererweiterung"
definieren.
Einer affinoiden bzw. analytischen bzw. kompletten Algebra A ~ber k wimd zugeordnet eine affinoide bzw. analytische bzw. komplet%e Algeb~a Obem K:
Ist A s ~ , ~ z ~ b z w .
letztere mit K ~
A ,
~
so bezeichnet man die
A
k FUr A ~ ~
K ~ A bzw. K 9 k k
A.
(k) (so bezeichnen wit die affinoiden Algebren Ober k)
wurde K ~ A k
in
[19]
folgendermaSen definiert:
Ist A e Or (k) und definiert die
Algebra A O die Topologie yon A,
ist ferner V der Bewertungsring yon K, so betrachtet man auf dem Tensorprodukt
K 9 A k
die dutch das Bild bei
V @ Ao V
>
K O A k
definierte Topologie und komplettiert nach diesem. So erh~it man eine afflnoide Algebra K ~ A k
K ~ A 6 (~(K) 8bet K. Die so definierte Algebra k
mit dem kanonischen (injektiven) Homomorphismus A
i
K ~ A k
wird dutch die folgende univePselle Abbildun~seigenschaft gekennzeichne%, die wit hier zur Definition yon K ~ A k Definition 1.4.2.: O~(K), und ~
: A
nehmen wollen.
Ist C irgendeine affinoide Algebra Ober K, also >
C ein stetiger
k-Algebrahomomorphismus, so
gibt es genau einen K-Algebrahomomorphismus # : K ~ A k
~
C
mit
35
= C
~ 9 ~. Anders gesagt reprasentier% m s-Hom k (A,C) in
K ~ A den Funktom k
Ut (K), d.h. s-HOmk(A,C) ~ MOrK(K ~ A,C) k
f~r alle C & 0t(K). Dabei bezeichnet s-Hom die stetigen k-AlgebraMop die K-Algebrahomomorphismen oder Morphismen K
homomorphismen, in
O~(K).
Man hat die folgenden Eigenschaften welche die GrundkSrpererweiterung
K ~k
K ~ ... k
"- K,
auch kennzeichnen (S.
K~
k
(A/~,) = K ~ A / ~ .
~
K~
k
[19] A,
k
).
K~
k<<x>
= K<<x>>
k
und, falls A ObeP B e 0~(k) endlich ist,
K~
A = K ~ (B ~ A) = (K ~ B) O A.
k
k
B
k
B
Bememkung: Falls K Qber k endlich ist, ist K e (~(k) und K ~ A k Spezialfall des kompletten Tensomproduktes in O~ (k).
FUr A g ~ ( k )
bzw. ~
Definition 1.~.2.:
(k) definiert man
K ~ A ~ 6~M(K) bzw. K ~ A & ~ (K) k k
mit
A
A
i~ K ~ A k
Ist C 6
ist chaPakterisiePt du?ch die univemselle Eigenschaft:
O ~ ( K ) bzw. ~
mus mit ~ C ~ CA))~
(K) und ~ : A
m
C ein k-AlgebPahomomoPphis-
4~(C), so gibt es genau einen MoPphismus in
36
0~%(K)
K~
A
bzw. ~
(K)
# : K 9 A k
repmasentiert i n ~ W ( K )
~
C
bzw. ~
mit 9 = ~,~ . K ~ A k (K) den Funktor C
bzw.
~ s Hom k (A,C),
k wo hiem s-Hom k (~(A)) ~ ~
die Menge de~ k-Algebrahomomorphismen 9 (C)
bezelchne%.
Die Exlstenz yon K ~ A k 1.2.
bzw.
A K | A k
die Exis%enz der Faserraume
bewels% man ganz analog wle in
A ~ B k
in O ~ d i r e k t
Derselbe Exis%enzbeweis funktioniert auch im F a l l e ~ A ~ 06(k) bzw. 0 6 ~ ( k ) (K)
und ~ 6
mi%
bzw. ~
(k)
,
C ~ ~
bewiesen wurde. . Sei also
(K) bzw. ~ @ % ( K )
s-Hom (A,C). Es ist A endlich ~bem einem fmeien
A I : k < < X I , . . . , X n >> bzw. A I : k{ X1,...,X~}bzw. A 1 : k : AI~-~ A.
bzw.
Da 9 e s-Hom (A,C) ~ibt es zu ~ (X i) = x i
IXI,...,XnR zufolge deP
unlvemsellen Abbildungseigenschaft dem fPeien Ringe genau elnen K-Algebrahomomomphismus Y : B : K {XI,...,Xn}
y
: B : K<<XI,...,Xn~
>C
bzw.
~
und ~
: B
~
X ~} 0
bzw.
y : B : KIXl,..,Xn0
m i t ~ (X i) = x i = ~ (Xi), also genau eine"For%setzung"~ yon AI = k 0{ <<
C
auf B = K 0 [ < < X > > } O
C gibt es somi%, da A O B AI
~
C
yon ~ /A I
Zu , : A
>
C
in dem Kategorie dem k-
Algebren die gefaser%e Summe yon A und B Qbem A I ist, genau elnen
:
37
k-Algebmahomomorphismus
~: A
> A @ B und AI
@ : A O B AI s: B
m A 9 B AI
Wegen dam leTzteren Beziehung ist # da A O
C, so dab mit
=~-~
undo=
~ 9 s.
ein K-Aizebrahomomorphismus
B endlieh Gber B = K l{<<X>>}l
iSt,
ist
AI
A | B6 ~ A1
und,
(K)
A
bzw.~
(K) bzw. ~ (K). Somit ist A @ B = K ~ A AI k
w.z.z.w.
Im Falle0Wt kann man die Grundk~rperemweiterun Z auch folgendermaBen erhalten: 1.4.3.: Ist Ae ~ B'
(k) eine analytisehe Algebra fiber k und
~ A', A', B'e C% (k), A' endlich Gber B', B' = K < < X > > n a e h
dam
Zusatz zu Satz 1.2.4. so gewahlt, daS, wenn Ue %~ (0) eine Umgebungsbasis von 0Z I Sp(B)~ mit zugeh6mizen affinoiden Algebren BU dumehlauft, A'-U~(oylim
A'@B,BU ist, also Am ~ l i m _
erhalt man
K@
A-- lira k d~.
~
A U sit A U = A'BO,BU ,
so
( K O AU). k
ES isT K ~k ~-" K ~ (A'~B,BU)'- A'~B,(K ~k BU)"
A'B~'(K ~k BU)6 (~(K) und
K ~ A = lira k ~
(K ~ BU)'- A ' • K {X} , k B'
_ A'| (K O BU) -- A ' O lira B' k B' ~
38
also e (~%(K). Man zeigt namlich,
da~ der so erhaltene limm ( K ~ )
die universelle Ei~enschaft 1.4.2. besitzt. K ~ A hat wieder die Eigenschaften: k K ~ k = K, K @ (A/CX)-- K ~ A / C ~ ' ( K ~ A), K ~ k{x}m K|X[" " k k k k k falls A Gber B$~r~(k)
endlich ist, K ~ A= K ~ (B @ A) = (K @ B) k k B k
Im Falle ~ kann man die GrundkSrperemweiTerung 1.4.~.:
Ist A e ~
und,
@ A. B
auch so erhalten:
(k) eine komplette Algebra Gber k, so isT K O A k
semilokal und, wenn~4~das Jakobson-Radikal yon A ist, seine Komplettierung
K ~ A~< lim k i
K @ A/~;. k
Es ergeben sich wieder die analogen EigenschafTen wie im Falle ~ u n d
Schlie~lich ist die Grundk6rpererweiterung
vertraglich mit der Bildung
yon gefaserten Summen und mit KompleTTierung. FUr A ~ O ~ ( k ) z.B.
K@ A= k
Satz 1.4.4.:
hat man
K ~ ~. k FUr A ~ ( k ) ,
(~(k),
L (k) sei
A6~(K),~r~(K),~
die Grundk6rpererweiterung mit K. ~ ist treuflach Gber A.
(K)
39
Beweis: k UXa
Da A stets endlich Ober einem der Ringe k < < X > > ,
k[X},
ist, hat man folgendes Diagramm.
K<>
B
treufl,
treufl. A
ES genOgt also zu zeigen, dab K < < [~Xl]>> tmeuflach Ober K ~[IX~)>> int. Dies wumde im Fall affinoidem Algebmen in [19] bewiesen.
FOr
den Fall analytisehem Algebren ergibt sich hieraus die Behauptung dumch Obemgang zum dimekten Limes und for den Fall komplettem Algebren dutch KompleT%ierung.
Wit geben hiem noch einen anderen Beweis,
der f~r alle drei Falle gleichzeitig die Flachheit liefert, nam~ich dumch Induktion naeh n, der Dimension von A. Nach obiger Bememkung gen~gt es, zu zeigen, dab
B = K <<[[ XI,...,Xn]]>>
flach ~ber
B = k<< [[ Xl,.--,Xn]]>> int. Diese Aussage ist aber damit ~leichbedeutend, dab fO~ ella Primideale ~ C ~ mit ~ = ~ ~ B flaeh Obem B~
der Ring B~
int. FGr ~ = (0) ist dies trivialerweise
richtig.
40
FQr ~ ~
(0) ist dies gleichbedeutend mit der Bedingung B--~/~; B~
ist flach fiber B~ /~6 B~
fflr alle i ~ I. Nun ist abet
9
o
die Behauptun~ a l s o miehtig, f a l l s ~ / ~ .
B = B/~ ~ = K ~ (B/~; ) k
f l a c h Ober B/~ 6 i s t . Dies i s t abet naeh Induktionsvoraussetzung de~ r a n ,
da B = k < < { [ • 2 1 5
dim ( B / ~ i ) < n
i s t , weil ~ ~
i n ~ e ~ e ~ und r o l g l i o h
(0). Der Induktionsanfang n = 0
ist trivial: K is~ Uber k flach.
~q
~2.
Differentialmoduln.
2.1.
Definition und universelle EiBenechaften.
In Anlehnung an [3], d.h.
fur
exp. 14 d e f i n i e r e n
einen Morphismus A
gefaeerten
Summen ( T e n e o r p r o d u k t )
" Differentialmodul" fiir das Jeweilige
Definition
2.1.1.
D(~)
Zufolge
m )B,
A
.-i I - i ~ ,
(~,
eimultan
fur alle
der universellen
A
eine Ringerweiterung,
mittels
der Jeweiligen
drei
F~lle.
WAr s c h r e i b e n
hier
~.
? ~ B gibt
Eigenschaft
ee e i n e n
so dab mit den kanonischen
m.i 2 - i %
(~W, ~ ,
fur
einen
,I T e n e o r p r o d u k t "
B O B y o n B und B b z g l . A B ~ B
~ ~ B in
w i t im f o l g e n d e n
der Fasers-mme
eindeutig
Injektionen
B
beetimmten Morphismus
iz
~B ~ B
A
ist. Mit I ale Kern yon m (Ideal ~ B S B ) ,
definiert man,
A
A
Def erzeu4ct (da B O B noethersoh A ~iber a .
Ferner
definiert
>D(AB)
duroh b
B
d
let
d tate~ohlich
d(bl"b2)
ist).
man k a n o n i s c h e
ihn den Differentialmodul
Derivation
y o n B f i b e r A, d . h .
q und d . ~ = O.
yon B
y o n B f i b e r a i n D CAB~)s
db - i 2 b -- i ~ b mod 12. Wie man l e i o h t
eine Derivation
= b~" db 2 + b 2 ~
Man n e n n t
ee l e t
naohrechnet
d ( b 4 + b 2 ) - db t
+ db 2 a
~2
Lemma 2.1.2.
Morphismen,
B ~B A
m
B ist Quotient bzgl.
des Paares B L ~
d.h. ist X irgendein 0bjekt aus (~, ~ ,
Morphismus mit
~ iw = ~i2,
, ~
B ~ B yon
und B ~ B ~ ~ X ein
so gibt es genau eine Faktorislerung B
~ ~ X mit ~ - ~.m.
X
Beweis:
Ee sei
mi 4 - id B und
eigenschaft
Lem=a 2 . 1 . ~ .
~j.~i
4 = ~i2,
B
~>X.
F m i 2 = ~ i 2. Es folgt
~m
Dann ist ~ m i I - ~ i 4 m i 4 - ~ i 4
- ~
wegen
nach der universellen Abbildungs
der gefaserten Summe.
Es i s t
D ("~n- ) " - I /-I -2
B.dB, d.h.
D "n'~-) ,ird a l s B--Modul
Yon
d e n E l e m e n t e n d e r Form d b , b E B, e r z e u g t .
Beeeis:
Sei K = < { i 2 b -- i 4 b l b e B>B ~ B
erzeugte B O B - U n t e r m o d u l A
also
K g K e r n (m).
mus B ~ B
also
~X.
~i 4 - ~i2,
K = Kern (~)
yon B ~ B. 0ffenbar let m(i2b - i~b) - b -- b - o, A
Sei andererseits
Dann ist
der yon den Elementen i2b -- i4b , b ~ B
X - B ~ B/K und A
~ i 2 ( b ) -- ~ i~(b) -
~(i2b
und somit naeh Lemma 2.1.2.
D K e r n (m).
Es fo16~, K = K e r n ( ~ )
db = i2b - i4b mod 12 ist I/I 2 - B'dB.
~ der kanonisohe
~ - ~m
= I,
Epimorphis-
- ilb ) - 0 fQr alle b ~ B,
f~r ein
und wegen
F:
B
~X,
d.h.
43
aus ~
mit B
Der Differentialmodul D ~ )
Satz 2.1. 4.
bzw. ~
bzw. ~
~.
bzw. ~
dab
D
-
h.
)B
~n
bzw.
kompletten topologiechen
4~-adisch separierten (44~- Rad B) B - Modul N,
so gibt ee genau eine im Falls ~
so
let fur A -
stetige, im Falle
beliebige Derivation yon B ~ber A in einen im Falle ~ B - Modul N, im Falle
}D (~)
duroh folgende universelle Abbildungseigensohaft gekenn-
D . N irgendeine im Falle ~
zeichnet: Ist B
d
etetige B - lineare Abbildung D ~
h ~ N,
dist.
Ist B endlioh Uber A, so beeitzt D C B ~
die univereelle Abbildunge eigenechaft
bzgl. beliebiger Derivationen D yon B Gber A in beliebige B -Moduln.
D(B~
iet dann
der univereelle Differentialmodul yon B Gber A. Wir bezeiohnen den univereellen Differentialmodul im folgenden mit U D Q ~ ] Beweis:
Wit betraohten zun~ohet im Falle ~ d a e
folgende Di&gramm
\/" ig
x , Dy
definieren also n(x,y) - x. Dy. Dabei ist n e i n e B x B
etetige A - b i l i n e a r e Abbildung
~N, da D eine etetige Derivation yon B ~ber A in N und n(x,y) - x.Dy let.
Das komplette Teneorprodukt B ~
B beeitzt aber die univereelle Abbildungeeigeneohaft A
44
bzgl. ststiger A - bilinearer Abbildungen in komplette topologische B - Moduln. Also gibt es eine stetigs A - lineare Abbildung
~ mat
~" ~ - n. EinschrKnkung
auf das Ideal I C B @ B liefert eine stetige A -lineare Abbildung I ~ - ~ - ~ N A ( I i s t Unterraum yon B ~A B) mit ~ (I 2) = O, denn
~(i4(xy).
i 2 4 -i4y.i2z
- i~x.i2y
+ i1~.i2(zy))
~((i4x - i2x)(i4Y - i2y)) -
- xy.D~
-
y.~
-z~
+ 4 . V ( x y ) - o.
Somit induziert ~
sine stetige A -lineare Abbildung des Quotienten I/I 2
mit h(db) = {(i2b
- i4b ) = ~(i4~,i2b
h a t man b . ( c
--i4b.i24
mod 12) - i 4 b . o mod 1 2 ,
h > b,h(o)
) .
-~,Db - b . D 1 -
h > N
Db. 0 f f e n b a r
g N f u r c mod 12 E D ( ~ )
- I / I 2,
o ~ I und b ~ B; h ist also B-llnear.
Im F a l l e
~ sei N zun~ohst ~-adisoh
zun~ohst sine A -lineare der dutch {i
gibt
Abbildung B | B A
9 B + B Q ~i)i
Topologie versieht,
stetig,
es e i n e e i n d e u t i g
komplett.
~ 4
da D ~
)N.
definierten C ~i-4
bestimmte A-lineare
Man e r h ~ l t Diese ist,
m i t d e m s e l b e n Diagramm wenn man B | B m i t A
T o p o l o g i e und N a i r
N. Da N A v ~ - a d i s c h k o m p l e t t i s t ,
A
Abbildung B ~ B - B 0 B A
mit
~ @~
- n (aus Stetigkeitsgrttuden).
SchlUsse gelten Der F a l l
~u
wSrtlioh
d e r ~W~-adischen
Dis nun oben Am F a l l s
>N
A
~
folgenden
auoh hier.
wird duroh Einbettung
in
~ mittels
Komplettierung
a u f den F a l l
~5
z u r U c k g e f f i h r t , Sind f ~ r A
mB aus ~
~
> B d i e K o m p l e t t i e r u n g e n der
s e m i l o k a l e n Rings (nach den R a d i k a l t o p o l o g i e n ) ,
B,
-B,B
B-
s
A r ~. Die ~ - a d i s c h
so h a t man I n j e k t i o n e n
- B @ B und, da N ~4'-adisch separiert sein sollte, A
stets stetige Derivation B
D r N yon B ~ber A, l~Bt A
sich vermittels Stetigkeit zu einer Derivation ~
~ r ~ yon B Ober ~ fortsetzen,
folglich die wie oben definierte Abbildung B M B
n
Abbildung 9 x ~
~ 9
Abbild~g B ~ ~
I
~
Nach dem f~r mit
B~B
I'
~, N
zu der entsprechenden
~ b e w i e s e n e n g i b t es dann e i n e ~ - l i n e a r e
= ~. Aus dem kommutativen Diagramm a
DO
--B
A
f >~
~0 J%
A
erh~it man f~r die Kerne I u n d I: I - It% B | B C I. ~inschr~nkung yon ~
auf I
A
liefert eine A - lineare Abbildung I
Z
9 ~ mit ~ ( I 2) = O.
wie man leioht sieht, sog~r B - l i n e a r e Abbildung D ~ B ~
h'( db ) - Db = Db
auoh h ' ( D(-~)
let N im Falle
- 1/12 h _ _ ~
ffir alle b ~ B. Dann let aber ffir ~.bidb i ~ D
~, b i dbi' ) =
= 1/12
~ induzier~iso eine
~. biDb i ~ N C ~ , alSO h' - h e i n e
mat
- 1/12
Abbildung
h
)N mit D = h o d .
~
~ - a d i s c h separiert, aber nicht komplett, so bette man wieder
N in ~ sin und konstruiere n~ch 0bigem eine B - l i n e a r e Abbildung I/I 2
h' > ~
46
mit D - h'od. Wie oben sieht man dann, da~ h'(I/I 2) r N, h' = h also die gesuohte B-lineare Abbildung D ( ~
- I/I 2
h
;N mit D = no dist.
Die letzte Behauptung hinsichtlich einer endllohen Erweiterung A
yB
folg~ aus
A
B~B~B~B. A
BemerkunBens
Da der oben definierte Differentialmodul D C ~ ~ s~et8 ein endlioh
erseugter B- Modul ist, der im Falle ~ B--Modultopologie versehen, im Falle
:it einer kanonischen kompletten 0~, und
~
~-adisch separiert istt l~Bt
er slob duroh die universelle Abbildungselgenschaft hinsichtlioh (im Falle stetiger) Derivationen in endlioh erzeugte B - Moduln kennzeichnen slnd im Falle ~ m l t (vgl.
1 . 1 . ) l im F a l l e
~,'-adisoh
der kanonischen kompletten G~
und ~
Die letzteren
B -Modultopologie versehen
,~-adisoh separiert
und im F a l l e
~
sogar
komplett. Abbildungs eigens chart
bzgl. beliebiger Derivationen in endliche A-Moduln kennzeiohnen.
(Wit sagen
daf~r, D CAB--~ ist der universell endliche Differentialmodul). Beweis,
Da f~r D ~
sowie f~r den universell endlichen
Differentialmodul die
in 2.2. zusammengestellten Rechenregeln 2.2.3. und 2.2.4. gelten (die sofort aus den J e w e i l i g e n u n i v e r s e l l e n E i g e n s c h a f t e n I o l g e n ) und da Jedes B 9 ~
yon
~7
d e r Form B - k<< x ~ , . . . , X n > > / o ~ mat dem u n i v e r s e l l
let,
genUgt ee d i e b~bereinstimmung yon D ~ B ~
e n d l i o h e n D i f f e r e n t i a l m o d u l f u r B - k<< X r
A - k zu beweisen. Wir z e i g e n , dab D ( B ~
die univereelle
und
Abbildungseigenschaft
bzgl. beliebiger Derivationen in endliohe B- Moduln besitzt. Sei N ein soloher ~-Modul
und D eine Derivation yon B ~ber k in N. Wit definieren eine B--lineare
A b b i l d u n g hs D c B ) - - - - ~ duroh h(dXi) - DXi .
N dee naoh 2 . 2 . 5 .
Dann l e t D' - D -
freien A-Moduls D(B)
h d
eine Derivation D~s a r t i n e c h e n RAng B ~ ~
B~ /
-
0, d . h .
a u f ganz B / ~ ~
Dann v e r e o h w i n d e t D' .~ ~ ~ wird duroh D'
Da d i e Xi m o d e / d e n
a l e k - - A l g e b r a e r z e u g e n und D ~ I
f ~ r a l l e maximalen I d e a l e ~ D'(B)
2 und Jedee
>N/~ I'~ 9 N induziert.
verschwindet, verechwindet D~,~
BdXn
e i n e D e r i v a t i o n yon B Uber k, d i e
a u f den t o p o l o g i e o h e n Erzeugenden Xi yon B v e r e c h w i n d e t . a b e t a u f ganz Bs I~lr ~edee maximale Z d e a l ~ (
- BdX~|
a u f den X i m o d ~ /
. Daher l e t D'(B) ~ ~ l N
~ B. Da N e i n e n d l i o h e r B--Modul i s t ,
f o l g t daraus
D . hod.
WAr haben damit bewieeenz
Satz 2.1.5.
Die in 2.1.1. definierten Differentialmoduln D ( ~ )
fur A,B s ~ ,
sind die univereell endlichen Differentialaoduln, d.h. sie repr~sentieren den
Funktor~er
(B,X) - {D, B
)X:
D D e r i v a t i o n yon B Uber k}, wenn X d i e K a t e g o r i e
~a,~
~8
der endlichen
B - Moduln d u r c h l ~ u f t .
Als Nebenergehnis
erh~lt
man: J e d e D e r i v a t i o n
y o n B g 0~ f i b e r k i n e i n e n
lichen
B - Modul i s t
2.2.
Einfache EAsenschaften dee Differentialmoduls.
stetig.
Aus der in 2.1.4. bewiesenen Abbildungseigenschaft
D(-~)
ferentialmoduls
end-
erh~lt
man f u r
die d r e i
des in 2.1. definierten Dif-
F~lle
~/, O/s,~
gleiohzeitig
die folgenden einfaohen Eigenechaften:
B 2.2.1.
Funktoreigenschaft:
Zu einem kommutativen Diagramm
1 l
in ~,
6~
, ~
gehSrt
ein komautatives
B
2.2.2.
a ) Zu A
)B,
2.2.2.
b~ Z9 A
) R
\
B
A
)Y~
) T
in
f
~
)B 4
T
)l
I
Diagramm
)
B4
~,
~n
h a t man e i n e n
oder s
b a t man e i n e n
Isomorphismue
Isonorphielus
49
2.2.~.
a)
wenn B 2.2.~.
FUr ein Ideal
d > D(r b)
~ ( B und A
)B ist
DfB-~A~)~--- D c @ } f
Bd~/
die kanonische Derivation yon B Uber A bezeiohnet.
Unter derselben Vorauesetzung wie in a) ist die Folge
)
>
DIB-~A ~)
> 0
eine exakte Folge yon
B/~ - Moduln. Zum B e w e i s y o n a ) b e m e r k t man, dab im F a l l e
abgeechlossen
ist
und D ( + )
/ Bd~
~
d e r U n t e r m o d u l B-d ~ ( D ( ~ )
mit der Quotiententopologie
b) f o l g t aus a), da dl:l~2 ([ ~-D(-~-~ I, ~ ' D ( ~ ) und B ' d ~
( ~'D(.TJ
+ d~
( B.d~
(wegen bda = d ( b a ) - - a d b ) ,
zu v e r s e h e n
ist.
(wegen adb - d(ab) - bda) a l s o B.d ~ -
~.D ~
+ do~
let.
/ 2.2. 9 .
FUr A - k
d(f(x))
= 5] ~ - - ~ d X i
Beweis:
> B = k<<[[{X}]]>>
D(~
= ~
k<<[[{X}]]>>dX i
topologischen B--Modul M im Falle ~
D
) M yon B ~ber A in einen kompletten
bzw. fGr Jede Derivation B
-adisch separierten B--Modul M im Falle ~/n
stets stetig bzgl. der
mit
ale kanonischer Derivation.
FGr jede stetige Derivation B
Gber A in einen ~
ist
C-riB.
~-adischen
Topologie yon B und M; ~
D
>M yon B
und ~
(Dist
bezeichnet dabei
50
dam J a k o b e o n - R a d i k a l Derivation
2.2.6.
D(f(X)) - ~
~DX
X~
i
und d i e oben a n g e g e b e n e
d yon B Uber A in den freien B - Modul mit Basis der {dXi}
stetig im Falle
Ableit~
yon B) i s t
~
~.
Z~
Ferner ist fGr f(X) ~ k<<{Xi}>>
ebenfalls )B
l~dr A
Differentialmodul
die formal gebildete
paltielle
E k<<{Xi}>>.
~ >C in
D(~)
ist auoh
O~ , ~ w
oder ~ ,
C endlich ~ber B, ist der
mit der kanonischen Derivation dC die universelle
dehnung des D i f f e r e n t i a l m o d u l s
D(+)
mit der kanonisohen Derivation ~.
Aus Dazu
geben wit zun~chst die Definition
2.2.7.[1 ]
einen A--Modul
zweite Derivation
V e r s t e h t man a l l g e m e i n u n t e r e i n e r D e r i v a t i o n d e i n e s Ringee
M mit einer Derivation
d'
: A
~ M'
A - lineare Abbildung h: A.dA
FUr A
- A.d'A
B
'l
D
D~4
eine Spezialisierun~
yon d t wenn eine
D yon B eine Ausdehnung
- D,~ Spezialisierung
der Derivation
d yon A,
yon d i s t :
> BDB
A ~ A d . A
D heiBt universelle
~ M~ so daS M = A, dA, so heist eine
>A. dIA mit d' - h.d existiert.
~ >B heist eine Derivation
wenn die Einsohr~nkung
ds A
l
Ausdehnung yon d, wenn D Ausdehnung yon d i e t
und Jede a n d e r e
51 Auedehnung
D' yon d elne Spezialieierung
yon D Acts
BDB D
\
"4 B
D' d
A
Offenbar
let
D bis
Wir stellen
Ausdehnung
Zun~ohst
bier
-..) AdA
auf
Isomorphi@~
eindeutig
dis
im folgenden
benStigten
zusammen.
FUr genauere
Einzelheiten
hat
l~ir A
)BD'B
die
)B
univereelle
und eine
~C
Ist
D univereelle
auf
C,
so let
A
auoh
A
kanontsohe
die
univereelle
eine
auf
2.2.1.
[1]
analogs
universellen
verwieeen.
Funktoreigeneohaft.
B und A
Ausdehnung
universelle
yon d auf
Ausdehnung
yon D
C.
~BDB
T
A
der
sei
der
d y o n A gilt ( T r a n s i t i v i t ~ t ) l
yon d auf
universelle
Eigenschaften
~c~c
D
B
Seine
Derivation
Ausdehnung
c
Ist
Auedehnung
bestimmt.
~AdA
multiplikativ
abgeschlossene
Homomorphismus,
Ausdehnung
so tst
yon d auf
M e n g e i n A, B = S - ~ A u n d A
fur
eine
B yon der
Derivation
Form,
dz A
~B = S - 4 A
)A.dA - M
52
Dz B
)B ~M,
let d: A
B ~ ~ I D
) M eine Derivation yon A in einen endlioh erzeugten A--Modul und
B eine endlich erzeugte A--Algebra, D: B
~B'DB die universelle Ausdehnung
yon d auf B, dann let auch B.DB ein endlicher B--Modul. Man kann die univereelle
Ausdehnung aus einer Darstellung B - A[X ,...,Xn~/~
f~r B - A/~
let
D, B
> A . d A / A . d o c , a mod ~ ,
Ausdehnung auf den Quotienten let dl A
D
explizlt ~erechnen.
da mod A - d ~ ,
Speziell
die universelle
B = A/~ B.DB ihre universelle
) A.d_A eine bellebige Derivation, D: B
Ausdehnung auf eine beliebige A-- Algebra B, dann hat man eine exakte Folge
T
o
In Spezialf~llen ist die erste Abbildung in dieser Folge injektiv, z.B. wenn
A ein KSrper let und B eine separabel erzeugte Erweiterung yon A
Zum Beweie yon 2.2.6. benutzen wir die Kennzeichnung 2.1.5. let D: C
~C-DC
die universelle Ausdehnung yon d B auf C, so is~ nach der obigen Bemerkung C~
ein endlicher C--Modul. Man zeigt, dab D die unlverselle Abbildungseigensohaft
bzgl. Derivationen in endliohe
Derivation.
C--Moduln besitzt. Sei D': C
>N eine solche
Die Einschr~nkung D'IB ist, da C endlicher B - Modul und N endlioher
53
C--Modul ist, ale Derivation yon B in einen endlichen B--~odul eine Speziali-
sierung yon dB.D' ist also i.S. yon 2.7.7 eine Ausdehnung yon ~
und folglich
Spezialisierung der universellen Ausdehnung D.
Offenbar
aer Differential.odu
DC
) dutch die Eigensohaft 2.2.1. ,2.2.4.,
2.2.5. , und 2.2.6. eindeutig charakterisiert.
2. 7.
Ausdehnun 6 des Differentialmoduls auf all6emeinere Ringklassen.
Neben den Ringen aus 4 ,
~/n ,~
interessieren wir uns noch f~r folgende
Klassen yon Ringen~ a)
Die RingeB = S'4.A zu (A,S) s s L ~
b)
Die endlich erzeugten Ringerweiterungen B = A[xl,...,Xn] yon Ringen
A g ~
, 6~/~ , ~ . Wir bezeichnen mit ~
dle Kategorie dieser Ringe mit
k - Algebrahomomorphismen als Morphismen.
o)
Die Ring B = A [x#,...,Xn~ ~ , wobei A~x~,...,Xn] ~ ~
und ~
yon A[xl,...,Xn] ist. Die Kategorie dieser k - A l g e b r a werde mit
Es sei B ein Ring aus einer der drei Klassen und A phismus mit A 9 ~, ~ ,
Definition 2.7.1.
D(~
ein Primideal ~
bezeichnet.
) B der zugehSrige Homomor--
/-~
sei die u~liverselle Ausdehnung des in 2.1. definierten
54
Differentlalmoduls D ( ~ ) , C
d, B
) D ( ~ 1 dis ,ugshSrigs Derivation. Ist
)B eln Homomorphism~s einss kommutativen Ringes C in B, dann sell
D(~
- D(+)/BdC
sein.
D
ist stets ein endlich erzeugter B - Modul. Bezeichnet auoh hier d: B---~DC-~- ~
(8)
die zugshSrige Derivation, so wird d: B - > D ~
i.a. yon der Darstellung yon
B als sine A--Algebra der Form a),b),o) abh~ngen. Wit zeigsn in diesem Absehnitt, dab d: B
> D ~-
in Wirklichkeit in vielen F~llen nioht yon der Wahl yon A
abh~ngt. Wenn Char. k - p>0 ist, hat man h~ufig Uber k p zu differenzieren. Angenommen, es sei [ksk p] < N
und A g
(kP), wenn z.B. ~
io o~,,o~
~
~,
~/n, ~ . 0ffenbar is% dann auoh A g ~ (kP), ~ m
(kP),
(kp) die Kategorie der affinoiden Algebran ~ber k p bsdeutet.
~ , o~o~ ~.~. ~oo~
~(~
o.~n~.~ ~n~ o~o~
~.~.~. ~ o ~ ~ ( ~
wenn B ein Ring aus einer der Klassen a),b),c) ist. l~r einen beliebigen Ringhomomorphismus C Satz 2.~.2.
>B setzen wit D ( ~ )
- D(~-kp) /BdC.
Unter den obigen Voraussetzungen ist D(~--) - UD
selle Differentialmodul yon B ~ber C. d: B
der univer--
) D (-~) ist folglioh yon der Darstel--
lung Yon B unabh~ngig und besitzt die Funktoreigenschaft 2.2. i.
55
Beweis,
A
) B sei der zu B gehSrige Homomorphismus mit A s ~ ,
~
A o ~ A sei eine frele Algebra, ~ber der A endlich ist. Dann ist D ( ~ )
'D(~]
= D C ~ ) / B d C , UDC-~BC~ -
Lemma 2.).).
k-Algebra A~
UDCk'k~/BdC.ES ist
Ist Char. k - p > 0
m
k[[{<< X~,
e.~
, Of.
~
bzw.
daher z11 zeigen, dab
und [k,k p] < ~ ,
,Xn >>}I C ~
u~d
, ~
dann besitzt jess freie
~
sine p - B a s i s ~ber A pO "
(Man srh~It sine solohe, indem man z11 einer p - B a s i s yon k ~ber k P die Elements
X~, ... ,Xn h i n z u f ~ .
)
Nach dem Lel~ma ist U D ( ~ )
9nalioh
.r.su~, ~ a o h
2.1.5.
ist ~ ~) and.r.rs.it.
der universell endliche Differentialmod111 yon A o Uber k p. 9 . ~ol,t 2 ( ~ )
Folgerung 2.3. 4.
Ist unter den Voraussetzungen yon 2.3.2. C
- ~ ( ?A. )
> B sogar ein
k-- Algebrahomomorphismus~ dann ist
d, B
> D(~)
h~ngt in diese. Fall nioht yon der Wahl yon A ab ~und besitzt
die Funktoreigensohaft 2.2. I.
~.r B...i..r,i~t
sioh analo, d.. ~on 2 3 2
a11. ~.r ~atsaoh.. d a ~ . ~ C ~ )
-
~(~)
58
ist, weil U D ( ~ ) modul yon A
o
endlich erzeugt und D C ~ ) universell endlicher Differential-
Gber k ist.
FOr die Ringe B - S'4.A aus der Klasse a) und einen Morphismus C | S'4A. FOr (A,S) E s ~ ~ D ( A ~ .S ) = D c S L 4 A ) .
setzen wir
Dann ist D offensichtlich ein Funktor auf der Kategorie
(vgl. die Definition der Morphismen in s ~ Satz 2.~.~.
) A aus
Im Falle B = S-4A zu (A,S) E s
, s.@;4.) ist D C - ~ ~ unabhKngig yon der
Darstellung bie auf B-Modulisomorphie eindeutig bestimmt. Beweis:
Wie wir in 2.4. zeigen werden, ist D ( S ~ ) ~
S'/~A = D ( S ~ ) . S-4A
Jk
Dabei bezeichnet S ' 4 A die Komplettierung des semilokalen Ringes S - ~ A nach seiner Radikaltopologie. Es ist S'4 A C ~ und D ( ~
I i s t bis auf Isomorphie
eindeutig bestimmt dutch S-/4A. ~dr zwei verschiedene Darstellungen B = S "4A = S " 4 A ' hat man somit einen Isomorphismus D k Satz 2.7.6. tung Ton A, C-
(A~_)
@ B --D B
(s '-~A' ) k
~)~, aus dem B
) ergibt (s.[7], chap. 0,7.8.)
Es sei A g 6~ und B = A[x~,...,Xn] eine endlich erzeugte Ringerweiter> B sei ein k--Algebrahomomerphismus. Dann let D ( ~ )
der
universell endliche Differentialmodul yon B ~ber C und folglich unabh~ngig yon der Daretellung yon B. Er besitzt die Funktoreigenschaft 2.2.1.
57
Der Beweis yon S a t z 2 . 3 . 6 man s i o h wegen D( ~B- ) universell
2.2.6.
v e r l ~ u f t a n a l o g zu dam yon 2 . 1 . 5 .
. D ( ~ ) /BdC und der e n t s p r e c h e n d e n E i g e n s o h a f t des
endlichen Differentialmoduls
und d e r T r a n e i t i v i t ~ t
Da e i o h u n i v e r s e l l e
auf den Fall C=k beschr~nken.
Wegen
d e r u n i v e r ~ e l l e n Auedehnung gen~gt a s , d i s
Behauptung im F a l l zu b e w e i s e n , de8 ring ist.
Zun~chst kann
A
k<> e i n f r e i e r
-
Ausdehnung und u n i v e r s e l l
Potenzreihen-
endlicher Differential-
modul auoh bzgl. F a k t o r r i n g b i l d u n g g l e i c h v e r h a l t e n ( 2 . 2 . 3 . ) ,
kann man s o ~ r
annehmen, de8 B = A [ X 4 , . . . , X m ] e i n P o l y n o m r i n g ~ber A i s t . Nun ist die universelle Ausdehnung D ( ~ )
der rei, B-Iod.l
- e Bd ie
Der Beweis, de8 D ( ~
des Differentialmoduls
D(~
- ~
AdY i
e BUj j
die universelle Abbildungseigensohaft
bzgl. Deriver ionen
in endliohe B-- Moduln N besitzt, verl~uft nun wSrtlich wie der yon Satz 2.1. 5 . im
affinoiden F~ll, wenn man nut gezeigt hat, de8 fur Jedes maximale I d e a l ~
und j a d e s ~
~
d i e k - - A l g e b r a B/~ ~
durch d i e Yi m o d ~ l u n d
r B
d i e Xj m o d ~ ~
e r z e u g t wird. Dies e r g i b t s i c h Bus dem f o l g e n d e n Lemma 2.~. 7.
Ist A ein Jakobsonring
eine endlich erzeugte Ringerweiterung
(speziell etwa A ~ ) ,
und~
ein maximales
B - A[x~,...,Xn~
Ideal yon B, dann
58
ist ~
-
~
A ein maximales Ideal yon A.
Dann ist nKmlich B/~ t
-
A/A ~ ~ ~ IX j] und A ~
maximal in A ist, wird A / ~ ~
Beweie y o n 2 . ~ . 7.
.
Wir e e t z e n A / ~
k S r p e r y o n A' m i t K. Dann l e t
9
,,,~ .
Da~
n&oh2.).7.
~ber k yon den Restklaseen yon Y4,...~Y~
erzeugt. Es folgt B//.~t - k[Yi,Xj], wenn 9
9,WL
~i,~
- A',
~
die Restklasden m o d ~ 4 bedeuten.
B/,,L - L
L - K[~,...,~
und b e z e i c h n e n d e n Q u o t i e n t e n -
mit xi " xi mod~
u n d n a o h dem
Hilbertechen Nullstellsneatz let L ~ber K algsbraisch. Ist t ~ A' ein gsmsinsamsr Nenner f~r die Koeffizienten der Minimalpolynome der xi Uber K, so let L - A;[x,,...,Xn]
und die Xl eind gan= Gber A;. Daraue f o l g t , dad A; s i n
XSrper ist.
Nash [ 7 ] ,
J s d o o h A'
integer
Fol~erung 2.3.8. s i o n m l u n d ee l e t
chap. O ( 1 6 . ) . ) . )
und J a k o b s o n r i n g
Ist
A s ~
ergibt ist,
eieh,
semilok~l ist.
Da
mu8 A' e o g a r e i n K S r p e r s s i n .
und B - A [ x ~ , . . . , X n ]
dim B = dim A + T ~ f ~
dab A'
integer,
so i s t
B Kquidimen-
( L / K ) , wenn L bzw. K d i e Q u o t i s n t e n -
k S r p e r y o n B bzw. A b e z e i o h n e n .
Beweis:
Es iet A = k<<X~,...,Xn>>/~
mit einem Primideal ~
und k<<X>> ist
nmch [20], Kap. I, ~ 5 lquidimensional, folglish much A. Zum Beweis der Aquidimen-
sionmlitKt yon B kmnn man e.g. annshmen, dab B = A[Xd,...,Xn] ein Polynomring
59
Uber A l e t .
S i e e r g i b t s i e h dann duroh I n d u k t i o n nach n aus 2 . 3 . 7 .
Chap IV, 5.5.3. Die Dimensionsformel
und [ 7 ] .
ist sin Spezialfall yon [7] Chap. IV, 5.6.1.,
wenn man benutzt, dab B ale Faktorring sines regul~ren Hinges ein universeller Kettenring i.S. yon [7], Chap. IV, 5.6. let und fur ein maximales I d e a l ~ d e r K~rper B / ~ B e i s p i e l 2.7. 9 . wenn man e t a t t
yon B
a l g e b r a t e c h Uber A / ~ n A i s t . Lemma 2 . 3 . 7 . A C ~
Folgerung 2.3.8.
voraussetzt,
Gegenbeispiel flit den Fall A ~ ~
und S a t z 2 . 3 . 6 .
dab A C ~ n , ~
sein soll.
sind nieht riohtig, Wit geben e i n
an:
Es sei k sin K~rper der Charakteristik 0 und A -
k~ Y ~ der formale Potenzreihen-
rang i n e i n e r Unbestimmten Y ~ber k, B - A[XJ d e r P o l y n o m r i n g i n der Un~estimmten X Uber A. ])as H a u p t i d e a l ~ - ( 4 -
XY) aus B ist sin maxin~les Ideal, denn B / ~
ist ieomorph zum Quotientenk~rper K yon A. Es let ~
A - (0) und dim B ~ -
4
abet dim B - 2. Nach [2], Satz 6 ist UD ( ~ ) UD~ A)
. AdY ~ ~ / L
K 9 T, wobei T den Torsionsmodul yon
bedeutet. Es folgt UDC--Kk) - K ~ UD (~---) - KdY ~
T r a n s z e n d e n z g r a d ~ber k b e s i t z t
e Ir
K. Da K unendlichen
und Char. k - 0 v o r a u s g e e e t z t wurde, h a t UD~K )
u n e n d l i c h e Dimension. M i t h i n i s t / ~ $ ~. p: UD ( ~ )
)K e e l d i e P r o j e k t i o n a u f
60
einen der direkten S,mm~nden K und d: A
>UD ( ~ )
mltp.
J : A
> K die Zueammensetzung yon
~ ist eine Derivation yon A ~ber k und K = A ~ A
iet
als4"Modul nicht endlich erzeugt. Andererseits ist Jedoeh K = B/~ kann ~
zu einer Derivation
ein monogener B-Modul.
A 9 B
haben damit eine Derivation A
Dutch A (~. Xva,) . ~.xVSay
) K yon B ~ber k fortgeeetzt werden. Wir
yon B in einen endlich erzeugten B - H o d u l kon-
etruiert, f~r die der A- Modul A A A
nicht endlich erzeugt iet. Ee folgt, dab
D (--Bk) nicht der universell endliche Differentialmodul yon B Uber k let, well das Bild
Satz 2.~.i0.
Es sei A g ~ ,
~I~, ~ , B - A[x~,...,Xn] sei eine endlich erzeuEte
Ringerweiterung yon A, S sei eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge yon B und R = S-~.B. C -
> R sei ein k-Algebrahomomorphismus
wobei D (-~ 1 die universelle Ausdehnung yon D C ~ )
ist d:
R
> ~(~)
.on der ~ r ~ t e n ~ n g
und D ( ~ ) -
DC~)/RdC
,
ist. let R reduziert, dann
~on R ~ b h ~ n g i g
und erfUnt 2.2.1.
Der Beweis benutzt den Satz yon F.K. Schmidt:
2.3.11. (vgl. [22~). etwa A ~ ~ ~ a , ~ ) .
Ee sei A ~ ~
oder ein henselscher lokaler Ring (epeziell
A sei integer und L ein KSrper mit A ~ L. B sei ein diskreter
Bewertungsring mit k c B _c L u n d
L sei der Quotientenk8rper yon B. Dann ist A ~ B.
61
Beweiss
Im Falle A ~ ~
eel A
e
( A eine v - Unter~Igebra yen A, welehe
die Tepelegie yon A definiert, A@t dee maximale Ideal yon v. Dann gilt fllr A o des Heneeleche Lemma in folgender Form, let P(X) ~ Ao[X ] ein unit~res Polynom,
dessen Restklaese P(X) in A o [ X ] / ~ A e [ X ] in zwei teilerfremde unit~re Fakteren
aus Ao[xJ/A~zAo[X] z,rfKllt, P(X) - Pw(X)'P2(X),
dann gibt ,, in den Restklaseen
Pi(X) Polynome Pi(X) mit P(X) - P4(X)-P2(X ). Wendet man dleses Lemma auf des
Polynom P(X) - X n - (4 + Y) an, wobei y s ~ A o und n ~ 0 mod p (p Charakteristik
des RestklaesenkSrpers
yon k), dann erhKlt man, dab P(X) eine Wurzel x s A
o
besitzt.
Es eei nun w: L
> Z die diskrete Bewertung,
die zu B gehSrt.
Da es zu
4
+ y s L
f~r beliebig grebe nat~rliche Zahlen n Elemente x E L mit x n - ~ + y gibt,
muB w ( 4 +
y) - O, also 4 + y ~ B sein. Es f o l g t ~ A
dann let t "~ c k ( B und es ergibt sich t-~.(t.Ao)
o ~ B. I e t t
- A o~
~w~,
t 4 O,
B. Da A - k.Ao, let
also auch A ~ B.
Ist A ein henselecher lokaler Ring mit dem maximalen Ideal 7~, dann beeitzt
fGr jedes y ~
P(X) = X n -
und jede natGrliche Zahl n 4 0 mod p (p = Char. k) dae Polynom
(4 + Y) elne Wurzel x ~ A .
Wie oben schlieBt man daraus, dab
~
~ B
62
ist. Wit w~hlen ein ~ s ~
mit w ( ~ )
~ O. G~be es ein a s A mi~ w(a) < O,
so wKre w(a ~ ~ ) < O, falls ~ hinreiohend groB ist, im Widerspruoh zu a ~ ~ 9 ~ Somit s
~ B.
A ~ B.
Fol~erungs 2.3.12.
A,B ~ ~ ,
~,
~
seien integer
und K s e i s i n K ~ r p e r m i t
A,B ~ K. I s t K e n d l i c h e r z e u g t Uber dem Q u o t i e n t e n k S r p e r L yon A und A d i e gamze A b s o h l i e B u n g yon A i n K, dann i s t Beweiss Da A,B i n t e g e r
sein sollen,
B ~ ~ und ~ i s t
folgt
aus A,B s ~ ,
e n d l i o h ~ b e r A. ~
s o g a r A,B 6 ~ , ~ t
Satz 2 3.11 ist also auf A,B anwendbar. Aus 2.3,11 ergibt sich wegen k ~ A, daS B ~
/~
Biist,
wenn B i a l l e
diskreten Bewertungsringe mit dem Quotienten-
kSrper K durchl~uft, die A umfassen. Wir zeigen, dab dieser Durohsohnitt mit A ~bereinstimmt. Es eel ~ die algebraische AbschlieBung yon L in K, dann ist ~ auch die ganze AbsohlieS~n~ yon A In ~. Wi~ ~eis~n, da~ /~ B
~ ~ i,t. Ist ~ ~ K, ~ % 1 ,
so
ist x transzendent ~ber ~. Zu dem diskreten Bewertungsringl[x'~](x. $ v o n i ( X "~) gibt es einen diskreten Bewertungsring B i mit dem QuotientenkSrper K und
Zu Jedem diskreten Bewertungsring C i R A mit dem QuotientenkSrper ~ glbt es
6~
e i n e n d i e k r e t e n B e w e r t u n g o r i n g Bi mat Bi ~ D& d e r l e t z t e
~ = CI . Eo f o l g t
D u r s c h n i t t get&de g l e l o h ~ i a t ,
Dam A e n d l i c h e r A- Modul i o t ,
s
~,/~A Bi =
/~
Ci
B ~ ~ bewiesen.
e r g i b t s i o h aus [ 4 ] , da ~ s L ]
<e~ist.
Man e r h ~ l t nun S&tz 2 . ~ . 1 ~ .
Eo s e i e n A,B C ~ ,
~,
~ und A [ x ~ , . . . , X n ]
sei eine endliohe
erzeugte Ringerweiterung yon A, S ( A[x~,...,Xn] eine multiplik&tiv abgeschloeeene Menge und R = S'IA[x~,..,Xn].hs
B
>R sei ein k-Algebrahomomorphismus.
Ist R
reduziert, dann ist h(B) ~ A, der ganzen AbschlieSung yon A in R. Es l o t [ ~ ~, Kn,~: und endlich ~ber A.
Bewels:
Wit setzen R i - R/~ i' wobei
l~uft. Da R reduziert ist, ist
/&~
~ i die minlmalen Prlmldeale yon R durch- (0) und man hat eine InJektion ~: R
Mit den Projektionen PiS ~Ri----->R i erhilt man folgendes Diagramm
B
h
> R ~
~L-~Ri
I
yon
i
i
A " D&bei let Pi(A) = A i s ~ ,
DL'
~m, ~
>
A
>A
und A t.~bezeichnet die ganze AbschlieBung
A i in R i. Setzt man gi " Pi "j'h' so let gi(B) = B i ~ ~ , ~ , ~ .
Da R i
6~
integer and B i ~ R i i s t ,
ist.
Mithin
ist
folgt aus 2.3.12, dab B i ~ A[x und All endlich Gber A i
J . h ( B ) ~ 77"A~,
[[A[
ist
endlich
G b e r A und d i e g a n z e A b s c h l ~ e s -
sung yon A in ~'~IJR i. Dann ist aber R n 77"A~ die ganze AbechlieBung yon A in R, 9
~
1
endlich Gber A und h(B) ~ R n ~-A[ = A. Als endlicher A - Modul ist A g ~ ,
Beweis yon Satz 2.~ X0.
Es genGgt, den Satz im Spezialfall
6~f.,~.
C = k zu beweisen.
Neben dem Paar A,R aus 2.5.10 sei ein weiteres solchee Paar A',R' gegeben und
h: R Diagramm
)R' sei ein k-- Algebrahomomorphismus. R
A
h
~ R'
id
) ['
Nach 2.3.15 hat man ein kommutatives
~ R'
~ A'
in dem A' die ganze AbschlieBung yon A' in R' bedeutet,
Hierzu brauchen wir zun~chst nur vorauszusetzen,
die endlich Gber A' ist.
dab R' reduziert
ist.
Wir bezeichnen mit DA(R) die universelle Ausdehnung des Differentialmoduls
D(A).
Aus dem obigen Diagramm ergibt sich dann das folgende kommutative Diagramm DA(R)
D(h)
> DA ' ( R ' ) ( ~ "
R'
4,
wobei D(h) die h nach der Funktoreigenschaft
D A'(R')
id
R'
der universellen Ausdehnung entsprech-
65
ende Abbildung ist und der Isomorphismus
sich aus 2.2.6 (well A' endlich Gber
A' ist) und der Transitivit~t
der universellen Ausdehnung ergibt.
Stlmmen nun R und R' Gberein,
so ist A' = A, der ganzen AbschlieBung yon A in R.
Setzt man daher im obigen Diagramm h = id, so wird auoh D(h) ein Isomorphlsmus.
Wir haben damit gezeigt: Die ganze AbschlieBung A yon A in R h~ngt nicht ab yon
der Wahl des A und der Differentialmodul
D (R~
ist eindeutig gekennzeichnet
als die universelle Ausdehnung des Differentialmoduls
D C~Ak) auf R.
In der allgemeinen Situation des obigen Diagramms darf man nun insbesondere
fGr
A auch die ganze AbschlieBung yon A in R nehmen (Jetzt muB auch R reduziert vor-
ausgesetzt werden).
Man erh~lt dann das kommutative Diagramm
DCR)
R
d.h. die Funktoreigenschaft
Bemerkun~en:
I)
>
h
~
DCR')
T
R'
2.2.1.
Satz 2.3.10 wird falsch, wenn R nicht reduziert
geben ein Gegenbeispiel.
Potenzreihen
D(h)
ist. Wir
Es sei A -~<<X>> der Ring der strikt konvergenten
in einer Variablen X Gber einem KSrper K der Char.
K sei der QuotientenkSrper
yon A.
p $ 2 mit [k:k p] =e~;
66
Wit zeigen zun~ohat, dab es eine niohttriviale k--Derlvatlon D, A
)K nit
DX - 0 gibt. Wegen [k,k p] .ee ist leioht zu ,ehen, daS p - G r a d (h(K-~)) > ~ ist. Wit w&hlen zu X ein X' E A, so dab X und X' p-unabh&ngig ~ber k(K p) sind. Dann ist UD(-~)
. KdX 9 KdX' O V
Zusammensetzu_ng der Derivation d, A
Es sei nun L - K[Y]/(Y') = K @ K'y mit ~(a) - & + D a . ~
mit einem Untermodul V yon u D ( K ) . ) UD(+),
(y
D sei die
der kanonieohen Abbildmng
- Y aod (y2). Die Abbildung ~: R
ist elm k-Algebrahomomorphismus
)L
und in~ektiv. Wit setzen ~(A)
~(A) - A'. A und A' eind zwei Exemplare deeselben Rings A in L. Man stellt sofort feet, dab L der volle Quotientenring eowohl yon R [ ~ ] - R 9 R ~ K[~]
- A' 9
A'-.~
ale auoh
yon
let.
D A (L) bSw. DA'(L) eeien die tmiversellen Ausdehnungen yon D('~Ak) BZW. D(kA'~ w) auf L. Naoh [i], Satz 5 Act DA(L) - LdAx 9 L / ( ~ ) d A ~ DA'(L) - LdA'~ (X) 9 L/(y ) d A ' ~ ,
wenn dA bzw. dA'
und entspreohend die zugeh~rlgen Derivatlonen
bedeuten. Da~ei let dA',(X) = dA' (X + DX'~) - dA' (X)
wegen DX - O.
Die belden Differenti&imoduln mlnd ieomorph. Amgenommen sie selen auch kanonieoh l,o.orph, d.h. e, ,ei dA(-) - dA'(,) ~Ur a:l, , ~ ~. , ~
dA(?p(x)) = dA(p(x) + DP(X)'~ ) - P ' ( X ) d h
+ [DP(X)] d h
i,t ~ber ~Ur a:le P(X) 9
+ DP(X) d ~
67
und dA'(~P(X))-
,(P'(X))dA',(X)-
Dutch Koeffizientenvergleioh 2)
[P'(X) + DP'(X).T]d A' X. folgt DP(X) = O, entgegen der Konstruktion yon D.
Satz 2.3.13 gilt nooh im Falls A s ~ ,
~ - {~},
also fur bsliebig~, nicht
notwendig reduzierte endlich erzeugte Ringerweiterungen R = A[xl,... ,Xn] in folgender Form: let B s ~/ und h, B
~ R sin k--Algebrahomomorphismus,
dann
existiert sin Unterring A yon R, der Qber A endlioh ist, so dab h(B) ~ A. Beweis:
~.E. kann man B = k<> frei annehmen. Bezeiohnet r,R
den kanoniechen Homomorphismusl~ DiagrAm.,,
B - k<>
h
) Rre d
das Nilradikal yon R, so ergibt sich folgendes
> R
r
~, Rre d
I A[Yi,bj]
t r ) ired
I
I
A
) Are d
.
Ared[b j ]
Dabei i s t Are d d i e ganze Absohlie~ung yon Are d i n Rre d und Are d i s t e n d l i c h e r Modul Gber Ared, e r z e u g t yon Elementen b j .
F e r n e r b e d e u t e t Yi das B i l d yon Yi in R
bei h. Durch r.h wird b nach 2.3.13 in Are d abgebildet. Die Elemente bj seien Urbilder der bj ~ei r. Da die Yi " r(Yi) und die ~j ganz Gber Are d sind, sind die Yi umd b~ ganz Gber A und folglioh ist A[Yl,bj] endlioh Gber A, insbesondere
68
also A[Yi,bj] E ~.
Die Abbildung A[Yi,bj] ----~Are d i s t
s u r j e k t i v mit n i l - -
potentem Kern. Daher s i n d d i e Yi i n A [ Y i , b j ] p o t e n z b e s c h r ~ n k t , da d i e Yi i n ed als Bildsr der ~otenzbssohr~nkt en Elemente Yi s B bei sinem stetigen
k - Algebrahomomorphismus p o t e n z b e s c h r ~ n k t s i n d . Es g i b t daher e i n e n e i n d e u t i g bestimmten k-Algebrahomomorphismus gz B
> A [ Y i , b j ] mit g(Yi) - Yi" ist. h und g s i n d k - A l g e b r a -
Wir zeigen, dab h - g, d.h. dab h(B) ~ A[Yi,bj] - A
homomorphismen,
die aus den topologisohen Erzeugenden Yi yon B ~bereinstimmen.
Es sei nun A w ein beliebigss maximalss Ideal yon R~
R/~ ~
ist naoh 2.3.7 endlich ~ber k, also R / ~ s
der kanonischs Homomorphismus,
so ist
2. 4.
~.
Ist
~ : R
)R/~ ~
f - h m F.g , da ~ h und ~ g als k - Homomor-
phismen stetig sind. Es ist somit (h - g)(B) E
Ideale~
~ sine natQrliohs Zahl.
/ ~ f
fur alle maxi~alen
yon R und damit h(B) - g(B).
Differentialmodul
Lsmma 2.~.1.
oder A ~ ~ ,
Sei C
~das
und Komplettisrun~ bzw. direkts Limitss.
)A ein k--Algebrahomomorphismus,
Jaoobson-Radikal
4#- adische Komplettierung~
A - S'4B zu (B,S) s $ ~
des semilokalen Ringes A, A seine
dann hat man sin kommutatives
Diagramm
69
A
Beweis:
~
d ist eine bzgl. der 4~-adischen Topologien stetige Derivation yon A
in den endlioh erzeugten A - M o d u l
(A)
D -~
und IKBt sioh folglich stetig fortsetzen
zu e i n e r D e r i v a t i o n d yon ~ i n den k o m p l e t t e n , D(+)
= ~ ~ D(+). A
endlich erzeugten ~-Modul D
Also l~8t sioh ~ duroh sine ~ - l i n e a r e
Abbildung hA Uber
faktorisieren: ~ = ~.d~. Satz 2.4.2. h A ist ein Isomorphismus, D ( - - ' ~ ) " - " ) ~ | D ~ ) . A Beweis:
Wegen 2.2. 4 . gen~gt es, die Behauptung fur den Fall C = k zu beweisen.
Im folgenden sei daher C - k der GrundkSrper,
und wir schreiben fQr D (-~)
2.4.2. ist sioher richtig im Spezialfall A - k<<X4,...,Xn>>(X4,...,Xn ) ~ oder A = k{Xl,...,Xn}
~
~,.
= D( $~I'
In beiden F~llen ist n~mlich ~ = k ~ X ~ , . . . , X n
~
rt
und die
Differentialmoduln
sind D(k<<X~,... ,Xn>>(X4,
,Xn) ) = ~ 9 " "
D(k{X~,...,Xn} ) = @ A dX. und D(k~ X ,...,X n ~) = /--4 1 freien Moduln mit dX~,...tdX n a l s
Basis.
.-
A dX i bzw.
;=4
~ dX i
Jeweils die
).
70
Der Beweis fur den allgemeinen Fall ergibt sloh hisraus zufolge Definition 2.3.1 und 2.2.6 d u r o h universelle Ausdehnung,
SeA
A
=
S'~B zu (B,S) ~ $ ~ 6 r
oder A ~ ~ m .
Naoh Lemma 1.1.4 l~Bt sich A als
quasiendliohe Erweiterung sines Ringes der Form k<<X4,...,Xn>>(X4,...,Xn ) oder nach Definition yon d R
als endliohe Erweiterung sines k{X4,...,Xn} darstellen
Man hat im ersten Fall folgendes Diagramm fur eine geeignete noethersche Normalisierung yon B und eine zu S gehSrige multiplikativ abgeschlossene Teilmenge
T (B(X4,...,Xn) :
~(x)
T-~.(~(x )) . s-~.~ . A
'I end1. k<<X>>(X ) - C
T k<<X>> Naoh 2 . 2 . 6 D(A)
-
ist
D(S'~ B)
endl.
>
D(B) d i e u n i v e r s e l l e
l B
Ausdehnung y o n D(k<<X>>) a u f B und n a o h 2 . 3 . 1
die universelle Ausdehnung yon D(B) auf S-~-B, insgesamt also
D(A) die universelle Ausdehnung yon D(k<<X>>) auf A. Aus der Kommutativit~t des Diagramms folgt, daS D(A) auch universelle Ausdehnung des nach 2.3.1. definierten D(k<<X>>(X)) ist. Auch im Falle A g ~-- ist D(A) fur k{X}
endl ~A universelle
71
Aus~ehnung yon ~(k{X}). POt ~le Komplettierang erh~it man mlt C - k<<X>>(X ) oder C = k{X} im ersten
Jk F a l l e , B(X ) = C ~ B ( X ) , die K o m p l e t t i e r u n g des s e m i l o k a l e n Ringes B(X), i s t g l e i c h dem ~ i r e k t e n Produkt der K o m p l e t t i e r u n g e n der L o k a l i s i e r u n g e n yon B(X ) naoh s e i n e n maximalen I d e a l e n . A - S "~'B - T'~.B(X ) e n t s t e h t aas B(X ) durch Nenneraufnahme yon T, dem Komplement der Vereinigung e i n e r (durch S bestimmten) Teilmenge der maximalen Ideale yon B(X ). Die Komplettierung ~ yon A ist daher gleioh dem Produkt der Komplettierungen der Lokalisierungen yon B(X ) n a c h den maximalen Idealen dieser Teilmenge, folglich ist ~ = K ~ ~ A. Ebenso ist im Falle A ~ ~ n C
T.4.AB(X)= B(X ) A
~ = ~ ~A C
| T'I'B(x) _~ ~ eC B(X)
und in beiden F~llen ist
A
endlioh Uber C, a18o ~ o h
2.2.6. ~(I) u~lw~8~11~ A..~ehn.ns ~o. D(~> a~r
I.
Mit Lemma 2.4.1. und dem bereits bewiesenen Spezialfall A = C van 2.4.2. erh~it man nun folgendes Diagramm zun~chst mit den ausgezogenen Pfeilen. Dabei sind die Pfeile in dem oberen Paral~elogramm k--Algebrahomomorphismen Parallelogramm lineare Abbildungen,
in dem unteren
die senkrechten Pfeile Derivationen.
72
d
_ i
.I -...
~(A)__
l,~C
C
~_2(A) - A eDCA)
c
Alle Seitenfl~chen
des W~rfels s t e l l e n
dab d i e nach Lemma 2 . 4 . 1 .
D, ~
(als
stetige
>~ ~ DCA) die ~ i v e ~ . e l l e
k o m m u t a t i v e Diagramme d a r . Wir z e i g e n , Fortsetzung)
erhaltene
Auodehn~ yon d~, ~
Derivation
~D(~), ~e. D i f ~ e r e n t i a l -
moduls yon C, auf A ist. Dann ist nach 2.2.6. und 2.4.1. h A ein Isomorphismus und
A
S e i a l s o M e i n e n d l i c h e r z e u g t e r ~ - Modul und A e i n e Ausdehnung d e r D e r i v a t i o n d~
auf L k/:
~ A
-~, d~. Dann i,t A ~
naoh 2.2.6. dAS A
~ ~ dA - A /
= / ' d ~ ~ - ( 2 ' r ) d c" > D(C) auf A. Da
> D(A) die universelle Ausdehnung yon d C auf A let, gibt es
V: D(A)
sich y ~ber 6 : D(A) ist
,omit ( ~ p ) ~ = ~ ? ~
daher eine Ausdehnung der Derivation dc: C
) Mist
ein A - lineares
-pd~,
} M, so dab
~d A = A~.
>~ @ D(A) faktorisieren:
Da M ein ~ - Modul ist, l~Bt V = ~ ~ f
und wegen d e r K o m m u t a t i v i t ~ t d e r h i n t e r e n
~-linear.
Seitenfl~ohe
Also des
73
WGrfels (~ D ) ~
= (~)~ . Daraus wollsn wlr
f.D = k schlieBen. Dann ist unssre
beliebige Ausdehnung A Spezialisierung yon D und D somit die universelle AusA
dehnung w.z.b.w. Letztere ist nKmlioh, da D(~) endlioh erzeugter C - M o d u l endlich Uber C, die universelle Ausdehnung yon d~:
und
)D(C~ auf A.Sie ist also n~oh
/%
2.2. endlich erzeugter A - M o d u l ~nd schon durch die universelle Abbildungselgenschaft bzgl. Ausdehnungen in endlich erzeugte A - M o d u l n Nun sind f
~-linear,
charakterisiert.
D bzw. A Derivationen yon ~ in den ~ - Modul ~ @ D(A) bzw. A /%
An den ~ - M o d u l (~
M, alle Abbildungen also stetig bzgl. dsr
= Jacobson- Radlkal yon ~ ~ ~ ) .
erzeugte ~ - M o d u l
Mist
stetig sind, und ~ p Bemerkung:
A ist v s r m S g e /
4#-adisch separiert, also ist
~-adischen
dicht in ~, der endlioh f D - A, da ~ D und
m (A)/.
Im Falls A 6 ~ n
ist 2.4.2. einfaoher schon in [2] bewiesen.
Wir interessieren u_us nun im Falls A g Of~, A - i ~ fGr die Beziehungen zwischen D(A) und lira D(~).
A~/, A N 6 0 q
(vgl. 1.2.)
(wegen dsr Funktoreigensohaft
2.2.1. des Differentialmoduls wird aus dem direkten System {A~} u direktes System {D(~)} u
Topolog~en
in ~/
ein
yon Moduln Gber dem direkten System yon Ringen {A~z ~
und li B D(Au) ist ein A = I ~ s A u - M o d u l ) . U Zun~chst gilt analog zu 2.4.1.:
Lemma 2.$. 7 .
In obiger Situation:
A - Ii~Au,
AG ~ ~,
A s
~
, existiert
eindeutig eine Derivation D, A---@ li~ D(A~ ), so daS fur alle ~ das Diagramm An
LA D(Aa)
) A =, li~ AI~
,>
1"
:•
/ h~ D(A~)
kommutativ ist. Ist li~ D(AI~ ) endlioh erzeugter oder auch nur ~-adisoh (~
-
Radikal yon A) separierter A-Modul,
so existiert eine Faktorisierung h A
yon D Gber D(A). Beweis.
Zufolge der Funktoreigenschaft 2.2.1 sind die Derivationen vertr~glich
sit den Morphismen der direkten Systeme {A U} u
und {D(A•)}•.
d.h. f~ir A •
hat man jeweils ein kommutatives Diagramm AM dAu I " D(A U )
~ AIL, [ dAU' ) D(AIL')
Ubergang zum direkten Limes in der oberen
und unteren Zeile liefert die
Derivation D. Die Frage, wann hA ein Isomorphismus ist, behandeln wit hier nut fur den Fall C = k. Wir schrelben dann, wie schon oben D(A) anstelle yon D(~), und fiir den
~A u,
75
Spezialfall
des Z u s a t z e s
zu S a t z 1 . 2 . 4 . ,
LAmes eines direkten Systems in ~ B' - k<<X>>
) A' in ~ ,
wo A ~ ~ f o l g e n d e r m ~ B e n
Hit
Itlnj, t
B~,
r
k,
> A~
A' endlioh Gber B', durohlaufe {Un} die Umgebungsbasls
I~I < 4, ,u dsn Algs~ren B u
- A' ~, B ~
, A~
= A' ~, k{X~,...,Xm} , da l i s B u , Uber B. Jedes A ~ ~ Satz 2.4. 4.
direkter
dargeetellt wlrd, F~r geeignet gew~hlte
des O-Punktes yon Sp B', bestehsnd aus den Umgebungen
Ix l s
als
U n- {x - (x4,. . IXm) ~ km:
= B'<>/(Y i- Xit'')- B'.
endlich ~ber BUa , hat man A =lim. Au,~; -
= B - k{Xl,...,Xm} und ~
)A in ~
, A .ndlioh
l~8t sioh naoh 1.2. 4. so darstellen.
Unter den oben formulierten Voraussetzungen ist D(A) ~ I i ~ D ( A U ) ,
h A in 2.4.5. also sin Isomorphismus. Der Beweis verlKuft ganz analog dem Beweis yon 2.4.2 : B . k{x~,. . . . ,Xm} D(Bu
) =
~
BU
li~B@~,
ZunKchst ist fur
da BU, = B' - k<<X~,...,Xm>> und
EXi, I i s D ( B u
) = ii5(
B~gEX
i) = ,.~ ( l i m > B u ) - d X i
=
- .~ B'dX i = D(B). Daraus schlieSt man, wieder durch universelle Ausdehnung, t'4
daS auch I i ~ D ( A ~
) = D(A) let. Man hat fur Jedes n zun~chst ein,WGrfeldiagramm' s
in welchem war fur U
n
kurz ~ schreiben. Alle Seitenfl~chen des WUrfels stellen
wieder kommutative ~iagramme dar.
76
AU
>nA = I i m AU
.i/I .o"/
\ M
WAr zeigen, dab die nach 2.4.3. erhaltene Derivation D: A universelle Ausdehnung yon ~ :
let.
Dann t s t nach 2 . 2 . 6 .
B
} l i s D ( A u a ) die
> D(B), dee Differentialmoduls yon Biauf A
D(A) ~ lim~D(Au~ ).
Sei also wieder M sin endlich erzeugter A--Modul und ~ irgendeine Auedehnung der Derivation d B auf A. Wie in Beweis von 2.4.2. gibt es dann, da D(Au) nach 2.2.6. die univsreslle Ausdehnung yon D(Bu) ist, ein Au--lineares und zwar fur Jedes U = U n. Das System dieser direkten Systems {D(Au )J vertr~glich,
Yu:D(Au)
~ U ist mlt den Morphismen des
d.h. fGr ~ ,
> AU, '
hat man kommutativs
Diagramme M
Die Au--linearen faktorisieren:
W~ ~U
lassen sich daher Uber den direkten Limes li 5 D ( ~ ) "
~
'~
~M
A linear. Also ist wieder fGr alle U = U n
77
(f D ) ~
= (~)~U
" Daraus folgt aber, da A = lim)Au, also A = ~
Bild ( ~ U )
ist, f D = A. A ist also Spezialisierung yon D. w.z.b.w. / S'4A ' ) Sohlie~lich untersuchen wir noch dam Verhalten yon D [--~--beim Ubergang von
l dem semilokalen Ring S-~A ' (zu (A',8) ~
$ ~,
also A ' E ~
, S = C(.~/,i) , m i ( A ~ cm4
maximal, gehSrend) zu dem entspreohenden Ring A -
;~.~40miE
~'
Omi Faser
der Strukturgarbe des affinoiden Raumes Sp(A') im Punkte m i. Es giltl Satz 2.4. 9.
Ist (A',S) ~ S ~ ,
S'~A ' der zugehSrige semilokale Ring, A die
zugehSrige analytische Algebra ~ ~ R
(vgl. 1.3.), die ,,analytische Komplettierung j
yon S''A', so ist D ( ~ ) = A S . ~ A , D ( ~ Bewels,
).
Wie im Beweis von 2.4.2. genflgt es nach 2.2.4. den Fall C - k zu
betraohten. Wir schreiben wieder D(
) fur D(~). Naoh Lemma l.l.4, existiert
eine Noethersche Normalisierung B' - k<<X4,. so dab ~ # , . . . , ~
*.
Xm>>
) A' , A' en41ich fiber B' ,
Gber dem zum O-Punk, gehGrenden maximalen Ideal (X~,. .,Xm)
CB' ]iegen. Hit denselben Bezeichnungen wie in 2.4.4. ist dann mit ~ n naoh 1.2. l i % A u a
m
.T~o~., o ~ .
E ~,
"
BU~
die Fasern der Strukturgarbe yon
Sp(A') in allen ~ber (X~,...,Xm) liegenden maximalen Idealen yon A' aufnahme naoh S = C(i..~ " ~i)
~,
= A' _
Bei Nenner-
ergibt sich jedooh lim>S "#'AU~= S "I .77-O W l
- A,
L a ~
da hierbei die Komponenten des Produktes gerade wegfallen, die zu maximalen
78
I d e a l e n 4 ~ ; Uber ( X 4 , . . . ,Xm) g e h S r e n , d i e yon ~ , . . Nach 2.4.4. ist !im) D(A U
,~4
versohieden sind.
)_-" D( .~] 04~.) ' und d a h e r ebenfalls P%
&-~4
n = 0, AUo = A' , da BUo - B' , eine k a n o n i s c h e Abbildung S-4"D(A ') - D(S'4A ') Diese l ~ t
sich ~ber A
Diagramm
S "4 A'
~ D(S'4A ' ) faktorisieren, S-~A,
c
>
)D(A).
und man hat ein k o m u t a t i v e s
A
D(S-~A' > A
@
1
DIA).
D(S-~a ' )
S'~A' Wir zeigen, da~
~ Isomorphismus ist: In der unteren Zeile stehen endlich erzeugte
A - Moduln. Anwenden yon ~ 9 - (wobei ~ die Komplettierung yon A ist) auf
A
A
) A einen Isomorphismus S "~ A' N ~
liefert, da S'~oA '
S'~A'
9
D(S'~A')
induziert,
~ | = ~D(A~
S-~A,
D(S'~A ~ )
~
~ D(A)
die senkrechten Isomorphismen ergeben sich aus 2.4.2. Da somit ~ Isomorphismus und ~ treuflach Uber A ist, ist auch
~
@ ~
Isomorphismus,
ein w.z.b.w.
79
2.~.
Differentialmodul und GrundkSrpererweiterung
In 1.4.
wurde f G r e i n e n k o m p l e t t e n ,
bewerteten
der Funktor GrundkGrpererweiterung AI ~ ( k ) ist K | A = A e ~(K), h
~I
0 b e r k S r p e r K des G r u n d k S r p e r s k
~K @ A definiert: F~ir A g ~(k), h (K).
(K),
B e z e i c h n e t D(
modul Uber k bzw. K, je nach Herkunft des Arguments yon D( Lemma 2 . ~ . 1 . :
~, ~ m ,
~
In der eben beschriebenen
Situation
~L'a(k)
) den D i f f e r e n t i a ~
), so gilt:
h a t man i n a l l e n
drei
F~llen
funktoriell in A ein kommutatives Diagramm, A
c
~ A ~ K@A
dA
D
D(~)
L,/~'A D(A) '
> XeD(A) A
Dabei ist D eine im Falle ~
etetige Derivation Gber K yon A in den endlich
erzeugten A- Modul A ~ D(A). D l~Bt sich folglich eindeutig ~ber d~ faktorisieren. A
Beweis:
Die (im Falle ~
stetige) k- Derivation dA, A
i ~ @ dA zu einer K-Derlvation K ~ A eetztz
A c dA1
idK @ dA
)D(A) wird duroh
~K ~ D(A) ( eineE K 9k A-Modul) fortge-
>K eA k ~ ida" dA
ist im Falle ~
stetig bzgl
der natUrlichen Topologien der Tensorprodukte
80
([25],[19]),
im Falle
~
ale Derivation stetig bzgl. der ~-adisohen Topologien
des semilokalen Ringes K @ A k
und des endlichen K @ A k
Module K @ D(A), k
~@-Radikal
yon K | A. Diese Deriwation ist folglich eindeutig ale stetige K - Derivation auf k A
die Komplettierungen fortsetzbar, D, K @ A &
)K @D(A) = A @D(A). Im Fall, A
h
A ~ 0(a(k) erhalt man nach dem Zusatz zu 1.2.4. A als direkten Limes A = l i ~ A U
K @ A in der Form A -
li~ ~U <~u = K @ ' A u s
~(K)>.
h
Nach 2.4.4. l e t
D(A) ~ ~I~D(Au) , und A ~ D(A) 9 ( l i ~ u )
" li b D ( A U ) ) li~ A U
- l_~ (~U @ D(Au))" Man erh~It deshalb aus den kommuta~iven Diagrammen fur den AU
Fall
AU
'
)
D(Au )"
~
~'U
9 D(AU) AU
duroh Vbergang zum direkten Limes li~ eine K - Derivation D: U ein kommutatives Diagramm ( $ ) Satz 2.~.2.
im Falle
Z | D(A) ,,~d A
~a
h A in 2.5.1. ist ein Isomorphismus und Nan hat daher einen kano-
nisohen Isomorphismus D(A) = A 9 D(A). A Beweis:
Zu A E ~(k)~
Algebra C - k[{<<X>>}~ = K [{<<X>>}~
~,(k), ~(k)
gibt es einen Morphismus mit einer freien
~ A, A endlich Uber C. Dann ist naoh 1.4.
) i = C | A, i endlioh Uber C. Es ist D(C) 9 .~ C.dXi, C L
81
D(C) ~
~
C'dX i = C @ ( ~ C
zunKchst im Falle
2.4.2.
dXi) = C " D(C). Daraus ergibt sich die Behauptung
~ mit 2.2.6.
wieder nach demselben Schlu8 wie im Beweis yon
durch universelle Ausdehnung:
Ausdehnung yon
Man zeigt, dab A O D(A) die universelle A
D(C) = C e D(C) a u f A i s t .
Dazu betrachtet
man dam W G r f e l d i a g r a m m
C
im Beweis yon 2.4.2. nur jeweils ~ ersetzt durch -- . M sei ein endlich erzeugter
-Modul
und A irgendeine K - Derivation yon A in M, die Ausdehnung von d~:
) D(C) = C @ D(C) ist. D i s t C yon 2.4.2.
schlieBt man nun auf die Existenz
einee A - linearen ~.
-Moduln
nach 2.5.1.
Letzteres
eines A - linearen
Wie im Beweis
~ : D(A)
> M
ist als A - lineare Abbildung zwischen endlich erzeugten
stetig. Wie in 2.4.2.
beides stetige Derivationen.
stetige K - Derivation.
hat man nun (f D ) ~
- (A)/
und 9 D bz.. A sind
Mit der Faktorisierung
K OA &
o
erh~It man zun~chst,
da es sich um K - Derivationen handelt,
dab f D und A auf Bild (j) ( i Gbereinstimmen.
daher auf ganz A Gberein.
Den Fall A g
~(k)
w.z.b.w.
Wegen der Stetigkeit
stimmen sie
WSrtlich derselbe Beweis gilt im Falle
kann man durch Komplettierung
oder man sohlieBt so: Aus D(A) ~
aus obiger Beziehung
auf den Fall ~
zur~ckffihren,
)A @ D(A) erh~lt man durch Anwendung yon A @ -A i
82
(~die Koaplettierum~ des semilokalen Ringe= A g ~ a (K)> &uf d~e endlioh erzeugten i-Moduln.
Dabei f o l g t
A -
die erste
K/•OA= K ~ k
I s o m o r p h i e &us 2 . 4 . 2 . ,
- ~ (,egen 1.4.), also ~ , k
d i e 2. I s o m o r p h i e wegen
tA, die 3. Isomorphie &us 2 f 4 , 2 ,
und d i e 4. l s o m o r p h i e a u s ~ -- ~ und d e r sohon b e w i e e e n e n B e h J u p t u n g 2 . 5 . 2 . Falle ~.
Da a l l e
a l = o auoh h . ,
i=
A b b i l d u n g e n n a ~ d r l i o h s i n d , muB A ~ h A ein I=omorphismus s e i n ,
da A t r e u f l a o h
Uber A i s t .
83
w 3.
Re~ularitatskriterien~
3.1.
Der Ran~ des Differentialmoduls.
Anwendun~en.
Wit beweisen Regularit~tskriterien fOm die Ringe aus der in 2.3. definierten Klasse l ~ m i t
Hilfe des in w 2 definierten Differen-
tialmoduls. Dabei wird fur das Folgende stets [k:k p] < ~
voraus-
gesetzt, wenn ChaP. k = p > 0 ist. Regularitatskriterien, die ohne diese Voraussetzung auskommen, finder man in [12] . Definition 3.1.1. ist, u n d ~
Is% B = A Iyl,...,yn] G ~Y , wobei A ~
6~, ~
ein Primideal von B, so soll D(B) bzw. D ( B ~
) in
diesem Paragraphen stets die universelle Ausdehnung yon D(A) be-
zelchnen, wobei
[
D(~) ~ falls ChaP. k = 0
D(A) =
D(~
falls Char k
p > 0
der in w 2 definierte Differentialmodul yon A ~ber k bzw. k p ist.
Satz 3.1.2. = B/~ bildung O
Es sei B e i ~
,~
der ResTklassenk6rper. D(B) --~ D( ~
) ~4~/~4~ &
9
sei das maximale Ideal yon B, Dann induziert die kanonische Ab-
) eine exakte Folge yon ~ - M o d u l n .
D(B)/~
DCB)
~
D(~
)
9
O.
8~
Beweis. Ist
Cham.k : p > O ,
und D ( ~ )
UD(k~p) jeweils deP (absolute) universelle Differential-
=
so ist nach 2.3.2
D(B) : UD(k~)
modul. Die BehauptunE ist daher ein Spezialfall yon [ 2 ] , Satz I. Es sei jetzt Char. k : 0.
a) Reduktion auf den F a l l ~ :
0.
Die kanonische AbbildunE B ~ B / 4 4 ~ l l e f e m t
naeh 2.2.3 eine exakte
FolEe ~
~
> D C B ) I ~ ~ DCB)
>
DCBI~
Dutch tensorielle Multiplikation mit B I ~ die exakte FolEe yon ~ -
~)
: ~
>
O.
Ober B erEibt sich
Moduln
s ~ I ~
~
D(B)/~
WeEen d ( ~ ~ ) ~ V . D ( B )
D(B)
>
DCB/~ ~ )I~
D ( B I ~ ~)
~
0.
ist die erste Abbildung die Nullabbildun E,
folglich die zweite AbbildunE bi~ektiv. Andererseits entspPicht dem kommutatlven DiaEramm &
B/~
~"~
BI"~,' =
ein kommutatives DiaEramm mit exakten Zeilen
> ,~l'~,v
~
~
DCB/ ,'~'L)/n,S'vDCB/.'~4, a')
~ D(~,)
0 O.
85
Die Behauptung des Satzes ist somit bewiesen,
wenn gezeigt
ist,
dab die Folge 0
~ 44w14~v ~
>
DCBl~v~)l~v D ( B / ~ v ~)
>
D( ~
)
~
0
exakt ist. Nach Defini%ion
ist D(B) die universelle
eine geeigne%e
freie k-Algebra
und A o'
9 In
= Bo/~
A o'
B o 9 Ot , ~ ,
yon D(B o) for
~[J . Es sei ~
= 44~ ^ B O !
gibt es eine fmele Algebma Ao, so dab A o
endlich Obem A O ist, und nach 2.2.6.
ist D(A~) die universelle Aus-
dehnung yon D(Ao). Aus dem kommutativen B
Ausdehnung
~
BI~
~
A O'
Diagramm
~
f Bo
Ao
ergibt sich nun wegen der Transi%ivi%~% dab D ( B / ~ ~) auch die universelle
der univePsellen
Ausdehnung
yon D(A o) ist. Man kann
sich somit for den Beweis des Satzes auf den Fall 4 4 ~ =
b) Beweis un%em der Voraussetzung ~ww In diesem Fall i s t ~ Quo%ientenk~rper
Ausdehnung,
0 beschranken.
= 0.
B o = 0, da B o integer ist und B enth~lt den
K o yon B o. Man hat ein kommuta%ives
Diagramm
86
B
o ~
B/4~, "
=
Bo
und D(B) bzw. D ( ~
) sind die universellen Ausdehnungen yon D(Ko).
Man hat zwei exakte Folgen ~ D
B O D(K o ) Ko
~
D(B)
~
UD(~-.-)
0
und 0 Ko
und es emEibt sich ein kommutatives DiaEmamm mit exak%en Zeilen id
B/,m, e D(K o ) I<,o
A |
D(Ko)
~
~-
D(B)/--D(B)
D('~)
>
~
UD(~--)/,m, U D ( ~ - - ) - - . - ~ "'o -o
~-
Ko
0
Well ~ / K o
~4~
UD(~) %
0
9 o
O
separabel ist, da Char. k = 0 vorausEesetzt wur~e, erEibt
slch aus [2] , Satz 1, dab die Folge
=
UD(~)
exakt is%, und aus dem Diagramm folgt die Exaktheit der Folge
87
O
> ~
~
D(B)/~D(B)
Im folgenden sei [k:k p] = p e
-
>
D(~)
>
O.
falls ChaP. k = p > 0 ist.
Ist
Char. k = Ot so setzen wit e = O. FUr elnen endlich erzeugten Modul M bezeichne
p (M) stets die Minimalerzeugendenzahl
Lemma 3.1.3.
Es sei A 6 G 6 , O ~ ,
RingePweiterung
~
yon M.
und B sei eine endlich erzeugte
yon A. B sei integer,
L der Quotientenk~rpem
yon B,
K der yon A. Dann gilt Beweis.
p (D(L)) Ao~
= dim A + Trgr
A sei eine freie Algebra,
K O der quotientenk~rper algebraisch
(L/K) + e . so daS A Ober A o endlich is%,
yon A O. Dann ist dim A = dim A o, K ist Qber K O
und D(A) die universelle Ausdehnung
Transitivitat
dem universellen
Ausdehnung
yon D(Ao). Wegen der
darf angenommen werden,
daS
A schon selbst frei ist. D(L) ist dann die universelle
Ausdehnung
yon D(K) = K @ D(A), wobei A
A (D(K)) = dim A + e is% (Falls Char. k = p m 0 ist, wird hierbei und 2.3.3 benutzt). Die universelle Ausehnung bestimmen:
D(L) yon D(K) last sich nach [I]
, Satz 5
Wird L Ober K yon einem Element y erzeug% und ist y
2.3.2.
88
transzenden% fiber K, dann is% p (D(L)) = p (D(K)) + i, is% y separabel algebmaisch fbeP K, dann is% p (D(L)) = p (D(K)). GenGg% y GbeP K deP Gleichung
yP - ~ = O, wobei Char. k = p > O, ~ e K, ~ # K p
is%, dann is% D(L) = von~ w
L O D(K) 9 Ldy/ < 6 ~ > , wenn w K
in D(K) is%. Da ~ ~ K p und D(K) = UD(K) ~ 0 und es ePgib% sich
das DiffePen%ial
is% (2.3.2.), is%
p (D(L)) = p (D(K)) auch in diesem Fall.
DuPch Induktion ePgib% sich p (D(L)) = p (D(K)) + TPgP(L/K) im allgemeinen Fall und dami% die Behaup%ung.
FolgePun~ 3.1.4.
Es sei A e ~ , O ~ , ~
RingePwei%erung yon A, ~ = A~
/~ A~.
und B sei eine endlich ePzeug%e
aim PPimideal won B, ~ = ~ ~ A, ~ = B ~
/~
B ~
Dann gilt
P(D(B~
)) :
P( ~ B ~ ) + dim A/~
+ Trgr( ~
/~
) + e.
Beweis. Die Behauptung folg% aus 3.1.2., well nach 3.1.3. gilt: p(D( ~ )) =
dim A/~
Folgerun~ 3. I. 5. eines A 6 ~ ,
Es sei Be ~ ,
~ oder endlich erzeugte RingePweiterun E
~ sei ein Primideal yon B. Dann gilt
(Hierbei bedeu%e% dim~ :
+ Trgr ( ~ /4~ ) + e.
dim B% + dim B / %
).
B die ~-Dimension yon B: d.h. d l m ~ B --
,
89
Beweis.
Die Ungleichung ergibt sich aus
und dem Definition der ~ -Dimension. B = Ae
6~ , ~ , ~
, dens hat men
+ dim B / ~
+ e unmittelbar.
von A s ~ ,
damn auch B / ~
dim A/~
+ Trgr(~
Bememkun8 3vI.6.
/~
p(~
B~
) ~ dim B ~
Setzt man 3.1.4. speziell
p(D(B~
)) = p ( ~
B~
) +
Ist B endlich erzeugte Ringemweiterung yon A/~
) - dim B / ~
~ 6~. Nech 2.3.8 ist .
Die Ringe aus 1 ~ mind Restklassenminge
yon regu-
lates lokalen Ringen und daheP universelle Kettenminge i.S. yon [ 7 ] , Chap. IV, 5.6.
Ist mit den Bezeichnungen yon 3.1.4.
L sein QuotientenkOmper
B integem,
, K der yon A, dann gilt (vgl. [ 7 ] , Chap. IV,
5.6.1)
dim B ~
Folgemun~ 3.1.7. Ae
O~ , 6 ~ ,
L
- dim A ~
= Trgr(LIK)
- TrgP(~
I ~ ).
B sei eine endlich erzeugte Ringerweiterung usd ~_c ~
p(D(B~ ))
eines
salem zwei P1"imideale yon B. Damn gilt
p(D(B,~
)) :
p ( ~ B ~) -
,,(q
B~r )
dim
Dann ist nach 3.1.4.
pCDCB~ )) -pCDCB@ )) : - dim A / o 7' + T r g ~ ( (~ / ~
) - Trgr,( ~,,'/ " ~ ' ) .
) + dim A / ~
-
B,~,'~B~.
9o
Da Integritatsbemeiche aus 6~ , ~ dim A/~
- dim A / ~
- dim A / ~
und aus 3.1.6. ergibt sich
und A/~
):
+ TPg1"( ~ / 9 ) - TPg1"( ~'/ ~' ) = dim B ~
Fol~erun~ 3.1.8. (vEl. [ 16] ) der Ring B ~
aquidlmenslonal sind, ist
= dim A ~ / ~ A ~
(angewandt auf die Ringe B/~ dim A / ~
,~
Ist unter den VoPaussetzungen yon 3.1.7
aquidimensional, dann ist
p(9
-
p( Bo7
Beweis. Wenn B ~ aq,ldimmnsional ist, dann silt dim B ~ = dim B ~
/ ~ B~.
- dim B ~
. Da andererseiTs
p (D(B~))
/~ B~ =
=~ p (D(B~)) ist,
folgt die Behauptung aus 3.1.7.
3.2.
Re~ularitatskriterien
Satz 3 . 2 . 1 .
Es sei B6 ~ , ~
odem eine endllch erzeugte Ringer~eite-
rung eines A 6 0~. ~ sei ein Primideal yon B. Genau dann ist B ~ eln regulamer lokalem Ring, wenn
@(D(B~)) a dim ~
B + e
gilt. Beweis. Naeh 3.1.5. gilt stets die umgekehmte Ungleichung und die Gleichheit gilt genau dann, wenn
p ( ~ B , ) = dim 9 B - dim B ~ = dim B ~
91
ist, d.h. wenn B ~ regular ist. BemePkuns.
Das KritePium gilt i.a. nlcht mehr fOP endlich erzeugte
Ringers~eiterungen eines A 6 ~ , = 2
dim~ B = dim B ~ =
$atz 3.2.2.
~ . In Belspiel 2.3.9 ist
p(D(B~)) =
1 und tPotzdem ist B~regul~P.
Es sei BE ~
u n d ~ sei ein Primideal yon B. Falls
Char. k = p > O ist~ soll B ~ reduziePt seln. Dann sind folgende Aussagen ~quivalent: a) B ~ ist ein regul~rer lokaleP Ring. b) D(B~ ) ist ein fPeieP B~-Modul. Beweis. ~
$ ~ sei ein PPimideal aus B mit dim B~ = dim B ~ / ~ B ~
.
Nach 3.1.7. ist dann
Wenn B ~ regul~r ist~ dann ist also ePst recht ~ B ~
p(~
= O und B ~
B~
) = dim B~ und ~ B ~ = O~
ist deP QuotlentenkOPpeP yon B ~
Aus ( @ ) folgt
p(D(B~)) =~(D(B~)). Weil B~ deP 0uotientenk~Ppe~ von B ~ fPei ist.
ist~ fol~t hiePaus~ da~ D(B~ )
.
92
Wenn D ( B ~ )
ein fTeieT B~ -Modul ist, dann ist auch D ( B ~ ) ein
fTeieT B ~ - M o d u l
und p ( D ( B ~ ) )
= p(D(B~)).
WiT zeigen, da~
B ~ = 0 is%. F~T ChaT. k = p 9 0 eTgibt sich dies aus deT Vomaussetzung~ dab B ~
Teduziert sein soll. Ist ChaT.k = 0, so hat man die
exakte Folge (3.1.2.) 0
,
o/B
Angenommen,
B o1 es ist x ~ ~ B~ , x
>
r (-,'~'Br
. Dann kann dx in eine Basis
yon D(B~ ) aufgenommen werden. Andererseits besteht ~ B~ potenten Elementen yon B~ . Ist x p px
D(B~
= 0, x p'I
num aus nil-
& 0, so folgt
dx = 0. Well Cham. k = 0 ist, ist p Einheit in By
x p'I dx = 0. Dies widerspTieht
deT Tatsaehe,
und somi%
dab dx in eine Basis yon
) aufgenommen weTden kann. Mithin ist q B~ / ~
folglich auch ~ B~
= 0. Aus (~6) eTgibt sich ~etzt
B~
= 0
und
p ( ~ B# ) - dim B~ = 0,
d.h. dab B~ Tegulam ist.
Im folgenden bezeichne dh(M) die pPojek%ive t(M) die Tiefe
Satz 3.2.3.
(homologische Kodimension)
Es sei ChaT.k = 0 und B % 1 ~
0.
(homologische)
Dimension~
eines Moduls M.
. Ist h d ( D ( B ) ) < , ~
, dann
93
ist B reduzierT. Beweis. ~ auch
sei ein zu (0) assoziiertes Primideal yon B. Dann ist
hd(D(B~ ) ) < ~
und es gilt
hd(D(B@ ))
+ t(D(B~)) = t(B~ ).
Da t(B~ ) = 0 ist, ist hd(~(B~ )) = O, folglich B~ regular. Mithin ist B~ ein KSrper. Es folgt, dab das Nullideal yon A Durchschnitt yon Primidealen ist, fol~lich ist A reduziert.
3.3
Aus~ezeichnete RinEe.
Aus unsemen differentiellen ReEularit~tskPiterien in 3.2. und unsePer Kenntnis des Verhaltens des Differentialmoduls beim OberganE zur KomplettiemunE (vEl. 2.4.) folgt, dab die RinEe a u s ~ , ~ n allgemeiner a u s ~
, Z~,
, ~,
ausgezeichneT (excellent) i.S. yon Grothen-
dieck sind. (vgl. dazu [ 7] , chap. IV, w 7 und [ 14] ), allePdings f~m Char.k = p > 0 un%er deP zusatzlichen VorausseTzung I k:kP ] < ~ . Unter diesem Voraussetzung folgt dieses Ergebnis auch aus dem in[7}, chap. IV.~prem.paPtielw 22 yon chap. 0 anEegebenen Regularitatskmitemium (22.3.2.). In [ 12] werden die Emgebnisse dieses Abschnittes f~m beliebiges k bewiesen.
9#
Satz 3.3.I:
Es sei
A : S -1 9 A' mit (A',S) 9 sl 6~oder A 6 6 ~
die Komplettierung yon A, i: A A
Spec(i) : Spec(A)
9
,
~ A die kanonische Injektion,
Spec(A) die zugeh6rige Abbildung dam Prim-
spektren. Rag(A) sei der regul~re OPt yon A, d.h.die Mange aller e Spec(A), far die A ~ ReE~)
=
regular int. Dann Eilt: Spee(1)-1(Reg(A)).
Beweis. Zu zeigen ist, dab fQm jades Primideal ~ a A und ~edes Primideal ~ A~
cA mit ~ ~ A = ~ gilt:
~
ist genau damn megul~r, wenn
regular int.
Da A Ober A treuflaeh ist und folgtlich auch A ~ aus der Regularitat yon A~
die yon A~
~ber A~
, folgt
nach [7] , chap. IV, prem.
pattie, (17.3.3.1). Umgekehrt sei jetzt A~
regular. Wit d~rfen O.B.d.A. annehmen, da~
A lokal und integer ist: Denn es ist A~
= (A/~
ein minimales Primideal von A ist, und A ~ A~
- O. Sind fernerd~v 1''''' ~ n
= (A/~
)~
, wenn ~ i ~ )~
wegen
die maximalen Ideale yon A,
a~
dann ist A = iW__1A ~ yon A, etwa~ c_~l ~
und ~ ist enthalten in einem maximalen Ideal • i=2 ~
A4'~"J" Es
folgt
A~ =
(A~,~)~ und X ~ = (
)~,
95
Da A~
regular ist, ist nach 3.2.2.
Nach 2.q.2 ist ferner
D(A~ ) ein freier A ~ -Modul.
D(~ ) = A O D(A) und somit D ( ~
) = ~e
A folglich ist D ( A ~ )
D(A~),
A~
ein freier A ~ - M o d u l mit p (D(A~))
= p(D(A~ )) =
= dim A + e (e = 0 im Fall ChaP.k = 0).
Es gilt A = R/~
, ~ = R/ ~ R ,
wobei R e i n
regularer lokaler Ring
und ~ ein Pmimideal in R ist. A ist daher speziell Faktorming eines Cohen-Macaulay-Rings und nach [23] , IV-26, Th 7 gilt fOP jedes zu assoziierte Primideal ~ : dim A/~
= dim
R/~
Mithin ist A aquidimensional und d im ~
= dim A.
A = dim A = dim A. Es folgt
P ( D ( A ~ )) = dim A + e = dim ~ A + e und hieraus nach 3.2.1., da~ A ~
Satz 3.3.2.:
Ist B E ~
regular ist.
, so ist der regulate 0rt ReE(B) E Spec(B)
offen bezOglich der Zariski-Topologie yon Spec(B). Beweis.
Wit zeigen zuerst, da~ es genOgt, B integer vorauszusetzen.
Es s e i e n ~ i (i e I) die minimalen Primideale yon B, W( ~ i ) = = { ~ 6 Spec(B);
~ ~
~i]
" Dann ist Spec(B) =
~J W( ~ i ) i~ I
96
die Zerlegung yon Spec(B) in irreduzible Komponen%en. Ist 9 W(~i) und B ~
nicht reduzier% o d e r ~ e W ( ~ i ) ~ W ( ~ j ) i
mi% i ~ j , dann ist B~ nicht regular, da es Nullteiler enthalt. Reg(B) liegt also in deP offenen Menge U yon Spec(B), die aus allen ~ besteht, fQr die es genau ein ~ i ~ ~ gib% und for das ~berdies B ~
reduziert ist. FOr ~ e U ist ~
minimale Primideal yon B~ ~ BI = (O) und B~
~ well B~$
= (B/~)~
Reg(B/~i ) offen in S p e c ( B / ~
B~
das einzige
reduzier% isT, folg%
. Wenn wit gezeig% haben, da~ ) = W(~6
) ist, dann folgt, da~
auch Reg(B) offen in Spec(B) is%. Es sei jeTzt B integer. Nach 3.2.2. ist f~r ~ e $pec(B) genau dann B~
regular, wenn D(B)~ ) ein freiem B~ -Modul is%. Die Menge dieser
Primideale ist abet offen in Spec(B). Es emgibt sich nun: Sa%z 3.3.3.:
Die Ringe aus ~ , ~ ,
~
~
sind ausgezeichnet i.S
von Grothendieck. Beweis. Da diese Ringe samtlich universelle KetTenminge sind, genOgt es zu zeigen~ dab
97
a) FUr jedes maximale Idea144~C Faktorring C = B ~ / ~
B & ~,~,
~ , jeden integeren
und jede (als C-Modul) endliche mein-inse-
parable Erweiterung A v o n
C gilt: Ist ~ die Komplettierung
semilokalen Rings A und i:A--~
~ die
des
kanonische Injektion, dann
ist Reg(A) = Spec(i) -I (Reg(A)).
b) FUr ~edes B G ~
, jeden integeren FaktorPing C = B/~
und jede
endliche, rein inseparable Erweiterung A yon C gilt: Reg(A) ist offen in Spec(A). Aus a) folgt dann, dab jede Lokalisierung
B'~
eines ~bem einem B m
endlich erzeugten Ringes B' nach einem Primideal ~
(und damit jeder
Ring aus ~ ~ ) wiedem die Eigenschaft a) besitzt (vgl. [12] ). Zusammen mit b) besagt dies abet: Jedes B' & ~ B~
e ~ist
ausgezeichnet.
Bewels yon a): Zu ~ ' und dann isT Es ist C ~ ~ , yon der Form
und damit auch jedes
~ibt es elm Primideal ~ r B, so dab q ' = ~ m '
C = (S/~)m, 6(/4%, ~ L A = S -I
B/~
e ~,~
,
, und die endliche Er~eiterung A yon C ist
A' zu (A',S)e
~6/
odem A e ~ b z w .
A & ~ .
98
In den ersten belden F~llen ist dann die Behauptung gerade Satz 3.3.1., im letzten Fall ist sie trivial.
Beweis yon b): Mit B ist auch C und A a u s ~
. Die Behauptung folgt
also aus 3.3.2.
3.4. Anwendung der Regularit~tskPiterien auf die Bedingungen R k u. Sk
F ( l r die Gmundtatsachen Qber die Bedingungen R k und S k vgl. [ 7] , Chap.
IV, S 5. Satz 3.4.1.
Es sei A E ~
und ~ eln Primideal von A. Es gelte hd (D(A~))
< ~ und wenn Cham.k = p > O
ist, sei A M
D(A~ ) die Bedlngung S~, dann emfQllt A~
reduziert. Dann gilt: ErfOllt die Bedingungen Sk+ I u n d
R k (k = O,I,...). Beweis. FOr jedes Pmimideal ~ yon A mi% ~c_ ~ gilt
(~)
hd(D(A~ )) + t(D(A~))
= t(A~).
Da nach Vomaussetzung t(D(A~)) =~ Inf(k,h(~))
ist, ergibt sich
t ( A ~ ) -~ Inf(k,h(~ )) + hd(D(Aq )). Ist hd(D(A(~ )) = O~ also D(A~ ) fmei, dann ist A @ regular und
tCA~) = h(~).
99
In ~edem Falle ergibt sich daher t(A~ ) ~ Inf(k+1, h ( q ) ) . Es sei nun ein ~
mit h ( ~ ) ~ k gegeben. Dann ist t ( A ~ )
und anderePseits auch t(D(A~ )) 9 h ( ~ ). Aus ( @ )
= h(q)
emgib% sich, da~
hd(D(A~ )) = O ist, d.h. da~ A ~ ein regulamer lokaler Ring ist.
Bemerkun~ 3.4.2.
R sei ein meduziePteP noethemschem Ring, Q(R) sein
vollem 0uotien%enming, M ein endllch ePzeug%em R-Modul. Dann sind folgende Aussagen gleichwer%ig: a) M ePfOllt S I. b) FOr alle ~
E Ass(M) ist h ( ~ )
c) Die kanonische Abbildung M
= O. ~
O(R) 9 M i s t
in~ektiv.
R
Ist R sogam integem~ dann besagen die Bedingungen, da~ M tomsionsfmel ist.
Folgemung 3.4.3.
ErfOllt D ( A ~ )
die Bedingung $I~ dann ist A~
unter den Voraussetzungen von 3.4.1
eln ganzabgeschlossener Integ~itats-
bemeich (und D(A~ ) ist torsionsfPei). Beweis.
Nach dem Kmitemium von SePme ( [7] , chap. IV, w 5) ist A ~
normal. Da A ~ ein lokaler Ring ist, is% A ~
auch integeP.
100
Bemerkung 3.4.4.
Ein Modul M Ober einem Ring R heist bekanntlich
reflexly, wenn die kanonische Abbildung in seinen Bidualmodul bi~ektiv ist. Ist R e i n
ganzabgeschlossener noetherscher InteEritats-
bereich und M ein endlich erzeugter, torsionsf~eier R-Modul, so sind nach [ 21] , Prop. I folgende Aussagen aquivalen%: a) M i s t
reflexly.
b) Jede R-regulate Folge (a,b) ist auch M-regular
Fol~erung 3.4.5.
Ist D ( A ~ )
reflexiv, dann erfQllt A ~ Beweis. Wit setzen A ~ Abbildung
D(R)
>
unter den Voraussetzungen von 3.4.1.
die Bedingungen S 3 und R 2.
: R. Wenn D(R) reflexiv ist, dann ist die O(R) | D(R) injektiv. Nach 3.4.2 erfQllt D(R) R
die BedinEung S I u n d
nach 3.4.3 ist R e i n
ganzabgeschlossener Inte-
gritatsbereich und D(R) ein torsionsfreier R-Modul. Nach 3.4.4 ist jede R-regulate Folge (a,b) auch M-regular. Es sei ~ e Spec(R) mi% h ( @ ) = r 9 I gegeben und q'K ~
ein Prim-
ideal mi% h(q' ) = I. Wit wahlen a~ ~' , a # 0 und setzen R = R/(a), =~
/(a). Dann is% h( ~
) = r-1 9 O. Da R die Bedingung S 2 erfQllt,
101
erfOllt ~ noeh $I, d.h. es ist ~ ~
Ass(R) und ~ enthalt einen
Nichtnullteiler ~ yon R. Es folgt, dab ~ eine R-regulate Folge (a,b) enthalt. Da diese auch M-regular ist, f61gt
t(M ~
) ~ 2 =
= Inf(2,h(~)). Mithin erfOllt M die Bedingun ~ S 2 und nach 3.4.1 erfUllt R die Bedin~ungen S 3 und R2. Satz 3.4.6 fOllt A ~
~ sei ein P~imideal von A e ~
und hd(D(A~))
9 I. Er-
die Bedingungen Sk+ 1 und Rk, dann emfOllt D( A~ ) die Be-
dingung SkBeweis. q ~
~
sei ein Primideal yon A. Ist h ( ~
aus Rk, da~ hd(D(A~ )) = 0 ist, und aus ( ~ ) t(D(A~
)) = t(A~ ) = h ( ~ ) .
ist naeh Sk+ I
auch t ( A @
t(D(A~ )) ~ T ( A ~ )
Folgerun~ 3.4.7.
) 9 k, dann folgt
er~ibt sich
Is% anderemseits h( ~ ) ~
) 9 k+1 und aus ( ~ )
k + I, dann
ergibt sich
-I ~ k. In jedem Fall ist also t( D( A@ )) ~ Inf(k,h(~)).
Ist A ~
unter den Voraussetzungen yon 3.4.6 nommal,
dann ist D(A~ ) torslonsfrei. Folgemun~ 3.4.8.
E~@Oll% A ~
unter den Vomaussetzungen yon 3.4.6.
die Bedingungen S 3 und R2, dann ist D(A~ ) reflexly. Beweis.
Wim setzen wieder A ~
= R. R ist no~m~l und D(R) erfQllt naeh
102
3.4.6 die Bedingung $2, ist daher insbesondere torsionsfrei. (a,b) sel eine R-regulate Folge aus dem
maximalen Ideal yon R.
Da D(R) tomsionsfrei ist, ist a auch Nichtnullteiler for D(R). Da D(R) sogar S 2 emfOllt, erfOllt D(R)/ad(R) als R/(a)-Modul noch dieBedingung
S 1. D a b
Nichtnullteiler for R/(a) ist, ist b nach
nach 3.~.2 auch NichtnullteileP fOP D(R)/ad(R), d.h. (a,b) ist auch eine D(R)-regulare Folge. Nach 3.~.4 ist D(R) reflexly.
3.5.
CharaktemisierunE lokaler vollstandi~er Durchschnitte:
R sei ein noetherscher lokaler Ring, der sich als Faktorring eines megularen lokalen Rings schreiben l a ~ t . ~ s e i
das maximale Ideal yon R.
Es gibt dann immer auch einen regul~ren lokalen Ring S und ein Ideal r
yon S, so da6 gilt:
Ideal yon S, so ist ~
R = S/~
, dim S = p ( ~ ) .
~v ~ und jedes regulate
S geht bei der Abbildung S
Ist ~ das maximale
Parametersystem von
R Ober in ein kOrzestes Emzeugenden-
system v o n ~ .
Satz
3.5.1.:
enthalten, ~
$1, S 2 seien regulate lokale Ringe, die einen K6mpem s
S i Ideale (i=1,2), so dab gilt:
~03
S1/utr
R=
$2/~ ) und dim S 1 = dim S 2 = p (~).
Dann sind die R-Moduln
~%4/O~2und
Beweis: a) $I) 3 2 seien komplett.
o~/o~isomomph Da S 1 formal glatt im Sinne yon
GPoThendieck Ober dem in S I enthaltenen PPimk~rper ist (vgl. [ 7 ] Chap. O, w 19)) gibt es einen lokalen Homomomphismus
~ : S1
>
$2)
der das Diag~amm
~t
,S1
/
$2~ kommutativ
macht. ~
)_ R
fOhrt ein regulames Parametersystem von S I
in ein regul~res Parametersystem yon S 2 0 b e m Isomomphismus
der RestklassenkOrpeP.
und induziemt einen
Da beide Ringe komplett sind) 4
ergibt sich sofort, daS ~ ein Isomomphismus ( ~ i ~" ) = ( ~ )
ist. Insbesondeme
ist
und es folgt die Behauptung. Dann is% R=
b) SI) S 2 seien beliebig. Aus a) und wegen o(,( Si =
~
9 ~ Si
$1/,r
$1 =
$2/ ~'f'~ ~
ergeben sich folgende Isomorphis-
yon R-Moduln: A
R
A
S2
SI
~,
~t, I $1 lot, 4 $1= or S1
A
S2
R
S2/(~r, ~ S2-
IO4
Es erEib% sich hieraus~ da~
~/
o~4~ und
~IC%&
als R-Moduln iso-
morph sind (vEl. [ 7] , Chap. O, 7.8)
Is% R = S / ~ ,
wobei S ein ~eEul~re~ lokaler Ring ist, der elnen
K6mpem en%hal% und dessen Dimension = q (,~v) is%, dann bezeichnen wiP den nut yon R abhangenden R-Modul ~ t / ~ ~ mi% T(R).
BemerKung 3.5.2:
T(R) ~ TOrsI(R,R).
Beweis. Aus dem exak%en FolEe yon S-Moduln 0
~ ~
~
S
~
R
emEibt sich dutch TensoPierun E mlt R = $7(~ die exakte FolEe
0
TOrSI(R,R)
~
~I~
>
S/C~
---~
......
Da ~ / c ~ ~
~
S/c~ die Nullabbildun E ist, folEt die BehauptunE.
Is% A 9 ~
, dann gibt es immer einen reEula~en lokalen Ring F6 ~ .
so dab A in der anEegebenen Am% Fak%orrinE von F isz.
Sa%z 3.5.3:
A 6 ~
sei reduzier%. Dann sind folgende Aussagen
aqulvalen%: a) A is% ein lokaler volls~andiger Durchschni%%. b) T(A) ist ein fmeier A-Modul, c) T(A) erfOli% S I u n d
es is% hd(D(A)) ~ I.
~
0
105
Beweis. a)~---~ b). Sehmeibt man wie oben angegeben A : F / ~
,
und ist A lokalem vollstandiger Durchsehnitt, dann w i m d O ~ v o n
seiner
F-regularen Folge emzeugt und es emgibt sieh, da5 T(A) = ~ / r ein fmeier A-Modul ist, ([7] , Chap. O, (15.1.9)).
Umgekeh~% sei diese Bedingung jetzt erfOllt. Ist d a n n ~ Primobe~ideal yon ~ , so ist c% F~ Ferner ergib% sieh,weil F ~ dim(F~
)
~F~
, well A reduziert ist.
megulam ist,
= q (~)
Dies zeiE% , daS dim(F/~ )
=
ein minimales
: dim (F) - dlm(F/~
).
fOP alle minimalen Pmimobemideale yon
dieselbe Zahl is%, namlich dim F / ~
= dim A. Aus q ( ~ )
: dim F -
- dim A folEt, da~ A lokalem vollstandiEem Dumehschnit% is%.
b)~---~ c). und~
Es sei wiedem ~
ein minimales Pmimoberideal yon
sein Bild in A. Dann hat man eine exakte FolEe 3.1.2: 0
~
~.F ~ /~
F~
>
D(F~
)/ ~
O(A) sei den volle Ouo/ien/enring yon A und ~ malen Primideal yon A. Da O(A) = " dem kommutativen Diagramm
A~
D(F~
) ~
D(A~ )
durehlaufe die mini-
ist, ergibt sieh, da~ in
-- O.
IO6
D ( F ) / ~ D(F) r
Q(A) 9 c ~ l ~ ~ A
~
Q(A) 9 D(F)/c~ D(F) A
*
D(A) Q(A) ~ D(A) A
m
0
~
0
aueh die untere Zeile exakt ist. Ist nun T(A) ein freier A-Modul, dann &
iSt die Abbildung ~ / auch o~/ o~
>
o~ ~
~
D(F)/~D(F)
O(A) 9 ~ / c ~ A
injektiv. Dann ist abet
injektiv und es folgt, dab hd(D(A))~ I
ist, da nach 3.2.2 auch D ( F ~ D ( F )
ein freier A-Modul ist.
Ist umgekehrt c) erfOllt, dann folgt aus S I u n d
3.4.2 wie eben, dab
die Folge 0
>
o~l~t ~ ~
D(F)/c~D(F)
~
D(A)
~
0
exakt ist. Wegen hd(D(A))~ I ergibt sich, dab T(A) = ~ / ~ f r e i
Folgerung 3.5.4.
(vgl. [ 9] , [ 17] und [ 2~ ] ). A e
~sei
ist.
reduziert
und vollstandiger Durehschnitt. Genau dann ist A normal, wenn D(A) die Bedingung S I erfGllt. Genau dann e~f~llt A die Bedingung R2, wenn D(A) reflexiv ist.
3.6. Eine verzwei~unEstheoretische Anwendun~. A ~ B seien zwei Ringe.
I07
Definition 3.6.1. (oder B@
Ein Primideal ~ yon B heist unverzweigt Ober A
heiBt unverzweigt 8bet A), wenn gilt: Ist ~ = ~ ~ A, so
ist ~ B @
= ~B~
und B ~
/~
B~
ist separabel algebraiseh Gber
I V A? Lemma 3.6.2.
B sei eine endlich erzeugte Ringerweiterung yon A,
ein Primideal von B. Genau dann ist ~ B~
UD(x-)
=
o
i
unverzweigt Qber A, wenn
t.
Der Beweis ergibt sieh leieht aus [ 2 ], Satz I. Satz 3.8.3. (vgl. [iO] ). A S B seien Ringe aus ~ .
B sei endlieh
erzeugte A-Algebra und flaeh 8bet A, B sei reduziert und f~m jedes minimmle Primideal ~
yon B sei der KSrpem B W
KOrper A ~
~ A). Die Lokalisiemungen yon A und B naeh
( ~ = ~
separabel Ober dem
allen maximalen Idealen seien vollstandige Durchschnitte. A ePf~lle die Bedingung R I. Dann gilt: Jedes Ober A verzweigte Pmimideal yon B enthalt ein vemzweigtes Pmimideal der HOhe I. Beweis. FOP jedes minimele Primideal ~ yon B ist die Folge
0
-- B~ |
D(A)
~
B~|
D(B)
exakt~ weil naeh Voraussetzung BW
~
B ~ OB UD(~)
~ber A~
~ 0
sepamabel ist ([ I], Satz 5).
108
Ist Q(B) der volle 0uotientenring yon B, so ist Q(B) = ~ wenn ~
B~
,
alle minimalen Primideal yon B durchlauft. Man erhalt ein
kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen
A
0
r
r
Q(B) ~) D(A)
~
r
O(B) | D(B)
A
>
Q(B) |
B
B
UD 7[ ~
O.
B
Da A lokal ein vollstandiger Durchschnitt ist, ist hd(D(A)) 9 I nach 3.5.3.
Da A die Bedingung R I erffillt, ergibt sich aus 3.~.6, dab D(A)
die Bedingung S I erffillt. Da B fiber A flach ist, erffillt auch der BModul
B @ D(A) die Bedlngung SI, denn nach [ 7 ] , Chap. IV, 6.I und 6.3 A
ist ffir jedes Primideal ~
von B einerseits
= dim(D(A)(~) + dim B~ /~ B~ , wenn ~ = ~ t(B@ | B~
D(A)~)
=
A ist, anderemseiZs
D(A) ~ ) : t(D(A)~ ) + t(B@ /~ B~ ). Benutzt man, dab die Ringe
und A ~
Cohen-Macaulayringe
Formeln for B~
und A q
dab dim B~
B~
SIvon
dim(B~ O
/~
sind, so liefern die entsprechenden
ansTelle von
= t(B~
/~
B~
B~
|
D(A)~
und D(A)~
sofort,
) ist. Hieraus folg%, dab sich
D(A) auf B @ D(A) fibertr~gt: A
t(B~| D(A)~) A
-- t(D(A)~ ) + t(B~ / ~ . B ~
) -~ Inf (I, aim A T ) +
+ t(B~ / ~ ' B ~ ) -~ Inf(1, dim A~+ t(B~ / ~ . B ~ )) = Inf(1, dim B? ).
IO9
Nach 3.4.2 isT dann
B ~ D(A)
Q(B) @ D(A) injektiv und aus dem A
obigen Diagramm folgt die Exaktheit der Folge
O
9 B @ D(A) A
~ D(B)
0
Da B lokal vollstandiger Durchschni%% und reduziert ist, ist hdB(D(B)) ~ I. Ferner is%
hdB(B ~ D(A)) ~ hdA(D(A)) ~ I. Es folg% A
hdB(UD ~ )) ~ I Die verzweigten Primideale yon B Ober A bilden nach 3.6.2 gerade den T1~ge~ yon UD(B). Wi~ zeigen, da~ Ass(UD(~))nut aus Primidealen der H6he = ~ I besteht: Is% ~ ein Primideal des Tragers yon UD (~) mit h( ~
) ~- 2, dann is%
B~
Bq
110
Absolute Re~larit~t.
4* l*
Kennzeichnan~ absoluter Regularitgt mit Hilfe des Differentialmoduls
Es sei A ~ ~ , ~ j
oder ~
Definition 4.1.1.
A~
und ~ ein Primideal von A.
heiBt absolut resulgr Gber k, wenn fur jeden kompletten
bewerteten OberkSrper K des GrsndkSrpers k und Jedes Primideal ~ pererweiterung A = A @ K (vgl. 1.4. ) mit ~ k
n
A = ~
der GrundkSr-
der lokale Ring A ~
regular
ist. Bemerkun~
Ist A ~
abselut regul~r ~ber k, so ist A ~
~eometrisch re~ulgr
~ber
k i.S. yon [7], chap. IV, d.h. fGr jeden Uber k endlichen KSrper K ist der semi ~ lokale Ring A ~ Beweis:
K = (A ~k K ) ~
regulgr.
K ist als endliche Erweiterung des kompletten bewerteten KGrpers k
komplett bewerteter OberkSrper yon k und es ist A ~ K = A @ K. k k Wir wollen Kriterien f~r absolute Regularitgt mit Hilfe des in 2.2. und 2.~. definierten Differentialmoduls D(A--~k) = D ( ~ ) ~ A ~ Definition 4.1.2.
gewinnen.
In diesem Paragraphen bedeutet ~D(A) stets den in 2.2. und
2,3. definierten Differentialmodul Gber k: D(A) = D(~). Anders als in # 3 wird hier nicht vorausgesetzt, dab [k:k p] <e~
sein soll, falls
111
Char k = p > 0 ist. Lemma 4.1.).
B ~ A seien Integrit~tsbereiche aus
endlich Gber B. Dann ist
~(D(B[,)))
, ~oder
~(D(A~,))). Ist
~
und A sei
A(o)Gber B~,) separabel,
dann gilt das Gleichheitszeichen. Beweis:
D(~(oJ ist die universelle Ausdehnung yon D(B(o)). Die Behauptung ergibt
sich unmittelbar aus der Konstruktion der universellen Ausdehnung.
([l~,Satz 5),
falls A (,)Gber Bt,) yon einem Element erzeugt wird. Auf Grund der Transitivit~t der universellen Ausdehnung folgt sie dann allgemein. Lemma 4.1.4.
B ~ A seien Ringe aus ~ ,
~
oder ~
Ferner sel B integer und A sei B-torsionsfrei, und D C B ~ ) Beweis: A
sei ein freier B~- Modul. Dann ist Es sei ~
_c ~
~
B
~ ~(DCA~)).
ein minimales Primideal yon A. Dann ist ~W~nB ~ (0), da
~(D(A/~)~e) ) _> ~(D(B(~))). Da D ( B ~ ) f r e i
Satz 4.1 ~.
ein Primideal von A, ~ = ~
~(DCBo/))
B-torsionsfrei ist. Man hat eine Injektion B
ergibt sich jp(D(B~))
und A sei endlich Gber B.
= f(D(Br
Ist A ~ ~ ,
is~, ist ~ , ( D ( B ~ ) ) =
) _~ ~(D(A/~)(o)))
~,z oder ~" und ~
f(D(A~))
) A/~,~ und nach 4.1.3. ist
>_ d i m ~ A
f(D(B(o)) ). Es
z f(D(A/44)~))
_z f (D(A~)).
ein Primideal yon A, so ist stets
112
$o
Beweis: A I .. A/~o
c ~
sei ein Primideal yon A mit dim A/~ o
gibt es einen freien Ring B - kB{<<X4,...,Xn>> ]~ "_ A' ,
, ~ l i o h ~b.r B i , t
~. ,.i ~i
ist ein freier B~-Modul. Lemma 4.1.6.
. ~/~o
. Dann ist A ~
und D ( A ~ ) = A~ A ~ D ( A ~ ) .on A ~ibt ~
dab
A'
~ -
~(D(B~))
_~ ~(D(A'~')) _4 ~,(D(A~)).
und K sei ein kompletter ~ewerteter Ober-
treuflach Uber A ~ (folglich dim A #
(folglich f ( D ( A ~ ) )
ein P~i.lde~Z e
Nach 1 . 4 . 4 .
ist
~o(~( e i n e maximale durch ~
.... (~-
E dim A ~ )
f(D(A~))). Zu jedem Primideal ~nd d i ~
~ber A, f o l g l i c h
~ ~_ dim~A.
auch A#~ ~ber A ~ .
in A mit
~(~h+~(...
~n
Mithin gibt es ein Primideal ~..~ ist treuflach Gber A # . . 4 .
Die
Es s e i J e t z t
(
gehende P r i m i d e a l k e t t e yon A. Da A t r e u f l a c h
gibt es ein Primideal ~.
idealkette in A
-
in ~ ~it ~ ~ A - ~
A treuflach
z w e i t e Behauptung f o l g t aus 2 . 5 . 2 .
A~..4
~
so
sei ein Primideal yon A und ~ ein Primideal yon A = A | K
mit ~ n A = ~
A~..
~nd
Nach 4.1.4. folgt n -
Es sei A ~ ~, ~ ,
kSrper yon k.
Beweis:
= d i m ~ A = n. In
A = #~ ( ~.
und A # . mit
~ber A i s t ,
ist treuflach Gber
#Pn-~ ~
A = ~a.~
und
So fortfahrend, konstruiert man eine Prim-
113
~ o C ~I
.it
C ...
C ~h "
~i ~ A - ~i (i-O,...,n).
Satz 4 . 1 . 7 .
~ C ~h+4 C ...
C ~n
Es rol~t d i ~ ~ > d i ~ A .
Es sei A s ~ / , O ~ = , I
und ~
sei e i n P r i m i d e a l , v o n A. Dann sind
folgende Aussagen ~qaivalent: f ( D ( A ~ ) ) ~ dim~ A (und damit auch nach 4.1.5.
b)
f(D(A#)) = aim~A).
Zu jedem vollkommenen kompletten bewerteten OberkSrper K yon k existiert in = A ~ K sin Primideal
~ mit ~ ~ A = ~ , so dab A ~
regular ist.
b') Es gibt einen vollkommen kompletten bewerteten OberkSrper K yon k und in = A~K k
sin Primidsal ~
mit ~
A - %,
Aus den Bedingungen a), b), b') folgt, dab A # A#-Modul Beweis:
so dab A ~
regulKr ist.
regular und D(A~)
ein freier
ist. Aus a) folgt b): Nach 4.1.6. gibt es in A sin Primideal~
n A = ~
und dim~A ~ dim#A.
Es folgt f(D(A#))
= f(D(A~))&
Da K vollkommen let, regibt sich aus 3.2.1., dab A ~
regulKr ist.
mit dim#A ~ dim~A.
Nach 3.2.2. ist D(A#)
ein freier A#-Modul.
Da A ~
A~
ein freier A~-Modul.
Dies zeigt, dab aus b) die letzte
regular und D(A~)
Behauptung des Satzes folgt.
treuflach Gber A ~
ist, ist auch
11~
Aus ~') folgt a):
~' sei ein minimales Primoberideal yon ~ A mit
Dann ist auch A~
regul~r und treuflach Gber A ~ dim A~, = dim A ~
,eil dim (A/~ A)~' - dim A ~
= dim A/~
= f(D(A~.))
= dimr
~'~
~
.
und folglich ([7~, chap. IV, ~ 6 )
+ dim (A/~ A)~'
= dim A ~ .
= 0 nach Wahl yon ~' . Andererseits ist dim A/~' ~ dim A / ~ A und es ergibt sich dim ~, A ~ dim~A.
=
Es folgt ~ (D(A~)) -
~ dim~A.
Wir bezeichnen im folgenden mit
~
die volle Unterk~tegorie yon
&~'m , bestehend
aus allen Restklassenringen von konvergenten Petenzreihenringen Gber k, analog mit ~ ' d i e volle Unterkategorie yon ~ ,
bestehend aus allen Restklaseenringen yen
formalen Potenzreihenringen Gber k. Alle minge aus
~J
und
~'sind
lokal mit
dem RestklassenkSrper k. Wir benutzen das bekannte Lemma 4.1.8.
Es sei A s ~ ,
~' und x4,.. ,Xn ein Parametersystem yon A. Dann
ist ein Ringhomcmorphismus ~: k[{X,,...,Xn} ~
) A, der X i in x i ~berfUhrt,
injektiv und A ist ein endlicher Modul Gber dem Bild k~{x4,.. ,In}~ yon ,. Ist umgekehrt A endlich Gber einem freien Unterring k[{X ,...,Xn}~, dann bilden X~,...,X n ein Parametersystem yon A. (FGr A ~ ~ m ' Satz 4.1.9. ~(D(A~))
Es sei A ~ ~ , ~ n ~ dim A = n i s t .
,
Dann gibt
und ~
vgl. [3], exp. 18, Th l,Cor. 3).
ein Primideal yon A, soda8
es einen
rreien
Unterring
B = k[{<<X~,...,Xn>>}~
yon A, so dab A endlich ~ber B ist (kurz: eine Noethersche Normalisierung yen A)
115
und dab A S
Uber B ~
Abbildung B ~
( ~ = ~n
~ A~
diesem Fall ist A ~
B) unverzweigt ist (vgl. 3.6.1.) Die kanonische
ist genau dann injektiv, wenn d i m ~ A unverzweigt und flash Gber B ~
= dim A gilt. In
( 9 ~tale" i.S. yon Grothendieck
[8], e p.l). BeweisL
a)
A ~ ~.
Wit zeigen zuerst, dab es gen~gt, maximale Ideale zu betrachten.
Iet f ( D ( A ~ ) ) - m, so gibt es e i n s yon A m i t s ist ~
$ ~
= ~4~,
auoh wenn ~
#(D(A~))
9 mist.
~ ~(D(A~)))~
Da A ein Jaaobson Ring ist (vgl. [25]),
von A nit ~
damit ~quivalent, dab D ( B ~ )
= D(~)~
D(~)
0
Es sei ~etzt ~
= ~
A~= A4~
2 ~
durohlKuft.: Es
und s ~ ~ ,
d.h.
dim A. Es sei nun schon ein noethersche Normalisierung
gefunden, so dab A4~ unverzweigt ~ber B ~
- (D(~) ~ A ~ ) -
so dab fur alle Primideale
alle maximalen Ideale yon A mit A~z 9 ~
gibt folglich ein maximales Ideal ~ f(D(A4~))
s A, , ~ ~ ,
und A ~
(~
A4~=
-~
0
n B) ist. Nach 2.2.8. ist dies
ist. Dann ist aber auch
ist anverzweigt Gber B ~ .
ein maximales Ideal yon A. Nach 1.1. 4 . gibt es einen freien
Ring k<<X~,...,Xn>> ~ A m~t X4,...,X n 6 ~ ,
so dab A endlich Gber k<<X4,...,Xn>>
int. Es sei A ~ s A die v-Algebra aller in A potenzbeschr~nkten ~lemente (vgl.[25],
[29] ). Setzt man B e = v<<X4,...,Xn>> , so ist B ~ & A ~ und A ~ ist ganz Gber B o. Ferner ist A - k.A o.
116
Wegen A = k.A ~ gibt es ein System yon Elementen ~ " ' ' ' Y m ~ Ao' deren Differentiale dyl,...,dy m ein Erzeugendensystem des Differentialmoduls D ( A ~ ) = D(A) ~ A ~ bilden. m -
Da man a u s j e d e m E r z e u g e n d e n s y s t e m
# ( D ( A 4 a ) ) angenommen w e r d e n
ein minimales
Vir setzen
ausw~hlen kann,
q (q s M). X~= y ~ + X4
darf
Dann i s t
auoh
X~ ~ A o. Wie i n 1 . 1 .
sei
jetzt
die Restklassen
t eine Nichteinheit
yon X4,...,Xn,
so ist
a u s v und Ao =
Bo " k [ X 1 " ' ' ' X n ]
AJtAo" ~ i n d
X~,...,Xn
g Ao
d a s B i l d y o n B~ i n Ao
und Ao ist ganz ~ber Bo. X~ bzw. y~ seien Restklassen yon X~ bzw. y~ in i o. Dann hat man eine Gleichung
- ~ + P~( R )Y. -~'~ Y~ --
Setzt man hierln
+ '"
+ ~r (~)
.. o
(Pi(X) g ~[X~,...,Xn])o
-q
y~ = X" -- X#
ein und denkt sich q genfigend groB gewRhlt, so
erhRlt man eine Gleichung f~r X~ mit hSchstem Koeffizienten 4 Koeffizienten
aus ~[X~,X2,...,Xn].
~[X~,X2,...,Xn] ist, und da Ao ~ n z
Es f o l g t ,
und ~brigen
d a b ~[X:,X2,...,Xn] ~ n z
~ber
~ber ~[X~,...,Xn] ist, ist A O a=ch ganz
Aus [25], ProP. 4.2. folgt nun, dab A endlich ~ber k<<X$,X2,...,Xn>> iet! aus Dimensionsgr~nden ist k<<XJ ,X2,... ,Xn>> frei. Aus der Gleichung X~ - y~ + X ,
q
ergibt sich dX I = dy~ + qX -a dX4. Well X~ g ~
ist, bildet dXT,dY2,...,dy m
117
n a c h dem Lemma v o n Nakayama e b e n f a l l s Setzt man Jetzt X' 2 = Y2 + X~
ein kitrzestee
mit geeignetem q 6 ~
Erzeugendensystem
yon D(A~).
, so ergibt sich auf die
gleche Weise, dab k<<X~ ,X'2,X3,...,Xn>> ~ A eine Noethersche Normalieierung yon A iet, und dab dX~,dX~,dy3,...,dy m ein kUrzeetee Erzeugendensystem yon D ( A ~ )
ist.
Da nach Voraussetzung m ~ n ist, erhKlt man ~ortsetzung des Verfahrens echlieBlich eine Noethersche Normalieierung B - k<<X~,...,X'n>> yon A, so dab dXJ,...,dX~ ein kGrzestes Erzeugendensystem yon D ( A ~ )
bilden. Dann ist D ( ~ )
d.h. A ~
let unverzweigt Gber B ~ ( ~
~ ~)
b)
0(~, ~ . Char. k = p > O.
!
A s
= ~
- D(A~)/A.dB
l
Es eel zun~chst ~ (D(A)) ~ dim A
- ~
das maximale Ideal yon A. Wir zeigen, dab die Bedingung
die ~egularit~t des lokalen ~ings A nach sich zieht. Iet dann
{X4,...,Xn} ein regulKres Parametersystem yon A, so ist A = k[{X4,...,Xn} ] und die Behauptung ist trivial. Nach 2.4.2. gilt D(~) = ~ @ D(A). Wit brauchen A daher nur den Fall A g ~' zu betrachten. Da A den RestklassenkSrper k besitzt, ist nach
L2],
Satz I
DCA)/~DCA) Aus
f(D(A)) ~ dim A
Es sei Jetzt ~
~.
.itai,. leA, e
~
~ / ~
folgt nun die Regularit~t von A sofort.
{dz4,...,dZr} sei ein Erzeugendensystem yon D ( A ~ ) ,
4
i.t, gibte.
zi - - ~ s~
+ r . de, i.t
- 0,
118
a.-x zi = six
~ "~i
- - ~ ~' mit ai,s i
auch d~4,...,d~r,d~ Elemente y~ ,.~
ii ~ 3"
,...,d~ t e i n
Da dz i
=
Erzeugendensystem
~ ~t gibt, deren Differentiale
Erzeugendensystem
yon D ( A ~ )
sld~jffi-a a~ds.i let, bilden yon D ( A ~ ) .
dyf,...,dy m ein k~irzeetes
bilden.
Es sei nun B = kL{XI,... ,Xn} j c A irgendeine Noethersche Dann ist X4,...,X n ein Parametersystem
Normalisierung
seien die minlmalen Primideale yen A. O~
t
9 ~
~ i~ ~i
yon A.
yon A und folglich A - A/(X2,...,Xn)
lokaler Ring der Dimension I. Y4 ~ ~ sei ~ie Restklasse yon y~,
D~.~.~/'~ ~ i
Es folgt~ dab es
ein
~"'''~t
d~rfen wit annehmen,
da~
(Bou~b~ki, Alg. ~ o ~ . , oh~p. II, I ~' P~op.2), glbt., . i ~
-~/(X2,...,Xn)" i t
W• ~ . t ~ n ~
- ~
+ ~P. ~ n n ~ t X--~~ ~ ,
dim A/(X') - O. Ist a ~ ~
x~,x2,...,x n
ein Repr~sentant
X--~ ~ ~ • ( i - ~ , . . . , t )
yon ~, so ist X,, = yw + mP ~
ist ein Parametersystem yon A. Nach 4.1.8.
eine Noethersche
Normalisierung.
dX~ ,dY2,... ,dy m ein minimales Fortsetzung des Verfahrens
~n~ fo~glioh
let
und
k[{X~,X2,...,Xn} I ~ A
Ferner ist dX~! = dy~ und daher auch
Erzeugendensystem
yon D ( A ~ ).
liefert eine Noethersche
Normalisierung
B' = k~{X~,...,Xn} ~
119
c A,
s~da8
dX1,... , ' dX'm ein kGrzestes Erzeugendensystem von D(A~ ) ist. Es folgt
D(-~B ) = 0 und A % c)
A ~ ~I
,
ist unverzweigt Gber B ~
, Char. k = O.
In diesem Fall hat man eine exakte Folge (vgl. ) ~A#/#2A~
~ D(A#)/~ D(A~)
und es ist f ( D ( A # I ~ A ~ ) ) durch
Induktion
nach
3.1.2.) ~ D(A#/~A~)
~0
= dim A/~ . Wir beweisen die Behauptung des Satzes
n = d i m A.
Filrn - 0 ist D ( A ~ ) = O, f o l g l i c h
#A~
= 0. Da das maximale Ideal von A
~ist,
folgt A - k und die Behauptung ist trivial. Es sei jetzt n > 0 und die Behauptung sei fur Ringe niedrigerer Dimension sohom bewiesen. Wenn dim A / ~ ~A~
- O, also A T
Char. k = 0 ist, A ~
= dim A ist, dann ergibt sich aus der exakten Folge, dab
ein KSrper ist. ~dr Jede Normalisierung B g A ist dann, well unverzweigt Gber B ~ ( 9
ES sei daher dim A / ~
= ~
< dim A und { ~ t . . . , ~ t }
yon A mit dim A / ~ i = dim A. Ferner sei ~
~ B). sei die Menge der Primideale
die ~ - P r i ~ o m p o n e n t e
die Menge aller a ~ A, fur die es ein s g A, s ~ ~ - ~, dann ist ~ A ~ oben.
= ~2A~,
folglich ~ A ~
- 0
von ~ 2 ;
gibt, so dab sa ~ 2 .
~ ist Ist
und wir sind fertig wie
120
Ist ~
4 ~,
dann gibt es ein X I s
~,
X4 ~
(.b
~i ) U 9
comm., Chap. II, ~ i, Prop. R). Es ist dann X 4 s ~ A ~ ,
(Bourbaki,
XI ~ 2~.
Alg.
Setzt man
Z - A/(XI) , 4 " ~/(X4)' so ist dim A - dim A - 4
J' ( ~ A ~ )
-~
Aus der sxakten Folge
o.
~9.~#/#2~:~
- (A/~)~
~ D(~#)I#D(~9)
~ D(~#),
erglbt sioh f (~(~)) ~_ di= Z.
Ist B - k~{X2,... ,Xn}] s A elne Nol~malislerung, so dab A ~ Bf
ist ( ~
for die A S
=~
~0
unverzwei~ Uber
~ B), dann ist B = k[{X 1,x2,...,xn} ~ .r A eine Normalisieruag
unverzweigt ~ber B ~
ist ( ~
- ~
B), Denn {X4,X2,...,Xn} let sin
Parametsrsystem yon A, wei ! X2,... ,Xn ein Par&metersystem yon A ist und dim i = dim A/(X4) - dam A - 4. Ferner folgt aus ~ A ~
fA~# = 9 A ~ d)
ist, da
9 = ~/(X~) ,,-d ~ -
M/(X~)
= ~@,
dab auoh
ist.
Wit beweisen jetzt die zweite Beha~pt%mg des Satzes.
Es sei B ~ A sine Normalisierung, so dab A ~ let, ~= B$t
)A~
sei der zugehSrige Homomorphismus der lokalen Hinge. I~nn
ist SAm A - ai= 8, dim A/~ dim B - dim B ~
unvsrzwei~ Uber Bst ( W " ~ n B)
= di= ~/~ . di=~A - aim A ~
§ ai= A/~
+ dim B/~ , da B integer ist. Es gilt daher stets aim
und d i m ~ A - dim A gilt gen&u dann, wemm aim A ~
- dim B ~
ist.
~a
A~ z
SAm B W
121
Ist @ nicht injektiv, dann ist dim ~(B ~ ) < dim B ~ , weil B ~ erseits ist A T quasiendlich ~ber ~ ( B ~ ) und daher dim A ~
integer ist. Ander -
9 dim ~(B~ ). Es
folgt dim~ A < dim A. sei Jetzt injektiv. Da B ~
rlaoh ~ber B~ dim A ~
normal ttnd A ~
unverzweigt ~ber B y
(vgl. et,a [8], exp. 1), al,o ,ogar tre,rlaoh.
~ dim B ~
ist, ist A T
~, rolgt
und daher die Gleichheit.
Bemerkungen: i)
Der 8atz gilt auch f~r affine k-Algebren A = k[z4,...,Zr]
mit trivial bewertetem Konstantem KSrper k): Ist ~ (D(A~))
(affinoide Algebren
ein Primideal yon A und
& dim A, dann gibt es elnen Polynomring B ~ k[X4,...,Xn]
A endlich ~ber B ist und A ~
unverzweigt ~ber B @ ( ~ - ~
~ A, so dab
A). Der obige
Bewels in a) ist auf dlesen Fall wegen der Wahl der Nichteinheit t in v nicht anwendbar, doch kann man im affinen Fall den Beweis sofort analog wie in a) zu Ende fUhren. 2)
Der Satz gilt nicht fur beliebige Hinge aus ~ R
bzw. ~ : Es sei k ein unvoll-
kommener K~rper der Charakteristik p und ~ ~ k ein Element mit
~
~ k. k[X]
sei der formale Potenzreihenring in einer Variablen Uber k und A = k | X ~ [ ~ - ~ Dann iet A ~ ~ ,
].
A ist ein kompletter diskreter Bewertungsring mit dem Restklassen-
122
kSrper ~ = k[ ~
]. AUS der Konstru/(tion der universellen Ausdehnung ([2],
Satz ~) ergibt sioh sofort, dab der Differentialmodul D(A) elm freier Modul vom Rang ~ ist. Es gibt jedoch keine Normalisierung B = k[X'~ c A, so da8 A unverzweigt ~ber B ist, weil der RestklassenkSrper
~ = k[~
] inseparabel ~ber
k ist. Lemma 4.1.10.
E, sei A (~ 0(, 0 ~ ) ~ und B = k[{<<X4,...,Xn>>}~ ~ A sei eine
Noethersche Normalisierung yon A. ~ sei ein Primideal yon A, ~ = ~ /% B und es sei B~
)A~
injektiv und A S
~ber B ~
unverzweigt. Dann ist fGr jede
GrungkGrpererweiterung A = A @ K und Jedes Primideal ~ k a u o h B - KL{<<X4,...,Xn>>}~
B~
)A~
Beweis: ist B
)A
yon A mit ~ n A =
eine Noethersche Normalisierung, for die
Injektiv ( ~ = ~ ~ B) und A ~
unverzweigt ~ b e r Bo~ ist.
Da A endlich Qber B ist, ist A = A @ B und A ist endlich ~iber B, mithin B ) A injektiv. Da B~ ------9A ~
folglioh flach Gber B~
injektiv und A~
ist, ist B~ @ B
) A$~ B
unverzweigt ~iber B~
injektiv und A $ O B fl,oh
B
B
=
gibt sich, dsB X ~
OB B)~
flach aber B~
= D(~)
| A~
A~
= O, well A ~
B
= (A~@B :)~
und analog :~
B)
ist, folglich treuflach, und B~-----, : ~
ebenfalls injektiv. SchlieBlich ist D ( ~ )
und
= D(~) ~ A # = D ( ~ )
unverzweigt ~ber Boy ist,~"s~omit ist A ~
~ ~
erist =
unverzweigt
123
~ber B W ' Folgerung 4. i. iI.
Unter den Voraussetzungen yon 4.1. lO ist A ~ absolut regular
Gber k. Bewels: BW
Da A ~
treuflach Gber B ~
ist, ist dim A~-~dlm B ~ .
ist, wlrd dab maximale Ideal yon A ~
Z dim A ~ .
yon ~ B W
Da A ~
erzeugt. Da ~
unverzweigt Gber regular ist
Es fol~, dab fiberall das Gleiohheltsseichen gilt ttnd somit, dab A ~
reg~l~r ist. Satz 4"1"12.
Es sei A c ~ ,
~
oder ~',
~ ein Primideal yon A mit dim A =
= dim~ A. Dann sind folgende Aussagen ~quivalent. a)
dim A _~ fCDCA~)).
b)
Es gibt eine Noethersche Normalisier~ng B & A, so dab B ~ und A~
c)
A~
unverzweigt ist Gber B ~
) A~
injektiv
( W = ~ ~ B).
ist absolut regular Gber k.
c') Es gibt einen vollkommen bewerteten OberkSrper K yon k und in A = A ~ K ein k Primideal ~ d)
Bit ~ ~ A - ~ ,
so dab A ~
regular ist.
D(A~) ist ein freler A~-Modul ~md es gibt ein Primideal dim A/~
= dim A, so dab A ~
Folgerung 4.1.1~.
~ c ~
mit
absolut regulKr ist.
Ist unter den Voraussetzungen yon 4.1.12. A ~
absolut regular
Gber k und
~' g ~
ein weiteres Primideal mit dim A = dim ~ A, dann ist auch
A ~, absolut regular Gber k. Beweis:
Die Gleichwertigkeit
der Bedingungen a)- o') ergibt sich aus den
Satzen 4.1.9. , 4.l. ll. und 4.1.7. Wegen
~(D(A~.))
~ ~(D(A~))
ergibt sich jetzt die Folgerung 4.1.13 unmittelbar.
Insbesondere ist fGr jedes Primideal
~
~ ~
mit dim A/~
absolut regular. Da aus a) nach 4.1.7. folgt, dab D ( A ~ )
= dim A aueh A frei ist, ist damit
gezeigt, dab d) aus a) folgt. Ist umgekehrt D(A ~ ) frei und A ~ fiber k, dann ist dim A ~ ~ ( D ( A ~ ) ) Folgerun~ 4.1.14.
absolut regular
= f(D(A~)).
Ist unter den Voraussetzungen yon 4.1.12. A integer, so kann
man d) ersetzen durch: d')
D(A~)
Bemerkun~:
ist frei umd A
ist absolut regular Gber k.
Satz 4. i. 12. und seine Folgerungen gelten insbesondere auch f~r
affine Algebren.
4.2.
A E ~,
Analytische Separabilitat.
~
,~
sei integer.
Definition 4.2. i.
A heiBt anal,ytisch separabel Gber k, wenn fGr jeden kompletten
bewerteten OberkSrper k von k die GrundkSrpererweiterung A = A @ ~ reduziert ist k
125
(f~rA ~ ~^, ~ vgl. [Is]). Bemerkun~ 4.2.2.
let A analytisch separabel fiber k, dann ist Q(A) - A (o|
separabel fiber k. Beweis:
FUr jede endliche Erweiterung k' yon k mit k 'p ~ k ist A ~ k' = A @ k' k
reduziert, folglich ist A(,|~ k' reduziert,naoh dem Kriterium yon Mac Lane bedeutet dies, dab A~) separabel ~ber k ist.
Bemerkung 4.2.7.
Wenn A (o) absolut regul~r ~ber k ist, ist A analytisch separabel
Uber k. Beweis:
let A eine GrundkSrpererweiterung yon A und
yon A, so ist ~ n
~
ein minimalee Primideal
A = O, well A ~ber A treuflach Let, und daher Niehtnullteiler
in A auch Nichtnullteiler in A sind. regul~r und folgllch ~ A #
Wenn A ~o~ absolut regulRr ist, ist ~
= O. Da dies f~r alle minimalen Primideale yon A gilt,
ist A reduziert. t
Ffir A 9 ~ , Satz 4.2.4.
0~,
~ ' gilt die Umkehrung yon 4.2.3.,
A 9 ~,
~
, ~'
sei integer,
K d e r Q u o t i e n t e n k S r p e r yon A. Dann
eind folgende Aaesagen gleichwertigz
a)
y (D(K)) ~ dim A.
b)
Es gibt eine Noethersche Normalisierung B ~ A, so dab K separabel ~ber
126
dem Q u o t i e n t e n k S r p e r yon B i s t . c)
K ist
a b s o l u t r e g u l a r Uber k.
o ~ ) Es g i b t e i n e n vollkommenen k o m p l e t t e n b e w e r t e t e n 0 b e r k S r p e r k yon k und in A - A ~k C'I) A i s t
e i n P r i m i d e a l ~ , sodaB A ~ e i n KSrper i s t .
analytisch
Bevels,
s e p a r a b e l ~ b e r k.
Naoh Satz 4.1.12 sind a)- c') ~quivalente Aussagen. Naoh 4.2.3. folgt
o).
~',) a = .
Aus o") f o l g t
ei)s
Ist A analytisch
~edes m i n i m a l e P r i m i d e a l #
separabel,
so i s t
A reduziertp
folglich
fur
yon A d e r l o k a l e Hing A ~ e i n KSrper. F e r n e r l e t
~A-O. 4.~.
Ein hinreichendes Kriterlum fur absolute Re~ularit~t.
Satz 4.~.i.
Es sei A ~ ~ , ~
senkSrper ~ - A~/~A~.
t~
und ~
Ist A~ regular
ein Primideal yon A mit dem Restklas-
und ~
analytisch
s e p a r & b e l ~ b e r k, dann
l e t A ~ a b s o l u t r e g u l & r fiber k. Beweiss
k eel ein vollkommener, kompletter bewerteter
ein minimales unter den Primidealen yon A - A i k k
,o~,~ ~ - ~ / . ~
~ , ~ =~n~,,~,,
~=~=~,.~
.o~
O b e r k S r p e r yon k und
mit ~ A
C"/~) i ~
~,~
- ~.
=~
Dann let
~ ^ C~/~} - o.
12?
Nach Vorauesetzung ist ( ( A / ~ ) ~ k ) ~ k
Ideal yon ~ .
ein KSrper,
das ma~C~.male
folglich ~ A ~
D~ ~ , tre~rl~ch Uber A g ~nd A~reg~l~r i~t, erg•
~•
~(~ ia) ~ f(~) - ai. A~ ~ aim ~,. Folglioh i~t a.oh i reg.l~r. 4.4.
C h a r a k t e r i s i e r u n S a b s o l u t e r R e ~ u l a r i t ~ t und a n a l ~ t i s c h e r
Separabilit~t.
.A
in &er Grundk~rpererweitex~ng mit k p
In diesem Abechnitt eel Char. k = p > 0. k p - 4
ist ein vollst~ndiger bewerteter Ober-
kSrper yon k. Wit wollen den folgenden Satz beweieen: 0
Satz 4.4.1.
Es sei A ~ ~ , ~ a , ~' und ~
sei ein Prlmideal yon A mit
dim A - dim~ A. Dann sind folgende Aussagen ~qulvalent:
a)
A ~ ist absolut regul~r ~ber k.
b)
Ee gibt in A - k p'4 ~ A ein Primideal ~ k
mit
~A
A - ~,
e• dab ~
regul~r
let. Ist F - k~{<<X1,...,Xn>>}~ eine freie k-Algebra, so hat man zwei Ringhomomophis-
men (Frobeniusmorphismen)
v
~, F
~F
~it
o,
~F
~ i t o ( X a,X ~) - T, a~X"
F
~(~, a~X~) - ~
~ x ~p
ist eogar ein k-Algebrahomomorphismus und es let v,c - c-v = p
die Potenzierung
128
mit p. F~r p g F schreiben wir auch c(P) - p(P). Ist nun A = F/~ ,...,P
mit
~ = (P~,...,Pm),
so eel
~(P) = (p~P),...,P~P)) dae yon
in F erzeugte Ideal. Die Homomorphismen v u n d c
induzieren
Hinghomomorphismen.
~/m(P)
~'
~F/~
e' ~ F/~(p)
deren Zueammeneetzung wieder die Potenzierung mit p in F / ~ (p)
let. v' ist
wieder ein k-Algebrahomomorphismus. -4
mit L ( ~ a
vp''4 X ' )
~.{<<X4,...,Xn>>}~ ~
L' k p
Der Ieomorphiemus
) k~,{<<X,f,''',Xn>>}J
= ~, a V X ~" induziert auf k~{<<X 4,...,Xn>>}~ die Abbildung c
und fUhrt daher das yon PI,...,Pm in k p'4 ~<<X>>}J
~be~. S, rol~, ~a~ k P ' ~
A ~ ~P'~ h
erzeugte Ideal in
~(P)
F/~ - k p'~ M<<X>>}J/(P~,-..,P,) ~ ~/~(P) h
ist. Satz 4.4.2..
Es sei A g 6'/, ~ ,
Obe~k~pe~ vo~ k
I,t k P ' ~
I'
k sei ein vollkommener kompletter bewerteter
A ~ed~lert, da~n i~t a~oh ~ ~ A ~ed~,lerZ k
Beweie:
k
Wit schreiben wie oben A = F/~ . Da k p
9 A reduziert ist, let die k
p-Potenzierung in diesem Ring, und damit auch in F / ~ (p) , eine inJektive Abbildung. Es folgt, dab v', F / ~ (p) Da k = ~P
~ F/~
injektiv ist.
ist, Ist der c' entsprechende Homomorphismus
129
,
,
ein Ringisomorphismus. Andererseits ist die v' entsprechende Abbildung w
gleieh der Abbildung k ~ v'. Weil v' inJektiv ist, ist auch V inJektiv. Es folgt, k dab die p-Potenzierung yon k|{<<X>>}~/(P P),..., P~P)) injektiv let, d.h. dab dieser Ring reduziert ist. Wegen k~{<<X>>~'~/(P% p)'''''PI p)) ". k~{<<X>>}~/(P . . . I'
'Pm) "= ~ ~k A
ist die Behauptung bewiesen. L e n a 4.4. ~.
ss s e i A E 0~, ~ n , ~:' und A - k p" ~
A. Dann ist A
und AP ~ A. A ist endlich Gber ~P. ~ber Jedem Primideal ~ ein Primideal @ Beweiss
A
yon A mit ~ n A = ~ ,
nKmlich ~ = ~
) A injektiv
yon A liegt genau - {x C A,x p g ~}.
)A ist inJektiv, weil die Konstantenerweiterung treuflach ist. DaB
i p ~ A und A endlich Gber AP ist, prGft man sofort fGr freie Algebren A naeh! daratuergibt es sich dann auch fGr beliebige Algebren. - ~
ist ein Primideal yon A, des Gber ~
jedem Gber ~
liegt, und es ist enthalten in
liegendem Primideal ~' yon A. Da A Gber A ganz let, folgt ~ ' - ~ .
Wir beweisen Jetzt Satz 4.4.1. fGr den Fall, dab A integer und ~ = (0) ist. Satz 4.4.4.
A g ~,~n,
~ ' sei integer. Dann sind folgende Aussagen ~quivalent:
130
a)
A(o ) ist absolut regul~r (analytisch separabel).
b)
kp
~ A iet reduziert. k
c)
kp
9 A imt integer. k
-~
Beweis,
b) und c) mind ~quivalent, well naeh 4.4.3. ~ber dem Nullideal yon A
nut ein Primideal yon k p" 4 ~~ A liegt. Imt kp.4 ~ A reduziert, dann nach 4.4.2. k k auoh E ~ A fGr vollkommen vollst~ndig bewerteten 0berkSrper k yon k. Die Behauptung k folgt nun aus 4- 2.4. Folgerung 4.4.5.
I s t u n t e r den V o r a u s s e t z u n g e n yon 4 . 4 . 4 .
[ k , k p] < e ~ , dann
mind folgende Aussagen g~uivalent: a)
A(o ) ist analytlmch meparabel Uber k.
b)
A(o ) ist separabel fiber k.
Beweim:
Da [k:kPJ < e~ ist, ist k P ' a ~ A k
= k p'4 9 A und die Behauptung erglbt k
mich aus dem Kriterium yon Mac Lane Fdr die Sepa=abilitat einer K~rpererweiterung. Beweis yon Satz 4.4.1. und ~
Es sei ~o ~ ~ ein Primideal yon A mit dim A = dim A/~ o
ein Primideal yon A = k p'4 O A, dam Uber ~ k
dann ist auch A ~ regul~m, folglich A #
(A/~o) ~
liegt. Wenn i ~ und A ~
regul~r imt,
(kP'a~A/~o)
Wir dUrfen daher annehmen, dab A integer imt. Dann liegt ~ber dem Nullideal yen A nur ein Primldeal yon i! da A ~
regul~r ist, ist k integer und aus 4.4.4. folgtj
dab A(o ) absolut regular ist. Nach 4.4.3. ist A ~ber AP endlich. Man sieht sofort, dab AP die abgeschlossene H~lle yon k[A p] in der Topologie yon A ist. Hieraus ergibt sich, dab
der unlverselle Differentlalmodul yon A aber AP let. Well A endlich ~ber AP ist und A p s AP, ist auch A ~ (A~) p ~ (A~)P. besitzt A ~
A~
und (A~)P sind regul~re lokale Ringe. Nach [~J, Satz 5,Kor,2
eine p-Basis ~ber (A~)P.
freier A~-Modul.
Dann ist aber D(A~)
=
UD((~-~))
ein
Wir haben damit bewisen, dab die Bedingung d) aus 4.1.12.
erfGllt ist, aus der folgt, dab A ~ Folgerung 4.4.6.
endlich ~ber (A~)P und
absolut regular ist.
Ist unter der Voraussetzung yon Satz 4.4.1. [k:k p] < e~
dann sind die folgenden Aussagen aquivalents a)
A~
ist absolut regul~r Uber k
b)
A~
ist geometrisch regul~r Qber k im Sinne yon [7J, Chap. IV, ~ 6.
"132
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A. Gmothendieck
(1967)
Off-~tdmck:Julius Belt'z,Weinheim/BergsU.
Lecture Notes in Mathematics Bisher erschienen/Already published Vol. 1: J. Wermer, Seminar 0ber Funktionen-Algebren. IV, 30 Seiten. 1964. DM 3,80
Vol. 20: R. Hartshorne, Residues and Duality. VIII, 423 pages. 1966. DM 20,-
Vol. 2: A. Borel, Cohomologie des espaces Iocalement compacts d'apr6s J. Leray. IV, 93 pages. 1964. DM 9,-
Vol. 21: Seminar on Complex Multiplication. By A. Borel, S. Chowla, C. S. Herz, K. Iwasawa, J -P. Serre. IV, 102 pages. 1966. DM 8,-
Vol. 3: J. F. Adams, Stable Homotopy Theory. 2nd. revised edition. IV, 78 pages. 1966. DM 7,80
Vol. 22: H. Bauer, Harmonische R~lume und ihre Potentialtheorie. IV, 175 Seiten. 1966. DM 14,-
Vol. 4: M. Arkowitz and C. R. Curjel, Groups of Homotopy Classes. 2nd. revised edition. IV, 36 pages. 1967. DM 4,8O
Vol. 23: P. L. Iv&nescu and S. Rudeanu, Pseudo-Boolean Methods for Bivalent Programming. 120 pages. 1966. DM 10,-
Vol. 5: J.-P. Serre, Cohomologie Galoisienne. Troisi~me ~dition. VIII, 214 pages. 1965. DM 18,-
Vol. 24: J. Lambek, Completions of Categories. IV, 69 pages. 1966. DM 6,80
Vol. 6: H. Hermes, Eine Termlogik mit Auswahloperator. IV, 42 Seiten. 1965. DM 5,80 Vol. 7: Ph. Tondeur, Introduction to Lie Groups and Transformation Groups. VIII, 176 pages. 1965. DM 13,50 Vol. 8: G. Fichera, Linear Elliptic Differential Systems and Eigenvalue Problems. IV, 176 pages. 1965. DM 13.50 Vol. 9: P. L. Iv~nescu, Pseudo-Boolean Programming and Applications. IV, 50 pages. 1965. DM 4,80 Vol. 10: H. Ltineburg, Die Suzukigruppen und ihre Geometrien. Vl, 111 Seiten. 1965. DM 8,Vol. 11: J.-P. Serre, AIg~bre Locale. Multiplicit~s. R~dig~ par P. Gabriel. Seconde 6dition. VIII, 192 pages. 1965. DM 12,Vol. 12: A. Dold, Halbexakte Homotopiefunktoren. II, 157 Seiten. 1966. DM 12,-
Vol. 25: R. Narasimhan, Introduction to the Theory of Analytic Spaces. IV, 143 pages. 1966. DM 10,Vol. 26: P.-A. Meyer, Processus de Markov. IV, 190 pages. 1967. DM 15,Vol. 27: H. P. K0nzi und S.T. Tan, Lineare Optimierung groBer Systeme. VI, 121 Seiten. 1966. DM 12,Vol. 28: P. E. Conner and E. E. Floyd, The Relation of Cobordism to K-Theories. VIII, 112 pages. 1966. DM 9.80 Vol. 29: K. Chandrasekharan, Einf(ihrung in die Analytische Zahlentheorie. VI, 199 Seiten. 1966. DM 16.80 Vol. 30: A. Fr~licher and W. Bucher, Calculus in Vector Spaces without Norm. X, 146 pages. 1966. DM 12,Vol. 31: Symposium on Probability Methods in Analysis. Chairman: D.A.Kappos. IV, 329 pages. 1967. DM 20,-
Vol. 13: E. Thomas, Seminar on Fiber Spaces. IV, 45 pages. 1966. DM 4,80
Vol. 32: M. Andre, Mdthode Simpliciale en AIg~bre Homologique et AIg(~bre Commutative. IV, 122 pages. 1967. DM 12,-
Vol. 14: H. Werner, Vorlesung Gber Approximationstheorie. IV, 184 Seiten und 12 Seiten Anhang. 1966. DM 14,-
Vol. 33: G. I. Targonski, Seminar on Functional Operators and Equations. IV, 112 pages. 1967. DM 10,-
Vol. 15: F. Oort, Commutative Group Schemes. VI, 133 pages. 1966. DM 9,80 Vol. 16: J. Pfanzag! and W. Pierlo, Compact Systems of Sets. IV, 4 8 pages. 1966. DM 5,80 Vol. 17: C. Mtiller, Spherical Harmonics. IV, 46 pages. 1966. DM 5,Vol. 18: H.-B. Brinkmann und D. Puppe, Kategorien und Funktoren. XlI, 107 Seiten. 1966. DM 8,Vol. 19: G. Stolzenberg, Volumes, Limits and Extensions of Analytic Varieties. IV, 45 pages. 1966. DM 5,40
Vol. 34: G. E. Bredon, Equivariant Cohomology Theories. VI, 64 pages. 1967. DM 6,80 Vol. 35: N. P. Bhatia and G. P. Szeg0, Dynamical Systems: Stability Theory and Applications. VI, 416 pages. 1967. DM 24,Vol. 36: A. Borel, Topics in the Homology Theory of Fibre Bundles. IV, 95 pages. 1967. DM 9,Vol. 37: R. B. Jensen, Modelle der Mengenlehre VIII, 176 Seiten. 1967. DM 14,Vol. 39: S~minaire de Probabilit~s I, IV, 187 pages. 1967. DM 14,-
