Специальный курс ''Математические модели в гидродинамике'': Учебно-методическое пособие

М инисте р ство о б р а зо ва ния Ро ссийско й ф е де р а ции В о р о не ж ский го суда р стве нный униве р сите т

СПЕЦ ИАЛ ЬН Ы Й К УР С « М А ТЕ М А ТИ Ч Е СК И Е М О Д Е Л И В Г И Д Р О Д И Н А М И К Е » по со б ие для студе нто в по спе циа льно сти 010100

В о р о не ж 2003

2

У т верж д ен о н а у чн о-м ет од ическим совет ом м а т ем а т ического ф а ку льт ет а 1 сен т я б ря 2003 год а П рот окол № 1

С ост а вит ели: Глу шко А.В., Глу шко В.П .

П особ ие под гот овлен о н а ка ф ед ре у ра вн ен ий в ча ст н ы х производ н ы х и т еории вероя т н ост ей м а т ем а тического ф а ку льт ет а Ворон еж ского госу н иверсит ет а

Реком ен д у ет ся д ля ст у д ен т ов 4-6 ку рсов м а т ем а тического ф а ку льт ет а всех ф орм об у чен ия

3

1. Те о р ия на пр яж е ний С илы и н а пря ж ен ия . Вн еш н ие силы , д ейст ву ющ ие н а н екий об ъем сплош н ой сред ы , б ы ва ют д ву х т ипов: поверх н ост н ы е и об ъем н ы е. П оверх н ост н ы е силы – эт о резу льт а т кон т а кт а д ву х об ъем ов сплошн ой сред ы , он и ра спред елен ы по поверх н ост и и х а ра ктеризу ют ся ин т ен сивн ост ью, т .е. величин ой силы , прих од я щ ейся н а ед ин ицу площ а д и поверх н ост и. Если поверх н ост ь возд ейст вия прен еб реж ительн о м а ла , сила н а зы ва ет ся сосред от очен н ой. Об ъем н ы е силы д ейст ву ют в ка ж д ой т очке об ъем а сплошн ой сред ы (вес, сила ин ерции). Ра ссечем • об ъем A ∪ B плоскост ью Π , B ∆F прох од я щ ей через x0 • произвольн о вы б ра н н у ю n A т очку x0 и д еля щ у ю об ъем н а ча ст и A и B . Вы б росим ча ст ь A , а ее Π Рис. 1 возд ейст вие н а ча ст ь B за м ен им элем ен т а рн ы м и у силия м и ∆ F н а элем ен т а рн ы е ча ст и ∆S сечен ия . П лоскост ь сечен ия Π од н озн а чн о опред еля ет ся т очкой x0 и н орм а лью v . П у ст ь ∆S - т а площ а д ка , r ∆F д ля кот орой x0 ∈ ∆S . Тогд а величин а Pν = lim н а зы ва ет ся полн ы м ∆S →0 ∆S н а пря ж ен ием в т очке x0 ( Pν за висит от вы б ора плоскост и сечен ия Π , т о ест ь от н орм а ли v ). В н екой д ека рт овой сист ем е коорд ин а т вект ор Pν им еет вид Pv = ( X v , Yv , Z v ) . Если н орм а ль v па ра ллельн а н екот орой оси коорд ин а т

(н а прим ер, Ox ), зн а чит v у д об н о за м ен я т ь зн а чком соот вет ст ву ющ ей оси, н а прим ер, если v па ра ллельн а Ox , Pν = ( X v , Yv , Z v ) = = X v ⋅ е x + Yv ⋅ е y + Z v ⋅ е z ( е x,е y,е z -

орт ы

осей коорд ин а т ).

С ост а вля ющ а я

Xν ⋅ е x ⊥ Π ,

сост а вля ющ ие н а пря ж ен ия н а зы ва ют ся н орм а льн ы м и, сост а вля ющ ие н а зы ва ют ся ка са т ельн ы м и н а пря ж ен ия м и. И н а я сист ем а об озн а чен ий: н орм а льн а я сост а вля ющ а я об озн а ча ет ся δ ,

д ве

т а кие д ру гих

4

ка са т ельн а я сост а вля ющ а я об озн а ча ет ся τ . Н а т рех площ а д ка х , н орм а льн ы х к т рем ося м , им еют м ест о ра вен ст ва X x = σ x; Yx = τ xy ; Z x = τ zx X y = τ xy ;

Yy = σ y ;

X z = τ xz ;

Z y = τ zy Zz = σ z

Yz = τ yz ;

Зако ны па р но сти ка са те льных на пр яж е ний Н иж е д ока ж ем , чт о τ xy = τ yx ;τ xz = τ zx ;τ zy = τ yz . В силу произвольн ост и об озн а чен ий осей, н а м д ост а т очн о д ока за т ь лиш ь од н о из эт их ра вен ст в: τ xz = τ zx . Вы д елим из об ъем а сплош н ой сред ы , н а х од я щ егося под д ейст вием вн еш н их сил, б ескон ечн о м а лы й па ра ллелепипед с реб ра м и д лин ой dx, dy, dz , па ра ллельн ы м и ося м коорд ин а т .

z τ

σz +

τ xy

σy

dz

yz

σx τ yz + τ zx

∂τ yz ∂z

∂σ y ∂y

τ xz +

dz

τ zy + σy +

∂σ z dz ∂z

dy τ xy +

∂τ zy ∂y ∂τ xy ∂y

τ zy

∂τ xz dz ∂z τ zx +

∂τ zx dx ∂x

dy

σx + τ yx +

dy

∂τ yx ∂x

dx

∂σ x dx ∂x x

Рис.2 τ yz

dy

τ xz y

σz

Н а ка ж д ой гра н и им еем т ри сост а вля ющ их н а пря ж ен ия , па ра ллельн ы х ося м . Н а прим ер, если н а гра н и dydz д ейст ву ет н орм а льн ое н а пря ж ен ие σ x , т о н а прот ивополож н ой гра н и, н а х од я щ ейся н а от д а лен ии dx от н ее,

5

д ейст ву ет н орм а льн ое н а пря ж ен ие, кот орое от лича ет ся от σ x за счет изм ен ен ия коорд ин а т ы x от 0 д о dx ∂σ σ x ( dx, y, z ) ≅ σ x ( x, y, z ) + x dx . ∂x Ан а логичн о свя за н ы и ин ы е н а пря ж ен ия н а прот ивополож н ы х гра н я х . Если н а ш па ра ллелепипед н а х од ит ся в покое, т о м ом ен т ы всех сил от н осит ельн о ка ж д ой из осей коорд ин а т в а лгеб ра ической су м м е д олж н ы д а т ь н у ль. За пишем эт от ф а кт д ля м ом ен т ов от н осительн о оси Oy . М ом ен т ы всех сил, па ра ллельн ы х оси Oy , ра вн ы н у лю. Ост а льн ы е силы , д ейст ву ющ ие н а гра н и па ра ллелепипед а , пересчит ы ва ют ся через н а пря ж ен ие по опред елен ию н а пря ж ен ия т а к: произвед ен ие н а пря ж ен ия н а площ а д ь гра н и.

С илы , н е

Oy

П лощ а д ка

σ x dydz

Л ева я ⊥ Ox

τ zx dydz

Л ева я ⊥ Ox

∂σ x   dx  dydz σ x + ∂x   П ра ва я ⊥ Ox ∂τ zx   dx  dydz П ра ва я ⊥ Ox τ zx + ∂x   σ x dydx

Hиж н я я ⊥ Oz

τ xz dydx

Hиж н я я ⊥ Oz

∂σ z   dz  dydx Верх н я я ⊥ Oz σ z + ∂z  

∂τ zx   dz  dydx τ zx + ∂z   Верх н я я ⊥ Oz

П лечо dz 2 0

Н а пра влен ие вра щ ен ия вокру г Oy

–

dz 2 dx

dx 2 0 dx 2

dz

–

6

τ xy dzdx

За д н я я ⊥ Oy

τ zy dzdy

За д н я я ⊥ Oy

∂τ zy   dy  dzdx τ zy + ∂y   П еред н я я ⊥ Oy

∂τ xy   dy  dzdx П еред н я я ⊥ Oy τ xy + y ∂  

dz 2 dx 2 dx 2 dz 2

У ра вн ен ие м ом ен т ов от н осит ельн о оси Οy ∂σ ∂τ dz 2   dz 2   −  σ x + x dx  dy +  τ zx + zx dx  dxdydz − 2  ∂x 2  ∂x   ∂τ ∂σ dx 2 dy    dx 2  −σ z +  σ z + z dz  dy − τ xz + xz dz  dxdydz + 2 2  ∂z ∂z    2 2 ∂τ zy  dx ∂τ xy  dz 2  dz dx dxdydz  − τ zy + τ zy + dy  dz − − τ xy + dy  dx = 0 . ∂y ∂y 2 2   2   2 σ x dy

+τ xy

Ра скроем скоб ки ∂σ x dxdydz 2 ∂τ zx 2 ∂σ z dx 2 − + τ zx dxdydz + dx dydz + dydz − ∂x 2 ∂x ∂z 2 ∂τ zy dx 2 ∂τ xy ∂τ xz dz 2 2 dxdydz + + dydz − dxdy −τ xz dxdydz − = 0. ∂z ∂y 2 ∂y 2 В вы ра ж ен ии вст реча ют ся член ы 3-го и 4-го поря д ка м а лост и, если он о ра вн о н у лю, т о ра вн а н у лю и его ча ст ь 3-го поря д ка м а лост и, т .е. τ zx dxdydz − τ zx dxdydz = 0 или τ xz = τ zx , ч.т .д . Н а пр яж е ния на на кло нных пло щ а дка х Д ля исслед ова н ия н а пря ж ен н ого сост оя н ия во всех т очка х сред ы н еоб х од им о у м ет ь н а х од ит ь н а пря ж ен ия н а люб ой площ а д ке, н а клон н ой к коорд ин а т н ы м ося м (т .е. в слу ча е, когд а н орм а ль ν н е па ра ллельн а ося м ). П у ст ь ν = 1 и ν = ( l , m, n ) , т .е. cos(ν , x ) = l ; cos(ν , y ) = m; cos(ν , z ) = n.

7

Д ля прост от ы и н а гля д н ости б у д ем счит а т ь, чт о с целью опред елен ия н а пря ж ен ия ра ссм а т рива ет ся площ а д ка н а плоскост и Π с н орм а лью ν , кот ора я я вля ет ся осн ова н ием б ескон ечн о м а лого т ет ра эд ра , от сечен н ого плоскост ью Π от полож ит ельн ого окт а н т а сист ем ы д ека рт овы х коорд ин а т Οxyz . Об озн а чим его ( abc ) . Об озн а чим площ а д ь ( abc ) через dS . оста льн ы х опред елим площ а д и ( abc ) ,

П лощ а д и гра н ей ка к проекций т .е.

пл. Οbc = dS ⋅ l пл. Οbc = dS ⋅ m пл. Οbc = dS ⋅ n Н а ра ссм а т рива ем ы й т ет ра эд рд ейст ву ют силы : поверх н ост н ы е:

z c

τ yx σx

σy

τ xy τ

Zν

τ zx

Yν

zy

Xν

0

b y

a

x

τ yz

τ xz σz

Рис.3

σ xdSl, σ y dSm, σ z dSn, τ yxdSl , τ zx dSl, τ xy dSm, τ zy dSm, τ xz dSn, τ yz dSn, X vdS , YvdS , Z vdS вн у т рен н ие (ра спред елен н ы е по об ъем у т ет ра эд ра с ин т ен сивн ост ью F = ( X ,Y , Z ) ): XdV , YdV , ZdV , т .к. т ет ра эд р н епод виж ен , проекции резу льт иру ющ ей н а все оси ра вн ы н у лю: X v dS − σ x dSl − τ xy dSm − τ xz dSn + XdV = 0 (н а Οx ) Yv dS − σ y dSm − τ yx dSl − τ yz dSn + YdV = 0 (н а Οy )

−  Z v dS − σ z dSn − τ xz dSn − τ yz dSm + ZdV  = 0 (н а Οz )

П ослед н ие сла га ем ы е XdV , YdV , ZdV им еют 3 поря д ок, след ова т ельн о, н е влия ют н а ра вен ст во н у лю сла га ем ы х вт орого поря д ка и м огу т б ы т ь от б рош ен ы : X v = σ xl +τ xy m +τ xz n ; Yv = τ yx l + σ y m +τ yz n ; Z v = τ zxl +τ zy m + σ z n

8

2.Те о р ия де ф о р м а ции И сслед у ем д еф орм а цию об ъем а сплошн ой сф еры . Ч т об ы опред елит ь ее, н еоб х од им о сра вн ит ь полож ен ие точек сред ы д о и после прилож ен ия н а гру зки. z П у ст ь коорд ин а т ы т очки A д о д еф орм а ции б ы ли ( x0 , y0 , z0 ) , а после - ( x, y, z ) . От резок A( x, y, z )

A( x0 , y0 , z0 ), A( x, y, z) н а зы ва ет ся перем ещ ен ием

A( x0 , y0 , z0 ) т очки A . Ест ь д ва вид а перем ещ ен ий: y 0 1. П ерем ещ ен ие всего т ела б ез д еф орм а ций x Рис. 4 (ра сст оя н ия м еж д у всем и т очка м и т ела сох ра н я ют ся б ез изм ен ен ий)- эт от слу ча й кла ссического т верд ого т ела изу ча лся в т еорет ической м ех а н ике. 2. П ерем ещ ен ия , свя за н н ы е с д еф орм а ция м и. П роекция м и перем ещ ен ия т очки A н а коорд ин а т н ы е оси об озн а чим соот вет ст вен н о u = x − x0 , v = y − y0 , w = z − z0 .

Очевид н о, u = u ( x, y.z ) , v = v ( x, y , z ) , w = w ( x, y, z ) .

Ра зн ица в перем ещ ен ия х ра зличн ы х т очек сплош н ой сред ы вы зы ва ет его д еф орм а цию. П ом ест им н а ча ло коорд ин а т в т . 0. Б ескон ечн о м а лы й па ра ллелепипед dx dy dz , вы реза н н ы й из сплош н ой сред ы около т . A , вслед ст вие ра зличн ы х перем ещ ен ий его т очек д еф орм иру ет ся . В ра м ка х н а ш ей т еории б у д ем счит а т ь, чт о при эт ом : изм ен я ет ся д лин а его реб ер, изм ен я ют ся C' '' z C ∂w ∂u w + dz первон а ча льн о пря м ы е u + dz ∂z ∂z его у глы . B' C dz То ест ь пря м оу гольн ы й dz ∂w α1 w + dx па ра ллелепипед B'' ∂x ст а н овит ся A' w B н епря м оу гольн ы м . A

u Рис. 5

0

dx

u+

∂u dx ∂x

x

9

Н а рису н ке изоб ра ж ен ы д ва реб ра эт ого па ра ллелепипед а : д о д еф орм а ции - AB и AC (па ра ллельн ы е Ox и Oz , соот вет ст вен н о), после д еф орм а ции - A' B ' и A'C ' . Д лин а AB ест ь dx , AC - dz . П осле д еф орм а ции т. A полу чила перем ещ ен ие u , w . К а к и при вы вод е за кон а па рн ост и ка са т ельн ы х н а пря ж ен ий, с т очн ост ью д о д иф ф ерен циа лов м ож ем за писа т ь, чт о т. B и C перем ест я т ся в точки с коорд ин а т а м и B′(u + ∂u dx; w + ∂w dx) и C′ : (u + ∂u dz; w + ∂w dz) . ∂x ∂x ∂z ∂z И м еем : A' B'' = (dx − u ) + u + ∂u dx = dx + ∂u dx - проекция A' B' н а Οx , ∂x ∂x ∆AB = A' B'' − AB = dx + ∂u dx − dx = ∂u dx - проекция а б солют н ого у д лин ен ия ∂x ∂x реб ра AB н а Οx ,

ε x = ∆AB = ∂u - от н осит ельн ое у д лин ен ие реб ра AB вд оль оси Οx - т а к AB ∂x н а зы ва ем а я лин ейн а я д еф орм а ция по н а пра влен ию Οx . Ан а логичн о

ε y = ∂v ; ε z = ∂w - лин ейн ы е д еф орм а ции по н а пра влен ия м коорд ин а тн ы х ∂y ∂z осей Οy и Οz соот вет ст вен н о. Та н ген с у гла поворота реб ра AB в плоскост и xΟz ра вен ∂w ∂w w + ∂w dx − w ' B'' B ∂ x ∂ x tgα1 = ' '' = = = ∂x ∂ u ∂ u 1+ ε x AB dx + dx 1+ ∂x ∂x П ри ра ссм от рен ии м а лы х д еф орм а ций tgα1 ≈ α1 и м ож н о, кром е

т ого, прен еб речь лин ейн ой д еф орм а цией ε x по сра вн ен ию с 1 (т а к ка к ε x - это у д лин ен ие ед ин ичн ого от резка ). ∂u . ∂x ∂z И ска ж ен ие пря м ого у гла произошло н а след у ющ ий «у гол сд вига в плоскост и xΟz » («у глову ю д еф орм а цию в плоскост и xΟz »). И м еем α1 = ∂w . Ан а логичн о α 2 =

γ zx = α1 + α 2 = ∂w + ∂u . ∂x ∂z

Ан а логичн о н а йд ем у гловы е д еф орм а ции в д ву х плоскост я х :

γ yx = ∂v + ∂u ; γ yz = ∂v + ∂w . ∂x ∂y ∂z ∂y

10

Ф орм у лы К оши:

ε x = ∂u ; ε y = ∂v ; ε z = ∂w ; γ xz = ∂w + ∂u ; ∂x ∂y ∂z ∂x ∂z γ xy = ∂u + ∂v ; γ yz = ∂v + ∂w . ∂y ∂x ∂z ∂y Об ъем н а я д еф орм а ция . В процессе д еф орм а ции м ож ет изм ен я т ься об ъё м ра ссм а т рива ем ой об ла ст и сплош н ой сред ы . П од счит а ем изм ен ен ие об ъё м а б ескон ечн о м а лого па ра ллелепипед а , кот оры й д о д еф орм а ции б ы л пря м оу гольн ы м со ст орон а м и dx, dy, dz и

z

( dz )

( dx )1

1

dS1

x

( dx )1

( 90

об ъё м ом dv = dx ⋅ dy ⋅ dz .

0

− γ xy

)

Рис. 6

Д лин а реб ра ( 0,dx ) (рис. 6)

ра вн а я

до

д еф орм а ции

dx ,

ст а н ет

ра вн ой

С оот вет ст вен н о: ( dy )1 = dy (1 + ε y ); (dz ) 1 = dz (1 + ε z ) -

( dx)1 = dx(1 + ε x ). д лин а проекции

д еф орм ирова н н ого реб ра dy ( dz ) н а Oy (Oz ) . П од счит а ем изм ен ен ие об ъем а па ра ллелепипед а . П лощ а д ь осн ова н ия : Вы сот а dS = (dx1 )(dy1 ) = dxdy (1 + ε x )(1 + ε y ). па ра ллелепипед а

ест ь

dz1 .

Об ъем

па ра ллелепипед а

dV1 = dxdydz (1 + ε x )(1 + ε y )(1 + ε z ) . П у ст ь д еф орм а ции м а лы . П оря д ок м а лост и –

ε,

т .е.

ε x = O(ε ); ε y = O(ε ); ε z = O(ε ).

От сюд а

dV = dxdydz (1 + ε x + ε y + ε z + O(ε 2 )) . От н осит ельн а я об ъем н а я д еф орм а ция ∂u ∂u ∂u dV − dV Θ= 1 = εx + εy + εz ; Θ = εx + εy + εz; Θ = + + . ∂x ∂y ∂z dV С ред а н а зы ва ет ся н есж им а ем ой, если Θ = 0 . Д еф орм а ции u , v, w м ож н о пред ст а вит ь через скорост и сд вига точки сред ы u = V1 dt ; v = V2 dt ; w = V3 dt , гд е V ( x, t ) = (V1 ,V2 ,V3 ) - скорост ь ча ст ицы сред ы ,

11

н а х од я щ ейся в м ом ен т врем ен и t в т очке x . Д ля н есж им а ем ой сред ы ∂V1 ∂V2 ∂V3 + + = 0 при люб ом t > 0 или div V = 0 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 3. Г идр о дина м ика И н д ивид у а льн а я и м ест н а я производ н ы е по врем ен и Зн а чен ие ска ля рн ой х а ра кт ерист ики ча ст ицы сплош н ой сред ы м ож н о за д а т ь д ву м я способ а м и. 1 способ (Л а гра н ж а ). В н а ча льн ы й м ом ен т врем ен и t = t0 вы б ира ет ся ча ст ица с коорд ин а т а м и (ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) и в д а льн ейшем м ы н а б люд а ем лишь за н ей, д вига я сь вм ест е с н ей. В эт ом слу ча е х а ра кт еристика (н а прим ер, т ем пера т у ра TΛ ча ст ицы ) ест ь ф у н кция TΛ = TΛ (ξ1 , ξ 2 , ξ3 , t ) . Ее производ н а я ∂TΛ . ∂t 2 способ (Э йлера ). Н а б люд а т ель, вооб щ е говоря , н е след у ет за ча ст ицей в процессе ее д виж ен ия , а м ож ет изм ерит ь т ем пера т у ру в т очке прост ра н ст ва x1 , x2 , x3 (т .е. т ем пера т у ру той ча ст ицы , кот ора я в д а н н ы й м ом ен т попа ла в эту т очку ). Ч т об ы от слеж ива т ь т ем пера т у ру од н ой и т ой ж е ча ст ицы в ра зличн ы е м ом ен т ы , н еоб х од им о изм еря ть T = TЭ в т ех точка х прост ра н ст ва , в кот оры е попа ла ча ст ица в ка ж д ы й м ом ен т t , д вига я сь по своей тра ект ории x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ) , т очн ее, xi = xi (ξ1 , ξ 2 , ξ3 , t ) . П оэт ом у производ н а я по t ест ь O1 ( x1 + dx1 , x2 + dx2 , x3 + dx3 ) • 3 v1∆t ∂TЭ ∂TЭ ∂x j d +∑ ⋅ = TЭ = • dt ∂t ∂t j =1 ∂x j O′1 ρ по врем ен и эт о

3 ∂TЭ ∂T = + ∑ Э vj. ∂t j =1 ∂x j

• ρ′

O( x1 , x2 , x3 ) • v0 ∆t O′

м ом ен т t

м ом ен т t + ∆t Рис. 7

12

Ра спред елен ие скорост ей в произвольн о м а лой ча ст ице сплош н ой сред ы Ра ссм от рим совоку пн ост ь т очек сред ы с коорд ин а т а м и xi + dxi = xi + ρi , у д а лен н ы х от точки O ( x1 , x2 , x3 ) н а ра сст оя н ие ρ i = d ξ i , dξ ≤ ρ0, , гд е ρ0 > 0 – д ост а т очн о м а лое число. П оле

скорост ей

v = v ( x, t )∈C1 ( Ω × ( 0, ∞ ) )

б у д ем

счит а т ь

н епреры вн о

д иф ф ерен циру ем ы м . Об озн а чим скорост ь т очки O : v ( x, t ) = v0 , а скорост ь

( x + dx )

произвольн о вы б ра н н ой т очки O1

в О / O1/ = ρ /

O O1 = ρ перейд ет /

и

(

/

)

- через v1 . За врем я ∆t вектор

( ρ = ρ; ρ

/

= ρ/

) очевид н о,

чт о

ρ + v0 ∆t = ρ + v1 ∆t или ρ = ρ v1 − v0 ∆t . Ра злож им v1 в окрест н ост и точки O : ∂v j =1 ∂x j 3

v1 = v0 + ∑

0

⋅ ρ j + ρ0 ο (1)

( lim ο (1) =1) ρ 0 →0

(1)

От сюд а  3 dv ρ = ρ + ∑  j =1 dx j  /

 ρ j + ρ0 o(1)  ∆t  0 

(2)

П у ст ь e1 , e2 , e3 - орт ы осей Ox1 , Ox2 , Ox3. . Тогд а 3

v ( x, t ) = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 = ∑ vk ek . k =1

И з (1) им еем ∂vk ek ρ j + ρ 0 ο (1) j =1 k =1 ∂x j 3

3

v1 = v0 + ∑∑

М ет од ом «д об а вит ь и от н я т ь» полу чим v1 = v0 +

1 3 3  ∂vk ∂v j ∑∑  + 2 j =1 k =1  ∂x j ∂xk

Об озн а чим

1  ∂v ∂v e jk =  k + j 2  ∂x j ∂xk

 1 3 3  ∂vk ∂v j e ρ + +  k j  ∑∑ 2 ∂ x j = k = 1 1   j ∂xk   ;ωkj 

  ek ρ j + ρ 0 ο (1) 

(3)

 ∂v ∂v  =  k − j  ; e =  ekj  ;ω = ωkj  ; k , j = 1,3 ;  ∂x j ∂xk   

13

 ρ1   ρ1    v1 = v0 + e1 , e2 , e3 e ρ 2 + e1 , e2 , e3 ω  ρ 2  + ρ0 ο (1)      ρ3   ρ3 

(

)

(

)

(4)

И з (3) след у ет с т очн ост ью д о ρ 0o(1) : (v1 = (v11 , v12 , v13 )) 3

3

j =1

j =1

v1k = vk0 + ∑ ekj ρ j + ∑ ωkj ρ j , k = 1,2,3 . Введ ем ква д ра т ичн у ю ф орм у Φ = 3

Очевид н о, чт о ∑ ekj ρ j = j =1

(5)

1 3 ∑ e pq ρ p ρq . 2 p ,q=1

∂Φ . Ф орм у лы (5) прим у т вид ∂ρ k ∂Φ 3 v =v + + ∑ ωkj ρ j . ∂ρ k j =1 1 k

0 k

(6)

Та ким об ра зом , скорост ь v1 произвольн ой т очки сред ы «вб лизи» т очки O ра зб ита н а 3 сост а вля ющ ие, перва я из кот оры х v 0 н е за висит от ρ , и, след ова т ельн о, пред ст а вля ет скорост ь д виж ен ия всего элем ен т а рн ого об ъем а . Втора я сост а вля ющ а я ∇Φ им еет пот ен циа л Φ . Д ля б олее д ет а льн ого

исслед ова н ия

т рет ьей

сост а вля ющ ей

3

∑ω i =1

kj

ρ j , k =1, 2,3

ра ссм от рим

а н т исим м ет ричн у ю м а т рицу ω : ω12 ω13  −ω3 ω2   0  0    ω =  −ω12 0 ω23  =  ω3 0 −ω1  ,  −ω13 −ω23 0   −ω2 ω1 0  (зд есь введ ен ы об озн а чен ия ω1 = ω32 ;ω2 = ω13 ;ω3 = ω21 ), или 1  ∂v ∂v  1  ∂v ∂v  1  ∂v ∂v  ω1 =  3 − 2  ; ω2 =  1 − 3  ; ω3 =  2 − 1  . 2  ∂x2 ∂x3  2  ∂x3 ∂x1  2  ∂x1 ∂x2  Н епосред ст вен н ой проверкой м ож н о у б ед ит ься , чт о  e1  1 ∂ ω= 2  ∂x1   v1

e2 ∂ ∂x2 v2

e3   ∂  ; ∂x3   v3 

(ω = ( ω , ω , ω ) ) . 1

2

3

14

1 ω = ∇ × v , а т рет ье сла га ем ое в (6) пред ст а вим о в след у ющ ем 2 вект орн ом вид е:

П оэт ом у

 ω12 ρ 2 + ω13 ρ3   −ω3 ρ 2 + ω2 ρ3  e1 e2 e3 ω ρ + ω ρ  =  ω ρ − ω ρ  = ω ω ω = ω × ρ . 23 3   3 1 1 3  1 2 3  21 1  ω31ρ1 + ω32 ρ2   −ω2 ρ1 + ω1 ρ2  ρ1 ρ2 ρ3 С лед ова т ельн о, пред ст а влен ие (6) прин им а ет вид v1 = v 0 +∇Φ + ω × ρ + ρ0 ο (1)

(7)

За м ет им , чт о д ля т верд ого т ела им еет м ест о т еорем а Э йлера 1 0 v = v + Ω× ρ ,

(8)

гд е v 0 - скорост ь н екот орой ф иксирова н н ой т очки О т ела , Ω - вектор м гн овен н ой у гловой скорост и вра щ ен ия т ела , ρ = OO1 . Ф орм у лы (7) и (8) от лича ют ся н а личием в (7) сла га ем ого ∇Φ и ρ0 o(1) . Величин а ρ 0o(1) им еет вы сший поря д ок м а лост и и поэт ом у при построен ии н а м и лин ейн ой т еории у чит ы ва т ься н е б у д ет . Вы я сн им роль ∇Φ . В резу льт а т е д виж ен ия сплош н ой сред ы вект ор ρ перех од ит в ρ ' . И зм ен ен ие ∆ ρ = ρ ' − ρ м ож ет б ы т ь об у словлен о т олько т ем , чт о ра зн ы е точки б ескон ечн о м а лой ча ст ицы д виж у т ся с ра зн ы м и скорост я м и. Вы числим от личн у ю от н у ля д ля д еф орм иру ем ого т ела величин у , н а зы ва ем у ю «скорост ью от н осит ельн ого у д лин ен ия от резка сред ы в н а пра влен ии ρ »: ∂ρ 1 dρ 1 dρ2 1 d (ρ ⋅ ρ ) 1 dρ = 2 = 2 = 2 (ρ ⋅ ). lρ = ∂t = ρ dt 2 ρ dt ρ 2ρ dt dt ρ И з ра вен ст ва ρ ' = ρ 0 + (v1 − v 0 ) ∆t в пред еле при ∆t → 0 след у ет

dρ = v1 − v 0 . dt

П оэт ом у lρ =

1 dρ 1 1 (ρ * ) = 2 ( ρ ⋅ (v1 − v 0 )) = 2 ( ρ * (∇Φ + ω × ρ )). 2 ρ dt ρ ρ

Та к ка к ρ ⋅ (ω × ρ ) = 0 lρ =

( ρ ⊥ (ω × ρ ) ), т о

 1 1  ∂Φ ∂Φ ∂Φ ρ ⋅ ∇Φ = 2  ⋅ ρ1 + ⋅ ρ2 + ⋅ ρ3  2 ρ ρ  ∂x1 ∂x2 ∂x3 

(

)

15

П ред полож им д ля прост от ы , чт о т очка

O - н а ча ло коорд ин а т , т .е.

ρ = ( ρ1 , ρ 2 , ρ3 ) = ( x1 , x2 , x3 ) , х от я эт о н е су щ ест вен н о. И м еем lρ =

 1 1  ∂Φ ∂Φ ∂Φ ⋅ x + ⋅ x + ⋅ x   = 2 ⋅ 2Φ , 1 2 3 2 ∂x2 ∂x3 x  ∂x1  x

(т . к. по опред елен ию Φ =

1 3 ∑ e pq x p xq ). 2 p ,q=1

(

)

3 x p xq От сюд а lρ = ∑ e pq ⋅ = ∑ e pqα pα q , гд е α p = cos ρ , Ox p . x x p ,q =1 p ,q =1 3

Окон ча т ельн о lq =

3

∑e

p , q =1

α pα q

pq

(9)

Введ ё м н овы е об озн а чен ия . У н а с б ы л введ ё н т ен зорд еф орм а ций P :  ∂u 1  ∂u ∂v  1  ∂u ∂w   + +      ∂x1 2  ∂x2 ∂x1  2  ∂x3 ∂x1       ∂v 1 ∂u ∂v  1  ∂v ∂w   P=  + +    ∂x2 2  ∂x3 ∂x2    2  ∂x2 ∂x1    ∂w  1  ∂u ∂w  1  ∂v ∂w    2  ∂x + ∂x  2  ∂x + ∂x   ∂x3 1  2   3   3  du dv dw dP = v1 , = v2 , = v3 , поэт ом у e = . П оэт ом у м а т рица e Та к ка к dt dt dt dt н а зы ва ет ся т ен зором скорост ей д еф орм а ций. И т а к, если извест н ы ком пон ен т ы т ен зора скорост ей д еф орм а ций e , т о по ф орм у ла м (9) м ож н о вы числит ь скорост ь от н осит ельн ого у д лин ен ия lρ в за д а н н ом н а пра влен ии ρ . М ех а н ический см ы сл ком пон ен т т ен зора скорост ей д еф орм а ций П у ст ь ρ н а пра влен вд оль оси Ox j , т огд а из (9) след у ет : lρ =

3

∑ e pqα pα q =q =

p ,q =1

3

∑e

p ,q =1

pq

cos( ρ , Ox p )cos( ρ , Oxq ) = e jj ,

т .е., lρ = e jj , если ρ PО x j . То ест ь ком пон ен т ы т ен зора с од н оим ё н н ы м и ин д екса м и я вля ют ся скорост я м и от н осит ельн ы х у д лин ен ий от резков сред ы , первон а ча льн о н а пра влен н ы х па ра ллельн о соот вет ст ву ющ им ося м .

16

К ом пон ен ты

eij при i ≠ j ра вн ы

половин е скорост и ска шива н ия

первон а ча льн о пря м ы х у глов, об ра зова н н ы х от резка м и сред ы , в исслед у ем ы й м ом ен т врем ен и, па ра ллельн ы х соот вет ст ву ющ им ося м . Введ ё м вектор v* = ∇Φ и н а зовё м эт у величин у скорост ью чист ой д еф орм а ции. Если v* = 0 , т о д еф орм а ция от су т ст ву ет . Гла вн ы е оси и гла вн ы е ком пон ен т ы т ен зора скорост ей д еф орм а ций Тен зор скорост ей д еф орм а ции я вля ет ся сим м ет ричн ой м а т рицей, поэт ом у д ля н ее су щ ест ву ет ка н он ический б а зис (т а к н а зы ва ем ы й б а зис e1 0 0  гла вн ы х осей), в кот ором e им еет д иа гон а льн ы й вид e =  0 e2 0  .  0 0 e3  Величин ы e1 , e2 , e3 н а зы ва ют ся гла вн ы м и ком пон ен т а м и т ен зора скорост ей д еф орм а ций. Очевид н о, e j > 0 соответ ст ву ет ра ст я ж ен ию, а e j < 0 – сж а т ию. Гла вн ы е оси т ен зора д еф орм а ций и т ен зора скорост ей д еф орм а ций, вооб щ е говоря , ра зличн ы . И з всего вы ш е ска за н н ого вы т ека ет Теорем а К оши-Гельм гольца . С корост ь v1 люб ой т очки O1 д ост а т очн о м а лой ча стицы сред ы с цен т ром в т очке O , с т очн ост ью д о б ескон ечн о м а лы х вы сшего поря д ка ра вн я ет ся v1 = v0 + ϖ × ρ + ∇Φ , т . е. скла д ы ва ет ся из скорост ей пост у па т ельн ого д виж ен ия v0 , вра щ а т ельн ого д виж ен ия ϖ × ρ ча ст ицы , ка к а б солют н о д еф орм а ции.

т верд ого т ела и скорост и v∗ = ∇Φ

чист ой

Ф орм у ла д иф ф ерен цирова н ия по врем ен и ин т егра ла , взя т ого по под виж н ом у об ъем у f , за вися щ а я от коорд ин а т П у ст ь им еет ся произвольн а я ф у н кция т очек прост ра н ст ва и от врем ен и t . П ред полож им , чт о в ра ссм а т рива ем ой f од ин ра з н епреры вн о об ла ст и изм ен ен ия а ргу м ен т ов ф у н кция д иф ф ерен циру ем а по x . Ра ссм от рим

∫

V (t )

f ( x, y , z , t )dV

по под виж н ом у

17

об ъем у V (t ) . Вы числим производ н у ю

d f ( x, y, z , t )dV . П о опред елен ию dt ∫V (t )

производ н ой

∫V (t +∆t ) ( f ( x, y, z, t + ∆t )dV − ∫V (t ) f ( x, y, z, t )dV = d ( , , , ) lim f x y z t dV = ∆t →0 dt ∫V ( t ) ∆t  ( f ( x, y, z, t + ∆t ) − f ( x, y, z, t ) ) dV ∫V (t +∆t )−V (t ) f ( x, y, z, t )dV  ∫ V ( t +∆t )  . = lim + ∆t → 0   ∆t ∆t   Очевид н о, f ( x, y , z , t + ∆t ) − f ( x, y , z , t ) lim ∫ dV = ∆t →0 V ( t +∆t ) ∆t V V′ ∂f ( x, y, z , t )dV =∫ ′ V ( t ) ∂t • Σ v′

Σ

• n

Об ьем V '− V сост оит из элем ен т а рн ы х цилин д ров dV = ( vn ∆t ) ∂σ = ( vn dσ ) ∆t. П ри ∆t → 0 поверх н ост ь Σ′ ст я гива ет ся к Σ . П оэт ом у

vn

dσ

dV

1 f ( x, ϕ , z, t ) dt = ∫ ∆t →0 ∆t V ( t +∆t ) −V (T ) lim

 = lim  ∆t → 0  по =

∑

в се м dσ

Рис. 8

f ( x, ϕ , z, t ) ⋅ vn ⋅ dσ

∫ f ( x,ϕ , z, t )v

n

∆t  = ∆t 

⋅ dσ

∑ Н а пом н им ф орм у лу Га у сса -Ост рогра д ского д ля об ъем а V с поверх н ост ью ∑

∫ (u , n ) dσ = ∫ div u dV

∑

.

(10)

V

(u ⋅ n ) = u = v ∫ fv dσ = ∫ div ( f v ) dV .

П олож им в (10) u = v f , т огд а

n

n

f и из (10) им еем

n

∑

V

П оэт ом у окон ча т ельн о d  ∂f f ( x,ϕ , z, t ) dV = ∫  + div f v ∫ dt V ( t ) ∂t V (t ) 

( )dV

.

(11)

18

У ра вн ен ие н ера зры вн ост и в перем ен н ы х Э йлера Ф у н д а м ен т а льн ы м за кон ом н ьют он овской м ех а н ики я вля ет ся за кон сох ра н ен ия м а ссы об ъем а , сост оя щ его из од н их и т ех ж е ча ст иц сред ы , т .е. dm ∆m m = const , или = 0 . Введ ем плот н ост ь сред ы по ф орм у ле ρ = lim , ∆V →0 ∆V dt гд е ∆V -об ъем , за н я т ы й м а ссой ∆m . Д ля кон ечн ого об ъем а V спра вед ливо d ρ dV = 0. ра вен ст во m = ∫ ρ dV . За кон сох ра н ен ия м а ссы им еет вид ∫ dt V V П рим ен я я ра вен ст во (11), им еем dm d  ∂ρ 0= = + div ρ v  dt dt V∫  dt

( )  dV = ∫  ∂dtρ + ρ div v  dV , V

 ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ  ∂ρ + div ρ v =  + + div v ). v1 + v2 + v3  + ρ div u = ∂t ∂x2 ∂x3  dt  ∂t ∂x1 r П ред полож им , чт о ф у н кции ρ , v - н епреры вн о д иф ф ерен циру ем ы по совоку пн ост и перем ен н ы х . В силу произвольн ост и об ъем а V , по лем м е д ю-Б у а -Рейм он д а им еем dρ + ρ divV = 0 . (12) dt У ра вн ен ие (12) н а зы ва ет ся у ра вн ен ием н ера зры вн ост и сред ы в перем ен н ы х Э йлера . (т .к.

У ра вн ен ия д виж ен ия сплошн ой сред ы Ра зоб ьем , ка к и ра н ее, об ъем V произвольн ой плоскост ью сечен ия S с r н орм а лью n н а д ва : V = V1 U V2 , н а пря ж ен ие pn в т очке M ∈V I S ра злож им н а н орм а льн у ю и ка са т ельн у ю сост а вля ющ ие pn = pnn u + pnτ τ , гд е τ ед ин ичн ы й н а пра вля ющ ий вект орпроекции pn н а S , т .е. τ pnτ = pn − pnτ n. П о вт ором у за кон у Н ьют он а ( F = mw ) д ля м а т ериа льн ой т очки, кот орой я вля ет ся произвольн о вы б ра н н а я т очка - ча ст ица сплош н ой сред ы , м ож н о полу чит ь у ра вн ен ие изм ен ен ия количест ва д виж ен ия д ля r d ( mv ) = F (произвед ен ие mv н а зы ва ет ся им пу льсом м а т ериа льн ой т очки dt или количест вом д виж ен ия м а т ериа льн ой т очки m ). Д ля сист ем ы т очек: d (∑ mi Vi ) = ∑ Fi , в н е ш ( Fi , в н е ш - вн еш н я я по от н ошен ию к систем е сила ). dt i i

19

Об озн а чим Q = ∑ mi v i - количест во д виж ен ия сист ем ы . i

Если кон ечн ы й об ъем Vε с поверх н ост ью Σ сплошн ой сред ы пред ст а вит ь ка к пред ел су м м ы элем ен т а рн ы х ча ст иц, м ож н о пред ст а вит ь у ра вн ен ие изм ен ен ия количест ва д виж ен ия эт ого об ъем а т а ким об ра зом dQ = F ρ dV + ∫ Pn dσ . (13) dt V∫ ∑ об озн а чим через F ин т ен сивн ост ь силы , F ( x, t ) д ейст ву ющ ей н а ед ин ицу м а ссы , т .е. F ( x ,t ) = lim , гд е F - сила , ∆m→0 ∆m д ейст ву ющ а я н а м а ссу ∆m , окру ж а ющ у ю в м ом ен т t т очку x ∈ Ў 3 . Та к ка к В ра вен ст ве

(13)

ρ dV = dm , то

мы

F ρ dV - сила , д ейст ву ющ а я н а м а ссу dm . Д а лее в (13)

ρ dV - им пу льс м а ссы об озн а чен о Q = ∫ v{ V

M . За м етим , чт о

dm

r r r dQ d r d r dv dv = v ρ dV = ∫ vdm = ∫ dm = ∫ ρ dV , M dt V dt dt dt ∫V dt M т .к. м а сса всего об ъем а V и м а сса dm элем ен т а рн ой ча ст ицы н еизм ен н ы во d м ож ет б ы т ь за н есен а под зн а к ∫ ...dm , врем ен и, по эт ом у производ н а я M dt поэт ом у у ра вн ен ие (13) полу ча ет ся ка к пред ел у ра вн ен ия r d (13′ ) ∑i dt (dmi vi ) = ∑i Fi dmi + ∑j Pnj dσ j , От ку д а d

∫ dt vdm = ∫ Fdm + ∫

M

M

∑

Pn dσ .

У ра вн ен ие (13) или его эквива лен т dv

∫ dt ρ dV = ∫ F ρ dV + ∫

Pn dσ

(14)

∑ я вля ют ся исх од н ы м и д ля люб ы х д виж ен ий сплош н ой сред ы , в ча ст н ост и, ра зры вн ы х . Если их ф у н кции, х а ра кт еризу ющ ие д виж ен ие, д ост а т очн о гла д кие (т очн ее, все под ы н т егра льн ы е вы ра ж ен ия в (14) н епреры вн ы ), т о от ин т егра льн ы х у ра вн ен ий (14) м ож н о перейт и к д иф ф ерен циа льн ы м , чт о м ы сд ела ем позж е. V

V

20

Огра н ичен ия , н а ла га ем ы е у ра вн ен ием количества д виж ен ия н а н орм а льн ы е н а пря ж ен ия Ра зоб ьем об ъем V плоскост ью π : V = V1 U V2 , S = π I V . Д ля ка ж д ого из об ъем ов, у чит ы ва я , чт о м а сса элем ен т а рн ой ча ст ицы dm = ρ dV н е за висит от врем ен и, им еем d dV = V ρ dV ∫ dt ρ dV = V∫ F ρ dV + dt V∫k VK K

∫

∑K

P n dσ + ∫ P ( −1)(nk +1) dσ , S

Σ2

Σ1

d dV V ρ dV + ∫ ρ dV = ∫ dt V dt V = ∫ F ρ dV + V

∫

∑1 +∑ 2

• n S V1

Pn dσ , .

V2

• P− n

• Pn

k = 1, 2 С лож им 2 первы х у ра вн ен ия ( k = 1,2) и вы чт ем 3-е:

∫ P dσ + ∫ P n

S

−n

π

Рис. 9

dσ = 0 . (15)

S

От сюд а , в силу произвольн ост и вы б ора об ъем ов, и, след ова т ельн о, сечен ия S : P n = P − n . Э т о н еоб х од им ое у словие спра вед ливост и у ра вн ен ий (13).

П ри сн я тии ин т егра лов в (15) м ы ф у н кций, ст оя щ их под ин т егра лом .

пред пола га ли н епреры вн ост ь

Д а льн ейшие преоб ра зова н ия у ра вн ен ия (13). Возьм ё м в д а н н ы й м ом ен т врем ен и произвольн у ю т очку M сплошн ой сред ы и пост роим а ) произвольн у ю плоскост ь π с н орм а лью n , прох од я щ у ю через M б ) пря м оу гольн ы й т ет ра эд р, од н а из гра н ей z B кот орого леж ит н а π , ост а льн ы е – r π M n перпен д ику ля рн ы ося м коорд ин а т . N C П у ст ь па ра ллельн ы е ося м реб ра A k NA = dx; NC = dy; NB = dz 0 j y д ост а т очн о м а лы . Ед ин ичн а я н орм а ль n к i площ а д ке ABC им еет вид x

Рис. 10

21

r r r r r r r n = cos( n, x)i + cos( n, y) j + cos( n, z ) k , гд е i , j , k − - орт ы осей коорд ин а т .

К а к м ы пока зы ва ли в ра зд еле «т еория н а пря ж ен ий» pn = p1cos ( n, x ) + p 2 cos ( n, y ) + p 3 cos ( n, z ) , (16)

r r r гд е p k , k = 1,3 - н а пря ж ен ия н а площ а д ка х с н орм а ля м и i , j , k . П оэт ом у r r1 r2 r3 ∫Σ pn dσ = ∫Σ ( p cos(n, x) + p cos(n, y) + p cos(n, z) ) r r r (17)  ∂p 1 ∂p 2 ∂p 3  =∫  + + dV ,  V ∂y ∂z   ∂x (т еорем а Га у сса -Ост рогра д ского, прим ен ен а к ка ж д ой ком пон ен т е вект ора (16)). И з (17) и (14) им еем r r r r r  ∂p1 ∂p 2 ∂p 3  dv (18) ∫V dt dV − ∫V F ρ = ∫V  ∂x + ∂y + ∂z  dV . П ред полож им , чт о все х а ра кт еризу ющ ие сред у ф у н кции, вх од я щ ие в под ы н т егра льн ы е вы ра ж ен ия в (18), н епреры вн ы . В силу произвольн ост и об ъем а V по лем м е д ю-Б у а -Рейм он д а им еем r dv ∂p1 ∂p 2 ∂p 3 ρ =ρ F+ + + . (19) dt ∂x ∂y ∂z

Ра злож им вект оры

p k по ося м коорд ин а т :

За м ет им , чт о ком пон ен т ы н а пря ж ен ия », а ком пон ен т ы «за кон у

па рн ост и»

p kk

 p k1    pk =  pk 2  ,  pk 3   

k = 1,2,3.

ра н ее н а м и н а зы ва лись «н орм а льн ы е

p kj , k ≠ j -«ка са т ельн ы е н а пря ж ен ия » и по

p kj = p jk .

С ост а вим

из

ком пон ен т

вект оров

 p11 p12 p13    p k сим м ет ричн у ю м а трицу P : P =  p 21 p 22 p 23  и н а зовем ее – «т ен зор  p 31 p 32 p33    н а пря ж ен ий». И з(16) им еем r pn = P ⋅ n . (20) Ра вен ст ва (19) и у ра вн ен ие (12) вм ест е сост а вля ют сист ем у 4 у ра вн ен ий с 13 н еизвест н ы м и: ρ , v1 , v2 , v3 , p k , j , k = 1,3.

22

Тен зорн а я поверх н ост ь т ен зора н а пря ж ен ий Л юб ой сим м ет ричн ой м а т рице, в т ом числе и P , м ож н о пост а вит ь в соот ветст вие ква д ра т ичн у ю ф орм у 1 3 Φ ( x1 , x2 , x3 ) = ∑ p k ,i xk xi . (21) 2 i ,k =1 Геом ет рическое м ест о т очек

x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈ Ў 3 , д ля кот оры х Φ = const ,

н а зы ва ет ся т ен зорн ой поверх н ост ью т ен зора н а пря ж ен ий P . И д еа льн ы е ж ид кост ь и га з Опред елен ие. Н а зовем ид еа льн ой ж ид кост ью (или ид еа льн ы м га зом ) r r т а ку ю сред у , в кот орой н а пря ж ен ие pn н а люб ой площ а д ке с н орм а лью n r r орт огон а льн о площ а д ке, т .е. pn || n . П ока ж ем , что из (20) след у ет , чт о в эт ом слу ча е т ен зорн а пря ж ен ий P 0  −p 0  им еет вид P =  0 − p 0  , гд е p − н екот ора я кон ст а н т а , кот ору ю м ы  0 0 − p   r r н а зовем д а влен ием . Д ейст вит ельн о, при n = (1,0,0)T , pn = ( p11 , p 21 , p 31 )T и r r r pn || n , след ова т ельн о, p 21 = p 31 = 0 , д а лее при n = (0,1,0)T им еем r p12 = p 32 = 0 , и, н а кон ец, при n = (0,0,1)T из у словия па ра ллельн ост и r r pn || n т а кж е им еем 0   p11 0 r  p = p = 0 . С лед ова т ельн о, P =  0 p22 0  . Од н а ко при n = (1,1,1)T  0 0 p33   r им еем pn = ( p11 , p 22 , p 33 )T || (1,1,1)T , след ова т ельн о, p11 = p 22 = p 33 . Об озн а чим 31

32

эт и ра вн ы е величин ы об щ им сим волом − p . У т верж д ен ие д ока за н о. За м еча н ие. Та к ка к м а т рица P пропорцион а льн а ед ин ичн ой, т ен зорн а я поверх н ост ь т ен зора н а пря ж ен ий ид еа льн ой ж ид кости (га за ) я вля ет ся ш а ром . Ш а рвра щ ен ием перевод ит ся в ш а р, след ова т ельн о, люб а я д ека рт ова сист ем а коорд ин а т я вля ет ся гла вн ой д ля тен зора н а пря ж ен ий ид еа льн ой ж ид кост и.

23

У ра вн ен ия д виж ен ия ид еа льн ой ж ид кост и

r r r ∂p1 ∂p 2 ∂p3 + + , В слу ча е ид еа льн ой ж ид кост и, очевид н о, вы ра ж ен ие ∂x ∂y ∂z ф игу риру ющ ее в у ра вн ен ия х (19), возм ож н о преоб ра зова т ь след у ющ им об ра зом  ∂p   ∂x  11 21 31       p p p   r r r ∂p1 ∂p 2 ∂p 3 ∂  12  ∂  22  ∂  32  ∂p + + =  p  +  p  +  p  = −   = −∇p, ∂x ∂y ∂z ∂x  13  ∂y  23  ∂z  33  ∂y   p  p  p   ∂p     ∂z  поэт ом у у ра вн ен ия (19) прин им а ют след у ющ ий вид r r dv ρ = ρ F − ∇p . dt

(22)

r r r r r r dv ∂ v ∂v ∂v ∂v ∂v = + v1 + v2 + v1 + v3 И ли с у чет ом т ого, чт о , dt ∂t ∂x ∂x ∂y ∂z ∂v1 ∂v + v1 1 ∂t ∂x ∂v2 ∂v + v1 2 ∂t ∂x ∂v3 ∂v + v1 3 ∂t ∂x У ра вн ен ия (23) н а зы ва ют ся

r ∂v1 ∂v 1 ∂p + v2 + v3 1 = Fx − ; ∂y ∂z ρ ∂x r ∂v2 ∂v 1 ∂p + v2 + v3 2 = Fy − ; ∂y ∂z ρ ∂y r ∂v3 ∂v 1 ∂p + v2 + v3 3 = Fz − . ρ ∂z ∂y ∂z у ра вн ен ия м и Э йлера .

У ра вн ен ия д виж ен ия ид еа льн ой ж ид кост и в ф орм е Гром еки-Л ем б а . Н иж е б у д ем об озн а ча т ь ( x = x1 ; y = x2 , z = x3 ) . И з т ож д ест ва dvk ∂vk ∂v ∂v ∂v = + v2 k + v1 k + v3 k = dt ∂t ∂x ∂y ∂z 3  ∂v j ∂vk ∂vk 1 ∂ 2 2 2 = + (v1 + v2 + v3 ) − ∑ v j  −  ∂x ∂x ∂t 2 ∂xk j =1, j ≠ k k j 

=

3  ∂v j ∂vk ∂vk 1 ∂ r 2 + | v | − ∑ vj  −  ∂xk ∂x j ∂t 2 ∂xk j =1, j ≠ k 

  = 

 . 

∂v ∂v 1 ∂v 1 ∂v ∂v 1 ∂v и ф орм у л ω1 = ( 3 − 2 ); ω2 = ( 1 − 3 ); ω1 = ( 2 − 1 ) им еем 2 ∂x2 ∂x3 2 ∂x3 ∂x1 2 ∂x1 ∂x2

(23)

24

r r r r dv ∂v 1 r 2 = + ∇ | v | +2(ω × v ) . dt ∂t 2

(24)

И з (22) и (24) им еем

r r 1 r r ∂v 1 r 2 + ∇ | v | +2(ω × v ) = F − ∇p. (25) ∂t 2 ρ У ра вн ен ия (25) н а зы ва ют ся у ра вн ен ия м и д виж ен ия Э йлера в ф орм е Гром екиЛ ем б а . Если к у ра вн ен ия м (23) или (25) д об а вит ь у ра вн ен ия н ера зры вн ост и (12), полу чим сист ем у чет ы рех у ра вн ен ий с пя т ью н еизвест н ы м и v1 , v2 , v3 , ρ , p . В н екоторы х слу ча я х м ож н о д ополн ительн о счит а ть, чт о ра ссм а т рива ем а я ж ид кост ь я вля ет ся н есж им а ем ой, т о ест ь т а кой, чт о r r div v = 0 , т огд а из у ра вн ен ия (12) н ем ед лен н о след у ет d ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = + v1 + v2 + v3 = 0. dt ∂t ∂x ∂y ∂z П оэт ом у в слу ча е н есж им а ем ой ж ид кост и к у ра вн ен ия м (23) (или (25)) след у ет д об а вит ь 2 у ра вн ен ия r dρ div v = 0, = 0. (26) dt С ист ем а у ра вн ен ий (23), (26) сод ерж ит пя т ь у ра вн ен ий с пя т ью н еизвест н ы м и.

Вя зкие ж ид кост и. Опред елен ие. Вя зкой ж ид кост ью н а зы ва ется сред а , ком пон ен т ы т ен зора н а пря ж ен ий пред ст а вля ют ся в вид е 1, i = j; p ij = − pδ ij + τ ij , i, j = 1,3; δ i , j =  0, i ≠ j.

в

кот орой

(27)

В (27) через τ ij об озн а чен ы ф у н кции ком пон ен т тен зора скорост ей д еф орм а ции e pq и, возм ож н о, т ем пера т у ры T и д ру гих ф изико-х им ических па ра м ет ров. Б у д ем счит а т ь, чт о за висим ост ь τ ij от e pq вы ра ж а ется согла сн о за кон у Н а вье – С т окса :

25

τ ij =

3

∑B

p , q =1

ijpq

⋅ e pq ;

(

Bijpq = B jipq = Bijqp = B jiqp

).

(28)

За м еча н ие. К а к вид н о в (28), сост а вля ющ ие τ ij т ен зора н а пря ж ен ий д ля ж ид кост и лин ейн о за вися т от скорост ей д еф орм а ции

e pq . Э т о я вля ет ся

гла вн ы м от личием ж ид кости от у пру гой сред ы , в кот орой спра вед лив за кон Гу ка , свя зы ва ющ ий ком пон ен т ы т ен зора н а пря ж ен ий с д еф орм а ция м и (а н е с их скорост я м и): p = ij

3

∑A

p , q =1

ijpq

⋅ E pq , гд е E pq - элем ен т ы т ен зора д еф орм а ции

  Ex  1 E =  γ xy 2 1  γ xz  2

1  γ kz 2   1  γ yz . 2   Ez  

1 γ xy 2 Ey 1 γ yz 2

И зот ропн а я сред а . И зот ропн ой н а зы ва ют сред у , свойст ва кот орой од ин а ковы по всем н а пра влен ия м . С м а т ем а т ической т очки зрен ия эт о озн а ча ет , чт о при за м ен е исх од н ой д ека рт овой сист ем ы коорд ин а т н а ин у ю д ека рт ову сист ем у с пом ощ ью преоб ра зова н ия вра щ ен ия T (det T = 1) или зерка льн ого от ра ж ен ия T1 от н осит ельн о од н ой из коорд ин а т н ы х плоскост ей (det T1 = −1) , или люб ой су перпозиции эт их за м ен коорд ин а т , коэф ф ициен т ы Bijpq в (28) ост а ют ся н еизм ен н ы м и (ин ва риа н т н ост ь от н осит ельн о у ка за н н ой гру ппы преоб ра зова н ий н а зы ва ет ся изот ропн ой сим м ет рией). Н а йд ем вид коэф ф ициен т ов Bijpq . 1.П у ст ь перех од от ст а ры х коорд ин а т x1 , x2 , x3 к н овы м  −1 0 с пом ощ ью м а т рицы T =  0 1 0 0  ориен т а цию). М а т рицы τ и  −1 0 0  −1 −1 τ x = Tτ yT ; T = T =  0 1 0  ,  0 0 1  

y1 , y2 , y3 происх од ит

0 0  : T y = x (перва я из осей пом ен я ла 1  e

пересчит ы ва ют ся

т о ест ь

по

пра вилу

26

 −1 0 0   τ 11 τ 12 τ 13   −1 τ x =  0 1 0   τ 21 τ 22 τ 23   0  0 0 1  τ     31 τ 32 τ 33   0  τ 11 −τ 12 −τ 13  =  −τ 21 τ 22 τ 23  , а н а логичн о  −τ   31 τ 32 τ 33 

0 0   −1 0 0   −τ 11 1 0  =  0 1 0   −τ 21 0 1   0 0 1   −τ 31  e11 −e12 −e13  ex =  −e21 e22 e23  .  −e e33   31 e32 В силу изот ропн ост и сред ы , при ф иксирова н н ы х i, j

τ 12 τ 13  τ 22 τ 23  = τ 32 τ 33 

им еем (в силу

сим м ет ричн ост и м а т риц τ и e м ож ем счит а т ь j ≥ i ). 1. П у ст ь вн а ча ле i = j = 1 τ y11 = τ x11 =

3

∑B

p ,q =1

e

11 pq xpq

3

∑B

p , q =1

e

11 pq ypq

=

3

∑B

p , q =1

e

11 pq pq

=

= τ y11 = B1111e11 − 2 B1112 e12 − 2 B1113e13 + B1122 e22 + 2 B1123 e23 + B1133 e33 .

Вы чит а ем (∗∗) из(∗ ).

0 = 4 ( B1112 e12 + B1113 e13 ) .

1 0 С лед у ющ ее преоб ра зова н ие T =  0 −1 0 0   τ 11 −τ12 τ13  τ x =  −τ 12 τ 22 −τ 23  , если τ y τ   13 −τ 23 τ 33   e11 ex =  −e12  e  13 τ y11 = τ x11 =

3

∑B

p ,q =1

(∗ )

e

11 pq xpq

−e12 e22 −e23

(∗∗) (A)

0 0  . Ан а логичн о 1 

 τ 11 τ 12 τ 13  = τ 21 τ 22 τ 23  ; τ   31 τ 32 τ 33  e13   e11 e12 e13   −e23  , если ey =  e21 e22 e23  и e  e33   31 e32 e33 

= B1111e11 + B1122e22 + B1133e33 − 2 B1112 e12 − 2 B1123e23 + 2 B1113e13

Вы чт ем из (∗ ) послед н ее у ра вн ен ие, полу чим 0 = 4 ( B1112 e12 + B1123 e23 ) . 1 0 0  П осле преоб ра зова н ия T =  0 1 0  полу ча ем у ра вн ен ие  0 0 −1  

(В)

27

0 = 4 ( B1113 e13 + B1123 e23 ) .

(С )

Од н ород н а я сист ем а (А), (В), (С ) в силу произвольн ост и e12 , e23 , e13 им еет лишь н у левое решен ие B1112 = B1123 = B1113 = 0 . С овершен н о а н а логичн о д ока зы ва ет ся , чт о Biipq = 0 при p ≠ q , i = 1,3 . 2. Ра ссм от рим i ≠ j , н а прим ер, i = 1, j = 2 . Д ока ж ем , чт о B12 pq = 0 д ля люб ы х p, q за исключен ием p = 1, q = 2 .

И з ф орм у л (28) им еем τ y12 =

3

∑B

p , q =1

e .

(D)

12 pq pq

 −1 Ра ссм от рим преоб ра зова н ие T =  0 0  τ x12 = −τ y12 = B1211e11 − 2 B1212 e12 − 2 B1213e13

0 0 1 0  = T −1 . 0 1  + B1222 e22 + B1233e33 + 2 B1223e23 . (E)

П ред полож им н а врем я , чт о y − сист ем а коорд ин а т я вля ет ся гла вн ой д ля м а т рицы

(E), т огд а eij = 0 при

пред полож ен ии, произвольн ост и

полу чим

i ≠ j . С лож им (D) и (E) в эт ом

B1211e11 + B1222e22 + B1233e33 = 0 .

В

B1211 = B1222 = B1233 = 0 .

силу (F)

От ка ж ем ся т еперь от пред полож ен ия , чт о y − сист ем а коорд ин а т гла вн а я . И з(D), (E), (F), после слож ен ия (D) и (E) 0 = 4B1223e23 или B1223 = 0 . 1 0 0 П реоб ра зова н ие T =  0 −1 0  привод ит к ра вен ст ву 0 0 1   τ x12 = −τ y12 = B1211e11 + B1222 e22 + B1233 e33 − 2 B1212 e12 − −2 B1223e23 + 2 B1213 e13 = −2 B1212 e12 − 2 B1223 e23 + 2 B1213 e13 С лож им послед н ее у ра вн ен ие с (D) . П олу чим

.

0 = 4B1213e13 или

B1213 = 0 . Та к м ы пока за ли (н а прим ере i = 1, j = 2 ), чт о Bijpq = 0 при i ≠ j и

люб ы х p, q кром е p = i, q = j . И т а к, от личн ы от н у ля м огу т б ы т ь лишь величин ы

Bkkkk , Bkkjj , Bkjkj ; k , j = 1,3 . Н екот оры е из эт их величин ра вн ы .

28

П ока ж ем эт о с пом ощ ью поворот а

0 1 0 T =  0 0 1  , 1 0 0  

T

−1

0 0 1 =  1 0 0  .  0 1 0  

В эт ом слу ча е  0 1 0   τ 11 τ 12 τ 13   0 0 1   0 1 0   τ12 τ 13 τ11  τ x =  0 0 1  τ 21 τ 22 τ 23   1 0 0  =  0 0 1  τ 22 τ 23 τ 21  =  1 0 0  τ           31 τ 32 τ 33   0 1 0   1 0 0   τ 32 τ 33 τ 31  τ 22 τ 23 τ 21   e22 e23 e21    =  τ 32 τ 33 τ 31  . Ан а логичн о: ex =  e32 e33 e31  . И з (28) им еем в τ  e   12 τ 13 τ 11   12 e13 e11  гла вн ы х ося х ey : τ y11 = B1111e11 + B1122e22 + B1133e33 . К ром е т ого, τ x33 = τ y11 = B3311ex11 + B3322 ex22 + B3333ex33 = B3311e22 + B3322 e33 + B3333e11 . И зпослед н их

д ву х

у ра вн ен ий

B1122 = B3311 ; B1133 = B3322 ; B1111 = B3333 .

И спользу я

ин ы е

π », полу чим , чт о величин ы Bkkkk все совпа д а ют , ра вн ы д ру г 2 д ру гу т а кж е величин ы Bkkjj ( k ≠ j ) .

поворот ы н а «н а

Об озн а чим Bkkkk = 2 µ + λ ; Bkkjj = λ

(k ≠ j) .

Опред елим , чем у ра вн ы

величин ы Bkjkj при k ≠ j . В силу ра вн опра вн ост и осей сд ела ем эт о лиш ь при k = 1, j = 2 :

(из сим м ет рии Bkjkj = Bkjjk )

τ y12 = 2 B1212 e12 ; τ x 31 = 2 B3131ex31 = 2B3131e12 , τ y12 = τ x 31 , след ова т ельн о, B1212 = B3131 . Ан а логичн о пока зы ва ет ся , чт о все величин ы Bkjkj = Bkjjk вза им н о

ра вн ы . Н а йд ем , чем у он и ра вн ы . Д ля эт ого соверш им поворот н а  1  2   1 T = − 2   0  

1 2 1 2 0

  0      0  ; T −1 =     1    

2 2 2 2 0

−

2 2 2 2 0

 0   0 .  1  

π : 4

29

 1  2   1 τx = − 2   0    1  2   1 = − 2   0  

1 2 1 2 0 1 2 1 2 0

  1 0    τ 11 τ 12 τ 13   2   1 0  τ 21 τ 22 τ 23   2   τ 31 τ 32 τ 33   1  0      τ + τ 0   11 12 2    τ + τ 22 0   11 2  1   τ 31 + τ 32   2

 τ 11 + τ 12 + τ 21 + τ 22  2   −τ − τ + τ 21 + τ 22 =  11 12 2  τ 31 + τ 32   2   τ 11 + τ 22 + τ 21  2   τ 22 − τ 11 = 2   τ 31 + τ 32  2 

−

1 2 1 2 0

 0   0 =  1  

−τ 11 + τ 12

 τ 13  2  −τ 21 + τ 22  τ 23  = 2  −τ 31 + τ 32  τ 33  2  −τ11 + τ12 − τ 21 + τ 22 τ 13 + τ 23   2 2  −τ 13 + τ 23  τ11 − τ12 − τ 21 + τ 22 = 2 2  −τ 31 + τ 32  τ 33  2  τ 13 + τ 23  τ 22 − τ11  2 2  τ 11 + τ 22 τ 23 − τ 13  − τ 21 . 2 2  −τ 31 + τ 32  τ 33  2 

 e11 + e22 + e21  2   e22 − e11 Ан а логичн о ex =  2   e31 + e32  2  От сюд а

e22 − e11 2 e11 + e22 − e21 2 e32 − e31 2

e31 + e32  2  e32 − e31  . 2   e33  

e e   τ x 21 = 2 B2121ex 21 = 2  B2121 22 − B2121 11  ; 2 2 

(G)

30

τ x 21 =

τ y 22 − τ y11 2

=

1 ( B2211e11 + B2222 e22 + B2233e33 − B1111e11 − B1122 e22 − B1133e33 ) = 2

1 ( λ e11 + ( 2µ + λ ) e22 + λ e33 − ( 2µ + λ ) e11 − λ e22 − λ e33 ) = −µ e11 + µ e22 . 2 И з (G) и (H) в силу произвольн ост и e11 и e22 : B2121 = µ . =

Та ким об ра зом : Bkkkk = 2 µ + λ ; Bkkjj = λ

(k ≠ j)

; Bkjkj = Bkjjk = µ

(H)

(k ≠ j) .

С лед ова т ельн о τ 11 = (2µ + λ )e11 + λ e22 + λ e33 = λ (e11 + e22 + e33 ) + 2µ e11 ; τ 22 = λ e11 + (2µ + λ )e22 + λ e33 = λ (e11 + e22 + e33 ) + 2µ e22 ; τ 33 = λ e11 + λ e22 + (2µ + λ )e33 = λ (e11 + e22 + e33 ) + 2µ e33 ;

,

τ 21 = τ 12 = µ e12 + µ e21 = 2µ e12 = 2µ e21 , а н а логичн о τ kj = 2µ ekj , k ≠ j . Вспом н им пред ст а влен ия элем ен т ов ekj т ен зора скорост ей д еф орм а ций  ∂v j   1  ∂v  ekj =  k +   , им еем за кон Н а вье – С т окса д ля изот ропн ой ж ид кост и:   ∂ x ∂ x 2 k   j  ∂v r τ kk = λ div v + 2 µ k , k = 1,2,3. ∂xk

 ∂V ∂V  τ kj = µ  k + j  , k ≠ j ; k , j = 1,3 .  ∂x j ∂xk    За кон Н а вье-С т окса д ля изот ропн ой сред ы с у чет ом вя зкост и позволя ет за писа ть (27) в вид е  ∂v ∂v j ∂v r p ii = − p + λ div v + 2 µ i , i = 1, 2,3; p kj = µ  k +  ∂x ∂xi  j ∂xk С

у чет ом

ф игу риру ющ ее об ра зом

соот н ошен ий

(28)

  , k ≠ j; k , j = 1,3. (28) 

вы ра ж ен ие

∂p1 ∂p 2 ∂p 3 + + , ∂x1 ∂x2 ∂x3

в у ра вн ен ия х (19) возм ож н о преоб ра зова т ь след у ющ им

31

 r ∂v1 − λ div v + 2 µ ∂ x 11 21 31 1  p  p  p   ∂  12  ∂  22  ∂  32  ∂ ∂v1 ∂v2 p + p + p = + )  µ(    ∂x1  13  ∂x2  23  ∂x3  33  ∂x1  ∂x2 ∂x1 p  p  p   ∂v1 ∂v3 + )  µ( ∂x3 ∂x1 

 p   +    

  ∂v3 ∂v1     ∂v ∂v   +  µ    µ 2 + 1   ∂ x ∂ x ∂ x ∂ x 1 3        1 2   ∂     ∂v r ∂   µ  ∂v3 + ∂v2   = λ div v + 2µ 2 − p  + + ∂x2  ∂x2  ∂x3   ∂x2 ∂x3       λ div vr + 2 µ ∂v3 − p   µ  ∂v2 + ∂v3        ∂x3  ∂x3 ∂x2     2 2 2 2 2  ∂ v1 ∂ v3 ∂ v2 ∂ v1 ∂ v1  + + + 2 2 +  2 ∂x1∂x2 ∂x2 ∂x1∂x3 ∂x32   ∂x1  ∂2v ∂ 2 v3 ∂ 2 v2 ∂ 2 v2 ∂ 2 v2  r 1 = λ∇ div v − ∇p + µ  + +2 2 + + = 2 ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂x32   ∂x1∂x2 ∂x1  ∂2v ∂ 2 v3 ∂ 2 v3 ∂ 2 v3  ∂ 2 v2 1   + + + + 2 2 ∂x2 ∂x3 ∂x2 2 ∂x32   ∂x1∂x3 ∂x1   ∂v1 ∂v2 ∂v3   + +    ∂ ∂ ∂x3   x x 2   1   ∂v ∂v ∂v3   r r r r 1 2  = λ∇ div v − ∇p + µ∆v + µ + +   = µ∆v + ( λ + µ ) ∇ div v − ∇p .   ∂x1 ∂x2 ∂x3       ∂v1 ∂v2 ∂v3     ∂x + ∂x + ∂x   2 3    1 С у чет ом послед н их вы кла д ок сист ем у у ра вн ен ий (19) д ля вя зкой изот ропн ой ж ид кост и м ож н о переписа т ь в след у ющ ем вид е r dv µ r ( λ + µ ) r 1 − ∆v − ∇ div v + ∇p = F . (29) dt ρ ρ ρ С ист ем а у ра вн ен ий (29) н а зы ва ет ся сист ем ой у ра вн ен ий Н а вье-С т окса и описы ва ет д виж ен ие вя зкой изотропн ой ж ид кост и при са м ы х об щ их пред полож ен ия х .

32

4. Упр о щ а ю щ ие пр е дпо ло ж е ния Вя зка я н есж им а ем а я ж ид кост ь. В эт ом слу ча е divν = 0 и сист ем а у ра вн ен ий (29) прин им а ет вид dν µ 1 − ∆ν + ∇p = F . (30) dt ρ ρ С ист ем а у ра вн ен ий (30), в совоку пн ост и с у ра вн ен ием н есж им а ем ост и dρ divν = 0 и след ствием у ра вн ен ия н ера зры вн ост и = 0 (т о ест ь dt ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ + ν1 + ν2 + ν 3 = 0 ), сост а вля ет за м кн у т у ю сист ем у из пя т и ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3 у ра вн ен ий с пя т ью н еизвест н ы м и. Если пред полож ит ь, чт о плот н ост ь ж ид кост и пост оя н н а , ρ ( x, t ) = ρ 0 = const , т о вы ш еописа н н а я сист ем а у ра вн ен ий прин им а ет след у ющ ий вид µ dν 1 − ∆ν + ∇p = F ; divν = 0 . (31) dt ρ0 ρ0 В у ра вн ен ия х (31) прин я т о вм ест о кин ем а т ического коэф ф ициен т а вя зкост и µ µ ввод ит ь д ин а м ический коэф ф ициен т вя зкост и υ = , а вм ест о д а влен ия ρ0 p (од н ой из ком пон ен т иском ого реш ен ия ) та к н а зы ва ем ое «эф ф ект ивн ое

p , сох ра н я я , впрочем , за н им об озн а чен ие p . И т а к, ρ0 окон ча т ельн о у ра вн ен ия д виж ен ия вя зкой н есж им а ем ой ж ид кост и с пост оя н н ой плот н ост ью приоб рет а ют след у ющ ий вид dν − υ∆ν + ∇p = F ; divν = 0 . (32) dt

д а влен ие» pэ ф =

Л ин еа риза ция у ра вн ен ий (32) П ред полож им , чт о д виж ен ие ж ид кост и, у д овлет воря ющ ее у ра вн ен ия м (32), происх од ит вб лизи полож ен ия ра вн овесия , х а ра кт еризу ем ого ст а цион а рн ы м и: скорост ью ν 0 ( x) ≡ 0 , д а влен ием p 0 ( x) , вн еш н ей силой F 0 ( x) .

Введ ё м

в

ра ссм от рен ие от клон ен ия

исх од н ы х

ф у н кций от

ра вн овесн ы х : u ( x, t ) = ν ( x, t ) ; q ( x, t ) = p ( x, t ) − p 0 ( x) ; f ( x, t ) = F ( x, t ) − F 0 ( x ) . В вы ра ж ен ии от клон ен ия у скорен ия ча ст ицы ж ид кост и

33 3 d ∂ ∂u w( x, t ) = (ν ( x, t )) = u ( x, t ) + ∑ uk , dt ∂t k =1 ∂xk

поря д ка м а лост и

3

∂u

∑ ∂x k =1

от б росим

член ы

ква д ра т ичн ого

uk . С ист ем а у ра вн ен ий (32) прин им а ет вид

k

∂u − υ∆u + ∇p = f ; ∂t

div u = 0 .

(33)

С ж им а ем ы е ж ид кост и Д ля описа н ия д виж ен ия сж им а ем ы х ж ид кост ей, т о ест ь при от ка зе от у словия н есж им а ем ост и div u = 0 д об а вля ется т а к н а зы ва ем ое у ра вн ен ие p = f (ρ ) . сост оя н ия , свя зы ва ющ ее зн а чен ия д а влен ия и плот н ост и Возм ож н о, в эт о вы ра ж ен ие вх од я т и ин ы е х а ра кт ерист ики сред ы (н а прим ер, T , ка к в у ра вн ен ии М ен д елеева -К ла пейрон а pV = µρT , т ем пера т у ра кот орое т а кж е м ож н о счит а т ь у ра вн ен ием сост оя н ия ). С д ела ем след у ющ ие д опу щ ен ия , об у словлен н ы е эксперим ен т ом . 1. П роцесс ра спрост ра н ен ия колеб а н ий в ж ид кост и (об ы чн о, зву ковы х ) я вля ет ся а д иа б а т ическим , т о ест ь у ра вн ен ием состоя н ия я вля ет ся ф у н кцион а льн а я за висим ост ь, н а зы ва ем а я а д иа б а т ой П у а ссон а γ

c p  ρ  =   ; γ = p , гд е ρ0 и p0 - ст а цион а рн ы е плот н ост ь и д а влен ие, cυ p0  ρ0  c p и cυ - т еплоё м кост и ж ид кост и при пост оя н н ом д а влен ии и об ъё м е. 2. К олеб а н ия ж ид кост и м а лы , т о есть м ож н о использова т ь лин еа ризова н н ы е у ра вн ен ия . Н а зовё м от н осит ельн ы м а ку ст ическим у плот н ен ием (д ля га за – ρ ( x, t ) − ρ 0 кон д ен са цией) величин у S ( x, t ) = , ρ = ρ0 (1 + s ) . С целью ρ0 лин еа риза ции у ра вн ен ий (29), за м ет им , чт о

1 1 = + O( s ) и величин ы ρ ρ0

O( s)∇ divν и O( s)∇p при лин еа риза ции след у ет от б росит ь (зд есь м ы у чли, O ( s )∇p = O ( s )∇(γ s + O ( s 2 )) чт о p = p0 (1 + s )γ = p0 (1 + γ s + O ( s 2 )) и лин еа риза ции от б ра сы ва ют ся ). И т а к, у ра вн ен ия (29) перех од я т в ∂ν µ (λ + µ ) 1 − ∆ν − ∇ divν + ∇p = f . ∂t ρ0 ρ0 ρ0

при

(34)

34

Об озн а чим , ка к и ра н ее

µ = υ - д ин а м ический коэф ф ициен т вя зкост и, а ρ0

λ+µ λ =υ + = υβ , гд е β - постоя н н ы й н орм ировочн ы й коэф ф ициен т , а ρ0 ρ0 вм ест о p введ ё м pэ ф =

1 p , ка к и ра н ее. ρ0

У ра вн ен ия (34) прин им а ют

след у ющ ий окон ча т ельн ы й вид ∂ν − υ∆ν − υβ∇ divν + ∇p = f . ∂t

(35) ∂ρ + div ρν = 0 , ∂t

П ерейд ё м к лин еа риза ции у ра вн ен ия н ера зры вн ост и полож им

в

нём

ρ = ρ0 (1 + s) ,

т огд а

ρ0

∂ (1 + s) + div [ ρ0 (1 + s )ν ] = 0 , ∂t

∂S + divν = 0 из у ра вн ен ия ∂t p = p0 (1 + s )γ после от б ра сы ва н ия ква д ра т ичн ы х член ов им еем p = p0 (1 + γ s ) , от ку д а ∂s ρ 0 ∂pэ ф cυ ρ0 ∂pэ ф 1 1 ρ 1 p − p0 = = = и . s= p − = 0 pэ ф − γ p0 γ p0 γ γ p0 γ ∂t γ p0 ∂t c p p0 ∂t лин еа ризу я послед н ее у ра вн ен ие, им еем

Об озн а чим α 2 =

cυ ρ0 и н а зовё м эт у величин у коэф ф ициен т сж им а ем ост и. c p p0

За м кн у т а я лин еа ризова н н а я сист ем а у ра вн ен ий д виж ен ия вя зкой сж им а ем ой ж ид кост и прин им а ет вид  ∂ν  ∂t − υ∆ν − υβ∇ divν + ∇p = f . (36)  ∂ p  α2 + divν = 0  ∂t П ри описа н ии д виж ен ия океа н ов н еоб х од им о у чит ы ва т ь вра щ ен ие Зем ли. С вя ж ем с Зем лё й сист ем у коорд ин а т x1′, x′2 , x3′ , кот ора я , ест ест вен н о, вра щ а ет ся от н осит ельн о н епод виж н ой сопу тст ву ющ ей

z′

z 0 y 0′

x x′ Рис. 10

ω

y′ r′

35

сист ем ы коорд ин а т с постоя н н ой у гловой скорост ью ω . С корост и в сист ем е коорд ин а т н а б люд а т еля x и в x′ сист ем е пересчит ы ва ют ся по ф орм у ле т еорем ы Э йлера ν = ν ′ + ω × r ′ dν dν ′ d dν ′ dr′ dν ′ и = + (ω × r ′) = +ω × = + ω ×ν ′ , т о ест ь в у ра вн ен ия х dt dt dt dt dt dt поя вля ет ся член ω × v′ , чем и огра н ичива ют ся от личия . И т а к, во вра щ а ющ ейся сист ем е коорд ин а т сист ем ы у ра вн ен ий (29), (32), (36) прин им а ют вид dν ′ µ (λ + µ ) 1 + ω ×ν ′ − ∆ν ′ − ∇ divν + ∇p = F . (29') dt ρ ρ ρ dν ′ + ω ×ν ′ − υ∆ν ′ + ∇p = F ; divν = 0 . (32') dt ∂ν ∂p − υ∆ν + ω × ν − υβ∇ divν = f ; α 2 + divν = 0 . (36') ∂t ∂t С т ра т иф ицирова н н ы е ж ид кост и П ред полож им , чт о ж ид кост ь ст ра т иф ицирова н а по оси x3 , т о ест ь в ст а цион а рн ом

сост оя н ии её

плот н ост ь я вля ет ся

ф у н кцией лиш ь

x3 :

ρ 0 = ρ 0 ( x3 ) . М а лы е колеб а н ия эт ой ж ид кост и прин я т о вписы ва т ь след у ющ ей сист ем ой у ра вн ен ий  ∂ν  ρ 0 ∂t − µ∆ν + ∇p + e3 g ρ1 = 0;  ∂ −1 2 (37)  ρ1 − ω0 ( x3 )(e3ν ) ρ0 ( x3 ) g = 0; ∂ t  divν = 0.   Зд есь ν ( x, t ) = (ν 1 ,ν 2 ,ν 3 ) - вект ор скорост и ча ст ицы ж ид кост и; ρ1 ( x, t ) изм ен ен ие плот н ост и, вы зва н н ое д виж ен ия м и ж ид кост и; p - д ин а м ическое д а влен ие; e3 - орт оси Ox3 ; g - у скорен ие своб од н ого па д ен ия . Ч ерез ω02 ( x3 ) об озн а чен ква д ра т т а к н а зы ва ем ой ча ст от ы Вейселя -Б рен т а , опред еля ем ы й gρ′ (x ) ф орм у лой ω02 ( x3 ) = − 0 3 . Ч а ст от а Вейселя -Б рен т а , ка к б у д ет я сн о из ρ 0 ( x3 ) д а льн ейш его, я вля ет ся ва ж н ейш ей х а ра кт ерист икой д ин а м ических свойст в ст ра т иф ицирова н н ой ж ид кост и. П ри за писи у ра вн ен ий (37), чт о

36

ра спред елен ие плот н ост и ж ид кост и

ρ0 ( x3 )

у д овлет воря ет ест ест вен н ом у ф изическом у у словию «у ст ойчивост и ст ра т иф ика ции»: ρ 0′ ( x3 ) ≤ 0 . Вы вед ем сист ем у у ра вн ен ий (37) из сист ем ы у ра вн ен ий (33) и из у ра вн ен ий н ера зры вн ост и сред ы (12) и н есж им а ем ост и divν = 0 . Вн а ча ле за пишем сист ем у т рех у ра вн ен ий: dν ρ0 − µ∆ν − (λ + µ )∇ divν + ∇p + e3 g ρ1 = 0 , (38) dt кот ора я полу ча ет ся из сист ем ы у ра вн ен ий (33) после т ого, ка к в н ей вн еш н я я сила F взя т а ра вн ой F = −e3 g ρ ( x, t ) , т о ест ь вн еш н я я сила – сила т я ж ест и. П ровед ё м лин еа риза цию сист ем ы (33) вб лизи полож ен ия покоя p( x, t ) = p0 ( x3 ) , ρ ( x, t ) = ρ0 ( x3 ) , ν ( x, t ) = 0 , F = −e3 g ρ0 ( x3 ) . П олож им p1 ( x, t ) = p( x, t ) − p0 ( x3 ) , ком пон ен т ы реш ен ия И м еем из (33): ( ρ0 + ρ1 )

ρ1 ( x, t ) = ρ ( x, t ) − ρ 0 ( x3 ) p1 ( x, t ) ,

ρ1 ( x, t )

и

и пред полож им , чт о

ν ( x, t )

д ост а т очн о м а лы .

 ∂p  ∂ν − ( µ∆ν + (λ + µ )∇ divν ) + ∇p1 + e3  0 + g ρ 0  + e3 ρ1 g = 0 . ∂t  ∂x3 

У словия согла сова н ия ст а цион а рн ы х д а влен ия и плот н ост и:

dp0 + g ρ0 = 0 dx3

(т а к н а зы ва ем ое «у ра вн ен ие гид рост а т ики»). У чит ы ва я у словие согла сова н ия , лин еа ризу ем послед н юю сист ем у . П олу ча ем сист ем у (38). Вы вед ем у ра вн ен ие ∂ ρ1 − ω02 ( x3 )(e3ν ) ρ 0 ( x3 ) g −1 = 0 . (39) ∂t И з у ра вн ен ия (12) им еем ∂ ( ρ0 ( x3 ) + ρ1 ( x, t )) + div[( ρ 0 ( x3 ) + ρ1 ( x, t ))ν ( x , t )] = 0 ; ∂t  ∂ρ  ∂ ∂ ∂ ∂ ρ1 +  0 ν 3 + ν 1 ρ1 + ν 2 ρ1 + ν 3 ρ1  + [ ρ0 ( x3 ) + ρ1 ( x, t ) ] divν = 0 . ∂t ∂x1 ∂x2 ∂x3   ∂x3 У чит ы ва я

у ра вн ен ие

н есж им а ем ост и

divν = 0 , и от б ра сы ва я

член ы ква д ра т ичн ой м а лост и ν 1 от ку д а

∂ρ1 ∂ρ ∂ρ ;ν 2 1 ;ν 3 1 , им еем ∂x1 ∂x2 ∂x3

∂ρ1 + ρ0′ ( x3 )ν 3 = 0 , ∂t

∂ρ1  ρ0′ ( x3 )  ∂ρ1 −− g ν 3 ρ0 ( x3 ) g −1 = 0 , или − ω02 (e3ν ) ρ0 g −1 = 0 . ∂t  ρ0 ( x3 )  ∂t

37

Ф изический см ы сл ча ст от ы Вейселя -Б рен т а Ра ссм от рим элем ен т а рн ы й об ъё м V покоя щ ейся ст ра тиф ицирова н н ой ж ид кост и (ра спред елен ие плот н ост и по за кон у ρ = ρ0 ( x3 ) ) с цен т ром в т очке (0,0, x3 ) . Н а об ъё м V д ейст ву ет сила т я ж ест и − ρ0 ( x3 )Vg и ра вн а я ей, н о об ра т н а я по величин е сила вы т а лкива н ия (т а к ка к об ъё м V покоит ся ), т о ест ь вы т а лкива ющ а я сила Арх им ед а . С м ест им эт у ча ст ицу (элем ен т а рн ы й об ъё м ж ид кост и V ) н а ς по оси Ox3 . П осле см ещ ен ия н а ς об ъё м V и м а сса ча ст ицы сох ра н я т ся . В резу льт а т е н а ча ст ицу б у д ет д ейст вова т ь сила F = − g ρ 0 ( x3 )V + g ρ0 ( x3 + ς )V 14 2 43 1 44 2 4 43 ↓

↓

ρ 0 = ρ0 ( x3 + ς ) . Ра злож им ρ 0 ( x3 + ς ) в ря д Тейлора , огра н ичива я сь н у левы м и первы м член а м и ρ 0 ( x3 + ς ) ≅ ρ0 ( x3 ) + ρ0′ ( x3 )ς . От сюд а ρ′(x ) F = − g ρ 0 ( x3 )V + g ρ0 ( x3 )V + g ρ0′ ( x3 )ς V = ρ0 ( x3 ) gV 0 3 ς = ρ0 ( x3 ) .  ρ0′ ( x3 )  2 = m g  ς = −mω0 ( x3 )ς  ρ0 ( x3 )  Та ким об ра зом , сила , «возвра щ а ющ а я » ча ст ицу ж ид кост и «н а м ест о» после её см ещ ен ия н а ς вверх или вн из в ст ра т иф ицирова н н ой ж ид кост и, вес

сила Архим ед а , ра вн а я весу вы тесн ен н ой ж ид кости, поэт ом у

пропорцион а льн а ω02 ( x3 ) - ква д ра т у ча ст от ы Вейселя -Б рен т а . За м еча н ие. Ч а ст о в лит ера т у ре исслед у ет ся систем а (37) при λ = µ = 0 , т о ест ь ра ссм а т рива ется н евя зка я сред а . К олеб а н ия ж ид кост и, описы ва ем ы е т а кой сист ем ой у ра вн ен ий прин я т о н а зы ва т ь вн у т рен н им и гра вит а цион н ы м и волн а м и. Если сист ем а , описы ва ющ а я н евя зку ю ст ра т иф ицирова н н у ю ж ид кост ь, исслед у ет ся во вра щ а ющ ейся сист ем е коорд ин а т , т о ест ь им еет вид ∂ν ρ0 + ρ0 (α ×ν ) + ∇p + ρ1 ge3 = 0, ∂t (40) ∂ρ1 2 −1 − ω0 ( x3 )(e3ν ) ρ0 ( x3 ) g = 0, divν = 0, ∂t он а н а зы ва ется сист ем ой у ра вн ен ий, описы ва ющ ей вн у т рен н ие гра вит а цион н о-гироскопические волн ы . За м еча н ие. П риб лиж ен ия , привод я щ ие к сист ем а м у ра вн ен ий (37), либ о (40) н е я вля ют ся ед ин ст вен н ы м у прощ ен ием , использу ем ы м при

38

исслед ова н ии за д а ч д ин а м ики ст ра т иф ицирова н н ой ж ид кост и. Очен ь ча ст о при ра ссм от рен ии колеб а н ий ж ид кост и в огра н ичен н ы х об ла ст я х использу ет ся т а к н а зы ва ем ое приб лиж ен ие Б у ссин еска . Д ля у ра вн ен ий эт о приб лиж ен ие за ключа ет ся в след у ющ ем . В первом (вект орн ом ) и втором у ра вн ен ия х сист ем (37), (38) я вн о вх од я щ а я ст а цион а рн а я плот н ост ь ж ид кост и ρ 0 ( x3 ) за м ен я ет ся пост оя н н ой величин ойρ0 , ра вн ой сред н ей ст а цион а рн ой плот н ост и. перем ен н ой.

Величин а ж е ω02 ( x3 ) счит а ет ся , ка к и ра н ее,

Л ите р а тур а . 1. С а м у ль В.И . Осн овы теории у пру гост и и пла ст ичн ост и / В.И . С а м у ль. - М .: Н а у ка , 1970.- 273с. 2. С ед ов Л .И . М ех а н ика сплошн ой сред ы / Л .И С ед ов. - М .:Н а у ка , 1976. -Т.1.-535 с. 3. Б рех овских Л .М . Введ ен ие в м ех а н ику сплош н ой сред ы / Л .М . Б рех овских , В.В. Гон ча ров. - М .: Н а у ка , 1982. -329с. 4. И льюш ин А.А. М ех а н ика сплош н ой сред ы / А.А. И льюш ин . - М .: М ГУ , 1990, -310с. 5. Л а д ы ж ен ска я О.А. М а т ем а т ические вопросы д ин а м ики вя зкой н есж им а ем ой ж ид кост и / О.А. Л а д ы ж ен ска я . - М .: Н а у ка . 1970. -288с. 6. Га б ов С .А. Л ин ейн ы е за д а чи н ест а цион а рн ы х вн у т рен н их волн / С .А. Га б ов, А.Г. С веш н иков. - М .: Н а у ка , 1990. -344с.

39

С ост а вит ели: Глу шко Ан д рейВла д им ирович, Глу ш ко Вла д им ир П а влович Ред а кт ор

Тих ом ирова О.А.