Глава 5. Теория устойчивости Во многих задачах небесной механики не удается аналитически установить факт интегрируемости...
29 downloads
170 Views
604KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Глава 5. Теория устойчивости Во многих задачах небесной механики не удается аналитически установить факт интегрируемости исходной канонической системы. Более того, существование динамического хаоса, строго говоря, свидетельствует о неинтегрируемости динамических систем на неограниченных интервалах времени. Однако в ряде случаев оказывается достаточным исследования задачи в предположении малых возмущений системы. Эти исследования в той или иной степени связаны с решением задачи об устойчивости системы. Следует иметь в виду условный характер самого понятия устойчивости. В зависимости от требуемых целей исследований и конкретных свойств систем применяются различные определения устойчивости. Малые возмущения системы могут, в частности, приводить к малым изменениям параметров системы в течение лишь ограниченного интервала времени, тогда как при t → ∞ эти изменения могут быть существенными. Кроме того, устойчивость решений динамической системы существенно зависит от наличия в ней резонансов. Понятие устойчивости, по существу, состоит в непрерывной зависимости решения задачи от начальных параметров. Эта непрерывность может быть определена различными способами. 5.1. Устойчивость по Ляпунову Рассмотрим каноническую систему
dxi ∂F = , dt ∂ y i с гамильтонианом
dy i ∂F =− dt ∂ xi
(i = 1, n).
F = F ( x1 , K , x n ; y1 , K , y n ; t ) ,
(5.1.1) (5.1.2)
определенным и непрерывным для всех ⏐t⏐ < ∞ и (x,y) ∈ D. Решение xi = qi ( t ), yi = pi ( t ) (i = 1, n)
(5.1.3)
системы (5.1.1) называется устойчивым по Ляпунову при t → ∞, если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 существует δ(ε) такое, что для всякого решения ϕ i (t ),
ψ i (t ) (i = 1, n ) той же системы, начальные значения которого в момент времени t0 удовлетворяют неравенствам
ϕ i ( t 0 ) − qi ( t 0 ) < δ , ψ i ( t 0 ) − pi ( t 0 ) < δ
(i = 1, n) ,
(5.1.4)
выполняются неравенства
ϕ i ( t ) − qi ( t ) < ε , ψ i ( t ) − pi ( t ) < ε
(i = 1, n)
(5.1.5)
для всех t ≥ t0 (t0 < ∞), то есть близкие по начальным значениям решения остаются близкими для всех t ≥ t0 *) .
*)
В общем случае аналогично можно исследовать устойчивость и при t → −∞, если исходная система определена и при t < t0.
128
Часть I. Методы небесной механики
Геометрически это означает, что решение (5.1.3) системы (5.1.1) устойчиво, если какой бы узкой ни была ε-зона (окрестность) 2n-мерного пространства, содержащая кривую xi = qi ( t ), yi = pi ( t ) (i = 1, n) , достаточно близкие к ней в начальный момент t = t0 интегральные кривые xi = ϕ i ( t ), yi = ψ i ( t ) (i = 1, n) системы (5.1.1) целиком содержатся в указанной ε-зоне при всех t ≥ t0. Если при сколь угодно малом δ > 0 хотя бы для одного решения xi = ϕ i (t ), yi = ψ i ( t ) (i = 1, n) неравенства (5.1.5) не выполняются, то решение (5.1.3) называется неустойчивым. Очевидно, можно ввести понятие условной устойчивости решения (5.1.3), когда для любого сколь угодно малого числа ε > 0 неравенства (5.1.5) выполняются не для всех “начальных возмущений”
β i = ϕ i ( t 0 ) − qi ( t 0 ), γ i = ψ i ( t 0 ) − pi ( t 0 ) (i = 1, n) вида (5.1.4), а только для начальных возмущений, удовлетворяющих условиям
β k = γ l = 0,
β j < δ , γ m < δ , {k , l , j , m} = 1, n
(k ≠
j , l ≠ m, {k , l} ≠ ∅). (5.1.6)
Решение xi = qi (t ), yi = pi ( t ) (i = 1, n) системы (5.1.1) называется асимптотически устойчивым, если это решение устойчиво и при этом существует δ1 > 0, такое что всякое решение xi = ϕ i ( t ), yi = ψ i ( t ) (i = 1, n) , для которого ϕ i (t 0 ) − qi (t 0 ) < δ 1 ,
ψ i ( t 0 ) − pi (t 0 ) < δ 1 (i = 1, n), выполняются условия lim ϕ i ( t 0 ) − qi (t 0 ) = 0, lim ψ i (t 0 ) − pi (t 0 ) = 0 (i = 1, n). t →∞
t →∞
(5.1.7)
Это означает, что все решения xi = ϕ i ( t ), yi = ψ i ( t ) (i = 1, n) , близкие по начальным условиям к асимптотически устойчивому решению xi = qi (t ), yi = pi ( t ) (i = 1, n) системы (5.1.1), не только остаются близкими к нему при t ≥ t0, но и неограниченно сближаются с ним при t → ∞. При этом важно иметь в виду, что, как легко видеть из определения, из устойчивости решения (5.1.3) не следует ограниченность этого решения, и наоборот, из ограниченности решения xi ( t ), yi ( t ) (i = 1, n) системы (5.1.1), вообще говоря, не следует устойчивость решений. После замены переменных
ξ i ( t ) = xi ( t ) − qi ( t ), η i ( t ) = yi ( t ) − pi ( t ) (i = 1, n),
(5.1.8)
где qi ( t ), pi ( t ) (i = 1, n) — решение вида (5.1.3) системы (5.1.1), для новых переменных (5.1.8), с учетом (5.1.1), будем иметь
dξ i ∂F dqi = − , dt ∂η i dt
dη i ∂F dpi =− − dt ∂ξ i dt
(i = 1, n).
(5.1.9)
Глава 5. Теория устойчивости Здесь
129
F = F (ξ 1 + q1 (t ),K, ξ n + q n (t );η 1 + p1 (t ),K, η n + p n (t ); t ).
Полагая
F ∗ = F ∗ (ξ 1 , K , ξ n ;η1 , K ,η n ; t ) =
= F (ξ 1 + q1 (t ), K , ξ n + q n (t );η1 + p1 (t ),K ,η n + p n (t ); t ) −
(5.1.10)
dq ⎞ ⎛ dp − F (q1 (t ), K , q n (t ); p1 (t ),K , p n (t ); t ) + ∑ ⎜ ξ i i − η i i ⎟, dt dt ⎠ i =1 ⎝ n
систему (5.1.9) представим в канонической форме dξ i ∂F ∗ = , dt ∂η i
dη i ∂F ∗ =− dt ∂ξ i
(i = 1, n).
(5.1.11)
При этом, как следует из (5.1.10), каноническая система (5.1.11) имеет тривиальное решение (5.1.12) ξ i = 0, η i = 0 (i = 1, n), соответствующее решению (5.1.3) системы (5.1.1). Таким образом, преобразование (5.1.8) приводит задачу об устойчивости решения (5.1.3) системы (5.1.1) к равносильной задаче об устойчивости тривиального решения (5.1.12) “возмущенной системы” (5.1.11). В связи с этим в дальнейшем ограничимся рассмотрением устойчивости тривиального решения вида (5.1.12) канонической системы (5.1.11). Если гамильтониан F не зависит явно от времени, а частное решение (5.1.3) имеет вид qi = α i , pi = β i (i = 1, n), где
αi , βi
— некоторые
постоянные, то для переменных
ξ i (t ) = xi (t ) − α i ,
η i (t ) = y i (t ) − β i (i = 1, n) уравнения движения будут иметь вид (5.1.11) с гамильтонианом
F ∗ = F (ξ 1 + α 1 ,K, ξ n + α n ;η1 + β 1 ,K, η n + β n ) − F (α 1 ,K, α n ; β 1 ,K, β n ).
(5.1.13)
Ввиду явной независимости F* от t имеем n n ⎛ ∂F ∂F ∂F ∂F ⎞ ⎛ ∂F dξ i ∂F dη i ⎞ dF ∗ + = ∑⎜ + ⎟ ≡ 0, ⎟ = ∑⎜ dt ∂η i dt ⎠ i =1 ⎝ ∂ξ i ∂η i ∂η i ∂ξ i ⎠ i =1 ⎝ ∂ξ i dt
а следовательно, система (5.1.11) в данном случае будет иметь интеграл вида
F ∗ (ξ 1 ,K, ξ n ;η1 ,K, η n ) = 0
(5.1.14)
(как очевидно из (5.1.13), F ∗ ≡ 0 при ξ i = η i = 0 (i = 1, n) ). Для примера рассмотрим систему с одной степенью свободы вида (5.1.11) с гамильтонианом
130
Часть I. Методы небесной механики
(
F ∗ = ξ 2 + η2
)
2
(
)
+ A ξ 2 + η 2 + B.
(5.1.15)
Ввиду явной независимости F* от t, из интеграла вида (5.1.14) будем иметь:
ξ 2 + η 2 = C 2 , C 2 = ξ 02 + η 02 .
(5.1.16)
Поэтому, каково бы ни было число ε, полагая δ = ε, при любых начальных условиях ξ (t 0 ) = ξ 0 , η (t 0 ) = η 0 , удовлетворяющих соотношению
ξ 20 + η 20 < δ 2 , для всякого значения t ≥ t0 справедливо неравенство
ξ 2 + η2 < ε 2 . Следовательно, тривиальное решение ξ = 0, η = 0 рассматриваемой системы (5.1.11) устойчиво по Ляпунову. 5.2. Орбитальная устойчивость В задачах небесной механики эволюция динамической системы определяется, прежде всего, изменением во времени траекторий или орбит компонент (материальных точек) этой системы. В связи с этим представляет интерес исследование непосредственно устойчивости орбит динамической системы, то есть решение вопроса о том, будут ли оставаться возмущенные траектории близкими к траектории невозмущенного (кеплеровского) движения. Задача об орбитальной устойчивости является частным случаем наиболее общей задачи об устойчивости по Ляпунову. Пусть R1 , R2 , K, Rn — непрерывные вещественные функции от переменных x1 , K , x n ; y1 , K, y n и времени t. Тогда частное решение xi = qi ( t ),
yi = pi (t ) (i = 1, n)
(5.2.1)
системы (5.1.1) будем называть устойчивым по отношению к величинам ∗ ∗ R1 ( q1 , K, qn ; p1 , K , pn ), K, Rm ( q1 , K, qn ; p1 , K, pn ), если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 существует такое δ(ε), что для всякого решения ϕ i (t ), ψ i (t ) (i = 1, n) той же системы, а следовательно, для соответствующих значений R1 (ϕ 1 ,K, ϕ n ;ψ 1 ,K,ψ n ), K, Rm (ϕ 1 ,K, ϕ n ;ψ 1 ,K,ψ n ), начальные значения которых в момент t0 удовлетворяют неравенствам
ϕ i (t 0 ) − qi (t 0 ) < δ 1 , ψ i (t 0 ) − pi (t 0 ) < δ 1 (i = 1, n),
(5.2.2)
при t > t0 выполняются неравенства R j − R ∗j < ε ( j = 1, m).
В частности, если m = 2n и Ri = xi ( t ),
Rn +i = yi ( t ) (i = 1, n),
(5.2.3)
Глава 5. Теория устойчивости
131
то данное определение устойчивости совпадает с определением устойчивости по Ляпунову, приведенным в предыдущем разделе. Если заданная функция R1 (m = 1) определяет в пространстве 2n-измерений расстояние от точки ( q1 , K , q n ; p1 , K , p n ) до некоторого множества Γ (до ближайшей точки
множества Γ), так что
(
где z1 = q1 , K , z n = q n , z n+1
1/ 2
⎡ 2n 2⎤ R1 = inf ⎢∑ z j − γ j ⎥ , (5.2.4) {γ j } 1 j = ⎣ ⎦ = p1 , K , z 2 n = p n , {γ j } ⊂ Γ , inf — “нижняя грань” — наи-
)
большее из всех “нижних границ” множества расстояний R1, множество точек Γ = [ϕ 1 (t ),K, ϕ n (t );ψ 1 (t ),K,ψ n (t ) ] при t ≥ t0 — траектория движения. Тогда решение (5.2.1) при выполнении условий (5.2.2), (5.2.3) для m = 1 принято называть орбитально устойчивым при t → ∞. В случае, если к тому же
(
)
lim R1 [ z j (t )],[γ (t )] = 0 ( j = 1,2n), t →∞
(5.2.5)
то решение (5.2.1) будет асимптотически орбитально устойчиво. Нетрудно видеть, что из устойчивости решения по Ляпунову следует его орбитальная устойчивость (см. (5.2.1)-(5.2.4)), но обратное утверждение в общем случае неверно. Приведенное определение орбитальной устойчивости базируется на малости расстояний от изображающей точки возмущенной траектории до невозмущенной траектории и, таким образом, не учитывает особенностей невозмущенного движения. Следует отметить также, что наличие начальных возмущений вида (5.1.4), (5.2.2) в рассматриваемых динамических системах может быть обусловлено существованием как инструментальной погрешности измерений начальных условий, так и влиянием в момент времени t0 неучтенных мгновенных (возмущающих) сил, вызывающих малые отклонения (малые возмущения) в значениях начальных условий исходной системы (5.1.1). Возмущающие силы не обязательно следует рассматривать как мгновенные, они могут существовать конечное время — до момента времени t0 — но так, чтобы их действие обусловило только достаточно малые численные отклонения в начальных условиях вида (5.1.4), (5.2.2). Тогда “невозмущенное движение” будет устойчивым по Ляпунову (и, в частности, орбитально устойчивым), если при t > t0 возмущающая сила не изменяет сколь-нибудь значительно характера этого движения. В противном случае “невозмущенное движение” будет неустойчивым по Ляпунову. Если вместо неравенств (5.2.2), (5.2.3) выполняются условия вида
ϕ i (t1 ) − qi (t 2 ) < δ , ψ i (t1 ) − pi (t 2 ) < δ (i = 1, n)
(5.2.6)
и, соответственно, для всех t ≥ 0 R j ( x , y , t + t1 ) − R ∗j ( x , y , t + t 2 ) < ε , j = 1, m; t1 , t 2 ∈ R,
(5.2.7)
то рассматриваемое движение называется фазово устойчивым (условия (5.2.6) и (5.2.7) означают существование фазы t1 − t2 движения).
132
Часть I. Методы небесной механики
Фазово устойчивое движение динамической системы при определении (5.2.4), то есть при m = 1 в (5.2.7), оказывается орбитально устойчивым. 5.3. Различные определения устойчивости Помимо устойчивости по Ляпунову при исследовании динамических систем применяются также иные критерии устойчивости, в той или иной степени связанные с ограниченностью движения. Частное решение вида (5.1.3) z = [q1 ,K, q n ; p1 ,K, p n ]
(5.3.1)
канонической системы (5.1.1) называется устойчивым по Лагранжу, если для всех t ≥ t0 данное решение располагается в ограниченной области Γ фазового 2n-мерного пространства ℜ 2n , то есть z(t0) и z(t) ∈ Γ, а следовательно, n
z (t ) − z (t 0 ) = ∑ ( qi (t ) − qi (t 0 ) + pi (t ) − pi (t 0 ) ) < D,
(5.3.2)
i =1
где D < ∞ — некоторая постоянная. Из определения (5.3.2) следует, что если траектории, отвечающие в начальный момент времени t0 малым возмущениям (5.3.1), устойчивы по Лагранжу, то, в отличие от устойчивости по Ляпунову, они могут существенно отличаться от траекторий движения (5.3.1) в последующие моменты времени t > t0. Если решение z = [qi , pi ] (i = 1, n) системы (5.1.1) при t > t0 описывает в 2nмерном пространстве ℜ 2n траекторию, которая при неограниченном изменении t возвращается бесконечное число раз в сколь угодно малую окрестность начальной точки фазового пространства z(t0) ∈ ℜ 2n , то указанное решение принято называть устойчивым по Пуассону. Согласно теореме Пуанкаре о возвращениях (см. раздел 1.10) гамильтоновские системы устойчивы по Пуассону. Обобщением понятия фазовой устойчивости по Ляпунову является "прочность по Жуковскому", когда вместо неравенства (5.2.7) требуется выполнение условия вида R j ( x, y, t ) − R ∗j ( x, y,σ (t ) < ε ,
j = 1, m,
где σ(t) — произвольная функция от t Следовательно, при определении прочности по Жуковскому для возмущенных траекторий формально можно изменить скорость движения изображающей точки так, что невозмущенное движение уже может быть устойчивым *) . В то время как при определении устойчивости по Ляпунову (см., например, (5.1.5)) сравниваются изохронные (определяемые в один и тот же момент времени) решения. Таким образом, понятие прочности решения (движения по траектории) по Жуковскому является более слабым (более расширенным) по сравнению с изохронной устойчивостью по Ляпунову. Прочность движения по Жуковскому для состояния равновесия динамической системы, как *)
Применяется также более общее определение прочности по Жуковскому, когда рассматривается устойчивость относительно заданных функций переменных, остающихся инвариантными вдоль невозмущенной траектории (изменение которых означает переход с невозмущенного на смежную возмущенную траекторию).
Глава 5. Теория устойчивости
133
нетрудно видеть, совпадает с орбитальной устойчивостью, рассмотренной в предыдущем разделе. Возможны также частные критерии устойчивости, разработанные для исследования поведения решений в конкретных динамических системах и предполагающие локализацию траекторий системы в определенных характерных пространственных областях движений. Так, применительно к ограниченной круговой задаче трех тел (см. раздел 13.13) А. Пуанкаре был разработан критерий “устойчивости по Хиллу”, предполагающий определение соответствующего интегрального параметра (постоянной интеграла Якоби), при фиксированных значениях которого реальное движение исследуемой пассивно гравитирующей материальной точки P ограничено так называемой поверхностью нулевой относительной скорости — “поверхностью Хилла”. Если движение исследуемой динамической системы может быть рассмотрено лишь в течение некоторого конечного промежутка времени (t − t0) < t*, за пределами которого рассматривать задачу по каким-либо причинам не имеет смысла (или это исследование некорректно), то приведенные выше определения устойчивости (и, в частности, устойчивости по Ляпунову) не утрачивают своего значения. При этом только выполнение соответствующих неравенств должно реализовываться не для всех значений t ≥ t0, а лишь для t в промежутке (t0,t*). В этом случае, естественно, асимптотическая устойчивость может существовать при t → t$, если t$ ∈ (t 0 , t ∗ ). Гамильтоновские системы, как уже отмечалось в разделе 1.9, согласно теореме Лиувилля о сохранении фазового объема не допускают существование асимптотических траекторий. 5.4. Теоремы Ляпунова об устойчивости Рассмотрим несколько теорем, установленных А. М. Ляпуновым, позволяющих решать вопрос об устойчивости или неустойчивости исследуемых решений без знания общего решения исходной системы канонических уравнений. С учетом результатов, полученных в разделе 5.1, будем исследовать на устойчивость тривиальное решение (точку покоя) вида (5.1.12) xi = 0, yi = 0 канонической системы
dxi ∂F = , dt ∂ y i
(5.4.1)
dyi ∂F =− ∂ xi dt
(i = 1, n).
(5.4.2)
Если бы с возрастанием времени t все точки “возмущенных траекторий”, соответствующих возмущенным начальным условиям xi = δ i , yi = δ ∗i (i = 1, n) , приближались к началу 2n-мерной системы координат ℜ 2n , то есть к точке покоя (стационарной точке) (5.4.1), то рассматриваемое решение (5.4.1) было бы устойчивым. Проверка выполнения подобного условия не требует определения решений (5.4.2). Если расстояние ρ от изображающей точки на возмущенной траектории z (t ) = [ x1 (t ),K, x n (t ); y1 (t ),K, y n (t ) ] до начала 2n-мерной системы координат ℜ 2n обозначить через 1/ 2
⎛ n 2 ⎞ ρ = ⎜ ∑ xi (t ) + yi2 (t ) ⎟ , ⎝ i =1 ⎠
[
]
(5.4.3)
134
Часть I. Методы небесной механики
то производная вдоль траектории движения, согласно (5.4.2), будет равна скобке Пуассона (см. раздел 1.6): n ⎛ ∂ρ dxi ∂ρ dyi ⎞ n ⎛ ∂ρ ∂F ∂ρ ∂F dρ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ = ∑ ⎜⎜ + − dt i =1 ⎝ ∂ xi dt ∂ y i dt ⎠ i =1 ⎝ ∂ xi ∂ yi ∂ y i ∂ xi
⎞ ⎟⎟ = {ρ , F }. ⎠
(5.4.4)
Тогда при {ρ , F } ≤ 0 возмущенные траектории не удаляются от точки покоя (начала координат) с возрастанием t, и в этом случае очевидно, что тривиальное решение (5.4.1) будет устойчиво. В известной степени обобщая понятие расстояния, А. М. Ляпунов вместо функции ρ(x,y) рассматривал некоторые соответствующим образом определенные функции V ( x1 ,K, x n ; y1 ,K, y n ) или даже V ( x, y, t ) . Будем считать далее, что соответствующим введением пары канонически сопряженных переменных (см. раздел 1.8.) исходная система сведена к автономной канонической системе (5.4.2). Непрерывную функцию V ( x1 ,K, x n ; y1 ,K, y n ) , определенную в некоторой малой окрестности стационарной точки (5.4.1) 0 < z < c,
z = [ xi , y i ]
(i = 1, n) ,
(5.4.5)
где c — достаточно малое положительное число, назовем знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной), если она равна нулю в самой стационарной точке x1 = … = xn = y1 = ... = yn = 0, а в области (5.4.5) принимает значения только одного определенного знака. Например, функция V = x12 + 2 x1 x2 + 3x22 + y12 + y22 (n = 2) является определенно-положительной даже при сколь угодно большой величине c > 0 в (5.4.5). В то же время непрерывную функцию V ( x, y) назовем знакопостоянной (положительной или отрицательной), если она в области (5.4.5) принимает значения только одного определенного знака, но обращается в нуль не только в самой стационарной точке (5.4.1), но и в области (5.4.5). Так, функция V = x12 + 2 x1 x2 + x22 + y12 + y22 (n = 2) является знакопостоянной (положительной), поскольку она представима в виде V = ( x1 + x2 ) 2 + y12 + y22 ≠ 0 , а следовательно, обращается в нуль и при x12 + x22 + y12 + y22 ≠ 0 , а именно при y1 = y2 = 0 и любых x1 , x2, удовлетворяющих условию x1 = −x2 . Теорема Ляпунова об устойчивости. Если существует знакоопределенная функция Ляпунова V ( x1 ,K, x n ; y1 ,K, y n ) , полная производная dV/dt которой по времени, составленная в силу системы (5.4.2), есть функция знакопостоянная, имеющая противоположный с функцией V знак, или полная производная dV/dt тождественно обращается в нуль, то стационарная точка (5.4.1) устойчива по Ляпунову. Для доказательства данной теоремы предположим для определенности, что функция V ( x, y) является определенно-положительной, и при этом dV/dt ≤ 0 *) . Поскольку по *)
Если по условию теоремы найдена определенно-отрицательная функция V ∗ ( x, y ), то функция V = −V ∗ также будет удовлетворять условиям теоремы, но будет уже определенно-положительной.
Глава 5. Теория устойчивости
135
предположению V ( x, y) > 0 в области определения (5.4.5) и эта функция равна нулю (V = 0) при z ( x1 ,K, x n ; y1 ,K, y n ) = 0, (5.4.6) то ввиду непрерывности V стационарная точка z, определяемая (5.4.6), является точкой строгого минимума функции V ( x, y) . Следовательно, в малой окрестности стационарной точки (5.4.6) линии уровня вида V ( x, y) = h представляют собой семейство замкнутых поверхностей, внутри которых находится начало координат (xOy), а следовательно, стационарная точка (5.4.6). Так, в случае n = 1 (x = x1, y = y1) проекция на плоскость xOy линий уровня V ( x, y) = h1 целиком располагается внутри линии V ( x, y) = h2 > h1 (см. рис. 9). При фиксированном ε > 0 всегда можно выбрать достаточно малое значение h1 > 0, так что проекция линии уровня V ( x, y) = h1 на плоскость xOy будет целиком находиться в εокрестности стационарной точки О (x = y = 0), причем замкнутая кривая указанной проекции будет охватывать стационарную точку О. Поэтому можно выбрать δ > 0 такое, что δ-окрестность точки О целиком будет находиться внутри линии V ( x, y) = h1 , и в этой окрестности V ( x, y) < h1 . y
V=h2
δ O
x
ε (x(t0),y(t0)) V=h1 Рис. 9. Рассмотрим произвольную траекторию исходной системы (5.4.2), выходящую в начальный момент времени t = t0 из некоторой точки (x(t0),y(t0)), находящейся в δокрестности стационарной точки О. Эта траектория при возрастании времени t никогда не пересечет линию уровня V ( x, y) = h1 (или соответствующую проекцию при n > 1), так как в противном случае в точке пересечения (или в ее окрестности) функция V ( x( t ), y( t )) имела бы положительную производную dV/dt, так что при переходе от линии (поверхности) уровня V = h1 (ее проекции) к другой соответствующей линии этого семейства, охватывающей первую, функция V ( x, y) возрастала бы. Но это невозможно, поскольку по исходному предположению dV/dt ≤ 0. Следовательно, если в начальный момент времени какая-нибудь траектория находилась внутри области, ограниченной
136
Часть I. Методы небесной механики
линией (поверхностью) уровня V = h (или ее соответствующей проекцией), то она и в дальнейшем будет все время оставаться внутри этой области. Поэтому для всякого ε > 0 существует δ > 0 такое, что любая траектория системы (5.4.2), выходящая в начальный момент времени t0 из δ-окрестности стационарной точки (5.4.6), для всех t ≥ t0 будет содержаться в ε-окрестности указанной стационарной точки. Это и означает устойчивость по Ляпунову тривиального решения (5.4.1) канонической системы (5.4.2). Аналогично может быть доказана теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если существует знакоопределенная функция V ( x1 ,K , xn ; y1 ,K , yn ) , полная производная которой по времени, составленная в силу исходной системы дифференциальных уравнений, является также функцией знакоопределенной, имеющей противоположный с функцией V знак, то стационарная точка вида (5.4.1) асимптотически устойчива по Ляпунову. Данная теорема реализуется лишь для диссипативных систем, поскольку гамильтоновские системы, согласно теореме Лиувилля о сохранении фазового объема, не допускают существование асимптотических траекторий движения. Если гамильтониан F рассматриваемой автономной канонической системы является знакоопределенной функцией, то, полагая V = F, согласно теореме Ляпунова об устойчивости, исследуемое тривиальное решение (5.4.1) будет устойчивым по Ляпунову, так как dF/dt ≡ 0. Для неавтономной канонической системы, гамильтониан F(x,y,t) которой является знакоопределенной функцией в области (5.4.5) и при t > t0, если частная производная ∂F/∂t в указанной области есть знакопостоянная функция, противоположная по знаку с F, то стационарное решение (5.4.1) устойчиво по Ляпунову. Отыскание функций Ляпунова V, удовлетворяющих условиям вышеприведенных теорем Ляпунова, существенно зависит от изобретательности и искусства исследователя. Естественным представляется применение в качестве функций Ляпунова V знакоопределенных квадратичных форм с постоянными коэффициентами [20]. Достаточные условия неустойчивости стационарного решения вида (5.4.1) устанавливаются следующей (третьей) теоремой Ляпунова о неустойчивости. Если в области (5.4.5) удается найти такую непрерывную функцию V ( x, y) , обращающуюся в нуль в стационарной точке (5.4.1), производная которой V& , составленная в силу исходных канонических уравнений (5.4.2), являлась бы знакоопределенной функцией, причем соответствующим выбором переменных x1 , K, x n ; y1 , K, y n (удовлетворяющих условию (5.4.5)) функцию V можно было бы сделать величиной одинакового знака с ее производной, то тривиальное решение (5.4.1) является неустойчивым по Ляпунову. Важно отметить, что в условиях приведенной теоремы функция V не обязана быть знакоопределенной. Эта функция должна лишь быть сколь угодно малой в εокрестности стационарной точки xi = yi = 0 (i = 1, n) . Если же найденная функция V оказывается знакопостоянной (или знакоопределенной) то ее знак по условиям теоремы должен совпадать со знаком производной V& — знакоопределенной функции. При доказательстве теоремы Ляпунова о неустойчивости ограничимся, как и ранее, случаем автономной системы.
Глава 5. Теория устойчивости
137
Обозначим через V0 значение непрерывной функции, обращающейся в нуль в стационарной точке (5.4.1) в начальный момент времени t0. Тогда получим очевидное равенство t
& . V − V0 = ∫ Vdt
(5.4.7)
t0
Считая для определенности функцию V& знакоопределенно-положительной (в противном случае следует перейти к функции V* = −V), в достаточно малой ε > 0 окрестности стационарной точки (5.4.1) | z |< ε , z = [ xi , y i ] (i = 1, n) (5.4.8) для всех значений t ≥ t0, удовлетворяющих неравенству (5.4.8), будем иметь V ≥ V0. Поскольку по условиям теоремы соответствующим выбором переменных z, численно сколь угодно малых, функцию V для каждого значения t ≥ t0 можно сделать величиной одинакового с ее производной V& знака, то есть по предположению — положительной. Поэтому при (5.4.9) h ≤ | z| < ε ( h > 0) получим V ≥ V0 >0. (5.4.10) Так как по условиям теоремы V& — знакоопределенно-положительная функция, то в области (5.4.9) V& > λ > 0 (λ = const), а следовательно, согласно (5.4.7), справедливо неравенство V > V0 +λ(t−t0), которое с учетом (5.4.10) можно представить в виде V > λ(t−t0).
(5.4.11)
Но поскольку, согласно формулировке теоремы, считается, что функция V непрерывная и обращается в нуль при xi = yi = 0 (i = 1, n) , то в области (5.4.9) она является ограниченной: (5.4.12) V < M(ε). Очевидно, что условие (5.4.12) противоречит неравенству (5.4.11) для всякого значения t > t0. Следовательно, существует такой момент времени t = τ > t0, для которого неравенство (5.4.9) при xi ( t 0 ) < δ ,
yi ( t 0 ) < δ
(i = 1, n)
не выполняется и по крайней мере реализуется одно из неравенств xi ( t ) ≥ ε ,
y j (t ) ≥ ε
(i , j = 1, n).
А это и означает, согласно определению, что тривиальное решение (5.4.1) является неустойчивым по Ляпунову.
138
Часть I. Методы небесной механики
Если не удается подобрать функцию V такую, что ее производная V& , вычисленная с учетом канонических уравнений (5.4.2), была бы функцией знакоопределенной, то целесообразно использовать иную (вторую) теорему Ляпунова о неустойчивости. В случае существования ограниченной функции V, производная которой, вычисленная согласно (5.4.2), представима в виде ~ V& = aV k + V , (5.4.13) стационарная точка (5.4.1) неустойчива. В (5.4.13) k ≥ 1, a — положительная постоянt
ная (или положительная функция времени, такая что интеграл
∫ a (t )dt неограниченно t0
~ растет со временем t), V тождественно равная нулю или знакопостоянная функция, причем в последнем случае функция V такова, что при t > t0 соответствующим выбором переменных xi, yi (i = 1, n) , сколь угодно численно малых, ее можно сделать величиною ~ одинакового с V знака. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству предыдущей теоремы. 5.5. Устойчивость по первому (линейному) приближению Пусть гамильтониан F канонической системы (5.4.2) представим в виде
F = Fk + F ′,
(5.5.1)
где Fk — полином порядка k (k ≥ 2) относительно переменных xi, yi (i = 1, n) , а F ′ является голоморфной функцией, не содержащей при тейлоровском разложении слагаемых ниже (k+1) порядка относительно указанных переменных с ограни-ченными относительно t коэффициентами. В ряде случаев может оказаться, что для приближенных (“усеченных”) уравнений (5.4.2) с F = Fk удается подобрать функцию Ляпунова, удовлетворяющую одной из теорем Ляпунова, рассмотренных в предыдущем разделе. Поэтому представляет интерес возможность определения устойчивости (или неустой-чивости) тривиального решения (5.4.1) исходной полной канонической системы (5.4.2) по результатам соответствующего исследования приближенных канонических уравнений с гамильтонианом F = Fk. Наиболее важным для приложений является случай, когда k = 2, то есть “усеченный” гамильтониан F2 есть квадратичная форма переменных xi, yi (i = 1, n) : F2 =
1 n n 2aij(1) ( t ) yi x j + aij( 2 ) ( t ) yi y j + aij( 3) ( t ) xi x j . ∑ ∑ 2 i =1 j =1
При этом, согласно (5.4.1),
(
∂F2 ∂F2 = = 0 (i = 1, n). ∂ xi ∂ y i
)
(5.5.2)
(5.5.3)
Следовательно, правые части канонических уравнений (5.4.2) при F = F2 являются линейными функциями канонических переменных:
Глава 5. Теория устойчивости
139
n dxi = ∑ aij(1) (t ) x j + aij( 2 ) (t ) y j , dt j =1
(
)
n dyi = − ∑ a (ji1) (t ) y j + aij( 3) (t ) x j dt j =1
(
)
(5.5.4) (i = 1, n).
Канонические уравнения с гамильтонианом F = F2 принято называть уравнениями первого приближения, а саму задачу об определении устойчивости стационарной точки x1 = x2 = … = xn = y1 = y2 = … = yn = 0 (5.5.5) будем называть задачей об определении устойчивости по первому (линейному) приближению. Если удается найти такую непрерывную и обращающуюся в нуль в точке (5.5.5) функцию V с ограниченными относительно t коэффициентами, являющуюся четной степенью от переменных xi, yi (i = 1, n) , что ее производная, составленная в силу уравнений первого приближения, есть знакоопределенная функция того же знака, что и V, то согласно рассмотренной в предыдущем разделе третьей теореме Ляпунова (о неустойчивости) нулевое решение (5.5.5) является неустойчивым независимо от конкретного вида слагаемых высших порядков F ′ в исходных канонических уравнениях (5.4.2). Действительно, поскольку
∂V n ⎛ ∂V ∂F2 ∂V ∂F2 ⎞ ⎟, V& = U 0 + U ′, U 0 = + ∑⎜ − ∂ t i =1 ⎜⎝ ∂ xi ∂ y i ∂ y i ∂ xi ⎟⎠ n ⎛ ∂V ∂F ′ ∂V ∂F ′ ⎞ ⎟, U ′ = ∑ ⎜⎜ − ∂ y i ∂ xi ⎟⎠ i =1 ⎝ ∂ x i ∂ y i где U0 есть функция с ограниченными относительно t коэффициентами и того же порядка относительно переменных xi, yi (i = 1, n) , что и V, а U′ — голоморфная функция переменных xi, yi (i = 1, n) , разложение которой по степеням этих переменных (с ограниченными относительно t коэффициентами) начинается слагаемыми более высокого, чем U0, порядка, то из условия знакоопределенности U0 следует, что в малой εокрестности стационарной точки (5.5.5) V& также будет являться знакоопределенной функцией того же знака, что и U0. Поэтому функция V будет удовлетворять всем условиям приведенной в предыдущем разделе теоремы Ляпунова о неустойчивости *) . Для диссипативной динамической системы из теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости непосредственно следует, что если удается найти знакоопределенную функцию V от переменных xi, yi (i = 1, n) с ограниченными относительно t коэффициентами, производная которой, составленная в силу уравнений первого приближения, есть знакоопределенная функция противоположного знака с функцией V, то стационарное решение (5.5.5) будет устойчиво, и притом асимптотически, независимо от конкретного вида слагаемых высших порядков в исходных уравнениях.
*)
Определение неустойчивости стационарного решения по первому приближению может быть аналогично получено на основе второй теоремы Ляпунова о нейстойчивости, рассмотренной в разделе 5.4.
140
Часть I. Методы небесной механики
В то же время очевидно, что если для некоторой знакоопределенной функции V производная, составленная в силу уравнений первого приближения, равна тождественно нулю, то стационарное решение (5.5.5) может быть как устойчивым, так и неустойчивым в зависимости от слагаемых высших порядков в исходных уравнениях. В случае, когда коэффициенты aij( m) (i , j = 1, n; m = 1,3) в (5.5.4) являются постоянными величинами, систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (5.5.4) всегда можно проинтегрировать и найти общее решение этой “усеченной” системы. Характеристическое уравнение для системы (5.5.4), получаемое при поиске ре⎡x⎤ шения в виде ⎢ ⎥ = C j exp( λt ) ( j = 1,2n) , имеет вид ⎣ y⎦ a11(1) − λ a12(1) L (1) (1) a 21 a 22 − λ L D (λ ) =
a1(n1) a 2(1n)
a11( 2 ) ( 2) a 21
a12( 2 ) ( 2) a 22
L L
a1(n2 ) a 2( 2n)
L a n( 12 )
L a n( 22)
L L
L ( 2) a nn
(1) a 21
L
a n(11)
L a n(11)
L a n(12)
L L (1) L a nn − λ
a11( 3)
a12(3)
L
a1(n3)
a11(1) + λ
( 3) a 21 L
( 3) a 22 L
L L
a 2( 3n) L
a12(1) L
a n( 31)
a n(32)
L
( 3) a nn
a1(n1)
(1) a 22 +λ L L L
a 2(1n)
= 0.
(5.5.6)
a n(12) L
(1) +λ L a nn
Поскольку, как следует из (5.5.2), aij( 2 ) = a (ji2 ) , aij( 3) = a (ji3) (i , j = 1, n), то переставляя соответствующим образом строки и столбцы характеристического уравнения, нетрудно видеть, что, согласно (5.5.6), D(λ) = D(−λ). Следовательно, уравнение (5.5.6) должно содержать лишь четные степени по λ, а поэтому наряду с каждым корнем λj будет существовать корень −λ j ( j = 1,2n) , так что если характеристическое уравнение (5.5.6) будет иметь корни с неравными нулю вещественными частями, то половина из них будет иметь положительные, а другая — отрицательные значения вещественных частей *) . Таким образом, в соответствии с определением устойчивости (неустойчивости) при наличии корней характеристического уравнения (5.5.6) с неравными нулю вещественными частями стационарное решение (5.5.5) будет неустойчивым независимо от вида гамильтониана F′ в (5.5.1). Следовательно, для устойчивости нулевого решения (5.5.5) необходимо, чтобы все корни уравнения (5.5.6) были простыми (не кратными) и имели равные нулю вещественные части *) . Но если все корни характеристического уравнения (5.5.6) имеют равные нулю вещественные части, на устойчивость стационарного решения (5.5.5) начинают влиять слагаемые более высоких порядков, входя*)
*)
Если для некоторой диссипативной системы все корни уравнения (5.5.6) имеют отрицательные вещественные части, то нулевое стационарное решение асимптотически устойчиво. Так как в случае канонической системы (5.5.4) не менее половины корней характеристического уравнения (5.5.6) имеют неположительные вещественные части, то стационарное решение (5.5.5) всегда обладает условной устойчивостью, поскольку всегда можно выбрать начальные условия так, чтобы обратились в нуль все те переменные, модули которых неограниченно растут вместе со временем t.
Глава 5. Теория устойчивости
141
щие в F′, а поэтому в общем случае исследование на устойчивость по первому приближению не позволяет решить вопрос об устойчивости или неустойчивости нулевого решения (5.5.5) исходной (полной) системы (5.4.2). Однако если F2 является знакоопределенной функцией, а исходная каноническая система автономна, то есть F не зависит от времени t явно, то, согласно теореме Ляпунова об устойчивости, стационарное решение (5.5.5) будет устойчивым независимо от вида функции F′. Если F2 ≡ 0, то устойчивость (5.5.5) будет иметь место, когда, например, F′ является знакоопределенной функцией. В случае неавтономной канонической системы, когда функция F2 является знакоопределенной, а ∂F ′ d = (V = F2 + F ′) ∂ t dt есть знакопостоянная функция противоположного с F2 знака, то, согласно теореме Ляпунова об устойчивости, стационарная точка (5.5.5) устойчива по Ляпунову. Если же ∂F′/∂t является знакоопределенной функцией, а гамильтониан F2 может принимать в малой ε-окрестности стационарной точки (5.5.5) значения того же, что и ∂F′/∂t, знака, то решение (5.5.5) отвечает неустойчивому движению. В качестве примера рассмотрим устойчивость стационарных решений канонической системы с одной степенью свободы вида dx ∂F = , dt ∂ y
∂F dy =− , dt ∂x
F = ( x 2 + y 2 ) 2 + C1 ( x 2 + y 2 ) + C 2 x,
(5.5.7)
к которой приводится, в частности, ограниченная резонансная задача трех тел (см. главы 13 и 15). В (5.5.7) C1 и C2 < 0 — числовые коэффициенты. Приравнивая нулю правые части уравнений (5.5.7), для определения стационарных точек получим два уравнения 4x3 + 2C1x +C2 = 0, y = 0.
(5.5.8)
Так как C2 < 0, то, согласно теореме Декарта, один из действительных корней первого уравнения (5.5.8) является положительной величиной, то есть x1 > 0, и, поскольку в (5.5.8) отсутствует слагаемое с множителем x2, то x2 +x3 = −x1 < 0. 1 Если дискриминант D = − (8C13 + 27C22 ) первого уравнения (5.5.8) равен нулю, 16 то все корни этого уравнения — действительные величины, причем x2 = x3 [21]. В случае D > 0 все три корня, как нетрудно видеть, также действительны, и из теоремы Виета следует, что x3 < x2 <0. И, наконец, при D < 0 корни x2, x3 будут комплексно-сопряженными величинами. Выберем в качестве функции Ляпунова V гамильтониан F, то есть V = F. В этом случае ее полная производная по времени t, составленная в силу (5.5.7), тождественно будет равна нулю. В окрестности стационарных точек (xi, yi = 0; i = 1,3 ), системы (5.5.7) представим гамильтониан F в виде ряда Тейлора по степеням (x−xj) и y. Тогда с точностью до несущественного постоянного слагаемого будем иметь F = F2 + F ′, F2 = A( x − xi ) 2 + By 2 , F ′ = O[( x − xi ) y 2 ], где
(5.5.9)
142
Часть I. Методы небесной механики
A = 6xi2 + C1 , B = 2 xi2 + C1 i = 1,3. 3 В случае D > 0 ( C1 < − C22/3 ; все корни — действительные величины) нетрудно 2 построить функциональные зависимости ~ A = 6x 2 + C1 , B = 2 x 2 + C1 , Fx y = 0 = 4 x 3 + 2C1 x + C2 ,
приведенные на рис. 10а. Тогда становится очевидным, что в окрестности точек (x1,0), (x2,0) функция V является знакоопределенной (соответственно положительной и отрицательной) и, согласно первой теореме Ляпунова (см. раздел 5.4), стационарные точки (x1,0), (x2,0) являются устойчивыми по Ляпунову. Для окрестности точки (x3,0) коэффициенты A и B имеют разные знаки. Составим в этом случае систему уравнений линейного приближения, то есть положим F = F2:
d ( x − x3 ) dy = 2 By, = −2 A( x − x3 ). dt dt Характеристическое уравнение (5.5.6) этой системы будет иметь вид:
(5.5.10)
λ2 + 4 AB = 0, так что λ2 = −4 AB. Поскольку коэффициенты A, B в окрестности x = x3 имеют разные знаки, то λ2 > 0. Следовательно, корни λ1,2 действительны и один из них положителен. Согласно теореме Ляпунова для уравнений системы в первом приближении точка (x3,0) соответствует неустойчивому решению (неустойчивость типа “седла”, см. следующий раздел). 3 В случае D < 0 ( C1 > − C22/3 ) аналогично устанавливается (рис. 10б), что (x1,0) яв2 ляется устойчивой стационарной точкой (две другие отвечают фиктивным движениям). 3 При D = 0 ( C1 = − C22/3 ) все корни xi (i = 1,3) — действительные величины и 2 2 1 13 x2 , 3 = − x1 = − |C2 |. В этом случае A x2 , 3 = 0, B = C1 < 0 (рис. 10в). Таким образом, 3 2 2 (x1,0) отвечает устойчивой стационарной точке, а (x2,3,0) — неустойчивой, поскольку ~ Fx′ = Fx|y= 0 + 4 xy 2 < 0 в окрестности x2,3, так что правая часть dy/dt в (5.5.7) больше нуля, а значит в ε-окрестности точки x2,3, то есть при |x − x2,3| < ε, переменная y возрастает.
Глава 5. Теория устойчивости
143 B
A
∼
F x2
x3
x1
0
x
a) B
A
∼
F
0
x
б)
A
B
∼
F x1
x 2,3
0
x
в)
Рис. 10. 5.6. Устойчивость положений равновесия автономной канонической системы с одной степенью свободы Рассмотрим более подробно устойчивость стационарного решения в случае автономной канонической системы с одной степенью свободы (системы второго порядка). Поскольку, как было показано в разделе 5.1, стационарную точку (стационарное решение) всегда можно принять за начало координат, то будем исследовать устойчивость тривиального решения
144
Часть I. Методы небесной механики
x=y=0 канонической системы вида
dx ∂F , = dt ∂y
(5.6.1)
dy ∂F , =− dt ∂x
(5.6.2)
где, согласно (5.5.2), F = F2 + F ′ ,
F2 =
[
]
1 2a1 xy + a 2 y 2 + a 3 x 2 . 2
Линеаризованная система (5.6.2) dx = a1 x + a2 y , dt
dy = − (a 3 x + a1 y ) dt
(5.6.3)
имеет следующее характеристическое уравнение:
λ2 = c, c = a12 − a 2 a3 .
(5.6.4)
При вещественных коэффициентах a k ( k = 1,3) , решения (5.6.4) λ1 и λ2 могут быть или комплексно-сопряженными с нулевой вещественной частью (c < 0), или действительными величинами, имеющими при c > 0 (λ1,2 ≠ 0) различные знаки **) . Если λ1,2 = ±iq, q = |c|, то решения уравнений (5.6.3) являются периодичес-кими функциями x (t ) = C1 sin qt + C2 cos qt , y (t ) = C1∗ sin qt + C2∗ cos qt , (5.6.5) ∗ ∗ где C1 и C2 — произвольные постоянные, а C1 и C2 — некоторые линейные комбинации этих постоянных: *)
C1∗ = − (a1C1 + qC2 ) / a 2 , C2∗ = ( qC1 − a1C2 ) a 2 , при этом, так как по предположению c < 0, то a2 ≠ 0. Траектории (5.6.5), имеющие вид a ξ 2 + η 2 = 3 q 2 (C12 + C22 ), ξ = a1 y − a3 x , η = qy , a2 являются замкнутыми кривыми, содержащими внутри себя устойчивую стационарную точку (5.6.1), называемую в этом случае центром. Если числа λ1 и λ2 действительны и имеют различные знаки, например, λ1 > 0, λ2 < 0, то стационарная точка (5.6.1) оказывается неустойчивой. Решения уравнений (5.6.3) в данном случае при a2 ≠ 0 будут иметь вид ***)
*)
Для автономной системы F = h является интегралом энергии. Для диссипативных систем, когда оба корня λ1 и λ2 имеют отрицательные (или положительные) вещественные части, положение равновесия называется устойчивым (или, соответственно, неустойчивым) фокусом. Если числа λ1 и λ2 оба действительны и отрицательны (или положительны), то положение равновесия называется устойчивым (или неустойчивым) узлом. ***) В случае a2 = 0 решения (5.6.3) будут иметь вид: a x = C1 exp(a1 t ), y = C 2 exp(−a1t ) − 3 C1 exp(a1t ). 2a1 **)
Глава 5. Теория устойчивости
x (t ) = C1 exp( λ 1t ) + C2 exp( λ 2 t ),
145
y (t ) = β 1C1 exp( λ 1t ) − β 2 C2 exp( λ 2 t ),
λ 1 = c , λ 2 = − c , β 1 = ( c − a1 ) / a2 , β 2 = ( c + a1 ) / a2 . При C2 = 0 получаем движение, при котором изображающая точка P фазовой траектории движется по прямой y = β1x в направлении от стационарной точки — начала координат (так как λ1 > 0), неограниченно удаляясь от него. В случае C1 = 0 с ростом t точка P движется по прямой y = −β2x по направлению к стационарной точке (так как λ2 < 0). Если C1 ≠ 0 и C2 ≠ 0, то как при t → ∞, так и при t → −∞ траектория покидает окрестность стационарной точки, которую в рассматриваемом случае принято называть “седлом” (рис. 11).
y
0
x
Рис. 11. Случай λ1,2 = 0 (c = 0) отвечает решениям (5.6.3): x = x 0 + ( a1 x0 + a 2 y0 ) t, y = y0 − ( a 3 x0 + a1 y 0 ) t, x0 = x( t = 0), y0 = y( t = 0),
соответствующим равномерным прямолинейным движениям. При a2 ≠ 0 все точки прямой y0 = β x0 ( β = β 0 , β 0 = − a3 a2 , когда a1 > 0, и β = −β0 при a1 < 0) являются неустойчивыми стационарными точками. Если a2 = 0, то при λ1,2 = 0 коэффициент a1 также равен нулю, а следовательно, x = x0 = const, y = y0 − a3x0t. Поэтому стационарные точки x0 = 0, y0 = 0 при a3 ≠ 0 неустойчивы *) . Как уже отмечалось в предыдущем разделе, при обращении в нуль вещественной части хотя бы одного корня характеристического уравнения на устойчивость стационарного решения (5.6.1) существенно начинают влиять нелинейные слагаемые, обусловленные F′, поэтому при λ1,2 = ±iq устойчивость исследуемого стационарного решения нельзя устанавливать на основе линеаризованной системы (5.6.3). В этом случае целесообразно использовать непосредственно теоремы Ляпунова, рассмотренные в разделе 5.4. *)
Если все коэффициенты a1, a2, a3 в (5.6.3) равны нулю, то каждая точка фазовой плоскости (x,y) является устойчивым по Ляпунову положением равновесия.
146
Часть I. Методы небесной механики
Однако в случае неустойчивости типа “седла” для решения вопроса об устойчивости стационарного решения (5.6.1) оказывается достаточным исследование линеаризованной системы. При этом для непрерывно дифференцируемой и ограниченной в окрестности стационарной точки (5.6.1) функции F′(x,y) качественное поведение траекторий вблизи стационарной точки (5.6.1) исходной (полной) канонической системы (5.6.2) совпадает со случаем линеаризованной системы (5.6.3). Следует также отметить, что для линейной системы вида (5.6.3) все решения одновременно либо устойчивы, либо неустойчивы. Это утверждение не реализуется для нелинейных систем, некоторые решения которых могут быть устойчивыми, в то время как другие — неустойчивы (см. пример, приведенный в предыдущем разделе). 5.7. Устойчивость периодических решений В главе 3 были рассмотрены условия существования и метод построения периодических решений канонических уравнений. Как было показано в разделе 3.7, наличие периодического решения канонической системы dx ∂F = , dt ∂ y
dy ∂F =− dt ∂x
(5.7.1)
непосредственно связано с существованием голоморфного интеграла вида
λ
(x 2
2
)
+ y 2 + F ′( x , y ) = c,
(5.7.2)
в котором F′ есть голоморфная функция от x, y, не содержащая в своем разложении членов ниже третьего порядка. В интеграл (5.7.2) входят две произвольные постоянные λ и c. При λ ≠ 0 в окрестности нулевой стационарной точки гамильтониан системы (5.7.1) будет знакоопределенной функцией, а следовательно, согласно теореме Ляпунова об устойчивости, периодическое решение, отвечающее тривиальному решению (5.7.1), будет устойчивым по Ляпунову. Если характеристическое уравнение канонической системы вида (5.4.2) имеет чисто мнимые корни ±iλ1, ±iλ2, ..., ±iλn (i2 = −1), то, когда числа λ1, ..., λn таковы, что ни одно из отношений, которые можно из них составить, комбинируя их по два, не является целым числом, исходная каноническая система будет иметь n устойчивых периодических решений, каждое из которых будет содержать по две произвольные постоянные. Поскольку система канонических уравнений первого приближения (когда гамильтониан F является квадратичной функцией от переменных) с правыми частями, являющимися непрерывными периодическими функциями времени с одним и тем же вещественным периодом, при помощи определенного неособенного преобразования с периодическими коэффициентами всегда может быть преобразована в систему уравнений первого приближения с постоянными коэффициентами [13, 14], то задача об устойчивости тривиального стационарного решения линейной системы с периодическими коэффициентами (а следовательно, общая задача с учетом слагаемых высших порядков) аналогична рассмотренной в разделе 5.5 задаче об устойчивости нулевого решения
Глава 5. Теория устойчивости
147
линейной системы (соответственно полной системы) с постоянными коэффициентами *) . Если характеристические числа уравнения
ρ 2 n + A1 ρ 2 n−1 +K+ A2 n−1 ρ + A2 n = 0
(5.7.3)
не имеют модулей, больших единицы, а некоторые из них имеют равные единице модули, так что их кратность равна единице **) , то периодическое решение линеаризованной автономной канонической системы устойчиво по Ляпунову . Для гамильтониана канонической системы, являющегося квадратичной формой F2 переменных x1, ..., xn, y1, ..., yn, и коэффициенты которого представляют собой периодические функции от времени t с одним и тем же вещественным периодом T > 0, всякое независимое в момент времени t и отмечаемое индексом s решение: x (j s ) (t + T ),
y (j s ) (t + T ) ( j , s = 1, n)
рассматриваемой канонической системы в момент времени t +T будет также решением и может быть линейно выражено через решения, определенные в момент t: x (js ) (t + T ) = a1 j x (j1) (t ) +K+ anj x (jn) (t ) + b1 j y (j1) (t ) +K+ bnj y (jn) (t ), y (js ) (t + T ) = c1 j x (j1) (t ) +K+ cnj x (jn) (t ) + d1 j y (j1) (t ) +K+ d nj y (jn) (t ) ( j , s = 1, n).
(5.7.4)
Здесь aks, bks ( k , s = 1, n) — некоторые постоянные. Тогда алгебраическое уравнение
a11 − ρ L a1n c11 L c1n
L L L L L L
a n1 L a nn − ρ c n1 L c nn
b11 L b1n d11 − ρ L d1n
bn1 L bnn = 0, d n1 L d nn − ρ
L L L L L L
(5.7.5)
которое представимо в виде (5.7.3), будет уравнением степени 2n относительно неизвестной ρ. Если представить характеристические числа уравнения (5.7.3) в виде
ρ m = α m + iβ m
(i 2 = −1, m = 1,2n),
(5.7.6)
то для чисел χ m = (ln ρ m ) T будем иметь
χm =
*)
[
1 ln α m2 + β m2 + iarctg( β m α m ) T
]
m = 1,2n.
(5.7.7)
В обеих задачах решение сводится к исследованию свойств корней некоторого алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами. **) В случае кратных корней исследуемое решение может быть как устойчивым, так и неустойчивым, в зависимости от характера кратных корней характеристического уравнения, модули которых равны единице.
148
Часть I. Методы небесной механики
Из (5.7.7) следует, что если модуль |ρm| меньше единицы, то вещественная часть величины χm отрицательна, в то время как при |ρm| >1 вещественная часть χm положительна. Если же модуль корня ρm равен единице, то вещественная часть χm равна нулю. Так как общее решение линейных канонических уравнений (когда F = F2) с периодическими коэффициентами при отсутствии кратных корней характеристического уравнения (5.7.3) имеет вид *)
zσ = C1 f σ 1 (t ) exp( χ 1t ) +K+ C2 n f σ 2 n (t ) exp( χ 2 n t ), zσ = [ x1 ,K, x n ; y1 ,K, y n ] σ = 1, 2n,
(5.7.8)
где все fσp(t) (σ , p = 1,2n) являются непрерывными периодическими функциями от времени t с периодом T, а C1 , K, C2 n — произвольные постоянные, то в случае, когда характеристическое уравнение (5.7.3) не имеет корней, модули которых больше единицы (так что, согласно (5.7.7), вещественные части χm неположительны), а часть из них имеют равные единице модули единичной кратности, соответствующие, как следует из (5.7.7), нулевым вещественным частям χm, решение (5.7.8) с неограниченным возрастанием t не будет неограниченно расти по числовой величине, а будет оставаться вблизи периодического начального решения xj(0), yj(0) ( j = 1, n), каковы бы ни были произвольные постоянные C1 , K, C2 n , то есть каковы бы ни были эти начальные значения. Следовательно, в этом случае начальное периодическое решение будет устойчивым по Ляпунову. 5.8. Предельные циклы Пуанкаре Понятие предельного цикла — изолированного периодического решения для диссипативных систем — было впервые введено А. Пуанкаре. Для наглядности ограничимся в дальнейшем случаем одной степени свободы. Пусть x = ϕ 1 (t ), y = ϕ 2 (t ) (5.8.1)
является периодическим решением диссипативной системы dx ∂F = + R ( x, y ), dt ∂ y
dy ∂F =− , dt ∂x
(5.8.2)
а Γ — описываемая этим решением замкнутая кривая на фазовой плоскости (x,y). Тогда решение [ϕ 1 (t ), ϕ 2 (t )] (траектория Γ) считается изолированным периодическим решением и называется предельным циклом, если существует такое положительное число d, что, какова бы ни была точка P рассматриваемой фазовой плоскости, находящаяся от кривой Γ на расстоянии, меньшем чем d, решение (5.8.1), проходящее через точку P, не является периодическим. Геометрически это означает (для системы с одной степенью свободы), что на фазовой плоскости в малой окрестности замкнутой траектории Γ не проходит других замкнутых траекторий рассматриваемой системы.
*)
~ Частное решение представляется в виде: z = f (t ) ρ t / T .
Глава 5. Теория устойчивости
149
Замкнутая кривая Γ разбивает фазовую плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю; при этом траектории рассматриваемой диссипативной системы не пересекают друг друга. Если все траектории, как внешние, так и внутренние, начинающиеся вблизи Γ, при t → ∞ “наматываются” на Γ, как спирали, то предельный цикл Γ называется устойчивым (рис. 12а).
Г
Г
б)
а)
Г
Г
г)
в)
Рис. 12. Если все траектории, начинающиеся в окрестности Γ, “разбегаются” от Γ при t → ∞ (то есть наматываются при t → −∞), то предельный цикл Γ вполне неустойчивый (рис. 12б). В двух других возможных случаях, когда при t → ∞ внутренние траектории наматываются на Γ, а внешние — разбегаются (или наоборот), предельный цикл Γ принято называть полуустойчивым (рис. 12в, г). Для определения критерия существования предельного цикла рассмотрим понятие функции последования, или, в общем случае, когда число степеней свободы n > 1, — “секущей поверхности Пуанкаре” (см. вводную часть главы 4). Обозначим через M луч, пересекающий замкнутую кривую Γ (соответствующую периодическому решению с периодом T) в единственной точке P0 (рис. 13). Координату точки P0, то есть величину отрезка OP0, примем за u0. Через точку P ∈M с координатой u проведем траекторию l системы (5.8.2). Если точка P близка к P0, то, двигаясь по траектории l при возрастании t, мы будем находиться вблизи кривой Γ, а поэтому через время, близкое к T, траектория l пересечет луч M в некоторой точке P1, координату которой обозначим через L1(u). Аналогично при движении из точки P по траектории l в направлении убывания t через время порядка T луч M пересечет l в точке P−1 с координатой L−1 (u).
150
Часть I. Методы небесной механики M P Pl
l
P0 O
Г
Рис. 13. Очевидно, если в (5.8.2) функция R непрерывна, то обе функции L1 и L−1 будут являться непрерывными и взаимно обратными, то есть
L1 [ L−1 ( u) ] = L−1 [ L1 ( u) ] = u.
(5.8.3)
Функцию L = L1 принято называть функцией последования, имеющей непрерывную обратную функцию L−1 = L−1 . Ясно также, что если для величины u выполнено равенство L(u) = u,
(5.8.4)
то траектория, начинающаяся в точке P с координатой u, замкнута. Изобразим функцию последования L(u) в виде графической зависимости v = L(u)
(5.8.5)
в плоскости переменных u, v. Для того, чтобы исследовать решение уравнения (5.8.4), рассмотрим наряду с кривой (5.8.5) биссектрису первого координатного угла v = u.
(5.8.6)
Для нахождения всех решений уравнения (5.8.4) (всех периодических решений) следует найти все точки пересечения кривых (5.8.5) и (5.8.6). Для того чтобы кривая Γ была предельным циклом, необходимо, чтобы точка (u0,u0) являлась точкой пересечения кривых (5.8.5) и (5.8.6). Если L′ ( u0) ≠ 1, то есть функция v = L(u) не касается в точке u = u0 прямой v = u, но (u0, u0) является изолированной точкой пересечения этих кривых, то в данном случае траекторию Γ принято называть грубым предельным циклом *) . При L′ ( u0) < 1 (рис. 14а) в окрестности u = u0 выполняется неравенство | L(u) − u0 | < |u − u0|,
(5.8.7)
а следовательно, во внешней области Γ точка P1 на рис. 13 располагается на луче M ближе к точке P0, чем к P (аналогичная конфигурация имеет место и во внутренней области Γ). Поэтому в окрестности замкнутой кривой Γ траектории по спирали нама*)
Грубый предельный цикл не исчезает при малых возмущениях исходной системы. Необходимым и достаточным условием того, чтобы траектория Γ была предельным циклом, является наличие изолированной точки (u0,u0) пересечения кривых (5.8.5) и (5.8.6).
Глава 5. Теория устойчивости
151
тываются на Γ при t → ∞. Таким образом, в данном случае рассматриваемый предельный цикл Γ устойчив. Если L′ ( u0) > 1 (рис. 14б), то | L(u) − u0 | > |u − u0|,
(5.8.8)
так что данный случай соответствует вполне неустойчивому предельному циклу (траектории по спирали наматываются на Γ при t → −∞). В случае, если кривые (5.8.5), (5.8.6) касаются друг друга (L′ ( u0) = 1) в точке (u0, u0) и при этом кривая v= L(u), касаясь биссектрисы (5.8.6), находится по одну ее сторону (рис. 14в), так что в левой и правой полуокрестностях u = u0 выполняются различные неравенства (5.8.8) и (5.8.7), возможный предельный цикл будет полуустойчивым (рис. 12г). И, наконец, при L′ ( u0) = 1, но когда кривая (5.8.5) в окрестности u0 располагается по разные стороны биссектрисы (5.8.6) (рис. 14г), предельный цикл будет либо устой~ чивым (кривая L (u) ), либо вполне неустойчивым (кривая L ( u) ). v v
uu **−-u u00
uu00
О
u00
а)
v v
О
*)-u LL(u (u*) − u00
uu**
∧
в)
u u0
u*
v=u v= u v=L(u) v=L(u)
uu**-u -u0 L(u L(u**) − u0 0 )-u 0
u0 u0
О
u
uu** uu 00
б)
_ L(u)
uu0 0
u
О
∧
г)
u u0
u v=u v=u
~ L(u)
v v
v= u v=u v=L(u) v= L(u)
u0 u0
v v
v=L(u) v=u v= u v= L(u)
u*
u
Рис. 14. 5.9. Критерии устойчивости В предыдущих разделах (5.5, 5.7) было установлено, что решение задачи об устойчивости движения связано с исследованием корней характеристического уравнения с вещественными коэффициентами вида (5.7.3)
λm + α 1λm−1 +K+α m−1λ + α m = 0,
(5.9.1)
в котором в случае канонических систем m = 2n (n∈N), а согласно (5.7.5), в частности,
152
Часть I. Методы небесной механики
α 2n
a11 L a1n = c11 L c1n
L L L L L L
a n1 L a nn c n1 L c nn
b11 L b1n d11 L d1n
L L L L L L
bn1 L bnn . d n1 L d nn
(5.9.2)
В ряде случаев оказывается возможным выяснение поведения корней уравнения (5.9.1), не проводя их вычисления, что особенно целесообразно, когда n достаточно велико. В случае диссипативных систем, когда, в общем случае, m ≠ 2n, необходимыми и достаточными условиями того, чтобы все корни характеристического уравнения (5.9.1) имели отрицательные действительные части, согласно критерию Гурвица, являются следующие неравенства [22]: α 1 α 3 α 5 L α 2 m −1 1 α 2 α 4 L α 2m−2 α1 α 3 Δ 1 = α 1 > 0, Δ 2 = > 0, K, α m = 0 α 1 α 3 L α 2 m −3 > 0. (5.9.3) 1 α2 L L L L L 0 0 L L αm При этом поскольку необходимым условием для того, чтобы все корни уравнения (5.9.1) имели отрицательные действительные части, является положительность всех коэффициентов α j ( j = 1, m) [20], то если хотя бы один из вещественных коэффициентов уравнения (5.9.1) равен нулю или отрицателен, в вычислении определителей (5.9.3) нет необходимости (естественно, в этом случае неравенства Гурвица не выполняются) *) . Неравенства (5.9.3), таким образом, являются необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости тривиального решения рассматриваемой диссипативной системы. Если условия (5.9.3) не выполняются, то очевидно, что указанное тривиальное решение заведомо не будет асимптотически устойчивым. Наличие хотя бы одного положительного вещественного корня уравнения (5.9.1), соответствующего заведомо неустойчивому движению, может быть установлено на основе теоремы Декарта [21]. Согласно этой теореме, число положительных вещественных корней уравнения (5.9.1) с учетом их кратности (засчитываемых столько раз, какова их кратность) равно числу перемен знаков последовательно рассматриваемых коэффициентов α j ( j = 1, m) этого уравнения (при этом равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на четное число **) . *)
Согласно критерию Льенара-Шипара, для уравнения (5.9.1) с положительными коэффициентами все корни имеют отрицателные действительные части, если положительны лишь или все Δj с четными индексами, или все Δj с нечетными индексами. **) Для опеделения числа отрицательных корней уравнения (5.9.1) достаточно применить теорему Декарта к уравнению (5.9.1) относительно переменной (−λ). В общем случае для определения общего числа действителных (положительных и отрицателных) корней уравнения (5.9.1) следует использовать теорему Штурма [21].
Глава 5. Теория устойчивости
153
Если αm = 0, а для уравнения (m − 1)-й степени
λm−1 + α 1λm− 2 +K+α m− 2 λ + α m−1 = 0 выполняются соответствующие неравенства Гурвица, то характеристическое уравнение (5.9.1) будет иметь один корень, равный нулю, а все остальные корни будут иметь отрицательные действительные части. А когда αm ≠ 0 и известно, что уравнение (5.9.1) не имеет корней с положительными действительными частями, но при этом выполняются первые m − 2 неравенства (5.9.3) и Δ m−1 = 0 (а следовательно, согласно (5.9.3), и Δm = 0), уравнение (5.9.1) будет иметь, по крайней мере, одну пару чисто мнимых корней, а все остальные корни будут иметь отрицательные действительные части. Для канонической системы “первого приближения” вида (5.5.4), согласно результатам раздела 5.5, уравнение (5.9.1) будет содержать лишь четные степени λ, то есть α 1 = α 3 =K= α 2 n−1 = 0. Поэтому в этом случае ни одно из неравенств Гурвица не реализуется (все Δ j ≡ 0, j = 1,2n ), и если характеристическое уравнение (5.9.1) будет иметь корни с неравными нулю действительными частями, то половина из них будет иметь отрицательные, а другая — положительные значения вещественных частей. Для устойчивости нулевого решения канонической системы (5.5.4) необходимо, чтобы все корни рассматриваемого характеристического уравнения были единичной кратности и имели бы равные нулю действительные части. Установление того факта, что данный случай имеет место (как и случай кратных комплексных корней) предполагает непосредственное знание корней характеристического уравнения *) . 5.10. Дополнения Создание строгой математической теории устойчивости решений системы дифференциальных уравнений явилось величайшей заслугой А. М. Ляпунова, который разработал два универсальных метода исследования устойчивости. Первый метод основан на исследовании устойчивости решения линеаризованной задачи и оценке влияния нелинейных членов на степень устойчивости первого (линейного) приближения, второй — на применении V-функций Ляпунова, не требующих исследования свойств первого приближения. Может случиться, что рассматриваемое движение динамической системы может происходить только в течение некоторого промежутка времени, начиная от начального момента t0 до некоторого определенного момента tmax > t0, за пределами которого рассматривать задачу по каким-либо причинам не имеет смысла. Определения устойчивости по Ляпунову и его теория устойчивости, построенная на этих определениях, и в этом случае остаются правомерными, только при этом вместо условия t ≥ t0 следует рассматривать условие t0 ≤ t ≤ tmax. А. М. Ляпуновым был получен достаточно общий результат в одной конкретной, но весьма важной проблеме, связанной с исследованием устойчивости в первом приближении лагранжевых треугольных точек либрации задачи трех тел (см. главу 13). Он доказал, что если масса одного из трех тел (материальных точек) достаточно велика по сравнению с массами двух других тел, то “лагранжев треугольник” устойчив в первом *)
Более подробное описание различных критериев устойчивости можно найти в [22, 23].
154
Часть I. Методы небесной механики
приближении при условии, что эксцентриситеты орбит тел меньше единицы, причем в случае малых эксцентриситетов орбит лагранжев треугольник устойчив в первом приближении, если массы трех тел m0, m1, m2 удовлетворяют неравенству (см. раздел 13.7):
(m0 + m1 + m2 ) 2 > 27(m0m1 + m0m2 + m1m2 ). Однако, строго говоря, согласно теории Ляпунова из устойчивости первого приближения еще не следует устойчивость (с учетом возмущений более высоких порядков) лагранжева треугольника. Полное решение этой задачи привело к созданию по прошествии почти 100 лет нового математического аппарата качественной теории дифференциальных уравнений, разработанного А. Н. Колмогоровым, К. Л. Зигелем, В. И. Арнольдом и получившего название “метрическая теория дифференциальных уравнений” [19]. Исследования Ляпунова были посвящены также проблеме определения фигур равновесия небесных тел. Теория приливной эволюции, разработанная Дж. Дарвином, имела большой успех, однако ее применение к проблеме происхождения Луны (в результате ее отделения от Земли), а также гипотеза об образовании двойных звездных систем за счет фрагментации охлаждающегося вращающегося “грушевидного тела”, оказались неверными. Ляпунов показал, что Дж. Дарвин неправомерно ограничивался первым приближением, так как второе приближение оказывается значительным. Поэтому “грушевидная” форма равновесия была неустойчивой с самого начала и, следовательно, не могла существовать сколь-нибудь значительное время. Фундаментальной проблеме устойчивости планетных орбит были посвящены работы П. С. Лапласа, Ж. Л. Лагранжа, С. Д. Пуассона. Исследуя первые интегралы дифференциальных уравнений для оскулирующих элементов теории вековых возмущений Лагранжа (см. раздел 15.1), П. С. Лаплас при некоторых определенных предположениях доказал теорему об устойчивости орбит больших планет Солнечной системы в первом приближении. Но теорема Лапласа не позволяет утверждать, что Солнечная система устойчива даже при ограниченности изменения элементов орбит входящих в нее планет (устойчивость по Лагранжу) для всех произвольных моментов времени (t ≥ t0) хотя бы уже потому, что строго не установлена требуемая ограниченность со временем больших полуосей орбит планет. Еще с 1912 г. А. Пуанкаре сформулировал знаменитую теорему о “неподвижной точке”, утверждающую, что при топологическом отображении тора в себя некоторые его точки остаются неподвижными. Эту теорему строго доказал в 1913 г. Г. Биркгофф. Результаты Пуанкаре и Биркгоффа в дальнейшем стали систематически применяться в теории динамических систем. Но еще в 1906 г. в работе “Об одной задаче проблемы трех тел” П. Г. Боль уже практически применил “принцип неподвижной точки”. Он рассматривал систему, состоящую из трех тел: шара (“Сатурн”), концентричного твердого кольца (“Кольцо”) и тела ничтожной массы (“Спутник”). П. Г. Боль показал, что при определенных предположениях относительно порядка малости параметров Кольца и Спутника движение системы может быть нарушено лишь в результате столкновения Кольца с Сатурном, но не за счет столкновения Кольца со Спутником. Кроме того, возможно существование такой начальной скорости центра масс Кольца, что столкновение вовсе не произойдет и движение будет продолжаться неограниченно. Доказательство последнего утверждения базируется на теореме о том, что при дефор-
Глава 5. Теория устойчивости
155
мации круга, при условии, что силы, действующие на точки границы круга, всегда направлены наружу, по крайней мере, одна точка внутри круга останется неподвижной. П. Г. Боль установил, что из уравнений движения системы Сатурн — Кольцо — Спутник при принятых предположениях относительно порядка малости параметров Кольца и Спутника следует взаимоотношение величин, обеспечивающее выполнение требований приведенной теоремы. При этом наличию неподвижной точки соответствует существование движения, никогда не приводящего к столкновению между Сатурном и Кольцом. Следовательно, вопрос о качественной характеристике движения был сведен к вопросу о топологических особенностях пространственных образов, как и в теории динамических систем, развитой позднее Г. Биркгоффом.
