Эконометрика: Программа и методические указания к выполнению контрольных работ

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Целью преподавания дисциплины является получение знаний в области построения эконометрических моделей и определения возможностей использования моделей для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов как на микроуровне, так и на макроуровне. Основными задачами изучения дисциплины являются: – методология принятия решений о спецификации и идентификации моделей; – ознакомление с методами и приемами интерпретации результатов эконометрического моделирования;. – изучение принципов выбора метода оценки параметров моделей; – выработка устойчивых практических навыков разработки прогнозных оценок. 2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

В результате усвоения материала дисциплины студент должен знать: Терминологию, основные понятия и определения. – Методологические основы эконометрического моделирования. – Принципы и методы построения эконометрических моделей на основе пространственных данных и временных рядов. – Методику статистической оценки значимости возмущающих факторов. – Принципы решения типовых задач с учетом мультиколлинеарности и автокорреляции. – Возможности реализации типовых задач на компьютере с помощью пакетов прикладных программ EXCEL, STATISTICA. 3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ Виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины Аудиторные занятия Л ек ц и и Практические занятия (ПЗ) Индивидуальная работа преподавателя Самостоятельная работа Вид итогового контроля

Специальность 060400 (заочная форма обучения) Всего часов Семестр 5

82 27 9 9 9 55 Зачет

82 27 9 9 9 55 Зачет

1

4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Введение Предмет и задачи дисциплины, определение эконометрики. Эконометрика и экономическая теория. Эконометрика и статистика. Эконометрика и экономико-математические методы. Области применения эконометрических моделей. Методологические вопросы эконометрических моделей: обзор использумых методов. Литература: [1, 2, Д3]. Раздел 1. Линейная модель множественной регрессии Уравнение регрессии, его смысл и назначение. Выбор типа математической функции при построении уравнения регрессии. Понятие о функциональной, статистической и корреляционных связях. Стандартизованные коэффициенты регрессии и их интерпретация. Парные и частные коэффициенты корреляции. Множественный коэффициент корреляции и множественный коэффициент детерминации. Оценка надежности показателей корреляции. Литература: [1, 4, Д3]. Раздел 2. Метод наименьших квадратов Метод наименьших квадратов и условия его применения для определения параметров уравнения парной регрессии. Определение параметров уравнения множественной регрессии методов наименьших квадратов. Обобщенный метод наименьших квадратов. Литература: [1, 4, Д4]. Раздел 3. Показатели качества регрессии Оценка качества модели множественной регрессии: F-критерий Фишера и t- критерий Стьюдента. Хи-квадрат распределение. Определение двухстороннего критерия и числа степеней свободы. Доверительный интервал для коэффициента регрессии. Литература: [2, Д1, Д5]. Раздел 4. Регрессионные модели с переменной структурой Фиктивные переменные во множественной регрессии. Преобразование качественных переменных в количественные. Пример фиктивных 2

переменных для функций спроса. Введение фиктивных переменных в нелинейные модели путем преобразования к линейному виду. Двухфакторная регрессионная модель с фиктивными переменными. Применение фиктивных переменных для моделирования сезонных колебаний. Литература: [4, Д4, Д5]. Раздел 5. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация Внутренне линейные и внутренне нелинейные модели. Модель Филлипса. Модель Энгеля. Расчет коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии. Производственная функция. Литература: [4, Д4, Д5]. Раздел 6. Модели стационарных и нестационарных временных рядов Специфика временных рядов в эконометрическом моделировании. Аналитическое выравнивание временных рядов. Оценка параметров уравнения тренда. Автокорреляция в остатках, ее измерение и интерпретация. Критерий Дарбина–Уотсона в оценке качества трендового уравнения регрессии. Анализ временных рядов при наличии периодических колебаний: аддитивная и мультипликативная модели. Особенности изучения взаимосвязанных временных рядов. Автокорреляция рядов динамики и методы ее устранения. Метод последовательных разностей. Интерпретация параметров уравнения регрессии, построенного по первым и вторым разностям. Метод отклонения уровней ряда от основной тенденции. Метод включения фактора времени. Построение моделей регрессии временного ряда с фиктивными переменными. Литература: [3, 4, Д2, Д3]. Раздел 7. Системы линейных одновременных уравнений Применение одновременных, совместных уравнений для компенсации ошибок спецификации моделей. Построение макроэкономических моделей функционирования экономики разных стран. Статическая модель Кейнса. Мультипликаторные модели кейнсианского типа с разной мерой сложности. Инвестиционный мультипликатор потребления и инвестиционный мультипликатор национального дохода. Модель Л. Клейна (конъюнктурная модель). Модели Б. Хохенбалкена и Г. Тинтнера. Литература: [1, 3, 4, Д5]. 3

Раздел 8. Косвенный двух- и трехшаговый метод наименьших квадратов Эндогенные переменные. Структуры сверхидентифицируемых моделей (1-го и 2-го типов). Системы линейных одновременных уравнений. Оценка качества уравнений через F-критерий Фишера. Относительные ошибки аппроксимации. Оценки значимости структурных коэффициентов модели через t-критерий Стьюдента. Литература: [1, 3, 4, Д2, Д4]. 5. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ №

Разделы дисциплины

Темы практических занятий

1. Оценка значимости параметров уравнения регрессии 2. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции Метод наименьших квадратов 3. Оценка параметров методом наименьших квадратов Показатели качества регрессии 4. Оценка дисперсии ошибок 5. Ковариационная матрица оценок Регрессионные модели параметров 6. Определение коэффициентов эласс переменной структурой тичности по разным видам регрессионных моделей Нелинейные модели регрес- 7. Определение средней ошибки аппроксимации сии и их линеаризация Модели стационарных и неста- 8. Аддитивные и мультипликативные ционарных временных рядов модели

1 Линейная модель множественной регрессии

2 3 4

5 6

6. ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. Рассчитать параметры линейного уравнения множественной регрессии с полным перечнем факторов. 2. Дать сравнительную оценку силы связи факторов с результатом с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности. 3. Определение коэффициентов эластичности по различным видам продукции и пояснение их смысла. 4. Определение коэффициентов детерминации для различных видов уравнений парной регрессии. 4

5. Оценить статистическую значимость параметров регрессионной модели с помощью t-критерия; нулевую гипотезу о значимости уравнения и показателей тесноты связи с помощью F-критерия. 6. Оценить качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации. 7. Построить модель формирования цены квартиры за счет значимых факторов. 8. Указать возможность введения в модель фиктивной переменной и интерпретации коэффициента регрессии при ней. 9. Построение эконометрической модели с информативными факторами и оценка ее параметров. 7. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x: y = f (x), где y – зависимая переменная (результативный признак); х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор). Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия: y = a+bx+ε. Нелинейные регрессии делятся на два класса: – регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, – регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам. Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным: 2 3 – Полиномы разных степеней y = a + b1 x + b2 x + b3 x + ε . b +ε. x Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: – степенная y = a ⋅ x b + ε ; – показательная y = a ⋅ b x + ε ; a +bx +ε. – экспоненциальная y = e Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических yˆ x минимальна, т. е. 5

– Равносторонняя гипербола y = a +

∑ ( y − yˆ x )

2

→ min.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b: ⎧⎪na + b∑ x = ∑ y, ⎨ 2 ⎪⎩a ∑ x + b∑ x = ∑ yx.

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы: cov( x, y ) yx − yx = . σ2x x2 − x 2 Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции rxy . Для линейной регрессии ( −1 ≤ rxy ≤ 1 )

a = y − bx , b =

rxy = b

σ x cov( x, y ) yx − y ⋅ x = = σy σxσ y σxσ y

и индекс корреляции ρ xy – для нелинейной регрессии 0 ≤ ρ xy ≤ 1

σ2 ∑ ( y − yˆ x ) . = 1 − ост = 1− 2 2 σу ∑( y − y ) 2

ρ xy

Оценку качества построенной модели дает коэффициент детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

A=

1 n

∑

y − yˆ ⋅ 100%. y

Допустимый предел значений A – не более 8–10%. Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины y при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения: x Э = f ′( x ) . y

6

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

∑ ( y − y ) = ∑ ( yˆ x − y ) + ∑ ( y − yˆ x ) , 2 2 где ∑ ( y − y ) – общая сумма квадратов отклонений; ∑ ( yˆ x − y ) – сум2

2

2

ма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (объясненная или

факторная); ∑ ( y − yˆ x ) – остаточная сумма квадратов отклонений. Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент детерминации R2: 2

R

2

( yˆ x − y ) 2 ∑ = . ∑ ( y − y )2

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента корреляции. F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы H0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы: Fфакт =

∑

∑ ( yˆ − y )2 / m

( y − yˆ )2 /(n − m − 1)

=

2 rxy 2 1 − rxy

(n − 2),

где n – число единиц совокупности; m – число параметров при переменных x. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерии Стьюдента. Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными: y = f ( x1, x2 ,...., x p ),

где y – зависимая переменная (результативный признак); x1, x2, …, xp – независимые переменные (факторы). Для построения множественной регрессии используются линейная, степенная, экспоненциальная и гиперболическая функции. Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду. 7

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии

∑ y = na + b1 ∑ x1 +b2 ∑ x2 +..... + bp ∑ x p , ∑ yx1 = a ∑ x1 +b1 ∑ x12 +b2 ∑ x1x2 +..... + bp ∑ x1x p , ...........................................

∑ yx p = a ∑ x p +b1 ∑ x1x p +b2 ∑ x2 x p +..... + bp ∑ x 2p . Для ее решения может быть применен метод определителей a=

∑ x1 ∑ x2

∑ x1 ∑ x2 ∑ x12 ∑ x2 x1 ∑ x1x2 ∑ x22

∑

∑

n

где ∆ =

∆bp ∆b ∆a ,..., b1 = 1 ,..., bp = , ∆ ∆ ∆

... xp

... x1 x p

∑

... x2 x p

... ... ... ... ...

∑ xp ∑ x p x1 ∑ x p x2

– определитель системы.

... x 2p

∑

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандартизованном масштабе: t y = β1t x1 + β2t x2 + ... + β p t x p

где t y =

x − xi y− y – стандартизованные переменные; βi – стан, t xi = i σy σ xi

дартизованные коэффициенты регрессии. Связь коэффициентов множественной регрессии bi со стандартизованными коэффициентами βi описывается соотношением bi = βi

σy σ xi

,

Параметр а определяется как a = y − b1 x1 − b2 x2 − ... − bp x p .

8

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула: Э y x1 = bi

xi . ˆy xi x1, x2 , ..., xi −1, ..., xi +1, ..., x p

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов, их тесной линейной связи. Считается, что две переменные коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если коэффициент корреляции больше или равен 0,7. Для оценки мультиколлинеарности факторов используется определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами. Если между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0: 1 1 1 Det R = 1 1 1 = 0. 1 1 1

Если факторы не коррелированы между собой, то матрица коэффициентов корреляции имеет определитель, равный 1. Проверка мультиколлинеарности факторов может проводиться с использованием χ2-распределения. Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это означает, что для каждого значения фактора xj остатки εi имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность. При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда – Квандта. Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т. д.). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, т. е. качественные переменные преобразовать в количественные. Такие переменные в 9

эконометрике принято называть фиктивными переменными. Например: 1 – мужской пол; 0 – женский. Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории (женский пол) к другой (мужской пол) при неизменных значениях остальных параметров. На основе t-критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной, существенности расхождения между категориями. Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени, называются моделями временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонент. Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, – аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели. Аддитивная модель имеет вид Y = T+S+E, мультипликативная модель: Y = T·S·E. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значения Т, S, Е для каждого уровня ряда. Построение модели включает следующие шаги: 1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2. Расчет значений сезонной компоненты S. 3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (T+E) или в мультипликативной (T·E) модели. 4. Аналитическое выравнивание уровней (T+E) или (T·E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда. 5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или (T·S). 6. Расчет абсолютных или относительных ошибок. Сложные экономические процессы описываются с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Различают несколько видов систем уравнений: 10

Система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов x: ⎧ y1 = a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + .... + a1m ⋅ xm ⎪ y = a ⋅ x + a ⋅ x + .... + a ⋅ x ⎪ 2 21 1 22 2 2m m . ⎨ ⎪.......................... ⎪⎩ yn = an1 ⋅ x1 + an 2 ⋅ x2 + .... + anm ⋅ xm

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов. Система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении: ⎧ y1 = a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 + .... + a1m ⋅ xm ⎪ y = b ⋅ y + a ⋅ x + a x + .... + a ⋅ x 21 1 21 1 22 2 2m m ⎪⎪ 2 ⎨ y3 = b31 ⋅ y1 + b32 ⋅ y2 + a31 ⋅ x1 + a32 x2 + .... + a3m ⋅ xm . ⎪............................ ⎪ ⎪⎩ yn = bn1 ⋅ y1 + bn 2 ⋅ y2 + ....... + an1 ⋅ x1 + an 2 x2 + .... + anm ⋅ xm

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов. Система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую: ⎧ y1 = b12 ⋅ y2 + b13 ⋅ y3 + ...... + a11 ⋅ x1 + a12 x2 + .... + a1m ⋅ xm ⎪ y = b ⋅ y + b ⋅ y + ...... + a ⋅ x + a x + .... + a ⋅ x ⎪ 2 21 1 23 3 21 1 22 2 2m m ⎨ . ............................ ⎪ ⎪⎩ yn = bn1 ⋅ y1 + bn 2 ⋅ y2 + ....... + an1 ⋅ x1 + an 2 x2 + .... + anm ⋅ xm

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Эндогенные переменные (у) – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы). Экзогенные переменные (х) – независимые переменные, которые определяются вне системы. Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы. 11

Коэффициенты а и b при переменных – структурные коэффициенты модели. Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы – приведенная форма модели: ⎧ y1 = δ11 ⋅ x1 + δ12 ⋅ x2 + .... + δ1m ⋅ xm ⎪ y = δ ⋅ x + δ ⋅ x + .... + δ ⋅ x ⎪ 2 21 1 22 2 2m m , ⎨ .......................... ⎪ ⎪⎩ yn = δn1 ⋅ x1 + δn 2 ⋅ x2 + .... + δnm ⋅ xm

где δ – коэффициенты приведенной формы модели. Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила: D + 1 = H – уравнение идентифицируемо; D + 1 < H – уравнение неидентифицируемо; D + 1 > H – уравнение сверхидентифицируемо; где H – число эндогенных переменных в уравнении; D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен 0 и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы. Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифицированных – двухшаговый метод наименьших квадратов. Косвенный МНК состоит в следующем: – составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого его уравнения обычным МНК; – путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров. Двухшаговый МНК заключается в следующем: – составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого его уравнения обычным МНК; 12

– выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют косвенным МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели; – обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения. 8. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Задача 1. По семи территориям Уральского района за 200х год известны значения двух признаков (табл. 1.1). Таблица 1.1

Район

1. Удмуртская респ. 2. Свердловская обл. 3. Башкортостан 4. Челябинская обл. 5. Перская обл. 6. Курганская обл. 7. Оренбургская обл.

Расходы на покупку продовольственных товаров в общих расходах у, %

Среднедневная заработная плата одного работающего х, у.е.

68,8 61,2 59,9 56,7 55,0 54,3 49,3

45,1 59,0 57,2 61,8 58,8 47,2 55,2

Требуется: – для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры; – оценить модель через ошибку аппроксимации А и F-критерий. Решение: Для расчета параметров а и b линейной регрессии y = a+b·x решаем систему нормальных уравнений относительно а и b: ⎧⎪na + b∑ x = ∑ y, ⎨ 2 ⎪⎩a ∑ x + b∑ x = ∑ yx.

По исходным данным рассчитываем

∑ y, ∑ x, ∑ yx, ∑ x 2 , ∑ y 2 . 13

Таблица 1.2 Номер региона

1 2 3 4 5 6 7 Итого Среднее значение

Значения признаков y

x

yx

x2

y2

yˆ x

y − yˆ x

Ai

68,8 61,2 59,9 56,7 55,0 54,3 49,3 405,2

45,1 59,0 57,2 61,8 58,8 47,2 55,2 384,2

3102,88 3610,80 3426,28 3504,06 3234,00 2562,06 2721,36 22162,34

2034,01 3481,00 3271,84 3819,24 3457,44 2227,84 3047,04 21338,41

4733,44 3745,44 3588,01 3214,89 3025,00 2948,49 2430,49 23685,76

61,3 56,5 57,1 55,5 56,5 60,5 57,8 405,2

7,5 4,7 2,8 1,2 –1,5 –6,2 –8,5 0,0

10,9 7,7 4,7 2,1 2,7 11,4 17,2 56,7

–

–

8,1

57,89 54,9 3166,05 3048,34 3383,68

σ

5,74 5,86

–

–

–

–

–

–

σ2

35,92 34,34

–

–

–

–

–

–

b=

yx − yx 3166,05 − 57,89 ⋅ 54,9 = = −0,35, σ2x 5,862

a = y − bx = 57,89 + 0,35 ⋅ 54,9 = 76,88.

Уравнение регрессии: y = 76,88 − 0,35x. С увеличением среднедневной заработной платы на одну условную единицу (у.е.) доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35% пункта. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции: rxy = b

σx 5,86 = −0,35 = −0,357. σy 5,74

Связь умеренная, обратная. Определим коэффициент детерминации: 2 = ( −0,35)2 = 0,127. rxy

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения yˆ x . 14

Найдем величину средней ошибки аппроксимации А :

1 1 56,7 ⋅ 100% = 8,1%. Ai = ∑ y − yˆ ⋅ 100% = ∑ 7 n n В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%. Рассчитаем F-критерий: А=

Fфакт =

0,127 ⋅ 5 = 0,7, 0,873

поскольку 1 ≤ F ≤ ∞ , следует рассмотреть F –1. Полученное значение указывает на необходимость применять гипотезу H0 о случайной природе выявленной зависимости. Задача 2. По территориям региона приводятся данные (табл. 2.1). Таблица 2.1 Номер региона

Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, у. е.

Среднедневная заработная плата, у. е.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

78 82 87 79 89 106 67 88 73 87 76 115

133 148 134 154 162 195 139 158 152 162 159 173

Требуется: – построить линейное уравнение парной регрессии у от х ; – рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации. Решение: Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 2.2). 15

Таблица 2.2 Номер региона

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Итого Среднее значение

Значения признаков x2

y2

133 10374 148 12136 134 11658 154 12166 162 14418 195 20670 139 9313 158 13904 152 11096 162 14094 159 12084 173 19895 1869 161808

6084 6724 7569 6241 7921 11236 4489 7744 5329 7569 5776 13225 89907

17689 21904 17956 23716 26244 38025 19321 24964 23104 26244 25281 29929 294377

149 152 157 150 159 174 139 158 144 157 147 183 1869

–16 –4 –23 4 3 21 0 0 8 5 12 –10 0

12,0 2,7 17,2 2,6 1,9 10,8 0,0 0,0 5,3 3,1 7,5 5,8 68,8

85,6 155,8 13484,0

7492,3

24531,4

–

–

5,7

y

x

78 82 87 79 89 106 67 88 73 87 76 115 1027

yx

yˆ x

y − yˆ x

Ai

σ

12,95 16,53

–

–

–

–

–

–

σ2

167,7 273,4

–

–

–

–

–

–

b=

yx − yx

∑x

2

− (x)

2

=

13484 − 85,6 ⋅ 155,8 151,8 = = 0,92, 164,94 7492,3 − 85,62

a = y − bx = 155,89 − 0,92 ⋅ 85,6 = 77,0.

Получено уравнение регрессии: y = 77,0 + 0,92 x. С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на одну у.е. среднедневная заработная плата возрастет в среднем на 0,92 у.е. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции: rxy = b

σx 12,95 2 = 0,92 = 0,721; rxy = 0,52. σy 16,53

Это означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х – среднедушевого прожиточного минимума. 16

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации: 1 68,9 Ai = = 5,7%. n 12 Качество построенной модели хорошее, так как А не превышает 8–10%. Задача 3. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов, приведенных в табл. 3.1. Таблица 3.1 А=

∑

Признак-фактор

Уравнение парной регрессии

Среднее значение фактора

Объем производства x1, млн руб. Трудоемкость единицы продукции x2, чел.-час. Оптовая цена за 1т энергоносителя x3, млн руб. Доля прибыли, изымаемой государством x4, %

yˆ x1 = 0, 62 + 58, 74 ⋅ 1/ x1

x1 = 2,64

yˆ x2 = 9, 30 + 9,83x2

x2 = 1, 38

yˆ x3 = 11,75 ⋅ x1,6281 3

x3 = 1,503

yˆ x4 = 14,87 ⋅1,016 x4

x4 = 26,3

Требуется: – определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат; – ранжировать факторы по силе влияния. Решение: Для уравнения равносторонней гиперболы yˆ x1 = 0,62 + 58,74 ⋅ 1 : x1 x x1 b b Э yx1 = f ′( x1 ) 1 = − 2 ⋅ =− = / y a b x a x + ⋅ x1 1 1+b =−

58,74 = −0,973%. 0,62 ⋅ 2,64 + 58,74

Для уравнения прямой yˆ x2 = 9,30 + 9,83x2 : x bx2 9,83 ⋅ 1,38 Э yx2 = f ′( x2 ) 2 = = = 0,59%. y a + bx2 9,30 + 9,83 ⋅ 1,38

Для уравнения степенной зависимости yˆ x3 = 11,75 x1,6281 : 3 17

Э yx3 = f ′( x3 )

x3 x = abx3b−1 ⋅ 3b = b = 1,63%. y ax3

Для уравнения показательной зависимости yˆ x4 = 14,87 ⋅ 1,016 x4 : x x Э yx4 = f ′( x4 ) 4 = ab x4 ln b ⋅ 4x = ln bx4 = ln1,016 ⋅ 26,3 = 0,42%. y ab 4 Сравнивая значения Э yxi , ранжируем x j по силе их влияния на себестоимость единицы продукции:

а) Э yx3 = 1,63%, в) Э yx2 = 0,59%,

б) Э yx1 = −0,973%, г) Э yx4 = 0,42%.

Для формирования уровня себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители; в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1% себестоимость единицы продукции снижается на –0,97%. Задача 4. Зависимость спроса на свинину x1 от цены на нее x2 и от цены на говядину x3 представлена уравнением: lg x1 = 0,1274 − 0,2143 ⋅ lg x2 + 2,8254 ⋅ lg x3.

Требуется: – представить данное уравнение в естественной форме (не в логарифмах); – оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что t-критерий для параметра b2 при x2 составил 0,827, а для параметра b3 при x3 составил 1,015. Решение: Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путем потенциирования обеих частей уравнения: x1 = 100,1274 ⋅ x2−0,2143 ⋅ x32,8254 ; x1 = 1,3409 ⋅

18

1 x20,2143

⋅ x32,8254 .

Значения коэффициентов регрессии b1 и b2 в степенной функции равны коэффициентам эластичности результата x1 от x2 и x3. Э x1x2 = −0,2143%; Э x1x3 = 2,8254%.

Спрос на свинину x1 сильнее связан с ценой на говядину – он увеличивается в среднем на 2,83% при росте цен на 1%. С ценой на свинину спрос на нее связан обратной зависимостью – с ростом цен на 1% потребление снижается в среднем на 0,21%. Табличные значения t-критерия обычно лежат в интервале от 2 до 3. Поэтому в данном примере t-критерий меньше табличного значения, что свидетельствует о случайной природе взаимосвязи, о статистической ненадежности всего уравнения. Применять полученное уравнение для прогноза не рекомендуется. Задача 5. Изучается модель вида y = a1 + b1 (C + D ), C = a2 + b2 y + b3 y−1,

где y – валовой национальный доход; y–1 – валовой национальный доход предшествующего года; C – личное потребление; D – конечный спрос (помимо личного потребления). Информация за 9 лет о приростах всех показателей дана в табл. 5.1. Таблица 5.1 Год

Показатели прироста D

y–1

y

C

9

–6,8 22,4 –17,3 12,0 5,9 44,7 23,1 51,2 32,3

46,7 3,1 22,8 7,8 21,4 17,8 37,2 35,7 46,6

3,1 22,8 7,8 21,4 17,8 37,2 35,7 46,6 56,0

7,4 30,4 1,3 8,7 25,8 8,6 30,0 31,4 39,1

Σ

167,5

239,1

248,4

182,7

1 2 3 4 5 6 7 8

Для данной модели была получена система приведенных уравнений: 19

⎧ y = 8,219 + 0,6688D + 0,2610 y−1, ⎨ ⎩C = 8,636 + 0,3384 D + 0,2020 y−1.

Требуется: – провести идентификацию модели; – рассчитать параметры первого уравнения структурной модели. Решение: В данной модели две эндогенные переменные у и С и две экзогенные переменные (D и y-1). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2 = 1 + 1. Первое уравнение сверхидентифицировано, так как на параметры при C и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: D + 1>H. Это больше, чем число эндогенных переменных в уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов. Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. Для этого в приведенное уравнение C = 8,636 + 0,3384 ⋅ D + 0,2020 ⋅ y−1 подставим значения D и y–1. Получим: Cˆ1 = 15,8; Cˆ 2 = 16,8; Cˆ 3 = 7,4; Cˆ 4 = 14,3; Cˆ 5 = 15,0; Cˆ 6 = 27,4; Cˆ 7 = 24,0; Cˆ8 = 33,2; Cˆ 9 = 29,0.

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические Сˆ и рассчитываем новую переменную Сˆ + D (табл. 5.2). 20

Таблица 5.2 D

Значения переменных Сˆ

9

–6,8 22,4 –17,3 12,0 5,9 44,7 23,1 51,2 32,3

15,8 16,8 7,4 14,3 15,0 27,4 24 33,2 29,0

9,0 39,2 –9,9 26,3 20,9 72,1 47,1 84,4 61,3

Σ

167,5

182,9

350,4

Год

1 2 3 4 5 6 7 8

D + Сˆ

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяем метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную Сˆ + D через Z. Решаем уравнение y = a1 + b1Z . Система нормальных уравнений составит ⎧⎪ ∑ y = n ⋅ a1 + b1 ⋅ ∑ Z , ⎨ 2 ⎪⎩ ∑ y ⋅ Z = a1 ⋅ ∑ Z + b1 ∑ Z , ⎧ 248,4 = 9 ⋅ a1 | +350,4 ⋅ b1, ⎨ ⎩13508,71 = 350,4 ⋅ a1 + 21142,02 ⋅ b1.

a1 = 7,678; b1 = 0,512.

Первое уравнение структурной модели будет иметь вид y = 7,678 + 0,512 ⋅ (C + D ).

Задача 6. На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в табл. 6.1. 21

Таблица 6.1 Месяц

Скорректированные значения сезонной компоненты

Месяц

Скорректированные значения сезонной компоненты

Январь Февраль Март Апрель Май Июнь

–1,0 2,0 –0,5 0,3 –2,0 –1,1

Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

3,0 1,0 2,5 1,0 –3,0 ?

Уравнение тренда выглядит следующим образом: yˆ t = 2,5 + 0,03t. При расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени (t от 1 до 36). Требуется: – определить значение сезонной компоненты за декабрь; – на основе постоянной модели дать прогноз браков, заключенных в течение I квартала следующего года. Решение: Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла должна быть равна 0 (в соответствии с методикой построения аддитивной модели временного ряда). Следовательно, значение сезонной компоненты за декабрь составит: S12 = 0 – (–1 + 2 – 0,5 + 0,3 – 2 – 1,1 + 3 + 1 +2 ,5 + 1 – 3) = –2,2 . Прогнозное значение уровня временного ряда Ft в аддитивной модели есть сумма трендового значения Tt и соответствующего значения сезонной компоненты St. Число браков, заключенных в I квартале следующего года, есть сумма числа браков, заключенных в январе F37, феврале F38 и марте F39. Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условии задачи: yˆ t = 2,5 + 0,03t, T37 = 2,5 + 0,03 ⋅ 37 = 3,61, T38 = 2,5 + 0,03 ⋅ 38 = 3,64, T39 = 2,5 + 0,03 ⋅ 39 = 3,67.

Соответствующие значения сезонных компонент составят: 22

S1 = −1

− январь,

S2 = 2

−

S3 = −0,5 −

февраль, март.

Таким образом, F37 = T37 + S1 = 3,61 − 1,0 = 2,61; F38 = T38 + S2 = 3,64 + 2,0 = 5,64; F39 = T39 + S3 = 3,67 − 0,5 = 3,17.

Количество браков, заключенных в 1-м квартале следующего года, составит: 2,61 +5,64 + 3,17 = 11,42 тыс. 9. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ

По завершении 5-го семестра студенты сдают зачет в форме ответа на теоретический вопрос и решения практической задачи. Студенты, фамилии которых начинаются с букв А–Д, выполняют задание 1-го варианта. Студенты, фамилии которых начинаются с букв Е–И, выполняют задание 2-го варианта. Студенты, фамилии которых начинаются с букв К–Н, выполняют задание 3-го варианта. Студенты, фамилии которых начинаются с букв О–С, выполняют задание 4-го варианта. Остальные студенты выполняют задание 5-го варианта. Зачет может быть сдан письменно в виде ответов по следующим вариантам. Вариант № 1 1. Поясните смысл коэффициента регрессии, назовите способы его оценивания, покажите, как он используется для расчета мультипликатора в функции потребления. 2. Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей? 3. Какие тесты используют для проверки гипотезы о структурной стабильности временного ряда? Задача. Исследуя спрос на телевизоры марки N, аналитический отдел компании АБС, по данным, собранным по 19 торговым точкам ком23

пании, выявил следующую зависимость: ln y = 10,5 − 0,8ln x , где y – объем продаж телевизоров марки N в отдельной торговой точке; x – средняя цена телевизора в данной торговой точке. Задание: до проведения этого исследования администрация компании предполагала, что эластичность спроса по цене для телевизоров марки N составляет 0,9. Подтвердилось ли предположение администрации результатами исследования. Задача. По территориям Центрального района известны данные за 200х г. Район

Брянская обл. Владимирская обл. Ивановская обл. Калужская обл. Костромская обл. Московская обл. Орловская обл. Рязанская обл. Смоленская обл. Тверская обл. Тульская обл. Ярославская обл.

Средний размер назначенПрожиточный минимум ных ежемесячных пенсий y, в среднем на одного пенсионера руб. в месяц х, руб.

2400 2260 2210 2260 2200 2500 2370 2320 2150 2200 2220 2310

1780 2020 1970 2010 1890 3020 2150 1660 1990 1800 1810 1860

Задание: – рассчитайте параметры уравнения линейной парной регрессии; – оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации; – дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом; – оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения. Вариант № 2 1. В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется? 2. Сформулируйте требования, предъявляемые к факторам для включения их в модель множественной регрессии. 24

3. Перечислите основные элементы временного ряда. Задача. По территориям Уральского и Западно-Сибирского районов известны данные за 200х г. Район

Потребительские расходы на душу населения у, руб.

Денежные доходы на душу населения х, руб.

Уральский Респ. Башкортостан 4610 Удмуртская респ. 5240 Курганская обл. 2980 Пермская обл. 3510 Свердловская обл. 5840 Челябинская обл. 4250 Западно-Сибирский район Респ. Алтай 2770 Кемеровская обл. 5730 Новосибирская обл. 5760 Омская обл. 5880 Томская обл. 4970 Тюменская обл. 8630

6320 7380 5150 6400 8880 7040 6030 4390 9850 7600 8300 20930

Задание: – рассчитайте параметры уравнения линейной парной регрессии; – оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации; – дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом; – оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения. Задача. Для трех видов продукции А, В, С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядят следующим образом: YA = 600; YB = 80 + 0,7x; YC = 40x0,5. Задание: – определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл; – сравните при х = 1000 эластичность затрат для продукции В и С; 25

– определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для продукции В и С были равны. Вариант № 3 1. Назовите методы устранения мультиколлинеарности факторов. 2. Как интерпретируются коэффициенты регрессии линейной модели потребления? 3. Как строится структурная модель спроса и предложения? Задача. Модель Кейнса (упрощенная версия). Сt = a1 + b11 yt + b12 yt −1 – функция потребления; I t = a2 + b21 yt – функция инвестиций; Yt = Ct + I t + Gt – тождество доходов, где С – потребление; Y – ВВП; I – валовые инвестиции; G – государственные расходы; t – текущий период; t–1 – предыдущий период. Задание: – применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите идентифицировано ли каждое из уравнений; – определите метод оценки параметров модели; – запишите приведенную форму модели. Задача. Моделирование прибыли фирмы по уравнению y = abx привело к результатам, представленным ниже. № п/п

1 2 3 4 5 6 7 8

Прибыль фирмы y, млн руб. фактическая расчетная

10 12 15 17 18 11 13 19

11 11 17 15 20 11 14 16

Задание: – определите ошибку аппроксимации: – найдите показатель тесноты связи с исследуемым в модели фактором. Сделайте выводы. 26

Вариант № 4 1. При каких условиях строятся уравнения множественной регрессии с фиктивными переменными? 2. Как можно проверить гомо- или гетероскедастичность остатков? 3. В каких случаях используется двухшаговый метод наименьших квадратов? Раскройте его содержание. Задача. Модель спроса и предложения на деньги: Rt = a1 + b11M t + b12Yt ; Yt = a2 + b21Rt ,

где R – процентные ставки в период t; Y – ВВП в период t; M – денежная масса в период t. Задание: – применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите идентифицировано ли каждое из уравнений; – определите метод оценки параметров модели; – запишите приведенную форму модели. Задача. Зависимость спроса на товар К от его цены характеризуется по 20 наблюдениям уравнением: lg y = 1,75 − 0,35lg x. Задание: – запишите данное уравнение в виде степенной функции; – оцените эластичность спроса на товар в зависимости от его цены; – определите индекс корреляции. Вариант № 5 1. В чем смысл обобщенного метода наименьших квадратов? 2. Как связаны между собой структурная и приведенная формы модели? 3. В чем состоят проблемы идентификации модели и какие условия идентификации являются необходимыми и достаточными? Задача. Для двух видов продукции А и В зависимость расходов предприятия у (млн руб.) от объема производства х (шт.) характеризуется данными, представленными в таблице. Уравнение регрессии

Показатели корреляции

Число наблюдений

yA = 160+0,8x yB=50x0,6

0,85 0,72

30 25

27

Задание: – поясните смысл величин 0,8 и 0,6 в уравнениях регрессии; – сравните эластичность расходов от объема производства для продукции А и В при выпуске продукции А в 500 единиц; – определите, каким должен быть выпуск продукции А, чтобы эластичность ее расходов совпадала с эластичностью расходов на продукцию В. Задача. Макроэкономическая модель (упрощенная модель Клейна): Ct = a1 + b12Yt + b13Tt , I t = a2 + b21Yt + b24 K t −1, Yt = Ct + I t ,

где С – потребление; I – инвестиции; Y – доход; T – налоги; K – запас капитала; t – текущий период; t–1 – предыдущий период. Задание: – применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите идентифицировано ли каждое из уравнений; – определите метод оценки параметров модели; – запишите приведенную форму модели. Библиографический список Основная литература 1. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. М.: Дело, 1997. 400 с. 2. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 2001. Т. 1. 656 с., Т. 2. 432 с. . 3. Доугерти К. Введение в эконометрику. М.: Инфра-М, 2001. 402 с. 4. Елисеева И. И., Курышева С. В., Костеева Т. В. и др. Эконометрика/ Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. 344 с. 5. Елисеева И. И., Курышева С. В., Гордиенко Н. М. и др. Практикум по эконометрике/ Под ред. И. И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001. 192 с. 6. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 311 с. 7. Орлов А. И. Эконометрика. Начальный курс. М.: Изд-во «Экзамен», 2002. 576 с. Дополнительная литература Д1. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. М.: Статистика, 1977. Д2. Фишер Ф. Проблемы идентификации в эконометрии. М.: Статистика, 1978. Д3. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 2001. Д4. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. М.: Статистика, 1971. Д5. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. школа, 1999. 480 с.

28

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ ............................................................ 2. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ ............................................................ 3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ ........................ 4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ................................................................ Введение ....................................................................................................... Раздел 1. Линейная модель множественной регрессии ........................... Раздел 2. Метод наименьших квадратов ................................................... Раздел 3. Показатели качества регрессии .................................................. Раздел 4. Регрессионные модели с переменной структурой ................... Раздел 5. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация ................... Раздел 6. Модели стационарных и нестационарных временных рядов ... Раздел 7. Системы линейных одновременных уравнений ........................ Раздел 8. Косвенный двух- и трехшаговый метод наименьших квадратов ..................................................................................... 5. ПЕРЕЧЕНЬ ТЕМ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ........................................ 6. ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ................................................................. 7. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ................................................................... 8. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ................................................................... 9. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ .................................................................................. Вариант № 1 .................................................................................................. Вариант № 2 .................................................................................................. Вариант № 3 .................................................................................................. Вариант № 4 .................................................................................................. Вариант № 5 .................................................................................................. Библиографический список .........................................................................

1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 13 23 23 24 26 27 27 28

29