Об одном ослабленном варианте конгруэнц- перестановочности для многообразий полугрупп

Алгебра и логика, 43, N 1 (2004), 3—31

УДК 512.532.2

ОБ ОДНОМ ОСЛАБЛЕННОМ ВАРИАНТЕ КОНГРУЭНЦ-ПЕРЕСТАНОВОЧНОСТИ ДЛЯ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУГРУПП∗) Б. М. ВЕРНИКОВ Введение Хорошо известно, что выполнение тождеств в решетках многообразий универсальных алгебр тесно связано с мультипликативными свойствами вполне инвариантных конгруэнций на свободных алгебрах многообразий. (Речь идет о свойствах, выразимых в терминах произведения бинарных отношений.) Пусть α и β — конгруэнции на одной и той же алгебре, n — натуральное число. Положим α ◦n β = αβαβ · · · , где число сомножителей в правой части равенства равно n. Конгруэнции α и β называются n-перестановочными, если α ◦n β = β ◦n α. При n = 2 получаем обычную перестановочность, 3-перестановочные конгруэнции принято называть слабо перестановочными. В силу классических результатов Б. Йонссона (см., напр., [1, гл. IV, § 4]), если многообразие V (слабо) конгруэнц-перестановочно, т. е. если на всякой алгебре из V любые две конгруэнции (слабо) перестановочны, то решетка его подмногообразий L(V) дезаргова (модулярна). В [2] показано, что конгруэнц-nперестановочность многообразия V, т. е. n-перестановочность любых двух ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 01-01-00258, и межвузовской научной программы ”Университеты России — фундаментальные исследования“ Министерства образования Российской Федерации, проект N 617.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

4

Б. М. Верников

конгруэнций на всякой алгебре из V, влечет наличие нетривиального тождества в решетке L(V) (при любом n). Однако в случае многообразий полугрупп мультипликативные ограничения, накладываемые на все конгруэнции всех полугрупп из многообразия, оказываются, как правило, слишком жесткими и не представляют интереса с точки зрения теории полугрупп. В частности, многообразие полугрупп конгруэнц-n-перестановочно тогда и только тогда, когда оно является многообразием периодических групп (при n = 2 это доказано в [3], а при произвольном n — в [2]). Ситуация становится более интересной, если накладывать мультипликативные ограничения не на все, а только на вполне инвариантные конгруэнции, и не на любых полугруппах данного многообразия, а только на его свободных объектах. При этом, с одной стороны, в полном объеме сохраняются связи с тождествами в решетках многообразий, а с другой — возникают обширные и важные классы многообразий. В ряде работ (см., напр., [4—6]) результаты о мультипликативных свойствах вполне инвариантных конгруэнций на относительно свободных полугруппах применялись при изучении тождеств в решетках многообразий полугрупп. Естественно возникает общая задача: изучить многообразия полугрупп, на свободных объектах которых вполне инвариантные конгруэнции удовлетворяют тому или иному мультипликативному ограничению. Ряд результатов в этом направлении получен в работах [7—9]. В частности, в [8] дается полное описание многообразий полугрупп с перестановочными вполне инвариантными конгруэнциями на их свободных объектах. Некоторые новые результаты на эту тему анонсированы в [10], данная работа посвящена изложению одного из них. Нам понадобится ряд определений и обозначений. Пусть α и β — конгруэнции на одной и той же алгебре. Как известно, их объединение α ∨ β в решетке конгруэнций выражается через отношения вида α ◦n β следующим образом: α∨β = α∪β ∪αβ ∪βα∪αβα∪βαβ ∪· · ·∪α◦n β ∪β ◦n α∪α◦n+1 β ∪· · · , (0.1)

5

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

где ∪ — теоретико-множественное объединение. Ясно, что n-перестановочность конгруэнций α и β влечет равенство α ∨ β = α ◦n β. С точки зрения (0.1) естественно рассмотреть следующее свойство: α ∨ β = α ◦ n β ∪ β ◦n α

(0.2)

(эквивалентное равенству α ◦n+1 β = α ◦n β ∪ β ◦n α). Оно слабее nперестановочности и сильнее (n + 1)-перестановочности. Равенство (0.1) показывает, что это, вероятно, единственное естественное ограничение на конгруэнции, расположенное ”посередине“ между n-перестановочностью и (n+1)-перестановочностью. Поэтому конгруэнции α и β со свойством (0.2) назовем n.5-перестановочными. В частности, конгруэнции α и β являются 2.5-перестановочными, если α ∨ β = αβ ∪ βα, и 1.5-перестановочными, если α ∨ β = α ∪ β. Как обычно, через N обозначается множество всех натуральных чисел. Положим N = N ∪ {n + 0.5 | n ∈ N}. Многообразие полугрупп, на всех свободных объектах которого любые две вполне инвариантные конгруэнции r-перестановочны (где r ∈ N), назовем f i-r-перестановочными. Если r = 2 (соответственно r = 3), то f i-r-перестановочные многообразия назовем (слабо) f i-перестановочными. Здесь дается полное описание f i-2.5-перестановочных многообразий полугрупп. Отметим, что условие 2.5-перестановочности вполне инвариантных конгруэнций на свободных объектах многообразия уже возникало в ряде работ (см., напр., [7, 11]). Многообразие полугрупп называется вполне простым, если оно состоит из вполне простых полугрупп. Обозначим через SL многообразие всех полурешеток. Основным результатом работы является ТЕОРЕМА. Многообразие полугрупп V будет f i-2.5-перестановочным тогда и только тогда, когда оно либо вполне простое, либо совпадает с SL, либо удовлетворяет одной из следующих систем тождеств: x1 x2 x3 = x1π x2π x3π , x2 y = 0,

(0.3)

x1 x2 x3 = x1π x2π x3π , xy 2 = 0,

(0.4)

x1 x2 x3 = x1π x2π x3π , x2 y = xy 2 , x2 yz = 0,

(0.5)

6

Б. М. Верников x1 x2 x3 = x1π x2π x3π , x2 y = yx2 , x3 y = 0,

(0.6)

x1 x2 x3 = x1π x2π x3π , x2 y = yx2 , x2 y 2 = 0,

(0.7)

x1 x2 x3 = x1π x2π x3π , x2 y = yx2 , x3 y = x2 y 2 , x2 y 2 z = 0,

(0.8)

xyz = zyx, xyx = 0,

(0.9)

xyz = zyx,

x2 y

= yxy,

x2 yz

(0.10)

= 0,

xyz = zyx, x2 y = xyx, x3 y = 0,

(0.11)

xyz = zyx, x2 y = xyx, x2 y 2 = 0,

(0.12)

xyz = zyx, x2 y = xyx, x3 y = x2 y 2 , x2 y 2 z = 0,

(0.13)

xyz = yzx,

x3 y

(0.14)

= 0,

xyz = yzx, x2 y 2 = 0,

(0.15)

xyz = yzx, x3 y = x2 y 2 , x2 y 2 z = 0,

(0.16)

x1 x2 x3 = x1π x2π x3π , x2 y = y 2 x, xyzt = 0,

(0.17)

x1 x2 x3 = x1π x2π x3π ,

xy 2

=

yx2 ,

xyzt = 0,

(0.18)

x1 x2 x3 = x1π x2π x3π , x2 y = yx2 , x1 x2 x3 x4 x5 = 0,

(0.19)

xyz = zyx, xyx = yxy, xyzt = 0,

(0.20)

xyz = zyx, x2 y = xyx, x1 x2 x3 x4 x5 = 0,

(0.21)

xyz = yzx, x1 x2 x3 x4 x5 = 0,

(0.22)

где в системах (0.3) и (0.17) перестановка π — одна из (12), (13) и (23), а в системах (0.4)–(0.8), (0.18) и (0.19) перестановка π — одна из (12) и (23). Отметим, что некоторые вспомогательные результаты работы относятся к слабо f i-перестановочным многообразиям или даже к f i-r-перестановочным многообразиям при любом r ∈ N. Многообразия, заданные системами тождеств (0.3)–(0.22), являются нильмногообразиями, т. е. состоят из нильполугрупп. Как мы увидим ниже, именно этот случай является наиболее сложным и занимает б´ольшую часть в доказательстве. Ключевыми здесь являются результаты работ [12– 14]. В первых двух показано, что строение решеток нильмногообразий в значительной степени определяется строением решеток конгруэнций некоторых унарных алгебр специального вида, так называемых G-множеств. В [14] изучались решеточные и мультипликативные свойства конгруэнций на G-множествах.

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

7

В § 1 воспроизводятся результаты работ [12–14] (в необходимом объеме) и доказываются мультипликативные аналоги результатов работ [12, 13]. В §§ 2 и 3 излагается доказательство теоремы, в § 4 приводится ряд ее следствий.

§ 1. Предварительные сведения 1.1. Конгруэнции на G-множествах. Пусть A — непустое множество, G — группа, ϕ — гомоморфизм из G в группу всех перестановок множества A. Каждому элементу g ∈ G поставим в соответствие унарную операцию g ∗ на множестве A, задаваемую по правилу g ∗ (a) = (ϕ(g))(a) для всякого a ∈ A. Унарную алгебру с носителем A и множеством операций {g ∗ | g ∈ G} называют G-множеством. Решетку конгруэнций Gмножества A обозначают через Con(A). G-множество A называется транзитивным, если для любых x, y ∈ A существует элемент g ∈ G такой, что y = g ∗ (x). Транзитивное G-подмножество G-множества A называют орбитой в A. G-множество A сегрегировано, если для любых конгруэнции α на A и двух различных орбит B и C в A выполняется следующее условие: из того, что b α c для некоторых элементов b ∈ B и c ∈ C, вытекает, что x α y для любых элементов x, y ∈ B ∪ C. В силу [14, предлож. 1.3] справедлива ЛЕММА 1.1. Если G-множество сегрегировано, то любые две его различные неодноэлементные орбиты не изоморфны. Очевидно, что имеет место ЛЕММА 1.2. Если G-множество A содержит не более одной неодноэлементной орбиты, то оно сегрегировано. G-множество A конгруэнц-r-перестановочно (где r ∈ N), если любые две конгруэнции на A r-перестановочны. Если r = 2 (соответственно r = 3), то конгруэнц-r-перестановочные G-множества, как обычно, назовем (слабо) конгруэнц-перестановочными. Через M3 обозначается многообразие решеток, порожденное 5-элементной модулярной недистрибутив-

8

Б. М. Верников

ной решеткой. Следующие предложения являются частными случаями соответственно теорем 2.2 и 3.4 из [14]. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Решетка конгруэнций G-множества A принадлежит M3 тогда и только тогда, когда A сегрегировано и содержит не более трех орбит, а решетка конгруэнций каждой орбиты этого G-множества принадлежит M3 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Пусть r ∈ {2.5, 3}. G-множество A конгруэнц-r-перестановочно тогда и только тогда, когда оно сегрегировано и содержит не более трех орбит, а каждая орбита этого Gмножества конгруэнц-r-перестановочна. Предложения 1.1 и 1.2 описывают G-множества с рассматриваемыми в них свойствами по модулю орбит, т. е. транзитивных G-подмножеств данного G-множества. Оставшаяся часть данного пункта посвящена конгруэнциям транзитивных G-множеств. Пусть A — G-множество и a ∈ A. Положим StabA (a) = {g ∈ G | g ∗ (a) = a}. Ясно, что StabA (a) — подгруппа в G. Как обычно, через Sub(G) обозначается решетка подгрупп группы G. Нам понадобится следующая хорошо известная (см., напр., [15, лемма 4.20]) ЛЕММА 1.3. Решетка конгруэнций транзитивного G-множества A изоморфна интервалу [StabA (a), G] решетки Sub(G), где a — произвольный элемент из A. Если P и Q — подмножества группы G, то положим P Q = {pq | p ∈ ∈ P, q ∈ Q}. Пусть H1 , H2 — подгруппы группы G, а n — натуральное число. Пусть H1 ◦n H2 = H1 H2 H1 H2 · · · , где число сомножителей в правой части равенства равно n. Подгруппы H1 и H2 назовем n-перестановочными, если H1 ◦n H2 = H2 ◦n H1 , и n.5-перестановочными, если H1 ∨ H2 = = H1 ◦n H2 ∪ H2 ◦n H1 , где ∨ — объединение в решетке Sub(G), а ∪ — теоретико-множественное объединение. Из [7, лемма 2.10] непосредственно вытекает следующий мультипликативный аналог леммы 1.3. ЛЕММА 1.4. Пусть r ∈ N. Транзитивное G-множество A конгруэнц-r-перестановочно тогда и только тогда, когда любые две группы

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

9

из интервала [StabA (a), G] решетки Sub(G) являются r-перестановочными, где a — произвольный элемент из A. Как обычно, через Sn обозначается симметрическая группа степени n. Непосредственно проверяется ЛЕММА 1.5. Подгруппы группы S3 , порожденные двумя ее различными транспозициями, не являются 2.5-перестановочными. Нам понадобится также ЛЕММА 1.6. Если транзитивное G-множество A содержит не более трех элементов, то решетка его конгруэнций — не более двух. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если |A| 6 2, то заключение очевидно. Пусть теперь A = {x, y, z}. Рассмотрим конгруэнцию α на A, отличную от отношения равенства. Без ограничения общности можно считать, что x α y. В силу транзитивности A существует g ∈ G такой, что z = g ∗ (x). Случай, когда g ∗ (y) = z, невозможен, так как при этом g ∗ (x) = g ∗ (y), а потому x = y. Следовательно, z = g ∗ (x) α g ∗ (y) ∈ {x, y}. Значит, α — универсальное отношение. 2 1.2. О решетках нильмногообразий полугрупп. В этом пункте рассматриваются полугруппы с сигнатурным нулем. Тем не менее, все сказанное ниже справедливо и для обычных полугрупповых многообразий, поскольку, как показано в [16], решетка нильмногообразий полугрупп с сигнатурным нулем изоморфна решетке нильмногообразий полугрупп в обычной полугрупповой сигнатуре. Всюду далее буквой F обозначается свободная полугруппа над алфавитом {x1 , x2 , . . . , xm , . . . }. Символом ≡ обозначается равенство в F . Нам понадобятся следующие обозначения, связанные с произвольным ненулевым словом u: ℓ(u) — длина слова u; ℓx (u) — число вхождений буквы x в слово u; c(u) — множество всех букв, входящих в запись u; n(u) — число букв, входящих в запись слова u. Будем говорить: слово u делит слово v (обозначим u ⊳ v), если v ≡ aξ(u)b для некоторых (возможно, пустых) слов a, b и некоторого эндоморфизма ξ полугрупы F ; слово u делит слово V

v в многообразии V (обозначим u ⊳ v), если u делит некоторое слово w

10

Б. М. Верников

такое, что v = w в V; слова u и v подобны (обозначим u ≈ v), если одно получается из другого переименованием букв; слова u и v подобны в мноV

гообразии V (обозначим u ≈ v), если существует слово w такое, что u ≈ w и v = w в V. Пусть m, n — натуральные числа и m 6 n. Многообразие полугрупп V назовем (n, m)-расщепляемым, если из выполнимости в V тождества u = v такого, что ℓ(u) = n, n(u) = m и ℓ(v) > n, вытекает, что в V выполняется тождество u = 0. Многообразие, являющееся (n, m)расщепляемым для всех n и m таких, что n > m, назовем однородным; многообразие, все подмногообразия которого (n, m)-расщепляемы (однородны), — наследственно (n, m)-расщепляемым (наследственно однородным). Легко понять, что всякое наследственно однородное многообразие является нильмногообразием. То, что в многообразии V не выполняется тождество u = 0, для краткости записывается в виде ”u 6= 0 в V“. Положим Fn,m (V) = {u ∈ F | ℓ(u) = n, c(u) = {x1 , x2 , . . . , xm } и u 6= 0 в V}. Пусть Wn,m (V) — подмножество в Fn,m (V) со следующим свойством: для всякого u ∈ Fn,m (V) существует, и притом только одно, слово u∗ такое, что в V выполняется тождество u = u∗ . Положим 0 Wn,m (V) = Wn,m (V) ∪ {0}. 0 (V) — 0-трансверМножество Wn,m (V) назовем трансверсалью, а Wn,m

салью. Отметим, что множество Fn,m (V) может быть пустым (если все слова длины n от m букв равны 0 в V). В этом случае множество Wn,m (V) 0 (V) всегда непусто, так как содержит 0. также пусто, но Wn,m 0 (V). Если u ∈ F , Определим действие группы Sm на множестве Wn,m

c(u) = {x1 , x2 , . . . , xm } и σ ∈ Sm , то через uσ обозначается образ слова u при эндоморфизме полугруппы F , продолжающем отображение xi 7−→ xiσ (считаем, что iσ = i при i > m). Если u ∈ Fn,m (V), то uσ ∈ Fn,m (V) и можно рассматривать слово (uσ)∗ . Для всякого σ ∈ Sm положим σ ∗ (u) ≡ (uσ)∗ , 0 (V) где u ∈ Wn,m (V), и σ ∗ (0) ≡ 0. Легко проверить, что множество Wn,m

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

11

с набором операций {σ ∗ | σ ∈ Sm } является Sm -множеством, если многообразие V (n, m)-расщепляемо (это вытекает из [12, док-во леммы 1.1]). Если, кроме того, Wn,m (V) 6= ∅, то Wn,m (V) является Sm -подмножеством 0 (V). Отметим еще, что {0} всегда является орбитой в W 0 (V), а в Wn,m n,m

любые два слова из одной и той же орбиты трансверсали Wn,m (V) подобны.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3 [13, следствие 1]. Решетка подмногообразий наследственно однородного многообразия полугрупп V антиизоморф0 (V)) по всем n и m на подпрямому произведению решеток вида Con(Wn,m

таким, что m 6 n. Для удобства ссылок сформулируем в явном виде следующую лемму, вытекающую из [12, док-во теор. 1.3]. ЛЕММА 1.7. Пусть m и n — натуральные числа такие, что m 6 n, а V — (n, m)-расщепляемое нильмногообразие полугрупп. Если α — вполне инвариантная конгруэнция на полугруппе F , отвечающая некоторому подмногообразию многообразия V, то ограничение конгруэнции α 0 (V) является конгруэнцией этого S -множества. на множество Wn,m m 0 (V) является ограниОбратно, всякая конгруэнция Sm -множества Wn,m 0 (V) вполне инвариантной конгруэнции на полугруппе F , чением на Wn,m

отвечающей некоторому подмногообразию многообразия V. 1.3. Мультипликативные аналоги предложения 1.3. Следующая непосредственно проверяемая лемма показывает, что при изучении мультипликативного поведения вполне инвариантных конгруэнций на относительно свободных полугруппах могут рассматриваться вполне инвариантные конгруэнции на полугруппе F . Это позволит существенно упростить дальнейшие рассуждения, так как с элементами полугруппы F (т. е. с обычными полугрупповыми словами) работать намного проще, чем с элементами относительно свободных полугрупп. ЛЕММА 1.8. Пусть V — многообразие полугрупп, ν — вполне инвариантная конгруэнция на полугруппе F , отвечающая многообразию V, а r ∈ N. Многообразие V будет f i-r-перестановочно тогда и только тогда, когда вполне инвариантные конгруэнции на полугруппе F , содержащие ν, r-перестановочны.

12

Б. М. Верников Напомним, что многообразие полугрупп называется локально ниль-

потентным, если всякая его конечно порожденная полугруппа нильпотентна. Нам многократно придется использовать следующие три технических результата (лемма 1.9) о тождествах нильполугрупп. Первое из них очевидно, второе вытекает из [17, лемма 1], а третье доказано в [9, лемма 1.3(iii)]. ЛЕММА 1.9. Пусть V — нильмногообразие полугрупп. а) Если V удовлетворяет тождеству u = v такому, что c(u) 6= 6= c(v), то оно удовлетворяет также и тождеству u = 0. б) Если V удовлетворяет тождеству вида x1 x2 · · · xn = v, где ℓ(v) 6= 6= n, то оно удовлетворяет также и тождеству x1 x2 · · · xn = 0. в) Если V локально нильпотентно и удовлетворяет тождеству u = = v такому, что ℓ(u) < ℓ(v) и u ⊳ v, то оно удовлетворяет также и тождеству u = 0. Точный мультипликативный аналог предложения 1.3 мог бы выглядеть следующим образом: для r ∈ N наследственно однородное многообразие V будет f i-r-перестановочным тогда и только тогда, когда все 00 (V) конгруэнц-r-перестановочны. Это утверждетрансверсали вида Wn,m

ние неверно даже при r = 2 (пример легко извлечь из [8, 9]), но его некоторые ослабленные варианты все-таки имеют место (см. предлож. 1.4 и лемму 1.11 ниже). Если V — (n, m)-расщепляемое нильмногообразие, а α — вполне инвариантная конгруэнция на полугруппе F , отвечающая некоторому подмно0 (V) обозначим через гообразию многообразия V, то ограничение α на Wn,m 0 (V). Для αn,m . В силу леммы 1.7, αn,m — конгруэнция Sm -множества Wn,m

доказательства предложения 1.4 понадобится следующая ЛЕММА 1.10. Пусть m, n и r — натуральные числа, причем m 6 n, V — наследственно (n, m)-расщепляемое многообразие нильполугрупп, а α и β — вполне инвариантные конгруэнции на F , отвечающие некоторым 0 (V) и (u, v) ∈ α ◦ β, подмногообразиям многообразия V. Если u, v ∈ Wn,m r

то (u, v) ∈ αn,m ◦r βn,m .

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

13

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По условию существует последовательность слов u0 , u1 , . . . , ur ∈ F такая, что u0 ≡ u, ur ≡ v и для всякого i = 0, 1, . . . , r − 1 пара (ui , ui+1 ) принадлежит α при четном i и β при нечетном i. Поскольку α и β отвечают подмногообразиям многообразия V, можно заменить каждое из слов u0 , u1 , . . . , ur на слово, равное ему в V. Поэтому будем считать, что каждое из u0 , u1 , . . . , ur принадлежит некото0 (V). В частности, для всякого i = 0, 1, . . . , r рой 0-трансверсали вида Wk,ℓ

либо ui ≡ 0, либо ui 6= 0 в V. Если u ≡ v, то требуемое очевидно. Пусть далее по крайней мере одно из слов u и v не равно 0 в V, скажем, u 6= 0 в V, а значит, u ∈ Wn,m (V). 0 (V) для всех i = 0, 1, . . . , r, то (u, v) ∈ α Если ui ∈ Wn,m n,m ◦r βn,m . 0 (V). Пусть Предположим теперь, что существует i, для которого ui ∈ / Wn,m

i — наименьший индекс с таким свойством. Ясно, что i > 0. Пара (ui−1 , ui ) 0 (V), откуда липринадлежит одной из конгруэнций α и β, а ui−1 ∈ Wn,m

бо ui−1 ≡ 0, либо c(ui−1 ) 6= c(ui ), либо ℓ(ui−1 ) 6= ℓ(ui ). По п. ”а“ леммы 1.9 и поскольку многообразие V наследственно (n, m)-расщепляемо, та из конгруэнций α и β, которая содержит пару (ui−1 , ui ), содержит и пару (ui−1 , 0). Аналогичные рассуждения показывают: если j — наибольший индекс 0 (V), то i 6 j < r и та из конгруэнций α и β, которая такой, что uj ∈ / Wn,m

содержит пару (uj , uj+1 ), содержит и пару (uj+1 , 0). В последовательно0 (V), а сти u0 , u1 , . . . , ui−1 , 0, uj+1 , . . . , ur каждое слово принадлежит Wn,m

любая пара соседних принадлежит либо α, либо β. Следовательно, любая пара соседних слов в этой последовательности принадлежит либо αn,m , либо βn,m . Учитывая, что длина этой последовательности не превосходит r, а (u0 , u1 ) ∈ α, получаем (u, v) ∈ αn,m ◦r βn,m . 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Пусть V — нильмногообразие полугрупп, m и n — натуральные числа такие, что m 6 n, а r ∈ N. Если многообразие V наследственно (n, m)-расщепляемо и f i-r-перестановочно, то 0 (V) конгруэнц-r-перестановочно. Sm -множество Wn,m

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через ν вполне инвариантную конгруэнцию на полугруппе F , отвечающую многообразию V. В силу лем-

14

Б. М. Верников

мы 1.8 любые две вполне инвариантные конгруэнции на F , содержащие ν, r-перестановочны. 0 (V)). Требуется доказать, что α и β r-перестаПусть α, β ∈ Con(Wn,m 0 (V)) вытекает, что µ = µ новочны. Из леммы 1.7 и µ ∈ Con(Wn,m n,m для

некоторой вполне инвариантной конгруэнции µ на F , содержащей ν. Предположим сначала, что r — натуральное число. В силу соображений симметрии достаточно доказать включение α ◦r β ⊆ β ◦r α. Пусть 0 (V) и (u, v) ∈ α ◦ β. Тогда (u, v) ∈ α ◦ β. Следовательно, u, v ∈ Wn,m r r

(u, v) ∈ β ◦r α. По лемме 1.10, (u, v) ∈ β ◦r α. Предположим теперь, что r = s + 0.5 для некоторого натурального s. Достаточно проверить включение α ◦s+1 β ⊆ α ◦s β ∪ β ◦s α. Пусть 0 (V) и (u, v) ∈ α ◦ u, v ∈ Wn,m s+1 β. Ясно, что (u, v) ∈ α ◦s+1 β. Поскольку

конгруэнции α и β s.5-перестановочны, получаем (u, v) ∈ α ◦s β ∪ β ◦s α, т. е. либо (u, v) ∈ α ◦s β, либо (u, v) ∈ β ◦s α. Из леммы 1.10 вытекает, что (u, v) ∈ α ◦s β в первом случае и (u, v) ∈ β ◦s α во втором. Таким образом, (u, v) ∈ α ◦s β ∪ β ◦s α. 2 Напомним, что многообразие полугрупп называется перестановочным, если оно удовлетворяет перестановочному тождеству, т. е. тождеству вида x1 x2 · · · xn = x1π x2π · · · xnπ ,

(1.1)

где π ∈ Sn . Число n называется длиной тождества (1.1). Если V — многообразие полугрупп, то через Permn (V) обозначается множество всех перестановок π ∈ Sn , для которых в V выполняется тождество (1.1). Ясно, что Permn (V) — подгруппа в Sn . Из предложения 1.4 вытекает СЛЕДСТВИЕ 1.1. Пусть V — нильмногообразие полугрупп, n — натуральное число, r ∈ N. Если Wn,n (V) 6= ∅, то Wn,n (V) является Sn множеством, которое конгруэнц-r-перестановочно тогда и только тогда, когда все группы из интервала [Permn (V), Sn ] решетки Sub(Sn ) r-перестановочны. 0 (V). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим W = Wn,n (V) и W 0 = Wn,n

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

15

Из п. ”б“ леммы 1.9 вытекает, что всякое многообразие нильполугрупп наследственно (n, n)-расщепляемо, а потому W 0 и W являются Sn множествами. В силу предложения 1.4, Sn -множество W 0 конгруэнцr-перестановочно. Следовательно, его Sn -подмножество W также конгруэнц-r-перестановочно. Ясно, что W транзитивно. Легко понять, что StabW (x1 x2 · · · xn ) = Permn (V) (см. [9, док-во следствия 1.7]). Теперь достаточно воспользоваться леммой 1.4. 2 Из предложения 1.4 вытекает, в частности, что если многообразие V наследственно однородно, а r ∈ N, то из f i-r-перестановочности V следует, 0 (V) конгруэнц-r-перестановочны. Обратчто все 0-трансверсали вида Wn,m

ное утверждение в общем случае неверно, тем не менее оно справедливо, если r > 2.5, а все непустые трансверсали вида Wn,m (V) транзитивны (ни от одного из этих условий отказаться нельзя). При r ∈ {2.5, 3} справедлива ЛЕММА 1.11. Пусть r ∈ {2.5, 3}, V — наследственно однородное многообразие полугрупп и выполняются следующие условия: 0 (V) конгруэнц-r-перестановочны; а) все 0-трансверсали вида Wn,m

б) среди непустых трансверсалей вида Wn,m (V) самое большее одна не является транзитивной; в) если Wn,m (V) 6= ∅, трансверсаль Wn,m (V) не является транзитивной, w 6= 0 в V и w ∈ / Fn,m (V), то либо w делит в V некоторое слово из Wn,m (V), либо любое слово из Wn,m (V) делит в V слово w. Тогда V будет f i-r-перестановочно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ν — вполне инвариантная конгруэнция на полугруппе F , отвечающая многообразию V, а α и β — вполне инвариантные конгруэнции на F , содержащие ν. В силу леммы 1.8 достаточно проверить, что α и β будут r-перестановочными. Пусть u, v ∈ F и (u, v) ∈ αβα, т. е. u α w1 β w2 α v для некоторых слов w1 , w2 . Требуется доказать, что (u, v) ∈ αβ ∪ βα, если r = 2.5, и (u, v) ∈ ∈ βαβ, если r = 3. Поскольку α, β ⊇ ν, можно заменить любое из слов u, w1 , w2 , v на слово, равное ему в V. Поэтому можно считать, что каждое 0 (V) и либо из слов u, w1 , w2 , v лежит в некоторой 0-трансверсали вида Wn,m

совпадает с 0, либо не равно 0 в V. Кроме того, можно считать, что слова

16

Б. М. Верников

u, w1 , w2 , v попарно различны, так как в противном случае, очевидно, (u, v) ∈ αβ ∪ βα ⊆ βαβ. В частности, одно из слов u и v не равно 0 в V. Не ограничивая общности, можно считать, что u 6= 0 в V, а значит, u ∈ Wn,m (V) для некоторых n и m. 0 (V) конгруэнц-r-перестаноВ силу условия ”а“ 0-трансверсаль Wn,m

вочна. Из предложения 1.2 вытекает, что она содержит не более трех орбит. Следовательно, трансверсаль Wn,m (V) содержит не более двух орбит. В частности, если она не является транзитивной, то содержит ровно две орбиты. Далее рассмотрим шесть случаев. 0 (V). Тогда (u, v) ∈ α С л у ч а й 1: w1 , w2 , v ∈ Wn,m n,m βn,m αn,m . Из

условия ”а“ вытекает, что (u, v) ∈ αn,m βn,m ∪ βn,m αn,m ⊆ αβ ∪ βα, если r = 2.5, и (u, v) ∈ βn,m αn,m βn,m ⊆ βαβ, если r = 3. С л у ч а й 2: w1 , w2 ∈ Wn,m (V), а v ∈ Wk,ℓ (V) для некоторой трансверсали Wk,ℓ (V), отличной от Wn,m (V). Отсюда и в силу наследственной однородности многообразия V, конгруэнция α содержит пары (w2 , 0) и (v, 0). Если трансверсаль Wn,m (V) транзитивна, то u ≈ w2 . Тогда конгруэнция α вместе с (w2 , 0) содержит (u, 0), откуда u α 0 α v, т. е. u α v. Предположим теперь, что Wn,m (V) не транзитивна. Из сказанного выше вытекает, что она содержит ровно две орбиты. По принципу Дирихле из слов u, w1 , w2 по крайней мере два лежат в одной и той же орбите и подобны. Если w1 ≈ w2 , то конгруэнция α вместе с (w2 , 0) содержит (w1 , 0). Тогда u α w1 α 0 α v, т. е. u α v. Аналогично, если u ≈ w2 , то конгруэнция α вместе с (w2 , 0) содержит (u, 0), и потому u α 0 α v, т. е. u α v. Пусть теперь u ≈ w1 . Напомним, что w1 β w2 . Следовательно, u β w2′ для некоторого слова w2′ такого, что w2′ ≈ w2 . Тогда конгруэнция α вместе с (w2 , 0) содержит (w2′ , 0), а потому u β w2′ α 0 α v, т. е. (u, v) ∈ βα. 0 (V), то прихоС л у ч а й 3: w1 ∈ Wn,m (V), а w2 ≡ 0. Если v ∈ Wn,m

дим к случаю 1. Поэтому можно считать, что v ∈ Wk,ℓ (V) для некоторой трансверсали Wk,ℓ (V), отличной от Wn,m (V). Если Wn,m (V) транзитивна, то u ≈ w1 . Тогда конгруэнция β вместе с (w1 , 0) содержит (u, 0). Следовательно, u β 0 α v, т. е. (u, v) ∈ βα. Аналогично рассматривается ситуация, когда трансверсаль Wn,m (V) не транзитивна, а слова u и w1 лежат в одной

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

17

и той же ее орбите. Предположим теперь, что трансверсаль Wn,m (V) не транзитивна, а слова u и w1 лежат в различных ее орбитах. Из сказанного выше вытекает, что Wn,m (V) содержит ровно две орбиты. По условию ”в“ либо v делит в V некоторое слово из Wn,m (V), либо любое слово из Wn,m (V) делит в V слово v. Предположим сначала, что v делит в V некоторое слово w из Wn,m (V). Тогда v делит в V любое слово из той орбиты трансверсали Wn,m (V), которая содержит w. Поскольку орбит в этой трансверсали всего две, а слова u и w1 лежат в различных ее орбитах, получаем, что v делит в V одно из слов V

u и w1 . Если v ⊳ u, то конгруэнция α вместе с (v, 0) содержит (u, 0), откуда V

u α 0 α v, т. е. u α v. Если же v ⊳ w1 , то конгруэнция α вместе с (v, 0) содержит (w1 , 0). Тогда u α w1 α 0 α v, т. е. вновь u α v. Осталось рассмотреть ситуацию, когда любое слово из Wn,m (V) делит в V слово v. В частности, V

w1 ⊳ v. Следовательно, конгруэнция β вместе с (w1 , 0) содержит (v, 0). Тогда u α w1 β 0 β v, т. е. (u, v) ∈ αβ. С л у ч а й 4: w1 ∈ Wn,m (V), а w2 ∈ Wk,ℓ (V) для некоторой трансверсали Wk,ℓ (V), отличной от Wn,m (V). Отсюда и в силу наследственной однородности многообразия V, конгруэнция β содержит пары (w1 , 0) и (w2 , 0). Если v ≡ 0, то u α w1 β v, т. е. (u, v) ∈ αβ. Если v принадлежит некоторой трансверсали, отличной от Wk,ℓ (V), то в силу наследственной однородности многообразия V конгруэнция α содержит пару (v, 0). Таким образом, u α w1 β 0 α v, и получилась ситуация, рассмотренная в случае 3. Пусть, наконец, v ∈ Wk,ℓ (V). По условию ”б“ по крайней мере одна из трансверсалей Wn,m (V) и Wk,ℓ (V) транзитивна. Если транзитивна Wn,m (V), то u ≈ w1 . Тогда конгруэнция β вместе с (w1 , 0) содержит (u, 0), откуда u β 0 β w2 α v, т. е. (u, v) ∈ βα. Если же транзитивна Wk,ℓ (V), то v ≈ w2 . Тогда конгруэнция β вместе с (w2 , 0) содержит (v, 0), откуда u α w1 β 0 β v, т. е. (u, v) ∈ αβ. С л у ч а й 5: w1 ≡ 0. Имеем w2 , v 6≡ 0. Если слова w2 и v лежат в одной и той же трансверсали, то получаем ситуацию, двойственную к случаю 3. В противном случае в силу наследственной однородности многообразия V конгруэнция α содержит пару (v, 0). Тогда u α 0 α v, т. е. u α v. С л у ч а й 6: w1 ∈ Wk,ℓ (V) для некоторой трансверсали Wk,ℓ (V), от-

18

Б. М. Верников

личной от Wn,m (V). Отсюда и в силу наследственной однородности многообразия V, конгруэнция α содержит пару (u, 0). Если v ≡ 0, то u α v. Если w2 ≡ 0, то u α w2 α v, т. е. вновь u α v. Если слова w2 и v лежат в одной и той же трансверсали, то получаем ситуацию, двойственную либо к случаю 2 (если w2 , v ∈ Wk,ℓ (V)), либо к случаю 4 (если w2 , v ∈ / Wk,ℓ (V)). Поэтому можно считать, что слова w2 и v лежат в различных трансверсалях. Тогда из наследственной однородности многообразия V вытекает, что конгруэнция α содержит пару (v, 0). Следовательно, u α 0 α v, т. е. u α v. 2

§ 2. Доказательство теоремы: необходимость Обозначим через ZM многообразие всех полугрупп с нулевым умножением. Напомним, что многообразие полугрупп называется вполне регулярным, если всякая его полугруппа есть объединение групп. Следующие две леммы обобщают леммы 1.6 и 1.5 из [8] соответственно. ЛЕММА 2.1. Если многообразие полугрупп слабо f i-перестановочно, то оно либо вполне регулярно, либо является нильмногообразием. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно (см., напр., [18]), что ZM является атомом решетки всех многообразий полугрупп, и что многообразие полугрупп вполне регулярно (является нильмногообразием) тогда и только тогда, когда оно не содержит ZM (когда решетка его подмногообразий не содержит атомов, отличных от ZM). Пусть V — слабо f i-перестановочное многообразие полугрупп. Предположим, что V ⊇ ZM. Достаточно убедиться в том, что L(V) не содержит атомов, отличных от ZM. Пусть, напротив, L(V) содержит атом A, отличный от ZM, α и ζ — вполне инвариантные конгруэнции на полугруппе F , отвечающие многообразиям A и ZM соответственно. Поскольку многообразие ZM ∧ A тривиально, вполне инвариантная конгруэнция ζ ∨ α совпадает с универсальным отношением ∇ на F . В силу леммы 1.8 конгруэнции ζ и α слабо перестановочны, и потому ζαζ = ∇. В частности, (x, y) ∈ ζαζ для любых двух различных букв x, y, т. е. x ζ u α v ζ y для

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

19

некоторых слов u и v. В ZM выполняются тождества x = u и v = y, откуда u ≡ x и v ≡ y. Тогда из u α v следует, что A удовлетворяет тождеству x = y вопреки выбору A. 2 ЛЕММА 2.2. Если вполне регулярное многообразие полугрупп f i2.5-перестановочно, то оно либо является вполне простым, либо совпадает с SL. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно (см., напр., [18]), что вполне регулярное многообразие полугрупп является вполне простым тогда и только тогда, когда оно не содержит многообразия SL (являющегося атомом решетки всех многообразий полугрупп), и что решетка подмногообразий всякого многообразия, строго содержащего SL, содержит атом, отличный от SL. Пусть V — f i-2.5-перестановочное вполне регулярное многообразие полугрупп, и V ⊇ SL. Достаточно проверить, что L(V) не содержит атомов, отличных от SL. Пусть, напротив, решетка L(V) содержит, наряду с SL, еще один атом A, α и σ — вполне инвариантные конгруэнции на полугруппе F , отвечающие многообразиям A и SL соответственно. Поскольку многообразие SL∧A тривиально, соответствующая ему вполне инвариантная конгруэнция σ ∨ α совпадает с универсальным отношением ∇ на F . В силу леммы 1.8, σ и α 2.5-перестановочны и потому σα ∪ ασ = = ∇. В частности, (x, y) ∈ σα ∪ ασ для любых двух различных букв x, y. Предположим сначала, что (x, y) ∈ σα, т. е. x σ u α y для некоторого слова u. Легко проверить, что тождество u = v справедливо в многообразии SL тогда и только тогда, когда c(u) = c(v). Поскольку x σ u, то c(u) = {x}, т. е. u ≡ xn для некоторого n. Из u α y следует, что в A выполняется тождество xn = y. Подставляя в нем x вместо y, получаем xn = x, и потому x = y. Это противоречит выбору многообразия A. Случай, когда (x, y) ∈ ασ, проверяется аналогично. 2 Пусть теперь V — f i-2.5-перестановочное, но не вполне простое многообразие полугрупп, и V 6= SL. В силу лемм 2.1 и 2.2, V является нильмногообразием. Требуется доказать, что V удовлетворяет одной из систем тождеств (0.3)–(0.22), где в системах (0.3)–(0.8) и (0.17)–(0.19) π имеет

20

Б. М. Верников

смысл, указанный в формулировке теоремы. Для этого нам понадобится ряд лемм. ЛЕММА 2.3. Если нильмногообразие полугрупп f i-2.5-перестановочно, то оно удовлетворяет нетривиальному перестановочному тождеству длины 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V — f i-2.5-перестановочное нильмногообразие полугрупп. Можно считать, что W3,3 (V) 6= ∅, — в противном случае V удовлетворяет любому перестановочному тождеству длины 3. Предположим, что заключение леммы неверно. Тогда Perm3 (V) — единичная группа, и интервал [Perm3 (V), S3 ] решетки Sub(S3 ) совпадает со всей этой решеткой. В силу п. ”б“ леммы 1.9 многообразие V наследственно (3, 3)-расщепляемо. Из предложения 1.4 вытекает, что S3 0 (V) конгруэнц-2.5-перестановочно, а следовательно, его S множество W3,3 3

подмножество W3,3 (V) будет таким же. Согласно следствию 1.1 все подгруппы группы S3 будут 2.5-перестановочными. Это противоречит лемме 1.5. 2 Хорошо известно, что всякое перестановочное нильмногообразие полугрупп локально нильпотентно. Поэтому лемма 2.3 позволяет всюду далее в этом параграфе применять п. ”в“ леммы 1.9, что и будет делаться без специальных оговорок. В [9, док-во леммы 2.8] доказана следующая ЛЕММА 2.4. Если нильмногообразие полугрупп удовлетворяет нетривиальному перестановочному тождеству длины 3, то оно (3, 2)расщепляемо. ЛЕММА 2.5. Пусть V — f i-2.5-перестановочное нильмногообразие полугрупп. а) V удовлетворяет одному из тождеств x2 y = y 2 x,

(2.1)

xy 2 = yx2 ,

(2.2)

x2 y = xy 2 ,

(2.3)

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности x2 y = yx2 .

21 (2.4)

б) V удовлетворяет либо тождеству (2.1), либо одному из тождеств xyx = yxy,

(2.5)

x2 y = xyx,

(2.6)

x2 y = yxy.

(2.7)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждения ”а“ и ”б“ доказываются аналогично, поэтому ограничимся проверкой первого. В силу леммы 2.3, V удовлетворяет нетривиальному перестановочному тождеству длины 3. По лемме 2.4, V наследственно (3, 2)-расщепляемо. В силу предложений 1.4 0 (V) конгруэнц-2.5-перестановочно и сегрегирои 1.2, S2 -множество W3,2

вано. Если V не удовлетворяет ни одному из тождеств (2.1)–(2.4), то 0 (V) содержит две изоморфных неодноэлементных орбиты: {x2 y, y 2 x} W3,2

и {xy 2 , yx2 }. По лемме 1.1 это невозможно. 2 ЛЕММА 2.6. Пусть V — наследственно (n, m)-расщепляемое слабо f i-перестановочное нильмногообразие полугрупп. Если множество Wn,m (V) непусто, то либо трансверсаль Wn,m (V) транзитивна, либо V удовлетворяет тождеству x1 x2 · · · xn+1 = 0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно считать, что m < n, поскольку все непустые трансверсали вида Wn,n (V) транзитивны. Для краткости поло0 (V). Пусть V не удовлетворяет тождеству жим W = Wn,m (V) и W 0 = Wn,m

x1 x2 · · · xn+1 = 0, W 6= ∅ и трансверсаль W не является транзитивной. В силу предложений 1.4 и 1.2, 0-трансверсаль W 0 содержит не более трех орбит. Следовательно, W содержит не более двух, а в силу своей нетранзитивности — ровно две орбиты. Пусть u, v — слова из различных орбит этой трансверсали. Ясно, что V не удовлетворяет ни одному из тождеств u = v, u = 0 и v = 0. Рассмотрим подмногообразия A и B многообразия V, первое из которых задается внутри V тождествами u = v и x1 x2 · · · xn+1 = 0, а второе — тождеством v = 0. Из выбора слов u и v вытекает, что в A не выполняются

22

Б. М. Верников

тождества u = 0 и v = 0, а в B — тождества u = 0 и x1 x2 · · · xn+1 = 0. Обозначим через α и β вполне инвариантные конгруэнции на полугруппе F , отвечающие многообразиям A и B соответственно. В силу леммы 1.8 конгруэнции α и β слабо перестановочны. Поскольку u α v β 0 α x1 x2 · · · xn+1 , получаем (u, x1 x2 · · · xn+1 ) ∈ αβα. Следовательно, (u, x1 x2 · · · xn+1 ) ∈ βαβ, т. е. существуют слова w1 и w2 такие, что u β w1 α w2 β x1 x2 · · · xn+1 . Если w2 6≈ x1 x2 · · · xn+1 , то из того, что B удовлетворяет тождеству w2 = x1 x2 · · · xn+1 , и п. ”б“ леммы 1.9 вытекает, что x1 x2 · · · xn+1 = 0 в B. Следовательно, w2 ≈ x1 x2 · · · xn+1 . Если либо ℓ(w1 ) 6= n, либо c(w1 ) 6= {x1 , x2 , . . . , xm }, то из наследственной (n, m)-расщепляемости многообразия V, п. ”а“ леммы 1.9 и того, что u = w1 в B, вытекает, что B удовлетворяет тождеству u = 0, а это невозможно. Пусть, наконец, ℓ(w1 ) = n и c(w1 ) = {x1 , x2 , . . . xm }. Напомним, что w2 ≈ x1 x2 · · · xn+1 . По п. ”б“ леммы 1.9 и поскольку A удовлетворяет тождеству w1 = w2 , w1 = 0 в A. Пусть сначала w1 6= 0 в V. Тогда w1 ∈ Fn,m (V), и потому w1 равно в V некоторому слову из W . Трансверсаль W содержит ровно две орбиты, а u и v лежат в различных ее орбитах, поэтому каждое слово из W подобно одному из V

V

слов u и v, т. е. либо w1 ≈ u, либо w1 ≈ v. Следовательно, в A выполняется одно из тождеств u = 0 и v = 0, получаем противоречие. Пусть, наконец, w1 = 0 в V. Тогда w1 = 0 в B, а значит, и u = 0 в B, что невозможно. 2 ЛЕММА 2.7. Пусть V — слабо f i-перестановочное нильмногообразие полугрупп. а) Если V удовлетворяет одному из тождеств xyz = yxz и xyz = = xzy, то V удовлетворяет также либо (2.3), либо одному из тождеств x2 y = 0,

(2.8)

xy 2 = 0,

(2.9)

xyzt = 0.

(2.10)

б) Если V удовлетворяет тождеству xyz = zyx, то V удовлетворяет также либо одному из (2.6), (2.8) и (2.10), либо тождеству xyx = 0.

(2.11)

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

23

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) Можно считать, что W3,2 (V) 6= ∅, — в противном случае V удовлетворяет любому из (2.3), (2.8) и (2.9). В силу лемм 2.4 и 2.6 либо V удовлетворяет тождеству (2.10), либо трансверсаль W3,2 (V) транзитивна. Если V не удовлетворяет ни одному из тождеств (2.3), (2.8) и (2.9), то слова x2 y и xy 2 принадлежат различным орбитам трансверсали W3,2 (V). б) Проверяется аналогично. 2 Для всякого i = 1, 2, . . . , n положим Stabn (i) = {π ∈ Sn | iπ = i}. Ясно, что Stabn (i) — подгруппа в Sn . Из [19] вытекает следующая ЛЕММА 2.8. Пусть V — многообразие полугрупп, удовлетворяющее нетривиальному перестановочному тождеству длины 3. Если n > 4, то группа Permn (V) содержит одну из групп Stabn (1) и Stabn (n). ЛЕММА 2.9. Если нильмногообразие полугрупп f i-2.5-перестановочно, то оно (4, 2)-расщепляемо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V — f i-2.5-перестановочное нильмногообразие полугрупп. По лемме 2.3, V удовлетворяет нетривиальному перестановочному тождеству длины 3, и можно применять п. ”в“ леммы 1.9. Пусть V удовлетворяет тождеству u = v, где ℓ(u) = 4, n(u) = 2 и ℓ(v) > 4. В силу п. ”а“ леммы 1.9 можно считать, что c(u) = c(v). По лемме 2.8, u подобно в V одному из слов x3 y, xy 3 и x2 y 2 , и можно полагать, что u совпадает с одним из них. В частности, c(u) = c(v) = {x, y}. Положим k = ℓx (v) и ℓ = ℓy (v). Если k > 4 или ℓ > 4, то u ⊳ v и u = 0 в V в силу п. ”в“ леммы 1.9. Поскольку ℓ(v) > 5, то либо k = ℓ = 3, либо k = 3 и ℓ = 2, либо k = 2 и ℓ = 3. По лемме 2.8, v равно в V одному из слов x3 y 3 , y 3 x3 , x3 y 2 , y 3 x2 , x2 y 3 и y 2 x3 , поэтому можно считать, что v совпадает с одним из них. Из п. ”в“ леммы 1.9 немедленно вытекает требуемое при условии, что либо u ≡ x2 y 2 , либо v ∈ {x3 y 3 , y 3 x3 }, либо u ≡ x3 y и v ∈ {x3 y 2 , y 3 x2 }, либо u ≡ xy 3 и v ∈ {x2 y 3 , y 2 x3 }. Остаются две возможности: u ≡ x3 y и v ∈ {x2 y 3 , y 2 x3 }, или u ≡ xy 3 и v ∈ {x3 y 2 , y 3 x2 }. По п. ”а“ леммы 2.5, V удовлетворяет одному из тождеств (2.1)–(2.4). Пусть сначала в V выполняется одно из тождеств (2.1)–(2.3). Подставляя в каждое из них x2 вместо x получаем, что в V выполняется

24

Б. М. Верников

одно из тождеств x4 y = y 2 x2 , x2 y 2 = yx4 и x4 y = x2 y 2 . В любом случае из п. ”в“ леммы 1.9 вытекает, что x2 y 2 = 0 в V, и потому в V выполняется тождество v = 0. Пусть теперь V удовлетворяет тождеству (2.4). Если u ≡ x3 y и v ∈ V

∈ {x2 y 3 , y 2 x3 }, то v равно в V одному из слов y 3 x2 и x3 y 2 , и потому u ⊳ v. В силу п. ”в“ леммы 1.9 имеем u = 0 в V. Случай, когда u ≡ xy 3 и v ∈ ∈ {x3 y 2 , y 3 x2 }, рассматривается аналогично. 2 ЛЕММА 2.10. Если нильмногообразие полугрупп f i-2.5-перестановочно, то оно удовлетворяет одному из тождеств x3 y = x2 y 2 ,

(2.12)

x3 y = 0,

(2.13)

x2 y 2 = 0,

(2.14)

x1 x2 x3 x4 x5 = 0.

(2.15)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V — f i-2.5-перестановочное нильмногообразие полугрупп. Можно считать, что W4,2 (V) 6= ∅, — в противном случае V удовлетворяет любому из тождеств (2.12)–(2.14). В силу лемм 2.6 и 2.9 либо V удовлетворяет тождеству (2.15), либо трансверсаль W4,2 (V) транзитивна. Если V не удовлетворяет ни одному из тождеств (2.12)– (2.14), то слова x3 y и x2 y 2 принадлежат различным орбитам трансверсали W4,2 (V). 2 ЛЕММА 2.11 [9, лемма 2.12]. Пусть V — нильмногообразие полугрупп, удовлетворяющее нетривиальному перестановочному тождеству длины 3. а) Если V удовлетворяет одному из тождеств (2.3) или (2.7), то оно удовлетворяет также тождеству x2 yz = 0. б) Если V удовлетворяет тождеству (2.12), то оно удовлетворяет также тождеству x2 y 2 z = 0. Завершим теперь доказательство того, что условие теоремы является необходимым. Пусть V — f i-2.5-перестановочное нильмногообразие полугрупп. В силу леммы 2.3, V удовлетворяет тождеству вида x1 x2 x3 = = x1π x2π x3π , где π — одна из перестановок (12), (13), (23) и (123).

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

25

Предположим сначала, что π — одна из перестановок (12) и (23). В силу п. ”а“ леммы 2.5 (п. ”а“ леммы 2.7) V удовлетворяет одному из тождеств (2.1)–(2.4) (одному из (2.3) и (2.8)–(2.10)). Если в V выполняется одно из (2.8) и (2.9), то получаем одну из систем (0.3) и (0.4) соответственно. Если в V выполняется (2.3), то по п. ”а“ леммы 2.11, V удовлетворяет системе (0.5). Если же в V выполняются (2.10) и одно из (2.1), (2.2), то приходим к одной из систем (0.17) и (0.18) соответственно. Пусть V удовлетворяет тождеству (2.4). В силу леммы 2.10, V удовлетворяет одному из (2.12)–(2.15). Если оно удовлетворяет одному из (2.13)–(2.15), то получается одна из систем (0.6), (0.7) и (0.19) соответственно. Если же выполняется (2.12), то, в силу п. ”б“ леммы 2.11, V удовлетворяет системе (0.8). Предположим теперь, что π = (13). В силу п. ”б“ леммы 2.5 (п. ”б“ леммы 2.7) V удовлетворяет одному из тождеств (2.1), (2.5)–(2.7) (одному из (2.6), (2.8), (2.10) и (2.11)). Если в V выполняется одно из (2.8) и (2.11), то получаем одну из систем (0.3) и (0.9) соответственно. Если в V выполняется (2.7), то по п. ”а“ леммы 2.11, V удовлетворяет системе (0.10). Если же в V выполняются (2.10) и одно из (2.1), (2.5), то приходим к одной из систем (0.17) и (0.20) соответственно. Пусть в V выполняется тождество (2.6). В силу леммы 2.10, V удовлетворяет одному из (2.12)–(2.15). Если V удовлетворяет одному из (2.13)–(2.15), то получаем одну из систем (0.11), (0.12) и (0.21) соответственно. Если же в V выполняется (2.12), то, в силу п. ”б“ леммы 2.11, V удовлетворяет системе (0.13). Пусть, наконец, π = (123). В силу леммы 2.10, V удовлетворяет одному из тождеств (2.12)–(2.15). Если V удовлетворяет одному из (2.13)–(2.15), то получаем одну из систем (0.14), (0.15) и (0.22) соответственно. Если же в V выполняется (2.12), то, в силу п. ”б“ леммы 2.11, V удовлетворяет системе (0.16). Необходимость доказана. § 3. Доказательство теоремы: достаточность В [4, 5] доказано, что всякое вполне простое многообразие f i-перестановочно. Поскольку SL является атомом решетки всех многообразий полугрупп, на всякой SL-свободной полугруппе имеется не более двух вполне

26

Б. М. Верников

инвариантных конгруэнций. Ясно, что они перестановочны. Поэтому осталось рассмотреть случай, когда V удовлетворяет одной из систем тождеств (0.3)–(2.22), где в системах (0.3)–(0.8) и (0.17)–(0.19) π имеет смысл, указанный в формулировке теоремы. Требуется доказать, что V будет f i-2.5перестановочно. Предположим сначала, что V удовлетворяет одной из систем (0.3)– (0.16). Из [9, лемма 3.4] вытекает, что в этом случае V наследственно одно0 (V) конгруэнц-перестановочны, а все родно, все 0-трансверсали вида Wn,m

непустые трансверсали вида Wn,m (V) транзитивны. В силу леммы 1.11, V является f i-2.5-перестановочным. Осталось рассмотреть многообразия, заданные системами (0.17)–(0.22). ЛЕММА 3.1. Пусть V — многообразие полугрупп, заданное одной из систем тождеств (0.17)–(0.22) (где в системах (0.17)–(0.19) π имеет смысл, указанный в формулировке теоремы). Тогда V наследствен0 (V) сегрегированы и содерно однородно, все 0-трансверсали вида Wn,m

жат не более трех орбит, а решетки конгруэнций всех орбит этих 0трансверсалей содержат не более двух элементов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Все непустые трансверсали вида Wn,m (V) при 1 < m < n приводятся во втором столбце таблицы. Точки с запятой разделяют орбиты трансверсалей. Используя таблицу и лемму 1.9, легко установить, что многообразие V наследственно однородно. 0 (V) = Пусть теперь m, n ∈ N и m 6 n. Если Wn,m (V) = ∅, то Wn,m

= {0} и требуемое очевидно. Поэтому можно считать, что Wn,m (V) 6= ∅. Если m = 1, то требуемое вновь очевидно, поскольку 0-трансверсаль 0 (V) состоит из двух одноэлементных орбит: {xn } и {0}. Wn,1 1

Пусть 1 < m < n. Из таблицы видно, что в этом случае все непустые трансверсали вида Wn,m (V) содержат не более двух орбит, а потому все 0 (V) — не более трех. Из таблицы и леммы 1.2 0-трансверсали вида Wn,m 0 (V) сегрегированы. Наконец, вытекает, что все 0-трансверсали вида Wn,m

из таблицы и леммы 1.6 следует, что решетки конгруэнций всех орбит этих 0-трансверсалей содержат не более двух элементов. 0 (V) содержит две орбиты: Пусть m = n. Ясно, что Sn -множество Wn,n

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

27

Таблица Непустые трансверсали V задается

Непустые трансверсали

одной из

вида Wn,m (V),

трансверсалей

систем тождеств

где 1 < m < n

(с точностью до подобия)

(0.17) при π ∈ {(12), (23)}

W3,2 (V) = {x2 y; xy 2 , yx2 }

x, x2 , x3 , xy, xyz

{x2 y; xyx, yxy}

x, x2 , x3 , xy, xyz

W3,2 (V) = {x2 y, y 2 x; xy 2 }

x, x2 , x3 , xy, xyz

(0.17) при π = (13) (0.18) при π ∈ {(12), (23)} (0.19) при π = (12), (0.21), (0.22)

W3,2 (V) =

{x2 y, y 2 x}

x, x2 , x3 , x4 ,

{x3 y, y 3 x; x2 y 2 }

xy, xyz, xyzt,

W3,2 (V) = W4,2 (V) =

W4,3 (V) = {x2 yz, y 2 xz, z 2 xy} W4,2 (V) =

x, x2 , x3 , x4 ,

{x3 y, y 3 x; x2 y 2 }

xy, xyz, xyzt,

W4,3 (V) = {xyz 2 , xzy 2 , yzx2 } (0.20)

W3,2 (V) =

x2 y, x2 yz

{x2 y, y 2 x}

W3,2 (V) = (0.19) при π = (23)

Слова из транзитивных

{x2 y, y 2 x; xyx}

x2 y, xyz 2 x, x2 , x3 , xy, xyz

0 (V) сегрегирована, вытекает теWn,n (V) и {0}. То, что 0-трансверсаль Wn,n

перь из леммы 1.2. Покажем, что трансверсаль Wn,n (V) содержит не более двух конгруэнций. В силу следствия 1.1 достаточно проверить, что интервал [Permn (V), Sn ] решетки Sub(Sn ) содержит не более двух элементов. При n 6 2 это очевидно, так как вся решетка Sub(Sn ) содержит не более двух элементов. Пусть теперь n = 3. Каждая из систем (0.17)–(0.22) содержит нетривиальное перестановочное тождество длины 3. Следовательно, группа Perm3 (V) отлична от единичной. Остается учесть, что всякая собственная подгруппа группы S3 является коатомом решетки Sub(S3 ). При n > 4 по лемме 2.8 группа Permn (V) содержит одну из групп Stabn (1) и Stabn (n). Остается учесть тот факт, что все группы вида Stabn (i), где 1 6 i 6 n, являются коатомами решетки Sub(Sn ). 2 Завершим доказательство теоремы. Пусть V — многообразие полугрупп, заданное одной из систем тождеств (0.17)–(0.22). В силу лем0 (V) конгруэнцмы 3.1 и предложения 1.2 все 0-трансверсали вида Wn,m

2.5-перестановочны. Из таблицы видно, что при 1 < m < n среди непустых трансверсалей вида Wn,m (V) самое большее одна не является транзитивной. Поскольку непустые трансверсали вида Wn,1 (V) и Wn,n (V) всегда транзитивны, то V удовлетворяет условию ”б“ леммы 1.11. Наконец, учи-

28

Б. М. Верников

тывая данные из второго столбца таблицы и то, что в системы (0.17), (0.18) и (0.20) входит тождество xyzt = 0, а в системы (0.19), (0.21) и (0.22) — тождество x1 x2 x3 x4 x5 = 0, можно выписать все (с точностью до подобия) слова, не равные 0 в V и принадлежащие транзитивным трансверсалям вида Wn,m (V), см. третий столбец таблицы. Из этих данных непосредственно вытекает, что V удовлетворяет условию ”в“ леммы 1.11. В силу этой леммы V будет f i-2.5-перестановочным. Теорема доказана. § 4. Следствия В силу доказанной выше теоремы и [8, теор. 1] имеет место СЛЕДСТВИЕ

4.1. Многообразие полугрупп, не являющееся

нильмногообразием, f i-перестановочно тогда и только тогда, когда оно f i-2.5-перестановочно. Это следствие интересно сопоставить с другим фактом, непосредственно вытекающим из [8, док-во теор. 1]: нильмногообразие полугрупп f i-перестановочно тогда и только тогда, когда оно f i-1.5-перестановочно. В [11] доказано, что нильмногообразие имеет дистрибутивную решетку подмногообразий тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет одной из систем тождеств (0.3)–(0.16), где в системах (0.3)–(0.8) π имеет смысл, указанный в формулировке теоремы (более простое и короткое док-во этого факта см. в [9]). Из этого результата и теоремы, доказанной в данной работе, вытекает СЛЕДСТВИЕ 4.2. Если V — нильмногообразие полугрупп с дистрибутивной решеткой подмногообразий, то V является f i-2.5-перестановочным. Напомним, что многообразие полугрупп называется комбинаторным, если оно не содержит нетривиальных групп. СЛЕДСТВИЕ 4.3. Пусть V — f i-2.5-перестановочное многообразие полугрупп и выполняется по крайней мере одно из следующих двух условий: а) V не является вполне простым многообразием;

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

29

б) V — комбинаторное многообразие. Тогда L(V) ∈ M3 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) В силу теоремы и двухэлементности решетки L(SL) достаточно рассмотреть многообразия, заданные системами (0.3)–(0.22). Как уже отмечалось, в [11] показано, что если многообразие задается одной из систем (0.3)–(0.16), то решетка его подмногообразий дистрибутивна. Если же V задается одной из систем (0.17)–(0.22), то достаточно воспользоваться предложениями 1.1, 1.3 и леммой 3.1. б) Из теоремы видно, что всякое комбинаторное f i-2.5-перестановочное многообразие является либо многообразием связок, либо нильмногообразием. В первом случае достаточно учесть, что решетка всех многообразий связок дистрибутивна (см., напр., [18]), а во втором — сослаться на уже доказанный п. ”а“. 2 В связи со следствием 4.3 отметим еще один факт, непосредственно вытекающий из [8, теор. 1]: если многообразие полугрупп V является f i-перестановочным и выполняется одно из условий следствия 4.3, то решетка L(V) дистрибутивна. Интересно также сопоставить следствие 4.3 с результатом из [7]: если V — надкоммутативное многообразие полугрупп, то подкоммутативные вполне инвариантные конгруэнции на V-свободных полугруппах 2.5-перестановочны тогда и только тогда, когда решетка надкоммутативных подмногообразий многообразия V принадлежит M3 . Автор выражает свою благодарность Л. Н. Шеврину за внимание к работе. ЛИТЕРАТУРА 1. Г. Гретцер, Общая теория решеток, М., Мир, 1982. 2. P. Lipparini, n-permutable varieties satisfy non trivial congruence identities, Algebra Univers., 33, N 2 (1995), 159—168. 3. E. J. Tully, The equivalence, for semigroup varieties, of two properties concerning congruence relations, Bull. Am. Math. Soc., 70, N 3 (1964), 399—400. 4. F. J. Pastijn, Commuting fully invariant congruences on free completely regular semigroups, Trans. Am. Math. Soc., 323, N 1 (1991), 79—92.

30

Б. М. Верников 5. M. Petrich, N. R. Reilly, The modularity of the lattice of varieties of completely regular semigroups and related representations, Glasg. Math. J., 32, N 2 (1990), 137—152. 6. M. V. Volkov, T. A. Ershova, The lattice of varieties of semigroups with completely regular square, in: T. E. Hall (ed.) et al., Semigroup theory, Monash conf. semigroup theory honour G. B. Preston, Clayton, Australia, 1990, Singapore, World Scientific, 1991, 306—322. 7. B. M. Vernikov, Distributivity, modularity, and related conditions in lattices of overcommutative semigroup varieties, in: S. I. Kublanovsky (ed.) et al., Semigroups with applications, including semigroup rings, Int. conf. honour E. S. Lyapin, St.-Petersburg, Russia, 1995, St.-Petersburg, Severny Ochag, 1999, 411—439. 8. B. M. Vernikov, M. V. Volkov, Permutability of fully invariant congruences on relatively free semigroups, Acta Sci. Math., 63, N 3-4 (1997), 437—461. 9. B. M. Vernikov, M. V. Volkov, Commuting fully invariant congruences on free semigroups, in: D. Dorninger (ed.) et al., Contrib. Gen. Algebra, 12, 2000, Klagenfurt, Verlag Johannes Heyn, 391—417. 10. Б. М. Верников, Многообразия полугрупп с мультипликативными ограничениями на вполне инвариантные конгруэнции их свободных объектов, Докл. РАН, 384, N 4 (2002), 446—448. 11. M. V. Volkov, Semigroup varieties with commuting fully invariant congruences on free objects, in: Algebra. Proc. int. conf. memory A. I. Mal’cev, Novosibirsk, USSR, 1989 (Contemp. Math., 131), part 3, Providence, RI, Am. Math. Soc., 1992, 295—316. 12. Б. М. Верников, М. В. Волков, Решетки нильпотентных многообразий полугрупп. II, Изв. Урал. гос. ун-та (Матем., механ.), N 10(1) (1998), 13—33. 13. Б. М. Верников, М. В. Волков, Строение решеток многообразий нильполугрупп, Изв. Урал. гос. ун-та (Матем., механ.), N 18(3) (2000), 34—52. 14. B. M. Vernikov, On congruences of G-sets, Comment. Math. Univ. Carol., 38, N 3 (1997), 603—613. 15. R. N. McKenzie, G. F. McNulty, W. F. Taylor, Algebras. Lattices. Varieties, vol. I, Monterey, Wadsworth&Brooks/Cole, 1987. 16. E. Nelson, The lattice of equational classes of semigroups with zero, Can. Math. Bull., 14, N 4 (1971), 531—534. 17. М. В. Сапир, Е. В. Суханов, О многообразиях периодических полугрупп, Изв. вузов. Матем., 1981, N 4(227), 48—55.

Об одном ослабленном варианте конгруэнц-перестановочности

31

18. T. Evans, The lattice of semigroup varieties, Semigroup Forum, 2, N 1 (1971), 1—43. 19. Gy. Poll´ ak, On the consequences of permutation identities, Acta Sci. Math., 34 (1973), 323—333.

Поступило 18 февраля 2002 г. Адрес автора: ВЕРНИКОВ Борис Муневич, Уральский гос. университет, пр. Ленина, 51, г. Екатеринбург, 620083, РОССИЯ. e-mail: [email protected]