Физика: Конспект лекций для студентов заочного обучения. Часть 1

Федеральное агентство по образованию Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра общей и строительной физики

ФИЗИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ Часть I Под редакцией Т. А. Дацюк

Санкт-Петербург 2007 1

В. И. Белякова, Е. А. Желудкова, Е. А. Кукина, Ю. Н. Леонтьева, И. А. Занадворова УДК 681.7.069.24–032.31(076.5) Рецензенты: д-р. физ.-мат. наук, проф., зав. каф. физики атмосферы РГГМИ А. Д. Кузнецов; канд. техн. наук, доц. СПбИМ (ЛМЗ–ВТУЗ) Е. М. Дедиков Физика: конспект лекций для студентов заочного обучения. Ч.1. / В. И. Белякова [и др.]; под ред. Т. А. Дацюк; СПб. гос. архит.-строит. ун-т. – СПб., 2007. – 70 с.

Кратко изложены основы механики, молекулярной физики и термодинамики. Рекомендуется для студентов факультета безотрывных форм обучения всех специальностей. Табл. 2. Ил. 35. Рекомендовано редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве конспекта лекций.

ã Авторы, 2007 ã СПбГАСУ, 2007

2

1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Механика изучает простейшую форму движения материи – механическое движение. Механика Галилея – Ньютона называется классической и изучает законы движения макроскопических тел со скоростью меньше скорости распространения света. Законы движения макроскопических тел со скоростями, сравнимыми со скоростью света, изучаются теорией относительности, сформулированной А. Эйнштейном (1879–1955). 1. 1. Кинематические характеристики движения. Система отсчета. Траектория материальной точки. Перемещение. Скорость. Ускорение Задача кинематики – математическое описание движение тел, без учета физических причин, которые его вызывают. Наиболее простым примером механического движения является движение материальной точки. Материальная точка – макроскопическое тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Под механическим движением понимают изменение взаимного расположения тел в пространстве с течением времени. Для описания движения выбирают систему отсчета, включающую «неподвижную» точку и систему координат, а также прибор для измерения времени. Наиболее часто при описании движения используют декартову систему координат. Положение материальной точки А в данный момент времени характеризуется тремя координатами x, y и z или радиусr вектором r , проведенным из начала координат в точку А (рис. 1.1). При движении материальной Рис. 1.1 точки A ее координаты и, следовательно, радиус-вектор изменяются с течением времени. В прямоугольной системе координат траектория движения материальной точки определяется тремя скалярными уравнениями: 3

ì x = x(t ), ï í y = y (t ) , ï z = z (t ), î

(1.1)

которые эквивалентны векторному уравнению r r r r r r = r (t ) = ex x(t ) + e y y (t ) + ez z (t ), (1.2) r r r где ex , e y , ez – единичные орты координатных осей. Рассмотрим движение материальной точки вдоль произвольной траектории (рис. 1.2). Длина участка траектории АВ, пройденного материальной точкой за время t, называется длиной пути Ds и является скалярной функцией времени (1.3) Ds = Ds(t ). Перемещение материальной точки Ds ср за промежуток времени Dt определяетr r r ся вектором Dr = r - r0 , соединяющим положение материальной точки в моменты времени t и (t + D t). Из рис. 1.2 видно, что r r r r (t + Dt ) = r0 (t ) + Dr . При прямолинейном движении модуль перемещения равен пройденному пути Ds, т. е. Рис. 1.2 r Dr = Ds. За промежуток времени Dt точка пройдет путь Ds и совершит r r перемещение Dr . Отношение перемещения Dr к промежутку времени Dt, за который оно произошло, называется средней скоростью: r Dr r vср = . (1.4) Dt r r Направление вектора vср совпадает с направлением Dr . Если

Мгновенная скорость – вектор, равный производной радиусавектора по времени и направленный по касательной в сторону движения точки (см. рис. 1.2). Проекции мгновенной скорости на оси координат выглядят следующим образом: dx dy dz ; v y = ; vz = . (1.6) dt dt dt При Dt ® 0 вектор перемещения будет стремиться приближаться к Ds и модуль мгновенной скорости будет равен первой производной от vx =

ds . dt Движение материальной точки характеризуется также ускорением, которое показывает, как изменяется скорость. Средним ускорением неравномерного движения называется векторная величина, равная отношению изменения вектора скорости к интервалу времени, за которое оно произошло, т. е. r Dr r acp = . (1.7): Dt Если перейти к пределу при Dt ® 0 , то получим выражение для мгновенного ускорения в данный момент времени: r v Dr dv r = . a = lim (1.8) dt Dt ® 0 Dt Проекции вектора ускорения на оси координат имеют вид:

пути по времени: v =

dv y dv x dv ; ay = ; az = z . (1.9) dt dt dt r Таким образом, зная зависимость r (t ) , можно определить векторы скорости и ускорения точки в каждый момент времени. Пример ax =

Уравнение движения материальной точки имеет вид S = at + bt 2 . Найдем скорость и ускорение точки:

перейти к пределу при Dt ® 0 , то получим выражение для мгновенной скорости r r Dr dr r v = lim = . (1.5) Dt ® 0 Dt dt

ds dv = a + 2bt , a= = 2b. (1.10) dt dt Если известна зависимость от времени ускорения тела и требуется найти закон движения, то для получения однозначного решения необходимо знать начальные условия, т. е. скорость и радиус-вектор точ-

4

5

y=

ки в начальный момент времени, при t = 0. Тогда за промежуток вреr r мени dt приращение скорости dv = adt . Интегрируя это выражение по времени от t = 0 до t, найдем приращение скорости

скорости по направлению an =

r tr r Dv = ò adt = at.

(1.11)

0

С учетом начальных условий вектор скорости будет иметь вид: r r r (1.12) v = v0 + at. Аналогично изменение радиуса-вектора за промежуток времени dt можно определить как r r (1.13) dr = v d t . Интегрируя выражение (1.13), получим r at 2 r tr r Dr = ò v (t )dr = v0t + . 2 0

(1.14)

r Зная радиус-вектор в момент времени t = 0, можно определить r (t ) : r at 2 r r r r = r0 + v0t + . (1.15) 2 Например, в случае равноускоренного переменного прямолинейного движения получим хорошо известную формулу для определения пути t

s = ò (v ± at )dt = v0t ± 0

at

an Рис. 1.3

a

at 2 . 2

(1.16)

В общем случае при произвольном криволинейном движении (рис. 1.3) вектор ускорения можно разложить на две r составляющие: тангенциальную at , направленную по касательной к траектории, которая совпадает по направлению с вектором мгновенной скорости и характеризует его 6

r изменение по модулю, и нормальную an , направленную по нормали к центру кривизны траектории, которая характеризует изменение

т. е.

v2 , где R – радиус кривизны траектории), R r r r a = a t + an .

(1.17)

Модуль полного ускорения определяется как a = an2 + at2 .

(1.18)

При прямолинейном движении, если траектория движения совпадает с осью x , то проекции перемещения, скорости и ускорения на оси y и z равны нулю. При равномерном движении с постоянной скоростью ( a = 0, v = v0 ) изменение координаты с течением времени определяется как (1.19) x = x0 + v0t. Движение с постоянным ускорением характеризуют следующие зависимости: at 2 . (1.20) 2 В случае движения материальной точки по окружности по аналогии с линейными величинами скорости и ускорения вводятся понятия угловая скорость и угловое ускорение. Если при движении по окружности за промежуток времени Dt материальная точка смещается из полоw жения М1 в положение М2, т. е. совершает поворот на угол Dj , то веr , равная личина w r r dj r Dj dj M2 w = lim = , (1.21) Dj dt Dt ® 0 Dt называется угловой скоростью и M1 равна первой производной угла поворота по времени. Рис. 1.4 a = const; v = v0 = at;

7

x = x0 + v0t +

Направление вектора угловой скорости задается правилом правоr го винта: w совпадает с направлением поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности. Линейная скорость определяется выражением Ds RDj Dj = lim = R lim = Rw. Dt ® 0 Dt Dt ® 0 Dt Dt ® 0 Dt

v = lim

(1.22)

(1.29) a = an2 + aτ2 = w4 R 2 + e 2 R 2 = R w4 + e 4 . Равнопеременное движение по окружности характеризуют следующие зависимости: e = const , w = w0 ± et ; j = w0t ±

et 2 . 2

(1.30)

Если w = const , то вращение равномерное, его можно характеризовать периодом Т (Т – время полного оборота): 2p 2p , T= . (1.23) T w Частота n – число полных оборотов, которые делает материальная точка за единицу времени: w=

1 w = ; w = 2pn. (1.24) T 2p Угловым ускорением называется векторная величина, равныйая первой производной от угловой скорости по времени: r r dw e= . (1.25) dt r r Вектор e направлен так же, как w при ускоренном вращении и в противоположную сторону при замедленном. Тангенциальная составляющая линейного ускорения at связана с угловой скоростью и ускорением соотношениями n=

at =

dv , dt

(1.26)

d ( wR ) dw =R = Re. (1.27) dt dt Связь нормальной составляющей ускорения an с угловой скоростью имеет вид: при

v = wR,

at =

v 2 w2 R 2 = = w2 R. R R Модуль полного ускорения определяется как an =

8

(1.28)

2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 2. 1. Законы Ньютона Динамика изучает механическое движение тел, учитывая их взаимодействие, которое является причиной изменения скорости движения тел, т. е. ускорения. Основу динамики составляют три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 году. Законы Ньютона рассматривают как систему взаимосвязанных законов. Первый закон. Существуют такие системы отсчета, в которых всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Утверждение, что существуют инерциальные системы отсчета, в которых ускорение материальной точки (тела) обусловлено только взаимодействием с другими телами, составляет содержание первого закона классической механики – закона инерции Галилея – Ньютона. Существование инерциальных систем отсчета подтверждается опытом. Гелиоцентрическую систему отсчета принято считать инерциальной, потому любая система отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно относительно этой системы, является также инерциальной. Системы отсчета, которые движутся с ускорением, называются неинерциальными. Уравнение движения в инерциальных системах отсчета имеет наиболее простой вид. 9

Второй закон Ньютона. Известно, что при одинаковых воздействиях тела приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы). Масса тела – физическая величина, которая является мерой инертности и определяет инерционные и гравитационные свойства тел. В пределах классической механики масса: величина аддитивная, т. е. масса составного тела равна сумме масс его частей; величина постоянная. Для описания взаимодействия тел вводят понятие силы. Сила – это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры. Второй закон Ньютона отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил. Ускорение, приобретаемое телом, пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела: r r F a= , (2.1) m или r r dv r F = ma = m . (2.2) dt Так как масса тела в классической механике – величина постоянная, ее можно внести под знак производной: r d (mvr ) F= . (2.3) dt Векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость, называется импульсом (количеством движения) этого тела: r r (2.4) p = mv . Тогда r dpr F= . .5) dt 10

Это выражение называется уравнением движения материальной точки и является более общей формулировкой второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки (тела) равна действующей на нее силе. Если на материальную точку (тело) действует несколько сил, то ее ускорение обусловлено результирующей силой, т. е. n

r r F å i = ma. i =1

(2.6)

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: силы, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: r r (2.7) F12 = - F21, r r где F12 – сила, действующая со стороны первого тела на второе; F21 – сила, действующая со стороны второго тела на первое. Эти силы приложены к разным телам, всегда действуют парами и являются силами одной природы. 2. 2. Работа. Мощность Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между телами в механике вводится понятие работы силы. Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная r r сила F , которая составляет угол a с вектором перемещения r (рис. 2.1), то работа этой силы rr r A = Fr = F r cos a

(2.8) r или, учитывая, что в случае прямолинейного движения r = s , имеем A = Fs cos a = Fs s. 11

(2.9)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по r направлению (рис. 2.2). Рассматривая элементарное перемещение dr , r в пределах которого силу F можно считать постоянной, а движение точки – прямолинейным, элементарную работу dA определяют как скалярноее r r произведение Fdr : r r dA = Fdr = F cos ads = Fs ds.

N=

r r Fdr r r N= = Fv . dt

F Fs

s

Рис. 2.1

r Интегрируя выражение (2.10), определим работу силы F на участкее траектории от точки 1 до точки 2: 2

2

1

1

2

s dS

4

(2.13)

3

Рис. 2.3

Физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу, называется энергией. r Сила F , действуя на покоящееся тело и вызывая его движение, совершает работу dA , которая идет на увеличение кинетической энергии тела dE к ,

(2.11)

Работа силы может быть как положительной, так и отрицательной r r p та в зависимости от угла a между векторами F и dr (при a < работа 2 p p силы положительна, при a > работа силы отрицательна, если a = , 2 2 то работа силы равна нулю). Геометрический смысл выражения (2.11) следует из графика на рис. 2.3. Элементарная работа dA на бесконечно малом участке ds равна площади заштрихованного прямоугольника. Работа на всем участке пути равна сумме элементарных работ n

A = å dA , т. е. определяется площадью фигуры 1–2–3–4. Для i -1

характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят понятие мощности 12

1

2. 3. Механическая энергия

Рис. 2.2

A = ò Fds cos a = ò Fs ds.

Fs

s

dr

Fs

(2.12)

r r Так как dA = Fdr , то мощность равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости:

(2.10)

F

dA . dt

r r Так как dA = Fdr , а

dA = dE к . r mdvr F= , dt

(2.14)

то

r r r dv r Fdr = m dr = dA. (2.15) dt Учитывая, что скорость – первая производная от перемещения по времени, получим

æ mv 2 ö r r ÷. dA = mv dv = dçç ÷ 2 ø è

(2.16)

Из формул (2.14) и (2.16) видно, что æ mv 2 ö ÷. dE к = dçç ÷ 2 è ø 13

(2.17)

Интегрируя это выражение, получаем mv 2 Eк = + C. 2

(2.18)

При C = 0 кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения. Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Тело обладает потенциальной энергией, находясь в потенциальном поле сил (например, упругих или гравитационных сил). Потенциальное поле – это поле, в котором действуют консервативные силы. Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положениями тела. Работа консервативных сил по замкнутой траектории равна нулю. Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (неконсервативной); примером является сила трения. Работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии: (2.19) dA = -dE п . r r Так как dA = Fdr , тоо r r (2.20) Fdr = -dE п . Откуда r r (2.21) E п = ò - dA = ò - Fdr . Конкретный вид функции потенциальной энергии зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли (рис. 2.4). 0

0

h

h

E п = ò - dA = ò - mgdh = mgh. 14

(2.22)

Так как начало отсчета берется произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Найдем потенциальную энергию упруго деформированного тела (пружина). Сила упругости пропорциональна деформации: Fупр = - kx, (2.23)

En = mgh

Eq = 0 Рис. 2.4

x

E п = ò - dA = ò kxdx = 0

kx 2 . 2

(2.24)

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. В общем случае материальная точка (тело) может обладать одновременно и кинетической и потенциальной энергией. Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия – равна сумме кинетической и потенциальной энергий: (2.25) E = Eк + Eп . Так, например, тело массой m, находящееся на высоте h над поверхностью Земли и движущееся со скоростью v, обладает полной энергией E=

mv 2 + mgh. 2

(2.26)

2. 4. Законы сохранения Законы сохранения относятся к числу фундаментальных законов физики. Эти законы универсальны, они действуют в микро- и макромире. Законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил и выполняются в изолированных системах. Их применение позволяет получить ряд весьма общих заключе15

ний о процессах, происходящих в системе, не решая уравнений движения. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Закон сохранения энергии. Полная механическая энергия системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной: (2.27) E = const. Потенциальная и кинетическая энергии могут превращаться друг в друга. Рассмотрим случай свободного падения тела с высоты h. До начала падения механическая энергия равна потенциальной энергии Eп = mgh . В процессе падения тела увеличивается его кинетическая энергия (увеличивается скорость тела) и уменьшается потенциальная, т. е. происходит переход потенциальной энергии в кинетическую: mgh +

mv 2 = const. 2

(2.28)

Полная энергия тела остается неизменной (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Если в системе, кроме консервативных, действуют также диссипативные силы (например, силы трения), то закон сохранения энергии будет иметь вид E 2 - E1 = Aд.с , (2.29) где Aд.с – работа диссипативных сил. Наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной механической энергии. Действие сил трения приводит к превращению механической энергии в другие виды энергии (например, внутреннюю энергию). В этом случае выполняется более общий закон сохранения энергии: в изолированной от любых внешних воздействий системе остается постоянной сумма всех видов энергии.

Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки действуют внешние тела, – внешними. Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и r r r скорость которых соответственно равны m1, m2, …, mn и v1 , v 2 , … v n . r r r Пусть F1¢, F2¢ , …, Fn¢ – равнодействующие внутренних сил, действующие r r r на каждое из тел, а F1 , F2 , …, Fn – равнодействующие внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел: r d (m1v1 ) r r = F1¢ + F1; dt r r d(m2v2 ) r = F2¢ + F2 ; (2.30) dt . . . . . . r r d(mn vn ) r = Fn¢ + Fn . dt Складывая выражения (2.30), получим r r r r r r d r r r (m1v1 + m2v2 + ... + mn vn ) = F1¢ + F2¢ + ... + Fn¢ + F1 + F2 + ... + Fn . (2.31) dt Согласно третьему закону Ньютона сумма внутренних сил равна нулю и выражение (2.31) примет вид r r r d r r r (m1v1 + m2v2 + ... + mn vn ) = F1 + F2 + ... + Fn , (2.32) dt или r r dp r r = F1 + F2 + ... + Fn , (2.33) dt r n r где p = å mi vi – импульс системы. i =1

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой.

В замкнутой системе (при отсутствии внешних сил) r r n w dp = 0, т. е. p = å mi vi = const. (2.34) dt i =1 Это выражение и является законом сохранения импульса: в замкнутых системах векторная сумма импульсов взаимодействующих тел остается постоянной.

16

17

2. 5. Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса выполняется и для незамкнутых систем, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю. Рассмотрим применение законов сохранения импульса и энергии при столкновении двух шаров. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами столь велики, что внешними силами можно пренебречь и рассматривать систему тел в процессе соударения как замкнутую. Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Абсолютно упругим называется удар, при котором тела не деформируются. Для абсолютно упругого удара выполняются законы сохранения импульса и энергии r r r r (2.35) m1v1 + m2v2 = m1v1¢ + m2v2¢ ; m1v12 m2v22 m1v1¢2 m2v2¢2 + = + . 2 2 2 2

(2.36)

Абсолютно неупругий удар – удар, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

«потерю» энергии можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара: æ m v 2 m v 2 ö (m + m2 ) v 2 DE к = çç 1 1 + 2 2 ÷÷ - 1 . 2 2 2 è ø

(2.38)

Абсолютно неупругий удар – пример того, как происходит «потеря» механической энергии под действием диссипативных сил. 3. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 3. 1. Момент инерции Моментом инерции системы материальных точек относительно неподвижной оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до неподвижной оси вращения (рис. 3.2), n

J = å mi ri 2 .

(3.1)

i =1

m1

v1¢ v

v1 m1

v2

m2

m1

m2

v¢2 v

v1

v2

m2

J = ò r 2dm.

m1 + m2

Рис. 2.5

Рис. 2.6

r r r m1v1 + m2 v 2 = (m1 + m2 ) v .

(2.37)

Вследствие деформации тела происходит «потеря» кинетической энергии, которая переходит в тепловую или другие формы энергии. Эту 18

(3.2)

V

Используя закон сохранения импульса, можно записать следующее:

Для случая непрерывного распределения масс момент инерции определяется интегрированием:

Момент инерции представляет собой меру инертности твердого тела при вращательном движении (аналог массы при поступательном движении). Момент инерции зависит от формы, размеров тела и положения оси вращения. В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (оси симметрии тела). 19

Рис. 3.1

Разобьем цилиндр на отдельные концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr . Момент инерции каждого такого цилиндра dJ = r 2 dm ,

dr << r ,

(3.3)

где dm – масса элементарного цилиндра; dm - rdV ; r – плотность тела; dV – элемент объема. Массу элементарного цилиндра можно представить как dm = r2prhdr ,

(3.4)

тогда

Тело Полный тонкостенный цилиндр (обруч) радиусом R Сплошной цилиндр или диск радиусом R Шар радиусом R Прямой тонкий стержень длиной l Прямой тонкий стержень длиной l

R

1 J = ò dJ - 2phρ ò r 3dr = phρR 4 ; 2

Таблица 3.1 Значения моментов инерции однородных тел правильной геометрической формы

(3.5)

Положение оси вращения Ось симметрии

Момент инерции mR2

Ось симметрии

1 mR 2 2 2 mR 2 5

Ось симметрии проходит через центр шара Ось проходит перпендикулярно стержню через середину Ось проходит перпендикулярно стержню через конец

1 ml 2 12 1 2 ml 3

0

3. 2. Кинетическая энергия вращающегося тела

так как масса цилиндра m = pR 2 hr, тоо mR 2 J= . 2

(3.6)

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера J = J 0 + md 2 .

(3.7)

Момент инерции относительно любой оси вращения равен моменту инерции J0 относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями (табл. 3.1).

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси. Мысленно разобьем тело на элементарные объемы с массами m1, m2 , ..., mn , находящиеся на расстоянии r1 , r2 , ..., rn от оси си вращения. Линейные скорости v1, v2 , ..., vn элементарных объемов различны, а 1 1 угловая – одинакова, скорость их вращения 1 т. е. v v v w = 1 = 2 = ... n . (3.8) r1 r2 rn Кинетическая энергия вращающегося тела определится как сумма кинетических энергий элементарных объемов: Wкин.вр =

20

2 2

w Рис. 3.2

m v2 n m v2 m1v12 m2v22 + + ... + n n = å i i . 2 2 2 i =1 2 21

2

(3.9)

Так как vi = wri ,

то

mi w2 2 w2 n Jw2 ri = mi ri 2 = , å 2 i =1 2 i =1 2 n

W =å

Wкин.вр =

Jw2 . 2

(3.10)

Если тело совершает одновременно вращательное и поступательное движение (например, цилиндр катится по горизонтальной поверхности), то кинетическая энергия Ек складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения, т. е. mv 2 Jw2 + , 2 2 где m – масса; J – момент инерции. Е=

(3.11)

3. 3. Основной закон динамики вращательного движения Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение какойлибо касательной силой, то кинетическая энергия вращения возрастает за счет работы, производимой этой силой. Под влиянием силы F тело за время dt повернется на угол dj, при этом точка приложения силы F переместится на ds. Элементарная работа dA определяется как dA = Fds = FRdj = Mdj,

(3.12)

где R – расстояние от оси до точки приложения касательной силы; M – момент силы относительно оси, проходящей через точку 0. Момент силы равен произведению силы на ее плечо. Плечо силы – длина пер0 ds пендикуляра, опущенного от оси вращения на линию действия силы. 0 Работа приложенной к телу силы приводит к увеличению кинетической энергии вращающегося тела, dA = dWк . Рис. 3.3

Так как Wк = 22

Jw2 , 2

то о

æ Jw2 ö ÷ = Md j £ или Jwdw = Md j. (3.13) dA = dçç ÷ 2 è ø Разделив левую и правую часть выражения (3.13) на dt, получим Jω Учитывая, что

dw dj =M . dt dt

(3.14)

dj dw = w , окончательно получим = e, а dt dt M = Je .

(3.15)

Момент силы относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловое ускорение. Выражение (3.15) представляет собой основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Если тело вращается под действием нескольких сил, то основной закон имеет вид n

å M i = Je.

i =1

(3.16)

3. 4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса Моментом импульса отдельной частицы, имеющей массу mi , r относительно некоторой точки 0 называется вектор Li , равный векторr ному произведению радиуса-вектора точки ri на ее импульс: r rr (3.17) Li = [ri pi ] = ri pi sin α, r r где a – угол между векторами ri и pi . Моментом импульса твердого тела относительно некоторой точки 0 называется вектор, равный геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех частиц системы: 23

n r n r vr L = å Li = å [ri pi ] . i =1

i =1

(3.18)

Моментом импульса твердого тела относительно некоторой оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса системы: n

L = å mi vi ri . i =1

(3.19)

n

i =1

2

n

w = wå mi ri 2 = Jw. i =1

(3.20)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость: L = Jw.

(3.21)

Дифференцируя выражение (3.20) по времени, получим dL dw =J = Je = M . dt dt

Масса m

Вращательное движение Момент инерции J Угол поворота j

Путь s

Импульс Ускорение

ds dt

Угловая скорость w =

P = mv

a=

dv dt

Сила F Работа Fds

dj dt

Момент импульса

L = Jw

Угловое ускорение

e=

dw dt

Момент силы M Работа вращения Mdj

Кинетическая энергия

mv 2 2

Кинетическая энергия вращения

Jw2 2

Примечание: Все формулы приведены в скалярной форме.

4. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (3.22)

Для изолированной системы момент внешних сил равен нулю: M = 0 , тогда dL = 0 или L = const , т. е. выполняется закон сохранения dt момента импульса (3.23) Jw = const.

Из (3.22) следует, что момент импульса относительно оси вращения изолированной системы сохраняется. В табл. 3.2 представлены основные кинематические и динамические характеристики поступательного и вращательного движения. 24

Поступательное движение

Скорость v =

Учитывая, что vi = wri , выражение (3.18) можно записать в виде

å mi ri

Таблица 3.2 Сопоставление некоторых величин при поступательном и вращательном движениях

Колебания – это движения, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии под влиянием только внутренних сил. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса). 4. 1. Гармонические колебания. Амплитуда. Фаза. Скорость и ускорение. Квазиупругая сила Гармоническое колебание изображают графически методом вращающегося вектора амплитуды (рис. 4.1). Если из произвольной точки 0 на оси X под углом j0 , равным начальной фазе колебаний, отложить вектор, модуль которого равен А, 25

и привести его во вращение с угловой скоростью w0 , то проекция вектора А на ось X будет изменяться по закону

w0 A

j0

0

X

X = A cos(w0t + j0 ) ,

X

X +A

(4.1)

где А – амплитуда колебаний; w0 –

–A

циклическая частота; (w0t + j0 ) – фаза колебаний; j0 – начальная фаза. Гармонические колебания характеризуют следующие величины:

+ Aw0

Рис. 4.1

T=

2π – период колебаний, время одного полного колебания; w0

1 – частота колебаний, определяющая число колебаний, T которые совершает система в единицу времени; w0 = 2pn – циклическая частота. Запишем дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Для этого найдем первую и вторую производные от (4.1), которые определяют скорость и ускорение при колебательном движении n=

dX pö æ X& = = V = - Aw0 sin(w0t + j0 ) = Aw0 cosç w0t + j0 + ÷, dt 2ø è

(4.2)

(4.3)

Амплитудные значения скорости и ускорения соответственно равны Vmax = Aw0 и amax = Aw02 . Фаза скорости отличается от фазы смещения на p/2 (рис. 4.2). Уравнение (4.3) можно представить в виде

d2 X dt 2

+ w02 X = 0 или X&& + w02 X = 0. 26

-- AAww00

2 + +A Aw w002

d 22XX ddtt

--AAww022 0

2

d X X&& = 2 = a = - Aw02 cos (w0t + j0 ) = -w02 X . dt

dX dt

(4.4)

Рис. 4.2

Выражение (4.4) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Оно связывает колеблющуюся величину X(t) с ее второй производной. Решением этого уравнения (4.4) является выражение (4.1). Колебательное движение есть движение с ускорением, поэтому на колеблющееся тело должна действовать сила, сообщающая ему ускорение. Гармонические колебания происходят под действием упругой или квазиупругой силы, которая выражается как F = - kx . По второму закону Ньютона 27

F = ma = - mw02 X = - kX ,

(4.5)

где k = mw02 – коэффициент пропорциональности. 4. 2. Энергия гармонического колебательного движения Кинетическую энергию гармонических колебаний можно представить в виде Eк =

mv 2 mA2w02 = sin 2 (w0t + j0 ). 2 2

Примерами гармонического осциллятора в механике служат пружинный, физический и математический маятники. Пружинный маятник. Груз массой m, прикрепленный к абсолютно упругой пружине с коэффициентом жесткости (упругости) k, совершает колебания под действием квазиупругой силы F = -kX . Уравнение движения имеет вид mX&& = -kX , или k X&& + X = 0. m

(4.6)

Потенциальная энергия гармонического колебания под действием квазиупругой силы F = – kХ определяется в виде - dE п = - kXdX ,

(4.10)

Решением уравнения является выражение X = A cos(w0t + j0 ),

(4.11)

(4.9) dt называется гармоническим осциллятором. Гармонический осциллятор служит точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

k m – собственная частота колебаний маятника; T = 2 π – m k период колебаний пружинного маятника. Физический маятник. Показанный на рис. 4.3 физический маятник, представляет l О L0 собой твердое тело, совершающее под действием силы тяжести малые колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси (точF ка О), не проходящей через центр массы тела О¢ (точка С). Если маятник отклонен из положения равновесия на угол a, то в соответствии с mg основным законом динамики вращательного Рис. 4.3 движения момент возвращающей силы можно записать в виде (4.12) && = - mgl sin a » - mgla, M = Je = Ja так как для малых углов sin a = a, где l – расстояние между точкой подвеса О и центром масс маятника; J – момент инерции относительно оси, проходящей через точку О; ( - mgl sin a ) – момент возвращающей силы, т. е. произведение силы тяжести на плечо.

28

29

X

E п = ò kXdX = 0

kX 2 mw02 X 2 mw02 A2 cos 2 (w0t + j0 ). = = 2 2 2

где w0 =

(4.7)

Полную энергию представляем как сумму выражений (4.6) и (4.7): mw02 А2 kA2 = . (4.8) 2 2 Таким образом, если пренебречь силами трения, то полная энергия колеблющейся системы остается постоянной величиной. E = Eк + Eп =

4. 3. Простейшие механические колебательные системы (пружинный, физический и математический маятники) Колеблющаяся система, описываемая уравнением d2 X 2

+ w02 X = 0,

Перепишем уравнение (4.12) в виде && + mgl a = 0 Ja

4. 4. Сложение гармонических колебаний Сложение колебаний одного направления

или && + a Обозначив

получим

mgl a = 0. J

(4.13)

X1 = A1 cos(w0t + j1 ),

mgl = w02 , J && + w02a = 0. a

(4.14)

Решение уравнения (4.14) имеет вид a = a 0 cos(w0t + j0 ).

(4.15)

Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити длиной l, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Момент инерции математического маятника определяется как (4.17)

Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника, предположив, что вся масса физического маятника сосредоточена в центре масс. Тогда, подставив в (4.16) выражение для момента инерции, получим период колебаний математического маятника l T = 2π . (4.18) g 30

(4.19)

X 2 = A2 cos(w0t + j2 ). Так как векторы A1 и A2 вращаются с одинаковой частотой w0, то разность фаз двух колебаний буA2 дет оставаться постоянной, т. е. j2 – j1 = const. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

A

j1 j

j2

Таким образом, при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w0 и периодом 2π J T= = 2π . (4.16) w0 mgl

J = ml 2 .

Сложим колебания одного направления и одинаковой частоты (рис. 4.4)

X = X 1 + X 2 = A cos(w0t + j), (4.20)

где А – амплитуда результирующего колебания, которая может быть получена из выражения

0

j1

j

A1¢

X1

X

X2 X Рис. 4.4

A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos (j2 - j1 ),

(4.21)

а j – фаза результирующего колебания, определяемая как A1 sin j1 + A2 sin j2 . (4.22) A1 cos j1 + A2 cos j2 Результирующее колебание тоже гармоническое, происходит с той же частотой, его амплитуда зависит от разности фаз j1 - j2 . В зависимости от разности фаз имеем следующее: 1) при j2 - j1 = ±2mp (m = 0, 1, 2,...) A = A1 + A2 ; tgj =

2) при j2 - j1 = ±(2m + 1)p

(m = 0, 1, 2,...) 31

A = A1 - A2 .

Биение. Для практики особый интерес представляет случай, когда складываются два колебания одного направления, которые мало отличаются по частоте. В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, которые называются биениями. Рассмотрим два колебания с равными амплитудами и начальной фазой, равной 0 (4.23) X 1 = A cos w0t , X 2 = A cos (w0 + Dw) t.

(4.24)

T=

Dw ~ A = 2 A cos t (рис. 4.5). 2 X1A0

T=

2π ω

x = (2 A cos

Dωt ) cos ωt 2

Tб =

2π ; Dw

Dwt ) cos wt ; 2 Dwt AD = 2 A cos . 2

x = (2 A cos

Период биений определяется как

Так как различие частот двух колебаний незначительно ( Dw << w0 ), то о получим Dw ö æ X = X1 + X 2 = ç 2 A cos t ÷ cos w0t , (4.25) 2 ø è а выражение, стоящее в скобках, практически не изменится, пока сомножитель cos w0t совершит несколько полных колебаний. В силу этого результирующее колебание X можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой w0 и переменной амплитудой

2π ; w

Tб =

2π . Dw

(4.26)

Метод биений часто используется для сравнения измеряемой частоты с эталонной при настройке музыкальных инструментов. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний Рассмотрим сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y. Начальная фаза первого колебания j1 = 0, а начальная фаза второго колебания j 2 = j. Тогда уравнение колебаний выглядит следующим образом: ì X = A1 cos w0t ; í îY = A2 cos(w0 + j).

2A

(4.27)

Уравнение траектории результирующего колебания имеет вид –2A

X2 2p Tб = Dw

AD = 2 A cos

Dωt . 2

Рис. 4.5 32

A12

-

2 XY Y2 cos j + 2 = sin 2 j. A1 A2 A2

(4.28)

Это уравнение эллипса, оси которого произвольно ориентированы относительно координатных осей (x, y). Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называют эллиптически поляризованными. 33

Рассмотрим несколько частных случаев: 1. Частоты одинаковы, начальные фазы отличаются на mp, т. е. j2 - j1 = mp , где (m = 0, ±1, ±2...). В этом случае эллипс превращается A2 X , где знак (+) соответствует нулю и чётным значеA1 ниям m (рис. 4.6, а), знак (–) – нечётным m (рис. 4.6, б).

В измерительной технике фигуры Лиссажу широко используются для измерения соотношений частот и разности фаз складывающихся колебаний.

в прямую, Y = ±

y

m = 0, ±2, ±4,…

y

б

a

m = 0, ±1, ±3,…

–A

B

A

q

B

q

–A

4. 5. Затухающие колебания Рассмотрим свободные затухающие колебания, амплитуда которых вследствие потерь энергии (трения) и превращения в теплоту уменьшается с течением времени. Дифференциальное уравнение, описывающее процесс затухающих колебаний, имеет вид d2 X

A

dt

x

x

–B

–B Рис. 4.6

А12 + А22 , и происходит вдоль прямой, составляющей угол q с осью X . 2. Частоты колебаний одинаковы. Фазы отличаются на число, кратное p/2. π j2 - j1 = (2m + 1) , 2 где (m = 0, ± 1, ± 2... Результирующее колебание в этом случае происходит по эллипсу: X2 A12

+

Y2 A22

34

dX + ω02 X = 0, dt

(4.29)

r – коэффициент затухания; w02 = k / m – собственная частота та 2m системы, r – коэффициент сопротивления среды. Решение уравнения (4.29) имеет вид X = Ae -βt cos(wt + j),

(4.30)

где At = Ae -βt – амплитуда затухающего колебания, которая убывает с течением времени по экспоненциальному закону; А0 – начальная амплитуда; w = w02 - b2 – циклическая частота затухающего колебания. График зависимости Х от t представлен на рис. 4.7. Период затухающих колебаний определяется как T=

= 1,

а при равенстве амплитуд – по кругу. 3. Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего колебания довольно сложна. Эти траектории называются фигурами Лиссажу. В зависимости от соотношения частот и разности фаз меняется форма кривых Лиссажу.

+ 2β

где β =

Результирующее колебание является гармоническим с частотой w0 и амплитудой, равной

2

2π 2π = . w w02 - b 2

(4.31)

Логарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний, отличающихся по времени на период, носит название логарифмического декремента затухания и выражается в виде D = ln

A0e -βt A(t ) = ln = bT . A(t + T ) A0e -β(t +T ) 35

(4.32)

4. 6. Вынужденные колебания. Резонанс x = A0e–btcos (w t + j)

Чтобы в реальной системе колебания не затухали, необходимо компенсировать потери энергии путем периодического воздействия внешней вынуждающей силой, которая также изменяется по гармоническому закону (4.36) F = F0 cos Wt.

A = A0e–bt

X, A

A1

A2

A0

С учетом этой силы, например, для пружинного маятника уравнение движения (4.33) примет вид

t

ma = - kX - rv + F0 cos Wt. T

Или после преобразования (4.37) получим Рис. 4.7

d2 X

Рассмотрим затухающие колебания на примере пружинного маятника. Ускорение маятника обеспечивают сила упругости F = -kX и сила сопротивления F = - rv . Согласно второму закону Ньютона уравнение движения будет иметь вид (4.33) ma = - kX - rv. Преобразуя (4.33), получим уравнение (4.29). Из решения уравнения (4.29) следует, что маятник колеблется с частотой w = w02 -

r2 4m 2

.

(4.34)

Период колебаний маятника определяется как T=

(4.37)

2π w02 -

r

2

4m 2 36

dt

2

+ 2b

F dX + ω02 = 0 cos Wt. dt m

(4.38)

Общее решение неоднородного уравнения (4.38) состоит из общего решения однородного уравнения, которое получено выше (4.30), и частного решения, которое имеет вид X = A cos(Wt - j).

(4.39)

Решение (4.38) показывает, что если на колеблющееся тело действует периодическая сила, изменяющаяся с частотой , то тело совершает колебания с той же частотой, причем амплитуда и начальная фаза будут зависеть от амплитуды и частоты внешней силы, коэффициента затухания, упругих свойств системы и массы. В силу этого слагаемое, отражающее общее решение однородного дифференциального уравнения (4.30), будет играть существенную роль только в начальной стадии процесса, пока амплитуда не достигнет значения

.

A=

(4.35)

f0 (W 02 - W 2 ) 2 + 4W 2b 2

где f 0 = F0 / m. 37

,

(4.40)

Фаза вынужденных колебаний определяется как (2b W) j = arctg 2 . (4.41) w0 - W 2 Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденной силы к собственной частоте колебаний называется резонансом. Если продифференцировать подкоренное выражение в (4.40), можно найти значение резонансной частоты W рез . W рез = w02 - 2b2 .

X0

(4.42) Когда подкоренное выражение минимально, то амплитуда, принимает максимальное значение. На рис. 4.8 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от  при данной w0 и разных коэффициентах затухания. Чем меньше коэффициент затухания, тем резче изменяется амплитуда вынужденных колебаний:

5. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ Молекулярная физика и термодинамика изучают макроскопические процессы в телах, связывая их с огромным числом атомов и молекул, из которых состоят эти тела. Два отмеченных подхода различны, но взаимно дополняют друг друга. Молекулярная (статистическая) физика использует математический аппарат теории вероятностей и представляет процессы, происходящие в телах как результат осредненного движения атомов и молекул. Термодинамика основана на общих принципах (началах), которые являются обобщением опытных фактов и используются для описания состояния термодинамической системы в условиях равновесия и процессов перехода из одного состояния в другое. 5. 1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний не совпадала с частотой внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, явление резонанса позволяет обнаружить очень слабые колебания, что широко применяется в радиотехнике, прикладной акустике.

В молекулярно-кинетической теории (МКТ) используют модель идеального газа, которая удовлетворяет следующим условиям: собственный объем молекул газа мал по сравнению с занимаемым этим газом объемом (молекулы газа рассматриваем как материальные точки); между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия; столкновения молекул газа между собой и со стенками абсолютно упругие. Основное уравнение МКТ связывает параметры состояния газа: давление Р, объем V и абсолютную температуру Т с осредненными характеристиками движения его молекул, т. е. со средней квадратичной скоростью vкв2 и средней кинетической энергией молекул e . Вывод основного уравнения МКТ существенно упрощается, если рассматривать одноатомный идеальный газ, молекулы которого движутся с постоянной скоростью v , а число столкновений между ними малль по сравнению с числом ударов о стенки сосуда (столкновения абсолютно упругие). Хаотическое движение молекул, для которых равновероятны все направления, заменим движением вдоль трех взаимно перпендикулярных осей x, y, z.

38

39

b растет F0

mw02

w рез

w0

W

Рис. 4.8

Aрез =

f0 2b w02 - b 2

.

(4.43)

Выделим на стенке сосуда (рис. 5.1) элементарную площадку Ds и рассчитаем давление, которое оказывает на нее идеальный газ. При каждом соударении молекула массой m0 передает стенке импульс r r r (5.1) m0 v - ( - m0 v ) - 2m0 v . За время Dt выделенной площадки DS могут достигнуть только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt . Если принять, что n – концентрация молекул, т. е. количество молекул в единице объема, то общее число молекул, находящихся в объеме цилиндра, можно представить как N = nvDtDS .

Рис. 5.1

1 1 DK = 2m0v nDSvDt = nm0v 2 DSDt. 6 3

(5.3)

По второму закону Ньютона DK 1 = F = nm0 v 2 DS . Dt 3

(5.4)

Давление Р, оказываемое на площадку, определится как P=

F 1 = nm0v 2 . DS 3 40

v кв =

1

n

å v i2 .

N i -1

(5.6)

С учетом этого формула (5.5) примет вид

(5.2)

С учетом принятых упрощений в движении молекул в любой момент времени вдоль оси x движется 1/3 всех молекул (1/3 N), находящихся в объеме выделенного DS цилиндра, а к рассматриваемой площадке – 1/6 N, так как два направления равновероятны. Следовательно, о площадку ударится 1/6 N или 1/6 nvDtDS DS молекул, которые передадут ей импульс DK .

vDt

При выводе уравнения предполагалось, что скорости молекул одинаковы, однако они двигаются с разными скоростями v1, v2, ..., vn. Таким образом, всю совокупность молекул N характеризует средняя квадратичная скорость, которая определяется как

(5.5)

1 P = nm0vкв 2 , 3

(5.7)

или 2 P = ne. (5.8) 3 Выражения (5.7) и (5.8) – основное уравнение МКТ. Связь термодинамической характеристики газа, его температуры T, с осредненной кинетической энергией теплового движения молекул e была установлена Больцманом и имеет вид 3 e = kT , 2

(5.9)

Дж . К Согласно (5.9) при Т = 0 средняя кинетическая энергия теплового движения молекул e = 0 , т. е. должно прекратиться тепловое движение молекул. Из основного уравнения МКТ (5.8) и формулы (5.9) следует, что где k – постоянная Больцмана; k = 1,38 × 10- 23

P = nkT ,

(5.10)

т. е. давление идеального газа прямо пропорционально концентрации его молекул и температуре газа. Уравнения (5.8)–(5.10) являются основными уравнениями МКТ идеального газа. 41

5. 2. Уравнение состояния идеального газа (Клапейрона – Менделеева)

Уравнение (5.16) получено умножением обеих частей (5.15) на число молей газа и называется уравнением Клапейрона – Менделеева.

Опыт показывает, что в состоянии термодинамического равновесия давление газа Р, его объем V и температура Т находятся в функциональной зависимости не только для идеальных, но и для реальных газов, которая может быть выражена уравнением

5. 3. Статистические распределения

f ( P, V , T ) = 0.

(5.11)

Уравнение (5.11) называется уравнением состояния. Вид уравнения получен путем обобщения опытных данных, которые известны как закон Бойля – Мариотта (5.12) T = const, PV = const, закон Гей – Люссака (5.13) P = const, V/T = const, закон Шарля (5.14) V = const, P / T = const. Таким образом, для одного моля газа связь параметров состояния имеет вид PV0 = const, или PV0 = RT , (5.15) T где V0 – объем одного моля газа, который согласно закону Авогадро одинаков для всех газов при одинаковой температуре и давлении; Дж R – универсальная газовая постоянная; R = N Ak = 8,31 . моль × К Для любой массы газа уравнение состояния имеет вид

m RT , (5.16) M где V – объем, который занимает весь газ; m, M – соответственно массаа PV =

и молекулярная масса газа;

m = v – число молей газа. M 42

При термодинамическом равновесии в любой макроскопической системе (T = const) статистические распределения физических величин имеют универсальный вид, установленный Гиббсом. Частными случаями распределения Гиббса являются распределения молекул идеального газа по скоростям (закон Максвелла) и распределение положения молекул в потенциальном поле (распределение Больцмана). Распределение молекул газа по скоростям (закон Максвелла) В результате теплового движения молекул в газе, находящемся в состоянии теплового равновесия, устанавливается некоторое стационарное (постоянное) распределение молекул по скоростям. Если отложить на оси ординат функцию распределения f (v) , а на оси абсцисс – скорости молекул v и разбить диапазон изменения скоростей молекул v на малые интервалы dv , то на каждый интервал dv будет приходиться некоторое количество молекул dN (v) , имеющих скорость, заключенную в данном интервале (рис. 5.2). Функция распределения Максвелла f (v) определяет относительноее количество молекул dN (v) / N , скорости которых заключены в интервале от v до v + dv , т. е. f (v ) =

dN (v) . Ndv

(5.17)

Таким образом, площадь DS на рис. 5.2 определяет относительное количество молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv . Вид функции распределения молекул по скоростям f (v) с использованием теории вероятностей был установлен Максвеллом. æ m ö f (v) = 4pç 0 ÷ è 2πkT ø

3/ 2

2 v 2e - m0v /( 2kT ) .

43

(5.18)

Конкретный вид функции зависит от массы молекул и температуры газа. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, т. е. функция распределения f (v) удовлетворяет условиям нормировки

f (v)

dS =

dN ( v ) N

v vв

ávñ

dv vкв

¥

ò f (v)dv = 1,

Рис. 5.2

(5.19)

0

а это есть численное значение площади под кривой. Скорость, при которой функция распределения имеет максимум, называется наиболее вероятной скоростью. Значение vв можно выdf (v) = 0. dv 2kT 2 RT . vв = = m0 M

числить, приравняв производную

f (v)

(5.20)

Скорость, определяемую выражением (5.20), имеет наибольшее число молекул. В МКТ пользуются также понятием среднеарифметической скорости v , которая также вычисляется по закону распределения Максвелла

T1 < T2

v Рис. 5.3

8kT 8 RT v = = . pm0 pM (5.21)

Напомним, что выражение для среднеквадратичной скорости имеет вид v2 =

3kT 3RT = . m0 M 44

(5.22)

Из формул (5.20)–(5.22) видно, что скорости молекул зависят от температуры. При повышении температуры (рис. 5.3) максимум функции распределения смещается вправо, но площадь под кривой численно равна 1. Идеальный газ в поле силы тяжести. Барометрическая формула. Распределение Больцмана Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что газ находится в поле тяготения Земли. Предположим, что это поле однородно, P2 температура постоянна и масса всех молекул P – dP одинакова и равна m0 . Гравитационное поле, dh P с одной стороны, и тепловое движение – с другой, приводит к стационарному распреh2 делению молекул газа по высоте, при котоh ром давление с высотой убывает. P1 Пусть на высоте h давление равно P , h1 а на высоте h + dh соответственно P - dP , причем, если dh > 0, то dP < 0 , так как давление с высотой убывает. Рис. 5.4 По закону Паскаля

P = rgh ,

(5.23)

где r – плотность газа на высоте h (при малом изменении r = const ), а P - dP = rg (h - dh).

Вычтя из (5.24) (5.23), получим dP = rgdh. Используя уравнение Клапейрона – Менделеева PV =

(5.24) (5.25) m RT , m

выразим плотность газа в виде r=

m PM = . V RT 45

(5.26)

Подставив выражение (5.26) в (5.25), получим dP = -

PM gdh. RT

Учитывая, что m0 gh = Wп – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, формулу (5.32) можно представить как

Разделим переменные, формула (5.27) примет вид Mg dP =dh. P RT

(5.28)

Проинтегрируем (5.28): P2

h2

P1

h1

dP Mg ò P = - RT

(5.33)

Выражение (5.33) называется распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле. Таким образом, рассмотренные статистические распределения имеют экспоненциальный характер, причем в показателе экспоненты стоит взятое со знаком минус отношение характерной энергии молекулы к величине kT , которая пропорциональна средней кинетической энергии теплового движения молекул. 5. 4. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Вакуум

ò d h,

получим P Mg ln 2 = (h2 - h1 ), P1 RT

n = n0e -Wп / kT .

(5.27)

(5.29)

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Длина свободного пробега – это расстояние, которое проходит молекула между двумя последовательными столкновениями. Для большого числа молекул вводится понятие средней длины свободного пробега λ , которая определяется как λ = v / Z ,

или é Mg ù P2 = P1 exp ê(h2 - h1 )ú. ë RT û

(5.30)

Считаем давление на уровне моря равным P0 , тогда выражение (5.30) примет вид æ Mg ö P = P0 expç h ÷. è RT ø

(5.31)

46

где v и Z – соответственно среднеарифметическая скорость молекулл и среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой за одну секунду.

А

d

ávñ

Выражение (5.31) называется барометрической формулой. Если воспользоваться соотношением (4.10) P = nkT , получим æ m gh ö n = n0 expç - 0 ÷. è kT ø

(5.34)

ávñ

d dэф

(5.32) Рис. 5.5

Рис. 5.6 47

Минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d эф (рис. 5.5). Для определения Z выберем молекулу А и представим ее в виде шарика, который движется среди других «застывших» молекул (рис. 5.6). Выделенная молекула А столкнется только с теми молекулами, центры которых находятся на расстоянии £ d эф , т. е. лежат внутри «ломаного» цилиндра радиусом d эф , показанного на рис. 5.6. Таким образом, среднее число столкновений, которые испытывает молекула за одну секунду, равно числу молекул, находящихся в объеме цилиндра: Z = nV ,

(5.35)

где n – концентрация молекул; V – объем цилиндра, равный V = pd 2эф v . Подставляя выражения для объема в формулу (5.35), получим Z = npd 2эф v .

(5.36)

где v – среднеарифметическая скорость, т. е. путь, проходимый молекулой за 1 секунду (высота цилиндра). С учетом движения всех молекул выражение (5.36) примет вид Z = 2npd 2эф v .

(5.37)

Тогда среднюю длину свободного пробега молекул λ можно представить (учитывая, что Р = nкТ) как l =

1 2npd 2эф

=

kT 2d 2эф P

.

(5.38)

Если из сосуда откачивать воздух, то по мере понижения давления λ

будет возрастать. Соотношение между средней длиной свободно48

го пробега молекул и характерным размером сосуда используют для оценки состояния газа, которое называется вакуумом. Обычно, если газ находится в состоянии вакуума, то средняя длина свободного пробега молекул соизмерима или больше характерного линейного размера сосуда L. Следовательно, различают: λ < L – низкий вакуум; λ £ L – средний вакуум; λ > L – высокий вакуум. 5. 5. Явления переноса в газах: диффузия, теплопроводность, внутреннее трение При равновесном состоянии термодинамической системы параметры Р, V, Т постоянны. Если вывести систему из состояния равновесия, то в системе возникают необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых система стремится к состоянию равновесия, что приводит к возникновению потоков энергии, массы и импульса. При изучении явлений переноса используют понятия потока и плотности потока. К явлениям переноса относят диффузию, теплопроводность и внутреннее трение. Диффузия связана с переносом массы вещества, который происходит из мест с большей концентрацией в места с меньшей его концентрацией. Перенос массы подчиняется закону Фика: масса вещества m, переносимая через площадку DS за время Dt , прямо пропорциональна градиенту плотности, времени и площади DS , т. е. Dm = - D

dρ DSDt , dx

(5.39)

где D – коэффициент диффузии, равный массе вещества, переносимого через единицу площади за единицу времени при градиенте плотности, равном единице. Плотность потока массы (масса вещества переносимого в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную переносу) определяется как 49

dρ . (5.40) dx Из молекулярно-кинетической теории можно получить выражение для коэффициента диффузии в виде J m = -D

1 D= v λ. 3

направлении, противоположном градиенту концентрации

dn или dx

dρ . dx

Коэффициент диффузии D ~

1 обратно пропорционален давлению P

и прямо пропорционален T 3 / 2 . Внутреннее трение (вязкость). Механизм внутреннего трения, возникающего между слоями газа (жидкости), движущимися с разными скоростями u, заключается в том, что из-за хаотического движения происходит обмен молекулами между слоями, который сопровождается обменом импульсов слоев, т. е. происходит торможение слоя с бόльшей скоростью и ускорение слоя, имеющего меньшую скорость. Сила внутреннего трения F подчиняется закону Ньютона F = -h

du Ds, dx

где h – динамическая вязкость (вязкость);

J k = -h

(5.41)

Знак (–) в формуле (5.39) означает, что перенос осуществляется в

плотности

Согласно второму закону Ньютона можно считать, что импульс, передаваемый в единицу времени от одного слоя к другому, по модулю равен силе, определяемой выражением (5.42). Тогда плотность потока импульса определится как

(5.42) du – градиент скорости в dx

направлении, перпендикулярном потоку. Таким образом, сила трения, действующая на площадь Ds , пропор-

du . dx

(5.43)

Коэффициент вязкости h равен силе внутреннего трения, действующей на единицу площади поверхности слоя при градиенте скорости, равном единице. Из МКТ следует, что вязкость 1 h= r v l . 3 Коэффициент вязкости прямо пропорционален

(5.44) T и не зависит

1 ,r~P. P Теплопроводность. Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие хаотического движения и столкновения молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, что приводит к выравниванию температур. Процесс передачи энергии в форме теплоты подчиняется закону теплопроводности Фурье

от давления, так как l ~

Q = -χ

dT DSDt , dx

(5.45)

где χ – коэффициент теплопроводности, равный количеству теплоты, переносимой через единицу площади за единицу времени при градиенте dT = 1. dx Плотность теплового потока имеет вид

температуры

du . Знак (–) в (5.42) dx показывает, что сила трения направлена в сторону убывания градиента скорости.

dT . (5.46) dx Знак (–) в формуле (5.45) означает, что энергия переносится в сторону, противоположную градиенту температуры. Коэффициент теплопроводности, полученный из МКТ, можно представить как

50

51

циональна этой площади и градиенту скорости

J Q = -χ

1 χ = cvr v l , 3

(5.47)

С учетом формулы (5.9) выражение для внутренней энергии одного моля идеального одноатомного газа будет иметь вид 3 3 U = kTN A , или U = RT . 2 2

где cv – удельная теплоемкость газа, т. е. количество теплоты, необходимой для нагревания 1 кг на 1 К при V = const . Коэффициент теплопроводности χ пропорционален T и не зависит от давления. Закономерности всех явлений переноса сходны между собой, поэтому коэффициенты переноса связаны между следующими соотношениями: (5.48) h = rD; c = 1, hcv

(5.49)

c = cv h.

(5.50)

Используя формулы (5.48)–(5.50), можно по найденным из опыта одним величинам определить другие. 6. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Тогда формулу (6.2) можно представить как i RT , (6.3) 2 где i – число степеней свободы. Внутренняя энергия любой массы газа равна кинетической энергии теплового движения молекул и определяется как

(6.1)

где e – средняя кинетическая энергия теплового движения молекулы; м N A – число Авогадро, характеризующее количество молекул в одном моле газа. 52

а

в

1 kT . 2 б

U=

Внутренняя энергия U термодинамической системы является функцией состояния и характеризует энергию теплового движения и энергию взаимодействия микрочастиц системы (молекул и атомов). Пренебрегая потенциальной энергией взаимодействия, внутреннюю энергию одного моля идеального газа можно представить как U = N A e,

Число независимых координат, полностью определяющих положение материальной точки или системы в пространстве, называется числом степеней свободы. Так как молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, положение которой в пространстве полностью определяется тремя координатами (x, y, z), то она имеет три степени свободы ( i = 3 ) поступательного движения (рис. 6.1, а). Молекула двухатомного газа рассматривается как две жестко связанные материальные точки и имеет 5 степеней свободы, т. е. кроме трех поступательных, есть еще две вращательные относительно осей x и z (рис. 6.1, б). Трех- и многоатомные молекулы имеют 6 степеней свободы (три поступательные и три вращательные) (рис. 6.1, в). Согласно закону Больцмана внутренняя энергия распределяется равномерно по степеням свободы молекул; на каждую степень свободы приходится кинетическая энергия теплового движения, равная

6. 1. Закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул. Внутренняя энергия идеального газа

(6.2)

U=

Рис. 6.1

m i RT . M 2

53

(6.4)

6. 2. Первое начало термодинамики Рассмотрим термодинамическую систему (газ), внутренняя энергия которой U изменяется за счет совершения над системой работы A и сообщения ей некоторого количества теплоты Q. Первое начало термодинамики утверждает (на основе обобщения многовековых опытных данных), что DU = Q - A.

(6.5)

Формулу (6.5) можно переписать в виде Q = DU + A.

(6.6)

Теплота, сообщенная системе, расходуется на увеличение ее внутренней энергии и совершение работы против внешних сил. Для малых изменений системы имеем dQ = dU + dA.

(6.7)

Если термодинамическая система периодически возвращается в исходное состояние, то изменение внутренней энергии равно нулю ( DU = 0 ), вся подведенная к системе теплота может быть согласно первому началу термодинамики переведена в работу A = Q . Причем нельзя построить периодически действующий двигатель, который совершал бы работу, бόльшую, чем количество сообщающейся ему извне энергии, т. е. невозможен вечный двигатель 1-го рода. Первое начало термодинамики – это закон сохранения энергии в термодинамике. 6. 3. Работа газа при изменении его объема Рассмотрим газ, находящийся под поршнем в цилиндрическом сосуде. Газ, расширяясь, передвигает поршень на расстояние dl и производит работу (6.8) dA = Fdl = PSdl = PdV 54

где S – площадь поршня; Sdl = dV – изменение объема. а. Таким образом, работа при расширении газа определяется как dA = PdV .

(6.9)

Работа при изменении объема от V1 до V2, может быть найдена интегрированием формулы (6.9). A=

P

dl

V2

ò PdV .

V1

S

Рис. 6.2

(6.10)

При расширении газа (dV > 0) работа положительна (dA > 0) , т. е. газ совершает работу; при сжатии dA < 0 , т. е. работа совершается над газом. 6. 4. Теплоемкость идеального газа Удельная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимой для нагревания 1 кг вещества на 1 К и определяется как dQ . (6.11) mdT Молярная теплоемкость – величина, равная количеству теплоты, необходимой для нагревания 1 моля на 1 К, c=

C=

dQ . ndT

(6.12)

где n – число молей. Удельная теплоемкость связана с молярной теплоемкостью соотношением (6.13) C = Mc, где М – молекулярная масса. Найдем выражения для молярной теплоемкости в изохорном и изобарном процессах. Для этого запишем первое начало термодинамики для 1-го моля газа: 55

СdT = dU μ + PdVμ .

При V = const все сообщенное газу тепло идет на увеличение его внутренней энергии, т. е. i RdT i CV = =2 = R, dT dT 2 dU μ

CP i+2 =g= . СV i

(6.14)

CV

i R. 2

(6.15)

При P = const из уравнения Клапейрона – Менделеева имеем PdVμ = RdT ,

(6.16)

6. 5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам Среди равновесных процессов, происходящих в термодинамических системах (газах), выделяют изопроцессы, при которых один из параметров состояния остается постоянным. Изохорный процесс (V = const). В координатах P, V изохорный процесс изображается прямой, параллельной оси ординат (рис. 6.3, а). В изохорном процессе газ не совершает работы, т. е. dA = PdV = 0 . Тогда из первого начала термодинамики количество теплоты выражается зависимостью вида:

откуда выражение для теплоемкости имеет вид CP = Так как CV =

dU μ

dU μ dT

+

PdVμ

, а R=

dT

.

dQ = dU =

, то имеет место следующее dT dT соотношение, которое носит название уравнения Майера: C P = CV + R.

(6.18)

Таким образом, теплоемкость в изобарном процессе i+2 CP = R. 2

(6.19)

Из формулы (6.19) следует, что C P всегда больше CV на величину газовой постоянной R. Это объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении требуется дополнительное количество теплоты на совершение работы расширения газа. Отсюда вытекает физический смысл универсальной газовой постоянной R – это работа, которую надо совершить при изобарическом нагревании 1 моля газа на 1 К. Отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме можно выразить как 56

m CV dT , M

T

2

(6.17)

PdVμ

(6.20)

2 m m Q = ò dU = Cv ò dT = Cv (T2 - T1 ). М T М 1

(6.21)

1

Таким образом, в изохорном процессе все тепло, сообщенное a газу, идет на увеличение его P внутренней энергии Изобарный процесс (P = const). Диаграмма этого процесса (изобара) изображается прямой параллельной оси абсцисс. Работа при расширении газа от V1 до V2 определяется как A=

V2

б P

2

1

2

V1

V2

1 3

ò PdV = P(V2 - V1 ).

V

V

Рис. 6.3

(6.22)

V1

Работа численно равна площади заштрихованного прямоугольника на рис. 6.3, б. Если воспользоваться уравнением Менделеева – Клапейрона ( PV =

m m R RT ), откуда следует, что V2 - V1 = (T2 - T1 ) , тоо M M P 57

выражение (6.22) примет вид A=

Теплоемкость изотермического процесса стремится к бесконечности, т. е.

m R(T2 - T1 ). M

(6.23)

С учетом выражений подразд. 6.4 первое начало термодинамики для изобарного процесса в дифференциальной форме можно представить в виде m m m dQ = C p dT = Cv dT + R dT . M M M

(6.24)

Изотермический процесс (T = const). Уравнением изотермического процесса является закон Бойля – Мариотта (6.25)

PV = const.

Диаграмма изотермического процесса приведена на рис. 6.4. Работа в изотермическом процессе (T = const) может быть определена как A=

V2

ò PdV =

V1

V2

m dV m V2 m P1 ò М RT V = М RT ln V = М RT ln P . 1 2 V1

Т – растет

Т3 Т2 Т1

V Рис. 6.4

Q= A=

m P P V RT ln 1 = P1V1 ln 1 = P1V1 ln 2 . М P2 P2 V1

(6.28)

Адиабатическим называется процесс, при котором отсутствует теплообмен между термодинамической системой и окружающей средой (dQ = 0). Из первого начала следует, что dA = -dU ,

(6.29)

PdV = - Cv dT .

(6.30)

или

Найдем уравнение, связывающее параметры состояния в адиабатном процессе. Для этого продифференцируем уравнение состояния для 1 моля газа: PdV + VdP = RdT .

(6.31)

Разделив уравнение (6.31) на выражение (6.30), получим C - CV PdV + VdP R ==- P . PdV CV CV

(6.32)

СP Разделим переменные, тогда с учётом C = g выражение (6.32) V примет вид dP dV = -g . (6.33) P V

(6.27) чим

58

dQ ® ¥. dT

6. 6. Адиабатический процесс

(6.26)

Согласно первому началу термодинамики dQ = dA, так как dU = 0 при T = const. В изотермическом процессе все количество теплоты, сообщаемой газу, расходуется им на совершение работы против внешних сил.

Р

C=

Интегрируя (6.32) в пределах от Р1 до Р2 и от V1 до V2, полу59

P2

ò

P1

V

2 dV dP = -g ò ; P V V 1

Интегрируя выражение (6.39), получим

P V ln 2 = - g ln 2 , P1 V1

(6.34)

или

T1

g

P2 æ V1 ö = ç ÷ или P V g = P V g 1 2 2 2 P1 çè V2 ÷ø

(6.35)

Так как состояния 1 и 2 выбраны произвольно, то (6.35) можно записать следующим образом: (6.36) PV g = const. Уравнение (6.36) называется уравнением Пуассона (описывает адиабатический процесс). Используя уравнения Клапейрона – Менделеева, можно записать уравнение Пуассона в виде TV g -1 = const,

(6.37)

T g P1- g = const,

(6.38)

или

где g – коэффициент Пуассона; g = i = 5 g = 1,4. P

T2 m m A=C v ò dT = Cv (T1 - T2 ). M M

3

dQ = 0

1

T – const

2 V1

V2

V

i+2 ; при i = 3 g = 1,67, при i

График адиабаты представлен на рис. 6.5. Адиабата более крута, чем изотерма. Это объясняется тем, что увеличение давления газа обусловлено не только уменьшением объема как при изотермическом сжатии, но и повышением температуры. При адиабатическом процессе изменяются все три параметра P, V и T . Вычислим работу, совершаемую газом при адиабатическом процессе: dA = -

Рис. 6.5 60

m Cv dT . M

(6.39)

(6.40)

Работа, совершаемая газом при адиабатическом процессе, численно равная заштрихованной площади на рис. 6.5, меньше, чем при изотермическом процессе. 6. 7. Политропный процесс Все рассмотренные процессы обладают одной общей особенностью: они происходят при постоянной теплоемкости С: при V = const C = CV ; при P = const

C = CP ;

(6.41)

при T = const C Þ ±¥; при dQ = 0 C = 0. Процессы, в которых теплоемкость постоянна, называют политропными. Все изопроцессы, включая адиабатический, являются частными случаями политропного процесса. Аналогично выводу уравнения адиабаты (6.37), используя первое начало термодинамики и уравнение Менделеева – Клапейрона для 1 моля CdT = CV + PdV ; PV = (C P - CV )T , получим dT C P - CV dV + = 0. (6.42) T CV - C V Интегрируя выражение (6.42), получим уравнение политропы (6.43) Заменив в (6.43) температуру T соотношением, полученным из уравнения Менделеева – Клапейрона, T =

PV , получим R

PV n = const, 61

(6.44)

где n =

C - CР – показатель политропы. C - CV

При С = 0 n = g, PV γ = const – уравнение адиабаты; при C Þ ¥ n = 1, PV = const – уравнение изотермы; при C = C P n = 0, P = const – уравнение изобары;

h=

(6.45)

при C = CV n = ¥, V = const – уравнение изохоры. 6. 8. Круговые процессы. Обратимые и необратимые процессы. Тепловая машина. Второе начало термодинамики Круговой процесс (цикл) – это процесс, в результате которого система, пройдя через ряд промежуточных состояний, возвращается в исходное состояние. Любой цикл включает два процесса: расширение газа (участок 1–2, а на рис. 6.6, а), в котором работа А12 > 0, и сжатие газа (участок 2–1, b), где работа А21 < 0. Таким образом, работа за цикл определяется как А = А12 – А21. Так как система возвращается в исходное соа б стояние, то ее внутренняя P P энергия остается постоянной. Рис. 6.6, а иллюстри1 1 рует прямой цикл, который a a лежит в основе действия A A тепловой машины, а 6.6, б – b b 2 2 обратный, реализованный в холодильной установке. V1 V2 V V1 V2 V Схема работы тепловой маРис. 6.6 шины представлена на рис. 6.7. За цикл рабочее тело получает от нагревателя количество тепла та Q1 и отдает холодильнику количество теплоты Q2 . Полезная работа определяется разностью полученной и отданной теплоты Q1 - Q2 , а коэффициент полезного действия выражается как 62

A Q1 - Q2 = . Q1 Q1

(6.46)

Все циклы, а также тепловые проT1 цессы, протекающие в природе, являютQ1 ся необратимыми. Термодинамический процесс Тепловой A (цикл) называется обратимым, если при двигатель совершении его сначала в прямом, а заQ2 тем в обратном направлениях, как сама T2 система, так и все внешние тела возвращаются в исходное состояние. Если это Рис. 6.7 не выполняется, то процесс необратим. Второе начало термодинамики допускает несколько формулировок: 1. Невозможен вечный двигатель второго рода, т. е. периодически действующий двигатель, совершающий работу за счет охлаждения одного источника теплоты. 2. Невозможен процесс, единственным результатом которого является превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу (формулировка Кельвина). 3. Теплота никогда не может переходить сама собой от тел с более низкой температурой к телам с более высокой температурой (формулировка Клаузиуса). 6. 9. Цикл Карно и его КПД Карно рассмотрел работу идеальной тепловой машины, обладающей наибольшим коэффициентом полезного действия hmax . В основе цикла Карно лежит круговой процесс, представленный на рис. 6.8, состоящий из двух изотерм (1–2 и 3–4) и двух адиабат (2–3 и 4–1). В качестве рабочего тела используется один моль идеального газа, заключенный в сосуд с подвижным поршнем. Работа на участке 1–2 (T = const) – количество тепла, полученное газом от нагревателя Q1 , равно работе расширения газа A12 , которая определяется как 63

A12 = RT1 ln

V2 = Q1. V1

(6.47) hКарно

При адиабатическом расширении газа (участок 2–3) работа A23 = CV (T2 - T1 ).

(6.48)

m V RT2 ln 4 . М V3

V V2 - RT2 ln 3 V1 V4 T1 - T2 . = V2 T 1 RT1 ln V1

RT1 ln

(6.53)

Формула (6.53) была получена Клаузиусом. КПД цикла Карно определяется только температурой нагревателя и холодильника:

Количество теплоты Q2 , отданной газом холодильнику при изотермическом сжатии (участок 3–4), равно работе сжатия А34: - Q2 = A34 =

Q - Q2 = 1 = Q1

ηКарно =

T1 - T2 ³ h. T1

(6.54)

На участке 4–1 работа адиабатического сжатия определяется как

Таким образом, идеальная тепловая машина, работающая по обратимому циклу Карно, имеет наибольший КПД, определяемый температурой нагревателя Т1 и холодильника Т2, и не зависящий от конструкции машины.

A41 = -CV (T1 - T2 ) = - A23 .

6. 10. Энтропия

P Q1

1 ·

T1 4

·

A

·2

T2 Q2

·3

(6.49)

(6.50)

Таким образом, работа за цикл A = Q1 - Q2 , так как A41 = - A23 , и определяется площадью кругового процесса на рис. 6.8. Коэффициент полезного действия цикла согласно формуле (6.46)

Понятие энтропии введено Клаузиусом. Коэффициент полезного действия реальной тепловой машины всегда меньше h идеальной машины, т. е. Q1 - Q2 T1 - T2 £ . Q1 T1

A Q1 - Q2 = . (6.51) Q1 Q1 Из уравнений адиабат следует, что h=

V Рис. 6.8

T1V2g -1 = T2V3g -1;

Выражение (6.55) можно записать в следующем виде: Q1 Q2 £ 0 – неравенство Клаузиуса, T1 T2

T1V1g -1 = T2V4g -1,

откуда V2 V3 = . V1 V4

(6.52)

лу Подставив выражения (6.47) и (6.49) для Q1 и Q2 в формулу (6.52), получим 64

(6.55)

(6.56)

Q – приведенная теплота; знак «–» учитывает, что на каком-то участкее T цикла тепло отдается. Из неравенства Клаузиуса следует, что для обратимого цикла алгебраическая сумма приведенной теплоты равна нулю.

где

65

Если разбить весь обратимый цикл Карно на бесконечно малые циклы, то для каждого из них можно записать dQ ò T = 0,

(6.57)

где dQ – бесконечно малое количество теплоты, переданное (отнятое) телу при температуре Т. dQ = const и является функцией состояния, T которую Клаузиус назвал энтропией S, что по-гречески означает «превращение», т. е. Из (6.57) следует, что

dS =

dQ . T

(6.58)

Изменение энтропии не зависит от пути перехода из одного состояния в другое, а определяется состоянием системы. Второе начало термодинамики можно сформулировать, используя понятие энтропии. Если в изолированной системе происходят только обратимые процессы, то ее энтропия остается постоянной, т. е. (6.59) dS = 0. И, наоборот, при необратимых процессах энтропия в изолированной системе возрастает: (6.60) dS > 0. В открытой системе энтропия может как возрастать, так и убывать или оставаться неизменной. 6. 11. Энтропия и термодинамическая вероятность Физический смысл понятия энтропии был выяснен Больцманом, который предположил, что энтропия связана с термодинамической вероятностью состояния системы: (6.61) S = к lnW ,

где W – термодинамическая вероятность, т. е. число микросостояний системы, которыми может быть организовано ее макросостояние при соответствующих значениях P, V, T. Определенная таким образом энтропия S представляет собой меру вероятности состояния системы. Формула (6.61) позволяет дать энтропии статистическое толкование. Энтропия – мера неупорядоченности термодинамической системы (чем больше возможное число микросостояний, реализующих данное макросостояние, тем больше энтропия). В состоянии равновесия максимальная энтропия и максимальная термодинамическая вероятность. В замкнутой системе процессы протекают с возрастанием термодинамической вероятности. Отражая статистический смысл второго начала термодинамики, его можно сформулировать следующим образом: в изолированной системе энтропия не может убывать dS ³ 0. 6. 12. Уравнение Ван-дер-Ваальса В отличие от идеальных в реальных газах учитываются силы взаимодействия между молекулами и их объем. Из большого числа уравнений, предложенных для описания реальных газов, наиболее простым и вместе с тем дающим достаточно хорошие результаты признано уравнение голландского физика Ван-дер-Ваальса. Ван-дер-Ваальс ввел две поправки в уравнение Менделеева – Клапейрона, учитывающие собственный объем молекул и силы межмолекулярного взаимодействия. Из-за действия сил отталкивания молекулы не могут сблизиться на расстояние < d, то есть свободный объем, доступный молекулам одного моля реального газа, будет не Vμ , а Vμ - в (где в – объем, занимаемый молекулами). Действие сил притяжения приводит к появлению дополнительного давления на газ, называемого внутренним давлением Р’. По расчетам Ван-дер-Ваальса внутреннее давление определяется как a P¢ = 2 , (6.63) V μ

66

(6.62)

67

где а – постоянная Ван-дер-Ваальса; Vμ – объем одного моля газа. Вводя приведенные поправки в уравнения Менделеева –Клапейрона ( PVμ = RT ) , получим уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа æ ö ç P + a ÷ (V - в ) = RT . μ (6.64) ç Vμ2 ø÷ è Для произвольной массы газа с учетом того, что V = νVμ уравнение состояния реального газа (Ван-дер-Ваальса), примет вид 2 3ö æ ç P + ν a ÷ æç V - в ö÷ = RT , ç ø V 2 ÷ø è ν è

(6.65)

m – число молей газа; a и в – поправки Ван-дер-Ваальса, M которые постоянны для каждого газа и определяются опытным путем. Так как в << Vμ , P¢ << P , то при малых давлениях и высоких температурах уравнение Ван-дер-Ваальса совпадает с уравнением Клапейрона – Менделеева. где ν =

68

ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Физические основы механики …………………………………………………... 3 1.1.Кинематические характеристики движения. Система отсчета. Траектория материальной точки. Перемещение. Скорость. Ускорение ………3 2. Динамика поступательного движения твердого тела ……………………………9 2.1. Законы Ньютона………………………………………………………………9 2.2. Работа. Мощность……………………………………………………………11 2.3. Механическая энергия ………………………………………………………13 2.4. Законы сохранения………………………………………………………….15 2.5. Закон сохранения импульса…………………………………………………16 3. Механика твердого тела……………………………………………………………19 3.1. Момент инерции……………………………………………………………19 3.2. Кинетическая энергия вращающегося тела ………………………………21 3.3. Основной закон динамики вращательного движения……………………22 3.4. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса…………………23 4. Механические колебания…………………………………………………………25 4.1. Гармонические колебания. Амплитуда. Фаза. Скорость и ускорение. Квазиупругая сила ………………………………………………………………25 4.2. Энергия гармонического колебательного движения………………………28 4.3. Простейшие механические колебательные системы (пружинный, физический и математический маятники) ………………………………………28 4.4. Сложение гармонических колебаний.………………………………………31 4.5. Затухающие колебания………………………………………………………35 4.6. Вынужденные колебания. Резонанс…………………………………………37 5. Основы молекулярной физики и термодинамики ………………………………39 5.1. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов………………………………………………………………………………39 5.2. Уравнение состояния идеального газа (Клапейрона – Менделеева) ……42 5.3. Статистические распределения……………………………………………43 5.4. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Вакуум………………………………………………………47 5.5. Явления переноса в газах: диффузия, теплопроводность, внутреннее трение………………………………………………………………49 6. Основы термодинамики………………………………………………………….52 6.1. Закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул. Внутренняя энергия идеального газа.……………………52 6.2. Первое начало термодинамики……………………………………………54 6.3. Работа газа при изменении его объема……………………………………54 6.4. Теплоемкость идеального газа…………………………………………….55 6.5. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам…………57 6.6. Адиабатический процесс…………………………………………………59 6.7. Политропный процесс…………………………………………………….61 69

6.8. Круговые процессы. Обратимые и необратимые процессы. Тепловая машина. Второе начало термодинамики ……………………………62 6.9. Цикл Карно и его КПД……………………………………………………63 6.10. Энтропия………………………………………………………………….65 6.11. Энтропия и термодинамическая вероятность …………………………66 6.12. Уравнение Ван-дер-Ваальса………………………………………………67

Учебное издание Валентина Ивановна Белякова, Елена Александровна Желудкова, Елена Александровна Кукина, Юлия Николаевна Леонтьева, Ирина Александровна Занадворнова ФИЗИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Ч. 1

Редактор А. В. Афанасьева Корректор К. И. Бойкова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой Подписано к печати 06.04.2007. Формат 60´84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 4,5. Уч.-изд. л. 4,62. Тираж 1000 экз. Заказ 150. «С» 67. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, д. 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская, д. 5.

70

71

ДЛЯ ЗАПИСЕЙ

72