Механика и молекулярная физика: Практическое пособие к лабораторным работам по курсу общей физики (часть 1) для специальностей ''Фармация'', ''Биология''

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

М Е Х АН И К А И М О Л Е К У Л Я Р Н АЯ Ф И ЗИ К А П

к лаборат орны м работ ам по курсуобщ ей ф изики (част ь1) специал ьности: Ф армация – 060108 Биол огия – 020201

Р А КТИ Ч Е С КО Е П О С О Б И Е

В оронеж – 2004

2

У тверждено научно-методическим советом ф изического ф ак ул ьтета 1 марта2004 г., проток ол № 3

Составител и: С .Д . М ил о видо ва А .С . С идо ркин З.А . Л иберм а н О .В. Ро г а зинска я А .М . С а ввино в

П рак тическоепособиеподготовл ено нак аф едреэк спериментал ьной ф изик и ф изического ф ак ул ьтета В оронежского государственного университета. Рек омендуется дл я студентов ф армацевтического ф ак ул ьтета всех ф орм обучения и и студентоввечернего отдел ения биол ого-почвенного ф ак ул ьтета

Ра бо т а выпо л нена при по ддерж ке г ра нт а VZ –010 А м ерика нско г о ф о нда г ра ж да нских иссл едо ва ний ира звит ия(CRDF) и по про г ра м м е "ф унда м ент а л ьные иссл едо ва нияивысш ее о бра зо ва ние"

С О Д Е РЖ АН И Е 1. И зучение зак оновк ол ебател ьного движения математического маятник а. П роверк азак оновк ол ебания математического маятник аи определ ение ускорения свободного падения… .… … … … ..… … … … … … … … … … … .… 4 2. О предел ениемоментовинерции тел спомощ ью триф ил ярного подвеса.… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… 11 3. О предел ениек оэф ф ициентавязк ости жидк ости по методу Сток са… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...18 4. О предел ениеотнош ения удел ьны х тепл оемк остей газовметодом К л емана- Д езорма… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...23 5. О предел ениек оэф ф ициентаповерхностного натяжения жидк ости методом к омпенсации допол нител ьного давл ения… … … … … … … .… ...30

Д опол нител ьная л итература 1. 2. 3. 4. 5.

Т роф имоваТ .И . К урсф изик и. М ., В ы сш ая ш к ол а, 2000, - 541 с. Д етл аф А .А ., Я ворский Б.М . К урсф изик и. М ., В ы сш ая ш к ол а, 2000, - 718 с. Грабовский Р.И . К урсф изик и. М ., В ы сш ая ш к ол а, 1980, - 607 с. Савел ьевИ .В . К урсобщ ей ф изик и. М еханик а.К н.1.М . А стрел ь, 2001,- 336 с. Савел ьевИ .В . К урсобщ ей ф изик и. М ол ек ул ярная ф изик аи термодинамик а. К н.2. М . А стрел ь, 2001, - 341 с.

4

Р АБ О Т А N 1 И С С ЛЕ ДО ВА Н И Е ЗА КО Н О В КО ЛЕ Б А ТЕ ЛЬН О ГО ДВИ Ж Е Н И Я М А ТЕ М А ТИ Ч Е С КО ГО И О Б О Р О ТН О ГО (Ф И ЗИ Ч Е С КО ГО ) М А ЯТН И КА . О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е У С КО Р Е Н И Я С ВО Б О ДН О ГО П А ДЕ Н И Я К раткая теория К ол ебател ьны м движением (к ол ебанием) назы вается процесс, при к отором система, многок ратно отк л оняясь отсвоего состояния равновесия, к ажды й раз вновь возвращ ается к нему. Е сли этот процесс соверш ается через равны е промежутк и времени, то к ол ебаниеназы вается перио дическим . Н есмотря на бол ьш ое разнообразие к ол ебател ьны х процессов к ак по ф изической природе, так и по степени сложности, все они соверш аю тся по нек оторы м общ им зак ономерностям и могут бы ть сведены к совок упности простейш их периодических к ол ебаний, назы ваемы х г а рм о ническим и, к оторы е соверш аю тся по зак ону синуса(ил и к осинуса). П редпол ожим, что они описы ваю тся x = Α cos ϕ = Α cos(ωt + ϕ 0 ), (1) где x - смещ ение зак оном (отк л онение) к ол ебл ю щ ейся системы отпол ожения равновесия; А - ампл итуда, т.е. мак симал ьноесмещ ениеотпол ожения равновесия, (ωt + ϕ 0 ) - ф азак ол ебаний. Ф изический смы сл ф азы втом, что она определ яет смещ ение х в данны й момент времени, φ о - начал ьная ф аза к ол ебания (при t=0); t - время к ол ебаний; ω - к руговая частота(ил и угл овая скорость) к ол ебаний. ω связанас частотой к ол ебанияν и периодом к ол ебания Т :

ω = 2πν =

2π , Τ

(2)

Т - период- время одного пол ного к ол ебания. Е сл и в уравнении (1) пол ожить начал ьную ф азу φо =0, то граф ик зависимости смещ ения х от времени ил и граф ик гармонического к ол ебания будет иметь вид, представл енны й нарис.1. Систему, зак он движения к оторой x имеет вид (1), назы ваю т о дно м ерным A T кл а ссическим г а рм о ническим о сцил л ято ро м . Х орош о известны м примером t гармонического осцил л ятора явл яется тел о (ш арик ), подвеш енное на упругой пружине. П о зак ону Гук а при растяжении ил и сжатии пружины возник ает противодействую щ ая сил а, пропорционал ьная растяжению ил и Рис.1 сжатию х, т.е. тел о будет соверш ать гармонические к ол ебания под действием сил ы упругости пружины F=-kx. О днак о гармонические к ол ебания возник аю т под

5

действием не тол ьк о упругих, но и других сил , по природе не упругих, но дл я к оторы х остается справедл ивы м зак он F=-kx. Т ак ие сил ы пол учил и название ква зиупруг их. К ак известно, движение системы под действием сил ы описы вается II-м зак оном Н ью тона: ma =F,

d 2x гдеa - ускорениек ол ебл ю щ ейся системы ( a = ). dt 2 Д л я гармонических к ол ебаний F=-kx. Т огда второй зак он Н ью тона будет иметь вид непол ного диф ф еренциал ьного уравнения второго порядк а

d 2x m 2 + kx = 0 , dt

(3)

к отороеназы ваю туравнением движения к л ассического осцил л ятора. Реш ением данного уравнения (3) явл яется вы ражение (1), что нетрудно проверить, диф ф еренцируя дважды (1) по времени и подставл яя в уравнение (4). k (4) П ри этом пол учим, что ω2 = . m Д л я упрощ ения записи в дал ьнейш ем можно пол ожить начал ьную ф азу нул ю (φ о=0), тогдауравнение(1) будетиметь вид x = Α cos ω t . (1΄) С корость гармонически к ол ебл ю щ егося тел а можно найти, диф ф еренцируя по времени уравнение(1΄): π dx  (5) υ= = − Αω sin ωt ил и υ = Αω cosωt +  . 2 dt  В идно, что скорость при гармонических к ол ебаниях тоже изменяется по π гармоническому зак ону, но опережает смещ ение по ф азе на (ил и по времени на 2 Т /4). У скорениетел апри гармонических к ол ебаниях равно: dυ d 2 x d a= = = (Αω sin ωt ) ил и dt dt 2 dt x,v,a a = −Αω 2 cosωt = +Αω 2 cos(ωt + π ) (6) Сравнение этого вы ражения (6) с (1) пок азы вает, что ускорение и смещ ение x находятся в противоф азе (рис.2). Э то t означает, что в тот момент, к огда смещ ение достигает наибол ьш его v пол ожител ьного значения, ускорение достигает наибол ьш его по вел ичине отрицател ьного значения, и наоборот. 10 15 a Рис.2 К инетическая энергия осцил л ятора при гармоническом к ол ебании сучетом (4) и (5) определ яется следую щ им образом:

6

Εk =

mυ 1 = mA 2ω 2 sin 2 ωt. 2 2 2

Потенциальная энергия:

1 1 Ε n = kx 2 = kA 2 cos 2 ωt , 2 2 атак к ак "k" связано ссобственной частотой к ол ебания осцил л ятора( ω 2 =

k ), то m

1 Ε n = ω 2 mA 2 cos 2 ωt. 2 П ол ная энергия гармонического осцил л ятора в процессе к ол ебаний не меняется. Д ействител ьно: 1 1 Ε = Ε k + Ε n = mA 2ω 2 sin 2 ωt + cos 2 ωt = mA 2ω 2 = const. 2 2 И з последнего вы ражения видно, что пол ная механическая энергия осцил л ятора пропорционал ьна к вадрату ампл итуды и не зависит от времени. К инетическая и потенциал ьная энергии изменяю тся по гармоническому зак ону, к ак sin 2 (ωt ) и cos 2 (ωt ), но к огдаоднаиз них увел ичивается, другая уменьш ается. Э то

(

)

означает, что процесск ол ебаний связан спериодическим переходом энергии из потенциал ьной вк инетическую и обратно. Рассмотрим нек оторы еиз к л ассических гармонических осцил л яторов. М ат ем ат ическийм аят ник М атематическим маятник ом назы ваю т систему, состоящ ую из невесомой и нерастяжимой нити, на к оторой подвеш ен ш арик , масса к оторого сосредоточена в одной точк е (рис.3). В пол ожении равновесия на ш арик действую т две сил ы : сил а тяжести P=mg и сил а натяжения нити N - равны е по вел ичине и направл енны е в противопол ожны естороны . Е сли маятник отк л онить от пол ожения равновесия на небол ьш ой угол α , то он начнет соверш ать к ол ебания в вертик ал ьной пл оскости поддействием составл яю щ ей сил ы тяжести Pt, к оторую назы ваю т тангенциал ьной α составл яю щ ей (нормал ьная составл яю щ ая сил ы тяжести Pn l будетуравновеш иваться сил ой натяжения нити N). r r И з рис.3 видно, что тангенциал ьная составл яю щ ая сил ы Nl N тяжести Ρt = −Ρ sin α . Знак минус пок азы вает, что сил а, вы зы ваю щ ая r r к ол ебател ьное движение, направл ена в сторону уменьш ения Pt α Pn угл аα . Е сл и угол α мал , то синус можно заменить самим r r Ρt = −Ρα = − mgα , угл ом, тогда P P С другой стороны , из рис.3 видно, что угол α можно Рис.3 записать через дл ину дуги x и радиусl :

7

x , l т.е. сил а, возвращ аю щ ая маятник в пол ожение равновесия, явл яется к вазиупругой: mg mg Рt = − x ,где k = - к оэф ф ициентк вазиупругой сил ы l l В торой зак он Н ью тонавэтом сл учае будетиметь следую щ ий вид: α=

m

d 2 x mg + x = 0. l dt 2

С учетом (4), можно записать, что ω = 2

(7)

g ,отк уда l

Τ = 2π

l. g

(8)

П ериодк ол ебаний математического маятник апри мал ы х угл ах отк л онения не зависитотампл итуды к ол ебания и отего массы , аопредел яется дл иной маятник аи ускорением свободного падения g. П оследняя ф ормул а может явиться исходной дл я нахождения ускорения свободного падения, если дл я данного маятник адл иной l измерить его период. П Р О ВЕ Р КА ЗА КО Н О В КО ЛЕ Б А Н И Я М А ТЕ М А ТИ Ч Е С КО ГО М А ЯТН И КА И О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е У С КО Р Е Н И Я С ВО Б О ДН О ГО П А ДЕ Н И Я П риборы и принадл ежности: математический маятник , сек ундомер, ш тангенцирк ул ь. О писаниеуст анов ки В к ачестве математического маятник а в работе испол ьзуется тяжел ы й метал л ический ш арик 1, подвеш енны й на дл инной тонк ой нити (рис.1). Д л ина нити может меняться путем перемещ ения к репящ его к ронш тейна 2 вдол ь нити и измеряется по ш к ал е 3, ампл итуда к ол ебаний маятник аизмеряется по ш к ал е4. 3 П ри вы пол нении данной работы необходимо определ ение дл ины математического маятник аи его периодак ол ебаний. 2 Д л ина математического маятник а l находится к ак сумма 4 дл ины нити l 1 от пол ожения к ронш тейна до ш арик а (измерения проводятся по мил л иметровой ш к ал е) и радиуса ш арик а r =

1 Рис.5

(измерения проводятся с помощ ью образом, дл ина математического

l = l1 +

П ериод к ол ебаний

d . 2

определ яется при

d l

ш тангенцирк ул я). Т ак им маятник а будет равна

(1) помощ и

сек ундомера и

рассчиты вается из 20-30 пол ны х к ол ебаний маятник апо ф ормул е Τ =

его время

t , (2) n

гдеt – время n пол ны х к ол ебаний математического маятник а. Ц ел ью работы явл яется изучение зависимости периода к ол ебаний математического маятник аотдл ины и ампл итуды к ол ебаний. К ак следуетиз теории

8

математического маятник а период его к ол ебаний

Τ = 2π

l . g

(3)

Т огда, очевидно, дл я разны х дл ин маятник а соотнош ение

определ яется по ф ормул е

Τ1 = Τ2

l 1 и l 2 будет справедл иво

l1 . l2

(4)

Д л я проверк и этого соотнош ения к ронш тейном 2 установите дл ину маятник а 140150 см и определ ите его период к ол ебаний. Затем, передвигая к ронш тейн, уменьш ите дл ину маятник авдвое и опять определ ите периодк ол ебаний. И змерения проводятся неменее трех раз и данны езаносятся втабл ицу № l 1 =… l 2 =… Τ1 l1 п/п t2, c T2, c Δ T2, c n t1, c T1, c Δ T1, c n Τ2 l Не запол няетс Не запол няетс

2

1 2 3 Ср. Сдел айте вы водо харак тере зависимости периодак ол ебаний математического маятник аотего дл ины . Д л я проверк и зависимости периода к ол ебаний от ампл итуды к ол ебаний установите ф ик сированную дл ину маятник а, отк л оните ш арик примерно на 5 см и определ ите период его к ол ебаний. У двойте ампл итуду к ол ебаний и снова определ ите период к ол ебаний. Д л я к аждой ампл итуды А период к ол ебаний Т рек омендуется определ ять не менее трех раз, а затем вы числить среднее значение. М ак симал ьное значение ампл итуды не дол жно превы ш ать 20-25 см. Составьте табл ицу, анал огичную преды дущ ей, все данны е занесите в эту табл ицу и на основании пол ученны х резул ьтатов сдел айте вы вод о харак тере зависимости периодак ол ебаний математического маятник аотампл итуды его к ол ебаний. П ри определ ении ускорения свободного падения необходимо учиты вать следую щ ее. Т ак к ак дл иной математического маятник аявл яется расстояние отточк и подвеса до его центра тяжести, а центр тяжести л абораторного математического маятник а не совпадает точно с геометрическим центром ш арик а, то непосредственное точное измерение дл ины не представл яется возможны м. П оэтому при определ ении ускорения свободного падения набл ю даю тк ол ебания маятник адл я разны х дл ин (3):

l 1 и l 2, определ яя Т1 и Т2 , и находятg по ф ормул е, пол ученной из g=

4π 2 (l 2 − l 1 )

(Τ22 − Τ12 )

.

(5)

Расстояния l 1 и l 2 и соответствую щ ие им значения Т1 и Т2 можно взять из продел анны х вы ш еопы тов.

9

С цел ью оценк и погреш ности вы числения ускорения свободного падения вы ведите ф ормул у дл я расчета абсол ю тной и относител ьной ош ибок измерения и определ итеих ( ∆l =2 мм, аΔ Τ берется из эк сперимента). К онтрольны евопросы 1. К ак ой к ол ебател ьны й процесс назы вается гармоническим и к ак ово его анал итическоеи граф ическоепредставл ение? 2. П еречислите харак теристик и гармонического к ол ебания, определ ите их ф изический смы сл. 3. П о к ак ому зак ону изменяю тся при гармонических к ол ебаниях смещ ение, скорость и ускорение? 4. К ак им образом изменяю тся во времени к инетическая и потенциал ьная энергии гармонического осцил л ятора? 5. Сф ормул ируйте зак он к ол ебания математического маятник а. 6. О тк ак их вел ичин зависитускорениесвободного падения?

10

Р АБ О Т А №2 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е М О М Е Н ТО В И Н Е Р Ц И И ТВЕ Р ДЫ Х ТЕ Л К раткая теория по кинематикеи динамикевращ ательного движ ения 1. У гловая скорост ь и углов ое ускорение. Лю бое твердое тел о можно рассматривать к ак систему материал ьны х точек , причем масса m тел а равна сумме n массэтих точек : (1). m= m ∑ i i =1

К аждая из этих материал ьны х точек при вращ ении тел а имеет траек торию движения в виде ок ружности, центр к оторой л ежитнаоси вращ ения. О чевидно, что

r

л инейная скорость v i к аждой i -той точк и зависитотрасстояния ri до оси вращ ения и поэтому она не может сл ужить к инематической харак теристик ой вращ ател ьного движения твердого тел а. Равномерное движение материал ьной точк и по ок ружности можно харак теризовать угл овой скоростью . П од угл овой скоростью понимается век торная вел ичина ω , численное значение ω к оторой равно отнош ению угл а поворотаϕ к промежутк увремени ∆t , зак оторы й этот ∆ϕ поворотпроизош ел : (2). ω= ∆t Д л я неравномерного вращ ател ьного движения вводится понятиемгновенной

∆ϕ d ϕ = t → ∞ ∆t dt

угл овой скорости:

ω = lim

(3).

Е диницей измерения угл овой скорости явл яется радиан всек унду(рад/с) ил и с-1. В ек тор угл овой скорости направл ен вдол ь оси вращ ения тел а так им образом, чтобы его направл ение совпадал о с направл ением поступател ьного движения правовинтового буравчик а, ось к оторого распол оженавдол ь оси вращ ения тел а OO′ , а гол овк а вращ ается вместе стел ом (рис. 1). И з этого рисунк а видно, что все три век тора ri , v i и ω взаимно перпендик ул ярны , поэтому зависимость между л инейной и угл овой скоростями можно записать ввиде век торного произведения: (4) vi = ω , ri О r ω r Д л я харак теристик и неравномерного вращ ения тел а

[ ]

υi

r ri mi О

‫י‬

Рис.1

вводится понятие век тора угл ового ускорения β . В ек тор угл ового ускорения в к ажды й момент времени равен скорости изменения век тораугл овой скорости: dω (5) β =

dt

Е диницей измерения угл ового ускорения явл яется радиан на сек унду в к вадрате (рад/с2) ил и с-2. Н а рис. 2 пок азаны два возможны х направл ения век тора угл ового ускорения.

11

r ω

О

r ·β О

r ω

О

r υ

r ·β dω >0 dt

‫י‬

а

О

‫י‬

Рис.2

б

dω <0 dt

Е сл и вращ ение тел а вок руг неподвижной оси происходит ускоренно, то век тор угл ового ускорения β совпадает по направл ению свек тором угл овой скорости (рис. 2а). В сл учае замедл енного вращ ения век тора β противопол ожно друг другу(рис. 2б). 0` r M

h

r r

r F

α

и

ω

ω

направл ены

2. М оментсилы и момент инерции В озьмем нек оторое тел о, к оторое может вращ аться вок руг неподвижной оси OO′ (рис. 3). Д л я того чтобы привести тел о во вращ ател ьное движение, пригоднане всяк ая внеш няя сил а. Э тасил адол жнаобл адать вращ аю щ им моментом относител ьно данной оси, а направл ение сил ы не дол жно бы ть парал л ел ьны м данной

0

оси ил и пересек аться сней. П одействуем на тел о сил ой F . В ращ ение тел а будет определ яться моментом сил ы M относител ьно оси вращ ения: Рис.3

[ ]

M = r, F где

r

(6),

- радиус- век тор, проведенны й из центра ок ружности вращ ения в точк у

прил ожения сил ы

F . И з век торного произведения (6) следует, что век тор момента

сил ы M направл ен перпендик ул ярно пл оскости. в к оторой л ежатвек торы r и F , т.е. в соответствии с правил ом буравчик а. Ч исленное значение момента сил ы определ яется вы ражением: M = F r sin α (7), где α - угол между век торами

r

и

F . К ак

видно из рис. 3, вел ичина h = r sin α ,

равная расстоянию от оси вращ ения до направл ения действия сил ы F , назы вается пл ечом сил ы относител ьно этой оси. Сл едовател ьно, момент сил ы численно равен произведению сил ы напл ечо: M = F·h (8).

12

Т ак им образом, ф изический смы сл момента сил ы состоит в том, что при вращ ател ьном движении воздействие сил ы определ яется не тол ьк о вел ичиной сил ы , но и тем, к ак онаприл ожена. В динамик е вращ ател ьного движения вводится понятие O` момента инерции. П редставим твердое тел о, к оторое может вращ аться вок руг неподвижной оси OO′ , к ак систему r1 m1 m3 материал ьны х точек mi (рис. 4). r3 r2 m2 О чевидно, что к аждая точк а mi будет находиться на O определ енном расстоянии r до оси вращ ения. Рис.4 В ел ичина J = m r 2 , численно равная произведению массы i ii

точк и mi нак вадратее расстояния до оси вращ ения, назы вается моментом инерции точк и относител ьно оси вращ ения. М оментом инерции тел а назы вается сумма моментовинерции всех материал ьны х точек , составл яю щ их тел о, т.е.:

n J = ∑ mi ri2 i

(9).

Ф изический смы сл момента инерции J состоит в том, что при вращ ател ьном движении инерция тел а определ яется не тол ьк о вел ичиной массы , но и распредел ением этой массы относител ьно неподвижной оси вращ ения. Н а рис. 5 приведены ф ормул ы моментов инерции нек оторы х тел правил ьной геометрической ф ормы относител ьно оси, проходящ ей через центр тяжести (ось симметрии). Т онк ое к ол ьцо (обруч)

r

J = mr 2

Спл ош ной цил индр r

J=

Ш ар

Т онк ий дл инны й стержень

l

r

1 2 2 mr J = mr 2 2 5 Рис. 5

J=

1 ml 2 12

3. О сновной закон динамики вращ ения и кинетическая энергия вращ ательного движ ения. О сновной зак он динамик и вращ ател ьного движения имеетвид:

13

β=

M I

(10),

т.е. угл овое ускорение прямо пропорционал ьно моменту сил ы , действую щ ей на тел о и обратно пропорционал ьно моменту инерции тел а. Э тот зак он анал огичен основному зак ону динамик и дл я поступател ьного движения (второму зак ону Н ью тона): a =

F .П ри вращ ении тел а анал огично понятию импул ьса тел а дл я m

поступател ьного движения ( к оторы й равен

p = mv ) вводят понятие момента импул ьса тел а L , L = Jω

(11). А нал огично зак ону сохранения импул ьса дл я поступател ьного движения n

∑m v i =1

i

i

= const при вращ ател ьном движении действует зак он сохранения

моментаимпул ьса:

n ∑ J i ωi i =1

= const

(12),

где J i и ω i - моменты инерции и угл овы е скорости тел , составл яю щ их изол ированную систему. О н гл асит: в изо л иро ва нно й сист ем е (т .е. м о м ент внеш нихсил M = 0 ) сум м а м о м ент о в им пул ьса всехт ел ест ь вел ичина по ст о янна я. Д л я изол ированной системы , состоящ ей из одного вращ аю щ егося тел а, зак он сохранения (12) запиш ется ввиде:

I ω = const

(13). к инетическая энергия поступател ьно движущ егося тел а определ яется уравнением WK = 1 mv 2 . А нал огично этому вы ражению к инетическая 2 энергия тел а, вращ аю щ егося вок руг неподвижной оси, определ яется уравнением: К ак

известно,

1 WK = Jω 2 2

(14).

14

О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е М О М Е Н ТА И Н Е Р Ц И И ТЕ Л С П О М О Щ ЬЮ ТР И Ф И ЛЯР Н О ГО П О ДВЕ С А П риборы и принадл ежности: триф ил ярны й подвес, сек ундомер, набор тел . О писаниеустановки и метода определения момента инерции тел Т риф ил ярны й подвес (рис. 1) состоит из к ругл ой пл атф ормы с радиусом R , подвеш енной на трех симметрично распол оженны х О ` нерастяжимы х нитях дл инной l . Н аверху эти нити так же симметрично прик репл ены к диску с нескол ьк о меньш им r радиусом r . Ш нур позвол яет сообщ ать пл атф орме к рутил ьны е к ол ебания вок руг вертик ал ьной оси OO′ , перпендик ул ярной к ее пл оскости и проходящ ей через середину. П ри повороте в одном направл ении на нек оторы й угол пл атф орма поднимается на вы соту h и изменение ее потенциал ьной энергии будет равно l Wп = mgh , где m - масса пл атф ормы , g - ускорение свободного падения. П ри возвращ ении пл атф ормы в пол ожение равновесия ее к инетическая энергия будет равна W = 1 Jω 2 , где K

О

R

2 J - момент инерции пл атф ормы относител ьно оси OO′ ,

ω

-

угл овая скорость пл атф ормы в момент достижения ею пол ожения равновесия. Т огда на основании зак она сохранения Рис.1 механической энергии имеем: 1 2 (1). Jω = mgh 2 В ы разив h через радиусы пл атф ормы R , диска r , дл ину нитей l , а ω через периодк ол ебаний T , пол учим ф ормул удл я определ ения моментаинерции: mgRr 2 (2). T J= 4π 2l

Н еобходимо отметить, что в общ ем случае в ф ормул е (2) масса m может бы ть суммарной массой пл атф ормы и нек оторого тел а, находящ егося наэтой пл атф орме. В ы полнениеработы 1. О пределениемомента инерции J ненагруж енной платф ормы П л авно потянувзаш нур и резк о его отпустив, сообщ ить пл атф орме вращ ател ьное движение. К ол ебания пл атф ормы дол жны бы ть мал ы ми, не бол ее 3 4 оборота. И змеряя время t 10-20 пол ны х к ол ебаний n пл атф ормы , определ ить период

t n . Д анны е измерения провести не менее трех раз (можно сразны м числом n ) и найти среднее T . М оментинерции Jпл определ яется к ол ебаний T по ф ормул е T = по ф ормул е (2).

15

J пл =

gRr

mпл T 2 = kmпл T 2 ,

4π l gRr = const дл я данной установк и. где k = 2 4π l 2

В ел ичины R , r , l и mпл ук азаны на установк е, а множител ь k определ яется один раз дл я всех измерений. Резул ьтаты занести втабл ицу. № ∆J пл ∆ T , J 2 Δ J, к г*м2 100% п/ n t ,с T ,с с пл , к г*м J п л п 1 2 3 Ср И змеренное значение момента инерции пл атф ормы сравнить с теоретическим, исходя из того, что пл атф ормасчитается тел ом простой геометрической ф ормы (см. рис. 5). П о резул ьтатам опы танеобходимо оценить абсол ю тную и относител ьную ош ибк и измерений. О чевидно, что примерно так ие же погреш ности измерений будут при вы пол нении последую щ их упражнений наданной установк е. 2. О пределениемомента инерции твердого тела Д л я вы пол нения этого упражнения необходимо на центр пл атф ормы поместить тел о спроизвол ьной массой mT . У становк ател апроверяется по распол ожению его относител ьно к онцентрических ок ружностей, нанесенны х на пл атф орме. Д ал ее, к ак в п.1, определ яется период к ол ебаний системы – пл атф орма пл ю с тел о и рассчиты вается моментинерции Jс системы по ф ормул е: Jc= k(mпл + mт ел а )Т2, М оментинерции тел аопредел яется по ф ормул е: Jт ел а = Jc – Jпл . П о данны м измерений составить табл ицу, анал огичную табл . 1. 3. И зучениезависимости момента инерции системы (платф орма плю с тело) от располож ения тела на платф орме П о диаметру пл атф ормы поместить два тел а одинак овой ф ормы и массы так , чтобы они соприк асал ись в центре пл атф ормы . О предел ить момент инерции системы по ф ормул е: Jc= k(mпл + m2т ел )Т2, где m2т ел масса двух тел . Т огда момент инерции J2Т двух тел относител ьно оси вращ ения пл атф ормы будетравен: J 2T = J c − J пл . У вел ичив расстояние между тел ами, повторить опы т и сдел ать вы водо том, к ак изменяется моментинерции отпол ожения тел напл атф орме.

16

Э то упражнение можно вы пол нить, изменяя пол ожение одного тел а на пл атф орме (например, парал л ел епипеда) из вертик ал ьного в горизонтал ьное и наоборот. К онтрольны евопросы 1. Ч то назы вается моментом инерции тел а относител ьно оси вращ ения? В к ак их единицах измеряется моментинерции? 2. М ожетл и тел о иметь нескол ьк о моментовинерции? 3. К ак зависитмоментинерции отраспредел ения массы ? 4. К ак связаны междусобой моментсил ы и моментинерции тел а? 5. К ак зависит момент сил ы от направл ения прил оженной к нему сил ы и от расстояния отоси вращ ения до точк и прил ожения сил ы ?

17

Р АБ О Т А № 3 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е КО Э Ф Ф И Ц И Е Н ТА ВЯЗКО С ТИ Ж И ДКО С ТИ П О М Е ТО ДУ С ТО КС А Принадлеж ности: стек л янны й сосуд, напол ненны й вязк ой жидк остью , ш арик и из свинца, сек ундомер, измерител ьны й мик роскоп, масш табная л инейк а. К раткая теория Реал ьная жидк ость, в отл ичие от идеал ьной, обл адает вязк остью (внутренним трением), обусл овл енной сцепл ением (взаимодействием) междуее мол ек ул ами. П ри движении жидк ости между ее сл оями возник аю т сил ы внутреннего трения, действую щ ие так им образом, чтобы уравнять скорости всех слоев. П рирода этих сил зак л ю чается в том, что слои, движущ иеся сразны ми скоростями, обмениваю тся мол ек ул ами. М ол ек ул ы из бол ее бы строго слоя передаю т бол ее медл енному нек оторое к ол ичество движения, вследствие чего последний начинает двигаться бы стрее. М ол ек ул ы из бол ее медл енного слоя пол учаю т в бы стром слое нек оторое к ол ичество движения (ил и импул ьса), что приводитк его торможению . Т ак им образом, при переносе импул ьса υ + dυ Z от слоя к слою происходит изменение импул ьса этих слоев (увел ичение ил и ΔS уменьш ение). Э то значит, что на к ажды й из dZ этих слоев действует сил а, равная изменению υ импул ьса в единицу времени (второй зак он Н ью тона). Э та сил а назы вается сил ой трения между сл оями жидк ости, движущ имися с X разл ичны ми скоростями (внутреннее трение). Рассмотрим жидк ость, движущ ую ся в Y направл ении оси Х (рис.1) П усть слои Рис.1 жидк ости движутся сразны ми скоростями. Н а оси Z возьмем две точк и, находящ иеся на расстоянии dz. Ск орости поток а отл ичаю тся в этих точк ах на вел ичину dx. О тнош ение dυ назы вается градиентом dz

скорости – век торная вел ичина, численно равная изменению скорости на единицу дл ины в направл ении, перпендик ул ярном скорости и направл енная в сторону возрастания скорости. Сил а внутреннего трения (вязк ости) по Н ью тону, действую щ ая между двумя слоями жидк ости, пропорционал ьна пл ощ ади соприк асаю щ ихся слоев Δ S и dυ F = ––η градиентускорости: Δ S. (1) dz Знак минус означает, что импул ьс движения переносится в направл ении уменьш ения скорости, η - к оэф ф ициент внутреннего трения, ил и к оэф ф ициент вязк ости. И ногда к оэф ф ициент вязк ости η , определ яемы й ф ормул ой (1), назы ваю т к оэф ф ициентом динамической вязк ости вотл ичие отк оэф ф ициентак инематической вязк ости, равного отнош ению η / ρ , гдеρ - пл отность жидк ости.

18

Ф изический смы сл к оэф ф ициента вязк ости η зак л ю чается в том, что он численно равен сил е внутреннего трения, возник аю щ ей на единице пл ощ ади соприк асаю щ ихся слоев жидк ости при градиенте скорости между ними, равном единице. К ак следуетиз ф ормул ы (1), всистемеСИ к оэф ф ициентвязк ости η измеряется вН ·с/м2=П а·с(паскал ь-сек унда), авсистемеСГС вдн·с/см2=г/см·с(П уаз). Рассмотрим падение твердого тел авф орме ш арик ав вязк ой жидк ости (рис.2). Н аш арик действую ттри сил ы : сил атяжести f1 = mg, подъемная ил и вы тал к иваю щ ая сил а (зак он А рхимеда) – f2 и сил а сопротивл ения движению ш арик а, обусл овл енная сил ами внутреннего трения f3 жидк ости, - f3. П ри движении ш арик аслой жидк ости, граничащ ий с f2 его поверхностью , прил ипает к ш арик у и движется со скоростью ш арик а. Бл ижайш ие смежны е слои жидк ости так же приводятся в движении, но пол учаемая ими скорость тем меньш е, чем дал ьш е f1 они находятся от ш арик а. Т ак им образом, при вы числении сопротивл ения среды следует учиты вать трение отдел ьны х слоев жидк ости друг о друга, ане трениеш арик ао жидк ость. Сил асопротивл ения движению ш арик аопредел яется Рис.2 f 3 = 6π η r υ , (2) ф ормул ой Сток са гдеv – скорость движения ш арик а, r – его радиус. С учетом действия на ш арик трех сил уравнение движения в общ ем виде запиш ется следую щ им образом:

m

dυ = f1 + f 2 + f 3 dt

ил и вскал ярной записи сучетом знак асил

m

dυ 4 3 4 = π r ρ g − π r 3 ρ1 g − 6π η r υ , dt 3 3

(3)

гдеρ – пл отность ш арик а, ρ 1 – пл отность вязк ой жидк ости, g – ускорениесвободного падения. В се три сил ы , входящ ие в правую часть уравнения (3), будут направл ены по вертик ал и: сил атяжести – вниз, подъемная сил аи сил асопротивл ения – вверх. Сил а сопротивл ения с увел ичением скорости движения ш арик а возрастает. П ри нек оторой скорости ш арик а сил а сопротивл ения становится равной сумме сил тяжести, т.е. f3 = f2 +f1. Т ак им образом, равнодействую щ ая этих сил обращ ается в нул ь. Э то означает, что уравнение(3) принимаетвид dυ m = 0. dt dυ = 0 и υ = υ 0 = const. Т ак к ак m≠0, то dt Т ак им образом, по достижении ш арик ом скорости v0 дал ее он движется с постоянной скоростью и уравнение(3) принимаетследую щ ий вид: 4 3 π r ( ρ − ρ1 ) − 6π η rυ 0 = 0. (4) 3

19

Реш ая уравнение пол учаем

(4)

относител ьно к оэф ф ициента

η=

внутреннего

трения,

2 ( ρ − ρ 1 ) 2 2 ( ρ − ρ1 ) 2 gr = gd , 9 υ0 9 4υ 0

(5)

гдеd – диаметрш арик а.

l

Зная скорость установивш егося движения ш арик а υ 0 = l / t , где - дл ина пути, проходимого ш арик ом при установивш емся движении, t – время его движения, а так же пл отности ρ и ρ 1 и размеры ш арик а, можно вы числить значение к оэф ф ициентавязк ости дл я данной жидк ости по ф ормул е.

η=

2 (ρ − ρ1 ) 2 gd t. 9 4l

(6)

Вы полнениеработ ы Задание1. О предел ениедиаметровш арик ов. И змерение диаметров ш арик ов производится с помощ ью измерител ьного мик роскопа. Д ля измерения диаметра ш арик а необходимо поступить следую щ им образом. П ол ожение 1 П ол ожение 2 П ол ожив ш арик внутрь ш айбы на предметном Рис.3 стол ик е мик роскопа, вк л ю чить осветител ь. Регул ировк ой пол ожения осветител я и зерк ал ьца осветить ш арик снизу. П ри правил ьной регул ировк е осветител я и зерк ал ьца набл ю даемое в ок ул яр пол е зрения дол жно бы ть наибол ее ярк им. В ращ ая ок ул яр, добиться резк ого изображения перек рестия нитей. У становить тубус на так ую вы соту, чтобы отчетл иво бы л и видны к рая ш арик а (при правил ьной регул ировк е осветител я и зерк ал ьца в пол е зрения дол жно бы ть видно изображение ш арик а в виде черного к ругл ого пятна на ф оне ярк ого пол я зрения). П еремещ ая при помощ и мик рометрического винта тубус мик роскопа, навести вертик ал ьную нить ок ул яра последовател ьно на к рая ш арик а, чтобы нить к азал ась к асател ьной ш арик у (рис.3). В пол ожениях 1 и 2 снимаю тся отсчеты а1 и а2 по ш к ал е в мил л иметрах, а по барабану отсчеты , вы раженны е в соты х дол ях мил л иметра (один пол ны й оборот барабана равен горизонтал ьному перемещ ению тубуса на один мил л иметр). Разность между двумя отсчетами ( а 1 и а 2) дает диаметр ш арик а d. Ш арик и имею т не совсем правил ьную ф орму, поэтому необходимо диаметр к аждого ш арик аизмерять не менеетрех раз, поворачивая после к аждого измерения ш арик на предметном стол ик е мик роскопа спомощ ью пинцета. Ш арик и сярк о вы раженны ми поверхностны ми деф ек тами испол ьзовать дл я опы та нерек омендуется. К ол ичество ш арик ов, необходимое дл я вы пол нения работы , ук азы вается преподавател ем. Задание2. О предел ение к оэф ф ициентавязк ости исследуемой жидк ости.

20

П рибор дл я определ ения к оэф ф ициента вязк ости жидк ости состоит из стек л янного цил индра, напол ненного исследуемой жидк остью и имею щ его горизонтал ьны е, подвижны е метал л ические обручи 1 и 2 (рис.4). Расстояние 1 междуобручами l задается преподавател ем. Д л я измерения к оэф ф ициента внутреннего трения в данной l работе испол ьзую тся мал еньк ие ш арик и из свинца. И змерив предварител ьно диаметры ш арик ов, опускаю т их в цил индр связк ой жидк остью (к асторовое масло) через отверстие А в к ры ш к е цил индра. Ск орости ш арик ов довол ьно значител ьны , поэтому гл аз набл ю дател я необходимо 2 установить против верхнего обруча 1 так , чтобы обруч сливал ся воднупол осу. Считая движение установивш имся к моменту прохождения ш арик ом верхнего обруча, в момент прохождения ш арик а через верхний к рай обруча 1 пускаю т Рис.4 сек ундомер. П осле этого точно так им же образом набл ю даю т прохождение ш арик ом нижнего обруча 2 и останавл иваю тсек ундомер вмоментпрохождения ш арик ом верхнего к рая обруча2. Т ак определ яется время t движения ш арик амеждуобручами 1 и 2. А

Расстояние l междуобручами измеряется масш табной л инейк ой. П одставл яя в ф ормул у (6) значения l , t и среднее значение диаметраш арик а, вы числяю тзначение к оэф ф ициентавязк ости η исследуемой жидк ости. В наш ем сл учае ρ = 11,30 г/см3, ρ 1 = 0,96 г/см3. Т ак к ак внутреннее трение жидк остей сил ьно зависитоттемпературы , то необходимо отметить температуру во время проведения опы та. П роведя эк сперимент с ук азанны м числом ш арик ов, вы числяю т значения к оэф ф ициентов вязк ости η дл я к аждого ш арик а, а затем вы числяю т средню ю абсол ю тную и относител ьную ош ибк и измерений. П ол ученны е резул ьтаты заносятся втабл ицу: г г Е % № t, с l Δ η, η, , см см ⋅ с см ⋅ с n/n 1 2 3 … .. Ср

1. 2. 3. 4. 5.

К онтрольны евопросы О бъясните механизм внутреннего трения вжидк остях. О бъясните ф изический смы сл к оэф ф ициентавязк ости. В к ак их единицах измеряется к оэф ф ициентвязк ости вед.СИ и системе СГС? Ч то так ое к оэф ф ициент динамической вязк ости и к оэф ф ициент к инематической вязк ости? В ы ведитерабочую ф ормул у(6), поясните этотвы вод.

21

6. К ак зависит к оэф ф ициент вязк ости жидк ости оттемпературы ? 7. Ч то представл яет собой градиент скорости? Д айте определ ение этой вел ичины .

22

Р АБ О Т А № 4 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е О ТН О Ш Е Н И Я У ДЕ ЛЬН Ы Х ТЕ П ЛО Е М КО С ТЕ Й ГА ЗО В М Е ТО ДО М КЛЕ М А Н А -ДЕ ЗО Р М А П риборы и принадл ежности: стек л янны й бал л он с трехходовы м к раном, манометр, воздуш ны й насос. К раткая теория О пы т пок азы вает, что к ол ичество тепл оты Q , необходимое дл я нагревания массы однородного вещ ества от температуры Т 1 до Т 2 градусов, пропорционал ьно массевещ естваи изменению температуры : Q = cm(T2-T1), (1) гдес- удел ьная тепл оемк ость вещ ества. И з ф ормул ы (1) следует

c=

Q . m(T2 − T1 )

(2)

О тсю да видно, что удел ьной тепл оемк остью назы вается к ол ичество тепл оты , необходимоедл я нагревания вещ ествамассой 1 грамм (ил и 1 к ил ограмм) на1 К . П ол ожив m=1 к г, Q = 1 Д ж, ∆Τ2 − Τ1 = 1K , пол учим единицу удел ьной тепл оемк ости: [c] = 1 Д ж = 1 Д ж / (кг⋅ К ). 1кг⋅ 1К К роме удел ьной тепл оемк ости вещ ества вводится понятие мол ярной тепл оемк ости С. М ол ярной тепл оемк остью назы вается к ол ичество тепл оты , необходимое дл я нагревания мол я вещ ества на 1 К . И з определ ения удел ьной тепл оемк ости следует, что онасвязанасмол ярной соотнош ением C = µ ⋅c, (3) гдеμ- мол ярная массавещ ества. Е диницей С явл яется Д ж/(мол ь⋅К ). Состояние газа может бы ть охарак теризовано тремя вел ичинами параметрами состояния: давл ением p, объемом V и температурой T. У равнение, связы ваю щ ее эти вел ичины , назы вается уравнением состояния вещ ества. Д л я сл учая идеал ьного газауравнением состояния явл яется уравнение М ендел еева-К л апейрона, к отороедл я одного мол я газабудетиметь вид pV = RT , (4) гдеR - универсал ьная газовая постоянная. В ел ичина тепл оемк ости газов зависит от условий нагревания. В ы ясним эту зависимость, воспол ьзовавш ись уравнением состояния (4) и первы м начал ом термодинамик и, к оторое можно сф ормул ировать следую щ им образом: к ол ичество тепл оты dQ , переданное системе, затрачивается на увел ичение ее внутренней энергии dU и на работу dΑ , соверш аемую системой против внеш них сил dQ = dU + dΑ . (5) П о определ ению тепл оемк ости

c=

dQ dU dΑ = + . dT dT dT

23

(6)

И з уравнения (6) видно, что тепл оемк ость может иметь разл ичны е значения в зависимости от способов нагревания газа, так к ак одному и тому же значению dΤ могут соответствовать разл ичны е значения dU и dΑ . Э л ементарная работа dΑ равна dΑ = pdV . В нутренню ю энергию 1 мол я газаможно записать следую щ им образом: i (7) U = RT , 2

гдеi- число степеней свободы . Ч ислом степеней свободы газа назы вается число независимы х к оординат, определ яю щ их пол ожениетел авпространстве. П ри движении точк и по прямой л инии дл я оценк и ее пол ожения надо знать одну к оординату, т.е. точк а имеет одну степень свободы . Е сл и точк а движется по пл оскости, ее пол ожение харак теризуется двумя к оординатами, т.е. точк а обл адает двумя степенями свободы . П ол ожение материал ьной точк и в пространстве определ яется тремя к оординатами. Ч исло степеней свободы мол ек ул ы обы чно обозначается бук вой i. М ол ек ул ы , к оторы е состоятиз одного атома, считаю тся материал ьны ми точк ами и имею тчисло степеней свободы i- =3. Т ак ими явл яю тся мол ек ул ы аргона, гел ия и Z Z др. Д вухатомны е мол ек ул ы (H2, N2 и др.) обл адаю т числом степеней свободы i=5; они имею ттри степени X X свободы поступател ьного движения вдол ь осей X, Y, Z и две степени Y Y свободы вращ ения вок руг осей X и Z б (рис.1, а). В ращ ением вок руг оси Y a Рис.1 можно пренебречь, т.к . момент инерции ее относител ьно этой оси очень мал . М ол ек ул ы , состоящ ие из трех и бол ее жестк о связанны х атомов, не л ежащ их на одной прямой (рис.1, б), имею т число степеней свободы i = 6: три степени свободы поступател ьного движения и три степени свободы вращ ения вок руг осей X, Y, Z. Стол ьк о же степеней свободы имею т и другие многоатомны е мол ек ул ы . Рассмотрим основны е процессы , протек аю щ ие в идеал ьном газе при изменении температуры , к огда масса газа остается неизменной и равна одному мол ю . К ол ичество тепл оты , необходимое дл я нагревания одного мол я газа на 1К , определ яется мол ярной тепл оемк остью . И зо хо рический про цесс. П роцессназы вается изохорическим, если объем тел а при изменении температуры остается постоянны м, т.е. V=const. В этом случае: dV = 0 . Сл едовател ьно, и dA = 0 , т.е. при этом вся подводимая к газу тепл ота идет на увел ичение его внутренней энергии. Т огда из уравнения (6) следует, что мол ярная тепл оемк ость газапри постоянном объемеравна

24

cV =

dU i = R. dT 2

(8)

И зо ба рический про цесс. П роцесс, протек аю щ ий при постоянном давл ении (P=const), назы вается изобарическим. Д л я этого сл учая ф ормул а (6) перепиш ется в виде:

cp =

dU dV +p . dT dT

(9)

И з уравнения газового состояния (4) пол учаем:

pdV + Vdp = RdT .

(10)

pdV = RdT . П одставл яя это i+2 cp = R. (11) 2 c p = cV + R . (12)

Н о Р=const и dР=0. Сл едовател ьно, вы ражение вуравнение(9), пол учим

Сравнив(8) и (11), пол учим И зо терм ический про цесс. И зотермическим процессом назы вается процесс, протек аю щ ий при постоянной температуре (T=const). В этом сл учае dT = 0 и dQ = dA , т.е. внутренняя энергия газа остается постоянной и все подводимое тепл о расходуется наработу. А диа ба т ический про цесс. П роцесс, протек аю щ ий без тепл ообмена с ок ружаю щ ей средой, назы вается адиабатическим. П ервое начал о термодинамик и дл я так ого процессабудетиметь вид(dQ = 0, dU + dA = 0 ) :

dA = − dU = −cV dT ,

т.е. при адиабатическом процессе расш ирения ил и сжатия, работа соверш ается газом тол ьк о засчетизменения запасавнутренней энергии. В ы ведем уравнение адиабатического процесса. П ри адиабатическом расш ирении работасоверш ается засчетубы л и внутренней энергии

dA = −dU .

Н о dA = pdV и dU = cV dT , значит,

pdV = −cV dT .

Раздел ивуравнение(10) на(12), и учиты вая (12), пол учим

c − cV V dp 1+ =− p , p dV cV

dp dV = −γ , p V

где γ =

cp cV

.

И нтегрируя и потенцируя, пол учим уравнение П уассона:

pV γ = const .

(13)

И так , согл асно к инетической теории газов

γ =

cp cV

=

i+2 . i

(14)

25

Э та ф ормул а справедл ива к ак дл я мол ярны х, так и дл я удел ьны х тепл оемк остей газов. Т ак им образом, по значениям тепл оемк остей все газы можно раздел ить натри сорта: одноатомны е, двухатомны е, многоатомны егазы .

К н асосу

О писаниеи теория метода П редл агаемы й метод определ ения γ основан на применении уравнений адиабатического и изохорического процессов. У становк а состоит из B стек л янного бал л она А, соединенного сманометром В и насосом (рис.2). П осредством Д к рана Д бал л он может бы ть соединен с атмосф ерой, и пусть первоначал ьно в нем бы л о h1(h2) атмосф ерное давл ение. Е сли с помощ ью насоса нак ачать в A бал л он нек оторое к ол ичество воздуха и зак ры ть к ран, то давл ение вбал л оне повы сится; но если это повы ш ение бы л о произведено достаточно бы стро, то манометрический стол бик не Рис.2 сразу займет ок ончател ьное пол ожение, так к ак сжатие воздуха бы л о адиабатическим и, следовател ьно, температура его повы сится. О к ончател ьная разность уровней в манометре h установится тол ьк о тогда, к огда температура воздуха внутри бал л она сравняется, бл агодаря тепл опроводности стенок , стемпературой ок ружаю щ его воздуха. О бозначим через Т 1 термодинамическую температуру ок ружаю щ его воздухаи через р1 - давл ение газа внутри сосуда, соответствую щ ее пок азанию манометра h1. О чевидно, давл ение, установивш ееся вбал л оне, будетравно

p1 = p0 + h,

(15) где р0 - атмосф ерное давл ение (к онечно, при этом р0 и h1 дол жны бы ть вы ражены в одинак овы х единицах). Э ти два параметра Т 1 и р1 харак теризую т состояние газа, к отороемы назовем первы м состоянием газа. Е сли теперь бы стро отк ры ть к ран, то воздух в бал л оне будет расш иряться адиабатически, пок адавл ение его не сдел ается равны м р0; при этом он охл адится до температуры Т 2. Э то будетвтороесостояниегаза: Т 2 и р0. Е сл и сразу после отк ры вания сновазак ры ть к ран, то давл ение внутри бал л она начнет возрастать всл едствие того, что охл адивш ийся при расш ирении воздух в бал л оне станет снова нагреваться. В озрастание давл ения прек ратится, к огда температура воздуха в бал л оне сравняется свнеш ней температурой Т 1. О бозначим давл ение воздуха в бал л оне в этот момент через р2 и соответствую щ ее пок азание манометра- через h2. Э то будеттретьесостояние газа: Т 1 и р2. Я сно, что

p2 = p0 + h2 .

(16)

26

Т ак к ак переход от второго состояния (после зак ры тия к рана) к третьему произош ел без изменения объема, то можно применить здесь зак он ГейЛю ссак а:

p 2 p0 = . T1 T2

(17)

К переходу из первого состояния во второе (процесс адиабатического расш ирения) применяем уравнение П уассонавф орме:

p1γ −1 p0γ −1 = γ . T1γ T2

(18)

Э таф ормауравнения П уассонаможетбы ть л егк о пол ученаиз обы чной (13):

p1V1γ = p2V2γ , если воспол ьзоваться дл я этой цел и уравнением состояния газа

p1V1 p2V2 = . T1 T2 В озводя последнее уравнение в степень γ и раздел ив его почл енно на уравнение

p1γ −1 p 2γ −1 = γ , T1γ T2

П уассона, пол учим:

т.е. уравнение, анал огичное (18). П одставл яя в уравнение (18) значение р1 из (15) и переставл яя чл ены , пол учаем: γ

 T1   p0 + h1     =  T p  2  0 

γ −1

 h  1 + 1  p0  

ил и

γ −1

γ

 T − T2   . = 1 + 1 T   2

Разл агая оба двучл ена по биному Н ью тона и ограничиваясь чл енами первого порядк амал ости, пол учаем:

1 + (γ − 1)

h1 T − T2 =1+ γ 1 , отк уда T2 p0

p0

T1 − T2 γ − 1 h1 . = T2 γ

Н о вы ражение, стоящ ее вл евой части этого уравнения, есть нечто иное, к ак h2; действител ьно, подставиввуравнение( 17) значениер1 из уравнения (16) и разреш ивего относител ьно h2, пол учим:

h2 = p0 Сл едовател ьно, можно записать:

h2 =

T1 − T2 . T2

γ −1 h1 , γ

отк удаок ончател ьно находим:

γ =

h1 . h1 − h2

(19)

27

Вы полнениеработ ы С помощ ью трехходового к рана Д бал л он может соединяться своздуш ны м насосом, сатмосф ерой л ибо перек ры ваться совсем. Д л я проведения измерений к ран ставят в пол ожение, при к отором воздух нагнетается в бал л он с помощ ью насоса. К огда разность уровней в манометре достигает 20-25 дел ений ш к ал ы манометра, отк л ю чаю т бал л он от насоса и атмосф еры . П осле того к ак давл ение ок ончател ьно установится, производят отсчет h1 - разности уровней жидк ости в обоих к ол енах манометра (если нул ь ш к ал ы манометра находится внизу, то h1 определ яется к ак разность уровней в манометре; если нул ь ш к ал ы находится в середине, то берется сумма пок азаний манометра по обе стороны отнул я). Затем производятнанек оторы й моментсообщ ение бал л онас атмосф ерой и бы стро его перек ры ваю т (рек омендуется перек ры вать бал л он сразу после прек ращ ения звук а вы ходящ его воздуха). К огда давл ение ок ончател ьно установится, производятвторой отсчетпо манометру- h2. О пы тследуетповторить неменее десяти раз, меняя всяк ий раз вел ичинуh1. П одставл яя вф ормул у(19) значения h1 и h2, взяты е из отдел ьны х набл ю дений, находятвел ичинуγ, авсерезул ьтаты заносятвтабл ицу: № п/п

h1

h2

γ

Δγ

∆γ ср γ ср

100%

1 2 . . .10 Ср. О к ончател ьно вел ичину γ находят к ак среднее значение всех γ, пол ученны х при набл ю дении. К онтрольны евопросы 1. Ч то назы вается удел ьной (мол ярной) тепл оемк остью вещ ества? 2. П очемутепл оемк ости газазависятотусл овий его нагревания? 3. Ч то назы вается числом степеней свободы тел а? 4. Ч ему равно отнош ение мол ярной тепл оемк ости газа и его удел ьной тепл оемк ости? 5. В к ак их единицах вы ражается мол ярная тепл оемк ость? 6. Ч емуравно γ дл я воздуха? 7. Д айте определ ение адиабатического процессаи пок ажите, к ак в к оординатах P и V граф ически изображаю тся адиабатический и изотермический процессы . Р АБ О Т А № 5 О П Р Е ДЕ ЛЕ Н И Е КО Э Ф Ф И Ц И Е Н ТА П О ВЕ Р Х Н О С ТН О ГО Н А ТЯЖ Е Н И Я Ж И ДКО С ТИ М Е ТО ДО М КО М П Е Н С А Ц И И ДО П О ЛН И ТЕ ЛЬН О ГО ДА ВЛЕ Н И Я П риборы и принадл ежности: прибор дл я определ ения к оэф ф ициента поверхностного натяжения, измерител ьны й мик роскоп, набор к апил л яров.

28

К раткая теория В жидк остях среднее расстояние между мол ек ул ами значител ьно меньш е, чем в газах. О ни распол агаю тся настол ьк о бл изк о к друг к другу, что сил ы притяжения между ними имею т значител ьную вел ичину. П оэтому взаимодействие между ними бы стро убы вает с расстоянием и можно считать, что к аждая мол ек ул а взаимодействует л иш ь с теми мол ек ул ами, к оторы е находятся внутри сф еры определ енного радиуса r с центром в данной мол ек ул е (сф ера мол ек ул ярного действия). Е сли мол ек ул ы , например, А и Б, находятся внутри жидк ости (рис.1), то сил ы , действую щ ие на них со стороны других мол ек ул , взаимно к омпенсирую тся. П оскол ьк у пл отность пара гораздо меньш е пл отности жидк ости, то на к аждую мол ек ул у, например В , находящ ую ся в поверхностном слое, действует сил а f, направл енная в гл убь жидк ости перпендик ул ярно ее поверхности (см.рис.1). В ел ичина этой сил ы растет в направл ении от внутренней к наружной границе поверхностного слоя жидк ости. Т ак им образом, в поверхностном слое жидк ости обнаруживается нескомпенсированность мол ек ул ярны х сил : частицы жидк ости, находящ иеся в этом слое, испы ты ваю т направл енную внутрь сил у притяжения остал ьной частью жидк ости. П оэтомуповерхностны й слой

П оверхностны й сл ой

Рис жидк ости ок азы вает на нее бол ьш ое вну тр.1еннее давл ение, достигаю щ ее десятк ов ты сяч атмосф ер. Э то давл ениеназы вается внутренним ил и мол ек ул ярны м. П ереход мол ек ул ы из гл убины жидк ости в поверхностны й слой связан с соверш ением работы против действую щ их в поверхностном слое сил . Э та работа соверш ается мол ек ул ой за счет запаса ее к инетической энергии и идет на увел ичение потенциал ьной энергии мол ек ул ы . П ри обратном переходе мол ек ул ы внутрь жидк ости потенциал ьная энергия, к оторой обл адал а мол ек ул а в поверхностном слое, переходитв к инетическую энергию мол ек ул ы . Т ак им образом, мол ек ул ы в поверхностном слое обл адаю т допол нител ьной потенциал ьной энергией, а поверхностны й слой в цел ом обл адает допол нител ьной энергией W, к оторая входитсоставной частью во внутренню ю энергию жидк ости. П оскол ьк у энергия W обязана своим происхождением нал ичию поверхности, то онадол жнабы ть пропорционал ьнапл ощ ади S этой поверхности: W = α·S, (1) где α - к оэф ф ициент поверхностного натяжения. К о эф ф ициент по верхно ст но г о на тяж ения числ енно ра вен ра бо т е, ко т о рую на до со верш ить дл я увел ичения по верхно ст и ж идко ст и на единицу пл о щ а ди. Е го вел ичина зависит от природы

29

жидк ости, от нал ичия в ней примесей и от температуры . П оскол ьк у с повы ш ением температуры разл ичие в пл отностях жидк ости и ее насы щ енного пара уменьш ается, то при этом уменьш ается и к оэф ф ициентповерхностного натяжения. П ри к ритической температуре α обращ ается внул ь. И з ф ормул ы (1) следует, что к оэф ф ициент поверхностного натяжения α в ед.СИ измеряется вД ж/м2, авсистемеСГС - вэрг/см2. Ф изический смы сл к оэф ф ициента α можно определ ить иначе. П оскол ьк у всяк ая система в состоянии равновесия имеет минимал ьную энергию , то очевидно, из-за нал ичия поверхностной энергии жидк ость в своем стремл ении к равновесию стремится сок ратить свою поверхность до минимума. Ж идк ость ведет себя так , к ак если бы она бы л а зак л ю чена в упругую растянутую пл енк у, стремящ ую ся сжаться. Сл едовател ьно, дол жны сущ ествовать сил ы , препятствую щ ие увел ичению поверхности жидк ости, стремящ иеся сок ратить ее. О ни дол жны бы ть направл ены вдол ь самой поверхности, по к асател ьной к ней. Э ти сил ы назы ваю тся сил ами поверхностного натяжения. О ни возник аю т вследствие стремл ения жидк ости уменьш ить свою поверхность, аследовател ьно, и поверхностную энергию . О днак о первопричиной возник новения сил А ‫ י‬dx A поверхностного натяжения следует считать сил ы , действую щ ие на мол ек ул ы поверхностного слоя и направл енны евнутрь жидк ости. F П усть поверхностны й слой занимаетчасть рамк и, к ак l пок азано на рис.2. Э тот слой стремится сок ратить свою поверхность. Е сли участок А В рамк и может свободно перемещ аться, то при сок ращ ении пов ерхности эта сторона переместится вл ево на ‫י‬ B dx B расстояниеdx, что соответствуетизменению пл ощ ади Рис.2 поверхности на dS = l ⋅ dx . Соверш аемая при этом работаравна: dA = α ⋅ dS = α ⋅ l ⋅ dx. (2) dA = F ⋅ dx. С другой стороны , (3) О тсю да сил а поверхностного натяжения F, сок ращ аю щ ая поверхность жидк ости, равна: F =α ⋅l. (4) Ф ормул а(4) даетвторое определ ение к оэф ф ициентаповерхностного натяжения (вы тек аю щ ее из первого): ко эф ф ициент по верхно стно г о на т яж ениячисл енно ра вен сил е по верхно стно г о на т яж ения, дейст вую щ ей на единицу дл ины ко нт ура , ог ра ничива ю щ ег о по верхно ст ь. В соответствии сэтим к оэф ф ициент α в ед.СИ измеряется в Н /м, а в системе СГС - вдн/см. Е сли поверхность жидк ости не пл оская, то стремл ение ее к сок ращ ению приводит к возник новению давл ения, допол нител ьного по отнош ению к Рис.3

30

тому, к оторое испы ты вает жидк ость с пл оской поверхностью . В сл учае вы пук л ой поверхности это давл ение пол ожител ьно, а в сл учае вогнутой - отрицател ьно (рис.3). П .Лапл аснаш ел , что допол нител ьноедавл ение ∆p , производимоенажидк ость поверхностны м слоем произвол ьной ф ормы , равно: 1 1  (5) ∆p = α  + ,  R1 R2  где R1 и R2 радиусы к ривизны двух л ю бы х взаимно перпендик ул ярны х нормал ьны х сечений поверхности. Д л я сф ерической поверхности R1=R2=R и

∆p =

2α . R

(6)

Н а ф орму поверхности жидк ости, нал итой в сосуд, вл ияет взаимодействие мол ек ул жидк ости смол ек ул ами твердого тел а. Е сли сил ы взаимодействия между мол ек ул ами жидк ости бол ьш е, чем между мол ек ул ами жидк ости и твердого тел а, то жидк ость несмачиваеттвердое тел о. Е сл и же сил ы взаимодействия между мол ек ул ами жидк ости меньш е, чем между мол ек ул ами жидк ости и твердого тел а, то жидк ость смачиваетэто твердое тел о. П ри несмачивании в слое жидк ости, прил егаю щ ем к θ твердому тел у, резул ьтирую щ ая сил а направл ена в сторону жидк ости. П оверхность жидк ости θ распол агается перпендик ул ярно к сил е и у вертик ал ьной стенк и распол агается, к ак пок азано а) нарис.4а. Рис. 4 б) У гол θ между к асател ьны ми к поверхности жидк ости и твердого тел а назы вается к раевы м угл ом. В сл учае несмачивания к раевой угол тупой (θ>90o). П ри смачивании в слое жидк ости, прил егаю щ ем к твердому тел у, резул ьтирую щ ая сил а направл ена в сторону твердого тел а. П ри этом угол θ <90о (остры й) и поверхность жидк ости распол агается у вертик ал ьной стенк и, к ак пок азано рис.4б. В заимодействие мол ек ул жидк ости с мол ек ул ами твердого тел а ведет к искривл ению поверхности жидк ости вбл изи стенок сосуда. В узк их сосудах (к а пи лл R яр θ h r ах) вл h θ ия θ ни е ст

θ<900; h<0; ∆p >0

θ<900; h<0; ∆p >0

б)

а)

Рис. 5

31

енок распространяется на всю поверхность жидк ости и она искривл ена на всем своем протяжении. Т ак ого рода изогнуты е поверхности носят название менисков. И скривл ение поверхности жидк ости приводит, к ак бы л о пок азано вы ш е, к появл ению допол нител ьного давл ения. Н епосредственны м следствием этого допол нител ьного давл ения явл яется к апил л ярны й подъем (ил и опускание) жидк ости. Н а рис.5 изображены два к апил л яра, опущ енны е в ш ирок ий сосуд с жидк остью . Е сли жидк ость смачивает стенк и к апил л яра, то ее поверхность внутри к апил л ярабудетвогнутой, если несмачивает- вы пук л ой. Здесь R - радиуск ривизны поверхности жидк ости, r -радиуск апил л яра. И скривл ение поверхности ведет к появл ению допол нител ьного давл ения, и жидк ость в первом сл учае ( ∆p < 0 ) будет подниматься по к апил л яру, во втором ( ∆p > 0 ) - опускаться. О писаниеустановки и вы вод расчетной ф ормулы И спол ьзуемы й вданной работеприборизображен нарис.6. О н состоитиз ш ирок ой метал л ической трубк и 3, один к онец к оторой присоединен к спиртовому манометру 5. В другой ее к онец с помощ ью резиновой пробк и вставл яется к апил л яр 1, к оторы й опускается в стек л янны й стак анчик 2 с исследуемой жидк остью . К середине метал л ической трубк и подсоединен ш ирок ий пол ы й метал л ический цил индр 9, к оторы й опускается в стак ан сводой 4. И зменяя вы сотупол ожения стол ик а6, нак отором стоитстак ан 4, можно изменять давл ение в данной системе. П ол ожение стол ик а 7, на к отором стоит стак анчик 2, так же можно менять спомощ ью винта8. Е сл и в стак анчик 2 с исследуемой жидк остью опустить 3 1 к апил л яр, то в случае смачивания 5 9 жидк ости его стенок , жидк ость 2 поднимется в к апил л яре на 4 нек оторую вы соту h. (В данной работе исследую тся тол ьк о 7 смачиваю щ ие стек л о жидк ости: водаи спирт.) Я вл ение поднятия жидк ости, смачиваю щ ей стенк и в к апил л яре, 6 8 обусловл ено возник новением разности давл ений ( p2 − p1 ) по разны е стороны к ривой поверхности жидк ости (см. рис.5а). Э та разность давл ений дл я сл учая сф ерической поверхности Рис.6 жидк ости в к апил л яре определ яется ф ормул ой (6): p2 − p1 =

2α . R

(7)

32

И з рис. 5аимеем:

R=

r . cosQ

p2 − p1 =

А при пол ном смачивании, к огдаQ=0,

2α cos Q. r

(8)

2α (9) . r В наш ем сл учае р1 - есть атмосф ерное давл ение, ар2 - давл ение жидк ости на уровне мениска, причем р1 = р2 – ρ gh. Здесь ρgh - гидростатическое давл ение стол ба жидк ости в к апил л яре, где ρ - пл отность жидк ости, g - ускорение свободного давл ения, h - вы сотаееподнятия. Сл едовател ьно, p2 − p1 = ρgh. (10) Сравнивая ф ормул ы (9) и (10), пол учим p2 − p1 =

2α = ρgh. r

(11)

И з ф ормул ы (11) видно, что, измерив вы соту поднятия жидк ости и радиус к апил л яра, можно вы числить к оэф ф ициент поверхностного натяжения жидк ости по ф ормул е: rρgh (12) α= . 2 О днак о измерить точно вы соту поднятия жидк ости в к апил л яре трудно. П оэтомувработе испол ьзуется методк омпенсации разности давл ений. Е сли создать в к апил л яре наджидк остью избы точное давл ение, то при нек отором его значении ризб. уровень жидк ости вк апил л яресравнивается суровнем жидк ости встак анчик е2. Э то избы точное давл ение, к оторое можно измерить манометром, равно

pизб , = ρ м gH ,

где ρ м - пл отность жидк ости вманометре, Н - разность вы сотвк ол енах манометра. Т огда к оэф ф ициент поверхностного натяжения жидк ости вы числяется по ф ормул е: rρ gH dρ gH α= м α= м , ил и (13) 2 4 гдеd - диаметр к апил л яра. В ы полнениеработы Задание1. И змерениедиаметра капилляра Д иаметр к апил л яраопредел яется спомощ ью измерител ьного мик роскопа. Д л я этого в вертик ал ьном пол ожении к апил л яр помещ аю т на предметны й стол ик мик роскопаи добиваю тся резк ого изображения его торца. П одводят к апил л яр с помощ ью мик рометрических винтов мик роскопа в пол ожение 1 и дел аю т отсчет а 1 по ш к ал е и мик ровинту мик роскопа. 1

Рис.7

2

33

П ереводят к апил л яр в пол ожение 2 и сновадел аю тотсчета 2 (см.рис.7). Разность междудвумя отсчетами (а 2-а 1) дастдиаметр к апил л яраd. П оворачивая к апил л яр вок руг централ ьной оси, дел аю т ещ е не менее двух измерений диаметрак апил л яраи резул ьтаты отсчетовзаносятвтабл .1. Т абл ица1 № а 1, мм а 2, мм d, мм ∆ d, мм п/п 1 2 3 Ср. Задание2. О пределениекоэф ф ициента поверхностного натяж ения ж идкости 1. К апил л яр 1 промы ваю т дистил л ированной водой, затем иссл едуемой жидк остью и вставл яю т в трубк у 3. Стак ан сводой 4 спомощ ью поворотного стол ик а 6 опускается так , чтобы вода не заходил а в метал л ический цил индр 9. У ровни жидк ости вманометре5 дол жны бы ть одинак овы . 2. Н а стол ик 7 помещ аю т стек л янны й стак анчик 2 с исследуемой жидк остью и зак репл яю тстол ик винтом 8 втак ом пол ожении, чтобы к апил л яр бы л погружен в жидк ость на 2-3 мм. П ри этом жидк ость в к апил л яре поднимется и установится нанек оторой вы соте. 3. В ращ ая стол ик 6, медл енно поднимаю т стак ан сводой 4, вода запол няет объем метал л ического цил индра 9 и в системе повы ш ается давл ение. В момент, к огда уровень жидк ости в к апил л яре 1 сравняется с поверхностью исследуемой жидк ости встак анчик е 2, производятотсчетН разности уровней по манометру 5. О чевидно, что в этот момент к омпенсирую щ ее давл ение станет равны м допол нител ьномудавл ению поверхностного слоя жидк ости вк апил л яре. 4. О пы т необходимо повторить не менее пяти раз, затем найти среднее значение разности уровней вманометреН и резул ьтаты занести втабл ицу. № п/п 1 2 3 4 5 Ср.

Н , мм

∆Н , мм

α, дин/см

∆α, дин/см

∆α 100% α

5. П о ф ормул е (13) вы числить значение к оэф ф ициента поверхностного натяжения исследуемой жидк ости и абсол ю тную и относител ьную погреш ности измерений. П л отность жидк ости (спирта) вманометре ρ м =0,79 г/см3.

34

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

К онтрол ьны евопросы Расскажите, к ак возник аю ти к ак действую тсил ы мол ек ул ярного давл ения? К ак возник аю тсил ы поверхностного натяжения и к ак они направл ены ? В чем зак л ю чается ф изический смы сл к оэф ф ициента поверхностного натяжения α? В к ак их единицах он измеряется? О тчего зависитα? В чем зак л ю чаю тся явл ения смачивания и несмачивания? Ч то так ое к раевой угол ? Ч то так ое допол нител ьное давл ение поверхностного слоя жидк ости? П очему оно возник ает? Запиш итеф ормул уЛапл аса. Ч то так оек апил л ярность и к ак ведетсебя жидк ость вк апил л яре? В чем зак л ю чается методк омпенсации давл ения дл я определ ения к оэф ф ициента поверхностного натяжения?

35

Составител и: М ил о видо ва С вет л а на Д м ит риевна С идо ркин А л екса ндр С т епа но вич Л иберм а н Зино вий А л екса ндро вич Ро г а зинска яО л ьг а Вл а дим иро вна С а ввино в А л ексей М иха йл о вич Редак тор Тихо м иро ва О .А .

Зак аз № 590 от23.09.04 г. Т ираж 100 эк з. Лаборатория оперативной пол играф ии В ГУ