Квазимногообразия полурешеток Сугихара с инволюцией

Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 47-65 УДК 512.572:512.568.2 КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ ПОЛУРЕШЕТОК СУГИХАРА С ИНВОЛЮЦИЕЙ В. Д...

Author: Дзёбяк В.

17 downloads 167 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Алгебра и логика, 39, N 1 (2000), 47-65

УДК 512.572:512.568.2

КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ ПОЛУРЕШЕТОК СУГИХАРА С ИНВОЛЮЦИЕЙ В. Д З Ё В Я К Памяти Виктора Александровича Горбунова Введение Тот факт, что импликативно-негативный фрагмент

отноше

\-RM{^^}

ния следования \-RM > связанного с релевантной логикой ЯМ, алгебраизуем, основывается на формулах, задающих эквивалентность {р -> g, q -> р} и равенство р = р —> р (см. [1]). Поэтому финитарные правила вывода, выводимые в

\~RM{^

„ } > и квазитождества, выполнимые в квазимногооб

разии, ассоциированном посредством процесса алгебраизации с

У-RMS^

„} >

интерпретируются друг в друге посредством указанных выше формул (см. [1]). Согласно [2] квазимногообразие, ассоциированное с

\-RM^^},

тер

мально эквивалентно наименьшему квазимногообразию S, содержащему полурешетку с инволюцией Z, которая задается следующим образом: но ситель Z совпадает с множеством Z всех целых чисел, а ее операции Л (пересечение в полурешетке) и ~ (инволюция) задаются на Z по правилам хАу = т т ( ж , у ) при \х\ = |у|, хАу = х при \х\ > |у|, хАу = у при |$| < |у|,

Для (А, Л, ~) 6 S положим ж -)• у = х Л у. Поскольку х Л у = ж -> у дая всех я, у G А, алгебры (А, Л, ") и (А,->, ~) будут термально эквива лентны. Так как класс алгебр вида (А, -», ~) совпадает с классом подалгебр {—>, ~}-редуктов алгебр Сугихары (см. [3,4]), алгебры из S будем называть полурешетками Сугихары с инволюциями.

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2000

48

В. Дзёбяк

?1 90

А-1

0 1

0 2

6-1

6-2 Рис. 1

Пусть Z2k = {-Л,... , - 1 , 1 , . . . , к} для к ^ 1 и #2*+1 = Z2/b U {0} для fc ^ 0. Заметим, что Z2k и ^2AJ-M замкнуты относительно Л и " в Z. Полурешетки Сугихары с инволюцией, заданные на Z2fc и 2 ^ + 1 , обозна чаются соответственно £2* и Z2fc+i- Полурешетки Z n , n ^ 2, с точностью до изоморфизма исчерпывают множество конечных алгебр квазимногооб разия S, которые являются относительно подпрямо неразложимыми в S. Зададим частичные порядки <, ассоциированные с Л в 2з и в Z4, следу ющим образом: х < у, если х Л у = ж. Диаграммы Хассе этих порядков приведены на рис. 1. Квазимногообразия, которые содержатся в фиксированном квазим ногообразии К алгебр, образуют решетку, порядок на которой уста навливается посредством отношения включения: пересечение в решет ке совпадает с теоретико-множественным пересечением, а объедине ние задается как наименьшее квазимногообразие, содержащее теоретикомножественное объединение. Эта решетка называется Q-решеткой К (они рассматривались в [5, глава 5], в частности, подробно обсуждались причи ны, в силу которых Q-решетки заслуживают внимания). Наименьшее квазимногообразие, содержащее алгебру А, обозначим Q{A). Заметим, что при 2 ^ n, m включение Q(Zn) С Q(Zm) имеет место тогда и только тогда, когда либо п = 2, либо п ^ т и n, га являются четными или нечетными одновременно. М. Токарж [6] доказал, что суще ствует бесконечно много компактных расширений отношения следования Ь п , определенных тг-значным расширением \~RM{^ ^-p если п является чет ным и ^ 4. Этот результат, выраженный в терминах квазимногообразия

Квазимногообразия полурешеток Сугихара с инволюцией

49

S, утверждает, что ф-решетка квазимногообразия Q(Zn) бесконечна, если п является четным и ^ 4. В настоящей работе доказывается ТЕОРЕМА 0.1. Q-решетка квазимногообразия Q(Zn)

содержит

подрегиетку, изоморфную решетке идеалов свободной решетки с UJ сво бодными порождающими, в том и только в том случае, если п ^ 3. По этому мощность Q-решетки квазимногообразия Q(Zn) равна 2**° тогда и только тогда, когда п ^ 3. Поскольку Ням{_+ „ } алгебраизуемо, решетка £ п компактных расши рений t-n и Q-решетка квазимногообразия Q{Zn) двойственно изоморфны. Поэтому из теоремы 0.1 следует, что £ п имеет подрешетку, изоморфную решетке фильтров свободной решетки с и порождающими в том и только в том случае, если п ^ 3. Квазимногообразие К называется Q-универсальным

(см. [7]), ес

ли Q-решетка произвольного квазимногообразия алгебраических систем конечного типа является гомоморфным образом некоторой подрешетки Q-решетки квазимногообразия К. Известно (см. [8]), что в случае, когда Q-решетка квазимногообразия К содержит изоморфную копию решетки идеалов свободной решетки с и свободными порождающими, К будет Q-универсальным. Поэтому квазимногообразия Q(Zn) являются Q-универсальными для п ^ 3. При п = 1,2 заметим, что Q-решетка квази многообразия Q(Zn) является соответственно 1- или 2-элементной цепью. Все неопределяемые в данной статье понятия содержатся в [3, 5].

§ 1. Решетка идеалов Найдены два множества достаточных условий для того, чтобы ре шетка идеалов свободной решетки была вложима в Q-решетку некоторого квазимногообразия (см. [8, 9]). Здесь мы будем использовать условия из [8]. Множество всех конечных подмножеств бесконечного множества / неотрицательных целых чисел обозначим Рд п (Л-

50

В. Дзёбяк П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.1 [8]. Пусть К — квазимногообразие алгебр

конечного типа, которое содержит бесконечное семейство (Sw • W Е Е Pfin{I)) конечных алгебр, удовлетворяющих следующим условиям

(X,

У и Z пробегают множество Рд п (/)): (PI) S0 является тривиальной алгеброй; (Р2) если X = У U Z, то Sx Е Q({SY, Sz}); (РЗ) если X / 0 u Sx Е Q(5y), rno X = У; (Р4) если 5 х является подалгеброй В X С для конечных В, С Е Е Q({5w : W E Pfi n (/)}) ) rno найдутся Y,ZE SY Е Q(B),

SZ

E Q(C)

U I =

Pfin(/) тпакие, что

FUZ.

Тогда решетка идеалов свободной решетки с и свободными по рождающими

вложима в Q-решетку квазимногообразия К .

Поэтому

Ш

Q-решетка квазимногообразия К имеет мощность 2 '. Доказательство теоремы 0.1 основывается на следующем П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1.2. Пусть (А, : г Е J) ~ семейство конечных нетривиальных

алгебр конечного типа, для которого справедливо свой

ство: (Р) для всех W E Pfin(I) \{0}uk£l,

если <р : Ц(А{ • * € W) — • А*

лвллггпсл гомоморфизмом, то к € W и Кег <£> — Кег 7Г&, г
гдеЗцг~Ц(^:ге\У). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку прямое произведение пустого се

мейства является тривиальной алгеброй и Sx == Sy х 5^\у для X = У UZ, условия (Р1) и (Р2) выполняются. Для проверки условий (РЗ) и (Р4) необ ходимо доказать: (1) если ф : Sw —> Sy является гомоморфизмом, то V С W и Кег ф = Кег яу. Для г Е V через />» : Sy —> А; обозначается проекция на г-ю ком поненту. Поскольку pi о ф : Sw —> Ai является гомоморфизмом, в силу свойства (Р) получаем, что V С W и Кег рг о ф = Кег 7г,- для всех г Е V.

Квазимногообразия полурешеток Сугихара с инволюцией

51

Так как /\(Кет р% : % Е V) = icls v , для х, у G Sw имеем х = у(Кег ф)

4Ф

^( ж ) = ^ Ы

<S> ft о ^(ж) = pi о ф(у) д л я всех % G V О

ж = у (f\(Ker

/>,- о ^ : г € V ) J

4Ф

ж :Е у ( Д ( К е г тг,- : г 6 V ) )

<=>

а? = t/(Ker яу),

что доказывает утверждение (1). Рассмотрим теперь условие (РЗ). Пусть X Е -Pfm(/), X ф 0 и 5 # € £ Q(5y). Поскольку Q(Sy) = ISP(Sy)

и S* конечны, найдется вложение

у>: 5 х —> 5у х 5у х . . . х Sy {l раз), где 1^1.

Обозначим через Oi : (Sy)* —> Sy проекцию (Sy)1 на, г-ю ком

поненту. Так как 0{ о (р : 5 ^ —> 5у является гомоморфизмом, в силу (1) имеем, что У С X и Ker <7,оу> = Ker тгу для 1 ^ г ^ /. Поскольку <£> являет ся вложением, то Д(Кег <7,о <р : 1 ^ i ^ I) = id5 x . Поэтому Ker тту = idsx) отсюда в силу Y С X получаем У = X. Рассмотрим условие (Р4). Пусть X € -Pfin(J) и Sx является подал геброй алгебры В X С, где В и С — конечные алгебры из Q({5V

:

W^ €

6 Pfin(/)}). Поскольку В и С конечны, существуют вложения <рх : В —> Syx х . . . х 5y m , ¥?2 : С —> 5 ^ х . . . х S Z n , где Уь . . . , У т , Z i , . . . , Zn — элементы из Рцп(1). Положим У = \J{Y% : 1 ^ ^ i ^ m) и Z = U(^t : 1 ^ * ^ w). Пусть тг# : 5 х —• В и пс • Sx —± ~—» С обозначают проекции Sx соответственно на В и С. Для 1 ^ р ^ m через г р : 5yj х . . . х £ у т —^ 5ур обозначим проекцию Syx х . . . х 5 у т на р-ю компоненту Syp, и для 1 ^ s ^ п через rj8 : Szx х . . . х 5z n —• Sz e обозначим проекцию Szx X . . . X 5^ п на 5-ю компоненту Sza • Поскольку тр о (fi о ттв : 5 х —> Syp, 1 ^ р ^ m, является гомоморфизмом, в силу (1) имеем У С X, Аналогично, учитывая, что т)8 о <р2 о пс : Sx —> Szg, 1 ^ s ^ п, является гомоморфизмом, получаем -2Г С X. Так как У, Z С X , проекции ivy : 5 х —• Sy и 7Г^ : 5 ^ —• Sz определены корректно.

52

В. Дзёбяк Докажем, что (2) Кег 7г# = Кег жу. Имеют место /\(Кет тр о
(рг о 7Гв = Кег 7Гур, где 1 ^ р ^ т , поэтому для х}у £ Sx выполняется х = у(Кег тгв)

<Ф

^ ( ж ) = ^в(у)

<£•

г р о у>х о 7Гв(ж) = тр о (pi о 7Гв(у), 1 ^ р ^ га,

^

ж = t/ (Д (Кег г р о <рх о жв : 1 ^ р ^ га) J

<£•

х = у (Д(Кег лур : 1 ^ р < m) J

<ФФ- ж = у(Кег тгу). Докажем теперь, что (3) Кег 7гс = Кег 7Г£. Имеют место Д(Кег г/в о (р2 : 1 ^ 5 ^ n) = idc и, в силу (1), Кег rj8 о <р2окс = Кег 7r^s при всех 1 ^ 5 ^ п. Как и в доказательстве утверждения (2), х = у (Кег 7Г(7) в том и только в том случае, если х = у(Кег 7Г#), где х,у Е SxПринимая во внимание Кег жв Л Кег же = i d s x , в силу (2) и (3) по лучаем Кег жу Л Кег жг = ids^. Из У U Z С J следует 7 U Z = X . B силу 5у = Sx/Кет жу и утверждения (2) получаем, что 5^/Кег 7гу изоморфно некоторой подалгебре алгебры В\ поэтому Sy € Q{B). Аналогично, при нимая во внимание Sz — 5^/Кег тг^г и (3), доказывается, что 5;г/Кег я ^ изоморфна некоторой подалгебре алгебры С Значит, 5 ^ G Q{C). D

§ 2. Построение В этом параграфе мы построим бесконечное семейство А&, & ^ 3, конечных полурешеток с инволюцией и докажем, что А& 6 Q{Z>z) П Q(%4) для всех & ^ 3. В следующем параграфе будет показано, что для этого семейства справедливо свойство (Р) из предложения 1.2. Тогда и теорема 0.1 будет следовать из предложения 1.1 и того факта, что Q-решетка ква зимногообразия Q(Zn) является 1- или 2-элементной цепью соответственно при п = 1,2.

Квазимногообразия иолурешеток Сугихара с инволюцией

53

Пусть Bk — конечная булева алгебра, имеющая в точности к атомов ао, a i , . . . ,а&~ъ к ^ 3, с операциями: Л (пересечение), V (объединение) и ~ (дополнение). Пусть 1вк — наибольший элемент в В*. Если ж, у £ Bk и ж < у, т.е. ж Л у = ж, то множество {z £ Bk : х < z < у} обозначим [ж, у]. Для г < fc положим 6,- = a i V a ^ i Va t e f e 2 , где через Ф& обозначается сложение по модулю &, и, кроме того, пусть C w = ([bi,lB A ]U[ai,OiV5i])x{i}. Множество Cki образует булеву алгебру, если положим (ж, i) Л (у, i) = (ж Л у, г), (ж, г) = (а,- V ж, г). Заметим, что (а,-,г) и (1#^,г), обозначаемые далее 0cfct и 1с*,-> являются соответственно наименьшим и наибольшим элементами в Cki- Кроме того, все атомы алгебры Cki приведены в списке: (at V at'®fci V at'efc2> 0 ( " (Ь*, 0) и (a, V а,-, г), где j < к и j £ {г, г ф& 1, г Ф* 2}. Определим отношение
<$ (з, у € Вк и ж < у), или (ж = (а, г), у = (Ь, г) Е Cki и а < Ь), или (ж 6 В*, у = (Ь,г) 6 Сь' и ж < Ь).

Отношение <*. задает частичный порядок на Bk U\J(Cki : i < к), причем для любых двух элементов из Bk U \J(Cki : i < к) существует наибольшая нижняя грань. Значит, можно задать следующую полурешетку с инволю цией:

Ak=(Bku(J(Cki:i
Л, " ) ,

где через ж Л у обозначается наибольшая верхняя грань множества {ж, у} относительно <&, через ж — дополнение элемента ж в В^, если ж G Bk) и в Cki) если ж € Cjki, i < к (в последнем случае ж = (а,- V с, г), если ж = (с, г)). Заметим, что для х,у £ Вк выполняется ж Л у (в Ak) — ж Л у (в В&), для ж G Bk и у = (с, г) € С*,' справедливо ж Л у (в Ak) — ж Л с (в В*), для

54

В. Дзёбяк

х

, У £ Ck% имеем х А у (в Ak) — хАу (в С*,-) и, наконец, для ж = (с, г) Е С*,',

У = (d, j ) £ Cjy> г ^ J, выполняется х А у (в Л*) = с Л d (в Bk). Для р < & зададим отображения (рр : Ak —> Z3 следующим образом:

{

О, если х G CkP, 1, если х G Вк U LKCfci :г<ки1фр) -1,

и

ар<кх,

если a;6BjfeU U(Cfo* • * < к и г ф р) и а р £k ж.

Л Е М М А 2.1. Отображения (<рр \ р < к) образуют семейство гомоморфизмов из Ak на %з> которые отделяют элементы А^. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале покажем, что <рр является гомомор физмом. Отображение (рр сохраняет операцию "~ по определению <рр и по построению Ak. Отображение у?р сохраняет операцию Л, поскольку для x,j/G Ak выполняются следующие эквивалентности: (1) <рр(х А у) = 0 тогда и только тогда, когда <рр(х) = 0 и <£р(у) = 0; (2) (fp(x А у) = 1 тогда и только тогда, когда {1} С {<Рр(х), <рР(у)} С С {0,1}; (3) (fip(xAy) = - 1 тогда и только тогда, когда <рр(х) = - 1 или ^р(у) = = -1. Эквивалентность (1) справедлива, так как жЛу G CkP в том и только в том случае, если х , | / 6 Сь р . Эквивалентность (3) следует из (1) и (2), поэтому достаточно установить только эквивалентность (2). Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть <рр(х) = 1 и 1 <£ 3 ¥ > Р Ы ; случай 1 <£ 3 <£ 3 ¥>р(#) и <^р(у) = 1 рассматривается аналогично. Если <рр(у) = 0, т.е. У G Cjkp, то хАу Е Bk и ар <к ж Л у, поскольку о р < ^ и а р р(у) = 1. Если ж, у G Bjt или ж, у G С*,-, г ^ Р, то <^р(ж Л у) = 1. В противном случае х А у G Bk} и тогда <^>р(ж Л у) = 1 в силу ар р(ж Л у) = 1. Тогда х Ау £ С*,-, « 7^ JP> или ж Л у G -В*- Если ж Л у G С ь , г ^ р, то по построению А& получаем, что ж, у £ Cjb'. Поскольку i ф р и ар
Квазимногообразия полурешеток Сугихара, с инволюцией

55

любом из этих случаев {1} С {р(я),<£р(у)} С {0,1}. Эквивалентность (2) установлена. Покажем теперь, что (срр : р < к) отделяют элементы из А^. Пусть х,у £ Ak и х ^ а

у. Если ж , у £ Б&, то ж ^ у в J3^, а потому ap < x и

Р ^ У Для некоторого р < к. Следовательно, <рр(х) = 1 и <^р(у) = —1. Если

ж = (а, г), г/ = (Ь, г) £ С*; для некоторого г < А:, то а ^ Ъ в В^, а тогда ар < а и а р ^ 6 для некоторого р < к. Поскольку для с G В^ и (cf, г) £ С*,соотношение с <*. (d, г) выполняется в том и только в том случае, если с < d в Bk, из ар < а и ар jt Ь получаем ар
(&? 0- Соотношение

имеем di < 6, значит, г ^ р. Тогда <рр(х) = 1 и <£р(у) = - 1 . Если х £ Bk и У е С*р, то <рр(ж) € {-1,1} и <рр(у) = 0. Если ж G С*,- и у £ Ckj для t /

h

то ^ ( ж ) б {~1,1} и <^(у) = 0. П Через At(С^р) обозначается множество атомов в Ckp- Для а £ At(Ckp) и р < к зададим отображение
1, если х £ Ckp и a <jt ж,

J - 1 , если х £ Ckp и о ^ ж , <Рар{х) = I 2,

если ж G Bk U U(Cfc* : i < fc) и а р < fc ж,

[ -2,

если ж G J3fc U U(Cfci : г < fc) и а р £k х-

Л Е М М А 2.2. Множество (<рар : a £ At(Ckp) u p < к) образует семейство гомоморфизмов из Ak на Z4, которые отделяют

элементы

из Ak. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО проводится аналогично доказательству лем мы 2.1. • П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.3. Для k,n ^ 3 ил€еет Aiecrno A* £ Q(Zn). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для нечетного n, n ^ 3, выполняется Z 3 G G IS(Z„), и для четного n, n > 4, — Z 4 G IS(Z„), поэтому достаточно доказать включения Ак £ ISP(Z 3 ) и Л* Е ISP(Z 4 ). Они же следуют из лемм 2.1 и 2.2. •

56

В. Дзёбяк § 3. Доказательство теоремы Л Е М М А 3.1. Пусть 3 ^ к} тогда: (i) алгебры Bk, Cki, i < к, являются максимальными

булевыми по-

далгебрами алгебры Ak, и других таких подалгебр нет; (ii) если х £ Cki, г < к и 1вк Л х покрывает ai в Bk, то х

является

атомом в CkiДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (i) Требуемое утверждение получается по по строению Ak in) Предположим, что 1вк Ах покрывает а, в 2?*, где х = (с,г) Е CkiВ силу Cki = ([&*, lBfc]U[ai, aiVbi]) х{г} выполняется с £ [Ь,-, 1в*]и[сц, at-Vbj]. Поскольку 1 ^ Л ж = с, то с покрывает а, в В*. Принимая во внимание тот факт, что 6; не покрывает а, в J3*, получаем с € [at-,a,- VbJ. Поэтому (с, г) является атомом в Cki-

D

Л Е М М А 3.2. Пусть к,т^

3. Ifc/ш у?: А& —^ Ат является гомо

морфизмом, то к = т и Ker

(В*) С Вт или y?(Bfc) С Cmj для некоторого j < т. Тогда (1) <р(Вк) С В т , т.е. у Г Bfc : В* —> J9 m . В самом деле, пусть y>(Bfc) С C m j, тогда (р(1вк) = ( 1 в т , j ) , и в силу 1в* <* (1в*, i) имеем <р(1в*) = ¥>(1в*, 0 = (1в та , j) Д л я V>(0BJ

всех

* < к- Отсюда

= ¥>(an*) - ( a i>i) ДО* в с е х * < &, и, учитывая Ов* <* a t <* (a;, i),

получаем <£>(at) = (aj,j) для всех г < к. Поэтому <р(а{) = (lB m >i) для всех г < fc. Из последнего равенства вместе с 0вк = Л(^«

:г

< ^) вытекает

что невозможно в силу 1 в т ф a>j. Значит, <р(Вь) С JBm. Пусть А=

{ац<р\Вк(<ц)фОВт}.

Поскольку у Ат нет одноэлементных подалгебр, то А ф 0 . (2) Для всех а, 6 А элемент ^(а,) является атомом в 2Jm.

Квазимногообразия полурешеток Сугихара с инволюцией

57

Пусть щ Е А. По лемме 3.1(i)
Значит, 0j?m = (р((1вк, i)) = V ( b *)>

а отсю

а

Д ? принимая во внимание at* <&

(aj,t), получаем 0 в т = у(а,*). Тогда j,j) являются нулями соответственно в булевых алгебрах С*» и C m j , имеем у>(а,-,г) = = (aj,j). В силу (1), 1Вк Л (a,, i) = а,- и \вш <£>(a;) = =

Л

(ai> J) = a i получаем

<р(1Вк Л (а,-, г)) = <р(1вк) Л у>(а,-, *) 1

BmA(ai,j)

= a,-.

Поэтому ^(a,-) является атомом в Вт, Так как у? f Bfc : Bk —> Вт является булевым гомоморфизмом и Вт содержит в точности га атомов,, из (2) следует, что <р \ Bk : Bk —> Вт — сюръективное отображение и \А\ = га. Поскольку к ^ |А|, то к ^ га. Покажем, что к — т. Предположим противное, тогда fc > га. Существует р < к, для которого a p E А и ap$fci £ А. Положим J = { i < f c : 2 ^ t H а р ф ^ E А}. В силу (2) при некотором q < га выполняется у>(ар) = а д . Рассуждая, как и при доказательстве утверждения (2), получаем включение Г Дь отображают В& на Б т , элемен ты у>(ар V ap®ki), г Е / , покрывают aq в J3W. Значит, для г £ / \ {2}, по

1вто Л <р(ар V a P 0 fet ,p) = y>(ap V арФл1) и лемме 3.1(H), получаем, что

(р(ар V ap®ki,p) является атомом в C w g . Пусть теперь 2 Е / . Тогда (р(ар V ар^к2) покрывает aq в J3 m , и в силу а рФл 1 $ А имеем <£>(ар V арФк2)

=

у>(ар V арШл1 V а рФл2 ) = <£>(&Р)

=

<р{1вк Л (Ьр,р)) = ^ ( I B J Л <р{Ьр,р)

=

1втЛ^(ЬР,р).

58

В. Дзёбяк

Отсюда и из леммы 3.1(ii) следует, что <р(Ьр,р) является атомом в Cmq, Поскольку в Cmq содержится в точности т - 2 атома, из (3) следует т - 2 ^ |/|. В то же время |/| = |А| - 1 и \А\ = га. Поэтому \1\ = т - 1, получили противоречие. Значит, к = га, т.е. <р : Ak —> Ak. В частности, (р \ Bk : Bk —> Bfc, а поскольку <р \ Bk : Вк —> Вт является сюръективным отображением (см. выше), то <р \ Bk будет взаимно однозначным. Покажем теперь, что <р является взаимно однозначным отображени ем, т.е. Кег <р = 1<$Ак' Предположим противное, а именно, (р(а) = (р(Ь) для некоторых а ф Ь в А&. Так как <р \ Bk является взаимно однознач ным, то либо а,Ъ 6 Cki Для некоторого г < fc, либо a G С ь и Ь 6 Ckj для некоторых г, j < fc, г ^ j , либо а 6 В^ и Ь G С ^ для некоторого j < fc. Если a,b £ Cki, то а = (х,г) и Ь = (г/, г)7 где х ф у и х,у £ В*. Отсюда в силу 1дЛ Л а = ж и 1вк Л Ь = у имеем <£>(ж) = v?(y), тем са мым получили противоречие, поскольку отображение <р \ Bk является взаимно однозначным. Если а £ Cki или а £ В&, 6 £ CV/, где i Ф j , то, принимая во внимание а Л (a,j,j) € {Ов^а^} и 6Л (aj,j) = (aj,j)i

имеем

vK°sJ = j) или у?(а,-) = (a?)> что невозможно. Если j)> опять получили противоречие. • Квазимногообразие К называется конгруэнц-дистрибутивным,

если

для любого A £ К решетка всех конгруэнции 9 на Л, удовлетворяющих условию Л / в Е К, дистрибутивна. Л Е М М А 3.3. Квазимногообразие Q{Z$) является стрибутивным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть х«4у

:=

(ж-» у ) Л ( у - > ж),

а; о у :=

(х -» (у -> у)) ~> (ж -* у),

я * у :=

(ж о у) о у,

r(z,y,*,w)

:=

(жну)*(гнк?),

конгруэнц-ди

Квазимногообразия полурешеток Сугиха>р& с инволюцией

59

где х —• у = х Л у. Заметим, что для а, Ь £ £з имеют место утверждения: (1) а Л а = а в том и только в том случае, если a € {0,1}; (2) a * b E {0,1} в том и только в том случае, если a 6 {0,1} или Ъ €{0,1}; (3) а <-» 6 6 (0,1} в том и только в том случае, если а — Ъ. Используя (1), (2) и (3) при
r(a,b,c,d) e {0,1}

<£>

а <-» Ь G {0,1} или с н- d G {0,1}

<=>

а = Ь и с = с!.

Поэтому в £з выполняется следующее предложение первого порядка: s

ixyzw[r{x) у, 2, w) Л г(ж, у, г, и1) = г(ж, у, г, w) <£> (х — у или £ = w)].

А отсюда по теореме 2.2 из [10] квазимногообразие Ф(%з) будет конгруэнцдистрибутивным. О Заметим, что для n ^ 4 квазимногообразие Z n относительно подпрямо неразложимо в Q(Z„), но не является относительно подпрямо неразло жимым в абсолютном смысле. Следовательно, Q(Zn) не будет конгруэнцдистрибутивным для п ^ 4 (см. [5, теорема 6.1.8]). Л Е М М А 3.4. Для семейства (А,- : i £ / ) справедливо свойство (Р), где/ = ы\{0,1,2}. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть W 6 ftn(w), W # 0 , и (р : П(^« : г 6 W) —> А* является гомоморфизмом. Поскольку все А, принадлежат <2(2з)} из леммы 3.3 следует, что Q{Zz) — конгруэнц-дистрибутивное ква зимногообразие. Тогда Кег <р = П(©* : * € W) для некоторых конгруэнции 9 ; на А,-, г Е W. Пусть V = {i E W : Q< ф A{ X Л,}. Так как Ak не имеет тривиальных подалгебр, V непусто. Покажем равенство |V| = 1, что вме сте с леммой 3.2 позволит завершить доказательство. Вначале установим следующее утверждение: (1) Для любого s G V существует j < s такой, что 1с . ф 1в,(©«)«

60

В. Дзёбяк Предположим, напротив, что 1^ . = 1в,(©«) Д л я

для всех j < s имеем lc8JA0Csj

всех

3 < 5- Тогда

= 1в.Л0суДв в ). Отсюда, в силу lc e i A0c e i =

= 0c e i и 1ва A0c ei = «>, получаем 0c ej = aj(6 e ) для j < s. С другой сторо ны, из lCsj = 1в,( в *) следует 0c e j = 0вв(@*)> поскольку 0<^ = Tc #i и 0в, = = 1вл- Значит, 0в г = «j(e e ) для всех j < s. Так как элементы a,j являются атомами в В3, lcej = 1в,(©а) и для всех j < к выполняются соотношения 0в, = 0cej(®j)» алгебра А8/&8

будет тривиальной, т.е. 0 8 = A e x A 3 , a

последнее противоречит включению s G V. : г

Для простоты предположим, что <р : П(^« a(s/b) обозначается элемент из Yl{Ai

: г

£ ^0 —^ -^л- Через

£ ^0> Для которого Ki(a(s/b))

=

— 7Г;(а) при i ф s к 7Vi(a(s/b)) = Ь при г = 5; аналогично задается и a(s/6,£/c). (2) Имеет место <^((1в» • * G V*)) = 1вЛ. Заметим, что в А& множество всех пар (а, 6) со свойствами а <^ Л Ь и a = Ь исчерпывается парами вида (Ов^Дв*) и (0
:

* G V)) = ^вку либо

¥>((0в,- : i G V)) = 0cfep и ¥>((1в,- : i G V)) = lc fcp для некоторого р < fc. Если же ¥>((1в, * ?< G V)) = lckp,

TO

) поскольку 1сЛр является максимальным

элементом в ^ и для s £ V, j < s выполняется (1в{ : « £ V) < (1в,- * i G £ V>(e/lc e i )i получаем ^«1в^ : t € V » = 9«1в< : « € V>(e/lc # i )) Для j < fc. В свою очередь, из Кетср = П(®« ' i £ V) следует 1в, = 1с„-(в«) для всех j < 5, что противоречит (1). Поэтому <£>((1в,- : * € V)) = 1в*Покажем теперь, что |V| = 1. Предположим противное, т.е. |V| ^ 2. Пусть 5о,^1 G V различны, а j и I выбраны, как в (1), соответствен но для «о и 5i. В riC^i '• * £ V) элементы (1в,- : г G V^so/lc^,-) и (1в,- '• i G V ) ( 5 i / l c , J расположены выше (1в{ : г G V), но ниже (1в г : г G V ) ( s 0 / l c f ^в\/\сл

,), кроме того, ^ сохраняет отношение <, поэтому в

Afc элементы <р((1в{ ' i G V)(s0/lcB0J))

и <£>((1в< : * € V X V l c ^ , ) ) P^ 110 - 110 -

жены выше <р«1в,- • * G V)), но ниже <р«1в,- : * G F ) ( s 0 / l c , o i , S i / 1 ^ * ) ) - В силу (1), (2) и того свойства, что в Ak строго над 1вк находятся только эле менты 1Ск0 имеем <р((1в{ : * 6 V){s0/lCt)j))

= ^«1в< • * G V ) ( * i / l c ,)) =

Квазимногообразия полурешеток Сугихара с инволюцией

61

= lckp А л я некоторого р < к. Тогда 1вк

=

4>{(lBiiitV))

=

?«1в.. : •' € V)(s0/lCtQJ)

A (lBi : < 6

V^/lc^))

=

V«lB.. : < е V > ( W l c w . ) ) A V « l * : i € V X * / ^ , ) )

=

lckp Л lc* p

получили противоречие. Поэтому V = {s}, значит, <£> : А8 —> А&. Отсюда и из леммы 3.2 следует s = fc и Кег = i d ^ . Поэтому семейство (А{ : i € I) удовлетворяет свойству (Р), •

§ 4 . Убывающая цепь В этом параграфе свободную алгебру квазимногообразия <2(%з) с и свободными порождающими обозначим F . Поскольку %2 X £з изоморфна некоторой подалгебре алгебры Z2 x Z4, выполняется У(%з) = У(Ф(£з) П Q(%4))- С другой стороны, для произ вольного квазимногообразия К, у которого V(K) = V(Zs), имеет место Q(F) С К , значит, Q(F) С ф(%з) П Q(%4)- Теперь уже легко доказать, что Q(Z2) является единственным атомом и что Q(F) является единствен ным покрытием квазимногообразия Q{Z2) в Q-решетке квазимногообра зия Q(Z 3 ) П Q(Z 4 ). Из доказательства теоремы 0.1 следует, что интервал [Q(F),Q{Zz) П П<Э(^4)] в Q-решетке квазимногообразия Q(Zz) nQ(2>4) содержит копию решетки идеалов свободной решетки с о; свободными порождающими. В этом параграфе докажем еще один результат о внутренней структуре Q-решетки квазимногообразия Q(Zs) Пф(&|)« А именно, оказывается, что существует бесконечная убывающая цепь элементов решетки, чьим общим пересечением является Q(F)« Л Е М М А 4 . 1 . Алгебра Z2 x £з изоморфна некоторой подалгебре сво бодной алгебры F.

62

В. Дзёбяк

а

а = х Ах уАу а ЛЬ

аЛ6

Рис. 2 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Стандартными вычислениями можно пока зать, что элементы алгебры JP, изображенные на рис. 2, со свободными порождающими х и у образуют подалгебру, изоморфную %2 х %з-

п

Заметим, что для fc ^ 3 множество Sfc U {0с ы : г < fc} U {lcki : i < к} образует подалгебру алгебры А*, которую далее будем обозначать С&. Пусть U — фиксированный неглавный ультрафильтр на и \ {О,1,2}. Л Е М М А 4.2. Выполняются следующие условия: (i)

Q(F) С <Э(С*) А/*л всеж А ^ 3;

(ii)

Q(Cjb) С Q{Cm) и Q(Ck) ф Q(Cm) для всех

R

к>т^3;

Uu(Ck:3^k)eQ(F).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, (i) Выполнимость этого условия следует из леммы 4.1, из того, что F является свободной алгеброй в ф(%з)> и по скольку %2 х %з является подалгеброй каждой из Ck(ii) Пусть At(Bk) — множество атомов в Bk* Предположим также, что к ^ т и для А" С At(JBfc) такого, что \Х\ = к-т,

положим I = {г < к : щ £

£ X}. Кроме того, через 0 ^ обозначается наименьшая конгруэнция на С&, содержащая пары (a,0j3fe), a G X , и (1с ь -,1в*), * £ J* Алгебры Ck/@x и С ш изоморфны. Поскольку /\(Ск/Ох

• -X" С At(B^) и |Х| = A: — m) = idcfc,

то Cjt € Q(C m )- Рассуждая как в доказательствах утверждений (1) и (2) леммы 3.2, получаем, что существует гомоморфизм из С* в C w , тогда к ^ га. Поэтому Q(Ck) С Q(C m ) в том и только в том случае, если к ^ т.

Квазимногообразия полурешеток Сугихара с инволюцией (Ш) В силу леммы 4.1 достаточно доказать, что Ylu(Ck

63 : 3 ^

^ к) € ISP(Z2 X Z3). Поскольку каждое из В* конечно, ультрапроизве дение ]Ju{Bk : 3 ^ fc), обозначаемое далее В, является атомной булевой алгеброй, которая будет подалгеброй ультрапроизведения ПгДФь : 3 ^ Аг). Пусть a/U — атом в В. Поскольку свойство "быть атомом44 задается в языке первого порядка, можно считать, что а(к) является атомом в В для каждого к. Пусть Ga и На ~ это неглавные ультрафильтры на В, a/U 0 Ga, a/U £ На и Fa = GaC\ Ha. Заметим, что классы элементов QB/U, a/U, a/U, 1B/U в В по фильтру Fa различны. Если x/U — атом в В, отличный от a/U, то классы элементов x/U и QB/U В В ПО фильтру Fa совпадают; это следует из того, что Ga и На являются неглавными ультра фильтрами. Пусть Qa/U и 1а/С/ — это такие элементы из П с / ( ^ : 3 ^ fc), что 0о(&) = 0cki и 1а(к) = lcki для всех к, где при всех к элементы 0cki и 1
для которых a(fc) = a; <* 0c w <к 1с ы -

Зададим <ра : Ylu(Ck : 3 ^ Л) —* Z 2 х %з по правилу (0,1), если ж/С/= 1 а Д/, (0,1), если x/U = 0a/U, (1,1), если ж/{7 ^ l a / C / и г / С / < ж/С/для некоторого z/U € Fa, Mx/U)={

(1,1), если ж/С/е В и ж/С/Л г / С / = a/C/Л г/С/ для некоторого 2/I/ € F a , (Т, 1), если ж/С/ е В и ж/С/ Л г/С/ = о/С/ Л г/С/ для некоторого г/С/ 6 F a , (1,1)

в остальных случаях.

Поскольку каждый элемент из J\u(Ck : 3 ^ к) совпадает с элементом x/U таким, что х(к) G B& для всех к, или х(к) 6 {Qcki : i < к} для всех к, или х(к) G {lcki : i < к} для всех к, то <ра является гомоморфизмом. Для всех x/U, у/U Е В из ж/С/ < у/t/ вытекает, что a/U j£ x/U и a/U < y/U для некоторого атома a/U в В, поэтому семейство (<£а : а/С/ является атомом в В) отделяет элементы из П с / ( ^ : 3 ^ fc). Отсюда Пс/(С*: : '3 ^ <*) €lSP(Z2xZ3).a

64

В. Дзёбяк В силу леммы 4.2 квазимногообразие Q(F) не является конечно ак

сиоматизируемым. Кроме того, из леммы 4.2 следует ТЕОРЕМА

4,3. Существует

бесконечная убывающая цепь в

Q-решетке квазимногообразия Q{Z$ П Z±), пересечение элементов кото рой совпадает с Q(F). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Искомой цепь будет {Q(Ck) : 3 ^ к). В самом деле, по лемме 4.2(ii) и предложению 2.3 (Q(Ck) : 3 ^ к) образует убы вающую цепь в Q-решетке квазимногообразия (?(%з) П Q(ZA). f)(Q(Ck)

: 3 ^ к) С Q(Jlu(Ck

Поскольку

: 3 $С &)), а также в силу справедливости

условий (i) и (ш) леммы 4.2 имеем Q(F) = f)(Q(Ck) : 3 ^ к). П Импликативный фрагмент Ьдм/ . отношения Ьдм алгебраизуем (см. [1]). Квазимногообразие Q(A) соответствует отношению \-RMi_+\i где А = (%,—>) и ж —>• у = ж Л у. Очевидно, что квазимногообразия Q(A n ), где A n = (Z n ,->) и п ) 2 , содержатся в Q(A). В заключение сформули руем один вопрос: справедлив ли результат, аналогичный теореме 0.1 для квазимногообразий Q(A n )? Поскольку Q-решетка квазимногообразия, по рожденного конечной алгеброй Сугихара, конечна (см. [4]), заключение те оремы 0.1 оказывается ложным, если операции, моделирующие все связки из RM, включены в Ап.

ЛИТЕРАТУРА 1. W.J.Blok, D.Pigozzi, Algebraizable logics, (Mem. Am. Math. Soc, 77 (396)), Providence, Ш, Am. Math. Soc, 1989. 2. J. M. Dunn, Algebraic completeness results for R-mingle and its extensions, J. Symb. Log., 35, N 1 (1970), 1-13. 3. A.R.Anderson, N.D.Belnap, Jr., Entailment: the logic of relevance, vol. I, Princeton, Princeton University Press, 1975. 4. W. J. Bloky W. Dziobiak, On the lattice of quasivarieties of Sugihara algebras, Stud. Log., 45, N 3 (1986), 275-280. 5. В. А. Горбунов, Алгебраическая теория квазимногообразий (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга, 1999.

Квазимногообразия

полурешеток

Сугихара с инволюцией

65

6. М. Tokarz, A strongly finite logic with infinite degree of maximality, Stud. Log., 35, N 4 (1976), 447-451. 7. M. V.Sapir, The lattice of quasivarieties of semigroups, Algebra Univers., 21, N 2-3 (1985), 172-180. 8. M.E.Adams,

W. Dziobiak, Quniversal quasivarieties of algebras, Proc. Amer.

Math. Soc. 120, N 4 (1994), 1053-1059. 9. В. А. Горбунову Структура решеток многообразий и решеток квазимногооб разий: сходство и различие. И, Алгебра и логика, 34, N 4 (1995), 369—397. 10. D, Pigozzi,

Finite

basis theorems for

relatively

congruence-distributive

quasivarieties, Trans. Am. Math. Soc, 310, N 2 (1988), 499-533.

Адрес автора: DZIOBIAK, Wieslaw Departament of Mathematics University of Puerto Rico Mayaguez Campus Mayaguez, P R 00681-5000 USA e-mail: [email protected]

Поступило 21 июля 1999 г.

Квазимногообразия полурешеток Сугихара с инволюцией

Recommend Documents