МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет Кафедра математического моделирования И. Г. Карелина
МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 1 учебное пособие для студентов 1-го курса по специальности 020400 “Психология”
ВОРОНЕЖ 2002
Карелина И.Г. Математика.– Воронеж:ВГУ, 2002.– 24 с.
Вашему вниманию предлагается первая часть курса лекций по дисциплине "Математика", читаемого на факультете философии и психологии студентам, обучающимся по специальности Психология. Дисциплина "Математика"входит в блок естественно-научных и математических дисциплин ГОС ВПО по специальности 020400 Психология, читается студентам на первом курсе в течение двух семестров и рассчитана на 150 часов аудиторных занятий и 150 часов самостоятельной работы студентов. Об организации текста. Пособие представляет собой курс лекций. Каждая лекция имеет деление на пункты, которые могут быть взяты за основу экзаменационных и зачетных вопросов. Нумерация формул в каждой лекции автономна. Начало доказательств отмечено знаком ., окончание доказательства соответственно знаком J . В конце лекций имеются упражнения для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. Рецензенты: заведующий кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей, доктор физико-математических наук А.В.Глушко Печатается в соответствии с решением Научно-методического совета математического факультета протокол № 3 от 16 декабря 2002 года.
(с) Карелина И.Г., 2002 (с) Воронежский государственный университет, 2002 2
Содержание ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Основные понятия . . . . . . . . . . . Числовые множества. Промежутки . Операции над множествами . . . . . . Свойства операций над множествами Упражнения . . . . . . . . . . . . . . ФУНКЦИЯ Отображения. Виды отображений Числовые функции . . . . . . . . . Типы числовых функций . . . . . . Свойства функций . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . .
3
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
4 4 6 9 11 12
. . . . .
15 15 16 17 24 25
Лекция 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 1.1. Основные понятия 1.2. Числовые множества. Промежутки 1.3. Операции над множествами 1.4. Свойства операций над множествами 1.5. Упражнения
1.1. Основные понятия В математике, как и в любой другой науке, есть понятия разной природы: как первичные, то есть неопределяемые через другие понятия, так и те, которые определяются с помощью других понятий, ранее введенных. Понятие "множество", так же как и понятия "точка", "прямая", относится к неопределяемым понятиям и может быть пояснено только при помощи примеров, ассоциируя его с понятиями "совокупность", "набор". Понятие "множество"мы часто употребляем и в обыденной речи, говоря о "множестве людей, проживающих в этом городе", о "множестве деревьев в конкретном лесу", о "множестве книг в данном магазине"и т.д. Как математическое понятие будем употреблять термин множество, подразумевая набор или совокупность объектов произвольной природы, чьи элементы обладают общим признаком или свойством. Заметим сразу, что последнее предложение нельзя считать определением множества, поскольку оно здесь поясняется также через неопределенные ранее понятия "совокупность", "набор". Например, если речь идет о множестве, состоящем из чисел , то его называют числовым множеством, если о множестве произвольной природы, то — абстрактным множеством. Множества, как правило, обозначают прописными буквами латинского алфавита, например, A, B, C, X, Y, . . . . Множество считается заданным, если указано характеристическое свойство его элементов, то есть такое свойство, которым обладают только элементы данного множества. Элементы множеств обозначают строчными буквами латинского алфавита, например, a, b, c, x, y, . . . или a1 , a2 , a3 , . . . . Тот факт, что элемент a принадлежит множеству A, обозначают a ∈ A. 4
Тот факт, что элемент a не принадлежит множеству A (или a не содержится во множестве A), обозначают a∈ / A. Если все элементы множества A обладают свойством P (a), то пишут A = {a : P (a)}, и говорят: "множество элементов a таких, что выполняется P (a)". Может оказаться, что характеристическим свойством, определяющим множество A, не обладает ни один элемент, тогда говорят, что "множество A пусто"или "множество A является пустым". Пустое множество обозначают символом ∅. Например, множество действительных решений уравнения x2 = − 1 пусто, поскольку нет ни одного действительного числа, квадрат которого равен −1. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным. Примером конечного множества может служить множество цифр, то есть A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Множество, состоящее из бесконечного числа элементов, называется бесконечным. Это, например, множество чисел, используемых при счете предметов. В дальнейшем для обозначения того, что элемент a является произвольным (любым, всяким) элементом множества A, будем писать ∀(a ∈ A), если же речь идет о некотором (фиксированном, вполне определенном) элементе a множества A, будем писать ∃(a ∈ A). Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов, и пишут A = B. Таким образом, множества A и B равны, если из того, что x ∈ A следует, что x ∈ B и наоборот, из того, что x ∈ B следует, что x∈A h i h i A = B ⇐⇒ ∀(x ∈ A) ⇒ x ∈ B и ∀(x ∈ B) ⇒ x ∈ A . Множество A называют подмножеством множества B, если из того, что x ∈ A следует, что x ∈ B, и пишут A ⊂ B h i h i A ⊂ B ⇐⇒ ∀(x ∈ A) ⇒ x ∈ B . Заметим, что пустое множество является подмножеством любого множества. Часто приходится рассматривать достаточно обширное множество, в рамках которого ведется исследование. Такое множество будем называть универсальным множеством и обозначать через U. 5
1.2. Числовые множества. Промежутки Некоторые множества имеют специальные обозначения. Множество, элементами которого являются числа, используемые при счете предметов среди однородных предметов, называют множеством натуральных чисел и обозначают через N . Для обозначения его элементов используют, как правило, буквы i, j, k, l, m, n. Множество N является бесконечным. Например, множество натуральных чисел, которые без остатка делятся на число 5, можно записать в виде: N5 = {5n : n ∈ N}. Множество, элементами которого являются натуральные числа, им противоположные и число 0, называют множеством целых чисел и обозначают через Z . Для обозначения его элементов используют также буквы i, j, k, l, m, n. Множество, элементами которого являются числа, представимые в виде бесконечных десятичных периодических дробей, называют множеством рациональных чисел и обозначают через Q . Поскольку любая бесконечная десятичная периодическая дробь может быть представлена в виде обыкновенной дроби, то множество Q можно описать следующим образом Q={
m : m ∈ Z, n ∈ N}, n
Множество, элементами которого являются числа, представимые в виде бесконечных десятичных непериодических дробей, называют множеством иррациональных чисел. Специального обозначения это множество не имеет. Пример Диагональ квадрата со стороной, равной единице, не может быть представлена с помощью рационального числа. По теореме Пифагора квадрат длины диагонали равен a2 = 12 + 12 = 2, число a не является рациональным. Покажем это. Так как 12 = 1, 22 = 4, то число a не может быть целым. Предположим, что m число a является рациональным, то есть a = , где m ∈ Z, n ∈ N, причем n m является несократимой, то есть n 6= 1, числа m и n не имеют общих дробь n m2 2 2 множителей. Так как n 6= 1, то a = 2 не является целым числом, а потому n не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата √ выражается числом, которое не является ни целым, ни рациональным. Число 2 – иррациональное. Иррациональным является и число π, выражающее отношение длины окружности к ее диаметру. 6
Рациональные и иррациональные числа составляют вместе множество действительных чисел, которое обозначают через R . Действительные числа еще называют вещественными. Геометрически множество действительных (или вещественных) чисел изображается координатной прямой (то есть прямой, на которой указаны: направление; точка отсчета; единичный отрезок), поэтому его часто называют числовой прямой R = {−∞; +∞}. Каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число, и, наоборот, каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой прямой. По отношению к числовым множествам N , Z, Q, множеству иррациональных чисел множество действительных чисел является универсальным множеством. Подмножество множества действительных чисел называют числовым промежутком. Интервалом называется множество точек числовой прямой, расположенных между двумя данными точками a и b, то есть (a; b) = {x ∈ R : a < x < b}.
(
a
)
b
x
Полуинтервалом называется множество точек числовой прямой, расположенных между двумя данными точками a и b, включая одну из этих точек,то есть
]
(
(a; b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} или [a; b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}.
a
b
x
[
)
x
a
Отрезком называется множество точек числовой прямой, расположенных между двумя данными точками a и b, включая сами эти точки, то есть [a; b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.
b
[
a
]
x
b
Открытым лучом называется множество точек числовой прямой, расположенных правее или левее данной точки a, то есть
(
(a; +∞) = {x ∈ R : x > a}
x
a
или
)
(−∞; a) = {x ∈ R : x < a}. 7
x
Замкнутым лучом называется множество точек числовой прямой, расположенных правее или левее данной точки a, включая эту точку, то есть [a; +∞) = {x ∈ R : x ≥ a}
[
или
x
a
(−∞; a] = {x ∈ R : x ≤ a}.
]
a
x
Окрестностью точки c называют любой интервал (a; b), содержащий точку c.
(
a
)
c
x
b
ε−окрестностью точки a называют симметричный относительно точки a интервал длины 2ε, то есть
( a-e
e
{
e
{
(a − ε; a + ε) = = {x ∈ R : a − ε < x < a + ε} = = {x ∈ R : |x − a| < ε}.
a
) a +e
x
Проколотой ε−окрестностью точки a называют симметричный относительно точки a интервал длины 2ε, не содержащий самой точки a, то есть
(
(a − ε; a) ∪ (a; a + ε) = = {x ∈ R : 0 < |x − a| < ε}. E−окрестностью бесконечно объединение двух открытых лучей
a
a-e удаленной
точки
) -E
(−∞; E) ∪ (E; +∞) = {x ∈ R : |x| > E}.
)
a +e ∞
( E
x
называют
x
Правосторонней ε−окрестностью точки a называют интервал (a; a + ε) = {x ∈ R : a < x < a + ε} = = {x ∈ R : 0 < x − a < ε}. 8
(
a
)
a +e
x
Левосторонней ε−окрестностью точки a называют интервал (a − ε; a) = {x ∈ R : a − ε < x < a} = = {x ∈ R : −ε < x − a < 0}.
( a-e
)
a
x
1.3. Операции над множествами Приведем простой пример. Обозначим через A – множество студентов, не сдавших экзамен по дисциплине А, а через B – множество студентов, не сдавших экзамен по дисциплине В. Тогда множество студентов, не сдавших оба экзамена, состоит из студентов, вошедших одновременно в оба множества A и B; а множество студентов, не сдавших хотя бы один экзамен, состоит из студентов, вошедших либо во множество A, либо во множество B. Таким образом, в первом случае мы из множеств A и B выбирали элементы, общие для этих двух множеств, а во втором – к элементам множества A добавляли те элементы множества B, которые не вошли в множество A. Перейдем к строгим определениям. Пересечением множеств A и B называется множество A ∩ B, состоящее из тех элементов, которые принадлежат одновременно множеству A и множеству B A ∩ B = {x ∈ A и x ∈ B}.
A
B
Например, пересечением множества натуральных чисел N и множества четных чисел N2n будет множество четных чисел: N ∩ N2n = N2n . Множества A и B, пересечение которых пусто, называют непересекающимися. Например, N2n−1 ∩ N2n = ∅, то есть множества четных N2n и нечетных N2n−1 чисел являются непересекающимися. Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B, состоящее из тех элементов, которые A B принадлежат хотя бы одному из множеств A или B A ∪ B = {x ∈ A или x ∈ B}. Заметим, что A ∩ B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B, A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B. Например, N ∪ N2n = N , N2n ∪ N2n−1 = N . Под разбиением множества A понимают набор A1 , A2 , . . . , An попарно непересекающихся множеств, объединение которых дает множество A A=
n [
Ak ,
Ak ∩ Ai = ∅, k 6= i.
k=1
9
Разностью множеств A и B называется множество A\B, состоящее из тех элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B
B
A
A\B = {x ∈ A и x ∈ / B}. Если множество B ⊂ A, то разность множеств A\B называют дополнением множества B до множества A. Дополнение множества A до универсального множества U обозначают A = U \A. Декартовым произведением множеств A и B называют множество A×B, состоящее из упорядоченных пар (a; b), таких, что a ∈ A, b ∈ B A × B = {(a; b) : a ∈ A, b ∈ B}. Рисунки, иллюстрирующие операции над множествами, называют диаграммами Венна или кругами Эйлера. Пример 1. Для числовых множеств A = {x ∈ R : 0 < x < 3}
и
B = {x ∈ R : |x| < 1}
найти A ∪ B, A ∩ B, A|B. Проиллюстрируем эти множества A ∪ B = (0; 3) ∪ (−1; 1) = (−1; 3); A ∩ B = (0; 3) ∩ (−1; 1) = (0; 1); A\B = (0; 3)\(−1; 1) = [1; 3).
(
(
)
-1
0
1
B
A
2. Рассмотрим набор множеств h h h i 1 1 2 2 A1 = 0; 3 , A2 = 3 ; 3 , A3 = 3 ; 1 . И объединение 1 h1 2 h2 i A = A1 ∪ A2 ∪ A3 = 0; ∪ ; ∪ ; 1 = [0; 1], 3 3 3 3 h
[
)[
0
1/ 3
)[
]
2/ 3
1
10
x
) 3
x
причем множества A1 , A2 , A3 попарно не пересекаются, так как h h 1 1 2 A1 ∩ A2 = 0; 3 ∩ 3 ; 3 = ∅, h h i 1 2 A1 ∩ A3 = 0; 3 ∩ 3 ; 1 = ∅, h h i 1 2 2 A2 ∩ A3 = 3 ; 3 ∩ 3 ; 1 = ∅. Таким образом, множества A1 , A2 , A3 являются разбиением множества A. 1.4. Свойства операций над множествами Введенные операции над множествами подчиняются следующим законам 1. A ∩ A = A,
A ∪ A = A;
2. A ∩ A = ∅,
A ∪ A = U;
3. A ∩ U = A,
A ∪ U = U;
4. A ∩ ∅ = ∅,
A ∪ ∅ = A;
5. A ∩ B = A ∪ B,
A ∪ B = A ∩ B;
6. A ∩ B = B ∩ A,
A ∪ B = B ∪ A;
7. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); 8. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). . Доказательство. 1. Поскольку речь в утверждении идет о двух равных множествах A и A, то оба они состоят из одних и тех же элементов, поэтому их пересечение (объединение) будет совпадать с самим множеством A. 2. Пусть произвольный элемент a ∈ A, тогда согласно определению дополнения множества A до универсального множества U этот элемент a ∈ / A, поэтому их пересечение пусто. Объединение дает универсальное множество U , так как любой элемент универсального множества принадлежит либо множеству A, либо A. 3. Это свойство следует из того, что A ⊂ U. 4. Поскольку пустое множество не содержит ни одного элемента, то общих элементов у пустого множества и любого другого нет, поэтому пересечение пустого множества и A пусто, а их объединением является множество A. 11
5. Так как A ∩ B = U \(A ∩ B), A = U \A, B = U \B, то свойство 4 можно переписать в виде U \(A ∩ B) = (U \A) ∪ (U \B). Пусть теперь произвольный элемент a ∈ U \(A ∩ B), тогда по определению разности множеств a ∈ U и a ∈ / A ∩ B, откуда либо a ∈ / A, либо a ∈ / B. Поэтому a ∈ U иa ∈ / A, либо a ∈ U и a ∈ / B. Из того, что a ∈ U и a ∈ / A, следует, что a ∈ (U \A); из того, что a ∈ U и a ∈ / B, следует, что a ∈ (U \B). Таким образом, либо a ∈ U \A, либо a ∈ U \B, а из определения объединения множеств следует, что a ∈ (U \A) ∪ (U \B). Аналогично доказывается второе равество. 6. Пусть произвольный элемент a ∈ (A ∩ B), по определению персечения множеств это означает, что a ∈ A и a ∈ B, то есть a ∈ B и a ∈ A, откуда следует, что a ∈ (B ∩ A). Аналогично доказывается второе равество. 7. Пусть произвольный элемент a ∈ (A∩B)∩C. По определению пересечения множеств имеем a ∈ (A ∩ B) и a ∈ C, то есть a ∈ A и a ∈ B и a ∈ C. Из последнего высказывания следует в силу определения пересечения множеств, что a ∈ A и a ∈ B ∩ C, поэтому a ∈ A ∩ (B ∩ C). Аналогично доказывается второе равенство. 8. Пусть произвольный элемент a ∈ (A∪B)∩C. По определению пересечения множеств (A ∪ B) и C имеем a ∈ (A ∪ B) и a ∈ C, а по определению объединения множеств A и B имеем a ∈ A или a ∈ B и при этом a ∈ C. Таким образом, a ∈ A и a ∈ C, либо a ∈ B и a ∈ C. Последнее означает, что a ∈ (A ∩ C), либо a ∈ (B ∩ C). Откуда a ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Аналогично доказывается второе равество. J Cовокупность всевозможных подмножеств универсального множества с введенными операциями над ними образует алгебру множеств 1 . 1.5. Упражнения Задание 1.1. Изобразите на числовой прямой множество точек x, удовлетворяющих неравенству 1) |x − 1| + |x + 2| ≤ 3,
2) |3x + 2| + |2x − 3| ≥ 11,
3) |2x − |x − 2|| < 3, √ 5) 5 − x ln |x − 3| ≤ 0,
4) |x2 − |x2 + x|| > 11, 6) cos2 x ln (x + 1) > 0
1
Основы теории множеств были разработаны немецким математиком Георгом Кантором (1845-1918)
12
7)
√
√
4 x+2− √ ≤ 3, x+2
8)
2 − x + 4x − 3 ≥ 2, x
9) |x2 − 5x + 6| > x2 − 5x + 6, 10) |2x + 1| + |3x + 2| ≤ 5x + 3, 11) (x − 1)2 x(x − 2)3 (x − 6) ≤ 0, 12) (7 − 2x)2 (x + 4)(x − 5) ≤ 0, 3x2 − 2x − 1 2x2 − 3x + 1 < 2 , 13) 2x2 + 5x + 3 3x + 7x + 4 x2 + x + 2 x2 + x + 6 < 14) 3x2 + 5x − 14 3x2 + 5x − 10 Задание 1.2. Изобразите на координатной плоскости множество точек (x; y), удовлетворяющих неравенству 1) x2 − x < y − xy,
2) y ≤ 1 + |x + 1|,
3) 1 < x2 + y 2 ≤ 4,
4) y(y − sin 2x) ≤ 0,
5) 1 ≤ |x| + |y| < 4,
6) (y − sin x)(y − cos x) ≤ 0,
7) |x| − |y + 1| > 2,
8) |y| < |x2 − |x||,
9) |x + 3| + |y − 1| ≤ 1,
10) (x + 4)(y − 5) ≥ 0,
11) (x + 1)2 + (y − 1)2 ≤ 9,
12) |y| ≤ |x2 + 2|x| − 3|,
13) (|x| − 1)(|y| − 3) ≥ 0,
14) |y| ≤ |x2 − 5|x| + 6|,
Задание 1.3. Изобразите множества A, B, A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A a) на числовой прямой 1) A = {x : x3 + x2 < 0},
B = {x : x2 − 3x + 2 < 12};
2) A = {x : x2 − 2x ≤ 0},
B = {x : −x2 − x ≥ 0};
3) A = {x : x4 − 1 ≤ 0},
B = {x : −x2 + x + 6 <≥ 0};
4) A = {x : |x − 3| < 4},
B = {x : |x − 5| ≤ 7};
b) на координатной плоскости 5) A = {(x; y) : xy > 0},
B = {(x; y) : x2 + y 2 ≤ 4};
6) A = {(x; y) : x2 + y 2 ≤ 1},
B = {(x; y) : |x| + |y| > 1};
7) A = {(x; y) : x2 + y 2 ≤ 9},
B = {(x; y) : (x − 1)2 + y 2 ≤ 1}; 13
8) A = {(x; y) : xy ≤ 0},
B = {(x; y) : |x| + |y| ≤ 4};
9) A = {(x; y) : y ≥ 0},
B = {(x; y) : |x − 1| + |y| ≤ 1};
10) A = {(x; y) : x ≥ 0},
B = {(x; y) : y ≤ |x2 − 1|};
11) A = {(x; y) : y ≥ x2 },
B = {(x; y) : 1 − |x| ≥ y};
12) A = {(x; y) : xy ≤ 0},
B = {(x; y) : |y| ≥ |x|};
13) A = {(x; y) : x2 ≤ y},
B = {(x; y) : |x| ≥ |y|};
14) A = {(x; y) : xy ≥ 0},
B = {(x; y) : |x − 1| + |y − 1| ≤ 1}
Задание 1.4. Найдите множества A ∩ B, A ∪ B, A\B, если 1) A = {n : n ∈ N},
B = {2n : n ∈ N};
2) A = {n : n ∈ N},
B = {2n − 1 : n ∈ N};
3) A = {3n : n ∈ N},
B = {6n : n ∈ N};
4) A = {2n : n ∈ N},
B = {4n − 2 : n ∈ N};
5) A = {5n : n ∈ N}, πn 6) A = {sin : n ∈ N}, 2 πn 7) A = {sin : n ∈ N}, 6
B = {10n : n ∈ N}; B = {(−1)n : n ∈ N}; B = {cos
πn : n ∈ N} 3
Задание 1.5. Изобразите на координатной плоскости множество A × B 1) A = {x : x > 0},
B = {y : y > 0};
2) A = {x : |x| < 3},
B = {y : |y − 1| < 1};
3) A = {x : |x + 1| > 2},
B = {y : |y − 6| > 2};
4) A = {x : (x − 1)2 ≤ 0},
B = {y : (y − 1)2 > 0};
5) A = {x : |x| + |x − 2| < 3},
B = {y : y 2 < 1};
6) A = {x : 4 − x2 > 0},
B = {y : |y| < 2};
7) A = {x : x2 − x − 6 < 0},
B = {y : |y − 2| < 1}
14
Лекция 2. ФУНКЦИЯ 2.1. Отображения. Виды отображений 2.2. Числовые функции 2.3. Типы числовых функций 2.4. Свойства функций 2.5. Упражнения 2.1. Отображения. Виды отображений Изучая различные закономерности в природе, мы имеем дело с величинами постоянными и переменными. Например, изучая множество окружностей на плоскости, мы отмечаем, что они отличаются друг от друга радиусом и длиной, а значит, радиус и длина есть величины переменные. Однако отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число, равное π, не зависящее от того, о какой окружности идет речь, поэтому π есть величина постоянная. Для исследования различных явлений полезно знать, как изменение одних величин влияет на другие величины. Как правило, значения одних величин (называемых независимыми переменными) полностью определяют значения других величин (называемых зависимыми переменными). Например, зная радиус окружности r, мы можем найти ее длину C = 2πr. Рассмотрим множества X и Y . Правило, по которому каждому элементу множества X стаX Y вится в соответствие вполне определенный f элемент множества Y, называют отображением множества X во множество Y и записывают f : X −→ Y, множество X при этом называют областью определения отображения f и обозначают через D(f ). Пусть множество A ⊂ X, тогда множество f (A) = {f (x) : x ∈ A} называют образом множества A при отображении f . Множество f (X) ⊂ Y называют множеством значений отображения f . Заметим, что в общем случае множество f (X) может не совпадать с множеством Y , но обязательно является его подмножеством. Например: 1. Пусть X – множество людей, живущих на Земле, Y – множество имен. Тогда отображение множества X во множество Y означает, что у 15
каждого человека есть имя и у одного человека не может быть двух разных имен. 2. Пусть X – множество студентов, обучающихся в данном вузе, Y – множество натуральных чисел. Тогда отображение множества X во множество Y означает, что у каждого студента есть свой единственный номер студенческого билета (при утере билета этот номер более не используется). Два отображения f и g называют равными, если равны их области определения, то есть D(f ) = D(g), и, кроме того, для каждого элемента x из области определения функций f и g выполняется равенство f (x) = g(x). Пусть множество значений отображения f состоит из одного элемента y0 , тогда f называют постоянным и пишут f (x) = y0 = const ∀(x ∈ D(f ))
Отображение f : X −→ Y называют взаимно однозначным, если разным элементам множества X ставятся в соответствие разные элементы множества Y .
X x1 x2 x3 x4
X x1 x2 x3 x4
f
Y y0
f
Y y2 y4 y3 y1
Например, отображение множества студентов, обучающихся в данном вузе, во множество номеров студенческих билетов является взаимно однозначным, поскольку каждому студенту соответствует вполне определенный единственный номер студенческого билета, и наоборот, по номеру студенческого билета можно однозначно восстановить его владельца. Пусть f : X −→ Y – взаимно однозначное отображение, тогда каждому элементу y ∈ Y можно поставить в соответствие некоторый элемент x ∈ X, такой что f (x) = y. Такое отображение называют обратным к отображению f и обозначают через f −1 . Отображение f называется тождественным, если в результате этого отображения каждому элементу ставится в соответствие сам этот элемент, то есть f (x) = x для любого x ∈ D(f ). 2.2. Числовые функции Если X и Y – абстрактные множества, то отображение множества X во множество Y называют оператором, Если X – абстрактное множество, а Y – числовое множество, то отображение множества X во множество Y называют функционалом. 16
Если X, Y – числовые множества, то отображение множества X во множество Y называют вещественной функцией вещественного аргумента, или числовой функцией. Дальнейшее изложение будет посвящено числовым функциям, или просто функциям. Областью определения функции и множеством ее значений являются подмножества множества вещественных чисел R . Так как во множестве вещественных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, то можно аналогичные операции ввести и для функций. Суммой функций f (x) и g(x) называют функцию f + g, область определения которой X = D(f ) ∩ D(g) и для каждого x ∈ X выполняется равенство (f + g)(x) = f (x) + g(x). Разностью функций f (x) и g(x) называют функцию f − g, область определения которой X = D(f ) ∩ D(g) и для каждого x ∈ X выполняется равенство (f − g)(x) = f (x) − g(x). Произведением функций f (x) и g(x) называют функцию f g, область определения которой X = D(f ) ∩ D(g) и для каждого x ∈ X выполняется равенство (f g)(x) = f (x)g(x). f , область опредеg ления которой X = (D(f ) ∩ D(g)) \ {x : g(x) = 0} и для каждого x ∈ X выполняется равенство f f (x) (x) = . g g(x) Отношением функций f (x) и g(x) называют функцию
Графиком функции y = f (x) называют множество точек на плоскости с координатами (x; f (x)). Числовая функция может быть задана с помощью таблицы, графика или формулы. 2.3. Типы числовых функций • Функция, заданная формулой с использованием действий сложения, вычитания, умножения, возведения в целую неотрицательную степень, называется рациональной функцией (или многочленом) f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ,
17
здесь n ∈ N, либо n = 0, a0 , a1 , . . . , an−1 , an – некоторые вещественные числа. Старшая степень n независимой переменной x называется степенью многочлена. Многочлен первой степени называют линейной функцией y = ax + b. График линейной функции – прямая линия.
a< 0
y
{
b
a> 0
b
При a > 0 прямая наклонена к оси 0x под острым углом, при a < 0 – под тупым углом, при a = 0 прямая параллельна оси 0x, при b = 0 прямая проходит через начало координат.
{
0
b
x
Многочлен второй степени называют квадратичной функцией a> 0 D< 0
y = ax2 + bx + c.
y
График квадратичной функции – парабола. При a > 0 ветви параболы направлены вверх, 0 при a < 0 – вниз, при a = 0 квадратичная функция становится линейной. a< 0 При D = b2 − 4ac < 0 парабола не пересекает D= 0 ось 0x, при D = b2 − 4ac = 0 парабола касается оси 0x, при D = b2 − 4ac < 0 парабола пересекает ось 0x в двух точках. b b Вершина параболы имеет координаты (− 2a ; f (− 2a ))
a> 0 D> 0
x
• Дробно-рациональная функция – функция вида f (x) =
a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an , b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm−1 x + bm
представляющая собой отношение двух многочленов, степень которых n и m.
18
Отношение двух многочленов первой степени называют дробно-линейной функцией ax + b . cx + d Преобразуем выражение y=
b a d c a c
ax + b a x + = · cx + d c x + =
a + c
y
K>0 M
a (x + dc ) + ( ab − dc ) = · = c x + dc · ( ab − dc ) . x + dc
N
x
0
K<0
a a b d d Обозначим через M = , K = ·( − ), N = − , перепишем дробно-линейную c c a c c функцию в виде K y=M+ . x−N График дробно-линейной функции – гипербола. Точка (N ; M ) является центром симметрии гиперболы, гипербола не пересекает прямые x = N, y = M. • Элементарные функции: 1) степенная функция y = xn , n = const y = x−n , n ∈ N
y = xn , n ∈ N, n ≥ 2
y
y = x3 y = x2
1
1 y = -2 x
1 -1
y =x
y
1
0 1 -1
x
-1
19
0
1
x
n
n
y = x− m , n, m ∈ N, m ≥ 2
y = x m , n, m ∈ N, m ≥ 2
1
y
-y= x 3
y
y = x 3/ 2
1
-y= x 2
1
-
y = x2
x
0 1
0
x
1
-
y= x3
2) показательная функция y = ax , a = const; экспоненциальная функция y = ex , являющаяся частным случаем показательной функции при a = e ≈ 2, 718 ;
3) логарифмическая функция y = loga x, a = const; в частном случае, при a = e, функция y = ln x
y = ax 0
y
y
y = ax a>1 1
0
y = loga x a>1
1
x
0
x y = loga x 0
20
4) тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x
y
y
y = sin x
1
1
x
p
0
-p
y = cos x
-1
-1
y
y y = tg x
y = ctg x
x
p
0
-p
x
p
0
-p
-p
x
p
0
5) обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x
y
y
p/2
p
y = arcsin x
-1
0
1
y = arccos x
p/2
x
- p/2
-1
21
0
1
x
y
y
y = arctg x
p/2
p
p/2
x
0
y = arcctg x
- p/2
0
x
К элементарным относят также функции, которые можно получить из перечисленных выше с помощью алгебраических действий. • Сложная функция, то есть "функция от функции". Пусть переменная y зависит от переменной u по правилу y = f (u), а переменная u зависит от переменной x по правилу u = g(x). Тогда при изменении переменной x будет меняться переменная u, что повлечет изменение переменной y. Таким образом, значение переменной y меняется с изменением переменной x, но с учетом промежуточной переменной u, то есть y = f (g(x)). В этом случае функцию y = f (g(x)) называют сложной функцией. Например, чтобы получить функцию y = f (g(h(x))), где h(x) = x2 , g(h) = sin h, f (g) = ln g, нужно последовательно выполнить следующие операции: h(x)=x2
x −→ x2
g(h)=sin h
−→
sin x2
f (g)=ln g
−→
ln sin x2 ,
таким образом, получаем сложную функцию y = ln sin x2 . • Неявная функция – функция, заданная уравнением F (x, y) = 0, не разрешенным относительно переменной y. Например, функция y = y(x), задаваемая уравнением x2 + y 2 − 1 = 0, y ≥ 0, является неявной.
22
• Обратная функция Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], причем α = f (a), β = f (b), и отображение f отрезка [a; b] в отрезок [α; β] является взаимно однозначным. Тогда на отрезке [α; β] можно определить функцию, которая каждому значению y ∈ [α; β] ставит в соответствие единственное значение x ∈ [a; b] такое, что f (x) = y. Таким образом определенная функция называется обратной для функции y = f (x) и обозначается f −1 (x). Если функция y = f (x) на отрезке [a; b] строго монотонна, то она имеет на этом отрезке обратную. Графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x. Например, функции y = ln x и y = ex являются взаимно обратными. Для функции y = sin x существует ей обратная функция y = arcsin x на промежутке [− π2 ; π2 ]. • Отдельно рассмотрим функции y = sign x – знак числа, y = [x] – целая часть числа, y = {x} – дробная часть числа.
y
По определению
y = sign x
1
1, x > 0, y = sign x = 0, x = 0, −1, x < 0.
x
0 -1
Любое вещественное число можно записать в виде x = n + r, где n ∈ Z, 0 ≤ r < 1. Тогда полагают [x] = n, {x} = r.
y
y
y = [x]
2 1
y = {x} 1
0 -1 -2
1
2
x
-2
23
-1
0
1
2
3
x
2.4. Свойства функций Функция y = f (x) называется ограниченной снизу (сверху), если ∃(M ∈ R)∀(x ∈ D(f )) f (x) ≥ M (∃(M ∈ R)∀(x ∈ D(f )) f (x) ≤ M ). График ограниченной снизу (сверху) функции лежит выше (ниже) прямой y = M. Функция y = f (x) называется ограниченной, если ∃(M > 0)∀(x ∈ D(f )) |f (x)| ≤ M. График ограниченной функции лежит между прямыми y = −M и y = M. Пример Функция y = x2 является ограниченной снизу, так как существует число M = 0, что для любого допустимого значения переменной x выполняется неравенство x2 ≥ 0. Функция y = sin x является ограниченной, поскольку для всех x из области определения функции y = sin x выполняется неравенство | sin x| ≤ 1. Функция y = f (x) называется четной, если для любого значения x ∈ D(f ) значение −x ∈ D(f ) и выполняется равенство f (−x) = f (x). Функция y = f (x) называется нечетной, если для любого x ∈ D(f ) значение −x ∈ D(f ) и выполняется равенство f (−x) = −f (x). График четной функции симметричен относительно оси 0y, нечетной функции – относительно начала координат. Например, функции y = x2 , y = cos x являются четными, а функции y = x3 , y = sin x являются нечетными. Функция y = f (x) называется периодической, если существует T 6= 0 такое, что для любого значения x ∈ D(f ) значения x + T, x − T ∈ D(f ) и выполняется равенство f (x) = f (x + T ), при этом число T называют периодом функции y = f (x). Пример Периодическими являются функции y = sin x (наименьший положительный период T = 2π), y = {x} (наименьший положительный период T = 1). Функция y = f (x) называется возрастающей на промежутке E ⊂ D(f ), если ∀(x1 , x2 ∈ E : x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ). Функция y = f (x) называется убывающей на промежутке E ⊂ D(f ), если ∀(x1 , x2 ∈ E : x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ). 24
Функция y = f (x) называется невозрастающей на (a; b) ⊂ D(f ), если ∀(x1 , x2 ∈ E : x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x2 ). Функция y = f (x) называется неубывающей на (a; b) ⊂ D(f ), если ∀(x1 , x2 ∈ E : x1 < x2 ) f (x1 ) ≥ f (x2 ). Убывающие и возрастающие функции называют строго монотонными, неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными. 2.5. Упражнения Задание 2.1. Найдите область определения функции y = f (x) √ 1) f (x) = ( x + 1)2 ,
x3 − 1 , x2 − 6x + 8 (x + 3)2 4) f (x) = 3 , x − 9x x2 − 4 6) f (x) = , |x| − 2 √ 8) f (x) = 2 − x − x2 . 2) f (x) =
x−1 , x2 − 1 2 5) f (x) = , x − |x| √ 7) f (x) = 8 − x2 , 3) f (x) =
Задание 2.2. Найдите множество значений функции y = f (x) 1) f (x) = 5 − x,
x ∈ [−2; 2], 2) f (x) = x + sign x,
3) f (x) = |x − 3|, x ∈ [0; 5],
4) f (x) = |x| + x,
x2 5) f (x) = 2 , x ∈ R, x +1
6) f (x) =
2x 7) f (x) = 2 , x ∈ R, x +1
8) f (x) =
x ∈ R, x ∈ R,
p
x(4 − x), x ∈ R,
r
9x2 + 1 , x∈R x
Задание 2.3. Найдите область определения функции y = f (g(x)) √ 1) f (x) = x2 , 2) g(x) = x, √ 3) f (x) = 1 − x, 4) g(x) = x2 , 5) f (x) = ln x,
6) g(x) = |x|,
7) f (x) = ln (4 − x), √ 9) f (x) = x,
8) g(x) = x2 ,
25
10) g(x) = cos x,
1 , x 13) f (x) = ln x, √ 15) f (x) = 1 − x2 ,
11) f (x) =
12) g(x) = sin x, 14) g(x) = sin x, 16) g(x) = cos x
Задание 2.4. Постройте эскизы графиков функций y = f (x) + g(x) 1) f (x) = x2 ,
2) g(x) = |x|,
3) f (x) = x,
4) g(x) = sin x,
5) f (x) = |x|, √ 7) f (x) = x,
6) g(x) = ex , 8) g(x) = ln x
Задание 2.5. Постройте эскизы графиков функций y = f (x)g(x) 1) f (x) = x2 ,
2) g(x) = x,
3) f (x) = x,
4) g(x) = sign x,
5) f (x) = ln x, √ 7) f (x) = x,
6) g(x) = sin x, 8) g(x) = ln x
Задание 2.6. Постройте эскизы графиков функций y = f (g(x)) 1) f (x) = sign x,
2) g(x) = sin x,
3) f (x) = sign x,
4) g(x) = ln x,
5) f (x) = [x], 7) f (x) = [x],
6) g(x) = cos x, √ 8) g(x) = x,
9) f (x) = |x|,
10) g(x) = cos x,
11) f (x) = |x|,
12) g(x) = x2 − 1,
13) f (x) = {x},
14) g(x) = sin x, √ 16) g(x) = x
15) f (x) = {x},
Составитель Ирина Георгиевна Карелина, кандидат физико-математических наук, доцент Редактор О.А. Тихомирова 26
