Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1: Методическое пособие

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В О РО Н ЕЖ СКИ Й ГО СУ Д АРСТВ ЕН Н Ы Й У Н И В ЕРСИ ТЕТ Ф АКУ Л ЬТЕТ ПМ М

Ка фе др а вычи сли те льно й ма те ма ти ки

Р У К О ВО Д С ТВО К Р Е Ш Е Н И Ю ЗА Д А Ч П О А Л Г Е БР Е Ч А С ТЬ I

М е то ди че ско е по со б и е по ку р су “Алге б р а и ге о ме тр и я” для сту де нто в 1-го ку р са дне вно го и ве че р не го о тде лени й фа ку льте та ПМ М , 1-го ку р са ма те ма ти че ско го фа ку льте та

СО СТАВ И ТЕЛ И : Гл у ш а ко ва Т.Н .

У до де нко Н .Н . Бо нда р е нко Ю .В .

В о р о не ж – 2002

-2СО Д ЕРЖ АН И Е § 1. М а тр и цы (де йстви я на д ни ми , о б р а тна я ма тр и ца ) … … … … … … … … … … 3 § 2. О пр е де ли те ли : о пр е де лени е , сво йства и вычи слени е … .… … … … … … … . 13 § 3. Пр а ви ло Кр а ме р а … … .… … … … … … … … … … … … … … … … .… … … … … 50 § 4. Ра нг ма тр и цы. Кр и те р и й со вме стно сти ли не йно й си сте мы … ..… … … .… ..51 § 5. М е то д Га у сса р е ш е ни я си сте м ли не йных у р а вне ни й .… … … .… … … … … .54

-3§1. М А ТР И ЦЫ (Д Е ЙС ТВИ Я Н А Д Н И М И , О БР А ТН А Я М А ТР И ЦА ) й A р а зме р о в m × n на зыва е тся со во ку пно сть О пр е де лени е 1. М атр ице m ⋅ n чи се л, р а спо ло ж е нных в ви де та б ли цы и з m стр о к и n сто лб цо в:

 a11  a A =  21 ...   am1

a12 a22 ... am2

a1n   ... a2 n  . ... ...   ... amn  ...

Ч и сла aij (i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., n) , со ста вляю щ и е ма тр и цу , мы б у де м м ентам и м атр ицы. на зыва тьэле О пр е де лени е 2. Если чи сло стр о к в ма тр и це р а вно чи слу сто лб цо в, то ма тр и ца на зыва е тся квадр атной, а чи сло стр о к – е е п ор я дком . О ста льные ма тр и цы на зыва ю тся п р я м оу голь ным и. О пр е де лени е 3. М а тр и ца , все элеме нты ко то р о й р а вны ну лю , на зыва е тся

ну левой м атр ицей:

0  0 O= ...  0

0 ... 0   0 ... 0  . ... ... ...   0 ... 0 

О пр е де лени е 4. Ква др а тна я ма тр и ца , ди а го на льные элеме нты ко то р о й диничной: р а вны е ди ни це , а все о ста льные элеме нты р а вны ну лю , на зыва е тся е

1  0 E = ...  0

0 ... 0   1 ... 0  . ... ... ...   0 ... 1 

О пр е де лени е 5. Д ве м атр ицы на зыва ю тся р авным и, е сли о ни и ме ю т о ди на ко вые р а зме р ы и р а вны и х элеме нты, сто ящ и е на о ди на ко вых ме ста х. О пр е де лени е 6. Ква др а тна я ма тр и ца

-4-

0  a11  a22  a21  a a32 31 A= ...  ... a an −1,2  n −1,1  a an ,2  n ,1

0

...

0

0

...

0

a33

...

0

...

...

...

an −1,3 ... an −1, n −1 a n ,3

an, n −1

...

n -го по р ядка на зыва е тся ниж нетр еуголь ной.

0   0  0   ...  0   an , n 

О пр е де лени е 7. Ква др а тна я ма тр и ца

 a11 a12   0 a22  0 0 A=  ... ...  0 0   0 0 

a13

...

a1, n −1

a23 ...

a2, n −1

a33 ...

a3, n −1

...

...

0

... an −1, n −1

0

...

a1n   a2 , n  a3n   ...  an −1, n   an, n 

... 0

n -го по р ядка на зыва е тся вер хнетр еуголь ной. За ме ча ни е . В то м слу ча е , ко гда на м не ва ж но , являе тся ма тр и ца ни ж не тр е у го льно й и ли ве р хне тр е у го льно й, го во р ят пр о сто “тр еуголь ная м атр ица”. 1.1.

Де йствия над м атр ицам и

1.1.1. С лож ениеи у м нож ениена число Пу сть A = ( aij ) mn и B = (bij ) mn – ма тр и цы, со сто ящ и е и з m стр о к и n сто лб цо в. О пр е де лени е 8. М а тр и ца C = (cij ) mn , элеме нты ко то р о й о пр е де ляю тся по фо р му ле cij = aij + bij (i = 1,..., m; j = 1,..., n) , на зыва е тся су м м ой ма тр и ц

A и B и о б о зна ча е тся A + B : C = A + B .

За ме ча ни е . С у м м а о пр е де лена толь ко для м атр иц одних и те х ж е р азм ер ов. О пр е де лени е 9. М а тр и ца C = (cij ) mn , элеме нты ко то р о й о пр е де ляю тся по фо р му ле

cij = βaij

(i = 1,..., m; j = 1,..., n) , где

β

– не ко то р о е

чи сло ,

-5на зыва е тся п р оизведением ма тр и цы A на чи сло β и о б о зна ча е тся βA : С = βA . У тве р ж де ни е . Д ля лю б ых ма тр и ц A , B и C о дни х и те х ж е р а зме р о в и лю б ых чи се лα и β выпо лне ны р а ве нства : 1) A + B = B + A ; 2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ; 3) α ( A + B ) = αA + αB ; 4) (αβ ) A = α ( βA) . 1.1.2. У м нож ением атр иц Пу стьда ны ма тр и цы A = ( aij ) mn и

D = (d ij ) np .

О пр е де лени е 10. П р оизведением м атр иц A и D на зыва е тся та ка я ма тр и ца C = (cij ) mp , элеме нты ко то р о й о пр е де ляю тся по фо р му лам n

cij = ∑ aik d kj , то е стьэлеме нтсij р а ве н су мме пр о и зве де ни й элеме нто в i -то й k =1

стр о ки ма тр и цы A на элеме нты j -го сто лб ца ма тр и цы D . За ме ча ни е 1. Ц е лесо о б р а зно сть та ко го о пр е де лени я пр о и зве де ни я ма тр и ц мы пр о и ллю стр и р у е м следу ю щ е й за да че й. Пу сть да на ли не йна я фу нкци я дву х пе р е ме нных y = a11 z1 + a12 z2 , а z1 и z2 , в сво ю о че р е дь, являю тся ли не йными фу нкци ями З а да ча .

пе р е ме нных x1 и x2 , то е сть z1 = b11 x1 + b12 x2 и z2 = b21 x1 + b22 x2 . Н а йти

за ви си мо сть y о т x1 и x2 . По сле не сло ж ных элеме нта р ных выкладо к по лу чи м

z = (a11b11 + a12b21 ) x x + (a11b12 + a12b22 ) x2 . Ко эффи ци е нты пр и x1 и x2 – это элеме нты ма тр и цы, являю щ е йся  b11 b12   . пр о и зве де ни е м ма тр и ц A = (a11 a12 ) и B =   b21 b22  За ме ча ни е 2. Пр о и зве де ни е ма тр и ц неком м у тативно, то е сть в о б щ е м слу ча е AD ≠ DA . Если да на ма тр и ца F = ( f ij ) nm , то пр о и зве де ни е AF –

это ма тр и ца ( m × m) , а FA – это ма тр и ца ( n × n) . ре становочным и, О пр е де лени е 11. Д ве м атр ицы A и B на зыва ю тся п е е сли AB = BA .

-6-

1 2   . 3 4  

№ 822 (П ). Н а йти все ма тр и цы, пе р е ста но во чные с ма тр и це й  Ре ш е ни е.

a b   – ма тр и ца , ко то р у ю на м на до на йти . То гда c d  

Пу сть A = 

 1 2  a b   a b  1 2     =    ⇒ 3 4 c d c d 3 4       3  a + 2c = a + 3b  3 = c b    = c b 2   3a + 4c = c + 3d  2 ⇒ d =a+c ⇒ ⇒ . 3 + = + b d a b 2 2 4 3  d = b + a d = b + a  2 3b + 4 d = 2c + 4 d  2    a

О тве т: A =  3

 b 2

b   , где a, b – лю б ые чи сла. 3 b + a  2

О пр е де лени е 12. Если в ма тр и це

сто лб цы

 a11  a AТ =  12 ...   a1n

по ме нять

a21 a22 ... a2 n

ме ста ми ,

 a11  a A =  21 ...   am1 то

a12 a22 ... am2

a1n   ... a2 n  стр о ки и ... ...   ... amn  ...

по лу че нна я

м атр ица

... am1   ... am 2  на зыва е тся тр ансп онир ованной к м атр ицеА. ... ...   ... a mn 

О пр е де лени е 13. Пр е о б р а зо ва ни е ма тр и цы, пр и ко то р о м стр о ки ма тр и цы ста но вятся сто лб ца ми с те ми ж е но ме р а ми , а по р ядо к элеме нто в не ме няе тся, на зыва е тся тр ансп онир ованием .

-71.1.3. М ногочлен отм атр ицы О пр е де лени е 14. Пу сть да н мно го член ϕ (t ) = α 0 + α1t + α 2 t + ... + α k t 2

k

м м ногочлена ϕ (t ) и пу сть A = ( aij ) nn – ква др а тна я ма тр и ца , то гда значение от м атр ицы A на зыва е тся ма тр и ца

ϕ ( A) = α 0 E + α1 A + α 2 A2 + ... + α k A k ,

i

где E – е ди ни чна я ма тр и ца , A – ма тр и ца , по лу ча ю щ а яся пр и у мно ж е ни и ма тр и цы A на се б я i р а з. № 827 (П ). Н а йти зна че ни е мно го члена

f (t ) = 3 x 2 − 2 x + 5 о тма тр и цы

1 − 2 3   A = 2 − 4 1 .  3 − 5 2   Ре ш е ни е. Н а йде м

f ( A) = 3 A2 − 2 A + 5E = 3( A ⋅ A) − 2 A + 5E .

 1 − 2 3  1 − 2 3   1 − 4 + 9 − 2 + 8 − 15 3 − 2 + 6       A2 =  2 − 4 1  2 − 4 1  =  2 − 8 + 3 − 4 + 16 − 5 6 − 4 + 2  =  3 − 5 2  3 − 5 2   3 − 10 + 6 − 6 + 20 − 10 9 − 5 + 4        6 − 9 7   = − 3 7 4 ;  −1 4 8     6 − 9 7   1 − 2 3   5 0 0   18 − 27 21          f ( A) = 3 − 3 7 4  − 2 2 − 4 1  +  0 5 0  =  − 9 21 12  +  − 1 4 8   3 − 5 2   0 0 5   − 3 12 24           − 2 4 − 6   5 0 0   21 − 23 15        +  − 4 8 − 2  +  0 5 0  =  − 13 34 10  .  − 6 10 − 4   0 0 5   − 9 22 25       

-8-

 21 − 23 15    О тве т:  − 13 34 10  .  − 9 22 25    1.2.

О б р атная м атр ица

О пр е де лени е 15. М атр ица B = A ма тр и це A , е сли AB = BA = E .

−1

на зыва е тся об р атной к ква др а тно й

О пр е де лени е 16. Ква др а тна я ма тр и ца A на зыва е тся невыр ож денной, −1 е сли о на и ме е те ди нстве нну ю о б р а тну ю ма тр и цу A . В пр о ти вно м слу ча е A – выр ож денная м атр ица. У тве р ж де ни е . Ква др а тна я ма тр и ца A по р ядка n являе тся не выр о ж де нно й в то м и то лько то м слу ча е , е сли о пр е де ли те льэто й ма тр и цы о тли че н о т ну ля. Д ля отыскания об р атной м атр ицы су щ е ству ю тдва сп особ а. 1) Пр и пи ш е м к ма тр и це

A = (aij ) nn спр а ва е ди ни чну ю ма тр и цу и , пр и ме няя

ме то д Га у сса (см. § 5), пр е о б р а зу е м р а сш и р е нну ю ма тр и цу та к, что б ы слева сто яла е ди ни чна я ма тр и ца , то гда спр а ва б у де тна хо ди ться о б р а тна я ма тр и ца B = (bij ) nn :

a  11  a21  ...  a  n1

0 ... 0   a22 1 ... 0  → ... → . ... ... ... ... ... ... ...   an 2 ... ann 0 0 ... 1   1 0 ... 0 b11 b12 ... b1n     0 1 ... 0 b21 b22 ... b2 n  . → ... →  ... ... ... ... ... ... ... ...     0 0 ... 1 b  b ... b n1 n2 nn   a12

... a1n 1 ... a2 n 0

О б о сно ва ни е это го спо со б а со сто и тв следу ю щ е м. Пу сть на м да на не выр о ж де нна я ква др а тна я ма тр и ца . За да чу на хо ж де ни я о б р а тно й ма тр и цы мо ж но р а ссма тр и ва ть ка к за да чу р е ш е ни я ма тр и чно го

-9у р а вне ни я A ⋅ X = E , ко то р о е экви ва лентно си сте ме n у р а вне ни й с n не и зве стными . Э та си сте ма являе тся о б ъ е ди не ни е м n си сте м у р а вне ни й, ка ж да я и з ко то р ых со де р ж и т n не и зве стных. У мно ж а я по о че р е дно стр о ки ма тр и цы A на 1-й сто лб е ц ма тр и цы X и пр и р а вни ва я к 1-му сто лб цу ма тр и цы E , по лу чи м си сте му у р а вне ни й, ма тр и чна я фо р ма за пи си ко то р о й и ме е тви д 2

 a11   a21  ...   an1

a12 a22 ... an 2

... a1n  x11   1      ... a2 n  x21   0  = ... ...  ...   ...      ... ann  xn1   0 

2

(1.2.1)

С по мо щ ью элеме нта р ных о пе р а ци й на д стр о ка ми ма тр и цы си сте му у р а вне ни й мо ж но пр и ве сти к ви ду

0 ... 0  x11   b11      1 ... 0  x21   b21  = ... ... ...  ...   ...      0 ... 1  xn1   bn1  У мно ж а я по о че р е дно стр о ки ма тр и цы A на вто р о й сто лб е ц ма тр и цы A и пр и р а вняв ко вто р о му сто лб цу ма тр и цы E , по лу чи м си сте му у р а вне ни й  a11 a12 ... a1n  x12   0       a a ... a x  21 22 2 n  22   1  (1.2.2)  ... ... ... ...  ...  =  ...  .       an1 an 2 ... ann  xn 2   0  1  0  ...  0

С по мо щ ью те х ж е элеме нта р ных о пе р а ци й, что пр и ме няли сь для р е ш е ни я си сте мы (1.2.1), мы пр и ве де м си сте му (1.2.2) к ви ду

1  0  ...  0

0 ... 0  x12   b11      1 ... 0  x22   b21  = ... ... ...  ...   ...      0 ... 1  xn 2   bn1 

и т.д. По это му для на хо ж де ни я о б р а тно й ма тр и цы и б ылпр е дло ж е н о пи са нный выш е спо со б .

- 10 -

 A11  1  A12 A −1 = det A  ...   A1n

An1   A22 ... An 2  2) , где Aij (i, j = 1,..., n) – ... ... ...   A2 n ... Ann  а лге б р а и че ски е до по лне ни я к элеме нту aij , det A – о пр е де ли те льма тр и цы A A21

...

(см. § 2).

7  2 5   № 840 (П ). Н а йти о б р а тну ю ма тр и цу для ма тр и цы A =  6 3 4 .  5 − 2 − 3   Ре ш е ни е. I спо со б .

− 5 − 3 2 5 7 1 0 0 5 7 1 0 0 2     4 0 1 0  → − 29  0 − 12 − 17 − 3 1 0  → 6 3  5 − 2 − 3 0 0 1 2 12  0 − 29 − 41 − 5 0 2    0 0   2 5 0 − 188 203 − 168  2 5 7 1     → − 1 0  →  0 12 0 − 456 492 − 408  →  0 12 17 3 − 29 − 7 − 17  0 0 1 27 − 29 24   0 0 1 27 24 

−2 2   2 5 0 − 188 203 − 168   2 0 0 2     → − 5  0 1 0 − 38 41 − 34  →  0 1 0 − 38 41 − 34  →  0 0 1 27 − 29 24   0 0 1 27 − 29 24   −1 1  1 0 0 1   →  0 1 0 − 38 41 − 34  .  0 0 1 27 − 29 24    О тве т:

−1 1   1   A−1 =  − 38 41 − 34  .  27 − 29 24   

- 11 II спо со б .

2

5

7 2

5

det A = 6

3

4 6

3 = 2 ⋅ 3 ⋅ (−3) + 5 ⋅ 4 ⋅ 5 + 7 ⋅ 6 ⋅ (−2) − 5 ⋅ 3 ⋅ 7 −

5 −2 −3 5 −2 − ( −2) ⋅ 4 ⋅ 2 − (−3) ⋅ 6 ⋅ 5 = −18 + 100 − 84 − 105 + 16 + 90 = −1 ;

3

A11 = (−1)1+1

4

A12 = (−1)1+2

= −1 ;

−2 −3 6 3 A13 = (−1)1+3 = −27 ; 5 −2 A22 = (−1) 2+2 A31 = (−1) 3+1

2

7

5 −3

5 7 3 4

A21 = (−1)

A33 = (−1) 3+3

2 5 6 3

= 38 ;

−2 −3 2

5

5 −2

A32 = (−1) 3+2

= −1;

4

5 −3 7 2 +1 5

A23 = (−1) 2+3

= −41 ;

6

2 7 6 4

= 1;

= 29 ; = 34 ;

= −24 .

1 1  −1   1 −1  −1     41 − 34  . Та ки м о б р а зо м, A = −1 38 − 41 34  =  − 38  − 27 29 − 24   27 − 29 24      −1

−1 1   1   −1 О тве т: A =  − 38 41 − 34  .  27 − 29 24    № 861 (П ). Ре ш и тьма тр и чно е у р а вне ни е

1 2  3 5   X =   . 3 4 5 9    

Ре ш е ни е. 1 ва р и а нт.

- 12 -

 x1

x2   , то гда x4  x2   3 5  =  ⇒ x4   5 9 

Пу сть X =   x3

 1 2  x1   3 4   x3

 x1 + 2 x3   3x1 + 4 x3

x2 + 2 x 4   3 5  =  ⇒ 3 x2 + 4 x4   5 9 

 x1 + 2 x3 = 3  x + 2x = 5  4 ⇒ 2 . + = 3 4 5 x x 3  1 3 x2 + 4 x4 = 9 − 3 1  − 3 0 3  0 

0 2 0 3  1 0 2 5 → 0 4 0 5  3 0 4 9 

1  0 0  0 

3  1   1 0 2 5  0 → 0 − 2 0 − 4 0   0 0 − 2 − 6   0 0

2

0

0 0 0 − 1  1 0 0 − 1 ⇒ 0 1 0 2  0 0 1 3 

 x1 = −1  x = −1  2 . ⇒ x = 2  3  x4 = 3  − 1 − 1 . 3 

О тве т: X =  2 2 ва р и а нт. −1

О че ви дно , что ма тр и це I спо со б :

1 2  A =   . 3 4  

 1 2   3 5  X =     . Н а йде м ма тр и цу , о б р а тну ю к 3 4 5 9    

- 13 -

− 3 1 2 1 0   1 2 1 0   1 0 − 2 1  3 1 ⇒   →   → −   3 4 0 1 0 − 2 − 3 1 0 1 2 2 −2 1  1. A = 3 −   2  2 −1

II спо со б :

A −1 = Та ки м о б р а зо м,

1  4 − 2 1  4 − 2   − 2 1  1 .   = −  = 3 −  det A  − 3 1  2  − 3 1   2  2

 − 2 1  3 5   − 2 ⋅ 3 + 1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 5 + 1 ⋅ 9   − 1 − 1 1 3 1  =  1  X = 3  =  3 . − ⋅ 3 − ⋅ 5 ⋅ 5 − ⋅ 9   2 3   5 9     2 2 2 2 2  2  − 1 − 1 . 3 

О тве т: X =  2

§2. О П Р Е Д Е Л И ТЕ Л И : О П Р Е Д Е Л Е Н И Е , С ВО ЙС ТВА И ВЫ Ч И С Л Е Н И Е 2.1.

П оня тиеп ер естановки, п одстановки, инвер сии, тр ансп озиции

О пр е де лени е 1. Би е кти вно е (вза и мно о дно зна чно е ) о то б р а ж е ни е ко не чно го мно ж е ства на се б я на зыва е тся п ер естановкой. Пе р е ста но вки мно ж е ства A = {1,2,..., n} о б ычно за пи сыва ю т в ви де

 1 2 ... n  . ϕ =   α α ... α 2  1 n Э та за пи сьо зна ча е т, что ϕ (i ) = α i . При м ер2.1.1. В ыпи са ть все

пе р е ста но вки , со о тве тству ю щ и е

(2.1.1)

да нно й:

- 14 -

4 5 1 2 3   4 3 α α α  3 4 5 Ре ш е ни е.

α i = 1,2,5 О че ви дно , что ва р и а нты (и х б у де т3!):

(i = 3,4,5) . Ра ссмо тр и м все во змо ж ные

4 3 α3 α 4 α5 4 3

1

2

5

4 3

1

5

2

4 3

2

5

1

4 3

2

1

5

4 3

5

1

2

4 3

5

2

1

Та ки м о б р а зо м, по лу чи м следу ю щ и е пе р е ста но вки :

 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5  1 2 3 4 5 ϕ1 =   , ϕ 2 =   , ϕ 3 =   , 4 3 1 2 5 4 3 1 5 2 4 3 2 5 1        1 2 3 4 5  1 2 3 4 5  1 2 3 4 5  , ϕ 5 =  ϕ 4 =   , ϕ 6 =   . 4 3 2 1 5 4 3 5 1 2 4 3 5 2 1       За ме ча ни е 1. Сто лб цы в пе р е ста но вке (2.1.1) мо ж но ме нять, стр о чки – не т. За ме ча ни е 2. В сю ду в да льне йш е м б у де м счи та ть, что пе р ва я стр о чка в пе р е ста но вке (2.1.1) не ме няе тся. За ме ча ни е 3. И но гда пе р е ста но вку (2.1.1) за пи сыва ю тв ви де ϕ = (α1 ,α 2 ,...,α n ) . (2.1.2) Те ор ем а 1. И з n элеме нто в мо ж но со ста ви ть n! р а зли чных пе р е ста но во к ви да (2.1.2). О пр е де лени е 2. Та ко е р а спо ло ж е ни е па р ы чи се лв пе р е ста но вке (2.1.2), ко гда б о льш е е сто и т впе р е ди ме ньш е го , на зыва е тся инвер сией и ли б есп ор я дком . О пр е де лени е 3. Если в пе р е ста но вке (2.1.2) че тно е чи сло и нве р си й, то пе р е ста но вка на зыва е тся четной, е сли не че тно е – нечетной.

- 15 О пр е де лени е 4. Пр е о б р а зо ва ни е , пр и ко то р о м 2 элеме нта в пе р е ста но вке (2.1.2) ме няю тся ме ста ми , а все о ста льные о ста ю тся на ме сте , на зыва е тся тр ансп озицией. Те ор ем а 2. Тр а нспо зи ци я ме няе тче тно стьпе р е ста но вки (2.1.2). Те ор ем а 3. Ч и сло че тных пе р е ста но во к (2.1.2) р а вно чи слу не че тных пе р е ста но во к и р а вно

n! . 2

тной, е сли су мма О пр е де лени е 5. Пе р е ста но вка (2.1.1) на зыва е тся че и нве р си й пе р е ста но во к, сто ящ и х в пе р во й и вто р о й стр о ка х, че тна я и ли че тно сти пе р во й и вто р о й стр о к о ди на ко вы. За ме ча ни е 4. Та к ка к пе р ва я стр о ка в пе р е ста но вке (2.1.1) не ме няе тся, то че тно стьпе р е ста но вки о пр е де ляе тся то лько вто р о й стр о ко й. О п ре делители втор ого и тр еть его п ор я дков

2.2.

О пр е де лени е 6. Э леме нты, сто ящ и е на главно й ди а го на ли ма тр и цы (то е сть ди а го на ли , выхо дящ е й и з ве р хне го лево го у гла), на зыва ю тся главным и диагональ ным и элем ентам и м атр ицы. О пр е де лени е 7. Э леме нты, сто ящ и е на по б о чно й ди а го на ли ма тр и цы (то е стьди а го на ли , выхо дящ е й и з ве р хне го пр а во го у гла), на зыва ю тся п об очным и диагональ ным и элем ентам и м атр ицы. лителем втор ого п ор я дка ква др а тно й ма тр и цы О пр е де лени е 8. О п р еде

a A =  11  a21

a12   на зыва е тся чи сло , р а вно е р а зно сти пр о и зве де ни я главных a22 

ди а го на льных элеме нто в и пр о и зве де ни я по б о чных ди а го на льных элеме нто в:

det A =

a11

a12

a21

a22

При м ер2.2.1.

= a11a22 − a21a12 .

В ычи сли тьо пр е де ли те ль

1 2 3 4

.

Ре ш е ни е.

1 2 3 4

= 1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 = 4 − 6 = −2 . О тве т: –2.

О пр е де лени е 9. О п р еделителем тр еть его п ор я дка ква др а тно й ма тр и цы

- 16 -

 a11  A =  a21 a  31

a12 a22 a32

a13   a23  на зыва е тся чи сло a33 

a11

a12

a13

det A = a21

a22

a23 , ко то р о е

a31

a32

a33

мо ж но вычи слятьследу ю щ и ми спо со б а ми : 1) п о п р авилу тр еуголь ника:

a11

a12

a13

a21

a22

a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a21a32 a13 − .

a31

a32

a33 − a31a22 a13 − a32 a23a11 − a21a12 a33 . 1 2 3

При м ер2.2.2. В ычи сли тьо пр е де ли те ль 4

5 6 по пр а ви лу тр е у го льни ка .

7 8 9 Ре ш е ни е.

1 2 3 4 5 6 = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 4 ⋅ 8 ⋅ 3 − 7 ⋅ 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 6 ⋅ 1 − 4 ⋅ 2 ⋅ 9 = 45 + 84 + 96 − 7 8 9 − 105 − 48 − 72 = 0 О тве т: 0. 2) п о п р авилу С ар р ю са: пр и пи ш е м к о пр е де ли те лю спр а ва два пе р вых сто лб ца и со ста ви м су мму пр о и зве де ни й главных ди а го на льных элеме нто в и элеме нто в, па р а ллельных главно й ди а го на ли , и з ко то р о й за те м вычте м су мму пр о и зве де ни й элеме нто в по б о чно й ди а го на ли и элеме нто в, па р а ллельных по б о чно й ди а го на ли :

a11

a12

a13 a11

a12

a21

a22

a23 a21 a22 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 −

a31

a32

a33 a31 a32

- 17 -

− a31a22 a13 − a32 a23a11 − a33a21a12 . 1 2 3 При м ер 2.2.3.

В ычи сли ть

о пр е де ли те ль

4 5 6

по

пр а ви лу

7 8 9 Са р р ю са . Ре ш е ни е.

1 2 31 2 4 5 6 4 5 = 1 ⋅ 5 ⋅ 9 + 2 ⋅ 6 ⋅ 7 + 3 ⋅ 4 ⋅ 8 − 7 ⋅ 5 ⋅ 3 − 8 ⋅ 6 ⋅1 − 9 ⋅ 4 ⋅ 2 = 7 8 97 8 = 45 + 84 + 96 − 105 − 48 − 72 = 0 О тве т: 0.

2.3.

О п р еделите ли n-гоп ор я дка

делителем n –го п ор я дка квадр атной м атр ицы О пр е де лени е 10. О п р е

 a11 a12 ... a1n    a a ... a  22 2n  A =  21 ... ... ... ...    a a ... a  n1 n2 nn  на зыва е тся а лге б р а и че ска я су мма n! слага е мых (члено в о пр е де ли те ля). Ка ж дый член о пр е де ли те ля е сть пр о и зве де ни е n элеме нто в ма тр и цы, взятых по о дно му и з ка ж до й стр о чки и ка ж до го сто лб ца , пр и это м пр о и зве де ни е

 1 2 ... n   a1α1 a2α 2 ... anα n б е р е тся со зна ко м “+”, е сли пе р е ста но вка  α α ... α  1 1 n

че тна я, и со зна ко м “ – ”, е сли не че тна я.

№ 252 (Ф -С ). В ыпи са тьвсе слага е мые , вхо дящ и е в о пр е де ли те ль5- го по р ядка и и ме ю щ и е ви д a14 a23 a3α3 a 4α 4 a5α5 .

- 18 Ре ш е ни е. Со ста ви м

пе р е ста но вку ,

со о тве тству ю щ у ю

да нно му

элеме нту :

4 5 1 2 3   . О че ви дно , что α i = 1, 2, 5 (i = 3, 4, 5) . 4 3 α α α  3 4 5 Ра ссмо тр и м все во змо ж ные ва р и а нты (и х б у де т3!): 4 4 4 4 4 4 4

3 α3 α4 α5 3 1 2 5 3 1 5 2 3 2 5 1 3 2 1 5 3 5 1 2 3 5 2 1

чи сло и н в ерси й 5 6 7 6 7 8

зн ак − + − + − +

2.4. С войства оп р еделите ля 1) Пр и тр а нспо ни р о ва ни и о пр е де ли те льква др а тно й ма тр и цы не ме няе тся. Cледстви е . В сяко е у тве р ж де ни е , спр а ве дли во е для стр о к о пр е де ли те ля, спр а ве дли во и для е го сто лб цо в. 2) Если в о пр е де ли те ле две стр о ки по ме нятьме ста ми , то о пр е де ли те льи зме ни т сво й зна к. Следстви е . Если в о пр е де ли те ле е сть две о ди на ко вые стр о ки (сто лб ца ), то о пр е де ли те льр а ве н ну лю . 3) Если в о пр е де ли те ле все элеме нты не ко то р о й стр о ки у мно ж и тьна не ко то р о е чи сло , то са м о пр е де ли те льу мно ж и тся на это чи сло . С ледствие. О п р еделитель , содер ж ащий двеп р оп ор циональ ныестр оки, р авен ну лю . 4) Е сли все элем енты k - й стр оки оп р еделителя n -го п ор я дка п р едставлены ввидесу м м ы дву х слагаем ых aki = bki + cki (i = 1,..., n) , то оп р еделитель р авен су м м едву х оп р еделителей, у котор ых всестр оки, кр ом е k -ой , такиеж е , как и взаданном оп р еделителе, а k -ая стр ока в п ер вом оп р е делителесостоит из элем ентов bki , а в др у гом –- из элем ентов cki :

- 19 -

a11

a12

...

a1n

...

...

...

...

bi1 + ci1 bi 2 + ci 2

... bin + cin =

...

...

...

...

an1

an 2

...

ann

a11

a12

... a1n

a11

a12

... a1n

...

...

...

...

...

...

...

...

= bi1

bi 2

...

bin + ci1

ci 2

...

cin .

...

...

...

...

...

...

...

...

an1 an 2

... ann

an1 an 2

... ann

. Следстви е . О пр е де ли те ль не и зме ни тся, е сли к не ко то р о й стр о ке это го о пр е де ли те ля пр и б а ви тьдр у гу ю стр о ку , у мно ж е нну ю на не ко то р о е чи сло . 5) Если в о пр е де ли те ле ка ка я-то стр о ка являе тся ли не йно й ко мб и на ци е й о ста льных стр о к, то о пр е де ли те льр а ве н ну лю . 6) Если о дна и з стр о к о пр е де ли те ля со сто и т и з ну лей, то о пр е де ли те ль р а ве н ну лю . 7) О пр е де ли те ль тр е у го льно й ма тр и цы р а ве н пр о и зве де ни ю ди а го на льных элеме нто в. 2.5.

М инор , доп олните ль ный м инор , алгебр аическоедоп олнение

Пу сть да на ква др а тна я ма тр и ца A n -го по р ядка . В ыб е р е м в не й k стр о к i1 , i2 ,..., ik (1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n) j1 , j2 ,..., jk и k сто лб цо в

(1 ≤ j1 < j2 < ... < jk ≤ n) .

О пр е де лени е 11. Э леме нты, сто ящ и е в пе р е се че ни и да нных стр о к и сто лб цо в, о б р а зу ю т ма тр и цу k -го по р ядка . Ее о пр е де ли те ль на зыва е тся м инор ом k -го п ор я дка M i1 , i2 ,...,ik , пр и на длеж а щ и м выб р а нным стр о ка м и j1 , j 2 ,..., j k

сто лб ца м. О пр е де лени е 12. Если выче р кне м в ма тр и це A выб р а нные стр о ки и сто лб цы, то о пр е де ли те ль о ста вш е йся ма тр и цы по р ядка n − k на зыва е тся доп олнитель ным м инор ом M i ' , i

1 2 ,..., i k j1 , j 2 ,..., j k

по о тно ш е ни ю к ми но р у M i1 , i2 ,...,ik . j1 , j 2 ,..., j k

- 20 нием к м инор у k -го п ор я дка О пр е де лени е 13. А лгебр аическим доп олне M i1 , i2 ,... , ik , пр и на длеж а щ е му стр о ка м i1 , i2 ,..., ik и сто лб ца м j1 , j2 ,..., jk , j1 , j 2 ,..., j k

A i1 , i2 ,...,ik = (−1)i1 + i2 + ... + ik + j1 + j2 + ... + j k M i' , i

на зыва е тся чи сло

1 2 ,..., i k j1 , j 2 ,..., j k

j1 , j 2 ,..., j k

.

Ко гда k = 1, выб и р а е тся элеме нт aij и е го до по лни те льный ми но р на зыва е тся пр о сто м инор ом M ij , о тве ча ю щ и м элеме нту aij . О пр е де лени е

14.

А лгебр аическим

на зыва е тся чи сло Aij = ( −1)

i+ j

доп олнением

к

элеме нту

aij

M ij .

 1 − 10 4 5  7 0 0 2 При м ер2.5.1. Д ля да нно й ма тр и цы A =  4 1 −4 3  0 3 0 4 11 5 4 0  ми но р M 35 , со ста вленный и з 3-е й, 5-о й стр о к и 2-го ,

0   1  5  выпи са ть  10  − 7  4-го сто лб цо в,

24 '

до по лни те льный ми но р M 35 , а лге б р а и че ско е

до по лне ни е A35 к 24

24

M 35 . 24

Ре ш е ни е.

M 35 = 24

1 3 5 0

2.6.

1 4 ,

0

M 35' = 2 0 24

1 , 4 3 10

1 4

0

A35 = ( −1)3 + 5 + 2 + 4 M 35' = 2 0 24

24

1 . 4 3 10

Вычислениеоп р еделителей

1) П р иведение оп р е делителя к тр еуголь ном у виду (с и спо льзо ва ни е м сво йств 2)-6)).

№ 279 (Ф .-С .). В ычи сли тьо пр е де ли те ль

тр е у го льно му ви ду .

1

2

3

4

−2

1

−4

3

3

−4

−1

2

4

3

− 2 −1

, пр и ве дя е го к

- 21 Ре ш е ни е.

− 4 − 32 1

2

3

4

−2

1

−4

3

3

−4

−1

2

4

3

=

1

2

3

4

20

5

2

11

=

0 − 10 − 10 − 10

− 2 −1

0

−5

− 14 − 17

1 2

3

4

0 5

2

11

0 0 −6

12

0 0

− 30

0

= 900

О тве т: 900.

№ 279 (П ). В ычи сли тьо пр е де ли те ль

1

2

3

4

... n

−1

0

3

4

... n

−1 − 2 − 0

4

... n

−1 − 2 − 3

0

... n

...

...

... ...

...

...

− 1 − 2 − 3 − (n − 1) ... 0 пр и ве дя е го к тр е у го льно му ви ду . Ре ш е ни е. Пр и б а ви м пе р ву ю стр о ку о пр е де ли те ля ко все м о ста льным:

1

2

3

4

... n

1

2

3

4 ...

−1

0

3

4

... n

0

2

6

8 ... 2 n

−1 − 2 − 0

4

... n

0

0

3

8 ... 2 n

−1 − 2 − 3

0

... n

0

0

0

4 ... 2 n

...

...

... ...

...

...

=

− 1 − 2 − 3 − (n − 1) ... 0

... ... ... ... ...

...

0

n

= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n = n! О тве т: n! 2) О п р еделитель Вандер м онда:

n

0

0

0 ...

=

,

- 22 -

1

1

1

...

1

a1

a2

a3

... an +1

a12

a22

a32

... an2+1

a13

a23

a33

... an3 +1

...

...

...

...

a1n

a2n

a3n

... ann+1

=

∏

(ai − a j ) .

1≤ j < i ≤ n +1

...

1 При м ер2.6.1. В ычи сли тьо пр е де ли те льВ а нде р мо нда

1

1

3 −2

7 .

9

49

4

Ре ш е ни е.

1

1

1

3 −2

7 = (7 − 3)(7 + 2)( −2 − 3) = −4 ⋅ 9 ⋅ 5 = −180 .

9

49

4

О тве т: – 180. 3) Р азлож ениеп о стр оке . Теор ем а 1. О пр е де ли те ль р а ве н су мме пр о и зве де ни й элеме нто в не ко то р о й стр о ки это го о пр е де ли те ля на и х а лге б р а и че ски е до по лне ни я: n

det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ aij Aij . j =1

2 № 236 (П ). Ра зло ж и тьпо 3-е й стр о ке о пр е де ли те ль

Ре ш е ни е.

−3 4 1

4 −2 3 2 a

b

c d

3

−1 4

3

.

- 23 -

2

−3 4 1

4 −2 3 2 a

b

c d

3

−1 4

−3 4 1

= a (−1)3 +1 − 2 3 2 + b(−1)3 + 2 4 3 2 + −1 4 3

3 2 −3 1

+ c(−1)

2 4 1

3+ 3

2 −3 4

4 − 2 2 + d (−1) 3

3 4 3

3+ 4

−1 3

4 − 2 3 = ... 3

−1 4

Следстви е . Су мма пр о и зве де ни й элеме нто в не ко то р о й стр о ки о пр е де ли те ля на а лге б р а и че ски е до по лне ни я к со о тве тству ю щ и м элеме нта м др у го й стр о ки о пр е де ли те ля р а вна ну лю . 4) Т еор ем а Л ап ласа. Пу сть в о пр е де ли те ле выб р а ны k стр о к, то гда о пр е де ли те ль р а ве н су мме пр о и зве де ни й все х ми но р о в k -го по р ядка , пр и на длеж а щ и х выб р а нным стр о ка м, на и х а лге б р а и че ски е до по лне ни я. № 434 (П ). По льзу ясьте о р е мо й Л а пласа , вычи сли тьо пр е де ли те ль

1 2 3 4 5 6 7 1 3 2 4 0 3 0 2 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1. 0 0 2 3 0 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 3 5 0 Ре ш е ни е. В ыб е р е м тр и стр о ки : 4, 5 и 6. Ч и сло ми но р о в тр е тье го со ста вленных и з выб р а нных стр о к, р а вно ну ля: M 456 и M 456 . И та к, и ме е м 367

467

C73 ,

по р ядка ,

но то лько два и з ни х о тли чны о т

- 24 -

1 2 3 4 5 6 7 1 3 2 4 0 3 0 0 0 1

2 0 1 0 0 1 1

1 2 4 5

1 3 4 0 + 0 0 0 0 0 0 1 = (−1) 4 + 5 + 6 + 3 + 6 + 7 2 4 0 ⋅ 2 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 0 4 0 1 2 4 3 0 0 0 0 0 1 0

1 2 3 4 3 5 0 0 0 1 + (−1) 4 + 5+ 6 + 4 + 6 + 7 3 4 0 ⋅ 0 1 0

1 2 3 5 1 3 2 0 2 0 1 0

= ...

1 2 3 3

№ 293* (Ф - С ). В ычи сли ть о пр е де ли те ль по р ядка 2 n :

a

0

0 ... 0

0

b

0

a

0 ... 0

b

0

0

0

a ... b

0

0

... ... ... ... ... ... ... . 0

0

b

... a

0

0

0

b

0 ... 0

a

0

b

0

0 ... 0

0

a

Ре ш е ни е. В ыб е р е м пе р ву ю и по следню ю стр о ки о пр е де ли те ля и пр и ме ни м к не му те о р е му Л а пласа : 2n

2n − 2

- 25 -

a

0

0 ... 0

0

b

0

a

0 ... 0

b

0

0

0

a ... b

0

0

a b

1+ 2 n +1+ 2 n

... ... ... ... ... ... ... = (−1) 0

0

b

... a

0

0

0

b

0 ... 0

a

0

b

0

0 ... 0

0

a

b a

a

0 ... 0

b

0

a ... b

0

⋅ ... ... ... ... ... = 0

b

... a

0

b

0 ... 0

a

2n − 4

a ... b a b a b = ⋅ ⋅ ... ... ... = (a 2 − b 2 ) n . b a b a b ... a О тве т: ( a − b ) . 2

2 n

При м ер2.6.2. Д о ка за тьр а ве нство :

a11 ... a1n

b11 ... b1n

...

...

...

...

an1 ... ann

...

...

bn1 ... bnn

0

...

0

c11 ... c1n

...

...

...

...

0

...

0

cn1 ... cnn

...

...

a11 ... a1n = ...

...

c11 ... c1n

... ⋅ ...

an1 ... ann

cn1

Ре ш е ни е. Ра зло ж и м о пр е де ли те льпо пе р вым n сто лб ца м:

...

... . ... cnn

- 26 -

a11 ... a1n

b11 ... b1n

...

...

...

...

an1 ... ann

...

...

bn1 ... bnn

0

...

0

c11 ... c1n

...

...

...

...

0

...

0

cn1 ... cnn

...

a11 ... a1n c11 ... c1n

= (−1)2 (1+ 2 + ...+ n ) ...

...

... ⋅ ...

... =

...

an1 ... ann cn1 ... cnn

...

a11 ... a1n c11 ... c1n = ...

...

... ⋅ ...

an1 ... ann cn1

При м ер2.6.3.

В ычи сли тьо пр е де ли те ль

a11 ... a1n

b11 ... b1n

...

...

...

...

an1 ... ann

...

bn1 ... bnn

... с1n

0

...

0

...

...

...

...

...

...

с n1 ... сnn

0

...

0

× ...

...

... . ... cnn a11 ... a1n

b11 ... b1n

...

...

...

an1 ... ann

...

...

bn1 ... bnn

с11

... с1n

0

...

0

...

...

...

...

...

...

с n1 ... сnn

0

...

0

.

b11 ... b1n

= (−1)( n +1) + ( n + 2 ) +... + 2 n +1+ 2 + ...+ n ...

...

... ×

bn1 ... bnn

b11 ... b1n c11 ... c1n

... = (−1)1+ 2 + ... + n + ( n +1) + ( n + 2 ) + ...+ 2 n ...

сn1 ... сnn

...

...

с11

с11 ... с1n

...

...

... ⋅ ...

...

... =

bn1 ... bnn cn1 ... cnn

- 27 -

b11 ... b1n c11 ... c1n

= (−1) (1+ 2 n ) n ...

... ⋅ ...

...

...

... .

bn1 ... bnn cn1 ... cnn b11 ... b1n c11 ... c1n

О тве т:

(−1) (1+ 2 n ) n ...

... ⋅ ...

...

bn1 ... bnn cn1

...

... . ... cnn

О чевидно, что лю б у ю квадр атну ю м атр ицу с п ом ощь ю элем ентар ных п р еоб р азований м ож но п р ивести к тр еуголь ном у виду . Л егко п оказать , исходя из свойств2) – 6) оп р еделите ля , что оп р е делитель п р и этом не изм енится . Т аким об р азом , задача вычисления оп р еделите ля квадр атной м атр ицы сводится к вычислению оп р еделителя не котор ой тр еуголь ной м атр ицы. Э тот сп особ вычисления п о су ти дела я вля ется основным п р и вычислении оп р еделителей с числовым и элем ентам и. У пр а ж не ни я. Вычислить оп р еделители

1 2 3 4 2 1 3 3

;

3 2 1 2

0

0

−1 −1

1

1

1

1

1

1

1

−1 −1

4 3 2 1 1 2 1 2 ;

−1 −1

1

;

1 0 1 1

;

2 2 1 1

1 1 0 1

3 2 1 3 3

4

5

1

2

3

4

3

5

8

10

6 12 18 19

;

4

2

3

4

5

3

5

8

10

;

1 1 1 0

;

1 1 1 1 1 2 2 2

−1 −1

1

0

0

−1 −1

1

1

1

1

1

1

0

−1 −1

3

1 1 0 0

1 1 1 0

2

2

6 10 15 20

1 1 1 1

1 3 2 4

1

0 0 0 −1 ;

1 0 0 −1 0 1 0 −1 0 0 1 −1

;

;

- 28 -

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

;

1

2

3

4

2

3

4

5

3

5

8

9

−1 −1 −1 −1

6 10 15 19

1 0 0 2

1 1 1

1

4 6 6

3

0 1 2 0 0 2 1 0

;

6 8 9 10

2 0 0 1

4 4 4

;

1 1 1

1

4 6 6

7

6 8 9 10 4 4 4

;

5

1 2 3 4 4 1 2 3

;

3 4 1 2

5

.

2 3 4 1

Д р у гиесп особ ы вычисления оп р еделителей основаны на вычислении оп р еделителя м атр ицы р азлож е нием п о стр оке и на п р им енении теор ем ы Л ап ласа. М ы оп иш ем сп особ ы вычисления оп р еделителя м атр ицы для некотор ых сп ециаль ных классовм атр иц. 2.7. В ычи слени е о пр е де ли те лей ма тр и ц спе ци а льно го ви да 2.7.1. Пр е дста влени е о пр е де ли те ля в ви де су ммы дву х о пр е де ли те лей Э тотсп особ основан на свойстве4) оп р еделителя . П оэтом у м ы ср азу р ассм отр им несколь ко п р им е р ов, а затем п р иве дем р я дзадач для сам остоя тель ного р еш ения . П ри м ер 2.7.1.1. Вычислить оп р еделитель

D=

x + a1

a2

...

an

a1

x + a2

...

an

...

...

...

...

a1

a2

... x + an

.

(2.7.1.1) Р еш ен и е . П р едставим

пе р ву ю стр оку оп р еделителя в виде су м м ы (x, 0, 0, ... , 0) и (a1 , a2 , a3 , ..., an ) . Тогда

стр ок

- 29 -

D=

x

0

a1

0

...

0

x + a2

a3 ...

an

...

...

... ...

...

a1

a2

a3 ... x + an

a1

a2

a3

...

an

a1

x + a2

a3

...

an

x + a3 ...

an

+ a1

a2

...

...

...

...

a1

a2

a3

... x + an

.

...

П осту п ая аналогичным об р азом со втор ой стр окой, м ы п олу чаем п р едставление(2.7.1.1) ввидесу м м ы четыр ех оп р еделителей.

x

0

0

...

0

x

0

0

...

0

0

x

0

...

0

a1

a2

a3

...

an

x + a3 ...

an

+ a1

a2

x + a3 ...

an

...

...

...

...

...

D = a1 a2 ...

...

...

...

...

a1 a2

a3

... x + an

a1

a2

a3

... x + an

a1 a2

a3

...

an

a1 a2

a3

...

an

0

0

...

0

a1 a2

a3

...

an

x + a3 ...

an

+ a1 a2

x + a3 ...

an

x

+ a1 a2 ...

...

...

...

...

a1 a2

a3

... x + an

...

+

...

...

...

a1 a2

a3

... x + an

.

...

Н о п оследний оп р еделитель р авен ну лю всилу сле дствия свойства 3). Зате м п р им еним оп исанну ю выш еп р оцеду р у к тр еть ей, четвер той и др . стр окам оп р еделителя (2.7.1.1). В конечном итоге м ы п р едставим оп р еделитель (2.7.1.1) ввидеследу ю щей су м м ы оп р е делителей:

x

0

0 ... 0

0

x

0 ... 0

D= 0

0

x

0

0

...

0

...

0

0

x

0

...

0

...

0

... ...

...

...

...

n ... ... x ... 0 + ∑ j =1 a1 a2 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... x 0 0

(2.7.1.2) О чевидно, что п ер вый оп р е делитель

a3 ... a j

... an

... ...

...

...

...

0

0

...

x

в

...

(2.7.1.2)

р авен

xn , а

- 30 оп р еделители п од знаком су м м ы р авны

a j x n −1 .

Т аким об р азом ,

n

D = x n + x n −1 ∑ a j . j =1

П ри м ер 2.7.1.2. Вычислить оп р еделитель

x1

a2

a3 ... an

a1

x2

a3 ... an

D = a1 a2 ...

...

a1 a2

x3 ... an . ... ...

(2.7.1.3)

...

a3 ... xn Р еш ен и е.

П р едставим п ер ву ю стр оку в (5.3) сле ду ю щим об р азом

( x1 a2 a3 ... an ) = ( x1 − a1 0 0 ... 0) + (a1 a2 a3 ... an ) ,

D=

x1 − a1

0

0

a1

x2

a3 ... an

a1

a2

x3 ... an + a1 a2

x3 ... an .

...

...

... ...

... ...

a1

a2

a3 ... xn

...

0

...

a1 a2

a3 ... an

a1

a3 ... an

...

(2.7.1.4) Во втор ом оп р е делителе вычтем тр еть ей,… , n -ой стр ок и п олу чим

x2 ...

тогда

...

a1 a2

a3 ... xn

п ер ву ю

стр оку

из

a1

a2

a3 ... an

a1

a2

a3

...

an

a1

x2

a3 ... an

0

x2 − a2

0

...

0

a1

a2

x3 ... an = 0

0

x3 − a3 ...

0

...

...

... ...

...

...

...

...

...

a1

a2

a3 ... xn

0

0

0

... xn − an

втор ой,

=

...

= a1 ( x2 − a2 )( x3 − a3 )...( xn − an ) . В п ер вом оп р еделителе в (5.4) п р едставим втор у ю стр оку в виде су м м ы (a1 x2 a3 ... an ) = (0 x2 − a2 0 0 ... 0) + (a1 a2 a3 ... an ) . П ер вый оп р еделитель тогда зап иш ется в видесу м м ы

- 31 -

x1 − a1

0

0

...

0

x1 − a1

0

0

0

x2 − a2

0

...

0

a1

a2

a3 ... an

a1

a2

x3 ... an +

a1

a2

x3 ... an .

...

...

... ...

...

...

...

... ...

a1

a2

a3 ... xn

a1

a2

a3 ... xn

Втор ой

...

0

...

оп р еделитель

в п оследней су м м е б у дет р авен a2 ( x − a1 )( x − a2 )...( x − an ) и т. д. В конечном итогем ы п олу чим

D = ( x1 − a1 )( x2 − a2 )...( xn − an ) +

∑ a j ( x1 − a1 )( x2 − a2 )...( xn − an ) (x j − a j )

=

 aj  . = ( x1 − a1 )( x2 − a2 )...( xn − an )1 + ∑  x j − a j   П ри м ер 2.7.1.3. Вычислить оп р еделитель

1 + x1 y1 D=

1 + x1 y2

... 1 + x1 yn

1 + x2 y1 1 + x2 y2

... 1 + x2 yn

...

...

...

1 + xn y1 1 + xn y2

...

.

... 1 + xn yn

(2.7.1.5) Р еш ен и е. П р едставим п ер ву ю

стр оку оп р еделителя в виде су м м ы дву х стр ок x1 y2 ... x1 yn ) . Тогда

(1 1 ... 1) + ( x1 y1 1 1 D=

...

1

1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn ...

...

...

...

1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn

y1 + x1

y2

1 + x2 y1 1 + x2 y2 ...

...

1 + xn y1 1 + xn y2

...

yn

... 1 + x2 yn ...

...

... 1 + xn yn

П осту п ая аналогичным об р азом со втор ой стр окой дву х п оследних оп р еделителе й, п о сле дствию свойства 3) п олу чим

- 32 -

D = x2

1 y1

1 y2

... ...

1 yn

...

...

...

...

1 + xn y1 1 + xn y2

+ x1

... 1 + xn yn

y1 1

y2 1

... ...

yn 1

...

...

...

...

1 + xn y1 1 + xn y2

... 1 + xn yn

Р азлагая тр еть ю стр оку в п олу че нных оп р еделителя х и у читывая следствия свойств 2) -- 3), п олу чим , что D = 0 . И склю чение составля ю т слу чаи n = 1 и n = 2 . Д ля n = 1 D = 1 + x1 y1 , для n = 2

D = ( x2 − x1 )( y2 − y1 ) .

У пр а ж не ни я. Вычислить оп р еделители с п ом ощь ю м етода р азлож е ния на су м м у оп р еделителе й

1)

a1 + 2b1

a1 + 2b2

... a1 + 2bn

a2 + 2b1

a2 + 2b2

... a2 + 2bn

...

...

...

an + 2b1 an + 2b2

;

... an + 2bn

x

a2

a3 ... an

a1

x

a3 ... an

2) a1

a2

x

...

...

... ...

...

a1 a2

a3 ...

x

3)

...

... an ;

x1 x1 − 1 x1

x2 ... x2 − 1 x2 ...

xn xn − 1 xn

x12

x22

...

xn2

...

...

...

...

x1n −1

x2n −1

...

xnn −1

;

- 33 -

b1

α1 β 2

α 2 β1

b2

4) α 3 β1

α 2 β 3 ... α 2 β n b3

... α 3 β n ;

...

...

...

...

α n β1 α n β 2 α n β 3 ...

bn

a1 + x1

a1 + x2

... a1 + xn

a2 + x1

a2 + x2

... a2 + xn

...

...

...

an + x1 an + x2

6)

8)

... an + xn

a1 − b2

... a1 − bn

a2 − b1

a2 − b3

... a2 − bn

...

...

a1 − b1 + x a2 − b1

;

...

a1 − b1

...

an − b1 an − b2

7)

... α1 β n

α3β2

...

5)

α1 β 3

...

;

... an − bn

a1 − b2

...

a1 − bn

a2 − b2 + x ...

a2 + bn

...

...

...

an − bn

an − b2

1 + a1 + b1

a1 + b2

...

a1 + bn

a2 + b1

1 + a2 + b2

...

a2 + bn

...

...

...

...

an + b1

an + b2

;

...

... an − bn + x

.

... 1 + an + bn

2.7.2. М е то д и зме не ни я элеме нто в о пр е де ли те ля Э тот м етод, как и п р едыду щий, основан на свойстве оп р еделителя . П у сть оп р еделитель им еетследу ю щий вид

4)

- 34 -

a11 + x D=

a12 + x ... a1n + x

a21 + x a22 + x ... a2 n + x ...

...

...

.

...

an1 + x an 2 + x ... ann + x (2.7.2.1) П р едставим п ер ву ю стр оку в (2.7.2.1) ввидесу м м ы

(a11 + x

a12 + x ... a1n + x ) = (a11 a12 ... a1n ) + x (1 1 ... 1) .

Т огда

a11 D=

a12

a1n

...

1

a21 + x a22 + x ... a2 n + x ...

...

...

...

+x

an1 + x an 2 + x ... ann + x

D=

a12

...

a1n

a21

a 22

...

a2 n

...

...

...

...

1

a21 + x a22 + x ... a2 n + x ..

...

...

...

.

со втор ой стр окой 1-го и 2-го

a11

a12

...

a1n

1

1

...

1

...

...

...

...

+x

an1 + x an 2 + x ... ann + x

+x

...

an1 + x an 2 + x ... ann + x

П осту п ая аналогичным об р азом оп р еделителя , п олу чим , что

a11

1

+

an1 + x an 2 + x ... ann + x

a11

a12

...

a1n

1

1

...

1

...

...

...

...

an1 + x an 2 + x ... ann + x и т.д. В коне чном итогем ы п олу чили п р едставление D виде

вследу ю щем

- 35 -

D=

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2 n

...

...

...

an1

an 2

...

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2 n

n

...

...

...

...

j =1

1

1

...

1

...

...

...

...

an1

an 2

+ x∑

... ann

,

... ann

где в оп р е делителе п од знаком су м м ы j -я стр ока – это стр ока (1 1 ... 1). Р аскладывая каж дый оп р еделитель п од знаком су м м ы п о j -й стр оке, п олу чим следу ю щу ю ф ор м у лу

D = D'+ x ∑ Aij , (2.7.2.2) гдечер ез D' об означен оп р е делитель

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2 n

...

...

...

an1

an 2

... ann

...

,

а чер ез Aij -- алгебр аическоедоп олнениек элем енту

aij оп р еделителя

D. Ф ор м у лой (2.7.2.2) у доб но п оль зовать ся в том слу чае, когда п у тем изм ене ния элем ентов оп р еделителя D на одно и то ж е число он п р иводится к виду , вкотор ом легко считать алгебр аическиедоп олнения Aij , вчастности, когда значитель ная их часть р авна ну лю . П ри м ер 2.7.2.1. Вычислить оп р еделитель

0

1

1 ... 1

1

0

1 ... 1

D= 1

1

0 ... 1 .

... ... ... ... ... 1

1

1 ... 0

Р еш ен и е.

- 36 О б означим

чер ез

оп р е делитель ,

D'

вычитанием 1 из всех его элем ентов, т.е. D' =

п олу ченный из

D

−1

0

0

...

0

0

−1

0

...

0

0

0

− 1 ...

0

...

...

...

...

...

0

0

0

... − 1

.

О чевидно, что D' = (−1) . А лгебр аические доп олнения к вне диагональ ным элем ентам оп р еделителя D' р авны ну лю , а к n

диагональ ным ( −1)

n −1

. Т огда, всилу ф ор м у лы (2.7.2.2),

D = (−1) n + (−1) n −1 n = (−1) n −1 (−1 + n) = (−1) n −1 (n − 1) . П ри м ер 2.7.2.2. Вычислить оп р еделитель

1

x

x ...

x

x

1

x ...

x

D= x

x

1 ...

x .

... ... ... ... ... x

x

x ... 1

Р еш ен и е. Вычитаем из все х элем е нтов оп р еделителя величину x и об означаем чер ез D оп р е делитель

1− x 0

D=

...

0

1 − x ...

0

0

...

...

...

...

0

0

... 1 − x

.

О чевидно, что D' = (1 − x) , алгебр аические доп олнения к вне диагональ -ным элем ентам , как и вп р им ер е2.7.2.1, р авны ну лю , а к n

диагональ ным (1 − x )

n −1

.

Т аким об р азом ,

D = (1 − x) n + nx(1 − x) n −1 = (1 − x) n −1 ((n − 1) x + 1) . У пр а ж не ни я.

- 37 Вычислить оп р еделители

1)

1

2

2 ...

2

2

2

2

2 ...

2

2

2

2

3 ...

2

2

2

2

2 ...

2

2

;

... ... ... ... n − 1 ... 2 2 x +1 x

2 ... 2 x x 1 x+ x 2 1

n ...

x

...

x

...

x ...

x

x

x+

...

...

...

...

x

x

x

... x +

2)

1

n

n ... n

n

1

n ... n

3) n

n

1 ... n

4

;

1 2n

;

... ... ... ... ... n n x +1 4)

n ... 1 x x

...

x

...

x

x + 3 ...

x

x

x+2

x

x

...

...

...

...

x

x

x

... x + n

x

...

;

- 38 -

n

1

1 ... 1

1

n

1 ... 1

5) 1

1

n ... 1 ;

... ... ... ... ... 1 1 1 1 n 1 1 ... 1 − n 6)

1

1 ... − n

1

1

1 ...

1

1

...

... ...

...

...

−n

1 ...

1

1

a

b

b

... b

b

a

b

... b

7) b

b

a ... b ;

;

... ... ... ... ...

8)

b b x +1

b x

b

a x

...

x

x

x+2

x

...

x

x

x

x + 4 ...

x

...

...

...

...

x

x

x

... x + 2 n

.

...

2.7.3. М е то д выде лени я ли не йных мно ж и те лей П у сть элем енты оп р еделителя -– м ногочле ны от одной или несколь ких п ер ем енных. П р и п р еоб р азования х выя сня ется , что оп р еделитель делится на р я д лине йных м нож ите лей. Н аходим частное от деления оп р еделителя и тем сам ым п олу чаем выр аж ениеоп р е делителя . П ри м ер 2.7.3.1. Вычислить оп р еделитель

- 39 -

D=

0

x

y

z

x

0

z

y

y

z

0

x

z

y

x

0

.

(2.7.3.1) Р еш ен и е. П р иб авив к п ер вой стр оке втор у ю , тр еть ю п олу чим , что

D = ( x + y + z)

1

1 1 1

x

0

z

y

y

z

0

x

z

y

x

0

Вычтем из п ер вой стр оки втор у ю П олу чим , что

D = ( y + z − x)

и четвер ту ю

стр оку ,

.

и четвер ту ю , п р иб авим тр еть ю .

1

1 1 1

x

0

z

y

y

z

0

x

z

y

x 0

.

П р иб авля я к п ер вой стр окетр еть ю и вычитая втор у ю и четвер ту ю , п олу чим

D = ( x − y + z)

1

1 1 1

x

0

z

y

y

z

0

x

z

y

x 0

.

Н аконец, п р иб авля я к п ер вой стр окече твер ту ю и вычитая втор у ю и тр еть ю , видим , что

D = ( x + y − z)

1

1 1 1

x

0

z

y

y

z

0

x

z

y

x 0

.

Т ак как x, y , z – независим ыеп ер ем енныеи м нож ители x + y + z ,

- 40 -

x− y + z,

x+ y − z,

−x+ y+z

взаим но п р остые, то оп р еделитель (2.7.3.1) де лится на их п р оизведение. Э то п р оизведениесодер ж ит член (− z 4 ) . Значит, D = −( x + y + z )(− x + y + z )( x − y + z )( x + y − z ) . При м ер2.7.3.2. В ычи сли тьо пр е де ли те ль

1

2

3

...

n

1

x +1

3

...

n

1

2

x + 1 ...

n

...

...

...

...

1

2

3

... x + 1

.

(2.7.3.2)

...

Ре ш е ни е. О пр е де ли те ль (2.7.3.2) являе тся мно го члено м о т пе р е ме нно й x . Ко р нями это го мно го члена являю тся те зна че ни я x , пр и ко то р ых о пр е де ли те ль (2.7.3.2) р а ве н ну лю . Пр и x = 1 в (2.7.3.2.) со впа да ю т1-я и 2-я стр о ки , а зна чи т, о пр е де ли те ль (2.7.3.2) де ли тся на ( x − 1) , та к ка к x = 1 – ко р е нь x = 2 в (2.7.3.2) со впа да ю т 1-я и 3-я стр о ки , а зна чи т, мно го члена . Пр и и схо дный о пр е де ли те ль де ли тся на ( x − 2) , и т.д. Та ки м о б р а зо м, (2.7.3.2) де ли тся на ( x − 1)( x − 2)...( x − n + 1) . О че ви дно , что ко эффи ци е нт пр и ста р ш е й сте пе ни мно го члена р а ве н 1. Та ки м о б р а зо м, D = ( x − 1)( x − 2)...( x − n + 1) . У п р а ж н ен и я . В ычи сли ть следу ю щ и е о пр е де ли те ли ме то до м выде лени я ли не йных мно ж и те лей :

1

1

1

...

1

a b

c

d

e

1

2−x

1

...

1

a b d

c

e

3 − x ...

1

1) 1

1

...

...

...

...

...

1

1

1

... n + 1 − x

;

2) b

a

c

e

d

b a

e

d

c

a b d

e

c

;

- 41 -

1

x1

x2

... xn

a0

a1 a2

... an

1

x

x2

... xn

a0

x

a2

... an

3) 1

x1

x

... xn ;

4) a0

a1

x

... an ;

... ... x1

1

... ...

...

...

...

...

...

...

x2

x

a0

a1 a2

...

x

a

b

c

d

b

a

d

c

c

d

a

b

d

c

b

a

...

a1

a2

a3

...

an

a1

x +α

a3

...

an

5) a1

a2

x +α

...

an

...

...

...

...

...

a1

a2

a3

... x + α

7)

−x

a

b

c

a

−x

c

b

b

c

−x

a

c

b

a

−x

;

x

a1

a2

... an

a1

x

a2

... an

9) a1

a2

x

... an ;

...

...

...

...

a1

a2

a3

... an

;

6)

1

2

3

...

n

1

x+2

3

...

n

x + 2 ...

n

8) 1

2

...

...

...

...

1

2

3

... x + 2

1 10)

...

1+ x 1 1 1 1 1− x 1 1 11) ; 1 1 1+ z 1 1 1 1 1− z

12)

1

;

;

...

2

3

1 2 − x2

2

3

2

3

1

5

2

3

1 9 − x2

2

3

1

2

2 7 − x2

1

2

5

3

8

6

5

3

8 15 − x 2

;

.

2.7.4. М етод р еку р р ентных соотнош ений С у ть м етода р еку р р е нтных соотнош ений за клю ча е тся в то м, что

- 42 да нный о пр е де ли те ль n -го по р ядка выр а ж а ю т, пр е о б р а зу я и р а злага я е го по стр о ке и ли сто лб цу , че р е з о пр е де ли те ли то го ж е ви да , но б о лее ни зко го по р ядка . По лу че нно е р а ве нство на зыва е тся р еку р р ентным и ли возвр атным соотнош ением . Э то т спо со б мо ж но ви до и зме ни ть следу ю щ и м о б р а зо м. В р е ку р р е нтно е со о тно ш е ни е , выр а ж а ю щ е е о пр е де ли те ль n -о го по р ядка че р е з о пр е де ли те ли ни зш е го по р ядка , по дста вляю т выр а ж е ни е о пр е де ли те ля ( n − 1) -го по р ядка , по лу ча ю щ е го ся за ме но й n на ( n − 1) , за те м по до б ным о б р а зо м по дста вляю т выр а ж е ни е о пр е де ли те ля ( n − 2) -го по р ядка и т.д., по ка не пр и де м к о б щ е му выр а ж е ни ю да нно го о пр е де ли те ля n -го по р ядка . При м ер2.7.4.1. В ычи сли тьо пр е де ли те ль ( n + 1) -го по р ядка

Dn +1 =

a0

−1

0

0

... 0

0

a1

x

−1

0

... 0

0

a2

0

x

− 1 ... 0

0

...

...

...

...

... ...

...

an −1

0

0

0

...

x

−1

an

0

0

0

... 0

.

(2.7.4.1)

x

Ре ш е ни е. Ра зло ж и м о пр е де ли те ль Dn +1 по по следне й стр о ке

−1 x

0

...

0

− 1 ...

0

Dn +1 = (−1) n + 2 an 0

x

...

0 +x

...

...

...

...

0

0

... − 1

и ли

a0

−1

a1

x

− 1 ... 0

...

...

...

... ...

an −1

0

0

...

0

... 0

Dn +1 = an + xDn .

x (2.7.4.2)

Те пе р ь вычи сли м о пр е де ли те ль (2.7.4.1), по льзу ясь фо р му ло й (2.7.4.2). Д ля n = 0 D1 = a0 , для n = 1 D2 = a0 x + a1 . По ло ж и м, что

Dn +1 = a0 x n + a1 x n −1 + ... + an −1 x + an . Пр е дпо ло ж и м,

что

Dk = a0 x k −1 + a1 x k − 2 + ... + ak −1 x + ak .

В си лу

- 43 (2.7.4.2) и ме е м

Dk +1 = ak + xDk = ak + x (a0 x k −1 + a1 x k − 2 + ... + ak −1 ) = = a0 x k + a1 x k −1 + ... + ak −1 x + ak

При м ер2.7.4.2. В ычи сли тьо пр е де ли те ль n -о го по р ядка

Ра зло ж и м Dn

0

1

1

...

1

1

a1

0

...

0

Dn = 1

0

a2

...

0

... ...

...

... ...

1

0

... an

0

.

Ре ш е ни е. по по следне й стр о ке , по лу чи м

0

1

1

...

1

1

1

...

1

1

1

a1

0

...

0

a1

0

...

0

0

1

0

a2

...

0 = (−1) n +1 0

a2

...

0

0+

... ...

...

... ...

...

...

...

...

...

1

0

... an

0

0

... an −1

0

0

1

1

...

1

1

a1

0

...

0

+ an 1

0

a1 ...

0 .

... ...

... ...

...

1

0

0

(2.7.4.3)

0

... an −1

Р азлож им п е р вый оп р еделитель в(2.7.4.3) п о п оследнем у столб цу , п олу чим

(−1) n a1a2 ...an −1 . Dn = an Dn −1 − a1a2 ...an −1 .

Следо ва те льно , а на ло ги чно е со о тно ш е ни е по это му

Д ля

Dn −1 = an −1Dn − 2 − a1a2 ...an − 2 ,

Dn −1

ве р но

- 44 -

Dn = an an −1 Dn − 2 − a1a2 ...an −1 − a1a2 ...an − 2 an . Пр о до лж а я р а скр ыва тьо пр е де ли те ли Dn − 2 , Dn − 3 и т.д., в и то ге по лу чи м 1 1 1 Dn = −a1a2 ...an  + + ... +  . an   a1 a2 При м ер2.7.4.3. В ычи сли тьо пр е де ли те ль

Dn +1 =

1

0

0

0

... 0

1

1

a1

0

0

... 0

0

1

1

a2

0

... 0

0

1

0

1

a2 ... 0

0

... ...

...

... ... ... ...

1

0

0

0

... 1

.

an

Ре ш е ни е. Ра зло ж и м о пр е де ли те ль Dn +1 по по следне му сто лб цу , по лу чи м

1

a1

0

...

0

1

1

...

0

Dn +1 = a1a2 ... an + (−1) n + 2 1

a2

0

1

...

0 ,

... ...

...

... ...

1

0

...

а о пр е де ли те ль

1

a1

0

... 0

1

1

a2

... 0

1

0

1

... 0

... ...

...

... ...

1

0

... 1

0

0

1

вычи сли м а на ло ги чно о пр е де ли -

те лю и з пр и ме р а 2.7.4.1. В и то ге по лу чи м, что

Dn +1 = a1a2 ...an − a1a2 ...an −1 + ... + (−1) n −1 an + (−1) n .

- 45 У п р а ж н ен и я . В ычи сли тьо пр е де ли те ли

1)

3)

x

a1

a2

... an −1

1

1

2

3 ... n − 1 n

a1

x

a2

... an −1

1

−1

x

0 ...

0

0

a1 a2

x

... an −1

1

0

− 1 x ...

0

0

...

...

...

...

...

...

...

...

... ...

...

...

a1 a2

a3

...

x

1

0

0

0 ...

x

0

a1 a2

a3

...

an

1

0

0

0 ...

−1

x

;

2)

0

x

x

...

x

a

x

x ...

x

y

0

x

...

x

y

a

x ...

x

y

y

0 ...

4) y

y

a ...

x ;

x ;

... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

y

y

y

x

a1

a2

... an

a1

x

a2

... an

5) a1

a2

x

... an ;

...

...

...

...

...

a1 a2

a3

...

x

7)

;

y ...

0

0

1

1 ... 1

1

1

0

x ...

x

x

1

x

0 ...

x

x

... ... ... ... ... ... 1

x

x ... 0

x

1

x

x ...

0

x

6)

;

y

y ... a

− a1

a1

0

...

0

0

0

− a2

a2

...

0

0

0

0

− a3

...

0

0

...

...

...

...

...

...

0

0

0

... − a n

an

1

1

1

...

1

8)

1

a1

x

x

...

x

y

a2

x

...

x

y

y

a3 ...

x

...

...

... ...

...

y

y

y

... an

;

;

- 46 -

0

a2

a3 ... an

b1

0

a3 ... an

9) b1

b2

0

...

...

... ...

...

b1

b2

b2

...

0

11)

10)

1

1

1

...

1

1

a1

x

x

...

x

1

y

a2

x

...

x

1

y

y

a3 ...

x

... ...

...

... ...

...

y

y

y

1

;

... an

1

2

3 ...

n

x

a

a

...

a

a

x

1

2 ...

n −1

−a

x

a

...

a

a

x

x

1 ... n − 2 ;

12) − a

−a

x

...

a

a ;

...

...

...

... ... ... ...

...

...

...

...

x ...

1

− a − a − a ... − a

x

x

13)

... an ;

0

x n

−1

0

0

... 0

0

n −1

x

−1

0

... 0

0

n−2

0

x

− 1 ... 0

0

...

...

...

...

... ...

...

2

0

0

0

...

−1

1

0

0

0

... 0

x

.

x

2.7.5. Вычислениеоп р еделителей тр ехдиагональ ных м атр иц М атр ицей Якоб и (и ли тр е хди а го на льно й ма тр и це й) на зыва е тся ква др а тна я ма тр и ца A = ( aij ) (i, j = 1,..., n) с де йстви те льными элеме нта ми

aij , р а вными ну лю пр и | i − j |> 1 . О б о зна чи м че р е з ai ди а го на льные элеме нты aii (i = 1,..., n) , bi = ai ,i +1 и ci = ai +1,i (i = 1,..., n) , то гда ма тр и ца Я ко б и и ме е тви д

- 47 -

 a1 b1 c a 2  1 A =  0 c2  ... ... 0 0

... 0 0 ... 0 0  ... 0 0 . ... ... ...  ... cn −1 an 

0 b2 a3 ... 0

И нте р е с к ма тр и ца м та ко го р о да вызва н те м, что о ни по являю тся пр и р е ш е ни и р а зли чных ма тр и чных за да ч, на пр и ме р , пр и р е ш е ни и ди ффе р е нци а льных у р а вне ни й р а зно стными ме то да ми . М ы р а ссмо тр и м слу ча й, ко гда ai = a , bi = b , ci = c , и по ка ж е м спо со б вычи слени я о пр е де ли те лей та ки х ма тр и ц. В ычи слени е о пр е де ли те лей ма тр и ц Я ко б и о сно ва н на ме то де р е ку р р е нтных со о тно ш е ни й. И та к, пу сть да н о пр е де ли те ль

A=

a

b

0 ... 0

c

a

b

0

c

a ... 0

... 0 .

... ... ... ... ... 0

0

0 ... b

0

0

0 ... a

О б о зна чи м это т о пр е де ли те ль че р е з An ( n --- р а зме р ма тр и цы A ). Ра скр ыва я это т о пр е де ли те ль по по следне й стр о ке и по следне му сто лб цу , по лу чи м An = aAn −1 − bcAn − 2 . (2.7.5.1) Главна я за да ча за клю ча е тся в то м, что б ы на йти явно е выр а ж е ни е для An . У р а вне ни е (2.7.5.1) являе тся о дно р о дным р а зно стным у р а вне ни е м, по это му р е ш е ни е у р а вне ни я (2.7.5.1)

An = λn

в

(2.7.5.1),

An = λn . По дста вляя

б у де м и ска ть в ви де по лу чи м

λn = aλn −1 − bcλn − 2

λ2 − aλ + bc = 0 .

В о змо ж ны тр и слу ча я. 1) Ре ш е ни я у р а вне ни я (2.7.5.2) λ1 и

и ли (2.7.5.2)

λ2 р а зли чны и ве щ е стве нны. В это м

слу ча е о б щ е е р е ш е ни е (2.7.5.1) и ме е тви д An = C1λ1 + C2 λ2 , где C1 и C2 n

n

- 48 являю тся р е ш е ни е м си сте мы

 С 1λ1 + С 2 λ2 = a .  2 2 2 C + C = a − bc λ 2 λ  1 1 2 2 An = C1λn + nC2 λn , а C1 и C2  С 1λ + С 2 λ = a .  2 2 2 C + C = a − bc λ 2 λ  1 2

2) λ1 = λ2 = λ и λ ве щ е стве нно . То гда являю тся р е ш е ни е м си сте мы у р а вне ни й 3)

λ1 и λ2 – λ1 = α + iβ , λ2 = α − iβ

ко мплексно

со пр яж е нные

чи сла,

т.е .

( | λ1 |=| λ2 |= ρ , λ1 = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )).

An = C1 ρ n cos nϕ + C2 ρ n sin nϕ , а ко нста нты С 1 и С C1 ρ cos ϕ + C2 ρ sin ϕ = a . и з си сте мы у р а вне ни й  2 2 2 C1 ρ cos 2ϕ + C2 ρ sin 2ϕ = a − bc То гда

2

на хо дятся

О пр е де лени е 15. По следо ва те льно стьчи се л Φ1 , Φ 2 , Φ 3 ,..., Φ n −1 , Φ n , Φ n +1 ,... , за да ва е ма я р е ку р р е нтным со о тно ш е ни е м Φ n +1 = Φ n + Φ n −1 , Φ1 = 1 , Φ 2 = 2 , на зыва е тся п оследователь ность ю чисел Ф иб оначчи. В 19-м ве ке фр а нцу зски й ма те ма ти к Ж . Би не по лу чи лявну ю фо р му лу для чи се лФ и б о на ччи

1 1+ 5    Φ= 5  2 

n +1

1 1− 5    − 5  2 

n −1

.

При м ер2.7.5.1 (чи сла Ф и б о на ччи ). В ычи сли тьо пр е де ли те ль

1

1

0

0 ...

0

0

−1

1

1

0 ...

0

0

−1 1

1 ...

0

0 .

...

...

Φn = 0 ...

...

... ... ...

0

0

0

0 ... − 1 1

Ре ш е ни е. Ра складыва я о пр е де ли те ль Φ n по по следне й стр о ке , по лу чи м

n

- 49 -

1

1

0

0 ...

0

0

0

−1

1

1

0 ...

0

0

0

0

−1 1

1 ...

0

0

0

...

...

... ... ...

...

...

...

0

0

0

0 ... − 1

1

1

0

0

0

0 ...

−1 1

0

1

0 ...

0

0

n −1 0

−1 1

1 ...

0

0

0

... ... ...

...

...

... + 0

−1 1

1 = ...

=

1

1

0

0 ...

0

n −1 0

−1

1

1

0 ...

0

0

1 ...

0

0 .

...

...

0

0

0 ... − 1

1

0

...

...

... ... ...

0

0

0 ...

−1 1

0

0

0

0

0 ... − 1 1

Ра злага я пе р вый о пр е де ли те льсу ммы по по следне му сто лб цу , по лу чи м Φ n = Φ n −1 + Φ n − 2 . (2.7.5.3) Х а р а кте р и сти че ско е у р а вне ни е (2.7.5.2) и ме е т ви д ко р ни ко то р о го λ 1, 2 =

1 5 ± . Та ки м о б р а зо м, 2 2 n

n

1+ 5  1 − 5   + C2   . Φ n = C1  2 2     Ко нста нты C1 и C2 на йде м и з си сте мы у р а вне ни й

 1 + 5  1 − 5    C + C  1 2   2  = 1 2       C  6 + 2 5  + C  6 − 2 5  = 2 2   1 4    4    и ли о тку да

С 1 (1 + 5) + С 2 (1 − 5) = 2 ,  С 1 (3 + 5) + С 2 (3 − 5) = 4

λ2 − λ − 1 = 0 ,

- 50 -

С 1=

1+ 5 , 2 5

С

2

=

−1+ 5 2 5

и

1 1 + 5    Φn = 5 2 

n +1

1 1− 5    − 5 2 

n +1

.

М ы по лу чи ли ф ор м у лу Бинедля чисел Ф иб оначчи . При м ер2.7.5.2. В ычи сли тьо пр е де ли те ль

1

1

0

0 ... 0

0

1

1

1

0 ... 0

0

Dn = 0

1

1

1 ... 0

0 .

... ... ... ... ... ... ... 0 Д ля Dn

0

0

0 ... 1

1

Ре ш е ни е. о че ви дным о б р а зо м выпо лняе тся р е ку р р е нтно е со о тно ш е ни е

Dn = Dn −1 − Dn − 2 .

Х а р а кте р и сти че ско е у р а вне ни е для (2.7.5.4) и ме е тви д ко то р о го

1 3 π π ± i = cos + i sin . 2 2 3 3 πn πn Dn = C1 cos + C2 sin , 3 3

λ1,2 =

(2.7.5.4)

λ2 − λ + 1 = 0 , ко р ни То гда

С 1 + 3С 2 = 2 , а ко нста нты С 1 и С 2 являю тся р е ш е ни е м си сте мы  − С 2 + 3С 2 = 0 1 πn 1 πn C1 = 1, C2 = о тку да . , а зна чи т, Dn = cos + sin 3 3 3 3 При м ер2.7.5.3. В ычи сли тьо пр е де ли те ль

- 51 -

α+β

αβ

0

0

...

0

1

α+β

αβ

0

...

0

0

1

α + β αβ

...

0

...

...

...

...

...

...

0

0

0

0

... α + β

Dn =

Д ля Д ля

Dn

n =1

Ре ш е ни е. и ме е т ме сто р е ку р р е нтно е

.

со о тно ш е ни е

Dn = (α + β ) Dn −1 − αβDn − 2

D1 = α + β ,

для

n=2

D2 = α 2 + αβ + β 2 .

(2.7.5.5) То гда

D3 = (α + β )(α 2 + αβ + β 2 ) − αβ (α + β ) = (α + β )(α 2 + β 2 ) = 0 = α 3 + α 2 β + αβ 2 + β 3 . Д о ка ж е м ме то до м ма те ма ти че ско й и нду кци и , что

Dn = α n + α n −1 β + α n −2 β 2 + ... + αβ n −1 + β n . Пу стьдля не ко то р о го k до ка за но , что Dk = α k + α k −1 β + α k −2 β 2 + ... + αβ k −1 + β k . То гда

Dk +1 = (α + β )(α k + α k −1β + α k − 2 β 2 + ... + αβ k −1 + β k ) − − αβ (α k −1 + α k − 2 β + α k − 3 β 2 + ... + αβ k − 2 + β k −1 ) У п р а ж н ен и я . В ычи сли тьо пр е де ли те ли тр е хди а го на льных ма тр и ц

- 52 -

5

6

0

0

0 ... 0

0

4

5

2

0

0 ... 0

0

a

1

0

0 ...

0

0

0

1

3

2

0 ... 0

0

−1

a

1

0 ...

0

0

1) 0

0

1

3

2 ... 0

0 ; 2)

0

−1 a

1 ...

0

0 ;

... ... ... ... ... ... ... ...

...

...

... ... ...

...

...

0

0

0

0

0 ... 3

2

0

0

0

0

0

0

0

0 ... 1

3

2

1

0 ... 0

1

2

1 ... 0

3) 0

1

2 ... 0 ;

0 ... − 1 a

1+ a

−1

0

...

0

0

−a

1+ a

−1

...

0

0

0

−a

1 + a ...

0

0

...

...

...

...

...

...

0

0

0

... 1 + a

−1

0

0

0

...

−a

1+ a

4)

... ... ... ... ...

;

0

0

0 ... 2

1

2

0

0

0 ... 0

0

3

4

3

0

0 ... 0

0

3

2

0 ... 0

0

2

5

3

0 ... 0

0

1

3

2 ... 0

5) 0

0

2

5

3 ... 0

0 ;

6) 0

1

3 ... 0 ;

... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ...

0

0

0

0

0 ... 5

3

0

0

0

0

0

0

0 ... 2

5

9

5

0

0 ... 0

0

0

1

0

0 ... 0

0

4

9

5

0 ... 0

0

1

0

1

0 ... 0

0

7) 0

4

9

5 ... 0

0 ;

8) 0

1

0

1 ... 0

0 ;

0 ... 3

... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ...

0

0

0

0

0 ... 4

9

0

0

0 ... 1

0

- 53 -

9)

7

5

0 ... 0

2 x

2

7

5 ... 0

1

0

2

7 ... 0 ;

10)

... ... ... ... ... 0

11)

13)

0

0 ... 7

1 x2 2 x

0

0

1

...

...

1 x2 2 x ...

0

0

0

0

... 0

0

0

... 0

0

... 0

0

1 x2 ... 0

;

... ... ... 2 ... 1 x

0

1

0 ...

0

0

a

1

0

0 ... 0

0

−1

0

1 ...

0

0

1

a

1

0 ... 0

0

0

− 1 0 ...

0

0 ;

12) 0

1

a

1 ... 0

0 ;

...

...

... ...

...

...

0

0

0 ... − 1 0

... ... ... ... ... ... ... 0

α+β

αβ

0

0

...

0

1

α+β

αβ

0

...

0

0

1

α + β αβ

...

0

...

...

...

...

...

...

0

0

0

0

... α + β

0

0

0 ... 1

.

§ 3. П Р А ВИ Л О К Р А М Е Р А

Ра ссмо тр и м си сте му у р а вне ни й

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 2n n 2 .  .......... .......... .......... .......... .......  an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn = bn

a

- 54 -

Те ор ем а 1.

D=

Если о пр е де ли те ль си сте мы

a11

a12

... a1n

a21

a22

... a2 n

...

...

...

an1

an2

...

... ann

о тли че н о т ну ля, то мы по лу чи м р е ш е ни е си сте мы, б е р я в ка че стве зна че ни й для не и зве стных xi (i = 1,2,..., n) др о б и , о б щ и м зна ме на те лем ко то р ых слу ж и т о пр е де ли те ль D , а чи сли те лем для не и зве стно го xi являе тся о пр е де ли те ль Di , по лу ча ю щ и йся за ме но й в о пр е де ли те ле D i -го сто лб ца сто лб цо м сво б о дных

D D D1 , x2 = 2 ,… , xn = n . D D D

члено в: x1 =

№ 554 (П ).

 2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4  4 x + 3x − x + 2 x = 6  1 2 3 4  8 x1 + 5 x2 − 3 x3 + 4 x4 = 12  3 x1 + 3 x2 − 2 x3 + 2 x4 = 6

Ре ш и ть си сте му у р а вне ни й

пр а ви лу Кр а ме р а .

по

Ре ш е ни е.

− 3− 4 − 2 2 2

−1 1

4 3

−1 2

D=

8 5 −3 4

2 = −2 ⋅

D1 =

=

2

−1 1

0 −1

1

0

0

0

1

0

0 4

0 −1 1 2 −1 1

6

3

−1 2

12 5 − 3 4 6

3 −2 2

−1 1

−1

1

0

0 −3

1

0

0

−1 1

−3 0

3 3 −2 2

2

2

2

2

= − 2⋅

= 4;

0 2

2 =

2

0 −1

−1 1 1

0

0

−2 0

0

0

−1 1

−1 1

0 −1 1 0 0 1 0 0 0

D2 =

0 = −2 ⋅ 2 ⋅ (−1) ⋅1⋅1 = 4 ; 0 1 2 4 −1 1

4

6

−1 2

8 12 − 3 4 3

6

0

−2 2

= 4;

=

- 55 -

D3 =

Та к ка к

2 2

4

1

4 3

6

2

8 5 12 4

3 3 D xi = i D

6

= −4 ;

D4 =

−1

4

4 3

−1

6

8 5 − 3 12 3 3 −2

2

(i = 1,2,3,4) , то О тве т:

2 2

x1 = x2 = 1 ,

= −4 .

6

x3 = x4 = −1.

x1 = x2 = 1 , x3 = x4 = −1.

§ 4. Р А Н Г М А ТР И ЦЫ . К Р И ТЕ Р И Й С О ВМ Е С ТН О С Т И Л И Н Е ЙН О Й С И С Т Е М Ы О пр е де лени е 1. Р ангом м атр ицы на зыва е тся на и высш и й по р ядо к о тли чных о тну ля ми но р о в это й ма тр и цы. Ра нг ма тр и цы A о б о зна ча е тся и ли r ( A) , и ли rang A , и ли rank A . Ра нг ма тр и цы мо ж но вычи слятьследу ю щ и ми спо со б а ми . I. М е тодокайм ления м инор ов(и ли м е тодокайм ля ю щих м инор ов) со сто и тв следу ю щ е м.

( )

1) В ыб и р а е м лю б о й элеме нт aij ≠ 0 ма тр и цы A = aij . Если е сть хо тя б ы

о ди н элеме нтма тр и цы, о тли чный о тну ля, то r ( A) ≥ 1 . 2) Ра ссма тр и ва е м ми но р ы 2-го по р ядка , о ка ймляю щ и е (то е сть со де р ж а щ и е ) выб р а нный ми но р . Ка к то лько на хо ди м о тли чный о т ну ля, ср а зу мо ж е м ска за ть, что r ( A) ≥ 2 и т.д. 3) Пу сть на йде н ми но р n -го по р ядка , о тли чный о т ну ля, а все ми но р ы (n + 1) -го по р ядка , е го о ка ймляю щ и е , р а вны ну лю , то гда r ( A) = n .

 2 −1 3 − 2 4    № 608 (П ). Н а йти р а нг ма тр и цы  4 − 2 5 1 7  ме то до м о ка ймлени я  2 −1 1 8 2    ми но р о в.

Ре ш е ни е.

- 56 1) a22 = −2 , следо ва те льно , r ( A) ≥ 1 ; 2)

−1

2

4 −2

= 0;

−1 3

2

4 −2

−1 3

= 0;

2

−1

2

−1 3 2

−2 5

= 1 , по это му

r ( A) ≥ 2 ;

−1

− 2 5 = 4 − 2 5 4 − 2 = 2 ⋅ (−2) ⋅ 1 + (−1) ⋅ 5 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 ⋅ (−1) −

3) 4

−1 1

2

−1 1 2

2

−1

− 2 ⋅ (−2) ⋅ 3 − ( −1) ⋅ 5 ⋅ 2 − 1 ⋅ 4 ⋅ (−1) = −4 − 10 − 12 + 12 + 10 + 4 = 0 ; −1 3 − 2

−1 3 4

−2 5

1 = 0;

− 2 5 7 = 0.

−1 1

8

−1 1 2

Следо ва те льно ,

r ( A) = 2 . О тве т:

II.

r ( A) = 2 .

М етодэлем ентар ных п р еоб р азований.

У тве р ж де ни е 1. Э леме нта р ные пр е о б р а зо ва ни я не ме няю тр а нга ма тр и цы. Э лем ентар ным и п р еоб р азования м и м атр ицы являю тся: 1) выче р ки ва ни е и з ма тр и цы ну лево й стр о ки ; 2) у мно ж е ни е стр о ки на не ну лево й мно ж и те ль; 3) пе р е ста но вка стр о к; 4) пр и б а влени е к стр о ке др у го й стр о ки , у мно ж е нно й на не ко то р о е чи сло . За ме ча ни е . В ыче р ки ва ни е и з ма тр и цы о дно й и з пр о по р ци о на льных стр о к та кж е не ме няе т р а нга ма тр и цы, та к ка к е го мо ж но пр е дста ви ть в ви де по следо ва те льно сти элеме нта р ных пр е о б р а зо ва ни й 2), 4) и 1). Д ля о пр е де лени я р а нга ма тр и цы пр е о б р а зо ва ни я 1) – 4) мо ж но де латьи для сто лб цо в. Д ля

вычи слени я

р а нга

ма тр и цу

 a11  A =  ... a  k1

a12 ... ak 2

... a1n   ... ...  ... a kn 

( k ≤ n)

- 57 -

 b11 ... b1,m−1 b1m    ... ...  и ли тр а пе ци е ви дно му пр и во дятк тр е у го льно му B =  ... ...  0 ... 0 bmm    b11 ... b1m  B =  ... ... ...  0 ... b mm 

b1n   ... ...  ... bmn  ...

(m ≤ n, b11 ⋅ b22 ⋅ ... ⋅ bmm ≠ 0)

621

(П ).

пр е о б р а зо ва ни й:

В ычи сли ть р а нг

 24   49  73   47

ма тр и цы

пр и

по мо щ и

− 38   40 73 147 − 80  . 59 98 219 − 118   36 71 141 − 72 

19 36

с

r ( A) = r ( B) = m .

по мо щ ью элеме нта р ных пр е о б р а зо ва ни й. То гда №

ви ду

элеме нта р ных

72

Ре ш е ни е.

− 2 − 3 − 2  24   49  73   47

− 38   24 19 36 72 − 38     40 73 147 − 80   1 2 1 3 −4  → → 59 98 219 − 118   1 2 − 10 3 − 4     36 71 141 − 72   − 1 − 2 − 1 − 3 4 

19 36

72

− 1− 24  1 2 1 3 − 4  1 2 1 3 −4      → 24 19 36 72 − 38 → 0 29 12 0 − 58    .  1 2 − 10 3 − 4   0 0 − 11 0 0     Та ки м о б р а зо м, r ( A) = 3 .

§ 5. М Е Т О Д У Р А ВН Е Н И Й

Г АУС С А

О тве т: r ( A) = 3 . Р ЕШ ЕНИЯ

С И С ТЕ М

5.1. П оня тиесистем ы линейных у р авнений и еер еш ения

Л И Н Е ЙН Ы Х

- 58 В об щем слу чаесистем а m линейных у р авнений с n неизвестным и им е етследу ю щий вид

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1m xm + ... + a1n xn = b1  (5.1.1)  ................................................................. . am1 x1 + am2 x2 + ... + amm xm + ... + amn xn = bm Ко эффи ци е нты aij пр и не и зве стных x j со ста вляю т пр ямо у го льну ю та б ли цу x1  a11  a A =  21 ...   am1

x2

x3

x4

a12

a13

a14

a22

a23

a24

...

...

...

am 2

am 3 am 4 b1 , b2 ,...bm

... xn a1n   ... a2 n  , ... ...   ... amn  ...

на зыва е му ю м атр ицей систе м ы.

Ко эффи ци е нты на зыва ю тся своб одным и членам и у р а вне ни й си сте мы. О пр е де лени е 1. Если все сво б о дные члены р а вны 0, то си сте ма на зыва е тся однор одной, в пр о ти вно м слу ча е – неоднор одной.

О пр е де лени е 2.

М а тр и ца

 a11  a B =  21 ...  a  m1

a12

a13

a14

a22

a23

a24

...

...

...

am 2

am 3

am 4

a1n b1   ... a2 n b2  ... ... ...   ... amn bm  ...

на зыва е тся р асш ир енной м атр ицей си сте мы. За ме ча ни е . Д ля о дно р о дно й си сте мы сто лб е ц сво б о дных члено в не выпи сыва е тся. О пр е де лени е 3. Р еш ением систем ы (5.1.1) на зыва е тся та ка я со во ку пно сть n чи се л с1 , с2 ,..., сm , ко то р а я пр и по дста но вке в си сте му (5.1.1) на ме сто не и зве стных x1, x2 ,..., xm о б р а щ а е твсе у р а вне ни я это й си сте мы в то ж де ства . О пр е де лени е 4. Д ве си сте мы с о дни ми и те ми ж е не и зве стными эквивалентны (р авносиль ны), е сли ка ж до е р е ш е ни е о дно й и з си сте м являе тся р е ш е ни е м др у го й и ли о б е си сте мы не со вме стны (то е сть не и ме ю т р е ш е ни й). м а ли не йных у р а вне ни й на зыва е тся совм естной, О пр е де лени е 5. С исте е сли су щ е ству е т хо тя б ы о дно р е ш е ни е это й си сте мы, и несовм естной, е сли р е ш е ни й не т.

- 59 О пр е де лени е 6. С истем а ли не йных о дно р о дных у р а вне ни й (СЛ О У ) на зыва е тся нетр ивиаль но совм естной, е сли о на и ме е тхо тя б ы о дно не ну лево е р е ш е ни е . За ме ча ни е . СЛ О У все гда со вме стна , та к ка к все гда су щ е ству е т ну лево е р е ш е ни е . Си сте ма ли не йных у р а вне ни й ↓

со вме стна (р е ш е ни е су щ е ству е т) ↓

↓

не со вме стна (р е ш е ни й не т)

↓

о пр е де ленна я (р е ш е ни е е ди нстве нно )

не о пр е де ленна я (су щ е ству е тб о лее о дно го р е ш е ни я)

К р итер ии совм естности линейных систем :

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1m xm + ... + a1n xn = b1  1) Си сте ма  ................................................................. am1 x1 + am2 x2 + ... + amm xm + ... + amn xn = bm со вме стна

 a11  A =  ... a  m1

то гда

и

то лько

то гда ,

ко гда

р а нг

( m ≤ n)

ма тр и цы

a1n   ... ... ... ... ...  это й си сте мы р а ве н р а нгу р а сш и р е нam2 ... a mm ... amn   a11 a12 ... a1m ... a1n b1    B ... ... ... ... ... ... ... = но й ма тр и цы   : r ( A) = r ( B) . a   m1 am2 ... amm ... amn bm  a12

...

a1m

...

2) Д ля то го , что б ы си сте ма ли не йных о дно р о дных у р а вне ни й с ква др а тно й ма тр и це й A б ыла не тр и ви а льно со вме стно й, не о б хо ди мо и до ста то чно , что б ы det A = 0 . 5.2. М етод Г ау сса I. В это м пу нкте мы б у де м р а ссма тр и ва тьси сте мы ли не йных у р а вне ни й с ква др а тными ма тр и ца ми , о пр е де ли те ли ко то р ых о тли чны о т ну ля (то е сть си сте ма и ме е те ди нстве нно е р е ш е ни е ):

- 60 -

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + ... + a1n xn = b1  a x + a x + a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 23 3 24 4 2n n 2 .  .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......  an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + an 4 x4 + ... + ann xn = bn Н а д у р а вне ни ями си сте мы мо ж но пр о и зво ди ть элеме нта р ные пр е о б р а зо ва ни я (см. § 4), ко то р ые пе р е во дятси сте му в экви ва лентну ю е й. О дни м и з ме то до в р е ш е ни я си сте м являе тся ме то д по следо ва те льно го и склю че ни я не и зве стных (ме то д Га у сса ), о сно ва нный на и спо льзо ва ни и элеме нта р ных пр е о б р а зо ва ни й и пр и ве де ни и си сте мы к тр е у го льно му и ли тр а пе ци е ви дно му ви ду . Н а пра к т и к е при ре ш е н и и с и с т е м

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + ... + a1n xn = b1  a x + a x + a x + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 23 3 24 4 2n n 2   ..................................................................... an1 x1 + an 2 x2 + an 3 x3 + an 4 x4 + ... + ann xn = bn

ме то до м Га у сса сна ча ла выпи сыва ю тр а сш и р е нну ю ма тр и цу это й си сте мы:

 a11  a B =  21 ...  a  n1

a12

a13

a14

a22

a23

a24

...

...

...

an 2

an3

an 4

... a1n b1   ... a2 n b2  . ... ... ...   ... ann bn 

Бу де м счи та ть, что a11 ≠ 0 , в пр о ти вно м слу ча е все гда мо ж но пе р е ста ви ть стр о ки ма тр и цы та к, что б ы в пе р во й стр о ке сто ял элеме нт, о тли чный о тну ля. За те м, е сли е стьстр о ка , на чи на ю щ а яся с 1, е е пе р е ста вляю т вве р х. Пе р ву ю стр о ку пр о сто пе р е пи сыва е м. Д ля по лу че ни я 1-го ну лево го сто лб ца по д главно й ди а го на лью лу чш е у мно ж и ть 1-ю стр о ку на мно ж и те ль (−a21 ) , 2-у ю – на a11 ( что б ы не б ыло др о б ных мно ж и те лей) и пр и б а ви ть и зме не нну ю 1-ю стр о ку ко вто р о й, за те м у мно ж и ть и схо дну ю 1-ю стр о ку на (−a31 ) , 3-ю – на a11 и пр и б а ви ть и зме не нну ю 1-ю стр о ку к тр е тье й и т.д., то е сть 1-а я стр о ка у мно ж а е тся на

мно ж и те ль ( − ai1 ) (i = 2,..., n) , а

i -та я –

со о тве тстве нно на a11 и и зме не нна я 1-я стр о ка пр и б а вляе тся к i -то й. За о ди н

- 61 пр о хо д ср а зу у б и р а е тся весь столб ец по д главно й ди а го на лью . По лу чи м следу ю щ у ю ма тр и цу :

a12  a11   0 (a22 )1 B1 =  ... ...   0 (a ) n2 1 

b1   ... (a2 n )1 (b2 )1  . ...  ... ...  ... (ann )1 (bn )1  ...

a13

a14

(a23 )1

(a24 )1

...

...

(an3 )1 (an 4 )1

a1n

Если элеме нт (a22 )1 = 0 , то на йде м во 2-м сто лб це элеме нт (a i 2 )1 ≠ 0 (i = 3,..., n) и пе р е ста ви м 2-ю и i -ту ю стр о ки . Если ж е все элеме нты

(ai 2 )1 = 0

(i = 3,..., n) , то пр о сма тр и ва е м о ста льные сто лб цы, на чи на я с тр е тье го . Пу сть в j -м сто лб це вто р о й стр о ки элеме нт ( a2 j )1 ≠ 0 , то гда по ме няе м ме ста ми 2-о й и j -тый сто лб цы (не за б ыв, что по р ядо к пе р е ме нных та кж е со о тве тстве нно ме няе тся). За те м о ста вляе м пе р вые две стр о ки б е з и зме не ни й, вто р у ю стр о ку у мно ж а е м на мно ж и те ль ( −( a i 2 )1 ) (i = 3,..., n) , а i -тые стр о ки – на (a22 )1 , и пр и б а вляе м и зме не нну ю вто р у ю стр о ку по следо ва те льно к 3, 4,… , n -о й стр о ка м. И та к пр о до лж а е м до те х по р , по ка не пр о йде м все стр о ки . В р е зу льта те по лу чи м ма тр и цу

a12 a13  a11   0 (a22 )1 ( a23 )1 Bn−1 =  ... ... ...   0 0 0 

  ... (a2 n )1 (b2 )1  . ... ... ...   ... (ann ) n−1 (bn ) n−1 

a14

...

(a24 )1 ... 0

a1n

b1

По сле то го , ка к ма тр и ца пр и ве де на к тр е у го льно му ви ду , у до б но пр о до лж и тьпр е о б р а зо ва ни я да льш е и пр и ве сти ма тр и цу к ди а го на льно му ви ду . (−(ain ) n−1 ) , а i -ту ю стр о ку Д ля это го у мно ж и м n -ю стр о ку на

(i = n − 1, n − 2,...,1) – на (a nn ) n−1 и пр и б а ви м n -ю стр о ку по следо ва те льно к ( n − 1) -о й, ( n − 2) -о й, и та к до 1-о й стр о ки . По лу че нна я ма тр и ца б у де т

и ме тьследу ю щ и й ви д: 1 1   (a11 ) (a12 )  0 (a22 )11 1 Bn−1 =  ...  ...  0 0 

(a13 )1

(a14 )1

(a23 )11

(a24 )11

...

...

0

0

(b1 )1  ... 0 (b2 )11  . ... ... ...  ... (ann )1n−1 (bn )1n−1  ...

0

- 62 За те м а на ло ги чные пр е о б р а зо ва ни я б у ду т пр о де ланы с ( n − 1) -о й стр о ко й и та к да лее , по ка мы не по лу чи м ди а го на льну ю ма тр и цу

 (a11 ) n   0 Bnn−−11 =   ...  0 

(b1 ) n  (b2 ) n−1  0 0 ... 0 . ...  ... ... ... ... 0 0 ... (ann )1n−1 (bn )1 

0

0

(a22 )1n−1 ... 0

Ра зде ли м те пе р ь i -ту ю стр о ку

0 ...

0

(i = 2,..., n) на

(aii ) in−−1(i −1) , а 1-у ю

1

стр о ку – на (a11 ) . И о ко нча те льно по лу ча е м

1  0 B0 =  ...  0 

Та ки м о б р а зо м,

0 ... 0 (b1 ) 0   1 0 0 ... 0 (b2 ) 0  . ... ... ... ... ... ...   0 0 0 0 1 (bn ) 0  0

0

 x1 = (b1 ) 0  x = (b )  2 2 0 .  ...   xn = (bn ) 0

При м ер5.2.1. Ре ш и тьси сте му у р а вне ни й

2 x1 + 3 x2 + x3 + 2 x4 = 4  4 x + 3x + x + x = 5  1 2 3 4 .  2 + 5 + + = 1 x x x x 1 2 3 4   x1 − 7 x2 − x3 + 2 x4 = 7

Ре ш е ни е.

2 3 1  4 3 1 2 5 1   1 −1 −1 

2 4 − 2 − 2 − 4  1 −1 −1   1 5 4 3 1 → 2 5 1 1 1   2 3 1  2 7 

2 7  1 5 → 1 1  2 4 

- 63 -

1 −1 −1 2 7  1 −1 −1 2 7      − 5 − 1 0 7 5 − 7 − 23  5 − 7 − 23  0 7 → → → 0 7 3 − 3 − 13  − 2  0 0 − 2 4 10  : (−2)      0 5 3 − 2 − 10   0 0 − 4 21 45  7     1 −1 −1 2 7    − − 23 13 0 7 5 7   → →  13 0 0 1 − 2 − 5     − 2 7 2  0 0 0 13 25  13

13 − 13 − 13 0 41  9113 − 13 0 0 26      65 0 − 124  13  0 91 0 0 − 49   0 91 → →  → − 5 0 0 13 0 − 15  0 0 13 0 − 15      0   0 0 13 25  0 0 13 25   0 1   1183 0 0 0 1729     0 91 0 0 − 49    0 → → 0 0 13 0 − 15      0  0 0 0 13 25     0 О тве т: x1 =

0 0 0 1729   1183  1 0 0 − 49  91  . 15 0 1 0 − 13   25   0 0 1 13 

1729 49 15 25 , x2 = − , x3 = − , x4 = . 1183 91 13 13

- 64 Р ассм отр им те п ер ь систем у

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1k xk + ... + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x + ... + a x = b  21 1 22 2 2k k 2n n 2   ...............................................................  ak1 x1 + ak 2 x2 + ... + akk xk + ... + akn xn = bk

( k < n) .

В ыпи ш е м ма тр и цу это й си сте мы и пр о де лае м все де йстви я, о пи са нные в пр е дыду щ е м пу нкте (о б ну ли м сто лб цы, сто ящ и е по д и на д главно й ди а го на лью ). Д ля пр о сто ты р а ссмо тр и м слу ча й, ко гда rang A = k , б а зи сный ми но р сто и тв ве р хне м лево м у глу :

 a11   a21  ...  a  k1  a11   0 → ...   0 

a12

... a1k

a22

... a2 k

...

...

ak 2

...

... akk

... a1n b1   ... a2 n b2  → ... → ... ... ...   ... akn bk 

a12

... a1, k −1

a1k

a1, k +1

a22

... a2 , k −1 a2 k

a2 , k +1

...

...

...

...

...

0

...

0

akk

ak , k +1

 a11   0 →  ...  0 

0

... 0

0

a1,k +1

a22

... 0

0

a2 ,k +1

...

... ...

...

...

0

... 0

akk

ak ,k +1

a1n b1  ... a2,n b2  → ... ... ...  ... akn bk 

xk +1

... xn

x1 x2 ... xk −1 xk 1  0 →  ... 0 

... a1n b1   ... a2 n b2  → ... ... ...   ... akn bk 

0 ...

0

0

a1,k +1

1 ...

0

0

a2,k +1

... ... .... ... 0 ...

0

1

... ak ,k +1

...

... a1n b1   ... a2 n b2  . ... ... ...  ... a kn bk  

- 65 -

x1 , x2 ,..., xk на зыва ю тся основным и xk +1 , xk +2 ,..., xn – своб одным и. О сно вные

О пр е де лени е 7. Н е и зве стные

(главным и), а не и зве стные не и зве стные выр а ж а ю тся че р е з сво б о дные следу ю щ и м о б р а зо м:

 x1 = −a1,k +1 xk +1 − a1,k +2 xk +2 − ... − a1n xn + b1   x2 = −a2,k +1 xk +1 − a2,k +2 xk +2 − ... − a2 n xn + b2 .  .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .....   xk = −ak ,k +1 xk +1 − ak ,k +2 xk +2 − ... − ak ,n xn + bk  йной систем ы По лу че нну ю си сте му на зыва ю т об щим р еш ением лине у р авне ний. Сво б о дные не и зве стные мо гу тпр и ни ма тьпр о и зво льные зна че ни я. Ч астное р еш ение по лу ча е тся пр и по дста но вке в о б щ е е р е ш е ни е пр о и зво льных зна че ни й сво б о дных не и зве стных. О пр е де лени е 8. Н аб ор р еш ений си сте мы x1 , x2 ,..., xk на зыва е тся линейно независим ым , е сли р а нг ма тр и цы, сто лб ца ми ко то р о й являю тся эти р е ш е ни я, со впа да е тс чи сло м эти х р е ш е ни й. У тве р ж де ни е . Если р а нг ма тр и цы о дно р о дно й си сте мы р а ве н r , то си сте ма и ме е т( n − r ) ли не йно не за ви си мых р е ш е ни й. О пр е де лени е 9. Л ю б а я си сте ма и з ( n − r ) ли не йно не за ви си мых р е ш е ни й на зыва е тся ф у ндам енталь ной систем ой р еш ений. О пр е де лени е 10. Ф у ндам енталь ная систем а р еш ений (Ф СР) ли не йно й о дно р о дно й си сте мы у р а вне ни й – это б а зи с в пр о стр а нстве р е ш е ни й ли не йно й о дно р о дно й си сте мы. За ме ча ни е . О пр е де лени я 9 и 10 экви ва лентны. Л ю б а я о дно р о дна я си сте ма ли не йных у р а вне ни й со вме стна , та к ка к о на и ме е т ну лево е р е ш е ни е (0,0,...,0) , ко то р о е на зыва е тся тр ивиаль ным р еш ением . Зам ечания . 1. Ч и сло б а зи сных р е ш е ни й р а вно чи слу сво б о дных не и зве стных и р а вно n − rangA . 2. Н а пр а кти ке в ка че стве Ф СР у до б но б р а ть о б щ е е р е ш е ни е , в ко то р о м е ди ни чка “пр о б е га е т” все сво б о дные не и зве стные xk +1 , xk + 2 ,..., xn (то е сть сна ча ла

xi = 0

xk +1 = 1, xi = 0 (i = k + 2,..., n) , за те м (i = k + 3,..., n) и т.д.):

xk +1 = 0 , xk + 2 = 1,

- 66 -

xk +1

xk +2

x k +3

... xn

1

0

0

...

0

0

1

0

...

0.

...

...

...

...

..

0

0

0

...

1

Если чи сла aij (i = 1,..., k ; j = k + 1,..., n) др о б ные , в пе р ву ю стр о ку вме сто е ди ни цы за пи сыва е тся чи сло a11 , во вто р у ю – a22 , в k -ту ю – akk . ня ть м естам и столб цы ма тр и цы. Пр и это м не льзя 3. И но гда б ыва е ту до б но м е известных м еня ется соответственно. за б ыва тьо то м, что п ор я док не № 689 (П ). Н а йти о б щ е е и ча стно е р е ш е ни я си сте мы у р а вне ни й:

 2 x1 + 7 x2 + 3x3 + x4 = 6  3 x1 + 5 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 4 .  9x + 4 x + x + 7x = 2 2 3 4  1 Ре ш е ни е.

x1 x2 x3 x4 − 3 2 7 3 1 6  3 1 6  2 7     2 7 3 1 6   → − 3 2  3 5 2 2 4  → − 1 0 − 11 − 5 1 − 10  →  0 11 5 − 1 10  9 4 1 7 2  0 − 11 − 5 1 − 10      

x1 x4 x3 x2

x1 x4 x3

x2

18 16  : 2  1 0 4 9 8  2 1 3 7 6  2 0 8  →   →   →   0 − 1 5 11 10   0 1 − 5 − 11 − 10   0 1 − 5 − 11 − 10  Зде сь x1 , x4

. – о сно вные не и зве стные , x2 , x3 – сво б о дные не и зве стные .

О тве т:

 x1 = −4 x3 − 9 x2 + 8 – о б щ е е р е ш е ни е ;  x = 5 x + 11 x − 10  4 3 2

- 67 -

x1 = −1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 1 – ча стно е р е ш е ни е . № 725 (П ). Н а йти о б щ е е р е ш е ни е и фу нда ме нта льну ю си сте му р е ш е ни й для си сте мы у р а вне ни й:

 2 x1 − 4 x2 + 5 x3 + 3x4 = 0   3x1 − 6 x2 + 4 x3 + 2 x4 = 0 . 4 x − 8 x + 17 x + 11x = 0 2 3 4  1 Ре ш е ни е.

x1 − 2 − 3 2 − 4 5 3   2    2 3 − 6 4 2  → 0  4 − 8 17 11  0   

x2 −4 0 0

x3

x4 x1 x3 x2 x4 5 3   7  2 5 − 4 3 − 7 − 5 →   → 5 0 7 0 5 −   7 5  x1 x3 x2

x4 2  1 0 − 2 −   14 0 − 28 − 4  7 ⇒ →   →  5 0 7 0 5     0 1 0 7   2   x1 = 2 x2 + 7 x4 ⇒ – о б щ е е р е ш е ни е . 5  x3 = − x4 7  x1 x2 x3 Д ля на хо ж де ни я Ф СР со ста ви м та б ли цу

В е кто р ы

2

1

0

2

0

−5

e1 = (2,1,0,0) , e2 = (2,0,−5,7) о б р а зу ю т Ф СР. 2  x = 2 x + x4 1 2  7 О тве т:  – о б щ е е р е ш е ни е ; 5  x3 = − x4  7

x4 0 . 7

- 68 -

e1 = (2,1,0,0) , e2 = (2,0,−5,7) – Ф СР. № 691 (П ). И сследо ва тьсо вме стно стьси сте мы

 3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3   6 x1 + 8 x2 + 2 x3 + 5x4 = 7 , 9 x + 12 x + 3 x + 10 x = 13 2 3 4  1 по льзу ясь кр и те р и е м со вме стно сти . Если си сте ма со вме стна , на йти о б щ е е и о дно ча стно е р е ш е ни я си сте мы. Ре ш е ни е.

x1 x2 x3 x4

x1 x4 x2 x3

− 3− 23 4 1 2 3  3 4 1 2 3      3 2 4 1 3  →  6 8 2 5 7 → 0 0 0 1 1    → − 2 0 1 0 0 1    9 12 3 10 13   0 0 0 4 4      x1 x4 x2 4  1 0  3 0 4 1 1  3  → →   0 1 0 0 1  0 1 0  4 1   x1 = − 3 x2 − 3 x3 + 1 ⇒ – о б щ е е р е ш е ни е ,   x4 = 1

x3 1 1  3 3 ⇒  0 1 

не и зве стные . Н а йде м ча стно е р е ш е ни е си сте мы. В о зьме м

x2 , x3 – сво б о дные

x2 = 3 , x3 = 0 , то гда x1 = −3 и мы по лу чи ли ча стно е р е ш е ни е си сте мы (−3,3,0,1) .

- 69 -

4 1   x1 = − 3 x2 − 3 x3 + 1 –- о б щ е е р е ш е ни е , О тве т:    x4 = 1 (−3,3,0,1) --- ча стно е р е ш е ни е си сте мы. Зам ечание. О че нь ча сто сту де нты р а нг ма тр и цы и р а нг р а сш и р е нно й ма тр и цы счи та ю то тде льно , что не р а ци о на льно , на пр и ме р :

3 x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 2  № 692 (П ). И сследо ва ть со вме стно сть си сте мы  7 x1 − 4 x2 + x3 + 3 x4 = 5 , 5 x + 7 x − 4 x − 6 x = 3 2 3 4  1

по льзу яськр и те р и е м со вме стно сти .

Ре ш е ни е.

x3 4  2 3 − 5 2  2    A = 7 − 4 1 3  → − 2 1 5 7 − 4 − 6 − 4   

x1 x2 x4 3 −5 4   7 −4 3 → 5 7 − 6 

2 3 − 5 4    2 3 − 5 4 →  0 − 11 3 − 2  →   ⇒ r ( A) = 2 . 0 11 − 3 2   0 11 − 3 2    

x3 x1 x2 x4 4 2 2  2 3 − 5 4 2 3 −5 2     B = 7 − 4 1 3 5 → − 2 1 7 − 4 3 5 →  5 7 − 4 − 6 3  − 4 5 7 − 6 3    

- 70 -

2 3 − 5 4 2  2 3 − 5 4 2      →  0 − 11 3 − 2 − 8  →  0 11 − 3 2 8  ⇒ r ( B) = 3 .  0 11 − 3 2 7   0 0 0 0 − 1     О тве т: си сте ма не со вме стна . О че ви дно , что р а нг ма тр и цы A мо ж но на йти , выпи са в ли ш ьма тр и цу B , та к ка к ма тр и ца B по лу ча е тся и з ма тр и цы A до б а влени е м спр а ва сто лб ца сво б о дных члено в. У п р аж нения . Ре ш и тьси сте мы у р а вне ни й

 x1 + x2 + x3 + x4 = 4  4 x + 6 x + 6 x + 7 x = 23  1 2 3 4 ;  6 x + 8 x + 9 x + 10 x = 33 2 3 4  1  4 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 6 x4 = 19  x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x4 = 4  2 x − x + 3x − 4 x = 0  1 2 3 4 ;  3 x + x − x + x = 4 1 2 3 4  4 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 x4 = 13

 x1 + 2 x2 − 3 x3 + 4 x4 = 4  2 x − x + 3x − 4 x = 0  1 2 3 4 ;  3 x + x − x + 2 x = 5 1 2 3 4  4 x1 + 3 x2 + 4 x3 + 2 x4 = 13 x1 + x2 + x3 + x4 = −1   4 x + 6 x + 6 x + 7 x = 10  1 2 3 4 ;  6 x + 8 x + 9 x + 10 x = − 15 2 3 4  1  4 x1 + 4 x2 + 5 x3 + 6 x4 = −9

 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 1  2 x + 3x + x + x = 2  1 2 3 4 ;  3 + 4 + 2 + = 4 x x x x 1 2 3 4  4 x1 + 5 x2 + 3 x3 + 2 x4 = 4

 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 10  2 x + 3 x + 4 x + 5 x = 14  1 2 3 4 ;  + + + = 3 x 5 x 8 x 10 x 26 1 2 3 4   x1 + x2 + 4 x3 + 5 x4 = 11

 x1 + 2 x2 + 3 x3 − 2 x4 = 6  2 x − x − 2 x − 3x = 8  1 2 3 4 ;  3 x + 2 x − x + 2 x = 4 2 3 4  1 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 + x4 = −8

 x1 + 2 x2 + x3 + x4 = 1  2 x + 3x + x + x = 2  1 2 3 4 .  3 x + 4 x + 2 x + x = 4 2 3 4  1 4 x1 + 5x2 + 3x3 + 2 x4 = 4

- 71 -

Зам е чание. В да нно м ме то ди че ско м по со б и и пр и няты следу ю щ и е о б о зна че ни я: (П) –

И .В . Пр о ску р яко в. Сб о р ни к за да ч по ли не йно й а лге б р е . М .: Н а у ка , 1970. (Ф -С) – Д .И . Ф а дде е в, И .С. Со ми нски й. Сб о р ни к за да ч по высш е й а лге б р е . М .: Н а у ка , 1977. Л и тер а ту р а. 1. Ж у р а вски й А.М . Сб о р ни к за да ч по высш е й а лге б р е . – Л .; М .: ГТТИ , 1933. 2. О ку не в Л .Я . Сб о р ни к за да ч по высш е й а лге б р е . – М . : Пр о све щ е ни е , 1964. 3. Пр о ску р яко в И .В . Сб о р ни к за да ч по высш е й а лге б р е . – М .: Н а у ка , 1984. 4. Ф а дде е в Д .К., Со ми нски й И .С. Сб о р ни к за да ч по ли не йно й а лге б р е . – М .: Н а у ка , 1972. 5. Пр а со ло в В .В . За да чи и те о р е мы ли не йно й а лге б р ы. – М .: Ф и зма тли т, 1996.

Со ста ви те ли : Глу ш а ко ва Та тьяна Н и ко лае вна У до де нко Н и ко лай Н и ко лае ви ч Бо нда р е нко Ю ли я В а ленти но вна I. Ре це нзе нт Ку на ко вска я О .В .

II.

Р едактор

За ка з №

Бу нина Т .Д .

от

2002 г. Ти р .

экз. Л а б о р а то р и я о пе р а ти вно й

- 72 по ли гр а фи и В ГУ