可換環論 (紀伊國屋数学叢書 1)

紀伊 國屋数学叢書 1

編 集委 員 伊藤 戸田

清 三   (東京大学名誉教授) 宏 

(京都大学名誉教授)

永田

雅 宜   (京都大学名誉教授)

飛田

武 幸   (名古屋大学名誉教授)

吉沢

尚 明   (京都大学名誉教授)

永田

雅宜

可換 環 論 紀伊國屋書店

序

  可 換 環 論 は,数

学 の い ろ い ろ な 分 野 に現 わ れ る 可 換 環―

数 の な す 環 な ど― 動 機 に な つ て,そ kind環

は,有

お よ び,そ

函 数 の な す 環,整

れ ら の 上 の加 群 の 一般 的 扱 い が,重

の 進 展 を続 け て 来 て い る.例

え ば §3.5で

要 な発 展 の

紹 介 す るDede

限 次 代 数 数 体 に お け る整 数 全 体 の な す 環 の 一 般 化 で あ る.§10.2

で 紹 介 す る 「収 束 べ き 級 数 環 」 は 多 変 数 函 数 論 の 基 礎 的 部 分 の 一 つ で あ る.ま た,本

書 の 主 対 象 と し て 取 り上 げ た 部 分(第4章

密 接 な 関 連 を も つ.そ

の ゆ え に,可

∼ 第10章)は,代

数幾 何 学 と

換 環 論 は 数 学 に お け る一 つ の 基 礎 的 分 野 で

あ る と い え る.   可 換 環 論 が 数 学 の 重 要 な 一 分 野 と し て 認 め られ る よ うに な っ た の は,W. Krullの

業 績 に 負 う と こ ろ が 大 で あ る と思 う.彼

表Krull[1])に

は1935年

た さ ら に,そ

記 文献

頃 の 可 換 環 論 の 要 約 が 述 べ られ て い る が,そ

単 な る 要 約 で は な く,Krullの あ る.ま

の 著Idealtheorie(後

れは

創 意 と工 夫 が 非 常 に 多 く盛 り込 ま れ て い る の で

の 後Krull自

身 を含 め て,多

く の 人 々 に よ っ て,可

換

環 論 の 発 展 が な さ れ て 来 た の で あ る.  

そ の よ うに 基 礎 的 分 野 で は あ る が,現

在,大

充 分 な 時 間 を 割 く余 裕 は な い 状 況 に あ る.そ

学 の 講 義 に お い て,可

換 環論 に

こ で 本 書 は 自 ら進 ん で 勉 強 し よ う

とす る人 々 の 参 考 書 と し て 用 い られ る こ と に 主 眼 を お い て 執 筆 され た.  

と こ ろ で,可

換 環 論 の 研 究 方 法 と し て は,1955年

法 を 受 け つ い で 来 た が,1955年 [1],Grothendieck[1]参

照)の

頃 ま で はKrull[1]の

手

頃 か ら 「ホ モ ロ ジ ー 代 数 」(Cartan-Eilenberg 発 展 が 見 られ,そ

の 手 法 が 可 換 環 に も 取 り入

れ られ る よ うに な っ た.(Auslander-Buchsbaum[1]∼[4],Serre[1]∼[3] な どが そ の 典 型 と い え よ う.)  

本 書 の 執 筆 に あ た っ て は,な

た が っ て,予

る べ くself-containedに

備 知 識 と し て 要 求 す る もの は,極

し た い と考 え た.し

め て 基 礎 的 事 項 に 限 っ た.こ

の

方 針 に従 い,か つ,ホ モ ロジー 代数 の手 法 の紹 介 をす る とす れ ば,ホ モ ロジー 代 数 の基礎 の 紹 介 に 多大 のペ ー ジ を費 す こ とに な るの で,今 回 は一 応 断念 した. ま た別 の機 会 が あ れ ば,そ の 方 面 の紹 介 もし たい とは思 っ てい るが,さ

しあ た

り,読 者 自身 が,い ろ い ろ な文献 で,そ の方 面 も,必 要 に応 じて勉 強 され る こ とを希 望 して お く.   読 者 の 更 な る勉強 の た め と,本 文 中 の引 用 の た め に必 要 と思 わ れ る文 献 若 干 を,一 覧 表 に して,本 文 の あ とへ つ け加 え てお く.し か し,そ こに は重 要 な文 献 を全 部 挙 げて い る わ け では ない こ とに注 意 して 頂 きた い.特 に,代 数 幾 何 学 との 関連 の深 い 文 献(Abhyankar,Chow等

の 多数 の論 文 を含 む)に,可

換環

論 と して も重 要 な もの が数 多 く存 在 す る.   こ の序 文 を終 え るに あ た っ て,本 書 の 出版 に関 し,お 世 話 に な った方 々,特 に,紀 伊 國 屋 書 店 出版 部 の渦 岡 謙 一 氏 に,謝 意 を表 した い. 1974年5月 永 田 雅 宜

目

次

序 序

章  集 合 お よ び 群 に つ い て の 予 備 知 識

  0.0.  集 合 に つ い て の 基 本 的 記 号    0.1.  写

1

像

 

2

  0.2.  順 序 集 合

 3

  0.3.  類 別 と同 値 律

  5

  0.4.  群

 6

  0.5.  正 規 部 分 群 と準 同 型

  9

  0.6.  位 相 に つ い て 13 第1章 

加

  1.0.  環

群

と 体

  1.1.  加

14

群 

20

項式環 

26

  1.3.  テ ンサ ー 積

  29

  1.4.  完 全 系 列

 31

  1.2. 多

  1.5.  体  

  34

問

第2章 

題 

40

イ デ ア ル の一 般論

  2.0.  整 域 と素 イ デ ア ル     2.1.  イ デ ア ル に つ い て の 演 算,根   2.2.  準 素 イ デ ア ル   2.3.  商

環

  2.4.  整 拡

大  

 

43 基

 47  49 52 58

  2.5.  素 元 分 解 の 一 意 性  

問

第3章

  63

題 

68

  Noether環,付

値 環 お よ びDedekind環

  3.0.  Noether環

  71

  3.1.  準 素 イ デ ア ル 分 解

 76

  3.2.  局 所 環 の 定 義

 

81

  3.3.  付

 

85

値 環

  3.4.  Noether環

の整 拡 大

  92

  3.5.  Dedekind環

 97

  3.6. 

い くつ か の 商 環 の 共 通 部 分

 

問

第4章

  有 限生 成 環

題

 100

  4.0.  正 規 化 定 理   4.1.  正 規 化 定 理 の 応 用 例   4.2.  正 則 性

第5章

問

 

104  107   110

  4.3.  幾 何 学 的 意 義  

  100

題

 111   113

  局 所 環 の完備 化

  5.0.  イ デ ア ル に よ る位 相   5.1.  べ き級 数 環

  115   118

  5.2.  半 局 所 環 の 完 備 化

 120

  5.3.  完 備 化 の 平 坦 性

  128

  5.4.  平 坦 性続 論

  133

  第6章 

問

題 重

複

  6.0.  Hilbert特   6.1.  λ 多 項 式

  137 度 性函数

  140  143

  6.2.  上 表 元

  144

  6.3.  重 複 度 の 定 義

  148

  6.4.  パ ラ メ ー タ ー 系 で 生 成 され る イ デ ア ル

  150

  6.5.  Cohen-Macaulay環

  154

  6.6.  Krull‐ 秋 月 の 定 理

   160

 

  163

問

第7章 

題 syzygy

  7.0.  syzygyの

定義

  7.1.  正 則 列

  166   169

  7.2.  正 則 局 所 環

   172

 

問

題

  176

第8章

  完 備 局所 環 とそ の応 用

  8.0.  完 備 局 所 環 の 性 質

  178

  8.1.  完 備 局 所 環 の 構 造 定 理

 180

  8.2.  整 閉 包 の 有 限 陸

  188

  8.3.  Noether整

 190

域 の整 閉 包

  8.4.  素 イ デ ァ ル 鎖 の 長 さ  

問

題

第9章

  幾 何 学 的 局所 環

  9.0.  局 所 域 

 

195  197

200

  9.1.  解 析 的 不 分 岐 性

 201

  9.2.  解 析 的 正 規 性

 202

  第10章 

問

題

  207

Hensel環

  10.0.  不 分 岐 拡 大

 208

  10.1.  Hensel化

  212

  10.2.  べ き 級 数 環

 218

 

問

第11章 

題 諸

  例

  11.0.  極 大 条 件 と極 小 条 件   11.1.  Noether環

のKrull次

  224 元

  225

  11.2.  素 イ デ ア ル 鎖   11.3.  特 殊 な 正 則 局 所 環   11.4.  Noether整

223

   

226 228

域 の整 閉包

  11.5.  正 規 局 所 環 の 完 備 化

 230  

233

  11.6.  局 所 整 域 の 完 備 化

  235

  11.7.  イ デ ア ル の 素 因 子

 240

文 献

表

 

245

索

引

 

248

記 号

表

 255

序

章 集合および群について の予備知識

  0.0.集

合 に つ い て の 基 本 的 記 号

  集 合,そ

の 元,部

で あ ろ う.ま

た,集

分 集 合,空

集 合,共

合 に つ い て の,次

通 部 分 な どの基 本 概 念 につ い て は既 知 の 記 号 は 自 由 に使 う:

  ∈,∋ 

(元aが

集 合Mの

元 で あ る と き,a∈M,ま

 

, 

(元aが

集 合Mに

属 し な い と き, 

,ま

た は 

 

, 

(NがMの

部 分 集 合 で あ る と き, 

,ま

た は 

  ⊂,⊃

  ( 

っ て は,本  

, 

書 の 

か つN≠Mの を ⊂ で 示 し,本

(NがMの

  ∩,∪

と き,N⊂M,ま

そ れ ぞ れM1∩M2∩

… ∩Mn(ま

書 の ⊂ を 

で 番 号 づ け ら れ た 集 合Mλ(λ

集 合,共

通 部 分 は そ れ ぞ れ ∪Mλ,∩Mλ)

  {￨} 

  BがAの

た は{a￨P}で

}を

  ×,Π  

(積 集 合.集

はM1×M2×

… ×Mnで

集 ま り に つ い て,そ   ま た,論

共 通 部 分,和 … ∪Mn(ま

件Pを

集合 は

た は 

).

全 体 の和

み た す 集 合Mの

元a全

示 す.)

部 分 集 合 で あ る と き,A-BはBのAに

わ ち,{ 

)

∈Λ)の 集 ま りが あ る と き,Mλ

(あ る 条 件 を み た す 元 の 集 合.条

体 は{a∈M￨P}ま

献 によ

ま た は 

),M1∪M2∪

集 合Λ

)

で 示 し て い る も の も あ る.)

合M1,M2,…,Mnの

た は 

)

た はM⊃N)(文

部 分 集 合 で な い と き, 

  (共 通 部 分 と和 集 合;集

た はM∋a)

お け る 補 集 合,す

な

示 す. 合M1,M2,…,Mnの 示 す.集

合

積 集 合{(al,…,an)￨ai∈Mi} Λ で 番 号 づ け られ た 集 合Mλ(λ

れ ら全 体 の積 集 合 は 

理 記 号 と し て,∀(任

も成 立 す る と き,A⇒B),⇔(AとBと

意 の),∃(存

∈Λ)の

で 示 す.) 在 す る),⇒(Aが

成 立 す れ ばB

が 同 値 で あ る と き,A⇔B)も

自 由 に 使 う.

  0.1.写

像

  集 合Mの

各 元 に集 合Nの

そ の 規 則 をMか nがmに

らNの

中 へ の 写 像 とい う.fが

対 応 す るNの

元,す

号 を 使 う と き と,mf=nの

な わ ちmの

そ の よ う な 写 像 で,m∈M,

像 で あ る と き,fm=nの

型 の記

型 の 記 号 を使 う と き と が あ る.M1がMの

合 で あ る と き,fM1(ま を示 す.fM(ま

元 を 一 つ ず つ 対 応 させ る 規 則 が 与 え られ た と き,

た はM1f)に

よ り{fm￨m∈M1}(ま

た はMf)がNと

部分集

た は{mf￨m∈M1})

一 致 す る と き,fはMか

らNの

写 像 で あ る と い う.fがMか

らNの

上 へ の 写 像 で,Mの

が 互 に 異 な る と き,fはMか

らNへ

の 一 対 一 写 像 で あ る と い う.

  MがNの

部 分 集 合 で あ る と き,∀m∈M,fm=mと

な 埋 め 込 み ま た は 自 然 単 射 とい う.[単

照).MがNの

  集 合M1,…,Mnの

ら にM=Nの

積 集 合M1×

成 分ai(iは

固 定)を

得 ら れ る.こ

の 写 像 を積 集 合  

Mjが

のfは

と き,fは … ×Mnの

対 応 させ れ ば,M1×

空 で な い と き,こ

な る 写 像fを

書 で も,準

部 分 群 で あ れ ば,上

て い る こ と に 注 意 せ よ.]さ

相 異 な る元 の像

自然

射 と い う語 は 考 え る対 象 如 何 に よ っ て,

い ろ い ろ な 意 味 に使 わ れ る こ とが あ る.本 (§0.5参

上へ の

同型 の特 別 な場 合 に使 う そ の 意味 での 単 射 に な っ 恒 等 写 像 と よ ば れ る.

元(a1,…,an)に

… ×Mnか

か ら成 分Miへ

対 し て,そ

らMiの

の

中 へ の写 像 が

の 射 影 とい う.(す

べての

の 射 影 は 上 へ の 写 像 に な る.)無 限 個 の 集 合 の 積 の と き

も 同 様 で あ る.   fが

集 合M1か

ら集 合M2の

の 中 へ の 写 像 で あ る と き,M1の を 対 応 さ せ れ ば,M1か と の 積 とい う.fmの き に は,fgで g(fm),後

らM3の

中 へ の 写 像 で,gが

示 す の が 習 慣 に な っ て い る.(そ

  集 合 に は,そ

ら集 合M3

よ る 像 のgに

中 へ の写 像 が 得 られ る.こ

型 の 記 号 の と き に は,積

者 で はmfg=(mf)gと

集 合M2か

各 元mに,mのfに

はgfで,mfの うす る と,前

よ る像

の 写 像 をfとg 型 の記 号 の と 者 で は(gf)m=

な る か ら で あ る.)

の 元 の 多 さ を 示 す も の と し て,濃 度 な る も の を考 え る.集

合N

の 濃 度 は#(N)で

示 す こ と に す る.有

で あ る.(空 集 合 の 濃 度 は0.)自 い わ れ る.(有

限 集 合 の と き は,そ

然 数 全 体 の 集 合 の 濃 度 は 可 付 番(無 限)で あ る と

限 と可 付 番 無 限 と を 合 わ せ て 可 付 番 とい う こ と も あ る.)実

体 の 集 合 の 濃 度 は 連 続 の 濃 度 と い わ れ る.積 #(M)×#(N)で

示 す.有

は 後 の 定 理0.1.3参 る と き,Mの

集 合M×Nの

限 の と き は 数 の積 と一 致 す る.無

照.一

濃 度 とNの

適 当 な 部 分 集 合N1と 合N1へ

の元 の数 が そ の濃 度

般 に,集

合Mか

ら集 合Nへ

濃 度 は 等 し い も の と定 め る.集

同 じ濃 度 を も つ と き,す

な わ ちMか

の 一 対 一 写 像 が あ る と き,#(N)≧#(M)と

数全

濃度 は 濃度 の積 限 の と きに つ い て の一 対 一 写像 が あ 合Mが

集 合Nの

らNの

定 義 す る.す

部分集 る と次 の こ

とが 成 り立 つ:   濃 度 比 較 可 能 定 理   M,Nが

集 合 で あ る と き,

  (イ)  #(M)≧#(N),#(N)≧#(M)の

少 な く と も一 方 が 成 り立 ち,

  (ロ)  も し 両 方 が 成 り立 つ な ら ば,#(M)=#(N).   ま た,次

の こ と が 成 り立 っ.

  定 理0.1.1.  はMの

集 合Mの

考 え れ ば,S(M)の

濃度

濃 度 よ り(本 当 に)大 き い.

  定 理0.1.2. 

上 で,Mの

続 の 濃 度 で あ る.し   定 理0.1.3.  m′ ∈M}の

部 分 集 合 全 体S(M)を

濃 度 が 可 付 番 無 限 で あ れ ば,S(M)の

た が っ て,実

Mが

濃度は連

数 全 体 は 可 付 番 で は な い.

無 限 集 合 で あ れ ば,積

濃 度#(M)×#(M)はMの

  上 の 諸 定 理 の 証 明 に つ い て は,集

集 合M×M={(m,m′)￨m∈M,

濃 度 と一 致 す る. 合 論 に つ い て の 成 書 を み られ た い.

  0.2.  順 序 集 合   集 合Mに a,b∈Mを

お い て,次 とれ ば,a≧bで

の条 件 をみ たす 関 係

あ る か 否 か は 確 定 し て い る)と き,こ

順 序 と い い,Mを

順 序 集 合 と い う:

  (1)  ∀a∈Mに

つ い て,a≧a

  (2)  a≧b,b≧a⇒a=b

≧ が 定 義 さ れ て い る(す な わ ち の 関係 ≧ を

  (3)a≧b,b≧c⇒a≧c.   な お,a≧bの b
と き,b≦aと

も か き,ま

お い て,任

意 のa,b∈Mに

た,a≧b,a≠bの

と きa>bま

たは

か く.

  順 序 集 合Mに

ず 成 立 す る と き,Mは

対 し て,a≧b,b≧aの

全 順 序 集 合 で あ る と い う.順

一方が必

序 集 合 の 部 分 集 合 は(同 じ

順 序 で)順 序 集 合 に な り,全 順 序 集 合 の 部 分 集 合 は 全 順 序 集 合 に な る.   順 序 集 合Mに

お い て,(イ)a∈Mに

す る よ う なaをMの

つ い て,b∈M,b≧a⇒a=bの

極 大 元 とい う.(ロ)a∈Mに

成 立 す るaをMの

最 大 元 と い う.(ハ)大

成立

つ い て,b∈M⇒a≧bの

小 関 係 を 逆 に し て,極

小 元,最

小

元 を そ れ ぞ れ 定 義 す る.   順 序 集 合Mに

お い て,任

意 の 空 で な い 部 分 集 合 都 必 ず(そ れ 自身 を 順 序 集

合 と考 え て)極 大 元 を もつ と き,Mに 小 条 件 も同 様 に定 義 す る.Mに 番 号Nか

お い て,極

お い て,al≧a2≧

ら先 で はaN=aN+1=…

  定 理0.2.1. 

… ≧an≧ …

な らば必 ず あ る

と な る,い い か え れ ば,a1>a2>…>an>…

と い う列 は 必 ず 有 限 で 終 る と き,Mに 小 関 係 を 逆 に して,昇

大 条 件 が 成 り立 つ とい う.極

お い て,降

鎖 律 が 成 り立 つ と い う.大

鎖 律 が定 義 さ れ る.

極 大 条 件 と昇 鎖 律 とは 互 に 同 値 で あ り,極

小 条 件 と降 鎖 律 と

は 互 に 同 値 で あ る.   証 明.  a1
え に,極

な る 無 限 列 が あ れ ば,{ai￨i=1,2,…}に

大 条 件 ⇒ 昇 鎖 律.逆

空 で な い 部 分 集 合 で あ れ ば,Sの る.anがSの

元aiの

に 昇 鎖 律 が 成 り立 っ た と す る.Sが 列 をa1
る ご と くと

極 大 元 で な い な ら ば,an+1∈Sをan+1>anな

順 次 と っ て 行 け ば,昇

鎖 律 に よ り,有

る.ゆ え に,昇 鎖 律 ⇒ 極 大 条 件.極

極大元

限 で と ま る.す

小条件 ⇔

る ご と く と り, な わ ち,極

大 元 に到 達 す

降 鎖 律 は これ と 双 対 的 で あ る. (証 明 終)

  全 順 序 集 合Mに

お い て,極

小 条 件 が 成 り立 つ と き,Mは

整列集合であ る

とい う.   例1. 

二 つ 以 上 の 元 を も つ 集 合Mの

部 分 集 合 全 体S(M)に

お い て,

の ときM≧Nと

定 義 す れ ば,S(M)は

順序 集 合 で あ って,全 順 序 集 合 で は な

い.

  例2. 

実 数 全 体 は,ふ

つ う の 大 小 関 係 に よ り,全 順 序 集 合 で あ り,自 然 数 全

体 は そ の 整 列 部 分 集 合 の 例 で あ る.   順 序 集 合Mの

部 分 集 合Sに

aはSの(Mに

お け る)上 限 で あ る と い う:{b∈M￨∀s∈Sに

の 中 でaが 合Mに

最 小 元 で あ る.大

つ い て,Mの

対 し て,a∈Mが,次

の条 件 を み た す と き,

小 関 係 を 逆 に し て,下

限 も定 義 され る.順

任 意 の 空 で な い 整 列 部 分 集 合 が,必

限 を もつ と き,Mは

帰 納 的 集 合 で あ る と い う.帰

つ い てb≧s}

ず(Mに

序集

お い て)上

納 的 集 合 につ い て の次 の定

理 は 有 名 で あ る:   Zorn(ツ

ォル ン)の 補 題   帰 納 的 集 合 に は 極 大 元 が あ る.

  証 明 は,集

合 に 関 す る 成 書 を み ら れ た い.

  M1,…,Mnが

順 序 集 合 で あ る と き,積

集 合M1×

… ×Mnに

次 の よ う な順

序 を 入 れ る こ と が で き る:(m1,…,mn)≧(m′1,…,m′n)⇔mi≠m′iな が あ れ ば,そ

の よ う な も の の う ち,番 号iの

式 的 に 書 き 表 わ せ ば:各i=1,2,…,nに ∃jm′jの M1×

… ×Mnに

  間.上

一 番 小 さ い と こ ろ で,mi>m′i(形 つ い て,mi≧m′iで

少 な く と も一 方 が 成 立 す る).こ

あ る か また は

の よ う に し て定 め た 順 序 を

お け る辞 書 式 順 序 とい う.

で,(イ)M1,…,Mnが

す べ て 全 順 序 集 合 で あ れ ば,M1×

は 全 順 序 集 合 で あ り,(ロ)M1,…,Mnが ×Mnも

る番 号

整 列 集 合 で あ る.こ

… ×Mn

す べ て整 列 集 合 で あ れ ば,M1×

…

れ ら を 証 明 し て み よ.

  0.3.  類 別 と 同 値 律   一 つ の 集 合Mを,互 集 合Λ

に 共 通 元 を も た な い,空

で な い 部 分 集 合Sλ(λ

を 動 く)の 和 集 合 で あ る よ う に 分 け る こ と を,類

はあ る

別 と い い,各 部 分 集 合

Sλ を 類 とい う.   一 つ の 集 合Mに

お い て定 義 され る関係

う で な い(記 号:a≠a)か は 同 値 律 を み た す,ま

が 確 定 す る)が,次

≡(a,b∈Mを

とれ ば,a≡bか

の 三 条 件 を み た す と き,こ

た は 同 値 関 係 で あ る と い う.

そ

の 関係

  (イ)  a∈M⇒a≡a   (ロ)  a,b∈M,a≡b⇒b≡a   (ハ)  a,b,c∈M,a≡b,b≡c⇒a≡c.   定 理0.3.1. 

集 合Mが

空 で な い 部分 集 合Sλ(λ

の和 集 合 で あ る も の とす る.関 a≡bで Mの

あ る も の と定 め る.こ

係

≡を,a,bを

の と き,≡

は あ る 集 合Λ

の 元 を 動 く)

同 時 に 含 むSλ

が あ る とき

が 同 値 律 を み た す ⇔Sλ(λ

∈Λ)が

類 別 を与 え る.

  証 明 は 容 易 で あ る か ら略 す る.   注 意.  同 値 律 の 条 件 で の(イ)は か え て も よ い(a≡b⇒b≡a((ロ)に

∀a∈Mに

対 し,∃b∈M,a≡b,に

よ る)∴a≡a((ハ)に

おき

よ る)).し か し,省

い て は い け な い.

  0.4.  群   集 合Mに

つ い て,積

とす る.φ(a,b)=cで

集 合M×Mか

あ る と き,aとbと

え られ る.こ

の よ う に,Mの

え る と き,φ

をMに

示 し,そ

定 め てい る と考

元 を定 め る法 則 と してφ

お け る二 元 算 法 ま た は 単 に 算 法 と い う.そ 定 め る 元c=φ(a,b)を,aとbと

合Gが

の 算 法φ

の 算 法 が,乗

の和

任 意 のa,b∈M

は 可 換 で あ る と い う.

一 つ の 二 元 算 法―

そ れ を乗 法 と よ ぶ こ と に し よ う―

の 算 法 が次 の 三 条 件 を み た す と き,Gは

(1)  a,b,c∈G⇒(ab)c=a(bc)(結 (2)  ∃e,∀a∈G,ea=ae=aこ が 普 通 で あ る.Gの

を考

の 積 と い い,c=

示 す の が 普 通 で あ る.φ(a,b)=φ(b,a)が

に つ い て 成 り立 つ と き,こ

も ち,そ

が 与 え られ た

の 算 法 が 加 法 と よ ば れ る と き は,c=φ(a,b)をaとbと

とい い,c=a+bで

  さ て,集

中 へ の 写 像φ

の 組(a,b)がcを

二 元 の 組 がMの

法 と よ ば れ る と き は,a,bの abで

らMの

を

群 で あ る と い う.

合 法 則) の よ う なeを

単 位 元 と い い,1で

示すの

単 位 元 と い う こ と を示 す 必 要 の あ る と き は1Gと

記

す. (3) a∈G⇒ a-1で

示 す.

∃a′∈G,aa′=a′a=1こ

の よ うなa′

をaの

逆 元 とい い,

  算 法 が 可 換 で あ る と き,そ

の群 は 可 換 群 ま た はAbel(ア

ー ベ ル)群

とよ ばれ

る.   集 合Mが と い う.こ イ ナ スaと

加 法+に

換 群 を な す と き,Mを

の と き の 単 位 元 は 零(元)と よ ば れ−aで

  定 理0.4.1.  て,そ

関 し て,可

表 わ さ れ,元aの

逆元 は マ

示 され る.

群Gに

の 逆 元a-1も

よ ば れ,0で

加 群 また は 加 法群

お い て,単

唯 一 つ で あ る.ま

位 元 は 唯 一 つ あ り,Gの

各 元aに

対 し

た(a1)-1=a,(ab)-1=b-1a-1.

  証 明.  1,1′ が 共 に 単 位 元 で あ っ た とす る.1=1.1′=1′'.∴1=1′.次 a′,a″ が共 にaの

逆 元 と す る と,a′=a′(aa″)=(a′a)a″=a″.a-1の

一 意 性 に よ り(a-1)-1=a   群Gの

.abb-1a-1=1ゆ

部 分 集 合Hが,Gの

の 部 分 群 で あ る と い う.部   群Gの

部 分 群Hλ(λ

通 部 分 

は あ る 集 合Λ

を な し て い る と き,HはG

の 元 を動 く)が あ る と き,そ

部 分 群 で あ る.こ

の こ と か ら,Gの

含 む す べ て の 部 分 群 の 共 通 部 分 はSを

ち 最 小 で あ る こ と を知 る.こ 群HがSで

の 部 分 群 を,Sで

生 成 され る と き,SはHの

生 成 され る 群 を 巡 回 群 と い う.H1,H2が で 生 成 され た 部 分 群 はH1∨H2と

群Gの

れ らの共

部 分 集 合Sが 含 む 部分 群 の う

生 成 さ れ た 部 分 群 と い う.部

分

生 成 系 で あ る と い う.一 つ の 元 で 群Gの

部 分 群 で あ る と き,H1とH2

い う よ う に,記

号∨

が 用 い られ る.多

部 分 群 で 生 成 さ れ た 部 分 群 の と き も 同 様 で あ る(H1∨H2∨   定 理0.4.2. 

(証 明 終)

分 加 群 も 同 様 に 定 義 す る.

は ま たGの

与 え られ た と き,Sを

逆元の

え(ab)-1=b-1a-1. 

算 法 に よ っ て,群

に,

空 で な い 部 分 集 合Hに

つ い て,次

…∨Hn, 

数の 等).

の 三条 件 は互 に同

値 で あ る:   (1)  Hは

部 分群

  (2) a,b∈H⇒ab-1∈H   (3)  a,b∈H⇒a-1b∈H.   証 明.(1)⇒(2),(3)は a,a∈Hゆ

明 白.(2)が

成 り立 つ と す る.a∈Hを

え,1=aa-1∈H.∴1,a∈H.∴a-1=1.a-1∈H.し

a,b∈H⇒a,b-1∈H⇒a(b-1)-1=ab∈H.し

た が っ て,(2)⇒(1).同

と れ ば, た が っ て, 様 に,(3)

⇒(1). 

(証 明 終)

  群Gに

お い て,K,Lが

l∈L}を

示 す(算

部 分 集 合 で あ れ ば,KLに

法 が 加 法+で

={k+l￨k∈K,l∈L}).し

あ れ ば,KLの

た が っ て 特 にHが

は{ah￨h∈H}を,Haは{ha￨h∈H}を aの

左(右)剰

余 類Ha全

bHと

体 の 集 合 をH＼Gで

はG/Hの

使 うK+L

部 分 群,a∈Gで

あ る と き,aH

示 す.aH(Ha)はHを

余 類 と よ ば れ る.こ

の 元 で あ り,a≠bで

よ り集 合{kl￨k∈K,

代 り にK+Lを

れ ら左 剰 余 類aH全 示 す(G/Hに

法 とす る

体 の 集 合 をG/H,右

お い て は,各aHが

あ っ て も,aHとbHと

剰

集 合G/H

が 集 合 と し て 等 し い と き,aHと

元 と し て は 同 一 と考 え る.H＼Gに

お い て も同 様 で あ る).

  定 理0.4.3.(イ)aH=bH⇔b-1a∈H (ロ)Ha=Hb⇔ab-1∈H (ハ)aH≠bH⇔aH∩bH=空

集合

(ニ)Ha≠Hb⇔Ha∩Hb=空

集 合.

  証 明.  aH=bH⇒a∈bH⇒a=bh(∃h∈H)⇒b-1a=h∈H.逆 h∈Hな

ら ばa∈bH.∴aH

bHH=bH.ま

ah-1∈aH.∴bH

aHと

(ロ)は

考 え よ う.aH∩bH∋cと

同 様,(ハ)を

よ りcH=aH.同 ⇒aH=bH.ゆ

た が っ て(イ)が

  上 の 結 果 は,群

証 明 さ れ た.

よ りcH=bHし

余 類 に 分 け る こ と も,そ

え,(イ)に

た が っ て,aH∩bH≠ 集 合.逆

空集合

は 明 白 ゆ え,(ハ)が

同 様.  を,一

(証 明 終)

つ の 部 分 群 を 法 に し て 右 剰 余 類 に 分 け る こ と も,左

剰

れ ぞ れ 類 別 に な っ て い る こ と を示 し て い る.

元 数(集 合 と し て の 濃 度)をGの

し た が っ て,#(G)で

え,b=

す る と,c∈aHゆ

え に,aH≠bH⇒aH∩bH=空

証 明 さ れ た.(ニ)は

  群Gの

た こ の と きa=bhゆ

な り,aH=bH.し

様c∈bHに

に,b-1a=

示 す.#(G)が

位 数 と い う.集

有 限 で あ る と き,Gは

合 の 濃度 の記号 に 有 限群 で あ る とい

う.   Hが

群Gの

部 分 群 で あ る と き,G/Hの

元 数(濃 度)#(G/H)を,HのG

に お け る 指 数 とい う.こ れ は 次 の 定 理 の 最 後 で 示 さ れ る よ う に,#(H＼G)と し い.元aで

生 成 され る 巡 回 群 の 位 数 を,aの

位 数 と い う.

等

  定 理0.4.4. 

Gが

有 限 群 で,そ

の位 数 がg,Hが

部 分 群 で そ の 位 数 がh

で あ る と き,#(G/H)=g/h=#(H＼G).#(G/H)=#(H＼G)はGが

有 限群 で

な く て も 成 立 す る.   証 明.  各 剰 余 類aH(a∈G)はh個

の 元 か ら成 る.し

h×#(G/H).{x-1￨x∈gH}=Hg-1ゆ とH＼Gと

の一 対 一 対 応 を 与 え る.ゆ

  注 意. 

はG/H

え に#(H＼G)=#(G/H). 

上 の 場 合hお

  定 理0.4.6. 

群Gの

生 成 され た 巡 回 群Z′   証 明.  am∈Zゆ

よ び#(G/H)はg=#(G)の 元aの

はaで

位 数nと

約 数 で あ る.

素 な 有 理 整 数mを

生 成 さ れ た も のZと

え,Z′  Zは

る有 理 整 数 α,β が あ る.

Z′. 

(証 明 終)

  群 の 重 要 な 例 に 置 換 群 と い わ れ る も の が あ る.集 上 へ の 一 対 一 写 像 全 体 をG(M)と

と して の 積 と定 め れ ば,明 群 と い う.G(M)の

ら か にG(M)は

あ る と き はG(M)はn次

合Mを

し よ う.G(M)に 群 に な る.そ

群 と し て の 構 造 は,#(M)に

の 部 分 群 は,Mの

固 定 し,Mか お い て,積 れ をMめ

対 称 群 と も よ ば れ る.Mの

の と きG(M)の

ら は写 像

上 の対称

よ っ て定 ま る か ら,そ れ が 有

上 の 置 換 群 と よ ば れ る.(#(M)=n<∞

群 と も い う.)#(M)=n<∞

とれ ば,amで

一 致 す る.

明 白.αn+βm=1な

(am)β=aαn+βm=a.∴a∈Z′.∴Z 

限 数nで

(証 明 終)

は 元 の 対 応 を 示 す 記 号 で あ る.

  系0.4.5. 

Mの

た が っ て,#(G)=

え,

位 数 はn!で

上 の対 称 群

の とき はn次

置換

あ る.

  0.5.  正 規 部 分 群 と 準 同 型   群Gか と き,φ

ら群G′ はGか

G′ ま た はG→G′ る と き は,Gか

の 中 へ の 写 像φ らG′

の 中 へ の 準 同 型 で あ る とい う.記

と か く.{x∈G￨φx=1}をφ らG′

だ け か ら成 る と き,"準

の 上 へ の 準 同 型,ま 同 型"は

お,Gか

みたす

号 と し て,φ:G→

の 核 と い う,φG=G′ た ほ 全 射 とい う.φ

中 へ の 同 型,ま

G′ の 上 へ の 同 型 が あ る と き,GとG′ す.な

が,a,b∈G⇒φ(ab)=(φa)(φb)を

であ

の 核 が単 位 元

た は 単 射 と い わ れ る.Gか

と は 同 型 で あ る と い い,G〓G′

らG′ の 中 へ の 準 同 型 全 体 をHom(G,G′)で

示 す.ま

ら で示

た,上

へ の 同 型 を全 単 射 と も い う.   群Gに

お い て,a∈Gを

固 定 し,σx=a-1xaに

よ り,Gか

らGの

写 像 σ を定 義 す る.σ(xy)=a-1xya=a-1xaa-1ya=(σx)(σy).ま σ(aba-1)=b,ま か らGの

同 型 と い う,上

の σ はaの

記 号 と し て,σxの

らGの

定 め る(ま た はaに

代 りに,xaの

はG

上 へ の 同 型 を,Gの

自己

よ る)内 部 自 己 同 型 と い う.

形 に 書 く の が 普 通 で あ る.(xa)b=xabで

あ

と っ て も)内 部 自 己 同 型 と し て 得 られ な い 自

己 同 型 を,外 部 自 己 同 型 とい う.S( 

G)が

内 部 自 己 同 型 で うつ る も のa-1Sa

共 役 と い う.

  群Gの

部 分 群Nが,Gの

任 意 の 内 部 自 己 同 型 でN内

(す な わ ち,g∈G,n∈N⇒g-1ng∈Nの 群 で あ る とい う.こ る.(各

た が っ て,σ

般 に,Gか

る こ と に 注 意 せ よ.(ど ん な にaを

をSの

た,b∈G⇒

た,σx=1⇒a-1xa=1⇒x=aa-1=1.し

上 へ の 同 型 で あ る.一

中への

のNに

成 立 す る と き)NはGの

N,gNg-1 

場 合,gN=Ng(∀g∈G).し

=abNに

Nが

群Gの

らG/Nへ

  こ の 群G/NをGのNを

の 区 別 は 不 要 に な る.

正 規 部 分 群 で あ れ ば,G/Nに

の 写 像 はGか

注 意.)こ の

か か れ る こ と も あ る.

よ っ て 定 め られ る乗 法 に よ り,G/Nは

定 ま るGか

同値 で あ

N⇒g-1Ng=Nに

た が っ て 剰 余 類 の 右,左

剰 余 類aNはamodNと

  定 理0.5.1. 

正規部分

つ い て の 条 件 は,g∈G⇒g-1Ng=Nと

自 証 明 し て み よ.g-1Ng 

こ の 場 合,aの

に 写 され る と き,

お い て,(aN)(bN)

群 に な り,ψa=aNに

らG/Nの

上 へ の 準 同 型 で あ る.

法 と す る 剰 余 類 群 と い い,ψ

へ の 自 然 準 同 型 と い う.(Gが

加 群,Nが

よ って

をGか

部 分 加 群 の と き はG/Nは

らG/N 剰 余 類加

群 と よ ば れ る.)   証 明.  b∈Gの abNN=abNがGの 算 法(aN)(bN)=abNは

と きb-1Nb=Nゆ

えNb=bNで

部 分 集 合 と し て成 立 す る.し 元aN,bNの

あ る.∴(aN)(bN)= た が っ て,G/Nに

表 わ し方(a′ ∈aNな

おける

ら ば,aN=a′N

で あ る こ と に 注 意)に 関 せ ず に 定 ま る.結 合 法 則:((aN)(bN))(cN)=(ab)cN= a(bc)N=(aN)((bN)(cN)).NがG/Nの で あ る こ と は 明 白 で あ る.ゆ

単 位 元 で あ り,aNの え に,G/Nは

逆 元 がa-1N

群 で あ る.ψ(ab)=abN=(aN)(bN)

=(ψa)(ψb)で

あ る か ら ψ は 準 同 型 で あ る . 

  定 理0.5.2. 

群Gか

ら群G′

(証 明 終)

の 中 へ の 準 同 型φ

核N={x∈G￨φx=1G′}はGの

正 規 部 分 群 で あ り,

と の 同 型 を与 え る.ま た,φGの

部 分 群H′

を 対 応 さ せ れ ば,こ

の 対 応 はφGの

が 与 え られ た と き,φ

の

はG/NとφG

に 対 し て,φ-1(H′)={g∈G￨φg∈H′}

部 分 群 全 体 と,Gの

部 分 群 でNを

含 む

も の 全 体 と の 間 の 一 対 一 対 応 を与 え る. H′ がφGの

正 規 部 分 群 ⇔φ-1(H′)がGの

  証 明. φ-1(H′)が

部 分 群 で あ る こ と:a,b∈φ-1(H′)⇒φ(a-1b)=(φa)-1(φb)

∈H′ ⇒a-1b∈φ-1(H′).し そ れ がNを

正 規 部 分 群.

た が っ て,定

含 む こ と は 明 白.H′

理0.4.2に

よ り,φ-1(H′)は

が さ ら にφGの

部 分 群.

正 規 部 分 群 で あ る と き,

g∈G,a∈φ-1(H′)⇒φ(g-1ag)=(φa)-1(φa)(φg)∈(φg)-1H′(φg)=H′.し っ て,こ

の と きφ-1(H′)はGの

れ ば,NがGの

正 規 部 分 群.特

に,H′={1G′}の

ば, 

がG/NとφGと

部 分 群 でNを

の こ とを利 用 す れ

の 同 型 を 与 え る こ と は 容 易 に知 ら れ る.Hが

含 む とす る. 

=H.φHがφGの がφGの

とき を 考 え

正 規 部 分 群 で あ る こ と を知 る.    .∴  φ-1(φa)=aN.こ

Gの

たが

部 分 群 で あ る こ と は 容 易 に 知 られ る か ら , 

部 分 群 とGの

こ と を知 る.正

部 分 群 でNを

含 む も の との 間 の 一 対 一 対 応 を 与 え る

規 部 分 群 の 対 応 に つ い て は 各 自 試 み よ. 

  上 記 二 定 理 は,準

(証 明 終)

同 型 の 核 に な り得 る こ と が 正 規 部 分 群 で あ る こ と を特 微 づ

け る こ と を も 示 し て い る こ と に 注 意 せ よ.   注 意.  一 つ の 群Gの そ の 群 をGの 中 で,Gの

同 型 に つ い て の,重

をHで

れ をGの

内 部 自 己同 型

明 は 略 す)

中 へ の 準 同 型φ ば,φ

示 す の が 普 通 で あ る.AutGの

内 部 自己 同 型 全 体 は 正 規 部 分 群 に な る.そ

群 と い う.(証   次 に,準

自 己 同 型 全 体 は 群 に な る(算 法 は 写 像 と し て の 積 で).

自 己 同 型 群 と い い,AutGで

が あ り,そ

要 な 注 意 を つ け 加 え よ う.群Gか

の 核 がNで

考 え た も のφ￨Hの

核 は,明

あ る と き,HがGの ら か にH∩Nで

ら群G′

の

部 分 群 であ れ あ る.し

たが っ

て,   定 理0.5.3. 

H/(H∩N)はG/Nの

と(H∩N)h∈H/(H∩N)と HNで

部 分 群 と考 え られ る(Nh∈G/N(h∈H)

を 同 一 視 す る こ と に よ る).し

あ れ ば,H/(H∩N)と(G/N)と

た が っ て,特

は 同 一 視 され る.(こ

にG=

の 最 後 の部 分 を,

同 型 定 理 と い う.)   正 規 部 分 群 の 重 要 な 例 と し て,交 よ う.群Gの

二 元a,bに

い,[a,b]で

換 子 群 が あ る.そ

あ る.H,KがGの

示 す.[G,G]をGの N1,N2が

  証 明.  ∀g∈Gに

含 ま れ る.

つ い て, 

とす れ ば,  様,N2に

正 規 部 分 群N1,…,Nrが 積n1n2…nrの

示 す.加

あ っ て,Gの

群 の と き は 直 和 と い い,×

H1,…,Hrが

… ×Hrで

中 心 と い う.Z(G)

か も,そ

の表 わ し方 が

直 積 で あ る と い い, の 代 り に 

を用 い る.無

こ で は 略 す る.

群Gの

部 分 群 で あ る と き,次

の 条 件 は,G=

あ る た め の必 要 充 分 条 件 で あ る:

  G=H1…Hrで i=2,…,rに

(証 明 終)

各 元gが,N1,…,Nrの

形 に 書 く こ とが で き,し

限 個 の 群 の 直 積 も考 え られ る が,こ   定 理0.5.5. 

元

正 規 部 分 群 で あ る.

つ い て 一 通 り し か な い と き,GはN1,…,Nrの … ×Nrで

の 元 はN1の

.  をGの

  群Gに

H1×

正 規 部 分 群 ゆ え,こ

お い て, 

れ はGの

N1×

正 規 部 分 群.ni∈Ni

も 属 す る.∴ 

で 示 す.こ

各gに

え に,[N1,N2]は

.N1は

元n1,…,nrの

の交 換 子 群

正 規 部 分 群 で あ れ ば,[N1,N2]はGの

 ゆ え).ゆ

  問.  群Gに

部 分 群 で あ る と き,

交 換 子 群 と い う.

群Gの

正 規 部 分 群 で あ り,N1∩N2に

で あ る.同

の 交 換 子 とい

よ っ て 生 成 され た 部 分 群 を,HとKと

とい い,[H,K]で   定 理0.5.4. 

般 化 して説 明 し

対 し て,元a-1b-1abをaとbと

示 す.ab=ba[a,b]で

{[h,k]￨h∈E,k∈K}に

れ を,一

あ り,i≠jな

ら ばHiの

つ い て, 

  証 明.  G=H1×

… ×Hrと

元 とHjの

元 とは 可 換,さ

ら に,各

は 単 位 元 だ け で あ る. す る. 

が 単 位 元 以 外 の 元aを

含

め ば,a=h1…hi-1(hj∈Hj)と の 元 と し て)(Hjの

か く と,aの

表 わ し方 はh1…hi-1とa自

身(Hi

表 わ れ な い 部 分 は 単 位 元 を か け れ ば よ い の で 書 くの は 略 す

る)と 二 通 り に で き る の で 矛 盾.∴ 

.特

に,i≠jな

ら

Hi∩Hj={1}.∴ 

(定 理0.5.4).ゆ

え にhi∈Hi,

hj∈Hjな

し た が っ て,Hiの

元 とHjの

ら ば,[hi,hj]=1.∴hihj=hjhi.か

と は 可 換.逆

を証 明 し よ う.g∈Gを

と る と,g=h1…hr(hi∈Hi)と

Hα ∋bα を と る と 

gが

.ゆ

ま たh′1…h′r(h′i∈Hi)と

え にHα

 

るiの

れ は 矛 盾 で あ る. 

合 と し て の 積G1×

 

同 一 視 す れ ば,そ

の 正 規 部 分 群 と な り,そ の 意 味 で,G1× の 直 積 に な る.こ よ ば れ る.(加

  は じ め に 述 べ た定 義 は,構 で あ る が,本

… ×Grは

の よ うに し て 得 た 群G1×

群 な らば 直 和 と い い,記

最大

(証 明 終)

… ×Grに,算

に よ っ て 導 入 す れ ば,群

(1,…,1,gi,1,…,1)をgiと

元

可 換 性 を 利 用 し て)1≠hαh′α-1=

.こ 群 で あ る と き,集

元 とHα

は 正 規 部 分 群.Gの

表 わ せ た と し て み よ う.hi≠h′iな

を α と す る とh1h2…hα=h′1…h′α.(Hi,Hjの

  G1,…,Grが

か け る.

.i≠ α な らHiの

の 元 とは 可 換 ゆ え, 

元

法 を, に な り,

れ ら全 体GiはG1×

… ×Grも,G1,…,Grの

号 

… ×Gr

上 に 述 べ た よ うなG1,…,Gr 直積 と

が 用 い られ る の は 上 の 通 り.)

造 論 的 立 場 で の 直 積 で あ り,後

質 的 に は 同 じ で あ る こ と は,上

の は構成 的 な 直積

で 述 べ た通 りで あ る.

  0.6.  位 相 に つ い て   位 相 に つ い て の 基 本 的 事 項― 空 間,距

離 空 間 な ど―

永 田[3],を

近 傍,開

に つ い て は,第5章

見 られ た い.

集 合,閉

集 合,T0空

で 利 用 す る が,他

間,Hausdorff の 成 書,例

えば

第1章 

  1.0.  環

と

加

群

体

  本書 で は 可 換 環 を主 として扱 うので,こ

の節 よ り後 では,環

とは 可 換環 で

単 位元 をもつ も の を意 味す る こ とに す るが,念 のた め一 般 の環(て いね い に は, 結合 環 とよ ばれ る もの)お よび体 の定 義 を して お こ う.   集合Rが

二 つ の算 法―

す とき,Rは   1)  Rは

乗 法 と加 法―

を も ち,そ れ が次 の三 条 件 をみ た

環 で あ る とい う. 加 法 に つ いて は,加 法 群 を なす.す

換 群 をなす(結 合 法 則,0の

な わ ち,算 法+に

存 在,マ イ ナ ス元 の存 在,可 換).

  2)  乗 法 につ いて は,結 合 法 則((ab)c=a(bc))を  3) 

み たす.

(分 配 法 則).

  も し,環Rに

お い て,そ

の 乗 法 が 可 換(す な わ ち,a,b∈R⇒ab=ba)で

る な ら ば,Rは

可 換 環 で あ る とい う.ま

け で は な く,ま

た,あ

eをRの

つ い て,可

る 元eに

単 位 元 と い う.1ま

  定 理1.0.1. 

環Rに

た,他

方,環Rに

つ い て,  た は1Rで

あ

お い て,Rは0だ の 成 り立 つ と き,

示 す こ と は,群

の と き と同 様 で あ る.

お い て,(イ)

(ロ)

  証 明.0+0=0.∴a(0+0)=a0.分 -(a0)を

加 え れ ば,a0=0を

ab+(-a)b=0.∴(-a)b=-(ab).a(-b)=-(ab)も -(a(-b))=-(-(ab))-ab. 

配 法 則 に よ り,a0+a0=a0.両 得 る.0a=0も

辺 に

同 様.(a+(-a)b=0b=0.∴ 同 様.(-a)(-b)= (証 明 終)

  系1.0.2. 

環Rが

  証 明.a≠0な

るa∈Rを

  一 般 に,rが r+…+rを

環Rの

も て ば,1≠0.

と る.a1=a≠0ゆ

元 で,nが

標 数 は0で

中 の 最 小 数 をRの

あ る と い う.Rが

え,1≠0. 

(証 明 終)

自 然 数 の と き,nrはrをn回

示 す も の とす る.C={n￨nは

で な い と き,Cの

n1=0に

単 位 元1を

加 え た もの

自 然 数,nr=0(∀r∈R)}が 標 数 と い う.Cが

単 位 元1を

空集合

空 集 合 の と き は,Rの

も つ と き は,nr=0(∀r∈R)

注 意 せ よ.

  単 位 元 を も つ 環Rに

お い て,元aが(乗

を も つ と き,aは は 群 に な る.各   環Rの

法 に つ い て)逆 元

正 則 元(ま た は 単 元)で あ る と い う.(環Rの

正 則 元全 体

自演 習 問 題 と し て 考 え て み よ.)

元aに

対 し,∃b∈R,b≠0,ab=0と

る と い う.右

零 因 子 も 同 様 に 定 義 し,左

と い う.0以

外 に 零 因 子 を も た ず,単

し,an=0と

な る 自 然 数nが

な る と き,aは 零 因 子,右

零 因 子 を総 称 し て,零

位 元 を も つ 環 を,整

存 在 す る と き,aは

左零因子で あ 因子

域 とい う.元aに

対

べ き 零 元 で あ る と い う.べ

き

零 元 は 零 因 子 で あ る.   さ て,体

の 定 義 を し よ う.環Rに

お い て,そ

の 乗 法 に つ い て,0以

が い ず れ も 乗 法 に つ い て 逆 元 を も つ と き(し た が っ て,こ の 元 全 体 は 群 を な す),Rは よ ぶ こ と が あ る.乗 で な い 体 を,非

体 で あ る と い う.群R-{0}を

の と き,Rの0以 体Rの

外

乗法群 と

法 が 可 換 で あ れ ば 可 換 体 とい うの は も ち ろ ん で あ る.可

可 換 体 ま た は 斜 体 とい う.し

眼 と す る か ら,非

外 の元

可 換 体 は 登 場 し な い.そ

を 意 味 す る も の とす る.体 複 素 数 全 体 が あ る.そ

  環 の 重 要 な 例 に は,(イ)有

か し本 書 で は 可 換 環 を 扱 うの を主 こ で,今

の 例 に は,(イ)有

れ ぞ れ は,有

理 数 体,実

後 体 と い う と き は,可

理 数 全 体,(ロ)実 数 体,複

理 整 数 全 体,*)(ロ)体Kの

が あ る.そ

れ ぞ れ は 有 理 整 数 環,Kの

  環Rの

部 分 集 合Sが,Rに

換

上 のn次(全)行

換体

数 全 体,(ハ)

素 数 体 と い わ れ る. 上 のn次

行列 全 体

列 環 と よ ば れ る.

お け る の と 同 じ 算 法 に よ っ て 環 に な る と き,

  *)  普 通 の整 数 の他 に,代 数的 整 数 とよば れ る もの が あ るの で,普 通 の整 数 は,有 理 数 で,か つ代 数 的 整 数 で あ る とい う理 由で,有 理 整 数 とよば れ る.

Sは

部 分 環 で あ る と い う.体

  環Rか

ら環R′

に な れ ば,部

の 中 へ の 写 像φ

分 体 とい う.

が 準 同 型 で あ る と は,

の 成 立 す る と き に い う.{a∈R￨φa=0}を い う.核 型,ま

が0だ

け か ら成 る と き,中

た は 全 射,上

へ の 同 型,ま

へ の 同 型,ま

R′ とは 同 型 で あ る とい う. 

を含 み,Kの

型)と

い う.RとR′

  記 号:環Rか で 示 す(群

で 示 す.Rか

らRの

が 恒 等 写 像 で あ る と き,φ

上 の 自 己 準 同 型;さ と がK同

ら環R′

への準同 の とき に

らR′ の上 へ の 同 型 が あ る と き,Rと 上 へ の 同 型 をRの

の 準 同 型 ま た は 同 型 に つ い て,R,R′

上 で はφ

R′ な ら,Kの

た は 単 射 と い う.上

た は 全 単 射 な ど は さ ら にφR=R′

い う こ と は群 の と き と同 様 で あ る.Rか

自 己 同 型 とい う.上

そ の核 と

ら に,上

が 共 通 な 部 分 環K

はK準

同 型,K同

へ の 同 型 の と きKの

型 で あ る と き 

型(R= 上 の 自己 同

とか く.

の 中 へ の 準 同 型 全 体 を,群 の と き と 同 様Hom(R,R′)

と し て のHomと,環

と し て のHomと

で は 意 味 が ち が うの で,誤

解 の お そ れ の あ る と き は 注 意 を 要 す る).K準

同 型 の 集 合 はHomK(R,R′)と

か く.RのKの

Rで

上 の 自 己 同 型 全 体 をAutK

  環Rか

ら環R′

φ はRか

らR′

る か ら,φ

を 考 え る.R,R′

か し,aは

部分 加 群 で あ る こ とは群 の場合 に

単 な る部 分 加 群 で は な く, 

を み た して い る(φ(ax)=(φa)(φx)=0(φx)=0ゆ

の 性 質 を も つ 環Rの ば れ る.左(右)イ

部 分 加 群 は,Rの

  さ て,両

,

えax∈a).一

般 に,こ

両 側 イ デ アル ま たは 単 に イ デ アル と よ

デ ア ル はxa∈a(ax∈a)の

イ デ ア ル と は,右,左 とき は,右,左

を加 法 群 と考 え れ ば,

の 中 へ の(加 法 群 と し て の)準 同 型 で あ る こ と は も ち ろ ん で あ

の 核a={a∈R￨φa=0}はRの

よ っ て わ か る.し  

の 中 へ の 準 同 型φ

示 す.

方 の 充 た さ れ る と き で あ る(両 側

両 方 同 時 に み た す イ デ ア ル とい うわ け で あ る).可 換 環 の

の 区 別 は 不 要 に な る の で,単

に イ デ ア ル と い う.

側 イ デ ァ ル と い う概 念 を利 用 す る と,定 理0.5.1,0.5.2と

同様 な

定 理 が 成 立 す る:   定 理1.0.3. aが

環Rの

乗 法 を(a+b)(a+c)=a+bcで

両 側 イ デ ア ル で あ れ ば,剰 定 義 す れ ば,R/aは

余 加 群R/aに

環 に な り,Rか

お い て,

らR/aへ

の

自然 準 同 型 は,環

と し て の 準 同 型 に な る.こ

の 環R/aを,Rのaを

法 とす る

剰 余 類 環 とい う.   証 明. 

ゆ え,

が 集 合 と し て成 立 す る(た だ

し,集 合 の 積 は,元 の 積 の 集 合 と し て解 し て).し た が っ て,(a+b)(a+c)=a+bc は,a+b,a+cの

代 表 元b,cの

と り方 に は 無 関 係 にa+bの

元c′ の 積b′c′ の 含 ま れ る 類 と し て,一 は 確 定 す る.結

合 法 則,配

易 に 知 られ る.自

意 的 に定 ま る.し

分 法 則 は,Rに

元b′

たが って乗 法 の定 義

お い て そ れ ら が 成 立 す る こ と か ら容

然 準 同 型 が 環 と し て の 準 同 型 で あ る こ と は,乗

法 の定 義 に よ

り明 ら か. 

(証 明 終)

  定 理1.0.4.環Rか 核aはRの

ら環R′

の 中 へ の 準 同 型φ

両 側 イ デ ア ル で あり, 

る. 

両 側 イ デ ア ル でaを

の 一 対 一 対 応 が 得 ら れ る.(ⅱ)(ⅰ)の"両 分 環"に

り も,群

  定 理0.5.3に   注 意.  環Rが

側 イ デ ァ ル"を"左

イ デ ァ ル","右

そ れ ぞ れ(同 時 に)変 え て も 成 立 す る.

分 集 合Sを

デ ァ ル(右,左,両 も の(Sを

単 位 元 を も つ と き,Rの

れ,右,左,両

(証 明 終)

両 側 イ デ ア ル(ま

た は右 イ デ ア ル,

一 致 し な い た め の 必 要 充 分 条 件 は,aが

正 則元 を

自 証 明 し て み よ.

分 集 合 で生 成 さ れ た 部 分 群 な る概 念 を 導 入 し た が,環 与 え た と き,Sで

生 成 さ れ た 部 分 環 と,Sで

側)が 考 え られ る.す

な わ ち,Sを

含 む 部 分 環 す べ て の 共 通 集 合)がSで

を 含 む(右,左,両

の

相 当 す る定 理 は こ こ で は 省 略 す る.

含 ま ぬ こ とで あ る.各

は,部

は容 易(群

の と き と 同 様 で あ る. 

ま た は 左 イ デ ァ ル)aがRと

  群 の と き,部

の 同型 を与 え

含 む もの全 体 との間

  証 明.  核 が 両 側 イ デ ア ル に な る こ と は 前 に 述 べ た.  と き 参 照).残

の

を対 応 させ る こ とに よ り,

両 側 イ デ ア ル 全 体 とRの

イ デ ア ル","部

が 与 え られ た と き,φ

は φRとR/aと

に対 し て, 

(ⅰ)φRの

とa+cの

合 が 部 分 環 で あ り,(右,左,両

生 成 され たイ

含 む部 分環 の うち最小 の

生 成 され た 部 分 環 で あ り,S

側)イ デ ァ ル の う ち 最 小 の も の が,Sで 側)イ デ ア ル で あ る.そ

にお い て

れ ら の 存 在 は,部

生 成 され た(そ れ ぞ 分 環 任 意 個 の共 通 集

側)イ デ ア ル 任 意 個 の 共 通 集 合 が(そ れ ぞ れ,

右,左,両

側)イ デ ア ル で あ る こ と か ら知 ら れ る.

  一 つ の 元 で 生 成 さ れ た イ デ ア ル を 単 項 イ デ ア ル と い う.   問.  Rが

単 位 元 を も つ 可 換 環 で あ っ て, a∈Rの

ア ル はaR={ar￨r∈R}で

と き,aで

あ る.ai∈R(i=1,…,n)の

と き,a1,…,anで

成 さ れ た イ デ ァ ル は 

側)イ デ ア ル で あ る と き,そ

ai∈ai}はRの(右,左,両

側)イ デ ア ル で あ る.任

+anの

の 中 を動 く)の 和 

は, 

側)イ デ ァ ルa1,…,anが

に よ り,a1+… れ はaλ 全 体 で 生 成 され る

与 え られ た と き,{a1…an￨ai∈ai}は

分 加 群 に な る とは 限 ら な い(し た が っ て,(右,左,両 限 ら な い).そ

こ で,こ

っ て,a1,…,anの

デ ア ルaのm回

生 成 され た 部 分 加 群 を も

示 す.す

る と,こ

の 積 をamと

に,乗

法,加

れ は(右,左,両

か く.

  次 に 環 の 直 和 に つ い て つ け 加 え よ う.R1,…,Rnが の積 集 合

単 位 元 をもつ 環 で あ る と 法 を,(a1,…,an)(b1,…,

bn)=(a1b1,…,anbn),(a1,…,an)+(b1,…,bn)=(a1+b1,…,an+bn)で た 単 位 元 を も つ 環 と な る((1,…,1)が

れ をR1,…,Rnの

部

側)イ デ ア ル に も な る と は

の 積 の 集 合{a1…an￨ai∈ai}で

積 と 定 義 す る.a1…anで

側)イ デ ア ル に な る.イ

れ ば,ま

側)イ デ

側)イ デ ア ル に 他 な ら な い.

  (右,左,両

き,そ

の 和a1+a2={a1+a2￨

意 個 の(右,左,両

形 で 表 わ し得 る 元 全 体 と し て 定 義 さ れ る.こ

(右,左,両

生

で あ る.

  a1,a2がRの(右,左,両

ア ルaλ(λ は 集 合Λ

生成 され たイ デ

導入す

単 位 元,(0,…,0)が

直 和 と い う(構 成 的 定 義).I1,…,Inが

零 元).こ

単 位 元 を も つ 環R

の イ デ ア ル で,

,

Is≠0(∀s=1,…,n)で で あ る(§0.5参

あ る と き,ま 照).Rの

(イ) 

単 位 元1をe1+…+en(ei∈Ii)の

単 位 元 と な り,Rは

環I1,…,Inの

の よ うに).

形 に 表 わ す と, す る と,Ii∋x=x1=

和 の 性 質 に よ り,x=xei(xej=0(∀j≠i)).し

の 直 積 の 二 つ の 定 義 の 比 較 参 照).直 ( 

加 群 として の直 和

ゆ え,eiej=0.(ロ)x∈Iiと

xe1+…+xen.直 はIiの

ずRはI1,…,Inの

た が っ て,ei

直 和 と な る(構 造 的 定 義:§0.5

和 の 記 号 は,加

群 の とき と同様

を使 う

  定 理1.0.5. 

(Chinese

remainder

に お い て,I1,…,Is(s≧2)が と き,(イ)i≠jな

theorem)単

位 元 を も つ 可 換 環R

イ デ ア ル で,i≠jな

ら ばIi+Ij=Rが

ら ば,Ii∩Ij=IiIj,(ロ)α1,…,αt,β1,…,βnが1,…,s

の う ち に あ り(重 複 も 許 す),α1,…,αtと,β1,…,βnに ば

.特

はR/I1,…,R/Isの   証 明. 

…に,i≠jな

共 通 な もの が な い な ら

らば

,(ハ)R/(I1∩

.(ロ):

.∴

∴

.∴

.(ハ):

に対 し て, a+Ig∈R/Iaを

対 応 させ る 写 像 を φα とす る.こ … ∩Is)か

( 

)を

れ はR/(I1∩

ら, R/I1,…,R/Isの

… ∩Is)か

らR/Iα

直 和Sの

中 へ の 写 像 

考 え る. 

… ∩Is)がR/(I1∩

あ る.上

へ の 同 型 で あ る こ と を証 明 し よ う.Sの

… ∩Is)の 零 元.し

ai=ai+Ii,ai∈R.I1+I2…In=R((ロ)に

ら ばaj∈Iiゆ

た 環 を,自

任 意 の 元(a1,…,as)を

え,ai+Ii=a+Ii.ゆ

(証 明 終)

位 元 は も つ と は 限 ら な い)で あ る と き,Rに

な わ ち,Rが

環(可 換

単 位 元 をつ け加 え

然 な 方 法 で 作 る こ と が 可 能 で あ る:

に 対 して,算

理 整 数}

法 を,

に よ っ て定 義 す れ ば,R×Zは(0,1)を こ の定 義 で,nr′

は,(ⅰ)n>0な

ら ば,-(-n)r′

(r,0)はRか

元で

え に,(a1,…,as)=

へ の 同 型 で あ る. 

R×Z={(r,n)￨r∈R,n有

n<0な

と る.

え,a1はI2…Inの

位 元 に つ い て の 注 意 を つ け 加 え て お こ う.す

と は 限 ら ず,単

は(中 へ の)同 型 で

の 元 と して よ い.a=a1+…+asと

φ(a+I1∩ … ∩Is).ゆ え に,上   次 に,単

た が っ て,φ

よ る)ゆ

様 に,aiは

お く と,i≠jな

の上 への 準 同

(φ の 核) 

a+(I1∩

とれ る.同

… ∩Is)

直 和 と 同 型.

(イ):

型.R/(I1∩

成 立 す る

らR×Zの

ら ば,r′

単 位 元 に も つ 環 に な る.(こ はn回

を意 味 し,(ⅲ)0r′=0と 中 へ の 同 型 に な り,し

同 一 視 す る こ とに よ っ て,Rは

加 え た も の を 意 味 し,(ⅱ) す る.n′rも

同 様.) 

た が っ て,rと(r,0)と

こ の新 し い 環 の 部 分 環 に な る.さ

ら に,Rの

を

の左 イ デ ア ル,右 イ デ ア ル,両 側 イ デ ア ル は,R×Zの

左 イ デ アル,右 イ デ ア

ル,両 側 イ デ ア ル に な る.も っ とい うな らば,次 節 で定 義 す る加群 に つ いて も, R左(ま

たは右)加 群 は 自然 にR×Z左(ま

上 の構 成 は,Rの

たは右)加 群 に な る.実 の と ころ

元 と全 然 別 に単 位 元eを

定 め,そ

して,eが

単位元である

とい うこ とか ら,必 然 的 に要請 され る条 件 を仮 定 す る こ とに よ って,新 しい環 を作 って い るの で あ って,そ の環 にお け るr+neが

上 の(r,n)な

の で あ る.

  以 上 の よ うに,単 位 元 を もた な い環 に は,自 然 な方 法 で 単 位元 をつ け加 え る こ とが で き るの で,も

との環 の性質 を新 しい環 の 性質 か ら調 べ れ ば よい とい う

思 想 の ゆ え に,「 単 位 元 を もつ」 とい う仮定 をつ け加 え る こ とは,一 害 に は,あ

般論の障

ま りな らな い.(環 の カ テ ゴ リー とい うよ うな もの を 考 え る とき に

は,単 位 元 の存在 を仮 定 しない方 が扱 い が便 利 に な る面 が あ る が.個 々 の環 の 性質 を調 べ る上 には,単 位 元 の存 在 を仮 定 した場 合 を扱 う方 が便利 で あ る.)   本 書 で は,可 換 環 を扱 うこ とを主 眼 とす る こ と と,上 に述 べ た よ うに,単 位 元 の存 在 を仮 定 す る こ とは 障 害 で は な く(実 は便利 な面 を い ろ い ろ もっ て い る ので),こ の節 の は じめに 断 っ た よ うに,今 後 環 とは単 位元 をも つ可換 環 を意 味 す る もの とす る.し た が って,整 域 とは,可 換 環 であ って,単 位 元 を もち,さ らに0以 外 に は零 因 子 を もた な い も の を意 味す る.な お,整 域 で ない場 合,部 分 環 の 単位 元 は,べ き等 元 で あ っ て,必 ず し もも との環 と同一 の単位 元 をもつ とは限 らな い こ とに注 意 す る必 要 が あ る.こ の よ うな こ とか ら,次 の用 語 は誤 解 しない よ う注 意 が必 要 で あ る:あ る環Rの とい うと きは,Rと

  1.1.  加

上 に あ る集 合Sで

生 成 さ れ た環

同 一 の 単位 元 を もつ 場合 に 限 る こ とにす る.

群

  加 法+を 算 法 とす る可換 群 は,通 常 「加 法群 」 ま た は 「 加 群 」 と呼 ばれ る こ とは §0.4で 述 べ た通 りで あ るが,わ れ わ れ は今 後 加 群 として は,環 を作用 域 に もつ も の を考 え る こ とにす る.そ の た め の定 義 か ら始 め よ う.   Rは Mの

環 で あ る もの とす る.Mが 任 意 の元mと

加 群 で あ り,さ らに,Rの

の間 の乗 法 が,そ

の積rmがMの

任 意 の元rと

元 として定 ま る よ う

に 定 義 さ れ て い て,  

(イ)

 

(ロ)

 

(ハ)  Rの

単 位 元1と∀m∈Mに

つ い て,1m=m

の 三 条 件 が み た され る と き,MはR左

加 群 で あ る と い う.Rの

元 と の積 の 順 序 が 左 右 逆 な 同 様 の 定 義 に よ り,R右 Mが

与 え られ た と き,r∈R,m∈Mに

元 とMの

加 群 を 定 義 す る.R左

つ い て,mrをmr=rmに

加群

よ って定 義

す れ ば,MはR右

加 群 に も な る(Rが

可 換 環 で あ る か ら).し

た が っ て,今

後,R左

加 群 の 左 右 の 区 別 は 考 え な い こ と に す る.し

た が っ て,単

にR加

加 群R右 群 ま た はRの

限 り,Mの

上 の 加 群 と よ ぶ.MがR加

群 で あ る と き,断

部 分 加 群 と は,単

な る加 群 と し て の 部 分 加 群 で な く,R加

っ て い る も の(し た が っ て,R部

分 加 群 と称 す べ き も の)を 意 味 す る.

  R加 群Mが

環 で も あ り,条

らない 群 にな

件

  (ニ) が,さ

ら に み た され る と き,MはR多

元 環 で あ る とい わ れ る.

  問.  (ニ)の 代 り に,  に な る.こ

を仮 定 し て も,同

  零 因 子 の 概 念 は,R加

群 に関 し て は,次

い て,∃m∈M,m≠0,am=0の aM=0と   R加 fが,さ R準

じこと

れ を示 せ.

な るa(∈R)を,Mの 群M,N(Rは

の よ うに 一 般 化 さ れ る:a∈Rにつ

と き,aはMに

環)が

関 す る 零 因 子 と い う.ま

零 化 元 と い う. あ る とき,M,Nを

単 な る 加 群 とみ て の 準 同 型

ら に 条 件a(fm)=f(am)(∀a∈R,∀m∈Mを

同 型,ま

た は,R加

明 白 な と き は,単 つ い て も,加

に 準 同 型 と い え ば,R準

群 と して の 同 型,か

0.5.1∼ 定 理0.5.3は   定 理1.1.1. 

み た す と き,fを,

群 と し て の 準 同 型 と い う.R加

こ の よ う に す る と,§0.5で

た,

つR準

群 を扱 っ て い る こ とが

同 型 を意 味 す る こ と に す る.同 同 型 で あ る も の を 考 え,同

扱 っ た こ と は,同

様 に成 立 す る.た

型 に

様 に 扱 う.

と え ば,定

次 の よ う に な る:

(イ)環Rの

上 の 加 群Mと

そ の 部 分 加 群 Ｎ に つ い て,M

理

か らM/Nへ

の 自然 準 同型 はR準

  (ロ)  R加 群Mか

らR加

同型 で あ る.

群M′

の 中 へ の準 同 型φ

φ の核Nは(R加

群 として の)部 分加 群 で あ り, 

の部 分 加 群 でNを

含 む も のHと,φMの

が与 え られ た とき, この とき,M

部 分 加 群H′

とがφH=H′

であ

るよ うに,一 対一 に対 応 す る.   (ハ)  R加 群Mと

そ の部 分加 群N,Hを

考 え る とき,Mか

の 自然 準 同型 は,H/(N∩H)と(H+N)/Nと

の同型 を与 え る.

  こ の(ハ)が 加 群 に つい て の同 型 定理 で あ る.(証明   問.  定 理0.5.5は,環

らM/Nへ

は各 自試 み よ.)

の上 の加 群 につ い ては,ど の よ うに述 べ られ るべ き か.

  有 限 個 の元 で生 成 され てい る加 群(す な わ ちa1R+…+anRの の)を 有 限(型)加 群(丁 寧 に は有 限(型)R加   R加 群Mの

元m1,…,mnが(Rの

形 にか け る も

群)と い う. 上 に)一 次 独 立 で あ る とは,ri∈R,

 の成 立 す る とき に い う.Mの 一 次 独 立 で あ る とは,Sの

部 分集 合Sが

任 意 の有 限部 分 集合 が一 次 独 立 で あ る と きに い う.

空 集 合 も一 次 独 立 な 集 合 で あ る もの と,便 宜 上 定 め る.   Mが

一 次 独 立 な部分 集 合Sで

生 成 され る と き,SはMの

は 自由基 で あ る といい,MはR(の

一次独立基また

上 の)自 由加 群 ま たは 単 に 自 由加 群 で あ る

とい う.   定 理1.1.2. 

体Kの

  証 明.  K加 群Mの

上 の加 群 は 必 ず 自由加 群 で あ る. 一 次 独 立 な部 分 集 合 全 体 の集 合 をFと

含 関係 に よ る順 序 で帰 納 的集 合 で あ る.(な ぜ な らば:(イ)空

す る.Fは

Fは 空集 合 で は ない,(ロ) 

がFの

 の有 限個 の元b1,…,bnを

は極 大 元Bが

群 と して の)部 分 加 群 Ｎ がMと と る.m∈Nを

ゆ え,S*

で あ り,ま た, 

ゆ え,S*は 

mを

∈Fゆ え,

整列 部 分 集 合 で あ る とす る.

とれ ば, 

も一 次 独 立. 

した が っ て,Fに

集合

包

の上 限 で あ る.ゆ あ る(Zornの

え にFは

補 題).Bで

帰 納 的 集合).

生成 され る(K加

一 致 す る こ とを示 せ ば よい.Mの

い え ば よい.B∪{m}を

考 え る.Bの

任 意 の元

極 大 性 に よ り,(ⅰ)

m∈Bで

あ る か,(ⅱ)B∪{m}は

ら 

一 次 独 立 で な い か の い ず れ か で あ る.(ⅰ)な

ゆ え よ い.(ⅱ)と

立 で は な い も の が あ る.Bは

す る と,B∪{m}の

有 限 部 分 集 合Sで

一 次 独 立 ゆ え,S∋m.S={m,b1,…,bn}(bi∈B)

とす る.  b1,…,bnは い.す

な る 関 係 が あ る.  一 次 独 立 ゆ え, 

を か け れ ば,c0=-1と

る と

仮 定 して よ  

  上 の 証 明 か ら,次   定 理1.1.3. 

Mが

  定 理1.1.4. 

(証 明 終)

の こ と が わ か る. 体Kの

独 立 で あ る と き,Mの

Mの

一 次独

体Kの

上 の 加 群,Mの

一 次 独 立 基 でSを

含 む も の が あ る.

上 の 加 群Mが

一 次 独 立 基m1,…,mnを

ど の 一 次 独 立 基 も 必 ずn個

  こ のnをMの

部 分 集 合Sが(Kの

上 に)一 次

もつ と き,

の 元 か ら成 る.

長 さ ま た は 次 元 と い う.*)lengthK

Mま

た はlength

Mで

示 そ う.   証 明.  あ と で,定

理1.1.6で

も っ と一 般 に し て あ らた め て 証 明 す る が,一

応ベ ク トル 空 間 の と き に お な じみ の 方 法 で,こ

の 特 別 の 場 合 の 証 明 を す る.M

の 元v1,…,vrが

あ る こ と を ま ず 示 そ う.そ

一 次 独 立 で あ れ ば,r≦nで

め に,m1,…,mnの

のた

番 号 を 適 当 に つ け か え れ ば,v1,…,vi,mi+1,…,mn(iは

r以 下 で あ る 限 り任 意)が い つ も 一 次 独 立 基 で あ る よ う に で き る こ と を,iに

つ

い て の 帰 納 法 で 示 そ う.i=0の

で

よ か っ た と す る.し

た が っ て,v1,…,vi-1,mi,…,mnは

な る  …,cnの

う ち に0で

と し て よ い.こ

と き は 仮 定 に よ り明 白.i＞0と

が あ る.v1,…,vi-1,viが

な い も の が あ る.mi,…,mnの

の と き,v1,…,vi,mi+1,…,mnを

し,i-1ま

一 次 独 立 基.  一 次 独 立 ゆ え,ci,ci+1, 順 序 を 適 当 に か え て,ci≠0 考 え

  *)  長 さ とい う語 は,い わ ゆ る組 成 列(次 ペ ー ジ参 照)の 長 さか ら来 てい る.次 元 は ベ ク トル 空 間 と しての 次 元 で あ る(体Kの 上 の ベ ク トル 空 間 は,K加 群 で あ る).組 成 列 を もつ 群 につ い て,ど の組 成列 の 長 さ も一 定 で あ る とい う,い わ ゆ るJordan‐ Holder‐Schreierの 定 理 は大 変 重 要 な定理 で あ る.本 書 で は,環 の上 の加 群 に つ い て 利 用 す るの で,本 節 に お いて そ の場 合 だ け につ い て述 べ るが,群 は同 じ証 明 で で き る.

の と き も本 質 的 に

(dj∈K)と

仮 定 し よ う． .V1，…,

vi-1,mi,…,mnが dici

一 次 独 立 で あ る か ら,前

=0.ci≠0ゆ

0で

え,di=0.∴ .し

あ る.さ

て,も

たが

し,r≧nで

あ っ た とす る と,上

は 一 次 独 立 基 で あ る か らr＞nに の 一 次 独 立 基 を 考 え よ う.そ

は な り得 な い.し

れ はn個

一 次 独 立 基 で あ っ た とす る と,上

v1,…,vrに

果 させ れ ば,矛

  加 群Mか

ら加 群Nの

二 元φ1とφ2と

  定 理1.1.5.  とKの

(証 明 終) 示 す.そ

の

環Kの

るφ

が 零 元 で あ る.

上 の 加 群 で あ っ て,K加

同 型 と い う)全 体 を考 え る と き,HomK(M,N)で 部 分 加 群 で あ る.K加

略 し て,単

にHom(M,N)と

上 で,Nが 元aと

Hom(M,N)はK加

し,v1,…,

に よ っ て 定 め れ ば,

示 す の が 普 通 で あ る.M,Nが

白 な と き に はKを

あ る.M

相 当 す る役 を

盾 で あ る こ と を 知 る. 

れ はHom(M,N)の

の 元φ

のm1,…,mnに

中 へ の 準 同 型 全 体 をHom(M,N)で

群 と し て の 準 同 型(K準

のdjも

た が っ て,r≦nで

ま た加 群 で あ る こ とが わ か る.φM=0な

こ れ も0で

係数

の 証 明 に よ り, v1,…,vn

の和 を, 

Hom(M,N)は

っ て,ど

よ り多 い 元 は 含 み 得 な い.も

vr(r＜n)が

す.こ

式 を 整 頓 した とき のmiの

環Kの の 積aφ

示

群 と考 え て い る こ と が 明 も か く.

上 の 加 群 で あ る と き,Hom(M,N) を,(aφ)(m)=a(φm)に

よ っ て 定 め れ ば,

群 に な る.

  証 明 は 易 し い か ら略 す る.   注 意.  上 で,MがK加

群 で あ る と き,(aφ)(m)=φ(am)と

Hom(M,N)はK加 算 法 は,M,Nが

群 に な る.こ 共 にK加

れ と,上

定 義 して も

記定 理 に お け る もの との二 つ の

群 で あ る 場 合 は,φ

をHomK(M,N)内

に限 定

す れ ば 同 じ結 果 に な る.   次 に,定

理1.1.4を

に つ い て,そ rを

も っ と一 般 化 した も の を 考 え よ う.環Rの

の 部 分 加 群 の列 

そ の 長 さ と い う.Mi-1とMiと

上 の 加 群M

を正 規 鎖 ま た は 単 に 降 鎖 と い う. の 間 に 部 分 加 群 を補 っ て も っ と長 い 列 に

し た と き,そ

れ を 細 分 とい う.細 分 で き な い,Mか

の 列 をMの

組 成 列 とい う.次

ら始 り0で

の 定 理 はJordan‐Holder‐Schreier(ジ

終 る長 さ 有 限 ョル

ダ ン‐ヘ ル ダ ー‐シ ュ ラ イ エ ル)の 定 理(の 加 群 の 場 合)で あ る. 定 理1.1.6. 

環Rの

上 の 加 群Mが

を も っ た とす る と,任  

長 さnの

組 成 列 

意 の 降 鎖  が 組 成 列.こ

π を とれ ば,各i=1,2,…,nに

に つ い て,n′ ≦n. の と き は,1,2,…,nの

  証 明.  一 番 短 い 組 成 列 の 長 さ がnで 帰 納 法 を利 用 す る.Nが

あ っ た と仮 定 し て よ い.nに

部 分 加 群 で あ る と き,M/Nの

と,MとNと

ついての

組 成 列 

を結 ぶ 降 鎖 で,細 分 で き な い も の 

と の 間 に,  し て お く(M→M/Nの

な る関 係 で一 対 一対 応 のあ る こ とに注 意 自 然 準 同 型 φ を と り,φ

す こ と と を考 え る こ と に 他 な ら な い.定 く.(イ)N≠0の

適 当 な置 換

つ い て, 

と き.M1は

の 仮 定 に よ り,M1に

理0.5.2参

長 さn-1の

で 写 す こ と と,φ-1で 照). 

とお

組 成 列 を もつ.し

つ い て は(nをn-1に

もど

た が って帰 納 法

か え て)定 理 は 正 し い.特

に

 を細 分 し た 組 成 列  と,2,…,nの M*0=Mと

置換

σ とが あ っ て, 

お け ば,i=1,…,nに

を 考 え る.こ

れ は 長 さrの

つ い て 正 し い(σ1=1と

し て).次

組 成 列 

 を細 分 し て,長

さrの

に,M/N

を も つ.そ 組 成 列 を 得 る.す

こ で,

な わ ち,MとN

と を結 ぶ 降 鎖 で 細 分 で き な い も の  と,2,…,rの

置 換τ

とi=r+1,…,nに 正 し い(τi=i(i≧r+1)).し たがっ て,n′ ≦n.n′=nな して,2,3,…,nの

置 換λ し た がっ て,π

の とき.M1とMと

と が あ っ て, 

つ い て 定 め れ ば,上 た が っ てM′1は ら 

長 さn-1の はM′1の

ついて

組 成 列 を も ち,し 組 成 列 で あ る.そ

が あ り,  と し て はσ,τ,λ

の 積 を と れ ば よ い.(ロ)N=0

の 間 に は部 分 加 群 は な い か ら,M1+M′1=M.同

によ り,  0と

の こ と はi=1,…,nに

の 間 に は 部 分 加 群 は な く,n′=2.MとM′1と

型定理

し た が っ て,M′1と の 間 は,M1の

組成列 に

対 応 す る 細 分 が あ る か ら,こ   組 成 列 を もつR加

の 場 合 の 定 理 の 成 立 は 容 易 に わ か る.(証

群Mを(Rの

上 の)Artin(ア

成 列 の 長 さ を そ の 加 群 の 長 さ とい う.lengthR す(定 理1.1.4で R自

身 をR加

の 記 号 は,こ

う.Artin環

に つ い て は,§3.2に

  最 後 に,加

群 に 関 す る こ と を,イ

た は 単 にlength

群 で あ る と き,RはArtin環

に,乗

ら に,Mの

の 構 造 と は,本 理 と呼 ぶ.も

じ で は な いが,有

群

部分 環 と して含 む 環 に

つ い て は,「Nが

群 と し て のMの

部 分 加 群⇔NがR*

構 造 と,R*加 え).こ

効 な 場 合 が し ば し ば あ る原 理 で あ る.加 に は 述 べ な か っ た が,こ

群 と し て のM

の原 理 をイ デ アル 化 の 原

充 た す 環 と し て の 性 質 と,R*の

ア ル と の 積 に つ い て は,特

の と き,加

法 を 

質 的 に は一致 す る(M2=0ゆ ち ろ ん,Rの

で あ る とい

群 で あ っ た と し よ う.こ

部 分 集 合Nに

の イ デア ル 」 が 成 立 し,R加

示

デ ア ル の場 合 に 帰 着 さ せ る一 つ の 原 理 につ

に よ っ て 導 入 す れ ば,R*はRを な る.さ

Mで

お い て 一 つ の 特 徴 づ け を述 べ る.

環 で,MがR加

と し て の 直 和 

Mま

ル テ ィ ン)加 群 とい う.組

の 意 味 で 解 し て も 同 じ で あ る こ と に 注 意 せ よ).

群 と 考 え てArtin加

い て 述 べ よ う.Rが

明 終)

充 たす そ れ とは 同 群 の 和,加

群 とイ デ

の 原 理 に 照 ら し て,イ

デア

ル の場 合 に 準 じ て 定 義 す る の で あ る.

  1.2.  多 項 式 環   Rは(単

位 元 を も つ 可 換)環 で あ る も の とす る.n個

え る.  い い,Σiα

の 形 の も の をX1,…,Xnの を そ の 次 数 と い う.二

もつ 一 次 結 合 

(ai∈R,miは

の 上 の)X1,…,Xnの と み な す.(0で

る.多

考

単項 式 と

つ の 単 項 式 の 積 は 

に よ っ て 定 義 す る.X1,…,Xnの

と定 め る.た

の 文 字X1,…,Xnを

単 項 式 の,Rに

単 項 式)を,Rに

多 項 式 と い う.係 数 が0の

係 数 を も つ(ま

係数 を た は,R

項 は あ っ て も な く て も同 じ

な い 係 数 で)現 わ れ る 単 項 式 の 次 数 の 最 大 を そ の 多 項 式 の 次 数 だ し0(す

項 式fの

な わ ち 係 数 が す べ て0で

次 数 をdegfで

示 す.現

あ る 多 項 式)の 次 数 は 不 定 と す

わ れ る 単 項 式 の 次 数 が 一 定 の と き,

そ の 多 項 式 は 斉 次 式 で あ る と い う.一 に つ い て,c0=1で

変 数 の 多 項 式 

あ る と き,こ

の 多 項 式 は モニ ッ ク(monic)で

ある

と い う.   二 つ の多 項式

Σaimiと

  こ の 算 法 に よ っ て,Rの の 環 を,Rの

Σbjmjと

の 加 法,乗

上 の 多 項 式 全 体 が 環 に な る こ とは 容 易 に わ か る.こ

上 のX1,…,Xnの

多 項 式 環 と い い,R[X1,…,Xn]で

R[X1,…,Xn]はR[X1,…,.Xn-1]の Xn-1][Xn]と   環R′

上 の 一 変 数Xnの

表 わ す.

多 項 式 環R[X1,…,

一 致 す る こ と に 注 意 せ よ.

が 環Rを

anがR′

法 は 次 の よ う に定 め る:

含 み,RとR′

と は 単 位 元 を共 有 す る も の とす る.a1,…,

の 元 で あ る と き,Rとa1,…,anと

環 の と き と同 様 な 記 号R[a1,…,an]で   定 理1.2.1. 

R[X1,…,Xn]か

で 生 成 さ れ た 部 分 環 を,多

項式

示 す. らR[a1,…,an]の

中 へ の 写 像φ

を,

 に よ っ て 定 義 す れ ば,φ は(環 と し て の)R[X1,…,Xn]か   証 明 は 容 易 で あ る か ら略 す る.(各   上 の 記 号 で,φ とい い,そ

らR[a1,…,an]の

上 へ の 準 同 型 に な る.

自 試 み よ.)

が 同 型 を 与 え る と き,a1,…,anはR上

う で な い と き,代

代 数 的独 立 で あ る

数 的 従 属 で あ る と い う.a1,…,anがR上

代数

的 独 立 で あ る と き,R[a1,…,an]も,Rの

上 のa1,…,anの

れ る.ま

の 関 係 式 の イ デ ア ル と よ ば れ る.

た,φ

  次 に,対

称 式 お よ び交 代 式 に つ い て の 定 義 を し よ う.

  ま ず,環Rの …,nの …

上 のn次

,xnの

の 核 は(a1,…,an)のR上

多 項 式 環 と よば

上 のn変

数 の 多 項 式 環P=R[x1,…,xn]を

対 称 群Snを

, 

に よ っ てx1,

上 の 置 換 群 と も 考 え る.f=f(x1,…,xn)に

…,xσn)を

示 す こ と に す る.σ,τ∈Snに

がx1,…,xnの る とき に い う.こ

考 え る.1,2,

対 称 式 で あ る とは,σf=fが れ に 対 し,σf=±fが

対 し て,σfはf(xσ1,

つ い て ,(σ τ)f=σ(τf)で 任意の

σ ∈Snに

い つ も成 り立 ち,し

あ る.f∈P つ い て成 立 す

か も,対 称 式 で な

い と き,f(x1,…,xn)は の 元a1,…,anで

交 代 式 で あ る と い う.変 あ っ て も,対

か か れ る も の は,a1,…,anの

い う.次

の式 は 対 称 式 で あ る.こ

の 基 本 対 称 式,総 で あ る.以

  定 理1.2.2. 

書 式 順 序 に よ っ て,順

に 整 数 の組 

か く こ と に す る.単

序 を 入 れ る.す

項 式M全

な わ ち,二

は, 

数 が 同 じな ら ば,番

号 の な る べ く若 いxiの

え,任

し,Mよ

の 最 大 性 に よ り 

数 が ち が え ば,次

次 数 で差 異 のあ る ところ

元 ゆ え 明 白.fに

小の 現われ

り小 さ い 単 項 式 し か 現 わ れ な い 対 称 式 は

元 で あ る と仮 定 す る. 

意 の 

るiの

大 き さ に つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.最

か 現 わ れ な い な ら,fはRの

る 最 大 の 単 項 式 をMと

い

 (0≠αi∈R，Mi:単 項 式)

わ れ るMiの

単 項 式 す な わ ち,1し

辞

つ の 単 項 式M1,M2につ

成 り立 つ と き と定 め る.(次

で 比 べ る の で あ る.)対 称 式

R[s1,…,sn]の

体 に,d(M)の

で あ る と き,di1≠di2な

最 小 の と こ ろi0で,di01
と か い た と き,現

な わ ち,x1,…,

あ る.

各 単項式 

を対 応 さ せ こ れ をd(M)と

数 で;次

つ い て も同様

つ い て の と き を扱 う.)

xnの対 称 式 全 体 はR[s1,s2,…,sn]で

てM1<M2と

れ ら を そ れ ぞ れ1次,2次,…,n次

対 称 式 は基 本 対 称 式 の 整 式 で 表 わ し得 る.す

  証 明.  x1,…,xnの

よ っ て,

それ ぞ れ 対称 式 また は交 代 式 と

称 し て 基 本 対 称 式 とい う.(元a1,a2,…,anに

下 変 数x1,…,xnに

含 む環

称 式 ま た は 交 代 式f(x1,…,xn)に

f(a1,…,an)と のn個

数 で な く て も,Rを

に つ い て 

と す る.fは もfに

対称式ゆ

現 わ れ る.し

た が っ て,M

で あ る.基 本 対 称 式s1,…,snを

使 っ て, 

とおく.gは

対 称 式 で あ っ てgに

現 われ る単項 式

の う ち 最 大 の も の は,や f-agを い,ゆ

作 れ ば,こ え に,帰

は りMで

あ る.fに

お け るMの

れ は 対 称 式 で あ っ て,Mよ

係 数 をaと

し,

り小 さ い 単 項 式 し か 現 わ れ な

納 法 の仮 定 に よ り (証 明 終)

  次 に 交 代 式 を 考 え よ う.Rの し な い.Rの

標 数 が2で

こ の 式 をx1,…,xnの 数 が2の

差 積,ま

がPに

の 式 はx1,…,xnの

環Rの

上 のn変

ど の 係 数 とaと

  証 明.  そ の よ う なaが

積 と い う語 は,標

数 の 多 項 式 環P=R[x1,…,xn]の

の 積 も0に

あ れ ば,af(x)=0ゆ

え,g(x)の

仮 定 し よ う,単

最 大 の 項 の 係 数b0を

最 大 の も の をa0M(Mは

単 項 式)と

省 い た も の をf1(x)と

す る.す

よ り少 な い.さ

項 式 に,前

ら ば,g(x)の

ら に,f(x)(a0g(x))=0は

ー積  

環 で,M,NがR加 は,次

係 数 をaと

ら,b0=aと

か け て0に

な らな いf(x)の

し よ う.f(x)か

ら,Mよ

あ り,a0g(x)の 明 白.ゆ

すればよ 項 の う ち, り大 き い 項 を

に,a0b0=0.と

ころ

項 の数 はg(x)の

項 の数

え に,帰

納 法 の 仮 定 に よ り,

証 明 が完 了 す る. 

  1.3.  テ ン サー

に,

定理 の証 明 に お け る順序 を考

る と,f1(x)g(x)=0.特

と り方 か ら,a0g(x)≠0で

零 因 子,逆

な る よ う な 多 項 式g(x)≠0の

と る.f(x)b0=0な

うで な い と仮 定 し よ う.g(x)を

適 当 な 元a(≠0)が

え,f(x)は

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 し よ う.s=1な

す れ ば よ い.s>1と

元f(x)

な る こ と で あ る.

零 因 子 で あ っ た と して,f(x)g(x)=0と

項 の 数sに

  Rが

代式は存在

交 代 式 で あ る.

た は 最 簡 交 代 式 とい う.差

お け る 零 因 子 で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,Rの

あ り,f(x)の

で,a0の

え,交

因 子 に つ い て の 注 意 を つ け 加 え る.

  定 理1.2.3. 

い.そ

な い な ら ば,次

ら ば,-1=1ゆ

と き も用 い られ る.

  次 に,零

f(x)が

標 数が2な

(証 明 終)

積 群 で あ る と き,MとNと の よ う に 定 義 さ れ る .「Rの

のRの

上 の テ ンサ

上 」 とい うこ とが明 白な らば

とも書 く.   積 集 合M×Nを

一 次独 立基 に もつR自

由加 群  は有 限個 以 外 は0}

を作 る.次 に

の和 集合 で生 成 され たFの

ま た,(a,b)の  

M×Nか き,fは

部 分加 群 をIと

含 ま れ る 類(M らR加

群Lの

Nの

す る.こ の とき,

元)をa

中 へ の 写 像fが

bで

表 わ す.

次 の 条 件(ⅰ)∼(ⅲ)を

み たす と

双 線 型 写 像(ま た は 双 一 次 写 像)で あ る とい う:

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

 テ ン サ ー 積 の 定 義 は,次

の 定 理 が 成 り立 つ よ うに な さ れ て い る と い え る:

  定 理1.3.1. fがM×Nか からLの

中 へ のR加

らLの

中 へ の 双 線 型 写 像 で あ れ ば, 

群 と し て の 準 同 型gで,次

しか も そ の よ うなgはfに

の 条 件 をみ た す も の が あ り,

よ っ て 唯 一 つ 定 ま る:

  次 の 定 理 も容 易 で あ ろ う.   定 理1.3.2.  と も に(R加

もR加

群 で あ っ て,φ:M′

群 と し て の)準 同 型 で あ る と き,次

η: 

が 定 ま る.こ

  注 意.  辺 の 

M′,N′

の η を 

の と き,上 は 

→M;ψ:N′

の条 件 をみ たす よ うな準 同 型 で表 わ す:

の 等 式 は 

の 元 と し て の 

→Nが

で あ り,右 辺 の 

に な る が,左 は

の 元 と し て の  も の で あ る.事

う で あ る.こ 実,次

あ っ て も,    例.  Rが

の 二 つ は 同 じ記 号 で 表 わ され て は い る が,別

の 例 で 示 す よ う に,φ,ψ

が と も に 中 へ の 同 型(単 射)で

は そ う と は 限 ら な い か ら,注 有 理 整 数 環Zで,nが

有 理 数 体Q,φ,ψ

意 を 要 す る.

自然 数,M′=Z/nZ,N′=Z,M=M′,N=

が 自然 単 射 の と き を 考 え る.

  す る と,

(定 理1.3.3参

照)で

あ る が, 

[証 明 ：

に な る. (問題1.3.1参

ゆ え に,n>1な 0に

の

ら ば, 

の 元 

は0で

な い の に, 

照)]

に よ って

写 され る.

  定 理1.3.3. 

L,M,N,M′,N′

が 環Rの

上 の 加 群 で あ る と き,

 (イ)   (ロ)φ:M′

→M;ψ:N′

→Nが

と も に 上 へ の 準 同 型 で あ れ ば,

 も上 へ の 準 同 型 で あ る.  (ハ)   (ニ)Nが

さ ら にR多

と き,ra=(r・1N)aを

元 環 に も な っ て い る(し た が っ て,a∈N,r∈Rの

仮 定 す る)場 合, 

き,

はN加

群 に な る.(c∈Nの

と

に よ る.)

  (ホ)M,Nが

と も にR多

ま た はM N={0}.前

元 環 で あ れ ば, 

者 の 場 合 は 

  (へ)LがR多

もR多

が 

元 環 に な る か,

の 単 位 元 に な る.

元 環 で あ れ ば， に よ る.)

  証 明 は,定

義 に し た が っ て 考 え れ ば,容

  定 理 1.3.4.  R加 （j=1,…,β)の   証 明 は,各

群M,Nが,そ

直 和 で あ れ ば,  自演 習 問 題 と し て 試 み よ.

  1.4.  完 全 系 列   (あ る 環 の 上 の)加 群 と準 同 型 の 列

易 で あ ろ う. れ ぞ れ 部 分 加 群Mi(i=1,…,α),Nj

は 

全 部 の 直 和 と同 型 で あ る.

の 意 味 は,fiがAiか

らAi+1の

中 へ の 準 同 型 で あ る も の とす る.こ

な 列 が 完 全 系 列 で あ る とは,  き に い う.上

の成 立 す る と

の 列 の 記 法 に お い て,fiの

  定 理1.4.1. 

(イ) 

  (ロ) 

う ち,明

白 な も の は 省 略 す る.

が 完 全 系 列 

が 完 全 系 列 

  (ハ)  n>s>1の

の よう

.

が 中 へ の 同 型.

と き, 

が完全 系列

 お よ び 

が完 全 系 列.

  証 明 は 易 し い の で省 く.   ま た,上

の よ うな 列 が 与 え られ た と き,次 の よ うな,斜

B→C→0の Aα+1の

形 の 列 をn-1個

め に 続 い た0→A→

作 る こ とが で き る(こ こ に,iα

はfαAα

から

中 へ の 自然 単 射 で あ る):

 定 理1.4.2.  の 新 しいn-1個

が完 全 系 列 で あ る た めの必 要充 分条 件 は,こ の0→A→B→0の

形 の列 が全 部 完 全系 列 に な っ てい る こ

とで あ る.   証 明 は,定   環Rの

義 に よ り 明 らか で あ る.

上 の 加 群Mが

平 坦(て い ね い に は,R平

意 の 有 限 生 成 加 群Aと,そ B→Aと,Mの

の 有 限 生 成 部 分 加 群Bと

恒 等 写 像1Mと

坦 とい う)で あ る と は,任 に つ い て,自

を とれ ば, 

然 単 射i: が必 ず

単 射 で あ る と き に い う.   定 理1.4.3.  で あ る.

R加

群Mに

つ い て の,次

の 各 条 件(イ)∼(ニ)は,互

に同 値

 

(イ)  Mは

平 坦 で あ る.

(ロ)  BがR加

群,AがBの

部 分 加 群,i:A→Bが

(1MはMの

自然 単 射 な ら ば,

恒等 写 像)は 単 射 で あ る.

 が完 全 系列 な らば,

(ハ)

 も完 全 系列 で あ る.  がR加

(ニ)

群 の完全 系列 で あれ ば,  も完 全 系 列 で あ る.

  証 明.  (ハ)は(ニ)の 後 の →0の

特 別 の 場 合 だ か ら,(ニ)⇒(ハ).(ロ)は,(ハ)の

な い 場 合 に 含 まれ る か ら,(ハ)⇒(ロ).(イ)は(ロ)の

で あ る か ら,(ロ)⇒(イ).し

た が っ て,あ

と,上

最 特 別 な場 合

の各 々の逆 向 き を証 明 すれ ば

よ い.   (イ)⇒(ロ):MがR平 元 

ら に, 

が あ っ た と し よ う.    ,す

群Fお

坦 で あ る と仮 定 し,さ

な わ ち,テ

の 核 に0で

ゆ え, 

ン サ ー 積 の 定 義 に よ り,B×Mで

よ び,T,U,V,W,Iを

§1.3の

ない

にお い て は 生 成 した 自由加

最 初 に お け る と 同 様 に とれ ば,

 い い か え れ ば,

こ の 両 辺 に 出 て く るBの

元 全 体 で 生 成 さ れ る部 分 加 群  お よ び, 

ゆ え,自

然 単 射i*:A*→B*が  は0で

は な い.し

は  ⇒(ロ)が

得 られ る.A*  か る に,上

を と る.  Aゆ

え, 

における

の と り方 か ら, 

にお い て

こ れ は 平 坦 の 定 義 に 反 す る.ゆ 成 立 す る.(ロ)⇒(ハ)は

定 理1.4.2に

よ り容 易 で あ る. 

定 理1.3.3,(ロ)に

え に(イ)

よ り 明 白.(ハ)⇒(ニ): (証 明 終)

  1.5.  体  Iが

整 域 で あ る と き,単

う.Iの

標 数 が0な

な ら ば, 

位 元1で

ら ば,π

,pは

生 成 され た 部 分 環 π を,Iの

は 有 理 整 数 環Zと

同 型 で あ り,Iの

素 数 で あ る(問 題1.0.1参

照).後

体 で あ る の で(問 題1.0.3),π

は 素 体 と よ ば れ る.標

π の 商 体Fを

素 体 と い う.Fは

  体Kが

含 めば,FをIの

有 限 個 の 元 か ら成 る と き,Kは

の標 数pは

素 数 で あ り,Kの

素体

(n=lengthπK)に

な る.有

  体Kが

部 分 体,SがLの

体Lの

む 最 小 の 部 分 体 をK(S)で

(=K2(K1))を

数0の場

合,も

有 理 数 体Qと

しIが

同 型 で あ る.

の 元 か ら成 る.そ

の場 合,K し て,Kは

ら,Kの

元 数 はpn

限 体 で な い 体 を 無 限 体 と い う. 部 分 集 合 で あ る と き,KとSと

示 し,Kの

上 にSで

を含

生 成 さ れ た 体 ま た はKに

あ る と きK(S)はK(a1,…,an)

部 分 体 で あ る と き,K1,K2で

示 す の に,群

者 の 場 合,Z/pZは

も つ(定 理1.1.2)か

Ｓ を つ け 加 え た 体 と い う.S={a1,…,an}で で 示 され る.K1,K2が

標 数 がp(≠0)

有 限 体 で あ る と い う.そ

π はp個

π加 群 と し て 一 次 独 立 基l1,…,lnを

素 整 域 とい

に な ら っ て,K1∨K2と

生 成 さ れ た体K1(K2) い う よ う に,記

号∨

を

使 う こ と も あ る.   一 般 に,整

域Iが

整 域I′

の 部 分 環 で あ る とす る.(イ)I′

上 に 代 数 的 で あ る と は,  c0,…,cnが

と き,ま

で 特 にc0=1で

上 に 整 で あ る と い う.(ハ)I′ た は整 で あ る と き,そ

あ る とい う.(ニ)(元 う.超

と な る よ うなIの

存 在 す る と き に い う.(ロ)上

き,aはIの

ま た はI′

れ ぞ れ,I′

はIの

元

あ る よ うに とれ る と

の 各 元 がIの 上 に,代

上 に代 数 的 で あ る 数 的 ま た は,整

で

に つ い て)代 数 的 で な い と き 超 越 的 で あ る と い

越 的 な 元 の こ と を 単 に超 越 元 とい う.(ロ)に

お い て は,c0がIの

元 で あ る よ うに え らべ れ ば よ い こ と は 明 白 で あ ろ う.し る と き は,代

の 元aがIの

数 的 で あ る こ と と,整

た が っ て,Iが

で あ る こ と と は 同 じ で あ る.こ

正則 体 であ

の とき は普

通 代 数 的 とい う言 葉 を 用 い る.   こ れ ら の 定 義 は,も 「整

っ と一 般 的 な 環 の と き に も拡 張 さ れ 得 る が,本

」 と い う概 念 に つ い て だ け,§2.4に

お い て,一

般 の場 合 に 扱 う.

書 で は,

  体K′

が 体Kを

含 む と き,K′

上 に 代 数 的 で あ る と き,K′

はKの

はKの

代 数 拡 大 体 で あ る と い う.代

拡 大 体 は 超 越 拡 大 体 と よ ば れ る.拡 き,そ

の 長 さ を,K′

のKの

拡 大 体 で あ る とい う.K′

大 体K′

がK加

K[x]は

有 限(次)代

数 的でない

群 と して 長 さ有 限 の と

上 の 次 数 とい う.[K′:K],(K′￨K),lengthK

な ど の 記 号 が 普 通 利 用 さ れ る が,本 書 で は 最 初 の を利 用 す る.ま K′ はKの

がKの

数 拡 大 体 と よ ば れ る.K′

K′

た,こ

の と き,

の 中 に 超 越 元xが

多 項 式 環 と 同 型 で あ る か ら,次 数 有 限 で あ れ ば,必

あ れ ば,

然 的 に代 数 拡大 体

な の で あ る.   素 数pを

標 数 に も つ 環Rに

つ い て 注 目 さ れ る こ と は,a,b∈R⇒(a+b)p

=ap+bpに

な る こ と で あ る.証

明 は,(a+b)pを

る と,ap,bp以 て,次

外 の 項 の 係 数 はpの

二 項 定理 に よっ て展 開 して み

倍 数 で あ る こ と か ら知 られ る.し

たがっ

の 形 に 一 般 化 で き る.

  定 理1.5.1. 

環Rの

pα(α は 自然 数)につ

標 数pが

素 数 で あ れ ば,a1,…,an∈Rお

い て,(a1+…+an)q=a1q+…+anq.

  注 意.  標 数 が 合 成 数 の と き は,こ   定 理1.5.2.  あ れ ば,MはKの   証 明.  LのK加

LがKの,ま

の 等 式 は 成 立 し な い.

たMがLの

それ ぞ れ有 限次 代 数 拡 大体 で

有 限 次 代 数 拡 大 体 で あ っ て,[M:K]=[M:L][L:K]. 群 と し て の 一 次 独 立 基 をl1,…,lr;MのL加

の 一 次 独 立 基 をm1,…,msと のK加

よ び,q=

群 として

す る(r=[L:K],s=[M:L]).limj全

体 がM

群 と し て の 一 次 独 立 基 で あ る. 

  元aが f(a)=0と

体K上

代 数 的 元 で あ る と き,モ

な る も の の う ち,次

と い う.す

(証 明 終) ニ ッ ク な 多 項 式f(x)(∈K[x])で

数 の最 低 の も の を,aの(K上

る と,「g(x)∈K[x],g(a)=0⇒g(x)/f(x)∈K[x]」

(g(x)をf(x))で

割 っ た 余 り をr(x)と

最 低 性 に よ りr(x)=0).こ   定 理1.5.3. 

体Kの

小 多項 式

が成立 す る

す る と,r(a)=0に

の こ とか ら,次

の)最

な る か ら,次

数 の

の 定 理 を 得 る:

拡 大 体 の 元aがKの

上 に代 数 的 で あ る と き,多

項 式 環K[x]に

お い て,p={g(x)∈K[x]￨g(a)=0}は

c1 xn-1+…+cnで

生 成 され る極 大 イ デア ル で あ り,そ

多 項 式f(x)=xn+ の 次 数n=[K(a):K].

さ ら にK[a]=K(a)で

あ り,1,a,…,an-1がK(a)のK上

の一 次 独 立 基

に な る.   詳 しい 証 明 は,K[x]が

ユ ー ク リ ッ ド環 で あ る こ と(§2.5で

用す る 方 が す っ き りす る の で,省   ま た,本

書 で は,代

し て 扱 うが,以 り,概

く.§2.5を

数 拡 大 の 理 論(主

下,簡

一 読 し た 上 で,各

と し て,体

述 べ る)を 利 自試 み よ.

のGalois理

論)は

単 に 主 要 な 定 義 お よ び 定 理 を述 べ よ う.(証

既知 と

明 は省 いた

略 を述 べ る に 止 め た りす る.)

  体Kの

代 数 拡 大 体Lの

元a,bがK上

の 最 小 多 項 式 が 同 一 で あ る と き に い う.Lの ａのK上

元aがK上

分 離 的 で あ る と は,

の 最 小 多 項 式 が 重 根 を も た な い と き に い う.LがK上

る とは,Lの つ い て,分

共 役 で あ る と は,a,bのK上

す べ て の 元 がK上

分 離 的 で あ る と き に い う.Lま

離 的 で な い と き,非

式 が(x-a)e(eは

自然 数)の

分 離 的 と い う.Lの 形 とな る と き,aは

離 的 か つ 純 非 分 離 的 な 元 はKの 根 の 判 定 法 が 必 要 に な る が,そ

た はそ の元 に

元aのK上

の最 小 多 項

純 非 分 離 的 で あ る とい う.分

元 で あ る こ と に 注 意 せ よ.分

離 性 に 関 し,重

の 意 味 で 次 の 結 果 は 重 要 で あ る.こ

に対 し,そ の導 函 数 

式 

分離的で あ

は 

こ に,多

項

に よ って定 義

さ れ る:   定 理1.5.4. 

L係

数 の 多 項 式f(x)がaを

件 は,aがf(x),(d/dx)f(x)の 項 式f(x)に

共 通 零 点.し

つ い て は,「f(x)が

こ こ にpはKの

重 根 に もつ た め の必 要 充 分条 た が っ て 体 

重 根 を も つ 

はxpの

上 の既 約 多 多 項 式 で あ る.

標 数 で,p≠0.」.

  証 明 に つ い て は,こ の 意 味 の 微 分(導 函 数 を 求 め る こ と)が,通 常 の 微 分 法 に お け る 和,積

に つ い て の公 式 を み た す こ と を た し か め た 上 で,f(x)=(x-a)eh(x),

h(a)≠0の

形 に 分 解 し て,導

る.後

半 は(d/dx)f(x)もK上

つ 

の 多 項 式 で 次 数 が 低 い こ と か ら,「 重 根 を も

」 を得 る こ と に よ る.

  定 理1.5.5.  き,Kの

函 数 を計 算 して み れ ば 容 易 に 前 半 の 証 明 が 得 ら れ

体Kに

係 数 を も つ 多 項 式 

有 限 次 代 数 拡 大 体Lで,f(x)がL係

を与 えた と 数 の多 項 式 と して は一 次式

の 積 に 分 解 す る よ う な も の が 存 在 す る.   こ の よ うなLをf(x)の(K上 小 の も の を,f(x)の

の)分 解 体 と い い,そ

最 小 分 解 体 と い う.(こ

れ ら の うち 次 数 の 最

れ は も ち ろ ん,Kとf(x)の

根 と

で 生 成 さ れ る.)   定 理1.5.6. 

体Kか

ら体K′

のK上 K′[x]の

元)の

の 上 へ の 同 型 σ が あ る と き, 

の 最 小 分 解 体Lと,fσ(x)(係

最 小 分 解 体L′

と を と れ ば,σ

数 を σ で写 して 得 た

がLか

らL′

の上 へ の 同 型 に

拡 張 され る.   上 記 二 定 理 の 証 明 は,い れ る.定

理1.5.6は,一

ず れ もdegf(x)に

つ い て の 帰 納 法 を利 用 して な さ

つ の 多 項 式 の 最 小 分 解 体 は,同

あ る こ と を 示 して い る こ と に 注 意 せ よ.こ 要 な 基 礎 で も あ る.体Kの

代 数 拡 大 体 で,し

の 代 数 的 閉 包 とい う.こ   定 理1.5.7. 

(す な わ ち,K同

代 数 的 閉 包Kは らKの

型)が

の 定 理1.5.7の

身 に 限 る と き,Kは

重

代数的閉

か も代 数 的 閉 体 で あ る も の を,K

の 定 義 の も と で,

体Kの

拡 大 体 な ら ば,Lか

れ ら の 結 果 は,次

代 数 拡 大 体 がK自

体 で あ る と い う.体Kの

型 の意 味 で は一 意 的 で

存 在 す る.ま

中へ の同型

存 在す る.特

た,LがKの

σ が,∀a∈K,σa=aと

に,Kの

代数 な る もの

代 数 的 閉包 は 同型 の意 味 で一 意

的 で あ る.   こ の 定 理 の 詳 しい 証 明 の た め に は,有 す る 方 が す っ き りす る.他 と に し て,こ   他 方,分

離 的 とい う こ と に 関 し,次

  (イ)  LがK上

Lが

体Kの

「可 換 体 論 」(裳 華 房))を 見 て 頂 く こ

充 分 大 き いKの

型 が[L:K]個

の よ うなKの

型 は[L:K]個

の 定 理 は 重 要 で あ る:

有 限 次 代 数 拡 大 体 で あ る と き,

分離 的 ⇔

中 へ のK同

  一 般 に は,ど へ のK同

えば 拙著

こ で は 省 く.

  定 理1.5.8. 

か らL*の

書(例

限 次 正 規 拡 大 の 理 論 を 築 い た上 で 証 明

代 数 拡 大 体L*を

とれ ば,L

存 在 す る.

代 数 拡 大 体.L*を

と っ て も,Lか

らL*の

以 内 で あ る.

  (ロ)  L=K(a1,…,an),Li=K(a1,…,ai-1)(L1=K)と

す る と き,各ai

中

がLi上

分 離 的 な ら ば,LはK上

  (ハ)  L=K(a1,…,an)で

  略 証.  (ロ)の

Lか

らL*の

らL*の

分 離 的 な ら ば,

中 へ の 同 型 の 一 つ τ を任 意 に 固

中 へ の 同 型 で τ の 拡 張 に な っ て い る も の の 数 が,

の 最 小 多 項 式 の 相 異 な る根 の 数 に 等 しい こ と を ま ず 示 す.す

らL*の

b∈Lが

あ り,a1,…,an-1がK上

記 号 を使 う.Liか

定 し た と き,Li+1か aiのLi上

分 離 的 で あ る.

中 へ のK同

型 の 数 が 

(ロ)の

非 分 離 的 な ら,L=K(b,a1,…,an)で

利 用 す れ ば,K同

型 の 数<[L:K]を

仮 定.さ

も あ る か ら,こ 得 る.こ

る と,

て,も

し,

れ に前 記結 果 を

の こ と か ら,(イ),(ロ)を

得 る.

(ハ)は 少 し技 巧 的 で あ り,本 書 で は 省 く.   ま た,上 な す.こ

の(ロ)に

よ り,Lの

れ を,KのLに

大L/Kの

元 でK上

分 離 的 な も の 全 体Ksは

部分体 を

お け る分 離 閉 包 と い う.[Ks:K],[L:Ks]を,拡

分 離 次 数,非

分 離 次 数 と い い,そ

れ ぞ れ[L:K]s,[L:K]iで

表わ

す.   正 規 拡 大 体 に 関 し基 本 的 な こ とは,次   体Lが

体Kの

項 式 はLで

の 定 義 お よ び 三 定 理 に ま と め られ る:

正 規 拡 大 で あ る とは,「a∈Lな

ら ば,aのK上

の最 小 多

一 次 因 子 の 積 に分 解 す る 」 と い う条 件 の 成 立 す る と き に い う.こ

の と き,AutK

L,す

な わ ち,LのK自

のGalois群

とい う.AutK

をGalois拡

大 とい う.

  定 理1.5.9. 

LがKの

  (イ)  LはKの

己 同 型 全 体 の な す 群 を,LのK上

L,G(L/K)等

の 記 号 で 示 され る.分

離 的正 規 拡大

代 数 拡 大 体 で あ る と き,次 の 条 件 は 互 に 同 値 で あ る.

正 規 拡 大 で あ る.

  (ロ)  L*がLの

任 意 の 代 数 拡 大 体 で,σ

がLか

らL*の

中 へ のK同

型

な ら ば,σL=L.   (ハ)  はLで

,かつ

∀a∈Sに

つ い て,aのK上

の最 小 多 項式

一 次 因 子 の 積 に 分 解 す る.

  証 明 は,K同 実 に基 づ い て,大

型 

が あ れ ば,aとτaと

した 困 難 な し に 行 な わ れ る.(詳

は 共 役 で あ る とい う事 細 略)

 定 理1.5.10.  元 数 がnで Kを

LがKの

代 数 拡 大 体 で,GがAutK

含 む.LはLGのn次

分 離 拡 大 で あ り,し

のGalois群

  も し,LがKの

部 分 群 で,そ

はLの

あ る と き, 

拡 大 で,そ

Lの

がGに

な る.こ

Lな

部 分 体 で あ り,

た が っ て,LはLGのGalois

のLGを,Gの

正 規 拡 大 で,G=AutK

の

不 変 体 と い う.

ら ば,LGはK上

純 非分 離

拡 大 で あ る.   証 明 は,a∈Lに 利 用 し て, 

あ る と き,Gの

Lが

体Kの

部 分 群Hに

大 で,そ

の 不 変 体LHを

のGalois群

対 応 さ せ る.こ

がGで の と き:

等 し く,LG=K. の 対 応 はGの

全 体 と の 一 対 一 対 応 で あ る.そ   (ハ)  HがGの

有 限 次Galois拡 対 し,そ

位 数 は[L:K]に

  (ロ)  上 のHとLHと

部 分 群 全 体 と,LとK,と

の 中間 体

し て,G(L/LH)=H.

正 規 部 分 群 ⇔LHがKのGalois拡

こ の と き, 

大.

G(LH/K)=G/H.

  (ニ)  A,BがGの

部 分 群 で あ る と き,

  証 明 は,前 定 理 を利 用 し て 容 易 で あ る.((イ)に は(イ)利

元 で あ る こ とを

を示 す こ と に よ っ て な され る ．

  定 理1.5.11. 

  (イ)  Gの

の基 本 対 称 式 がLGの

つ い て, 

は 定 理1.5.8を

利 用.(ロ)に

用.)

  ま た,こ

れ らの 扱 い,さ

ら に,無

限 次 正 規 拡 大 の 扱 い に つ い て,次

の定 理 は

基 本 的 で あ る:   定 理L.5.12.  K′

σ が体Kか

ら体K′

の 代 数 拡 大 体 で あ る と き,L′

ば,σ

をLか

らL′

をそ の充 分 大 きい 代 数 拡 大 体 に お き か えれ

有 限 次 の と き を 証 明 し て,次 に 一 般 化 す る(易 し い).

  こ の 節 の 最 後 に あ た っ て,超 体Kの

が そ れ ぞ れK,

の 中 へ の 同 型 に 拡 張 す る こ とが で き る.

  こ の 定 理 の 証 明 は,Lが

  Lが

の 上 へ の 同 型,L,L′

越 拡 大 体 に つ い て の 定 義 を少 しつ け加 え よ う.

拡 大 体 で あ る も の とす る.

  (1)z1,…,zt∈LがK上

代 数 的 独 立 で あ る と い う概 念 は §1.2で

定義 し

た が,Lの

部 分 集 合BがK上

代 数 的 独 立 と い う こ と の定 義 は,Bの

有 限 個 の 互 に 異 な る元 の 組 が,必

ずK上

代

任意の

的 に独 立 とい う こ と に よ っ て す

る.   (2) Lの

部 分 集 合BだLのK上

の 超 越 基 で あ る とは,(イ)BはK上

代 数 的 独 立 で あ り,(ロ)LはK(B)上 Bが

代 数 的 で あ る と き に い う.こ

必 ず 存 在 す る こ とはZornの

じLに

対 し,二

る)は 等 し い.(多 LのKの

補 題 に よ っ て容 易 に 知 られ る.さ

つ の 超 越 基B,B′

が あ れ ば,B,B′

くの 成 書 に 出 て い る こ と だ か ら,証

上 の 超 越 次 数 とい い,trans.

  (3)  上 で,さ

の 元 数(無

degK

ら にLがK(B)上分

Lで

の よ うな ら に,同

限 の場 合 も あ

明 は 省 く.)Bの

元数 を

示 す.

離 的 で あ る と き,Bは

分 離 超越 基 とよ

ば れ る.

問  1.  整 域 の 標 数 は,0か  2.  環Rと,そ

題  1.0.

素 数 で あ る.

の イ デ ア ルa1,…,anと

に つ い て,

 (イ) 

(m,m′

は 任 意 の 自然 数),

 (環 として の 直和).

 と同 型(た だ し,miは  3.  整 域Rの

任 意 の 自然数).

元数 が有 限 な らば,Rは

問

  1.  環Rに   (イ)  Rが

お い て,e2=e,e≠0を 環R1,…,Rnの

り,e1+…+enがRの

1.1.

み た す 元eを,べ

べ き 等 元e1,…,enの

環e1R,…,enRの

上 の 通 り と し,MがR加

き 等 元 とい う. 単 位 元eiはRの

べ き等 元 で あ

元 環 と考 え られ,MはZ加

和 で あ っ て,i≠jな

意 の 環Rお

ら ばeiej=0

直 和 で あ る. 群 で あ る と き,(ⅰ)eiMはeiRの

部 分 加 群e1M,,…,enMの

  2.  有 理 整 数 環Zと,任 Z多

題 

直 和 で あ る と き,Riの

単 位 元1が

を み た す と き は,Rは

り,(ⅱ)Mは

体 であ る.

単 位 元 で あ る.

  (ロ)  逆 に,Rの

  (ハ)  eiは

は環 と して

が成立すれば, 

 (ロ) 

上の加群であ

直 和 で あ る. よ び 加 群Mと

群 と考 え られ る.

を 考 え る と き,Rは

自 然 に,

 

  3.  Mが

環Rの

上 のArtin加

群 で,Nが

部 分 加 群 で あ る と き,NもArtin加

群 で

あ っ て,

  4.  可 換 環R,Mに らMの

つ い て,MがR多

中へ の 環 準 同型

元 環 で あ る と い う こ と は,次

φ で,φ1R=1M(1R,1MはR,Mの

値 で あ る.R∋r,M∋mに

つ い て,rm=(φr)m(左

の よ うなRか

単 位 元)が 辺 はR加

あ る こ と と同

群 と し て の 乗 法,右

辺 はM

に お け る 乗 法).

問  1.  Rが

整 域 な ら ば,Rの

  2.  積  …,anの

上 のn変

をxの

題1.2. 数 の 多 項 式 環R[x1,…,xn]も

整 域 で あ る.

多 項 式 と し て 展 開 し てxn+c1xn-1+…+cnを

基 本 対 称 式 は(-1)c1,c2

,…,(-1)rcr,…,(-1)ncnで

問

1.  Rが 環,M,NがR加

得 れ ば,a1,

あ る.

題1.3.

群 で あ る とき,次 の こ とを示 せ.

 (イ)  (ロ)   2.  Rが

環 で,I,JがRの

  3.  M,Nが

環Rの

 もArtin加

イ デ ア ル で あ る と き, 上 のArtin加

群 で,m=length

群 で あ っ て, 

な らば 等 号 が 成 立 す る こ と を示 し,ま

M,n=length Nで で あ る こ と を示 せ.次

た,一

あ る と き, に,Rが

体

般 に は 必 ず し も 等 号 は 成 立 し な い こ と を,例

示 せ よ.

問

題1.4.

  1.  自由加 群 は平 坦 で あ る.  2.  二 つ のR加

群M,Nの

 3.  R多 元 環SがR平 平 坦 で あ る.[MをR加

直和 がR平 坦 で,S加

坦 で あ れ ば,MもR平

群MがS平

坦 で あ る.

坦 で あれ ば,MはR加

群 と見 るの は, 

群 とし て はSの

単

位 元)に よ る.]  4.  環Rの

上 の 加群 の完 全 系 列0→A→B→C→0に

らば,任 意 のR加

群Mに

おい て,Cが

平坦 で あ る な

つ い て,

は完 全 系 列 で あ る.  [ヒ ン ト:自 え よ:

由加 群Fに

よ る完 全 系列0→K→F→M→0を

作 り,次 の もの を考

   

た て,よ こ,ど ち らも,そ れ ぞれ 完 全 系 列 で あ るこ とに注 意 せ よ.]

問 1.  K,L,Mが

体 で, 

2.  体Kの

の と き,

どん な代 数 拡大 体 もK上

 (イ) 標 数0の

題1.5.

分 離 的 で あ る と き,Kは

完全 体 で あ る とい う.

体 は 完全 体 で あ る.

 (ロ) 標 数p(≠0)の

体Kに

ついては

Kが 完全体 ⇔    注 意  qが 標 数pの 体 に な る.イ る.

べ きで あ る と き,Kqは 

を示 す.こ

デ アル として の べ き と記 号 は同 じ形 で あ るが,意

れ はKの

部分

味 が 違 うの で注 意 を要 す

第2章 

イデ アル の一 般 論

  2.0.  整 域 と 素 イ デ ア ル   環Rの う.体

イ デ ア ルpが

素 イ デ ア ル で あ る と は,R/pが

の 部 分 環 は 整 域 で あ る.後

整域 で あ る とき にい

で 示 す よ う に(定 理2.0.4)整

域 は 適 当 な体

の 部 分 環 で あ る.   定 理2.0.1. 

環Rの

イ デ ア ルpでR≠pな

る も の に つ い て,次

の 四条

件 は 互 に 同 値 で あ る.   (イ)  pはRの

素 イ デ ア ル で あ る.

  (ロ)  a,b∈R,ab∈p⇒a∈pま

た はb∈p.

  (ハ) a,bがRの

イ デ ア ル で, 

  (ニ)  a,bがRの

イ デ ア ル で,

  証 明.  (イ)⇒(ロ)は 他 方 

ゆ え, 

明 白.(ニ)⇒(イ)を (a∈R)がR/pの +p=a,bR+p=bと と こ ろ が  っ て,R/pは0以 R/pの

明 白.(ロ)⇒(ハ)の

証 明: 

な ら ば, 

に つ い て,ab∈p.∴b∈p.∴  示 そ う.Rか

らR/pへ

.

.(ハ)⇒(ニ)は

の 自 然 準 同 型 をφ

と し よ う.φa

零 因 子 で あ っ た とす る.(φa)(φb)=0,φb≠0(∃b∈R).aR お く. 

ゆ え,p⊂b. 

とす る とp⊂aゆ

と な っ て 矛 盾.∴a∈p,す 外 に 零 因 子 を も た な い.Rの

単 位 元 で あ る か ら,R/pは

  問.  pが 環Rの R′ に 等 しい か,ま

また は

え, 

な わ ち,φa=0.し 単 位 元1を

整 域 で あ る. 

解 して も,イ

たが

考 え れ ば,φ1は (証 明 終)

素 イ デ ア ル で,R′ がRの 部 分 環 で あ る とき,p∩R′ た はR′ の 素 イ デ ア ル に な る.

  *) abの 意 味 は,こ こ では{ab￨a∈a,b∈b}と と解 して も,ど ち らで も よい.

.

は

デ アル の積 として のab

  定 理2.0.2. 

環Rの

b∈S⇒ab∈Sが

成 り立 つ;積

た な い と き,cを

含 みSと

考 え る と,Fの 大 元 はRの

閉 と略 称 す る),イ

共 通 元 を も た な いRの

帰 納 的 集 合 で あ る こ と は,容

共通 元 を も

イ デ ア ル 全 体 の 集 合Fを

れ ぞ れ の 元s1,s2を

が っ て前 定 理(ニ)に   注 意.  c=0に

易 に知 られ る.し

は 極 大 元 が あ る.pがFの

り本 当 に 大 き い とす る と,pの

がRの

デ ア ルcがSと

して,Fの

極

素 イ デ ア ル で あ る.

の 補 題 に よ り,Fに

い.そ

積 に 関 し て 閉 じ て い て(す な わ ち,a,

中 に(包 含 関 係 に よ る順 序 で)極 大 元 が あ る.そ

  証 明.  Fが

にpよ

部 分 集 合Sが

極 大 元,イ

対 す るFの

デ ア ルa,bが

極 大 性 に よ り,a∩S,b∩Sは

一 つ ず つ とれ ば,Sの

よ り,pは

た が っ て,Zorn

空ではな

元s1s2∈ab.∴

した

素 イ デ ア ル で あ る.  極 大 元 を,Sに

正 則 元 だ け か ら成 る と き,Sに

(証 明 終)

関 す る 極 大 イ デ ア ル と い う.S

関す る極 大 イ デア ル を単 に極大 イ デ ア

ル と い う.上

の 結 果 は,Rの

ル が あ り,極

大 イ デ ア ル は 必 ず 素 イ デ ア ル で あ る こ と を 示 し て い る.

  定 理2.0.3.    (イ)  R/mが

環Rの

イ デ ア ルa≠Rを

イ デ ア ルmに

体 ⇔(ロ)mが

共

と れ ば,aを

含む極大イデア

つ い て,

極 大 イ デ ア ル,

  特 別 の 場 合 と し て,   (ハ)  Rが

体 ⇔(ニ)0がRの

極大イデアル ⇔

 (ホ)Rの

イ デ ア ル は,0,R以

  証 明.  最 後 の こ と か ら証 明 し よ う.Rが す る と,aの

元aで0で

.∴(ハ)⇒(ホ).(ホ)⇔(ニ)は

き,0≠a∈Rを

とれ ば, 

(ホ)に

よ りaR=R.し

∴(ホ)⇒(ハ).(イ)⇔(ロ)は

体,aがRの

な い も の を とれ ば,定

つ.∴ 

外 に は 存 在 し な い. イ デ ア ル,a≠0と

義 に よ りaは

逆 元a-1を

明 白.(ホ)が はRの

成立す ると

イ デ ア ル,し

た が っ て,

た が っ て,∃b∈R,ab=1.∴b=a-1(可 定 理1.0.4と,(ハ)⇔(ニ)と

換 環 ゆ え). に よ り明 白. (証 明 終)

  定 理2.0.4.    (イ) 

整 域Rに (ロ)Kの

対 し て,次 任 意 の 元 はRの

の 性 質 を も つ 体Kが 適 当 な 元a,b(b≠0)に

も

あ る: よ り,ab-1

の 形 で 得 られ る.こ K*も

の よ う なKは(同

型 の 意 味 で)一 意 的 で あ る.(す

同 様 な 性 質 を も つ 体 で あ れ ば,Kか

で は 恒 等 写 像 で あ る も の が 存 在 す る.)こ

らK*の

の よ う なKをRの

  証 明.  集 合Q={(a,b)￨a∈R,0≠b∈R}に,関 "に よ っ て 導 入 す る と,∼ 知 られ る.こ

の 類 の 集 合Kに,加

法,乗

商 体 と い う. ∼ を," 

含 ま れ る類 をa/bで

示

法 を導 入 す る:

易 に た し か め られ る よ う に,

  (ⅰ)  Kは

環 で あ り,単 位 元 は1/1,零

  (ⅱ)  Rの

元aに

あ り,し

係

φ で,R上

が 同値 律 をみ たす こ とは容 易 に

の 同 値 関 係 が 定 め る類 別 を 考 え,(a,b)の

す こ と に す る.こ

す る と,容

上 へ の 同型

な わ ち,

対 し て,a/1を

た が っ て,aとa/1と

元 は0/1.

対 応 さ せ れ ば,Rか を 同 一 視 し得 る.そ

らKの

中へ の同 型 で

の 意 味 で は,ab-1とa/b

と が 同 じ 元 に な る.   (ⅲ)  a≠0,b≠0(共 た が っ て,Kは

にRの

元)な

ら ば,a/b,b/a,b/a∈K,(a/b)(b/a)=1/1.し

体 で あ る.

  した が っ て,商 K∋a/bにK*で

体Kの

存 在 が わ か る.次

のab-1を

対 応 させ る 写 像fを

ゆ え,fは

様 に環Kを

非 零 因 子 はKの Kの

体 の 性 質 に よ り,fK

核 はKの

で あ る か ら,fが

(証 明 終) し,上 の 証 明 で, 

構 成 す る と,次

非 零 因 子 で あ り,Kの

元 はab-1(a,b∈R,b非

零 因 子)の

の 性 質 を も つ:(イ)  非 零 因 子 はKの 形 で 得 られ る.こ

.(ロ)Rの

正 則 元 で あ る.(ハ) のKをRの

環 とい う.   こ こ で,素

環

イ デ ア ル で あ る が,Kが

同 型 で あ る. 

零 因 子 で な い 元 全 体 をSと

を考 え,同

考 え よ う. 

,ab-1cd-1=acb-1d-1 

と し て の 準 同 型 を 与 え る こ と は 明 白.fの

  環Rの

商 体 で あ る とす る.

た し か に 写 像 で あ る.商

=K*.ab-1＋cd-1=（ad＋bc)b-1d-1

体 で あ る か ら,fは

に,K*がRの

イ デ ア ル に つ い て の 重 要 な補 題 を加 え て お こ う.

全商

  補 題2.0.5. 

p1,…,pnが

な ら ば,aの

環Rの

元aで,ど

素 イ デ ア ル,aがRの

のpiに

 が 成 り立 つ と き は,p1∩

イ デ ア ル で, 

も含 ま れ な い も の が あ る.i≠jな

… ∩prの

元bで,ど

ら ば,

のpr+1,…,pnに

も含 ま

れ な い も の が あ る.   証 明.  前 半 ：nに

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す る.n=1な

よ う. 

な ら ば,piを

略 し て よ い.し

納 法 の 仮 定 に よ っ て 正 し い.  を と る.  pnが

ら 明 白.n＞1と

たが っ て,こ

し

の ときは 帰

と し よ う. 

な らば よ い.a1∈pnと

し よ う.a,pi(i＜n)はpnに

含 ま れ ず,

素 イ デ ア ル で あ る か ら, a=

a1+bと

お け ば よ い.後

半: 

ゆ え,前

半 を,a=p1…prと

イ デ ア ルpr+1,…,pnに

つ い て 適 用 す れ ば よ い. 

  ま た,次

般 な 環 で 成 立 す る 点 で興 味 深 い:

の結 果 は,一

  定 理2.0.6. 

aが 環Rの

体 の 集 合Pは,包 ち,p∈Pな

  証 明.  R≠aゆ

含 ま れ るPの

え,Pは

と き,aを

含 む素 イ デア ル全

納 的 集 合 に な る.す

なわ

極 小 元 が 必 ず 存 在 す る.

空 集 合 で は な い(定 理2.0.2). 

が 整 列 集 合, 

を考 え る.ab∈q(a,b∈R),  他 方ab∈pλ

(証 明 終)

含 関 係 と双 対 な 順 序 に よ っ て,帰

ら ば,pに

整 列 部 分 集 合(Λ

イ デ ア ル,R≠aの

素

がPの で あ る と き, 

と す る.∃ μ, .す

ゆ え,b∈pλ.∴ 

ゆ え にqは

る と, 

.

素 イ デ ア ル, 

え,q∈P. 

ゆ

(証 明 終)

  上 記Pの

極 小 元 を,aの

  次 の 二 定 理 は,多   定 理2.0.7. 

極 小 素 因 子 ま た は,極

小 付 随 素 イ デ ア ル と よ ぶ.

項 式 環 に 関 す る も の で あ る.

Rが

整 域 な ら ば,そ

の 上 の 多 項 式 環P=R[x1,…,xn]も

整

域 で あ る.   定 理2.0.8.  {f∈P￨fの

環Rの

上 の 多 項 式 環P=R[x1,…,xn]に

係 数 全 体 で 生 成 さ れ たRの   .(問 題2.2.1参

  証 明.積fgの

イ デ ア ル がRと

お い て,S= 一 致 す る}と

お け ば,

照)

係 数 で 生 成 さ れ た イ デ ア ル ≠Rな

ら ば,そ

れ を含 む極 大 イ

 

デ ア ルmが

あ る.自

然 な準 同 型

  R/mは

φ:P→(R/m)[x1,…,xn]を

体 で あ る か ら,φf,φgの

考 え れ ば,

少 な く と も 一 方 が0.こ

仮 定 に 反 す る. 

れは

(証 明 終)

  2.1  イ デ ア ル に つ い て の 演 算,根   イ デ ア ル の 和,積

に つ い て は,既

基

に §1.0で

述 べ た.こ

こ で は,ま ず,イ

デ

ア ル 商 に 関 す る 定 義 を述 べ よ う.   aが 環Rの

イ デ ア ル,SがRの

に よ っ て 定 義 さ れ る.こ  (イ)  MがR加

Mの

部 分 集 合 で あ る と き,イ

の 演 算:は,も

群,NがMの

っ と一 般 な 場 合 に も適 用 され る. 部 分 加 群, 

中 で 考 え て い る こ と が 明 白 な ら ば,N:Sと

  (ロ)  MがR加

群,M0, 

こ の 二 つ の場 合 が,今

後,度

  定 理2.1.1. a,b,aλ

の と き,

略 記 す る.

の と き,

々利 用 さ れ る.

は環Rの

BCは 

デ ア ル 商a:Sは

イ デ ア ル,B,C,Bλ

を表 わ す も の とす る と,次

はRの

部 分 集 合,

の等 式 が成 立 す る：

(ⅰ)  (ⅱ)  (ⅲ)   (ⅳ)

  証 明 は 易 し い.各   問1. 

自試 み よ.

上 記 等 式 を,上

の(イ),(ロ)の

よ う な 場 合 を 含 め た場 合 に 一 般 化 せ

よ.  問2.    定 理2.1.2.  る と き,

で あ り,ま Mが

環Rの

た,  上 の加 群 で,Nが

で あ る. そ の 部 分 加 群,m∈Mで

あ

  証 明. 

(定理0.5.3).次

φ:R→mRを

定 義 す る.φR=mRで

あ り,さ

に, 

に よ り,

ら に, 

で あ る か ら,    問.  R,M,Nは

  次 に,根   aが

上 と同 様 と し,a∈Rな

イ デ ア ル で あ る と き,aを

と き は,R自

2.0.6に

の こ とが 成 立 す る.

  定 理2.1.3. 

  証 明.  pが

根 基 と呼 び, 

で 示 す.定

素 イ デ ア ル で,  に, 

合 で あ っ て,S∩a=空 qが 存 在 す る.qは

と す れ ば, 

右辺

集 合.ゆ

.

と す る と,S={xn￨n=1,2,…}は

え に,aを

含 み,Sに

素 イ デ ア ル(定 理2.0.2)で

積閉集

関 し て極 大 な イ デ ア ル

あ っ て, 

号 の 証 明 が で き た. 

(証 明 終)

  素 イ デ ア ル の い くつ か の 共 通 部 分 と し て 表 わ され る イ デ ア ル を,半 ル と呼 ぶ.す

る と,上

  系2.1.4. 

aがRの

イ デ ア ル,R≠aと

  根 基 に 関 連 し て,Jacobson根

son根

と き,aを

基 に つ い て,つ

基,す

mが

け加 え よ う.aがRの

な わ ち,Rの

イデ

極 大 イ デ アル全 体 の 共

基 と い う.a∈R,a-1∈mな

正 則 元 で あ る こ と に 注 意 し て お く.次

  定 理2.1.5. 

半 素 イ デ ア ルで あるた

含 む 極 大 イ デ ア ル 全 体 の 共 通 部 分 を,aのJacob

基 と呼 ぶ.0のJacobson根

は 中 山 の 補 題 と 呼 ば れ,簡

す る.aが

外 の べ き 零 元 を も た な い こ と で あ る.

通 部 分mを,環RのJacobson根 Rの

素イデア

の 結 果 は 次 の こ と を示 す.

め の 必 要 充 分 条 件 は,環R/aが0以

ア ル で,R≠aの

理

極 小 付 随 素 イ デ ア ル 全 体 の 共 通 部 分 で あ る.

上 の 記 号 の 下 で,

右 辺.逆

ゆ え に,等

含 む 素 イ デ ア ルす べ て の 共 通部 分

身 と す る)を,aの

よ り,こ れ はaの

∴ 

ら ば,次

基 に 関 す る こ と を 述 べ よ う.

環Rの

(a=Rの

(証 明 終)

の 定 理 は,Krull-東

らば,aは 屋 の補 題 また

単 で は あ る が 有 用 な 補 題 で あ る.

環RのJacobson根

基,Mが

有 限 生 成R加

群,Nが

そ の 部 分 加 群 で あ っ て,mM+N=Mな

ら ば,M=Nで

あ る.

  証 明 の た め の準 備 を し よ う.   補 題2.1.6.  式 をdと

aij,tj∈R(i,j=1,2,…,s)と

す る.も

す る.s次

行 列(aij)の

行列

が成 立 すれ ば,

し も 

  証 明.  行 列 式 に つ い て の 等 式 に よ り,*)(aij)の

余 因 子dijを

とれ ば, 

(証 明終)   系2.1.7. 

環R上

有 限 生 成 な 加 群Mと,Rの

(イ)aM=M,(ロ)b∈R,b-1∈aな

ら ば,bはMに

の 二 条 件 が 成 立 す れ ば,M=0で

あ る.

  証 明.  Mの

生 成 元t1,…,tsを

と る.aM=Mゆ

が 存 在 す る.い

わ ゆ るKroneckerの

に つ い て,

関 す る零 因 子 で は な い,

な るaij∈a

え, 

δ(i≠jな

ら ば δij=0;δii=1を

と こ ろ が,aij∈aゆ

え,d≡1 

関 し零 因 子 で は な い.ゆ

  定 理 の 証 明.  M′=M/Nと

mod 

a.ゆ

え に,(ロ)に

よ り,d

え にtj=0(∀j).∴M=0. 

お け ば,mM′=M′.こ

る と(定 理 の 直 前 に 述 べ た 注 意 参 照),M′=0.ゆ

内容 と に よ り, 

と な る か ら, 

す る記 号)を 使 えば, 

はMに

イ デ ア ルaと

(証 明 終) れ に 系2.1.7を

え にM=N. 

適用す (証 明 終)

  2.2.  準 素 イ デ ア ル   環Rの

イ デ ア ルqに

成 立 す る と き,qは

つ い て,R≠qか

準 素 イ デ ア ル で あ る と い う.素

を す る な ら ば,R/qが(我

々 が 制 限 し た 意 味 の)環

べ て べ き 零 で あ る と き,qが   定 理2.2.1. 

つ,「 

qが 環Rの

」の イ デ ア ル の 定 義 と似 た 表 現 で あ り,R/qの

準 素 イ デ ア ル で あ る,と イ デ ア ル で あ り,R≠qで

(イ),(ロ)は

互 に 同 値 で あ る.

  (イ)  qは

準 素 イ デ ア ル で あ る.

零 因子 がす

い え る. あ る と き,次

の条 件

  *) 行 列 式 につ い て は,他 の成 書 を見 よ.普 通,こ の よ うな不 等式 の扱 い は,体 の元 を要 素 とす る場 合 に つ い て述 べ られ て い るが,一 般 の(可 換 な)環 で も成 立 して い る こ とは,割 算 を使 って い ない で,加 法 と乗 法 だ け を使 って い る こ とか らわ か る.

(ロ)

  証 明 は 易 しい の で 省 く.   問.  qが 準 素 イ デ ア ル,a∈R,    定 理2.2.2.  る.そ

qが 環Rの

こ で,一

般 に,素

ア ルqを,p準

な ら ば,q：a=q.

準 素 イ デ ア ル で あ れ ば, 

イ デ ア ルpに

素 イ デ ア ル,ま

対 し, 

た はpに

  証 明. 

は素 イ デ アル で あ とな る よ うな準 素 イ デ

属 す る 準 素 イ デ ア ル と よ ぶ.

とす る. .前

定 理(ロ)に

よ り,

 が い え る か ら,bn∈q.∴  ゆ え, 

.ゆ

え に 

  問.  pが 環Rの 分 環 で あ る と き,  あ る.他

方, 

環Rの

はp∩R'に

がRの

部

属 す る準 素 イ デ ア ル で

で あ る.

イ デ ア ルqに

つ い て, 

が極 大 イ デ ア ル であ れ

準 素 イ デ ア ル で あ る.

  証 明.  本 節 の 初 め に 述 べ た 定 義(言 で あ る か 否 か は,R/qの と, 

(証 明 終)

素 イ デ ア ル で あ り,R′

で あ れ ば,q∩R′ な ら ば, 

  定 理2.2.3.  ば,qは

は 素 イ デ ア ル で あ る. 

素 イ デ ア ル,qがp準

た が っ て,こ

は 正 則 元(さ

大 イ デ ア ル が あ る は ず だ か ら).ゆ

え に,そ

因 子 は す べ て べ き 零 で あ る. 

  第3章

で 扱 う,イ

る

れ は 唯 一 つ の 素 イ デ ア ル で あ る.

の よ うなaは

よ りaRを

含 む極

零 因 子 で は な い.ゆ (証 明 終)

デ ア ル の準 素 イ デ ア ル 分 解 に 関 連 す る こ と を 述 べ よ う.

デ ア ルaが

た と し よ う.こ

準 素 イ デア ル

仮 定 し て よ い.す

も な い と,定 理2.0.2に

え に,零

  一 般 に,イ

よ り,qが

性 質 で 判 定 さ れ る か ら,q=0と

が 極 大 イ デ ア ル.し

a∈R, 

い 換 え の 方)に

の と き,ど

他 の イ デ ア ルq1,…,qnの のi(=1,2,…,n)に

で あ る と き,こ

の 表 現q1∩

共 通 部 分 と して表 わ され つ い て も, 

… ∩qnは

余 分 の ない 表現 で あ る とい

わ れ る.   定 理2.2.4.  っ て,余

環Rの

イ デ ア ルaに

分 の な い 表 現a=q1∩

  (イ)  aが

準 素 イ デ ア ル 

… ∩qnが

対 し て,準

素 イ デ ア ルq1,…,qnに

よ

得 られ た とす る. .そ

して こ れ が 成 り立 つ と き,

aは 

準 素.

  (ロ)  Rの

素 イ デ ア ルpに

ば,apは,qiの

う ち,pに

対 し, 

とお け

含 ま れ る も の 全 体 の 共 通 部 分 と一 致 す る.

  (ハ)  準 素 イ デ ア ルr1,…,rmに

よ り,余

分 の な い 別 の 表 現a=r1∩

… ∩rm

が あ れ ば,集 合 と して   証 明.(イ)の 

とす る. 

… ,n)の 最 大 数mに

(i=1,

よ り,am∈a.∴ 

次 に 

ゆ え,明

と す る と, 

∴c∈a.ゆ

え に(イ)の

 (ロ)： 

最 後 と が 証 明 で き た.

な ら ば,  か らx∈qiを

な る 各qiか

ら,pに

ゆ え, 

逆 に 

得 る. 

属 し な い 元cjを

す る. 

.

ゆ え, .

〓 の 分 と,(イ)の

に 

らか に 

.ゆ と す る. 

一 つ ず つ と り,そ

れ ら全 体 の 積 をsと

ゆ え,sy∈a.∴y∈ap.

  (ハ): 

全 体 に現 わ れ る 素 イ デ ア ル がp1,…,ｐ

の 個 数 α に つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.α=1な る か ら よ い.α ＞1と

し よ う. 

(補題2.0.5).qiお 個 だ か ら,必 要 な ら ばsの

理2.2.1の

αが あ る も の と し,そ

ら,両

辺 と もp1だ

と仮 定 し て よ い.す よ びrjの

う ち,pα

る と,定 理2.1.1,そ

け か ら成

る と, 

準素 で あ る もの は有 限

高 い べ き を と り直 し て,sは

れ に も含 ま れ る と し て よ い.す

そ れ ら のqi,rjの

の 直 後 の 問2,お

 の う ち に も, 

余 分 の な い 表 現 で あ っ た か ら,a:s≠a.ゆ の う ち に も現 わ れ る.次

に 得 られ た 二 つ の 表 現 は 余 分 が な い か ら,帰

よ び定

に,a:sに

え に,pα

つ い て,上

納 法 の 仮 定 に よ り(ハ)の

⇒:aが

準 素 イ デ ア ル な らば,a自

は

の右 辺 証明が

完 了 し た.

よ り, 

ど

あ と の 問 に よ り,

  ま ず,∩qi,∩riは

  (イ)の

え

身 余 分 の な い 表 現 ゆ え,(ハ)に (証 明 終)

  上 の 定 理(ハ)に

よ っ て,次

ア ルq1,…,qnの

の 定 義 を す る:イ

デ ア ルaが

共 通 集 合 と し て 表 わ し得 る と き,そ

な も の を 順 次 取 り去 っ て,余 る 素 イ デ ア ル を,aの

分 の な い 表 現 を した 上 で, 

素 因 子,ま な わ ち,aの

な い も の)を,aの

極 大 素 因 子,ま

素 因 子 で あ っ て,aの

  問.  環Rの

つ い て,上

元xがaを

あ るaの

  定 理2.2.5. 

っ と一

く.

の よ うに 素 因 子 が定 義 され る も の と

節 の定 義 に よ る 極 小 素 因 子 は,こ

し も 成 立 し な い.(ロ)Rの

素 因 子 全体

た は 極 大 付 随 素 イ デ ア ル と よ ぶ.も

書 で は 必 要 な い の で,省

分 条 件 は,xが

と して表 われ 得

他 の素 因子 に は含 まれ

般 の場 合 の 素 因 子 の 定 義 は,本 イ デ ア ルaに

うち か ら,余 分

た は 付 随 素 イ デ ア ル と よ ぶ.aの

の う ち の極 大 元(す

す る.(イ)前

有 限個 の準 素 イ デ

のqiの

こ で の 素 因 子 で あ り,逆

は必 ず

法 とす る零 因 子 で あ る た め の 必 要 充

極 大 素 因 子 の 元 で あ る こ と で あ る.

環Rの

イ デ ア ルaが,準

て 表 わ し得 る も の と す る.こ

素 イ デ ア ル有 限 個 の共 通 部 分 と し

の と き,

  (イ)  適 当 な 準 素 イ デ ア ルq1,…,qα

に よ りa=q1∩

表 現 で あ り,し

で あ る よ うに す る こ とが 出 来 る.こ

か も 

よ う な 表 現a=q1∩   (ロ)  aの

… ∩qα を,aの

… ∩qα が,余

分 の ない の

準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 現 と い う.

準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 現 が 二 つ あ っ た とす る:

  す る と,(ⅰ)α=β

で あ り,(ⅱ)pがaの

極 小 素 因 子 で あ っ て, 

な ら ば,qi=qj′.   証 明.  定 理2.2.4に

2.3.  商   Rが

環 で,Sが

ず,Sが

(証 明 終)

環

によ る 商 環RSが,以 (1)ま

よ り容 易. 

積 閉 部 分 集 合 で あ り, 

と仮 定 す る.こ

の と きRのS

下 に 述 べ る よ う に 定 義 さ れ る. 零 因 子 を 含 ま な い 場 合 に は,Rの

Sの 元 の 逆 元 全 体 とRと

で 生 成 さ れ た 部 分 環がRSで

 と な る こ とに 注 意 せ よ.

全 商 環Q(R)に

お い て,

あ る.Sは

積 閉 ゆ え,

  (2)  Sが

零 因 子 を 含 む 場 合 は,ま

然 準 同 型 φ：R→R/nを   補 題2.3.1.  φRの

ず 

考 え る.す

s∈S,ま

を と り,自

る と:

た,aがRの

非 零 因 子 な ら ば,φs,φaは

いずれ も

非 零 因 子 で あ る.

  証 明. 

こ の と き,st∈Sゆ

b∈n.∴

え,

φb=0.

(証 明終)   した が っ て,φRの

φSに

よ る商 環 が(1)に

と定 め る. 

よ り定 義 され る.そ

と な る.φ

はRか

らRSの

れ を,RS 中への自

然 準 同 型 で あ る.   次 に,Rの

イ デ ア ルaに

よ る 商 環 の 定 義 を し よ う.(書 物 に よ っ て は,剰

類 環 を 商 環 と 称 し て い る 場 合 も あ る が,こ

こ で は,そ

の 意 味 に お け る も の と,

全 く異 な る こ と に注 意 せ よ.)S={x∈R｜(xmoda)がR/aの け ば,Sは

積 閉 集 合 で あ る か ら,上

定 義 され る.こ

れ をRのaに

素 イ デ ア ル の 場 合 で あ り,そ   さ て,一 RSの

た は(2)に

の と き に はSはaの

然 準 同 型 φ:R→RSを

元(φa)/（ φs)が 定 ま る が,こ ア ル で あ る と き,Rの す る.(上

記(1)の

示 す.重

要 な の はaが

の 意 味 で, 

元 と

の と き,TRS

イ デ ア ル を 表 わ す も の と約 束 す る.

考 慮 に 入 れ れ ば,a∈R,s∈Sの の 元 をa/sと

環RSが

元 環 で あ る か ら,Rの

元 に な る.こ

で 生 成 され たRSの

よ っ て,商

略 記 す る.ま

イ デ ア ルa=φ-1(a′)を

得 る が,こ

た,a′

と き,RSの がRSの

イデ

れ もa′ ∩Rの

と略 記

場 合 に は,集 合 と して の 共 通 部 分 で あ る が,(2)の

場 合 に は,

 で あ り,集 合 算 で は な い.)

  問. aがRの   以 下,商

お

補 集 合 で あ る.

般 の 場 合 に か え ろ う.商 環RSはR多

は 

非 零 因 子}と

よ る商 環 と い い,Raで

元 との 積 は 定 義 され,RSの

ま た,自

記(1)ま

余

イ デ ア ル で あ る と き, 

環 の 重 要 な 性 質 を列 記 し よ う.R,S,φ

で あ る. は 上 の 通 り とす る.

  定 理2.3.2.  σsがR′

環 として の 準 同 型

で 逆 元 を も て ば,∃

σ ：R→R′

準 同型

が あ り, 

φ ：RS→R′,σ=ψ

φ.

  証 明.  の 核).し

に つ い て,

ゆ え に,(σ た が っ て,次

の 核)〓(φ

の よ う に ψ を 定 義 す れ ば よ い： 

(証明終)   系.2.3.3. 

aがRの

イ デ ア ル で,a∩S=空

集合

な らば,Rか

らR/a

へ の 自然 準 同 型 σ に よ り,    定 理2.3.4.   証 明.  Rの

a′ がRSの

イ デ ア ル な らば,

代 りに φRを 考 え,R=φRと

仮 定 し て よ い. 

は

明 白. 

(証 明終)  定 理2.3.5.   (イ)  p∩S≠

pがRの

素 イ デ ア ル で あ る と き:

空 集 合 ⇒pRS=qRS=RS,

 (ロ)  p∩S=空 り,さ

素 イ デ ア ル で,qがp準

集 合 ⇒pRSは

素 イ デ ア ル,qRSはpRS準

素 イ デ アル で あ

ら に,pRS∩R=p,qRS∩R=q.

  証 明. 

ゆ え,(イ)を

の 場 合 を 考 え よ う.自 然 準 同 型 φ:R→RSお

よ び そ の 核nを   .ゆ

ゆ え に,φRをRの

得 る.(ロ)

と る.

え に,φqは

か わ り に 考 え る こ と に よ っ て,n=0と

φp準 素.

仮 定 し て よ い.

 ゆ え,a∈p.∴  .逆

の 包 含 関 係 は 明 白 ゆ え,qRS∩R=qを

ル で あ る か ら,pRS∩R=p.し RS), 

た が っ て,特

イ デ ア ル も準 素 イ デ ア

にpRS≠RS.a′b′

と 仮 定 し よ う.a′=a/s,b′=b/t(a,b∈R;s,t∈S)と

み れ ば, 

を 得 る.∴

∈qRS.ゆ n=1で

得 る.素

え に,qRSは よ く,pRSが

準 素 イ デ ア ル,特

の と き,b′n=bn/tn こ の 議 論 を 適 用 す れ ば,

素 イ デ ア ル で あ る こ と を 知 る.  ゆ え に,qRSはpRSに

 

∈

表 わ して

∃n,bn∈q.こ にpRSに

∈qRS(a′,b′

属 す る. (証 明 終)

  系2.3.6. pがRの   pRSが  問.  Rの

素 イ デ ア ル であ る と き, 極 大 イ デ ア ル ⇔pがSに

イ デ ア ルaがSと

 定 理2.3.7.

も し,さ

共 通 な 元 を も た な い な ら ば,aRS≠RS.

q1,…,qnがRの

ら に,q1が

関 す る極 大 イ デ ア ル.

イ デ ア ル で あ れ ば,

準 素 イ デ ア ル で,q1RS≠RS,か

とす る と, 

  証 明.  前 半 の 証:  と表 わ し得 る.  す る と,φa1=…=φan[φ

を分 母 に し て,s1=…=snと

：R→RSは

と は, 

仮 定 し て よ い.

上 で 断 っ た よ う に 自 然 準 同 型].こ

ゆ えに, 

ば,a1=…anの

な らば,

つ 

場 合 に帰 着 さ れ る.こ

の こ

を共 通 分 母 にして書 き直せ

の と き,ai∈qiは

変 っ て い な い か ら,

と な り, 

逆 の包 含 関 係 は 明 白 ゆ え,前 半 が証 明 され た. と仮 定 す る と, 

 後半 の証: 

と な り,仮 定 に 反 す る.    系2.3.8 

上 で,q1…,qnが準

素 イ デ ア ル で あ り,さ

か らRSと

な い表 現 であれ ば, 

(証 明 終) ら に 

が余分 の

一 致 す る成 分 を除 い た ものは,余 分 の

な い 表 現 で あ る.   系2.3.9. 

Rの

零 イ デ ア ル{0}がq1∩

通 部 分 と し て 表 わ され,さ は,φ:R→RSの

ら に,「qi∩S=空

核nはq1∩

  証 明.  0RS=q1RS∩   定 理2.3.10. 

… ∩qrと

… ∩qrRSゆ

S′ がRSの

∃s∈S,x/s∈S′}を

… ∩qnと,準 集 合 ⇔ 

素 イ デ ア ルqiの

共

」 が 成 立 す る場 合

一 致 す る.

え,n=0RS∩R=q1∩

積 閉 集 合, 

と り,S"={xy￨x∈S1,y∈S}と

… ∩qr.  (証 明 終) で あ る と き,S1={x∈R￨ お け ば,S"な

積 閉集合

で あ り,RS"=(RS)S′.   証 明. S1は

積 閉 で あり,し

へ の 自然 準 同 型 を ψ とす る.す

た が っ でS"も る と,ψ φS"の

積 閉 で あ る.RSか 各 元 は(RS)S′

ら(RS)S′ にお い て逆 元

を も ち,さ

ら に(RS)S′

が っ て,RS"か

は,こ

ら(RS)S′

 ψφ の 核n"を

れ ら逆 元 と ψφRと

の上 へ の準 同型

に よ っ て生 成 され る.した

σ が あ る:

考 え よ う.  ゆ え に,ψ φ がRか

へ の 自然 準 同 型 で あ り,σ が 同 型 で あ る こ と を 知 る. 

らRS" (証 明 終)

多 項 式 環 に 関 連 す る商 環 に つ い て つ け加 え よ う.   Rが

環,x1,…,xnがR上

…,xn]に

代 数 的 独 立 元 で あ る と き,多

項 式 環P=R[x1,

お い て, S={f∈P￨fの

を と れ ば,Sは

係 数 で 生 成 した イ デ ア ル=R}

積 閉 集 合 で あ る(定 理2.0.8).ま

零 因 子 は 一 つ も含 ま な い.ゆ …,xn)で

え に,商

た 定 理1.2.3に

標PSはPを

含 む.こ

よ り,Sは のPSをR(x1,

表 わ す.

  定 理2.3.11. 

上 の 記 号 の 下 で,

  (1) aがRの

イ デ ア ル で あ れ ば, R(x)/aR(x)=(R/a)(x),か

  (2)  qがRの

つaR(x)∩R=a.

準 素 イ デ ア ル な ら ば,qR(x)は 

  (3)  a1,…,amがRの

  (4)  m′ がR(x)の

準 素 イ デ アル.

イ デ ア ル で あ れ ば,

極 大 イ デ ア ル⇔ ∃m=(Rの

極 大 イ デ ア ル),m′=mR(x).

  証 明.  (1)∼(3)は 容 易 で あ る.   (4)の 証 明:〓 m′ ∩R[x]の

は 明 白.m′

がR(x)の

元 の 係 数 に な り得 るRの

∈m′∩R[x],aM1がfの

極 大 イ デ ア ル で あ る と仮 定 し よ う. 元 全 体 をmと

項で,bM2がgの  に お け るM1M2の

ac∈mは て,明

明 白 ゆ え,mはRの らか に 

項(M1,M2は

す る.a,b∈m⇒

単 項 式)⇒a+bは

係 数 ⇒a+b∈m.他

イ デ ア ル に な る.m′ ≠R(x)ゆ ゆ え に,mR(x)は

∃f,g

方,c∈R⇒ え,m≠R.さ

極 大 イ デ ア ル で,m′=mR(x).

し た が っ て,mがRの

極 大 イ デ ア ル に な る こ と も わ か る. 

  こ の 節 の 終 り に あ た っ て,商   Mが MSが

環Rの

加 群 の こ と を述 べ よ う.

上 の 加 群 で あ る と き,商

定 義 さ れ る(問 題2.3.1に

環RSと

合MSに,R加 m/sで

同 様 に,次

の よ うな 商 加 群

お け る の と同 様 に扱 う こ とに し よ う).

  積 集 合M×S={(m,s)｜m∈M,s∈S}に

に よ っ て定 義 す る.す

(証 明 終)

関係

る と,∼

∼ を,

は 同 値 関 係 に な る.そ

群 と して の 構 造 を,次

こ で,そ

に よ っ て 定 め る:ま

の同値 類 の集

ず,{m,s)の

類 を

示 す こ と に す る.

  定 理2.3.12. 

で あ る.こ

の 同 型 は, 

に よ っ て得 られ る.   証 明.  ψ が 写 像 で あ る こ と は容 易.ま

た,(イ) 

(ロ)

 で あ る か ら,  次 に,テ

ン サ ー 積 の 一 般 性 質(定 理1.3.1)に

を考 え る と,η

よ り, 

も 写 像 に な る こ とが わ か り,η ψ は恒 等 写 像 に な る.ゆ

は 同 型 を 与 え る.    定 理2.3.13. 

(証 明 終) 商 環RSはR加

群 と し て 平 坦 で あ る.

  証 明.  上 の 定 理 に よ り,MSと  の 部 分 加 群 で あ れ ば,  て 得 られ る.(n,s)が(0,s)と にお け る同値 関係 ち,n,n′ NSは  

∈Nの

自 然 にMSの

え に,ψ

と を同 一 視 し て 考 え る.NがM は,N×Sに

同値 ⇔

∼*は,M×Sに

同 値 関 係∼*を

∃s"∈S,  ns"=0で

同様 に入 れ

あ る か ら,N×S

お け る ∼ の制 限 に な っ て い る[す

と き は,(n,s)∼(n′,s′)⇔(n,s)∼*（n′,s′)].し 部 分 加 群 で あ る.ゆ

え にRSはR平

なわ

た が っ て,

坦 で あ る. (証 明 終)

  2.4.  整   ま ず,素 pか

拡

大

イ デ ア ル の 高 さ の 定 義 を し よ う.環Rの

ら始 ま る 素 イ デ ア ル の 降 鎖p0⊃p1⊃

そ れ をpの

… ⊃prの

高 さ とい う.最 大 が な い と き,pの

  一 般 の イ デ ア ルa(≠R)に

つ い て は,aを

aの 高 さ と定 義 し,ht a(ま

た はheight

素 イ デ ア ルpに 長 さrに

最 大 が あ る と き,

高 さ は 無 限 大 で あ る と い う. 含 む 素 イ デ ア ル の 高 さ の 最 小 を,

a)で 示 す.

  環Rの

素 イ デ ア ル の 高 さ の 上 限(無 限 大 を許 す)を,RのKrull次

い,Krull

dim

  問1. 

Rで

つ い て,

元 とい

示 す.

pが 環Rの

素 イ デ ア ル,Sが

積 閉 部 分 集 合 で,p∩S=空

集合

であ

る と き,

 問2. aが

  さ て,こ   環Rが

環Rの

イ デ ア ル で あ る と き,

の 節 の本 論 に 入 ろ う. 環R′

の 部 分 環 で 単 位 元 を 共 有 す る も の とす る.R′

上 整 で あ る と は,自

然 数nお

c1an-1+…+cn=0と

よ びRの

な る と き,す

と な り得 る と き に い う.R′ 整,ま

た は,R′

  定 理2.4.1. 

はRの Rが

a(∈R′)がR上

元c1,…,cnを

な わ ち,aはR係

の す べ て の 元 がR上

の 元aがR

適 当 に とれ ば,an+ 数 のモ ニ ッ ク多項 式 の根

整 で あ る と き,R′

はR上

整 拡 大 で あ る とい う. 環R′

整 ⇔

の 部 分 環 で 単 位 元 を共 有 す る と き,

環R"で,次

(ⅰ) 

の 三 条 件 を み た す も の が あ る: (ⅱ)a∈R",(ⅲ)R"はR加

群 と

し て 有 限 生 成.   証 明.⇒

の 証:R"=R[a]は

← の 証: 

こ れ を,u1,…,unに cij)(δijはKroneckerの ゆ え に,dR"=0.∴d=0.他

右 辺 の 条 件 を み た す.

と す る. aui∈R"ゆ

え,

つ い て の 斉 次 連 立 一 次 方 程 式 と 考 え れ ば,d=det(δijaδ)に

よ りdui=0(i=1,…,n)を 方,dを

展 開 す れ ば,aに

得 る(補

題2.1.6).

つ い ての モ ニ ック多

項 式 に な る か ら,aがR上   系2.4.2.  元 でSの

整 で あ る こ とが わ か る. 

環Rの

部 分 環Sで

単 位 元 を共 有 す る もの を と っ た と き,Rの

上 に 整 な 元 全 体 の 集 合S′

  こ のS′

をSのRに

(証 明 終)

は 環 に な る.

お け る 整 閉 包 と い う.S=S′

で あ る と き,SはR

の 中 で 整 閉 で あ る とい う.   証 明. S′ ∋a,bを 有 限 加 群,し 元 はS上

と れ ば,S[a]はS上

た が っ て,S[a,b]はS上

整.し

  系2.4.3. 

有 限 加 群.し

た が っ て,a±b,ab等

環R′

が 部 分 環S上

整 で あ れ ば,R"はS上 S′ はR内

有 限 加 群,S[a,b]はS[a]上

はS′

た が っ て,S[a,b]の

の 元 で あ る. 

整 で あ り,環R"が

整 で あ る.し

(証 明 終)

環R′

を 含 み,R′

た が っ て,系2.4.2の

記 号 に お い て,

で 整 閉 で あ る.

  証 明.  R"∋aを 系2.4.2の

と る. 

は

証 明 と同 様,S上

有 限 加 群.し

た が っ て,aはS上

整 で あ る.  

  整 域  Rが と い う.他

そ の 商 体 内 で 整 閉 で あ る と き,Rは 方,環Rの

  補 題2.4.4.  Kの

全 商 環 に お け るRの

(イ) 

一 方 が 体 で あ れ ば,他

が 共 に整 域 で,KはIの 方 も 体 で あ る.(ロ)Rが

整 閉 包 と い う.

上 に整 で あ る とす る.I, 環R′

の 部 分 環,単

整 な ら ば,a-1∈R,す

位元

な わ ち,a

正 則 元.

  証 明.  (イ),Iが cn≠0と

(証 明 終)

整 閉整 域 また は正 規 環 で あ る

整 閉 包 を 単 にRの

は 共 有 の と き,a∈R,a-1∈R′,a-1がR上 はRの

上

体 の 場 合:0≠a∈Kな

し て よ い.す

る と, cn-1∈I.Kの

.∴  体 の 場 合:0≠a∈Iと

ら ば,  商 体 内 で 考 え て,  し た が っ てKは

す る.a-1∈Kゆ

え,a-1はIの   an-1を

し た が っ て,Iは

体 で あ る.(イ),Kが 上 に 整.し

か け れ ば, 

体 で あ る.(ロ):(イ)のKが

体 の 場 合 と同 様.  

  補 題2.4.5. 

環Rが

部 分 環Sの

た が っ て,

上 に 整 で,φ

が,Rか

ら,あ

(証 明 終) る環 の 中

へ の 準 同 型 で あ る と き,φRは

φSの

上 に 整 で あ る.

  証 明. 

(証 明終)   Sが

環Rの

部 分 環 で あ る と き,Rの

に あ る と はb=a∩Sの   定 理2.4.6. 

整 で あ る とす る.Sの

theorem) 

素 イ デ ア ルpを

が(S-p)に

,S*に

共 に 環 で,RはSの

と っ た と き,Rの

イ デ ア ル で あ る.Sの0で

な い 元 全 体 をS*と

す る,Sの

はS上

整 で あ る.Iは

(補 題2.4.4).q≠0と

す る とqK=Kゆ

Σqiαi=1.αis∈Rな

るs∈S*を

S*=S-pと あ る.Sの

ア ル.し

お く.す た が っ て,Kは

pの

環Rが

上 に あ るRの

p1⊂p2で

す る.K=I[R].Rの

元

整 域 ゆ え,Kは

え,∃q1…,qn∈q,∃

と れ ば,s=Σqi(αis)∈q.こ

体 である

α1,…,αn∈K, れ はq∩S*=空

お く.

と考 え られ る.p=p/qと る と,Rの

イ デ ア ル0はS*に

上 にS*の

る と,S*の

元 の 逆 元 全 体 で 生 成 さ れ た 環 をIと

元 はKで

体 で あ る.他

体 で あ る か ら,Iが

部 分 環Sの

正 則 元 ゆ え,0はKの

方,RはS上

し,

極大 イデ

整 で あ る か ら,KはI

体 で あ る(補 題2.4.4).し

た が っ て, (証 明 終)

上 に整 で あ る とす る.(イ)Sの

素 イ デ ア ル は 存 在 す る.(ロ)p1,p2がRの

あ る と き,p1∩S⊂p2∩S.

お き,

関 す る極 大 イ デ ア ル で

な わ ち,p′ ∩S=p. 

  系2.4.7. 

元 の逆 元

関 す る極 大 イ デ ア ル で あ る とす る.p′ ∩S=qと

商 体 内 で,Sの

上 整 で あ る.Kが p=0.す

体,Kは

ゆ え,  お く.す

K=I[R]と

商 体 をIと

お く と,qは

上 にS*の

た が っ て,q′=p′.

  〓 の 証 ：p′がS-pに q∩(S-p)=空

を含 む

と 考 え られ る.

商 体 内 で,Rの

全 体 で 生 成 さ れ た環 をKと 整 ゆ え,KはI上

た が っ て,p′

が あ る. 

関 す る 極 大 イ デ ア ル で あ る.Rの

に反 す る.∴q=0.し

上 に

素 イ デ ア ルp′ がpの

え,p′ ∩(S-p)=空.し

関 す る極 大 イ デ ア ルq′

q=q′/p′ はRの

上

関 す る 極 大 イ デ ア ル.

  証 明.  ⇒ の 証:p′ ∩S=pゆ (S-p)に

イ デ ア ルbの

と き に い う.

(Lying‐over

上 に あ る ⇔p′

イ デ ア ルaがSの

素イデアル 素 イ デ ア ル で,

  証 明 は,前

定 理 に よ り明 白.

  系2.4.8. 

環Rが

部 分 環Sの

上 に 整 で あ る と す る.p1⊂p2⊂

の 素 イ デ ア ル の 昇 鎖 で あ れ ば,Rの

… ⊂pnがS

素 イ デ ア ル の 昇 鎖p′1⊂p′2⊂ … ⊂p′nで,

 と な る も の が あ る.   証 明.  nに

つ い て の 帰 納 法 に よ る.n=1な

た とす る. 

を考 え る と,RはSの

pn/pn-1はSの

素 イ デ ア ル.し

る も の が あ る.p′

のRに

)を

p′∩S=pか

ら知 られ る. 

  系2.4.9. 

とれ ば,p′nは

環Rが

素 イ デ ア ルp′

素 イ デ ア ル で あ る.さ

でpの

と な るRの

部 分 環Sの

dim

イ デア

ら に,p′n∩S=pnは

上 に整 で あ れ ば,

R≧Krull

dim

Sを

示 す.逆

は,系2.4.7

の よ う に し て 示 さ れ る:p′0⊃ … ⊃p′nがRで

の 列 で あ れ ば,(p′0∩S)⊃

上 にあ

(証 明 終)

  証 明.  系2.4.8はKrull よ り,次

た が っ て,Rの

で存 在 し

上 に 整 で,p=

お け る 逆 像p′n(p′n/p′n-1=p′

ル 

の(ロ)に

ら前 系(イ).p′n-1ま

… ⊃(p′n∩S)で,各p′i∩SはSの

の素 イ デ アル 素 イ デ ア ル.  (証 明 終)

  系2.4.8に

お い て,pnの

し た の で は,p′n=p"nと 限 ら な い.し

上 に あ るRの

素 イ デ ア ルp"nを

な る よ う な列p′1⊂ … ⊂p′nは 必 ず し も存 在 す る とは

か し,R,Sが

共 に整 域 で,さ

らにSが

つ もそ の よ うな も の 解 存 在 す る こ と が い え る.そ す る.そ

の た め に,ま

  定 理2.4.10.  体Lは

ず,次

が 整 閉 整 域,RはS上

れ を 証 明 す る の を次 の 目標 に

整,Sの

る と,G=G(L/K)を

商 体K上Rの

商

と れ ば,

己 同 型 全 体 と同 一 視 で き る.

  (ロ)  p1,p2がRの

素 イ デ ア ル で あ る と き,

  こ の よ う なR,Sの

関 係 が あ る と き,RはSの

を そ のGalois群

整 閉 整 域 で あ れ ば,い

の こ と を 証 明 す る.

正 規 拡 大 で あ る とす る.す

  (イ)  GはRのS自

あ らか じめ指 定

と い う.G(R/S)ま

た はAutS

正 規 拡 大 で あ る とい い,G Rで

示 す.さ

らに分 離 的 で

あ れ ばGalois拡

大 と い う.

  証 明.  RはSのLに

お け る 整 閉 包 で あ り,整

は 明 白 ゆ え, 

σ-1を 考 え に 入 れ れ ば,Rσ=R.Lの

の 元 の 比 で か け る か ら,σ,τ のRへ ゆ え,(イ)が

い え る.(ロ)の

は 明 白.〓

る と 

数0な

.し

らe=1,標

す る.Kの

正 規 拡 大Lλ

全 体 をFと

う.Lの

と σλ∈G(Lλ/K)と

の 組(Lλ,σ

あった と

λ)で,(p2∩Lλ)=

とお く と,pi∩Lλ=pi∩Rλ

る と,Fが

元aでL*に

極 大 元(L*,σ*)が

正 規 拡 大L′

代 数 的 閉 包Kの

あ る か ら,そ れ はG(L′/K)の

に よ りF

帰 納 的 集 合 で あ る こ と は 容 易 に わ か る.し あ る.L*≠Lと

入 ら な い も の を と る.aの

含 む 最 小 のSの

で あ

れ ら(Lλ,σ λ)

か つ 

補 題 に よ り,Fに

L′ か らKの

らeはpの

に お け る整 閉 包 で あ る こ と に 注 意 せ よ).こ

に 順 序 を入 れ る.す

はL*の

た

し た が っ てG

す る. 

っ てZornの

数p≠0な

般 の 場 合:p1∩S=p2∩Sで

(p1∩Lλ)σλで あ る も の を 考 え る(Rλ=R∩Lλ はSのLλ

元aで,

純 非 分 離 的.し

た が っ て, 

が 有 限 群 の と き は ⇒ の 証 明 が で き た.一

ずGが

る と, 

し た が っ て,bはK上

る 自 然 数e(標

べ き)が あ る.す

L*(a)を

有 限 個 ゆ え,p2の

に も 入 ら な い も の が あ る(補 題2.0.5).す を と れ ば, 

り,Rλ

の 証 明 を し よう.ま

と す る.{p1σ}は

が っ て,be∈Kな

元 はR

の 制 限 σ￨R,τ￨Rが 互 に 等 し け れ ば,σ=τ

証 明:〓

有 限 群 の と き:  ど のp1σ

な元 の共 役 は整 で ある こ と

たが

して み よ

共 役 の 数 は 有 限 個 ゆ え,

有 限 次 代 数 拡 大 で あ る.σ*は

中 へ の 同 型 に拡 張 で き る が,L′

が正規 拡 大 で

元 に な る.そ れ も 同 じ記 号 σ*で 示 そ う. 

と お く. 

が有 限 ゆ え, 

な る も の が あ る.σ"=σ*σ

け ば,p′2=p′1σ".し

た が っ て,(L′,σ")∈Fと

る.∴L*=Lと

な り,p2=p1σ*. 

  定 理2.4.11. 

Rが

で あ る とす る.Sに 上 に あ るRの

整 域,そ

な り,(L*,σ*)の

極 大 性 に反 す (証 明 終)

の 部 分 環Sが

整 閉 整 域 で,RがSの

お け る 素 イ デ ア ル の 昇 鎖p1⊂p2⊂

素 イ デ ア ルp′nを

とお

固 定 し た と き,Rの

… ⊂pnに

上 に整

対 し で,pnの

素 イ デ ア ル の 昇 鎖p′1⊂

… ⊂p′nで ,p′i∩S=pi(i=1,…,n)な   証 明.  Rを るR′

含 み,Rの

る も の が 存 在 す る.

上 に整 な 整 域R′

の 素 イ デ ア ル に お き か え て,同

通 部 分 を 考 え る こ と に よ っ て,Rに て,RはSの

に つ い て,p′nを,p′nの

じ こ と が い え れ ば,そ

… ⊂p"nでp"i∩S=piな

∃σ∈G(R/S).し

整 域Rが

す る と,Rの

整 で あ り,Sが

つ い て,hta′=ht(a′

=p0⊃p1⊃…

⊃pnがSの

整 閉 整 域 で あ る とす る. ∩S). 素イデア

考 え る こ と に よ り,ht a′≦ht(a′ ∩S).逆 素 イ デ ア ル の列 で あ れ ば,前

ま る 同 じ長 さの 素 イ デ ア ル の 降 鎖 がRで

とれ る.ゆ

なる

(証 明 終)

  証 明.  (イ)a′ が 素 イ デ ア ル の とき:a′=p′0⊃p′1⊃ … ⊃p′nがRの ル の 列 で あ れ ば,p′i∩Sを

たがっ 素イデア

とお け ば よ い. 

部 分 環S上

イ デ ア ルa′ ≠Rに

よ り,Rの

の共

る も の が あ る.p′n=p"nσ

た が っ て,p′i=p"iσ

  系2.4.12. 

れ ら とRと

つ い て も い え る こ と が わ か る.し

正 規 拡 大 で あ る と し て よ い.系2.4.8に

ル の 列p"1⊂p"2⊂

上 にあ

に,a′ ∩S

定 理 に よ り,a′ か ら始 え に,hta′

≧ht(a′ ∩S).

した が っ て,a′ が 素 イ デ ア ル の と き は よ い. (ロ)一

般 に,

他 方,a′ ∩Sを S/(a′∩S)の

含 むSの

素 イ デ ア ルpを

素 イ デ ア ルp/(a′ ∩S)と

の 素 イ デ ア ルp′

の 存 在 を知 る.し

とれ ば,系2.4.7(イ)を,R/a′

に適 用 して,a′

た が っ て,上

を含 みpの

と

上 に あ るR

の 不 等 号 は 実 は 等 号 で あ る. (証 明 終)

  2.5.  素 元 分 解 の 一 意 性   環Rの0で

な い 元pに

あ る とき,pは 環Rに

つ い て,単

お け る 二 元a,bに

(い い か え れ ば,a∈bRの 約 元 で あ る と い う.ま が 整 域 で あ れ ば,こ で あ る,ま

項 イ デ ア ルpRがRの

素 イデ ア ル で

素 元 で あ る と い う.有 理 整 数 環 に お い て は,素 数 は 素 元 で あ る.

た はbはaの

つ い て,a=bcな と き)aはbの

た,こ

の よ う なcが

の 条 件 はaR=bRと

るRの

元cが

倍 元 で あ る と い い,ま

存 在 す る と き, た,bはaの

正 則 元 の う ち か ら え ら べ る とき(R 同 値 で あ る),aとbと

同 伴 元 で あ る とい う.

は互 に同 伴

  Rの

元aに

つ い て,aの

で あ る が,そ

同 伴 元 お よ び 正 則 元 がaの

れ ら以 外 に は 約 元 を も た な い と き,aは

件 を い い 直 せ ば,a=bc(b,c∈R)⇒b,cの あ る.正

約元 で あ る こ とは 当然 既 約 元 で あ る とい う(条

一 方 は 正 則 元).正

則 元 は既 約 元 で

則 元 で な い 既 約 元 を 固 有 既 約 元 と い う.

  定 理2.5.1.    証 明.  pが

整 域 に お い て は,素 整 域Rの

元 は 既 約 元 で あ る.

素 元 で あ る とす る.p=bc(b,c∈R)と

(素 イ デ ア ル)ゆ え,b∈pRま

た はc∈pR.b∈pRと

∴p=pb′c.∴p(1-b′c)=0.Rは

す る.bc∈pR

す る と,b=pb′(b′

∈R).

整 域 ゆ え,1-b′c=0.∴b′c=1.∴cは

正 則 元. 

(証 明 終)

  整 域Rに

お い て,正

則 元 で も0で

し て 表 わ し得 る と き,Rは

も な い 元 が,ど

れ も,素

素 元 分 解 環 で あ る と い い,ま

元 有 限個 の積 と

た,Rに

お い て は素

元 分 解 の 一 意 性 が 成 り立 つ と い う(こ の 後 者 の 言 葉 の 由 来 は 定 理2.5.2に て 知 られ る で あ ろ う).こ

の 場 合 に は,正

よっ

則 元 で な い 既 約 元 は(素 元 の 積 で あ る

か ら)素 元 で あ る.   定 理2.5.2.  件 は,次

整 域Rに

つ い て,Rが

素元 分 解 環 で あ るた め の必 要 充分 条

の 条 件 が 成 立 す る こ と で あ る:(ⅰ)Rの0で

な い 元 は どれ も 既 約 元 有

限 個 の 積 と し て 表 わ す こ とが で き,(ⅱ)a=b1…bn=c1…cm(bi,cjは 有 既 約 元)で

あ れ ば,m=nで

せ ばbiとciと

あ り,さ

が 同 伴 に な る.(も

ら に,c1,…,cnの

どれ も固

番 号 を適 当 につ け直

っ と厳 密 に い え ば,適

当 な{1,2,…,n}の

上 の 置 換 π を とれ ば,   そ して,こ

の と き,固

  証 明.  Rが 明 白.固

有 既 約 元 は 素 元 で あ る.

素 元 分 解 環 で あ る と し よ う.素

有 既 約 元 が 素 元 で あ る こ と は,定

い て の 帰 納 法 で 示 そ う.aが 明 らか.n>1と

し よ う.b1Rが

の う ち 少 な く と も一 つ がb1Rに c1=b1c′1の 伴. 

形 でc1が

元 は 既 約 元 で あ る か ら,(ⅰ)は

理 の 前 で 証 明 した.(ⅱ)を,nに

既 約 で あ れ ば 明 ら か で あ る か ら,n=1の 素 イ デ ア ル で,c1…cm∈b1Rゆ 属 す る.c1∈b1Rと

既 約 ゆ え,c′1は

正 則 元.し

で あ り,c′1c2はc2と

つ とき は

え,c1,…,cm

し て も 一 般 性 を失 わ な い. た が っ て,c1とb1と 同 伴 ゆ え 既 約 元.し

は同 た

が っ て,帰 b2,…,bn全

体 と は,適

に な る.し Rの

納 法 の仮 定 に よ り,n-1=m-1で

あ り,c′1c2,c3,…,cn全

当 な 順 序 に な らべ る と,対

た が っ て(ⅱ)を

得 る.逆

応 す る もの同 士 が 互 に同伴

に,(ⅰ),(ⅱ)が

正 則 で な い 既 約 元 と し,bc∈pRと

成 立 し た と し よ う.pが

す る.bc=pq(q∈R).b,c,qを

ぞ れ 既 約 元 の 積 で 表 わ し て,b=b1…bm,c=c1…cn,q=q1…qtと bmc1…cn=pq1…qt.し

た が っ て,(ⅱ)の

う ち 少 な く と も 一 つ がpと し た が っ て,pRは   問.  整 域Rが

同 伴.し

項 イ デ ア ル がR以   整 域Rか

一 方 がpの

素 元 で あ る. 

素 元 分 解 環 で あ る ⇔Rに

二 元b,cの

す る と,b1…

た が っ て,b,cの

素 イ デ ア ル で あ り,pは

お い て,上

倍 元 で あ っ て,bとcと

は 正 則 元 以 外 に は な い ⇒aはbcの

それ

条 件 に よ り,b1,…,bm,c1,…,cnの

の(ⅱ*)と   (ⅱ*)aが

体 と,

倍 元.(い

倍 元 で あ る. (証 明 終)

の 定 理 の(ⅰ)と

次

が 成 立 す る:

に 共 通 な 約 元(公 約 元 とい う) い か え れ ば,"bR+cRを

含 む単

外 に な い ⇒bR∩cR=bcR".)

ら整 列 集 合Iの

中 へ の 写 像vが,次

在 す る と き,RはEuclid(ユ

の 二 条 件 を み た す よ うに 存

ー ク リ ッ ド)環 で あ る と い う:*)

 (イ)  (ロ)   た と え ば,(1)有

理 整 数 環Zに

上 の 一 変 数 の 多 項 式 環K[X]に

お い て,絶 お い て,次

対 値 を考 え た と き,(2)体Kの 数 を 考 え た と き は,い

条 件 をみ た す か ら,そ

れ ら の 環 はEuclid環

  環Rに

の イ デ ア ル も単 項 で あ る と き,単

い う.さ

お い て,ど

ら に整 域 で あ れ ば,単

  定 理2.5.3. 

Euclid環

項 イ デ ア ル 整 域 の0で   証 明.  RがEuclid環 に はaが

の 例 に な る. 項 イ デ ア ル環 で あ る と

項 イ デ ア ル 整 域 と い う.

⇒ 単 項 イ デ ア ル 整 域 ⇒ 素 元 分 解 環.ま

な い 素 イ デ ア ル で あ れ ば,pは で,aが

ず れ も上 の

た,pが

単

極 大 イ デ ア ル で あ る.

そ の イ デ ア ル で あ る とす る.最 初 の ⇒ の 証 明

単 項 イ デ ア ル で あ る こ と を 示 せ ば よ い.a=0な

ら ば 明 白 ゆ え,a≠0

  *)  多 くの文 献 で は ,さ らに,「aがbの 約 元,b≠0な らば,  」 とい う条 件 を付 加 して い る が,実 用 上,そ の条 件 は不 要 で あ る と思 え るの で,本 書 で は この 条 件 の な い定 義 を採 用 した.

とす る.上

の 定 義 に お け るvを

と り, 

列 集 合 の部 分 集 合 で あ る か ら,Jの な るaの

元aを

と る.aの

な るq,rが ら,r=0で

あ る.r=b-aq∈aゆ

り,m1=p1Rな

定 によ

素 イ デ ア ル で あ る か ら,p1は

素元 で あ

るa1∈Rが

こ の よ うに し て,a=p1p2…pnanな

単項イデアル

存 在 す る(定 理2.0.2).仮

あ る.a1が

上 と同 じ こ と を適 用 し て,a1=p2a2な

得 る.anが

た が っ てRは

元 有 限 個 の 積 と し て 表 わ し得 る こ と を

あ る.m1は

ゆ え,a=p1a1な

最小 元 で あ る こ とか

単 項 イ デ ア ル 整 域 で あ る と仮 定 し よ う.

含 む 極 大 イ デ ア ルm1が る 元p1が

る.  a1に

え にa=aR.し

も正 則 元 で も な い 元aが,素

示 せ ば よ い.aRを

と る. 

え,v(a)がJの

に 後 の ⇒ 証 明 を し よ う.Rが

Rの0で

れは整

最 小 元 が 存 在 す る.そ れ を α と し,v(a)=α

任 意 の 元bを

な くて は な ら ぬ.ゆ

整 域.次

と お く.こ

正 則 元 で な い な ら ば,

る 素 元p2とRの

る 素 元p1,…,pnとRの

い つ か 正 則 元 に な れ ば,証

元a2と

を得 る.

元anと

を順 次

明 は 完 了 し た こ と に な る.ど

のanも

正 則 元 で な い と し よ う.明 らか に,  とお け ば,容 元bが

易 にaはRの

あ る.b∈

っ て 矛 盾.し

∪aiRゆ

た が っ て,あ

と の 証 明 に は,上 a=p1…pn(piは pi∈p.し

で のaと

イ デ ア ル で あ る こ と を 知 る.ゆ え,∃n,b∈anR.す るanは

極 大 イ デ ア ル を生 成)と

た が っ て,pは

…

,Xn]も

Rが

こ で,一

式 とい う概 念 と,二 項 式f(X)が

様 の こ とを考 え る と

る と,p∋p1…pnゆ

え,∃i, (証 明 終)

素 元 分 解 環 で あ れ ば,Rの た が っ て,特

上 のn変

数 の 多 項 式 環R[X1,

に,体Kの

上 のn変

数 の多

素 元 分 解 環 で あ る.

  証 明.  一 変 数 の と き の 証 明 を す れ ば,あ 白 で あ る.そ

後の こ

の 定 理 の 証 明 を 目標 に す る:

素 元 分 解 環 で あ る.し

項 式 環K[X1,…,Xn]も

明 が 完 了 し た.最

生 成 元 を と り,同 な る.す

る とな

極 大. 

  こ の 節 の 残 余 の 部 分 で は,次   定 理2.5.4. 

る と, 

正 則 元 で あ り,証

し て,pの

え にa=bRな

と はnに

つ い て の帰 納 法 に よ り明

変 数 の 多 項 式 環R[X]を

考 え る.そ

つ の 補 題 と を利 用 す る.素

元 分 解 環Rの

原 始 多 項 式 で あ る と は,f(X)の

の た め,原

始多項

上 の一 変 数 の多

係 数 全 体 の公 約 元 が正 則 元 以 外

に は な い と き に い う.   補 題2.5.5. 

Rの

素 元pはR[X]の

  証 明. 

素 元 で も あ る.

に つ い て,そ

な わ ち,係

数 にpで

わ り き れ な い も の が あ る)と と表 わ し,aiの

ち,番

号iの

一 番 小 さ い も の をaα

る.f(X)g(X)に

れ らがpR[X]に

お け るXα+β

ai∈pR, 

う ち,pで

と し,bjに

の 係 数cα+β

属 し な い(す

し よ う.  わ りきれ ない もの の う

つ い て の 同 様 の も の をbβ とす は

 で あ る.i<α

で あ る か ら,  した が っ て, 

ゆ え,

ゆ え に,pはR[X]の

素元

(補題 の証 明終)

で あ る. 

  注 意1.上 2.0.1参

⇒

の 補 題 で は,Rが

素 元 分 解 環 とい う仮 定 は 不 要 で あ る(問 題

照).

  注 意2. 

上 の 補 題 か ら,た

多 項 式 で あ れ ば,そ

だ ち に,次

の 積f(X)g(X)も

の こ と を 知 る:f(X),g(X)が 原 始 多 項 式 で あ る.(証

原始

明 は各 自試 み

よ)   補 題2.5.6.  g(X)と ば,す

Rの

商 体 をKと

す る.R[X]の

に つ い て,f(X)が,K[X]の な わ ち,f(X)=g(X)h(X)な

はR[X]の

元 で あ る.す

元f(X)と,原

始 多 項式

多 項 式 と し て,g(X)で

わ りきれ れ

るh(X)がK[X]の

な わ ち,f(X)はR[X]の

中 に あ れ ば,h(X) 元 と し て,g(X)で

わ

り き れ る.   証 明.  h(X)の

係 数 の 共 通 分 母dを

考 え よ う.dh(X)∈R[X],dh(X)の

係 数 の 公 約 元 を く く り出 し て,dh(X)=eh′(X),h′(X)は 形 に し て お く.dとeと df(X)=eg(X)h′(X).dの R[X]で

に は共 通 素 因 子 が な い よ う に,約 素 因 子pが

れ は 矛 盾 で あ る.し

し て お く.す

る と,

あ れ ば,eg(X)h′(X)∈pR[X].pは

も素 元 で あ る か ら,e,g(X),h′(X)の

は な らず,こ

原 始 多 項 式,e∈Rの

た が っ て,dは

どれ か がpで

わ りきれ な くて

正 則 元 で あ り,h(X)∈R[X].

 (補題 の証 明 終)   系2.5.7. 

R[X]の

原 始 多 項 式p(X)は,そ

れ がK[X](KはRの

商

体)の

多 項 式 と し て 素 元 で あ れ ば,R[X]の

多 項 式 と し て 素 元 で あ る.

  証 明.  h(X),g(X)∈R[X],h(X)g(X)∈p(X)R[X]と はp(X)は

素 元 ゆ え,h(X),g(X)の

り き れ る.p(X)は

す る.K[X]で

一 方 はK[X]の

原 始 多 項 式 ゆ え,R[X]の

元 と し て,p(X)で

元 と し て も わ り き れ る.

 

(系 の 証 明 終)

  さ て,定

理2.5.4の

証 明 に 帰 ろ う.Rの

さ て,R[X]の0で

な い 任 意 の 元f(X)を

原 始 多 項 式,a∈Rの

形 に す る.補

し て 表 わ し得 る.次

にf1(X)を

商 体 をKと

自身 素 元 で あ る.r>1の

す る の は 上 と同 様.

と る.f(X)=af1(X),f1(X)は

題2.5.5に

よ り,aは

有 限個 の素 元 の積 と

考 え よ う.f1(X)をK[X]の

元 の 積 に 分 解 す る:f1(X)=p1(X)…pr(X).r=1な

元 と し て,素

ら,系2.5.7に

よ り,f1(X)

と き を 考 え よ う.p1(X),…,pr-1(X)に

ら の 係 数 の 共 通 分 母 をdiと

つ い て,そ

らに,そ

れ ら の 係 数 の 共 通 因 子 を く く り出 し て,pr(X)に

p1(X),…,pr-1(X)は り,f1(X)は

原 始 多 項 式 で あ る と し て よ い.す

順 次p1(X),…,pr-1(X)で

pr(X)∈R[X].f1(X)は 系2.5.7に

原 始 多 項 式.し

よ

た が っ て, た が っ て,

積 で あ る.  (証 明 終)

上 の 多項 式 環R[X1,…,Xn]に

おい て,

項 式 環 の 素 イ デ アル であ る.も っ と一

イ デ アル であ る と き,

  2.  Sが,環Rの

積 閉 部 分 集 合 で, 

φ の 核 をnと

す る.qが

で あ る と き,Rか

準 素 イ デ ア ル で,q∩S=空

ら商 環RSへ

な ら ば,q⊇nで

示 せ.

問   1.  環Rの

題2.5.6に

題2.0.

素 イデ アル で あ る とき,Rの

pで 生 成 され た イ デ ア ルpR[X1,…,Xn]は,多 般 に,aがRの

か け 直 す こ と に よ り, る と,補

素 元p1(X),…,pr(X)の

問   1.  pが 環Rの

し て よ い.さ

わ り き れ る こ と を 知 る.し

原 始 多 項 式 ゆ え,pr(X)も

よ り,f1(X)も

れ

し, 

な る分 解 に お き か え る こ と に よ り,p1(X),…pr-1(X)∈R[X]と

同型

わ

上 のn変

題2.2.

数 の 多 項 式 環P=R[X1,…,Xn,]に

お い て,

の 自然 準 あ る こ とを

 (イ)  qがRのp準

素 イ デ ア ル ⇒qPはpP準

  (ロ)  f∈Pに

対 し,Inh(f)はfの

と,f,g∈Pに

素 イ デ ア ル.

係 数 全 体 で 生 成 し た イ デ ア ル を示 す こ と に す る

対 し,

  2.  φ:R→R′

が 環 と し て の 準 同 型 で あ る も の とす る.こ

  (イ)  q′ がR′

の 準 素 イ デ ア ル な ら ば, 

で あ る.も

しq′ が 素 イ デ ア ル で あ れ ば,qも

  (ロ)  qがRの

は準 素 イ デ アル 素 イ デ ア ル で あ る.

準 素 イ デ ア ル(ま た は 素 イ デ ア ル)で あ っ て も,φqは

あ る と は 限 らな い.(例 qに

の と き,

つ い て は,qが

示 せ よ.)次 に,φR=R′

準 素 イ デ ア ル(ま

で あ れ ば,φ

た は 素 イ デ ア ル)で

準 素 イ デ アル で

の 核 を含 む よ うな イ デ ア ル

あ る こ と と,φqが

そ うで あ る

こ と と が 同 値 で あ る こ と を示 せ.   3.  pが

環Rの

素 イ デ ア ル,qがp準

素 イ デ ア ル で, 

で あ れ ば,q:aは

p準 素 イ デ ア ル で あ る.

問

  1.  環Rの

積 閉部 分 集合Sに

題2.3.

よ る商 環RSは,次

の よ うに定 義 して も よい こ と を確

か め よ.   まず,積 集 合R×S={(r,s)￨r∈R,s∈S}に,次

の同 値 関係 ∼ を定 義 す る:

 この 同 値 関係 に よる 同値 類 の集 合Q=R×S/∼

にお い て,(r,s)の

類 をr/sで 示 し,

さ らに,次 の算 法 を導 入 す る.

  す る と,Qは RSと

環 に な る. 

を 自 然 準 同 型 と定 義 し て,さ

ら に,Qを

商環

定 め る.

  2.  Rが

環,SiがRの

ら に,Rの

積 閉 部 分 集 合(iは

ど の 極 大 イ デ ア ルmを

あ る集 合Iを

動 く), 

と っ て も,∃Si,Si∩m=空

集 合,の

,さ 成 立 す る もの と

す る.   MがR加

群 で, 

  [ヒ ン ト:各RSiが

が 成 立 す れ ば,M=0. 平 坦 で あ る こ と を 使 っ て,Mに

つ い て の 仮 定 か ら, 

を 得 る こ と に注 意 せ よ.]

問   1.  aがRの

イ デ ア ル,Sが

の と き,htaとht(aRS)と   2.  Rが

環R′

題2.4.

積 閉 部 分 集 合 で,a∩S=空

集合

で あ る も の と す る.こ

の 関 係 に つ き 論 ぜ よ.

の 部 分 環 で あ り,aがRの

イ デ ア ル で あ る と き,次

の 定 義 を す る.

b∈R′

がaの

上 に 整 で あ る と は,「

∃n(自

の 成 立 す る と き に い う.あ

然 数), 

る加 群bがaの

上 に 整 と は,bの

各 元 がaの

上 に 整 で あ る と き に い う.  (イ)R′

の 元bがaの

か つ, 

上 に整  (自 然 数)bρc=0.

  (ロ)  RとR′

と の 中 間 環R"の

の 上 に 整 で あ れ ば,cはaの   (ハ)  aのR′ 定 義 す る.R′   3.  環R′ R(x)の

イ デ ア ルbがaの

に お け る 整 閉 包aと に お け るRの が 部 分 環Rの

上 に整 で あ り,R′

の 元cがb

上 に 整 で あ る. は,R′

整 閉 包 をRと

の 元 でaの

上 に 整 で あ る もの 全 体 と し て

す れ ば,aはRの

上 に 整 で あ り,xが

イ デ ア ル に な る.

不 定 元(変

数)で

あ る と き,R′(x)は

上 に 整 で あ る こ と を示 せ.

問

  1.  有 理 整 数 環Zの 素 数 な らば,pZは

素 イ デ アル は{0}ま

題2.5.

たはpZ(pは

極大 イ デ アル で あ っ て,Z/pZはp個

  2.  単項 イ デ アル整 域 にお い て は,0以

素数)の 形 で あ る.逆 に,pが の元 か ら成 る体 で あ る.

外 の元 を含 む素 イ デア ル は,極 大 イ デ アル で

あ る.   3.  A,Bが こ とを示 せ.次

単 項 イ デ アル環 で あ る と き,そ の 直和 

も単 項 イ デ アル環 で あ る

に,そ の応 用 とし て,前 問 の単項 イ デ アル整 域 を,単 項 イデ アル環 に 変

えれ ば,反 例 の あ る こ とを示 せ.   4.  整 域Rが 素 元 分 解 環 で あ るた め の必 要 充分 条 件 は,(イ)Rに おい て,単 項 イ デ アル につ い て の極 大 条 件 が 成立 し,(ロ)R以 外 の単 項 イ デ アルは 高 さ1の 素 イ デ アル に 含 まれ,さ

らに,(ハ)高

さ1の 素 イ デ ア ルは 単項 で ある とい う三条 件 をみ たす こ と

で あ る.   5.  素 元 分 解環 は正 規 環 で あ る.

第3章

  Noether環,付

値 環 お よ びDedekind環

  3.0.  Noether環   Rが

環 で,MがR加

群 で あ り,Mが

部 分 加 群(R部

つ い て極 大 条 件 をみ た す と き,MはNoether加 い う こ と を は っ き り示 す と き に は,Noether 加 群 と い う表 現 を す る.環RがR加 はNoether環

R加

群 と か,Rの

群 と し てNoether加

群 と

上 のNoether 群 で あ る と き,R

で あ る とい う.

  定 理3.0.1.  条 件 は,Mの

分 加 群 を意 味 す る)に

群 で あ る と い う.R加

環Rの

上 の 加 群MがNoether加

群 で あ るた め の必 要 充 分

任 意 の 部 分 加 群 が 有 限 個 の 元 で 生 成 され る こ とで あ る.し

っ て 特 に,環RがNoether環

⇔Rの

たが

任 意 のイ デ アル が 有 限 個 の元 で生成

さ れ る.   証 明.  ま ずMがNoether加 Nに

含 ま れ て,有

大 条 件 に よ り,Fの ば, 

群 で あ る と し,Nは

中 に 極 大 な も の が あ る.そ

を と り,N1=N0+nRと

が っ て,N=N0∈F.ゆ

え にNは

れ をN0と

す れ ば,N0の

あ るか ら,昇 鎖 律 の成 立 を示 す.

直 し て,ai∈Nsな

るn(i)を

る 一 定 数sを

極 大 性 に 反 す る.し

た

大 条 件 と,昇

に,Mの

任意

鎖 律 とは 同値 で

れ は 仮 定 に よ り有 限 個 の 元a1,…,at 各iに

つ い て と り,大

と る と, 

っ て 昇 鎖 律 が 成 立 し,定 理 の 証 明 が 完 了 した.    問.  aがNoether環Rの

ら

 な る部 分 加 群 の列 が あ

は 部 分 加 群 で あ る.こ

で 生 成 さ れ る.ai∈Nn(i)な

す る.極

す る.N≠N0な

有 限 個 の 元 で 生 成 さ れ る.逆

の 部 分 加 群 が 有 限 個 の 元 で 生 成 さ れ た と す る.極

れ ば, 

そ の 部 分 加 群 と す る.

限 個 の 元 で 生 成 され る 部 分 加 群 全 体 の 集 合 をFと

イ デ ア ル(a≠R)な

き い もの に と り

と な り,Ns=N*.し

たが (証 明 終)

ら ば,R/aもNoether環

で あ る.   定 理3.0.2. 

RがNoether環

で あ れ ば,R加

MがNoether加

群Mに

群 ⇔Mは

つ い て,

有 限 生 成.

  証 明.  ⇒ は 前 定 理 の 特 別 な 場 合 で あ る ．〓 の 証 明 を し よ う.Mの a1,…,arを

と る.rに

た が っ て,Mの a1aで

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.r=1の

部 分 加 群Nに

あ り,aはRの

の 元b1,…,btで (注意:R加

生 成 され,し

で生成 され た部分 加 群 

て,Mの

と き を考 え よ う.Mの

はNoether加 部 分 加 群Nに

こ れ は 有 限 加 群 で あ る(M1がNoether加

ciに

次に 群 で あ る と仮 定 し お く.

生 成 元c1,…,csを

な る形 のNの でNが

元niを

と る.各

と る.N1の

生成

生 成 さ れ る こ と を い え ば よ い.N∋nを

と

ゆ え, 

る. 

し た が っ て,証   定 理3.0.3. 

(Hilbertの

成 され た環 はNoether環   証 明.  一 個 の 元xで 易 ゆ え,R[x]を

明 が 完 了 し た. 

た が っ て,bは

(証 明 終)

基 底 定 理)Noether環Rの

上 に有 限個 の 元 で生

で あ る. 生 成 され た環R[x]に

考 え る.R[x]の

イ デ ア ルaを とお く.す

有 限 個 の 元b1,…,brで

aiで 

つ い て 証 睨 す れ ば,あ

は 有 限R加

理 に よ り,a′

はR加

f1,…,fs,a1,…,arがaの

最 大 をmと

とは 容

と る.b={c∈R￨∃n, 

る とbはRの 生 成 さ れ る.各biに

イ デ ア ル で あ る.し 対 し て,aの

の 形 の も の を一 つ ず つ と る.こ

て く る πi(i=1,…,r)の お く.a′

生 成 さ れ る.

対 し て,N1=M1∩Nと

イ デ ア ル で あ る.aの

れ らn1,…,nsと

有 限個

群 だ か ら). 

対 し て, 

元 と,こ

で あ る か ら,aは

た だ し 

r-1個

れ はRの

と る と,N=

た が っ て,Nはa1b1,…,a1btで

群 と し て は, 

と お く.こ

と き:M=a1R.し

対 し て,a={x∈R￨a1x∈N}を

イ デ ア ル.RがNoether環

生成元

元

こ にで

す る. 

群R+Rx+…+Rxm-1の 群 と し て 有 限 生 成.そ

と 部 分 加 群 に な る か ら,前 の 生 成 元 をf1,…,fsと

生 成 元 で あ る こ と を示 そ う.a∈aを

定

す る. と る.a=

をnに 納 法 で 示 そ う.n<mな n≧mと

ら ば,a∈a′

し,n-1次

ゆ え,fiの

つ い て の帰

一 次 結 合 で か け る か ら正 し い.

以 下 の も の に つ い て は 正 しか っ た と す る.c0∈b.し

っ て, 

と お け ば,a*∈aで

に つ い て,nよ

り 小 さ い 次 数 で 表 わ し 得 る.し

たが あ り,x

た が っ て, 

ゆ え に 

し た が っ て 

(証明終)   次 にCohenの

定 理 と よ ば れ る,Noether環

う.そ の た め に,ま   補 題3.0.4. 

の 一 つ の 特 徴 づ け を証 明 し よ

ず 次 の 補 題 を示 す:

aが 環Rの

イ デ ア ル で,b∈Rと

が有 限 生 成 イ デ ア ル で あ れ ば,aも   証 明. 

a1,…,an∈aで,し

…,anを

と る.ま

か

す る.a+bR,a:bの

有 限 生 成 で あ る. で あ る よ うな 元a1,

も 

た, 

と な る よ う な 元c1,…,cmを

は 明 白 で あ る.x∈aな

と お く. 

と る. 

らば,x∈a+bRゆ

と な る よ う なy1,…,yn,z(∈R)が

え., 

双方

あ る. 

ゆ え, 

す る と, 

(証 明終)   定 理3.0.5.(Cohenの 条 件 は,Rの

定 理)環RがNoether環

す べ て の 素 イ デ ア ル が 有 限 生 成 で あ る こ と で あ る.

  証 明.  必 要 条 件 で あ る とい う こ と は,定 で あ る.逆

を 証 明 し よ う.Rの

に,RがNoether環 Fと す る.仮 Fの

Fは

限 生 成 で な いRの

空 集 合 で は な い.{Nλ￨λ

λi∈Λ,ai∈Nλi.す

(∀i).∴Nμ=∪Nλ.こ 帰 納 的 で あ る.し

素 イ デ ア ル で は な い.∴

最 後 の 部 分 に よ り明 白

す べ て の 素 イ デ ア ル が 有 限 生 成 で あ っ て,さ

で な い と し よ う.有 定 に よ りFは

理3.0.1の

整 列 部 分 集 合 で あ る も の と し よ う.ＵNλ

さ れ れ ば,∃

で あ るた めの必 要充 分

れ はNμ

∈Λ}が,包

イ デ ア ル全 体 を 含 関係 に よる

が 有 限 個 の 元a1,…,anで

る と,μ=max{λ1,…,λn}に

よ り,Nμ

∈Fに

∈F.ゆ

た が っ て,Fに

反 す る.ゆ は 極 大 元Nが

∃a,b∈R,ab∈N, 

え に,∪Nλ あ る.仮 .す

ら

生成 ∋ai え に,

定 に よ りNは る と,N+aR,

N:aRはNよ

り本 当 に 大 き く な り,Nの

有 限 生 成 で あ る.ゆ

え に,補

題3.0.4に

極 大 性 に よ りN+aR,N:aRは よ り,Nも

有 限 生 成 に な り,N∈F

に 反 す る. 

(証 明 終)

  次 の 定 理 は,イ

デ ア ル に よ っ て 位 相 を考 え る場 合 に,重

  定 理3.0.6.(Artin-Reesの の 加 群 で,N,N′ な 自然 数rに

がMの

補 題)MがNoether環Rの 部 分 加 群 で,aがRの

 はNoether環 定 元(変 数)x1,…,xsを xs)∈R[x1,…,xs]で 体 をSnと

有 限 生 成 で あ る.す

理3.0.3に

対 し,n次

イ より

と り,不

斉 次 式f(x1,…, と な る よ う なf(x1,

す る. 

と お き,Sで

生 成 さ れ たR[x1,…,xs]

な わ ち,Sの

次 数 をdiと

で あ る(定 理3.0.3) 適 当 な 元f1,…,fα

し,そ れ らの 最 大 をrと

と仮 定 し よ う.  n次

(n-di)次

自然 数nに

す る.R[x1,…,xs]はNoether環

生 成 され る.各fiの c∈anN∩N′

考 え る.各

がRの

生 成 元a1,…,asを

あ っ て, 

の イ デ ア ル をBと か ら,Bは

有 限 生 成 ゆ え,定

に な る こ と に 注 意).aの

当

自然 数):

最 後 で述 べ た 「イ デ ア ル 化 の 原 理 」 に よ り,Ｍ

デ ア ル で あ る も の と 仮 定 し て よ い(Mが

… ,xs)全

上 の有 限生成 イ デ ア ル で あ る と き,適

よ り,次 の 等 式 が 成 立 す る(た だ し,nは

  証 明.  §1.1の

要 な 役 割 を す る:

f∈Sゆ

に よ りBが

す る. 

かつ

え, 

の 項 だ け に 着 目 し て も 等 式 が 得 られ る か ら,giは

斉 次 式 で あ る と仮 定 し て よ い.す

逆 の 包 含 関 係 は 明 白 ゆ え,こ

る と, 

の 定 理 の 証 明 が 完 了 し た.   (証 明 終)

  上 の 定 理 の 応 用 と し て 得 られ る 若 干 の 定 理 を示 そ う.そ れ らは,イ

デ ア ルの

べ き で 位 相 を入 れ た と き の 扱 い に し ば し ば 重 要 な 役 割 をす る.   定 理3.0.7.(Krullの

共 通 部 分 定 理)MがNoether環Rの

成 加 群 で あ り,aがRの

イ デ ア ル で あ る と き,

上 の有 限 生

  し た が っ て,特

に, 

な ら ばxはMに

関す る零 因

子 で は な い.   証 明.  証 明 す べ き 等 式 の 右 辺 をNで xm=0.す

表 わ そ う.m∈N⇒

る と, 

∃x,x-1∈a,

ゆ え に 

し よ う. 

とお く と,前

逆の証明 を

定 理 に よ り, 

と な る か ら,N′=aN′

を 得 る.す

る と, 

は 系2.1.7の

証 明 と 同 様 に し て 知 ら れ る.    定 理3.0.8. 

(証 明 終)

MがNoether環Rの

イ デ ア ル で,xがRの

上 の 有 限 生 成 加 群 で あ り,aがRの

元 で あ る と き,適

い 任 意 の 自 然 数nに

当 な 自然 数rを

と れ ば,rよ

り大 き

対 し て,

  証 明.  す る と    系3.0.9.  rを

上 の 記 号 の 下 で,NがMの

と れ ば,よ

bの

対 し て 適 用 す れ ば よ い. 

環Rの

イ デ ア ルaが

べ き零 で あ る.特

根 基 

は,bを

の 場 合 に は,任

生 成 元 で,aidi=0で

つ い て,a1,…,asのd次

b1,…,bsが

つ い て,R/biはNoether環

  証 明.  sに

意 のイ デ ア ル

あ る と す れ ば,d>Σ(di-1)

以 上 の 単 項 式 に お け るaiの

上 に な る .∴ad=0.後

半 は,R/bの

に前半 を適 用 す れ ば よい. 

  補 題3.0.11. 

各iに

ら に つ け加 え よ う.

法 と し て べ き零 で あ る.

d′iの う ち 少 な く と も一 つ はdi以

ル 

(証 明 終)

有 限 個 の べ き零 元 で 生 成 さ れ る な ら

に,RがNoether環

  証 明.  a1,…,asがaの な る 自 然 数dに

当 な 自然 数

対 し,

に つ い て の 基 礎 的 結 果 の 若 干 を,さ

  補 題3.0.10.  ば,aは

部 分 加 群 で あ れ ば,適

り大 き い 任 意 の 自 然 数nに

  証 明.  前 定 理 を,M/Nに   Noether環

(証 明終)

環Rの

次数 イデ ア

(証明終) イ デ ア ル で あ っ て,(イ) 

で あ る な ら ば,RもNoether環

つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す れ ば,s=2の

(ロ)

で あ る.

とき に証 明 す れ ば 充分 で

あ る こ と が 容 易 に わ か る.そ

こ でs=2と

仮 定 す る.b1∩b2=0ゆ

した が っ て,  b2と

こ のb1+b2はb1と

の 直 和 で あ る か ら, 

して,b2も

す な わ ち,b1は

有 限 生 成 で あ る.さ

ゆ え,∃i(1ま

え, 

た は2) 

て,pがRの

.す

り,RはNoether環

お い てp/biが

有 限 生 成 で あ る.ゆ

有 限 生 成 で あ る.

え にCohenの

で あ る. 

  定 理3.0.12. 

定理 によ (証 明 終)

RがNoether環

環RSもNoether環

様 に

素 イ デ ア ル が あ れ ば,b1b2=0

る と,R/biに

biも 有 限 生 成 で あ っ た か ら,pも

有 限 生 成 で あ る.同

で,Sが

積 閉 部 分 集 合, 

な ら ば,商

で あ る.

  証 明.  定 理2.3.4に

よ り明 白. 

(証 明 終)

  3.1.  準 素 イ デ ア ル 分 解   Noether環

の イ デ ア ル が,有

る と い う事 実 は,Noether環 で あ り,E.Noetherに

の イ デ ア ル を扱 う上 で,一

つ の大 変基 本 的 な こ と

よ っ て 与 え ら れ た 結 果 で あ る.こ

の 証 明 を 主 目 的 と し よ う.な 身 は0個

限 個 の 準 素 イ デ ア ル の 共 通 部 分 と し て 表 わ し得

お,便

の 節 で は,そ

の結 果

宜 上(集 合 論 に お け る 扱 い に 従 っ て),環

自

の 準 素 イ デ ア ル の 共 通 部 分 と考 え る.

  環Rの

イ デ ア ルaが

ま た はa=c」   定 理3.1.1. 

既 約 で あ る とは,「b,cが

の 成 立 す る と き に い う.す Noether環Rの

る と,次

イ デ ア ル で,a=b∩c⇒a=b の こ とが 成 立 す る:

イ デ ア ルq(≠R)が

既 約 で あ れ ば,qは

準

素 イ デ ア ル で あ る.   証 明.  qが

準 素 イ デ ア ル で な い と す る.ab∈q, 

の 二 元a,bが

あ る.bn=q:bnR(n=1,2,…)と

ゆ え, 

.ゆ

えに

bN=bN+1.a=q+aR,b=q+bNRと 証 明 が 完 了 す る.  qi+ar1=q2+bNr2(qi∈q,ri∈R)と ゆ え, 

な るR お く.

  RはNoether環 お く.a≠q,b≠qゆ は 明 白. 

で あ る か ら,∃N, え,α ∩b=qを

を 示 そ う.c∈a∩bと

表 わ せ る.bc=q1b+abr1ゆ

示 せ ば, す る.c=

えbc∈q.他

方, ゆえに

(証 明終)

a∩b=q. 

  注 意.  上 の 定 理 の 逆 は 成 立 し な い.例 の 極 大 イ デ ア ル で あ っ て,mの て,ど

のaiも

上 のn変

え ば,mがNoether環Rの

生 成 系a1,…,an(n≧2)が

省 き 得 な い 場 合 を考 え て み よ う.(そ

数 の 多 項 式 環K[X1,…,Xn]の

既 約 で は な い.(証

成系 とし

の よ うな 例 に は,体Kの

極 大 イ デ ア ル 

に よ る 商 環 が あ る.)こ の と き,m2は

と な り,m2は

唯一 つ あ り,生

準 素 イ デ ア ル で あ る が,例

え ば,

明 は 各 自 試 み よ.)

  こ の 節 の 初 め に 述 べ た 結 果 だ け を 証 明 し よ う とす る な ら ば,上

記 定 理 と次 の

定 理 との 両 方 で 充 分 で あ る.   定 理3.1.2. 

Noether環Rの

任 意 の イ デ ア ル は,有

限個 の既 約 イ デ アル

の 共 通 部 分 と し て 表 わ し得 る.   証 明.  Rに

は 有 限 個 の 既 約 イ デ ア ル の 共 通 部 分 と し て は 表 わ し得 な い イ デ

ア ル が あ っ た と し よ う.そ Noether環

の よ うなRの

で あ る か ら,Fの

ア ル で は な い.ゆ ょ り, 

イ デ ア ル 全 体 をFと

極 大 元aが

え に,∃b,c(イ

存 在 す る.aは

仮 定 に よ り既 約 イ デ

デ ア ル),a=b∩c,a⊂b,a⊂c.aの

ゆ え に, 

うふ う に 表 わ し得 る.す

極大性 に は 全 部 既 約,と

る と, 

反

(証 明 終) 素 イ デ ア ル 分 解 の 可 能 な こ と が わ か れ ば,§2.2で

に 定 理2.2.5)に

よ り,余 分 の な い 表 現,あ

在 が わ か り,素 る.極

い

と な り,a∈Fに

す る.    さ て,準

す る.Rは

因 子 の 一 意 性,極

証 明 し た こ と(特

る い は も っ と強 く,最 短 表 現 の 存

小 素 因 子 に 属 す る準 素 成 分 の 一 意 性 な ど を 知

小 素 因 子 で な い 素 因 子 に 属 す る(最 短 表 現 に お け る)準 素 成 分 は,一

で は な い.一

つ の 素 イ デ ア ルpを

共 通 部 分 が,pに

定 め た と き,そ

れ に含 まれ る準 素成 分 全 部 の

よ っ て 定 ま る こ と は 定 理2.2.4の(ロ)で

こ と も,想 起 し て お くべ き で あ ろ う.ま

た,定

意的

理2.2.5の

示 した通 りで あ る 直 前 の 問 に よ り,次

の こ と の 成 立 す る こ と も想 起 した い.   定 理3.1.3. 

aがNoether環Rの

イ デ ア ル で あ る と き,aの

全 体 をp1,…,pα

と す れ ば,{x∈R￨(xmada)はR/aの

非 零 因 子}

極大素因子

  こ こ で,次

数 付 き環 の 場 合 に つ い て ふ れ よ う.次 数 付 き 環 の 「次 数 」 の 概 念

に は い ろ い ろ 一 般 な も の が あ る が,本 は0お

書 で は,一

番 基 本 的 な場 合 と し て,次

よ び 自然 数 全 体 の と き に 限 定 し よ う.環Rに,次

与 え られ た と き,R=ΣRiは

ま た,そ

の よ うな直 和 分解 が

次 数 付 き 環 で あ る とい い,各Rα

斉 次 元 で あ る とい う.(斉 次 元fの

次 数 を 示 す に はdeg

の よ う な 直 和 分 解 を与 え る こ と を,次

数

fな

の元 を α次 の る 記 号 を用 い る.)

数 を 付 け る と い う.

(加群 と して の直 和)

  こ の条 件 は,R0が に 注 意 せ よ.x∈Rの

環 で あ っ て,RiはR0加

群 で あ る こ と を示 し て い る こ と

と き, 

と な る よ う なxiはxのi次

部

分 と呼 ば れ る.   環 と し て 同 一 で あ っ て も,次 次 数 付 き 環 と し て は,別 い 環Rに

数 の つ け 方(上

の 環 で あ る と考 え る の は 当 然 で あ る.次

対 し,R0=R,R1=R2=…=0と

が で き る.こ

の よ うな 直 和 分 解)が 異 な れ ば,

し て,次

の よ うな 次 数 付 け を,自

数 付 き環 で な

数 付 き環 を定 義 す る こ と

明 な 次 数 付 け とい う.

  自 明 で な い 次 数 付 け の 簡 単 な 例 に は,多

項 式 環 に お い て,通

常 の 次数 で斉 次

元 を考 え た 場 合 が あ る.

が次 数 付 き環 であ る とき,R加

Mの

直和分解 

き に い う.こ

が 与 え られ,さ

の と き,Mα

の 元 に 対 し,i次

が 

部 分 はRの

群Mが

次 数 付 き加 群 で あ る とは, の成 立 す る と

ら に, 

の 元 は α 次 斉 次 元 で あ る とい わ れ る.こ

の と き,M

元 の と き と 同 様 に 定 義 さ れ る.Mの

部 分 加 群N

と一 致 す る とき,NはMの

き 部 分 加 群 で あ る と い わ れ る.(こ れ は,Rの

斉 次部 分 加 群,ま た は,次 数 付 イ デ ア ル に つ い て も適 用 さ れ,斉

次 イ デ ア ル が 定 義 さ れ る.)次 の こ と は 明 白 で あ る.   補 題3.1.4. 

上 の よ うなMの

必 要 充 分 条 件 は,Nの   さ て,Noether環   定 理3.1.5. 

部 分 加 群Nが

斉 次 部 分加 群 で あ る た めの

斉 次 元 で 生 成 され る こ と で あ る. に 関 し て は,次

の結 果 は 基 礎 的 で あ る.

が 次 数 付 き環 で あ る と き,

RがNoether環

⇔R0がNoether環

で あ っ て,RはR0上

有 限 個 の斉

次 元 で 生 成 さ れ る.そ の よ う な 生 成 元 と し て は, 

をイ デ アル と して生成 す る斉 次元 を とれ ば よい.   証 明. 〓

は定 理3.0.3に

ば,aR∩R0=aで

よ り明 白.⇒

あ る か ら,R0の を 得 る.ゆ

え に,R0はNoether環

が あ れ ば,

をイ デ

と る. 

を,α

と き は 明 白 ゆ え,α>0の x,bi共

につ

と き を 考 え よ う.  に 斉 次 元 ゆ え,yiを

次部 分 にお きか えて も等 号 が成 立 す るか ら,yiが

元 で あ る と仮 定 し て よ い.す よ

…

で あ る. 

とす る と, 

yiの 

イ デア ル な ら

イ デ ア ル の 昇 鎖a0⊂a1⊂a2⊂

ア ル と し て 生 成 す る 斉 次 元b1,…,bsを い て の 帰 納 法 で 示 そ う.a=0の

の 証 明:aがR0の

る と,deg

yi<deg

x=α

ゆ え,帰

納 法 の仮 定 に

(証明 終)

り,yi∈R0[b1,…,bs]. 

 さ て,準

素 イ デ ア ル 分 解 に つ い て は,次

  定 理3.1.6. 

斉次

Rが

の 定 理 が成 立 す る.

次 数 付 き環 で,aがRの

る.こ の と き,RがNoether環

斉 次 イ デ ア ル で あ る も の とす

で あ れ ば,次

 (1)  有 限 個 の 斉 次 準 素 イ デ ア ルq1,…,qsが

の こ と が 成 立 す る. 存 在 し て,a=q1∩

… ∩qs.

 (2)  aの 素 因 子 は す べ て 斉 次 素 イ デ ア ル で あ る.  こ の 証 明 の た め に,ま  定 理3.1.7. 

ず 次 の こ と か ら証 明 し よ う.

次 数 付 き環 

の 斉 次 イ デ ア ルq≠Rに

に含 ま れ る 斉 次 元 全 体 で 生 成 さ れ る イ デ ア ル をpと 件 が 充 た さ れ れ ば,qは

準 素 イ デ ア ル で,pは

a,bが

す る.こ

対 し,  の と き,次

の条

素 イ デ ア ル で あ っ て,

斉 次 元,

証 明,  ま ず,  t-sお

よ びv-uに

∈qでqは b∈q.v-u=0の (s+u)次

を, つ い て の 二 重 帰 納 法 で 証 明 し よ う.t-s=0の

斉 次 ゆ えasbjaq.  と き も 同 様 で あ る.一 部 分 に 等 し い か ら,asbu∈q.さ

ゆ え,仮

定 に よ り 

般 の 場 合:asbuは  て, 

と き:Σa

sbj

ゆ え に の で あ る が,

asbu∈qゆ

ゆ え に,v-uの

え, 

も し  as∈pな

な ら ば, 

ら ば, 

で あ る.他

ゆ え に,t-sの

を得,そ 方, 

の とき は よ い.も

ゆ え に,上

の結 果 か ら,qが

で

「 」 で示 し た

準 素 イ デ アル で あ る こ とは明 白 で

で あ っ た と し よ う. 

あ る. 

ゆ え,ｃ=Σai,cn-1=Σbjの

て,cn-1∈qを

と し て み る と,

とき に

得 る か ら,こ れ は 矛 盾 で あ る.ゆ

「

」 内 の こ と を適 用 し

え に 

を得,定

明 が 完 了 し た.    系3.1.8. 

し,

ゆ え, 

小 さ い と き に よ り, 

部 分 の 証 明 が 完 了 した.こ

小 さ い と き に 帰 着 さ れ, 

理 の証

(証 明 終)

次 数 付 き環 の 斉 次 準 素 イ デ ア ルqに

つ い て, 

は斉 次 素 イ デ

ア ル で あ る.  問.  一 般 に,aが

次 数 付 き 環 

斉 次 イ デ ア ル で あ る.(上   定 理3.1.6の ルaに

の 扱 い と は 無 関 係 に,直

証 明  定 理3.1.1,3.1.2に

対 して,「a=b∩c,b,cが

せ て 考 え る.定 理3.1.7に も の と し て,全

お い て,「 既 約 」 を,斉

よ り,定 理3.1.1の

く同 様 に で き る.定 理3.1.2に

す る こ と か ら,全

も

接 証 明 せ よ.)

斉 次 イ デ ア ル ⇒a=bま

次 イ デ ア ル 」 に変 更 して 考 え る)は,斉

とか ら,(ロ)を

の 斉 次 イ デ ア ル で あ れ ば, 

た はa=c」

証 明 は,a,bが

次イデア に変 化 さ

斉 次元 で あ る

相 当 す る 分(「 イ デ ア ル 」 は 「斉

次 イ デ アル につ い て の極 大条 件 が成 立

く同 様 に 証 明 さ れ る.ゆ

え に,(イ)を

得 る.(イ)と

得 る. 

系3.1.8 (証 明 終)

  こ の 節 の最 後 に,素 因 子 す な わ ち付 随 素 イ デ ア ル の 特 徴 づ け を 与 え て お こ う.   定 理3.1.9. 

aがNoether環Rの

ア ル で あ る と き,pがaの   証 明.  a=q1∩   ⇒ の 証:  はp準

… ∩qnが

と り,b=cdと

 〓

の 証: 

素イデ

∃b∈R,p=a:b.

準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 現 と す る.

と し て よい. 

素 イ デ ア ル(周 題2.2.3).そ

dを

イ デ ア ル(≠R)で,pがRの

素 因子 ⇔

す る とa:c=q1:c こ で, かつ 

なる

お け ば よ い. 各qi:bは 

準 素 イ デ アル で ある か ま た

はRで

あ る か ら, 

  3.2.局

と な るiが

あ る. 

(証 明 終)

所 環 の 定 義

  局 所 環 と か,半

局 所 環 と か 呼 ば れ る も の は,文

ろ に 差 異 が あ る.そ

献 に よ っ てそ の意 味 す る とこ

の う ち二 つ の 例 を示 せ ば:

  (1)  極 大 イ デ ア ル が 有 限 個 し か な い環 を半 局 所 環 とい い,特

に極 大 イ デ アル

が 唯 一 つ の環 を局 所 環 と い う.   (2)  上 の そ れ ぞ れ,さ

らにNoether環

と い う条 件 を 加 え て,同

じ言葉 をつ

か う.   大 切 な の はNoether環 そ の 場 合,単 あ り,ま

の 場 合 で あ る か ら,本 書 で は(2)の

に環 と し て の 構 造 だ け で な く,特 別 な 位 相 を 導 入 す る の が 普 通 で

た 便 利 で あ る が,位

相 の 導 入 は 次 章 で 行 な う こ と に し て,こ

論 的 側 面 だ け か らの 定 義 を述 べ よ う.す   Noether環Rの

る と,上

半 局 所 環 で あ る と は,Rが

の 極 大 イ デ ア ル 全 体 が 丁 度m1,…,maで 整 域 で あ れ ば,半

  特 に,Noether環Rが で あ る とい い,ま を用 い る.さ

た,そ

半局所環である

半 局 所 環 で あ っ て,そ

あ る こ と を意 味 す る も の とす る.さ

局 所 整 域 とい う. 唯 一 つ の極 大 イ デ ア ルmを

の こ と を示 す の に,(R,m)が

ら に整 域 で あ れ ば,局

定 義 に お い て,「Noether環 そ れ ぞ れ 擬 半 局 所 環,擬

こで は環

の(2)は:

極 大 イ デ ア ル の 数 が 有 限 で あ る と き,Rは

と い う.(R,m1,…,ma)が

ら にRが

立 場 で 定 義 す る.

もつ と き,Rは

局 所環

局 所 環 で あ る とい う表 現

所 整 域 とい う の は 同 様 で あ る.上

の二 つ の

」 とい う条 件 を 「環 」 と い う条 件 に ゆ る め た と き, 局 所 環 と い う.さ

ら に 整 域 で あ れ ば,擬

半 局 所 整 域,

擬 局 所 整 域 と い う.   定 理3.2.1. 

(R,m)が

擬 局 所 環 で,Mが

 (イ)  とす る と き, 

がMを

がM/mMを

  (ロ)  従 っ て,特 に,  Λ'を ど の よ う に と っ て も

生 成 す る ⇔uλ'=(uλ

群 で あ る と き, mod

mM)∈M/mM

生成 す る. がMを

, 

有 限 生 成R加

生 成 し,か はMを

つΛ

の真 部 分 集合

生成 す る こ とが ない ⇔

{uλ￨λ∈Λ}がM/mMの,体R/m上   こ の(ロ)の と き,極

条 件 が 充 た さ れ る と き,SはMの

小 基 の 元 数 は 有 限 で あ り,そ

て,Mに

次 独 立基

極 小 基 で あ る と い う.こ

の

れ は極 小基 の え らび方 には無 関 係 であ っ

よ っ て 定 ま る.

  証 明.  N=ΣuλRと (イ)に

の 加 群 と し て の,一

お け ば,定

理2.1.5を

利 用 し て(イ)を

よ り明 白 で あ る.最 後 の こ とは,(ロ)に

得 る.(ロ)は

よ り極 小 基 の 元 数 がM/mMの

長 さ(ベ ク トル 空 間 と して の 次 元)に 等 しい こ と に よ る.    問.  上 記(イ)は,Rが

環,mが

そ のJacobson根

(証 明 終)

基 で,Mが

有 限生成

R加 群 の と き に一 般 化 さ れ る こ と を示 せ.   §2.3に

お い て,環Rの,イ

れ に 関 し,次

デ ア ル に よ る 商 環 とい う概 念 を導 入 し た.そ

の定 理 が 成 立 す る.

  定 理3.2.2. 

RがNoether環

半 局 所 環 で あ る.Raの

でaが

そ の イ デ ア ル で あ れ ば,商環Raは

極 大 イ デ ア ル はaの

極 大 素 因 子pに

得 られ る も の とい う こ と で 特 徴 づ け られ る.特 Raは

にaが

よ りpRaの

準 素 イ デ ア ル で あ れ ば,

局 所 環 で あ る.

  証 明.  RがNoether環 し た が っ て,Raの

で あ る か ら,RaもNoether環(定

理3.0.12).

極 大 イ デ ア ル の 特 徴 づ け の 分 を証 明 す れ ば 充 分 で あ る が,

そ れ は定 理3.1.3に

よ り容 易. 

  定 理3.2.3. eが

擬 局 所 環(R,m)の

  証 明. 

(証 明 終) べ き等 元eな

ゆ え,e≠1な

ら ば,極

ら ば,e=1.

大 イ デ ア ル は 少 な く と も二

つ は あ る. 

(証 明 終)

  こ こ で,「 支 配 」 と い う概 念 の 導 入 を し て お こ う.重 合 で あ る が,一 (イ)R′ 〓Rで,こ R′ ⇒a′R≠R,か デ ア ル,の

般 に は 次 の よ う に定 義 さ れ る:環Rが の 両 者 は 単 位 元 を共 有 し,(ロ)a′ つ,(ハ)mがRの

〓Rか

示 す.二 つm′=m∩Rで

要 な場 合 は 局 所 環 の 場 環R′ がR′

を支 配 す る と は, の イ デ ア ル,α ′≠

極 大 イ デ ア ル ⇒m∩R′

三 条 件 の 成 立 す る と き に い う.こ

こ と を,R′
形で

の と き,R′ ≦R(さ

つ の 擬 局 所 環(R,m),(R′,m′)に

はR′

の極 大 イ

ら にR′ ≠Rの つ い て は,R′

≦

あ る こ と に 注 意 せ よ(単 位 元 共 有 の 証 明 は,

定 理3.2.3に   次 に,局

ょ る). 所 環 に 移 行 させ て か ら証 明 す る 例 と し て,ま

な うパ ラ メ ー タ ー 数 の 導 入 の 準 備 と して,Artin環

た,こ

の節 の最 後 で行

の 特 徴 づ け,お

よ びKrull

の 標 高 定 理 と よ ば れ る も の の 証 明 を し よ う.   Artin環

に つ い て の 定 理 か ら始 め よ う,

  定 理3.2.4. 

環RがArtin環

⇔ RがNoether環

  証 明.⇒

の 証:RがKrull次

で あ っ て,Krull

元0のNoether環

で,0=ql∩

準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 示 で あ る と す る.  (Krull

dim

R=0ゆ

え),∃m,Pim〓qi.そ

に よ り,  を も ち,剰

Artin環

は 体R/Piの 組 成 列 を も つ.ゆ

え にRは

上 の加 群 と して

組 成 列 を も ち,Rは

で あ る とす る.pl,…,pn,…

れ ば, 

が極 大 イ デ ァ ル で あ

とな る か ら,極

イ デ ア ル の 数 は 有 限.そ る.pがRの

こ で,Pl,…,Pnが

小 条 件 に よ っ て,極

の 非 正 則 元a(≠0)を

大

極 大 イ デ ア ル 全 体 で あ る も の とす

素 イ デ ア ル で 極 大 で な い とす る と,R=R/pは

条 件 に 反 す る.ゆ く.nが

theorem

で あ る.

  ⇒ の 証:RがArtin環

な り,そ

remainder

正 規 鎖 

余 加 群( 

有 限 生 成 で あ る か ら,R/qiは

… ∩qnが

は極 大 イ デ ァ ル で あ り

こ で,Chinese

各R/qiは

dimR=0.

体 で ない整 域 と

とれ ば, 

と な り,極 小

え に 素 イ デ ア ル は す べ て 極 大 で あ る.n=∩pi(=√0)と

お

べ き零 で あ る こ と を示 そ う.そ う で な い とす る と,∃a=na,an=a≠0.

さ て,F={b￨bはRの

イ デ ァ ル,ba≠0}を

考 え,そ

る. 

とお く と,qはRの

イ デ ァ ル で あ り,q≠R.さ

xy∈q,y〓qと

の 中 の 極 小 な も のcを

す る と,xyca=0,yca≠0.∴yc∈F.cの

=c.∴xca=0.∴x∈q.ゆ

え にqは

qca=0ゆ

え,0=can=ca≠0.こ

れ は 矛 盾,ゆ

(Chinese

remainder

theorem)ゆ

小 条 件 を 充 た す か ら,こ

ら に,

極 小 性 に よ り,yc

素 イ デ ア ル で あ り,q〓n.と

ころが

え に ∃r,nr=0.nr=P1r∩

… ∩pnr

各 

が極

え, 

れ は 体R/pi上

と

有 限 生 成 で あ り,し

た が っ て,Rは

組

成 列 を も つ.し

た が っ て,RはNoether環

で あ る.Krull

dim

R=0は

明 白.

  (証 明 終)   さ て,Krullの

標 高 定 理 と呼 ば れ る も の の 証 明 に 移 ろ う.

  補 題3.2.5.  Rの

RがNoether環,aがRのJacobson根

イ デ ア ル で, 

  証 明.  基)ゆ

基 の 元,b,cが

b:a=bが

成 立 す れ ば,b=c.

ゆ え, 

え,定

理2.1.5に

  補 題3.2.6. 

∴b=ab+c.a∈(Jacobson根

よ りb=c. 

RがNoether整

(証 明 終) 域,a(≠0)が

非 正 則 元,pがaRの

極小

素 因 子 な ら ば,htp=1.   証 明.  Rpを のpと

考 え る こ と に よ り,(R,p)が

局 所 環 で あ る と して よ い.qがR bn=ａR+qnと

異 な る 素 イ デ ア ル で あ る とす る. 

定 理3.0.7に

元 は0で

Rは

よ り 

あ る か ら定 理3.2.4に

整 域 ゆ え, 

R/aRのKrull次

よ りR/aRはArtin環

で あ る.ゆ

に つ い て,∃N, 

鎖 

ゆ え,qN=0.Rは

ゆ え,前

補 題 に よ り

標 高 定 理)RがNoether環,a1,…,as∈Rで

  証 明.  sに つ い て の帰 納 法 で証 明 す る.s=0な は 前 補 題 か ら直 ち に 出 る.s>1と

す る.Rpを

所 環 で あ る と仮 定 し て よ い.p=p0⊃p1⊃ 定 して 矛 盾 を 示 せ ば よ い.必 中 間 に は,他

(∀i).bと

あ

ら 明 白 で あ り,s=1の

… ⊃ps+1な

要 な らpとp1と

とれ ば,p1+bRはp準 し て はaiの

一 つ,例

の 間 を細 分 し て,p0とp1と

ゆ え,前

の

る と,p∋b〓p1な ∃m,aim∈p1+bR

あ る と仮 定 し て よ い.各i≦s−1

と書 き 表 わ す.  とれ ば, 

局

る素 イ デ ア ル 鎖 が あ る と仮

素 イ デ ア ル で あ る.∴ え ばasで

とき

考 え る こ と に よ り,(R,p)が

の 素 イ デ ア ル は 存 在 し な い と仮 定 して よ い.す

に 対 し,  デ ア ルqを

(証 明 終)

の極 小 素 因 子 で あ れ ば,htp≦s.

っ て,pが 

る 元bを

qn=qN.

整 域 ゆ え,q=0.∴htp=1.  

  定 理3.2.7.(Krullの

え に,降

す な わ ち, 

は 準 素 イ デ ア ル で,  と こ ろ が, 

お く.

補 題 に よ りq=p1.す

な る素 イ な わ ち,p1は

 の 極 小 素 因 子 で あ り,帰 納 法 の 仮 定 に よ りhtp1≦s−1.    さ て,局

所 環 の パ ラ メ ー タ ー 系 の 定 義 を し よ う.(R,m)が

き,a1,a2,…,asがRの

素 イ デ ア ル で あ る と き に い う.

  上 で 証 明 し たKrullの

標 高 定 理 は,次

  定 理3.2.8.RがNoether環

の イ デ ア ルaの

局 所 環 で,aがm準素

b1,…,ba(α
ある と

対 して成 立 す る も

イ デ ア ル で あ る と き は,b1,

で 定 ま っ た と き(α=0の

… ,pa,n(a)と

す る(a0は0と

考 え る).hta>α (補 題2.0.5).す

に よ り,ba+1が

す な わ ちmを

(R,m)が

ゆ え,前 定 理

る と, 

(証 明 終)

局 所 環 で,Krull

dim R=hで

生 成 す る 元 の 数 の 最 小,はh以

成 す るh個

則 パ ラ メ ー タ ー 系 と い う.

  証 明 はKrullの 理3.2.10. 

あ る と き,lengthm/m2,

上 で あ る.

あ る と き,Rは

の 元 の 組 を,正

も

ゆ え に 

ゆ え, 

  特 に,lengthm/m2=hで

  3.3.付

な わ ち,何

求 め る も の で あ る. 

  定 理3.2.9. 

dim

と き,す

の 高 さ α の 極 小 素 因 子 全 体 をpa1,

定 ま っ て い な い と き も含 め る), 

Krull

R,

パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る.

  証 明. 

 定

高 さ がhで

がa=1,…,hに

に,(R,m)が

…,bhはRの

dim

の 結 果 を 与 え る:

で,そ

元b1,…,bhで, 

の が あ る.特

局所 環 で あ る と

パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る と は,(イ)s=Krull

か つ(ロ)ΣaiRがm準

き,aの

(証 明 終)

正 則 局 所 環 で あ る とい い,mを

生

標 高 定 理 に よ り明 白. な らば,

前 定 理 の 仮 定 の 下 で,x1,…,xr∈m, 

R/ΣxiR=h−r.

値

環

  擬 局 所 環 の 特 別 な 場 合 に,付

値 環 が あ る.付

値 環 は,付

値 の 理 論 に密 接 に 関

連 す る も の で あ る が,環 論 的 に も重 要 で あ る.付 値 との 関 連 は 他 書 に ゆ ず っ て, こ こ で は環 論 的 側 面 を 考 え よ う.   環Rが る と き,Rは

整 域 で あ り,し か も,「a,b∈R⇒a∈bRま 付 値 環 で あ る とい う.こ

の と き,KがRの

た はb∈aR」

の成 立 す

商 体 で あ れ ばRは

Kの

付 値 環 で あ る とい う.

  定 理3.3.1. 

整 域Rの

商 体 がKで

あ る と き,次

の 三条 件 は互 に同 値 で

あ る:   (イ)  Rは

付 値 環 で あ る.

  (ロ)  a∈K,a≠R⇒a−1∈R.   (ハ)  Rは

擬 局 所 環 で あ り,さ

ら に,Rの

有 限生 成 のイ デ アル は単 項 イ デ ア

ル で あ る.   証 明.  (イ)⇔(ロ)は   (イ)⇒(ハ)の as∈mと

明 白 で あ る.

証 明:m={x∈R￨xはRで

逆 元 を も た な い}と

お く.a1,…,

す る.付 値 環 の 定 義 とsに つ い て の 帰 納 法 に よ り,∃ α,ai∈aαR(∀i). と な り,mは

し た が っ て,  極 大 イ デ ア ル で あ り,さ

ら に,Rの

イ デ ア ル,ゆ

え に,mは

唯一 つ の

有 限 生 成 の イ デ ア ル が 単 項 で あ る こ と もわ

か っ た.   (ハ)⇒(イ)の

証 明:0≠a,b∈Rと

b′=b/cはRの

す る.aR+bR=cR(∃c∈R).a′=a/c,

元 で,a′R+b′R=R.Rが

か ら,a′R,b′Rと と も 一 方,例

も にmに

え ばa′

  系3.3.2. 

つ,単

  こ の よ うなRで   定 理3.3.3.  は,(イ)mが

は 正 則 元.す

る とaR=cRで

あ り,b∈aR.(証

明 終)

付 値 環 で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,Rが

局

項 イ デ ア ル 整 域 で あ る こ と で あ る.

体 で は な い も の を,離 擬 局 所 整 域(R,m)が

単 項 イ デ ア ル で あ り,さ

  そ して,こ

もつ

含 ま れ る こ と は な く,し た が っ て,a′,b′ の 少 な く

Noether環Rが

所 環 で あ り,か

唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ルmを

散 付 値 環 と い う.

離 散 付 値 環 で あ るた め の必 要 充分 条 件 ら に(ロ)Krull

の 条 件が 充 さ れ る と き,Rの0で

dim

R=1.

な い イ デ ア ル はmの

べ きに 限

る.   証 明. 

必 要 性:(イ)は

明 白.m=pR(p∈R)と

ア ル で あ っ た と す る.q〓pRゆ 2.1.5に Krull

よ り(M=q,N=0と dim

R=1.

す る.qがm以

え,q=pq1,か

つq1=q:p=q.ゆ

し て 適 用),q=0を

得 る.Rは

外 の素 イ デ え に定 理 体 で は な い か ら,

  充 分 性:m=pR(p∈R)と と す る.Krull aはpRに

dim

し,aがRの0で

R=1ゆ

え,aを

含 む 素 イ デ ア ル はpRだ

るmの

ら ば,a=pnR=psR.s
a1〓pRな

で あ り,そ

う ち,な

け で あ る.ゆ え に

な り,sの

え,a=psa1,a1=a:ps.

な り,Rは

の イ デ ア ル は0,R=m0,m,m1,…,mn,…

  定 理3.3.4. 

と る.

と り方 に 反 す る.ゆ え にa1〓pR.∴a1

ず れ に し て も,a=psRと

  似 た定 理 で は あ る が,次

な わ ち,

る べ く大 き い も のsを

す る.a〓psRゆ

ら ば,a〓ps+1Rと

=R.∴a=psR.い

mが

もない イ デ アル で あ る

属 す る準 素 イ デ ア ル で あ り(定 理2.2.3),∃n,pn∈a,す  さ て,a〓pmRな

s≧nな

もRで

単項 イ デア ル整 域

に 限 る.  (証 明 終)

の も の は 整 域 とい う仮 定 が な い 点 で 有 用 で あ る:

局 所 環(R,m)が

離 散 付 値 環 で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は(イ)

単 項 イ デ ア ル で あ り,(ロ)Krull

dim

R≧1.((ロ)はmが

非 零 因 子 を含

め ば 充 分 で あ る こ と に 注 意 せ よ.)   証 明.  必 要 性 は 明 白.m=pRと と る.す Krull

る と,q:p=qゆ

dim

R=1と

え に 定 理2.1.5に

Rが

体Kの

(証 明 終) う少 し述 べ よ う.

はKの

付 値 環 で あ り,あ

る素 イ デ ア

よ りR′=Rp. 正 規 環 で あ る.

  (ハ)  LがKの

部 分 体 で あ れ ば,R∩LはLの

  (ニ)  aがRの

イ デ ア ル,b∈R,b〓a⇒a⊂bR.

  (ホ) pがRの

素 イ デ ア ル ⇒p=pRp.

  (へ)  pがRの

素 イ デ ア ル ⇒R/pは

  証 明.  (イ)の   (イ)の 後 半:R′

前 半 お よ び(ハ),(ニ)は

付 値 環 で あ る.

付 値 環, 定 義 に よ り明 白.

は 付 値 環 で あ るか ら,極 大 イ デ ア ルmは

素 イ デ ア ル で,Rp〓R′.x∈R′,x〓Rpと

y−1=x〓Rpゆ

えに

付 値 環 で あ る と き,

とな る な うな 環R′

  (ロ)  Rは

Rの

よ りq=0.ゆ

と は 限 らな い 場 合 の 付 値 環 に つ い て,も

  (イ)  ルpに

え,q=pq.ゆ

含 ま れ る 素 イ デ ア ルq(≠m)を

な り,前 定 理 に よ り本 定 理 を 得 る. 

  さ て,Noether環   定 理3.3.5. 

す る.mに

え,y∈p.∴y∈m.y-1=x∈R′

唯 一 つ.p=m∩Rは

す る と,x〓Rゆ

え,y=x-1∈R.

は 矛 盾 で あ る.∴Rp=R′.

  (ロ):x(∈K)がR上

整,x〓Rと

定 理2.4.4(ロ)に

し て み る.x〓Rゆ

よ りx-1がRの

  (ホ): 

え,x-1∈R.ゆ

正 則 元 と な り,x〓Rに

え に,

反 す る.

p∈p,z〓P⇒P〓zR.∴x=p/z∈R.∴x∈

p Rp∩R=p.

  (へ):一 般 に,‐

はpを

法 とす る 類 を示 す(x=(xmodp)の

う.y,z∈R/p(y,z∈R;y,z〓p)と と し よ う.す

す れ ば,yR〓zRま

Rが

体Kの

付 値 環 で,mが

の 合 成 と い う.

R*と

素 イ デ ア ル に も ち,Rの

し よ う.(1)x∈Rの

(2)x〓Rの

え にR*m〓R.逆

正

に,a∈R,a〓R*と

理3.3.5の(イ),(ホ)を

で あ る と同 時 に,付

す る と,a-1 (証 明 終)

併 せ 考 え れ ば,Krull次

つ の 特 徴 づ け を 与 え て い る と も い え,そ

値 環 を構 成 す る場 合 に も,大

環 の 構 成 に 関 し て は,以

元 の大 き

の意 味 で基本 的

変 基 本 的 な定 理 で あ る.付

値

下 の 二 定 理 も大 変 重 要 で あ る. 体Kに

デ ア ル 鎖 で あ る と き,Kの

含 ま れ る 整 域 で,p1⊂p2⊂ 付 値 環Rで,Aを

含 み,か

⊂q2⊂ … ⊂qnで,qi∩A=pi(i=1,2,…,n)と   定 理3.3.8.Rが

え に,R*は

な り,a=1/(a-1)∈R*m.∴R〓R*m. 

い 付 値 環 の構 造 の,一

  定 理3.3.7.Aが

え に, 

ら ば,x=y/z(y,z∈R*,z〓m).zはRの

則 元 ゆ え,x=y/z∈R,ゆ

  こ の 定 理 は,定

定 に よ り 

作 り方 か ら 明 白.

証:x∈R*mな

∈R*,a-1〓mと

にx〓m.)ゆ

考 え よ う.仮

と き:x-1∈R.∴x‐1∈m.∴x-1∈S.ゆ

付 値 環.R*/m=SはR*の

  R*m=Rの

部 分 環 で あ る こ と は 明 白.x∈K,

と き:x=(xmodm)を

(し た が っ て,特

Lに

付 値 環 で あ り,

素 イ デ ア ル に な り,R*m=R,R*/m=S.

  証 明.  R*がmを

Kの

極 大 イ デ ア ル で あ る と き,Sが

はKの

  こ のR*を,RとSと

x〓

者

(証 明終)

付 値 環 で あ れ ば, 

mはR*の

の と しよ

た はzR〓yR.前

る と 明 ら か に 

  定 理3.3.6. 

R/mの

意)も

体Kの

お け る 整 閉 包 とす る.こ

つ,素

素イ

イ デ ア ル 鎖q1

な る も の を も つ も の が あ る.

付 値 環,LがKの の と き,次

… ⊂PnがAの

代 数 拡 大 体 で,RはRの

の 三 条 件 は 互 に 同 値 で あ る.

  (1) VがLの

付 値 環 で,V∩K=R.

  (2) VがLの

付 値 環 で,Rを

  (3)  Rの

支 配 す る.

極 大 イ デ ア ルmに

  定 理3.3.7の

証 明.  nに

とす れ ば よ い.n=1の

よ り,V=Rmの

す る.容

(包 含 関 係 に よ る 順 序 で)帰 納 的 集 合 で あ り,し

Rの

含 む 極 大 イ デ ア ルBを

極 大 性 に よ りR=RB,す

に,RがKの

な わ ち,Bは

なわ ち

え に,x-1がRの Rは

B∩A.ゆ

え に,n=1の

に よ り,Kの

素 イ デ ア ルp=pn/pn-1を

とVと

Ｖ で,pの

もつ.ゆ

え に,n=1の

の 合 成Rを

と れ ば,こ

し よ う.帰

考 え,qn-1がVの 体V/qn-1の

極大イ

部 分 環 で あ り,

場 合 を適 用 し て,体V/qn-1 も つ もの が あ る.こ

れ が 求 め る 付 値 環 で あ る こ と は,定

の と き,V 理3.3.6 (証 明終)

  定 理3.3.8の

証 明.  (1)⇒(2)は

V≧W,W〓R.定

理3.3.5(イ)に

極 大 イ デ ア ルmで

mがVの

納 法 の仮 定

… ⊂qn-1が, 

に よ っ て わ か る. 

Rの

え に,

極 大 イ デ ア ル で あ る か ら,p=

か わ り にVqn-1を

上 に あ る 素 イ デ ア ルqnを

正 則 元 で あ る.ゆ よ り,x-1∈R.ゆ

イ デ ア ル 鎖q1⊂

る と,A/pn-1は

極大

1=p0+p1x+…+psxs.

と き の 証 明 が で き た.n>1と

デ ア ル で あ る と仮 定 し て よ い.す

え,

す る.Rの

ゆ え,1−p0はRの

を充 た す も の が あ る.Vの

は 極 大 元Rが

唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ル で あ る.次

か つpがAの

付 値 環Vで,素

部

と っ て み れ ば,pRB〓1ゆ

上 に整 に な り,系2.4.7(イ)に

付 値環 で あ る. 

の付 値 環

た が っ て,Fに

∃p0,…, 

Bが 唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ル で, 

含 むKの

易 に わ か る よ う にFは

付 値 環 で あ る こ と を示 そ う.x∈K,x〓Rと

性 に よ り,pR[x]∋1,す

唯一 つ

の 仮 定 の も と で,Aを

充 た す も の 全 体 をFと

ず,RのpRを

ら ばR=K

考 え る こ と に よ り,p=p1がAの

の 極 大 イ デ ア ル で あ る と仮 定 し て よ い.こ

あ る.ま

得 られ る.

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す る.n=0な

と き:Ap1を

分 環Sで,pS〓1を

形 でVが

明 白.(2)⇒(1):W=V∩Kと よ り,W=RB(∃B素

な い な らば,mがWの

お く と, イ デ ア ル).Bが

正 則 元 を含 み,し

た が っ て,

正 則 元 を含 む こ と に な り矛 盾.∴W=R.

  以 下(3)と(1),(2)と

の 同 値 の 証 明 をす る の で あ る が,そ

の た め に,次

の付

値 の 独 立 性 定 理 を利 用 す る(こ の 定 理 の 証 明 は後 で す る).   定 理3.3.9. 

R1…,Rnが

体Kの

付 値 環 で,そ

の 極 大 イ デ ア ル が 

が 成 立 す る も の とす る.こ

で あ り, 

極 大 イ デ ア ル は 丁 度n個

で,そ

の

の と き,  で あ り,さ

れ ら は, 

ら にDmi=Ri.   さ て,(3)と(1),(2)と

の 同 値 を,次

の(イ),(ロ),(ハ)の

三段 階 に 分 け て 行

な う.   (イ) LがKの す る.定

有 限 次 正 規 拡 大 の 場 合:そ

理3.3.7に

大 イ デ アルmの

よ り,Lの

付 値 環Vで,そ

上 の 非 分 離 次 数qを

こ で,定

整(LのK

の 基 本 対 称 式 のq乗

がRの

は 正 規 環 で あ る か ら,Dも

理3.3.9に

極

を考 え る. 

∈D⇒xはD∩K=R上

と れ ば, 

え に,D〓R.各Vσ

∴D=R.そ

の 極 大 イ デ ア ルBがRの

上 にあ る もの が存 在 す る.  の基 本 対 称 式

る か ら).ゆ

のGalois群G(L/K)をGと

よ り,(3)に

元 にな

正 規 環 で あ り,

い う よ う なRm全

体 はVσ

全

体 で あ り,こ の 場 合 の 証 明 が で き た.   (ロ)  LがKの を と る.L*の 包R*の

有 限 次 拡 大 の 場 合:Lを 付 値 環V*で,V*∩K=Rと

V*∩Lと

な る も の は,KのL*で

付 値 環 で,V∩K=Rで

な る も の が あ り,V*∩K=Rゆ

あ れ ば,L*の

の よ う なVの

し て 得 られ る も の と い う こ と に な る.し

た が っ て,そ

し て,(3)がVの

そ こ で,定

お く.(ロ)に

の よ う なVの

理3.3.9を

利用

に,VがLの

はL′

よ り, 

付 値 環 で,V∩K=Rで え, 

とす る.L′=

が 付 値 環 で あ る こ と:x∈L, 

の 付 値 環 で あ る か ら, 

は 容 易.ゆ

理3.3.5(ロ))ゆ

特 徴 づ け は,

特 徴 づ け を 与 え る こ と を 知 る.

 (ハ)  一 般 の場 合: 

た.逆

の整 閉

付 値 環V*でV*∩L

え に,こ

数 は有 限 で あ り, 

K(x)と

有 限 次 正 規 拡 大 体L*

極 大 イ デ ア ル に よ る 商 環 と い う こ と に よ っ て 特 徴 づ け られ る((イ)に

よ る).VがLの =Vと

含 むKの

p =(Vの

え に(3)⇒(1)が

あ っ た とす る.Vは 極 大 イ デ ア ル)∩Rと

わか っ 正 規 環(定

お け ば,

定 理3.3.5(イ)と,Rmが V=Rp(問

付 値 環 で あ る こ と か ら,V,Rpは

題3.3.1参

ゆ え にpはRの

照).V≧Rゆ

え,pはRの

付 値 環 で あ り,

極 大 イ デ ア ル の 上 に あ る.

極 大 イ デ ア ル で あ る(系2.4.7). 

  定 理3.3.9の

証 明 に は,次

  補 題3.3.10.  こ の と き,Kの

(証 明終)

の 補 題 を利 用 す る:

R1,…,Rn,K,D等 任 意 の 元aに

は 定 理3.3.9に 対 し,次

お け る と 同 様 とす る.

の 条 件 を充 た す 自 然 数s≧2が

存在す

る: (1+a+…+as-1)-1お   証 明.各iに

よ びa/(1+a+…+as-i)が

つ い て,上

の二元

∈Riと

sが す べ て のiに

共 通 に と れ れ ば よ い か ら).

  (イ)a〓Riの

と き:a-1=bと

と な り,分 母 はRiの で,こ

  (ロ)  a∈Biの

元.

い う条 件 を 考 え よ う(そ の よ う な

お く と,b∈Bi,

正 則 元(Riの

れ ら二 元 はRiに

と も にDの

元 で,Biに

属 し な い か ら)ゆ え,無

条件

属 す る.

と き:1+a+…+as-1がRの

正 則 元 で あ る か ら,無

条件 で

あ る.   (ハ)  a∈Ri,a-1∈Biの

と き:sがRi/Biの

標 数 の倍 数 で ない な らば よい

こ と は 明 白.   (ニ)  a∈Ri,at-1∈Bi(∃t),a-1〓Biの の 最 小 をdと

す る と,他

のtはdの

数 で な け れ ば,1+a+…+as-1はRの

の 揚 合sは

  し た が っ て,全

な る 自然 数t

た が っ て,sがdの

倍

条 件 に 適 す る.

と き:1+a+…+as-1はRiの

正則 元 で あ

有 限 個 の 特 定 の 自 然 数(>1)の

倍 数 で ない

無 条 件. 体 と して は,sは

と い う条 件 に な る か ら,sの   定 理3.3.9の

倍 数 で あ る.し

正 則 元 と な り,sは

  (ホ)  a∈Ri,at-1〓Bi(∀t)の り,こ

と き:at-1∈Biと

存 在 が い え る. 

証 明.  D〓Riゆ

え,Dmi〓Riは

(証 明 終) 明 白.a∈Riと

題 に よ り ∃S,(1＋a+…+as-1)-1,a(1+a+…+as-1)-1∈D.a∈Riゆ

す る.前 え,1+

補

a+…+as-1∈Ri.ゆ

え に,(1+a+…+as-1)-1はRiの

正 則 元.∴(1+a+…

+as-1)-1〓mi. ∴Ri= Dmi.し

た が っ て,m1,…,mnは

ゆ え,mj〓mi.し

互 に相 異 な る こ と もわ か る.さ

た が っ て,前

⇒ ∃i,m〓miを

示 せ ば よ い.m〓mi(∀i)と

他 方,m1,…,mnが

も 含 ま れ な い.し

え に ΣaibiはDの

仮 定 し て み よ う.∃ai∈m,ai〓mi.

題2.0.5).そ

こ で,Σaibiを

正 則 元,こ

と は 異 な り,例

れ がmに

入 る の は 矛 盾. 

Rが

(証 明 終)

え ば 準 素 イ デ ア ル 分 解 の 定 理 は(Krull次

変 扱 い 易 い 面 も持 っ て い る.そ

正 規 環 で,Rの

の 付 値 環 す べ て の 共 通 部 分 はRと

元〓1の

デ アル全 体 が包 含 関係 で全 順 序 集合

付 値 環 が一 般 可 換 環 論 で 重 要 な 理 由 の う ち の,主   定 理3.3.11. 

れ は どの

値 環 と い うの は 非 常 に特 殊 な 環 で あ り,

と き を 除 い て)成 立 し な い の で あ る が,イ に な っ て い る な ど,大

作 る と,こ

た が っ て, ゆ

  今 ま で こ の 節 で 見 て き た よ う に,付 Noether環

極 大 イ デア ル

互 に 包 含 関 係 の な い 素 イ デ ア ル で あ る か ら,∃bi(i=1,…,

n),bi〓mi,bi∈mj(i≠j)(補 mjに

半 の 証 明 の た め に は,mがDの

ら に,Ri〓Rj

要 な も の で あ る:

商 体 がKで

一 致 す る.逆

の こ と と次 の 定 理 とが,

あ る と き,Rを に,付

含 むK

値 環 い くつ か の 共 通 部

分 と し て 表 わ し得 る整 域 は 正 規 環 で あ る.   証 明.  最 後 の 部 分 は,付

値 環 が 正 規 環 で あ る こ と か ら明 白 で あ る.前

証 明 を し よ う.「x∈K,x〓R⇒

∃V,VはKの

を 示 せ ば よ い.y=x-1,R′=R[y]と xm+1を

∃ai∈R, 

を 知 る が,こ はR′

お く.も

れ はRが

を含 み,yがVの り,こ のVが

付 値 環 で,x〓V,R〓V」 し,yがR′

の 正 則 元 な ら ば,

か け て み れ ば,xがR上

整 で ある こ と

整 閉 で あ り,x〓Rと

の 正 則 元 で は な い.ゆ

え に 定 理3.3.7に

い う こ と に反 す る.ゆ よ り,Kの

非 正 則 元 で あ る も の が存 在 す る.す

 こ の 節 で はNoether整

え に,y

付 値 環Vで,R

る とx=y-1〓Vで

求 め る も の で あ る. 

3.4.Noether環

半の

あ

(証 明 終)

の整 拡 大 域 に つ い て の 正 規 性 の 特 徴 づ け,お

よび整 拡 大 に関

す る 結 果 を述 べ る.   一 般 にRが

環R*の

部 分 環 で 単 位 元 を 共 有 す る と き, 

をRのR*に 合 に は,整

と い う概 念 に 強 い 関 連 を も つ.す

  定 理3.4.1.  Q(R)に

お け る 導 手 と い う.こ

な わ ち,次

上 の 記 号 の 下 で,RがNoether環

  し た が っ て,こ

の条 件 の 成 立 す る 場 合,R*はR上

  他 方,R*がQ(R)に   証 明 ．〓

含 ま れ るR加

の こ と が 成 立 す る: 全商環

R:R*.(こ

  ⇒ の 証:R:R*の

非 零 因 子〓

部 分 加 群R*もNoether加

全 商環 の元 で

表 わ せ る.す

る と,c1…cs∈

と い う仮 定 は 不 要 で あ る.) を と る.dR*〓Rゆ

え,R*はR加

群 と して)Noether加

全 商 環Q(R)の 成 立 す れ ば,aはR上 得 ら れ,し

元,bがRの 整 で あ る.

た が っ て,R:R[a]はbを

定 理 に よ り こ の 系 を得 る. 

ア ル の と き,a∈R,a〓pな   上 の 定 理3.4.1を

え ばRが

とい う仮 定 を省 い た の で は 正 し くな 付 値 環,pが0で

ら ばa-1p〓pで

あ る こ と か らわ か る.

れ らは 似 て は い る が,条

ど ち らの 場 合 も正 規 環 で あ る が,前

  定 理3.4.3. 

も極 大 で も な い 素 イ デ

応 用 す る の に 有 効 な 定 理 と し て は,次 に述 べ る 定 理3.4.3,

二 つ が あ る.こ

者 で はR*が

含 (証 明 終)

  注 意.  こ の 結 果 は,RがNoether環 の よ うな こ とは,例

の

(証 明 終)

RがNoether環,aがRの

  証 明.  amb〓b(m=1,2,…)が

群d-1R

群 で あ る か ら,そ

群 で あ る. 

イ デ ア ル で 非 零 因 子 を含 み,ab〓bが

む か ら,前

成 立 す る.

と る． 各aiはRの

非 零 因 子)と

の 部 分 加 群 で あ る.d-1Rは(R加

整 で あ る.

群 の場 合 に も,(*)は

の 部 分 に はRがNoether環

  系3.4.2. 

群 と し て 有 限 生 成.

な るaiを

の 証: 

あ り,ai=bi/ci(bi,ci∈R;ciは

Rは

の場

含 ま れ て い る 場 合 に は, 非 零 因 子 を含 む ⇔R*がR加

3.4.5の

にNoether環

で,R*がRの

  (*)  R:R*が

い.そ

れ は,特

件 は 少 し ち が う.す

者 で はR*が

な わ ち,

整 域 で あ る の に 対 し,後

整 域 とい う仮 定 が な い. Rが

正 規 環,f(x)がRの

上 の モ ニ ッ ク多 項 式 で,aがf(x)

の(あ る拡 大 体 にお け る)根 で あ る とす る.f(x)の

導 函数 

を

と り,R[a]の(商

体 内 に お け る)整 閉 包 をR*と

  証 明. f(x)の

根 をa=u1,…,ur(r=degf(x))と

と お く.f′(x)=Σgi(x)で

し,gi(x)=f(x)/(x-ui)

あ る か ら,f′(a)=g1(a)で

が 既 約 の と き に 証 明 し さ え す れ ば よ い.aが aは

分 離 的 と仮 定 す る.Rの

る.G=G(R′/R)と か さ な いGの

上 の,aを

お く.Gの

σ∈Hσi).fσ(x)=f(x)ゆ

た が っ て,f(x)

含 む 最 小 のGalois拡

つ い て,aσi=uiな

丁 度Hσi(i=1,…,r)の

え,

大 環R′

対 応 す る も の(R*の

す る.各uiに

とれ ば,Gは

あ る.し

非 分 離 的 な ら,f′(a)=d=0ゆ

部 分 群 で,R*に

元 全 体)をHと

σ2,…,σr∈Gを

す れ ば,

を と 元 を動

るσ1=1,

和 に な る(aσ=ui⇔

え, 

に な る.  と す る.R*の

元bを

任 意 に と る と,  b,cjは

Hの

元 で は 不 変 で あ る か ら, 

はG不

変.し

た が っ て, 

(証 明終)

∴bf′(a)∈R[a]. 

  系3.4.4. 

RがNoether正

規 環,Rの

商 体 がK,LがKの

代 数 拡 大 体 で あ る と き,R〓R′〓Lで,Rの

有 限 次分 離

上 に 整 で あ る よ うな 環R′

はR

の 上 の 有 限 加 群 で あ る.   証 明.  L=K(a)な 関 係が あ る.aの す る とR[a]の え,定

るa∈Lを 代 りにCcoaを

と る.coan+…+cn=0(co≠0,ci∈R)な 考 え れ ば,aはRの

整 閉 包R*はRのLに

理3.4.1,3.4.3に

る

上 に 整 で あ る と し て よ い.

お け る整 閉 包 に な る.aは

よ り,R*はR[a]上

R加 群 と し て も有 限 加 群 で あ る.R′

の 有 限 加 群.し

は そ の 部 分 加 群 ゆ え,R上

る.f(x)の

Rが

判 別 式d,す

正 規 環,f(x)がRの

  証 明. d=0な 表 わ す.ま

分 解 体Lで 

を 考 え,ま

R′ の 全 商 環Q(R′)に

お け るR′

ず,Rの0で

た,R′=R[x]/f(x)R[x]と

の 整 閉 包 をR*と

ら明 白 ゆ え,d≠0と な い 元 は,R′

(証 明 終)

上 の モ ニ ック多 項式 で あ る とす

な わ ち,f(x)の

し た と き の, 

たが っ て,

の 有 限 加 群.  

  定 理3.4.5. 

分離的ゆ

と お く.

す れ ば,dR*〓R′.

仮 定 す る.xmodf(x)R[x]をaで で 非 零 因 子 で あ る こ と に注 意 し て お く.

f(x)の

各 根aiに

在 す る.さ

対 し,R準

て,b∈R*と

同 型φi:R*→Lで,φia=aiと

す る と, 

な る もの が存

(uj∈K=Rの

こ の 関 係 式 が,u0,…,un-1を

商 体).す

る と, 

未 知 数 とす る連 立 方 程

式 に対 す る解 を与 え る もの とみ なせ ば,そ の係 数 の行 列 式 は  あ り,d=D2と

な る.φib,ajはR上

した が っ て,dujもR上

で

整 で あ る か ら,DujはR上

整 に な る.duj∈Kゆ

整 と な り,

え,duj∈R.∴db∈R[a]=

R′. 

(証 明 終)

  次 に,Noether正   補 題3.4.6. 

規 環 の 特 徴 づ け に 関 す る結 果 を ま と め て み よ う. a,b,c,dが

環Rの

零 因 子 な ら ば,aR:c〓bR:d.し

元 でad=bcで

あ る もの と す る.aが

た が っ て,a,bが

非

と も に 非 零 因 子 な らば,

aR:c=bR:d.

 証 明.  (証明 終)   定 理3.4.7. pがNoether環Rの も の と す る.pの で あh,そ

元aが

素 イ デ ア ル で,Rpは

非 零 因 子 で あ り,b∈aR:pな

の 導 手R:R[b/a]はpを

xで

生 成 され る.ゆ

ゆ え にy∈p.ゆ

しy〓pと

は 前 補 題 に よ る).す え に定 理3.3.4に

え に(b/a)p〓p.ゆ

し て み る と, 

る と,p=xR:yと

な りpRpは

よ りRpは

付 値 環 に な り,矛 盾 で あ る.

え に 系3.4.2に

よ り こ の 定 理 を得 る.  

  系3.4.8. 

局 所 環(R,m)が

整

含 む.

  証 明. x∈p⇒bx=ay(∃y∈R).も (中 央 の〓

付値 環 で は ない

ら ば,b/aはR上

正 規 環 で,Krull

dim

R=1な

(証 明 終)

ら ば,Rは

離

散 付 値 環 で あ る.   定 理3.4.9. 

pがNoether環Rの

む も の とす る.す   pがaRの

素 イ デ ア ル で,pは

非 零 因 子aを

る と,

素 因 子 ⇔(イ)htP=1で,Rpが

離 散 付 値 環.

ま た は(ロ)∃b∈R,b/aがR上 がpと

一 致 す る.

整 で,導

手R:R[b/a]

含

  証 明. 

⇒ の 証:pがaRの

素 因 子 で,(イ)は

3.1.9に

よ り,∃b∈R,p=aR:b.す

か つ,導

手cがpを

p.ゆ   〓

成 立 し な い と 仮 定 す る.定

る とb∈aR:pゆ

含 む.d∈cな

理

え,b/aはR上

整,

ら ば,ba/a∈R.∴bd∈aR,d∈aR:b=

え に,c=p. の 証:htP=1な

ら ば,pはaRの

立 し た と し よ う.す

極 小 素 因 子 で あ る.そ

る と,pRpが

導 手Rp:Rp[b/a]と

こ で,(ロ)が

成

一 致 す る.(b/a)p〓R

ゆえ

ゆ え, 

に,pRpはaRpの

素 因 子 で あ り,pがaRの

素 因 子 で あ る こ と を知 る.  (証 明 終)

  系3.4.10. pがNoether環Rの の 素 因 子 で あ れ ば,pに

素 イ デ ア ル で,aが

含 ま れ る 任 意 の 非 零 因 子bに

非 零 因 子,pがaR

対 し,pはbRの

素因

子 で あ る.   証 明.定 ad.補

理3.1.9に

題3.4.6に

よ り,∃c∈R,p=aR:c.b∈pゆ

え,∃d∈R,bc=

よ り,aR:c=bR:d.∴p=bR:d.ゆ

え にpはbRの

素 因 子. 

(証 明 終)

  定 理3.4.11.  R上

RがNoether環

整,b/a〓Rと

す る.す

い も の が 存 在 す る か,ま   証 明.結 (qiはpi準

で,a,b∈R,か る と,aRの

た は,aRは

論 を 否 定 す る と,準 素)に

極 小 素 因 子pでRpが

付 値 環.bRの 整,か

こ で,qj′ の う ち にqiに

Rが

… ∩qn

準素 イ デ アル に よ る

つRpiが

正 規 環 で あ るか

含 ま れ る も の が あ る.∴bR

な わ ち,b/a∈R. 

  補 題3.4.12. 

付値環でな

素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 現aR=q1∩

最 短 表 現q1′ ∩ … ∩qs′ を と る.b/aがR上

〓aR,す

非 零 因 子,b/aは

極 小 で な い 素 因 子 を もつ.

よ り,htpi=1,Rpiは

ら,bRpi〓aRpi(∀i).そ

つ,aは

(証 明 終)

正 規 環 な らば,Rの

商 環Rs(Sは

積 閉 集 合)も 正 規 環

で あ る.   証 明.  aがRS上 がR上

整  整 ⇒(Пsi)a∈R⇒a∈Rs. 

  定 理3.4.13.(Krullの

定 理)  RがNoether整

(証 明 終) 域 で あ る と き,Rが

正規

環 で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,次   (イ)  pが

高 さ1の

  (ロ)  pが

非 正 則 元a(≠0)に

の 二 条 件 の 成 立 す る こ と で あ る:

素 イ デ ア ル な ら ばRpは

付 値 環.

よ っ て 生 成 さ れ た イ デ ア ルaRの

素 因子 な ら

ば,htP=1.   証 明 は 補 題3.4.12,定

理3.4.11,系3.4.8に

よ り容 易.

  3.5.Dedekind環   Krull次

元1のNoether正

規 環 をDedekind環

一 つ の 重 要 な 例 か ら始 め よ う.そ

の た め に,次

代 数 拡 大 体 を 代 数 数 体 と い う.Q上 整 数 環Zの

の 次 数 を も っ て,そ

け る整 閉 包)を

の 次 数 と定 め る.有

含 ま れ る代 数 的 整 数 全 体 の な す 環(す 意 味 す る.次

  定 理3.5.1. 

の こ とは 系3.4.4に

有 限 次 代 数 数 体Kの

の

理 数 体Qの

上 に 整 で あ る よ うな 複 素 数 を 代 数 的 整 数 と い う.代

整 数 環 と は,Kに

ら にZ加

とい う.Dedekind環 の定 義 をす る:有

理

数 数 体Kの

な わ ち,ZのKに

お

よ り明 白 で あ る.

整 数 環RはDedekind環

で あ り,さ

群 と して 有 限 生 成 で あ る.

  Dedekind環

に つ い て の 重 要 な 結 果 は,イ

わ す こ と に つ い て の 結 果 で あ る が,そ

デ ア ル を素 イ デ ア ル の 積 と し て 表

れ を 述 べ る の に は,分

数 イ デ ア ル も含 め

る 方 が す っ き りす る の で 分 数 イ デ ア ル の 定 義 か ら始 め よ う.一 Q(I)がIの

商 体 で あ る と き,Q(I)のI加

な 元b(≠0)に

よ り,ba〓Iと

に よ り,c-1aと

整 域,

群 と し て の 部 分 加 群aで,適

な る も の を,Iの

除 外 して 定 義 す る こ と も あ る.)す

般 にIが

当

分 数 イ デ ア ル と い う.({0}を

な わ ち,c∈I,c≠0と,Iの

表 わ し得 る も の が 分 数 イ デ ア ル で あ る.こ

イ デ ア ルaと れ に対 し,Iの

イ デ

ア ル を 整 イ デ ア ル と よ ぶ.   さ て,DがDedekind環

で あ る も の と し よ う.各

離 散 付 値 環Dp(系3.4.8参

照)を

を 考 え る.Dの と な るnで る が,定

商 体Q(D)の0で

よ り,そ

の 極 大 イ デ ア ルpDpの

な い 元xに

あ る と定 め る.(x∈Dpな

理3.3.3に

考 え,そ

極 大 イ デ ア ルpに

生 成 元 πp

対 し,vp(x)はxDp=πpnDp

ら ば,n≧0,x〓Dpな

の よ うなnは

対 し,

確 定 す る.こ

ら ばn<0で

あ

の 函 数vpは,付

値

環Dpが はD加

定 め る正 規 付 値 と よ ば れ る.)Dの

分 数 イ デ ア ルa(≠0)を

群 と して 有 限 個 の 元a1,…,asで

…,s}と

お く と,aDp=πpmDpで

と定 め る.以

  補 題3.5.2. aがDの イ デ ア ルpは

有 限 個 しか な い.そ

の よ う なpの

と き,vp(a)≠0と 全 体 がp1…,ptで

他 の極

と き:vp(x)≧0(∀p)な

ら ば, 

え にb=Dで

が 整 イ デ ア ル の と き:a=qi∩

あ り,こ

はD

の と き の 等 式 を得 る.(ⅱ)a

… ∩qα が 準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 示 で あ る と

し よ う. 

ゆ え に,α=t.そ と仮 定 し て よ い. 

照).ゆ

え に,(ⅰ)に

よ り こ の 場 合 の 求 め る等 式 を得 る.(ⅲ)一

お け る 二 つ の 分 数 イ デ ア ルa,bに

イ デ ア ル の と き と 同 様 に,  これ は分 数 イ デ ア ル で あ る.さ ア ルa-1は 

ら に,0で

例 え ば,体Kの

上 の 二 変 数 の 多 項 式 環K[x,y]の

  定 理3.5.3. 

当 然 成 立 す る が,aa-1=Iと

あ る と き,a-1=K[x,y]で の と き,aa-1=aと

群 と 定 め る.

は 限 ら な い.

イ デ ア ルxK[x,y]+ あ る こ とは 容 易 に わ か る で あ

な っ て し ま う.し

か し な が ら,Dede-

の 定 理 が成 立 す る.

Dedekind環Dの0で

イ デ ア ル の 積 に 関 して 群 を な す.a∈Gの 定 め たa-1と

の 積abは,

れ も 分 数 イ デ ア ル で あ る こ とは

し て,aa-1〓Iは

に お い て は,次

対 し て,そ

な い 分 数 イ デ ア ル α に 対 し,逆 イ デ

と定 め る.こ

ろ う.し た が っ て,こ

(証 明 終)

で 生 成 さ れ たI加

容 易 に わ か る.そ

yK[x,y]がaで

般 の場

つ い て は 正 し い か ら, 

ゆ え に求 め る 等 式 を こ の場 合 に も 得 る.    一 般 に整 域Iに

こ で,

(定理2.3.5,

合:∃c∈D(c≠0),ca〓D.caに

kind環

あ り,ni

つ い て はvp(x)≧0}.

の イ デ ア ル で,b〓p(∀p)ゆ

2.3.7参

な る極 大

あ れ ば, 

  証 明.  (i)a=Dの

pi=〓

のmを,vp(a)

の こ と が わ か る:

分 数 イ デ ア ル,a≠0の

=vpi(a)(i=1,…,t)で

大 イ デ ア ルpに

生 成 さ れ る.m=min{vp(ａi)￨i=1,

あ る こ と は 容 易 に わ か る.こ

上 の 記 号 の 下 で,次

と れ ば,a

は一 致 す る.Gの

な い 分 数 イ デ ア ル 全 体Gは,分

数

と き,Gの

で

単 位 元 はDで

群 と し て の 逆 元 と,上

あ り,Gの

各 元 は極 大 イ デ ア

ル の べ き の 積 と し て(順 序 を無 視 し て)一 意 的 に表 わ し得 る.す 3.5.2の

記 号 の 下 でa=p1n1…ptntで

と き,pnは(p-1)mを は,Dの

あ る.こ

意 味 す る も の と す る.し

Chinese

元aが

remainder

負 の整 数 で ある

た が っ て,Gの

群 と しての構 造

由 加 群 と同 型 で あ る.

整 イ デ ア ル で あ る と き,a=p1n1…ptntと

theoremと,補

題3.5.2の

題

こ に,n=−mが

極 大 イ デ ア ル 全 体 を 一 次 独 立 基 に も つZ自

  証 明.  Gの

な わ ち,補

な る こ とは,

証 明 と か ら出 る こ と に 注 意 し て

お こ う.ま た,分 数 イ デ ア ル と し て の 積 が 単 に結 合 法 則 を み た す だ け で な く,p が 極 大 イ デ ア ル,a,b∈Gな び,DがGの mに

ら ば, 

の 成 立 す る こ と,お

単 位 元 で あ る こ とは 容 易 に わ か る.さ

対 して,m-1を

調 べ よ う.mDmの

て,任

生 成 元 π を,mの

よ

意 の極 大 イ デ アル 元 か ら選 ぶ. 

が 準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 現 と し て,  とお け ば,明 =0と

な る.し

て,極

大 イ デ ア ルmに

ら か に,up(b)は,vm(b)=−1で,p≠mな

た が っ て,b=m-1,vp(bm)=0(∀p)と

b-1a(b∈D,aは

つ い て は,m-1はGに

群 で あ る.c∈Gに

味 でcc*=Dを

対 し,そ

た が っ て,c*=c-1を

  上 の定 理 で 得 た 群Gの

元 が す べ て 逆 元 を も ち,し

元 は とも たが

数 イ デ アル の積 の意

す べ て の 極 大 イ デ ア ルpに

得 る. 

つ

(証 明 終)

中 で,単 項 分 数 イ デ ア ル,す な わ ち,aD(0≠a∈Q(D))

の 形 の 分 数 イ デ ア ル,全

体 の な す 部 分 群Pを

イ デ ア ル 類 群 と い う.ま

た,Dの

と る.剰

余 類 群G/Pを,Dの

イ デ ア ル 類 群 の 位 数 を,Dの

限 次 代 数 数 体 の 整 数 環 の場 合 に は,そ か し,一

イ デ ア ルa,bDが

の 逆 元c*は,分

み た す か ら,vp(c*)=−vp(c)が

い て 成 立 し,し

たがっ

お け る 逆 元 で あ る.Gの

に 素 イ デ ア ル の べ き の 積 で あ る こ とか ら,Gの

て い る.し

な り,bm=D.し

整 イ デ ア ル)の 形 に表 わ せ る こ と,整

っ て,Gは

ら ばvp(b)

般 のDedekind環

類 数 とい う.有

の 類 数 が い つ も有 限 で あ る こ とが 知 られ の 中 に は,類

数 が 無 限 で あ る もの は多

く存 在 す る.   他 方,系3.4.4か 体Q(D)の Dedekind環

らわ か る よ うに,DがDedekind環

有 限 次 分 離 的 代 数 拡 大 体 で あ る と き,DのLに で あ る.し

か し,こ

で,LがDの

商

お け る整 閉包 は

の 結 果 は,「 分 離 的 」 とい う仮 定 が な く て も

成 立す る.そ の証 明 には局 所環 の重複 度 に関す る概 念 を利 用 す る方 が便利 で あ るの で,第6章

で扱 うこ とにす る(Krull−秋 月 の定 理).

  3.6.  い くつ か の 商 環 の 共 通 部 分   前 節 に お け る結 果 の 特 別 な 場 合 と し て,DがDedekind環 (pは 極 大 イ デ ア ル 全 体 を動 く)がDと つ の 一 般 化 は,後(第8章)で と し て は,次

一 致 す る こ と が わ か る.こ

扱 うKrull環

次 の 条 件(*)を

の 概 念 に つ な が る が,別

の一 般 化

域 で,PがIの

素 イ デ ア ル か ら成 る 集 合 で,

み た せ ば,

  (*)aがIの

非 正 則 元,qがaIの

  証 明.  各IpはIを

と る.仮

素 因 子 な ら ば,∃p∈p,q〓p. は 明 白. 

含 む か ら, 

x=b/a(a,b∈I,a≠0)と

表 わ す.aIの

I∩aIpiはqjの

と仮 定 し よ う.

準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 示aI= b/a∈Ipiゆ

定 に よ り,  と こ ろ が,定

特 にqi∋b.こ

の こ との一

の 定 理 が あ る.

  定 理3.6.1.IがNoether整

q1∩ … ∩qsを

で あ る と き, 

う ち,piに

理2.3.7お

よ び2.3.5に

含 ま れ る も の 全 体 の 共 通 部 分 で あ る.し

れ が す べ て のiに

え,  よ り,

た が っ て,

つ い て い え る の だ か ら,aI∋b.∴x=b/a∈I.

 

(証 明 終) 系3.6.2.IがNoether整

ア ル 全 体 を 動 く.(問   系3.6.3. 

こ こ にmは

域 で あ れ ば, 題3.6.2参

IがNoether正

極大イデ

照) 規 環 で あ れ ば, 

こ こ にpは

高 さ1の

素 イ デ ア ル 全 体 を動 く.

問   1.  環Rの   (イ)  R準

上 の 加 群Mが 同型

φ:M→M′

  (ロ) a={x∈R￨xM=0}と 群 と 考 え ら れ る.

題   3.0.

有 限 生 成 で あ る と き, に つ い て,φMは お け ば,R/aはNoether環

有 限 生 成 で あ る. で あ り,Mは

自 然 にR/a加

  な お,Mが

有 限生 成 とい うだ け で はMは

か し,RがNoether環

の とき は,Mの

  2.  環Rの

上 の加 群Mの

もNoether加

群 で あ る.

部 分 加群 は有 限 生 成 であ る.

部 分 加 群N1,N2がNoether加

  3.  RがNoether環,aがRの Nが

必 ず し も有 限 生 成 で は な い(例 示 せ よ).し

イ デ アル,xがRの

そ の部 分 加群 で あ る とき,適 当 な 自然 数rを

群 で あ る と き,N1+N2

元,M′

とれ ば,rよ

が有 限生 成R加

群,

り大 きい任 意 の 自然 数n

に対 し,

問

 1.  Noether環Rの

イ デ ア ルaに

とす る.こ の と き,aの

  [ヒ ン ト:pが

環Rの

は,「x∈RがM/Nに

極 小 でな い素 因 子 で あ る もの

と な る も の が 存 在 す る こ と を示 せ.

極 大 イ デ ア ルで あ る場 合,nが   もaの

  2.  Mが

つ い て,pがaの

準 素 イ デ アル に よる二 つ の最 短 表 現

か っq1≠q1′

で, 

題3.1.

充分 大 きい 自然 数 であ れ ぼ,

最 短表 現 に な る.こ の こ とを証 明 し,か つ 利用 せ よ.]

上 の加 群 であ る とき,部 分 加 群NがMの 関 す る零 因 子 な らば,∃n(自

準 素部 分 加 群 で あ る と

然 数),xnM〓N」

の成 立す る と き

に い う.次 の こ とを証 明 せ よ.   (イ) イ デ アル化 の 原理 にお け る環R*=R〓Mを 考 えた とき, NがMの 準 素部 分加 群 ⇔R*の 準 素 イ デ ア ルq*を 適 当に とれ ば,q*∩M=N.   (ロ)  MがNoether加

群 で あれ ば,Mの

任 意 の部 分加 群 は有 限 個 の準 素 部分 加 群 の

共 通 部分 として表 わ し得 る.   3.  Rが

整 域 で,p1,…psがRの

素 元 で,qi(i=1,…,s)がpiR準

あ るな らば,q1∩ … ∩qs=p1e1…psesRと 自然 数 な らば 

な る 自然 数e1,…,esが

素 イ デ アル で

あ る.逆 に,e1,…,esが

で あ り,か つ,pieiRはpiRに

属 す る準 素 イ デ アル

で あ る.

問   1.  Artin環Aの

題   3.2.

極 大 イ デ ア ル の 数 がnな

ら ば,Aはn個

のArtin局

で あ る.  2.  (R,m1,…,mn)が Rが   3.  (R,m)が

擬 半 局 所 整 域 で あ る と き, 素 元 分 解 環 ⇔Rmi素

正 則 局 所 環 で,aが

元 分 解 環(i=1,…,n).

イ デ ア ル で あ る と き,

所 環 の直 和

  R/aが

正 則 局所 環 ⇔

適 当 な正 則 パ ラメ ー タ ー系 の部 分 集 合 に よ ってaが

生 成 され

る.   4.  (R,m)が

局 所整 域 で あ る とき,

Rが 付 値 環(し たが って,当 然,離 散 付 値 環)⇔aが

イ デ アル でm⊃a〓m2な a=m2が

  5.  一 般 の 環Rの

上 の加 群Mに

らば,

成 立 す る.

つい て も,定 理3.2.1(ロ)の

の 極 小基 を定 義 す る.そ の よ うな場 合 に つ い て は,定 理3.2.1の

前 半 の条 件 に よ りM 最 後 の こ とは必 ず し も

成 立 しな い こ と を例示 せ よ.

問   1.  R,R′

が 同 じ体 の 付 値 環 で あ り,R≧R′

 2.  Rが

正 規 環 で あ る と き,Rの

 3.  Rが

体Kの

な ら ば,R=R′.

上 の 多 項 式 環R[x1,…,xn]も

付 値 環,LがKの

  (イ)  R∩LはLの   (ロ)  Rが

題3.3.

正 規 環 で あ る.

部 分 体 で あ る と き,

付 値 環 で あ り,Krull

dim(R∩L)≦Krull

離 散 付 値 環 な ら ばR∩LはLと

一 致 す る か,ま

dim

R.

た はLの

離散付値環に

な る.

問   1.  Noether環Rが ルpが

題  3.4.

そ の全 商 環Q(R)の

非 零 因 子 を含 め ば,商 環Rpは

  2.  定 理3.4.13を

中で整 閉 で あ る もの とす る.Rの

素 イデア

整 域 で あ る.

次 の よ うに一 般 化 せ よ.

  Noether環Rに

つ い て,Rが

全 商 環Q(R)の

中で整 閉 で あ る た めの必 要充 分 条 件

は,次 の二 条 件 が 成 立 す る こ とで あ る:  (イ) pが 高 さ1の 素 イデ アル で,非 零 因 子 を含 め ば,Rpは

付 値 環.

 (ロ) pが 非 零 因 子aに

素 因 子 な らば,htp=1.

よ って生 成 され た 単項 イ デ ア ルaRの

問  1.  Dedekind環Rが

半 局 所 環 で あ れ ば,そ

  2.  aがDedekind環Dの  3.  一 般 に,Rが のR部

分 加 群 で,適

うなaが がRと

題3.5. れ は 単 項 イ デ ア ル 環 で あ る.

イ デ ア ル な ら ば,∃b,c∈a,a=bD+cD.

環 で あ る と き,aがRの 当 なRの

非 零 因 子cに

原 始 分 数 イ デ ア ル で あ る と は,aが

分 数 イ デ ア ル と は,aはRの よ り,ca〓Rと 非 零 因 子 を 含 み,さ

ら に 

一 致 す る と き に い う.

  ま た,分

数 イ デ ア ルaに

対 し,分

数 イ デ ア ルbで,積ab(す

全 商 環Q(R)

な る と き に い う.そ

な わ ち,

のよ

で 生成 され た加 群)がRと い,bはaの

一 致 す る もの が あ る とき,aは

逆分 数 イ デ アル で あ る とい う.a-1で

  (イ) aが 可逆 分 数 イ デ アル な らば,(ⅰ)aは 数 イ デ アルa−1は(aに   (ロ) Rの

を示 せ.

原 始 分 数 イ デ アル で あ り,(ⅱ)aの

対 して)唯 一 つ で あ り,(ⅲ)aは

有 限 生成 で あ る.

可 逆 分 数 イデ アル全 体 は群 をな す(積 は,分 数 イ デ ア ル と して の積).

問   1. 

可逆 分数 イ デ アル で あ る とい

示 す.こ の定 義 の下 で,次

がNoether整

が 成 立 す れ ば,Pは

域,Pが

素 イ デ ア ル を要 素 に もつ集 合 で,

定 理3.6.1の

  2.  Iが 整域 でmがIの

題  3.6.

条 件(*)を

み たす.

極 大 イデ アル全 体 の集 合 で あ れ ば,

逆分

第4章 

有 限 生 成 環

  4.0.  正 規 化 定 理   簡 単 な 構 造 の 環 の 上 に 有 限 生 成 の 環 は,い る.こ

の 章 で は,そ

の よ う な 環 の う ち,特

を扱 う こ と に す る.そ 化 定 理(系4.0.3)が

ろ い ろ な 意 味 に お い て基 本 的 で あ に 体 の 上 に 有 限 生 成 で あ る よ うな 環

の よ う な 場 合 に は,後

で述 べ る よ うな有 限 生成 環 の正 規

重 要 な 役 割 を す る の で,こ

の 節 で は,そ

れ を 目標 に し よ

う.   体Kの

上 のn変

く た め,K[X1,…,Xn]は と に す る.他

数 の 多 項 式 環K[X1,…,Xn]を

考 え る.書

誤 解 の お そ れ の な い と き はK[X]と

f￠Kな

らば,K[X]の元

Y1=f,Y2,…,Ynで,K[X]がK[Y]=K[Y1,…,Yn]の

上 に整 で あ る

も の が あ る.(イ)Yi=Xi+X1mi(i=2,…,n)の 与 え られ た 自然 数 の と き,miはqの

形 に と る こ とが で き る.qが 倍 数 に と る こ と が で き る.(ロ)Kが

限 体 で あ れ ば,Yi(i≧2)はYi=Xi+ciX1(ci∈K)の   証 明.f=ΣaiM(Miは

Y2,…,Ynの

あ る,そ

単 項 式,0≠ai∈K)と

表 わ す.t>degf=dな

と 

書 式 順 序 で 

れ をM1と

Y2,…,Ynに

つ い て, 

以 内 の 異 な る 単 項 式 

た が っ て,fに

る

とお い て,fをX1,

多 項 式 に 展 開 す る.M=X1α1…Xnαnに

とに つい て,辞

無

形 に と る こ と も で き る.

と り, 

と お け ば,d次

る.し

略記す るこ

の 文 字 の と き も同 様 に す る.

  補 題4.0.1. 

qの 倍 数tを

く面 倒 を省

であ

現 わ れ るMiの し よ う.そ

つ い て の 多 項 式)と

うち

ω(Mi)の

最 大 な もの は唯一 つ で

して,M=X1ω(M)+(X1に な る か ら,fをX1,Y2,…,Ynの

つ い て 低 次 の,X1, 多項 式

に 展 開 す れ ば,f1=a1X1ω(M1)+(X1に 式)と

な る.そ

つ い て 低 次 の,X1,Y2,…,Ynの

こ で,K[Y1,…,yn]上,X1はXω(M1)+a1-1(Xに

低 次 の 項)−a1-1Y1=0の

整 で あ る.Kが

無 限 体 の 場 合 は,Yi=Xi+ciX1と

定 め れ ば よ い こ と は,上

の 証 明 か らわ か る.fのd次

とれ,以

  定 理4.0.2. 

あ る か ら,そ

…

,Ynで,次

れ が0で

な い よ うc2,…,cnを

係数 は 定めれば にな

え らん で ゆ け ば よ い. 

(多 項 式 環 の 正 規 化 定 理)aが

体Kの

イ デ ア ル で 高 さ がrで

の 性 質 を も つ も の が あ る.た

  (1)K[X]はK[Y]=K[Y1,…,Yn]の Y1,…,Yrで

斉 次 成 分 をfd

え, 

下 順 次ciを

K[X]=K[X1,…,Xn]の

元 にな る よ

つ い て 展 開 した と き のX1dの

よ く,そ れ に は,fd(1,X2,…,Xn)≠0ゆ る よ うc2が

お い て,fをX1,Y2,…,

つ い て 最 高 次 の 係 数 がKの

とす る とき,fをX1,Y2,…,Ynに fd(1,−c2,…,−Cn)で

整 で あ る.

え,K[X1,…,Xn]はK[Y1,…,Yn]上

多 項 式 に 展 開 し た と き,X1に

うciを

つ い ての

根 で あ る か ら,X1はK[Y1,…,Yn]上

K[Y1,…,Yn,X1]∋Xi(i≧2)ゆ

Ynの

多項

(証 明 終)

上 のn変

数 の多 項 式環

あ る と き,K[X]の

だ し π はKの

元Y1,

素 体 と す る.

上 に 整 で あ る.(2)a∩K[Y]は

(標数p≠0

生 成 さ れ る.(3) 

の ときは   証 明.  rに つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.r=0な お け ば よ い.r≧1と る.帰

す る.イ

納 法 の 仮 定 に よ り,a′

み た すY′1,…,Y′nが 2.4.12 

に よ

に つ い て,上

の(1),(2),(3)に

え,Xi=Yiと あ る よ うに と 相 当 す る条 件 を

系

あ る.  (問 題2.5.5). 元f(Y′1,…,Y′n)で,a′

代 り にf(0,…,0,Y′,…,Y′n)を

ら  補 題4.0.1を

デ ア ルa′ 〓aを,hta′=r−1で

り, 

ゆ え に,a∩K[Y′]の あ る.fの

らばa=0ゆ

∩K[Y′]に

考 え て も 同 じ条 件 を み た す か

ゆ え),f∈K[Y′r,…,Y′n]と こ のfとK[Y′r,…,Y′n]と

属 し な い もの が

仮 定 し て よ い.

に 適 用 す れ ば,K[Y′r,…,Y′n]

の 元f=Y"r,…,Y"nで,K[Y′r,…,Y′n]がK[Y"r,…,Y"n]の 整 で,Y"i=Y′+Y′rmi(i>r)で

あ る も の が あ る.Y1=Y′1,…,Yr-1=Y′r-1,

上 に

Yr=Y"r,…,Yn=Y"nと はpの

お く.(3)は

作 り方 か ら明 ら か.(p≠0の

倍 数 に と る.)K[Y]上,K[Y′]が

か ら,(1)が

整 で,そ

の 上 にK[X]が

の 素 イ デ ア ル で あ る か ら,*)  っ て,(2)が

a1,…,anで

に は な り得 な い.し

成 り立 つ. 

  系4.0.3.(有

限 生 成 環 の 正 規 化 定 理)**)  環Aが 生 成 され れ ば,Aの

htaと

体Kの

上 に有 限個 の元

元z1,…,ztが,(1)AはK[z1,…,zt]の 代 数 的 独 立 で あ る よ う に とれ る.

な る多項式 環K[X]と

  証 明.  を と り,そ

れ に 前 定 理 を適 用 し てY1,…,Ynを

す る.K[X]か

(j=1,…,t;t=n-r)と

らK[a]へ

とす る.φYr+j=zj

整 ゆ え,K[a]=φ(K[X])

整 で あ る.  と な り, 

な る 関 係 が あ っ た とす る と,  に よ り,ci1…it=0に

な る.し

た が っ て,z1,…,ztはK上

的 独 立 で あ る.  整 域 で あ る場 合 に つ い て,こ

商 体Q(A)の

代 数 的 独 立,か

数 拡 大 体 で あ る と き に い う.こ

適 当 な 元w1,…,wtを

の 性 質 を もつw1,…,wtの

離 的 の 場 合 に は 次 の 形 に 変 形 され る が,本 引 用 の 「可 換 体 論 」 補 題3.9.4参

な る.高

れ がKの

上 に分離

とれ ば,(イ)w1,

っ,(ロ)Q(A)はK(w1,…,wt)の

分 作 用 素 に よ っ て 特 徴 づ け られ る こ と を利 用 し て,上

  *)  高 さ は 丁 度rに

代 数

(証 明終)

  上 で 扱 っ た よ うな 環Aが

…,wtはK上

そ のイ デ

得 た とす る.r=

の 自然 準 同 型 をφ

お く.K[x]はK[Y]上

はK[z1,…,zt]=φ(K[Y])上

的 で あ る と は,***)Aの

たが

(証 明 終)

上 に 整,(2)z1,…,ztはK上

ア ルaと

整である は 高 さ ≧r

で, 

成 り 立 っ. 

と き はmi

分 離 的代 組 の 特 徴 づ け が,微

で 述 べ た正 規 化 定 理 は分

書 で は 証 明 は し な い.(例

照).

さ は

が 素 イ デ アル で あ る こ とか ら明

白.(2)が 成 り立 つ こ と か ら(実 は も っ と一 般 に 定 理3.2.7を rに な る こ と が わ か る.  **)  Noetherの 正 規 化 定 理 と もい わ れ る .  ***)  も っ と一 般 な 整 域 に つ い て の 分 離 的 とい う概 念 が あ る が,本   例 え ば 「可 換 体 論 」(永 田[2])参

え ば,脚 注

照.

使 え ば)高

さが丁 度

書 で は 省 く.他

書,

  系4.0.3に

お け るAが

ztは 上 記(1),(2)の

整 域 で あ り,さ

他 に,さ

ら にK上

分 離 的 で あ れ ば,z1,…,

ら に,(3)Q(A)がK(z1,…,zt)の

上 に分 離 的

代 数 拡 大 体 で あ る よ う に 選 ぶ こ と が で き る.   他 方,体

の 上 で な く,整 域 の 上 の 有 限 生 成 環 に つ い て は,上

正 規 化 定 理(4.0.2,4.0.3)は   定 理4.0.4. 

次 の 二 定 理 の よ う に 一 般 化 さ れ る:

aが 整 域Iの

上 のn変

の イ デ ア ル で あ る も の とす る.Iの r=htaK[X]と で,次

お く,す

数 の 多 項 式 環I[X]=I[X1,…,Xn]

商 体 をKと

る と,I[X]の

す る.a∩K=0と

元Y1,…,Yn,お

はY1,…,Yrで

(2) 

っ,Iの0以

素 整 域.)

環Rが

上 に 有 限 個 の 元b1,…,bnで

わ す と き,π[b1,…,bn]の ztはI上

整 域Iの

非 零 因 子 で あ る も の と す る.Iの 元z1,…,ztと,Iの

元b(≠0) 整 で あ り,

生 成 さ れ,(3) 

(こ こ に π はIの

外 の 元 はRの

仮 定 す る.

よ びIの

の 条 件 を み た す も の が あ る:(1)I[b−1][X]はI[b−1][Y]上

  定 理4.0.5. 

で述 べ た二 っ の

元a(≠0)と

生 成 さ れ,か 素整 域 を πで表 を,(イ)z1,…,

代 数 的 独 立,(ロ)R[a-1]はI[a-1,z1,…,zt]上

整 で あ る よ うに

と る こ と が で き る.

  定 理4.0.4の る と,(3)は

証 明.  定 理4.0.2をK[X]とaK[X]と 明 ら か に 成 立 す る.Y1,…,Yr∈aK[X]ゆ

各XjがK[Y]上 I[Y]上

整. 

  定 理4.0.5.の

え, 

整 で あ るか ら, 

が

とお け ば よ い. 証 明.  定 理4.0.3の

証 明 と同 様 の 方 法 で,定

用 し て 証 明 さ れ る. 

 4.1.正

に 適 用 す る.す

理4.0.4を

利

(証 明 終)

規化 定 理 の 応 用 例

  この節 で は,正 規 化 定 理 の環 論 的 応用 例 と して,素 イ デア ル鎖 の長 さ,Hilbert零 点定 理,お よび,整 閉 包 の有 限性 につ い て の体 の上 に有 限 生 成 の環 に お け る結果 を述 べ る こ とにす る.   素 イ デ ア ル鎖 につ い て は,次 の定 理が 成 立 す る.

  定 理4.1.1. 

整 域Aが

体Kの

上 に 有 限 個 の 元 で 生 成 され て い る と す る.

 が 素 イ デ ア ル の 昇 鎖 で,各piとpi+1と ル は 存 在 せ ず,ま

た,ptは

極 大 で あ る とす る.す

の 間 に は素 イ デ ア

る と,t=trans.degKAで

あ る.   証 明.  Kの

上 に代 数 的 独 立 なAの

元z1,…,znが

の 上 に 整 で あ る.tに は 体 で あ る.し て,π=0と

た が っ て,補

と に適 用 し て,zi∈p1と

よ る 帰 納 法 を利 用 す る.t=0な

題2.4.4に

な り正 し い.t>0と

よ り,K[z]も

し よ う.補

と れ ば, 

体Kの

ら ば,A

体 で あ る.し

たがっ

題4.0.1をK[z]とp∩K[z]

仮 定 し て よ い.A/p1と 

と に帰 納 法 の 仮 定 を 適 用 す れ ば,t-1=n-1.し   系4.1.2. 

あ っ て,は 

た が っ て.t=n.(証

上 に 有 限 個 の 元 で 生 成 され た 整 域Aの

明 終)

素 イ デ ア ルpを

trans.degKA=trans.degK(A/P)+htp.

  特 に(イ)mがAの

極 大 イ デ ア ル で あ れ ば,A/mはK上

(ロ)pか

終 わ る 素 イ デ ア ル の 降鎖 で 細 分 で きな い もの の長 さは

ら始 ま り0で

必 ずhtpに

代 数 的 で あ る.

等 し い.

  証 明.0とpと

を 通 る よ う な,前

定 理 に お け る素 イ デ ア ル の列 を と って み

れ ば 明 白. 

(証 明 終)

  こ の 系 の(イ)を

使 っ て,次

  系4.1.3.(Hilbert零 Aに

お い て は,一

aの 根 基〓

の 二 つ の 結 果 を得 る:

点 定 理)*)  体Kの つ の イ デ ア ルaを

上 に有 限 個 の 元 で 生 成 さ れ た 環

含 む 極 大 イ デ ア ル 全 体 の 共 通 部 分〓

は,

に 等 し い.

  証 明. 

は 明 白.   と し て よ い.(イ)aが

の 証 明 に は, 

素 イ デ ア ル の と き:A∋f≠0と

の 極 大 イ デ ア ルm′

を と れ ば,A[f−1]/m′

A/(m′ ∩A)もK上

代 数 的.し

ゆ え に,f〓.ゆ

え に, 

を 考 え る こ と に よ り,

はK上

た が っ て,m′ (ロ)一

す る.A[f-1]

代 数 的 ゆ え(前

∩A=mはAの

極 大 イ デ ア ル.

般 の と き:素 イ デ ア ルpに

  *)  なぜ これ を零 点 定理 とい うか につ い て は §4.3で 述 べ る.

系(イ)),

つ い て,

(イ)を

適 用 す れ ば, 

  系4.1.4. 

∴ b〓 ∩p=〓=0. 

環Rが

大 イ デ ア ル はn個

体K上n個

(証 明 終)

の 元 で 生 成 さ れ た 環 で あ る と き,Rの

の 元 で 生 成 さ れ る.

  証 明.  多 項 式 環K[x]=K[X1,…,Xn]か る.mがRの あ る.φ-1(m)がn個

類 をciと

の 元f1,…,fnで

上 へ の 準 同 型φ

極 大 イ デ アル で

仮 定 し て よ い.XiのR/mに

す る.Lo=K,Li=K[c1,…,ci](i=1,…,n)と

おける

お く.系4.1.2(イ)

代 数 拡 大 体 で あ る か ら,各LiもKの

項 式fi(i=1,…,n)を

があ

生 成 され れ ば,mはφf1,…,φfnで

た が っ て,R=K[X]と

に よ りR/mはKの る.多

らRの

極 大 イ デ ア ル で あ れ ば,φ-1(m)はK[X]の

生 成 さ れ る.し

極

代 数拡 大 体 で あ

次 の よ う に と る:ciのLi-1上

の最 小 多 項式

 を と り,各aijのK[X1,…,Xi-1] に お け る 代 表 元aijを

と お く.作

と っ て,

り方 か ら,  の 極 大 イ デ ア ル.ゆ

特 に, 

え に,mはf1,…,fnで

生 成 され る.    次 に,整

(証 明終)

閉 包 の 有 限 性 に ふ れ よ う.証

  定 理4.1.5. 

体Kの

体L′

を とれ ば,AのL′

る.し

た が っ て,A′

上 に有 限 生 成 な 整 域Aの に お け る 整 閉 包A′ もK上

つ,z1,…,ztが

はA加

有 限次 代 数 拡大

群 と して有 限 生成 で あ

元z1,…,ztで,AはK[z]=K[z1,…,

代 数 的 独 立 と な る も の が あ る.A′

L′ に お け る整 閉 包 で あ る.し 分 離 的 な らば,系3.4.4に

商 体Lの

有 限 生 成 で あ る.

  証 明.  正 規 化 定 理 に よ り,Aの zt] 上 整,か

明 し よ う と い う定 理 は:

た が っ て,も

よ り,A′

し もL′

はK[z]加

はK[z]の

がK(z)=K(z1,…,zt)上

群 と し て 有 限 生 成 と な り,定

理 の 主 張 は 正 し い.  L′ がK(z)上

分 離 的 で は な い も の と仮 定 し よ う.こ

は 素 数 で あ る(定 理1.5.4).pの と を と れ ば, 

適 当 な べ き ｑ と,Kの が

の と き,Kの

標 数p

適 当 な 元c1,…,cm

zt1/q)上 分 離 的 に な る.[そ

の 証 明:非

に よ っ て 証 明 す る.y∈A′

がK[z]上

分 離 次 数[L′:K(z)]iに

つ い て の 帰納 法

非 分 離 的 で あ る と き,そ

の 最 小 多 項 式 

を考 え る(定 理1.5.4).eiの と し て 現 わ れ るKの

元 全 体(iも

動 か す)をc1,…,csと

上yはr次

係数

す る. 

の 多項 式 の根 に な るか ら, 

帰納法の仮 定 に よ り 証 明 が 完 了 す る.]そ

こで,  に お け る 整 閉 包A**を

の  に よ り,A**はA*加

群 と し て 有 限 生 成.と

て 有 限 生 成 ゆ え,A**もK[z]加 A′ もK[z]加

  4.2.正

則

群 と し て 有 限 生 成.ゆ

群 とし

えに そ の部 分 加 群

性 で あ り,さ

ら に,ど

の 素 イ デ ア ルpを

定 理6.5.13,系7.2.3参

照),Rは

とっ て も商 環

則 局 所 環 は 必 然 的 に 整 域 で あ り,

大 イ デ ア ル に よ る 商 環 だ け で 充 分 で あ る が,そ

  ま ず,正

離性

(証 明 終)

正 則 局 所 整 域 で あ る と き(実 は,(イ)正

ま た(ロ)極

こ ろ が,A*はK[z]加

群 と し て 有 限 生 成. 

  環RがNoether環 Rpが

と る と,分

れ らは 後 で 扱 う.

正 則 環 で あ る とい う.

則 環 に つ い て の 次 の 注 意 か ら始 め よ う.

  定 理4.2.1.  則 環 で あ る.逆

R1,…,Rnが に,環Rが

正 則 環 で あ れ ば,そ 正 則 環 で あ っ て,し

の 直 和 

も正

か も 零 因 子 を も て ば,Rは

二

つ 以 上 の 正 則 整 域 の 直 和 に 分 解 す る.   証 明.  前 半:直 (piはRiの

和 

素 イ デ ア ル)の 形 で,こ

と一 致 す る こ と か ら,前   後 半:0=qi∩ qi+qj≠Rと

の 素 イ デ ア ル に よ る 商 環 は(Ri)pi

半 が 出 る.

… ∩qsが0の す る と,qi+qjを

は な くな り,仮 RはR/qiの

の 素 イ デ ア ル は, 

定 に反 す る.し 直 和 で あ る.ま

準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 示 で あ る とす る.i≠j, 含 む 極 大 イ デ ア ルmを た が っ てChinese た,qiを

とれ ば,Rmが

remainder

含 む 素 イ デ ア ルpに

整域 で

theoremに

よ り,

つ い てRpが

整域

で あ る か ら,qiは

素 イ デ ア ル で あ り,R/qiは

と同 じ理 由 に よ り,直   さ て,こ

整 域 で あ る.ま

和 因 子 は 正 則 環 で あ る. 

Rが

R[X1,…,Xn]も

(証 明 終)

正 則 環 で あ れ ば,Rの

上 のn変

数 の 多 項 式 環R[X]=

正 則 環 で あ る.

  証 明.  nに

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す れ ば,n=1の

あ る こ と が わ か る か ら,一 合 に 証 明 す れ ば,あ

変 数 と仮 定 す る.ま

と は 易 し い か ら,Rは

の 素 イ デ ア ル で あ る とす る.p=B∩Rと

とき に証 明 す れ ば充 分 で

た 前 定 理 に よ り,Rが

お く.R[X]Bが

の 元a1,…,amに

pm =0がRの

正 則 局 所環 で あ る よ る商 環 で あ る か ら,

局 所 環 で あ る と仮 定 し て よ い.htp=mと

り,pはm個

整 域 の場

整 域 で あ る と仮 定 す る.BがR[X]

こ と を 示 せ ば よ い.R[X]BはRp[X]のBRp[X]に

し よ う.Rの

よ っ て 生 成 され る.ま

正則 性 に よ

た,p=p0⊃p1⊃

…⊃

素 イ デ ア ル 鎖 な ら ば, 

R[X]の り,こ

半 の証 明

こ で 証 明 し よ う と い う主 定 理 は:

  定 理4.2.2. 

(R,p)が

た,前

は

素 イ デ ア ル 鎖 ゆ え,  の 環 はEuclid環

た は(ロ)極

であ

で あ る か ら,そ

大 イ デ ア ル で あ り,後

が っ て,Bは,(イ)の に は,m+1個

者 の 場 合 で も一 つ の 元 で 生 成 され る.し

場 合 に はm個

の 元 で 生 成 さ れ,htB≧m,(ロ)の Krullの

の 元 で 生 成 され, 

に つ い て の不 等 号 は等 号 で あ り,R[X]Bは

  4.3.幾

た 場合

標 高 定 理 に よ り,高

さ

正則 局 所 環 で あ る.  (証明 終)

何 学 的 意 義

  代 数 的 閉 体 Ω を と り,Ω Sn(Ω)の

は(イ)0ま

の 素 イ デ ア ル 

の 上 のn次

元 ア フ ィ ン 空 間Sn(Ω)を

点 は Ω の 元 に よ る 座 標(a1,…,am)で

示 し得 る.こ

考 え よ う.

の 意 味 で, 

と考 え て よ い.  Ω の 上 のn変

数 の多 項 式 環

Ω[X]=Ω[X1,…,Xn]の をaの

る.ま

た,Sn(Ω)の

∀p∈V,f(p)=0}を,VのK上

部 分 集 合Vと

部 分 集 合aに

零 点 集 合 とい う.V(a)で Ω の 部 分 体Kと

対 し 

示 す こ とにす

に 対 し,{f∈K[X]￨

の 零 化 イ デ ア ル とい う.IK(V)で

示 す こ

と に し よ う.K[X]の

元fは,P→f(P)と

と考 え られ る が,Vに

制 限 し て 考 え る こ と も で き る.す

がV上 V上

い う こ と で,Sn(Ω)上

で 同 じ函 数 ⇔f-g∈Ik(V).そ

る と,f,g∈K[X]

こ で,K[X]の

の 函 数 の 集 合 は 環K[X]/IK(V)と

な る.こ

の 性 質 が 座 標 環 に 反 映 す る と い う見 地 か ら,体

の 函数

元 全 体 で 得 られ る

の 環 をVの

座 標 環 と い う.V

の上 に有 限生 成 の環 は重 要 で あ

る.   こ の 立 場 で,点 し,イ

と イ デ ア ル の 対 応 を 考 え る と,点p=(p1,…,pn)∈Vに

デ ア ル 

で は,イ

れ が極 大 イ デ ア ル ⇔ い.§4.1で

述 べ たHilbert零

  aがK[x]の 座 標 がK上

す べ て のpiがK上

デ ア ルIk(P))が

点 定 理 は,次

の よ う に 言 い か え ら れ る: あ る と き,VOは,Vの

代 数 的 で あ る よ う な も の 全 体 とす る.こ

点 でそ の

の と き,

え ば 次 の こ と を 示 す:a,bがK[X]の

  これ ら の 事 実 が,系4.1.3に

対 応 す る.「 そ

代 数 的 」 とい う事 実 に 注 意 さ れ た

イ デ ア ル で,V=V(a)で

 こ の こ とは,例

対

イ デ ア ル で あ る と き,

「零 点 定 理 」 と い う言 葉 が つ け ら れ て い る 所 以

で あ る.   次 に 整 閉 性 に 関 す る 話 題 に 移 ろ う.以 ア ル で あ り,さ か は,し

ら に)a=Ik(V)と

下,V=V(a)(aはK[X]の

仮 定 し よ う.座

素イ デ

標 環K[X]/aが

ば し ば そ の 性 質 を 探 る 上 で 重 要 な こ と で あ る.そ

整 閉か どう

の函 数 論 的意 義 を大

ま か に述 べ よ う. が

K[X]/a上

す る と,Vの 々n個

に き ま り,い

な い こ と は,K[X]/aの

整 で あ っ た と す る と,  ど の 点 で も,多

わ ゆ る極 を も た な い.と 商 体 の 元 で,V上

い う わ け で,K[X]/aが

性 質 を 探 る の に,函

の よ う な現 象 は 大 き な 障 害 に な り得 る.と

§4.1で 証 明 した よ うに,K[X]/aの

整 閉で

の 函 数 と し て 極 は も た な い の に,

正 則 で は な い も の の 存 在 を 意 味 す る こ と に な る.Vの 利 用 す る こ と が 多 い の で,こ

価 函 数 と考 え れ ば,高

商 体 内 で の 整 閉 包A′

数 を

こ ろ が,

は 有 限 生 成 で あ る.

そ し て,A′

とK[X]/aと

の 素 イ デ ア ル の 対 応 は 第2章

い ろ な よ い 性 質 を も っ て い る の で,A′ と な る イ デ ア ルbを す れ ば よ い)を 利 用 して,Vの   最 後 に,正

ろ

を座 標 環 に も つ よ う な 集 合  と り,Sm(Ω)に

お け るV(b)をWと

性 質 を し ら べ る の に 役 立 て得 る の で あ る.

則 性 の 幾 何 学 的 意 義 に ふ れ よ う.

  前 と 同 様,V=V(a),aはK[X]の Vの

で 見 た よ う に,い

点P=(p1,…,pn)に

つ い て,aの

の 階 数rankJ(P)を

考 え る.す

こ とが 知 られ て い る.そ 点 で あ る とい う.こ   PがVの

素 イ デ ア ル でa=IK(V)と 生 成 元f1,…,faを

る と,一

の と き,正

と っ て.行

般 に,rankJ(P)≦htaが

して,rankJ(P)=htaで

単純 点 ⇔

仮 定 し よ う. 列

成 り立 つ

あ る と き,PはVの

単純

則 性 との 関 連 と し て,

Ω[X]/α Ω[X]のI(P)/α

Ω[X]に

よ る 商 環 

が正 則 局所 環. とい うこ と が成 立 す る.(こ

こ で は 証 明 し な い.)

問   1.定

理4.0.2に

お い て,Kが

題4.0.

無 限 体 で あ る と き は,(3)の

代 りに,次

の(3′)に

し

て も よ い こ と を示 せ.   (3′)Yr+iは,x1,…,Xnの

一 次 結 合(i=1,…,n−r).

問   1.環Rが p⊂qで

体Kの

上 に 有 限 個 の 元 で 生 成 さ れ た とす る.p,qがRの

あ る と き,pとqと

で き な い も の(す

題4.1.

を 結 ぶ 素 イ デ ア ル の 鎖p=ｐ0⊂p1⊂

な わ ち,各pi-1とpiと

… ⊂prで,こ

の 間 に は 素 イ デ ア ル が な い)を

素 イ デ ア ル で, れ 以 上 細分 とれ ば,そ

の

長 さrは

次 の式 で与 え られ る.

問

 1.  環Rの

上 の一 変数 多項 式 環R[x]が

題4.2.

正 則 環 で あれ ば,Rも

正 則 環 であ る.

第5章

  5.0.イ

 局所環の完備化

デ ア ル に よ る 位 相

  一 般 に,aが

環Rの

2,…}を0の

イ デ ア ル で,MがR加

基 本 近 傍 系 と して 位 相 を入 れ る こ と が で き る.す UがMの

開集 合 ⇔

 問.  こ の と き,Mに

進 位 相 空 間Mの

の 位 相 をa進

お け る加 法 は 連 続(す

っ て 与 え られ る,M×Mか

な わ ち,

∀x∈U,∃n,x+anM〓U

に よ っ て 開 集 合 を定 義 す る の で あ る.こ

らMへ

位 相 と い う. によ

な わ ち, 

の 写 像 が 連 続,た

だ し,M×Mに

積 空 間 の 位 相 を考 え る)で あ る こ と を示 せ.ま

進 位 相 を考 えれ ば,Rの

元 とMの

に よ っ て 与 え られ るR×Mか

は 随 分 大 き い 差 が あ り,い

た,Rに

はa もa

元 との乗 法 も連 続(す なわ ち,  らMへ

  一 般 の 位 相 空 間 の 場 合 に は,T0空

か し,イ

群 で あ る と き,{anM￨n=1,

の 写 像 が 連 続)で あ る こ と を示 せ.

間 と い う条 件 と,距

わ ゆ るHausdorff空

離 空 間 と い う条 件 に

間 は そ の 中 間 に 位 置 す る.し

デ ア ル に よ っ て 上 記 の よ う に位 相 を 導 入 した と き に は,次

の こ とが 成

立 す る:   定 理5.0.1. 

R,a,Mは

上 と 同 様 と し,Mにa進

位 相 を考 え た とき,次

の 二 条 件 は 互 に 同 値 で あ る.  (イ)  MはT0空

間 で あ る[す

な わ ち,x,y∈M,x≠yな

らば,∃n, 

また は   (ロ)

 この 条件 がみ た され る とき は,M×Mの (ⅱ)x≠yな とな る よ う に と り,r(x,y)=2-nと

ら ば,自

上 の実 数 値 函数rを,(ⅰ)  然 数nを, 

定 義 す れ ば,Mの

位 相 はrを

距離函数 と

す る距 離 空 間 の位相 と一致 す る. に注 意 す れ ば,(イ)

 証 明.  ⇔(ロ)を

容 易 に 得 る.(ロ)の

条 件 か ら,rが

定 義 され て い る こ と は 確 か で

あ り,三 角 不 等 式r(x,y)+r(y,z)≧r(x,z)も

容 易 に わ か る.rを

す る 距 離 空 間 と し て の 位 相 で は,「UがMの がUに 定 義 に よ りy+an+1Mで

こ ろ で,上

(証 明 終)

え ば,普

通 の 直 線,平

間 は そ の よ うな 例 で あ る .し か し な が ら,a進

異 な っ た 現 象 が 見 られ る.例   定 理5.0.2. 

え ば,部

R,a,Mは

面,も

っと

位 相 で は大 分

分 加 群 に つ い て は 次 の こ とが い え る.

上 と同 様 と し,Mにa進

位 相 を入 れ て 考 え る.

部 分 加 群 で あ る と き に は, Nが,Mの

開 集 合 ⇔∃n,N〓anM.

  こ の 条 件 が み た され る と き,Nは   証 明．   Nが

閉 集 合 で も あ る.

開 集 合 な らば,0∈Nゆ

anM〓Nと

す る と, 

開 集 合.次

に,Nが

開 集 合 で あ る.ゆ

え,∃n， 

逆 に,

(部分 加 群 だ か ら).ゆ

開 集 合 で あ る と き,Nを

  系5.0.3.  にa進

も開集 合 で あ り,そ の補集 合Nは

え に, 

R,a,Mは

合 が  N*)は, 

上 と同 様 と し,NはMの 閉 包N*(す

部 分 加 群 で あ る と き,M な わ ち,Nを

含 む最 小 の閉 集

と一 致 す る.

  証 明.  定 理5.0.2に

よ りN+anMは を 得 る.逆

集 合 ゆ え, 

閉 集 合.ゆ に, 

対 し て,∃bn∈N,∃cn∈anM,x=bn+cn.こ

∴x∈N*. 

閉集 合 (証 明 終)

位 相 を考 え た と き のNの

anM)∩Nを

え にNは

法 とす る各 類x+NはMの

で あ る. 

nに

ら ば∃n,  のWは,rの

集 合 で 同 時 に 閉 集 合 で あ る よ うな 部 分 集 合 は,

の空 間 自身 に 限 られ て い る.例

一 般 にEuclid空

Nが

開 集 合 ⇔x∈Uな

含 ま れ る 」.と

あ る か ら,位 相 の 一 致 が わ か る. 

  多 くの 位 相 空 間 の 例 で は,開 空 集 合 と,そ

距離 函数 と

意 味 し,xの

ど ん な 近 傍 もNと

も閉

え に 

とす る と,各 の こ と は,bn=x-cn∈(x+ 共 通 元 を も つ こ と を 示 す.

(証明終)

  次 の 定 理 は,位

相 群 の 一 般 論 で よ く知 られ て い る も の の 特 別 な 場 合 で あ る.

  定 理5.0.4. 

R,a,M,Nは

え た と き,そ のa進

れ がT0空

上 と 同 様 とす る.M=M/Nにa進

間 で あ る(定 理5.0.1参

位 相 に よ り,NがMの

 証 明.  定 理5.0.1に

照)た

位 相 を考

め の 必 要 充 分 条 件 はM

閉 集 合 で あ る こ とで あ る.

よ り,MがT0空

すな

間 ⇔ 

(証 明終)

わ ち,    こ の 節 の 残 余 の 部 分 に お い て は,RがNoether環

でMが

有 限生 成 の 場 合

の 結 果 を 述 べ よ う.   定 理5.0.5.  Mは

R,a,M,Nは

上 と同 様 と し,さ

有 限 生 成 で あ る とす る.す

る と,Nのa進

ら にRはNoether環

で，

位 相 は,Mにa進

位相 を

与 え た も の の 部 分 空 間 と し て の 位 相 と 一 致 す る.   証 明. 

anN〓anM∩Nは

明 白 ．Artin-Reesの

補 題 に よ り, 

(証明終)   定 理5.0.6. 

RがNoether環

れ る も の とす る.R加

群Mが

進 位 相 に よ っ て は,Nは

 証 明.M/Nは

基mに

有 限 生 成 で,NがMの

必 ずMの

含 ま

部 分 加 群 な ら ば,a

閉 集 合 で あ る ． し た が っ て,特

有 限 生 成 で あ るか ら,Krullの

に,

共 通 部 分 定 理(特 に後 半)に

ゆ え に最 後 の等 式 を得,し た が っ て,Nは

よ り, 

5.0.3参

で,aがRのJacobson根

閉 集合(系

照). 

(証 明終)

  上 の結 果 を,特 に半 局 所 環 の場 合 に適 用 して,次 の基 礎 的 結 果 を得 る.   定 理5.0.7. 

(R,p1,…,pr),(R′,P′1,…,P′s)が

とす る.そ

して,R′

あ る も の と仮 定 す る(問 題1.1.4参 然 にR加

はR多

元 環 で あ りR加

照).MがR′

群 と考 え る ． こ の と き,Mに

と も に 半 局 所 環,

群 と して有 限生 成 で

加 群 で あ る と き,そ

お け るm′進

位 相 とm進

れ を自

位 相 とは一

致 す る.   証 明.  R′/mR′

はR/m加

直 和 だ か ら,R′/mR′

群 と し て 有 限 生 成 で,R/mはr個

はArtin環

で あ る ． した が っ て,mR′

の 体R/piの を含 むR′

の素

イ デ ア ル は 極 大 で あ る(定 理3.2.4).逆 はRの

準 同 型 像 で,R′

し た が っ てR′ (定理2.4.6)で

の 部 分 環(単 位 元 共 有)で あ り,R′

はR上

整 で あ る.し

あ り,し

の単 位 元)}

はR上

た が っ て,p′i∩RはRの

た が っ てp′i〓mR′.ゆ

有 限 加 群.

極 大 イ デ アル

え に,〓m′

と な り,∃s と な り,m′

そ こ で, 

(自然 数),  m進

(1はR′

に, 

位 相 の 一 致 が わ か る. 

進位相 と (証 明 終)

  こ の 節 の 最 後 に あ た っ て,局

所 環 や,も

っ と一 般 に,半

局 所 環 の と き の 自然

位 相 の 定 義 を し て お こ う.   (R,p1,…,ps)が り,m進

半 局 所 環 で あ る と き,そ

位 相 を考 え る.こ

のJacobson根

れ は 特 に 断 ら な い 限 り,Rの

基 

をと

上 の有 限生成 加 群 に

常 に 適 用 し,そ

れ に 特 に 言 及 す る と き に は,自

然 位 相 と よぶ.

  す な わ ち,例

え ば,Mが

上 の 有 限生 成 の加 群 で あ る とい

う と き に は,Mにm進 る.勿

論,必

局 所 環(R,m)の

位 相 とい う もの は 一 応 必 ず 考 えて お く とい うの で あ

要 に 応 じ て,m進

位 相 以 外 の 位 相 を 考 え る こ と も あ る が,そ

の場

合 に は そ の 旨 を 明 示 す る の で あ る.

  5.1.べ   Rが

き 級 数 環

環 で,x1,…, 

xrが

不 定 元 で あ る と す る(と い う よ り は,単

え る べ き か も 知 れ な い).Fdはx1,…,xrに 群 と し よ う(d=0,1,2,…).形 合Fに,次

の よ う な,自

式 的 な 無 限 和 

つ い て のR係 者 は,も

別 す る 必 要 の あ る と き に は,後 て 表 わ す.し につ い て のR係

斉 次 式全 体 の なす 加

(た だ しai∈Fi)全

体 の集

然 な 算 法 を導 入 して 環 に す る こ とが で き る ：

  こ のFを,x1,…,xrに べ き 級 数 環 と い う.(前

つ い てd次

に 記 号 と考

ば し ば,R[[x]]に

数 の べ き 級 数 環,ま

た は,形

っ と広 い 意 味 に 使 用 さ れ る の で,そ 者 を使 う.§8.1参

照.)R[[x1,…,xr]]に

よ っ て 略 記 され る.こ

式的

の 場 合 と区 よっ

の 環 の 元 を,x1,…,xr

数 の(形 式 的)べ き 級 数 と い う． ま た,Σai(ai∈Fi)に

つ い て,

an≠0,か

つ,j
い,anを

先 導 項 と よ ぶ ．a0は

のaiが0で

ら ばaj=0,の

成 立 す る と き,nを

定 数 項 と よ ば れ る.他

あ る も の)に つ い て は,導

Σaiの

方, 

次 数 は 不 定,先

導 次数 とい で,す

べて

導 項 は0で

あ るも の と

り大 き い 次 数 の 部 分 が0で

あ る よ うな

定 め る.

 多項式 

は,nよ

べ き級 数 と考 え る こ と に し て,多

項 式 環R[x1

,…,xr]はR[[x1,…,xr]]の

部 分 環 と見 なす.   べ き 級 数 環 に つ い て,次

の 結 果 は 基 本 的 で あ り,ま

た,多

項式 環 とは大変 異

な っ た 現 象 を示 し て い る:   定 理5.1.1.  考 え る.す 間 に,次   Rの

R,x1,…,xnは

る と,Rの

上 と 同 じ と し,R[[x]]=R[[x1,…,xr]]を

極 大 イ デ ア ル 全 体 とR[[x]]の

極 大 イ デ ア ル 全 体 との

の よ うな 一 対 一 対 応 が あ る: 極 大 イ デ ア ルmがR[[x]]の

  証 明 ． mがRの R[[x]]の

極 大 イ デ ア ルm*に

対応す る

極 大 イ デ ア ル で あ る と き,mR[[x]]+ΣxiR[[x]]が

極 大 イ デ ア ル で あ る こ と は 容 易 に わ か る． 逆 の 証 明 の た め,次

の準

備 を し て お こ う:   補 題5.1.2. 

上 の 記 号 の 下 で,べ

き級数

た め の必 要 充 分 条 件 は,定

数 項a0がRの

 証 明.  Σai(ai∈Fi)が

正 則 元 今⇒ 

ゆ え に,a0はRの

正 則 元.逆

ΣaiがR[[x]]の

正則 元 で あ る

正 則 元 で あ る こ と で あ る.

にa0がRの

正 則 元 で あ る と し よ う.

を考 え よ う.  を 考 え る と,どの C*はR[[x]]の

自然 数nを

と っ て も,n次

以 下 の項 は 有 限 個 し か な い か ら,

元 に な る.cc*=1も, 

で あ る こ とか ら,cc*の

各 次 数 の 部 分 を 考 え て わ か る.ゆ

の 逆 元 に な る.    m*の

定理5.1.1の

え に,a0-1c*が

Σai

(証 明 終) 証 明 の 続 き.  m*がR[[x]]の

元 の 定 数 項 全 体m0はRの

極 大 イ デ ア ル で あ る と し よ う.

イ デ ア ル で あ る.上

の補題 に よ り,m0≠R.

ゆ え に,m0を m*は

含 む 極 大 イ デ ア ルmが

極 大 イ デ ア ル ゆ え,等

  Noether環

上 の 記 号 の 下 で,も

  証 明. a*がR[[x]]の

しRがNoether環

イ デ ア ル で あ っ た と し よ う．a*の

で あ る か ら,aは

fsを とれ ば,aはf1,…,fsの

イ デ ア ル をaと 有 限 生 成.す

h0i<deg

す る と,fの

の 次 数=degf-deg giと

導 次 数)<(f1の

h1i,こ

のf1に

導 次 数)<(f2の

の導 次 数 はnと な り,a*が

全部 斉 次式 であ る

こ で,こ

の こ と を く り か え し て,hji(j=2,3,…)を

を 知 る,∴a*⊆b*と

  系5.1.4. 

同 じこ と

導 次 数)か

つ,

作 れ ば, 

共 に 大 き く な る か ら,

有 限 生 成 で あ る こ と を知 る.  

 上 の 二 つ の 定 理 か ら,次

て,

先 導 項f

仮 定 し て よ い. 

導 次 数).そ

とす る と,(f1の

を適 用 し て,  deg

適 当 な元f1,…,

こ こで,f，giは

で,(fの

元 の先 導 項 全 体

よ っ て 生 成 さ れ る.さ

明 白.f∈a*と

元 ゆ え,  斉 次 式 で,そ

き級 数

す る.R[x1,…,xr]

な わ ち,a*の

先 導 項g1,…,gsに

と お く.b*〓a*は

か ら,h0iも

で あ れ ば,べ

で あ る.

で 生 成 さ れ るR[x]=R[x1,…,xr]の

はaの

(証 明終)

の 定 理 は 重 要 で あ る:

環R[[x]]=R[[x1,…,xr]]もNoether環

はNoether環

る と, 

号 が 成 立 す る. 

と い う性 質 に 関 し,次

  定 理5.1.3. 

あ る.す

(証 明 終)

の 系 を得 る:

(R,p1,…,ps)が

半 局 所 環 で あ れ ば,べ

き 級 数 環R[[x]]=

を極 大 イ デアル に も

R[[x１,…,xr]]は, 

つ 半 局 所 環 で あ る.

  5.2.半

局 所 環 の 完 備 化

  この 節 で は,半

局 所 環,ま

で述 べ た よ うに,自 扱 う.Noether環

た は,そ

の 上 の 有 限 生 成 加 群(そ れ ら に は,§5.0

然 位 相 都 考 え られ て い る こ と に注 意)の 完 備 化 を 主 と して で な い 場 合 に つ い て も簡 単 に 触 れ 得 る よ う に,多 少 一 般 化 し

て 扱 う こ と にす る.

  Rが

環 で,MがR加

群 で あ り,Mは

次 の条 件 をみ たす 距 離 函 数r(x,y)

(2)

に よ る距 離 空 間 で あ る と仮定 す る:(1)  ε が 正 の 実 数 な ら ば,0の を な す.(イ

はMの

ε 近 傍 

デ ア ル進 位 相 が この条 件 をみ たす こ とは

  補 題5.2.1. 

§5.0で

部分加群

知 っ た.)

上 の 記 号 の 下 で,r(a,b)>r(c,d)(a,b,c,d∈M)な

ら ば,

r(a,b)=r(a+c,b+d).   証 明. 

r(a,b)=r(a−b,0),r(a+c,b+d)=r((a−b)+(c−d),0)で

こ ろ で,r(c−d,0)
ゆ え に,条 r(a,b)+ε.こ r(a,b). 

え,ど

件(2)に

ん な正 数

あ る.と ε に つ い て も, 

∴r(a+c,b+d)<

よ り 

れ が 任 意 の 正数

ε に つ い て い え る の だ か ら,r(a+c,b+d)≦

次 に 

ゆ え,条 ∴r(a+c,b+d)≧r(a,b).ゆ

件(2)に

よ り, 

え に 求 む る 等 式 を 得 る. 

(証 明終)   一 般 に 距 離 空 間Mに

つ い て,Mの

{cn}で 示 す)がMのCauchy列 当 な 自 然 数Nを

で あ る と は,ど

極 限,記

あ れ ば,そ

い こ と は 明 白 で あ ろ う.Mが

記 し て,

が 成 りた つ と き に い う.

号 で はlim cn=a,で

の よ う なaが

後,略

ん な 正 数 ε に 対 して も,適

とれ ば,∀m,n≧N,r(cm,cn)<ε

a∈Mが{cn}の

と き に い う.こ

元 の 列c1,…,cn,…(以

あ る と は, 

れ が({cn}に

完 備 で あ る と は,Mの

の

対 し て)唯

一 つ しか な

ど のCauchy列

も極 限

を も つ と き に い う.   さ て,初

め に 述 べ たMの

加 群Mを,Mの

場 合 に か え ろ う.次

完 備 化 と い う:(i)Mは

の 条 件(i)∼(iv)を

距 離 空 間 で あ り,そ

離 函 数r*(x,y)は,r*(x,y)=r*(x−y,0)(∀x,y∈M)を 完 備 で あ る,(ⅲ)MはMの て,Mの Mに

閉 包(Mを お け るCauchy列

み た すR れ を定 め る 距

み た す,(ⅱ)Mは

稠 密 な 部 分 集 合 で あ る(す な わ ち,Mに 含 む 最 小 の 閉 集 合)がMで で,そ

れ がMに

おい

あ る),(ⅳ){xn},{yn}が

お い て,そ

れ ぞ れ 極 限x*,y*を

も

て ば,   ま ず,上

の 条 件 か ら,必

然 的 に,x,y∈M⇒r(x,y)=r*(x,y)が

出 ること

に 注 意 し て お こ う.な

ぜ な ら ば,(ⅳ)を,∀n,xn=x,yn=yの

れ ば よ い か ら で あ る.し Mに

お け るCauchy列

よ り,そ

た が っ て,MはMの はMで

とき に適 用 す

部 分 空 間 で あ り,し た が っ て,

もCauchy列

で あ り,し

た が っ て,(ⅱ)に

の 極 限 は 必 ず 存 在 す る こ と に な る.

  あ と の 扱 い の た め,一 離 函 数r(x,y)に

般 の 距 離 空 間 に お け る定 義 を,も

よ っ て 定 義 さ れ た 距 離 空 間Mの

とは,m>n⇒r(cm,cｎ)<2−nの

う一 つ 加 え よ う.距

点 列{cn}が

成 立 す る と き に い う.す

正則列で ある

る と,次

の こ とはす

ぐわ か る:   補 題5.2.2.  {dn}を

{cn}が

とれ ば,lim

距 離 空 間MのCauchy列

r(cn,dn)=0で

な らば,適

あ る.{dn}は{cn}の

当 な正則 列

部分列 であるよう

に と る こ と も で き る.   さ て,再

び,こ

の 節 の 初 め に 述 べ たMの

場 合 に か え ろ う.そ

の場 合 につ い

て:

  定 理5.2.3.*) 

Mは

完 備 化Mを

型 の 意 味 で 一 意 的 で あ る.Mに

傍  る0の はM/Uε

お い て も,任 はMの

完 備 化 は(位 相 を保 っ た)同 意 の正数

た,も

自 然 に 環 に な り,そ

しMが

お け

環 で,各Uε

の 乗 法 は(lim  cn*)(lim

お け る 任 意 のCauchy列{cn*},{dr*}に

し てUε*はMの

  証 明.  Mに

か も,Mに

ε近

お け る 閉 包 に な る.M/U*ε

と 自 然 な 方 法 で 同 一 視 さ れ る.ま

lim(cn*dn*)を,Mに

ε に対 し て,0の

部 分 加 群 で あ り,し

ε近 傍Uε={x∈M￨r(x,0)<ε}のMに

デ ア ル で あ る と き,Mは

す.そ

も ち,Mの

がイ dn*)=

つ い て,み

た

イ デ ア ル に な る.

お い て,C=(Cauchy列

全 体),C′=(正

則 列 全 体)を 考 え る.C

に次 の よ う な 算 法 を 定 義 す る:{cn}+{dn}={cn+dn},a{cn}={acn}(∀a∈R).

  *) 位 相 空 間 につ い て は,い ろい ろ な立場 で の 完 備 化 が あ る.そ の よ うな完備 化 の定 義 の 中 で共 通 して い る点 は,そ の完 備 性 と,も との 空 間 は 稠密 な部 分 空 間 で あ る こ とで あ る.よ い性 質 を もつ空 間 に は,よ い性 質 を もつ 完備 化 が望 ま しい た め,い ろ い ろ な 完 備 化 が 定 義 され て い るわ け で あ る.こ こ で扱 う完 備化 は,そ の 意 味 で は, 極 め て特 殊 な完 備 化 で あ る とい え よ うが,加 め て 美 しい完 備 化 で あ る ともい え る.

群 の構 造 を うま く保 存 してい る点,極

す る とCはR加

群 に な る.Mが

に よ っ て 乗 法 を定 義 す れ ば,Cは {{cn}∈C￨lim  cn=0}と Cの

環 の と き に は,さ

らに,{cn}{dn}={cndn}

環 に な る.さ て,一 般 の 場 合 に も どっ て,n=

お く と,nはCの

部 分 加 群 で あ り,Mが

イ デ ア ル に な る.

  C/nがMの

完 備 化 で あ る こ と を示 そ う.た

{c}=(c,c,…,c,…)のC/nに

x*,y*がC/nに

と定 め る.こ

の 対 応 で 同 一 視 し て,M〓C/nと

お け る{xn},{yn}の

る こ と は,(イ)x*=y*な

ら{xn−yn}∈nと

ら,ま

ず,補

係 で あ る こ と を知 る.し

で あ り,

よ り, 

に,再 び同補 題 に よ り,代 表 元 の と り方 に は無 関

た が っ て,こ

の 場 合,充

分 大 き いnに

代 表 元{xn}を

た が っ てMはC/nの

を,そ

れ が 正 則 列 で あ る よ う に と る(補 題5.2.2参

限 で あ り,し

で あ る と し よ う.xn*の

て,最

C/nの Mに

が イ デ ア ル で あ る 場 合,乗

定 義 す れ ば,Mが

代 表 元{xnj(j=1,2,…)} 照).す

る と,{xnn}は お け る極 え に,C/nは 完

お い て)を 対 応 さ せ れ

yn⇔{xn−yn}∈nで

あ るか ら,

の 一 対 一 対 応 を与 え る(こ の 対 応 で,Mの

お け る 距 離 函 数 の 性 質 に よ り,Mの

が 環 で 各Uε

あるこ

れ は{xnn}のC/nに

対 し,limxn(Mに

元 に対 応 す る こ と の 証 明 は,Mが

よ り,

備 化 の 一 意 性 を 示 そ う.MがMの

の 対 応 は 一 意 的 で あ り,lim  xn=lim

こ の 対 応 はC/nとMと

のr*に

お け る 極 限 で も あ る.ゆ

後 に,完

備 化 で あ っ た と し よ う.C∋{xn}に ば,そ

とれ ば,そ

た が っ て,{xn*}のC/nに

完 備 化 で あ る.さ

て,こ

稠 密 な 部 分 空 間 で あ る.{xn*}が

お け るCauchy列

の 類x*を

対 し て, 

とれ ば,x*=limxnで

C/nこ

に な る.そ

中

数r*を,

な り, 

題5.2.1に

距 離 空 間 に な る.x*の

Cauchy列

らC/nの

と り方 に無 関 係 に定 ま

が 成 立 し て い る こ と に 注 目 し て お く.さ

と も 容 易 に わ か り,し

対 して は,

考 え る.函

代 表 元{xn},{yn}の

を得,次

C/nは

元cに

類 で あ る と き, 

れ が,類x*,y*の

(ロ)x*≠y*な

だ し,Mの

お け る類 を対 応 させ る と,Mか

へ の 同 型 に な る か ら,こ

Mの

環 の とき は

どの 元 も

稠 密 で あ る こ とか ら容 易 に わ か る). 一 意 性 が 容 易 に わ か る.ま 法 を(lim

た,M

xn)(lim yn)=lim(xnyn)で

環 に な る こ と の 証 明 は 容 易 で あ る か ら,詳 細 は省 く が,{xn},

{yn}がCauchy列

で あ る と き は,{xnyn}もCauchy列

で あ る と い う こ と が,

Uε が イ デ ア ル で あ る こ と か ら出 て く る こ と に 注 意 し て お こ う. 

(証 明 終)

  上 の結 果 を,イ

環,aが

デ ア ル 進 位 相 の と き に 利 用 し よ う.一 般 に,Rが

デ ア ル,MがR加

群 で,Mにa進

あ る と は 限 ら な い.そ ぶ.(MがT0空 理5.0．1で 化Mが

間

位 相 を考 え た と き に,MはT0空

こ で,M=M/(∩an)を

考 え,こ

⇔M=M.)Mはa進

  こ れ は,R自

のMをMのa進

とよ

間 と な る か ら,定

与 え られ る距 離 函 数 に よ り,距 離 空 間 に な る.そ 得 られ る.こ

間で

れ をMのT0化

位 相 でT0空

イ

こ で,Mの

完備

完 備 化 とい う.

身 に も 適 用 で き,Rのa進

完 備 化Rを

得,Rは

環 に な る.

こ の 記 号 の 下 で:   定 理5.2.4. 

(イ)Mは

  (ロ)  も しaが っ て,aR進

ゆ え,R/bを

有 限 生 成 イ デ ア ル な らば,Mの

る.そ

位 相 もa進

間 で あ る と 仮 定 し て よ い. 

考 え る こ と に よ り,RもT0空

  (イ)  :x∈R,y∈Mと xn,y=lim 

Cauchy列

群 と考 え られ る. 位 相 と(し た が

位 相 と も)一 致 す る.

  証 明.  MがT0空

x=lim

自然 な 方 法 でR加

間 で あ る と仮 定 して よ い.

す る と,R,Mに ynと

に な り,そ

お け るCauchy列{xn},{yn}で,

な る も の が あ る.明 の極 限 は,x,yの

こ で,lim(xnyn)をxyと

とお け ば,bM=0

らか に{xnyn}はMに

お ける

み に よ って定 ま る こ とも容 易 にわ か

定 義 す れ ば,MがR加

群 に な る こ とが わ

か る.   (ロ)  :定 理5.2.3の

証 明 に よ り,「anMのMに

あ る 」 こ と を 示 せ ば よ い.x∈Vnな

ら ば,Mに

お け る 閉 包VnがanMで お け るCauchy列{xn}で,  か つx=limxnと

る.aの

生 成 元b1,…,bsを

と る と,anはb1,…,b,sのn次

で 生 成 さ れ,し

た が っ て, 

つ い て, 

は収 束 列(す なわ ち, 

て,Mで

な る ものが あ

極 限 を も つ)で あ り,  で あ る こ とが わ か り, 

単 項 式m1,…,mt

と表 わ し得 る.各iに がCauchy列

(すな わ ち 

で あ り,し た が っ とお け ば,

逆 の包含 関係 は 明 白 ゆえ,(ロ)

の 証 明 が で き た.    Rの

(証 明終)

構 造 に 関 し,次

の 定 理 は 基 本 的 で あ る.

  定 理5.2.5.R,aは

上 の 通 り と し,aが

Rはa進

間 で あ っ た と す る.文

位 相 でT0空

R[[x]]=R[[x1,…,xs]]と,そ

元b1,…,bsで

生 成 され,ま

字x1,…,xsの

べ き級 数 環

と を考

の イ デ ア ル 

え,さ

ら に,R[[x]]に(n+aR[[x]])進

る.す

る と,Rの

位 相 を入 れ て,nの

完 備 化RはR[[x]]/n*と

た,

閉 包n*を

同 型 で あ る.な

作

お, 

で あ る.

  証 明.最

後 の 等 式 は,明

白 で あ る.R[[x]]か

の よ う に 定 義 す る:  斉 次 式)で

はx1,…,xsに

あ る こ と は 容 易 に わ か る.φ

そ こ で,α+1次 な る も の が あ る.そ

で,f≡f-fα(x)+h(x)(mod.n).こ

し て,f-fα(x)+h(x)は の こ と を,順

(ΣxiR[[x]])m(m=1,2,…)を

得,し

の核

φ-1(0)の 元 ⇔ と す る と,そ

て, 

を と れ ば,  で,fα(b)=h(b)と

数i次

とす る の で あ る.す

含 む こ と は 明 らか で あ る.f=Σfi(x)が

は φ の 定 義 に よ る.さ

中へ の写 像 φ を次 つ い て のR係

あ る と き, 

φ が 準 同 型 で あ り,φR[[x]]=Rで がnを

らRの

φ-1(0)

Σfi(b)=0

の 先 導 項fα(x) 斉 次 式h(x) 導 次数

≧ α+1

次 く り か え せ ば,f∈n+

た が っ て,f∈n*.逆

に,f∈n*な

ら と な り, 

す る と, 

ば, 

る と,

(証明 終)   上 の 結 果 を 半 局 所 環 の と き に 適 用 し て,次  定 理5.2.6.  Rの

Rが

半 局 所 環 で,Jacobson根

イ デ ア ル で,b1,…,bsで

完備 化(す

な わ ち,m進

と同 型 で あ る.Rの(完

生 成 さ れ,さ

完 備 化)Rは

を 得 る. 基mを

も つ も の とす る.aが

ら に 

で あ る と き,Rの

半 局 所 環 で あ っ て,

備 化 と して の)位 相 は,Rの

半 局 所 環 とし ての位 相 と

一 致 す る.   証 明. 

でRはNoether環

で あ る か ら,a進

位 相 とm進位

相 と

は 同 じ で あ る.そ

こ で,RはRのa進

完 備 化 と同 型,同

前 定 理 に よ り,R〓R[[x]]/n*の 5.1.4)か

ら,定

理5.2.5に

形 に な る.R[[x]]は よ り,前

半 を 得 る.位

相 で あ る.ゆ

半 局 所 環 で あ る(系

相 の 一 致 は 定 理5.2.4(ロ)

に よ る. 

証 明 終)

  半 局 所 環 の 完 備 化 に 関 し て は,次   定 理5.2.7. 

(R,p1,…,ps)が

所 環Ri=Rpiの

完 備 化Riの

  証 明.  (Chinese

と お く.各 remainder

の結 果 も重 要 で あ る. 半 局 所 環 で あ る と き,Rの

直 和(i=1,…,s)と 自 然 数nに

theorem),し

対 し,R/mnはR/pinの

た が っ て,

で あ り,極

限eiをRに

た,i≠j⇒einejn∈mnゆ

と な り,各eiは

え,eiej=0.ゆ

を 得 る.ReiがRiと

ゆ え,Rの

で あ っ て,Rに

お い て, 

あ る も の と し よ う. 

と な る も の が あ る.Ri

こ ろ で,{cn′ein}はRに

お け るCauchy列 ∴lim

cn′ein

が 一対 一 対 応 で あ る こ とが容

ら に, 

易 に わ か り,し   注 意.上

cn′.と

直和 分 解

同 型 で あ る こ と を 証 明 し よ う.{cn}が

元 の 列{cn′}で, 

cn=lim

∈Rei.さ

え に,  ら,Rの

で,cn-cn+1∈pinRiで

に お い て は,lim

つ い て,{ein

お い て も つ. 

べ き 等 元.Σei=1,eiej=0(i≠j)か

お け るCauchy列

局

直和 であ り

ゆ え,各iに

n=1,2,…}はCauchy列 ゆ え,Σeｉ=1.ま

完 備 化Rは

同 型 で あ る.

  す る と,

Riに

え に,

た が っ て,Ri〓Reiを

知 る. 

の 記 号 の 下 で,RはR/m←R/m2←

(証 明 終) … ←R/mn←

…(写

像はす

べ て 自然 写 像)の 射 影 極 限 で あ る こ と と,  とか ら,上 の 定理 が 出 る の で あ るが,射

影 極 限 とい う概 念 を

利 用 す る こ と を避 け た た め,上 の よ うな証 明 に な っ た.射 影極 限 を利 用 して の 証 明 は,各 自完 成 してみ よ.射 影 極 限 に つ い て は,集 合 論 の書 物 の一部*)は こ れ を のせ て い る の で,そ の よ うな書 物 を参 照 せ よ.   半 局 所環 の上 の有 限生成 加 群 の完 備 化 に つ い て は,次 の 二 つ の定 理 が 基本 的  *) 例 えば,永 田 「 集合 論入門」森 北出版;松 村英之 「集合論入 門」朝倉書店.

で あ る が,そ

の 証 明 は 次 節 と関 係 が あ る の で,次

  定 理5.2.8.  備 化 をRと は,R加

Rが

す れ ば,Mの

有 限 生 成 のR加

完 備 化Mは,M

RRと

R,M,Mは

と す る.NのMに

完

同 型 で あ り,Mの

上 の 通 り と し,NがMの

お け る 閉 包Nは,Nの

あ り,ま

た,M/NはM/Nの

位相

  定 理5.2.10.Rが

完 備 化 で あ る.そ

半 局 所 環,Rが

  特 に,(R,m)が

部 分 加 群 で あ る もの し て,N∩M

完 備 化 で あ る.

  こ の 節 の 最 後 に あ た り,完 備 化 のKrull次

Rの

群 で あ る と き,Rの

群 と し て の位 相 と一 致 す る.

  定 理5.2.9. 

=Nで

半 局 所 環,Mが

節 で 証 明 をす る.

元 に つ い て の 結 果 を の べ よ う.

そ の 完 備 化 で あ る と き,

局 所 環 で あ る と き は,Rの

パ ラ メ ー タ ー 系x1,…,xdは

パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る.

  証 明.  最 後 の 主 張 を 先 に証 明 す る.ΣxiRがmに

(R/ΣxiRが

え, 

5.2.9を

適 用).ゆ

注 意).s=0な

素 イ デ ア ル で あ る.s=Krull

つ い て の 帰 納 法 を 利 用 し よ う.(s≧dを ら ば,Rは

離 散 位 相 を も つ か ら,Rも

で な く て は な ら な い.s>0と

し よ う.Rの

を と る.pi≠mR(∀i).pi=pi∩Rと y〓pi(∀i).す ≧d-1.そ

離 散 位 相 を もつ こ とに 注 意 し,定 理

え に,ΣxiRはmR準

と す る とd≧s.sに

属 す る準 素 イ デ ア ル ゆ

る とKrull こ で,sに

R/yR=s-1(定

離 散 位 相 を も ち,d=0

こ で,∃y∈

理3.2.10),Krull

つ い て の 帰 納 法 に よ り,s-1=Krull

ΣxiR, dim

dim

R/yR

R/yR≧d-1.

∴s≧d.

  さ て,前 はRi=Rmiの

半 の 証 明 に う つ る.Rの 完 備 化Riの

極 大 イ デ ア ル がm1,…,mα

直 和 で あ る(定 理5.2.7)か

R

示 せ ば よい こ とに

零 イ デ ア ル の 極 小 素 因 子p1,…,pt

お く と,pi≠m(∀i).そ dim

dim

で あ れ ば,R

ら,

(証 明終)

  5.3.  完 備 化 の 平 坦 性   加 群 の 平 坦 性 に つ い て は,§1.4に の 完 備 化RがR加

お い て 定 義 し た.こ

群 と し て 平 坦 で あ る こ と,お

つ 結 果 を 述 べ る こ と を 主 眼 とす る.し

よ び,そ

た が っ て,単

っ て い る も の の 平 坦 性 に つ い て考 察 す る.ま

ず,平

こ で は,半

局 所 環R

れ に密 接 な関係 を も

な る加 群 で は な く,環

にな

坦 なR多

性質

元 環R*の

を 見 よ う.   一般 の 場 合 に は,R加

群M,Nに

と は 限 ら な い が,平

つ い て,N〓Mで

あ って も

坦 な 場 合 に は, 

の 記 号 の 意 味 は,mを

 

で あ り, 

含 む 加 群 の 選 び 方 に は 無 関 係 に 定 ま る,

と い う こ とに 注 意 し て お こ う.   定 理5.3.1.  MがR加

Rが

環,R*がR多

群,aがRの

元 環 で あ り,R平

坦 で あ る も の とす る.

有 限 生 成 の イ デ ア ル,N,Ni(i=1,…,r)がMの

部 分 加 群 で あ る と き,次

の(イ)∼(ホ)が

成 立 す る.

 (イ)  (ロ)  も し も,N2が

有 限 生 成 な ら ば,

 (ハ)  (ニ)  a(∈R)がNに

に関 して も非

関 す る 非 零 因 子 な ら ば,aは 

零 因 子 で あ る.   (ホ)  Mの

元u1,…,uα はR*上

  証 明.(イ)の

がR上

の元 と して の

一 次 独 立 な ら ば, 

一 次 独 立 で あ る.

証 明 の た め に は,r=2と

仮 定 し て よ い.

(同 型 定 理)に

よ り,  を得 る.こ

ら(イ)を

れ か 

得 る. (定 理2.1.1)を

 (ロ) 

 (イ) の 結 果 に よ り,N2=bR(∃b∈N)の

両 辺 に 利 用 し て,

と き に 証 明 す れ ば よ い. 

は 同 型 を与 え る(定 理 2.1.2).同

様, 

な る同型 を

得 る.ゆ え に,  (初 め の 同 型 の と こ ろ で の1R.はR*の を得 る.

等 写 像).こ の 等式 か ら容 易 に   (ハ) 

は(ロ)と

 (ニ) 

[0:aR]N=0 

全 く 同 様 に で き る. ゆ え,(ハ)に

よ り

 (ホ) 

が 自 由 加 群 で あ る か ら, 

で あ り, 

は,そ

はM 

か ら, 

  定 理5.3.2 

Rが

イ デ ア ル で,a≠Rな

環,R*がR多

はR*の

上 の 自由加群

の 一 次 独 立 基. 

R*の

である

元 として も一 次 独立.  元 環 で,R*は

らば 必 ずaR*≠R*」

  (イ)  RはR*の 単 位 元)は

恒

平 坦,さ

(証明終) ら に,「aがRの

と い う条 件 が 成 立 す れ ば,

部 分 環 で あ る(す な わ ち, 

(1はR*の

中 へ の 同 型),

  (ロ)  aがRの

イ デ ア ル で あ れ ば,aR*∩R=a.

  こ の 定 理 の 仮 定 が み た さ れ る と き,R多

元 環R*は(Rの

上 に)忠 実 平 坦 で

あ る とい わ れ る.*)   証 明.  a,bがRの

イ デ ア ル で,bが

る と,R*=aR*:bR*=(a:b)R*(前   これ を,a=0,b=bR,b∈0:R*(R加 b=0を を得,し

得,R〓R*.同

有 限 生 成 で,さ 定 理)ゆ

と き に 適 用 す れ ば,

と き に適 用 し て, 

た が っ て,aR*∩R=a. 

  上 の 結 果 と,定   系5.3.3. 

理5.3.1(ニ)と

す

え,a:b=R,∴b〓a.

群 と し て の:)の

じ こ と を,b〓aR*∩Rの

ら に,bR*〓aR*と

(証 明終) を組 合 わ せ て,次

前 定 理 と同 じ仮 定 の 下 で,R,R*の

の 結 果 を得 る: 全 商 環 をK,K*と

す れ ば,

  (イ)  K〓K*,   (ロ) aがRの

イ デ ア ル な ら ば,aR*∩K=a.特

  *) 一般 にR加 群Mが 忠 実 平 坦 で あ る とは,(i)Mは R加 群Nに つ い て,  な らば必 ずN=0,と にい う.R多 各 自試 み よ.)

に,R*∩K=R.

平 坦加 群 であ り,さ らに,(ⅱ) い う条 件 の み た され る とき

元環 につ い て は,こ の定 義 と,本 文 で の定 義 とは同 値 で あ る.(証 明は

  証 明. 

(イ)は

明 白.(ロ)の

証:c/b∈aR*∩K(b,c∈R,bは

ゆ え に, 

非 零 因 子)⇒ 

を得 る.逆 の包 含 関係 は 明 (証 明終)

ら か. 

  次 に,R多

元 環R*ぶ

  定 理5.3.4.  aに

平 坦 に な る た め の 充 分 条 件 の 若 干 を 求 め よ う.

Rが

つ い て, 

環,R*がR多

与 え る な らば,R*はR平   証 明.  M,Nが

有 限 生 成 のR加

群 で,N〓Mと

生 成 元u1,…,urを

,Urを

し, 

が,す

N:Mと

群Fを

べ て のi=1,2,…,rに

つ い

と り,φUi=uiと

な る よ う なR

H=φ-1(N),K=φ-1(0)と

考 え る. 

お く と,a=N:urRで

す る. 

と き に 証 明 で き れ ば 充 分 で あ る.U1,

一 次 独 立 基 と す る 自 由R加

準 同 型 φ:F→Mを

同型 を

と り, 

て い え れ ば よ い か ら,N∋u1,…,ur-1の

…

任 意 のイ デ アル

の 自然 な 写 像( )が

坦 で あ る.

を 示 せ ば よ い.Mの と お く,も

元 環 で あ る と き,Rの

か らaR*へ

あ り, 

お く.a=

で あ る.ゆ

え に, 

定理 の仮 定 に よ り,  で あ る か ら, 

加 群 と して の 

の 中 の 

は, 

の部 分

と な り, 

と一 致 す る こ とが わ か り, 

(証明 終)   次 の 定 理 は,半

局 所 環 の完 備 化 が忠 実 平 坦 で あ る こ との一 つ の 証 明 の基 本 的

部 分 を与 え る:   定 理5.3.5.  とす る.自

R,R*が

デ ア ル 全 体 の集 合 をM*と はRの

と も にNoether環

然 準 同 型 φ:R→R* 

元 環 で あ る もの

を 考 え る.R*の

し, 

素 イ デ ア ル で あ る.)も

で,R*はR多

と お く.(Mの

し,次

の 条 件 が 成 立 す れ ば,R*はR平

極 大イ 要素 坦で

あ る:   「qがMの

要 素 に 属 す る 準 素 イ デ ア ル, 

で あ っ て,b∈R,q:b=m

な ら ば,qR*:bR*=mR*」   証 明. 

m*∈M*,m=φ-1(m*)な

ら ば,「

  」 内 の 条 件 はR,R*の

代 り に,

Rm,R*m*の

組 に も成 立 す る こ と と,Rの

R*/aR*の

任 意 の イ デ ア ルaに

組 に も成 立 す る こ と に 注 意 し て お こ う.さ

R加 群,N⊆Mで

つ い て,R/a,

て,M,Nが

有 限 生成 の

の核Kが0

あ る と き,自 然 な写 像 

で あ る こ と を 示 せ ば 充 分 で あ る.   (ⅰ) (R,m),(R*,m*)が   (イ)  mが

局 所 環 で,m=φ-1(m*)の

体 で あ り,明

と し よ う.length な る.帰

Rに

ら か にR*は

bR=1と

自 由 加 群 で あ り,R*は

な る,Rの

元bを

と る.す

納 法 の 仮 定 に よ り,R*/bR*は(R/bR)平

あ る か ら,bR*はR*加

R/mn加

よ り,任

0:bR*= 同 型 で あ る.し

つ い て,R*/mnR*は

え に, 

ゆ え に,  中 へ 写 し て 考 え る.)Artin-Reesの

ゆ え,こ

の 右 辺 は0で

R*が

あ り,K=0.以

  (ⅱ) 一 般 の 場 合 は,(ⅰ)の

(こ れ はN 

補 題 に よ り,∃r(自

ゆ え, 

たがっ

得 る.

意 の 自 然 数nに

群 と し て 平 坦 で あ る こ と を知 る.ゆ

にl>1

る と,0:bR=mと

え に, 

は 同 型 と な り,K=0を

 (ロ)  一 般 の 場 合:(イ)に

平 坦.次

坦 で あ る か ら,自 然 な 写 像 

群 と してR*/mR*と

て, 

イ デ アル の

つ い て の 帰 納 法 を利 用 し よ う.l=1な

は 中 へ の 同 型.ゆ mR*で

ず 考 え る.

べ き零 の と き:前 定 理 に よ り,M=RでNがRの

と き に 証 明 す れ ば よ い.l=length ら,Rは

と き を,ま

上 で,局

R*の

然 数), 

局 所環 で,Nが

有 限生 成

所 環 の場 合 が 証 明 で き た.

結 果 と問 題2.3.2と

か ら明 ら か で あ る.  (証 明 終)

  上 の 結 果 の 特 別 な 場 合 と し て:   系5.3.6.  全 体 が,丁 と き,次   qがRの

R,R*がNoether環 度{mR*￨mはRの

で,R〓R*,か 極 大 イ デ ア ル}と

の 条 件 が 成 立 す れ ば,R*はR忠 準 素 イ デ ア ル で, 

  こ の 系 の 特 別 な 場 合 と し て:

つ,R*の

極 大 イ デ アル

一 致 す る も の と す る.こ

実 平 坦 で あ る: が 極 大 イ デ ア ル な らば,qR*∩R=q.

の

  系5.3.7. 

R,R*が

半 局 所 環 で,(自

然 位 相 の も と で)RがR*の

部 分 空 間 に な っ て い る と き は,R*はR忠   次 に,別

の,易

しい,平

  定 理5.3.8. 

Rが

実 平 坦 で あ る.

坦 の た め の 充 分 条 件 を つ け 加 え よ う.

環,R*がR多

元 環 で,aがRの

  (イ)R*がR平

坦 な ら ば,R*/aR*はR/a平

  (ロ)  R*がR忠

実 平 坦 な ら ば,R*/aR*はR/a忠

  証 明.  (イ)A,B(A〓B)がR/a加 で あ る.ゆ

え に,自

ゆ え に(イ)を

よ う.問

れ は 自 然 にR加

群

は 中 へ の 同 型 で あ る.と

定 義 と に よ り明 白.  自 由R加

理2.3.13で 一

  さ て,前

群 で あ る と き,こ

得 る.

  注 意.  R*が

RSは,Rと

実 平 坦 で あ る.

群 ゆ え,

 (ロ)は,(イ)と

か る.定

イ デ ア ル で あ る と き,

坦 で あ る.

然 写 像 

こ ろ が,A,BはR/a加

稠密な

群 で あ れ ば,R*が

知 っ た よ う に,Rの

忠 実 平 坦 で あ る こ とは容 易 に わ 商 環RSはR平

坦 で あ る.し

か し,

し な い か ぎ り,忠 実 平 坦 で は な い.

節 で 証 明 を し残 し た,二

題5.3.1の

  定 理5.2.8の

(証 明 終)

つ の 定 理(定

理5.2.8,5.2.9)の

証明をし

結 果 は 既 知 と し て 利 用 す る.

証 明.  ま ず,第

一 段 階 と し て,「 完 備 な 半 局 所 環Rの

上 の有

限 生 成 加 群Mは(そ

の 自然 位 相 に よ っ て)完 備 で あ る 」 こ と を証 明 し よ う.M

の 生 成 元u1,…,uα

を と り,他

のCauchy列{xn}を

方RのJacobson根

と る.limxnの

基 をmで

存 在 が い え れ ば よい.そ

表 わ す.M の た め に は, 

と仮 定 し て よ い.  (た だ し,ci0∈R,cij∈mj)と

で あ る か ら,  て,Rは

がRの

忠 実 平 坦(系5.3.7)で

元 と し て 定 ま り,Σbiui=lim あ る か ら,問

と考 え られ る.RのJacobson根 で あ り,M 

Rのm進

で あ る か ら, 

表 わ し 得 る.Rは

位 相 とm進

基 をmで

題5.3.1に

xnを

とな り,MがM 

知 る.さ

よ り, 

表 わ す と,m=mR(定

位 相 とは 同 じ に な る.ま

完 備

理5.2.6)

た,R/mn=R/mn

Rの

中の稠 密

な 部 分 集 合 で あ る こ と を知 る.問 分 空 間 で あ る こ と を 知 る.他 あ る.ゆ

え に,M 

  定 理5.2.9の

方,上

RはMの 証 明.N 

.定 理5.0.5お

題5.3.1の

後 半 に よ り,MはM 

で 証 明 し た こ と に よ り,M 

完 備 化 で あ る.  RがNで

よ り,N=N 

完 備 化)=(MAN) 

完備 で

平 坦 性 に よ り  RはM=M 

分 空 間 で あ る こ と か ら,前 半 が 出 る.N∩MはNのMに N∩M=N.(M/Nの

Rは

部

(証 明 終)

あ り,Rの

よ び5.0.6に

Rの

Rの

閉部

お け る 閉 包 ゆ え,

R=(M 

R)/(N 

R)=M/N.  (証 明 終)

  5.4.  平 坦 性 続 論   多 元 環 の平 坦 性 に 関 す る重 要 な 定 理 と し て は,す が,こ

の 節 で は,そ

で に 前 節 で い くつ か 述 べ た

の 他 の 重 要 な も の 若 干 に つ い て述 べ よ う.最 初 の 二 つ が平

坦 で あ る 場 合 に つ い て の 定 理 で,三

番 目のは忠 実 平 坦 に な るた め の一 つ の充 分

条 件 で あ る.ま

た 最 後 の 定 理 は,忠

実 平 坦 性 の 条 件 に つ い て の 注 意 で あ る.

  定 理5.4.1. 

R,R*がNoether環, 

あ る も の とす る.aがRの   (イ)  R*の

は,aの

元 環 で,か

つR平

坦で

イ デ ア ル で あ る と き,

素 イ デ ア ルp*がaR*の

aの 適 当 な素 因 子pに   (ロ)  R*の

R*はR多

素 因 子 で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,

よ っ て,p*がpR*の

素 イ デ ア ルp*がaR*の

適 当 な 極 小 素 因 子pに

素 因 子 と な る こ と で あ る. 極 小 素 因子 で ある た めの必 要 充分 条 件

よ っ て,p*がpR*の

極 小 素 因 子 とな る こ と

で あ る.   証 明.  (ⅰ)pがaの 理3.1.9に

素 因 子 で,p*がpR*の

よ り, 

理5.3.1に

,∴p*=(aR*:bR*):c*=aR*:bc*R*.

ゆ え にp*にaR*の

素 因 子 で あ る(定 理3.1.9).

  (ⅱ) 逆 に,が

がaR*の

る 最 短 表 示q1∩

… ∩qsを

p*は

素 因 子 で あ る と仮 定 す る.定

よ り,∃b∈R,∃c*∈R*,p=a:b,p*=pR*:c*.定

適 当 なqiR*の

素 因 子 で あ る と仮 定 す る.aの と る.す

る と,aR*=∩qiR*(定

素 因 子 で あ る か ら,q1R*の

準 素 イ デ アル に よ 理5.3.1).ゆ

え に,

素 因 子 で あ る と し て よい.

 

と お き,p*がpR*の

素 因 子 で あ る こ と を,l=length

い て の 帰 納 法 で 示 そ う.問

題5.3.1の

よ い.l=1な

らばp=qゆ

と な る 元aを

と る.q′=aRp∩Rと

R*の

え,主

最 後 の 部 分 に よ り,q1=0と

張 は 明 白 に成 立 す る.l>1と お く.す

と な る よ う に 自然 数

がpR*の

α と,q*iの 「 

つ

仮 定 して し,p=0:aR

る と,∃d∈R,d〓p,dq′

零 イ デ ア ル の 準 素 イ デ ア ル に よ る 最 短 表 示q*1∩ 「 

Rp/q1Rpに

〓aR.

… ∩q*tを と り,

素 因 子 ⇔i<α

」

番 号 づ け と を選 ん で お く.p=0:aRゆ

帰納 法の仮

」 内 の 仮 定 に よ り, 

定 に よ り,q′R*の

素 因 子 は

 

,…,

の 任 意 の 元b*を

と れ ば,b*∈q′R*で

え, 

で あ る.ゆ あ り,し

え にq*1∩

… ∩q*ａ-1

た が っ てb*d∈aR*.す

な わ

ち,  ∴ac*=0.  ∴

∴ b*d=0.∴b*∈0:dR*=(0:dR)R*=0(d〓p,0=q1ゆ

α>tで

あ り,0=q1R*の

素 因 子 は,す

え).

べ てpR*の

素 因 子 で あ る こ とがわ

か っ た.

  (ⅲ)  p*がaR*の 素 因 子pに

極 小 素 因 子 で あ る も の とす る.(ⅱ)に

よ り,p*はpR*の

素 因 子 で あ る.pはaの

む.す

る と,p*〓p′R*〓aR*.p*がaR*の

p′R*の

極 小 素 因 子 で あ る.

  (ⅳ)  逆 に,pがaの

極 小 素 因 子 で,p*がpR*の 極 小 素 因 子p**を

(φa=a・1,1はR*の

単 位 元)を

5.3.1)か

ら に,R/pの

  次 の定 理 の た め に,定 あ る と は,Rの   定 理5.4.2.  とす る.Rの

R,R*がNoether環

含 む.Rか

らR*へ

の 自然 準 同 型 φ

お く.p′ はRの

べ てMに

素イ デ

非 零 因 子 で あ る(定 理

極 小 素 因 子 ゆ え,p′=p. 

(証 明 終)

上 の 加 群Mがtorsion-freeで 関 す る 非 零 因 子 で あ る と き に い う. で,R*は

零 イ デ ア ル の 素 因 子 の 高 さ が,い 群Mに

を含

極 小 素 因 子 で あ る と仮 定

考 え,p′=φ-1(p**)と

義 をす る:環Rの

非 零 因 子 が,す

は,R上torsion-free加

極 小 素 因 子p′

元(≠0)はR*/pR*で

ら,p′〓 φ-1(p*)=p.pが

適 当な

極 小 素 因 子 で あ る か ら,p*は

す る.p*はaR*の

ア ル で あ る.さ

よ り,aの

つ い て,M 

平 坦 なR多 つ も0ま

元環 で あ る もの

た は1で

R*はtorsion-free

あ る場 合 に R*加

群

に な る.   証 明.  イ デ ア ル 化 の 原 理 に よ る環  る.NがR′

加 群 な ら ば,NはR加

群 で もあ り, 

と同 一 視 さ れ る.ゆ 理 の 証 明 の た め に は,Mが

え に,R″

で,aを

の 素 因 子p′ で,p″ M2=0で

の 零 因 子 で あ る.ゆ

含 む も の が あ る.前

がp′R″

え に,p′=p

(p*はR*の

か ら,pの

元aがM 

え に,R″

定 理 に よ り,R′

M(pはRの

元 は す べ て 零 因 子 で あ る.Rに

り方 に よ り,

素 イ デ ア ル).同

つ,R′/M〓Rで

p′R″ の 素 因 子 と い う こ と は,p*がpR*の

R*

の零 イ デ アル

ある

つ い て の 仮 定 に よ り,pは

,か

の定

の零 イ デ

素 イ デ ア ル).Mがtorsion-freeで

ル の 素 因 子 で あ る. 

R平

方,こ

の 素 因 子 で あ る も の が 存 在 す る.作

あ る か ら,p′ 〓M.ゆ

様, 

はR′ 平 坦 で あ る.他

有 限 生 成 で あ る と して よ い.R*の

に 関 す る零 因 子 で あ れ ば,aはR″ ア ル の 素 因 子p″

を考 え

零イデア

あ る か ら,p″

が

素 因 子 で あ る こ と を 示 す.R*が

坦 で あ る か ら,前 定 理 に よ り,p*はR*の

零 イ デ ア ル の 素 因 子 で あ る.  (証 明 終)

  次 の 定 理 は 定 理5.3.5の

応 用 で あり,忠

  そ の 定 理 を述 べ る た め に,一

つ の 定 義 を す る:環RとR*と

理 が 成 立 す る と は,(イ)R*はRを  

実 平 坦 の た め の 充 分 条 件 を与 え る.

支 配 し,(ロ)qがRの

が 極 大 イ デ ア ル で あ れ ば,lengthR*R*/qR*が

の 間 に推 移 定 準 素 イ デ アル で, 有 限 で あ っ て,

が 必 ず 成 立 す る と き に い う.   定 理5.4.3.  配 す る),か

R,R*がNoether環

つ,Rの

任 意 の 極 大 イ デ ア ルmに

有 限 で あ る(す な わ ち,Krull 条 件(1)∼(5)は   (1)  RとR*と   (2)  qがRの ⇒qR*:b=mR*.

で,R≦R*(す

dim

な わ ち,R*がRを

つ い て,lengthR*R*/mR*が

R*/mR*=0)も

の と す る.す

る と,次 の 各

互 に 同 値 で あ る. の 間 に推 移 定 理 が 成 立 す る. 準 素 イ デ ア ル,

支

が 極 大 イ デ ア ル,q:b=m(b∈R)

 (3)  R*はR多

元 環 と し て,忠

 (4)  m*がR*の

実 平 坦.

極 大 イ デ ア ル ⇒R(m*∩R)とR*m＊

と の 間 に推 移 定 理 が

成 立 す る.  (5)  a,bがRの

イ デ ア ル ⇒(a:b)R*=aR*:bR*.

  証 明.  (1)⇒(2):q′=q+bRと え に(1)の

お く と, 

.ゆ

仮 定 に よ り, 

ゆ え に  ∴mR*=qR*:bR*.こ (2)⇒(1)を の(ロ)に

得 る,(2)⇒(3)は よ り 明 白.ま

理5.3.2と

R,R*がNoether環

す る も の とす る.こ   (1)  aがRの

易 に

定 理5.3.1

明 白 ゆ え,(1),(2),(3),(5)は

の 包 含 関 係 は,R*m*がR(m*∩R)多

と と,定

  系5.4.4. 

よ り 明 白.(3)⇒(5)は

互 に同

明 ら か で あ る.(1)⇒(4)は,R(m*∩R)〓R*m*以

た,こ

(問 題5.3.5)こ

定 理5.3.5に た,(5)⇒(2)は

値 で あ る.(4)⇒(1)は 白 で あ り,ま

れ を 逆 に た どれ ば,容

外 は明

元環 と して平 坦 で あ る

に よ る. 

(証 明 終)

で,推

移 定 理 がRとR*と

の 間 で成 立

移 定 理 がR/aとR*/aR*と

の 間 で成 立

の と き,

イ デ ア ル な ら ば,推

す る.   (2)  S,S*が

そ れ ぞ れR,R*の0を

の 条 件 が 成 立 す る も の と す る.す

含 ま ぬ 積 閉 部 分 集 合 で,次 る と,推

の 「

移 定 理 がRSとR*S*と

」内

の間 で成

立 す る.   「(イ)p*がR*に Sに

お け る,S*に

関 す る 極 大 イ デ ア ルpを

逆 に,(ロ)pがRに

関 す る極 大 イ デ ア ル な ら ば,Rに

適 当 に と れ ば,p*はpR*の

お け るSに

お ける

極 小 素 因 子 で あ り,

関 す る 極 大 イ デ ア ル な らば,pR*∩S*=空

集合 」   (3)  上 の(2)に

お け るRS,R*S*が

半 局 所 環 な ら ば, RSはR*S*の

部分

空 間 で あ る.   最 後 に,忠

実 平 坦 の 条 件(平 坦 性 とpR*≠R*)に

た 平 坦 な 多 元 環 の 性 質 と し て も 興 味 の あ る,次

つ い て の 注 意 で も あ り,ま の 定 理 を 示 そ う.

  定 理5.4.5Rが 型(φa=a・1)で

平 坦 なR多

元 環 で,φ:R→R*が

あ る も の とす る.pがRの

ば,pR*=R*で  証 明. 

環,R*が

自然 準 同

素 イ デ ア ル で φ-1(pR*)≠pな

ら

あ る. a=φ-1(pR*)と

さ て,R*が

お く.  x∈a,x〓pと

す る と, 

平 坦 で あ る か ら, 

ゆ え, 

す な わ ち, 

(証 明終)

問   1.  (R,a)がZariski環

題   5.0.

で あ る と は,(イ)RはNoether環,(ロ)Rにa進

入 れ て 考 え る,(ハ)(そ

の 位 相 で)Rの

  こ の 条 件 は,(イ),(ロ)お

位相 を

ど の イ デ ア ル も 閉 集 合 で あ る と き に い う.

よ び 「a∈R,a-1∈a⇒aは

正則 元 」 と同値 で あ る こ と を

示 せ.   2.  Rが

環,aがRの

イ デ ア ル,MがR加

も し,NがMのa進 はRのa進

部 分 加 群 で あ る と き,

イ デ ア ル 

位 相 に よ る 閉 集 合 で あ る.

問   1.  r変 xr-1]]の

群,NがMの

位 相 で 閉 集 合 で あ れ ば,Rの

題   5.1.

数 の べ き 級 数 環R[[x1,…,xr]]は,r-1変

数 の べ き級 数 環R[[x1,…,

上 の 一 変 数 の べ き 級 数 環R[[x1,…,xr-1]][[xr]]と

  2.  (R,a)がZariski環

で あ る と き,べ

き級 数 環R[[x]]=R[[x1,…,xr]]に

て,(R[[x]],aR[[x]]+ΣxiR[[x]])もZariski環

で あ り,し

aR[[x]]),(R[[x]],ΣxiR[[x]])もZariski環   3.  体Kの

上 のr変

数(r≧1)の

自 然 に 同 一 視 で き る. つい

た が っ て,(R[[x]],

に な る. 形 式 的 べ き級 数 環K[[x1,…,xr]]の,K上

の超

越 次 数 は 無 限 で あ る.   [ヒ ン ト:Kの

元 数 が 有 限 ま た は 可 付 番 無 限 の と き に は,K[[x1,…,xr]]の

可 付 番 で な い こ と を 利 用 せ よ.一

般 の 場 合 は,こ

問   1.  定 理5.2.3に そ れ ぞ れ のMに   (ⅰ)

題   5.2.

お け る 記 号 の 下 で,{xn},{yn}がMのCauchy列 お け る 極 限 で あ る と き,

濃度 が

の 特 別 な 場 合 の 結 果 を利 用 せ よ.]

で,x,yが

 

(ⅱ)   2.  本 文 に お い て,a進

完 備 化 は,特

函数 に よ っ て で な く,位

別 な 距 離 函 数 を 使 っ て 定 義 し た が,実

相 に よ っ て,完

備 化 は(位

は,距

離

相 空 間 と し て は)一 意 的 に 定 ま る.そ

のこ と を 次 の 形 で 証 明 し て み よ.  

R加

群MとRの

イ デ ア ルa,bと

を 考 え る.も

れ ば,Mのa進

完 備 化 とb進

 3.  Zariski環

の 完 備 化 はZariski環

完 備 化 と は,同

し,∃m,n,an〓b,bm〓aが

型,同

成立す

相 で あ る.

で あ る.

  4.  こ の 節 の い ろ い ろ な 定 理 に つ き,そ

れ がZariski環

の 場 合 に 拡 張 で き る か ど うか,

し ら べ て み よ.

問  1.  Rが

環,R*が

忠 実 平坦 なR多

は 中 へ の 同 型 を 与 え る こ と を,ま

題5.3. 元 環 で あ る とき,任 意 のR加

ず 示 せ.こ

群Mに

の 写 像 に よ り,M〓M 

に,aがRの

イ デ ア ル な ら ば, 

  2.  §5.3に

お け る定 理 の お の お の に つ い て,そ

R*と

つ い て,

見 な す.次

で あ る こ と を示 せ. の 逆 が 成 立 す る か ど うか に つ い て,し

ら べ て み よ.   3.  Rが 坦,の

環,R′

がR多

元 環 で あ り,(イ)R′

二 条 件 が 成 立 す れ ば,RもNoether環

  4.  前 問 を 利 用 し て,Rが 位 相 がT0空

はR忠

実平

で あ る.

擬 半 局 所 環 で,そ

間 で あ っ て も,そ

はNoether環,(ロ)R′

のm進

のJacobson根

完 備 化RはR加

基 がmで

あ る と き,m進

群 と し て 平 坦 で あ る と は 限 らな

い こ と を 示 せ.   5.  Rが

環,R*がR多

元 環 で,MがR*加

  (イ)  R*がR平

坦,MがR*平

  (ロ)  R*がR忠

実 平 坦,MがR*忠

  (ハ)  R*がR平

坦,S,S*が

元 とR*の

坦 な ら ば,MはR平

そ れ ぞ れR,R*の0を

単 位 元 の 積 が す べ てS*に

  7.  Rが がR*加

環,R*が

坦 で あ る.

の 条 件 が 成 立 す る も の とす る:

元 な らば,aR*:bR*=(a:b)R*.

坦 で あ る. 忠 実 平 坦 なR多

元 環 で あ る も の と す る.MがR加

群 と し て 有 限 生 成 な ら ば,Mは(R加

問   1.  (R,a)がZariski環

実 平 坦 で あ る.

含 ま ぬ 積 閉 部 分 集 合 で,Sの

含 ま れ る と き,R*S*はRS平 元 環 で,次

イ デ ア ル,bがRの

こ の と き,R*はR平

坦 で あ る.

実 平 坦 な ら ば,MはR忠

  6.  RがNoether環,R*がR多   aがRの

群 で あ る も の とす る.

で,(R,aR)が

群 と し て)有

群 で,M 

限 生 成 で あ る.

題   5.4. そ の 完 備 化 で あ る と き,

RR*

  (イ) RはR平

坦 で ある.

  (ロ) Mが

有 限 生 成R加

こ の とき,Mの

群 で あ る とき,Mの

完 備 化 は 

  (ハ) 上 の記 号 の 下 で,さ

らに,SはRの

分 加 群 で あ る と き,NのM=M 

Rに

し,さ らに,(M 

Rs)∩N=Nで

  (ニ) bがRの

イ デ ア ルで,bRが

  [ヒ

自然位 相 として はa進 位 相 を考 え る.

で あ る. 非 零 因 子全 体 とす る.ま たNはMの お け る閉 包NがNの

部

完 備 化 で あ るこ とを示

あ る こ とを示 せ. 単 項 な らば,bも

単 項 で あ る.

ン ト: ]

 (ホ)  Rが

素 元 分 解 環 な ら ば,Rも

 [ヒ ン ト:pがRの

高 さ1の

と元 を 共 有 し な い,(ⅱ)pRSが すべ て 高 さ1で,か

素 元 分 解 環 で あ る.

素 イ デ ア ル,S=R-pの 単 項 で あ る,の

と き,(ⅰ)pRの

二 つ を まず 示 し,次

素 因 子 はS

に,pRの

素 因 子 は,

つ 単 項 で あ る こ と を 示 せ.]

 2.  R,R*がNoether環

で,R*はR多

が成 立 す れ ば,R≦R*で  (イ)  mがRの

元 環 で あ る も の と し,次

の(イ),(ロ),(ハ)

あ る.

極 大 イ デ ア ル ⇒mR≠R*.

 (ロ)  RのR*に

お け る 像,す

な わ ち{x1￨x∈R,1はR*の

単 位 元},はR*に

支配

きれ る.  (ハ)  推 移 定 理 の 定 義 に お け る 条 件(ロ)が  3.  (R,m),(R*,m*)が

局 所 環 で,R*はR多

る も の と す る.次 の(A)が 存在 す れ ば ,RとR*と  (A)  qがm準

 (B)  適 当なm準   つ い て,

成 立 す る か,ま

成 立 す る. 元 環 で,mR*はm*準 た は 正数

素イデアルであ

α が 次 の(B)を

成 立 させ る よ うに

の 間 に 推 移 定 理 が 成 立 す る.

素 イ デ ア ル ⇒ 適 当 なm準

素 イ デ ア ルq′

でqに

含 ま れ る も の に よ り,

素 イ デ アルq′ が あ っ て,q′ に含 まれ る任 意 のm準

素 イ デ アルqに

第6章 

  6.0.Hilbert特

性

(Riがi次

で あ る と は,R0=A,か

度

つ,Rが

斉 次元 の なす加 群)が 環Aの 沼 上R1で

代 数 的 独 立 元x1,…,xs,…

と き,RはAの

複

函 数

 次数付 き環 

R1がA上

重

上 の(ま

た はA係

次 多 項 式 環 で あ る とい う.こ

上 の斉 次 環

生 成 さ れ る と き に い う.さ

ら に,

を 一 次 独 立 基 に も つ 自 由加 群 で あ る 数 の)変 数x1,…,xs,…

の 定 義 に よ れ ば,斉

に つ い て の斉

次 多 項 式 環 の,斉

次 イ デ アル

を 法 とす る 準 同 型 像 が 斉 次 環 で あ る.   以 下,こ

の 節 に お い て は 

 はNoether環

で,RはR0上

次 数 付 きR加

は 次 数 付 き環(RがNoether環 有 限 生 成(定 理3.1.5参

群 で あ る も の とす る.ま

加 群 を示 す の に 用 い る も の とす る.こ 定 義 され た,n=0,1,2,…

に,aがRの

の と き,lengthR0  Mnは,Mに

κ函 数 と よ び,κR0(M;n),ま

 (*) 

に は無 限

た は κ(M;n)で

表

斉 次部 分 加 群 で あれ ば,

斉 次 イ デ ア ル で あ れ ば,

 証 明.  同 型 定 理 に よ り  二 式 は,第

よ って

示 す.

がMの

定 理6.0.1. 

得 る.第

斉 次 元 の なす 部 分

斉 次 イ デ ア ル で あ る と き,κ(R/a;n)を,aのHilbert

特 性 函 数 とい い,x(a;n)で

同 様 に,a,bがRの

字nは,n次

照)に 注 意)で,Mは

に つ い て の 函 数 で あ る と考 え られ る.(値

大 も許 容 す る.)こ れ をMの わ す.特

た,添

⇔R0

これ か ら第 一式 を

一 式 と次 の 等 式 と か ら出 る.

(証 明終)

  注 意.R0がArtin環

で あ れ ば,上

こ と に 注 意 せ よ.以 Artin環

下,重

で 扱 っ た函数 の値 は いつ も有 限 で あ る

複 度 に 関 し て わ れ わ れ が 必 要 とす る の は,R0が

の と き だ け で あ る.

がMの

  定 理6.0.2. 

そ の 次 数 がdで

斉次 部 分加 群 で,fがMの

あ れ ば,

  特 に,M=R(従

っ て,Nが

斉 次 イ デ ア ル)の

  証 明. 

,前

と き,

(定 理2.1.2)と,こ を 得,こ

一式 と

斉 次 元 で,

ペ ー ジ の 等 式(*)と

  補 題6.0.3. 

の 同 型 の 作 り方 か ら, 

れ か ら第 一 式 を得 る.第

に よ る. 

RがArtin環Aの

二式 は第 (証 明 終)

上 の 変 数x1,…,xsに

つ い て の斉次 多

項 式 環 で あ る ときは,   証 明.x1,…,xsに

つ い て のn次

単 項 式 の 数 は 

で あ る.  (証 明 終)

 さ て,も

う一 つ 定 義 し よ う.f(x)が

に つ い て は,常

に, 

成,次

  証 明.ま で,定

上 のNoether斉

群 で あ れ ば,Mは

ず,M=R/a,aは

R/a*の す る.ゆ

す る.も

dim

R/a*≧1.ゆ

dim

a*の

分 大 き い 自然 数nに

つ い て,x(a*+fR;n)はnの

分 大 き いnに

つ い てx(a*:fR;n-1)もnの

与 え るa全 R/a*=0な

ら,

σ多 項 式 で あ っ て ,仮 定 に 反

え に,∃f∈R1,f〓a*.定

よ れ ば, 

な ら ば,充

の よ う なMを

し,Krull

有 限 で あ り,定 数lがR/a*の

え に,Krull

有 限生

斉 次 イ デ ア ル の 場 合 の 証 明 を す る.こ の よ うなM

中 で,極 大 な も の をa*と

長 さlは

次 環 で,Mが

σ多 項 式 を もつ.

理 の成 立 し な い 場 合 が あ る と仮 定 し よ う.そ

体 の 集 合Fの

σ多 項

示 す.

RがArtin環Aの

数 付 きR加

分 大 き いn

が 成 立 す る と き,f(x)をMの

式 と い い,σ(M;n)で   定 理6.0.4. 

有 理 数 係 数 の 多 項 式 で,充

多 項 式.も

理6.0.2に 極 大 性 に よ り,充 し,a*:fR≠a* 多 項 式 で あ り,

x(a*;n)も

そ う な る.す

に つ い て,nの

も,充

る と, 

多 項 式 に な る,も

し,a*:fR=a*な

と な り,こ れ のn=1,2,…,mの x(a*;m)はmの

と き を 全 部 加 え れ ば,mぶ

多 項 式 で あ る こ と を知 る.ゆ

はM=R/aの   次 に,一

え にFは

般 のMの

とき を考 え る.Mの

納 法 の 仮 定 に よ り,Nは

ゆ え,f(x)+g(x)がMの

空 集 合 で あ り,定

もつ.length 

と る.sに

え,正

σ多 項 式f(x)を

理

し い. 

Nn+length

σ多 項 式 に な る. 

の 定 義 か ら明 白 で あ る.こ

を 係 数 に も つ)を,整

つい

も つ.M/Nも(s=1

Mn=length

  σ多 項 式 が 「充 分 大 き い 自 然 数 に 対 し て,整

て,次

充 分 大 き い と き,

生 成 元u1,…,usを

ら ば,M〓R/(0:M)ゆ

の と き に よ り)σ 多 項 式g(x)を

こ とは,そ

の等式 は

形 の と き に は 正 し い.

て の 帰 納 法 を利 用 す る.s=1な とお く.帰

ら ば,上

分 大 き いn

Mn/Nn (証 明 終)

数 値 を とる」 とい う性 質 を もつ

の 「 」 内 の 性 質 を もつ 多 項 式(有

数 値 多 項 式 と よ ぶ こ と に す る と,そ

理数

れ は 二 項 係 数 を使 っ

の よ う に 特 徴 づ け ら れ る.

  補 題6.0.5. 

d次の

  こ こ に,c0,…,cdは て,f(n)は

整 数 値 多 項 式f(x)は,次

有 理 整 数 で あ る.し

有 理 整 数 で あ り,ま

  証 明.  dに

の形 で 表 わ され る:

た が っ て,任

た,(d!)f(x)は

つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す る.d=0な

す る.g(x)=f(x)-f(x-1)と

お く と,g(x)も

意 の 自然 数nに

ら 明 らか で あ る.d≧1と 整 数 値 多 項 式 で あ り, 

(aiは 有 理 数)な

ら ば,g(x)=da0xd-1+(低

法 の 仮 定 に よ り,c0=((d-1)!)da0=(d!)a0は

整 数 で あ る.

と お く と,h(x)も

 そ こ で, 

deg h(x)≦d-1.ゆ

え に,帰

補 題 に い う よ う な 形(た

ち に 所 期 の 結 果 を 得 る. 

次 の 項).帰

納

整 数 値 多 項 式 で あ っ て,

納 法 の 仮 定 に よ っ て,h(x)が

だ し,最

対 し

整 係 数 に な る.

二 項 係 数 を 使 っ て,

初 の 項 を欠 く)に 表 わ され,f(x)に

つ い て直 (証 明 終)

  6.1.λ

 aが

多 項 式

環Rの

イ デ ア ル で,MがR加

群 で あ る と き, 

と お く(n=0,1,…).  ま ず,Fnの

元b=(b

mod

an+1)とFmの

元c=(c

mod

am+1)と

の 積bcを,

が

と定 め る こ と に よ り,加 群 と して の 直 和  自然 にF0=R/aの い い,gra  Rで

上 の 斉 次 環 に な る.こ 示 す.同

様 に,上

のFを(R,a)に

の よ う なbと,Gmの

とのbzを,

付 随 した斉 次 環 と 元z=(z

mod am+1M)

と定 め る こ とに よ り,加 群 と し て の

が 自然 に次 数 付 きF加

直和

次 数 付 き 加 群 とい い,graMで

群 にな る.こ れ を(M,a)に

付 随 した

示 す.

  注 意.   前 節 の 定 理6.0.4と,こ   定 理6.1.1. 

生 成 な ら ば,適

の 注 意 と か ら,直

ち に 次 を 得 る.

上 で,RがNoether環,F0=R/aがArtin環,Mが

当 な整 数 値 多 項 式f(x)で,充 と な る も の が あ る.こ

有 限

分 大 き いnに のf(x)はgra

つ い て, 

Mの

σ多 項 式 に他

な らな い.   こ のf(x)をMのaに =Rの

関 す る λ多 項 式 と い い,λ(a;M;x)で

時 に はRを

省 い て,λ(a;x)で

  定 理6.1.2.R,a,Mは

上 と同 様 とす る.NがMの

き,g(x)=λ(a;N;x)+λ(a;M/N;x)-λ(a;M;x)と の 自然 数rとn0と

を とれ ば,n0よ

し た が っ て,(g(x)=0か

  証 明.第

一 式,左

り大 き い 任 意 の 自然 数nに

つdegλ(a;N;x)=0の

対 し,

と 

の 不 等 号 を 得 る.も

つ い てamN=0と

当 な二 つ

と き を 除 い て)

の 等 号 は, 

一 式,右

充 分 大 き い 自然 数mに

部分加群であると お け ば,適

と か ら出 る.Artin-Reesの ゆ え,第

表 わ す.M

示 す.

補 題 に よ り  し,λ(a;N;x)が

な り,容 易 にg(x)=0を

定 数 な らば, 得 る.λ(a;

N;x)が

定 数 で な い な らば,上

で 得 た 不 等 式 に よ り, 

で,こ の 右 辺 は低 次 の多 項式 ゆ え最 後 の不 等 式 を得 る.(証  こ こ で

明終)

,λ 多 項 式 を変 え な い 拡 大 の 例 を示 し て お こ う.

  補 題6.1.3. 

a,R,Mは

 (イ)XがR上

 (ロ) Rが

上 の 通 り とす る.

超 越 元 で あ る と き,R*=R[x]aR[x]を

半 局所 環 で あ る場 合,Rが

  証 明 は 易 し い の で 省 く,各

考 え れ ば,

そ の完 備化 な らば,

自試 み よ.

  こ の 節 の 最 後 に あ た っ て,length

M/anMな

ど を,Rの

部 分 環 な ど か ら眺

め た 場 合 に つ い て の 易 し い 結 果 を 述 べ て お こ う:   定 理6.1.4. 

R,a,Mは

上 と 同 様(す

の イ デ ア ル で,R/aはArtin環,Mは イ デ ア ル がm1,…,msで

な わ ち,RはNoether環,aは

有 限 生 成 のR加

あ る も の とす る.さ

ら に,R′

支 配 さ れ,ど

れ は,充

表

のi=1,…,sに

た,RiはRmiを

分 大 き いnに

  証 明.  問 題6.0.2を

6.2.  上

つ い て も,[R/mi:R′/m′i]が 表 わ す こ と に す れ ば,

つ い て は,nの

多 項 式 で 表 わ され る.

利 用 す れ ば 容 易. 

(証 明 終)

元

  前 節 で 述 べ た λ多 項 式 の 性 質 を調 べ る 有 力 な 手 段 と し て,上 を 導 入 す る.斉

次 環 の上 表 元 と,イ

表 元 と い う概 念

デ ア ル の 上 表 元 との こ二つ の 場 合 に つ い て,

そ れ ぞ れ 別 の 定 義 に よ っ て な され る が,そ る よ うに,大

で,R

とお く と き,

有 限 で あ る も の と す る.ま

  ゆ え に,こ

含 む極 大

がNoether環

はR′ 多 元 環 で,  R′/a′ がR/aに

そ

群)で,aを

の 二 つ は,後(定

理6.2.2)で

わか

変 密 接 な 関 係 を もつ.

  R=ΣRnがR0上 る と は,f∈R1,か

のNoether斉 つ,適

次 環 で あ る と き,fがRの

当 な 自然 数cよ

り大 き い 自然 数nす

上表元 であ べ て に つ い て,

(0:fR)∩Rn=0が

成 立 す る と き に い う.

  aがNoether環Rの

イ デ ア ル で あ る と き,bがaの

適 当 な 自然 数cに

環 で,ま

た,ど

の成 立 す る と き に い う.

よ り, 

  補 題6.2.1. 

R=ΣRnが

半 局 所 環(R0,m1,…,ms)上

のR0/miも

のNoether斉

次

無 限 個 の 元 を も つ も の とす る.n1,…,ntがR1の

(R0加 群 と して の)部 分 加 群 で,R1≠nj(∀j)と のnjに

上 表 元 で あ る とは,

す れ ば,Rの

上 表 元fで,ど

も含 まれ な い も の が 存 在 す る.

  証 明.  零 イ デ ア ル の 素 因 子 で,R1を

(Krull‐ 東 屋 の 補 題).そ

し な い.ど のR0/mα

含 ま な い も の 全 体 を,p1,…,pnと

は 

こ で, 

とは 一 致

も無 限 個 の 元 を も つ か ら, 

と な るf(∈R1)を

の 素 因 子 がR1を

そ こ で, 

ゆ え,0:fRは,そ

と る. 

含 む よ う な 準 素 成 分 を 無 視 す れ ば0と

∃ イ デ ア ルb, 

,(0:fR)∩b=0.す

Rn∩(0:fR)=0.ゆ

え に,こ

す

とお け ば, 

と お く. 

る. 

のfが

一 致 す る.ゆ

る と,∃c,Rc〓bゆ

え に,

え,∀n≧c,

求 め る も の で あ る. 

(証 明 終)

  イ デ ア ル の 上 表 元 と の 関 連 に つ い て は:   定 理6.2.2. 

aがNoether環Rの

イ デ ア ル で あ る と き,aの

の 上 表 元 で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,b=(bmoda2)がgraRの

元bがa 上表元であ

る こ と で あ る.   証 明. 

と し よ う.

の 成 立 す る 自然 数cを

 充 分 性:  る.  y〓amな

は 明 白.逆 るmを

と り,y=(y

に,y∈(an:b)∩acな mod am)と も し も,m
意 味 す る の で, 

に 反 す る.ゆ

に つ い て,y=(y

ら ば,by え にm≧nで

の 成 立 す る 自然 数cを mod

an+1)(∈Fn)と

す

ら ば,by∈an.y∈m-1,

お く と,y∈Fm-1.y∈acゆ

m-1≧c. 

 必 要 性: 

と る.n>cと

え,

∈anはby=0を あ り,b∈an-1.

と る.y∈an(n≧c)

書 け ば, 

(証明終)

上 の 定 理 の 充 分 性 の 部 分 と,補 題6.2.1と   定 理6.2.3.  り,さ

aがNoether環Rの

ら に,aの

で,ど

イ デ ア ル で,Krull

ど の 素 因 子mに

n1,…,nsがRの

か ら次 を得 る:

つ い て もR/mが

R/a=0で

あ

無 限 個 の 元 を も つ と き,

が成 立 す れ ば,aの

イ デ ア ル で, 

のnjに

dim

上 表 元b

も含 ま れ な い も の が 存 在 す る.

  証 明. 

と お く.も

(nj∩a)+a2.ゆ

し,nj=F1な

え にaRa=(nj∩a)Ra(Krull‐

る.∴nj≠F1(∀j).ゆ

え に,前

ら ば, a〓nj+a2.∴a=

東屋 の 補 題)と

定 理 と補 題6.2.1と

な り,仮 定 に 反 す

か ら,こ

の 定 理 を得 る.  (証 明 終)

  この 定 理 のR,aに あ る,と

い う こ と は 易 し い が,こ

が な くて も,次

しa=aR(a∈R)な の と き は,剰

aがNoether環Rの

イ デ ア ルaRの

上表元で

余 類 体 の 元 数 が 無 限 と い う条 件

元 で,Krull

dim

R/aR=0で

あ れ ば,

上 表 元 で あ る.

  証 明.  graRRはF0=R/aR上,a=(a て,graRRの

らば,aはaの

の こ と が 証 明 され る:

  定 理6.2.4.  aは

つ い て,も

mod

a2R)で

零 イ デ ア ル の 素 因 子pでF1=aR/a2Rを

で あ り,(graRRに す れ ば 一 致 す る.し

お い て)0:aと0と

生 成 され る.し

含 ま な い も の を とれ ば,  は,F1を

た が っ てaはgraRRの

含 む 準 素 成 分 を無 視

上 表 元 で あ り,aがaRの

元 で あ る. 

上表 (証 明 終)

  補 題6.2.5.  り,bがRの

aがNoether環Rの 元 で あ れ ば,任

  証 明.  定 理2.1.2に

イ デ ア ル で,Krull 意 の 自然 数nに

 定 理6.2.6. 

aがNoether環Rの

あ る と き は,R′=Raを

R/a=0で

あ

ついて

(証 明 終)

本 的 で あ る. イ デ ア ル で,Krull

元 で あ る も の とす る.a=a/bRと

つ い て, 

dim

よ り明 らか. 

  次 の 定 理 はλ 多 項 式 の 扱 い 上,基

り,bがaの

たが っ

お け ば,充

が 成 立 す る.も 考 え れ ば,length(0:bR′)は

dim

R/a=0で

あ

分 大 き い 自然 数nに し,bがaの

有 限 で あ り,

上表元で

  証 明.  前 半 は 補 題6.2.5に

よ り 明 白 で あ る か ら,後 ゆ え に,補

題6.2.5に

半 を 考 え よ う. 

よ り,

最後 の項   R/acはArtin環 な る.そ

ゆ え,上

の 定 数 をCと

記 の 最 後 の 項 は,充

し よ う.証

て は,

対 して定 数 に

明 す べ き こ と は,C=length(0:bR′)で

ゆ え,R=R′

る. 

分 大 き いnに

と し て よ い.す

る と,充

あ

分 大 き いnに

つい

(定理3.0.8).∴C=length(0:bR)/((0:bR)∩ac).

こ のCはcさ

え 充 分 大 き け れ ばcの

値 に は 無 関 係 で あ る か ら,(0:bR)∩acは

0で な く て は な ら な い. 

(証 明 終)

  こ の 定 理 の 一 つ の 応 用 と し て,λ 多 項 式 の 次 数 を 与 え る 次 の 定 理 を得 る.   定 理6.2.7.  式 λ(a;M;x)の

a,Rは

上 の 通 り と し,Mが

次 数 は,Krull

  証 明.  定 理6.1.4に れ ば よ い.ま

dim.Ra/(0:M)Raに

よ り,(R,m)が

た,0:M=0と

有 限 生 成R加

群 で あ れ ば,多

等 し い.

局 所 環 で, 

仮 定 し て よ い.Mの

項

の と きに証 明 す

生 成 元u1,…,usを

と る.

sに つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.   (ⅰ) s=1の d=0な

と き:d=Krull

dim

ら,λ(a;M;x)=length

し 必 要 な らR(X)=R[X]mR[x]を R/mが

Rと

Rゆ

し,dに え,そ

と,Krull

さ0の dim

上

素 イ デ ア ル に は 含 ま れ な い よ うな もの が 存 在 す る.す

る

R/bR=d-1(定

理3.2.10)a-a/bRと

あ る か ら,degλ(a;x)=d.

  (ⅱ) 一 般 の 場 合 の 証 明: 

定 理6.1.2に

R/(0:ujR).す よ り,

お け ば,前 定 理 に よ り,

数).∴ 

帰 納 法 の仮 定 に よ り,こ れ はd-1で

dim

る と,定 理6.2.3に

照),

よ り,aの

λ(a;x)=λ(a;x)-λ(a;x-1)+(定

Krull

し よ う.も

考 え る こ と に よ り(補 題6.1.3参

無 限 個 の 元 を も つ と仮 定 して よ い.す

表 元bで,高

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.

の 次 数 は0.d>0と

で あ る か ら,∃j,d= る と,(ⅰ)に

よ り,degλ(a;ujR;x)=d.さ

て,

(証明終)   系6.2.8. 

上 の よ う なR,aに

bがaの   系6.2.9. 

二 つ のNoether環RとR*の

  (イ) pがRの dim

R=Krull

  (ハ)  aがRの   証 明. 

Ra≧1で

あ り,さ

らに

dim

(イ)系5.4.4に

は(イ)と

定 理5.4.1と 理6.2.7の

  定 理6.2.10.  Jacobson根

F=gra

dim

(証 明 終)

別 の 応 用 と し て,次 Rが

の 結 果 を 得 る:

半 局 所 環 で,aがRの dim

易 に 定 理4.1.1と

Krull

Fを

イ デ ア ル で, 

R=Krull

R,F1=a/n2(〓F)と

成 ゆ え,容

  6.3. 

gra

R. え,

FF1F.FはArtin環R/a上

定 理3.1.6が

有 限生

利 用 で き て,Krull

dim

得 る. 

FF1F=

(証 明 終)

重 複 度 の 定 義 は 次 の 通 り と す る.RはNoether環,aは

イ デ ア ル で,R/aはArtin環,Mは

子 全 体 はm1,…,msで 多 項式

に 等 し く,し のd!倍(す

dim

がRの

お く と,λ(a;x)=λ(F1F;x)ゆ dim

  こ の 節 を 通 じ て,R,a,M等

  ま ず,λ

ら 明 白.(ハ)

か ら 出 る. 

R=degλ(a;x)=Krull

dim

間 で 推 移 定 理 が 成 立 す る か ら,

同 じ 次 数 を も つ.(ロ)は(イ)か

基 で あ れ ば,Krull

  証 明. 

R*.

よ り,RpとR*pの

λ(pRp;x)は

  ま た,定

極 小 素 因 子 な ら ば,htp=htp*.

イ デ ア ル で あ れ ば,hta=htaR*.

λ(pR*p*;x)と

Rの

dim

間 で 推 移 定 理 が 成 立 す る と き,

素 イ デ ア ル で,p*がpR*の

  (ロ)  Krull

Krull

つ い て,Krull

上 表 元 な ら ば,

有 限 生 成R加

あ る も の と す る.ま λ(a;M;x)を

た が っ て,d以 な わ ち,補

た,d=Krull

考 え る と,そ 内 で あ る(定

題6.0.5に

に 関 す る 重 複 度 と い い,μ(a;M)で

群 で あ る.aの dim

の 次 数 はKrull

理6.2.7).こ

dim

Raと

素 因

す る.

Ra/(0:M)Ra

の 多 項 式 のxdの

係 数

お け る 形 に 表 わ し た と き のc0)を,aのM 示 す.M=Rの

と き,単

にaの

重 複 度 と

い い,μ(a)で

示 す.こ

の 定 義 か ら 明 ら か に,

  補 題6.3.1.(イ)μ(a;M)=0⇔Krull   (ロ)ht

mi=dで

あ る よ う なmiの

  こ の(ロ)は,重 る.ま

た,定

dim

複 度 をRが

理6.1.2か

  特 に,Krull

dim

全 体 がm1,…,mtで

あ れ ば,

局 所 環 の 場 合 に 帰着 さ せ る 意 味 で,重

ら,直

  定 理6.3.2. NがMの

Ra/(0:M)Ra
ち に,次

要であ

を 得 る.

部 分 加 群 で あ れ ば,

Ra/(0:N)Ra
の と き は,μ(a;M)は

た はKrull

μ(a;M/N),ま

dim

た は μ(a;N)に

Ra/(0:(M/N)Ra
  こ の 定 理 の 後 半 の 特 別 な場 合 と し て:   系6.3.3. 
Mの

元a1,…,afが

あ れ ば,μ(a;M)=f・

  特 に,Rの

全 商 環 をQと

一 次 独 立 で,Krull

す る と き, 

の 自 由 加 群 で あ れ ば,こ

  次 の 定 理 は,重

複 度 の 計 算 を,Rが

  定 理6.3.4, 

0の 素 因 子pで, 

な る よ う なpの

全 体 をBと

Krull

dim

  l>0の

がf個

の 等 式 が 成 立 す る.

整 域 の 場 合 に 帰 着 さ せ る の に 役 立 つ. ,か

と お き,lに 辺=0で

あ る.ま

つ,Krull

Ra/(0:M)Ra
な り,左

と き:∃q∈B, 

.∴

で あ る か ら,

辺 も0. ∃m∈M,length

  (イ) 

μ(a;M)≦

mRq=1.す

こ で,N=cmRと

適 用 し た も の と か ら,定 bもRの

Ra/pRa=dと

つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す る.

R/q,μ(a;N)=μ(a;R/q)=μ((a+q)Ra/qRa).こ

  定 理6.3.5. 

dim

た, 

0:mRq=qRq.∃c∈R,c〓q,0:cmR=q.そ

M/Nに

の 元 か ら成 る 一 次 独

す る と き,

  証 明.  と き:右

Ra/(ΣaiR:M)Ra

μ(a).

立 基 を も つQ上

 l=0の

dim

μ(b;M),μ(a)≦

お け ば,N〓

の 等 式 と,帰 理 の 主 張 を 得 る. 

イ デ ア ル で,b〓aか μ(b).

つKrull

る と,

納 法 の仮 定 を (証 明 終)

dim

Rb=dと

す る.

  (ロ)  も し も,μ(a)=μ(b)な

ら ば,μ(a;M)=μ(b;M).さ

  (ⅰ)  極 大 イ デ ア ルmがbを

含 みaを

  (ⅱ)  p′ が0の ま た は,Krull

素 因 子 で,b+p′ dim

  証 明.  (イ)は

定 理 を,M=Rの

  第 二 式 のp∈Bに

の 場 合,

含 ま な い な ら ば,htm
は 前 定 理 のBに

属 す る か,

Rb/p′Rb
定 義 に よ り明 白 で あ る.(ロ)の

相 当 す る も の をbに る.前

≠Rな

ら に,こ

対 し て 作 っ た も の をB′

証 明 を し よ う.前 とす る.明

定 理 のBに

ら か にB〓B′

であ

と き に 適 用 し て,

つ い て の 和 だ け を 考 え て も,  ゆ え,(1)こ

れ らは 互 に 等 し く,(2)p′

 で な く て は な ら な い.こ

∈B′,p′ 〓Bな

の(2)か

ら(ⅱ)を

(ⅰ)を 得 る. 

らば,

得,(1)か

ら

(証 明 終)

  6.4.  パ ラ メ ー タ ー 系 で 生 成 さ れ る イ デ ア ル   補 題6.3.1  で 知 っ た よ う に,重 複 度 は 環 が 局 所 環 で あ る場 合 に 帰 着 さ せ る こ とは 容 易 で あ る.そ で あ り,aはm準 Rの

こ で,こ

の 節 で は,(R,m)が

局 所 環 で,Krull

素 イ デ ア ル で あ る も の と仮 定 す る.§3.2で

パ ラ メ ー タ ー 系 は 必 ずd個

の 元 か ら成 る.当

dim

R=d

知 っ た よ う に,

面 の 目標 は,次

の こ との証

明 に あ る.   定 理6.4.1.  ー 系x1

も し,R/mの

元 数 が 無 限 な ら ば,aの

,…,xdで,μ(a)=μ(ΣxiR)と

  こ の 定 理 の 証 明 の た め に は,次   補 題6.4.2. 

な る も の が あ る. の 補 題 が 重 要 で あ る.

上 の よ う なR,aに

  (イ)  x∈at(tは

 (ロ)  も し,xがaの

自然 数),Krull

元 か ら成 る パ ラ メ ー タ

つ い て, dim

上 表 元 で,か

R/xR
つd=1な

ら ば,

ら ば,

(ハ)  xがaの

上 表 元 で,か

  証 明.(イ):x∈atゆ

つd≧2な

ゆ え に, 

え,  (補 題6.2.5).こ

d-1は,§3.2で

は,補

  定 理6.4.1の

題6.2.6か

証 明.dに え,μ(a)=μ(0).一

と き:上

…,y′d

得 る.ゆ

.他

R/xR=μ(a)+length(0:x).ま

理6.2.4)か

ら,length 

と な るR/xRの 代 表 元y1,…,yd-1を

パ ラ メ ー タ ー 系 で あ り,各

題(ハ)に

れ

R/xR=μ(xR)+

え に,μ(a)=μ(xR).

あ る.y′1,…,y′d-1の

方,前

と き:μ(a)=

の 場 合 は 正 し い.

よ り,length 

と き: 

yd=xはRの

(証 明 終)

ラ メ ー タ ー 系 は 空 集 合 で あ る か ら,そ

考 え ら れ,こ

上 表 元 で あ る(定

-1が

dim  R/xR=

ら 出 る. 

方,パ

の 補 題(ロ)に

た,xはxRの length(0:x)を   d>1の

得 る.(Krull 

つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す る.d=0の

で 生 成 さ れ た イ デ ア ル は0と   d=1の

れ か ら(イ)を

す で に 知 っ た.)

  (ロ)と(ハ)と

length  Rゆ

ら ば,

補 題(イ)に

元 はaの

パ ラ メ ー タ ー 系y′1, と れ ば,y1,…,yd-1,

元 で あ る.∴

ょ り, 

し か る に,前 ゆ え に, 

よ り, 

補 .

  (証 明 終)  補 題6.4.3. 

b1,…,bdがRの

パ ラ メ ー タ ー 系 で あ っ て,bi

∈amiで

あ る

特 に,

と き,  length 

  証 明.  M=Rの 容 易.一

と き は,補

般 の と き は,系6.3.3を

題6.4.2(イ)に

よ り(sに

利 用 す れ ば,容

つ い て の帰 納 法 で)

易 に 証 明 で き る.   (証 明 終)

  次 の 定 理 は,Lechの   定 理6.4.4. 

  証 明.前

補 題 と よ ば れ る.

も し も,aが

補 題 に よ り, 

パ ラ メ ー タ ー 系b1,…,bdで

生 成 され る な らば,

で あ る か ら,

定 理 の式 に つい て,不 等 号 ≦ を得 る.次

に逆 向 きの不 等 号 の証 明 を しよ う. xi=

(bi mod

a2)と

は 自然 に

お く. 

 

の準同型像 と考 え られ るか ら,

μ(a;M)=μ(F1F;G)(問

題6.3.1,(イ))ゆ

え,求

め る 不 等 式 の た め に は,次

を示 せ ば よ い:

ゆ え に,F=R,M=G,bi=xiと

仮 定 して よ い.こ

の と き,RはF0の

上の

斉 次 環 で あ る.   (i)  M=mR(∃m∈G0)の length

F0に

と き:d=0な

ら ば 明 白 ゆ え,d>0と

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す る.length

極 大 イ デ ア ル で あ り,F0は

体 で あ る.d=Krull

F0上

し も0:M=0な

代 数 的 独 立 で あ る.も

あ り,μ(a;M)=1で

あ り,他

F0=1の dim

仮 定 す る.

と き:こ の と きaは Rゆ

え,x1,…,xdは

ら ば,M〓R=F0[x1,…,xd]で

方,  と な り,こ

の 場 合 に は 証 明 で き た.次 い 斉 次 元fを

に,0:M≠0と

と る.s=deg

 こ の 第 一 項 は,上

fと

m1,…,mdを

た が っ て,上

大 き くす れ ば,右

にlength

F0>1と

た 定 理2.1.2に

辺 は0に

な

よ り,

体 で あ る か ら, 

の 第 二 項 ≧(m1-s)…(md-s).ゆ

近 づ く か ら,こ

仮 定 し よ う.length

納 法 の 仮 定 に よ り,

属 す る0で

準 同 型 像 で あ り,

あ り,ま

に 等 し い.F0が で あ り,し

を と る.帰

お く.MはR/fRの

で 知 っ た よ う にm1…mdで

第 二 項 は 

た.次

仮 定 し,0:Mに

cF0=1と

え に,

の場 合 の証 明 が で き な る よ う なc(∈F0)

 

そ こで, 

ゆ え に,M=mRの

場 合 の 証 明 が で き た.

(ⅱ) 一 般 の 場 合:Mの 用 す る.α=1の

生 成 元m1,…,mα

と き は(ⅰ)で

を と る.α

に つ い て の 帰 納 法 を利 と お く.

済 ん だ か ら,α ≧2と す る. 

(証 明終)   上 記,Lechの と よ ば れ,代

補 題 を 利 用 し て,次

の 定 理 を証 明 す る.こ

の定 理 は 結 合 公 式

数 幾 何 学 に お け る交 わ りの 重 複 度 の 結 合 法 則 の 証 明 に 利 用 され て

い る. 定 理6.4.5.aが な る 自然 数sを Krull

dim

パ ラ メ ー タ ー 系b1,…,bdで 固 定 し て, 

R/p=d-sで

証 明.  B′ とす る.各

自然 数tに

と お く.cの

あ る も の 全 体 をBと

の 極 小 素 因 子pで,Krull 対 し て, 

生 成 され る と き,0≦s≦d 素 因 子pで,htp=sか

す る と き,

dim

R/p=d-sと

ゆ え に,

補 題 に よ り,

な る もの 全 体 を

と お き, 

(定理6.3.4に 他 方,Lechの

つ

と お く.

よ る).

(注 意:p′

あ る.問

〓Bな

るp′(∈B′)に

題6.4.2(イ)参

つ い て は, 

照.) 

(証 明 終)

  6.5.  Cohen-Macaulay環   aが

環Rの

Krull  dim

イ デ ア ル(a≠R)で,(イ)aの

R/a=Krull

方,(ロ)aの

dim

R/pの

成 立 す る と き,aは

ど の 素 因 子 に つ い て もht

る とい う.斉 深 な イ デ ア ル,純

ど の 素 因 子pに

a=ht

pの

な イ デ ア ル,ど

つい て も

斉 深 で あ る とい う.他

成 立 す る と き,aは

純 であ

ち ら も素 因 子 は す べ て 極 小 素 因

子 で あ る.   半 局 所 環Rに

つ い て,そ

の 完 備 化Rの

零 イ デ ア ル が 斉 深 で あ る と き,R

は 清 純 で あ る とい う.局 所 整 域 で あ っ て も,清 例 に お け るSmお

よ び §11.6の

  定 理6.5.1. 

元dの

らに, 

完 備 化Rを

とれ ば,gra

R=graR

た は 定 理6.2.7に

こ と に 注 意,定

照).pが0の

理6.2.10参 Rに

dim

R/p=Krull

∃b∈R,b≠0,bp=0.b∈aα,b〓aα+1な と,bp=0と

な る か ら,pは

素 因 子qで,p〓qと な る.こ

れ はFの0が

在 し な い. 

Rで

Rの

あ る か ら,R=Rと

よ り,d=Krull 素 因 子 で,Krull

R/pと dim

dim dim

仮

Rで

ある

R/p
あ

とお け ば,pはF

お い て, 

の イ デ ア ル で あ り,F/pはgr(a+p)/p に よ り,Krull

し,gra

清 純 で あ る.

定 し て よ い(定 理5.2.10ま

る と し よ う.F=gra

半 局 所 環 で,aがRの

で あ る も の とす る.も

零 イ デ ア ル が 斉 深 な ら ば,Rは   証 明.  Rの

例 参 照).

(R,m1,…,ms)がKrull次

イ デ ア ル で,さ

純 で な い もの が あ る(§11.2の

同 一 視 さ れ る.ゆ

F/p.さ る

て,pが0の

な る も の が あ り,d>Krull

dim

斉 深 と い う 仮 定 に 反 す る.ゆ

理6.2.10

素 因 子 で あ る か ら,

α を と り,b=(b

零 因 子 ば か り か ら 成 る.ゆ

え に,定

mod

え に,Fに F/p≧Krull

aα+1)と

お く

お け る0の dim

F/qと

え に こ の よ う なpは (証 明 終)

存

局 所 環(R,m)に

お い て,パ

を み た す とき,a1,…,adは

ラ メ ー タ ー 系a1,…,ad(d=Krull

よ る 局 所 化Rmも

  以 下 こ の 節 で は,こ   定 理6.5.2. 

R)が,

正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る と い う.

  Noether環RがCohen-Macaulay環 ルmに

dim

で あ る と は,Rの

ど の極 大 イ デ ア

正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 を も つ と き に い う.

れ ら の 概 念 に 関 す る基 礎 的 結 果 を述 べ よ う.

局 所 環(R,m)の

め の 必 要 充 分 条 件 は,xi=(ai

パ ラ メ ー タ ー 系a1,…,adが mod(ΣaiR)2)がgrΣaiR

Rに

正 規 で あ るた お い てR/ΣaiR

上 代 数 的 独 立 な こ と で あ る.   証 明.  a=ΣaiRと φ:P→gra

お く.多

R(φXi=xi)を

項 式 環P=(R/a)[X1,…,Xd],お

考 え る.n=φ-1(0)と

よび準 同型

お く.

充 分 性: 必 要 性:定

理6.3.2に

よ り 

ま た  …,adが

ゆ え に,a1,

正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 な らば ,μ(ΣXiP;n)=0.n≠0と

う.nの0で

な い 斉 次 元fを

な 元 をfに

と る.m=m/aと

か け る こ とに よ り,fm=0と

仮定 してみ よ

お き,必

要 な ら ばmの

仮 定 し て よ い.す

適当

る と, 

ゆ え に,

と な り,こ

れ は 矛 盾 で あ る.ゆ

  系6.5.3. 

え にn=0. 

Cohen-Macaulay局

  定 理6.5.4. 

局 所 環(R,m)の

(証 明 終)

所 環 は 清 純 で あ る. パ ラ メ ー タ ー 系a1,…,adが

めの必 要 充 分条 件 は, 

がj=1,2,…,dに

正 規 で ある た つ い て成 立 す

る こ と で あ る.   証 明 す る前 に,こ 環Rの a内

の 条 件 に 関 連 す る定 義 を つ け 加 え て お こ う.一 般 にMが

上 の 加 群 で,aがRの のM列(ま

1,2,…,sに

た はM正

イ デ ア ル で あ る と き,aの 則 列)で

つ い て 成 立 す る と き,す

あ る と は,  な わ ち,b1はMに

元 の 列b1,…,bsが

がj= 関 す る 非 零 因 子,b2

はM/b1Mに

関 す る 非 零 因 子,…

あ る と き,に

い う.aがR以

に関 す る非零 因 子 で

…,bsは 

外 の ど の イ デ ア ル で も よ い と い う条 件 の 下 で,

特 に 指 定 し な い と き は 「a内 の 」 を省 く.他 方,元 と い う.こ

の 定 義 に従 え ば,上

は,「 正 規 ⇔R列

の 定 理 は,パ

数sを,こ

のM列

の長さ

ラ メ ー タ ー 系a1,…,adに

」 と い う こ と を述 べ て い る.M列

ついて

に つ い て は,次

章 で扱

う予 定 で あ る.   定 理6.5.4の

証 明.a=ΣaiRと

法 を利 用 す る.d=0の

と き は,空

ら か で あ る.d≧1と   必 要 性:補

dim

Rに

題6.4.3,6.4.2に

集 合 が 正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る か ら,明

よ り, 

ゆ え に,

法 と す る 類 は 正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 で あ り, 

はj≧2に

つ い て は 正 し い.あ

れ は 定 理6.5.2に

… ,adはa1Rを

と,a1が

非 零 因 子 で あ る こ と を示 せ ば

よ り 明 ら か で あ る.

  充 分 性:a1,…,adがR列

で あ る と仮 定 す る と,a1は

法 と し て,R/a1Rの

法 の 仮 定 に よ る).ゆ

非 零 因 子 で あ り,a2,

正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 を な す(後

え に,Xi,P,gra

R∋xi,φ

の 核n=φ-1(0)はX1Pに

含 ま れ る.n=0を

定 し て み よ う.n〓X1Pゆ

え,斉

の が あ る.r=deg と る.X1f∈nゆ

fと

え,a1b∈ar+2,こ

で,bn-bn+1∈ar+nか

のb=b1か

で 定 ま っ た と き,pのr+2+1次 も の を と る.n〓X1Pゆ 式g1を ≡a1c

と る.ar+iの mod

ar+i+2で

=a1bi-a1c

∈ar+i+2と

き る.Rの

完 備 化Rに

示 せ ば よ い.そ

mod

元cで,φg1=(c

な る も あ る もの を

modar+i+2)で

こ で,g=X1g1と modar+i+1)で

な るr+i次

あ る 斉次

あ る も の を と る と,a1bi

お け ば,bi-bi+1=c∈ar+i,a1bi+1

の よ う に し て,順

お い て,b*=lim

仮

ら 出 発 し て,Cauchy列b1,b2,

あ る の で,bi+1=bi-cと な り,こ

ar+1)で

φ

あ る も の を 次 の よ う に と る.biま

斉 次 元gで,φg=(a1bi え,g∈X1P.そ

え に

こ で,n≠0と つ,f〓nと

元bで,φf=(b

つa1bn∈ar+n+1で

の 証 明)

あ る.ゆ

次 元fで,f∈n:X1か

お く.arの

半 は帰 納

を 定 理6.5.2(と,そ

に お け る よ う に と れ ば,gra/α1RR/a1R=(R/a)[X2,…,Xd]で

…

つ い ての帰 納

仮 定 す る.

a2,…,adのa1Rを

よ い が,そ

お く.d=Krull

bnと

次bi+1,…

を 定 め る こ とが で

お く と,a1b*=0で

あ る.ゆ

え

にa1がRで

零 因 子 に な り,こ

れ は 定 理5.3.1(ニ)と

食 の 平 坦 性(系5.3.7)

に よ り,矛 盾 で あ る.    定 理6.5.5. 

(証 明 終)

(R,m)がCohen-Macaulay局

所 環 な ら ば,Rの

パ ラ メー

タ ー 系 は す べ て 正 規 で あ る.   証 明.  d=Krull

dim

Rに

つ い て の帰 納 法 を利 用 す る.d=0な

メ ー タ ー 系 は 空 集 合 に 限 る か ら明 白 で あ る.d≧1と a1,…,adを …

,bdを

と る.系6.5.3に と れ ば,Krull

dim

因 子 で あ る こ と を知 る.し と し よ う.正

清 純 で あ る.パ

R/b1R≦a-1ゆ

た が っ て,特

え,Rの にd=1の

ラ メ ー タ ー 系b1,

清 純 性 か ら,b1が

正 規 で あ る こ と を 知 る.ゆ こ と を知 る,そ

適 用 し て,R/a1Rの

え に,a1を

こ で,a1,b1,c3,…,cdの

変 えな 仮 定 して

パ ラ メー ター系 はす べ て

含 むパ ラ メー ター 系 はす べ て正 規 で ある 形 の 正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 を と り,同

じ 議 論 を こ の 正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 に 適 用 し て,b1を

含 む パ ラ メー タ ー系 はす べ

て 正 規 で あ る こ と を知 る.    Cohen-Macaulay環 の 場 合 に,ま

正 則 局 所 環 の 場 合 に,次

の 成 立 を示 し た こ と と,そ い て,純

(証 明 終)

と い う名 称 の 由 来 は,Macaulayが

た,Cohenが

れ の 重 要 性 と に よ る.一

性 定 理 が 成 立 す る と は,次

  「Rの イ デ ア ルaがs個

非零

と き の 証 明 は す ん だ.d≧2

と りか え て も よ い か ら,ht(a1R+b1R)=2と

納 法 の 仮 定 をR/a1Rに

ラ

規 パ ラ メー ター 系

規 パ ラ メ ー タ ー 系 の 定 義 に よ り,a1,…,adは,ΣaiRを

い 範 囲 で な ら,元aiは よ い.帰

よ り,Rは

し,正

ら ば,パ

体 の上 の 多項 式 環 に 述 べ る よ う な純 性 定 理

般 に,Noether環Rに

お

の 命 題 が成 立 す る と き に い う:

の元 で 生 成 さ れ,か

つht

a=sな

ら ば,aは

純で

あ る.」   そ して,Cohen-Macaulay環

の 定 義 と,こ

の 由来 と を 結 ぶ もの は,次

の定

理 で あ る.   定 理6.5.6. 

Noether環Rに

つ い て,RがCohen-Macaulay環

た め の 必 要 充 分 条 件 は,Rに

お い て純 性 定 理 の 成 立 す る こ と で あ る.

  証 明.必

か つht

要 性: 

を 任 意 に と る と,Rmに

a=sと

す る.aを

お い て,b1,…,bs,c1,…,ctの

である

含 む 極 大 イ デ ア ルm 形 のパ ラメ ー ター 系 が

とれ,こ

れ は 仮 定 に よ り正 規.ゆ

に な り,し

た が っ て そ れ は 清 純 で あ る.ゆ

る も の を と れ ば,Krull =sゆ

え に, 

え,ht p=s.こ

dim

Rm/pRm=tで

れ が ど のmに

がCohen-Macaulay環 え に,aの

素 因 子pでmに

あ る か ら,ht

含 まれ

p≦(s+t)-t=s.ht

つ い て もい え る の だ か ら,必

a

要性 の証 明

が で き た.   充 分 性:逆

に 純 性 定 理 の 成 立 を 仮 定 し よ う.Rの

つ い て,mの

元a1,…,ad(d=ht

え にRmに

理6.5.4).ゆ

がs=1,…,dに

m)を, 

い て 成 り立 つ よ う に とる.純 属 し な い.ゆ

任 意 の 極 大 イ デ ア ルmに

正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 に な る(定

え にRmはCohen-Macaulay環

で あ る(∀m).(証

  こ の 節 の 残 り の 部 分 で は,Cohen-Macaulay環   例6.5.7. 

の どの素 因子 に も

性 定 理 に よ り,as+1は 

お い て,a1,…,adは

つ

明 終)

の 例 を 述 べ る こ とに す る.

半 局 所 環RがCohen-Macauley環

な ら ば,Rの

完 備 化Rも

そ う で あ る.   証 明 は,定

義 に よ り明 白.

  例6.5.8. 

RがCohen-Macaulay環,Sが

RsもCohen-Macaulay環   証 明.  「pがRの く,そ

素 イ デ ア ル ⇒RpもCohen-Macaulay環

れ に は,h=ht

s=1,…,hに

積 閉 部 分 集 合,0〓Sな

pと

す る と き,pの

らRpへ

  純 性 定 理 に 関 し,Macaulayが

証 明 した 結 果 は,次

  証 明.n=1の

よ い,p=m∩Rと

の 自然 準 同 型)がRpの

RがCohen-Macaulay環

で,x1,…,xnがR上

お け ば,RpもCohen-Macaulay環

代 数 的独

す る.R[x]

で ある こ と をい えば で あ る か ら(上 の 例),

仮 定 した 上 で 証 明 す れ ば よ い.m/(pR[x])は,(R/p)[x]の

ア ル で あ る か ら,単 項 イ デ ア ル で あ る.そ

正 規 パ ラメ (証 明 終)

で あ る.

と き に 証 明 す れ ば あ と は容 易 で あ る か ら,n=1と 対 し,RmがCohen-Macaulay環

に よ り,

の よ うに 一 般 化 され る.

項 式 環R[x]=R[x1,…,xm]もCohen-Macaulay環

の 極 大 イ デ ア ルmに

R=Rpと

が,

性 定 理 と定 理6.5.4と

φa1,…,φah(た だ し,φ はRか ー タ ー 系 で あ る こ と を知 る. 

立 な らば,多

」 を示 せ ば よ

元a1,…,ahで, 

つ い て成 立 す る も の を とれ ば,純

  定 理6.5.9. 

ら ば,

で あ る.

極大イデ

の 生 成 元 の 代 表 元f(∈R[x])を

と

る.a1,…,adがRpの

正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 で あ れ ば,こ

…,ad,fがR[x]mの

正 規 パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る. 

  例6.5.10. 

Artin環

  例6.5.11. 

Noether環RのKrull次

Macaulay環

の と り 方 か ら,a1,

はCohen-Macaulay環

で あ る. 元 が1で

で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,0の

あ る こ と で あ る.特

に,Krull次

(証 明 終)

あ る と き,RがCohen-

素 因 子 が す べ て極 小 素 因 子 で

元1のNoether整

域 はCohen-Macaulay

環 で あ る.   例6.5.12.  ル も 高 さ2の

Krull次

元2のNoether整

域Rに

お い て,ど

の単項 イ デ ア

素 因 子 を も た な い な ら ば,RはCohen-Macaulay環

特 に,Krull次

元2の

  (上 の 三 例 の 証 明 は 易 し い.各   定 理6.5.13. 

で あ る.

正 規 環 はCohen-Macaulay環

(R,m)が

で あ る.

自 試 み よ.)

正 則 局 所 環 な ら ば,Rは

正 規Cohen-Macaulay

環 で あ る.   証 明. 

a1,…,ad(d=Krull

はF0=R/mの =d.ゆ

上 にxi=(ai

mod

え に,x1,…,xdは

系 で あ る.Rが

R)が

正 則 パ ラ メ ー タ ー 系 で あ れ ば,grm

m2)(i=1,…,d)で

も 整 域 で あ り,Fが

生 成 さ れ,Krull

代 数 的 独 立 で あ り,a1,…,adは

正 規 環 で あ る こ と は,次

  補 題6.5.14. 

 

dim

(R,m)が

正 規 環 な ら ばRも

整 域 な ら ば,R

す る と,  考 え る と,ab=0.ゆ

え に前半

半 を 考 え よ う.a/b(a,b∈R,b≠0)がR上 元c≠0を

い て の 帰 納 法 で 示 そ う.b〓mな 補 題2.4.4(ロ)か

Rが

正 規 環 で あ る.

(た だ し,a∈mα,a〓mα+1;b∈mβ,b〓mβ+1)を

導 手c=R:R[a/b]の

と る.先

定 す る.a=bq+r,q∈R,r∈mn-1.も

a,bに い て 定 め た も の を,c,r,dtと

整 で あ る と き,

ず,a∈bR+mn(∀n)を,nに

ら 明 白 な の で,b∈mと

ら 出 る の で,n=1の

仮 定 し よ う.a/b=q+(r/b)で

R)

正 規 パ ラメー タ ー

の 補 題 に よ る:

局 所 環 で あ る と き,F=grm

証 明.a,b∈R,ab=0,a≠0,b≠0と

が 証 明 さ れ た.後

dim(grm

R

仮 定 す る.a∈mは,

と き は よ い.n>1,a∈bR+mn-1と しr∈mnな

ら よ い.そ

仮

こ で,r〓mnと

す な わ ち,

あ る か ら,  対 し,a,bを

つ

定 め た と 同 様 の 元 を,c,r,dtに

す る と,crt=btdt(一

般 に は,crt=0ま

た はbtdt=0

つ

の と き の 考 慮 を 要 す る が,Fに い).ゆ

え に,r/bはF上

e=r/b(た

つ い て の 仮 定 に よ り,そ

整 で あ り,Fの

だ し,eはeに mod

b(q+e)+(r-be)と

正 規 性 に よ りr/b∈F.ゆ

対 し て,a,bな

と と,r∈mn-1,r=(r

mn)で

の 場 合 は 考 え な くて よ え に,∃e∈R,

ど と 同 様 に 作 っ たFの

元).こ

あ っ た こ と か ら,r-be∈mn.す

な り,a∈bR+mnを

得 る.ゆ

る と,a=

え に, 

(定 理5.0.6).∴a/b∈R. 

(証 明 終)

  定 理6.5.13の

応 用 と し て,正

  定 理6.5.15. 

(R,m)が

「R/aが

の こ

正則局所環 ⇔

則 局 所 環 に つ い て の,次

正 則 局 所 環 で,aがRの

の 定 理 を 得 る: イ デ ア ル で あ る と き,

適 当 な 正 則 パ ラ メ ー タ ー 系 の 部 分 集 合 に よ っ てaが

生 成 され る 」.   証 明.〓

は 易 し い(問 題3.2.3).⇒

代 りにR/xRを

の 証 明:∃x∈a,x〓m2な

考 え る こ と に よ り,a〓m2と

length(m/a)/(m/a)2.R/aが

正 則 ゆ え,Krull

が 定 理6.5.13に

整 域 ゆ え,a=0. 

よ りRは

dim

(R,m)が

正 則 局 所 環,R*がR上

る と き,「R*が

自 由R加

群⇔R*がCohen-Macaulay環

極 大 イ デ ア ルm*に

  証 明.R*の

つ い て も,ht

元y1,…,ysを,そ

群 と し て のR*/mR*の

自然 準 同 型 に よ る像 がR*m*で

=lengthR

R*/mR*=s.

Nは

由 加 群 

か らR*へ

ころ

つ有 限生成 な環 で あ

dim

法 とす る剰 余 類 がR/m加 る と,Krull‐

東屋 の

と る.す

る

つ い て も,x1,

正 規 パ ラ メー タ ー系 ⇔

のR準

ら に,ど

R」.

ど の 極 大 イ デ ア ルm*に

μ(m;R*)

同 型 φ で,φYi=yiで

ある

とれ ば, 

自由加 群 の部 分加 群 で あ る か ら,N≠0な

部 分 加 群 を含 む.ゆ

R/a.と

正 則 パ ラ メ ー タ ー 系x1,…,xdを

…,xdの

の 核Nを

dim

で,さ

m*=Krull

れ ら のmR*を

と,「  」 内 の 右 側 の 条 件 ⇔R*の

 さ て,自

整,か

一 次 独 立 基 で あ る よ う に と る.す

補 題 に よ り,R*=ΣyiR.Rの

も の を と る.φ

R=Krull

m/m2=

(証 明 終)

  例6.5.16. 

のR*の

ら ば,Rの

仮 定 し て よ い.length

らば,NはRと

え に,μ(m;N)=0⇔N=0. 

同型な (証 明 終)

  6.6.  Krull‐ 秋 月 の 定 理   §3.0に

お い て,Noether環

の 上 に 有 限 生 成 の 環 はNoether環

であること

を示 し た が,逆

は も ち ろ ん 成 立 し な い.大

整 域 の 場 合 の 方 がNoether環

ま か に い っ て,「Krull次

元 の低 い

に な り易 い 」 とで も い え る よ う な 現 象 の 特 別 な

場 合 が,「 体 の 上 に 整 な 整 域 は 体 で あ る 」 と い う命 題 で あ ろ う(補 題2.4.4). Krull次

元1の

場 合 に つ い て は,次

  定 理6.6.1.  LがRの

の 定 理 が 成 立 す る.

(Krull‐ 秋 月 の 定 理)RがKrull次

商 体Q(R)の

有 限 次 代 数 拡 大 で あ り,R*がRとLと

で あ る も の とす る.こ

の 中 間環

な い イ デ ア ル な らば,R*/a*はR加

群 と し て)有

  し た が っ て,特

域 で,

の と き,

  (イ)  a*がR*の0で はR/(a*∩R)加

元1のNoether整

群 と し て(ま

た

限 生 成 で あ る.

に,

  (ロ)  R*はNoether環   (ハ) pがRの

で あ り,そ

のKrull次

素 イ デ ア ル な ら ば,R*の

も の の 数 は 有 限(0か

も知 れ ぬ)で

元 は0ま

た は1.

素 イ デ ア ルp*でpの

あ っ て,R*/p*はR/pの

上 にある

有 限次 代 数 拡大 で

あ る.   この よ うな定 理 は第3章

に入 れ るべ きで あ る と考 え る読 者 も多 い か と思 うの で,こ の

章 で 述 べ る理 由 を,証 明 の 前 に述 べ てお こ う.こ の 定 理 の証 明 の主 要 部 分 は,R*がR 上 整 の 場 合 で,そ れ は秋 月[1]に

お い て証 明 され た(Krullが

証 明 した の は,R*が

整

閉 包 の 場 合 だ けで あ る).ま た,上 に述 べ た形 に 一般 化 して述 べ た のはCohen[2]で る.そ

の いず れ も,第3章

あ

に入 れ る にふ さわ しい証 明法 では あ っ た が,前 節 で 述 べ た正

規 パ ラ メー タ ー系 の性 質 を,Krull次

元1の

整 域 の 場 合 に適 用す れ ば,秋 月,Cohen等

の 証 明 よ り,わ か り易 い証 明 が得 られ る(そ の考 えはChevalleyに

よ る)の で,そ

の方

法 を こ こで紹 介 し よ うとい うの が,こ の 章 に入 れ た理 由 なの で あ る.   定 理6.6.1の

証 明 の た め,ま

  補 題6.6.2. 

ず,次

RがNoether整

域 で,商

R*〓Q(R),か

つ,(イ)RはR*の

に 対 し,R*の

素 イ デ ア ルp*で,pの

Rの

∃b*∈R*,b*〓Rと

イ デ ア ル で,Rと

ゆ え,∃c∈c,b*c〓R.pの

体Q(R)を

も ち,R*が

中 で 整 閉,(ロ)Rの

二 条 件 が み た さ れ る と き,R=R*で   証 明. 

の 補 題 を 証 明 し よ う. 環 で,R〓

任 意 の 素 イ デ ア ルp

上 に あ る も の が必 ず 存 在 す る,と

い う

あ る.

は

仮 定 し よ う.  は 異 な る.aの

素 因 子pを

上 に あ るR*の

と り,c=a:pと

素 イ デ ア ルp*を

お く.c≠a と る.(cb*)p〓R

ゆ え,cb*p〓p*.ゆ

こ の こ と は,cb*がR上

え に, 

あ る こ と を 示 す(系3.4.2).RはR*の

中 で 整 閉 ゆ え,cb*∈Rと

な り,こ

れ は 矛 盾 で あ る. 

(証 明 終)

  定 理6.6.1の

証 明.  Q(R)上, 

個 の 元 で,R上

整 な も の(そ れ が とれ る こ と:α1,…,αn(∈R*)が

な ら ば,αiの

R*の

商 体Q(R*)を

最 小 多 項 式 の 最 高 次 の 係 数ai(∈R)を

求 め る も の で あ る)をRに

psと はaを

体 の生 成 元

と れ ば,a1α1,…,anαnが た,Lの

代 り にQ(R*)

とお く.a≠0で

あ る.aの

素 因 子 全 体 をp1,…, と お く と,Sの

れ ら は 極 大 イ デ ア ル で あ る. 

各元

法 と し て 正 則 元 に な る か ら,R*/a*=R*S/a*R*S,R/a=RS/aRS.そ

で,(イ)の

た め に は,(R,p1,…,ps)が

  (ⅰ) R*がR上

え に,lengthR

元1の

こ

半 局 所 環 で あ る と 仮 定 し て よ い.

整 の と き:0≠x∈a,y1,…,yt∈R*と

R[y1,…,yt]もKrull次

す る と,環R[y]=

整 域 ゆ え,Cohen-Macaulay環

で あ る.ゆ

R/xR=μ(xR),

(最後 の 等 号 は 系6.3.3に

よ る;p′

はR[y]の

極 大 イ デ ア ル 全 体 を 動 く.) 

y1,…,ytお あ る か ら,lengthnR*/xR*≦length lengthR

有限

と仮 定 し て よ い.

証 明:a=a*∩R 

す る.こ

生 成 す るR*の

つ け加 え て 考 え て よ く,ま

を と っ て も よ い か ら,   (イ)の

整で

R*/xR*で

R/xR.も

あ る か ら,こ

  (ⅱ)  一 般 の 場 合:RのR*に は 有 限 で あ る か ら,Rの

よ び そ の 数tは

ち ろ ん,lengthR

任意 で R*/a*≦

の 場 合 が で き た.

お け る 整 閉 包R′ を と る と,lengthR 代 り にR′

を考 え て よ い.(そ

考 察 を再 び 適 用 す る.)す る と,補 題6.6.2に

し て,始

よ り,R=R*と

R′/(a*∩R′) め に行 な っ た

な り,こ

の場 合

も 証 明 さ れ た.   (ロ) の 証 明:a*がR*の り,lengthR Artin環

R*/xR*が

イ デ ア ル,a*≠0と 有 限 ゆ え,a*は

で あ る か ら,(ロ)を

得 る.

す る と,0≠x∈a*∩Rに

有 限 生 成 で あ り,ま

た,R*/xR*は

よ

(ハ)は(イ)か

ら直 ち に 出 る. 

(証 明終)

問  1.  次 数 付 きNoether環 

題6.0. に お い て,R0がArtin環

は σ 多 項 式 を もつ と は 限 らな い こ と を,例   2.  R=ΣRnがArtin環R0の

で あ る と き,R自

身

に よ っ て 示 せ.

上 の 斉 次Noether環

で,Mが

次 数 付 きR加

群 で,

有 限 生 成 で あ る も の とす る.   (イ)  R0(ま

た は,R0/(0:M))が

局 所 環A1,…,Asの

あ れ ば,MはMe1,…,Mesの

 (ロ) (R0,m)が

直 和 で,Aiの

単 位 元 がeiで

直 和 で あ り,

局所 環,(A,n)が

そ れ に支 配 され る局所 環 で,K=R0/mがK′=A/n

の有 限 次 代数 拡 大 体 で あれ ば,

問   1.  局 所 環(R,m)で,適

題6.1.

当 な 自然 数nに

よ り,length

単 な 例 を ま ず あ げ よ.次

に,Rの

length

お こ る よ うな 例 を あ げ よ.

R/an≠

λ(a;n)の

問   1.  (R,m1,…,ms)が が 有 限 生 成R加 dim

R=Krull

  (ロ)  Krull

dim

R/(0:M)=Krull

  2.  上 と 同 じR,a,Mに

dim

dim

Mを

次 元 の な す 加 群 を表 わ せ ば,  (イ)  μ(a;M)=μ(F1F;G), dim

Mと

Ra=Krull

dim

あ っ て,

で あ り,M お け ば,

F/(0:G). ら ば,充

F,

分 大 き い 自然 数nに

対 し て,

題6.3.

イ デ ア ル で,R/aがArtin環 R,G=gra

お こ る簡

F

つ い て,b∈Rな

 1.  aがNoether環Rの

 (ロ)  Krull

イ デ ア ル,  R,G=gra

問

群 で あ る と き,F=gra

λ(m;n)の

題6.2.

半 局 所 環,aがRの

群 で あ る と き,F=gra

  (イ)  Krull

R/mn≠

パ ラ メ ー タ ー 系 で 生 成 され た イ デ ア ルaが

考 え る.こ

で あ り,Mが の と き,Fi,GiがF,Gのi次

有 限 生 成R加 斉

  (ハ)

  2. a,R,Mは

上 と同 様 とす る.イ デ アル化 の原 理 に よる環 

 3.  a,Rは

上 と同 様 とす る.0→M1→M2→

… →Mn→0が

を とれ ば

有 限生 成R加

群の完

全 系列 で あれ ば,

問

題6.4.

  1.  定 理6.4.1は,次

の 形 に 一 般 化 され る こ と を 示 せ.

 aがNoether環Rの

イ デ ア ル で,R/aがArtin環

体 をm1,…,msと (d=Krull

す る.も

dim

のR/miも

無 限 体 で あ る な ら ば,aの

Ra)で,μ(a)=μ(ΣxiRa)と

  2.  §6.4に

お け るR,a,Mに

  (イ)  aがb1,…,btで

 (ロ)  aが

し,ど

で あ る も の とす る,aの

素因子全

元x1,…,xd

な る も の が 存 在 す る.

つ い て,

生 成 され,t>d=Krull

パ ラ メ ー タ ー 系b1,…,bdで

dim

Rな

ら ば,

生 成 さ れ る と き は,

  3.  §6.4に お い て証 明 され た 結果 を,§6.3に

お け るR,a,Mの

場 合 に拡 張 す る こ

とを試 み よ.

問   1.  (イ)体Kの

題6.5.

上 に有 限生 成 の整 域Rに

お い ては,そ の イ デ アルa(≠R)に

つい

て,斉 深 と純 とは同 じで あ る.   (ロ) 環Rが

体Kの

上 に有 限 生 成 で あ っ て も,斉 深 で あ っ て純 では な い イ デ アル も,

純 で あ っ て斉 深 で ない イ デ アル も持 つ こ とが あ る(例 示 せ よ).   (ハ) R1が

体Kの

上 に 有 限生 成 の環 で,RがR1の

に つ い て,(イ),(ロ)と

商 環 で あ る よ うな局 所 環 の場 合

同 様 の こ とを示 せ.

  2.  半 局 所 環(R,m1,…,ms)と,そ

のJacobson根

基 

に つ い て,次

の三 条

件 は互 い に同 値 で あ る.  (イ) 

a1,…,ad∈a,d=Krull

と な るa1,…,adが  (ロ) 

d=htmi(i=1,…,s),か

  (ハ) 

a1,…,ad∈a,d=Krull

(ai modΣaiR)と

dim

R, 

,か

つ 

あ る. つRがCohen-Macaulay環 dim

R, 

お け ば,x1,…,xdはR/ΣaiR上

で あ る. な ら ば,grΣaiRRに 代 数 的 独 立 で あ る.

お い て,  xi=

  3.  Cohen-Macaulay環Rと,そ さ れ,か

つht

a=hな

の イ デ ア ルaと

ら ば,R/aもCohen-Macaulay環

間 で 成 立 す る と き,

RがCohere-Macaulay環 局 所 環 で,Mが

の 元 で生 成

で あ る.

 4.  推 移 定 理 が 二 つ のNoether環R,R*の

 5.  (R,m)が

に つ い て,aがh個

⇔R′

がCohen-Macaulay環.

有 限 生 成R加

群,x1,…,xdがRの

パ ラ メー ター系

で あ る と き, xdがM列  [ヒ ン ト:環 

で あ る.

が 

に お い て, 

の 上表 元 で あ る場 合 に帰 着 させ,補 題6.4.2を

問   1.  RがNoether環

で,Krull次

い も の と す る.R*がRと,Rの

利 用 せ よ.]

題6.6. 元 が1,さ

ら に,Rは0以

全 商 環Q(R)と

外 の べ き零 元 を もた な

の 中 間 環 で あ る と き,次

の こ とが成

立 す る:   (イ)  a*がR*の   (ロ)  R*はNoether環

イ デ ア ル で,非

零 因 子 を含 め ば,lengthR

で あ り,Krull

dim

R*≦1.

R*/a*は

有 限 で あ る.

第7章 

  7.0.  syzygyの

syzygy

定 義

  可 換 環 論 に ホ モロ ジ ー 代 数 の 手 法 が 取 り入 れ ら れ て か ら,も 歳 月 が 流 れ た.そ な 命 題 で,特

こ で 得 られ た 結 果 の う ち,ホ

に 重 要 な もの に,正

う二 十 年 ほ ど の

モ ロ ジ ー 代 数 と関 係 の な さそ う

則 局 所 環 に お け る 素 元 分 解 一 意 性 が あ る.

  し か しな が ら,ホ

モ ロジ ー 代 数 に つ い て の 基 礎 知 識 ま で 準 備 し て 述 べ る の は

大 変 で あ る の で,そ

の 代 りに,Hilbertの

定 義 し たsyzygyを

所 環 に 関 係 す る結 果 の い くつ か を 紹 介 す る こ と に す る.既 つ い て の 基 礎 知 識 を持 っ て い る 読 者 は,こ 葉 で 翻 訳 し た ら ど う な る か とか,ホ き る か を,考   環Rの

則局

にホ モ ロジ ー代数 に

の 章 の 記 述 を,ホ

モ ロジ ー 代 数 の 言

モ ロ ジ ー 代 数 を使 っ た ら,ど

ん な証 明 が で

え て み る こ と を推 奨 す る.

上 の 加 群Mの

元u1,…,usに

対 し て,不

 を 考 え る と,NはR加 る.こ

使 っ て,正

れ をu1,…,usの

関 係 式 の 加 群 とい う.特

関 係 式 の 加 群 で あ る とい う.

  定 理7.0.1. 

の 記 号 の 下 で,u1,…,usがMの

ut(t<s)もMを

(u1,…,usの

群(〓

と り,

ΣRUi)に

にu1,…,usがMの

で あ る と き,NはMの (イ)上

定 元U1,…,Usを

な

極小基

生 成 元 で,u1,…,

生 成 す る場 合,

関 係 式 の 加 群)〓(u1,…,utの

 (ロ) Rが 擬 局所 環 で,Mが

関 係 式 の 加 群)

有 限 生成加 群 で あ る とき には,Mの

関係式の

加 群 は,同 型 の 意 味 で一 意 的 で あ る(す なわ ち,別 の極 小 基 で定 義 して も,同 型 な 関係 式 の加 群 にな る).   証 明.  (イ):左

辺 は 

の 形 の 元 を 各i=1,…,s-tに

つ

い て 含 み,左

辺=(u1,…,utの

関 係 式 の 加 群)+Rf1+…+Rfs-tで

あ り,こ

の

和 は 直 和 で あ る.   (ロ):u1,…,us;υ1,…,υtが,い の 極 大 イ デ ア ル をmと

ず れ もMの

す れ ば,s=length

す る と,det(aij)はRの

極 小 基 で あ る も の とす る.R

M/mM=tで

あ り, 

正 則 元 で あ る(定 理3.2.1参

照).こ

と の こ と か ら,

(ロ)は 容 易 に わ か る. 

(証 明 終)

  上 記 定 理 を 利 用 し て,局

所 環(R,m)の

次 の よ うに 定 義 す る:(イ)0番 syzygyの

は,単

目 のsyzygyはM自

関 係 式 の 加 群 を,(i+1)番

syzygyをsyziR

Mで

にsyziMで

上 の 有 限 生 成 加 群Mのsyzygyを

目 のsyzygyと

示 す.R加 示 す.も

ち ろ ん,こ

の 場 合,syziMは(同 の 定 理 に よ り,syziMが

の で あ る.M=syz0M,syz1M,…,syzrM,…

通 で あ る.syzs+1M=0,syzs=M≠0で

sの

た はRを

hdM=-1と

の上 の有 限 生

型 の 意 味 で)一 意 的 で は な 同 型 の意 味 で 一意 的 な とい う.

つ を書 い て),そ

れ以 降 は 略 す の が普

あ る と き,Mの

ホ モ ロ ジ ー 次 元,記

略 し てhdM,はsで

な い と き は,hdM=∞

目の

を,Mのsyzygy列

な る と こ ろ が あ れ ば(0,一

号 で はhdRM,ま

定 め る.Mのi番

の 定 義 は,Noether環

い が,局

syzrM=0と

目の

群 として考 えて い る こ とが 明 白で ある とき

成 加 群 に も適 用 で き る が,そ 所 環 の 場 合 に は,上

身 とす る.(ロ)i番

と定 め る.こ

考 え る の が 自 然 で あ る.こ

あ る とい う.そ

の よ うな

の 定 義 か ら は,M=0の

れ ら定 義 の 下 で,次

と き は,

の補 題 は 明 白で

あ ろ う.   補 題7.0.2. 

Mが

局 所 環(R,m)の

上 の 有 限 生 成 加 群 で あ る と き:

  (イ)  hdM=-1⇔M=0.   (ロ)  hdM=0⇔Mが   (ハ)  M≠0,か   (ニ)  hd(syzi

自 由 加 群 で,M≠0. つFが

自 由加 群 な らば,

M)=max(-1,(hd

M)-i).(∞-i=∞

と 考 え る.)

  次 の 定 理 は 重 要 で あ る.   定 理7.0.3. 

局 所 環(R,m)の

が 与 え ら れ た と き,各

自然 数nに

上 の 有 限 生 成 加 群Mと,そ 対 し,自

由 加 群Fn,お

の部 分 加 群N よ び,中

へ の同型

が 存 在 し て,

  証 明.  syzygyの

定 義 に よ り,n=1の

の 極 小 基x1,…,xr,お

よ び,M/Nの

を と る.x1,…,xr,y1,…,ysの の 形 で あ る(定 (x1,…,xrの

と き さ え 証 明 す れ ば 充 分 で あ る.N 極 小 基y1,…,ysの

関 係 式 の 加 群Z1を

と れ ば, 

理7.0.1).  関 係 式 の 加 群)=syz1

N〓Z1で

syz1(M/N)=(y1,…,ysの

  系7.0.4. 

代 表 元y1,…,ys

M,Nは

あ り,こ

の 意 味 で,

関 係 式 の 加 群)=Z1/syz1

上 の通 り とす れ ば,次

の(1)∼(3)の

N(証

明 終)

一 つ が成 立 す る:

 (1)  (2)  (3)

 証 明.  上 の 定 理 に お け る よ うなFnを

とお き, 

と り,  で あ る と し て よ い.

 (イ) hdN≦hdM,hdN≦hd(M/N)の ら(1)が

成 立 す る.n<∞

と き:n=hdNと の と き:syzn+1N=0ゆ

ゆ え に,hdM=hd(M/N)ま 後 者 の と き は,Zn+1は

た はsyzn+1M=0.前 自 由加 群 で あ り,(2)の

理7.0.3に

の(あ る生 成 元 の)関 係 式 の 加 群 で あ る.し も に 自 由加 群 で あ る か,ま こ の 場 合 は(2)で   (ハ)(イ),(ロ)以 r=hd(M/N)と

者 な ら ば(1)が

成 立 す る.

等 号 の 場 合 で あ る.

と き:hdM=m<∞

自 由 加 群 で あ る か ら,定

と し て よ い.

よ り,syzmNが,syzm(M/N)

た が っ て,syzmN,syzm(M/N)と

た はhd(syzmN)=hd(syzm+1(M/N)).ゆ

あ る か,(1)の

な

え, 

  (ロ) hd M≦hdN,hdM≦hd(M/N)の syzmMは

す る.n=∞

え に,

等 号 の 場 合 か で あ る.

外 の 場 合:hd(M/N)
Nで

あ る.

ゆ え に, 

お く と, 

ゆ え に,こ

の 場 合,hdM=hdNで

あ る.  

(証 明 終)

  7.1.  正

則

列

  こ こで い う正 則 列 は,Cauchy列

の 場 合 で な く,§6.5で

定 義 した もの を意

味 す る.す

と か い わ れ る も の と,ホ

モ ロ ジ ー 次 元 との

な わ ち,M列

とかR列

関 連 を 考 え る.   定 理7.1.1. 

Mが

局 所 環Rの

上 の 有 限 生 成 加 群 で あ る と き,xがR,M

い ず れ に 関 し て も非 零 因 子(す な わ ち,R列 す べ て の 自然 数nに

  証 明.  nに

つ い て,自

で も あ り,M列

然 な同型 に よ り

つ い て の 帰 納 法 を 利 用 し て,n=1と

基a1,…,asを

とれ ば,そ

極 小 基 を な す.Rの

で もあ る)な ら ば,

れ ら のxMを

仮 定 し て よ い.Mの

極 小

法 とす る類a1,…,asはM/xMの

元 に つ い て も ‐ はxRを

法 とす る類 を 示 す こ とに す れ

ば, 

ゆ え に,  同型

に よ って定 ま る準

φ を 考 え る と, 

と な る. 

か つ  ゆ え に,φ-1(0)=x(syz1

M)で

あ る.  (証 明 終)

  注 意.上

の 証 明 で は,xがMに

な い よ う に 見 え る.実

は,n=1に

と き の た め に は,xがRの

関 す る非零 因子 とい うこ と しか使 っ てい つ い て は,そ

の 条 件 だ け で よ い が,n≧2の

非 零 因 子 と い う こ と か ら,xがsyzn-1

Mに

関す

る 非 零 因 子 に な る の で あ る.   系7.1.2. 

R,Mは

上 の 通 りで,x1,…,xsがM列

で も あ り,R列

で も

あ る と き は,  し た が っ て 特 に,   定 理7.1.3.  U1,…,Usを xF〓M〓mFを syznM〓mFnと

Mが

局 所 環(R,m)の

も つ 自 由加 群Fと,mの み た す と き は,各

上 の 有 限 生 成 加 群 で あ り,一 元xでm2に

自 然 数nに

な る よ うに とれ て,

次 独 立基

属 し な い も の と に よ り,

つ い て,自

由 加 群Fnが,xFn〓

  証 明.nに

つ い て の 帰 納 法 を 利 用 す る こ と に よ り,n=1の

ば よ い.M/xFの

極 小 基a1,…,atの

xU1,…,xUsはMを

代 表 元a1,…,atを

生 成 す る.も

ば,Σciai+ΣdjxUj=0,か

つci,djの

なci,dj(∈R)が

存 在 す る.も

あ る こ と に 反 す る.も

と れ ば,a1,…,at,

れ がMの

極 小基 にな らない な ら

う ち にmに

し,∃ci〓mと

し,∃dj〓mと

次 結 合 に 書 き 直 し て,上

属 し な い もの が あ る よ う

す る と,a1,…,atが

一

の 関 係 式 を 書 き あ ら た め た と き,Ujの え)こ

係 数 はm2に

と に な り,U1,…,Usの

た が っ て,a1,…,at,xU1,…,xUsはMの

一 次 独 立性 に

極 小 基 に な る.ゆ

な ら ば,c1=…ct=0,ΣdjxUj=0.xは 一 次 独 立 ゆ え, d1=…=ds=0.ゆ

xU1,…,xUsがMの ゆ え,xVi∈

ま た,xai∈xF

次 に,

M).∴ 

(た だ し,ciはciの

代 表 元)⇔

を知 る. 

(証 明終)

こ れ ら に よ っ て,    系7.1.4. 

非 零 因 子 で,

え に σ は 単 射 で あ る.a1,…,at,

極 小 基 で あ る か ら,  σ(syz1

上 と同 じ仮 定 のFで,F=0の

と き を 除 け ば,

  証 明.  hdR/xRM/xF=∞

な ら ば,syznMは0に

=∞.hdR/xRM/xF=h<∞

と仮 定 し よ う.(イ)h=-1⇒M=xF⇒Mは

由加 群 ≠0⇒hdM=0.(ロ)h=0の え,hdM≧1.他

と き:上

な ら な い.ゆ

の 議 論 を, 

に お い て,n=h-1(ま

  系7.1.5. 

Mが

自

ゆ え,syz1M=xF1 と き:上

た は,hに

え に,hdRM

の 定 理 の 証 明 に よ りF1≠0ゆ

方, 

と な り,hdM=1.(ハ)h≧2の

用 す る か,ま

え に, 

に よ っ て 定 め る. 

を, 

U1,…,Usが

極 小基 で

す る と,a1,…,atをU1,…,Usの

属 し な い(∀i,ci∈m,ai∈mFゆ 反 す る.し

し,こ

ときに証 明 すれ

た はh-2)の

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す れ ば よ い. 

局 所 環(R,m)の

ときに適 (証 明 終)

上 の 有 限 生 成 加 群 で,x∈m,x〓m2か

つ,xはRの

非 零 因 子 で あ る も の と す る.M≠0か

  証 明. 

a1,…,arがMの

F=ΣRUiに

らば

極 小 基 で, 

と す る.

よ り 

ゆ え,上

つxM=0な

で あ り, 

の 系 に よ り証 明 され る. 

  以 上,非

(証 明 終)

零 因 子 の 性 質 を主 とす る結 果 を扱 っ た が,次

に,一

般 の正 則列 の場

合 の 定 理 に 移 ろ う.   定 理7.1.6.  がM列

Mが

局 所 環(R,m)の

で あ れ ば,x1,…,xrの

  注 意.xi 

∈mを

順 序 を変 え た も の もM列

省 く と正 し くな い と も い え る.例

如 何 に か か わ らずM列 るM列

の 条 件 を み た す.こ

は 無 意 味 に 近 い の で,通

は,「m内

上 の 加 群 で あ る と き,x1,…,xr(∈m)

のM列

常,局

合,「Jacobson根

基 内 のM列

所 環(R,m)の

に は 成 立 し な い.各

自,そ

  証 明.  「x1,x2がM列 (M/x1M)列

則 元 が途 中 に現 われ

上 の 加 群 の 場 合M列

参 照).他

」 は よ い が,そ

を 含 ま な い 極 大 イ デ ア ル に 関 し て は,そ の に 類 似 す る 現 象 を も ち 得 る.そ

え ば,1,x2,…,xrはxi

の よ うに,正

」 を意 味 す る(p.156第3行

で あ る.

方,局

うで な い と,途

の 列 は,局

中 に現 わ れ る元

所 環 で,正

の よ う な こ とか ら,上

則 元 が現 われ る

の 定 理 は,一

⇒x2,x1もM列

」 を 示 せ ば よ い.(x2,…,xrは

とい う こ と か ら,m∈x1M.ゆ

∴x1x2m′=0.x1はMに

ら ばx2m∈x1M

え に,∃m′

関 す る 非 零 因 子 ゆ え,x2m′=0.ゆ

に,m*∈x2M:x1と

え に,x2はM

仮 定 す る. 

す る と,m**∈x1M:x2=x1M.ゆ =x1x2m".x1はMに

え にm**=x1m"(m"∈M).x1m*

関 し 非 零 因 子 ゆ え,m*=x2m"∈x2M.∴x2M:x1=

x2M.    こ こ で,極

(証 明 終) 大 正 則 列 の 定 義 を し よ う.Rが

イ デ ア ル で あ る と き,x1,…,xrがa内 xrはaの

∈M,m=x1m′. え に 

Krull‐ 東 屋 の 補 題 に よ り,[0:x2R]M=0.ゆ

に 関 し 非 零 因 子 で あ る.次

般 の場 合

の よ うな 例 を作 っ て み よ.

だ か ら帰 納 法 が 利 用 で き る.)x2m=0(m∈M)な

ゆ え,x1,x2がM列

と

所 環 で な い場

元 でM列

を な し,∀y∈aに

環,MがR加

の 極 大M列

群 で,aがRの で あ る と は,(イ)x1,…,

つ い て,x1,…,xr,yはM列

とは な

り得 な い とき に い う.aが でaが

す で に 指 定 され て 明 白 な場 合,ま

極 大 イ デ ア ル で あ る と き は,「a内

  定 理7.1.7. 

Mが

局 所 環(R,m)の

る と き,M列y1,…,yrで,そ 他 方,二

  証 明.  m2を

法 と し て,x1,…,xsが

る 零 因 子 全 体 は,有

つ,yがM/aMに

る 零 因 子 ゆ え,t=0.次

z1はMに

にr=1と

らば,mの

ア ル(≠m)の M/x1Mに

あ る.ゆ

っ て,同

ど の 元 もM/z1Mに

仮 定 して

元 はMに

元 は,す

関す

べ てM/x1M

関 し零 因 子 で あ り,t=1.最 関 す る零 因 子 は,そ

え に,w,x1を

様 に,z1を

れ ぞれ 有 限個 の素イ デ

ゆ え,x1を

含 む 極 大M列

考 え る こ と に よ り,wを

る と,

含 む 極 大M列

の

に つ い て もそ うで あ り,し

含 む 極 大M列

含 む も の に つ い て も い え,t=r. 

の 補 題 か ら始 め よ う.

後 にr≧2

ど ち ら もM列.す

極 大M/x1M列

  7.2.  正 則 局 所 環   ま ず,次

後 の こ と の 証 明:

らばwa=x1c(∃c∈M)ゆ

和 集 合 ゆ え,∃w∈m,x1,w;z1,wの

た が っ て,M/wMを

含 む 長 さr

関 し非 零 因 子 ゆ え,wb=z1c.∴mb〓

お い て,x2,…,xrが

長 さ はrで

る

え に,∃a∈M,ma〓x1M,a〓x1M.z1a=x1b(∃b∈M).

関 し非 零 因 子 ゆ え,b〓z1M.w∈mな

え に,mの

関す

で あ っ た とす る.r≦tと

仮 定 し よ う.mの

と仮 定 し よ う.M/x1M,M/z1Mに

る.よ

じ こ と をx1,…,xs,yを

極 大M列

え,x1z1c=z1wa=x1wb.x1はMに z1M.ゆ

関 す る非 零 因 子(M/aMに

つ い て の 帰 納 法 を利 用 し よ う.r=0な

に 関 す る零 因 子.ゆ

関 す る零 因子 で はな

つ い て の 帰 納 法 を使 え ば よ い.最

よ びz1,…,ztが

よ い.rに

す れ ば よ い.

限 個 の 素 イ デ ア ル の 和 集 合 で あ る こ と を 利 用 す る).す

に 適 用 し,r-sに

x1,…,xrお

そ れ らに一 次

らxi=yi(∀i)と

とお く.xrはM/aMに

理 の 最 後 の主 張 さ え い え れ ば,同

のM列

であ

一 次 独 立 な もの が あ る.

一 次 独 立,xs+1,…,xrが

∀xi∈m2).r=sな

仮 定 し よ う. 

い か ら,∃y∈m,〓m2か

と,定

上 の 加 群 で,x1,…,xrがM列

の 長 さ は 同 一 で あ る.

従 属 で あ る とす る(s=0⇔ s
局 所環

の 」 を省 く.

れ ら の 類 がm/m2で

つ の 極 大M列

た は,Rが

の 長 さ もrに (証 明 終)

な

  補 題7.2.1. 

局 所 環(R,m)に

に つ い て,「hdM<∞   証 明.  hd

お い て,0:m≠0な

⇔Mは

仮 定 す る.syzn

作 り方 に よ り,適

ゆ え に,(0:m)(syznM)=0と 反 す る.ゆ

  定 理7.2.2  で あ る.逆 て,hd

な り,syznMが

局 所 環(R,m)に

に,Rが

d=0な

ら ば,こ

dim

い う こ とに

は 明 白. 

お い て,hd

R)-δ,た dim

(証 明 終)

m<∞

だ し,δ Rに

補 題 に よ り,mは

な ら ば,Rは

自 由 加 群 で あ り,し 体(し

法 の 仮 定 に よ り,R/xRは

よ り,hd

つい

の 長 さ.

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す る.ま

ず,0:m

た が っ てm=0.特

た が っ て 正 則)に

明 し た こ と か ら,0:m=0.ゆ

非 零 因 子,系7.1.4に

正則 局 所 環

限 生 成 加 群M(≠0)に

は 極 大M列

の 議 論 が 適 用 され,Rは

と仮 定 し よ う.今,証 はRの

は

とれ ば,syznM〓mF.

自 由 加 群(≠0)と

正 則 局 所 環 で あ る と き は,有

M=(Krull

ら ば,前

自 由 加 群 で あ り0で

則 局 所 環 の 一 つ の 特 徴 づ け で あ る.

  証 明.  前 半:d=Krull ≠0な

Mは

当 な 自 由 加 群Fを

え に ⇒ の 証 明 が で き た.逆

  次 の 定 理 は,正

限 生 成 加 群M

自 由 加 群 」.

M=n<∞,n≧1と

な い.syznMの

ら ば,有

に

な る.d>0

え に,∃x∈m,x〓m2,x

m=(hdR/xR

正 則 局 所 環 で あ る.xの

m/xR)+1.ゆ

え に帰 納

と り方 か ら,Rも

正則 局所

環 で あ る こ と を 知 る.   逆 の 証 明:Rが

正 則 局 所 環 で あ る と仮 定 し よ う.d=Krull

の 帰 納 法 で 証 明 す る.d=0な

ら ば,Rは

にd≧1と

と き:定 理7.1.7に

xi〓m2で

仮 定 す る.δ ≠0の

あ る も の が 存 在 す る.定

で あ り,右 え に δ≠0の ゆ え にsyz1 ば,yは(syz1

辺 は,帰

M)列

で あ る か ら,δ ≠0の

理7.1.2に

に δ=0と

Mは を な す.こ

よ り,M列x1,…,xδ よ り,hd

え で,

M=hdR/x1RM/x1M

仮 定 し よ う.Mは

に 等 し い.ゆ 自 由加 群 で は な い.

れ が 極 大 で あ れ ば,hd(syz1

と き に よ り,mの

す べ て の 元 がMに

ついて

自 由加 群 の 部 分 加 群 だ か ら,0≠y∈mを

関 し零 因 子 で あ る こ と を示 せ ば よ い.  と る.mの

Rに

張 は 明 白 で あ る.ゆ

納 法 の 仮 定 に よ っ て,(d-1)-(δ-1)=d-δ

場 合 は よ い.次 M≠0.syz1

体 で あ り,主

dim

M)=hd

とれ M-1

に

任 意 の 元zが 

とな る 自 由加 群Fを

関 し 零 因 子 で あ る か ら,∃a∈F,a〓syz1M,

ma〓syz1M.す zは(syz1

る と,yza∈y(syz1 M)/y(syz1M)に

  系7.2.3. 

M).し

か し,ya〓y(syz1

M).ゆ

関 し零 因 子 で あ る. 

pが 正 則 局 所 環Rの

え に,

(証 明 終)

素 イ デ ア ル で あ れ ば,Rpも

正 則 局所 環 で

あ る.   証 明. 

hdRp<∞.問

題7.0.3に

よ り, 

(証明 終)   正 則 局 所 環(R,m)に

お い て,体R/mの

正 則 局 所 環 で あ る と き,Rは   系7.2.4. pが

標 数 をpと

す る と き,R/pRも

不 分 岐 正 則 局 所 環 で あ る とい う.

不 分 岐 正 則 局 所 環(R,m)の

素 イ デ ア ル な ら ば,Rpも

不分

岐 正 則 局 所 環 で あ る.   証 明.  pは 7.2.3に む.ゆ

上 の 通 り と す れ ば,(イ)R/pRが

よ りRp/pRpも

正 則.ま

正 則 ゆ え,p∈pな

た,(ロ)p〓pな

え に い ず れ の 場 合 に もRpは

ら ば,Rpは

有 理 数 体 を含

不 分 岐 正 則 局 所 環 で あ る. 

  次 の 目標 は,正

則 局 所 環 に お け る 素 元 分 解 の 一 意 性 で あ る.

  定 理7.2.5. 

正 則 局 所 環 は 素 元 分 解 環 で あ る.

  こ の 定 理 の 証 明 の た め,三   補 題7.2.6.  x〓am,hd a≦1な

aが

つ の 補 題 を準 備 し よ う.

局 所 環(R,m)の

イ デ ア ル で,x∈a,y∈R,a=xR:y,

極 小 基x,x2,…,xsを

と る(x〓amゆ

仮 定 し て 矛 盾 を導 こ う. 

え,存

在 す る).

ゆえ, ∃b∈R,yx2=xb.仮

よ り, 

定 に

は 自 由 加 群 で あ る か ら,そ

独 立 基f1,…,fmを

と る.syz1

a ∋x2X-xX2,bX-yX2.ゆ

含 ま れ る こ と に な り,x∈am.こ

  補 題7.2.7. 

x,yが

局 所 環Rの

が 単 項 イ デ ア ル で あ る か,ま   証 明.  xR+yRが

の 一次

え に,∃dij∈R, 

ゆ え,yd1j=xd2j(∀j).∴d1j∈xR:y=a.ゆ

数 はamに

(証 明 終)

ら ば,a=xR.

  証 明.  xを 含 むaの s≧2と

らば 系

え に,d1jfjの

れ は仮 定 に 反 す る. 

元 で,xが

(証 明 終)

非 零 因 子 で あ れ ば,xR+yR

た は,hd(xR+yR)=1+hd(xR:y).

単 項 で な い と仮 定 し よ う.hdxR=0ゆ

え,系7.0.4に

係

よ り 

定 理2.1.2に

よ り, 

ゆ え, 

に よ る). 

(証 明 終)

  補 題7.2.8.  son根

RがNoether環,a,bがRの

イ デ ア ル,xがRのJacob

基 の 元 で あ っ て,b〓a,a〓xR+b,a:x=aが

成 立 す れ ば,a=bで

  証 明.  自 然 準 同 型R→R/bを

考 え る こ と に よ り,b=0と

す る と,a〓xR.∴a=x(a:x)=xa,ゆ

え にKrull‐

仮 定 し て も よ い.

東 屋 の補 題 に よ り,a=0.

 

(証 明 終)

  定 理7.2.5の

証 明.  d=Krull

デ ア ル で あ る とす る.pが ば 明 ら か ゆ え,d≧2と を な す か ら,定

d≧3と

理7.2.2の

後 半 に よ り,hd

元xで,pmに

し,dに

既 約 ゆ え,も

しaが

ら

な る か ら,補

え,

な り,pは

属 し な い もの を と る.す

単 項.

る と,∃y∈R,

題7.2.6に

よ り,pは

つ い て の 帰 納 法 を利 用 し よ う.a=xR+yRと 単 項 な ら ば,は

単 項 で な い と仮 定 す る.自

とお い て,a′:m=a′

任 意 の素 イ

ら ば,zは(R/p)列

ら ばhdp=0と

ら ば,hdp≦1と

単 項 で あ る.d≧4と

お

正 則 元 に な りp=xR:y=xR.

然 数tを

充 分 大 き く とれ ば,a′=a:mt

を 得 る.∃z∈m,z〓m2,a′:z=a′.R′=R/zRは

で あ り,帰 納 法 の 仮 定 に よ り,素 元 分 解 環 で あ る.し 自 然 準 同 型 とす れ ば,(φx).R′:(φy)は よ り, 

正則

た が っ て φ:R→R′

を

単 項 イ デ ア ル に な る か ら,補 題7.2.7に

ゆ え に, 

ゆ え に 定 理7.2.2に

よ り,φa:(φm=φa.∴(a+zR):m=a+zR.ゆ a′:z=a′

よ り,a′=aを る.す

高 さ1の

R/p≦d-1.p=syz1(R/p)ゆ

こ で,d=2な

しd=3な

そ こで,aは

し,pはRの

仮 定 す る.z∈m,z〓m2,z〓pな

し よ う.pの

p=xR:y.も

dim Rと

単 項 イ デ ア ル で あ る こ と を 示 せ ば よ い.d≦1な

hdp=hd(R/p)-1≦d-2.そ

く.xは

あ る.

示 す.ゆ

る とz2,…,zsは

s-1≧d-1-2.∴hdR =hd(xR:y)=0.ゆ

え に,zを

ゆ え,a′

〓a+zRは,補

題7.2.8に

含 む 極 大(R/a)列z=z1,z2,…,zsが

極 大R/(a+zR)列

で あ る. 

R/a≦2.∴hda≦1.ゆ え にpは

え に 

単 項 で あ る . 

え に 補 題7.2.7に

あ ゆ え,  よ り,hd (証 明 終)

p

  一 般 に,Noether環Rが て もRmが

正 則 環 で あ る の は,ど

の 極 大 イ デ ア ルmに

正 則 局 所 環 で あ る と き で あ る(系7.2.3参

  系7.2.9.    証 明 は,上

照).ゆ

えに

正 則 半 局 所 環 は 素 元 分 解 環 で あ る. 記 定 理 と次 の 結 果 とか ら 出 る:

  定 理7.2.10. 

(R,m1,…,ms)が

解 環 で あ れ ば,Rも

半 局 所 整 域 で,Ri=Rmiが

す べ て素 元 分

素 元 分 解 環 で あ る.

  証 明.  pが 高 さ1の

素 イ デ ア ル で あ れ ば,pRiはpの

さ れ る.bi〓mi,bi∈mj(∀j≠i)な で あ る. 

る 元biを

と お く.j≠iな

各iに

適 当 な元aiで

生成

つ い て と れ ば,pRi=aibiRi

ら ば,ajbj∈pmiRiで

あ る か ら,cRi=pRi.

ゆ え にcR=p. 

(証 明 終)

  定 理7.2.2 

に 関 連 し,次

  定 理7.2.11.  で あ れ ば,(極

Mが

大R列

の 定 理 を証 明 し て お こ う.

局 所 環(R,m)の

上 の 有 限 生 成 加 群 で あ り,hdM<∞

の 長 さ)=hdM+(極

大M列

の 長 さ).

  証 明.  極 大R列x1,…,xtお

よ び 極 大M列y1,…,ysを

い て の帰 納 法 を利 用 す る.t=0の

と き は,0:m≠0ゆ

明 白.そ

つい

こ でt>0と

と仮 定 し て よ い.す

仮 定 し よ う.s>0な る とhdR

ら ば,定

題7.2.1に

理7.1.7に

M=hdR/x1RM/x1M(系7.1.2)で

帰 納 法 の 仮 定 に よ り,主 張 は 正 し い.s=0な の 部 分 に お け る と同 様 に し て,syz1Mを こ と が で き,証

と る.tに え,補

ら ば,定

よ り,y1=x1 あ る か ら,

理7.2.2の

考 え れ ば,s=1の

証 明 の最 後

場 合 に 帰 着 させ る

明 が 完 了 す る. 

(証 明 終)

問   1.  Noether環Rの

つ よ り

題7.0.

上 の有 限生 成 加群Mに

対 して,同 様 にsyziMを

合,Mお

よ びsyzjM(j
syzi Mと

か けば,適 当な有 限 生成 の 自由加 群Fi,Giに

定 義 した場

極 小基 を,順 次 と りか えて得 た別 のsyziMを,一

応

より

が 成 立す る こ とを示 せ.   2.  環Rの

上 の加 群Pが

射 影的 で あ る とは,適 当 な加群Qを

とれ ば, 

が自

由加 群 に な る とき に い う.次 の こ とを示 せ.*)   (イ) 局 所 環 の 上 に射影 的,か つ,有 限生 成 の加 群 は 自由加 群 で あ る.   (ロ) RがNoether環

で あ る と きは,有 限生 成 の 加群Pが

意 の極 大 イ デ アルmに   (ハ) aがRの  [ヒ

つ い て, 

元bi,ci(i=1,…,n)を

独 立 基X1,…,Xnを

群 と して)射 影的 で あ る. で あ る.一

適 当 に と れ ば, 

もつ 自由加 群Fを

す る と,ψ φ はaの

射 影 的 であ れ ば, Rの 任

自由加群 に な る.

可逆 分 数 イ デ アル な らば,aは(R加

ン ト:a,a-1の

  3.  局 所 環Rの

がRm上

次

と り,次 の よ うな準 同 型 φ,ψ を考 え よ.

上 の恒 等 写像 に な る.] 上 の 有 限生 成 加 群Mと,Rの

素 イ デ アルpと FnはRpの

問

を とれ ば,

上 の 自由加 群.

題   7.1.

  1.  §7.0お よび §7.1に お け る 局 所 環 に つ い て の定 義 お よび定 理 を,次 数 付 き環の 場 合 に(加 群 と して は 次数 付 き加群;元

と し ては 主 と して斉 次 元 を考 え る),ど

の よ うな

拡 張 が 可能 か を調 べ よ.  2.  局所 環(R,m)の

上 の 有 限生 成 加 群M≠0とmの

問   1.  正 則 局 所 環(R,m)が (ロ)R/mの

標 数 をpと

非 零 因子xと

に つ い て,

題  7.2.

不 分岐 で あ る た めの 必 要充 分 条 件 は,(イ)Rが す る と き,p〓m2の

体 を含 む,

一 方 が成 立 す るこ とで あ る.

 2.  完 備局 所 環 が 正 則局 所 環 の準 同 型 像 で あ る こ と(次 章 §8.1参 照)を 既知 として, 次 の こ とを示 せ.   (R,m)が

局 所 環,Mが

が,そ れ ぞれ 極 大M列,極

有 限 生 成 のR加 大N列,極

群,NがMの

大M/N列

部分 加 群 で,fM,fN,fM/N

の長 さで あ る とき,次 の(イ),(ロ),

(ハ)の 一 つ が成 立す る:  (イ)  (ロ)  (ハ)

 *) (イ)は

,有 限 生 成 の 仮 定 を省 い て も成 立 す る こ とが 知 られ て い るが,易 し くな い. ま た,(ロ)の 逆 も成 立 す る(Noether環 で ない と きは,逆 は一般 に成 立 し ない)こ と も知 られ てい る.

第8章

 8.0. 

 完備局所環 とその応用

備局所環の性質

 完 備 半 局所 環 の位 相 につ い て は,次 の定理 は特 徴 的 で あ る.   定 理8.0.1.(R,m1,…,ms)が

根 基 で あ る とき,Rの

イ デ ア ル の 列a1〓a2〓

な ら ば,各

対 し,適

自然 数nに

で あ る か ら,イ

に つ い て, 

とれ ば,

然 数),am〓rc(∀m),と デ ア ル の 列rn+a1〓

て, 

仮 定 す る.一 … 〓rn+am〓

…

般 に を考 え

を得 る.  t(1)
と仮 定 し て よ い.  し て,at(n+1)の

ゆ え,at(n)の

元xn+1を,xn-xn+1∈rnで

の こ と を,xc∈at(c),xc〓rcを xn,…

… 〓an〓 …

当 な 自 然 数m(n)を

  証 明.  結 論 を否 定 して,∃c(自 R/rnはArtin環

が そ のJacobson

完 備 半 局 所 環 で, 

を と れ ば,選

〓c).こ

の 列 の 極 限x*を

ら 出 発 し て,順

の 列 はCauchy列

と る と,at(n)が

ゆ えに 

閉 集 合 で あ る か ら,x*∈at(n)(∀n).

ゆ え,xc=xc-x*∈rc.他

Rが

次xc,xc+1,…,

で あ り,xn∈at(n)(∀n

は 矛 盾 で あ る.    系8.0.2. 

対

あ る よ う に と る こ と が で き る.こ

み た す 元xcか

び 方 に よ り,こ

任 意 の 元xnに

方,xc〓rc,こ

れ

(証 明 終) 完 備 半 局 所 環,Tが

がTのJacobson根

基, 

擬 半 局 所 環,RがTに

で あれ ば,RはTにr*進

支 配 され,r*

位 相 を考 え た

もの の 部 分 空 間 で あ る.   証 明.  an=r*n∩Rに

対 し て 前 定 理 の 記 号 を 使 え ば, 

(証 明 終)   次 は,完

備 局 所 環 が,い

わ ゆ るHensel環

で あ る こ と を 示 そ う.一

般 に,

(R,m)が

擬 局 所 環 で,次

の 命 題 が 成 立 す る と き,R(ま

た は(R,m))はHerrsel

環 で あ る と い う.   「f(x)

,g0(x),h0(x)がR係

数 の モ ニ ッ ク 多 項 式 で, 

な ら ば,適

当 な モ ニ ッ ク 多 項 式g(x),

h(x)  に よ り,

  定 理8.0.3. 

擬 局 所 環(R,m)がm進

ば,RはHensel環

位 相 で 完 備 な  T0空 間 で あ る な ら

で あ る.

  証 明.  g0お

よ びh0か

ら 出 発 し て,モ

ニ ッ ク 多 項 式gn(x),hn(x)の

列 を次

を み た す よ う に 作 る:  そ れ に は,次

の よ う に す れ ば よ い:gn-1, 

hn-1ま

で 定 義 さ れ た と き, 

ゆ え,各i=0,1,…

来 る.こ

に つ い て,多

項 式

で あ る よ うに と る こ とが 出

ani,  bniを, 

し た が っ て,i<degfな

こ で, 

らば,

の形

と し て よ い. 

に書 い て,こ

のxiを

上 で 得 た 

を使 っ て書 きあ らた め

る と,  の 形 に 整 理 さ れ る.そ hn=hn-1+αnと

お け ば よ い.す

{hn(x)￨π=1,2,…}は

収 束 す る の で,そ

ゆえ,f=ghで  

Hensel環

る と,二

こ で,gn=gn-1+βn,

つ の 多 項 式 の 列{g(x),￨n=1,2,…}, の 極 限g(x),h(x)が

と れ る. 

あ る. 

の 性 質 に つ い て は,第10章

(証 明 終) で ふ れ る が,こ

こで は次 の こ とを証 明

し て お こ う.   補 題8.0.4.  あ れ ば,R′

(R,m)がHensel整

域 で あ っ て,整

域R′

整拡大で

は 擬 局 所 整 域 で あ る.

  証 明.  R′ が 少 く と も二 つ の 極 大 イ デ ア ルm1,m2(m1≠m2)を う.∃a∈m1,a〓m2.aを

根 に も つR係

え,an〓mR[a].ゆ

も った としよ

数 の 既 約 モ ニ ッ ク 多 項 式 

お よ び 環R"=R[a]を a〓m2ゆ

がRの

え に,∃ci〓m.そ

考 え よ う.a∈m1ゆ

え,cn∈m.

こ で,jはcj〓m,cj+s∈m

(∀s≧1)で

あ る も の とす る と,

  RがHensel環

で あ る か ら,f(x)は

可 約 と な り仮 定 に 反 す る. 

(証 明 終)

  加 群 の 有 限 性 に つ い て の 重 要 な 定 理 を 証 明 し て お こ う.   定 理8.0.5. 

加 群Mに

(R,m1,…,ms)が

つ い て,(イ)M/rMがR加

な わ ち,Mはr進 成 で あ る.こ

とす る と き,R

完 備 半 局 所 環 で, 

(す

群 と し て 有 限 生 成,(ロ) 

位 相 に よ りT0空

間)の

二条 件 が 成 立 す れ ば,Mは

の 場 合,u1,…,ut∈M,ΣuiR+rM=Mな

有 限生

らば,M=ΣuiRで

あ る.   証 明.N=ΣuiRと

お く.a∈Mに

対 し,次

の よ う な 元anの

列 を作 る:

か つ,

 そ れ に は,次

の よ うに す る:a1が

とれ る こ と は,仮 定 に よ り明 らか.an-1ま

で とれ た と き,  υi-wi∈rMな

と書 き 表 わ し,wi∈N, るwiを

と り,an=Σmniwiと

に お け るujの =Σcjujを

お け ば よ い.す

係 数 は 収 束 級 数 で あ り,そ

考 え る と,a-a*∈rnM(∀n)ゆ

え,(ロ)に

る と,

の 和 をcjと

よ りa=a*.∴M〓

N.∴M=N. 

(証 明 終)

  最 後 に,次

の 注 意 を つ け 加 え て お こ う.

  補 題8.0.6.  ル ≠R)も

お き,a*

Rが

完 備 半 局 所 環 で あ れ ば,Rの

準 同 型 像R/a(aは

イデア

完 備 半 局 所 環 で あ る.

  証 明.Rの

完 備 化 はR自

身.ゆ

え に,定

理5.2.8に

よ り, R/aの

は 

完備化

(証明終)

 8.1.  完 備 局 所 環 の 構 造 定 理  完 備 局 所 環 の構 造 定 理 と呼 ばれ る もの は,完 備 局所 環 の理 論上,大 変 重 要 な もの で あ る.他

方,定 理 自身 は,Noether環

で な い場合 に も拡 張 され るの で,

そ の場 合 を含 め て証 明 す る た め,次 の定 義 をす る.擬 局 所 環(R,m)に  で あ る とき,T0擬

局所 環 とよ ぶ.自 然 位 相 として,こ

相 を入 れ て考 え る.自 然 位相 が完 備 で あ る ときが,完 備T0擬

お い て,

れ にm進

位

局 所 環 で あ る.

  定 理8.1.1.(完 き,Rは

備 局 所 環 の 構 造 定 理)(R,m)が

次 の 性 質 を もつ 部 分 環Iを

  (イ)  pがR/mの  (ロ)  Iは

完 備T0擬

局所環 であると

含 む:

標 数 で あ れ ば,m∩I=pIで

あ り,

ｐIを 極 大 イ デ ア ル に もつ 完 備 局 所 環 で あ る.さ

  (ハ)  R/m=I/pI(す

ら に,

な わ ち,R=I+m).

  こ の条 件 を み た すIを,Rの

係 数 環 とい う.pI=0の

と き は,特

に係 数 体

と い う.   証 明.  ま ず,p=0の 「Rの

  ま ず,存 Rの

と き を考 え よ う.こ

極 大 部 分 体Iが

存在 し ,そ

在 は,p=0ゆ

え,有

Iの 存 在 が わ か る.m∩I=0ゆ 元xが

う こ と を知 る.x∈R/m,x〓Iと

はRの

…

仮 定 す る.I上

れ はIの

(∈K)がKに

単 純 根 で あ る.ゆ

と な り,I[x]

極 大 性 に 反 す る か ら,R/m=I. の た め,い

くつ か の 準 備 を す る.一

元b1,…,brがKに

立 で あ る と は,「b1,…,br∈B(i≠jな

般 に

お い てp独

あ る と き に い う.Kの

立 」 の 成 立 す る と き に い う.BがKのp独

さ ら に,Kp(B)=Kの   補 題8.1.2. 

代 数 的 」 とい

と分 解 す る.こ

体 で あ る と き,Kの

お い てp独

作

既 約 な モ ニ ッ ク 多 項 式f(x)

え,xはf(X)の

場 合 を 考 え よ う.そ

標 数p≠0の

,brはp独

と り,I(x)を

極 大 性 に よ り,「R/mはI上

で あ る とは,[Kp(b1,…,br):Kp]=prで がKに

補 題 に よ り,

根 で あ る か ら, 

部 分 体 に な る.こ

  次 に,p≠0の Kが

代 表 元xを

よ り, 

の 元x∈Rはf(X)の

る と,

部 分 体 と も考 え られ る .も

あ れ ば,xの

な る も の を と る.p=0ゆ

え に 定 理8.0.3に

含 ま れ る とい え る.す

れ は 帰納 的 集 合 に な り ,Zornの

な る か ら,Iの

で,f(x)=0と

の こ と が 成 立 す る.

係 数 体 で あ る.」

え,IはR/mの

超 越 的 なR/mの

れ ば,I(x)〓Rと

れ はRの

理 数 体QがRに

部 分 体 の 集 合 を 考 え れ ば,そ

し,I上

の と き は,次

部 分 集 合B

ら ばbi≠bj)⇒b1, 立 基 で あ る と は,

成 立 す る と き に い う. 標 数p≠0の お い てp独

体Kはp独 立 で,nが

立 基Bを 自然 数 で あ れ ば,

立

も つ.ま

た,b1,…,br

 証 明.  前 半:Kのp独 な す か ら,Zornの とKpiと

立 な部 分 集 合全 体 は包 含 関 係 に よ り,帰 納 的集 合 を

補 題 に よ り前 半 を得 る.最

の 同 型 を与 え る か ら, 

納 法 を 使 っ て,Kpn(B)=Kを

はK

後 の 等 式:  ゆ え に,nに

得 る.残

つ い て の帰

り: 

(証明終)   系8.1.3. 

Kが

元xはKpnの

標 数p≠0の

体 で,BがKのp独

元 を係 数 に し,Bの

整 式 に 表 わ す こ とが で き,そ

立 基 な ら ば, Kの

元 に つ い て,各

元 毎 の 次 数
の よ うな 表 わ し方 は(Bとnを

各 形の

固 定 し た と き)x

に 対 して 唯 一 通 りで あ る.   補 題8.1.4. 

pが

位 元 のp倍)をmが

素 数 で,mが

含 む も の とす る.こ

な ら ば,apn-bpn∈mn+α ア ル で,mt=0な

で あ る.し

で,右

b-a=cと

な わ ち,単

の と き,a,b∈R,a-b∈mα(α し,さ

は,s≧t-1の

ら に,mが

とき,R/mか

≧1) 極大イデ らRの

中

な わ ち,aps=bps⇔a-b∈m).

ここ

お く と,c∈mα, 

辺 の 係 数 は,両

た が っ て,nに

イ デ ア ル で あ り,p(す

た が っ て,も

ら ば, 

へ の 一 対 一 写 像 を定 め る(す   証 明. 

環Rの

端 を 除 け ばpの

倍 数 で あ り,bp-ap∈mα+1を

得 る.し

つ い て の 帰 納 法 に よ り前 半 を得 る.後 半 は 前 半 に よ っ て 明 らか.  

  補 題8.1.5. 

擬 局 所 環(R,m)がT0擬

(証 明 終)

局 所 環 に 支 配 され れ ば,RもT0

擬 局 所 環 で あ る.   証 明 は 易 し い の で 省 く.   補 題8.1.6.  m=pRな

T0擬 局 所 環(R,m)に

ら ば,RはNoether環

  証 明.  aがRの 数),a〓pnR,a〓pn+1R.す

お い て,mが

単 項,す

で あ る.

イ デ ア ル で,R≠a≠0と

す る.∩mn=0ゆ

る と,a:pn〓pR.pR=mゆ

を含 む.∴a:pn=R.∴a〓pnR.∴a=pnR.    さ て,以

な わ ち,∃p∈R,

上 で 準 備 を終 え て,p≠0の

え,∃n(自

え,a:pnは

正則 元 (証 明 終)

と き の定 理8.1.2の

然

証 明 を し よ う.

  K=R/mのp独

立 基B*を

に そ の 代 表 元(∈R)を φnは, 

と り,B*の

一 つ ず つ と る)を

代 表 系B(す

固 定 す る.ま

に よ っ て与 え られ るR/mnか

示 す も の と し,ま

た,φnが

定 め るR/mか

照)を

σnで 示 し,An=σn(R/m)と

Anの

元 を 係 数 に し て,Bnの

つ の 元 に つ い て もp2nよ

た,各

らR/mn自 らR/mnへ

お く.次

な わ ち,B*の

各元

自然 数nに

対 し,

身 の 中へ の写 像 を

の 写 像(補

に,Bn=(B

題8.1.4参

modulo

元 に つ い て の 整 式 で,そ

mn)と

お き,

の 次 数 がBnの

り小 さ い よ う な 形 で 表 わ し得 るRの

どの 一

元 全 体 をSnと

す る.   φnはK=R/mとKp2nと

の 同 型 写 像 を 定 め る か ら,Kp2nとAnと

な 一 対 一 対 応 が あ る((a

mod m)p2nと(a

8.1.3に

よ り,KとSnと

R/mnに

お け る 代 表 系 に な る.次 とお く.こ

のJnが

環 に な る こ と を 示 そ う.そ

入 っ て い る こ と を示 せ ば,そ

元 に つ い て の 単 項 式 の 積 はBnの

で,MがBnの

の た め に は,Snの

二

の あ と は 易 し い.[積

に

元 に つ い て の 単 項 式 で あ り,

元 に な る こ と に 注 意 せ よ.]そ

ら 出 発 し て(i=0ま

は 明 白.0≦i
か ら,aM,cMはSnの

納 法 に よ っ て 示 そ う.i=nの

で は 正 しか っ た と し よ う.記

お く.aM=aMq,cM=cMq(∃aM,cM∈R/mn)で

とき

号 の簡 略 の あ る が,  aM,

同 じ類 に 属 す る も の に と りか え て も よ い(補 題8.1.4) 元 と し て よ い. 

こ こに 現 われ る二 項 係 数 

はpの

倍 数 で あ る か ら, 

を 帰 納 法 の 仮 定 に よ っ て 知 る.そ

こ で, 

に つ い て も,こ え にJnは

形

の た め に, 

で),帰

仮 定 し,i+1ま

し て は,R/mで

こ

固 定), 

属 す る こ と を示 せ ば よ い.そ

を,i=nか

知 る.ゆ

え に,系

元 に つ い て の 単 項 式b1e1…bmem(bi∈Bn)で,0≦ei
の も の を 動 く こ と に し て(b1,…,bmは

cMと

が 対 応).ゆ

に, 

し た が っ て そ れ は 一 つ の 項 で 表 わ さ れ るSnの

がJnに

mn)p2nと

の 間 の 自 然 な 一 対 一 対 応 が あ り,SnはR/mの

つ の 元 の 和 が い つ もJnに つ い て は,Bnの

mod

の 自然

環 に な る.明

ら か に,Jn∩(m/mn)=pJnで

れ がpiJnに

属 す る こ とを あ り,こ

れ はJn

の 極 大 イ デ ア ル で あ る.そ とR/mと

らR/mn-1へ

の 自然 準 同 型 πnを 考 え よ う.上

つ い て,πn(M)∈Sn-1ゆ

方,Sn-l〓

πn(Sn)ゆ

え,πn(Sn)〓Jn-1.ゆ

え,πn(Jn)〓Jn-1.ゆ

Cauchy列

で あ り,し

お け る 代 表 元ziを

た が っ て,極

限limznを

方 に は 無 関 係 に,列y1,…,yn,…

す る.(こ

お け るpI進

も つ.こ

πi+1yi+1=yi(∀i) は

の 極 限 はznの

と り

の よ うな 極 限 全 体 の 集

の射 影 極 限 と呼 ばれ る も

環 で πnが 準 同 型 で あ る か ら,Iは

位 相 に よ る 正 則Cauchy列

同 様 に し て,pIはIの

る と補 題8.1.5,8.1.6に

上 への

と れ ば,z1,…,zn,…

に よ っ て 定 ま る.こ

は,上

れ る こ と は 容 易 に わ か る か ら,IはpI進 5.1.2と

つ

れ は,列 

の で あ る.)各Jnが

らJn-1の

に つ い て,yi∈Jiか

が 成 立 す る と き,各yiのRに

の よ うな単 項

え に,πn(Jn)〓Jn-1.他

え に,πnはJnか

準 同 型 を 定 め る.列y1,y2,…,yn,…

合 をIと

の 自然 な 一 対 一 対 応 は,Jn/pJn

の 自然 な 同 型 を定 め る.

  次 に,R/mnか 式Mに

し て,SnとR/mと

環 で あ る.ま

のz1,…,zn,…

た,Iに

の形 で得 ら

位 相 に 関 し完 備 で ある.そ

こで補 題

唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ル で あ る こ とを 知 る.す

よ り,IはNoether環

所 環 で あ る.I/pI〓R/mは

明 ら か ゆ え,こ

で あ り,し のIが

た が っ て完 備 局

求 め る も の で あ る.   (証 明 終)

  こ の 定 理 か ら 直 ち に,次   系8.1.7.  Rの …

係 数 環I上

,Xr]]と,そ

(R,m)が

の 系 を得 る.

完 備 局 所 環 で あ り,mがx1,…,xrで

の 不 定 元X1,…,Xrに の イ デ ア ルaと

生 成 さ れ れ ば,

つ い て の(形 式 的)べ き 級 数 環I[[X1,

に よ り,

  注 意.  こ のI[[X1,…,Xr]]は

完 備 局 所 環 で あ る.(問

題8.0.3参

照)

  上 の 系 と は別 の 応 用 を 与 え よ う.そ の た め に 次 の 定 義 を す る.(R,m１,…,ms) が 完 備 半 局 所 環 で,Iが

そ の 部 分 環,x1,…,xr∈

べ き級 数I[[X1,…,Xr]]か

らRの

を考 え る.ψ

す る.Iの

は 環 と し て の 準 同 型 で あ る.と

が 中 へ の 同 型 で あ る と き,x1,…,xrはI上 定 義 の 下 で,次

∩miと

の 系 が 成 り立 つ:

上 の形 式 的

中 へ の 写 像  こ ろ で,こ

解 析 的 独 立 で あ る と い う.こ

の ψ の

  系8.1.8.  所 環Sを はI上

(R,m)が

完 備 局 所 整 域 で あ る と き,Rは

含 む:S=I[[x1,…,xd]],こ

体 で あ る か,ま

はR/mの

標 数)の

を と る.後

者 の 場 合 はpを

Rの

整 域 で あ る.し

同 型 像 ゆ え,完

い ず れ か で あ る,前

の極 大 イ デ ア ル はpI(p

者 の 場 合 は パ ラ メ ー タ ー 系x1,…,xd

含 む パ ラ メ ー タ ー 系p,x1,…,xdを

と る.そ

元 を係 数 と し,x1 ,…,xdの

元 全 体)を

考 え る.こ

I[[X1,…,Xd]]のKrull次

照).す

え に,Krull

体 で あ る か 否 か に よ っ て,dま

し て,

べ き級 数 で

れ は 完 備 局 所 環I[[X1,…,Xd]]の

備 局 所 環 で あ る(補 題8.0.6参

S加 群 と し て 有 限 生 成 で あ る.ゆ

dim

る と定 理8.0.5に

R=Krull

た はd+1で

dim

あ り,形

  完 備 局 所 環 の構 造 定 理 に 関 連 し て,係

よ り, 辺 は,

整 域 ゆ え,自 然

は 同 型 で あ る.ゆ

解 析 的 独 立 で あ る.し た が っ てSは

S.左

準

式的 べき級数環

元 と 一 致 す る.I[[X1,…,Xd]]は

な準同型  はI上

た が って 係 数環 の定 義 に

た は 離 散 付 値 環 で あ り,そ

中 でS=I[[x1,…,xd]]=(Iの

表 わ し 得 るRの

係 数 環 で,x1,…,xd

群 と し て 有 限 生 成.

整 域 で あ る か ら,Iも

よ り,Iは

Iが

こ にIはRの

解 析 的 独 立 で あ っ て,RはS加

  証 明.  Rが

次 の よ うな 完 備 正 則 局

え に,x1,…,xd

完 備 正 則 局 所 環 で あ る. (証 明 終)

数 環 が ど れ く らい 存 在 す る か と い う点

に つ い て の 考 察 を す る.   (R,m)が   ま ず,次

完 備T0擬

局 所 環 で,pがR/mの

の こ とは 定 理8.1.1の

  系8.1.9.(イ)p=0の

証 明 に よ っ て 容 易 に わ か る:

と き:R/mの

そ の 代 表 系B(〓R)を

標 数 で あ る も の と し よ う.

有 理 数 体Q上

の 超 越 基Bを

と り,

分 体Q(B)を

含 む 係 数 体Iが

存在

任 意 に とれ ば,部

す る.   (ロ)  p≠0の

と き:R/mのp独

に とれ ば,Bを

含 む 係 数 環Iが

  さ ら に,p≠0の 体Lの

と り,B*の

場 合 に つ い て の 注 意 を つ け加 え よ う.一

二 つ の 部 分 体L1,L2が

で あ る(「L1が

立 基B*を

完全体 ⇔

易 に わ か る)か ら,Lに

代 表 系Bを

任意

存 在 す る. 般 に 標 数p≠0の

完 全 体 な ら ば,L1とL2と ∀a∈L1,ap-1∈L1」(問

題1.5.2)を

の合 成 体 も完 全 体 利 用 し て,容

含 ま れ る 完 全 体 の うち に 最 大 な も の が あ る.そ

れ をL

の 最 大 完 全 部 分 体 と呼 ぶ.さ 元aと

各 自 然 数nと

え,補

代 表 元bnを

題8.1.4に

の 極 限limcnはbnの

的 に定 ま る こ と を知 る.こ

て,Kの

ず ど の 係 数 環Iに

  こ の節 の 最 後 と し て,完

乗 法 的代 表 元

各 元aの

乗 法 的 代表

最 大 完 全 部 分 体 で もあ り,し 中 で とれ る. 

の た め に,い

既 約 性 定 理 か ら始 め よ う. 素 イ デ ア ル で,モ ニ ッ ク 多 項 式 

につ い て,(ⅰ)す す れ ば,f(x)はR上

べ て のci∈p,(ⅱ)cn〓p2の

二条 件 が 成 立

既 約 な 多 項 式 で あ る.

  注 意.  例 え ばRが

整 域 で あ っ た場 合,こ

約 とい う主 張 に お き か え た 場 合,正

こ で い う既 約 は,Rの

し く な くな る.(例

モ ニ ッ ク 多 項 式g(x),h(x)の

う.f(x)≡xnmodpゆ

積 に 分 解 し た と仮 定 して み よ

定 数 項)×(h(x)の

定 数 項)∈p2と

な り仮 定 に 反 す る.  

+…+cnで,(ⅰ)す

局 所 環 で あ る と き,R上 べ て のci∈mか

項 式 とい う.(そ れ は,上

あ る.)ま た,こ

の よ う なf(x)に

Eisenstein拡

大 と い う(f(x)R[x]∩R=0ゆ 方,pがR/mの

(証 明 終)

の モ ニ ッ ク 多 項 式f(x)=xn+c1xn

つ(ⅱ)cn〓m2で

Eisenstein多

こ と に 注 意).他

商 体 上既

は 各 自考 え て み よ.)

え,g(x)≡xrmodp,h(x)≡xn-rmodp(r=degg(x))

と な る か ら,cn=(g(x)の

  一 般 に(R,m)が

たが っ

(証 明 終)

備 正 則 局 所 環 の構 造 定 理 を示 そ う,そ

pが 環Rの

  証 明.  f(x)が

の 名称 の

も含 ま れ る.

元 の 乗 法 的 代 表 元 がIの

  定 理8.1.11. 

よ って一 意

の こ とが 成 立 す る.

場 合),Kの

え,KはI/pIの

わ ゆ るEisensteinの

はCauchy

乗 法 的 代 表 元 な ら ばabがabの の 用 語 の 下 で,次

各

お く.す

乗 法 的 代 表 元 と呼 ぶ.こ

上 の 記 号 の 下 で(p≠0の

  証 明.  R/m=1/pIゆ

と りcn=bnpnと

と り方 に は 関 係 せ ず に,aに

で あ る(証 明 は 易 し い)こ と に よ る.こ   定 理8.1.10. 

と る.Kの

よ り,c1,c2,…,cn,…

のlimcnをaの

由 来 は,a,bがa,b(∈K)の

元 は,必

最 大 完 全 部 分 体Kを

に 対 し,ap-nの

る と,bn+1p-bn∈mゆ 列 で あ り,そ

て,R/mの

あ る も の を,Rの

の 定 理 に よ りRの

上 の

上 の既 約 多項 式 で

よ っ て得 られ る環R[x]/f(x)R[x]を,Rの え,R[x]/f(x)R[x]〓Rで

標 数 で あ る と き,(イ)R自

ある

身 が 体 を 含 む か,

(ロ)p〓m2の

い ず れ か が 成 立 す る と き,(R,m)は

こ れ らの 言 葉 を使 う と,正   定 理8.1.12.  Sは

則 局 所 環 に つ い て の 次 の 定 理 が 述 べ られ る.

(イ)(R,m)が

正 則 局 所 環 で あ れ ば,そ

のEisenstein拡

大

正 則 局 所 環 で あ る.

  (ロ)  (R,m)が Iの

不 分 岐 局 所 環 で あ る と い う.

不 分 岐 完 備 正 則 局 所 環 でIがRの

係 数 環 で あ れ ば,Rは

上 の 形 式 的 べ き 級 数 環 と 同 型 で あ る.

  (ハ)  (R,m)が

完 備 正 則 局 所 環 でIがRの

係 数 環 で あ れ ば,Iを

係数環 と

し て も つ 不 分 岐 完 備 正 則 局 所 環(S,n)で,RがSのEisenstein拡

大で ある

もの が 存 在 す る.   証 明.  (イ):S=R[x]/f(x)R[x],f(x)=xn+c1xn-1+…+cn,ci∈m,cn〓m2 と す る.Rの

正 則 パ ラ メ ー タ ー 系y1,…,ydを,y1=cnで

xのSに

お け る類xを

に よ りM〓mゆ 〓R/mゆ

えci∈M(∀i).ゆ

  (ロ)  Iが

れ がSの

と る.Rの

元dの

と りI[[x1,…,Xd]]を

dim

標 数pを

整 域 で あ る か ら,自

然 な 準 同 型I[[X2,…,Xd]]→I[[x2,

体 の 場 合 は,正

考 え れ ば,同

要 な ら ばz1,…,zdの

を根 に も つ,S上

べ き級 数 で

式 的 べ き級 数 環I[[X2,…,Xd]]

則 パ ラ メ ー タ ー 系x1,…,xdを

様 に 出 来 る.

分 岐 で は な い(こ

標 数 と す る.Rの

の と き 分 岐 と い う)と 仮

正 則 パ ラ メ ー タ ー 系z1,…,

順 序 を と りか え て,p,z2,…,zdがRの る と,S=I[[z2

有 限 生 成 の 加 群 に な る(定 理8.0.5).∴d=Krull

ゆ え に,Sは

則 パ ラメ ー タ ー系

方,形

パ ラ メ ー タ ー 系 で あ る と仮 定 し て よ い.す Rは

と り,正

Rで,他

今 ま で通 りR/mの

と る.必

唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ル で あ り,

係 数 環 に もつ,x2,…,xdの

 (ハ):  不 分 岐 な ら ば 明 白 ゆ え,不

zdを

方,S/(xS+mS)

元 はIを

同 型 で あ る.Iが

定 す る.pは

理2.4.6

正 則 パ ラ メ ー タ ー 系 に な る.

表 わ し 得 る.d=Krull

,xd]]は

とれ ば,定

え にxn∈M.∴x∈M.他

体 で な い 場 合 に は,R/mの

p,x2,…,xdを

…

極 大 イ デ ア ルMを

え,M=xS+mSで,こ

x,y2,…,ydがSの

はKrull次

と る.Sの

あ る よ う に と る.

形 式 的 べ き 級 数 環 と 同 型 で あ り,不

,…,zd]]の dim

R=Krull

上 に, dim

S.

分 岐 正 則 局 所 環 で あ る.z1

の既 約 モ ニ ッ ク 多 項 式f(X)=Xn+c1Xn-1+…+cnを

と る.

z1∈mゆ

f(x)が

え, 

SがHensel環

既 約 で あ る か ら,ci∈m∩S(∀i).他

と表 わ し得 る.R=S[z1]ゆ

方p∈mゆ

え, diをS係

て,p=Σgi(z1)ziの

で あ り(定

え, 

数 のz1に

形 に 表 わ す こ と が 出 来,し

か しh(X)の

形 で あ る か ら,(m∩S)2に

項 式 

素 元 分 解 環(定

素 元 分 解 環 で あ り,h(X)はf(X)で

っ てR〓S[X]/f(X)R[X].し

のEisenstein拡

つ い て の整 式 で表 わ し

た が っ て,多

を 作 る と,h(z1)=0.Sが で あ る か ら,,S[X]も

理8.0.3),

理7.2.5)

わ り きれ,し

たが

定 数 項 は 

の

は 含 ま れ 得 な い.∴cn〓(m∩S)2.ゆ

え にRはS

大 で あ る. 

(証 明 終)

  8.2.  整 閉 包 の 有 限 性   第4章

に お い て,体

の 上 に 有 限 生 成 の 整 域 に つ い て,そ

証 明 し た(定 理4.1.5)が,一

般 に は,整

に 有 限 生 成 の 整 域 で あ っ て も,必 ら な い が,そ た め,ま

閉 包 が 有 限 生 成 で あ る よ う な整 域 の 上

ず し も,そ

の よ う な命 題 に つ い て,肯

の整 閉 包 の 有 限性 を

の整 閉 包 は有 限生 成 で あ る とは 限

定 的 方 向 の 結 果 を若 干 与 え よ う.そ

の

ず 次 の こ と を示 そ う.

  定 理8.2.1. 

(R,m)が

完 備 局 所 整 域,Kが

次 代 数 拡 大 体 で あ れ ば,R〓R〓L,か

つR上

そ の 商 体 で,LがKの

有限

整 で あ る よ う な環RはR加

群

と し て 有 限 生 成 で あ る.   証 明.  系8.1.8を わ な い か ら,Rが

適 用 し て,Rの

分 離 的 で あ り,系3.4.4に

し よ う.こ

の 場 合Rは

I[[x1,…,xd]](形

き,RのL*に

標 数 をpと

た,RはRのLに す る.も

よ り主 張 が 成 立 す る.そ

素 体 を含 む か ら係 数 体Iが

おける

しp=0な

ず,Kの

の 合 成 体L(L*)がL*上 お け る 整 閉 包R*が

ら ば,L

こ でp≠0と

仮定

あ り(定 理8.1.1),R=

式 的 べ き 級 数 環)に な る(定 理8.1.12(ロ)).定

証 明 に お け る と同 様 に し て,ま れ ば,LとL*と

と っ て考 え て も一 般 性 を失

正 則 で あ る と仮 定 し て よ い.ま

整 閉 包 で あ る と仮 定 し て よ い.Kの はK上

代 り にSを

理4.1.5の

有 限 次 純 非 分 離 拡 大L*を 分 離 的 に な る.そ

適 当に と

し て,こ

有 限 生 成 で あ る こ と を示 せ ば よ い.し

の と た

が っ て,LがKの く.qはpの

上 に 純 非 分 離 的 で あ る と 仮 定 し て よ い.q=[L:K]と べ き で あ る.I*=I1/q,yi=xi1/q,T=I*[[y1,…,yd]](=R1/q)

と お く.a∈R⇒aq∈Rゆ も つy1,…,ydの

え,R〓T.し

た が っ て,Rの

べ き 級 数 と し て,一

各 元 の 先 導 項 を 考 え る.こ

a1,…,asもR上

一 次 結 合 で あ っ て0で   こ の こ と は,「

先 導 項f1,…,fsがR上

の よ う な 元 を と っ た 上 で,f1,…,fsの

属 す る.そ

のI(c1,…,ct)の

ゆ え に,Rの こ で,Rの

こ で,I上

数 がdq未

満 の,y1,…,ydに

任 意 の 元aの

お く.R′

こ で,次

に 属 す る こ と を知 る. 群Mは

はR加 え に,R′

群 と し て 有 限 生 成 で あ る か ら, はRお

∈R′,(z-znの

部分 空間で

導 次 数)≧n」.

つ い て の 帰 納 法 で 示 そ う.z1,…,zn-1が

し よ う.z-zn-1の

先 導 項fを 先 導 項 はfで

と に よ り,R′=Rを

よ びTの

の こ と を 示 す:

ら ば,∃z1,…,zn,…

「 」 内 の こ とが示 せ た の で

有 限 生 成 に な る.そ 生成 す る よ うに選

  こ の こ と を,nに

z*=Σhja*jの

係 数 はI(c1,

つ い て の 単 項 式 の 全 体m0=1,m1,…,

先 導 項fは 

そ れ 自 身 完 備 で あ る(定 理5.2.8).ゆ

  「z∈Rな

る とfの

先 導 項g1,…,gwがMを

び,R′=R[a*1,…,a*w]と

あ る(系8.0.2).そ

係 数 と して現 わ れ

一 次 独 立 基b0=1,b1,…,bn

元 の 先 導 項 全 体 で 生 成 され たR加 元a*1,…,a*wの

を とれ

一 次 結 合 と し て 表 わ し得 る 」 こ

あ る も の と し よ う.す

とれ ば,Rの

の 先 導 項 はf1,…,fsの

そ れ ら の 先 導 項f1,…,fsと

元 全 体 がc1,…,ctで

お よ び,次

mvを

一 次 独 立 な ら ば,

考 え る と,そ

先 導 項fはf1,…,fsの

と を 示 し で い る.こ

,ct)に

の 意 味 で,Rの

は な い.]

適 当 なa1,…,as∈Rと

意 のa∈Rの

るI*の

意 的 に 表 わ し 得 る.こ

係 数 を

一 次 独 立 で あ る.」

  [証 明:Σaibi(bi∈R,∃i,bi≠0)を

…

各 元 はI*に

の と き:

  「a1,…,as∈Rで,a1,…,asの

ば,任

お

Σhjgj(hjは

斉 次 元)の

あ る か ら,zn=zn-1+z*と ,R′

得 る. 

の 完 備 性 と,そ れ がTの

既 に定 ま った と 形 に 表 わ す.す

ると

お け ば よ い.こ

れで

部 分 空 間 で ある こ (証 明 終)

  上 記 定 理 は 次 の 重 要 な 応 用 を もつ.ま ず,結 果 を述 べ る 前 に 定 義 を 述 べ よ う.

Rが

半 局 所 環 で,そ

の 完 備 化 が0以

的 不 分 岐 で あ る と い う.aがRの あ る と き,aは

イ デ ア ル(≠R)で,R/aが

Rが

解 析 的不 分 岐 で

半 局 所 整域 で 解 析 的 不 分 岐 で あ れ ば,Rの

整 閉 包Rは,R加

環 で あ り,R加

群 と し て 有 限 生 成)と

とれ ば,Rnの

完 備 化Rn*は 

群 と し て 有 限 生 成,か Rn*∩K=Rn.ゆ

商 体Kに

お

群 と し て有 限 生 成 で あ る.

  証 明.  結 論 を否 定 す れ ば,R=R0⊂R1⊂

… ⊂Rn⊂

…(各RiはRの

な る無 限 列 が あ る.Rの

部分

完 備 化.R*を

で あ り(定 理5.2.8),そ

つ,R*の

全 商 環Q(R*)に

含 ま れ(定

え に,Rn*はR*のQ(R*)に

る.Q(R*)は

解析

解 析 的 不 分 岐 で あ る とい う.

  定 理8.2.2.  け るRの

外 に べ き 零 元 を も た な い と き,Rは

体 の 直 和 で あ り,し

れ はR*加 理5.3.1(ニ)),

お け る 整 閉 包R*に

た が っ て,R*は

含 まれ

整 域R*/p*(p*はR*の

零 イ デ ア ル の 素 因 子 全 体 を動 く)の 整 閉 包 の 直 和 の 形 に な り,R*はR*加 と し て有 限 生 成 に な る か ら,無

限 列R*=R0*⊂R1*⊂

… ⊂Rn*⊂

… の存 在 は矛

盾 で あ る. 

(証 明 終)

  8.3.  Noether整   Krull次

域 の 整 閉 包

元1のNoether整

美 し い 定 理 が あ る(§6.6参 場 合(体

す る.整

域 に つ い て は,Krull‐ 照).他

の 上 に 有 限 生 成 の 整 域,解

定 理8.2.2な

群

ど が あ る.一

域RがKrull環

方,Krull次

秋 月 の 定 理 とい う,大 変

元 は 一 般 で あ っ て も,特 別 な

析 的 不 分 岐 半 局 所 整 域)に

は,定

理4.1.5,

般 の 場 合 を論 ず る た め に,Krull環

の概 念 を導入

で あ る と は,次

成 立 す る とき

の 二 条 件(1),(2)の

に い う.   (1)  pがRの

素 イ デ ア ル,htp=1な

ら ばRpは

  (2) 任 意 の 単 項 イ デ ア ルaR(a≠0)は,高

さ1の

離 散 付 値 環 で あ る. 準 素 イ デ アル 有 限個 の 共

通 集 合 で あ る.   補 題8.3.1.    (2.a)  Rの か な い.

上 の 条 件(2)は,次 任 意 の 単 項 イ デ ア ルaRの

の 二 条 件(を 併 せ た も の)と 同 値. 素 因 子 で,高

さ1の

もの は有 限個 し

(2.b)  Rの

高 さ1の

 証 明.  (2)が

素 イ デ ア ル 全 体 の 集 合 をBと

成 立 し た とす る.(2.a)の

と お き,c/d∈D(c,d∈R)と (条 件(2)に

(2.b)が B′

す る とき,

成 立 は 明 ら か(素

因 子 の定 義 参 照). ゆ え, 

仮 定 す る.  よ る).∴c/d∈R.∴D=R.逆

成 立 し た もの と し よ う.0≠a∈Rの

に,(2.a),

と き,aRの

高 さ1の

は容 易 に わ か

と お く. 

を と り 

る(p∈B,p〓B′

⇒aRp=Rpに

素 因子 全 体

注 意).ゆ

∴a〓aR.

え に, 

(証明終)

∴a=aR. 

  上 の 定 義 お よ び(2.b)か   補 題8.3.2. 

Krull環

ら,次

の こ と が わ か る(定 理3.4.13参

は 正 規 環(す

な わ ち,整

照).

閉 整 域)で

Noether正

規 環 はKrull環

  Krull環

は 付 値 環 の 共 通 部 分 と し て 表 わ さ れ る の で,そ

あ る.ま

た,

で あ る. の よ うな環 につ い て

の 準 備 を し て お く.   補 題8.3.3. 

Rが

分 集 合 で あ っ て,次

商 体Kを

もつ 整 域 で,FがKの

の 二 条 件(1),(2)が

付 値 環 全 体 の あ る部

成 立 す る もの と す る.

かつ

 (1) 

 (2)  0≠a∈Rな

ら ば,{V∈F￨aV≠V}は

 こ の と き,SがRの

有 限 集 合.

積 閉 部 分 集 合,0〓Sな

ら ば, 

に よ り,

とお く.Rs〓Dは

 証 明.  (c,d∈R)を Vi∈F′ Krull (α=nな

明 白.そ

と る.{V∈F￨dV≠V}={V1,…,Vn}と ⇔i≦

dim

α,と

V=1ゆ ら ば,s=1と

と れ ば,s=(sα+1…sn)mに

α,

よ り

す る と,Vjの

お け ば よ い), 

な る か ら,sc/d∈R.∴c/d∈RS.∴RS

=D. 

(証 明 終)

  上 の 補 題 に よ り,次 の よ う なKrull環   定 理8.3.4. 

こ で,∃

に つ い て,∃si∈S,siV≠V.

分 大 き い 自 然 数mを

と り方 に よ り,sc/d∈V(∀V∈F)に

任 意 の 元c/d

す る.こ

仮 定 し て よ い.各i>α え,充

こ で,Dの

整 域Rに

の 特 徴 づ け を得 る.

対 し て,「 上 の 補 題 に お け る よ うなFで,各

要素

が 離 散 付 値 環 で あ る も の が 存 在 す る ⇔RはKrull環 の 高 さ1の

素 イ デ ア ル な ら ば,Rpは

  証 明.  「 (2.b)に

必 ずFに

」 内 の 分 に つ い て,〓

高 さ1の

ゆ え に,定

{V1,…,Vn}と

と こ ろ で,0≠a∈pと

は 有 限 集 合.ゆ

し,単

え に,付

す る と, 

値 の 独 立 性 定 理 に よ りRp∈F′.

考 え る.F′={V∈F￨aV≠V}=

極 大 イ デ ア ルmiを

素 イ デ ア ル ゆ え,qiはpi準

と り,pi=mi∩R,qi=aVi∩R 素 イ デ ア ル で あ る. 

こ の 右 辺 の 準 素 イ デ ア ル に よ る 表 示 に 余 分 の も の が あ れ ば,そ て,aR=q1∩

… ∩qaな

え ば,htq1≠1と

と な る も の を と る.F"が

し よ う.Fの

と い う こ と に 反 す る.ゆ

え に,F"は

大 イ デ ア ルm"を

と り,p"=m"∩Rと

て,Fの

要 素 は 離 散 付 値 環 ゆ え,∃t(自 るaR:p1の

元bを

あ る.さ

と れ ば,∀h∈p"に

得 る.ゆ

つ い て,(b/a)h∈

え に(b/a)h∈m"で

あ り,し

え に(b/a)p"〓p".∴  離 散 付値 環 で あ

分 大 き い 初 に つ い て こ れ が 成 り立 つ ご とは,b/a∈V(∀V∈F)を

示 す.∴b/a∈

∩V=R,b∈aRと

な り,Krull環   次 は,こ

につ

然 数),q1〓p1t.∴aR:p1≠aR.そ

特 に,(b/a)mh∈V(∀m,∀V∈F).各Vは る か ら,充

要 素 が 離散 付 値 環

お く とp"〓p1で

だ っ た か らaV"=V".ゆ

た が っ て(b/a)h∈m"∩R=p"を

れ はFの

な る の は,上

無 限 集 合 で あ る.各V"∈F"-F′

い て,極

(b/a)p1〓R.V"〓F′

し

部 分 集 合F"で, 

有 限 集 合 な ら ば,Rq1∈F"と

値 の 独 立 性 定 理 に よ っ て わ か り,そ

こ で,b〓aRな

れ を 省 く.そ

る 余 分 の な い 表 示 を 得 た と し よ う.htqi=1(∀i=1,

… ,α)で あ れ ば よ い.例

で と同 様,付

の よ う なFが

成 立 と,こ の 定 理 の 最 後 の 部 分 とが わ か っ た.そ

項 イ デ ア ルaRを

す る.Viの

と お く.aViがmi準

に,上

素 イ デ ア ル で あ る と き, 

義 に お け る(1)の

こ で,0≠a∈Rと

の 定 義 に お け る(1),(2.a),

す れ ば よ い).逆

と お け ば,  ゆ え,F′

属 す る.

はKrull環

よ り明 ら か(F={Rp￨p∈B}と

あ っ た とす る.pが

」.こ の と き,pがR

の 定 義 の(2)が

な り矛 盾.ゆ い え た. 

の 節 の 主 定 理 の 一 つ で あ る.

え にhtqi=1(i=1,…,s)と (証 明 終)

  定 理8.3.5. 

RがNoether整

拡 大 体,RがRのLに

そ の 商 体,LがKの

有 限 次 代数

お け る 整 閉 包 で あ る と き,

  (イ)  RはKrull環   (ロ)  pがRの

域,Kが

で あ る. 素 イ デ ア ル な ら ば,(ⅰ)Rの

る も の(す な わ ちp∩R=p)は

素 イ デ ア ルpでpの

有 限 個 に 限 ら れ,(ⅱ)R/pの

上 にあ

商 体 はR/pの

商体

の 有 限 次 代 数 拡 大 体 で あ る.   証 明.  最 初 に(R,p)が Rの

根 基n( 

局 所 環 で,K=Lの

)と

場 合 を 考 え る.Rの

を 考 え,T=R/nと

お く.R∩n=0ゆ

考 え られ る.さ

ら に,Rの0以

外 の 元 はRで

(ニ))か

商 体KはTの

全 商 環Q(T)の

Q(T)に

ら,Rの

お け る 整 閉 包 をTと

部 分 体 と考 え ら れ る.Tの 示 そ う.ま

ずR〓T∩Kは

仮 定 す る.a/bがT上 ciの

cn∈T, 

と こ ろ が,nの

∈R

非 零 因 子 で あ る(定 理5.3.1

す る.R=T∩Kを

明 白 で あ る.a/b∈T∩K(a,b∈R)と

完 備 化R,

え,R〓Tと

整 ゆ え,∃c1,…,

代 表 元ci(∈R)を

と る と, 

元 は べ き 零 で あ る か ら,∃d1*,…,dm*

(定

, 

理5.3.2(ロ)).∴

はR上 … ,psで

ゆ え に,a/b

∃d1,…, 

整 と な り,a/b∈R.ゆ

え に,R=T∩K.さ

あ れ ば,Q(T)はR/piの

は 完 備 局 所 環 で あ る か ら,そ

商 体Li=Q(R/pi)全 れ のLiに

素 因 子 全 体 がp1,

体 の 直 和 で あ る.R/pi

お け る整 閉 包TiはR/pi加

有 限 生 成 で あ り,他 方,  ア ル で あ る と き,(Ti)qiは

て,nの

で あ る.qiがTiの 離 散 付 値 環 に な る(定

群 と して

高 さ1の

素イデ

理3.4.13). 

とお く.こ の形 の環 全部 の共 通 部 分 はTに Liの

か ら, 

単 位 元 をeiと

す る と き,Kの

元aに

なる

つ い て,

で

は 明 白 で あ る か ら,  あ り,K∩V(qi)は

離 散 付 値 環 で あ る(問 題3.3.3).ゆ

値 環 の 共 通 部 分 で あ る.0≠a∈Rの

と き,aがV(qi)の で あ り,し

(一 つ のaに

対 し て)有 限 個 し か な い.ゆ

え に,Rは

非 正 則 元 な ら ば, 

た が っ て,そ

え にRはKrull環

これ ら離 散 付

の よ う なV(qi)は で あ る.Rの

有 限

個 の元y1,…,ytを

任 意 に と り,R[y]=R[y1,…,yt]を

局 所 環 で あ り,そ の 完 備 化 はRの R[y]の

根 基 をnyと

上 にy1,…,ytで

任 意)に つ い て も い え る の だ か ら,Rの い え た.さ

を い ろ い ろ 動 か し て,  え に,適

を と っ て も,R/n加

(R,p)が

つ い てR/mを

よ るR[z1,…,zv]/mに

有 限 次 代 数 拡 大 体 で あ る.ゆ 局 所 環 でK=Lの

  次 に,一 … ,asを

る か ら,上

わ か り,(ロ) のy

群 として 有 限生 成 に な

考 え る と,R[z1,…,zv] 含 ま れ る.し

え に,(ロ)の(ⅱ)が

た が っ て,R/m い え た.以

上 で,

と き の 証 明 が 出 来 た.

般 の 場 合 を 考 え よ う.K(a1,…,as)=Lと と り,R[a1,…,as]をRの

定 して よ い.さ

ん なy1,…,yt(tも

とれ ば, 

極 大 イ デ ア ルmに

の あ る極 大 イ デ ア ルmに はR/pの

れ が,ど

有 限 生 成 の加 群 で あ る か ら,上

当 なz1,…,zv∈Rを

し た が っ て,Rの

の完 備 化

あ れ ば,R[y]はmy個

極 大 イ デ ア ル の 数 ≦sが

ら に,TはR/n上

半

お け る整 閉 包」 で

極 大 イ デ ア ル の 数 がmyで

の 局 所 環 の 直 和 で あ り,し た が っ て,my≦s.こ

る.ゆ

生 成 さ れ る.そ

す れ ば,「TはR[y]/nyのQ(T)に

あ る こ と を知 る.R[y]の

の(ⅰ)が

考 え る.R[y]は

てS=R-pと

な る よ う なRの

元a1,

代 り に 考 え る こ と に よ り,K=Lと お け ば,RSのLに

仮

お け る整 閉 包 がRSで

あ

で 証 明 し た 場 合 に よ り,一 般 の 場 合 の 証 明 が完 了 す る. (証 明 終)

  Krull‐ 秋 月 の 定 理 か ら 見 れ ば,上 か と思 う の で,整

拡 大 のNoether性

い る.(8.3.6(ⅰ)の

証 明 は,拙

  (8.3.6)  RがKrull次

の定 理 は い か に も 弱 い と感 ず る 読 者 も 多 い に つ い て触 れ よ う.次

著Local

元2のNoether整

有 限 次 代 数 拡 大 体 で あ る と き,(ⅰ)RのLに で あ る.(ⅱ)RとRの   (8.3.7)  Krull次

中 間 環 は,必 元3の

Rings参

照.そ

域,そ

の 他 は §11.4.)

の 商 体 がK,LがKの

お け る整 閉 包RはNoether環

ず し もNoether環

整 域Rで,そ

の 事 実 が 知 られ て

で あ る と は 限 らな い.

の 商 体 に お け る整 閉 包RがNoether

環 で な い も の が 存 在 す る.   し た が っ て,一

般 のNoether整

域 の 場 合 の 整 拡 大 に つ い て は,Krull‐

の 定 理 か ら は 程 遠 い の が 現 実 な の で あ る.

秋月

  8.4.素   p,qが

イ デ ア ル 鎖 の 長 さ 環Rの

素 イ デ ア ル で,p⊂qで

ア ル 鎖 と は,p=pO⊂p1⊂ 列 を い う.そ

… ⊂pr=qと

の 長 さ はrで

様 で あ る.)pとqと

あ る とす る.pとqと

を結 ぶ 素 イ デ

な る よ うな 素 イ デ ア ルp0,p1,…,prの

あ る も の と定 め られ る.(正

規 鎖 の 長 さ の 定 義 と同

を 結 ぶ 素 イ デ ア ル の 極 大 鎖 と は,そ

れ 以 上(素 イ デ ア ル 鎖

と し て は)細 分 出 来 な い よ う な素 イ デ ア ル 鎖 を い う.系4.1.2は,Rが の ア フ ィ ン環 が あ る 場 合,pとqと に 等 し く,し

を結 ぶ 素 イ デ ア ル 極 大 鎖 の 長 さ はht(q/p)

た が っ て,p,qに

し,Noetherで

よ っ て 一 意 的 に 定 ま る こ と を 示 し て い る.し

こ で,次

立 す る と は,上

の 定 義 を す る.環Rに

の よ う なp,qを

お い て 弱 素 イ デ アル 鎖条 件 が成

どの よ うに と っ て も,pとqと

ア ル の 極 大 鎖 の 長 さ がpとqと

に よ っ て 定 ま る(し

た が っ て,ht(q/p)と

お け る 素 イ デ ア ル の 極 大 鎖 と は,高

さ0の

イ デ ア ル と を 結 ぶ 素 イ デ ア ル の 極 大 鎖 を意 味 す る.Rに 条 件 が 成 立 す る とは,「pがRの

高 さ0の

上 に 整 な 拡 大 環 で あ る と き,R′ dim

を結 ぶ 素 イ デ 一

き に い う.

  他 方,環Rに

Krull

か

あ っ て も,い ろ い ろ な 長 さ の 極 大 鎖 を も つ 場 合 も あ る(§11.2

の 例 参 照).そ

致 す る)と

体 の上

Rに

素 イ デ ア ル と極 大

お い て強 素 イ デ アル 鎖

素 イ デ ア ル で,整

域R′

がR/pの

に お け る 素 イ デ ア ル の 極 大 鎖 の 長 さ が,常

等 し い 」 と き に い う.ま

件 が 成 立 す る と は,「p,qがRの

た,単

に,Rに

に

お い て素 イ デ アル 鎖 条

素 イ デ ア ル で,p⊂qな

に お い て 強 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 が 成 立 す る」 と き に い う.明

ら ば,商

環Rq/pRq

らか に,「 強 素 イ デ

ア ル 鎖 条 件 ⇒ 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 ⇒ 弱 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 」 で あ る.「 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 ⇒ 強 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 」 が 正 し くな い こ と は,高 デ ア ル を も つ 整 域 に 着 目 し て,容

易 に わ か る.「 弱 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 ⇒ 素 イ デ

ア ル 鎖 条 件 」 の 正 し く な い こ と も知 ら れ て い る(§11.2参   完 備 な 場 合 に つ い て は,次   定 理8.4.1.    証 明.問 「(R

,m)が

照).

の 定 理 が 成 立 す る.

完 備 局 所 整 域 に お い て は,強

題8.4.1,8.4.2の

さの異 な る極 大 イ

素 イ デ ア ル 鎖 条 件 が 成 立 す る.

結 果 を利 用 す れ ば,次

完 備 局 所 整 域 でd=Krull

dim

Rで

の こ と を証 明 す れ ば よ い:

あ る と き,0とmと

を結 ぶ

素 イ デ ア ル の 極 大 鎖0=p0⊂p1⊂   こ の こ と を,dに と 仮 定 す る.こ   (イ)Iが

… ⊂ps=mの

ら か にs≧2で

体 の と き:0≠x1∈p1と

あ る.Rの

し,x1を

よ りht(p1∩T)=1ゆ

ら ば 明 白 ゆ え,d≧2 係 数 環Iを

と る.

含 む パ ラ メ ー タ ー 系x1,…,xd

正 則 局 所 環T=I[[x1,…,xd]]上

系2.4.12に

一 致 す る 」.

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.d≦1な

の と き,明

を と る と,Rは

長 さsはdと

有 限 生 成 の 加 群(系8.1.8).

え,p1∩T=x1T.そ

し て,R/p1はT/x1T

の上 に有 限生 成 の加 群 に な る.∴  ゆ え に,R/p1に

お け る 素 イ デ ア ル の 極 大 鎖 

の 長 さ はd-1で   (ロ)Iが

あ り,d=sを

得 る.

体 で な い と き:pはI/(m∩I)の

標 数 とす る.p1∋pな

明 で,x1=pと

す れ ばT=I[[x2,…,xd]]を

な ら ば,Rの

パ ラ メ ー タ ー 系p,x1,…,xd-1をx1∈p1で

T=I[[x1,…,xd-1]]を   上 の 定 理 を,完 る.半

dim

あ る よ う に と り,

の 一 つ の た め に 次 の定 義 を す

の 完 備 化Rの dim

R/pが

擬 清 純 半 局 所 環Rは,強

  証 明.  一 般 に,Rの 素 因 子pと

R=Krull

高 さ0の

成 立 す る と き に い う.す

完 備 化Rに

あ る(系6.2.9).そ

お け るpRの こ で,弱

鎖 条 件 の成 立 が,Krnll次

元 に つ い て の 帰 納 法 を利 用 し て,容

ま た,同

擬 清 純 で あ る こ と を知 る.し

じ ご とか らR/Rも

素 イ デ ア ルpに る と,

素 イ デ ア ル 鎖 条 件 を 充 た す.

素 イ デ ア ルpと,Rの

に つ い て,htp=htpで

しp〓p1

(証 明 終)

備 で な い 場 合 に 応 用 し よ う.そ

ずKrull

  定 理8.4.2 

使 っ て 同 様 に で き る.も

使 え ば 同 様 に で き る. 

局 所 環 が 擬 清 純 で あ る と は,そ

っ い て,必

ら ば上 の 証

極小

素 イ デ アル

易 に 知 られ る.

た が っ て,次

のこ と

有 限 生 成 の 加 群,Rが

擬清

を 証 明 す れ ば よ い:   補 題8.4.3. 

R,Sが

整 域,R〓S,SがR上

純 半 局 所 環 で あ れ ば,Sも   証 明.  Rの を ま ず と り,次

擬 清 純 半 局 所 環 で あ る.

商 体 をK,Sの に,K上

商 体 をLと

既 約 なR(X)の

の と き,aの

と る. 

る こ と に よ りC0=1と

す る.L=K(a)と 元g(X)で,g(a)=0と

し て よ い.す

る と 

な る 元a∈S な る もの を 代 り にc0aを

考 え

そ し て,

R[a]とSと

は 商 体 を 共 有 す る.し

た が っ て,次

の二 つ の場 合 に定理 を証 明

すれ ばよ い.  (イ) 

(g(X)は

  (ロ)  Sの   R,Sの

一 致 す る.

完 備 化 をR,Sと

SがR上 〓Sで

商 体 はKと

モ ニ ッ ク 多 項 式)

す る.(ロ)の

整 で あ る こ と か ら,明

場 合 は, R,Sは

白 で あ る.(イ)の

全 商 環 を共 有 し

場 合 は,R[X]/g(X)R[X]

あ る こ と か ら容 易 に わ か る. 

(証 明終)

  上 の 結 果 の 特 別 な 場 合 と し て,   系8.4.4. 

MがCohen-Macaulay環

で あ れ ば,Rに

で,R〓M/a(aはMの

イ デ ア ル)

お い て 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 が 成 立 す る.

  上 の 系 の 仮 定 に 関 連 し,次   定 理8.4.5. 

の こ と を つ け加 え て お こ う.

局 所 整 域RがCohern-Macaulay環

の 準 同 型 像 で あ れ ば,R

は 清 純 で あ る.   証 明.  MがCohen-Macaulay環,pがMの

素 イ デ ア ル.r=htpで

る と す る.pの

で あ る も の を と る.Mの

元x1,…,xrで, 

完 備 化MもCohen-Macaulay環 小 で,高

さ はrで

べ て 極 小 で,高

で あ る か ら,ΣxiMの

あ る.pは さ はrで

ΣxiMの

素 因 子 は す べ て極

極 小 素 因 子 ゆ え,pMの

あ る(定 理5.4.1).ゆ

え にM/pは

素 因子 はす

清 純 で あ る.  

問  1.  (R,m1,…,ms)が

N2〓 … 〓Nt〓 … がMの m(n)を

あ

(証 明 終)

題8.0.

完 備 半 局 所 環,Mが

有 限 生 成R加

部 分加 群 の列 で, 

群, 

な らば,各

の と き,N1〓

自然数nに

対 し適 当な

とれ ば,

  2.  (R,m)が (∩mj)進

局 所 環 で,mが

位 相 を 考 え,そ

単 項 で あ り,他

れ がT0空

方,(R′,m1,…,ms)が

間 で あ る と す る.も

しR≦R′

擬 半 局 所 環 で, な ら ば,RはR′

の

部 分 空 間 で あ る.   3.  Rが

完 備 局 所 環 で あ る と き,Rの

級 数 環R[[X1,…,Xr]]も

上 の 不 定 元X1,…,Xrに

完 備 局 所 環 で あ る.

つ い て の形 式 的 べ き

問   1.  補 題8.1.6に 「RはNoether環   2.  (R,m)が Noether環

題8.1.

お い て,(R,m)が

単 に 擬 局 所 環 でmが

」 は 正 し く な い.こ 完 備T0擬

で あ る.こ

局 所 環 で あ る と き,も

で あ る こ と を 使 う.

  3.  前 問 を 利 用 し て,次

の こ と を示 せ:

Noether環

に よ るa進

擬 半 局 所 環 で, 

で あ る た め の 必 要 充 分 条 件 は,次

  (イ)  Rの

有 限 生 成 の イ デ ア ル は,a進

  (ロ)  ど のmiも   4.  (R,m)が (イ)R/mが

し,mが

論

有 限 生 成 で あ れ ば,Rは

れ を 次 の 二 つ の 方 法 で 証 明 し て み よ.(イ)定

(ロ)grmRがNoether環

 (R,m1,…,ms)が

単 項 と い う の で は,結

れ を 例 示 せ よ.

理8.1.1を

位相 がT0で

使 う.

あ る とき,Rが

の 二 条 件 が 成 立 す る こ と で あ る.

位 相 に よ り 閉 集 合 で あ る.

有 限 生 成 で あ る. 完 備T0擬

局 所 環 で あ る と き,Rの

有 理 数 体 の 代 数 拡 大 体,(ロ)R/mの

係 数 環Iが

唯 一 つ しか な い の は,

標 数 ≠0でR/mが

完 全 体,の

二 つの

場 合 で あ る.

問   1.  定 理8.2.2に

お い て,Kの

題8.2.

有 限 次 代 数 拡 大 体Lを

包 をR′

と す る と き,R′

がR加

§11.3の

例 を 利 用 し て,そ

の よ うな 例 を 求 め よ.

問   1.  RがKrull次

元1の

き,「RがR上

  注 意.  問 題8.2.1で お き か え れ ば,「 も,「

お け る整 閉

題8.3.

半 局 所 整 域 で,そ

有 限 生 成 ⇔Rが

と り,RのLに

群 と し て 有 限 生 成 と い う こ とは 必 ず し も成 立 し な い.

の 商 体Kに

お け る 整 閉 包 がRで

ある と

解 析 的 不 分 岐 」.

見 た よ うに,RをKの

有 限 次 代 数 拡 大 に お け るRの

」 内 の こ と は 正 し く な く な る.他

方,RがKrull次

元

整 閉包 に ≧2の

とき

」 内 の こ と は 正 し く な く な る.

  2.  定 理8.3.4の

最 後 の 部 分 を,補

題8.3.3に

問

デ ア ル の 極 大 鎖 の 長 さ は,必

もつ 場 合 に 一 般 化 せ よ.

題8.4.

  1.  p,q,p′,q′ が 環Rの 素 イ デ ア ル で,  「pとqと を結 ぶ 素 イ デ ア ル の 極 大 鎖 の 長 さ が ,必

  2.  Krull次

お け るFを

で あ る も の と す る.こ ずhtq/p」

⇒ 「p′ とq′

の と き,

とを結 ぶ 素 イ

ずhtq′/p′ 」.

元 が 有 限 な 整 域Rに

つ い て,「Rに

お い て強 素 イ デ ア ル鎖 条 件 が成 立 す

る」⇔

「整 域SがRの

上 に整 で,か つ有 限 生 成 で あれ ば,(ⅰ)Sに

アル鎖 条 件 が成 立 し,(ⅱ)Sの

極 大 イ デ ア ルの 高 さは,必 ずKrull

  3.  Krull次 元 が有 限 な環Rに

が成 立 すれ ば,Rに

お い て,す べ て の 素 イ デ アルpに

お い て弱 素 イ デ アル鎖 条 件 が成 立 す るか.

お いて 弱素 イ デ

dim Sに 等 しい」. 対 して,

第9章  幾何学的局所環

  9.0.  局

所

域

  体 の上 に有 限 生 成 の 環 は代 数 幾 何学 で重 要 で あ るが,そ れ を幾 何 学 的 に扱 う 場 合,そ の よ うな環 の商 環 で あ るよ うな局 所環 が重 要 に な る.(ま た,近 年 にお け る 代 数 幾 何 学 の進 展 は,体

の上 の 場 合 に 限 らな い 場 合 の重 要 性 も 示 してい

る.)こ の章 で は,そ の よ うな局 所 整 域 の解 析 的 不 分 岐 性 と,正 規 局所 環 の場 合 の 完 備化 の正 規 性 とを主 題 とす る.   Noether整

域Iの

ン環 と よぶ.[整

上 に有 限生 成 で あ る よ うな整 域Rを,Iの

上 のアフ ィ

域 に限 らな い方 が よい の か も知 れ ない が,重 要 な結 果 は,整

域 の場 合 の結 果 か ら容 易 に導 かれ るの が普 通 で あ るの で,本 書 では整 域 の場 合 に限定 す る こ とに した.]Rの

商環 で あ る よ うな局所 環RSをIの

と呼 び,ま た,こ の よ うなRの い う.R,RS,Lに

対 し,Iを

商 体 で あ る よ うな体LをIの

Rは,必

ア フ ィ ン環,局 所 域 とよ ばれ る.

次 の 条 件 を充 たす とき,Rは

とい う:「Rの ず,R加

商 体Kの

上 の 函数 体 と

そ れ らの基礎 の環 とい う.ま た,LはRやRS

の 函数 体 と もいわ れ,R,RSはLの   整 域Rが

上 の局 所 域

整 拡 大 に つ い ての 有 限条 件 を充 たす

任 意 の有 限次 代 数 拡 大 体Lに

お け るRの

整閉包

群 と して有 限 生 成 で ある.」

  次 の こ とは明 らか で あ ろ う.   補 題9.0.1. 

整 域Rが

整 拡 大 に つ い て の有 限 条件 を充 たせ ば,Rの

商環

も同 じ条 件 を充 たす.   さ らに,次 の こ と を示 してお こ う.   定 理9.0.2. 

整 域Iが

整 拡 大 につ い て の 有 限条 件 を充 たせ ば,Iの

変数 の 多項 式 環R=I[x1,…,xn]も

同条 件 を充 たす.

上 のn

  証 明.  Iの

商 体 をKと

RがRのLに る.す

し,LがK(x1,…,xn)の

な わ ち,LがK上

る とす る.Kの

分 離 的 な ら よ い.そ

有 限 次 純 非 分 離 拡 大K′

の 元 はK′(X11/q,…,xn1/q)上 閉 包I′

有 限 次 代 数 拡 大 体 で,

お け る整 閉 包 で あ る と す る.定

は 仮 定 に よ りI加

規 環 ゆ え,容

易 にRの

理4.1.5の

証 明 と同 様 に す

こ で,Kの

と,pの

分 離 的 に な る.と

標 数 はp≠0で

適 当 な べ きqを こ ろ が,IのK′

Rings参

  定 理9.0.3.  Iが

正

(証 明 終)

の こ と が知 られ て お り,ま

た,そ

れ は局 所 環 の場 合 の し く は な い.例

え

照.)

AはNoether整

域Iの

上 の ア フ ィ ン環 で あ る も の とす る.

整 拡 大 に 関 す る 有 限 条 件 を充 た し,さ

つ い て,Apの

に お け る整

群 と し て 有 限 生 成 で あ り,I′[x11/q,…,xn1/q]は

結 果 の 重 要 性 を 示 す 一 例 と も 考 え られ る が,証 明 は 省 く.(易 ば 拙 著Local

とれ ば,L

有 限 性 を 知 る. 

  上 記 定 理 に 関 連 し,次

あ

整 閉 包 がAp加

ら に,Aの

任 意 の 素 イ デ ア ルpに

群 と し て 有 限 生 成 で あ れ ば,Aの

整 閉 包 はA

加 群 と し て 有 限 生 成 で あ る.

  9.1.  解 析 的 不 分 岐 性   環Rが

次 の 条 件 を充 た す と き,Rは

  「pがRの

擬 幾 何 学 環 で あ る と い う:

素 イ デ ア ル な らば,R/pは

  次 の こ と は,こ

整 拡 大 に つ い て の 有 限 条 件 を充 た す.」

の 定 義 に よ っ て 明 白 で あ る.

  補 題9.1.1. 

Rが

も っ と一 般 に,R加

擬 幾 何 学 環 で あ る と き,Rの

準 同 型 像 で あ る よ う な 環,

群 と し て 有 限 生 成 で あ る よ う なR多

元 環 は,擬

幾何 学 環

で あ る.   擬 幾 何 学 半 局 所 環 の 解 析 的 不 分 岐 性 の 証 明 の 準 備 と し て,次   補 題9.1.2. 

Rが

半 局 所 環,pがRの

値 環 で あ る も の とす る.も お け るpRの(極   証 明. 

w∈p,〓p2Rpと

wは

しpが

小)素 因 子pに

高 さ1の

素 イ デ ア ル で,Rpが

解 析 的 不 分 岐 で あ れ ば,Rの つ い て,Rpは

す る と,pRp=wRpで

零 因 子 で は な い か ら,Rpは

の二 つ を示 す:

完 備 化Rに

付 値 環 で あ る. あ り,し

た が っ て, 

付 値 環 で あ る(定 理3.3

.4).

  (証 明 終)

付

  補 題9.1.3. 

mが

に つ い て,xRの

素 因 子 が す ベ て 極 小 素 因 子 で あ り,か

な ら ば,R自

半 局 所 環RのJacobson根

当 なx∈m(x≠0)

つ解 析 的不 分 岐 で あ る

身 解 析 的 不 分 岐 で あ る.

  証 明.  Rの

完 備 化 をRと

す る.xRの

の 素 因 子 全 体 をpi1,…,pi,n(i)と あ る か ら,各pijは0の

素 因 子Bijを

どれ に も含 ま れ る.  理5.4.1).ゆ

素 因 子 全 体 をp1,…,prと

す る.補

へ の 自然 準 同 型 の 核 で あ る.し

題9.1.2に

よ り,Rpijは

唯 一 つ 含 み,BijがRか

た が っ て,Bijはpijに

あ る(補 題3.2.5).ゆ

し,piR 付値 環 で らRpijの

中

属 す る準 素 イ デ ア ル の

とお く.pij全 体 はxRの

え にn〓xR.xはRのJacobson根

あ る か ら,n=0で Rは

基 で,適

素 因 子 全 体 で あ る(定

基 に 含 ま れ,n:x=nで え にRに

お い て は 

=0で

解 析 的 不 分 岐 で あ る. 

あ り,

(証 明 終)

  上 の 補 題 を 利 用 し て,   定 理9.1.4. 

擬 幾 何 学 半 局 所 整 域Rは

  証 明.  d=Krull

dim

と る.RはR加 (定 理5.0.5).し

Rに

解 析 的 不 分 岐 で あ る.

つ い て の 帰 納 法 を利 用 す る.Rの

群 と して 有 限 生 成 で あ る か ら,RはRの た が っ て,R=Rの

明 ら か ゆ え,d≧1と

と き に 証 明 す れ ば 充 分 で あ る.d=0な

す る.Jacobson根

基 の0で

と い う仮 定 と帰 納 法 の 仮 定 と に よ り,補 題9.1.3の る.ゆ

え にRは

明 は 本 書 で は 割 愛 す る[拙   定 理9.1.5. 

な い 元xを

Iが

擬 幾 何 学 環 で あ る.し

とれ ば,R=R

(証 明 終)

利 用 す る と,次 の こ と が 証 明 で き る が,そ

著Local

Rings参

擬 幾 何 学 環 で あ れ ば,I多 た が っ て,そ

ら

仮 定 が 充 され る こ とがわ か

解 析 的 不 分 岐. 

  上 記 結 果 お よ び 定 理9.0.3を

整 閉 包Rを 部分空間 になる

の証

照]. 元 環 で 有 限 生 成 で あ る も の は,

の よ う な 環 の 商 環 と し て 得 ら れ る 環 も擬 幾

何 学 環 で あ る.

  9.2.  解 析 的 正 規 性   半 局 所 環Rが

解 析 的 既 約 で あ る と は,Rの

こ の 場 合,Rが

局 所 整 域 で あ る の は 当 然 で あ る.半

完 備 化 が 整 域 で あ る と き に い う. 局 所 環Rが

解析的正規で

あ る とは,Rの

完 備 化 が 正 規 環 で あ る と き に い う.こ

環 で あ る(系5.3.3(ロ)).pが

半 局 所 環Rの

の 場 合,Rは

正 規 局所

素 イ デ ア ル で,R/pが

解 析 的既

約 で あ る と き,pは

解 析 的 既 約 で あ る と い う.こ

の 節 の 主 目標 は,体

幾 何 学Dedekind環

の 上 の 正 規 局 所 域 の 解 析 的 正 規 性 で あ る.そ

ま たは擬

の た め の,い

くつ か の 準 備 か ら始 め よ う.   補 題9.2.1. 

t,uが

あ る も の とす る.ν

環Rの

がRの

元 で,(イ)tは

全 商 環Q(R)の

非 零 因 子,(ロ)tR:u=tRで 元 で,tν,uν

が 共 にRの

元 であ

る な らば,ν ∈R.   証 明.  tuν ∈tR.∴tν

∈tR:u=tR.∴

∃w∈R,tν=tw.tは

非 零 因子 ゆ

え,ν=w. 

(証 明 終)

  補 題9.2.2. 

Rが

あ る とす る.さ

ら に,tRの

る.ν

がRの

正 規 半 局 所 環,RがRの

素 因 子 は す べ て 解 析 的 不 分 岐 で あ る もの と仮 定 す

全 商 環Q(R)の

  証 明.  tRの か ら,Rpiは

元 で,R上

素 因 子 全 体 をp1,…,prと

離 散 付 値 環 で あ る. 

は 半 局 所Dedekind環 成 元xi(∈pi)を

Rpijの

∈Rを

定 め る 付 値wij(た

た,Rか

で な い 整 数 の 組f1,…,frで,次

の生 と る.

理5.3.1(ハ))で

あ る.

な る も の)を

∈R,sα〓pij(α=1,2).)こ

を 生 成 す る こ と に 注 意 せ よ.)ま と す る.負

単 項 で あ る.そ

意 味 す る か ら,補

だ し,wij(xi)=1と

である

る と,Rs(=RtR)

由:x1e1…xrer∈ 題9.2.1を

素 因 子 全 体 をpi1,…,pi,n(i)と

wij(z)=n⇔zxi-n=s1/s2,sα

∈R.

正 規Noether環

い う こ と を 示 せ ば よ い.[理

得 る.]piRの

らば,ν

な る 自 然 数e1,…,erを

え,tR:s=tR(∀s∈S)(定

え,tνs∈x1e1…xrerRはνs∈Rを

っ て,ν

す る.Rが

極 大 イ デ ア ルpiRsは

と る.tRs=x1e1…xrerRsと

あ と,∃s∈S,tνs∈x1e1…xrerRと tRゆ

整 か つ,tν ∈Rな

と お く.す

で あ り,各

tR:s=tR(∀s∈S)ゆ

完 備 化,0≠t∈R,tR≠Rで

使

し,付 と る.(す

値 環 な わ ち,

の 場 合,xiがpijRpij

らRpijの

中 へ の 自然 準 同 型 を

φij

の 条 件 を 充 た す も の を と る: 

この と き,fi≧ei(∀i)を し て,矛

示 せ ば よ い.結

盾 を 示 そ う.tνs=xif1…xrfrzと

論 を 否 定 し,例 な るs∈Sお

え ばf1＜e1で よ びz∈Rを

あ っ た と と る.φij

を,Rの

全 商 環Q(R)か

え る と,ν

がR上

らRpijの

商 体Qijの

整 ゆ え,φijν ∈Rpijで

中 へ の準 同 型 に 拡張 して考

あ り,し

た が っ てwij(φijν)≧0. 

ゆ え,w1j(φ1jz)≧1.こ

を 示 す. 

で

∴tν(ss′)∈x1f1…xrfrx1R.こ

あ

る か

∃s′ ∈S,s′z∈x1R.

れ は 仮 定 に 反 す る. 

  上 記 の 重 要 な 補 題 を利 用 し て,ま   定 理9.2.3. 

ら,z∈x1Rs.∴

局 所 整 域Rが

高 さ1の

(証 明 終)

ず 次 の 定 理 を証 明 し よ う.

解 析 的 正 規 で,体LがRの

次 分 離 代 数 拡 大 で あ る も の とす る.RのLに し,Rの

の こ と は,z∈p1j

商 体Kの

お け る 整 閉 包 をRと

す る.も

素 イ デ ア ル が す べ て 解 析 的 不 分 岐 で あ れ ば,Rの

は 正 規 環 の 直 和 で あ る.す

な わ ち,mがRの

有限

完 備 化R*

極 大 イ デ ア ル な ら ば,Rmは

解

析 的 正 規.   証 明.  L=K(a)と

な る よ う なa(∈R)を

モ ニ ッ ク 多 項 式f(X)を びR*の

考 え,そ

全 商 環Q(R*)に

ば,任

よ りR*=R**.ゆ 意 の 非 零 因 子x∈Rに

し てJacobson根

ゆ え に0は

高 さ0の

き 等 元 がR*上 る.R*が

基mの

す る.Rの

整 閉 包R**と

完 備 化Rお

理3.4.3)で

よ り,b/xはR*上

あ り,補

べ き 零 元bを

整((b/x)n=0と

題 もて

な る 自然 数

ど の べ き に お き代 え て も よ く,

元 に と っ て よ い か ら,b∈mnR*(∀n).∴b=0.

素 イ デ ア ルp*1,…,p*sの

共 通 部 分 で あ り,Q(R*)の

整 で あ る こ と か ら,R*はR*/pi*全

整 閉 で あ る こ と を 更 に 利 用 し て,R*/pi*が

べ

体 の直 和 に な る こ とを知 正 規 環 で あ る こ とを知

る. 

(証 明 終)

  さ ら に,も   定 理9.2.4.  と き,次

よ

を考 え る.RはR加

整 閉 で あ る.R*が

代 り にxの

の既 約

お け る整 閉 包 がR**

え に,dR**〓R[a](定 え にR*は

nが あ る か ら)ゆ え,b∈xR*.xの xと

根 に もつR上

え,R[a]のQ(R*)に

と 一 致 す る(定 理5.2.8).ゆ 9.2.2に

の 判 別 式 をdと

お け るR*の

群 と し て 有 限 生 成(系3.4.4)ゆ

と る.aを

う一 つ 準 備 を し よ う. 正 規 局 所 環(R,m)が

解 析 的 既 約 で,KがRの

の 三 条 件 を 充 た す 局 所 環(R′,m′)はRと

  (イ)  R≦R′〓K,

一 致 す る.

商体である

 (ロ)  R′/mR′

はR/m加

群 と し て 有 限 生 成,

 (ハ)   証 明.  R,R′ 各i=1,2,…

の 完 備 化 をR,R′ に つ い て 成 立 す る.ゆ

あ り,φRはR′

はR加

Krull dimφR.ゆ

R′ はR上

え にRか

の 部 分 空 間 と し て のRの

に よ り,R′

等式 は,φ

とす る.m=m′

∩Rゆ らR′

の 核が0で

dim

へ の 自然 な準 同型 φ が

閉 包 で あ る.(ロ)と

群 と し て 有 限 生 成 で あ り,し え に,Krull

え,mi〓m′i∩Rが

φR=Krull

あ る こ と を 示 す.ゆ

た が っ てKrull

dim

R.Rは

え にRはR′

整 で あ る.a/b(a,b∈R)がR′

定 理8.0.5と

の 元 で あ れ ば,a/bがR上

整 で あ り,Rの

りa/b∈R.∴R′=R.  の 定 理 の,Iが

の 場 合 の 証 明 は 割 愛 す る.例 Iが 体,ま

環 で,RがIの

上 の 局 所 域 で あ る も の とす る.こ

有 限 生 成 のR加

群 で あ り,Rは

規 環 で あ れ ば,Rは

dim

ら ば 明 白 ゆ え,d＞0と

Rings参

照.)

た は 整 拡 大 に つ い て の 有 限 条 件 を み た すDedekind の と き,Rの

解 析 的 不 分 岐 で あ る.も

Rと

お き,dに

し,さ

整 閉 包Rは ら にRが正

仮 定 す る.定

つ い て の 帰 納 法 で 証 明 す る.d=0な 理 の 前 で 述 べ た よ う に,Iは

の と仮 定 す る.定

理4.1.5に

知 る.RはRの

部 分 空 間 で あ る(定 理5.2.9)か

よ り,RがR加

解 析 的 不 分 岐 性 を知 る.し

ら,Rの

た が っ て,最

す る.Rの

代 り にI(x)を

順 次 拡 大 し て 考 え て よ い か ら,R/mはI上 パ ラ メ ー タ ー 系y1,…,ydを

解析 的不 分 岐 性 が

後 の主 張 の 証 明 が出 来

明 が 完 了 す る.そ

極 大 イ デ ア ル をmと

超 越 的 な元 が あ れ ば,Iの

体 であるも

群 と して有 限 生成 で あ る こ とを

完 備 化 が 正 規 環 の 直 和 に な り,証

規 環 で あ る と仮 定 し よ う.Rの

よ い.Rの

著Local

解 析 的 正 規 で あ る.

  証 明.  d=Krull

て,Iを

整 閉性 に よ

体 の 場 合 の 証 明 を し よ う.(Iが え ば,拙

  定 理9.2.5. 

を 法 と し てI上

整 で

(証 明 終)

  以 上 の 準 備 を 基 に し て,次

れ ば,Rの

の

ゆ え に  ゆ え にa/bがR上

わ か れ ば,Rの

R′=

の 部 分 空 間 で あ り,

あ る か ら,∃d1,…,dm∈R, 

Dedekind環

dim

整 域 ゆ え,こ

と る.定

こ で,Rは

正

元xで,m

考 え るこ と に よ っ

代 数 的 で あ る と仮 定 し て 理4.1.1に

よ り,RはI[y]

=I[y1,…,yd]上 とす る.(Rが

代 数 的 で あ る. Rの

商 体Kに

整 閉 ゆ え,TはI[y]のRに

ルm*に

商 体I(y)上

対 し て,n=m*∩Tと

9.2.4に

お き,局

よ り,R*m*=Tnを

解 析 的 正 規 で あ る こ と を 知 る.す

る と,定

え に,こ

え, Tn≦R≦R*m*で

の 場 合,Rは 理4.1.5,あ

y11/q,…, yd1/q)に

任 意 の 極 大 イ デ ア ルn*に ,(1)に

つ い て, R**n*が がR上

て,I(y)加

をTの

た,K加

群 と し て のLの

T′ の 元 か ら選 ぶ.S=I[y]ΣyiI[y]お

よ びRがR**の

元 か ら選 ん で,ま

備 化 を,そ

れ ぞ れS,R, 

R**,  Tと

分 離 的 に な る.

一 次 独 立 基c1,…, 

に,S,  R,R**, 

はTn上

ら, 

がI[y]加

  系9.2.6. 

c1,…,ctはT上

因 子 全 体 をp1,…,psと 等 し い.

一 次 独 立(定

す る と,sはRの

部分空間

理5.3.1(ホ))で

よ り,R=R. 

つ い て,Rの

中

純 非 分 離 的 ゆ え, 

た が っ て,TnはR**の

え に 補 題9.2.2に

前 定 理 に お け るRに

群 と

全 商 環 にお け る整 閉包R

LはK上

を 得 る.ゆ

完

ゆ え に(R**の

有 限 生 成 の 加 群 で あ り,し

で あ り,

ctを

Tn(n=n*∩T)の

す る.S〓R〓R**.T′

含 ま れ る. 

bs

部 分 空 間 に な っ てい

R**が 正 規 で あ るか ら,Rの

はR**に

局所

一 次 独 立 基b1,…, 

し て 有 限 生 成 ゆ え,∃d(∈I[y],≠0),  で) 

と す る.R**=

解 析 的 正 規 でT′n*∩T′ と

群 と し て のKの

の 証 明 に よ っ て わ か る.次

適当なべ

純 非 分 離 ゆ え, R**が

環 で あ る こ と も わ か る.さ

る こ と は,上

と標 数pの

お け る整 閉 包 をT′

よ っ て わ か る.T′

あ り,

る い は 定 理9.0.2の

元 がI′[y1/q]=I′[y11/q,…,yd1/q]上

I′[y1/q]の,L=K(I′, 

理

解 析 的 正 規 で あ る.

適 当 な 有 限 次 純 非 分 離 拡 大I′

を とれ ば,Kの

R[T′]の

理9.2.3と

分 離 的 で は な い 場 合:定

一 致 す る こ とが

任 意 の極 大 イ デ ア

考 え る と,定

示 す.ゆ

証 明 に お け る と 同 様,Iの きqと

所 域Tnを

知 る. m*∩R=mゆ

R*m*=TnはR=Tnを   (2)KがI(y)上

お く.

分 離 的 で あ る と き:R*の

帰 納 法 の 仮 定 と に よ り,Tnが

整 閉 包 をT

お け る 整 閉 包 で あ る.)TはI[y]

加 群 と し て 有 限 生 成 で あ る.R*=R[T]と   (1)KがI[y]の

お け るI[y]の

(証 明 終)

完 備 化Rの

整 閉 包Rの

あ る か

零 イ デ アル の素

極 大 イ デ アル の数 に

  証 明.  RはRの 環Q(R*)はRの

部 分 空 間 で 商 体 を共 有 す る か ら,Rの 全 商 環 と一 致 す る.R*は

の 極 大 イ デ ア ル の 数 は,Q(R*)の

完 備 化R*の

正 規 局 所 環 の 直 和 で あ る か ら,R

直 和 因 子 に な っ て い る体 の 数 に 等 し い.  

問   1.  定 理9.0.3を

Aも

(証 明 終)

題9.0.

利 用 して,次 を示 せ.

  Iは 整 拡大 につ い ての 有 限条 件 を充 た すNoether環 あ り,Aの

全商

任 意 の 素 イ デ ア ルpに つ い て,Apが

で,AはIの

上の ア フ ィ ン環 で

整 拡 大 につ い て の有 限条 件 を充 た せ ば,

整 拡大 につ いて の 有 限条 件 を充 たす.

問   1.  Rが

環R′

題9.1.

の 単位 元 を共 有 す る部 分 環 で,R′

がR加

群 として 有 限生 成 で あ る と

き, Rが   2.  Rが

擬 幾 何 学 環 ⇔R′

が 擬幾 何 学環.

解 析 的 不 分 岐 な半 局 所 整 域 で,整 域R′

成 で あ る も の とす る.R′

の商 体 がRの

がRを

含 み,R加

群 と して有 限 生

商 体 の 上 に分 離 的 で あれ ば,R′

も解 析 的 不 分

岐 で あ る.

問   1.  Rが

題9.2.

擬 幾 何 学 正規 局 所 環 で あ り,Sが

S加 群 とし て有 限生 成 で あ る よ うな環,RはMの あ る.も し,さ らにRの   2.  Rは

商 環 で あ る とき,Rは

商 体 上 分 離 的 で あれ ば,Rは

解 析 的 既 約 な擬 幾 何 学 正規 局所 環 で あ り,R上

当 に とれ ば,Tの る.

商 体 がSの

解析 的 正 規 局 所 環 でS〓M〓R,Mは 解析 的 既 約 で

解 析 的 正規 で あ る.

整 かつ 有 限 生成 な環Tを

完 備化 が正 規 環 の 直和 に な る とい う.こ の と きRは

適

解 析的 正 規 で あ

第10章 

  10.0.不

分 岐 拡 大

  Hensel環

の 定 義 は §8.0に

Hensel環

お い て 与 え た が,そ

の よ う な環 の 一 般 論 と,そ

の 特 殊 例 と し て 収 束 べ き 級 数 環 に つ い て 論 ず る の を,こ の 節 で は,Hensel環

の 理 論 の う ち 最 も重 要 な

の 章 の 目標 に す る.こ

「Hensel化

」 のた め の準 備 を

す る.   Rが

環R*の

p*が,Rの

部 分 環 で,単

素 イ デ ア ルpの

の と き,も

し,(イ)R*/p*の

位 元 を共 有 す る も の と す る.R*の 上 に あ る(す な わ ち,p=p*∩R)も 商 体がR/pの

た,pの

はR*で

上 に あ るR*の

た はp上)不

素 イ デ ア ル が 全 部p上

不 分 岐 で あ る こ と を,R*がR上

  定 理10.0.1.  R〓T〓R*か

擬 局 所 環(R*,m*)が

つR加

る もの とす る.こ

上 不分 岐 で あ る:R係

数 の一 変数Xの

支 配 し,さ

商 環 と し てR*が

ら に,

表 わ され

の よ うなR[u]が

選 べ れ ば,R*はR

多 項式 

に よ り,f(u)=0,

に つ い て,f′(u)〓m*.

不 分 岐 で あ る もの とす る.Tの

だ し,n=m*∩T,し

条 件 をみ た すu(∈T)を あ る:(ⅰ)(u

一 つ と し て,次

導 函 数 

  (ロ)  逆 に,R*がR上 がn=n1,…,ns(た

不 分 岐 で あ る とい う.

の と き,

  (イ)  上 の よ う なTの

か つ,f(X)の

擬 局所 環 で あ る

擬 局 所 環(R,m)を

群 と し て 有 限 生 成 な 環Tの

分 岐 で あ る とい

不 分 岐 で あ る と き,p

不 分 岐 で あ る と い う こ と も あ る.](R*,p*),(R,p)が

と き は,p*がp上

の とす る.こ

商 体 の上 に 分 離 代 数 的 で あ り,(ロ) 

の成 立 す る と き,p*はR上(ま う.[ま

素イデアル

た が っ て,R*=Tn)で

と れ ば,R[u]は(イ)の

modulo n)はR/m上T/nを

極 大 イ デ アル全 体 あ る と き,次 の

条 件 を み た す 一 つ のTで 生 成 す る,(ⅱ)各j=1,2,…,s

に つ い て,(u

modulo

(fj(X)modulo j≧2と

nj)のR/m上

m)=fj(X)で

あ る よ うなR上

に つ い て,f1(u)〓nj. 

数n2,…,nsに

の 最 小 多 項 式 をfj(X)と

な お,こ

す る と き,

の モ ニ ッ ク 多 項 式fj(X)と

の と き,f(X)と

し て は,適

当 な 自然

で あ る もの か

よ り, 

ら選 べ る.   証 明.  (イ):自 の 原 像mを

然 な 準 同 型 

に 関 し,m*∩R[u]

考 え れ ば,R*/mR*は 

の 準 同 型 像 で あ る.(R/m)[X]に 像 を そ れ ぞ れm,f(X),Rと ゆ え,f(X)は(u

おい てTを

mod

お け るm,f(X),Rの す る と, 

m*)を

f′(u)〓m*

単 純 根 と し て も つ か ら,R[X]/f(x)R[X]に

与 え る直和 成 分 は体 に な り, 

(も ち ろ ん,R/m上

が 体 に な る.

分 離 代 数 的.)ゆ え に(イ)が

成 立 す る.

 (ロ):T*=R[u],n*=n∩T*,T**=T*n*と

(∀j≧2)ゆ

自然 な 準 同 型 に よ る

え,Tの

お く.f1(u)∈n,f1(u)〓nj

素 イ デ ア ル でn*の

上 に あ る もの はnだ

に,R*=TnはT**上

整 で あ る.ゆ

た が っ てR*はT**加

群 と し て 有 限 生 成 で あ る.R*がR上

≧T**≧Rゆ

え,R*はT**上

え に,R*はT**上Tで

得 る.し

分 大 き く と れ ば, 

た,n2,…,nsを

に よ り,g(u)∈mR[u].ゆ

つ

充 え

次 に,d=degg(X)

と お き, 

を 考 え る と,g(X)が

ら,R[u]=M+mR[u]を ゆ え に,適

当 なd次

こで,F(X)のdよ あ り, 

項 を 除 き,F(X)がd次 f(X)と

ら に,uに

で あ り,

た が っ て,ま

に, 

a∈mで

不 分 岐 で,R*

ゆ えに 

東 屋 の 補 題 に よ りR*=T**を

え

生 成 さ れ,し

不 分 岐 で あ り,m*=n*R*.さ

い て の 仮 定 に よ り,  Krull‐

け で あ る.ゆ

す る と, 

得 る.再

びKrull‐

東 屋 の 補 題 に よ り,M=R[u].

の モ ニ ッ ク 多 項 式h(X)(∈R[X])に り高 次 の 項aXcが

モ ニ ック で あ る こ とか

よ り,h(u)=0.そ

あ れ ば,F(X)≡g(X)(modm)ゆ を 考 える こ と に よ っ て,順

え 次 そ の よ うな

モ ニ ッ ク の 場 合 に帰 着 さ せ る こ とが 出 来 る.そ

れ を

の性質 は失 わ れ てい ない か ら,容 易

にf′(u)〓m*が

わ か る. 

  上 記 定 理 の(イ)の   系10.0.2. 

応 用 と し て,直

環Rに

則 元 で あ り,uがRを イ デ ア ル もR上   ま た,上

ち に 次 の 結 果 を得 る.

係 数 を も つ モ ニ ッ ク 多 項 式f(X)の 含 む 環 の 元 でf(u)=0で

判 別 式 がRの

あ る と き は,R[u]の

正 どの素

不 分 岐 で あ る.

の 定 理 の(ロ)の

  定 理10.0.3.R*が ら に,R加

(証 明 終)

応 用 と し て,次

整 域,Rが

の 定 理 を 得 る.

正 規 環 で,TがR*の

群 と し て 有 限 生 成 で,R*がTの

る も の と す る.も

し,R*の

部 分 環 で あ り,さ

商 環 で あ る よ う な 環Tが

す べ て の 極 大 イ デ ア ル がR上

存在す

不 分 岐 な ら ば,R*

も 正 規 環 で あ る.   証 明.  R*の

極 大 イ デ ア ル 全 体 の 集 合 をm*と

(問題3.6.2)で

あ る か ら,各R*m*が

っ て,(R*,m*)が

局 所 環 で あ る と仮 定 し て よ い.こ

の 存 在 は 容 易 に わ か り,し

の 定 理(ロ)のu

よ り,R*はR[u]の

え にR*は

(証 明 終)

扱 っ た が,Galois拡

る若 干 の 結 果 の 証 明 を し よ う.そ

の た め の 定 義 か ら始 め よ う.

  一 般 に,Rが

そ のGalois拡

正 規 環 で,R*が

解 群 と い う.ま

素 イ デ ア ルp*に

対 し, 

をp*の

  定 理10.0.4. 

上 に あ る の はp*だ

よ びq′

はR上

不 分 岐 で あ る.

ある 分

惰 性 群 ま た は 慣 性 群 とい い, 

惰 性 環 ま た は 慣 性 環 と い う.す

 (ロ)  Sq/qSq=Rp/pRp  (ハ)  qお

がGで

分 解 環 と い う.さ

上 の 記 号 の 下 で,p=p*∩R,q=p*∩S,q′=p*∩Tと

素 イ デ ア ル でqの

大 に 関連 す

を,p*の

を,p*の

をp*の

 (イ)  R*の

大 で,Galois群

た, 

ら に, 

得,

正 規 環 で あ る. 

大 に つ い て は §2.4で

も の とす る.R*の

整 閉

し て よ い か ら,R*=Tm*∩T〓Tm*∩T〓R*を

商 環 に な る.ゆ

  正 規 環 のGalois拡

たが

た が っ て,m=m*∩Rに

の 場 合,上

たが っ て 定 理3.4.3に

含 む.R[u]=Tと

R*はTの

正 規 で あ る こ と を示 せ ば よ い.し

局 所 環 で あ る と仮 定 し て よ い.し

よ り,(R,m)も

包Tを

す る と, 

け で あ る.

る と, お け ば,

  (ニ)  IはHの

正 規 部 分 群 で あ る.

  (ホ)  体Rp/pRp=Sq/qSq上

で 考 え て,体R*p*/p*R*p*お

Galois群

あ る.

は,い

ず れ もH/Iで

  証 明.  素 イ デ ア ルpに な ど も考 え),pが 上 のGalois群

い.し

よ る商 環 を考 え る こ と に よ り,(し た が っ て,R*(R-p)

唯 一 の 極 大 イ デ ア ル で あ る と仮 定 し て よ い.HはR*のS で あ る か ら,定

ア ル はp*に

限 る.(ロ)の

た が っ て,aを

理2.4.10に

含 む 最 小 のGalois拡

る とq+n=S.ゆ

で あ り,b=0と

な り,(ロ)の

し てpSq=qSqを

る とi≠1な

示 せ ば よ い.そ

元 で,q以

基q∩nの

仮 定 を み た す か ら,c+c′

∈pSq.∴c′

を得 る.よ

っ て,(ハ)のqに

ら略 す る.(ハ)のq′

はp*に

者 に つ い て は,q′

は,IがT上

のR*のGalois群

ぜ な らば,  定 し て よ い.(す

れ を含

同 様 に,Gが有

限群 で

は 属 し な い.cc*∈Rで え にc∈pSq.

を と る と,c+c′

よ び(ホ)に

般 の 場 合 は 容 易 ゆ え,Gが

でR*/p*がT/q′

る と,G=H,I={1}.)S/qに

容易であるか

つ い て は,や

不 分 岐 を い え ば よ く,ま

か ら,こ

は上 のcの え,qSq=pSq

つ い て の 分 が 証 明 さ れ た.(ニ)は

がS上

考慮

任 意 の 元 を考 え,そ

∈pSq.(q∩n)Sq=qSqゆ

有 限 群 の と き 正 しい こ と が わ か れ ば,一 す る.前

あ り,c-b∈

えc*〓q.ゆ

任 意 の 元c′

に つ い て の 分,お

あ

外 の極 大 イ デ ア ル に は属 しない もの

整 で あ る か ら,c*∈S.c*〓p*ゆ

次 に,SのJacobson根

ら ば,p*σi≠p*で

つ い て は,(ロ)を

の た め に は,qの

と同 様 の σiに よ り, 

あ り,c*はR上

らば,a∈q

と お け ば,b∈Rで

こ で 

む 有 限 次 拡 大 の 場 合 に 帰 着 させ る こ と に よ り,(ロ)と

とす れ ば,上

有 限

各 元 の 代 表 元 σ1=1,σ2,

証 明 が で き た.(ハ)のqに

あ る と仮 定 し て よ い.cがqの

を示 せ ば よ

しc∈qな

ら ば,H＼Gの と る.す

え にcσi∈p*.そ

素イデ

大 を考 え る こ と に よ り,Gが

え に,∃c∈n,a-c∈q.も

…,σs(G=∪Hσi,[G:H]=s)を

p*∩S=qと

上 に あ るR*の

外 の 極 大 イ デ ア ル 全 部 の 共 通 部 分 をnと

す れ ば よ い.c〓qな

り,nσi〓p*,ゆ

よ り,qの

た め に は,「a∈S⇒∃b∈R,a-b∈q」

群 で あ る と仮 定 し て よ い.Sの,q以 す る.す

よ びTq′/q′Tq′ の

た,後

は り,Gが 有 限 と仮 定 者 につ い て

上 純 非 分 離 的 で あ る(な

れ ら の 証 明 に は,R=S,R*=Tと 一 つ の 元aを

仮

つ け加 えて 得 られ

るT/q′

の 部 分 体 の う ち極 大 な も のLを

一 次 独 立 基 は1

方,1,a,…,am-1はS上

m=(Gの

位 数)で

[T/q′:S/q].よ

がS/q上

がS/q上

っ て,(ホ)が

がS/q上

分 離 的 なm次

位 数)ゆ

え).ゆ

分 離 的 で,そ

らに,aの

は環S[a]と

の 次 数 がmで

あ る こ とは,f(X)の

え に 定 理10.0.1(イ)に

に つ い て の 分 も証 明 さ れ た. 

  系10.0.5. 

R*が

全 体 がp1*,…,ps*で

よ

(証 明 終)

を得 る.

正 規 環RのGalois拡

で あ る も の とす る.pがRの

えに

最 小 多 項 式f(X)の

え に 

正 則 元 で あ る こ と を示 し て い る.ゆ

  上 の 定 理 の 特 別 な 場 合 と し て,次

大 で,そ

素 イ デ ア ル で,pの

のGalois群Gは

上 に あ るR*の

あ る もの とす る.p*=p1*の

分 解 環 をSと

有 限 素イデアル

し,q=p*∩S

の と き,

  (1)  も し,a∈qか

つa〓pi*(i=2,…,s)な

ら ば,aのR上

に つ い て,cr∈p,cr-1〓pで R[a]の

位 数).ゆ

拡 大 を含 む こ と と,L

分 離 的 で あ る こ と を知 り,し た が つ て,m=

証 明 され た.さ

あ る(m=(Gの

一 致 ず る .T/q′

とお く.こ

仮 定 し た か ら,Hの

一 次 独 立 ゆ え,m≦(Gの

あ る.T/q′

の 極 大 性 と に よ り,T/q′

り,(ハ)のq′

と る.Lの

に 引 き お こ す 自 己 同 型 は 恒 等 写 像 で は な い か ら,m≧(Gの

位 数).他

判 別 式 がSの

代 表 元aを

,a,…,am-1(m=[L:S/q]).I={1}と

各 元(≠1)がT/q′

次 数 はmで

と り,aの

の最 小 多 項 式  あ り,ま

た,Sqは

商 環 で あ る.

 (2)  も し,b∈S,b〓p*,b∈pi*(i=2,…,s)な

式  はR[b]の

ら ば,bのR上

に つ い て,d1〓p,d2,…,dr∈pで

の最 小 多 項 あ り,Sq

商 環 で あ る.

  10.1.  Hensel化  

Hensel環

の 特 徴 づ け を,正

  定 理10.1.1. 

(R,m)が

あ る.   (イ)  RはHensel環.

規 環 の 場 合 に つ い て述 べ る こ とか ら始 め よ う.

正 規 局 所 環 で あ る と き,次

の 四条 件 は互 に同 値 で

 (ロ)  整 域R′

がRの

上 に 整 で あれ ば,R′

 (ハ) 

は 唯 一 の 極 大 イ デ ア ル を もつ.

に お い て,c1〓m,c2,…,cr∈mな

ら

な る 形 の 一 次 因 子 を も つ.

ば, 

 (ニ) 

に お い て,dr∈m,dr-1〓mな

g(x)はx+d′(d′

∈m)な

る 形 の一 次 因 子 を も つ.

  証 明.  (イ)⇒(ハ),(ニ)は

明 白.(ハ)⇒(ロ)お

よ び(ニ)⇒(ロ)を

R′ がRの

上 に整 で 極 大 イ デ ア ルm′1,m′2(m′1≠m′2)が

a〓m′2な

る 元aを

上 あ る.そ

と り,R[a]を

こで,R,R′

小 の 正 規 拡 大 で,R′

ら ば,

含 む も の を考 え て も極 大 イ デ ア ル は 二 つ 以

の 商 体 をK,K′ はRのK′

示 そ う.

あ っ た と し よ う.m′1∋

とす る と き,K′

はK(a)を

含 む最

にお け る整 閉 包 で あ る と し て よ い.非

拡 大 で は 極 大 イ デ ア ル の数 は ふ え な い か ら分 離 的 と し て よ い.Galois群 と し,R′

の 極 大 イ デ ア ル をm′1,…,m′sと

2.4.10).m′1の お く.m"1の

分 解 群Hお 上 に あ るR′

す る と,m′iは

よ び 分 解 環Sを

と り,さ

の 素 イ デ ア ル はm′1以

え に,m"1≠m"i(∀i≠1).ゆ

え にa∈m"2∩… る元bが

f(x),g(x)と

代 表 元 を1=σ1,…,σrと

す る.H＼Gの

ゆ え,aの

共 役 はaσ1,aσ2,…aσr(ま

ん だ も の;し

外 に な い(定 理1〓.0.4).ゆ る 元aと, 最 小 多 項式 を

す る と, 

れ か ら互 に 相 異 な る も の を え ら

か し,あ と か らわ か る よ うに,丁 度 こ れ ら が 共 役 に な る).a∈m"i  j≠1な

らm′1σj≠m′1ゆ

え,∃i,m′iσj=m′1.し

(し た が っ て,  共 役 全 体 に な る).ゆ に 属 す る.ゆ で あ る.ゆ

理

ら にm′i∩S=m"iと

あ る(補 題2.0.5).a,bの

た は,こ

をG

互 に 共 役(定

∩m"s,a〓m"1な

b∈m"1,b〓m"i(∀i≠1)な

分離

え に,aσ1,…,aσrに

え にf(x)は(ハ)のf(x)の

え に,(ハ)⇒(ロ),(ニ)⇒(ロ)が

で あ

た が っ て, 

り,aσ1,…,aσrが

丁 度aの

つ い て二 次 以 上 の 基 本 対 称 式 はm′1 形 を し て い る.gに 証 明 で き た.あ

つ い て も同様 と(ロ)⇒(イ)を

い え ば よ い.R[x]∋f(x),g0(x),h0(x)で, 

で は あ る が,  分 解 し な い もの が あ った と し よ う.fがR上

とは 可 約 で あれば,fの

て(ど ち らか 少 な く も一 方 に つ い て)同 様 の こ とが い え る.し

因 子 につ い

た が っ て,その

よ

う なfでR上

既 約 な も の が あ る.fは

モ ニ ッ ク,Rが

整 閉 ゆ え,R上

約 で あ る こ と は,Rの

商 体K上

R′=R[x]/f(x)R[x]は

整 域 で あ る(f(x)K[x]∩R[x]=f(x)R[x]を

要 が あ る が,そ はR上

れ はfが

で も 既 約 で あ る こ と を 示 す.し

モ ニ ッ ク ゆ え 簡 単 に で き る).fが

既

た が っ て, 示 す必

モ ニ ッ ク ゆ え,R′

整.  (こ こ に,-はmを

の).し

た が っ て,R′

(イ)が

い え る. 

は 二 つ 以 上 の 極 大 イ デ ア ル を もつ.し

  一 般 に,体Kの

考 え,そ

局 所 環 のHensel化

代 数 的 閉 包Kの

な る(定 理1.5.8と,そ

  さ て,Rが

の 中 で のRの

整 閉 包 をR,Rの

と り,S∩p=q,Sq=R*と

化 とい う.R*の

のK*をKの

商 体Kの

局 所 整 域(T,n)で,Tか

らRの

す る.TのHensel化T*を

をRのHensel化

と い う.R*が同

分離代数的閉

分 離 代 数 的 閉 包Kを

極 大 イ デ ア ル の 一 つ をpと お く.pを

極 大 イ デ ア ル はp*=qR*で

体 に

純 非 分 離 的 で あ る.

同 型 の 意 味 で は 一 意 的 に 定 ま る.こ

  一 般 の 擬 局 所 環(R,m)のHensel化

φ の 核 をaと

分 離 的 な 元 全 体K*は

の 直 後 の 記 述 参 照).こ

正 規 擬 局 所 環 で あ る と き,Rの

で あ る か ら,R*は

の 定 義 を し よ う.

中 で,K上

代 数 拡 大 体 は す べ てK*上

pの 分 解 環Sを

た が っ て,(ロ)⇒ (証 明 終)

  上 の 結 果 を利 用 し て,擬

包 とい う.K*の

法 と し て 準 同 型 を とっ た も

と り直 せ ば,pと

す る. 共役

のR*をRのHensel

あ る. の 定 義 は 次 の よ うに す る.ま

ず正規擬

上 へ の 準 同 型 φ の 存 在 す る も の を考 え よ う. と り,R*=T*/aT*を

作 る.R*

型 の 意 味 で 一 意 的 で あ る こ と を含 め,詳

しい 性 質 は 後 で 示 す.   ま ず,Hensel化RがHensel環

で あ る こ と の 証 明 の準 備 と し て 次 の こ と

に 注 意 し て お く.   補 題10.1.2. 

Hensel環

の 準 同 型 像 で あ る よ う な 環 はHensel環

で あ る.

  証 明 は 易 し い の で 省 く.   Hensel化

に つ い て の 重 要 な 性 質 を 示 す 基 礎 的 結 果 は,次

こ とが 出 来 る.

の定 理 に ま とめ る

  定 理10.1.3. 

擬 局 所 環(R,m)のHensel化

  (イ)  R*はHensel環 あ る.ま り,し

で あ り,Rを

た,R*はR加

た が っ てR*はR上

同型

あ る と き,

の 極 大 イ デ ア ル はmR*で た,R*/mR*=R/mで

あ

支 配 す る な ら ば,次

の よ うな

不 分 岐 で あ る. で あ り,Rを

ψ が 唯 一 つ 存 在 す る: ψ はR*か

  (ハ)  Rが

らHの

忠 実 平 坦 性:ま

の 記 号 を用 い る.Rの

R′ を と り,そ

お け る ψ は 中 へ の 同 型 で あ る.

ずRが

商 体Kに,R*の

加 え た 体K′=K(b1,…,bs)を

を と る.す

中 へ の 準 同 型 で あ っ て,ψR*≦H.

正 規 環 で あ る と き は,(ロ)に

  証 明.  (i)R*の

記 号aに

支 配 し,そ

群 と し て 忠 実 平 坦 で あ る.ま

  (ロ)  も し(H,h)がHensel環 R準

がR*で

正 規 環 の と き を 考 え よ う.定

考 え,R′=R∩K′

の 極 大 イ デ ア ルm=p∩R′

る と,系10.0.5に

よ り)の 商 環 で あ る か ら,S*はR上

つ け

を含 む 最 小 のGalois拡

の 分 解 環S′

よ り,s*はR自

大

お よ び 環S*=S′(m∩s′)

由加 群R[a](系10.0.5の 平 坦 で あ る.R≦S*ゆ

実 平 坦 で あ る こ と が わ か る.こ

の こ と が 任 意 のb1,…,bs∈R*に

の だ か ら,R*=∪S*はR上

忠 実 平 坦 で あ る.次

定 義 で の 記 号 に よれ ば,R=T/aで,T*はT上 はR上

義で

任 意 の 有 限 個 の 元b1,…,bsを

え,忠

ついていえる

に 一 般 の 場 合 を考 え よ う. 忠 実 平 坦 で あ る か ら, 

忠 実 平 坦 で あ る.し

た が っ て,R*はRを

支

配 す る(定 理5.3.2).   (ⅱ) R*/mR*=R/mはHensel化

の 定 義 お よ び 定 理10.0.4に

  (ⅲ)  R*がHensel環

で あ る こ と:Rが

正 規 の と き は,R*のKに

る整 閉 包 は 唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ル を も つ(そ れ がRの 理10.0.4(イ)に る こ と を 知 る.一

よ る).ゆ

え に定 理10.1.1に

般 の と き は,T*がHensel環

よ り,R*がHensel環

(1)Vは

正 規 擬 局 所 環 で,T≦V≦T*,(2)σ

で,σ￨TはTか

らRへ

の 自然 準 同型

おけ

商 環 で あ る こ と と,定

よ り,R*がHensel環 で あ る か ら,補

で あ る こ と を 知 る.以

  (ロ) の 証 明:(一 般 の と き の 記 号 で)次

よ る.

上 で(イ)の

φ で あ り,他

題10.1.2に

証 明 が で き た.

の よ う な 組(V,σ)全 はVか

であ

らHの

体 をFと

す る:

中 へ の 準 同型

方 σV≦H.次

に ,B=

{V￨∃(V,σ)∈F,さ

をみ た す}と

ら に,「(V,σ)∈F,(V,τ)∈Fな

とお く.F′

お き, 

≧(V′,σ ′)⇔V≧V′(こ

の と き,F′

易 にF′

り,F′ T*の

作 り方 か ら,V*の

包Vは

が成 立 す る」

の 元 の 順 序 を 「(V,σ)

が 空 集 合 で な い こ と は,(T,φ)∈F′

が 帰 納 的 集 合 で あ る こ と が わ か る.ゆ

に極 大 元(V*,σ*)が

σ=τ

の と り方 に よ り,σ￨v′=σ ′ が 成 立 す る

こ と に 注 意 せ よ)」 に よ っ て 定 め る.F′ よ る.容

らば

あ る.V*≠T*で 商 体Q(V*)の

え にZornの

補題に よ

あ っ た と仮 定 し よ う.す

か ら,σ*(f(X))はhに す る.こ

か らHの

属 し な い もの が あ る.HがHensel環

だ

あ る こ と に 注 意 し て お こ う.そ

分解

こ でf(X)の

一つの

極 大 イ デ ア ル の 元 か ら と り,  中 へ の 準 同 型σ

と が 出 来 る.す ∈F,σ ≠ τ.す を意 味 す る.と のhに

極大イ

属 す る 根 α を も ち,σ*f(X)=(X-α)g*(X)と

こ でg*(0)〓hで

根aをT*の

整閉

よ り,V*

上 既 約 な モ ニ ッ ク 多 項 式f(x)=Xr+c1Xr-1+…+crで,crがV*の 属 し,cr-1はm*に

る と,

分 離 代 数 的 閉 包 に お け るV*の

少 な く と も二 つ の 極 大 イ デ ア ル を もつ か ら,定 理10.1.1に

デ ア ルm*に

に

で,σa=α

で あ る よ う な も の に,σ*を

る と(V,σ)∈F.(V*,σ*)のF′ る と,(V*,τ￨v*)∈Fゆ こ ろ が,aがVの

で の極 大 性 に よ り,∃(V,τ)

え,τ￨v*=σ*で

あ り,σ ≠ τ は τa≠α

極 大 イ デ ア ル の 元 だ か ら,τa∈h.σ*f(X)

属 す る根 は α だ け だ か ら,τa=α

え に,V*=T*で

拡張す るこ

で な くて は な らず,矛

な くて は な ら な い.ゆ

え に(ロ)の

盾 と な る.ゆ

証 明 が,あ

と容 易 に 完 成

す る.   (ハ)の 証 明:R*はR上

代 数 的 な 整 域 ゆ え,R*の0で

とれ ば,b*∩R≠0.ゆ

え に ψ￨Rの

核 は0で

  上 の 定 理 を 使 っ て,Hensel化R*の   系10.1.4. 

な い イ デ ア ルb*を

な くて は な ら な い. 

(証 明 終)

一 意 性 を 示 そ う:

擬 局 所 環RのHensel化R*は,R同

型 の意 味 で一 意 的 で

あ る.   証 明.  R*,R′*が (ロ)に

よ り,二

ψ2R′*≦R*で

と も にRのHensel化

つ のR準

同型

で あ る と 仮 定 す る.上

ψ1:R*→R′*;ψ2:R′*→R*が

あ る よ う に 存 在 す る.す

る と ψ2ψ1はR*か

の定 理 の

ψ1R*≦R′*, らR*の

中 へ のR

準 同 型 で,ψ2ψ1R*≦R*.他 は 明 白 ゆ え,(ロ)に

方,R*上

の 恒 等 写 像iも,iR*≦R*を

お け る ψ の一 意 性 に よ り,ψ2ψ1=i.同

上 の 恒 等 写 像 で あ り,ψ1はR*〓R′*を   系10.1.5.  す る.し

RがHensel環

与 え る. 

(証 明 終) 一致

規 環 の 準 同 型 像 で あ る.

ψ:R*→Rで,ψR*≦Rで

らR*の

様 に,ψ1ψ2がR′*

で あ れ ば,RのHensel化R*はRと

た が っ て,RはHensel正

  証 明.  R準 同 型

みたすの

え,ψ

はR*か

中 へ のR準

に.そ

の よ うな ψ の 一 意 性 に よ り,ψ

あ る も の が あ る.R≦R*ゆ 同 型 で,ψR*≦R*と

考 え られ る.ゆ

は 恒 等 写 像 で あ る.∴R=R*.  

  完 備 化 に つ い て は,擬 と き は,そ

局 所 環RがT0空

が,完

当 よ い 性 質 を も つ こ と が,Hensel化 に つ い て は,こ Hensel環 Rings位

(証 明 終)

間 で あ っ て も,Noether環

の 完 備 化 は 忠 実 平 坦 で あ る とは 限 ら な いが,Hensel化

い つ で も忠 実 平 坦 で あ り,Hensel環

で ない

に つ い て は,

備 局 所 環 ほ ど で は な い に し て も,相

とい う概 念 を有 用 に し て い る.Hensel環

こ に 紹 介 し た こ と よ り も,ず っ と多 く の こ と が 知 られ て い る が,

の一 般 論 は 他 書 に ゆ ず る こ と に し よ う.(成 書 と し て は,拙 し か な い が,そ

だ け 定 理 を,証

え

の 他 に い ろ い ろ な 論 文 が あ る.)そ

し て,こ

著Local こで は一 つ

明 な しで つ け加 え て お こ う.

  定 理10.1.6.  の 多 項 式 で あ り,さ

(R,m)がHensel環

で,f(X)がRに

ら に 次 の(イ),(ロ),(ハ)を

あ る も の とす る:(イ)g0(X)は (ハ)g0(X)mod

係 数 を もつ 一 変 数X

充 た す 多 項 式g0(X)

,h0(X)が

モ ニ ッ ク で あ る,(ロ)  mとh0(X)mod

mと

は 共 通 根 を も た な い(す な わ

ち, 

す る と,f(X)は

う な 因 子 分 解 を も つ.(ⅰ)f(X)=g(X)h(X),(ⅱ)g(X)は

次 のよ

モ ニ ッ ク で あ り, 

(ⅲ)  注 意.  Hensel環 に あ る.し

の 定 義 と の 差 異 は,f(X)が

た が っ て,特

cs,…,cα+1∈m,cα〓m(α

モ ニ ッ ク と い う仮 定 が な い 点

別 な 場 合 と し て,  ＜s)の

と き に は, 

が上 の定 理 の仮 定 を充 た し,f(X)が

可 約 で あ る こ とが わか る.

  10.2.  べ き 級 数 環   この 節 で 述 べ る こ と は,殆 medes付

ん ど そ の ま ま,Archimedes付

値 を も つ 体 の 上 の べ き級 数 環 の 場 合 に拡 張 さ れ る が,そ れ ら付 値 に深

入 りす る の を避 け る た め,複   KはCの Kの

素 数 体Cの

部 分 体 の 上 の べ き級 数 環 に 限 定 す る.

部 分 体 で あ る もの とす る.Kの

上 のs変

元 に は絶 対 値

数 の 形 式 的 べ き級 数 環K[[X1,…,Xs]]の

が 収 束 べ き 級 数 で あ る,ま

た は,収

を と れ ば,￨ci1…is￨r1i1…rsis＜Mが と き に い う.[こ

収 束 べ き 級 数 全 体(K,X1,…,Xsを

つ い て も成 立 す る

値(a1,…,as)を(0,…,0)の 絶 対 収 束 す る,と

ク トル 空 間

ΣXiKの

充

い う条 件 で あ る.]

固 定 し て)は 環 に な る.こ

数 の 収 束 べ き 級 数 環 とい う.K《X1,…,Xs》

れ をKの

上

ま た はK{X1,…,Xs}で

示

正 則 一 次 変 換 は,K《X1,…,Xs》

の 自 己 同 型 を 定 め る こ と に 注 意 し て お こ う(問 題10.2.1参   ま た,次

が 考 え られ る.

当 な 正 の 数r1,…,rs,M

ど の(i1,…,is)(ij≧0)に

数∑ci1…isa1i1…asisが

す の が 普 通 で あ る.ベ

‖

元∑ci1…isX1i1…Xsis

束 す る と は,適

の 条 件 は,(X1,…,Xs)の

分 近 く に とれ ば,級

のr変

値 ま た は 非Archi

照).

の こ とに も注 意 し て お こ う. がK《X1,…,Xs》

  補 題10.2.1.  の 元 で あ っ て,さ

ら に,gj(j=1,…, 

s)が

す べ て

ΣXiK《X1,…,Xs》

の元

で あ れ ば,   証 明.  X1,…,Xsに gsは

絶 対 値 の 充 分 小 さ い 値x1,…,xsを

充 分 小 さ い 値 を と る か ら,f(g1,…,gs)が

  上 の 補 題 は,次   系10.2.2. 

絶 対 収 束 す る. 

g1,…,gs∈

ΣXiK《X1,…,Xs》

はK《X1,…,Xs》

の と き,g1,…,gsを

の 節 で は そ の 証 明 と,そ

変 数 とみ

こ れ もK《g1,…,gs》

の 部 分 環 に な る.

 べ き 級 数 環 に 関 し て は,Weierstrassの る.こ

(証 明 終)

の こ と を示 し て い る:

た 意 味 で の 収 束 べ き級 数 の 形 に表 わ し得 る 元 の全 体― で 表 わ す―

与 え れ ば,g1,…,

準 備 定理 とよ ばれ る有 名 な定 理 が あ

の 応 用 と し て,べ

き級 数 環 がHensel環

である

こ と の 証 明 と を 行 な う.   ま ず.Weierstrassの

準 備 定 理 を,Spathに

よ り,も

と とは 同 値 で は あ る

が,少

し便 利 な形 に さ れ た も の に し た が っ て 述 べ よ う.

  定 理10.2.3. 

K,X1,…,Xsは

上 の 通 り と し,  nが

に つ い て 成 立 し,c0…On≠0が 対 し,適

当 なq∈Rsが

自 然 数 でc0…0i=0がi=0,1,…,n-1

あ る もの と す る.こ

の と き,Rsの

任 意 の 元gに

あ っ て, 

と な る.こ

の よ う なqは(一

つ のgに

対 し)唯 一 つ し か

な い.   も し,f,gが

共 に 収 束 べ き 級 数 で あ れ ば,q,a0,…,amは

すべ て収束 べ き

級 数 で あ る(す な わ ち,   証 明.  明 ら か に  で あ り,Xsの 1,x,…,xn-1を

一 次 独 立 基 に もつK加

Rsは  れ る.ゆ

類 をxで

群 で あ る.ゆ

と し,ま n次

え に 定 理8.0.5に

の 上 の 加 群 と し て1,Xs,…,Xsn-1で え にqの

存 在 が わ か る.(こ

生成 さ

の 方 法 は 各 自演 習 問 題 と し て 試 み よ.)

一 意 性 を 証 明 し よ う.c0…0n=1と

た 

よ り,

れ か ら行 な う一 意 性 の 証 明 を 吟 味 す る こ

とに よ っ て も 存 在 証 明 が 与 え られ る.そ 次 にqの

は

示 せ ば, 

し て よ い. 

と す る.条

件 はg-qfに

以 上 の項 が な い こ と で あ る か ら,X1α1…Xsαsのqfに

はXsに

つい て

お け る 係 数 を計 算 す

る こ とに よ り,  (*)

が,αs≧nな

ら ば,い

つ も成 立 す る,と

い う条 件 を 得 る.qi1…isの

一 意 性 を, 

に つ い て の 帰 納 法 で 証 明 し よ う.w(i1, … ,is)=0な

ら ば,i1=…=is=0で c0…0n=1ゆ

  次 に,w(i1,…,is)＞0と

え,b0

あ る.と …0n=q0…0を

こ ろ で,b0…0nを 得

し よ う. 

考 え れ ば, 

る.

を考 え て,

 (**)

右 辺 に 現 わ れ るqd1…dsは,(イ)i1=d1,…,is-1=ds-1で の と き だ け が 現 わ れ る(c0…0i=0(∀i＜n)ゆ

あ る よ う な 項 はds≦is え)が,ds＜isな

らw(d1,…,ds)

ゆ え,そ 納 法 の 仮 定).(ロ)ij＞djな

るj(＜s)が

れ ら のqd1…dsは

一 意 的 で あ る(帰

あ れ ば,  ゆ え,こ

き のqd1…dsも

一 意 的 に 定 ま っ て い る.ゆ

1で 現 わ れ る こ と か ら,qi1…isも

え に,上

の よ うな と

の 関 係 式 に,qi1…isが

一 意 的 に 定 ま る.以

上 に よ りqの

係数

一 定 性 の証

明 が で き た.   次 に,g,f∈R*sと

が,す

べ て の(i1,…,is)に

を 充 た す よ うに と る.こ w(i1,…,is)に

つ い て 成 立 す る.正

あ り,

の 数N,y*,z*を,

の と き, 

と き を考 え よ う.等

は(di,…,ds)=(i1,…,is)の

(こ の Σ の 項)

また

の 数y,z,Mが

であ る こ と をw=

つ い て の 帰 納 法 で 示 そ う.w=0な

w≧1の

た だ し,Σ

仮 定 し よ う.正

式(**)に

ら ば 

よ り,

と き 以 外 の 可 能 な 項 を 全 部 加 え る.

ゆ え に 

で あ り,証 明 が完 了 した. 

  次 の 系 が,Weierstrassの   系10.2.4. 

(証 明終)

与 え た 形 の もの で あ る:

上 の 定 理 の 記 号 の 下 で,f∈R*sの

式 

と き は 適 当 な モ ニ ッ ク多 項

とR*sの

正 則 元uと

により

fu=f*.   証 明.上

の 定 理 を,g=Xsnの

こ の と き のqをuと

と き に 適 用 す る: 

す れ ば よ い(こ

の と き,q0...0=c0...0n-1に

注 意).  

  上 の 定 理 の 応 用 を,も

う一 つ 示 そ う.

に係数 を もつ二 つ の多項 式 

 系  10.2.5  g(Y)に る.も

ΣXiR*で

あ る もの とす

な ら ば,g(Y)/f(Y)∈R*[Y].

h=g(y)/f(Y)と

R*[Y]に

お く.仮

お い て,g=qf+rな

K《X1,…,Xs,Y》 degY

お い て,c1,…,cn∈

し 

  証 明. 

(証 明 終)

r＜degY

に お い て,定 fゆ

か に 定 理10.2.3のqに

え,こ

定 はh∈K《X1,…,Xs,Y》

る 元q,r(た 理10.2.3を,こ

のqは,定 な る.ゆ

だ し,degY のf

,qに

理10.2.3のqに え にqの

で あ る.

r＜degY

f=n)を

適 用 し て み る と,

な る.他

方 ,hも

明 ら

一 意 性 に よ りh=q.∴r=0.  

  上 の 定 理 お よ び 系 を 使 っ て,K《X1,…,Xs》

と る.

(証 明 終)

の 構 造 に つ い て の,次

の基本 的

定 理 を 証 明 し よ う.   定 理10.2.6.    (イ) 

R*sはHensel正

  (ロ) 

aがR*sの

な 元y1,…,ytを   (i)  で,そ

K,Xi,R*sは

上 の 通 り と す る と き, 則 局 所 環 で,Krull

イ デ ア ル で,Krull と れ ば,部

dim

分 環K《y1,…,yt》

dim

R*s=s.

R*s/a=tな

ら ば,ΣXiKの

適 当

が 次 の 性 質 を も つ.

(す な わ ち,y1,…,ytは れ ら を 変 数 と す る 収 束 べ き 級 数 環 と,K《X1,…,Xs》

解 析 的 独 立 の部 分 環

として

のK《y1,…,yt》

と が 同 型),

  (ⅱ)  a∩K《y1,…,yt》=0で

あ り,し

部 分 環 と 同 一 視 さ れ,そ

た が っ て,K《y1,…,yt》

の 意 味 で,R*s/aはK《y1,…,yt》

はR*s/aの 加 群 と し て有 限 生

成.

  証 明.  Krull

ゆ え,

dim

R*s≧s.ゆ

がNoether環

え に,R*sが

で あ る こ と を示 せ ば よい.(ロ)と(ロ)に

有 限 生 成 で あ る こ と と を,sに a≠0と

お け る(任 意 の)aが

つ い て の 帰 納 法 で 示 そ う.a=0なら

す る.0≠f∈aな

る 元fを

定 理10.2.3に

お け るfの

り,fが

正 則 局 所 環 で あ る こ と を示 す の に は,R*s

と る.適

当 な一 次変 換 を ほ どこす こ とに よ

仮 定 をみ た す も の と仮 定 し て よ い.す

と,R*s/fR*sはK《X1,…,Xｓ-1》

を含 み,そ

で あ り,し

え に イ デ ア ルa/fR*sが

限 生 成 で あ る.(ロ)に

つ い て は,帰

たが っ て

有 限 生 成 で あ り,aも

納 法 の 仮 定 をK《X1,…,Xs-1》

イ デ アル 

る

の 上 に有 限 生 成 の 加 群 に な る.

帰 納 法 の 仮 定 に よ り,K《X1,…,Xs-1》はNoether環 R*s/fR*sはNoether環.ゆ

明 らか ゆ え,

と,そ

有 の

と に 適 用 し て得 ら れ るK《y1,…,yt》

を

とれ ば よ い.  最 後 にR*sがHensel環

で あ る こ と を示 そ う.  と す る.K《X1,…Xs, 

(Xsの

代 り にY)と

に 定 理10.2.3を

で 割 り切 れ る.そ で,R*s[Y]に

適 用 す れ ば,適

こ で,系10.2.5に

お い て 割 り切 れ る こ と を知 る.ゆ

はHensel環

が 標 数0の

え に 定 理10.1.1に

正 規Noether環

が 擬 幾 何 学 環 で あ る こ と も示 し て い る.そ

よ り,R*s

で あ る こ と か ら,R*s

の こ と を利 用 し て,次

の こ とが証 明

書 で は そ の 証 明 は 省 く こ と に す る:

  定 理10.2.7. 

整 域)で

よ り,F(Y)がY-b

(証 明 終)

  上 の 結 果 は,K《y1,…,yt》

pがRの

とF(Y)

当 な 

で あ る. 

さ れ る が,本

Y》

Rが

上 記 のR*s上

素 イ デ ア ル で あ れ ば,pは あ る.

に 整 で,か

つ 有 限 生 成 の 環 で あ る と き,

解 析 的 既 約(す

な わ ち,R/pの

完備化が

問   1.  系10.0.2に   2.  R*が

お い て,Rが

正 則 環 で あ れ ば,R[u]も

正 規 環RのGalois拡

の 素 イ デ ア ル で,そ

題10.0.

大 で,そ

のGalois群

れ ら の 分 解 群 が そ れ ぞ れH,H′

  (イ)  p*とq*と

が 共 役(す

役 で あ る.ま

性 群 に つ い て も 同 様 で あ る.

た,惰

  (ロ)  (ⅰ)p*⊂q* 

な わ ち,∃

正 則 環 で あ る. がGで

あ り,p*,q*がR*

で あ る と き,

σ∈G,P*σ=q*)な

らば,HとH′

とは互 に 共

か つ H⊂H′, 

(ⅱ)  p*⊂q* か つ  H′⊂H,  (ⅲ)  p*⊂q* か つ  H′=H,  (ⅳ)  p*⊂q*  か つ H′〓H,H〓H′ の 四 つ の 場 合 は,い

ず れ も起 こ り得 る.(例

問   1.  Rが 化Rの

題10.1.

局 所 環 が あ る と き,RのHensel化R*も

部 分 空 間 で あ る.[ヒ

  1.  収 束 べ き 級 数 環K《X1,…,Xs》

のK自

の 先 導 項f1,…,fsを

  (ロ)逆 に,g1,…,gsがK《X1,…,Xs》 一 次 独 立 で あ れ ば,K《X1,…,Xs》 の が 存 在 す る.

完備

題10.2. の 自 己 同 型 で,ΣXiKの

こ さ れ な い も の が い ろ い ろ あ る こ と を,次   (イ)  σ がK《X1,…,Xs》

局 所 環 で あ り,R*はRの

ン ト:忠 実 平 坦 性 を 利 用 す る.]

問

て1で,そ

示 せ よ.)

一 次 変換 か らは引 き起

の こ と を 証 明 す る こ と に よ っ て 示 せ.

己 同 型 で あ る と き,X1σ,…,Xsσ

の導 次数 はす べ

とれ ば,ΣfiK=ΣXiK.

のK自

の 導 次 数1の 元 で,そ の 先 導 項f1,…,fsが 己 同 型 τで,Xiτ=gi(i=1,…,s)と なるも

第11章 

  この章 で は,第10章

諸

例

まで に述 べ て来 た事 項 に 関連 の深 い重 要 な例 を,若 干

述 べ る こ と にす る.

  11.0.  極 大 条 件 と 極 小 条 件   環 に お い て,イ る(す

デ ア ル に つ い て の 極 小 条 件 が 成 立 す れ ば,極

な わ ち,Artin環

し な が ら,こ

⇒Noether環)こ

の 場 合,単

と は,定

位 元 の 存 在が 重 要 で あ る.す

大 条 件 も成 立 す

理3.2.4で

示 し た.し

な わ ち,単

位 元 を もた な

い 環 を 考 え る な らば,「 極 小 条 件 ⇒ 極 大 条 件 」 は 成 立 し な い.そ 次 の 例 に 示 す 加 法 群 に,乗 な い)環

の よ う な例 は,

よ っ て(単 位 元 を も た

に す れ ば よ い.

  例.  有 理 数 全 体Qの nは

法 と し て はab=0(∀a,b)に

自 然 数}と

G=H/Zに

な す 加 法 群 の 中 で,整

を考 え る.HはZを

数 全 体Zと,H={m/2n￨m∈Z,

含 む 部 分 加 群 で あ る.こ

の と き,加

群

お い て は 次 の こ と が い え る:

  (イ)  Gの

部 分 加 群Sで,Gと

  (ロ)  Gに

お い て は,部

分 加 群 に つ い て の 極 小 条 件 が 成 立 す る.

  (ハ)  Gに

お い て は,部

分 加 群 に つ い て の 極 大 条 件 は 成 立 し な い.

  証 明.  a∈Hの

え,mZ+2nZ=Z.ゆ

異 な る も の は 有 限 群 で あ る.

と き,aはaの

と を示 そ う.「(m/2n)∈S,m奇

がSの

か

え に,∃

類a+Zを

示 す も の とす る.ま

ず,次

そ れ は,mが

数 ⇒  α ∈Z,mα ≡x(mod2n).す

のこ 奇数 ゆ

る と,α(m/2n)=(x/2n)

元 で あ る こ と が わ か る.

 (イ)の わ し て,そ

証:Sに0以

外 の 元 が あ れ ば,そ

こ に現 わ れ るn全

体 の 集 合Nを

れ を(m/2n)(mは 考 え る.Nが

奇 数)の

形 に表

有 界 で な い な らば,

上 の 「 」 内 の こ と に よ りS=Gと え る.(ロ)は(イ)に と,S1⊂S2⊂

な る か ら,Nは

よ り 明 白 で あ る.(ハ)の

… ⊂Sn⊂Sn+1⊂

  11.1.  Noether環

有 界.ゆ

え に(イ)が

証: 

とお く

…

  (証 明 終)

のKrull次

  半 局 所 環 な らば,Krull次

い

元

元 は 必 ず 有 限 で あ る が,一

イ デ ア ル の 高 さ は 必 ず 有 限 で あ りな が ら,Krull次

般 のNoether環

で は,

元 は 必 ず し も有 限 で は な い.

そ の 簡 単 な 例 を 示 そ う.   例.  体Kの

上 に代 数 的 独 立 な 無 限 個 の 元X1,…,Xn,…

の 列m1,m2,…,mn,…

を,す

べ て のiに

を と る.自

然数

つ い て, 

が成 立 す る よ うに とる.多 項 式 環  で 生 成 され た 素 イ デ ア ルpiを

お い て, 

集 合)と

に

はNoether環

お け ば, 

と り, 

(piの 補

で あ り,Krull

dim

R

=∞.

  証 明. 

ゆ え,Krull

環 で あ る こ と は,次   補 題11.1.1.  Noether環

は 明 ら か.RがNoether

の 補 題 か ら 出 る. 環Rに

お い て,次

の 二 条 件(イ),(ロ)が

成 立 す れ ば,Rは

極 大 イ デ ア ル な ら ば,RmはNoether環.

  (ロ)  0≠f∈Rな   証 明.  Rの

ら ば,fを

含 むRの

任 意 の イ デ ア ルa(≠0)を

む 極 大 イ デ ア ル は 有 限 個 で あ る.そ b0tを 適 当 に とれ ば,(ロ)に け に な る.次

体 がaを

の 補 題 は,次

  系11.1.2. 

考 え る.仮

定(ロ)に

よ り,aを

す る.aの

含

元b01,…,

よ り,こ れ ら を含 む 極 大 イ デ ア ル はm1,…,msだ 生 成 す るaの

元bi1,…,biuiを

生 成 す る. 

(証 明 終)

の こ と も示 し て い る.

擬 半 局 所 環(R,m1,…,ms)に

な らば,RもNoether環

極 大 イ デ ア ル は 有 限 個 し か な い.

れ ら をm1,…,msと

に,各aRmi(i=1,…,s)を

る と,bij全

  な お,こ

R=∞

で あ る.

  (イ)  mがRの

る.す

dim

で あ る.

お い て,各RmiがNoether環

と

 11.2.  素 イ デ ア ル 鎖   素 イ デ ア ル 鎖 条 件の 成 り立 た な い 例 を 示 そ う.そ の 準 備 と し て,次 を 示 そ う.   補 題11.2.1.(R,m1,…,ms)が ら に 各iに

つ い て,R/miはK/mの

S=K+aと 生 成(し

半 局 所 環 で,局

お く.す

たが っ てS上

  証 明.  Sが aがSの

局 所 環 で あ り,RはS加

群 と して有 限

あ る.

ゆえに

環 で あ る こ と は 明 白. 

唯 一 つ の 極 大 イ デ ア ル で あ る.Rの

法 とす る類 が,R/aの

体K/m上

  ま ず,x∈R⇒(x

mod

a)はK/m上

群 と し て 有 限 生 成.そ

整 ⇒ ∃n自 整(a〓Sゆ

し て,等

れ がRの

れ ら のaを

式

然 数,∃c1,…,Cn∈K, 

え).ゆ

え に,S[e1,…,et,x]

ΣSei+a=Rか

を得,Krull-東 を 得 る.こ

元e1,…,etを,そ

の 一 次 独 立 基 で あ る よ う に と る.

はS上

はS加

支 配 し,さ

有 限 次 代 数 拡 大 体 で あ る も の と す る. 

る とSは

整)で

所 環(K,m)を

ら, 

屋 の 補 題 に よ り, 

任 意 の 元xに

つ い て 成 立 す る か ら,R=ΣSei.

あ と証 明 す べ き こ と は,SがNoether環

で あ る こ と で あ る.pがSの

デ ア ル で あ れ ば,系2.4.7に

素 イ デ ア ルp′

よ り,Rの

の が 存 在 す る.p〓a〓Sゆ イ デ ア ル と し て のpの で 生 成 さ れ るSの

ΣSeiの

ル は 有 限 生 成,ゆ

え にCohenの

え にpはRの

上 にあるも

イ デ ア ル.Rの

と し,{aiej￨i=1,…,α;j=1,…,t}

す る.q〓pは

明 ら か.y∈p⇒y=Σaizi

元 ゆ え,y∈q.∴p=q.ゆ

え に,Sの

定 理 に よ りSはNoether環. 

上 の 一 変 数 の形 式 的 べ き 級 数 環K[[X]]を

個 の 元z1,…,zsで,K(X)上

素イデア (証 明 終)

考 え,そ

の 中 のs

代 数 的 独 立 な も の を と る(問 題5.1.3参

照).

に 対 し て, 

各  と お く.T0はK上,Xお T0上

∩a.ゆ

生 成 元 をa1,…,aα

イ デ ア ル をqと

(∃zi∈R).各ziは

  例.  体Kの

え,p=p′

で,pの

素イ

のm変

 ま ず,  U=(T0)XT0はXUを

よ び す べ て のzijで

生 成 さ れ た 環 とす る.次

数 の 多 項 式 環T0[Y1,…,Ym]をTmと で あ る(理

に,

す る. 由:Xzij+1=zij-aijX).ゆ

極 大 イ デ ア ル に も ち,K[[X]]に

え に,

支 配 され る擬 局 所 環

で あ る.ゆ

え に 補 題8.1.6に

よ りUはNoether環

で あ る(ゆ え にUは

付

値 環).

 次 にTmに

は 極 大 イ デ ア ル であ りVm=(Tm)m

おい て. 

はNoether環U[Y1,…,Ym]の 環.ゆ

え にVmは

商 環 と な り,し た が っ てVm自

正 則 局 所 環 で あ りht

  次 に,T0[X-1]を

m=m+1. で あ り,ゆ

考 え る と, 

え に こ れ はNoether環

で あ り,X-1,z1,…,zsで

を も つ.そ

お い て,X-1,z1,…,zs,Y1,…,Ymで

こ で,Tmに

イ デ ア ルnは

身 もNoether

生 成 され た極 大 イ デ ア ル 生 成 され た

極 大 イ デ ア ル で あ り,Wm=(Tm)nはKrull次

元s+m+1の

正

則 局 所 環 に な る.  さ て,Rm=(Tm)m∩nと 11.1.2を

お け ば,(Rm,mRm,nRm)が

利 用).そ

に よ り,Smは RmとSmの

と お け ば,補

こ で, 

局 所 環 で あ り,RmはSm上

正 規 ゆ え,Rmは

た が っ て,RmはSmの

整 閉 包 で あ る.

  以 上 の 準 備 の 上 で,次

の こ と が い え る.

(1)S0に

の 整 閉 包 は 高 さ1の

題11.2.1

有 限 生 成 の加 群.am〓Smゆ

商 体 は 一 致 す る.Vm,Wmが

  定 理11.2.2. 

半 局 所 環 に な る(系

お い て は,弱

極 大 イ デ ア ルmR0と

え,

正 規 環 で あ り,し

素 イ デ ア ル 鎖 条 件 は 成 立 す るが,S0 高 さs+1の

極 大 イ デ ア ルnR0と

を

も つ.   (2)  m≧1の

と き,Smは

  証 明.  (1):S0の mR0の

高 さ が1で

弱 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 を 充 た さ な い.

整 閉 包R0が あ る か ら,nR0以

唯 二 つ の 極 大 イ デ ア ルmR0,nR0を 外 のR0の

ル とが一 対 一 対 応   (2):m≧1と

の こ と は,qの

に は 含 ま れ な い こ と を 示 し て い る.ゆ

がSmの

るRmの

も ち, 素イデア

を す る.

す る.q=XRm∩Smと

り,qWm=nWm.こ

素 イ デ ア ル とW0の

お け ば,明 上 に あ るRmの え にht

q=ht

ら か にq=XRm∩nRmで 素 イ デ ア ル は,決 XRm=1.さ

素 イ デ ア ル の 極 大 鎖 で あ る もの と す る.そ

素 イ デ アル鎖 

を と れ ば,q1′〓nRmゆ

あ し てnRm

て, 

れ らの 上 に あ え,qν

′=

mRmと

な り ν=m+1.ゆ

え に,Smに

ぶ 素 イ デ ア ル の 極 大 鎖 で,長

お い て,0と

さm+1の

極 大 イ デ ア ルamと

を結

も の が あ る.htam=s+m+1ゆ

(2)の 証 明 が で き た. 

え, (証 明 終)

  注 意.  定 理8.4.4.に

よ り,上 記SmはCohen-Macaulay環

の 準 同型 像

と し て は 表 わ せ な い こ と が わ か る.

  11.3.特

殊 な 正 則 局 所 環

  完 備 で な く て,完 が0で

備 化 ま で 代 数 的 で あ る よ う な 正 則 局 所 環 の 例 を 作 る.標

な い 場 合 の 例 は 容 易 に 出 来 る(下 記 例1).標

の 場 合 の 例 だ け を 与 え る(下 記 例3).ま

ず 例1の

数0の

数

場 合 は,離 散 付 値 環

本 質 的 部 分 を 含 む 補 題 か ら始

め よ う.   補 題11.3.1.  のs変

Kが

標 数p≠0の

体 で あ る もの と し,Kお

よ びKpの

上

数 の 形 式 的 べ き 級 数 環R=K[[X1,…,Xs]], 

を 考 え る.S上Kで  (イ)  Rの

生 成 され たRの

部 分 環 をRと

一 つ の 元 

す る.す

る と,

に つ い て,h∈Rで

必 要 充 分 条 件 は,「Kpにhの

係 数Ci1…is全

あ る た めの

部 を つ け 加 え た 体KhがKp上

有 限 次 」.   (ロ)  [K:Kp]=∞   (ハ)  Rは

な ら ばR≠R.

正 則 局 所 環 で あ り,RはRの

  証 明.  (イ)は 容 易.(ロ)は(イ)か Noether環 ルaに

対 し て,必

ずaR∩R=aで

と る.y∈aR∩Rと

Kpに

らす ぐ出 る.(ハ)の

で あ る こ と を 示 せ ば よ い.そ

し,各ziの

式 的 に 

生 成 元b1,…,

き 級 数 と し て の)係 数 全 部 を

す る.す

さ て,体KのL上

(た だ し,w1=1,1∈Λ)と

有 限生 成 のイ デ ア

で あ る こ と が わ か る.]aの

つ け 加 え て 得 られ る体 をLと

合 に表 わ した上 で,形

の た め に は,Rの

し,y,b1,…,btの(べ

ゆ え, 

た め に は,Rが

あ る こ と を示 せ ば よ い.[RがNoether環

で あ る こ とか ら,RもNoether環 btを

完 備 化 で あ る.

る と[L:Kp]＜

∞.y∈aR∩R

の 一 次 独 立 基 を,  係 数 をBの

元 のL係

数 の一 次 結 と表 わ す.

と

ゆ え, 

こ ろ が[L:Kp]＜

∞  ゆ え, 

ゆ え にy∈a.    例1. 

(証 明 終)

上 で[K:Kp]=∞

の とき(例

の 代 数 的 独 立 な 元x1,…,xn,… れ ば 充 分 で あ る),Rは

え ば,標

数pの

体kの

上 に無 限 個

で 生 成 さ れ た 体k(x1,…,xn,…)をKと

完 備 で な い 正 則 局 所 環 で,そ

す

の 完 備 化RはR上

整で

あ る.   証 明. RがR上

整 で あ る こ と は,「y∈R⇒yp∈R」

に よ り明 白.   (証 明 終)

  上 の 例 を 利 用 し て,標 た と き,VとVの

数p≠0の

離 散 付 値 環Vで,そ

商 体Q(V),Q(V)に

の 完 備 化Vを

つ い て,[Q(V):Q(V)]=pで

考 え ある

よ う な 例 を 作 ろ う.   例2.  zを

例1で,s=1の

と り,Rの

ち極 大 な も のMを れ ば,こ

のVが

含 み,zを

と る(Mの

す る.z∈V,z〓Rな

含 ま な い よ う なQ(V)の

存 在 はZornの

し た か ら,R,Vは

補 題 に よ る).V=M∩Vと

離 散 付 値 環 で あ る.し

付 値 環 で あ る.R≦V≦Vで,Rの

完 備 化 がVゆ

  上 記 の 二 例 は,標

  例3.  り,そ

数 が0で

な い 場 合 の特 異 な 現 象 とい え る が,標

標 数0の

体Kの

とき

∈Λ}を

と る.

上 の 一 変 数 の 形 式 的 べ き級 数 環V=K[[X]]を 超 越 基B={bλ￨λ

つ け 加 え て 得 られ る 体K(X,B)がK((X))と し等 し け れ ば,bλ

離 散 付 値 環 で あ り,Vの あ る.

完 備 化 はVで

と り,V=V∩Lと あ る.こ

と

等 し くは な い

を適 当 に と り直 せ ば よ い か ら).そ

で あ る よ う な 体Lを

化 もVで

数0の

あ る 程 度 似 た 例 を 示 そ う.

と仮 定 し て よ い(も

Vは

体 稠密

(証 明 終)

の 商 体Q(V)=K((X))の,K(X)上の

K(X)にBを

す

た が っ て,Vは え,VもVの

な 部 分 空 間 に な る. 

の,例2に

る元 部分体 の う

求 め る 例 で あ る.

  証 明.  s=1と Mの

と き を 考 え る.V=Rと

商 体Q(R)を

お く.す

の 場 合,VのHensel

し て,  ると

  証 明.前

半 は,例2と

≦V.V*の

商 体 をL*と

とお く.標

数0で

同 様 で あ る.VのHensel化V*を す る.K((X))の

あ る か ら,yはL*上

ゆ え,V0はV*のL*(y)に

任 意 の 元yを

と り, 

分 離 代 数 的.他

お け る 整 閉 包 で あ る.ゆ

と し て 有 限 生 成.ゆ V0の

と る.V≦V*

え にV0の

完 備 化 はV.ゆ

完 備 化 はV0 v*V.他

え にV0=V*.こ

れ はy∈L*を

方,V*がHensel環 え に,V0はV*加

群

方,V*≦V0≦Vゆ

え,

示 す.∴L*=K((X)),

V*=V. 

(証 明 終)

  11.4.  Noether整   局 所 整 域Rの

域 の 整 閉 包

整 閉 包Rを

は い ろ い ろ あ る.そ そ う.他

と っ た と き,Rが

の よ う な も の の う ち,前

方,Noether整

域Rの

の ど ん な 素 イ デ ア ルpに

あ ま りよ くない 性質 を もつ例

節 の 例1を

整 閉 包Rで,R上

応 用 した もの を三 つ 示 有 限 生 成 で は な い が,R

つ い て も,RR-pがRp上

有 限 生 成 で あ る よ うな例

も示 そ う.   例1. 

前 節 例1で,s=1の

く.SはKrull次

元1の

と き を考 え る.R〓y∈Rと 局 所 整 域 で あ っ て,Sの

し,S=R[y]と

整 閉 包SはS加

お

群 とし て

有 限 生 成 で は な い.*)   証 明.  SはR加 る.yp=z∈Rゆ

群 と し て 有 限 生 成 ゆ え,Sの

群 と し て 有 限 生 成 で は な い(問

  例2.前 独 立 元b1,b2,…

と 

節 例1でs=2の

外 に べ き 零 元 を も ち,し 題8.3.1参

た が っ て,Sは

照). 

と き を 考 え る.x=X1,y=X2と

(証 明 終) す る.Kのp と お け ば,T=R[z]

を と り, 

と に つ い て,TはKrull次

あ り,T"はTの

あ

ゆ え に 

え, 

ゆ え にSは0以 S加

完 備 化SはS RRで

整 閉 包Tと,Tと

元2の

の 中 間 環 で あ っ て,Noether環

局 所 整域 で では な

い.

 *) 標 数0の

環 で 同様 の 性 質 を もつ もの は

,秋 月[2](日 本 数 物 会 誌17(1935))に っ て,初 め て与 え られ た.そ の例 は む つ か しい の で,こ こ で は紹 介 しな い.

よ

  証 明.zp∈Rゆ

え,TがKrull次

元2の

ま た,R〓T〓T"〓R,Rp〓Rゆ

え,T"がT上

の 定 義 に よ り,TとT"と z/y〓T"ゆ

局 所 整 域 で あ る こ と は 明 ら か. 整 で あ る こ と も 明 ら か.zn

の 商 体 は 同 一 で あ る.∴T"〓T.ま

え,T"は

正 規 で は な い.さ

を示 そ う. 

(mは

え,fはz1,…,zn(∃n)のR係

た,z/y∈T,

て,T"がNoether環

自然 数)の

ではないこと

任 意 の 元fを

と る.f∈T"ゆ

数 の 多 項 式 で 表 わ し得 る.zi=biy+zi+1xゆ

え,fはxmzn+mの

整 式 で 表 わ し得 る:  ゆ え に, 

ゆ え, 

を 得 る.こ で あ る こ と を示 し て い る.し は 正 則 で あ り,し

お く.ま

お い て,s=3の 無 限 個 のp独

を と り, 

た 計 算 を 簡 単 に す る た め,p=2と 元3の

元3の

局 所 整 域 で あ り,そ

仮 定 す る.

の 整 閉 包Tは

局 所 整 域 で あ る こ と は 明 ら か で あ る.Tが

で あ り,し

閉 で あ る か ら,  こ で 付 値 環V=RxR,W=TxTを VはWの

た が っ てxTは

考 え る.wはVの

稠 密 な 部 分 空 間 で あ る.ゆ

上 整 で,R/xRが

生 成 さ れ る.ゆ

え に,も

正則 局 所 環 で あ る.す る とT/zTも

共 通 因 子 を も た な い)に

仮 定 に 注 意).す Σbixiと

は 

素 イ デ ア ル で あ る.そ 完 備 化 の 元 で あ る か ら,

得 る.ゆ

え にTの

しTがNoether環

正則.こ

の 形 の元 を含 む こ と を 意 味 す る.そ a0,a1,e1は

整

え に,V/xV=W/xW.T/xTがR/xR

正 規 で あ る か ら,T/xT=R/xRを

デ ア ル はx,y,zで

1と

(証 明 終)

で は な い.

  証 明.  TがKrull次

(p=2の

正規 ではな

と き を 考 え る.x=X1,y=X2,z=X3と

こ の と き,T=R[w]はKrull次

Tは

で 見 た よ うにT"は

立 な 元b1,c1,b2,c2,…,bn,cn,…

とお く.ま

Noether環

で あ れ ば,T"

で は あ り得 な い. 

節 例1に た,Kの

部分空間

しT"がNoether環

た が って 正 規 で あ る が,上

い か ら,T"はNoether環   例3.前

た が っ て,も

の こ と はT"がRの

極大 イ で あ れ ば,

の こ とはTが 

こ で 適 当 なa0,a1,e1∈R(0≠e1;

と書 け る

よ り, 

る と,  上 一 次 独 立 ゆ え,a0∈zR,か

つ,

と書 け る.す

そ こ で,a0=za0′, 

る と, 

ゆ え に  a1,a0′,e,fを,K[[x,y]]係

数 の,zに

べ き級 数 で表 わ す:  が 全 部yK[[x,y]]に

そ し て,e′r, 

属 す る こ と を,rに

上 の等式 に お け るzの

れ で,r=0の

つ い て の 帰 納 法 で 示 そ う.ま

一 次 独 立 ゆ え,e0′,a00,a10∈yK[[x,y]]

と き が す ん だ.zr+1の

と 同 様 に し て,er′,a0r,a1rがyK[[x,y]]に

こ れ はe1,a0,a1が

係 数 を 比 べ て, 

Rの

例2と

∈yK[[x,y]]ゆ

属 す る.か

(証 明 終)

を 考 え る.Kの

素 元 の 列p1,p2,…,pn,…(i≠j⇒piR≠pjR)を

で は な い が,Tの

く し て,e1,a0′, 

で は な い. 

同 じK,x,y,R,b1,…,bn,…

と お き,T=R[x-1,w]と

え,前

共 通 因 子 を も つ こ と に な り,矛 盾 で あ る.ゆ

正 則 で は な く,TはNoether環

  例4. 

ず, 1,

e0′,…,er-1′

え にTは

a0r,a1r

係 数 を比 べ て, 

Σbixi,ΣcixiがKp[[x]][K]上

を 得 る.こ

つい て の

標 数 はp≠0.

と り, 

す れ ば,Tの

整 閉 包TはT加

任 意 の 素 イ デ ア ルpに

群 と し て有 限 生 成

つ い て,T(T-p)はTp加

群 と して 有

限 生 成.   証 明.3 

ゆ え,wn∈T.

と お け ば, 

は正 則 局所 環 で あ る(wnの

他 方,  Kp(b1,…,bn-1)ゆ

え)か

ら,R[w,w1,w2,…]が

T[w1,w2,…].pがTの

極 大 イ デ ア ル で あ れ ば,p∩RがRの た が っ て,htp=1.も

な ら ば,Tp∋wn(∀n)と

正 規 で あ る.pn∈p(∃n)な

な り,Tpは

あ り, 

れ はTp加

し,pn〓p(∀n)

ゆえ に 

群 と して有 限 生成.TがT加

え にT= 極 大 イ デ ア

ル で な い こ と か ら,ht(p∩R)=1.し

=pnRで

先導 項bn〓

正 規 環 と な る.ゆ

ら ば,p∩R で,こ

群 として有 限 生成 で ない こ とは,次

の 補題 に よ る.   補 題   11.4.1  Noether整 らば,Tpが

域Tの

正 規 で ない よ うなTの

整 閉 包TがT加

群 として有 限生成 な

高 さ1の 素 イ デ ア ルp全

部 の集 合Bは

有 限集 合 で ある. は0で

  証 明.  る.ゆ

え にBは

は な い.そ

し て,p∈Bな

ら ばc〓pで

有 限 集 合. 

あ

(証 明 終)

  11.5.  正 規 局 所 環 の 完 備 化   正 規 局 所 環 で あ っ て,そ (ロ)0以

の 完 備 化 が(イ)0以

外 の ベ き 零 元 を も た な い が,整

  例1. 

§11.3の

例1に

域 で は な い 例 を示 そ う.

お け るK,Rに

x=X1,y=X2と

お く.Kのp独

Tの

お い て は,q= 

お い て,p=2,s=2の

  証 明.z〓R,zp=w∈Rで

考 え れ ば,Tは は0で

正 規 局 所 環 で あ り,

ゆ え に 

あ る か ら, 

あ る こ と を知 る.そ

こ で,Tが

お く.Uの

え た体LはK2の

h4の

表 現 式 をuN,νNに

仮 定 し て よ い.す

係 数 をK2に

つ け加

よ る もの に 書 き あ らた め

る と,fは  こ ろ が,ま

ず, 

で あ り,ま bN,cNはK2(b1,c1,…,bN-1,cN-1)の

上 にp独

え に,f∈VN〓U.ゆ

包TはU=Uに

含 ま れ る.ゆ

と こ ろ が,T上1,u1,u1ν1は で あ る な ら ば,定 (ロ)xNyNの

任 意 の

有 限 次 拡 大 ゆ え,∃N,

仮 定 し て よ い.fの

の 整 閉 包 の 元 で あ る.と

あ る.ゆ

整 閉 包Uの

と れ ば,∃h0,h1,h2,h3,h4∈R,∃m,  ゆ え).h0,…, 

て,N=mと

な い素 イ デ アル で

正 規 で あ る こ と を 示 せ ば よ い. 

U=R[u1,ν1…,un,νn,…]と

N≧mと

を 考 え, 

な い 素 イ デ ア ル で あ る.

ゆ え,qが0で

元fを

と き を 考 え,

立 元b1,c1,b2,c2,…,bn,cn,…

と お き,環T=R[z]を 完 備 化Tに

外 の べ き 零 元 を もつ 例 お よ び

たuN,νNの

立 ゆ え,VNは

え にU=U.さ

てz=u1+ν1ゆ

え,Tの

え に,f∈Tな

ら ば,∃N,xNyNf∈R[u1,ν1].

一 次 独 立 ゆ え,xNyNf=g0+g1z∈T.も

理3.4.11に

極 小 素 因 子pで,Tpが

よ り,(イ)xNyNが

先導項

正 則局 所 環 で 整 閉

しf〓T

極 小 で な い 素 因 子 を も つ か,

付 値 環 で な い も の か 存 在 す る.と

こ ろ が,

xT,yTが

と も に 素 イ デ ア ル で あ る か ら,(イ),(ロ)と

も に 不 可 能.ゆ

は 正 規 環 で あ る.    例2. 

(証 明 終)

標 数 が2で

な い 体Kの

で,K(x)上

元 

え にT

上 の 一 変 数 の 形 式 的 べ き 級 数 環K[[x]]の

超 越 的 な も の を と る.さ

らに 変 数yを

考 え,z1=

R=K[x,y,z1,z2,…,zn,…]m,た

z=(y+w)2, 

だ し,mはx,y,z1,z2,…,zn,…

で 生 成 さ れ た イ デ ア ル,と

一 変 数 の 多 項 式 環R[X]を 正 規 局 所 環 で あ っ て,Tの ア ルp1,p2の

お く.R上

考 え ,T=R[X]/(X2-z)R[X]を 完 備 化Tの

の

と る と,Tは

零 イ デ ア ル は,二

つ の 高 さ0の

素イデ

共 通 部 分 で あ る.

  証 明. z1,z2,…

の 定 義 に よ り,R≦K[[x,y]]は

明 白 で あ る.他

方,zi

の 定 義 に よ り,∃fi(x,y)∈K[x,y],xzi+1=zi+fi(x,y),fi(0,0)=0.ゆ zi∈xR+yR.∴mR=xR+yR.ま 使 う こ と に よ り,「

∀h∈R,∀n(自

を 知 る.ゆ 併 せ 考 え,Rの

た,上

記zi+1とziと

とを

え に, 

完 備 化RはK[[x,y]]と

一 致 す る こ と を 知 る.pがRの た はmR,は

仮 定 し よ う.R[x-1]はK[x,y,z,x-1]の

はNoether整

域 で あ り,か

元 で あ る か ら,p=pRを

存 在 す る.p〓xRと

得 る.次

はK[x,y,z]の

にhtp＞1と

る.こ

ら ばf(x)〓q.ゆ

商 環 ゆ え,K上

定 理 に よ りRはNoether環

ら ば, 

し て よ い.xがRの

素

仮 定 し よ う. 

え にxはK上

の 局 所 域 で あ り,し

類 をx,y,z 超 越 的.R/qは

たが っ て,完

考 え る と,z=(y+Σaixi)2で

超 越 的 で あ る か ら,y,zの

れ はtrans.degKR/q=1に

え に,htp=1な

お け るx,y,zの

の 部 分 環 に な る.と こ ろ が,R/qRで がK(x)上

に

素 イ デ ア ル で あ る が, 

ゆ え,htq=2.∴trans.degKR/q=1.R/qに とす る.0≠f(x)∈K[x]な

明 ら か.次

商 環 で あ る か ら,R[x-1]

つ 素 元 分 解 環 で あ る.ゆ

な るp∈pが

K[x,y,z,x-1]の

の 関 係 式 を 繰 り返 し

然 数), 

素 イ デ ア ル で あ る も の とす る.x∈p⇒p=xRま x〓pと

えに

少 な く と も一 方 はK(x)上

反 す る.ゆ で あ り,し

え にhtp=1.ゆ

たが っ て,正

備 化R/qR あ り,∑aixi 超越的にな

え にCohenの

則 局 所 環 で あ る.さ

ら

に,zはR[x-1]に はRに

お い て 素 元 で あ り,Rに

お い て も素 元 で あ る.さ

R[X]/(X2-z)R[X],zがRの

て,Tに

お い てzはxで

割 れ な い か ら,z

つ い て 考 え よ う.Kの

標 数 ≠2,T=

素 元,の

三 つ の こ と か ら,Tは

に つ い て は,

る こ と を 知 る.  K[[x,y]]に

正規環であ

お い て,z=(y+w)2で

あ る か ら,X2-zは(X-y-w)(X+y+w)

に分 解 す る. 

(証 明 終)

  11.6.  局 所 整 域 の 完 備 化   局所 整 域 の完備 化 で,0が

極 小 で な い 素 因子 を もつ 例 を作 る.そ

のた め に,

若 干 の準 備 をす る.   Rが 環,MがR加 とき,DはRか

群 で あ る とき,写 像D:R→Mが らMへ

次 の条 件 を充 た す

の微 分 作用 素 で あ る とい う:

  こ の と き,AがRの

部 分 環 でDA=0で

あ る と き,DはAの

作 用 素 で あ る と い う.(D1=D(1.1)=D1+D1ゆ

え,D1=0で

せ よ.し

す れ ば,す

はBの

た が っ て,1で

生 成 し た部 分 環 をBと

上 の 微 分 作 用 素 で あ る.)aが

(R,m)が

を 示 せ. 擬 局 所 環,MがR加

微 分 作 用 素 で あ る とき,NがMの 環 で あ り,そ

べ ての微 分 作 用 素

あ る.

正 則 元 の と き, 

  補 題11.6.1. 

あ る こ とに注意

正 則 元 で あ る と き, 

ゆ え,Da-1=-a-2Daで

 問.aが

上 の微 分

群,DがRか

らMへ

部 分 加 群 で あ れ ば,B=D-1(N)は

の

擬 局所

の 極 大 イ デ ア ル はm∩B.

 証 明. 

ゆ え,B

は 環 で あ る(D1=0∈Nに ら か で あ る.次

に,a∈B,a〓mと

ゆ え にm∩BがBの   補 題11.6.2. 

注 意).m∩Bの

元 がBの

非正 則 元 で あ る こ とは 明

す る と, 

ゆ え,a-1∈B.

唯 一 の 極 大 イ デ ア ル で あ る.  Rが

の 微 分 作 用 素,a∈Rと

環,Sが

部 分 環,MがR加

す る.次

の(イ),(ロ),(ハ)の

(証 明 終) 群,DがSか

らMへ

い ず れ か が 成 立 す れ ば,

Dを,S[a]か

らMへ

の 微 分 作 用 素 に 拡 張 す る こ と が 出 来 る.

  (イ)  aはS上

超 越 的.

  (ロ)  aはSの

全 商 環K=Q(S)の

か つb-1∈R.こ

の 場 合,拡

  (ハ)  K=Q(S)が

元 で,∃b∈S,ab∈S,bは

非 零 因 子,

張 は 一 意 的.

体 で,aがK上

分 離 代 数 的 な体 の 元 でK(a)〓R.こ

の

場 合 も拡 張 は 一 意 的.   証 明.  (イ)の

場 合:u∈Mを

に よ っ て定 め れ ば,こ  (ロ)の

任 意 に 定 め,写

像D′:S[a]→Mを,

れ が 微 分 作 用 素 で,D′￨s=D.

場 合: 

と お き,(イ)の

D′:S[a]→Mを

定 め れ ば よ い.ま

に 要 請 さ れ る の で,拡   (ハ)の 場 合:(ロ)を

た,c=abで

場 合 と 同様 の式 で

あ る か ら,Da=uは

必然的

張 は一 意 的 で あ る. 利 用 し,DをKか

こ とが 出 来 る か ら,S=Kと

らMへ

し て よ い.aの

の微 分 作 用 素 に 拡 張 す る

最 小 多 項 式 

を と れ ば,  とお く.D′ あ れ ば, 

がDの

でな

と な り, 

く て は な ら な い.そ

こで,写

像D′:S[a]→Mを,次

拡張で

の よ うに 定 義 す る.

た だ し,   す る とD′

が 微 分 作 用 素 で あ る こ とは 容 易 に わ か り,し

た が っ て,Dの

張 が 唯 一 つ 存 在 す る こ とが わ か る.    さ て,求   Kは

め る例 の 構 成 の た め の,記

体,n,α

(Rの

はTVの

号 の 準 備 を し よ う.

は 自然 数,α ≧2.

(n+1変

B,B′

(証 明 終)

数 形 式 的 べ き級 数 環).

極 大 イ デ ア ル).

部 分 集 合 で,B∩B′=空

集 合,B∪B′

はVのK[T]上

拡

の 超 越 基,か

つB,B′

い ず れ も無 限 個 の 元 を も つ も の と す る.

V=L∩V,LはK(T)上Bで

生 成 さ れ た 体.

zij(i=1,…,n;j=1,…,α)はB′

の 互 い に 異 な る 元. pi∩A=0で

pi(i=1,…,α)は 

はSiの pi∩A=0ゆ

 

た す.(Dの   例.以

単 位 元,QiはSiの

え,A⊂Siと

D:R→MはR0上

あ る.

商 体.

考 え ら れ,Si(T-1)=Qi.

をみ

の 微 分 作 用 素 で, 

存 在 証 明 は あ と で す る.)

が 求 め る例 を与 え る.

上 の 記 号 の 下 で, 

(証 明 は あ とで す る.)

  Dの

存 在 証 明:Bか

る.V0上Bで

の上 へ の写 像 δ が存 在 す

生 成 され た 環V0[B]か

に つ い て,D0b=δbを 題11.6.2(ロ)に XnはL上

ら 

の 微 分 作 用 素D0で,∀b∈B

充 た す も の が あ る(補 題  11.6.2(イ)参

よ り,D0は

微 分 作 用 素D1:L→Mに

代 数 的 独 立 ゆ え,D1は

D2Xi=0(∀i)で

らMへ

照).そ

こで,補

拡 張 され る.X1,…,

微 分 作 用 素D2:L[X1,…,Xn]→Mに,

あ る よ う に 拡 張 で き る.ゆ

え にDの

存 在 を知 る.   (証 明 終)

補 題11.6.3.x∈R,sが

自 然 数 な ら ば,

  証 明 は 構 成 に よ り 明 らか.   さ て,E=D-1(F)に   定 理11.6.4. 

つ い て の 基 本 的 定 理 を 証 明 し よ う. (イ)Eは

  (ロ)  Eの

整 閉 包 はRで

  (ハ)  Eの

完 備 化Eの

E/nは

局 所 環 で,Krull

dim

E=n+1.

あ る. 根 基n(= 

自然 な 同 型 に よ りRと

同 型.

)は

素 イ デ ア ル で あ り,n2=0,ま

た

 (ニ)  nは

α 個 の 元 で 生 成 さ れ,そ

は(nθi=0ゆ

え)R加

てもnは

群 で あ り,piθi=0.そ

生 成 し得 な い(す

  証 明.  x∈E1な

の 生 成 元 θ1,…,θα を 適 当 に とれ ば,Eθi

な わ ち,θ1,…,θα

ら ばx∈Rゆ

し準 備 を す る.Eの

あ る.他

た が っ てR=∪EnはE上

整.同

様 に,

整 で あ る.EとR

よ り明 白.残

極 大 イ デ ア ルm∩EをmEで

を,Dwi=eiで

方,

題11.6.3).す

ゆ え にE1はE上

整 が わ か り,し

と が 商 体 を 共 有 す る こ と は,TnEn〓Eに

… ,wα

極 小 生 成 系).

え,∃y∈R0,∃x1∈R,x-y=Tx1(補

あ り, 

En+1はEn上

はnの

か ら どれ を省 い

とお け ば,R=∪Enで

(ロ): 

る とx1∈E2で

し て,θ1,…,θα

りの 証 明 の た め に,少

示 そ う.mE∩TRの

あ る よ う に と る(存 在 は 補 題11.6.3に

元w1,

よ り容 易).こ

の とき で あ り,mE/m0EはK加

  補 題  11.6.5.  …

,wα

の 類w1,…,wα

を 一 次 独 立 基 に も つ.

  証 明. 

x-y∈TR.  さ ら に,Dxは

∈TR.そ

ゆ え に 

Σciei,ci∈Rと

こ で, 

ゆ え,こ

群 と し てw1,

表 わ せ る.∃ci∈R0,ci-ci

を と る と, 

れ は 

と書 け る.他

に 属 す る か らTw(w∈R)と

方,x*は

書 け る. 

作 り方 に よ り,TR ゆ え,w∈E.∴ 

逆 の 包 含 関係 は 明 らか で あ る か ら,  ま た,wi=Twi*と

ゆ え にmE/m0EはK加

お く と,  wi*wj*∈E1ゆ

群 と し てw1,…,wα

一 次 独 立 性 は: 

で 生 成 され る.こ

と す る と,  ゆ え,a1=…=aα=0を

  補 題11.6.6. 

え, 

p1,…,pγ

∈Rな

れ らの と こ ろ が 

得 る. 

(証 明 終)

ら ば,I=(ΣpiR)∩EはEの

イデアル と

し て 有 限 生 成 で あ る.   証 明.  γ に つ い て の 帰 納 法 を利 用 す る.   γ=1の を,TsDp∈Fで

と き:p1をpで

示 す.W={x∈R￨px∈E}と

あ る よ う に と る.

お き,ま

た 自然 数s

∈F.ゆ Fの

え にDWで

生 成 さ れ たF加

イ デ ア ル に な る.ゆ

群W*(〓M)を

え にW*は

とれ ば

有 限 生 成 で あ る.し

し て も 有 限 生 成 で あ る.Dm1,…,Dmβ(mj∈W)がW*の す る.mi′=pmiと

お く.x∈Wな

こ で 

,TspW*は

環

た が っ て,R加

群 と

生成 元 で あ る もの と

ら ば 

と書 け る.そ

で あ る よ う に 選 ぶ. 

で あ り, 

そ こ で,あ 生 成 で あ る こ と を示 そ う.W∩EはEの zijSi⊂TSiゆ

え).ゆ

デ ア ル で あ る.補 で あ る.と  γ≧2の

イ デ ア ル で,m0sを

え に, W∩EはEで

題11.6.5に

あ る か,ま

よ り,mEが

こ ろ が,  と き:ま

と,pE∩Eが

含 む(XjSi=

た はmEに

属 す る準 素 イ

有 限 生 成 ゆ え,W∩Eは

で あ る か ら,pE∩Eも

有 限生成

有 限 生 成 で あ る.

ず, 

を示 そ う.I∋hな TsDp2∈Fな

らば 

有限

る 自然 数sを

と る. 

と こ ろ が,D(Ts+1R)は  を含 むR0加 Dh1(mod

TF)で

群 で あ る か ら,上

の よ う なxと

あ る よ う に と る こ と が 出 来 る .す

し て,p2Dx≡

る と, 

ゆ え に 「 」 内 の こ とが 証 明 で き た.さ とお く.WはEの で,E自

身 か,ま

成 で あ る.そ

た はmEに

属 す る 準 素 イ デ ア ル で あ り,し

の 生 成 元u1,…,uδ

元u1′,…,uδ

′ ∈Iを

と る.す

イデアル た が って 有 限 生

を と る.  る

なる で あ る か ら,帰 納

と 

法 の 仮 定 に よ り,Iは

有 限 生 成 で あ る. 

  (イ)の

唯 一 つ の極 大 イ デ ア ル で あ る こ とは 補 題11.6.1に

証 明:mEが

RがE上 ルp′

整 ゆ え,Eの が あ る.そ

Cohenの Krull

dim

(証 明終)

素 イ デ ア ルpに

対 し,そ

題11.6.6に

よ り,pは

定 理 に よ り,EはNoether環

の 上 に あ るRの

よ る. 素イ デア

有 限 生 成 で あ る.ゆ

で あ る.Krull

dim

R=n+1ゆ

えに え,

E=n+1.

  (ハ),(ニ)の る.そ

こ で,補

て, 

こ で, 

証 明:R0≦E≦Rで,R0はRの

φ￨Rは 恒等 写 像,と

部 分 空 間 で完 備 化 を 共 有 す

な る よ うな 自然 な準 同型 φ が

あ る.(補 題11.6.5の

直 前 の 記 号 に した が っ て)wi∈mE∩TRゆ

と か け る.す

る と, 

す る とwi2∈E2.以

と書 く こ とが 出 来 る.さ

下 同 様 に し て,  θi=wi-φwiと え る).す

お く(φE=RとR0の

る と,上 記 のwiの

が 任 意 の 自然 数sに

完 備 化 と を 同 一 視 し て, 

表 現 か ら,Esの

完 備 化Esに

対 し て 成 立 す る.そ

がEsで

成 立 す るが,TsEs〓Eゆ

得 る.ゆ

え に 

た, 

え,TsEs〓Eで

お い て 

れ は 素 イ デ ア ル で あ る.x∈piの

11.6.4の(ニ)に

あ る.ま

あ る こ と か ら,E/n〓R.

と き,  xei=0ゆ

と こ ろ が, 

え, 

の一 次 独 立 性

α の 極 小 性 が 出 る. 

  例   E=D-1(F)の   (1)  Eの0の

を

と お け ば,n2=0で

ゆ え にpiθi=0.w1,…,wα か ら,θ1,…,θ

と考

あ り, 

で あ る こ と と,θi=wi-φwiで

そ し て, 

て,

こ で,

ゆ え に 

ゆ え にn=nで,こ

え, 

(証 明 終)

意義 素 因 子:上

記(ハ),(ニ)の

証 明 中 の 記 号 φ を使 え ば,定

お け るpiθi=0は,φ-1(pi)θi=0を

意 味 す る.そ

理

こ で,pi=

φ-1(pi)はEの 素 イ デ ア ル で,零 因 子 ば か りか ら成 る こ と を示 し て い る.htpi =nゆ え,htpi=n.ゆ え に,piよ り本 当 に 大 き いEの 素 イ デ ア ル はmEだ け で あ る.mEは

非 零 因 子 を 含 む(Eが

整 域 だ か ら)か ら,piは0の

素 因子 で

あ り極 小 素 因 子 で は な い.   (2)  EはCohen-Macaulay環 と 定 理8.4.5に

の 準 同 型 像 で は な い.そ

の 証 明 は,上

記(1)

よ りわ か る.

  (3) 局 所 環E*=Enの

極 大 イ デ ア ルnE*の

生 成 元 の 数 は α 以 上 で あ る.す

な わ ち,

 11.7.  イ デ ア ル の 素 因 子  

Noether環

の 場 合,イ

デ ア ルaの

素 因 子 は,aの

準 素 イ デ アル分 解 に よっ

て 定 義 し た が,第3章

で 見 た よ うに,a:xの

こ と で 特 徴 づ け られ る.ま 子)は,aを

た,aの

素 因 子 全 体 の う ち で 極 大 な も の(極 大 素 因

法 とす る 零 因 子 ば か りか ら成 るイ デ ア ル 全 体 の う ち,極

と い うこ とで 特 徴 づ け られ る の で,次  

形 で 得 られ る 素 イ デ ア ル とい う

Noether環Rの

イ デ ア ルaに

大 な もの

の よ う な特 徴 づ け が で き る:

対 し て,素

イ デ ア ルpがaの

素因子で ある

た め の 必 要 充 分 条 件 は,p⊇a,か

つ,適

当 な 積 閉 集 合S( 

空 集 合)

に よ り,pRS/aRSが,RS/aRSに

お い て 零 因 子 ば か り か ら成 る イ デ ア ル 全 体 の

うち 極 大 で あ る.  これ ら の 事 実 に よ り,一

般 の 環Rの

イ デ ア ルaの

素 因 子 に は,次

の二 つ の

定 義 の ど ち らか が 適 当 と考 え られ る で あ ろ う.(本 節 末 の 注 意 参 照)  (*)pがaの

素 因 子 ⇔pがaを

含 む 素 イ デ ア ル で あ っ て,∃x∈R,

p=a:x.  (**)pがaの

素 因 子 ⇔pがaを

含 む 素 イ デ ア ル で あ っ て,適

閉 集 合S(  RS/aRsに

空 集 合)を お い て,pRS/aRSは

当 な積

と れ ば,環

零 因 子 ば か りか

ら成 る イ デ ア ル の う ち 極 大. と こ ろ が,こ 例1. 

Vが

の 二 つ は 本 質 的 に 異 な る. 付 値 環 で,Krull

る.[例

え ば,体K上

X12=Xを

と り, 

ルmの0で (**)の

∈V,

根Xn(n=1,2,…;Xn+12=Xn,

とれ ば,(*)の

意 味 で は,xVは

素 因 子 を も た な い.

唯 一 つ の 素 因 子 で あ る.

場 合 は 明 ら か ゆ え,(*)の け だ か ら,m=xV:yと

た はy/x∈V.後 .ゆ

で は な い も の とす

極大 イ デ ア

意 味 で は,mが

デ ア ル はmだ x/y∈Vま

つNoether環

の 超 越 元Xの2n乗

な い 元xを

  証 明.  (**)の

dimR=1か

場 合 を 考 え よ う.xVを

な るy∈Vが

者 な ら ばy∈xＶ

す る と    注 意.  上 の 例 で ほ,Vで

な い こ と をい え ば よ い.

ゆ え,xV:y=Ｖ.ゆ

え に,x/y∈m.VがNoether環

え に,x/y

で は な い の だ か ら,  . 

も0で

含 む素 イ

も な い イ デ ア ル はm準

(証 明 終) 素 イ デ ア ル で あ り,

し た が っ て,準

素 イ デ ア ル 分 解 は,Vに

  上 記 の よ う に,(*)で

は う ま く定 義 で き な い の で,素

定 義 す る こ と に し よ う.さ れ ば 充 分 で あ る.し 連 し,次

お い て 成 立 し て い る.

て,Noether環

因 子 は(**)に

の 場 合 に は,Sと

か し一 般 の 場 合 に は,大

よ って

し てR-pを

変 複 雑 な こ と も起 こ る.そ

と れ に関

の こ と を 証 明 し よ う.

  定 理11.7.1 

Kが

体,(Rλ,mλ)がKを

元 全 体 に わ た る)が

あ る と き,次

 (イ)  各 λ∈Λ に 対 し,Tの  (ロ)  〓 がTの

含 む 擬 局 所 環(λ は あ る集 合 Λ の

の 三 条 件 を充 た す 環Tが

存 在 す る.

極 大 イ デ ア ル 〓 λが 存 在 し, 

極 大 イ デ ア ル な ら ば,T〓

はKま

.

た は ど れ か のRλ

と同

型.  (ハ)  Tの

全 商 環 Ｑ(T)はTと

  証 明 の た め に は,Tの  

Aは

一 致 す る.

例 を 示 せ ば よ い.そ

無 限 個 の 元 を も ち,Aか

とす る.Bも無

ら Λ の 上 へ の 写 像 ψ が 存 在 す る よ う な集 合

限 個 の 元 を も つ 集 合 と し,積

≠0で

あ り,c∈Cな

ら ばfc∈K.次

あ る よ う なa(∈A)は

直 積 

有 限 個 し か な い}と

た が っ て Ω は 環 に な る.そ

εax=0」

お く.す れ らの 直

し て,MはAで

番 号 が つ い たKの

対 し,εa∈ Ω を,「x∈{a}∪a×Bな な らば

 *) 環Ra(a∈A)の

(ⅱ)fa

を 通 じ て)番 号 を つ け 直 し て,そ

の 直 和 で あ り,K*はCで

うわ け で あ る.各a∈Aに

の らば

に, 

るc(∈C)は

を,A∪Cで(ψ

積*)を と っ た の が Ω で あ り,し 番 号 が つ い たRλ

考 え る.次

有 限 個 し か な い,(ⅲ) 

(ⅱ)fc≠0な な わ ち,KとRλ

集 合C=A×Bを

の 全 体 を Ω とす る:a∈Aな

条件 を充たす写像  fa∈Rψaで

の た め の 記 号 を 準 備 す る.

に よ っ て 定 め る.ま

直 和*)と い ら ば,εax=1;  た,各c∈C

とは,集 合 とし て積集 合 を と り,算 法 は 直和 と同

様 と成 分 毎 に 行 な う.直 和 は,有 限 個 以 外 は0で あ る よ うな 成 分 を もつ 元 全 体(す な わ ち,aで 番 号 づ け られ た とこ ろの 成 分 がx∈Raで,そ の他 の成 分 は0で あ る も の全 体 はRaと 同 型 で あ る.こ の よ うな もの全 体 で生 成 した 部分 加 群(直 積 の イ デ アル に な る)が 直 和 で あ る.直 和 は単 位 元 を もつ こ と を要 請 しな い意 味 で は部 分 環 に な る.

に 対 し て,ec∈

Ω を,「ecc=1;x≠cな

ら ばecx=0」

っ て,∀c∈C,ec∈K*で

あ る.)Kの

の 元fと

の と き,

同 一 視 す る.こ

に よ っ て 定 め る.(し

たが

各 元kは,∀x∈A∪C,fx=kな

る

Ω

が 求 め る例 で あ る.

  例2. 

  証 明.  KとTと

は 単 位 元 を共 有 す る か ら,Tは

環 で あ る.Tの

元fが

非

正 則 元 で あ る と し よ う. K, ka≠0な

るaは

た はRψxの fはTの

有 限 個)と 書 け る.仮

非 正 則 元,(ⅰ)x∈Cな

ら ば,fx=0で

零 因 子.(ⅱ)x∈Aな

∃b∈B,k*(x×b)=0.す (ⅰ)に よ りfは

定 に よ り,∃x∈A∪C,fxがKま

ら ば,k+kx=0.Bが

る と εx(x∈A)の

零 因 子.ゆ

っ て,Tの

全 商 環 はTで

と り,Tか

らT〓

あ り,fex=0に

え に,Tの

同型

無 限 個 の 元 を もつ か ら,

作 り方 に よ り,f(x×b)=0と

な り,

非 正 則 元 が 全 部 零 因 子 で あ り,し

あ り,(ハ)が

へ の 自然

な る か ら,

証 明 され た.Tの

σ を 考 え る.擬

たが

極 大 イ デア ル 〓 を

局 所 環 で は,単

位 元 以外 に

は べ き等 元 を も た な い か ら,  (*)  ∀x∈A∪Cに  (1)  ∃c∈C,  ecq=0.ゆ

え に, 

つ い て σεxま た は σexは0ま の と き:q={f∈T￨fc=0}はTの . 

を得 る.

の と き:q′=σ-1(0)は1-εaを

a≠x∈Aな

らば,作 たc∈Cな と お く. 

り方 か ら,εaεx=0ゆ ら ば,仮

え 

定 に よ り 

を 示 そ う.f∈qな

k+ma+ka=0.ma∈mψaゆ .と

.∴q′

の形

方,fa=0ゆ

で,こ

て 

ら ば, 

え,k+ka=0,ma=0.ゆ

こ ろ が 

含 む.

∋εx(上 記(*)に

ゆ え,ec∈q′.さ

に 書 い て み る と,f≡k+ma+ka(modq′).他

∴ 

あ る. イ デ ア ル で あ り,

ゆ え, 

 (2) 

よ る).ま

た は1で

え,Rψaに

お い て

え にf≡0(mod

q′).

れ は 擬 局 所 環 で あ る か ら, 

を 得 る.  (3)残

り は, 

の 場 合 で あ る.こ

す る と,  に つ い て,fa≠0と

な るa(∈A)の

全 体 をa1,…,asと

の と き は 

ま た,∀f∈M す る.

ゆ え

σf=0.∴

σM=0. 

ゆ え,

.

以 上 で(ロ)が

証 明 さ れ た.ψ

よ り(イ)が

証 明 され る. 

  注 意.上

の 例 で,特

(ハ)に

よ り,す

因 子 で あ る.と

がAか

ら Λ の 上 へ の 写 像 ゆ え,上

(証 明 終)

に す べ て のRλ

が 体 で な い 整 域 の と き を 考 え て み よ う.

べ て の 非 正 則 元 は零 因 子 ゆ え,ど こ ろ がT〓

は 整 域 で あ り,〓〓

の 極 大 イ デ ア ル 〓 も0の の0で

の 非 零 因 子 と い う奇 妙 な 現 象 を呈 し て い る の で あ る.さ べ き 零 元 を も た な い こ と か ら,T自 る.Noether環

の 場 合,0以

記証明に

身0以

素

な い 元 は す べ て〓 らに,T〓

が0以

外 の

外 の べ き零 元 を もた な い こ とが わ か

外 にべ き零 元 を もた ない 場合 は極 小 で ない素 因 子

は も た な い の で あ る が,Noether環

で な い 場 合 は,そ

うい う こ と も成 り立 た な

く な る こ と を 示 し て い る.  な お,こ

の 最 後 に 述 べ た こ と に つ い て の 例 な ら ば,上

も っ と簡 単 な 例 を 与 え る.(す

べ て のRλ

の 極 大 イ デ ア ル に も つ 擬 局 所 環 で,0以

の 記 号 で のK+Mが

が 整 域 と し て)K+MはMを 外 に べ き零 元 を も た ず,Mは0の

唯一 素

因 子 で あ る.   注 意.  既 存 の 文 献 に は,上 存 在 す る.Noether環

に 述 べ た の と異 な る 定 義 に よ る 素 因 子 の 概 念 が

で な い 場 合 は 零 因 子 の 様 子 が 大 分 複 雑 で あ り,従

因 子 の 概 念 の 一 般 化 も複 雑 で あ る の で,そ い で お く こ と に し,上

記 の 例 で,そ

って 素

れ ら各 種 の 定 義 に は本 書 で は ふ れ な

の 複 雑 さ の 一端 を示 す に 止 め た.

文 AKIZUKI,Y.(秋 [1] 

献 表

月 康 夫)

Einige

Bemerkungen

uber

primare

Integritatsbereiche

mit

Teilerkettensatz,

Proc.Phys.-Math.Soc.Japan,17(1935),pp.327-336. [2] 

Teilerkettensatz

und

Vielfachenkettensatz,Proc.Phys.-Math.Soc.Japan,17

(1935),pp.337-345. AUSLANDER,M.,and [1] 

BUCHSBAUM,D.A.

Homological

dimension

in local

rings,Trans.Am.Math.Soc.85(1957),pp.390-

405. [2] 

Codimension

and

multiplicity,Ann.Math.,68(1958),pp.625-657;Errata

Ann.

Math.70(1959),pp.395-397. [3] 

Unique

factorization

in

regular

local

rings,Proc.Nat.Acad.Sci.U.S.45

(1959),pp.733-734. [4] 

On

ramification

theory

in

Noetherian

rings,Am.J.Math.81(1959),pp.749-

765. BOURBAKI,N. [1] 

Algebre

commutative(1961∼1964),Chap.1∼6.

CARTAN,H.,and [1] 

EILENBERG

Homological

S.

algebra,Princeton

University

Press,Princeton,1956.

COHEN,I.S. [1] 

On

the

structure

and

ideal

theory

of

complete

local

rings,Trans.Am.

Math.

Soc.59(1946),pp.54-106. [2] 

Commutative

rings

with

restricted

minimum

condition,Duke

Math.J.17

(1950),pp.27-42. GROTHENDIECK,A. [1] 

Sur

quelques

points

d'algebre

homologique,Tohoku

J.Math.9(1957)pp.119-

221. [2] 

Elements

de

geometrie

algebrique,I∼?,Publ.Math.I.H.E.S.,4,8,11,17,

20,24,etc.,1960∼?. KRULL,W. [1] 

Idealtheorie,Ergeb.der

Math.4,No.3,Julius

[2] 

Beitrage

kommutativer

pp.545-577.

zur

Arithmetik

Springer,Berlin,1935. Integritatsbereiche,Math.Z.41(1936),

[3] 

Beitrage

zur

(1936),pp. [4] 

Arithmetik

kommutativer

Integritatsbereiche,Ⅱ,Math.Z.41

665-679.

Beitrage

zur

Arithmetik

kommutativer

Integritatsbereiche,Ⅲ,Math.Z.42

(1937),pp.745-766. [5] 

Beitrage

zur

Arithmetik

kommutativer

Integritatsbereiche,Ⅴ,Math.Z.43

(1938),pp.768-782. [6] 

Dimensionstheorie

in

Stellenringen,J.Reine

Angew.Math.179(1938),pp.204-

226. [7] 

Zur

Theorie

der

kommutativen

Integritatsbereiche,J.Reine

Angew.Math.

192(1954),pp.230-252. LECH,C. [1] 

On

the

associativity

formula

for

multiplicities,Arkiv.Math.3(1956),pp.301-

modular

systems,Cambridge

314. MACAULAY,F.S. [1] 

Algebraic

theory

University MATSUMURA,H.(松 [1] 

of

Tracts

Math.,19

Cambridge

Press,Cambridge,1916. 村 英 之)

集 合 論 入 門,朝

NAGATA,M.(永

倉 書 店,東

京,1966.

田 雅 宜)

[1] 

Local

[2] 

可 換 体 論,裳

rings,john

[3] 

集 合 論 入 門,森

Wiley,New

華 房,東

York,1962.

京,1967.

北 出 版,東

京,1970.

NOETHER,E. [1] 

Idealtheorie

[2] 

Abstrakter

in

Ringbereichen,Math.Ann.83(1921),pp.24-66.

korpern.

Aufbau Math.

der

Idealtheorie

in

algebraischen

Zahl-und

Funktionen

Ann.96(1926)pp.26-61.

NORTHCOTT,D.G. [1] 

Hilbert

function

in

NORTHCOTT,D.G.and [1] 

a

local

ring,Quart.J.Math.Oxford4(1953),pp.67-80.

BEES,D.

Reduction

of

ideals

in

local

rings,Proc.Cambridge

Phil.Soc.50(1954),pp.145-

158. [2] 

Anote

on

reductions

of

function,Proc.Cambridge

ideals

with

an

application

to

the

generalized

Phil.Soc.50(1954),pp.353-359.

SAMUEL,P. [1] 

La

notion

de

multiplicite

en

appl.30(1951),pp.159-274;These,Paris,1951.

algebre

et en

geometrie

algebrique,J.math.pures

Hilbert

[2] 

Algebre

locale,Memorial

Sci.Math.123.Gauthier-Villars,Paris,1953.

SERRE,J.-P. [1] 

Sur

la

dimension

ceedings of

of

homologique

the

des

International

anneaux

et

des

modules

Symposium,Tokyo-Nikko

noetherian,Pro

1955,Scientific

Council

Japan,Tokyo,1956,pp.175-189.

[2] 

Multiplicites

[3] 

Geometrie

d'intersection,mimeographed algebrique

et

notes,1955.

geometrie

analytique,Ann.inst.Fourier

6(1955-1956),

pp.1-42. WAERDEN,B.L.VAN [1] 

Moderne (1st

[2] 

DER Algebra,I,Grundl.Math.Wiss.33.Julius

edition);1937(2nd

Moderne (1st

Springer,Berlin,1930

edition);etc.

Algebra,Ⅱ,Grundl.Math.Wiss.34.Julius

edition);1940(2nd

Springer,Berlin,1931

edition);etc.

[も っ と 新 し い 版,英

語 版 も あ る が,こ

の 書 に 関 し て は 初 版 が 最 も よ い.]

ZARISKI,O. [1] 

Algebraic

varieties

over

ground

field

of

characteristic

zero,Am.J.Math.62

(1940),pp.187-221. [2] 

Foundations

of

a

general

theory

of

birational

correspondences,Trans.Am.

Math.Soc.53(1943),pp.490-542. [3] 

Generalized

[4] 

The

semi-local

concept

of

a

rings,Summa

simple

point

Brasil.Math.1(1946),pp.169-185. of

an

abstract

algebraic

variety,Trans.Am.

Math.Soc.62(1947),pp.1-52. [5] 

Analytical

[6] 

Sur

la

irreducibility normalite

of

analytique

normal des

varieties,Ann.Math.49(1948),pp.352-361. variete

normales,Ann.

inst.Fourier

pp.161-164. [7] 

On

the

purity

U.S.44(1958), ZARISKI,O.and [1] 

Commutative

of

the

branch

locus

of

algebraic

functions,Proc.Nat.Acad.

pp.791-796. SAMUEL,

P.

algebra,Ⅰ,Ⅱ,van

Nostrand,New

York,Ⅰ:1958,Ⅱ:1960.

2(1950),

索

引

214 A Abel群 ―-ian

group 

7

Artin

― 閉 包 ―closure 

38

― 次 数 ―degree 

38

分 数 イ デ ア ル  ― 加 群 ―-ian

module 

― 環 ―-ian ―-

Reesの

ア フ ィ ン 環 

ring  補 題 

affine

fractional

Cauchy列―sequence 

ring 

200

Chinese

B multiple 

べ き 級 数 

121

remainder

Cohenの

63

power

theorem 

― 環 ―ring  nilpotent 

べ き 等 

idempotent 

permutation

―的 

15 40

transcendental 

― 次 数  ― 基 

subgroup 

7

normal∼ 

― 加 群 

submodule 

分 岐 

7,21

product 

直 和 

direct

sum 

center 

16

中 心 

16

忠 実 平 坦 

of

degree… 

12,13,242 12,13,18,242

12 flat 

129

78 D Dedekind環 ―ring,―domain

splitting

210

― 体 ―field 

37

distributive

  97

210

― 環 ―ring 

代 数 ― 的 

law 

N独

14

algebraic 

立 ―-aly

34 independent 

∼ 閉 包 ―closure 

分 離 ― 超 越 基  base  ― 的 

40

40

148

faithfully

187

― 群 ―group 

分 配 法 則 

base 

multiplicity 

subfield 

35 degree 

transcendence

direct

subring 

part

34 34

transcendence

直 積 

― 体 

ramified 

分 解 

重 複 度  10

― 環 

… 次― 

9

― 拡 大 体 ―extension  235

部 分 ― 群 

group 

― 元 ―element 

derivation 

正 規 ∼ 

155

73

超 越

118

べ き 零 

微 分 作 用 素 

118

19

環 ―ring 

定 理 

置 換 群 

series 

97,102

C

26

74

Cohen-Macaulay 

倍 元 

ideal 

26

separating

transcendence

40 separable 

― 代 数 的 閉 包 ―algebraic

∼ 閉 体 ―-aly

closed

∼ 従 属 ―-aly

dependent 

∼整

36,106 closure 

27,40

37

数 ―integer 

― 拡 大(体) ―extension(field)

field 

97

37 27

35

複 素 数 体  complex

― 数 体―number 惰 性 

field 

number G

inertia ― 環,―

Galois

群―ring,―group 

210 同 値 

―群―group 

― 関 係,―

外 部 自 己 同 型  outer

律―relation,

― condition  同 伴(元)associate 

原 始(分

63

原 始 多 項 式―polynomial 

― 定 理―theorem  leading

導 函 数 

derivative 

12,22

degree 

conductor 

独 立 

independent

数 イ デ ア ル)primitive 

―幾 何 学 環  pseudo-geometric

―清 純  quasi-unmixed  181

合 成(付

逆(分

Eisenstein 186

algebra 

Hensel

186

ring 

65

―化

―-ization 214

―環―ring  F 不 分 岐 

unramifield 

―の 基 底 定 理―basis

208 ring 

174,187

解 析 的―analytically 

付 値 

field

of

function 

39

valuation

of―s 

independence

theo

90 98 associated

prime(ideal) 

52

domain) 

域)―-local(ring,

81

―素 イ デ ア ル 判 別 式  discriminant 

極 大―maximal― 

52

極 小―minimal― 

46

theo

半  semi― 局 所(環,整

正 規―normalized―  付 随 素 イ デ ア ル 

140

― 零 点 定 理―zero-point rem  108

85

― の 独 立 性 定 理  rem

theorem 

72 ― 特 性 函 数―characteristic

190

invariants 

―環―ring 

179

Hilbert

― 局 所 環―local

不 変 体 

15

H

186

環―-ean

103

6

theo

― 多 項 式―polynomial  Euclid 

6

行 列 環  matric

irreducibility

88

数 イ デ ア ル)inverse 

逆 元  inverse 

― 拡 大―extension 

196

値 環 の)composite 

群  group  E

of― 

ring 

―局 所 環,― 半 ∼quasi-localring, ―semi-∼81

36

p―(基)p-―(base) 

rem

66

201

119

93

― の 既 約 性 定 理 

10 102

擬

9,16

導 次 数 

38,62 automorphism 

5

isomorphism 

導 手 

38,61

― 拡 大―extension 

equivalence

同 型 

field  15

97

ー―-primeideal  48 94

平 坦  flat  32 忠 実―faithfully― 

129

― 部 分 加 群 ―submodule 

非 分 離 ―的 

inseparable 

― 加 群,―

36

― 次 数 ―degree  非 可 換 体  左 

ring 

38

non-commutative

field 

自 己 同 型 

― イ デ ア ル ―ideal 

16

― 剰 余 類 ―residue

8

21

― 零 因 子 ―zero-divisor  ホ モ ロ ジ ー 次 元 

15

homological

dimension 

167 modulus 

outer― 

10

内 部― 

inner― 

10

自 己 準 同 型 

― 加 群,―

ideal 

principle

of―-ization 

26 group 

― 商 ―quotient 

単 項―  位 相 

15

supremum 

上 表 元 

…-adic― 

order 

純  independent 

22

prime

degree  ― 元 

10

group 

7

154 theorem 

purely

order 

inseparable 

準 同 型 

定 理  weak

ideals

chain 195

set 

homomorphism 

condi

dimension 

10,53

準 素 イ デ ア ル 

primary

ideal 

準 素 部 分 加 群 

primary

submodule 

― を 付 け る  grade  graded

K

23 κ 函 数 

次) 78

3 9,16,21

自 然―  inatural― 

24

κ-function 

Kronecker(の Krull

157 36

3

9,26,28,35,40,78,97

degree(→

次 数 付 き 

8

― 性 定 理 ―-ness

48

15 represent

17

― 集 合 ―-ed

基 ―radical 

弱 素 イ デ ア ル 鎖 条 件 

cyclic

純 非 分 離 的 

22

Jordan-Holder-Schreierの

次 数 

class 

unmixed 

順 序 

次 

residue

巡 回 群 

118

J

for

の)multiplicativegroup 

― 環 ―ring 

8

linearly

144,145

186

剰 余 類 

115

― 基 ―base 

tion

6

― 的 代 表 元multiplicative

18

自 然―natural― 

Jacobson根

element 

multiplication 

ative

5

5

superficial

― 群(体

99

topology

一 次 独 立 

real

― 群 ―group 

… 進― 

位 数 

order 

number field 

97

principal― 

基 ―module,―

lexicographical

47

分 数―fractional― 

78

22

実 数 体 

乗 法 

― 類 群 ―class

gradation 

辞 書 式 順 序 

上 限 

16

― 化 の 原 理 

16

trivial

free

base 

15

I イ デ ア ル 

endomorphism 

自 明 な 次 数 付 け 

8

characteristic 

10,16 11

外 部― 

自 由 

標 数 

143

automorphism 

― 群 ―group 

class 

― 加 群 ―module 

法 

78

付 随 し た ∼ 

15

left

78

環 ―module,―

140

δ)  49

49,50 101

―秋 月 の 定 理   161 ―環―

形 式 的 べ き 約 数(環)formal

 ring  190

― 東 屋 の 補 題   48 ―次 元

58

― 環,―

theorem

of

  84 theo

  74

体 ―ring,―field

181

5

可 付 番   enumerable,countable 

3

可 逆   invertible 103 6

symmetric

基 礎 の 環  ground

ring  200

公 約 元   common

 ―group 

7

交 換 子(群) 

交 代 式   alternating

―体

15

降 鎖   descending

加 法

  addition  ―群

―律

6 group 

7

tion

―独 立  ―-aly

independent 

―不 分 岐  ―-aly

unramified 

―既 約  ―-aly

irreducible 

―正 規  ―-aly

normal 

拡大体

extension field 

核  kernel 

202

202

10,36 chain

candi

ideals  195

局 所   local ―域

 locality  200

―環,―

整域

 ―ring,―do

81

―付 随 素 イ デ ア ル  ―associated prime 121,124

completion 

sequence 

完 全 体   perfect field  函 数 体   function

32

4

―イ デ ア ル  ―ideal  ―条 件   maximum

124

44

condition 

195

sequence

―素 因 子  ―prime

divisior  52

極 限  limit  121 27

 ―module  166 惰 性)

4

―鎖(素 イ デ ア ル の) ―chain 

  171

42

field  200

―の イ デ ア ル  ―ideal 

性 環(→

theo

―正 則 列  ―regular

関 係 式   relation

―の 加 群

ideal  52

― 元 ―element 

rings  181

…-adic

完 全 系 列   exact

環   ring  14,20

12

28

chain  24

for prime

main 

121,180

for―local 化

form 

極 大  maximal

―局 所 環 の 構 造 定 理   structure

慣 性 群,慣

190

35

―化   completion 

… 進―

184

9,16

完 備   complete 

rem

64

強 素 イ デ ア ル 鎖 条 件   strong

解 析 的   analytic

28

 ―condition 4

共 役   conjugate 

 additive

form 

commutator(group) 

14

7,21

64

divisor  65

― 環  ―ring   ―field 

153

set  5

基 本 対 称 式   basic

固 有(既 約 元)proper 

可 換   commutative 

formula 

デ ア ル)76,(元) 

帰 納 的 集 合   inductive

下 限   infimum 

加 群  module 

law  6

結 合 公 式   associativity 既 約  irreducible(イ

―の 定 理   96

―群

 

結 合 法 則   associative

―の 共 通 部 分 定 理   intersection of―

series

係 数   coefficient

 ―dimension 

―の 標 高 定 理   altitude

rem

power

(ring)  118

極 小   minimal ―付 随 素 イ デ ア ル  ―associated prime(ideal)  ― 元 ―element 

46 4

―条 件  minimum

condition 

― 基―base 

4 R

82,102

―素 因 子―prime

divisor  46

零  zero ― 元― 

L λ 多 項 式   λ-polynomial  Lechの

143

―因 子

theorem 

マ イ ナ ス  minus 

21

― 化 イ デ ア ル   anihilating

補 題   151

Lying-over

7

―化 元   anihilator 

60

 ―-divisor 

―点 集 合

ideal

 ―point set  111

M

連 続 の 濃 度   cardinality of continum  … 列   …-sequence  155

7

離 散 付 値 環   discrete

右   right

valuation

3

ring  86

類   class  5

―イ デ ア ル

 ―ideal  16

― 剰 余類 ―加群

 ―residue

 ―module 

―零 因 子

― 別 ―-ification 

class  8

5

― 数 ―number 

21

99

両 側 イ デ ア ル   two-sided

ideal  16

  zero―divisor  15

モ ニ ッ ク  monic 

27

S σ 多 項 式   σ-polynomial

無 限 体  infinite field  34

141

syzygy(列)―(sequence)  N

差 積   difference

Noether 環 ―-ian

module,

最 大 元   largest

―ian ring  71

of 

106 10

11

alternating

― 元 ―element 

濃 度   cardinality,cardinal

6

最短表現

number 

2

  shortest

算 法  operation 

37

4

―多 項 式   minimal operAtion 

form

 29

―分 解 体  ―splitting field 

同 型)  9,16

中 山 の 補 題   48 二 元 算 法   binary

subfield

最 小   smallest

23,24,26,156,195

中 へ の(同 型,準

4 perfect

 186 最 簡 交 代 式   simplest

automorphism 

― 群―group  長 さ   length 

theo

29

24

element 

最 大 完 全 部 分 体   largest

―の 正 規 化 定 理   normalization

内 部 自 己 同 型  inner

167

product 

細 分  refinement 

― 加 群,―

rem

111

15,21

polynomial 

representation 

35 52

6

正 規   normal P p独

立(基)p-independent(base)

パ ラ メ ー タ ー 系   system   85

― 部 分群 181 of parameters

―付値

 ―subgroup 

10

 ―-ized  valuation 

― 化 定 理  ―-ization

theorem

  105,106 ―拡 大

 ―extension 

―環  ―ring 

59

38,61

98―

― パ ラ メ ー タ ー 系  parameters 

distinct

system

of

― 鎖

 ―chain  24

 ―element 

15

― 局 所 環

― 的 

 ―local

ring 

―パ ラ メ ー タ ー 系 parameters 

85

 ―system 

of

generate  of

― 位 相―topology 

7

― な 埋 め 込 み―embedding  78

morphism 

 ―submodule,graded 指 数

―イ デ ア ル ―ideal 

78

― 元 ―element 

昇 鎖 律 

140

商 

27 ring

140

位 相,完

ascending

斉 深   iso

bathy 

整   integral 

154

fractions 

― 体  ions 

34,58,70

― 閉 ―-aly

closed 

59

domain 

―域

 ―domain 

97

product 

of fractions

  53

of―s;field

of

fract

45 47 power

218

― 元 ―element 

142 6,18,26,98,102

factorization

main;UFD;factorial

58

for―extensions  ordered

63

∼ 分 解 環   unique

15,20

set  4

factorization 

∼ の 極 大 鎖   maximal

43 chain

  195 ∼鎖 

chain

64

of

64―

イ デ ア ル  ―ideal  Poly

do

ring 

∼ 分 解 の 一 意 性   uniqueness 200

― 数 値 多 項 式   integer-valued nomial 

field

series(ring) 

― 拡 大 に つ い て の 有 限 条 件finiteness

― 列 集 合   well

of―s;ring

素   prime  ―ideal 

― 拡 大  ―extension 

condition

of

収 束 べ き 約 数(環)convergent

closed(integral)

59

―イ デ ア ル

of―s;module

イ デ ァ ル―ideal 

 ―closure  59,70 域  ―-aly

4

57

(イ デ ア ル に よ る)∼

154

∼ 包

condition 

  52

環   143

清 純   unmixed 

備 化)

chain

quotient

― 環   ring

付 随 し た―

積 

2 8

― 加 群   module

― 多 項 式 環  ―polynomial

∼

 index 

進   adic(→

78

 ―form 

2

― 単 射―injection,―mono

78

― 環  ―ring 

118,138

 10,53

78

― 部 分  ―part 

― 式

82

― 準 同 型―homomorphism

generators 

斉 次   homogeneous 

submodule 

176

15

自 然   natural 122,155

― 部 分 加 群

field 

支 配   dominate 

7,17,20,34

set

2

projective 

斜 体   skew

85

― 列 ―sequence 

 

119 2

射 影   projection 

 ―ring  110

― 系 

44 form 

写 像   map,mapping 

―環

生 成 

に 関 し て 閉multiplica closed 

先 導 項   leading

正 則   regular ―元

― 閉,― tively

155

of

∼s 

195

of

∼s

∼ 鎖 条 件  chain

condition

for∼s

 195

U

―因 子 ―divisor 

52,242

極 小 ∼  minimal∼

domain 

― 体 ―field 

34

34

組 成 列  composition

然 な)(natural)embedding

 2

  46

― 整 域 ―integral

双 線 型 写 像,双

埋 め 込 み(自

上  over  2,9,16,20,21,60,235 上 へ の(同

型,準

一 次 写 像  bilinear

W

map

 30

Weierstrassの

推 移 定 理  theorem

同 型)  9,16

series  24

of transition 

theorem

135 和

準 備 定 理preparation of―

 sum 

  218

6,18,26

T T0擬

局 所 環  To-quasi-local

T0化

  124

ring  180

tosion-free 

134

余 分 の な い   irredundant 

多 元 環   algebra 

21

有 限(型)加

多 項 式   polynomial  ―環  ―ring 

27

finite degree 

有 限 条 件(整 拡 大 に つ い て の)  200 group 

対 称 式  symmetric

form 

  basic― 

高 さ   height 

9

有 限 体  finite field  34

27,28

有 理 整 数  rational

28

―環

58 element 

単 位 元   identity;principal 単 純 点   simple

point 

単 項 イ デ ア ル   principal ―環,―

整域

Zornの

ideal  18

26

natural―

テ ン サ ー 積  tensor

product 

term 

9,16

 2

119

 ring  137

補題  5

座 標 環   coordinate

ring  112

全 行 列 環   full matric

algebra 

全 順 序(集 合)totally

ordered(set);lin

early

ordered(set) 

全 商 環   total quotient 全 単 射   bijection  10,16 属 す る   belong 

50

15

4

全 射   epimorphism;surjection  29

15

Z Zariski環―

単 射   monomorphism;injection 

15

15

number field 

unit  6,14 113

 ―ring,―do

単 項 式   monomial 

つ け加 え た 体   34

integer 

of ―s 

15

65

定 数 項   constant

 ring

有 理 数 体   rational

単 元   unit;invertible

自然― 

of

22

有 限 次 …finzte…;…of

対 称 群   symmetric

main 

50

群   finite module;module

finite type 

26

体   field  15

基 本―

Y 約 元   divisor  63

ring  45

9,16

35

記 (序章,第1章

C複

号

表

で説明 した ものを除 く)

素数 体

R  実数体

N  自然数全体

Z  有理整数環

Q  有理数体

Q()全

:,[:]  √

(例え ばa:b) 

 (例え ば 

[[]](例

) 

え ばR[[x]]) 

《 》(例 え ばK《x》)  RS,MS 

gr 

など

Hilbert特

ht,height  Krull

  118   218

牲 函数

高 さ

dim

函数

λ()λ

多項 式

  140

  58 元 

  140   143

μ()重

複度 

σ()σ

多項 式   syzygy 

たは

  167

Krull次

κ()κ

syz

べ き級 数 環

 商環,商 加 群  

ホ モ ロジー 次元

148,149

167

141

 47

48

収 束 べ き級数 環

付 随 し た 次 数 付 き 環(ま

X()  hd 

イデ ア ル商

根基 

58

52,53,57

∼ 加 群) 

143

商環,商 体

著

永 昭 和25年

者

田 雅 宜  名 古 屋 大 学 理 学 部 数 学 科 卒

業.名 古 屋 大 学 助手,京 都 大 学 講 師,助 教 授 を 経 て,現 在,岡 山理 科 大 学 理 学 部 教 授,京 都 大 学名 誉 教 授. 海 外 出 張:ア メ リカ,ハ ーバ ー ド大 学, ノ ー ス ウ エ ス タ ン大 学;イ ン ド,タ タ 研 究 所;イ タ リア,ピ サ 大 学;等. 昭和36年  中 日文 化 賞 受 賞. 主 な著 書:Local  Rings(John  Wiley), 抽 象 代 数 へ の 入 門(朝 倉),近 代 代 数 学 (共著;共 立),代 数 幾 何学(共 著;共 立), 代 数 学 と幾 何 学(共 著;共 立),可 換 体論 (裳華房).

可

換

環

論

1974年7月15日

 

第1刷

発行

1995年11月20日

 

第7刷

発行

発行所  株式 会社 紀伊國屋書店 東 京 都 新 宿 区 新 宿3-17-7 電

話03(3354)0131(代

表)

出 版 部(編 集)電 話03(3439)0172 ホール 部(営 業)電 話03(3439)0128 セール 東 京 都 世 田 谷 区 桜 丘5-38-1 郵 便 番 号156

C MASAYOSHI  PRINTED 

NAGATA,1974 IN  JAPAN

定 価 は外 装 に表 示 して あ ります

印 刷   研 究 社 印刷 製 本  三 水 舎

紀 伊國 屋数 学 叢書 につ い て   数学 を 学 ぶ には い ろい ろ の段 階 があ るが,い ず れ の場 合 で も書物 な ど に よ って 自学 自習す る こ とが 最 も重要 で あ り,単 に講 義 を 聞 くとい うよ うな受 動 的 な勉 強 だけ で は,は な はだ 不 十 分で あ る.   みず か ら学ぶ た め に現 在 い ろい ろな 数 学 書が 出版 され て い る.し か し, 数 学 の進歩 は極 め て基礎 的な 考 え 方に 対 して さえ常 に影 響 を与え てお り, 従 っ て どの よ うな段 階 の 勉強 で あ って も,常 に 新 しい考 え方 を 理 解す る ことが 必要 であ る.こ の ため には,数 学 の過 去 と将来 とを結 ぶ 視 点か ら 書 かれ た書 物 が 数多 く出 版 され るこ とが 望 ま しい.即 ち,新 しい 視点 と 古 典的 な視 点 とを 見 くらべ,基 本 的な こ とを も将 来 の発 展 を考 慮 した 視 点 か ら説 明す る とい う立 場で 書 かれ た 書 物 が要 望 され て い る.   本叢 書 は こ の よ うな 要 望 に応 え て企 画 され た もので あ っ て,各 巻 が 大 学 理工 学 系 の専 門課 程 の 学 生 また は大 学 院学 生 が それ ぞれ の分 野 での 話 題,対 象 に つい て 入門 の 段階 か らあ る程 度 の深 さまで 勉 学す るた めの 伴 侶 とな る ことを 目指 して い る.こ のた め に我 々は各 巻 の 話題 の選 択 に つ い て,十 分 配慮 し,現 代 数学 の 発展 に と って重 要 であ り,ま た既 刊書 で 必ず しも重 点が 置 かれ て い ない ものを 選 び,各 分 野 の第一 線 で 活躍 して お られ る数 学者 に執 筆 を お 願い してい る.   学生 諸 君 お よび数 学 同 好 の方 々が,こ の叢 書 に よって 数学 の種 々の 分 野 に おけ る基本 的 な考 え 方を 理 解 し,ま た基 礎 的 な知 識 を会 得す る こと を 期待 す ると と もに,更 に現 代 数 学 の最 先端 へ 向か お うとす る場 合 の基 礎 と もな るこ とを 望み た い.