О решетках типов интерпретируемости многообразий

Алгебра и логика, 44, № 2 (2005), 198—210

УДК 512.572

О РЕШЁТКАХ ТИПОВ ИНТЕРПРЕТИРУЕМОСТИ МНОГООБРАЗИЙ

Д. М. СМИРНОВ Введение

Решётка Lint всех типов интерпретируемости многообразий алгебр оказалась очень сложной. Например, до сих пор нет ответа на вопрос Р. Маккензи [1], существует ли в решётке Lint интервал длины 3. Не менее сложной оказалась её счётная подрешётка Lint f типов интерпретируемости конечно определённых многообразий. Пример дистрибутивной решётки типов интерпретируемости многообразий Кантора, рассмотренный в [2], показывает, что представляют интерес и другие бесконечные дистрибутивные решётки типов интерпретируемости, которые могут и не быть подрешётками решётки Lint . Пусть Π — множество всех простых чисел, A — поле всех алгебраических чисел, Z — множество натуральных чисел, свободных от квадратов, т. е. не делящихся ни на один квадрат простого числа. Рассматриваются частично упорядоченные множества типов интерпретируемости LΠ = ({[ADΓ ] | Γ ⊆ Π}, ≤), LA = ({[MK ] | K ⊆ A}, ≤), LZ = ({[Gn ] | n ∈ Z}, ≤), где ADΓ — многообразие Γ-полных абелевых групп с однозначным извлечением p-го корня ξp (x) для каждого p ∈ Γ, MK — многообразие K-

модулей над нормальным полем K, содержащимся в A, Gn — многообразие

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

О решётках типов интерпретируемости многообразий

199

n-группоидов (A, f ), определимое тождеством f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x2 , . . . , xn , x1 ) (n ∈ Z). Доказывается, что LΠ и LA — дистрибутивные решётки мощности континуума, изоморфные решётке Sub Π всех подмножеств множества Π. Типы интерпретируемости [Gn ] (n ∈ Z) составляют счётную дистри-

бутивную решётку LZ , изоморфную решётке (Z, ≤) свободных от квадратов натуральных чисел с отношением делимости x ≤ y ⇔ x/y (x делит y). Решётка LZ изоморфна также решётке Subf Π конечных подмножеств множества Π. Решётки LΠ , LA и LZ состоят из ∧-примарных элементов ре-

шётки Lint , но не являются ее подрешётками.

Доказывается также, что группа Λ, порождённая одной циклической подстановкой λ степени n > 1, определяет в LZ конечную подрешётку LΛ = ({[n Gλk ] | λk ∈ Λ}, ≤), изоморфную решётке свободных от квадратов положительных делителей числа n и имеющую поэтому порядок, равный степени числа 2. Если n > 1, то LΛ изоморфна также решётке подмножеств Sub Π(n) множества Π(n) простых делителей числа n. Подстановки, составляющие симметрическую группу Sn , определяют частично упорядоченное множество Tn = ({[n Gπ ] | π ∈ Sn }, ≤), которое при n = 2, 3, 4 является двухэлементной решёткой, но при n = 5 перестаёт быть решёткой.

§ 1. Решётки LΠ и LA Пусть Γ — произвольное подмножество множества Π всех простых чисел. Известно [3, 4], что класс Γ-полных абелевых групп с однозначным

200

Д. М. Смирнов

извлечением p-го корня ξp (x) для каждого p ∈ Γ в сигнатуре {+, −, {ξp (x) | p ∈ Γ}} является многообразием, определимым тождествами x + (y + z) = (x + y) + z, x + y = y + x, (x + y) + (−y) = x, pξp (x) = x, ξp (px) = x (p ∈ Γ). Обозначим это многообразие через ADΓ , а его тип интерпретируемости (определение см. в [5]) — через [ADΓ ]. При этом AD∅ является типом интерпретируемости многообразия Ab всех абелевых групп. Если pi , p2 , . . . , pk ∈ Γ, m = pli1 pl22 . . . plkk (li > 0) и ξm (x) = ξpl11 ξpl22 . . . ξplkk (x), то в ADΓ истинны тождества mξm (x) = x, ξm (mx) = x, ξm (x + y) = ξm (x) + ξm (y), ξp1 (ξp2 (x)) = ξp2 (ξp1 (x)). В [6, предлож. 8] установлено, что многообразие ADΓ интерпретируется в ADΓ′ тогда и только тогда, когда Γ ⊆ Γ′ . Таким образом, имеем [ADΓ ] ≤ [ADΓ′ ] ⇔ Γ ⊆ Γ′ .

(1)

Отсюда следует ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Частично упорядоченное множество типов интерпретируемости LΠ = ({[ADΓ ] | Γ ⊆ Π}, ≤) является дистри-

бутивной решёткой, изоморфной решётке Sub Π всех подмножеств мно-

жества Π. СЛЕДСТВИЕ. Решётка LΠ имеет мощность континуума. Далее будет показано, что LΠ не является подрешёткой решётки Lint . Напомним, что элемент a решётки (A, ∨, ∧) называется примарным по пересечению (кратко ∧-примарным), если для всех x, y ∈ A выполняется условие x ∧ y ≤ a ⇒ x ≤ a или y ≤ a. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для любого подмножества Γ ⊆ Π многооб-

разие ADΓ определяет ∧-примарный элемент [ADΓ ] решётки Lint .

О решётках типов интерпретируемости многообразий

201

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся следующим достаточным условием ∧-примарности для элементов решётки Lint . Напомним сначала, что терм d(x, y) многообразия V называют термом разложимости, если в V истинны тождества d(x, x) = x, d(d(x, y), d(u, v)) = d(x, v). Терм разложимости d(x, y) в V называется тривиальным, если в V истинно одно из тождеств d(x, y) = x или d(x, y) = y. В [7, лемма 5] доказано: если многообразие V не имеет нетривиальных термов разложимости, то его тип интерпретируемости [V ] будет ∧-примарным в решётке Lint . Для многообразия [ADΓ ] терм разложимости можно записать в виде l (x) + sξnt (y), d(x, y) = kξm

где k, s, l, t — целые числа, причём (l, m) = 1, (t, n) = 1. Поскольку d(d(0, z), d(z, 0)) = d(0, 0) = 0, то l+t l (z) = 0, d(sξnt (z), kξm (z)) = 2ksξm+n

откуда ks = 0.

(2)

С другой стороны, в ADΓ истинно тождество d(x, x) = x, откуда l (kξm + sξnt )(x) = x.

(3)

Поле рациональных чисел принадлежит многообразию ADΓ , и полагая x = 1, получаем k + s = 1.

(4)

Из (2) и (4) следует k = 0, s = 1 или s = 0, k = 1. В первом случае из (3) получаем тождество ξnt (x) = x, откуда d(x, y) = y. Второй случай рассматривается аналогично. Таким образом, многообразие ADΓ не имеет нетривиальных термов разложимости, поэтому [ADΓ ] является ∧-

примарным элементом решётки Lint .

202

Д. М. Смирнов Элемент a решётки (A, ∨, ∧) называется ∧-неприводимым, если для

всех x, y ∈ A верна импликация x ∧ y = a ⇒ x = a или y = a. Известно, что всякий ∧-примарный элемент решётки является ∧-неприводимым. СЛЕДСТВИЕ. Для любого Γ ⊆ Π элемент [ADΓ ] решётки Lint является ∧-неприводимым.

Отсюда получаем, что LΠ = ({[ADΓ ] | Γ ⊆ Π}, ∨, ∧) не является

подрешёткой решётки Lint . Так, в решётке LΠ справедливо равенство [AD{2,3} ] ∧ [AD{2,5} ] = [AD{2} ]. Однако, в решётке Lint выполняется строгое неравенство [AD{2,3} ] ∧ [AD{2,5} ] > [AD{2} ].

Аналогичная ситуация имеет место для типов интерпретируемости многообразий модулей над нормальными полями алгебраических чисел. Напомним, что алгебраическими числами называются корни многочленов над полем Q рациональных чисел. Пусть A — поле всех алгебраических чисел, K — некоторое его подполе. K называется нормальным в A (обозначим: K ⊳ A), если K вместе с каждым принадлежащим ему числом α содержит все корни неприводимого над Q многочлена, имеющего α своим корнем. В [8, следствие 30] доказано: если K ⊳ A и K′ ⊳ A, то для типов интерпретируемости многообразий K-модуля MK и K′ -модуля MK′ имеет место эквивалентность [MK ] ≤ [MK′ ] ⇔ K ⊆ K′ .

(5)

Отсюда в силу теорем о нормальных расширениях [9, § 41] получаем ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Частично упорядоченное множество типов интерпретируемости LA = ({[MK ] | K ⊳ A}, ≤) является дистрибутивной решёткой, изоморфной решётке нормальных подполей поля A

всех алгебраических чисел.

О решётках типов интерпретируемости многообразий

203

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого неприводимого над Q многочлена p(x) из кольца Q[x] зафиксируем некоторый корень α. Множество всех фиксированных корней α, принадлежащих данному нормальному подполю K поля A, обозначим через Γ(K); при этом Γ(Q) = Q. Справедливо отношение эквивалентности K ⊆ K′ ⇔ Γ(K) ⊆ Γ(K′ ).

(6)

Решётка L = ({Γ(K) | K ⊳ A}, ⊆) дистрибутивна, т. к. для любых её

элементов Γ, Γ′ , Γ′′ верно включение Γ ∩ (Γ′ ∪ Γ′′ ) ⊆ (Γ ∩ Γ′ ) ∪ (Γ′ ∩ Γ′′ ). Из

эквивалентностей (5) и (6) вытекает изоморфизм решёток L и LA . 2 СЛЕДСТВИЕ. Решётки LΠ и LA изоморфны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу (6) выполняется K ⊆ K′ ⇔ (Γ(K) \ Q) ⊆ (Γ(K′ ) \ Q).

Следовательно, решётка LA изоморфна решётке всех подмножеств бесконечного счётного множества Γ(A) \ Q. По предложению 1, LA изоморф-

на LΠ .

Справедливо аналогичное предложению 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Всякое многообразие MK модулей над ассоциативным кольцом K с единицей 1 определяет ∧-примарный элемент

[MK ] решётки Lint .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольный терм разложимости многообразия MK : d(x, y) = αx + βy (α, β ∈ K). Тождество d(d(0, z), d(z, 0)) = 0 влечёт αβ = 0. В силу того, что d(x, x) = = x, имеем также α + β = 1. Следовательно, либо α = 0 и β = 1, либо α = 1 и β = 0. Значит, многообразие MK имеет только тривиальные термы разложимости, откуда [MK ] — ∧-примарный элемент в Lint .

Предложение 4 позволяет установить, что решётка LA типов интер-

претируемости многообразий модулей над нормальными полями алгебраических чисел не является подрешёткой решётки Lint .

204

Д. М. Смирнов √ Например, квадратичные расширения Q(i) и Q( 3) поля рациональ-

ных чисел Q являются нормальными подполями поля алгебраических чи√ сел. Поскольку Q(i) ∩ Q( 3) = Q и по предложению 4, точные нижние

грани элементов [MQ(i) ] и [MQ(√3) ] в решётках LA и Lint различны. Так, в LA справедливо [MQ(i) ] ∧ [MQ(√3) ] = [MQ ], а в Lint имеет место строгое неравенство [MQ ] < [MQ(i) ] ∧ [MQ(√3) ].

Будут ли LΠ и LA верхними подполурешётками решётки Lint , неиз-

вестно. § 2. Решётка LZ Напомним, что циклическим [10] называется многообразие n Gλ nгруппоидов (A, f ), удовлетворяющих тождеству f (x1 , . . . , xn ) = f (xλ(1) , . . . , xλ(n) ), где λ = (i1 i2 . . . in ) — произвольный цикл степени n > 2 (кратко — n-цикл), принадлежащий симметрической группе Sn над множеством {1, 2, . . . , n}. Многообразие обычных группоидов (A, ·), определяемое циклом λ = (1) степени n = 1, также будем считать циклическим. Циклическое многообразие, определимое циклом λ = (12 . . . n) степени n > 1, обозначим через Gn . В [10, теор. 2] доказано, что для любого n-цикла λ = (i1 i2 . . . in ) верно равенство [n Gλ ] = [Gn ]. Если n имеет каноническое разложение n = pk11 . . . pkr r , где p1 , . . . , pr — разные простые числа, то согласно [11, теор. 2, следствие 2], верно равенство [Gn ] = [Gp1 ...pr ]. Так как m = p1 . . . pr — натуральное число, свободное от квадратов, то {[Gm ] | m ∈ Z} — множество всех типов интерпретируемости циклических многообразий. В [11, § 5, следствие 4] установлено, что для любых m, n из множества Z выполняется эквивалентность [Gm ] ≤ [Gn ] ⇔ m делит n. Таким образом, справедливо

О решётках типов интерпретируемости многообразий

205

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Типы интерпретируемости циклических многообразий составляют счётную дистрибутивную решётку LZ = ({[Gn ] | n ∈ Z}, ∨, ∧) с операциями [Gm ] ∨ [Gn ] = [G[mn] ], [Gm ] ∧ [Gn ] = [G(mn) ], изоморфную решётке Z = (Z, ≤) свободных от квадратов натуральных

чисел с отношением делимости и, как следствие, — решётке Subf Π конечных подмножеств множества Π. Согласно [11, теор. 2], ({[Gn ] | n ∈ Z}, ∨) является верхней под-

полурешёткой решётки Lint . По [12, теор. 4] все элементы полурешётки

({[Gn ] | n ∈ Z}, ∨) будут ∧-примарны в Lint . В силу [12, теор. 5], LZ не

является подрешёткой решётки Lint .

Заметим также, что типы интерпретируемости циклических многообразий, определимых неединичными циклами λ 6= (1), не образуют решётки. Так, в силу [12, теор. 4] при n > 1 элемент [Gn ] является ∧примарным в Lint и поэтому всегда отличен от элемента [G2 ] ∧ [G3 ] =

= [G1 ] = 0 в LZ . Таким образом, присоединение к циклическим многообра-

зиям G1 обычных группоидов даёт возможность рассмотреть решётку LZ .

§ 3. Решётка LΛ Пусть λ = (1i2 . . . in ) — произвольный цикл степени n > 1 из Sn , n Gλk

— многообразие n-группоидов (A, f ), удовлетворяющих тождеству f (x1 , . . . , xn ) = f (xλk (1) , . . . , xλk (n) ).

(7)

Если в n-группоиде A = (A, f ) выполняется тождество (7) при k = 1, то A |= f (xλ(1) , . . . , xλ(n) ) = f (xλ2 (1) , . . . , xλ2 (n) ), A |= f (xλ2 (1) , . . . , xλ2 (n) ) = f (xλ3 (1) , . . . , xλ3 (n) ),

206

Д. М. Смирнов

и т. д. Таким образом, тождество (7) истинно в A также при k = 2, 3, . . . , n. Следовательно, n Gλ является подмногообразием в n Gλk при любом k = = 2, 3, . . . , n. Получаем [n Gλk ] ≤ [n Gλ ] = [Gn ] (k = 1, 2, . . . , n). Очевидно, что любая степень λk цикла λ является однородной подстановкой, т. е. λk разлагается в произведение независимых циклов одной и той же длины l, причём l делит n. Пусть Λ — циклическая группа подстановок, порождённая циклом λ = (1i2 . . . in ) степени n > 1. Она имеет конечный порядок n и состоит из степеней λ, λ2 , . . . , λn = ε. Следовательно, Λ определяет типы интерпретируемости [n Gλ ], [n Gλ2 ], [n Gλ3 ], . . . . В силу [n Gλk ] = [Gl ]

(8)

(см. [10, теор. 3]) число различных из них равно числу положительных делителей числа n, свободных от квадратов. Действительно, если делитель d числа n имеет каноническое разложение d = pk11 . . . pkr r , то согласно [11, теор. 2, следствие 2] справедливо [Gd ] = [Gp1 ...pr ]. Как уже отмечалось, верна эквивалентность [Gl ] ≤ [Gm ] ⇔ l делит m (l, m ∈ Z). Поэтому типы интерпретируемости [n Gλ ], [n Gλ2 ], . . . , определимые элементами циклической группы Λ, составляют в LZ подрешётку LΛ , изоморфную решётке положительных делителей числа n, свободных от квадратов. Пусть Zn = {d ∈ Z | d делит n}. Нами доказано ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Циклическая группа Λ, порождённая циклом λ = (1i2 . . . in ) степени n > 1 из Sn , определяет в LZ подрешётку LΛ = ({[Gd ] | d ∈ Zn }, ∨, ∧) порядка τ (n) = |Zn |, изоморфную решётке положительных делителей числа n, свободных от квадратов.

О решётках типов интерпретируемости многообразий

207

[G6 ] s @

[G3 ] s @ @

@

@

@

@

@ @s [G2 ]

@s

0 Рис. 1 s [G30 ] @ @ @ s s @s [G15 ] [G10 ]@ [G6 ] @ @ @ @ @ @ @ @s [G3 ] @ @s [G5 ] [G2 ] s @ @ @ @ @s 0

Рис. 2 СЛЕДСТВИЕ. Циклическая группа Λ, порождённая циклом степени n > 2, определяет в LZ подрешётку LΛ , изоморфную решётке подмножеств Sub Π(n) множества Π(n) простых делителей числа n. ПРИМЕР 1. Группа Λ, порождённая циклом λ = (1234) степени 4, определяет в LZ подрешётку LΛ , состоящую из двух элементов 0 и [G2 ], т. к. |Z4 | = 2.

ПРИМЕР 2. Группа Λ, порождённая циклом λ = (123456) ∈ S6 , опре-

деляет в LZ подрешётку из четырёх элементов, изображённую на рис. 1.

ПРИМЕР 3. Группа Λ, порождённая циклом λ = (12 . . . (30)) степени 30, определяет в LZ подрешётку, изображённую на рис. 2. Действительно, делителями числа 30, свободными от квадратов, являются числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 и τ (30) = 8. В общем случае, если n имеет каноническое разложение n = pk11 pk22 . . . . . . pkr r , то группа Λ, порождённая циклом λ = (i1 i2 . . . in ) степени n, опреде-

208

Д. М. Смирнов

ляет в LZ подрешётку LΛ порядка 2r , т. к. τ (n) = Cr0 +Cr1 +Cr2 +. . .+Crr = 2r . Для неоднородных подстановок предложение 6 может не выполняться. Например, подстановка σ = (12)(3) степени 3 имеет неподвижное число 3. Согласно [10, следствие 1.1] циклическая группа gp(σ) определяет единственный тип интерпретируемости [3 Gσ ] = 0, тогда как τ (3) = 2. По доказанному в § 4 неоднородная подстановка λ ∈ Sn без неподвижных чисел вообще не является степенью никакого цикла, а соответствующий ей тип интерпретируемости [n Gλ ] может даже не быть элементом решётки LZ . Так, пусть λ = (123)(45). Предположим, что [5 Gλ ] = [Gn ] и n ∈ Z. В силу [12, § 3, следствие 1] имеем [Gn ] < [G2 ], [Gn ] < [G3 ]. Согласно [11, § 5, следствие 4] все простые делители числа n должны быть делителями чисел 2 и 3, что невозможно. Для группы, порождённой однородной подстановкой, не являющейся циклом, предложение 6 тоже может оказаться неверным. Например, однородная подстановка λ = (12)(34)(56) степени 6 порождает группу, состоящую из элементов λ и λ2 = ε. Эта группа определяет в LZ подрешётку, состоящую из двух элементов 0 и [G2 ]. Однако τ (6) = 4. § 4. О множестве ({[n Gπ ] | π ∈ Sn }, ≤) Выясним, будет ли решёткой частично упорядоченное множество Tn = ({[n Gπ ] | π ∈ Sn }, ≤), состоящее из типов интерпретируемости, опре-

делимых элементами симметрической группы Sn при произвольном нату-

ральном n > 2. Выписывая все подстановки групп S2 , S3 , S4 , можно убедиться, что при n = 2, 3, 4 множество Tn состоит из двух элементов: 0, [G2 ] при n = 2, 4 и 0, [G3 ] при n = 3, и действительно является решёткой. При n = 5 группа S5 содержит 76 подстановок, имеющих по крайней мере одно неподвижное число, 24 подстановки с одним независимым циклом длины 5 и 20 подстановок πi с двумя независимыми циклами длины 2

О решётках типов интерпретируемости многообразий

[G5 ] s

@ @

209

s [5 G π ] @

@

@s

0 Рис. 3 и 3. Поэтому подстановки из группы S5 определяют типы интерпретируемости 0, [G5 ] и [5 Gπi ]. Не выясняя числа различных типов [5 Gπi ], замечаем, что [G5 ] и [5 Gπi ] при любом i не имеют верхней грани в T5 , т. к. в силу [12, теор. 3, следствие 1] выполняется [5 Gπi ]  [G5 ], а в силу [11, § 5, следствие 4] справедливо [G5 ]  [5 Gπi ] < [G2 ] ∨ [G3 ]. Поэтому частично упорядоченное

множество T5 не является решёткой.

В действительности T5 состоит из трёх элементов 0, [G5 ] и [5 Gπ ] и изображается на рис. 3, где π = (123)(45).

ЛИТЕРАТУРА 1. R. McKenzie, On the covering relation in the interpretability lattice of equational theories, Algebra Univers., 30, N 3 (1993), 399—421. 2. Д. М. Смирнов, Решётка типов интерпретируемости многообразий Кантора, Алгебра и логика, 43, № 4 (2004), 445—458. 3. G. Baumslag, Some aspects of groups with unique roots, Acta Math., 104 (1960), 217—303. 4. P. J. Hilton, S. M. Yahya, Unique divisibility in abelian groups, Acta Math. Acad. Sci. Hung., 14 (1963), 229—239. 5. O. C. Garcia, W. Taylor, The lattice of interpretability types of varieties (Mem. Am. Math. Soc., 50 (305)), Providence, RI, Am. Math. Soc., 1984. 6. Д. М. Смирнов, Типы интерпретируемости многообразий и строгие условия Мальцева, Сиб. матем. ж., 35, № 3 (1994), 683—695. 7. R. McKenzie, S. Swierczkowski, Non-covering in the interpretability lattice of equational theories, Algebra Univers., 30, N 2 (1993), 157—170. 8. R. McKenzie, W. Taylor, Interpretations of module varieties, J. Algebra, 135, N 2 (1990), 456—493.

210

Д. М. Смирнов 9. Б. Л. ван дер Варден, Алгебра, М., Наука, 1976, 151—153.

10. Д. М. Смирнов, Многообразия, определимые подстановками, Алгебра и логика, 39, № 1 (2000), 104—118. 11. Д. М. Смирнов, Алгоритм построения многообразия произвольно заданной конечной размерности, Алгебра и логика, 37, № 2 (1998), 167—180. 12. Д. М. Смирнов, О многообразиях, определимых подстановками, Алгебра и логика, 42, № 2 (2003), 237—354.

Поступило 14 апреля 2004 г.