Сборник задач по газовой динамике. Часть 1. Одномерные течения: Учебное пособие

Казанский государственный университет

Сборник задач по газовой динамике Учебное пособие Часть 1. Одномерные течения

Казань 2005

Печатается по решению кафедры аэрогидромеханики Казанского государственного университета (протокол №7 от 02.02.05.)

Составители: доцент каф. аэрогидромеханики Казанского университета Е.И.Филатов, ст. Г.Н.Чукурумова. Рецензент: д.ф.-м.н., проф. В.В.Клоков

Сборник задач по газовой динамике. Часть 1. Одномерные течения: учебное пособие / Сост. Е.И.Филатов, Г.Н. Чукурумова. Казань: Казанский государственный университет. 2005. – 51 с.

Учебное пособие предназначено для использования студентами специальности «механика» при изучении курса «Газовая динамика»

©Казанский государственный университет. 2005 г. 2

1. ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Основными параметрами, отражающими состояние газа, являются ⎡ н ⎤ давление, плотность и температура газа. Размерность давления ⎢ ⎥ , ⎣ м3 ⎦ ⎡ кг ⎤ плотности ⎢ ⎥ , температуры [град] . Давление часто выражают в ⎣ м3 ⎦ технических и физических атмосферах. н 1 техническая атмосфера = 9,80665 ⋅ 10 4 = 735,6 мм. рт.ст. , м2 н = 760 мм. рт.ст. 1 физическая атмосфера = 1,013 ⋅ 105 м2 Между температурными шкалами Кельвина и Цельсия имеет место соотношение T o K = 273 + t o C . При нормальном атмосферном давлении на уровне н ⎞ ⎛ моря ⎜1,013 ⋅ 10 5 ⎟ и температуре 288o К , плотность воздуха м2 ⎠ ⎝ кг н ρ = 1,23 , а удельный вес γ = 12,07 . м3 м3 Давление, плотность и температура идеального газа связаны между собой уравнением состояния (Клапейрона): p = RρT , (1) дж .(для воздуха где R - удельная газовая постоянная; [R ] = кг ⋅ град дж R = 287,1 ) кг ⋅ град При отсутствии теплообмена газа с внешней средой и при отсутствии необратимых потерь механической энергии между параметрами газа существует следующая зависимость: p = Cρ k (2) - уравнение изэнтропической адиабаты или равносильные зависимости k

p ⎛ ρ ⎞ p ⎛T ⎞ =⎜ ⎟ ; =⎜ ⎟ p0 ⎜⎝ ρ0 ⎟⎠ p0 ⎜⎝ T0 ⎟⎠

k k −1

;

ρ ⎛T ⎞ =⎜ ⎟ ρ 0 ⎜⎝ T0 ⎟⎠

3

1 k −1

.(3)

Здесь C - постоянная, выражающаяся через параметры начального c состояния газа, k = p - показатель изэнтропической адиабаты, c p cv теплоемкость при постоянном давлении, cv - теплоемкость при постоянном объеме. Для одноатомных газов k = 1,66 , для двухатомных (воздух) k = 1,40 , для многоатомных k = 1,33 . Теплоемкости воздуха при не слишком больших температурах: ккал дж c p = 0,24 = 1003,2 кг ⋅ град кг ⋅ град ккал дж сv = 0,173 = 716 кг ⋅ град кг ⋅ град Скорость звука может быть вычислена по формулам kp a= ; a = kRT ; (4) ρ дж . (5) кг ⋅ град Важнейшими газодинамическим параметром является число Маха a = 20,1 T при k = 1,4 , R = 287

M=

V - отношение скорости движения газа к местной скорости звука в a

нем. В расчете одномерных адиабатических течений идеального газа главную роль играет уравнение сохранения энергии (Бернулли): дж V2 + i = i0 , где i - энтальпия; [i ] = ; (6) 2 кг a2 k p kRT i= = = , (7) k −1 k −1 ρ k −1 i 0 - энтальпия газа в заторможенном состоянии; соответственно T0 , p0 , ρ0 параметры торможения потока. Полную энергию энергетически изолированного газа характеризует максимальная теоретическая скорость течения Vmax : 2kRT . (8) k −1 Для изэнтропических процессов уравнение (6) может быть записано в эквивалентных формах: Vmax = 2i0 =

0

4

k

1

T k − 1 2 p0 ⎛ k − 1 2 ⎞ k −1 ρ ⎛ k − 1 2 ⎞ k −1 = 1+ = ⎜1 + = ⎜1 + M ; M ⎟ ;. M ⎟ . (9) ρ0 ⎝ T0 2 p ⎝ 2 2 ⎠ ⎠ Первая из формул (9) пригодна для расчета и неизэнтропических адиабатических течений. Если скорость движения газа и местная скорость звука в газе совпадают по величине, то обе скорости носят название критических: Vкр = акр . Критическая скорость звука (или критическая скорость) может быть выражена через параметры торможения газа. В частности, 2kRT0 . (10) akp = k +1 Параметры газа, скорость движения которого равна по величине местной скорости звука в газе, называются критическими параметрами. Критическим параметрам соответствует число M = 1 . Из формул (9) вытекает: 2 ⎛ 2 ⎞ T0 ; pkp = ⎜ ⎟ k +1 ⎝ k +1⎠ При k = 1,4 имеем: Tkp =

k k −1

⎛ 2 ⎞ p0 ; ρ kp = ⎜ ⎟ ⎝ k +1⎠

1 k −1

ρ0 .

(11)

Tkp = 0,831T0 ; pkp = 0,528 p0 ; ρkp = 0,636ρ0 ; akp = 18,3 T0 . Уравнение энергии применяется также в одной из следующих форм: k

1

T k −1 2 ρ ⎛ k − 1 2 ⎞ k −1 p ⎛ k − 1 2 ⎞ k −1 λ ; π= τ = = 1− = ⎜1 − λ ⎟ ;ε = = ⎜1 − λ ⎟ , (12) ρ0 ⎝ k + 1 ⎠ p0 ⎝ k + 1 ⎠ T0 k +1 V где λ = - коэффициент скорости, τ, π и ε - газодинамические akp

функции (см. табл. 4). При решении многих задач пользоваться коэффициентом скорости λ удобнее, чем числом M . Между числом λ и числом M имеется следующая связь (табл.4) : k +1 2 M 2 2 λ = . (13) k −1 2 1+ M 2 Практически важным примером течения газа, которое с хорошим приближением может считаться одномерным и изэнтропическим, 5

является расчетное его истечение из резервуара через сопло, когда давление на срезе сопла равно давлению во внешней среде, внутри сопла нет скачков уплотнения и в минимальном сечении сопла скорость газа равна скорости звука. При подсчете секундного расхода газа через сопло удобно пользоваться функцией q (M ) - приведенным секундным расходом: F ρV = kp , (14) q= ρ kp akp F где Fkp - площадь критического сечения сопла, F - площадь сечения, в котором достигается скорость V : k +1

−

k +1

1

1

⎛ k + 1 ⎞ 2 ( k −1) ⎛ k − 1 2 ⎞ 2 ( k −1) ⎛ k + 1 ⎞ k −1 ⎛ k − 1 2 ⎞ k −1 или q = ⎜ q=⎜ M ⎜1 + M ⎟ λ ⎟ .(15) ⎟ ⎟ λ ⎜1 − 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ k +1 ⎠ Значения q (M ) и q (λ ) приведены в табл.4. При истечении газа через сужающееся (конфузорное) сопло секундный весовой расход рассчитывается по формуле: pкр p ⎛p ⎞ p p p p и Gt = BG 0 F ,если a ≤ кр . (16) Gt = BG 0 Fq⎜⎜ a ⎟⎟ ,если a > p0 р0 p0 p0 T0 T0 ⎝ p0 ⎠ В формулах (16) F - площадь выходного сечения сопла; pa k +1

⎛ 2 ⎞ k −1 g ; BG = 0,4 давление во внешней среде, постоянная BG = k ⎜ ⎟ R ⎝ k +1⎠ м дж ; g = 9,8 . при k = 1.4 ; R = 287 сек 2 кг ⋅ град В некоторых задачах весовой секундный расход вычисляется по формуле: p q (λ ) (см. табл.). Gt = BG Fy (λ ) ,где газодинамическая функция y (λ) = π(λ) T0 Gt н , причем если брать давление в , м2 g p p кг то расход получится в : mt = Bm 0 Fq(λ) = Bm Fy (λ ) , сек T0 T0 Массовый секундный расход mt =

где Bm =

k⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ R ⎝ k +1⎠

k +1 k −1

; Bm = 0,0405 при k = 1,4 и R = 287 6

дж . кг ⋅ град

Задачи 1-50 1.Построить положения звуковой волны в момент времени t = 1,2,3сек от ее возникновения для случаев, когда звук распространяется в среде, движущейся со скоростью: а) a V = 0 , б) V = , в) V = a , г) 2 V = 2a ( a - скорость звука). Определить Рис. 1 положение огибающей звуковых волн. 2. Звук работы двигателя зарегистрирован через 2,15сек после пролета самолета над пунктом регистрации. Определить скорость полета, если высота Н = 1км (рис.1). 3. Определить максимальную скорость потока воздуха, при которой воздух можно рассматривать как несжимаемую жидкость, если допустимо пренебрегать изменениями его плотности до 1%. Параметры торможения – стандартные на уровне моря. м 4. На высоте Н = 11000 м самолет достиг скорости 300 . С сек какой скоростью происходит полет: с дозвуковой или со сверхзвуковой? 5. До и после изэнтропического сжатия в некотором объеме воздуха произведены измерения скорости звука. Определить порядок изменения плотности воздуха, если скорость звука возросла на 3%. 6. В двух полетах на высоте Н = 12км махметр показывал число Маха В первом полета М = 2,1 . Рис. 2 полете температура воздуха отличалась от стандартной на +15o , а в другом – на −15o . Найти разницу истинных воздушных скоростей в полетах.

7

7. Найти соотношение между шириной сверхзвуковой струи l , длиной модели тонкого тела b и числом М потока (рис.2), при котором будет корректной продувка модели. Условие корректности опыта. b < c . 8. Средняя по длине ЖРД температура продуктов сгорания Tcp = 2000o K . Через какой промежуток времени Δ t малое изменение в подаче топлива скажется на тяге двигателя, если длина двигателя от форсунок до среза сопла L = 1500 мм , скорость истечения м дж Vист = 2500 . Считать, что k = 1,2 ; R = 294,3 . сек кг ⋅ град 9. Найти собственную акустическую частоту колебаний газового столба в камере сгорания ПВРД, длина которой L = 1,5 м , если показатель адиабаты для продуктов горения k = 1,35 ; газовая постоянная R = 289,4 ; средняя температура газов Tcp = 500o K . 10. В потоке воздуха без ударных волн махметр показывает в одной точке угол Маха μ1 = 27,7 o , в другой - μ 2 = 35,8o . Каково соотношение между статическими давлениями в этих точках? 11. По теневому фотоснимку обтекания иглы сверхзвуковым o потоком воздуха измерен угол β = 28 между поверхностью слабой конической волны и направлением невозмущенного потока (рис.3). Термопара, открытая навстречу потоку, показывает температуру 289o K . Найти скорость потока. 12. Температура движущегося Найти величину газа t = −169o С . составляющей скорости газа, нормальной к линии Маха. Рис. 3 13.Найти скорость звука, числа M и λ для струи воздуха, вытекающей из баллона со скоростью, равной половине максимальной теоретической скорости истечения. Температура в котле 127 o C . 14. Какие параметры (давление, температура) должен иметь воздух в форкамере сверхзвуковой трубы, чтобы при расчетном м расширении он вытекал в атмосферу со скоростью 800 при сек

8

t = −70o C ? Каково при этом будет соотношение между плотностью воздуха в струи и плотностью при нормальных условиях? Примечание. Здесь имеется в виду простейшая труба с соплом, отрытым в атмосферу. 15. Какую максимальную скорость воздуха можно получить в сверхзвуковой трубе без подогрева, если учесть, что воздух сжижается при T = 78o К ? 16. Какой подогрев воздуха в баллоне при давлении p0 = 20ата надо обеспечить, чтобы получить при расчетном истечении в атмосферу м скорость 700 ? сек 17. По трубе, диаметр которой увеличивается от d1 = 1см до d 2 = 1,8см , течет поток воздуха, имеющий в первом сечении скорость м , давление p1 = 0,84ата и температуру t1 = 20o C . Найти V1 = 400 сек соотношение между числами Рейнольдса по диаметру трубки во втором и первом сечениях. Указание: коэффициент вязкости вычислить по формуле n

μ 2 ⎛ T2 ⎞ = ⎜ ⎟ , где n = 0,76 . μ1 ⎜⎝ T1 ⎟⎠ 18. В сверхзвуковой трубе без подогрева с открытой рабочей частью моделируется обтекание натурного объекта, предназначенного км для полета на высоте H = 30км со скоростью Vн = 3000 . час lн = 5 м . Допустимый Характерный линейный размер натуры

максимальный размер модели l м = 0,2 м . Какое давление в форкамере трубы обеспечивает правильное моделирование по числам М ? Какова при этом будет скорость потока воздуха в рабочей части? Как обеспечить Моделирование по числам М и Re ? 19. Статическое давление в закрытой рабочей части дозвуковой трубы, в сечении свободным от модели, равно нормальному атмосферному. Давление торможения в потоке p0 = 1,57ата , температура торможения Т 0 = 288o K . Какое минимальное число Рейнольдса при этом может быть достигнуто по диаметру миделя осесимметричной модели,

9

скорости и плотности невозмущенного потока, если диаметр рабочей части трубы D = 2 м ? 20. Сравнить секундные расходы и скорости истечения воздуха из баллона (в начальный момент), которые можно получить при расчетном расширении воздуха до атмосферного давления: 1) в случае, когда в баллоне t10 = 15o C ; p01 = 10ата ; 2) в случае изохорического подогрева воздуха до t01 = 450o С от тех же начальных параметров. Критические сечения сопел в обоих случаях одинаковые. 21. Решить предыдущую задачу, считая, что перед истечением воздух нагревается изобарически. 22. Найти порядок величины объемно секундного расхода воздуха при закритическом истечении через сопло с площадью критического сечения Fкр = 0,1м 2 , если термометр, помещенный в поток, показывает 15o С . Примечание. Термометр, помещенный в поток газа, показывает температуру, весьма близкую к температуре торможения. 23. Воздух течет по трубе переменного сечения. Число Маха в первом сечении трубы М 1 = 1 , а во втором сечении М 2 = 2 . Каково соотношение между скоростями воздуха в первом и втором сечениях? 24. Как изменится кинетическая энергия единицы объема воздуха при движении по расширяющейся трубе с увеличением числа М от М 1 = 1 до М 2 = 2 ? Объяснить результат. 25. Найти соотношение мощностей, необходимых для работы аэродинамической трубы на одном и том же числе М , если рабочим газом служит: 1) воздух; 2) фреон, при одном и том же давлении (для фреона kф = 1,12 ; ρф = 4,18 ρ в ). Мощность, необходимая для работы трубы, пропорциональна величине ρ V 3 . 26. В аэродинамической трубе больших дозвуковых скоростей установлены два манометра (рис.4): Ι - спиртовый, вертикальный, измеряющий разность между давлениями в форкамере и в рабочем помещении, и ΙΙ - ртутный, с наклоном трубки 30 градусов, измеряющий разность давлений в рабочей части трубы и в помещении. Найти скорость потока, скорость звука, температуру и плотность воздуха в рабочей части, если первом манометре Δh = 280 мм , а во втором - Δl = 692мм . Температура в форкамере t = 17 o C , давление в

10

рабочем помещении pa = 98066 мн . F Степень поджатия 1 = 5 . Потери не F2 учитывать. 27. К трубке Пито, помещенной в дозвуковой поток воздуха, присоединены два Uобразных ртутных манометра (рис.5). Разность уровней в манометре Ι : манометре ΙΙ : Δ h 2 = 62 мм . Неподвижный 2

Рис. 4

Δh 1 = 142 мм , в

термометр, омываемый потоком, показывает 20o C . Найти скорость потока; рo >p∞>p.

28. При каком показании Δh ртутного U-образного манометра, присоединенного к трубке полного напора (рис.6), свободная струя воздуха течет при числе M = 0,5 ? 29. Найти форму труб, в которых (при одномерной постановке задачи): а) скорость потока растет линейно вдоль оси: V = nx , б) температура падает линейно вдоль оси: T = T0 − mx , массовый секундный расход m t считать заданным 30. Вывести уравнение, определяющее закон повышения давления по длине дозвукового конического диффузора. 31. Вывести уравнение обвода r ( x) изоградиентного дозвукового диффузора ВРД. Примечание. Изоградиентные диффузоры (те, для которых dp = const ) отличаются от конических более высокими коэффициентами dx восстановления давления. 32. Сопло Лаваля работает в докритическом режиме. В минимальном сечении сопла давление p1 = 0,8ата . В среде, куда происходит истечение, давление рa = 1,0ата . Площади минимального и выходного сечений сопла равны 0,1м 2 и 0,15 м 2 соответственно. Определить безразмерные скорости в минимальном и выходном сечениях сопла.

11

33. Воздух истекает из баллона в атмосферу через конфузорное сопло с диаметром выходного сечения 3см . В котле температура t = 127 o C и давление р0 = 10ата . Найти массовый секундный расход воздуха через сопло. 34. Найти площади входного и выходного сечений F1 и F2 дозвукового диффузора ВРД для полета при числе λ1 = 0,8 на высоте Н = 2000 м , если: 1) максимальный секундный расход воздуха через кг ; 2) на выходе из диффузора безразмерная диффузор mt = 200 сек скорость не должна превышать λ 2 = 0,2 ; 3) потерями полного давления пренебречь. 35. Подобрать площадь критического сечения сверхзвукового кг сопла, обеспечивающую секундный расход воздуха mt = 1 , если сек истечение расчетное, давление торможения р0 = 5ата , температура торможения t0 = 15o C . 36. Вычислить массовый секундный расход воздуха через сопло Лаваля при следующих условиях: 1) площадь выходного сечения сопла Fвых = 10см 2 ; 2) давление торможения р0 = 1,3ата ; 3) температура торможения Т 0 = 288o К ; 4) давление во внешней среде ра = 1,03ата . 37. Задано соотношение площадей выходного и минимального p F1 сечений сопла = 2 (рис.7). При каких соотношениях давлений a Fмин p0 можно применить для расчета массового секундного расхода воздуха через сопло формулу p mt = 0,0405 0 . Fмин =? T0 38. Как изменится массовый секундный расход воздуха через сопло, если в условиях предыдущей задачи принять внешнее давление рa = 0,98 р0 ?

Рис. 7 12

39. Оценить порядок объема баллонов

τ σ , необходимых для

обеспечения работы в течении минимум 25сек сверхзвуковой трубы с открытой рабочей частью, на М 1 = 1,5 ; М 2 = 2,0 ; М 3 = 2,5 . Площадь выходного сечения у всех сопел Fвых = 0,009 м 2 . Начальное давление в баллонах рσ.н = 150ата . Считать для упрощения: 1) на пуск и остановку трубы уходит (с полным расходом); 2) расширение воздуха в баллонах– 5сек изотермическое, при Т 0 = 290o К ; 3) минимальное давление в баллонах p рσ.k связано с р 0 (давлением в форкамере) соотношением ( pσ.k )i = 0i , n где n = 0,4 отражает потери полного давления между баллонами и форкамерой. 40. Из баллона объемом τ = 1 м 3 воздух вытекает в атмосферу через конфузорное сопло с площадью Fвых = 0,5см 2 . Сколько времени будет продолжаться истечение с постоянным секундным объемным расходом, если начальное давление в баллоне р0 н = 100ата и процесс понижения давления можно считать изотермическим при температуре 288o К ? 41. Воздух истекает адиабатически в атмосферу из баллона через конфузорное сопло. Процесс расширения воздуха в баллоне тоже адиабатический. Составить уравнение, отражающее зависимость весового секундного расхода от времени для закритического режима истечения и по условиям задачи 40 найти время закритического истечения. 42. Воздух вытекает из камеры через конфузорное сопло. Давление в камере р0 = 1,89ата , давление во внешней среде рa = 1ата . Как изменится реактивная сила R , испытываемая камерой, если камеру и сопло погрузить в воду на глубину 7.7м , при сохранении прежнего давления в камере?

13

43. По трубе (рис. 8) выбрасывается в атмосферу воздух с поворотом потока на 127 o . В сечении 1 статическое давление р1 = 1,3ата , в выходном сечении 2 давление р2 = 1,0ата . Площадь первого сечения F1 = 1м 2 , площадь выходного сечения F2 = 0,5 м 2 . Температура торможения воздуха Рис. 8 Т 0 = 289o К . Пренебрегая потерями, определить R – результирующую силу потока, действующую воздуховод между сечениями 1 и 2, и R раз – суммарную разрывающую силу, действующую на болты крепления воздуховода к фланцу. 44. ЖРД при расчетном истечении должен дать на уровне земли тягу P = 50 т. В камере сгорания T0 = 2700o K , давление p0 = 30ата , дж . Найти скорость истечения Vr , удельную тягу k = 1,25 ; R = 344 кг ⋅ град Pуд ,весовой секундный расход Gt , размеры сопла (угол конусности 24 град). 45. Какую максимальную температуру должна выдерживать обшивка корпуса ракеты при полете в стратосфере со скоростью км ? V = 3816 час 46. Зарегистрированный рекорд скорости полета самолета 1956г., км достигнутый на высоте 11600 м, составляет 1882 . Определить час температуру обшивки крыла самолета, пользуясь понятием коэффициента восстановления температуры. Ввиду малой толщины крыльев считать местное число Маха равным числу Маха полета.

14

47.Найти динамическую добавку давления в носовой точке фюзеляжа самолета, летящего при М = 0,7 на уровне земли. Определить ε - ошибку, которая получится, если определять рдин без учета сжимаемости воздуха. 48. Дать приближенную оценку относительному приращению скорости в точке крыла, где относительное уменьшение давления составляет 10%. Крыло обтекается потоком при М ∞ = 0,6 (рис.9). Указание: использовать линеаризованное уравнение Бернулли. 49. Рассмотреть аналогию между одномерным течением газа и потоком жидкости по горизонтальному каналу, форма поперечного сечения которого задана соотношением y = f ( x) z1,5 . Здесь f ( x) – функция, характеризующая изменение площади поперечного сечения канала вдоль его оси; z– вертикальная, y – горизонтальная координаты. Рис. 9 1. Определить, какому газу соответствует рассматриваемая аналогия. 2. Установить соответствие между плотностью, давлением, температурой газа, местной и критической скоростью звука в газе и местным уровнем жидкости в канале. 50. Газогидравлическая аналогия (см. предыдущую задачу), осуществленная в канале с сечением прямоугольной формы, позволяет найти параметры одномерного течения, так называемого гипотетического газа, показатель изэнтропы которого k гип = 2 . В некотором сечении канала гипотетический газ имеет число Маха M гип = 3 . Найти число Маха одномерного течения воздуха, в соответствующем сечении газовода.

15

§2. ТЕЧЕНИЯ ГАЗА С УДАРНЫМИ ВОЛНАМИ Торможение плоского сверхзвукового потока газа происходит посредством так называемых скачков уплотнения. Скачки уплотнения приближенно могут считаться поверхностями разрыва параметров потока. Торможение потока газа на скачке уплотнения является адиабатическим, но неизэнтропическим процессом. На скачке уменьшаются: число М, число λ ; увеличиваются: плотность, давление, температура. Из параметров торможения не терпит разрыва на скачках температура торможения T0 и связанные с нею Vm , a0 , akp , i0 ,

po

ρ0

. Давление

торможения и плотность торможения уменьшаются на скачках. Величина

σ=

p02 ρ 02 - коэффициент восстановления давления, характеризует = p01 ρ 01

собою необратимые потери механической энергии на скачке. (Здесь и в дальнейшем индексом «1» отмечаются параметры потока газа до скачка, а индексом «2» – после скачка). Плоские поверхности разрыва, нормальные к направлению скорости невозмущенного потока, называются прямыми скачками уплотнения. Направление потока газа не изменяется при переходе через прямой скачок. Основные теоремы механики для элемента газа на прямом скачке следующие: уравнение сохранения массы: ρ1V1 = ρ 2V2 , (1) уравнение изменения количества движения: ρ1V12 − ρ 2V22 = p2 − p1 , (2) уравнение энергии:

V12 V22 + i1 = + i2 = i0 . 2 2

(3)

Из уравнений (1), (2), (3) следует основное соотношение теории прямого скачка: (4) V1V2 = akp2 или λ 1λ 2 = 1 . Давления и плотности до и после скачка связаны формулой:

16

k + 1 p1 + ρ2 k − 1 p2 (ударная адиабата). = ρ1 k + 1 p1 + 1 k − 1 p2

(5)

Для чисел Маха имеем

k −1 2 M1 2 2 M2 = . k −1 2 kM 1 − 2 1+

(6)

Коэффициент восстановления давления торможения ции от числа М 1 до скачка:

⎡ 2 k − 1⎤ σ =⎢ + ⎥ 2 ⎣ (k + 1) M 1 k + 1⎦ или в функции от числа

−

k k −1

k −1⎞ ⎛ 2k M 12 − ⎜ ⎟ k + 1⎠ ⎝ k +1

−

k k −1

σ в функ-

(7)

λ 1:

⎡ k −1 2 λ ⎢1 − 2⎢ k +1 1 σ =λ1 ⎢ k −1 1 1 − ⎢ k +1 λ 2 ⎢⎣ 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦

1 k −1

.

(8)

Коэффициент восстановления давления торможения выражается через приведенный секундный расход q( λ ):

⎛ 1 ⎞ ⎟ q⎜⎜ ⎜ λ ⎟⎟ q (λ ) q (λ ) 1 1 σ= = = ⎝ 2 ⎠. q (λ 2 ) q (λ 2 ) ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ q⎜ ⎜ λ ⎟⎟ ⎝ 1⎠

(9)

Статические давления и плотности на скачке подчиняются соотношениям:

17

k +1 2 M1 p2 2k k − 1 ρ2 2 2 = = . M1 − ; p1 k + 1 k + 1 ρ1 1 + k − 1 M 2 1 2

(10)

Отношение давления торможения после скачка к статическому давлению до скачка определяется формулой Рэлея через число M 1 до скачка:

p02 ⎛ k + 1 2 ⎞ M1 ⎟ =⎜ p1 ⎝ 2 ⎠

k k −1

k −1⎞ ⎛ 2k M 12 − ⎜ ⎟ k + 1⎠ ⎝ k +1

1 k −1

.

(11)

Задачи 51 – 92 51. В потоке воздуха с нормальными параметрами р = 1,03ата ,

Т = 288o К при числе Маха М 1 = 1,5 возник прямой скачок уплотнения. Найти порядок толщины скачка δ , предположив, что вязкостное нормальное напряжение на толщине скачка имеет порядок перепада давления на скачке. 52. Сравнить увеличение плотности: 1) при ударном и 2) изэнтропическом сжатии воздуха, если в том и в другом случаях давление возрастает в 10 раз. Объяснить разницу. 53. Допустимая ошибка в вычислении давления за скачком уплотнения составляет 1% от давления в невозмущенном потоке воздуха. При каком максимальном относительном изменении плотности можно пользоваться изэнтропической адиабатой вместо ударной для вычисления давления? 54. Температура воздуха в форкамере сверхзвуковой трубы

T0 = 288o K . Поток на срезе сопла трубы имеет скорость V1 = 530

м сек

и обтекает препятствие с образованием прямого скачка. Найти V2 - скорость воздуха после скачка.

18

55.

V2 = 280

Скорость

воздуха, замеренная

после

прямого

скачка

м . Термопара в кожухе (рис. 10) показала температуру сек

+ 77 o C . Найти температуру воздуха в потоке до скачка. 56. Найти величины максимально возможных на прямом скачке уплотнения: 1) уменьшения скорости; 2) относительного изменения количества движения массы воздуха, протекающей через единичную площадь на скачке за единицу времени. 57. Интерферограмма показывает рост плотности на прямом скачке в два раза. При каком числе λ 1 возник скачок уплотнения? Как изменится кинетическая энергия единицы объема газа на скачке? Примечание. Интерферометр – прибор, позволяющий оптическим способом определить плотность газа в различных точках потока. 58. При переходе воздуха через скачок уплотнения давление торможения уменьшилось в 5,2 раза, статическое давление увеличилось в 15 раз, температура увеличилась в 3,46 раза. Как изменится плотность потока и плотность торможения потока на скачке? Как изменится объемная плотность полной энергии (полная энергия единицы объема газа) плотностью заторможенного Рис. 10 Рис.11 газа при переходе его через скачок? 59. Воздух на расчетном режиме истекает из баллона, где он имеo ет температуру 16 C , через сопло с отношением площадей выходного и критического сечений

Fвых = 4.23 . Найти скорость, которую поток буFkp

дет иметь, пройдя прямой скачок? 60. Давление, измеренное в сверхзвуковом потоке трубкой полного напора, в 12 раз больше давления, измеренного на щеке клина (рис. 11). Найти коэффициент восстановления давления торможения σ в прямом скачке. 19

61. Подсчитать давление p02 в камере ВРД самолета, летящего на высоте H = 10000 м со скоростью V = 2160

км , при наличии прячас

мого скачка на входе, и давление p01 , которое получилось бы в камере, если бы торможение было изэнтропическим. 62. Интерферограмма показывает рост плотности воздуха на скачке уплотнения в 3,81 раза. Найти коэффициент восстановления давления торможения на скачке. 63. Измерения в простом сверхзвуковом диффузоре (после прямого скачка на входе; рис. 12) дали скорость воздуха V2 = 260

м и темсек

пературу торможения T0 = 400 K . Определить коэффициент восстановления давления торможения на входе в диффузор. 64. Как изменится коэффициент восстановления давления торможения на прямом скачке, если число Маха потока до скачка M 1 >> 1 увеличить вдвое? 65. Какое число Маха до прямого скачка нельзя превысить, чтобы на скачке потери давления торможения в газе не превзошли одного процента? Рис. 12 Показатель адиабаты газа k = 1,3 . 66. Воздух истекает из сопла при числе Маха M 1 = 2,5 под действием давления в форкамере o

p01 = 16ата (см. рис. 13). Температура в форкамере

Рис.13

20

Расширение воздуха T0 = 288o K . p1 , M 2 , p2 , p02 , σ , T1 , T2 , ρ1 , ρ 2 , ρ 01 , ρ 02 .

расчетное.

Определить

67. Определить скорость сверхзвукового потока, текущего при o температуре t = −50 C и давление p = 1ата , если давление в критической точке трубки Пито равно 12ата . 68. Трубка полного напора, установленная на самолете, показывает на высоте 15000 м абсолютное давление 71100

н . Найти ском2

рость полета. 69. Температура торможения, замеренная в полете на высоте 4000 м , оказалось равной t 0 = 107 o C . Определить число Маха M 1 и скорость полета V1 , число Маха M 2 и относительную скорость воздуха за прямым скачком впереди крыла V2 , значение критической скорости

aкp и давление в критической точке крыла р02 . 70. В расширяющейся части сверхзвукового сопла (рис 14) возник прямой скачок уплотнения, в котором скорость воздуха падает с

м м до V2 = 200 . В некотором сечении сужающейся части сек сек (1) (1) сопла скорость V = V2 . Сравнить статические давления p и p2 в тех V1 = 600

сечениях до и после скачка, где скорости равны. 71. В расширяющейся части сверхзвукового сопла возник прямой скачок уплотнения, в котором статическое давление возрастает в 6 раз. В (1) некотором сечении сопла до скачка давление p = p2 (см. рис. 14). Сравнить скорости V

(1)

и V2 в тех сечениях до и после скачка, где скорости равны. 72.

Самолет

летит

на

высоте

H = 5000 м со скоростью V = 1500

Рис. 14

км . час

1. Какова скорость самолета относительно частиц воздуха, по которым только что прошла прямая ударная волна, вызванная 21

носовой частью фюзеляжа? 2. Какова абсолютная (по отношению к земле) скорость спутного движения воздуха вслед за волной? 73. Найти соотношения между скоростью спутного движения за прямой ударной волной и скоростью N распространения волны в неподвижном воздухе в случаях: 1)

ρ2 ρ = 1,01 ; 2) 2 = 2 ; ρ1 ρ1

3)

⎛ρ ⎞ ρ2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ . Зависимость теплоемкости от температуры не учитыρ1 ⎝ ρ1 ⎠ max вать. 74. Вычислить скорость спутного движения воздуха за фронтом прямой ударной волны, если избыточное давление за волной на уровне земли составляет 1,32атм . 75. При каком соотношении давлений

p2 скорость спутного p1

движения за прямой ударной волной, распространяющейся в воздухе при нормальных атмосферных условиях, будет достигать 100

м . сек

76. Перед поршнем, движущимся в трубе с постоянной скоростью

м , возникла ударная волна. Правый конец трубы (рис. 15) сек открыт в атмосферу. Найти N – скорость волны относительно стенок u П = 400

трубы и скорость волны относительно поршня. 77. Во сколько раз скорость распространения волны сжатия будет превосходить скорость движения поршня в трубе (см. рис. 15), если плотность газа возрастает на волне в три раза? 78. Статическое давление за фронтом плоской ударной волны, распространяющейся в неподвижном воздухе на уровне земли, 100 атм . Найти температуру воздуха за фронтом волны. 79. Определить порядок скорости распространения плоской ударной волны в воздухе на уровне земли, если за фронтом волны зарегистрировано давление 30 атa . 80. Сравнить N – скорость распространения сильной ударной волны в воздухе на уровне земли при нормальных атмосферных услови-

22

ях, со скоростью звука a1 перед ударной волной и a 2 - за ударной волной, если за фронтом ударной волны давление 20атм . o

81. В ударной трубе по аргону, имеющему температуру 288 К , распространяется ударная волна. 1. При каком соотношении давлений в камерах трубы скорость распространения волны в два раза больше скорости звука в неподвижном аргоне? 2. Какова скорость спутного движения частиц аргона за волной в условиях пункта 1? k арг = 1,67 ;

Rарг = 208

дж . кг ⋅ град

Рис. 15

Рис. 16

82. В камере А ударной трубы (рис. 16) давление p5 = 55,2ата ; в камере Б давление p1 = 0,1ата . В обоих камерах находится воздух при температуре T1 = Т 5 = 289 К . Рассчитать и изображать в координатах o

(x, t ) распад разрыва давления. Построить эпюры давления, температуры

и скорости газа через 0,003c после разрушения диафрагмы. Отражение волн от концов трубы не рассматривать. 83. Плоская ударная волна падает по нормали на твердую стенку (рис.17). Между стенкой и волной неподвижный воздух имеет температуo ру Т 1 = 288 К ; давление р1 = 1ата . За волной, в спутном потоке давление р2 = 10ата . Найти N1 - скорость движения падающей волны по отношению к стенке и давление на стенке после отражения волны. 84. На основании формулы Измайлова-Крюссера (см. решение предыдущей задачи) оценить величину избыточного давления за отраженной от стенки плоской волной (рис.17), по сравнению с избыточным давлением за падающей волной.

23

P=

p3 − p1 . p2 − p1

Задачу решить в предельных случаях весьма слабой и весьма сильной ударных волн.

Рис. 17

Рис. 18

85. Провести приближенный газодинамический расчет прямоточного ВРД с простым входом (прямой скачок уплотнения на входе в дви-

м , при температуре окружаюсек o щего воздуха t1 = 12 C и давление p1 = 0,92ата . Конструктивные параметры двигателя (рис. 18): диаметр входного сечения d 2 = 480 мм , диаметр камеры сгорания d 4 = 800 мм . Сгорание топлива происходит гатель) в полете со скоростью V1 = 510

при постоянном давлении и вызывает в сечении 4 рост температуры смеси на 1800 o . В области 2-3 считать показатель адиабаты k = 1,4 , в области 4-5 считать k = 1,33 . Найти: а) V2 и p2 - скорость и давление воздуха со скачком; б)

V3 , p3 , T3 - скорость, давление и температуру воздуха перед впрыском горючего; в) V4 и

p4 - скорость и давление газов после сгорания топлива;

г) площадь критического сечения сопла Fкp , площадь выходного сечения сопла F5 , скорость истечения газа V5 ; д) тягу двигателя P . 24

Указание: для упрощения считать: 1) что топливо сгорает мгновенно в сечении 4, не вызывая повышение давления; 2) что весовой секундный расход топлива мал по сравнению с весовым секундным расходом воздуха через двигатель. 86. Провести газодинамический расчет ПВРД для полета на высоте H = 10 км со скоростью V = 500 м / с . Исходные данные: диффузор с простым входом 2 (рис. 19); площадь входного сечения диффузора F = 1м ; на выходе из Рис. 19

диффузора скорость воздуха V2 = 100

м ; камера сгорания цилиндрисек

ческая; подогрев происходит при постоянном давлении; для сгорания 1 кг горючего необходимо L = 15кг воздуха; коэффициент избытка воздуха α = 1,8 . Площадь выходного сечения сопла равна площади внутреннего миделя. Истечение из сопла расчетное. Давление на срезе равно внешнему давлению на заданной высоте. Определить: 1) площади F2 = F3 = Fмид , Fkp ; 2) давления

p1 , p2 , p01 , p0 H ; 3) температуры T0 H , T03 ; 4) секундный расход топлива Gt ; 5) тягу двигателя Р . Указание: Расчет до сечения 3 вести, принимая k = 1,4 от сечения 3 до сечения 4 считать k = 1,33. 87. Сравнить весовые секундные расходы воздуха в двух аэродинамических сверхзвуковых трубах с одинаковыми соплами, рассчитанными на число M = 2 . Первая труба с открытой рабочей частью, выходное сечение которой замыкает прямой скачок уплотнения (рис. 20). 88. 1. Найти минимально возможное соотношение между площадями горла сверхзвукового диффузора и рабочей части аэродинамической трубы, при котором в рабочей части будет сверхзвуковое течение с числом Маха M = 2 , а перед входом в диффузор имеется прямой скачок уплотнения– момент перед запуском диффузора (рис. 21). 25

Рис. 20 Рис. 21 89. Пользуясь условиями и результатами задач 115 и 116, сравнить давление в форкамере, необходимые для расчетной работы сверхзвуковых труб Ι и ΙΙ задачи 115 и трубы ΙΙΙ , схема и условия которой видны на рис. 22. Решить с помощью таблиц газодинамических функций. 90. Найти при каком соотношении давлений p01 / p a (см. рис.23) прямой скачок уплотнения будет находиться в сечении сопла, площадь которого равна 0,7 от площади выходного сечения и 1,7 от площади критического сечения сопла. Сравнить с p0 ΙΙ задачи 117. Решить с помощью таблиц газодинамических функций.

Рис.22 Рис. 23 91. Сверхзвуковое сопло рассчитано на получение потока воздуха с безразмерной скоростью λ 1C = 2,0 . В рамках одномерной теории найти относительную площадь (по отношению площади критического сечения) сечения, в котором находится прямой скачок уплотнения, если давление в камере перед соплом p10 = 2,0ата , а в среде, куда истекает воздух из сопла, pa = 1,0ата . 92. Сопло Лаваля имеет коническую сверхзвуковую часть с полуo углом раствора θ = 10 . Диаметр выходного сечения сопла в два раза больше диаметра критического сечения. Допустив, что нерасчетный режим истечения характеризуется наличием одного прямого скачка в конической части сопла и безотрывным течением воздуха после скачка, найти в рамках одномерной теории зависимость положения скачка от перепада давления в камере и во внешней среде. 26

§ 3 .РАСЧЕТ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ. ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ПРИ НАЛИЧИИ ЭНЕРГООБМЕНА В первой части параграфа рассмотрены простейшие задачи о течениях газа в трубах с учетом трения и других потерь, без теплообмена с внешней средой (задачи 93 - 105). Качественные выводы о влиянии трения и изменения сечения газовода на скорость одномерного потока газа в этом случае могут быть сделаны на основании уравнения:

(

)

dλ

− 2 k ⎛ k − 1 2 ⎞ dF = ⎜1 − −ζ λ −1 λ ⎟ λ d x, k +1 λ ⎝ k +1 ⎠ F 2

(1)

−

где λ , F и x - соответственно коэффициент скорости газа, площадь поперечного сечения и координата данного сечения трубы, ζ коэффициент сопротивления трубы. Для адиабатического течения газа в цилиндрической трубе скорость подчинена уравнению:

1

λ

2

−

1

1

λ

− ln

2

λ

2 2

λ1

=χ,

(2)

которое является интегралом уравнения (1) при dF = 0 и В уравнении (2)

ζ = const .

λ 1 - коэффициент скорости в начальном сечении

− 2k трубы, χ = ζ x - приведенная длина трубы. Скорость газа на входе k +1

определяет величину

χ max = Пусть

1 2

λ1

− 1 − ln

1 2

λ1

.

(3)

λ 1 <1. Тогда, если

χ = χ max , то λ =1; χ < χ max , то λ <1; χ > χ max , то течение с числом λ 1 на входе невозможно.

27

Пусть

λ 1 >1. Тогда, если χ = χ max , то λ =1; χ < χ max , то λ >1; χ > χ max , то торможение посредством скачков уплотнения приведет к λ =1 на выходе.

В ряде задач учет потерь механической энергии на трение и расширение вводится формально путем задания величины коэффициента восстановления давления торможения

σ =

p 02 . Конечно, определение p 01

величины σ представляет собой в каждом случае самостоятельную задачу и рассмотрено здесь лишь в двух задачах (101 и 102). Во второй части параграфа (задачи 106-118) рассматриваются одномерные течения газа, происходящие либо с добавлением энергии извне (подогрев, работа компрессора), либо с отводом энергии во внешнюю среду. Качественная сторона задач такого типа описывается уравнением:

(M

2

) dV V

−1

=

k dF k − 1 = 2 dQ − 2 dL , F a a

(4)

где dQ - тепло, сообщаемое газу или отнимаемое у него; dL механическая работа, совершаемая газом ( dL >0), или работа, совершаемая над газом ( dL <0). Для течений с подводом и отводом тепла в цилиндрических трубах имеет место следующие зависимости между параметрами потока газа: уравнение неразрывности: (5) ρV = const t; уравнение сохранения полного импульса: p + ρV 2 = const (6) и следствия из уравнений (5), (6):

p 2 1 + kM 12 , = p1 1 + kM 22

(7)

28

2

T2 ⎛ M 2 1 + kM 12 ⎞ ⎟ , =⎜ ⋅ T1 ⎜⎝ M 1 1 + kM 22 ⎟⎠ k −1 2 1+ M2 ⎛ T02 M 2 ⎜⎜ 2 = k −1 2 ⎝ M1 T01 M1 1+ 2

2

ρ 2 ⎛ M 1 ⎞ 1 + kM 22 ⎟ , =⎜ ρ1 ⎜⎝ M 2 ⎟⎠ 1 + kM 12

(8,9)

2

1 + kM 12 ⎞ ⎟ . ⋅ 1 + + kM 22 ⎟⎠

(10)

Задачи 103 - 107 иллюстрируют применение теоремы импульсов к расчету результирующих сил, действующих на газоводы. Теорема импульсов может быть применена либо в векторной форме:

⎛− −⎞ R = p1 F1 + p 2 F2 + mt ⎜V1 − V2 ⎟ , ⎝ ⎠ −

−

−

(11)

либо (для труб с прямолинейной осью) в одной из скалярных форм:

⎞ ⎞ ⎛ k +1 ⎛ k +1 R=⎜ a кр mt z ⎟ − ⎜ a кр mt z ⎟ ; (12) ⎠1 ⎠ 2 ⎝ 2k ⎝ 2k ⎛ pF ⎞ ⎛ pF ⎞ R = ( p 0 Ff )2 − ( p 0 Ff )1 ; R = ⎜ ⎟ . (13,14) ⎟ −⎜ ⎝ r ⎠ 2 ⎝ r ⎠1 Здесь f (λ ) и r (λ ) - газодинамические функции, содержащиеся в табл. 9. Если обозначить полный секундный импульс газа в данном сечении mt V + pF = J , то физический смысл и выражения функций

z , f и r будут следующие: J 1 z=2 =λ+ ; J кр λ

(

(15)

)

2 ⎛ J k −1 2 ⎞ = 1 + λ ⎜1 − λ ⎟ p0 F ⎝ k +1 ⎠ k −1 2 1− λ pF + 1 k r= = . 2 J 1+ λ

f =

1 k −1

;

(16)

(17)

Теорема импульсов в некоторых задачах применяется в виде −

теоремы сохранения полного импульса, т. е. при R = 0 . 29

Задачи 93 – 119 −

93. В трубу длиной x = 100 калибров воздух втекает с безразмерной скоростью λ 1 = 0,4 . Приняв коэффициент трения

ζ = 0,015 , определить режим истечения из трубы ( λ > 1 ). 94. Найти длину трубы, из которой воздух будет истекать со скоростью звука, если на входе в трубу безразмерная скорость λ 1 = 0,6 ;

ζ = 0,015 .

95. Найти максимальную дозвуковую безразмерную скорость, −

которая может быть реализована на входе в трубу длиной x = 91 , если ζ = 0,015 . −

96. Поток воздуха входит в трубу x = 50 калибров. Найти минимальную сверхзвуковую скорость на входе, при которой в трубе появится скачок уплотнения. Считать ζ = 0,015 . 97. Поток воздуха на входе в цилиндрическую трубу длиной −

x = 45 калибров имеет безразмерную скорость λ 1 = 1,9 . Предположив, что в трубе имеется один прямой скачок уплотнения, найти его −

координату x ск . Считать ζ = 0,015 . 98. В начальном сечении цилиндрической трубы манометр, присоединенный к трубке полного напора, показывает избыточное давление Показание манометра, Δh01 = −5 мм рт. ст. присоединенного

к

отверстию

стенки

Δh1 = −189 мм рт. ст. .

Барометрическое давление 760 мм рт. ст. Найти безразмерную скорость потока воздуха в том сечении, где благодаря потерям на трение избыточное давление упало до Δh2 = −284 мм рт. ст. 99. В какую сторону от минимального сдвигается критическое сечение сопла, если процесс истечения считать адиабатическим, но учитывать влияние трения?

30

100. На входе в диффузор статическое давление p1 = 1,82ата , давление торможения p01 = 2ата . Найти безразмерную скорость воздуха в выходном сечении диффузора, если отношение площади входа

F2 = 1,5 и потери энергии на трение и расширение характеризуются F1 p падением давления торможения σ = 02 = 0,96 . p01 101. Воздух течет через сопло Лаваля с дозвуковой скоростью. Площадь выходного сечения сопла F2 в 1,7 раза больше площади минимального сечения F1 . Трубкой полного напора в выходном сечении определено давление p02 = 1,085ата . В минимальном сечении через отверстие в стенке измерено давление p1 = 0,978ата . Определить коэффициент восстановления давления торможения между минимальным и выходным сечениями. 102. Определить потери давления торможения в потоке воздуха 2 при внезапном расширении трубы от сечения с площадью F1 = 0,1м до сечения F2 = 0,16 м , если в узкой части трубы 2

λ 1 = 0,7 . Найти

скорость потока в широкой части трубы. Трение не учитывать. 103. Конический переходник 1-2 (рис. 24) соединяет трубы диаметром D1 = 357 мм и D2 = 564 мм . В сечении 1 давление торможения p 01 = 3ата , а безразмерная скорость

λ 1 = 0,8 . Найти R – силу

воздействия на фундамент в возникающую за счет течения переходнику. Потери давления отразить, положив

Рис 24

σ=

сечении 1, воздуха по торможения

p02 = 0.95 . p01

104. Определить результирующую силу давления, действующую на выхлопной патрубок (рис.25), по которому воздух из емкости выводится o в атмосферу с поворотом на 90 . В начальном 31

сечении

патрубка

скорость

воздуха

V1 = 222

м , температура сек

торможения Т 0 = 289 K , коэффициент восстановления o

давления торможения σ = 0.94 . Площадь поперечного сечения трубка

F постоянна и равна 0,1м 2 . Внешнее давление p a = 1,03ата . 105. Определить результирующую силу, действующую на внутренние стенки дозвукового диффузора ВРД в полете на высоте

8000 м со скоростью 650

км . Диаметр входа D1 = 0,76 м ; диаметр час

выхода D = 1,705 м (рис.57). Коэффициент восстановления давления торможения

σ = 0,97 .

Рис. 25

Рис. 26

106. Найти реакцию потока газа на стенки канала ПВРД при

км на высоте H = 11км . Площадь потока, час 2 захватываемого двигателем, F = 0,7 м , температура торможения газов скорости полета V = 2000

на выходе из двигателя 2000 К ; k = 1,3 . Принять o

λ

вых

= 0,98λ вх .

107. Найти реакцию потока воздуха (в расчете на кг/с) на стенки трубы, если при входе в трубу скорость потока V1 =280м/с,температура

t1 = 0 o С . Выходя из трубы, воздух течет со скоростью V 2 = 560 температурой торможения t 02 = 1427 C . o

32

м ,и сек

108. При движении газа по соплу ЖРД происходит догорание топлива. Как влияет выделяющееся при этом тепло на положение критического сечения по отношению к минимальному сечению сопла? 109. Скорость газа, текущего по цилиндрической трубе, возрастает от V1 = 100

м м до V 2 = 300 за счет подогрева. Найти сек сек

величину понижения давления в газе. Если плотность газа до подогрева

ρ 1 = 2,4

кг . м3

110. Температура газа, текущего по цилиндрической трубе с малой дозвуковой скоростью ( M <<1), возрастает в 10 раз за счет подогрева. Найти соотношение между числами Маха и скоростями в начале и в конце участка подогрева. Указание: воспользоваться асимптотической оценкой M (T ) при

M → 0. 111. Показать, что при подогреве газа, текущего по цилиндрической трубе с большой сверхзвуковой скоростью ( M >>1), скорость газа изменяется весьма слабо. 112. Выяснить характер зависимости давления в газе от температуры при подогреве газа, движущегося по цилиндрической трубе, для двух случаев: 1) M <<1 и 2) M >>1. 113. На входе в цилиндрическую подогревательному трубу поток o воздуха имеет температуру торможения T01 = 300 K и безразмерную скорость

λ 1 = 0,5 . Найти температуру торможения T02

подогрева, обеспечивающую на выходе из трубы скорость

после

λ 2 = 0,9 .

Указание: использовать газодинамическую функцию z (λ ) 114. Определить максимальное повышение температуры торможения воздуха подогревом в трубе, возможное без изменения параметров потока в начальном сечении, если начальная температура o торможения T0 = 400 К , а начальная безразмерная скорость воздуха

λ 1 = 0,3 . 115. Поток воздуха подогревается в цилиндрической трубе сжиганием в ней горючего, расход которого составляет 5 % от расхода

33

воздуха.

До

подогрева

скорость

воздуха

V1 = 50

м , давление сек

p1 = 9,89ата , температура торможения T0 = 400 o К . Найти скорость и давление

газа

T02 = 1500 o К .

в

сечении

Принять

трубы,

k = 1,33 ,

где

температура

R = 291

торможения

дж . кг ⋅ град

Трением

пренебречь. 116. Сделать одномерный расчет степени подогрева, скорости воздуха и поперечных размеров для полутеплового сопла (тепловое воздействие на дозвуковую часть потока в цилиндрической трубе, геометрическое – на сверхзвуковую) по следующим данным: до o подогрева в камере температура торможения T01 = 289 К , давление торможения p01 = 20ата , скорость потока V1 = 62,2

м ,секундный сек

кг , истечение расчетное в сек атмосферу при давлении p a = 1,03ата . Определить тягу сопла R . весовой расход воздуха через сопло G t = 9

117. В результате отвода тепла от воздуха, движущегося по цилиндрической трубе, давление, измеряемое на стенки трубы, уменьшилось на участке охлаждения в 1,8 раза. Найти число Маха потока в конце участка охлаждения, если в начале участка М = 2,16 . 118. На входе в цилиндрическую трубу скорость потока воздуха

V1 = 400

м при М 1 = 1 . Поток в трубе ускоряется компрессором без сек

теплообмена с внешней средой (рис. 27). С какой скоростью воздух истекает из трубы, если на выходе из трубы М 2 = 3 ?

34

Рис. 27

Рис. 28

119. Эжектор с цилиндрической камерой смешения (рис. 28) должен поддерживать в котле А давление p 02 = 0,35ата . Коэффициент

Gt 2 = 0,1 . Температуры торможения эжектируемого и Gt1 эжектирующего воздуха равны. Во внешней среде давление p a = 1ата . эжекции n =

Приняв коэффициент восстановления давления торможения

p04 = 0,96 и безразмерную скорость эжектируемого воздуха в p03 сечении равных давлений λ 2 = 1 , определить геометрические параметры F F эжектора α = 1 и f = 4 , где F1 и F2 - площади выходных сечений F2 F3 сопел эжектируемого воздуха; F3 и F4 - площади входного и выходного

σД =

сечений диффузора.

Литература: 1. Давидсон В.Е. Основы газовой динамики в задачах. «Высшая школа», Москва. 1965. 2. Самойлович Г.С., Нитусов В.В. Сборник задач по гидроаэромеханике. «Наука», Москва. 1986. 3. Черный Г.Г. Газовая динамика. «Наука», Москва. 1980.

35

ОГЛАВЛЕНИЕ §1. Одномерные изэнтропические течения газа. 3 Задачи 1-50 …………………..………………………………... 7 §2. Течения газа с ударными волнами …………… ……… 16 Задачи 51-92…………………………………………………. 19 §3. Расчет течений газа с учетом трения. Течения газа при наличии энергообмена ……………………………… …….…27 Задачи 93-119 ……………………………………………..…..30 Литература ………………………………………………..…...35 Таблица 1. Международная система единиц (СИ)… …….. 36 Таблица 2. Таблица стандартной атмосферы ……………….38 Таблица 3. Физические данные атмосферы ………………....39 Таблица 4. Газодинамические функции…………………...…40 Таблица 5. Соотношения между параметрами потока воздуха на прямом скачке …………………………………………...…50

36

Дополнительные задачи для контрольных работ. Задача 1. Скорость воздуха после прямого скачка V2 = 280 м , с

Т 0 = 77o С .

Найти температуру воздуха в потоке до скачка.

Решение. Поскольку задана температура торможения

T0 , можем найти

критическую скорость aкр ≅ 18.3 Т 0 = 18.3 ⋅ 350 = 342

м . с

Зная акр , находим коэффициент скорости за скачком λ2 =

V2 280 = = 0.82 . aкр 342

Используя соотношение Прандтля λ1 ⋅ λ2 = 1 на скачке, находим λ1 =

1

λ2

= 1.22 .

Тогда скорость перед скачком V1 = λ1 ⋅ aкр = 1.22 ⋅ 342

м м = 417 . с с

Имея λ1 , находим температуру воздуха в потоке до скачка Т1 , с помощью газодинамической функции τ ( λ1 ) Т1 = Т 0τ ( λ1 ) = 350o К ⋅ 0.75 = 262.5o К .

Задача 2. Как изменится коэффициент восстановления давления торможения на прямом скачке, если число Маха потока до скачка M 1 >> 1 увеличить вдвое? Решение. Коэффициент восстановления давления торможения до скачка: ⎡ 2 k − 1⎤ σ =⎢ + ⎥ 2 ⎣ ( k + 1) M 1 k + 1 ⎦ При M 1 0

⎡ k − 1⎤ σ ≅⎢ ⎣ k + 1 ⎥⎦ k − 1⎤ где C = ⎡⎢ ⎣ k + 1 ⎥⎦

−

−

k k −1

k k −1

−

k k −1

⎛ 2k ⎞ M 12 ⎟ ⎜ 1 k + ⎝ ⎠

⎛ 2k ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ k +1⎠

σ 2 = C (2 M 1 )

−

2 k −1

.

−

1 k −1

−

k −1 ⎞ ⎛ 2k M 12 − ⎜ ⎟ k +1⎠ ⎝ k +1 1 k −1

−

−

1 k −1

2

= CM 1 k −1 ,

. По условию задачи

.

−

2

2 − σ C (2 M 1 ) k −1 k −1 2 Тогда 2 = = . 2 − σ1 k −1

CM 1

k = 1.4 . 2 − σ2 1 1 = 2 1.4−1 = 5 = . 2 32 σ1

Задача 3. Перед поршнем, движущимся в трубе с постоянной скоростью м , возникла ударная волна. Правый конец трубы открыт в атмосферу. с Найти N - скорость волны относительно стенок трубы и скорость волны un = 400

относительно поршня. Решение. Если обратить движение так, чтобы ударная волна стала неподвижной, то V1 = N ;V2 = N − un . Из основного соотношения теории прямого скачка V1V2 = aкр2 следует, что 2 . N ( N − un ) = aкр Уравнение Бернулли не терпит разрыва на ударной волне: a2 a2 N2 a (k + 1) 2 aкр , + = кр + кр = 2 k − 1 2 k − 1 2(k − 1) 2

2

N2 a ( k + 1) . + = N ( N − un ) 2 k −1 2(k − 1)

Получим квадратное уравнение N2 −

k +1 Nun − a 2 = 0 . 2

Подставляя значения, получим N 2 − 480 N − 108900 = 0 . м с

Следовательно, N = 648 . Дополнительные задачи для контрольных работ. Задача 1. Турбореактивный двигатель имеет сужающееся сопло с площадью выходного сечения Fвых = 0.3 м 2 , полное давление p0 = 3.2 ⋅ 105 Па , температура торможения T0 = 1000o K . Определить тягу Дж двигателя на старте у земли. Принять R = 287 , k = 1.4 . кг ⋅ с Решение. Так как сопло сужающееся, то скорость потока на выходе из сопла Vвых не может р превышать скорости звука. Т. е., Vвых ≤ акр . Vвых = акр , если перепад давления вых ≤ π (1) = 0.5283 . В р данной задаче, так как давление на выходе равно атмосферному давлению на уровне земли, то отношение р 105 = < π (1) . Следовательно, скорость на выходе равна критической скорости: Vвых = акр . А, р0 3.2 ⋅ 105

следовательно, плотность и давление тоже принимают критические значения: ρ = ρ кр , р = ркр . Имея

значения р0 и Т 0 , можем посчитать ρ0 , используя уравнение Клапейрона р = ρ RT , p0 3.2 ⋅ 105 Па кг = = 1.11 3 . RТ 0 287 Дж ⋅ 103o К м кг ⋅o К кг ρ кр = ρ0ε (1) = 1.11 ⋅ 0.634 = 0.7 3 . м Зная Т 0 , можем найти акр по формуле (22) (из §1):

ρ0 =

2kRT0 2 ⋅ 1.33 ⋅ 287 ⋅ 103 м = = 564 . k +1 2.4 с Так как на выходе Vвых = Vкр , то Fвых = Fкр . Тогда, с помощью уравнения расхода можем посчитать расход акр = V =

G = ρ крVкр Fкр = 0.7 ⋅ 564 ⋅ 0.3 = 118.4

кг . с

Тяга двигателя определяется по формуле R = ( р − ра ) F + ρV 2 F = ⎡⎣( р − ра ) + ρV 2 ⎤⎦ F .

ρ = ρ кр , р = ркр , F = Fкр ,V = aкр . Подставляя значения, получаем R = ( ркр − ра ) F + ρVFVкр = 0.69 ⋅ 105 ⋅ 0.3 + 118.4 ⋅ 564 = 0.88 ⋅ 105 Н , где ркр = р0π (1) = 3.2 ⋅ 105 ⋅ 0.5283 = 1.69 ⋅ 105 .

Задача 2. Определить размеры реактивного сопла ( Fкр , Fвых ), тягу двигателя на старте и скорость потока на срезе сопла, если известны давление и температура в камере сгорания p0 = 2 ⋅ 106 Па , кг Дж T0 = 3000o K , расход продуктов сгорания через сопло G = 250 , R = 287 , k = 1.4 . За расчетный с кг ⋅ с режим принять работу двигателя на земле. Решение. Считаем, что сопло работает в расчетном режиме, т. е., давление на выходе равно атмосферному. Зная давление торможения, и имея в виду, что рвых = ра , находим число λ на выходе с помощью газодинамической функции π ( λ ) . ра = π ( λвых ) = 20−1 = 0.05 . р0 Следовательно, λвых = 1.85, М вых = 2.28 из таблицы 9. Зная Т 0 , можно найти акр . м . с Зная значение λвых , можно найти скорость потока Vвых и температуру с помощью функции τ ( λ ) . акр ≅ 18.3 3000 = 1002

м , с Tвых = T0τ ( λвых ) = 3 ⋅ 103 ⋅ 0.4296 = 1288.8 . Плотность на выходе найдем с помощью уравнения Клапейрона pа кг 105 ρвых = = = 0.27 3 . R ⋅ Tвых 287 ⋅ 1288.8 м Vвых = λвых ⋅ акр = 1.85 ⋅ 1002 = 1853.7

Из уравнения расхода G = ρVF найдем площадь выходного сечения Fвых через заданный расход

ρвыхVвых Fвых = G .

250

Отсюда Fвых =

кг с

= 0.4995 м 2 . кг м 0.27 3 ⋅ 1853.7 м с Площадь критического сечения найдем, используя газодинамическую функцию q ( λ ) .

Fвых q ( λкр ) = . Fкр q ( λвых )

Следовательно, Fкр = Fвых q ( λвых ) = 0.4995 м 2 ⋅ 0.353 = 0.176 м 2 . Тяга двигателя определяется по формуле R = ( р − ра ) F + ρV 2 F = ( ркр − ра ) Fкр + GV = 9.6 ⋅ 105 ⋅ 0.176 + 250 ⋅ 1002 = 1.69 ⋅ 105 + 2.5 ⋅ 105 = 4.19 ⋅ 105 H . ркр = р0 ⋅ π (1) = 2 ⋅ 106 ⋅ 0.5283 = 10.6 ⋅ 105 Па .

кг в см 2 двухдюймовой трубе, имеет в первом сечении число M = 1.8 . Затем его скорость уменьшается до M = 1 за счет теплообмена со стенками. Найти изменение температуры воздуха и количество тепла, сообщенное единице его массы. Решение. Если знаем числа М 1 и М 2 , то по формуле (8) (из §3) Задача 3. Сухой воздух, движущийся при температуре 15o C

Т 2 ⎛ М 2 1 + kM 12 ⎞ =⎜ ⋅ ⎟ Т1 ⎝ М 1 1 + kM 22 ⎠ можно найти Т 2 :

и давлении 1.033

2

2

⎛ 1 1 + 1.4 ⋅ 3.24 ⎞ o T2 = 288 ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ = 473 K . 1 + 1.4 ⎠ ⎝ 1.8 Изменение температуры воздуха T2 − T1 = 473 − 288 = 185o K . Количество тепла, сообщенное единице массы, определяется как Δq ( e ) = c p (T20 − T10 ) .

Температуры торможения T10 и T20 найдем, используя газодинамическую функцию τ ( M ) : T10 = T20 =

T1

=

288 = 476.3o K , 0.6047

T2

=

473 = 567.6o K . 0.8333

τ ( M1 ) τ (M2 )

Дж . кг ⋅o К Подставляя значения, получим количество тепла, сообщенное единице массы Дж Дж . Δq ( e ) = 1003.2 o ⋅ (567.6 − 476.3)o K = 0.9 ⋅ 105 кг ⋅ К кг

Теплоемкость c p = 1003.2

Задача 4. Воздух поступает в трубу постоянного диаметра при температуре T1 = 15o C , давлении м p1 = 2 атм со скоростью V1 = 86 . Трением пренебрегаем. Потоку сообщается максимально возможное с количество тепла. Найти давление и температуру на выходе, а также количество подведенного тепла.

Решение. Получив максимально возможное количество тепла, поток разгоняется до скорости звука, т. е. M 2 = 1 . Зная температуру T1 , можем найти a1 . a1 = 20.1 T при k = 1.4 , м a1 = 20.1 288 = 341 . с Следовательно, находим М 1 V 86 М1 = 1 = = 0.252 . a1 341 Зная М 1 и М 2 , можем найти T2 по формуле (8) 2

⎛ 1 1 + 1.4 ⋅ 0.2522 ⎞ o T2 = 288 ⋅ ⎜ ⋅ ⎟ = 933.6 K . 1 + 1.4 ⎝ 0.252 ⎠ p2 находим из формулы (7)

p2 1 + kM 12 1 + 1.4 ⋅ 0.2522 = = = 0.39 , p1 1 + kM 22 1 + 1.4 p2 = 0.8 ⋅ 105 Па . ⎡⎣1атм = 1.0325 ⋅ 105 Па ⎤⎦ Как и в предыдущей задаче T1 288 = = 291o K , T10 = τ ( M 1 ) 0.989

T20 =

T2

τ (M2 )

=

933.6 = 1120o K . 0.8333

Δq ( e ) = c p (T20 − T10 ) = 10003.2 ⋅ 829 = 0.8 ⋅ 106

Дж . кг

Задача 5. В цилиндрическую камеру сгорания поступает воздух с температурой торможения м T0 = 370o K и скоростью V1 = 88 . Определить температуру критического нагрева потока T2 кр в конце с камеры сгорания ( k = 1.4 ). Решение. Из условия задачи, в конце камеры сгорания скорость становится критической V2 = aкр . Следовательно, M 2 = 1 , λ2 = 1 . Зная Т10 , можем найти а1кр . а1кр ≅ 18,3 370 = 352 .

λ1 =

V1 88 = = 0.25 . a1кр 352

М 1 находим из таблицы 9 М 1 ( 0, 25 ) = 0.23 .

Т 2 кр определяется по формуле (8) 2

2

⎛ М 1 + kM 12 ⎞ ⎛ 1 1 + 1.4 ⋅ 0.232 ⎞ o = 366 ⎜ ⋅ Т 2 кр = Т1 ⎜ 2 ⋅ ⎟ = 1385.7 K , 2 ⎟ + + М 1 kM 0.23 1 1.4 ⎝ ⎠ ⎝ 1 2 ⎠ где T1 определяется как T1 = T01τ (λ1 ) = 370 ⋅ 0.99 = 366 .