Введение в аналитическую динамику

1 ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÙÅÃÎ È ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ èì. Ñ,Ì, ÊÈÐÎÂÀ

À.À. ÊÈÐÑÀÍÎÂ

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÄÈÍÀÌÈÊÓ Ó÷åáíîå ïîñîáèå

Ïñêîâ 1999

2 ÁÁÊ 531 Ê 435 Ïå÷àòàíòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäð ôèçèêè, ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà è ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà.

Íàó÷íûé ðåäàêòîð: äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð Ã.À. Ðîçìàí. Ðåöåíçåíòû: ïðîðåêòîð ïî ó÷åáíîé ðàáîòå Ïñêîâñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, ïðîôåññîð À.Í. Âåðõîçèí; çàâåäóþùàÿ êàôåäðîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà, êàíäèòàò ïåäàãîãè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, Îòëè÷íèê íàðîäíîãî îáðàçîâàíèÿ Ë.È.Ñàçàíîâà.

Êèðñàíîâ À.À. Ê 435 Ââåäåíèå â àíàëèòè÷åñêóþ äèíàìèêó. Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ïñêîâ, 1999.- 304 ñòð. Ê 435

ISBN 5-87854-111-4

© Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè©

÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì.Êèðîâà (ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà), 1999 Êèðñàíîâ À.À., 1999

3

Ñîäåðæàíèå

Ïðåäèñëîâèå. .................................................................................. 7

§1.2 §1.3. §1.4. §1.5. §1.6. §1.7.

Ãëàâà I. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ........................................................ 11 Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ, èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷¸òà, ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ ............................................ 11 Ñâîáîäíûå è íåñâîáîäíûå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ........ 13 Ñâÿçè è èõ êëàññèôèêàöèÿ .......................................................... 14 Âèðòóàëüíûå ñêîðîñòè, âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ .................. 20 Âèðòóàëüíàÿ ðàáîòà, ïðèçíàê èäåàëüíîñòè ñâÿçåé ................... 25 Îáîáù¸ííûå (Ëàãðàíæåâû1) êîîðäèíàòû ................................. 34 Îáîáù¸ííûå ñèëû ....................................................................... 42

§2.1. §2.2. §2.3. §2.4. §2.5. §2.6. §2.7. §2.8. §2.9.

Ãëàâà II. Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ................. 45 Ïåðâàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ .......................................... 45 Ñîõðàíåíèå èìïóëüñà .................................................................. 47 Ñîõðàíåíèå ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ............................... 48 Ïåðâàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè .............................................. 49 Âòîðàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè ............................................... 51 Òðåòüÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè ............................................... 53 Âòîðàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ .......................................... 54 Òðåòüÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ........................................... 56 Ïðèíöèï Ãàóññà íàèìåíüøåãî ïðèíóæäåíèÿ ............................. 58

§1.1

Ãëàâà III. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà .................................................. 67 §3.1. ×åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ..................................... 67 §3.2. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ................................................................... 72 §3.3. Êîíñåðâàòèâíûå è îáëàäàþùèå ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ..................................................... 75 §3.4. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ...................................................................... 78 §3.5. Èíòåãðàë ßêîáè ........................................................................... 80 §3.6. Îáîáù¸ííûé ïîòåíöèàë .............................................................. 81 §3.7. Ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ............................................. 84

4 Ãëàâà IV. Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ............................................ 95 §4.1. Çàäà÷è, ðàçðåøèìûå â êâàäðàòóðàõ ........................................... 95 §4.2. Ñèñòåìû ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, óðàâíåíèÿ Ðàóñà ...... 97 §4.3. Èíòåãðàëû êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ................................................................. 102 §4.4. Óðàâíåíèå ýíåðãèè ..................................................................... 105 §4.5. Óìåíüøåíèå ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ ýíåðãèè. Ìåòîä Óèòòåêåðà ..... 107 Ãëàâà V. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ...................... 123 §5.1. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ............................................................. 123 §5.2. Óðàâíåíèå ýíåðãèè è ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ................................................................. 129 §5.3. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðè íàëè÷èè öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò ................................................................................... 131 §5.4. Çàäà÷è íà ñîñòàâëåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà .............................................................. 133 §6.1. §6.2. §6.3. §6.4. §6.5.

Ãëàâà VI. Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ ....................................... 145 Êâàçèêîîðäèíàòû ...................................................................... 145 Ïÿòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ .......................................... 149 Îïðåäåëåíèå óñêîðåíèÿ ............................................................. 151 Óðàâíåíèå Ãèááñà-Àïïåëÿ ........................................................ 154 Ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ .................................. 155

Ãëàâà VII. Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ..................... 165 §7.1. Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ........................................ 165 §7.2. Ýêâèâàëåíòíîñòü øåñòîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíà ................................. 166 §7.3. Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ è ôóíêöèÿ Ðàóñà ........... 168 §7.4. Òåîðåìà

d ( p r δ q r ) = δ L ...................................................... 170 dt

§7.5. Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà ................................................................ 171 §7.6. Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ ........................................................................ 172 §7.7. Ñâîéñòâà ãëàâíîé ôóíêöèè ....................................................... 175

5 Ãëàâà VIII. Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ................................. 179 §8.1. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ..................... 179 §8.2. Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ..................................................... 181 §8.3. Ïðèëîæåíèÿ òåîðåìû Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ............................... 188 §9.1. §9.2. §9.3. §9.4. §9.5.

Ãëàâà IX. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ............................................ 199 Ñêîáêè Ïóàññîíà ....................................................................... 199 Òåîðåìà Ïóàññîíà ...................................................................... 202 Ïðèìåíåíèå èçâåñòíîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ .......................... 202 Èíòåãðàëüíûå èíâàðèàíòû ....................................................... 205 Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ ..................................................................... 210

Ãëàâà X. Çàäà÷à äâóõ òåë ........................................................... 215 §10.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ................................ 215 §10.2. Ïåðâûå èíòåãðàëû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ .... 218 Èíòåãðàëû ïëîùàäåé (ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ) .......... 219 Èíòåãðàë ýíåðãèè ...................................................................... 220 §10.3. Äâèæåíèå â ïëîñêîñòè îðáèòû ................................................. 221 §10.4. Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ................................................................ 224 §10.5. Äâèæåíèå ïî ýëëèïñó ................................................................. 228 §10.6. Äâèæåíèå ïî ãèïåðáîëå ............................................................. 230 §10.6. Äâèæåíèå ïî ïàðàáîëå .............................................................. 231 Ãëàâà XI. Òåîðèÿ êîëåáàíèé ..................................................... 233 §11.1. Ìàëûå êîëåáàíèÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ............................................................... 233 §11.2. Íàëîæåíèå ñâÿçè ........................................................................ 239 §11.3. Ïðèíöèï Ðåëåÿ ........................................................................... 240 Ãëàâà XII. Òåîðèÿ óäàðà ............................................................ 249 § 12.1. Óäàðíûé èìïóëüñ ...................................................................... 249 § 12.2. Èìïóëüñèâíûå ñâÿçè .................................................................. 251 § 12.3. Îñíîâíîå óðàâíåíèå òåîðèè óäàðà ........................................... 253 § 12.4. Òåîðåìà î ñóïåðïîçèöèè ........................................................... 256 § 12.5. Øåñòü òåîðåì îá ýíåðãèè .......................................................... 257 1. Ïðèðàùåíèå ýíåðãèè ñèñòåìû áåç èìïóëüñèâíûõ ñâÿçåé ... 257 2. Òåîðåìà Êàðíî î ïîòåðå ýíåðãèè ïðè íàëîæåíèè ñâÿçè ïåðâîãî òèïà ............................................................................... 258

6 3. Âûèãðûø ýíåðãèè ïðè íàëîæåíèè ñâÿçè âòîðîãî ðîäà ....... 259 4. Òåîðåìà Áåðòðàíà .................................................................. 260 5. Òåîðåìà Êåëüâèíà .................................................................. 260 6. Òåîðåìà Òåéëîðà .................................................................... 261 § 12.6. Èñïîëüçîâàíèå îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è êâàçèêîîðäèíàò â òåîðèè óäàðà ............................................................................ 263 Ïðèëîæåíèå I. ....................................................................................... 267 1. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ................................................. 267 2. Óðàâíåíèÿ Ïôàôôà ................................................................ 270 Ïðèëîæåíèå II. Îäíîðîäíûå ôóíêöèè, òåîðåìà Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ ............................................................... 271 Ïðèëîæåíèå III. Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå ....................................... 272 1. Óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà ...... 272 2. Ñâîáîäíûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ................................... 276 3. Ôóíêöèîíàëû ñ íåñêîëüêèìè íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè .... 277 4. Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà ............................................................ 279 5. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ............................................................. 280 6. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè .............................................. 283 7. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà .......................................................... 287 8. Òåîðåìà ßêîáè ....................................................................... 289 Ïðèëîæåíèå IV. Äâèæåíèå ïî çàêîíàì Êåïëåðà ................................ 291 Ïðèëîæåíèå V. Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ óñêîðåíèé â îðòîãîíàëüíûõ êîîðäèíàòàõ .................................................... 294 Ëèòåðàòóðà. ........................................................................................... 297 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü. ........................................................................ 298

7

Ïðåäèñëîâèå Ïðåäëàãàåìîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåñëåäóåò ñëåäóþùèå öåëè: äàòü ïîñëåäîâàòåëüíîå è äîñòàòî÷íî ïîëíîå èçëîæåíèå êóðñà àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè; íà îñíîâå òåîðåòè÷åñêîãî è ïðàêòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà, èçëàãàåìîãî â äàííîì ïîñîáèè, çàêðåïèòü ïðàêòè÷åñêèå ìàòåìàòè÷åñêèå íàâûêè; ïîäãîòîâèòü ÷èòàòåëÿ ê èçó÷åíèþ ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëîâ òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, ãäå ïîëó÷åííûå çíàíèÿ (íàðàâíå ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè) áóäóò ñëóæèòü óæå â êà÷åñòâå èíñòðóìåíòà, ïîçâîëÿþùåãî ñîñðåäîòî÷èòü ñâîè óñèëèÿ â ïðåîäîëåíèè òðóäíîñòåé, ïðèñóùèõ íîâûì ðàçäåëàì òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè. Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî ñòóäåíòàì ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ, íî ìîæåò áûòü ïîëåçíî, êàê ñïðàâî÷íîå ïîñîáèå, è ñòóäåíòàì òåõíè÷åñêèõ âóçîâ. «Ââåäåíèå â àíàëèòè÷åñêóþ äèíàìèêó» ñîñòîèò èç 12 ãëàâ è Ïðèëîæåíèÿ.  I ãëàâå îáñóæäàþòñÿ ïîíÿòèÿ èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷¸òà, ñâîáîäíîé è íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ñâÿçåé è èõ êëàññèôèêàöèé, âèðòóàëüíîé ñêîðîñòè, âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ è âèðòóàëüíîé ðàáîòû, îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è îáîáù¸ííûõ ñèë. Äëÿ êàæäîãî ïîíÿòèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó çàäà÷à. Âî II ãëàâå ïðèâîäèòüñÿ ïîëó÷åííîå Ëàãðàíæåì òàê íàçûâàåìîå îñíîâíîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ïîëîæåíî íàìè â îñíîâó ïîñòðîåíèÿ àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè. Íà îñíîâàíèè ïåðâîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ äîêàçûâàþòñÿ òåîðåìû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è òðè ôîðìû óðàâíåíèÿ ýíåðãèè. Èñõîäÿ èç ðàçíîîáðàçèÿ çàäà÷, ðåøàåìûõ â ðàìêàõ àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè, îñíîâíîå óðàâíåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â øåñòè ðàçëè÷íûõ ôîðìàõ.  ýòîé ãëàâå àíàëèçèðóþòñÿ ïåðâûå òðè åãî ôîðìû.  ãëàâå III ðàññìàòðèâàåòñÿ ÷åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, èç êîòîðîé âûâîäèòñÿ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà è èíòåãðàë (ýíåðãèè) ßêîáè.  IV ãëàâå íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðîáëåìû èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ èëè íåîïðåäåë¸ííûõ èíòåãðàëàõ îò ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, òî åñòü ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è, ðàçðåøàåìûå â êâàäðàòóðàõ. Ââîäèòñÿ ïîíÿ-

8 òèå öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò è ìåòîäû ïîíèæåíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè ïîìîùè óðàâíåíèé ýíåðãèè (ìåòîä Óèòòåêåðà). Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ââîäèòñÿ ôóíêöèÿ Ðàóñà è óðàâíåíèÿ Ðàóñà.  V ãëàâå, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå Ëàãðàíæà è ïîíÿòèå îáîáù¸ííîãî èìïóëüñà, ðåøàåòñÿ ïîñòàâëåííàÿ Ãàìèëüòîíîì çàäà÷à î íàõîæäåíèè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.  êà÷åñòâå îñíîâíîé ôóíêöèè âûáèðàåòñÿ ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, âûðàæåííàÿ ÷åðåç ïåðåìåííûå äâóõ âèäîâ: ãåîìåòðè÷åñêèå, îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, è äèíàìè÷åñêèå, îïðåäåëÿþùèå îñíîâíóþ âåëè÷èíó íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêè – èìïóëüñ. Ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ôîðìå Ãàìèëüòîíà (ñèñòåìà êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà), èìåþùèå èñêëþ÷èòåëüíî âàæíîå çíà÷åíèå â èçó÷åíèè òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, îñîáåííî ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêè è êâàíòîâîé ìåõàíèêè.  VI ãëàâå ñ ïîìîùüþ ïåðâûõ òð¸õ ôîðì îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ âûâîäèòñÿ ïÿòàÿ ôîðìà, ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ íåãîëîíîìíûìè ñèñòåìàìè ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Íà îñíîâàíèè ïÿòîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, ôóíêöèè Ãèááñà è ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî ïðèíóæäåíèÿ Ãàóññà, âûâîäèòñÿ óðàâíåíèå Ãèááñà-Àïïåëÿ, ïðèâîäèòñÿ àëãîðèòì ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ.  VII ãëàâå íà îñíîâàíèè ÷åòâ¸ðòîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ âûâîäèòñÿ ïîñëåäíÿÿ øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, ïðåäíàçíà÷åííàÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ êîíñåðâàòèâíûìè ãîëîíîìíûìè ñèñòåìàìè ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïðèâîäÿòñÿ äîêàçàòåëüñòâà ýêâèâàëåíòíîñòè øåñòîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà, Ãàìèëüòîíà è Ðàóñà, âûâîäèòñÿ ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà, ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ãëàâíîé ôóíêöèè è ðàññìàòðèâàþòñÿ å¸ ñâîéñòâà.  ãëàâå VIII ðàññìàòðèâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà è ïðèâîäèòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ IX ãëàâîé, ïîñâÿù¸ííîé óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà.  ýòîé ãëàâå ââîäÿòñÿ ñêîáêè Ïóàññîíà, ïðèâîäÿòñÿ äîêàçàòåëüñòâà: òåîðåìû Ïóàíêàðå î ëèíåéíîì èíòåãðàëüíîì èíâàðèàíòå, òåîðåìû Ëèóâèëëÿ, Òðè ïîñëåäíèå ãëàâû (X, XI, XII) ïîñâÿùåíû âîïðîñàì, èìåþùèì âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëîâ òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè: çàäà÷å äâóõ òåë, òåîðèè ìàëûõ êîëåáàíèé è òåîðèè óäàðà.

9  ïðèëîæåíèè ïðèâåäåíû ìàòåìàòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ, êàñàþùèåñÿ, â îñíîâíîì, âîïðîñîâ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Âñå òåîðåòè÷åñêèå âîïðîñû èëëþñòðèðóþòñÿ ðåøåíèÿìè êîíêðåòíûõ çàäà÷. Âûðàæàþ èñêðåííþþ ïðèçíàòåëüíîñòü ìîåìó ó÷èòåëþ äîêòîðó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðó êàôåäðû ôèçèêè ÏÃÏÈ, Ïî÷¸òíîìó Ñîðîñîâñêîìó Ïðîôåññîðó Ãåðìàíó Àðîíîâè÷ó Ðîçìàíó êàê çà ñàìó èäåþ íàïèñàíèÿ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ, òàê è çà òî âíèìàíèå, òåðïåíèå è òðåáîâàòåëüíîñòü ïðîÿâëåííûå èì ïðè îáñóæäåíèè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ ðóêîïèñè. Àâòîð òàêæå âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü ïðîðåêòîðó ïî ó÷åáíîé ðàáîòå Ïñêîâñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, ïðîôåññîðó Àíàòîëèþ Íèêîëàåâè÷ó Âåðõîçèíó, çàâåäóþùåé êàôåäðîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, êàíäèòàòó ïåäàãîãè÷åñêèõ íàóê, äîöåíòó êàôåäðû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ÏÃÏÈ Ñàçàíîâîé Ëèäèè Èâàíîâíå, äîêòîðó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðó êàôåäðû ôèçèêè ÏÃÏÈ Ôåñåíêî Áîðèñó Èâàíîâè÷ó è çâåäóþùåìó êàôåäðîé ôèçèêè êàíäèäàòó ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíòó êàôåäðû ôèçèêè ÏÃÏÈ Ñîëîâü¸âó Âëàäèìèðó Ãàåâè÷ó äîáðûå ñîâåòû, êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ è ïîääåðæêà êîòîðûõ îêàçàëè áîëüøóþ ïîìîùü ïðè ðàáîòå íàä ðóêîïèñüþ. Ïñêîâ, 1999 ã.

Àâòîð.

10

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

11

Ãëàâà I Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ  ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïîíÿòèÿ èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷¸òà, ñâîáîäíîé è íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ñâÿçåé è èõ êëàññèôèêàöèè, âèðòóàëüíîé ñêîðîñòè, âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ è âèðòóàëüíîé ðàáîòû, îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è îáîáù¸ííûõ ñèë. Äëÿ êàæäîãî ïîíÿòèÿ ðåøàåòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó çàäà÷à. Íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ îïðåäåëÿþòñÿ â õîäå ðåøåíèÿ çàäà÷.

§1.1 Ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ, èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷¸òà, ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ Âñå ïðîöåññû, ðàññìàòðèâàåìûå â ôèçèêå, ïðîèñõîäÿò â ïðîñòðàíñòâå è âî âðåìåíè, ñâîéñòâà êîòîðûõ íàêëàäûâàþò îïðåäåë¸ííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ïðîòåêàþùèå â íèõ ïðîöåññû.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ìåõàíè÷åñêèå ïðîöåññû ïðîèñõîäÿò â ïðîñòðàíñòâå, ñâîéñòâà êîòîðîãî ïîä÷èíÿþòñÿ çàêîíàì ãåîìåòðèè Åâêëèäà è íå çàâèñÿò îò ïðèñóòñòâèÿ â í¸ì ìàòåðèàëüíûõ òåë. Âñå òî÷êè òàêîãî ïðîñòðàíñòâà ñîâåðøåííî ðàâíîçíà÷íû (ïðîñòðàíñòâî îäíîðîäíî) è ìîæíî ãîâîðèòü ëèøü îá îòíîñèòåëüíîì ïîëîæåíèè è îá îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè ìàòåðèàëüíûõ òåë â ïðîñòðàíñòâå.  òàêîì ïðîñòðàíñòâå îòñóòñòâóþò è êàêèå-ëèáî âûäåëåííûå íàïðàâëåíèÿ (ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíî). Îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè îçíà÷àåò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå âîçìîæíû ïàðàëëåëüíûå ïåðåíîñû è ïîâîðîòû, íå ìåíÿþùèå çàêîíîâ äâèæåíèÿ. Îäíîðîäíîñòü âðåìåíè îçíà÷àåò, ÷òî ìû ìîæåì ïðîèçâîëüíî âûáèðàòü íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, òî åñòü ìîìåíò, ñ êîòîðîãî íà÷èíàåòñÿ îòñ÷¸ò âðåìåíè. Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå, ïîëîæåíèÿ è äâèæåíèå ìàòåðèàëüíûõ òåë â ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíû è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ èçó÷åíèÿ çàêîíîâ äâèæåíèÿ íàì íåîáõîäèìî äîãîâîðèòüñÿ, îòíîñèòåëüíî ÷åãî ìû áó-

Ãëàâà ïåðâàÿ

12

äåì ðàññìàòðèâàòü èçó÷àåìûå íàìè äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òåë. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è íàì íåîáõîäèìî çàäàòü òåëî îòñ÷¸òà, ñèñòåìó êîîðäèíàò, (íà÷àëî êîòîðîé ñîâìåñòèì ñ òåëîì îòñ÷¸òà), ìàñøòàáû è ÷àñû. Âñ¸ ïåðå÷èñëåííîå âûøå ñîñòàâëÿåò ïîíÿòèå ñèñòåìû îòñ÷¸òà. Ñèñòåìû îòñ÷åòà, â êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû Íüþòîíà, ìû áóäåì íàçûâàòü èíåðöèàëüíûìè ñèñòåìàìè îòñ÷¸òà r y y′ V (ÈÑÎ). A Òàê êàê âñå ÈÑÎ ýêâèâàëåíòíû, ìû íå r r ′ ìîæåì âûäåëèòü èç ýòîãî ìíîæåñòâà êàêóþrO òî ïðèâèëåãèðîâàííóþ ÈÑÎ, «àáñîëþòx′ Vt r íóþ» ñèñòåìó îòñ÷¸òà. r Ðàññìîòðèì äâå ÈÑÎ C è C ′ . Ïóñòü

O

Ðèñ. 1.

x

C ′ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî C ñî ñêîðîñòüþ r V , à êîîðäèíàòû íåêîòîðîé òî÷êè À îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòr r âåòñòâóþùèõ ðàäèóñ-âåêòîðîâ r è r ′ . Òîãäà

r r r r = r ′ + Vt , t = t′ .

(1.1.1)

(1.1.2) Õîä âðåìåíè âî âñåõ ÈÑÎ îäèíàêîâ. Âðåìÿ íîñèò àáñîëþòíûé õàðàêòåð. Ôîðìóëû (1.1.1) è (1.1.2) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè Ãàëèëåÿ. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òðåáîâàíèè èíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìåõàíèêè ïî îòíîøåíèþ ê ýòèì ïðåîáðàçîâàíèÿì. Àáñîëþòíîñòü âðåìåíè, è ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ óñòàíàâëèâàþò ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ1 ìåæäó òåëàìè. Åñëè âçàèìîäåéñòâèå áóäåò ïåðåäàâàòüñÿ ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ, òî îíà áóäåò ðàçëè÷íîé â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ, ñîãëàñíî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé. Çàêîíû äâèæåíèÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ òåë áóäóò ðàçëè÷íû â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðèíöèïó îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ.

Çäåñü èìååòñÿ â âèäó, ÷òî â ìåõàíèêå Íüþòîíà ñêîðîñòü ñâåòà íå èìååò ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ êàê â ÑÒÎ, à ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå ïåðåäà¸òñÿ ìãíîâåííî. 1

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

13

§1.2 Ñâîáîäíûå è íåñâîáîäíûå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê Îäíèì èç âàæíåéøèõ ïîíÿòèé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè (÷àñòèöû). Ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé (÷àñòèöåé) ñ÷èòàþò òåëî, ðàçìåðàìè êîòîðîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðè îïèñàíèè åãî äâèæåíèÿ, òî åñòü ðàçìåðû òåëà äîëæíû áûòü ìíîãî ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òåëàìè â êîíêðåòíîé çàäà÷å. Êîñìè÷åñêèé àïïàðàò íà îðáèòå Çåìëè èëè ñîâåðøàþùèé ïîë¸ò â ñîëíå÷íîé ñèñòåìå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó. Èçó÷àÿ âçàèìíûå ðàñïîëîæåíèÿ çâ¸çä, èõ òàê æå ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè, òàê êàê ðàññòîÿíèÿ ìåæäó çâ¸çäàìè íàìíîãî ïðåâûøàþò ðàçìåðû ñàìèõ çâ¸çä. Ñîâîêóïíîñòü ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, åñëè äâèæåíèå êàæäîé èç íèõ â îòäåëüíîñòè çàâèñèò îò äâèæåíèÿ è ïîëîæåíèÿ îñòàëüíûõ òî÷åê. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû ñóùåñòâóþò ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òî÷êàìè ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè ñèëàìè. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òî÷êè ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû ñî ñòîðîíû òî÷åê è òåë, íå ïðèíàäëåæàùèõ äàííîé ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìå, íàçûâàþòñÿ âíåøíèìè ñèëàìè.1 Ìàòåðèàëüíàÿ ñèñòåìà òî÷åê, â êîòîðîé ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ëþáûìè å¸ òî÷êàìè íå èçìåíÿåòñÿ, íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî òâ¸ðäûì òåëîì. Åñëè ëþáàÿ ïðîèçâîëüíî âûáðàííàÿ òî÷êà ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû ìîæåò çàíÿòü ëþáîå ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå è èìåòü ëþáóþ ñêîðîñòü, òî òàêóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàçûâàþò ñâîáîäíîé. Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàçûâàåòñÿ íåñâîáîäíîé, åñëè èç-çà êàêèõ ëèáî îãðàíè÷åíèé (óñëîâèé) òî÷êè ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû íå ìîãóò çàíÿòü ïðîèçâîëüíîãî ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è íå ìîãóò èìåòü ïðîèçâîëüíûå ñêîðîñòè.

Çäåñü ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âñå äåéñòâóþùèå íà òî÷êè ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû ñèëû, åñòü ëèáî çàäàííûå ñèëû, ëèáî ðåàêöèè ñâÿçè. Äàííîå îïðåäåëåíèå ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû íå âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñèëû òðåíèÿ, êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè âíóòðåííåé ñèëîé, íè ñèëîé ðåàêöèè, îïðåäåëåíèå êîòîðîé áóäåò äàíî ïîçæå. 1

Ãëàâà ïåðâàÿ

14

§1.3. Ñâÿçè è èõ êëàññèôèêàöèÿ Îãðàíè÷åíèÿ (óñëîâèÿ), êîòîðûå íå ïîçâîëÿþò ñèñòåìå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê çàíèìàòü ïðîèçâîëüíûå ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è èìåòü ïðîèçâîëüíûå ñêîðîñòè íàçûâàþò ñâÿçÿìè. Ñâÿçü íàëàãàåò îãðàíè÷åíèå íà èçìåíåíèå êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé òî÷åê. Ìàòåìàòè÷åñêè îãðàíè÷åíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå óðàâíåíèé èëè íåðàâåíñòâ. Ïóñòü ñèñòåìà ñîñòîèò èç n ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, à äåêàðòîâû êîîðäèíàòû i -é òî÷êè áóäóò

xi , yi , zi , (i = 1,2,..., n ) . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàëîæåíà îäíà ñâÿçü, êîòîðóþ ìîæíî ìàòåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ôóíêöèè äëÿ ýòîé ôóíêöèè

f . Òîãäà

f ∈ C1 â îáëàñòè D ýòî ìîæíî íàïèñàòü1:

f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xn , yn , zn , x&1, y&1, z&1,..., x& n , y& n , z&n , t ) ≤ 0 . (1.3.1) Åñëè â óðàâíåíèè (1.3.1) ñòîèò çíàê «ðàâíî» – ñâÿçü íàçûâàåòñÿ óäåðæèâàþùåé, åñëè ñòîèò çíàê íåðàâåíñòâà, òî ñâÿçü íàçûâàåòñÿ íåóäåðæèâàþùåé. Ðåøèì íåñêîëüêî çàäà÷ íà ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèé ñâÿçè. Îòìåòèì, ÷òî â õîäå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷, ìû áóäåì ïîïóòíî äàâàòü îïðåäåëåíèÿ äëÿ âïåðâûå âñòðå÷àþùèõñÿ ïîíÿòèé, êîòîðûå áóäåì âûäåëÿòü êóðñèâîì. Çàäà÷à 1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ñâÿçè äëÿ äâóõ òî÷åê Ì1 è Ì2 ñ êîîðäèíàòàìè

x1, y1, z1 è x2 , y2 , z2 , ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé: à) æåñòêèì ñòåðæíåì

äëèíîé l , á) ãèáêîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ äëèíîé l , â) íåãèáêèì ñòåðæíåì, èçìåíÿþùèì ñâîþ äëèíó l çàäàííûì îáðàçîì 1

l = l1 + l0 sin t .

Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ïðèíàä-

ëåæèò êëàññó

Cp

â îáëàñòè èçìåíåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ

å¸ ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà ëåæíîñòè.

p

ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû â

D , åñëè âñå

D , ∈ - çíàê ïðèíàä-

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

15

Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

f (x1, y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , t )

Íàéòè

Ðåøåíèå çàäà÷è.

Ì1( x1, y1, z1 ),

Äàíî

 ñëó÷àÿõ à) è á) äàííîé çàäà÷è òî÷êè Ì2( x2 , y2 , z2 ), Ì1 è Ì2 ìîãóò çàíèìàòü ëþáûå ïîëîæåà) l (æåñòêèé ñòåðæåíü), íèÿ â ïðîñòðàíñòâå è á) l (ãèáêàÿ, íåðàñòÿæèìàÿ íèòü), èìåòü ëþáûå ñêîðîñòè, ðàññòîÿíèå ìåæäó â) l = l1 + l0 sin t . òî÷êàìè íå çàâèñèò îò âðåìåíè è îò âûáîðà ÈÑÎ.  ñëó÷àå, êîãäà íàì íåò íåîáõîäèìîñòè ñâÿçûâàòü ÈÑÎ ñ ñèñòåìîé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èëè êàêîé ëèáî å¸ ÷àñòüþ, ìû ìîæåì ñâÿçàòü ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé è áóäåì íàçûâàòü òàêóþ ÈÑÎ ëàáîðàòîðíîé . Äëÿ ñëó÷àÿ à) (ðèñ.2à) óðàâíåíèå (1.3.1) áóäåò âûãëÿäåòü òàê:

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − l 2 = 0 . Ðàññòîÿíèå ìåæäó äàííûìè òî÷êàìè íåèçìåííî, ñâÿçü ÿâëÿåòñÿ óäåðæèâàþùåé. y

y

M1

M1 l

l O

M2

O

M2

x z

Ðèñ. 2à.

x z

Ðèñ. 2á.

Äëÿ ñëó÷àÿ á) (ðèñ 2á) óðàâíåíèå (1.3.1) áóäåò âûãëÿäåòü òàê:

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − l 2 ≤ 0 . Ñâÿçü â äàííîì ïðèìåðå íåóäåðæèâàþùàÿ. Åñëè óðàâíåíèå óäåðæèâàþùåé ñâÿçè

f (xi , yi , zi , x& i , y& i , z&i , t ) = 0

(1.3.2)

Ãëàâà ïåðâàÿ

16

ñîäåðæèò ÿâíî âðåìÿ t , òî ñâÿçü íàçûâàåòñÿ íåñòàöèîíàðíîé èëè êèíåìàòè÷åñêîé.  ñëó÷àå â) äàííîé çàäà÷è ìû ìîæåì ñíîâà âîñïîëüçîâàòüñÿ ëàáîðàòîðíîé ÈÑÎ, óðàâíåíèå ñâÿçè (1.3.1) áóäåò ÿâíî ñîäåðæàòü âðåìÿ t :

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 − (l1 + l0 sin t )2 = 0 .

Åñëè óðàâíåíèå ñâÿçè íå ñîäåðæèò âðåìåíè t , òî åñòü óðàâíåíèå ñâÿçè èìååò âèä

f (xi , yi , zi , x& i , y& i , z&i ) = 0 ,

(1.3.3)

ñâÿçü íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé. Ñâÿçü, íàêëàäûâàþùàÿ îãðàíè÷åíèÿ òîëüêî íà êîîðäèíàòû òî÷åê ñèñòåìû, òî åñòü ñâÿçü, óðàâíåíèå êîòîðîé íå ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè îò êîîðäèíàò:

f (xi , yi , zi , t ) = 0

(1.3.4)

íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé èëè ãîëîíîìíîé. Åñëè óðàâíåíèå (1.3.2) êèíåìàòè÷åñêîé ñâÿçè ïóò¸ì èíòåãðèðîâàíèÿ íåëüçÿ ïðèâåñòè ê âèäó (1.3.4), íå ñîäåðæàùåìó ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè, òî ýòà ñâÿçü íàçûâàåòñÿ íåèíòåãðèðóåìîé èëè íåãîëîíîìíîé. Åñëè óðàâíåíèå êèíåìàòè÷åñêîé ñâÿçè (1.3.2) ìîæíî ïóò¸ì èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèâåñòè ê âèäó (1.3.4), òî ñâÿçü, ïî ñóùåñòâó, áóäåò ãîëîíîìíîé. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñ èñïîëüçîâàíèåì ãîëîíîìíîé ñâÿçè. Çàäà÷à 2. n

Ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå ñâÿçè

∑ (x x& i =1

i

i

+ yi y& i + zi z&i ) = 0 ,

íàëîæåííîé íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè

I (èñêîìûé èíòåãðàë) n

Äàíî

∑ (x x& i =1

i

i

+ yi y& i + zi z&i ) = 0

Ðåøåíèå çàäà÷è. Ïðåîáðàçóåì èñõîäíîå óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

17

 dx ∑ (xi x&i + yi y& i + zi z&i ) = ∑  xi i n

n

i =1

i =1



dt

+ yi

dyi dz  + zi i  =0 . dt dt 

Óìíîæèì âûðàæåíèå ñòîÿùåå â ñêîáêàõ íà dt n dyi dzi   dxi (xi dxi + yi dyi + zi dzi ) =0 . x y z dt + + ⋅ =  i  ∑ ∑ i i dt dt dt  i =1  i =1 n

Èíòåãðèðîâàíèå ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà n

I = ∫ ∑ (xi dxi + yi dyi + zi dz i ) = i =1

(

)

n 1 1  1 n 1 = ∑  x i2 + y i2 + z i2  = ∑ x i2 + y i2 + z i2 = Const . 2 2  2 i =1 i =1  2

Äàííàÿ ñâÿçü ÿâëÿåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé èëè ãîëîíîìíîé. Åñëè íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàëîæåíî k ñâÿçåé, ìû áóäåì èìåòü k óðàâíåíèé ñâÿçè ñëåäóþùåãî âèäà:

f j (xi , yi , zi , x& i , y& i , z&i , t ) = 0 , ( j = 1,2,..., k ) , (i = 1,2,..., n ) .

(1.3.5)

Åñëè ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé èíòåãðèðóåìà, òî ñâÿçè áóäóò ãîëîíîìíûìè, â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå – íåãîëîíîìíûìè. Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íà êîòîðóþ íàëîæåíû ãîëîíîìíûå ñâÿçè, íàçûâàåòñÿ ãîëîíîìíîé, à ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ íåãîëîíîìíûìè ñâÿçÿìè – íåãîëîíîìíîé. Ãîëîíîìíàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íà êîòîðóþ íàëîæåíû

k ñâÿçåé, óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåé ñèñòåìå óðàâíåíèé

f j (x i , yi , zi , t ) = 0 , ( j = 1,2,..., k ) .

(1.3.6)

Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íà êîòîðóþ íàëîæåíû ñòàöèîíàðíûå (íå çàâèñÿùèå îò âðåìåíè) ñâÿçè, ÷àñòî íàçûâàþò íàòóðàëüíîé ñèñòåìîé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.

Ãëàâà ïåðâàÿ

18

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà ñîñòàâëåíèå íåñêîëüêèõ óðàâíåíèé ñâÿçè. Çàäà÷à 3. Òî÷êà Ì1, ê êîòîðîé ïðèñîåäèíåíà ñ ïîìîùüþ æåñòêîãî ñòåðæíÿ äëèíû l òî÷êà Ì2, äâèæåòñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèóñà R , ðàñïîëîæåííîé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ ñâÿçåé. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , t )

Íàéòè

Ì1( x1, y1, z1 ),

Äàíî

Ì2( x2 , y2 , z2 ),

l (æåñòêèé ñòåðæåíü), R

Ðåøåíèå çàäà÷è. Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ñîâìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ öåíòðîì îêðóæíîñòè. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ. Òî÷êà Ì1 äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè xOy , à ó òî÷êè Ì2 ìîãóò ìåíÿòüñÿ âñå òðè å¸ êîîðäèíàòû

x2 , y2 , z2 , òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è òîëüêî òî÷êà Ì1 äâèæåòñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè, ðàñïîëîæåííîé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ñâÿçåé: òàê êàê äâèæåíèå òî÷êè Ì1 ïðîèñõîäèò ïî îêðóæíîñòè â ïëîñêîñòè æåì ñðàçó íàïèñàòü:

y

M1 R O

xOy , ìû ìîz

z1 = 0 ,

Ðèñ. 3.

x + y − R = 0. 2 1

2 1

2

Òðåòüå óðàâíåíèå ñâÿçè íàìè ïîëó÷åíî â çàäà÷å 1 (à).

(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + z 2 2 − l 2

M2

= 0.

Ñèñòåìà èìååò òðè ãîëîíîìíûå ñâÿçè òèïà (1.3.6).

x

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

19

Çàäà÷à 4. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ ñâÿçåé äëÿ êðèâîøèïíî-øàòóííîãî ìåõàíèçìà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 4. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

Íàéòè

f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , t ) Ì1( x1, y1, z1 ),

Äàíî

Ì2( x2 ),

l, r

Ì1:

z1 = 0 ,

Ðåøåíèå çàäà÷è. Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ êðèâîøèïíî-øàòóííûì ìåõàíèçìîì, ñîâìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ òî÷êîé O . Íàïèøåì óðàâíåíèÿ ñâÿçåé:

x12 + y12 − r 2 = 0 ;

Ì2: y2 = 0 , z2 = 0 , (x 2 − x1 ) + ( y 2 Ñèñòåìà èìååò ïÿòü ãîëîíîìíûõ ñâÿçåé. 2

− y1 ) − l 2 = 0 . 2

×èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàçûâàåòñÿ ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ, ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèõ å¸ ïîëîæåíèå (êîíôèãóðàöèþ), òî åñòü îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå êàæäîé òî÷êè ñèñòåìû. Ïóñòü íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ñîñòîÿùóþ èç

n òî÷åê,

íàëîæåíî k ñâÿçåé òèïà (1.3.6). Òîãäà íå âñå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷åê ñèñòåìû íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà, òî åñòü íà 3 n êîîðäèíàò íàëîæåíî k íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé ñâÿçè. Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ ñâÿçåé îòíîñèòåëüíî k êàêèõ ëèáî êîîðäèíàò, ìû âûðàçèì ýòè k êîîðäèíàò ÷åðåç îñòàëüíûå 3 n − k . Ýòè 3 n − k êîîðäèíàò, êîòîðûå ìîãóò ïðèíè-

Ãëàâà ïåðâàÿ

20

ìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, è îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû áóäåò ðàâíî

s = 3n − k .

(1.3.7)

§1.4. Âèðòóàëüíûå ñêîðîñòè, âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ Âèðòóàëüíûå ñêîðîñòè è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îäíèìè èç âàæíåéøèõ ïîíÿòèé ìåõàíèêè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó íàëîæåíà ñâÿçü âèäà

f (x, y, z, t ) = 0 .

(1.4.1) Çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, îáóñëîâëåííûé äåéñòâóþùèìè íà òî÷êó ñèëàìè, áóäåò

x = x(t ) , y = y(t ) , z = z(t ) .

(1.4.2)

Ïîäñòàâèâ (1.4.2) â óðàâíåíèå ñâÿçè (1.4.1), ïîëó÷èì

f [x(t ), y(t ), z(t ), t] ≡ 0 .

(1.4.3)

Äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïî âðåìåíè t , ïîëó÷èì

∂f ∂f ∂f ∂f y& + z& + = 0. x& + ∂x ∂y ∂z ∂t Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè íàòû

(1.4.4)

t = t0 ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò êîîðäè-

x0 , y0 , z0 . Äëÿ ýòîãî ìîìåíòà âðåìåíè (1.4.4) ïðèìåò âèä

 ∂f  &  ∂f  &  ∂f  &  ∂f    ⋅ x +   ⋅ y +   ⋅ z +   = 0 .  ∂x  0  ∂z  0  ∂t  0  ∂y  0

(1.4.5)

Çäåñü èíäåêñ 0 îçíà÷àåò, ÷òî âñå ÷åòûðå ïðîèçâîäíûå âû÷èñëåíû äëÿ çíà÷åíèé

x0 , y0 , z0 è t0 . Ïðîèçâîäíûå x& , y& , z& â (1.4.5) òàêæå ñîîò-

âåòñòâóþò ìîìåíòó âðåìåíè

t = t0 . Óðàâíåíèå (1.4.5) åñòü óñëîâèå, êî-

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

21

òîðîìó äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè öèè

t = t0 ïðîåê-

x& = vx , y& = vy , z& = vz ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè r r r r v = x& i + y& j + z&k .

(1.4.6)

Ýòó ñêîðîñòü íàçûâàþò äåéñòâèòåëüíîé ñêîðîñòüþ. Äëÿ ñòàöèîíàðíîé ñâÿçè, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì âèäà

f (x, y, z ) = 0

(1.4.7)

óñëîâèå (1.4.5) ïðèìåò âèä

 ∂f  &  ∂f  &  ∂f  &   ⋅ x +   ⋅ y +   ⋅ z = 0 .  ∂x  0  ∂z  0  ∂y  0

(1.4.8)

Ââåä¸ì ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ

r r r r v * = x& *i + y& * j + z&* k

(1.4.9) ñêîðîñòü, ïðîåêöèè êîòîðîé â äàííûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè

t = t0 óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1.4.8), òî åñòü òîìó æå óñëîâèþ, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò ïðîåêöèè äåéñòâèòåëüíîé ñêîðîñòè ïðè ñòàöèîíàðíîé ñâÿçè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñâÿçü íåñòàöèîíàðíàÿ, òî ââåä¸ííàÿ íàìè

r*

ñêîðîñòü v ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè êèíåìàòè÷åñêè âîçìîæíóþ ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðè ìãíîâåííî îñòàíîâ-

r*

ëåííîé ñâÿçè â ìîìåíò âðåìåíè t = t0 , òî åñòü v - ýòî ñêîðîñòü, ñîâìåñòèìàÿ ñî ñâÿçüþ, íî íå èìåþùàÿ ñîñòàâëÿþùèõ, îáóñëîâëåííûõ äåôîðìàöèåé ñâÿçè. Ñêîðîñòü

r v * áóäåì íàçûâàòü âèðòóàëüíîé ñêîðîñòüþ.

Ðàññìîòðèì, äëÿ ïðèìåðà, äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü äâèæåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñ íåêîòîðîé ñêîðîñòüþ

r v ′ . Äåéñòâèòåëüíàÿ ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè vr áór*

äåò ñóììîé äâóõ ñîñòàâëÿþùèõ: ñîñòàâëÿþùåé v , ðàñïîëîæåííîé â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè, ïðîâåä¸ííîé ê òî÷êå ïîâåðõíîñòè, ãäå íàõîäèòñÿ â äàííûé ìîìåíò ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà è îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèåì

Ãëàâà ïåðâàÿ

22

r (1.4.9), è ñîñòàâëÿþùåé v ′ , îáóñëîâëåííîé ïåðåìåùåíèåì ïîâåðõíîñòè.

Âèðòóàëüíûå æå ñêîðîñòè áóäóò ðàñïîëîæåíû òîëüêî â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.

Èç ñðàâíåíèÿ óñëîâèé (1.4.5) è (1.4.8) âûòåêàåò, ÷òî â ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíîé ñâÿçè äåéñòâèòåëüíûå ñêîðîñòè â îáùåì ñëó÷àå íå ñîâïàäàþò ñ âèðòóàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Åñëè ñâÿçü ñòàöèîíàðíàÿ – äåéñòâèòåëüíàÿ ñêîðîñòü ñîâïàäàåò ñ îäíîé èç âèðòóàëüíûõ ñêîðîñòåé. Ðåøèì çàäà÷ó ñ ïðèìåíåíèåì ïîíÿòèÿ âèðòóàëüíîé ñêîðîñòè. Çàäà÷à 5. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå (1.4.4) äëÿ ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû, çàäàííîé â çàäà÷å 1(à). Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

∂f ∂f ∂f ∂f x& + y& + z& + =0 ∂x ∂y ∂z ∂t Ì1( x1, y1, z1 ),

Ðåøåíèå çàäà÷è. Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó â ëàáîðàòîðíîé ÈÑÎ.

r

r

Ïóñòü r1 è r2 ðàäèóñ-âåêÌ2( x2 , y2 , z2 ), òîðû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê l (æåñòêèé ñòåðæåíü) Ì1 è Ì2 ñîîòâåòñòâåííî. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì ñâÿçè, ïîëó÷åííûì â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è 1(à)

f (xi , y i , z i , t ) = (x 2 − x1 ) + ( y 2 − y1 ) + (z 2 − z1 ) − l 2 = 0 . 2

2

2

Î÷åâèäíî, ÷òî

∂f ∂f ∂f ∂f = 2(y2 − y1 ) , = 2(x2 − x1 ) , =0 = 2 (z 2 − z 1 ) è ∂x ∂y ∂z ∂t x& * = x& 2* − x&1* , y& * = y&2* − y&1* , z& * = z& 2* − z&1* ,

òîãäà äëÿ (1.4.4) ìîæíî íàïèñàòü

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

23

(x2 − x1 )(x& 2* − x&1* ) + ( y 2 − y1 )(y& 2* − y&1* ) + (z 2 − z1 )(z& 2* − z&1* ) = 0

èëè â âåêòîðíîé ôîðìå:

(rr2 − rr1 )⋅ (vr2* − vr1* ) = 0 ,

(1.4.10) îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü âèðòóàëüíûõ ñêîðîñòåé äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òâ¸ðäîãî òåëà âñåãäà ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ýòè òî÷êè, òàê êàê â ëåâîé ÷àñòè (1.4.10) ñòîèò ñêàëÿðíîå

r

r

r*

r*

ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ r2 − r1 è v 2 − v1 . Äåéñòâèòåëüíûì ïåðåìåùåíèåì ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ âåêòîð

r r dr = v dt .

(1.4.11)

Ïðîåêöèè ýòîãî âåêòîðà dx = x& dt , âîðÿþò óðàâíåíèþ

dy = y& dt , dz = z&dt óäîâëåò-

∂f ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz + dt = 0 , ∂x ∂y ∂z ∂t

(1.4.12)

êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç óðàâíåíèÿ (1.4.4)

∂f ∂f ∂f ∂f x& + y& + z& + =0 ∂x ∂y ∂z ∂t

(1.4.4)

óìíîæåíèåì åãî íà dt . Äåéñòâèòåëüíûì ïåðåìåùåíèåì ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàçûâàþòñÿ âåêòîðû

r r r r r dri = vi dt = x& i dti + y& dtj + z&dtk , ( j = 1,2,..., n ) .

Ïóñòü íåêîòîðàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà À ñ êîîðäèíàòàìè

(

)

(1.4.13)

x, y, z íà-

õîäèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè f x, y, z, t = 0 . Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì

r r r r r = xi + yj + zk . Ðàññìîòðèì òåïåðü ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî áëèçêèõ

ïîëîæåíèé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À, äîïóñêàåìûõ ñâÿçüþ â ýòîò ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè.

Ãëàâà ïåðâàÿ

24

r r r r r r r ′(t ) = r (t ) + δr = (x + δx )i + (y + δy ) j + (z + δz )k . r r r r Âåêòîð δr = δxi + δyj + δzk åñòü áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå r ðàäèóñ-âåêòîðà r (t ) ïðè ìûñëåííîì ïåðåìåùåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè r èç ïîëîæåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ðàäèóñ-âåêòîðîì r (t ) , â ïîëîæåíèå, îïr ðåäåëÿåìîå ðàäèóñ-âåêòîðîì r ′(t ) . r Âåêòîð δr íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ. Âåê-

òîð âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ åñòü áåñêîíå÷íî ìàëûé âåêòîð, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ìûñëåííî, íå íàðóøàÿ ñâÿçè, ïåðåâåñòè ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó èç îäíîãî å¸ ïîëîæåíèÿ â áåñêîíå÷íî áëèçêîå, îòíîñÿùååñÿ ê òîìó æå ìîìåíòó âðåìåíè

t0 .

r r , à åãî ïðîåêöèè δx , δy , δz - âàðèàöèÿìè êîîðäèíàò. Ïðîåêöèè x + δx , y + δy , z + δz r âåêòîðîâ r ′(t ) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ ñâÿçè (1.3.4) r

Âåêòîð δr èíà÷å íàçûâàåòñÿ âàðèàöèåé âåêòîðà

f (x, y, z, t ) = 0 , òî åñòü f (x + δx, y + δy, z + δz, t ) = 0 . Ðàçëàãàÿ ýòî âûðàæåíèå â ðÿä ïî ñòåïåíÿì δx ,

(

)

δy , δz , ó÷èòûâàÿ,

÷òî f x, y, z, t = 0 , è ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè ìàëîñòè âûñøåãî ïîðÿäêà, ïîëó÷èì óñëîâèå, íàêëàäûâàþùåå îãðàíè÷åíèå íà âàðèàöèè êîîðäèíàò:

∂f ∂f ∂f δx + δy + δz = 0 . ∂z ∂x ∂y

(1.4.14)

Òàê êàê âðåìÿ â (1.4.14) ñ÷èòàåòñÿ ôèêñèðîâàííûì, âàðèàöèè δx ,

δy , δz íàçûâàþòñÿ èçîõðîííûìè. Åñëè ñâÿçü, êîòîðîé ïîä÷èíåíî äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñòàöèîíàðíàÿ, òî ïðîåêöèè ( dx, dy, dz ) äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ

r ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz = 0 , òî åñòü dr óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ∂x ∂y ∂z

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

25

âåêòîð äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé. Âèðòóàëüíûìè ïåðåìåùåíèÿìè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîä÷èí¸ííîé k ñâÿçÿì âèäà

f j (xi , yi , zi , t ) = o , ( j = 1,2,..., k ) , (i = 1,2,..., n )

íàçûâàþò ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ

r r r r δri = δxi i + δyi j + δzi k ,

(1.4.15)

ïðîåêöèè êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé n

 ∂f j

∑  ∂x δx i =1



i

+

i

∂f j ∂f  δyi + j δzi  = 0 , ( j = 1,2,..., k ). ∂yi ∂zi 

(1.4.16)

Ïðè ñòàöèîíàðíûõ ñâÿçÿõ ïðîåêöèè äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåùåíèé óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé n

 ∂f j

∑  ∂ x i =1



dx i +

i

∂f j ∂y i

dy i +

∂f j

 dz i  = 0 , ∂zi 

(1.4.17)

( j = 1,2,..., k ). Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñâÿçåé äåéñòâèòåëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ñîâïàäàþò ñ îäíèì èç âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé.

§1.5. Âèðòóàëüíàÿ ðàáîòà, ïðèçíàê èäåàëüíîñòè ñâÿçåé Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íàõîäÿùóþñÿ â îïðåäåë¸ííîì ïîëîæåíèè â ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, äåéñòâóåò

r r r F1, F2 ,..., Fn è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèr r r àëüíûõ òî÷åê ðàâíû δr1,δr2 ,..., δrn . r r r Âèðòóàëüíîé ðàáîòîé íàçûâàåòñÿ ðàáîòà ñèë F1, F2 ,..., Fn íà âèðr r r òóàëüíûõ ïåðåìåùåíèÿõ δr1,δr2 ,..., δrn ñèñòåìû, òî åñòü ñèñòåìà ñèë

Ãëàâà ïåðâàÿ

26 n r r δA = ∑ Fi ⋅ δri

(1.5.1)

i =1

èëè n

δA = ∑ (X iδxi + Yiδyi + Ziδzi )

(1.5.2)

i =1

Çäåñü

X i ,Yi , Zi - ñîñòàâëÿþùèå çàäàííûõ ñèë âäîëü ñîîòâåòñòâó-

þùèõ îñåé.  îáùåì ñëó÷àå ýòè ñîñòàâëÿþùèå åñòü èçâåñòíûå ôóíêöèè ñåìè ïåðåìåííûõ: òè

x, y, z, x& , y&, z&, t . Îíè îïðåäåëåíû â íåêîòîðîé îáëàñ-

D ñåìèìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà (x, y, z, x& , y&, z&, t ) . ×àùå âñåãî ôóíê-

X ,Y , Z çàâèñÿò ëèøü x, y, z, x& , y& , z& , à â íåêîòîðûõ ñïåöèôè÷åñêèõ çàäà÷àõ ýòè ôóíêöèè çàâèñÿò ëèøü îò òð¸õ ïåðåìåííûõ x, y, z .  òàêîì öèè

ñëó÷àå ãîâîðÿò î äâèæåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ñèëîâîì ïîëå. Èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè íàçûâàþòñÿ òàêèå ñâÿçè, äëÿ êîòîðûõ âèðòóàëüíàÿ ðàáîòà ðåàêöèé ñâÿçè íà ëþáîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ñèñòåìû ðàâíà íóëþ. n

r

r

∑ R ⋅ δr = 0 , i =1

ãäå

i

i

(1.5.3)

r Ri - ðåàêöèÿ ñâÿçè, ïðèëîæåííàÿ ê i - é òî÷êå.

 êóðñå òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè èäåàëüíàÿ ñâÿçü îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñâÿçü, ðåàêöèÿ êîòîðîé íå ñîäåðæèò ñîñòàâëÿþùåé, îáóñëîâëåííîé òðåíèåì. (×àñòíûé ñëó÷àé (1.5.3)). Ðåøèì çàäà÷ó íà èñïîëüçîâàíèå èäåàëüíîé ñâÿçè. Çàäà÷à 6. Ìàòåðèàëüíûå òî÷êè Ì1 è Ì2 ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé àáñîëþòíî æåñòêèì ñòåðæíåì (ñì. çàäà÷ó 1(à)). Èññëåäîâàòü óñëîâèå èäåàëüíîñòè ñâÿçåé, ïðèëîæåííûõ ê äàííûì ìàòåðèàëüíûì òî÷êàì.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

27

Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè

δA

Äàíî

Ì1( x1, y1, z1 ), Ì2( x2 , y2 , z2 ),

Ðåøåíèå çàäà÷è.

Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó â ëàáîðàòîðíîé ÈÑÎ. Ïóñòü ïîëîæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê Ì1 è Ì2 îïðåäåëÿþòñÿ

l (æåñòêèé ñòåðæåíü) ðàäèóñ-âåêòîðàìè rr è rr . Ðåàêöèè 1 2

ñâÿçåé, ïðèëîæåííûõ ê òî÷êàì Ì1

è Ì2, îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç

r r R1 è R2 , ïðè÷¸ì, â ñîîòâåòñòâèè

r r R2 = − R1 . Ïðåäïîëîæèì, äàëåå, ÷òî ìàòåðèr* àëüíàÿ òî÷êà Ì1 èìååò âèðòóàëüíóþ ñêîðîñòü v1 , à ìàòåðèàëüíàÿ òî÷r* êà Ì2 èìååò âèðòóàëüíóþ ñêîðîñòü v2 . Òîãäà äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìår r ùåíèé δr1 è δr2 ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê Ì1 è Ì2 ìîæíî íàïèñàòü: r r r r δr1 = v1*τ , δr2 = v2*τ .

ñ III çàêîíîì Íüþòîíà,

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (1.5.3)

r r r r r r r r r r r R1 ⋅ δr1 + R2 ⋅ δr2 = R1 ⋅ δr1 − R1 ⋅ δr2 = R1 ⋅ (δr1 − δr2 ) = r r r = R1 ⋅ v1* − v2* τ = 0 . Òàê êàê âðåìÿ τ ìîæåò áûòü âûáðàíî îòëè÷íûì îò íóëÿ, ìû

(

ìîæåì íàïèñàòü

)

r r r R1 ⋅ v1* − v2* = 0 .

(

)

Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (óðàâíåíèå (1.4.10), ÷òî ðàçíîñòü âèðòó-

r*

r*

r

àëüíûõ ñêîðîñòåé v1 − v2 ïåðïåíäèêóëÿðíà ê âåêòîðó ðåàêöèè R1 , êàê è ê íàïðàâëåíèþ ñòåðæíÿ, ñîåäèíÿþùåãî ìàòåðèàëüíûå òî÷êè Ì1 è Ì2. Ñâÿçü, íàëîæåííàÿ íà ìàòåðèàëüíûå òî÷êè Ì1 è Ì2, – èäåàëüíà. Ðàññìîòðèì òðè çàäà÷è, ïîçâîëÿþùèå ðàññìîòðåòü çàêîíû äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïîä äåéñòâèåì ðàçëè÷íûõ ñâÿçåé. Çàäà÷à 9 ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì çàäà÷ 7 è 8.

Ãëàâà ïåðâàÿ

28 Çàäà÷à 7

Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðîé çàäàííîé (âíóòðåí-

r

íåé) ñèëû F äâèæåòñÿ ïî çàäàííîé ãëàäêîé1 ïîâåðõíîñòè ϕ(x, y , z ) = 0 òàê, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íå ìîæåò ïîêèíóòü ïîâåðõíîñòü. Îïðåäåëèòü çàêîíû äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

Ðåøåíèå çàäà÷è.

f (x, y , z , x& , y& , z&, t ) = 0 Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ çàäàííîé r F, ïîâåðõíîñòüþ. Âûðàçèì çàäàír ϕ(x, y , z ) = 0 íóþ ñèëó F ÷åðåç å¸ ñîñòàâëÿþr r r r ùèå: F = Xi + Yj + Zk .

Òàê êàê ìàòåðèàëüíàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè è íå ìîæåò å¸ ïîêèíóòü, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ìàòåðèàëüíóþ ÷àñòèöó íàëîæåíà äâóõñòîðîííÿÿ (íåîñâîáîæäàþùàÿ) ñâÿçü, óðàâíåíèå êîòî-

ðîé âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì ϕ(x, y , z ) = 0 , ϕ ∈ C 2 . (Ïðè îäíîñòîðîííåé (îñâîáîæäàþùåé) ñâÿçè, ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìîæåò ïîêèíóòü ïîâåðõíîñòü, óñëîâèå ñâÿçè âûðàæàåòñÿ íåðàâåíñòâîì). Òàê êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà âñ¸ âðåìÿ íàõîäèòüñÿ íà çàäàííîé ïîâåðõíîñòè, å¸ êîîðäèíàòû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ïîâåðõíîñòè

ϕ(x, y , z ) = 0 .

(1.5.4)

Äèôôåðåíöèðóÿ (1.5.4) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

∂ϕ dx ∂ϕ dy ∂ϕ dz + + = 0, ∂x dt ∂y dt ∂z dt ãäå êîýôôèöèåíòû

(1.5.5)

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , , åñòü çàäàííûå ôóíêöèè ïåðåìåííûõ ∂x ∂y ∂z

x, y , z êëàññà C1 . Ïîâåðõíîñòü ñ÷èòàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè äâèæåíèå ïî íåé îñóùåñòâëÿåòñÿ áåç òðåíèÿ.

1

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

29

Óðàâíåíèå (1.5.5) ìîæíî ïåðåïèñàòü (ñì. çàäà÷ó 2) èíà÷å

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dx + dy + dz = 0 . ∂x ∂y ∂z

(1.5.6)

Óðàâíåíèå (1.5.6) çàäà¸ò ñâÿçü ìåæäó äèôôåðåíöèàëàìè âîçìîæíîãî áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïåðåìåùåíèÿ dx, dy, dz ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Âñå òðè óðàâíåíèÿ (1.5.4), (1.5.5) è (1.5.6) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ñâÿçè, ïðè÷¸ì, óðàâíåíèå (1.5.6) â òî÷íîñòè ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ (1.5.5). Óðàâíåíèÿ òèïà (1.5.6) áóäåì íàçûâàòü â äàëüíåéøåì óðàâíåíèåì Ïôàôôà (ñì. Ïðèëîæåíèå I ï. 2). Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ñâÿçè (1.5.5) ñïðàâåäëèâî ïðè âñåõ âîçìîæíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ñêîðîñòè x& , y& , z& , êîòîðûå ìîæåò èìåòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, òàê êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìîæåò íà÷àòü äâèæåíèå èç òî÷êè x , y , z ñ ëþáîé ñêîðîñòüþ, óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ ñâÿçè. Åñëè óñëîâèÿ çàäà÷è êîíêðåòèçèðîâàíû, òî ó ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êîîðäèíàòó x, y , z â ìîìåíò âðåìåíè t îäíà èç ñêîðîñòåé áóäåò ñîâïàäàòü ñ äåéñòâèòåëüíîé ñêîðîñòüþ, õîòÿ óðàâíåíèå ñâÿçè áóäåò óäîâëåòâîðÿòü âñåì ñêîðîñòÿì, êîòîðûå ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìîãëà áû èìåòü. Ñîâîêóïíîñòü ïåðåìåùåíèé

dx, dy, dz , êîòîðûå ìàòåðèàëüíàÿ

òî÷êà ìîæåò ñîâåðøèòü çà âðåìÿ dt , ïðè äâèæåíèè èç òî÷êè x , y , z , íàçîâ¸ì âîçìîæíûìè ïåðåìåùåíèÿìè, ñðåäè êîòîðûõ áóäåò ïåðåìåùåíèå, ñîâåðøåííîå ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé â äåéñòâèòåëüíîñòè çà âðåìÿ dt . Ðàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî, êàê îñóùåñòâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå äâèæåíèå ïîä äåéñòâèåì ñâÿçè. Ñî ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, äåéñòâóåò äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà, êîòîðóþ ìû íàçîâ¸ì ðåàêöèåé ñâÿçè (ðåàêöèåé ïîâåðõíîñòè). Ýòà ñèëà íàïðàâëåíà ïî íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè (ïîâåðõíîñòü ãëàäêàÿ, íåò ñèëû òðåíèÿ). Ïîâåðõíîñòü ìîæåò ñîçäàâàòü íîðìàëüíóþ ðåàêöèþ ëþáîé âåëè÷èíû è çíàêà, òàêóþ, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, äâèãàÿñü ïîä äåéñòâèåì îáåèõ

r

ïðèëîæåííûõ ê íåé ñèë (çàäàííîé ñèëû F è ðåàêöèè ñâÿçè), áóäåò âñ¸ âðåìÿ îñòàâàòüñÿ íà ïîâåðõíîñòè. Îáùèì äëÿ ðåàêöèé ñâÿçè òðåáîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï âèðòóàëüíîé ðàáîòû (1.5.3), ðåàêöèÿ ñâÿçè íå ñîâåðøàåò ðàáîòû íà ëþáîì

Ãëàâà ïåðâàÿ

30

âîçìîæíîì ïåðåìåùåíèè. Ïîêàæåì ýòî. Îáîçíà÷èì ñîñòàâëÿþùèå ñèëû

r F ′ ÷åðåç X ′, Y ′, Z ′ , òîãäà ó÷èòûâàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü ñèëû r ðåàêöèè F ′ ê ïîâåðõíîñòè ϕ(x, y , z ) = 0 â òî÷êå x , y , z , ìû ìîæåì ðåàêöèè

íàïèñàòü (óðàâíåíèå íîðìàëè)

X′ Y′ Z′ = = . ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂x ∂y ∂z

(1.5.7)

Ïåðåïèøåì (1.5.7) ñëåäóþùèì îáðàçîì

X′ Y′ Z′ = = =λ, ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂x ∂y ∂z

(1.5.8)

ãäå λ - íåêîòîðîå ÷èñëî. Èç (1.5.8) ñëåäóåò, ÷òî

X′= λ

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ , Y′= λ , Z′ = λ . ∂y ∂x ∂z

(1.5.9)

Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â (1.5.6) è ñîêðàòèâ íà λ ïîëó÷èì

X ′dx + Y ′dy + Z ′dz = 0 . (1.5.10) Óðàâíåíèå (1.5.10) ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ðåàêöèåé ñâÿçè íà âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèÿõ, ðàâíà íóëþ.  äàííîé çàäà÷å êàæäàÿ èç äåéñòâóþùèõ ñèë ïðèíàäëåæèò ê îäíîr

ìó èç äâóõ êëàññîâ: êëàññó çàäàííûõ ñèë (ñèëà F ) è êëàññó ðåàêöèé ñâÿçè (ðåàêöèÿ ïîâåðõíîñòè), êîòîðûå â òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå ïðèíÿòî ðàçäåëÿòü íà âíóòðåííèå è âíåøíèå ñèëû. Çàäà÷à 8.

r

Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðîé çàäàííîé ñèëû F äâèæåòñÿ ïî çàäàííîé èçìåíÿþùåéñÿ âî âðåìåíè ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè

ψ(x, y , z , t ) = 0 , ψ ∈ C 2 òàê, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íå ìîæåò ïîêèíóòü ïîâåðõíîñòü. Îïðåäåëèòü çàêîíû äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

31

Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

Ðåøåíèå çàäà÷è. f (x, y , z , x& , y& , z&, t ) = 0 r Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ «ËàáîðàòîF, ðèåé». Àíàëîãàìè óðàâíåíèé ψ(x, y , z , t ) = 0 (1.5.4), (1.5.5) è (1.5.6) áóäóò, ñî-

ψ(x, y , z , t ) = 0 ,

îòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ

(1.5.11)

∂ψ dx ∂ψ dy ∂ψ dz ∂ψ + + + = 0, ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t

(1.5.12)

∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ dx + dy + dz + dt = 0 . ∂x ∂y ∂z ∂t

(1.5.13)

Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ êîðåííûì îáðàçîì îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé çàäà÷è 8. Âî ïåðâûõ – êîýôôèöèåíòû íîâûõ óðàâíåíèé çàâèñÿò îò x , y , z , t , â òî âðåìÿ êàê â çàäà÷å 8 îíè çàâèñåëè ëèøü îò x , y , z . Ôóíäàìåíòàëüíîå ðàçëè÷èå ìåæäó (1.5.5) è (1.5.12) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïåðâîå åñòü îäíîðîäíîå ëèíåéíîå óðàâíåíèå, ñâÿçûâàþùåå ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè x& , y& , z& , òîãäà êàê âòîðîå óðàâíåíèå íå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì. Óðàâíåíèå (1.5.13) îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ (1.5.6) íàëè÷èåì ñëàãàåìîãî, ñîäåðæàùåãî dt . Òàê êàê ðåàêöèÿ ñâÿçè ïî-ïðåæíåìó íîðìàëüíà ê ïîâåðõíîñòè, òî àíàëîãîì óðàâíåíèÿ (1.5.7) áóäåò

X′ Y′ Z′ . = = ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂x ∂y ∂z

(1.5.14)

Ïîëó÷èòü àíàëîã óðàâíåíèÿ (1.5.10) ìû óæå íå ñìîæåì, íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî ðàáîòà ðåàêöèè ñâÿçè íà ëþáîì âîçìîæíîì ïåðåìåùåíèè ðàâíà íóëþ.  äàííîì ñëó÷àå ìû èìååì äðóãîé êëàññ ïåðåìåùåíèé

δx, δy, δz , óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ

Ãëàâà ïåðâàÿ

32

∂ψ ∂ψ ∂ψ δx + δy + δz = 0 . ∂x ∂y ∂z

(1.5.15)

Ïåðåìåùåíèÿ δx, δy , δz ìû íàçûâàåì âèðòóàëüíûìè ïåðåìåùåíèÿìè. Ñêîðîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå âèðòóàëüíûì ïåðåìåùåíèÿì áóäåì íàçûâàòü âèðòóàëüíûìè ñêîðîñòÿìè. Îíè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ

∂ψ ∂ψ ∂ψ x& + y& + δz& = 0 . ∂x ∂y ∂z

(1.5.16)

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: ýòî ïåðåìåùåíèÿ, êîòîðûå áûëè áû âîçìîæíû íà ïîâåðõíîñòè, åñëè â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè

t 0 ýòó ïîâåðõíîñòü ìãíîâåííî îñòà-

íîâèòü.  ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷àõ 7 è 8 ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèé Ïôàôôà (1.5.6) è (1.5.13) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì, ÷òî íå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì äëÿ îáùåãî ïîíÿòèÿ î ñâÿçÿõ. Óðàâíåíèÿ ñâÿçè ìîãóò ñîäåðæàòü ëþáóþ ôîðìó, íå îáÿçàòåëüíî òàêóþ, êîòîðàÿ äîïóñêàåò èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé óðàâíåíèå ñâÿçè ìîæíî çàïèñàòü òàê:

adx + bdy + cdz + pdt = 0 , ãäå a , b, c, p - çàäàííûå ôóíêöèè ïåðåìåííûõ êëàññó Ñ1. Äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé

(1.5.17)

x, y , z , t , ïðèíàäëåæàùèå

aδx + bδy + cδz = 0 .

(1.5.18)

Âîçìîæíûå ñêîðîñòè óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ

ax& + by& + cz& + p = 0 , à âèðòóàëüíûå ñêîðîñòè – óðàâíåíèþ ax& + by& + cz& = 0 .

(1.5.19) (1.5.20)

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

33

Çàäà÷à 9. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ ïîä äåéñòâèåì çàäàííîé ñèëû

(X , Y , Z ) è ðåàêöèè ñâÿçè (X ′, Y ′, Z ′) . Ðåàêöèÿ ñâÿçè òàêîâà, ÷òî ðàáîòà å¸ íà ëþáîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ðàâíà íóëþ, è äâèæåíèå ïðè äåéñòâèè óêàçàííûõ âûøå äâóõ ñèë ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíûì, òî åñòü äåéñòâèòåëüíîå äâèæåíèå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1.5.19). Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè

f (x, y , z , x& , y& , z&, t )

Ðåøåíèå çàäà÷è.

(X , Y , Z ), (X ′, Y ′, Z ′)

Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó â ëàáîðàòîðíîé ÈÑÎ. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è èçâåñòíî, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ðåàêöèåé ñâÿçè íà ëþáîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè, ðàâíà íóëþ è òàê êàê Äàíî

X ′δx + Y ′δy + Z ′δz = 0 äëÿ âñåõ δx, δy , δz , óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (1.5.18), ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü

X ′ Y ′ Z′ + + =λ, a b c

(1.5.21)

îòêóäà

X ′ = λa , Y ′ = λb , Z ′ = λ c . Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ïåðåìåííûõ ùèå óðàâíåíèÿ:

(1.5.22)

x, y , z ìîæíî ñîñòàâèòü ñëåäóþ-

m&x& = X + λa , m&y& = Y + λb ,

(1.5.23)

m&z& = Z + λc , ax& + by& + cz& + p = 0 .

(1.5.25)

(1.5.24)

(1.5.19)  îáùåì ñëó÷àå ýòèõ ÷åòûð¸õ óðàâíåíèé äîñòàòî÷íî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷åòûðåõ íåèçâåñòíûõ

x, y , z, λ êàê ôóíêöèé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t .

Ãëàâà ïåðâàÿ

34

Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ êîíêðåòíîé çàäà÷è íåîáõîäèìî çíàòü çíà÷åíèÿ x, y , z è x& , y& , z& (äëÿ (1.5.19)) â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 . Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë óðàâíåíèÿ (1.5.18) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê âåêòîðó

(a, b, c ) , à èç óðàâíåíèÿ (1.5.21) ñëåäóåò, ÷òî ðåàêöèÿ ñâÿçè íàïðàâ-

ëåíà âäîëü ýòîãî âåêòîðà. Ìíîæèòåëü λ ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå ðåàêöèè ñâÿçè, êîòîðàÿ ðàâíà λ a + b + c .  îáùåì ñëó÷àå âîçìîæíûå è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ðàçëè÷à2

2

2

þòñÿ, îäíàêî åñëè p ≡ 0 , îíè ñîâïàäàþò. Ñèñòåìà, â êîòîðîé p ≡ 0 íàçûâàåòñÿ êàòàñòàòè÷åñêîé. Äëÿ êàòàñòàòè÷åñêîé ñèñòåìû âîçìîæíûå è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ èäåíòè÷íû, à ñêîðîñòü ëÿåòñÿ âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ.

r r r x&i + y& j + z&k = 0 ÿâ-

§1.6. Îáîáù¸ííûå (Ëàãðàíæåâû1) êîîðäèíàòû Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîä÷èí¸ííîé k ãîëîíîìíûì ñâÿçÿì, îïðåäåëÿåòñÿ s = 3 n − k íåçàâèñèìûìè äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè.  äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì ñâÿçûâàòü ñåáÿ îãðàíè÷åíèÿìè â âûáîðå ñèñòåìû êîîðäèíàò. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü íåçàâèñèìûå äðóã îò äðóãà ïàðàìåòðû

q1, q2 ,..., qs , êîòîðûå ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íóþ ðàçìåðíîñòü (óãëû,

ïëîùàäè, äëèíó äóã è òàê äàëåå). Ýòè íåçàâèñèìûå ìåæäó ñîáîé ïàðàìåòðû

q1, q2 ,..., qs ( s - ÷èñëî

ñòåïåíåé ñâîáîäû) íàçûâàþòñÿ îáîáù¸ííûìè (Ëàãðàíæåâûìè) êîîðäèíàòàìè. Ââåäåíèå òàêèõ êîîðäèíàò, êàê ïðàâèëî, ñîïðÿæåíî ñ îïðåäåë¸ííûìè òðóäíîñòÿìè, êîòîðûå íîñÿò ñêîðåå ìàòåìàòè÷åñêèé, ÷åì ôèçè÷åñêèé õàðàêòåð. Âàæíî îòëè÷àòü òðóäíîñòè, ïðèñóùèå ñàìîìó èçó÷àåìîìó ÿâëåíèþ, îò òðóäíîñòåé, ñâÿçàííûõ ñ âûáîðîì ñèñòåìû êîîðäèíàò. 1

Ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû ââåäåíû Ëàãðàíæåì â 1788 ãîäó.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

35

Âûáîð îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ïðîèçâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.

s ïàðàìåòðîâ q1, q2 ,..., qs , çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþò êîíôèãóðàöèþ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ìîìåíò âðåìåíè t . Âûáîð êîîðäèíàò q1, q2 ,..., qs äîëæåí áûòü ïðîèçâåä¸í òàêèì îáÂûáèðàåòñÿ

ðàçîì, ÷òîáû èõ çíà÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿëè âñå âîçìîæíûå êîíôèãóðàöèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, à íå íåêîòîðóþ ñîâîêóïíîñòü âîçìîæíûõ êîíôèãóðàöèé.

x1, x2 ,..., xs òî÷åê ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áóäóò íåêîòîðûìè ôóíêöèÿìè îò q è t . Âñå 3 n äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îáîáù¸ííûå Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû

êîîðäèíàòû

q1, q2 ,..., qs ñëåäóþùèì îáðàçîì:

xi = xi (q1, q2 ,..., qs , t )  yi = yi (q1, q2 ,..., qs , t ) , (i = 1,2,..., n ). zi = zi (q1, q2 ,..., qs , t ) 

(1.6.1)

Åñëè íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàëîæåíî k ñâÿçåé, òî ýòè ôóíêöèè (1.6.1) îáðàùàþò â òîæäåñòâî óðàâíåíèÿ ñâÿçåé

f j (xi , yi , zi , t ) ≡ 0 , ( j = 1,2,..., k )

(1.6.2)

äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè. Óðàâíåíèÿ (1.6.1) ìîæíî çàïèñàòü â âåêòîðíîé ôîðìå

r r r r r ri = xi i + yi j + zi k = r (q1, q2 ,..., qs , t ) .

(1.6.3)

Åñëè ñâÿçè ñòàöèîíàðíûå, òî ôóíêöèè (1.6.1) ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû îíè íå ñîäåðæàëè ÿâíî âðåìåíè t , òîãäà

xi = xi (q1, q2 ,..., qs )  yi = yi (q1, q2 ,..., qs ) , zi = zi (q1, q2 ,..., qs ) 

(i = 1,2,..., n ).

(1.6.4)

Ãëàâà ïåðâàÿ

36 Èëè â âåêòîðíîé ôîðìå

r r ri = r (q1, q2 ,..., qs ) , (i = 1,2,..., n ) .

(1.6.5)

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî çàäà÷ íà âûáîð îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Çàäà÷à 10. Ïðîñòîé ìàÿòíèê. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ áåç òðåíèÿ ïî îêðóæíîñòè ðàñïîëîæåííîé â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Òàêîå äâèæåíèå ìîæåò îñóùåñòâëÿòü áóñèíêà, äâèæóùàÿñÿ áåç òðåíèÿ ïî ãëàäêîé ïðîâîëîêå, èçîãíóòîé â ôîðìå îêðóæíîñòè ðàäèóñà r . Òàê æå áóäåò äâèãàòüñÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà Ì2 èç çàäà÷è 1(à), åñëè òî÷êó Ì1 øàðíèðíî çàêðåïèòü â íåêîòîðîé òî÷êå Î, ïðåäîñòàâèâ ñòåðæíþ âîçìîæíîñòü ñâîáîäíî êà÷àòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè îêîëî ýòîé òî÷êè. Íàéòè îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

qi r

Ðåøåíèå çàäà÷è.

Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â òî÷êó Ì1 – öåíòð îêðóæíîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ èçó÷àåìàÿ íàìè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, ðàçìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåy ìû êîîðäèíàò â öåíòðå îêðóæíîñòè. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ. M2 r Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëîæåíèå ÷àñòèöû íà θ îêðóæíîñòè áóäåò âïîëíå îïðåäåëÿòüñÿ îäx M1 íîé îáîáù¸ííîé êîîðäèíàòîé - óãëîì θ , îòñ÷èòûâàåìûì îò íàèíèçøåé òî÷êè îêðóæíîñòè. ìóò âèä:

q = θ è óðàâíåíèÿ (1.6.4) ïðè-

Ðèñ. 5.

x = r cos θ = r cos q , y = r sin θ = r sin q .  äàííîé çàäà÷å îáîáù¸ííàÿ êîîðäèíàòà

(1.6.6)

q èìååò ðàçìåðíîñòü óãëà.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

37

Çàäà÷à 11. Ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà Ì ñêîëüçèò ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ïî ãëàäêîé (áåç òðåíèÿ) ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàäèóñà r . Íàéòè îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

qi r r

Ðåøåíèå çàäà÷è.

Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ñîâìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ öåíòðîì ñôåðû. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ. Èç ÷åðòåæà âèäíî, ÷òî ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì ìîæåò áûòü îïðåO äåëåíî ñ ïîìîùüþ ïîëÿðíûõ óãëîâ θ è ϕ . ϕ x

q1 = θ , q2 = ϕ , ãäå θ - óãîë y r ìåæäó âåêòîðîì r è íàïðàâëåííîé âíèç îñüþ Oz, à ϕ - àçèìóòàëüíûé óãîë ìåæäó Ïîëîæèì

ïëîñêîñòüþ MÎz è êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ xOz.

θ

r r

M z

Ðèñ. 6.

Óðàâíåíèÿ (1.6.4) ïðèìóò âèä

x = r sin θ cos ϕ = r sin q1 cos q2   y = r sin θ sin ϕ = r sin q1 sin q2  .  z = r cos θ = r cos q1 

(1.6.7)

Çàäà÷à 12. Êðóãîâàÿ îðáèòà. Ìàòåðèàëüíàÿ ÷àñòèöà ñîâåðøàåò ïëîñêîå äâèæåíèå ïîä äåéñòâèåì ñèëû, âñ¸ âðåìÿ íàïðàâëåííîé â íà÷àëî êîîðäèíàò. Íàéòè îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû.

Ãëàâà ïåðâàÿ

38 Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè

qi r r r F = F (r )

Ðåøåíèå çàäà÷è.

 äàííîé çàäà÷å ìàòåðèàëüíàÿ ÷àñòèöà áóäåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè íåêîòîðîãî ðàäèóñà r , ðàñïîëîæåííîé â êàêîé-ëèáî ïëîñêîñòè. Âûáåðåì äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü. Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ñîâìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ öåíòðîì îêðóæíîñòè è âîñïîëüçóåìñÿ ðèñ. 6. Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðàäèóñîì Äàíî

r è ïîëÿðíûì óãëîì θ . q1 = r , q2 = θ .

îêðóæíîñòè

Óðàâíåíèÿ (1.6.4) ïðèìóò âèä

x = r cos θ = q1 cos q2  . y = r sin θ = q1 sin q2  Çäåñü îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû

(1.6.8)

q1 è q2 èìåþò ðàçëè÷íóþ ðàçìåðíîñòü.

Çàäà÷à 13. Òâ¸ðäàÿ ïëàñòèíêà äâèæåòñÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äëÿ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò òâ¸ðäîé ïëîñêîé ïëàñòèíêè, äâèæóùåéñÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

qi

G (ξ ,η ) - êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè ïëàñòèíêè,

M (a, b )- êîîðäèíàòû íåêîòîðîé òî÷êè Ì ïëàñòèíêè.

Ðåøåíèå çàäà÷è. Âûáåðåì ëàáîðàòîðíóþ ÈÑÎ, ñâÿçàâ ñ íåé ñèñòåìó êîîðäèíàò

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

39

xOy . Ïóñòü êîîðäèíàòû öåíò-

y

ðà òÿæåñòè G ïëîñêîé ïëàñòèíêè â ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò èìå-

y

y′

ξ è η . Äðóãóþ ñè- η ñòåìó êîîðäèíàò x ′O ′y ′ ñâÿæåì

M b

þò çíà÷åíèÿ

ñ ïëîñêîé ïëàñòèíêîé, ñîâìåñòèâ íà÷àëî êîîðäèíàò ñ öåíòðîì òÿ-

O

æåñòè G . Ïóñòü êîîðäèíàòû íåêîòîðîé òî÷êè Ì â ñèñòåìå êîîðäèíàò

G

ξ

a

θ

x

Ðèñ.7.

x′

x

xOy èìåþò çíà÷åíèÿ x è y , à â ñèñòåìå êîîðäèíàò x ′O ′y ′

èìåþò çíà÷åíèÿ a è b . Óãîë, îáðàçóåìûé îñÿìè Ox è O ′x ′ , îáîçíà÷èì ÷åðåç θ . Ñäåëàåì ÷åðò¸æ.  êà÷åñòâå îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò åñòåñòâåííî âûáðàòü êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè G è óãîë

θ ìåæäó îñÿìè êîîðäèíàò Ox è O ′x ′ .

q1 = ξ , q2 = η , q3 = θ . Äëÿ óðàâíåíèÿ (1.6.4) ìîæíî íàïèñàòü

x = ξ + a cosθ − b sin θ , y = η + a sin θ + b cosθ èëè

x = q1 + a cos q3 − b sin q3  . y = q2 + a sin q3 + b sin q3 

(1.6.9)

 çàäà÷àõ 10-13 ìû èìåëè ãîëîíîìíûå ñèñòåìû ñ ÷èñëîì

n îáîá-

ù¸ííûõ êîîðäèíàò, ðàâíûõ ÷èñëó k ñòåïåíåé ñâîáîäû ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó ñ íåãîëîíîìíîé ñèñòåìîé. Çàäà÷à 14. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äëÿ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû ñîñòîÿùåé èç ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê Ì1 è Ì2, ñîåäèí¸ííûõ æåñ-

Ãëàâà ïåðâàÿ

40

òêèì ñòåðæíåì äëèíîé l . Ïóñòü ñòåðæåíü ñîâåðøàåò ïëîñêîå äâèæåíèå è ïóñòü íàëîæåííàÿ ñâÿçü çàñòàâëÿåò òî÷êó Ì1 äâèãàòüñÿ â íàïðàâëåíèè òî÷êè Ì2. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè

qi

Äàíî

Ì1

Ðåøåíèå çàäà÷è.

Âûáåðåì íåïîäâèæíóþ ÈÑÎ - ëàáîðàòîðèþ. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ. Ïóñòü ñòåðæåíü îáðàçóåò ñ îñüþ

(x1, y1 ) , Ì2 (x2 , y2 ), l (æåñòêèé ñòåðæåíü)

Ox óãîë θ .

Ñòåðæåíü Ì1Ì2 ñîâåðøàåò ïëîñêîå äâèæåíèå. Íàëîæåííàÿ èäåàëüíàÿ ñâÿçü òàêîâà, ÷òî òî÷êà Ì1 ìîæåò äâèãàòüñÿ òîëüêî âäîëü íàïðàâëåíèÿ Ì1Ì2.  êà÷åñòâå îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò åñòåñòâåííî âûáðàòü êîîðäèíàòû òî÷êè Ì1

x1 è y1 ïî

îòíîøåíèþ ê íåïîäâèæíûì îñÿì è óãîë íàêëîíà

xOy

x

θ ñòåðæíÿ ê îñè Ox .

M2

q1 = x1 , q2 = y1 , q3 = θ . Äëÿ óãëà íàêëîíà θ ñòåðæíÿ ìîæíî íàïèñàòü

tgθ =

θ O

M1 Ðèñ.8.

y

cos θ dy1 dy1 èëè = , sin θ dx1 dx1

îòêóäà äëÿ âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé ïîëó÷èì

cos θdx1 − sin θdy1 = 0 .

(1.6.10) Ýòî óðàâíåíèå íå äîïóñêàåò ââåäåíèÿ èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ. Ñèñòåìà èìååò äâå ñòåïåíè ñâîáîäû è îäíó ñâÿçü ( k = 2 , l = 1 ), íî ÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ðàâíî òð¸ì ( n = k + l = 3 ).

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

41

Óðàâíåíèå (1.6.4) èìååò âèä

x = q1 + l cos q3  . y = q2 + l sin q3 

(1.6.11)

Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñèñòåìà èìååò ëèøü äâå ñòåïåíè ñâîáîäû, ìíîæåñòâî äîñòèæèìûõ êîíôèãóðàöèé ÿâëÿåòñÿ òð¸õïàðàìåòðè÷åñêèì è ñèñòåìó ìîæíî ïåðåâåñòè èç ëþáîãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ â ëþáîå êîíå÷íîå. Íàïðèìåð, ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê Ì1 è Ì2 ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ñ ïîìîùüþ òðåòüåé êîîðäèíàòû z , êîòîðóþ ìîæíî ïîäîáðàòü, èñïîëüçóÿ êîîðäèíàòû

x, y , z =

y 2 − y1 . x 2 − x1

Îïðåäåëèì ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ âàðèàöèé îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Âûïèøåì äèôôåðåíöèàëû îò ôóíêöèé (1.6.1) ïðè ôèêñèðîâàííîì âðåìåíè t . s ∂x ~  ~ d xi = ∑ i d qm  m =1 ∂qm  s ∂yi ~  ~ d yi = ∑ d qm  . m =1 ∂qm  s ∂z ~  ~ d zi = ∑ i d qm  m =1 ∂q m 

(1.6.12)

Äëÿ äèôôåðåíöèàëîâ ïðè ôèêñèðîâàííîì t îò òîæäåñòâ, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç óðàâíåíèé ñâÿçåé ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íèõ ôóíêöèé (1.6.1)

f j (xi , yi , zi , t ) = 0 , ïîëó÷èì

∂f ~ ∂f ~   ∂f j ~ d xi + j d yi + j d zi  = 0 , ∂yi ∂zi i =1  i  n

∑  ∂x

( j = 1,2,..., k ).

(1.6.13)

Ãëàâà ïåðâàÿ

42

Óðàâíåíèÿ (1.6.13) ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèåì (1.4.16) è ñëåäîâàòåëüíî äèôôåðåíöèàëû

~ ~ ~ d xi , d yi , d zi ñîâïàäàþò ñ âàðèàöèÿìè δxi ,δyi ,δzi .

Êàê äëÿ ñòàöèîíàðíîé, òàê è äëÿ íåñòàöèîíàðíîé ñâÿçè âàðèàöèè êîîðäèíàò áóäóò âû÷èñëÿòüñÿ ïî ôîðìóëàì:

 ∂xi δq m  m =1 ∂qm  s  y ∂ δyi = ∑ i δqm  , m =1 ∂qm  s  z ∂ δzi = ∑ i δqm  m =1 ∂qm 

(1.6.14)

~ δqm = d qm , (m = 1,2,..., s ) ,

(1.6.15)

s

δxi = ∑

íàçûâàåìûì âàðèàöèÿìè îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Èç (1.6.3) è (1.6.14) ñëåäóåò, ÷òî

r s r ∂ri δri = ∑ δqm . m =1 ∂q m

(1.6.16)

§1.7. Îáîáù¸ííûå ñèëû Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå äëÿ âèðòóàëüíîé ðàáîòû n r r δA = ∑ Fi ⋅ δri , i =1

ïîäñòàâëÿÿ â (1.7.1) çíà÷åíèÿ äëÿ

r s ∂rri δA = ∑ Fi ⋅ ∑ δqm . i =1 m =1 ∂q m n

(1.7.1)

r δri èç (1.6.16) ïîëó÷èì

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

43

r Fi ïîä çíàê âòîðîé ñóììû è ïîìåíÿåì çíàê ñóììèðîâà-

Âíåñ¸ì íèÿ, òîãäà

r ∂rri . δA = ∑ δqm ⋅ ∑ Fi ⋅ ∂qm m =1 i =1 s

n

Ñóììû

n r ∂rri  ∂xi ∂y ∂z  Qm = ∑ Fi ⋅ = ∑  X i + Yi i + Zi i  , (1.7.2) ∂qm i =1  ∂qm ∂qm ∂qm  i =1 n

(m = 1,2,..., s ) íàçîâ¸ì îáîáù¸ííûìè ñèëàìè. Êàæäîé îáîáù¸ííîé êîîðäèíàòå íàÿ ñèëà

qm ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ îáîáù¸í-

Qm , èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòü ðàáîòû, äåë¸ííóþ íà ðàçìåðíîñòü

îáîáù¸ííîé êîîðäèíàòû

[Qm ] = [A] : [qm ]

s

δA = ∑ Qmδqm = Q1δq1 +Q2δq2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Qsδqs .

(1.7.3)

m =1

Òàêèì îáðàçîì îáîáù¸ííûå ñèëû åñòü êîýôôèöèåíòû ïðè âàðèàöèÿõ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò â âûðàæåíèè äëÿ âèðòóàëüíîé ðàáîòû. Çàäà÷à 15. Íàéòè îáîáù¸ííûå ñèëû äëÿ ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà À ìàññîé m ñêîëüçèò ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ïî ãëàäêîé (áåç òðåíèÿ) ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

Qi m, r

Ðåøåíèå çàäà÷è. Âûáåðåì ÈÑÎ «Ëàáîðàòîðèÿ» è ïîìåñòèì íà-

Ãëàâà ïåðâàÿ

44 ÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â öåíòðå ñôåðû. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ. Èç çàäà÷è 8 íàì èçâåñòíî, ÷òî

q1 = θ , q2 = ϕ .

y

θ

x

M

x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ ,

ϕ r r mg

z

Ðèñ. 9.

z = r cos θ . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îáîáù¸ííûõ ñèë èñïîëüçóåì ôîðìóëó (1.7.2).

Q1 = Fx

∂x ∂y ∂z + Fy + Fz , ∂θ ∂θ ∂θ

Q2 = Fx

∂x ∂y ∂z + Fy + Fz . ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ

Ó÷ò¸ì, ÷òî

Fx = Fy = 0 , Fz = mg . Òîãäà

Q1 = Fz

∂z ∂z ∂z ∂z =0. , Q2 = Fz , ãäå = − r sin θ , à ∂θ ∂ϕ ∂ϕ ∂θ

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

Q1 = − mgr sin θ = − mgr sin q1 , Q2 = mg ⋅ 0 = 0 .

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

45

Ãëàâà II Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ  äàííîé ãëàâå ïðèâîäèòñÿ óðàâíåíèå, ïîëó÷åííîå Ëàãðàíæåì â 1760 ãîäó, íà êîòîðîì îñíîâûâàåòñÿ èçëîæåíèå âñåé àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè. Ýòî óðàâíåíèå â äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü îñíîâíûì óðàâíåíèåì. Îñíîâíîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â ðàçëè÷íûõ ôîðìàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåë¸ííîìó êðóãó ðåøàåìûõ çàäà÷, à èíîãäà è öåëîìó ðàçäåëó ìåõàíèêè.  ðàìêàõ äàííîé ãëàâû ìû ðàññìîòðèì ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ.

§2.1. Ïåðâàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç n ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîä÷èí¸ííóþ k ãîëîíîìíûì ñâÿçÿì. Êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç íîìåðîì

x1 , x2 ,..., x N , ãäå N = 3n , òàê ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïîä

r áóäåò èìåòü êîîðäèíàòû x3r − 2 , x3r −1 , x3r , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò

ñëåäóþùåé òàáëèöå (â âåðõíåé ñòðîêå êîòîðîé êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê âûðàæåíû ÷åðåç

x r , y r , z r , à â íèæíåé ñòðîêå òå æå ñàìûå

êîîðäèíàòû âûïèñàíû ïîäðÿä ïîä íîìåðàìè

x1 , y1 , z1 , x 2 , y 2 , z 2 ,..., x n , y n , z n x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x5 , x 6 ,..., x 3n − 2 , x3n −1 , x3n

x3r − 2 , x3r −1 , x3r ):

.

Êîãäà ìû áóäåì ãîâîðèòü î n ìàòåðèàëüíûõ òî÷êàõ, êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, èìåþùåé ìàññó m , îáîçíà÷èì ÷åðåç x , y , z , à ñóììèðîâàíèå ïî çîì, âûðàæåíèÿ

n ìàòåðèàëüíûì òî÷êàì – ÷åðåç

∑

. Òàêèì îáðà-

Ãëàâà âòîðàÿ

46 N

∑ m &x& δx r =1

r

r

r

n

∑ m (&x& δx i =1

è

i

i

i

,

(2.1.1)

+ &y&i δy i + &z&i δz i )

(2.1.2)

∑ m(&x&δx + &y&δy + &z&δz )

(2.1.3)

îáîçíà÷àþò îäíî è òî æå.

Òî æå ñàìîå îòíîñèòñÿ è ê çàäàííûì ñèëàì

X 1 , X 2 ,..., X N . Ñî-

ñòàâëÿþùèå çàäàííîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ìàòåðèàëüíóþ òîêó ïîä íîìåðîì

r , áóäóò: X 3r −2 , X 3r −1 , X 3r .

Èòàê, ñ ó÷¸òîì ñäåëàííûõ âûøå çàìå÷àíèé, äëÿ ñèñòåìû èç òåðèàëüíûõ òî÷åê ìîæíî íàïèñàòü

mr &x&r = X r + X r′ ,

(r = 1,2,..., N ) .

Çäåñü X r - çàäàííûå ñèëû, à ùèå óñëîâèþ N

∑ X ′δx r =1

r

r

n ìà-

(2.1.4)

X r′ - ðåàêöèè ñâÿçè, óäîâëåòâîðÿþ-

=0

äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ

(1.5.3)

δx1 , δx 2 ,..., δx N . (Ýòî óñëîâèå

áûëî íàìè ðàññìîòðåíî â çàäà÷å 9). Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (2.1.4) ñëåäóþùèì îáðàçîì

mr &x&r − X r = X r′ . Óìíîæèì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íà

δx r è

ïðîñóììèðóåì ïî r îò 1 äî N , ïîëó÷èì, ñ ó÷¸òîì (1.5.3), îñíîâíîå óðàâíåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ N

∑ (m &x& r =1

r

r

47

− X r )δx r = 0 .

(2.1.6)

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîä÷èí¸ííîé èäåàëüíûì ñâÿçÿì, âèðòóàëüíàÿ ðàáîòà âñåõ ñèë èíåðöèè è çàäàííûõ ñèë íà âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèÿõ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ðàâíà íóëþ. Óðàâíåíèå (2.1.6) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ. Îòìåòèì è òîò ôàêò, ÷òî ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íå ñîäåðæèò ðåàêöèé ñâÿçè. Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì óðàâíåíèåì àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè. Ìû áóäåì íàçûâàòü åãî ïåðâîé ôîðìîé îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Èíîãäà óðàâíåíèå (2.1.6) íàçûâàþò óðàâíåíèåì Äàëàìáåðà - Ëàãðàíæà. Óðàâíåíèå (2.1.6), çàïèñàííîå äëÿ n ìàòåðèàëüíûõ, òî÷åê âûãëÿäèò òàê: n

∑ [(m &x& − X )δx + (m &y& − Y )δy + (m &z& − Z )δz ] = 0 . i i

i

i

i

i

i

i

i i

i

i

(2.1.7)

i =1

Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ïðèëîæåíèé ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ.

§2.2. Ñîõðàíåíèå èìïóëüñà Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê äâèæåòñÿ êàê òâ¸ðäîå òåëî âäîëü îñè x áåç âðàùåíèÿ. Òîãäà äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé êàæäîé ÷àñòèöû ìàòåðèàëüíîé ñèñòåìû ìîæíî íàïèñàòü

δx = a , δy = 0 , δz = 0 ,

(2.2.1)

ãäå a - íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Óðàâíåíèå (2.1.6) òåïåðü ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:

∑ (m&x& − X )a = 0 èëè ∑ m&x& = ∑ X .

(2.2.2)

Çäåñü ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî n ìàòåðèàëüíûì òî÷êàì. Óðàâíåíèå (2.2.2) ìîæíî óïðîñòèòü, åñëè ó÷åñòü, ÷òî âñå âíóòðåííèå ñèëû ïîïàðíî ðàâíû è ïðîòèâîïîëîæíû (III çàêîí Íüþòîíà), ïðåäïîëîæèì òàê æå, ÷òî ñóììà âñåõ âíåøíèõ ñèë ðàâíà íóëþ, òîãäà

Ãëàâà âòîðàÿ

48

∑ m&x& = 0 .

(2.2.3)

∑ mx& = const .

(2.2.4)

∑ mx = (∑ m )⋅ ξ .

(2.2.5)

Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (2.2.3) ïîëó÷èì Óðàâíåíèå (2.2.4) âûðàæàåò òåîðåìó î ñîõðàíåíèè èìïóëüñà. Äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óðàâíåíèå  óðàâíåíèè (2.2.5) ïîä ïåðåìåííîé ξ ìû ïîäðàçóìåâàåì ñîâîêóïíîñòü êîîðäèíàò ξ, η, ζ êàê öåíòðà ìàññ G ïðèíÿòîé íàìè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â (2.2.5)

(∑ m ) åñòü ïîñòîÿííîå ÷èñ-

ëî, ìû ìîæåì, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (2.2.3) è (2.2.4), íàïèñàòü

ξ& = const .

(2.2.6) Óðàâíåíèå (2.2.6) îçíà÷àåò, ÷òî åñëè âñå çàäàííûå ñèëû ÿâëÿþòñÿ âíóòðåííèìè, öåíòð ìàññ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê G äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî è ñ íèì ìîæíî ñâÿçàòü ÈÑÎ, ñîâìåñòèâ íà÷àëî êîîðäèíàò íåïîñðåäñòâåííî ñ öåíòðîì ìàññ, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå áóäåò íàõîäèòüñÿ â ïîêîå.

§2.3. Ñîõðàíåíèå ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê âðàùàåòñÿ, êàê òâ¸ðäîå òåëî âîêðóã îñè z . Òîãäà êëàññ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèÿ áóäåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ áåñêîíå÷íî ìàëûé ïîâîðîò âñåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê âîêðóã îñè Oz è óðàâíåíèå (2.2.1) áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì

δx = − yδθ , δy = xδθ , δz = 0 . Ýòè óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ èç ðàâåíñòâ x = r cos θ , âàðüèðóÿ êîòîðûå ïî θ ïîëó÷èì

δx = −r sin θδθ = − yδθ , δy = r cos θδθ = xδθ .

(2.3.1)

y = r sin θ ,

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

49

Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (2.1.7)

∑ [(m&x& − X )δx + (m&y& + Y )δy + (m&z& − Z )δz ] = = ∑ [(m&x& − X ) ⋅ (− yδθ) + (m&y& − Y ) ⋅ xδθ + (m&z& − Z ) ⋅ 0] = = ∑ m (x&y& − y &x&)δθ − (xY − yX )δθ = 0 .

Îòêóäà

∑ m(x&y& − y&x&) = ∑ (xY − yX ).

(2.3.2)

∑ m(x&y& − y&x&) = 0 .

(2.3.3)

∑ m(xy& − yx& ) = 0 .

(2.3.4)

Îïóñêàÿ, êàê è â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, âíóòðåííèå ñèëû è ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñóììà ìîìåíòîâ âñåõ âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî îñè z ðàâíà íóëþ, ìû ìîæåì íàïèñàòü Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (2.3.3), ïîëó÷èì  ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.3.3) ñòîèò õîðîøî èçâåñòíîå èç òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè âûðàæåíèå äëÿ ïðîåêöèè íà îñü Oz ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà) Lz =

∑ m(xy& − yx& ) ñèñòåìû

ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Óðàâíåíèå (2.3.4) âûðàæàåò òåîðåìó î ñîõðàíåíèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Èñõîäÿ èç ïåðâîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, íàì ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ðàññóæäåíèé óäàëîñü ïîëó÷èòü äâå î÷åíü âàæíûå òåîðåìû – òåîðåìó î ñîõðàíåíèè èìïóëüñà è òåîðåìó î ñîõðàíåíèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.  äàëüíåéøåì ìû åù¸ ðàç ïîëó÷èì ýòè òåîðåìû, èñõîäÿ èç äðóãèõ ïðåäïîñûëîê.

§2.4. Ïåðâàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè  õîäå ðåøåíèÿ çàäà÷è 9 ìû ââåëè ïîíÿòèå êàòàñòàòè÷åñêîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, äëÿ êîòîðîé õàðàêòåðíî ñîâïàäåíèå êëàññîâ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ñêîðîñòåé ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êëàññàìè äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ñêîðîñòåé.  ïåðâîé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ìåõàíèêè

Ãëàâà âòîðàÿ

50 N

∑ (m &x& r

r =1

r

− X r )δx r = 0 ,

(2.1.6)

â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì, âìåñòî δx r ìû ìîæåì íàïèñàòü x& r , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå N

N

r =1

r =1

∑ (mr &x&r − X r )⋅ x& r =∑ (mr &x&r x& r − X r x& r ) =0 , èëè N

∑

mr x& r &x&r =

r =1

N

∑X

& .

(2.4.1)

r xr

r =1

Ðàññìîòðèì ïîäðîáíåå ïðîèçâåäåíèå mr x& r &x&r , ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.4.1). Âîçüì¸ì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ïîëó÷èì

1 mr x& r2 è ïðîäèôôåðåíöèðóåì åãî ïî âðåìåíè t . 2

d 1 2  m r x& r  = m r x& r &x&r . Òåïåðü óðàâíåíèå (2.4.1) ìîæíî çàïèdt  2 

ñàòü òàê

dT = dt

N

∑X

& ,

(2.4.2)

r xr

r =1

ãäå

T=

1 2

N

∑ m x& r

2 r

(2.4.3)

r =1

- êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Çàïèøåì (2.4.3) â ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìàõ:

T=

1 2

∑ m(x&

2

)

+ y& 2 + z& 2 ,

(2.4.4)

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

T=

1 2

∑ mx&

2

51

.

(2.4.5)

Óðàâíåíèå (2.4.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâóþ (ïðîñòåéøóþ) ôîðìó óðàâíåíèÿ ýíåðãèè. Îíî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ðàâíà ñêîðîñòè, ñ êîòîðîé ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà çàäàííûõ ñèë.

§2.5. Âòîðàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè Ðàññìîòðèì âíîâü ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è ïóñòü òåïåðü ïîä íàáîðîì x1 , x 2 ,..., x N ïîíèìàþòñÿ íå òîëüêî òåêóùèå êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ìîìåíò âðåìåíè t , à âñ¸ ïîëå êîîðäèíàò. Ïóñòü çàäàííûå ñèëû X 1 , X 2 ,..., X N çàâèñÿò ëèøü îò x è íå çàâèñÿò îò x& è îò N

âðåìåíè t . Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ôîðìà Ïôàôôà

∑X

r

x& r , ñòîÿùàÿ â

r =1

ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.4.1) ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì íåêîòîðîé îäíîðîäíîé îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè − V àðãóìåíòîâ x1 , x 2 ,..., x N : N

∑X

= −dV .

&r rx

(2.5.1)

r =1

Ïðè ýòîì ñ÷èòàþò, ÷òî çàäàííûå ñèëû êîíñåðâàòèâíû (ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êîíñåðâàòèâíà), ôóíêöèþ V íàçûâàþò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé çàäàííûõ ñèë (èëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê). Çíàê « - » â óðàâíåíèè (2.5.1) ãîâîðèò î òîì, çà íóëåâîé óðîâåíü ïðèíèìàåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê óäàë¸ííûõ íà áåñêîíå÷íî áîëüøîå ðàññòîÿíèå äðóã îò äðóãà. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êîíñåðâàòèâíà, òî óðàâíåíèå N

∑ (m &x& r =1

r

r

− X r )δx r = 0

ñ ó÷¸òîì (2.5.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê

(2.1.6)

Ãëàâà âòîðàÿ

52 N

N

r =1

r =1

∑ (mr &x&r − X r )δxr = ∑ mr &x&r δxr + δV = 0 .

(2.5.2)

Ðàññìîòðèì âíîâü êàòàñòàòè÷åñêóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïóñòü çàäàííûå ñèëû áóäóò êîíñåðâàòèâíûìè, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïóñòü áóäåò ðàâíà V . Ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè V çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò x1 , x 2 ,..., x N , ïðèíèìàåìûå â ìîìåíò âðåìåíè t ïðè íåêîòîðîì äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Òåïåðü V åñòü íå ïðîñòî çíà÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, à å¸ çíà÷åíèå â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè t . Òîãäà

dV = dt

N ∂V x& r = − X r x& r . r =1 ∂x r r =1 N

∑

∑

(2.5.3)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

dT = dt

N

∑X

& ,

r xr

(2.4.2)

r =1

Ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü, ÷òî

dV dT + =0 dt dt

(2.5.4)

d (T +V ) = 0 . dt

(2.5.5)

èëè

Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (2.5.5) ïîëó÷èì

T +V = h ,

(2.5.6)

ãäå h - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ (ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû), ê êîòîðîé ìû áóäåì ïðèáåãàòü ïðè íàïèñàíèè èíòåãðàëîâ ýíåðãèè. Óðàâíåíèå (2.5.6) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âòîðóþ (êëàññè÷åñêóþ) ôîðìó óðàâíåíèÿ ýíåðãèè, èëè èíòåãðàë ýíåðãèè.

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

53

Åñëè êàòàñòàòè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàõîäèòñÿ ïîä äåéñòâèåì çàäàííûõ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë, ñóììà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå ïðè ëþáîì äâèæåíèè ñèñòåìû. Âåëè÷èíà h â êàæäîì äâèæåíèè îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.

V (x1 , x 2 ,..., x N ) = h íàçûâàþò ïîâåðõíîñòüþ ïîñòîÿííîé ýíåðãèè

äëÿ äàííîãî äâèæåíèÿ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî T ≥ 0 , çíà÷åíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè äâèæåíèÿ áóäåò V ≤ h .

§2.6. Òðåòüÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ êîãäà çàäàííûå ñèëû â öåëîì íå êîíñåðâàòèâíû, à ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìîæíî ðàçáèòü íà äâå ïîäñèñòåìû, îäíà èç êîòîðûõ áóäåò êîíñåðâàòèâíîé. Ýòî ìîæíî âûðàçèòü òàê

X r = X r1 + X r 2 ,

(2.6.1)

ãäå X r1 çàâèñèò îò x1 , x 2 ,..., x N è ñèñòåìà ñèë X r1 êîíñåðâàòèâíà. Òîãäà N

∑X

r 1 dx r

= − dV .

(2.6.2)

r =1

Ó÷èòûâàÿ ýòî, ìû ìîæåì óðàâíåíèå (2.4.2) çàïèñàòü òàê

dT = dt

N

dV ∑ (X r1 x& r + X r 2 x& r ) = − dT

r =1

+

N

∑X

&r r2 x

.

(2.6.3)

r =1

Îêîí÷àòåëüíî ìîæíî íàïèñàòü

d (T + V ) = dt

N

∑X

&r r2 x

.

(2.6.4)

r =1

Óðàâíåíèå (2.6.4) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðåòüþ ôîðìó óðàâíåíèÿ ýíåðãèè, âêëþ÷àþùóþ â ñåáÿ ïåðâûå äâå ôîðìû óðàâíåíèé ýíåðãèè êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè.

Ãëàâà âòîðàÿ

54

Òðåòüÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ýíåðãèè âûðàæàåò ñîáîé òîò ôàêò, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè (êèíåòè÷åñêîé ïëþñ ïîòåíöèàëüíîé) ðàâíà ìîùíîñòè îñòàëüíûõ ñèë, òî åñòü ñèë, íå äàþùèõ âêëàäà â ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ. Óðàâíåíèå (2.5.6), âûðàæàþùåå êëàññè÷åñêèé èíòåãðàë ýíåðãèè, èãðàåò âàæíóþ ðîëü íå òîëüêî âî âñåé ìåõàíèêå, íî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áóêâàëüíî íà âñå îáëàñòè ôèçè÷åñêèõ íàóê.

§2.7. Âòîðàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ Ïðåæäå ÷åì âûâåñòè âòîðóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, ñäåëàåì íåñêîëüêî ïðåäâàðèòåëüíûõ çàìå÷àíèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîä÷èí¸ííóþ k ñâÿçÿì. Òîãäà äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé òî÷åê äàííîé ñèñòåìû ìû ìîæåì íàïèñàòü óæå èçâåñòíîå íàì óðàâíåíèå (1.4.16) n

 ∂f j

∑  ∂x i =1

i

δxi +

∂f j ∂y i

δy i +

∂f j

 δzi  = 0 , ∂zi 

( j = 1,2,..., k ) .

(1.4.16)

Çäåñü ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî n òî÷êàì. Ïðåîáðàçóåì ýòî óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïåðåéä¸ì îò ñóììèðîâàíèÿ ïî n òî÷êàì ê ñóììèðîâàíèþ ïî N = 3n êîîðäèíàòàì (ñìîòðè §2.1.) è ââåä¸ì äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ

∂f j ∂xi

= A ji . Òåïåðü óðàâ-

íåíèå (1.4.16) ìîæíî çàïèñàòü òàê N

∑A

jr

⋅ δx r = 0 ,

(2.7.1)

r =1

ãäå ( j = 1,2,..., k ) . Âîçüì¸ì òåïåðü óðàâíåíèå (1.4.4), çàïèñàííîå äëÿ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, è ñîñòàâèì óðàâíåíèå äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîä÷èíÿþùåéñÿ k ñâÿçÿì:

∂f ∂f ∂f ∂f x& + y& + z& + = 0, ∂x ∂y ∂z ∂t

(1.4.4)

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ n

 ∂f j

∑  ∂x i =1

x& i +

i

∂f j ∂y i

y& i +

∂f j ∂zi

z&i +

55

∂f j  =0 ∂t 

èëè N

∑A

& + Aj = 0 ,

(2.7.2)

jr x r

r =1

ãäå A j =

∂f j ∂t

. Î÷åâèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû A jr è A j - ôóíêöèè êëàññà

C1 , îïðåäåë¸ííûå â íåêîòîðîé îáëàñòè çíà÷åíèé x1 , x 2 ,..., x N ; t . Òåïåðü ìû ìîæåì ïðèñòóïèòü ê âûâîäó âòîðîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðè ëþáîì âîçìîæíîì äâèæåíèè ñèñòåìû óäîâëåòâîðÿþòñÿ óðàâíåíèÿ N

∑A

& + Aj = 0 ,

jr x r

( j = 1,2,..., k ) .

(2.7.2)

r =1

Ïóñòü x&1 + ∆x&1 , x& 2 + ∆x& 2 ,..., x& N + ∆x& N áóäóò êàêèå-íèáóäü äðóãèå âîçìîæíûå ñêîðîñòè â òîì æå ïîëîæåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è â òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Äëÿ íèõ òàê æå ìîæíî íàïèñàòü N

∑ A (x& jr

r

+ ∆x& r ) + A j = 0

(2.7.3)

r =1

èëè N

∑A

& +

jr x r

r =1

N

∑A

& + Aj = 0 ,

jr ∆x r

r =1

ñ ó÷¸òîì (2.7.2) ñðàçó ïîëó÷èì N

∑A

& =0.

jr ∆x r

(2.7.4)

r =1

Ñðàâíèâàÿ óðàâíåíèÿ (2.7.4) è (2.7.1), ìû âèäèì, ÷òî ïðèðàùåíèÿ ñêîðîñòåé ∆x1 , ∆x 2 ,..., ∆x N óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (2.7.1) äëÿ âèð-

Ãëàâà âòîðàÿ

56

òóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ìû ìîæåì â óðàâíåíèè (2.1.6) âìåñòî δx r íàïèñàòü ∆x& r , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå N

∑ (m &x& r

r

− X r )∆x& r = 0 ,

(2.7.5)

r =1

êîòîðîå è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âòîðóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Âî âòîðîé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ êîíôèãóðàöèþ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è ìîìåíò âðåìåíè ìû ïðåäïîëàãàåì çàäàííûìè è ðàññìàòðèâàåì äâà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â îäíîé è òîé æå êîíôèãóðàöèè è â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè, îòëè÷àþùèåñÿ ëèøü ñêîðîñòÿìè, ïðè÷¸ì âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè îòëè÷àþòñÿ íà êîíå÷íóþ, à íå áåñêîíå÷íî ìàëóþ âåëè÷èíó. Åñëè â óðàâíåíèå (2.7.5) âìåñòî ∆x& r ïîäñòàâèòü x& r , ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ýíåðãèè äëÿ êàòàñòàòè÷åñêîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî.  çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî ÷àùå âñåãî âòîðàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè óäàðà.

§2.8. Òðåòüÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ Âíîâü âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè (2.7.2) N

∑A

& + Aj = 0 ,

jr x r

( j = 1,2,..., k ) .

(2.7.2)

r =1

Äèôôåðåíöèðóåì èõ ïî t , ïîëó÷èì N



∑  A r =1



Îïåðàòîð

∂ + ∂t

jr

&x&r +

 dA x& r  + j = 0 , dt  dt

dA jr

( j = 1,2,..., k ) .

(2.8.1)

d îçíà÷àåò dt N

∑ x& i =1

i

∂ , ∂xi

(2.8.2)

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

57

òàê êàê êîýôôèöèåíòû A jr çàâèñÿò îò ïåðåìåííûõ x1 , x 2 ,..., x N ; t . Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà âîçìîæíûõ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè îäíîé è òîé æå êîíôèãóðàöèè â ìîìåíò âðåìåíè t è îäè-

r r r íàêîâûõ ñêîðîñòÿõ, íî ðàçëè÷íûõ óñêîðåíèÿõ &x& è &x& + ∆&x& , òîãäà (2.8.1) ïðèìåò âèä

 ∑  A (&x& N

r =1

jr



r

+ ∆&x&r ) +

 dA x& r  + j = 0 . dt  dt

dA jr

(2.8.3)

Ñðàâíèâàÿ (2.8.3) è (2.8.1) ìîæåì íàïèñàòü N

∑A

&& = 0 ,

jr ∆x r

( j = 1,2,..., k ) .

(2.8.4)

r =1

Òàêèì îáðàçîì ìû ïðèøëè ê âûâîäó, ÷òî êîíå÷íûå ïðèðàùåíèÿ óñêîðåíèÿ ∆&x&1 , ∆&x&2 ,..., ∆&x&N óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (2.7.1) äëÿ âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé è ìû ñíîâà ìîæåì â îñíîâíîì óðàâíåíèè (2.1.6) âìåñòî δx r íàïèñàòü ∆&x&r .  ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíåíèå N

∑ (m &x& r

r

− X r )∆&x&r = 0 ,

(2.8.5)

r =1

êîòîðîå íîñèò íàçâàíèå òðåòüåé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ.  òðåòüåé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ êîíôèãóðàöèè ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ñêîðîñòü è âðåìÿ ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè è ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, îòëè÷àþùåéñÿ òîëüêî óñêîðåíèÿìè. Âîçìîæíûå ïðèðàùåíèÿ óñêîðåíèé èìåþò êîíå÷íóþ âåëè÷èíó. Èòàê, ìû ïîëó÷èëè òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Îòìåòèì îñíîâíûå ðàçëè÷èÿ ýòèõ ôîðì: - â ïåðâîé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ N

∑ (m &x& r =1

r

r

− X r )δx r = 0 .

(2.1.6)

ðàññìàòðèâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîå âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå èç çàäàííîé êîíôèãóðàöèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê; - âî âòîðîé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

Ãëàâà âòîðàÿ

58 N

∑ (m &x& r

r

− X r )∆x& r = 0 ,

(2.7.5)

r =1

êîîðäèíàòû íå âàðüèðóþòñÿ, è ðàññìàòðèâàåòñÿ âîçìîæíîå ïðèðàùåíèå (íå îáÿçàòåëüíî ìàëîå) ñêîðîñòè; - â òðåòüåé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ N

∑ (m &x& r

r

− X r )∆&x&r = 0 ,

(2.8.5)

r =1

êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè íå âàðüèðóþòñÿ, è ðàññìàòðèâàåòñÿ âîçìîæíîå ïðèðàùåíèå (íå îáÿçàòåëüíî ìàëîå) óñêîðåíèÿ.

§2.9. Ïðèíöèï Ãàóññà íàèìåíüøåãî ïðèíóæäåíèÿ Äîêàæåì ñ ïîìîùüþ òðåòüåé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ òåîðåìó, äîêàçàííóþ Ãàóññîì â 1829 ãîäó. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíà êîíôèãóðàöèÿ è ñêîðîñòè íåêîòîðîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ìîìåíò âðåìåíè t . Ñêîíñòðóèðóåì íåêîòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó 2

 X  1 N C = ∑ mr  &x&r − r  , mr  2 r =1 

(2.9.1)

r

çàâèñÿùóþ îò &x&1 , &x&2 ,..., &x&N è áóäåì ðàññìàòðèâàòü òå çíà÷åíèÿ &x& , êîòîðûå âîçìîæíû ïðè çàäàííûõ êîíôèãóðàöèè è ñêîðîñòÿõ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïðèíöèï Ãàóññà óòâåðæäàåò, ÷òî â äàííîì êëàññå çíà÷åíèé

&xr& âûðà-

æåíèå C äëÿ èñòèííîãî óñêîðåíèÿ ìèíèìàëüíî. Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ èñòèííîãî óñêîðåíèÿ âûðàæåíèå C ïðèíèìàåò ìåíüøåå çíà÷åíèå, ÷åì äëÿ ëþáîãî äðóãîãî âîçìîæíîãî óñêîðåíèÿ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (2.9.1). Ìû äîêàæåì ýòó òåîðåìó ñ ïîìîùüþ òðåòüåé ôîðìû îñíîâíîãî

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

59

&xr& - èñòèííîå óñêîðåíèå, à &xr& + ∆&xr& - ëþáîå äðóãîå âîçìîæíîå óñêîðåíèå. Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ∆C óðàâíåíèÿ. Ïóñòü

2 2  X r   Xr   1 N  −  &x&r −  = ∆C = ∑ mr  &x&r + ∆&x&r − mr   mr   2 r =1   

=

N 1 N 2 & & ( ) (mr &x&r − X r ) ⋅ ∆x&&r . m x ∆ + ∑ r r ∑ 2 r =1 r =1

(2.9.2)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîñëåäíÿÿ ñóììà â (2.9.2) åñòü òðåòüÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (2.8.5), ðàâíàÿ íóëþ, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî

1 N 2 mr (∆&x&r ) . (2.9.3) ∑ 2 r =1 &r& ≠ 0 âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ∆C > 0 , òî åñòü Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ∆x ∆C =

êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (2.9.1) ìèíèìàëüíà ëèøü äëÿ èñòèííîãî óñêîðåíèÿ. Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå â äàííîé ãëàâå ðåçóëüòàòû â ðåøåíèè ñëåäóþùèõ çàäà÷. Çàäà÷à 16. Ìàøèíà Àòâóäà. Äâå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, èìåþùèå ìàññû

m1 è

m2 ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé ë¸ãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç ãëàäêèé íåâåñîìûé áëîê, è äâèæóòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Îïðåäåëèòü äâèæåíèå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè

&x&1 , &x&2

Äàíî

m1 , m2

Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó â «ëàáîðàòîðíîé» ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñîâìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ îñüþ âðàùåíèÿ áëîêà. Ïðèìåì äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè

m2 > m1 . Ñäåëàåì ÷åðò¸æ.

Ãëàâà âòîðàÿ

60

Ðåøåíèå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ïåðâîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ñâÿçè. Äëÿ ýòîãî ïðèìåì äëèíó íèòè ðàâíîé

l , à ðàäèóñ áëîêà - R . Òîãäà óðàâíåíèå ñâÿçè ïðèìåò âèä

x1 + x 2 + πR = l , îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò ÷òî

δx1 + δx 2 = 0 è &x&1 + &x&2 = 0 . Èëè

δx1 = −δx 2 , è &x&1 = − &x&2 .

(2.9.4)

Âîçüì¸ì ïåðâóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ñâÿçè N

∑ (m &x& r =1

r

r

− X r )δx r = 0

(2.1.6)

è ïîäñòàâ â íå¸ èçâåñòíûå íàì âåëè÷èíû, ïîëó÷èì

(m1 &x&1 − m1 g )δx1 + (m2 &x&2 − m2 g )δx2

=0

èëè ñ ó÷¸òîì (2.9.4)

(− m1 &x&2 − m1 g )(− δx2 ) + (m2 &x&2 − m2 g )δx 2 = 0 , èëè (m2 + m1 )&x&2 − (m2 − m1 )g = 0 , îòêóäà

&x&2 =

m2 − m1 g. m2 + m1

O

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèøëè ê âûâîäó, ÷òî ìàòåðèàëüíûå òî÷êè äâèæóòñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ñ îäèíàêîâûì ïî âåëè÷èíå ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì.

x2

x1 m1

m2g

m2

m1g Ðåøåíèå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ ïðèíöèïà x Ãàóññà íàèìåíüøåãî ïðèíóæäåíèÿ. Ðèñ.10. Òàê êàê ïî óñëîâèþ çàäà÷è íèòü ïåðåêèíóòà ÷åðåç áëîê è íåðàñòÿæèìà, òî åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ìàòåðèàëüíûå òî÷êè áóäóò äâèãàòüñÿ ñ îäèíàêîâûì óñêîðåíèåì â ðàçíûå ñòîðîíû. Îáîçíà÷èì ýòî óñêîðåíèå ÷åðåç w è ó÷ò¸ì, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññû ñû

m2 äâèæåòñÿ âíèç, à ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàñ-

m1 ââåðõ. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (2.9.1)

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

C=

{

61

}

1 2 2 m1 (− w − g ) + m2 (w − g ) . 2

Ïîñëå âîçâåäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé â êâàäðàò è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì

C=

{

}

1 (m2 + m1 )w 2 − 2(m2 − m1 )gw + (m2 + m1 )g 2 . 2

Èç óðàâíåíèÿ

∂ C ∂ w = 0 íàõîäèì

∂C = (m 2 + m 1 )w − (m 2 − m 1 )g = 0 , ∂w îòêóäà

w=

m2 − m1 g , ÷òî ñîâïàäåò ñ ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ çàäà÷è ïåðm2 + m1

âûì ñïîñîáîì. Ðåøèì åù¸ äâå çàäà÷è íà ïðèìåíåíèå ïðèíöèïà Ãàóññà. Çàäà÷à 17. Îáåçüÿíà è ïðîòèâîâåñ. Çàìåíèì â ïðåäûäóùåé çàäà÷å ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó ìàññû m1 íà îáåçüÿíó òîé æå ìàññû, êîòîðàÿ ëåçåò ââåðõ ïî íèòè. Áóäåì ñ÷èòàòü îáåçüÿíó ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé. Ïîëîæåíèå îáåçüÿíû îòíîñèòåëüíî íèòè â ìîìåíò âðåìåíè êëàññà

t çàäàäèì ôóíêöèåé ϕ (t )

C 2 .  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âñÿ ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ïî-

êîå, òî åñòü

ϕ (0) = ϕ& (0) = 0 . Îïðåäåëèòü çàêîí äâèæåíèÿ îáåçüÿíû.

Íàéòè

&x&1

Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

Äàíî

m1,

Ðåøåíèå çàäà÷è.

m2 ,

Ðåøèì çàäà÷ó â «ëàáîðàòîðíîé»

ϕ (0) = ϕ& (0) = 0 .

ÈÑÎ. Îñü Ox ïðîõîäèò ÷åðåç îñü âðà-

Ãëàâà âòîðàÿ

62 ùåíèÿ áëîêà è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ. Îáåçüÿíà è ïðîòèâîâåñ (ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàñ-

x

ñû m 2 ) â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t íàõîäÿòñÿ íà îäíîì óðîâíå, êîòîðûé ìû ïðèìåì çà íóëåâîé. Ïðè ïåðåìåùåíèè îáåçüÿíû ïî íèòè å¸ äëèíà áóäåò ñîêðàùàòüñÿ (îáåçüÿíà âûáèðàåò å¸ íà ñåáÿ) è åñëè îáîçíà÷èòü êîîðäèíàòû îáåçüÿíû è ïðîòèâî- m O 1 âåñà ÷åðåç x1 è x 2 ñîîòâåòñòâåííî, òî óðàâíåíèå m1g (2.9.1) áóäåò âûãëÿäåòü òàê

C=

{

}

1 2 2 m1 (&x&1 + g ) + m 2 (&x&2 + g ) . 2

æåì íàïèñàòü, ÷òî ϕ (t ) = ϕ ëÿÿ ýòî â (2.9.5) ïîëó÷èì

C=

m2g

y

Ðèñ.11.

(2.9.5)

Òàê êàê â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ,

m2

x1 = x 2 = 0 , ìû ìî-

= x1 + x 2 , îòêóäà &x&2 = ϕ&& − &x&1 . Ïîäñòàâ-

{

}

1 2 2 m1 (&x&1 + g ) + m2 (ϕ&& − &x&1 + g ) . 2

Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü çíà÷åíèå

(2.9.6)

&x&1 , ìèíèìèçèðóþùåå êâàäðàòè÷íóþ

ôîðìó (2.9.6). Ñîñòàâèì óðàâíåíèå

∂C ∂&x&1 = 0 .

∂C 1 && − &x&1 + g )}= 0 . = {2m1 (&x&1 + g ) − 2m2 (ϕ ∂x&&1 2 Èëè

m1 (&x&1 + g ) − m2 (ϕ&& − &x&1 + g ) = 0 .

Îêîí÷àòåëüíî

(m2 + m1 )&x&1 = m2ϕ&& + (m2 − m1 )g .

(2.9.7) Äâàæäû ïðîèíòåãðèðîâàâ (2.9.7) ñ ó÷¸òîì íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, ïîëó÷èì

(m2 + m1 )x1 = m2ϕ + 1 (m2 − m1 )gt 2 . 2

(2.9.8)

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

63

 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà îáåçüÿíà è ïðîòèâîâåñ èìåþò îäèíàêîâóþ ìàññó, ïîëó÷èì

1 x1 = x 2 = ϕ , òî åñòü îáåçüÿíà è ïðîòèâîâåñ áóäóò íàõî2

äèòüñÿ íà îäèíàêîâîé âûñîòå. Çàäà÷à 18. Äâå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, èìåþùèå ìàññû m1 è m 2 ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé ë¸ãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç áëîê ìàññû m è ðàäèóñà R , è äâèæóòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Îïðåäåëèòü äâèæåíèå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè

&x&1 , &x&2

Äàíî

m1 , m2 , m, R.

Ðåøåíèå çàäà÷è. Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó â «ëàáîðàòîðíîé» ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñîâìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ îñüþ âðàùåíèÿ áëîêà. Ïðèìåì äëÿ îïðå-

äåë¸ííîñòè m 2 > m1 è âîñïîëüçóåìñÿ ðèñ. 10. Ìû ñíîâà âîçâðàùàåìñÿ ê çàäà÷å 16, íî òåïåðü áëîê èìååò îòëè÷íóþ îò íóëÿ ìàññó, ÷òî åñòåñòâåííî ñêàæåòñÿ íà âèäå ïåðâîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ñâÿçè ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 16.

x1 + x 2 + πR = l , îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò ÷òî

δx1 + δx 2 = 0 è &x&1 + &x&2 = 0 . Èëè

δx1 = −δx 2 è &x&1 = − &x&2 .

(2.9.4)

Ñîñòàâèì ïåðâóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ñâÿçè

(m1 &x&1 − m1 g )δx1 + (m2 &x&2 − m2 g )δx2 + I o ε z δϕ = 0 ,

(2.9.9)

Ãëàâà âòîðàÿ

64

mR 2

2

ãäå

Io =

εz =

&x&1 - óãëîâîå óñêîðåíèå, R

δϕ =

δ x1 - âàðèàöèÿ óãëà ïîâîðîòà ϕ . R

- ìîìåíò èíåðöèè áëîêà,

Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå âûøå çíà÷åíèÿ â (2.9.9) è ñ ó÷¸òîì (2.9.4) ïîëó÷èì

(m1 &x&1 − m1 g )δx1 + (− m2 &x&1 − m2 g )⋅ (− δx1 ) + m &x&1δx1 = 0 , 2

ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ

m   m1 + m2 +  &x&1 + (m2 − m1 )g = 0 2  èëè îêîí÷àòåëüíî

&x&1 =

m2 − m1 m m1 + m2 + 2

g.

(2.9.10)

Çàäà÷à 19. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íà äâèæóùåéñÿ íàêëîííîé ïëîñêîñòè. Êëèí ìàññû M ñêîëüçèò ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññû m äâèæåòñÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè êëèíà, îáðàçóþùåé ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ óãîë α . Âñå ïîâåðõíîñòè ãëàäêèå. Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Íàéòè Äàíî

w′ M, m, α.

Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Ðåøåíèå çàäà÷è. Âûáåðåì «ëàáîðàòîðíóþ» ÈÑÎ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè t êëèí

Ïåðâûå òðè ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ y

èìååò óñêîðåíèå w , à ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà èìååò ïî îòíîøåíèþ ê êëèíó óñ-

w mw

mg

m w′ α 12345678901234567890 12345678901234567890 x Ðèñ.12.

ñèëà òÿæåñòè

65

êîðåíèå w′ . Ñäåëàåì ÷åðò¸æ. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå (2.9.1). Çäåñü ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ïî îñè x íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó ñî ñòîðîíû êëèíà äåéñòâóåò ñèëà mw , à ïî îñè y äåéñòâóåò

mg .

2 2 mw   mg   1 1  2 C = Mw + m w′ cos α −  +  w′ sin α −  , m   m   2 2 

èëè

C=

{

}

1 1 2 2 Mw 2 + m (w′ cos α − w) + (w′ sin α − g ) . 2 2

Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì

C=

1 (M + m )w 2 + 1 mw′ 2 − mww′ cos α − mgw′ sin α + 1 mg 2 . 2 2 2

Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ

∂C =0 ∂w

∂C = 0. ∂w′

∂C = (M + m )w − mw′ cos α = 0 , ∂w îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

w w′ = . m cos α M + m ∂C = mw′ − mw cos α − mg sin α = 0 , ∂w′ îòêóäà

w′ = w cosα + g sin α .

(2.9.11)

Ãëàâà âòîðàÿ

66 Ñ ó÷¸òîì (2.9.11) ìîæíî íàïèñàòü

w′ =

m cos 2 α w′ + g sin α M +m

èëè

 m cos 2 α  1 −  w′ = g sin α . M + m   Ïîñëå ïðîñòåéøèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì

w′ =

(M

+ m )sin α g. M + m sin 2 α

Ìàòåðèàëüíàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì.

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

67

Ãëàâà III Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà  ýòîé ãëàâå ìû âíîâü âîçâðàùàåìñÿ ê ïîíÿòèÿì îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è îáîáù¸ííûõ ñèë (ñì. §§ 1.6. è 1.7.), ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ñîñòàâëÿåòñÿ ÷åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì òàêæå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà è ôóíêöèþ Ëàãðàíæà, èíòåãðàë ßêîáè, îáîáù¸ííûé ïîòåíöèàë.

§3.1. ×åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ×åòâ¸ðòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàòàõ, ìû ïîëó÷èì èç îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ N

∑ (mx&&

r

− X r )δx r = 0 .

(2.1.6)

r =1

Ïðèñòóïàÿ ê âûâîäó, ñëåäóåò âûáðàòü îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû. Îíè äîëæíû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿòü ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è áûòü íåçàâèñèìûìè ìåæäó ñîáîé.  îñòàëüíîì âûáîð îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïðîèçâîëåí. Çäåñü ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðè «óäà÷íîì» âûáîðå îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò, óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò èìåòü íàèáîëåå êîìïàêòíûé âèä. Ðåøåíèÿ çàäà÷ ¹¹10-14 è åñòü ïðèìåðû òàêèõ «óäà÷íûõ» âûáîðîâ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Âûáðàâ îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû q1 , q2 ,..., qn âûðàçèì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÷åðåç ýòè îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû

x r = x r (q1 , q 2 ,..., q n , t ) , r = 1,2,..., N ,

ãäå

(3.1.1)

x r = x r (q1 , q 2 ,..., q n , t ) ïðèíàäëåæàò êëàññó C 2 â ñîîòâåòñòâóþùåé

îáëàñòè D èçìåíåíèÿ q1 , q2 ,.., qn , t .

Ãëàâà

68 Ñîñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ

dx r = dt

n

òðåòüÿ

dx r , dt

∂x r ∂qi ∂x r , r = 1,2,..., N , + ∂t i ∂t

∑ ∂q i =1

çäåñü ó÷òåíî, ÷òî

∂x r ∂t ∂x r = . ∂t ∂t ∂t

Èëè

x& r =

n

∂x r

∑ ∂q i =1

q& i +

i

∂x r , r = 1,2,..., N , ∂t

(3.1.2)

îòêóäà âèäíî, ÷òî ïðîèçâîäíûå x& r ñâÿçàíû ñ q& ëèíåéíûìè ñîîòíîøåíèÿìè, êîýôôèöèåíòû â êîòîðûõ çàâèñÿò îò q1 , q2 ,.., qn , t . Ðàññìîòðèì äâå ëåììû. Ëåììà 1.

∂x& r ∂x r = . ∂q& i ∂qi

(3.1.3)

Äîêàçàòåëüñòâî (3.1.3) î÷åâèäíî.

∂x r ∂x& r ∂x = ∂t = r . ∂q& i ∂qi ∂q i ∂t Ëåììà 2.

∂x& r d  ∂x r =  ∂qi dt  ∂qi

  . 

(3.1.4)

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (3.1.4) ðàñïèøåì ñ ó÷¸òîì (3.1.2) ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà ïîäðîáíî, ïîíèìàÿ ïîä èíäåêñàìè

r è i êîíêðåòíûå ôèêñè-

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

69

ðîâàííûå çíà÷åíèÿ, à èíäåêñ

∂x& r = ∂qi

n

∑ j

∂ 2 xr ∂ 2 xr = q& j + ∂qi ∂q j ∂qi ∂t =

n

∂ 2 xr

∑ ∂q ∂q j

òàê êàê

j = 1,2, ,..., N .

i

q& j + j

∂ 2 xr d  ∂x =  r ∂t∂qi dt  ∂qi

  , 

x r = x r (q1 , q 2 ,..., q n , t ) ∈ C 2 â îáëàñòè D , è ìû ìîæåì ïîìå-

íÿòü ïîðÿäîê äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Âîçüì¸ì òåïåðü óðàâíåíèå (2.4.3) äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

T=

1 2

n

∑ m x& r

2 r

(2.4.3)

r =1

è ïîäñòàâèì âìåñòî x& r å¸ çíà÷åíèå èç (3.1.2):

1 T= 2

n

∑

m r x& r2 =

r =1

1 2

2

 n ∂x r ∂x  m r  q&i + r  . ∂t  r =1  i =1 ∂qi n

∑

∑

(3.1.5)

Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ïîëèíîì

~ T âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî q&1 , q& 2 ,..., q& n ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâè~ ñÿùèìè îò q1 , q 2 ,.., qn , t . Îáîçíà÷åíèå T âûáðàíî ëèøü òîëüêî äëÿ òîãî, ~ ÷òîáû îòëè÷àòü çíà÷åíèÿ äëÿ T èç ôîðìóëû (2.4.3) îò çíà÷åíèé T èç ~ ôîðìóëû (3.1.5). Ïðåäñòàâèì ïîëèíîì T òàê: ~ T = T2 + T1 + T0 , (3.1.6) ãäå T

2

îáîçíà÷àåò îäíîðîäíóþ êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ îò q& :

T2 = ãäå

1 2

n

n

∂x r ∂x r 1 q& i q& j = 2 j =1 ∂qi ∂q j n

∑ ∑∑ mr

r =1

i =1

n

n

∑∑ a r =1 i =1

& & ,

ri q r qi

(3.1.7)

Ãëàâà

70

ari =

n

 ∂x j ∂x j ∂y j ∂y j ∂z j ∂z j  , ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂qr ∂qi ∂qr ∂qi  r ∂qi

∑ m  ∂q j

j =1

òðåòüÿ (3.1.7)*

j = 1,2,..., n . Òàêèì îáðàçîì ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (3.1.7)* ìû óáèðàåì ñóììèðîâàíèå ïî

j èç ðàâåíñòâà (3.1.7).

T1 - îäíîðîäíàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò q& : T1 =

1 2

n

n

∂x r ∂x r q& i = i ∂t

∑ m ⋅ 2∑ ∂q r

r =1

i =1

n

∑ a q& r

r

,

(3.1.8)

r =1

ãäå

ar =

n

 ∂x j ∂x j ∂y j ∂y j ∂z j ∂z j  , ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂t ∂qr ∂t ∂qr ∂t  r

∑ m  ∂q j

j =1

(3.1.8)*

j = 1,2,..., n . T0 ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò q1 , q2 ,.., qn , t : T0 =

1 2

2

 ∂x  mr  r  .  ∂t  r =1 n

∑

(3.1.9)

Äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñâÿçåé, òî åñòü ñâÿçåé, äëÿ êîòîðûõ

x r = x r (q1 , q2 ,..., qn ) è, ñëåäîâàòåëüíî,

∂x r ≡ 0 , êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ∂t

áóäåò îäíîðîäíîé ôóíêöèåé âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé, òî åñòü

T = T2 =

1 2

n

n

∑∑ a

& & .

ri q r qi

(3.1.10)

r =1 i =1

Âåðí¸ìñÿ ñíîâà ê îñíîâíîìó óðàâíåíèþ (2.1.6) N

∑ (mx&&

r

r =1

− X r )δx r = 0 .

(2.1.6)

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

71

Ïîäñòàâèì â (2.1.6) âìåñòî δx r åãî çíà÷åíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.6.14)

δx r =

n

∂x r

∑ ∂q i =1

δqi ,

r = 1,2,..., N ,

(1.6.14)

i

ïîëó÷èì





∂x ∂x ∑ (mx&&r − X r )⋅ ∑ r δqi = ∑ ∑ (mr &x&r − X r ) r δqi = 0 . N

n

r =1

i =1

n

∂qi

i =1

N

∂qi 

 r =1

(3.1.11)

Ñ ïîìîùüþ ëåìì (3.1.3) è (3.1.4) ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå &x&r

&x&r

∂x r d  ∂x r =  x& r ∂qi dt  ∂qi

 d  ∂x  − x& r  r dt  ∂qi 

 d   =  x& r  dt 

∂x& r ∂q& i

∂x r . ∂qi

 ∂x&  − x& r r . ∂qi 

Ó÷ò¸ì òàêæå, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.7.2) N

∑X r =1

r

∂x r = Qi , ∂qi

(3.1.12)

ãäå Qi - îáîáù¸ííàÿ ñèëà. Òåïåðü êîýôôèöèåíò ïðè δ q i â (3.1.11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê:

~ ~  d  ∂x&  ∂x&  d  ∂T  ∂T  − − Qi . (3.1.13) mr   x& r r  − x& r r  − Qi =  ∂qi  dt  ∂q&i  ∂qi r =1  dt  ∂q&i  N

∑

Îêîí÷àòåëüíî îñíîâíîå óðàâíåíèå (2.1.6) ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:

 d  ∂T~  ∂T~   − − Q i  δq i = 0 .    i =1   dt  ∂q& i  ∂qi n

∑

Ýòî è åñòü ÷åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ.

(3.1.14)

Ãëàâà

72

òðåòüÿ

§3.2. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà Óðàâíåíèå (3.1.14) ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ δq1 , δq2 ,..., δqn . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà è ÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî, òî åñòü

n = l . Óðàâíåíèå (3.1.14) áóäåò ñïðàâåäëèâî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ δq1 , δq2 ,..., δqn , è ìû ìîæåì íàïèñàòü: ~ ~ d  ∂T  ∂T   − = Qr , dt  ∂q& r  ∂qr

r = 1,2,..., n .

(3.2.1)

Ýòè óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ Ëàãðàíæà. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íåãîëîíîìíàÿ è ÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò òàê æå ìèíèìàëüíî, òî åñòü n = l + k ( k ÷èñëî óðàâíåíèé ñâÿçåé). Ïîëó÷èì íåîáõîäèìûå óðàâíåíèÿ ñâÿçåé. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé (2.7.2): n

∑A i =1

ri

x& i + Ar = 0 , r = 1,2,..., k ,

(3.2.2)

êîòîðûå ìû çàïèøåì ñëåäóþùèì îáðàçîì n

∑A i =1

ri

dx i + Ar dt = 0 .

(3.2.3)

Åñëè òåïåðü â óðàâíåíèÿõ (3.2.3) âìåñòî äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ïîäñòàâèòü îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû, ïîëó÷èì n

∑B

ri dqi

+ Br dt = 0 ,

r = 1,2,..., k .

(3.2.4)

i =1

Íàì íåò íåîáõîäèìîñòè íà äàííîì ýòàïå ïîäðîáíî âûïèñûâàòü êîýôôèöèåíòû â óðàâíåíèÿõ (3.2.4), òàê êàê íàñ ñåé÷àñ èíòåðåñóåò ëèøü îáùèé ïðèíöèï ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ Ëàãðàíæà.  äàëüíåéøåì ìû âåðí¸ìñÿ ê ýòîìó âîïðîñó, ðåøàÿ êîíêðåòíûå çàäà÷è. Óðàâíåíèå (3.1.14) òåïåðü ñïðàâåäëèâî íå äëÿ ïðîèçâîëüíûõ δq , à äëÿ δq , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà n

∑B

ri δqi

= 0,

73

r = 1,2,..., k .

(3.2.5)

i =1

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (3.2.1) çàïèøóòñÿ òåïåðü â ôîðìå

~ ~ d  ∂T  ∂T  − = Qr + X r′ , dt  ∂q& r  ∂q r ãäå

(3.2.6)

X r′ - ðåàêöèè ñâÿçåé. Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ðåàêöèè ñâÿçåé óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ n

∑ X ′ δx r =1

r

r

=0 ,

(1.5.3)

òî åñòü ðåàêöèè ñâÿçåé íå ñîâåðøàþò ðàáîòû íà ëþáîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ êàê ëþáûå ïåðåìåùåíèÿ n

∑A r =1

jr

δx1 , δx 2 ,..., δx n , óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì

δx r = 0 ,

( j = 1,2,..., k ).

(2.7.2)

Óðàâíåíèÿ (1.5.3) è (2.7.2) ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ðåàêöèè ñâÿçåé ìîãóò áûòü âûðàæåíû ñ ïîìîùüþ k ìíîæèòåëåé k

X r′ = ∑ λ j A jr , j =1

(r = 1,2,..., n ).

X r′

λj (3.2.7)

Ïåðåõîäÿ ê îáîáù¸ííûì êîîðäèíàòàì íà îñíîâàíèè (3.2.5), ïðåäñòàâèì (3.2.7) êàê k

X r′ = ∑ λ m Bmr , m =1

(r = 1,2,..., n ),

à óðàâíåíèÿ (3.2.6) îêîí÷àòåëüíî ïðèìóò âèä:

(3.2.8)

Ãëàâà

74

~ ~ k d  ∂T  ∂T   − = Qr + λ m Bmr , dt  ∂q& r  ∂qr m =1

∑

r = 1,2,..., n ,

òðåòüÿ (3.2.9)

ñîäåðæàùèé k ìíîæèòåëåé λ1 , λ 2 ,..., λ k . Ïîñëå ïðèñîåäèíåíèÿ ê óðàâíåíèÿì (3.2.9) óðàâíåíèé ñâÿçåé (3.2.4) çàïèñàííûõ àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ (2.7.2) n

∑B i =1

ri

q& i + Br = 0 , r = 1,2,..., k ,

(3.2.10)

ìû ïîëó÷èì ñèñòåìó n + k óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ n + k íåèçâåñòíûõ

q r è λ r êàê ôóíêöèé âðåìåíè.

Óðàâíåíèÿ (3.2.1) è (3.2.9) áûëè ïîëó÷åíû Ëàãðàíæåì â 1760 ãîäó. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ óðàâíåíèé ìîæíî îïèñàòü äâèæåíèå ëþáîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùèå îïåðàöèè: 1) âûáðàòü îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû qr ,

~

2) ñîñòàâèòü ôóíêöèþ T - êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â âèäå ïîëèíîìà îò

q& r (ñ êîýôôèöèåíòàìè çàâèñÿùèìè îò q r è, âîçìîæíî, îò t ),

3) íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû, ñîâåðøàåìîé çàäàííûìè ñèëàìè íà ïðîèçâîëüíîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè, â âèäå äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìû (1.7.3). n

δA = ∑ Qr δq r . r =1

(1.7.3)

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

75

§3.3. Êîíñåðâàòèâíûå è îáëàäàþùèå ïîòåíöèàëüíîé ôóíêöèåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê Ïóñòü çàäàííûå ñèëû X r çàâèñÿò òîëüêî îò

x r è íå çàâèñÿò íè îò

x& r , íè îò t è äëÿ ëþáîãî âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ δx r ôîðìà ÏôàôN

ôà

∑ X δx r

r

ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì − δV , ãäå V - îäíî-

r =1

ðîäíàÿ ôóíêöèÿ îò ïåðåìåííûõ x1 , x 2 ,..., x N , ïðèíàäëåæàùàÿ êëàññó C1 (ñì. §2.5.). Áóäåì îïðåäåë¸ííûå òàêèì îáðàçîì çàäàííûå ñèëû íàçûâàòü êîíñåðâàòèâíûìè, à ôóíêöèþ V - ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé. Ïóñòü òàê æå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó

q r è x r íå ñîäåðæàò âðåìÿ t . N

Âûðàçèì ôîðìó Ïôàôôà

∑ X δx r

÷åðåç îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû

r

r =1

N

∑

X r δx r =

r =1

 N ∂x   X r r δqi =  ∂qi  i =1  r =1 n

∑∑

n

∑Q δq i

i

(3.3.1)

i =1

è n

∑ Q δq i =1

i

i

~ = −δV ,

(3.3.2)

ãäå

~ V (x1 , x 2 ,..., x N ) = V (q1 , q2 ,..., qn ).

(3.3.3) ×åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.1.14) ïðèìåò âèä:

 d  ∂T~   r =1   dt  ∂q& r n

∑

~ ~  ∂T ∂V   − +  δq r = 0 .  ∂q r ∂qr 

(3.3.4)

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.2.1) è (3.2.6), ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ãîëîíîìíûõ è íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, áóäóò âûãëÿäåòü òàê:

Ãëàâà

76

òðåòüÿ

~ ~ ~ ∂V d  ∂T  ∂T   − , =− ∂qr dt  ∂q& r  ∂q r

(3.3.5)

~ ~ ~ k d  ∂T  ∂T ∂V  − = − + ∑ λ m Bmr , r = 1,2,..., n . dt  ∂q& r  ∂q r ∂q r m =1

(3.3.6)

 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êðîìå êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ìîãóò äåéñòâîâàòü è äðóãèå ñèëû X r .  êà÷åñòâå òàêèõ ñèë ìîãóò âûñòóïàòü, íàïðèìåð, íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû, çàâèñÿùèå îò ïîëîæåíèÿ, èëè ñèëû, çàâèñÿùèå îò ñêîðîñòåé. Ïóñòü

Qi =

N

∑X r =1

r

∂x r , ∂qi

(3.3.7)

òàê ÷òî ðàáîòà äîáàâî÷íûõ ñèë íà âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ðàâíà n

∑Q δq i

i

, òîãäà óðàâíåíèå (3.3.4) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

i =1

 d  ∂T~   r =1   dt  ∂q& r n

∑

~ ~   ∂T ∂V  − + − Q r  δq r = 0 ,   ∂q r ∂q r

(3.3.8)

ñîäåðæàùèì â ñåáå óðàâíåíèÿ (3.2.1) è (3.3.4). (×åðòà íàä ñèìâîëàìè

X

è Q íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ñðåäíèì çíà÷åíèÿì íå èìååò, ïðîñòî òàêèì çíà÷êîì ìû îòìåòèëè íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû, çàâèñÿùèå îò ïîëîæåíèÿ èëè ñêîðîñòåé). Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà, ñîîòâåòñòâåííî, äëÿ ãîëîíîìíûõ è íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áóäóò âûãëÿäåòü òàê:

~ ~ ~ ∂V d  ∂T  ∂T   − =− + Qr , ∂qr dt  ∂q& r  ∂qr

r = 1,2,..., n ,

~ ~ ~ k ∂V d  ∂T  ∂T   − =− + Qr + λ m Bmr , r = 1,2,..., n . ∂q r dt  ∂q& r  ∂qr m =1

∑

(3.3.9)

(3.3.10)

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

77

Ïóñòü òåïåðü çàäàííûå ñèëû X r çàâèñÿò îò íèÿ, ñâÿçûâàþùèå

x r è îò t , à ñîîòíîøå-

q r è x r , ñîäåðæàò âðåìÿ t :

x r = x r (q1 , q2 ,..., qn ; t ).

(3.3.11) Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ δx áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî: N

∑ X δx r

= −δ iV ,

r

(3.3.12)

r =1

ãäå ñèìâîë

δ iV âûðàæàåò ïðîñòðàíñòâåííûé äèôôåðåíöèàë

δiV =

∂V

N

∑ ∂x r =1

δx r

(3.3.13)

r

ïðè ôèêñèðîâàííîì t . (Ïðîñòûì ïðèìåðîì ñëóæèò äâèæåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, íàïðÿæåííîñòü êîòîðîãî èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.)  äàííîì ñëó÷àå ìû íå áóäåì èìåòü êëàññè÷åñêîãî èíòåãðàëà ýíåðãèè, íî ñâîéñòâî, âûðàæàåìîå ñîîòíîøåíèåì (3.3.12), áóäåò ïðèâîäèòü ê óïðîùåíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Ïóñòü

~ V (x1 , x 2 ,..., x N ; t ) = V (q1 , q 2 ,..., q n ; t ) ,

(3.3.14)

òîãäà

∂V δ iV = δx r = r =1 ∂x r N

∑

 N ∂V ∂ x r   δqi =   ∂ ∂ x q r i i =1  r =1  n

∑∑

n

∑ i =1

~ ∂V δqi ∂q i

(3.3.15)

è n

∑Q δq i

i

~ = −δ iV ,

(3.3.16)

i =1

~

ãäå δ iV =

n

∑ i =1

~ ∂V δ q i âû÷èñëÿåòñÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì t . ×åòâ¸ðòàÿ ∂qi

ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.3.4) ïðè âûïîëíåíèè (3.3.11) – (3.3.16) îñòà¸òñÿ ñïðàâåäëèâîé.

Ãëàâà

78

òðåòüÿ

Íàì ÷àñòî áóäåò âñòðå÷àòüñÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, äëÿ êîòîðîé áóäóò âûïîëíÿòüñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó q r è x r íå ñîäåðæàò âðåìÿ t , 2) çàäàííûå ñèëû êîíñåðâàòèâíû, 3) ñèñòåìà ãîëîíîìíà è îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû âûáðàíû òàê, ÷òî

n = l (÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî).  ýòîì ñëó÷àå

1 ~ T = T2 = 2

n

n

∑∑ a

& & ,

(3.3.17)

ri q r qi

r =1 i =1

à êîýôôèöèåíòû a ri çàâèñÿò òîëüêî îò

q r . Ïîñëåäíåå òàê æå ñïðàâåä-

~ ëèâî è äëÿ V , à óðàâíåíèå (3.3.4) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé δq1 , δq2 ,..., δqn . Ñèñòåìû, óäîâëåòâîðÿþùèå ïåðå÷èñëåííûì âûøå ñâîéñòâàì, áóäåì íàçûâàòü íàòóðàëüíûìè ñèñòåìàìè ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.

§3.4. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà Áóäåì â äàëüíåéøåì êèíåòè÷åñêóþ è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèè, âûðàæåííûå ÷åðåç q r è q& r (à òàêæå, âîçìîæíî, è t ), îáîçíà÷àòü ÷åðåç T è V . ×åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.3.4) çàïèøåòñÿ â âèäå

 d  ∂T  ∂T ∂V   − +  δq r = 0 . ∂qr ∂qr  r  r =1  n

∑  dt  ∂q&

(3.4.1)

Ïóñòü

L = T −V , òîãäà ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî T íå çàâèñèò îò óðàâíåíèå (3.4.1) çàïèøåòñÿ òàê:

 d  ∂L  ∂L   − δqr = 0 . ∂q r  r  r =1 

(3.4.2)

q r , à V íå çàâèñèò îò q& r ,

n

∑  dt  ∂q&

(3.4.3)

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

79

Èç óðàâíåíèÿ (3.4.3) ñëåäóåò äâà âàæíûõ âûâîäà: 1. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà è n = l (÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî), òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò èìåòü âèä

d  ∂L  dt  ∂q& r

 ∂L  = ,  ∂qr

r = 1,2,..., n .

(3.4.5)

2. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íåãîëîíîìíà è n = l + k , ( k ÷èñëî íàëîæåííûõ íà ñèñòåìó ñâÿçåé), òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áóäóò èìåòü âèä

d  ∂L  dt  ∂q& r

k  ∂L  = + ∑ λ m Bmr , r = 1,2,..., n .  ∂q r m =1

(3.4.6)

Ê óðàâíåíèÿì (3.4.6) ñëåäóåò äîáàâèòü k óðàâíåíèé ñâÿçè n

∑B

&i ri q

+ Br = 0 , r = 1,2,..., k .

(3.2.7)

i =1

Ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L íàçûâàþò êèíåòè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (3.4.5) èíâàðèàíòíî ïî îòíîøåíèþ ê ëþáîìó ïðåîáðàçîâàíèþ êîîðäèíàòû q : äðóãèìè ñëîâàìè, ýòî çíà÷èò, ÷òî, ïîëàãàÿ

q = f (ϕ ), ìû ñíîâà ïîëó÷èì óðàâíåíèå òèïà (3.4.5), òî åñòü

d  ∂L  ∂L =0.  − dt  ∂ϕ&  ∂ϕ

(3.4.7)

Ýòà èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîå ïðåèìóùåñòâî, òàê êàê îíà äà¸ò âîçìîæíîñòü äëÿ ëþáûõ êîîðäèíàò ñðàçó íàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî åñòü, êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò âñå âîçìîæíûå äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïðèìåðîì èçëîæåíèÿ ìåõàíèêè ñ òî÷êè çðåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ìîæåò ñëóæèòü ïåðâûé òîì øèðîêî èçâåñòíîãî êóðñà ïî òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå, íàïèñàííîãî Ë.Ä. Ëàíäàó è Å.Ì. Ëèôøèöåì - «Ìåõàíèêà».

Ãëàâà

80

òðåòüÿ

§3.5. Èíòåãðàë ßêîáè Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, îïèñûâàåìàÿ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà L , óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì: 1) L íå ñîäåðæèò ÿâíî âðåìÿ t ;

r 2) ñêîðîñòü q& â äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ âèðòóàëüíîé ñêîðîñòüþ.  ýòîì ñëó÷àå âìåñòî δq r â óðàâíåíèè (3.4.3) ìîæíî íàïèñàòü q& r .

 d  ∂L  ∂L   − q& r = 0 . ∂qr  r  r =1  n

∑  dt  ∂q&

(3.5.1)

Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå

 ∂L d  n  ∑ q& r − L  = dt  r =1 ∂q& r  n  ∂L ∂L  d  ∂L  ∂L  + = ∑  q& r  q&&r − q&&r − q& r  = ∂q& r ∂q r  dt  ∂q& r  ∂q& r r =1  =

 d  ∂L  ∂L   − q& r . ∂qr  r  r =1  n

∑  dt  ∂q&

Óðàâíåíèå (3.5.1) ìû ìîæåì òåïåðü çàïèñàòü òàê

 d  n ∂L − L = 0 .  q& r dt  r =1 ∂q& r 

∑

(3.5.2)

Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (3.5.2), ïîëó÷èì n

∑ q& r =1

r

∂L −L=h, ∂q& r

(3.5.3)

ãäå h - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñîîòíîøåíèå (3.5.3) íàçûâàþò èíòåãðàëîì ßêîáè èëè èíòåãðàëîì ýíåðãèè. Òàê êàê â ñëó÷àå íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, â

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

81

ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ, ìîæíî íàïèñàòü n

∑ q&

r

r =1

∂L = 2T , ∂q& r

(3.5.4)

òî ñ ó÷¸òîì L = T − V , (3.5.3) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

T +V = h . Åñëè â óðàâíåíèè (3.5.3) ïðèíÿòü

(3.5.5)

L = T2 + T1 + T0 − V ,

(3.5.6) òî ñîãëàñíî òåîðåìå Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ ïîëó÷èì n

∑ q&

r

r =1

∂L = 2T2 + T1 . ∂q& r

(3.5.7)

Òåïåðü óðàâíåíèå (3.5.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

T2 + V − T0 = h .

(3.5.8) Óðàâíåíèå (3.5.8) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÿâíóþ ôîðìó èíòåãðàëà ßêîáè (3.5.3).

§3.6. Îáîáù¸ííûé ïîòåíöèàë Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ êàê ôóíêöèþ êîîðäèíàò è âðåìåíè, òî åñòü

V = V (q1 , q2 ,..., qn ; t ) . (3.6.1) Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò íå òîëüêî îò îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è âðåìåíè, íî è îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé V = V (q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q& 2 ,..., q& n ; t ) .

(3.6.2) Çäåñü ìû, êàê è â §3.2. ïîëàãàåì, ÷òî ÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî, òî åñòü n = l . Ïîòðåáóåì, ÷òîáû óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.2.1)

d  ∂T  dt  ∂q& r èìåëè âèä

 ∂T  − = Qr ,  ∂qr

r = 1,2,..., n

(3.2.1)

Ãëàâà

82

d  ∂L  dt  ∂q& r

 ∂L  − =0,  ∂qr

r = 1,2,..., n ,

òðåòüÿ (3.6.3)

ãäå

L = T −V .

(3.6.4) Óðàâíåíèÿ (3.6.3) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì

d  ∂V  dt  ∂q& r

 ∂V  − = Qr ,  ∂qr

r = 1,2,..., n ,

(3.6.5)

Ôóíêöèÿ (3.6.2), ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî ïîëó÷èòü îáîáù¸ííûå ñèëû ïî ôîðìóëå (3.6.5), íàçûâàåòñÿ îáîáù¸ííûì ïîòåíöèàëîì. Ðàññìîòðèì, êàê çàâèñèò ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé. Íà îñíîâàíèè (3.6.5) ìû ìîæåì íàïèñàòü, ðàñêðûâ ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè:

Qr =

n

∑ i =1

∂ 2V q&&i + ∂q& r ∂q&i

n

∑ i =1

∂ 2V ∂ 2V ∂V , − q& i + ∂q& r ∂qi ∂q& r ∂t ∂q r

(3.6.6)

r = 1,2,..., n . Òàê êàê îáîáù¸ííûå ñèëû îò îáîáù¸ííûõ óñêîðåíèé íå çàâèñÿò, òî n

∑ i =1

∂ 2V q&&i = 0 , ∂q& r ∂q&i

r = 1,2,..., n ,

(3.6.7)

òî åñòü îáîáù¸ííûé ïîòåíöèàë V ìîæåò áûòü òîëüêî ëèíåéíîé ôóíêöèåé îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé:

V = V (q r , t ) +

n

∑V (q , t )q& , i

r

i

r = 1,2,..., n .

(3.6.8)

i =1

Îïðåäåëèì âèä îáîáù¸ííûõ ñèë ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (3.6.5) è (3.6.8):

Qr =

 dVr ∂  n −  Vi q& i + V  = dt ∂qr  i =1 

∑

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

=

n

∑ i =1

=−

83

∂Vr ∂V q&i + r − ∂qi ∂t

∂V + ∂qr

n

 ∂Vr

∑  ∂q i =1

n

∂Vi

∑ ∂q i =1

∂Vi ∂qr

−

i

q& i −

r

∂V = ∂q r

 ∂V q& i + r , ∂t 

r = 1,2,..., n .

(3.6.9)

Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ

γ ri =

∂Vr ∂Vi − , ∂qi ∂qr

r, i = 1,2,..., n .

(3.6.10)

Î÷åâèäíî, ÷òî

γ ri = − γ ir . Óðàâíåíèÿ (3.6.9) òåïåðü çàïèøóòñÿ òàê Qr = −

∂V + ∂q r

n

∑γ

&i ri q

+

i =1

∂Vr , ∂t

(3.6.11)

r = 1,2,..., n .

Åñëè ôóíêöèÿ Vr íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî åñòü

(3.6.12)

∂Vr = 0 , óðàâíå∂t

íèÿ (3.6.12) ïðèìóò âèä

Qr = − n

ãäå

∑γ

∂V + ∂qr

n

∑γ

& ,

ri qi

r = 1,2,..., n ,

(3.6.13)

i =1

& - òàê íàçûâàåìûå ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû.

ri qi

i =1

Íà îñíîâàíèè âûøåèçëîæåííîãî ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: åñëè ôóíêöèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Vr íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè,



∂V  ∂qr

òî îáîáù¸ííûå ñèëû ñêëàäûâàþòñÿ èç ïîòåíöèàëüíûõ ñèë  −



ðîñêîïè÷åñêèõ ñèë 

n

∑γ

 i =1

 & .  

ri qi

  è ãè

Ãëàâà

84

òðåòüÿ

Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå â äàííîé ãëàâå çíàíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, êîòîðûå ìû äëÿ óäîáñòâà èçëîæåíèÿ ïîìåñòèì â ñëåäóþùèé ïàðàãðàô.

§3.7. Ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà Çàäà÷à 20. Ïðîñòîé ìàÿòíèê. Ïðîñòîé ìàÿòíèê ìû ðàññìàòðèâàëè â çàäà÷å ¹10. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà Ì èìååò ìàññó m è ìîæåò âìåñòå ñ íåâåñîìûì ñòåðæíåì äëèíû l êà÷àòüñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì2. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

f (q, q& , t ) m, l

Ðåøåíèå çàäà÷è.

Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â òî÷êó Î. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ. Äàííàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èìååò îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû. y Î Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðåêîìåíäàöèÿìè, ïðèâåä¸ííûìè â §3.2. θ l 1) Âûáåðåì îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû, èñïîëüçóÿ ðåøåíèå çàäà÷è 10. Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì M áóäåò âïîëíå îïðåäåëÿòüñÿ îäíîé îáîáù¸ímg íîé êîîðäèíàòîé – óãëîì θ , òî åñòü q = θ . x Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷Ðèñ. 13. êè Ì ìîæíî çàïèñàòü òàê

x = l cos θ , y = l sin θ .

(3.7.1) 2) Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì. Òàê êàê ìàÿòíèê îáëàäàåò ìîìåíòîì èíåðöèè

I O îòíîñèòåëü-

íî òî÷êè ïîäâåñà, ìû ìîæåì âûðàçèòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì ÷åðåç ýòîò ìîìåíò èíåðöèè, òî åñòü

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

T=

1 &2 I Oθ , 2

85 (3.7.2)

ãäå

I O = ml 2

(3.7.3)

è îêîí÷àòåëüíî

T=

1 2 &2 ml θ . 2

(3.7.4)

Òîãäà

∂T ∂T = ml 2θ& , à = 0. ∂θ ∂θ&

(3.7.5)

2) Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ îáîáù¸ííîé ñèëû

Q=X

∂x = − mgl sin θ . ∂θ

(3.7.6)

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà (3.2.1)

d  ∂T  2   = Q èëè ml θ&& = −mgl sin θ . dt  ∂θ&  Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

g θ&& + sin θ = 0 l

(3.7.7)

õîðîøî èçâåñòíîå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé. Ýòî óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ íåëèíåéíûì, è åãî ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò áîëüøèå òðóäíîñòè.

θ òî÷êè Ì â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ìàëî îòêëîíÿåòñÿ îò íóëÿ. Òîãäà sin θ ≈ θ è óðàâíåíèå (3.7.7) ìîæíî çàìåÏðåäïîëîæèì, ÷òî êîîðäèíàòà

íèòü íà «ïðèáëèæåííîå» ëèíåéíîå óðàâíåíèå

θ&& + ω 2θ = 0 , ãäå

ω2 =

g . l

Ðåøàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå

(3.7.8)

Ãëàâà

86

òðåòüÿ

k2 +ω2 = 0,

(3.7.9)

k = ±iω . Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.7.7) çàïèøåì â âèäå

(3.7.10)

θ = C1e iωt + C2 e − iωt .

(3.7.11)

ïîëó÷èì:

Ïîñòîÿííûå

C1 è C 2 ìîæíî îïðåäåëèòü, åñëè áóäóò çàäàíû äâà

íà÷àëüíûõ óñëîâèÿ. Ïóñòü â íà÷àëå äâèæåíèÿ ïðè t = 0 êîîðäèíàòà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì ðàâíà θ 0 , à å¸ ñêîðîñòü

θ&0 . Ïîäñòàâèì ýòè çíà-

θ è θ& â óðàâíåíèå (3.7.11) è â óðàâíåíèå θ& = iω (C e iωt − C e − iωt ),

÷åíèÿ

(3.7.12) ïîëó÷åííîå èç (3.7.11) äèôôåðåíöèðîâàíèåì åãî ïî âðåìåíè. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷èì: 1

2

θ 0 = C1 + C2 ,

(3.7.13)

θ&0 = iω (C1 − C 2 ) .

(3.7.14)

Ñêëàäûâàÿ è âû÷èòàÿ óðàâíåíèÿ (3.7.13) è (3.7.14), ïðåäâàðèòåëüíî ðàçäåëèâ (3.7.14) íà

iω , ïîëó÷èì:

 θ&0 = 2C1   iω . θ&0 θ0 − = 2C 2  iω 

θ0 +

Ïîäñòàâèì íàéäåííûå çíà÷åíèÿ

θ=

(3.7.15)

C1 è C 2 â óðàâíåíèå (3.7.11)

θ&  θ&  1 1 θ 0 + 0 e iωt + θ 0 − 0 e −iωt = iω  iω  2 2

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

= θ0

87

e iωt + e − iωt θ&0 e iωt − e − iωt . + iω 2 2

(3.7.16)

Ïðåîáðàçóåì (3.7.16) ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Ýéëåðà

e iωt − e − iωt = sin ωt , 2i

θ = θ 0 cos ωt +

e iωt + e − iωt = cos ωt . 2

(3.7.17)

θ&0 sin ωt . ω

(3.7.18)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

θ 0 = A cos δ è

θ&0 = A sin δ , ω

(3.7.19)

ãäå A è δ - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå. Òåïåðü óðàâíåíèå (3.7.18) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

θ = A(cos δ cos ωt + sin δ sin ωt ) = A cos(ωt − δ )

èëè îêîí÷àòåëüíî

θ = Acos(ωt − δ ) .

(3.7.20) Ýòî è åñòü óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Èç ôîðìóë (3.7.19) ëåãêî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ

 θ&02  θ& A = θ +  2  , tgδ = 0 . ωθ 0 ω  2 0

Aèδ : (3.7.21)

Åñëè ïîëîæèòü ωt − δ = 0 , ïîëó÷èì θ = A . Íàèáîëüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå îòêëîíåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ

A íàçîâ¸ì àìïëèòóäîé êîëåáàíèé. Ïðè t = 0 θ = θ 0 = A cos(− δ ) , ãäå δ - íà÷àëüíûé óãîë êîëåáà-

íèÿ èëè ôàçà êîëåáàíèÿ. Åñëè ïîëîæèòü θ&0

= 0 , òî δ = 0 è àìïëèòóäà A áóäåò ïðîñòî ðàâ-

íà íà÷àëüíîìó îòêëîíåíèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíî-

Ãëàâà

88

òðåòüÿ

âåñèÿ.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé áóäåò ñîäåðæàòü ëèøü îäíó ïîñòîÿííóþ, îïðåäåëÿåìóþ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè – àìïëèòóäó:

θ = A cos ωt .

(3.7.22)

Çàäà÷à 21. Ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m ñêîëüçèò ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ïî ãëàäêîé (áåç òðåíèÿ) ïîâåðõíîñòè ñôåðû ðàäèóñà l . Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

f (q, q& , t )

Ðåøåíèå çàäà÷è.

m, l

Âûáåðåì ÈÑÎ «Ëàáîðàòîðèÿ», ïîìåñòèì íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â öåíòðå ñôåðû. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðèñóíêîì 6 çàäà÷è 11 è ðåçóëüòàòàìè ðåøåíèÿ çàäà÷ 11 è 15, òî åñòü íàì íåò íåîáõîäèìîñòè ïîäðîáíî îáñóæäàòü ïîëó÷åíèå îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è îáîáù¸ííûõ ñèë. Ìû ñðàçó ìîæåì íàïèñàòü

q1 = θ , q2 = ϕ ,

(3.7.23)

x = l sin θ cos ϕ , y = l sin sin ϕ , z = l cos θ ,

(3.7.24)

Q1 = −mgl sin θ , Q2 = 0 . (3.7.25) Òàê êàê ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ðàññìàòðèâàåìàÿ â äàííîé çàäà÷å, ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíîé, áóäåì èñêàòü êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ïî ôîðìóëå (3.3.17) T = T2 =

1 2

n

n

∑∑ a

& & .

ri qr qi

(3.3.17)

r =1 i =1

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ari âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3.1.7)*, èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

ari =

n

89

 ∂x j ∂x j ∂y j ∂y j ∂z j ∂z j   ⋅ + ⋅ + ⋅ ∂qr ∂qi ∂qr ∂qi  r ∂qi

∑ m  ∂q j

j =1

(3.7.26)

èëè

     ∂x ∂x   ∂y ∂y   ∂z ∂z   a12 = a 21 = m  ⋅  +  ⋅  +  ⋅  = 0,  ∂θ ∂ϕ   ∂θ ∂ϕ   ∂θ ∂ϕ    2 2 2  ∂x   ∂y   ∂z    2 2 a 22 = m   +   +    = ml sin θ.   ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ     ∂x  2  ∂y  2  ∂z  2  a11 = m   +   +    = ml 2 ,  ∂θ   ∂θ   ∂θ  

(3.7.27)

Òàêèì îáðàçîì

T=

(

)

m 2&2 2 2 2 l θ + l sin θϕ& . 2

(3.7.28)

Òîãäà

∂T = ml 2 θ& , ∂θ&

∂T = ml 2 sin θ cos θϕ& 2 , ∂θ

∂T ∂T =0. = ml 2 sin 2 θϕ& , ∂ϕ ∂ϕ& Òåïåðü ñ ó÷¸òîì (3.7.25) ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (3.2.1)

d  ∂ T  ∂T = Q1 , −  dt  ∂θ&  ∂θ

d  ∂T  ∂T =0  − dt  ∂ϕ&  ∂ϕ

èëè

&θ& − sin θ cos θϕ& 2 + g sin θ = 0 , l

&& = 0 . ϕ

(3.7.29)

Ãëàâà

90

òðåòüÿ

Çàäà÷à 22. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî Çåìëè, ïðîèñõîäÿùåãî ïîä äåéñòâèåì ñèëû ïðèòÿæåíèÿ Íüþòîíà. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè

f (q, q& , t )

Ðåøåíèå çàäà÷è.

mM r2

Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ Çåìë¸é, ïîìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â öåíòð Çåìëè òàê, ÷òî îñü âðàùåíèÿ Çåìëè áóäåò ñîâïàäàòü ñ îñüþ OZ, à ñàìà ñèñòåìà êîîðäèíàò íå áóäåò ó÷àñòâîâàòü âî âðàz ùàòåëüíîì äâèæåíèè Çåìëè. ÄâèæåM íèå ïî îòíîøåíèþ ê âûáðàííîé íàìè â äàííîé çàäà÷å ñèñòåìå êîîðäèíàò áór äåì ñ÷èòàòü àáñîëþòíûì. Ñäåëàåì β O ÷åðò¸æ. Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè y α ïðè äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ñ ïîìîùüþ òð¸õ îáîáù¸íx íûõ êîîðäèíàò: ðàäèóñ-âåêòîðà r , Ðèñ. 14. äîëãîòû - α , è ãåîöåíòðè÷åñêîé øè-

F = −G

Äàíî

ðîòû - β , òî åñòü

q1 = r , q2 = α ,

q3 = β .

(3.7.30)

Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì áóäóò

x = r cos β cos α , y = r cos β sin α , z = r sin β . Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè T=

(

)

1 m x& 2 + y& 2 + z& 2 , 2

(3.7.31)

(3.7.32)

ãäå m - ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Åñëè òåïåðü â óðàâíåíèè (3.7.32) ïåðåéòè îò äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ê ñôåðè÷åñêèì, â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.7.31), (ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü (3.7.31) ïî âðåìåíè, âîçâåñòè â êâàäðàò è ñëîæèòü) ïîëó÷èì

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

T=

(

91

)

1 m r& 2 + r 2β& 2 + r 2 cos2 βα& 2 . 2

(3.7.33)

Ñîñòàâèì òåïåðü âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû m íà ðàññòîÿíèè r îò Çåìëè, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå

V = −G ãäå

mM , r

(3.7.34)

M - ìàññà Çåìëè.

Åñëè ðàäèóñ Çåìëè ïðèíÿòü çà R , òî íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè áóäåò

VÇ = −G

mM , R

(3.7.35)

à äëÿ ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ìîæíî íàïèñàòü

FÒ = −G

mM = −mg . R2

(3.7.36)

Èç (3.7.36) ñëåäóåò, ÷òî − GmM = ÷åíèå â (3.7.34), îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

V =−

− mgR 2 . Ïîäñòàâëÿÿ ýòî çíà-

mgR 2 mµ 2 =− , r r

(3.7.37)

2 2 ãäå µ = gR .

Òåïåðü ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T − V .

(

)

mµ 2 1 . m r&2 + r 2β& 2 + r 2 cos2 βα& 2 + r 2 Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò L : L=

∂L ∂L mµ 2 = mr& , = mrβ& 2 + mr cos2 βα& 2 − 2 , ∂r& ∂r r

(3.7.38)

Ãëàâà

92

òðåòüÿ

∂L ∂L =0, = mr 2 cos2 βα& , ∂α ∂α& ∂L ∂L = −mr 2 sin β cos βα& 2 . = mr 2β& , & ∂β ∂β Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ (3.4.5), à èìåííî

d  ∂L  ∂L  − = 0 , i = 1,2,3. dt  ∂q&i  ∂qi

(

)

(3.4.5)

µ &r& − r β& 2 + cos2 βα& 2 = − 2 , r

(3.7.39)

mr 2 cos 2 βα& = c1 , c1 = const ,

(3.7.40)

2

( )

d 2& 1 2 r β + r sin 2βα& 2 = 0 . 2 dt

(3.7.41)

Äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû, ñëåäîâàòåëüíî (ñì. §2.3.), ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ íà îñè x, y , z :

(

)

M x = m( yz& − zy& ) = mr 2 β& sin α − α& cos α sin β cos β ,   M y = m(zx& − xz& ) = − mr 2 β& cos α + α& sin α sin β cos β ,  M z = m(xy& − yx& ) = mr 2 cos 2 β α& . 

(

)

(3.7.42)

Îòñþäà âèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (3.7.40) âûðàæàåò ïîñòîÿíñòâî ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî îñè OZ. Ìîäóëü ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè áóäåò ðàâåí

M = M x2 + M y2 + M z2 = mr 2 β& 2 + cos2 βα& 2 = c2 ,

(3.7.43)

ãäå c2 = const . Èçâåñòíî, ÷òî äâèæåíèå ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû ïðîèñõîäèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê âåêòîðó ìîìåíòà êîëè÷åñòâà

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

93

äâèæåíèÿ. Ýòî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. Ëèíèþ ÎÊ ïåðåñå÷åíèÿ ýòîé ïëîñêîñòè ñ ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòüþ íàçûâàþò ëèíèåé óçëîâ (ðèñ.14.). Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω óãîë z

O

Ω

M

r β

ϕ

α

y

i K

x Ðèñ. 15. ìåæäó ëèíèåé óçëîâ è îñüþ X, ÷åðåç i - óãîë ìåæäó ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòüþ è ïëîñêîñòüþ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì.  ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñîì r è óãëîì ϕ .  ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ r è ϕ ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

M = mr 2 ϕ& = c2 .

(3.7.44)

Ñðàâíèâàÿ (3.7.44) ñ (3.7.43) ïîëó÷èì

β& 2 + cos2 βα& 2 = ϕ& 2 .

(3.7.45)

Óðàâíåíèå (3.7.40) áóäåò èìåòü âèä

&r& − rϕ& 2 = −

µ2 . r2

(3.7.46)

Ãëàâà

94

òðåòüÿ

Ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé

u=

1 r

(3.7.47)

è ñîîòíîøåíèÿ

r 2 ϕ& =

c2 =c m

(3.7.48 )

óðàâíåíèå (3.7.46) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó

d 2u 1 +u = , 2 p dϕ

(3.7.49)

ãäå

p=

c2 . µ2

(3.7.50)

Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.7.49) áóäåò

u = a cos(ϕ + E ) + ãäå a è

(3.7.51)

E - ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Ó÷èòûâàÿ (3.7.47), ïîëó÷èì

r= ãäå

1 , p

p , 1 + e cos(ϕ + E )

(3.7.52)

e = ap . (3.7.53) Óðàâíåíèå (3.7.52) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ, òî åñòü, òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïîä äåéñòâèåì ñèëû ïðèòÿæåíèÿ Íüþòîíà â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ýêñöåíòðèñèòåòà e áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ýëëèïñ, ïàðàáîëó èëè ãèïåðáîëó.

Ãëàâà IV Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ïðîáëåìàìè ðàçðåøåíèÿ (èíòåãðèðîâàíèÿ) óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ èëè â íåîïðåäåë¸ííûõ èíòåãðàëàõ îò ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, òî åñòü ðàññìîòðèì çàäà÷è ðàçðåøèìûå â êâàäðàòóðàõ.1 Ðàññìîòðèì ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, óðàâíåíèå Ðàóñà è ôóíêöèþ Ðàóñà, à òàê æå ìåòîä ïîíèæåíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ ýíåðãèè. Óðàâíåíèå Óèòòåêåðà.

§4.1. Çàäà÷è, ðàçðåøèìûå â êâàäðàòóðàõ  äâóõ ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïðåäåëåíèå äâèæåíèÿ ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåêîòîðîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíà ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ïîëîæåíèå êîòîðîé â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëåíî íàáîðîì êîîðäèíàò q1 , q2 ,..., qn , à n - ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû.  ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ íàìè óñòàíîâëåíî, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñîñòîèò èç n äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ çàâèñèìûìè2 ïåðåìåííûìè q1 , q2 ,..., qn è ñ íåçàâèñèìûì âðåìåíåì t . Ïîðÿäîê òàêîé ñèñòåìû ðàâåí 2n (ñóììà íàèâûñøèõ ïîðÿäêîâ ïðîèçâîäíûõ îò çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ äàííîé ñèñòåìû). Èç òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ, âõîäÿùèõ â îáùåå ðåøåíèå êàêîé-íèáóäü ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ðàâíî ïîðÿäêó ýòîé ñèñòåìû. Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â êâàäðàòóðàõ ñóùåñòâóåò ëèøü äëÿ î÷åíü íåìíîãèõ òèïîâ óðàâíåíèé. 2 Çäåñü èìååòìñÿ â âèäó çàâèñèìîñòü êîîðäèíàò îò âðåìåíè. 1

96

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ Îáùåå ðåøåíèå ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòå-

ïåíÿìè ñâîáîäû ñîäåðæèò 2n ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ëþáàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé k -ãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó:

dxr = X r (x1 , x2 ,..., xk , t ) , r = 1,2,..., k , dt

(4.1.1)

ãäå X 1 , X 2 ,..., X k - èçâåñòíûå ôóíêöèè èõ àðãóìåíòîâ. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ñíà÷àëà ââåñòè â êà÷åñòâå íîâûõ çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x1 , x 2 ,..., x k ïåðâîíà÷àëüíûå çàâèñèìûå ïåðåìåííûå è èõ ïðîèçâîäíûå äî íàèâûñøåãî ïîðÿäêà, âñòðå÷àþùåãîñÿ â ïåðâîíà÷àëüíîé ñèñòåìå óðàâíåíèé. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ÷åòâ¸ðòîãî ïîðÿäêà

q&&1 = Q1 (q1 , q2 , q&1 , q& 2 ) ,

q&&2 = Q2 (q1 , q2 , q&1 , q& 2 ) ,

(ãäå Q1 è Q2 - ôóíêöèè óêàçàííûõ àðãóìåíòîâ), êîòîðàÿ ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè

x1 = q1 , x 2 = q2 , x3 = q&1 , x 4 = q& 2 ïðèâîäèòñÿ ê âèäó:

x&1 = x3 , x& 2 = x 4 , x& 3 = Q1 (q1 , q2 , q&1 , q& 2 ) , x& 4 = Q2 (q1 , q2 , q&1 , q& 2 ) . Ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (4.1.1) êàê íîðìàëü-

íóþ ôîðìó íåêîòîðîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé k -ãî ïîðÿäêà.

Åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , x 2 ,..., x k , t ) îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì,

÷òî

df = 0 ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî x1 , x 2 ,..., x k ëþáîé ôóíêöèè îò t , dt

óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèÿì (4.1.1), òî óðàâíåíèå

f (x1 , x 2 ,..., x k , t ) = const (4.1.2) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ñèñòåìû. Íàéä¸ì óñëîâèå ïðè êîòîðîì íåêîòîðàÿ çàäàííàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , x 2 ,..., x k , t ) ïðåäñòàâëÿåò èíòåãðàë ñèñòåìû. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî

df =0 dt

97

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

∂f ∂f ∂f x&1 + x& 2 + ... + x& k = 0 ∂x1 ∂x 2 ∂x k

(4.1.3)

èëè â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.1.1)

∂f ∂f ∂f X1 + X 2 + ... + Xk = 0. ∂x1 ∂x 2 ∂x k

(4.1.4)

Åñëè (4.1.4) âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî, òî

f (x1 , x 2 ,..., x k , t ) = const

ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ñèñòåìû (4.1.1). Ïîëíîå ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4.1.1) äà¸òñÿ k èíòåãðàëàìè

f r (x1 , x 2 ,..., x k , t ) = a r ,

(r = 1,2,..., k )

(4.1.5)

ñ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûìè a r , åñëè èíòåãðàëû (4.1.5) íåçàâèñèìû, òî åñòü íè îäèí èç íèõ íå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îñòàëüíûõ. Òàêèì îáðàçîì ðåøåíèå äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ 2n èíòåãðàëîâ íåêîòîðîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé 2n - ãî ïîðÿäêà. Âîçìîæíîñòü èëè íåâîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è â êâàäðàòóðàõ (â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ èëè íåîïðåäåëåííûõ èíòåãðàëàõ îò ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé) öåëèêîì çàâèñèò îò âèäà êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà.  íàñòîÿùåé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ ÷àñòíûå âèäû êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà, ïðè êîòîðûõ äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à ðàçðåøàåòñÿ â êâàäðàòóðàõ.

§4.2. Ñèñòåìû ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, óðàâíåíèÿ Ðàóñà  §3.5. ìû íàøëè ïåðâûé èíòåãðàë óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (3.5.3) êîíñåðâàòèâíîé ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ìîæíî ñðàçó óêàçàòü åù¸ k èíòåãðàëîâ, åñëè ñðåäè êîîðäèíàò, îïèñûâàþùèõ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èìåþòñÿ òàê íàçûâàåìûå öèêëè÷åñêèå êîîðäèíàòû.

Ãëàâà Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ ÷åòâ¸ðòàÿ

98 98 Êîîðäèíàòû

q1 , q2 ,..., qk íàçûâàþòñÿ öèêëè÷åñêèìè, åñëè îíè íå

âõîäèò ÿâíî â ôóíêöèþ Ëàãðàíæà

L , íî ýòà ôóíêöèÿ ñîäåðæèò ÿâíî ñîîòâåòñòâóþùèå ñêîðîñòè q&1 , q& 2 ,..., q& k .  äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî, êîãäà çàäà÷à ðàçðåøèìà â êâàäðàòóðàõ, â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì Ëàãðàíæà (3.4.5)

d  ∂L  dt  ∂q& r

 ∂L  − = 0,  ∂qr

r = 1,2,..., n .

Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ

(3.4.5)

q1 , q2 ,..., qk öèêëè÷åñ-

êèõ êîîðäèíàò, ïðèìåò âèä

d  ∂L  dt  ∂q& r ãäå

  = 0 , 

r = 1,2,..., k ,

(4.2.1)

L = L (q k +1 , q k + 2 ,..., q n ; q&1 , q& 2 ,..., q& n ; t ) . Èíòåãðèðîâàíèå (4.2.1) äà¸ò:

∂L = βr , ∂q& r ãäå

r = 1,2,..., k ,

(4.2.2)

β1 , β 2 ,..., β k ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ îï-

ðåäåëÿþò, î÷åâèäíî, k èíòåãðàëîâ íàøåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïîêàæåì òåïåðü, êàê èñïîëüçóÿ ýòè k èíòåãðàëîâ, ìîæíî ïîíèçèòü ïîðÿäîê ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.1 Ìåòîä Ðàóñà çàêëþ÷àåòñÿ â îäíîâðåìåííîì èñêëþ÷åíèè öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, ïðè ýòîì ÷èñëî óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàòàõ ïîíèæàåòñÿ íà ÷èñëî èñêëþ÷¸ííûõ öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò.

Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé ïðåîáðàçîâàíèé Ãàìèëüòîíà, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì ïîçæå. Îíè áûëè ñàìîñòîÿòåëüíî îòêðûòû Ðàóñîì â 1876 ãîäó è íåñêîëüêî ïîçäíåå Ãåëüìãîëüöåì.

1

99

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà çàâèñèò îò âñåõ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò, îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé è âðåìåíè, òî åñòü

L = L(q1 , q 2 ,..., q n , q&1 , q& 2 ,..., q& n , t ) ; (4.2.3) â ýòîì ñëó÷àå ìû áóäåì èìåòü n óðàâíåíèé Ëàãðàíæà (3.4.5) d  ∂L  dt  ∂q& r

 ∂L  − = 0,  ∂qr

Äëÿ ïðîèçâîäíûõ îò ñòÿì

r = 1,2,..., n .

(3.4.5)

L ïî ïåðâûì k (k ≤ n ) îáîáùåííûì ñêîðî-

q&1 , q& 2 ,..., q& k ââåä¸ì îáîçíà÷åíèå ∂L = pr , ∂q& r

è íàçîâ¸ì ëó÷èì

r = 1,2,..., k

(4.2.6)

p r îáîáù¸ííûìè èìïóëüñàìè. Ïîäñòàâëÿÿ (4.2.6) â (3.4.5) ïî-

∂L = p& r , ∂qr

r = 1,2,..., k .

(4.2.7)

Íàéä¸ì ïîëíûé äèôôåðåíöèàë îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà (4.2.3): n ∂L ∂L ∂L dqr + ∑ dq& r + dt . &r ∂t r =1 ∂qr r =1 ∂q n

dL = ∑

(4.2.8)

ñ ó÷¸òîì (4.2.6) è (4.2.7) ïîëó÷èì k

dL = ∑ p& r dqr + r =1

∂L

n

+

∑ ∂q&

r = k +1

dq& r +

r

n

∂L

∑ ∂q

r = k +1

k

dqr + ∑ p r dq& r + r =1

r

∂L dt . ∂t

(4.2.9)

Òàê êàê k

∑ p dq& r =1

r

r

k

k

r =1

r =1

= d ∑ p r q& r − ∑ q& r dpr ,

(4.2.10)

100

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

òî n k ∂L   k d  L − ∑ p r q& r  = ∑ p& r dqr + ∑ dqr − r = k +1 ∂q r r =1   r =1 k

− ∑ q& r dp r + r =1

n

∂L

∑ ∂q&

r = k +1

r

dq& r +

∂L dt . ∂t

(4.2.11)

Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ, â ëåâîé ÷àñòè (4.2.11) íàçûâàþò ôóíêöèåé Ðàóñà k

R = L − ∑ p r q& r .

(4.2.12)

r =1

Ñîñòàâèì ïîëíûé äèôôåðåíöèàë îò ôóíêöèè Ðàóñà n k ∂R ∂R ∂R dR = ∑ dqr + ∑ dqr + ∑ dq& + &r r r =1 ∂q r r = k +1 ∂q r r =1 ∂q k

+

k ∂R ∂R ∂R & d q dpr + dt . + ∑ ∑ r &r ∂t r = k +1 ∂q r =1 ∂p r n

(4.2.13)

ñðàâíèâàÿ ìåæäó ñîáîé âûðàæåíèÿ (4.2.11) è (4.2.13) ñ ó÷¸òîì îáîçíà÷åíèé (4.2.12), ïîëó÷èì

∂R ∂R ∂R = p& r , = 0, = − q& r , ∂q& r ∂pr ∂q r

(r = 1,2,..., k ) .

(4.2.14)

è

∂R ∂L ∂R ∂L = = , , (r = k + 1, k + 2,..., n ) . ∂qr ∂qr ∂q& r ∂q& r

(4.2.15)

Êðîìå òîãî

∂R ∂L = . ∂t ∂t Èç óñëîâèÿ

(4.2.16)

101

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

∂R =0, ∂q& r

(r = 1,2,..., k )

(4.2.17)

ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ Ðàóñà îò ïåðâûõ k îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé íå çàâèñèò. Çàïèøåì òåïåðü óðàâíåíèå Ëàãðàíæà (3.4.5) ñ ó÷¸òîì (4.2.15), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì

d  ∂R  dt  ∂q& r

 ∂R  − = 0,  ∂qr

(r = k + 1, k + 2,..., n )

(4.2.18)

è

q& r = −

∂R ∂R &r = , p ∂pr ∂qr

(r = 1,2,..., k ) .

(4.2.19)

Çäåñü

R åñòü ôóíêöèÿ òîëüêî ïåðåìåííûõ qk +1 , qk + 2 ,..., qn , q& k +1 , q& k + 2 ,..., q& n è ïîñòîÿííûõ β1 , β 2 ,..., β k â ñîîòâåò-

ñòâèè ñ (4.2.2). Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè íîâóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, êîòîðóþ ìîæíî îòíåñòè ê íåêîòîðîé íîâîé äèíàìè÷åñêîé çàäà÷å ñ n − k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Íîâûìè êîîðäèíàòàìè áóäóò ñëóæèòü âåëè÷èíû qk +1 , qk + 2 ,..., qn , à íîâûì êèíåòè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì – âåëè÷èíà R . Åñëè ïîñëå ðåøåíèÿ íîâîé äèíàìè÷åñêîé çàäà÷è ïåðåìåííûå qk +1 , qk + 2 ,..., qn áóäóò îïðåäåëåíû êàê ôóíêöèè âðåìåíè, òî îñòàëüíûå ïåðåìåííûå q1 , q2 ,..., qk ìîæíî áóäåò íàéòè èç óðàâíåíèé:

qr = − ∫

∂R dt , ∂pr

(r = 1,2,..., k ) .

(4.2.20)

(r = 1,2,..., k ) .

(4.2.21)

à ñ ó÷¸òîì (4.2.2)

qr = − ∫

∂R dt , ∂β r

Òàêèì îáðàçîì äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è ñ k öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê äèíàìè÷åñêîé çàäà÷å ñ n − k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.

102

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

§4.3. Èíòåãðàëû êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ  ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì äâà òèïà öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò, êîòîðûå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷àõ. Ýòè âîïðîñû, íî ñ äðóãîé òî÷êè çðåíèÿ, ìû ðàññìàòðèâàëè âî âòîðîé ãëàâå. 1. Ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ èíòåãðàëîì êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ïóñòü

q1 , q2 ,..., qn êîîðäèíàòû íåêîòîðîé êîíñåðâàòèâíîé ãîëî-

íîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, à å¸ êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òàêîé ñèñòåìû áóäóò èìåòü âèä

d  ∂T  dt  ∂q& r

 ∂T ∂V  − =− ∂qr  ∂qr

,

(r = 1,2,..., n ) .

T èV -

(4.3.1)

Ïóñòü îäíà èç êîîðäèíàò, íàïðèìåð q1 , ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé è ÷òî îíà, êðîìå òîãî, îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî èçìåíåíèå å¸ íà âåëè÷èíó l , ïðè ñîõðàíåíèè çíà÷åíèé îñòàëüíûõ êîîðäèíàò

q2 , q3 ,..., qn ,

ñîîòâåòñòâóåò ïîñòóïàòåëüíîìó ïåðåìåùåíèþ âñåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íà îòðåçîê l ïî êàêîìó-íèáóäü îïðåäåë¸ííîìó íàïðàâëåíèþ. Ïðèìåì ýòî íàïðàâëåíèå çà îñü x íåêîòîðîé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòà òåãðàë:

q1 öèêëè÷åñêàÿ, ìû ìîæåì íàïèñàòü èí-

∂T = const . ∂q&1

(4.3.2)

Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ýòîãî èíòåãðàëà. Òàê êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â äàííîì ñëó÷àå åñòü

T= òî

1 n mr (x& r2 + y& r2 + z&r2 ), ∑ 2 r =1

(4.3.3)

103

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

∂T 1 ∂ = ∂q&1 2 ∂q&1

∑ m (x& n

r =1

r

2 r

+ y& r2 + z&r2 ),

(4.3.4)

èëè ñ ó÷¸òîì (3.1.3) n  ∂x& ∂T ∂y& ∂z&  = ∑ mr  x& r r + y& r r + z& r r  = ∂q&1 r =1  ∂q&1 ∂q&1 ∂q&1  n  ∂x ∂y ∂z  n = ∑ mr  x& r r + y& r r + z& r  = ∑ mr x& r , ∂q1 ∂q1  r =1 r =1  ∂q1

òàê êàê â íàøåì ñëó÷àå

(4.3.5)

dx r = dqr è

∂x r ∂y r ∂z r = 1, = 0, = 0. ∂q1 ∂q1 ∂q1

(4.3.6)

Èç §2.2. èçâåñòíî, ÷òî âåëè÷èíà ∑ m r x& r åñòü ñîñòàâëÿþùàÿ ïî îñè x êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ìû ìîæåì, ïî-

ýòîìó óðàâíåíèå (4.3.2) èñòîëêîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Åñëè ñâÿçè äîïóñêàþò ïîñòóïàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êàê òâ¸ðäîãî òåëà â êàêîì-íèáóäü îïðåäåë¸ííîì íàïðàâëåíèè è åñëè ïðè ýòîì ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû íå èçìåíÿåòñÿ1, òî ñîñòàâëÿþùàÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ïî ýòîìó íàïðàâëåíèþ åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ. Ýòà òåîðåìà íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ñîõðàíåíèè êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ïðî ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ îíà ñïðàâåäëèâà, ãîâîðÿò, ÷òî îíè äîïóñêàþò èíòåãðàë êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. 2. Ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ èíòåãðàëîì ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ñíîâà âûáåðåì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè q1 , q2 ,..., qn ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé T è ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé V . Äîïóñòèì, ÷òî êîîðäèíàòà q1 - öèêëè÷åñêàÿ è îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî èçìåíåíèþ å¸ íà âåëè÷èíó α , ïðè ñîõðàíåíèè çíà÷åíèé îñòàëüíûõ êîîðäèíàò, ñîîòâåòñòâóåò âðàùåíèþ âñåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íà Ïîñòóïàòåëüíîå ïåðåìåùåíèå íå îòðàæàåòñÿ íà çàâèñèìîñòè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îò ñêîðîñòåé è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîîðäèíàòà ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé. 1

104

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

óãîë α âîêðóã íåêîòîðîé íåïîäâèæíîé â ïðîñòðàíñòâå ïðÿìîé. Ïîñêîëüêó

q1 - öèêëè÷åñêàÿ êîîðäèíàòà, ìû ìîæåì íàïèñàòü

∂T = const . ∂q&1

(4.3.2)

Äàäèì ñíîâà ôèçè÷åñêîå òîëêîâàíèå èíòåãðàëà (4.3.2). Êàê è â ïåðâîì ñëó÷àå ìîæåì íàïèñàòü

T=

1 n mr (x& r2 + y& r2 + z&r2 ), ∑ 2 r =1

(4.3.3)

è

∂T 1 ∂ = ∂q&1 2 ∂q&1

∑ m (x& n

r =1

r

2 r

+ y& r2 + z&r2 ).

Ñ ó÷¸òîì (4.3.5) n  ∂x ∂T ∂y ∂z  = ∑ mr  x& r r + y& r r + z& r  . ∂q&1 r =1  ∂q1 ∂q1 ∂q1 

(4.3.4)

Ïîëàãàÿ

x r = rr cos ϕ r ,

y r = rr sin ϕ r ,

(4.3.5)

áóäåì èìåòü:

dϕ r = dq1 ,

(4.3.6)

òàê ÷òî

 ∂x r ∂x r ≡ = − rr sin ϕ r = − y r  ∂q1 ∂ϕ r   ∂y r ∂y r ≡ = rr cos ϕ r = x r  . ∂q1 ∂ϕ r   ∂z r =0  ∂q1 

(4.3.7)

105

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ Òåïåðü (4.3.4) ìîæíî çàïèñàòü òàê n ∂T = ∑ mr (− x& r y r + y& r x r ) . ∂q&1 r =1

(4.3.8)

Ñðàâíèâàÿ (4.3.8) ñ (2.3.4), ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (4.3.8) âûðàæàåò òåîðåìó î ñîõðàíåíèè ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Åñëè ñâÿçè äîïóñêàþò âðàùåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êàê òâ¸ðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îñè è åñëè ïðè ýòîì ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå èçìåíÿåòñÿ, òî ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ.

§4.4. Óðàâíåíèå ýíåðãèè Ñäåëàåì âûâîä èíòåãðàëà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, èãðàþùåãî î÷åíü âàæíóþ ðîëü âî âñåõ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷àõ è â ôèçèêå âîîáùå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì äàíà êîíñåðâàòèâíàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè

q1 , q2 ,..., qn è ñ êèíåòè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì

L íå çàâèñÿùèìè îò âðåìåíè. Ñëåäîâàòåëüíî, êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë L íå ñîäåðæèò ÿâíî âðåìÿ t , à çàâèñèò òîëüêî îò ïåðåìåííûõ q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q& 2 ,..., q& n . Ïðîäèôôåðåíöèðóåì êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë

L ïî âðåìåíè n n dL ∂L ∂L q&&r + ∑ q& r = =∑ dt r =1 ∂q& r r =1 ∂q r n

= ∑ q&&r r =1

n d  ∂L ∂L + ∑ q& r  ∂q& r r =1 dt  ∂q& r

 d n ∂L  = ∑ q& r .  dt r =1 ∂q& r

(4.4.1)

Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì Ëàãðàíæà (3.4.5)

d  ∂L ∂L =  ∂qr dt  ∂q& r

  . 

Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (4.4.1) ïîëó÷èì:

106

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ n

∑ q& r =1

r

∂L − L = h, ∂q& r

(4.4.2)

ãäå h - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Óðàâíåíèå (4.4.2) ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì ýíåðãèè èëè çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.  §3.4. ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äëÿ íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ñâÿçè êîòîðûõ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, êèíåòè÷åñêèé ïîòåí-

L ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê L = T − V , ãäå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîðîäíóþ ôóíêöèþ âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî ñêîðîñòåé, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ V çàâèñèò òîëüêî îò

öèàë

êîîðäèíàò. Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî èíòåãðàë ýíåðãèè (4.4.2) ïðèìåò n

âèä:

h = ∑ q& r r =1

n ∂L ∂L − L = ∑ q& r − T + V = 2T − T + V = T + V , ∂q& r ∂q& r r =1

èëè (4.4.3) h = T +V . Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (4.4.3) ìû ó÷ëè, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ

T åñòü îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé è äëÿ íàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèåì (3.5.4) n

∑ q& r =1

r

∂L = 2T . ∂q& r

(3.5.4)

Ôèçè÷åñêèé ñìûñë óðàâíåíèÿ (4.4.3) çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì:  êîíñåðâàòèâíûõ íàòóðàëüíûõ ñèñòåìàõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñóììà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ. Ýòî ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Çàìå÷àíèå. Äâà ïîñëåäíèõ ïàðàãðàôà ïîçâîëÿþò íàì ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: Öèêëè÷åñêèé õàðàêòåð êîîðäèíàòû ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êàê öåëîãî, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîé êîîðäèíàòå, êîòîðîå íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ íà äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñèñòåìà äèôôå-

107

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (å¸ Ëàãðàíæèàí) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ, õàðàêòåðèçóþùåãî «öèêëè÷åñêîå» äâèæåíèå, òî åñòü óñòàíàâëèâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííàÿ ñâÿçü ìåæäó ñèììåòðèÿìè òèïà îäíîðîäíîñòè è èçîòðîïíîñòè ïðîñòðàíñòâà è îäíîðîäíîñòè âðåìåíè ñ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ìîìåíòà èìïóëüñà è ýíåðãèè. Õàðàêòåð öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòû (òðàíñëÿöèîííûé èëè âðàùàòåëüíûé) óêàçûâàåò íà òèï ñîõðàíÿþùåéñÿ âåëè÷èíû (èìïóëüñ èëè ìîìåíò èìïóëüñà). Ðàññìàòðèâàÿ â êà÷åñòâå öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòû âðåìÿ (âðåìÿ èìååò òðàíñëÿöèîííûé õàðàêòåð), ìû ïîëó÷èì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, óñòàíîâèâ, òàêèì îáðàçîì, ñâÿçü ìåæäó ñèììåòðèåé òèïà îäíîðîäíîñòè âðåìåíè ñ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè.

§4.5. Óìåíüøåíèå ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè ïîìîùè óðàâíåíèÿ ýíåðãèè. Ìåòîä Óèòòåêåðà Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èìååò âñåãî ëèøü îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû, òî íà îñíîâàíèè óðàâíåíèÿ ýíåðãèè å¸ äâèæåíèå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ïðè ïîìîùè êâàäðàòóð. Ïóñòü q åñòü îáîáù¸ííàÿ êîîðäèíàòà òàêîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òîãäà èíòåãðàë ýíåðãèè

q&

∂L −L=h ∂q&

óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó

(4.5.1)

q è q& . Ïóñòü ýòà ñâÿçü èìååò âèä

q& = f (q ) ,

(4.5.2)

òîãäà èíòåãðèðîâàíèå (4.5.2) äà¸ò ðåøåíèå çàäà÷è â âèäå:

t=∫

dq + const . f (q )

(4.5.3)

Åñëè ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áîëüøå åäèíèöû, òî îäíîãî óðàâíåíèÿ ýíåðãèè óæå íåäîñòàòî÷íî äëÿ å¸ ðàçðåøåíèÿ. Íî èíòåãðàë ýíåðãèè, òàê æå êàê èíòåãðàëû, ñîîòâåòñòâóþùèå öèêëè÷åñêèì êîîðäèíàòàì, ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ óìåíüøåíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.

108

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ Ïóñòü

L = L(q1 , q 2 ,..., q n , q&1 , q& 2 ,..., q& n ) .

Çàìåíèì

â

(4.5.4)

âåëè÷èíû

(4.5.4)

q& 2 , q& 3 ,..., q& n

âåëè÷èíàìè

q&1 q 2′ , q&1 q3′ ,..., q&1q ′n , ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.1.3) qr′ =

dqr q& r dqr′ q& = , = − r2 , dq1 q&1 dq&1 q&1

q& r =

dqr dqr dq1 = = q&1qr′ , dt dq1 dt

(4.5.5)

à

(r = 2,3,..., n ) .

(4.5.6)

è ïîëó÷åííóþ â ðåçóëüòàòå ôóíêöèþ îáîçíà÷èì

W = W (q&1 , q ′2 ,..., q n′ ) .

(4.5.7)

Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî

L(q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q& 2 ,..., q& n ) = W (q&1 , q2′ ,..., qn′ ),

(4.5.8)

ñ ó÷¸òîì (4.5.5), ïîëó÷èì: n n ∂W q& r ∂W ∂qr′ ∂W ∂L ∂W , = −∑ = +∑ ∂q&1 ∂q&1 r = 2 ∂qr′ ∂q&1 ∂q&1 r = 2 ∂qr′ q&12

(4.5.9)

∂L ∂W ∂qr′ 1 ∂W = = , ∂q& r ∂qr′ ∂q& r q&1 ∂qr′

(4.5.10)

∂L ∂W , = ∂q r ∂q r

(r = 2,3,..., n ) ,

(r = 2 ,3,..., n ) .

(4.5.11)

Èç óðàâíåíèé (4.5.9) ñëåäóåò: n ∂W ∂L ∂W q& r . = +∑ ∂q&1 ∂q&1 r =2 ∂q ′r q&12

Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (4.5.10), ïîëó÷èì

(4.5.12)

109

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ n n ∂W ∂L ∂L q& r ∂L q& m , = +∑ =∑ ∂q&1 ∂q&1 r =2 ∂q& r q&1 m =1 ∂q& m q&1

(4.5.13)

îòêóäà

∂L

n

∑ ∂q& m =1

q& m =

m

∂W q&1 . ∂q&1

(4.5.14)

Ìû èñïîëüçîâàëè íîâûé èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ áû âíåñòè äðîáü

m äëÿ òîãî, ÷òî-

∂L ïîä çíàê ñóììû. Ïðè ýòîì èíäåêñ r = 2,3,..., n , à ∂q&1

èíäåêñ m = 1,2,..., n . Âåðí¸ìñÿ âíîâü ê îáîáù¸ííîìó èíòåãðàëó ýíåðãèè n

∑ q& r =1

r

∂L − L = h, ∂q& r

(4.4.2)

ñ ó÷¸òîì (4.5.14) åãî ìîæíî çàïèñàòü

q&1

∂W −L = h, ∂q&1

(4.5.15)

èëè, â ñèëó (4.5.8),

q&1

∂W −W = h . ∂q&1

(4.5.16)

Ðåøàÿ (4.5.16), íàéä¸ì

q&1 = f (qm , qr′ ) ,

(m = 1,2,..., n; r = 2,3,..., n ) .

Åñëè òåïåðü ïîäñòàâèòü íàéäåííîå çíà÷åíèå

q&1 â

(4.5.17)

∂W , ìû ïîëó∂ q& 1

÷èì íîâóþ ôóíêöèþ

L′(qm , qr′ ) =

∂W , ∂q&1

(4.5.18)

êîòîðóþ â äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèåé Óèòòåêåðà. Ïîäñòà-

110

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

âèâ íàéäåííîå èç (4.5.16) çíà÷åíèå

q&1 ñíîâà â (4.5.16), ìû ïîëó÷èì òîæ-

äåñòâî. Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî òîæäåñòâî ïî q r′ , ïîëó÷èì

 ∂ 2W ∂q&1 ∂W ∂ 2W ∂q&1  ∂W ∂W ∂q&1  − + q&1  + − = 0, 2 ∂qr′ ∂q&1  ∂q&1∂qr′ ∂q&1 ∂qr′  ∂qr′ ∂q&1 ∂qr′ èëè

 ∂ 2W ∂W ∂ 2W ∂q&1   . = q&1  + 2 ∂qr′  ∂q&1∂qr′ ∂q&1 ∂qr′ 

(4.5.19)

Òåïåðü ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïîëó÷åííîå íàìè òîæäåñòâî ïî

 ∂ 2W ∂q&1 ∂W ∂ 2W ∂q&1 + q&1  + 2 ∂qm ∂q&1  ∂q&1∂qm ∂q&1 ∂qm

qm

 ∂W ∂W ∂q&1  − − = 0,  ∂qm ∂q&1 ∂qm

èëè

 ∂ 2W ∂W ∂ 2W ∂q&1 = q&1  + 2 ∂qm  ∂q&1∂qm ∂q&1 ∂qm Äèôôåðåíöèðóÿ (4.5.18) ïî

  . 

(4.5.20)

qr′ , ïîëó÷èì

∂L′ ∂ 2W ∂ 2W ∂q&1 = + , ∂qr′ ∂q&1∂qr′ ∂q&12 ∂qr′ èëè ñ ó÷¸òîì (4.5.19)

∂W ∂L′ , = q&1 ∂qr′ ∂qr′

(r = 1,2,..., n ) .

Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (4.5.18) ïî

qm

∂L′ ∂ 2W ∂ 2W ∂q&1 . = + ∂qm ∂q&1∂qm ∂q&12 ∂qm Ïîñëå ñðàâíåíèÿ ñ (4.5.20), ïîëó÷èì

(4.5.21)

111

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

∂W ∂L′ = q&1 , ∂qm ∂qm

(m = 2,3,..., n ) .

(4.5.22)

Ñðàâíèì òåïåðü ñîîòíîøåíèÿ (4.5.10) è (4.5.11) ñ ñîîòíîøåíèÿìè (4.5.21) è (4.5.22), ïîëó÷èì

∂L′ ∂L = , ∂qr′ ∂q& r

(r = 2,3,..., n ),

∂L′ 1 ∂L = , ∂qm q&1 ∂qm

(m = 1,2,..., n ).

(4.5.23)

(4.5.24)

Âîçüì¸ì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà

d  ∂L  dt  ∂q& m

 ∂L  − = 0,  ∂qm

m = 1,2,..., n

(3.4.5)

è ïåðåïèøåì åãî ó÷èòûâàÿ (4.5.22) è (4.5.23)

∂L′ d  ∂L′    − q&1 = 0, dt  ∂qr′  ∂qr Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî

d dq1

 ∂L′  ∂L′   − = 0,  ∂qr′  ∂qr

(r = 2,3,..., n ) . q&1 =

dq1 , ìîæåì çàïèñàòü dt

(r = 2,3,..., n ) .

(4.5.25)

Óðàâíåíèÿ (4.5.25) áóäåì â äàëüíåéøåì íàçûâàòü óðàâíåíèÿìè Óèòòåêåðà. Ýòè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ðàññìàòðèâàåìû êàê óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íåêîòîðîé íîâîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èìåþùåé êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë

L′ è êîîðäèíàòû q2 , q3 ,..., qn , è â êîòîðîé

ðîëü âðåìåíè èãðàåò íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ q1 . Íà îñíîâàíèè (4.5.14) ôóíêöèþ Óèòòåêåðà (4.5.18) ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå

112

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

∂L q& m . & m q&1 m =1 ∂q n

L′ = ∑

(4.5.25)*

 îáùåì ñëó÷àå ýòà ñèñòåìà, òàê æå êàê è ñèñòåìû, ïîëó÷àþùèåñÿ îò ïðèâåäåíèÿ ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, íå áóäåò íàòóðàëüíîé. Íî òàê êàê óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èìåþò ôîðìó óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, òî áîëüøèíñòâî ïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì áóäåò ñïðàâåäëèâî òàê æå è äëÿ íå¸. Èíòåãðàë ýíåðãèè äà¸ò, òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíîñòü ïðèâåñòè äàííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ê íåêîòîðîé äðóãîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ

n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.

 îáùåì ñëó÷àå íîâàÿ ñèñòåìà íå äîïóñêàåò èíòåãðàëà ýíåðãèè, òàê

êàê íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ êèé ïîòåíöèàë

q1 ìîæåò âîéòè ÿâíî â íîâûé êèíåòè÷åñ-

L′ . Íî åñëè äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàòà

q1 ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé öèêëè÷åñêîé, òî îíà íå âîéä¸ò ÿâíî íè â îäíî èç äåéñòâèé âûøåèçëîæåííîãî ïðîöåññà ïðèâåäåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, íå âîéä¸ò òàêæå è â

L′ . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå è íîâàÿ ñèñ∂L′

n

òåìà äîïóñêàåò èíòåãðàë ýíåðãèè

∑ q′ ∂q′ − L′ = const , ÷òî ìîæíî r =2

r

r

èñïîëüçîâàòü äëÿ äàëüíåéøåãî ïîíèæåíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû.  ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì ëþáàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ

n ñòåïåíÿìè è ñ n − 1 öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè ìîæåò áûòü ïîëíîñòüþ ðàçðåøåíà â êâàäðàòóðàõ. Äëÿ ýòîãî íóæíî ñíà÷àëà, ïîëüçóÿñü öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, ïðèâåñòè ñèñòåìó ê ñèñòåìå ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, êîòîðàÿ äîïóñêàåò èíòåãðàë ýíåðãèè è ïîýòîìó ìîæåò áûòü ðàçðåøåíà ñïîñîáîì, óêàçàííûì â íà÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà. Ìîæíî ïîñòóïèòü ïî äðóãîìó. Ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà ýíåðãèè ïîíèçèòü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû íà åäèíèöó, ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà ýíåðãèè íîâîé ñèñòåìû åù¸ íà åäèíèöó è òàê äàëåå, ïîêà íå ïðèä¸ì ê ñèñòåìå ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, ðåøåíèå êîòîðîé ìîæåò áûòü îïÿòü íàéäåíî âûøåóêàçàííûì ñïîñîáîì.

113

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

Ðåøèì çàäà÷ó î äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ðàóñà è óðàâíåíèÿ Óèòòåêåðà. Çàäà÷à 23. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà À ìàññû m ïðèòÿãèâàåòñÿ ê «íåïîäâèæíîìó» öåíòðó ïî çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

f (q, q& , t ) m

Íàéòè Äàíî

Ðåøåíèå çàäà÷è.

Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â «íåïîäâèæíîì» öåíòðå. Äàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì çàäà÷è ¹22, åñëè Çåìëþ ïðèíÿòü çà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó ðàñïîëîæåííóþ â «íåïîäâèæíîì» öåíòðå.  ñîîòâåòñòâèè ñ çàäà÷åé ¹12, ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À áóäåò âïîëíå îïðåäåëÿòüñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì r è ïîëÿðíûì óãëîì ϕ . Ïóñòü

q1 = r , à q2 = ϕ .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x = r äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

T =

cos ϕ , y = r sin ϕ , íàïèøåì âûðàæåíèå

1 1 m (x& 2 + y& 2 ) = (r& 2 + r 2ϕ& 2 ). 2 2

(4.5.26)

Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ çàäàäèì ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

k2 V =− , r ãäå

(4.5.27)

k 2 - ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.

Êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë áóäåò èìåòü âèä

L=

k2 1 m(r& 2 + r 2ϕ& 2 ) + . r 2

(4.5.28)

114

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ 1. Ðåøåíèå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ðàóñà.

Òàê êàê êîîðäèíàòà ϕ ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé, ìû ìîæåì â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.2.2) è (4.2.6) íàïèñàòü âûðàæåíèå

∂L = mr 2ϕ& = pϕ = p = const , ∂ϕ&

(4.5.29)

ÿâëÿþùååñÿ (ñì. (2.3.5)) èíòåãðàëîì ïëîùàäåé. Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ðàóñà (4.2.12) n

R = L − ∑ p r q& r = r =1

k2 1 m(r& 2 + r 2ϕ& 2 ) + − pϕ& . r 2

(4.5.30)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.5.29)

ϕ& =

p , mr 2

(4.5.31)

ïîëó÷èì äëÿ ôóíêöèè Ðàóñà

R=

p2 k2 1 2 + mr& − . r 2 2mr 2

(4.5.32)

Íàéä¸ì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ðàóñà

∂R = mr& , ∂r&

∂R p2 k 2 = − . ∂r mr 3 r 2

(4.5.33)

Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Ðàóñà (4.2.18)

d p2 k 2 & (mr ) − 3 + 2 = 0 , dt mr r èëè

m&r& −

p2 k 2 + = 0. mr 3 r 2

(4.5.34)

Èç óðàâíåíèÿ (4.5.34) ìîæíî îïðåäåëèòü Äëÿ ýòîãî íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàìåíîé

r êàê ôóíêöèþ âðåìåíè.

r=

1 è ñ ó÷¸òîì (4.5.31) u

115

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèâåñòè óðàâíåíèå (4.5.34) ê âèäó (ñìîòðè çàäà÷ó ¹23)

d 2u 1 + u = = const , 2 dϕ c îòêóäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.7.51) è (3.7.52)

u = a cos(ϕ + ε ) +

1 , c

r=

c . 1 + e cos(ϕ + ε )

Òàê êàê

p ∂R = − 2 = −ϕ& , mr ∂p ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî

dϕ =

p dt , mr 2

èëè

p dt , mr 2 êóäà âìåñòî r íàäî âñòàâèòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.5.34).

ϕ=∫

(4.5.35)

Ìîæíî äîñòè÷ü ðåçóëüòàòà è äðóãèì ñïîñîáîì. Çàìåòèì, ÷òî

&r& =

dr& dr& = r& . dt dr

(4.5.36)

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (4.5.34) ñ ó÷¸òîì (4.5.36), ïîëó÷èì

 p2 k 2  mr&dr& =  3 − 2 dr , r   mr êîòîðîå ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ïðèìåò âèä

p2 k2 1 2 mr& = − + + h′ , r 2 2mr 2 ãäå h ′ - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.

(4.5.37)

116

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

Ïîêàæåì, ÷òî (4.5.37) åñòü èíòåãðàë ýíåðãèè. Òàê êàê äàííàÿ â çàäà÷å ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, ìû ìîæåì äëÿ íå¸ íàïèñàòü T + V = h , èëè

k2 1 m(r& 2 + r 2ϕ& 2 ) − = h. r 2

(4.5.38)

Ñ ó÷¸òîì (4.5.31), ïîëó÷èì

p2 k2 1 2 mr& + − = h. r 2 2mr 2

(4.5.39)

Èç (4.5.37) è (4.5.39) ñëåäóåò, ÷òî h ′ = h . Ðàññìîòðèì äâèæåíèÿ, íå óõîäÿùèå â áåñêîíå÷íîñòü. Äëÿ òàêèõ äâèæåíèé â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.5.39), h < 0 . Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèå

dr = dt

h = − β 2 . Ïðåîáðàçóåì (4.5.37) ê âèäó

 p2 k2 2  − + − β 2  , 2 m  2mr r 

èëè

2 dt = m

dr p2 k2 − + −β2 r 2mr 2

.

(4.5.40)

Ñäåëàåì åù¸ íåñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.

dr 2

=

2

p k − + − β2 2 r 2mr =

ardr β b − (a − r )

2

rdr 2

k p2 β 2 r− − r2 2 β 2mβ

=

117

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ ãäå

a=

k2 p2 k4 b = − + , . 2β 2 2mβ 2 4β 4

Ïîëàãàÿ äàëåå

rdr

µdt = Ïóñòü ãèè), òîãäà

β 2 , çàïèøåì (4.5.40) â âèäå a m

µ=

b − (a − r )

2

.

a − r = b cos E , ( E íå èìååò íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ýíåð-

µdt = ∫ (1 − e cos E )dE , ãäå

µ ∫ dt = t0

ãäå

(4.5.42)

b . Ïîëàãàÿ, ÷òî ïðè t = t 0 , E = E 0 , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì a

e= t

èëè

(4.5.41)

E

∫ (1 − e cos E )dE ,

E0

µ(t − t 0 ) = E − E 0 − e(sin E − sin E 0 ), E = arccos

(4.5.43)

a−r . ae

Óðàâíåíèå (4.5.43) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Êåïëåðà. 2. Ðåøåíèå çàäà÷è ìåòîäîì Óèòòåêåðà. Âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì äëÿ êèíåòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà

L=

1 m (r& 2 + r 2ϕ& 2 ) − V . 2

(4.5.28)

118

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

ãäå V

=−

k2 . r

Ïðèìåì çà íîâóþ ïåðåìåííóþ

r& =

ϕ , òîãäà

dr dr = ϕ& = r ′ϕ& . dt dϕ

(4.5.44)

 ñîîòâåòñòâèè ñ (4.5.8) ïîëó÷èì

W =

1 mϕ& 2 (r ′2 + r 2 ) − V . 2

(4.5.45)

Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (4.5.16) äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ ïðèìåò âèä èíòåãðàëà ýíåðãèè

1 mϕ& 2 (r ′2 + r 2 ) + V = h . 2

(4.5.46)

Îòêóäà ïîëó÷èì

ϕ& =

2(h − V ) . m (r ′2 + r 2 )

(4.5.47)

Èñïîëüçóÿ (4.5.25)* è (4.5.44), ñîñòàâèì ôóíêöèþ Óèòòåêåðà.

L′ =

∂L ∂L r& + = mϕ& (r ′2 + r 2 ). ∂ϕ& ∂r& ϕ&

Ïîäñòàâèì â ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå

(4.5.48)

ϕ& èç (4.5.47), ïîëó÷èì

L′ = 2m(h − V )(r ′2 + r 2 ) .

(4.5.49)

Ñîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.5.25) óðàâíåíèå Óèòòåêåðà

d  ∂L′  ∂L′ = 0, −  dϕ  ∂r ′  ∂r äëÿ ÷åãî ïðåäâàðèòåëüíî ïîëó÷èì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò

(4.5.50)

L′ .

119

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

∂L′ r′ h − V = 2m , ∂r ′ r ′2 + r 2 ∂L′ = 2m ∂r

d dϕ

−

(*)

∂V 2 ( r ′ + r 2 ) + 2r (h − V ) ∂r , 2 (h − V )(r ′2 + r 2 )

 ∂L′    = 2m  ∂r ′ 

∂V 2 2 r ′ (r ′ + r 2 ) ∂r . (h − V )(r ′2 + r 2 )

2(h − V )(r 2 r ′′ − rr ′2 ) − 2(r ′2 + r 2 )

Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé â (4.5.50), ïîëó÷èì

∂V 2 2 r (r ′ + r 2 ) + 2r (h − V )(rr ′′ − 2r ′2 − r 2 ) = 0 . ∂r

(4.5.51)

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïðè å¸ äâèæåíèè â öåíòðàëüíîì ïîëå. Îáùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ áóäåò çàâèñåòü îò ïîñòîÿííîé h è ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ

c1 è c2 , òî åñòü r = r (ϕ , h, c1 , c2 ) . Âîñïîëü-

çóåìñÿ, êàê ìû ýòî óæå äåëàëè ðàíåå, çàìåíîé

r′ = −

r=

1 â (4.5.51): u

− u ′′u + 2u ′2 u′ ′ ′ , r − , u2 u3

∂V ∂V ∂V ∂u = = −u 2 . ∂r ∂u ∂r ∂u Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ â (4.5.51), ïîëó÷èì ñíîâà óðàâíåíèå Óèòòåêåðà â íîâûõ ïåðåìåííûõ

∂V 2 ( u ′ + u 2 ) + 2(h − V )(u ′′ + u ) = 0 . ∂u

(4.5.52)

Òåïåðü ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå. Íî ìîæ-

120

Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

íî, ïîëüçóÿñü òåì îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî êîîðäèíàòà ϕ â ôóíêöèþ Óèòòåêåðà íå âõîäèò, ñîñòàâèòü «íîâûé» îáîáù¸ííûé èíòåãðàë ýíåðãèè.  ñîîòâåòñòâèè ñ (3.5.3) ïîëó÷èì

∂L′ − L′ = h ′ . (4.5.53) ∂r ′ Íàéä¸ì L′ , èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííîå ðàíåå âûðàæåíèå (*) r′

L′ = 2m(h − V )(r ′2 + r 2 )

è ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå ñ ó÷¸òîì (*) â (4.5.53):

2m

r ′2 h − V r′ + r 2

2

− 2m(h − V )(r ′2 + r 2 ) = h ′ ,

èëè

− r 2 2m(h − V ) = h ′ r ′2 + r 2 .

(4.5.54)

Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë íîâîãî îáîáù¸ííîãî èíòåãðàëà ýíåðãèè. Òàê êàê h − V = T , à

T=

1 1 m(r& 2 + r 2ϕ& 2 ) = mϕ& 2 (r ′2 + r 2 ), 2 2

âûðàæåíèå (4.5.54) ïðèìåò âèä

− mr 2ϕ& = h ′ ,

(4.5.55) òî åñòü âûðàæåíèå (4.5.54) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåãðàë ïëîùàäåé. Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèå ÷èì

c=−

h′ è, âîçâîäÿ (4.5.54) â êâàäðàò, ïîëó2

2c 2 (r ′2 + r 2 ) = mr 4 (h − V ) . Ââåä¸ì óæå çíàêîìóþ íàì çàìåíó ïåðåìåííîé

(4.5.56) ïðèìåò âèä

(4.5.56)

r=

1 , òîãäà u

121

Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ

  1  2c 2 (u ′2 + u 2 ) = m h − V    .  u  

(4.5.57)

Ìû ïîëó÷èëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, êîòîðîå ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòóðàì. Äèôôåðåíöèðóÿ (4.5.57) ïî ϕ , ïîëó÷èì

4c 2 (u ′′ + u ) = − m

∂V , ∂u

(4.5.58)

èçâåñòíîå â ìàòåìàòèêå êàê óðàâíåíèå Áèíý.  íà÷àëå ðåøåíèÿ çàäà÷è ìû îïðåäåëèëè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ êàê

V =−

k2 = −k 2 u , r

ñ ó÷¸òîì ÷åãî (4.5.58) ïðèìåò âèä

4c 2 (u ′′ + u ) = mk 2 .

Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå

u ′′ + u =

p=

4c 2 , ïîëó÷èì mk 2

1 . p

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðèâåäåíî â çàäà÷å ¹22.

(4.5.59)

Ãëàâà V Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà Óðàâíåíèÿ Íüþòîíà â åãî ñîáñòâåííîé ôîðìóëèðîâêå ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ïåðâîãî ïîðÿäêà

r r p& = F îòíîñèòåëü-

íî èìïóëüñà, êàê îñíîâíîé âåëè÷èíû íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêè. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàò è íå ñîäåðæàò â ÿâíîé ôîðìå èìïóëüñ. Ãàìèëüòîíîì áûëà ïîñòàâëåíà çàäà÷à, íàéòè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, â êîòîðûõ îñíîâíîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ ïîëíàÿ ýíåðãèÿ, âûðàæåííàÿ ÷åðåç ïåðåìåííûå äâóõ âèäîâ: ãåîìåòðè÷åñêèå, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, è äèíàìè÷åñêèå, îïðåäåëÿþùèå ñîñòîÿíèå äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.  êà÷åñòâå äèíàìè÷åñêîé ïåðåìåííîé Ãàìèëüòîí ïðèíÿë îñíîâíóþ âåëè÷èíó íüþòîíîâñêîé ìåõàíèêè – èìïóëüñ. Ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è è ïîñâÿùåíà íàñòîÿùàÿ ãëàâà. Ñëåäóåò òàê æå îòìåòèòü, ÷òî âîïðîñû, èçëàãàåìûå â äàííîé ãëàâå, èìåþò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíîå çíà÷åíèå â èçó÷åíèè òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, îñîáåííî â ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå è êâàíòîâîé ìåõàíèêå.

§5.1. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà  òðåòüåé ãëàâå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàòàõ äëÿ ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíîãî ñèëîâîãî ïîëÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó n îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, è èìåþò âèä

d  ∂L  ∂L  − =0, dt  ∂q&r  ∂qr

(r = 1,2,..., n ) ,

(3.4.5)

ãäå L = T − V . Ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ íîâûõ n ïåðåìåííûõ, ÿâëÿþùèõñÿ ôóíêöèÿìè âðåìåíè, îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé

124

Ãëàâà ïÿòàÿ

zr = zr (q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q&2 ,..., q&n , t ) ,

(r = 1,2,..., n ) ,

(5.1.1)

è ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýòè çàâèñèìîñòè ìîãóò áûòü ðàçðåøåíû îòíîñèòåëüíî

q&1 , q&2 ,..., q&n , ìîæíî ïðèâåñòè ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.1.1) ê ñèñòåìå 2n

óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé íàìè çàäà÷è ðàññìîòðèì ïðåäëîæåííûå Ãàìèëüòîíîì ïåðåìåííûå

pr =

∂L ∂q&r ,

(r = 1,2,..., n ) .

(5.1.2)

Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â èíòåãðàë ßêîáè (3.5.3), ïîëó÷èì n

∑ q&r r =1

n ∂L − L = ∑ pr q& r − L = H , ∂q& r r =1

èëè n

H = ∑ pr q&r − L .

(5.1.3)

r =1

Ïîëó÷åííàÿ â (5.1.3) ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà. Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îò ìè, çàâèñÿùèìè îò

p r ñ êîýôôèöèåíòà-

q r è t . Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà

H = H (q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn , t ),

(5.1.4)

èëè â êðàòêîé çàïèñè

H = H (q, p, t )

çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ

(5.1.5)

p , q è t.

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âàðèàöèþ (5.1.3) ïî ðîé t íå âàðüèðóåòñÿ. n   ∂L ∂L δH = ∑  prδq& r + q&δpr − δqr − δq& r  = ∂qr ∂q& r r =1  

p è q , ïðè êîòî-

125

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà n   ∂L = ∑  q& rδpr − δqr  , ∂qr r =1  

òàê êàê

prδq& r =

(5.1.6)

∂L δq& r . ∂q& r

Åñëè ïðîäåëàòü òîæå ñàìîå äëÿ (5.1.4), ïîëó÷èì n  ∂H  ∂H δH = ∑  δ qr + δpr  . ∂pr r =1  ∂qr 

(5.1.7)

Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (5.1.6) è (5.1.7), èìååì n



∑  q& δp r =1



r

r

−

 n  ∂H  ∂L ∂H δqr  = ∑  δ qr + δpr  , ∂qr ∂pr  r =1  ∂qr 

èëè n  ∂L ∂H   ∂H  &   q p − δ − ∑  r ∂p  r ∑  ∂q + ∂q δqr = 0 . r =1  r =1  r  r r r n

Òàê êàê âàðèàöèè δqr è δpr íåçàâèñèìû, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî

q& r −

∂H =0, ∂pr

q& r =

∂H ∂pr ,

∂L ∂H + =0 ∂qr ∂qr

,

(r = 1,2,..., n ) ,

(5.1.8)

èëè

∂L ∂H =− ∂qr ∂qr ,

(r = 1,2,..., n ) .

(5.1.9)

Ïåðåõîäÿ ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, íà îñíîâàíèè (3.4.5)

p& r =

d d  ∂L  ∂L = pr =  dt dt  ∂q&r  ∂qr , (r = 1,2,..., n ) ,

(5.1.10)

âèäèì, ñ ó÷¸òîì (5.1.9), ÷òî îíè ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìå 2n óðàâíåíèé

126

Ãëàâà ïÿòàÿ

q& r =

∂H ∂pr ,

p& r = −

∂H ∂qr ,

(r = 1,2,..., n ) .

(5.1.11)

Óðàâíåíèÿ (5.1.11) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ â ôîðìå Ãàìèëüòîíà (ñèñòåìîé êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà), ïîëó÷åííîé èì â 1834 ãîäó. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà èãðàþò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå. Îíè èìåþò ôîðìó

r r p& = X , íî îòëè÷à-

þòñÿ òåì, ÷òî 2n âõîäÿùèõ â íèõ ïåðåìåííûõ ñãðóïïèðîâàíû â

n ïàð

(qr , pr ) , à ïðàâûå ÷àñòè èìåþò ôîðìó, óêàçàííóþ â óðàâíåíèÿõ (5.1.11).

Çàìåòèì, ÷òî äâå ãðóïïû óðàâíåíèé (5.1.11) íåîäèíàêîâû ïî ñâîåìó ñîäåðæàíèþ. Ïåðâûå n óðàâíåíèé

q& r =

∂H ∂pr

(5.1.12)

ïîëó÷åíû íà îñíîâå îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè H è ñîâåðøåííî íå ñâÿçàíû ñ çàêîíàìè äèíàìèêè. Îíè ýêâèâàëåíòíû n óðàâíåíèÿì, îïðåäåëÿþùèì ïåðåìåííûå

pr =

pr :

∂H ∂q& r .

Ìû âèäèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (5.1.12) îïðåäåëÿþò ôóíêöèè îò êöèè îò

(5.1.13)

q& r êàê ëèíåéíûå

pr , à óðàâíåíèÿ (5.1.13) îïðåäåëÿþò pr êàê ëèíåéíûå ôóí-

q& r . Åñëè ðàçðåøèòü óðàâíåíèÿ (5.1.12) îòíîñèòåëüíî pr , òî

ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ (5.1.13), à, ðàçðåøàÿ ïîñëåäíèå îòíîñèòåëüíî

q&r ,

ïðèä¸ì âíîâü ê óðàâíåíèÿì (5.1.12). Äèíàìè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè íàõîäÿò ñâî¸ îòðàæåíèå ëèøü âî âòîðîé ãðóïïå óðàâíåíèé (5.1.11):

p& r = −

∂H ∂qr .

(5.1.14)

Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ìîæíî ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâè-

127

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

æåíèÿ, ïîñêîëüêó îíà çàêëþ÷àåò â ñåáå ïîëíîå âîçìîæíîå äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà (5.1.11) áûëè âûâåäåíû íàìè äëÿ ãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû òðåòüåé ãëàâû, ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû è äëÿ íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. 1. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå ÿâëÿåòñÿ ãîëîíîìíîé, òî, ïîëüçóÿñü îáîçíà÷åíèÿìè ïðèìåíÿåìûìè â òðåòüåé ãëàâå, ìû ìîæåì íàïèñàòü:

q& r =

∂H ∂pr ,

p& r = −

k ∂H + ∑ λm Bm , ∂qr m =1

(r = 1,2,..., n ) .

(5.1.15)

Ê ýòèì óðàâíåíèÿì íåîáõîäèìî ïðèñîåäèíèòü k óðàâíåíèé ñâÿçè òèïà (3.2.4) n

∑ B q& i =1

ri i

+ Br = 0 , (r = 1,2,..., k ) .

(5.1.16)

2. Ïóñòü òåïåðü ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà è èìååò

n ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ åù¸ äðóãèå (íå ñâÿçàí-

íûå ñ íàëè÷èåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè) çàäàííûå ñèëû, îïðåäåë¸ííûå íàìè ðàíåå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.3.7). Àíàëîãîì óðàâíåíèé (3.3.9) áóäóò óðàâíåíèÿ

q& r =

∂H ∂H &r = − + Qr , , p ∂pr ∂qr

(r = 1,2,..., n ) .

Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè

(5.1.17)

Qr çàâèñÿò òîëüêî îò qr è íå

q& r . ( îáùåì ñëó÷àå, êîãäà Qr çàâèñÿò òàêæå îò q&r , óðàâíår& r íèÿ (5.1.17) íå èìåþò ôîðìû p = X , íî èõ ìîæíî ïðèâåñòè ê ýòîé ôîð-

çàâèñÿò îò

ìå, åñëè êàæäàÿ ôóíêöèÿ

Qr åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà îò q& r ñ êîýôôèöèåí-

òàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò

qr ).

3. Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà, èìååò n ñòåïåíåé ñâîáîäû è èìåþòñÿ ñèëû òðåíèÿ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåé ôîðìå:

128

Ãëàâà ïÿòàÿ

q& r =

∂H ∂H ∂F &r = − − , p ∂pr ∂qr ∂q& r ,

(r = 1,2,..., n ) .

(5.1.18)

F åñòü îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îò q&r , ýòè óðàâr& r íåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê âèäó p =X. Òàê êàê

4. Îáîáùèì âàðèàíòû 2 è 3 íà ñëó÷àé íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ê ïðàâûì ÷àñòÿì óðàâíåíèé äëÿ

p& r äîáàâèòü ñëàãàåìûå

k

∑λ

m =1

m

Bmr è ïðèñîåäèíèòü ê ïîëó÷åííûì

óðàâíåíèÿì k óðàâíåíèé ñâÿçè (5.1.16):

q& r =

k ∂H ∂H & p Q = − + + ∑ λm Bmr , r ∂pr , r ∂qr m =1

(5.1.19)

q& r =

k ∂H ∂H ∂F & p = − − + ∑ λm Bmr , ∂pr , r ∂qr ∂q&r v =1

(5.1.20)

n

∑ B q& i =1

ri i

+ Br = 0 , (r = 1,2,..., k ) .

(5.1.16)

Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H áûëà íàìè ïîëó÷åíà èç ôóíêöèè Ëàãðàíæà L . Íåòðóäíî ðåøèòü è îáðàòíóþ çàäà÷ó – íàéòè ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L , çíàÿ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (5.1.3) åñòü

n

L = ∑ pr q&r − H . r =1

Ñ ïîìîùüþ çàìåíû n

L = ∑ pr r =1

∂H −H. ∂pr

q& r =

∂H ïîëó÷èì ∂pr (5.1.21)

129

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

§5.2. Óðàâíåíèå ýíåðãèè è ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà Äëÿ ãîëîíîìíîé êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå åñòü

H = H (q, p, t ) ,

(5.1.5)

õîòÿ â áîëüøåé ÷àñòè êîíêðåòíûõ çàäà÷ âðåìÿ t îòñóòñòâóåò. Âîçüì¸ì ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ïî âðåìåíè n n dH ∂H ∂H ∂H q& r + ∑ p& r . = +∑ dt ∂t r =1 ∂qr r =1 ∂pr

(5.2.1)

 ñèëó óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ, è ìû îêîí÷àòåëüíî ñìîæåì çàïèñàòü

dH ∂H = . dt ∂t

(5.2.2)

Òàêèì îáðàçîì, åñëè H íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè t , òî ýòà ôóíêöèÿ ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ: (5.2.3) H = h. Ýòîò ðåçóëüòàò åñòü íå ÷òî èíîå, êàê èíòåãðàë ßêîáè. Ïîëó÷èì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà. Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ íàòóðàëüíîé ñèñòåìû

T2 =

1 n n ∑∑ ari q&r q&i 2 r = 1 i =1

(3.1.7)

è n

∑ p q& r =1

r r

− L = 2T − (T − V ) = T + V ,

(5.2.4)

H ñîâïàäàåò ñ ïîëíîé ýíåðãèåé T + V , ïðè÷¸ì T âûðàæåíî ÷åðåç pr âìåñòî q& r . Ïîëîæèì â (3.1.7) òàê ÷òî

130

Ãëàâà ïÿòàÿ n

∑a i =1

q& = pr ,

ri i

(r = 1,2,..., n ) ,

(5.2.5)

(r = 1,2,..., n ) ,

(5.2.6)

íàõîäèì, ÷òî n

q& r = ∑ cri pi , i =1

ãäå

(cri ) ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ìàòðèöå (ari ). n

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

∑ p q& r =1

r r

= 2T , íàïèøåì ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóí-

êöèè Ãàìèëüòîíà â ñëåäóþùåé ôîðìå:

H=

1 n n ∑∑ cri pr pi + V . 2 r = 1 i =1

(5.2.7)

Ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé íåíàòóðàëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.  ñîîòâåòñòâèè ñ (3.5.6), ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà áóäåò èìåòü âèä

L = T2 + T1 + T0 − V

(3.5.6)

è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ ïîëó÷èì n

∑ p q& r =1

r r

= 2T + T1 .

(5.2.8)

Òåïåðü ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî n

∑ p q& r =1

r r

− L = (2T2 + T1 ) − (T2 + T1 + T0 − V ) = T2 + V − T0 ,

èëè

H = T2 + V − T0 .

(5.2.9)

Ïîëàãàÿ, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (3.1.7) è (3.1.8),

T2 = íàõîäèì

1 n n ∑∑ ari q&r q&i , 2 r = 1 i =1

n

T1 = ∑ ar q& r , r =1

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

131

n

pr = ∑ ari q&i + ar , (r = 1,2,..., n ) , i =1

(5.2.10)

è n

q& r = ∑ cri ( pi − ai ) .

(5.2.11)

i =1

Òîãäà n

n

n

2T2 = ∑ q& r ( pr − a r ) = ∑∑ cri ( pr − ar )( pi − ai ), r =1

r =1 i =1

(5.2.12)

âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà â îêîí÷àòåëüíîé ôîðìå áóäåò èìåòü âèä

H=

1 n n ∑∑ cri (pr − ar )( pi − ai ) + V − T0 , 2 r =1 i =1

(5.2.13)

èëè

H = H 2 + H1 + H 0 .

(5.2.14)

Îïóñêàÿ äëÿ êðàòêîñòè çíàê ñóììû, íàïèøåì

H2 =

1 1 cri pr pi , H1 = − cri ar pi , H 0 = cri a r ai + V − T0 . 2 2

(5.2.15)

§5.3. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðè íàëè÷èè öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà

H = H (q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn , t ),

(5.1.4)

çàâèñèò îò îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò, îáîáù¸ííûõ èìïóëüñîâ è âðåìåíè.  ÷åòâ¸ðòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè âîïðîñ î ïîâåäåíèè ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïðè íàëè÷èè öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Âûÿñíèì òåïåðü, êàê ïîâåä¸ò ñåáÿ ïî îòíîøåíèþ ê öèêëè÷åñêèì êîîðäèíàòàì ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà. Ðàññìàòðèâàÿ ðàâåíñòâî

132

Ãëàâà ïÿòàÿ

∂L ∂H =− ∂qr ∂qr ,

(r = 1,2,..., n ) ,

(5.1.9)

ìû ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: åñëè ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïî

L

qr ðàâíà íóëþ, òî áóäåò ðàâíà íóëþ è ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò H ïî

qr , òî åñòü öèêëè÷åñêèå êîîðäèíàòû íå âõîäÿò â ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà. Ïóñòü ïåðâûå k îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè, òîãäà, ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì

q& r =

∂H ∂pr ,

p& r = −

∂H ∂qr ,

(r = 1,2,..., n ) ,

(5.1.11)

ìîæåì íàïèñàòü

p& i = −

∂H ∂H = 0 , q&i = ∂qi ∂pi ,

(i = 1,2,..., k ) ,

(5.3.1)

(i = 1,2,..., k ) ,

(5.3.2)

èëè

∂H pi = ci è q&i = ∂c , i ãäå

ci - ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà òåïåðü áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåíè t , n − k îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò, n − k îáîáù¸ííûõ èìïóëüñîâ è k ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ

ci .

H = H (qk +1 ,..., qn , pk +1 ,..., pn , c1 , c2 ,..., ck , t ) .

(5.3.3)

 ñîîòâåòñòâèè ñ (5.1.11) ìîæíî íàïèñàòü

p& m = −

∂H ∂H , q& m = ∂qm ∂pm , (m = k + 1, k + 2,..., n ) .

(5.3.4)

Ìû ïîëó÷èëè ñèñòåìó 2n − 2k äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî

pm è qm . Ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé áóäóò

133

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ñîäåðæàòü

2m = 2(n − k ) ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ

cm , cm′ , à òàêæå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ ci , òî åñòü pm = pm (t , cm , cm′ , ci )  qm = qm (t , cm , cm′ , ci )  , (m = k + 1, k + 2,..., n ) .

(5.3.5)

Ïîäñòàâèâ ýòè ðåøåíèÿ â (5.3.3) è ó÷èòûâàÿ (5.3.2) ïîëó÷èì:

qi = ∫ ãäå

∂H dt + ci′ , (i = 1,2,..., k ) , ∂ci

(5.3.6)

ci′ - ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàëè÷èè k öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (5.3.4), ïîðÿäîê êîòîðîé óìåíüøåí ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíîé íà 2k . Ðåøèì íåñêîëüêî çàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì ïîëó÷åííûõ âûøå ñâåäåíèé.

§5.4. Çàäà÷è íà ñîñòàâëåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà Çàäà÷à 24. Òî÷êà ïîäâåñà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà äëèíû l ñîâåðøàåò äâèæåíèå â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà r ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v . Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

H l, r, v.

Ðåøåíèå çàäà÷è.

O

vt r

y

r v

ϕ

l

x

A mg

Ðèñ. 16.

Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â öåíòð îêðóæíîñòè. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ.

134

Ãëàâà ïÿòàÿ  êà÷åñòâå îáîáù¸ííîé êîîðäèíàòû

ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À

q ïðèìåì óãîë îòêëîíåíèÿ

ϕ . Ïîëüçóÿñü ÷åðòåæîì, íàïèøåì

v v x = r cos t + l cosϕ , y = r sin t + l sin ϕ . r r

(5.4.1)

Âîçüì¸ì ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò (5.4.1)

v v x& = −v sin t − l sin ϕ ⋅ ϕ& , y& = v cos t + l cosϕ ⋅ ϕ& . r r

(5.4.2)

Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

T=

v   1 1   m(x& 2 + y& 2 ) = m l 2ϕ& 2 + 2vlϕ& cos ϕ − t  + v 2  . r  2 2   

(5.4.3)

Òàê êàê ïðè íàõîæäåíèè îáîáù¸ííûõ ñèë ñâÿçè ñ÷èòàþòñÿ ìãíîâåííî îñòàíîâëåííûìè (ñìîòðè §1.7.), äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìàÿòíèêà ìû ìîæåì çàïèñàòü

V = −mgl cosϕ .

(5.4.4)

Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà

L = T −V =

1 2 2 v    m l ϕ& + 2vlϕ& cos ϕ − t  + v 2  + mgl cosϕ , 2  r   

îòêóäà

p=

∂L v   = ml 2ϕ& + mvl cos ϕ − t  , ∂ϕ& r  

(5.4.5)

ϕ& =

p v v   − cosϕ − t  . 2 ml l r  

(5.4.6)

à

Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà

H=

∂L 1 ϕ& − L = ml 2ϕ& 2 − v 2 − mgl cosϕ . ∂ϕ& 2

(5.4.7)

135

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà Åñëè v = 0 , òî

1 2 2 ml ϕ& − mgl cosϕ = T + V = h , 2

H=

(5.4.8)

òî åñòü H ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ýíåðãèè, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ñâÿçè áóäóò ñòàöèîíàðíûìè è L íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè. Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (5.4.6) â ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà (5.4.7), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì 2

1 v v   p  H = ml 2  2 − cos ϕ − t  − v 2 − mgl cosϕ . (5.4.9) 2 l r    ml Äëÿ íàõîæäåíèÿ êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå

∂H v v   v   p  = mlv  2 − cosϕ − t  sin ϕ − t  + mgl sin ϕ , ∂ϕ l r   r    ml ∂H p v v   = 2 − cos ϕ − t  . l r  ∂p ml  Ñ ó÷¸òîì (5.1.11) íàïèøåì êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

v v   v   p  p& = − mlv  2 − cos ϕ − t  sin ϕ − t  − mgl sin ϕ , l r   r    ml

ϕ& =

p v v   − cosϕ − t  . 2 ml l r  

(5.4.10)

(5.4.11)

Çàäà÷à 25. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû m â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå

V (x, y , z ) .

136

Ãëàâà ïÿòàÿ Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

Íàéòè Äàíî

H = H (q, p, t ) m, V (x, y , z ).

Ðåøåíèå çàäà÷è.

Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ëàáîðàòîðíîé ÈÑÎ. Ðåøèì çàäà÷ó â òð¸õ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò: äåêàðòîâîé, öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé. 1. Äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T

T=

− V , ãäå

m 2 ( x& + y& 2 + z& 2 ) . 2

Òàêèì îáðàçîì

L=

m 2 ( x& + y& 2 + z& 2 ) − V (x, y , z ) . 2

(5.4.12)

Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî ïðîåêöèÿì ñêîðîñòåé

∂L ∂V = mx& − = mx& = p x , ∂x& ∂x&

x& =

px . m

∂L ∂V = my& − = my& = p y , ∂y& ∂y&

y& =

py . m

∂L ∂V = mz& − = mz& = p z , ∂z& ∂z&

z& =

pz . m

Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà â âèäå

H = p x x& + p y y& + p z z& − L ,

(5.4.13)

èëè

H= îòêóäà

1 2 1 ( (px2 + p 2y + pz2 )+ V (x, y, z ), p x + p 2y + p z2 ) − m 2m

137

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

H=

1 ( p x2 + p 2y + pz2 ) + V (x, y , z ) . 2m

(5.4.14)

Ñîñòàâèì êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

∂H p x = = x& ∂p x m

,

∂H p y ∂H pz = = y& , = = z& . ∂p y m ∂p z m

(5.4.15)

Ìû ïîëó÷èëè ïåðâûå òðè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ.

∂H ∂V ∂H ∂V ∂H ∂V = = − p& y , = = − p& x , = = − p& z . (5.4.16) ∂y ∂y ∂x ∂x ∂z ∂z Ýòî âòîðûå òðè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé âòîðîé çàêîí Íüþòîíà

d (mvr ) = −∇V (x, y, z ), èëè mwr = Fr , dt ãäå

∇V (x, y, z ) = − F .

2. Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû. Âûðàçèì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷åðåç öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû

x = r cosθ , y = r sinθ , z = z . Äèôôåðåíöèðóÿ (5.4.17) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

(5.4.17)

x& = r& cosθ − r sin θθ& , y& = r& sin θ + r cosθθ& , z& = z& . Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ x& , y& , z& â âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì

T=

(

)

m 2 r& + r 2θ& 2 + z& 2 . 2

(5.4.18)

Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèìåò âèä

L=

(

)

m 2 r& + r 2θ& 2 + z& 2 − V (r,θ , z ) . 2

Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà

(5.4.19)

138

Ãëàâà ïÿòàÿ

∂L = mr& = pr , ∂r&

r& =

pr , m

p ∂L = mr 2θ& = pθ , θ& = θ 2 , & mr ∂θ ∂L = mz& = p z , ∂z&

z& =

pz . m

Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà

H = ∑ pi q&i − L = =

1 2 1 2 1  2 1 2 2 2  pr + 2 pθ + p z  −  pr + 2 pθ + pz  + V (r ,θ , z ) . m r r  2m  

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

H=

1  2 1 2 2  pr + 2 pθ + p z  + V (r,θ , z ). 2m  r 

(5.4.20)

Ñîñòàâèì êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

∂H pr ∂H p ∂H pz = = r& , = θ 2 = θ& , = = z& ∂pr m ∂pθ mr ∂p z m è

∂H ∂V ∂H ∂V pθ2 ∂V ∂H = = − p& z . = = − p& θ , =− 3 + = − p& r , ∂z ∂z ∂θ ∂θ mr ∂r ∂r 3. Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû. Âûðàçèì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷åðåç ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû (ñì. çàäà÷ó ¹11)

x = r sin θ cosϕ   y = r sin θ sin ϕ  .  z = r cosθ 

(5.4.21)

139

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà Äèôôåðåíöèðóÿ (5.4.21) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

x& = r& sin θ cosϕ + r cosθ cosϕθ& − r sin θ sin ϕϕ&   y& = r& sin θ sin ϕ + r cosθ sin ϕθ& + r sin θ cosϕϕ&  .  z& = r& cosθ − r sin θθ& 

(5.4.22)

Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè, è ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì

T=

(

)

1 m r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 . 2

(5.4.23)

(Âûðàæåíèå (5.4.23) îòëè÷àåòñÿ îò âûðàæåíèÿ (3.7.33) ïîëó÷åííîãî â çàäà÷å ¹22, ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ðàçëè÷íûì ñïîñîáîì âûáîðà êîîðäèíàòíûõ îñåé. Ñì. ðèñóíêè, èëëþñòðèðóþùèå óêàçàííûå çàäà÷è). Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèìåò âèä

L=

(

)

1 m r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 − V (r,θ ,ϕ ) . 2

(5.4.24)

Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà

∂L ∂L ∂L = mr 2 sin 2 θϕ& . (5.4.25) = mr& = pr , & = mr 2θ& = pθ , ∂ϕ& ∂θ ∂r& Ðàçðåøàÿ ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé, ïîëó÷èì

r& =

pϕ pr & pθ & , θ = . 2 , ϕ = 2 m mr mr sin 2 θ

(5.4.26)

Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà (ó÷èòûâàÿ (5.4.26)):

H = ∑ pi q&i − L = 1 2 1 2 1 1  2 1 2 1 2 2  pr + 2 pθ + 2 2 pϕ  −  pr + 2 pθ + 2 2 pϕ  + m r r sin θ r r sin θ  2m   1  2 1 2 1 2 + V (r,θ ,ϕ ) =  pr + 2 pθ + 2 2 pϕ  + V (r ,θ ,ϕ ) 2m  r r sin θ 

140

Ãëàâà ïÿòàÿ

Èëè îêîí÷àòåëüíî

H=

1  2 1 2 1 2  pr + 2 pθ + 2 2 pϕ  + V (r ,θ ,ϕ ) . 2m  r r sin θ 

(5.4.27)

Ñîñòàâèì êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

pϕ ∂H ∂H pr ∂H p = = ϕ& . = = r& , = θ 2 = θ& , 2 ∂pϕ mr sin 2 θ ∂pr m ∂pθ mr p 2 ∂V ∂H = − θ3 + = − p& r , mr ∂r ∂r ∂H ∂V cosθ = − 2 3 pϕ2 + = − p&θ , mr sin θ ∂θ ∂θ ∂H ∂V = = − p& ϕ . ∂ϕ ∂ϕ Çàäà÷à 26. Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà äëÿ äâóõàòîìíîé ìîëåêóëû, åñëè ìàññû àòîìîâ ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî

m1 è m2 .

Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Íàéòè Äàíî

H m1 , m2 .

Ðåøåíèå çàäà÷è. Âûáåðåì ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ". Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå àòîìîâ êàê äâèæå-

íèå äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ ìàññàìè

z

m2

z r

m1

Oθ

ϕ

m1 è

x

m2 . Ââåä¸ì äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxyz è

O

′ . Ñäåëàåì ÷åðò¸æ. Oxyz

x

r1

r2

y

y

Ðèñ. 17.

141

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

Î÷åâèäíî, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàäàííîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áóäåò ñîñòîÿòü èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïóñòü öåíòð ìàññ èìååò êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê

r r xc , yc , zc , à v1 è v2 ñêîðîñòè

m1 è m2 â ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz .

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áóäåò

T=

1 r 1 r m1v1 + m2 v2 . 2 2

Èç ÷åðòåæà ñëåäóåò, ÷òî

(5.4.28)

r r r r = r2 − r1 .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê çàìêíóòà, ìû ìîæåì äëÿ íå¸ íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà íàïèñàòü

r r r Mvc = m1v1 + m2 v2 ,

ãäå

(5.4.29)

M = m1 + m2 ïîëíàÿ ìàññà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïóñòü îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü

r r r r dr v21 = v2 − v1 = . dt

m2 ê m1 åñòü (5.4.30)

r r r v2 = v21 + v1 è ïîäñòàâèì â (5.4.29), ïîëó÷èì r r r Mvc = (m1 + m2 )v1 + m2 v21 . (5.4.31) r r Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (5.4.29) è (5.4.31) îòíîñèòåëüíî v1 è v2 , ïîëó÷èì

Âûðàçèì èç (5.4.30)

r r m r r r m r v1 = vc − 2 v21 , v2 = vc + 1 v21 . M M Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòåé

(5.4.32)

r r v1 è v2 , â óðàâíåíèå

äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (5.4.28). Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì

T=

1 1 2 Mvc2 + µv21 , 2 2

(5.4.33)

142

ãäå

Ãëàâà ïÿòàÿ

µ=

m1m2 m1 + m2 - ïðèâåä¸ííàÿ ìàññà.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî èñõîäÿ èç (5.4.23),

vc2 = x& c2 + y& c2 + z&c2 â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ, à,

2 = r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèv21

íàòàõ, îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì

T=

(

)

1 1 M (x& c2 + y& c2 + z&c2 ) + µ r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 . 2 2

(5.4.34)

Çàïèøåì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà

L=

(

)

1 1 M (x&c2 + y& c2 + z&c2 ) + µ r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 − V (r ). (5.4.35) 2 2 Ñðàçó îòìåòèì, ÷òî êîîðäèíàòû

xc , yc , zc ,ϕ ÿâíî â ôóíêöèþ Ëàã-

ðàíæà íå âõîäÿò è ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè. Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà

∂L = Mx& c = p x c = C x c , ∂x& c ∂L = My& c = p y c = C y c , ∂y& c ∂L = Mz&c = pz c = C z c . ∂z&c Çäåñü

C x c , C y c , C z c - ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. ∂L = µr& = pr , ∂r& ∂L = µr 2θ& = pθ , ∂θ&

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

∂L = µr 2 sin 2 θϕ& = pϕ = Cϕ , ∂ϕ& ãäå

Cϕ - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà

H = ∑ pi q&i − L =

(

)

1 2 1 p x c + p 2y c + pz2c + (pr2 + pθ2 + pϕ2 ) − M µ −

(

)

1 1 2 ( p x2c + p 2y c + p z2c − pr + pθ2 + pϕ2 ) + V (r ) = 2M 2µ

(

)

1 1 2 (pr + pθ2 + pϕ2 )+ V (r ). p x2c + p 2y c + p z2c + 2M 2µ

143

Ãëàâà VI Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ Äî ñèõ ïîð ìû ðàññìàòðèâàëè ãîëîíîìíûå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïîëó÷åííûå íàìè ÷åòûðå ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ïðåäíàçíà÷åíû, â îñíîâíîì, äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ãîëîíîìíûìè ñèñòåìàìè ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì íîâóþ ïÿòóþ ôîðìó óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, êîòîðàÿ îñîáåííî óäîáíà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ íåãîëîíîìíûìè ñèñòåìàìè ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ðàññìîòðèì òàêæå ôóíêöèþ Ãèááñà è óðàâíåíèå Ãèááñà-Àïïåëÿ.

§6.1. Êâàçèêîîðäèíàòû Äî ñèõ ïîð ìû ïîëüçîâàëèñü îáîáù¸ííûìè êîîðäèíàòàìè, êîòîðûå îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ïåðåìåííûå êöèÿìè îò îáîáùåííûõ êîîðäèíàò

xr ÿâëÿþòñÿ ÿâíûìè ôóí-

qr è âðåìåíè t .  ñëó÷àå íåãîëîíîì-

íûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ êîîðäèíàòàìè áîëåå îáùåãî òèïà.  ýòèõ êîîðäèíàòàõ êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé îò

x& r ÿâëÿåòñÿ

q&r , íå ÿâëÿþùåéñÿ â îáùåì ñëó÷àå ïîëíîé ïðî-

èçâîäíîé ïî âðåìåíè. Êàæäîå

x& r ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ëè-

íåéíîé ôóíêöèè îò k ïåðåìåííûõ q& r , ãäå k - ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ðàññìîòðèì íåãîëîíîìíóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ k ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è l óðàâíåíèÿìè ñâÿçè. Äàííàÿ ñèñòåìà îïèñûâàåòñÿ

k + l îáîáù¸ííûìè êîîðäèíàòàìè q1 , q2 ,..., qk + l . Âîçìîæíûå ïåðåìåùåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (2.7.2)

146

Ãëàâà øåñòàÿ k +l

0 = ∑ Bri dqi + Br dt , i =1

ãäå êîýôôèöèåíòû

(r = 1,2,..., l ),

(6.1.1)

Bri è Br åñòü ôóíêöèè îò q1 , q2 ,..., qk + l , t , èìåþùèå

íåïðåðûâíûå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå â ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè ìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ Ââåä¸ì

D èç-

q1 , q2 ,..., qk + l , t .

p íîâûõ âåëè÷èí θ1 ,θ 2 ,...,θ p , ãäå p - ïðîèçâîëüíîå ÷èñ-

ëî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âåëè÷èíû

θ r íå îïðåäåëåíû êàê ôóíêöèè îò qr

è t , íî èõ äèôôåðåíöèàëû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïôàôôîâû ôîðìû (ñì. Ïðèëîæåíèå I, ï.2) îò

qr è t :

k +l

dθ r = ∑ Cri dqi + Cr dt , i =1

Êîýôôèöèåíòû

(r = 1,2,..., p ).

(6.1.2)

Cri è Cr òàê æå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò

q1 , q2 ,..., qk + l , t , èìåþùèå íåïðåðûâíûå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå â îáëàñòè D . Âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (6.1.1) è (6.1.2), ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé l + p íåçàâèñèìûõ ôîðì Ïôàôôà, íå ÿâëÿþùèõñÿ â îáùåì ñëó÷àå ïîëíûìè äèôôåðåíöèàëàìè. Âåëè÷èíû θ r áóäåì íàçûâàòü êâàçèêîîðäèíàòàìè. Áóäåì äàëåå ïèñàòü

θ r = qk + l + r , òàê ÷òî áóäåì èìåòü n

q1 , q2 ,..., qn , ãäå n = k + l + p , èç êîòîðûõ ïåðâûå k + l ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû, à îñòàëüíûå p - êâàçèïåðåìåííûõ

êîîðäèíàòû; ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.1.2) k +l

dqk + l + r = ∑ Cri dqi + Cr dt , i =1

Ðàçðåøèì òåïåðü

(r = 1,2,..., p ).

(6.1.3)

l + p óðàâíåíèé (6.1.1) è (6.1.3) îòíîñèòåëüíî

l + p äèôôåðåíöèàëîâ dqr , âûðàçèâ èõ ÷åðåç îñòàâøèåñÿ k äèôôå-

147

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ

ðåíöèàëîâ. Ýòè ïðåäïî÷òèòåëüíûå k äèôôåðåíöèàëîâ, ÷åðåç êîòîðûå âûðàæåíû îñòàëüíûå, ìîãóò áûòü äèôôåðåíöèàëàìè ëèáî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò, ëèáî êâàçèêîîðäèíàò. Âðåìåííî îáîçíà÷èì ýòè âûäåëåííûå êîîðäèíàòû ÷åðåç ϕ1 ,ϕ 2 ,...,ϕ k , òîãäà äëÿ êîîðäèíàòû

qr , ê íèì íå ïðè-

íàäëåæàùåé, ìîæíî íàïèñàòü: k

dqr = ∑ Dri dϕ i + Dr dt , (r = 1,2,..., l + p ) , i =1

(6.1.4)

Âñåãî áóäåì èìåòü l + p òàêèõ óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ (6.1.4) â òî÷íîñòè ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì óðàâíåíèé (6.1.1) è (6.1.3). Êîýôôèöèåíòû

Dri è Dr çàâèñÿò îò âñåõ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò qr è t , à íå îò

ϕ1 , ϕ 2 ,...,ϕ k , t . Òàê êàê êîîðäèíàòà

xr çàâèñèò îò q1 , q2 ,..., qk + l , t , òî â ñîîòâåò-

ñòâèè ñ (6.1.1, 6.1.2, 6.1.3)

∂xr ∂x dqi + r dt , ∂t i =1 ∂qi

k +l

dxr = ∑

(r = 1,2,..., N ) .

(6.1.5)

Âûðàçèì ñ ïîìîùüþ (6.1.4) äèôôåðåíöèàë êàæäîé íåâûäåëåííîé êîîðäèíàòû â ïðàâîé ÷àñòè (6.1.5) ÷åðåç ϕ1 ,ϕ 2 ,...,ϕ k .  ðåçóëüòàòå âûðàçèòñÿ â âèäå ëèíåéíîé ôóíêöèè îò

dxr

ϕ1 ,ϕ 2 ,...,ϕ k , t , êîýôôèöèåíòû

êîòîðîé áóäóò ñîäåðæàòü âñå îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû

qr è âðåìÿ t .

Èçìåíèì íàøè îáîçíà÷åíèÿ.  äàëüíåéøåì k âûäåëåííûõ êîîðäèíàò (êîòîðûå ìîãóò áûòü îáîáù¸ííûìè èëè êâàçèêîîðäèíàòàìè) áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ÷åðåç

q1 , q2 ,..., qk , à îñòàëüíûå l + p êîîðäèíàò –

qk +1 , qk + 2 ,..., qn .  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ôîðìóëû (6.1.4) è (6.1.5)

ïðèìóò âèä k

dqr = ∑ β ri dqi + β r dt , (r = k + 1, k + 2,..., n ) , i =1

(6.1.6)

148

Ãëàâà øåñòàÿ k

dxr = ∑α ri dqi + α r dt ,

(r = 1,2,..., N ).

i =1

(6.1.7)

Ôîðìóëû (6.1.6) è (6.1.7) ÿâëÿþòñÿ îñíîâíûìè äëÿ ðàçâèâàåìîé çäåñü òåîðèè. Ïðîèçâîäíûå

x& r ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç k ñêîðîñòåé

q&1 , q&2 ,..., q&k . Àíàëîãè÷íî ÷åðåç íèõ ìîæíî âûðàçèòü è q&r äëÿ r > k . k

q& r = ∑ β ri q&i + β r , (r = k + 1, k + 2,..., n ) , i =1

(6.1.8)

k

x& r = ∑α ri q&i + α r , (r = 1,2,..., N ). i =1

 êàæäîì ñëó÷àå êîýôôèöèåíòû íàòû

(6.1.9)

α ri ,α r , β ri , β r ñîäåðæàò êîîðäè-

qr , îòëè÷íûå îò k âûäåëåííûõ êîîðäèíàò, à â îáùåì ñëó÷àå ýòè

êîîðäèíàòû ñîäåðæàò âñå îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû

qr è âðåìÿ t .

Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû óäîáíû òåì, ÷òî ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè (äëÿ âñåõ

x& r

N äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê) è q&r

(äëÿ íåâûäåëåííûõ êîîðäèíàò

qr ) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñèñòåìó ñîñòàâëÿ-

þùèõ ñêîðîñòåé ïî ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ñêîðîñòè

q&1 , q&2 ,..., q&k ìîãóò èìåòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, íî åñëè

ýòè çíà÷åíèÿ çàäàíû, òî òåì ñàìûì îïðåäåëåíû ñêîðîñòè âñåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîëüíûå ïðèðàùåíèÿ

δq1 ,δq2 ,...,δqk ñëåäóþùèì îáðàçîì: k

δqr = ∑ β riδqi , i =1

(r = k + 1, k + 2,..., n ) ,

(6.1.10)

149

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ k

δxr = ∑α riδqi ,

(r = 1,2,..., N ).

i =1

(6.1.11)

Çàìå÷àíèå.  îñíîâå ââåäåíèÿ êâàçèêîîðäèíàò ëåæèò ñëåäóþùàÿ ïîñòàíîâêà âîïðîñà: êàêèå óðàâíåíèÿ áóäóò ýêâèâàëåíòíû óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà, åñëè âìåñòî îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé êîìáèíàöèè ñ êîýôôèöèåíòàìè äèíàò

q&r ââåñòè íåêîòîðûå èõ ëèíåéíûå

β ri , çàâèñÿùèìè îò îáîáù¸ííûõ êîîð-

qr ? Ýòà ïðîáëåìà íàøëà ñâî¸ ðàçðåøåíèå â ðàáîòàõ Ãàìåëÿ, âí¸-

ñøåãî áîëüøîé âêëàä â ðàçâèòèè òåîðåòèêî-ãðóïïîâûõ ìåòîäîâ â ìåõàíèêå.

§6.2. Ïÿòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ Âû÷èñëèì ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ çàäàííûìè ñèëàìè íà âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè. Âûðàæåíèå äëÿ ýòîé ðàáîòû ñîäåðæèòñÿ â ïåðâîé N

ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (2.1.6) è èìååò âèä ñþäà

∑ X δx r

r =1

r

. Ïîäñòàâëÿÿ

δxr èç (6.1.9), ïîëó÷èì N

k



N

∑ X δx = ∑  ∑ X α r =1

r

r

i =1

r =1

r

ri

k  δqi = ∑ Qiδqi , i =1 

(6.2.1)

ãäå N

Qi = ∑ X rα ri .

(6.2.2)

r =1

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå, âõîäÿùåå âî âòîN

ðóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (2.7.5), à èìåííî

∑ X ∆x& r =1

r

r

, ãäå

∆x& r

åñòü êîíå÷íîå, à íå áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ñêîðîñòè, ñîâìåñòè-

150

Ãëàâà øåñòàÿ

ìîå ñ ïîëîæåíèåì ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Èç óðàâíåíèÿ (6.1.7) äëÿ ëþáîé âîçìîæíîé ñèñòåìû ñêîðîñòåé ïîëó÷àåì: k

x& r = ∑α ri q&i + α r , i =1

(r = 1,2,..., N ).

Ðàññìîòðèì äðóãóþ âîçìîæíóþ ñèñòåìó ñêîðîñòåé

(6.2.3)

r r q& + ∆q& ïðè òîé

æå êîíôèãóðàöèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Äëÿ íå¸ ìû ìîæåì íàïèñàòü k

x& r + ∆x& r = ∑α ri (q&i + ∆q&i ) + α r , i =1

(r = 1,2,..., N ).

(6.2.4)

Îòêóäà k

∆x& r = ∑α ri ∆q&i ,

(r = 1,2,..., N ).

i =1

(6.2.5)

Òàêèì îáðàçîì, N

k



N

∑ X ∆x& = ∑  ∑ X α r =1

ãäå

r

r

i =1

r =1

r

ri

k   ∆q&i = ∑ Qi ∆q&i , i =1 

(6.2.6)

Qi - òå æå êîýôôèöèåíòû (6.2.2), ÷òî è â ïåðâîé ôîðìå îñíîâíîãî

óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü òðåòüþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (2.8.5) N

∑ (m &x& r =1

r r

− X r )∆&x&r = 0 .

(2.8.5)

Äèôôåðåíöèðóÿ (6.2.1), ïîëó÷èì k

dα ri dα q&i + r , (r = 1,2,..., N ), dt i =1 dt k

&x&r = ∑α ri q&&i + ∑ i =1

(6.2.7)

n ∂ ∂ d q&m + ∑ ãäå îáîçíà÷àåò îïåðàòîð ∂t m =1 ∂q m . Åñëè ìû ðàññìîòðèì dt

151

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ äðóãóþ âîçìîæíóþ ñèñòåìó óñêîðåíèé

r r q&& + ∆q&& ïðè òîé æå êîíôèãóðà-

öèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è òåõ æå ñêîðîñòÿõ, òî áóäåì èìåòü

dα ri dα r + , dt i =1 dt

k

k

&x&r + ∆&x&r = ∑α ri (q&&i + ∆q&&i ) + ∑ i =1

(6.2.8)

(r = 1,2,..., N ). Îòêóäà k

∆&x&r = ∑α ri ∆q&&i , i =1

(r = 1,2,..., N ).

(6.2.9)

Òàêèì îáðàçîì, k k  N  & & & & X x X q ∆ = α ∆ =  ∑ r ri  i ∑ Qi ∆q&&i , ∑ ∑ r r r =1 i =1  r = 1 i =1  N

êóäà âõîäÿò òå æå êîýôôèöèåíòû

(6.2.10)

Qr .

Òðåòüþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (2.8.5) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ê âèäó n

k

r =1

i =1

∑ mr &x&r ∆&x&r − ∑Qi ∆q&&i = 0 ,

(6.2.11)

ïðåäñòàâëÿþùåìó ñîáîé ïÿòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ.

§6.3. Îïðåäåëåíèå óñêîðåíèÿ Ââåä¸ì ôóíêöèþ Ãèááñà G

G=

1 N ∑ mr &x&r2 , 2 r =1

(6.3.1)

êîòîðóþ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (6.2.7) âûðàçèì ÷åðåç öèÿ Ãèááñà áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ïîëèíîì îò

G = C2 + G1 + G0 ,

q&&1 , q&&2 ,..., q&&k . Ôóíê-

q&&1 , q&&2 ,..., q&&k âèäà (6.3.2)

152 ãäå

Ãëàâà øåñòàÿ

G2 - îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îò q&&1 , q&&2 ,..., q&&k , G1 - îäíîðîä-

íàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò

q&&1 , q&&2 ,..., q&&k ; à G0 íå çàâèñèò îò qr . Îáû÷íî

G2 ëåãêî íàõîäèòñÿ, òàê êàê êîýôôèöèåíòû çäåñü òå æå, ÷òî è ó êâàäðàòè÷íûõ ÷ëåíîâ â âûðàæåíèè (3.1.7) äëÿ T , ïðåäñòàâëåííîì â âèäå ôóíêöèè îò q&1 , q& 2 ,..., q& k . ×ëåíû G1 äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû íåçàâèñèìî, à ÷ëåíû

G0 íåñóùåñòâåííû è èõ ìîæíî âîîáùå îïóñòèòü. Íàøà çàäà÷à

ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ

G1 .

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, êîíôèãóðàöèÿ è ñêîðîñòè êîòîðîé çàäàíû â ìîìåíò âðåìåíè t . Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèé ÷àñòèö ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ðàññìîòðèì òåîðåìó. Óñêîðåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òàêîâî, ÷òî âûðàæåíèå k

G − ∑ Qi q&&i ,

(6.3.3)

i =1

ðàññìàòðèâàåìîå êàê ôóíêöèÿ îò

q&&1 , q&&2 ,..., q&&k , èìååò ìèíèìóì.

Ïðèìåíÿÿ ýòó òåîðåìó, êîîðäèíàòû è ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòåé ñëåäóåò ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûìè. Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì äåëî ñ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.

r q&& óñêîðåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â äåéñòâèòåëü&r& + ∆q&r& - óñêîðåíèå â ëþáîì äðóãîì âîçìîæíîì äâèæåíîì äâèæåíèè, q Ïóñòü

íèè. Òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî k k 1 N   1 N 2 ∆  G − ∑ Qi q&&i  = ∑ mr (&x&r + ∆&x&r ) − ∑ mr &x&r2 − ∑ Qi ∆q&&i = 2 r =1 i =1 i =1   2 r =1

153

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ

=

N 1 N 1 N 1 N 2 2 & & & & & & & & ( ) m x m x x m x mr &x&r2 − + ∆ + ∆ − ∑ rr ∑ ∑ ∑ r r r r r 2 r =1 2 2 r =1 r =1 r =1 k

− ∑ Qi ∆q&&i = i =1

k  N  1 N 2 & & & & & & ( ) m x m x x ∆ + ∆ −  ∑ r r r ∑ Qi ∆q&&i  . ∑ r r 2 r =1 i =1  r −1 

Âûðàæåíèå ñòîÿùåå â ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè òîæäåñòâåííî ðàâíî íóëþ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïÿòîé ôîðìîé îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (6.2.11). Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷èì k   1 N 2 ∆ G − ∑ Qi q&&i  = ∑ mr (∆&x&r ) . i =1   2 r =1 r Èç (6.3.4) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ∆&x& ≠ 0 , òî k   ∆ G − ∑ Qi q&&i  > 0 , i =1  

(6.3.4)

(6.3.5)

÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó (6.3.3). Âî âòîðîé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè ïðèíöèï íàèìåíüøåãî ïðèíóæäåíèÿ Ãàóññà (2.9.1) 2

 X  1 N C = ∑ mr  &x&r − r  . mr  2 r =1 

(2.9.1)

Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê, ïîëó÷èì

C=

N 1 N 1 N X r2 2 & & & & m x x X − + ∑ rr ∑ ∑ . r r 2 r =1 2 r =1 mr r =1

(6.3.6)

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ (6.3.3), ìû âèäèì, ÷òî îíî ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ, íå ñîäåðæàùèõ óñêîðåíèé, ñîâïàäàåò ñ N

G − ∑ X r &x&r . r =1

(6.3.7)

154

Ãëàâà øåñòàÿ N

Âûðàæåíèå ∑ X r &x&r îòëè÷àåòñÿ îò r =1

k

∑Q q&& i =1

i i

ëèøü ÷ëåíàìè, íå çà-

âèñÿùèìè îò óñêîðåíèé. Òàêèì îáðàçîì, (6.3.3) îòëè÷àåòñÿ îò C òîëüêî ÷ëåíàìè, íå ñîäåðæàùèìè óñêîðåíèé, òî åñòü, (6.3.3) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïðèíöèïà íàèìåíüøåãî ïðèíóæäåíèÿ Ãàóññà (2.9.1).

§6.4. Óðàâíåíèå Ãèááñà-Àïïåëÿ Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû (6.3.3), ãîâîðÿùåé î òîì, ÷òî âûðàæåíèå k

G − ∑ Qi q&&i â äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè èìååò ìèíèìóì, ìû ìîæåì i =1

ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî íàïèñàòü óñëîâèÿ ñòàöèîíàðíîñòè, îòêóäà ñðàçó ïîëó÷èì

∂G = Qr , ∂q&&r

r = 1,2,..., k ,

(6.4.1)

òàê íàçûâàåìûå óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ. Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü èç ïÿòîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, åñëè ðàññìàòðèâàòü áåñêîíå÷íî ìàëûå, à íå êîíå÷íûå ïðèðàùåíèÿ. Óðàâíåíèÿ (6.4.1) âïåðâûå áûëè ïîëó÷åíû Óèëëàðäîì Ãèááñîì â 1879 ãîäó è ïîäðîáíî èññëåäîâàíû Àïïåëåì äâàäöàòü ëåò ñïóñòÿ. Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé (6.4.1) ÷ëåíû â âûðàæåíèè äëÿ G , íå ñîäåðæàùèå

q&&r , ìîæíî îïóñòèòü.

Ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ (6.4.1) ñëåäóåò äîáàâèòü n − k óðàâíåíèé ãåîìåòðè÷åñêèõ ñâÿçåé k

q& r = ∑ β ri q& i + β r , i =1

r = k + 1, k + 2,..., n ,

(6.4.2)

ïîëó÷åííûõ èç (6.1.6). Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ ïðåäñòàâëÿþò ïðîñòóþ è â òî æå âðåìÿ íàèáîëåå îáùóþ ôîðìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Èñêëþ÷èòåëüíî ïðîñòûå ïî ôîðìå, îíè ñ îäèíàêîâûì óñïåõîì ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû êàê ê ãîëîíîìíûì, òàê è ê íåãîëîíîìíûì ñèñòåìàì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è ïî-

155

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ çâîëÿþò ëåãêî ââîäèòü êâàçèêîîðäèíàòû.

Ïðàâèëà ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ: 1. Îïðåäåëèòü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû k ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. 2. Ñîñòàâèòü ñ ïîìîùüþ k óñêîðåíèé

q&&r âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè

Ãèááñà, íàçûâàåìîé èíîãäà “êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé óñêîðåíèé”

1 n mr &x&r2 , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ôóíêöèþ Ãèááñà G .  îáùåì ∑ 2 r =1 ñëó÷àå â íå¸ âõîäÿò âñå n êîîðäèíàò

qr è ñêîðîñòåé q&r , íî âàæíî òî,

÷òîáû â íå¸ âõîäèëè ëèøü k âûäåëåííûõ óñêîðåíèé

q&&r . Âûäåëåííûå

k êîîðäèíàò qr ìîãóò áûòü êàê îáîáùåííûå, òàê è êâàçèêîîðäèíàòû, â çàâèñèìîñòè îò óäîáñòâà. 3. Ñîñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû çàäàííûõ ñèë íà âèðòóàëük

íîì ïåðåìåùåíèè â ôîðìå

∑ Q δq i =1

i

i

.

4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â âèäå (6.4.1) è äîáàâèòü ê íèì n − k ãåîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñâÿçè (6.4.2). 5. Èç ñîâîêóïíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îïðåäåëèòü

n ïåðåìåííûõ q1 , q2 ,..., qn êàê ôóíêöèé îò t . §6.5. Ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ

1. Ïëîñêîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Ðàññìîòðèì ïëîñêîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ r è θ .  êà÷åñòâå îáîáù¸ííîé (ëàãðàíæåâîé) êîîðäèíàòû âûáåðåì

r , à â êà÷åñòâå êâàçèêîîðäèíàòû âûáåðåì q , ïðè÷¸ì

r2 = x2 + y2 ,

dq = xdy − ydx .

Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèÿ (6.5.1) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

(6.5.1)

156

Ãëàâà øåñòàÿ

rr& = xx& + yy& , q& = xy& − yx& .

(6.5.2)

Âîçâåä¸ì óðàâíåíèÿ (6.5.2) â êâàäðàò

r 2 r& 2 = x 2 x& 2 + 2 xx&yy& + y 2 y& 2 , q& 2 = x 2 y& 2 − 2 xy& yx& + y 2 x& 2 è ñëîæèì, òîãäà èëè

r 2 r& 2 + q& 2 = (x 2 + y 2 )x& 2 + (x 2 + y 2 )y& 2 = r 2 (x& 2 + y& 2 ), r 2 r& 2 + q& 2 = r 2 (x& 2 + y& 2 ).

(6.5.3)

r&r& + r& 2 = x&x& + y&y& + x& 2 + y& 2 .

(6.5.4)

Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå (6.5.2) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

Âûðàçèì èç (6.5.3)

x& 2 + y& 2 è ïîäñòàâèì â (6.5.4), ïîñëå ýëåìåíòàð-

íûõ ïðåîáðàçîâàíèé áóäåì èìåòü

x&x& + y&y& = r&r& −

q& 2 . r2

(6.5.5)

Äèôôåðåíöèðóÿ âòîðîå óðàâíåíèå (6.5.2) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

q&& = x&y& + x&y& − y&x& − y& x& = x&y& − y&x& , èëè

x&y& − y&x& = q&& .

(6.5.6) Âîçâåä¸ì â êâàäðàò (6.5.5) è (6.5.6), ïîñëå ñëîæåíèÿ ïîëó÷èì 2

 q& 2  r (&x& + &y& ) = q&& +  r&r& − 2  . r   2

2

2

2

Òåïåðü ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãèááñà 2 q& 2  q&&2  1 1  2 2 G = m (&x& + &y& ) = m  &r& − 3  + 2  . r  r  2 2   

Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïðèä¸ì ê ðàâåíñòâó

(6.5.7)

157

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ

&r&q& 2 q& 4 q&&2  1  2 & & G = m r − 2 2 + 6 + 2  . r r r  2  q& 4 Îòáðàñûâàÿ íå çàâèñÿùèé îò óñêîðåíèÿ ÷ëåí 6 , îêîí÷àòåëüíî r ïîëó÷èì:

G=

1  2 2 2 1  m &r& − 3 q& &r& + 2 q&&2  . r r 2  

(6.5.8)

Âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãèááñà ìîæíî âûâåñòè è íåïîñðåäñòâåííî, âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì äëÿ ýëåìåíòà ds â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.

ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 .

(6.5.9) Èñïîëüçóÿ Ïðèëîæåíèå V, ñîñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèàëüíîé è òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèé: ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ

q& ar = &r& − rθ& 2 = &r& − 3 ; r 2

(6.5.10)

òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ

q&& aθ = rθ&& + 2 r&θ& = . r

(6.5.11)

Åñëè ðàäèàëüíóþ è òàíãåíöèàëüíóþ ñîñòàâëÿþùèå ñèëû îáîçíà÷èòü ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç

Fr è Fθ , òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ íà âèðòó-

àëüíîì ïåðåìåùåíèè, áóäåò ðàâíà

A = Frδr + Fθ δq

(6.5.12)

è óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ ïðèìóò âèä

 q& 2  m &r& − 3  = Fr , mq&& = rF . θ r  

(6.5.13)

 çàäà÷àõ î äâèæåíèè ïî öåíòðàëüíûì îðáèòàì ñèëîâîå ïîëå ÿâ-

158

Ãëàâà øåñòàÿ

ëÿåòñÿ ðàäèàëüíûì, òî åñòü

Fθ = 0 , è ìû ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü, ÷òî

q& = α , ãäå α - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïåðâîå èç óðàâíåíèé (6.5.13) ïðèìåò âèä  α2  m &r& − 3  = Fr . r   Ïîëàãàÿ

&r& −

Fr = −

(6.5.14)

dV , ïîëó÷èì: dr

α 2 1 dV + = 0. r 3 m dr

Ïîñëå óìíîæåíèÿ íà dr ïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî ïðèìåò âèä:

&r&dr −

α2 1 dr + dV = 0 . 3 r m

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

r&dr& −

&r&dr =

dr& dr dr = dr& = r&dr& , ìîæåì íàïèñàòü: dt dt

α2 1 dr + dV = 0 . 3 r m

Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå, ïîëó÷èì ïåðâûé èíòåãðàë äâèæåíèÿ

1 2 α2 1 r& + 2 + V = h , 2 2r m èëè

r& 2 +

2 α2 V + 2 = 2h . m r

(6.5.15)

159

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ

2. Äâèæåíèå ïëîñêîé òâ¸ðäîé ïëàñòèíêè â ñâîåé ïëîñêîñòè. Äëÿ èçó÷åíèÿ äâèæåíèÿ ïëîñêîé òâ¸ðäîé ïëàñòèíêè â ïëîñêîñòè ñâîåãî äâèæåíèÿ, ìû âûáåðåì â êà÷åñòâå ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèþ”, ñâÿçàâ ñ íåé äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå öåíòðà òÿæåñòè ïëàñòèíêè. Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ïëàñòèíêè ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îòíîy ñèòåëüíî ñèñòåìû îñåé, ñîõðàíÿy′ A þùèõ íåèçìåííîå íàïðàâëåíèå, y ñ íà÷àëîì â öåíòðå òÿæåñòè ïëàñòèíêè. θ yc C Ïóñòü xc , y c êîîðäèíàòû x′ öåíòðà òÿæåñòè. Òîãäà ìû ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ïåðâîé ÷àñòè ôóíêöèè Ãèááñà, ñîîòâåòñòâóþùåå äâèæåíèþ öåíòðà òÿæåñòè

Gc = ãäå

O

1 1 M (&x&c2 + &y&c2 ) = Mac2 , 2 2

xc

x

Ðèñ.18.

x

(6.5.16)

M ìàññà ïëàñòèíêè.

Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ âòîðîé ÷àñòè ôóíêöèè Ãèááñà, ñîîòâåòñòâóþùåé âðàùàòåëüíîìó äâèæåíèþ ïëàñòèíêè âîêðóã öåíòðà òÿæåñòè. Âûáåðåì íà ïëàñòèíêå íåêîòîðóþ ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó À ñ êîîðäèíàòàìè x, y (ñì. ðèñ.18). Ñîñòàâèì äëÿ íå¸ ôóíêöèþ Ãèááñà

Gθ A =

1 m(&x&2 + &y&2 ) , 2

(6.5.17)

ãäå m - ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À. Ìû ìûñëåííî ðàçáèëè ïëàñòèíêó íà íåêîòîðîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îäèíàêîâîé ìàññû m , äâèæóùèõñÿ êàê îäíî öåëîå. Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Òàê êàê

x = r cosθ , y = r sinθ , òî

160

Ãëàâà øåñòàÿ

x& = − r sin θθ& , y& = r cosθθ& , à 2 &x& = − r cosθθ& 2 − r sin θθ&& , &y& = − r sin θθ& + r cosθθ&& .

Âîçâåä¸ì ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À â êâàäðàò è ïîäñòàâèì â (6.5.17)

Gθ A =

(

)

1 m r 2θ&&2 + r 2θ& 4 . 2

(6.5.18)

Ïîìíÿ î òîì, ÷òî ñëàãàåìûå, íå ñîäåðæàùèå óñêîðåíèÿ, íåñóùåñòâåííû, ìû ìîæåì íàïèñàòü

Gθ A = ãäå

1 2 &&2 1 &&2 mr θ = I Aθ , 2 2

(6.5.19)

I A - ìîìåíò èíåðöèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À îòíîñèòåëüíî îñè, ïðî-

õîäÿùåé ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ïëàñòèíêè. Ôóíêöèÿ Ãèááñà ïðèìåò âèä

G = Gc + ∑ Gθ = A

1 1 Mac2 + ∑ I Aθ&&2 , 2 2

èëè îêîí÷àòåëüíî

G= ãäå

1 1 Mac2 + Iθ&&2 , 2 2

(6.5.20)

I = ∑ I A - ìîìåíò èíåðöèè ïëîñêîé ïëàñòèíêè îòíîñèòåëüíî îñè,

ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ ïëàñòèíêè. Äëÿ áîëåå ïîëíîãî çàêðåïëåíèÿ èçëîæåííîé âûøå òåîðèè, ðåøèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Çàäà÷à 28. Îäíîðîäíûé òâ¸ðäûé öèëèíäð ðàäèóñà

r1 êàòèòñÿ ïî âíóòðåííåé

ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæíîãî ïîëîãî öèëèíäðà ðàäèóñà

r2 . Ñîñòàâèòü

161

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ

óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êàòÿùåãîñÿ öèëèíäðà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îñè öèëèíäðîâ ãîðèçîíòàëüíû, à ïîâåðõíîñòè øåðîõîâàòûå, òî åñòü ïðîñêàëüçûâàíèå èñêëþ÷åíî, è êàòÿùèéñÿ öèëèíäð íå îòðûâàåòñÿ îò íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà âî âñ¸ âðåìÿ ñâîåãî äâèæåíèÿ. Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

( )

Íàéòè

F θ ,θ&&

Äàíî

r1 ,

b

r2 . Ðåøåíèå çàäà÷è. Âûáåðåì ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèÿ”, ïîìåñòèâ íà÷àëî ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â öåíòð íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ.  äàííîé çàäà÷å ìû èìååì îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû, òî åñòü k = 1 . Ïóñòü â ïîëîæå-

a

O

θ A

r2

Ðèñ. 19.

r1

ϕ

θ

B

A

A′ íà ïîâåðõíîñòè ïîäâèæíîãî öèëèíäðà ñîâïàäàëà ñ íàèíèçøåé òî÷êîé A íà ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà. íèè ðàâíîâåñèÿ òî÷êà

Åñëè òî÷êà ñîïðèêîñíîâåíèÿ êàòÿùåãîñÿ öèëèíäðà ïåðåìåñòèòñÿ â òî÷êó B , òî íà îñíîâàíèè òîãî, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò áåç ïðîñêàëüçû-

A′B ðàâíÿåòñÿ äëèíå äóãè AB , èëè r1 (θ + ϕ ) = r2θ . Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå r = r2 − r1 , ïåðåïèøåì

âàíèÿ, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî äëèíà äóãè ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå

r1ϕ = rθ .

(6.5.21)

Ôóíêöèÿ Ãèááñà áóäåò ñîñòîÿòü èç ñîñòàâëÿþùåé, îáóñëîâëåííîé âðàùåíèåì ïîäâèæíîãî öèëèíäðà âîêðóã îñè íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà, è èç ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ïîäâèæíîãî öèëèíäðà

162

Ãëàâà øåñòàÿ

G= ãäå

(

)

1 11  m r 2θ&&2 + r 2θ& 4 +  mr12 ϕ&&2 , 2 22 

(6.5.22)

1 2 mr1 - ìîìåíò èíåðöèè ïîäâèæíîãî öèëèíäðà. 2 Ó÷èòûâàÿ (6.5.21) è òî, ÷òî ñëàãàåìîå r 2θ& 4 êàê íåñóùåñòâåííîå

ìîæíî îïóñòèòü, âûðàçèì ôóíêöèþ Ãèááñà ÷åðåç îäíó ïåðåìåííóþ

G=

3 2 &&2 mr θ . 4

(6.5.23)

Ðàáîòà çàäàííûõ ñèë (ñèëû òÿæåñòè) íà âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ðàâíà

mqδ (r cosθ ) = − mqr sin θδθ .

(6.5.24)

Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå

3 2 && mr θ = − mqr sin θ 2 èëè

2q θ&& + sin θ = 0 . 3r

(6.5.25)

Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèþ êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà äëèíîé

3 r. 2

3. Àíàëîã òåîðåìû ʸíèãà. Äëÿ ëþáîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñïðàâåäëèâà òåîðåìà îá óñêîðåíèÿõ, àíàëîãè÷íàÿ èçâåñòíîé òåîðåìå ʸíèãà î ñêîðîñòÿõ. Ïóñòü

ξ ,ζ ,η - êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, à α , β , γ - êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî öåíòðà òÿæåñòè. Òîãäà äëÿ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî

163

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ

x =ξ +α , y =ζ + β , z =η + γ .

(6.5.26) Êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ äâèæåíèåì öåíòðà òÿæåñòè, à äðóãàÿ – äâèæåíèåì îòíîñèòåëüíî öåíòðà òÿæåñòè, òî åñòü èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè òåëà ïðè öåíòðå òÿæåñòè, ïðèíèìàåìîì íåïîäâèæíûì (òåîðåìà ʸíèãà).

T= =

1 m (x& 2 + y& 2 + z& 2 ) = ∑ 2

{(

) (

}

)

2 2 1 2 m ξ& + α& + ζ& + β& + (η& + γ& ) . ∑ 2

(6.5.27)

Òàê êàê

∑ mα& = ∑ mβ& = ∑ mγ& = 0 ,

òî îêîí÷àòåëüíî òåîðåìà ʸíèãà äëÿ ñêîðîñòåé áóäåò èìåòü âèä:

T=

(

)

(

)

1 1 M ξ&2 + ζ& 2 + η& 2 + ∑ m α& 2 + β& 2 + γ& 2 . 2 2

(6.5.28)

Âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè Ãèááñà çàïèøåòñÿ â ôîðìå

G=

(

)

(

)

1 1 M ξ&&2 + ζ&&2 + η&&2 + ∑ m α&&2 + β&&2 + γ&&2 . 2 2

(6.5.29)

×òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îñíîâíîãî ñâîéñòâà öåíòðà òÿæåñòè, ñîãëàñíî êîòîðîìó

∑ mα&& = ∑ mβ&& = ∑ mγ&& = 0 .

(6.5.30)

Çàìå÷àíèå. Åñëè ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ òâ¸ðäûõ òåë, òî óäîáíåå (êàê è â ñëó÷àå ñ òåîðåìîé ʸíèãà) ïðèìåíÿòü òåîðåìó ê êàæäîìó òâ¸ðäîìó òåëó â îòäåëüíîñòè, à íå êî âñåé ñèñòåìå â öåëîì.

Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

165

Ãëàâà VII Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ  ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Óñòàíàâëèâàåòñÿ åãî ñâÿçü ñ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà, Ãàìèëüòîíà, Ðàóññà è ïðèíöèïîì Ãàìèëüòîíà. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå î ãëàâíîé ôóíêöèè, è ðàññìàòðèâàþòñÿ å¸ ñâîéñòâà.

§7.1. Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ Ðàññìîòðèì êîíñåðâàòèâíóþ ãîëîíîìíóþ (íîðìàëüíóþ) ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.  ñîîòâåòñòâèè ñ §3.3 äëÿ òàêîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ: 1) ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó q r è x r íå ñîäåðæàò ÿâíî âðåìÿ t , 2) çàäàííûå ñèëû êîíñåðâàòèâíû, 3) ñèñòåìà ãîëîíîìíà è îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû âûáðàíû òàê, ÷òî

n = l (÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî) è ÷åòâ¸ðòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.1.14) ñïðàâåäëèâà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé

δq1 , δq2 ,..., δqn . Íàïèøåì ÷åòâ¸ðòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå

 d  ∂L  ∂L   − δqr = 0 , r =1   r  ∂qr  n

∑  dt  ∂q&

(7.1.1)

êîòîðàÿ âñëåäñòâèå ïðîèçâîëüíîñòè âàðèàöèé

δq1 , δq2 ,..., δqn ýêâèâà-

ëåíòíà n óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà

d dt

 ∂L   ∂ q& r

 ∂L  − =0,  ∂q r

r = 1,2 ,..., n .

Ñîñòàâèì âàðèàöèþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà

(3.6.3)

L = L(q ,q& ,t ) ïðè ïðîèç-

Ãëàâà

166 âîëüíûõ

ñåäüìàÿ

qr è q& r è íåèçìåííîì âðåìåíè t :

n  ∂L  ∂L δL = ∑  δq r + δq& r  . ∂q& r r =1  ∂q r 

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

pr =

d  ∂L ∂L ∂L ,à =  ∂q& r ∂q r dt  ∂q& r

(7.1.2)

  = p& r â ñîîòâåòñòâèè 

ñ (3.6.3), ïåðåïèøåì (7.1.2) â âèäå n

∑ ( p& δq r

r =1

r

+ p r δq& r ) = δL ,

(7.1.3)

ïðåäñòàâëÿþùèì ñîáîé øåñòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, ñïðàâåäëèâóþ ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ δqr è δq& r . Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ íàèáîëåå óäîáíà äëÿ îïèñàíèÿ íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.

§7.2. Ýêâèâàëåíòíîñòü øåñòîé ôîðìû îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà è Ãàìèëüòîíà Øåñòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ìû ïîëó÷èëè èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà. Ðåøèì îáðàòíóþ çàäà÷ó – âûâåäåì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èç óðàâíåíèÿ (7.1.3). Òàê êàê øåñòàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâà ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ìîæåì çàïèñàòü

pr =

∂L , ∂q& r

p& r =

δqr è δq& r , òî, ñðàâíèâàÿ åãî ñ (7.1.2), ìû

∂L , r = 1,2,..., n . ∂qr

(7.2.1)

Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî

d dt

 ∂L   ∂ q& r

 ∂L  = , r = 1,2,..., n .  ∂q r

Ðàññìîòðèì âàðèàöèþ îò ôóíêöèè

(7.2.2)

Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ n

∑ p q&

r r

r =1

−L=H .

167 (7.2.3)

n  n  δ ∑ pr q& r − L  = δ∑ ( pr q&r ) − δL = r =1  r =1  n

= ∑ (q& r δpr + pr δq& r − p& r δqr − pr δq& r ) = r =1 n

= ∑ (q& r δpr − p& r δqr ) .

(7.2.4)

r =1

Óðàâíåíèÿ íåéíûå ïî çàòåì

pr =

∂L , ∂q&r

r = 1,2,..., n , îïðåäåëÿþùèå pr è ëè-

q&r , ïîçâîëÿþò íàéòè q&r êàê ôóíêöèè îò qr , pr , t . Èñêëþ÷èâ

q&r â âûðàæåíèè pr q&r − L , ïîëó÷èì ôóíêöèþ H .  èñõîäíîì

óðàâíåíèè (7.1.3) âàðèàöèè δqr è δq& r áûëè ïðîèçâîëüíû, ïîýòîìó ïðîèçâîëüíûìè îíè áóäóò è â óðàâíåíèè n

∑ (q& δp r =1

r

r

− p& r δqr ) = δH .

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âàðüèðóÿ

(7.2.4)

H = H (q , p ,t ) ïî qr è pr , ïîëó÷èì

n  ∂H  ∂H δH = ∑  δqr + δpr  . ∂pr r =1  ∂qr 

Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ âàðèàöèÿõ, ìîæåì çàïèñàòü óðàâíåíèÿ

q& r =

∂H , ∂pr

p& r = −

∂H , ∂qr

r = 1,2,..., n ,

êîòîðûå åñòü íå ÷òî èíîå, êàê óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà. Ôóíêöèÿ

(7.2.5)

H ÿâëÿ-

Ãëàâà

168

ñåäüìàÿ

åòñÿ íîâîé îïèñûâàþùåé ôóíêöèåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî åñòü ôóíêöèåé, ïî êîòîðîé ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ H íåÿâíî ñîäåðæèò â ñåáå ïîëíîå îïèñàíèå âîçìîæíûõ äâèæåíèé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.

§7.3. Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ è ôóíêöèÿ Ðàóñà Ïîñòðîèì îïèñûâàþùóþ ôóíêöèþ òàê, ÷òîáû ïåðâûå m ïàð óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (7.2.5) èìåëè ãàìèëüòîíîâó ôîðìó, à îñòàëüíûå n − m - ëàãðàíæåâó. m

Ðàññìîòðèì âàðèàöèþ îò ôóíêöèè

L − ∑ pr q& r = R , â êîòîðîé m r =1

ïåðâûõ îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé èìïóëüñû

q&1 , q&2 ,..., q&m çàìåíåíû íà îáîáù¸ííûå

p1 , p2 ,..., pm .

m m   δ L − ∑ pr q& r  = δL − δ∑ pr q& r = r =1 r =1   n

m

r =1

r =1

∑ ( p& r δqr + pr δq& r ) − ∑ ( pr δq& r + q& r δpr ) = δR . Èëè m

δR = ∑ p& r δqr + r =1

m

m

r =1

r =1

n

m

r = m +1

r =1

∑ p& r δqr + ∑ pr δq&r +

− ∑ pr δq& r − ∑ q& r δpr . Âàðüèðóÿ

n

∑ p δq&

r = m +1

r

r

− (7.3.1)

R = R (q1 ,q2 ,...,qn ; p1 , p2 ,..., pm ; q&m +1 ,q&m + 2 ,...,q&n ; t ) ïî

qr , pr , q&r , ïîëó÷èì

Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

169

m n  ∂R   ∂R  ∂R ∂R δR = ∑  δqr + δpr  + ∑  δqr + δq& r  . ∂pr ∂q& r r =1  ∂qr  r = m +1  ∂qr 

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûøå óðàâíåíèå ñ (7.3.1), çàïèøåì:

q& r = − p& r =

∂R ∂R &r = , p , r = 1,2,..., m , ∂pr ∂qr

∂R , ∂qr

pr =

∂R , r = m + 1, m + 2,..., n . ∂q& r

(7.3.2)

(7.3.3)

Ïåðâûå

m ïàð óðàâíåíèé (7.3.2) èìåþò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó, ðîëü ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H èãðàåò (ñì. 7.2.5) ôóíêöèÿ (− R ) , îñòàëüíûå n − m ïàð – ëàãðàíæåâó ôîðìó (ðîëü ôóíêöèè L èãðàåò ôóíêöèÿ R ). ×òîáû ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ðàóñà R , íàäî ðåøèòü m ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

pr =

∂L , r = 1,2,..., m , îòíîñèòåëüíî q&1 , q& 2 ,..., q& m , âûðà∂q& r

p1 , p2 ,..., pm , q&m +1 , q&m + 2 ,..., q&n , q1 , q2 ,..., qn , t . Íàèáîëåå èíòåðåñåí ñëó÷àé, êîãäà ïåðâûå m îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè.  ýòîì ñëó÷àå ïåðâûå m îáîáù¸ííûõ èìïóëüñîâ p1 , p2 ,..., pm â ïðîöåññå äâèæåíèÿ îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè è çèâ èõ ÷åðåç

ôóíêöèÿ Ðàóñà R èãðàåò ðîëü ôóíêöèè Ëàãðàíæà n − m ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îïèñûâàåìîé

qm +1 , qm + 2 ,..., qn .

L äëÿ ñèñòåìû ñ êîîðäèíàòàìè

Ãëàâà

170

ñåäüìàÿ

d ( p r δqr ) = δL dt

§7.4. Òåîðåìà

Ðàññìîòðèì øåñòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ â óïðîù¸ííîé çàïèñè (áåç çíàêà ñóììèðîâàíèÿ)

p& r δqr + pr δq&r = δL . (7.4.1) Áóäåì ñóäèòü î äâèæåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïî äâèæåíèþ èçîáðàæàþùåé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå n èçìåðåíèé ñ êîîðäèíàòàìè

q1 , q2 ,..., qn . Ðàññìîòðèì èñòèííóþ òðàåêòîðèþ ñèñòåìû, òî åñòü òðàåêòîðèþ â q - ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ. Ðàññìîòðèì âàðèàöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïåðåõîäó îò òî÷êè

q1 , q2 ,..., qn ê òî÷êå q1 + δq1 , q2 + δq2 ,..., qn + δqn , äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè. Âàðüèðîâàííàÿ òðàåêòîðèÿ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé òðàåêòîðèåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî åñòü íå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ. Âàðèàöèè ïðè ýòîì ïðîèçâîëüíû è ïîä÷èíåíû ëèøü îäíîìó óñëîâèþ: êàæäàÿ èç âàðèàöèé

δqr åñòü ôóíêöèÿ

îò t êëàññà C2 . Ó÷èòûâàÿ ñèíõðîííîñòü âàðèàöèé (îïóñêàÿ çíàê ñóììèðîâàíèÿ), ìû ìîæåì íàïèñàòü

δq& r =

d δqr , dt

r = 1,2,..., n .

(7.4.2)

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (7.4.1) ñ ó÷¸òîì (7.4.2)

p& r δqr + pr δq&r =

d d d pr δqr + pr δqr = ( pr δqr ) = δL , dt dt dt

èëè

d ( pr δqr ) = δL . dt

(7.4.3)

Óðàâíåíèå (7.4.3) ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ðüèðîâàíèåì

pr δqr ðàâíà âàðèàöèè L , îáóñëîâëåííîé ñèíõðîííûì âà-

δqr è δq& r .

Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

171

Óðàâíåíèå (7.4.3) ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíî âàðüèðîâàííûõ ïóòåé, òðåáóåòñÿ òîëüêî, ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè èñõîäíîãî è íîâîãî ïóòåé îòíîñèëèñü ê îäíîìó è òîìó æå ìîìåíòó âðåìåíè è ÷òîáû êàæäîå δqr ∈ C2 , à íîâûé ïóòü ìîæåò è íå áûòü äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèåé.

§7.5. Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà Âûâåäåì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû (7.4.3) ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà äëÿ ãîëîíîìíûõ êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïðîèíòåãðèðóåì (7.4.3). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

d ( pr δqr ) = δLdt , ïîëó-

÷èì t1

p r 0 qr 0

t0

p r 1 δq r 1

∫ δLdt = ∫ d (p δq ) = p r

ãäå

r

δqr1 − pr 0δqr 0 ,

r1

(7.5.1)

pr 0 , qr 0 âåëè÷èíû pr , qr â ìîìåíò âðåìåíè t0 , pr1 , qr1 - òåæå âåëè÷èíû â ìîìåíò âðåìåíè t1 . Åñëè â ìîìåíòû

t0 è t1 âàðèàöèÿ δqr îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî

t1

∫ δLdt = 0 ,

(7.5.2)

t0

÷òî ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà. Óðàâíåíèÿ (7.5.1) è (7.5.2) ìîæíî çàïèñàòü è òàê: t1

δ ∫ Ldt = pr1δqr1 − pr 0δqr 0 ,

(7.5.3)

t0 t1

δ ∫ Ldt = 0 .

(7.5.4)

t0

Èñõîäíûé èíòåãðàë áåð¸òñÿ âäîëü äóãè äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòî-

Ãëàâà

172

ñåäüìàÿ

ðèè â q -ïðîñòðàíñòâå (âäîëü ïóòè, óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ). Âàðüèðîâàííûé èíòåãðàë áåð¸òñÿ âäîëü äîïóñòèìîãî ïóòè, êîòîðûé, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèåé.

§7.6. Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ, ââåä¸ííàÿ Ãàìèëüòîíîì â 1834 ãîäó, ïîäñêàçàíà ìåòîäàìè, ïðèìåíÿåìûìè â ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêå, è ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äèíàìè÷åñêè âîçìîæíûå äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. t1

 ÿâíîì âèäå ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ S åñòü èíòåãðàë

∫ Ldt , âçÿòûé

t0

âäîëü äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè (ïóòü â q - ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ) è âûðàæåííûé ÷åðåç íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò, à òàê æå íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå çíà÷åíèå âðåìåíè:

S = S (q10 , q20 ,..., qn 0 ; q11 , q21 ,..., qn1 ; t0 , t1 ),

(7.6.1)

èëè â êðàòêîé çàïèñè

S = S (qr 0 ; qr1 ; t0 , t1 ) .

(7.6.2)

Ðàññìîòðèì ïðàâèëà ïîñòðîåíèÿ ãëàâíîé ôóíêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû çíàåì èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ Ëàãðàíæà, òîãäà êàæäàÿ êîîðäèíàòà öèÿ îò

q r åñòü èçâåñòíàÿ îäíîçíà÷íàÿ ôóíê-

n ïåðåìåííûõ q r 0 , n ïåðåìåííûõ q& r 0 ( q&r 0 åñòü q& r â ìîìåíò

âðåìåíè

t0 ), à òàê æå ìîìåíòîâ âðåìåíè t0 è t .

Òàêèì îáðàçîì, íàì èçâåñòíû ôóíêöèè

qs = ϕ s (qr 0 ; q&r 0 ; t0 , t ) ,

s = 1,2,..., n .

Òåïåðü ìîæíî ñîñòàâèòü ôóíêöèþ

(7.6.3)

L ÷åðåç 2 n + 1 ïàðàìåòðîâ

(qr 0 ; q&r 0 ; t0 ) è ïåðåìåííóþ t . Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ îò t0 äî

t 1 , ìû ïîëó÷èì å¸ âûðàæåíèå ÷åðåç n ïàðàìåòðîâ qr 0 , n ïàðàìåò-

Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ðîâ q& r 0 , à òàê æå ÷åðåç t1

∫ Ldt = ∑ (q

r0

173

t0 è t1 :

; q&r 0 ; t0 , t1 ) .

(7.6.4)

t0

Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè

t 1 äîñòèãàåòñÿ òî÷êà q11 , q21 ,..., qn1 , äëÿ

êîòîðîé ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ôóíêöèè

qs1 = ϕ s1 (qr 0 ; q& r 0 ; t0 , t1 ) , s = 1,2,..., n .

Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (7.6.5) ìû ìîæåì èñêëþ÷èòü íèé (7.6.4), âûðàçèâ èõ ÷åðåç

(7.6.5)

q& r 0 èç óðàâíå-

qr1 , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ìû ïîëó÷èì èñêî-

ìóþ ãëàâíóþ ôóíêöèþ S :

∑ (q

r0

; q& r 0 ; t0 , t1 ) = S (qr 0 ; qr1 ; t0 , t1 ).

Èç (7.6.6) ñëåäóåò, ÷òî

(7.6.6)

q& r 0 èãðàåò âñïîìîãàòåëüíóþ ðîëü è â îêîí-

÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò íå âõîäèò. Ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü S îò å¸ 2 n + 2 àðãóìåíòîâ. Ôèêñèðóÿ

t0 è t1 , ïîëó÷èì äëÿ âàðèàöèé êîíå÷íûõ òî÷åê â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.6.6), (7.6.4) è (7.5.3) t1

δS = ∫ δLdt = pr1δqr1 − pr 0δqr 0 ,

(7.6.7)

t0

ãäå íè

pr 0 , pr1 - ñîñòàâëÿþùèå îáîáù¸ííîãî èìïóëüñà â ìîìåíòû âðåìåt0 è t1 , äëÿ êîòîðûõ ìû ìîæåì íàïèñàòü pr 0 = −

∂S , ∂qr 0

Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî

pr1 =

∂S . ∂qr1

(7.6.8)

Ãëàâà

174

δS =

∂S ∂S δqr 0 + δqr1 . ∂qr 0 ∂qr1

Ðàññìîòðèì òåïåðü âàðèàöèþ âðåìåíè íà òðàåêòîðèè â ìîìåíò âðåìåíè ÷èì

L1 =

ñåäüìàÿ

t1 . Ïóñòü L1 - çíà÷åíèå L

t1 . Òîãäà â ñèëó (7.6.4) è (7.6.6), ïîëó-

∂ S ∂ q r1 ∂Σ ∂S = + , ∂ t1 ∂ t1 ∂ q r 1 ∂ t1

(7.6.9)

èëè ñ ó÷¸òîì (7.6.8) è (7.2.3)

∂S = − pr1q& r1 + L1 = − ( pr1q& r1 − L1 ) = − H1 , ∂t1 Ðàññìîòðèì âàðèàöèþ âðåìåíè åì III ï.2 âàðèàöèÿ

− L0 =

(7.6.10)

t0 . Â ñîîòâåòñòâèè ñ Ïðèëîæåíè-

L íà íèæíåì ïðåäåëå áóäåò óìåíüøàòüñÿ.

∂Σ ∂S ∂S q&r 0 , = + ∂t0 ∂t0 ∂qr 0

èëè

∂S = p r 0 q& r 0 − L0 = H 0 , ∂ t0 ãäå

(7.6.11)

H1 - çíà÷åíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H â çàäàííîì äâèæåíèè â ìî-

ìåíò âðåìåíè

t1 ,

ìîìåíò âðåìåíè

H 0 - çíà÷åíèå ôóíêöèè H â çàäàííîì äâèæåíèè â

t0 .

Äëÿ âàðèàöèè ïî âñåì 2 n + 2 àðãóìåíòàì, ñ ó÷¸òîì (7.6.7), (7.6.10) è (7.6.11), ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî

dS = èëè

∂S ∂S ∂S ∂S dt0 + dt1 , δqr 0 + δqr1 + ∂qr 0 ∂qr1 ∂t0 ∂t1

Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

175

dS = pr1dqr1 − pr 0 dqr 0 − H1dt1 + H 0 dt0 .

(7.6.12)

§7.7. Ñâîéñòâà ãëàâíîé ôóíêöèè Ðàññìîòðèì ñîîòíîøåíèÿ, çàäàþùèå ïàðàìåòðîâ

qr1 â çàâèñèìîñòè îò t1 (è

qr 0 ; pr 0 ; t0 ).

∂S = − pr 0 , ∂qr 0

r = 1,2,..., n .

(7.7.1)

Îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, îïðåäåëÿþùèå ÿâíîå âûðàæåíèå äâèæåíèÿ â q - ïðîñòðàíñòâå. Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ (7.7.1) äàþò îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è Ëàãðàíæà. Àíàëîãè÷íî, ñîîòíîøåíèÿ

∂S = p r1 , ∂ q r1 âûðàæàþò

r = 1,2,..., n ,

(7.7.2)

pr1 ÷åðåç qr1 (à òàêæå q r 0 , t 0 , t1 ).

Âûðàæåíèÿ (7.7.1) è (7.7.2) îïðåäåëÿþò (è ïàðàìåòðîâ

qr1 è pr1 êàê ôóíêöèè t1

q r 0 ; p r 0 ; t0 ), ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé èíòåãðàëû óðàâíåíèé

Ãàìèëüòîíà, îïðåäåëÿþò äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå è äàþò îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è Ãàìèëüòîíà. 1.Åñëè ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà

L íå çàâèñèò ÿâíî îò t , òî t0 è t1 âõî-

äÿò â âûðàæåíèå äëÿ ãëàâíîé ôóíêöèè S â êîìáèíàöèè

(t1 − t0 ) ,

H1 = H 0 è ôîðìóëà (7.6.12) ïðèìåò âèä dS = pr1dqr1 − pr 0 dqr 0 − H1d (t1 − t0 ) .

(7.7.3)

2. Ôóíêöèÿ S èìååò íåïðåðûâíûå âòîðûå ïðîèçâîäíûå, à îïðåäåëèòåëü

Ãëàâà

176

∂2S ∂q10∂q11 ∂2S ∂q20∂q11 ... ∂2S ∂qn 0∂q11

∂2S ∂q10∂q21 ∂2S ∂q20∂q21 ... ∂2S ∂qn 0∂qn1

ñåäüìàÿ

∂2S ∂q10∂qn1 ∂2S ∂2S ... = ≠ 0 , (7.7.4) ∂q20∂qn1 ∂qr 0∂qs1 ... ... ∂2S ... ∂qn 0∂qn1 ...

÷òî îáåñïå÷èâàåò íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ

pr1 è qr 0 , à òàêæå t0 è t1 .

3. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ. ßêîáèàí

∂ (q11 , q21 ,..., qn1 , p11 , p21 ,..., pn1 ) = +1 . ∂ (q10 .q20 ,..., qn 0 , p10 , p20 ,..., pn 0 )

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå îò

(7.7.5)

(qr 0 , pr 0 ) ê (qr1 , pr1 ) , îñó-

ùåñòâëÿåìîå èíòåãðàëàìè óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà (ïðè ôèêñèðîâàííûõ

t0 è t1 ), îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñîõðàíåíèÿ ïðîòÿæ¸ííîñòè (îáú¸ìà, ìåðû) ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. 4. Ñîîòíîøåíèÿ (7.7.1) è (7.7.2) äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Ãàìèëüòîíà, âûðàæàÿ

qr1 è pr1 ÷åðåç 2n ïàðàìåòðîâ qr 0 è pr 0 . Ïðåäïîëîæèì òå-

ïåðü, ÷òî ìû õîòèì ïåðåéòè ê íîâîé ñèñòåìå 2n ïàðàìåòðîâ ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé íåçàâèñèìûå ôóíêöèè îò

αr ,βr ,

qr 0 è pr 0 ñ íåïðåðûâ-

íûìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè è óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ

β r dαr = pr 0 dqr 0

(7.7.6)

(çíàê ñóììèðîâàíèÿ äëÿ êðàòêîñòè îïóùåí). Ïåðåõîä îò

(qr 0 , pr 0 ) ê (αr , β r ) íàçûâàåòñÿ êîíòàêòíûì ïðåîá-

ðàçîâàíèåì. Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ S , âûðàæåííàÿ ÷åðåç 2 n + 2 ïåðåìåííûõ

Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

(qr1 ; αr ; t0 , t1 ) , ïðèìåò âèä: S (qr 0 ; qr1 ; t0 , t1 ) = S ′(αr ; qr1 ; t0 , t1 ).

177

(7.7.7)

Ôîðìóëà (7.6.12) çàïèøåòñÿ òàê

dS ′ = pr1dqr1 − β r dαr − H1dt1 + H 0 dt0 .

(7.7.8)

Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóþò ôîðìóëû

∂S ′ = −β r , r = 1,2,..., n , ∂αr ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Ëàãðàíæà è îïðåäåëÿþùèå

(7.7.9)

q r1 ÷åðåç

α r , β r , t0 , t1 , è ∂S ′ = pr1 , r = 1,2,..., n , ∂qr1

(7.7.10)

äàþùèå ñîâìåñòíî ñ (7.7.9) ðåøåíèå çàäà÷è Ãàìèëüòîíà, âûðàæàÿ

qr1 è

pr1 ÷åðåç α r , β r , t0 , t1 . 5. Ïðåîáðàçîâàíèå

∂ (qr1 ; pr1 ) = +1 . ∂ (αr , β r )

(αr , β r ) â (qr1; pr1 ) ñîõðàíÿåò ìåðó (7.7.11)

178

Ãëàâà

ñåäüìàÿ

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

179

Ãëàâà VIII Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, äîêàæåì òåîðåìó Ãàìèëüòîíà-ßêîáè è ðàññìîòðèì ïðèëîæåíèÿ òåîðåìû Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Èçëîæåíèå äàííîãî âîïðîñà ñ òî÷êè çðåíèÿ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ìîæíî íàéòè â Ïðèëîæåíèè III.

§8.1. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ èãðàëà áû ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â èçó÷åíèè äâèæåíèÿ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, åñëè áû å¸ ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü áåç ïðåäâàðèòåëüíîãî çàäàíèÿ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Ïîñòàâèì ïåðåä ñîáîé çàäà÷ó îòûñêàíèÿ ãëàâíîé ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ïîëíîãî èíòåãðàëà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, êîòîðûé ìû ïîëó÷èì äàëåå. Ñäåëàåì íåñêîëüêî ïðåäâàðèòåëüíûõ çàìå÷àíèé: äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé ïîëîæèì

t0 = 0 ; âìåñòî íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé

(qr 0 , pr 0 ) â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþùèõ òðàåêòîðèþ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, âîçüì¸ì (α r , β r ) . Ýòè âåëèêîîðäèíàò è èìïóëüñîâ

÷èíû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò

qr 0 , pr 0 ñ íåïðåðûâíûìè ïåðâûìè ïðîèç-

âîäíûìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ (7.7.6)

β r dαr = pr 0 dqr 0 .

(7.7.6)

 ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû îïðåäåëÿëè òðàåêòîðèþ ñ ïîìîùüþ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé êîîðäèíàò è ìîìåíòàìè âðåìåíè

t0 è t1 . Òåïåðü, â

ñîîòâåòñòâèè ñî ñäåëàííûìè âûøå ïðåäïîëîæåíèÿìè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òðàåêòîðèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíàìè

α r , qr1 , t1 ( t0 ðàâíî íóëþ), à ãëàâ-

íóþ ôóíêöèþ S âûðàçèì ÷åðåç ýòè 2 n + 1 ïåðåìåííûõ. Åñòü ñìûñë îïóñòèòü èíäåêñ 1 â ñèìâîëàõ

t1 è H1 (ñì. (7.7.7) è (7.7.8)), òàê êàê

Ãëàâà

180 ñèìâîëû

âîñüìàÿ

qr 0 , pr 0 çàìåíåíû íà α r , β r , à t0 = 0 .

Òåïåðü, ñ ó÷¸òîì ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèé, îïóñòèâ äëÿ êðàòêîñòè çíàê ñóììû, çàïèøåì ãëàâíóþ ôóíêöèþ, â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.7.7) è (7.7.8), êàê

S = S (q1 , q2 ,..., qn , α1; α2 ,..., αn ; t )

(8.1.1)

dS = pr dqr − β r dα r − Hdt .

(8.1.2)

è Äàëåå â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.7.9) è (7.7.10) ìîæåì çàïèñàòü:

∂S = −β r , r = 1,2,..., n , ∂αr

(8.1.3)

∂S = pr , ∂qr

(8.1.4)

r = 1,2,..., n ,

∂S = −H . ∂t

(8.1.5)

Ðàíåå ìû îòìå÷àëè, ÷òî

n óðàâíåíèé òèïà (8.1.3) äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Ëàãðàíæà, òàê êàê ïîçâîëÿþò âûðàçèòü âñå qr ÷åðåç α r ,β r , t , à 2n óðàâíåíèé (8.1.3) è (8.1.4) äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Ãàìèëüòîíà, âûðàæàÿ

qr è pr ÷åðåç α r ,β r , t . Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà

H (ñì. (7.6.10)), âõîäÿùàÿ â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8.1.5), åñòü èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ îò qr , pr , t : H = H (q1 , q2 ,..., qn ; p1 , p2 ,..., pn ; t ).

(8.1.6)

Ó÷èòûâàÿ (8.1.4), ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (8.1.6) â ñëåäóþùåì âèäå

 ∂S ∂S ∂S  , ,..., ;t  . H = H  q1 , q2 ,..., ∂q1 ∂q2 ∂qn   Ïîäñòàâèì (8.1.7) â óðàâíåíèå (8.1.5)

(8.1.7)

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

 ∂S ∂S ∂S ∂S  + H  q1 , q2 ,..., , ,..., ;t  = 0 , ∂t ∂q1 ∂q2 ∂qn  

181 (8.1.8)

èëè â ñîêðàù¸ííîé çàïèñè

 ∂S  ∂S + H  q, , t  = 0 . ∂t  ∂q 

(8.1.9)

Ìû ïîëó÷èëè, òàê íàçûâàåìîå, äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà, ÿâëÿþùååñÿ íåëèíåéíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ S , âûðàæåííàÿ ÷åðåç

qr , t è n

ïàðàìåòðîâ α r , ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîñêîëüêó ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ïîëíûõ èíòåãðàëîâ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, òî íåîáõîäèìî âûÿñíèòü, ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ ëþáîãî ïîëíîãî èíòåãðàëà îòûñêàòü ãëàâíóþ ôóíêöèþ? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äà¸ò òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.

§8.2. Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè Åñëè

S = S (q1 , q 2 ,..., q n , α1 ; α 2 ,..., α n ; t ) + α n +1 ,

(8.2.1)

èëè, êîðî÷å,

S = S (q;α; t )

(8.2.2) ïðåäñòàâëÿåò ïîëíûé èíòåãðàë äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

 ∂S  ∂S + H  q, , t  = 0 , ∂t  ∂q 

(8.2.3)

òî èíòåãðàëû ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè

∂S = −β r , r = 1,2,..., n , ∂αr

(8.2.4)

Ãëàâà

182

∂S = pr , ∂qr ãäå ÷åðåç

r = 1,2,..., n ,

âîñüìàÿ (8.2.5)

β r îáîçíà÷åíû n íîâûõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.

Óðàâíåíèÿ (8.2.4) è (8.2.5) îïðåäåëÿþò

pr è qr êàê ôóíêöèè îò t ,

α r è β r . Óðàâíåíèÿ (8.2.4) äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Ëàãðàíæà: îïðåäåëÿþò äâèæåíèå â q -ïðîçàâèñÿùèå åù¸ îò 2n ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ

ñòðàíñòâå. Óðàâíåíèÿ (8.2.4) ñîâìåñòíî ñ (8.2.5) äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Ãàìèëüòîíà, òî åñòü îïðåäåëÿþò äâèæåíèå â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîëíûé èíòåãðàë åñòü ôóíêöèÿ êëàññà âîëüíûõ ïîñòîÿííûõ

C2 , ñîäåðæàùàÿ n ïðîèç-

α1 , α2 ,..., αn (à òàêæå àääèòèâíóþ ïîñòîÿííóþ

αn +1 ), ïðè÷¸ì îïðåäåëèòåëü ∂2S , ∂qr ∂α s ýëåìåíò

(8.2.6)

r -ñòðîêè è s -ãî ñòîëáöà êîòîðîãî ðàâåí

∂2S , íèãäå â îá∂qr ∂α s

ëàñòè èçìåíåíèÿ pr è qr íå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèè

qr = qr (α;β; t ),

(8.2.7)

pr = pr (α;β; t ),

(8.2.8) ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (8.2.4) è (8.2.5), óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ â íåêîòîðîé îáëàñòè

α r è β r , èëè ïðè èõ

(α;β ).

Ôóíêöèÿ S óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (8.2.3) ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ

qr ,αr , t â ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè. Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (8.2.3)

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

183

ïîëíûé èíòåãðàë (8.2.2) è, äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ïî íàõîäèì

α1 ,

n ∂2S ∂ 2 S ∂H +∑ = 0. ∂α1∂t r =1 ∂α1∂qr ∂pr

(8.2.9)

Çàìåòèì, òàê æå, ÷òî óðàâíåíèå (8.2.4)

∂S = −β1 ∂α1

(8.2.10)

qr ïîäñòàâèòü èõ çíà÷åíèÿ èç (8.2.7). Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïî t , òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿþòñÿ, åñëè âìåñòî ïîëó÷èì

n ∂2S ∂ 2 S ∂qr +∑ =0. ∂α1∂t r =1 ∂qr ∂α1 ∂t

Îòìåòèì, ÷òî ïîä ñèìâîëîì îáîçíà÷åíèÿ

(8.2.11)

∂qr ïîíèìàåòñÿ ñêîðîñòü (âìåñòî ∂t

dqr ). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî qr çàâèñèò íå òîëüêî îò t , íî dt

è îò ïàðàìåòðîâ α r è β r . Òàêèì îáðàçîì ìû òåïåðü ðàññìàòðèâàåì íå îòäåëüíóþ êîíêðåòíóþ òðàåêòîðèþ, à ñîâîêóïíîñòü òðàåêòîðèé. Òàê êàê

S ∈ C2 , òî ∂2S ∂2S = , ∂α1∂t ∂t∂α1

∂2S ∂2S = . ∂α1∂qr ∂qr ∂α1

(8.2.12)

Âû÷èòàÿ èç óðàâíåíèÿ (8.2.11) óðàâíåíèå (8.2.9), ïîëó÷èì n

∂ 2 S  ∂qr ∂H  −   = 0. ∂pr  1  ∂t r

∑ ∂q ∂α r =1

(8.2.13)

Ãëàâà

184 Äëÿ

âîñüìàÿ

n ïàðàìåòðîâ α1 , α2 ,..., αn áóäåì èìåòü n òàêèõ óðàâíåíèé.

∂2S Òàê êàê â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.6) îïðåäåëèòåëü èç êîýôôèöèåíòîâ ∂qr ∂α1 íå ðàâåí íóëþ, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî

∂qr ∂H = , r = 1,2,..., n . ∂t ∂pr

(8.2.14)

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëíûé èíòåãðàë â óðàâíåíèå (8.2.3) è äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ïî

q1 , ïîëó÷èì

n ∂ 2 S ∂H ∂ 2 S ∂H + +∑ = 0. ∂q1∂t ∂q1 r =1 ∂q1∂qr ∂pr

(8.2.15)

Óðàâíåíèå

∂S = p1 ∂q1

(8.2.16)

ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî, åñëè âìåñòî íèÿ ÷åðåç

p1 è qr ïîäñòàâèòü èõ âûðàæå-

α r , β r è t . Ïðîäåëàâ ýòî è ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ðåçóëüòàò

ïî t , ïîëó÷èì n ∂p1 ∂2S ∂ 2 S ∂qr . = +∑ ∂t ∂t∂q1 r =1 ∂qr ∂q1 ∂t

(8.2.17)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

∂2S ∂2S , = ∂q1∂t ∂t∂q1

∂2S ∂2S , = ∂q1∂qr ∂qr ∂q1

(8.2.18)

ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (8.2.14) è (8.2.15) óðàâíåíèå (8.2.17) çàïèøåì â âèäå

∂p1 ∂H =− . ∂t ∂q1

(8.2.19)

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

185

Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèõ óðàâíåíèé áóäåò

∂pr ∂H =− , ∂t ∂qr

n

r = 1,2,..., n .

(8.2.20)

Óðàâíåíèÿ (8.2.14) è (8.2.20) ïîêàçûâàþò, ÷òî ôóíêöèè pr è qr , îïðåäåëÿåìûå ñîîòíîøåíèÿìè (8.2.7) è (8.2.8), óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà

∂qr ∂H ∂pr ∂H , , = =− ∂t ∂pr ∂t ∂qr

r = 1,2,..., n

(8.2.21)

ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ α r è β r , ÷òî äîêàçûâàåò òåîðåìó Ãàìèëüòîíà-ßêîáè, èìåþùóþ ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå êàê äëÿ òåîðèè, òàê è äëÿ ïðèëîæåíèé. Ðàíåå, èññëåäóÿ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê êàêîãî-ëèáî ÷àñòíîãî âèäà, ìû ñîñòàâëÿëè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ïîñëå ÷åãî çàäà÷à ñâîäèëàñü ê èíòåãðèðîâàíèþ ýòèõ óðàâíåíèé.  ìåòîäå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äîñòàòî÷íî íàéòè îäèí ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è ñðàçó ìîæíî íàïèñàòü èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (8.2.14) è (8.2.20). Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ ïîëíîãî èíòåãðàëà. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå êëàññû ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ çàäà÷à îòûñêàíèÿ ïîëíîãî èíòåãðàëà óïðîùàåòñÿ. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè

L è H íå çàâèñÿò îò t , òî åñòü H = H (q1 , q2 ,..., qn ; p1 , p2 ,..., pn ) = H (q; p ) , (8.2.22)

è ñóùåñòâóåò ïîëíûé èíòåãðàë ýíåðãèè

ãäå

H = h. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî èíòåãðàëà ïîëîæèì, ÷òî

(8.2.23)

S = − ht + K ,

(8.2.24)

h = α1 - îäíà èç ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, à K - ôóíêöèÿ îò

(q1 , q2 ,..., qn ) , â êîòîðóþ âõîäÿò ñòîÿííûõ

h è n − 1 äðóãèõ ïðîèçâîëüíûõ ïî-

α2 , α3 ,..., αn . Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

ìû òåïåðü ìîæåì çàïèñàòü òàê:

Ãëàâà

186

 ∂K  H  q; =h.  ∂q 

âîñüìàÿ (8.2.25)

Òåïåðü íàì íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü ïîëíûé èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèé n − 1 íîâûõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, íè îäíà èç êîòîðûõ íå ÿâëÿåòñÿ àääèòèâíîé. Äèôôåðåíöèðóÿ (8.2.24) ïîñëåäîâàòåëüíî ïî α1 = h , α r , qr , ñ ó÷¸òîì (8.2.4) è (8.2.5), ìû ìîæåì çàïèñàòü èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ñëåäóþùåì âèäå

t − t0 =

∂K , ∂h

− βr =

∂K , r = 2,3,..., n , ∂αr

pr =

∂K , ∂qr

(8.2.26)

r = 1,2,..., n .

(8.2.27)

(8.2.28)

Ðàññìîòðèì äëÿ ïðèìåðà âûâîä óðàâíåíèÿ (8.2.26). Ïîëàãàÿ

α1 = h , ïðîäèôôåðåíöèðóåì (8.2.24) ïî α1 ∂S ∂K = −t + . ∂α1 ∂h Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.4)

∂S = −β1 . ∂α1 Ïîëàãàÿ

β1 = t0 , îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì

− t0 = − t +

∂K ∂K èëè t − t0 = . ∂h ∂h

Çàäà÷à Ëàãðàíæà ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ýòàïà: óðàâíåíèÿ (8.2.27) îïðåäåëÿþò òðàåêòîðèþ â q -ïðîñòðàíñòâå, íå îïðåäåëÿÿ ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ïî íåé, à óðàâíåíèå (8.2.26) äà¸ò ñâÿçü ìåæäó ïîëîæåíèåì íà

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

187

òðàåêòîðèè è âðåìåíåì. Óðàâíåíèå (8.2.28) äà¸ò ðåøåíèå çàäà÷è Ãàìèëüòîíà. Ïîñòîÿííàÿ

h = α1 îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé (ñîõðàíÿþùåéñÿ)

ýíåðãèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, à ïîñòîÿííàÿ

t0 = β1 çàâèñèò èñ-

êëþ÷èòåëüíî îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷¸òà âðåìåíè t . Áîëüøèíñòâî ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, âñòðå÷àþùèõñÿ â ïðèëîæåíèÿõ, êîíñåðâàòèâíû, è ïîýòîìó òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ â ðàññìîòðåííîé âûøå ôîðìå, ïðè÷¸ì ðåøåíèå íà÷èíàþò, êàê ïðàâèëî, ñ ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (8.2.25). 2. Ïóñòü ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà

H ïî ïðåæíåìó íå çàâèñèò îò âðåìåíè t è ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè êîîðäèíàòà qn ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé. Ðàçîáüåì ôóíêöèþ

K íà äâå ñîñòàâëÿþùèå

K = γqn + K ′ , ãäå

K ′ çàâèñèò îò (q1 , q2 ,..., qn −1 ) , îò h = α1 ,

òàëüíûõ n − 2 ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ òà

(8.2.29) îò

γ = αn è îò îñ-

α2 , α3 ,..., αn −1 . Êîîðäèíà-

qn íå âõîäèò â ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H , à ôóíêöèÿ K ′ ÿâëÿåòñÿ

ïîëíûì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ

 ∂K ′ ∂K ′ ∂K ′  H  q1 , q2 ,..., qn −1; , ,..., ,γ = h . ∂q1 ∂q2 ∂qn −1  

(8.2.30)

Èíòåãðàëû ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ çàïèøóòñÿ â âèäå

t − t0 =

∂K ′ , ∂h

− βr =

∂K , r = 2,3,..., n − 1 , ∂αr

qn0 = qn +

∂K ′ , ∂γ

(8.2.31) (8.2.32)

(8.2.33)

Ãëàâà

188

pr =

∂K ′ , ∂qr

r = 1,2,..., n − 1 ,

pn = γ . Çäåñü

âîñüìàÿ (8.2.34) (8.2.35)

qn 0 = −β n çàâèñèò ëèøü îò âûáîðà íà÷àëà îòñ÷¸òà öèêëè÷åñ-

êîé êîîðäèíàòû

qn . Ïîñòîÿííàÿ γ = αn îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé (ñî-

õðàíÿþùåãîñÿ) èìïóëüñà, ñîîòâåòñòâóþùåãî öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå

qn .

3. ×àñòî K ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàâèñèò ëèøü îò îäíîé êîîðäèíàòû q è ïîñòîÿííûõ α (èëè èõ ÷àñòè). Åñëè äëÿ óðàâíåíèÿ (8.2.25) ñóùåñòâóåò ïîëíûé èíòåãðàë òàêîãî âèäà, òî ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà äîïóñêàåò ðàçäåëåíèå âûáðàííûõ ïåðåìåííûõ. Ê òàêèì ñèñòåìàì îòíîñÿòñÿ ïî÷òè âñå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ýëåìåíòàðíîé äèíàìèêè. Âîçìîæíîñòü ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ çàâèñèò îò ñàìîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è îò âûáðàííûõ äëÿ å¸ îïèñàíèÿ îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Ðàññìîòðèì ïðèëîæåíèå òåîðåìû Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ê çàäà÷àì, êîòîðûå ìû óæå íåîäíîêðàòíî ðåøàëè.

§8.3. Ïðèëîæåíèÿ òåîðåìû Ãàìèëüòîíà-ßêîáè 1. Ïëîñêîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åäèíè÷íîé ìàññû ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè Íüþòîíà. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â ïëîñêîñòè x, y , ñîñòàâèì âûðàæåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà â âèäå

H=

(

)

1 2 p x + p 2y + gy , 2

(8.3.1)

à óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (8.2.3), ñ ó÷¸òîì (8.2.5), ïðèìåò âèä 2

∂ S 1  ∂S  1  ∂S  +   +   + gy = 0 . ∂t 2  ∂x  2  ∂y  2

(8.3.2)

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

189

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà íå çàâèñèò îò âðåìåíè t è êîîðäèíàòà x ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé, ìû ìîæåì â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.24) è (8.2.29) íàïèñàòü

S = − ht + αx + ϕ( y ) .

(8.3.3)

Ïîäñòàâèâ (8.3.3) â óðàâíåíèå (8.3.2), ïîëó÷èì

ϕ′2 = 2h − 2 gy − α2 .

(8.3.4)

Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî

∂S ∂S ∂S = −h , = α, = ϕ′ . ∂t ∂x ∂y Ïðè ìàêñèìàëüíîé âûñîòå ïîäú¸ìà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè

2h − 2 gy − α2 = 0 , îòêóäà ìîæíî îïðåäåëèòü âåëè÷èíó

k = y max , õàðàêòåðèçóþùóþ ìàê-

ñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäú¸ìà

k=

2h − α 2 . 2g

(8.3.5)

Òåïåðü óðàâíåíèå (8.3.4) çàïèøåòñÿ â âèäå

ϕ′2 = 2 g (k − y ).

Èíòåãðèðóÿ (8.3.6) îò

(8.3.6)

y äî k = y max , ïîëó÷èì

k

k−y

y

0

ϕ( y ) = ∫ 2 g (k − z )dz = 2 g

∫

u du .

(8.3.7)

Ìû ïîëó÷èëè ïîëíûé èíòåãðàë, ñîäåðæàùèé äâà ïàðàìåòðà α è k . Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ãëàâíîé ôóíêöèè (8.3.3)

1  S = − α2 + gk t + αx + 2 g 2  Äâèæåíèå â ïëîñêîñòè

k−y

∫

u du .

(8.3.8)

0

x, y áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü óðàâíåíèÿì

Ãëàâà

190

∂S  = − αt + x,  ∂α  ∂S −γ= = − gt + 2 g (k − y ). ∂k 

âîñüìàÿ

−β =

(8.3.9)

Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (8.3.9) â âèäå

x + β = αt ,

   γ2  1 2  = γt − gt . y −  k − 2 g  2  

(8.3.10)

Âûÿñíèì òåïåðü ñìûñë ââåä¸ííûõ ïàðàìåòðîâ

α = u0 , β = − x0 , Çäåñü à

γ = v0 , k = y0 +

v02 . 2g

(8.3.11)

x0 , y0 - êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ,

u0 è v0 ïðîåêöèè å¸ íà÷àëüíûõ ñêîðîñòåé. Îòìåòèì, ÷òî (ñì. (8.3.5)) h=

1 2 1 α + gk = (u02 + v02 ) + gy0 , 2 2

(8.3.12)

èëè, ïîëàãàÿ ìàññó îòëè÷íîé îò åäèíèöû

h=

m 2 ( u0 + v02 ) + mgy0 , 2

à

k−y=

1 (γ − gt )2 . 2g

(8.3.13)

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

191

2. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì âîññòàíàâëèâàþùåé ñèëû

X = n2x . Ïðîèíòåãðèðóåì óðàâíåíèå

íåíèå â âèäå

m

m&x& = n 2 x . Ïåðåïèøåì äàííîå óðàâ-

dx& = n 2 x . Óìíîæàÿ ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòè ïîñëåäíåãî dt

ðàâåíñòâà íà x& ïîëó÷èì

mx&

dx& dx = n 2 x , èëè mx&dx& = n 2 xdx . dt dt

Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîëó÷èì

1 2 1 2 2 mx& = n x , 2 2 ãäå

V=

1 2 2 n x ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Ñ÷èòàÿ ìàññó ìàòåðèàëüíîé 2

òî÷êè ðàâíîé åäèíèöå, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà (ñì. çàäà÷ó ¹26)

H=

1 2 ( p + n 2 x 2 ). 2

(8.3.14)

Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðèìåò âèä

∂S 1  ∂S  1 2 2 +   + n x = 0. ∂t 2  ∂x  2 2

(8.3.15)

×òîáû íàéòè ïîëíûé èíòåãðàë, ïîëîæèì, â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.24)

S=−

1 2 2 n α t + ϕ (x ). 2

(8.3.16)

Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.16) â (8.3.15), ïîëó÷èì èëè

ϕ′2 = n 2 (α2 − x 2 )

(8.3.17)

Ãëàâà

192

âîñüìàÿ

x

ϕ = n ∫ α2 − y 2 dy .

(8.3.18)

0

Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.18) â (8.3.16), ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ãëàâíîé ôóíêöèè â âèäå x

1 S = − n 2 α2t + n ∫ α2 − y 2 dy . 2 0

(8.3.19)

 ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.4) ïîëó÷èì

∂S 1 dy . = − n 2 αt + nα∫ 2 2 ∂α y α − 0 x

−β =

x

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

∫ 0

(8.3.20) â âèäå

dy α2 − y 2

= arcsin

x 2 , à β = n αt0 , ïåðåïèøåì α

− n 2 αt0 = −n 2 αt + nα arcsin

x = α sin[n (t − t0 )] .

(8.3.20)

x , èëè îêîí÷àòåëüíî α (8.3.21)

3. Öåíòðàëüíàÿ îðáèòà. Äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â öåíòðàëü-

íîì ïîëå ñ ïîòåíöèàëîì V (r ). Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà âîñïîëüçóåìñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è ¹ 26 (ï.2), ãäå ïîëîæèì z = 0 , à V (x , y , z ) = V (x , y ) = V (r ), òîãäà äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åäèíè÷íîé ìàññû

H=

1 2 1 2  pr + 2 pθ  + V (r ). r 2 

(8.3.22)

Ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (8.2.25) çàïèøåòñÿ â âèäå

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

193

1  ∂K   ∂K    + 2  = 2(h − V ) .  ∂r  r  ∂θ  2

2

(8.3.23)

Íàì íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèå, êîòîðîå êðîìå h , ñîäåðæàëî áû åù¸ ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ α . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîîðäèíàòà θ öèêëè÷åñêàÿ, ïîëîæèì

K = αθ + R ,

ãäå

R = R (r ) . Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.24) â (8.3.23), ïîëó÷èì R′2 = 2h − 2V −

α2 . r2

(8.3.24)

(8.3.25)

α2 Ïîëàãàÿ 2h − 2V − 2 = f (r ), çàïèøåì (8.3.24) â âèäå r r

K = αθ + ∫ 2h − 2V (ξ) − a

α2 dξ = αθ∫ ξ2 a r

f (ξ)dξ .

(8.3.26)

a åñòü ïðîñòîé íóëü ôóíêöèè f (r ) . r ìåæäó äâóìÿ ïðîñòûìè íóëÿìè a è b ôóíêöèè f (r ) , ïðè÷¸ì f (r ) > 0 Çäåñü ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî

 áîëüøåé ÷àñòè ñëó÷àåâ äâèæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèáðàöèþ ïî

ïðè a < r < b . Ðåøåíèå çàäà÷è Ëàãðàíæà (äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïëîñêîñòè) îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè

∂K = ∂h ∫a

dξ f (ξ)

r

t − t0 = è

r

−β = θ− ∫ a

èëè

(α ξ )dξ ,

(8.3.27)

2

f (ξ)

(8.3.28)

Ãëàâà

194 r

θ − θ0 = ∫

(α ξ )dξ .

âîñüìàÿ

2

(8.3.29)

f (ξ)

a

4. Ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê. Âîñïîëüçóåìñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è ¹21. Ôîðìóëà (3.7.28) äàñò íàì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

T=

(

)

1 2 &2 ml θ + sin 2 θϕ& 2 , 2

(8.3.30)

à äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè çàïèøåì

V = mgl cos θ = ml 2 n 2 cos θ , ãäå n = g l . Ïîëàãàÿ ìíîæèòåëü (8.3.30) è (8.3.31) â âèäå 2

T=

(

)

1 &2 θ + sin 2 θϕ& 2 , 2

(8.3.31)

ml 2 ðàâíûì åäèíèöå, ïåðåïèøåì

V = n 2 cos θ .

(8.3.32)

Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà

H=

1 2 1 2 2  pθ + 2 pϕ  + n cos θ . 2 sin θ 

(8.3.33)

Ìîäèôèöèðîâàííîå óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áóäåò èìåòü âèä 2

1  ∂K   ∂K   = 2(h − n 2 cos θ) .   + 2  sin θ ∂ ϕ ∂ θ     2

(8.3.34)

Äëÿ åãî ðåøåíèÿ ïîëîæèì

K = αϕ + θ .

(8.3.35)

Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.35) â (8.3.34), ïîëó÷èì

α2 θ′ = 2h − 2n cos θ − 2 . sin θ 2

Ïîëàãàÿ

2

(8.3.36)

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

2h − 2n 2 cos θ −

195

α2 = f (θ), sin 2 θ

(8.3.37)

ïåðåïèøåì (8.3.35) θ

f (ξ)dξ .

K = αϕ + ∫

(8.3.38)

0

Èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ Ëàãðàíæà ïðèìóò âèä

∂K t − t0 = ∂h è

−β =

θ

∫ 0

dξ f (ξ)

(8.3.39)

(α sin2 ξ)dξ . ∂K =ϕ−∫ ∂α f (ξ) 0 θ

(8.3.40)

5. Çàäà÷à î äâèæåíèè äâóõ òåë.  êà÷åñòâå çàäà÷è, èëëþñòðèðóþùåé äâèæåíèå äâóõ òåë, ðàññìîòðèì äâèæåíèå íåêîòîðîé ïëàíåòû

P ìàññû m âîêðóã Ñîëíöà ìàññû

M ïîä äåéñòâèåì ñèë âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ F = G

Mm . Òàê êàê r2

ìàññà Ñîëíöà ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò ìàññó ïëàíåòû, ñâÿæåì ÈÑÎ ñ Ñîëíöåì è âîñïîëüçóåìñÿ ñôåðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè. Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ðåøåíèÿ çàäà÷è ¹22. Ïîñêîëüêó ñèìâîëû

α è β ó íàñ

óæå çàíÿòû, îáîçíà÷èì äîëãîòó ÷åðåç θ , à øèðîòó ÷åðåç àëüíóþ ýíåðãèþ â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.7.35) îïðåäåëèì êàê

ϕ . Ïîòåíöè-

V =−

µ G (M + m ) =− . r r

(8.3.41)

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3.7.38), ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ëàãðàíæà

Ãëàâà

196

L=

(

)

µ 1 m r& 2 + r 2 θ& 2 + r 2 cos2 θϕ& 2 + . r 2

âîñüìàÿ (8.3.42)

Ñ ïîìîùüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ¹26 ï.3, è ôîðìóë (5.4.24) - (5.4.27) ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà

H=

1  2 1 2 1  µ pϕ2  − .  pr + 2 pθ + 2 2 r r cos θ  r 2m 

Ïîëàãàÿ

(8.3.43)

q1 = r , q2 = θ , q3 = ϕ , m = 1 (êàê è â ïðåäûäóùèõ çà-

äà÷àõ), íàéä¸ì ïîëíûé èíòåãðàë K ïóò¸ì íåïîñðåäñòâåííîãî ðåøåíèÿ ìîäèôèöèðîâàííîãî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

 ∂K  1  ∂K  1  ∂K  1    + 2  + 2  2 2  ∂r  r  ∂θ  r cos θ  ∂ϕ  2

2

2

 µ  − = α1 . (8.3.44)  r

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåì èñêàòü â âèäå ãäå

K = α 3ϕ + R + Θ ,

(8.3.45)

R = R (r ) , Θ = Θ (θ ) .

(8.3.46)

Ïîäñòàâëÿÿ (8.3.45) â (8.3.44) è ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû, çàâèñÿùèå îò

r

è îò θ , çàïèøåì (8.3.44) â âèäå

2µ α32     =0. r 2  R ′2 − − 2α1  +  Θ′2 + r cos2 θ    

(8.3.47)

Ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (8.3.47) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ñóììó äâóõ

r è îò θ ñîîòâåòñòâåííî è, ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ èç íèõ äîëæíà áûòü ïîñòîÿííîé, ïðè÷¸ì ôóíêöèÿ çàâèñÿùàÿ îò θ

ôóíêöèé çàâèñÿùèõ îò

ïîëîæèòåëüíà. Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, ìîæåì íàïèñàòü

Θ′2 + à

α32 = α22 , 2 cos θ

(8.3.48)

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

197

2µ   r 2  R ′2 − − 2α1  = −α22 r  

(8.3.49)

èëè

R′2 = 2α1 +

2µ α22 − 2 , r r

(8.3.50)

à

Θ′2 = α22 −

α32 . cos2 θ

(8.3.51)

Ïðèìåì, äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè, ÷òî èç (8.3.51) ñëåäóåò, ÷òî

α2 > α3 . Îãðàíè÷èâàÿñü ðàññìîòðåíèåì ýëëèï-

òè÷åñêèõ îðáèò, ñëåäóåò ïîëîæèòü

α1 < 0 , α2 > α3 > 0 > α1 , êâàäðà-

2α1r 2 + 2µr − α22 èìååò äâà âåùåñòâåííûõ ïîëîæèòåëü-

òè÷íàÿ ôîðìà íûõ íóëÿ

α2 è α3 ïîëîæèòåëüíû, òîãäà

r1 è r2 (0 < r1 < r2 ) . Äâèæåíèå ïî êîîðäèíàòå r ïðåäñòàâëÿåò

ñîáîé ëèáðàöèþ ìåæäó ïðåäåëàìè r1 è r2 . Çàïèøåì òåïåðü óðàâíåíèå (8.3.45) â âèäå r

K=∫ r1

θ

α23 2µ α22 2 dθ + α3ϕ . (8.3.52) − 2 dr + ∫ α2 − 2α1 + r r cos2 θ 0

Ñ ó÷¸òîì (8.3.50), (8.3.51) è (8.3.52) ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ôîðìå Ëàãðàíæà r

t − β1 = ∫ r1

dr 2µ α22 − 2 2α1 + r r

,

(8.3.53)

Ãëàâà

198

(α

r

− β2 = − ∫ r1

θ

− β3 = − ∫ 0

2

r 2 )dr

θ

2µ α22 − 2 2α1 + r r

(α

3

cos2 θ)dθ

α23 α22 − cos2 θ

+∫ 0

α2 dθ α32 α − cos2 θ

,

âîñüìàÿ (8.3.54)

2 2

+ϕ,

(8.3.55)

ÿâëÿþùèåñÿ îñíîâíûìè óðàâíåíèÿìè èçëàãàåìîé â äàííîì ïóíêòå òåî-

r è θ ÿâëÿåòñÿ ëèáðàöèîííûì, à êîîðäèíàòà ϕ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè s = sin ϕ ðèè. Äâèæåíèå ïî êîîðäèíàòàì

âòîðîå ñëàãàåìîå â (8.3.55) çàïèøåòñÿ â âèäå çîì, ïî ïåðåìåííîé +1.

∫

ds 1 − s2

. Òàêèì îáðà-

s ìû áóäåì òàê æå èìåòü ëèáðàöèþ â ïðåäåëàõ -1 è

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

199

Ãëàâà IX Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ñêîáêè Ïóàññîíà, òåîðåìó Ïóàññîíà, ëèíåéíûé èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, òåîðåìó Ïóàíêàðå î ëèíåéíîì èíòåãðàëüíîì èíâàðèàíòå è òåîðåìó Ëèóâèëëÿ.

§9.1. Ñêîáêè Ïóàññîíà Åñëè äëÿ âñåõ çíà÷åíèé qr è ÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà

p& r = −

pr , ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèåì êàíîíè-

∂H ∂H , q& r = , r = 1,2,..., n , ∂qr ∂pr

íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ

(9.1.1)

f (q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn , t ) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿí-

íîå çíà÷åíèå:

f (q1 , q2 ,..., q n , p1 , p 2 ,..., p n , t ) = c ,

òî

(9.1.2)

f (q, p, t ) = c íàçûâàåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì êàíîíè÷åñêèõ óðàâíå-

íèé Ãàìèëüòîíà. Ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî åñëè

f (q, p, t ) = c ÿâëÿåòñÿ ïåð-

âûì èíòåãðàëîì, òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ F ( f ) = const áóäåò òàêæå ïåðâûì èíòåãðàëîì. Ëåâàÿ ÷àñòü ïåðâîãî èíòåãðàëà (9.1.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôóíêöèþ êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ è âðåìåíè, êîòîðàÿ îñòà¸òñÿ ïîñòîÿííîé âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíû íèé (9.1.1), òî åñòü

2n ïåðâûõ èíòåãðàëîâ óðàâíå-

f j (q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn , t ) = c j ,

ãäå

j = 1,2,...,2n ,

(9.1.3)

c j - ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ïåðâûå èíòåãðà-

ëû ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, òî åñòü â ÷èñëî ðàññìàòðèâàåìûõ èíòåãðà-

Ãëàâà

200

äåâÿòàÿ

ëîâ íå âõîäÿò ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè îò ýòèõ èíòåãðàëîâ. Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (9.1.3) îòíîñèòåëüíî

qr è pr , ïîëó÷èì

qr = qr (c1 , c2 ,..., c2 n , t ),   r = 1,2,..., n , pr = pr (c1 , c2 ,..., c2 n , t )

(9.1.4)

òî åñòü, ðåøåíèå óðàâíåíèé (9.1.1). Íàéä¸ì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñîîòíîøåíèå (9.1.2) áóäåò ïåðâûì èíòåãðàëîì êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà. Ïî îïðåäåëåíèþ ïåðâîãî èíòåãðàëà, ôóíêöèÿ

f (q1 , q2 ,..., q n , p1 , p 2 ,..., p n , t ) = c ïðè

çàìåíå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ êàêèìè-ëèáî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé (9.1.1) áóäåò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííîé, à, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò

f ïî âðåìåíè t äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ, òî åñòü

n n df ∂f ∂f ∂f =∑ q& + ∑ p& r + = 0. dt r =1 ∂q r r r =1 ∂p r ∂t

Èç ïîëó÷åííîãî âûøå óðàâíåíèÿ, ïîñëå çàìåíû

q& r è p& r èõ âûðà-

æåíèÿìè ÷åðåç ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H , ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ

∂f + Ωf = 0 , ∂t ãäå ëèíåéíûé îïåðàòîð

(9.1.5)

Ω îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

n  ∂f ∂H ∂f ∂H  = Ωf = ∑  − ∂pr ∂qr  r =1  ∂qr ∂p r

∂f ∂( f , H ) ∂q =∑ =∑ r ∂H r =1 ∂ (qr , pr ) r =1 ∂qr n

n

∂f ∂pr . ∂H ∂pr

(9.1.6)

f

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà Åñëè

201

ϕ è ψ - ôóíêöèè îò (qr , pr , t ) , òî âûðàæåíèå

∂ (ϕ, ψ )

n

∑ (∂q , p ) r =1

r

(9.1.7)

r

ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé

n îïðåäåëèòåëåé (9.1.6), íàçûâàþò ñêîáêîé Ïóàññîíà è îáîçíà÷àþò ÷åðåç (ϕ, ψ ) . Òàêèì îáðàçîì,

Ωf = ( f , H )

è èíòåãðàëû íåíèþ

(9.1.8)

f (q, p, t ) = c óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà óäîâëåòâîðÿþò óðàâ-

∂f + (f ,H )= 0 . ∂t

(9.1.9)

Ñàìè óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîæíî òàêæå çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ ñêîáîê Ïóàññîíà:

x& r = Ωxr = (xr , H ) ,

r = 1,2,...,2n .

(9.1.10) Ñêîáêè Ïóàññîíà èãðàþò âàæíóþ ðîëü íå òîëüêî â êëàññè÷åñêîé, íî è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ñêîáîê Ïóàññîíà:

(ϕ, ψ ) = −(ψ, ϕ) , 2. (cϕ, ψ ) = c (ϕ, ψ ), 1.

3.

∂ (ϕ, ψ ) =  ∂ϕ , ψ  +  ϕ, ∂ψ  , ∂t  ∂t   ∂t 

åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ

(9.1.12) (9.1.13)

χ = χ (q r , pr , t ), òî

(ϕ + ψ, χ ) = (ϕ, χ ) + (ψ, χ ) , 5. ((ϕ, ψ ), χ ) + ((ψ, χ ), ϕ ) + ((χ, ϕ ), ψ ) = 0 . 4.

(9.1.11)

(9.1.14) (9.1.15)

Ãëàâà

202

äåâÿòàÿ

§9.2. Òåîðåìà Ïóàññîíà Åñëè ϕ, ψ - èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà, ïðèíàäëåæàùèå

C2 , òî (ϕ, ψ ) òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì. Òàê êàê ϕ , ψ - èíòåãðàëû óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà, òî â ñîîòâåò-

êëàññó

ñòâèè ñ (9.1.9) ìîæíî çàïèñàòü

∂ϕ ∂ψ + (ϕ , H ) = 0 , + (ψ, H ) = 0 . ∂t ∂t

(9.2.1)

Òîãäà,

∂ (ϕ, ψ ) + ((ϕ, ψ ), H ) = ∂t  ∂ϕ   ∂ψ  =  , ψ  +  ϕ,  + ((ϕ, ψ ), H ) =  ∂t   ∂t 

= −((ϕ, H ), ψ ) − (ϕ, (ψ, H )) + ((ϕ, ψ ), H ) =

= (ψ, (ϕ, H )) + (ϕ, (H , ψ )) + (H , (ψ, ϕ )) .

(9.2.2)  ñîîòâåòñòâèè ñ òîæäåñòâîì Ïóàññîíà (9.1.15) ïîñëåäíÿÿ ñòðî÷êà (9.2.2) ðàâíà íóëþ, òî åñòü

(ϕ,ψ) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì äâèæåíèÿ.

§9.3. Ïðèìåíåíèå èçâåñòíîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ  ÷åòâ¸ðòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè ìåòîä (Óèòòåêåðà) ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ èçâåñòíîãî èíòåãðàëà äâèæåíèÿ, çàìåíÿÿ ïåðâîíà÷àëüíóþ ñèñòåìó n óðàâíåíèé äðóãîé, ñ ÷èñëîì çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ n − 1 .  ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîêàæåì, åñëè ïåðâîíà÷àëüíàÿ ñèñòåìà 2n óðàâíåíèé èìååò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó, òî, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûé èíòåãðàë äâèæåíèÿ, ìîæíî íå òîëüêî ïîíèçèòü ïîðÿäîê ñèñòåìû, íî 2(n − 1) óðàâíåíèå ñîõðàíèò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó, à îäíî íåò. Äëÿ óïðîùåíèÿ ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåãðàë êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

203

ñîîòâåòñòâóåò öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå

q1 è ïóñòü

H = H (q2 , q3 ,...qn , p1 , p2 ,..., pn , t ) .  òàêîì ñëó÷àå âåëè÷èíà äâèæåíèÿ

(9.3.1)

p1 ñîõðàíÿåò ñâîþ âåëè÷èíó â ïðîöåññå

p1 = β .

(9.3.2)

Ñèñòåìà 2n óðàâíåíèé ïðèâîäèòñÿ ê ãàìèëüòîíîâîé ôîðìå ñ

2(n − 1) ïåðåìåííûìè:

dq2 dq dp dp = 3 = ... = 2 = 3 = ... = dt . ∂H ′ ∂H ′ ∂H ′ ∂H ′ ∂p2 ∂p3 ∂q2 ∂q3 Ôóíêöèÿ H ′ ïîëó÷àåòñÿ èç (9.3.1), åñëè â íåé ïîëîæèòü Åù¸ îäíî óðàâíåíèå ìû ïîëó÷èì èç ñîîòíîøåíèÿ

q1 = ∫

∂H ′ dt . ∂β

(9.3.3)

p1 = β . (9.3.4)

Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé, òî äëÿ ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåãðàë ýíåðãèè

H = H (q1 , q 2 ,...q n , p1 , p 2 ,..., p n ) = h .

Ðàçðåøèì óðàâíåíèå (9.3.5) îòíîñèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé)

q1 = ϕ(q2 , q3 ,..., qn , p2 , p3 ,..., pn , h, p1 ) .

(9.3.5)

q1 (êîîðäèíàòà q1 íå (9.3.6)

Ïîäñòàâëÿÿ (9.3.6) â (9.3.5) ïîëó÷èì òîæäåñòâî. Äèôôåðåíöèðóÿ åãî

ïî

pr (r = 2,3,..., n ) , ïîëó÷èì ∂H ∂H ∂ϕ + =0. ∂pr ∂q1 ∂pr Ñëåäîâàòåëüíî,

(9.3.7)

Ãëàâà

204

∂H q& dq ∂ϕ ∂p =− r = r = r . ∂H p& r dpr ∂pr ∂q1 Åñëè ïîäñòàâèì ôóíêöèþ äèôôåðåíöèðóÿ ïî

äåâÿòàÿ

(9.3.8)

ϕ âìåñòî q1 â ñîîòíîøåíèå (9.3.5) è

qr (r = 2,3,..., n ) , íàõîäèì

∂H ∂H ∂ϕ + = 0. ∂qr ∂q1 ∂qr

(9.3.9)

Îòêóäà

∂H ∂ϕ ∂qr p& dp − = = r = r. ∂qr ∂H p& 1 dp1 ∂q1 Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèþ öèè Ãàìèëüòîíà ñ ïàðàìåòðîì

(9.3.10)

ϕ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íîâîé ôóíê-

2(n − 1) ïåðåìåííûìè q 2 , q 3 ,...q n , p 2 , p 3 ,..., p n è

p1 (â êà÷åñòâå êîòîðîãî îáû÷íî áåðóò âðåìÿ t ).

Åñëè ðàçðåøèòü óðàâíåíèå (9.3.5) îòíîñèòåëüíî

p1 = ψ(q2 , q3 ,..., qn , p2 , p3 ,..., pn , h, q1 ) .

p1 , òî ïîëó÷èì (9.3.11)

Ñ ïîìîùüþ ïðèâåä¸ííûõ âûøå ðàññóæäåíèé íåòðóäíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ

dqr ∂ψ dpr ∂ψ , , = =− dq1 ∂pr dq1 ∂qr

r = 2,3,..., n .

(9.3.12)

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

205

§9.4. Èíòåãðàëüíûå èíâàðèàíòû Ïîíÿòèå èíòåãðàëüíûõ èíâàðèàíòîâ áûëî ââåäåíî Ïóàíêàðå â 1890 ãîäó â ðàáîòå «Íîâûå ìåòîäû íåáåñíîé ìåõàíèêè». Äëÿ ïîíèìàíèÿ ïðîèñõîæäåíèÿ è ñìûñëà ïîíÿòèÿ èíòåãðàëüíûõ èíâàðèàíòîâ âîñïîëüçóåìñÿ ïðèìåðîì, ïðèâåä¸ííûì Ïóàíêàðå â óêàçàííîé âûøå ðàáîòå. Ðàññìîòðèì ïîòîê íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, ãäå ÷åðåç u, v , w îáîçíà÷èì êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ìîëåêóëû æèäêîñòè, èìåþùåé â ìîìåíò âðåìåíè t êîîðäèíàòû x, y , z . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèè u, v, w çàäàíû è â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿò îò t , x, y , z . Åñëè

u, v, w íå çàâèñÿò îò

t , áóäåì ñ÷èòàòü äâèæåíèå ïîòîêà æèäêîñòè óñòàíîâèâøèìñÿ.

Äëÿ òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ëþáîé ìîëåêóëû â óñòàíîâèâøèìñÿ äâèæåíèè ìû ìîæåì íàïèñàòü

dx dy dz + + = 0. u v w

(9.4.1)

Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ (9.4.1) ìû ìîãëè áû âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèÿìè

x = ϕ1 (t , x0 , y0 , z0 ),   y = ϕ2 (t , x0 , y0 , z0 ), z = ϕ3 (t , x0 , y0 , z0 ),  òàê, ÷òî íèÿ

(9.4.2)

x, y, z áûëè áû âûðàæåíû ÷åðåç âðåìÿ t è èõ íà÷àëüíûå çíà÷å-

x0 , y 0 , z 0 .

Çíàÿ íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ìîëåêóëû, ìû ìîãëè áû îïðåäåëÿòü å¸ ïîëîæåíèå äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè t . Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ìîëåêóë æèäêîñòè, îáðàçóþùèõ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè

t0 íåêîòîðóþ êîíôèãóðàöèþ F0 . Ñ òå÷åíèåì âðå-

ìåíè êîíôèãóðàöèÿ

F0 , äåôîðìèðóÿñü íåïðåðûâíûì, îáðàçîì ïåðåé-

ä¸ò â íîâóþ êîíôèãóðàöèþ

F.

Ãëàâà

206

äåâÿòàÿ

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äâèæåíèå ïîòîêà æèäêîñòè íåïðåðûâíî, òî åñòü, ÷òî

u, v, w - íåïðåðûâíûå ôóíêöèè îò x, y , z , ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü,

÷òî ìåæäó êîíôèãóðàöèÿìè

F0 è F ñóùåñòâóþò îïðåäåë¸ííûå ñîîòíî-

øåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ñëåäñòâèåì íåïðåðûâíîñòè äâèæåíèÿ æèäêîñòè. Åñëè êîíôèãóðàöèÿ

F0 ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé êðèâîé èëè ïîâåðõ-

íîñòüþ, òî è êîíôèãóðàöèÿ íîñòüþ.

F áóäåò íåïðåðûâíîé êðèâîé èëè ïîâåðõ-

F0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîñâÿçíûé îáú¸ì,

Åñëè êîíôèãóðàöèÿ òî êîíôèãóðàöèÿ

F áóäåò îäíîñâÿçíûì îáú¸ìîì. Åñëè êîíôèãóðàöèÿ F0 - çàìêíóòàÿ êðèâàÿ èëè ïîâåðõíîñòü, òî

òàêîé æå áóäåò è êîíôèãóðàöèÿ F . Ïóñòü íåêîòîðàÿ êîíôèãóðàöèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè â ìîìåíò âðåìåíè

t0 çàíèìàåò îáú¸ì F0 . Ïî èñòå÷åíèè âðåìåíè t æèäêîñòü ïå-

ðåéä¸ò â äðóãóþ êîíôèãóðàöèþ è çàéì¸ò íåêîòîðûé äðóãîé îáú¸ì F . Æèäêîñòü íåñæèìàåìà, ñëåäîâàòåëüíî, îáú¸ì òàêîé æèäêîñòè ñî âðåìåíåì íå ìåíÿåòñÿ, è ìû ìîæåì ýòî çàïèñàòü òàê:

∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ dx dy dz 0

F

Èíòåãðàë

0

0

.

(9.4.3)

F0

∫∫∫ dxdydz

ìû áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëüíûì èíâàðè-

àíòîì. Óñëîâèå íåñæèìàåìîñòè ìîæíî âûðàçèòü êàê

du dv dw + + = 0. dx dy dz

(9.4.4)

Óðàâíåíèÿ (9.4.3) è (9.4.4) ýêâèâàëåíòíû. Åñëè ìû âìåñòî æèäêîñòè ðàññìîòðèì íåêîòîðûé îáú¸ì ãàçà, òî ïî èñòå÷åíèè íåêîòîðîãî âðåìåíè îí çàéì¸ò äðóãîé îáú¸ì, íî íåèçìåííîé îñòàíåòñÿ ìàññà ãàçà. Îáîçíà÷èâ ïëîòíîñòü ãàçà ÷åðåç ρ , áóäåì èìåòü

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

207

∫∫∫ ρdxdydz = ∫∫∫ ρdx dy dz 0

F

èëè

0

0

,

(9.4.5)

F0

∫∫∫ ρdxdydz åñòü èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, à ýêâèâàëåíòíîå âûðà-

æåíèå (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) çàïèøåòñÿ êàê

d (ρu ) d (ρv ) d (ρw ) + + = 0. dx dy dz

(9.4.6)

Îòâëåêàÿñü îò êîíêðåòíîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü íåêîòîðóþ êîíôèãóðàöèþ òî÷åê

F0 , ïåðåõîäÿùèõ ñ òå÷åíèåì

âðåìåíè â êîíôèãóðàöèþ F , êîòîðàÿ áóäåò ëèíèåé, ïîâåðõíîñòüþ èëè îáú¸ìîì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áóäåò ëè ñàìà èñõîäíàÿ êîíôèãóðàöèÿ

F0 ëèíèåé, ïîâåðõíîñòüþ èëè îáú¸ìîì. Äëÿ êàæäîãî èç ñëó÷àåâ ìû ìîæåì çàïèñàòü èíòåãðàëüíûå èíâàðèàíòû âèäà

∫ (Adx + Bdy + cdz ),

(9.4.7)

∫∫ (A′dydz + B′dxdz + C ′dxdy ),

(9.4.8)

∫∫∫ M (x, y, z )dxdydz .

(9.4.9)

Î÷åâèäíî, ÷òî íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà ðàñïðîñòðàíèòü èçëîæåííûé âûøå ìåòîä è íà n èçìåðåíèé. Íàéä¸ì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èíâàðèàíòà. Ïóñòü äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè îáùåãî âèäà:

dx = P(x, y ) , dt

dy = Q(x, y ) . dt

(9.4.10)

Òðàåêòîðèè íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíèè òîêà ïðè ñòàöèîíàðíîì (êîãäà ñêîðîñòü è ïëîòíîñòü â êàæäîé äàííîé òî÷êå íå çàâèñèò îò âðåìåíè) òå÷åíèè íåêîòîðîé äâóìåðíîé æèäêî-

Ãëàâà

208 ñòè. Ïóñòü

äåâÿòàÿ

ρ(x, y ) åñòü «ïëîòíîñòü» ýòîé æèäêîñòè. Ðàññìîòðèì â ìî-

ìåíò âðåìåíè

t = t 0 íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè íåêîòîðóþ ïëîùàäü («äâó-

ìåðíûé îáú¸ì») V (t ) . «Ìàññà æèäêîñòè», íàõîäÿùàÿñÿ íà ýòîé ïëîùàäè, âûðàçèòñÿ èíòåãðàëîì

I (t 0 ) =

∫∫ ρ(x , y )dx dy

V (t 0 )

0

0

0

0

.

(9.4.11)

«Æèäêîñòü» òå÷¸ò ïî ôàçîâîé ïëîñêîñòè, ñëåäóÿ ëèíèÿì, îïðåäåëÿåìûì óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ (9.4.10).  ìîìåíò âðåìåíè t ôàçîâûå òî÷êè, çàíèìàâøèå â ìîìåíò âðåìåíè

t 0 ïëîùàäü V (t 0 ) , ïåðåäâèíóòñÿ

V (t ) . «Ìàññà» ðàññìàòðèâàåìîãî äâóìåðíîãî îáú¸ìà â ìîìåíò âðåìåíè t âûðàçèòñÿ èíïî ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì è çàéìóò íîâóþ ïëîùàäü

òåãðàëîì

I (t ) =

∫∫ ρ(x, y )dxdy .

(9.4.12)

V (t )

Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äîïóñêàþò äâóìåð-

íûé ïîëîæèòåëüíûé èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, åñëè ïëîòíîñòü ρ(x, y ) ýòîé æèäêîñòè ìîæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû ìàññà æèäêîñòè îñòàâàëàñü ïîñòîÿííîé âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ, êàêîé áû íà÷àëüíûé äâóìåðíûé îáú¸ì ìû áû íè âûáðàëè. Òàêèì îáðàçîì,

I (t ) åñòü èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, åñëè

I (t ) = I (t 0 ) , èëè, ÷òî òîæå ñàìîå, d ρ(x, y )dxdy = 0 . dt V∫∫ (t )

(9.4.13)

Ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè èíòåãðàëà (9.4.13) îñíîâíîå çàòðóäíåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïëîùàäü, ïî êîòîðîé ñîâåðøàåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, ìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. ×òîáû îáîéòè ýòó òðóäíîñòü, ïåðåéä¸ì â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè îò ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ ÿêîáèàíà

x, y ê ïåðåìåííûì x0 , y0

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

∂x  x, y  ∂x0  = D  x0 , y 0  ∂y ∂x0 òàê êàê

209

∂x ∂y0 , ∂y ∂y0

(9.4.14)

x = x(t − t 0 , x0 , y0 ) è y = y (t − t 0 , x0 , y 0 ).

Ïîñëå ïåðåõîäà ê íîâûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì:

I (t ) =

 x, y  dx0 dy 0 . 0 0 

∫∫( )ρ(x, y )dxdy = ∫∫( )ρ(x, y )D x , y

V t

V t0

(9.4.15)

Òàê êàê òåïåðü îáëàñòü, íà êîòîðóþ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå, íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ìîæíî ïðîèçâåñòè ïîä çíàêîì èíòåãðàëà è òàê êàê

dI = 0 , òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì dt

ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èíâàðèàíòà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå:

d (ρD ) = 0 . dt

(9.4.16)

Ïîäñòàâèì â

∂x& dD ∂x0 = ∂y dt ∂x0 âûðàæåíèÿ òèïà è

∂x& ∂x ∂y0 ∂x0 + ∂y ∂y& ∂y0 ∂x0

∂x ∂y 0 , ∂y& ∂y 0

(9.4.17)

∂x& ∂x& ∂x ∂x& ∂y = + è òàê äàëåå, ðàññìàòðèâàÿ x& ∂x0 ∂x ∂x0 ∂y ∂x0

y& êàê ôóíêöèè x è y , ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, à x è y - êàê

ôóíêöèè

t − t 0 , x0 , y 0 . Òîãäà (9.4.17) ìîæíî áóäåò çàïèñàòü òàê:

Ãëàâà

210

∂  ∂ dD = D  (x& ) + ( y& ) , ∂y  dt  ∂x

äåâÿòàÿ (9.4.18)

à (9.4.16) ñ ó÷åòîì (9.4.10) ïðèìåò âèä

d (ρD ) = D ∂ (ρx& ) + ∂ (ρy& ) = D ∂ (ρP ) + ∂ (ρQ ) . ∂y ∂y dt  ∂x   ∂x  (9.4.19) Òàê êàê D ≠ 0 , òî (9.4.13) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ

∂ (ρP ) + ∂ (ρQ ) = 0 , ∂x ∂y

(9.4.20)

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èíâàðèàíòà.

§9.5. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà âñåãäà äîïóñêàþò èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò ñ ïîñòîÿííîé ôàçîâîé ïëîòíîñòüþ (êîòîðóþ, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé åäèíèöå). Ïîëàãàÿ â óðàâíåíèÿõ (9.4.10) x = q , y = p , ïîëó÷èì:

x& = q& = P(q, p ) =

∂H , ∂p

Ïîëàãàÿ â (9.4.20)

ρ = 1 è ó÷èòûâàÿ (9.5.1), ïîëó÷èì:

y& = p& = Q(q, p ) = −

∂  ∂H  ∂  ∂H   ≡ 0,   + − ∂q  ∂p  ∂p  ∂q 

∂H . ∂q

(9.5.1)

(9.5.2)

â ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íîñòè ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâàÿ ïëîùàäü («äâóìåðíûé ôàçîâûé îáú¸ì») ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì èíâàðèàíòîì äëÿ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà. Ýòî óòâåðæäåíèå, âïåðâûå äîêàçàííîå Ëèóâèëëåì, íîñèò íàçâàíèå òåîðåìû Ëèóâèëëÿ.

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

211

Çàìå÷àíèå. Åñëè ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ôàçîâîé ïëîñêîñòüþ ñ ïåðåìåííûìè

q, q& , à íå p, q , òî åñòü åñëè ìû áóäåì èñõîäèòü íå èç óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà, à èç óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, òî òåîðåìà Ëèóâèëëÿ óæå íå áóäåò èìåòü ìåñòà. Îäíàêî ìû ìîæåì óêàçàòü èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò:

∫∫ dpdq =∫∫ V*

V*

∂p ∂q& ∂q ∂q&

∂p ∂2L ∂q & dqdq = ∫∫ 2 dqdq& . ∂q q& V* ∂ ∂q

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî â ïåðåìåííûõ

(9.5.3)

q, q& ôàçîâàÿ ïëîò-

∂2L íîñòü óæå íå ïîñòîÿííà, à ðàâíà . Ïîýòîìó, äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíå∂q& 2 íèÿ Ëàãðàíæà äîïóñêàëè èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû

∂2L áûëî êîíå÷íî è ïîñòîÿííî ïî çíàêó.  ðåàëüíûõ çàäà÷àõ ýòî óñëî∂q& 2 âèå îáû÷íî âûïîëíÿåòñÿ. Äëÿ áîëåå ÿñíîãî ïîíèìàíèÿ äîñòàòî÷íî àáñòðàêòíîé òåîðåìû Ëèóâèëëÿ ðàññìîòðèì äâà ïðèìåðà. Ïðèìåð 1. Ïðîàíàëèçèðîâàòü ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåìû Ëèóâèëëÿ ãàðìîíè÷åñêîå äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, çàäàííîå óðàâíåíèÿìè:

dq = p, dt

q = a sin (ωt + ϕ ),

dp = −q , dt

p = a cos(ωt + ϕ) .

Ãëàâà

212 Ðåøåíèå . Äâèæåíèå êàæäîé òî÷êè ñèñòåìû p ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ðàäèóñ-âåêòî-

r

r

r

ðà r = a sin (ωt + ϕ )i + a cos(ωt + ϕ) j , õàðàêòåðèçóþùåãî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðàäèóñ-âåêòîð êàæäîé òî÷êè ñèñòåìû ïîâåðí¸òñÿ íà îäèí è òîò æå óãîë. Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ôèãóðà ïðîñòî ïîâåðí¸òñÿ, íå èçìåíÿÿ ñâîåé ôîðìû è, ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäè.

äåâÿòàÿ

123456 123456 123456

123456 123456 123456 123456 123456

q

Ðèñ. 20.

Ïðèìåð 2. Ïðîàíàëèçèðîâàòü ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåìû Ëèóâèëëÿ äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû, çàäàííîå óðàâíåíèÿìè:

dq = p, dt

gt 2 q = q0 + p 0 t − , 2

dp = −q , dt

p = p0 − gt .

Ðåøåíèå . Âûäåëèì â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè êâàäðàò (ñì. ðèñ.21) îãðàíè÷åííûé òî÷êàìè: A: q 0 , p 0 ; B:

(q0 + a ), p0 ;

C:

q 0 , ( p0 + a ); D: (q0 + a ), ( p0 + a ) .

Ôàçîâûé îáú¸ì êâàäðàòà â ìîìåíò âðåìåíè

t = 0 áóäåò V = a 2 .

 ìîìåíò âðåìåíè t1 òî÷êè A,B,C,D áóäóò èìåòü äðóãèå êîîðäèíàòû íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè, à èìåííî: A:

q1A = q 0 + p0 t1 −

gt12 A , p1 = p 0 − gt1 ; 2

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

213

gt12 B , p1 = p 0 − gt1 ; 2

B:

q1B = q0 + a + p 0 t1 −

C:

q1C = q0 + ( p0 + a )t1 −

D:

q1D = q0 + a + ( p0 + a )t1 −

gt12 C , p1 = p0 + a − gt1 ; 2 gt12 C , p1 = p0 + a − gt1 . 2

Âû÷èñëèì äëèíû ñòîðîí ïîëó÷èâøåéñÿ ôèãóðû: AB:

q1B − q1A = a , p1B − p1A = 0 , AB = a .

CD:

q1D − q1C = a , p1D − p1C = 0 , CD = a .

AC:

q1C − q1A = at1 , p1C − p1A = a , AC = a t12 + 1 .

BD:

q1D − q1B = at1 , p1D − p1C = a , BD = a t12 + 1 .

Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ïîçâîëÿåò íàì ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: ñòîðîíû AB è CD íå èçìåíèëè ñâîèõ çíà÷åíèé, à äëèíû ñòîðîí AC è BD èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì, îñòàâàÿñü ðàâíûìè äðóã äðóãó. Ôèãóðà èç êâàäðàòà òðàíñôîðìèðîâàëàñü â ïàðàëëåëîãðàìì ñ îñíîâàíèåì

AB = a , âûñîòîé p1C − p1A = a è ïëîùàäüþ V = a 2 , êîòîðûå íå áóäóò ìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû Ëèóâèëëÿ î ñîõðàíåíèè ôàçîâîãî îáú¸ìà.

p p0+a p0

C 123456789 D

123456789 123456789 123456789 123456789 123456789 123456789 123456789 123456789

A

B

C D 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 a 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 1234567890123 A

q0

q0+a

B

Ðèñ. 21.

q

214

Ãëàâà

äåâÿòàÿ

Çàäà÷à äâóõ òåë

215

Ãëàâà X Çàäà÷à äâóõ òåë  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìóþ çàäà÷ó äâóõ òåë, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â èçó÷åíèè äâèæåíèÿ äâóõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïîä äåéñòâèåì èõ âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ ïî çàêîíó Íüþòîíà. Ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå ýòîé çàäà÷è îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèé íåáåñíûõ òåë ìû ìîæåì çàìåíÿòü èõ (ïî÷òè âñåãäà) ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè. Äîâîëüíî ÷àñòî òàêæå, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó äâóõ òåë êàê èçîëèðîâàííóþ îò âíåøíåãî ãðàâèòàöèîííîãî âîçäåéñòâèÿ. Çàäà÷ó äâóõ òåë ìû íåîäíîêðàòíî ðàññìàòðèâàëè ñ ðàçëè÷íûõ ïîçèöèé ïî ìåðå èçëîæåíèÿ òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà (ñì. çàäà÷è: ¹22, ãë. III; ¹24, ãë. IV; ¹¹26, 27, ãë. V; §6.5 ï.1, ãë. VI; §8.3 ï.5, ãë. VIII; ïðèëîæåíèå IV). Òåïåðü, äëÿ ïîëíîòû êàðòèíû, ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó äâóõ òåë ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåòè÷åñêîé àñòðîíîìèè, çàêëþ÷àþùóþñÿ â îïðåäåëåíèè êîîðäèíàò äâèæóùåãîñÿ òåëà êàê ôóíêöèè âðåìåíè t è øåñòè ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ: a - áîëüøàÿ ïîëóîñü ýëëèïñà, e - ýêñöåíòðèñèòåò ýëëèïñà,

M 0 - ñðåäíÿÿ àíîìàëèÿ ýïîõè, Ω - äîëãîòà âîñõîäÿùåãî

óçëà, i - óãîë íàêëîíà îðáèòû, ω - àðãóìåíò ïåðèöåíòðà, êîòîðûå ìîãóò áûòü èçìåðåíû ñ ïîìîùüþ àñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé.

§10.1. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ 1. Äâèæåíèå â ïðîèçâîëüíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¸òà. Ïóñòü

r r m0 è m ìàññû òåë S è M , ρ 0 è ρ ñîîòâåòñòâóþùèå ðà-

äèóñ-âåêòîðû, îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèÿ òåë îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò ëèì êàê

O (ñì. ðèñ. 22). Ïîëîæåíèå òåëà M îòíîñèòåëüíî S îïðåäå-

r r r r = ρ − ρ0 .

(10.1.1)

Ãëàâà

216 Ñèëà âçàèìíîãî ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà êàæäîå èç ðàññìàòðèâàåìûõ òåë, áóäåò

F = k2

m0m , r2

z

r ρ

(10.1.2)

ãäå k = G - ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ (áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ îáîçíà÷åíèé, ïðèíÿòûõ â òåîðèè äâèæåíèÿ íåáåñíûõ òåë). Ñîñòàâèì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå äâèæåíèå

M

äåñÿòàÿ

r r S

r ρ0

2

O x

M (II çàêîí Íüþòîíà) r r& 2 m0 m r & , m0ρ0 = k r2 r r r& 2 m0 m  − r  & mρ = k  . r2  r 

y Ðèñ. 22.

òåë S è

Ñêëàäûâàÿ ïî÷ëåííî (10.1.3) è (10.1.4) ïîëó÷èì

(10.1.3)

(10.1.4)

&r& + m ρ &r& = 0 . m 0ρ

Èíòåãðèðîâàíèå ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà äà¸ò

r r r m0ρ& + mρ& = α ,

(10.1.5)

à ïîñëå ïîâòîðíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëó÷èì

r r r r m0ρ0 + mρ = αt + β , r r ãäå α è β - ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.

(10.1.6)

Ðàâåíñòâà (10.1.5) è (10.1.6), çàïèñàííûå â ñêàëÿðíîé ôîðìå, äàþò øåñòü èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ öåíòðà èíåðöèè ñèñòåìû äâóõ òåë. 2. Îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå äâóõ òåë. Âû÷òåì ïî÷ëåííî èç óðàâíåíèÿ (10.1.4) óðàâíåíèå (10.1.3), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíåíèå

Çàäà÷à äâóõ òåë

217

r 2 &rr& = − k (m0 + m ) r , r2 r

(10.1.7)

îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ äâóõ òåë. 3. Äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî îáùåãî öåíòðà èíåðöèè Ñ . Ïóñòü Ñ ïîëîæåíèå öåíòðà èíåðöèè òåë S è

M îòíîñèòåëüíî r O îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì σ , òàêèì, ÷òî (m0 + m )σr = m0ρr 0 + mρr . (10.1.8) r r Åñëè s0 è s (ñì. ðèñ. 23) îïðåäåëÿþò ïîëîæåíèå òåë S è M îòíîñèòåëüíî öåíòðà èíåðöèè Ñ , òî

r r r r r r r r r ρ 0 = σ + s0 ; ρ = σ + s , r = s − s0 .

(10.1.9)

Ïîäñòàâëÿÿ ïåðâûå äâà ðàâåíñòâà èç (10.1.9) â (10.1.8), ïîëó÷èì

r r m0 s0 + ms = 0 .

(10.1.10)

Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíî

r r r s0 = s − r , ïîëó÷èì (m0 + m )sr0 = −mrr ;

(m0 + m )sr = m0 rr .

r r r s = r + s0 è

(10.1.11)

Òåïåðü ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îðáèòû, îïèñûâàåìûå òåëàìè

S è M âîêðóã èõ îáùåãî öåíòðà èíåðöèè Ñ , ïîäîáíû ìåæäó ñîáîé è ïîäîáíû îðáèòå, îïèñûâàåìîé îäíèì òåëîì âîêðóã äðóãîãî. Âûðàçèì èç (10.1.11)

r r r r ïîñëåäîâàòåëüíî ÷åðåç s0 è s :

r (m + m ) sr ; rr = (m0 + m ) sr r =− 0 0 m m0 è ïîäñòàâèì èõ çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë îòíîñèòåëüíî öåíòðà èíåðöèè (10.1.7) , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ

&sr& = − 0

r k 2m 3 s0 ; (m0 + m )2 s03

&sr& = −

r k 2 m03 s , (m0 + m )2 s 3

(10.1.12)

Ãëàâà

218 ñîâïàäàþùèå ïî âèäó ñ óðàâíåíèåì (10.1.7), òî åñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîæíî çàìåíèòü îäíèì îáùèì óðàâíåíèåì âèäà

&rr& = −χ 2 rrr −3 ,

z

(10.1.13)

ãäå χ - ïîëîæèòåëüíûé ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü, çàâèñÿùèé îò ãðàâèòàöèîííîé ïîñòîÿííîé è ìàññ ðàññìàòðèâàåìûõ òåë. 2

äåñÿòàÿ

M r sÑ r s0 r ρ r σ r ρ0

S

O

y

Ðèñ. 23. x Çàìå÷àíèå. Åñëè ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå îäíîãî òåëà îòíîñèòåëüíî äðóãîãî, òî ìîæíî ïîëîæèòü

χ 2 = k 2 (m0 + m ) . (10.1.14)

Åñëè â óðàâíåíèè (10.1.13) ïðèíÿòü çà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ âåëè÷èíó t = χ t , òî îíî ïðèìåò âèä

&rr& + rrr −3 = 0 ,

(10.1.15) íå ñîäåðæàùèé â ÿâíîì âèäå ìàññû. Òîãäà â çàäà÷å äâóõ òåë èçìåíåíèå ìàññû áóäåò ýêâèâàëåíòíî èçìåíåíèþ åäèíèöû âðåìåíè.

§10.2. Ïåðâûå èíòåãðàëû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ Ïîëàãàÿ

r = x 2 + y 2 + z 2 , ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (10.1.13) â ñêà-

ëÿðíîé ôîðìå

&x& + χ 2 xr −3 = 0,   &y& + χ 2 yr − 3 = 0, &z& + χ 2 zr − 3 = 0. 

(10.2.1)

Ýòó ñèñòåìó óðàâíåíèé øåñòîãî ïîðÿäêà ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå

Çàäà÷à äâóõ òåë

∂  χ2     , ∂x  r   ∂  χ 2   &y& =   , ∂y  r   ∂  χ2   &z& =   ,  ∂z  r  

219

x&& =

(10.2.2)

ïðåäñòàâëÿþùåé äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åäèíè÷íîé ìàññû ïîä äåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû, èìåþùåé ñèëîâóþ ôóíêöèþ, è ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ÷åòûðå ïåðâûõ èíòåãðàëà ýòèõ óðàâíåíèé (òðè èíòåãðàëà ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è èíòåãðàë ýíåðãèè).

Èíòåãðàëû ïëîùàäåé (ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ) Óìíîæàÿ âåêòîðíî îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (10.1.13) íà

r r r r r × &r& = − χ 2 (r × r )⋅ r −3 = 0 èëè r r r × &r& = 0 .

r r , ïîëó÷èì

(10.2.3) Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, ïðèä¸ì ê ðàâåíñòâó

r r r r r r r × r& = χ 2 c èëè r × V = χ 2 c ,

r ãäå c - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.

(10.2.4)

Ðàâåíñòâî (10.2.4) âûðàæàåò ñîáîé çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è çàïèñàííûé â ñêàëÿðíîé ôîðìå (ñì. §2.3) äà¸ò òðè ïåðâûõ èíòåãðàëà ïëîùàäåé:

yz& − zy& = χc x ,  zx& − xz& = χc y , xy& − yx& = χcz .

(10.2.5)

Ïîñêîëüêó â ëåâîé ÷àñòè (10.2.4) ñòîèò óäâîåííàÿ ñåêòîðíàÿ ñêîðîñòü äâèæóùåéñÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, èíòåãðàëû ïëîùàäåé âûðàæà-

Ãëàâà

220 þò ïîñòîÿíñòâî ñåêòîðíîé ñêîðîñòè.

Óìíîæèì âòîðîå ðàâåíñòâî (10.2.4) ñêàëÿðíî íà

[rr × Vr ]⋅ rr = χ cr ⋅ rr = 0 , èëè

äåñÿòàÿ

r r , òîãäà

2

r r c ⋅r = 0,

(10.2.6)

c x x + c y y + cz z = 0 .

(10.2.7)

èëè â ñêàëÿðíîé ôîðìå

Ðàâåíñòâî (10.2.7) ãîâîðèò î òîì, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòî-

r

ðó c .

Èíòåãðàë ýíåðãèè Óìíîæàÿ ïî÷ëåííî óðàâíåíèÿ (10.2.2) íà

x& , y& , z& , ïîëó÷èì ðàâåí-

ñòâî

&x&x& + &y&y& + &z&z& =

∂  χ2  ∂  χ2  ∂  χ2  & &   x +   y +   z& , ∂x  r  ∂y  r  ∂z  r 

êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê 2 2 2 d (x& )x& + d (y& )y& + d (z& )z& = ∂  χ  + ∂  χ  + ∂  χ  . dt dt dt ∂t  r  x ∂t  r  y ∂t  r  z

Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî, ïîëó÷èì

x& 2 + y& 2 + z& 2 = 2χ 2 r −1 + χ 2 h .

(10.2.8)

Âõîäÿùàÿ â ýòî ðàâåíñòâî ïîñòîÿííàÿ h íîñèò íàçâàíèå ïîñòîÿííîé ýíåðãèè. Ðàâåíñòâî (10.2.8) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

V 2 = χ 2 (2r −1 + h ),

(10.2.9) ãîâîðÿùåì î òîì, ÷òî ïîñòîÿííàÿ ýíåðãèè íå çàâèñèò íè îò âûáîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò, íè îò íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè. Òàê êàê ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé âåëè÷èíîé, òî ïðè h < 0 äâèæóùàÿñÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íå ìîæåò âûéòè èç ñôåðû

Çàäà÷à äâóõ òåë

221

r = −2h −1 ,

(10.2.10) âî âñåõ òî÷êàõ êîòîðîé ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Ýòó ñôåðó áóäåì íàçûâàòü ïîâåðõíîñòüþ íóëåâîé ñêîðîñòè.

§10.3. Äâèæåíèå â ïëîñêîñòè îðáèòû Íàì èçâåñòíî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàâåíñòâîì

c x x + c y y + cz z = 0

(10.2.7)

äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â íåèçìåííîé ïëîñêîñòè. Ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè è ñåêòîðíàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ â íåé îïðåäåëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè èíòåãðèðîâàíèÿ

cx ,c y ,cz .

Ïîëîæåíèå ïëîñêîñòè îðáèòû â àñòðîíîìèè ïðèíÿòî îïðåäåëÿòü íå êîýôôèöèåíòàìè å¸ óðàâíåíèÿ, à äâóìÿ óãëàìè, èìåþùèìè íåïîñðåäñòâåííîå ãåîìåòðè÷åñêîå çíà÷åíèå. Ïóñòü ïðÿìàÿ NS N ′ , íàçûâàåìàÿ ëèíèåé óçëîâ (ñì. ðèñ.24), åñòü ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè îðáèòû ñ êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòüþ Ïîëóïðÿìàÿ SN , êîòîðóþ òî÷êà

Sxy .

M ïåðåñåêàåò, ïåðåõîäÿ èç îáëàñòè

z < 0 â îáëàñòü z > 0 , íàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì ëèíèè óçëîâ. Óãîë ìåæäó îñüþ Sx è SN , îòñ÷èòûâàåìûé îò îñè Sx ïðî-

òèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, íàçûâàåòñÿ äîëãîòîé âîñõîäÿùåãî óçëà è îáîçíà÷àåòñÿ Ω ( 0 < Ω < 360 ). Áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëü0

0

íîé íîðìàëüþ Sζ ê ïëîñêîñòè îðáèòû òó íîðìàëü, îòíîñèòåëü-

z

ζ

z1

íî êîòîðîé äâèæåíèå òî÷êè M ïî îðáèòå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðî-

N′

i

S

òèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Óãîë i ìåæäó ïëîñêîñòüþ îðáèòû è ïëîñêîñòüþ Sxy íàçûâàåòñÿ íàêëîíîì îðáèòû è ðàâåí óãëó ìåæ-

y1

Ω

ω

y P

N x

x1

ξ Ðèñ. 24.

Ãëàâà

222 äó

äåñÿòàÿ

Sζ è SN . Óãëó íàêëîíà îðáèòû 00 < i < 900 ñîîòâåòñòâóåò ïðÿìîå

äâèæåíèå, à óãëó

900 < i < 1800 - îáðàòíîå.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äâèæåíèå ïëîñêîå, åñòü ñìûñë ïåðåéòè îò êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû Sxyz ê êîîðäèíàòíîé ñèñòåìå Sx1 y1 z1 , â êîòîðîé çà îñíîâíóþ ïëîñêîñòü ïðèíÿòà ïëîñêîñòü òðàåêòîðèè. Ïåðåõîä ê ñèñòåìå êîîðäèíàò

Sx1 y1 z1 âûïîëíèì â äâà ýòàïà. Ñíà-

÷àëà ïåðåéä¸ì îò ñèñòåìû êîîðäèíàò

Sxyz ê ñèñòåìå êîîðäèíàò Sx1 y 0 z ,

ïîëó÷àþùåéñÿ èç Sxyz ïóò¸ì ïîâîðîòà îêîëî îñè Sz íà óãîë Ôîðìóëû ïåðåõîäà

x = x1 cos Ω − y 0 sin Ω ,  y = x1 sin Ω + y 0 cos Ω ,  z=z 

Ω.

(10.3.1)

çàïèøåì â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

x cos Ω − sin Ω 0 x1 y = sin Ω cos Ω 0 ⋅ y 0 . z 0 0 1 z Ïåðåõîä îò ïðîìåæóòî÷íîé ñèñòåìû êîîðäèíàò êîîðäèíàò

(10.3.2)

Sx1 y 0 z ê ñèñòåìå

Sx1 y1 z1 îñóùåñòâèì ïóò¸ì ïîâîðîòà îêîëî îñè Sx1 íà óãîë

i . Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå îòâå÷àåò ñëåäóþùèì ôîðìóëàì x1 x1 1 0 0 0 y = 0 cos i − sin i ⋅ y1 . z z1 0 sin i cos i Ïîäñòàâëÿÿ â (10.3.2) çíà÷åíèÿ

(10.3.3)

x1 , y 0 z èç (10.3.3), ïîëó÷èì âûðà-

Çàäà÷à äâóõ òåë

223

æåíèå äëÿ ïåðåõîäà îò ñèñòåìû êîîðäèíàò

Sxyz ê ñèñòåìå êîîðäèíàò

Sx1 y1 z1 x cos Ω − sin Ω 0 1 x1 0 0 y = sin Ω cos Ω 0 ⋅ 0 cos i − sin i ⋅ y1 , z z1 0 0 1 0 sin i cos i

(10.3.4)

èëè ïîñëå ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö,

cos Ω y = sin Ω z 0

x

− cos i sin Ω cos i cos Ω sin i

x1 sin i sin Ω − sin i cos Ω ⋅ y1 . z1 cos i

(10.3.5)

Òåïåðü ìû ìîæåì óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ

c x , c y , c z îò óãëîâ Ω è i . Îòëîæèì ïî íîðìàëè Sζ îòðåçîê

SC , ðàâíûé

c = cx2 + c 2y + cz2

(10.3.6)

r

ðàâíûé ìîäóëþ âåêòîðà c . Êîîðäèíàòû òî÷êè C â ñòàðîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ðàâíû

c x , c y , c z , à â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò – 0,0 ,c . Èç

ôîðìóëû (10.3.5) ìîæåì ñðàçó ïîëó÷èòü, ÷òî

c x = c sin i sin Ω ,   c y = − c sin i cos Ω ,  c z = c cos i .  Ïðèíÿâ òåïåðü çà ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ èíòåãðàëû ïëîùàäåé (10.2.5) â âèäå:

(10.3.7)

c ,Ω ,i , âûðàçèì

Ãëàâà

224

yz& − zy& = χc sin i sin Ω ,   zx& − xz& = − χc sin i cos Ω ,  xy& − yx& = χc cos i .  Â ñèñòåìå êîîðäèíàò ïðèìåò âèä

äåñÿòàÿ

(10.3.8)

Sx1 y1 z1 z1 = 0 è ñèñòåìà óðàâíåíèé (10.3.8)

x1 y&1 − y1 x&1 = χc .

(10.3.9)

Ââåä¸ì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè M : ðàäèóñ-âåêòîð r = SM è ïîëÿðíûé óãîë (àðãóìåíò øèðîòû) u , îáðàçóåìûé ðàäèóñ-âåêòîðîì ñ îñüþ

Sx1 . Êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè M áóäóò

x1 = r cos u ,  y1 = r sin u ,   z1 = 0 . 

(10.3.10)

Ñ ó÷¸òîì (10.3.5) ìîæåì íàïèñàòü

x = r (cos u cos Ω − sin u sin Ω cos i ),   y = r (cos u sin Ω + sin u cos Ω cos i ),   z = r sin u sin i. 

(10.3.11)

Òàêèì îáðàçîì, èçó÷åíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè M ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ çàâèñèìîñòè r è u êàê ôóíêöèè âðåìåíè t .

§10.4. Òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è î âûðàæåíèè r è u êàê ôóíêöèè âðåìåíè t âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëîì ïëîùàäåé (10.3.9) è èíòåãðàëîì ýíåðãèè (10.2.9)

x1 y&1 − y1 x&1 = χc ,

(10.3.9)

Çàäà÷à äâóõ òåë

225

V 2 = χ 2 (2r −1 + h ).

(10.2.9) Èñïîëüçóÿ (10.3.10), âûðàçèì ýòè èíòåãðàëû â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ

r2

du = χc , dt

(10.4.1)

2

2

 dr  2  du  2 −1 2   + r   = 2χ r + χ h .  dt   dt  Ïîëàãàÿ

(10.4.2)

c ≠ 0 , ïåðåïèøåì (10.4.1) â âèäå

du χ c dr dr du χc dr = 2 ; = = 2 , dt r dt du dt r du

(10.4.3)

èñïîëüçóÿ êîòîðîå èñêëþ÷èì âðåìÿ èç (10.4.2) 2

c 2  dr  2 c2 = h + − ,   r 4  du  r r2 èëè 2  d  c 2  1 c 1     = h+ 2 − −  , c r c  du  r  

èëè 2

 d  c 1  c 1 2  du  r − c  = A −  r − c  ,      ãäå

2

(10.4.4)

A2 = h + c −2 .

Èíòåãðèðóÿ (10.4.4), ïîëó÷èì

c 1 − = A cos (u − ω) , r c ãäå ω - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ.

(10.4.5)

Ãëàâà

226 Âûðàçèì èç (10.4.5)

äåñÿòàÿ

r

c2 r= . 1 + Ac cos (u − ω)

(10.4.6)

Ñðàâíèâàÿ ýòî óðàâíåíèå ñ óðàâíåíèåì êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ (4.14) (ñì. ïðèëîæåíèå IV)

p , (10.4.7) 1 + e cos v ãäå p - ïàðàìåòð, e - ýêñöåíòðèñèòåò, v - èñòèííàÿ àíîìàëèÿ, ïîëó÷èì r=

p = c 2 , e = Ac = 1 + hc 2 , v = u − ω. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

c=

p ,

p = a (1 − e ) , ìîæåì íàïèñàòü

h = − a −1 .

(10.4.8) (10.4.9)

2

(10.4.10)

Ðàâåíñòâî (10.4.9) ãîâîðèò î òîì, ÷òî íîâàÿ ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ω åñòü çíà÷åíèå ïîëÿðíîãî óãëà u , ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèþ v = 0 , òî åñòü ïåðèöåíòðó. Ýòó ïîñòîÿííóþ áóäåì íàçûâàòü àðãóìåíòîì ïåðèöåíòðà (äëÿ ïëàíåò è êîìåò – àðãóìåíòîì ïåðèãåëèÿ). Âèä êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ, îïèñûâàåìîãî ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé

M,

îïðåäåëÿåòñÿ çíàêîì ïîñòîÿííîé ýíåðãèè. Åñëè h < 0 , òî e < 1 , è äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ýëëèïñó; åñëè h = 0 , òî e = 1 , äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ïàðàáîëå; åñëè h > 0 , òî e > 1 è äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ãèïåðáîëå. Èíòåãðàë ýíåðãèè (10.2.9) ïðèìåò òåïåðü âèä

V 2 = χ 2 (2r −1 − a −1 ),

(10.4.11) èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñêîðîñòè â êàæäîé òî÷êå îðáèòû çàâèñèò òîëüêî îò áîëüøîé ïîëóîñè è ðàäèóñ-âåêòîðà ýòîé òî÷êè. Âåðíî è îáðàòíîå, àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ñêîðîñòè íà äàííîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðàëüíîãî òåëà, ïðè ôèêñèðîâàííîì χ , îïðåäåëÿåò âåëè÷èíó áîëüøîé ïîëóîñè. Äëÿ h < 0 ïðè îäíîé è òîé æå âåëè÷èíå ñêîðîñòè

V òî÷êà Ì (ðèñ. **) áóäåò îïèñûâàòü ðàçëè÷íûå ýëëèïñû â

Çàäà÷à äâóõ òåë

227

çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè. Áîëüøèå æå ïîëóîñè âñåõ ýòèõ ýëëèïñîâ áóäóò ðàâíû îäíîé è òîé æå âåëè÷èíå a , îïðåäåëÿåìîé ñîîòíîøåíèåì (10.4.11). Êàêîâî áû íè áûëî íàïðàâëåíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè, äâèæóùàÿñÿ òî÷êà íå âûéäåò çà ïðåäåëû îêðóæíîñòè SA = 2a . Åñëè â óðàâíåíèè (10.4.11) ïîëîæèòü a = ∞ , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ ïî ïàðàáîëå, òî ïîëó÷èì ñêîðîñòü

Vp = χ

2 , r

(10.4.12)

êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêîé. Äëÿ ýëëèïñîâ ìàëî îòëè÷àþùèõñÿ îò îêðóæíîñòåé (ïðè èç (10.4.11) ïîëó÷èì

V =χ

1 . r

r = a ),

(10.4.13)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé c = 0 .  òàêîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (10.4.1)

u = ω + 1800 , ãäå ω = const , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó S . Äëÿ êîîðäèíàò òî÷êè M â ñèñòåìå Sx1 y1 z1 ìîæåì çàïèñàòü

ïîêàçûâàåò, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ïðÿìîé

x1 = − r cos ω,  y1 = − r sin ω,  z1 = 0.  Ðàäèóñ-âåêòîð

(10.4.14)

r íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ

2

 dr  −1 2   = χ (2r + h ) , dt   ðåøåíèå êîòîðîãî ìû ðàññìîòðèì ïîçæå.

(10.4.15)

Ãëàâà

228

äåñÿòàÿ

§10.5. Äâèæåíèå ïî ýëëèïñó Äëÿ çàâåðøåíèÿ èçó÷åíèÿ äâèæåíèÿ â çàäà÷å äâóõ òåë ðåøèì ñîâìåñòíî óðàâíåíèå òðàåêòîðèè (10.4.7)

r=

p a (1 + e 2 ) = 1 + e cos v 1 + e cos v

(10.4.7)

è óðàâíåíèå

r2

dv = χ a (1 − e 2 ) , dt

(10.5.1)

âûðàæàþùåå èíòåãðàë ïëîùàäåé. Åñëè äâèæåíèå ïðîèñõîäèò ïî ýëëèïñó, òî åñòü êîãäà e < 1, a > 0 , ìû ìîæåì ââåñòè â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëüíîé ïåðåìåííîé ýêñöåíòðè÷åñêóþ àíîìàëèþ

E (ñì. ïðèëîæåíèå IV ï.4).

r sin v = a 1 − e 2 sin E ,

(10.5.2)

r cos v = a (cos E − e ) ,

(10.5.3)

r = a (1 − e cos E ). Äèôôåðåíöèðóÿ (10.5.2) è (10.5.3), ïîëó÷èì

(10.5.4)

rdv = a 1 − e 2 dE .

(10.5.5)

Ïîäñòàâëÿÿ (10.5.4) è (10.5.5) â (10.5.1), ïîëó÷èì

(1 − e cos E )dE = χa

−

3 2

dt .

(10.5.6)

Èíòåãðèðóÿ (10.5.6), íàéä¸ì óðàâíåíèå Êåïëåðà

E − e sin E = χa ãäå

−

3 2

(t − T ) ,

(10.5.7)

T - ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ, n = χa

−

3 2

= k m0 + m a

−

3 2

íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì äâèæåíèåì, à

(10.5.8)

Çàäà÷à äâóõ òåë

229

M = n(t − T ) (10.5.9) ñðåäíåé àíîìàëèåé. Ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ ïëàíåò âìåñòî ïîñòîÿííîé èíòåãðèðîâàíèÿ T , ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ïëàíåòû ÷åðåç ïåðèãåëèé, óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ íåêîòîðûì îïðåäåë¸ííûì ìîìåíòîì âðåìåíè ãäå

t 0 , äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ

M = n(t − t 0 ) + M 0 ,

(10.5.10)

M 0 = n(t 0 − T )

(10.5.11)

åñòü ñðåäíÿÿ àíîìàëèÿ ýïîõè

t0 .

Âû÷èñëåíèå ñðåäíåé àíîìàëèè

M ïî ôîðìóëå (10.5.10) óäîáíåå ïðè ìàëûõ ýêñöåíòðèñèòåòàõ, òàê êàê M 0 ñîõðàíÿåò ñìûñë è ïðè e = 0 , T ñòàíîâèòñÿ íåîïðåäåë¸ííûì. Ïðè âîçðàñòàíèè E îò − ∞ äî + ∞ ôóíêöèÿ E − e sin E , ïðî-

êîãäà

èçâîäíàÿ êîòîðîé âñåãäà ïîëîæèòåëüíà, ìîíîòîííî âîçðàñòàåò â òåõ æå ãðàíèöàõ è óðàâíåíèå Êåïëåðà (10.5.12) E − e sin E = M ïðè ëþáîì M èìååò îäíî è òîëüêî îäíî âåùåñòâåííîå ðåøåíèå. Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ (10.5.12) E , ñîîòâåòñòâóþùåãî çàäàííîìó ìîìåíòó âðåìåíè t , ïî ôîðìóëàì (10.5.2)-(10.5.4) ìîæíî íàéòè r è v , à ñëåäîâàòåëüíî, è u = v + ω . Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (10.3.11) îïðåäåëèì êîîðäèíàòû x, y , z . Òàêèì îáðàçîì, êîîðäèíàòû äâèæóùåãîñÿ òåëà áóäóò âûðàæåíû ÷åðåç âðåìÿ

t è øåñòü ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ a, e, M 0 , Ω, i, ω ,

êîòîðûå ìîãóò áûòü èçìåðåíû ñ ïîìîùüþ àñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé.

Ãëàâà

230

äåñÿòàÿ

§10.6. Äâèæåíèå ïî ãèïåðáîëå Äâèæåíèå ïî ãèïåðáîëå îòëè÷àåòñÿ îò ýëëèïòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ òåì, ÷òî â óðàâíåíèÿõ (10.4.7) è (10.5.1) íàäî ïîëîæèòü e > 1 è a < 0 . Óðàâíåíèÿ (10.5.2) è (10.5.3), âûðàæàþùèå r è v ÷åðåç E , ïðèìåíèìû è äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî äâèæåíèÿ, ïîñêîëüêó îíè òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ îðáèòû (10.4.7) ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ a è e . Ïðè ýòîì íàäî ïîìíèòü, ÷òî äëÿ e > 1 è a < 0 ôîðìóëû (10.5.2) è (10.5.3) äàþò äëÿ sin E ìíèìîå çíà÷åíèå, à ñòâåííîé. Ââåä¸ì âåëè÷èíó

cos E îñòà¸òñÿ âåëè÷èíîé âåùå-

H = iE , (10.6.1) èìåþùóþ äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî äâèæåíèÿ âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà (10.6.2) i sin E = shH , cos E = chH . Ñîîòíîøåíèÿ (10.5.2) , (10.5.3) è (10.5.4) ïðèìóò âèä

è

r sin v = a e 2 − 1shH ,

(10.6.3)

r cos v = a (e − chH ) ,

(10.6.4)

r = a (echH − 1).

(10.6.5)

Óðàâíåíèå Êåïëåðà ïðèìåò âèä

eshH − H = χ a Ïðè èçìåíåíèè

−

3 2

(t − T ) .

(10.6.6)

H îò − ∞ äî + ∞ ñòîÿùàÿ ñëåâà ôóíêöèÿ

eshH − H ìîíîòîííî èçìåíÿåòñÿ â òåõ æå ãðàíèöàõ, ïîñêîëüêó å¸ ïðîèçâîäíàÿ âñåãäà ïîëîæèòåëüíà. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó çíà÷åíèþ t ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òîëüêî îäíî âåùåñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10.6.6).

Çàäà÷à äâóõ òåë

231

§10.6. Äâèæåíèå ïî ïàðàáîëå Ïîëàãàÿ e = 1 , ïîëó÷èì äâèæåíèå ïî ïàðàáîëå è óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ïðèìåò âèä

r=

p . 1 + cos v

(10.7.1)

Ïîëîæèì

q=

1 p, 2

(10.7.2)

ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ê âèäó

r = q sec 2

v . 2

(10.7.3)

Èç ïîñëåäíåå ðàâåíñòâà âèäíî, ÷òî ïàðàáîëè÷åñêàÿ òðàåêòîðèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ îäíèì ýëåìåíòîì q , êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ïåðèãåëüíûì ðàññòîÿíèåì, òàê êàê ïðè v = 0 r = q . Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (10.7.3) â èíòåãðàë ïëîùàäåé

r2

dv = χ 2q , dt

ïîëó÷èì 3

− v sec 4 dv = 2χq 2 dt . 2

(10.7.4)

Çàïèøåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî â âèäå

v χdt  2 v  . 1 + tg d  tg  = 3 2  2  2q 2

(10.7.5)

Ïîëàãàÿ

tg

v = σ, 2

ïîëó÷èì

(10.7.6)

Ãëàâà

232

1 χ σ + σ3 = B, 3 2

äåñÿòàÿ

(10.7.7)

ãäå

B=q

−

3 2

(t − T )

(10.7.8)

íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëè÷åñêèì àðãóìåíòîì. Ïðè èçìåíåíèè v îò –1800 äî +1800 ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (10.7.7) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò îò − ∞ äî + ∞ è äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ âðåìåíè t ìû áóäåì èìåòü òîëüêî îäíî âåùåñòâåííîå çíà÷åíèå v .

Òåîðèÿ êîëåáàíèé

233

Ãëàâà XI Òåîðèÿ êîëåáàíèé  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ìàëûìè êîëåáàíèÿìè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé âûäàþùèéñÿ ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà (ñì. ãëàâó III).

§11.1. Ìàëûå êîëåáàíèÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèñòåì îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ Ðàññìîòðèì êîíñåðâàòèâíóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ ôóíêöèåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

T=

1 n n ∑∑ ari q& r q&i 2 r =1 i =1

(11.1.1)

è ôóíêöèåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè

V = V (q1 , q2 ,..., q n ) .

(11.1.2)

Âûáåðåì íà÷àëî îòñ÷¸òà êîîðäèíàò òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâîâàëè çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò

q1 = 0 ,

q 2 = 0 ,…, q n = 0 . Áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìû ìîæåì ïîëîæèòü, ÷òî â íà÷àëå êîîðäèíàò V (0,0,...,0 ) = 0 . Îòìåòèì òàêæå, ÷òî èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (óñëîâèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèè), âûòåêàåò

∂V ∂V ∂V = = ... = = 0. ∂q1 ∂q 2 ∂q n

(11.1.3)

Ðàçëîæèì ôóíêöèþ (11.1.2) â îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò â ðÿä Òåéëîðà

Ãëàâà

234 n  ∂V V = V (0,0,...,0 ) + ∑   j =1  ∂q j

îäèííàäöàòàÿ

n n   2  q j + 1 ∑∑  ∂ V  2 r =1 i =1  ∂q r ∂qi 0

  q r qi + ... , 0

ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíàìè òðåòüåãî è áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ ìàëîñòè, ìû ìîæåì çàïèñàòü

V=

ãäå

1 n n ∑∑ bri qr qi , 2 r =1 i =1

 ∂ 2V bri =   ∂qr ∂qi Òàê êàê

(11.1.4)

  = const . 0

bri = const , (11.1.4) åñòü îïðåäåë¸ííî-ïîëîæèòåëüíàÿ,

îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Êîýôôèöèåíòû

bri = bir íàçîâ¸ì êîýôôèöèåíòàìè óïðóãîñòè.

Îáîáù¸ííûå ñèëû, îòíåñ¸ííûå ê ñîîòâåòñòâóþùèì îáîáù¸ííûì êîîðäèíàòàì, áóäóò èìåòü âèä

− Qr =

n ∂V = ∑ bri qi , ∂qr i =1

(r = 1,2 ,...,n ) ,

(11.1.5)

ãäå Qr - âîññòàíàâëèâàþùèå ñèëû, îáóñëîâëåííûå îòêëîíåíèÿìè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàëîæåííûå íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñâÿçè íå çàâèñÿò ÿâíî îò âðåìåíè. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, çàäàííàÿ ðàâåíñòâîì (11.1.1) áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îäíîðîäíóþ êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ îò îáîáù¸ííûõ ñêîðîñòåé, à êîýôôèöèåíòû

a ri áóäåì ñ÷è-

òàòü ôóíêöèÿìè îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò. Ïîëàãàÿ îáîáù¸ííûå ñêîðîñòè ìàëûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà, ðàçëîæèì òî÷êè

a ri â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè

q1 = 0 , q 2 = 0 ,…, q n = 0 , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì:

Òåîðèÿ êîëåáàíèé

235

 ∂a a ri = a ri (0 ,0,..., o ) + ∑  ri s =1  ∂q s n

 1 n n  ∂ 2 a ri  qs + ∑∑  2 s =1 l =1  ∂qs ∂ql 0

  + ... . 0

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå ðàçëîæåíèå â (11.1.1) è îãðàíè÷èâàÿñü ÷ëåíàìè âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:

T=

1 n n ∑∑ ari (0,0,...,0)q&r q&i . 2 r =1 i =1

Ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû

(11.1.6)

a ri (0,0,...,0) = mri áóäåì íàçûâàòü êî-

ýôôèöèåíòàìè èíåðöèè ñèñòåìû. Îêîí÷àòåëüíî (11.1.1) ìîæíî çàïèñàòü òàê:

T=

1 n n ∑∑ mri q& r q&i . 2 r =1 i =1

(11.1.7)

Ðàññìîòðèì èíòåãðàë ýíåðãèè

T + V = conct = C .

(11.1.8) Åñëè ñèñòåìà íà÷èíàåò äâèæåíèå â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñ ìàëîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ, ïîñòîÿííàÿ C áóäåò ìàëà. Ìàëûìè âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ áóäóò òàêæå îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû

q è îáîáù¸ííûå ñêîðîñòè q& , à ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ áó-

äåò óñòîé÷èâûì. Ïîêàæåì ýòî. Ïîñêîëüêó T ≥ 0 , äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â îáëàñòè

V ≤C. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ

(11.1.9)

q1 , q 2 ,..., qn îñòàþòñÿ ìàëûìè (â

ñèëó ìàëîñòè C ) âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ. Ïîñêîëüêó âî âðåìÿ äâèæåíèÿ

V ≥ 0 , ñïðàâåäëèâûì áóäåò è íåðàâåíñòâî (11.1.10) T ≤C, è, ñëåäîâàòåëüíî, âåëè÷èíû q&1 , q& 2 ,..., q& n òàêæå áóäóò ìàëûìè. Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî õîðîøåå ïðèáëèæåíèå ê äåéñòâèòåëüíîìó äâèæåíèþ ìû ñìîæåì ïîëó÷èòü, ñîõðàíèâ â óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñëàãàåìûå

Ãëàâà

236

îäèííàäöàòàÿ

&& .  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ñóòü ïåðâîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî q, q& è q ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ, êîòîðîå áóäåò òåì òî÷íåå, ÷åì ìåíüøå áóäåò çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé C èç (11.1.8). Ó÷èòûâàÿ íåçàâèñèìîñòü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îò îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò,

∂T = 0 , çàïèøåì óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ ìàëûõ êîëåáà∂qr

íèé

d  ∂T  dt  ∂q& r

 ∂V  = − , (r = 1,2 ,..., n ) . ∂qr 

Ñ ïîìîùüþ (11.1.7) âûðàçèì n ∂T = ∑ mri q&i , ∂qr i =1

(11.1.11)

∂T : ∂q& r

(r = 1,2 ,...,n ) .

(11.1.12)

Àíàëîãè÷íî èç (11.1.4) ïîëó÷èì n ∂V = ∑ bri qi , ∂qr i =1

(r = 1,2 ,...,n ) .

(11.1.13)

Ðàâåíñòâà (11.1.11) òåïåðü çàïèøóòñÿ òàê: n

∑m i =1

n

&& ri qi + ∑ bri qi = 0 , i =1

(r = 1,2 ,...,n ) .

(11.1.14)

(mri ) ÷åðåç M , ìàòðèöó (bri ) - ÷åðåç B , âåêòîð (ìàòðèöó-ñòîëáåö) {q1 , q2 ,..., qn } - ÷åðåç q , òîãäà óðàâíåíèÿ (11.1.14) Îáîçíà÷èì ìàòðèöó

ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:

&& + Bq = 0 . Mq

(11.1.15) Åñëè õîòÿ áû îäíà èç êâàäðàòè÷íûõ ôîðì (â äàííîì ñëó÷àå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (11.1.7)) îïðåäåë¸ííî-ïîëîæèòåëüíàÿ, ôîðìû (11.1.4) è (11.1.7) ñ ïîìîùüþ äåéñòâèòåëüíîãî íåîñîáåííîãî ëèíåéíîãî ïðåîá-

Òåîðèÿ êîëåáàíèé

237

ðàçîâàíèÿ ìîæíî îäíîâðåìåííî ïðèâåñòè ê ñóììàì êâàäðàòîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè1, ïðè ýòîì ìîæíî íàéòè òàêèå íîâûå êîîðäèíàòû

ξ1 ,ξ2 ,..., ξn , ñâÿçàííûå ñ q1 , q2 ,..., qn ëèíåéíûìè ñîîòíîøå-

íèÿìè, äëÿ êîòîðûõ ìû ìîæåì çàïèñàòü

(

)

1 &2  λ1ξ1 + λ 2 ξ& 22 + ... + λ n ξ& 2n ,  2  1 2 2 2 2 2 2  V = (λ1 p1 ξ1 + λ 2 p2 ξ2 + ... + λ n pn ξn ).  2 T=

(11.1.16)

Êîýôôèöèåíòû λ r è pr âåùåñòâåííûå ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîäñòàâëÿÿ (11.1.16) â óðàâíåíèå Ëàãðàíæà, ìû óâèäèì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (11.1.15) ðàñïàä¸òñÿ íà n ïîëíîñòüþ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé:

&ξ& + p 2 ξ = 0 , r r r

(r = 1,2 ,...,n ) .

Åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïîëîæèòü øåíèåì (11.1.17) áóäåò

ξ r = α r cos pr t + Êîîðäèíàòû

βr sin pr t , pr

(11.1.17)

ξ r = α r , à ξ& r = β r , òî ðå-

(r = 1,2 ,...,n ) .

(11.1.18)

ξ1 ,ξ2 ,...,ξn íàçûâàþòñÿ ãëàâíûìè èëè íîðìàëüíûìè

êîîðäèíàòàìè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû; êîëåáàíèå, ïðè êîòîðîì èçìåíÿåòñÿ ëèøü îäíà ãëàâíàÿ êîîðäèíàòà, à îñòàëüíûå âñ¸ âðåìÿ ðàâíû íóëþ, íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì êîëåáàíèåì.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî â ãëàâíîì êîëåáàíèè ñîîòâåòñòâóþùàÿ ãëàâíàÿ êîîðäèíàòà âîçáóæäåíà, à îñòàëüíûå êîîðäèíàòû íàõîäÿòñÿ â ïîêîå. Êàê âèäíî èç ôîðìóë (11.1.17), â

r -îì ãëàâíîì êîëåáàíèè êîîðäèíàòà ξr èçìåíÿåòñÿ ïî ãàð-

ìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ïåðèîäîì

2π . Âñåãî èìååòñÿ n òàêèõ ïåðèîäîâ, pr

Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð., Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ Ì.: Íàóêà, 1970. Ñ.357. 1

Ãëàâà

238

îäèííàäöàòàÿ

íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûõ; èõ íàçûâàþò ñîáñòâåííûìè ïåðèîäàìè èëè ïåðèîäàìè ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ñèñòåìû. Ïåðèîäû ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ÿâëÿþòñÿ èíâàðèàíòàìè ñèñòåìû è íå çàâèñÿò îò ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàò, âûáðàííûõ ïåðâîíà÷àëüíî äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåìû. Ãëàâíîå êîëåáàíèå ñ íàèáîëüøèì ïåðèîäîì, à çíà÷èò, ñ íàèìåíüøåé ÷àñòîòîé, òî åñòü êîëåáàíèå ñ íàèìåíüøèì

pr , íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì êîëåáàíèåì.

 ñèëó òîãî, ÷òî q çàâèñèò îò î ëèíåéíî, ëþáîå êîëåáàíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ñóïåðïîçèöèÿ ãëàâíûõ êîëåáàíèé. Ïóñòü â ãëàâíîì êîëåáàíèè, äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè â ïåðâîì ãëàâíîì êîëåáàíèè, êîîðäèíàòû ÷òî îòíîøåíèÿ Ïóñòü

ξ2 = ξ3 = ... = ξ n = 0 , òî ìîæíî ïîêàçàòü,

q1 : q2 : q3 : ... : qn ïîñòîÿííû.

q è î ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè

q1 = m11ξ1 + m12 ξ 2 + ... + m1n ξ n ,  q2 = m21ξ1 + m22 ξ 2 + ... + m2 n ξ n ,  .......... .......... .......... .......... ...  qn = mn1ξ1 + mn 2 ξ 2 + ... + mnn ξ n ,

(11.1.19)

òîãäà â ïåðâîì ãëàâíîì êîëåáàíèè

q1 q q = 2 = ... = n m11 m21 mn1 è êàæäàÿ êîîðäèíàòà îäîì

(11.1.20)

qr èçìåíÿåòñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ïåðè-

2π : p1 q&&1 q&&2 q&& = = ... = n = − p12 . q1 q2 qn

(11.1.21)

Ïðåîáðàçîâàíèå (11.1.19) ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå

q = Mî ,

(11.1.22)

Òåîðèÿ êîëåáàíèé ãäå

239

q - âåêòîð (ìàòðèöà-ñòîëáåö) {q1 , q2 ,..., qn }, î - âåêòîð (ìàòðèöà-

ñòîëáåö)

{ξ1 ,ξ2 ,...,ξn }, à M - êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà (mri ) .

§11.2. Íàëîæåíèå ñâÿçè Íàëàãàÿ íà êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó ñ

n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû îäíó ñâÿçü ìû ïîëó÷èì íîâóþ êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó ñ n − 1 ñòåïåíÿìè ñâî-

áîäû. Ïðè ýòîì ñèñòåìà áóäåò îáëàäàòü ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: çíà÷å-

íèÿ n − 1 ïåðèîäîâ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ýòîé ñèñòåìû áóäóò çàêëþ÷åíû ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè ïåðèîäîâ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ïåðâîíà÷àëüíîé ñèñòåìû. Îñíîâíàÿ ÷àñòîòà ñèñòåìû ïðè íàëîæåíèè ñâÿçè óâåëè÷èòñÿ. Ðàññìîòðèì èñõîäíóþ ñèñòåìó â ãëàâíûõ êîîðäèíàòàõ, òîãäà

1 2  (q&1 + q& 22 + ... + q& n2 ),  2  1 2 2 2 2 2 2  V = (p1 q1 + p 2 q 2 + ... + p n q n ).  2 T =

Ïóñòü âñå ïåðèîäû ðàçëè÷íû è

(11.2.1)

p12 < p 22 < ... < p n2−1 < p n2 .

Óðàâíåíèå ñâÿçè ïðåäñòàâèì â âèäå

A1 q1 + A2 q 2 + ... + An q n = 0 .

(11.2.2)

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ íåñâîáîäíîé ñèñòåìû áóäóò èìåòü âèä

q&&r + pr2 qr = λAr ,

(r = 1,2 ,...,n ) ,

(11.2.3)

ãäå λ - íåîïðåäåë¸ííûé ìíîæèòåëü. Óðàâíåíèåì ñâÿçè áóäåò óðàâíåíèå (11.2.2). Äëÿ ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ñ ïåðèîäîì

2π p

çàïèøåì

q&&1 q&&2 q&& = = ... = n = − p 2 , q1 q2 qn

(11.2.4)

Ãëàâà

240

îäèííàäöàòàÿ

îòêóäà, ñ ó÷¸òîì (11.2.3) ïîëó÷èì

(− p

2

+ pr2 )qr = λAr .

(11.2.5) Ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèå ñâÿçè (11.2.2) ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïåðèîäîâ

A12 A22 An2 + + ... + 2 =0. p 2 − p12 p 2 − p22 p − pn2 Åñëè íè îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ

(11.2.6)

Ar íå îáðàùàåòñÿ â íóëü è èñõîä-

íàÿ ñèñòåìà íå èìååò îäèíàêîâûõ ïåðèîäîâ, òî îäèí èç êîðíåé æèò ìåæäó

p 2 ëå-

p12 è p22 , îäèí – ìåæäó p22 è p32 è òàê äàëåå.

Åñëè îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ Ar ðàâåí íóëþ, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîîðäèíàòà îñòà¸òñÿ ãëàâíîé â ïåðèîä ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ íå èçìåíÿåòñÿ. Åñëè äâà ïåðèîäà èñõîäíîé ñèñòåìû îäèíàêîâû, òî èõ îáùåå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî è ïåðèîäîì íåñâîáîäíîé ñèñòåìû.

§11.3. Ïðèíöèï Ðåëåÿ Åñëè íà êîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó ñ

n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàëîæèòü

n − 1 ñâÿçü, òî ïîëó÷èì ñèñòåìó ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû. Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû çàäàëè ôîðìó êîëåáàíèé ñèñòåìû. Îïðåäåëèì ïåðèîä êîëåáàíèÿ òàêîé ñèñòåìû. Ââåä¸ì ãëàâíûå êîîðäèíàòû (ñì. (11.2.1)) äëÿ èñõîäíîé ñèñòåìû, òàêèå, ÷òî 1 2  (q&1 + q& 22 + ... + q& n2 ),  2  1 V = (p12 q12 + p 22 q 22 + ... + p n2 q n2 ).  2 T =

(11.3.1)

Óðàâíåíèÿ ñâÿçè ïðåäñòàâèì â âèäå

q1 q2 q = = ... = n . α1 α2 αn

(11.3.2)

Òåîðèÿ êîëåáàíèé

241

Ïóñòü îáùàÿ âåëè÷èíà îòíîøåíèé (11.3.2) åñòü θ , êîòîðóþ ìû ïðèìåì â êà÷åñòâå åäèíñòâåííîé îáîáù¸ííîé (ëàãðàíæåâîé) êîîðäèíàòû íåñâîáîäíîé ñèñòåìû. Ó÷èòûâàÿ (11.3.2) ïåðåïèøåì (11.3.1) â âèäå:

1 2  ( α1 + α 22 + ... + α 2n )θ& 2 ,  2  1 2 2 2 2 2 2 2  V = (p1 α1 + p2 α 2 + ... + pn α n )θ .  2 T=

(11.3.3)

Ïåðèîä êîëåáàíèé íåñâîáîäíîé ñèñòåìû áóäåò ðàâåí

2π , ãäå p

α12 p12 + α22 p22 + ... + α 2n pn2 p = . α12 + α 22 + ... + α 2n 2

(11.3.4)

Åñëè ïðàâóþ ÷àñòü (11.3.4) ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ

α1 ,α 2 ,...,α n , òî íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ïðèîáðåòàåò ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, åñëè âñå α , êðîìå îäíîé, ðàâíû íóëþ. Òàêèì îò

îáðàçîì, ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó ñîñòàâëÿþùóþ ñîäåðæàíèå ïðèíöèïà Ðåëåÿ: Ïåðèîä êîëåáàíèé íåñâîáîäíîé ñèñòåìû, ðàññìàòðèâàåìûé êàê ôóíêöèÿ îò ñâÿçåé, èìååò ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå, åñëè èñõîäíàÿ ñèñòåìà âûíóæäåíà ñîâåðøàòü îäíî èç ñâîèõ ãëàâíûõ êîëåáàíèé.

Çàäà÷à ¹30. Íåâåñîìàÿ ñòðóíà äëèíîé 4a íàòÿíóòà ñèëîé

F ìåäó äâóìÿ ôèê-

ñèðîâàííûìè òî÷êàìè. Íà ñòðóíå çàêðåïëåíû òî÷å÷íûå ìàññû

m,

4 m, 3

m íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà è îò êîíöîâ ñòðóíû (ðèñ. 25). Ñèñòåìà ñîâåðøàåò ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ â ñâîåé ïëîñêîñòè. Íàéòè äâèæåíèå ñèñòåìû.

Ãëàâà

242

îäèííàäöàòàÿ

4 m 3

m

m x

y

z Ðèñ. 25

Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî. Ðåøåíèå çàäà÷è.

Íàéòè

Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ

Äàíî

4a , F, m,

Óäëèíåíèå ïåðâîãî ó÷àñòêà ñòðóíû ñ òî÷íîñòüþ äî âåëè÷èíû âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî x

4 m 3

åñòü

(x − y ) , òðåx2 , âòîðîãî 2a 2a 2

òüåãî -

( y − z )2 , ÷åòâ¸ðòîãî 2a

z2 . 2a

Âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðèìåò âèä:

V=

{

}

F 2 2 2 x + (x − y ) + ( y − z ) + z 2 = 2a

= 2mn 2 (x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz ),

ãäå

n2 =

(11.3.5)

F . 2ma

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

T=

1  2 4 2  m x& + y& + z& 2  . 2  3 

Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

(11.3.6)

Òåîðèÿ êîëåáàíèé

243

d  ∂T  ∂V = 0, +  dt  ∂q&  ∂q

(11.3.7)

ãäå q ïðèíèìàåò ïîñëåäîâàòåëüíî çíà÷åíèÿ ëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé:

x , y , z , â ðåçóëüòàòå ïî-

 &x& + 2n 2 (2 x − y ) = 0 ,  4  2 &y& + 2n (− x + 2 y − z ) = 0 , 3   &z& + 2n 2 (2 z − y ) = 0.

(11.3.8)

2π ïîëó÷èì p

Äëÿ ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì

&x& &y& &z& = = = − p2 . x y z Ïîäñòàâëÿÿ

(p

(11.3.9)

&x&, &y&, &z& â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (11.3.8), ïîëó÷èì

− 4n 2 )x + 2n 2 y = 0,

   4 2 2 2 2 2n x +  p − 4n  y + 2n z = 0, 3   2 2 2  2n y + (p − 4n )z = 0. 2

(11.3.10)

Ñèñòåìà óðàâíåíèé (11.3.10) áóäåò èìåòü ðåøåíèå åñëè

p 2 − 4n 2 2n 0

2

2n 2

0

4 2 p − 4n 2 3 2n 2

2n 2

= 0.

(11.3.11)

p 2 − 4n 2

Ðåøåíèåì (11.3.11) áóäóò òðè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿ

p2 :

Ãëàâà

244

îäèííàäöàòàÿ

p12 = n 2 , p22 = 4n 2 , p32 = 6n 2 . Äëÿ ïåðâîãî (ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ) (11.3.10) çàïèøåòñÿ â âèäå:

(11.3.12)

p 2 = n 2 ñèñòåìà óðàâíåíèé

− 3x + 2 y = 0,   3x − 4 y + 3z = 0, 2 y − 3z = 0. 

(11.3.13)

Èç (11.3.13) äëÿ ïåðâîãî ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ, ïîëó÷èì

x y z = = . 2 3 2

(11.3.14)

Ïîñòóïàÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, äëÿ âòîðîãî ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ

p 2 = 4n 2 , ïîëó÷èì x y z = = , 1 0 −1 äëÿ òðåòüåãî ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ

x y z = = . 1 −1 1

(11.3.15)

p 2 = 6n 2 (11.3.16)

Ôîðìû âñåõ òð¸õ ãëàâíûõ êîëåáàíèé ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 26.

Ðèñ. 26.

Òåîðèÿ êîëåáàíèé Ïðåîáðàçîâàíèå ê ãëàâíûì êîîðäèíàòàì (11.3.15) è (11.3.16) èìååò âèä

245

ξ,η,ζ , ñ ó÷¸òîì (11.3.14),

x = 2ξ + η + ζ ,  y = 3ξ + 0η − ζ , z = 2ξ − η + ζ . 

(11.3.17)

Îòêóäà

1 (x + 2 y + z ),  10  1  η = (x − z ),  2  1  ζ = (3x − 4 y + 3z ). 10  ξ=

Ðàâåíñòâà (11.3.5) è (11.3.6), âûðàæåííûå ÷åðåç ñóììû êâàäðàòîâ:

(11.3.18)

ξ,η,ζ ïðèìóò âèä

T=

1  &2 10 & 2 + ζ& 2  , m 20ξ + 2η 2  3 

(11.3.19)

V=

1 mn 2 (20ξ2 + 8η2 + 20ζ 2 ). 2

(11.3.20)

Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà (11.3.7) ïðèìóò âèä:

&ξ& + n 2 ξ = 0,   && + 4n 2 η = 0, η &ζ& + 6n 2 ζ = 0.  

(11.3.21)

Ðåøåíèå óðàâíåíèé âèäà (11.3.21) ïðèâåäåíî â çàäà÷å ¹**. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ïîêîå â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ è äâèæåíèå âûçûâàåòñÿ ìàëûì ïîïå-

Ãëàâà

246

îäèííàäöàòàÿ

ðå÷íûì èìïóëüñîì âåëè÷èíîé mu , ïðèëîæåííûì ê ïåðâîé ÷àñòèöå.  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ìû áóäåì èìåòü

x = y = z = 0 ; x& = u , y& = z& = 0 .

(11.3.22)

1 1 3 ξ = η = ζ = 0 ; ξ& = u , η& = u , ζ& = u . 10 2 10

(11.3.23)

 ëþáîé ïîñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè áóäåò

ξ=

u 5u 3u sin p1t , η = sin p2 t , ζ = sin p3t 10 p1 10 p2 10 p3

Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ÷àòåëüíîå ðåøåíèå

11.3.24)

ξ,η,ζ â (11.3.17), ïîëó÷èì îêîí-

 u  2 5 3  sin p1t + sin p2t + sin p3t  , p2 p3 10  p1    3u  1 1 y =  sin p1t − sin p3t  ,  p3 10  p1    u  2 5 3 z =  sin p1t − sin p2 t + sin p3t  , p2 p3 10  p1  

(11.3.25)

p12 p22 p32 F = = = n2 = . 1 4 6 2ma

(11.3.26)

x=

ãäå

Äîïîëíåíèå. Îïðåäåëèì çíà÷åíèÿ

p12 , p22 , p32 , èñïîëüçóÿ ïðèíöèï Ðåëåÿ.

Âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâàìè (11.3.5) è (11.3.6)

Òåîðèÿ êîëåáàíèé

T=

247

1  2 4 2  m x& + y& + z& 2  , 2  3 

(11.3.5)

V = 2mn 2 (x 2 + y 2 + z 2 − xu − yz ).

(11.3.6) Åëè ñèñòåìó çàñòàâèòü ñîâåðøàòü òàêèå êîëåáàíèÿ, äëÿ êîòîðûõ â ñîîòâåòñòâèè ñ (11.3.2)

x y z = = , α β γ ïåðèîä èõ áóäåò ðàâåí

p2 =

(11.3.27)

2π , ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ (11.3.4) p

4n 2 (α2 + β 2 + γ 2 − αβ − βγ ) . 4 2 2 2 α + β +γ 3

Ãëàâíîå êîëåáàíèå, äëÿ êîòîðîãî

(11.3.28)

x + z = y = 0 ; ïîëàãàÿ α = − γ ,

β = 0 , íàéä¸ì p 2 = p22 = 4n 2 .

(11.3.29)

Ãëàâíîå êîëåáàíèå, äëÿ êîòîðîãî x = z ; ïîëó÷èì, ïîëàãàÿ

α= γ:

(3α − 2β ) + (α + β ) . (11.3.30) p 2 2α 2 − 2αβ + β 2 = = 2 2 2 6n 3α + 2β (3α − 2β )2 + 6(α + β )2 2

Âûðàæåíèå (11.3.30) áóäåò ñòàöèîíàðíûì ïðè Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ

p12 = n 2 , p32 = 6n 2 .

2

α 2 α = è = −1 . β 3 β

p 2 áóäóò ðàâíû (11.3.31)

248

Ãëàâà

îäèííàäöàòàÿ

Òåîðèÿ óäàðà

249

Ãëàâà XII Òåîðèÿ óäàðà Äàííàÿ ãëàâà ïîñâÿùåíà òåîðèè óäàðà – î÷åíü áûñòðûõ (âíåçàïíûõ) èçìåíåíèé äâèæåíèÿ ïðè âîçäåéñòâèè íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òàê íàçûâàåìûõ óäàðíûõ èìïóëüñîâ. Ïðè èçó÷åíèè òåîðèè óäàðà áóäåì èñïîëüçîâàòü âòîðóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðàÿ, êàê ìû óâèäèì äàëåå, íàèëó÷øèì îáðàçîì ïðèñïîñîáëåíà ê îïèñàíèþ èçó÷àåìûõ äâèæåíèé.

§ 12.1. Óäàðíûé èìïóëüñ Ïîä óäàðíûìè èìïóëüñàìè (íèæå áóäåò äàíî äîïîëíèòåëüíîå îïðåäåëåíèå óäàðíîãî èìïóëüñà) áóäåì ïîíèìàòü ïðåäåëüíûé ñëó÷àé äåéñòâèÿ áîëüøèõ ñèë â òå÷åíèå êîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè. Íàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñâîáîäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè

m&x& = X .

(12.1.1)

Ïóñòü X åñòü èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ îò âðåìåíè èíòåãðèðóÿ (12.1.1), ïîëó÷èì

X = X (t ), òîãäà

t2

m(u 2 − u1 ) = ∫ Xdt ,

(12.1.2)

t1

ãäå ÷åðåç

ur îáîçíà÷åíî çíà÷åíèå x& â ìîìåíòû âðåìåíè t = t r . Ìû

áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà âåëè÷èíà öèÿ

τ = t 2 − t1 ìàëà, à ôóíê-

X â ïðîìåæóòêå âðåìåíè (t1 , t1 + τ ) âåëèêà íî èíòåãðàë t2

∫ Xdt = P

(12.1.3)

t1

èìååò êîíå÷íîå çíà÷åíèå. Âåëè÷èíó èìïóëüñà.

P áóäåì íàçûâàòü ñîñòàâëÿþùåé

Ãëàâà

250

äâåíàäöàòàÿ

Óäàðíûé èìïóëüñ ìû îïðåäåëèëè êàê ïðåäåëüíûé ñëó÷àé äåéñòâèÿ áîëüøîé ñèëû â òå÷åíèå ìàëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, èìåÿ â âèäó íå ñòðîãèé ìàòåìàòè÷åñêèé ïðåäåë ïðè τ → 0 , à ìàëûé, íî êîíå÷íûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, òî åñòü ìû èìååì â âèäó ôèçè÷åñêè ìàëûé, à íå ìàòåìàòè÷åñêè ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè τ . Çà âðåìÿ îò t1 äî t1 + τ êîíôèãóðàöèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå èçìåíèòüñÿ, à ñêîðîñòü â ìîìåíò âðåìåíè t1 èçìåíèòñÿ ñêà÷êîì. Ïîñêîëüêó â äàííîì ñëó÷àå ïðèñóòñòâóþò ëèøü óäàðíûå ñèëû, êîîðäèíàòû áóäóò ñîõðàíÿòü ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ, ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè äàííûìè, à ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè

t1 − 0 áóäåì ñ÷èòàòü çà-

t1 + 0 òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü.

Òàê êàê êîîðäèíàòà

x â õîäå ðåøåíèÿ íàøåé çàäà÷è ñ÷èòàåòñÿ íåèçìåííîé, çàìåíèì x& íà u .

Óðàâíåíèÿ (12.1.2) è (12.1.3) âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè óðàâíåíèÿìè äëÿ êîîðäèíàò y , z îáðàçóþò ñèñòåìó óðàâíåíèé

m(u − u0 ) = P ,   m(v − v0 ) = Q ,  m(w − w0 ) = R ,

(12.1.4)

{P , Q , R } - ñîñòàâëÿþùèå óäàðíîãî èìïóëüñà, äåéñòâóþùåãî íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó â ìîìåíò âðåìåíè t1 , {u0 , v0 , w0 } - ñîñòàâëÿþùèå

ãäå

ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè ðåäñòâåííî ïåðåä ïðèëîæåíèåì èìïóëüñà), à

t1 − 0 (òî åñòü íåïîñ-

{u , v , w } - ñîñòàâëÿþùèå

ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t1 + 0 (òî åñòü íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå ïðèëîæåíèÿ èìïóëüñà). Åñëè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïåðåä ïðèëîæåíèåì èìïóëüñà ïîêîèëàñü, òî óðàâíåíèÿ (12.1.4) ïðèìóò âèä

mu = P , mv = Q , mw = R . Îáîçíà÷èì ÷åðåç

(12.1.5)

X ′ ðåàêöèþ ñâÿçè, äåéñòâóþùóþ â òå÷åíèè âðå-

Òåîðèÿ óäàðà ìåíè îò

251

t1 äî t1 + τ , òî èíòåãðàë

t2

∫ X ′dt = P′ áóäåò èìåòü êîíå÷íîå t1

çíà÷åíèå, êîòîðîå íàçîâ¸ì óäàðíûì èìïóëüñîì ñèë ðåàêöèè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íà êîòîðóþ äåéñòâóþò óäàðíûå èìïóëüñû. Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â òå÷åíèè ìàëîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè τ íå èçìåíÿþòñÿ, ïîñòîÿííûìè áóäóò è êîýôôèöèåíòû N

∑A r =1

jr

A jr è Ar â óðàâíåíèÿõ ñâÿçè (2.7.2)

j = 1,2 ,..., k ,

x& r + A j = 0 ,

(2.7.2)

÷òî ñóùåñòâåííî óïðîñòèò ðåøåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå èçìåíÿþòñÿ, ëîãè÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ âòîðîé ôîðìîé îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (2.7.5) N

∑ (m&x&

r

r =1

− X r )∆x& r = 0 .

(2.7.5)

Êîíå÷íûå âàðèàöèè ñêîðîñòè ∆u óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (2.7.4) N

∑A r =1

jr

∆u j = 0 ,

j = 1,2 ,..., k .

Ó÷èòûâàÿ ïîñòîÿíñòâî êîýôôèöèåíòîâ ìû

(2.7.4)

A jr , ìîæíî óêàçàòü ñèñòå-

∆u1 , ∆u2 ,..., ∆u N , óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì (12.1.2) â òå÷åíèå

êîðîòêîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè

(t1 , t1 + τ) .

§ 12.2. Èìïóëüñèâíûå ñâÿçè Â óðàâíåíèÿõ ñâÿçè N

∑A r =1

jr

x& r + A j = 0 ,

j = 1,2 ,..., k ,

(2.7.2)

Ãëàâà

252

êîòîðûå ìû äî ñèõ ïîð èçó÷àëè, êîýôôèöèåíòû

äâåíàäöàòàÿ

A jr è Ar , ñ÷èòàëèñü

ôóíêöèÿìè êëàññà C1 , òî åñòü íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò è âðåìåíè. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ òåîðèè óäàðà, òðåáóþòñÿ äðóãèå ôóíêöèè. Ââåä¸ì ñâÿçè, îïèñûâàåìûå óðàâíåíèÿìè N

∑E r=

jr

j = 1,2 ,..., k ′ ,

x& r + E r = 0 ,

â êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû

(12.2.1)

E jr è E r òåðïÿò ðàçðûâû â ìîìåíò âðåìåíè

t1 è íàçîâ¸ì èõ èìïóëüñèâíûìè ñâÿçÿìè. Êîýôôèöèåíòû E jr è E r íåïðåðûâíû äî è ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè t1 , à â ìîìåíò âðåìåíè t1 îíè ïðåòåðïåâàþò ðàçðûâ è ìû, òàêèì îáðàçîì, èìååì äâå ñèñòåìû ïîñòîÿííûõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ: çíà÷åíèÿ ïðè

t1 − 0 è çíà÷åíèÿ ïðè

t1 + 0 . Âûäåëèì äâà òèïà ñâÿçè: 1. Ñâÿçè ïåðâîãî òèïà. Îíè îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè N

∑E r =1

jr

x& r = 0 ,

j = 1,2 ,..., k ′ ,

(12.2.2)

íàêëàäûâàþòñÿ âíåçàïíî â ìîìåíò âðåìåíè t1 . Êîýôôèöèåíòû E r â óðàâíåíèÿõ (12.2.1) ïðè ýòîì òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ, à êîýôôèöèåíòû

E jr ðàâíû íóëþ â ìîìåíò âðåìåíè t1 − 0 . Íàëîæåíèå ñâÿçè òàêîãî

ðîäà ôàêòè÷åñêè óìåíüøàåò ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïðèìåðîì ñâÿçè òàêîãî òèïà ìîæåò ñëóæèòü äâèæóùàÿñÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, óäàðÿþùàÿñÿ â ìîìåíò âðåìåíè íåïîäâèæíóþ ïëîñêîñòü

t1 î ãëàäêóþ íåóïðóãóþ

x = x0 . Ñâÿçü â ýòîì ñëó÷àå îïèñûâàåòñÿ óðàâ-

íåíèåì x& = 0 â ìîìåíò âðåìåíè

t1 + 0 .

Òåîðèÿ óäàðà

253

2. Ñâÿçè âòîðîãî òèïà. Ýòè ñâÿçè îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè (1.2.21), â êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû ÿííû), à âñå êîýôôèöèåíòû

E jr íåïðåðûâíû (ôàêòè÷åñêè ïîñòî-

E r ðàâíû íóëþ â ìîìåíò âðåìåíè t1 − 0 è,

âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷íû îò íóëÿ â ìîìåíò âðåìåíè t1 + 0 , à ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Ïðèìåðîì òàêîé ñâÿçè ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå ïî ãëàäêîé ïëîñêîñòè

x = x0 , êîòîðàÿ â ìîìåíò âðåìåíè t1 âíåçàïíî ïðèõîäèò â äâèæåíèå ñî ñêîðîñòüþ u â íàïðàâëåíèè îñè Ox . Óðàâíåíèå ñâÿçè x& = 0 â ìîìåíò

t1 − 0 óñòóïàåò ìåñòî óðàâíåíèþ x& − u = 0 â ìîìåíò âðåìåíè

âðåìåíè

t1 + 0 . § 12.3. Îñíîâíîå óðàâíåíèå òåîðèè óäàðà t1 äî t1 + τ , â òå÷åíèå êîòîðîãî äåéñòâóþò êîíå÷íûå ñèëû. Ïðîìåæóòîê âðåìåíè τ áóäåì ñ÷èòàòü Ðàññìîòðèì ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò

íàñòîëüêî ìàëûì, ÷òî êîýôôèöèåíòû â êîíå÷íûõ óðàâíåíèÿõ ñâÿçè N

∑A r =1

jr

u r + Ar = 0 , j = 1,2 ,..., k ,

(12.3.1)

â òå÷åíèå ýòîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûìè. Óðàâíåíèÿ èìïóëüñèâíûõ ñâÿçåé ìîæíî ïîëó÷èòü èç êîíå÷íûõ óðàâíåíèé N

∑E r =1

jr

u r + θr = 0 , j = 1,2 ,..., k ′ ,

â êîòîðûõ ôóíêöèÿ âðåìåíè

(12.3.2)

θ r èçìåíÿåòñÿ çà âðåìÿ îò t1 äî t1 + τ îò

N

çíà÷åíèÿ

− ∑ E jr (u r )t1 −0 äî íóëÿ â ñëó÷àå ñâÿçåé ïåðâîãî òèïà è îò r =1

íóëÿ äî

(E r )t +0 1

óðàâíåíèÿ ñâÿçè

â ñëó÷àå ñâÿçè âòîðîãî òèïà. Âòîðàÿ ôîðìà îñíîâíîãî

Ãëàâà

254 N

∑ (m&x&

r

r =1

− X r )∆x& r = 0

äâåíàäöàòàÿ (2.7.5)

çàïèøåòñÿ òåïåðü â âèäå N

∑ (m&x&

r

r =1

− X r )∆u r = 0 ,

(12.3.3)

r

ãäå ∆u - (êîíå÷íàÿ) âàðèàöèÿ ñêîðîñòè, à å¸ ñîñòàâëÿþùèå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì N

∑A r =1

jr

∆u r = 0 ,

j = 1,2 ,..., k ,

(12.3.4)

jr

∆u r = 0 ,

j = 1,2 ,..., k ′ .

(12.3.5)

N

∑E r =1

Êîýôôèöèåíòû

A jr è E jr â ýòèõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ ïîñòîÿír íû, òàê ÷òî ìîæíî íàéòè âàðèàöèè ∆u , îáùèå äëÿ âñåãî èíòåðâàëà âðår ìåíè τ . Âûáåðåì ëþáóþ òàêóþ âàðèàöèþ ∆u è ïîäñòàâèì å¸ çíà÷åíèÿ â (12.3.3), èíòåãðèðóÿ â ïðåäåëàõ îò íåíèå òåîðèè óäàðà N

∑ {m (u r =1

r

r

t1 äî t1 + τ , ïîëó÷èì îñíîâíîå óðàâ-

− u r 0 ) − Pr }∆u r = 0 ,

(12.3.6) t1 + τ

ãäå

Pr - çàäàííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èìïóëüñà

∫ X dt . Âåëè÷èíà âðåìåíè r

t1

τ ñ÷èòàåòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé, u r , ur 0 îáîçíà÷àþò çíà÷åíèå x& r â ìîìåíòû âðåìåíè t1 − 0 è t1 + 0 . Ïðè èñïîëüçîâàíèè îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ òåîðèè óäàðà (12.3.6)

r

âàæíî çíàòü êëàññ ∆u , äëÿ êîòîðûõ ýòî óðàâíåíèå ñïðàâåäëèâî. Ðàñ-

Òåîðèÿ óäàðà

255

r ñìîòðèì âàðèàöèè ∆u áîëåå ïîäðîáíî äëÿ êàòàñòàòè÷åñêîé ñèñòåìû

ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî åñòü ñèñòåìû, äëÿ êîòîðîé âîçìîæíûå è âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ñîâïàäàþò (ñì. Ãëàâà I, çàäà÷à ¹9). Ïðè îòñóòñòâèè èìïóëüñèâíûõ ñâÿçåé óðàâíåíèÿ (12.3.4), óäîâëåòâîðÿåìûå âàðèàöèÿìè ñêîðîñòåé, ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè, óäîâëåòâîðÿåìûìè ñàìèìè ñêîðîñòÿìè: N

∑A r =1

jr

ur = 0 ,

j = 1,2,..., k .

(12.3.7)

Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå áóäåò èäåíòè÷íûì ñ óðàâíåíèåì (2.7.4), òàê êàê íóëåâàÿ ñêîðîñòü ïðèíàäëåæèò ê êëàññó âîçìîæíûõ ñêîðîñòåé è â

r

îñíîâíîì óðàâíåíèè (12.3.6) âìåñòî ∆u ìîæíî ïîäñòàâèòü ëþáîé äîïóñòèìûé âåêòîð ñêîðîñòè

r r U = U (U 1 , U 2 ,..., U N ). Îñíîâíîå óðàâíå-

íèå ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä: N

∑ m (u r =1

r

N

r

− u r 0 )U r = ∑ PrU r .

(12.3.8)

r =1

Ðàññìîòðèì êàòàñòàòè÷åñêóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íà êî-

r

òîðóþ íàëîæåíà ñâÿçü ïåðâîãî òèïà. Óðàâíåíèÿ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ ∆u ,

r

áóäóò ñîâïàäàòü ñ óðàâíåíèÿìè äëÿ ñêîðîñòåé U , êîòîðûå äîïóñòèìû äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ íàëîæåííûìè ñâÿçÿìè. Îñíîâíîå óðàâíåíèå â ýòîì ñëó÷àå ïðèìåò âèä: N

∑ m (u r =1

r

r

− u r 0 )U r = 0 .

Êëàññîì äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé

(12.3.9)

r U áóäåò ÿâëÿòüñÿ êëàññ äîïóñòè-

ìûõ ñêîðîñòåé â ìîìåíò âðåìåíè t1 + 0 . Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàëîæåíà ñâÿçü âòîðîãî òèïà. Ïîñëå íàëîæåíèÿ òàêîé ñâÿçè, ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå áóäåò êàòàñòàòè÷åñêîé, êîýôôèöèåíòû íèè (12.2.1) áóäóò ðàâíû íóëþ â ìîìåíò âðåìåíè

E r â óðàâíå-

t1 − 0 . Óðàâíåíèÿ

Ãëàâà

256

äâåíàäöàòàÿ

r (12.3.4) è (12.3.5), êîòîðûì óäîâëåòâîðÿåò ∆u , â òî÷íîñòè ñîâïàäàþò ñ

óðàâíåíèÿìè, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò ñêîðîñòè, äîïóñòèìûå â ìîìåíò âðåìåíè, íåïîñðåäñòâåííî ïðåäøåñòâóþùèé íàëîæåíèþ ñâÿçè. Îñíîâíîå óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â ôîðìå N

∑ m (u r =1

r

r

− u r 0 )U r = 0 ,

(12.3.10)

r

à êëàññîì äîïóñòèìûõ ñêîðîñòåé U áóäåò êëàññ âîçìîæíûõ ñêîðîñòåé â ìîìåíò âðåìåíè

t1 − 0 .

§ 12.4. Òåîðåìà î ñóïåðïîçèöèè Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíû íà÷àëüíûå ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè

r r P1 ñîîáùàåò åé ñêîðîñòü u1 , à ñèñòåìà r r r èìïóëüñîâ P2 - ñêîðîñòü u 2 . Êàêîâà áóäåò ñêîðîñòü u 3 ïðè îäíîâðår r ìåííîì ïðèëîæåíèè îáåèõ ñèñòåì èìïóëüñîâ P1 + P2 ? ñèñòåìû è ñèñòåìà èìïóëüñîâ

Íà îñíîâàíèè óðàâíåíèé (12.3.8), îïóñêàÿ èíäåêñû ñóììèðîâàíèÿ, çàïèøåì

∑ m(u ∑ m(u ∑ m(u

1

2

3

− u 0 )U = ∑ P1U ,

− u 0 )U = ∑ P2U ,

− u 0 )U = ∑ (P1 + P2 )U .

(12.4.1) (12.4.2) (12.4.3)

Ýòè óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïðè îäíèõ è òåõ æå çíà÷åíèÿõ ñêî-

r U , âîçìîæíîé â ñèñòåìå â å¸ ïîëîæåíèè â ìîìåíò âðåìåíè t1 . r Òîãäà äëÿ îäíèõ è òåõ æå çíà÷åíèé U áóäåò ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå

ðîñòè

âûðàæåíèå

∑ m(u

1

+ u 2 − u 0 − u 3 )U = 0 .

Îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî

(12.4.4)

Òåîðèÿ óäàðà

257

u 3 = u1 + u 2 − u 0 .

(12.4.5)

Åñëè ñèñòåìà ïåðâîíà÷àëüíî íàõîäèëàñü â ïîêîå, òî

u 3 = u1 + u 2 ,

(12.4.6)

òî åñòü ñóïåðïîçèöèÿ èìïóëüñîâ âëå÷¸ò çà ñîáîé ñóïåðïîçèöèþ ñêîðîñòåé.

§ 12.5. Øåñòü òåîðåì îá ýíåðãèè Ðàññìîòðèì òåîðåìû, ñâÿçàííûå ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé êàòàñòàòè÷åñêèõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïðè äåéñòâèè íà íèõ óäàðíûõ èìïóëüñîâ.  êà÷åñòâå èñõîäíûõ óðàâíåíèé (â ñîêðàù¸ííîé çàïèñè) âîçüì¸ì óðàâíåíèÿ (12.3.9) è (12.3.10).

∑ m(u − u )U = ∑ PU , ∑ m(u − u )U = 0 . 0

(12.5.1)

0

(12.5.2)

1. Ïðèðàùåíèå ýíåðãèè ñèñòåìû áåç èìïóëüñèâíûõ ñâÿçåé Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (12.5.1)

∑ m(u − u )U = ∑ PU ,

(12.5.1)

0

r ãäå ïîä U áóäåì ïðèíèìàòü ëþáóþ ñèñòåìó ñêîðîñòåé, âîçìîæíóþ â ìîìåíò âðåìåíè

t1 . Ê ýòîé ñèñòåìå ñêîðîñòåé ïðèíàäëåæàò, â ÷àñòíîr r r r ñòè, âåêòîðû u è u 0 , à òàê æå èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè λu 0 + µu . r

Ïóñòü, äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè U

=

1 r (u 0 + ur ) , òîãäà ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷å2

íèå â (12.5.1), ïîëó÷èì

u + u0 1 m(u − u 0 )(u + u 0 ) = ∑ P , ∑ 2 2 èëè ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê

(12.5.3)

Ãëàâà

äâåíàäöàòàÿ

u + u0 1 1 mu 2 − ∑ mu 02 = ∑ P . ∑ 2 2 2

(12.5.4)

258

T − T0 =

Ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàâíî ñóììå ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé êàæäîãî èìïóëüñà íà ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ñêîðîñòåé òî÷êè åãî ïðèëîæåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ïðèëîæåíèåì èìïóëüñà è ïîñëå íåãî. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïåðâîíà÷àëüíî íàõîäèëàñü â ïîêîå, òî ñîîáù¸ííàÿ åé ýíåðãèÿ áóäåò ðàâíà

1 ∑ Pu , à åñëè ñóììèðî2

âàíèå ïðîèçâîäèòü ïî ìàòåðèàëüíûì òî÷êàì, òî ñîîáùåííàÿ ñèñòåìå ýíåðãèÿ áóäåò ðàâíà

1 ∑ m(Pu + Qv + Rw) . 2

2. Òåîðåìà Êàðíî î ïîòåðå ýíåðãèè ïðè íàëîæåíèè ñâÿçè ïåðâîãî òèïà Ïðè íàëîæåíèè òàêîé ñâÿçè ïîòåðÿííàÿ ýíåðãèÿ ðàâíà ýíåðãèè ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé. Ïîòåðÿííîé ñêîðîñòüþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíóþ ðàçíîñòü å¸ ñêîðîñòåé äî è ïîñëå íàëîæåíèÿ ñâÿçåé. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (12.5.2)

∑ m(u − u )U = 0 .

(12.5.2)

0

Ýòî ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî (ñì. § 12.3.) äëÿ ëþáîé ñèñòåìû ñêîðî-

r

ñòåé U , äîïóñòèìîé íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå íàëîæåíèÿ ñâÿçè, â ìîìåíò âðåìåíè t1 + 0 . Íå íàðóøàÿ îáùíîñòè ìû ìîæåì ïîëîæèòü òîãäà (12.5.2) çàïèøåòñÿ â âèäå

∑ mu(u − u ) = 0 .

(12.5.5)

0

Ïðåäñòàâèì

u (u − u 0 ) â âèäå

u (u − u 0 ) =

1 2 2 u − u 02 + (u − u 0 ) , 2

{

r r U =u,

}

(12.5.6)

Òåîðèÿ óäàðà

259

òîãäà (12.5.5) ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê

1 1 1 2 mu 02 − ∑ mu 2 = ∑ m(u − u 0 ) ∑ 2 2 2

(12.5.7)

T0 − T = R0 .

(12.5.8)

èëè

Çäåñü ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî

T0 åñòü êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ â ìî-

ìåíò âðåìåíè, íåïîñðåäñòâåííî ïðåäøåñòâóþùèé íàëîæåíèþ ñâÿçè, - êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñðàçó ïîñëå íàëîæåíèÿ ñâÿçè, à

T

R0 - êèíåòè÷åñ-

êàÿ ýíåðãèÿ ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé, ðàâíàÿ

R0 =

1 2 m(u − u 0 ) . ∑ 2

(12.5.9)

3. Âûèãðûø ýíåðãèè ïðè íàëîæåíèè ñâÿçè âòîðîãî ðîäà Ïðè íàëîæåíèè ñâÿçè òàêîãî òèïà ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê âîçðàñòàåò íà âåëè÷èíó, ðàâíóþ ýíåðãèè ïðèîáðåò¸ííûõ ñêîðîñòåé. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (12.5.2)

∑ m(u − u )U = 0 .

(12.5.2)

0

r

Îíî ñïðàâåäëèâî (ñì. § 12.3.) äëÿ ëþáîé ñèñòåìû ñêîðîñòåé U , äîïóñòèìîé íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä íàëîæåíèåì ñâÿçè, â ìîìåíò âðåìåíè

r r t1 − 0 , è ìû ìîæåì ïîëîæèòü U = u 0 . Òîãäà

∑ mu (u − u ) = 0 . 0

(12.5.10)

0

Ïîëàãàÿ, ïî àíàëîãèè ñ (12.5.6)

u 0 (u − u 0 ) =

{

}

1 2 2 u − u 02 − (u − u 0 ) , 2

(12.5.11)

ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â (12.5.10), ïîëó÷èì

T − T0 = R .

(12.5.12)

Ãëàâà

260

äâåíàäöàòàÿ

4. Òåîðåìà Áåðòðàíà Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ ïðèâîäèòñÿ â äâèæåíèå íåêîòîðîé çàäàííîé ñèñòåìîé èìïóëüñîâ. Ïîâòîðèì ìûñëåííî ýòîò ýêñïåðèìåíò ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ, íî ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òåïåðü ïîä÷èíèì äîïîëíèòåëüíûì (êîíå÷íûì) ñâÿçÿì. Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Ýíåðãèÿ T1 ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê âî âòîðîì ñëó÷àå ìåíüøå ýíåðãèè T ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â ïåðâîì ñëó÷àå íà âåëè÷èíó ýíåðãèè ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé (òî åñòü ñêîðîñòè Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (12.5.1)

u − u1 ).

∑ m(u − u )U = ∑ PU ,

(12.5.1)

0

ó÷èòûâàÿ, ÷òî

u 0 = 0 , çàïèøåì äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî ñëó÷àåâ

∑ muU = ∑ PU , ∑ mu U = ∑ PU . 1

(12.5.13)

r

(12.5.14)

r

Îáà óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâû äëÿ U = u1 . Òîãäà ñ ó÷¸òîì ðàâåíñòâà ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (12.5.13) è (12.5.14), ïîëó÷èì

∑ mu (u − u ) = 0 .

(12.5.15)

T − T1 = R1 ≥ 0 .

(12.5.16)

1

1

Ðàññóæäàÿ ïî àíàëîãèè ñ (12.5.6), çàïèøåì

5. Òåîðåìà Êåëüâèíà Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, íàõîäèâøàÿñÿ â çàäàííîì ïîëîæåíèè â ïîêîå, ïðèâîäèòñÿ â äâèæåíèå óäàðíûìè èìïóëüñàìè, ïðèëîæåííûìè â îïðåäåë¸ííûõ òî÷êàõ; ñêîðîñòè (íî íå èìïóëüñû) â òî÷êàõ óäàðà áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè.

Òåîðèÿ óäàðà

261

Òåîðåìà Êåëüâèíà. Ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìåíüøå, ÷åì â ëþáîì äðóãîì äâèæåíèè, ïðè êîòîðîì óêàçàííûå òî÷êè èìåþò çàäàííûå ñêîðîñòè. Çàïèøåì óðàâíåíèå (12.5.1) ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïîêîèëàñü:

∑ muU = ∑ PU .

(12.5.1)

r u 2 åñòü ëþáàÿ äðóãàÿ ñèñòåìà ñêîðîñòåé, ïðè êîòîðîé óêàr r çàííûå òî÷êè èìåþò çàäàííûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè. Ïîëàãàÿ U = u − u 2 , Ïóñòü

íàõîäèì

∑ mu(u − u ) = ∑ P(u − u ). 2

(12.5.17)

2

Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà ðàâíà íóëþ, òàê êàê â íóëü âñþäó, ãäå ðàçíîñòü

∑ mu(u − u ) = 0

r P îáðàùàåòñÿ

(u − u 2 ) îòëè÷íà îò íóëÿ. Òîãäà

2

(12.5.18)

è ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî

T2 − T = R2 .

(12.5.19) Òåîðåìà Êåëüâèíà óòâåðæäàåò, ÷òî ýíåðãèÿ ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé ïðè äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè ìèíèìàëüíà.

6. Òåîðåìà Òåéëîðà (î ñâÿçè ìåæäó òåîðåìàìè Áåðòðàíà è Êåëüâèíà) Ïðîèçâåä¸ì ìûñëåííî òðè îïûòà, ïîëàãàÿ â êàæäîì èç íèõ, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàõîäèòñÿ â ïîêîå â íåêîòîðîì çàäàííîì ïîëîæåíèè. 1.  íåêîòîðûõ òî÷êàõ ñèñòåìû ïðèêëàäûâàþòñÿ óäàðíûå èìïóëüñû, ñîîáùàþùèå ñèñòåìå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ T . 2. Ñèñòåìà ïîä÷èíåíà ñâÿçÿì è ïîäâåðãàåòñÿ äåéñòâèþ òåõ æå óäàðíûõ èìïóëüñîâ, ÷òî è îïûòå 1. Ïðèîáðåò¸ííàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû â ýòîì ñëó÷àå ïóñòü áóäåò ðàâíà

T1 . Ïî òåîðåìå Áåðòðàíà

Ãëàâà

262

äâåíàäöàòàÿ

T − T1 = R1 > 0 . 3. Ñèñòåìà ïîä÷èíåíà òåì æå ñâÿçÿì, ÷òî è â ñëó÷àå 1, ïðèêëàäûâàþòñÿ óäàðíûå èìïóëüñû òàêèå, ÷òî ñêîðîñòè ýòèõ òî÷åê ñòàíîâÿòñÿ ðàâíûìè òåì, ÷òî áûëè â ñëó÷àå 1; èíûìè ñëîâàìè, ýòè òî÷êè ïîëó÷àþò òàêîå æå äâèæåíèå êàê â ñëó÷àå 1. Ñîãëàñíî òåîðåìå Êåëüâèíà

T2 − T = R2 > 0 . Òåîðåìà Òåéëîðà Ýíåðãåòè÷åñêèé âûèãðûø â òåîðåìå Êåëüâèíà áîëüøå, ÷åì ïîòåðÿ ýíåðãèè â òåîðåìå Áåðòðàíà, òî åñòü R2 > R1 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèÿìè (12.5.13) è (12.5.14), ãäå ïîëîæèì (12.5.15) ïðèìóò âèä:

r r r U = u 2 , à çàòåì U = u1 , òîãäà óðàâíåíèÿ

∑ mu (u − u ) = 0 è ∑ mu (u − u ) = 0 . 2

1

1

1

Âû÷òÿ âòîðîå èç ïåðâîãî, ïîëó÷èì

∑ m(u − u )(u 1

2

− u1 ) = 0 .

(12.5.20)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

(u − u1 )(u 2 − u1 ) = (u1 − u ){(u1 − u ) − (u 2 − u )},

(12.5.21)

ïåðåïèøåì (12.5.20) â âèäå

∑ m(u

1

− u ){(u1 − u ) − (u 2 − u )} = 0 .

(12.5.22)

Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå (12.5.6), ïîëó÷èì

R1 − R2 + R12 = 0 ,

(12.5.23)

ãäå

R12 =

1 2 m(u 2 − u1 ) . ∑ 2

Òàê êàê â ñîîòâåòñòâèè ñ (12.5.24)

R2 − R1 = R12 > 0 , ÷òî äîêàçûâàåò òåîðåìó Òåéëîðà.

(12.5.24)

R12 > 0 , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì (12.5.25)

Òåîðèÿ óäàðà

263

§ 12.6. Èñïîëüçîâàíèå îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò è êâàçèêîîðäèíàò â òåîðèè óäàðà  òåîðèè óäàðà óäîáíî èñïîëüçîâàòü êâàçèêîîðäèíàòû, ïîäîáíî òîìó, êàê îíè èñïîëüçîâàëèñü â óðàâíåíèÿõ Ãèááñà-Àïïåëÿ â ïÿòîé ãëàâå. Âîñïîëüçóåìñÿ óðàâíåíèåì (6.1.7) k

dxr = ∑ α ri dqi + α r dt , (r = 1, 2 ,..., N ) ,

(6.1.7)

i =1

ãäå k - ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ (6.1.7) íà dt ïîëó÷èì k

u r = ∑ α ri ωi + α r , i =1

ãäå

(r

= 1, 2 ,..., N ) ,

(12.6.1)

ωi - ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè q& r . Íà îñíîâàíèè ïîëó÷åííîãî óðàâ-

íåíèÿ (12.6.1) ìû ìîæåì çàïèñàòü k

∆u r = ∑ α ri ∆ωi

(12.6.2)

i =1

èëè k

u r − u r 0 = ∑ α ri (ωi − ωi 0 ) ,

(12.6.3)

i =1

ãäå êîýôôèöèåíòû

α ri ñ÷èòàþòñÿ òåïåðü ïîñòîÿííûìè.

Ðàññìîòðèì îñíîâíîå óðàâíåíèå (12.3.6) n

∑ m (u r =1

r

n

r

− u r 0 ) =∑ Pr ∆u r .

(12.3.6)

r =1

Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ (12.6.2)

Ãëàâà

264

k k  n  P u P ∆ = α ∆ ω = Ω i ∆ωi ,   ∑ ∑ ∑ r ri  i ∑ r r r =1 i =1  r =1 i =1

äâåíàäöàòàÿ

n

(12.6.4)

ãäå N

Ω i = ∑ Pr α ri

(12.6.5)

r =1

åñòü îáîáù¸ííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èìïóëüñà. Âåëè÷èíû òàê æå, êàê âåëè÷èíû

Ω i èùóòñÿ òî÷íî

Qi â ïÿòîé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ. Âîñïîëü-

çóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì N

k

∑ P δx = ∑ Ω δq r =1

r

r

i =1

i

i

.

(12.6.6)

 íàèáîëåå ðàñïðîñòðàí¸ííîì ñëó÷àå, êîãäà âñå êîýôôèöèåíòû â (12.6.1) ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èì N

k

r =1

i =1

∑ Pr u r = ∑ Ω i ωi .

αr

(12.6.7)

Âûðàçèâ ïðàâóþ ÷àñòü îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (12.3.6) ÷åðåç k âåëè÷èí

∆ωi , ïîëó÷èì N

k

r =1

i =1

∑ mr (u r − u r 0 )∆u r =∑ Ω i ∆ωi ,

(12.6.8)

óðàâíåíèå, àíàëîãè÷íîå ïÿòîé ôîðìå îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (6.2.11) â ñëó÷àå êîíå÷íûõ ñèë. Ñîñòàâèì ôóíêöèþ

ℜ=

1 N ∑ mr (u r − u r 0 )2 . 2 r =1

(12.6.9)

Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ (12.6.3), âûðàçèì ýòó ôóíêöèþ ÷åðåç ðàçíî-

ñòè

(ωr − ωr 0 ) , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì îäíîðîäíóþ êâàäðàòè÷íóþ

Òåîðèÿ óäàðà

265

ôóíêöèþ îò ýòèõ ðàçíîñòåé. Åñëè êîýôôèöèåíòû òî ℜ çàâèñèò îò

(ωr − ωr 0 ) òàê æå, êàê T

α r âñå ðàâíû íóëþ,

çàâèñèò îò

ωr , òî åñòü ôóí-

êöèþ ℜ ìîæíî ïîñòðîèòü ïî ÷ëåíàì T2 â âûðàæåíèè äëÿ T . Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (12.6.8) ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (12.6.2) k  N  ( ) m u u u mr (u r − u r 0 )α ri ∆ωi = − ∆ =  ∑ ∑ ∑ r r r0 r r =1 i =1  r =1  N

k  N ∂u = ∑  ∑ mr (u r − u r 0 ) r ∂ωi i =1  r =1

k  ∂ℜ ∆ωi = ∑ ∆ωi i =1 ∂ωi 

(12.6.10)

èëè â ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå k ∂ℜ ∆ ω = Ω i ∆ωi . ∑ ∑ i i =1 ∂ωi i =1 k

(12.6.11)

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t1 + 0 , äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü áåñêîíå÷íî ìàëûå âàðèàöèè â óðàâíåíèè (12.6.11), òîãäà îíî ïðèìåò âèä k

δℜ = ∑ Ω i δωi .

(12.6.12)

Åñëè èìïóëüñèâíûå ñâÿçè îòñóòñòâóþò è âàðèàöèè

δω i íåçàâèñè-

i =1

ìû, óðàâíåíèå (12.6.12) ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèÿì

∂ℜ = Ωi , ∂ωi

(i = 1,2,..., k ).

(12.6.13)

 ñëó÷àå èìïóëüñèâíûõ ñâÿçåé ïåðâîãî òèïà, íàïðèìåð ñâÿçè, âûðàæàåìîé îäíèì óðàâíåíèåì

b1ω1 + b2 ω2 + ... + bk ωk = 0 ,

(12.6.14)

äâèæåíèå â ìîìåíò âðåìåíè t1 + 0 îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì δℜ = 0 è óðàâíåíèåì ñâÿçè (12.6.14).  òàêîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ(12.6.12) ïðèìóò

Ãëàâà

266

äâåíàäöàòàÿ

âèä:

∂ℜ = λbi , ∂ωi

(i = 1,2,..., k ).

(12.6.15)

Ìíîæèòåëü λ ïðîïîðöèîíàëåí âåëè÷èíå èìïóëüñà, ñîçäàâàåìîãî èìïóëüñèâíîé ñâÿçüþ. Çàìå÷àíèå. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íà÷èíàåò äâèæåíèå èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ, ôóíêöèÿ ℜ , îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé (12.6.9), ñîâïàäàåò ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé T è ôîðìóëó (12.6.12) ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàê: k

δT = ∑ Ω i δωi . i =1

(12.6.16)

267

Ïðèëîæåíèÿ Ïðèëîæåíèå I 1. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü Åñëè íåêîòîðîå âûðàæåíèå

Pdx + Qdy

(Ï1.1) åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîæíî ïîäîáðàòü òàêóþ ôóíêöèþ

du =

u (x, y ), ÷òî

∂u ∂u dx + dy = Pdx + Qdy . ∂x ∂y

(Ï1.2)

Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî ñàìîå îáùåå ðåøåíèå (Ï1.2) åñòü

u1 (x, y ) = u(x, y ) + C .

(Ï1.3)

 ñàìîì äåëå

du = Pdx + Qdy , du1 = Pdx + Qdy , îòêóäà

d (u1 − u ) = 0

èëè

u1 − u = C . Íî åñëè äèôôåðåíöèàë íåêîòîðîé ôóíêöèè ðàâåí òîæäåñòâåííî íóëþ, òî ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè ïî âñåì íåçàâèñèìûì ïåðåìåííûì ðàâíà íóëþ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñàìà ôóíêöèÿ åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, òî åñòü

u1 − u = C .

Îáðàòíî, ïóñòü ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ

u1 , ÷òî

du1 = Pdx + Qdy . Ïîêàæåì, ÷òî ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæíî áûòü

(Ï1.4)

Ïðèëîæåíèÿ

268

∂Q ∂P − ≡ 0. ∂x ∂y

(Ï1.5)

Ñîîòíîøåíèå (1.4) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå

Pdx + Qdy =

∂u1 ∂u dx + 1 dy ∂x ∂y

(Ï1.6)

è òàê êàê âåëè÷èíû dx è dy , êàê äèôôåðåíöèàëû íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ñîâåðøåííî ïðîèçâîëüíû, òî ýòî ðàâåíñòâî ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ðàâíû êîýôôèöèåíòû ïðè dx è ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà (Ï1.6), òî åñòü

P =

dy â îáåèõ

∂ u1 ∂u1 , Q= , ∂x ∂y

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

∂P ∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂Q = ≡ = . ∂y ∂x∂y ∂y∂x ∂y Èòàê, åñëè íåêîòîðîå âûðàæåíèå ðåíöèàë ôóíêöèè

u1 (x, y ) , òî

Pdx + Qdy åñòü ïîëíûé äèôôå-

∂P ∂Q = è ∂y ∂x

u1 (x, y ) = ∫ (Pdx + Qdy ) + C . Åñëè âûðàæåíèå

(Ï1.7)

(Ï1.8)

Pdx + Qdy íå åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë, òî

∂P ∂Q − ≠ 0. ∂y ∂x

(Ï1.9)

Ïîêàæåì, ÷òî âñåãäà ìîæíî íàéòè òàêóþ ôóíêöèþ λ , ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðóþ âûðàæåíèå Pdx + Qdy îáðàùàåòñÿ â ïîëíûé äèôôåðåíöèàë è åãî ìîæíî áóäåò ïðîèíòåãðèðîâàòü.

λ (Pdx + Qdy ) = du .

(Ï1.10)

269 Âñÿêàÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ λ íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ λ áûëà èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà

∂ (λP ) ∂ (λQ ) − = 0. ∂y ∂x

(Ï1.11)

Âûðàæåíèå

P

∂λ ∂λ  ∂P ∂Q  −Q + λ  −  = 0 ∂y ∂x  ∂y ∂x 

(Ï1.12)

ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíî êàê óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ λ . Ìîæíî îïðåäåëèòü èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü è èç äðóãèõ ñîîáðàæåíèé. Ïóñòü Pdx + Qdy íå åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

Pdx + Qdy = 0

(Ï1.13) âñåãäà èìååò, â ñèëó òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ, îáùèé èíòåãðàë, êîòîðûé ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

F (x, y ) = 0 .

Ôóíêöèÿ

F (x, y ) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ

∂F ∂F ∂y + = 0, ∂x ∂y ∂x ãäå

(Ï1.14)

(Ï1.15)

 P ∂y , â ñèëó (Ï1.13), ìîæíî çàìåíèòü íà  −  , òî åñòü äîëæíî èìåòü ∂x  Q

ìåñòî òîæäåñòâî

∂F ∂F ∂x = ∂y . P Q

(Ï1.16)

Ïðèëîæåíèÿ

270

Îáîçíà÷àÿ ÷åðåç λ îáùóþ âåëè÷èíó ýòèõ äâóõ ðàâíûõ îòíîøåíèé, ìû èìååì

∂F = λP , ∂x

∂F = λQ , ∂y

(Ï1.17)

òî åñòü λ åñòü èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ëþáîãî âûðàæåíèÿ

Pdx + Qdy . 2. Óðàâíåíèÿ Ïôàôôà Óðàâíåíèÿìè Ïôàôôà íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿ òèïà (Ï1.18) δQ = Xdx + Ydy + Zdz + ⋅ ⋅ ⋅ , ãäå âåëè÷èíû, x, y, z ,... , ñëóæàò àðãóìåíòàìè, à âåëè÷èíû X , Y , Z ,... ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ýòèõ àðãóìåíòîâ. Åñëè óðàâíåíèå (Ï1.18) èìååò «èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü» (òî åñòü èìååòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ, ïîñëå óìíîæåíèÿ íà êîòîðóþ ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ îáðàùàåòñÿ â âûðàæåíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà), òî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ãîëîíîìíûì. Ïî òåîðåìå Êîøè âñÿêîå óðàâíåíèå òèïà óðàâíåíèÿ Ïôàôôà (Ï1.18) ñ äâóìÿ àðãóìåíòàìè ãîëîíîìíî. Ïî òîé æå òåîðåìå îíî èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî èíòåãðèðóþùèõ ìíîæèòåëåé, èáî åñëè èçâåñòåí îäèí èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü, òî åãî ïðîèçâåäåíèå íà ëþáóþ ôóíêöèþ îò âåëè÷èíû, ñòîÿùåé ïîä çíàêîì ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà, òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì. Äëÿ óðàâíåíèé Ïôàôôà ñ òðåìÿ è áîëåå àðãóìåíòàìè äåëî îáñòîèò ñëîæíåå. Äàëåêî íå âñÿêîå óðàâíåíèå Ïôàôôà ñ òðåìÿ è áîëåå àðãóìåíòàìè èìååò èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü. ×òîáû óðàâíåíèå èìåëî èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü, ìåæäó ôóíêöèÿìè X ,Y , Z ,... äîëæíû èìåòüñÿ íåêîòîðûå ñîîòíîøåíèÿ, à èìåííî: ïðè ñóùåñòâîâàíèè èíòåãðèðóþùåãî ìíîæèòåëÿ µ äîëæíû áûòü óäîâëåòâîðåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:

∂µX ∂µY ∂µZ ∂µX = , = , è òàê äàëåå. ∂y ∂x ∂z ∂z

(Ï1.19)

Ýòó ñîâîêóïíîñòü ñîîòíîøåíèé íåðåäêî íàçûâàþò ïðàâèëîì ïðèðàâíèâàíèÿ íàêðåñò âçÿòûõ ïðîèçâîäíûõ.

271

Ïðèëîæåíèå II Îäíîðîäíûå ôóíêöèè, òåîðåìà Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ Îäíîðîäíûìè íàçûâàþò ïîëèíîìû, ñîñòîÿùèå èç ÷ëåíîâ îäíîãî è òîãî æå èçìåðåíèÿ.

2 x 2 − 3xy + 7 y 2 åñòü îäíîðîäíûé ïîëèíîì âòîðîé ñòåïåíè. Åñëè óìíîæèòü ïåðåìåííûå x è y íà íåêîòîðûé Íàïðèìåð, âûðàæåíèå

ìíîæèòåëü t , òî âåñü ìíîãî÷ëåí ïðèîáðåò¸ò ìíîæèòåëü ÿòåëüñòâî ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ïîëèíîìà. Äàäèì îïðåäåëåíèå îäíîðîäíîé ôóíêöèè: Ôóíêöèÿ

t 2 . Ýòî îáñòî-

f (x1 , x 2 ,..., xn ) îò n àðãóìåíòîâ, îïðåäåë¸ííàÿ â îáëà-

ñòè D , íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñòåïåíè m , åñëè ïðè óìíîæåíèè âñåõ å¸ àðãóìåíòîâ íà ìíîæèòåëü t ôóíêöèÿ ïðèîáðåòàåò ýòîò æå ìíîæèòåëü â ñòåïåíè m , ÷òî ðàâíîñèëüíî òîæäåñòâåííîìó âûïîëíåíèþ ðàâåíñòâà

f (tx1 , tx2 ,..., txn ) = t m ⋅ f (x1 , x2 ,..., x n ) .

(Ï2.1)

Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ôóíêöèþ f (x , y , z ) ñòåïåíè m îò òð¸õ ïåðåìåííûõ (êîëè÷åñòâî ïåðåìåííûõ îãðàíè÷åíî äëÿ ïðîñòîòû ðàññóæäåíèé), èìåþùóþ â îòêðûòîé îáëàñòè D íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî âñåì àðãóìåíòàì. Äëÿ ïðîèçâîëüíî çàôèêñèðîâàííîé òî÷êè

(x0 , y0 , z0 ) èç

D , â ñèëó îñíîâíîãî òîæäåñòâà (Ï2.1) ìîæåì çàïèñàòü

äëÿ ëþáîãî t > 0 :

f (tx0 , ty0 , tz0 ) = t m ⋅ f (x0 , y 0 , z 0 ) .

(Ï2.2)

Äèôôåðåíöèðóÿ ëåâóþ ÷àñòü (Ï2.2) ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, à ïðàâóþ ïðîñòî êàê ñòåïåííóþ, ïîëó÷èì

f x′(tx0 , ty0 , tz0 )x0 + f y′ (tx0 , ty 0 , tz0 )y 0 + f z′(tx0 , ty0 , tz0 )z 0 =

Ïðèëîæåíèÿ

272

= mt m −1 ⋅ f (x0 , y 0 , z 0 ). Ïîëàãàÿ t = 1 , ïîëó÷èì

f x′(tx0 , ty0 , tz0 )x0 + f y′ (tx0 , ty 0 , tz0 )y 0 + f z′(tx0 , ty0 , tz0 )z 0 =

= m ⋅ f (x0 , y 0 , z 0 ) .

(x, y, z ) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî ∂f (x, y , z ) ∂f (x, y , z ) ∂f (x, y , z ) x+ y+ z = m ⋅ f (x, y , z ), (Ï2.3) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé òî÷êè

∂x

∂y

∂z

ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé òåîðåìó Ýéëåðà îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ.

Ïðèëîæåíèå III Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå 1. Óñëîâèå ñòàöèîíàðíîñòè èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà Ðàññìîòðèì èíòåãðàëüíûé ôóíêöèîíàë âèäà t1

 dx  S = ∫ f  x, , t  ,  dt  t0

(Ï3.1)

ãäå

f - çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, à îòíîñèòåëüíî x èçâåñòíî, ÷òî ýòî íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò t , îäíàêî íå èçâåñòíî, êàêàÿ èìåííî.

Çàäà÷à âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè, êàêîé

ôóíêöèåé îò t äîëæíî áûòü x , ÷òîáû íà ýòîé ôóíêöèè ôóíêöèîíàë S ïðèíèìàë ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ x . Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà çàäà÷ó îá îïðåäåëåíèè êðàò÷àéøåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè. Çäåñü ôóíêöèîíàëîì áóäåò äëèíà ïëîñêîé êðèâîé, ñîåäèíÿþùåé äâå òî÷êè íåíèå êðèâîé çàäàíî â âèäå y æåò áûòü íàéäåí ïî ôîðìóëå

(x0 , y0 ) è (x1 , y1 ) . Åñëè óðàâ-

= y (x ) , òî ôóíêöèîíàë äëèíû äóãè ìî-

273

s=

x1

∫

2 1 + ( y ′(x )) .

(Ï3.2)

x0

Êîíöû êðèâîé îïðåäåëÿþòñÿ çàäàííûìè òî÷êàìè

y 0 = y 0 (x0 ) è

y1 = y1 (x1 ) . Íåòðóäíî ïðåäñòàâèòü, ÷òî äëèíà äóãè êðèâîé s áóäåò ìèíèìàëüíîé, åñëè ïîëîæèòü y − y0 x − x0 = , y1 − y 0 x1 − x 0 òî åñòü ëèíèÿ

(Ï3.3)

s , ñîåäèíÿþùàÿ äâå òî÷êè (x0 , y 0 ) è (x1 , y1 ) - ïðÿìàÿ.

Õàðàêòåðíàÿ îñîáåííîñòü çàäà÷ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, â îòëè÷èè îò îáû÷íûõ çàäà÷ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà ôóíêöèè, ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ è å¸ ïðîèçâîäíàÿ íàõîäÿòñÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (Ï3.1) ìû äîëæíû çíàòü çíà÷åíèÿ x äëÿ âñåõ çíà÷åíèé t â ñîîòâåòñòâóþùåì èíòåðâàëå, è ÷òîáû ñäåëàòü èíòåãðàë ñòàöèîíàðíûì, äîëæíû íàéòè áåñêîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé x . Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è íåîáõîäèìî äàòü ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèþ «ñòàöèîíàðíîñòè» èíòåãðàëà.

dx = p , ðàññìîòðèì f êàê ôóíêöèþ òð¸õ ïåðåìåííûõ dt x , p, t è ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé îáëàñòè D èçìåíåíèÿ ýòèõ Ïîëàãàÿ

ïåðåìåííûõ, âòîðûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå

f ïî x , p, t íåïðåðûâíû

êàê ôóíêöèè x , p, t . Åñëè x (t ) è x ′(t ) óäîâëåòâîðÿþò ñäåëàííûì âûøå ïðåäïîëîæåíèÿì è ðàçíèöà ìåæäó íèìè ìàëà, ìû ìîæåì íàïèñàòü ãäå

à

x ′(t ) = x (t ) + δx (t ) ,

(Ï3.4)

δx (t ) = αg (t ),

(Ï3.5)

g (t ) - ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ êëàññà C 2 .

Ïðèëîæåíèÿ

274 Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðè íîå çíà÷åíèå, åñëè

x (t ) ôóíêöèîíàë ïðèíèìàåò ñòàöèîíàð-

∂ 1  dx ′  f  x ′, , t  dt = 0 , dt  ∂α t∫0  t

(Ï3.6)

êîãäà α = 0 . Ïåðåïèøåì (Ï3.6) ñ ó÷¸òîì (Ï3.4) è (Ï3.3)

dg  ∂ 1  f  x + αg (t ), p + α , t dt = ∫ dt  ∂α t0  t

dg ∂   f  p + α , x + αg , t dt = dt ∂α   t0 t1

=∫

 dg ∂f ∂f  = ∫  + g dt . dt ∂p ∂x  t0  t1

(Ï3.7)

Çäåñü

∂f ∂f ∂p ∂f ∂x ∂f ∂t ∂f dg ∂f ∂f + + = + ⋅g+ ⋅0. = ∂α ∂p ∂α ∂x ∂α ∂t ∂α ∂p dt ∂x ∂t Èíòåãðèðóÿ ïåðâîå ñëàãàåìîå â (Ï3.7) ïî ÷àñòÿì ïîëó÷èì t1

1  ∂f d ∂f  ∂S  ∂f  =  g  + ∫ g  − dt = 0 . ∂α  ∂p  t0 t0  ∂x dt ∂p 

t

Çäåñü ìû ïðèíÿëè

du = v=

dg dt = dg , u = g , dt

∂f , ∂p

 ∂f  d ∂f dv = d  dt .  =  ∂p  dt ∂p

(Ï3.8)

275 Èç òîãî, ÷òî âûðàæåíèå (Ï3.8) ðàâíî íóëþ, åù¸ íå ñëåäóåò, ÷òî

∂f ∂f d ∂f = 0 ïðè t = t0 , t1 è ϕ = − =0 ∂p ∂x dt ∂p

(Ï3.9)

äëÿ âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèé t , êàê ìîæíî áûëî áû ñäåëàòü, åñëè áû δx áûëà ïðîèçâîëüíîé. Ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà (åãî íåòðóäíî íàéòè â ñîîòâåòñòâóþùåé ëèòåðàòóðå ïî âàðèàöèîííîìó èñ÷èñëåíèþ), ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâà (Ï3.8), íà êîíöàõ èíòåðâàëà

∂f ∂p äîëæíî îáðàùàòüñÿ â íóëü

t0 , t1 , à ðàâåíñòâî ϕ = 0 äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ âî

âñåõ ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ.  îáùåì ñëó÷àå

∂f ∂p çàâèñèò îò p , ïî-

ϕ = 0 îáû÷íî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî x . Óñëîâèÿ çàäà÷è ìîãóò âêëþ÷àòü åù¸ è òðåáîâàíèå, ÷òîáû δx = 0 â òî÷êàõ t0 è t1 , êàê ýòî áûëî â ñëó÷àå ýòîìó

ïðîñòåéøåé çàäà÷è î íàõîæäåíèè êðàò÷àéøåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè. Ïîñêîëüêó â âûðàæåíèè (Ï3.2) ìû ðàññìàòðèâàåì êàê íàïåð¸ä çàäàííûå, ìû íå ìîæåì âàðüèðîâàòü ñòèìûìè ñ÷èòàþòñÿ âñå ôóíêöèè

y 0 è y1

y íà êîíöàõ; è äîïó-

δy , äëÿ êîòîðûõ δy 0 = δy1 = 0 . Â ýòîì

ñëó÷àå ∂f ∂p íå îáÿçàíî îáðàùàòüñÿ â íóëü íà êîíöàõ èíòåðâàëà, è äâà ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðåøåíèå, ñîñòîÿò íå â ðàâåíñòâå íóëþ

∂f ∂p íà êîíöàõ èíòåðâàëà, à â òîì, ÷òî òàì

y äîëæíî ïðèíèìàòü óêàçàííûå çíà÷åíèÿ. Âàæíûì äëÿ ïðèëîæåíèé, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ôóíêöèÿ ñîäåðæèò â ÿâíîì âèäå t . Óìíîæàÿ íà

p ðàâåíñòâî

f íå

∂f d ∂f − =0 ∂x dt ∂p

ïîëó÷èì

∂ f dx d ∂f −p = 0. ∂ x dt dt ∂ p

(Ï3.10)

Ïðèëîæåíèÿ

276 Òàê êàê

df ∂f dx ∂f dp = + dt ∂x dt ∂p dt

(Ï3.11)

d  ∂f  ∂f dp d  ∂f  + p   ,  p  = dt  ∂p  ∂p dt dt  ∂p 

(Ï3.12)

è

ñ ó÷¸òîì

dp = 0, dt

(Ï3.13)

ïîëó÷èì

d dt

 ∂f  d ∂f ∂f dx − = 0. − f  = p  p dt ∂p ∂x dt  ∂p 

(Ï3.14)

Ïåðâûé èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä

p

∂f − f = const . ∂p

(Ï3.15)

Èòàê, ìû ðàññìîòðåëè óñëîâèÿ ñòàöèîíàðíîñòè èíòåãðàëüíîãî ôóíêöèîíàëà. ×òîáû âûÿñíèòü, äîñòèãàåò ôóíêöèîíàë ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà èëè ïðîñòî ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì íà âûáðàííîé íàìè ôóíêöèè äëÿ âñåõ å¸ âîçìîæíûõ âàðèàöèé, íóæíî ðàññìîòðåòü âòîðóþ âàðèàöèþ.

2. Ñâîáîäíûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ Ïðè âûâîäå ôîðìóëû (Ï3.8) t1

1  ∂f d ∂f  ∂S  ∂f  =  g  + ∫ g  − dt = 0 ∂α  ∂p  t0 t0  ∂x dt ∂p 

t

ìû ñ÷èòàëè ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïîëîæèì, ÷òî îíè òîæå ìåíÿþòñÿ íà

(Ï3.8)

t0 è t1 ôèêñèðîâàííûìè. Ïðåä-

∆t0 è ∆t1 . Òîãäà S áóäåò âîçðàñ-

277 òàòü íà

[ f∆t ]t =t

[ f∆t ]t =t íà âåðõíåì ïðåäåëå èíòåãðèðîâàíèÿ è óìåíüøàòüñÿ íà 1

01

íèæíåì ïðåäåëå.

 ðåçóëüòàòå ïðîèíòåãðèðîâàííàÿ ÷àñòü (Ï3.8) ïðèìåò âèä t1

 ∂f   f∆ t + ∂ p δ x  .   t0

(Ï3.16)

 ýòîì âûðàæåíèè δx ïðåäñòàâëÿåò âàðèàöèþ x äëÿ äàííîãî t , è ïîýòîìó, âû÷èñëÿÿ δx1 , íå ñëåäóåò ðüèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ x â òî÷êå ïîëîæèòü

t1 çàìåíÿòü íà t1 + ∆t1 . Åñëè ïðîâà-

t1 + ∆t1 åñòü x1 + ∆x1 , òî ìû ìîæåì

∆x1 = δx1 + p1∆t1 ,

(Ï3.17)

è ïðîèíòåãðèðîâàííàÿ ÷àñòü (Ï3.16) çàïèøåòñÿ â âèäå t1

  ∂f  ∂f ∆x  .  f − p ∆t + ∂p  ∂p  t  0

(Ï3.18)

3. Ôóíêöèîíàëû ñ íåñêîëüêèìè íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè

q1 , q2 ,..., qn - íåèçâåñòíûå ôóíêöèè è q&1 , q& 2 ,..., q& n èõ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè t , òîãäà âàðèàöèÿ Ïóñòü

t1

S = ∫ f (q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q& 2 ,..., q& n , t )dt

(Ï3.19)

t0

äëÿ ìàëûõ ïðèðàùåíèé, ñ ó÷¸òîì (Ï3.18) ôóíêöèè

qr (t ) , ïðèìåò âèä

Ïðèëîæåíèÿ

278 t1

n n   ∂f  ∂f ∆t + ∑ δS =  f − ∑ q& r ∆qr  + &r ∂q& r  r =1 ∂q R =1   t0 n  ∂f d ∂f  + ∫∑ − δqr dt , ∂qr dt ∂q& r  t0 r =1  t1

ãäå, åñëè

(Ï3.20)

∆t1 ≠ 0 , òî

(∆qr )1 = (qr + δqr )t + ∆t − (qr )t 1

è àíàëîãè÷íî, åñëè àöèè

1

1

(Ï3.21)

∆t 0 ≠ 0 . Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå, êîãäà âàðè-

δqr ìîãóò áûòü âûáðàíû íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, óñëîâèÿ ñòà-

öèîíàðíîñòè S òàêîâû, ÷òî

d  ∂f ∂f −  ∂qr dt  ∂q& r

  = 0 , 

r = 1,2,..., n ,

(Ï3.22)

n n  ∂f  ∂f  f − ∑ q& r ∆t + ∑ ∆qr = 0 . &r ∂q& r  r =1 ∂q r =1 

(Ï3.23)

Óñëîâèå (Ï3.23) âûïîëíÿåòñÿ íà îáîèõ ïðåäåëàõ èíòåãðèðîâàíèÿ. Åñëè

f íå ñîäåðæèò â ÿâíîì âèäå t , òî ïåðâûé èíòåãðàë èìååò âèä n

f − ∑ q& r r =1

Åñëè

δqr

∂f = const . ∂q& r

(Ï3.24)

∆t0 = ∆t1 = 0 , òî

∂f =0 ∂q& r

íà êîíöàõ èíòåðâàëà èíòåãðèðîâàíèÿ.

(Ï3.25)

279

4. Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà Âîñïîëüçóåìñÿ ïåðâîé ôîðìîé îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ N

∑ (m &x& r =1

r

r

− X r )δx r = 0 .

(2.1.6)

Èíòåãðèðóÿ ýòî óðàâíåíèå ïî âðåìåíè îò t1 N

t1 N

t0 r =1

t0 r =1

t0 äî t1 , ïîëó÷èì

∫ ∑ mr x&&r δxr dt = ∫ ∑ X r δxr dt .

(Ï3.26)

Ïðîèíòåãðèðóåì ëåâóþ ÷àñòü (Ï3.26) ïî ÷àñòÿì t1

1 N d N  & & & m x x dt m x x mr x& r δx r dt = δ = δ − ∑ r r r ∫t ∑ ∫ ∑ r r r  dt r =1  r =1  t0 t0 r =1 0

t1 N

t1

t

1 N N  = ∑ mr x& r δx r  − ∫ ∑ mr x& r δx& r dt .  r =1  t0 t0 r =1

t

(Ï3.27)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

1 N  & & m x x mr x& r2  , δ = δ  ∑ ∑ r r r r =1  2 r =1  N

(Ï3.28)

ïåðåïèøåì (Ï3.27) â âèäå t1

1 N  1 N  & m x δ x − δ  ∑ mr x& r2 dt = ∫ ∑ r r r   r =1  t0 t0  2 r =1 

Åñëè

t

t1 N

∫ ∑ X δx dt .

t0 r =1

r

r

(Ï3.29)

δx r = 0 â òî÷êàõ t0 è t1 , òî îêîí÷àòåëüíî ìîæíî çàïèñàòü

t1  1 N   N δS ≡ ∫ δ ∑ mr x& r2  + ∑ X r δx r dt = 0 . 2 r =1  r =1  t0  

(Ï3.30)

Ìû ïîëó÷èëè íàèáîëåå îáùóþ ôîðìó ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà êëàñ-

Ïðèëîæåíèÿ

280 ñè÷åñêîé äèíàìèêè. Ôóíêöèÿ

1 N ∑ mr x& r2 ÿâëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåð2 r =1

ãèåé

T . Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ V , çàâèñÿùàÿ îò x r è, âîçìîæíî, îò t , íî íå çàâèñÿùàÿ îò x& r , òàêàÿ, ÷òî Xr =

∂V , ∂x r

òî äëÿ âàðèàöèè ñàòü

δV =

(Ï3.31)

V ïðè èçìåíåíèè êîîðäèíàò x r íà δx r ìîæíî çàïè-

N

∑X r =1

r

δx r .

(Ï3.32)

Òåïåðü (Ï3.30) ìîæíî çàïèñàòü â ñîêðàù¸ííîì âèäå (äëÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê) t1

δS = δ ∫ (T + V )dt = 0 .

(Ï3.33)

t0

Âûðàæåíèÿ (Ï3.30) è (Ï3.33) ñîäåðæàò òîëüêî ñêàëÿðíûå âåëè÷èíû, è ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ ââåä¸ííûì âûøå àïïàðàòîì âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.

5. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà  òðåòüåé ãëàâå ìû âûâåëè óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èç óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Ðàññìîòðèì âûâîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà èç ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà, èñïîëüçóÿ èçëîæåííûå âûøå èäåè âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ïóñòü

x r = x r (q1 , q2 ,..., q N ) .

(Ï3.34)

Âîñïîëüçóåìñÿ ïîëó÷åííûìè â òðåòüåé ãëàâå ðàâåíñòâàìè (3.1.2), (3.1.3), è (1.6.4)

281

∂x r δqm , m =1 ∂qm N

δx r = ∑

(Ï3.35)

∂x r q& m , m =1 ∂qm N

x& r = ∑

(Ï3.36)

∂x& r ∂x = r , ∂q& m ∂qm

(Ï3.37) 2

 N ∂x  2T = ∑ mr  ∑ r q& m  , r =1  m =1 ∂qm  N

N

N

N

r =1

m =1

r =1

∑ X r δxr = ∑ δqm ∑ X r

(Ï3.38)

N ∂x r = ∑ Qm δqm . ∂qm m =1

(Ï3.39)

Ñ ó÷¸òîì íàïèñàííûõ âûøå âûðàæåíèé íàïèøåì (Ï3.33) â âèäå 1 N   δS = ∫  δT + ∑ Qm δqm dt = 0 , m =1  t0 

t

ãäå

(Ï3.40)

T (êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ) è Qm (îáîáù¸ííûå ñèëû) ÿâëÿþòñÿ ôóí-

êöèÿìè îò

qm è q& m .

 ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûìè âûøå ïðàâèëàìè âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ, ìû ìîæåì çàïèñàòü t1

1 N  N ∂T   ∂T d ∂T  δ Tdt = δ q + − ∑ m ∑ ∂q& ∫t ∫  m =1 m  t0 t0 m =1  ∂qm dt ∂q& m 0

t1

t

 δqm dt 

è, ñëåäóÿ óñëîâèþ (Ï3.40), äëÿ âñåõ äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûõ ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè

δqm ,

δqm , ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà

Ïðèëîæåíèÿ

282

d ∂T ∂T − = Qm . dt ∂q& m ∂qm

(Ï3.41)

Âûâîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà èç ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà, îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ëåâàÿ ÷àñòü (Ï3.41) èìååò âèä, õàðàêòåðíûé äëÿ óðàâíåíèé âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Äàëåå, ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî â äåéñòâèòåëüíîñòè äâèæåíèå çàâèñèò îò íåêîòîðûõ ñâÿçåé, íàëîæåííûõ íà

x r è, ñëåäîâàòåëüíî, íà qm . Íàè-

áîëåå âàæåí ñëó÷àé, êîãäà íåêîòîðûå ÷àñòèöû ïðèíàäëåæàò îäíîìó àáñîëþòíî òâåðäîìó òåëó, è êîîðäèíàòû ìîæíî âàðüèðîâàòü òîëüêî òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ýòîãî òåëà îñòàâàëèñü íåèçìåííûìè. Äðóãîé âàæíûé ñëó÷àé, êîãäà êàêàÿ-òî êîîðäèíàòà âûíóæäåíà èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè îïðåäåëåííûì îáðàçîì ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû, íàïðèìåð ÷àñòü ñèñòåìû äîëæíà äâèãàòüñÿ ñ çàäàííîé ëèíåéíîé èëè óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Îäíàêî ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü âàðèàöèè

δqm , íàðóøàþùèå ýòè îãðàíè÷åíèÿ; è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåì ñ÷èòàòü âñå

δqm íåçàâèñèìûìè è ïðèðàâíÿòü ïðè íèõ êîýôôèöèåíòû.

Òîãäà óðàâíåíèÿ (Ï3.41) îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè, íî ìåíÿåòñÿ èõ ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.  òî âðåìÿ êàê â ñèñòåìå ñâîáîäíûõ ÷àñòèö óðàâíåíèÿ (Ï3.41) - ýòî äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò, â ñèñòåìå ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñâÿçÿìè â äåéñòâèòåëüíîì äâèæåíèè íåêîòîðûå èç

qm áóäóò îïðåäåëåííûìè ôóíêöèÿìè îò äðóãèõ

êîîðäèíàò è îò âðåìåíè, à ñîîòâåòñòâóþùèå èì

Qm ðåàêöèÿìè, íåîáõî-

äèìûìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòè ñâÿçè íå íàðóøàëèñü. Äàëåå, ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâî òîëüêî òåõ

qm , êîòîðûå ìîæíî âàðüèðîâàòü, íå

íàðóøàÿ íàëîæåííûå íà ñèñòåìó ñâÿçè. ×èñëî èõ êàê ðàç äîñòàòî÷íî äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ. Òîãäà äëÿ ýòîãî ìíîæåñòâà âûïîëíÿþòñÿ óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà. Äðóãèå æå

qm íå íàäî ðàññìàòðèâàòü ñîâñåì, äî òåõ

ïîð, ïîêà ìû íå çàõîòèì íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå ðåàêöèè â ÿâíîì âèäå. Îäíàêî âîçìîæíî, ÷òî íåêîòîðûå

qm èç ïîñëåäíåãî ìíîæåñòâà ôóíê-

öèîíàëüíî çàâèñÿò îò âðåìåíè.  ýòîì ñëó÷àå

x r , çàâèñÿùèå îò òåõ qm ,

283 íà êîòîðûå íå íàëîæåíû ñâÿçè, çàâèñÿò åùå è îò âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, âðåìÿ ìîæåò â ÿâíîì âèäå âîéòè â âûðàæåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Ýòî íå îêàæåò âëèÿíèÿ íà âèä óðàâíåíèé (Ï3.41), íî ïîâëèÿåò íà èõ ïåðâûå èíòåãðàëû. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà íåîáõîäèìî 6 êîîðäèíàò. Ìîæíî ñðàçó ïîëó÷èòü ïðèíöèï Äàëàìáåðà äëÿ àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà, åñëè ðàññìàòðèâàòü åãî ñîñòîÿùèì èç òàêèõ ÷àñòèö, ÷òî ñèëà ìåæäó ëþáûìè ÷àñòèöàìè äåéñòâóåò ïî ïðÿìîé, èõ ñîåäèíÿþùåé. Ñóììà âíóòðåííèõ ñèë ëþáîé ïàðû ÷àñòèö ðàâíà íóëþ, òàêæå êàê è ñóììà ìîìåíòîâ ýòèõ ñèë îòíîñèòåëüíî ëþáîé îñè (ñì. çàäà÷è ¹¹ 5 è 6). Äàæå åñëè ñèëû ðåàêöèè ìåæäó ïàðîé ÷àñòèö íå íàïðàâëåíû âäîëü ñîåäèíÿþùåé èõ ïðÿìîé, è åñëè âíóòðåííèå ñèëû ðåàêöèè îáëàäàþò ñèëîâîé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ çàâèñèò òîëüêî îò âçàèìíûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó âñåìè ÷àñòèöàìè è íå ðàñïàäàåòñÿ íà ÷àñòè, çàâèñÿùèå òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ ÷àñòèöàìè, ýòè ñèëû ðåàêöèè íè÷åãî íå äîáàâN

ëÿþò ê

∑ X δx r =1

r

r

, åñëè

δx r íå èçìåíÿþò âçàèìíûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó

÷àñòèöàìè. ×òîáû îáîáùèòü ïîñëåäíþþ ñóììó íà ñëó÷àé óïðóãîãî òåëà, íàäî áûëî áû âû÷åñòü ýíåðãèþ óïðóãîé äåôîðìàöèè, êîòîðàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü, åñëè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè íå ìåíÿþòñÿ.

6. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè Ðàññìîòðèì ãîëîíîìíóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ çàäàííîé ñèëîâîé ôóíêöèåé V . Ïîëàãàÿ äëÿ ôóíêöèè Ëàãðàíæà L = T − V , ñîñòàâèì âûðàæåíèå òèïà (Ï3.33), ñ÷èòàÿ ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïîñòîÿííûìè t1

1 N  N ∂L   ∂L d ∂L  δqm dt . δS = δ ∫ Ldt = ∑ δqm  + ∫ ∑  − & & ∂ q dt ∂ q ∂ q 1 1 = = m m m m    t0 t0  m t0

t1

t

(Ï3.42) Åñëè æå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ è

t0 è t1 èçìåíÿþòñÿ íà ∆t0 è ∆t1

∆ q m åñòü âàðèàöèÿ qm ïðè íîâûõ ïðåäåëàõ, òî ïðîèíòåãðèðîâàííàÿ

÷àñòü â ñîîòâåòñòâèè ñ (Ï3.16) - (Ï3.18) ïðèìåò âèä

Ïðèëîæåíèÿ

284 t1

N N   ∂L  ∂L &   L q t q − ∆ + ∆ ∑   , ∑ m m  & & q q ∂ ∂ 1 1 = = m m m  m    t0

(Ï3.43)

∆qm = δqm + q& m ∆t .

(Ï3.44)

ãäå Ïîëîæèì



N

∑  q& m =1



 ∂L − L  = H , ∂q& m 

m

(Ï3.45)

∂L = pm ∂q& m è íàçîâ¸ì

(Ï3.46)

H ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà, à pm - îáîáù¸ííûì èìïóëüñîì.

Ïåðåïèøåì ñ ó÷¸òîì (Ï3.43) - (Ï3.16) ðàâåíñòâî (Ï3.42) t1

1 N   δS = δ ∫ Ldt =  − H∆t + ∑ pm ∆qm  + m =1   t0 t0

t

1 N  ∂L d ∂L  δqm dt . + ∫ ∑  − ∂qm dt ∂q& m  t0 m =1 

t

Åñëè òåïåðü ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå

(Ï3.47)

qm çàäàíû â ìîìåíòû t0 , t1 , òî

pm áóäóò, âîîáùå ãîâîðÿ, îïðåäåëåíû, òàê êàê äàæå

òîëüêî îäèí íàáîð îáîáù¸ííûõ èìïóëüñîâ â òî÷êå íàáîð ïåðåìåùåíèé ê ìîìåíòó âðåìåíè

t0 äàñò çàäàííûé

t1 . Ïîýòîìó, åñëè èíòåãðàë

t1

S = ∫ Ldt áåð¸òñÿ âäîëü ïóòè äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, t0

òî S áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îïðåäåë¸ííóþ ôóíêöèþ îò

285

t0 , t1 , (qm )0 , (qm )1 . Âåëè÷èíó S íàçîâ¸ì ãëàâíîé ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà. Ýòî ôóíêöèÿ îò

qm äëÿ ðåàëüíûõ ìîìåíòîâ âðåìåíè t0 , t1 , íî òàê êàê

îíè ìîãóò èçìåíÿòüñÿ, ìîæíî çàìåíèòü t1 íà t . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî ïîñëåäíèé èíòåãðàë â (Ï3.47), â ñèëó óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, îáðàùàåòñÿ â íóëü, ìû ìîæåì äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t çàïèñàòü

∂S ∂S = −H , = pm , ∂qm ∂t à äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè

 ∂S    = (H )t0 ,  ∂t0 

(Ï3.48)

t0  ∂S    = −( pm )t0 .  ∂qm 0 

Èñïîëüçóÿ (Ï3.46) ìû ìîæåì èñêëþ÷èòü íåò ôóíêöèåé

(Ï3.49)

q& m èç H , òîãäà H ñòà-

qm , pm è, âîçìîæíî, t . Òåïåðü ìû ìîæåì çàïèñàòü

 ∂S ∂S  = − H (qm , p m , t ) = − H  qm , ,t , ∂t ∂qm  

(3.50)

ÿâëÿþùååñÿ óðàâíåíèåì Ãàìèëüòîíà-ßêîáè, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà îò n + 1 ïåðåìåííîé.  íåãî íå âõîäèò S â ÿâíîì âèäå, è ïîýòîìó åãî ïîëíûé èíòåãðàë ñîäåðæèò n + 1 íåçàâèñèìûõ ïîñòîÿííûõ. Ñ íàøåé ïåðâîíà÷àëüíîé òî÷êè çðåíèÿ, S ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî æèò 2 n + 1 ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, à èìåííî

t è ñîäåð-

t0 , èñõîäíûå êîîðäè-

íàòû è èìïóëüñû. Îäíàêî åñëè íà÷àëüíûå è êîíå÷íûå êîîðäèíàòû è

t − t0 çàäàíû, òî íà÷àëüíûå èìïóëüñû îïðåäåëåíû è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâîëüíûìè. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî, ÷òî S , âûðàæåííîå êàê ôóíêöèÿ

t è qm , âêëþ÷àåò èìåííî n + 1 ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.

Ïðèëîæåíèÿ

286

Åñëè L íå çàâèñèò îò âðåìåíè ÿâíî, òî H = const åñòü èíòåãðàë ýíåðãèè (èíòåãðàë ßêîáè (3.5.3)). Îáîçíà÷èâ ïîñëåäíþþ ïîñòîÿííóþ ÷åðåç h , ìîæåì çàïèñàòü

∂S = −h , ∂t

 ∂S    = h .  ∂t0 

(Ï3.51)

Ïîýòîìó

S = − h (t − t0 ) + f (qm , qm 0 ) .

Êàê è ðàíüøå,

(Ï3.52)

∂S ðàâíî ïðîñòî − pm 0 , ÷òî íå çàâèñèò îò t , è, ∂qm 0

òàêèì îáðàçîì, ó íàñ åñòü

n óðàâíåíèé, âûðàæàþùèõ òîò ôàêò, ÷òî

∂S , ÿâëÿþùèåñÿ ôóíêöèÿìè qm , qm 0 è, ìîæåò áûòü, t , ïîñòîÿííû âî ∂qm 0 âðåìÿ âñåãî äâèæåíèÿ è ðàâíû

− pm 0 .

Îòñþäà åñëè ìû çàäàëè S , òî ó íàñ åñòü n óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ

qm , ÷åðåç t è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ; ïîýòîìó, åñëè ìîæíî îïðåäå-

ëèòü S , òî ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ýòèõ óðàâíåíèé. Ýòîò ðåçóëüòàò ïðèíàäëåæèò Ãàìèëüòîíó. Ñëîæíîñòü åãî ïðèìåíåíèÿ â òîëüêî ÷òî ñôîðìóëèðîâàííîì âèäå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, õîòÿ áûâàåò äîâîëüíî ëåãêî ïîëó÷èòü ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (Ï3.50), âêëþ÷àþùèé n + 1 ïîñòîÿííûõ, ýòè ïîñòîÿííûå îáû÷íî çàâèñÿò è îò îò

qm 0 è

pm 0 è âûðàçèòü èõ òîëüêî ÷åðåç qm 0 ÷àñòî íåëåãêî. Ýòà òåîðåìà

áûëà äîïîëíåíà ßêîáè, êîòîðûé îáíàðóæèë, ÷òî ëþáîé ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (Ï3.50) ìîæíî èñïîëüçîâàòü òî÷íî òàêèì æå îáðàçîì, êàê è ïîëíûé èíòåãðàë, çàâèñÿùèé òîëüêî îò

qm 0 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà

òåîðåìû ßêîáè íåîáõîäèìî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â Ãàìèëüòîíîâîé ôîðìå.

287

7. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà è, âîçìîæíî, îò

L çàâèñèò îò qm , q&m

t , à ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà çàâèñèò îò q m , p m è, âîç-

ìîæíî, îò

t . Ñ ó÷¸òîì âûøåñêàçàííîãî, äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âàðèàöèé qm è q&m ïðè íåèçìåííîì t , èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ ïî èíäåêñó m ìû ìîæåì íàïèñàòü δH = δ(q&m pm − L ) = q&m δpm + pm δq&m −

∂L ∂L δqm − δq&m . (Ï3.53) ∂qm ∂q&m

∂L , ïåðåïèøåì (Ï3.53) â âèäå ∂q&m

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

pm =

δH = q&m δpm −

∂L δqm . ∂qm

(Ï3.54)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû

δH =

∂H ∂H δqm + δpm . ∂qm ∂pm

(Ï3.55)

Ñðàâíèâàÿ (Ï3.54) è (Ï3.55), ïîëó÷èì

q&m =

∂H ∂H ∂L =− , . ∂pm ∂qm ∂qm

Èç óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ

(Ï3.56)

p& m (ñì., òàêæå,

(5.1.10))

p& m =

d d  ∂L  ∂L ∂H  = pm =  =− , dt dt  ∂q&m  ∂qm ∂qm

è îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì

(Ï3.57)

Ïðèëîæåíèÿ

288

p& m = −

∂H ∂H , q& m = . ∂qm ∂pm

(Ï3.58)

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñèñòåìó 2n äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, â îòëè÷èå îò n óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ïîðÿäêà. Óñòàíîâèì ñâÿçü óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ñ âàðèàöèîííûì ïðèíöèïîì. Ðàññìîòðèì âûðàæåíèå t1

B = ∫ {pm q&m − H (qm , pm )}dt .

(Ï3.59)

t0

Åãî âàðèàöèÿ åñòü

  ∂H ∂H δB = ∫  pm δq&m + q&m δpm − δqm − δpm dt = ∂qm ∂pm  t0  t1

= [pm δq

]

  ∂H ∂H + ∫  − p& m δqm + q&m δpm − δqm − δpm dt . (Ï3.60) ∂qm ∂pm  t0  t1

t1 m t0

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

p& m = −

∂H ∂H , q& m = ∂qm ∂pm

(Ï3.58)

B äëÿ âñåõ âàðèàöèé δ q m , δ p m ,

ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿìè ñòàöèîíàðíîñòè òàêèõ, ÷òî

δq m = 0

ïðè

t0 ,t1 , åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî pm è qm èçìåíÿ-

þòñÿ íåçàâèñèìî. Êîãäà óðàâíåíèÿ (Ï3.58) óäîâëåòâîðåíû, à ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ èçìåíÿþòñÿ, ìîæíî çàïèñàòü

δB = [( pm q&m − H )∆t + pm δqm ]t10 = [pm ∆qm − H∆t ]t10 , t

÷òî â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ âûðàæåíèåì äëÿ ∆S .

t

(Ï3.61)

289

8. Òåîðåìà ßêîáè Ïðåäïîëîæèì, ÷òî

S = f (q1 , q2 ,..., qn ; t; α1 , α2 ,..., αn ) + αn +1

(Ï3.62)

åñòü ïîëíûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Îáû÷íî êîíñòàíòû

α1 , α2 ,..., αn ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëü-

íîìó ìîìåíòó âðåìåíè

t0 . ßêîáè îòêàçûâàåòñÿ îò ýòîãî è âìåñòî

∂S = − pm 0 ïîëàãàåò ∂qm 0

ãäå

∂S = −β r , ∂αr

(Ï3.63)

∂S = pm , ∂qm

(Ï3.64)

β r - íîâûå êîíñòàíòû. Òåîðåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ýòè óðàâíå-

íèÿ âñ¸ åù¸ ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå

qm è pm , òî

qm è pm áóäóò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì

Ãàìèëüòîíà è ïîýòîìó áóäóò îïèñûâàòü äâèæåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Èç (Ï3.63) ñëåäóåò

∂  ∂S d ∂S  ∂  =  + q& m = ∂q m  ∂α r dt ∂α r  ∂t ∂2S ∂2S ∂H ∂H = + q& m =− + q& m =0. ∂α r ∂t ∂α r ∂q m ∂α r ∂α r Òàê êàê

(Ï3.65)

α r âõîäÿò â H òîëüêî èç-çà òîãî, ÷òî pm â ñîîòâåòñòâèè

ñ (3.64) çàâèñÿò îò

α r , òî èç (Ï3.58) ñëåäóåò, ÷òî

Ïðèëîæåíèÿ

290

− äëÿ

 ∂p ∂H ∂p m ∂H + q& m m =  q& m − ∂p m ∂α r ∂α r  ∂p m

(Ï3.66)

r = 1,2,..., n . Ðàâåíñòâà (Ï3.66) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ åñëè q&m =

èëè

 ∂p  m = 0  ∂α r

∂H , m = 1,2,...n , ∂pm

(Ï3.67)

∂ ( p1 , p2 ,..., pn ) = 0. ∂ (α1 , α2 ,..., αn )

(3.68)

Åñëè áû áûëî ñïðàâåäëèâî (Ï3.68), òî ñóùåñòâîâàëè áû ôóíêöèîíàëüíûå ñâÿçè ìåæäó

p m è íà÷àëüíûå èìïóëüñû íå ìîãëè áû èçìåíÿòüñÿ

íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, è ìû â êà÷åñòâå âåðíîé âåðñèè âûáåðåì óñëîâèå (Ï3.67). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî âðåìåíè ðàâåíñòâî (Ï3.64)

 ∂H   ∂H   ∂pl  dpm  ∂ ∂  ∂S   +     . =  + q&l = − dt ∂ql  ∂qm  ∂t  ∂qm  α  ∂pl  q  ∂qm  α

(Ï3.69)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

 ∂H   ∂H   ∂H   =   +   ∂qm  α  ∂qm  p  ∂pl

  ∂pl     ,  q  ∂qm  α

(Ï3.70)

ïîëó÷èì

 ∂H  dpm  . = − dt  ∂qm  p

(Ï3.71)

Èíäåêñû α ,q , p â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîãëàøåíèÿìè ïðèíÿòûìè â òåðìîäèíàìèêå îçíà÷àþò, ÷òî ïðè âçÿòèè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðåìåííûå, îáîçíà÷åííûå èíäåêñîì, ñîõðàíÿþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû óáåäèëèñü, ÷òî

qm è p m , íàéäåííûå èç (Ï3.63)

è (Ï3.64), óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà.

291

Ïðèëîæåíèå IV

Äâèæåíèå ïî çàêîíàì Êåïëåðà Ðàññìîòðèì äâèæåíèå Çåìëè (ðèñ. Ï1) âîêðóã Ñîëíöà ïî ýëëèïòè÷åñêîé îðáèòå. Ïóñòü Ñîëíöå íàõîäèòñÿ â îäíîì èç ôîêóñîâ ýëëèïñà S . Öåíòð ýëëèïñà O ñîâìåñòèì ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, áîëüøóþ ïîëóîñü

OP = a ñîâìåñòèì ñ îñüþ Ox , ìàëàÿ ïîëóîñü OB = b ñîâïàä¸ò ñ îñüþ Oy . Óðàâíåíèå ýëëèïñà â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ

x2 y 2 + =1 a 2 b2

(Ï4.1)

M (x, y ) , èçîáðàæàþùåé ïîëîæåíèå ïëàíåòû, îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿð MN íà îñü àáñöèññ. Ïðîäîëæèâ ïåðïåíäèêóëÿð MN äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíîñòüþ, îïèñàííîé íà áîëüøîé îñè ýëëèïñà AP êàê íà äèàìåòðå, ïîëó÷èì íåêîòîðóþ òî÷êó M ′ . Î÷åâèäíî, ÷òî ìåæäó òî÷êàìè M è M ′ ñóùåñòâóåò îäíîçíà÷íàÿ çàâèñèìîñòü. Ïîëîæåíèå òî÷êè M ′ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ (ýêñöåíòðè÷åñêîé àíîìàëèåé) óãëîì E , îòñ÷èòûâàåìûì îò áîëüøîé ïîëóîñè OP äî ðàäèóñà OM ′ â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ïëàíåòû. çàìåíèì ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè. Èç òî÷êè

Òåïåðü óðàâíåíèå (4.1) ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü â ýêâèâàëåíòíîì ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå

x = a cos E , y = b sin E . e=

(Ï4.2)

OS - ýêñöåíòðèñèòåò ýëëèïñà, õàðàêòåðèçóþùèé åãî ôîðìó. OP Î÷åâèäíû ðàâåíñòâà

OS = ae ,

OB = a 1 − e 2 .

(Ï4.3) Ââåä¸ì äîïîëíèòåëüíóþ ñèñòåìó ïðÿìîóãîëüíûõ îðáèòàëüíûõ êîîðäèíàò

Sξη , îñè êîòîðîé ïàðàëëåëüíû îñÿì ñèñòåìû êîîðäèíàò

Ïðèëîæåíèÿ

292

η

y

M′ B

M

E O

v N

S

P

ξ x

Ðèñ. Ï1.

Oxy , à íà÷àëî íàõîäèòñÿ â ôîêóñå S . Òîãäà ξ = a cos E − ae,  (Ï4.4)  η = a 1 − e 2 sin E. ×åðåç r è v îáîçíà÷èì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû, ñîîòâåòñòâóþùèå ξ è η . Óãîë v , îòñ÷èòûâàåìûé îò ðàäèóñ-âåêòîðà SP , íàïðàâëåííîãî â ïåðèãåëèé P , íàçûâàåòñÿ èñòèííîé àíîìàëèåé ïëàíåòû.  ñîîòâåòñòâèè

ñî ñäåëàííûìè îïðåäåëåíèÿìè ìîæíî çàïèñàòü

ξ = r cos v , η = r sin v .

(Ï4.5)

Ñðàâíèâàÿ (Ï4.5) ñ (Ï4.4), ïîëó÷èì ôîðìóëû

r sin v = a 1 − e 2 sin E ,   r cos v = a (cos E − e ), 

(Ï4.6)

äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿðíûõ îðáèòàëüíûõ êîîðäèíàò ïî çàäàííûì

E.

293 ÷èì

Âîçâîäÿ (Ï4.6) â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ ïðàâûå è ëåâûå ÷àñòè, ïîëó-

r = a (1 − e cos E ) . Âû÷èòàÿ âòîðóþ ôîðìóëó (Ï4.6) èç (Ï4.7), ïîëó÷èì r (1 − cos v ) = a (1 + e )(1 − cos E ) ,

(Ï4.7) (Ï4.8)

à ñêëàäûâàÿ ýòè æå ñàìûå ôîðìóëû

r (1 + cos v ) = a (1 − e )(1 + cos E ) . Ôîðìóëû (Ï4.8) è (Ï4.9) íåòðóäíî ïðèâåñòè ê âèäó v E  = a (1 + e ) sin ,  2 2   v E  r cos = a (1 − e ) cos . 2 2 

(Ï4.9)

r sin

Ïîñêîëüêó óãëû

(Ï4.10)

v E è íàõîäÿòñÿ âñåãäà â îäíîì è òîì æå êâàä2 2

ðàíòå, íåîïðåäåë¸ííîñòü çíàêà ïðè èçâëå÷åíèè êâàäðàòíîãî êîðíÿ íå âîçíèêàåò. Èç ôîðìóë (Ï4.10) ëåãêî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ óãëà

tg

v 1+ e E = tg . 2 1− e 2

v 2 (Ï4.11)

r è èñòèííîé àíîìàëèè ïëàíåòû v ïî çàäàííîé ýêñöåíòðè÷åñêîé àíîìàëèè E ìû Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàäèóñ-âåêòîðà

ìîæåì âìåñòî (Ï4.6) èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (Ï4.10) èëè ñîâìåñòíî (Ï4.7) è (Ï4.11). Âûðàçèì èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (Ï4.6)

cos E =

r cos v +e a

(Ï4.12)

è ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå â (Ï4.7), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì

Ïðèëîæåíèÿ

294

r=

a (1 − e 2 ) . 1 + e cos v

Ïîëàãàÿ ïàðàìåòð ýëëèïñà

r=

(Ï4.13)

p = a (1 − e 2 ) , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì

p . 1 + e cos v

(Ï4.14)

Óðàâíåíèå (Ï4.14) ÿâëÿåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé. Ïðè e = 1 îíî ïðåäñòàâëÿåò ïàðàáîëó, à ïðè e > 1 - âåòâü ãèïåðáîëû, âîãíóòóþ ïî îòíîøåíèþ ê ôîêóñó S .

Ïðèëîæåíèå V

Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ óñêîðåíèé â îðòîãîíàëüíûõ êîîðäèíàòàõ Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëîæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå ââåä¸ì êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû

α ,β , γ . Òîãäà êâàäðàò ëèíåéíîãî

ýëåìåíòà ds â ýòèõ êîîðäèíàòàõ ïðèìåò âèä

ds = A2 dα 2 + B 2 dβ 2 + C 2 dγ 2 , ãäå êîýôôèöèåíòû íûõ

(Ï5.1)

A, B , C ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè êëàññà C1 îò ïåðåìåí-

α ,β , γ . Äëÿ êàæäîé òî÷êè ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëåíû òðè ãëàâíûõ

âçàèìíî îðòîãîíàëüíûõ íàïðàâëåíèÿ. Òàê, äëÿ òî÷êè

α 0 ,β 0 , γ 0 ïåð-

âîå ãëàâíîå íàïðàâëåíèå ( α -íàïðàâëåíèå) çàäà¸òñÿ êàñàòåëüíîé ê êðèâîé

β = β 0 , γ = γ 0 , à α âäîëü ýòîãî íàïðàâëåíèÿ âîçðàñòàåò. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìàòåðèàëüíîé òî÷-

êè åäèíè÷íîé ìàññû â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ

T=

(

)

1 2 2 A α& + B 2β& 2 + C 2 γ& 2 . 2

α ,β , γ (Ï5.2)

295 Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî

v2 =

ds 2 . dt 2

Ïóñòü íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó åäèíè÷íîé ìàññû äåéñòâóåò ñèëà ñ ñîñòàâëÿþùèìè X ,Y , Z ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì, òîãäà ðàáîòà ýòîé ñèëû íà âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè áóäåò

XAdα + YBdβ + ZCdγ . Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà äëÿ

(Ï5.3)

α -íàïðàâëåíèÿ ïðèìåò âèä

d 2 ∂B & 2 ∂C 2   ∂A & 2 ( A α& ) −  A α +B β +C γ&  = XA . dt ∂α ∂α   ∂α

(Ï5.4)

Ñîñòàâëÿþùàÿ óñêîðåíèÿ äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åäèíè÷íîé ìàññû âäîëü α -íàïðàâëåíèÿ çàïèøåòñÿ â âèäå

X =

∂B & 2 ∂C 2   1 d 2  ∂A & 2 α +B β +C γ&   , (Ï5.5)  (A α& ) −  A A  dt ∂α ∂α    ∂α

èëè â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè:

∂A ∂B & ∂C  && + 2α&  X = Aα α& + β+ γ&  − ∂α ∂α   ∂α ∂B & 2 ∂C 2  1  ∂A 2 β +C γ& . − A α& + B A  ∂α ∂α ∂α 

(Ï5.6)

Ñîñòàâëÿþùèå óñêîðåíèÿ ïî íàïðàâëåíèÿì β è γ âûðàæàþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Ïðèâåä¸ì âûðàæåíèÿ ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèÿ äëÿ öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàò.

r , θ, z . Êâàäðàò ëèíåéíîãî ýëåìåíòà ds â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ 1. Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû

èìååò âèä

ds 2 = dr 2 + r 2 dθ2 + dz 2 . (Ï5.7) Ïîëàãàÿ A = 1 , B = r , C = 1 , α = r , β = θ , γ = z , ñ ïîìîùüþ

Ïðèëîæåíèÿ

296

ðàâåíñòâà (Ï5.6) ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèÿ â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ

&r& − rθ& 2 ,   r&θ& + 2 r&θ& ,  &z&. 

(Ï5.8)

2. Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû

r , θ,ϕ .

Êâàäðàò ëèíåéíîãî ýëåìåíòà ds â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä

ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 .

(Ï5.9)

Ïîëàãàÿ A = 1 , B = r , C = r sin θ , α = r , β = θ , γ = ϕ è ó÷èòûâàÿ (Ï5.6), ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèÿ â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ

(

)

&r& − r θ& 2 + sin 2 θϕ& 2 , r&θ& + 2r&θ& − r sin θ cos θϕ& 2 ,

   && + 2 r& sin θ + r cos θθ& ϕ& . r sin θϕ

(

)

(5.10)

297

Ëèòåðàòóðà 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Àíäðîíîâ À.À., Âèòò À.À., Õàéêèí Ñ.Ý., Òåîðèÿ êîëåáàíèé – Ì.: Íàóêà, 1981. Áàòü Ì.È., Äæàíåëèäçå Ã.Þ., Êåëüçîí À.Ñ., Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ, ò. I,II – Ì.: Íàóêà, 1964. Áóòåíèí Í.Â., Ââåäåíèå â àíàëèòè÷åñêóþ äèíàìèêó – Ì.: Íàóêà, 1971. Âèçãèí Â.Ï., Ðàçâèòèå âçàèìîñâÿçè ïðèíöèïîâ èíâàðèàíòíîñòè ñ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ â êëàññè÷åñêîé ôèçèêå – Ì.: Íàóêà, 1972. Ãàíòìàõåð Ô.Ð., Ëåêöèè ïî àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå – Ì.: Ôèçìàòãèç, 1960. Äâàéò Á.Ã., Òàáëèöû èíòåãðàëîâ è äðóãèå ìàòåìàòè÷åñêèå ôîðìóëû – Ì.: Íàóêà, 1964. Äæåôôðèñ Ã., Ñâèðëñ Á., Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ò.II – Ì.: Ìèð,1970. Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð., Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ - Ì.: Íàóêà, 1970. Èñòîðèÿ ìåõàíèêè ñ äðåâíåéøèõ âðåì¸í äî êîíöà XVIII âåêà – Ì.: Íàóêà, 1971. Êîñìîäåìüÿíñêèé À.À. Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè – Ì.: ÃÓÏÈ ÌÏ ÐÑÔÑÐ, 1955. Ëàãðàíæ Æ., Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ò. I,II – Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1950. Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèôøèö Å.Ì., Ìåõàíèêà – Ì.: Íàóêà, 1965. Ïàðñ Ë.À., Àíàëèòè÷åñêàÿ äèíàìèêà – Ì.: Íàóêà, 1971. Ïóàíêàðå À., Èçáðàííûå òðóäû, ò.II – Ì.: Íàóêà, 1972. Ñåì¸í÷åíêî Â.Ê., Èçáðàííûå ãëàâû òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè – Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1966. Ñòðåëêîâ Ñ.Ï., Ââåäåíèå â òåîðèþ êîëåáàíèé – Ì.: Íàóêà, 1964. Ñóááîòèí Ì.Ô., Ââåäåíèå â òåîðåòè÷åñêóþ àñòðîíîìèþ – Ì.: Íàóêà, 1968. Óèòòåêåð Å.Ò., Àíàëèòè÷åñêàÿ äèíàìèêà - Ë.-Ì.: 1937. ßêîáè Ê., Ëåêöèè ïî äèíàìèêå. - Ë.-Ì.: ÎÍÒÈ, 1936.

298

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü À àáñîëþòíî òâ¸ðäîå òåëî 13 àìïëèòóäà êîëåáàíèé 87 àðãóìåíò ïåðèãåëèÿ 226 - ïåðèöåíòðà 215 Á Áåðòðàíà òåîðåìà 260 Áèíý óðàâíåíèå 121 Â

ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû 83 ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ 179 ãëàâíîå êîëåáàíèå 237 ãëàâíûå êîîðäèíàòû 240 Ä Äàëàìáåðà - Ëàãðàíæà óðàâíåíèå 47 äâèæåíèå ïëîñêîå 40 - ïî ãèïåðáîëå 230 - ïî ïàðàáîëå 231 - ïî ýëëèïñó 228 - ñðåäíåå 228 äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à 101 äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà 181 äîëãîòà âîñõîäÿùåãî óçëà 215

âàðèàöèè èçîõðîííûå 24 - îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò 42 âàðèàöèÿ âåêòîðà 24 - êîîðäèíàò 24 - óãëà ïîâîðîòà 64 âåêòîð âèðòóàëüíîãî ïåðåìåùåíèÿ 24 Å âèðòóàëüíàÿ ðàáîòà 25 Åâêëèäà ãåîìåòðèÿ 11 âèðòóàëüíûå ïåðåìåùåíèÿ 20 - ñêîðîñòè 20 Ç âîçìîæíûå êîíôèãóðàöèè çàäàííûå ñèëû 13 ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê 35 çàäà÷à âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ âðåìÿ îäíîðîäíîå 11 272 à - äâóõ òåë 215 - äèíàìè÷åñêàÿ 101 Ãàëèëåÿ ïðèíöèï - Ëàãðàíæà 186 îòíîñèòåëüíîñòè 11 - î äâèæåíèè äâóõ òåë 195 Ãàìèëüòîíà ôóíêöèÿ 124 çàêîí Êåïëåðà 291 Ãàìèëüòîíà-ßêîáè òåîðåìà 181 - Íüþòîíà 27, 47 ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð 191 - ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 106 Ãàóññà ïðèíöèï 58 ãåîìåòðèÿ Åâêëèäà 11 Ãèááñà ôóíêöèÿ 151 È Ãèááñà-Àïïåëÿ óðàâíåíèå 145 èìïóëüñ óäàðíûé 249

299 èìïóëüñèâíûå ñâÿçè 251 èíâàðèàíò èíòåãðàëüíûé 205 èíòåãðàë ïëîùàäåé 114, 231 - ñèñòåìû 96 - ýíåðãèè 52, 80, 107, 116, 220, 226 - - êëàññè÷åñêèé 54 - - îáîáù¸ííûé 120 èíòåãðàë ßêîáè 80, 124, 129, 286 èíòåãðàëû ïëîùàäåé 219 èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò 205, 208, 211 - ôóíêöèîíàë 272 èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü 40, 267 èñòèííàÿ àíîìàëèÿ 226, 292

êîîðäèíàòû îáîáù¸ííûå 34 - ïîëÿðíûå 292 - ñôåðè÷åñêèå 138 - öèêëè÷åñêèå 97 - öèëèíäðè÷åñêèå 137 Êîøè òåîðåìà 270 êîýôôèöèåíòû èíåðöèè ñèñòåìû 235 êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû 294

Ê

ìàññà ïðèâåä¸ííàÿ 142 ìàøèíà Àòâóäà 59 ìàÿòíèê ìàòåìàòè÷åñêèé 133 - ïðîñòîé 36, 84 - ñôåðè÷åñêèé 37, 88, 194 ìåòîä Ðàóñà 98 - Óèòòåêåðà 107, 202 ìíîæèòåëü èíòåãðèðóþùèé 267 ìîìåíò èíåðöèè áëîêà 64

ʸíèãà òåîðåìà 162 Êàðíî òåîðåìà 258 êâàäðàò ëèíåéíîãî ýëåìåíòà 294 êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà 197 êâàçèêîîðäèíàòû 145 Êåëüâèíà òåîðåìà 260 Êåïëåðà óðàâíåíèå 117 êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ 50, 69, 70, 106, 234, 259, 261 - - óñêîðåíèé 155 êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë 79, 105, 113 êëàññ çàäàííûõ ñèë 30 - ðåàêöèé ñâÿçè 30 êîëåáàíèå ãëàâíîå 237 - îñíîâíîå 238 êîëåáàíèÿ ìàëûå 233 êîîðäèíàòû êðèâîëèíåéíûå 294 - ëàãðàíæåâû 34 - íîðìàëüíûå 237

Ë ëàáîðàòîðíàÿ ÈÑÎ 15 Ëàãðàíæà ôóíêöèÿ 78 Ëàãðàíæåâû êîîðäèíàòû 34 ëèáðàöèÿ 197 ëèíèÿ óçëîâ 93 Ì

Í íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû 237 Î îáîáù¸ííûå ñèëû 42 îáîáù¸ííûé ïîòåíöèàë 81 îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ 69 - ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ 70 îïåðàòîð 56 îðáèòà êðóãîâàÿ 37

300 îðáèòà öåíòðàëüíàÿ 192 îñíîâíîå êîëåáàíèå 238 îñöèëëÿòîð ãàðìîíè÷åñêèé 191 Ï ïàðàáîëè÷åñêèé àðãóìåíò 232 ïàðàìåòð ýëëèïñà 294 ïåðåìåùåíèå äåéñòâèòåëüíîå 23 - ïîñòóïàòåëüíîå 103 ïåðåìåùåíèÿ âîçìîæíûå 29 ïåðèîä ñîáñòâåííûé 238 ïîâåðõíîñòü ãëàäêàÿ 28 - íóëåâîé ñêîðîñòè 221 - ïîñòîÿííîé ýíåðãèè 53 ïîëå ñèëîâîå 26 ïîëíûé èíòåãðàë 182 ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû 292 ïîòåíöèàë êèíåòè÷åñêèé 79 - îáîáù¸ííûé 81 ïîòåíöèàëüíàÿ ñèëà 83 - ýíåðãèÿ 51, 82, 106 ïîòîê íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 205 ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ 12 ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà 279 - Ãàóññà 58, 153 - îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ 11 - Ðåëåÿ 240, 246 ïðîñòðàíñòâåííûé äèôôåðåíöèàë 77 ïðîñòðàíñòâî èçîòðîïíîå 11 - îäíîðîäíîå 11 - ôàçîâîå 179 Ïóàíêàðå 205 Ïóàññîíà ñêîáêè 199 - òåîðåìà 202 - òîæäåñòâî 202 Ïôàôôà óðàâíåíèå 29 - ôîðìà 51

Ð ðàáîòà âèðòóàëüíàÿ 25 Ðàóñà ìåòîä 98 - óðàâíåíèÿ 97 - ôóíêöèÿ 100 ðåàêöèè ñâÿçè 13, 29, 46 Ðåëåÿ ïðèíöèï 240 ðÿä Òåéëîðà 233, 234 Ñ ñâÿçè èìïóëüñèâíûå 251 ñâÿçü 14 - âòîðîãî òèïà 253 - ãåîìåòðè÷åñêàÿ 16 - ãîëîíîìíàÿ 16 - äâóõñòîðîííÿÿ 28 - èäåàëüíàÿ 26 - êèíåìàòè÷åñêàÿ 16 - íåãîëîíîìíàÿ 16 - íåèíòåãðèðóåìàÿ 16 - íåîñâîáîæäàþùàÿ 28 - íåñòàöèîíàðíàÿ 16 - íåóäåðæèâàþùàÿ 14 - îäíîñòîðîííÿÿ 28 - îñâîáîæäàþùàÿ 28 - ïåðâîãî òèïà 252 - ñòàöèîíàðíàÿ 16 - óäåðæèâàþùàÿ 14 ñèëà ãèðîñêîïè÷åñêàÿ 83 - êîíñåðâàòèâíàÿ 51 - îáîáù¸ííàÿ 71 - ïîòåíöèàëüíàÿ 83 - ïðèòÿæåíèÿ Íüþòîíà 90 ñèëû âíåøíèå 13 - âíóòðåííèå 13 - çàäàííûå 13 - íåêîíñåðâàòèâíûå 76 ñèñòåìà êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà 126

301 ñèñòåìà êàòàñòàòè÷åñêàÿ 34, 52 - êîíñåðâàòèâíàÿ 105 - êîîðäèíàò 12 - êîîðäèíàò äåêàðòîâà 136 - ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàòóðàëüíàÿ 17 - - - íåñâîáîäíàÿ 13 - - - ñâîáîäíàÿ 13 - íàòóðàëüíàÿ 78 - îòñ÷¸òà 12 - îòñ÷¸òà èíåðöèàëüíàÿ 11, 12 - ñèë 53 ñêîáêè Ïóàññîíà 199 ñêîðîñòü âèðòóàëüíàÿ 21 - âîçìîæíàÿ 32 - äåéñòâèòåëüíàÿ 21 - êèíåìàòè÷åñêè âîçìîæíàÿ 21 - ñåêòîðíàÿ 221 ñîáñòâåííûé ïåðèîä 238 ñðåäíÿÿ àíîìàëèÿ ýïîõè 215, 229 ñóïåðïîçèöèÿ ãëàâíûõ êîëåáàíèé 238 ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû 296 ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê 43 Ò Òåéëîðà ðÿä 233 - òåîðåìà 261 òåëî îòñ÷¸òà 12 òåîðåìà Áåðòðàíà 260 - Ãàìèëüòîíà-ßêîáè 181 - ʸíèãà 162 - Êàðíî 258 - Êåëüâèíà 260 - Êîøè 270 - Ëèóâèëëÿ 210 - î ñîõðàíåíèè èìïóëüñà 48 - Ïóàññîíà 202 - Òåéëîðà 261

òåîðåìà Ýéëåðà 81, 130, 271 - - îá îäíîðîäíûõ ôóíêöèÿõ 272 - ßêîáè 289 òîæäåñòâî Ïóàññîíà 202 òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ 224 Ó óãîë àçèìóòàëüíûé 37 - íàêëîíà îðáèòû 215 - ïîëÿðíûé 37 óäàðíûé èìïóëüñ 249 Óèòòåêåðà ìåòîä 107 - óðàâíåíèÿ 111 óðàâíåíèå Áèíý 121 - Ãàìèëüòîíà ìîäèôèöèðîâàííîå 192 - Ãàìèëüòîíà-ßêîáè 283 - ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé 85 - Ãèááñà-Àïïåëÿ 145, 154, 263 - Äàëàìáåðà - Ëàãðàíæà 47 - Êåïëåðà 117, 228, 229 - êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà 87 - êîíè÷åñêîãî ñå÷åíèÿ 94 - Ëàãðàíæà 85, 98, 101, 111, 236, 242, 280, 295 - íîðìàëè 30 - îäíîðîäíîå ëèíåéíîå 31 - îñíîâíîå 45 - Ïôàôôà 29, 270 - Ðàóñà 97, 113 - Óèòòåêåðà 111, 113, 118 óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà 126 - äâèæåíèÿ â ôîðìå Ãàìèëüòîíà 126 - Ëàãðàíæà 67, 72, 76, 81, 89 - ñâÿçåé 18 óñêîðåíèå óãëîâîå 64

302 Ô ôàçà êîëåáàíèÿ 87 ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî 179 ôàçîâûé îáú¸ì 210 ôîêóñ ýëëèïñà 291 ôîðìà Ïôàôôà 51, 75, 146 ôîðìóëà Ýéëåðà 87 ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà 124, 129, 132, 180, 187, 200, 287 - Ãèááñà 151 - Ëàãðàíæà 78, 80, 91, 99, 128, 130, 287 - Ðàóñà 100 - Óèòòåêåðà 109 Ö öåíòðàëüíàÿ îðáèòà 192 öèêëè÷åñêèå êîîðäèíàòû 97, 131 öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû 295 × ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû 19 Ý Ýéëåðà òåîðåìà 81 - ôîðìóëà 87 ýêñöåíòðèñèòåò ýëëèïñà 215 ýíåðãèÿ êèíåòè÷åñêàÿ 50 - ïîòåíöèàëüíàÿ 51 - ïîòåðÿííûõ ñêîðîñòåé 260 - ñèñòåìû ïîëíàÿ 52 ß ßêîáè èíòåãðàë 80 - òåîðåìà 289 ÿêîáèàí 208

303

304

Ê 435

Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷ Êèðñàíîâ

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÓÞ ÄÈÍÀÌÈÊÓ Ó÷åáíîå ïîñîáèå Òåõíè÷åñêèé ðåäàêòîð: Êèðñàíîâ À.À.

Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ËÐ ¹ 020029, âûäàíà 16.10.1996 ãîäà. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 22.07.99 ã. Ôîðìàò 60õ84/16. Îáú¸ì èçäàíèÿ â ó. ï. ë. 19,0. Òèðàæ 500 ýêç. Ççàêàç ¹ Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì.Êèðîâà. 180760, ã. Ïñêîâ, ïë. Ëåíèíà, 2. Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà. 180760, ã. Ïñêîâ, óë.Ñîâåòñêàÿ, 21. Òåë. 2-86-18.