ЗАДАЧИ ПО
ФИЗИКЕ
ММФ НГУ курс IV «Механика» «Прикладная математика»
www.phys.nsu.ru МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра общей физики
ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ
www.phys.nsu.ru Часть 1
Для студентов 4-го курса механико-математического факультета Отделения: «Механика» «Прикладная математика»
Новосибирск 2000
1
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru В программе представлена первая часть курса общей физики, читаемого на механико-математическом факультете, и типичные задачи, рекомендуемые для решения на семинарских занятиях (Основные задачи) и при выполнении контрольных заданий (Дополнительные задачи). В качестве примера приведены условия задач и их решения из контрольной работы 2000 года. Объем ограничивается разумным количеством задач в соответствии с учебным планом – одним семинаром в неделю и двумя контрольными заданиями в течение семестра. Предназначается для студентов 4-го курса ММФ НГУ (отделения «Механика», «Прикладная математика»). Составители С. А. Бордзиловский А. А. Васильев В. И. Ерофеев А. В. Пинаев В. Н. Рычков
www.phys.nsu.ru Под общей редакцией профессора А. А. Васильева Рецензент профессор Г.В.Меледин Печатается по решению кафедры общей физики НГУ © Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru
© Новосибирский государственный университет, 2000
2
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru ПРОГРАММА ПО ФИЗИКЕ Часть 1 1. Элементы специальной теории относительности Принципы относительности Эйнштейна и Галилея. Преобразования Лоренца. Интервал. Собственное время. Относительность одновременности. Замедление времени и сокращение масштабов при движении. 4-векторы. Преобразование энергии и импульса. Эффект Доплера. 2. Электростатика Закон Кулона. Понятие электрического поля. Напряженность. Потенциал. Принцип суперпозиции. Теорема Гаусса. Уравнения Пуассона и Лапласа. Поле диполя. Проводники и диэлектрики. Граничные условия. Электроемкость. Энергия и давление поля.
www.phys.nsu.ru 3. Токи Постоянный ток. Закон Ома в дифференциальной форме. Закон сохранения заряда. Правила Кирхгофа. Граничные условия. Преломление линий тока.
4. Магнитное поле Магнитное поле. Сила Лоренца. Закон Био-Савара. Сила Ампера. Связь циркуляции магнитного поля с током. Магнитный дипольный момент. Векторный потенциал. Уравнение для векторного потенциала. Магнитный поток. Индуктивность. Энергия и давление магнитного поля. Магнитное поле в веществе. Граничные условия. 5. Квазистационарные явления Закон Фарадея для электромагнитной индукции. Квазистационарные токи. Цепи. 3
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru Ток смещения. Скин-эффект.
6. Кинематика волны Полная система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной формах. Кинематика электромагнитной волны. Ее поперечность, энергия, импульс, момент импульса. Поток энергии. Элементы релятивистской теории в электродинамике. 4-потенциал. Лагранжиан для релятивистской частицы в электромагнитном поле. Уравнение движения частицы в поле. Тензор электромагнитного поля. Релятивистские преобразования поля. Инварианты. Система уравнений Максвелла в релятивистски инвариантной форме.
www.phys.nsu.ru ЛИТЕРАТУРА
1. Берклеевский курс физики. Т. I-V. 2. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1-9. 3. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика. Электродинамика. 4. И. Е. Тамм. Основы теории электричества. 5. Дж. Орир. Физика. В 2 томах. 6. А. Бейзер. Основные представления современной физики. Программу составил профессор А.А.Васильев
ОСНОВНЫЕ
4
ЗАДАЧИ
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru Семинар 1. ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА ДЛЯ КООРДИНАТ И ВРЕМЕНИ. ДЛИНА ОБЪЕКТА. СОБСТВЕННОЕ ВРЕМЯ
1. Два события в неподвижной системе К имеют координаты (x1,t1) и (x2,t2). Найти скорость системы, в которой: а) эти события одновременны; б) происходят в одной точке? 2. Система К' движется со скоростью V вдоль оси X неподвижной системы К. Система К'' движется относительно К' со скоростью W вдоль оси Y'. Соответствующие оси координат всех систем параллельны между собой. Установить взаимосвязь координат систем К'' и К. 3. На концах стержня, движущегося с V=4/5 c вдоль оси Х, вспыхивают две лампочки. Какова должна быть очередность вспышек в неподвижной системе К, чтобы для наблюдателя в системе К' движущегося стержня вспышки казались одновременными? В системе К длина стержня L=27 м.
www.phys.nsu.ru 4. В неподвижной системе К стержень длины L=1 м наклонен под углом θ=30o к оси ОХ. Найти длину стержня L' и угол наклона θ' в К'-системе, движущейся с V=24/25 c. 5. Прямолинейно движущийся источник И излучает сигналы с частотой ν0; приемник П, находящийся на линии движения И, воспринимает эти сигналы. Определить зависимость частоты воспринимаемого сигнала ν от скорости излучателя V (эффект Доплера). Семинар 2. СКОРОСТЬ ЧАСТИЦЫ. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЕЕ КОМПОНЕНТ 1. В неподвижной системе К частица движется со скоростью u,
направленной под углом θ к оси Х. Каков θ' в системе К', 5
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru движущейся вдоль ОХ со скоростью V? V→с? Какова u'?
Что наблюдается при
2. Параллельный оси ОХ стержень длины l0 движется вдоль ОУ со скоростью W. Как выглядит движение этого стержня для наблюдателя в системе К', движущейся вдоль ОХ со скоростью V? 3. В релятивистскую реку на расстоянии h от берега упал камень. Через какое время волны достигнут берега, если скорость течения равна u, а скорость волн в неподвижной воде w? 4. Плоскопараллельная прозрачная пластина толщины l0, имеющая показатель преломления n=c/v (v – скорость света в пластине), движется со скоростью V от зеркала к источнику S. Определить время, затрачиваемое световым импульсом на прохождение пути от излучателя до зеркала и обратно. Зависит ли время от направления движения пластины?
www.phys.nsu.ru Семинар 3. СИСТЕМА ЧАСТИЦ. ИМПУЛЬС И ЭНЕРГИЯ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ. Ц-СИСТЕМА. УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ СОУДАРЕНИЯ. СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
1. Покоящаяся частица массы M распадается на две с массами покоя m1 и m2. Определить кинетические энергии образовавшихся частиц. 2. Из двух одинаковых частиц с массой покоя m одна из них испытывает упругое соударение с неподвижной второй. Найти зависимость кинетической энергии рассеянных частиц Тi от кинетической энергии Т налетающей и ее угла рассеяния θ. Определить угол ψ разлета частиц. 3. Одинаковые частицы m в неподвижной К-системе движутся навстречу друг другу со скоростями V0 (встречные пучки). Определить энергию частиц в системе, где одна из частиц 6
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru покоится. Выразить для этой системы кинетическую энергию частиц Тi через энергию Т0 в К-системе.
4. Фотон рассеялся на неподвижном электроне. Найти изменение длины волны фотона ∆λ от угла рассеяния θ (Комптон-эффект). Семинар 4. 4-ВЕКТОРА, ИХ ИНВАРИАНТЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТ 1. Определить 4-вектора: координаты–время, скорость, импульс– энергия, сила, ускорение. Найти "длины" этих 4-векторов. Выписать формулы преобразования компонент для К- и К'-систем. 2. Релятивистский протон с кинетической энергией Т упруго рассеялся на покоящемся протоне, в результате оба протона разлетелись симметрично относительно начального направления. Найти угол разлета φ. Массу покоя mp считать известной.
www.phys.nsu.ru 3. Шарик m1 с кинетической энергией T10 налетает на неподвижный
шарик m2. Определить кинетическую энергию шарика m2 после упругого нецентрального удара шариком m1. Шарик m2 отскакивает под углом α к исходному курсу m1. При каком соотношении m2/m1 передача энергии наибольшая? 4. Определить энергию частиц m1 и m2 в Ц-системе, если в К-системе частицы движутся навстречу друг другу с энергиями Е1 и Е2. 5. Сколько времени занимает распространение света от Солнца до Земли (расстояние L=150 млн км.) в системе протона, движущегося по этому пути с кинетической энергией Т0 = 103 Мэв?
Семинар 5. РАСПАД И РОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗАРЯДА
7
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 1. Найти максимальную энергию γ-квантов, образующихся при распаде неподвижного π0-мезона на четыре γ-кванта (масса покоя π0-мезона равна 135 Мэв). 2. Протон налетает на мишень под углом 45о. При какой минимальной энергии протона Emin в результате «удара» о мишень возможно рождение протон-антипротонной пары? 3. Релятивистский π0-мезон распался на лету на два γ-кванта с энергиями Е1 и Е2. Найти угол разлета θ относительно неподвижной К-системы. 4. Оценить порог рождения π0-мезона при столкновении быстрого протона с покоящимся. Массы покоя частиц mπ и mp. 5. π0-мезон распадается на два γ-кванта, причем γ-квант, летящий вперед, обладает энергией E1=270 Мэв. Определить исходную энергию π0-мезона (mπ = 135 Мэв).
www.phys.nsu.ru Семинар 6. НАПРЯЖЕННОСТЬ И ПОТЕНЦИАЛ. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ. ТЕОРЕМА ГАУССА. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА. ТЕОРЕМА ИРНШОУ. ДИПОЛЬ 1. Определить поле в центральной точке А равномерно заряженного по объему полушара радиуса R. Общий заряд полушара равен Q/2. 2. Тонкий диск радиуса R имеет заряд σ на единицу поверхности. Определить поле на оси диска. Найти потенциал на краю диска и в центре. 3. В системе трех концентрических сфер с радиусами R1, R2 и R3 на средней сфере находится заряд Q, а остальные две заземлены. Определить напряженность поля и потенциал в зависимости от r.
8
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 4. Два диполя Р1 и Р2 расположены вдоль одной прямой на расстоянии r друг от друга. Определить силу их взаимодействия. Определить энергию системы. 5. Поверхностное натяжение σ сферической жидкой пленки, создает дополнительное давление P, обратно пропорциональное радиусу пленки R. Будет ли устойчивым мыльный пузырь, если его оболочке сообщить некоторый заряд Q?
6. Каким должен быть заряд Q* (см. задачу 5), чтобы радиус пузыря увеличился вдвое? Какой заряд Q0 нужно поместить в центре, чтобы вернуть пузырек к исходному радиусу? Семинар 7. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОЛЕ. МЕТОД ЗЕРКАЛЬНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
www.phys.nsu.ru 1. Металлические полуплоскости образуют двухгранный прямой угол. Заряд Q расположен в точке (a,b) от вершины угла. Найти распределение индуцированных на плоскостях зарядов σ(x) и σ(y).
2. Заряд Q помещен между двумя параллельными проводящими плоскостями таким образом, что от ближайшей плоскости он находится на расстоянии a. Плоскости расположены на расстоянии 3a друг от друга. Определить силу взаимодействия заряда с плоскостями. 3. Заряд Q расположен на расстоянии l от центра заземленной сферы радиуса R (l>R). Определить поверхностную плотность заряда на сфере. 4. Изменится ли емкость плоского конденсатора (площадь пластин S, расстояние между ними d), если:
9
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 1) параллельно пластинам расположить металлическую сетку на
расстоянии a от одной из обкладок; затем 2) соединить сетку с этой обкладкой или 3) заземлить сетку.
Семинар 8. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ. ВЕКТОРА ПОЛЯРИЗАЦИИ И ИНДУКЦИИ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 1. Заряд Q расположен на расстоянии a вблизи плоской границы двух диэлектриков с ε1 и ε2. Определить поле в каждом из диэлектриков. Какова сила, действующая на Q? 2. Заряд Q, расположенный в среде с диэлектрической проницаемостью ε, удален на расстояние a от проводящей плоскости. Определить распределение индуцированных на плоскости зарядов и силу, действующую на Q.
www.phys.nsu.ru 3. Определить емкость сферического конденсатора, заполненного слоями диэлектрика с проницаемостями ε1 и ε2 (геометрические размеры первого слоя a
4. Определить энергию диполя U и силу его взаимодействия с заземленным проводящим шаром радиуса R, погруженным в жидкий диэлектрик с показателем ε. Диполь расположен на расстоянии a>R от центра шара и ориентирован перпендикулярно соединяющей линии, его дипольный момент равен p. Каков вращательный момент, действующий на диполь? Семинар 9. ПОСТОЯННЫЙ ТОК. ПРОВОДИМОСТЬ, СОПРОТИВЛЕНИЕ, ЭДС. МОЩНОСТЬ ТОКА. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА.
10
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 1. Мостовая схема имеет сопротивления R1 ÷ R4 в плечах квадрата и R5, включенное в диагональ. Схема подключена концами второй диагонали к источнику с ЭДС Ε. При каком условии через диагональное сопротивление R5 ток течь не будет? Каково общее сопротивление мостовой схемы? 2. Элемент с импедансом Z1/2 и множество последующих элементов Z1 включены в один из проводов двухпроводной линии. К каждому соединению Z1 и второму проводу подключены элементы с импедансом Z2. Найти комплексный импеданс Z бесконечной цепочки из таких элементов. Что будет, если все импедансы будут чисто мнимые (конденсаторы, катушки индуктивности)? 3. На контакты 1-2 RC-цепочки из последовательно соединенных сопротивления R и конденсатора C подается напряжение в виде ступеньки с амплитудой U0. Какова форма сигнала, регистрируемого на R и C соответственно (контакты 3-4 и 4-5)?
www.phys.nsu.ru 4. Батарея с ЭДС E, сопротивление R1 и параллельно соединенные между собой сопротивления R2 и R3 составляют замкнутую цепь. При каком значении R3 мощность, рассеиваемая на этом сопротивлении, не зависит от величины R3? Семинар 10. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА. ФОРМУЛА БИО - САВАРА. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ ПОЛЕЙ. ВЕКТОРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 1. Заряд Q движется с постоянной скоростью V. Определить электрическое и магнитное поле в точках, удаленных от заряда на расстояние r. 2. Заряд Q движется к точке x=0 со стороны положительных значений x со скоростью v. В t=0 заряд достигает начала координат и меняет направление движения на обратное. Найти распределение электрического поля. 11
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 3. Каковы формулы преобразования электрического и магнитного полей для неподвижной К и движущейся вдоль оси ОХ со скоростью V системы К'?
4. Определить напряженность магнитного поля на оси кругового (радиус r0) тока I. Изменится ли поле в центре кольца, если его согнуть по диаметру так, чтобы плоскости полуколец составляли прямой угол ? 5. Определить векторный потенциал для длинного тонкого прямолинейного проводника с током I. Семинар 11. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ. МАГНЕТИКИ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
www.phys.nsu.ru 1. Определить напряженность магнитного поля: а) ток I течет по длинному прямолинейному цилиндрическому проводнику радиуса R; (по толстостенной трубе с R1 и R2); б) ток I течет по тонкой ленте ширины a с плотностью I0 = I/a; (по плоскости с I0); в) ток течет по длинному соленоиду с числом витков n на единицу длины – поле внутри; г) ток течет по обмотке тора с радиусами R1 и R2 (полное число витков равно N) – поле внутри обмотки.
2. Из участка длинного прямолинейного провода сформирована кольцевая петля радиуса r (угол 2π–2α) и линейный участок (угол 2α). Определить магнитное поле В в центре этой петли, если по проводнику течет ток I. 3. При какой напряженности магнитного поля В кольцо радиуса r0 с током I разорвется, если кольцо имеет прочность на разрыв F0? Поле B перпендикулярно плоскости кольца.
12
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 4. На границе раздела магнетик-вакуум поле в вакууме равно В0 и составляет угол α с нормалью. Определить поле в магнетике (проницаемость µ) вблизи этой границы.
Семинар 12. ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ. СИЛА ЛОРЕНЦА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТОКОВ, СИЛА АМПЕРА 1. Релятивистская частица массы m с зарядом q влетает в однородное электрическое поле Е со скоростью v0, причем v0 ⊥ Е. Определить скорость движения и траекторию частицы. 2. Нерелятивистская частица массы m с зарядом q влетает в однородное магнитное поле В, причем скорость v0 составляет угол α с В. Определить характер движения.
www.phys.nsu.ru 3. Плоскость служит границей раздела однородных магнитных полей В1 и В2, параллельных друг другу. С этой плоскости перпендикулярно ей вылетает электрон со скоростью v0. Определить дрейфовую скорость электрона вдоль границы. Заряд е и масса электрона m известны.
4. Однородные поля Е и В параллельны друг другу (плоскость ХУ). Определить характер движения нерелятивистской частицы m, если в t=0 она влетает со скоростью v0, двигаясь по отношению к силовым линиям: а) параллельно; б) перпендикулярно. Семинар 13. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. МАГНИТНЫЙ ПОТОК. ИНДУКТИВНОСТЬ. САМОИНДУКЦИЯ И ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ. ТОК ФУКО. ВИХРЕВОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. СВЕРХПРОВОДНИКИ. 1. Кольцо радиуса R с диаметральной перемычкой помещено в магнитное поле В = В0 cos ωt, перпендикулярное плоскости кольца. 13
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru Определить токи, если сопротивление единицы длины проводника равно ρ.
2. Контур, имеющий вид окружности радиуса a с диаметральной перемычкой, помещен в перпендикулярное контуру магнитное поле В = В0 (1 – t/τ). В полуокружности и перемычку включены конденсаторы С1, С3 и С2. Определить конечные заряды на обкладках каждого конденсатора. 3. Плоская спираль с большим числом витков n и наружным радиусом r0 помещена в перпендикулярное плоскости спирали магнитное поле В = В0 cosωt. Считая расстояние между витками одинаковым, определить ЭДС индукции. 4. Сверхпроводящее кольцо радиусом a с индуктивностью L находится в однородном магнитном поле В. Вначале В перпендикулярно плоскости кольца. Затем кольцо поворачивают так, что его плоскость становится параллельной В. Определить значение тока в кольце после поворота.
www.phys.nsu.ru 5. Определить разность потенциалов между боковыми плоскостями металлического бруска с размерами аxbхc, движущегося в магнитном поле В со скоростью v⊥B. Какова поверхностная плотность заряда σ? Семинар 14. ПЕРЕМЕННЫЕ ТОК И НАПРЯЖЕНИЕ. ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 1. Электрическая цепь представляет последовательно соединенные конденсатор С1, катушку индуктивности L, конденсатор С2 и ключ К. Определить Imax и Q2max после замыкания ключа К, если вначале заряд Q1 был только на конденсаторе С1. 2. Найти установившиеся токи в параллельно соединенных сверхпроводящих катушках индуктивности L1 и L2 после подключения к 14
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru ним с помощью ключа К батареи с ЭДС Е и сопротивлением r.
внутренним
3. На вход RС-цепочки подано напряжение U=U0 cos ωt. Определить UR и UC. 4. Аналогично предыдущей задаче рассмотреть также: а) RL- и б) LC-цепочки. 5. Определить токи и сопротивление цепи из параллельно соединенных RCL-элементов, подключенных к источнику переменного напряжения U = U0 cosωt. Наблюдаются ли в этой цепи резонансные явления? 6. Оценить толщину скин-слоя для меди при следующих условиях:
проводимость λ = 5·1017 сек–1, µ ≅ 1, ν1 = 50 гц, ν2 = 1 Мгц.
www.phys.nsu.ru ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
I 1. Кольцо радиуса a движется со скоростью V мимо неподвижного наблюдателя. Что он скажет о площади кольца? 2. Система К'' движется вдоль оси ОУ неподвижной системы К со скоростью V. Получить формулы преобразования времени и пространственных компонент для К''- и К-систем (соответствующие оси систем параллельны друг другу). 3. Получить формулы преобразования для r и t в случае, если скорость V не параллельна оси ОХ. 4. Даны три системы отсчета с осями, параллельными друг другу: неподвижная К и движущиеся вдоль осей ОХ и О'Х' системы К' и К'' 15
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru со скоростями V и W соответственно. Получить формулы преобразования для систем К и К''.
5. В системе К' стержень длины l0, опираясь одним краем в начало координат, наклонен под углом α' к оси О'Х'. На концах стержня одновременно вспыхивают две лампочки. Как воспримет эти события наблюдатель, находящийся в начале координат неподвижной системы К? К' движется вдоль ОХ со скоростью V. 6. Собственное время жизни µ-мезона равно 2⋅10–6 с. При какой скорости µ-мезон успеет долететь от Солнца до Земли? Свет проходит это расстояние за 500 с. 7. В спектре галактики линия излучения одного из элементов оказалась сдвинутой на 10% в сторону длинных волн по сравнению с величиной, полученной в лабораторных условиях. Определить скорость галактики и характер движения (сближение или удаление).
www.phys.nsu.ru 8. Космонавт, двигаясь к неизвестной планете по прямой, посылает зондирующий сигнал с частотой ν0. Отраженный сигнал оказывается сдвинут на ∆ν=10–4 ν0. Определить скорость ракеты относительно планеты.
II 1. Две свободные частицы движутся со скоростями V1 и V2 соответственно. Найти скорость относительного движения частиц. Рассмотреть, в частности, следующие случаи: а) скорости частиц параллельны друг другу; б) скорости частиц перпендикулярны. 2. Один из двух одинаковых, расположенных параллельно друг другу стержней покоится (его длина l0), а второй движется вдоль первого со скоростью V. В какой системе отсчета длины стержней будут одинаковыми?
16
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 3. Две одинаковых линейки с собственной длиной l0 движутся с одинаковыми скоростями V во взаимно перпендикулярных направлениях. Определить длину одной линейки в системе другой (линейки параллельны осям ОХ и ОУ).
4. Одна частица в начальный момент находится в начале координат системы К, вторая – в точке х=L. Обе частицы начинают одновременно двигаться со скоростью V вдоль осей: первая - в положительном направлении оси ОУ, вторая – вдоль ОХ в отрицательном направлении. Определить минимальное расстояние между частицами в К-системе и в системе, связанной с одной из частиц. 5. Уравнения x = a cosωt, y = b cos2ωt описывают движение точки. Найти уравнение траектории и скорость точки в момент пересечения ею осей координат.
www.phys.nsu.ru 6. Зависимость скорости точки от времени при одномерном движении представляет полуокружность. Время движения Т, максимальная скорость точки V0. Определить путь, пройденный точкой, при следующих условиях: а) V(0)=0; б) V(0)=V0.
7. Самонаводящаяся (нерелятивистская) торпеда «захватила» движущуюся прямолинейно со скоростью w «цель» в момент, когда «цель» пересекала курс торпеды, а расстояние между ними было равно l. Полагая, что в момент «захвата» цели ее скорость v была перпендикулярна w и в дальнейшем |v|=const, определить уравнение траектории торпеды после «захвата цели» и момент ее поражения (|v|>|w|). 8. Ось ОХ представляет плоскую границу двух сред. Тело в среде 1 может двигаться со скоростью v1, а в среде 2 – с v2 (v1,v2 <
III 17
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 1. На оси бесконечного клина, движущегося со скоростью V, происходит распад тела с образованиeм множества осколков, разлетающихся равномерно по всем направлениям со скоростью u. Каким должен быть угол клина, чтобы на его боковую поверхность упала половина осколков?
2. При распаде частицы появляются две с массами m1 и m2. По импульсам p1 и p2 этих частиц и углу θ между направлением их разлета найти массу исходной частицы. 3. Движущаяся частица с массой покоя m1 поглощается неподвижной с массой m2. Определить массу и скорость образовавшейся частицы, если: а) задана скорость налетающей частицы V1; б) задана кинетическая энергия Т1. 4. Во сколько раз отличаются кинетические энергии протона и электрона, имеющих одинаковые импульсы Р=200 Мэв/c?
www.phys.nsu.ru 5. Доказать, что свободный электрон не может полностью поглотить фотон.
6. При столкновении фотона с неподвижным электроном фотон рассеялся назад, а полная энергия электрона удвоилась. Найти начальную энергию фотона. 7. Какую часть энергии первичного фотона с длиной волны, равной Комптоновской, получает электрон отдачи? 8. Неподвижная частица с массой М распадается на m1, m2, m3. Найти наибольшую полную энергию, которую может иметь один из осколков, например m1.
IV
18
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 1. Какова должна быть кинетическая энергия движущегося протона, налетающего на неподвижный протон, чтобы в Ц-системе его полная энергия составила 400 Гэв?
2. В системе К' (движение с V вдоль оси ОХ неподвижной системы К) частица вылетает со скоростью u' под углом θ' к оси О'Х'. Определить связь углов вылета частицы θ и θ' в системах К и К'. 3. Фотон с энергией E0 рассеялся на угол θ на неподвижном электроне. Определить энергию фотона после рассеяния. 4. Нерелятивистская частица массы m1 упруго рассеивается под предельным углом на покоящейся частице массы m2 < m1. Какую часть η своей кинетической энергии теряет при этом m1? 5. Движущаяся со скоростью V частица распадается на два одинаковых осколка с массой m0. Определить максимальную и минимальную энергию осколков.
www.phys.nsu.ru 6. Получить формулы Доплера ∆λ = f(V,α) (см. задачу 1.5 из «Основных задач»), когда излучатель И движется под углом α. Оценить поперечный эффект Доплера (α=π/2) при V=24/25 c.
7. Сколько времени потребуется для перелета фотона через
Галактику с размером 105 световых лет с точки зрения протона с энергией 1010 Гэв, летящего ему навстречу? 8. Исходная нерелятивистская частица, движущаяся со скоростью V, распадается на две с массами m1 и m2. Определить взаимосвязь между углами вылета частиц θ1 и θ2, если энергия распада равна Ε.
V 1. Доказать, что законами сохранения запрещена аннигиляция пары электрон-позитрон с испусканием одного γ-кванта. 19
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 2. Определить энергию фотона, налетающего на неподвижный протон, необходимую для рождения электрон-позитронной пары.
3. Определить порог рождения протон-антипротонной пары при столкновении позитрона с покоящимся электроном. 4. Определить порог рождения протон-антипротонной пары при столкновении летящих навстречу друг другу электрона и позитрона, обладающих одинаковыми импульсами. 5. Определить порог рождения протон-антипротонной пары при столкновении электрона и позитрона, если в К-системе скорости частиц v равны по величине и направлены под прямым углом друг к другу. 6. Найти угол симметричного разлета фотонов, получившихся при аннигиляции покоящегося электрона и движущегося с энергией Е0 позитрона.
www.phys.nsu.ru 7. Антипротон с энергией Е0 при столкновении с неподвижным протоном рождает электрон-позитронную пару. Найти энергию образовавшегося электрона, если он движется перпендикулярно направлению движения антипротона. 8. π0-мезон с кинетической энергией Т1 пролетает от места своего рождения до точки распада расстояние L (в К-системе). Сколько времени прошло между этими событиями в системе протона с кинетической энергией Т2, летящего вслед за π0-мезоном?
VI 1. Заряды распределены согласно закону σ=σ0 sinax sinby по плоскости z=0. Определить потенциал ϕ этой системы зарядов.
20
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 2. Какому пространственному распределению заряда соответствует потенциал ϕ = Q exp(-r/a)/r?
3. Заряд Q равномерно распределен по объему шара радиуса R. Определить энергию заряженного шара и распределение ее между шаром и окружающим шар пространством. 4. Проводящая сфера радиусом R составлена из полусфер. Найти силу взаимодействия полусфер, если полный заряд равен Q. Какой минимальный заряд нужно поместить в центр сферы, чтобы удержать систему как целое? 5. Кольцо радиуса R состоит из двух равномерно заряженных полуколец с зарядами +Q и –Q. Определить напряженность электрического поля Е и его потенциал ϕ на оси кольца. 6. Шар радиуса R с объемной плотностью заряда ρ(r) = k/r2 имеет полость радиуса r0, центр которой совпадает с центром шара. Определить E(r) и ϕ(r).
www.phys.nsu.ru 7. В бесконечной пластине толщиной 2R вырезана сферическая полость радиуса R. Определить напряженность поля E(r), если объемная плотность заряда в пластине равна ρ. 8. Бесконечный плоский лист заряжен равномерно с плотностью σ на единицу поверхности. В листе просверлено отверстие радиуса a. Найти поле и потенциал на оси отверстия.
VII 1. Заряд Q находится на расстоянии 2R от проводящей плоскости.
Во сколько раз изменится сила взаимодействия заряда и плоскости, если на нее положить проводящую полусферу радиуса R так, чтобы ось полусферы проходила через заряд.
21
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 2. В задаче 7.2 из «Основных задач» определить величины зарядов, наведенных на каждой из плоскостей.
3. Заряд q помещен между двумя проводящими сферами радиусами R1 и R2 на расстоянии d (R1< d
>d. Определить емкость такого конденсатора.
www.phys.nsu.ru 6. Как изменится емкость плоского конденсатора, если его поместить в металлическую коробку? Расстояние от обкладок до стенок коробки равно расстоянию между обкладками. Как изменится емкость, если коробку соединить с одной из обкладок?
7. В металлическом шаре радиуса R1 есть сферическая полость радиуса R2< R1/2, центр которой смещен на расстояние a. Заряд q расположен в центре полости, вне шара помещен заряд Q на расстоянии l>R1 от центра шара на оси, проходящей по центрам шара и полости. Определить силы, действующие на заряды. 8. Определить дипольный момент проводящей сферы радиуса R, помещенной в однородное электрическое поле Е.
VIII 1. Металлическому шару радиуса a сообщен заряд Q. Шар окружен шаровым слоем диэлектрика ε. Определить наведенные заряды на 22
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru внутренней и внешней (радиусы a и b соответственно) поверхностях диэлектрика. Какова емкость шарового конденсатора? 2. Как ведут себя силовые линии электрического поля на плоской границе диэлектриков с проницаемостями ε1 и ε2? 3. Заряд Q помещен в центре диэлектрического шара радиуса R (диэлектрическая постоянная шара ε1), который, в свою очередь, окружен диэлектриком с ε2. Найти напряженность и потенциал электрического поля как функцию r. 4. Определить поле в шаровой полости радиуса R, заполненной диэлектриком с проницаемостью ε, если в полости на расстоянии a от центра помещен точечный заряд Q. Полость сделана в проводящей среде, находящейся под потенциалом ϕ0. 5. Шар радиуса R с зарядом Q расположен симметрично на плоской границе двух диэлектриков ε1 и ε2. Определить распределение заряда на шаре. Найти поля в диэлектриках, если шар уменьшить до точечного заряда.
www.phys.nsu.ru 6. Определить емкость плоского конденсатора (площадь пластин S и расстояние между ними d), заполненного двумя диэлектриками ε1 и ε2 одинакового объема (толщина диэлектриков равна d). Как изменится емкость конденсатора, если убрать диэлектрик ε2? 7. Определить емкость плоского конденсатора (площадь пластин S и расстояние между ними d) со слоями диэлектрика ε1 и ε2 толщиной d1 и d2 соответственно. Определить заряд на границе раздела диэлектриков, если на обкладках конденсатора поместить заряд q. 8. Однородный диэлектрик с ε=const граничит с бесконечной проводящей плоскостью. В диэлектрик помещен диполь с моментом p на удалении z от плоскости, ориентированный под углом α к нормали. Определить силу взаимодействия индуцированных зарядов и диполя и его потенциальную энергию. 23
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru IX 1. Определить эквивалентное сопротивление R13 мостовой схемы, если сопротивления плеч моста и его диагонали соответственно равны: R12 = 2r, R23 = r, R14 = r, R43 = 2r, R24 = r. 2. В боковые стороны и диагонали моста включены источники тока с произвольными ЭДС. Сопротивления сторон и диагоналей, включая внутренние сопротивления ЭДС, равны R1, R2, ... При каком условии показания амперметра А, включенного в одну из диагоналей моста, не зависят от положения ключа К (замкнут – разомкнут), включенного в другую диагональ? 3. Найти закон преломления линий тока на гладкой поверхности раздела двух сред с проводимостями λ1 и λ2.
www.phys.nsu.ru 4. Источники с ЭДС Ε1 и Ε2 и внутренними сопротивлениями r1 и r2 подсоединены параллельно к сопротивлению R. Определить параметры Ε, r эквивалентного источника. Как изменятся Ε, r при смене полярности одного из источников?
5. В цепь с ЭДС Ε1 последовательно включены сопротивления R1, R2 и R3. К точке контакта R1 и R2 параллельно Ε1 подключена Ε2, а к точке R2 -- R3 параллельно Ε1 подключена Ε3 и сопротивление R. При какой ЭДС Ε2 ток через сопротивление R не идет? Определить при этом ток через Ε1. 6. К заряженному до напряжения U0 конденсатору емкости С1 с помощью ключа К через сопротивление R1 подсоединяется незаряженный конденсатор С2, цепь С1—С2 замыкается через сопротивление R2. Найти зависимость разрядного тока от времени. Определить количество теплоты, выделившейся за время разряда на каждом из сопротивлений R1 и R2. 24
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 7. K параллельно соединенным сопротивлению R и индуктивности L с помощью ключа К подсоединяется конденсатор С, первоначально заряженный до напряжения U0. Найти заряды, протекающие через элементы цепи после замыкания ключа.
8. K параллельно соединенным участкам цепи из последовательно соединенных R1, L1 и R2, L2 с помощью ключа К подсоединяется конденсатор С, первоначально заряженный до напряжения U0. Определить заряды, протекающие через индуктивности L1 и L2 после замыкания ключа.
X 1. Определить картину силовых линий электрического поля, создаваемого зарядом Q, если его движение началось в момент t=0 и затем продолжалось с постоянной скоростью v. Найти закон изменения наклона силовых линий для неподвижного и движущегося зарядов.
www.phys.nsu.ru 2. Доказать, что поля Е и В удовлетворяют соотношению (ЕВ)=inv. 3. Доказать, что для полей Е и В справедливо (Е2 – В2)=inv. 4. Плоская спираль представляет собой N-витковую систему, простирающуюся от R1 до R2. Определить магнитное поле в центре спирали, если по виткам идет ток I. Определить магнитный момент m спирали при данном токе. 5. По плоскому кольцу радиуса a течет ток I1. По диаметру кольца на высоте b над ним проходит прямолинейный провод с током I2. Определить напряженность магнитного поля в центре кольца. 6. Проводник изогнут в виде полуокружности радиуса R и двух линейных отрезков длиной 2R, представляющих боковые стороны
25
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru треугольника. Определить напряженность магнитного поля в центре полукольца.
7. Определить поле и векторный потенциал, создаваемые двумя прямолинейными токами I встречного направления, разнесенными на расстояние 2a. 8. По плоской петле радиуса a течет ток I. Определить векторный потенциал A и напряженность магнитного поля B в точках, где r»a.
XI 1. Ток I течет по жиле радиуса r1 коаксиального кабеля и возвращается по толстой проводящей оплетке с радиусами r2 и r3. Определить напряженность магнитного поля B(r). Определить коэффициент пропорциональности между B(r) и I – индуктивность L (для участка кабеля длины l).
www.phys.nsu.ru 2. Внутри длинного цилиндрического проводника радиуса R находится цилиндрическая полость радиуса r0
3. Тонкий провод в точке А разветвляется на два проводника, расположенных симметрично относительно исходного под углом α. Проводники прямолинейны и лежат в одной плоскости. Определить магнитное поле на оси, проходящей через А перпендикулярно плоскости проводников, если по ответвлениям текут токи Ι. 4. а) Прямолинейный проводник с током Ι разворачивается по дуге окружности радиуса r0 на 180о. Определить В в центре полуокружности.
26
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru б) Участок длинного прямолинейного проводника с током Ι изогнут в виде полуокружности радиуса r0 с центром на оси проводника. Определить В в центре полуокружности. в) Проводник представляет две смежных стороны квадрата (пересечение в точке В) и дугу окружности, проведенной из противоположного В угла квадрата (точка А). Найти ВА при пропускании по проводнику тока Ι.
5. Сфера радиуса R с зарядом Q вращается с ω0 вокруг оси, проходящей через диаметр. Найти напряженность магнитного поля B(r). 6. Ток I из длинного прямолинейного тонкого провода растекается по плоскости, перпендикулярной проводу. Найти напряженность магнитного поля B(r). Как изменится результат, если плоскость представляет поверхность полубезграничного проводника? 7. Ток I течет по плоскости вдоль границы раздела двух сред с магнитными проницаемостями µ1 и µ2. Определить магнитные поля в этих средах. Как изменятся поля, если ток будет течь по прямолинейному проводнику, расположенному на плоской границе раздела магнетиков?
www.phys.nsu.ru 8. Рамка с током помещена в вакууме на расстоянии d от плоской границы сверхпроводника. Магнитный момент m рамки образует угол θ с нормалью к поверхности сверхпроводника. Найти силу взаимодействия рамки и сверхпроводника.
XII 1. Однородные поля Е и В перпендикулярны друг другу. Каков характер движения нерелятивистской частицы, влетающей со скоростью v0 в эти поля? Может ли частица двигаться прямолинейно?
27
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 2. Ускоритель плазмы (рельсотрон) помещен в магнитное поле В, перпендикулярное плоскости электродов. Длина электродов рельсотрона – L, расстояние между ними – l. Плазма создается в межэлектродном пространстве в некотором сечении II при разряде, ток которого I0=const. Определить скорость плазменного сгустка массой m на вылете из рельсотрона. 3. За какое время электрон от катода долетит до анода (ось z), если расстояние между ними равно l, а распределение потенциала между электродами задано в виде ϕ(z) = ϕ0 (z/l) 4/3 ? 4. Два заряда поместили на расстоянии l друг от друга и отпустили. Расстояние между ними удвоилось через время τ. Затем эти же заряды поместили на расстояние 3l. Через какое время удвоится расстояние между зарядами в этом случае? 5. Какую максимальную скорость разовьет тело массы m с зарядом Q при скольжении вдоль шероховатой (коэффициент трения µ) наклонной (угол α) плоскости, если параллельно плоскости действует магнитное поле В, перпендикулярное полю тяжести g?
www.phys.nsu.ru 6. В поле прямолинейного проводника с током I1 расположен контур с током I2, плоскость которого перпендикулярна проводу. Контур представляет две дуги с радиусами R1 и R2 и два радиальных участка, пересекающихся в общем их центре в точке I1 под углом 2α друг к другу. Найти момент сил, действующих на этот контур. 7. Определить положение равновесия рамки (в виде прямоугольного уступа) с током I, если вертикальные стороны уступа длиной a имеют массу m1, а перемычка длины b – m2. Однородное магнитное поле В направлено против поля тяготения g. 8. Проницаемая плоскость разделяет однородные взаимно перпендикулярные электрическое поле Е и магнитное В (Е направлено к плоскости раздела). Частица m с зарядом q помещена в область с Е
28
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru на расстоянии l от границы. Определить скорость дрейфа частицы вдоль плоскости.
XIII 1. Кольцо радиуса а с сопротивлением ρ единицы длины имеет
прямолинейную "закоротку" из того же материала, представляющую собой одну из сторон вписанного в окружность квадрата. Магнитное поле, перпендикулярное плоскости кольца, меняется по закону В = В0 t/τ. Определить токи в цепи. 2. Провод, имеющий форму y=k⋅exp|x|, помещен в магнитное поле В, перпендикулярное плоскости xy. Из вершины провода начинают двигать прямолинейную перемычку из этого же провода с постоянным ускорением a. Определить ЭДС индукции, возникающей в контуре, и ток, если сопротивление единицы длины провода равно ρ.
www.phys.nsu.ru 3. На поверхности длинного сплошного диэлектрического цилиндра с плотностью вещества ρ и радиусом a равномерно распределен заряд, поверхностная плотность которого равна σ. Определить угловую скорость вращения цилиндра после выключения внешнего магнитного поля В, параллельного его оси. 4. Две параллельные вертикальные шины с расстоянием l между ними соединены на краях индуктивностью L (вверху) и сопротивлением R (внизу). Магнитное поле В перпендикулярно плоскости контура. Перемычка массы m может скользить вдоль вертикальных шин (вдоль g). Вначале она удерживается в некотором положении и затем плавно отпускается. Найти новое равновесное положение перемычки.
29
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 5. Определить установившуюся скорость перемычки (см. задачу 4) в случае, когда сопротивление R отключили от нижних клемм и подключили к верхним последовательно с индуктивностью L. Сопротивление перемычки и шин не учитывать.
6. Два проводящих кольца радиусами r и R (r«R) лежат в одной плоскости концентрично друг другу. По внутреннему протекает ток частоты ω. Найти ток во внешнем кольце, если сопротивление единицы длины кольца равно ρ. 7. Соленоид длины l (радиус витка r1, число витков N1) с током I1 вставлен внутрь соленоида с током I2 (r2 и N2 соответственно) той же длины. Определить магнитное поле на оси соленоидов. 8. Определить коэффициент взаимной индукции L12 и силу взаимодействия кольца с током I2 и прямого провода с током I1, лежащих в одной плоскости. Радиус кольца a, провод проходит на расстоянии b от оси кольца.
www.phys.nsu.ru XIV 1. Цепь состоит из двух последовательно соединенных катушек индуктивности L1 и L2, их взаимная индуктивность – L12. Определить полную индуктивность цепи. Изменится ли результат, если направление намотки во второй катушке сменить на противоположное? 2. Определить установившийся ток и сопротивление цепи из последовательно соединенных RCL-элементов, подключенных к источнику U=U0 сosωt. Каково условие резонанса? Начертить векторную диаграмму тока и напряжения. 3. Схема из индуктивности L и параллельно соединенных между собой конденсатора С и сопротивления R подключена к источнику U=U0 сosωt, причем ω2 = 1/LC. Определить ток через резистор. 30
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 4. В момент t=0 ключ К подключает схему из последовательно
соединенных диода и индуктивности L к генератору U = U0 сosωt. Определить ток в цепи как функцию времени. 5. Схема из индуктивности L и параллельно соединенных между
собой конденсатора С и второй такой же L подключена к источнику U=U0 сosωt. Определить ток Ι в цепи. Как изменится Ι, если катушки L обладают взаимной индуктивностью L12? 6. Ключ К замыкает заряженный до напряжения U0 конденсатор переменной емкости на индуктивность L. По какому закону следует менять емкость конденсатора С(t), чтобы ток в цепи нарастал прямо пропорционально времени? 7. Батарея с ЭДС Е с помощью ключа К подключается к последовательно соединенным индуктивности L и сопротивлению R. Определить ток в цепи I(t) после замыкания ключа К. Что произойдет, если затем закоротить источник E?
www.phys.nsu.ru 8. Определить максимальные токи в параллельно соединенных индуктивностях L1 и L2 после подключения их с помощью ключа К к заряженному до напряжения U0 конденсатору С. 9. В RCL-колебательном контуре первоначально заряженный конденсатор после замыкания ключа начинает разряжаться. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в момент t=0.
31
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru КОНТРОЛЬНЫЕ
ЗАДАНИЯ
Из раздела «Дополнительные задачи» решить по одной задаче из рекомендованных к каждому семинару.
Номера семинаров Задание 1: 2:
1 8
2 9
3 10
4 11
5 12
6 13
7 14
www.phys.nsu.ru Варианты 1 2 3 4 5 6 7
Номера задач
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 1
4 5 6 7 8 1 2
5 6 7 8 1 2 3
6 7 8 1 2 3 4
7 8 1 2 3 4 5
8 1 2 3 4 5 6
Сроки сдачи контрольных заданий: 1 – до 25 марта, 2 – до 15 мая. Контрольная работа 1999 г. 32
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru 1. Определить минимальную энергию одинаково движущихся
электрона и позитрона, необходимую для рождения ψ-мезона при их столкновении, если траектории частиц до соударения составляли прямой угол. Масса покоя mψ=1020 Мэв. 2. Электрическая цепь представляет собой кольцо радиуса а и диаметральную перемычку. В перемычку включен конденсатор С2, а в полуокружности конденсаторы С1 и С3. Все конденсаторы заполнены диэлектриком с проницаемостью ε. Кольцо помещено в магнитное поле B=B0 (1 – t/τ), перпендикулярное плоскости кольца. В каком случае конденсатор С2 останется незаряженным? 3. Ток течет по стержню радиуса а, проводимость которого меняет-
ся по закону σ=σ0(1 – r2/a2). Определить погонное (на единицу длины) сопротивление стержня.
www.phys.nsu.ru 4. Квадратная рамка массы m со стороной а и сопротивлением ρ на единицу длины, двигаясь со скоростью V0, влетает в магнитное поле В0, перпендикулярное плоскости рамки. Определить закон движения рамки V(t), если область магнитного поля представляет полосу шириной l0. Найти заряд, протекший по рамке за время пересечения магнитного поля.
5. К конденсатору С, заряженному до напряжения U0, с помощью ключа присоединяется колебательный LC-контур. Определить максимальный ток через индуктивность L после замыкания ключа.
Контрольная работа 2000 г. 1. Найти порог рождения электрон-позитронной пары при столкновении фотона с покоящимся электроном. 2. Три параллельных пластины 1, 2, 3 расположены так, что крайние 1 и 3 удалены от центральной 2 на расстояние Н. Пластины 1 и 2 заряжены с поверхностной плотностью +σ, а пластина 3 – с 33
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru плотностью –2σ. В пространстве между пластинами 1 и 2 помещен электрон на расстоянии h от пластины 2, а в пространстве между пластинами 2 и 3 – позитрон на расстоянии h от пластины 3. Оценить время падения частиц на пластины при Н = 10 м, h = 1 см, σ = 10–10 кл/м2. Для справки: 1 кл = 3 10+9 CGSE, e = 4.8 10–10 CGSE, m = 9 10–28 г. 3. Пространство
заряженного сферического конденсатора с радиусами внутренней и внешней обкладок а и b заполнено диэлектриком с переменной проницаемостью ε(r)= ε0(r/a)2. Найти объемный поляризованный заряд Q (заряд конденсатора q). 4. Электрическая цепь представляет собой кольцо радиуса а и диаметральную перемычку. В перемычку включена батарея с ЭДС 2Е и внутренним сопротивлением 2r, а в полуокружности – батареи с ЭДС Е и сопротивлением r, причем батареи подключены одинаковыми полюсами к точкам контакта окружности и перемычки. Кольцо помещено в переменное магнитное поле B=B0 cosωt, перпендикулярное плоскости кольца. Определить разность потенциалов на концах перемычки.
www.phys.nsu.ru 5. Кольцо массы m радиуса а с зарядом Q расположено так, что
перпендикулярное его плоскости магнитное поле занимает центральную часть кольца с радиусом l
Решение контрольной работы 2000 г. 1. А) Заряд исходной системы равен заряду электрона. Закон
сохранения
заряда
требует 34
дополнительно
к
электрон-
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru позитронной паре с суммарным нулевым зарядом рождения еще одного электрона, т. е. в результате столкновения должно родиться три частицы. В Ц-системе центра масс пороговой энергии отвечает ситуация, когда образовавшиеся электрон-позитронная пара и электрон будут неподвижны. Законы сохранения энергии и импульса для Ц-системы выглядят следующим образом:
hν / + E / = 3m0 c 2 hν / / c − p e/ = 0 , и импульс фотона (равный импульсу электрона в Ц-системе) может быть выражен через энергию электрона с помощью инварианта энергии-импульса hν / / c = ( E /2 / c 2 − m20 c 2 )1/ 2 . Возводим в квадрат оба выражения для hν′, приравниваем их, и получаем уравнение для определения энергии электрона Е′: E / = 5 / 3 ⋅ m0 c 2 , затем определяем энергию и импульс фотона hν / = 4 / 3 ⋅ m0c 2 ,
www.phys.nsu.ru p / = 4 / 3 ⋅ m0 c .
Используя формулу преобразования для х-компоненты импульса
p x = ( p x/ + V / c ⋅ E / / c) / (1 − V 2 / c 2 )1/ 2 и условие, что в неподвижной К-системе электрон покоится (px=0), определяем скорость Ц-системы: V = 4 / 5⋅ c . Затем с помощью формулы преобразования E/c (как компоненты 4-вектора энергии-импульса)
E / c = ( E / / c + V / c ⋅ p x/ ) / (1 − V 2 / c 2 ) 1/ 2 определяем энергию фотона
hν = 4m0c 2 . Данная величина и представляет пороговую энергию фотона для рождения электрон-позитронной пары при столкновении фотона с неподвижным электроном. 35
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru Б) В неподвижной К-системе три образовавшиеся частицы движутся как единое целое, тогда законы сохранения энергии и импульса записываются в виде hν + m0 c 2 = 3E ,
hν / c = 3p = 3( E 2 / c 2 − m20 c 2 )1/ 2 . Возводим в квадрат второе уравнения и заменяем Е с помощью первого, таким образом получая уравнение относительно hν. Его решение hν = 4m0c 2 . 2. Используя принцип суперпозиции, определяем поля между
пластинами, создаваемые зарядами на пластинах (поле от отдельной пластины E=2πσ): Е12=4πσ и Е23=8πσ, вне пластин Е=0, причем поля направлены к пластине 3 с отрицательным зарядом. Позитрон в поле Е23 будет притягиваться к пластине 3, электрон в поле Е12 – к пластине 1 (против поля). Оценим взаимодействие позитрона с ближайшим зарядом-изображением (относительно пластины 3): F1=e2/4h2, взаимодействие же с зарядами на пластинах дает F2=e 8πσ; тогда F2/F1=6 106>>1. Сила взаимодействия с зарядом-изображением станет сравнимой с силой воздействия основного поля начиная с х*: e2/x2=8πσe, откуда х*=(e/8πσ)0.5≈0.8 10–5 м, т. е. х*<
www.phys.nsu.ru
теорему Гаусса Dr4πr2=4πq электрического поля в диэлектрике:
3. Используем
36
для
определения
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru r r r E( r ) = D r / ε ( r ) = qa 2 / ( ε 0 r 4 ) ⋅ r / r . Из D=εE=E + 4πΡ выражаем вектор поляризации Ρ = E(ε–1)/4π.
Используем взаимосвязь плотности поляризованного заряда и вектора поляризации: ρ/ = –divP = – ∇ {[ε(r) – 1]E(r)/4π}. Для сферически симметричного случая ∇ f = 1/r2·d(r2fr)/dr. Для f≡P после дифференцирования и преобразований получаем формулу ρ/ = –qa2/(2πε0r5). Объемный заряд диэлектрика определяется интегрированием: b
Q = ∫ q / ⋅ 4πr 2 ⋅ dr = − q / ε 0 ⋅ ( b 2 − a 2 ) / b 2 . /
a
Дополнение. Кроме объемного заряда в диэлектрике на внутренней и внешней его границах будут находиться поверхностные заряды, плотность которых σ/=Pn1–Pn2. Используя вышеприведен-ное выражение Р(r) на внутренней границе (r=a) находим σ/(a) = –q(ε0 – 1)/(4πε0a2) и полный поверхностный заряд Q/(a) = σ/(a) 4πa2 = –q(ε0 – 1)/ε0. На внешней границе (r=b) соответственно σ/(b) = q(ε0b2 – a2)/(4πε0b4) и полный поверхностный заряд Q/(b) = σ/(b) 4πb2 = –q(ε0b2 – a2)/(ε0b2). Полный поляризованный заряд равен сумме объемного и поверхностных зарядов: Qab/=Q/+Q/(a)+Q/(b)=0, как и следовало ожидать из условия электронейтральности диэлектрика.
www.phys.nsu.ru
4. Пусть кольцо лежит в плоскости листа, а магнитное поле направ-
лено за лист. Перемычку направим вдоль оси листа, точки пересечения перемычки с кольцом обозначим А (верхняя) и В (нижняя). Пусть к точке А присоединены положительные полюса всех ЭДС. Примем следующие направления токов: в левом полукольце ток I1 по часовой стрелке; в правом полукольце ток I3 по часовой стрелке; в перемычке ток I2 от В к А. Выберем полукольца с перемычкой в качестве контуров с обходом их по 37
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru часовой стрелке. Тогда в соответствии с принятыми обозначениями законы Кирхгофа запишутся в следующем виде: I 1 + I2 = I3 I22r + I3r = 2E – E + πa2ωB0/2c sinωt I1r – I22r = E – 2E + πa2ωB0/2c sinωt Из двух последних уравнений выражаем I1 и I3: I1 = 2I2 – E/r + M/r I3 = –2I2 + E/r + M/r (M – последнее слагаемое в уравнениях) и подставляем в первое. При данном выборе контуров электромагнитная ЭДС исчезает, и в результате I2=0.4E/r. Считая, что магнитная ЭДС распределена по контуру равномерно, определяем разность потенциалов на перемычке: UAB=2E – I22r + M2a/(2a+πa)=1.2E + πa2ωB0/[c(π+2)] sinωt.
5. Используем закон индукции и представление ЭДС индукции как
разности потенциалов электрического поля вдоль контура и запишем E 2πa = πl2/c dB/dt, откуда напряженность электрического поля вдоль кольца ⏐E⏐=l2/2аc dB/dt. Вращение кольца описывается уравнением движения J dω/dt = QEa, где момент инерции кольца J=ma2. После подстановок – ma2 dω/dt=Ql2/2c dB/dt. Интегрируя на промежутке времени изменения магнитного поля, получим окончательно ω=QB0l2/(2ma2c).
www.phys.nsu.ru
38
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru Оглавление
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Программа по физике. Часть 1 Литература Основные задачи Дополнительные задачи к семинарам Контрольные задания Контрольная работа 1999 и 2000 г. Решения задач контрольной работы-2000
3 4 5 16 33 34 36
www.phys.nsu.ru
Составители Бордзиловский Сергей Александрович Васильев Анатолий Александрович Ерофеев Василий Иванович Пинаев Александр Владимирович Рычков Владимир Николаевич 39
www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru ЗАДАЧИ ПО ФИЗИКЕ Часть 1 Для студентов 4-го курса механико-математического факультета НГУ Отделения «Механика», «Прикладная математика»
© Интернет версия подготовлена для cервера Физического факультета НГУ http://www.phys.nsu.ru
www.phys.nsu.ru
40
www.phys.nsu.ru
