Физика (квантовая физика): Методические указания для студентов факультета высоких технологий. Часть 1

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к курсу «Физика» (квантовая физика) для студентов факультета высоких технологий часть 1

Ростов-на-Дону 2007

Методические указания разработаны старшим преподавателем кафедры общей физики Ю.А. Игнатовой, старшим преподавателем кафедры общей физики М.А. Сорочинской, к. физ.-мат. н., доц. кафедры общей физики А.Л. Цветянским.

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол №23 от 29 мая 2007г.

2

Методические указания предназначены для аудиторной и самостоятельной работы студентов 2 курса факультета высоких технологий. В сборнике приведены основные теоретические положения, знания которых необходимы для решения задач, примеры решения типовых задач, дополнительная литература.

3

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ЕГО ОПИСАНИЕ Тепловое

(температурное)

излучение

- свечение

тел, обусловленное

нагреванием. Тепловое излучение равновесно. Если нагретые (излучающие) тела поместить в полость, ограниченную идеально отражающей оболочкой, то через некоторое время (в результате непрерывного обмена энергией между

телами

и

излучением, заполняющим полость) наступит равновесие, т.е. каждое тело в единицу времени будет поглощать столько же энергии, сколько и излучать. Основные характеристики теплового излучения Спектральная

плотность

энергетической

светимости

-

энергия,

излучаемая с единицы площади поверхности тела в единицу времени в интервале частот единичной ширины

Rv ,T =

dWvизл , v + dv dv

( Дж / м 2 ) .

Спектральная поглощательная способность показывает, какая доля приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающими на нее электромагнитными волнами с частотами от ν до ν+dν, поглощается телом Av ,T =

dWvпогл ,v + dv dWv ,v + dv

(безразмерная ) .

Связь между Rv ,T и Rλ ,T Rv ,T = Rλ ,T

dWvизл ,v + dv = Rv ,T dv = Rλ ,T dλ ,

λ2 c

c = λv,

4

; dλ c λ2 = 2 =− dv v c

(знак минус указывает, что λ уменьшается с возрастанием ν ). Энергетическая светимость тела – суммирование производится по всем частотам (длинам волн) ∞

∞

0

0

RT = ∫ Rv ,T dv = ∫ Rλ ,T dλ .

Таблица 1 Черное и серое тела Тело

Спектральная

Определение

поглощающая способность

Тело, способное поглощать полностью при любой Черное

температуре все падающее на него излучение любой

Av ,T ≡ 1

частоты Тело, поглощательная способность которого меньше Серое

единицы, но одинакова для всех частот и зависит только

A v ,Tc = AT = const < 1

от температуры

Модель черного тела Идеальная

модель черного тела – идеальная

полость с небольшим отверстием О, внутренняя поверхность которой зачернена.

Луч

света,

попавший внутрь такой полости, испытывает многократные отражения от стенок, в результате чего

интенсивность

вышедшего

излучения

Рисунок 1

оказывается практически равной нулю. Черное тело — идеализированная модель. Таких тел в природе нет, но, например, сажа, платиновая чернь, черный бархат в определенном интервале частот по своим свойствам близки к черным телам.

5

Закон Кирхгофа Формулировка

закона

Кирхгофа:

отношение спектральной плотности

энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры. Rv ,T

= rv ,T ,

Av ,T

где rv ,T - универсальная функция Кирхгофа (спектральная плотность энергетической светимости черного тела). Объяснение свечения накаленных тел по закону Кирхгофа. Темные

места

разрисованного

Фарфора при накаливании излучают сильнее (рисунок 2). Согласно закону Кирхгофа, тело, сильнее поглощающее, сильнее и излучает, если сравнение

Рисунок 2

происходит при одинаковой температуре (отдельные части фарфора нагреты до одинаковой температуры). Энергетическая светимость тел Энергетическая светимость тела ∞

RT = ∫ Av ,T rv ,T dv . 0

Энергетическая светимость серого тела ∞

RTc = AT ∫ rv ,T dv = AT Re . 0

Энергетическая светимость черного тела

6

∞

∞

0

0

Re = ∫ rv ,T dv = ∫ rλ ,T dλ .

Таблица 2 Законы Стефана—Больцмана и Вина Закон

Формулировка закона

Закон

Энергетическая светимость черного тела

Стефана-

пропорциональна четвертой степени

Больцмана

Формула

Постоянная

σ = 5,67 ⋅ 10 −8 Вт/ (м2 ⋅ К4) Re = σT 4

его термодинамической температуры

(постоянная СтефанаБольцмана)

Длина волны λ max , соответствующая Закон смещения Вина

максимуму

спектральной плотности

энергетической

светимости

черного

тела, обратно пропорциональна его

λ max =

b T

b = 2,9 ⋅ 10 −3 м ⋅ К (постоянная Вина)

термодинамической температуре

Экспериментальные кривые зависимости rv ,T от частоты v и от длины волны λ .

Рисунок 3 Экспериментальные кривые подтверждают выводы закона смещения Вина: происходит смещение максимума rv ,T по мере возрастания температуры в область коротких длин волн (или смещение максимума rv ,T в область больших частот).

7

Таблица 3 Формулы Рэлея—Джинса и Вина Спектральная плотность Формула

Замечания

энергетической светимости черного тела Дает

Формула Рэлея-Джинса

rv ,T

правильное

спектральное

распределение лишь при малых частотах

2πv 2 2πv 2 = 2 < ε >= 2 kT c c

( hv << kT ) ; при больших

v

- резкое

расхождение с опытом и законом смещения Вина

Формула Вина

rv ,T =

«Работает» только при больших частотах

2πhv 3 − hv /( kT ) e c2

( hv >> kT )

В таблице 3 < ε >= kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой v ; h — постоянная Планка; T — термодинамическая температура; с — скорость распространения света в вакууме. КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Фотоны Квантовая гипотеза Планка: излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а дискретно, т. е. определенными порциями (квантами), энергия которых определяется частотой v: ε =hv. Фотоны - кванты электромагнитного излучения. Фотоны движутся со скоростью света, они не существуют в состоянии покоя, их масса покоя равна нулю. Основные характеристики фотонов. Эти формулы связывают корпускулярные характеристики фотона энергию, импульс - с волновой характеристикой излучения - частотой (длиной волны). Таким образом, свет представляет собой единство противоположных видов движения - корпускулярного (квантового) и волнового

(электромагнитного),

т.

8

е.

необходимо

говорить

о

двойственной

корпускулярно-волновой

природе

света

(о

корпускулярно-волновом дуализме). Энергия:

ε = hv = hc λ ;

p = hv / c = hc / λ ,

импульс:

где h= 6,63 ⋅ 10 −34 Дж·с - постоянная Планка; с = 3 ⋅ 10 8 м/с - скорость распространения света в вакууме; ν- частота излучения; λ - длина волны излучения в вакууме. Фотоэффект Внешний

фотоэффект

-

испускание

электронов

веществом

(металлом,

полупроводником, диэлектриком) под действием электромагнитного излучения. Законы внешнего фотоэффекта Первый закон (Столетова): при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых пропорционально

интенсивности

из

света

катода

в единицу

(сила

фототока

времени,

насыщения

пропорциональна энергетической освещенности катода). Второй закон - максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой ν. Третий закон - для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. минимальная частота света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен. Уравнение Эйнштейна Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону максимальной кинетической энергии. Уравнение Эйнштейна – закон сохранения энергии при фотоэффекте hv = A + Tmax

или

9

2 mv max hv = A + . 2

ЛИНЕЙЧАТЫЙ СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА Спектры излучения атомов - важнейшие характеристики их оптических свойств - состоят из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий; их называют линейчатыми спектрами. Каждому элементу присущ свой, характерный только для него, спектр излучения, служащий своего рода «отпечатком пальцев», позволяющим определить элемент, которому он принадлежит. Вид линейчатого спектра не зависит от способа возбуждения атома. Наиболее изученным спектром излучения является спектр излучения атома водорода - простейшего атома, состоящего из массивного ядра (протона) и электрона, движущегося в кулоновском поле ядра. Таблица 4 Экспериментальный спектр излучения атома водорода Область спектра

Название серии

Сериальная формула

Ультрафиолетовая

Серия Лаймана

1 ⎞ ⎛1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 2,3,4,...) n ⎠ ⎝1

Видимая

Серия Бальмера

1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 3,4,5,...) n ⎠ ⎝2

Инфракрасная Серия Пашена

⎛1 1 ⎞ v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 4,5,6,...) ⎝3 n ⎠

Серия Брэкета

1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 5,6,7...) n ⎠ ⎝4

Серия Пфунда

1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ ( n = 6,7,8...) n ⎠ ⎝5

Серия Хэмфри

1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ (n = 7,8,9...) n ⎠ ⎝6

В таблице 4 R = 3,29 ⋅ 1015 c −1 - постоянная Ридберга.

10

Обобщенная формула Бальмера В каждой данной серии т имеет постоянное значение, т=1,2,3,4,5,6 (определяет серию), п принимает целочисленные значения начиная с числа т+1 (определяет отдельные линии данной серии). Спектральную линию с наибольшей длиной волны из всех линий данной серии называют

головной

линией

серии.

Линия,

соответствующая

коротковолновая граница; к ней примыкает непрерывный

п=∞,

-

спектр. Вид

сериальных формул, удивительная повторяемость в них целых чисел, универсальность постоянной Ридберга свидетельствуют о глубоком физическом смысле найденных закономерностей, вскрыть который в рамках классической физики оказалось невозможным. 1 ⎞ ⎛ 1 v = R⎜ 2 − 2 ⎟ . n ⎠ ⎝m

ПОСТУЛАТЫ БОРА БОРОВСКАЯ МОДЕЛЬ АТОМА ВОДОРОДА Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний): в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых

он

не

излучает

энергии;

эти

состояния

характеризуются

определенными дискретными значениями энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные (квантованные) значения момента импульса, удовлетворяющие условию

me vn rn = nh

(n = 1,2,3,...).

11

Второй постулат Бора: при переходе атома из одного стационарного состояния в другое излучается (поглощается) фотон с энергией hv = E n − E m ,

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний, где me масса электрона; υ n - его скорость на n-й орбите радиуса rn ; h = h /( 2π ) - постоянная Планка; E n и E m - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). При Еm<Еп происходит излучение фотона, при Еm>Еn - его поглощение. Набор возможных дискретных частот v = ( E n − E m ) / h квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома. Возможные орбиты в модели атома водорода

Исходные уравнения для вычисления радиусов орбит. Уравнение движения электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода e2

=

4πε 0 rn2

meυ n2 . rn

Электрон, двигаясь по круговой орбите, обладает дискретными квантовыми значениями момента импульса

(n = 1,2,3,...).

me vn rn = nh Радиус n-й стационарной орбиты

h 2 4πε 0 . me e 2

rn = n 2

Радиус ближайшей к ядру орбиты (п=1; первый Боровский радиус) зависит лишь от фундаментальных постоянных - a=52,8 пм. r1 = a =

Здесь

e - элементарный

заряд;

h 2 4πε 0 me e 2

ε 0 - электрическая постоянная;

12

rn -

радиус n-й стационарной орбиты; υ n - скорость электрона на n-ой орбите; me - масса электрона; h=

h 2π

- постоянная Планка; n - квантовое

число; а— первый Боровский радиус.

Рисунок 4 Энергия электрона в атоме водорода

Кинетическая энергия электрона me vn2 1 e 2 = . 2 2 4πε 0 rn

Потенциальная энергия электрона в электростатическом поле ядра En = −

e2 4πε 0 rn

.

Полная энергия электрона в атоме водорода En = −

1 e2 1 m e4 = − 2 e2 2 . 2 4πε 0 rn n 8h ε 0

Полная энергия электрона в атоме водорода в электрон-вольтах En = −

13,6 (эВ). n2

Квантование энергии. Энергии я электрона в атоме водорода может принимать только дискретные значения, т. е. квантуется: энергетические состояния атома водорода

образуют

последовательность

13

Рисунок 5

энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от п. Состояние с минимальной энергией, или основное состояние, соответствует п=1, а его энергия E1 =-13,6эВ. Состояния с п>1 являются возбужденными (см. рисунок 5).

Придавая п целочисленные значения, получаем для атома водорода возможные уровни энергии стационарных состояний электрона, схематически изображенные на рисунке 5 в виде горизонтальных прямых. С увеличением n энергетические уровни сближаются и при n → ∞ E n → 0 . Электрон в атоме водорода обладает минимальной энергией Е1=-13,6эВ при п=1 (знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии) и максимальной E∞ = 0 при n = ∞ . Если Е>0, то электрон может иметь любую энергию, так как в данном случае он является свободным. Спектр атома водорода по Бору

Энергия испущенного фотона при переходе атома водорода из состояния n в состояние m с меньшей энергией (см. второй постулат Бора) hv = E n − E m = −

me e 4 8h 2 ε 02

1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ 2 − 2 ⎟. m ⎠ ⎝n

Частота излучения v=

где R =

me e 4 8h 3ε 02

1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ⎜ 2 − 2 ⎟ = R⎜ 2 − 2 ⎟ , n ⎠ n ⎠ ⎝m ⎝m

me e 4 - постоянная Ридберга, 8h 3ε 02

Рисунок 6

совпадающая со значением в эмпирических формулах для спектра излучения атома водорода.

14

Энергии ионизации, связи и возбуждения

Энергия ионизации - энергия, необходимая для удаления электрона из атома, находящегося в основном состоянии. Для атома водорода E i =13,6эВ. Энергия связи данного состояния - энергия, необходимая для удаления электрона из атома, находящегося в данном возбужденном состоянии. Например, энергия связи первого возбужденного состояния (n=2) равна 3,48 эВ. Энергия возбуждения - энергия, которую надо сообщить атому, чтобы электрон из основного состояния перешел в возбужденное. Например, энергия для первого возбужденного состояния (п=2) Eвозб = −3,48( эВ) − (−13,6( эВ)) ≈ 10,1( эВ) . ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ Универсальность корпускулярно-волнового дуализма

Гипотеза де Бройля: корпускулярно-волновой дуализм имеет универсальный характер и распространяется не только на фотоны, но и на все частицы материи: частицы вещества (в частности, электроны) обладают наряду с корпускулярными также и волновыми свойствами. Уравнения, связывающие корпускулярные свойства (энергия и импульс) и волновые (частоты (длина волны)) характеристики микрочастиц E = hv = hω ; p=

где k =

2π

λ

- волновое число; h =

h

λ

= hk ,

h - постоянная Планка; ω = 2πv - циклическая 2π

частота.

15

Таблица 5 Длина волны де Бройля Длина волны де Бройля

Формула

Общее выражение

λ=

Релятивистская частица

λ=

λ=

Длина волны связываемая, с

h p

λ=

Нерелятивистская частица

Пояснение

h = mv

частицей h

Учли, что кинетическая

2mT

p2 энергия частицы T = 2m Релятивистский импульс

2 2 h 1− v c mc vc

p=

mv 1− v2 c2

hc hc E = 2 2 4 E −m c mc 2 1− 2 E

Полная энергия частицы

hc

Полная энергия частицы

λ=

(

T T + 2mc

2

)

E 2 = p 2c 2 + m2c 4

E = T + mc 2

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА

Во многих случаях классические представления (например, в каждый момент времени частица занимает в пространстве строго определенное место и обладает определенным

импульсом)

неприменимы

для

описания

микрообъектов.

Гейзенберг выдвинул идею о принципиальной невозможности измерения определенных пар связанных между собой характеристик так, чтобы они одновременно имели точные значения. Соотношение неопределенностей для координат и импульсов

Микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно точных значений координаты (x,y,z) и соответствующих компонентов импульса

16

(p

x

, p y , pz ),

причем произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h . Физический смысл соотношения: из соотношения неопределенностей следует, что, например, если микрочастица находится в состоянии с точным

значением

соответствующая

координаты

проекция

ее

(∆x = 0) , импульса

то

в

этом

оказывается

состоянии совершенно

неопределенной (∆p x → ∞ ) , и наоборот. Таким образом, для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения. Соотношение неопределенностей для энергии и времени ∆E∆t ≥ h ,

где ∆Ε - неопределенность энергии некоторого состояния системы; ∆t – промежуток времени, в течение которого оно существует. Физический смысл соотношения: из-за конечности времени жизни атомов в возбужденном состоянии энергия возбужденных состояний атомов не является точно определенной, поэтому частота излученного фотона также должна иметь неопределенность ∆v = ∆E / h . Тогда линии спектра должны иметь частоту v = ± ∆E / h . Опыт действительно показывает, что все спектральные линии размыты.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

В общем случае (произвольное движение частицы в произвольных силовых полях) состояние частицы в квантовой механике задается волновой функцией r

(или пси-функцией) Ψ (r , t ) . зависящей от координат и времени. Она - основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц. В частном случае свободного движения частицы волновая функция - плоская волна де Бройля.

17

Статическая интерпретация волновой функции

На основании статистической интерпретации вероятность нахождения частицы в момент времени t с координатами x и x+dx, y и y+dy, z и z+dz определяется интенсивностью волновой функции, т.е. квадратом пси-функции. Поскольку в общем случае ψ - комплексная функция, а вероятность должна быть всегда действительной и положительной величиной, то за меру интенсивности принимается квадрат модуля волновой функции. Физический смысл ψ - функции

Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в момент времени t 2

dW = ψ dV .

Плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения частицы в момент времени t в окрестности данной точки пространства w=

dW 2 =ψ . dV

Плотность вероятности — величина, наблюдаемая на опыте, в то время как сама волновал функция, являясь комплексной, наблюдению недоступна, В этом заключается существенное отличие в описании состояний частиц в квантовой и классической механике (в классической механике величины, описывающие состояние частиц, наблюдаемы). Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором объеме V W = ∫ dW = ∫ ψ dV . 2

v

v

Условие нормировки, вероятностей +∞

∫ ψ ( x, y , z , t )

2

dV = 1 .

−∞

2

Т. к. ψ dV определяется как вероятность, то, проинтегрировав это выражение в бесконечных пределах, получим вероятность того, что частица в момент

18

времени t находится где-то в пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в теории вероятностей считают равной 1. Волновая функция - объективная характеристика состояния микрочастиц и должна удовлетворять ряду ограничений. Она должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком). Принцип суперпозиции состояний для волновых функции

Если какая-либо система (частица или их совокупность) может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями ψ 1 ,ψ 2 ,...,ψ n ,... , то она может находиться в состоянии ψ, описываемом линейной комбинацией этих функций Ψ = ∑ C n Ψn , n

где C n (n = 1,2,...) — произвольные (в общем случае комплексные) числа, при этом квадрат модуля коэффициента C n , т. е. C n

2

равен вероятности обнаружить, что

система, представленная состоянием ψ, может оказаться в состоянии ψ n . Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей. ВРЕМЕННОЕ И СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой 19

функции Ψ ( x, y, z , t ) , т. к. именно она, или, точнее, величина |Ψ|2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами х и х+dх, у и у+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Временное уравнение Шредингера постулируется, а его правильность подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов −

где h =

h 2π

∂Ψ h2 ∆Ψ + U ( x, y, z, t )Ψ = ih , ∂t 2m

- постоянная Планка, m – масса частицы, ∆ − оператор Лапласа

⎛ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ⎞ ⎜⎜ ∆Ψ = + 2 + 2 ⎟⎟ , i – мнимая единица, U(x,y,z,t) – потенциальная функция ∂z ⎠ ∂x 2 ∂y ⎝

частицы в силовом поле, в котором она движется, Ψ(x,y,z,t) – искомая волновая функция частицы. Условия, накладываемые на волновую функцию: 1. Волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной. 2. Производные

∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ , , , должны быть непрерывны. ∂x ∂y ∂z ∂t

2

3. Функция Ψ должна быть интегрируема (это условие сводится к условию нормировки вероятностей). 4. Уравнение

Шредингера

справедливо

для

нерелятивистских

частиц

(скорости v << c ). Стационарное уравнение Шредингера

Представление волновой функции для стационарных состояний (состояний с фиксированными значениями энергии).

20

В случае стационарного силового поля (функция U=U (x,y,z) не зависит от времени

и

имеет

смысл

потенциальной

энергии)

волновая

функция

представляется в виде произведения двух функций: одна – функция только координат, другая функция - только времени (зависимость от времени выражается множителем exp(−iωt ) = exp⎛⎜ − Et ⎞⎟ ). i ⎝ h

Стационарное

уравнение

⎠

Шредингера

получилось

после

подстановки

волновой функции во временное уравнение Шредингера и преобразований ∆Ψ +

2m ( E − U )Ψ = 0 , h2

где ψ — координатная (амплитудная) часть волновой функции ψ( x,y,z,t) стационарного состояния (ψ также называют волновой функцией); h =

h ; Е – полная 2π

энергия частицы; U=U(x,y,z) — ее потенциальная энергия; ∆— оператор Лапласа. В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия Е. Реальный физический смысл имеют только решения, которые выражаются регулярными функциями ψ (ψ должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными). Регулярные решения имеют место лишь при определенном наборе Е, отвечающем данной задаче. Эти значения энергии называются собственными. Они могут образовывать как непрерывный, так и дискретный спектр энергий. ОПЕРАТОРЫ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ И ИХ СВОЙСТВА Математический аппарат квантовой механики

Согласно соотношению неопределенностей, в квантовой области не существует таких состояний, в которых координата частицы и соответствующая ей проекция импульса имели бы одновременно точные значения. Это находит свое отражение и в формальной стороне теории - математический аппарат квантовой

21

механики резко отличается от математического аппарата классической механики. Кроме того, он должен соответствовать физической постановке задач квантовой механики, например, учитывать волновые свойства микрочастиц. В квантовой механике используют представление физических величин с помощью математических операторов. Свойства операторов

Оператор - правило, с помощью которого какой-то функции ϕ (x ) некоторой переменной сопоставляется функция f (x ) той же переменной. Символически ∧

это записывается в виде умножения L (операторы обозначаются буквами со «шляпкой» над ними) на ϕ (x ) . ) f ( x) = Lϕ ( x) .

Сумма операторов ∧

∧

∧

∧

∧

∧

C ϕ = Aϕ + B ϕ .

Разность операторов D ϕ = Aϕ − B ϕ .

Сложение, вычитание и умножение операторов производится по обычным алгебраическим правилам сложения, вычитания и умножения чисел. Произведение операторов ∧ ∧ ∧ ⎛ ⎞ F ϕ = A⎜ B ϕ ⎟ . ⎝ ⎠

∧ ∧

∧ ∧

При умножении операторов не всегда A B = B A . ∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧

∧ ∧

A B = B A - коммутирующие операторы. A B ≠ B A - некоммутирующие операторы.

22

Линейные операторы

Линейный оператор ∧

∧

∧

L(C1ϕ1 + C 2ϕ 2 ) = C1 L ϕ1 + C 2 L ϕ 2 .

Оператор линейный, если для любых двух функций ϕ1 и ϕ 2 и любых постоянных C1 и C2 выполняется записанное условие. В квантовой механике применяются

только линейные операторы (чтобы применение операторов не нарушало принципа суперпозиции состояний). ∧

∧

∧

Пример: L = 1; L = 2; L =

d ∧ d2 ; L= 2. dx dx

Свойства собственных функций

Уравнение, для собственных функций и собственных значений оператора ) L Ψ = LΨ , ∧

∧

где L — оператор, отвечающий данной физической величине; если оператор L воспроизводит функцию ψ с точностью до множителя L, то ψ — собственная ∧

∧

функция оператора L , а множитель L — собственное значение оператора L . Функция ψ удовлетворяет стандартным условиям (определена по всей области независимых переменных, непрерывна, однозначна и конечна) и условию квадратичной интегрируемости (интеграл ∫ ψ dV сходится). 2

Средние значения физических величин

Среднее значение физической величины L в состоянии ψ ) L = ∫ Ψ * LΨdV , ∧

где L — соответствующий оператор; ψ — нормированная волновая функция, dV элемент объема в пространстве независимых переменных, а интеграл берется по всей области изменения этих переменных. 23

Возможность одновременного измерения физических величин

Если двум физическим величинам отвечают коммутирующие операторы, то эти величины могут иметь одновременно определенные значения (поэтому в принципе могут быть измерены одновременно). Если двум физическим величинам

отвечают

некоммутирующие

операторы,

то

они

не

могут

одновременно иметь определенных значений.

ОПЕРАТОРЫ ВАЖНЕЙШИХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Связь между изображением физических величин операторами и опытом

Постулат, устанавливающий связь между изображением физических величин операторами и опытом: совокупность собственных значений оператора

∧

L(L1 , L2 ,..., Ln ,...)

тождественна с совокупностью всех возможных ∧

результатов измерений механической величины L, изображаемой оператором L . Иными словами, на опыте наблюдаются только те значения величины L, которые ∧

совпадают с одним из собственных значений оператора L , соответствующего рассматриваемой величине. Таблица 6 Операторы координаты и импульса Оператор координаты Операторы проекции импульса соответственно на оси x,y,z

∧

x=x ∧

p x = −i h

∂ h ∂ ∧ ∂ h ∂ , p y = −ih = , = ∂x i ∂x ∂y i ∂y ∧

p z = − ih

∂ h ∂ = ∂z i ∂z

24

Оператор

координаты

частицы есть само число Операторы и

проекции

координаты импульса

являются основными в квантовой теории

Продолжение таблицы 6 Оператор вектора

∧ →

→ ∧

→ ∧

→→

P = j px + k py + l pz ,

импульса

→ → →

[ j, k , l -

единичные

векторы

координатных

осей; ∧ →

⎛ ∂ → ∂ → ∂ →⎞ h p = −ih⎜⎜ j+ k+ l ⎟⎟ = −ih∇ = ∇ ∂y i ∂z ⎠ ⎝ ∂x

∂ → ∂ → ∂ → j+ k+ l =∇ ∂x ∂y ∂z

-

набла оператор

Оператор момента импульса

Операторы проекции момента импульса на оси координат

Оператор проекции момента импульса на

∧ →

∧ → →

→ → h → L = [ r , p] = [ r , (− ih∇ )] = ih[ r , ∇] = [ r , ∇] i

∧ ⎛ ∂ ∂ ⎞ h⎛ ∂ ∂ ⎞ L x = −ih⎜⎜ y − z ⎟⎟ = ⎜⎜ y − z ⎟⎟ , ∂y ⎠ i ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎝ ∂z

Расписаны векторному

∧ ∂ ⎞ ∂ ⎞ h⎛ ∂ ⎛ ∂ L y = −i h ⎜ z − x ⎟ = ⎜ z − x ⎟ , ∂z ⎠ ∂z ⎠ i ⎝ ∂x ⎝ ∂x

произведению

∧ ⎛ ∂ ∂ ⎞ h⎛ ∂ ∂ ⎞ L z = −ih⎜⎜ x − y ⎟⎟ = ⎜⎜ x − y ⎟⎟ ∂x ⎠ i ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂y

импульса)

∧

L z = −ih

∂ h ∂ = ∂ϕ i ∂ϕ

согласно

оператор

Вид

этого

(см. момента

оператора

похож на вид операторов проекции импульса

полярную ось z (от нее отсчитывается полярный угол)

25

Операторы энергии

Операторы кинетической энергии ∧ 2

→

T=

∧ 2

∧ 2

px + py + pz 2m

→

,T = −

h2 ⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎜⎜ 2 + 2 + 2 2m ⎝ ∂x ∂y ∂z

⎞ h2 ⎟⎟ = − ∆. 2 m ⎠

Оператор потенциальной энергии ∧

U ( x, y , z ) = U ( x, y , z ) .

Оператор полной энергии (гамильтониан). Кинетическая энергия - функция импульсов, а потенциальная - функция координат. По соотношению неопределенностей не существует таких состояний, в которых частицы имели бы одновременно определенные импульсы и координаты. Поэтому полная энергия микрочастицы измеряется как единое целое. В классической механике полную энергию, выраженную через импульсы и координаты, называют функцией Гамильтона H. Если силы не зависят от времени, то функция Гамильтона совпадает с полной энергией системы: H=E. ) ) ) H = T +U , →

H =−

h2 ∆ + U ( x, y , z ) . 2m

26

Таблица 7 Уравнение Шредингера в операторной форме Уравнение Временное

−

уравнение Шредингера

Обычная запись

Гамильтониан, оператор

уравнения

полной энергии

Операторная форма

∂Ψ h 2 ∆Ψ + U ( x, y, z, t )Ψ = ih ∧ 2m ∂t H = − h ∆ + U ( x, y, z , t )

2m

∧

H Ψ = − ih

∂Ψ ∂t

Ψ = Ψ ( x, y , z , t ) . Уравнение Шредингера в операторной форме имеет более общий

характер и пригодно для описания движения частицы в произвольных стационарных и нестационарных полях, в частности в случае движения частицы в электромагнитном поле. Стационарное уравнение Шредингера

−

h ∆ψ + U ( x, y, z , t )ψ = Eψ 2m

∧

H =−

h2 ∆ + U ( x, y , z ) 2m

∧

H ψ = Eψ

В таблице 7 E – полная энергия частицы; ψ = ψ ( x, y, z ) - координатная часть волновой функции Ψ ( x, y, z , t ) ; стационарное уравнение Шредингера в оперативной форме имеет регулярные решения лишь при определенных значениях E, образующих спектр оператора полной энергии. ПРИНЦИП ПАУЛИ Квантовые числа

Состояние электрона в атоме однозначно описывается любым набором четырех независимых квантовых чисел. Таблица 8 Главное

n=1,2,3…

Орбитальное

l=0,1,2,…,n-1

Магнитное

ml = 0,±1,±2,...,±l ms = ±

Магнитное спиновое

27

1 2

Таблица 9 Формулировки принципа Паули Формулировка, запись

Пояснение

Принцип Паули в

В одном и том же атоме не Согласно принципу Паули, два

простейшей формулировке

может быть более одного электрона в одном и том же электрона

с

одинаковым атоме различаются значениями,

набором четырех квантовых по чисел

n, l , ml и

ms ,

крайней

мере,

одного

тождественные

частицы

т.е. квантового числа

Z (n, l , ml , ms ) = 0 или 1 Квантово-механическая формулировка принципа Паули

Системы

фермионов

встречаются в природе в состояниях,

описываемых

антисимметричными волновыми функциями

Если имеют

одинаковые

квантовые

числа, то их волновая функция симметрична

относительно

перестановки

частиц.

Для

фермионов

(например,

электронов)

волновая функция

должна быть антисимметрична, поэтому

два

одинаковых

фермиона, входящих в одну и ту же систему, не могут находиться в одинаковых состояниях

В таблице 9 Z (n, l , ml , ms ) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: n, l , ml , ms .

28

Таблица 10 Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам Символ

n

Число электронов в подоболочке

оболочки

l=0

l=1

l=2

l=3

Максимальное

l=4

число электронов в

s

p

d

f

1

K

2

2

L

2

6

3

M

2

6

10

4

N

2

6

10

14

5

O

2

6

10

14

g

оболочке 2 8 18 32

18

50

Периодическая система элементов Менделеева

Периодическая система элементов объясняется на основе принципа Паули, который и лежит в основе систематики заполнения электронных состояний в атомах. Поскольку порядковый номер Z химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного элемента, каждый последующий элемент можно «образовать»

из

предыдущего

прибавлением

к

ядру

одного

протона

(соответственно прибавлением одного электрона в электронной оболочке атома). С возрастанием числа электронов каждый следующий электрон занимает возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией; заполнение электронами энергетических состояний происходит в соответствии с принципом Паули. В периодической системе элементов наблюдается повторяемость в структуре внешних оболочек у атомов родственных элементов, так, инертные газы (Nе, Ar, Kr) имеют одинаковые внешние оболочки из 8 электронов (заполненные s- и p-состояния); во внешней оболочке щелочных металлов (Li, Na, K, Rb, Cs,

29

Fr) имеется лишь один s-электрон; во внешней оболочке щелочно-земельных металлов (Be, Mg, Ca, Sr, Ba, Ra) имеется два s-электрона; галоиды (F, Cl, Br, I, At) имеют внешние оболочки, в которых недостает одного электрона до оболочки инертного газа, и т. д. Таблица 11 Период

Z

Элемент

K 1s

I

II

III

L 2s

M 2p

3s

3p

1

H

1

2

He

2

3

Li

2

1

4

Be

2

2

5

B

2

2

1

6

C

2

2

2

7

N

2

2

3

8

O

2

2

4

9

F

2

2

5

10

Ne

2

2

6

11

Na

2

2

6

1

12

Mg

2

2

6

2

13

Al

2

2

6

2

1

14

Si

2

2

6

2

2

15

P

2

2

6

2

3

16

S

2

2

6

2

4

17

Cl

2

2

6

2

5

18

Ar

2

2

6

2

6

30

N 3d

4s

4p

4d

4f

Продолжение таблицы 11

IV

19

K

2

2

6

2

6

-

1

20

Ca

2

2

6

2

6

-

2

21

Sc

2

2

6

2

6

1

2

22

Ti

2

2

6

2

6

2

2

23

V

2

2

6

2

6

3

2

24

Cr

2

2

6

2

6

4

2

25

Mn

2

2

6

2

6

5

2

26

Fe

2

2

6

2

6

6

2

27

Co

2

2

6

2

6

7

2

28

Ni

2

2

6

2

6

8

2

29

Cu

2

2

6

2

6

10

1

30

Zn

2

2

6

2

6

10

2

31

Ga

2

2

6

2

6

10

2

1

32

Ge

2

2

6

2

6

10

2

2

33

As

2

2

6

2

6

10

2

3

34

Se

2

2

6

2

6

10

2

4

35

Br

2

2

6

2

6

10

2

5

36

Kr

2

2

6

2

6

10

2

6

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1

Для вольфрамовой нити при температуре 3500 К поглощательная

способность 0,35. Определите радиационную температуру нити. Дано

Решение

Т=3500 К

RT = AT σT 4 ,

RT = σTP4 ,

AT =0,35

AT σT 4 = σTP4 ,

TP4 = AT T 4 ,

Tp - ?

T p = 4 AT T .

Ответ. 2,69 кК. 31

Задача 2

Определите, до какого потенциала зарядится уединенный серебряный

шарик при облучении его ультрафиолетовым светом длиной волны 208 нм. Работа выхода электронов из серебра 4,7 эВ. Дано

Решение

А=4,7эВ=7,52·10-19 Дж

hν = A + eϕ ,

ν=

-7

λ =208 нм=2,08·10 м

ϕ=

c

λ

hc

,

λ

= A + eϕ ,

hc A − . λe e

ϕ -?

Ответ: 1,28 В. Задача 3

Определите длины волн, соответствующие: 1) границе серии

Лаймана; 2) границе серии Бальмера; 3) границе серии Пашена. Проанализируйте результаты. Дано

Решение

1) серия Лаймана

m=1, n=2,3,…, ∞

2) серия Бальмера

R ' =1,1·10 м ,

-

λ1 - ? λ2 - ?

λ3 - ?

1

λ1

1

λ2

= R' ⋅

1 , 4

λ

),

n=∞,

λ

n=∞,

= R' (

λ2 = 1

m=3, n=4,5,…, ∞

1 1 − 2 2 2 n

),

4 = 364 нм. R'

= R' (

λ3=

1) 91 нм, область ультрафиолета; 2) 364 нм, вблизи видимого фиолетового излучения;

32

1 1 − 2 2 n 1

= R ' ⋅1 ,

1

n=∞,

1 = R' ⋅ , λ3 9

= R' (

1 1 = = 91 нм. ' R 1,1 ⋅ 10 7 м −1

m=2, n=3,4,…, ∞

1

Ответ:

λ

-1

λ1 =

3) серия Пашена

1

1 1 − 2 2 3 n

),

9 = 820 нм. R'

3) 820 нм, область инфракрасного излучения. Задача 3

Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со

средней скоростью при T=290 K. Дано

Решение 3kT m

vкв =

v кв

λ=

m= 1,675 ⋅ 10−27 кг

h h h = = p m vкв 3kmT

T=290 K k= 1,38 ⋅ 10−23 Дж / К λ -?

Ответ: 148 пм. Задача 4

Используя соотношение неопределенностей в форме

∆x∆p x ≥ h ,

оцените минимально возможную полную энергию электрона в атоме водорода. Примите неопределенность координаты равной радиусу атома. Сравните полученный результат с теорией Бора. Дано

Решение ∆px ≈ 1, px

∆x∆p x ≥ h

∆x∆p x ≥ h ,

∆x = r

E =T + П =

n =1

dE = 0, dr

Z =1

rmin =

Emin - ?

p2 ⎛ e2 ⎞ ⎟, + ⎜⎜ − 2m ⎝ 4πε 0 r ⎟⎠

E=

Emin =

h , 2π

1 ⎛ e2 h2 ⎞ ⎟ = 0, ⎜ − r 2 ⎜⎝ 4πε 0 mr ⎟⎠

e2 me 4 h2 , − = − 2 2 2mrmin 4πε 0 rmin 2(4πε 0 ) h 2 Emin = −

Ответ: -13,6 эВ.

33

h h = , ∆x r

e2 h2 − , 2mr 2 4πε 0 r

dE e2 h2 =− 3 + , dr mr 4πε 0 r 2

4πε 0h 2 , me 2 h=

px = ∆px =

me 4 4h 2ε 02

Задача 5

Используя

условие

нормировки

вероятностей,

определите

нормировочный коэффициент A волновой функции ψ = Ae− r / a , описывающей основное состояние электрона в атоме водорода, где r – расстояние электрона от ядра, a - первый боровский радиус. Дано

Решение

∫ |ψ |

ψ (r ) = Ae − r / a

2

dV = 4πr 2 dr ,

dV = 1,

| ψ (r ) |2 = A2e −2 r / a ,

V

∞

∫A e

A-?

2 − 2r / a

0

∞

2 −2r / a ∫ r e dr = 0

Ответ: A = Задача 6

1

πa 3

2! ⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠

3

∞

⋅ 4πr dr = 4πA ∫ r 2e − 2 r / a dr = 1, 2

2

0

=

a3 , 4

4πA2 ⋅

a3 = 1, πA3a 3 = 1, 4

1

A=

πa 3

.

.

Частица находится в одномерной прямоугольной «потенциальной

яме» с бесконечно высокими «стенками». Определите, во сколько раз изменяется отношение разности соседних энергетических уровней ∆En +1, n / En частицы при переходе от n=3 к n’=8. Дано

Решение π 2h 2

n=3

En = n 2

n’=8

∆En +1, n 2n + 1 = , En n2

∆En +1, n -? En

n → n'

n=3

2ml

∆En +1, n = En +1 − En = (2n + 1)

, 2

π 2h 2

2ml 2

∆En ' +1, n ' 2n'+1 = , ( n' ) 2 En '

∆E 4 , 3 7 = = 0,78. 9 E3

Ответ: уменьшится в 3 раза.

34

n’=8

∆E9,8 16 = = 0,26. 64 E8

,

Задача 7

Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси х и

встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U, причем E
Решение 2mE ; h

E
ψ 1 ( x) = eik x + B1e −ik x ,

А1=1

ψ 2 ( x) = A2eik x ,

ψ 1 (0) = ψ 2 (0)

ψ '1 ( x) = ik1eik x + B1 (−ik1 )e −ik x ,

ψ '1 (0) = ψ '2 (0)

ψ 1 (0) = 1 + B1 ,

ψ 2 (0) = A2 ,

| ψ 2 (0) |2 − ?

ψ '1 (0) = ik1 − ik1B1 ,

ψ '2 (0) = ik2 A2 ,

1 + B1 = A2 ,

k1 − k1B1 = k2 A2 ,

B1 = A2 − 1,

k1 − ( A2 − 1)k1 = k2 A2 ,

2k1 = (k1 + k2 ) A2 ,

A2 =

1

k2 =

2

1

2

2k1 | ψ 2 (0) | =| A2 | = = k1 + k2 2

=

k1 =

1

2

1

2

2 E = E + (E − U )

2m( E − U ) ; h

ψ '2 ( x) = A2 (ik 2 )eik x , 2

2

2 E = E + i (E − U )

4E 4E 4E = = ( E + i ( E − U ) )( E − i ( E − U ) ) E + i ( E − U ) − i ( E − U ) + U − E U . 4E Ответ: | ψ 2 (0) |2 = U.

35

2k1 , k1 + k2

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. М.-С.-Пб.: Физматлит, 2002. 2. Курс физики. Учебник для вузов. Под ред. Лозовского В.Н. С.-Пб.- М.Краснодар: Лань, 2006. 3. Фриш С.Э. Курс общей физики. Учебник для вузов. С.-Пб. - М. Краснодар: Лань, 2006. 4. Савельев И.В. Курс общей физики. Учебник для вузов. М.: Наука, 2005. 5. Трофимова Т.И. Физика в таблицах и формулах. М.: Дрофа, 2002. 6. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.-С.-Пб.: Физматлит, 2002.

36