Теория относительности: Учебное пособие

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èì. Ñ.Ì.ÊÈÐÎÂÀ

Ã. À. ÐÎÇÌÀÍ

ÒÅÎÐÈß ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ

ÏÑÊΠ• ÏÃÏÓ • 2005

1

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

ÁÁÊ 22. Ð 649 Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû ôèçèêè è ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÏÃÏÓ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà

Ðîçìàí Ã.À. Ð649 Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. - Ïñêîâ: ÏÃÏÓ, 2005. -256 ñ. ISBN 5-87854-343-5

Êíèãà ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíûì ïîñîáèåì.  ×àñòè 1 èçëîæåíà Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, â ×àñòè 2 - Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. Êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà ó÷èòåëÿì, ñòóäåíòàì è øêîëüíèêàì. Ð649

Àâòîð áëàãîäàðåí Ãîñóäàðñòâåííîìó óïðàâëåíèþ îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ïñêîâñêîé îáëàñòè çà ôèíàíñèðîâàíèå èçäàíèÿ äàííîãî ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ.

ISBN 5-87854-343-5

2

© Ðîçìàí Ã.À., 2005 © Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. Ñ.Ì. Êèðîâà (ÏÃÏÓ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà), 2005

 äàííîé êíèãå ðàíåå èçäàííûå ó÷åáíûå ïîñîáèÿ àâòîðà ïî ñïåöèàëüíîé è îáùåé òåîðèÿì îòíîñèòåëüíîñòè ïîäâåðãëèñü ïåðåðàáîòêå. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ êàê òåì, ÷òî îáå òåîðèè ïîìåùåíû â îäíó êíèãó è ïîýòîìó íå òðåáóåòñÿ íåêîòîðîãî äóáëèðîâàíèÿ ìàòåðèàëà. Êðîìå òîãî, ñ ìîìåíòà èçäàíèÿ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïî ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ) ïðîøëî áîëåå äåñÿòè ëåò. Çà ýòî âðåìÿ ÷àñòè÷íî èçìåíèëàñü òåðìèíîëîãèÿ â ÑÒÎ (â ýòîò ïðîöåññ àâòîð âíåñ îïðåäåëåííûé âêëàä), íàéäåíû íîâûå ìåòîäè÷åñêèå ïðèåìû èçëîæåíèÿ.  òåêñò îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ) âíåñåí äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë. Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ êíèãà, ïî ñóòè äåëà, ÿâëÿåòñÿ íîâûì ïðîèçâåäåíèåì àâòîðà. Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ), ñèñòåìàòè÷åñêîìó, íî îáùåäîñòóïíîìó èçëîæåíèþ êîòîðîé ïîñâÿùåíà 1-ÿ ÷àñòü äàííîé êíèãè, ÿâëÿåòñÿ ñîâðåìåííûì ôèçè÷åñêèì ó÷åíèåì î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ, îäíèì èç êðàåóãîëüíûõ êàìíåé ñîâðåìåííîãî ôèçè÷åñêîãî ìèðîïîíèìàíèÿ, îñíîâîé íàó÷íîé êàðòèíû ìèðà. ÑÒÎ ïðîëîæèëà äîðîãó íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé ðåâîëþöèè âòîðîé ïîëîâèíû XX â., îíà îêàçàëà ðåâîëþöèîíèçèðóþùåå âëèÿíèå íà ñîöèàëüíûå, ýêîíîìè÷åñêèå è êóëüòóðíûå ñòîðîíû æèçíè ÷åëîâå÷åñêîãî îáùåñòâà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êàæäûé êóëüòóðíûé ÷åëîâåê äîëæåí çíàòü îñíîâû ýòîé íàóêè. Èçëîæåíèå âåäåòñÿ íà îñíîâå èñòîðèêî-ëîãè÷åñêîãî ìåòîäà. Ðàññêàç íà÷èíàåòñÿ ñ ðàññìîòðåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè, âñêðûâàåòñÿ èõ îãðàíè÷åííîñòü, ÷òî, åñòåñòâåííî, òðåáóåò ïîñòðîåíèÿ íîâîé òåîðèè. ×èòàòåëü ïî÷óâñòâóåò âñþ “äðàìó èäåé”, ñâÿçàííûõ ñ ñîäåðæàíèåì ÑÒÎ, åå ïðîòèâîðå÷èå “çäðàâîìó ñìûñëó”, óáåäèòñÿ â îáúåêòèâíîñòè âûâîäîâ ÑÒÎ. Èçëîæåíèå ÎÒÎ â îäíîé êíèãå ñ ÑÒÎ ëîãè÷íî, òàê êàê ðàçâèâàåò äàëåå ñîâðåìåííîå ó÷åíèå î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.  ÑÒÎ èñïîëüçîâàëèñü ëèøü èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà (ÈÑÎ), îíà íå ó÷èòûâàëà âëèÿíèÿ íà ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. ×àñòü 2-ÿ, 3

ïîñâÿùåííàÿ èçëîæåíèþ ÎÒÎ, äîïîëíåíà áîëåå äåòàëüíûì ðàññìîòðåíèåì ïðèëîæåíèé ÎÒÎ ê êîñìîëîãè÷åñêèì ïðîáëåìàì.  êíèãå èñïîëüçîâàí îòíîñèòåëüíî ïðîñòîé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, âñå ðàñ÷åòû ïðîâåäåíû ïîäðîáíî. Îòäåëüíûå ïàðàãðàôû ïîñâÿùåíû ðåøåíèþ ñïåöèàëüíî ïîäîáðàííûõ êîëè÷åñòâåííûõ è êà÷åñòâåííûõ çàäà÷. Ýòà êíèãà ïðåäíàçíà÷åíà ó÷èòåëÿì, ñòóäåíòàì è ó÷àùèìñÿ ñðåäíåé øêîë, à òàêæå âñåì, êòî èíòåðåñóåòñÿ ñîñòîÿíèåì ñîâðåìåííîé ôèçèêè. Äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, Ïî÷åòíûé ïðîôåññîð ÏÃÏÓ Ã. À. Ðîçìàí

4

Ïàìÿòè æåíû ïîñâÿùàåòñÿ

×àñòü 1 Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè §1. Êëàññè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè. Ìåòðèçàöèÿ ïðîñòðàíñòâà è ñèíõðîíèçàöèÿ ÷àñîâ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå Ê êîíöó XIX â. ôèçè÷åñêàÿ íàóêà, êàçàëîñü, äîñòèãëà ïðåäåëà: îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ ñìîãëà îíà îáúÿñíèòü íà îñíîâå çàêîíîâ ìåõàíèêè, òåðìîäèíàìèêè è ìàêðîñêîïè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Òîëüêî äâå “ìàëåíüêèå òó÷êè”, ïî âûðàæåíèþ çíàìåíèòîãî àíãëèéñêîãî ôèçèêà Äæ. Òîìñîíà, “ñòîÿëè íà ãîðèçîíòå”, íå óêëàäûâàÿñü â ðàìêè óêàçàííûõ âûøå ðàçäåëîâ ôèçèêè. Ýòî áûëè: 1) òðóäíîñòè, âîçíèêøèå ïðè èçó÷åíèè çàêîíîâ, êîòîðûì ïîä÷èíÿåòñÿ èçëó÷åíèå íàãðåòûõ òåë; 2) ïðîáëåìà ýëåêòðîìàãíèòíîãî (ñâåòîíîñíîãî) ýôèðà.  êîíöå XIX è â íà÷àëå XX ââ. ïðè ðàçðåøåíèè ýòèõ ïðîáëåì áûëè ñîçäàíû êâàíòîâàÿ ôèçèêà è ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. Íèæå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñî âòîðîé èç íèõ, ñî ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ). Íî ïðåæäå âûÿñíèì, â ÷åì ñîñòîÿëè òðóäíîñòè êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ïðè ðàññìîòðåíèè ïðîáëåìû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ýôèðà? Âñå îêðóæàþùèå íàñ ïðåäìåòû íàõîäÿòñÿ, è âñå ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå ñ íèìè èëè â íèõ, ïðîòåêàþò â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè. Íàèáîëåå ïîëíî ýòè ïîíÿòèÿ îïðåäåëÿåò ôèëîñîôèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîé ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ — ýòî ôîðìû ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåðèè, àòðèáóòû åå äâèæåíèÿ. Âñå òåëà èìåþò îáúåì, ðàçìåðû. Îíè òàê èëè èíà÷å ðàñïîëîæåíû îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ìàòåðèàëüíûå òåëà ñóùåñòâóþò â ïðîñòðàíñòâå. Âñÿêèé ïðîöåññ èìååò äëèòåëüíîñòü, îäíî ÿâëåíèå ïðîèñõîäèò ðàíüøå äðóãîãî. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ìàòåðèÿ ñóùåñòâóåò âî âðåìåíè. Íåò òåë, êîòîðûå íå áûëè áû ïðîòÿæåííû, 5

íå èìåëè áû ðàçìåðîâ. Íåò ïðîöåññîâ, êîòîðûå áû íå äëèëèñü â òå÷åíèå êàêîãî-ëèáî, ïóñòü î÷åíü ìàëîãî, íî êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòåðèÿ íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü âíå ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ íå åñòü íå÷òî ñàìîñòîÿòåëüíî ñóùåñòâóþùèå, íåçàâèñèìî íàðÿäó ñ ìàòåðèàëüíûìè îáúåêòàìè. Îíè íåîòäåëèìû îò ìàòåðèàëüíûõ îáúåêòîâ è ÿâëåíèé. Íåñìîòðÿ íà î÷åâèäíîñòü è ðåàëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè, — ýòî î÷åíü ñëîæíûå ïîíÿòèÿ, è îñìûñëåíèå èõ ñîäåðæàíèÿ íà âñåì ïðîòÿæåíèè ðàçâèòèÿ íàóêè ñòàëêèâàëîñü ñ îïðåäåëåííûìè òðóäíîñòÿìè. Åùå â äðåâíîñòè ëþäè çàäóìûâàëèñü î ðàçìåðå Âñåëåííîé, î êîíå÷íîñòè ñå ñóùåñòâîâàíèÿ âî âðåìåíè. Èõ ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè ñêëàäûâàëèñü èç ëè÷íîãî, âåñüìà îãðàíè÷åííîãî îïûòà. Òàê, íåáî â ïîíèìàíèè äðåâíèõ ïðåäñòàâëÿëîñü â âèäå ïîëóñôåðû, íà êîòîðîé çàêðåïëåíû íåáåñíûå ñâåòèëà. Çåìëÿ ïðåäñòàâëÿëàñü ïëîñêîé, ïîêîÿùåéñÿ íà ñïèíàõ òðåõ êèòîâ (èëè ñëîíîâ), êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, ñòîÿëè íà ãèãàíòñêîé ÷åðåïàõå, ïëàâàþùåé â áåçáðåæíîì “ìîðå-îêåàíå”. ×åëîâåê âèäåë ïåðåä ñîáîþ ëèíèþ ãîðèçîíòà è ñ÷èòàë, ÷òî äî íåå ìîæíî äîéòè. Íå óìåÿ îáúÿñíèòü, êàêèì îáðàçîì âîçíèêëà Çåìëÿ è îíè ñàìè, ëþäè ïðèøëè ê ìûñëè î ñóùåñòâîâàíèè ñâåðõúåñòåñòâåííîé ñèëû — Áîãà. À òàê êàê âñå âîêðóã èìåëî íå òîëüêî íà÷àëî, íî ðàíî èëè ïîçäíî ïðåêðàùàëî ñâîå ñóùåñòâîâàíèå, òî äåëàëñÿ âûâîä, ÷òî ñîòâîðåííûé Áîãîì ìèð êîãäà-íèáóäü ïðåêðàòèò ñâîå ñóùåñòâîâàíèå. Òàê âîçíèêëî ïðåäñòàâëåíèå î êîíå÷íîñòè Áûòèÿ. Ïåðâûå íàó÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè áûëè ñôîðìóëèðîâàíû âåëèêèì àíãëèéñêèì ôèçèêîì È. Íüþòîíîì â åãî êíèãå “Ìàòåìàòè÷åñêèå íà÷àëà íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè” (1687 ã.): ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ ñóùåñòâóþò îáúåêòèâíî, îäíàêî îíè ñóùåñòâóþò áåçîòíîñèòåëüíî ê òåì òåëàì, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ è äâèæóòñÿ â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè. Ïðîñòðàíñòâî ó Íüþòîíà ÿâëÿåòñÿ “âìåñòèëèùåì”, “ÿùèêîì”, è äâèæåíèå â ýòîì ïðîñòðàíñòâå íîñèò àáñîëþòíûé õàðàêòåð, ò. å. ïîëîæåíèå òåëà 6

ìîæíî îïðåäåëèòü îäíîçíà÷íî, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ äâèæåíèå òåëà îòíîñèòåëüíî ñòåíîê “ÿùèêà” — àáñîëþòíîãî ïðîñòðàíñòâà. Âðåìÿ ïî Íüþòîíó—ýòî ëèøü ïðîñòàÿ äëèòåëüíîñòü ñîáûòèé, îíî òå÷åò “áåçîòíîñèòåëüíî ê ÷åìó áû òî íè áûëî”. Ïîýòîìó ýòî âðåìÿ íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíûì. Íî àáñîëþòíîå ïðîñòðàíñòâî è àáñîëþòíîå âðåìÿ íåäîñòóïíû ÷åëîâå÷åñêîìó âîñïðèÿòèþ, — òàê óòâåðæäàë Íüþòîí.  îáûäåííîé æèçíè ìû îáíàðóæèâàåì ëèøü îòíîñèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâî è îòíîñèòåëüíîå âðåìÿ. Ìû ìîæåì ëèøü îïðåäåëèòü îáúåì, çàíèìàåìûé òåëîì, åãî ðàñïîëîæåíèå ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì òåëàì. Ïðîìåæóòêè âðåìåíè, èçìåðÿåìûå ïðè ïîìîùè ÷àñîâ (ïåðèîäè÷åñêè äåéñòâóþùèõ ìåõàíèçìîâ, ñîîðóæåííûõ ÷åëîâåêîì èëè ïðèðîäîé: ïåñî÷íûå èëè âîäÿíûå ÷àñû â äðåâíîñòè, äíåâíîé èëè ãîäîâîé öèêë äâèæåíèÿ Çåìëè è ò. ä.) äàþò íàì ëèøü îòðåçîê àáñîëþòíîãî âðåìåíè. Èìåííî ïîýòîìó Íüþòîí íàçâàë ýòè îáûäåííûå ïðîÿâëåíèÿ ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè — îòíîñèòåëüíûìè. Ïðèçíàâàÿ îáúåêòèâíîå ñóùåñòâîâàíèå ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè, Íüþòîí èñõîäèò èç ìàòåðèàëèñòè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé; îòðûâàÿ æå èõ äðóã îò äðóãà è îò ìàòåðèàëüíûõ òåë, Íüþòîí îòõîäèò îò ýòèõ ïîçèöèé è, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, ïðèõîäèò ê áîæåñòâåííîìó ïðîèñõîæäåíèþ ìèðà. Âîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûì ÷èòàòåëÿì ñ âûñîòû èõ ñåãîäíÿøíèõ çíàíèé ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ Íüþòîíà ïîêàæóòñÿ íàèâíûìè. Íî îíè áûëè îáùåïðèçíàííûìè â òå÷åíèå áîëåå 200 ëåò è âñåöåëî ïîääåðæèâàëèñü ðåëèãèåé. Òîëüêî ñ âîçíèêíîâåíèåì ÑÒÎ èçìåíèëèñü íàó÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèè. Î ñòàíîâëåíèè ýòèõ íîâûõ, ñîâðåìåííûõ ïðåäñòàâëåíèé è áóäåò èäòè ðå÷ü íà ñëåäóþùèõ ñòðàíèöàõ ýòîé êíèãè. Íî ñíà÷àëà ïîãîâîðèì î äðóãèõ âàæíûõ âåùàõ, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûõ ñ îáñóæäàåìûì âîïðîñîì. Ïðè èçó÷åíèè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íåîáõîäèìû ïðèáîðû, ìåòðèçîâàííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò è ñèíõðîíèçîâàííûé íàáîð ÷àñîâ. Âñå ýòî â ñîâîêóïíîñòè íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé îòñ÷åòà (ÑÎ). 7

Ïåðâîíà÷àëüíî â ýòî ïîíÿòèå âêëþ÷àëè ñëåäóþùèå ýëåìåíòû: 1) òåëî îòñ÷åòà; 2) ñèñòåìó êîîðäèíàò, íà÷àëî êîòîðîé ñîâìåùåíî ñ òåëîì îòñ÷åòà; 3) ìàñøòàáû; 4) ÷àñû.  ñîâðåìåííîé ôèçèêå ïîíÿòèå “ÑΔ ðàñøèðèëîñü äî ïðåäñòàâëåíèÿ î ôèçè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè, âêëþ÷àþùåé âñå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ è ïðèáîðû äëÿ íàáëþäåíèÿ è èçó÷åíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ðàçëè÷àþò òàê íàçûâàåìûå èíåðöèàëüíûå è íåèíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà. Õàðàêòåðíûì ïðèçíàêîì èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà (ÈÑÎ) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â íèõ ñïðàâåäëèâû êëàññè÷åñêèå çàêîíû ìåõàíèêè — çàêîíû Íüþòîíà (ñîîòâåòñòâåííî â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà (ÍÈÑÎ) ýòè çàêîíû íå âûïîëíÿþòñÿ). Âñå ÈÑÎ (à èõ áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî) ìîãóò äâèãàòüñÿ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî, è ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîìó ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè — ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ — âñå ÈÑÎ ðàâíîïðàâíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè êàêîãî-ëèáî ÿâëåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëþáóþ ÈÑÎ, âñå îíè ýêâèâàëåíòíû. Ðàâíîïðàâèå ÈÑÎ äàåò îïðåäåëåííûé âûáîð ÑÎ, â êîòîðîé öåëåñîîáðàçíî (äëÿ áîëåå ïðîñòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ è äëÿ áîëåå ÿñíîãî ôèçè÷åñêîãî ïîíèìàíèÿ) ðàññìàòðèâàòü êàêóþ-ëèáî çàäà÷ó. Íî èìåííî èç-çà ðàâíîïðàâèÿ ýòèõ ÈÑÎ ïîëó÷àåìûå â íèõ ðåçóëüòàòû áóäóò îáúåêòèâíû, ðåàëüíû, õîòÿ êîëè÷åñòâåííî ìîãóò èìåòü ðàçíûå çíà÷åíèÿ. Íàïðèìåð, äâèæåíèå ïàññàæèðà â ïîåçäå ìîæíî îïèñàòü êàê â ÈÑÎ “Ïîåçä”, òàê è â ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ, íàïðèìåð “Çåìëÿ”, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ÈÑÎ “Ïîåçä” äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî. Åñòåñòâåííî, ÷òî ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ïàññàæèðà â ýòèõ ÈÑÎ ðàçíûå, íî îáå îíè “íàñòîÿùèå”, îáå ðåàëüíûå. ×òîáû îïðåäåëèòü ìåñòîïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîãî îáúåêòà â ïðîñòðàíñòâå, íåîáõîäèìî â êàæäîé ÈÑÎ ïðèïèñàòü êàæäîé òî÷êå îïðåäåëåííîå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå — êîîðäèíàòó. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî “ìåòðèçîâàòü” ïðîñòðàíñòâî, ò.å., èñïîëüçóÿ ìàñøòàáíóþ ëèíåéêó, îïðåäåëèòü ìåñòîïîëîæåíèå ýòîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì ñâîéñòâà ìàñøòàáà íå èçìåíÿþòñÿ îò åãî ïåðåíîñà. Ïîýòîìó âñå ÈÑÎ ìîæíî ìåòðèçîâàòü, ïîëüçóÿñü îäíèì 8

è òåì æå ìàñøòàáîì, ïåðåíîñÿ åãî èç îäíîé ÈÑÎ â äðóãóþ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ òàêæå, ÷òî ìàñøòàáû íå äåôîðìèðóþòñÿ â ïðîöåññå ïåðåíîñà, ò.å. ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíî òâåðäûìè. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå òîò÷àñ æå ïðèâîäèò íàñ ê óòâåðæäåíèþ, ÷òî ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü ìãíîâåííî ïåðåäàòü ñèãíàë (èíôîðìàöèþ) âäîëü ìàñøòàáà, óäàðèâ, íàïðèìåð, ïî åãî òîðöó è ìãíîâåííî ïîëó÷èâ ñäâèã äðóãîãî êîíöà. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ëåæèò â îñíîâå òàê íàçûâàåìîãî ïðèíöèïà äàëüíîäåéñòâèÿ — ïðèíöèïà êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, óòâåðæäàþùåãî, ÷òî ñóùåñòâóåò ñèãíàë, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ñ áåñêîíå÷íî áîëüøîé ñêîðîñòüþ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñâîéñòâà ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ è îêðóæàþùåé ñðåäû ñîâåðøåííî íå âëèÿþò íà âåëè÷èíó ýòîé ñêîðîñòè.  êàæäîé ÈÑÎ äîëæíû áûòü ÷àñû, õîä êîòîðûõ, åñòåñòâåííî, îäèíàêîâ. Íî ÷òîáû îòðåãóëèðîâàòü õîä ÷àñîâ è óñòàíîâèòü îäèíàêîâîå ïîëîæåíèå ñòðåëîê â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè, ìîæíî ïîñòóïèòü äâóìÿ, ïî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì, îäèíàêîâûìè ñïîñîáàìè: 1) ñâåñòè ÷àñû â îäíî ìåñòî (íàïðèìåð, ñäåëàòü ýòî íà ÷àñîâîì çàâîäå), ñèíõðîíèçèðîâàòü èõ õîä è ðàçâåñòè ïî ðàáî÷èì ìåñòàì (ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïåðåäâèæåíèå ÷àñîâ íå âëèÿåò íà èõ õîä); 2) òàê êàê â ïðèíöèïå ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî áûñòðûé ñèãíàë, òî èç “öåíòðà” (íàïðèìåð, èç íà÷àëà êîîðäèíàò ÑÎ) ìîæíî ïîñëàòü óñëîâíûé ñèãíàë è íà âñåõ ÷àñàõ îäíîâðåìåííî áóäóò óñòàíîâëåíû îäèíàêîâûå ïîëîæåíèÿ ñòðåëîê (ïðàêòè÷åñêè âñå ìû òàê è ïîñòóïàåì, ñâåðÿÿ õîä ñâîèõ ÷àñîâ ïî ñèãíàëó, êîòîðûé ïîñûëàåòñÿ ðàäèîñòàíöèåé, êàê áû äàëåêî îíà íå áûëà ðàñïîëîæåíà). Âûøå áûëî ñêàçàíî, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà îñíîâûâàåòñÿ íà ïðèíöèïå äàëüíîäåéñòâèÿ, ò.å. âîçìîæíîñòè ïåðåäà÷è ñèãíàëà (äåéñòâèÿ, èíôîðìàöèè) ìãíîâåííî íà ëþáîå ðàññòîÿíèå. Ïðîìåæóòî÷íàÿ ñðåäà ïðè ýòîì íå îêàçûâàåò íèêàêîãî âëèÿíèÿ íà ñêîðîñòü ïåðåäà÷è äåéñòâèÿ. Ýòî ïîëîæåíèå âàæíî äëÿ ïîñëåäóþùåãî èçëîæåíèÿ, ïîýòîìó ïîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü åãî, àíàëèçèðóÿ ðÿä èçâåñòíûõ ÷èòàòåëþ ïðèìåðîâ. Ïî êëàññè÷åñêîé òåîðåìå ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (âûâîä åå äàí â § 2) u = u′ + v , ãäå v — îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ îäíîé ÈÑÎ 9

îòíîñèòåëüíî äðóãîé, u è u′ — ñêîðîñòè îäíîãî è òîãî æå îáúåêòà â ðàññìàòðèâàåìûõ ÈÑÎ, ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà u íè÷åì íå îãðàíè÷åíà è â ïðèíöèïå ìîæåò áûòü è áåñêîíå÷íî áîëüøîé. Âòîðîé çàêîí êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè r r F a= m

óòâåðæäàåò, ÷òî òåëî ïîëó÷àåò óñêîðåíèå (òîò÷àñ æå), êàê òîëüêî íà íåãî íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü ñèëà, ïðè÷åì èñòî÷íèê ñèëû ìîæåò íàõîäèòüñÿ íà ëþáîì ðàññòîÿíèè îò óñêîðÿåìîãî òåëà. Ýòà æå èäåÿ ñîäåðæèòñÿ è â òðåòüåì çàêîíå Íüþòîíà (ïðîòèâîäåéñòâèå ïîÿâëÿåòñÿ òîò÷àñ æå, êàê òîëüêî âîçíèêàåò äåéñòâèå) è â çàêîíå âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ (ñèëà òÿãîòåíèÿ èçìåíÿåòñÿ òîò÷àñ æå, êàê òîëüêî èçìåíÿåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó òÿãîòåþùèìè òåëàìè). Íèæå ìû ïåðåñìîòðèì ýòîò îñíîâîïîëàãàþùèé ïðèíöèï êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. § 2. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ. Ôîðìóëû Ãàëèëåÿ. Àáñîëþòíûå è îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Èíâàðèàíòíîñòü çàêîíîâ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè  îñíîâå êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, âåäóùåé ñâîå íà÷àëî îò Ãàëèëåÿ è Íüþòîíà, ëåæèò ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè (ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ), óòâåðæäàþùèé ðàâíîïðàâèå âñåõ ÈÑÎ. Ñóùíîñòü åãî âûðàæåíà Ãàëèëååì ⠓Äèàëîãàõ î 2-õ ñèñòåìàõ ìèðà” (1632 ã.) òàêèìè ðàññóæäåíèÿìè: “Çàïðèòåñü ñ êåìíèáóäü èç äðóçåé â êàþò-êîìïàíèè ïîä ïàëóáîé áîëüøîãî êîðàáëÿ, âçÿâ ñ ñîáîé ìóõ, áàáî÷åê è äðóãèõ íåáîëüøèõ ëåòàþùèõ æèâîòíûõ. Âîçüìèòå è áîëüøîé ñîñóä ñ âîäîé, â êîòîðîì ïëàâàþò ðûáû. Ïîäâåñüòå áóòûëü, èç êîòîðîé êàïëÿ çà êàïëåé âûòåêàåò âîäà â øèðîêèé ñîñóä âíèçó. Ïîêà âàøå ñóäíî ñòîèò íà ìåñòå, âíèìàòåëüíî íàáëþäàéòå, êàê íàñåêîìûå ëåòàþò ïî ïîìåùåíèþ ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè âî âñå ñòîðîíû. Ðûáû ïëàâàþò êàê óãîäíî, íå ïðåäïî÷èòàÿ êàêîãî-ëèáî íàïðàâëåíèÿ. Êàïëè ïàäàþò â ñîñóä ïîä áóòûëüþ. Åñëè æå âû áðîñèòå ÷òî-íèáóäü âàøåìó 10

äðóãó. òî âû ïðèëîæèòå îäèíàêîâîå óñèëèå, â êàêîì áû íàïðàâëåíèè íè áðîñàëè, åñëè ðàññòîÿíèÿ îäèíàêîâû. Ïðûãàÿ îáåèìè íîãàìè ñðàçó, âû áóäåòå ïðîëåòàòü îäèíàêîâûå ðàññòîÿíèÿ â ëþáîì íàïðàâëåíèè. Òùàòåëüíî ïðîíàáëþäàâ âñå ýòî (õîòÿ âû è íå ñîìíåâàëèñü, ÷òî âñå áóäåò ïðîèñõîäèòü èìåííî òàê, ïîêà êîðàáëü ñòîèò íà ìåñòå), îòäàéòå êîìàíäó, ÷òîáû êîðàáëü íà÷àë äâèãàòüñÿ ñ ëþáîé ñêîðîñòüþ, ëèøü áû åãî äâèæåíèå áûëî ðàâíîìåðíûì è íå ïîäâåðãàëîñü êàêèì áû òî íè áûëî âîçìóùåíèÿì. Íè â îäíîì èç óêàçàííûõ ïðîöåññîâ âû íå îáíàðóæèòå íè ìàëåéøèõ èçìåíåíèé è íå ñìîæåòå íè ïî îäíîìó èç íèõ óçíàòü, äâèæåòñÿ ëè âàø êîðàáëü èëè ñòîèò íà ìåñòå”. Âñå óïîìèíàåìûå Ãàëèëååì ÿâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìåõàíè÷åñêèìè. Ïîýòîìó, îáîáùàÿ âûâîä Ãàëèëåÿ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî âî âñåõ ÈÑÎ âñå ìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêàþò îäèíàêîâî. Äðóãèìè ñëîâàìè, çàêîíû ìåõàíèêè îäèíàêîâû (ãîâîðÿò, èíâàðèàíòíû) âî âñåõ ÈÑÎ. Ïîñêîëüêó, íàáëþäàÿ ìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå âíóòðè ÈÑÎ, íåëüçÿ óñòàíîâèòü, äâèæåòñÿ ýòà ÈÑÎ èëè ïîêîèòñÿ, òî ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ òåì ñàìûì óòâåðæäàåò îòíîñèòåëüíîñòü ìåõàíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ è ïîêîÿ. Èç èíâàðèàíòíîñòè çàêîíîâ ìåõàíèêè â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ ñëåäóåò âàæíûé âûâîä î ïîçíàâàåìîñòè ìèðà.  äàííîì ñëó÷àå ýòî óòâåðæäåíèå íàäî ïîíèìàòü òàê: èçó÷èâ ìåõàíè÷åñêèå ïðîöåññû â êàêîé-ëèáî ÈÑÎ, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî è â äðóãèõ ÈÑÎ, ãäå áû îíè íå íàõîäèëèñü, ýòè ïðîöåññû ïðè òàêèõ æå óñëîâèÿõ áóäóò ïðîòåêàòü àíàëîãè÷íî. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ îòðèöàåò âîçìîæíîñòü îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå äâèæåíèå, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî ëåæèò â îñíîâå íüþòîíîâñêèõ ïðåäñòàâëåíèé î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè. Âïîñëåäñòâèè ìû óâèäèì, ÷òî íåâîçìîæíîñòü îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå äâèæåíèå è ïîêîé íàáëþäåíèåì ìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïîñëóæèëà ìîùíûì èìïóëüñîì äëÿ ðàçâèòèÿ ôèçèêè, ïîèñêà äðóãèõ ñïîñîáîâ îáíàðóæåíèÿ àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ è ïîêîÿ. Áîëåå øèðîêîå ñîäåðæàíèå ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ ðàñêðûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë, êîòîðûå ïîëó÷èëè íàçâàíèå ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ ïðè 11

ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé. Êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ óòâåðæäàåò, ÷òî ìåõàíè÷åñêèå ïðîöåññû ïðîòåêàþò îäèíàêîâî ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ âî âñåõ ÈÑÎ. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî âîñïðîèçâåñòè èõ â îäíîé èç ÈÑÎ. Íî åñëè ýòè ïðîöåññû íàáëþäàþòñÿ èç äðóãîé ÈÑÎ, òî, î÷åâèäíî, óñëîâèÿ íàáëþäåíèÿ èçìåíÿþòñÿ. Ïîýòîìó èçìåíÿòñÿ è êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè íàáëþäàåìûõ ÿâëåíèé. Ôîðìóëû Ãàëèëåÿ, êîòîðûå ìû ïîëó÷èì íèæå, ïîçâîëÿþò ñâÿçàòü ìåæäó ñîáîé ïðîñòðàíñòâåííûå è âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè ìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðè èçìåðåíèè èõ èç äâóõ ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ. Ðàññìîòðèì äâå ÈÑÎ L è L′ , îäíó èç íèõ óñëîâíî áóäåì ñ÷èòàòü íåïîäâèæíîé (ÈÑÎ L ), äðóãóþ L′ — äâèæóùåéñÿ ñëåâà r íàïðàâî îòíîñèòåëüíî ïåðâîé ñî ñêîðîñòüþ v (ðèñ.1). Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ÈÑÎ L′ ïðèìåì çà ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îñè Îõ (îñè O′X ′ ), íàïðàâëåíèå äðóãèõ îñåé êîîðäèíàò óêàçàíî íà ðèñ.1. Ïðèìåì óñëîâíî (â ñèëó îäíîðîäíîñòè, îäèíàêîâîñòè õîäà âðåìåíè) çà íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè òîò ìîìåíò, êîãäà íà÷àëà ÈÑÎ L è L′ ñîâïàäàëè (íå áóäåì çàáûâàòü, ÷òî èíåðöèàëüíûå ÑÎ âñåãäà íàõîäÿòñÿ â äâèæåíèè, ðàâíîìåðíîì è ïðÿìîëèíåéíîì!), ýòî óïðîñòèò íàøè ðàñ÷åòû. ×åðåç íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè t , êîãäà íà÷àëà ÈÑÎ

y

y′ y′′

r v M

O

O′ O′′ x

z z′ 12

z′′

Ðèñ.1.

x′

x′′

òî÷êè Î è O′ ðàçîéäóòñÿ íà ðàññòîÿíèå ÎÎ ′ , â íåêîòîðîé òî÷êå ïëîñêîñòè õÎó âîçíèêíåò ñîáûòèå Ì. Åãî êîîðäèíàòû â ÈÑÎ L : õ è ó. Ñîîòâåòñòâåííî, â ÈÑÎ L′ (ýòî âèäíî èç ðèñ.1) êîîðäèíàòû ñîáûòèÿ Ì áóäóò x′ è y′ . Âîñïîëüçóåìñÿ ðèñ.1 è íàéäåì ñâÿçü ìåæäó íå øòðèõîâàííûìè è øòðèõîâàííûìè êîîðäèíàòàìè ñîáûòèÿ Ì: x ′ = x − OO ′ = x − vt , y ′ = y, z′ = z

(2.1-2.3)

Êðîìå òîãî, èñõîäÿ èç àáñîëþòíîñòè ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè âî âñåõ ÈÑÎ (î ÷åì ãîâîðèëîñü â § 1), ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî (2.4) t ′ = t. Ñîîòíîøåíèÿ (2.1) — (2.4) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå èëè ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ. Íèæå ìû ïîêàæåì, ÷òî â ýòèõ ôîðìóëàõ ñîäåðæàòñÿ îñíîâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ. Èç ôîðìóëû (2.1) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî êîîðäèíàòà (ïðîñòðàíñòâåííàÿ õàðàêòåðèñòèêà) ñîáûòèÿ èçìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé, ò.å. êîîðäèíàòà ñîáûòèÿ ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ôîðìóëà (2.4) çàôèêñèðîâàëà ôóíäàìåíòàëüíîå ïîëîæåíèå êëàññè÷åñêîé ôèçèêè: âðåìÿ — àáñîëþòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ñîáûòèÿ. Îïðåäåëÿÿ äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà ∆t = t 2 − t1 , ïîëó÷àåì, ÷òî äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà òàêæå ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé àáñîëþòíîé. Åñëè äâà ñîáûòèÿ ïðîèçîøëè â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè t 2 = t1 , òî èç ðàâåíñòâà (2.4) ñëåäóåò, ÷òî ýòî ñîîòíîøåíèå ñîõðàíÿåòñÿ â ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ. Îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå, ÷òî îäíîâðåìåííîñòü àáñîëþòíà: òî, ÷òî îäíîâðåìåííî â îäíîé ÈÑÎ, îäíîâðåìåííî è â äðóãîé. Íàø èíòåðåñ ê âûÿñíåíèþ, êàêèå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíûìè, à êàêèå — îòíîñèòåëüíûìè, èìååò î÷åíü ãëóáîêèé ñìûñë: íå ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ áåç 13

àáñîëþòíûõ (â å¸ ðàìêàõ) ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, áåç òàêèõ, êîòîðûå ñîõðàíÿëèñü áû ïðè ðàññìîòðåíèè ÿâëåíèé â ëþáîé ÈÑÎ. Èíà÷å òàêàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ íå äàâàëà áû íàì îáúåêòèâíûõ çíàíèé î ñâîéñòâàõ è ñòðîåíèè îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà. Ïîëó÷èì åùå ðÿä ñëåäñòâèé, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ. Àáñîëþòíîñòü äëèíû â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Ïóñòü îäíîìåðíûé ñòåðæåíü ðàñïîëàãàåòñÿ â ïîäâèæíîé ÈÑÎ L′ âäîëü îñè O ′x ′ . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ äëèíû íåïîäâèæíîãî ñòåðæíÿ íåîáõîäèìî çàñå÷ü êîîðäèíàòû åãî êîíöîâ. Òàê êàê ñòåðæåíü íåïîäâèæåí, òî ñäåëàòü ýòî íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà. Ñëîæíåå îïðåäåëèòü êîîðäèíàòû êîíöîâ òåëà, åñëè îíî äâèæåòñÿ. Ïîýòîìó ââåäåì ñëåäóþùåå ïðàâèëî: êîîðäèíàòû êîíöîâ äâèæóùåãîñÿ ñòåðæíÿ íåîáõîäèìî çàñå÷ü â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè, ò.å. îäíîâðåìåííî. Êîîðäèíàòû êîíöîâ äâèæóùåãîñÿ â ÈÑÎ L ñâÿçàíû ñ êîîðäèíàòàìè åãî êîíöîâ, èçìåðåííûìè â ÈÑÎ L′ , ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (2.1). Íàïèøåì åå äëÿ êîîðäèíàò íà÷àëà è êîíöà ñòåðæíÿ: x1, = x1 − vt1 , x 2, = x 2 − vt 2 .

(2.5)

(2.6) Ñîñòàâèì ðàçíîñòü âûðàæåíèé (2.5), ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (2.6). t1 = t 2 .

Ââîäÿ îáîçíà÷åíèÿ x 2 − x1 = l è x 2, − x1, = l ′ , ãäå l è l′ — äëèíà ñòåðæíÿ â ÈÑÎ L è L′ , ïîëó÷àåì: (2.7)

÷òî è óñòàíàâëèâàåò àáñîëþòíîñòü äëèíû òåëà.  êàêîé áû ÈÑÎ ìû íå èçìåðÿëè äëèíó òåëà, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå åå âñåãäà áóäåò îäíî è òî æå. Òàêîâî îäíî èç ñëåäñòâèé ôîðìóë Ãàëèëåÿ. Ïîâñåäíåâíûé îïûò è “çäðàâûé” ñìûñë íàõîäÿòñÿ â ñîãëàñèè ñ ýòèì ðåçóëüòàòîì. 14

îò x1 äî x 2 â ÈÑÎ L è îò x1, äî x 2, â ÈÑÎ L′ (ìû ðàññìàòðèâàåì òåëî â âèäå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, òàê ÷òî åãî ïîëîæåíèå íà îñè Ox (ñîîòâåòñòâåííî O ′x ′ ) îïðåäåëÿåòñÿ îäíîé êîîðäèíàòîé). Øòðèõîâàííûå è íå øòðèõîâàííûå êîîðäèíàòû ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ôîðìóëîé (2.1): x1, = x1 − vt1 ,

(2.8)

x 2, = x 2 − vt 2 .

Ñîñòàâèì ðàçíîñòü ýòèõ âûðàæåíèé è îäíîâðåìåííî ðàçäåëèì îáå ñòîðîíû ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà íà âðåìÿ äâèæåíèÿ ∆t = t 2 − t1 = t 2, − t1, = ∆t ′ :

x 2, − x1, t 2,

Ñîãëàñíî ïðàâèëó, ñôîðìóëèðîâàííîìó âûøå

l′ = l ,

Òåîðåìà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (ÒÑÑ) â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Ýòà òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèÿìè ñêîðîñòåé îäíîãî è òîãî æå òåëà, ïîëó÷åííûìè â äâóõ ÈÑÎ. Áóäåì âåñòè ðå÷ü î ñðåäíåé ñêîðîñòè, ÷òî óïðîñòèò íàøè ðàñ÷åòû. Ïóñòü çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t = t 2 − t1 êîîðäèíàòû òåëà èçìåíèëèñü

− t1,

=

x 2 − x1 −v. t 2 − t1

(2.9)

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ñðåäíåé ñêîðîñòè: x 2 − x1 = ux è t 2 − t1

x 2, − x1, t 2,

− t1,

= u, , . x

(2.10)

Òîãäà ðàâåíñòâî (2.9) çàïèøåòñÿ òàê: u ′x′ = u x − v ,

(2.11) ÷òî è âûðàæàåò òåîðåìó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ. Ïåðåõîäÿ ê áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðîìåæóòêàì âðåìåíè è èçìåíåíèÿì êîîðäèíàò, ïîëó÷èì òî÷íî òàêîå æå âûðàæåíèå äëÿ ìãíîâåííûõ ñêîðîñòåé äâèæóùåãîñÿ òåëà. Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü òåëà â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé îòíîñèòåëüíîé, ò.å. èìååò ðàçíîå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè â ðàçíûõ ÈÑÎ. 15

Àáñîëþòíîñòü îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ îäíîãî òåëà ïî îòíîøåíèþ ê äðóãîìó òåëó. Ïîä îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ äàííîãî òåëà ïî îòíîøåíèþ ê äðóãîìó òåëó ìû áóäåì ïîíèìàòü ðàçíîñòü u 2 − u1 , ãäå u2 è u1 îïðåäåëÿþòñÿ â îäíîé è òîé æå ÈÑÎ, â êîòîðîé äâèæóòñÿ äàííûå òåëà. Íàïðèìåð, âäîëü øîññå â îäíîì íàïðàâëåíèè äâèæóòñÿ äâå àâòîìàøèíû ñî ñêîðîñòÿìè u1 è u2 ñîîòâåòñòâåííî. Îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ ïåðâîé àâòîìàøèíû îòíîñèòåëüíî âòîðîé áóäåò âåëè÷èíà u2 − u1 , à îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ âòîðîé àâòîìàøèíû îòíîñèòåëüíî ïåðâîé ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòü u1 − u2 . Óñòàíîâèì, èçìåíÿåòñÿ ëè ýòà âåëè÷èíà, åñëè îïðåäåëÿòü åå äëÿ òåõ æå òåë â äðóãîé ÈÑÎ? Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì ôîðìóëó ÒÑÑ äëÿ êàæäîãî òåëà: äëÿ ïåðâîãî òåëà u1, = u1 − v ,

u 2, − u1, = u 2 − u1 .

(2.14) Ðàâåíñòâî (2.14) óòâåðæäàåò, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü äëÿ äâóõ òåë ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé àáñîëþòíîé, èíâàðèàíòíîé. Ýòîò âûâîä âñêîðå íàì ïîòðåáóåòñÿ ïðè àíàëèçå êëàññè÷åñêèõ çàêîíîâ äâèæåíèÿ. Àáñîëþòíîñòü óñêîðåíèÿ òåëà. Ïóñòü çà íåêîòîðûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ñêîðîñòü òåëà èçìåíÿåòñÿ îò u1 äî u2 . Îïðåäåëèì èçìåíåíèå ñêîðîñòè ýòîãî òåëà çà òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè â ÈÑÎ L′ , äëÿ ÷åãî âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ÒÑÑ: è u 2, = u 2 − v. (2-15) (Âíèìàíèå! Õîòÿ ìàòåìàòè÷åñêèå çàïèñè â ýòîé çàäà÷å ñîâïàäàþò ñ çàïèñÿìè â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, íî òàì ðå÷ü øëà î ñêîðîñòÿõ 2-õ ðàçíûõ òåë â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè, çäåñü æå — î ñêîðîñòÿõ îäíîãî è òîãî æå òåëà â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè.) 16

Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìóëû 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà Çàïèøåì ôîðìóëó 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà â ñëåäóþùåì ñêàëÿðíîì âèäå

(2.12)

(2.13) äëÿ âòîðîãî òåëà u 2, = u 2 − v . Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè, ïîëó÷àåì:

u1, = u1 − v

Ñîñòàâèì ðàçíîñòü âûðàæåíèé (2.15) è ðàçäåëèì îáå ñòîðîíû ðàâåíñòâà íà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t = t 2 − t1 , â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèçîøëî èçìåíåíèå ñêîðîñòè. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ óñêîðåíèÿ ïîëó÷àåì, ÷òî ñðåäíåå óñêîðåíèå (2.16) a ′ = a. ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé, àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé. Ðàññìàòðèâàÿ èçìåíåíèå ñêîðîñòè çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ïîëó÷èì, ÷òî è ìãíîâåííîå óñêîðåíèå òåëà åñòü âåëè÷èíà èíâàðèàíòíàÿ, ò.å. èìååò îäíî è òî æå ÷èñëåííîå çíà÷åíèå âî âñåõ ÈÑÎ.

a=

F , m

(2.17)

èìåÿ â âèäó îäíîìåðíûé õàðàêòåð ðàññìàòðèâàåìîãî äâèæåíèÿ. Êàê èçâåñòíî, îñíîâíîé çàäà÷åé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâëåíèå çàêîíà äâèæåíèÿ x = x (t ) ïî çàäàííûì ñèëàì è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. Íî åñëè ìû èìååì âîçìîæíîñòü ïîëüçîâàòüñÿ ëþáîé ÈÑÎ, òî âîçíèêàåò âîïðîñ: à áóäåò ëè çàêîí Íüþòîíà òàêèì æå è â äðóãîé ÈÑÎ, áóäåò ëè óðàâíåíèå çàêîíà ñîõðàíÿòü ñâîé âèä è â íîâûõ ïåðåìåííûõ (â îáîçíà÷åíèÿõ ÈÑÎ L′ )? ×òîáû ïîëó÷èòü îòâåò íà çàäàííûé âîïðîñ, íåîáõîäèìî ïðîàíàëèçèðîâàòü êàæäîþ âåëè÷èíó, âõîäÿùóþ â ôîðìóëó çàêîíà, íà ïðåäìåò åå àáñîëþòíîñòè, èíâàðèàíòíîñòè. Âûøå áûëî óêàçàíî, ÷òî óñêîðåíèå åñòü âåëè÷èíà èíâàðèàíòíàÿ.  ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ñïðàâåäëèâ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû, óñòàíîâëåííûé Ëîìîíîñîâûì è Ëàâóàçüå. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàññà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé. Îñòàåòñÿ ïðîàíàëèçèðîâàòü òå ñèëû, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå: ñèëà òðåíèÿ r r Fòð = −αvîòí ,

ñèëà óïðóãîñòè 17

r r F óïð = −k∆x

è ñèëà ãðàâèòàöèîííîãî

§ 3. Ðåøåíèå çàäà÷ ñ âûáîðîì ðàçëè÷íûõ ñèñòåì îòñ÷åòà

âçàèìîäåéñòâèÿ Fòÿã = γ

mM r2

,

α , k , γ —ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû, à r r r r r r vîòí = u 2 − u1 , ∆x = x 2 − x1 , r — ñîîòâåòñòâåííî îòíîñèòåëüíàÿ

ãäå

ñêîðîñòü äâèæåíèÿ îäíîãî òåëà îòíîñèòåëüíîãî äðóãîãî, âåëè÷èíà äåôîðìàöèè è ðàññòîÿíèå ìåæäó òÿãîòåþùèìè òåëàìè. Íî âñå ýòè âåëè÷èíû, êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå, ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíûìè, èíâàðèàíòíûìè âåëè÷èíàìè. Ñëåäîâàòåëüíî è ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà ìåõàíèêè ñîõðàíÿåò ñâîé âèä, è âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â íåå, íå èçìåíÿþò ñâîåãî ÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ïðè ïîìîùè ôîðìóë Ãàëèëåÿ. Òàêèì îáðàçîì, 2-é çàêîí ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíûì, èíâàðèàíòíûì çàêîíîì, ò.å. îí ñïðàâåäëèâ â ëþáîé ÈÑÎ. Íî ýòî æå óòâåðæäàåò è ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ: âî âñåõ ÈÑÎ ìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêàþò îäèíàêîâî. Ó ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè åñòü è äðóãàÿ, òàê íàçûâàåìàÿ îòðèöàòåëüíàÿ ôîðìóëèðîâêà: íåëüçÿ, ñòàâÿ âíóòðè ÈÑÎ ìåõàíè÷åñêèå îïûòû, óñòàíîâèòü, äâèæåòñÿ èëè ïîêîèòñÿ äàííàÿ ÈÑÎ. Äðóãèìè ñëîâàìè, ðàâíîìåðíîå, ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå è ïîêîé îòíîñèòåëüíû, íåò âîçìîæíîñòè, íàáëþäàÿ ìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, îáíàðóæèòü àáñîëþòíûé ïîêîé è äâèæåíèå. Ýòîò âûâîä îòðèöàåò ñóùåñòâîâàíèå àáñîëþòíîãî ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè è ñâÿçàííîãî ñ íèìè àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ è ïîêîÿ, òî÷íåå, îòðèöàåò âîçìîæíîñòü îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ, íàáëþäàÿ ëèøü ìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ. Íî ïî íüþòîíîâñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì òàêèå àáñîëþòíûå ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ äîëæíû ñóùåñòâîâàòü. È ôèçèêè ðåøèëè èñêàòü èõ, èñïîëüçóÿ äðóãèå, íåìåõàíè÷åñêèå ïðîöåññû, íàïðèìåð, îïòè÷åñêèå. Íà÷àëñÿ íîâûé ýòàï ðàçâèòèÿ ôèçèêè, êîòîðûé è ïðèâåë â êîíöå êîíöîâ ê âîçíèêíîâåíèþ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, ê ðåâîëþöèè â ôèçè÷åñêîé íàóêå. 18

Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè — îäèí èç îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ ñîâðåìåííîé ôèçèêè, ïîçâîëÿþùèé óâèäåòü åäèíñòâî ôèçèêè êàê íàóêè î ïðèðîäå. Äëÿ âûÿâëåíèÿ ãëóáîêîãî ôèçè÷åñêîãî è ôèëîñîôñêîãî ñîäåðæàíèÿ ýòîãî ïðèíöèïà íåîáõîäèìî â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîíÿòü ðîëü è øèðîêî èñïîëüçîâàòü ñèñòåìó îòñ÷åòà, âûñòóïàþùåé êàê ôèçè÷åñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ.  ñèëó ðàâíîïðàâèÿ âñåõ ÈÑÎ, èññëåäîâàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü âûáîðà ëþáîé ÈÑÎ. Îäíàêî òîëüêî èíòóèöèÿ, ïðèîáðåòàåìàÿ ïðè ìíîãîêðàòíûõ òðåíèðîâêàõ ïðè ðåøåíèè çàäà÷, ïîäñêàæåò òó ÈÑÎ, â êîòîðîé íàèáîëåå ïðîñòî ôèçè÷åñêè è ìàòåìàòè÷åñêè ïðåäñòàíåò èçó÷àåìûé ïðîöåññ.  äàëüíåéøåì ìû ïîñòîÿííî áóäåì ðàáîòàòü ñ ðàçëè÷íûìè ÈÑÎ, ïîýòîìó áóäåò åñòåñòâåííûì, åñëè íà ðÿäå ïðèìåðîâ ïîêàæåì âîçìîæíîñòè â âûáîðå ÈÑÎ ïðè ðåøåíèè íåñêîëüêèõ êèíåìàòè÷åñêèõ çàäà÷. Áóäåì ñëåäîâàòü ñëåäóþùåìó ïëàíó ðåøåíèÿ: ïîñëå àíàëèçà óñëîâèÿ çàäà÷è è êðàòêîé çàïèñè, âûáèðàåì òó ÈÑÎ, â êîòîðîé, êàê íàì êàæåòñÿ (âåäü âñå ÈÑÎ ðàâíîïðàâíû!), ðåøåíèå áóäåò ôèçè÷åñêè áîëåå ÿñíûì è ìàòåìàòè÷åñêè áîëåå ðàöèîíàëüíûì; â âûáðàííîé ÈÑÎ ñòðîèì ÷åðòåæ (ðèñóíîê èëè ñõåìó), ïðîâîäèì àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå; â êîíå÷íîå âûðàæåíèå äëÿ èñêîìîé âåëè÷èíû ïîäñòàâëÿåì ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ñ íàèìåíîâàíèÿìè. Ïîñëå ïðîâåðêè ðàçìåðíîñòè îòâåòà, íàõîäèì åãî ÷èñëåííîå çíà÷åíèå è, ïðè íàäîáíîñòè, àíàëèçèðóåì îòâåò. Òàêîé ïëàí, â ïðèíöèïå, ïðèãîäåí äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî âñåì ðàçäåëàì ôèçèêè. Çàäà÷à ¹ 1. Ëîäî÷íèê, ïðîïëûâàÿ ïîä ìîñòîì ïðîòèâ òå÷åíèÿ, ïîòåðÿë çàïàñíîå âåñëî. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ îí îáíàðóæèë ïðîïàæó, ðàçâåðíóë ëîäêó è ÷åðåç ÷àñ â òðåõ êèëîìåòðàõ íèæå ìîñòà äîãíàë âåñëî. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü âîäû. vâ Íàéòè Äàíî

t = 1÷ l = 3 êì 19

Ðåøåíèå. I âàðèàíò.  áîëüøèíñòâå çàäà÷, êàê è â äàííîé, óñëîâèå ôîðìóëèðóåòñÿ â ÑÎ “Çåìëÿ”. Ýòî ìåòîäè÷åñêè íå îïðàâäàíî, òàê êàê â îïðåäåëåííîé ñòåïåíè “àáñîëþòèçèðóåò”, âûäåëÿåò â ñîçíàíèè ýòó ÑÎ. Íî ïîñëåäóåì çà àâòîðîì çàäà÷è è âûáåðåì ýòó ñèñòåìó îòñ÷åòà â êà÷åñòâå ðàáî÷åé ÑÎ. Èòàê, çàäà÷à áóäåò ðåøàòüñÿ â ÈÑÎ “Çåìëÿ”. Ñäåëàåì â ýòîé ÈÑÎ ÷åðòåæ, ñîîòâåòñòâóþùèé óñëîâèþ çàäà÷è (ðèñ.2). Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíîå r âðåìÿ t′ , êîòîðîå ëîäî÷íèê ïîvâ òðàòèò äëÿ ïðîõîæäåíèÿ ïóòè ÎÀ, â êîíöå êîòîðîãî îí îáíàðóæèâàåò ïðîïàæó âåñëà. O A B Ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèå òðè ðàâåíñòâà, ó÷èòûâàþùèå, ñîãëàñíî ÒÑÑ, ÷òî ñêîðîñòü Ðèñ.2 ëîäêè ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðàâíà ( v − v â ) , ïðè äâèæåíèè ïî òå÷åíèþ (v + v â ) , ãäå v — ñêîðîñòü ëîäêè â ñòîÿ÷åé âîäå, v ⠗ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ âîäû: Π= v â (t + t ′) — ïóòü âåñëà,

OA = (v − v â )t ′ — ïóòü ëîäêè äî ïîâîðîòà,

AB = (v + v â ) t — ïóòü ëîäêè îò ïîâîðîòà äî âñòðå÷è c âåñëîì.

Èç ÷åðòåæà âèäíî, ÷òî AB = OA + OB , èëè

(v + vâ )t = (v − v â )t ′ + v â (t + t ′).

Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ c ðàçíûìè çíàêàìè, ïîëó÷àåì, ÷òî t = t ′.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå âðåìÿ äâèæåíèÿ âåñëà (âìåñòå ñ âîäîé) ðàâíî T = t + t ′ = 2 t.

Çà ýòî âðåìÿ âåñëî ïðîïëûëî ñî ñêîðîñòüþ âîäû ðàññòîÿíèå îòêóäà 20

l = vâT ,

l 3 êì = = 1,5 êì/÷. 2÷ T Íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ïðîñòîòó ðåøåíèÿ, ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíûì ìîìåíòîì åãî ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå âñïîìîãàòåëüíîãî âðåìåíè t′ , ÷èñëîâîå çíà÷åíèå êîòîðîãî íå äàíî â óñëîâèè çàäà÷è è íå èçâåñòíî, êàê åãî íàéòè. Ðàññìîòðèì äðóãîé âàðèàíò ðåøåíèÿ çàäà÷è, âûáðàâ äðóãóþ ÈÑÎ. vâ =

II âàðèàíò Ïîñòàâèì ïåðåä ñîáîé âîïðîñ: íåò ëè òàêîé ÈÑÎ, â êîòîðîé çàäà÷à ðåøàëàñü áû áîëåå ôèçè÷íî, áåç ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîãî âðåìåíè t′ , ñ áîëüøèì îñìûñëåíèåì ôèçè÷åñêèõ ïîíÿòèé, âñòðå÷àþùèõñÿ â çàäà÷å? Íàïðèìåð, åñëè âçÿòü ÈÑÎ “Âîäà” (ìû áóäåì äàâàòü íàçâàíèå ÈÑÎ ïî òîìó îáúåêòó, ñ êîòîðûì ìîæíî ñâÿçàòü òåëî îòñ÷åòà äàííîé ÈÑÎ), òî â ýòîé ÑÎ âîäà íåïîäâèæíà, íåïîäâèæíî è âåñëî, è ëèøü ëîäêà óäàëÿåòñÿ è ïðèáëèæàåòñÿ ê âåñëó. Ïðè÷åì, ýòî äâèæåíèå ëîäêè ïðîèñõîäèò â ñòîÿ÷åé (!) âîäå. Ïîýòîìó ïîòðåáóåòñÿ îäíî è òî æå âðåìÿ äëÿ óäàëåíèÿ è ïðèáëèæåíèÿ ê âåñëó. À òàê êàê äëèòåëüíîñòü (âðåìÿ) â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé, òî è â ÈÑÎ “Âîäà” íà âîçâðàùåíèå ëîäêè ê âåñëó (êàê è â ÈÑÎ “Çåìëÿ”) ïîòðåáóåòñÿ 1 ÷àñ. Âñåãî æå ëîäêà â äâèæåíèè áóäåò äâà ÷àñà (1 ÷àñ “òóäà” è 1 ÷àñ “îáðàòíî”). Ñòîëüêî æå âðåìåíè ïëûëî âåñëî âìåñòå ñ âîäîé îòíîñèòåëüíî áåðåãà è ïðè ýòîì ïðîïëûëî (ñî ñêîðîñòüþ âîäû) 3 êì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü âåñëà (è âîäû) ðàâíà vâ =

l 3êì = = 1,5 êì / ÷ 2t 2÷

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ïî âòîðîìó âàðèàíòó âûáîðà ÈÑÎ íàì ïðèøëîñü èñõîäèòü èç òàêèõ âàæíûõ äëÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ïðåäñòàâëåíèé, êàê àáñîëþòíîñòü âðåìåíè, äëèíû è îòíîñèòåëüíîñòü ñêîðîñòè, èíâàðèàíòíîñòü ñàìîãî ñîáûòèÿ, óòâåðäèòüñÿ â ðàâíîïðàâèè ÈÑÎ è ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü ìàòåìàòè÷åñêèå ðàñ÷åòû. Íåò ñîìíåíèÿ, ÷òî òîò ÷èòàòåëü, êîòîðûé èùåò â çàäà÷àõ ôèçèêó, âûáåðåò 2-îé âàðèàíò ðåøåíèÿ. 21

Çàäà÷à ¹2. Íà÷àëüíûå ïîëîæåíèÿ è âåêòîðû ñêîðîñòåé äâóõ êîðàáëåé (ñàìîëåòîâ, ëþäåé è ò.ä.) çàäàíû ãðàôè÷åñêè. Êîðàáëè äâèæóòñÿ ðàâíîìåðíî. Êàêèì áóäåò íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè? Íàéòè:

Ðåøåíèå. lmin r Äàíî: v1 , v1 r v2 , v2 Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøèòü ýòó çàäà÷ó â ÈÑÎ “Áåðåã”. Ïðè ýòîì ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ òàê íàçûâàåìîé “òåîðåìîé êîñèíóñîâ”, ââåäÿ âñïîìîãàòåëüíîå âðåìÿ äâèæåíèÿ. Çàòåì ìèíèìèçèðóÿ êîðíè ïîëó÷àþùåãîñÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, íàéäåì èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Ðåøåíèå î÷åíü ñëîæíîå, áîëüøå ìàòåìàòè÷åñêîå, ÷åì ôèçè÷åñêîå. Ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ âîçìîæíîñòüþ âûáîðà äðóãîé ðàâíîïðàâíîé (ïî ðåçóëüòàòàì) ÈÑÎ. Ñâÿæåì íà÷àëî äðóãîé ÈÑÎ ñ îäíèì èç êîðàáëåé, íàïðèìåð, ñ ïåðâûì. Òîãäà â ÈÑÎ “1-é êîðàáëü” ýòîò êîðàáëü áóäåò íåïîäâèær r íûì, à âòîðîé áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = v 2 − v1 , êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ÒÑÑ.  ÑÎ “1-é êîðàáëü” âòîðîé êîðàáëü áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé ÂÄ (ðèñ.3). Òåïåðü íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà îïðåäåëèòü êðàò÷àéøåå r ðàññòîÿíèå ìåæäó êîðàáëÿv1 ìè: îíî ðàâíî äëèíå ïåðïåír äèêóëÿðà ÀÑ, îïóùåííîãî À v2 èç ìåñòîïîëîæåíèÿ 1-ãî êîðàáëÿ (ò. À) íà íàïðàâëåíèå r v D Ñ B äâèæåíèÿ 2-ãî êîðàáëÿ. À òàê êàê äëèíà â êëàññè÷år − v1 Ðèñ.3. ñêîé ôèçèêå ÿâëÿåòñÿ âåëè÷èíîé àáñîëþòíîé, òî è â ÈÑÎ “Áåðå㔠ýòî ðàññòîÿíèå ìåæäó êîðàáëÿìè áóäåò íàèìåíüøèì. Åñëè ÷åðòåæ ïîñòðîåí â îïðåäåëåííîì ìàñøòàáå, òî òàêîå ðåøåíèå ìîæåò äàòü íå òîëüêî êà÷åñòâåííûé, íî è êîëè÷åñòâåííûé îòâåò.

22

Çàäà÷à ¹3 Äâà âåëîñèïåäèñòà åäóò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó. Îäèí, èìåÿ ñêîðîñòü 18 êì/÷, ïîäíèìàåòñÿ â ãîðó ñ óñêîðåíèåì —20 ñì/ñ2, äðóãîé, èìåÿ ñêîðîñòü 5,4 êì/÷, ñïóñêàåòñÿ ñ ãîðû ñ óñêîðåíèåì 0,2 ì/ñ 2 . ×åðåç ñêîëüêî âðåìåíè îíè âñòðåòÿòñÿ, è êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîåäåò êàæäûé äî âñòðå÷è, åñëè ìåæäó íèìè â íà÷àëüíûé ìîìåíò áûëî 130 ì? Íàéòè

t , l1 , l 2

Ðåøåíèå

a1 = −20 ñì / ñ 2 , a 2 = 0,2 ñì / ñ 2 ,

Äàíî

v1 = 18êì / ÷ , v 2 = 5,4 êì / ÷, l = 130 ì

“Ñòàíäàðòíîå” ðåøåíèå ìîæíî ïðîâåñòè â ÈÑÎ “Çåìëÿ”. Íóæíî ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ êàæäîãî âåëîñèïåäèñòà, ó÷åñòü, ÷òî l = l1 + l 2 , è ðåøèòü êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî t , çàòåì ðàññ÷èòàòü l1 è /2. Íî ôèçè÷åñêè èíòåðåñíåå ðàññìîòðåòü ðåøåíèå â ÑÎ “1-é âåëîñèïåäèñò”. È õîòÿ ñàì 1-é âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ óñêîðåííî â ÈÑÎ “Çåìëÿ”, íî â ñâîåé ÑÎ îí íåïîäâèæåí. Âòîðîé æå âåëîñèïåäèñò â ýòîé ÑÎ äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî, òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è åãî óñêîðåíèå ðàâíî è îäíî íàïðàâëåííî ñ óñêîðåíèåì 1ãî âåëîñèïåäèñòà â ÑÎ “Çåìëÿ”. Òàêèì îáðàçîì, áëàãîäàðÿ âûáîðó ÑÎ, óäàëîñü áîëåå ñëîæíîå ðàâíîïåðåìåííîå äâèæåíèå âåëîñèïåäèñòîâ ñâåñòè ê íåñðàâíåííî áîëåå ïðîñòîìó ðàâíîìåðíîìó äâèæåíèþ.  ÑÎ “1-é âåëîñèïåäèñò” âòîðîé âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ (v1 + v 2 ) , ÷òî ñëåäóåò èç ÒÑÑ. Âåëîñèïåäèñòîâ ðàçäåëÿåò ðàññòîÿíèå â 130 ì (äëèíà — èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà!). Ýòîò ïóòü 2-é âåëîñèïåäèñò ïðîéäåò çà âðåìÿ: 23

t=

l . v1 + v 2

Íî âðåìÿ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå — èíâàðèàíò, ñëåäîâàòåëüíî, ñòîëüêî æå âðåìåíè îáà âåëîñèïåäèñòà áóäóò äâèãàòüñÿ äî âñòðå÷è è â ÑÎ “Çåìëÿ”. Ìû íàøëè îñíîâíîé îòâåò çàäà÷è, íå ðåøàÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. À òåïåðü, çíàÿ âðåìÿ äâèæåíèÿ ëþáîãî âåëîñèïåäèñòà, ìîæíî îïðåäåëèòü ïðîéäåííûé èìè ïóòü, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âåëîñèïåäèñòîâ â ÑÎ “Çåìëÿ”. Íàïðèìåð, äëÿ 1-ãî âåëîñèïåäèñòà l1 = v1t −

a1t 2 . 2

Ýëåìåíòàðíûé ðàñ÷åò äàåò ñëåäóþùèå ÷èñëîâûå äàííûå: t = 20 c, l1 = 60 ì, l 2 = 70 ì.

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ê ïîäîáíîé çàäà÷å ñâîäÿòñÿ äâèæåíèÿ òåë, èìåþùèõ îäíî è òî æå óñêîðåíèå, íàïðèìåð, çàäà÷à î ñâîáîäíîì äâèæåíèè 2-õ òåë â ïîëå òÿæåñòè Çåìëè. Ïðè ýòîì íå îáÿçàòåëüíî, ÷òîáû òåëà äâèãàëèñü íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, êàê â äàííîé çàäà÷å. Çàäà÷à ¹4 Êàê áûñòðåå è ñ íàèìåíüøåé çàòðàòîé ýíåðãèè ïåðåïðàâèòüñÿ íà ëîäêå ÷åðåç ðåêó? Íàéòè Äàíî

∠α

Ðåøåíèå

v ëîäêè v âîäû

Ñíîâà (êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å) ïðåäîñòàâèì ÷èòàòåëþ ðåøèòü ýòó çàäà÷ó ⠓ñòàíäàðòíîé” ÑÎ — “Çåìëÿ”. Ìû æå âûáåðåì â êà÷åñòâå ÈÑÎ ñèñòåìó îòñ÷åòà “Âîäà”.  ýòîé ÈÑÎ äâèæåíèå ëîäêè áóäåò ïðîèñõîäèòü â ñòîÿ÷åé âîäå è íàì íå íóæíî ó÷èòûâàòü âëèÿíèå òå÷åíèÿ âîäû. Î÷åâèäíî, ÷òî â ÈÑÎ “Âîäà” ïðîäîëüíóþ 24

îñü ëîäêè íàäî íàïðàâèòü ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãàì, òîãäà ïóòü ëîäêè îò áåðåãà ê áåðåãó áóäåò íàèêðàò÷àéøèì (ðèñ.4). Òàêèì îáðàçîì, ìû îïðåäåëèëè ãëàâíîå: ÷òîáû ïóòü ëîäêè áûë íàèêðàò÷àéøèì, íóæíî, ÷òîáû îíà ïåðåìåùàëàñü ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãàì. È ýòî îñòàåòñÿ â ñèëå ïðè ïåðåõîäå ê ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ, â òîì ÷èñëå è ê ÈÑÎ “Çåìëÿ”. Íî ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ëîäêè â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ áóäåò ðàçíàÿ. Äåëî â òîì, ÷òî òðàåêòîðèÿ òåëà îáóñëîâëåíà íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. r Ïîýòîìó îíà èìååò îòíîñèòåëüíûé B vâ õàðàêòåð. Òàê, â ÈÑÎ “Âîäà” òðàåêòîðèÿ ëîäêè ðàñïîëàãàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî áåðåãàì, â ÈÑÎ A “Çåìëÿ” òðàåêòîðèÿ ëîäêè ñîñòàâèò Ðèñ.4. îñòðûé óãîë ñ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê áåðåãàì, ÷òî îáóñëîâëåíî ñíîñîì ëîäêè òå÷åíèåì âîäû. Îäíàêî è òà è äðóãàÿ òðàåêòîðèè ëîäêè – ðåàëüíû, íàñòîÿùèå, íî îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì ÑÎ. Ðàçîáðàííûå íàìè çàäà÷è óáåæäàþò, êàê âàæíî ïðàâèëüíî âûáðàòü ñèñòåìó îòñ÷åòà, è ÷òî ýòî âîîáùå íóæíî äåëàòü âñåãäà ïðè ðåøåíèè ëþáîé ôèçè÷åñêîé çàäà÷è. Óäà÷íî âûáðàííàÿ ÈÑÎ ïîçâîëÿåò ãëóáæå âñêðûòü ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå âîïðîñà, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óïðîñòèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå íàáëþäàåìîé êàðòèíû. Ïðîöåññ îñìûñëåíèÿ óñëîâèÿ çàäà÷è ïðè âûáîðå ÈÑÎ ïðèó÷àåò àíàëèçèðîâàòü, è òåì ñàìûì ôîðìèðóåòñÿ íàó÷íîå ïðåäñòàâëåíèå îá îêðóæàþùåé äåéñòâèòåëüíîñòè. Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ î÷åíü âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî îòíîñèòåëüíîñòü îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ñâîéñòâ ìàòåðèàëüíûõ òåë íå íàõîäèòñÿ â ïðîòèâîðå÷èè ñ îáúåêòèâíîñòüþ è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ ðåàëüíîñòüþ ýòèõ ÿâëåíèé è ñâîéñòâ, ñàìè ÿâëåíèÿ ïðîèñõîäÿò â ëþáîé ÈÑÎ, òàê êàê îíè èíâàðèàíòíû, ñ âîçìîæíîñòüþ ïîçíàíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé ìàòåðèàëüíîãî ìèðà. 25

§ 4. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè è êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. Ýôèð. Îïûòû ïî îáíàðóæåíèþ ýôèðà Èíâàðèàíòíîñòü 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ ÿâëÿåòñÿ èíûì âûðàæåíèåì êëàññè÷åñêîãî ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè, ðàâíîïðàâèÿ âñåõ ÈÑÎ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî, íàáëþäàÿ ìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, íåâîçìîæíî âûäåëèòü îäíó ÈÑÎ èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ýòèõ ñèñòåì îòñ÷åòà. Òåì ñàìûì îòðèöàåòñÿ âîçìîæíîñòü îáíàðóæèòü àáñîëþòíûé ïîêîé èëè àáñîëþòíîå äâèæåíèå, ïðåäñòàâëåíèÿ î êîòîðûõ ëåæàò â îñíîâå ó÷åíèÿ Íüþòîíà î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ.  ïîèñêàõ àáñîëþòíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ó÷åíûå îáðàòèëèñü ê èññëåäîâàíèþ äðóãèõ, íå ìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé, â ÷àñòíîñòè ê èññëåäîâàíèþ îïòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå, êàê îêàçàëîñü, íå ñâîäèìû ê ÷èñòî ìåõàíè÷åñêèì äâèæåíèÿì. Íå îñòàíàâëèâàÿñü íà èñòîðèè ðàçâèòèÿ îïòèêè, óêàæåì ëèøü íà òî. ÷òî ê íà÷àëó XIX â. óòâåðäèëàñü âîëíîâàÿ òåîðèÿ ñâåòà. Ýòîìó ñïîñîáñòâîâàëî îáíàðóæåíèå òàêèõ ÿâëåíèé êàê èíòåðôåðåíöèÿ, äèôðàêöèÿ è ïîëÿðèçàöèÿ ñâåòà, êîòîðûå ìîãóò áûòü îáúÿñíåíû âñå âìåñòå òîëüêî èñõîäÿ èç âîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà. Âîëíîâàÿ òåîðèÿ ñâåòà ñòðîèëàñü ïî àíàëîãèè ñ òåîðèåé óïðóãèõ êîëåáàíèé. Íî äëÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèé, íàïðèìåð, çâóêîâûõ âîëí, íåîáõîäèìà âåùåñòâåííàÿ ñðåäà. Àíàëîãè÷íî è â âîëíîâîé òåîðèè ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî âñå ìèðîâîå ïðîñòðàíñòâî, âñå ïðîçðà÷íûå òåëà çàïîëíåíû îñîáîé ñâåòîíîñíîé ìàòåðèåé, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå “ýôèð”. Çàïîëíÿÿ âñå ìèðîâîå ïðîñòðàíñòâî, ýôèð ìîã áû ñëóæèòü òåëîì îòñ÷åòà â òîé îñîáîé, âûäåëåííîé, àáñîëþòíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî ýôèðà èìåëî áû àáñîëþòíûé õàðàêòåð, ïîêîé áûë áû àáñîëþòíûì. Òàêèì îáðàçîì, èçó÷åíèå îïòè÷åñêèõ ÿâëåíèé, â ñëó÷àå îáíàðóæåíèÿ ýôèðà, ïîçâîëèëî áû óòâåðäèòü êëàññè÷åñêîå ó÷åíèå î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè. Îäíèì èç ïåðâûõ îïòè÷åñêèõ ÿâëåíèé, îñìûñëåííûõ ñ ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè çðåíèÿ, áûëî ÿâëåíèå àáåððàöèè ñâåòà, îòêðûòîå àíãëèéñêèì àñòðîíîìîì Áðàäëååì (1725 ã.). Èì áûëî 26

îáíàðóæåíî, ÷òî ïðè íàáëþäåíèè äàëåêèõ çâåçä â òå÷åíèå ïåðâîé ïîëîâèíû ãîäà çðèòåëüíóþ òðóáó íåîáõîäèìî íàêëîíÿòü ïîä îïðåäåëåííûì óãëîì ê âåðòèêàëè â äàííîì ìåñòå Çåìëè.  ñëåäóþùóþ ïîëîâèíó ïåðèîäà, âñëåäñòâèå èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà, îñü òðóáû íàäî íàïðàâèòü â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó îò âåðòèêàëè. Âñêðîåì ïðè÷èíó ýòîãî ÿâëåíèÿ, íàçâàííîãî àáåððàöèåé, ïðèìåíèâ ìåòîä àíàëîãèè.  áåçâåòðåííóþ ïîãîäó êàïëè äîæäÿ ïàäàþò îòâåñíî, è, ÷òîáû äîæäåâûå êàïëè íå ïîïàëè íà îäåæäó, ðó÷êó çîíòà íåîáõîäèìî äåðæàòü âåðòèêàëüíî. Íî åñëè ïîäóåò âåòåð (èëè ìû ïîéäåì, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè), òî ñòåðæåíü çîíòà íåîáõîäèìî íàêëîíèòü íàâñòðå÷ó âåòðó (ïî íàïðàâëåíèþ íàøåãî äâèæåíèÿ). Åñëè âåòåð èçìåíèò íàïðàâëåíèå (èëè ìû ïîâåðíåì íàçàä), òî ñòåðæåíü çîíòà íóæíî òàêæå íàêëîíèòü â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. È ÷åì áîëüøå ñêîðîñòü âåòðà (íàøåãî äâèæåíèÿ), òåì íà áîëüøèé óãîë íóæíî îòêëîíÿòü ðó÷êó çîíòà îò âåðòèêàëè. Î÷åâèäíî, ÷òî óãîë íàêëîíà ðó÷êè îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî ñêîðîñòüþ íàøåãî äâèæåíèÿ, íî è ñêîðîñòüþ ïàäåíèÿ êàïåëü α äîæäÿ. Òî÷íî òàê æå ïðè íàáëþäåíèè àáåððàöèè óãîë íàêëîíà çðèòåëüíîé ct òðóáû îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé ëèíèè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñêîðîñòüþ äâèæåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà, òàê vt Ðèñ.5. è ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. Èìåííî ýòî ïîíÿë Áðàäëåé. Åñëè èñõîäèòü èç ãèïîòåçû ñâåòîíîñíîãî ýôèðà, òî ÿâëåíèå àáåððàöèè ìîæíî îáúÿñíèòü, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýôèð äîëæåí áûòü àáñîëþòíî íåïîäâèæíûì â ìèðîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íà ðèñ. 5 ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæàåòñÿ ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà â àáñîëþòíî íåïîäâèæíîì ýôèðå, ÷òî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè íàêëîíÿòü îñü çðèòåëüíîé òðóáû ê âåðòèêàëè. Ýëåìåíòàðíûå ðàñ÷åòû ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ýòîò óãîë íàêëîíà: çà âðåìÿ t Çåìëÿ ïðîéäåò ðàññòîÿíèå v t , äâèãàÿñü ïî 27

îðáèòå âîêðóã Ñîëíöà, ôðîíò ñâåòîâîé âîëíû ïåðåìåñòèòñÿ îò îáúåêòèâà äî îêóëÿðà íà ðàññòîÿíèå ct. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà íàêëîíà îñè òðóáû ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå: tgα =

vt v = . ct c

(4.1)

Àñòðîíîìè÷åñêèå íàáëþäåíèÿ õîðîøî ïîäòâåðæäàþò ýòó ôîðìóëó.  1818 ã. ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ôðåíåëü äàë òåîðåòè÷åñêîå îïèñàíèå îïûòà, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàëîñü ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà â äâèæóùåéñÿ ñðåäå.  îïûòå ñòàâèëàñü çàäà÷à: âûÿñíèòü, êàê âåäåò ñåáÿ ýôèð â äâèæóùåéñÿ ñðåäå. Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàëè, ÷òî ýôèð äîëæåí ÷àñòè÷íî óâëåêàòüñÿ äâèæóùåéñÿ ñðåäîé, à ïîýòîìó â ôîðìóëó òåîðåìû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé íåîáõîäèìî ââåñòè ïîïðàâêó, ôîðìóëà ïðèíèìàëà âèä: (4.2) u ′ = u − kv.  1851 ã. ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ôèçî îñóùåñòâèë ýêñïåðèìåíò, èäåþ êîòîðîãî ïðåäëîæèë Ôðåíåëü. Îïûò äàë õîðîøåå ñîâïàäåíèå ñ òåîðåòè÷åñêèìè ðàñ÷åòàìè. Ñóòü îïûòà ñîñòîÿëà â ñëåäóþùåì (ðèñ.6). Ëó÷ ñâåòà îò èñòî÷íèêà S ïîïàäàåò íà r v

C

D

S

A

B E

28

r v

Ðèñ.6.

ïîëóïðîçðà÷íóþ ïëàñòèíêó À è ðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ëó÷à. Îäíà ÷àñòü ëó÷à èäåò ïî ïóòè ABCDE, äðóãàÿ — ïî ïóòè ADCBAE.  ïðèáîðå Å ëó÷è ñõîäÿòñÿ è èíòåðôåðèðóþò. Ó îáîèõ ëó÷åé óñëîâèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñîâåðøåííî îäèíàêîâû äî òåõ ïîð, ïîêà æèäêîñòü â òðóáå íåïîäâèæíà; åñëè æå ïðèâåñòè â äâèæåíèå æèäêîñòü, òî îäèí ëó÷ áóäåò èäòè ïî íàïðàâëåíèþ òîêà æèäêîñòè, äðóãîé — íàâñòðå÷ó, óñëîâèÿ äëÿ äâèæåíèÿ ëó÷åé èçìåíÿòñÿ, âîçíèêíåò îïòè÷åñêàÿ ðàçíîñòü õîäà, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ æèäêîñòè.  ðåçóëüòàòå èçìåíèòñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà, è ïî åå èçìåíåíèþ ìîæíî ñóäèòü îá óâëå÷åíèè ýôèðà äâèæóùåéñÿ ñðåäîé. Îïûò ïîäòâåðäèë ôîðìóëó (4.2), ãäå êîýôôèöèåíò k (êîýôôèöèåíò óâëå÷åíèÿ Ôðåíåëÿ) îêàçàëñÿ ðàâíûì k = 1−

1 n2

,

n — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ

äâèæóùåéñÿ ñðåäû. Èòàê, îïûò Ôèçî äëÿ ñâîåãî îáúÿñíåíèÿ òðåáîâàë, ÷òîáû ýôèð ÷àñòè÷íî óâëåêàëñÿ äâèæóùåéñÿ ñðåäîé. Ïðîáëåìà ýôèðà îáðàñòàëà âîïðîñàìè. Ïî ñâîåìó ñìûñëó ýôèð äîëæåí ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé íàèëåã÷àéøåå âåùåñòâî ñ íè÷òîæíîé ïëîòíîñòüþ, ÷òîáû íå îêàçûâàòü ñîïðîòèâëåíèÿ äâèæåíèþ òåë, â òîì ÷èñëå ïëàíåòàì è çâåçäàì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî ñâåòîâûå âîëíû ÿâëÿþòñÿ ïîïåðå÷íûìè âîëíàìè. Íî òàêèå âîëíû ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî â òâåðäûõ òåëàõ, à ó÷èòûâàÿ ãèãàíòñêóþ ñêîðîñòü ñâåòà, íóæíî áûëî ñ÷èòàòü, ÷òî ïëîòíîñòü ýôèðà (åãî óïðóãîñòü) òàêæå äîëæíà áûòü ÷ðåçâû÷àéíî áîëüøîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â îïûòå Áðàäëåÿ ýôèð âåäåò ñåáÿ òàê, êàê åñëè áû îí áûë àáñîëþòíî íåïîäâèæíûì â ìèðîâîì ïðîñòðàíñòâå, â îïûòå æå Ôèçî îí óâëåêàåòñÿ äâèæóùåéñÿ ñðåäîé. Íî íàïîìíèì, çà÷åì ýôèð áûë íóæåí êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Îí íàñòîÿòåëüíî áûë íåîáõîäèì êëàññè÷åñêîé ôèçèêå íå òîëüêî êàê ñâåòîíîñíàÿ ñðåäà, íî è êàê ñðåäà, ñ êîòîðîé ìîæíî áûëî áû ñâÿçàòü àáñîëþòíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé â äóõå Íüþòîíà äâèæåíèå è ïîêîé èìåëè áû àáñîëþòíûé õàðàêòåð. 29

Åñëè ó÷åñòü, ÷òî â ÿâëåíèè àáåððàöèè è â îïûòå Ôèçî òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ áûëà ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî âåëè÷èíû

Ç2

v , òî åñòåñòâåííî âîçíèêàåò æåëàíèå ïîñòàâèòü îïûò ñ òî÷íîñòüþ c

äî âòîðîãî ïîðÿäêà ýòîé âåëè÷èíû. Ó÷åíûå íàäåÿëèñü, ÷òî òîãäà óäàñòñÿ îáíàðóæèòü áîëåå òîíêèå ýôôåêòû ïðîÿâëåíèÿ ýôèðà è òåì ñàìûì çàôèêñèðîâàòü åãî ñóùåñòâîâàíèå îäíîçíà÷íî. Èäåþ ñîîòâåòñòâóþùåãî îïûòà ïðåäëîæèë àíãëèéñêèé ôèçèê Äæ. Ìàêñâåëë, à îñóùåñòâèë åãî â 1881 ã. àìåðèêàíñêèé ôèçèê À. Ìàéêåëüñîí (ïîçæå ýòîò ó÷åíûé íåîäíîêðàòíî ïîâòîðÿë ýêñïåðèìåíò, óâåëè÷èâàÿ òî÷íîñòü èçìåðåíèé, íî âñåãäà ïîëó÷àë îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò). Ñóòü îïûòà ñîñòîÿëà â ñëåäóþùåì: ñâåòîâîé ëó÷ ðàçäåëÿëñÿ íà äâå ÷àñòè ïðè ïîìîùè ïîëóïðîçðà÷íîé ïëàñòèíêè Î (ðèñ.7), êîòîðûå äàëåå ðàñïðîñòðàíÿëèñü âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ, à çàòåì ñ ïîìîùüþ çåðêàë 3t è 32 ñâîäèëèñü âìåñòå è èíòåðôåðèðîâàëè. Åñëè áû ñóùåñòâîâàë “ýôèðíûé âåòåð”, òî ïðè ïîâîðîòàõ âñåé ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè íà ðàçíûå óãëû äîëæíà áûëà áû èçìåíÿòüñÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà (èç-çà èçìåíåíèÿ óñëîâèé ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëó÷åé, ÷òî îñîáåííî î÷åâèäíî, åñëè óãîë ïîâîðîòà óñòàíîâêè ðàâåí 90° è òîò ëó÷, êîòîðûé ïåðâîíà÷àëüíî ðàñïîëàãàëñÿ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà, îêàçûâàëñÿ â ïîïåðå÷íîì ïîëîæåíèè). Îäíàêî, ýòîãî íå ïðîèñõîäèëî (ãîâîðÿò îá îòðèöàòåëüíîì ðåçóëüòàòå â îïûòå Ìàéêñëüñîíà), èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íå èçìåíÿëàñü, êàê åñëè áû íèêàêîãî ýôèðíîãî “âåòðà” íå áûëî. ×òîáû ñïàñòè ñòîëü íóæíûé êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ýôèð, áûëà âûäâèíóòà ãèïîòåçà, ÷òî ýôèðíîãî âåòðà íåò ïîòîìó, ÷òî ýôèð ïîëíîñòüþ óâëåêàåòñÿ Çåìëåé (êàê âîçäóøíàÿ îáîëî÷êà âîêðóã Çåìëè). Äàäèì ýëåìåíòàðíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå îïûòà Ìàéêåëüñîíà. Âûáåðåì ÑÎ “Çåìëÿ” (ðèñ.7). Ðàñïîëîæèì ïåðâîíà÷àëüíî ïëå÷î l1 âäîëü íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ Çåìëè. Ñêîðîñòü ñâåòà â íåïîäâèæíîì ýôèðå îáîçíà÷èì ÷åðåç ñ. Ïðè äâèæåíèè 1ãî ëó÷à âäîëü O3 1 èç-çà ýôèðíîãî âåòðà ñîãëàñíî ÒÑÑ ñêîðîñòü 30

r vç

l2 S

Ç1

O

l1

È

Ðèñ.7.

ñâåòà îòíîñèòåëüíî ïðèáîðà áóäåò ( c − v ) è äëÿ ïðîõîæäåíèÿ ïóòè ÎÇ 1 1-ìó ëó÷ó ïîòðåáóåòñÿ âðåìÿ t1 =

l1 . c−v

Ïîñëå îòðàæåíèÿ îò çåðêàëà 3 1 äî âîçâðàùåíèÿ ê ïîëóïðîçðà÷íîé ïëàñòèíå Î 1-é ëó÷ çàòðàòèò âðåìÿ t2 =

l1 , c+v

ãäå ó÷òåíî, ÷òî ýôèðíûé âåòåð áóäåò ñíîñèòü ñâåòîâóþ âîëíó ê ïîëóïðîçðà÷íîé ïëàñòèíå Î è ñîãëàñíî ÒÑÑ ðåçóëüòèðóþùàÿ ñêîðîñòü áóäåò (c + v ). Ïîëíîå âðåìÿ äâèæåíèÿ 1-ãî ëó÷à “òóäà” è “îáðàòíî” ðàâíî: t1 + t 2 =

2l c 2l  v 2 l1 l + 1 = 2 1 2 = 1 1 − 2 c−v c+v c −v c  c

−1

  .  

(4.3)

Äëÿ íàõîæäåíèÿ âðåìåíè äâèæåíèÿ 2-ãî ëó÷à ïåðåéäåì â ÈÑÎ “Çâåçäû” (ðèñ.8).Ìû èìååì ïðàâî ýòî ñäåëàòü ââèäó ðàâíîïðàâèÿ ÈÑÎ (ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ). Êðîìå òîãî, íàì íóæíî îïðåäåëèòü âðåìÿ äâèæåíèÿ 2-ãî ëó÷à, à ýòà âåëè÷èíà â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Ôèçè÷åñêè æå ïåðåõîä îáóñëîâëåí òåì, ÷òî â ÈÑÎ “Çåìëÿ” ñêîðîñòü ñâåòà â íàïðàâëåíèè 31

Ç2

ct1′

O

l2

vt1′

Ðèñ.8.

ct2′

vt 2′

Î32 íå ðàâíà ñ.  ÈÑÎ “Çâåçäû” ýòî çàòðóäíåíèå ñ îïðåäåëåíèåì ñêîðîñòè 2-ãî ëó÷à óñòðàíÿåòñÿ, òàê êàê â ýòîé ÈÑÎ ýôèð íåïîäâèæåí (ýòî èñõîäíàÿ ãèïîòåçà îòíîñèòåëüíî ïîâåäåíèÿ ýôèðà â ìèðîâîì ïðîñòðàíñòâå) è ëó÷ 2 äåéñòâèòåëüíî èìååò ñêîðîñòü ñ. Êàê âèäíî èç ðèñ.8., íà îñíîâàíèè òåîðåìû Ïèôàãîðà O′ ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: v 2 t1′ 2 + l 2 2 = c 2 t1′ 2 ,

îòêóäà äëÿ âðåìåíè äâèæåíèÿ âòîðîãî ëó÷à ê çåðêàëó ïîëó÷àåì: l t1′ = 2 c

 v2 1 −  c2 

   

−

1 2

Ç2

(4.4)

.

 ñèëó ñèììåòðèè ðèñ.8 ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî âðåìÿ âîçâðàùåíèÿ 2-ãî ëó÷à ê ïîëóïðîçðà÷íîé ïëàñòèíå Î , îò çåðêàëà Ç 2 ðàâíî âðåìåíè ïðèõîäà ëó÷à èç òî÷êè Î ê çåðêàëó Ç 2 : t 2′ = t1′ . Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîå âðåìÿ äâèæåíèÿ 2-ãî ëó÷à, ïðè÷åì â ëþáîé ÈÑÎ (â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ) ðàâíî: 2l t1′ + t 2′ = 2 c

 v2 1 −  c2 

   

−

1 2

(4.5)

.

Îïðåäåëèì ðàçíîñòü âðåìåí õîäà 1-ãî è 2-ãî ëó÷åé äî âñòðå÷è ó ïîëóïðîçðà÷íîé ïëàñòèíû: 2l  v 2 ∆t = (t1 + t 2 ) − (t1′ + t 2′ ) = 1 1 − 2 c  c 32

   

−1

2l − 2 c

 v2 1 −  c2 

   

−

1 2

.

(4.6)

Ïîñëå ïîâîðîòà ïðèáîðà íà 900, ïëå÷è l1 è l 2 ïîìåíÿþòñÿ ìåñòàìè è, ïîâòîðÿÿ ïðåäûäóùèå âûêëàäêè, ïîëó÷àåì äëÿ ðàçíîñòè õîäà ëó÷åé â ýòîì ïîëîæåíèè ýêñïåðèìåíòàëüíîé óñòàíîâêè: 2l  v 2 ∆t ′ = 1 1 − 2 c  c

   

−

1 2

−

2l 2 c

 v2 1 −  c2 

−1

  .  

(4.7)

Êàê âèäíî èç âûðàæåíèé (4.6) è (4.7), âûâîä êîòîðûõ îñíîâàí íà ãèïîòåçå àáñîëþòíî íåïîäâèæíîãî â ìèðîâîì ïðîñòðàíñòâå ýôèðà, âåëè÷èíû ∆t è ∆t ′ íå ðàâíû äðóã äðóãó, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èíòåðôåðåíöèîííàÿ êàðòèíà íà âòîðîì ýòàïå îïûòà (ïîñëå ïîâîðîòà óñòàíîâêè íà 900) äîëæíà îòëè÷àòüñÿ îò ïåðâîíà÷àëüíîé. Îäíàêî â îïûòå Ìàéêåëüñîíà è â åãî áîëåå òî÷íûõ ïîâòîðåíèÿõ âïëîòü äî ïîñëåäíåãî âðåìåíè íèêàêîãî èçìåíåíèÿ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû íå íàáëþäàëîñü. Ïîìèìî óïîìÿíóòîé âûøå ãèïîòåçû, âûäâèíóòîé äëÿ îáúÿñíåíèÿ îòðèöàòåëüíîãî ðåçóëüòàòà â îïûòå Ìàéêåëüñîíà, î ïîëíîì óâëå÷åíèè ýôèðà äâèæóùèìñÿ òåëîì (â äàííîì ñëó÷àå Çåìëåé), áûëè ïðåäëîæåíû è äðóãèå. Íàïðèìåð, ãèïîòåçà î ñîêðàùåíèè äâèæóùèõñÿ òåë â íàïðàâëåíèè èõ äâèæåíèÿ (ãèïîòåçà Ëîðåíöà-Ôèöæåðàëüäà). È õîòÿ îíà “ñïàñàëà” ýôèð è îáúÿñíÿëà îòðèöàòåëüíûé ðåçóëüòàò â îïûòå Ìàéêåëüñîíà, íî ïðèõîäèëà â ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ, òàê êàê ïîçâîëÿëà îáíàðóæèòü àáñîëþòíî ïîêîÿùååñÿ òåëî, â êîòîðîì íåò íèêàêèõ ñîêðàùåíèé, è, ñëåäîâàòåëüíî, âíóòðåííèõ äåôîðìàöèé, ïî êîòîðûì ìîæíî áûëî áû ñóäèòü, äâèæåòñÿ äàííîå òåëî èëè ïîêîèòñÿ (àáñîëþòíî). Äðóãàÿ ãèïîòåçà ïûòàëàñü ó÷åñòü âëèÿíèå äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà ñâåòà íà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà (ýòî òàê íàçûâàåìàÿ “áàëëèñòè÷åñêàÿ” ãèïîòåçà Ðèòöà, èñïîëüçóþùàÿ àíàëîãèþ äâèæåíèÿ ñâåòà è äâèæåíèå ñíàðÿäîâ, èñïóùåííûõ äâèæóùèìñÿ îðóäèåì). Íî íàáëþäåíèå äâîéíûõ çâåçä, äâèæóùèõñÿ îêîëî îáùåãî öåíòðà ìàññ, èçìåðåíèå ñêîðîñòè ñîëíå÷íûõ ëó÷åé, âûøåäøèõ ñ äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷åê ñîëíå÷íîãî äèñêà ïðè íàáëþäåíèè ïîëíîãî ñîëíå÷íîãî 33

çàòìåíèÿ (îïûòû ñîâåòñêîãî ó÷åíîãî Áîí÷-Áðóåâè÷à, 1956 ã.), ïîêàçàëè, ÷òî ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè èñòî÷íèêà ñâåòà è íàáëþäàòåëÿ. Âûäâèãàëèñü è äðóãèå ãèïîòåçû ïî îáúÿñíåíèþ îòðèöàòåëüíîãî ðåçóëüòàòà â îïûòå Ìàéêåëüñîíà, íî âñå îíè áûëè âíóòðåííå ïðîòèâîðå÷èâû.  ôèçèêå ýôèðà ñëîæèëàñü äðàìàòè÷åñêàÿ ñèòóàöèÿ: ìàëî òîãî, ÷òî ýôèð îáëàäàë íåñîâìåñòèìûìè ñîáñòâåííûìè ñâîéñòâàìè (äîëæåí áûë èìåòü ÷ðåçâû÷àéíî ìàëóþ ïëîòíîñòü, ÷òîáû íå òîðìîçèòü äâèæåíèå íåáåñíûõ òåë, îáëàäàòü ãèãàíòñêîé óïðóãîñòüþ ïîäîáíî ñâåðõòâåðäûì òåëàì, ÷òîáû ìîæíî áûëî îáúÿñíèòü îãðîìíóþ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå), â òðåõ ðàññìîòðåííûõ âûøå îïûòàõ (à âîîáùå ãîâîðÿ, èõ áûëî çíà÷èòåëüíî áîëüøå) îí âåë ñåáÿ ïðîòèâîðå÷èâî. Èëè îí äîëæåí áûë áûòü àáñîëþòíî íåïîäâèæíûì â ìèðîâîì ïðîñòðàíñòâå (òîëüêî òàêàÿ ìîäåëü îáúÿñíÿëà ÿâëåíèå àáåððàöèè), èëè äîëæåí áûë ÷àñòè÷íî óâëåêàòüñÿ äâèæóùåéñÿ ñðåäîé (êàê â îïûòå Ôèçî), èëè ïîëíîñòüþ óâëåêàòüñÿ äâèæóùèìñÿ òåëîì (÷òîáû ñîãëàñîâàòüñÿ ñ îïûòîì Ìàéêåëüñîíà). Âûõîä èç ýòîé äðàìàòè÷åñêîé äëÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ñèòóàöèè áûë íàéäåí ìîëîäûì íåìåöêèì ó÷åíûì À. Ýéíøòåéíîì â 1905 ãîäó. Îí ïîíÿë, ÷òî âñå ïðîòèâîðå÷èÿ, ñâÿçàííûå ñ ýôèðîì, íå ñëó÷àéíû, à ñâÿçàíû ñ íåâîçìîæíîñòüþ îáíàðóæèòü àáñîëþòíûé ïîêîé è äâèæåíèå íå òîëüêî íàáëþäàÿ ìåõàíè÷åñêèå, íî è îïòè÷åñêèå, ò.å. ýëåêòðîìàãíèòíûå ÿâëåíèÿ. Íî ïðè ýòîì Ýéíøòåéíó ïðèøëîñü âûñêàçàòü ðÿä ðåâîëþöèîííûõ ïîëîæåíèé è îòêàçàòüñÿ îò ìíîãèõ îáùåïðèíÿòûõ èñòèí êëàññè÷åñêîé ôèçèêè.

34

§ 5. Ïîñòóëàòû Ýéíøòåéíà, èõ êàæóùàÿñÿ ïðîòèâîðå÷èâîñòü. Îòíîñèòåëüíîñòü îäíîâðåìåííîñòè, âðåìåíè è äëèíû  èþíüñêîì íîìåðå æóðíàëà “Zeitschrift fur Fusik” çà 1905 ã. áûëà îïóáëèêîâàíà ðàáîòà À. Ýéíøòåéíà. “Ê ýëåêòðîäèíàìèêå äâèæóùèõñÿ òåë”, â êîòîðîé áûë èçëîæåí íîâûé ïîäõîä ê ïðîáëåìå ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ. Âïîñëåäñòâèè (ïî ïðåäëîæåíèþ íåìåöêîãî ó÷åíîãî Ã. Ìèíêîâñêîãî) òåîðèÿ Ýéíøòåéíà ïîëó÷èëà íàçâàíèå “Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè”, ÷òî ïîä÷åðêèâàëî, ÷òî îíà âåðíà ëèøü äëÿ ñïåöèàëüíûõ, èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà. ( 1916 ã. À. Ýéíøòåéí ñîçäàë òàê íàçûâàåìóþ “Îáùóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè”, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàþòñÿ íåèíåðöèàëüíûå ÑÎ è êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñîâðåìåííîé òåîðèåé òÿãîòåíèÿ.) Îäíàêî, âêëþ÷åíèå â íàçâàíèå òåîðèè ñëîâà “îòíîñèòåëüíîñòü” âûçâàëî áîëüøóþ ïîëåìèêó ïðè ôèëîñîôñêîì îñìûñëåíèè åå ñîäåðæàíèÿ. Ñåé÷àñ îáùåïðèíÿòî ñ÷èòàòü ÑÒÎ ìàòåðèàëèñòè÷åñêîé òåîðèåé, ñîâðåìåííûì ôèçè÷åñêèì ó÷åíèåì î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ â ÈÑÎ. Ñ ÷åãî æå íà÷àë Ýéíøòåéí àíàëèç êðèçèñíîé ñèòóàöèè, âîçíèêøåé â ôèçèêå â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé ýôèðà? Îí íå ñòàë “ñïàñàòü” ýôèð. Ïîñëå ìíîãîëåòíèõ ðàçäóìèé Ýéíøòåéí ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî íèêàêèìè îïûòàìè (íå òîëüêî ìåõàíè÷åñêèìè, íî è äðóãèìè, â òîì ÷èñëå è îïòè÷åñêèìè) íåëüçÿ îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå äâèæåíèå è ïîêîé, íå ñóùåñòâóåò îñîáîé, ïðåèìóùåñòâåííîé ñèñòåìû îòñ÷åòà è ïîýòîìó íåò íèêàêîé íàäîáíîñòè èñêàòü ãèïîòåòè÷åñêèé ýôèð. Íî îòâåðãàÿ ñâåòîíîñíóþ ñðåäó — ýôèð, Ýéíøòåéí óòâåðæäàåò òåì ñàìûì ìàòåðèàëüíîñòü ñàìîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äëÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí íå íóæíà íèêàêàÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ ñðåäà. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ïîäîáíî âåùåñòâó ðåàëüíî ñóùåñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè. Ñ 1905 ãîäà â íàóêå ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà âèäà ìàòåðèè: âåùåñòâî è ïîëå. Ïî÷òè ÷åðåç 30 ëåò (â 1932 ã.) áûëà îòêðûòà îáðàòèìàÿ ðåàêöèÿ âçàèìîïðåâðàùåíèÿ ÷àñòèö âåùåñòâà (ýëåêòðîíà è ïîçèòðîíà) â êâàíòû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Òåì ñàìûì áûëî óñòàíîâëåíî äèàëåêòè÷åñêîå åäèíñòâî ýòèõ äâóõ âèäîâ ìàòåðèè, âîçìîæíîñòü èõ âçàèìîïðåâðàùåíèÿ. 35

 ñâîèõ ðàññóæäåíèÿõ Ýéíøòåéí ïðèìåíèë àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ òåîðèè, îñíîâó êîòîðîãî ñîñòàâëÿþò ïîñòóëàòû è îïðåäåëåííûå ïðàâèëà, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ áîëüøîå ÷èñëî âûâîäîâ.  òåîðèè Ýéíøòåéíà äâà ïîñòóëàòà. Ïåðâûé ïîñòóëàò íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàí ñ íåâîçìîæíîñòüþ ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå äâèæåíèå è ïîêîé. Ó÷èòûâàÿ ðåçóëüòàòû îïòè÷åñêèõ (ýëåêòðîìàãíèòíûõ) îïûòîâ (â òîì ÷èñëå è ðàññìîòðåííûõ âûøå), Ýéíøòåéí ôîðìóëèðóåò 1-é ïîñòóëàò òàê: íåâîçìîæíî, íàáëþäàÿ ëþáîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå (à íå òîëüêî ìåõàíè÷åñêîå) âíóòðè èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, óñòàíîâèòü, äâèæåòñÿ ýòà ñèñòåìà îòñ÷åòà èëè ïîêîèòñÿ. Òåì ñàìûì îêîí÷àòåëüíî îòðèöàëàñü âîçìîæíîñòü îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå äâèæåíèå è ïîêîé ñ ïîìîùüþ íàáëþäåíèÿ ëþáîãî ôèçè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ. Ýòîò ïîñòóëàò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è òàê: âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ âñå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû ïðîòåêàþò îäèíàêîâî. Èíûìè ñëîâàìè, âñå çàêîíû ïðèðîäû ïðîÿâëÿþò ñåáÿ îäèíàêîâî âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà è íåò âîçìîæíîñòè âûäåëèòü îäíó èç íèõ. ×òîáû ïîñòðîèòü âíóòðåííå íåïðîòèâîðå÷èâóþ òåîðèþ, Ýéíøòåéí ââîäèò åùå îäèí ïîñòóëàò: ñâåò (ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû) â ïóñòîòå âñåãäà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ñ ïðåäåëüíîé ñêîðîñòüþ, íå çàâèñÿùåé íè îò ñîñòîÿíèÿ èçëó÷àþùåãî òåëà, íè îò äâèæåíèÿ ïðèåìíèêà âîëí. Èíûìè ñëîâàìè, ñêîðîñòü ñâåòà îäíà è òà æå â âàêóóìå âî âñåõ ÈÑÎ. Íåò íè îäíîãî îïûòà, êîòîðûé áû ïîñòàâèë ïîä ñîìíåíèå è ýòîò ïîñòóëàò (âûøå ìû óïîìèíàëè î äâóõ òàêèõ îïûòàõ: íàáëþäåíèå äâèæåíèÿ äâîéíûõ çâåçä, à òàêæå îïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé êðàåâûõ ëó÷åé ïðè íàáëþäåíèè ïîëíîãî ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ, ïîäòâåðæäàþò íåçàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ñâåòà îò ñêîðîñòè èñòî÷íèêà ñâåòà). Îáà ïîñòóëàòà Ýéíøòåéíà ÿâëÿþòñÿ âàæíûìè, èõ íóìåðàöèÿ óñëîâíà è íåëüçÿ ñêàçàòü, ÷òî êàêîé-íèáóäü èç íèõ îáëàäàåò ïðåèìóùåñòâîì. Îòêàçûâàÿñü îò îäíîãî èç íèõ, ìû íå ñìîæåì ïîñòðîèòü ñïåöèàëüíóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè. Âòîðîé ïîñòóëàò ÑÒÎ óòâåðæäàåò ïðèíöèï áëèçêîäåéñòâèÿ, 36

ïîñêîëüêó îãðàíè÷èâàåò ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ñèãíàëà, ïåðåíîñÿùåãî äåéñòâèå (èíôîðìàöèþ). Íàïîìíèì, ÷òî êëàññè÷åñêèå çàêîíû ìåõàíèêè ïðåäïîëàãàþò ìãíîâåííîñòü ïåðåäà÷è äåéñòâèÿ, êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà îñíîâàíà íà ïðèíöèïå äàëüíîäåéñòâèÿ. Âíèêàÿ â ñîäåðæàíèå ïîñòóëàòîâ, ìîæíî îáíàðóæèòü, ÷òî îíè êàê áóäòî ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó. Ïîêàæåì, ÷òî ýòà ïðîòèâîðå÷èâîñòü ïîñòóëàòîâ êàæóùàÿñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ â 2-õ ÈÑÎ L è L’, ïåðâóþ èç íèõ óñëîâíî íàçîâåì “íåïîäâèæíîé”, äðóãóþ — “äâèæóùåéñÿ”.  ìîìåíò âðåìåíè t=t’=O íà÷àëà êîîðäèíàò ýòèõ ÑÎ ñîâïàäàëè.  ýòîò ìîìåíò âðåìåíè â ìåñòå íàõîæäåíèÿ íà÷àë êîîðäèíàò òò. Î è Β ïðîèçâîäèòñÿ ñâåòîâàÿ âñïûøêà. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ∆t = ∆t ′ = t 2 − t1 = t 2′ − t1′ ñèñòåìû îòñ÷åòà ðàçîéäóòñÿ ñâîèìè íà÷àëàìè êîîðäèíàò è íàáëþäàòåëè â ýòèõ ÑÎ çàôèêñèðóþò ôðîíòû ñâåòîâîé âîëíû, êàæäûé èç êîòîðûõ óäàëèòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùåãî íà÷àëà êîîðäèíàò íà ðàññòîÿíèÿ R = c∆t = c∆t ′. (ðèñ.9). Ïðè ðàññìîòðåíèè ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà ñâåòîâîé âîëíû ìû âîñïîëüçîâàëèñü îáîèìè ïîñòóëàòàìè. Íà îñíîâàíèè 1-ãî ïîñòóëàòà ìû ñ÷èòàëè, ÷òî â îáåèõ ÑÎ ôðîíò âîëíû áóäåò â âèäå ñôåðû ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ.9). Îïðåäåëÿÿ ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå óäàëèòñÿ ôðîíò ñâåòîâîé âîëíû, ìû èñïîëüçîâàëè 2-é ïîñòóëàò. Îïèðàÿñü íà ïîñòóëàòû

y′

y

D

A B O

O′

E

C

Ðèñ. 9.

x

x′ 37

ÑÒÎ, ìû ïîëó÷èëè ðåçóëüòàò, àáñóðäíûé ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, ñ òî÷êè çðåíèÿ “çäðàâîãî ñìûñëà”: îäíà è òà æå ñâåòîâàÿ âñïûøêà ÷åðåç îäèí è òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè (â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå äëèòåëüíîñòè îäíîãî è òîãî æå ïðîöåññà âî âñåõ ÈÑÎ îäèíàêîâû) áóäåò çàíèìàòü äâà ïðîñòðàíñòâåííî ðàçäåëåííûõ ôðîíòà ñ äâóìÿ öåíòðàìè. ×òîáû óñòðàíèòü îáíàðóæåííóþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü ìåæäó ïîñòóëàòàìè, îïðåäåëèì ïîíÿòèå “ôðîíò ñâåòîâîé âîëíû”. Ïîä ôðîíòîì ñâåòîâîé âîëíû ïîíèìàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûå ñâåòîâàÿ âîëíà ïðèõîäèò îäíîâðåìåííî. Íî ÷òî çíà÷èò îäíîâðåìåííî? Ýéíøòåéí îáíàðóæèë, ÷òî ñòðîãîãî îïðåäåëåíèÿ îäíîâðåìåííîñòè â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå íå äàíî, ýòî ïîíÿòèå îïðåäåëÿëîñü èíòóèòèâíî è, êàê è âðåìÿ, èìåëî àáñîëþòíûé õàðàêòåð: ñ÷èòàëîñü (â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå), ÷òî òî, ÷òî îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèò â îäíîé ÈÑÎ, áóäåò ïðîèñõîäèòü îäíîâðåìåííî â ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ. Ñîãëàñóåòñÿ ëè òàêîå ïîíèìàíèå îäíîâðåìåííîñòè ñ ïîñòóëàòàìè Ýéíøòåéíà? Âåäü î÷åâèäíî, ÷òî 2-é ïîñòóëàò îòâåðãàåò êëàññè÷åñêóþ òåîðåìó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, êîòîðàÿ ñëåäóåò èç ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ, à ïîñëåäíèå óòâåðæäàþò àáñîëþòíîñòü ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, îäíîâðåìåííîñòè. Ïðèíèìàÿ çà îñíîâó ñâîèõ ðàññóæäåíèé ïîñòóëàòû Ýéíøòåéíà, ìû äîëæíû ïåðåñìîòðåòü îñíîâíûå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå ïðåäñòàâëåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, â òîì ÷èñëå è àáñîëþòíîñòü îäíîâðåìåííîñòè. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì åùå îäèí ìûñëåííûé (íå ïðîòèâîðå÷àùèé çàêîíàì ïðèðîäû, íî íå îáÿçàòåëüíî îñóùåñòâèìûé òåõíè÷åñêè) ýêñïåðèìåíò. Ðàññìîòðèì òå æå ÈÑÎ L è L'. Ïóñòü â ÑÎ L' íàõîäèòñÿ âàãîí (åãî ÷àñòî â ëèòåðàòóðå íàçûâàþò “âàãîíîì Ýéíøòåéíà”), êîòîðûé âìåñòå ñ ÑÎ L' îòíîñèòåëüíî ÑÎ L ñëåâà íàïðàâî âäîëü îñè Îõ ñî ñêîðîñòüþ vr (â ÑÎ L' âàãîí íåïîäâèæåí). Ïîñðåäèíå âàãîíà çàãîðàåòñÿ ëàìïî÷êà. Îïèøåì ïðîöåññ ïðèõîäà ñâåòîâûõ ñèãíàëîâ ê òîðöàì âàãîíà ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëåé, íàõîäÿùèõñÿ â ÑÎ L è L', ó÷èòûâàÿ ïðè ýòîì ïîñòóëàòû Ýéíøòåéíà. Íàáëþäàòåëü, íàõîäÿùèéñÿ â âàãîíå (â ÑÎ L') 38

îáíàðóæèò, ÷òî ñâåò äîéäåò äî ïåðåäíåé è çàäíåé ñòåíîê îäíîâðåìåííî, òàê êàê ñêîðîñòü ñâåòà ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì â âàãîíå îäèíàêîâà è îäèíàêîâî ðàññòîÿíèå îò ëàìïî÷êè äî òîðöîâ âàãîíà (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñ ïîìîùüþ ïðèáîðîâ, îáúåêòèâíî, íåçàâèñèìî îò íàáëþäàòåëÿ). Èíà÷å âîñïðèìåò ýòîò ïðîöåññ íàáëþäàòåëü â ÑÎ L. Õîòÿ è äëÿ íåãî ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò èñòî÷íèêà ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, íî èìåííî èç-çà ýòîãî ñâåò äîñòèãíåò çàäíåé ñòåíêè ðàíüøå, ÷åì ïåðåäíåé. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ÑÎ L, çàäíÿÿ ñòåíêà âàãîíà “íàáåãàåò” íà ñâåòîâóþ âîëíó, à ïåðåäíÿÿ ñòåíêà “óáåãàåò” îò íåå. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ðåçóëüòàò, ïàðàäîêñàëüíûé ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, íî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùèé èç ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà: ñîáûòèÿ, îäíîâðåìåííûå â îäíîé ÈÑÎ, ìîãóò îêàçàòüñÿ íå îäíîâðåìåííûìè â äðóãîé ÈÑÎ, îäíîâðåìåííîñòü ïåðåñòàëà áûòü àáñîëþòíûì ïîíÿòèåì. Íî ïîíÿòèå “îäíîâðåìåííîñòü” íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì “âðåìÿ”, ñ äëèòåëüíîñòüþ ïðîöåññà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ íå îäèíàêîâà. Íà îñíîâàíèè ýòèõ íîâûõ ðåçóëüòàòîâ ìû ìîæåì ðàçðåøèòü îáíàðóæåííóþ âûøå “ïðîòèâîðå÷èâîñòü” ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà. Èñõîäÿ èç ïðèíÿòîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ ôðîíòà ñâåòîâîé âîëíû, ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî äëÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ÈÑÎ L, â äàííûé ìîìåíò áóäåò òîëüêî îäèí ôðîíò âîëíû ñ òî÷êàìè À,Â,Ñ, à ñîâîêóïíîñòü òî÷åê D,B,E îí íå ìîæåò íàçûâàòü äëÿ ñåáÿ ñâåòîâûì ôðîíòîì, òàê êàê ñ åãî òî÷êè çðåíèÿ â íèõ ñâåòîâàÿ âîëíà îêàæåòñÿ â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Ïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ ìîæåò ïðîâåñòè è íàáëþäàòåëü â ÈÑÎ L': äëÿ íåãî ôðîíòîì âîëíû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè áóäåò ñîâîêóïíîñòü òî÷åê D,B,E, òî÷êè æå À,Â,Ñ äëÿ ýòîãî íàáëþäàòåëÿ íå îáðàçóþò ôðîíò âîëíû. Èòàê, äëÿ êàæäîãî íàáëþäàòåëÿ â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè åñòü òîëüêî îäèí ôðîíò è îäèí öåíòð ýòîãî ôðîíòà. Ïàðàäîêñàëüíàÿ ñèòóàöèÿ óñòðàíåíà. Ðàçðåøèâ êàæóùóþñÿ ïðîòèâîðå÷èâîñòü ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà, ìû ïîëó÷èëè îäèí èç ïðèíöèïèàëüíûõ âûâîäîâ ÑÒÎ — 39

îòíîñèòåëüíîñòü ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ è ñâÿçàííóþ ñ íåé îòíîñèòåëüíîñòü îäíîâðåìåííîñòè. Ïîëó÷åííûé òîëüêî ÷òî ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåò íàì óòî÷íèòü ïðàâèëî îïðåäåëåíèÿ äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà. Åñëè òåëî íåïîäâèæíî â äàííîé ÈÑÎ, òî ïðîöåññ èçìåðåíèÿ åãî äëèíû íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà: íóæíî âçÿòü ìàñøòàáíóþ ëèíåéêó è óçíàòü, ñêîëüêî ðàç îíà óêëàäûâàåòñÿ â äëèíå òåëà. Íî òàê íåëüçÿ ïîñòóïàòü, åñëè òåëî äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ. Ïîýòîìó îáùèì ïðàâèëîì èçìåðåíèÿ äëèíû òåëà áóäåò ñëåäóþùåå: ïîä äëèíîé òåëà áóäåì ïîíèìàòü ðàññòîÿíèå ìåæäó îòìåòêàìè ïîëîæåíèé êîíöîâ òåëà, ñäåëàííûõ îäíîâðåìåííî â äàííîé ÈÑÎ. Îäíàêî, îäíîâðåìåííîñòü îòíîñèòåëüíà, ïîýòîìó íàáëþäàòåëü, íàõîäÿùèéñÿ â äðóãîé ÈÑÎ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîé, áóäåò ñ÷èòàòü, ÷òî çàìåð êîîðäèíàò êîíöîâ òåëà ïðîèçâîäèëñÿ â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Ïîýòîìó ðàññòîÿíèå ìåæäó ìåòêàìè äëÿ âòîðîãî íàáëþäàòåëÿ íå îïðåäåëÿåò äëèíó òåëà.  òåîðèè Ýéíøòåéíà, â ÑÒÎ, óòâåðæäàåòñÿ îòíîñèòåëüíîñòü äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà. Âìåñòå ñ òåì, íè îòíîñèòåëüíîñòü âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ, íè îòíîñèòåëüíîñòü äëèíû íå îòðèöàþò îáúåêòèâíîñòè, ðåàëüíîñòè âðåìåíè è äëèíû.  ëþáîé ÈÑÎ ó ïðîöåññà åñòü äëèòåëüíîñòü, ó òåëà — äëèíà. Åñòåñòâåííî, ïîêîÿùååñÿ òåëî â ëþáîé ÈÑÎ èìååò îäíó è òó æå äëèíó, äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà â ëþáîé ÈÑÎ, â êîòîðîé îí ïðîòåêàåò â îäíîé è òîé æå òî÷êå, åãî àáñîëþòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà.  ñâÿçè ñ óñòàíîâëåíèåì çàâèñèìîñòè äëèòåëüíîñòè ïðîöåññîâ îò èõ ñîñòîÿíèÿ (äâèæóòñÿ îíè èëè ïîêîÿòñÿ â äàííîé ÈÑÎ), çàâèñèìîñòè äëèíû òåëà (â òîì ÷èñëå è ìàñøòàáíîé ëèíåéêè) îò òîãî, äâèæåòñÿ îíî èëè ïîêîèòñÿ â äàííîé ÈÑÎ, íåîáõîäèìî óòî÷íèòü ïðîöåññ ñèíõðîíèçàöèè ÷àñîâ è ìåòðèçàöèè ïðîñòðàíñòâà ïî ñðàâíåíèþ ñ òåì, êàê ìû ýòî äåëàëè â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Òåïåðü ìû íå ìîæåì ïðèìåíèòü ñïîñîá âûâåðêè õîäà ÷àñîâ, ñîáðàâ èõ ïðåäâàðèòåëüíî â îäíî ìåñòî, à çàòåì, ïîñëå ñèíõðîíèçàöèè, ðàçâåñòè ïî ñâîèì ðàáî÷èì ìåñòàì. Òåïåðü ÷àñû 40

íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ðàçìåñòèòü ïî ñâîèì ðàáî÷èì ìåñòàì, à çàòåì, èñïîëüçóÿ ñèãíàë ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ, ïðîèçâåñòè ñèíõðîíèçàöèþ, ó÷èòûâàÿ âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ ñèãíàëà, ïîñëàííîãî èç “öåíòðà”, ãäå ðàñïîëàãàþòñÿ “ãëàâíûå” ÷àñû.  êàæäîé ÈÑÎ ýòîò ïðîöåññ íåîáõîäèìî ïðîèçâåñòè íåçàâèñèìî. Òî÷íî òàê æå â ñèëó îòíîñèòåëüíîñòè äëèíû ìàñøòàáíîãî ñòåðæíÿ, ìåòðèçàöèÿ ïðîñòðàíñòâà äîëæíà ïðîèçâîäèòüñÿ â êàæäîé ÈÑÎ ñàìîñòîÿòåëüíî. § 6. Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè â ÑÒÎ (ôîðìóëû Ëîðåíöà). Êèíåìàòè÷åñêèå ñëåäñòâèÿ èç ôîðìóë Ëîðåíöà Ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïîñòóëàòû Ýéíøòåéíà ïðîòèâîðå÷àò êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè. Âî-ïåðâûõ, îòðèöàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå àáñîëþòíîãî ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè, àáñîëþòíîãî äâèæåíèÿ. Îòêàçûâàÿñü îò ýôèðà êàê íîñèòåëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé, Ýéíøòåéí ïðèçíàåò ìàòåðèàëüíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âî-âòîðûõ, îáíàðóæèâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîñòü îäíîâðåìåííîñòè, ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè è äëèíû, êîòîðûå â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ñ÷èòàëèñü àáñîëþòíûìè âåëè÷èíàìè. Â-òðåòüèõ, ïðèçíàíèå ïðåäåëüíîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé â âàêóóìå, òðåáóåò îòêàçà îò êëàññè÷åñêîé òåîðåìû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, êîòîðàÿ íå îãðàíè÷èâàëà âåëè÷èíó ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüíîãî îáúåêòà. Íî âñå îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè ìàòåìàòè÷åñêè êðàòêî âûðàæåíû â ôîðìóëàõ ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ. Ïîýòîìó âîçíèêàåò çàäà÷à ïîëó÷åíèÿ íîâûõ ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè, êîòîðûå áû óäîâëåòâîðÿëè ïîñòóëàòàì Ýéíøòåéíà è èç êîòîðûõ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäîâàëè áû ïîëó÷åííûå âûøå âàæíûå ðåçóëüòàòû îá îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ, îäíîâðåìåííîñòè è äëèíû. 41

Ýòè ôîðìóëû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü î÷åâèäíûì òðåáîâàíèÿì: 1) ôîðìóëû äîëæíû áûòü ëèíåéíûìè, ÷òîáû îäíîé òî÷êå îäíîé ÈÑÎ ñîîòâåòñòâîâàëà îäíà òî÷êà äðóãîé ÈÑÎ. Ýòî ñëåäóåò èç îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà è îäíîðîäíîñòè âðåìåíè; 2) â ãðàíèöàõ ñïðàâåäëèâîñòè êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé íîâûå ôîðìóëû äîëæíû ïåðåõîäèòü â ôîðìóëû Ãàëèëåÿ. Ïîñëåäíåå óñëîâèå âûòåêàåò èç âàæíåéøåãî ïðèíöèïà ñîâðåìåííîé ôèçèêè — ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ. Ýòîò ïðèíöèï óòâåðæäàåò, ÷òî âñÿêàÿ áîëåå îáùàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ äîëæíà ñîäåðæàòü â ñåáå êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ïðåäøåñòâóþùóþ òåîðèþ. Èç ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ ñëåäóåò âîçìîæíîñòü óñòàíîâëåíèÿ ãðàíèö ïðèìåíèìîñòè ïðåäøåñòâóþùåé òåîðèè. Íèæå íà ôîðìóëàõ ÑÒÎ ìû ïîêàæåì ïðîÿâëåíèå ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ. Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòîò ïðèíöèï ïîêàçûâàåò, ÷òî âî âñÿêîé îòíîñèòåëüíîé èñòèíå ñîäåðæèòñÿ íå÷òî íå ïåðåõîäÿùåå, àáñîëþòíîå. Ïðè ïîñòðîåíèè íîâûõ òåîðèé, ó÷åíûå ðóêîâîäñòâóþòñÿ ïðèíöèïîì ñîîòâåòñòâèÿ. Êàê è âî âñåõ ñëó÷àÿõ, ðàññìîòðåííûõ ðàíåå, áóäåì èìåòü ââèäó ÷àñòíûé ñëó÷àé äâèæåíèÿ îäíîé ÈÑÎ L' îòíîñèòåëüíî äðóãîé ÈÑÎ L. Ñ ó÷åòîì óêàçàííûõ âûøå òðåáîâàíèé, íîâûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ìîæíî çàïèñàòü òàê: x ′ = α (x − vt ), y ′ = βy = y , z ′ = βz = z, β = 1 . t ′ = γt − δx.

x 2 + y 2 + z 2 = c 2t 2 ,

(6.1)

(6.2)

x ′2 + y ′2 + z ′ 2 = c 2 t ′2 .

 ýòèõ ðàâåíñòâàõ ó÷òåíî, ÷òî äëÿ îáîèõ íàáëþäàòåëåé ôðîíò-ñôåðà (íàáëþäàòåëè ðàâíîïðàâíû), ñêîðîñòü ñâåòà â îáåèõ ÈÑÎ îäíà (2-é ïîñòóëàò ÑÒÎ), âðåìåíà t è t“ íå ðàâíû äðóã äðóãó (ñì. § 5). Ïîäñòàâèì ôîðìóëû (6.1) âî âòîðîå ðàâåíñòâî (6.2): α 2 x 2 − 2α 2 vxt + α 2 v 2 t 2 + y 2 + z 2 = c 2γ 2 t 2 − 2c 2γ δ x t + c 2δ 2 x 2 .

Ñãðóïïèðóåì ÷ëåíû ñ îäèíàêîâûìè ïåðåìåííûìè:

(

)

(

)

(α 2 − c 2δ 2 ) x 2 + y 2 + z 2 = c 2 γ 2 − α 2 v 2 t 2 + 2 xt α 2 v − c 2γδ .

×òîáû ýòî âûðàæåíèå ñîâïàëî ñ ôîðìóëîé äëÿ ôðîíòà âîëíû â ÈÑÎ L, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå óñëîâèé: α 2 − ñ 2δ 2 = 1, c 2γ 2 − α 2 v 2 = c 2 ,

Ëåãêî ïîêàçàòü (è ýòî ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ñäåëàòü ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî), ÷òî èç ýòèõ ôîðìóë ñëåäóåò è îòíîñèòåëüíîñòü äëèíû, è îòíîñèòåëüíîñòü âðåìåíè. Åñëè æå ïîëîæèòü α = 1, γ = 1, δ = 0 , òî ôîðìóëû (6.1) òîò÷àñ æå ïåðåõîäÿò â ôîðìóëû Ãàëèëåÿ. Òåì ñàìûì ìû ïðîâåðèëè òðåáîâàíèå ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ. Òàêèì îáðàçîì, íàì íåîáõîäèìî íàéòè ÿâíûé âèä êîýôôèöèåíòîâ α, γ, δ (î çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà β ñì. Ïðèë. 1). Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà ñ òî÷êè çðåíèÿ äâóõ íàáëþäàòåëåé, íàõîäÿùèõñÿ â ðàçíûõ ÈÑÎ (ýòîò ïðîöåññ ìû ðàññìàòðèâàëè â § 5, ðàçðåøàÿ ïðîòèâîðå÷èâîñòü 42

ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà). Ôðîíò ñâåòîâîãî ñèãíàëà, èñïóùåííîãî èç ñîâïàäàâøèõ â ìîìåíò t0= t0'= 0 òî÷åê 0 è 0', ÷åðåç âðåìÿ ∆t = t − t 0 = t ïî ÷àñàì ÈÑÎ L è t ' ïî ÷àñàì ÈÑÎ L “ çàéìåò ïîëîæåíèå, óðàâíåíèÿ êîòîðîãî äëÿ êàæäîãî íàáëþäàòåëÿ ñ ó÷åòîì ïîñòóëàòîâ ÑÒÎ çàïèøóòñÿ òàê:

(6.4)

α 2 v − c 2γδ = 0.

Ðåøàÿ àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (6.4) ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷àåì, ÷òî (ñì. Ïðèë. 3) : α =γ = δ =

α ⋅v . c2

1 1 − v2 / c2

,

(6.5)

Ýòè çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ α , γ , δ ïîäñòàâëÿåì â (6.1), è äëÿ ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè â ÑÒÎ, ñîâìåñòèìûõ ñ ïîñòóëàòàìè Ýéíøòåéíà, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå íàçâàíû ôîðìóëàìè Ëîðåíöà: 43

x′ =

x − vt 1−

t′ =

t−

y ′ = y, z ′ = z,

,

v2

ñêîðîñòåé (ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà). Íî, âî-ïåðâûõ, ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî ÑÒÎ — ýòî ôèçèêà äâèæåíèé ñî ñêîðîñòÿìè, áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ñâåòà; âî-âòîðûõ, ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ ÑÒÎ òàêæå ñïðàâåäëèâà. Íàïðèìåð, åñòü ôîðìóëà (î íåé ìû áóäåì

c2 vx

(6.6)

c2 . v2 1− 2 c

Ðåøàÿ ýòè ôîðìóëû îòíîñèòåëüíî íå øòðèõîâàííûõ êîîðäèíàò è âðåìåíè, ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìûå îáðàùåííûå ôîðìóëû Ëîðåíöà: x=

x ′ + vt ′ 1−

t=

v2

,

y = y ′, z = z ′,

c2

t ′ + vx ′ / c 2 1 − v2 / c2

(6.7) .

Èçìåíåíèå çíàêà ó ÷ëåíîâ, ñîäåðæàùèõ âåëè÷èíó v â ïåðâîé ñòåïåíè, ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ÈÑÎ L äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ÈÑÎ L’ ñïðàâà íàëåâî ñî ñêîðîñòüþ ( — v) (íàïðàâëåíèå ñëåâà íàïðàâî â îáåèõ ÑÎ ìû ïðèíÿëè çà ïîëîæèòåëüíîå (ñì. ðèñ. 9)). Ó êâàäðàòíûõ êîðíåé áåðåì ëèøü çíàê ( + ), ÷òîáû â îáåèõ ÈÑÎ L è L’ õîä âðåìåíè áûë îäíîíàïðàâëåííûì. Íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ è èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (6.6) èëè (6.7), óñòàíîâèì ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè ïîëîæåíèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Êàê âèäíî èç ôîðìóë (6.6) èëè (6.7), îíè ïåðåõîäÿò â ôîðìóëû Ãàëèëåÿ, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå v << 1. c

(*)

Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåë, âî ìíîãî ðàç ìåíüøèå ñêîðîñòè ñâåòà. Òàê ÷òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà ÿâëÿåòñÿ ôèçèêîé ìàëûõ 44

ãîâîðèòü íèæå), êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ òîëüêî â ÑÒÎ E 0 = mc 2 , ãäå Å0 — ýíåðãèÿ ïîêîÿùåãîñÿ òåëà, m — åãî ìàññà. Íè÷åãî ïîäîáíîãî êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà íå óòâåðæäàëà. Ïîýòîìó î êëàññè÷åñêîé ôèçèêå (ñ ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè çðåíèÿ) ìîæíî ãîâîðèòü êàê î ôèçèêå, êîòîðîé ìîæíî (íî íå âñåãäà, õîòÿ è ÷àñòî â ïîâñåäíåâíîé æèçíè) ïîëüçîâàòüñÿ, åñëè äâèæåíèÿ òåë ïðîèñõîäÿò ñî ñêîðîñòÿìè, ìíîãî ìåíüøèìè ñêîðîñòè ñâåòà (â âàêóóìå). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ñêîðîñòè ïðîöåññîâ íå èìåþò ïðåäåëà (÷òî ñëåäóåò èç òåîðåìû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé), ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü ñâåòà, ñòîÿùàÿ â çíàìåíàòåëå ñîîòíîøåíèÿ (*), â ïðèíöèïå, ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íî áîëüøîé. Òåì ñàìûì ìû ïðèøëè ê óòâåðæäåíèþ îñíîâíîãî ïîëîæåíèÿ òåîðèè äàëüíîäåéñòâèÿ. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (*) ïîçâîëÿåò ñêàçàòü, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà — ýòî ôèçèêà, îñíîâàííàÿ íà ïðèíöèïå äàëüíîäåéñòâèÿ. Êàê èçâåñòíî, ýòîò ïðèíöèï ïðèâîäèò óòâåðæäåíèþ î âñåîáùåé, àáñîëþòíîé ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííîé ñâÿçè âñåõ ñîáûòèé â ìèðå, à îòñþäà îäèí “øà㔠äî óòâåðæäåíèÿ î ñóùåñòâîâàíèè áîæåñòâåííîé ñèëû. Òàê ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå íàóêè ïåðåïëåòàåòñÿ ñ ìèðîâîççðåí÷åñêèì. Ïðèçíàíèå 2-ãî ïîñòóëàòà ÑÒÎ — ýòî óòâåðæäåíèå ïðèíöèïà áëèçêîäåéñòâèÿ: äåéñòâèå ïåðåäàåòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ. Îòñþäà òîò÷àñ æå ñëåäóåò, ÷òî íå ìîãóò âñå ñîáûòèÿ â ìèðå èìåòü ìåæäó ñîáîé ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííóþ ñâÿçü. Äàëåå ìû áóäåì ãîâîðèòü îá ýòîì î÷åíü ïîäðîáíî, òàê êàê ÑÒÎ âíåñëà â ïîíèìàíèå ýòîãî âîïðîñà ïðèíöèïèàëüíî íîâîå ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêîé ôèçèêîé. Îòíîñèòåëüíîñòü âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ Âûøå ìû êà÷åñòâåííî, èñõîäÿ èç ïîñòóëàòîâ ÑÒÎ, óñòàíîâèëè îòíîñèòåëüíîñòü ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè è äëèíû. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû Ëîðåíöà (êîòîðûå îñíîâàíû íà ïîñòóëàòàõ 45

Ýéíøòåéíà), ïîëó÷èì êîëè÷åñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïðîìåæóòêàìè âðåìåíè è äëèíàìè, èçìåðåííûìè â ðàçíûõ ÈÑÎ.  òåõ æå èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà êàê è ðàíüøå, êîòîðûå äâèæóòñÿ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî, ðàññìîòðèì íåêîòîðûé ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ. Ïóñòü â ÈÑÎ L’ ïðîöåññ ïðîòåêàåò â îäíîì ìåñòå, ò. å. õ’2=õ’1, è äëèòñÿ ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t ′ = t 2′ − t1′ . Íàçîâåì ýòó äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà ñîáñòâåííîé äëèòåëüíîñòüþ è îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆t 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî ñîáñòâåííàÿ äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé, èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, ïîäîáíî ñîáñòâåííîé äëèíå òåëà /0. Âîñïîëüçóåìñÿ ÷åòâåðòîé èç îáðàùåííûõ ôîðìóë Ëîðåíöà (6.7) è îïðåäåëèì äëèòåëüíîñòü òîãî æå ïðîöåññà ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ÈÑÎ L. Ñîñòàâèì ðàçíîñòü äâóõ âûðàæåíèé: ti =

ti′ + 1−

vxi′ c2 , v2 c2

ãäå i=1,2 . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x 2′ = x1′ , ïîëó÷àåì: ∆t =

∆t 0 1−

v2 c2

.

(6.9)

Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò, ÷òî íàèáîëüøóþ äëèòåëüíîñòü ïðîöåññ èìååò â òîé ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé îí ïåðåìåùàåòñÿ. Ïðè ïåðåõîäå ê êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì, ïîëó÷àåì èçâåñòíûé íàì ðåçóëüòàò: ∆t = ∆t ′ . Èìååòñÿ ïðÿìîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå îòíîñèòåëüíîñòè äëèòåëüíîñòè ïðîöåññîâ, äâèæóùèõñÿ îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ (ïðèáîðîâ).  1935 ãîäó âî âòîðè÷íûõ êîñìè÷åñêèõ ëó÷àõ, ðîæäàþùèõñÿ ïðè ñòîëêíîâåíèè ïåðâè÷íûõ êîñìè÷åñêèõ ÷àñòèö, ïðèõîäÿùèõ ê íàì ñî âñåõ ñòîðîí Âñåëåííîé, ñ 46

ìîëåêóëàìè âîçäóõà íà âûñîòå ïîðÿäêà 6 êì áûëè îáíàðóæåíû íîâûå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû, ïîëó÷èâøèå íàçâàíèå µ (ìþ) ìåçîíîâ.  ëàáîðàòîðíûõ óñëîâèÿõ óäàëîñü îïðåäåëèòü âðåìÿ èõ ñîáñòâåííîé æèçíè, îíî îêàçàëîñü ïîðÿäêà 10-6 ñ. “Ïðîæè┠ñòîëü ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ìþ - ìåçîíû ðàñïàäàþòñÿ, ïîÿâëÿþòñÿ äðóãèå ÷àñòèöû. Ïðîäóêòû ðàñïàäà ìþ – ìåçîíîâ, ðîäèâøèõñÿ íà âûñîòå 6 êì, îáíàðóæèâàþòñÿ ó Çåìëè. Íî âîçíèêàëà ïðîáëåìà: êàê çà âðåìÿ æèçíè â 10-6 ñ, äàæå äâèãàÿñü ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà ñ=3.108 ì/ñ, ìþ-ìåçîíû ìîãóò ïðåîäîëåòü ðàññòîÿíèå â 6 êì. Ýëåìåíòàðíûé ðàñ÷åò äàâàë ëèøü 300 ì! (Òî, ÷òî ðàñïàä ïðîèñõîäèë ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, áûëî îáíàðóæåíî ýêñïåðèìåíòàëüíî). Ðàçðåøèòü ïàðàäîêñ ñìîãëà ëèøü ÑÒÎ, èñõîäÿ èç îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t = 10 −6 ñ — ýòî âðåìÿ æèçíè ìþìåçîíà â ÈÑÎ, â êîòîðîé îí íåïîäâèæåí, òî åñòü ýòî ñîáñòâåííàÿ äëèòåëüíîñòü æèçíè ìåçîíà. Íàçîâåì ýòó ÈÑÎ ÑÎ “Ìåçîí”.  ÈÑÎ “Çåìëÿ” âðåìÿ æèçíè ìåçîíà áóäåò â òûñÿ÷è ðàç áîëüøå, âñå îïðåäåëÿåòñÿ ñêîðîñòüþ åãî äâèæåíèÿ. È íåò íè÷åãî óäèâèòåëüíîãî, ÷òî çà áîëüøåå âðåìÿ æèçíè â ÈÑÎ “Çåìëÿ” ìåçîí ïðîëåòàåò ðàññòîÿíèå â íåñêîëüêî êèëîìåòðîâ îò ìåñòà ñâîåãî ðîæäåíèÿ äî ïîâåðõíîñòè Çåìëè. ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ðåøèòü ýòó çàäà÷ó â ÈÑÎ “Ìåçîí” è óáåäèòüñÿ, ÷òî ëþáîå ÿâëåíèå ñàìî ïî ñåáå èíâàðèàíòíî, ò. å. äîëæíî íàáëþäàòüñÿ âî âñåõ ÈÑÎ (íî íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâî!).  ýòîì (âòîðîì) âàðèàíòå çàäà÷è âñå æå ïðèäåòñÿ îáúÿñíèòü, êàê çà âðåìÿ â 10-6 ñ ìåçîí “âñòðåòèòñÿ” ñ Çåìëåé? Íà ýòîò âîïðîñ ìû ñìîæåì äàòü îòâåò, ïîçíàêîìèâøèñü ñ îòíîñèòåëüíîñòüþ äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà. Îòíîñèòåëüíîñòü äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà.  äâèæóùåéñÿ ÈÑÎ L’ âäîëü îñè O“x“ íåïîäâèæíî ðàñïîëàãàåòñÿ îäíîìåðíûé ñòåðæåíü. Çàìåðÿÿ êîîðäèíàòû êîíöîâ ñòåðæíÿ â ýòîé ÈÑÎ õ”1 è x”2 îïðåäåëèì åãî äëèíó 1'=õ”2—õ”1.  ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ, â êîòîðîé ýòîò ñòåðæåíü áóäåò ïîêîèòüñÿ, åãî äëèíà áóäåò òàêîé æå. Íàçîâåì òàêóþ äëèíó òåëà â ïîêîå, êîòîðàÿ áóäåò åãî àáñîëþòíîé õàðàêòåðèñòèêîé, ñîáñòâåííîé 47

äëèíîé òåëà è îáîçíà÷èì åå òàê: l0. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ ïîÿâèëàñü åùå îäíà àáñîëþòíàÿ, èíâàðèàíòíàÿ âåëè÷èíà . Çíà÷èò, íå âñå â òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî! (Ê ýòîìó âîïðîñó ìû òàêæå áóäåì âîçâðàùàòüñÿ íå ðàç.) Ðóêîâîäñòâóÿñü ïðàâèëîì îïðåäåëåíèÿ äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà, çàìåðèì îäíîâðåìåííî êîîðäèíàòû íà÷àëà è êîíöà ñòåðæíÿ, íàõîäÿñü íå â ÈÑÎ L’, à â ÈÑÎ L, ïîëó÷àåì õ1 è õ2. Âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâîé ôîðìóëîé â (6.6), êîòîðàÿ ñâÿçûâàåò íå øòðèõîâàííûå è øòðèõîâàííûå êîîðäèíàòû êîíöîâ ñòåðæíÿ. Ñîñòàâëÿÿ ðàçíîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé, x 2′ − x1′ =

x 2 − vt 2 − x1 + vt1 1−

v

2

c

2

=

x 2 − x1 1−

v

2

l = l0 1 −

,

Ââîäÿ äëÿ äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà îáîçíà÷åíèå l = x 2 − x1 , ïîëó÷àåì åùå îäíó çíàìåíèòóþ ôîðìóëó ÑÒÎ: v2 c

2

.

(6.8)

Èç ýòîé ôîðìóëû ñëåäóåò: 1) äëèíà äâèæóùåãîñÿ òåëà ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå åå â ðàçíûõ ÈÑÎ ðàçíîå. Èíîãäà ãîâîðÿò î “ñîêðàùåíèè” äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà. Ýòî íåâåðíî, òàê êàê íèêàêîãî ñîêðàùåíèÿ äëèíû òåëà íå ïðîèñõîäèò, ýôôåêò îòíîñèòåëüíîñòè äëèíû ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà, à íå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ âíóòðè òåëà; 2) äëèíà òåëà â ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé òåëî äâèæåòñÿ, ìåíüøå åãî ñîáñòâåííîé äëèíû. Íî îáå äëèíû ðåàëüíû, îáúåêòèâíû è ìîãóò áûòü çàôèêñèðîâàíû ïðèáîðàìè; 3) åñëè ïîëîæèòü v = c, òî äëèíà äâèæóùåãîñÿ òåëà îêàæåòñÿ ðàâíîé íóëþ. Îäíàêî (ýòî áóäåò ïîêàçàíî íèæå) íè îäíî òåëî (êðîìå êâàíòîâ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ) íå ìîæåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, à ïîýòîìó íè â îäíîé ÈÑÎ äëèíà âåùåñòâåííîãî òåëà íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ. Ïðîòÿæåííîñòü 48

v2 c2

,

ãäå lî — äëèíà ñòåðæíÿ â ÈÑÎ L, ãäå îí ïîêîèòñÿ, l— äëèíà

c2

ãäå ó÷òåíî, ÷òî t 2 = t1 .

l = l0 1 −

òåëà — åãî îáúåêòèâíàÿ, è â ýòîì ñìûñëå, àáñîëþòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà, à ÷èñëåííîå çíà÷åíèå ýòîé õàðàêòåðèñòèêè çàâèñèò îò óñëîâèé èçìåðåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû. Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà ðàññìîòðåòü ñâÿçü äëèí òîãî æå ñòåðæíÿ, åñëè îí íåïîäâèæåí â ÈÑÎ L è äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî ÈÑÎ L’. Êîëè÷åñòâåííàÿ ñâÿçü ìåæäó ýòèìè äëèíàìè áóäåò íàéäåíà ñ ïîìîùüþ ïåðâîé èç îáðàùåííûõ ôîðìóë Ëîðåíöà (6.7), ñ ó÷åòîì òî ãî, ÷òî t 2′ = t1′ , òàê êàê òåïåðü â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè íóæíî îïðåäåëÿòü êîîðäèíàòû, íàõîäÿñü â ÈÑÎ L’. Ââîäÿ ñîîòâåòñòâóþùèå îáîçíà÷åíèÿ, ìû ïîëó÷èì

ñòåðæíÿ â ÈÑÎ L′ , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ñòåðæåíü äâèæåòñÿ. Ýòà ôîðìóëà â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ ôîðìóëîé (6.8), â ÷åì ïðîÿâèëñÿ ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè ÑÒÎ, ðàâíîïðàâèÿ ÈÑÎ. ×èòàòåëü ëåãêî ïðîâåðèò âûïîëíèìîñòü ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ. Òåîðåìà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé â ÑÒÎ. Òåîðåìà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé íàõîäèò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèëîæåíèå. Ïîýòîìó äàííàÿ çàäà÷à èìååò íå òîëüêî òåîðåòè÷åñêèé èíòåðåñ. Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè t0 = t“0 =0 íà÷àëà êîîðäèíàò òî÷êè 0 è Δ ÈÑÎ L è L“ ñîâïàäàëè, òàì æå íàõîäèëîñü íàáëþäàåìîå òåëî. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ t (ïî ÷àñàì ÈÑÎ L) è t“ (ïî ÷àñàì ÈÑÎ L') òåëî îêàçàëîñü â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé õ (â ÈÑÎ L) è ñîîòâåòñòâåííî x' (â ÈÑÎ L'). Âñå ýòè âåëè÷èíû ñâÿçàíû ôîðìóëàìè Ëîðåíöà (6.6) èëè (6.7). Åñëè ïåðâûå òðè ðàâåíñòâà â (6.6) ðàçäåëèì íà ÷åòâåðòîå, òî ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: x −v x′ = t ; v x t′ 1− 2 ⋅ c t

y v2 1− 2 y′ t c = ; v x t′ 1− 2 ⋅ c t

z v2 1− 2 z′ t c = . v x t′ 1− 2 ⋅ c t 49

Ïî îïðåäåëåíèþ ñêîðîñòè âåëè÷èíû

x x′ , è ò. ä. îïðåäåt t′

ëÿþò ïðîåêöèè ñðåäíåé ñêîðîñòè òåëà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè êîîðäèíàò. Ââîäÿ îáû÷íûå îáîçíà÷åíèÿ, çàïèøåì ðåëÿòèâèñòñêóþ òåîðåìó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé â âèäå ñëåäóþùèõ òðåõ ðàâåíñòâ:

u ′x′ =

ux − v , u v 1 − x2 c

u ′y ′ =

uy 1− 1−

v2 2

c , uxv c

u ′z′ =

uz 1 −

2

1−

v2

c2 . uxv c

(6.10)

2

Óæå îäèí âèä ýòèõ ôîðìóë ãîâîðèò î òîì, ÷òî ìû ïîëó÷èëè ñîâåðøåííî íîâóþ, îòëè÷íóþ îò êëàññè÷åñêîé, òåîðåìó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Âñå ïðîåêöèè ñêîðîñòè â ÈÑÎ L' çàâèñÿò îò ïðîåêöèè ux ÈÑÎ L. Êðîìå òîãî, â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ìû ïîëó÷èëè, ÷òî u ′y ′ = u y ; u ′z ′ = u z .  ÑÒÎ æå âñå òðè ïðîåêöèè ñêîðîñòè ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé. Ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ âûïîëíÿåòñÿ òîò÷àñ æå, êàê òîëüêî ìû ïðåíåáðåæåì ÷ëåíàìè v

2

ñ

2

<< 1,

v c2

<< 1 : u ′x′ = u x − v, u ′y ′ = u y , u ′z′ = u z .

Åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî ôîðìóëû ÒÑÑ ÑÒÎ íå ïðîòèâîðå÷àò óòâåðæäåíèþ, ÷òî ñêîðîñòü ñâåòà ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé ñêîðîñòüþ è íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà, ñ êîòîðûì ìîæíî ñâÿçàòü ïîäâèæíóþ ÈÑÎ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ãèïîòåòè÷åñêèé îïûò, êîãäà ÈÑÎ L’ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà v = c è â íåé ïîñûëàåòñÿ ñâåòîâîé ñèãíàë ñ òîé æå ñêîðîñòüþ u ′x′ = c (íèæå ìû îáñóäèì âîïðîñ: ìîæíî ëè ñ ôîòîíîì — êâàíòîì ñâåòà ñâÿçàòü ÈÑÎ è ïîêàæåì, ÷òî ýòî íåëüçÿ ñäåëàòü ïðèíöèïèàëüíî). Ðàçðåøèâ ïåðâóþ ôîðìóëó ÒÑÑ ÑÒÎ îòíîñèòåëüíî íå øòðèõîâàííîé ñêîðîñòè èõ, ïîëó÷àåì: ux =

50

u ′x′ + v c+c 2c = = = c. u ′x′ v c⋅c c 1+ 2 1+ 2 c c

Îïèðàÿñü íà ôîðìóëû ÒÑÑ ÑÒÎ è îáõîäÿñü áåç ýôèðà ã îáúÿñíèì è ÿâëåíèå àáåððàöèè, è ðåçóëüòàòû îïûòîâ Ôèçî è Ìàéêåëüñîíà. ßâëåíèå àáåððàöèè. y′  ÈÑÎ “Çâåçäà”, Çåìëþ ìû ñ÷èòàåì äâèæóùåéñÿ îòíîñèòåëüíî çâåçä, ïîñò-ðîèì òðåóãîëüíèê ñêîðîñòåé (ðèñ. 10), ãäå u ′x′ – ñêîðîñòü äâèæåíèÿ Çåìëè â ìèðîâîì ïðîñòðàíñòâå, u ′y′ = − c – ñêîðîñòü ñâåòà, èäóùåãî îò çâåçäû. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå ïðîåêöèé O′ ñêîðîñòåé, ÷òî îïðåäåëèò òàíãåíñ óãëà íàêëîíà îñè çðèòåëüíîé òðóáû:

u ′x′

u′y ′

Ðèñ.10.

x′

u v 1 − x2 ux − v u ′x′ ux − v c = ⋅ = . tg = u v 2 u ′y′ v2 1 − x2 u 1 − v uy 1− 2 y c c2 c

 ÈÑÎ L-“Çåìëÿ” ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè ñâåòà íà íàïðàâëåíèå îñè Îõ ux ïðèíèìàåòñÿ ðàâíîé íóëþ, òàê ìû ðàññìàòðèâàåì ðàñïðîñòðàíåíèå ñâåòà òîëüêî â íàïðàâëåíèè îñè Îy, â íàïðàâëåíèè ê Çåìëå. Îòáðàñûâàÿ ìàëûé ÷ëåí

v2 c2

, ïîëó÷àåì â

êëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè tgα ≈

v . c

Èìåííî òàêîé æå ðåçóëüòàò ïîëó÷àëñÿ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå â ïðåäïîëîæåíèè àáñîëþòíî íåïîäâèæíîãî â ìèðîâîì ïðîñòðàíñòâå ýôèðà. Ìû æå ñ ñàìîãî íà÷àëà ïîñòðîåíèÿ ÑÒÎ îòêàçàëèñü îò ãèïîòåòè÷åñêîãî ýôèðà è ïðèøëè ê êëàññè÷åñêîìó ðåçóëüòàòó, èñõîäÿ èç ÒÑÑ. 51

Îïûò Ôèçî. Âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâîé ôîðìóëîé ÒÑÑ ÑÒÎ, òàê êàê ñâåò â îïûòíîé óñòàíîâêå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü òðóáû, íàïðàâëåíèå êîòîðîé ìîæíî ïðèíÿòü çà îñü Îõ: u ′x′ =

ux − v . u v 1 − x2 c

Òàê êàê âòîðîé ÷ëåí â çíàìåíàòåëå ìàë (v — ñêîðîñòü âîäû!), òî ìîæíî ïðèìåíèòü ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó äåëåíèÿ: u v 1 ≈ 1 + α , ãäå α = x2 . 1−α c

Òîãäà u v u 2v u v 2  u ′x′ ≈ (u x − v )1 + x2  = u x − v + x2 − x 2 . c  c c 

Ñãðóïïèðóåì âòîðîé è òðåòèé ÷ëåíû è ïðåíåáðåæåì ïîñëåäíèì (÷åòâåðòûì):  u2 u ′x′ = u x − v1 − 2x  c 

 .  

c Ó÷èòûâàÿ, ÷òî u x = —ñêîðîñòü ñâåòà â ñòîÿ÷åé âîäå, ãäå n

n — ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû, ïîëó÷àåì: u ′x′ =

1 c  − v 1 − 2 n  n

1  c  = − kv, ãäå k = 1 − 2 , n  n

÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. Îïûò Ìàéêåëüñîíà. Ðåçóëüòàò ýòîãî îïûòà îáúÿñíÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, åñëè ïðèíÿòü 2-é ïîñòóëàò Ýéíøòåéíà. Èç îïûòà ñëåäîâàëî, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò ýôèð, òî îí äîëæåí ïîëíîñòüþ óâëåêàòüñÿ äâèæóùåéñÿ ñðåäîé. Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå íàáëþäàåìàÿ èíòåðôåðåíöèîííàÿ 52

êàðòèíà íå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïðè ïîâîðîòå óñòàíîâêè, â ïîëíîñòüþ óâëåêàåìîì ýôèðå ñêîðîñòü ñâåòà äåéñòâèòåëüíî áóäåò îäíîé è òîé æå ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Íî âòîðîé ïîñòóëàò ÑÒÎ êàê ðàç è óòâåðæäàåò ïîñòîÿíñòâî ñêîðîñòè ñâåòà ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, è ïðåäåëüíîñòü åå â âàêóóìå, íå èñïîëüçóÿ ãèïîòåòè÷åñêóþ ñðåäó — ýôèð. Òàêèì îáðàçîì, îïûò Ìàéêåëüñîíà â ÑÒÎ îáúÿñíÿåòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì, åñëè èñõîäèòü èç ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà. Åùå ðàç î ïðåäåëüíîñòè ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïðèíÿòü ïîñòóëàòû Ýéíøòåéíà è ñëåäóþùèå èç íèõ ôîðìóëû Ëîðåíöà, òî ïðåäåëüíîñòü ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå òðåáóåòñÿ çàêîíîì ïðè÷èííîñòè, óòâåðæäàþùèì, ÷òî ñîáûòèå-ïðè÷èíà âñåãäà ïðåäøåñòâóåò ñîáûòèþ-ñëåäñòâèþ. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì “îò ïðîòèâíîãî”. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ñèãíàë, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ V>ñ. Òîãäà çà âðåìÿ t ýòîò ñèãíàë óäàëèòñÿ îò ìåñòà âîçíèêíîâåíèÿ íà ðàññòîÿíèå x=V-t. Ïîäñòàâèì ýòó âåëè÷èíó â ÷åòâåðòóþ ôîðìóëó Ëîðåíöà:

t′ =

t−

vx c2

1−

v2 c2

 vV  1 − 2  c  = ⋅t v2 1− 2 c

Âñåãäà ìîæíî óêàçàòü ñêîðîñòü v (â ïðåäåëàõ îò 0 äî ñ), ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (V>c !): vV c2

> 1.

Òîãäà ïîëîæèòåëüíîìó òå÷åíèþ âðåìåíè â ÈÑÎ L áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü îòðèöàòåëüíîå íàïðàâëåíèå õîäà âðåìåíè â ÈÑÎ L’, â ÈÑÎ L’ ïðè÷èíà ïîìåíÿåòñÿ ñî ñëåäñòâèåì â ñâîåé î÷åðåäíîñòè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò çàêîíó ïðè÷èííîñòè. Äî ñèõ ïîð íå áûëî îáíàðóæåíî íè îäíîãî ñëó÷àÿ îòêëîíåíèÿ îò çàêîíà ïðè÷èííîñòè, ïîýòîìó åãî íàçûâàþò àáñîëþòíûì çàêîíîì ïðèðîäû. Òàêèì îáðàçîì, ñäåëàííîå äîïóùåíèå î ñóùåñòâîâàíèè 53

ñèãíàëà, ïðåâûøàþùåãî ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå, íåâîçìîæíî. Âìåñòå ñ òåì, ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ëþáîé ïðîçðà÷íîé ñðåäå ñ ïîêàçàòåëåì ïðåëîìëåíèÿ n> 1 ñêîðîñòü ñâåòà áóäåò ðàâíà ñ/n, ÷òî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå.  òàêîé ñðåäå, íàïðèìåð, ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû ìîãóò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòÿìè, áîëüøèìè, ÷åì c/n è ýòî íå ïðîòèâîðå÷èò ïðåäåëüíîñòè ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå. §7. Çàäà÷è ïî êèíåìàòèêå ÑÒÎ Íåò ëó÷øåãî ñïîñîáà ïðîâåðèòü çíàíèå òåîðèè, ÷åì ðåøåíèå çàäà÷. Âñå ðàññìàòðèâàåìûå íèæå çàäà÷è ñîïðîâîæäàþòñÿ êðàòêèì òåêñòîì ðåøåíèÿ. Íî æåëàòåëüíî, ÷òîáû ÷èòàòåëü ñíà÷àëà íàìåòèë ñâîå ðåøåíèå, à çàòåì ñîïîñòàâèë åãî ñ ïðèâîäèìûì òåêñòîì. Çàäà÷à ¹ 1. Ó ïèñàòåëÿ Ñ. ß. Ìàðøàêà åñòü òàêîå ñòèõîòâîðåíèå, ðàçîáðàòüñÿ â êîòîðîì ìîæíî òîëüêî íà îñíîâå ÑÒÎ. ×åñòü äðóçüÿì, âïåðåä ñìîòðÿùèì, Çâåçäîëåò÷èêàì áåññòðàøíûì, ×òî çîâåì ìû íàñòîÿùèì — Âû ñ÷èòàåòå â÷åðàøíèì.

t=

t0 1−

v2

,

c2

÷òî áîëüøå t 0 . Ïîýòîìó ó êîñìîíàâòîâ, ñ òî÷êè çðåíèÿ çåìëÿí, ïðîéäåò áîëüøå âðåìåíè è òî, ÷òî äëÿ íàñ (çåìëÿí) “íàñòîÿùåå”, íàïðèìåð, ìîìåíò îêîí÷àíèÿ ñîñòàâëåíèÿ ïåðâîãî ÷åòâåðîñòèøüÿ, äëÿ íèõ — “â÷åðàøíåå”. Âî âòîðîì ÷åòâåðîñòèøüå ñîáñòâåííûì âðåìåíåì ñ÷èòàåòñÿ âðåìÿ, îòñ÷èòûâàåìîå ïî êîðàáåëüíûì ÷àñàì t 0 . Ñ òî÷êè çðåíèÿ êîñìîíàâòîâ íà Çåìëå ýòîìó ìîìåíòó t 0 áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìîìåíò âðåìåíè t=

t0 1−

v2 , c2

èç

÷òî áîëüøå t 0 . Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî íàøå (çåìíîå) “ñåé÷àñ”, ñ òî÷êè çðåíèÿ êîñìîíàâòîâ, íàñòóïèò ïîçæå. Ïðèìå÷àíèå. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà îòíîñèòåëüíîñòü âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ íóæíî âñåãäà ïîìíèòü, ÷òî ÷àñû â êàæäîé ÈÑÎ èäóò ñîâåðøåííî îäèíàêîâî (ñèñòåìû îòñ÷åòà ñîâåðøåííî ðàâíîïðàâíû!), íî ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, ìèìî êîòîðîãî ïåðåìåùàåòñÿ äðóãàÿ ÈÑÎ, â ïîñëåäíåé “ïðîéäåò” áîëüøèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Èìåííî òàê íàäî ïîíèìàòü îòíîñèòåëüíîñòü âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ.

Ðåøåíèå.  ïåðâîì ÷åòâåðîñòèøüå ïîýò ðàññìàòðèâàåò ïîëåò çâåçäîëåò÷èêîâ (ñåé÷àñ ìû èõ íàçûâàåì êîñìîíàâòàìè), íàõîäÿñü â ÈÑÎ “Çåìëÿ”. Ìîìåíòó âðåìåíè íà Çåìëå t 0 íà êîðàáëå, êîòîðûé äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî Çåìëè, áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìîìåíò âðåìåíè

Çàäà÷à ¹ 2. ×åðåç ïîìåùåíèå, øèðèíà êîòîðîãî /0, ïðîëåòàåò ñòðåëà, âëåòåâ â îêíî è âûëåòåâ ÷åðåç äâåðü, ðàñïîëîæåííóþ íàïðîòèâ îêíà. Ñîáñòâåííàÿ äëèíà ñòðåëû òàêæå /0. Ïðîêîììåíòèðîâàòü ïðîöåññ ïîëåòà ñòðåëû ñ ò. ç. äâóõ íàáëþäàòåëåé, îäèí èç êîòîðûõ íàõîäèòñÿ â ÈÑÎ “Êîìíàòà”, äðóãîé — â ÈÑÎ “Ñòðåëà”, ò.å. ëåòèò âìåñòå ñî ñòðåëîé.

Îáðàòèâ æå â ÷àñ ñâîáîäíûé Âçîð ê Çåìëå, ê äðóçüÿì, âàñ æäóùèì, Íàøå çäåøíåå “ñåãîäíÿ” Âû ñ÷èòàåòå ãðÿäóùèì! Ïðîêîììåíòèðóéòå ñòèõîòâîðåíèå, îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ.

54

èñõîäÿ

55

Ðåøåíèå Äëÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ÈÑÎ “Êîìíàòà”, ðàçìåðû ëåòÿùåé ñòðåëû ìåíüøå øèðèíû êîìíàòû l = l 0 1−

v2 c2

.

Ïîýòîìó îí çàôèêñèðóåò îäíîâðåìåííîå íàõîæäåíèå êîíöîâ ñòðåëû â ïîìåùåíèè. Ñ ò. ç. íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ÈÑÎ “Ñòðåëà”, øèðèíà êîìíàòû ìåíüøå ðàçìåðîâ ñòðåëû è åå êîíöû íå ìîãóò îäíîâðåìåííî íàõîäèòüñÿ â ïîìåùåíèè. “Ïàðàäîêñ” ñòðåëû ðàçðåøàåòñÿ íà îñíîâàíèè îòíîñèòåëüíîñòè îäíîâðåìåííîñòè: òî, ÷òî îäíîâðåìåííî â îäíîé ÈÑÎ (îäíîâðåìåííîå íàõîæäåíèå êîíöîâ ñòðåëû â ïîìåùåíèè), íå îäíîâðåìåííî äëÿ äðóãîãî íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â äâèæóùåéñÿ ÈÑÎ. Ñàì ôàêò ïðîëåòà ñòðåëû ÷åðåç ïîìåùåíèå áóäóò íàáëþäàòü âî âñåõ ÈÑÎ (â ÈÑÎ “Ñòðåëà” êîìíàòà “ïðîëåòàåò” ìèìî ñòðåëû, íî ýòî ðàâíîöåííî ñ ò.ç. ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè). Ýòà çàäà÷à ïîçâîëÿåò íàì åùå ðàç óòâåðäèòü îáúåêòèâíîñòü, èíâàðèàíòíîñòü ëþáîãî ôèçè÷åñêîãî ñîáûòèÿ èëè ïðîöåññà. Çàäà÷à ¹ 3.  § 6 áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à î æèçíè ìþ-ìåçîíà. Íà îñíîâàíèè îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ áûëî îáúÿñíåíî (â ÈÑÎ “Çåìëÿ”), êàê çà ìàëîå ñîáñòâåííîå âðåìÿ æèçíè ìåçîí ìîæåò ïðåîäîëåòü ðàññòîÿíèå â äåñÿòêè êèëîìåòðîâ. ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿëàñü âîçìîæíîñòü ñàìîñòîÿòåëüíî îáúÿñíèòü ýòîò ïðîöåññ ñ ò. ç. íàáëþäàòåëÿ, ñâÿçàííîãî ñ ìåçîíîì. Ïðåäëàãàåìîå íèæå ðåøåíèå ìîæåò ñëóæèòü ïðîâåðêîé ïðàâèëüíîñòè äàííîãî ÷èòàòåëåì ðåøåíèÿ. Ðåøåíèå  ÈÑÎ “Ìåçîí” ñàìà ÷àñòèöà íåïîäâèæíà è åå ñîáñòâåííîå âðåìÿ æèçíè ïîðÿäêà 10 −6 ñ. Äàæå äâèãàÿñü ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà ñìîãëà áû ïðîëåòåòü âñåãî ëèøü 300 ìåòðîâ! È âñå æå âñòðå÷à ìåçîíà ñ Çåìëåé äîëæíà ñîñòîÿòüñÿ è â 56

ÈÑÎ “Ìåçîí” — ñîáûòèå èíâàðèàíòíî! Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî â ÈÑÎ “Ìåçîí” äâèæóùåéñÿ ÿâëÿåòñÿ Çåìëÿ, îíà “ïàäàåò” íà ìåçîí. Ïîýòîìó äëÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ÈÑÎ “Ìåçîí”, Çåìëå íóæíî ïðîëåòåòü íå äåñÿòêè êèëîìåòðîâ, à ñîãëàñíî ôîðìóëå l = l0 1 −

v2 c2

,

ò.å. âî ñòîëüêî æå ðàç ìåíüøå, âî ñêîëüêî ñîáñòâåííîå âðåìÿ æèçíè ìåçîíà â ÈÑÎ “Ìåçîí” ìåíüøå åãî âðåìåíè æèçíè â ÈÑΓÇåìëÿ”.  ðåçóëüòàòå çà ìåíüøåå âðåìÿ (çà ñîáñòâåííîå âðåìÿ æèçíè ìåçîíà) Çåìëÿ “ìîæåò ïðåîäîëåòü” ìåíüøåå ðàññòîÿíèå, ðàçäåëÿþùåå åå è ìåçîí â ÈÑÎ “Ìåçîí”. Çàäà÷à ¹4. Ïîêàçàòü, ÷òî îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ áîëüøå â òîé ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé çàðÿäû äâèæóòñÿ. Ðåøåíèå Åùå â XIX â. Ì. Ôàðàäååì áûëî äîêàçàíî, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà çàðÿäîâ çàìêíóòîé ñèñòåìû åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ (çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà). Íî â çàäà÷å ðå÷ü èäåò îá îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ, êîòîðàÿ, êàê ìû ïîêàæåì íèæå, ÿâëÿåòñÿ â ÑÒÎ îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé. Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ñðåäíÿÿ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ ðàâíà ρ =

∆q , ∆V

ãäå ∆q çàðÿä, íàõîäÿùèéñÿ â îáúåìå ∆V . Íî îáúåì òåëà åñòü âåëè÷èíà îòíîñèòåëüíàÿ, è îí ìåíüøå â òîé ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé òåëî äâèæåòñÿ. Åñëè ∆V0 — îáúåì ïîêîÿùåãîñÿ òåëà, òî ∆V = S ⋅ l = S ⋅ l 0 1 −

v2 c2

= V0 1 −

v2 c2

,

òîãäà 57

ρ=

∆q ∆V0 1 −

v2

ρ0

=

1−

c2

v2

> ρ0 ,

c2

÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. Çàäà÷à ¹ 5.  ÈÑÎ L èç ïóíêòîâ À è Â, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè lî, îäíîâðåìåííî ñòàðòóþò äâà êîñìè÷åñêèõ êîðàáëÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêîðîñòÿìè, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûìè u è 2u. Îïðåäåëèòü, ñêîëüêî âðåìåíè ïðîéäåò äî èõ âñòðå÷è ñ òî÷êè çðåíèÿ çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ . Çàïèøåì çàäà÷ó êðàòêî (ïðåäûäóùèå çàäà÷è ïî ñóòè áûëè êà÷åñòâåííûå). Ðåøåíèå Íàéòè ∆t 01 , ∆t 02 l0

Äàíî

v1 = u v 2 = 2u

ÈÑÎ “Çåìëÿ”: ∆t =

l0 . Èñïîëüçóÿ îáùóþ ôîðìóëó äëÿ îòíîñè3u

òåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ, ðàññ÷èòûâàåì ∆t 01 è ∆t 02 : ∆t 01 =

l0 u2 1− 2 ; 3u c

∆t 02 =

l0 4u 2 1− 2 . 3u c

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ∆t 01 è ∆t 02 - ñòîëüêî âðåìåíè ïðîéäåò äî âñòðå÷è êîðàáëåé ñ òî÷êè çðåíèÿ çåìíîãî íàáëþäàòåëÿ. Íà êîðàáëÿõ æå õîä ÷àñîâ òàêîé æå, êàê è íà çåìëå: ñîáñòâåííîå âðåìÿ äâèæåíèÿ êîðàáëåé åñòü âåëè÷èíà èíâàðèàíòíàÿ è ðàâíà (â íàøåì ñëó÷àå) ∆t 0 =

Ñëåäóÿ óñëîâèþ çàäà÷è, êîòîðîå äàíî â ÈÑÎ “Çåìëÿ”, âûáåðåì åå çà ÈÑÎ L. Ñäåëàåì ÷åðòåæ â ýòîé ÈÑÎ: r r 2u •  À• u Ñ• Îáùàÿ ôîðìóëà, ñâÿçûâàþùàÿ ñîáñòâåííîå âðåìÿ äâèæåíèÿ êîðàáëåé (êîòîðîå íàì íàäî îïðåäåëèòü) ñ çåìíûì âðåìåíåì, çàïèøåòñÿ òàê ∆t =

∆t 0 1−

v2 , c2

ãäå v — ñêîðîñòü äâèæåíèÿ êàæäîãî êîðàáëÿ îòíîñèòåëüíî Çåìëè, îíà ðàçíàÿ ó êîðàáëåé. 58

Ïî óñëîâèþ çàäà÷è â ÈÑÎ “Çåìëÿ” êîðàáëè äîëæíû äî âñòðå÷è ïðîëåòåòü îáùåå ðàññòîÿíèå /î, êîòîðîå ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà ó÷àñòêà: l1 = u ⋅ ∆t è l 2 = 2u ⋅ ∆t , ãäå ó÷òåíî, ÷òî âðåìÿ äâèæåíèÿ îáîèõ êîðàáëåé äî âñòðå÷è îäèíàêîâî. Äàëåå, ó÷òåì, ÷òî l = l1 + l 2 . Èç ýòèõ ðàâåíñòâ îïðåäåëÿåì âðåìÿ äâèæåíèÿ êîðàáëåé â

l0 . 3u

Çàäà÷à ¹ 6. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó, ïîëó÷èâøóþ â ëèòåðàòóðå íàçâàíèå “ïàðàäîêñ áëèçíåöîâ”. Ñóòü åå â ñëåäóþùåì. Îäèí èç áëèçíåöîâ íàõîäèòñÿ íà Çåìëå, âòîðîé ñîâåðøàåò ïóòåøåñòâèå íà êîñìè÷åñêîì êîðàáëå. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî êîãäà âòîðîé áëèçíåö âîçâðàòèòñÿ íà Çåìëþ, îí îáíàðóæèò íîâîå ïîêîëåíèå ëþäåé, òàê êàê ïî çåìíûì ÷àñàì ïðîéäåò áîëüøå âðåìåíè, ÷åì ïî åãî “ñîáñòâåííûì ÷àñàì”. Âñå ýòî äåéñòâèòåëüíî êîãäà-íèáóäü ïðîèçîéäåò, íî ïðåäñêàçûâàåò ýòî íå ñïåöèàëüíàÿ, à îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, ïîñòðîåííàÿ À. Ýéíøòåéíîì â 1916 ãîäó. Äåëî â òîì, ÷òî ÑÒÎ ðàññìàòðèâàåò òîëüêî ÈÑÎ, à èç 2-õ ðàññìàòðèâàåìûõ â çàäà÷å ñèñòåì îòñ÷åòà “Çåìëÿ” è “Êîðàáëü”, îäíà (“Êîðàáëü”) çàâåäîìî íå èíåðöèàëüíàÿ: ÷òîáû âîçâðàòèòüñÿ 59

íà Çåìëþ, êîñìîíàâòó ïðèäåòñÿ äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì (÷òîáû èçìåíèòü íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ), à ïîýòîìó ðàññóæäåíèÿ ÑÒÎ íà ýòîì ó÷àñòêå äâèæåíèÿ îá îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ íåïðèãîäíû. Èìåííî â îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ íå èíåðöèàëüíûå ÑÎ è ïîêàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîå çàìåäëåíèå õîäà âðåìåíè â íèõ. Âñå ïîïûòêè íà îñíîâå ÑÒÎ îáúÿñíèòü ïàðàäîêñ áëèçíåöîâ ñîäåðæàò ïðèíöèïèàëüíóþ íåòî÷íîñòü: ðàçâîðîò êîðàáëÿ ñ÷èòàåòñÿ ìãíîâåííûì, à ýòî íåâåðíî. Äëÿ äàëüíåéøåãî çàêðåïëåíèÿ ìàòåðèàëà ïî êèíåìàòèêå ÑÒÎ îòñûëàåì ÷èòàòåëÿ ê ñïåöèàëüíûì çàäà÷íèêàì ïî ÑÒÎ (ñì. ñïèñîê ëèòåðàòóðû, à òàêæå ïðèë. 5). § 8. Èíòåðâàë, åãî èíâàðèàíòíîñòü. Äâà âèäà èíòåðâàëà. Ñâåòîâîé êîíóñ Êàê è â ëþáîé äðóãîé ôèçè÷åñêîé òåîðèè, â ÑÒÎ ïîìèìî îòíîñèòåëüíûõ âåëè÷èí, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå êîòîðûõ ñâÿçàíî ñ âûáîðîì ÑÎ, èìååòñÿ îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî àáñîëþòíûõ õàðàêòåðèñòèê. Ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêîé ôèçèêîé, ÑÒÎ èçìåíèëà ñîîòíîøåíèå ÷èñëà è âèäà àáñîëþòíûõ è îòíîñèòåëüíûõ âåëè÷èí. Òàê, äëèíà èç ðàíãà àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ïåðåøëà â ðàíã îòíîñèòåëüíûõ. Îäíàêî äëèíà òåëà â ïîêîå åñòü åãî àáñîëþòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà. Àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è ñîáñòâåííàÿ äëèòåëüíîñòü ñîáûòèÿ, àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. Ïîýòîìó íåâåðíî óòâåðæäåíèå, ÷òî áóäòî áû ÑÒÎ “âñå ñäåëàëà îòíîñèòåëüíûì”. Íàîáîðîò, ÑÒÎ îáíàðóæèëà áîëåå ãëóáîêèå ñâîéñòâà îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà, åãî îáúåêòèâíîñòü, åãî ïîçíàâàåìîñòü. Ñðåäè íîâûõ, îòñóòñòâîâàâøèõ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÑÒÎ ââîäèò òàê íàçûâàåìûé èíòåðâàë. Îñîáåííîñòüþ ýòîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíà ñâÿçûâàåò ïðîñòðàíñòâåííûå è âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè äâóõ ñîáûòèé. Èíòåðâàë ââîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì, åãî êâàäðàò îïðåäåëÿåòñÿ òàê: 60

S 2 = (x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2 − c 2 (t 2 − t1 )2 ,

(8.1)

ãäå èíäåêñ 1 îòíîñèòñÿ ê ïåðâîìó ñîáûòèþ, èíäåêñ 2 — êî âòîðîìó. Ïåðâûå òðè ñëàãàåìûå îïðåäåëÿþò ïðîñòðàíñòâåííîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè, ÷åòâåðòîå ñëàãàåìîå ñâÿçàíî ñ ïðîìåæóòêîì âðåìåíè íàñòóïëåíèÿ ýòèõ ñîáûòèé (óìíîæåííîãî íà ñêîðîñòü ñâåòà). Õîòÿ äëèíà è ïðîìåæóòîê âðåìåíè â ÑÒÎ — îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû, íî èõ êîìáèíàöèÿ â ôîðìå èíòåðâàëà ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé. Äîêàæåì èíâàðèàíòíîñòü èíòåðâàëà. Óïðîñòèì ïðåäâàðèòåëüíî ôîðìó åãî çàïèñè, ñâÿçàâ ñ îäíèì èç ñîáûòèé íà÷àëî êîîðäèíàò è ñ÷åò âðåìåíè áóäåì âåñòè îò ìîìåíòà âîçíèêíîâåíèÿ ýòîãî ñîáûòèÿ, ò. å. ìû áóäåì ñ÷èòàòü x1 = y1 = z1 = 0, t1 = 0 . Òîãäà ôîðìóëà èíòåðâàëà (8.1) çàïèøåòñÿ òàê: (8.2) Ïðè ýòîì ìû îïóñòèëè èíäåêñ 2, íî áóäåì ïîìíèòü, ÷òî è â òàêîé ôîðìå èíòåðâàë no-ïðåæíåìó ñâÿçûâàåò äâà ñîáûòèÿ. Âîñïîëüçóåìñÿ îáðàùåííûìè ôîðìóëàìè Ëîðåíöà (6.7) è ïîäñòàâèì èõ â ôîðìóëó (8.2). Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ 1-ãî è 4-ãî ÷ëåíîâ, ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷àåì: S 2 = x 2 + y 2 + z 2 − c 2t 2 .

2

vx ′    t′ + 2  ′ ′ (x + vt ) + y ′2 + z ′ 2 − c 2  c  = S2 = v2 v2 1− 2 1− 2 c c = x ′2 + y ′2 + z ′ 2 − c 2 t ′2 . 2

(8.3)

Ìû äîêàçàëè, ÷òî èíòåðâàë â ëþáîé ÈÑÎ èìååò îäèí è òîò æå àíàëèòè÷åñêèé âèä, îäíî è òî æå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå, ò. å. ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé, èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé. Íà ñìåíó ïî îòäåëüíîñòè îòíîñèòåëüíûì âåëè÷èíàì — äëèíå è ïðîìåæóòêàì âðåìåíè — â ÑÒÎ ââîäèòñÿ íîâàÿ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà — èíòåðâàë. 61

Åñëè ââåñòè òàêèå îáîçíà÷åíèÿ x = x1 , y = x 2 , z = x 3 , t = x 4 , òî èíòåðâàë çàïèøåòñÿ ÷åðåç ýòè ÷åòûðå êîîðäèíàòû, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ïîëîæåíèå îäíîãî èç ñîáûòèé ïî îòíîøåíèþ ê äðóãîìó, íàõîäÿùåìóñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ýòà ÷åòâåðêà ÷èñåë xi , ãäå i = 1,2,3,4 õàðàêòåðèçóåò òî÷êó ⠓÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè”, áóäåì íàçûâàòü ýòó òî÷êó — ìèðîâîé òî÷êîé ñîáûòèÿ.  ââåäåííîì íàìè 4ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè âñå 4 êîîðäèíàòû îòíîñèòåëüíû (âñïîìíèì, ÷òî â êëàññè÷åñêîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû áûëè îòíîñèòåëüíû, à âðåìÿ áûëî àáñîëþòíûì), ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé âñå îíè ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà. Îäíàêî, ïîëíîãî ðàâåíñòâà ìåæäó ïðîñòðàíñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè è ÷åòâåðòîé âðåìåííîé êîîðäèíàòîé â ÑÒÎ âñå æå íåò: â ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïåðåìåùàòüñÿ â ëþáîì íàïðàâëåíèè, âðåìÿ æå òå÷åò îò ïðîøëîãî ê áóäóùåìó, âåðíóòüñÿ â ïðîøëîå ÑÒÎ íå ðàçðåøàåò. Àáñîëþòíîñòü èíòåðâàëà èìååò åùå è òî çíà÷åíèå, ÷òî óêàçûâàåò íàì íà íåîáõîäèìîñòü ïðè ðàññìîòðåíèè ëþáûõ ñîáûòèé îïðåäåëÿòü íå òîëüêî èõ ðàñïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå, íî è ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà ýòè ñîáûòèÿ ïðîèñõîäÿò (ñì. Ïðèë. 4). Èíòåðâàë ñîäåðæèò â ñåáå è åùå îäíî, ïðèíöèïèàëüíî íîâîå ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêîé ôèçèêîé, ñîäåðæàíèå. Äëÿ âûÿñíåíèÿ ýòîãî ñâîéñòâà èíòåðâàëà ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: (8.4)

x2 + y2 + z2 = R2; t = T.

Òîãäà èíòåðâàë çàïèøåòñÿ òàê: (8.5) S 2 = R 2 − c 2T 2 . Ðàññìîòðèì äâà ñîáûòèÿ, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî óñëîâèå:

(

)

S 2 = R 2 − c 2 T 2 > 0 èëè

(8.6) Ýòî íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî äàæå ñâåòîâîé ñèãíàë, êîòîðûé â ÑÒÎ ñ÷èòàåòñÿ ñàìûì áûñòðûì, ïðåäåëüíûì (â âàêóóìå) íå ñìîæåò ïðåîäîëåòü ðàññòîÿíèå R, ðàçäåëÿþùåå äâà ñîáûòèÿ (íàïîìíèì: èíòåðâàë ñâÿçûâàåò äâà ñîáûòèÿ!) çà âðåìÿ ÷åðåäîâàíèÿ ýòèõ ñîáûòèé Ò. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäó äàííûìè 62

R > cT .

äâóìÿ ñîáûòèÿìè íå ìîæåò áûòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííîé ñâÿçè, ïðè÷åì, íè â îäíîé ÈÑÎ, òàê êàê èíòåðâàë àáñîëþòåí è åñëè êâàäðàò åãî â îäíîé ÈÑÎ áîëüøå íóëÿ, òî è â ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ S2 > 0. Òàêîé èíòåðâàë ïîëó÷èë íàçâàíèå ïðîñòðàíñòâåííî ïîäîáíîãî èíòåðâàëà.  ýòîì íàçâàíèè ïîä÷åðêèâàåòñÿ îäíî èç ñâîéñòâ ïàðû ñîáûòèé: èõ ðàñïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå àáñîëþòíî. Åñëè â îäíîé ÈÑÎ 1-å ñîáûòèå áëèæå ê íà÷àëó êîîðäèíàò, ÷åì âòîðîå, òî è â ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ òàêîå ðàñïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå ñîõðàíÿåòñÿ (õîòÿ ñàìî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîáûòèÿìè — âåëè÷èíà îòíîñèòåëüíàÿ). Ðàññìîòðèì òåïåðü òàêóþ ïàðó ñîáûòèé, äëÿ êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå R
(

)

S 2 = R 2 − c 2 T 2 <0.

(8.7) è îíî âûïîëíÿåòñÿ â ëþáîé ÈÑÎ â ñèëó àáñîëþòíîñòè èíòåðâàëà. Ýòîò èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ âðåìåííî-ïîäîáíûì, â íàçâàíèè ïîä÷åðêèâàåòñÿ ñóùåñòâåííîå äëÿ äàííîé ïàðû ñîáûòèé: èõ àáñîëþòíàÿ âðåìåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òàê ñ ïîìîùüþ èíòåðâàëà âñå ñîáûòèÿ â ìèðå ïî îòíîøåíèþ ê äàííîìó ñîáûòèþ ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà íå ïåðåõîäÿùèõ äðóã â äðóãà êëàññà ñîáûòèé: 1) ñîáûòèÿ, êîòîðûå ñ äàííûì ñîáûòèåì ìîãóò èìåòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííóþ ñâÿçü; 2) ñîáûòèÿ, êîòîðûå ñ äàííûì íå èìåþò ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííîé ñâÿçè. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî âñå ñîáûòèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ ïî îòíîøåíèþ ê äàííîìó. ×òîáû ðåøèòü, êàê ýòè ñîáûòèÿ ñîîòíîñÿòñÿ ìåæäó ñîáîé, íåîáõîäèìî è äëÿ íèõ ñîñòàâèòü âûðàæåíèå èíòåðâàëà è îïðåäåëèòü åãî çíàê, à äàëåå ðàññóæäàòü òàê, êàê ýòî ñäåëàíî âûøå. Ìîã ëè áûòü ïîäîáíûé êðèòåðèé ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûõ ñâÿçåé â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå? Êàê óæå áûëî ïîêàçàíî âûøå (§ 6), êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà îñíîâàíà íà ïðèíöèïå äàëüíîäåéñòâèÿ, ò.å. ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ñèãíàëà, ðàñïðîñòðàíÿþùåãîñÿ íà ëþáîå ðàññòîÿíèå ìãíîâåííî. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìåæäó ëþáîé ïàðîé ñîáûòèé, ïî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì, ìîæåò 63

ñóùåñòâîâàòü âñåîáùàÿ ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü. Ãîâîðÿò, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà îñíîâàíà íà àáñîëþòíîì äåòåðìèíèçìå. Òàêèì îáðàçîì, ïðèçíàíèå ïðåäåëüíîñòè ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå, óòâåðæäåíèå ïðèíöèïà áëèçêîäåéñòâèÿ, ïîçâîëÿåò ôèçèêå ïðàâèëüíåå, ãëóáæå âûÿñíèòü âçàèìîñâÿçü è âçàèìîîáóñëîâëåííîñòü ñîáûòèé â ìèðå.  ýòîì îäíà èç çàñëóã ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Çàäà÷ó î õàðàêòåðå ñâÿçè ìåæäó ïàðîé ñîáûòèé ïîçâîëÿåò ãðàôè÷åñêè ðåøèòü ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ äèàãðàììà, ïîëó÷èâøàÿ íàçâàíèå “ñâåòîâîé êîíóñ”. Åãî îáðàçóþùèå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ R = cT , ïðè âûïîëíåíèè êîòîðîãî S 2 = 0 . Ñîîòâåòñòâóþùèé èíòåðâàë ïîëó÷èë íàçâàíèå ñâåòî-

ïîäîáíîãî èíòåðâàëà, (ðèñ. 11). Íà îñÿõ ïðîñòðàíñòâåííîI

cT A

III

B O

IV R

II Ðèñ. 11. âðåìåííîé äèàãðàììû îòêëàäûâàþòñÿ îäíîðîäíûå âåëè÷èíû R è ñÒ, ïîýòîìó áèññåêòðèñû óãëîâ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ |R | = |ñÒ|, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ ñâåòîâîãî ëó÷à, èñïóùåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè. Îäíî èç ñîáûòèé ïîìåùàåì â íà÷àëî êîîðäèíàò. Äðóãîå ïóñòü îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòàìè ò. À. Èç äèãðàììû âèäíî, ÷òî äëÿ ñîáûòèé Î è A R< cT, ò. å. S2 < 0. Ñëåäîâòåëüíî, ýòè ñîáûòèÿ ÿâëÿþòñÿ âðåìåííî-ïîäîáíûìè, èõ ÷åðåäîâàíèå âî âðåìåíè 64

àáñîëþòíî, ìåæäó íèìè ìîæåò áûòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü. Ðàññìàòðèâàÿ ñîáûòèÿ Î è Â, äëÿ êîòîðûõ R>ñÒ, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíûìè, íè â îäíîé ÈÑÎ ìåæäó íèìè íå ìîæåò áûòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííîé ñâÿçè, òàê êàê äàæå ñàìûé áûñòðûé ñâåòîâîé ñèãíàë, èñïóùåííûé èç òî÷êè Î, çà âðåìÿ Ò ÷åðåäîâàíèÿ ñîáûòèé íå ìîæåò ïðåîäîëåòü ðàññòîÿíèå, ðàçäåëÿþùåå ñîáûòèÿ, íå ìîæåò òåì ñàìûì ïîâëèÿòü íà ñîáûòèå Â. Âîçíèêàåò âîïðîñ: â êàêîé ïðè÷èííîé ñâÿçè íàõîäÿòñÿ ìåæäó ñîáîé ñîáûòèÿ À è Â? Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü íîâóþ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííóþ äèàãðàììó ñ íà÷àëîì â îäíîì èç ýòèõ ñîáûòèé, ñîõðàíÿÿ íàïðàâëåíèå îñåé, è ïðîâåñòè ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðåäûäóùèì. Ïðÿìûå |R| = |ñÒ| ÿâëÿþòñÿ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûìè òðàåêòîðèÿìè ñâåòîâûõ ëó÷åé. Ñ èõ ïîìîùüþ ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííàÿ ïëîñêîñòü ðàçäåëÿåòñÿ íà ÷åòûðå êâàäðàíòà, êàæäîé òî÷êå êîòîðûõ (ìèðîâîé òî÷êå) ñîîòâåòñòâóåò êàêîå-ëèáî ñîáûòèå. Âñå ñîáûòèÿ, ïðîèñøåäøèå â ìîìåíò âðåìåíè Ò>0 è êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ìèðîâûå òî÷êè â 1-ì êâàäðàíòå, ïðîèñõîäÿò â áóäóùåì ïî îòíîøåíèþ ê ñîáûòèþ Î, ïðè÷åì ýòî óòâåðæäåíèå èìååò àáñîëþòíûé õàðàêòåð. Òî÷íî òàêæå âñå ñîáûòèÿ, ìèðîâûå òî÷êè êîòîðûõ ðàñïîëàãàþòñÿ âî 2-ì êâàäðàíòå, ïðîèçîøëè â ïðîøëîì ïî îòíîøåíèþ ê ñîáûòèþ Î. 2-é êâàäðàíò îïðåäåëÿåò ñîáûòèÿ, àáñîëþòíî ïðîøëûå ïî îòíîøåíèþ ê ñîáûòèþ â ò. Î.  êâàäðàíòàõ 3-ì è 4-ì íàõîäÿòñÿ ìèðîâûå òî÷êè ñîáûòèé, êîòîðûå ïî îòíîøåíèþ ê ñîáûòèþ Î íàõîäÿòñÿ àáñîëþòíî ñëåâà èëè ñïðàâà, è ýòî óòâåðæäåíèå ñîõðàíÿåòñÿ â ëþáîé äðóãîé ÈÑÎ, òàê êàê äëÿ ýòèõ ñîáûòèé àáñîëþòíûì ÿâëÿåòñÿ ðàñïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå, âðåìåííîé æå ïîðÿäîê êàæäîãî èç ýòèõ ñîáûòèé ïî îòíîøåíèþ ê ñîáûòèþ Î — îòíîñèòåëåí.

65

§ 9. ×åòûðåõìåðíûé ìèð Ìèíêîâñêîãî ×èòàòåëþ, íàâåðíîå, èçâåñòíî, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà èìååò íåñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé: ìåõàíèêà â ôîðìå Íüþòîíà, Ãàìèëüòîíîâà ôîðìà êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, Ëàíãðàíæåâà ôîðìà è ò.ä. Êàæäîå èç íèõ öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îïðåäåëåííîãî êðóãà. Íî âñå îíè, â ïðèíöèïå, ðàâíîöåííû. Ïîñëå òàêîãî çàìå÷àíèÿ, ÷èòàòåëü íå áóäåò óäèâëåí òîìó, ÷òî â 1909 ã. íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ã. Ìèíêîâñêèé ïðèäàë ôîðìóëàì ÑÒÎ áîëåå ñèììåòðè÷íûé âèä, ââåäÿ âìåñòî îáû÷íûõ îáîçíà÷åíèé ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò õ, ó, z è âðåìåíè t, ñèììåòðè÷íûå ÷åòûðå êîîðäèíàòû: x1 , x 2 , x3 , x 4 . Îäíàêî â îòëè÷èå îò ðàíåå ââåäåííûõ â §8 ïîäîáíûõ êîîðäèíàò, ÷åòâåðòàÿ êîîðäèíàòà Ìèíêîâñêîãî õ4 ñâÿçàíà ñî âðåìåíåì èíà÷å, à èìåííî òàê: (9.1) õ4=ict. Ìíèìîñòü ýòîé êîîðäèíàòû íå èìååò íèêàêîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà è ââåäåíà äëÿ ñèììåòðèçàöèè ôîðìóë ÑÒÎ.  êîíå÷íûõ âûðàæåíèÿõ ìíèìîñòü óñòðàíÿåòñÿ, è ìû ñíîâà ïîëó÷àåì ðåàëüíûå ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû è âðåìÿ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî ðÿä ôèçèêîâ è ôèëîñîôîâ âîñïðèíèìàëè ìíèìîñòü ÷åòâåðòîé êîîðäèíàòû íå òàê îäíîçíà÷íî. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî èìåííî Ìèíêîâñêèé íàçâàë èçó÷àåìóþ íàìè òåîðèþ ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè, à ðÿä ó÷åíûõ äåëàëè àêöåíò íà ïîñëåäíåì ñëîâå â íàçâàíèè, òî ìîæíî ïîíÿòü, ïî÷åìó ïåðâîíà÷àëüíî íå âñå ó÷åíûå âîñïðèíèìàëè ÑÒÎ êàê ìàòåðèàëèñòè÷åñêîå ó÷åíèå. Ñîâîêóïíîñòü ÷åòûðåõ êîîðäèíàò xt,, õ2, x3, õ4 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñîáûòèå â 4-ìåðíîì ìèðå ïðîñòðàíñòâà — âðåìåíè. Èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà, èçìåíåíèå õîòÿ áû îäíîé èç 4-õ êîîðäèíàò (à õ4 ñâÿçàíà ñî âðåìåíåì è èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî) ïðèâîäèò ê ïåðåìåùåíèþ ìèðîâîé òî÷êè. Íåïðåðûâíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìèðîâûõ òî÷åê, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå îäíîãî è òîãî æå îáúåêòà, îáðàçóåò ìèðîâóþ òðàåêòîðèþ. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ Ìèíêîâñêîãî, çàïèøåì ôîðìóëû Ëîðåíöà è èíòåðâàë: 66

x1′ =

ãäå

x1 + iβx 4 1− β 2

; x 2′ = x 2 ; x 3′ = x 3 ; x 4′ =

x 4 − iβx1 1− β 2

,

(9.2)

v β= . c 4

S 2 = x12 + x 22 + x 32 + x 42 = ∑ xi2 . i =1

(9.3)

 òàêîé çàïèñè êâàäðàò èíòåðâàëà ìîæíî òîëêîâàòü êàê êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ â 4-ìåðíîì ìèðå (ïî àíàëîãèè ñ R 2 = x12 + x 22 + x 32 ). Òàê êàê îäíî èç 2-õ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ

èíòåðâàëîì, íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, òî êâàäðàò èíòåðâàëà îïðåäåëÿåò êâàäðàò 4-ìåðíîãî ðàäèóñ-âåêòîðà, ïðîâåäåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò â ìèðîâóþ òî÷êó, ñîîòâåòñòâóþùóþ âòîðîìó ñîáûòèþ. À ó÷èòûâàÿ èíâàðèàíòíîñòü êâàäðàòà èíòåðâàëà îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó äëÿ 4-ìåðíîãî ìèðà Ìèíêîâñêîãî: êâàäðàò ëþáîãî 4-õ-âåêòîðà â ìèðå Ìèíêîâñêîãî ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. Ìû íåîäíîêðàòíî áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ýòîé òåîðåìîé. Òåïåðü ïåðåä íàìè ñòîèò çàäà÷à çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â 4-ìåðíîé ôîðìå, ÷åðåç 4-ìåðíûå âåêòîðû, çàêîí ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò êîòîðûõ íàì èçâåñòåí. Ìû íà÷èíàåì “ñòðîèòü” äèíàìèêó ÑÒÎ. Íà÷íåì ñ ïîñòðîåíèÿ 4~õ-âåêòîðà ñêîðîñòè. ×òîáû ïîëó÷èòü èíâàðèàíòíóþ âåëè÷èíó, íóæíî, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñêîðîñòè, ïðèðàùåíèå 4-ìåðíîãî èíâàðèàíòíîãî ðàäèóñ-âåêòîðà r R( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ïîäåëèòü íà ïðîìåæóòîê èíâàðèàíòíîãî âðåìåíè,

â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäèëî äâèæåíèå âäîëü ìèðîâîé ëèíèè. Òàêèì âðåìåíåì ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííàÿ äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà. Èòàê, 4~õ-âåêòîð ñêîðîñòè ââîäèòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ ïðè ïîìîùè ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ (â äàëüíåéøåì çàïèñü ïðèðàùåíèé áóäåì âåñòè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå, äëÿ ñîáñòâåííîãî âðåìåíè ââåäåì îáîçíà÷åíèå τ (òàó) ): 67

r r dR ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) V = . dτ

(9.4)

Ñïðîåêòèðóåì ýòîò âåêòîð íà îñè ÷åòûðåõìåðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ââåäåííîãî íàìè ÷åòûðåõìåðíîãî ìèðà Ìèíêîâñêîãî: V1 =

dx1 dx dx dx , V2 = 2 , V3 = 3 , V 4 = 4 . dτ dτ dτ dτ

(9.5)

Ïåðåéäåì ê îòíîñèòåëüíîìó (áóäåì åãî íàçûâàòü “ëàáîðàòîðíûì”) âðåìåíè ñîãëàñíî ôîðìóëå (6.9), çàïèñàííîé â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå: dt =

dτ 1−

2

îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè è=0. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî V4 îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç x4=ict, ò. å. ñâÿçàíà ñî âðåìåíåì, êîòîðîå íåëüçÿ îñòàíîâèòü íè â îäíîé ÈÑÎ. Ýòà îñîáåííîñòü ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû 4-xìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè áóäåò ïðîÿâëÿòüñÿ è â äàëüíåéøèõ íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ. Óáåäèìñÿ, ÷òî êâàäðàò 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè V2 ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì ñóììó êâàäðàòîâ êîìïîíåíò 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè: V12 + V22 + V32 + V42 =

1−

,

u c2

ãäå u 2 = u x2 + u 2y + u z2 – êâàäðàò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà â ëàáîðàòîðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ. Òîãäà ïðîåêöèè 4~õ-âåêòîðà ñêîðîñòè çàïèøóòñÿ òàê:

V2 =

uy u2 1− 2 c

, V3 =

ux u2 1− 2 c uz u2 1− 2 c

,

ãäå (9.6)

.

Ïî àíàëîãèè îïðåäåëèì è ïðîåêöèþ V4: V4 =

dx 4 d (ict ) dt = = ic = dτ dτ dτ

ic 1−

u2 c2

.

(9.7)

×åòâåðòàÿ êîìïîíåíòà 4-õ-âåêòîðà ñêîðîñòè îáëàäàåò îñîáåííîñòüþ: â îòëè÷èå îò òðåõ äðóãèõ êîìïîíåíò, ýòà êîìïîíåíòà 68

u

2

c2

+

u 2y 1−

u

2

c2

+

u z2 1−

u

2

c2

c2

−

1−

u

2

= − c 2 = èíâ.

c2

(9.8)

Îñíîâûâàÿñü íà òåîðåìå î 4-x-ìåðíûõ âåêòîðàõ, ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå, ñîñòàâèì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè, êîòîðûå ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà. Ýòè ôîðìóëû ìû âîçüìåì â ôîðìå (9.2): V1′ =

dx dx dt V1 = 1 = 1 ⋅ = dτ dt dτ

u x2

β=

V1 + iβ V4 1− β v , c

2

; V2′ = V2 ; V3′ = V3 ; V4′ =

V4 − iβ V1 1− β 2

,

(9.9)

v— ñêîðîñòü äâèæåíèÿ øòðèõîâàííîé ÈÑÎ

îòíîñèòåëüíî íå øòðèõîâàííîé. ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïðîâåðèòü äåéñòâèå ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ è ïîëó÷èòü ôîðìóëû êëàññè÷åñêîé òåîðåìû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, à òàêæå ïîëó÷èòü îáðàùåííûå ôîðìóëû äëÿ ïåðåõîäà îò øòðèõîâàííûõ ïðîåêöèé 4-õ-âåêòîðà ñêîðîñòè ê íå øòðèõîâàííûì. § 10. ×åòûðåõìåðíûé âåêòîð èìïóëüñà. Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà Ðàññìàòðèâàÿ ïðîñòðàíñòâåííóþ ïðîòÿæåííîñòü âåùåñòâåííîãî òåëà èëè âðåìåííóþ äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà, ìû îá69

íàðóæèëè, ÷òî äëèíà òåëà â òîé ÈÑÎ, â êîòîðîé îíî ïîêîèòñÿ, ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé. Òî÷íî òàêæå è äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà â òîé ÈÑÎ, â êîòîðîé ïðîöåññ ïðîèñõîäèò â îäíîì è òîì æå ìåñòå, ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé. Ìû ìîæåì îáîáùèòü ýòî óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî âåùåñòâåííûõ òåë è ïðîöåññîâ íà èõ ëþáûå ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè: ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âåùåñòâåííîãî òåëà èëè ïðîöåññà, èçìåðåííûå â òîé ÈÑÎ, ãäå ýòî âåùåñòâåííîå òåëî èëè ïðîöåññ íåïîäâèæíû, ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíûìè, èíâàðèàíòíûìè âåëè÷èíàìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìàññà âåùåñòâåííîãî òåëà m è â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, è â ÑÒÎ ñ÷èòàåòñÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé â ëþáîé ÈÑÎ, åå çíà÷åíèå íå çàâèñèò îò òîãî, äâèæåòñÿ äàííîå âåùåñòâåííîå òåëî èëè ïîêîèòñÿ (ìû âåðíåìñÿ ê ýòîìó âîïðîñó â äàëüíåéøåì, êðèòèêóÿ ìèôè÷åñêîå ïîíÿòèå “ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà”, ñì. Ïðèëîæåíèå 6). Íî òîãäà, åñëè êîìïîíåíòû 4-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè óìíîæèì íà ýòó èíâàðèàíòíóþ âåëè÷èíó, òî ïîëó÷èì êîìïîíåíòû íîâîãî 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà, êîòîðûé ïî ðàçìåðíîñòè áóäåò èìåòü ñìûñë èìïóëüñà. Ìû ïîëó÷èì ðår ëÿòèâèñòñêèé 4-õ-ìåðíûé âåêòîð èìïóëüñà Ð , êîìïîíåíòû êîòîðîãî îïðåäåëåíû òàê: (10.1) P1 = mV1 , P2 = mV2 , P3 = mV3 , P4 = mV4 , èëè â áîëåå ïîëíîì âèäå: P1 =

mu x 1−

u2 c

2

, P2 =

mu y 1−

u2 c

, P3 =

2

mu z 1−

u2 c

2

, P4 =

m ⋅ ic 1−

u2 c2

.

(10.2)

Óáåäèìñÿ â èíâàðèàíòíîñòè êâàäðàòà 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà èìïóëüñà, äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì êâàäðàò åãî âåëè÷èíû: P = P12 + P22 + P32 + P42 = m 2 (V12 + V22 + V32 + V42 ) = = m 2 ( − c 2 ) = −m 2 c 2 = èíâ.

(10.3)

Êàê è êîìïîíåíòû 4 -õ -ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè, êîìïîíåíòû 4-õ-âåêòîðà èìïóëüñà ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà ( êàê êîìïîíåíòû ëþáîãî 4-õ-âåêòîðà): 70

P1′ =

P1 + iβ P4 1− β 2

, P2′ = P2 , P3′ = P3 , P4′ =

P4 − iβ P1 1− β 2

.

(10.4)

Âûøå ìû âèäåëè, ÷òî ÷åòâåðòàÿ êîìïîíåíòà 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè ïî ñâîèì ñâîéñòâàì ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïåðâûõ òðåõ. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë áîëåå äåòàëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ñîäåðæàíèå ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà èìïóëüñà. Ïðîèçâåäåì íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ äëÿ Ð 4 . Óìíîæèì è ðàçäåëèì ïðàâóþ ñòîðîíó âûðàæåíèÿ äëÿ Ð4 íà èíâàðèàíò ñ- ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå, îò÷åãî íè äðîáü, íè ñàìà âåëè÷èíà Ð4 , íå èçìåíèòüñÿ: imc 2

P4 =

c 1−

u2

.

c2

Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: mc 2 1−

u2

= E.

c2

Óñòàíîâèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîé âåëè÷èíû Å, èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàçìåðíîñòè, êîòîðûì ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ â ôèçèêå. Ýòîò ìåòîä ïîçâîëÿåò ñ ìåíüøèìè çàòðàòàìè ñèë è âðåìåíè ïðîâåðèòü ïðàâèëüíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è, îöåíèòü îæèäàåìûé ðåçóëüòàò, óñòàíîâèòü ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó ôèçè÷åñêèìè âåëè÷èíàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè äàííûé ïðîöåññ è ò.ä. Îäíî èç ïðàâèë ýòîãî ìåòîäà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðèðàâíèâàòü ìîæíî òîëüêî îäíîðîäíûå âåëè÷èíû, ò. å. èìåþùèå îäèíàêîâîå íàèìåíîâàíèå (ðàçìåðíîñòü). Ïîýòîìó ìû ìîæåì óñòàíîâèòü ðîä âåëè÷èíû Å, îïðåäåëèâ ðàçìåðíîñòü ðàâíîé åé âåëè÷èíû

71

mc 2 1−

u

2

c2

: [E ] =

[mc ] 2

 u2   1−  c 2  

[ ]

= [m ]⋅ c 2 =

kã ⋅ ì 2 ñ2

= Äæ.

mc 2 1−

u2 c2

ïîëó÷èëî íàçâàíèå ôîðìóëû Ýéíøòåéíà è èìååò âàæíîå ôèçè÷åñêîå è ôèëîñîôñêîå ñîäåðæàíèå. Ïðîàíàëèçèðóåì ýòó ôîðìóëó. Âî-ïåðâûõ, ôîðìóëà Ýéíøòåéíà îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ êàê äâèæóùåãîñÿ ( u ≠ 0 ), òàê è ïîêîÿùåãîñÿ ( u = 0 ) òåëà â äàííîé ÈÑÎ. Ïîýòîìó ýíåðãèþ Å íàçûâàþò ïîëíîé ýíåðãèåé òåëà, à ýíåðãèþ ïðè u = 0 Å0 = m ñ2 — ýíåðãèåé ïîêîÿ ýòîãî òåëà. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî â âûðàæåíèå äëÿ Å (èëè Å0) âõîäèò èíâàðèàíòíàÿ ìàññà òåëà — ìàññà m. Ïîýòîìó ôîðìóëà E=

mc 1−

2

u2 c2

      1 2 2 − mc = mc  − 1.   u2  1− 2  c  

Ïðîäîëæàÿ àíàëèç ôîðìóëû Ýéíøòåéíà, îáíàðóæèâàåì, âîâòîðûõ, ÷òî âïåðâûå â ôèçèêå óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî íå òîëüêî áëàãîäàðÿ äâèæåíèþ è íå òîëüêî áëàãîäàðÿ âçàèìîäåéñòâèþ ñ äðóãèìè òåëàìè (÷àñòèöàìè) äàííîå òåëî (÷àñòèöà) îáëàäàåò ýíåðãèåé. Ó êàæäîãî òåëà, èìåííî ïîòîìó, ÷òî îíî ñóùåñòâóåò êàê òàêîâîå, åñòü ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ — ýíåðãèÿ ïîêîÿ Å0. Ýòîò ðåçóëüòàò ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè íàøåë ïðàêòè÷åñêîå ïîäòâåðæäåíèå è ïðèìåíåíèå â ÿäåðíîé ýíåðãåòèêå è â ôèçèêå âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Àòîìíûå ýëåêòðîñòàíöèè, óñêîðèòåëè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, àòîìíàÿ è âîäîðîäíàÿ áîìáû — âñå ýòî ðàáîòàåò, äåéñòâóåò íà îñíîâå ðàñ÷åòîâ, îñíîâàííûõ íà ôîðìóëå Ýéíøòåéíà äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè E=

mc 2 1−

u2

,

c2

(10.5)

u2

èëè åå ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, äëÿ ýíåðãèè ïîêîÿ

c2

(10.6) Êñòàòè, ñóùåñòâîâàíèå ýíåðãèè ïîêîÿ Å0—ýòî åùå îäèí äîâîä â óòâåðæäåíèå, ÷òî ÑÒÎ ñïðàâåäëèâà ïðè ëþáûõ ñêîðîñòÿõ (íå ïðåâûøàþùèõ ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå), â òîì ÷èñëå è ïðè u=0. Â-òðåòüèõ, ôîðìóëà Ýéíøòåéíà (10.6) óñòàíàâëèâàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ âàæíåéøèìè ôèçè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè âåùåñòâåííûõ îáúåêòîâ, ìåæäó èõ ìàññîé m è ýíåðãèåé Å 0 . Ýòà ñâÿçü ôóíäàìåíòàëüíà ïîòîìó, ÷òî íå ñóùåñòâóåò âåùåñòâåííîãî òåëà, ó êîòîðîãî íå áûëî áû è ìàññû, è ýíåðãèè: çíàÿ îäíó èç ýòèõ âåëè÷èí, ìîæíî ðàññ÷èòàòü äðóãóþ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íè î êàêîì ïðåâðàùåíèè ìàññû â ýíåðãèþ è ýíåðãèè â ìàññó ãîâîðèòü áåññìûñëåííî. Ïîýòîìó íåóäà÷íî

îïðåäåëÿåò ïîëíóþ ýíåðãèþ òîëüêî òàêîãî òåëà, êîòîðîå èìååò ìàññó. Êàê èçâåñòíî, â ôèçèêå ðàññìàòðèâàþòñÿ îáúåêòû, íàïðèìåð ôîòîíû, êîòîðûå íå îáëàäàþò ìàññîé. Äëÿ òàêèõ ÷àñòèö ìû ïîëó÷èì äðóãîå ïðåäñòàâëåíèå ôîðìóëû Ýéíøòåéíà. Åñëè èç ïîëíîé ýíåðãèè òåëà âû÷åñòü ýíåðãèþ ïîêîÿ, òî ìû ïîëó÷èì òó ñîñòàâëÿþùóþ ïîëíîé ýíåðãèè òåëà, êîòîðóþ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå íàçûâàþò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé: * Òàêóþ æå ðàçìåðíîñòü èìåþò “ìîìåíò ñèëû” è “ðàáîòà”. Íî ïî óñëîâèþ ðàññìàòðèâàåìîãî âîïðîñà âåëè÷èíà Å ìîæåò áûòü òîëüêî ýíåðãèåé. Íèæå ýòî óòî÷íÿåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà Å, à òàêæå ñîäåðæàíèÿ ÷åòâåðòîé ïðîåêöèè 4-ìåðíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (§§ 11, 12, 14).

72

mc 1−

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âåëè÷èíà Å ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé òåëà *. Âûðàæåíèå E=

E êèí = E − E 0 =

2

E 0 = mc 2 .

73

âñòðå÷àþùååñÿ â ëèòåðàòóðå äðóãîå íàçâàíèå ôîðìóëû Ýéíøòåéíà — ôîðìóëà ýêâèâàëåíòíîñòè ìàññû è ýíåðãèè.  ýòîé ôîðìóëå èäåò ðå÷ü î äâóõ ñàìîñòîÿòåëüíûõ õàðàêòåðèñòèêàõ òåë, ìåæäó êîòîðûìè èìååòñÿ îïðåäåëåííîå ñîîòíîøåíèå. Âìåñòå ñ òåì, â ÿäåðíîé ôèçèêå èëè â ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ÷àñòî áûâàåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ (íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Ýéíøòåéíà) âíå ñèñòåìíîé åäèíèöåé èçìåðåíèÿ ìàññû òåëà, èñïîëüçóÿ åäèíèöó èçìåðåíèÿ ýíåðãèè. Íàïðèìåð, ìàññó èçìåðÿþò â ýëåêòðîíâîëüòàõ (ýÂ). Ïî ñóòè, ýòî äàíà ýíåðãèÿ ÷àñòèöû, à ÷òîáû îïðåäåëèòü åå ìàññó, íåîáõîäèìî äàííóþ âåëè÷èíó ðàçäåëèòü íà ñ2 (ïðåäâàðèòåëüíî ïåðåéäÿ îò ý ê äæîóëÿì). Áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî 4-ÿ êîìïîíåíòà 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà èìïóëüñà ñâÿçàíà ñ ýíåðãèåé òåëà, 4-x-ìåðíûé âåêòîð èìïóëüñà r Ð îáû÷íî íàçûâàþò 4-x-ìåðíûì âåêòîðîì ýíåðãèè-èìïóëüñà. Èíâàðèàíòíîñòü ýòîãî âåêòîðà ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî â ÑÒÎ ïðîÿâëÿåò ñâîå äåéñòâèå åäèíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ — çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè-èìïóëüñà, êîòîðûé çàìåíÿåò äâà ñàìîñòîÿòåëüíûõ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè: çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà (10.5) èëè (10.6) ñïðàâåäëèâà òîëüêî äëÿ âåùåñòâåííûõ òåë, èìåþùèõ ìàññó m. Íî â ïðèðîäå ñóùåñòâóþò èñòèííî ðåëÿòèâèñòñêèå ÷àñòèöû — ôîòîíû (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî åñòü åùå ãðàâèòîíû — êâàíòû ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, íî îíè ïîêà íå îáíàðóæåíû ýêñïåðèìåíòàëüíî).  ëþáîé ÈÑÎ ôîòîíû â âàêóóìå äâèæóòñÿ ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ Ñ (2-é ïîñòóëàò ÑÒÎ). Ôîòîí ïî ñâîåé ïðèðîäå íå ìîæåò ïîêîèòüñÿ, èìåííî ïîýòîìó ñ íèì íåëüçÿ ñâÿçàòü íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò, íå ñóùåñòâóåò ÈÑÎ “Ôîòîí”. Ó ôîòîíà íåò ìàññû, íî èçâåñòíî, ÷òî îí îáëàäàåò ýíåðãèåé E=hv, ãäå h — ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, v — ÷àñòîòà ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé. Åñòü ó ôîòîíà è êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ p=

hν . c

Âñå ýòî óñòàíîâëåíî îïûòíûì ïóòåì, ïðè íàáëþäåíèè òàêèõ ÿâëåíèé, êàê ôîòîýôôåêò, ýôôåêò Êîìïòîíà, ïðè âçàè74

ìîäåéñòâèè ôîòîíà ñ ýëåìåíòàðíûìè ÷àñòèöàìè è ò.ä. Ïîýòîìó ïîëó÷èì åùå îäíó ôîðìóëó Ýéíøòåéíà, êîòîðàÿ áû ó÷èòûâàëà ñóùåñòâîâàíèå ÷àñòèö ñ íóëåâîé ìàññîé. Äëÿ ýòîãî ñíîâà ðàññìîòðèì èíâàðèàíòíîå âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà 4-õ-ìåðíîãî r

âåêòîðà Ð (ôîðìóëà 10.3): P12 + P22 + P32 + P42 = − m 2 c 2 .

(10.7)

Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: P12 + P22 + P32 = p 2 ,

à ÷åòâåðòóþ êîìïîíåíòó Ð4 âûðàçèì ÷åðåç ýíåðãèþ Ð4=

i Å. Òîãäà c

ôîðìóëà (10.7) ïðèìåò âèä p2 −

E2 c2

= −m 2 c 2 ,

(10.8)

èëè E=

p 2c2 + m2c4 .

(10.9)

Ìû ïîëó÷èëè òàêóþ ôîðìóëó âçàèìîñâÿçè ìàññû è ýíåðãèè, êîòîðàÿ ñïðàâåäëèâà è äëÿ ÷àñòèö, ìàññà êîòîðûõ ðàâíà íóëþ. Åñëè m=0, òî èç ôîðìóëû (10.9) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ òàêèõ ÷àñòèö ñóùåñòâóåò ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ýíåðãèåé è èìïóëüñîì: Å=ðñ, (10.10) îòêóäà p=

E hν = . c c

Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà (10.9) ñûãðàëà âàæíóþ ðîëü â ðàçâèòèè ôèçèêè. Áëàãîäàðÿ åé àíãëèéñêèì ôèçèêîì Äèðàêîì òåîðåòè÷åñêè áûëè ïðåäñêàçàíû àíòè÷àñòèöû (1928 ã.). Åãî ðàññóæäåíèÿ áûëè íåîáû÷íû, äàæå ïàðàäîêñàëüíû è áûëè ïðèçíàíû äîñòîâåðíûìè òîëüêî â 1932 ãîäó, êîãäà áûëà îòêðûòà ïåðâàÿ ýëåìåíòàðíàÿ àíòè÷àñòèöà — àíòèýëåêòðîí, íàçâàííàÿ ïîçèòðîíîì.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ó âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö 75

îáíàðóæåíû àíòè÷àñòèöû. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (10.9) è âñëåä çà Äèðàêîì “ïðåäñêàæåì” ñóùåñòâîâàíèå àíòè÷àñòèö. Îáû÷íî â ôîðìóëå (10.9) ïåðåä êîðíåì áðàëñÿ ëèøü îäèí çíàê ( + ). Íî èç ðàñ÷åòîâ Äèðàêà ñëåäîâàëî, ÷òî ó ýëåêòðîíà âîçìîæíû ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé E = − p 2c2 + m2c4 ,

ïðè÷åì íàèìåíüøàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà mñ 2 , íàèáîëüøàÿ îòðèöàòåëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà (—mñ2 )(ýòî ïðè ð = 0).  èíòåðâàëå çíà÷åíèé ýíåðãèè îò +mc 2 äî (—mñ 2) íèêàêèõ ðàçðåøåííûõ ñîñòîÿíèé íå ñóùåñòâóåò.  ñèëó ýíåðãåòè÷åñêîé âûãîäíîñòè âñå ñîñòîÿíèÿ ñ îòðèöàòåëüíîé ýíåðãèåé çàíÿòû, òàêèå ýëåêòðîíû îáðàçóþò “ôîí”, êîòîðûé îäíàêî ñåáÿ íèêàê íå ïðîÿâëÿåò (ýòîò “ôîí” ïîëó÷èë îáðàçíîå íàçâàíèå “ìîðå Äèðàêà”). Åñëè æå ýëåêòðîíó èç “ìîðÿ Äèðàêà” áóäåò ïåðåäàíà ýíåðãèÿ E ≥ 2mc 2 , òî òàêîé ýëåêòðîí ïåðåéäåò â ñîñòîÿíèå ñ ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèåé è ìîæåò áûòü îáíàðóæåí. Íî è ñîñòîÿíèå, îñâîáîæäåííîå ⠓ìîðå Äèðàêà”, ïðîÿâèò ñåáÿ êàê ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà, ÷òîáû ñêîìïåíñèðîâàòü îòðèöàòåëüíûé çàðÿä ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà: âåäü “ìîðå Äèðàêà” íèêàêèõ ýëåêòðè÷åñêèõ ñâîéñòâ íå ïðîÿâëÿåò, îíî âåäåò ñåáÿ êàê íåéòðàëüíàÿ ñèñòåìà. Âîçâðàò ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ⠓ìîðå Äèðàêà” ïðèâîäèò ê “àííèãèëÿöèè” ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû ñ ðîæäåíèåì äâóõ êâàíòîâ ñîãëàñíî ðåàêöèè: (10.11) e−1 + e +1 ↔ 2γ . ×èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïðîâåðèòü íà ýòîé ðåàêöèè âñå èçâåñòíûå åìó çàêîíû ñîõðàíåíèÿ è îáîñíîâàòü ðîæäåíèå íå ìåíåå äâóõ (è áîëåå) ôîòîíîâ*. Çàâåðøèì ðàçãîâîð î 4-õ-ìåðíîì âåêòîðå ýíåðãèè — èìïóëüñà, íàïèñàâ ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ åãî êîìïîíåíò ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé: * ñîâðåìåííîé ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íà ñìåíó “ìîðþ Äèðàêà” ïðèøëà áîëåå ñëîæíàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà — “ôèçè÷åñêèé âàêóóì” (ñì. êíèãó Ð. Ïîäîëüíîãî “Íå÷òî ïî èìåíè Íè÷òî”,èçä.2, ïðåäíàçíà÷åííîé äëÿ øêîëüíèêîâ).

76

P1′ =

P1 + iβP4 1− β 2

, P2′ = P2 , P3′ = P3 , P4′ =

P4 − iβP1 1− β 2

.

(10.12)

Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû, âîñïîëüçóåìñÿ ïðè ýòîì ââåäåííûì âûøå îáîçíà÷åíèåì Ð4 =

i i Å è ñîîòâåòñòâåííî P4′ = E ′ : c c

i v E − i P1 i c c E′ = c 1− β 2

èëè

E − vP1

E′ =

1− β 2

.

(10.13)

Èç ôîðìóëû (10.13) ñëåäóåò, ÷òî ïîëíàÿ ýíåðãèÿ òåëà ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé. Ýòîò ðåçóëüòàò íå äîëæåí âûçûâàòü íåäîóìåíèÿ, òàê êàê â ïîëíóþ ýíåðãèþ Å âõîäèò íå òîëüêî ýíåðãèÿ ïîêîÿ Å0, êîòîðàÿ èíâàðèàíòíà, íî è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðàÿ, êàê è â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé.  ëèòåðàòóðå, îñîáåííî “íàó÷íî-ïîïóëÿðíîé”, ïåðâóþ ôîðìóëó Ýéíøòåéíà (10.5) E=

mc 2 1−

u2 c2

ìîæíî óâèäåòü â èíîé çàïèñè: E = m ðåë ñ 2 ,

ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå m ðåë =

m 1−

u2

.

c2

íàçûâàåìîå “ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññîé”. Îäíàêî ýòèì ìàòåìàòè÷åñêèì ïðèåìîì ïûòàþòñÿ èñêàçèòü ñîäåðæàíèå ÑÒÎ, óòâåðæäàÿ, ÷òî ìàññà áóäòî áû çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà. Ìàññà â ÑÒÎ – èíâàðèàíò, è ñîâåðøåííî íåò íåîáõîäèìîñòè 77

ââîäèòü íîâóþ âåëè÷èíó, ïðèïèñûâàÿ åé ôèçè÷åñêèé ñìûñë (ñì. Ïðèëîæåíèå 6).

i c

â ÈÑÎ L: k1 = k cosϕ ; k 2 = k sin ϕ ; k 3 = 0; k 4 = ω ;

§ 11. Ýôôåêò Äîïëåðà Ýòîò ýôôåêò íàáëþäàåòñÿ êàê â îïòèêå, òàê è â àêóñòèêå è çàêëþ÷àåòñÿ â èçìåíåíèè äëèíû (÷àñòîòû) âîëíû, íàáëþäàåìîì ïðè äâèæåíèè èñòî÷íèêà âîëí îòíîñèòåëüíî èõ ïðèåìíèêà. Äëÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ çâóêîâûõ âîëí îáÿçàòåëüíî òðåáóåòñÿ âåùåñòâåííàÿ ñðåäà. Ïîêà â îïòèêå èñïîëüçîâàëè ìîäåëü ýôèðà êàê ñðåäû, â êîòîðîé âîçíèêàþò è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ, òåîðèÿ ýôôåêòà Äîïëåðà â îïòèêå ñòðîèëàñü ïî àíàëîãèè ñ òåîðèåé ýòîãî ýôôåêòà â àêóñòèêå. Îäíàêî, îòêàç â ÑÒÎ îò ãèïîòåòè÷åñêîãî ýôèðà êàê íîñèòåëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé, ïîòðåáîâàë ïîñòðîåíèÿ òåîðèè ýôôåêòà Äîïëåðà â îïòèêå íà îñíîâå ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà. Ìû ïîñòðîèì ýòó òåîðèþ, èñõîäÿ èç ñâîéñòâ 4-ìåðíîãî âåêòîðà ýíåðãèè-èìïóëüñà ïðèìåíèòåëüíî ê ôîòîíó. Íàì ïîòðåáóåòñÿ íåñêîëüêî ïðåîáðàçîâàòü âûðàæåíèå äëÿ èìïóëüñà r ôîòîíà, ââåäÿ íîâûé 4-õ-ìåðíûé âîëíîâîé âåêòîð k . Âûðàçèì ìîäóëü âåêòîðà èìïóëüñà è ýíåðãèè ôîòîíà òàê: hν hν 2π h 2πν 2π = ⋅ = ⋅ = h⋅ = h ⋅ k; c c 2π 2π c λ h 2π E = hν = hν ⋅ = ⋅ 2πν = h ⋅ ω , 2π 2π p=

(11.1)

ãäå h (àø ñ ÷åðòîé) òîæå íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííîé Ïëàíêà.  òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå âîëíîâîé âåêòîð îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ôðîíòà âîëíû. Îïðåäåëèì êîìïîíåíòû 4-õ-ìåðíîãî âîëíîâîãî âåêòîðà òàê: p1 = hk1 ;

p 2 = hk 2 ;

p 3 = hk 3 ;

p4 =

i i E = h ω = hk 4 . c c

(11.2)

Óïðîñòèì çàäà÷ó. Ïóñòü ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïëîñêîñòè õ’Î’ó’ ÈÑÎ L“, èìåÿ ÷àñòîòó ω ′ = ω 0 , èñòî÷íèê âîëí äâèæåòñÿ âìåñòå ñ ÈÑÎ L”, ò.å. ω 0 åñòü ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà êîëåáàíèé. Åñëè âîëíîâîé âåêòîð ñîñòàâëÿåò íåêîòîðûé óãîë ñ îñÿìè 78

êîîðäèíàò, òî äëÿ ïðîåêöèé âîëíîâîãî âåêòîðà ìîæíî íàïèñàòü ñëåäóþùèå î÷åâèäíûå ðàâåíñòâà:

i c

â ÈÑÎ L’: k1′ = k ′ cos ϕ ′; k 2′ = k ′ sin ϕ ′; k 3′ = 0; k 4′ = ω ′, ãäå ϕ ,ϕ ′ — óãëû, êîòîðûå âîëíîâîé âåêòîð ñîñòàâëÿåò ñ îñÿìè êîîðäèíàò Îõ è Βõ’. Ñîñòàâèì ÷åòâåðòóþ ôîðìóëó Ëîðåíöà äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû 4-õ-ìåðíîãî âîëíîâîãî âåêòîðà: v k 4 − i k1 c , k 4′ = v2 1− 2 c

(11.3)

èëè, ó÷èòûâàÿ ïðåäûäóùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò 4 -õ-ìåðíîãî âîëíîâîãî âåêòîðà, ïîëó÷àåì: v ω ω i − i ⋅ cos ϕ ω′ c c i . = c c v2 1− 2 c

i c

Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà

è ðàçðåøåíèÿ îòíîñèòåëüíî

÷àñòîòû ω , ôîðìóëà ïðèíèìàåò âèä: 1−

ω = ω′

1−

v2 c2

v cos ϕ c

1− = ω0

1−

v2 c2

v cos ϕ c

.

Íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ ïðè

(11.4) v << 1 ôîðìóëà c

(11.4) ïåðåõîäèò â ôîðìóëó êëàññè÷åñêîãî ýôôåêòà Äîïëåðà 79

ω=

ω0   v ≈ ω 0 1 + cosϕ , v c   1 − cosϕ c

2) Åñëè ϕ = π , òî (11.5)

ãäå èñïîëüçîâàíà èçâåñòíàÿ íàì ôîðìóëà ïðèáëèæåííîãî äåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè êëàññè÷åñêîãî ýôôåêòà Äîïëåðà. 1) Ïóñòü ϕ = 0, ò.å. èñòî÷íèê âîëí ïðèáëèæàåòñÿ ê íàáëþäàòåëþ, âîëíîâîé âåêòîð ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñè Îõ.  ýòîì ñëó÷àå  v ω = ω 0 1 +  ñ 

ò.å. ÷àñòîòà âîñïðèíèìàåìîãî ñèãíàëà âîçðàñòàåò. 2) Ïóñòü ϕ = π , ò. å. èñòî÷íèê âîëí óäàëÿåòñÿ îò íàáëþäàòåëÿ.  ýòîì ñëó÷àå  v ω = ω 0 1 − ,  c

ò.å. íåïîäâèæíûé íàáëþäàòåëü áóäåò âîñïðèíèìàòü ñèãíàë ñ ìåíüøåé ÷àñòîòîé. 3) Åñëè äâèæåíèå èñòî÷íèêà ïðîèñõîäèò òàê, ÷òî ñèãíàë èäåò ê íàáëþäàòåëþ ïîä óãëîì ϕ =

π , òî ω = ω 0 , ò.å. ÷àñòîòà 2

âîñïðèíèìàåìîãî ñèãíàëà íå èçìåíÿåòñÿ. Ïðîâåäåì òåïåðü àíàëîãè÷íûé àíàëèç ñ ôîðìóëîé (11.4), îñíîâàííîé íà ïîëîæåíèÿõ ÑÒÎ. 1) Ïóñòü ϕ = 0, òîãäà

ω = ω0

v2

v 1+ c2 c. = ω0 v v 1− 1− c c 1−

(11.6)

Êàê è â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå, ÷àñòîòà èçìåíÿåòñÿ, íî çàêîí èçìåíåíèÿ äðóãîé.

80

ω = ω0

v c, v 1+ c 1−

(11.7)

ò.å. ñíîâà ïîëó÷àåì èíîé çàêîí èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû. Îäíàêî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ, ìû ñíîâà ìîæåì ïîëó÷èòü êëàññè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Îïûò äàåò ëó÷øåå ñîâïàäåíèå ñ ôîðìóëàìè (11.6) è (11.7). 3) Íî îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò àíàëèç ñëó÷àÿ, êîãäà ϕ=

π . Êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïðèâîäèëà ê íåèçìåííîñòè ÷àñòîòû. 2

 ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ ïðèíöèïèàëüíî äðóãîé ðåçóëüòàò ω = ω0 1 −

v2 c2

.

(11.8)

Ýòîò ýôôåêò ïîëó÷èë íàçâàíèå ïîïåðå÷íîãî ýôôåêòà Äîïëåðà è â 1938 ãîäó áûë ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåí ïðè íàáëþäåíèè èçëó÷åíèÿ êàíàëîâûõ ëó÷åé (ïîòîêà àòîìîâ âîäîðîäà), ïðè íàáëþäåíèè â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì èõ äâèæåíèþ. Îïûò è òåîðèÿ ñîâïàëè ìåæäó ñîáîé, ÷òî ÿâèëîñü. åùå îäíèì âàæíûì ïîäòâåðæäåíèåì ïîëîæåíèé ÑÒÎ. Òàê êàê ìåæäó ÷àñòîòîé è ïåðèîäîì èìååòñÿ íåïîñðåäñòâåííàÿ ñâÿçü: ν =

1 , òî ýôôåêò Äîïëåðà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýôôåêò, T

ïîäòâåðæäàþùèé îòíîñèòåëüíîñòü âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ. Ýôôåêò Äîïëåðà íàøåë ïðèëîæåíèå â àñòðîôèçè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ. Íàáëþäåíèå èçëó÷åíèÿ äàëåêèõ ãàëàêòèê ïîêàçàëî, ÷òî äëèíû âîëí èõ ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ ñìåùåíû â êðàñíóþ ÷àñòü, ÿâëåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå “êðàñíîãî ñìåùåíèÿ” è îáúÿñíÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêèì ýôôåêòîì Äîïëåðà: äàëåêèå çâåçäû óäàëÿþòñÿ îò íàñ. Ýòî îòêðûòèå ëåãëî â îñíîâó ãèïîòåçû “ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé”.  àñòðîíîìèè ýôôåêò Äîïëåðà 81

ó÷èòûâàåòñÿ ïðè îïðåäåëåíèè ëó÷åâûõ ñêîðîñòåé äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë, èñïîëüçóåòñÿ îí è â ñïåêòðîñêîïèè, â ðàäèîëîêàöèè è ò.ä. § 12. Ìàññà ÷àñòèö èäåàëüíîãî è ðåàëüíîãî ãàçîâ. Äåôåêò ìàññû  êëàññè÷åñêîé ôèçèêå óñòàíîâëåí çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû, êîòîðûé äëÿ íàøåé çàäà÷è ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: ìàññà êîíå÷íîãî ïðîäóêòà ðåàêöèè ðàâíà ñóììå ìàññ èñõîäíûõ âåùåñòâ. Êàçàëîñü áû, ÷òî åñëè èñïîëüçîâàòü èíâàðèàíòíóþ âåëè÷èíó — ìàññó, òî ôîðìóëèðîâêà çàêîíà íå äîëæíà èçìåíèòüñÿ è â ÑÒÎ. Îäíàêî, îêàçàëîñü, ÷òî â ÑÒÎ íåò çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû! Óáåäèìñÿ â ýòîì. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ñèñòåìó ÷àñòèö, êîòîðûå íå âçàèìîäåéñòâóþò íà ðàññòîÿíèè. Òàêóþ ñèñòåìó ÷àñòèö íàçûâàþò èäåàëüíûì ãàçîì. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Ýéíøòåéíà (10.9) E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 . Ïðåäñòàâèì åå â ñëåäóþùåì âèäå: m c = 2 2

E2 c2

−p . 2

Îáîáùèì åå íà ñèñòåìó ÷àñòèö èäåàëüíîãî ãàçà, ñîäåðæàùåãî N ÷àñòèö: 2

   ∑ Ei  2    r  M 2 c 2 =  i 2  −  ∑ pi  ,   c  i 

(12.1)

ãäå ñóììèðîâàíèå âåäåòñÿ ïî âñåì ÷àñòèöàì ãàçà, Ì — ìàññà âñåãî ãàçà, ó÷òåíî òàêæå, ÷òî èìïóëüñ, â îòëè÷èå îò ýíåðãèè, âåêòîðíàÿ âêëè÷èíà. Âûáåðåì òàêóþ ÈÑÎ, ÷òîáû ñóììàðíûé èìïóëüñ âñåõ ÷àñòèö ðàâíÿëñÿ íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå ñîñóä, ñîäåðæàùèé ãàç, áóäåò íåïîäâèæíûì. Ôîðìóëà (12.1) óïðîùàåòñÿ:

M =

∑ Ei i

c2

.

(12.2)

Ïîëíóþ ýíåðãèþ ÷àñòèöû Å i èäåàëüíîãî ãàçà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ýíåðãèè ïîêîÿ è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äâèæåíèÿ â äàííîé ÈÑÎ: E i = mi c 2 + E iêèí .

(12.3) Äëÿ âñåãî èäåàëüíîãî ãàçà â ñèëó àääèòèâíîñòè ýíåðãèè ïîëó÷àåì:

∑ Ei = ∑ mi c 2 + ∑ Eiêèí . i

i

i

Ïîäñòàâèì (12.4) â (12.2): M = ∑ mi +

∑ Eiêèí i

i

.

c2

(12.5)

Ìû ñíîâà ïîëó÷èëè ïàðàäîêñàëüíûé ðåçóëüòàò (êîíå÷íî, ñ ò.ç. “çäðàâîãî ñìûñëà”, à íå íàóêè): â ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêå äàæå äëÿ ÷àñòèö èäåàëüíîãî ãàçà íå âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû: M ≠ ∑ mi . i

Óñëîæíèì çàäà÷ó è ðàññìîòðèì ìàññó ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé íà ðàññòîÿíèè.  ôèçèêå òàêîé ãàç íàçûâàåòñÿ ðåàëüíûì ãàçîì. Áóäåì ïî-ïðåæíåìó ñ÷èòàòü, ÷òî ñîñóä ñ ãàçîì íåïîäâèæåí â äàííîé ÈÑÎ. Ïîýòîìó ôîðìóëà Ýéíøòåéíà äëÿ âñåãî ðåàëüíîãî ãàçà çàïèøåòñÿ â âèäå (12.2). Íî òåïåðü ïîä Ei íóæíî ïîíèìàòü ñóììó, ñîäåðæàùóþ íå äâà, à òðè ñëàãàåìûõ: êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ÷àñòèöû, ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ åå âçàèìîäåéñòâèÿ ñî âñåìè ÷àñòèöàìè ãàçà è ýíåðãèþ ïîêîÿ: E i = mi c 2 + E iêèí + E iïîò .

(12.6) Òîãäà ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö ãàçà ïðåäñòàâèòñÿ ðàâåíñòâîì

∑ Ei = ∑ mi c 2 + ∑ Eiêèí + U , i

82

(12.4)

i

i

(12.7) 83

ãäå U — ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ âñåõ ÷àñòèö ãàçà. Åñëè ÷àñòèöû ãàçà îáðàçóþò óñòîé÷èâóþ ñèñòåìó, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììàðíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ èõ (âòîðîé ÷ëåí â (12.7)) ìåíüøå èõ ïîëíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîýòîìó îòáðîñèì âòîðîé ÷ëåí â (12.7) è äëÿ ìàññû ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó: M = ∑ mi + i

U c2

.

(12.8)

Òàê êàê ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö ïðèâîäèò ê óñòîé÷èâîé ñèñòåìå, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöû ïðèòÿãèâàþò äðóã äðóãà. Íî ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ (êóëîíîâñêàÿ ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ ðàçíîèìåííûõ çàðÿäîâ èëè ãðàâèòàöèîííàÿ ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ äâóõ òåë) âñåãäà âåëè÷èíà îòðèöàòåëüíàÿ, ò.å. U<0. Ñ ó÷åòîì ýòîãî çàìå÷àíèÿ, ïåðåïèøåì ôîðìóëó (12.8) òàê: U

∑ mi − M = c 2 i

> 0,

(12.9)

ãäå ó÷òåíî, ÷òî âåëè÷èíà U<0. Òàêèì îáðàçîì, è â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ÷àñòèö, îáðàçóþùèõ ïðè ýòîì óñòîé÷èâóþ ñèñòåìó, ìàññà ñèñòåìû ÷àñòèö Ì íå ðàâíà ñóììå ìàññ îòäåëüíûõ ÷àñòèö. Ðàçíîñòü

∑ mi − M = ∆m i

(12.10)

ïîëó÷èëà íàçâàíèå äåôåêòà ìàññû, à âåëè÷èíà ∆m ⋅ c 2 = U — ýíåðãèè ñâÿçè ÷àñòèö ñèñòåìû. Óñòàíîâëåííîå íàìè ñîîòíîøåíèå (12.9) èìååò ìíîãîêðàòíîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå è ïîçâîëÿåò òåîðåòè÷åñêè ðàññ÷èòûâàòü ýíåðãèþ ñâÿçè ñèñòåì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö è, ñîîòâåòñòâåííî, òó âíóòðèÿäåðíóþ ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ìîæåò âûñâîáîäèòüñÿ ïðè äåëåíèè òÿæåëûõ è ñèíòåçå ëåãêèõ ÿäåð, ýòà ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ÿäåðíîé ýíåðãåòèêè, îñíîâîé íàó÷íîòåõíè÷åñêîé ðåâîëþöèè âòîðîé ïîëîâèíû ÕÕ âåêà. 84

§ 13. Ðåøåíèå çàäà÷ ïî äèíàìèêå ÑÒÎ Ðàññìîòðèì ðåøåíèå ðÿäà òèïè÷íûõ çàäà÷ íà ôîðìóëó Ýéíøòåéíà è ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç íåå. Çàäà÷à ¹ 1. Íà ñêîëüêî óâåëè÷èòñÿ ìàññà 1 êã âîäû ïðè íàãðåâàíèè åå îò 0°Ñ äî 100° Ñ? Íàéòè:

∆m

m = 1êã ∆t = 100 0 C

Äàíî:

Ðåøåíèå

c = 3 ⋅ 108 ì / ñ ñ ð = 4,2êÄæ / êã ⋅ Ê

Âûáåðåì òàêóþ ÈÑÎ, â êîòîðîé âîäà áûëà áû íåïîäâèæíà, ýòî èçáàâèò íàñ îò íåîáõîäèìîñòè ó÷èòûâàòü äîïîëíèòåëüíóþ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âîäû. Íàçîâåì èçáðàííóþ ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”. Èç ôîðìóëû Ýéíøòåéíà E0=mc2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî åñëè ýíåðãèÿ òåëà óâåëè÷èâàåòñÿ íà ∆Å (â íàøåì ñëó÷àå âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ âîäû óâåëè÷èâàåòñÿ çà ñ÷åò ïðèòîêà ýíåðãèè èç-çà ïðîöåññà, êîòîðûé ìû íàçûâàåì “íàãðåâàíèåì”), òî óâåëè÷èâàåòñÿ è åå ìàññà íà âåëè÷èíó ∆m =

∆E c2

. (Âíèìàíèå!

Âåëè÷èíà ∆m â äàííîé çàäà÷å íå ÿâëÿåòñÿ äåôåêòîì ìàññû, à ëèøü îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ìàññû òåëà â ðåçóëüòàòå íàãðåâàíèÿ.) Óâåëè÷åíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè âîäû ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå: ∆E = mc p ∆t . Òàêèì îáðàçîì ∆m =

mc p ∆t c2

= 4,7 ⋅ 10 −12 kã

Êîíå÷íî, èçìåíåíèå ìàññû âîäû îêàçàëîñü áåñêîíå÷íî ìàëûì. Íî åñëè ñðàâíèòü ýòó âåëè÷èíó ñ ìàññîé ýëåêòðîíà 85

m e = 9.1 ⋅ 10 −31 êã , òî âåëè÷èíà

∆m áóäåò óæå ïðåäñòàâëÿòüñÿ

∆m

18 áåñêîíå÷íî áîëüøîé, ò.ê. m ≈ 10 ! Çäåñü ìû óáåæäàåìñÿ â òîì, e

ïîñëå ðàñòâîðåíèÿ åå â êèñëîòå? Âûäåëÿåòñÿ ëè ïðè ñãîðàíèè äðîâ, ïîäíÿòûõ íà 2-é ýòàæ, òà äîïîëíèòåëüíàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðàÿ ñîîáùàåòñÿ èì ïðè ïîäíÿòèè íà âûñîòó 2-ãî ýòàæà?

÷òî â ôèçèêå íå èìååò ñìûñëà ãîâîðèòü “ìàëàÿ” èëè “áîëüøàÿ” âåëè÷èíà, íå óêàçûâàÿ îðèåíòèð, ïî îòíîøåíèþ ê êîòîðîìó äàííàÿ âåëè÷èíà “ìàëàÿ” èëè “áîëüøàÿ”.

Çàäà÷à ¹ 3 Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ ñâÿçè ÿäðà àòîìà ãåëèÿ, ñîñòîÿùåãî èç äâóõ ïðîòîíîâ è äâóõ íåéòðîíîâ.

Çàäà÷à ¹ 2. Ïðóæèíó ñ êîýôôèöèåíòîì æåñòêîñòè ê=6.105 Í/ì ñæàëè íà 1 ñì. Êàêîâ ïðèðîñò ìàññû ïðóæèíû?

Íàéòè

Íàéòè

Äàíî

∆m ∆t = 100 0 C

Ðåøåíèå

c = 3 ⋅ 108 ì / ñ ñ ð = 4,2êÄæ / êã ⋅ Ê

Êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, âûáåðåì ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”. Èçìåíåíèå ýíåðãèè óïðóãî äåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå: ∆E =

k (∆x )2 . 2

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ýòî èçìåíåíèå ýíåðãèè ñâÿçàíî ñ èçìåíåíèåì ìàññû ïðóæèíû ïî ôîðìóëå: ∆E = ∆m ⋅ c 2 .

Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè ýòèõ âûðàæåíèé, ïîëó÷àåì, ÷òî ∆m =

k (∆x )2 2 ⋅ c2

= 5 ⋅ 10 −17 êã.

 ñâÿçè ñ ýòîé çàäà÷åé, ÷èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü îòâåòèòü íà ñëåäóþùèå êà÷åñòâåííûå âîïðîñû: êóäà äåâàåòñÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ýíåðãèÿ ñæàòîé ïðóæèíû èç æåëåçà 86

M He = 4.00390à.å. ì. M H = 1.008123à.å. ì. M n = 1.00893à.å. ì. p = 2;

m = 1êã

Äàíî

U

Ðåøåíèå.

n=2

×òîáû èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ âñÿêèå äðóãèå âèäû ýíåðãèè, êðîìå ýíåðãèè ñâÿçè, âûáåðåì ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ ñ ñàìèì ÿäðîì àòîìà ãåëèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ, äåôåêò ìàññû ðàâåí: ∆m = 2 M H + 2 M n − M He .

Ïðè ýòîì ìàññû ýëåêòðîíîâ, âõîäÿùèõ â ìàññû àòîìîâ âîäîðîäà è ãåëèÿ, àâòîìàòè÷åñêè èñêëþ÷àþòñÿ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îäíà àòîìíàÿ åäèíèöà ìàññû (à. å. ì.) ðàâíà 1,66.10-24 ã, ïîëó÷àåì: ∆m = 4,98 • 10-29 êã. Ïî îïðåäåëåíèþ, ýíåðãèÿ ñâÿçè ðàâíà: U = ∆m ñ2 = 44,82 • 10-13 Äæ = 28 ÌýÂ.

Èçâåñòíî, ÷òî ýíåðãèÿ õèìè÷åñêîé ñâÿçè â ìîëåêóëå âîäû ïîðÿäêà 6 ýÂ. Ñðàâíèâàÿ ýòó âåëè÷èíó ñ ýíåðãèåé ñâÿçè íóêëîíîâ â ÿäðå àòîìà ãåëèÿ, ïîíèìàåì, ïî÷åìó àòîìíûå ÿäðà ïðî÷íû è ñóùåñòâóþò ìèëëèàðäû ëåò, â òî âðåìÿ êàê íåêîòîðûå õèìè÷åñêèå ñîåäèíåíèÿ ìîãóò áûòü ðàçðóøåíû èëè íàãðåâàíèåì, èëè îñâåùåíèåì.

87

Çàäà÷à ¹ 4 Ðàññ÷èòàòü ýíåðãåòè÷åñêèé âûõîä â ðåàêöèè ñèíòåçà òÿæåëîãî âîäîðîäà (äåéòåðèÿ) è ñâåðõòÿæåëîãî âîäîðîäà (òðèòèÿ) ñ îáðàçîâàíèåì ÿäðà àòîìà ãåëèÿ è íåéòðîíà. Íàéòè Äàíî

U

ÌÍ2=2,014708 à. å. ì. ÌH3=3,01700 à. å. ì. ÌHe4 =4,00390 à. å. ì. Ìï= 1,00893 à. å. ì.

Ðåøåíèå.

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ ñèíòåçà â ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”. Ðåàêöèÿ ñèíòåçà ïðîòåêàåò òàê: H 12 + H 13 → He24 + n 10 .

Äëÿ äåôåêòà ìàññû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó ∆m = M H 2 + M H 3 − M He4 − M n1 = 0,0189 à. å. ì. = 3,0 • 10-29 êã. 1 1 2 0

Ñëåäîâàòåëüíî, âûñâîáîæäàþùàÿñÿ ýíåðãèÿ (â ôîðìå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàçëåòàþùèõñÿ Íå è íåéòðîíà) ðàâíà \U\ = 27 .10-13 Äæ = 17 ÌýÂ. Òåðìîÿäåðíûå ðåàêöèè ñóëÿò ÷åëîâå÷åñòâó áåçãðàíè÷íîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè. Òðóäíîñòü îñóùåñòâëåíèÿ ðåãóëèðóåìîé òåðìîÿäåðíîé ðåàêöèè ñâÿçàíà, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïðåîäîëåòü êóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå îäíîèìåííî çàðÿæåííûõ ÿäåð âîäîðîäà è òðèòèÿ. Èìåííî äëÿ ïðåîäîëåíèÿ ýòîãî îòòàëêèâàíèÿ ïëàçìó èç ýòèõ ÿäåð íàãðåâàþò äî äåñÿòêîâ ìèëëèîíîâ ãðàäóñîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò çà ñ÷åò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèö ïëàçìû ñîâåðøèòü ðàáîòó ïðîòèâ êóëîíîâñêèõ ñèë îòòàëêèâàíèÿ. Íî ó ðåãóëèðóåìîãî ñèíòåçà ëåãêèõ ýëåìåíòîâ åñòü è äðóãèå òðóäíîñòè, ïðåîäîëåòü êîòîðûå ïîêà íå óäàåòñÿ. Çàäà÷à ¹5. Ýôôåêò Êîìïòîíà Îäíèì èç ïîëîæåíèé ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà, ïîñòðîåíèå êîòîðîé çàâåðøèëîñü ê íà÷àëó ÕÕ â., (ïîñëå 88

âîçíèêíîâåíèÿ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè), áûëî óòâåðæäåíèå, ÷òî ìàòåðèÿ ñóùåñòâóåò â äâóõ âèäàõ: â âèäå âåùåñòâà è â âèäå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âåùåñòâåííûå òåëà ñîñòîÿò èç íåïðîíèöàåìûõ, ëîêàëèçîâàííûõ â ïðîñòðàíñòâå ÷àñòèö (àòîìîâ, ìîëåêóë, èîíîâ, ýëåêòðîíîâ). Ïîëåâîå ñîñòîÿíèå ìàòåðèè (ìàòåðèàëüíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ óòâåðäèëà â 1905 ã. ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè) îáëàäàåò õàðàêòåðíûì äëÿ ýòîãî âèäà ìàòåðèè ñâîéñòâîì ñóïåðïîçèöèè, ò.å. â îäíîì è òîì æå ãåîìåòðè÷åñêèì îáúåìå ìîæåò íàõîäèòüñÿ ìíîæåñòâî ïîëåé, ïåðåìåííûå âî âðåìåíè ïîëÿ ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ îò ìåñòà ñâîåãî âîçíèêíîâåíèÿ â âèäå âîëí.  ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé êàðòèíå ìèðà ñ÷èòàëîñü, ÷òî ñâîéñòâà ýòèõ äâóõ âèäîâ ìàòåðèè íåñâîäèìû äðóã ê äðóãó, ñëèøêîì êîíòðàñòíû ýòè ñâîéñòâà (âïîñëåäñòâèè, ïîñëå âîçíèêíîâåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, áûëà ïîñòðîåíà íîâàÿ êâàíòîâî-ïîëåâàÿ êàðòèíà ìèðà, â êîòîðîé áûëî óñòàíîâëåíî åäèíñòâî âåùåñòâåííîãî è ïîëåâîãî âèäîâ ìàòåðèè). Ïåðâîå ñåðüåçíîå çàòðóäíåíèå â ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé êàðòèíå ìèðà âîçíèêëî â 1887 ã., êîãäà íåìåöêèé ôèçèê Ã. Ãåðö îáíàðóæèë íîâîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå: ïîä âîçäåéñòâèåì ñâåòà îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííàÿ ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà ðàçðÿæàëàñü, òåðÿëà çàðÿä. Ïîñëå îòêðûòèÿ ýëåêòðîíà Òîìñîíîì â 1897ã. áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííàÿ ìåòàëëè÷åñêàÿ ïëàñòèíêà ïîä äåéñòâèåì ñâåòà òåðÿåò ýëåêòðîíû. Ðîññèéñêèì ôèçèêîì À.Ã.Ñòîëåòîâûì áûëè óñòàíîâëåíû çàêîíû ôîòîýôôåêòà (òàê áûëî íàçâàíî ÿâëåíèå, îòêðûòîå Ãåðöåì). Îäíàêî îáúÿñíèòü ýòè çàêîíû ñ ïîçèöèé êëàññè÷åñêîé ôèçèêè íå óäàâàëîñü, ñâåò ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàëñÿ êàê âîëíîâîé ïðîöåññ.  1905 ã. À. Ýéíøòåéí ïîäîøåë ê ïðîáëåìå ôîòîýôôåêòà ïðèíöèïèàëüíî ïî-íîâîìó. Ðàçâèâàÿ èäåþ Ì. Ïëàíêà î òîì, ÷òî àòîìû èçëó÷àþò è ïîãëîùàþò ýíåðãèþ ïîðöèÿìè, À. Ýéíøòåéí ïðåäïîëîæèë, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå è ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ïîðöèÿìè, êâàíòàìè. Âïîñëåäñòâèè ýòèì äèñêðåòíûì ïîðöèÿì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ äàëè íàçâàíèå “ôîòîíû”. Ïðèïèñàâ ïîðöèÿì ýëåêòðîìàãíèòíîãî èçëó÷åíèÿ ñâîéñòâà ÷àñòèö-êîðïóñêóë, À. Ýéíøòåéí ñîñòàâèë 89

óðàâíåíèå, îáúÿñíÿâøåå âñå îñîáåííîñòè ôîòîýôôåêòà. Ýòî óðàâíåíèå, âûðàæàâøåå çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè, äëÿ ôîòîýôôåêòà èç ìåòàëëà çàïèñûâàåòñÿ òàê: hν = A +

mv 2 , 2

ãäå ñëåâà ñòîèò ýíåðãèÿ ôîòîíà, êîòîðàÿ ðàñõîäóåòñÿ íà îòðûâ ýëåêòðîíà èç ìåòàëëè÷åñêîãî îáðàçöà (À - “ðàáîòà âûõîäà”) è íà ñîîáùåíèå åìó (åñëè A
Íàéòè Äàíî

∆λ , Å êèí

Ðåøåíèå r pô′

λ m pô =

hν c

r pô

e− r pýë

E ô = hν

r pô Ðèñ.12.

Âûáåðåì ñèñòåìó îòñ÷åòà “Ëàáîðàòîðèÿ”. Çàìåòèì, ÷òî ìû íå äîëæíû ñâÿçûâàòü ÈÑÎ ñ ýëåêòðîíîì, õîòÿ ïî óñëîâèþ çàäà÷è îí äî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ôîòîíîì íàõîäèòñÿ â ïîêîå. Äåëî â òîì, ÷òî â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîí äîëæåí ïðèîáðåñòè ñêîðîñòü, íî â ÈÑÎ “Ýëåêòðîí” îí è çàòåì äîëæåí îñòàâàòüñÿ íåïîäâèæíûì, ÷òî áûëî áû íåâîçìîæíî áåç ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñèë ñâÿçè. Íî òîãäà ïîëó÷àëîñü áû ñîâñåì äðóãàÿ çàäà÷à. Èçîáðàçèì ïðîöåññ ðàññåÿíèÿ ôîòîíà ãðàôè÷åñêè (ðèñ. 12). Ðàññìàòðèâàÿ è ýëåêòðîí è ôîòîí êàê êîðïóñêóëû, ñîñòàâèì äëÿ ýòîé çàìêíóòîé ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë ôîðìóëû çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà: hν + mc 2 = hν ′ +

r r p ô = p ô′ +

mc 2

. v2 , 1− 2 c

(1)

r mv 1−

v2 . c2

(2)

 ôîðìóëå (1) ïåðâûé ÷ëåí ñëåâà - ýíåðãèÿ ôîòîíà, âòîðîé ýíåðãèÿ ïîêîÿ íåïîäâèæíîãî ýëåêòðîíà â ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”; ñïðàâà ïåðâûé ÷ëåí -íîâàÿ ýíåðãèÿ ðàññåÿííîãî ôîòîíà, âòîðîé ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ðàññåÿííîãî ýëåêòðîíà, âêëþ÷àþùàÿ êàê ýíåðãèþ ïîêîÿ mc2, òàê è êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ åãî äâèæåíèÿ Åêèí.  ôîðìóëå (2) ñëåâà ó÷èòûâàåòñÿ, ÷òî â èñõîäíîì ñîñòîÿíèè èìïóëüñ ýëåêòðîíà ðàâåí íóëþ, ñïðàâà â ôîðìóëå (2) ñòîÿò èìïóëüñ 91

ðàññåÿííîãî ôîòîíà è ðåëÿòèâèñòñêèé èìïóëüñ ýëåêòðîíà, êîòîðûé îí ïðèîáðåòåò â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ. Òîëüêî èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë ÑÒÎ ïîçâîëÿåò ïîëíîñòüþ îáúÿñíèòü âñå îñîáåííîñòè ýôôåêòà Êîìïòîíà. Ôîðìóëà (2) çàïèñàíà â âåêòîðíîé ôîðìå. Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå, èñïîëüçóÿ òåîðåìó êîñèíóñîâ èç ýëåìåíòàðíîé ãåîìåòðèè: m2v 2 1−

v2

=

h 2ν 2 c2

+

h 2 (ν ′)2 c2

ν ⋅ν ′ cosθ . − 2h c2

1−

1−

v

2

c

2

ν, =

c2

Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âû÷òåì ôîðìóëó (3), óìíîæèâ ïðåäâàðèòåëüíî âñå åå ÷ëåíû íà ñ2. Ïîëó÷àåì: m 2 c 4 = m 2 c 4 + 2hmc 2 (ν − ν ′) − 2h 2νν (1 − cos θ ).

Ïîñëå óïðîùåíèÿ îñòàâøåãîñÿ ðàâåíñòâà, ïðèäàåì âûðàæåíèþ ñëåäóþùèé âèä:

(λ − λ ′)mc = 2h sin 2 θ , 2 ãäå èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà

(1 − cos θ ) = 2 sin 2 θ . 2 92

c2

(4)

mc 2 mc 2 + 2hν sin 2

θ 2

ν

è, ïîäñòàâèâ åå â âûðàæåíèå äëÿ Åêèí, ïîëó÷àåì ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü Åêèí îò ÷àñòîòû ïàäàþùåãî ôîòîíà: E êèí =

ñ ñ = λ ′ , çàïèøåì (4) òàê: =λè ν ν′

v

− mc 2 ,

2

ãäå èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (1). Âûðàçèì èç ðàâåíñòâà (4) ÷àñòîòó ðàññåÿííîãî ôîòîíà

= h 2ν 2 − h 2 (ν ′)2 + m 2 c 4 + 2hνmc 2 − 2hν ′mc 2 − 2h 2νν ′.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

mc 2 1−

= hν − hν ′ + mc 2 .

(ν − ν ′)mc 2 = hνν ′(1 − cos θ ) .

(5)

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà òàêæå ðàññ÷èòûâàåòñÿ íà îñíîâàíèè ôîðìóë ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè:

(3)

Âîçâåäåì åå â êâàäðàò: m2c4

h θ sin 2 . mc 2

Å êèí = Å ïîëí − Å0 =

Ôîðìóëó (1) çàïèøåì òàê: v2

∆λ = λ ′ − λ = 2

2

c2

mc 2

Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå äëèíû âîëíû èçëó÷åíèÿ ðàâíî:

2(hν )2 sin 2

θ 2

mc 2 + 2hν sin 2

θ 2

.

(6)

Ýêñïåðèìåíòàëüíî ÿâëåíèå Êîìïòîíà ìîæíî íàáëþäàòü ñ ïîìîùüþ êàìåðû Âèëüñîíà. Íà ïóòè ýëåêòðîíîâ è íà ïóòè ðàññåÿííûõ ôîòîíîâ ïîÿâëÿþòñÿ èîíû (è ýëåêòðîíû è ôîòîíû èîíèçèðóþò ìîëåêóëû ãàçà, çàïîëíÿþùåãî êàìåðó Âèëüñîíà), íà íèõ êàê íà öåíòðàõ êîíäåíñèðóåòñÿ ïåðåñûùåííûé ïàð, ÷òî äåëàåò âèäèìûì ïóòü ýëåêòðîíîâ è ôîòîíîâ. Èç ïðèëàãàåìîé òàáëèöû âèäíî, êàê õîðîøî ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ñîãëàñóþòñÿ ñ òåîðèåé, ñâèäåòåëüñòâóÿ îá åå èñòèííîñòè. θ

∆λòåîð

∆λýêñï

72 90 110 160 170

0,0168 0,0243 0,0345 0,0469 0,0480

0,0170 0,0241 0,0350 0,0470 0,0482 93

Çàäà÷à ¹6. ÑÒÎ è ÿäåðíàÿ ôèçèêà Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî âûâîäû ÑÒÎ ïîäòâåðæäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíî, òî èìåþò â âèäó ÿâëåíèÿ è ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå ñ ýëåìåíòàðíûìè ÷àñòèöàìè. Ïîíÿòèå “ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà” - ýòî èñòîðè÷åñêîå ïîíÿòèå: ñ ðàçâèòèåì ôèçèêè â ýòî ïîíÿòèå âêëàäûâàëîñü íîâîå ñîäåðæàíèå. Òàê, â äðåâíåì ìèðå ïîä ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöåé ïîíèìàëîñü íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî âåùåñòâà, îíî íàçûâàëîñü “àòîìîì”, ÷òî â ïåðåâîäå ñ ãðå÷åñêîãî îçíà÷àåò “íåäåëèìûé”.  ÕVIII-ÕIÕ ââ. ïîä ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöåé ïîíèìàëîñü òî, ÷òî íûíå ìû íàçûâàåì ìîëåêóëîé.  êîíöå Õ1Õ â. áûëà îòêðûòà ïåðâàÿ èñòèííî ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà - ýëåêòðîí. Äî ñèõ ïîð íåèçâåñòíà ïðèðîäà ýëåêòðîíà, íî îáùåïðèçíàííî, ÷òî îí äàëåå íåäåëèì. Äðóãèå ïîçæå îòêðûòûå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû (ïðîòîí, íåéòðîí è äð.) îêàçàëèñü ñëîæíûìè ñèñòåìàìè, ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ îíè ðàñïàäàþòñÿ íà áîëåå ïðîñòûå. Âîò, íàïðèìåð, ðåàêöèÿ ðàñïàäà îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííîãî ìþ-ìåçîíà (ñóùåñòâóåò è ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûé ìþ-ìåçîí): µ −1 = å −1 + ν 0 + ν~0 , ãäå å−1 - ýëåêòðîí, ν 0 è ν~0 - íåéòðèíî è àíòè -íåéòðèíî.  ýòîé ðåàêöèè âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ÷èñëà ëåïòîíîâ (ëåãêèõ ÷àñòèö), ÷èñëà ÷àñòèö è àíòè÷àñòèö è ò.ä. Äî ñèõ ïîð íå ïîñòðîåíà òåîðèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Íî äëÿ îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ ñ ýòèìè ÷àñòèöàìè, øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïîëîæåíèÿ ÑÒÎ. Èìåííî ýòî è ñëóæèò ýêñïåðèìåíòàëüíûì äîêàçàòåëüñòâîì èñòèííîñòè ÑÒÎ. Ïðèìåíèì íåêîòîðûå ïîëîæåíèÿ ÑÒÎ äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ñëåäóþùåé çàäà÷è.  ëàáîðàòîðíîé ÈÑÎ ÷àñòèöà À (èìåþùàÿ ìàññó è èìïóëüñ) ñòàëêèâàåòñÿ ñ ïîêîÿùåéñÿ ÷àñòèöåé Â. Ìîæåò ëè ÷àñòèöà  ïîãëîòèòü ÷àñòèöó À? 94

Íàéòè

(À + Â ) → Õ mA

Äàíî

mB

Ðåøåíèå

pB = 0

ÈÑÎ çàäàíà â óñëîâèè çàäà÷è - “Ëàáîðàòîðèÿ”. Õîòÿ ÷àñòèöà  íåïîäâèæíà â ýòîé ÈÑÎ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, íî ñ íåé íåëüçÿ ñâÿçûâàòü íà÷àëî ÑÎ, òàê êàê ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ ñ ÷àñòèöåé À ÷àñòèöà  äîëæíà ïðèéòè â äâèæåíèå. À òåëî îòñ÷åòà (íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò) äîëæíî áûòü íåïîäâèæíî â âûáðàííîé ÈÑÎ. ×åðòåæ â äàííîé çàäà÷å íå èìååò ñìûñëà äåëàòü. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà. Äî ñòîëêíîâåíèÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ñëàãàëàñü èç ýíåðãèè íàëåòàþùåé ÷àñòèöû À: E A = m 2A ⋅ c 4 + p 2 c 2

è ýíåðãèè ïîêîÿùåéñÿ ÷àñòèöû Â: E B = mB c 2 .

Ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö À è  äî ñòîëêíîâåíèÿ ðàâíà: E = E A + E B = m 2A c 4 + p 2 c 2 + m B c 2 .

Ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ÷àñòèöà À (ïî óñëîâèþ çàäà÷è) áóäåò ïîãëîùåíà ÷àñòèöåé Â, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ïîñëåäíåé áóäåò: E B′ = m B2 c 4 + p 2 c 2 .

Ýòà ôîðìóëà ó÷èòûâàåò, ÷òî ìàññà ÷àñòèöû  (êàê è âñåõ äðóãèõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé, èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé. Êðîìå òîãî, íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ó ÷àñòèöû Â, êîòîðàÿ ïî ïðåäïîëîæåíèþ äîëæíà ïîãëîòèòü ÷àñòèöó À, áóäåò òîò æå èìïóëüñ, êàêîé áûë ó ÷àñòèöû À äî ñòîëêíîâåíèÿ (÷àñòèöà  äî ñòîëêíîâåíèÿ áûëà íåïîäâèæíà, åå èìïóëüñ ðàâíÿëñÿ íóëþ). 95

Çàìêíóòîñòü ñèñòåìû ïîçâîëÿåò ñîñòàâèòü ðàâåíñòâî: m B c 2 + m 2A c 4 + p 2 c 2 = m B2 c 4 + p 2 c 2 .

Âîçâåäåì îáå ñòîðîíû ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ïåðåíåñåì âñå ÷ëåíû â îäíó ñòîðîíó åãî, ïîëó÷àåì: 2m B c 2 m 2A c 4 + p 2 c 2 + m 2A c 4 = 0 .

Ýòî ðàâåíñòâî äëÿ ðåàëüíûõ ÷àñòèö íå ìîæåò âûïîëíÿòüñÿ, òàê êàê âñå åãî ÷ëåíû - ïîëîæèòåëüíûå âåëè÷èíû. Òàêèì îáðàçîì, ñäåëàííîå â óñëîâèè çàäà÷è ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïðè ñòîëêíîâåíèè ñ äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöåé À ðàíåå íåïîäâèæíàÿ ÷àñòèöà  ïîãëîòèò ÷àñòèöó À è îñòàíåòñÿ ïðåæíåé ÷àñòèöåé Â, íåâîçìîæíî. Íàïðèìåð, ôîòîí, íàëåòàÿ íà ñâîáîäíûé ýëåêòðîí, êàê â ýôôåêòå Êîìïòîíà, íå ìîæåò áûòü ïîãëîùåí ýëåêòðîíîì.  ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ ôîòîíà ñ íåïîäâèæíûì ýëåêòðîíîì âîçíèêíåò ôîòîí ðàññåÿíèÿ è ýëåêòðîí îòäà÷è . Ñîâñåì äðóãîå äåëî, åñëè â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ áóäóò ðîæäàòüñÿ è äðóãèå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû. Çàäà÷à ¹7. Ñòîëêíîâåíèå ðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö Ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû îáðàçóþò îñîáûé ìèð - ìèêðîìèð. Èõ íåëüçÿ óâèäåòü äàæå â ýëåêòðîííûé ìèêðîñêîï, äàþùèé óâåëè÷åíèå óãëà çðåíèÿ â ìèëëèîíû ðàç. Âåäü ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû (ýëåêòðîíû, ïîçèòðîíû, ìåçîíû, ïðîòîíû, íåéòðîíû è äð.) â 105 ðàç ìåíüøå àòîìîâ, à ïîñëåäíèå âî ñòîëüêî ðàç ìåíüøå ðàçìåðîâ ñðåäíåãî ÿáëîêà, âî ñêîëüêî îíî ìåíüøå Çåìëè. È âñå æå ó÷åííûì óäàëîñü ïðîíèêíóòü â ìèêðîìèð è îáíàðóæèòü ó ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö óäèâèòåëüíûå, èíîãäà ñòðàííûå, íåïðèâû÷íûå ñâîéñòâà. Óäàëîñü óñòàíîâèòü âðåìÿ èõ æèçíè (íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû æèâóò âñåãî ëèøü 10-23 ñ, äðóãèå - “äîëãîæèâóùèå” èñ÷åçàþò, ïðåâðàùàÿñü â äðóãèå ÷àñòèöû, çà 10 -8 ñ (îäíà ñòîìèëëèîííàÿ äîëÿ ñåêóíäû!), îïðåäåëåíû ìàññû ÷àñòèö è ïðîèçâåäåíà èõ ñèñòåìàòèçàöèÿ. È âñå æå ê êîíöó ÕÕ â. ôèçèêàì íå óäàëîñü ñîçäàòü ïîëíóþ òåîðèþ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 96

Íî êàê æå ôèçèêè ñìîãëè îòêðûòü ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö (ñåé÷àñ èõ èçâåñòíî áîëåå 300!), óñòàíîâèòü èõ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ìàññó è äðóãèå ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè? Âñå ýòî óäàëîñü ñäåëàòü, ïðèâîäÿ ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû âî âçàèìîäåéñòâèÿ, òàê êàê òîëüêî â òàêîì ñëó÷àå ìîæíî âûÿâèòü è êîëè÷åñòâåííî îïðåäåëèòü ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, óñòàíîâèòü èõ “õàðàêòåð”. ×òîáû ïðèâåñòè ÷àñòèöû âî âçàèìîäåéñòâèå, èõ íàäî “ñòîëêíóòü”, ïðåäâàðèòåëüíî óâåëè÷èâ èõ ñêîðîñòü, ýíåðãèþ äâèæåíèÿ. ×èòàòåëþ, î÷åâèäíî, èçâåñòíû ðàçëè÷íûå óñêîðèòåëüíûå óñòðîéñòâà (öèêëîòðîí, áåòàòðîí, ñèíõðîòðîí è ò. ä.), â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ïîëÿ. Ñ èõ ïîìîùüþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîöåññ óñêîðåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîòîðûå çàòåì è ïðèâîäÿòñÿ âî âçàèìîäåéñòâèå.  ïîñëåäíèå ãîäû øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîãäà ýòè ÷àñòèöû ëåòÿò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó (“ìåòîä âñòðå÷íûõ ïóñêîâ”). Íèæå ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ìû óâèäèì ïðåèìóùåñòâà ýòîãî ìåòîäà. ×òîáû óâèäåòü ðåçóëüòàò âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ìåæäó ñîáîé èëè ñî ñðåäîé, ÷åðåç êîòîðóþ îíè ïðîëåòàþò, èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ðåãèñòðàöèîííûå óñòðîéñòâà òèïà “ñ÷åò÷èêîâ”, ðàçëè÷íûõ “êàìåð” (êàìåðà Âèëüñîíà, èîíèçàöèîííàÿ, ïóçûðüêîâàÿ, è äð.), ôîòîïëàñòèíêè è ò.ä. Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ñòîëêíîâåíèÿ äâóõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íà ïðèìåðå ðåàëüíî îñóùåñòâëÿþùåéñÿ ðåàêöèè. Îïðåäåëèòü ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ íåïîäâèæíîãî ïðîòîíà ñ íàëåòàþùèì íà íåãî ïðîòîíîì, åñëè ýíåðãèÿ ïîñëåäíåãî 70 ÃýÂ. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî, âûáåðåì ÈÑÎ è äàëåå áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó ïî îáùåìó ïëàíó. Íàéòè E âç m p = 1,67 ⋅ 10 −27 êã

Äàíî

v p1 = 0 E p 2 = 70 ÃýÂ

Ðåøåíèå

Âûáåðåì ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”, â êîòîðîé íàõîäÿòñÿ âñå íåîáõîäèìûå ïðèáîðû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìû íå òîëüêî 97

ñîîáùèì âòîðîìó ïðîòîíó ýíåðãèþ Å ð 2 , íî è çàðåãèñòðèðóåì àêò âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîòîíîâ ìåæäó ñîáîé. Êàê íåîäíîêðàòíî óêàçûâàëîñü ðàíåå, â ñîâðåìåííîé ôèçèêå ïîíÿòèå ÈÑÎ ðàñøèðèëîñü äî ôèçè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè, ãäå èìååòñÿ âñå, ÷òî íåîáõîäèìî äëÿ íàáëþäåíèÿ ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà.  âûáðàííîé ÈÑÎ ïåðâûé ïðîòîí íåïîäâèæåí, âòîðîé äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v p 2 . Ïðåæäå ÷åì ïðèñòóïèòü ê íåïîñðåäñòâåííîìó ðåøåíèþ çàäà÷è, óòî÷íèì, ÷òî ïîíèìàåòñÿ â ôèçèêå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ïîä ýíåðãèåé âçàèìîäåéñòâèÿ: ïðèíÿòî íàçûâàòü ýíåðãèåé âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö èõ îáùóþ ýíåðãèþ â òîé ÈÑÎ, â êîòîðûõ èõ ñóììàðíûé èìïóëüñ ðàâåí íóëþ. Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñòàëêèâàþùèõñÿ ïðîòîíîâ â èñõîäíîé ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”: E = E 0 p1 + E p 2 = mc 2 + E p 2 .

Ïðè ýòîì áûëî ó÷òåíî, ÷òî ó ïåðâîãî ïðîòîíà åñòü òîëüêî ýíåðãèÿ ïîêîÿ . Ñóììàðíûé èìïóëüñ ñèñòåìû â âåêòîðíîé ôîðìå çàïèøåòñÿ òàê: r r r p = p10 + p 2 = p 2 . òàê êàê ïåðâûé ïðîòîí íåïîäâèæåí è åãî èìïóëüñ ðàâåí íóëþ. Ðàññìàòðèâàÿ îáå ÷àñòèöû â ìîìåíò ñòîëêíîâåíèÿ êàê îäíó ñëîæíóþ ñèñòåìó, ñîñòàâèì äëÿ íåå òó ôîðìóëó Ýéíøòåéíà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùåé, òàê êàê ñïðàâåäëèâà è äëÿ ÷àñòèö, íå èìåþùèõ ìàññó, êàê íàïðèìåð, ôîòîí: E = M 2c4 + p 2c2 ,

îòêóäà M 2c4 = E 2 − p 2c2 .

èëè

(

M 2 c 4 = E 2 − mc 2

) − (E 2

Ñëåäîâàòåëüíî, 98

2 2

)

2 − m 2 c 4 = 2 E 2 mc 2 + 2m 2 c 4 = 2 E10 E 2 + 2 E10 .

2 . Mc 2 = 2 E10 E 2 + 2 E10

ãäå M îïðåäåëÿåò ñóììàðíóþ ìàññó âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïðîòîíîâ. Ðàññìàòðèâàåìàÿ ðåàêöèÿ ðåàëüíî îñóùåñòâëÿåòñÿ íà ïðîòîííîì óñêîðèòåëå â ã. Ñåðïóõîâå. Òàê êàê ýíåðãèÿ ïîêîÿ ïðîòîíà E10 = mc 2 = 14,03 ⋅ 10 −11 Äæ = 0,938 ÃýÂ ,

òî äëÿ âåëè÷èíû Mc2, êîòîðóþ ìû ðàññìàòðèâàåì êàê ïîëíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû â ìîìåíò ñòîëêíîâåíèÿ, èíûìè ñëîâàìè, êàê ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ, ïîëó÷àåì : Mc 2 = 11,54 ÃýÂ.

Êàê âèäíî èç êîëè÷åñòâåííîãî ðåçóëüòàòà, òîëüêî ìàëàÿ äîëÿ ýíåðãèè íàëåòàþùåãî ïðîòîíà ðàñõîäóåòñÿ íà ñàìó ðåàêöèþ âçàèìîäåéñòâèÿ. Èíà÷å îáñòîèò äåëî, êîãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö âî âñòðå÷íûõ ïó÷êàõ. Ïîêàæåì ýòî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ðàñ÷åòîâ, ðàññìîòðåâ ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Âî âñòðå÷íûõ ïó÷êàõ ñòàëêèâàåòñÿ äâà ýëåêòðîíà ñ ýíåðãèåé E1 = E 2 = 6 Ìý (1 ÌýÂ=106ýÂ). Êàêîâà ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ

ýòèõ ÷àñòèö? Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Å âç Íàéòè Äàíî

me = 0,51 ÌýÂ E = 6 ÌýÂ Å 1= Å 2 = Å v1 = v 2 = v

Ðåøåíèå

Âûáåðåì ÈÑÎ “Öåíòð ìàññ”. Íî â äàííîé çàäà÷å îíà ñîâïàäàåò ñ ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”, òàê êàê îäèíàêîâûå ÷àñòèöû ýëåêòðîíû - äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè è èõ öåíòð ìàññ íåïîäâèæåí â ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”. 99

Ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà ýíåðãèè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ, åñëè ñóììàðíûé èìïóëüñ ñèñòåìû äî è ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ ðàâåí íóëþ. Ýíåðãèþ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìû îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå: Åîòí =

mc 2 1−

V2

E0

=

1−

c2

V2 . c2

ãäå V - ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà. Ýòó âåëè÷èíó îïðåäåëèì òàê. Âûáåðåì íîâóþ ÈÑÎ “1-é ýëåêòðîí”, â êîòîðîé âòîðîé ýëåêòðîí êàê ðàç è èìååò ñêîðîñòü V. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé òåîðåìû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé ÑÒÎ â îäíîìåðíîì äâèæåíèè: u ,x =

Vv Vv 1− 2 . c 2v 1+

v2 . c2

Å âç = Åîòí

100

v2 c2

ìîæíî îïðåäåëèòü 1−

v2 c2

=

E 02 E12

,

ñîîòâåòñòâåííî 1+

Å âç = Å îòí

v2 c

2

= 2−

E 02 E12

.

 Å2  Å 0 Å12  2 − 02   Å1  2 Å12  ≅ = 2 Å0 Å0

   

.

Å02 Å12

,

<< 1 .

Ïîäñòàâëÿÿ ÷èñëîâûå äàííûå, ïîëó÷àåì, ÷òî íà âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíîâ âî âñòðå÷íûõ ïó÷êàõ â ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ” ïðèõîäèòñÿ ýíåðãèè Å âç =

Òåïåðü èìååì âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòàòü Å âç ÷åðåç äàííûå çàäà÷è  v2 Å0 1 − 2  c = v2 1− 2 c

1−

ãäå ñäåëàíî ðàçóìíîå óïðîùåíèå, òàê êàê

Ðàçðåøèì ýòî ðàâåíñòâî îòíîñèòåëüíî V, ïîëó÷àåì V =

E0

E1 =

Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ Å âç

ux − v u v 1 − x2 . c

Ïðèìåíèòåëüíî ê íàøåé çàäà÷å u x = V , v = v1 , u ,x = v 2 = v ñêîðîñòü 2-ãî ýëåêòðîíà â ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”. Òîãäà v=

Èç ôîðìóëû

2 ⋅ 36(ÌýÂ )2 = 141 ÌýÂ . 0,51 ÌýÂ

Ðåçóëüòàò ýòîé çàäà÷è ïîêàçûâàåò, êàê ïåðñïåêòèâåí ìåòîä âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö íà âñòðå÷íûõ ïó÷êàõ. Èíòåðåñåí âîïðîñ î òîì, â êàêîì óñêîðèòåëå ìîæíî ïîëó÷èòü òîò æå ýôôåêò. Ðàññìîòðèì ýòîò âîïðîñ ïîäðîáíåå. Ïóñòü îäíà ÷àñòèöà ñòàëêèâàåòñÿ ñ äðóãîé, êîòîðàÿ íåïîäâèæíà â äàííîé ÈÑÎ.  ìîìåíò ñòîëêíîâåíèÿ îáðàçóåòñÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ ÷àñòèöà, äëÿ êîòîðîé ôîðìóëà Ýéíøòåéíà áóäåò èìåòü âèä: 101

(mc

2

+E

èëè

)

2

= M 2c4 + p 2c2 ,

(

M 2 c 4 = mc 2 + E

)

2

− p 2c2 ,

ãäå Ì - ìàññà ïðîìåæóòî÷íîé ÷àñòèöû, Å - åå ýíåðãèÿ, ð - åå èìïóëüñ, à m - ìàññà íåïîäâèæíîé ÷àñòèöû. Ïðåîáðàçóåì ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå:

(

)

M 2 c 4 = m 2 c 4 + 2mc 2 E + E 2 − p 2 c 2 .

Íî E 2 − p 2 c 2 ðàâíÿåòñÿ êâàäðàòó ìàññû íàëåòàþùåé ÷àñòèöû, óìíîæåííîé íà ñ4, ñëåäîâàòåëüíî, M 2 c 4 = m 2 c 4 + 2mc 2 E + m 2 c 4 = 2m 2 c 4 + 2mc 2 E .

Íàì íóæíî íàéòè òàêîé óñêîðèòåëü, êîòîðûé ñîîáùàåò óñêîðÿåìîé ÷àñòèöå ýíåðãèþ, ðàâíóþ ýíåðãèè, âûäåëÿþùåéñÿ ïðè ñòîëêíîâåíèè âñòðå÷íûõ ïó÷êîâ. Ïîýòîìó ïðèðàâíÿåì Mc 2 = 2 E , òîãäà 4 E 2 = 2m 2 c 4 + 2mc 2 E , îòêóäà Ex =

4 E − 2m c 2

2 4

2mc 2

=

2E

2

mc 2

− mc 2 ≈

2E

2

mc 2

.

Åñëè E=70ÃýÂ, m=mp=0,938ÃýÂ, , òî E x = 10 ÃýÂ ! 5

Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò îçíà÷àåò, ÷òî óñêîðèòåëü íà âñòðå÷íûõ ïó÷êàõ ýêâèâàëåíòåí ïî ýôôåêòèâíîñòè îäèíî÷íîìó óñêîðèòåëþ ñ íåïîäâèæíîé ìèøåíüþ, ñîîáùàþùåé ÷àñòèöå ýíåðãèþ 105ÃýÂ. Òàêèå óñêîðèòåëè åùå íå ïîñòðîåíû...

ìîæåò áûòü èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà. Êàê æå çàïèñàòü ôîðìóëó çàêîíà äâèæåíèÿ, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà? Èç èçëîæåííîãî âûøå ìàòåðèàëà íàïðàøèâàåòñÿ ñëåäóþùåå ïðàâèëî: îáå ñòîðîíû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîëæíû ñîäåðæàòü 4 -õ-ìåðíûå âåêòîðû, êâàäðàòû êîòîðûõ, êàê ìû íåîäíîêðàòíî óáåæäàëèñü, èíâàðèàíòíû â ÑÒÎ. Áóäåì èñõîäèòü èç òîé ôîðìû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êîòîðóþ ïðåäëîæèë È. Íüþòîí: d r r P=F. dt

(14.1)

Ëàáîðàòîðíîå âðåìÿ t ñâÿçàíî â ÑÒÎ ñ ñîáñòâåííûì, èíâàðèàíòíûì âðåìåíåì ïî ôîðìóëå (6.9): dτ

dt =

1−

u2

,

(6.9)

c2

r

à ïîä P áóäåì ïîíèìàòü èíâàðèàíòíûé 4-õ-ìåðíûé âåêòîð èìïóëüñà, ïðè÷åì P1 = mV1 , P2 = mV2 , P3 = mV3 , P4 = mV4 ,

m— èíâàðèàíòíàÿ ìàññà òåëà, à ïðîåêöèè 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè äàþòñÿ ôîðìóëàìè (9.6), (9.7): ui

Vi =

1−

u

2

c2

ic

V4 =

,

i = l, 2, 3;

1−

u2

.

c2

Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèíèìàåò âèä: d (mVi ) = f i , dτ

(14.2)

i = 1,2,3,4

ãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ: § 14. Ðåëÿòèâèñòñêîå 4 -ìåðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ -õ

Ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà (2.17), áóäó÷è èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ, åñòåñòâåííî, íå 102

f1 =

Fx 1−

u

2

c2

,

f2 =

Fy 1−

u

2

c2

,

f3 =

Fz 1−

u2

,

c2 103

a f4 îïðåäåëÿåòñÿ íèæå.  òàêîé çàïèñè ëåâàÿ ñòîðîíà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ óæå âûðàæåíà ÷åðåç âåëè÷èíû, îáðàçóþùèå èíâàðèàíòû. Íàéäåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ÷åòâåðòîé êîìïîíåíòû 4-õìåðíîãî âåêòîðà ñèëû f4. Äëÿ ýòîãî óìíîæèì âñå ïðîåêöèè 4-õìåðíîãî âåêòîðà ñêîðîñòè Vi , íà ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîåêöèè 4-õìåðíîãî âåêòîðà ñèëû è ñëîæèì ýòè ïðîèçâåäåíèÿ (ìû ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîå 4 -õ-ìåðíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ 4-õìåðíûõ âåêòîðîâ): V1 f 1 + V2 f 2 + V3 f 3 + V4 f 4 = V1 + V4

d (mV1 ) + V2 d (mV2 ) + V3 d (mV3 ) + dτ dτ dτ

d (mV4 ), dτ

ãäå èñïîëüçîâàíû çíà÷åíèÿ ïðîåêöèé 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû, èñõîäÿ èç ôîðìóëû (14.2). Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïðîâåäÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, ÷òî ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü è òàê:

(Vrf ) = m2 ddτ (V

2 1

)

+ V22 + V32 + V42 . .

(14.4)

Íî â ñêîáêàõ ñòîèò 4 -x -ìåðíûé èíâàðèàíò, ðàâíûé ïîñòîÿííîé âåëè÷èíå (ñì. ôîðìóëó (9.8)), ïðîèçâîäíàÿ îò êîòîðîé ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî,

( )

rr Vf = V12 + V22 + V32 + V42 = 0 ,

îòêóäà

(14.5)

V f + V2 f 2 + V3 f 3 f4 = − 1 1 . V4

(14.6)

Âñå âåëè÷èíû, ñòîÿùèå ñïðàâà â ôîðìóëå (14.6), íàì èçâåñòíû. Ïîäñòàâèì èõ çíà÷åíèÿ: f4 = −

u x F x + u y F y + u z Fz 1−

104

u2 c

2

⋅ 1−

u2 c

2

⋅ ic

1−

u2 c2

=

i c

(urFr ) 1−

u2 c2

r

ãäå ( urF ) — òðåõìåðíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òðåõìåðíûõ r

r

âåêòîðîâ u è F . Èòàê, ÷åòâåðòàÿ ïðîåêöèÿ 4-õ-ìåðíîãî ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå:   d  ic m ⋅ dτ  u2 1− 2  c 

  r  i urF =  c u2 . 1− 2  c 

( )

(14.8)

Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà ìíèìóþ åäèíèöó, ïåðåíîñà ìíîæèòåëÿ ñ íàëåâî è ïåðåõîäà ê ëàáîðàòîðíîìó âðåìåíè ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (6.9), óðàâíåíèþ (14.8) ìîæíî ïðèäàòü âèä: d dt

mc 2 1−

u2

rr = uF

( )

c2

.

(14.9)

Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî óðàâíåíèÿ. Òàê êàê âåëè÷èíà mc 2 1−

u2 c2

îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ äâèæóùåãîñÿ òåëà (ýòî ôîðìóëà Ýéíøòåéíà (10.5)), òî ëåâàÿ ñòîðîíà (14.9) îïðåäåëÿåò èçìåíåíèå ýíåðãèè äâèæóùåãîñÿ òåëà çà åäèíèöó âðåìåíè. Ñïðàâà æå âåëè÷èíà óêàçûâàåò, ÷òî çà ñ÷åò ýòîãî èçìåíåíèÿ ýíåðãèè (çà åäèíèöó âðåìåíè) ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà ñèëû F (òàêæå çà åäèíèöó âðåìåíè). Äåéñòâèòåëüíî: r

.

(14.7)

(urFr ) = Fr ⋅ ddtS = dtd (FrSr ) = dtd A . Òàêèì îáðàçîì, ÷åòâåðòàÿ ïðîåêöèÿ ðåëÿòèâèñòñêîãî 4-õìåðíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè. Åñëè òåëî èçîëèðîâàíî (èëè ñèñòåìà òåë 105

çàìêíóòà), òî èç óðàâíåíèÿ (14.1) òîò÷àñ æå ñëåäóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Âñå æå 4 ïðîåêöèè ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáúåäèíÿþò äâà ñàìîñòîÿòåëüíûõ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ: çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è çàêîí ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè â åäèíûé â ÑÒÎ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè-èìïóëüñà. Ýòîò ôàêò áûë óæå íàìè óñòàíîâëåí ïðè ðàññìîòðåíèè ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà èìïóëüñà. Êàê è ðàíåå ââåäåííûå 4-õ-ìåðíûå âåêòîðû, 4-õ-ìåðíûé âåêòîð

F’X’ = Fx, Fy′ ′ 1−

f 1, =

ãäå

f1 + iβf 4 1− β

v β= , c

2

,

f 2′ = f 2 ,

f 3′ = f 3 ,

f 4′ =

f 4 − iβf 1 1− β

2

,

Fz′′ 1−

îòíîñèòåëüíî ÈÑÎ L.  êà÷åñòâå ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ ýòèõ ôîðìóë ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà òåëî ïîêîèòñÿ â ÈÑÎ L, ò.å. u=0. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (14.3), òîò÷àñ æå ïîëó÷àåì: f 1 = Fx ,

f 2 = Fy ,

f 3 = Fz ,

f 4 = 0.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, àíàëîãè÷íî ôîðìóëàì (14.3) ìîæíî íàïèñàòü ôîðìóëû äëÿ êîìïîíåíò 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû â ÈÑÎ L’: Fx′′

f 1′ =

1−

u ′2 c2

,

f 2′ =

F y′′ 1−

u ′2

,

f 3′ =

Fz′′ 1−

c2

u ′2

i f 4′ = c

,

c2

(Frur )

. u ′ 2 (14.11) 1− 2 c

Ñîñòàâëÿÿ ôîðìóëû (14.10), ïîëó÷àåì (ñ ó÷åòîì, ÷òî â ÈÑÎ L’ òåëî äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u’=—v): Fx′′ / 1 −

îòêóäà 106

v2 c2

= Fx / 1 −

v2 c2

,

v2

= Fz

c2

Ñîñòàâèì f 4′ = −

(14.10)

v — îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÈÑÎ L’

= Fy ,

c2

ò.ê. u=0. Àíàëîãè÷íî

r

ñèëû f ( f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ïðåîáðàçóåòñÿ ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà:

v2

.

(14.12)

rr i Fv

( ) v

c 1−

2

c2

=−

i (Fx v ) c 1−

v2

,

c2

ãäå ó÷òåíî, ÷òî u“=-v è èìååò ëèøü îäíó ïðîåêöèþ íà îñü Q'xr (ïðè ýòîì F'x, = Fx). Òîãäà ÷åòâåðòàÿ ôîðìóëà Ëîðåíöà äëÿ ÷åòâåðòîé ïðîåêöèè 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà ñèëû ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî. Èòàê, ðåëÿòèâèñòñêîå ÷åòûðåõìåðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ d Pi = f i dτ

èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ

êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà. Ýòî è åñòü òî, ÷òî óòâåðæäàåò ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà. §15. Ðåëÿòèâèñòñêîå òðåõìåðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ Ðàññìîòðèì ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ëàáîðàòîðíîé ÑÎ (ñì. ôîðìóëó (14.1)). Ó÷òåì ïðè ýòîì, ÷òî òðè ïðîñòðàíñòâåííûå êîìïîíåíòû ðåëÿòèâèñòñêîãî èìïóëüñà îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì r P=

r mu

1−

u2

(ñì. 10.2).

c2

107

Òîãäà óðàâíåíèå (14.1) çàïèøåòñÿ òàê: r mu

d dt

1−

u2 c

1 rr r α ⋅ u , ãäå α = 2 Fu , êîòîðûå â îáùåì ñëó÷àå íå ïàðàëëåëüíû. c

( )

r =F

,

2

(15.1)

ãäå m — èíâàðèàíòíàÿ ìàññà. Ðàñêðîåì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (15.1) êàê ïðîèçâîäíóþ îò ïðîèçâåäåíèÿ: d dt

r mu

1−

u

2

c2

=

m 1−

u

2

r du r d +u dt dt

c2

m 1−

u2 c2

Ðàññìîòðèì äâà ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ âåêòîðîâ

r r F è u (ýòè ñëó÷àè âñòðå÷àþòñÿ ïðè äâèæåíèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö

â ýëåêòðè÷åñêîì èëè ìàãíèòíîì ïîëÿõ). r 1. Ïóñòü âåêòîð ñèëû F íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó ñêîðîñòè ur . Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëþ è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèíèìàåò âèä: r r m ⊥ ⋅ a êë = F ,

.

(15.2)

ãäå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ââåäåíî îáîçíà÷åíèå

Ïðåîáðàçóåì âòîðîå ñëàãàåìîå, óìíîæèâ è ðàçäåëèâ åãî ïðåäâàðèòåëüíî íà ñ2: r u d c 2 dt

mc 2 1−

u2

r u rr = 2 Fu , c

( )

c2

r r du  r u r r  u2 =  F − 2 Fu  1 − 2 . dt  c c 

( )

(15.3)

r du åñòü óñêîðåíèå. Íî òîãäà èç óðàâíåíèÿ (15.3) dt

ñëåäóåò, ÷òî óñêîðåíèå â ðåëÿòèâèñòñêîì äâèæåíèè íå âñåãäà ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ âåêòîðîì ñèëû (êàê ýòî òðåáóåòñÿ â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå), à çàâèñèò òàêæå îò íàïðàâëñíèÿ ñêîðîñòè r (â ôîðìóëå (15.3) ñïðàâà ñòîèò âåêòîðíàÿ ñóììà 2-õ âåêòîðîâ F è 108

m 1−

r

Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îáùåé ôîðìîé çàïèñè ðåëÿòèâèñòñêîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â òðåõìåðíîé ôîðìå. Èíûìè ñëîâàìè, ýòî åñòü ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà â ÑÒÎ. Îáðàòèì âíèìàíèå íà ñóùåñòâåííî íîâîå, ÷òî ñîäåðæèòñÿ â óðàâíåíèè (15.3), ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèì óðàâíåíèåì 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà. Ïî ñâîåìó ñìûñëó ïðîèçâîäíàÿ

m⊥ =

u2

.

c2

Ýòó âåëè÷èíó èíîãäà íàçûâàþò “ïîïåðå÷íîé ìàññîé”, ÷òî ñèìâîëè÷åñêè óêàçûâàåò íà îòíîñèòåëüíîå ðàñïîëîæåíèå

ãäå èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà (14.9). Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïåðåñòàíîâîê óðàâíåíèå (15.1) ïðèíèìàåò âèä: m

(15.4)

r

âåêòîðîâ F è u â ýòîé çàäà÷å. Íèêàêîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ýòî íàçâàíèå íå ñîäåðæèò. r 2. Ïóñòü âåêòîðû F è ur ðàñïîëàãàþòñÿ ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó. Òîãäà âòîðîé ÷ëåí ñïðàâà â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (15.3) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê: r r u rr u u r u2 r F u F ⋅ u = 2 Fu = 2 F . = 2 2 c c c c

( )

Çíàê âåêòîðà ïåðåíåñåí ñ âåëè÷èíû u íà F, ÷òî âîçìîæíî â ñèëó ïàðàëëåëüíîñòè ýòèõ âåêòîðîâ. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (15.3) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä: m 1−

u  u 1 − c 2  c2 2

2

   

r r a êë = F

.

Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèå 109

 u m1 − 2 c 

2

   

−

3 2

= m↑↑ ,

òî âíåøíå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñíîâà ïðèíèìàåò êëàññè÷åñêóþ ôîðìó (â ýòîì è ñìûñë ââåäåíèÿ âåëè÷èíû m↑↑ ): r r m↑↑ a êë = F .

Âåëè÷èíó m↑↑ èíîãäà â ëèòåðàòóðå íàçûâàþò “ïðîäîëüíîé ìàññîé”, íî êàê è “ïîïåðå÷íàÿ ìàññà”, “ïðîäîëüíàÿ ìàññà” íå äîëæíà ïîíèìàòüñÿ êàê ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò òîëüêî èíâàðèàíòíàÿ ìàññà m. Îïðåäåëèì çàêîí èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè òåëà äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ. Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òàê (çíàê âåêòîðà îïóñòèì â ñèëó îäíîìåðíîñòè äâèæåíèÿ): m  u2 1 −  c2 

   

−

3 2

du =F dt

èëè

du  u2 1 −  c2 

   

= a 0 dt, ãäå a 0 =

F . m

Èíòåãðèðîâàíèå ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó: u 1−

u2 c2

u=

= a 0 t,

, îòêóäà

at a t 1+  0   c 

2

r r ∂A E = − gradϕ − ∂t

.

Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ïðè t → ∞ ñêîðîñòü áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ, ðàâíîìó ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå ñ, êàê è äîëæíî áûòü â ÑÒÎ. §16. Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè Ïåðâûé ïîñòóëàò Ýéíøòåéíà óòâåðæäàåò, ÷òî âñå çàêîíû ïðèðîäû îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ. Âûøå ìû ïîêàçàëè, êàê òðåáóåòñÿ èçìåíèòü êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ìåõàíèêå, ÷òîáû îíî îêàçàëîñü èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðå110

îáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè â ÑÒÎ — ôîðìóë Ëîðåíöà. À êàê îáñòîèò äåëî â äðóãèõ ðàçäåëàõ ôèçèêè? Çäåñü ó÷åíûõ æäàëà óäèâèòåëüíàÿ óäà÷à. Óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå ñâîéñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ — óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, ñôîðìóëèðîâàííûå çà òðè äåñÿòèëåòèÿ äî ñîçäàíèÿ ÑÒÎ, îêàçàëèñü èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî ôîðìóë Ëîðåíöà. Ýòî îçíà÷àëî, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ âî âñåõ ÈÑÎ ïðîòåêàþò îäèíàêîâî. Íåâîçìîæíî, íàáëþäàÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå ïðîöåññû, îáíàðóæèòü àáñîëþòíûé ïîêîé èëè äâèæåíèå. Äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ îêàçàëñÿ ñïðàâåäëèâûì ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà (à íå Ãàëèëåÿ). Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ∗ ìîæíî ïîêàçàòü íåïîñðåäñòâåííî, íî ýòî î÷åíü ñëîæíàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à. Ìû èçáåðåì äðóãîé ïóòü, êîòîðûé íåîäíîêðàòíî áûë ïðîèëëþñòðèðîâàí âûøå: íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â 4-ìåðíîé èíâàðèàíòíîé ôîðìå. Êàê ïîêàçûâàåòñÿ â êóðñå ýëåêòðîäèíàìèêè, óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ìîæíî çàìåíèòü áîëåå óäîáíûìè ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ óðàâíåíèÿìè Äàëàìáåðà, ââîäÿ âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè — ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû — ñëåäóþùèì îáðàçîì:

è

(16.1)

r r B = rotA.

 ñèëó ãðàäèåíòíîé íåîäíîçíà÷íîñòè ââåäåíèÿ òàêèì îáðàçîì ñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëîâ, íà íèõ íàêëàäûâàåòñÿ îãðàíè÷èòåëüíîå èëè êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå Ëîðåíöà: r ∂ϕ divA + ε 0 µ 0 = 0 (äëÿ âàêóóìà). ∂t

(16.2)

Áëàãîäàðÿ óñëîâèþ (16.2) óðàâíåíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñêàëÿðíûé è âåêòîðíûé ïîòåíöèàëû, ñóùåñòâåííî * § 16 ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ÷èòàòåëåé,

çíàêîìûõ ñ óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà.

111

óïðîùàþòñÿ è ïðèíèìàþò äëÿ îáîèõ ïîòåíöèàëîâ îäíîòèïíûé âèä (÷òî è îïðàâäûâàåò ââåäåíèå ýòèõ âñïîìîãàòåëüíûõ ôóíêöèé). Ýòè óðàâíåíèÿ è ïîëó÷èëè íàçâàíèå óðàâíåíèé Äàëàìáåðà. Äëÿ âàêóóìà, îíè èìåþò ñëåäóþùèé âèä: ∆ϕ − ε 0 µ 0

è r ∆A − ε 0 µ 0

∂ ϕ 2

∂t 2 r ∂ A 2

∂t 2

ρ =− , ε0

(16.3)

i Φ 1 = Ax , Φ 2 = Ay , Φ 3 = Az , Φ 4 = ϕ , c

(16.4)

âîñïîëüçóåìñÿ êîîðäèíàòàìè Ìèíêîâñêîãî (9.1): x1=x, x2=y, x3=z, x4=ict, (9.1) è ââåäåì åùå îäèí 4-õ-ìåðíûé âåêòîð: j1=jx, j2=jy, j3=jz, j4=ic ρ . (16.5) Òîãäà è êàëèáðîâî÷íîå óñëîâèå (16.2), è óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà (16.3) çàïèøóòñÿ â èíâàðèàíòíîé 4-õ-ìåðíîé ôîðìå òàê: ∂Φ 1 ∂Φ 2 ∂Φ 3 ∂Φ 4 + + + =0 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4

∂x12

+

∂ 2Φ k ∂x 22

+

∂ 2Φ k ∂x 32

+

∂ 2Φ k ∂x 42

(16.6) = − µ 0 jk ,

(16.7)

 óðàâíåíèè (16.7) ôàêòè÷åñêè çàïèñàíû 4 óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ïîëó÷àòüñÿ, åñëè èíäåêñó ê ïðèäàâàòü çíà÷åíèÿ ê=1, 2, 3, 4. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ Äàëàìáåðà âìåñòå ñ êàëèáðîâî÷íûì óñëîâèåì, ôèçè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå ñàìèì óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà, èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà. Èíûìè ñëîâàìè, çàêîíû ýëåêòðîäèíàìèêè îäèíàêîâû âî âñåõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. 112

r

div j =

∂ρ . ∂t

(16.9)

Ýòî ðàâåíñòâî óòâåðæäàåò, ÷òî â ðåçóëüòàòå èçìåíåíèÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â áåñêîíå÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê ñ r

r = −µ0 j .

Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ïðèäàòü êàëèáðîâî÷íîìó óñëîâèþ (16.2) è óðàâíåíèÿì Äàëàìáåðà (16.3) 4-õ-ìåðíóþ ôîðìó çàïèñè. r Ââåäåì 4-õ-ìåðíûé âåêòîð Φ ñ êîìïîíåíòàìè:

∂ 2Φ k

Âàæíûì â ýëåêòðîäèíàìèêå ÿâëÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôîðìà çàïèñè êîòîðîãî èìååò ñëåäóþùèé âèä:

ïëîòíîñòüþ j . Çíàê ìèíóñ ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà äîãîâîðåííîñòè, ñ÷èòàòü òîê ïîëîæèòåëüíûì, åñëè îí èñòåêàåò èç òî÷êè, â áåñêîíå÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè êîòîðîé ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðàíåå ââåäåííûìè 4 -õ -ìåðíûìè âåêòîðàìè rr (õ 1 , x z , x 3 , x t ) è r j ( j1 , j2 , j3 , j4 ) . Òîãäà óðàâíåíèå (16.9) â ÷åòûðåõìåðíîé ôîðìå

ìîæíî çàïèñàòü òàê: ∂j1 ∂j2 ∂j3 ∂j4 + + + = 0, ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4

èëè 4

∂j

∑ ∂xii i =1

= 0.

(16.9)

Ìû ïîëó÷èëè 4-õ-ìåðíóþ äèâèðãåíöèþ, ò. å. çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â 4-õ-ìåðíîé çàïèñè, ÷òî ãîâîðèò îá èíâàðèàíòíîñòè ýòîãî çàêîíà. Êàê è ó äðóãèõ 4-õ-ìåðíûõ âåêòîðîâ, êîìïîíåíòû 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà j1 , j2 , j3 , j4 ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëàì Ëîðåíöà. Çàïèøåì ýòè ôîðìóëû äëÿ r

êîìïîíåíò âåêòîðà j : j1 =

v j4′ c , 1− β 2

j1′ − i

j2 = j2′ ,

j3 = j3′ ,

j4 =

v j1′ c . 1− β 2

j4′ + i

(16.10) 113

Ïîêàæåì íà ïðîñòîì ïðèìåðå èñïîëüçîâàíèå ýòèõ ôîðìóë. Ïóñòü â ÈÑÎ L’ íåïîäâèæåí çàðÿä ñ îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ ρ 0 . Îòíîñèòåëüíî ÈÑÎ L çàðÿä áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ vr . Îïðåäåëèì êîìïîíåíòû 4-ìåðíîãî âåêòîðà ïëîòíîñòè òîêà â ÈÑÎ L: j1

ρv 1− β 2

,

j2 = j2′ ,

j3 = j3′ , ρ =

ρ0 1− β 2

(16.11)

îáúåìà, çàíèìàåìîãî çàðÿäîì: dV = dV0 1 − β 2 . Íî âåëè÷èíà ñàìîãî çàðÿäà, íàõîäÿùåãîñÿ â ýòîì îáúåìå, äëÿ îáîèõ ÈÑÎ áóäåò îäíîé è òîé æå: ρ0 1− β 2

= dV0 ρ 0 = dq0 = èíâ.

Íåçàâèñèìîñòü âåëè÷èíû çàðÿäà îò ñêîðîñòè åãî äâèæåíèÿ îáóñëîâëèâàåò íåéòðàëüíîñòü àòîìà, íåñìîòðÿ íà îãðîìíóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ â àòîìå. Òî÷íî òàê æå îñòàåòñÿ íåéòðàëüíûì êóñîê ìåòàëëà ïðè åãî íàãðåâàíèè, õîòÿ ïðîèñõîäèò çíà÷èòåëüíîå èçìåíåíèå ñêîðîñòè êèíåòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíî⠗ ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè ïî ñðàâíåíèþ èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ èîíîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. 114

ãäå

r j ( j1 , j 2 , j3 , j4 ) ,

j 2 = j12 + j 22 + j32 + j42 = i 2 + j42 , i 2 = j12 + j22 + j32 = j x2 + j y2 + j z2 . r

.

Òàêèì îáðàçîì, â ÈÑÎ L âîçíèêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê â íàïðàâëåíèè îñè Îõ è, êðîìå òîãî, èçìåíÿåòñÿ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà ρ > ρ 0 . Åñëè ïåðâûé ðåçóëüòàò ïðåäñêàçûâàåòñÿ è â êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå (òîëüêî â äðóãîì êîëè÷åñòâåííîì âûðàæåíèè), òî âòîðîé ýôôåêò èìååò ÷èñòî ðåëÿòèâèñòñêîå ïðîèñõîæäåíèå. Ïðè ýòîì íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî èçìåíåíèå îáúåìíîé ïëîòíîñòè äâèæóùåãîñÿ çàðÿäà íå ïðîòèâîðå÷èò äîêàçàííîé âûøå èíâàðèàíòíîñòè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà. Äåëî â òîì, ÷òî âåëè÷èíà îáúåìà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ìåíüøå â ÈÑÎ L, ÷åì â ÈÑÎ L′ , èç-çà îòíîñèòåëüíîñòè ïðîäîëüíûõ ðàçìåðîâ

dq = dV ⋅ ρ = dV0 1 − β 2 ⋅

Ðàññìîòðèì åùå ðàç 4-õ-ìåðíûé âåêòîð òîêà ñîñòàâèì êâàäðàò åãî ìîäóëÿ:

r

Òàê êàê i = ρu è

j 4 = icρ , òî

 u2 j 2 = ρ 2 u 2 − c 2 ρ 2 = − c 2 ρ 2 1 − 2 c 

 ρ 02  = −c  u2  1− 2 c

 u2 1 −  c2 

  = −c 2 ρ 02 = èíâ.  

Òåì ñàìûì ìû ïîäòâåðäèëè, ÷òî êâàäðàò 4-õ-ìåðíîãî âåêòîðà òîêà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòîì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, óñëîâèå:

(ρ

)

u − c2 ρ 2 < 0

2 2

îçíà÷àåò, â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà â ëþáîé ÈÑÎ, ÷òî âñåãäà u<ñ, ò.å. ñêîðîñòü äâèæåíèÿ çàðÿäà, ñâÿçàííîãî ñ âåùåñòâåííîé ÷àñòèöåé (òåëîì), âñåãäà ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå. § 17. Îòíîñèòåüíîñòü äåëåíèÿ åäèíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå Ïî ñóùåñòâó, âîçìîæíîñòü ïóòåì ñîîòâåòñòâóþùåãî âûáîðà ÈÑÎ îáíàðóæèòü èëè òîëüêî ýëåêòðè÷åñêîå, èëè òîëüêî ìàãíèòíîå, èëè è òî è äðóãîå âîçäåéñòâèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà çàðÿäû è òîêè áûëî èçâåñòíî è â êëàññè÷åñêîé, äî ðåëÿòèâèñòñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå. Äåéñòâèòåëüíî, êëàññè÷åñêàÿ r

r

[r r ]

ôîðìóëà äëÿ ñèëû Ëîðåíöà F = qE + q uB ðàñïàäàåòñÿ íà äâà ñëàãàåìûõ: ïåðâîå îïðåäåëÿåò ýëåêòðè÷åñêóþ ÷àñòü ýòîé ñèëû, âòîðîå — ìàãíèòíóþ ÷àñòü. Ïîñêîëüêó ìàãíèòíîå äåéñòâèå èñïûòûâàåò òîëüêî äâèæóùèéñÿ çàðÿä, òî ïåðåõîäÿ â ÈÑÎ, â êîòîðîé ýòîò çàðÿä áóäåò íåïîäâèæíûì, ïðèáîðû íå îáíàðóæàò ìàãíèòíîãî äåéñòâèÿ. Íî íèêàêîãî èñ÷åçíîâåíèÿ (èëè 115

âîçíèêíîâåíèÿ) ìàòåðèè ïðè ýòîì íå ïðîèñõîäèò: íè â îäíîé ÈÑÎ íåëüçÿ îäíîâðåìåííî óñòðàíèòü è ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå âîçäåéñòâèå. Äåëî â òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò åäèíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, íî èñòîðè÷åñêè ñëîæèëîñü òàê, ÷òî åãî ðàçëè÷íûå ïðîÿâëåíèÿ (â çàâèñèìîñòè îò óñëîâèé íàáëþäåíèÿ, îò âûáîðà ÈÑÎ) ïîëó÷èëè ñàìîñòîÿòåëüíûå íàçâàíèÿ: ýëåêòðè÷åñêîå âîçäåéñòâèå (ïðè ýòîì ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì), ìàãíèòíîå âîçäåéñòâèå (â ýòîì ñëó÷àå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ìàãíèòíûì). Ðå÷ü èäåò ôàêòè÷åñêè î ñòàöèîíàðíûõ èëè ñòàòè÷åñêèõ ïîëÿõ. Èìåííî â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ðàñïàäàþòñÿ íà äâå ãðóïïû óðàâíåíèé, îäíè èç êîòîðûõ îïèñûâàþò ýëåêòðè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, äðóãèå — ìàãíèòíûå.  íåñòàöèîíàðíîì æå ñëó÷àå òàêîå ðàçäåëåíèå óæå ñäåëàòü íåâîçìîæíî, è ïðè âñÿêîì èçìåíåíèè âî âðåìåíè ýëåêòðè÷åñêîãî (ìàãíèòíîãî) ïîëÿ âîçáóæäàþòñÿ âèõðè ìàãíèòíîãî (ýëåêòðè÷åñêîãî) ïîëÿ. Ïîäîáíûé âçàèìîñâÿçàííûé ïðîöåññ ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ïðîñòðàíñòâå â âèäå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. È â ëþáîé ÈÑÎ ìîæíî áóäåò îáíàðóæèòü åäèíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êàê åäèíóþ ìàòåðèàëüíóþ ñðåäó. Âñå ýòî, â ïðèíöèïå, áûëî èçâåñòíî è äî ñîçäàíèÿ ÑÒÎ (çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñ÷èòàëîñü íå îäíèì èç âèäîâ ìàòåðèè, à îñîáûì ñîñòîÿíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ýôèðà). Ãëàâíîå ðàçëè÷èå ðåçóëüòàòîâ ÑÒÎ ïî ñðàâíåíèþ ñ ôîðìóëàìè äî ðåëÿòèâèñòñêîé ôèçèêè ñîñòîèò â ðàçëè÷íûõ àíàëèòè÷åñêèõ âûðàæåíèÿõ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèé õàðàêòåðèñòèê ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè îòíîñèòåëüíîñòè äåëåíèÿ åäèíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: ïî ïðîâîäíèêó èäåò ïîñòîÿííûé òîê, íóæíî ðàññìîòðåòü ïîëå ýòîãî òîêà, èñõîäÿ èç äâóõ ÈÑÎ “Ïðîâîäíèê” è “Ýëåêòðîí”, ñâÿçàâ êàæäóþ èç íèõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì îáúåêòîì.  ÈÑÎ “Ïðîâîäíèê” êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà ïðîâîäíèêà íåïîäâèæíà, à ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ è äâèæóòñÿ ýëåêòðîíû ïðîâîäèìîñòè. Òàê êàê ïî ïðîâîäíèêó òå÷åò ïîñòîÿííûé òîê, òî ñêîëüêî ýëåêòðîíî⠓çàõîäèò” â êàêîé ëèáî ó÷àñòîê ïðîâîäíèêà, 116

ñòîëüêî æå “âûõîäèò”, ýòî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííîãî òîêà. Ïîýòîìó, êàê äî çàìûêàíèÿ öåïè, òàê è ïîñëå â öåëîì ïðîâîäíèê îêàçûâàåòñÿ íåéòðàëüíûì. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê: ρ + = − ρ − èëè ρ + + ρ − =0, ãäå ρ + è ρ _ — îáúåìíûå ïëîòíîñòè ïîëîæèòåëüíûõ çàðÿäîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè è ýëåêòðîíîâ, ñîçäàþùèõ â äàííîé ÈÑÎ ýëåêòðè÷åñêèé òîê ñ ïëîòíîñòüþ j x− = ρ − u , ïðè÷åì ρ − = —en, çíàê (—) ó÷èòûâàåò çíàê çàðÿäà ýëåêòðîíà, n— îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýëåêòðîíîâ.  ÈÑÎ “Ýëåêòðîí” ýëåêòðîíû ïðîâîäèìîñòè íåïîäâèæíû, íî äâèæåòñÿ êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà ñî ñêîðîñòüþ (—u).  ýòîé ÈÑÎ èçìåíèòñÿ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü è ïîëîæèòåëüíûõ è îòðèöàòåëüíûõ çàðÿäîâ ñîãëàñíî ôîðìóëàì, ïîëó÷åííûì âûøå (16.11):  j +u  1 ρ +, =  ρ + − x2  ⋅ ,   c   1 − u2 / c2

ãäå j x+ = 0,

òàê êàê ïîëîæèòåëüíûå èîíû â ÈÑÎ “Ïðîâîäíèê”

íåïîäâèæíû. Ñîîòâåòñòâåííî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî j x− = − enu, èìååì:

ρ −, =

ρ− −

j x− u c2

1 − u / c2 2

.

Ñîñòàâèì âûðàæåíèå ρ +′ + ρ −′ =

e2n ⋅ u 2 c2 1 − u2 / c2

,

÷òî áîëüøå íóëÿ, ò. å. ïðîâîäíèê â ÈÑÎ “Ýëåêòðîí” ïðèîáðåòàåò ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä. È åñëè â ÈÑÎ “Ïðîâîäíèê” âîêðóã ïðîâîäíèêà ñ ïîìîùüþ ïðèáîðîâ (ò.å. îáúåêòèâíî) ìîæíî îáíàðóæèòü ìàãíèòíîå ïîëå, òî â ÈÑÎ “Ýëåêòðîí” ïðèáîðû çàôèêñèðóþò è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå (îò çàðÿæåííîãî ïðîâîäíèêà), è ìàãíèòíîå ïîëå (îò òîêà, ñâÿçàííîãî ñ äâèæåíèåì èîíîâ ðåøåòêè â ýòîé ÈÑÎ). 117

Îòìåòèì åùå ðàç, ÷òî íèêàêîãî òâîðåíèÿ ìàòåðèè íå ïðîèñõîäèò, â îáåèõ ÈÑÎ ñóùåñòâóåò åäèíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Íî ïóòåì âûáîðà ÈÑÎ, ò. å. óñëîâèé íàáëþäåíèÿ ýòîãî ìàòåðèàëüíîãî îáúåêòà, ìû îáíàðóæèâàåì ó íåãî ðàçíûå ïðîÿâëåíèÿ, ðàçíûå ñâîéñòâà. Òàê êàê ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé èçìåíÿåòñÿ íå òîëüêî âåëè÷èíà ρ , íî òàêæå è ïëîòíîñòü òîêà jx, à ñ ýòèìè õàðàêòåðèñòèêàìè çàðÿäîâ è òîêîâ íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíû r r õàðàêòåðèñòèêè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, åãî âåêòîðû Å è  , ýòî è óêàçûâàåò íà îòíîñèòåëüíûé õàðàêòåð ýòèõ âåëè÷èí. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó è ïîëó÷èì ôîðìóëû r ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðà Å ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé. Ñâÿæåì ñ íåïîäâèæíîé ÈÑÎ L ïëîñêèé êîíäåíñàòîð. Ïóñòü åãî ïëàñòèíû ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè yOz, ò. å. ïîëå ìåæäó ïëàñòèíàìè íàïðàâëåíî âäîëü îñè Îõ è ðàâíî E=

q εε 0 S ,

ãäå q — çàðÿä íà ïëàñòèíå êîíäåíñàòîðà, S — åå ïëîùàäü. Ïåðåéäåì ê ïîäâèæíîé ÈÑÎ L’, äâèæóùåéñÿ âäîëü îñè Îõ. Òàê êàê ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà ðàñïîëîæåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ, òî ðàçìåðû ïëàñòèí íå èçìåíÿþòñÿ ïðè íàáëþäåíèè êîíäåíñàòîðà èç ÈÑÎ L′ , íå èçìåíÿåòñÿ è ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü çàðÿäîâ, à çíà÷èò, íå èçìåíÿåòñÿ è íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â íàïðàâëåíèè îñè Βõ’: Œõ, = Åõ. Ðàñïîëîæèì òåïåðü ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè xOz, íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ â ýòîì ñëó÷àå áóäåò íàïðàâëåíà âäîëü îñè Îó è ðàâíà Åy=q/ εε 0 S . Ñíîâà ïåðåéäåì â ÈÑÎ L’. Òàê êàê ïëàñòèíû êîíäåíñàòîðà ðàñïîëîæåíû ïàðàëëåëüíî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ, òî â ÈÑÎ L’ èõ ðàçìåðû óìåíüøàòñÿ â 118

1−

u2 c2

ðàç, ãäå u— îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü

äâèæåíèÿ ÈÑÎ L′ îòíîñèòåëüíî ÈÑÎ L:

S’ = S / 1 − u 2 / c 2 .

Ïîýòîìó E ′y ′ =

q

εε 0 S ′

=

q

εε 0 S 1 − u / c 2

2

=

Ey 1 − u2 / c2

.

Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìîæíî ïîëó÷èòü, ÷òî Ez

E z′ ′ =

.

1 − u2 / c2

Çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå âûâîäÿòñÿ ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò õàðàêòåðèñòèê ïîëÿ â îáùåì ñëó÷àå. Ïîýòîìó ïðèâåäåì ýòè ôîðìóëû áåç âûâîäà: E x′ ′ = E x , E ′y ′ =

E z′ =

B x′ ′ = B x ,

E y − vB z 1− β 2 E z + vB y 1− β

2

,

,

B ′y ′ =

B z′ =

v

By +

c2

Ez ,

1− β 2

Bz −

v c

2

(17.1)

Ey

1− β 2

.

ãäå v— ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÈÑÎ L’ îòíîñèòåëüíî ÈÑÎ L. Èç ôîðìóë (17.1) ñëåäóåò, ÷òî åñëè â îäíîé ÈÑÎ åñòü òîëüêî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, òî â äðóãîé ÈÑÎ îáíàðóæèâàåòñÿ íå òîëüêî ýëåêòðè÷åñêîå, íî è ìàãíèòíîå ïîëå. Ìû åùå ðàç óáåæäàåìñÿ, ÷òî äåëåíèå åäèíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå îòíîñèòåëüíî. § 18. Èíâàðèàíòû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ Êàê è â ìåõàíèêå ÑÒÎ, ãäå îòíîñèòåëüíûì ïðîñòðàíñòâåííûì è âðåìåííûì èëè èìïóëüñíûì è ýíåðãåòè÷åñêèì õàðàêòåðèñòèêàì ïðîöåññîâ ñîïîñòàâëÿþòñÿ àáñîëþòíûå âåëè÷èíû — èíòåðâàë (â ïåðâîì ñëó÷àå) èëè 4-ìåðíûé âåêòîð ýíåðãèè119

èìïóëüñà (âî âòîðîì ñëó÷àå), òàê è â ðåëÿòèâèñòñêîé ýëåêòðîäèíàìèêå îòíîñèòåëüíûì âåêòîðàì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñîïîñòàâëÿþòñÿ äâå àáñîëþòíûå, èíâàðèàíòíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå ââîäÿòñÿ ïðè ïîìîùè ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé: I1 = E 2 − c 2 B 2 , rr I 2 = EB .

( )

(18.1)

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðîâ ïîëÿ (17.1), ìîæíî óáåäèòüñÿ â èíâàðèàíòíîñòè ýòèõ âûðàæåíèé. Ïîäîáíî òîìó, êàê ñ ïîìîùüþ èíòåðâàëà óäàëîñü ãëóáæå ðàçîáðàòüñÿ â ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûõ ñâÿçÿõ ÿâëåíèé, ðàçäåëèâ âñå ïàðû ñîáûòèé íà äâà íå ïåðåõîäÿùèõ äðóã â äðóãà êëàññà ñîáûòèé (§ 8), òàê è ñ ïîìîùüþ ïåðâîãî èíâàðèàíòà (18.1) ìîæíî ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ ðàçäåëèòü íà êëàññû: 1) I 1 >0 — ýëåêòðîïîäîáíûå ïîëÿ; 2) I1<0 — ìàãíèòîïîäîáíûå ïîëÿ è 3) 11=0. Íàçâàíèå èíâàðèàíòà óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ñîîòâåòñòâóþùåãî óñëîâèÿ, âî âñåõ ÈÑÎ àáñîëþòíûì ÿâëÿåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ïðîÿâëåíèå ïîëÿ. Íàïðèìåð, åñëè I1 >0, òî âî âñåõ ÈÑÎ áóäåò îáíàðóæèâàòüñÿ ýëåêòðè÷åñêîå ïðîÿâëåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ìàãíèòíîå æå ïðîÿâëåíèå ìîæíî óñòðàíèòü.  ñëó÷àå I1=0 ïîëó÷àåì Å = ñÂ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñâÿçè âåêòîðîâ â ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíå. Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà íå òîëüêî I1 = 0, íî è I2=0. Âòîðîå óñëîâèå (18.1) ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ ïîëÿ, îíî ìîæåò áûòü ðàâíî íóëþ (ïðè îòëè÷íûõ îò íóëÿ âåêòîðàõ ïîëÿ), åñëè ýòè âåêòîðà âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. È â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè I2,, ýòî ñâîéñòâî âåêòîðîâ ïîëÿ ñîõðàíÿåòñÿ â ëþáîé ÈÑÎ. Äðóãèìè ñëîâàìè — ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû èìåþò ïîïåðå÷íûé õàðàêòåð â ëþáîé ÈÑÎ. Êðîìå òîãî, èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ñêîðîñòü èõ ðàñïðîñòðàíåíèÿ â âàêóóìå. § 19. Ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà ìèðà è ÑÒÎ Â ïðîöåññå ïîçíàíèÿ è èçó÷åíèÿ ñâîéñòâ îêðóæàþùåãî ìèðà â íàóêå âûäåëÿþòñÿ íàèáîëåå îáùèå ïîíÿòèÿ è èäåè, ïðèíöèïû 120

è òåîðèè, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ íà äàííîì ýòàïå ðàçâèòèÿ ôèçèêè ñîçäàåòñÿ ìîäåëü ïðèðîäû. Ýòîò èäåàëèçèðîâàííûé â ðàìêàõ ñóùåñòâóþùèõ ïðåäñòàâëåíèé îáðàç ïðèðîäû è íîñèò íàçâàíèå ôèçè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà (ÔÊÌ). Ñ ìîìåíòà âîçíèêíîâåíèÿ ñîâðåìåííîé ôèçèêè (ñî âðåìåí Ãàëèëåÿ, Äåêàðòà, Íüþòîíà) ñìåíèëîñü óæå íåñêîëüêî ôèçè÷åñêèõ êàðòèí ìèðà.  ïåðèîä ãîñïîäñòâà ìåõàíèêè, êîãäà êàçàëîñü, ÷òî âñå ÿâëåíèÿ ìîæíî îáúÿñíèòü, èñõîäÿ èç çàêîíîâ ìåõàíèêè, áûëà ïîñòðîåíà ìåõàíè÷åñêàÿ êàðòèíà ìèðà. Åå îñíîâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ: 1) Âåùåñòâåííûå òåëà ñóùåñòâóþò â àáñîëþòíîì ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè, ñâîéñòâà ïîñëåäíèõ íå îáóñëîâëåíû âåùåñòâåííûìè òåëàìè, îíè íå âçàèìîñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. 2) Ïðåäïîëàãàåòñÿ âîçìîæíîñòü ïåðåäà÷è äåéñòâèÿ ìãíîâåííî íà ëþáîå ðàññòîÿíèå áåç ó÷àñòèÿ â ýòîì ïðîìåæóòî÷íîé ñðåäû (ïðèíöèï äàëüíîäåéñòâèÿ), ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûå ñâÿçè íîñÿò àáñîëþòíûé õàðàêòåð ìåæäó âñåìè ïðîöåññàìè â ìèðå.  êà÷åñòâå óíèâåðñàëüíîãî ìãíîâåííîãî äåéñòâèÿ ïðåäëàãàþòñÿ ãðàâèòàöèîííûå ñèëû. 3) Âåñ äâèæåíèÿ ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê ìåõàíè÷åñêèì. Çàêîíû ìåõàíèêè, ðàññìàòðèâàåìûå â ÈÑÎ, èìåþò àáñîëþòíûé õàðàêòåð. Ìåòàôèçè÷åñêèé õàðàêòåð ìåõàíè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà ïðèâåë ôèçèêó ê íåîáõîäèìîñòè ïîñòðîèòü íîâóþ ÔÊÌ, ÷òî ñòàëî íàñóùíîé íåîáõîäèìîñòüþ â ñâÿçè ñ èíòåíñèâíûì ðàçâèòèåì îïòèêè, ýëåêòðè÷åñòâà è ìàãíåòèçìà â XIX âåêå. Íàðÿäó ñ âåùåñòâåííûìè òåëàìè, èìåþùèìè äèñêðåòíîå ñòðîåíèå, ñòàëî èçó÷àòüñÿ îñîáîå ñîñòîÿíèå ãèïîòåòè÷åñêîé ñðåäû -ýôèðà, ïîëó÷èâøåå íàçâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ñóùåñòâåííûì îòëè÷èåì ïîëÿ îò âåùåñòâà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïîëå ïîä÷èíÿåòñÿ ïðèíöèïó ñóïåðïîçèöèè. Èäåÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ýôèðå ñ íåèçáåæíîñòüþ ïðèâîäèò ê ïðèíöèïó áëèçêîäåéñòâèÿ: äåéñòâèå ïåðåäàåòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, ïðè ýòîì ãëàâåíñòâóþùóþ ðîëü â ýòîì ïðîöåññå èãðàåò ïðîìåæóòî÷íàÿ ñðåäà. Çà èñêëþ÷åíèåì ãðàâèòàöèîííûõ ñèë, âñå èçâåñòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ñâîäÿòñÿ ê ýëåêòðîìàãíèòíûì. Ïðåäñòàâëåíèÿ îá ýôèðå, ñ 121

êîòîðûì ìîæíî ñâÿçàòü àáñîëþòíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà, ïîïðåæíåìó ïðèâîäÿò ê àáñîëþòíîìó ïðîñòðàíñòâó, àáñîëþòíîìó âðåìåíè è àáñîëþòíîìó äâèæåíèþ, îäíàêî, íå ìåõàíè÷åñêîãî, à ýëåêòðîìàãíèòíîãî õàðàêòåðà. Ìû ïåðå÷èñëèëè îñíîâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé êàðòèíû ìèðà, ïîñòðîåííîé ê êîíöó XIX âåêà. Íî â ýòîé ÔÊÌ áûëî îäíî “óçêîå” ìåñòî — ýôèð ñ åãî óäèâèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè è ïðîòèâîðå÷èâûìè ïðîÿâëåíèÿìè â ðàçëè÷íûõ îïûòàõ, ÷àñòü èç êîòîðûõ áûëà ðàññìîòðåíà â § 4.  ïîèñêàõ âûõîäà èç ñèòóàöèè, â êîòîðîé îêàçàëàñü ôèçèêà â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé ýôèðà (à ïî ñóòè äåëà, ñ ïðîáëåìàìè, ñâÿçàííûìè ñî ñâîéñòâàìè ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè, äâèæåíèÿ è âçàèìîäåéñòâèÿ) â 1905 ãîäó À. Ýéíøòåéí ïðåäëîæèë äâà íîâûõ ôèçè÷åñêèõ ïðèíöèïà è, êàê îêàçàëîñü, ñîçäàë íîâóþ ôèçè÷åñêóþ òåîðèþ — ñïåöèàëüíóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè. Ðàçðåøèâ ïðîáëåìó ýôèðà êàê ñðåäû, êîòîðàÿ ÍÅ íóæíà äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí, À. Ýéíøòåéí ïðèçíàë òåì ñàìûì íàðÿäó ñ âåùåñòâîì äðóãîé âèä ìàòåðèè — ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè áûë ðàñïðîñòðàíåí íà âñå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, è òåì ñàìûì áûëî îòâåðãíóòî àáñîëþòíîå äâèæåíèå, àáñîëþòíîå ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ. Áûëà ïîêàçàíà îòíîñèòåëüíîñòü äëèíû è ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, îäíîâðåìåííîñòè è ââåäåíà íîâàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà — èíòåðâàë, ïîçâîëèâøèé îñâîáîäèòüñÿ îò àáñîëþòíîãî êëàññè÷åñêîãî äåòåðìèíèçìà è îòíåñòè ëþáóþ ïàðó ñîáûòèé ê îäíîìó èç äâóõ êëàññîâ. Ìåæäó îäíèìè ïàðàìè ñîáûòèé ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûå ñâÿçè, ìåæäó äðóãèìè – òàêèõ ñâÿçåé íå ìîæåò áûòü íè â îäíîé ÈÑÎ. Êðîìå òîãî, èíòåðâàë ñâÿçàë â åäèíóþ àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó îòíîñèòåëüíûå â ýòîé òåîðèè äëèíó è ïðîìåæóòêè âðåìåíè. Íåçàâèñèìûå â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå, ýòè âåëè÷èíû îêàçàëèñü â ÑÒÎ âçàèìîñâÿçàííûìè. ÑÒÎ ââåëà íîâûå àáñîëþòíûå âåëè÷èíû, êàêîâûõ íå áûëî â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå: ñêîðîñòü ñâåòà, èíòåðâàë, 4-õ-ìåðíûå âåêòîðû ñêîðîñòè, èìïóëüñà, åäèíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè – èìïóëüñà è ò.ä. Åþ çàâåðøåíî ïîñòðîåíèå ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà. 122

§ 20. Ïîçíàíèå ïðîäîëæàåòñÿ... Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, ðàçðåøèâ òðóäíîñòè êëàññè÷åñêîé ôèçèêè â âîïðîñå î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ, ñòàëà íîâûì ýòàïîì â ïîçíàíèè ìèðà. ßâëÿÿñü îáùåôèçè÷åñêèì ó÷åíèåì î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè, ÑÒÎ îêàçàëà, âìåñòå ñ òåì, îãðîìíîå âëèÿíèå íà æèçíü âñåãî ÷åëîâå÷åñêîãî îáùåñòâà, íà åãî ýêîíîìè÷åñêîå è ñîöèàëüíîå ñîñòîÿíèå. È â ýòîì íå ïåðåõîäÿùåå çíà÷åíèå ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Îäíàêî êàê è âñÿêàÿ íàó÷íàÿ òåîðèÿ, ÑÒÎ íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîçíàâàåìîñòè ìèðà. Ðàññìàòðèâàÿ îäíîðîäíîå è èçîòðîïíîå ïðîñòðàíñòâî, îäíîðîäíîå âðåìÿ, èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà, ÑÒÎ çàâåäîìî èäåàëèçèðóåò ñâîéñòâà ìàòåðèàëüíîãî ìèðà. Òàê, íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííîå ïîëå Çåìëè äåëàåò îêîëîçåìíîå ïðîñòðàíñòâî àíèçîòðîïíûì; â ñèëó èäåàëüíîãî õàðàêòåðà 1-ãî çàêîíà ìåõàíèêè, äâèæåíèå ïî èíåðöèè ìîæíî îáíàðóæèòü ëèøü íà ìàëîì ïóòè çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â äåéñòâèòåëüíîñòè âñå ñèñòåìû îòñ÷åòà íå èíåðöèàëüíû. Äà è â ñàìîé ÑÒÎ îáíàðóæèëèñü íåêîòîðûå òðóäíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîé òåîðèè âñå ñîáûòèÿ ñ÷èòàþòñÿ òî÷å÷íûìè, ïðîèñõîäÿùèìè â ïðîñòðàíñòâåííîé òî÷êå. Âñå æå ðåàëüíûå ñîáûòèÿ çàíèìàþò îïðåäåëåííûé ïðîñòðàíñòâåííûé îáúåì. Ïðè ðàññìîòðåíèè àêòîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò áåñêîíå÷íî áûñòðîé ïåðåäà÷è äåéñòâèÿ ÷åðåç îáúåì ñàìîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû, ÑÒÎ ðàññìàòðèâàåò èõ êàê òî÷å÷íûå îáðàçîâàíèÿ, êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè. Âìåñòå ñ òåì, ýêñïåðèìåíò óêàçûâàåò íà ñëîæíóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ ñòðóêòóðó, íàïðèìåð, ïðîòîíà èëè íåéòðîíà, ìåçîíîâ è áàðèîíîâ. Àíàëèçèðóÿ ïîñòóëàòû ÑÒÎ, ìû óòâåðæäàëè ïðåäåëüíîñòü ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå, ïîíèìàÿ ïîä ýòèì íåâîçìîæíîñòü ïðåîäîëåòü ýòîò ïðåäåë è îêàçàòüñÿ â îáëàñòè ñâåðõñâåòîâûõ ñêîðîñòåé. Îäíàêî â ïîñëåäíèå ãîäû äèñêóòèðóåòñÿ âîïðîñ î òàê íàçûâàåìûõ òàõèîíàõ — ÷àñòèöàõ, äâèæóùèõñÿ ñî ñâåðõñâåòîâîé ñêîðîñòüþ. Ýòè ÷àñòèöû òàêæå íå ìîãóò ïðåîäîëåòü ñâåòîâîé áàðüåð è ïåðåéòè â íàø ìèð. Íî ãëàâíûì ïðåïÿòñòâèåì â 123

ïðèçíàíèè ðåàëüíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ íàðóøåíèå äëÿ íèõ çàêîíà ïðè÷èííîñòè, êîòîðûé äëÿ íàøåãî “äî ñâåòîâîãî” ìèðà ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíûì çàêîíîì ïðèðîäû. È âñå æå ïðîáëåìà î òàõèîíàõ îáñóæäàåòñÿ è òåîðåòèêàìè, è ýêñïåðèìåíòàòîðàìè... Ñîçäàâ â 1905 ãîäó ñïåöèàëüíóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè, À. Ýéíøòåéí ïîíèìàë, ÷òî îíà “ðàáîòàåò” ëèøü ñ îäíèì êëàññîì ñèñòåì îòñ÷åòà — èíåðöèàëüíûìè ñèñòåìàìè îòñ÷åòà. Ïîýòîìó ïåðåä íèì âñòàëà çàäà÷à îáîáùèòü ñâîþ òåîðèþ íà íåèíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà. ×òî è áûëî èì ñäåëàíî ê 1916 ãîäó.  ýòîé òåîðèè, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå “Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè”, À. Ýéíøòåéí ïîêàçàë, ÷òî ó÷åò ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ïðèâîäèò ê àíèçîòðîïèè ïðîñòðàíñòâà è íåîäíîðîäíîñòè âðåìåíè. Âñêîðå îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè áûëà ïîäòâåðæäåíà ýêñïåðèìåíòàëüíî è â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñ÷èòàåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèåé ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è òÿãîòåíèÿ. Ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òî âûâîäû ÑÒÎ îñòàþòñÿ âåðíûìè è â ìèêðîìèðå âïëîòü äî äîñòèãíóòûõ ðàññòîÿíèé â 10-15 ì è ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè â 10-23 ñ. Íî â ìèêðîìèðå äåéñòâóþò èíûå çàêîíû, ÷åì â ìàêðîìèðå. Äà è ÑÒÎ íå ó÷èòûâàåò êâàíòîâûõ ñâîéñòâ ìèêðîìèðà. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî íà áîëåå ãëóáîêèõ óðîâíÿõ, ÷åì 10-15 ì è 10 -23 ñ, ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, ìîæåò áûòü, íå áóäåò âåðíà. Íî òåîðèè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ìèêðîìèðà ïîêà íå ñóùåñòâóåò. Ìèð æäåò íîâîãî Ýéíøòåéíà. Âåäü ïðîöåññ ïîçíàíèÿ âå÷åí, ïîçíàíèå ïðîäîëæàåòñÿ...

ÏÐÈËÎÆÅÍÈß

òàê:

Ïðèëîæåíèå 1. Ê âûâîäó ôîðìóë Ëîðåíöà. Äëÿ îáùíîñòè, 2-ÿ è 3-ÿ ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ çàïèñàíû

ó’ = β ó è z’= β z, ãäå â ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòè íàïðàâëåíèé Îó è Oz ñòîèò îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü β . Ðàçðåøèì ýòè âûðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî íå øòðèõîâàííûõ êîîðäèíàò: 1

1

ó= β ó’ è z= β z’. Èç ðàâíîïðàâèÿ ÈÑÎ L è L’ íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî 1

êîýôôèöèåíòû β è β äîëæíû áûòü ðàâíû (èíà÷å îäíó ÈÑÎ ìîæíî áûëî áû îòëè÷èòü îò äðóãîé ïî èçìåíåíèþ äëèíû ìàñøòàáà). Íî ýòî âîçìîæíî (ïðè íàøåì âûáîðå íàïðàâëåíèé îñåé êîîðäèíàò ÈÑÎ Îó’ è Îz’), åñëè êîýôôèöèåíò β =1. Ïîýòîìó ó’=ó è z’=z. Ïðèëîæåíèå 2. Íàõîæäåíèå êîýôôèöèåíòîâ α , δ , γ . Ðåøèì àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (6.4). α 2 − ñ 2δ 2 = 1 ,

(6.4.à)

α 2 v 2 − c 2γ 2 = − c 2 ,

(6.4.á) (Ï.2.1)

− α 2 v + c 2γδ = 0 .

(6.4.â)

Âûðàçèì èç ðàâåíñòâà (6.4.â) êîýôôèöèåíò δ : δ =

α 2v c 2γ

(Ï.2.2)

è ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (6.4.à): α2 − 124

α 4v 2c 2 = 1. c 4γ 2

(Ï.2.3) 125

Èç ðàâåíñòâà (6.4.á) âûðàçèì α 2 : α2 =

ñ 2γ 2 − ñ 2 v2

è ïîäñòàâèì â (Ï.2.3): ñ 2γ 2 − ñ 2 v2

 c 2γ 2 − c 2 −  v2 

2

 v2  1.  c 2γ 2 = 

Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ è ñîêðàùåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ïîëó÷àåì: γ2 =

1 1 − v2 / c2

.

(Ï.2.4)

Ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå γ 2 ïîäñòàâëÿåì â âûðàæåíèå äëÿ α 2, íàéäåííîå èç ðàâåíñòâà (6.46): α2 =

1 1 − v2 / c2

.

(Ï.2.5)

Êîýôôèöèåíò δ îïðåäåëèì èç (6.4à): δ2 =

1 v2 . ⋅ c4 1 − v 2 / c 2

(Ï.2.6)

Ïðèëîæåíèå 3. “Ïàðàäîêñû” ÑÒÎ Ñ ìîìåíòà ïîÿâëåíèÿ ÑÒÎ åå ïûòàëèñü îïðîâåðãíóòü, â ÷àñòíîñòè, ñ ïîìîùüþ çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ áóäòî áû îïðîâåðãàþò âûâîäû ÑÒÎ. Íî êàæäûé ðàç îêàçûâàëîñü, ÷òî îáíàðóæèâàåìûå ïðîòèâîðå÷èÿ áûëè êàæóùèìèñÿ, âîçíèêàâøèìè èççà íåïðàâèëüíîãî ïðèìåíåíèÿ ïîëîæåíèé ÑÒÎ. Îäíàêî, çà òàêèìè çàäà÷àìè çàêðåïèëîñü íàçâàíèå “Ïàðàäîêñû ÑÒΔ, õîòÿ, êàê áóäåò âèäíî èç ðàçáîðà íåêîòîðûõ èç ýòèõ ïàðàäîêñîâ, íè÷åãî ïàðàäîêñàëüíîãî ñ òî÷êè çðåíèÿ ÑÒÎ â íèõ íåò. ×àñòü ýòèõ ïàðàäîêñîâ áûëà ðàññìîòðåíà â îñíîâíîì òåêñòå, â òîì ÷èñëå â § 7.

126

1. “Ïàðàäîêñ” ïåíàëà è êàðàíäàøà Ýòîò “ïàðàäîêñ” àíàëîãè÷åí òîìó, ÷òî áûë ðàññìîòðåí â çàäà÷å ¹ 2 (§7). Ïóñòü ïåíàë è êàðàíäàø äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, èõ ñîáñòâåííûå äëèíû îäèíàêîâû.  êà÷åñòâå èñõîäíîé IICO âûáåðåì ÑÎ “Ïåíàë”.  ñèëó îòíîñèòåëüíîñòè äëèíû â ýòîé ÈÑÎ êàðàíäàø ïîëíîñòüþ óìåñòèòñÿ â ïåíàëå (ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó ïåíàëà îòñóòñòâóþò ïåðåäíÿÿ è çàäíÿÿ ñòåíêè, è êàðàíäàø ìîæåò “çàéòè” âíóòðü ïåíàëà). Ìîæíî âûäåëèòü ÷åòûðå ìîìåíòà â ðàññìàòðèâàåìîì ïðîöåññå âõîæäåíèÿ êàðàíäàøà âíóòðü ïåíàëà: 1) ïðîõîæäåíèå ïåðåäíåãî êîíöà êàðàíäàøà ÷åðåç ïåðåäíèé ñðåç ïåíàëà t1=0; 2) ïðîõîæäåíèå çàäíåãî êîíöà êàðàíäàøà ÷åðåç ïåðåäíèé ñðåç ïåíàëà t2=l`/v. ãäå l`=l0(1-v2/c2)-1/2; 3) ïðîõîæäåíèå ïåðåäíåãî êîíöà êàðàíäàøà ÷åðåç çàäíèé ñðåç ïåíàëà t3=l0/v; 4) ïðîõîæäåíèå çàäíåãî êîíöà êàðàíäàøà ÷åðåç çàäíèé ñðåç ïåíàëà t4=(l0+l`)/v.  ÈÑÎ “Ïåíàë” âðåìåííîé ïîðÿäîê ñîáûòèé òàêîé t1
t1′ =

t1 −

vx1 c2

;

1 − v2 / c2 vx t 3 − 23 c , t 3′ = 2 1 − v / c2

t 2′ =

t2 −

vx 2 c2

; 1 − v2 / c2 vx t 4 − 24 c . t 4′ = 2 1 − v / c2

(Ï.3.1)

127

Ïîäñòàâèì â ýòè ôîðìóëû çíà÷åíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò òåõ òî÷åê, ãäå ïðîèçîøëè ñîáûòèÿ. Ïîñêîëüêó ïåðâîå è âòîðîå ñîáûòèÿ ïðîèçîøëè íà ïåðåäíåì ñðåçå ïåíàëà, òî äëÿ íèõ xt=x2=0. Òðåòüå è ÷åòâåðòîå ñîáûòèÿ — íà çàäíåì ñðåçå ïåíàëà, äëÿ ýòèõ ñîáûòèé x3=x4 = l0. Òàê êàê 1' = l0(1-v2/c2)1/2, òî èç (Ï.3.1) ñëåäóåò, ÷òî t1'
äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì. Òàêèì îáðàçîì â ðåçóëüòàòàõ, ïîëó÷åííûõ â ÑÎ “Ñòàíèíà” è “Ëåíòà”, íåò ïîòèâîðå÷èÿ ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè ÑÒÎ, ñïðàâåäëèâîìó ëèøü äëÿ ÈÍÅÐÖÈÀËÜÍÛÕ ñèñòåì îòñ÷åòà. 3. “Ïàðàäîêñ” ñâåðõñâåòîâûõ ñêîðîñòåé Èç âòîðîãî ïîñòóëàòà ÑÒÎ ñëåäóåò, ÷òî ñêîðîñòåé, áîëüøèõ ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå, íå ñóùåñòâóåò. Äëÿ îïðîâåðæåíèÿ ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ÑÒÎ ïðèäóìûâàëè ìûñëèìûå èëè ðåàëüíî îñóùåñòâèìûå îïûòû, â êîòîðûõ øëà ðå÷ü î ñâåðõñâåòîâûõ ñêîðîñòÿõ. Òàê âîçíèêàëè “ïàðàäîêñû” ñâåðõñâåòîâûõ ñêîðîñòåé. Íà ñàìîì æå äåëå íèêàêèõ ïàðàäîêñîâ íå âîçíèêàëî áû, åñëè áû “îïðîâåðãàòåëè” ÑÒÎ ïîíèìàëè áû, ÷òî â ÑÒÎ ðå÷ü èäåò íå âîîáùå î ñêîðîñòÿõ, à î ñêîðîñòÿõ ñèãíàëîâ, ïðîöåññîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ïåðåäàâàòü èíôîðìàöèþ. Ýòî äîëæíû áûòü îáÿçàòåëüíî ìàòåðèàëüíûå ïðîöåññû. È äëÿ ñêîðîñòè èõ ïåðåìåùåíèÿ ÑÒÎ ñòàâèò ïðåäåë: ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ ïðîöåññîâ íå ìîãóò ïðåâûøàòü ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå. Èçâåñòíî, ÷òî â âåùåñòâåííûõ ñðåäàõ ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ñêîðîñòè èõ â âàêóóìå. Ïîýòîìó íå áóäåò íèêàêîãî ïðîòèâîðå÷èÿ ÑÒÎ, åñëè â òàêîé ñðåäå êàêàÿ-íèáóäü ýëåìåíòàðíàÿ ÷àñòèöà (âåùåñòâåííûé îáúåêò!) áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ, ïðåâûøàþùåé ñêîðîñòü ñâåòà â ýòîé ñðåäå.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ñóùåñòâîâàíèÿ “ñâåðõñâåòîâîé” ñêîðîñòè ðàññìîòðèì ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ñâåòîâîãî “çàé÷èêà”, èñïóùåííîãî ôîíàðèêîì â ñòîðîíó âåðòèêàëüíîé ñòåíû, åñëè ñàì ôîíàðèê áóäåò ðàâíîìåðíî âðàùàòüñÿ âîêðóã îñè, ïàðàëëåëüíîé ñòåíå. Ñ óâåëè÷åíèåì óãëà ìåæäó ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ñòåíå è îñüþ ôîíàðèêà ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ñâåòîâîãî “çàé÷èêà” íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò è ïðèáëèæàåòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè ñòðåìëåíèè óãëà ê 90° (÷èòàòåëþ ïðåäîñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ðåøèòü ýòó ïî ñóòè äåëà ãåîìåòðè÷åñêóþ çàäà÷ó). Åñëè ó÷åñòü, ÷òî êàæäûé ñëåä ñâåòîâîãî ëó÷à (ñâåòîâîé “çàé÷èê”) åñòü ñëåä íåçàâèñèìîé ïîðöèè ñâåòîâîé ýíåðãèè, òî ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, ÷òî â ýòîì îïûòå ðå÷ü èäåò î ïåðåìåùåíèè íå îäíîãî òåëà, à ïîÿâëåíèè íà ñòåíå ïîñëåäîâàòåëüíî ìíîæåñòâà íåçàâèñèìûõ 129

ïÿòåí — “çàé÷èêîâ”. Ïîýòîìó ïîëîæåíèå ÑÒÎ î ïðåäåëüíîñòè ñêîðîñòè ñâåòà äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè íå íàðóøàåòñÿ.  êà÷åñòâå äðóãèõ ïðèìåðî⠓ñâåðõñâåòîâûõ” ñêîðîñòåé ìîæíî íàçâàòü òàê íàçûâàåìóþ “ôàçîâóþ” ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû (ôàçîâàÿ ñêîðîñòü — ýòî ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ôàçû âîëíû — ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ, õàðàêòåðèçóþùåãî ýòó âîëíó), ñêîðîñòü ñáëèæåíèÿ äâóõ òåë â ÑÎ, íå ñâÿçàííîé ñ ýòèìè òåëàìè, èëè ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ñòåðæíåé, ïåðåíîñèìûõ ðàâíîìåðíî ïàðàëëåëüíî ñâîåìó ïåðâîíà÷àëüíîìó ïîëîæåíèþ. Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî âñå “ïàðàäîêñû” âîçíèêàþò èç íåïðàâèëüíîãî òîëêîâàíèÿ ïîëîæåíèé ÑÒÎ. Ïîëîæèòåëüíûì â ïðîöåññå îïðîâåðæåíèÿ “ïàðàäîêñî┠ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ðåøåíèå òàêèõ çàäà÷ ïîçâîëÿåò ãëóáæå, ïðàâèëüíåå ïîíÿòü ñîäåðæàíèå ÑÒÎ. 4. Âèäèìàÿ ôîðìà òåë, äâèæóùèõñÿ ñ ðåëÿòèâèñòñêîé ñêîðîñòüþ Ýòà çàäà÷à â îïðåäåëåííîé ñòåïåíè ñâÿçàíà ñ ïðåäûäóùåé, òàê êàê äëÿ åå ðàçáîðà íåîáõîäèìî ó÷åñòü êîíå÷íîñòü ñêîðîñòè ñèãíàëà, íåñóùåãî èíôîðìàöèþ. Îáû÷íî ìû âèäèì òåëî áëàãîäàðÿ îòðàæåííûì èì ñâåòîâûì ëó÷àì. Íî äëÿ “óáåäèòåëüíîñòè” áóäåì ðàññìàòðèâàòü êóá, â âåðøèíàõ êîòîðîãî ðàñïîëàãàþòñÿ ãîðÿùèå ýëåêòðè÷åñêèå ëàìïî÷êè. Ïóñòü êóá äâèæåòñÿ ñëåâà íàïðàâî ñî ñêîðîñòüþ, áëèçêîé ê Ñ. ×òîáû óâèäåòü òàêîé êóá, íåîáõîäèìî çàôèêñèðîâàòü ëó÷è, ïðèõîäÿùèå îäíîâðåìåííî â ñåò÷àòêó ãëàçà, èëè íà ôîòîïëàñòèíêó (ïëåíêó), èëè â ïðèåìíèê êàêîãî-ëèáî ðåãèñòðèðóþùåãî óñòðîéñòâà, âîñïðèíèìàþùåãî ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû. Îäíàêî, ýòè âîëíû, ïðèíÿòûå ïðèåìíèêîì îäíîâðåìåííî, â ñèëó êîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâûõ âîëí, äîëæíû áûëè áûòü èñïóùåíû ñâåòÿùèìñÿ òåëîì â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Áîëåå óäàëåííûå òî÷êè òåëà äîëæíû áûëè “ïîñëàòü” ñâåò ðàíüøå, ÷åì áëèæå ðàñïîëîæåííûå. Íî áîëåå óäàëåííûå òî÷êè â áîëåå ðàííèé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèëèñü åùå ëåâåå òîé ëèíèè, âäîëü êîòîðîé “ñìîòðèò” îñü ôîòîàïïàðàòà (ãëàçà èëè äðóãîãî ðåãèñòðèðóþùåãî óñòðîéñòâà). Ò.î., íà ïëåíêå áóäåò çàôèêñèðîâàíà ëåâàÿ áîêîâàÿ ãðàíü êóáà, êàê åñëè îí ïîâåðíóëñÿ 130

â ìîìåíò ôîòîãðàôèðîâàíèÿ. Ýòîò “ïàðàäîêñ” ñâÿçàí ñ êîíå÷íîñòüþ ñêîðîñòè ñâåòà. Êñòàòè, ðåëÿòèâèñòñêè äâèæóùèéñÿ øàð áóäåò “âèäåí” â âèäå øàðà, à íå ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿ, êàê ýòî ñ÷èòàëîñü äîëãîå âðåìÿ. Âñå êîëè÷åñòâåííûå ðàñ÷åòû ÷èòàòåëü ñìîæåò íàéòè â êíèãå, óêàçàííîé ïîä íîìåðîì òðè â ñïèñêå ìåòîäè÷åñêîé ëèòåðàòóðû. Ïðèëîæåíèå 4. Ñóùåñòâóåò ëè “ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà”?  ó÷åáíîé è íàó÷íî-ïîïóëÿðíîé ëèòåðàòóðå î÷åíü ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ïîíÿòèå “ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà”, ïîä êîòîðîé ïîíèìàþò âûðàæåíèå

m 1 − u2 / c2

, åé ïðèäàþò ôèçè÷åñêèé

ñìûñë, òîëêóÿ êàê óêàçàíèå íà òî, ÷òî ìàññà âåùåñòâåííîãî òåëà (èëè ÷àñòèöû) èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè åãî (åå) äâèæåíèÿ. Íà ñàìîì äåëå ýòà âåëè÷èíà íå ÿâëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé, è åå íå ñëåäóåò âîîáùå óïîìèíàòü ïðè èçó÷åíèè è èñïîëüçîâàíèè ÑÒÎ. Êàê áûëî ïîêàçàíî â ïîñîáèè, ìàññà â ÑÒÎ ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé è ïîýòîìó íå ìîæåò íè îò ÷åãî çàâèñåòü. Ïîêàæåì ñíà÷àëà ýëåìåíòàðíûìè ðàññóæäåíèÿìè âíóòðåííþþ ïðîòèâîðå÷èâîñòü ïîíÿòèÿ “ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà”. Ðàññìîòðèì äâà ìûñëåííûõ îïûòà ñ îäíèì è òåì æå òåëîì, èìåþùèì ìàññó m. Ïóñòü ýòî òåëî äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u îòíîñèòåëüíî ÈÑÎ “L”.  ýòîé ÈÑÎ, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññû, òåëî îáëàäàåò ìàññîé m ðåë =

m 1 − u2 / c2

.

(Ï.4.1)

Ïðè ýòîì íèêàêîãî ôèçè÷åñêîãî îáúÿñíåíèÿ èçìåíåíèþ ìàññû òåëà íå äàåòñÿ. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî âîçðàñòàíèå ìàññû (ò.å. èíåðòíûõ è ãðàâèòàöèîííûõ ñâîéñòâ) òåëà åñòü ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî ìàññà â ÑÒÎ ïåðåñòàåò áûòü àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé è, ïîäîáíî äëèíå èëè äëèòåëüíîñòè, ïðèíèìàåò ðàçíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà. 131

Îòíîñèòåëüíîñòü ìàññû ðàññìàòðèâàåòñÿ â ýòîì îïûòå êàê ÷èñòî êèíåìàòè÷åñêèé ýôôåêò, îïðåäåëÿþùèéñÿ âûáîðîì ÈÑÎ. Îäíàêî, ðàññìîòðèì òåïåðü äðóãóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü òî æå òåëî â òîé æå ÈÑÎ “L” ðàçãîíÿåòñÿ èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ äî ñêîðîñòè u. Äëÿ ýòîãî, î÷åâèäíî, íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü ðàáîòó, çàòðàòèòü ýíåðãèþ. Âîçðàñòàíèå ìàññû òåëà â äàííîì ñëó÷àå åñòü ÷èñòî äèíàìè÷åñêèé ýôôåêò. Ðåçîííî ïîñòàâèòü âîïðîñ: òàê ÷òî æå íà ñàìîì äåëå ïðîèñõîäèò ñ òåëîì ïðè âîçðàñòàíèè åãî ìàññû ïî ôîðìóëå (Ï.4.1)? ×òîáû îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ, âûÿñíèì, êàê áûëî ââåäåíî â ÑÒÎ ïîíÿòèå “ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà”. Ïîíèìàíèå ðåçóëüòàòîâ ÑÒÎ íåâîçìîæíî áåç ó÷åòà òîãî íîâîãî, ÷òî äàëî óñòàíîâëåíèå â ÑÒÎ íåðàçðûâíîé ñâÿçè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè, áåç ó÷åòà 4 -õ-ìåðíîñòè ìèðà. Âñïîìíèì, êàê îïðåäåëÿþòñÿ êîìïîíåíòû 4-âåêòîðà ñêîðîñòè â ÑÒÎ (ñì. §9): Vi =

dxi dτ ,

(Ï.4.2)

ãäå i=l, 2, 3, 4, a d τ —èíòåðâàë ñîáñòâåííîãî âðåìåíè. Âîñïîëüçóåìñÿ ñâÿçüþ èíòåðâàëîâ ñîáñòâåííîãî è ëàáîðàòîðíîãî âðåìåíè (ñì. ôîðìóëó (6.9)): dt =

dτ 1 − u2 / c2

,

(Ï.4.3)

ãäå u— ìîäóëü ñêîðîñòè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ äâóõ ÈÑÎ, ëàáîðàòîðíîé “L” è ÈÑÎ “L' ”, ñâÿçàííîé ñ äâèæóùèìñÿ òåëîì. Ïîäñòàíîâêà ôîðìóëû (Ï. 6.3) â (Ï. 6. 2) ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äëÿ êîìïîíåíò 4-âåêòîðà ñêîðîñòè ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: Vi =

ui 1 − u2 / c2

.

(Ï.6.4)

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî â ôîðìóëå (Ï.4.4) ïîÿâèëñÿ ìíîæèòåëü γ = 132

1 1 − u2 / c2

— ðåëÿòèâèñòñêèé

êîýôôèöèåíò,

íàëè÷èå êîòîðîãî óêàçûâàåò íà ðåëÿòèâèñòñêîå ñîäåðæàíèå äàííîãî âûðàæåíèÿ. Óìíîæàÿ âñå êîìïîíåíòû 4-õ-âåêòîðà ñêîðîñòè íà îäèí è òîò æå ìíîæèòåëü — èíâàðèàíòíóþ ìàññó òåëà m, ïîëó÷èì êîìïîíåíòû ðåëÿòèâèñòñêîãî 4-x-ìåðíîãî âåêòîðà èìïóëüñà: Pi = mVi =

mu i 1 − u2 / c2

.

(Ï.4.5)

Èìåííî ñ ïîìîùüþ ýòîãî âûðàæåíèÿ (Ï.4.5) êîãäà-òî è áûëà ââåäåíà “ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà”. Ñäåëàíî ýòî áûëî ëèøü èç æåëàíèÿ ïðèäàòü âûðàæåíèþ (Ï.4.5) êëàññè÷åñêèé âèä Pi = m ðåëVi .. Òàê ïîÿâèëàñü ïîíÿòèå mpeë , ñîäåðæàíèå êîòîðîé íåîáúÿñíèìî ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ. Èç ïðåäûäóùåãî ÿñíî, ÷òî êîýôôèöèåíò γ ÍÈÊÀÊÎÃÎ îòíîøåíèÿ íå èìååò ê ìàññå è ïðèñîåäèíåí ê íåé èñêóññòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ÍÈÊÀÊÎÉ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÎÉ ÂÅËÈ×ÈÍÛ, íàçûâàåìîé “ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññîé”, â ÑÒÎ ÍÅ ÑÓÙÅÑÒÂÓÅÒ, ìàññà íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà èëè âåùåñòâåííîé ÷àñòèöû.  ÑÒÎ èñïîëüçóåòñÿ ëèøü îäíà ìàññà òåëà (ïîýòîìó èíäåêñ “Δ ó ìàññû ïèñàòü íå èìååò ñìûñëà), îíà èíâàðèàíòíà è, ê òîìó æå, èìååò òîò æå ôèçè÷åñêèé ñìûñë, ÷òî è ìàññà â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. È â ÑÒÎ ìàññà âûñòóïàåò êàê ìåðà èíåðòíûõ è ãðàâèòàöèîííûõ ñâîéñòâ âåùåñòâåííûõ òåë (÷àñòèö). Âìåñòå ñ òåì, íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Ýéíøòåéíà (10.6) Å0=mc2 â ÑÒÎ óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ìàññà ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ýíåðãèè, ñîäåðæàùåéñÿ â òåëå, êîãäà òåëî íàõîäèòñÿ â ïîêîå â äàííîé ÈÑÎ. Ýòî ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ðåçóëüòàò ÑÒÎ, êîòîðîãî íå çíàëà êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà: ïîêîÿùååñÿ òåëî òîëüêî èç ôàêòà ñâîåãî ñóùåñòâîâàíèÿ îáëàäàåò ýíåðãèåé — ýíåðãèåé ïîêîÿ Åî. Ýêñïåðèìåíò (ÿäåðíàÿ ýíåðãåòèêà, ôèçèêà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö) ïîäòâåðæäàåò ïðàâèëüíîñòü ôîðìóëû Ýéíøòåéíà (10.6). Ïðèëîæåíèå 5. Êàê âîçíèê ìèô î “ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññå” Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñ ìîìåíòà âûõîäà â ñâåò ïåðâîé ðàáîòû À. Ýéíøòåéíà ïî ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ) ïðîøëî 100 ëåò, ïðîäîëæàåòñÿ è ôèçè÷åñêîå, è ôèëîñîôñêîå, è 133

ìåòîäè÷åñêîå îñìûñëåíèå ýòîé òåîðèè, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ñîâðåìåííîãî ìèðîâîççðåíèÿ. Ó÷èòåëþ ôèçèêè ïðèõîäèòñÿ íå òîëüêî ñîîáùàòü ó÷àùèìñÿ îñíîâû ÑÒÎ, íî è óñòðàíÿòü ðÿä ìèôîâ, âîçíèêøèõ âîêðóã ýòîé òåîðèè. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì è óñòîé÷èâûì ìèôîì ÿâëÿåòñÿ ìèô î ñóùåñòâîâàíèè òàê íàçûâàåìîé “ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññû”(ÐÌ).  äàííîì ñîîáùåíèè íà îñíîâå àíàëèçà èñòîðè÷åñêèõ ôàêòîâ ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîíÿòèå ÐÌ ïîÿâèëîñü â ôèçèêå çà íåñêîëüêî ëåò äî ñîçäàíèÿ ÑÒÎ è íå èìååò ê íåé íèêàêîãî îòíîøåíèÿ. Ñàì ñîçäàòåëü ÑÒÎ À. Ýéíøòåéí íå óïîòðåáëÿë ýòîãî íàçâàíèÿ, è ìîæíî òîëüêî ñîæàëåòü, ÷òî âåëèêèé ó÷åíûé, óäåëÿâøèé ìíîãî âíèìàíèÿ è ôèçè÷åñêèì , è ôèëîñîôñêèì ïðîáëåìàì ÑÒÎ, ìåòîäèêå åå èçëîæåíèÿ, íè ðàçó íå êîñíóëñÿ “ïðîáëåìû” ÐÌ. Òîëüêî îäíàæäû íà ñîîòâåòñòâóþùèé âîïðîñ îí ïîñîâåòîâàë íå ïîëüçîâàòüñÿ ïîíÿòèåì ÐÌ â ñèëó åå íåîïðåäåëåííîñòè. Èäåÿ î çàâèñèìîñòè ìàññû ýëåêòðîíà îò ñêîðîñòè åãî äâèæåíèÿ áûëà âûäâèíóòà Êàóôìàíîì â 1896-98ãã. Èì áûëè ïîñòàâëåíû îïûòû ïî îòêëîíåíèþ êàòîäíûõ ëó÷åé â ìàãíèòíîì ïîëå. Åñòåñòâåííî, â ñâîèõ ðàñ÷åòàõ îí ïîëüçîâàëñÿ êëàññè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè äëÿ èìïóëüñà è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà (äî ñîçäàíèÿ ÑÒÎ ïðîéäåò åùå 7-9 ëåò). Ðàñ÷åòû Êàóôìàíà ïðèâîäèëè ê ôîðìóëå, èç êîòîðîé ñëåäîâàëî, ÷òî óäåëüíûé çàðÿä ýëåêòðîíà å/m çàâèñèò îò åãî ñêîðîñòè. À òàê êàê åùå Ôàðàäååì áûë ñôîðìóëèðîâàí çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, òî Êàóôìàí ïðåäïîëîæèë, ÷òî îò ñêîðîñòè çàâèñèò ìàññà ýëåêòðîíà.  òî æå âðåìÿ (1899ã.) Ã. Ëîðåíö – çíàìåíèòûé ãîëëàíäñêèé ôèçèê, ñîçäàòåëü ýëåêòðîííîé òåîðèè âåùåñòâà, èñïîëüçóÿ âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, ââîäèò äëÿ ýëåêòðîíà “ïðîäîëüíóþ” è “ïîïåðå÷íóþ” ìàññû. “Ïðîäîëüíîé” ìàññîé îáëàäàåò ýëåêòðîí, ó êîòîðîãî óñêîðåíèå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ (ñêîðîñòè), à “ïîïåðå÷íàÿ” ìàññà õàðàêòåðèçóåò äâèæåíèå ýëåêòðîíà, ó êîòîðîãî óñêîðåíèå ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ (ñêîðîñòè). Îáå ìàññû ÷àñòèöû îêàçàëèñü çàâèñÿùèìè îò ñêîðîñòè åå äâèæåíèÿ , íî ïîðàçíîìó: 134

mïðîä =

m 3 u2  2

 1 −   c 2  

,

mïîïåð =

m 1 2

.

 u 1 −   c 2   2

Íî ðåçóëüòàòû îïûòîâ Êàóôìàíà íå ñîãëàñîâàëèñü ñ ýòèìè ôîðìóëàìè Ëîðåíöà.  1900 ãîäó À. Ïóàíêàðå (ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ôèçèê), èñïîëüçóÿ íüþòîíîâñêóþ ôîðìóëó äëÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, ââåë â óïîòðåáëåíèå “èíåðòíóþ” ìàññó, õàðàêòåðèçóþùóþ èíåðòíûå ñâîéñòâà ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Ïóàíêàðå èñõîäèë èç òîãî, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà, íåñóùàÿ ýíåðãèþ Å, îáëàäàåò èìïóëüñîì ð, àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà êîòîðîãî, â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Óìîâà – Ïîéíòèíãà, ðàâíà Å/ñ. Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà÷åíèå èìïóëüñà â ôîðìóëó äëÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, Ïóàíêàðå ââåë ìàññó äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ðàâíóþ Å/ñ2. Ïîñêîëüêó ýëåêòðîìàãíèòíàÿ âîëíà íå ìîæåò íàõîäèòñÿ â ïîêîå, òî íàéäåííàÿ ìàññà ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêîé ìàññîé äâèæóùåéñÿ âîëíû. Òàê â ôèçèêå ïîÿâèëîñü òðè âèäà ìàññ: “ïðîäîëüíàÿ”, “ïîïåðå÷íàÿ” è “ðåëÿòèâèñòñêàÿ”(ýëåêòðîìàãíèòíàÿ). Ïîñëå ââîäà ôîðìóëû äëÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññû À.Ïóàíêàðå, â ôèçè÷åñêîé ëèòåðàòóðå ðåëÿòèâèñòñêóþ ìàññó ñòàëè íàçûâàòü ïðîñòî ìàññîé. Íî òîãäà äîëæíà áûëà âîçíèêíóòü åùå îäíà ìàññà – “ìàññà ïîêîÿ”. Èìåííî ýòà ìàññà ñîâïàäàëà ñ íüþòîíîâñêîé ìàññîé, äëÿ åå îáîçíà÷åíèÿ ââåëè äîïîëíèòåëüíûé èíäåêñ ó ìàññû “0”: m0 . Èòàê, åùå äî ñîçäàíèÿ ÑÒÎ À. Ýéíøòåéíîì â 1905 ãîäó â ôèçèêå óòâåðäèëèñü ñëåäóþùèå ìàññû: “ïðîäîëüíàÿ”, “ïîïåðå÷íàÿ”, “ðåëÿòèâèñòñêàÿ” – âñå ýòè ìàññû çàâèñåëè îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû (òåëà) è åùå îäíà ìàññà- “ìàññà ïîêîÿ”.  1905 ãîäó À. Ýéíøòåéí ïóáëèêóåò ðàáîòó “Ê ýëåêòðîäèíàìèêå äâèæóùèõñÿ òåë”, â êîòîðîé îí îòêàçûâàåòñÿ îò ýôèðà êàê íîñèòåëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé, è òåì ñàìûì óòâåðæäàåò ìàòåðèàëüíîñòü ñàìîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ñ 135

1905 ãîäà â íàóêå ñòàëè ðàññìàòðèâàòü äâà âèäà ìàòåðèè: âåùåñòâî è ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå. Åñëè ðàíüøå ìàññà âûñòóïàëà êàê ìåðà êîëè÷åñòâà ìàòåðèè (âåùåñòâî îòîæäåñòâëÿëîñü ñ ìàòåðèåé), òî ñ 1905 ã. (ââèäó ââåäåíèÿ åùå îäíîãî âèäà ìàòåðèè) ìàññà âûñòóïàåò êàê ìåðà âåùåñòâà, åãî èíåðòíûõ ñâîéñòâ. Íî â òîì æå ãîäó À.Ýéíøòåéí , ðàçâèâàÿ ñîäåðæàíèå ÑÒÎ, ïóáëèêóåò êîðîòêóþ çàìåòêó, â êîòîðîé ïðèõîäèò ê âûâîäó, ÷òî ìàññà òåëà ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ñîäåðæàùåéñÿ â íåì ýíåðãèè: Å0=mc2, ãäå Å0 – ýíåðãèÿ ïîêîÿùåãîñÿ òåëà (÷àñòèöû). È åñëè òåëî îòäàåò ýíåðãèþ ∆Å , òî ìàññà òåëà óìåíüøàåòñÿ íà âåëè÷èíó: ∆m = ∆E / c 2 .( Ïðèìå÷àíèå. Íå ñëåäóåò ýòó âåëè÷èíó îòîæäåñòâëÿòü ñ òàê íàçûâàåìûì äåôåêòîì ìàññû, âîçíèêàþùèì ïðè îáðàçîâàíèè óñòîé÷èâîé ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, íàïðèìåð îáðàçîâàíèå ÿäðà èç íåéòðîíîâ è ïðîòîíîâ.  1905-1906 ãã. ñòðîåíèå ÿäðà åùå íå áûëî èçâåñòíî!). Òàêèì îáðàçîì â ÑÒÎ óòâåðæäàåòñÿ íîâîå ñîäåðæàíèå ïîíÿòèÿ “ìàññà”: îíà ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ýíåðãèè òåëà â ñîñòîÿíèè ïîêîÿ.  1909 ãîäó Ã. Ìèíêîâñêèé (íåìåöêèé ìàòåìàòèê) ïðèäàåò ôîðìóëàì ÑÒÎ ñèììåòðè÷íûé âèä, èñïîëüçóÿ åäèíîå ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå “ïðîñòðàíñòâî – âðåìÿ”. Íîâîå ìàòåìàòè÷åñêîå èçëîæåíèå ÑÒÎ ïîçâîëÿåò ÿð÷å óâèäåòü òî, ÷òî ââåëà ýòà òåîðèÿ â ôèçèêó è ôèëîñîôèþ. Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî òåîðåòè÷åñêîå îïèñàíèå îïûòîâ Êàóôìàíà áûëî ñäåëàíî íà îñíîâå êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, ÑÒÎ åùå íå áûëà ñîçäàíà. Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ áûñòðûõ ÷àñòèö íåïðåäíàìåðåííî áûëà óñòàíîâëåíà çàâèñèìîñòü ìàññû îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ ÷àñòèö (ýëåêòðîíîâ). Ñàìûì íåóäà÷íûì â ýòîì áûëî òî, ÷òî ýòó çàâèñèìîñòü ïûòàëèñü îáúÿñíèòü ôèçè÷åñêè. Ëèøü ïîñëå ñîçäàíèÿ ÑÒÎ ñòàëî ÿñíî, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ áûñòðûõ ÷àñòèö íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü íå êëàññè÷åñêèå ôîðìóëû êèíåìàòèêè è äèíàìèêè, à íîâóþ ìåõàíèêó, ìåõàíèêó ÑÒÎ. Ðàññìàòðèâàÿ ÷åòûðåõìåðíûå âåëè÷èíû ìåõàíèêè ÑÒÎ(ñêîðîñòü, èìïóëüñ, ñèëó), Ã.Ìèíêîâñêèé ïîêàçàë: ðåëÿòèâèñòñêèé êîðåíü (1-u 2/ñ 2 ) 1/2 ïîÿâëÿåòñÿ åùå â êèíåìàòèêå ÑÒÎ è íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ìàññå 136

íå èìååò. Òàê “ýëåìåíòàðíî” ÑÒÎ îñâîáîäèëàñü îò íåôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû – ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññû. Îäíàêî ñàìè ôèçèêè íå ìîãëè òàê “ïðîñòî” îñâîáîäèòñÿ îò î÷åðåäíîãî çàáëóæäåíèÿ. Ïðîäîëæèì èññëåäîâàíèå èñòîðèè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýòîãî çàáëóæäåíèÿ.  1909 ãîäó â ðàáîòàõ ôèçèêîâ Ëüþèñà è Òîëìåíà èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå ÐÌ ïðè îïèñàíèè äâèæåíèÿ áûñòðûõ ýëåêòðîíîâ, ïðè ðàññìîòðåíèè ïðîöåññà èõ ñòîëêíîâåíèé.  1921 ãîäó âûõîäèò êíèãà Â. Ïàóëè “Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè”, â êîòîðîé îòáðàñûâàþòñÿ òàêèå ïîíÿòèÿ êàê “ïðîäîëüíàÿ” è “ïîïåðå÷íàÿ” ìàññû, íî çà ÐÌ ñîõðàíÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå êàê î ðåàëüíîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíå. Çäåñü æå Â. Ïàóëè äåëàåò åùå îäíó ôèçèêî-ôèëîñîôñêóþ îøèáêó: çàêîí ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ìàññû è ýíåðãèè Â. Ïàóëè òðàêòóåò êàê çàêîí ýêâèâàëåíòíîñòè ìàññû è ýíåðãèè.  äåéñòâèòåëüíîñòè ìàññà è ýíåðãèÿ – ýòî äâå ñàìîñòîÿòåëüíûå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, ìåæäó êîòîðûìè â ÑÒÎ óñòàíàâëèâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ ñâÿçü, ñâÿçü ìåæäó ýíåðãèåé ïîêîÿ è ìàññîé âåùåñòâåííîãî òåëà. Íî íå âñÿêîé ýíåðãèè ñîïîñòàâëÿåòñÿ ìàññà. Íàïðèìåð, ó ôîòîíà íåò ìàññû, ôîòîí – áåç ìàññîâàÿ ÷àñòèöà, à ýíåðãèåé îí îáëàäàåò.  ÑÒÎ íåò çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìàññû êàê â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Âñå ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ìàññà, êàê ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, íå ýêâèâàëåíòíà ýíåðãèè, õîòÿ â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ìîæåò áûòü åé ïðîïîðöèîíàëüíà. Âñëåä çà ìîíîãðàôèåé Â. Ïàóëè âûøåë òðóä À. Ýéíøòåéíà “Ñóùíîñòü òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè”.  ýòîé ðàáîòå À. Ýéíøòåéí èñïîëüçóåò ëèøü îäíó ìàññó, òó, êîòîðàÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ýíåðãèè ïîêîÿ Å 0. Âîçìîæíî, åñëè áû À. Ýéíøòåéí áîëåå ïîñëåäîâàòåëüíî è ïîäðîáíî ïðîêîììåíòèðîâàë ñâîå óðàâíåíèå E0=mc2 è ïîêàçàë áû ðàçíèöó ìåæäó ýòîé ôîðìóëîé è ôîðìóëîé E=mc2, òî ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà èñ÷åçëà áû èç ëèòåðàòóðû óæå â 20õ ãã. ÕÕ âåêà. Íî, ê ñîæàëåíèþ, îí ýòîãî íå ñäåëàë, è ÐÌ äî ñèõ ïîð “ãóëÿåò” ïî ïîïóëÿðíûì êíèãàì, ñïðàâî÷íûì ïîñîáèÿì äëÿ ïîñòóïàþùèõ â âóçû, îòäåëüíûì çàäà÷íèêàì. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, çíàìåíèòûé ôèçèê Ð. Ôåéíìàí â ñâîèõ ëåêöèÿõ ïîñâÿùàåò âûâîäó ôîðìóëû äëÿ ÐÌ íåñêîëüêî ñòðàíèö, à çàòåì íåîæèäàííî äåëàåò ñòðàííîå çàìå÷àíèå: “íî ýòà ôîðìóëà íà 137

ïðàêòèêå íå èñïîëüçóåòñÿ”. Òàê çà÷åì æå áûëî “îãîðîä ãîðîäèòü”?.. Åùå â 1941 ãîäó âûøåë 4-é òîì êóðñà òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè “Òåîðèÿ ïîëÿ” Ë.Ëàíäàó è Å.Ëèôøèöà, â êîòîðîì èçëîæåíèå ÑÒÎ ñòðîèëîñü íà áàçå ëèøü îäíîé ìàññû. Îäíàêî àâòîðû øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ, âêëþ÷èâ ñîãëàñíî íîâîé ïðîãðàììå ïî ôèçèêå îòäåëüíóþ ãëàâó ïî ÑÒÎ, íàðóøèëè óñòàíîâèâøóþñÿ òðàäèöèþ è ìåòîäèêó è âêëþ÷èëè â èçëîæåíèå ÑÒÎ ÐÌ. Íå îòñòàâàëè îò íèõ è àâòîðû âóçîâñêèõ ó÷åáíèêîâ ïî îáùåé ôèçèêå. Íå áóäåì ïåðå÷èñëÿòü èìåíà óâàæàåìûõ àâòîðîâ, îíè èçâåñòíû âñåì. È òîëüêî â 1977 ãîäó âûøåë âóçîâñêèé ó÷åáíèê ïî ÑÒÎ Â.À. Óãàðîâà, â êîòîðîì âïåðâûå â íàøåé ó÷åáíîé ëèòåðàòóðå íå òîëüêî íå èñïîëüçîâàëîñü ïîíÿòèå ÐÌ, íî è áûë âêëþ÷åí ñïåöèàëüíûé ïàðàãðàô, â êîòîðîì ëîãè÷åñêè áûëî ïîêàçàíî îòñóòñòâèå âñÿêîãî ôèçè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ â ÐÌ. Íî øêîëüíûå è âóçîâñêèå ïðîãðàììû ïî ôèçèêå, îáøèðíàÿ íàó÷íî-ïîïóëÿðíàÿ è âñÿêàÿ äðóãàÿ ëèòåðàòóðà, êàñàâøàÿñÿ ÑÒÎ, ïðîäîëæàëè ñ âîîäóøåâëåíèåì îáñóæäàòü çàâèñèìîñòü ìàññû äâèæóùåãîñÿ òåëà îò ñêîðîñòè åãî äâèæåíèÿ. Ïîòðåáîâàëîñü âìåøàòåëüñòâî êðóïíîãî ñîâåòñêîãî ôèçèêà-òåîðåòèêà Ë.Á. Îêóíÿ, îïóáëèêîâàâøåãî áîëüøóþ ñòàòüþ â æóðíàëå ìåæäóíàðîäíîãî êëàññà “Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê” ïîä íàçâàíèåì “Ïîíÿòèå ìàññà”(1989ã.). Çàòåì æóðíàë “Ôèçèêà â øêîëå” ïîìåñòèë ñòàòüþ àâòîðà äàííîãî ïîñîáèÿ ïîä íàçâàíèåì “Ñóùåñòâóåò ëè ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà?”(1994ã.). Ðàíåå âûøëî åãî ó÷åáíîå ïîñîáèå (Ã.À.Ðîçìàí Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè (1992, 1995ãã). Ýòè è äðóãèå ïóáëèêàöèè î ÐÌ çàñòàâèëè ñîñòàâèòåëåé øêîëüíûõ è âóçîâñêèõ ïðîãðàìì è ó÷åáíûõ ïîñîáèé íàêîíåö-òî èñêëþ÷èòü ïîíÿòèå ÐÌ. Ïîÿâèëèñü íîâûå øêîëüíûå ó÷åáíèêè (“Ôèçèêà-11” ïîä ðåä. À.À.Ïèíñêîãî, “Ôèçèêà-11” ïîä ðåä. Í.Ì Øàõìàåâà. “Ôèçèêà-10” Ñ. Ãðîìîâà.), èçëàãàþùèõ îñíîâû ÑÒÎ íà ñîâðåìåííîì íàó÷íîì è ìåòîäè÷åñêîì óðîâíå. Áóäåì íàäåÿòüñÿ, ÷òî íîâîå ïîêîëåíèå ó÷èòåëåé íå áóäåò óïîòðåáëÿòü ïîíÿòèå ÐÌ è ôèçèêà çàáóäåò åùå îäèí ìèô, ñâÿçàííûé ñ òîëêîâàíèåì ÑÒÎ 138

Ïðèëîæåíèå 6. Îðãàíèçàöèÿ è ìåòîäèêà ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé ïî ôàêóëüòàòèâó “Îñíîâû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè” Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè(ÑÒÎ), ÿâëÿÿñü ñîâðåìåííûì ó÷åíèåì î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ, ëåæèò â îñíîâå ôîðìèðîâàíèÿ ñîâðåìåííîãî íàó÷íîãî ìèðîâîççðåíèÿ. Íåîáõîäèìîñòü åå èçó÷åíèÿ îïðåäåëåíà ãîñóäàðñòâåííûì ñòàíäàðòîì. Îäíàêî, ÿâëÿåòñÿ ïàðàäîêñîì, ÷òî íà èçó÷åíèå ýòîãî âàæíîãî, è íå ïîáîèìñÿ ñêàçàòü, òðóäíîãî ðàçäåëà øêîëüíîãî êóðñà ôèçèêè ìàêñèìàëüíî îòâîäèòñÿ 5 óðîêîâ. ×òî ìîæåò ñäåëàòü ó÷èòåëü çà ýòîò îòðåçîê âðåìåíè? Ôàêòè÷åñêè, íè÷åãî. Íå ïîýòîìó ëè ìíîãèå ó÷èòåëÿ âûíóæäåíû çàìåíÿòü èçó÷åíèå ÑÒÎ ëèøü çíàêîìñòâîì ñ íåé ? Âîò óæå áîëåå 3-õ äåñÿòêîâ ëåò àâòîð ÷èòàåò ïî øêîëàì îáçîðíûå ëåêöèè ïî ÑÒÎ, ìíîãèå ãîäû ïðîâîäèë îáùåãîðîäñêîé ôàêóëüòàòèâ, à òåïåðü ïðèâëåêàåò ê ýòîé âàæíîé ðàáîòå ñòóäåíòîâ-ôèçèêîâ. Óæå íåñêîëüêî òûñÿ÷ øêîëüíèêîâ ã. Ïñêîâà è îáëàñòè èçó÷àëè îñíîâû ÑÒÎ íà ôàêóëüòàòèâíûõ çàíÿòèÿõ, ïðîâîäèìûõ ñòóäåíòàìè-äèïëîìíèêàìè. Íèæå ïðèâîäèòñÿ ïðîãðàììà ôàêóëüòàòèâà ïî ÑÒÎ è òåçèñû îòäåëüíûõ çàíÿòèé. Êóðñ ðàññ÷èòàí íà äåñÿòü ïàðíûõ ó÷åáíûõ çàíÿòèé. Ìåòîäèêà ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé îòëè÷àåòñÿ îò ìåòîäèêè ïðîâåäåíèÿ îáû÷íûõ óðîêîâ, â îñíîâíîì, áîëüøèì ïî îáúåìó òåîðåòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì, íåîáõîäèìîñòüþ çàïèñè ó÷àùèìèñÿ ïîä äèêòîâêó ñîîáùàåìîãî ìàòåðèàëà(â ýòîì îòíîøåíèè íàì óäàëîñü øèðîêî èñïîëüçîâàòü óïîìèíàåìîå íèæå ó÷åáíîå ïîñîáèå è èçáàâèòüñÿ îò äèêòîâêè). Íî ìû ïîñòîÿííî èñïîëüçîâàëè ôðîíòàëüíûé îïðîñ ïî ìàòåðèàëó ïðåäûäóùèõ çàíÿòèé, ðàññêàç íîâîãî ìàòåðèàëà âåëñÿ ìåòîäîì áåñåäû (÷àñòî ñ èñïîëüçîâàíèåì ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ àâòîðà ýòèõ ñòðîê “Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè”. Äëèòåëüíîñòü çàíÿòèÿ ïîçâîëÿëà ïðîâîäèòü äåòàëüíîå çàêðåïëåíèå íîâîãî ìàòåðèàëà, îáÿçàòåëüíî äàâàëîñü çàäàíèå íà äîì (ïî ó÷åáíîìó ïîñîáèþ) è, åñëè îñòàâàëîñü âðåìÿ, ñîîáùàëñÿ äîïîëíèòåëüíûé ìàòåðèàë èç áèîãðàôèè ñîçäàòåëÿ ÑÒÎ – À. Ýéíøòåéíà. ×àñòî ïî çàâåðøåíèè êóðñà ïðîâîäèëàñü êîíôåðåíöèÿ, âûïóñêàëñÿ “Áþëëåòåíü î ÑÒΔ, 139

÷òî ïîçâîëÿëî ïîçíàêîìèòü ñ óäèâèòåëüíîé òåîðèåé è òåõ ó÷àùèõñÿ, êîòîðûå íå ïîñåùàëè ôàêóëüòàòèâ. Îòìå÷àÿ âàæíîñòü èçó÷åíèÿ “Îñíîâ ÑÒΔ ó÷àùèìñÿ, ñëåäóåò ñêàçàòü è î çíà÷åíèè ýòîé òâîð÷åñêîé ðàáîòû è äëÿ ñàìîãî ó÷èòåëÿ ôèçèêè, äëÿ åãî âíóòðåííåãî è âíåøíåãî ñàìîóòâåðæäåíèÿ, äëÿ ïîëó÷åíèÿ òâîð÷åñêîãî óäîâëåòâîðåíèÿ ïðè ðàáîòå ñ ñàìûìè ëþáîçíàòåëüíûìè øêîëüíèêàìè. ÏÐÎÃÐÀÌÌÀ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂÀ ÏÎ ÑÒÎ 1-å çàíÿòèå. Îçíàêîìëåíèå ó÷àùèõñÿ ñ ïðîãðàììîé êóðñà. Âîññòàíîâëåíèå â ïàìÿòè ó÷àùèõñÿ çíàíèé ïî îñíîâàì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, îá îñíîâíûõ êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè. Ñèñòåìà îòñ÷åòà, ìåòðèçàöèÿ ïðîñòðàíñòâà è ñèíõðîíèçàöèÿ ÷àñîâ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. 2-å çàíÿòèå. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ. Ôîðìóëû Ãàëèëåÿ. Àáñîëþòíûå è îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Èíâàðèàíòíîñòü çàêîíîâ ìåõàíèêè. 3-å çàíÿòèå. Ðåøåíèå çàäà÷ (ñ âûáîðîì ðàçëè÷íûõ ñèñòåì îòñ÷åòà). 4-å çàíÿòèå. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè è êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà Ýôèð. Îïûòû ïî îáíàðóæåíèþ ýôèðà (ÿâëåíèå àáåððàöèè, îïûò Ôèçî, îïûò Ìàéêåëüñîíà). 5-å çàíÿòèå. Ïîñòóëàòû À. Ýéíøòåéíà, èõ êàæóùàÿñÿ ïðîòèâîðå÷èâîñòü. Îòíîñèòåëüíîñòü îäíîâðåìåííîñòè, âðåìåíè, äëèíû. 6-å çàíÿòèå. Ôîðìóëû Ëîðåíöà (áåç âûâîäà), êèíåìàòè÷åñêèå ñëåäñòâèÿ èç íèõ. 7-å çàíÿòèå. Ðåøåíèå çàäà÷ ïî êèíåìàòèêå ÑÒÎ. 8-å çàíÿòèå. Èíòåðâàë, åãî èíâàðèàíòíîñòü, äâà âèäà èíòåðâàëà. Ñâåòîâîé êîíóñ. 9-å çàíÿòèå. Äèíàìèêà ÑÒÎ. Ôîðìóëû À. Ýéíøòåéíà, èõ ñîäåðæàíèå. Ðåøåíèå çàäà÷ ïî äèíàìèêå ÑÒÎ 10-å çàíÿòèå. “ Ïàðàäîêñû” ÑÒÎ. Ðîëü ÑÒÎ â ôèçèêå, ôèëîñîôèè, â ýêîíîìèêå, ñîöèàëüíîé æèçíè îáùåñòâà è êóëüòóðå. 140

Ïî çàâåðøåíèþ çàíÿòèé ôàêóëüòàòèâà ïðîâîäèòñÿ çà÷åò èëè ïî áèëåòàì, èëè ïî äîêëàäàì, òåìàòèêà êîòîðûõ áûëà ñîîáùåíà â íà÷àëå âñåõ çàíÿòèé. Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ó÷åáíûõ çàíÿòèé. 1-å çàíÿòèå. Êðàòêîå èçëîæåíèå ïðîãðàììû ôàêóëüòàòèâà. Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ – àòðèáóòû ìàòåðèè. Ïðåäñòàâëåíèÿ äðåâíèõ î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè. Íüþòîí – îñíîâîïîëîæíèê êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Ñèñòåìà îòñ÷åòà â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå è â ñîâðåìåííîé ôèçèêå. 2-å çàíÿòèå. Çíàêîìñòâî ñ ðàáîòàìè Ãàëèëåÿ. Ôîðìóëèðîâêè êëàññè÷åñêîãî ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè. Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ. Àáñîëþòíîñòü âðåìåíè, âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ, îòíîñèòåëüíîñòü êîîðäèíàòû, àáñîëþòíîñòü äëèíû. Âûâîä ôîðìóëû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Àáñîëþòíîñòü óñêîðåíèÿ, ìàññû, ñèëû â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Èíâàðèàíòíîñòü ôîðìóëû 2-ãî çàêîíà ìåõàíèêè. 3-å çàíÿòèå. Ðåøåíèå çàäà÷ ïî êèíåìàòèêå è äèíàìèêå êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè(ãëàâíàÿ öåëü – çàôèêñèðîâàòü â ñîçíàíèè ó÷àùèõñÿ, ÷òî áåç âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷åòà íåâîçìîæíî ðåøàòü ôèçè÷åñêèå çàäà÷è). Çàäà÷è ïîäáèðàëèñü èç ïîñîáèÿ àâòîðà. Òàê êàê áîëüøèíñòâî èõ ñíàáæåíî ïîäðîáíûìè ðåøåíèÿìè, òî ó÷àùèìñÿ ïðåäëàãàëîñü ïðåäâàðèòåëüíî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ýòèìè ðåøåíèÿìè, à íà çàíÿòèè “îçâó÷èòü” èõ è ïðîâåñòè ìåòîäè÷åñêè îïðàâäàííóþ çàïèñü. 4-å çàíÿòèå. Çàíÿòèå ïîñâÿùåíî òùàòåëüíîìó àíàëèçó îïûòîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ïûòàëèñü îáíàðóæèòü ãèïîòåòè÷åñêèé ýôèð. Ïîä÷åðêèâàåòñÿ, ÷òî ýôèð íóæåí áûë êëàññè÷åñêîé ôèçèêå íå òîëüêî êàê ñâåòîíîñíàÿ ñðåäà, íî è äëÿ ïîèñêà àáñîëþòíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, íåîáõîäèìîé äëÿ óòâåðæäåíèÿ íüþòîíîâñêèõ ïðåäñòàâëåíèé î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè. Àíàëèç îïûòîâ Áðàäëåÿ, Ôèçî è Ìàéêåëüñîíà âûÿâëÿþò ïðîòèâîðå÷èâîñòü ïîâåäåíèÿ ýôèðà â íàáëþäàåìûõ ÿâëåíèÿõ, ÷òî ïðèâîäèò ê êðèçèñó â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. 141

5-å çàíÿòèå. Ýòî çàíÿòèå ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì. Àíàëèç Ýéíøòåéíîì êðèçèñà ãèïîòåçû îá ýôèðå ïðèâîäèò åãî ê îòâåðæåíèþ ýôèðà êàê íîñèòåëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí è ïðèçíàíèþ ìàòåðèàëüíîñòè ñàìîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ íîâîãî ó÷åíèÿ î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ Ýéíøòåéí âûäâèãàåò äâà ïîñòóëàòà. Ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îíè íå ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó, à ïðîòèâîðå÷àò êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì. Óñòàíàâëèâàåòñÿ (êà÷åñòâåííî) îòíîñèòåëüíîñòü âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ è äëèíû(ýòî äîñòèãàåòñÿ àíàëèçîì ìûñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ñ “Âàãîíîì Ýéíøòåéíà” è ââåäåíèÿ ñïîñîáà îïðåäåëåíèÿ äëèíû äâèæóùåãîñÿ òåëà). 6-å çàíÿòèå. Ïîñëå ïîâòîðåíèÿ ìàòåðèàëà ïðåäûäóùåãî çàíÿòèÿ, äàåì áåç âûâîäà ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè â ÑÒÎ – ôîðìóëû Ëîðåíöà(â îòäåëüíûå ãîäû, â çàâèñèìîñòè îò óðîâíÿ ïîäãîòîâëåííîñòè ó÷àùèõñÿ, ïðîâîäèëñÿ âûâîä ôîðìóë Ëîðåíöà, òàê êàê ýòî çàêðåïëÿåò ñîäåðæàíèå ïîñòóëàòîâ ÑÒÎ, íî òðåáóåò, îäíàêî, âðåìåíè ïî÷òè öåëîãî çàíÿòèÿ). Íà îñíîâàíèè ôîðìóë Ëîðåíöà âûâîäèëèñü ôîðìóëû îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ è äëèíû. Ââîäèëèñü ïîíÿòèÿ “ñîáñòâåííîé äëèòåëüíîñòè” è “ñîáñòâåííîé äëèíû”. Äåëàëñÿ âûâîä ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðåìû ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Óòâåðæäàëñÿ âàæíûé ïðèíöèï ñîâðåìåííîé ôèçèêè – ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ ôîðìóë ÑÒÎ. 7-å çàíÿòèå. Ðåøåíèå çàäà÷ ïî êèíåìàòèêå ÑÒÎ(çàäà÷è ïîäáèðàëèñü èç ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ àâòîðà). 8-å çàíÿòèå. Ïîñòóëèðóåòñÿ “èíòåðâàë”, êàê íîâàÿ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà â ÑÒÎ, ñèìâîëèçèðóþùàÿ íåðàçðûâíîñòü ïðîñòðàíñòâåííûõ è âðåìåííûõ ïðåäñòàâëåíèé â ÑÒÎ, óòâåðæäàþùàÿ íîâîå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ìíîãîîáðàçèå “ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ”. Ââîäÿòñÿ äâà èíòåðâàëà: âðåìåííîïîäîáíûé è ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíûé. Àíàëèçèðóåòñÿ êðèòåðèé ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûõ ñâÿçåé â ÑÒÎ. Ñòðîèòñÿ “ñâåòîâîé êîíóñ”. 9-å çàíÿòèå. Îíî ïîñâÿùåíî äèíàìèêå ÑÒÎ. Àíàëèçèðóþòñÿ äâå ôîðìóëû Ýéíøòåéíà äëÿ ýíåðãèè. Óòâåðæäàåòñÿ áåçìàññîâîñòü ôîòîíà. Ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ äåôåêòà ìàññû è 142

ýíåðãèè ñâÿçè. Çàâåðøàåòñÿ çàíÿòèå ðåøåíèåì íåñêîëüêèõ íåáîëüøèõ çàäà÷ ïî äèíàìèêå ÑÒÎ. 10-å çàíÿòèå. Ôàêòè÷åñêè îíî ÿâëÿåòñÿ èòîãîâûì, òàê êàê íà íåì ðàññìàòðèâàþòñÿ “ïàðàäîêñû”, óñòðàíèòü êîòîðûå íåëüçÿ áåç ïîíèìàíèÿ îñíîâ ÑÒÎ. Ñîîáùåíèÿ î “ïàðàäîêñàõ” äåëàþò ñàìè ó÷àùèåñÿ, îíè æå, ïðèâëåêàÿ àóäèòîðèþ, ïûòàþòñÿ óñòðàíèòü êàæóùèåñÿ ïðîòèâîðå÷èÿ. Çàâåðøàåò çàíÿòèå ïðåïîäàâàòåëü, ðàññêàçûâàÿ î çíà÷åíèè ÑÒÎ êàê â èñòîðèè ðàçâèòèÿ ôèçèêè, òàê è â èñòîðèè ðàçâèòèÿ ÷åëîâå÷åñêîãî îáùåñòâà. “ äâóõ ñëîâàõ” ðàññêàçûâàåòñÿ îá îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Ëèòíðàòóðà

1. Â. À. Óãàðîâ. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè è ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. — Ñá. “Øêîëüíèêàì î ñîâðåìåííîé ôèçèêå” (êëàññè÷åñêàÿ ôèçèêà). — 1974 ã., Ì, “Ïðîñâåùåíèå”. 2. Ã. È. Êîïûëîâ. Âñåãî ëèøü êèíåìàòèêà. — Á-êà “Êâàíò”, âûï. È, Ì., 1981 ã. 3. Þ. Á. Ð ó ì å ð, Ì. Ñ. Ð û â ê è í. Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. — 1960 ã., Ì., Ïðîñâåùåíèå. 4. Ð. Ô å è í ì à í, Ð. Ëåéòîí, Ì. Ñ ý í ä ñ. Ôåéíìàíîâñêèå ëåêöèè ïî ôèçèêå. Ò. 2.— 1965 ã., Ì., “Íàóêà”. 5. À. Ýéíøòåéí, Ë. È í ô å ë ü ä. Ýâîëþöèÿ ôèçèêè. — 1956ã., Ì., ÃÈÒÒË. 6. ß. Ï. Ò å ð ë å ö ê è è. Ïàðàäîêñû òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. — 1966 ã., Ì., “Íàóêà”. 7. Þ. È. Ñîêîëîâñêèé. Ýëåìåíòàðíûé çàäà÷íèê ïî òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.— 1971 ã., Ì., “Íàóêà”. 8. À. Í. Ì à ë è í è í. Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè â çàäà÷àõ è óïðàæíåíèÿõ.— Ì., “Ïðîñâåùåíèå”, 1983 ã. 9. È. È. Âîðîáüåâ. Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè â çàäà÷àõ. — 1989 ã., Ì., “Íàóêà”. 10. Ñ. Ý. Õàéêèí. Ñèëû èíåðöèè è íåâåñîìîñòü.— 1967 ã., Ì.. “Íàóêà”. 11. À. Á. Ì è ã ä à ë. Êâàíòîâàÿ ôèçèêà äëÿ áîëüøèõ è ìàëåíüêèõ.— Áêà “Êâàíò”, âûï. 75, 1989 ã., Ì., “Íàóêà”. Ìåòîäè÷åñêàÿ ëèòåðàòóðà 1. È. Ã. Ïóñòèëüíèê, Â. À. Óãàðîâ. Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè â ñðåäíåé øêîëå.— 1975 ã., Ì., “Ïðîñâåùåíèå”. 143

2. Ë. Á. Îêóíü. Ïîíÿòèå ìàññû (ìàññà, ýíåðãèÿ, îòíîñèòåëüíîñòü). 1989 ã., Æóðíàë “Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê”.— 1989 ã., ò. 158, âûï. 3, ñ. 511— 529. 3. Â. À. Óãàðîâ. Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè.— 1977ã., Ì., “Íàóêà”. 4. À. Ì. Ìîñòåïàíåíêî. Ïðîñòðàíñòâî í âðåìÿ â ìàêðî-, ìåãà-è ìèêðîìèðå.— 1974 ã., Ì., ÈÏË. 5. Ý. Ì. × ó ä è í î â. Òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè è ôèëîñîôèÿ. — 1974 ã., Ì., ÈÏË. 6. Ã. À. Ðîçìàí Ïðåïîäàâàíèå ôèçèêè (ñá. ìåòîäè÷åñêèõ ñòàòåé) 2005ã., Ïñêîâ, èçä. ÏÃÏÈ.

Ïðèëîæåíèå 7. Ê 100-ëåòèþ ñîçäàíèÿ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. 2005 ãîä - ãîä Àëüáåðòà Ýéíøòåéíà (èç ðåçîëþöèè ÎÎÍ) Âñå ñóùåñòâåííîå, ÷åãî ÿ äîáèëñÿ çà ñâîþ æèçíü, ãðóïïèðóåòñÿ âîêðóã âîïðîñà: ê êàêèì ìåòîäè÷åñêèì ñëåäñòâèÿì â ôèçèêå âåäóò óíèâåðñàëüíûé çàêîí ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà è ðàâåíñòâî èíåðòíîé è òÿæåëîé ìàññ? À. Ýéíøòåéí Àëüáåðò Ýéíøòåéí ðîäèëñÿ 14 ìàðòà 1879 ã. â ãîðîäå Óëüìå â Ãåðìàíèè. Ñðåäíåå îáðàçîâàíèå åìó äàëîñü íåëåãêî. Çóáðåæêà íå äàâàëàñü åìó, íå ëþáèë îí è ìóøòðó, ãîñïîäñòâîâàâøåé â øêîëüíîé æèçíè Ãåðìàíèè. Ïîçæå îí âñïîìèíàë, ÷òî “ó÷èòåëÿ â íà÷àëüíîé øêîëå ïðåäñòàâëÿëèñü ìíå ñåðæàíòàìè, à â ñðåäíåé – ëåéòåíàíòàìè”. Âûäåëÿëî Ýéíøòåéíà ñðåäè ó÷åíèêîâ óâëå÷åíèå ìàòåìàòèêîé è ôèçèêîé. Óæå â 12 – 14 ëåò îí îçíàêîìèëñÿ ñ äèôôåðåíöèàëüíûì è èíòåãðàëüíûì èñ÷èñëåíèåì. Ñàìîñòîÿòåëüíîå îâëàäåíèå íàóêîé, ÷òåíèå êíèã è ðàçìûøëåíèå íàä ïðî÷èòàííûì ðàçâèëî ó Ýéíøòåéíà ñïîñîáíîñòü óäèâëÿòüñÿ, óâèäåòü íå÷òî, ÷òî äðóãèå íå çàìå÷àþò èëè íå ïðèäàþò çíà÷åíèå íàáëþäåíèþ. Åùå â âîçðàñòå 5 ëåò åãî ïîðàçèëî ïîâåäåíèå ñòðåëêè êîìïàñà, êîòîðàÿ “óïîðíî” ïðèíèìàëà îäíî è òî æå íàïðàâëåíèå 144

íà ñåâåð. À â 12 ëåò îí ñòàâèò ñåáå âîïðîñ: “Ìîæíî ëè áåæàòü çà ñâåòîì ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, ÷òî áóäåò?” - îòâåò îí äàñò, ñîçäàâ ñïåöèàëüíóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè.  ýòè æå ãîäû ó Ýéíøòåéíà çàðîäèëàñü ëþáîâü ê ìóçûêå, çàíÿòèÿ êîòîðîé îñòàëèñü äëÿ íåãî ãëàâíûì îòäûõîì îò íàïðÿæåííîé óìñòâåííîé ðàáîòû â òå÷åíèå âñåé æèçíè. 17-ëåòíèì þíîøåé Ýéíøòåéí ïîñòóïàåò â Öþðèõñêóþ âûñøóþ òåõíè÷åñêóþ øêîëó. Ìíîãî âðåìåíè îí óäåëÿë ôèçè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè è ÷òåíèþ òðóäîâ Êèðõãîôà, Ãåëüìãîëüöà, Ãåðöà è äð. Âûñøóþ òåõíè÷åñêóþ øêîëó Ýéíøòåéí îêàí÷èâàåò ñî ñðåäíåé îöåíêîé 4,91. Ïîñëå îêîí÷àíèÿ îí äâà ãîäà ðàáîòàåò îò ñëó÷àÿ ê ñëó÷àþ øêîëüíûì ó÷èòåëåì. À çàòåì ïîëó÷àåò ìåñòî ýêñïåðòà â Áåðíñêîì áþðî ïàòåíòîâ.  ýòè ãîäû íà÷èíàåòñÿ íàó÷íîå òâîð÷åñòâî Ýéíøòåéíà. Ïåðâîå èññëåäîâàíèå, â êîòîðîì ðàññìîòðåíû ÿâëåíèÿ êàïèëëÿðíîñòè, âûõîäÿò èç ïå÷àòè â 1901ã.  1905 ãîäó ïîÿâëÿþòñÿ òðè ñòàòüè, êàæäîé èç íèõ áûëî äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èìÿ àâòîðà âîøëî â èñòîðèþ ôèçèêè. Ýòî áûëè ðàáîòû ïî êâàíòîâîé òåîðèè, î áðîóíîâñêîì äâèæåíèè è òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè.  1900ã Ìàêñ Ïëàíê ââåë ïîíÿòèå î êâàíòàõ ñâåòà. Ïëàíê ñ÷èòàë, ÷òî àòîìû èçëó÷àþò è ïîãëîùàþò ñâåò íå íåïðåðûâíî, à ïîðöèÿìè, êâàíòàìè. Ýéíøòåéí ïîøåë äàëüøå: êâàíòû íå òîëüêî ïîÿâëÿþòñÿ ïðè èçëó÷åíèè, íî è ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ â âèäå ëîêàëèçîâàííûõ îáðàçîâàíèé, âïîñëåäñòâèè ïîëó÷èâøèõ èìÿ “ôîòîíû”. Èñõîäÿ èç ñâîåãî âçãëÿäà íà ïðèðîäó ñâåòà, Ýéíøòåéí îáúÿñíÿåò âñå çàêîíû ôîòîýôôåêòà. Ïîçäíåå, â 1921 ãîäó, îí ïîëó÷èë Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ çà ýòó ðàáîòó.  1917 ã. Ýéíøòåéí óñòàíîâèë ñâÿçü ìåæäó âåðîÿòíîñòüþ èçëó÷åíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ñâåòà. Âïîñëåäñòâèè ýòà ðàáîòà ñòàëà òåîðåòè÷åñêèì îñíîâàíèåì ñîçäàíèÿ êâàíòîâûõ ãåíåðàòîðîâ. Áóäó÷è ó èñòîêîâ ñîçäàíèÿ êâàíòîâîé ôèçèêè, À. Ýéíøòåéí íå ïðèíÿë êâàíòîâóþ ìåõàíèêó, ñ÷èòàÿ åå íåïîëíîé. Ìíîãèå ãîäû, âïëîòü äî ñâîåé êîí÷èíû, îí âåë äèñêóññèþ ñ Íèëüñîì Áîðîì. È, êàê ýòî íåðåäêî áûâàåò, ñïîñîáñòâîâàë áîëåå ãëóáîêîìó ïîíèìàíèþ è óòâåðæäåíèþ êâàíòîâîé ìåõàíèêè. 145

 ðàáîòå î áðîóíîâñêîì äâèæåíèè (1905ã) Ýéíøòåéí äàåò îáúÿñíåíèå ýòîìó ÿâëåíèþ, êîòîðîå áûëî îáíàðóæåíî àíãëèéñêèì áîòàíèêîì Áðîóíîì åùå â 1827ã. Ïîëó÷åííàÿ àâòîðîì ôîðìóëà (îäíîâðåìåííî ýòîé ïðîáëåìîé çàíèìàëñÿ íåìåöêèé ó÷åíûé Ã.Ñìîëóõîâñêèé) – ôîðìóëà Ýéíøòåéíà – Ñìîëóõîâñêîãî ïîçâîëÿëà ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðåäåëÿòü ðàçìåðû ìîëåêóë è èõ êîíöåíòðàöèþ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ýòà ðàáîòà Ýéíøòåéíà (è Ñìîëóõîâñêîãî) óòâåðäèëà ìîëåêóëÿðíîêèíåòè÷åñêóþ òåîðèþ îêîí÷àòåëüíî. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà áûëà ïðîâåðåíà â 1909 ã ôðàíöóçñêèì ôèçèêîì Ïåððåíîì. 30 èþíÿ 1905 ã. Ýéíøòåéí çàâåðøèë òðåòüþ ðàáîòó “Ê ýëåêòðîäèíàìèêå äâèæóùèõñÿ òåë” è îòïðàâèë åå â æóðíàë Annalen der Physik. Ýòà äàòà ñ÷èòàåòñÿ ìîìåíòîì ñîçäàíèÿ òîé òåîðèè, êîòîðàÿ ïîëó÷èëà íàçâàíèå “Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè” (ÑÒÎ) è êîòîðàÿ óòâåðäèëà íîâûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèè. Ïðèäÿ íà ñìåíó íüþòîíîâñêèì ïðåäñòàâëåíèÿì îá îñíîâàõ ìèðà, ÑÒÎ âìåñòå ñ ýëåêòðîäèíàìèêîé Ôàðàäåÿ –Ìàêñâåëëà çàâåðøèëà ïîñòðîåíèå íîâîé, ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà.  îñíîâó ñâîèõ ðàññóæäåíèé À. Ýéíøòåéí ïîëîæèë äâà ïîñòóëàòà, êîòîðûå ñëåäóþò èç îïûòíûõ ôàêòîâ. Ïåðâûé ïîñòóëàò: íåëüçÿ îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå äâèæåíèå èëè ïîêîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, íàáëþäàÿ âíóòðè íåå ëþáîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå. Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû âî âñåõ ÈÑÎ ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêàþò îäèíàêîâî, çàêîíû ïðèðîäû âî âñåõ ÈÑÎ äåéñòâóþò îäèíàêîâî. Îäíîâðåìåííî À. Ýéíøòåéí ââîäèò â íàóêó ïðåäñòàâëåíèå î ìàòåðèàëüíîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, â òîì ÷èñëå è ñâåòà. Äî ýòîãî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàññìàòðèâàëîñü êàê îñîáîå ñîñòîÿíèå ñïåöèôè÷åñêîé ñðåäû, çàïîëíÿþùåé âñå ìèðîâîå ïðîñòðàíñòâî è ñ êîòîðîé ìîæíî áûëî áû ñâÿçàòü àáñîëþòíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà (ÑÎ) - ýëåêòðîìàãíèòíîãî ýôèðà. Íî íè â îäíîì îïûòå ýôèð íå óäàâàëîñü îáíàðóæèòü. Ïðèçíàâàÿ ìàòåðèàëüíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, Ýéíøòåéí îòêàçûâàåòñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ ýôèðà êàê íîñèòåëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. 146

Âòîðîé ïîñòóëàò óòâåðæäàåò, ÷òî ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà âîëí èëè ïðèåìíèêà èõ. Ýòà ñêîðîñòü îêàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. Èñõîäÿ èç ýòèõ ïîñòóëàòîâ, Ýéíøòåéí ïîêàçàë, ÷òî, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, êîòîðàÿ îñíîâàíà íà ïðèíöèïå äàëüíîäåéñòâèÿ (áåñêîíå÷íî áûñòðîé ïåðåäà÷è âçàèìîäåéñòâèÿèíôîðìàöèè), íîâàÿ ôèçèêà èñõîäèò èç ïðèíöèïà áëèçêîäåéñòâèÿ-ïåðåäà÷è âçàèìîäåéñòâèÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, ìàêñèìàëüíîé â âàêóóìå. Èç ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà ñëåäîâàëî, ÷òî ðÿä ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, êîòîðûå â ìåõàíèêå Íüþòîíà ñ÷èòàëèñü àáñîëþòíûìè (âî âñåõ ÈÑÎ ýòè âåëè÷èíû èìåëè ñîîòâåòñòâåííî îäíî è òî æå ÷èñëåííîå çíà÷åíèå), íà ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûìè, ò.å. ÷èñëåííîå çíà÷åíèå, íàïðèìåð, äëèíû, äëèòåëüíîñòè, ñèëû è ò.ä., çàâèñèò îò óñëîâèé èçìåðåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí. Îïèðàÿñü íà ïîñòóëàòû, Ýéíøòåéí âûâîäèò íîâûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé, äâèæóùåéñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîé ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ. Èç ýòèõ ôîðìóë, íàçûâàåìûõ ôîðìóëàìè Ëîðåíöà, ñëåäóåò íå òîëüêî îòíîñèòåëüíîñòü êîîðäèíàò, íî è âðåìåíè, ýòî ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ÑÒÎ. Îäíàêî, íåâåðíî ðàñõîæåå óòâåðæäåíèå, ÷òî «ÑÒÎ âñå ñäåëàëà îòíîñèòåëüíûì». Íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, â êîòîðîé íåò àáñîëþòíûõ, èíâàðèàíòíûõ âåëè÷èí. Èìåííî òàêèå âåëè÷èíû îïðåäåëÿþò íå÷òî, ÷òî íå èçìåíèòñÿ äàæå ïîñëå óòî÷íåíèÿ òåîðèè. Íà èíâàðèàíòàõ áàçèðóåòñÿ îñíîâíîå ñîäåðæàíèå è ÑÒÎ. Òàêîé èíâàðèàíòíîé (àáñîëþòíîé, îäèíàêîâîé) âî âñåõ ÈÑÎ âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (ñâåòà) â âàêóóìå, äëèíà ïîêîÿùåãîñÿ òåëà, äëèòåëüíîñòü ïðîöåññà, íåïîäâèæíîãî â äàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå èíâàðèàíòàìè ÑÒÎ, â íå¸ ââîäÿòñÿ è íîâûå èíâàðèàíòíûå âåëè÷èíû. Îäíîé èç òàêèõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë, êîòîðûé ñâÿçûâàåò ïðîñòðàíñòâåííûå 147

è âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè äâóõ ðàçíîìåñòíûõ è ðàçíîâðåìåííûõ ñîáûòèé (îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ñàìè ýòè õàðàêòåðèñòèêè - îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû!). Ñîâîêóïíîñòü ÷åòûðåõ âåëè÷èí x,y,z,t îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå ñîáûòèÿ â åäèíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè - ìèðîâóþ òî÷êó. Ìû ãîâîðèì î åäèíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, òàê êàê èçìåíèëîñü ñîäåðæàíèå âðåìåíè. Èç ôîðìóë Ëîðåíöà âèäíà òåñíàÿ ñâÿçü ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.  ÑÒÎ ãîâîðÿò î ÷åòûðåõ-ìåðíîñòè ìèðà, èìåÿ â âèäó, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ ñîáûòèÿ íåîáõîäèìî çàäàíèå âñåõ ÷åòûðåõ âåëè÷èí x,y,z,t. Áëàãîäàðÿ èçìåíåíèþ õîòÿ áû îäíîé èç ýòèõ âåëè÷èí, ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ ìèðîâîé òî÷êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå ìèðîâîé òî÷êè ñîáûòèÿ ñîñòàâëÿåò ìèðîâóþ òðàåêòîðèþ. Çíàíèå ÷åòûðåõìåðíîãî èíòåðâàëà ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü, èìååòñÿ ëè ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü èëè ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè íå ìîæåò áûòü òàêîé ñâÿçè.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, â êîòîðîé ïðåäïîëàãàëîñü ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòè ïåðåäà÷è âçàèìîäåéñòâèÿ, ìåæäó âñåìè ñîáûòèÿìè äîëæíà áûëà áûòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü. Òîëüêî ÑÒÎ íàâåëà â ýòîì âîïðîñå îäíîçíà÷íîñòü. ×ðåçâû÷àéíî âàæíûì âûâîäîì, ïîëó÷åííûì À.Ýéíøòåéíîì â ÑÒÎ, ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâëåíèå âçàèìîñâÿçè ìåæäó äâóìÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè âåùåñòâåííîãî òåëà, ìåæäó åãî ìàññîé è ýíåðãèåé â ïîêîå. Èìåííî èç ýòîé âçàèìîñâÿçè ñëåäîâàëî ïðåäñêàçàíèå î íàëè÷èè ãèãàíòñêèõ çàïàñîâ ýíåðãèè âíóòðè ÿäåð àòîìîâ, ÷òî ñòàëî òåîðåòè÷åñêîé áàçîé ÿäåðíîé ýíåðãåòèêè. ÑÒÎ ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòîì ñîâðåìåííîé ôèçèêè è ëåæèò â îñíîâå âñåõ íîâåéøèõ ôèçè÷åñêèõ òåîðèé, åå âûâîäû ïîäòâåðæäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíî. Íàó÷íûé óñïåõ èçìåíèë æèçíü Ýéíøòåéíà.  1908 ã. îí ñòàë ÷èòàòü ëåêöèè â Áåðíñêîì óíèâåðñèòåòå.  1909ã. îí ñòàíîâèòüñÿ ïðîôåññîðîì òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè â Öþðèõñêîì óíèâåðñèòåòå, à â 1911 ã. – ïðîôåññîðîì â Íåìåöêîì óíèâåðñèòåòå â Ïðàãå. Ñ 148

1914 ã. Ýéíøòåéí ðàáîòàåò â Áåðëèíå.  1913 ã. åãî èçáèðàþò â Ïðóññêóþ Àêàäåìèþ íàóê.  ýòè ãîäû Àëüáåðò Ýéíøòåéí íà÷èíàåò èíòåíñèâíî ðàáîòàòü íàä ñîçäàíèåì îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ). Ïîòðåáíîñòü â ÑÒÎ ÷óâñòâîâàëàñü â ôèçèêå â íà÷àëå ÕÕ â â ñâÿçè ñ ïðîáëåìîé ýôèðà. Èíà÷å îáñòîÿëî äåëî ñ îáùåé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî òîëüêî Ýéíøòåéí âèäåë îãðàíè÷åííîñòü ÑÒÎ â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîòîìó, ÷òî îíà íå ó÷èòûâàëà ñóùåñòâîâàíèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ è “ðàáîòàëà” òîëüêî ñ èíåðöèàëüíûìè ñèñòåìàìè îòñ÷åòà. Íîâàÿ ãèãàíòñêàÿ ðàáîòà áûëà çàâåðøåíà â 1916 ã. À â 1919 ã. îíà ïîëó÷èëà ïåðâîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå: àíãëèéñêàÿ ýêñïåäèöèÿ âî ãëàâå ñ çíàìåíèòûì àñòðîôèçèêîì Ýääèíãòîíîì, íàáëþäàÿ ïîëíîå ñîëíå÷íîå çàòìåíèå, îáíàðóæèëà èñêðèâëåíèå òðàåêòîðèè ñâåòîâîãî ëó÷à ïðè ïðîõîæäåíèè âáëèçè Ñîëíöà. Ãëàâíîå ñîäåðæàíèå îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî è ïîêàçàë Ýéíøòåéí, ÷òî ãåîìåòðèÿ îêðóæàþùåãî ìèðà èìååò íåêëàññè÷åñêèé õàðàêòåð, ýòà ãåîìåòðèÿ îòëè÷àåòñÿ îò ãåîìåòðèè Åâêëèäà, êîòîðóþ ìû èçó÷àåì â øêîëå. Âî âòîðîé ïîëîâèíå ÕÕ â. ÎÒÎ ïåðåæèëà ñâîå “âòîðîå” ðîæäåíèå: îíà ñòàëî îñíîâîé áóðíî ðàçâèâàþùèõñÿ êîñìîãîíèè è êîñìîëîãèè, à òàê æå îáíàðóæèëàñü ñâÿçü ñ ôèçèêîé ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.  1926 ã. À. Ýéíøòåéíà èçáèðàþò ïî÷åòíûì ÷ëåíîì Àêàäåìèè íàóê ÑÑÑÐ. Ïëîäîòâîðíàÿ ðàáîòà Ýéíøòåéíà â Áåðëèíå áûëà ïðåðâàíà â 1933ã â ñâÿçè ñ ïðèõîäîì ê âëàñòè ôàøèñòîâ, êîòîðûå çà÷èñëèëè Ýéíøòåéíà âî âðàãà ãèòëåðîâñêîãî ðåæèìà. Åãî èìóùåñòâî ðàçãðàáëåíî, íàó÷íûå òðóäû âìåñòå ñ êíèãàìè Ãåòå è Òîëñòîãî, Øèëëåðà è Ãåéíå ñîæãëè â îãðîìíîì êîñòðå íà îäíîé èç áåðëèíñêèõ ïëîùàäåé, à çà ãîëîâó Ýéíøòåéíà áûëà îáåùàíî 50 òûñÿ÷ ìàðîê. Îí ýìèãðèðóåò â ÑØÀ, â Ïðèíñòîí. Âñÿ æèçíü À. Ýéíøòåéíà ïðîøëà ïîä ýòè÷åñêèì êðåäî: “Äîáðîòà, êðàñîòà è ïðàâäà – âîò èäåàëû, êîòîðûå îñâåùàëè ìîé æèçíåííûé ïóòü” (èç àâòîáèîãðàôèè Ýéíøòåéíà). “Âñå, ÷òî áûëî ñâÿçàíî ñ ëè÷íûì êóëüòîì, ìíå âñåãäà áûëî êðàéíå íåïðèÿòíî”. 149

 ïîñëåâîåííûå ãîäû Ýéíøòåéí àêòèâíî ó÷àñòâîâàë â ìåæäóíàðîäíîì äâèæåíèè ïî çàïðåòó ÿäåðíûõ èññëåäîâàíèé â âîåííûõ öåëÿõ.  1954 ã. íàó÷íûé ìèð îòìå÷àë 75-ëåòèå Àëüáåðòà Ýéíøòåéíà - âåëèêîãî ôèçèêà ÕÕ âåêà.  1955ã. ïðåäïîëàãàëîñü îòìåòèòü 50-ëåòèå ñîçäàíèÿ ÑÒÎ. Íî 18 ìàðòà 1955ã. Ýéíøòåéí ñêîðîïîñòèæíî ñêîí÷àëñÿ. Åãî ïðàõ áûë ðàçâåÿí íàä çåìëåé, íî ïàìÿòü î íåì áóäåò æèòü âå÷íî, ïîêà áóäåò ñóùåñòâîâàòü ÷åëîâå÷åñòâî. 2005 ã. ïî ðåøåíèþ ÞÍÅÑÊÎ (ãóìàíèòðàíîé îðãàíèçàöèè ïðè ÎÎÍ) îáúÿâëåí ãîäîì Àëáåðòà Ýéíøòåéíà, ãîäîì Ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, ãîäîì èíòåíñèâíîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ íàó÷íûõ çíàíèé. Ïðèëîæåíèå 8. Êòî àâòîð òîé òåîðèè, êîòîðóþ ìû íàçûâàåì “Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè”? Óæå ìíîãî ëåò îò ñëó÷àÿ ê ñëó÷àþ ïîÿâëÿþòñÿ ïóáëèêàöèè, â êîòîðûõ îòâåðãàåòñÿ àâòîðñòâî À. Ýéíøòåéíà â ñîçäàíèè ÑÒÎ. Ñîçäàòåëÿìè íàçûâàþòñÿ Ã. Ëîðåíö è À. Ïóàíêàðå. Òî, ÷òî â íàóêå ïî÷òè îäíîâðåìåííî ó ðàçíûõ ó÷åíûõ ðîæäàþòñÿ ñõîäíûå èäåè – ýòî åñòåñòâåííî. Ìîæíî äàæå ñêàçàòü, ÷òî ó êàæäîãî îòêðûòèÿ âñåãäà áûëè ïðåäøåñòâåííèêè, ñïîñîáñòâîâàâøèå ðîæäåíèþ îêîí÷àòåëüíîé èäåè. Íî, ïî ìåíüøåé ìåðå íå êîððåêòíî, êîãäà àâòîðñòâî ïðèïèñûâàåòñÿ òåì, êòî ñîâåðøåííî èíà÷å òîëêîâàë òå ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé òåîðèè, ñîçäàííîé À.Ýéíøòåéíîì. Ýòî âûçûâàåò íåäîóìåíèå: çíàþò ëè ïîäîáíûå “èññëåäîâàòåëè” èñòîðèè ôèçèêè ñàìó òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè èëè îíè ðóêîâîäñòâóþòñÿ äðóãèìè ìîòèâàìè? ×òîáû óêàçàòü èñòèííîãî àâòîðà òîé òåîðèè, êîòîðóþ ìû íàçûâàåì Ñïåöèàëüíîé òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè, ïðîâåäåì ñîïîñòàâëåíèå òîëêîâàíèé îñíîâíûõ ïîëîæåíèé ýòîé òåîðèè Ëîðåíöîì è Ïóàíêàðå, ñ îäíîé ñòîðîíû, è Ýéíøòåéíîì, ñ äðóãîé. 150

Âî ïåðâûõ. È Ëîðåíö, è Ïóàíêàðå ðàññìàòðèâàëè ñâîþ òåîðèþ èñêëþ÷èòåëüíî òîëüêî ïî îòíîøåíèþ ê ýëåêòðîäèíàìèêå. Òåîðèÿ æå Ýéíøòåéíà – ýòî îáùåôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ, ïðèìåíèìàÿ ê ëþáûì ôèçè÷åñêèì ïðîöåññàì. Âî âòîðûõ.  ôîðìóëàõ, íîñÿùèõ èìÿ Ëîðåíöà (íî âûâåäåííûõ íå èì) øòðèõîâàííûå êîîðäèíàòû è âðåìÿ ðàññìàòðèâàëèñü Ëîðåíöîì è Ïóàíêàðå ëèøü êàê âñïîìîãàòåëüíûå, ìàòåìàòè÷åñêèå âåëè÷èíû, íå èìåþùèå ôèçè÷åñêîãî ñîäåðæàíèÿ. Ó Ýéíøòåéíà øòðèõîâàííûå êîîðäèíàòû è âðåìÿ – ýòî ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñîáûòèÿ ñ ò.ç. íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ïîäâèæíîé (øòðèõîâàííîé ) ñèñòåìå îòñ÷åòà.  òðåòüèõ. È Ëîðåíö, è Ïóàíêàðå áûëè ñòîðîííèêàìè ýôèðà.  èõ òåîðèè ñóùåñòâîâàëà àáñîëþòíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñâÿçàííàÿ ñ ýôèðîì. Ýéíøòåéí îòêàçàëñÿ îò ýôèðà â ñèëó åãî ïðîòèâîðå÷èâûõ ñâîéñòâ, è òåì ñàìûì ïðèçíàë âñå èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà ðàâíîïðàâíûìè  ÷åòâåðòûõ. È Ëîðåíö, è Ïóàíêàðå ïûòàëèñü “ñïàñòè” ýôèð, âûäâèãàÿ äëÿ íåãî ðàçëè÷íûå ìåõàíè÷åñêèå ìîäåëè. Ýéíøòåéí, îòêàçûâàÿñü îò ýôèðà êàê íîñèòåëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé, ïðèçíàë çà ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì ñàìîñòîÿòåëüíîé ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè. Èìåííî ïîñëå ñîçäàíèÿ ÑÒÎ Ýéíøòåéíîì â ôèçèêå è ôèëîñîôèè ñòàëè ðàññìàòðèâàòü äâà âèäà ìàòåðèè: âåùåñòâî è ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.  ïÿòûõ. Ïûòàÿñü îáúÿñíèòü îòðèöàòåëüíûé ðåçóëüòàò â îïûòå Ìàéêåëüñîíà, Ëîðåíö ââåë ýôôåêò äèíàìè÷åñêîãî ñîêðàùåíèÿ ïðîäîëüíûõ ðàçìåðîâ ýëåêòðîíà, ÷òî ñîïðîâîæäàëîñü ñîêðàùåíèåì ïðîäîëüíûõ ðàçìåðîâ è äâèæóùèõñÿ âåùåñòâåííûõ òåë. Ó Ýéíøòåéíà íåò íèêàêîãî ñîêðàùåíèÿ, ýòî ñëîâî ÷óæäî òåîðèè Ýéíøòåéíà.  ÑÒÎ ðå÷ü èäåò îá îòíîñèòåëüíîñòè äëèíû è âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ. Ñîáñòâåííàÿ äëèíà òåëà è äëèíà òåëà â äâèæåíèè – ýòî ïðîÿâëåíèå ðîëè óñëîâèé íàáëþäåíèÿ, êàæäàÿ 151

èç ýòèõ äëèí – ðåàëüíàÿ âåëè÷èíà, íî äëÿ ðàçíûõ íàáëþäàòåëåé. Òî æå ìîæíî ñêàçàòü è î ñîáñòâåííîé è ëàáîðàòîðíîé äëèòåëüíîñòè ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà. Î÷åíü âàæíî äëÿ ðåøåíèÿ íàøåãî âîïðîñà ìíåíèå ñàìîãî Ëîðåíöà.  êíèãå “Òåîðèÿ ýëåêòðîíà” â èçäàíèè 1916 ã. îí ïèñàë: “Îñíîâíàÿ ïðè÷èíà ìîåé íåóäà÷è â òîì, ÷òî ÿ áûë ñâÿçàí èäååé, ÷òî òîëüêî ïåðåìåííàÿ t ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê èñòèííîå âðåìÿ, à ìîå “ëîêàëüíîå” âðåìÿ t` äîëæíî ðàññìàòðèâàòüñÿ íå áîëåå, êàê ïðîèçâîëüíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ âåëè÷èíà”. Èëè âîò åùå îäíî, áîëåå îïðåäåëåííîå âûñêàçûâàíèå Ëîðåíöà î ïðèîðèòåòå â ñîçäàíèè ÑÒÎ.  1927 ã. (çà ãîä äî ñìåðòè) Ëîðåíö ïèñàë: “Èòàê, òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ ôàêòè÷åñêè ðàáîòîé èñêëþ÷èòåëüíî Ýéíøòåéíà”. Íà âîïðîñ: êòî æå ñîçäàë òåîðèþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ “Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè”, ìû ìîæåì äàòü îäíîçíà÷íûé îòâåò – àâòîðîì ÑÒÎ ÿâëÿåòñÿ Àëüáåðò Ýéíøòåéí.

152

×àñòü 2. Ââåäåíèå â îáùóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè Ñëîâî ê ÷èòàòåëþ

Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ) - ýòî ñîâðåìåííîå ôèçè÷åñêîå ó÷åíèå î ïðèðîäå è ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è òÿãîòåíèÿ. Ÿ ñîçäàòåëåì ÿâëÿåòñÿ âåëèêèé ôèçèê ÕÕ â. Àëüáåðò Ýéíøòåéí. Çíàêîìñòâî ñ ÎÒÎ íåîáõîäèìî íå òîëüêî äëÿ îáùåãî êóëüòóðíîãî ðàçâèòèÿ, íî è äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ó ÷èòàòåëÿ ñîâðåìåííîé ôèçè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà. ÎÒÎ èìååò óáåäèòåëüíîå ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå. Âûâîäû ýòîé òåîðèè ïðåäñêàçûâàþò ïîðàçèòåëüíûå àñòðîôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ âîçíèêíîâåíèåì è ðàçâèòèåì Âñåëåííîé.  ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ âîçðîñ èíòåðåñ ê ÎÒÎ, òàê êàê èäåè, çàëîæåííûå â íåé À. Ýéíøòåéíîì, îêàçàëèñü ïðîäóêòèâíûìè íå òîëüêî â ìàñøòàáàõ Âñåëåííîé, íî è â ìèêðîìèðå. ÎÒÎ ïåðåæèâàåò ïåðèîä àêòèâíîãî ðàçâèòèÿ, è ìíîãî çàäà÷ â íåé íå íàøëî åùå ñâîåãî ðåøåíèÿ. Ýòî îñîáåííî âàæíî çíàòü òåì, êòî èùåò îáëàñòü ôèçèêè, êîòîðîé îíè ìîãëè áû ïîñâÿòèòü ñâîþ òâîð÷åñêóþ æèçíü. Ãëàâíîå îòëè÷èå äàííîé êíèãè îò äðóãèõ, â êîòîðûõ ðàññêàçûâàåòñÿ îá ÎÒÎ, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíûì ïîñîáèåì. Îäíàêî, ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî ÷òåíèå íå ïîòðåáóåò ñîñðåäîòî÷åííîñòè è ðàçìûøëåíèé, à â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ - âû÷èñëåíèé, õîòÿ âñå âûêëàäêè â êíèãå âûïîëíåíû ïîäðîáíî. Ïîñêîëüêó ÎÒÎ îïèðàåòñÿ íà ïîëîæåíèÿ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ), òî àâòîð ñ÷åë íåîáõîäèìûì î÷åíü êðàòêî èçëîæèòü ñóòü ÑÒÎ (§2). È ýòî íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ×àñòü 1 êíèãè ïîñâÿùåíà ýòîé òåîðèè. Äóìàþ, ÷òî ÷èòàòåëü îäîáðèò ýòî íóæíîå ïîâòîðåíèå. Êàê è ×àñòü 1, äàííûé ðàçäåë êíèãè, ïîñâÿùåííûé “Ââåäåíèþ â ÎÒΔ, ðàññ÷èòàí íà ó÷àùèõñÿ ñòàðøèõ êëàññîâ, ñòóäåíòîâ è ó÷èòåëåé. 153

§1. ×òî òàêîå “Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè?”  1916 ã. çíàìåíèòûé óæå ê òîìó âðåìåíè Àëüáåðò Ýéíøòåéí (÷åðåç 5 ëåò îí ïîëó÷èò Íîáåëåâñêóþ ïðåìèþ ïî ôèçèêå - âûñøóþ ìåæäóíàðîäíóþ íàãðàäó çà îáúÿñíåíèå çàêîíîâ ôîòîýôôåêòà è áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ, ñäåëàííîå èì åùå â 1905 ã.) îïóáëèêîâàë ïîñëåäíþþ èç 15 ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ îáîáùåíèþ ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè (ðàâíîïðàâèÿ ñèñòåì îòñ÷åòà ïðè èçó÷åíèè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé) íà ëþáûå, â òîì ÷èñëå è óñêîðåííî äâèæóùèåñÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà, êîòîðûå ïîëó÷èëè íàçâàíèå íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà (ÍÑÎ). Ðàññìîòðåíèå ëþáûõ ñèñòåì îòñ÷åòà (ÑÎ) è äàëî À. Ýéíøòåéíó âîçìîæíîñòü íàçâàòü ñâîþ òåîðèþ ÎÁÙÅÉ òåîðèåé îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ), ÷òîáû îòëè÷èòü åå îò ðàíåå ñîçäàííîé òåîðèè - ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÑÒÎ), â êîòîðîé èñïîëüçîâàëèñü ëèøü èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà (ÈÑÎ) (ñì. ×àñòü 1 äàííîé êíèãè, êîòîðàÿ ïîñâÿùåíà äåòàëüíîìó èçëîæåíèþ ÑÒÎ), à òàêæå ñëåäóþùèé ïàðàãðàô ýòîé ÷àñòè êíèãè). Îäíàêî, ãëóáîêèé àíàëèç ñîäåðæàíèÿ ÎÒÎ, ïðîâåäåííûé, â ÷àñòíîñòè, ñîâåòñêèìè ôèçèêàìè àêàäåìèêàìè Â. Ôîêîì, Ë. Ëàíäàó, ß. Çåëüäîâè÷åì è äð., ïîêàçàë, ÷òî ÎÒÎ âñå æå íå ìîæåò ïðåòåíäîâàòü íà ýòî íàçâàíèå, òàê êàê îíà ñïðàâåäëèâà ëèøü â îïðåäåëåííûõ ãðàíèöàõ è ïî ñóòè äåëà ÿâëÿåòñÿ ñîâðåìåííûì ôèçè÷åñêèì ó÷åíèåì î ïðèðîäå òÿãîòåíèÿ. Ñî âðåìåí È. Íüþòîíà, óñòàíîâèâøåãî çàêîí âçàèìîäåéñòâèÿ òÿãîòåþùèõ ìàññ, íèêòî íå ìîã îáúÿñíèòü ïðèðîäó òÿãîòåíèÿ. Ïîíèìàÿ íåðàçðåøèìîñòü äëÿ íåãî ýòîé çàäà÷è, Íüþòîí âûðàçèë ýòî òàêîé ôðàçîé: “Ãèïîòåç ÿ íå âûäâèãàþ”. Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè - îäíî èç âîçìîæíûõ ðåøåíèé ýòîé ïðîáëåìû.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòî åäèíñòâåííîå, îòëè÷íîå îò íüþòîíîâñêîãî, ó÷åíèå, íå òîëüêî îïèñûâàþùåå, íî è îáúÿñíÿþùåå ñâîéñòâà òÿãîòåíèÿ. È ñàìîå óäèâèòåëüíîå òî, ÷òî â ÎÒÎ íåò ÑÈË òÿãîòåíèÿ, à ïîä ãðàâèòàöèîííûì ïîëåì ïîíèìàåòñÿ îñîáîå ñîñòîÿíèå ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Ïîÿñíåíèþ ýòèõ óòâåðæäåíèé è áóäåò ïîñâÿùåíà äàííàÿ êíèãà.  òåîðèè À. Ýéíøòåéíà áûëè ñäåëàíû âàæíûå ïðåäñêàçàíèÿ, îäíî èç êîòîðûõ áûëî îáíàðóæåíî ýêñïåðèìåíòàëüíî óæå ÷åðåç 154

òðè ãîäà â 1919 ã.: àíãëèéñêèé àñòðîíîì À. Ýääèíãòîí, íàáëþäàÿ ïîëíîå ñîëíå÷íîå çàòìåíèå, îáíàðóæèë îòêëîíåíèå ñâåòîâûõ ëó÷åé îò ïðÿìîëèíåéíîñòè ïðè ïðîõîæäåíèè âáëèçè áîëüøèõ òÿãîòåþùèõ ìàññ (â äàííîì ñëó÷àå, âáëèçè Ñîëíöà). À. Ýääèíãòîí íàáëþäàë çâåçäû, êîòîðûå íàõîäèëèñü çà êðàåì ñîëíå÷íîãî äèñêà è ïðè ïðÿìîëèíåéíîì ðàñïðîñòðàíåíèè ñâåòà íå ìîãëè áûòü âèäèìû. ÎÒÎ ïðåäñêàçàëà ðÿä àñòðîôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è òåì ñàìûì îêàçàëàñü òåñíî ñâÿçàííîé ñ êîñìîëîãèåé (íàóêîé î çàêîíàõ ñòðîåíèÿ è ðàçâèòèÿ Âñåëåííîé). Áûë ïåðèîä “îõëàæäåíèÿ” ê ÎÒÎ, íî, íà÷èíàÿ ñ 60-õ ãã. íàøåãî âåêà, ñîòíè (à ìîæåò áûòü, è òûñÿ÷è) ôèçèêîâ âî âñåì ìèðå ñíîâà îáðàòèëè ñâîé âçîð íà ÎÒÎ À. Ýéíøòåéíà. Èäåè, çàëîæåííûå â ýòîé òåîðèè åå àâòîðîì, îêàçàëèñü áëàãîòâîðíûìè íå òîëüêî â ìàñøòàáàõ êîñìîñà, íî è â ìèêðîìèðå. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ÎÒÎ ïåðåæèâàåò íîâûé ïåðèîä àêòèâíîãî ðàçâèòèÿ. È ýòî âàæíî çíàòü òåì, êòî õî÷åò ñâÿçàòü ñâîþ òâîð÷åñêóþ æèçíü ñ ôèçèêîé.  îáðàùåíèè “Ñëîâî ê ÷èòàòåëþ” áûëî ñêàçàíî, ÷òî â ÎÒÎ À. Ýéíøòåéí “îòòàëêèâàëñÿ” è “îïèðàëñÿ” íà âûâîäû ÑÒÎ. Íå ïðåòåíäóÿ íà ïîëíîòó èçëîæåíèÿ (áîëåå ïîäðîáíî è ïîñëåäîâàòåëüíî ñì. ×àñòü1 äàííîé êíèãè), ñôîðìóëèðóåì îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. §2. ×òî òàêîå ÑÒÎ? Ðîäîíà÷àëüíèêîì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè çàñëóæåííî ñ÷èòàþòñÿ Ã. Ãàëèëåé (1564-1642) è È. Íüþòîí (1643-1727). Èìåííî Ãàëèëåé óñòàíîâèë òî, ÷òî ìû íàçûâàåì ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Îí æå ñôîðìóëèðîâàë çàêîí èíåðöèè, êîòîðûé âïîñëåäñòâèè Íüþòîí âêëþ÷èë â ïîñòóëàòû ñâîåé ìåõàíèêè è íàçâàë åãî ïåðâûì çàêîíîì. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ óòâåðæäàåò ðàâíîïðàâèå âñåõ ÈÑÎ ïðè èçó÷åíèè ìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ôèçè÷åñêóþ íåðàçëè÷èìîñòü ñîñòîÿíèÿ ðàâíîìåðíîãî ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ è ïîêîÿ. Òåì ñàìûì îòðèöàåòñÿ âîçìîæíîñòü ñ 155

ïîìîùüþ íàáëþäåíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ îáíàðóæèòü àáñîëþòíûé ïîêîé èëè àáñîëþòíîå äâèæåíèå. Íî çà÷åì òàê âàæíî îáíàðóæèòü ýòè àáñîëþòíûå ñîñòîÿíèÿ? Äåëî â òîì, ÷òî ñîãëàñíî óòâåðæäåíèÿì Íüþòîíà, íà êîòîðûõ îñíîâûâàåòñÿ êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ïðîñòðàíñòâî ñ÷èòàåòñÿ âìåñòèëèùåì, “ÿùèêîì” äëÿ âñåãî ñóùåñòâóþùåãî. È îòíîñèòåëüíî “ñòåíîê” ÿùèêà, åãî ãðàíèö äâèæåíèå è ïîêîé èìåþò àáñîëþòíûé õàðàêòåð. Ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñâÿçàííàÿ ñ “ÿùèêîì”, ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé, îòëè÷àþùåéñÿ îò âñåõ îñòàëüíûõ ÈÑÎ, êîòîðûå äâèæóòñÿ îòíîñèòåëüíî íåå. Âðåìÿ ïî Íüþòîíó òàêæå ñóùåñòâóåò ñàìî ïî ñåáå, îíî íå ñâÿçàíî íè ñ ïðîñòðàíñòâîì, íè ñ ìàòåðèàëüíûìè òåëàìè, íàõîäÿùèìèñÿ â ýòîì ïðîñòðàíñòâå. Åãî õîä àáñîëþòåí, ðàâíîìåðåí âî âñåõ ÈÑÎ. Íî ÷åëîâå÷åñêîìó ïîâñåäíåâíîìó îïûòó äîñòóïíî íàáëþäàòü òîëüêî îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå è ïîêîé (ïåðåìåùåíèå ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì òåëàì), èçìåðåíèå ëèøü îòíîñèòåëüíûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè, íåïîñðåäñòâåííîé äëèòåëüíîñòè êàêèõ-ëèáî ÿâëåíèé èëè ïðîöåññîâ. Îäíàêî, ÷òîáû ïðåäñòàâëåíèÿ Íüþòîíà î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè ðàññìàòðèâàëèñü êàê íàó÷íûå (à íå óìîçðèòåëüíûå), íåîáõîäèìî áûëî íàéòè ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå ñóùåñòâîâàíèÿ àáñîëþòíûõ äâèæåíèé è âðåìåíè. Òàê êàê ìåõàíè÷åñêèå ïðîöåññû íå ìîãëè áûòü èñïîëüçîâàíû (îá ýòîì ãîâîðèò ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ), òî ôèçèêè îáðàòèëèñü ê íàáëþäåíèþ äðóãèõ ÿâëåíèé - ýëåêòðè÷åñêèõ, ìàãíèòíûõ, ñâåòîâûõ è ò.ä. Íå îñòàíàâëèâàÿñü íà èñòîðèè ýòîãî âîïðîñà (ñì. ×àñòü 1 äàííîé êíèãè), íà ìíîãî÷èñëåííûå ïîèñêè àáñîëþòíûõ ýôôåêòîâ, óêàæåì òîëüêî, ÷òî ê êîíöó ÕIÕ â. ôèçèêà â ýòîì âîïðîñå îêàçàëàñü â òóïèêîâîì ïîëîæåíèè: àáñîëþòíîå äâèæåíèå è ïîêîé, àáñîëþòíûé õîä âðåìåíè íå îáíàðóæèâàëèñü. Ïîä ñîìíåíèå ñòàíîâèëîñü ó÷åíèå Íüþòîíà î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ. Íî âåäü ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòàâëÿëè ôóíäàìåíò êëàññè÷åñêîé ôèçèêè! Ñëåäîâàòåëüíî, âñÿ ôèçèêà ïåðåæèâàëà êðèçèñ. Ðàäèêàëüíîå ðåøåíèå ïðîáëåìû ñäåëàë À. Ýéíøòåéí â 1905 ã.: íà îñíîâå àíàëèçà íàêîïèâøèõñÿ ôàêòîâ îí ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî 156

íèêàêèìè îïûòàìè íåëüçÿ îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå äâèæåíèå è ïîêîé, àáñîëþòíûé õîä âðåìåíè, òàê êàê îíè âîîáùå íå ñóùåñòâóþò.  îñíîâó ñâîèõ ðàññóæäåíèé, íà áàçå êîòîðûõ âîçíèêëà íîâàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ - ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, À.Ýéíøòåéí ïîëîæèë äâà ïîñòóëàòà, êîòîðûå ñëåäóþò èç îïûòíûõ ôàêòîâ. Ïåðâûé ïîñòóëàò: íåëüçÿ îáíàðóæèòü àáñîëþòíîå äâèæåíèå èëè ïîêîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, íàáëþäàÿ âíóòðè íåå ëþáîå ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå. Äðóãèìè ñëîâàìè, âñå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû âî âñåõ ÈÑÎ ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ ïðîòåêàþò îäèíàêîâî, çàêîíû ïðèðîäû âî âñåõ ÈÑÎ äåéñòâóþò îäèíàêîâî. Îäíîâðåìåííî À. Ýéíøòåéí ââîäèò â íàóêó ïðåäñòàâëåíèå î ìàòåðèàëüíîñòè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, â òîì ÷èñëå è ñâåòà. Äî ýòîãî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàññìàòðèâàëîñü êàê îñîáîå ñîñòîÿíèå ñïåöèôè÷åñêîé ñðåäû, çàïîëíÿþùåé âñå ìèðîâîå ïðîñòðàíñòâî è ñ êîòîðîé ìîæíî áûëî áû ñâÿçàòü àáñîëþòíóþ ÑÎ - ýëåêòðîìàãíèòíîãî ýôèðà. Íî íè â îäíîì îïûòå ýôèð íå óäàâàëîñü îáíàðóæèòü. Ïðèçíàâàÿ ìàòåðèàëüíîñòü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, Ýéíøòåéí îòêàçûâàåòñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ ýôèðà êàê íîñèòåëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. Âòîðîé ïîñòóëàò óòâåðæäàåò, ÷òî ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â âàêóóìå íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà âîëí èëè èõ ïðèåìíèêà. Ýòà ñêîðîñòü îêàçûâàåòñÿ ïðåäåëüíîé äëÿ ïåðåäà÷è èíôîðìàöèè. Èñõîäÿ èç ýòèõ ïîñòóëàòîâ, Ýéíøòåéí ïîêàçàë, ÷òî â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, êîòîðàÿ îñíîâàíà íà ïðèíöèïå äàëüíîäåéñòâèÿ (áåñêîíå÷íî áûñòðîé ïåðåäà÷è âçàèìîäåéñòâèÿèíôîðìàöèè), íîâàÿ ôèçèêà èñõîäèò èç ïðèíöèïà áëèçêîäåéñòâèÿ-ïåðåäà÷è âçàèìîäåéñòâèÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, ìàêñèìàëüíîé â âàêóóìå. Èç ïîñòóëàòîâ Ýéíøòåéíà ñëåäîâàëî, ÷òî ðÿä ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, êîòîðûå â ìåõàíèêå Íüþòîíà ñ÷èòàëèñü àáñîëþòíûìè (âî âñåõ ÈÑÎ ýòè âåëè÷èíû èìåëè ñîîòâåòñòâåííî îäíî è òî æå ÷èñëåííîå çíà÷åíèå), íà ñàìîì äåëå ÿâëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûìè, ò.å. ÷èñëåííîå çíà÷åíèå, íàïðèìåð, äëèíû, äëèòåëüíîñòè, ñèëû è ò.ä., çàâèñèò îò óñëîâèé èçìåðåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí. 157

Îïèðàÿñü íà ïîñòóëàòû, Ýéíøòåéí âûâîäèò íîâûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ, äâèæóùåéñÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîé ñî ñêîðîñòüþ v: x′ =

x − vt 1 − v2 / c2

; y’ = y ; z’ = z ; t ′ =

vx c 2 . (2.1) 1 − v2 / c2 t−

Èç ýòèõ ôîðìóë, íàçûâàåìûõ ôîðìóëàìè Ëîðåíöà, ñëåäóåò íå òîëüêî îòíîñèòåëüíîñòü êîîðäèíàò, íî è âðåìåíè, ýòî ïðèíöèïèàëüíî íîâûé ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â ÑÒÎ. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ

v << 1 ñîîòíîøåíèÿ (2.1) ïåðåõîäÿò c

â èçâåñòíûå êëàññè÷åñêèå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè - ôîðìóëû Ãàëèëåÿ: õ’=õ - vt ; y’= y ; z’=z ; t’=t. (2.2) ×åòâåðòàÿ ôîðìóëà Ãàëèëåÿ óòâåðæäàåò, ÷òî âðåìÿ âî âñåõ ÈÑÎ òå÷åò îäèíàêîâî, ò.å. õîä âðåìåíè àáñîëþòåí, àáñîëþòíû âðåìåííûå ïðîìåæóòêè. Èíà÷å îáñòîèò äåëî â ÑÒÎ (ñì. 4-þ ôîðìóëó Ëîðåíöà!). Óñëîâèå

v << 1 îïðåäåëÿåò ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè c

êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé.  ýòîì ïðîÿâëÿåòñÿ îäèí èç âàæíåéøèõ ïðèíöèïîâ ñîâðåìåííîé ôèçèêè -ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ: âñÿêàÿ áîëåå îáùàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ïðåäøåñòâóþùóþ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé. Èç ôîðìóë (2.1) ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ, ïîêàçûâàþùèå îòíîñèòåëüíîñòü äëèíû è ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè: l = l0 1 − v 2 / c 2 ;

∆t =

∆t0 1 − v 2 / c2

,

(2.3)

ãäå âåëè÷èíû, èìåþùèå èíäåêñ “î”, èçìåðåíû â òîé ÈÑÎ, â êîòîðîé ïðåäìåò è ÷àñû íåïîäâèæíû; âåëè÷èíû l è t èçìåðåíû èç òîé ÈÑÎ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé òåëî è ÷àñû äâèæóòñÿ. Âåëè÷èíû l0 è ∆t0 ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíûìè, èíâàðèàíòíûìè âåëè÷èíàìè â ÑÒÎ. Íåâåðíî ðàñõîæåå óòâåðæäåíèå, ÷òî “ÑÒÎ âñå ñäåëàëà 158

îòíîñèòåëüíûì”. Íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, â êîòîðîé íåò àáñîëþòíûõ, èíâàðèàíòíûõ âåëè÷èí. Èìåííî òàêèå âåëè÷èíû îïðåäåëÿþò íå÷òî, ÷òî íå èçìåíèòñÿ äàæå ïîñëå óòî÷íåíèÿ òåîðèè. Íà èíâàðèàíòàõ áàçèðóåòñÿ îñíîâíîå ñîäåðæàíèå è ÑÒÎ. Òàêîé èíâàðèàíòíîé (àáñîëþòíîé, îäèíàêîâîé) âî âñåõ ÈÑÎ âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ è ñêîðîñòü ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí (ñâåòà) â âàêóóìå. Íàðÿäó ñ óêàçàííûìè âûøå èíâàðèàíòàìè ÑÒÎ, â íåé ââîäÿòñÿ è íîâûå èíâàðèàíòíûå âåëè÷èíû. Îäíîé èç òàêèõ âåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë, êîòîðûé ñâÿçûâàåò ïðîñòðàíñòâåííûå è âðåìåííûå õàðàêòåðèñòèêè äâóõ ðàçíîìåñòíûõ è ðàçíîâðåìåííûõ ñîáûòèé (îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ñàìè ýòè õàðàêòåðèñòèêè - îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû!). Èíòåðâàë ââîäèòñÿ ïðè ïîìîùè ñëåäóþùåãî âûðàæåíèÿ: S2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - c2(t2 - t1)2, (2.4) ãäå èíäåêñû 1,2 îòíîñÿòñÿ ê äâóì ðàññìàòðèâàåìûì ñîáûòèÿì. Äëÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ñîáûòèé ôîðìóëà (2.4) çàïèøåòñÿ òàê: (2.5) ds2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 . Ñîâîêóïíîñòü ÷åòûðåõ âåëè÷èí x,y,z,t îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå ñîáûòèÿ â åäèíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè - ìèðîâóþ òî÷êó. Ìû ãîâîðèì î åäèíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, òàê êàê èçìåíèëîñü ñîäåðæàíèå âðåìåíè, ýòî ñëåäóåò èç ôîðìóë (2.1), ãäå âèäíà òåñíàÿ ñâÿçü ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.  ÑÒÎ ãîâîðÿò î ÷åòûðåõ-ìåðíîñòè ìèðà, èìåÿ â âèäó, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ ñîáûòèÿ íåîáõîäèìî çàäàíèå âñåõ ÷åòûðåõ âåëè÷èí õ,ó,z è t. Áëàãîäàðÿ èçìåíåíèþ õîòÿ áû îäíîé èç ýòèõ âåëè÷èí, ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ïîëîæåíèÿ ìèðîâîé òî÷êè â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå ìèðîâîé òî÷êè ñîáûòèÿ ñîñòàâëÿåò ìèðîâóþ òðàåêòîðèþ.  ÑÒÎ ãîâîðÿò î ÷åòûðåõìåðíîé ãåîìåòðèè Ìèíêîâñêîãî, ïî èìåíè ó÷åíîãî, êîòîðûé ââåë òàêèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè: x1 = x ; x2 = y ; x3 = z ; x4 = ct (èëè x4 = t).  îòëè÷èå îò òðåõìåðíîé ãåîìåòðèè - ãåîìåòðèè Åâêëèäà, êîòîðóþ íàçûâàþò “ïëîñêîé” (â ýòîé ãåîìåòðèè ñïðàâåäëèâà òðåõìåðíàÿ òåîðåìà Ïèôàãîðà R2 = x2 + y2 + z2, ñ êîýôôèöèåíòàìè, 159

ðàâíûìè 1 ó êàæäîãî êâàäðàòíîãî ÷ëåíà), ãåîìåòðèþ ÑÒÎ (ãåîìåòðèþ Ìèíêîâñêîãî) òàêæå íàçûâàþò “ïëîñêîé”, òàê êàê ôîðìóëà (2.5) âíåøíå íàïîìèíàåò òåîðåìó Ïèôàãîðà â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, íî èç-çà íàëè÷èÿ ó ÷åòâåðòîãî ÷ëåíà â ôîðìóëå (2.5) äðóãîãî çíàêà, ÷åì ó ïåðâûõ òðåõ, ýòó ãåîìåòðèþ íàçûâàþò “ïñåâäîåâêëèäîâîé”. È â åâêëèäîâîé è â ïñåâäîåâêëèäîâîé ãåîìåòðèÿõ ñïðàâåäëèâû ïîñòóëàòû Åâêëèäà, â òîì ÷èñëå è óòâåðæäåíèå, ÷òî êðàò÷àéøèì ðàññòîÿíèåì ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ. Òàê êàê îïðåäåëåíèå ïðÿìîé ñâÿçûâàåòñÿ ñ òðàåêòîðèåé ñâåòîâîãî ëó÷à, òî â ýòîì îáíàðóæèâàåòñÿ ñâÿçü ãåîìåòðèè è ôèçèêè.  îïðåäåëåíèè èíâàðèàíòíîãî èíòåðâàëà ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè dR2 = dx2 + dy2 + dz2 è ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìè ìèðîâûìè òî÷êàìè dS2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 ñîäåðæèòñÿ âñÿ ñóòü “ïëîñêîé” ãåîìåòðèè (è åâêëèäîâîé è ïñåâäîåâêëèäîâîé). Âïåðâûå íà ýòî ñâîéñòâî èíòåðâàëà îáðàòèë âíèìàíèå çíàìåíèòûé ìàòåìàòèê ÕIX â. Áåðíõàðä Ðèìàí (18261866) â åãî çíàìåíèòîé ëåêöèè “Î ãèïîòåçàõ, ëåæàùèõ â îñíîâàíèÿõ ãåîìåòðèè” (1854 ã.), â êîòîðîé ãîâîðèëîñü î òîì, ÷òî çàäàíèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâà. Çíàíèå ÷åòûðåõìåðíîãî èíòåðâàëà ìåæäó äâóìÿ ñîáûòèÿìè ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü, èìååòñÿ ëè ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü èëè ìåæäó ýòèìè ñîáûòèÿìè íå ìîæåò áûòü òàêîé ñâÿçè íè â îäíîé ÈÑÎ.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, â êîòîðîé ïðåäïîëàãàëîñü ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòè ïåðåäà÷è âçàèìîäåéñòâèÿ, ìåæäó âñåìè ñîáûòèÿìè äîëæíà áûëà áûòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü. Òîëüêî ÑÒÎ óñòàíîâèëà â ýòîì âîïðîñå ïðèíöèïèàëüíî íîâîå: åñëè S2>0, òî ìåæäó äàííîé ïàðîé ñîáûòèé íè â îäíîé ÈÑÎ íå ìîæåò áûòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííîé ñâÿçè; åñëè æå S2<0, òî ìåæäó äàííîé ïàðîé ñîáûòèé ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííàÿ ñâÿçü. Âçàìåí ôîðìóëû 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà, ÑÒÎ âûâåëà íîâóþ ôîðìóëó äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè: 160

r r dv  r v r r  = F − 2 vF  1 − v2 / c2 . (2.6) dt  c  r dv Åñëè âåëè÷èíó ðàññìàòðèâàòü êàê óñêîðåíèå äâèæåíèÿ dt m

( )

òåëà, òî èç àíàëèçà ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (2.6) ñëåäóåò (â îòëè÷èå îò óòâåðæäåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè), ÷òî óñêîðåíèå òåëà íå âñåãäà ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ íàïðàâëåíèåì äåéñòâóþùåé ñèëû. Íî ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûì âûâîäîì, ïîëó÷åííûì À. Ýéíøòåéíîì â ÑÒÎ, ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâëåíèå âçàèìîñâÿçè ìåæäó äâóìÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè âåùåñòâåííîãî òåëà, ìåæäó åãî ìàññîé è ýíåðãèåé â ïîêîå: (2.7) E0 = m . ñ2 Äëÿ äâèæóùåãîñÿ òåëà ôîðìóëà âçàèìîñâÿçè ïðèíèìàåò áîëåå ñëîæíûé âèä: E = mc 2 / 1 − v 2 / c 2 .

(2.8)

 ÑÒÎ ðàññìàòðèâàþòñÿ è òàêèå ôèçè÷åñêèå îáúåêòû, êîòîðûå íå îáëàäàþò ìàññîé (ôîòîí, ãðàâèòîí), â ýòîì ñëó÷àå ïîëüçóþòñÿ äðóãîé ôîðìóëîé, èç êîòîðîé ôîðìóëà (2.7) ïîëó÷àåòñÿ êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé: E = [(m . ñ2)2 + ð2 . ñ2]1/2, (2.9) ãäå ð - èìïóëüñ ôèçè÷åñêîãî îáúåêòà. Èç ïðåäûäóùåãî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî â ÑÒÎ îòñóòñòâóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âìåñòî äâóõ ñàìîñòîÿòåëüíûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ - ýíåðãèè è êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, â ÑÒÎ óñòàíàâëèâàåòñÿ åäèíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè-èìïóëüñà. ÑÒÎ ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòîì ñîâðåìåííîé ôèçèêè è ëåæèò â îñíîâå âñåõ íîâåéøèõ ôèçè÷åñêèõ òåîðèé, åå âûâîäû ïîäòâåðæäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíî (äîñòàòî÷íî óïîìÿíóòü î âûñâîáîæäåíèè âíóòðèÿäåðíîé ýíåðãèè, ÷òî òåîðåòè÷åñêè áûëî ïðåäñêàçàíî íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (2.7)). Îäíàêî, íå óêàçûâàÿ íà íåêîòîðûå òðóäíîñòè, èìåþùèåñÿ â ñàìîé òåîðèè, óêàæåì íà îãðàíè÷åííîñòü ÑÒÎ: ýòà òåîðèÿ 161

ñïðàâåäëèâà òîëüêî â èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Êðîìå òîãî, ðàññìàòðèâàÿ îäíîðîäíîå è èçîòðîïíîå ïðîñòðàíñòâî è îäíîðîäíîå âðåìÿ, ÑÒÎ àâòîìàòè÷åñêè íå ó÷èòûâàåò ñóùåñòâîâàíèå ãðàâèòàöèè, êîòîðàÿ èçìåíÿåò óêàçàííûå âûøå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè. Ñâÿçàâ ìåæäó ñîáîé ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ (ñì. ôîðìóëû Ëîðåíöà (2.1)), ÑÒÎ íå ó÷ëà âëèÿíèÿ íà íèõ ìàòåðèàëüíûõ òåë. Èìåííî ýòè è äðóãèå íåäîñòàòêè ÑÒÎ ïðèâåëè À. Ýéíøòåéíà ê íåîáõîäèìîñòè îáîáùèòü ñîçäàííóþ èì òåîðèþ, ÷òî è áûëî èì âûïîëíåíî â ïåðèîä ñ 1907 ïî 1916 ãã. Íîâàÿ ôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïîëó÷èëà íàçâàíèå îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, êîòîðàÿ, ïî ñóòè äåëà, îêàçàëàñü ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèåé òÿãîòåíèÿ. Íî ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê èçëîæåíèþ ýòîé òåîðèè, ðàññìîòðèì êðàòêî ðàçâèòèå ïðåäñòàâëåíèé î òîì ôèçè÷åñêîì ÿâëåíèè, êîòîðîå ìû íàçûâàåì òÿãîòåíèåì. §3. Ðàçâèòèå ó÷åíèÿ î òÿãîòåíèè Åùå â äðåâíåì ìèðå ëþäè, íàáëþäàÿ ïàäåíèå òåë íà Çåìëþ, çàäóìûâàëèñü íàä ïðè÷èíîé ýòîãî ÿâëåíèÿ. Âåëèêèé ãðå÷åñêèé ó÷åíûé è ôèëîñîô Àðèñòîòåëü (384-322 ã. äî í.ý.) óòâåðæäàë, ÷òî “ïàäàþùèå òåëà äâèæóòñÿ áåç âîçäåéñòâèÿ ïîñòîðîííèõ òåë èëè áåç âîçäåéñòâèÿ íà íèõ êàêîé-ëèáî ñèëû. Ýòî äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì, à íå íàñèëüñòâåííûì. Ïðè÷èíà åãî ëåæèò â ñàìèõ òÿæåëûõ òåëàõ, êîòîðûå âñåãäà ñòðåìÿòñÿ çàíÿòü ñâîå ìåñòî, íàõîäÿùååñÿ íà Çåìëå”. Àðèñòîòåëü óòâåðæäàë, ÷òî ñêîðîñòü, êîòîðóþ ïðèîáðåòàþò òåëà, ïàäàÿ íà Çåìëþ, çàâèñèò îò âåñà ýòîãî òåëà è ïðîïîðöèîíàëüíà åìó. Äðóãîé ó÷åíûé äðåâíåãî ìèðà Ïòîëåìåé (2-é âåê äî í.ý.), ïîñòðîèâøèé ãåîöåíòðè÷åñêóþ ìîäåëü ìèðà, óòâåðæäàë, ÷òî íà ïàäåíèå òåë âëèÿåò äâèæåíèå ïëàíåò âîêðóã Çåìëè êàê âîêðóã öåíòðà. Íîâóþ êàðòèíó ìèðà ïðåäëîæèë ïîëüñêèé ó÷åíûé Íèêîëàé Êîïåðíèê (1473-1543ãã). Ïî Êîïåðíèêó, â öåíòðå ìèðà íàõîäèòñÿ íå Çåìëÿ, à Ñîëíöå, âîêðóã êîòîðîãî îáðàùàþòñÿ ïÿòü èçâåñòíûõ ê òîìó âðåìåíè ïëàíåò (Ìåðêóðèé, Âåíåðà, Ìàðñ, Þïèòåð, Ñàòóðí) è Çåìëÿ, êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïëàíåòîé. 162

Íàèáîëüøåå âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ôèçèêè, çàëîæèâ åå îñíîâû, îêàçàë èòàëüÿíñêèé ó÷åíûé Ãàëèëåé (1564-1642ãã.). Âïåðâûå â îñíîâó íàó÷íûõ ãèïîòåç Ãàëèëåé ïîëîæèë îïûò, ýêñïåðèìåíò, êîòîðûé íå òîëüêî ïîçâîëÿë ìíîãîêðàòíî ïîâòîðÿòü íàáëþäåíèå ÿâëåíèÿ, íî è, ÷òî ñàìîå ãëàâíîå â ìåòîäå Ãàëèëåÿ, ïîëó÷àòü êîëè÷åñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè ýòîãî ÿâëåíèÿ. Èìåííî òàêèì ïóòåì Ãàëèëåé ðåøèë ïðîâåðèòü, ÷òî “ñêîðîñòü ïàäàþùåãî íà Çåìëþ òåëà çàâèñèò îò åãî âåñà”. Ñóòü îïûòîâ òàêîâà. Ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé è íàêëîííîé áàøíè, íàõîäÿùåéñÿ â ã. Ïèçå (Èòàëèÿ), Ãàëèëåé áðîñàë ðàçëè÷íûå òåëà è îáíàðóæèë, ÷òî âñå îíè íåçàâèñèìî îò ôîðìû, ñîñòàâà è âåñà äîñòèãàþò Çåìëè ïðèáëèçèòåëüíî â îäíî è òî æå âðåìÿ. Èç ýòèõ æå îïûòîâ Ãàëèëåé ñäåëàë âûâîä, ÷òî äâèæåíèå ïàäàþùèõ òåë ÿâëÿåòñÿ ðàâíîóñêîðåííûì. Õîä åãî ìûñëåé è äåéñòâèé áûë ñëåäóþùèé. Åñëè òåëî ïàäàåò ðàâíîóñêîðåííî, ðàññóæäàë Ãàëèëåé, çíà÷èò åãî ñêîðîñòü v áóäåò âîçðàñòàòü ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî âðåìåíè t, êîòîðîå íóæíî îòñ÷èòûâàòü îò íà÷àëà ïàäåíèÿ òåëà. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî îïûòíûì ïóòåì ïðîâåðèòü âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ v ~ t. Îäíàêî, âî âðåìåíà Ãàëèëåÿ íå áûëî íå òîëüêî òàêèõ ïðèáîðîâ, êàê ñïèäîìåòðû, íî íå áûëî äàæå ÷àñîâ â íàøåì ïîíèìàíèè (“õîäèêè” è ïðóæèííûå ÷àñû áûëè èçîáðåòåíû ïîçæå). Ïîýòîìó ó÷åíûé èçáðàë èíîé ïóòü ïðîâåðêè ñîîòíîøåíèÿ v ~ t . Ãàëèëåé ðàññóæäàë òàê: åñëè äâèæåíèå òåëà ïðîèñõîäèò ïî òàêîìó çàêîíó, òî ïðè ýòîì ïóòü l, ïðîéäåííûé çà âðåìÿ t, áóäåò ïðîïîðöèîíàëåí êâàäðàòó âðåìåíè l ~ t 2. Çàâèñèìîñòü æå l ~ t 2 ïðîâåðèòü çíà÷èòåëüíî ëåã÷å, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî èçìåðèòü ïóòè, ïðîéäåííûå çà îïðåäåëåííûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. Äëÿ èçìåðåíèÿ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè áûë èñïîëüçîâàí äðåâíåéøèé ñïîñîá: èçìåðåíèå êîëè÷åñòâà âîäû, êîòîðîå âûòåêëî èç ñîñóäà çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ. Èç áîëüøîãî âåäðà, â äíå êîòîðîãî ñäåëàíî ìàëîå îòâåðñòèå, çàêðûòîå â íà÷àëå îïûòà ïðîáêîé, âîäà âûòåêàëà â äðóãîé ñîñóä. Ïî êîëè÷åñòâó âûòåêøåé âîäû ìîæíî îïðåäåëèòü âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî òåëî ñâîáîäíî ïàäàëî. Íî âåðòèêàëüíîå ïàäåíèå ïðîèñõîäèëî ñëèøêîì áûñòðî. Ïîýòîìó Ãàëèëåé çàìåíèë ñâîáîäíîå ïàäåíèå íà äâèæåíèå ïî íàêëîííîé 163

ïëîñêîñòè, êîòîðîå âî ñòîëüêî ðàç ìåäëåííåå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, âî ñêîëüêî ðàç âûñîòà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ìåíüøå åå äëèíû. Ìíîãîêðàòíî ïðîâîäÿ ýêñïåðèìåíò, áåðÿ ðàçíûå ðàññòîÿíèÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, Ãàëèëåé ïîäòâåðäèë ñâîè ëîãè÷åñêèå ðàññóæäåíèÿ: ïðîéäåííûé ïóòü ïðè ðàâíîóñêîðåííîì äâèæåíèè äåéñòâèòåëüíî îêàçàëñÿ ïðîïîðöèîíàëüíûì êâàäðàòó âðåìåíè äâèæåíèÿ. Ìåíÿÿ óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè, ïî êîòîðîé ñêàòûâàëñÿ ëàòóííûé øàð, Ãàëèëåé ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî è ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè (óãîë íàêëîíà ðàâåí 90 0 !) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñòàíîâëåííûé çàêîí, ÷òî äâèæåíèå òåë ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè ÿâëÿåòñÿ ðàâíîóñêîðåííûì. Ïðîäîëæàÿ ñâîè îïûòû, ó÷åíûé èçó÷àåò äâèæåíèå òåë, áðîøåííûõ ãîðèçîíòàëüíî èëè ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê ãîðèçîíòó.  ýòî æå âðåìÿ Ãàëèëåé óñòàíàâëèâàåò çàêîíû êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà, ïîäâåøåííîãî íà íèòè (ñåé÷àñ ìû òàêîå òåëî íàçûâàåì ìàòåìàòè÷åñêèì ìàÿòíèêîì). Âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ äâèæåíèÿõ Ãàëèëåé óñìàòðèâàåò ïðîÿâëåíèå ïðèòÿæåíèÿ ê Çåìëå. Âìåñòå ñ òåì, íå ïîíèìàÿ ïðèðîäû òÿãîòåíèÿ, îí íå ñìîã ïîíÿòü, ÷òî è ïðèëèâû, è îòëèâû â ìîðÿõ è îêåàíàõ îáóñëîâëåíû òîé æå ïðè÷èíîé, ÷òî è ïàäåíèå òåë, ó÷àñòèå â âîçíèêíîâåíèè ïðèëèâîâ è îòëèâîâ Ëóíû Ãàëèëåé îòðèöàë. Îãðîìíîå âëèÿíèå íà ðàçâèòèå ôèçèêè îêàçàë ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé Ðåíå Äåêàðò (1596-1650), ñ ïîëíûì îñíîâàíèåì åãî ìîæíî ñ÷èòàòü îñíîâàòåëåì òîãî íàïðàâëåíèÿ â íàóêå, êîòîðîå â êîíöå ÕIÕ â. ñòàëè íàçûâàòü “òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêîé”. Íî è äëÿ Äåêàðòà òÿãîòåíèå áûëî íåïîçíàâàåìî. Ëîãè÷åñêè ðàññóæäàÿ, îí ïûòàëñÿ îáúÿñíèòü ïàäåíèå òåë íå ïðèòÿæåíèåì ê Çåìëå, à âîçäåéñòâèåì ñïåöèôè÷åñêîé æèäêîñòè - ôëþèäà: ïðè îïóñêàíèè òåëà (ïðèáëèæåíèè ê Çåìëå) ðàâíûé îáúåì ôëþèäà ïîäíèìàåòñÿ îò ïîâåðõíîñòè Çåìëè íàïîäîáèå òîãî, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ïåðåìåùåíèåì òåëà â æèäêîñòè.  1619 ã. íåìåöêèé àñòðîíîì Èîãàí Êåïëåð (1571-1630), àíàëèçèðóÿ îãðîìíûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë, íàêîïëåííûé äàòñêèì àñòðîíîìîì Òèõî Áðàãå ïî íàáëþäåíèþ äâèæåíèé Ìàðñà è Þïèòåðà, ñôîðìóëèðîâàë òðè çàêîíà äâèæåíèÿ ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. 164

1-é çàêîí: ïëàíåòû äâèæóòñÿ âîêðóã Ñîëíöà ïî ýëëèïòè÷åñêèì îðáèòàì, â îäíîì èç ôîêóñîâ êîòîðûõ è íàõîäèòñÿ öåíòðàëüíîå ñâåòèëî. 2-é çàêîí: ðàäèóñû-âåêòîðû, ïðîâåäåííûå èç Ñîëíöà ê ïëàíåòàì, çà êàæäóþ åäèíèöó âðåìåíè îïèñûâàþò îäèíàêîâûå ïëîùàäè. 3-é çàêîí: êâàäðàòû ïåðèîäîâ îáðàùåíèÿ ïëàíåò îòíîñÿòñÿ êàê êóáû ñðåäíèõ ðàññòîÿíèé èõ îò Ñîëíöà. Èìåííî ýòè çàêîíû ïîñëóæèëè íà÷àëîì äëÿ óñòàíîâëåíèÿ çàêîíà Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Íî äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ åùå íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ëåò.  ýòîò ïåðèîä ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé Ðîáåðâàëü (1646) âûñêàçûâàåò ãåíèàëüíóþ äëÿ ñâîåãî âðåìåíè äîãàäêó, ÷òî òÿãîòåíèå ÿâëÿåòñÿ îáùèì ñâîéñòâîì âñåõ òåë (çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæåì, ÷òî âïîñëåäñòâèè ìû áóäåì âîçäàâàòü äîëæíîå Íüþòîíó çà òî, ÷òî îí ðàñïðîñòðàíèò äåéñòâèå ñâîåãî çàêîíà íà âñþ Âñåëåííóþ). Äðóãîé ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé Áîðåëü (1666), ïðèçíàâàÿ çàêîíû Êåïëåðà, ïûòàåòñÿ îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ïëàíåòû íå ïàäàþò íà Ñîëíöå: äåëî â òîì, ÷òî ïëàíåòû ... äâèæóòñÿ (ïðàâäà, îí åùå íå çíàåò, ÷òî ýòî âîçìîæíî ëèøü ïðè îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ íåáåñíîãî òåëà. Òàê, çàìåäëèâøèéñÿ èñêóññòâåííûé ñïóòíèê Çåìëè íà÷íåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû).  1673 ã. ãîëëàíäñêèé ôèçèê Õðèñòèàí Ãþéãåíñ (1629-1695) âûâîäèò ôîðìóëó öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ, êîòîðàÿ âïîñëåäñòâèè áóäåò èñïîëüçîâàíà Íüþòîíîì äëÿ ïðîâåðêè çàêîíà Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ïðè÷èíîé æå äâèæåíèÿ ïëàíåò ÿâëÿåòñÿ íå ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ê Ñîëíöó, à äðóãàÿ, íàïðàâëåííàÿ ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè, ïðèðîäó êîòîðîé îí îáúÿñíèòü íå ìîã.  ýòè æå ãîäû àíãëèéñêèé ôèçèê Ðîáåðò Ãóê (1635-1703) èç àíàëèçà èçâåñòíûõ ôàêòîâ, â òîì ÷èñëå çàêîíîâ Êåïëåðà, âïëîòíóþ ïîäîøåë ê óñòàíîâëåíèþ ïðèðîäû òÿãîòåíèÿ. Îí óòâåðæäàë, ÷òî âñå òåëà òÿãîòåþò äðóã ê äðóãó è ñèëû òÿãîòåíèÿ òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ìàññû ýòèõ òåë è ÷åì áëèæå îíè ðàñïîëàãàþòñÿ äðóã ê äðóãó. Îäíàêî, êîëè÷åñòâåííîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû òÿãîòåíèÿ Ðîáåðò Ãóê íå ïîëó÷èë. 165

20 ëåò ïðîáëåìîé òÿãîòåíèÿ çàíèìàëñÿ âåëèêèé àíãëèéñêèé ôèçèê Èñààê Íüþòîí (1643-1727). Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàáîòû áûëà ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî åãî ðàñ÷åòû äàâàëè âåëè÷èíû, äàæå ãðóáî íå ñîâïàäàþùèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Íî ê 1684 ã. áûëè óòî÷íåíû íåîáõîäèìûå äëÿ ðàñ÷åòîâ âåëè÷èíû - ðàäèóñ Çåìëè è ñðåäíåå ðàññòîÿíèå îò Çåìëè äî Ëóíû. È òîãäà ïåðåðàñ÷åò äàë õîðîøåå ñîâïàäåíèå òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ âåëè÷èí. Ýòîò ãîä è ïðèíèìàåòñÿ çà äàòó îòêðûòèÿ çàêîíà Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Íüþòîí íà÷àë ñ òîãî, ÷òî ðàññìîòðåë äâèæåíèå Ëóíû âîêðóã Çåìëè. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ãþéãåíñà äëÿ öåíòðîñòðåìèòåëüíîãî óñêîðåíèÿ óñêîðåíèå Ëóíû ðàâíî àë = ω 2R, ãäå ω -óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ Ëóíû, R - ðàäèóñ åå îðáèòû. Ñîñòàâèì îòíîøåíèå öåíòðîñòðåìèòåëüíûõ óñêîðåíèé äâóõ òåë, îäíî èç íèõ ïóñòü íàõîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, âòîðûì òåëîì áóäåò Ëóíà. Òîãäà aç = ω ç2Rç, àë = ω ë2Rë è îòíîøåíèå ýòèõ ðàâåíñòâ à ç ω ç2 Rç . = à ë ω ë Rë

Ò.ê. ω = 2πν =

(*)

ωç Ò ë ω ç2 Ò ë2 2π , òî ω = Ò èëè 2 = 2 . ωë Òç Ò ë ç

Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå îòíîøåíèÿ êâàäðàòà óãëîâûõ ñêîðîñòåé â ôîðìóëó (*): à ë Ò ë2 Rç = à ç Ò ç2 Rë .

Âîñïîëüçóåìñÿ 3-èì çàêîíîì Êåïëåðà, ñîãëàñíî êîòîðîìó Ò ç2 Rç3 . = Ò ë2 Rë3

Îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì 2

à ç Rë . = à ë Rç2 166

Èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ Íüþòîí äåëàåò âûâîä, ÷òî öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå, ïðèîáðåòàåìîå òåëîì ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû - ñèëû òÿãîòåíèÿ, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ òåëà äî èñòî÷íèêà òÿãîòåíèÿ. Ñëåäóþùèé øàã â âûâîäå çàêîíà òÿãîòåíèÿ áûë òàêîé. Âñå òåëà íà Çåìëå ïàäàþò ñ îäíèì è òåì æå óñêîðåíèåì íåçàâèñèìî îò èõ ìàññû (ýòîò ôàêò óñòàíîâèë åùå Ãàëèëåé). Ïî âòîðîìó çàêîíó ìåõàíèêè, êîòîðóþ ïîñòðîèë ñàì Íüþòîí, óñêîðåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: à=

F . m

Íî åñëè óñêîðåíèå íå çàâèñèò îò ìàññû òåëà, çíà÷èò ñàìà ñèëà F äîëæíà áûòü ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ýòîé ìàññå. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ñèëà òÿãîòåíèÿ F ~ m. Îáúåäèíÿÿ îáà âûâîäà, êîòîðûå Íüþòîí ïîëó÷èë, àíàëèçèðóÿ äâèæåíèå Ëóíû âîêðóã Çåìëè, ïîëó÷àåì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ çàêîíà Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ: Fòÿã ~

m . R2

Íî òàê êàê ïî òðåòüåìó çàêîíó ìåõàíèêè ñèëà äåéñòâèÿ Çåìëè íà Ëóíó è ïðîòèâîäåéñòâèÿ Ëóíû íà Çåìëþ ÷èñëåííî ðàâíû äðóã äðóãó, òî ñèëà òÿãîòåíèÿ äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà ìàññàì è Çåìëè, è Ëóíû, îáîèõ òÿãîòåþùèõ òåë. Èòàê, ñèëà òÿãîòåíèÿ ìåæäó äâóìÿ òåëàìè áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ ìàññ òÿãîòåþùèõ òåë è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè (òåëà ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ìàòåðèàëüíûå òî÷êè. Êñòàòè, è çàêîíû ìåõàíèêè òîæå ñïðàâåäëèâû äëÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê!): Fòÿã ~

m1 ⋅ m2 . R12− 2

Ãåíèàëüíîñòü È. Íüþòîíà ïðîÿâèëàñü â òîì, ÷òî îí ðàñïðîñòðàíèë äåéñòâèå óñòàíîâëåííîãî èì çàêîíà òÿãîòåíèÿ íà âñå òåëà Âñåëåííîé, â òîì ÷èñëå è íà íàõîäÿùèõñÿ íà Çåìëå. 167

Èìåííî ïîýòîìó çàêîí òÿãîòåíèÿ ïîëó÷èë íàçâàíèå çàêîíà Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. ×òîáû íàïèñàòü çàêîí â âèäå ðàâåíñòâà, ââîäèòñÿ êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè G - ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òîãäà Fòÿã = G

m1 ⋅ m2 . R12− 2

(3.1)

Êîýôôèöèåíò G- ýòî íàèìåíîâàííàÿ âåëè÷èíà, ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ âåëè÷èí, âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (3.1), óæå áûëè âûáðàíû åäèíèöû èçìåðåíèÿ, êîòîðûå âìåñòå íå äàþò íàèìåíîâàíèå ñèëû, à â ôèçèêå ìîæíî ïðèðàâíèâàòü òîëüêî îäíîðîäíûå âåëè÷èíû (!). Ïðè ýòîì íåãëàñíî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî â ôîðìóëå (3.1) ñòîèò òà æå ìàññà, êîòîðàÿ ôèãóðèðóåò â ôîðìóëå 2-ãî çàêîíà ìåõàíèêè. Ýòîò ôàêò (ðàâåíñòâî ìàññ, âõîäÿùèõ â ðàçíûå çàêîíû) â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ïðèíèìàëñÿ êàê äàííûé è íå âûçûâàë îñîáîãî âîçðàæåíèÿ. Òåì áîëåå (î ÷åì ðå÷ü áóäåò èäòè äàëüøå) âî ìíîæåñòâå òî÷íåéøèõ îïûòîâ (ñ òî÷íîñòüþ äî 10-12) íå îáíàðóæèâàëîñü ðàçëè÷èå ýòèõ âåëè÷èí. Îäíàêî, ê ýòîìó óäèâèòåëüíîìó ñîâïàäåíèþ ìàññ èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé (ò.å. òåõ ìàññ, êîòîðûå âõîäÿò â äâà çàêîíà ïðèðîäû - 2-îé çàêîí ìåõàíèêè è çàêîí Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ) èíà÷å ïîäîøåë “Íüþòîí ÕÕ â.” - Àëüáåðò Ýéíøòåéí. È åãî ïîäõîä ê ýòîìó ôàêòó ïðèâåë ê ñîçäàíèþ íîâîé ôèçè÷åñêîé òåîðèè - îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè - ñîâðåìåííîé ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è òÿãîòåíèÿ. Äîïîëíèì íàø î÷åðê íåêîòîðûìè âàæíûìè ñâåäåíèÿìè. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ñèëà òÿãîòåíèÿ íàïðàâëåíà ê öåíòðó òÿãîòåíèÿ, ò.å. ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ ðàäèóñà-âåêòîðà, ïðîâåäåííîìó îò öåíòðà òÿãîòåíèÿ ê ìåñòó ðàñïîëîæåíèÿ ïðèòÿãèâàåìîãî òåëà, èìååò ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè âåêòîðíîé çàïèñè ñèëû ïðèòÿæåíèÿ íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü çíàê “-” â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà: r r m1 ⋅ m2 R1− 2 F1− 2 = −G 2 . R1− 2 R1− 2

168

(3.2)

Óñòàíîâëåííûé íàìè ôàêò èìååò m2 îáùåôèçè÷åñêîå çíà÷åíèå: âñÿêàÿ r F1− 2 ñèëà ïðèòÿæåíèÿ - îòðèöàòåëüíàÿ r âåëè÷èíà. Íî â øêîëüíîé ïðàêòèêå, R1− 2 êàê ïðàâèëî, çíàê “-” ó âåëè÷èíû m1 Ðèñ.1. ñèëû îïóñêàåòñÿ (åñëè ýòî, êîíå÷íî, íå âëèÿåò íà ðåøåíèå çàäà÷è) è ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî àáñîëþòíîå çíà÷åíèå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ òÿãîòåþùèõ òåë (èëè ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ).  XVIII - XIX ââ. íüþòîíîâñêàÿ òåîðèÿ òÿãîòåíèÿ áûëà ïðèçíàíà âñåìè ôèçèêàìè è íàøëà ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå. Ïîñêîëüêó â ôîðìóëó çàêîíà òÿãîòåíèÿ íå âõîäèò âðåìÿ, òî ýòî òîëêîâàëîñü êàê óòâåðæäåíèå, ÷òî ñèëà òÿãîòåíèÿ ïåðåäàåòñÿ íà ëþáûå ðàññòîÿíèÿ ìãíîâåííî. Êàê è âñÿ êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà (ìåõàíèêà, îñíîâàííàÿ íà çàêîíàõ Íüþòîíà), òåîðèÿ Íüþòîíà î ñèëå òÿãîòåíèÿ - ýòî òåîðèÿ, îñíîâàííàÿ íà ïðèíöèïå äàëüíîäåéñòâèÿ (ìãíîâåííîñòè ïåðåäà÷è äåéñòâèÿ èëè èíôîðìàöèè íà ëþáîå ðàññòîÿíèå).  òðóäàõ çíàìåíèòûõ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ ýòîãî âðåìåíè (Ýéëåð, Ëàãðàíæ, Ëàïëàñ è äð.) çàêîí Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ óñïåøíî ïðèìåíÿëñÿ äëÿ îáúÿñíåíèÿ äâèæåíèÿ ïëàíåò è êîìåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Ëàïëàñ ââîäèò åùå îäíó õàðàêòåðèñòèêó ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, êîòîðàÿ ôîðìàëüíî íàïîìèíàåò íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå E=

F q ,

òî íàïðÿæåííîñòü ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ â äàííîé òî÷êå îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî: Gm F1− 2 = g = 2 1. m2 R1− 2

(3.3)

Íî ýòà âåëè÷èíà, êàê ëåãêî óñòàíîâèòü, ÿâëÿåòñÿ íå ÷åì èíûì, êàê óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ó âåëè÷èíû 169

g èìååòñÿ äâà òîëêîâàíèÿ: 1) ýòî óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ òåë, íàõîäÿùèõñÿ íà äàííîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà Çåìëè (åñòåñòâåííî, â ýòîì ñëó÷àå ïîä m1 ïîäðàçóìåâàåòñÿ ìàññà Çåìëè m1 = mç); 2) ýòî íàïðÿæåííîñòü ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ â äàííîé åãî òî÷êå. Îäíàêî, êàê è â ýëåêòðîñòàòèêå (äî Ôàðàäåÿ), òàê è â òåîðèè òÿãîòåíèÿ (äî Ýéíøòåéíà) óïîìèíàíèå î “ïîëå” èìååò ôîðìàëüíûé, ìàòåìàòè÷åñêèé, à íå ôèçè÷åñêèé õàðàêòåð, òàê êàê ïðîìåæóòî÷íàÿ ñðåäà íèêàêîé ðîëè íå èãðàëà êàê â ïåðåäà÷å ýëåêòðè÷åñêîãî, òàê è ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ýòè âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðåäàâàëèñü íà ëþáîå ðàññòîÿíèå ìãíîâåííî. Âåðøèíîé óñïåõà íüþòîíîâñêîé òåîðèè òÿãîòåíèÿ áûëî ïðåäñêàçàíèå ôðàíöóçñêèì àñòðîíîìîì Ëåâåðüå â 1846 ã. ñóùåñòâîâàíèÿ åùå îäíîé ïëàíåòû â ñîëíå÷íîé ñèñòåìå (òî æå ïðåäñêàçàíèå íåçàâèñèìî áûëî ñäåëàíî è äðóãèì ó÷åíûì Àäàìñîì). Âñêîðå çà ïëàíåòîé Óðàí, äâèæåíèå êîòîðîé îòêëîíÿëîñü îò “óêàçàíèÿ” çàêîíà òÿãîòåíèÿ, áûëà îáíàðóæåíà íîâàÿ ïëàíåòà - Íåïòóí (Ãàëëå, 1846 ã.). Äðóãèå íåáîëüøèå íàðóøåíèÿ ïðåäñêàçàíèé çàêîíà òÿãîòåíèÿ óäàâàëîñü óñòðàíèòü, âíîñÿ íåêîòîðûå îáîñíîâàííûå ïîïðàâêè. Íàïðèìåð, çà ñòîëåòíåå íàáëþäåíèå çà Ëóíîé îáíàðóæèëè, ÷òî îíà îêàçàëàñü íà äâà ñâîèõ äèàìåòðà âïåðåäè, íåæåëè åé ïîëàãàëîñü áûòü ïî ðàñ÷åòàì. Àíàëèç ïîêàçàë, ÷òî â ýòîì ôàêòå “âèíîâàòà” ñàìà Çåìëÿ: èç-çà ïðèëèâíîãî òðåíèÿ Çåìëÿ çàìåäëÿåò ñâîå äâèæåíèå. Íî áûëî åùå îäíî ÿâëåíèå, êîòîðîå íå íàõîäèëî îáúÿñíåíèÿ, - ýòî âðàùåíèå ïåðèãåëèÿ ïëàíåò, êîòîðîå òåì áîëüøå, ÷åì áëèæå ïëàíåòà íàõîäèòñÿ ê Ñîëíöó. Òàê, ó Ìåðêóðèÿ çà ñòî ëåò ïåðèãåëèé ñìåùàåòñÿ íà óãîë â 40”. Êàê äîãàäûâàåòñÿ ÷èòàòåëü, ýòîò ýôôåêò, êàê è íåêîòîðûå äðóãèå, êîòîðûå íå áûëè îáúÿñíåíû òåîðèåé Íüþòîíà, îáúÿñíèëà îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè À. Ýéíøòåéíà. Íî ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê èçëîæåíèþ îñíîâ òåîðèè Ýéíøòåéíà, ðàññìîòðèì áîëåå äåòàëüíî âåëè÷èíó G ãðàâèòàöèîííóþ ïîñòîÿííóþ, åå çíà÷åíèå äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé, ìåòîäû åå îïðåäåëåíèÿ. Îíà ïîòðåáóåòñÿ íàì è ïðè ïîñòðîåíèè òåîðèè òÿãîòåíèÿ À. Ýéíøòåéíà - îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. 170

§4. Ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ Ôîðìóëà çàêîíà Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ (ÇÂÒ) ìîæåò áûòü ïðàêòè÷åñêè èñïîëüçîâàíà òîëüêî òîãäà, êîãäà íàìè áóäåò îïðåäåëåíà ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òîëüêî òîãäà ìîæíî áóäåò ðàññ÷èòûâàòü ñèëó òÿãîòåíèÿ äâóõ ìàññèâíûõ òåë, èëè ìàññó îäíîãî èç íèõ, èëè ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äðóãèå âåëè÷èíû â ôîðìóëå (3.1) îïðåäåëåíû íåçàâèñèìûìè ñïîñîáàìè). Ïåðâûì ó÷åíûì, êîòîðûé îïðåäåëèë ãðàâèòàöèîííóþ ïîñòîÿííóþ, áûë àíãëèéñêèé ôèçèê Ãåíðè Êàâåíäèø (1731-1810). Íèæå ìû îïèøåì èäåþ åãî ýêñïåðèìåíòà, îñóùåñòâëåííîãî â 1798ã. À ñåé÷àñ ïîêàæåì, êàê Êàâåíäèø “âçâåñèë” Çåìëþ, îïðåäåëèë åå ñðåäíþþ ïëîòíîñòü. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òåëà, ðàñïîëîæåííîãî íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ìîæíî íàïèñàòü: mg = G

m⋅ Mç . R2

(4.1)

Èç (4.1) îïðåäåëÿåì ìàññó Çåìëè: Mç = g

R2 G

è åå ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü: ρ=

Mç . Vç

C äðóãîé ñòîðîíû, çíàÿ êàê äâèæåòñÿ Çåìëÿ âîêðóã Ñîëíöà, ìîæíî îïðåäåëèòü åå óñêîðåíèå, à çàòåì è ñèëó, ñîçäàþùóþ ýòî óñêîðåíèå: F ñ− ç = Ì ç à ç . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ÇÂÒ, ìîæíî ðàññ÷èòàòü è ìàññó Ñîëíöà: Fc − ç = G

Mç ⋅ Mc , Rc2− ç

F

⋅ R2

c−ç c− ç îòêóäà M c = G ⋅ M . ç

Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíþþ ôîðìóëó çíà÷åíèå F ñ− ç è çàìåíÿÿ à ç ÷åðåç åå âûðàæåíèå 171

àç =

Ïîñëå ïåðåìåùåíèÿ ãðóçîâ (3 è 4), ñîîòíîøåíèå äëÿ ðàâåíñòâà ñèë çàïèøåòñÿ òàê:

v ç2 , Rc − ç

îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü “âçâåñèòü” è Ñîëíöå: Mc =

v ç2 ⋅ Rc − ç , G

ãäå v ç - ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü Çåìëè íà åå îðáèòå. Âî âñå îñíîâíûå ôîðìóëû, ïîëó÷åííûå âûøå, âõîäèò ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îòñþäà âèäíî, êàê âàæíî çíàòü çíà÷åíèå ýòîé âåëè÷èíû. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî áûëî ïîëó÷èòü çíà÷åíèå ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé, ïðîèçâîäÿ îïûòû íå ñ íåáåñíûìè òåëàìè, à ñ òåëàìè, íàõîäÿùèìèñÿ íà Çåìëå. Ýòî òåì áîëåå âàæíî áûëî ñäåëàòü, òàê êàê ãåíèàëüíûé È. Íüþòîí ðàñïðîñòðàíèë äåéñòâèå ÇÂÒ è íà âçàèìîäåéñòâèÿ òåë íà Çåìëå. Ã. Êàâåíäèø èñïîëüçîâàë â ñâîåé óñòàíîâêå òàê íàçûâàåìûé ìåòîä êðóòèëüíûõ âåñîâ. Íà ðèñóíêå 2. èçîáðàæåíà ñõåìà îïûòà Êàâåíäèøà. Íà òîíêîì ñòåðæíå çàêðåïëåíû äâà íåáîëüøèõ ñâèíöîâûõ øàðèêà ñ ìàññàìè m=50ã (1,2). Ñòåðæåíü óðàâíîâåøåí, è íà íèòè ïîäâåñà óêðåïëåíî ëåãêîå çåðêàëüöå (Ç).  ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíèÿ ãðóçèêîâ (1,2) íàõîäÿòñÿ öåíòðû áîëüøèõ ãðóçîâ (3,4), êàæäûé ïî ìàññå Ì = 50 êã. Âñÿ óñòàíîâêà ïîìåùåíà â ñòåêëÿííûé øêàô, ÷òîáû óñòðàíèòü âëèÿíèå äâèæåíèÿ âîçäóõà. Îïûò ïðîâîäèòñÿ äâàæäû, âòîðîå ïåðåìåùåííîå ïîëîæåíèå ãðóçîâ (3,4) íà ðèñóíêå èçîáðàæåíî ïóíêòèðîì. Äëÿ ïåðâîé ÷àñòè îïûòà ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå, âûðàæàþùåå ðàâåíñòâî ñèë ãðàâèòàöèîííîãî ïðèòÿæåíèÿ äâóõ ïàð øàðîâ (1-3) è (2-4) óïðóãîé ñèëû, âîçíèêàþùåé â íèòè ïîäâåñà ïðè åå çàêðó÷èâàíèè: 2G

Ðèñ.2 172

m⋅M = kα1 , R2

ãäå α 1 - óãîë çàêðó÷èâàíèÿ íèòè (â ðàäèàíàõ), k - êîýôôèöèåíò óïðóãîñòè íèòè ïîäâåñà.

2G

m⋅M = kα 2 . R2

Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ñèëó ðÿäà ïðè÷èí (íåîäíîðîäíîñòü íèòè, îøèáêà ïðè ñíÿòèè ïîêàçàíèÿ è ò.ä.) óãëû çàêðó÷èâàíèÿ α 1 è α 2 íå ðàâíû äðóã äðóãó. Ñëîæèì ýòè ðàâåíñòâà: 4G

m⋅M = k (α1 + α 2 ). R2

(4.2)

Êîýôôèöèåíò óïðóãîñòè íèòè îïðåäåëÿëñÿ ñ ïîìîùüþ êðóòèëüíîãî ìàÿòíèêà (ãðóçû 3 è 4 óäàëÿþòñÿ, ñòåðæåíü íåñêîëüêî ðàç ïîâîðà÷èâàåòñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè-íèòè ïîäâåñà è îñâîáîæäàåòñÿ; ïîä äåéñòâèåì óïðóãîé ñèëû â íèòè ïîäâåñà êîðîìûñëî óñòàíîâêè íà÷èíàåò ñîâåðøàòü êðóòèëüíûå êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì Ò, êîòîðûé ñâÿçàí ñ êîýôôèöèåíòîì óïðóãîñòè “k” ïî ôîðìóëå T = 2π

J , k

ãäå - J ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû. Ñ÷èòàÿ ñòåðæåíü ëåãêèì (“íåâåñîìûì”) ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññàìè ãðóçîâ (1,2), ðàññ÷èòàåì ìîìåíò èíåðöèè ñèñòåìû ïî ôîðìóëå (l - äëèíà ñòåðæíÿ): J = 2 J1 = 2

ml 2 ml 2 = . 4 2

Òàêèì îáðàçîì, â ôîðìóëå (4.2) èçâåñòíû âñå âåëè÷èíû, êðîìå G. Ðàñ÷åòû, ïðîâåäåííûå Êàâåíäèøåì, äàëè ñëåäóþùåå çíà÷åíèå ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé: G = (6,67 ± 0,05)10 -11 Í . ì2êã -2, êîòîðîå ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ ñîâðåìåííûì çíà÷åíèåì ýòîé âåëè÷èíû (6,672 ± 0,004) 10 -11 Í ì2êã -2).  ñèëó âàæíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåíèå åå ÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ ïðîäîëæàåòñÿ è äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè, ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû, ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþùèåñÿ 173

îò ìåòîäà Êàâåíäèøà. Ðàññìîòðèì åùå îäèí ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé, ðàçðàáîòàííûé ôðàíöóçñêèì ôèçèêîì Æîëëè (1878 ã.). Íà ðû÷àæíûõ âåñàõ óðàâíîâåøåí Ðèñ. 3. íåáîëüøîé ãðóç (ðèñ.3) ìàññû m. Ñ ëåâîé ñòîðîíû âåñîâ (ñì. ðèñ.3) èìåþòñÿ äâå ÷àøå÷êè, ñîåäèíåííûå íèòüþ, ïðîïóùåííîé ÷åðåç êàíàë â íåçàâèñèìî îò âåñîâ çàêðåïëåííîì øàðå.  ïåðâîé ÷àñòè îïûòà ãðóçèê ðàçìåùàåòñÿ íà ëåâîé íèæíåé ÷àøêå, à âî âòîðîé ÷àñòè îïûòà -ñëåâà æå, íî íà âåðõíåé ÷àøêå. Åñëè åùå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èçìåíåíèåì ðàññòîÿíèÿ îò ìàëîãî ãðóçà äî öåíòðà Çåìëè, òî óæå èçìåíåíèåì ïîëîæåíèÿ ìàëîãî ãðóçà äî áîëüøîãî ïðåíåáðå÷ü íåëüçÿ. Êîãäà ãðóç “m” íàõîäèòñÿ íà âåðõíåé ÷àøêå, íà íåãî äåéñòâóþò äâå ñèëû, íàïðàâëåííûå â îäíó ñòîðîíó - âåðòèêàëüíî âíèç, èõ ðåçóëüòèðóþùàÿ ðàâíà àðèôìåòè÷åñêîé ñóììå ñèë G

m⋅M è m ⋅ g. Êîãäà æå ãðóç “m” ïåðåìåùàåòñÿ íà íèæíþþ R2

÷àøêó, ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà ýòîò ãðóç “m”, ðàâíà ðàçíîñòè ñèë G

m⋅M è mg, ïðè÷åì ñèëà òÿæåñòè mg áîëüøå, R2

÷åì ñèëà ïðèòÿæåíèÿ òåëà “m” ê øàðó Ì. Ðàâíîâåñèå âåñîâ ïîñëå ïåðåìåùåíèÿ ãðóçà “m” äîëæíî íàðóøèòüñÿ. Èçìåíÿÿ âåëè÷èíó âåñà ãèðüêè íà äðóãîé ÷àøêå âåñîâ, ìîæåì âîññòàíîâèòü ðàâíîâåñèå. Íàéäÿ âåëè÷èíó äîâåñêà, âîññòàíàâëèâàþùåãî ðàâíîâåñèå ðû÷àæíûõ âåñîâ DÐ, ìîæíî ïðèðàâíÿòü åå ê âåëè÷èíå 2G

m⋅M , R2

êîòîðóþ ëåãêî ïîëó÷èòü, ñîñòàâëÿÿ ðàçíîñòü ðàâíîäåéñòâóþùèõ ñèë, èñïûòûâàåìûõ ãðóçîì “m” â äâóõ ÷àñòÿõ îïûòà. Ðàñ÷åò äàë ñëåäóþùåå çíà÷åíèå äëÿ ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé â îïûòå Æîëëè: G = (6,6732 ± 0,0031)⋅ 10−11 H ⋅ m 2 ⋅ êã −2 . 174

Äîïîëíåíèå Äî ñèõ ïîð ìû ïðåèìóùåñòâåííî ãîâîðèëè î çíà÷åíèè ÇÂÒ (â òîì ÷èñëå è ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèë òÿãîòåíèÿ èëè ìàññ, èëè ðàññòîÿíèé ìåæäó òÿãîòåþùèìè òåëàìè. Íî çíàíèå áîëåå òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé íåîáõîäèìî è äëÿ çåìíûõ äåë. Ïðèâåäåì öèòàòó èç ñòàòüè “Ãðàâèìåòðèÿ” ( íàóêà î çåìíîì ïîëå òÿæåñòè è ñâÿçè åãî ñ ôèãóðîé Çåìëè, åå âíóòðåííèì ñòðîåíèåì è ñòðîåíèåì çåìíîé êîðû), ïîìåùåííîé â Ôèçè÷åñêîì ýíöèêëîïåäè÷åñêîì ñëîâàðå (ÔÝÑ) èçä.1, 1960 ã., ò1, ñ.585, èç êîòîðîé áóäåò ÿñíî, ñêîëü âàæíî êàê ìîæíî òî÷íåå çíàòü õàðàêòåðèñòèêè çåìíîãî ïîëÿ òÿãîòåíèÿ: “Èçó÷åíèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ Çåìëè ïîçâîëÿåò ðåøèòü ìíîãèå çàäà÷è ãåîäåçèè è ãåîôèçèêè. Òàê, ïîñòðîåíèå íîðìàëüíîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ äàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü ñæàòèå çåìíîãî ýëëèïñîèäà. Èçó÷åíèå àíîìàëèé ñèëû òÿæåñòè ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü óêëîíåíèÿ ãåîèäà îò ýëëèïñîèäà. Ïîñêîëüêó àíîìàëèÿ ñèëû òÿæåñòè âûçûâàåòñÿ íåðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì ìàññ â çåìíîé êîðå, ïî õàðàêòåðó ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ìîæíî ñóäèòü î íàëè÷èè èçìåíåíèé ïëîòíîñòåé â ðàéîíå èññëåäîâàíèÿ; òàê, âîçìîæíî îáíàðóæèòü ðàçëè÷íûå ãåîëîãè÷åñêèå ñòðóêòóðû è çàëåæè ïîëåçíûõ èñêîïàåìûõ. Èçó÷åíèå èçìåíåíèé “g” (òàê íàçûâàåìûå âàðèàöèè ñèëû òÿæåñòè) â ñîâîêóïíîñòè ñ ïîâòîðíûì íèâåëèðîâàíèåì îòêðûâàåò íîâûå âîçìîæíîñòè â èçó÷åíèè ãåîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â çåìíîé êîðå. Ïåðèîäè÷åñêèå èçìåíåíèÿ “g” ïîçâîëÿþò ñóäèò î ïðèëèâíûõ ÿâëåíèÿõ â òâåðäîé îáîëî÷êå Çåìëè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, äàåò âîçìîæíîñòü ñäåëàòü âûâîäû îá óïðóãèõ ñâîéñòâàõ Çåìëè”. §5. Èíåðòíàÿ è ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññû Òî, î ÷åì áóäåò èäòè ðå÷ü â ýòîì î÷åðêå, ÷àñòè÷íî óæå îáñóæäàëîñü ðàíåå. Íî âîïðîñ íàñòîëüêî âàæåí äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÎÒÎ, ÷òî êîå-÷òî èç ïðåäûäóùåãî íåîáõîäèìî ïîâòîðèòü. Ñîãëàñíî çàêîíó Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííîìó È. Íüþòîíîì, ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷å÷íûìè ÷àñ175

òèöàìè ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàññ è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè. Íî åñëè â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè ìàññà âûñòóïàëà êàê ìåðà èíåðòíîñòè òåëà, òî â ÇÂÒ ìàññà õàðàêòåðèçóåò ñîâåðøåííî èíîå ñâîéñòâî òåëà - îíà âûñòóïàåò êàê ãðàâèòàöèîííûé “çàðÿä”. Òàêîå íàçâàíèå äëÿ ãðàâèòàöèîííîé ìàññû íàïðàøèâàåòñÿ, åñëè ñðàâíèòü ôîðìóëû çàêîíîâ òÿãîòåíèÿ è ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (çàêîíà Êóëîíà): Fòÿã = G

m1m2 R2

è

Fýë = k

q1q2 , R2

k=

1 . 4πε 0 (5.1)

Ïîñêîëüêó â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ è â ôîðìóëå ÇÂÒ ðå÷ü èäåò î äâóõ ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâàõ òåëà, êîòîðûå ìîãëè áûòü ñîâåðøåííî íå ñâÿçàííûìè äðóã ñ äðóãîì, òî, âîîáùå ãîâîðÿ, äîëæíû áûëè áûòü ââåäåíû äâå ðàçëè÷íûå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû - èíåðòíàÿ ìàññà “mè”, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñòåïåíü èíåðòíîñòè òåëà, è ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà “m 㠔, õàðàêòåðèçóþùàÿ åãî ãðàâèòàöèîííûé “çàðÿä”: F = mè . à

è

F =G

mã M ã R2

(5.2)

Îäíàêî ñóùåñòâóåò ñëåäóþùèé ôàêò, ñîâåðøåííî íàäåæíî ñ îãðîìíîé òî÷íîñòüþ ïîäòâåðæäåííûé ýêñïåðèìåíòàëüíî: äëÿ âñåõ òåë ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà òåëà mã è åãî èíåðòíàÿ ìàññà mè ñòðîãî ïðîïîðöèîíàëüíû äðóã äðóãó, ò.å. äëÿ âñåõ òåë îòíîøåíèå ãðàâèòàöèîííîé è èíåðòíîé ìàññ mã/mè îäèíàêîâî è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêóþ óíèâåðñàëüíóþ ïîñòîÿííóþ. Ñ ýòèì óäèâèòåëüíûì ñâîéñòâîì ìàññû ÷åëîâåê ñòàëêèâàåòñÿ ñ ïåðâûõ øàãîâ ñâîåãî ñóùåñòâîâàíèÿ: ÷åì òÿæåëåå òåëî (ò.å. ÷åì áîëüøå åãî ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà), òåì òðóäíåå èçìåíèòü åãî ñîñòîÿíèå (òåì áîëüøå åãî èíåðòíàÿ ìàññà). Ïîýòîìó ïðåäñòàâëåíèå î òîæäåñòâå èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ íàñòîëüêî êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì, ÷òî ìû çàáûâàåì î òîì, ÷òî èìååì äåëî ñ õàðàêòåðèñòèêàìè ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ òåëà. Ñîâïàäåíèå ãðàâèòàöèîííîé è èíåðòíîé ìàññ ñ íàó÷íîé òî÷êè çðåíèÿ îòíþäü íå ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì, ñàìî ñîáîé ðàçóìåþùèìñÿ. Îíî ñòàëî äëÿ íàñ òàêèì â ñèëó ìíîãîâåêîâîé ïðèâû÷êè ê ýòîìó ôàêòó. Íî ñóùåñòâóþò è íàó÷íûå 176

ýêñïåðèìåíòû, ïîäòâåðæäàþùèå ñîâïàäåíèå mè è mã. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ. Ïóñòü òåëî ïîêîèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ìû ìîæåì âûðàçèòü ñèëó òÿæåñòè ýòîãî òåëà äâóìÿ ñïîñîáàìè: ÷åðåç åãî èíåðòíóþ ìàññó ñ ïîìîùüþ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà è ÷åðåç åãî ãðàâèòàöèîííóþ ìàññó ñ ïîìîùüþ ÇÂÒ. Ïî âòîðîìó çàêîíó ìåõàíèêè èìååì: (5.3) F = mã . g . Íà îñíîâàíèè ÇÂÒ ïîëó÷èì: F =G

mã M ç . R2

(5.4)

ãäå Ìç - ìàññà Çåìëè, R - ðàäèóñ Çåìëè. Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâûå ÷àñòè ðàâåíñòâ (5.3) è (5.4), íàõîäèì: mè g = G

mã M ç R2

îòêóäà îòíîøåíèå ãðàâèòàöèîííîé è èíåðòíîé ìàññ òåëà îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì: mã R2 . =g mè GM ç

(5.5)

Òàê êàê ìíîæèòåëü R 2 / G ⋅ M ç â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (5.5) îäèíàêîâ äëÿ âñåõ òåë â äàííîì ìåñòå Çåìëè (è â ëþáîì ìåñòå, åñëè ñ÷èòàòü Çåìëþ øàðîì ïîñòîÿííîãî ðàäèóñà R), òî îòíîøåíèå ãðàâèòàöèîííîé è èíåðòíîé ìàññ òåëà ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g, êîòîðîå ïîëó÷àþò òåëà ïðè ñâîáîäíîì ïàäåíèè ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè. Ñ îãðîìíîé òî÷íîñòüþ óñòàíîâëåíî, ÷òî â äàííîé òî÷êå çåìíîé ïîâåðõíîñòè âñå òåëà ïîëó÷àþò ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè îäíî è òî æå óñêîðåíèå íåçàâèñèìî îò ìàññû òåëà, åãî ôîðìû, õèìè÷åñêîãî ñîñòàâà è ò.ä. Âïåðâûå îïûòíàÿ ïðîâåðêà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðîâîäèëàñü åùå Ãàëèëååì, à çàòåì ñ áîëüøåé òî÷íîñòüþ è äðóãèì ìåòîäîì - È. Íüþòîíîì.  îïûòàõ Ãàëèëåÿ (î íèõ ìû ãîâîðèëè â §3) ïðîâåðêà ïîñòîÿíñòâà g îñíîâûâàëàñü íà èçìåðåíèè âðåìåíè ïàäåíèÿ òåë ñ âûñîòû Ïèçàíñêîé áàøíè.  îïûòàõ æå Íüþòîíà ïðîèçâîäèëèñü èçìåðåíèÿ ïåðèîäà 177

êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ îäíîé è òîé æå äëèíîé íèòè, ê êîòîðîé ïîäâåøèâàëèñü ãðóçû ðàçíîé ìàññû.  ñèëó âàæíîñòè îáñóæäàåìîé ïðîáëåìû ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ñóùíîñòü îïûòîâ Íüþòîíà ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ìàÿòíèêàìè. Êàê èçâåñòíî, ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà çàâèñèò òîëüêî îò äëèíû ìàÿòíèêà è óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: 1

 l 2 T = 2π  . (5.6) g Ïîýòîìó ïðè îäèíàêîâîé äëèíå ìàÿòíèêîâ ðàçëè÷èå ïåðèîäîâ êîëåáàíèÿ îçíà÷àëî áû ðàçëè÷èå óñêîðåíèé ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ òåë. Ôîðìóëà (5.6) ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîé. Òî÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ ïåðèîäà ìàëûõ êîëåáàíèé äàåòñÿ ïðè ðåøåíèè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êîëåáëþùåãîñÿ òåëà. Ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ êîëåáàíèÿ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèøåòñÿ òàê: d 2 (lα ) mè = −mã g sin α = −mã gα , dt 2

(5.7)

ãäå èñïîëüçîâàíî ïðèáëèæåííîå ñîîòíîøåíèå ïðè ìàëûõ óãëàõ îòêëîíåíèÿ α : sinα ≈ α . Óðàâíåíèå (5.7) äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ èìååò ñëåäóþùåå ðåøåíèå: T = 2π

l mã g mè .

(5.8)

Òàê êàê èç îïûòîâ Íüþòîíà ñëåäîâàëî, ÷òî ïåðèîä êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó (5.6), òî ýòî mã

îçíà÷àëî, ÷òî îòíîøåíèå m ðàâíî 1. è Îïûòû Íüþòîíà ñ áîëüøîé òî÷íîñòüþ ïîêàçàëè, ÷òî g îäèíàêîâî äëÿ âñåõ òåë â äàííîì ìåñòå Çåìëè. Îäíîâðåìåííî ìû ïîëó÷èëè íåïîñðåäñòâåííîå ïîäòâåðæäåíèå ñîâïàäåíèÿ èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ ó âñåõ òåë (íåçàâèñèìî îò ìåñòîíàõîæäåíèÿ íà Çåìëå). 178

Åùå áîëåå òî÷íûé ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà ÷èñëåííîãî ñîâïàäåíèÿ ãðàâèòàöèîííîé è α èíåðòíîé ìàññ áûë ðàçðàáîòàí âåíãåðñêèì ôèçèêîì Ýòâåøåì (1848-1919).  1896 ã. îí l ïîêàçàë, ÷òî ýòè âåëè÷èíû ìîãóò îòëè÷àþòñÿ r F äðóã îò äðóãà íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà 10-9.  1959r α 1963 ãã. àìåðèêàíñêèì ôèçèêîì Ð. Äèêå mà g -11 òî÷íîñòü èçìåðåíèé áûëà óâåëè÷åíà äî 10 , à Ðèñ.4. â 1971 ã. ñîâåòñêèå ôèçèêè Â.Ï. Áðàãèíñêèé è Â.È. Ïàíîâ äîâåëè òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ýòèõ âåëè÷èí äî 10-12. Èäåÿ ïîñëåäíèõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèíöèïèàëüíî áûëà îäèíàêîâà, à ðàçëè÷àëèñü îíè ëèøü òî÷íîñòüþ, êîòîðóþ äàâàëè ïðèáîðû íàáëþäåíèÿ. Îïèøåì ïðèíöèïèàëüíóþ ñõåìó ïîñëåäíèõ îïûòîâ. Ðàññìàòðèâàÿ òåëî, íàõîäÿùååñÿ íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ìû íå ó÷èòûâàëè äî ñèõ ïîð âðàùåíèå Çåìëè âîêðóã ñâîåé îñè. Ðàññìàòðèâàÿ îïûò â ñèñòåìå îòñ÷åòà “Çåìëÿ”, ìû äîëæíû ó÷åñòü ïîìèìî ñèëû òÿæåñòè , íàïðàâëåííîé ê öåíòðó Çåìëè è ðàâíîé Fã = G ⋅ mã M ç / R 2 , åùå öåíòðîáåæíóþ ñèëó Föá = mèω 2 r⊥ , íàïðàâëåííóþ ïî ïåðïåíäèêóëÿðó ê îñè âðàùåíèÿ Çåìëè. Åñëè òåëî íå íàõîäèòy ω ñÿ íà ýêâàòîðå, òî ýòè äâå Föá = mè ω2 r⊥ ñèëû íå äåéñòâóþò ïî îäíîé r⊥ x ïðÿìîé (ñì. ðèñ.5). Âàæíî mM îòìåòèòü, ÷òî ñèëà òÿãîòåFã = G ã 2 ç íèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ãðàR âèòàöèîííîé ìàññå mã, â òî Ðèñ. 5. âðåìÿ êàê öåíòðîáåæíàÿ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà èíåðòíîé ìàññå mè. Ïîýòîìó, åñëè îòíîøåíèå mã / mè äëÿ ðàçíûõ òåë ðàçëè÷íî, òî ðàâíîäåéñòâóþùàÿ Fã è Föá äëÿ ðàçíûõ òåë áóäåò èìåòü ðàçíîå íàïðàâëåíèå.  îïûòå Ýòâåøà (ñì. ðèñ.6) íà äëèííîé òîíêîé íèòè ïîäâåøèâàëñÿ ñòåðæåíü, ê êîíöàì êîòîðîãî ïðèêðåïëÿëèñü ãðóçû 1 è 2, èçãîòîâëåííûå èç ðàçëè÷íûõ ìàòåðèàëîâ. Ñòåðæåíü óñòàíàâ179

ëèâàëñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ìåðèäèàíó äàííîãî ìåñòà, ãäå ïðîâîäèëñÿ ýêñïåðèìåíò. Íà êàæäûé ãðóç äåéñòâóþò äâå ñèëû: ãðàâèòàöèîííàÿ mã.g è öåíòðîáåæíàÿ ñèëà mèω 2r⊥ . Ïîñëåäíÿÿ èìååò âåðòèêàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ mèω 2 r⊥ cosν , ãäå ν - ãåîãðàôè÷åñêàÿ øèðîòà ðàññìàòðèâàåìîãî ìåñòà. Ðèñ. 6. Åñëè ìåñòî ïðèêðåïëåíèÿ íèòè ê ñòåðæíþ äåëèò åãî ïîïîëàì, òî îäíèì èç óñëîâèé ðàâíîâåñèÿ ãðóçîâ 1 è 2 áóäåò ðàâåíñòâî: èëè

m1ã g − m1èω 2 r⊥ cosν = m2 ã g − m2èω 2 r⊥ cosν

(

)

(

m1è α1g − ω 2 r⊥ cosν = m2è α 2 g − ω 2 r⊥ cosν

),

(5.9)

ãäå α 1 è α 2 - îòíîøåíèÿ ãðàâèòàöèîííûõ ìàññ ê èíåðòíûì äëÿ ãðóçîâ 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè α1 ≠ α 2 , òî èç âûðàæåíèÿ (5.9) ñëåäîâàëî áû, ÷òî m1è ≠ m2 è .  ýòîì ñëó÷àå öåíòðîáåæíûå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ãðóçû, à ñ íèìè è èõ ãîðèçîíòàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå, íàïðàâëåííûå ê þãó, íå áûëè áû îäèíàêîâûìè. Ïîýòîìó ïîÿâèëñÿ áû âðàùàþùèé ìîìåíò, ñòðåìÿùèéñÿ çàêðóòèòü íèòü: l M l = (m1è − m2è ) ω 2 r⊥ sinν , 2

(5.10)

ãäå l - äëèíà ñòåðæíÿ.  ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ óãîë çàêðó÷èâàíèÿ ϕl =

Ml f ,

ãäå f - ìîäóëü êðó÷åíèÿ. Ïðè ðàçâîðîòå âñåé óñòàíîâêè íà 1800 óãîë ïîâîðîòà è êðóòÿùèé ìîìåíò M2 èçìåíÿò çíàê. Ýòâåø îáíàðóæèë, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî 10-9 (ϕ1 − ϕ 2 ) = 0 , ÷òî ñâèäåòåëüñòâîâàëî î ÷èñëåííîì ñîâïàäåíèè èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ êàæäîãî òåëà 1 è 2. ×òîáû íå ïîâîðà÷èâàòü óñòàíîâêó íà 1800, â ïîñëåäóþùèõ ýêñïåðèìåíòàõ ïî ìåòîäó Ýòâåøà èñïîëüçîâàëè ñóòî÷íîå 180

âðàùåíèå Çåìëè. Òîãäà áåç ìåõàíè÷åñêîãî ïîâîðîòà óñòàíîâêè ïîñëåäíÿÿ ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ íà Ñîëíöå ÷åðåç 12 ÷àñîâ îêàçûâàëàñü ïîâåðíóòîé íà íóæíûé óãîë. È íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ãðóçîâ 1 è 2 ê Ñîëíöó ìåíüøå çåìíîé â òûñÿ÷è ðàç, íî ïðè íåðàâåíñòâå mã è mè ïðèáîðû çàôèêñèðîâàëè áû ïåðèîäè÷åñêîå (ñ ïåðèîäîì â 12 ÷) çàêðó÷èâàíèå íèòè òî â îäíó, òî â äðóãóþ ñòîðîíó. Òîæäåñòâî èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ ïðèâîäèò ê ãëóáîêî èäóùåìó ñëåäñòâèþ. Ýòîò ôàêò áûë ïîëîæåí Ýéíøòåéíîì â îñíîâó ÎÒÎ, åãî ÷àñòî íàçûâàþò ïðèíöèïîì ýêâèâàëåíòíîñòè èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ. Òåîðèÿ Ýéíøòåéíà îêàçàëàñü áû íåâåðíîé, åñëè áû áûëî îáíàðóæåíî ìåëü÷àéøåå íàðóøåíèå ýòîãî ïðèíöèïà. Âîò ïî÷åìó ïîâûøåíèå è áåç òîãî èñêëþ÷èòåëüíîé òî÷íîñòè ïðîâåðêè êîëè÷åñòâåííîãî ñîâïàäåíèÿ m ã è m í èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå äëÿ óòâåðæäåíèÿ ÎÒÎ. Ïîäâåäåì èòîã. Åñëè â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ñîâïàäåíèå èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ òåëà ñ÷èòàëîñü åñòåñòâåííûì, òî íà ýòîò ôàêò èíà÷å ïîñìîòðåë Ýéíøòåéí. Èç èõ ðàâåíñòâà (ýêâèâàëåíòíîñòè) À. Ýéíøòåéí ñäåëàë ãëóáîêèé âûâîä: òàê êàê èíåðòíàÿ ìàññà îïðåäåëÿåò èíåðòíûå, à ãðàâèòàöèîííàÿ – ãðàâèòàöèîí íûå ñâîéñòâà òåë, òî ýòè ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ (èíåðöèÿ è òÿãîòåíèå) ÿâëÿþòñÿ ëèøü ðàçíûìè ïðîÿâëåíèÿìè îäíîãî è òîãî æå ñâîéñòâà ôèçè÷åñêîãî òåëà. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå (ãèïîòåçó) À. Ýéíøòåéí è ïîëîæèë â îñíîâó ïîñòðîåíèÿ òàê íàçûâàåìîé îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Èìåííî ýòîé ãèïîòåçå îáû÷íî ïðèïèñûâàþò íàçâàíèå “ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè”. §6. Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè  §5 áûë ñôîðìóëèðîâàí âûâîä î òîì, ÷òî ñîâïàäåíèå èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ íå ñëó÷àéíî, à èìååò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå. Ýòî óòâåðæäåíèå À. Ýéíøòåéí ïðèíÿë êàê çàêîí ïðèðîäû: ìåæäó ÿâëåíèÿìè èíåðöèè è òÿãîòåíèÿ íåò ðàçíèöû, îíè ýêâèâàëåíòíûå ïðîÿâëåíèÿ åäèíîé ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè. Ýòî óòâåðæäåíèå, ïàðàäîêñàëüíîå ñ êëàññè÷åñêîé 181

òî÷êè çðåíèÿ, ñòîëü âàæíî, ÷òî ìû ïîñâÿòèì àíàëèçó ýòîãî óòâåðæäåíèÿ À. Ýéíøòåéíà îòäåëüíûé î÷åðê.  êðàòêîì èçëîæåíèè îñíîâ ÑÒÎ (§2) áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýòà òåîðèÿ îòâåðãëà âñÿêóþ âîçìîæíîñòü îáíàðóæèòü àáñîëþòíûé ïîêîé èëè ðàâíîìåðíîå ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå ñèñòåìû îòñ÷åòà (ëàáîðàòîðèè), íàáëþäàÿ âíóòðè åå êàêîå-ëèáî ôèçè÷åñêîå ÿâëåíèå.  ÈÑÎ ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî è èçîòðîïíî (âñå òî÷êè åãî è âñå íàïðàâëåíèÿ â íåì ðàâíîïðàâíû), à âðåìÿ òå÷åò ðàâíîìåðíî, ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ìîæíî ïðèíÿòü çà íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè. Ýòè ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè â ÑÒÎ îáóñëîâëåíû òåì, ÷òî â ÑÒÎ íå ó÷èòûâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, íå ðàññìàòðèâàþòñÿ ÿâëåíèÿ â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà (ÍÑÎ). Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ: íåëüçÿ ëè îáíàðóæèòü óñêîðåííîå äâèæåíèå ÑÎ (ôèçè÷åñêîé ëàáîðàòîðèè) ñ ïîìîùüþ íàáëþäåíèÿ ÿâëåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ âíóòðè ÍÑÎ? Åñëè ýòî óäàñòñÿ ñäåëàòü, òî ìû ðàçðåøèì ïðîáëåìó îá óñòàíîâëåíèè àáñîëþòíîãî ïîêîÿ è äâèæåíèÿ è òåì ñàìûì óòâåðäèì âçãëÿäû È. Íüþòîíà íà ñóùåñòâîâàíèå àáñîëþòíîãî ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè (ñì.§ 2). à) Ïîñòóïàòåëüíî è óñêîðåííî äâèæóùàÿñÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü “Ëàáîðàòîðèÿ” (ò.å. ÑÎ) íàõîäèòñÿ òàê äàëåêî îò âñåõ òÿãîòåþùèõ òåë, ÷òî âñå ïðåäìåòû ⠓Ëàáîðàòîðèè” íåâåñîìû, íåò îðèåíòèðóþùèõ ïîíÿòèé êàê “âåðõ” è “íèç”. Âñå âåùåñòâåííûå ïðåäìåòû áóäóò âèñåòü íåïîäâèæíî (îòíîñèòåëüíî ñòåíîê ëàáîðàòîðèè), ëèáî áóäóò äâèãàòüñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî áóäó÷è ïðåäîñòàâëåííûìè ñàìèì ñåáå. Òåïåðü èçìåíèì óñëîâèÿ ýêñïåðèìåíòà, ïðèäàâ ëàáîðàòîðèè óñêîðåííîå äâèæåíèå ñ óñêîðåíèåì â íàïðàâëåíèè îñè ÎÕ (ðèñ.7). Íåçàêðåïëåííûå òåëà ïðèîáðåòóò îòíîñèòåëüíî ëàáîðàòîðèè óñêîðåíèå, íàïðàâëåííîå ïðîòèâ äâèæåíèÿ ÑÎ. Çàêðåïëåííûå æå òåëà (ñ ïîìîùüþ ïðóæèí èëè íèòåé) âûçîâóò íàòÿæåíèå ïðóæèí èëè íèòåé. 182

Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ x′ r ðàññìàòðèâàåìîãî ýêñïåðèìåíòà âîña ïîëüçóåìñÿ êëàññè÷åñêèìè ôîðìóëàìè x ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ (ó÷èòûâàÿ ïðè ýòîì óñêîðåííîå O′ äâèæåíèå ïîäâèæíîé ÑÎ, êîîðäèíàòû z′ êîòîðîé îáîçíà÷åíû ñî øòðèõàìè y′ O (ñì.ðèñ.7)). Íàì èçâåñòíû ñëåäóþùèå z ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è y Ðèñ. 7. âðåìåíè êëàññè÷åñêîé ôèçèêè - ôîðìóëû Ãàëèëåÿ (ñì.ôîðìóëû 2.2): õ’= õ-00’; y’=y; z’=z; t’=t, (6.1) ãäå ïðè óñêîðåííîì äâèæåíèè øòðèõîâàííîé ÑÎ ÎΓ=at 2/2. Äëÿ íàøåé çàäà÷è ýòè ôîðìóëû ìîæíî çàïèñàòü òàê: x′ = x −

at 2 ; y’=y; z’=z; t’=t. 2

(6.2)

Ïðîâåðèì, áóäåò ëè â ýòîì ýêñïåðèìåíòå âûïîëíÿòüñÿ 2-îé çàêîí êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, áóäåò ëè îí èíâàðèàíòåí (ò.å. áóäåò ëè îí èìåòü îäèí è òîò æå âèä âî âñåõ ÑÎ). Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì âûðàæåíèå, ñâÿçûâàþùåå óñêîðåíèå òåëà â 2-õ ÑÎ (íàïîìíèì, ÷òî â ÈÑÎ óñêîðåíèå - èíâàðèàíò, ò.å. âî âñåõ ÈÑÎ èìååò îäíî è òî æå çíà÷åíèå). Ñîñòàâèì ñíà÷àëà ïåðâûå ïðîèçâîäíûå îò ôîðìóë (6.2), ïîëó÷èì: u′x ′ = u x − at ,

u′y ′ = u y ,

u′z ′ = u z .

Âòîðîå äèôôåðåíöèðîâàíèå äàåò: Wx′′ = Wx − a;

W y′′ = W y ;

Wz′′ = Wz .

Çàïèøåì ýòè òðè ñîîòíîøåíèÿ â åäèíîé âåêòîðíîé ôîðìå: r r r (6.3) W ′ = W − a. . Ìû îáíàðóæèâàåì, ÷òî óñêîðåíèå â íàøåé çàäà÷å íå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé, èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé: åñëè â ÑÎ “L” óñêîðåíèå ðàâíî íóëþ W=0, òî â ÑÎ “L’” îíî îòëè÷íî îò íóëÿ è ñîâïàäàåò ñ óñêîðåíèåì ÑÎ “L’ ”, âçÿòûì ñî çíàêîì “—”: . Òàêîé ðåçóëüòàò óêàçûâàåò íà òî, ÷òî â óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ (íåèíåðöèàëüíîé ÑÎ) “L’ ” âòîðîé çàêîí ìåõàíèêè Íüþòîíà íå 183

âûïîëíÿåòñÿ: åñëè â ÑÎ “L” ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî: r r (6.4) F = mW , òî äëÿ ÑÎ “L’ ” ìû äîëæíû íàïèñàòü ðàâåíñòâî: r r (6.5) F = mW ′ + ma . ãäå èñïîëüçîâàíû ñîîòíîøåíèÿ (6.3) è (6.4). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íàðóøàåòñÿ íå òîëüêî 2-îé çàêîí Íüþòîíà, r

íî è çàêîí èíåðöèè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â ÈÑÎ “L” ñèëà F = 0 , òî è óñêîðåíèå W=0 (òåëî èëè ïîêîèòñÿ, èëè äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî), òî â ÍÑÎ “L’ ” äåëî îáñòîèò èíà÷å: r

r

r

ïðè F = 0 óñêîðåíèå W ′ = − a (cì.6.5). Èìåííî â ñâÿçè ñ íåâûïîëíåíèåì â óñêîðåííî äâèæóùèõñÿ ÑÎ çàêîíà èíåðöèè òàêèå ÑÎ ïîëó÷èëè íàçâàíèå íåèíåðöèàëüíûõ ÑÎ (ÍÑÎ). Óðàâíåíèþ äâèæåíèÿ (6.5) ìîæíî ïðèäàòü “íüþòîíîâñêèé” r

âèä, åñëè íàðÿäó ñ “íüþòîíîâñêîé” ñèëîé F , îáóñëîâëåííîé âçàèìîäåéñòâèåì ðåàëüíûõ, êîíêðåòíûõ òåë, ââåñòè òàê r

r

íàçûâàåìóþ “ñèëó èíåðöèè”, ðàâíóþ â íàøåì ñëó÷àå Fèí = −ma . Óðàâíåíèå (6.5) çàïèøåòñÿ òàê: r r F + Fèí = mW ′

(6.6) Âûðàæåíèå (6.6) èìååò âèä îáû÷íîé ôîðìóëû 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà. Îäíàêî, ýòî óäàëîñü ñäåëàòü ïóòåì ââåäåíèÿ “ñèëû èíåðöèè”, ïðèðîäà êîòîðîé áûëà íåîáúÿñíèìà â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Èìåííî ïîýòîìó òàêèå ñèëû â ýòîé ìåõàíèêå íàçûâàëè “ôèêòèâíûìè”. Íèæå ìû óçíàåì, ÷òî íè÷åãî ôèêòèâíîãî â ýòèõ ñèëàõ íåò. Íî äëÿ ýòîãî íóæíî âñòàòü íà òî÷êó çðåíèÿ À. Ýéíøòåéíà. Íî åùå íå çíàÿ ðàññóæäåíèé À. Ýéíøòåéíà, ìû ìîæåì ïðèçíàòü çà ñèëàìè èíåðöèè ðåàëüíîñòü, åñëè âñïîìíèì, ê êàêèì ôèçè÷åñêèì ïîñëåäñòâèÿì ïðèâîäèò ïðîÿâëåíèå ýòèõ ñèë, íàïðèìåð, äëÿ ïàññàæèðîâ ïðè ðåçêîé îñòàíîâêå òðàíñïîðòà... Âûøå ìû ïîñòàâèëè âîïðîñ: íåëüçÿ ëè, íàáëþäàÿ ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû â ÍÑÎ, óñòàíîâèòü, äâèæåòñÿ ÑÎ èëè ïîêîèòñÿ. Ïîëó÷åííûé âûøå ðåçóëüòàò î ïîÿâëåíèè â ÍÑÎ ñèë èíåðöèè êàê áóäòî áû äàåò óòâåðäèòåëüíûé îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ. 184

Íî âîñïðîèçâåäåì ðàññóæäåíèÿ À.Ýéíøòåéíà, ðàññìîòðåâ ïðåäëîæåííûé èì ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò ñ ëèôòîì (â ëèòåðàòóðå ýòîò ëèôò ÷àñòî íàçûâàþò “ëèôòîì Ýéíøòåéíà”). Ñåé÷àñ, â ÕÕI â., ýòîò ýêñïåðèìåíò óæå ìîæíî îñóùåñòâèòü, èñïîëüçóÿ êîñìè÷åñêèå ðàêåòû. Íî 90 ëåò íàçàä, êîãäà À.Ýéíøòåéí ñîçäàâàë ñâîþ òåîðèþ, êîñìè÷åñêèå êîðàáëè åùå íå ëåòàëè â îêîëîçåìíîì ïðîñòðàíñòâå... Èòàê, ïóñòü ëèôò íàõîäèòñÿ íà Çåìëå. Âñå ïðåäìåòû â íåì âåñîìû, ïîäâåøåííûå íà íèòÿõ èëè ïðóæèíàõ, îíè ðàñòÿãèâàþò èõ, îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ íàïðàâëåíèÿ “âåðõ” è “íèç”. Ïðè ýòîì, â ñèëó ìàëûõ ðàçìåðîâ ëèôòà, ãðàâèòàöèîííîå ïîëå â ìåñòå åãî íàõîæäåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì (âî âñåì îáúåìå ëèôòà óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ âî âñåõ òî÷êàõ îäíî è òî æå). Íî ðàññìîòðèì òîò æå ëèôò âäàëè îò Çåìëè è äðóãèõ íåáåñíûõ òåë (â ýòîì è ñîñòîèò “èäåàëüíîñòü” ýêñïåðèìåíòà íà ìîìåíò ñîçäàíèÿ ÎÒÎ â íà÷àëå ÕÕ â), òîãäà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ãðàâèòàöèîííîå ïîëå âîêðóã (è âíóòðè) ëèôòà îòñóòñòâóåò. Ïðèâåäåì r r ëèôò â óñêîðåííîå äâèæåíèå ñ óñêîðåíèåì a = g . Î÷åâèäíî, ÷òî ýòèì ìû ñîçäàäèì “âåñîìîñòü” âñåõ òåë â êàáèíå ëèôòà, ðàñòÿíóòñÿ íèòè èëè ïðóæèíû, ìîæíî óêàçàòü íàïðàâëåíèå “âåðõà” è “íèçà”. Ò.å. âñå áóäåò ïðîèñõîäèòü òàê æå, êàê òîãäà, êîãäà ëèôò ñòîÿë íà Çåìëå. Âñëåä çà Ýéíøòåéíîì ìû îáíàðóæèâàåì îäèíàêîâîñòü, ýêâèâàëåíòíîñòü ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé â îäíîðîäíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå â íåïîäâèæíîì ëèôòå (íà Çåìëå) ñ ñîñòîÿíèÿìè â ëèôòå, êîãäà îí íàõîäèòñÿ âíå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, r r íî äâèæåòñÿ óñêîðåííî ñ óñêîðåíèåì a = g . Ýòî óòâåðæäåíèå: íåðàçëè÷èìîñòü ôèçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé â ÈÑÎ, íàõîäÿùåéñÿ â îäíîðîäíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, îò ñîñòîÿíèé âíå ïîëÿ ïðè óñêîðåííîì äâèæåíèè ÑÎ ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì óñêîðåíèþ, ñîçäàâàåìîìó îäíîðîäíûì ãðàâèòàöèîííûì ïîëåì, À. Ýéíøòåéí âîçâåë â ðàíã ïðèíöèïà - ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè è ïîëîæèë åãî â îñíîâó íîâîé ôèçè÷åñêîé òåîðèè, ïîëó÷èâøåé íàçâàíèå îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (ÎÒÎ). Êàê è â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè èìååò äâå ôîðìóëèðîâêè (“óòâåðäèòåëüíóþ” è 185

“îòðèöàòåëüíóþ”), òàê è ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü äâîÿêî: 1. Âñå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû (ÿâëåíèÿ) ïðîòåêàþò îäèíàêîâî ïðè îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ â ÈÑÎ, íàõîäÿùåéñÿ â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, è â ÍÑÎ, äâèæóùåéñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ îïðåäåëåííûì óñêîðåíèåì ïðè îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ (ïîñòîÿííîå óñêîðåíèå ÍÑÎ ðàâíî òîìó óñêîðåíèþ, êàêîå ñîîáùàåò òåëàì ãðàâèòàöèîííîå ïîëå â ÈÑÎ). 2. Íèêàêèå ôèçè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû, ïðîâîäèìûå âíóòðè ÑÎ, íå ïîçâîëÿþò îòëè÷èòü ñëó÷àé, êîãäà “Ëàáîðàòîðèÿ” äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì è ãðàâèòàöèîííîå ïîëå îòñóòñòâóåò, îò ñëó÷àÿ, êîãäà “Ëàáîðàòîðèÿ” íàõîäèòñÿ â ïîêîå (èëè äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî) â ïîñòîÿííîì è îäíîðîäíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå. Ðàññìîòðåííûé ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò ïðèâîäèò ê ÷ðåçâû÷àéíî èíòåðåñíîìó è âàæíîìó (äëÿ íàøåé ñòðîÿùåéñÿ òåîðèè) âûâîäó î âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ èñêóññòâåííîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, ïðèâîäÿ ÑÎ â óñêîðåííîå äâèæåíèå. È íàîáîðîò, çàñòàâëÿÿ ÑÎ “ïàäàòü” â ðåàëüíîì îäíîðîäíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ñ óñêîðåíèåì, êîòîðîå ñîîáùàåò ýòî ïîëå ñâîáîäíî ïàäàþùèì òåëàì, ìîæíî “óíè÷òîæèòü” ýòî ãðàâèòàöèîííîå ïîëå â îáúåìå ÑÎ (“Ëàáîðàòîðèè”). Îáðàòèì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ íà íåîäíîêðàòíî ïîâòîðÿåìûå ñëîâà “â îäíîðîäíîì ïîñòîÿííîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå”. Äåëî â òîì, ÷òî òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ãîâîðèòü î ïîñòîÿííîì óñêîðåíèè, êîòîðîå ýòî ïîëå ìîæåò ñîîáùèòü ñâîáîäíûì òåëàì. Ïðè ýòîì òåëî ìîæåò íå áûòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, à çàíèìàòü â ýòîì ïîëå êîíå÷íûé îáúåì. Âïîñëåäñòâèè ìû âåðíåìñÿ ê ýòîé äåòàëè â ôîðìóëèðîâêå ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè, ò.ê. îíà óêàæåò íàì ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè íå òîëüêî ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè, íî è âñåé òàê íàçûâàåìîé îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Îïèðàÿñü íà ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè, ìû ìîæåì ñäåëàòü åùå îäíî ïðèíöèïèàëüíî âàæíîå îáîáùåíèå. Ðå÷ü èäåò î äâèæåíèè ïî èíåðöèè: âñÿêîå òåëî, êîòîðîå íå èñïûòûâàåò 186

âîçäåéñòâèÿ äðóãèõ òåë, äâèæåòñÿ â äàííîé ÑÎ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî èëè ïîêîèòñÿ.  ìåõàíèêå Íüþòîíà äâèæåíèå ïî èíåðöèè ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àëîñü îò äâèæåíèÿ â ïîëå òÿæåñòè. Íî íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî, ïåðåõîäÿ ê óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ, ìû ìîæåì “ïðåâðàùàòü” ñîñòîÿíèå ïîêîÿ èëè ðàâíîìåðíîãî è ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ â óñêîðåííîå, êîòîðîå óæå íåâîçìîæíî îòëè÷èòü îò äâèæåíèÿ â ïîëå òÿæåñòè. Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè ãðàâèòàöèîííîå ïîëå ïîñòîÿííî è îäíîðîäíî (÷òî ñïðàâåäëèâî äëÿ íåáîëüøèõ åãî îáúåìîâ), òî äâèæåíèå òåë â ñâîáîäíî ïàäàþùåé ÑÎ íåîòëè÷èìî îò äâèæåíèÿ ïî èíåðöèè. Ó íàñ, ñîâðåìåííèêîâ îñâîåíèÿ Êîñìîñà, èìåþùèõ âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü ñ ïîìîùüþ òåëåâèäåíèÿ ñâîáîäíîå ñîñòîÿíèå êîñìîíàâòîâ è íåçàêðåïëåííûõ òåë â êàáèíå êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ, ñäåëàííîå óòâåðæäåíèå íå äîëæíî âûçûâàòü âîçðàæåíèÿ: ìû âèäèì íà ýêðàíå òåëåâèçîðà, ÷òî è êîñìîíàâòû è íå çàêðåïëåííûå â êàáèíå òåëà èëè íåïîäâèæíû, èëè, ïîëó÷èâ òîë÷îê îò ðóêè êîñìîíàâòà èëè ñòåíîê êàáèíû, ïåðåìåùàþòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî â ïðåäåëàõ îáúåìà êîðàáëÿ. Òàêîå ñîñòîÿíèå ïðåäìåòîâ â êàáèíå êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ ìû îáúÿñíÿåì òàê: êîñìè÷åñêèé êîðàáëü è âñå òåëà â íåì, äâèãàÿñü âïåðåä, íåïðåðûâíî ïàäàþò íà Çåìëþ, ýòî äâèæåíèå åñòü ñâîáîäíîå ïàäåíèå. Íî èç-çà øàðîîáðàçíîñòè Çåìëè ïðè îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ êîðàáëÿ îí ìîæåò ïðîäîëæèòåëüíîå âðåìÿ îáðàùàòüñÿ âîêðóã Çåìëè. Ñíîâà îòìåòèì, ÷òî îáúåì êîðàáëÿ äîëæåí áûòü òàêèì, ÷òîáû âî âñåõ åãî òî÷êàõ ìîæíî áûëî áû ñ÷èòàòü, ÷òî óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ îäèíàêîâî. Íà îñíîâàíèè ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé ìîæíî îáîáùèòü ïîíÿòèå “èíåðöèàëüíîå äâèæåíèå”: òåëî, íà êîòîðîå íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû (èëè ðàâíîäåéñòâóþùàÿ èõ ðàâíà íóëþ) èëè êîòîðîå ïîäâåðæåíî äåéñòâèþ òîëüêî ãðàâèòàöèîííûõ ñèë, ñîâåðøàåò äâèæåíèå ïî èíåðöèè. Ïîñòàâèì ïåðåä ÷èòàòåëåì åùå îäíó ïðîáëåìó: åñëè, âûáèðàÿ óñêîðåíèå ÍÑÎ, ìîæíî óâåëè÷èòü, èëè óìåíüøèòü, èëè äàæå “óíè÷òîæèòü” ãðàâèòàöèîííîå ïîëå, òî ïî÷åìó æå òåëà âñå ðàâíî 187

y

y′

M ϕ

ϕ

Wx =

x′

ϕ

O Ðèñ. 8.

x

ïðîäîëæàþò ïðèòÿãèâàòüñÿ äðóã ê äðóãó (èìååòñÿ â âèäó ïîñëåäíèé ñëó÷àé äâèæåíèÿ ÍÑÎ)? Íî ïðåæäå, ÷åì äàòü îòâåò íà ýòîò íåîæèäàííûé, íî î÷åíü âàæíûé äëÿ íàøåé òåîðèè âîïðîñ, ñäåëàåì äàëüíåéøåå îáîáùåíèå ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè, ðàññìîòðåâ äðóãîé êëàññ ÍÑÎ âðàùàþùèåñÿ ÑÎ. á) Âðàùàþùàÿñÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà. Äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé. Ïóñòü ÍÑÎ “L’” âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè 0z èíåðöèàëüíîé ÑÎ “L” ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω (ðèñ.8). Ôîðìóëû ïåðåõîäà îò íå øòðèõîâàííûõ ê øòðèõîâàííûì êîîðäèíàòàì èìåþò âèä (íåðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé): x’ = xcos ϕ + ysin ϕ ; (6.7) y’ = ycos ϕ - xsin ϕ ; z’ = z; t’ = t; ϕ = ω t. Íàì ïîòðåáóþòñÿ è îáðàùåííûå ôîðìóëû: x = x’cos ω t - y’sin ω t; y = y’cos ω t + x’sin ω t; (6.8) z = z’, t = t’. Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåîáõîäèìî íàéòè ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ôîðìóëû (6.8) ïî âðåìåíè äâàæäû:

188

dy ′ d 2 x d 2 x′ d 2 y′  dx′  ω = − cos sin ωt − 2ω  sin ωt + cosωt  − t 2 2 2 dt dt dt dt dt  

− ω 2 [x′ cosωt − y ′sin ωt ]; Wy =

dx ′ d 2 y d 2 y′ d 2 x′  dy′  ω = + cos sin ωt − 2ω  sin ωt − cosωt  − t 2 2 2 dt dt dt dt  dt 

− ω 2 [y ′ cosωt − x′ sin ωt ]; Wz =

( 6.9)

d 2 z d 2 z′ = 2 . dt 2 dt

Ïî çàêîíó, âûðàæåííîìó ôîðìóëàìè (6.8), áóäóò èçìåíÿòüñÿ è êîìïîíåíòû ñèëû F: Fx = Fx′′ cosωt − Fy′′ sin ωt, Fy = Fy′′ cosωt − Fx′′ sin ωt ,

(6.10)

Fz = Fz′′ .

 ÈÑÎ “L” ñïðàâåäëèâ 2-îé çàêîí Íüþòîíà, ïîýòîìó ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþùèå ïðîåêöèè ôîðìóëû ýòîãî çàêîíà: (6.11) FX = mWX ; FY = mWY ; FZ = mWZ .  ÍÑÎ “L’ ” óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ïðîåêöèÿõ íà îñè êîîðäèíàò çàïèøåòñÿ òàê:

(

)

Wx′′ cosωt − W y′′ sin ωt − 2ω v′x ′ sin ωt + v′y ′ cosωt −  Fx′′ cosωt − Fy′′ sin ωt = m  ; 2  − ω (x′ cosωt − y′ sin ωt ) 

(6.12)

(

)

Wt′′ cosωt + Wx′′ sin ωt − 2ω v′y ′ sin ωt − v′x ′ cosωt − Fy′′ cosωt − Fx′′ sin ωt = m  ; 2  − ω ( y ′ cosωt + x′ sin ωt )  Fz′′ = mWz′′ .

Ðåøàÿ ñîâìåñòíî ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé, ìîæíî ïîëó÷èòü áîëåå êîìïàêòíóþ ôîðìó çàïèñè ïðîåêöèé óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ÑÎ “L’ ” (ïðåäîñòàâëÿåì ýòó îïåðàöèþ îñóùåñòâèòü ÷èòàòåëþ ñàìîñòîÿòåëüíî): 189

Fx′′ = mWx′′ − 2m ω v′y ′ − m ω 2 x′; Fy′′ = mWy′′ + 2m ω v′x ′ − m ω 2 y ′; Fz′′ = mWz′′ .

(6.13)

èëè â âåêòîðíîé çàïèñè çàêîí äâèæåíèÿ ïðèíèìàåò âèä: r r r r r F ′ = mW ′ − mω 2 r − 2m[v′ω ],

(6.14)

r ãäå ω - âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè, íàïðàâëåííûé âäîëü îñè 0z’, [vr′ωr ] -êðàòêàÿ çàïèñü òàê íàçûâàåìîãî âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ,

â íàøåì ñëó÷àå âðàùåíèÿ âîêðóã îñè 0z’îíî ðàâíî r

r

[vr′ωr ] = i v′y ′ω z ′ − j v′x ′ω z ′ ,

ω z′ = ω .

 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà F’ = 0, ïîëó÷àåì: r r r r W ′ = ω 2 r + 2[v′ω ].

(6.15) Ïåðâîå ñëàãàåìîå íîñèò íàçâàíèå öåíòðîáåæíîãî óñêîðåíèÿ (îíî íàïðàâëåíî ïî ðàäèóñó îò îñè âðàùåíèÿ). Âî âðàùàþùåéñÿ ÑÎ öåíòðîáåæíîå óñêîðåíèå îòëè÷íî îò íóëÿ íåçàâèñèìî îò òîãî, ïîêîèòñÿ èëè äâèæåòñÿ òåëî â ýòîé ÍÑÎ. Èíà÷å èçìåíÿåòñÿ âòîðîå ñëàãàåìîå, îíî îòëè÷íî îò íóëÿ âî âðàùàþùåéñÿ ÑÎ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè òåëî äâèæåòñÿ â ýòîé ÑÎ, íî íå ïàðàëëåëüíî îñè âðàùåíèÿ (èíà÷å âåêòîðíîå r r rr ïðîèçâåäåíèå =0, äàæå ïðè v′ ≠ 0 è ω ≠ 0 , ò.ê. sin ( v ω ) = 0). Ýòà ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ W’ ïîëó÷èëà íàçâàíèå “êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå” â ÷åñòü ó÷åíîãî, êîòîðûé ââåë ýòî óñêîðåíèå. Òàêèì îáðàçîì, âî âðàùàþùåéñÿ ÑÎ “L’ ” óñêîðåíèå ñîçäàåòñÿ ñîâìåñòíûì äåéñòâèåì “íüþòîíîâñêîé”, “öåíòðîáåæíîé” è “êîðèîëèñîâîé” ñèë: r r F + Föá + Fk = mW ′

(6.16)

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî âñå óïîìÿíóòûå ñèëû ïðîïîðöèîíàëüíû ìàññàì òåë, à ïîòîìó îíè ñîîáùàþò âñåì òåëàì îäíî è òî æå óñêîðåíèå. Ñ íàøåé òî÷êè çðåíèÿ, îíè ïîäîáíû ãðàâèòàöèîííûì ñèëàì, êîòîðûå òàêæå ñîîáùàþò âñåì òåëàì îäíî è òî æå óñêîðåíèå (êîíå÷íî, â êàæäîì ñëó÷àå ñâîå), íåçàâèñèìî îò âåëè÷èí ìàññ òåë (ìû çíàåì, ÷òî ãðàâèòàöèîííîå 190

ïîëå ñîîáùàåò ïîñòîÿííîå óñêîðåíèå òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îíî îäíîðîäíî è ïîñòîÿííî, èëè ìû ðàññìàòðèâàåì ïîëå â ìàëîì îáúåìå). Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: âî âðàùàþùåéñÿ ÑÎ âîçíèêàþò “ãðàâèòàöèîííûå ïîëÿ” äâóõ òèïîâ, îáóñëîâëåííûå âðàùåíèåì ýòîé ÍÑÎ. Ýòè “ãðàâèòàöèîííûå ïîëÿ” ïî-ðàçíîìó íàïðàâëåíû è ïî-ðàçíîìó èçìåíÿþòñÿ âî âðàùàþùåéñÿ ÑÎ. “Öåíòðîáåæíîå ãðàâèòàöèîííîå ïîëå” íàïðàâëåíî ïî ðàäèóñó âðàùåíèÿ îò îñè âðàùåíèÿ è âîçðàñòàåò r ñ óâåëè÷åíèåì r , ýòî ïîëå íåîäíîðîäíî. “Êîðèîëèñîâî ãðàâèòàöèîííîå ïîëå” äåéñòâóåò òîëüêî íà äâèæóùèåñÿ â ÍÑÎ òåëà è îïðåäåëÿåòñÿ íå ïîëîæåíèåì â ïðîñòðàíñòâå, à ñêîðîñòüþ äâèæåíèÿ òåëà (è óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùåíèÿ ÍÑÎ), åãî íàïðàâëåíèå çàâèñèò è îò íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà r r v′ , è îò íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè ω . Ìû ðàññìîòðåëè ïðîÿâëåíèå “ãðàâèòàöèîííûõ ïîëåé” ïðè ïîñòóïàòåëüíîì è âðàùàòåëüíîì äâèæåíèÿõ ÍÑÎ, íî ëþáîå ñëîæíîå äâèæåíèå òåëà âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïîñòóïàòåëüíîãî è âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèé. Ïîýòîìó ïðîèçâîëüíîå äâèæåíèå ÍÑÎ ìîæíî ñîïîñòàâèòü ñ ýêâèâàëåíòíûìè (â îáùåì ñëó÷àå ïåðåìåííûìè) ãðàâèòàöèîííûìè ïîëÿìè.  ñâÿçè ñ ýòèìè ðàññóæäåíèÿìè ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè ìîæíî îáîáùèòü òàê: îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé â ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ ÑÎ ïðè îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ÝÊÂÈÂÀËÅÍÒÍÎ îïèñàíèþ èõ â ÈÑÎ, íàõîäÿùåéñÿ â íåêîòîðîì îáùåì ñëó÷àå ïåðåìåííîì è íåîäíîðîäíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå. §7. Ãåîìåòðèÿ è ãðàâèòàöèÿ Ïîâòîðèì åùå ðàç âûâîä, ê êîòîðîìó ìû ïðèøëè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, óñòàíîâèâ ýêâèâàëåíòíîñòü ñîñòîÿíèé â óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ ïðè îòñóòñòâèè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ è â ÈÑÎ ïðè íàëè÷èè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ.  îáùåì ñëó÷àå è óñêîðåííîå äâèæåíèå ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíûì, ñîîòâåòñòâåííî è ãðàâèòàöèîííîå ïîëå ìîæåò áûòü ñëîæíîé êîíôèãóðàöèè. 191

Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè óòâåðæäàåò: îïèñàíèå ÿâëåíèé â ïðîèçâîëüíî äâèæóùåéñÿ ÑÎ ýêâèâàëåíòíî îïèñàíèþ ÿâëåíèé â ÈÑÎ, íàõîäÿùåéñÿ â íåêîòîðîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå. Íî ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä ñëîâàìè “ýêâèâàëåíòíîå îïèñàíèå”?  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ýòî îçíà÷àëî, ÷òî çàêîíû ìåõàíèêè îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ. Äðóãèìè ñëîâàìè, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ, óáåæäàåìñÿ, ÷òî 2-îé çàêîí Íüþòîíà èíâàðèàíòåí, ò.å. èìååò îäèí è òîò æå âèä âî âñåõ ÈÑÎ (ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî çàêîíû ìåõàíèêè îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ). Àíàëîãè÷íî â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè âî âñåõ ÈÑÎ äåéñòâóþò îäèíàêîâûå çàêîíû ïðèðîäû è èõ ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàïèñü îäèíàêîâà âî âñåõ ÈÑÎ, ïðè ýòîì ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé èñïîëüçóþòñÿ óæå íå ôîðìóëû Ãàëèëåÿ, à ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ÑÒÎ ôîðìóëû Ëîðåíöà. Ñëåäóÿ ÿâíî ïðîÿâëÿþùåéñÿ ëîãèêå â ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèÿõ, ìû óñòàíîâèì ýêâèâàëåíòíîñòü îïèñàíèé â ïðîèçâîëüíî óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ (ïðè îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ) è â ñîîòâåòñòâóþùåì (â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîðîäíîì è íåïîñòîÿííîì) ãðàâèòàöèîííîì ïîëå â ÈÑÎ, åñëè íàéäåì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå îò ïåðâîé ÑÎ êî âòîðîé. Åñëè çàêîíû ïðèðîäû îêàæóòñÿ îäèíàêîâûìè ïðè èñïîëüçîâàíèè íàéäåííûõ ôîðìóë  ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè (ò.å. ôîðìóëû çàêîíîâ áóäóò èìåòü îäèí è òîò æå âèä â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé), òî ãîâîðÿò îá èíâàðèàíòíîñòè çàêîíîâ ïî îòíîøåíèþ ê ýòèì ôîðìóëàì ïðåîáðàçîâàíèÿ. Çàïèøåì ïðåäïîëàãàåìûå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò (õ=õ1, y=x2, z=x3) è âðåìåíè (t=x4) â ñëåäóþùåé íåÿâíîé ôîðìå: õ1=f1(x,y,z,t), x2=f2(x,y,z,t), (7.1) x3=f3(x,y,z,t), x4=f4(x,y,z,t). 192

Äëÿ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è íåÄåêàðòîâà ñèñòåìà îáõîäèìî óñòàíîâèòü ÿâíûé âèä ôóí- êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè. êöèé f1, f2, f3, f4. Îäíàêî ìû èçáåðåì y äðóãîé ïóòü äëÿ äîñòèæåíèÿ öåëè. P Äëÿ ýòîãî ïîçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûdl ìè îñîáåííîñòÿìè ãåîìåòðèè â ðàç- dy íûõ êîîðäèíàòíûõ ñèñòåìàõ. M Íà÷íåì ñ ãåîìåòðèè íà ïëîñêîdx ñòè.  äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ êâàä- O x Ðèñ.9. ðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (7.2) dl2=dx2+dy2, ò.å. êâàäðàò äèôôåðåíöèàëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè (ðèñ.9) âûðàæàåòñÿ â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò dx è dy c Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ðàâêîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè íûìè åäèíèöå (îáðàòèì âíèìàíèå íà äàííîå îïðåäåëåíèå, ò.ê. îíî áóäåò P(ρ, ϕ) ρ îïðåäåëÿþùèì äëÿ óñòàíîâëåíèÿ â ïîñëåäóþùåì êëàññà ãåîìåòðèè). ϕ Ëåãêî âèäåòü, ÷òî äðóãèå êîîðäèíàO x òû, íàïðèìåð, ïîëÿðíûå (ðèñ.10) ýòèì Ðèñ. 10. ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò: (7.3) dl2 = dr2 +r2d ϕ 2 , ãäå r - ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî òî÷êè íàáëþäåíèÿ Ð(r, ϕ ), ϕ - óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì íà èçáðàííóþ òî÷êó Ð è ðàíåå âûáðàííîé îñè 0õ. Êîýôôèöèåíò ïðè âòîðîì ñëàãàåìîì â (7.2) îêàçûâàåòñÿ ïåðåìåííûì. Îäíàêî â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè âñåãäà ìîæíî ïåðåéòè îò ïîëÿðíûõ èëè äðóãèõ êîîðäèíàò ê äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è òåì ñàìûì äîáèòüñÿ, ÷òîáû êâàäðàò ýëåìåíòà äëèíû dl 2 âûðàæàëñÿ â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ãëóáîêàÿ ïðè÷èíà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè ìû èìååì äåëî ñ “ïëîñêèì 193

ìíîãîîáðàçèåì” (ñ “ïëîñêèì” ïðîñòðàíñòâîì), â êîòîðîì ñïðàâåäëèâû çàêîíû ãåîìåòðèè Åâêëèäà (ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè âûïîëíÿþòñÿ ïîñòóëàòû Åâêëèäà, òî òàêîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ “ïëîñêèì”).  ÷àñòíîñòè, ñóììà óãëîâ ëþáîãî òðåóãîëüíèêà íà ïëîñêîñòè ðàâíà 180 0, è äëÿ ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ïèôàãîðà. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà.  äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áëèçêèìè òî÷êàìè òàêæå âûðàæàåòñÿ ñóììîé êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò õ, y, z ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè åäèíèöå: (7.4) dl2=dx2+dy2+dz2. Ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû, íàïðèìåð, öèëèíäðè÷åñêèå èëè ñôåðè÷åñêèå (ðèñ.11 è 12): dl2=dr2+ ρ 2d ϕ 2 + dz2 (7.5) è dl2=dr2 + r2sin2 θ d ϕ 2 + r2d θ 2 . (7.6) Îäíàêî êàê è â ñëó÷àå ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè, ìû âñåãäà ìîæåì âåðíóòüñÿ îò êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò ê äåêàðòîâûì è ïðèâåñòè òåì ñàìûì âûðàæåíèå dl 2 ê ñóììå êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò ñ åäèíè÷íûìè êîýôôèöèåíòàìè. ßñíî, ÷òî òàêàÿ âîçìîæíîñòü îáóñëîâëåíà òåì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ãîâîðÿò î “ìíîãîîáðàçèè”) ñïðàâåäëèâà ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà. Òàêîå ìíîãîîáðàçèå (ïðîñòðàíñòâî) ïðèíÿòî íàçûâàòü “ïëîñêèì” (ïî àíàëîãèè ñ äâóõìåðíûì “ïëîñêèì” åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì). Ýòèì ýïèòåòîì îòìå÷àåòñÿ ëèøü òî, ÷òî è â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ñïðàâåäëèâà ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà. Ñîâåðøåííî èíîå ïîëîæåíèå ìû îáíàðóæèâàåì â ñëó÷àå “êðèâûõ” ïðîñòðàíñòâ (ìíîãîîáðàçèé), â êîòîðûõ çàêîíû ãåîìåòðèè Åâêëèäà íåâåðíû.  êà÷åñòâå èëëþñòðàöèè òàêîãî “êðèâîãî” ìíîãîîáðàçèÿ ðàññìîòðèì ãåîìåòðèþ íà ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Òî, ÷òî ïîâåðõíîñòü “êðèâàÿ”, íå âûçûâàåò ñîìíåíèÿ, îíà äâóõìåðíàÿ, êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè íà ïîâåðõ194

íîñòè ñôåðû èçìåðÿåòñÿ îòðåçêîì äóãè áîëüøîãî êðóãà, êîòîðàÿ ÿâ- Öèëèíäðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ëÿåòñÿ àíàëîãîì ïðÿìîé ⠓ïëîñ- êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå z êîì” (åâêëèäîâîì) ïðîñòðàíñòâå. Íà ðèñ.13 ïîêàçàíî, ÷òî â ñôåðè÷åñêîì òðåóãîëüíèêå, ñòîðîíàìè P(ρ,ϕ, z ) êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îòðåçêè äóã áîëüøîãî êðóãà, ñóììà óãëîâ íå ðàâíà 1800. Íàïðèìåð, â ñôåðè÷åñO êîì òðåóãîëüíèêå, îáðàçîâàííîì y ϕ ρ äóãîé ýêâàòîðà è äâóìÿ ìåðèäèàíàP′(ρ, ϕ) ìè, ñõîäÿùèìèñÿ â ïîëþñå ïîä ïðÿx Ðèñ. 11. ìûì óãëîì äðóã ê äðóãó, ñóììà óãëîâ ðàâíà 2700. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ “êðèâîé” ïîâåðõíîñòè ñôåðû òåîÑôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ðåìà Ïèôàãîðà, äà è íåêîòîðûå êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå äðóãèå ïîëîæåíèÿ ïëîñêîé ãåîìåòz ðèè íåïðèãîäíû. Òàê, êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè ðàâåí: dl2=dr2 + r2sin2 θ d ϕ 2 + r2d θ 2 P(r , θ, ϕ) θ è íèêàêèì ïðåîáðàçîâàíèåì êîîðäèr íàò ýòî âûðàæåíèå íå ñâåñòè ê (7.4). O Ãåîìåòðèÿ, êàê íàóêà î ñâîéy ϕ ñòâàõ ðåàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà, ÿâP′ Ðèñ. 12. ëÿåòñÿ â îñíîâå ñâîåé íàóêîé îïûòx íîé. Àêñèîìû è ïîñòóëàòû ãåîìåòðèè íå ÿâëÿþòñÿ èçíà÷àëüíûìè èñòèíàìè, âðîæäåííûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè ÷åëîâå÷åñêîãî ðàçóìà, à ÿâ90o ëÿþòñÿ îáîáùåíèåì ìíîãîâåêîâîãî îïûòà. Ýòî ïîíèìàë çíàìåíèòûé ðîññèéñêèé ìàòåìàòèê íà÷àëà XIXâ. Í. Ëîáà÷åâñêèé, êîãäà, ïî90o 90o ñòðîèâ ïåðâóþ â èñòîðèè ìàòåìàòèêè íååâêëèäîâó ãåîìåòðèþ, ïûÐèñ. 13. 195

òàëñÿ ïðîâåðèòü îïûòíûì ïóòåì, ðàâíà ëè ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà â åãî ãåîìåòðèè 1800. K ñîæàëåíèþ, îïûòû Ëîáà÷åâñêîãî îêîí÷èëèñü íåóäà÷íî, äà îíè è íå ìîãëè îêîí÷èòüñÿ èíà÷å, òàê êàê â îêîëîçåìíîì ïðîñòðàíñòâå îòñòóïëåíèÿ îò ãåîìåòðèè Åâêëèäà ñëèøêîì ìàëû, ÷òîáû ìîãëè áûòü îáíàðóæåíû òåõíèêîé (ïðèáîðàìè) íà÷àëà XIX â. Ïîýòîìó äî ñîçäàíèÿ À. Ýéíøòåéíîì îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè íå âîçíèêàëî ñåðüåçíûõ ñîìíåíèé âî âñåîáùåé ñïðàâåäëèâîñòè çàêîíîâ ãåîìåòðèè Åâêëèäà. Òåì áîëåå, ÷òî îïûò ãåîäåçèè, òîïîãðàôèè, àñòðîíîìèè, àðõèòåêòóðû è ò.ä. ñâèäåòåëüñòâîâàë î “ïðàâèëüíîñòè” ýòîé ãåîìåòðèè. Äëÿ ïðîäîëæåíèÿ ïîèñêà “èñòèííîé” ãåîìåòðèè ìèðà, âñïîìíèì, ÷òî óæå â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ îáúåäèíÿþòñÿ â åäèíîå ÷åòûðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, â êîòîðîì ðîëü ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè ìèðîâûìè òî÷êàìè îïðåäåëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì èíòåðâàëà: (7.7) ds2= dx2+dy2+dz2- c2dt2 . Èç âûðàæåíèÿ (7.7) ñëåäóåò, ÷òî êâàäðàò ÷åòûðåõìåðíîãî ýëåìåíòàðíîãî “ðàññòîÿíèÿ” - èíòåðâàëà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû êâàäðàòîâ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò õ,ó,z ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè åäèíèöå, è êâàäðàòó äèôôåðåíöèàëà âðåìåíè ñ êîýôôèöèåíòîì, îòëè÷íûì îò åäèíèöû è ðàâíûì (-ñ2), ãäå ñ - ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. Âûðàæåíèå (7.7) èíâàðèàíòíî, ò.å. èìååò îäèí è òîò æå âèä è ÷èñëîâîå çíà÷åíèå, åñëè äëÿ ïåðåâîäà îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ÈÑÎ âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà (ñì. §2,÷àñòü2). Íî òàê êàê êîýôôèöèåíò ó äèôôåðåíöèàëà âðåìåíè îòëè÷åí îò åäèíèöû, õîòÿ è ïîñòîÿíåí, ãîâîðÿò, ÷òî ãåîìåòðèÿ ÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè â ÑÒÎ óæå íå ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâîé è åå îáû÷íî íàçûâàþò “ïñåâäîåâêëèäîâîé” (ïî÷òè åâêëèäîâîé). Åñëè âìåñòî ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò (äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò õ,ó,z) ââåñòè êðèâîëèíåéíûå (öèëèíäðè÷åñêèå, ñôåðè÷åñêèå è äð.) êîîðäèíàòû, òî èçìåíèòñÿ âûðàæåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòè äèôôåðåíöèàëà èíòåðâàëà, íî ïîñëåäíåå 196

ñëàãàåìîå â (7.7) ïî-ïðåæíåìó áóäåò âõîäèòü ñ òåì æå êîýôôèöèåíòîì (-ñ2). Åñëè æå ïåðåéòè ê ïðîèçâîëüíîé óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ, òî ïðàâàÿ ñòîðîíà ôîðìóëû (7.7) èçìåíèòñÿ ñóùåñòâåííî. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ïåðåõîä ê ÑÎ, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî óñêîðåííî âäîëü îñè 0x.  íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè çàïèøóòñÿ òàê: x = x′ + OO ′ = x′ +

at 2 ; y = y’; z = z’; t = t’. 2

Ñîñòàâèì äèôôåðåíöèàëû êîîðäèíàò è âðåìåíè: dx = dx’+ atdt; dy = dy’; dz = dz’; dt = dt’ . Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ñòîðîíó (7.7),èñïîëüçóÿ ýòè ïðèðàùåíèÿ: (7.8) ds2 = dx’2 + dy’2 + dz2 + 2a.t’dx’.dt’- (ñ2 - a2.t’2)dt’2 Ðàññìîòðèì òåïåðü ðàâíîìåðíî âðàùàþùóþñÿ ÑÎ, ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå ê “íåïîäâèæíîé” CÎ îò âðàùàþùåéñÿ èìåþò âèä: õ = õ’ñîs ω t’- y’sin ω t’; y = y’cos ω t’ + x’sin ω t’; z = z’; t = t’ . Êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ñîñòàâëÿåì äèôôåðåíöèàëû êîîðäèíàò è âðåìåíè: dx = dx’cos ω t’- dy’sin ω t’- ω (õ’sin ω t’+ ó’cos ω t’).dt’; dy = dy’cos ω t’+ dx’sin ω t’+ ω (õ’cos ω t’- ó’sin ω t’).dt’; dz = dz’; dt = dt’. Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (7.7),èñïîëüçóÿ ïîñëåäíèå ðàâåíñòâà; êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà ïðèíèìàåò âèä: ds2=dx’2+dó’2+dz’2+[ ω 2(x’2+y’2)- c2]dt’2-2 ω y’dx’dt’+ (7.9) + 2 ω x’dy’dt’ Òàêèì îáðàçîì, â óñêîðåííî äâèæóùèõñÿ ÑÎ êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà ñîäåðæèò íå òîëüêî êâàäðàòû äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò è âðåìåíè, íî è ïðîèçâåäåíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ ðàçíûõ êîîðäèíàò, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû ýòîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûìè âåëè÷èíàìè, ê òîìó æå êîýôôèöèåíòû ó ÷ëåíîâ, ñîäåðæàùèõ ñìåøàííûå ïðîèçâåäåíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ êîîðäèíàò è âðåìåíè, 197

íèêîãäà íå ìîãóò ðàâíÿòüñÿ 1 èëè 0 (îíè æå ñîäåðæàò ëèíåéíîå r óñêîðåíèå à èëè óãëîâóþ ñêîðîñòü ω , è òîëüêî ïðè ïåðåõîäå ê ÈÑO ýòè ÷ëåíû èñ÷åçàþò, íî íàñ ñåé÷àñ èíòåðåñóþò óñêîðåííî r äâèæóùèåñÿ ÑÎ, äëÿ êîòîðûõ à ≠ 0 è ω ≠ 0 ). Ìû ðàññìîòðåëè äâà ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ äâèæåíèÿ óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑÎ. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò åñòåñòâåííî îáîáùàåòñÿ íà ïðîèçâîëüíî äâèæóùèåñÿ ÑÎ. Íî äëÿ ýòîãî öåëåñîîáðàçíî ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (7.1).Òîãäà êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà â îáùåì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ ïåðåìåííûõ õ1, õ2, õ3, x4 çàïèøåòñÿ òàê: dS2 = g11(x1...x4) dx12 + g22(x1...x4) dx22 + g33(x1...x4) dx32 + + g44(x1...x4) dx42 + +2g12(x1...x4) dx1dx2 + 2g13(x1...x4) dx1dx3 + + 2g14(x1...x4) dx1dx4 + 2g23(x1...x4) dx2dx3 + (7.10) +2g24(x1...x4) dx2dx4 + 2g34(x1...x4) dx3dx4 . Ïîëó÷åííûå âûøå ôîðìóëû (7.7), (7.8) è (7.9) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ôîðìóëû (7.10).  áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå âûðàæåíèå (7.10) çàïèøåòñÿ òàê: dS 2 =

4

∑ gik (x1, x2 , x3, x4 )⋅ dxi dxk .

i , k =1

(7.11)

Ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí g ik îáðàçóåò òàê íàçûâàåìûé ìåòðè÷åñêèé òåíçîð, ñìûñë ýòîãî íàçâàíèÿ áóäåò ðàñêðûò íèæå. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî êîýôôèöèåíòû gik ñèììåòðè÷íû, ò.å., â ñèëó ðàâíîöåííîñòè èíäåêñîâ: (7.12) gik (x1,x2,x3,x4)= gki(x1,x2,x3,x4), è ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ëèøü 10 ðàçëè÷íûõ êîìïîíåíò gik: g11, g22, gÇÇ, g44, g12, g13, g14, g23, g24, g34. Ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÑÎ ê äðóãîé êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gik åñòåñòâåííî áóäóò èçìåíÿòüñÿ, íî êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà dS2 áóäåò îñòàâàòüñÿ íåèçìåííûì â ñèëó åãî èíâàðèàíòíîñòè. Ïîâòîðèì íåêîòîðûå ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûå ïîëîæåíèÿ, î êîòîðûõ ìû óæå ãîâîðèëè ðàíåå.  îòñóòñòâèè èñòèííîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ìû âñåãäà ìîæåì ïåðåéòè îò íåèíåðöèàëüíûõ êîîðäèíàò x l , x 2, x 3 , x 4 (íàïðèìåð, îò 198

âðàùàþùåéñÿ èëè ðàâíîìåðíî óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑO) ê êîîðäèíàòàì ÈÑO. Ïðè òàêîì ïåðåõîäå ìû “îñâîáîæäàåìñÿ” îò èíåðöèîííûõ ãðàâèòàöèîííûõ ñèë, êàê-òî öåíòðîáåæíûõ ñèë èëè ñèë Êîðèîëèñà âî âðàùàþùåéñÿ CO, èëè ñèë èíåðöèè â ðàâíîóñêîðåííî äâèæóùåéñÿ CO. Ïðè ýòîì âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà dS2 âíîâü ïðèìåò âèä (7.7), îòëè÷íûìè îò íóëÿ áóäóò ëèøü ñëåäóþùèå êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà: g11=g22=g33=1, g44=-ñ2, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îáû÷íî íàçûâàþòñÿ “ãàëèëååâûìè”, îñòàëüíûå æå êîìïîíåíòû ñ íåñîâïàäàþùèìè èíäåêñàìè îêàæóòñÿ ðàâíûìè íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, â îòñóòñòâèè èñòèííîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîåâêëèäîâîé, ãåîìåòðèåé Ìèíêîâñêîãî. Ñîâåðøåííî èíàÿ ñèòóàöèÿ âîçíèêàåò â òîì ñëó÷àå, êîãäà èìååòñÿ èñòèííîå ãðàâèòàöèîííîå ïîëå.  ýòîì ñëó÷àå íèêàêîå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò x1, x2, x3, x4 íå ïðèâîäèò âûðàæåíèå (7.11) ê “ãàëèëååâó” âèäó è êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà ê “ãàëèëååâûì” çíà÷åíèÿì (âñïîìíèì, î ÷åì ãîâîðèëîñü ïðè ðàññìîòðåíèè ãåîìåòðèè ïîâåðõíîñòè ñôåðû). Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íåâîçìîæíî óäîâëåòâîðèòü øåñòè óðàâíåíèÿì: g12(x1,x2,x3,x4)=0 ; g23(x1,x2,x3,x4)=0 ; g13(x1,x2,x3,x4)=0 ; g24(x1,x2,x3,x4)=0 ; gl4(x1,x2,x3,x4)=0 ; g34(x1,x2,x3,x4)=0 ; ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ x1, x2, x3, x4 (ðå÷ü èäåò î òåõ êîìïîíåíòàõ, êîòîðûå äîëæíû îòñóòñòâîâàòü â (7.11)). Ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ñëåäóåò èç îòëè÷èÿ ìåæäó èñòèííûìè è èíåðöèîííûìè ãðàâèòàöèîííûìè ïîëÿìè: ïåðâûå èñ÷åçàþò íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ îò èñòî÷íèêîâ ýòèõ ïîëåé, âòîðûå æå èëè îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè (ïðè ðàâíîóñêîðåííîì äâèæåíèè ÑÎ), èëè íàðàñòàþò ñ óäàëåíèåì îò îñè âðàùåíèÿ (îá ýòîì ìû ãîâîðèëè â §6). Ïîýòîìó “óíè÷òîæèòü” ãðàâèòàöèîííîå ïîëå âî âñåì ïðîñòðàíñòâå íèêàêèì âûáîðîì ÑÎ íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó òîëüêî â ìàëûõ îáëàñòÿõ ïðîñòðàíñòâà èñòèííûå ãðàâèòàöèîííûå ïîëÿ ôèçè÷åñêè íåîòëè÷èìû îò èíåðöèîííûõ ãðàâèòàöèîííûõ ïîëåé (÷èòàòåëü äîëæåí áûë îáðàòèòü âíèìàíèå, 199

÷òî ìû ïîñòîÿííî ðàññìàòðèâàåì ïðèðàùåíèå êâàäðàòà èíòåðâàëà äëÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ äâóõ òî÷åê). Âîò ïî÷åìó ðàíåå ìû íåîäíîêðàòíî ãîâîðèëè î òîì, ÷òî ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè ñïðàâåäëèâ ëèøü â ìàëîì îáúåìå, ãäå ìîæíî ïðåíåáðå÷ü íåîäíîðîäíîñòüþ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Ïðîñëåäèì íåêîòîðóþ çàêîíîìåðíîñòü â ôèçè÷åñêèõ òåîðèÿõ, â îñíîâå êîòîðûõ ëåæàò ïðåäñòàâëåíèÿ î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.  íüþòîíîâñêîé ôèçèêå ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ ðàññìàòðèâàëèñü êàê âìåñòèëèùå âåùåé è ñîáûòèé, èõ íåçàâèñèìûå íè îò ÷åãî äëèòåëüíîñòè (íè îò ìàññû òåë, íè îò ñîñòîÿíèÿ ýòèõ òåë), ìåòðèêà ïðîñòðàíñòâà áûëà åâêëèäîâîé, “ïëîñêîé”.  ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ìåòðèêà åäèíîãî, ÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ òåë, íî âëèÿíèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ íå ó÷èòûâàåòñÿ, âçàèìîñâÿçü ïðîñòðàíñòâà ñî âðåìåíåì ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî ãåîìåòðèÿ ìèðà óæå íå ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâîé, õîòÿ è ïo - ïðåæíåìó “ïëîñêîé”.  ñèëó òîãî, ÷òî êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ ÷åòûðåõìåðíîãî “ðàññòîÿíèÿ” - èíòåðâàëà ñîäåðæèò ÷ëåí (-ñ2dt2) ñ êîýôôèöèåíòîì, îòëè÷íûì îò åäèíèöû (êàê ó äðóãèõ ñëàãàåìûõ èíòåðâàëà), ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè íàçûâàåòñÿ “ïñåâäîåâêëèäîâîé”.  ÎÒÎ ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà òàêæå ÷åòûðåõìåðíîãî (êàê â ÑÒÎ) ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè îïðåäåëÿþòñÿ ïëîòíîñòüþ ìàòåðèè (è âåùåñòâåííûõ òåë è ïîëåé), ñîçäàþùåé ãðàâèòàöèîííûå ïîëÿ, ìåòðèêà ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ íåýâêëèäîâîé (òî, ÷òî è õîä ÷àñîâ çàâèñèò îò ðàñïðåäåëåíèÿ ìàòåðèè, ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî â âûðàæåíèè äëÿ ïðèðàùåíèÿ êâàäðàòà èíòåðâàëà ó êâàäðàòà dx4, êîýôôèöèåíò g44 ñëîæíûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ âñåìè ïåðåìåííûìè x1, x2, x3, x4. Ýòo îçíà÷àåò, ÷òî õîä âðåìåíè íåîäèíàêîâ â ðàçíûõ òî÷êàõ ìèðà). Åñëè ìåòðèêó ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè êëàññè÷åñêîé ôèçèêè ìû íàçâàëè “ïëîñêîé”, òî ïðî ìåòðèêó OTO ãîâîðÿò, ÷òî îíà îáëàäàåò “êðèâèçíîé”. ×òîáû “ïðåäñòàâèòü” ñåáå ýòó êðèâèçíó, 200

âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé àíàëîãèåé. Óìåíüøèì ÷èñëî èçìåðåíèé ïðîñòðàíñòâà, êàê è ðàíüøå, êîãäà ìû ðàññìàòðèâàëè îñîáåííîñòü ãåîìåòðèè ñôåðû, îãðàíè÷èìñÿ äâóõìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì. Ïóñòü íà ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííûé îáðó÷ íàòÿãèâàåòñÿ òîíêàÿ ðåçèíîâàÿ ïëåíêà. Íàðèñóåì íà âåðõíåé ïîâåðõíîñòè ïëåíêè ñåòêó ñ êâàäðàòíûìè ÿ÷åéêàìè - äåêàðòîâó ñåòêó êîîðäèíàò. Íà ïîâåðõíîñòè ïëåíêè ñïðàâåäëèâà ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà: ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà ðàâíà 1800, ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ïèôàãîðà è äðóãèå çàêîíû “ïëîñêîé” ãåîìåòðèè. Åñëè âäîëü ïîâåðõíîñòè ïëåíêè çàïóñòèòü î÷åíü ëåãêèé øàðèê, òî (åñëè ïðåíåáðå÷ü òðåíèåì) îí áóäåò äâèãàòüñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî, áóäóò âûïîëíÿòüñÿ âñå çàêîíû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ïîìåñòèì òåïåðü íà ñåðåäèíó ïëåíêè äîñòàòî÷íî òÿæåëûé øàð. Áëàãîäàðÿ âåñó øàðà ïîâåðõíîñòü ïëåíêè äåôîðìèðóåòñÿ è ó íàñ âîçíèêíåò èñêðèâëåííàÿ äâóõìåðíàÿ ïîâåðõíîñòü - êðèâîå äâóõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå. Íà íåé çàêîíû ãåîìåòðèè Åâêëèäà óæå íå âûïîëíÿþòñÿ, è øàðèê, ïóùåííûé íà èñêðèâëåííóþ ïëåíêó, áóäåò ñêàòûâàòüñÿ (“ïðèòÿãèâàòüñÿ”) ê òÿæåëîìó øàðó. Åñëè äâèæåíèå ëåãêîãî øàðèêà âîêðóã òÿæåëîãî òîëêîâàòü êàê “òÿãîòåíèå” ìåæäó ýòèìè äâóìÿ òåëàìè, òî ìû òîò÷àñ æå îáíàðóæèâàåì âçàèìîñâÿçü ìåæäó òÿãîòåíèåì è êðèâèçíîé ïðîñòðàíñòâà. Êîíå÷íî, ïðåäñòàâèòü ñåáå “êðèâèçíó” òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, à òåì áîëåå ÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè, íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ïðèâåäåííàÿ àíàëîãèÿ ëèøü ïîìîãàåò íàì îáíàðóæèòü ñâÿçü ìåæäó êðèâèçíîé ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè è òÿãîòåíèåì. Èòàê, èç ïðåäûäóùåãî ïîâåñòâîâàíèÿ ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: ïîñêîëüêó ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå è èçìåíåíèå çàêîíîâ ãåîìåòðèè (îòêëîíåíèå èõ îò åâêëèäîâûõ) âîçíèêàåò îäíîâðåìåííî (ñîâìåñòíî), êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gik, îïðåäåëÿþùèå â îáùåì ñëó÷àå êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà (ñì.7.11), èìåþò äâîÿêèé ôèçè÷åñêèé ñìûñë: îíè õàðàêòåðèçóþò çàêîíû ãåîìåòðèè (ìåòðèêó) ÷åòûðåõìåpíîãî ìíîãîîáðàçèÿ (÷åòûðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè), èìåííî ñ ýòèì ñâÿçàíî íàçâàíèå òåíçîðà - ìåòðè÷åñêèé òåíçîð. Ñ äðóãîé 201

ñòîðîíû, îíè ñâÿçàíû ñ ãðàâèòàöèîííûì ïîëåì, ñ åãî èíòåíñèâíîñòüþ (åñëè ãðàâèòàöèîííîå ïîëå ñëàáîå íüþòîíîâñêîå, òî ôîðìóëà (7.11) ïåðåõîäèò â (7.7)), ïîýòîìó âåëè÷èíû g ik íåðåäêî íàçûâàþò “ãðàâèòàöèîííûìè ïîòåíöèàëàìè”.  òåîðèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ À. Ýéíøòåéíà âåëè÷èíû gik èãðàþò òàêóþ æå ðîëü, êàê âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé r ïîòåíöèàëû À è ϕ â òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñì. ×àñòü 1, §16). Ïîòåíöèàëû gik óäîâëåòâîðÿþò äèôôåðåíöèàëüíûì r

ópàâíåíèÿì òàêîãî æå òèïà, ÷òî è âåëè÷èíû À è ϕ .  âàêóóìå ýòè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âîëíîâûìè, èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî ãðàâèòàöèîííûå äåéñòâèÿ ïåðåäàþòñÿ â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè íå ìãíîâåííî (êàê ýòî ñ÷èòàëîñü â íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêå), à ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà â âàêóóìå. Äî ñèõ ïîð âñå ïîïûòêè îáíàðóæèòü ãðàâèòàöèîííûå âîëíû íå äàëè ïîëîæèòåëüíîãî ðåçóëüòàòà (ñì. êíèãó Áðàãèíñêîãî Â.Á. è Ïîëíàðåâà À.Ã. “Óäèâèòåëüíàÿ ãðàâèòàöèÿ”, Á-êà “Êâàíò”, âûïóñê 39,1985ã.). Äàííûé ïàðàãðàô ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ OÒÎ, ïîýòîìó èìååò ñìûñë ïîäâåñòè èòîã ïîëó÷åííûì âûøå âàæíûì âûâîäàì, âûðàçèâ èõ íåñêîëüêî èíûì îáðàçîì. Èòàê, ìû çíàåì òåïåðü, â ÷åì ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå ÑÒÎ è ÎÒÎ: â ÑÒÎ óñòàíàâëèâàåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü çàêîíîâ ïðèðîäû âî âñåõ ÈÑÎ, íåèçìåííîñòü ôîðìóë ýòèõ çàêîíîâ ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÈÑÎ ê äðóãîé ÈÑÎ ïðè ïîìîùè ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà. Íî ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ íåò, áëàãîäàðÿ ÷åìó ïðîñòðàíñòâî îáëàäàåò îäíîðîäíîñòüþ (âñå åãî òî÷êè ðàâíîöåííû) è èçîòðîïíîñòüþ (âñå íàïðàâëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå ðàâíîïðàâíû) è âðåìÿ òå÷åò ðàâíîìåðíî, îíî îäíîðîäíî (âñå åãî ìîìåíòû ðàâíîöåííû).  ÑÒÎ óñòàíàâëèâàåòñÿ âçàèìîñâÿçü ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè (÷òî âûðàæåíî â ôîðìóëàõ Ëîðåíöà (ñì. ×àñòü 2, §2, ôîðìóëà (2.1)), ïîýòîìó ââîäèòñÿ åäèíîå ïðîñòðàíñòâåííî -âðåìåííîå ìíîãîîáðàçèå - ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ, çàäàíèåì ÷åòûðåõ êîîðäèíàò õ1, õ2, õ3, õ4 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå ñîáûòèÿ (ìèðîâîé òî÷êè) â ÷åòûðåõìåðíîì 202

ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Ôèçèêî-ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ÷åòûðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè â ÑÒÎ ñîäåðæàòñÿ â ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîãî èíòåðâàëà, ïðèðàùåíèå êîòîðîãî (åãî çíà÷åíèå äëÿ äâóõ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ìèðîâûõ òî÷åê) èìååò âèä (2.5) (7.15) dS2= dx12 + dx22 + dx32 - dõ42, ãäå x4= ñ.t Èíòåðâàë (è åãî ïðèðàùåíèå) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíîé, èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëîðåíöà. ÎTÎ - ýòî ñëåäóþùèé ïîñëå ÑÒÎ ýòàï ïîçíàíèÿ ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è äâèæåíèÿ.  ôèçè÷åñêóþ êàðòèíó ìèðà âêëþ÷àþòñÿ ñèëû ãðàâèòàöèè, îáíàðóæèâàåòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ïðè íàëè÷èè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ â ÈÑÎ è â îòñóòñòâèè ýòîãî ïîëÿ â HCÎ. Îäíàêî, ýòà ýêâèâàëåíòíîñòü íîñèò ëîêàëüíûé, ìåñòíûé õàðàêòåð, ò.å. ïðîÿâëÿåòñÿ â íåáîëüøîì ãåîìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîì ãðàâèòàöèîííîå ïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûì è îäíîðîäíûì.  îáùåì ñëó÷àå ïåðåõîä îò îäíîé ÑÎ ê äðóãîé ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ áîëåå ñëîæíûõ ôîðìóë, ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ôîðìóëû Ãàëèëåÿ è Ëîðåíöà. Âûøå ýòè ôîðìóëû áûëè çàïèñàíû â íåÿâíîì âèäå - (7.1). Êàê è â ÑÒÎ, îáùåé èäååé ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå èíâàðèàíòíîñòè ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ ïðè ïðîâåäåíèè ïðåîáðàýîâàíèé (7.1). Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñâîéñòâà îáîáùåííîãî èíòåðâàëà, ïðèðàùåíèå êîòîðîãî äàåòñÿ ôîðìóëîé (7.11): dS 2 = ∑ gα , β ⋅ dxα dxβ α ,β

,

(7.11)

ãäå gab = gab (õ1,õ2,õ3,õ4) - íåêîòîðûå ôóíêöèè êîîðäèíàò òî÷êè ïðîñòðàíñòâà è ìîìåíòà âðåìåíè, α , β =1,2,3,4 (çäåñü èçìåíåíû áóêâû èíäåêñîâ, ÷òî íå ñóùåñòâåííî). Ïðèäàâàÿ èíäåêñàì α è β çíà÷åíèÿ îò 1 äî 4, ïîëó÷èì ñîâîêóïíîñòü 16 âåëè÷èí, êîòîðûå ìîæíî ðàñïîëîæèòü â ïðÿìîóãîëüíóþ òàáëèöó ïî ñòðîêàì è ñòîëáöàì, â íàøåì ñëó÷àå ýòà ïðÿìîóãîëüíàÿ òàáëèöà áóäåò êâàäðàòíîé: 203

g11 g12 g13 g14 gα , β =

g 21 g 22 g 23 g 24 g 31 g32 g 33 g34

.

(7.16)

g 41 g 42 g 43 g 44

Òàáëèöà (7.16), ñîñòàâëåííàÿ èç ìåòðè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ

g αβ , íîñèò íàçâàíèå ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà 2-ãî ðàíãà (ïî ÷èñëó èíäåêñîâ ó êàæäîãî ýëåìåíòà òàáëèöû). Òàê êàê èíäåêñû ðàâíîöåííû, ïðèíèìàþò îäíè è òå æå çíà÷åíèÿ îò 1 äî 4, òî òåíçîð îêàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìåòðè÷åñêèé êîýôôèöèåíò g αβ ñîâïàäàåò ñ ìåòðè÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì gβα :

Ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé íàõîæäåíèÿ êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà. Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ÑO, îäíà èíåðöèàëüíàÿ CÎ “L”, âòîðàÿ - “L’ ” âðàùàåòñÿ âîêðóã îáùåé îñè 0z (0’z’) ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω . Òàêèì îápaçoì, CÎ “L’ ” ÿâëÿåòñÿ íåèíåðöèàëüíîé.  ÈÑÎ “L” âîñïîëüçóåìñÿ öèëèíäðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè: õ1=r, õ2= ϕ , x3=z, x4=ct.  ÈÑÎ “L” êâàäðàò ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà çàïèøåòñÿ òàê: dS2 = dr2 + r2d ϕ 2 + dz2 - ñ2dt2. (7.18) Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû g αβ çàòåì ñîñòàâèì ìåòðè÷åñêèé òåíçîð: g11=1; g22=r2; g33=1; g44=-1 ; g αβ = 0 ïðè α ≠ β , à ñàì òåíçîð ïðåäñòàâèì â âèäå òàáëèöû:

g αβ = g βα .

Ïîýòîìó ðàçëè÷íûìè ìîãóò áûòü êîýôôèöèåíòû, ðàñïîëîæåííûå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè (òàêèõ êîýôôèöèåíòîâ ó íàñ ÷åòûðå), îñòàëüíûå æå êîýôôèöèåíòû ïîïàðíî ðàâíû(òàêèõ êîýôôèöèåíòîâ â íàøåé òàáëèöå øåñòü). Òàêèì îáðàçîì, íàøà ìàòðèöà â îáùåì ñëó÷àå ñîäåðæèò ëèøü 10 ðàçëè÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà “ðàáîòû” ñ ìàòðèöåé (7.16) ñîñòàâèì ìåòðè÷åñêèé òåíçîð äëÿ èíòåðâàëà ÑÒÎ âèäà (7.15):

gα , β

1 0 = 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0 1 0. 0 −1

(7.17)

Òàêîé âèä ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â CTO îòðàæàåò íå òîëüêî îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà (êîýôôèöèåíòû g1l=g22=g23=1). Òàê êàê êîýôôèöèåíò g44=-1, òî ýòî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âðåìÿ õîòÿ è îäíîðîäíî (åãî ëþáîé ìîìåíò ìîæíî âçÿòü çà íà÷àëî îòñ÷åòà), íî îòëè÷àåòñÿ îò ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà (â ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ïåðåìåùàòüñÿ â ëþáîì íàïðàâëåíèè, âðåìÿ æå òå÷åò îò ïðîøëîãî ê áóäóùåìó). 204

1 0 0 0 gα , β =

0 r2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1

(7.19)

Ôîðìóëàìè ïåðåõîäà îò ÑO “L” ê ÑÎ “L’ ” áóäóò ðàâåíñòâà (íåðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé): r= r′ , ϕ = ϕ ′ + ω t’, z=z’, ct=ct’ Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ôîðìóëû â âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà (7.18), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ êâàäðàòà ïðèðàùåíèÿ èíòåðâàëà â ÍÑÎ “L’ ”: dS 2 = dr′2 + r ′2dϕ ′2 + dz′2 + 2

(

)

ω r ′2 dϕ ′d (ct ′) − c 2 − ω 2 r ′2 dt ′2 . (7.20) c

Ñîïîñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå ñ ôîðìóëîé (7.11) èëè (7.16), îïðåäåëÿåì êîýôôèöèåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â ÍÑÎ “L’ ”: g11=1,

g22=r’ , g33=1, 2

g 24 = g 42 =

 ω 2 r′2  g 44 = −1 − 2  , c  

ω r′2 . c 205

öåíòðîì íà îñè âðàùåíèÿ.  åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè îòíîøåíèå äëèíû ýòîé îêðóæíîñòè 2 π r ê åå äèàìåòðó 2r ðàâíî π . Íî ñ òî÷êè çðåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ â ÍÑÎ “L’ ”, îêðóæíîñòü áóäåò âðàùàòüñÿ, è âñå ýëåìåíòû åå äëèíû áóäóò èìåòü

Òàáëèöà ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà çàïèøåòñÿ òàê: 1

0

0

0

r′2

0

0

1

gα , β = 0 0

0

ω r′2 c 0

 ω 2 r′2  ω r′2 0 − 1 − 2   c c  

(

.

(7.22)

Íèêàêèìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè êîîðäèíàò âèä ýòîãî òåíçîðà íå ñâåñòè ê “ãàëèëååâñêîìó”(7.17) (ýòî óòâåðæäåíèå èìååò ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî, íî ìû åãî íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü). Èç ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò, ÷òî íàëè÷èå â ÑÎ èñòèííîãî èëè “èíåðöèîííîãî” ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ìàòåìàòè÷åñêè ïðîÿâëÿåòñÿ â ìåòðèêå ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè, â ñâîéñòâàõ ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà. Çíàíèå ôóíêöèé g αβ (x1, x2, x3, x4) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü âñå ïàðàìåòðû ïîëÿ, ðåøèòü âñå çàäà÷è î äâèæåíèè òåë â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå. Ïîýòîìó íàõîæäåíèå ôóíêöèé g αβ ÿâëÿåòñÿ âàæíîé çàäà÷åé òåîðèè.  íà÷àëå î÷åðêà ìû îáðàòèëè âíèìàíèå, ÷òî íàñ íå áóäóò èíòåðåñîâàòü ôóíêöèè (7.1), ÷òî ìû èçáåðåì äðóãîé ïóòü ðåøåíèÿ çàäà÷è î ñâÿçè ãðàâèòàöèè è ãåîìåòðèè. Âåëè÷èíû g αβ ñâÿçàíû ñ ðàñïðåäåëåíèåì è äâèæåíèåì ìàòåðèè â ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè, èõ ìû è áóäåì íàõîäèòü. Òàêèì îáðàçîì, ñ îäíîé ñòîðîíû, ãðàâèòàöèÿ ñâîäèòñÿ ê ãåîìåòðè÷åñêèì ñâîéñòâàì ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè, ñ äðóãîé ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè îïðåäåëÿþòñÿ ôèçè÷åñêèìè ÿâëåíèÿìè è ìàòåðèàëüíûìè îáúåêòàìè (êàê âåùåñòâåííûìè, òàê è ïîëåâûìè). §8. Äëèíà è äëèòåëüíîñòü â ÎÒÎ Ðàññìîòðèì ýòîò âîïðîñ ñíà÷àëà êà÷åñòâåííî. Ïóñòü èìååòñÿ ÍÑÎ “L’”, ðàâíîìåðíî âðàùàþùàÿñÿ îòíîñèòåëüíî ÈÑÎ âîêðóã îáùåé îñè 0z (Βz’). Ðàñïîëîæèì â ïëîñêîñòè õÎó îêðóæíîñòü ñ 206

)

1/ 2

ïðîòÿæåííîñòü â 1 − v 2 / c 2 ðàç ìåíüøå, ÷åì â ÈÑÎ “L” ( v - ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ òî÷åê îêðóæíîñòè â ÍÑÎ “L’”). Ñëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå äëèíû îêðóæíîñòè ê äèàìåòðó, êîòîðûé ðàñïîëîæåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè, è åãî ðàçìåðû, åñòåñòâåííî, íåèçìåííû äëÿ íàáëþäàòåëÿ â ÍÑÎ “L’ ”, áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò π . Ìû ñíîâà óáåæäàåìñÿ, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ â ÍÑÎ îêàçûâàþòñÿ íååâêëèäîâûìè. À òàê êàê ÍÑÎ ýêâèâàëåíòíà íåêîòîðîìó ãðàâèòàöèîííîìó ïîëþ, òî ìîæíî óòâåðæäàòü ÷òî ãåîìåòðèÿ (ìåòðèêà) â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå íåýâêëèäîâà. Òåïåðü óáåäèìñÿ, ÷òî è ðèòì ÷àñîâ â ÍÑÎ (è ñîîòâåòñòâåííî â ýêâèâàëåíòíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå) îòëè÷åí îò ðèòìà ÷àñîâ â ÈÑÎ â îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ). Ðàñïîëîæèì îäíè ÷àñû íåïîäâèæíî íà îñè 0’z’, à äðóãèå òîæäåñòâåííûå ÷àñû íà îêðóæíîñòè â ïëîñêîñòè õ0ó, âðàùàâøåéñÿ îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ â ÍÑÎ “L’ ”ñ ëèíåéíîé ñêîðîñòüþ v. Íî äâèæóùèåñÿ ÷àñû (ñ òî÷êè çðåíèÿ íåïîäâèæíîãî

(

)

1/ 2

ðàç. Ýòî íàáëþäàòåëÿ) èäóò ìåäëåííåå íåïîäâèæíûõ â 1 − v 2 / c 2 ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì âûâîäîì ÑÒÎ è èìååò ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå. Òàêèì îáðàçîì, è ñâîéñòâà âðåìåíè èçìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê ÍÑÎ. À òàê êàê ÍÑÎ ìîæåò áûòü çàìåíåíà ÈÑÎ â íåêîòîðîì ýêâèâàëåíòíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå õîä ÷àñîâ çàìåäëÿåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ õîäîì â îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ â íåêîòîðîé ÈÑÎ. Îòìåòèì ïðè ýòîì ïðèíöèïèàëüíîå ðàçëè÷èå îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ â ÑÒÎ è ÎÒÎ.  ÑÒÎ ýòà îòíîñèòåëüíîñòü íîñèëà êèíåìàòè÷åñêèé õàðàêòåð, â ÎÒÎ â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, èçìåíåíèÿ ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè, çàìåäëåíèå õîäà ÷àñî⠖ ðåàëüíûé 207

ïðîöåññ. ×àñû â ÈÑÎ è â ÍÑÎ íàõîäÿòñÿ â ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ óñëîâèÿõ: â ÑÒÎ íå ó÷èòûâàåòñÿ âëèÿíèå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ (èìåííî ïîýòîìó ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî è èçîòðîïíî, à âðåìÿ îäíîðîäíî), â ÎÒÎ èìåííî èç-çà ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ìåòðèêè ïðîñòðàíñòâà – âðåìåíè, îíî ñòàíîâèòñÿ íååâêëèäîâûì, õîä ÷àñîâ â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå çàìåäëÿåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ õîäîì â îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Òåïåðü ïðèäàäèì ïðåäûäóùèì ðàññóæäåíèÿì è âûâîäàì ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå. Êàê è â ÑÒÎ, â ÎÒÎ ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ñîáñòâåííîãî âðåìåíè â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Äëÿ åãî èçìåðåíèÿ â êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ïîìåùàþòñÿ ôèçè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå ÷àñû. Âðåìÿ, èçìåðåííîå ïî òàêèì ÷àñàì, è åñòü ñîáñòâåííîå âðåìÿ â äàííîé òî÷êå ÷åòûðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Îáîçíà÷èì áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê ñîáñòâåííîãî âðåìåíè ÷åðåç dt. Èñïîëüçóÿ îáùåå âûðàæåíèå äëÿ èíòåðâàëà (2.5): dS2 = dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2 è ó÷èòûâàÿ, ÷òî èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ â îäíîé òî÷êå, ò.å. dx=dy=dz=0, à â ýòîì ñëó÷àå dt=d τ , ïîëó÷àåì äëÿ èíòåðâàëà ñîáñòâåííîãî âðåìåíè ñîîòíîøåíèå dS2 = -c2d τ 2 . (8.1) Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñâÿçè ñîáñòâåííîãî âðåìåíè τ ñ ëàáîðàòîðíûì âðåìåíåì t âîñïîëüçóåìñÿ ïîëíûì âûðàæåíèåì äëÿ êâàäðàòà èíòåðâàëà äâóõ áåñêîíå÷íî áëèçêèõ ñîáûòèé (7.11): dS 2 = ∑ gα , β dxα dxβ . α ,β

(7.11)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî dx1=dx2=dx3=0, ïîëó÷àåì: dS 2 = g 44dx42 = − c 2 dτ 2 ,

îòêóäà

τ=

1 (− g44 )1 / 2 dx44 . c∫

g 44dx42 2 c

èëè dτ =

(− g44 )1 / 2 dx4 . c

(8.2)

(8.3)

Åñëè g 44 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò õ 1, x 2, x 3, òî ñîáñòâåííîå âðåìÿ τ â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà òå÷åò ïîðàçíîìó; åñëè æå g44 çàâèñèò è îò âðåìåíè õ4, òî èçìåíÿåòñÿ è òåìï ñîáñòâåííîãî âðåìåíè â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà.  ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå ïðè ïîñòîÿííîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ñèíõðîíèçàöèþ ÷àñîâ ìîæíî ïðîèçâîäèòü ëîêàöèîííûì ìåòîäîì, âðåìÿ õ4 îáû÷íî íàçûâàåòñÿ ìèðîâûì âðåìåíåì. Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê èçìåðåíèþ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ ìèðîâûìè òî÷êàìè. Ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ëîêàöèîííûì ìåòîäîì, â êîòîðîì ïðåäïîëàãàåòñÿ ïîñòîÿíñòâî ñêîðîñòè ñâåòà (ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí) â ëþáîì íàïðàâëåíèè. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò. Ïóñòü èç ìèðîâîé òî÷êè  â áåñêîíå÷íî áëèçêóþ òî÷êó À íàïðàâëÿåòñÿ ñâåò, èñïûòàâ îòðàæåíèå, îí âîçâðàùàåòñÿ â òî÷êó Â. Íà âåñü ïðîöåññ ïîòðåáîâàëîñü âðåìÿ (ïî ÷àñàì â òî÷êå Â) d τ . Òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè  è À ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå: dl = c

dτ . 2

(8.4)

Äëÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé âîññòàíîâèì ïîäîáíóþ îïåðàöèþ â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè .Ñâåòîïîäîáíûé èíòåðâàë ìåæäó ñîáûòèÿìè (îòïðàâêà ñâåòîâîãî ñèãíàëà â òî÷êó À èç òî÷êè  è âîçâðàùåíèå åãî â òî÷êó Â) ðàâåí íóëþ: ò.å. dS2=0, îòêóäà dx2 + dy2 + dz2 - dx42 = 0 èëè dx4 = ± dx 2 + dy 2 + dz 2

dτ 2 = −

208

Äëÿ êîíå÷íûõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè

(8.5)

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè d τ , ïðîøåäøåãî â òî÷êå  ìåæäó îòïðàâêîé è âîçâðàùåíèåì ñèãíàëà, çàïèøåì è ñðàâíèì ìåæäó ñîáîé âðåìåííûå êîîðäèíàòû îòïðàâêè è âîçâðàùåíèÿ ñâåòîâîãî ñèãíàëà. Îòïðàâêà ñèãíàëà ïðîèçîøëà â ìîìåíò âðåìåíè (x4-dx4), ñîîòâåòñòâåííî âîçâðàùåíèå ñèãíàëà ïðîèçîøëî â ìîìåíò âðåìåíè (x4+dx4), âðåìÿ äâèæåíèÿ ñèãíàëà 2dx4. 209

Îòñþäà, ñ ó÷åòîì çíà÷åíèÿ g44= -1 (ò.ê ìû ïðèíÿëè â äàííîé çàäà÷å, ÷òî õ4=ñt), ôîðìóëà (8.2) çàïèøåòñÿ òàê: dτ =

2 dx4 c

=

(

)

1/ 2 2 2 dx + dy 2 + dz 2 c

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ôîðìóëó (8.4), ïîëó÷àåì âûðàæåíèå, îïðåäåëÿþùåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè: dτ c 2 = ⋅ dx 2 + dy 2 + dz 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 , 2 2 c ÷òî è ñëåäîâàëî îæèäàòü äëÿ “ïëîñêèõ “ åâêëèäîâîé è ïñåâäîåâêëèäîâîé ãåîìåòðèé. Ïðîâåäåì àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ è äëÿ ñëó÷àÿ íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè, ãäå ìåòðèêà çàäàåòñÿ ôîðìóëîé (7.11): dl = c

dS = ∑ gα , β dxα ⋅ dxβ , ãäå α , β = 1,2,3,4. 2

[

]

1 − g 4i dxi + ((g 4i g 4 k − gik g 44 )dxi dxk )1 / 2 , g 44

ãäå èñïîëüçîâàíî ëåãêî ïðîâåðÿåìîå òîæäåñòâî 210

dx4′ =

(7.11)

Êàê è â çàäà÷å, ðàññìîòðåííîé âûøå, âîñïîëüçóåìñÿ ïðîöåññîì ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòîâîãî ñèãíàëà ìåæäó òî÷êàìè B è À.  ýòîì ñëó÷àå èíòåðâàë äëÿ ïðîöåññà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñâåòîïîäîáíûì, ò.å dS2=0. Çàïèøåì åãî ïîäðîáíî: dS2 = 0 = g11dx12 + g22dx22 + g33dx32 + g44dx42 + 2g12dx1.dx2 + 2g13dx1dx3 + 2g14dx1dx4 + 2g23dx2dx3 + +2g24dx2dx4 + 2g34dx3dx4. Áîëåå êîìïàêòíî ýòî âûðàæåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàê: g44dx42 + 2gi4dxidx4 + gikdxi.dxk = 0, (8.6) ãäå i,k = 1,2,3. Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû îïóñòèëè çíàê ñóììèðîâàíèÿ , ÷òî ÷àñòî ïðàêòèêóåòñÿ â ôèçè÷åñêîé íàó÷íîé ëèòåðàòóðå, ïðè ýòîì ðóêîâîäñòâóþòñÿ ñëåäóþùèì ïðàâèëîì: åñëè ñîìíîæèòåëè èìåþò ïîâòîðÿþùèåñÿ èíäåêñû, òî ïî íèì âåäåòñÿ ñóììèðîâàíèå. Âûðàæåíèå (8.6) çàïèñàíî ñîãëàñíî ýòîìó ïðàâèëó. Âûðàæåíèå (8.6) ïî ôîðìå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì îòíîñèòåëüíî âåëè÷èíû dx4. Åãî ðåøåíèå çàïèøåòñÿ òàê: dx4 =

(-gi4dxi)2 = (-gi4dxi)(-gk4dxk) = gi4gk4dxidxk. Êðîìå òîãî, ïåðåä êâàäðàòíûì êîðíåì âçÿò òîëüêî çíàê (+), ò.ê. dx4>0. Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ñîáñòâåííîìó âðåìåíè ïî ôîðìóëå (8.2), ó÷òåì, ÷òî â ýòîì âûðàæåíèè ñòîèò ñóììàðíàÿ âåëè÷èíà , ó÷èòûâàþùàÿ äâèæåíèå ñâåòîâîãî ëó÷à îò  ê À è åãî âîçâðàùåíèå ñíîâà ê Â. Ïîýòîìó ó dx’4 ïîñòàâèì çíàê øòðèõà. Íî ïðè óäâîåíèè âåëè÷èíû dx’4 (âðåìÿ äâèæåíèÿ “òóäà” è “îáðàòíî”) íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî â ïåðâîé ÷àñòè ïóòè ñâåòîâîãî ëó÷à dõi>0 (íàïðàâëåíèå îò òî÷êè  ê òî÷êå À ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì íà îñè 0õ), âî âòîðîé ÷àñòè ïóòè (âîçâðàùåíèå ê òî÷êå À) - dxi<0. Ïîýòîìó ñêëàäûâàÿ âûðàæåíèå (8.7) äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëíîãî âðåìåíè äâèæåíèÿ ëó÷à, ïîëó÷àåì:

(8.7)

2 (g4i g4k − gik g44 )dxi dxk 1/ 2 . g 44

(8.8)

Èòàê, dτ =

2

c (− g 44 )1 / 2

[(g4i g4 k − gik g 44 )dxi dxk ]1 / 2

(8.9)

Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíò äëèíû ìîæíî ðàññ÷èòàòü ïî ôîðìóëå: dl =

1

(− g 44 )1 / 2

[(g4i g4k − gik g44 )dxi dxk ]1/ 2

(8.10)

Îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ íå âåëè÷èíà dl, à dl2, ïîýòîìó âîçâåäåì âî âòîðóþ ñòåïåíü âûðàæåíèå (8.10):  g g  dl 2 =  gik − i 4 k 4 dxi dxk . g 44  

(8.11)

Ìû ïîëó÷èëè ïðîñòðàíñòâåííóþ ÷àñòü êâàäðàòà èíòåðâàëà dS2, åå òàê è íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâåííûì èíòåðâàëîì. Ðîëü ïðîñòðàíñòâåííîãî ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà èãðàåò âåëè÷èíà γ ik = gik −

gi 4 g k 4 . g 44

(8.12)

Ïîýòîìó ôîðìóëå (8.11) ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä, 211

èñïîëüçóÿ (8.12):

íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè òîæäåñòâà: dl = (γ ik dxi dxk )1 / 2

(8.13) Åñëè ìîæíî ââåñòè åäèíîå âðåìÿ, ò.å. âåëè÷èíà γ ik íå áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåíè, òî ôîðìóëà (8.13) ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ áåñêîíå÷íî áëèçêèìè òî÷êàìè. §9. Íàõîæäåíèå êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà  §7 ìû óñòàíîâèëè, ÷òî îòëè÷èå ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñò⠖ âðåìåíè îò Åâêëèäîâîé ìîæíî îïðåäåëèòü íå òîëüêî ïóòåì íàõîæäåíèÿ ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ïåðåõîäà îò îäíîé ÑÎ ê äðóãîé, íî è ïóòåì íàõîæäåíèÿ êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà. Îòëè÷èå èõ îò ãàëèëååâûõ çíà÷åíèé ( 1, 1, 1, -1) ïîêàæåò íå åâêëèäîâîñòü ãåîìåòðèè â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å.  äàííîì ïàðàãðàôå ìû ïîêàæåì, êàê ìîæíî îïðåäåëèòü êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà. Âûðàçèì ýíåðãèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷åðåç ýëåìåíò èíòåðâàëà. Ñíà÷àëà ñäåëàåì ýòî â ðàìêàõ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, ò.å. â îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Îãðàíè÷èìñÿ ìàëûìè ñêîðîñòÿìè, ÷òî ñóùåñòâåííî óïðîñòèò ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ýíåðãèè ñâîáîäíî äâèæóùåéñÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè: E=

mc 2 1/ 2

 u2  1 − 2   c  

=

1/ 2

 dx 2 + dy 2 + dz 2   1 −   c 2 dt 2  

(

dt

i dx 2 + dy 2 + dz 2 − c 2 dt

.

(9.1)

)

2 1/ 2

.

(9.2)

Ðàññìàòðèâàÿ dx ,dy, dz, dt êaê íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå, 212

2

+ dy + dz − c dt ∂ (dS ) = , ∂ (dt ) 2

2

2

)

2 1/ 2

=

(

)

1/ 2 ∂ = dx 2 + dy 2 + dz 2 − c 2 dt 2 ∂ (dt )

(9.3)

ãäå ó÷òåíî, ÷òî dS2=dx2 + dy2 + dz2 - c2dt2. Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî (9.3), ôîðìóëó (9.2) ìîæíî çàïèñàòü òàê: E=−

mc ∂ (dS ) i ∂ (dt )

(9.4)

 ãðàâèòàöèîííîì ïîëå âûðàæåíèå äëÿ ýëåìåíòà èíòåðâàëà îáîáùåíî ôîðìóëîé (7.11): 1/ 2

  4 dS =  ∑ gα , β dxα dxβ    α , β =1  

(9.5)

Äàëåå äëÿ óäîáñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç x1=x, x2=y, õ3=z, x4=t. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ôîðìóëà (9.4) ñ ó÷åòîì (9.5) ñïðàâåäëèâà è ïðè íàëè÷èè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ (÷òî âïîñëåäñòâèè îïðàâäûâàåòñÿ ïîëó÷àþùèìèñÿ ñëåäñòâèÿìè), ïîëó÷èì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: 1/ 2

mc 2

Ïðîâåäÿ ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ïîä çíàêîì êîðíÿ, âûíåñòè èç-ïîä êîðíÿ ñdt, ïîìåíÿòü ÷ëåíû ìåñòàìè, ââåñòè îáîçíà÷åíèå äëÿ ìíèìîé åäèíèöû), ôîðìóëå (9.1) ìîæíî ïðèäàòü èíîé âèä: E = mc 3

(dx

− c 2 dt

E=−

 ∂  4 mc ⋅ gα , β dxα dxβ  ∑  i ∂ (dx4 )  α , β =1 

=−

mc ∂ (g dx 2+ i ∂ (dx4 ) 11 1

+ g22dx22 + g33dx32 + g44dx42 + 2g12dx1dx2 + 2g13dx1dx3 + +2g14dx1dx4 ++ 2g23dx2dx3 + + 2g24dx2dx4 + 2 g34dx3dx4 )1 / 2 . Âûïîëíÿÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå, ïîëó÷èì: E=−

mc g 44dx4 + g34dx3 + g 24dx2 + g14dx1 1/ 2 i  4   . g dx dx   α , β =1 α , β α β   

∑

(9.6)

(9.7)

213

 òîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàâèòàöèîííîå ïîëå äîñòàòî÷íî ñëàáîå, êîìïîíåíòû ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà äîëæíû ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò ñâîèõ “ãàëèëååâûõ” çíà÷åíèé ( 1,1,1,-ñ2) è ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî g11=g22=g33=1+ p; g44=-c2(1+q); gα , β = rα , β , ïðè÷åì α ≠ β , à ð, q, rαβ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé. Òîãäà âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðèìåò âèä (äåòàëüíûé âûâîä ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ äàí â Ïðèëîæåíèè 1.): uy  u u  E = mc 2 1 + q − r34 2z − r24 2 − r14 2x  c c c  

 uu u u u2 uu u  1 + q − (1 + p ) − 2r12 x y − 2 r13 x z − 2r23 y z − 2 r14 x −   c2 c2 c2 c2 c2    u   − 2 r24 y − 2 r34 uz 2 2 c c  

−1 / 2

,

(9.8)

çàïèñûâàåòñÿ òàê:  q 1 u2  ≈ mc 2 (1 + q )1 − + ⋅ 2  =  2 2 c 

mu 2 1 = mc + + ⋅ qmc2 . 2 2

(9.9)

2

Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëó (9.9) ñ âûðàæåíèåì äëÿ ýíåðãèè 214

mu 2 qmc2 mu 2 + = mc 2 + + mϕ . 2 2 2

q=

2ϕ . c2

Ýòî ïîçâîëÿåò òîò÷àñ æå ïîëó÷èòü çíà÷åíèå äëÿ g44:

ð è rαβ ). Òîãäà ôîðìóëà (9.8) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è

1/ 2

GM , r

Èç ñðàâíåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ñëåâà è ñïðàâà â ýòîì ðàâåíñòâå ïîëó÷àåì:

u2 (ò.å. îòáðîñèì ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå c2

 u2  1 + q −   c 2  

(9.10)

ãäå ϕ - òàê íàçûâàåìûé ãðàâèòàöèîííûé ïîòåíöèàë ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ òåëà åäèíè÷íîé ìàññû â ïîëå òÿãîòåíèÿ òåëà ìàññû Ì:

mc 2 +

Ó÷èòûâàÿ óñëîâèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è (ñëàáîñòü ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ), ïðåíåáðåæåì ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà

(1 + q )

mu 2 + mϕ , 2

ïîëó÷èì ðàâåícòâî:

dx dx dx1 = ux , 2 = u y , 3 = uz . dt dt dt

E = mc 2

E = mc 2 +

ϕ =−

ãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ

ìàëîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ q è

íåðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû â íüþòîíîâîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå (ñ äîáàâëåíèåì ýíåðãèè ïîêîÿ):

 2ϕ  g44 = −c 2 1 + 2  = −c 2 − 2ϕ . c  

(9.11)

Òàêèì îáðàçîì, îêàçàëîñü, ÷òî g44 îòëè÷íî îò ãàëèëååâñêîãî çíà÷åíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî äàåò íàì ïðàâî óòâåðæäàòü, ÷òî ÷åòûðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ â íàøåé çàäà÷å îêàçàëîñü íååâêëèäîâûì.  ðàññìàòðèâàåìîì ïðèáëèæåíèè, åñëè ñîáûòèÿ, ñâÿçàííûå èíòåðâàëîì dS, ïðîèñõîäÿò â îäíîé òî÷êå (dõ=dy=dz=0), òo êâàäðàò èíòåðâàëà dS çàïèøåòñÿ òàê: dS2= -(c2+ 2 ϕ )dt2 . (9.12) Ñ äðóãîé ñòîðîíû, dS2 ñâÿçàíî ñ ñîáñòâåííûì âðåìåíåì dτ ñîîòíîøåíèåì: (9.13) dS2= - c2d τ 2. Ñðàâíèâàÿ ïðàâûå ñòîðîíû âûðàæåíèé (9.12) è (9.13), ïîëó÷àåì ÷ðåçâû÷àéíî âàæíûé âûâîä î òåìïå ñîáñòâåííîãî âðåìåíè â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå: 215

1 2ϕ  2

 (9.14) dτ = dt 1 + 2  .  c  Èç ôîðìóëû (9.14) ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííîå âðåìÿ òå÷åò òåì ìåäëåííåå, ÷åì áîëüøå àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ãðàâèòàöèîííîãî ïîòåíöèàëà ( ϕ <0!), ò.å. ÷åì ñèëüíåå â äàííîé òî÷êå ãðàâèòàöèîííîå ïîëå. Çàìåäëåíèå òåìïà õîäà âðåìåíè â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå îáíàðóæåíî ýêñïåðèìåíòàëüíî: â ñïåêòðàõ Ñîëíöà è çâåçä îáíàðóæåíî ñìåùåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé â ñòîðîíó íèçêèõ ÷àñòîò îòíîñèòåëüíî òåõ æå ëèíèé, ïîëó÷åííûõ â çåìíûõ óñëîâèÿõ, ãäå ìîäóëü ãðàâèòàöèîííîãî ïîòåíöèàëà ìåíüøå, ÷åì íà Ñîëíöå èëè çâåçäàõ. Ýòî ÿâëåíèå ïîëó÷èëî íàçâàíèå êðàñíîãî ñìåùåíèÿ ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé (÷èòàòåëü íå äîëæåí ïóòàòü ýòî ñìåùåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé ñ òåì, êîòîðîå îáóñëîâëåíî äâèæåíèåì èñòî÷íèêà èçëó÷åíèÿ; ïîñëåäíåå ÿâëåíèå íàçûâàåòñÿ äîïëåðîâñêèì ñìåùåíèåì, â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè òàê íàçûâàåìûé ïîïåðå÷íûé ýôôåêò Äîïëåðà ÿâèëñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîäòâåðæäåíèåì îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ).  îòëè÷èå îò îòíîñèòåëüíîñòè âðåìåííûõ ïðîìåæóòêîâ, êîòîðîå óñòàíàâëèâàåò CÒÎ, èçìåíåíèå õîäà âðåìåíè â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå íîñèò àáñîëþòíûé õàðàêòåð, ò.å. íå çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷åòà (êàê â ÑÒÎ). Ìû âåðíåìñÿ ê ýòîìó ýôôåêòó ÎÒÎ, îáúÿñíÿÿ òàê íàçûâàåìûé “ïàðàäîêñ áëèçíåöîâ”. Òàê êàê ïðè ðàññìîòðåíèè ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé çà îñíîâíóþ õàðàêòåðèñòèêó ïðèíèìàþò ÷àñòîòó êîëåáàíèé, îïðåäåëÿþùèõ äàííóþ ëèíèþ â ñïåêòðå, òî ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó (9.14), ïåðåéäÿ ê ÷àñòîòå.  èíòåãðàëüíîì âèäå ôîðìóëà çàïèøåòñÿ òàê: 1/ 2

 2ϕ  τ = t 1 + 2  c  

ϕ   ≈ t 1 + 2  .  c 

(9.15)

Òàê êàê ÷àñòîòà êîëåáàíèé îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðèîäó êîëåáàíèé, òî äëÿ ñîîòíîøåíèÿ ÷àñòîò ïîëó÷àåì: ω=

216

ω0 ϕ   ≈ ω 0 1 − 2  ϕ  ñ , 1+ 2 ñ

ϕ< 0 ,

(9.16)

ãäå ω 0 - ÷àñòîòà ñâåòîâûõ êîëåáàíèé â îòñóòñòâèè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Èç ôîðìóëû (9.16) ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòîòà êîëåáàíèé ñâåòîâûõ âîëí óâåëè÷èâàåòñÿ ïðè âîçðàñòàíèè àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì èçìåíåíèå ÷àñòîòû ñâåòîâûõ âîëí, èñïóùåííûõ çâåçäîé, ïðè èçìåðåíèè çåìíûì íàáëþäàòåëåì (ïðèáîðàìè, íàõîäÿùèìèñÿ íà Çåìëå).  íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè ãðàâèòàöèîííûé ïîòåíöèàë çâåçäû íà ðàññòîÿíèè äî Çåìëè ðàâåí: Ï ϕ = =− m

GmM R = − GM . m R

Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå ϕ â ôîðìóëó (9.16), ïîëó÷àåì:  GM  ω = ω 0 1 + 2  , Rc  

(9.17)

ò.å. ÷àñòîòà ñâåòà, èñïóùåííîãî çâåçäîé, áîëüøå ω 0 - ÷àñòîòû, âîñïðèíèìàåìîé íà Çåìëå. Ñìåùåíèå ñïåêòðàëüíîé ëèíèè íà çåìíîé ñïåêòðîãðàììå ïðîèçîéäåò íà âåëè÷èíó ∆ω = ω0

GM . Rc 2

(9.18)

Ýòî ãðàâèòàöèîííîå ñìåùåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé â êðàñíîé ÷àñòè ñïåêòðà Ñîëíöà îêàçûâàåòñÿ íà ïðåäåëå òî÷íîñòè èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ. Îäíàêî äëÿ î÷åíü ïëîòíûõ çâåçä, íàïðèìåð, áåëûõ êàðëèêîâ, ýòî èçìåíåíèå ÷àñòîòû èçìåðÿåìî è ñëóæèò ïîäòâåðæäåíèåì âûâîäîâ ÎÒO. Çàïóñê èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ Çåìëè ïðåäîñòàâèë åùå îäíó âîçìîæíîñòü ïðîâåðêè ïðåäñêàçàíèé ÎÒÎ.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ðàññìîòðåííîìó âûøå ýôôåêòó, ñìåùåíèå ÷àñòîòû ðàäèîâîëíû, èñïóùåííîé ñ èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà, ïðîèçîéäåò íå â êðàñíóþ, à â ôèîëåòîâóþ ÷àñòü ñïåêòðà, òàê êàê ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ ïåðåõîäÿò èç îáëàñòè, ãäå ïîòåíöèàë çåìíîãî ïîëÿ ìåíüøå, â îáëàñòü ñ áîëüøèì ãðàâèòàöèîííûì ïîòåíöèàëîì. Ïîäòâåðäèì ýòè ðàññóæäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêè. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ( 9.17), ñîñòàâèì åå äëÿ 217

äâóõ ïîëîæåíèé èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà, íà íåêîòîðîé âûñîòå Í è íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè (R - ðàäèóñ Çåìëè):   GM  ϕ   ω1 = ω 0 1 − R +2 H  = ω 0 1 + 2 ñ  ñ (R + H )   

(9.19)

è  ϕ   GM  ω 2 = ω0 1 − 2R  = ω0 1 + 2  . c  c R  

Ñîcòàâëÿÿ ðàçíîñòü ïîñëåäíèõ âûðàæåíèé , ïîëó÷àåì: ∆ω = ω2 − ω1 ≈ ω0

À òàê êàê

GMH  H  1 − . R c2R 2 

GM = g - óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà Çåìëå, òî R2 ∆ω gH  H ≈ 2 1 − . R ω c 

Òàê, äëÿ âûñîòû H=1500 êì

(9.20) ∆ω = 10−10 , òî ñ ïîìîùüþ òàê ω

íàçûâàåìûõ ìîëåêóëÿðíûõ ãåíåðàòîðîâ èëè àòîìíûõ ÷àñîâ, èìåþùèõ ïðåäåë ñòàáèëüíîñòè ÷àñòîòû ïîðÿäêà 10-10, óäàåòñÿ îáíàðóæèòü èçìåíåíèå ÷àñòîòû ðàäèîâîëí, èñïóùåííûõ ñ èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ è ïðèíÿòûõ íà Çåìëå. Çàäà÷à óñëîæíÿåòñÿ èç-çà íàëîæåíèÿ ýôôåêòà Äîïëåðà, óïîìÿíóòîãî âûøå. Ïîýòîìó íàáëþäàþò èçëó÷åíèå ïåðåäàò÷èêîâ ñïóòíèêà òîãäà, êîãäà îí äâèãàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ìåäëåííî, ò.å. íàõîäèòñÿ âáëèçè ñâîåãî ïåðèãåëèÿ.  60-õ ãîäàõ íà “âîîðóæåíèå” èññëåäîâàòåëåé ïîñòóïèë òîëüêî ÷òî îáíàðóæåííûé ýôôåêò ̸ññáàóýðà, ñóòü êîòîðîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî èñïóñêàíèå èëè ïîãëîùåíèå ãàììà -êâàíòîâ àòîìíûìè ÿäðàìè ñèëüíî âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö êðèñòàëëè÷åñêîãî òâåðäîãî òåëà ïðàêòè÷åñêè íå ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîòåðåé ýíåðãèè è êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ íà îòäà÷ó, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñïåêòðàëüíûå ëèíèè èìåþò ÷ðåçâû÷àéíî ìàëóþ 218

åñòåñòâåííóþ øèðèíó. Ïîýòîìó ÿäðà êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè ìîãóò ïîãëîòèòü ëèøü ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ (ãàììà êâàíòû) îïðåäåëåííîé ÷àñòîòû - ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòû. Íà ýòîì ñâîéñòâå ýôôåêòà ̸ññáàóýðà îñíîâàí ìåòîä ïðîâåðêè ðàññìàòðèâàåìîãî ïðåäñêàçàíèÿ ÎÒÎ. Äâà àìåðèêàíñêèõ ôèçèêà Ïàóíä è Ðåáåêêà ïîñòàâèëè ñëåäóþùèé îïûò. Íà âûñîòå îêîëî 20 ì ïîìåùàëñÿ èñòî÷íèê êâàíòîâ - âîçáóæäåííûå ÿäðà àòîìîâ æåëåçà, ðàñïîëîæåííûõ â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. Êâàíòû ðåãèñòðèðîâàëèñü íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè ïîãëîùåíèåì îáû÷íûìè àòîìàìè æåëåçà. Íî ÎÒÎ ïðåäñêàçûâàëà, ÷òî “ïàäàþùèå” íà Çåìëþ ãàììà -êâàíòû äîëæíû èçìåíÿòü ñâîþ ÷àñòîòó (â äàííîì îïûòå ÷àñòîòà äîëæíà óâåëè÷èâàòüñÿ) è îíè íå äîëæíû âîñïðèíèìàòüñÿ íîðìàëüíûìè àòîìàìè. Íåñìîòðÿ íà íè÷òîæíî ìàëóþ âåëè÷èíó îòíîñèòåëüíîãî èçìåíåíèÿ ÷àñòîòû (âñåãî íà 2,5.10-15),îïûò ïîäòâåðäèë ïðåäñêàçàíèå ÎÒÎ, ÿäðà äåòåêòîðà íà Çåìëå íå âîñïðèíèìàëè ãàììà -êâàíòû. §10. “Ïàðàäîêñû” ÎÒÎ Êàê è â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, â OTÎ “ïàðàäîêñû” ïîçâîëÿþò íå òîëüêî îïðîâåðãíóòü ðàññóæäåíèÿ, îñíîâàííûå íà òàê íàçûâàåìîì “çäðàâîì ñìûñëå”(îáûäåííîì, æèòåéñêîì îïûòå), íî è äàòü ïðàâèëüíîå, íàó÷íîå îáúÿñíåíèå “ïàðàäîêñó”, êîòîðûé, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿåòñÿ ïðîÿâëåíèåì áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ ïðèðîäû. È ýòî íîâîå ïîíèìàíèå äàåòñÿ íîâîé òåîðèåé - ÎÒÎ. “Ïàðàäîêñ áëèçíåöî┠Ïðè èçó÷åíèè ÑÒÎ óêàçûâàåòñÿ, ÷òî “ïàðàäîêñ áëèçíåöî┠íå ìîæåò áûòü îáúÿñíåí â ðàìêàõ ýòîé òåîðèè. Íàïîìíèì ñóòü ýòîãî “ïàðàäîêñà”. Îäèí èç áðàòüåâ - áëèçíåöîâ óëåòàåò íà êîñìè÷åñêîì êîðàáëå è, ñîâåðøèâ ïóòåøåñòâèå, âîçâðàùàåòñÿ íà Çåìëþ.  çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èí óñêîðåíèé, êîòîðûå êîñìîíàâò áóäåò èñïûòûâàòü ïðè ñòàðòå, ðàçâîðîòå è ïîñàäêå, åãî ÷àñû ìîãóò ñóùåñòâåííî îòñòàòü îò çåìíûõ ÷àñîâ. Âîçìîæåí è òàêîé âàðèàíò, ÷òî îí íå íàéäåò íà Çåìëå íè ñâîåãî áðàòà, íè 219

òî ïîêîëåíèå, êîòîðîå îñòàâèë íà Çåìëå ïðè íà÷àëå ïîëåòà, òàê êàê íà Çåìëå ïðîéäåò íå îäèí äåñÿòîê (ñîòåí) ëåò. Ýòîò ïàðàäîêñ íå ìîæåò áûòü ðàçðåøåí â ðàìêàõ ÑÒÎ, òàê êàê ðàññìàòðèâàåìûå ÑÎ íå ðàâíîïðàâíû (êàê ýòî òðåáóåòñÿ â ÑÒÎ): êîñìè÷åñêèé êîðàáëü íå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ÈÑÎ, òàê êàê äâèæåòñÿ íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ òðàåêòîðèè íåðàâíîìåðíî. Òîëüêî â ðàìêàõ ÎÒÎ ìû ìîæåì ïîíÿòü è îáúÿñíèòü “ïàðàäîêñ áëèçíåöî┠åñòåñòâåííûì îáðàçîì, îïèðàÿñü íà ïîëîæåíèÿ OÒÎ. Âûøå ìû óæå êàñàëèñü ýòîé ïðîáëåìû, óñòàíîâèâ óìåíüøåíèå òåìïà õîäà ÷àñîâ â äâèæóùåéñÿ ÍÑÎ (èëè â ýêâèâàëåíòíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå) (ñì. §8). Ïóñòü äâà íàáëþäàòåëÿ - “áëèçíåöà” íàõîäÿòñÿ ïåðâîíà÷àëüíî íà Çåìëå, êîòîðóþ ìû áóäåì ñ÷èòàòü èíåðöèàëüíîé ÑÎ. Ïóñòü íàáëþäàòåëü “À” îñòàåòñÿ íà Çåìëå, à âòîðîé íàáëþäàòåëü- “áëèçíåö” “” ñòàðòóåò íà êîñìè÷åñêîì êîðàáëå, óëåòàåò â íåâåäîìûå ïðîñòîðû Êîñìîñà, ðàçâîðà÷èâàåò ñâîé êîðàáëü è âîçâðàùàåòñÿ íà Çåìëþ. Åñëè äâèæåíèå â Êîñìîñå è ìîæåò áûòü ðàâíîìåðíûì (ïðè âûêëþ÷åííûõ äâèãàòåëÿõ), òî ïðè âçëåòå, ðàçâîðîòå è ïîñàäêå áëèçíåö “” èñïûòûâàåò ïåðåãðóçêè, òàê êàê äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì. Ýòè íåðàâíîìåðíûå äâèæåíèÿ êîñìîíàâòà “Â” ìîæíî óïîäîáèòü åãî ñîñòîÿíèþ â íåêîòîðûõ ýêâèâàëåíòíûõ ãðàâèòàöèîííûõ ïîëÿõ. Íî â §8 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî â ýòèõ óñëîâèÿõ (â ÍÑÎ áåç ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ èëè â ýêâèâàëåíòíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå) ïðîèñõîäèò äèíàìè÷åñêîå (à íå êèíåìàòè÷åñêîå, êàê â ÑÒO) çàìåäëåíèå òåìïà õîäà ÷àñîâ.  óêàçàííîì ïàðàãðàôå áûëà ïîëó÷åíà ôîðìóëà (8.3), êîòîðàÿ â §9 ïîëó÷èëà êîíêðåòíîå âûðàæåíèå ÷åðåç ãðàâèòàöèîííûé ïîòåíöèàë ϕ   τ = t 1 + 2  ïðè ϕ <0,  c 

(9.15)

èç êîòîðîé ÿñíî âèäíî, ÷òî òåìï õîäà ÷àñîâ çàìåäëÿåòñÿ â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ñ ïîòåíöèàëîì ϕ (òî æå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ýêâèâàëåíòíîé óñêîðåííî äâèæóùåéñÿ ÑO, êàêîâîé â íàøåé çàäà÷å ÿâëÿåòñÿ êîñìè÷åñêèé êîðàáëü ñ “áëèçíåöîì” “”). 220

Òàêèì îáðàçîì, ÷àñû íà Çåìëå ïîêàæóò áîëüøèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ÷åì ÷àñû íà êîñìè÷åñêîì êîðàáëå ïðè åãî âîçâðàùåíèè íà Çåìëþ. Ïîâòîðèì åùå ðàç, ÷òî “ïàðàäîêñ áëèçíåöî┠íå èìååò íèêàêîãî îáúÿñíåíèÿ â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, â êîòîðîé èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî ðàâíîïðàâíûå èíåðöèàëüíûå CO. Ïo ÑÒÎ “áëèçíåö” “” äîëæåí âå÷íî ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî óäàëÿòüñÿ îò íàáëþäàòåëÿ “À” (ïî ñóòè äåëà, îí íå äîëæåí âçëåòàòü ñ Çåìëè, èìåííî ïîýòîìó ìû áåðåì ñëîâî “áëèçíåö” â êàâû÷êè).  ïîïóëÿðíîé ëèòåðàòóðå ÷àñòî îáõîäÿò “îñòðûé” ìîìåíò â îáúÿñíåíèè ýòîãî ïàðàäîêñà, çàìåíÿÿ ôèçè÷åñêè äëÿùèéñÿ ðàçâîðîò êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ “íàçàä ê Çåìëå” åãî ìãíîâåííûì ðàçâîðîòîì, ÷òî íåâîçìîæíî. Ýòèì “îáìàííûì ìàíåâðîì” â ðàññóæäåíèÿõ óñòðàíÿþò óñêîðåííîå äâèæåíèå êîðàáëÿ íà ðàçâîðîòå è òîãäà îáå ÑÎ (“Çåìëÿ” è “Êîðàáëü”) îêàçûâàþòñÿ ðàâíîïðàâíûìè è èíåðöèàëüíûìè, â êîòîðûõ ìîæíî ïðèìåíÿòü ïîëîæåíèÿ CTO. Ío òàêîé ïðèåì íåëüçÿ ñ÷èòàòü íàó÷íûì.  çàêëþ÷åíèå ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî “ïàðàäîêñ áëèçíåöî┠ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóòè äåëà, ðàçíîâèäíîñòüþ òîãî ýôôåêòà, êîòîðûé áûë ðàçîáðàí â §9 è íàçûâàëñÿ èçìåíåíèåì ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå. Îòêëîíåíèå ñâåòîâûõ ëó÷åé, ïðîõîäÿùèõ âáëèçè Ñîëíöà Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàòû íàøåé ýêñïåäèöèè îñòàâëÿþò ìàëî ñîìíåíèé â òîì, ÷òî ëó÷è ñâåòà îòêëîíÿþòñÿ âáëèçè Ñîëíöà è ÷òî îòêëîíåíèå, åñëè ïðèïèñàòü åãî äåéñòâèþ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ Ñîëíöà, ïî âåëè÷èíå ñîîòâåòñòâóþò òðåáîâàíèÿì îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà. Ô. Äàéñîí, À. Ýääèíãòîí, Ê. Äåâèäñîí1920 ã. Âûøå ïðèâåäåíà öèòàòà èç îò÷åòà ó÷åíûõ, íàáëþäàâøèõ 9 ìàÿ 1919 ã. ïîëíîå ñîëíå÷íîå çàòìåíèå ñ öåëüþ îáíàðóæèòü ïðåäñêàçàííûé ÎÒÎ ýôôåêò îòêëîíåíèÿ ñâåòîâûõ ëó÷åé ïðè 221

ïðîõîæäåíèè èõ âáëèçè òÿãîòåþùèõ òåë. Íî êîñíåìñÿ íåìíîãî èñòîðèè ýòîãî âîïðîñà. Êàê èçâåñòíî, áëàãîäàðÿ Ñ Ë íåïðåðåêàåìîìó àâòîðèòåòó âåëèêîãî Ç Ðèñ. 14. Íüþòîíà, â XVIII â. âîñòîðæåñòâîâàëî åãî ó÷åíèå î ïðèðîäå ñâåòà: â îòëè÷èå îò ñâîåãî ñîâðåìåííèêà è íå ìåíåå èçâåñòíîãî ãîëëàíäñêîãî ôèçèêà Ãþéãåíñà, ðàññìàòðèâàâøåãî ñâåò êàê âîëíîâîé ïðîöåññ, Íüþòîí èñõîäèë èç êîðïóñêóëÿðíîé ìîäåëè, ñîãëàñíî êîòîðîé ÷àñòèöû ñâåòà, ïîäîáíî ìàòåðèàëüíûì (âåùåñòâåííûì) ÷àñòèöàì, âçàèìîäåéñòâóþò ñî ñðåäîé, â êîòîðîé äâèæóòñÿ è ïðèòÿãèâàþòñÿ òåëàìè ïî çàêîíàì ãðàâèòàöèè, ïîñòðîåííîé ñàìèì Íüþòîíîì. Ïîýòîìó ñâåòîâûå êîðïóñêóëû äîëæíû âáëèçè òÿãîòåþùèõ òåë îòêëîíÿòüñÿ îò ñâîåãî ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ. Çàäà÷à Íüþòîíà áûëà òåîðåòè÷åñêè ðåøåíà â 1801 ã. íåìåöêèì ó÷åíûì Çåëüäíåðîì. Êîëè÷åñòâåííûé ðàñ÷åò ïðåäñêàçûâàë óãîë îòêëîíåíèÿ ëó÷åé ñâåòà ïðè ïðîõîæäåíèè âáëèçè Ñîëíöà íà âåëè÷èíó 0,87'’.  ÎÒÎ òàêæå ïðåäñêàçûâàåòñÿ ïîäîáíûé ýôôåêò, îäíàêî ïðèðîäà åãî ïðåäïîëàãàåòñÿ èíîé. Óæå ñ ÑÒÎ ÷àñòèöû ñâåòà ôîòîíû -ñ÷èòàþòñÿ áåç ìàññîâûìè, ïîýòîìó íüþòîíîâñêîå îáúÿñíåíèå ñîâåðøåííî íåïðèãîäíî. Ýéíøòåéí ïîäîøåë ê ýòîé çàäà÷å ñ îáùèõ ïðåäñòàâëåíèé î òîì, ÷òî ãðàâèòèðóþùåå òåëî èçìåíÿåò ãåîìåòðèþ îêðóæàþùåãî ïðîñòðàíñòâà, äåëàÿ åãî íåýâêëèäîâûì.  èñêðèâëåííîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè ñâîáîäíîå äâèæåíèå (êàêîâûì áóäåò äâèæåíèå ñâåòà) ïðîèñõîäèò ïî ãåîäåçè÷åñêèì ëèíèÿì, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ íå ïðÿìûìè â åâêëèäîâîì ñìûñëå, à áóäóò êðàò÷àéøèìè ëèíèÿìè â èñêðèâëåííîì ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè. Òåîðåòè÷åñêèå ðàñ÷åòû äàâàëè ðåçóëüòàò â äâà ðàçà áîëüøèé, ÷åì ïîëó÷àëîñü ïî ãèïîòåçå Íüþòîíà. Òàê ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíîå íàáëþäåíèå îòêëîíåíèÿ ñâåòîâûõ ëó÷åé âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà ìîãëî ðåøèòü âîïðîñ è î ôèçè÷åñêîé äîñòîâåðíîñòè âñåé ÎÒÎ. Ïðîâåðèòü ýôôåêò ÎÒÎ ïî îòêëîíåíèþ ñâåòîâûõ ëó÷åé ïîëåì òÿãîòåíèÿ ìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñâåò îò çâåçäû ïðîõîäèò âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà, ãäå ýòî ïîëå äîñòàòî÷íî âåëèêî, ÷òîáû ñóùåñòâåííî ïîâëèÿòü íà ãåîìåòðèþ ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè. Íî â îáû÷íûõ óñëîâèÿõ íàáëþäàòü çâåçäó âáëèçè äèñêà ϕ

222

Ñîëíöà íåâîçìîæíî èç-çà áîëåå ÿðêîãî ñâåòà îò Ñîëíöà. Âîò ïî÷åìó ó÷åíûå èñïîëüçîâàëè ÿâëåíèå ïîëíîãî ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ, êîãäà äèñê Ñîëíöà çàêðûâàåòñÿ äèñêîì Ëóíû. Ýéíøòåéí ïðåäëàãàë â ìèíóòû ïîëíîãî ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ ñôîòîãðàôèðîâàòü îêîëîñîëíå÷íîå ïðîñòðàíñòâî. Çàòåì ýòîò æå ó÷àñòîê íåáîñêëîíà ñôîòîãðàôèðîâàòü åùå ðàç, êîãäà Ñîëíöå áóäåò äàëåêî îò íåãî. Ñðàâíåíèå îáåèõ ôîòîãðàôèé ïîçâîëèò îáíàðóæèòü ñìåùåíèå ïîëîæåíèÿ çâåçä (ñì. ðèñ.14) íà óãîë ϕ . Òåîðèÿ Ýéíøòåéíà äàåò äëÿ âåëè÷èíû ýòîãî óãëà ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: ϕ=

4GM , Rc 2

ãäå Ì - ìàññà Ñîëíöà. R - ðàäèóñ Ñîëíöà. Óæå ïåðâûå íàáëþäåíèÿ äàííîãî ýôôåêòà (1919 ã.) äàëè âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíûé ðåçóëüòàò: ïðè ïîãðåøíîñòè â 20% óãîë ϕ îêàçàëñÿ ðàâíûì 1,75'’. Òðåáîâàëîñü âñå æå óâåëè÷èòü òî÷íîñòü ðåçóëüòàòà. Íî âåäü ïîëíîå ñîëíå÷íîå çàòìåíèå íåëüçÿ ïîâòîðèòü òîãäà, êîãäà ìû õîòèì. Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî çàòìåíèÿ áûâàþò íåñêîëüêî ðàç â ãîäó, íî íå âñåãäà òàì, ãäå åñòü óñëîâèÿ äëÿ íàáëþäåíèÿ, äà è ïîãîäà (îáëàêà) íå âñåãäà áëàãîïðèÿòñòâîâàëà ó÷åíûì. Ê òîìó æå íà òî÷íîñòü íàáëþäåíèé âëèÿëà äèôðàêöèÿ ñâåòà, ÷òî èñêàæàëî èçîáðàæåíèå çâåçäû. È âñå æå óäàëîñü ïîâûñèòü òî÷íîñòü è óìåíüøèòü ïîãðåøíîñòü äî 10%. Ñèòóàöèÿ ñóùåñòâåííî èçìåíèëàñü, êîãäà áûëè ñîçäàíû ðàäèîèíòåðôåðîìåòðû, áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ êîòîðûõ ïîãðåøíîñòü íàáëþäåíèé óìåíüøèëàñü äî 0,01'’ (ò.å. 0,5% îò 1,75'’).  70-õ ãã. áûëî èçìåðåíî îòêëîíåíèå ðàäèîëó÷åé êâàçàðàìè (çâåçäíûõ îáðàçîâàíèé, ïðèðîäà êîòîðûõ èçó÷åíà íåäîñòàòî÷íî), çàðåãèñòðèðîâàííûõ ïîä ¹¹ ÇÑ27Ç è ÇÑ279. Èçìåðåíèÿ äàëè çíà÷åíèÿ 1'’,82 ± 0'’,26 è 1'’,77 ± 0'’,20, ÷òî õîðîøî ñîîòâåòñòâóåò ïðåäñêàçàíèÿì ÎÒÎ. Èòàê, íàáëþäåíèå îòêëîíåíèÿ ñâåòîâûõ (ýëåêòðîìàãíèòíûõ) âîëí îò ïðÿìîëèíåéíîñòè (â ñìûñëå åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè) ïðè ïðîõîæäåíèè âáëèçè ìàññèâíûõ íåáåñíûõ òåë îäíîçíà÷íî ñâèäåòåëüñòâóåò â ïîëüçó ôèçè÷åñêîé äîñòîâåðíîñòè ÎÒÎ. 223

Âðàùåíèå ïåðèãåëèÿ Ìåðêóðèÿ À. Ýéíøòåéí, ðàçðàáàòûâàÿ ÎÒÎ, ðàññìîòðåë òðè ýôôåêòà, îáúÿñíåíèå êîòîðûõ è êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè èõ ëèáî íå ñîâïàäàëè ñ òåì, ÷òî ìîæíî áûëî ïîëó÷èòü íà îñíîâå òåîðèè òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà, ëèáî âîîáùå íå áûëè èçâåñòíû ó÷åíûì. Äâà èç ýòèõ ýôôåêòîâ (êðàñíîå ñìåùåíèå ñïåêòðàëüíûõ ëèíèé, èñïóùåííûõ ìàññèâíûìè çâåçäàìè, è îòêëîíåíèå ñâåòîâûõ ëó÷åé ïðè ïðîõîæäåíèè âáëèçè ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà è äðóãèõ íåáåñíûõ ñâåòèë) ðàññìîòðåíû âûøå. Ðàññìîòðèì è òðåòèé ïðåäñêàçàííûé Ýéíøòåéíîì ãðàâèòàöèîííûé ýôôåêò - âðàùåíèå ïåðèãåëèÿ ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Íà îñíîâå íàáëþäåíèé Òèõî Áðàãå è çàêîíîâ Êåïëåðà Íüþòîí óñòàíîâèë, ÷òî ïëàíåòû âðàùàþòñÿ âîêðóã Ñîëíöà ïî ýëëèïòè÷åñêèì îðáèòàì. Òåîðèÿ Ýéíøòåéíà ïîçâîëèëà îáíàðóæèòü áîëåå òîíêèé ýôôåêò - âðàùåíèå ýëëèïñîâ îðáèò â èõ ïëîñêîñòè. Íå âäàâàÿñü â ñòðîãèå ìàòåìàòè÷åñêèå ðàñ÷åòû, ïîêàæåì, êàê ìîæíî îöåíèòü îæèäàåìûå âåëè÷èíû Ïëàíåòà ïîâîðîòîâ îðáèò. Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì òàê íàçûâàåìûé ìåòîä ðàçìåðíîñòåé.  ýòîì ìåòîäå íà îñíîâàíèè òåîðåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé èëè äàííûõ ýêñïåðèìåíòà óñòàíàâëèâàþòñÿ âåëè÷èíû, îïðåäåëÿþùèå ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ. Èç ýòèõ âåëè÷èí ϕ ñîñòàâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå, èìåþùåå ðàçìåðíîñòü èñêîìîé âåëè÷èíû, ê êîòîðîìó ïîñëåäíÿÿ ïðèðàâíèâàåòñÿ. Â Ñ Ðèñ. 15. íàøåé çàäà÷å â êà÷åñòâå îïðåäåëÿþùèõ âåëè÷èí âûáåðåì: 1) Òàê íàçûâàåìûé ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ Ñîëíöà, êîòîðûé äëÿ Ñîëíöà (è äðóãèõ íåáåñíûõ òåë) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå: rg =

2GM c2

.

Ñîëíå÷íûé ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ ðàâåí rg = 3⋅105 ñì. (â íüþòîíîâñêîé òåîðèè ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ ñîâïàäàåò ñ ðàäèóñîì çâåçäû ìàññû Ì, íà êîòîðóþ âåùåñòâåííîå òåëî áóäåò ïàäàòü ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà 224

2GM mc 2 mM =G ⇒ rg = 2 ). 2 rg c

2) Ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ïëàíåòû äî Ñîëíöà. Äëÿ Ìåðêóðèÿ îíî ðàâíî 0,58.1013 ñì, äëÿ Âåíåðû - 1,05.1013 ñì, äëÿ Çåìëè 1,5.1013 ñì. 3) Ñðåäíþþ óãëîâóþ ñêîðîñòü îáðàùåíèÿ ïëàíåòû âîêðóã Ñîëíöà: 1/ 2

 GM  ω = 3   R 

(v = ω R, ω =

mv 2 mM mM , v2 ≈ ), =G 2 R R

v , R

ãäå Ì=2.1033ã - ìàññà Ñîëíöà. Ïî ìåòîäó ðàçìåðíîñòåé ñîñòàâèì ñëåäóþùóþ âåëè÷èíó (ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ìåòîä ðàçìåðíîñòåé â äàííîì ïðèìåíåíèè òðåáóåò èíòóèöèè èññëåäîâàòåëÿ, õîðîøåãî ïîíèìàíèÿ ôèçèêè, ÷òî, êàê ïðàâèëî, äàåòñÿ ìíîãîêðàòíîé òðåíèðîâêîé è ðåøåíèåì ïîäîáíûõ çàäà÷): ωï = ω

rg R

,

ãäå âåëè÷èíà ω ï îïðåäåëÿåò óãëîâóþ ñêîðîñòü ïåðåìåùåíèÿ ïåðèãåëèÿ îðáèòû ïëàíåòû. Äëÿ óãëà ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ çà 100 ëåò ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå (ïðåäâàðèòåëüíî íåîáõîäèìî óìíîæèòü ωï íà ÷èñëî ñåêóíä â 100 ëåò 3,16.109ñ/100 ëåò, ïåðåâåñòè ðàäèàíû â óãëîâûå ñåêóíäû 2′′,06 ⋅ 105 ϕ = 6′′,5 ⋅ 1014

óãë.ñ ): ðàä

ω rg R

.

Äëÿ Ìåðêóðèÿ ϕ = 39”, Âåíåðû ϕ = 8”, Çåìëè ϕ = 4”. ×òîáû ïðåäñòàâèòü âåëè÷èíó ϕ , íàïîìíèì, ÷òî óãëîâàÿ ñåêóíäà - ýòî óãîë, ïîä êîòîðûì êîïåéêà “âèäíà” ñ ðàññòîÿíèÿ â 2 êì! Ïðèâåäåííûå âûøå ÷èñëîâûå îöåíêè óãëà ϕ ïîëó÷åíû ìåòîäîì ðàçìåðíîñòåé, òî÷íàÿ òåîðèÿ ýôôåêòà â ÎÒÎ äàåò íåñêîëüêî äðóãóþ ôîðìóëó äëÿ óãëà ϕ è, åñòåñòâåííî, íåñêîëüêî äðóãèå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ: 225

ϕ=

24π 2à 2 , 2 2 ñ Ò 1 − å2

(

)

ãäå à - áîëüøàÿ ïîëóîñü ýëëèïñà-îðáèòû, Ò - ïåðèîä îáðàùåíèÿ ïëàíåòû, å - ýêñöåíòðèñèòåò ýëëèïñà å =

(à

2

− b2 a

)

1/ 2

< 1,

b − ìàëàÿ

ïîëóîñü ýëëèïñà. Ðàñ÷åò óãëà ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ ïëàíåòû çà 100 ëåò äàåò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: äëÿ Ìåðêóðèÿ 42'’,9 (èç íàáëþäåíèé 42”,56±0”,91), äëÿ Âåíåðû 8”,6 (èç íàáëþäåíèé 8”,4±4”,8), äëÿ Çåìëè 3”,8 (èç íàáëþäåíèé 4”,6±2”,7). Ïåðåìåùåíèå ïåðèãåëèÿ ïëàíåòû Ìåðêóðèé âïåðâûå íàáëþäàë åùå çàäîëãî äî ñîçäàíèÿ ÎÒÎ ôðàíöóçñêèé àñòðîíîì Ëåâåðüå (ÕIX â.), íî òîëüêî òåîðèÿ Ýéíøòåéíà äàëà íåïðîòèâîðå÷èâîå îáúÿñíåíèå ýòîìó ýôôåêòó. Èíòåðåñíî, ÷òî ýòî íåáåñíîå ÿâëåíèå ó÷åíûì óäàëîñü “âîñïðîèçâåñòè”, íàáëþäàÿ äâèæåíèå èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ Çåìëè. Òàê êàê óãîë ïîâîðîòà ïåðèãåëèÿ ïðîïîðöèîíàëåí áîëüøîé ïîëóîñè îðáèòû ñïóòíèêà, åå ýêñöåíòðèñèòåòó è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí ïåðèîäó îáðàùåíèÿ ñïóòíèêà, òî, ïîäáèðàÿ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ýòèõ âåëè÷èí, ìîæíî ñäåëàòü ϕ = 1500” çà 100 ëåò, à ýòî áîëåå ÷åì â 30 ðàç ïðåâûøàåò óãîë ïîâîðîòà îðáèòû äëÿ Ìåðêóðèÿ. Îäíàêî çàäà÷à ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåòñÿ, òàê êàê íà äâèæåíèå èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà îêàçûâàåò âëèÿíèå ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà, íå øàðîâèäíîñòü è íå îäíîðîäíîñòü Çåìëè, ïðèòÿæåíèå ê Ëóíå è ò.ä. È âñå æå íàáëþäåíèå íàä òûñÿ÷àìè èñêóññòâåííûõ ñïóòíèêîâ, çàïóùåííûõ â îêîëîçåìíîå ïðîñòðàíñòâî çà ïîñëåäíèå áîëåå ÷åì 30 ëåò, îäíîçíà÷íî ïîäòâåðæäàþò ïðåäñêàçàíèÿ ÎÒÎ. Ðàñ÷åò “ðàäèóñà” Âñåëåííîé Ñðåäè ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé Âñåëåííîé, ðàññìàòðèâàåìûõ â ÎÒÎ, åñòü òàê íàçûâàåìàÿ ìîäåëü ñòàöèîíàðíîé Âñåëåííîé, âïåðâûå ïðåäëîæåííîé åùå ñàìèì À. Ýéíøòåéíîì.  ýòîé ìîäåëè Ìèð îêàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì (íî áåçãðàíè÷íûì!), åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå øàðà (ó øàðà íåò ãðàíèöû!). Òîãäà âîçíèêàåò 226

âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü “ðàäèóñ” òàêîé Âñåëåííîé. Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëíàÿ ýíåðãèÿ øàðîîáðàçíîé Âñåëåííîé îáóñëîâëåíà èñêëþ÷èòåëüíî ãðàâèòàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèö, àòîìîâ, çâåçä, ãàëàêòèê, çâåçäíûõ îáðàçîâàíèé. Ñîãëàñíî ÑÒÎ ïîëíàÿ ýíåðãèÿ íåïîäâèæíîãî òåëà ðàâíà E0=Mc2, ãäå Ì ìàññà Âñåëåííîé, êîòîðóþ ìîæíî ñâÿçàòü ñ åå “ðàäèóñîì” òàê Ì=4/3 π R03 ρ , ρ - ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü âåùåñòâà, ðàñïðåäåëåííîãî ðàâíîìåðíî â îáúåìå Ìèðà. Ãðàâèòàöèîííàÿ ýíåðãèÿ øàðîîáðàçíîãî òåëà ðàäèóñà R 0 ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíà ýëåìåíòàðíî è ðàâíà 3 M2 E= G . 5 R0

Ïðåíåáðåãàÿ ÷èñëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïîðÿäêà åäèíèöû, ïðèðàâíÿåì îáà âûðàæåíèÿ äëÿ ýíåðãèè Mc 2 = GM 2 / R0 .

Ïîëàãàÿ M~ ρ R 03, ïîëó÷àåì äëÿ “ðàäèóñà” Âñåëåííîé ñëåäóþùåå âûðàæåíèå c

R0~ (G ρ )1 / 2 . Ïðèíèìàÿ (÷òî ñîîòâåòñòâóåò íàáëþäåíèÿì) ρ ~10 -25êã/ì3 è G = 6,7 ⋅ 10−11

H ì2 , ïîëó÷àåì äëÿ “ðàäèóñà” ñëåäóþùåå çíà÷åíèå êã 2

R0 ≈ 1026ì. Ýòà âåëè÷èíà îïðåäåëÿåò âèäèìûé “ãîðèçîíò” Ìèðà. Çà ïðåäåëàìè ýòîé ñôåðû íåò âåùåñòâà è ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Íî òîò÷àñ æå âîçíèêàþò íîâûå ïðîáëåìû: à êàê áûòü ñ ïðîñòðàíñòâîì è âðåìåíåì âíå ñôåðû, ãäå íåò ìàòåðèè? Ïîäîáíûå âîïðîñû, âîçíèêàþùèå â äàííîé ìîäåëè Âñåëåííîé íå ðåøåíû, íàóêà íå çíàåò îäíîçíà÷íîãî îòâåòà íà ïîäîáíûå âîïðîñû. Íî “êîíå÷íîñòü” Âñåëåííîé â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ñíèìàåò òàê íàçûâàåìûé “ôîòîìåòðè÷åñêèé ïàðàäîêñ”: íî÷íîå íåáî íå ìîæåò áûòü ÿðêèì (êàê äîëæíî áûëî áû áûòü, åñëè 227

Âñåëåííàÿ áåñêîíå÷íà è ÷èñëî çâåçä òàêæå áåñêîíå÷íî), òàê êàê ÷èñëî çâåçä (ïî ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè) êîíå÷íî â ñèëó êîíå÷íîñòè îáúåìà Ìèðà, à èç-çà ïîãëîùåíèÿ ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí â ìåæçâåçäíîì ïðîñòðàíñòâå îñâåùåííîñòü íåáà ñòàíîâèòñÿ ìàëîé. Ìîäåëü ñòàöèîíàðíîé Âñåëåííîé - ýòî ñàìàÿ ïåðâàÿ ìîäåëü Ìèðà, êàê óêàçûâàëîñü âûøå, ïðåäëîæåííàÿ ñàìèì ñîçäàòåëåì ÎÒÎ. Îäíàêî óæå â íà÷àëå 20-õ ãã. ñîâåòñêèé ôèçèê è ìàòåìàòèê À. À. Ôðèäìàí äàë äðóãîå ðåøåíèå óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà â ÎÒÎ è ïîëó÷èë äâà âàðèàíòà ðàçâèòèÿ äëÿ òàê íàçûâàåìîé íåñòàöèîíàðíîé Âñåëåííîé. ×åðåç íåñêîëüêî ëåò àìåðèêàíñêèé ó÷åíûé Õàááë ïîäòâåðäèë ðåøåíèÿ Ôðèäìàíà, îáíàðóæèâ ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé. Ïî Ôðèäìàíó, â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû ñðåäíåé ïëîòíîñòè ìàòåðèè âî Âñåëåííîé, íàáëþäàåìîå â íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàñøèðåíèå èëè áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ âå÷íî, èëè ïîñëå çàìåäëåíèÿ è îñòàíîâêè ãàëàêòè÷åñêèõ îáðàçîâàíèé íà÷íåòñÿ ïðîöåññ ñæàòèÿ Ìèðà.  ðàìêàõ äàííîé êíèãè ìû íå ìîæåì äàëåå îáñóæäàòü ýòó òåìó è îòñûëàåì ëþáîçíàòåëüíûõ ÷èòàòåëåé ê äîïîëíèòåëüíîé ëèòåðàòóðå, óêàçàííîé â êîíöå ïîñîáèÿ. Ìû æå êîñíóëèñü ýòîãî âîïðîñà ïîòîìó, ÷òî è ìîäåëü ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé ïîçâîëÿåò óñòðàíèòü ðàññìîòðåííûé âûøå ôîòîìåòðè÷åñêèé ïàðàäîêñ, îïèðàÿñü ïðè ýòîì íà äðóãèå îñíîâàíèÿ. Áëàãîäàðÿ ðàñøèðåíèþ Âñåëåííîé è óäàëåíèþ çâåçä îò Çåìëè äîëæåí íàáëþäàòüñÿ ýôôåêò Äîïëåðà (â äàííîì ñëó÷àå óìåíüøåíèå ÷àñòîòû ïðèõîäÿùåãî ñâåòà) - òàê íàçûâàåìîå êðàñíîå ñìåùåíèå ÷àñòîòû ñâåòà (íå ïóòàòü ñ ïîäîáíûì ýôôåêòîì, ñâÿçàííûì íå ñ äâèæåíèåì èñòî÷íèêà ñâåòà, à ñ åãî ãðàâèòàöèîííûì ïîëåì).  ðåçóëüòàòå ýôôåêòà Äîïëåðà ýíåðãèÿ ñâåòîâîãî ïîòîêà ñóùåñòâåííî îñëàáëÿåòñÿ è âêëàä çâåçä, íàõîäÿùèõñÿ çà ïðåäåëàìè íåêîòîðîãî ðàññòîÿíèÿ îò Çåìëè, ïðàêòè÷åñêè ðàâåí íóëþ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ îáùå ïðèçíàíî, ÷òî Âñåëåííàÿ íå ìîæåò áûòü ñòàöèîíàðíîé, íî ìû âîñïîëüçîâàëèñü òàêîé ìîäåëüþ èç-çà åå “ïðîñòîòû”, à ïîëó÷åííûé “ðàäèóñ” Ìèðà íå ïðîòèâîðå÷èò ñîâðåìåííûì íàáëþäåíèÿì. 228

“×åðíûå äûðû” Ñêàæåì ñðàçó, ÷òî “÷åðíûå äûðû” âî Âñåëåííîé ýêñïåðèìåíòàëüíî åùå íå îáíàðóæåíû, íî èìååòñÿ óáåæäåííîñòü â èõ ñóùåñòâîâàíèè (íàñ÷èòûâàåòñÿ îêîëî 100 êàíäèäàòîâ â íàøåé Ìåòàãàëàêòèêå íà òàêîé ýêçîòè÷åñêèé îáúåêò). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî çâåçäà, ïðåâðàòèâøàÿñÿ ⠓÷åðíóþ äûðó”, íå ìîæåò áûòü îáíàðóæåíà ïî ñâîåìó èçëó÷åíèþ (îòñþäà è íàçâàíèå “÷åðíàÿ äûðà”), òàê êàê, îáëàäàÿ ãèãàíòñêèì ïîëåì òÿãîòåíèÿ, íå äàåò íè ýëåìåíòàðíûì ÷àñòèöàì, íè ýëåêòðîìàãíèòíûì âîëíàì ïîêèíóòü ïîâåðõíîñòü. Íàïèñàíî ìíîæåñòâî òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, ïîñâÿùåííûõ “÷åðíûì äûðàì”, èõ ôèçèêà ìîæåò áûòü îáúÿñíåíà òîëüêî íà îñíîâå 0ÒÎ. Òàêèå îáúåêòû ìîãóò âîçíèêíóòü íà çàêëþ÷èòåëüíîé ñòàäèè ýâîëþöèè çâåçäû, êîãäà (ïðè îïðåäåëåííîé ìàññå, íå ìåíüøå 2-3 ñîëíå÷íûõ ìàññ) ñâåòîâîå äàâëåíèå èçëó÷åíèÿ íå ìîæåò ïðîòèâîäåéñòâîâàòü ãðàâèòàöèîííîìó ñæàòèþ è çâåçäà “êîëëàïñèðóåò”, ò.å. ïðåâðàùàåòñÿ â ýêçîòè÷åñêèé îáúåêò - “÷åðíóþ äûðó”. Ïîäñ÷èòàåì ìèíèìàëüíûé ðàäèóñ çâåçäû, íà÷èíàÿ ñ êîòîðîãî âîçìîæåí åå “êîëëàïñ”. ×òîáû âåùåñòâåííîå òåëî ìîãëî ïîêèíóòü ïîâåðõíîñòü çâåçäû, îíî äîëæíî ïðåîäîëåòü åå ïðèòÿæåíèå. Ýòî âîçìîæíî, åñëè ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ òåëà (ýíåðãèÿ ïîêîÿ) ïðåâîñõîäèò ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ãðàâèòàöèè, ÷òî òðåáóåòñÿ ïî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè. Ìîæíî ñîñòàâèòü íåðàâåíñòâî: mc 2 >

GmM . Rçâ

Íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ýêâèâàëåíòíîñòè, ñëåâà è ñïðàâà ñòîèò îäíà è òà æå ìàññà òåëà. Ïîýòîìó ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ïîëó÷àåì ðàäèóñ çâåçäû, êîòîðàÿ ìîæåò ïðåâðàòèòüñÿ ⠓÷åðíóþ äûðó”: RÇÂ~

GM = Rø c2

Âïåðâûå ýòó âåëè÷èíó ðàññ÷èòàë íåìåöêèé ôèçèê Øâàðöøèëüä åùå â 1916 ã, â ÷åñòü íåãî ýòó âåëè÷èíó íàçûâàþò ðàäèóñîì Øâàðöøèëüäà, èëè ãðàâèòàöèîííûì ðàäèóñîì. Ñîëíöå 229

ìîãëî áû ïðåâðàòèòüñÿ ⠓÷åðíóþ äûðó” ïðè òîé æå ìàññå, èìåÿ ðàäèóñ âñåãî 3 êì; äëÿ íåáåñíîãî òåëà, ðàâíîãî ïî ìàññå Çåìëå, ýòîò ðàäèóñ ðàâåí âñåãî ëèøü 0,44 ñì. Òàê êàê â ôîðìóëó äëÿ RØ âõîäèò ñêîðîñòü ñâåòà, òo ýòîò íåáåñíûé îáúåêò èìååò ÷èñòî ðåëÿòèâèñòñêóþ ïðèðîäó.  ÷àñòíîñòè, òàê êàê â ÎÒÎ óòâåðæäàåòñÿ ôèçè÷åñêîå çàìåäëåíèå õîäà ÷àñîâ â ñèëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, òî ýòîò ýôôåêò îñîáåííî äîëæåí áûòü çàìåòåí âáëèçè “÷åðíîé äûðû”. Òàê, äëÿ íàáëþäàòåëÿ, íàõîäÿùåãîñÿ âíå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ “÷åðíîé äûðû”, êàìåíü, ñâîáîäíî ïàäàþùèé íà “÷åðíóþ äûðó”, äîñòèãíåò øâàðöøèëüäîâñêîé ñôåðû çà áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè.  òî âðåìÿ êàê ÷àñû “íàáëþäàòåëÿ”, ïàäàþùåãî âìåñòå ñ êàìíåì, ïîêàæóò êîíå÷íîå âðåìÿ. Ðàñ÷åòû, îñíîâàííûå íà ïîëîæåíèÿõ ÎÒÎ, ïîêàçûâàþò, ÷òî ãðàâèòàöèîííîå ïîëå “÷åðíîé äûðû” íå òîëüêî ñïîñîáíî èñêðèâèòü òðàåêòîðèþ ñâåòîâîãî ëó÷à, íî è çàõâàòèòü ñâåòîâîé ïîòîê è çàñòàâèòü åãî äâèãàòüñÿ âîêðó㠓÷åðíîé äûðû” (ýòî âîçìîæíî, åñëè ëó÷ ñâåòà ïðîéäåò íà ðàññòîÿíèè îêîëî 1,5RØ, íî òàêîå äâèæåíèå íåóñòîé÷èâî). Åñëè çâåçäà, èñïûòàâøàÿ êîëëàïñ, îáëàäàëà óãëîâûì ìîìåíòîì, ò.å. âðàùàëàñü, òî è “÷åðíàÿ äûðà” äîëæíà ñîõðàíèòü ýòîò âðàùàòåëüíûé ìîìåíò. Íî òîãäà âîêðóã ýòîé çâåçäû è ãðàâèòàöèîííîå ïîëå äîëæíî èìåòü âèõðåâîé õàðàêòåð, ÷òî ïðîÿâèòñÿ â ñâîåîáðàçèè ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè. Ýòîò ýôôåêò ìîæåò ïîçâîëèòü îáíàðóæèòü “÷åðíóþ äûðó”.  ïîñëåäíèå ãîäû îáñóæäàåòñÿ âîçìîæíîñòü “èñïàðåíèÿ” “÷åðíûõ äûð”. Ýòî ñâÿçàíî ñ âçàèìîäåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ òàêîé çâåçäû ñ ôèçè÷åñêèì âàêóóìîì.  ýòîì ïðîöåññå óæå äîëæíû ñêàçàòüñÿ êâàíòîâûå ýôôåêòû, ò.å. ÎÒÎ îêàçûâàåòñÿ ñâÿçàííîé ñ ôèçèêîé ìèêðîìèðà. Êàê âèäèì, ýêçîòè÷åñêèé îáúåêò, ïðåäñêàçàííûé OÒÎ, - “÷åðíàÿ äûðà” îêàçûâàåòñÿ ñâÿçóþùèì çâåíîì, êàçàëîñü áû, äàëåêèõ äðóã îò äðóãà îáúåêòîâ - ìèêðîìèðà è Âñåëåííîé. §11. Çàãàäêè “Áîëüøîãî âçðûâà” (ÎÒÎ è êîñìîëîãèÿ) Ó÷åíûå óñòàíîâèëè, ÷òî íàøåé Âñåëåííîé 15 ìëðä. ëåò. Ÿ ïîÿâëåíèå ñâÿçàíî ñî âçðûâîì, ïîëó÷èâøèì íàçâàíèå “Áîëüøîãî âçðûâà”. 230

Íî îòêóäà èçâåñòíî, ÷òî Âñåëåííàÿ âçîðâàëàñü è ÷òî âçîðâàëîñü? È ÷òî áûëî äî ýòîãî, è ÷òî ïîñëåäîâàëî ïîñëå ýòîãî? Ýòè è ìíîãèå äðóãèå âîïðîñû âîçíèêëè ïåðåä ó÷åíûìè âî âòîðîé ïîëîâèíå XX âåêà è îñòàëèñü â íàóêå XXI âåêà. Âñïîìíèì íåìíîãî èñòîðèþ.  1916ã. âåëèêèé ôèçèê Àëüáåðò Ýéíøòåéí ñîçäàë íîâóþ ôèçè÷åñêóþ òåîðèþ - Îáùóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè, ñòàâøóþ îñíîâîé êîñìîëîãèè - íàóêè î ïðîèñõîæäåíèè è ðàçâèòèÿ ìèðà. Ñîãëàñíî ïåðâîíà÷àëüíîìó ðåøåíèþ ïðîáëåìû, äàííîìó ñàìèì Ýéíøòåéíîì, Âñåëåííàÿ ñòàöèîíàðíà è êîíå÷íà â ñâîèõ ðàçìåðàõ. Îäíàêî â 1922 ã. ðîññèéñêèé ó÷åíûé À. À. Ôðèäìàí ðàññìîòðåë áîëåå ñëîæíûé ñöåíàðèé ðàçâèòèÿ Ìèðà. Îäèí èç âàðèàíòîâ åãî ðåøåíèÿ ïðåäïîëàãàë ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé. Àìåðèêàíñêèé àñòðîíîì Ý. Õàááë, íàáëþäàÿ äâèæåíèå äàëåêèõ çâåçä, ïîäòâåðäèë ôàêò ðàñøèðåíèÿ: çâåçäû óäàëÿëèñü îò íàñ è äðóã îò äðóãà. Ñíîâà âîçíèêàëè âîïðîñû: ïî÷åìó Âñåëåííàÿ ðàñøèðÿåòñÿ, âåäü ïî çàêîíó Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, îòêðûòîãî åùå Íüþòîíîì, çâåçäû äîëæíû ïðèòÿãèâàòüñÿ äðóã ê äðóãó? È êàê äîëãî ýòî ðàñøèðåíèå áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ? Ó÷åíûå, â òîì ÷èñëå è íàøè ðîññèéñêèå, èùóò îòâåòû íà âñå ïîñòàâëåííûå âûøå âîïðîñû. È óæå åñòü ôàêòû, êîòîðûå ïîçâîëÿþò âîññòàíîâèòü ñöåíàðèé Âçðûâà, äàòü âîçìîæíûå âàðèàíòû îòâåòîâ. Îêîëî 40 ëåò íàçàä áûëî îáíàðóæåíî ñëàáîå ýëåêòðîìàãíèòíîå èçëó÷åíèå (ðàäèîâîëíû), êîòîðîå ðàâíîìåðíî çàïîëíÿåò âñå ìèðîâîå ïðîñòðàíñòâî. Åãî íàçâàëè “ðåëèêòîâûì”, òî åñòü ñîõðàíèâøèìñÿ îò ìîìåíòà íà÷àëà ðàñøèðåíèÿ Âñåëåííîé. Çàíèìàÿ âñå áîëüøåå ïðîñòðàíñòâî, ðåëèêòîâîå èçëó÷åíèå îñòûâàëî, èìåÿ âíà÷àëå î÷åíü âûñîêóþ òåìïåðàòóðó. Òàêóþ æå âûñîêóþ òåìïåðàòóðó èìåëî è âåùåñòâî – Âñåëåííàÿ áûëà ãîðÿ÷åé. Àíàëèç ñâîéñòâ ðåëèêòîâîãî èçëó÷åíèÿ ïîçâîëÿåò ïîíÿòü, ïî÷åìó Âñåëåííàÿ â áîëüøèõ ìàñøòàáàõ áûëà è îñòàåòñÿ îäíîðîäíîé, ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü âåùåñòâà ïîñòîÿííà. Äåëî â òîì, ÷òî òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ñåãîäíÿ ìû è íàáëþäàåì, ÷òî ñî âñåõ ñòîðîí íà Çåìëþ ïðèõîäèò îäíîðîäíîå ðåëèêòîâîå èçëó÷åíèå: îíî ïðîõîäèò ÷åðåç îäíîðîäíî çàïîëíåííîå ìàòåðèåé ïðî231

ñòðàíñòâî, Íî ñðàçó âîçíèêàåò äðóãîé âîïðîñ: ïî÷åìó â äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ Âñåëåííîé îäèíàêîâîå ñîñòîÿíèå ìàòåðèè, ÷òî è îïðåäåëÿåò óïîìÿíóòóþ âûøå îäíîðîäíîñòü èçëó÷åíèÿ, ïðèõîäÿùåãî ñî âñåõ ñòîðîí. Ýòà çàãàäêà Âñåëåííîé íàçûâàåòñÿ “Ïðîáëåìîé ãîðèçîíòà”. Ñîãëàñíî ðàñ÷åòàì À. Ôðèäìàíà, îñíîâàííûì íà ïîëîæåíèÿõ Îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà, â ìîìåíò Áîëüøîãî âçðûâà ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü âåùåñòâà áûëà áëèçêà ê òàê íàçûâàåìîé “êðèòè÷åñêîé ïëîòíîñòè”. Îò êðèòè÷åñêîé ïëîòíîñòè çàâèñèò ñöåíàðèé ðàçâèòèÿ Âñåëåííîé: ëèáî îíà áóäåò âñåãäà ðàñøèðÿòüñÿ, ëèáî íàñòóïèò ìîìåíò, êîãäà ðàñøèðåíèå çàêîí÷èòñÿ è íà÷íåòñÿ ñæàòèå. Ó÷åíûå íå ìîãóò ñåé÷àñ îïðåäåëèòü ìàññó âñåãî Ìèðà. Ïîìèìî äðóãèõ ïðè÷èí åñòü åùå îäíà: äëÿ îáúÿñíåíèÿ íàáëþäàåìûõ ÿâëåíèé ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå “ñêðûòîé”, íåâèäèìîé ìàññû, ïðèðîäà êîòîðîé åùå íå îïðåäåëåíà. Ïîýòîìó íå ÿñíî, êàêîâà æå êðèòè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü âåùåñòâà Âñåëåííîé, êàêîâ áóäóùèé ñöåíàðèé ðàçâèòèÿ Ìèðà. Ýòà çàãàäêà ïîëó÷èëà íàçâàíèå “Ïðîáëåìû êðèòè÷åñêîé ïëîòíîñòè”.  íà÷àëå Áîëüøîãî âçðûâà ìàòåðèÿ ñîñòîÿëà èç ãîðÿ÷åé ïëàçìû, ÷àñòèöû êîòîðîé îáëàäàëè çàðÿäàìè ðàçíûõ çíàêîâ.  ìîìåíò âðåìåíè, îòñòîÿùèé íà 10-33 ñåêóíäû îò íà÷àëà âçðûâà, íà÷àëîñü îáúåäèíåíèå ðàçíîèìåííî çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Ýòà “ýïîõà Âåëèêîãî îáúåäèíåíèÿ” ïîñòàâèëà ïåðåä ó÷åíûìè íîâóþ çàãàäêó: ïî÷åìó ñåãîäíÿøíèé ìèð ñîñòîèò ïðåèìóùåñòâåííî èç ÷àñòèö, êóäà èñ÷åçëè àíòè÷àñòèöû â íàøåé Âñåëåííîé? Êóäà èñ÷åçëè è äðóãèå ñâèäåòåëè Áîëüøîãî âçðûâà, òàê íàçûâàåìûå ìàãíèòíûå ìîíîïîëè, ïðåäñêàçàííûå òåîðåòè÷åñêè, “íà êîí÷èêå ïåðà” àíãëèéñêèì ôèçèêîì Äèðàêîì åùå â 1928ã? Âîçíèêëà íîâàÿ çàãàäêà ðàçâèòèÿ Âñåëåííîé - “çàãàäêà ìîíîïîëåé”. Äî ñèõ ïîð íå ðåøåíà çàãàäêà ðîæäåíèÿ çâåçä è ïëàíåò. Îäíî äîñòîâåðíî, ÿñíî, ÷òî â ñòàöèîíàðíîé Âñåëåííîé Ýéíøòåéíà (ñì. âûøå) îíè îáðàçîâàòüñÿ íå ìîãëè. Âñå óïîìÿíóòûå âûøå çàãàäêè - ýòî ïîñëåäñòâèÿ Áîëüøîãî âçðûâà. Òåîðèÿ òÿãîòåíèÿ, ïîñòðîåííàÿ âåëèêèì Íüþòîíîì, íå ìîæåò îáúÿñíèòü ýòî ÿâëåíèå. Ïî çàêîíó âñåìèðíîãî 232

òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà ìàòåðèàëüíûå îáðàçîâàíèÿ ìîãóò òîëüêî ñáëèæàòüñÿ áëàãîäàðÿ âçàèìíîìó ïðèòÿæåíèþ. Ìû ýòî îùóùàåì ïîñòîÿííî, íàõîäÿñü êàê íà Çåìëå, òàê è â áëèæíåì êîñìîñå. Íî â 1972 ã. ñîâåòñêèå ôèçèêè Ý. Ãëèíåð, Ä. Êèðæíèö è À. Ëèíäå, èñõîäÿ èç Îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà, ïîäñ÷èòàëè, ÷òî â ìîìåíò âçðûâà ïëîòíîñòü âåùåñòâà áûëà ôàíòàñòè÷åñêîé - 1094 ã/ñì3 (äëÿ ñðàâíåíèÿ ïëîòíîñòü âåùåñòâà â ÿäðàõ -1016 ã/ñì3). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ ìàòåðèè â íåé âîçíèêàþò íå òîëüêî ñèëû ïðèòÿæåíèÿ, íî è âî ìíîãî ðàç áîëåå ìîùíûå ñèëû îòòàëêèâàíèÿ. Èìåííî ýòè ñèëû îòòàëêèâàíèÿ, ïî ìíåíèþ óïîìÿíóòûõ ó÷åíûõ, è âûçûâàþò ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé. Ýòè âûâîäû ïîëó÷èëè äàëüíåéøåå ðàçâèòèå è ñåé÷àñ ñ÷èòàþòñÿ âïîëíå ïðàâäîïîäîáíûìè. Âåùåñòâî ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé ìåíÿëî ñâîè ñâîéñòâà â ïðîöåññå ðàçäóâàíèÿ, òàêèå ïåðåõîäû ìàòåðèè èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå íàçûâàþò ôàçîâûìè ïåðåõîäàìè (â íàøåé îáûäåííîé æèçíè òàêèìè ôàçîâûìè ïåðåõîäàìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, êèïåíèå âîäû è ïðåâðàùåíèå åå â ïàð). Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî èçâåñòíûå íàì ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû-ýëåêòðîíû, ïðîòîíû, íåéòðîíû è ò.ä. âîçíèêëè ÷åðåç âðåìÿ 10 −25 ñåêóíäû ïîñëå Âçðûâà â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ìàòåðèè â íîâîå ôàçîâîå ñîñòîÿíèå. Ìîäåëü ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé ïîçâîëÿåò äàòü ïðåäâàðèòåëüíûå îòâåòû íà íåêîòîðûå ïîñòàâëåííûå âûøå âîïðîñû. Ðàñïîëîæåííîå ñåãîäíÿ íà êðàþ ãîðèçîíòà âèäèìîñòè â ïðîòèâîïîëîæíûõ åãî òî÷êàõ âåùåñòâî êîãäà-òî íàõîäèëîñü “ñîâñåì ðÿäîì”, ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàëî, íàõîäèëîñü â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ. È ðàçëåòàÿñü, ðàçâèâàëîñü îäèíàêîâî. Ïîýòîìó ñî âñåõ ñòîðîí ê íàì íà Çåìëþ è ïðèõîäèò îäíîðîäíîå ðåëèêòîâîå èçëó÷åíèå. Âûøå ãîâîðèëîñü, ÷òî ðàñøèðÿþùàÿñÿ Âñåëåííàÿ èñïûòûâàëà ôàçîâûå ïåðåõîäû. Íî â òåõ óñëîâèÿõ “äåéñòâîâàëè” íå êëàññè÷åñêèå, à êâàíòîâûå çàêîíû. Íå âî âñåì ïðîñòðàíñòâå îäíîâðåìåííî ïðîèñõîäèëè ýòè ïåðåõîäû, ÷òî áëàãîïðèÿòñòâîâàëî îáðàçîâàíèþ “ñãóñòêî┠ìàòåðèè, èç êîòîðûõ è ìîãëè îáðàçîâàòü233

ñÿ çâåçäû è ïëàíåòû. Òàêóþ ãèïîòåçó ïðåäëîæèëè àíãëèéñêèé àñòðîôèçèê, ÷åëîâåê óäèâèòåëüíîé ñóäüáû, Ñ. Õîêèíã è óïîìÿíóòûå âûøå íàøè ó÷åíûå. Îòíîñèòåëüíî îòñóòñòâèÿ ìîíîïîëåé â ñåãîäíÿøíåé Âñåëåííîé ïðåäëàãàåòñÿ òàêîé “ïðîñòîé” îòâåò: äëÿ ðîæäåíèÿ ìîíîïîëåé íåîáõîäèìû óñëîâèÿ, êîòîðûå áûëè òîëüêî ëèøü â ïåðâûå ìãíîâåíèÿ Áîëüøîãî âçðûâà. Çàòåì îíè óæå áîëüøå íå âîçíèêàëè. À ðàçáðîñàííûå ïî âñåé ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé ïåðâûå ìîíîïîëè ñòàíîâÿòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåíàáëþäàåìûìè. Çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå îáúÿñíèòü àññèìåòðèþ ÷àñòèö è àíòè÷àñòèö â íàøåì ìèðå. Íàïðàøèâàåòñÿ òàêîé âûõîä: ìîæåò áûòü, â îäèí èç ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ ìàòåðèí (ñì. âûøå) óñòîé÷èâîñòü àíòè÷àñòèö óìåíüøèëàñü ïî ñðàâíåíèþ ñ ÷àñòèöàìè è îíè èñ÷åçëè... Ïîïûòàåìñÿ “îòâåòèòü” íà âîïðîñ: à ÷òî áûëî äî Áîëüøîãî âçðûâà, èñõîäÿ èç ãèïîòåçû íàøèõ ó÷åíûõ À. Ëèíäå è À.Ñòàðîáèíñêîãî, âûñêàçàííîé èìè åùå â 1986ã.  îñíîâå íîâîé ãèïîòåçû ïîëîæåíà îïðåäåëÿþùàÿ ðîëü êâàíòîâûõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå äîëæíû ïðîèñõîäèòü ïðè ãèãàíòñêèõ ïëîòíîñòÿõ ìàòåðèè. Âñåëåííàÿ íàõîäèëàñü (è, âîçìîæíî, åùå íàõîäèòñÿ) â ñîñòîÿíèè ñ îòðèöàòåëüíûì äàâëåíèåì è ïîýòîìó ðàçäóâàåòñÿ.  ðàçíûõ ìåñòàõ âîçíèêàþò êâàíòîâûå íåóñòîé÷èâîñòè ïðè îäèíàêîâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ïóñòü ïåðâîíà÷àëüíûé ýëåìåíò îáúåìà óâåëè÷èëñÿ (èç-çà ðàçäóâàíèÿ) â ïîïåðå÷íèêå âäâîå. Òîãäà ñàì îáúåì óâåëè÷èëñÿ â 8 ðàç, âìåñòî îäíîãî ýëåìåíòà îáúåìà áóäåò 8 ðàçäóâàþùèõñÿ “ìèíè-Âñåëåííûõ”, êîòîðûå áóäóò “æèòü” íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Ýòî ïåðâîå (ñ ìîìåíòà íàøåãî ðàññìîòðåíèÿ) ïîêîëåíèå ìèíè-Âñåëåííûõ. Ïðîöåññ “ðàçìíîæåíèÿ” äîëæåí ïðîäîëæàòüñÿ, òàê êàê êàæäàÿ ìèíèÂñåëåííàÿ ïî-ïðåæíåìó íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ñ îòðèöàòåëüíûì äàâëåíèåì (èìåííî îíî è âûçûâàåò ðàçäóâàíèå ìèíè-Âñåëåííûõ). Ñîãëàñíî ýòîé ãèïîòåçå Âñåëåííàÿ âå÷íî âîñïðîèçâîäèò ñàìó ñåáÿ. Ó òàêîé Âñåëåííîé íåò íè íà÷àëà, íè êîíöà.  òàêîì ìèðå ïîñòîÿííî ïðîèñõîäÿò “Áîëüøèå âçðûâû”.  îäíîé èç òàêèõ Âñåëåííûõ æèâóò çåìëÿíå... 234

§12. Êðàòêîå èçëîæåíèå îñíîâ îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà Êàê òîëüêî ðå÷ü çàõîäèò î ïðîèñõîæäåíèè îêðóæàþùåãî íàñ ìèðà, âñïîìèíàþò íå òîëüêî Áèáëèþ, íî è ýòó ôèçè÷åñêóþ òåîðèþ, ñîçäàííóþ ðîâíî 90 ëåò íàçàä âåëèêèì ó÷åíûì XX â. Àëüáåðòîì Ýéíøòåéíîì è ïîëó÷èâøóþ íàçâàíèå ÎÁÙÅÉ ÒÅÎÐÈÈ ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ (ÎÒÎ). Çíà÷åíèå ýòîé òåîðèè âîçðîñëî ïîñëå îòêðûòèÿ “ñâèäåòåëÿ” òîãî, ÷òî ïðîèçîøëî îêîëî 15 ìèëëèàðäîâ ëåò íàçàä - òàê íàçûâàåìîãî Áîëüøîãî âçðûâà, çà êîòîðûì ïîñëåäîâàëî ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé.  äàííîé íåáîëüøîé ñòàòüå ìû íàäååìñÿ çàèíòåðåñîâàòü ÷èòàòåëÿ è óêàçàòü åìó äîñòóïíóþ íàó÷íóþ è íàó÷íî-ïîïóëÿðíóþ ëèòåðàòóðó, â êîòîðîé îí íàéäåò åùå ìíîãî óäèâèòåëüíîãî, ñâÿçàííîãî ñ ñîäåðæàíèåì è ñëåäñòâèÿìè Îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè (â äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè áóäåì íàçûâàòü åå àááðåâèàòóðîé - ÎÒÎ). Íà÷íåì ñ îáùåãî îïðåäåëåíèÿ: ÷òî òàêîå ÎÒÎ? Îáû÷íî åå ðàññìàòðèâàþò êàê ôèçè÷åñêîå ó÷åíèå î ñâîéñòâàõ ïðîñòðàíñòâà, âðåìåíè è ïðèðîäå òÿãîòåíèÿ. Åùå â 1687 ã. îñíîâîïîëîæíèêîì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè È.Íüþòîíîì áûë óñòàíîâëåí çàêîí Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ: äâà òî÷å÷íûõ òåëà ïðèòÿãèâàþò äðóã äðóãà ñ ñèëîé ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíîé ïðîèçâåäåíèþ ìàññ ýòèõ òåë è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè. Ýòîìó çàêîíó âçàèìîäåéñòâèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ âñå âåùåñòâåííûå (îáëàäàþùèå ìàññîé) òåëà Âñåëåííîé, èìåííî ïîýòîìó çàêîí è ïîëó÷èë íàçâàíèå çàêîíà Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Îäíàêî íè ñàì È.Íüþòîí, íè äðóãèå ôèçèêè íå ìîãëè îáúÿñíèòü ïðèðîäó òÿãîòåíèÿ. Íåðàçðåøèìîñòü äëÿ íåãî ýòîé çàäà÷è È. Íüþòîí âûðàçèë ñëåäóþùåé ôðàçîé: “Ãèïîòåç ÿ íå âûäâèãàþ”. Áëàãîäàðÿ çàêîíó òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà óäàëîñü îáúÿñíèòü äâèæåíèå ïëàíåò ñîëíå÷íîé ñèñòåìû, Ëóíû âîêðóã Çåìëè, ïàäåíèå òåë íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè è äâèæåíèå êîìåò â ìåæçâåçäíîì ïðîñòðàíñòâå, îïðåäåëèòü ìàññó Çåìëè, Ëóíû. è äðóãèõ íåáåñíûõ 235

òåë. Âåðøèíîé òîðæåñòâà çàêîíà Âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ áûëî îòêðûòèå “íà êîí÷èêå ïåðà” (çà ïèñüìåííûì ñòîëîì) ó÷åíûì Ëåâåðüå (1846 ã.) íîâîé íå èçâåñòíîé äî òîãî ïëàíåòû ñîëíå÷íîé ñèñòåìû -Íåïòóíà, êîòîðàÿ òîò÷àñ æå áûëà îáíàðóæåíà íà íåáîñâîäå â óêàçàííîì ìåñòå. È âñå æå ïðèðîäà òÿãîòåíèÿ íå ïîääàâàëàñü îáúÿñíåíèþ. Áûëî îáíàðóæåíî íîâîå ÿâëåíèå: ïîâîðîò îñè îðáèòû ñàìîé áëèçêîé ê Ñîëíöó ïëàíåòû - Ìåðêóðèÿ. Çà 100 ëåò íàáëþäåíèÿ îñü ýëëèïñà îðáèòû ïîâåðíóëàñü íà óãîë 43" (ñîðîê òðè óãëîâûõ ñåêóíäû, óãëîâàÿ ñåêóíäà - ýòî óãîë, ïîä êîòîðûì 1 ñì “âèäåí” ñ ðàññòîÿíèÿ â 2 êì). Èç çàêîíà òÿãîòåíèÿ Íüþòîíà òàêîé ïîâîðîò îðáèòû íå ñëåäîâàë. Âñå ïîïûòêè óòî÷íèòü çàêîí íå ïðèâîäèëè ê óñòðàíåíèþ çàãàäêè. À â íàóêå åñòü ïðàâèëî: åñëè õîòÿ áû îäèí îïûò ïðîòèâîðå÷èò òåîðèè, åå íóæíî èçìåíÿòü.  ïðåäñòàâëåííîì âûøå íåáîëüøîì èñòîðè÷åñêîì î÷åðêå ìû ïîêàçàëè íåîáõîäèìîñòü ïîñòðîåíèÿ íîâîé òåîðèè òÿãîòåíèÿ. È õîòÿ ñàì À. Ýéíøòåéí ïîäõîäèë ê ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è íåñêîëüêî èíà÷å, íî åãî òåîðèÿ ñìîãëà íå òîëüêî îáúÿñíèòü âñå òî, ÷òî îáúÿñíÿëà òåîðèÿ È. Íüþòîíà, íî è ðàçðåøèòü çàãàäêó ïîâîðîòà îðáèòû Ìåðêóðèÿ (âîîáùå îêàçàëîñü, ÷òî îðáèòû âñåõ ïëàíåò ïîâîðà÷èâàþòñÿ, íî ÷åì äàëüøå îíè îò Ñîëíöà, òåì ìåíüøå óãîë ïîâîðîòà çà òå æå 100 ëåò). Êðîìå òîãî, òåîðèÿ À. Ýéíøòåéíà ïðåäñêàçàëà íîâûå ÿâëåíèÿ, íàïðèìåð, îòêëîíåíèå ñâåòîâîãî ëó÷à îò ïðÿìîëèíåéíîñòè ïðè ïðîõîæäåíèè âáëèçè áîëüøîãî òÿãîòåþùåãî òåëà. Ýòî ïðåäñêàçàíèå áûëî óáåäèòåëüíî ïîäòâåðæäåíî óæå ÷åðåç òðè ãîäà ïîñëå ñîçäàíèÿ ÎÒÎ (â 1919 ã.) ïðè íàáëþäåíèè ïîëíîãî ñîëíå÷íîãî çàòìåíèÿ: íà ôîòîãðàôèÿõ çàêðûòîãî Ëóíîé ñâåòèëà âáëèçè êðàÿ ó÷åíûå îáíàðóæèëè èçîáðàæåíèÿ òåõ çâåçä, êîòîðûå äîëæíû áûëè íàõîäèòüñÿ â îáëàñòè ãåîìåòðè÷åñêîé “òåíè” çà Ñîëíöåì. Òåîðèÿ À.Ýéíøòåéíà ïðåäñêàçûâàëà è äðóãèå ÿâëåíèÿ, íàïðèìåð, óìåíüøåíèå ÷àñòîòû ñâåòà, èçëó÷åííîãî çâåçäîé. Ïîäîáíîå ÿâëåíèå áûëî èçâåñòíî â îïòèêå (ýôôåêò Äîïëåðà), íî òàì èçìåíåíèå ÷àñòîòû áûëî ñâÿçàíî ñ äâèæåíèåì èñòî÷íèêà èëè íàáëþäàòåëÿ.  ñëó÷àå æå ÿâëåíèÿ, ðàññìàòðèâàåìîãî â ÎÒÎ, îíî íå áûëî ñâÿçàíî ñ äâèæåíèåì èñòî÷íèêà (ïðèåìíèêà), à îáóñ236

ëîâëåíî èñêëþ÷èòåëüíî èçìåíåíèåì ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò çâåçäû. Íèæå ìû îñòàíîâèìñÿ è íà äðóãèõ âûâîäàõ ÎÒÎ À. Ýéíøòåéíà, áëàãîäàðÿ êîòîðûì ÎÒÎ îêàçàëàñü ñâÿçàííîé ñ êîñìîëîãèåé, íàóêîé, îáúÿñíÿþùåé ïðîèñõîæäåíèå è ðàçâèòèå Âñåëåííîé. Íà ïîñòðîåíèå ÎÒÎ À. Ýéíøòåéíó ïîòðåáîâàëîñü îêîëî 10 ëåò.  1916 ã. âûøëà ïîñëåäíÿÿ ñòàòüÿ, â êîòîðîé áûë çàâåðøåí íàó÷íûé ïîäâèã ó÷åíîãî.  îñíîâó ñâîèõ ðàññóæäåíèé À.Ýéíøòåéí ïîëîæèë ñîâïàäåíèå äâóõ ìàññ, ñ êîòîðûìè âñòðå÷àþòñÿ ôèçèêè, ðåøàÿ ðàçíûå çàäà÷è. Ñ îäíîé ñòîðîíû, ìàññà õàðàêòåðèçóåò èíåðòíûå ñâîéñòâà òåë, ñïîñîáíîñòü èõ ïðîòèâîäåéñòâîâàòü ñèëàì, ïûòàþùèìñÿ èçìåíèòü ñîñòîÿíèå òåë. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê ãîâîðèëîñü âûøå, ìàññà îïðåäåëÿåò ãðàâèòàöèîííûå ñâîéñòâà òåë, ñïîñîáíîñòü èõ ïðèòÿãèâàòü äðóãèå òåëà. Äî À. Ýéíøòåéíà ýòè ìàññû íå ðàçëè÷àëè, èõ ñîâïàäåíèå ñ÷èòàëîñü ñàìî ñîáîé î÷åâèäíûì. Ýéíøòåéí æå ïðèäàë ýòîìó ñîâïàäåíèþ õàðàêòåð çàêîíà, åãî ÷àñòî íàçûâàþò ïðèíöèïîì ýêâèâàëåíòíîñòè èíåðòíîé è ãðàâèòàöèîííîé ìàññ. Åùå Ãàëèëåé â XVI â. óñòàíîâèë, ÷òî âñå òåëà, ïàäàÿ ñâîáîäíî â ïîëå òÿæåñòè Çåìëè, ïðèîáðåòàþò îäíî è òî æå óñêîðåíèå.  ýòîì ïðîÿâëÿåò ñåáÿ ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà ïàäàþùèõ òåë. Ïðè ðåçêîé îñòàíîâêå òðàíñïîðòà ïàññàæèðû ïîäàþòñÿ âïåðåä, ïðè óñêîðåííîì æå äâèæåíèè òîãî æå òðàíñïîðòà ïàññàæèðû ïðèæèìàþòñÿ ê ñèäåíèþ.  îáîèõ ñëó÷àÿõ âîçíèêàþùèé ýôôåêò ìîæíî îáúÿñíèòü ïîÿâëåíèåì ñèë èíåðöèè. Ïðè ýòîì âñå òåëà, íàõîäÿùèåñÿ â òðàíñïîðòå, íåçàâèñèìî îò èõ ìàññû, ïðèîáðåòàþò îäèíàêîâîå óñêîðåíèå.  ýòîì ïðèìåðå ïðîÿâëÿåò ñåáÿ èíåðòíàÿ ìàññà. Èç ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ, â êîòîðûõ ïî îòäåëüíîñòè ïðîÿâëÿþò ñåáÿ ëèáî ãðàâèòàöèîííàÿ, ëèáî èíåðòíàÿ ìàññû, è èñõîäÿ èç ýêâèâàëåíòíîñòè ýòèõ ìàññ, Ýéíøòåéí äåëàåò ñëåäóþùèé âûâîä, êîòîðûé îáû÷íî è íàçûâàþò ïðèíöèïîì ýêâèâàëåíòíîñòè: ñâîáîäíîå äâèæåíèå â ïîëå òÿãîòåíèÿ è óñêîðåííîå äâèæåíèå â îòñóòñòâèè ýòîãî ïîëÿ ïðîèñõîäÿò ñîâåðøåííî îäèíàêîâî, äðóãèìè ñëîâàìè, ÿâëåíèå òÿãîòåíèÿ è óñêîðåííîå äâèæåíèå èìåþò îäíó è òó æå ôèçè÷åñêóþ ñóùíîñòü, ýòî äâà ïðîÿâëåíèÿ îäíîãî è òîãî æå ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà. Ýòî ãëàâíîå 237

óòâåðæäåíèå ÎÒÎ è íà ïåðâûé âçãëÿä îíî êàæåòñÿ íåâåðîÿòíûì. Íî èìåííî â ýòîì óòâåðæäåíèè ïðîÿâèëàñü ãåíèàëüíîñòü À.Ýéíøòåéíà, ïîçâîëèâøàÿ åìó íåòðàäèöèîííî ïîäîéòè ê ïîâñåäíåâíûì ÿâëåíèÿì è ñîçäàòü óäèâèòåëüíóþ ïî êðàñîòå è ñëåäñòâèÿì ôèçè÷åñêóþ òåîðèþ - ÎÒÎ. Òåïåðü ïîñìîòðèì, ê êàêèì ñëåäñòâèÿì ïðèâîäèò ñôîðìóëèðîâàííûé âûøå ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè. Ïðè âçëåòå ñ óñêîðåíèåì êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ êîñìîíàâòû èñïûòûâàþò ïåðåãðóçêè. Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî êîñìîíàâòû êàê áû îêàçûâàþòñÿ â áîëåå ñèëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, ÷åì ïîëå Çåìëè. Óñêîðåííîå äâèæåíèå ïðèâîäèò ê òåì æå ñëåäñòâèÿì, ÷òî è ãðàâèòàöèîííîå ïîëå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè ñâîáîäíîì äâèæåíèè ðàêåòû (äâèãàòåëè îòêëþ÷åíû) âîêðóã Çåìëè âñå òåëà â êàáèíå ñòàíîâÿòñÿ íåâåñîìûìè. Èõ ñâîáîäíîå ïàäåíèå (âìåñòå ñ êîñìè÷åñêèì êîðàáëåì), íàõîäÿñü âíóòðè êîðàáëÿ, íåâîçìîæíî îòëè÷èòü îò ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ (äâèæåíèÿ ïî èíåðöèè, êîãäà íà òåëî íå äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà) â îòñóòñòâèè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ (â ìàëîì îáúåìå êîðàáëÿ - ýòî î÷åíü âàæíîå óñëîâèå - óñòðàíÿåòñÿ ïîëå òÿãîòåíèÿ). Âñå, î ÷åì ðàññêàçàíî âûøå, ìû íåîäíîêðàòíî âèäåëè ïðè òåëåâèçèîííûõ ïåðåäà÷àõ ñ áîðòà êîñìè÷åñêèõ êîðàáëåé. Òàêèì îáðàçîì, íå ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòè îòëè÷èòü ñîñòîÿíèå ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ îò ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. Ñâîáîäíîå ïàäåíèå è ñâîáîäíîå äâèæåíèå - óòâåðæäàåò Ýéíøòåéí ñâîèì ïðèíöèïîì ýêâèâàëåíòíîñòè - ýòî îäíî è òî æå! Ìû çíàåì, ÷òî ñâîáîäíîå äâèæåíèå (äâèæåíèå ïî èíåðöèè) ïðîèñõîäèò ïðÿìîëèíåéíî. Íî ïðÿìàÿ - ýòî ïðîñòåéøåå ïîíÿòèå ãåîìåòðèè. Òåì ñàìûì ìû åñòåñòâåííûì îáðàçîì óñòàíàâëèâàåì ñâÿçü ìåæäó ôèçèêîé è ãåîìåòðèåé.  íàøåì ìèðå ñïðàâåäëèâà òàê íàçûâàåìàÿ ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà, â êîòîðîé ïðîñòðàíñòâî òðåõìåðíî (ïðàâî -ëåâî, âåðõ-íèç, âïåðåä-íàçàä), ñóùåñòâóåò òîëüêî îäíà ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ äâå òî÷êè, ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà âñåãäà ðàâíà 180 ãðàäóñà è ò. ä.) Ïî ïðÿìîé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êðàò÷àéøèì ðàññòîÿíèåì ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñâåòîâîé ëó÷ (â ýòîì ìû ñíîâà îáíàðóæèâàåì ñâÿçü ôèçèêè è ãåîìåòðèè). 238

Íî ïîìèìî åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè ñóùåñòâóþò è äðóãèå, íåýâêëèäîâû ãåîìåòðèè. Ïåðâûì òàêóþ íåýâêëèäîâó ãåîìåòðèþ ïîñòðîèë ðóññêèé ìàòåìàòèê ðåêòîð Êàçàíñêîãî óíèâåðñèòåòà Í.Ëîáà÷åâñêèé (1829ã.).  êà÷åñòâå íàãëÿäíîãî ïðèìåðà “ìèðà”, ãäå ãåîìåòðèÿ íåýâêëèäîâà, ìîæíî ïðèâåñòè êðèâîé ìèð ïîâåðõíîñòè øàðà. Äâóõìåðíûå ñóùåñòâà â ýòîì ìèðå (ó íèõ íå áûëî áû âûñîòû) ïîä “ïðÿìîé” (êðàò÷àéøåé) ëèíèåé ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ïîíèìàëè áû äóãó áîëüøîãî êðóãà, ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà, ëåæàùåãî íà ïîâåðõíîñòè øàðà, óæå íå áûëà áû ðàâíà 180 ãðàäóñàì è ò.ä. Ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ î ãåîìåòðèè íà ïîâåðõíîñòè øàðà ìîæíî îáîáùèòü íà áîëåå ñëîæíûå ïîâåðõíîñòè. Íî ãëàâíûì â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà - ýòî ëèøü îäíà èç âîçìîæíûõ ãåîìåòðèé. À òàê êàê ãåîìåòðèÿ ñâÿçàíà ñ ôèçèêîé, òî ñëåäîâàòåëüíî, ìîãóò ñóùåñòâîâàòü èíûå ìèðû, ãäå äåéñòâóþò áîëåå ñëîæíûå ôèçè÷åñêèå çàêîíû. È ñíîâà ïåðâûì, êòî ïûòàëñÿ âûÿñíèòü, êàêîé ãåîìåòðèè ïîä÷èíÿåòñÿ íàø ìèð, áûë Í. Ëîáà÷åâñêèé. Íåòî÷íîñòü èçìåðåíèé íå ïîçâîëèëà åìó íàéòè ïðàâèëüíûé îòâåò. Îñíîâíóþ èäåþ Í. Ëîáà÷åâñêîãî (ñâÿçü ãåîìåòðèè ìèðà è ôèçèêè) òðàíñôîðìèðîâàë â ñâîåé òåîðèè À. Ýéíøòåéí. Íåîäíîðîäíîñòü ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, èçìåíåíèå åãî îò òî÷êè ê òî÷êå Ýéíøòåéí îáúÿñíèë ïàðàäîêñàëüíî: ãåîìåòðèÿ ôèçè÷åñêîãî ìèðà íå åâêëèäîâà è òàêîãî ôèçè÷åñêîãî îáúåêòà - ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ - íå ñóùåñòâóåò, íåò è íèêàêèõ ñèë òÿãîòåíèÿ. È äâèæåíèå, êîòîðîå ìû äî ñèõ ïîð íàçûâàåì ñâîáîäíûì ïàäåíèåì, ôàêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíûì äâèæåíèåì ïî êðàò÷àéøåé (ãåîäåçè÷åñêîé) ëèíèè â ýòîì íååâêëèäîâîì ìèðå.  ýòîì ìåñòå íàøèõ ðàññóæäåíèé ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî äëÿ îïèñàíèÿ ëþáîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà, â òîì ÷èñëå è ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ, íóæíî çàäàâàòü íå òîëüêî ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû, íî è âðåìÿ. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ íàø ìèð ÿâëÿåòñÿ íå òðåõ-, à ÷åòûðåõìåðíûì. Ïðàâäà, âðåìÿ, â îòëè÷èå îò ïðîñòðàíñòâåííûõ êîîðäèíàò, ìîæåò èçìåíÿòüñÿ òîëüêî îò ïðîøëîãî ê áóäóùåìó. Ñâÿçü ôèçèêè ñ ãåîìåòðèåé ïðîÿâëÿåòñÿ è â òîì, ÷òî íå òîëüêî ïðîñòðàíñòâåííûé ìèð ìîæåò áûòü 239

íååâêëèäîâûì, íî è õîä âðåìåíè â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà ìîæåò áûòü ðàçíûì. Òåïåðü óñòàíîâèì, îò ÷åãî çàâèñèò ãåîìåòðèÿ ìèðà. Äëÿ ýòîãî ñîâåðøèì êðàòêîå ïóòåøåñòâèå ñ ôèçè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè,  òîì, ÷òî ýòè ïîíÿòèÿ òðóäíû äëÿ ÷åëîâå÷åñêîãî ñîçíàíèÿ, ìû óáåæäàåìñÿ íà ìíîãî÷èñëåííûõ ïðèìåðàõ, íàïðèìåð, ïóòàíèöà ñ ïîíÿòèÿìè “â÷åðà” è “çàâòðà” â äåòñêîì âîçðàñòå, òðóäíîñòè îðèåíòèðîâêè â ïðîñòðàíñòâå, êîòîðîé ëèøåíû è ìíîãèå âçðîñëûå (êîãäà - òî ê ðóêàâàì îäåæäû íåãðàìîòíûõ íîâîáðàíöåâ ïðèâÿçûâàëè ïó÷êè ñåíà è ñîëîìû è äëÿ ïîâîðîòà íàïðàâî è íàëåâî îòäàâàëèñü êîìàíäû “íà ñåíî!” èëè “íà ñîëîìó!”. Íå ïðàâäà ëè, ñìåøíî, à âñïîìíèì, ÷òî ïðîèñõîäèò â ñòðîþ øêîëüíèêîâ, êîãäà ïîäàåòñÿ îäíà èç êîìàíä ïîâîðîòà...). Îïóñêàÿ “ñòðàíèöó” íàèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè â äðåâíèå âðåìåíà, íà÷íåì ïóòåøåñòâèå ñ íàó÷íûõ ïðåäñòàâëåíèé È. Íüþòîíà. Ïðîñòðàíñòâî, ïî Íüþòîíó, - ýòî “ÿùèê”, âìåñòèëèùå âñåãî áûòèÿ, îíî ñóùåñòâóåò íåçàâèñèìî îò òåë è ÿâëåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ ⠓ÿùèêå”. Âðåìÿ ýòî äëèòåëüíîñòü ïðîöåññîâ (ÿâëåíèé), âî âñåì ìèðå ñóùåñòâóåò åäèíîå (ìèðîâîå) âðåìÿ, åãî õîä íå çàâèñèò íè îò ìåñòà íàõîæäåíèÿ ÷àñîâ, íè îò õàðàêòåðà ïðîöåññîâ. Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ íå ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì, íå âëèÿþò äðóã íà äðóãà, îíè ñàìîñòîÿòåëüíûå ñóùíîñòè. Íå êàñàÿñü ïðè÷èíû ýâîëþöèè íàøèõ ïðåäñòàâëåíèé î ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè (èíòåðåñóþùèõñÿ ýòèì âîïðîñîì îòñûëàåì ê êíèãå àâòîðà ñòàòüè, óêàçàííîé íèæå â ñïèñêå ëèòåðàòóðû), ñôîðìóëèðóåì êðàòêî òî íîâîå, ÷òî âíåñ â äàííóþ ïðîáëåìó À. Ýéíøòåéí â ñâîåé ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. Îêàçàëîñü, ÷òî íåëüçÿ îòðûâàòü ïðîñòðàíñòâåííîå îïèñàíèå ÿâëåíèÿ îò âðåìåííîãî ìîìåíòà, èìåííî òîãäà ôàêòè÷åñêè â ôèçèêó áûëî ââåäåíî ïðåäñòàâëåíèå î òîì, ÷òî íàø ìèð èìååò ÷åòûðå èçìåðåíèÿ (òðè ïðîñòðàíñòâåííûõ è îäíî âðåìåííîå). À òàê êàê â îñíîâó ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè áûë ïîëîæåí ïîñòóëàò î ïîñòîÿíñòâå ñêîðîñòè ñâåòà â îäíîðîäíîé è èçîòðîïíîé ñðåäå (îäèíàêîâîé âî âñåõ òî÷êàõ è ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì), åãî ìàêñè240

ìàëüíîñòè (ïðåäåëüíîñòè) â âàêóóìå è íåçàâèñèìîñòè îò ñêîðîñòè äâèæåíèÿ èñòî÷íèêà ñâåòà è íàáëþäàòåëÿ, òî îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî ñëåäîâàëî, ÷òî â ðàçíûõ òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà âðåìÿ òå÷åò ïî-ðàçíîìó (ïî îïðåäåëåíèþ, ñêîðîñòü ÷èñëåííî ðàâíà îòíîøåíèþ ïðîéäåííîãî ðàññòîÿíèÿ ê ïðîìåæóòêó âðåìåíè ïðîõîæäåíèÿ ýòîãî ðàññòîÿíèÿ, åñëè ìåíÿåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîáûòèÿìè äëÿ ðàçíûõ íàáëþäàòåëåé, òî è ïðîìåæóòêè âðåìåíè òàêæå äîëæíû èçìåíÿòüñÿ, òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå ìîæåò áûòü âñåãäà îäíîé è òîé æå âåëè÷èíîé).  ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, êàê è â òåîðèè Íüþòîíà, ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî è èçîòðîïíî, è âðåìÿ ðàâíîìåðíî òå÷åò îò ïðîøëîãî ê áóäóùåìó. Ïðè ýòîì Ýéíøòåéí íå ó÷èòûâàåò, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè âáëèçè òÿãîòåþùèõ ìàññ ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà (è âðåìåíè) íå îáëàäàþò óêàçàííûìè ñâîéñòâàìè. Íàïðàâëåíèÿ â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè è ïî âåðòèêàëè íå ðàâíîöåííû (âñïîìíèòå õîäüáó ïî ðîâíîìó ìåñòó è â ãîðó!), ÷àñûõîäèêè, õîä êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ ïðèòÿæåíèåì ê Çåìëå, íà ðàâíèíå è âûñîêî â ãîðàõ èìåþò ðàçíûé ðèòì.  ðàññìàòðèâàåìîì âîïðîñå ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè, ñîçäàííàÿ Ýéíøòåéíîì çà 10 ëåò äî ÎÒÎ - â 1905 ãîäó, - ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííîé òåîðèåé. Íî ýòî íå óìàëÿåò åå çíà÷åíèÿ â ïîçíàíèè ïðèðîäû è â æèçíè ÷åëîâå÷åñêîãî îáùåñòâà. Èòàê, ÷òîáû ó÷åñòü âëèÿíèå íà ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè ãðàâèòèðóþùèõ ìàññ, Ýéíøòåéí è ïîñòðîèë îáùóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè. Âîò ìû è ïðèøëè ê îòâåòó íà ïîñòàâëåííûé âûøå âîïðîñ: îò ÷åãî çàâèñèò ãåîìåòðèÿ ìèðà. Ãåîìåòðèÿ ìèðà, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè, çàâèñÿò îò íàëè÷èÿ è äâèæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è âðåìåíè ìàòåðèè. Èìåííî òàì, ãäå èìååòñÿ “ñãóñòîê” ìàòåðèè, ãåîìåòðèÿ ìèðà îòëè÷àåòñÿ îò òîé ãåîìåòðèè, êîòîðóþ ìû íàáëþäàåì â ïðåäåëàõ ìàëîãî ó÷àñòêà çåìíîé ïîâåðõíîñòè è êîòîðóþ îáû÷íî íàçûâàåì ïëîñêîé ãåîìåòðèåé, èëè ãåîìåòðèåé Åâêëèäà. Âáëèçè æå ìàññèâíûõ çâåçä (ïëîòíîñòü èõ âåùåñòâà äîñòèãàåò ìíîãèõ ìëí. òîíí â 1 êóá. ñì, ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü Çåìëè - 5,5 ã/êóá. ñì) ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò òîãî, ÷òî ìû 241

îáíàðóæèâàåì âîêðóã íàñ íà Çåìëå. Ãîâîðÿò, ÷òî âáëèçè ìàññèâíûõ òåë ãåîìåòðèÿ íå Åâêëèäîâà, “êðèâàÿ”. Ïîñëåäíèì ñëîâîì õîòÿò îòìåòèòü îòëè÷èå íàáëþäàåìîé ãåîìåòðèè îò Åâêëèäîâîé.  òàêîì ïðîñòðàíñòâå (ïî ñóòè äåëà, íóæíî ãîâîðèòü î åäèíîì ïðîñòðàíñòâå - âðåìåíè) êðàò÷àéøèì ðàññòîÿíèåì ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè áóäåò íå åâêëèäîâà ïðÿìàÿ, à êðèâàÿ, ïîäîáíàÿ òîìó, êàê â äâóõìåðíîì “êðèâîì” ìèðå ïîâåðõíîñòè øàðà êðàò÷àéøèì ðàññòîÿíèåì ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè áóäåò äóãà áîëüøîãî êðóãà. Èìåííî ïî ýòîé “êðèâîé” (ãåîäåçè÷åñêîé) áóäåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñâåòîâîé ëó÷, ïî òàêîé ãåîäåçè÷åñêîé ëèíèè áóäåò ïðîèñõîäèòü ñâîáîäíîå äâèæåíèå òåëà. Âñå èçëîæåííîå âûøå ñëåäóåò èç ñëîæíåéøèõ óðàâíåíèé, êîòîðûå Ýéíøòåéí ïîëó÷èë â ñâîåé òåîðèè. (Ñëîæíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ÎÒÎ îãðàíè÷èâàåò êðóã ó÷åíûõ, êîòîðûå çàíèìàþòñÿ ðàçðàáîòêîé ïðîáëåì ÎÒÎ. Èç ñîòåí òûñÿ÷ ôèçèêîâ è ìàòåìàòèêîâ íà çåìíîì øàðå òîëüêî íåñêîëüêî ñîòåí ó÷åíûõ ïîñâÿòèëè ñåáÿ ýòîé òåîðèè. Äàííîå çàìå÷àíèå ñäåëàíî äëÿ òåõ ìîëîäûõ ëþäåé, êîòîðûå èùóò îáëàñòü ïðèëîæåíèÿ ñâîèõ ñïîñîáíîñòåé è îñóùåñòâëåíèÿ ìå÷òàíèé).  1922 ãîäó ëåíèíãðàäñêèé ìàòåìàòèê À. À. Ôðèäìàí ðåøèë ýòè óðàâíåíèÿ è ïîëó÷èë ïîðàçèòåëüíûé ðåçóëüòàò: íàø îáîçðèìûé ìèð íå ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ñòàòè÷åñêîì, ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè, îí äîëæåí ëèáî ðàñøèðÿòüñÿ, ëèáî ñæèìàòüñÿ. Âñå çàâèñèò îò ñðåäíåé ïëîòíîñòè âåùåñòâà âî Âñåëåííîé: åñëè ýòà ïëîòíîñòü ìåíüøå, ÷åì 10 −29 ã/êóá. ñì, òî ìèð áóäåò âå÷íî ðàñøèðÿòüñÿ; åñëè æå ýòà ïëîòíîñòü ïðåâûøàåò 10 −29 ã/êóá. ñì, òî Âñåëåííàÿ äîëæíà ñæèìàòüñÿ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ íåò äîñòîâåðíûõ äàííûõ î ñðåäíåé ïëîòíîñòè âåùåñòâà â ìèðå. Íî âîò â 1929 ãîäó àìåðèêàíñêèé àñòðîíîì Õàááë îáíàðóæèë, ÷òî äàëåêèå çâåçäû îò íàñ “óáåãàþò”, ìèð ðàñøèðÿåòñÿ, ÷òî ïðåäñêàçûâàëî îäíî èç ðåøåíèé Ôðèäìàíà. ×òî áóäåò ñî Âñåëåííîé ïîòîì (÷åðåç ìíîãî ìëðä. ëåò), áóäåò îíà è äàëüøå ðàñøèðÿòüñÿ èëè íàñòóïèò êîíåö ðàñøèðåíèþ è íà÷íåòñÿ ñæàòèå (ýòî äðóãîé âàðèàíò ðåøåíèÿ Ôðèäìàíà) çàâèñèò îò ñðåäíåé ïëîòíîñòè âåùåñòâà â ìèðå. 242

Îäíàêî åñëè ìèð ñåé÷àñ ðàñøèðÿåòñÿ, òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü, ñêîëüêî âðåìåíè íàçàä íà÷àëîñü ýòî ðàñøèðåíèå, êîãäà ìàòåðèÿ áûëà ñêîíöåíòðèðîâàíà â îòíîñèòåëüíî ìàëîì îáúåìå, êîãäà ïðîèçîøëî òî, ÷òî ïîëó÷èëî íàçâàíèå “Áîëüøîé âçðûâ”. Ýòó èäåþ ïåðâûì âûñêàçàë íàø ñîîòå÷åñòâåííèê Ã. Ãàìîâ. Ó÷åíûå îáíàðóæèëè è âåñòî÷êó îò ýòîãî “âçðûâà”, òàê íàçûâàåìîå “ðåëèêòîâîå” (îñòàòî÷íîå îò äðåâíîñòè) èçëó÷åíèå, êîòîðîå ñîïðîâîæäàëî “âçðû┠è çàòåì, ðàñøèðÿÿñü, çàïîëíèëî âñå ìèðîâîå ïðîñòðàíñòâî. Åñëè ó÷åíûå óñòàíîâÿò, ÷òî ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü ìàòåðèè âî Âñåëåííîé áîëüøå 10 −29 ã/êóá. ñì, òî íàáëþäàåìîå ñåé÷àñ ðàñøèðåíèå äîëæíî îñòàíîâèòüñÿ è íà÷íåòñÿ ñæàòèå. Âñå ýòàïû æèçíè Âñåëåííîé ïðîäîëæàþòñÿ äåñÿòêè ìëðä. ëåò. Ïîýòîìó äîñòîâåðíî ãîâîðèòü î “Áîëüøîì âçðûâå” êàê îá àêòå òâîðåíèÿ ìèðà íå ñëåäóåò. Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ìîäåëè ðàçâèòèÿ Âñåëåííîé. Íàïðèìåð, Âñåëåííàÿ ïîäîáíà ìàÿòíèêó è ïåðèîäû ðàñøèðåíèÿ ñìåíÿþòñÿ ïåðèîäàìè ñæàòèÿ, è ýòè ïðîöåññû ïîâòîðÿþòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Êîíå÷íî, ìèð áåñïðåðûâíî îáíîâëÿåòñÿ, îäíè çâåçäû ñãîðàþò, äðóãèå ðîæäàþòñÿ. Íî äëÿ òàêîé ìîäåëè ðàçâèòèÿ íå òðåáóåòñÿ êàêîãî-ëèáî ïåðâîíà÷àëüíîãî òîë÷êà.  ýòîé ìîäåëè ðàçâèòèÿ Âñåëåííîé “Áîëüøîé âçðû┠- ýòî òîò ìîìåíò, êîãäà ãðàâèòàöèîííîå ïðèòÿæåíèå âñåõ òåë Âñåëåííîé îêàçàëîñü ñëàáåå òîãî ïðîòèâîäåéñòâóþùåãî ñâåòîâîãî äàâëåíèÿ, êîòîðîå ñîçäàþò ìèëëèàðäû çâåçä ïðè ñâîåì ñáëèæåíèè. Óðàâíåíèÿ Ýéíøòåéíà ïðåäñêàçûâàþò ñóùåñòâîâàíèå “ãðàâèòàöèîííûõ âîëí” - ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ èçìåíåíèé ñâîéñòâ ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè, âîçíèêàþùèõ èç-çà ìîùíûõ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ âî Âñåëåííîé. Äî ñèõ ïîð ýêñïåðèìåíòàëüíî ãðàâèòàöèîííûå âîëíû íå îáíàðóæåíû.  ÎÒÎ áûëè ïðåäñêàçàíû òàê íàçûâàåìûå íåéòðîííûå çâåçäû, â êîòîðûõ èççà ìîùíûõ ãðàâèòàöèîííûõ âçàèìîäåéñòâèé àòîìû áûëè “ðàçäàâëåíû”, ýëåêòðîíû “âäâèíóòû” â ÿäðà è, ñîåäèíÿÿñü ñ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûìè ïðîòîíàìè, âõîäÿùèìè â ñîñòàâ ÿäåð, ïðåâðàùàëè èõ â íåéòðàëüíûå ÷àñòèöû-íåéòðîíû (îòñþäà è íàçâàíèå ýòèõ çâåçä). 243

Äàëüíåéøåå ñæàòèå çâåçäû ìîæåò ïðèâåñòè åå ê “êîëëàïñó” - êàòàñòðîôè÷åñêîìó óìåíüøåíèþ ðàçìåðîâ è ïðåâðàùåíèþ â òàê íàçûâàåìóþ “÷åðíóþ äûðó”. Òàêîå íàçâàíèå âîçíèêëî ïîòîìó, ÷òî âîêðó㠓÷åðíîé äûðû” ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ ïðèîáðåëè òàêèå ñâîéñòâà, òàêóþ “êðèâèçíó”, ÷òî íè îäèí ñèãíàë íå ìîæåò ïîêèíóòü òàêóþ çâåçäó, îíà äåéñòâèòåëüíî ñòàíîâèòñÿ íåâèäèìîé - “÷åðíîé äûðîé” âî Âñåëåííîé. È âñå æå “÷åðíóþ äûðó” ìîæíî îáíàðóæèòü ïî åå ìîùíîìó âëèÿíèþ íà äâèæåíèå äðóãèõ íåáåñíûõ òåë. Ó “÷åðíîé äûðû” åñòü è äðóãèå ýêçîòè÷åñêèå ñâîéñòâà... Çàâåðøàÿ ðàññêàç îá ÎÒÎ, ìû îòñûëàåì ÷èòàòåëÿ ê óêàçûâàåìîé íèæå ëèòåðàòóðå (îíà åñòü, íàïðèìåð, â îáëàñòíîé íàó÷íîé áèáëèîòåêå), â êîòîðîé ìîæíî åùå ðàç ïðîñëåäèòü ëîãèêó ïîñòðîåíèÿ ÎÒÎ è ïîçíàêîìèòüñÿ ñ äðóãèìè ðåøåííûìè è íåðåøåííûìè çàäà÷àìè ÎÒÎ. Çàêëþ÷åíèå Àâòîð âûïîëíèë ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó - íàïèñàòü Ââåäåíèå â óäèâèòåëüíûé ìèð îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè ðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè òÿãîòåíèÿ. È âñå æå îí ñ ñîæàëåíèåì ðàññòàåòñÿ ñ òåìè ÷èòàòåëÿìè, êîòîðûå äî÷èòàëè Ââåäåíèå äî ïîñëåäíåé ñòðàíèöû. Ñîæàëåíèå ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ìû òîëüêî íà÷àëè çíàêîìèòüñÿ ñ êðàñèâåéøåé òåîðèåé, ñîçäàííîé ãåíèåì ÷åëîâå÷åñòâà - Àëüáåðòîì Ýéíøòåéíîì. Òåîðèÿ åùå íå çàâåðøèëà ñâîåãî ðàçâèòèÿ è ïðåäñòàâëÿåò áîëüøèå òâîð÷åñêèå âîçìîæíîñòè äëÿ òåõ, êòî õî÷åò ñâÿçàòü ñâîþ áóäóùóþ æèçíü ñ ÔÈÇÈÊÎÉ. Íî ñíà÷àëà íóæíî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ òåì, ÷òî óæå ñäåëàíî äàëüøå òîãî, î ÷åì ðàññêàçàíî âî Ââåäåíèè. Èìåííî äëÿ òàêèõ ëþáîçíàòåëüíûõ àâòîð ñîñòàâèë êðàòêèé ñïèñîê äîïîëíèòåëüíîé ëèòåðàòóðû.

244

Ëèòåðàòóðà äëÿ äîïîëíèòåëüíîãî ÷òåíèÿ

1. Ýéíøòåéí À. Ñóùíîñòü òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè. - Ì.-Ë., 1955. 2. Ýéíøòåéí A., Èíôåëüä Ë. Ýâîëþöèÿ ôèçèêè. - Ì.: Ìîëîäàÿ ãâàðäèÿ, 1966. 3. Áîðí Ì. Ýéíøòåéíîâñêàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. - Ì.: Ìèð, 1972. 4. Áðàãèíñêèé Â.Á.,Ïîëíàðåâ À.Ã. Óäèâèòåëüíàÿ ãðàâèòàöèÿ. - Ì.: Íàóêà, 1985. 5. Çåëüäîâè÷ ß.Á., Õëîïoâ Ì.Þ. Äðàìà èäåé â ïîçíàíèè ïðèðîäû. - Ì.: Íàóêà, 1988. 6. Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèôøèö Å.Ì. Òåîðèÿ ïîëÿ. - Ì.: Íàóêà, 1972. 7. Ëüâîâ Âë. Ýéíøòåéí. - Ì.: Íàóêà, 1959.

8. Íîâèêîâ È.Ä. Ýíåðãåòèêà ÷åðíûõ äûð. - Ì.: Çíàíèå. Cåðèÿ: Ôèçèêà, 1986. 9. Íîâèêîâ È.Ä. Êàê âçîðâàëàñü Âñåëåííàÿ. -Ì.: Á-êà “Êâàíò”, 1988. 10. Ïàéñ À. Íàó÷íàÿ äåÿòåëüíîñòü è æèçíü À.Ýéíøòåéíà. Ì.:Íàóêà,1989. 11. Ðîçìàí Ã.À. Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. ×I äàííîé êíèãè. 12. Ñá.”Øêîëüíèêàì î ñîâðåìåííîé ôèçèêå”. - Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1974.

13. Ôðîëîâ Â.Ï. Ãðàâèòàöèÿ, óñêîðåíèå, êâàíòû. - Ì.: Çíàíèå. Cåðèÿ: Ôèçèêà, 1988.

14. Ôðîëîâ Â.Ï. Ââåäåíèå â ôèçèêó ÷åðíûõ äûð. - Ì.: Çíàíèå. Cåðèÿ: Ôèçèêà, 1983. 15. Âèçèãèí Â.Ï. Ðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ òÿãîòåíèÿ. - Ì.: Íàóêà, 1981.

245

Ïðèëîæåíèÿ Ïðèëîæåíèå 1. Âûâîä ôîðìóëû (9.8) Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ôîðìóëû (9.7) äëÿ ñëó÷àÿ ñëàáîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ áûëè ââåäåíû ñëåäóþùèå ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà: q11=q22=q33=1+p; q44=-c2(1+q);

g αβ = rαβ ïðè α ≠ β ,

ãäå p, q è rαβ ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé. Ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà â ôoðìóëó (9.7):   mc (q44dx4 + q34dx3 + q24dx2 + q14dx1 ) ∑ qα , β dxα dxβ  E= −i  α ,β

−1 / 2

(Ï.1)

Ïðåîáðàçóåì ÷èñëèòåëü: q44dx4+q34dx3+q24dx2+q14dx1= =-ñ2(1+q)dt+r34dx3+r24dx2+r14dx1=  

2 = − ñ dt 1 + q −

r14 r r  u − 242 u y − 342 u z . 2 x c c c 

Ïðåîáðàçóåì çíàìåíàòåëü: 1/ 2

   q dx dx  α ,β α β ∑  α ,β  

=(q11dx12+q22dx22+q33dx32+q44dx42+

+2q12dx1dx2+2q13dx1dx3+2q14dx1dx4+2q23dx2dx3+ +2q24dx2dx4+2 q34dx3dx4 )= =(1+p)dx12+(1+p)dx22+(1+p)dx32- ñ2(1+q)dx42+2r12dx1dx2++2r13dx1dx3+2r14dx1dx4+2r23dx2dx3+ +2r24dx2dx4+2 r34dx3dx4 = Òàê êàê cdx4=cdt, c2dx 42=c2dt 2, òî âûíåñåì èç-ïîä êîðíÿ

(− c dt ) 2

2 1/ 2

=icdt è ñîêðàòèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü íà îáùèé

ìíîæèòåëü cdt. Äàëåå ðàçäåëèì âñå ÷ëåíû íà -c2dt2. 1/ 2

 1 + p dx12 + dx22 + dx32 dx dx  − 2ri ,k 2i 2k  =  (1 + q ) − 2 ⋅ 2 c dt c dt   246

=

1/ 2

 uu u u  u2 uu u  (1 + q ) − (1 + p ) − 2 r12 x y − 2 r13 x z − 2 r14 x − 2 r23 y z −  2 2 2 2 c c c c c2  =   u   − 2 r24 y − 2r34 uz c2 c2  

i ≠ k =1,2,3,4; dx4=dt

Ñîñòàâëÿÿ èñõîäíóþ ôîðìóëó, ïîëó÷àåì (9.8). Ïðèëîæåíèå 2. Êðàòêèé òîëêîâûé ñëîâàðèê òåðìèíîâ, âñòðå÷àþùèõñÿ â äàííîì ïîñîáèè Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà - ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ îäíî è òî æå çíà÷åíèå â ëþáîé ñèñòåìå îòñ÷åòà (èíâàðèàíò - ñèíîíèì). Íàïðèìåð, äëèíà â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå - àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà, ñêîðîñòü ñâåòà â ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè - èíâàðèàíò. Àáñîëþòíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà - èçáðàííàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé äâèæåíèå è ïîêîé èìåëè áû àáñîëþòíûé õàðàêòåð. Òàêàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà ïðåäïîëàãàëàñü ñóùåñòâóþùåé â ìåõàíèêå Íüþòîíà, åå ïðåäñòàâëÿëè â âèäå “ÿùèêà”, âìåñòèëèùà âñåãî ìèðà. Òàêóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà ïûòàëèñü ñâÿçàòü ñ ýôèðîì.  CTÎ À. Ýéíøòåéí ïîêàçàë, ÷òî àáñîëþòíîé ÑO íå ñóùåñòâóåò, âñå ÑÎ, äâèæóùèåñÿ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî - èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà ðàâíîïðàâíû. Ýéíøòåéíó íå ïîòðåáîâàëñÿ ýôèð, òàê êàê îí ïðèçíàë çà ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì ôèçè÷åñêóþ ðåàëüíîñòü, ìàòåðèàëüíóþ ñðåäó, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êîòîðîé íå íóæíà ïðîìåæóòî÷íàÿ ñðåäà âðîäå ýôèðà. Áëèçêîäåéñòâèå - ïðèíöèï ñîâðåìåííîé ôèçèêè, ñ÷èòàþùåé, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ìàòåðèàëüíîãî ïðîöåññà, ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîòîðîãî ïðåâûøàåò ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó áëèçêîäåéñòâèÿ âçàèìîäåéñòâèå (èíôîðìàöèÿ) ïåðåäàåòñÿ îò òî÷êè ê òî÷êå ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ. Áëèçíåöîâ ïàðàäîêñ - ýôôåêò, îáúÿñíÿåìûé â ÎTO ôaêòè÷åñêèì, à íå oòíîñèòåëüíûì, êàê â ÑÒÎ, ðàçëè÷èåì õîäà 247

÷àñîâ â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ñóòü ïàðàäîêñà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îäèí èç áëèçíåöîâ îñòàåòñÿ íà Çåìëå (ÈÑÎ), äðóãîé æå óëåòàåò íà êîñìè÷åñêîì êîðàáëå (ÍÑÎ) è ïî âîçâðàùåíèè äîìîé íå çàñòàåò îäíîãîäîê, òàê êàê (â çàâèñèìîñòè îò âåëè÷èíû óñêîðåíèÿ ðàêåòû) íà Çåìëå ïðîéäåò äåñÿòêè (ñîòíè) ëåò, â òî âðåìÿ êàê íà êîðàáëå ïðîéäåò ëèøü íåñêîëüêî ëåò. Âåëè÷èíà îòíîñèòåëüíàÿ - âåëè÷èíà, ÷èñëåííîå çíà÷åíèå êîòîðîé çàâèñèò îò âûáîðà ÑÎ. Íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòà ñîáûòèÿ, èëè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ îáúåêòà. Âîëíû ãðàâèòàöèîííûå - ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîçìóùåíèÿ, âîçíèêàþùåãî â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè èç-çà íàðóøåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ íåáåñíûõ òåë. Íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííûå âîëíû äîëæíû âîçíèêàòü ïðè âçðûâå çâåçä â ðåçóëüòàòå íàðóøåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèë ãðàâèòàöèîííîãî ñæàòèÿ è ñèë, ñâÿçàííûõ ñî ñâåòîâûì äàâëåíèåì. Äî ñèõ ïîð ãðàâèòàöèîííûå âîëíû ýêñïåðèìåíòàëüíî íå îáíàðóæåíû. Ãåîäåçè÷åñêàÿ ëèíèÿ - êðàò÷àéøàÿ òðàåêòîðèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñâîéñòâàì ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà - âðåìåíè.  åâêëèäîâîé ãåîìåòðèè - ýòî ïðÿìàÿ ëèíèÿ.  íååâêëèäîâîé ãåîìåòðèè âèä ãåîäåçè÷åñêîé êðèâîé çàâèñèò îò ñâîéñòâ äàííîé ãåîìåòðèè, êîòîðûå, â ñâîþ î÷åðåäü, çàâèñÿò îò ìàòåðèàëüíûõ òåë, çàïîëíÿþùèõ ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ. Ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ - ðàäèóñ ñôåðû, íà ïîâåðõíîñòè êîòîðîé ñèëà òÿãîòåíèÿ, ñîçäàííàÿ ìàññàìè, ëåæàùèìè âíóòðè ýòîé ñôåðû, ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Åñëè çâåçäà ïîä äåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííûõ ñèë ñîæìåòñÿ äî ðàçìåðîâ, ìåíüøèõ åå ãðàâèòàöèîííîãî ðàäèóñà, òî íèêàêàÿ èíôîðìàöèÿ - ñèãíàë íå ñìîæåò ïðåîäîëåòü ïîëå òÿãîòåíèÿ òàêîé ñæàâøåéñÿ (ñêîëëàïòèðîâàâøåéñÿ) çâåçäû. Ïîýòîìó òàêîé îáúåêò Âñåëåííîé ïîëó÷èë íàçâàíèå “÷åðíàÿ äûðà”. Ãîðèçîíò ìèðà - ðàññòîÿíèå äî ñàìûõ óäàëåííûõ çâåçä, îò êîòîðûõ âîñïðèíèìàåòñÿ ñèãíàë (âèäèìîãî èëè ðåíòãåíîâñêîãî äèàïàçîíà). Ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî ýòî ðàññòîÿíèå ïîðÿäêà 10-15 ìëðä.ñâåòîâûõ ëåò (1 ñâåòîâàÿ ñåêóíäà - ýòî ðàññòîÿíèå, êîòîðîå ñâåò ïðîõîäèò çà 1 ñåêóíäó, îíî ðàâíî 300000 êì.). 248

Ãðàâèòàöèîííûé êîëëàïñ - êàòàñòðîôè÷åñêîå ñæàòèå çâåçäû ïîä äåéñòâèåì ñèë òÿãîòåíèÿ. Ýòîò ïðîöåññ ìîæåò íàñòóïèòü òîãäà, êîãäà âûãîðàåò “çâåçäíîå ãîðþ÷åå” è ñâåòîâîå äàâëåíèå íå ìîæåò óðàâíîâåøèâàòü ñèëû òÿãîòåíèÿ. Ãðàâèòîí - ãèïîòåòè÷åñêàÿ ÷àñòèöà, ñîïîñòàâëÿåìàÿ â êâàíòîâîé òåîðèè ãðàâèòàöèè âîçìóùåííîìó ñîñòîÿíèþ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Äàëüíîäåéñòâèå - îñíîâíîå ïðåäñòàâëåíèå (ïðèíöèï) êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, óòâåðæäàþùåå, ÷òî äåéñòâèå (èíôîðìàöèÿ) ìîæåò ïåðåäàâàòüñÿ íà ëþáîå ðàññòîÿíèå ìãíîâåííî. Ñ ýòèì óòâåðæäåíèåì ñîãëàñóåòñÿ êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé, èç êîòîðîé ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íîé ñêîðîñòè. Äîïëåðà ýôôåêò - èçìåíåíèå âîñïðèíèìàåìîé ÷àñòîòû êîëåáàíèé çâóêîâûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ïðè îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè èñòî÷íèêà è ïðèåìíèêà âîëí. Îïòè÷åñêèé Äîïëåðà ýôôåêò ïîçâîëèë óñòàíîâèòü, ÷òî Âñåëåííàÿ â âèäèìîé åå ÷àñòè ðàñøèðÿåòñÿ. Èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà (ÈÑÎ) - ñèñòåìà îòc÷åòà, â êîòîðîé âûïîëíÿåòñÿ çàêîí èíåðöèè: ñâîáîäíîå òåëî èëè ïîêîèòñÿ, èëè äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî. Òàêèõ ÑÎ ñóùåñòâóåò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî, îíè äâèæóòñÿ îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî. Âñå ÈCO ðàâíîïðàâíû è âûáîð îäíîé èç íèõ îáóñëîâëåí ëèøü ôèçè÷åñêîé íåîáõîäèìîñòüþ è ïðîñòîòîé ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ. Èíâàðèàíòíîñòü - ñîõðàíåíèå (íåèçìåííîñòü) âèäà ôîðìóëû (èëè ÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû) ïðè ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò è âðåìåíè.  êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ôîðìóëà 2-ãî çàêîíà Íüþòîíà (à ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèå, ìàññà, ñèëà) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ; â ÑÒÎ èíâàðèàíòíîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ëîðåíöà.  ÑÒÎ èíâàðèàíòíûìè ÿâëÿþòñÿ âñå 4-õ âåêòîðû (èíòåðâàë, 4-õ âåêòîð ñêîðîñòè, 4-õ âåêòîð ýíåðãèè-èìïóëüñà è ò.ä.). 249

Èíòåðâàë - íîâàÿ àáñîëþòíàÿ (èíâàðèàíòíàÿ) âåëè÷èíà, ââåäåííàÿ â ÑÒ0 âçàìåí ïî îòäåëüíîñòè îòíîñèòåëüíûõ äëèíû è âðåìåíè. Íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ðèìàí (ÕIÕ â.) ïîêàçàë, ÷òî èíòåðâàë ïîëíîñòüþ îòðàæàåò âñå ñâîéñòâà ãåîìåòðèè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè. Êîñìîëîãèÿ - ôèçè÷åñêîå ó÷åíèå î ñòðîåíèè è ïðîèñõîæäåíèè Âñåëåííîé. Êðàñíîå ñìåùåíèå - îäèí èç ýôôåêòîâ, ïðåäñêàçàííûõ ÎÒÎ. Îíî îáóñëîâëåíî ñâîéñòâàìè íåýâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâàâðåìåíè, ñ âëèÿíèÿìè íà ýòè ñâîéñòâà ãðàâèòèðóþùèõ òåë. Ïðè âûõîäå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí èç ñèëüíîãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ÷àñòîòà âîëí óìåíüøàåòñÿ. Ïåðâîïðè÷èíîé êðàñíîãî ñìåùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çàìåäëåíèå õîäà ÷àñîâ (ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññîâ), â ñèëüíîì ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, ÷àñòîòà æå ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññîâ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðèîäó êîëåáàíèé. Êîëëàïñ çâåçäû - ñì. Ãðàâèòàöèîííûé ðàäèóñ. Ìåòðè÷åñêèé òåíçîð - ñîâîêóïíîñòü âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèõ ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè. Åãî êîìïîíåíòû îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðàñïîëîæåíèåì, òàê è âåëè÷èíîé, è äâèæåíèåì òÿãîòåþùèõ ìàññ. ̸ññáàóýðà ýôôåêò - èñïóñêàíèå èëè ïîãëîùåíèå ãàììàêâàíòîâ àòîìíûìè ÿäðàìè, ðàñïîëîæåííûìè â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè òâåðäîãî òåëà. Ýòî èçëó÷åíèå íå ñîïðîâîæäàåòñÿ èçìåíåíèåì âíóòðåííåé ýíåðãèè òåëà è ñïåêòðàëüíûå ëèíèè èçëó÷åíèÿ èìåþò î÷åíü ìàëóþ åñòåñòâåííóþ øèðèíó. Íåèíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà (ÍÑÎ) - ÑÎ, â êîòîðîé ïîìèìî ñèë íüþòîíîâñêîé ïðèðîäû, îáóñëîâëåííûõ âçàèìîäåéñòâèåì òåë, ââîäÿòñÿ ñèëû èíåðöèè, îáóñëîâëåííûå óñêîðåííûì äâèæåíèåì ÑÎ, èëè ëîêàëüíî ýêâèâàëåíòíûìè èì ãðàâèòàöèîííûå ñèëû. Îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà ðàâíîöåííîñòü âñåõ òî÷åê è âñåõ íàïðàâëåíèé ïðîñòðàíñòâà. Îäíîðîäíîñòü âðåìåíè - ðàâíîöåííîñòü âñåõ ìîìåíòîâ âðåìåíè, êîòîðûå ìîæíî ïðèíÿòü çà íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè. 250

Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè - îäèí èç ïîñòóëàòîâ ÑÒÎ, óòâåðæäàþùèé, ÷òî âî âñåõ ÈÑÎ äåéñòâóþò îäíè è òå æå çàêîíû ïðèðîäû. Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè - â ÎÒÎ ýòîò ïðèíöèï óòâåðæäàåò, ÷òî ôèçè÷åñêè íåâîçìîæíî îòëè÷èòü ÈÑÎ, ïîêîÿùóþñÿ â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå, îò ÍÑÎ, .äâèæóùåéñÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì óñêîðåíèåì âíå ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ.  îáùåì ñëó÷àå ãðàâèòàöèîííîå ïîëå è óñêîðåííîå äâèæåíèå ìîãóò áûòü ñëîæíîé êîíôèãóðàöèè è âðåìåííîé çàâèñèìîñòè. Ñèñòåìà îòñ÷åòà - â ñîâðåìåííîé ôèçèêå - ýòî ôèçè÷åñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ ñî âñåìè íåîáõîäèìûìè ïðèáîðàìè, èñïîëüçóåìûìè ïðè èçó÷åíèè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.  ïîíÿòèå ÑÎ îáÿçàòåëüíî âõîäÿò òàêèå ýëåìåíòû, êàê òåëî îòñ÷åòà, ñèñòåìà êîîðäèíàò, ìàñøòàáû è ÷àñû. Ñâåòîâîé ãîä - åäèíèöà èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ, ðàâíàÿ ïóòè, ïðîõîäèìîìó ñâåòîì çà îäèí ãîä. Îí ðàâåí 9,46.1012êì.

251

Ñîäåðæàíèå ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ .............................................................................. 3 ×àñòü 1. Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè ...................................... 5 §1. Êëàññè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ î ïðîñòðàíñòâå, âðåìåíè è äâèæåíèè. Ìåòðèçàöèÿ ïðîñòðàíñòâà è ñèíõðîíèçàöèÿ ÷àñîâ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå ...................................................................... 5 §2. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ. Ôîðìóëû Ãàëèëåÿ. Àáñîëþòíûå è îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå. Èíâàðèàíòíîñòü çàêîíîâ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè .......... 10 §3. Ðåøåíèå çàäà÷ ñ âûáîðîì ðàçëè÷íûõ ñèñòåì îòñ÷åòà .................. 19 §4. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè è êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. Ýôèð. Îïûòû ïî îáíàðóæåíèþ ýôèðà .......................................... 26 §5. Ïîñòóëàòû Ýéíøòåéíà, èõ êàæóùàÿñÿ ïðîòèâîðå÷èâîñòü. Îòíîñèòåëüíîñòü îäíîâðåìåííîñòè, âðåìåíè è äëèíû ......... 35 §6. Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè â ÑÒÎ (ôîðìóëû Ëîðåíöà). Êèíåìàòè÷åñêèå ñëåäñòâèÿ èç ôîðìóë Ëîðåíöà .............................................................................. 41 §7. Çàäà÷è ïî êèíåìàòèêå ÑÒÎ ............................................................ 54 §8. Èíòåðâàë, åãî èíâàðèàíòíîñòü. Äâà âèäà èíòåðâàëà. Ñâåòîâîé êîíóñ ............................................................................... 60 §9. ×åòûðåõìåðíûé ìèð Ìèíêîâñêîãî ............................................... 66 §10. ×åòûðåõìåðíûé âåêòîð èìïóëüñà. Ôîðìóëà Ýéíøòåéíà ............ 69 §11. Ýôôåêò Äîïëåðà .............................................................................. 78 §12. Ìàññà ÷àñòèö èäåàëüíîãî è ðåàëüíîãî ãàçîâ.Äåôåêò ìàññû ........ 82 §13. Ðåøåíèå çàäà÷ ïî äèíàìèêå ÑÒÎ .................................................. 85 §14. Ðåëÿòèâèñòñêîå 4-õ-ìåðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ........................ 102 §15. Ðåëÿòèâèñòñêîå òðåõìåðíîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ....................... 107 §16. Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè ........................... 110 §17. Îòíîñèòåüíîñòü äåëåíèÿ åäèíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ............................................. 115 §18. Èíâàðèàíòû ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ........................................ 119 §19. Ôèçè÷åñêàÿ êàðòèíà ìèðà è ÑÒÎ ................................................ 120 §20. Ïîçíàíèå ïðîäîëæàåòñÿ... ............................................................ 123 ÏÐÈËÎÆÅÍÈß .................................................................................. 125 Ïðèëîæåíèå 1. Ê âûâîäó ôîðìóë Ëîðåíöà. ....................................... 125 Ïðèëîæåíèå 2. Íàõîæäåíèå êîýôôèöèåíòîâ α , δ , γ . ........................ 125 Ïðèëîæåíèå 3. “Ïàðàäîêñû” ÑÒÎ ...................................................... 126 Ïðèëîæåíèå 4. Ñóùåñòâóåò ëè “ðåëÿòèâèñòñêàÿ ìàññà”? ................... 131 252

253

Ïðèëîæåíèå 5. Êàê âîçíèê ìèô î “ðåëÿòèâèñòñêîé ìàññå” .............. 133 Ïðèëîæåíèå 6. Îðãàíèçàöèÿ è ìåòîäèêà ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé ïî ôàêóëüòàòèâó “Îñíîâû ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè” .......................................................................... 139 Ïðèëîæåíèå 7. Ê 100-ëåòèþ ñîçäàíèÿ ñïåöèàëüíîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè 2005 ãîä - ãîä Àëüáåðòà Ýéíøòåéíà (èç ðåçîëþöèè ÎÎÍ) ..................................................................... 144 Ïðèëîæåíèå 8. Êòî àâòîð òîé òåîðèè, êîòîðóþ ìû íàçûâàåì “Ñïåöèàëüíàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè”? .................................. 150 ×àñòü 2. Ââåäåíèå â îáùóþ òåîðèþ îòíîñèòåëüíîñòè ......................... 153 Ñëîâî ê ÷èòàòåëþ ......................................................................... 153 §1. ×òî òàêîå “Îáùàÿ òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè?” ............................ 154 §2. ×òî òàêîå ÑÒÎ? ............................................................................. 155 §3. Ðàçâèòèå ó÷åíèÿ î òÿãîòåíèè ........................................................ 162 §4. Ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ ........................................................ 171 §5. Èíåðòíàÿ è ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññû ............................................. 175 §6. Ïðèíöèï ýêâèâàëåíòíîñòè ........................................................... 181 §7. Ãåîìåòðèÿ è ãðàâèòàöèÿ ............................................................... 191 §8. Äëèíà è äëèòåëüíîñòü â ÎÒÎ ....................................................... 206 §9. Íàõîæäåíèå êîìïîíåíò ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà .......................... 212 §10. “Ïàðàäîêñû” ÎÒÎ ........................................................................ 219 “Ïàðàäîêñ áëèçíåöî┠................................................................. 219 Îòêëîíåíèå ñâåòîâûõ ëó÷åé, ïðîõîäÿùèõ âáëèçè Ñîëíöà ........ 221 Âðàùåíèå ïåðèãåëèÿ Ìåðêóðèÿ ................................................... 224 Ðàñ÷åò “ðàäèóñà” Âñåëåííîé ........................................................ 226 “×åðíûå äûðû” ............................................................................. 229 §11. Çàãàäêè “Áîëüøîãî âçðûâà” (ÎÒÎ è êîñìîëîãèÿ) ..................... 230 §12. Êðàòêîå èçëîæåíèå îñíîâ îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà ..................................................................................... 235 Ïðèëîæåíèÿ .................................................................................. 246 Ïðèëîæåíèå 1. Âûâîä ôîðìóëû (98) ........................................... 246 Ïðèëîæåíèå 2. Êðàòêèé òîëêîâûé ñëîâàðèê .............................. 247

254

255

Ð649

Ãåðìàí Àðîíîâè÷ Ðîçìàí ÒÅÎÐÈß ÎÒÍÎÑÈÒÅËÜÍÎÑÒÈ

Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð Êèðñàíîâ À.À. Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ÈÄ ¹06024 îò 09.10.2001 ãîäà. Ñäàíî â íàáîð 20.12.2004 ã. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 14.01.2005 ã. Ôîðìàò 60õ90/16. Îáúåì èçäàíèÿ â óñë.ïå÷.ë. 16. Òèðàæ 300 ýêç. Çàêàç ¹ ***. Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã. Ïñêîâ, ïë. Ëåíèíà, 2. Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÓ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã. Ïñêîâ, óë. Ñîâåòñêàÿ, 21, òåëåôîí 2-86-18.

256