Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания, расчетно-графические работы для студентов экономических специальностей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФИЛИАЛ ГУ КузГТУ В Г. ПРОКОПЬЕВСКЕ КАФЕДРА ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания, расчетно-графические работы для студентов экономических специальностей очной формы обучения

Составители: И. Н. Чайковская Л. И. Мамонова С. В. Микова Утверждены на заседании кафедры Протокол № 9 от 20.06.08 г. Электронная копия находится в библиотеке филиала ГУ КузГТУ в г. Прокопьевске

Прокопьевск 2008

Рецензент: д.т.н., профессор, заведующий кафедрой математики и математического моделирования Новокузнецкого филиала-института ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет» Сергей Павлович Казаков

2

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ...................................................................................................... 4 Варианты расчетно-графических работ ................................................. 26 Список рекомендуемой литературы ....................................................... 55 Приложения .............................................................................................. 56

3

ВВЕДЕНИЕ В данной работе предлагаются методические указания к расчетно-графическим работам для студентов дневного отделения по темам: «Теория вероятностей», «Математическая статистика». Приведены примеры решения типичных задач. Методические указания к расчетно-графическим работам. Для выполнения заданий 1-4 необходимо использовать знания по теории вероятностей. При определении вероятности события по классической формуm ле Р ( А) = ([1] гл. 1; [2] гл. 1) расчет числа исходов испытания (m и n n) часто осуществляется с помощью элементов комбинаторики: перестановок, размещений и сочетаний. Выбор вида соединения удобно проводить по блок-схеме:

Пример 1. Имеется пятитомное собрание сочинений. Сколькими способами можно: 1) расставить книги на полке; 2) выбрать из них любые три тома; 3) выбрать и расставить на полке три тома?

4

Решение. В первом случае имеем дело с упорядоченным множеством из 5 элементов, т.е. в соединение входят все элементы. При этом на первое место можно поставить любой из пяти элементов (книг), на второе – любой из оставшихся четырех элементов, на третье – из трех, на четвертое – из двух, на пятое остается один элемент. Таким образом, число способов расстановки книг на полке равно 5·4·3·2·1=5!=120 – числу перестановок из всех пяти имеющихся элементов (P2=5!). Во втором случае, выбирая три книги из пяти, мы имеем дело с соединениями, отличающимися друг от друга хотя бы одним элементом (порядок не важен) – это сочетания из пяти элементов по три. Их число равно 5! 5 ⋅ 4 ⋅ 3! С53 = = = 10 . 3!⋅2! 3!⋅2!

А в последнем случае при расстановке трех книг на полке внутри каждой тройки книг учитываем все возможные перестановки из трех элементов (P3) и общее число соединений, отличающихся либо элементом, либо их порядком, – то есть размещение из пяти элементов по три, т. е. 5! А53 = = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 . (5 − 3)! Пример 2. Найти вероятности того, что номера трех томов, выбранных поочередно из данных пяти, будут идти в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим через А интересующее нас событие. Число (n) всех возможных нумерации трех книг из пяти определяется по формуле для числа размещений: n = А53 = 60 . Число же тех нумераций, которые дают только возрастание томов без учета перестановок внутри каждой тройки, определяется по формуле для числа сочетаний m = С53 = 10 . Отсюда Р( А) =

m 10 1 = = . n 60 6

5

При нахождении вероятностей сложных событий следует пользоваться теоремами сложения, умножения и следствиями из них ([1] гл. 2-4; [2] гл. 2). Пример 3. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти вероятности попадания в мишень обоими стрелками и поражения мишени хотя бы одним стрелком.

Решение. Пусть событие А – попадание в мишень первым стрелком, В – вторым. Тогда событие С, заключающееся в одновременном поражении мишени обоими стрелками, является произведением событий А и В (C=A·B). Эти события происходят независимо друг от друга. Поэтому вероятность их произведения определяется по формуле P(A·B)=P(A)·P(B) и равна P(C)=P(A·B)=0,7·0,8=0,56. Рассмотрим теперь событие D – поражение цели хотя бы одним стрелком. Оно заключается в поражении мишени либо первым, либо вторым, либо обоими вместе. Это событие является суммой исходных событий, т. е. D=A+B. События А и В являются совместными, т. к. могут происходить в одном и том же испытании. Поэтому следует воспользоваться формулой P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B). Получим P(D)=P(A+B)=0,7+0,8–0,7·0,8=0,94. Пример 4. Пластмассовые заготовки для деталей поступают с пресса №1, выпускающего 50% всей продукции, с пресса №2, выпускающего 30%, и с пресса №3, дающего 20%. При этом доля нестандартной продукции у первого пресса 0,10, у второго – 0,05, а у третьего – 0,02. Наудачу взятая заготовка оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она поступила с первого пресса.

Решение. Событие А – взятая заготовка стандартная. Она могла быть изготовлена прессом №1 (гипотеза H1), прессом №2 (гипотеза H2) или прессом №3 – H1. Вероятности этих гипотез соответственно равны P(H1)=0,5; P(H2)=0,3; P(H3)=0,2. Событие А может произойти с событием H1 с условной вероятностью РН1 ( А) = 1 − 0,1 = 0,9 . Аналогично имеем условные вероятности: РН2 ( А) = 1 − 0,05 = 0,95; 6

РН3 ( А) = 1 − 0,02 = 0,98. Тогда полная вероятность события А, определяемая по формуле 3

Р( А) = ∑Р(Н j ) ⋅ РH j ( А) , j =1

равна P(A)=0,5·0,9+0,3 0,95+0,2·0,98=0,931. Для нахождения вероятности PA(H2) – того, что заготовка изготовлена первым прессом, при условии, что она стандартная, применим формулу Байеса: РА (Н j ) =

P(H j ) ⋅ PH j ( A) P( A)

,

0,5 ⋅ 0,9 ≈ 0,483. 0,931 Аналогично можно найти условные вероятности гипотез H1 и H3. При этом должно выполняться условие РА(Н1) + РА(Н2 ) + РА(Н3) =1. Для решения задач на повторные испытания следует знать условия, к которым применимы формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа ([1], гл. 5, 6 §5; [2], гл. 3, 4 §1).

Получаем РА (Н1) =

Пример 5. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза. Решение. Число повторных независимых испытаний – подбрасываний монеты n=5 – малó. Вероятность выпадения герба в одном 1 испытании р = , вероятность противоположного события – выпаде2 1 ния цифры: q =1− p = . Тогда вероятность выпадения двух гербов 2 (k=2) следует определять по формуле Бернулли Рn (k ) = Cnk p k q n−k : 2

3

5! 1 4⋅5 5 ⎛1⎞ ⎛1⎞ Р5 (2) = C ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ = = . ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3!⋅2! 32 2 ⋅ 32 16 2 5

Пример 6. В городе каждая десятая машина – иномарка. За час по центральной улице проезжает 900 машин. Какова вероятность того, что иномарки составляют среди них не более 90 машин. 7

Решение. Число независимых испытаний n=900 – велико, а веро1 ятность появления иномарки р = не близка к нулю. В этих условиях 10 используют приближенные формулы Муавра-Лапласа. Так как нас интересует вероятность появления события не более 90 раз, то применим интегральную формулу Р(k1 , k 2 ) ≈ Ф( х2 ) − Ф( х1 ) , получим P900 (не более 90) = P900 (0,90) = Р900 (0 ≤ k ≤ 90) ≈ Ф ( х2 ) − Ф ( х1 ) , где 1 0 − 900 ⋅ k1 − np 10 = − 90 = −30 , х1 = = 3 npq 1 9 100 ⋅ ⋅ 10 10 k − np = х2 = 2 npq

По

прил.

1

1 10 = 0 = 0 . 1 9 3 100 ⋅ ⋅ 10 10

90 − 900 ⋅

определим

значения

(функция Ф (0) = 0, Ф ( −30) = −Ф (30) = −0,5 Ф(− х) = −Ф( х) и при х > 5 Ф( х) = 0,5 ).

функции Лапласа

Лапласа нечетная

Итак, P900 (не более 90) = 0+0,5=0,5. Пример 7. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность его неправильной брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит две бракованные книги.

Решение. Так как число испытаний n=10 000 – великó, а вероятность р=0,0001 близка к нулю, то используем формулу Пуассона. Для этого определим параметр λ = np =1 и вычислим

λk е −λ

12 е −1 1 = ≈ 0,18 . k! 2! 2е Закон распределения дискретных случайных величин, их числовые характеристики рассмотрены в гл. 6-8 [1], гл. 4 [2], гл. 11 [3]. При составлении закона распределения случайной величины для нахождения вероятностей возможных значений можно использовать основные теоремы и формулы теории вероятностей. Р10000 (2) =

=

8

Пример 8. Рабочий обслуживает 2 станка. В течение первой смены первый станок потребует внимания рабочего с вероятностью 0,2, второй – с вероятностью 0,3. Составить закон распределения числа станков, потребовавших внимания рабочего в течение смены. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Дискретная случайная величина Х – число станков, потребовавших внимания рабочего. Обозначим событие Ai – внимание потребовал i-й станок, тогда, А i – i-й станок не потребовал внимания P(A2)=0,2, рабочего. Итак, P(A1)=0,2, Р( A 1) = 1− Р( А1) = 0,8 , Р ( A 2) = 1 − Р ( A 2) = 0,7 . Определим вероятность того, что случайная величина Х примет возможные значения 0, 1, 2: Р( Х = 0) = Р( А1 ⋅ А 2 ) = Р ( А1 ) ⋅ Р( А2 ) = 0,8 ⋅ 0,7 = 0,56; Р( Х = 1) = Р( А1 ⋅ А2 + А1 ⋅ А2 ) = Р( А1 ⋅ А2 ) + Р( А1 ⋅ А2 ) = = Р( А1 ) Р( А2 ) + Р( А1 ) Р( А2 ) = 0,2 ⋅ 0,7 + 0,8 ⋅ 0,3 = 0,14 + 0,24 = 0,38; Р( Х = 2) = Р( А1 ) ⋅ Р( А2 ) = 0,2 ⋅ 0,3 = 0,06. Составим закон распределения:

0 1 2 Х Р 0,56 0,38 0,06 3

Контроль ∑ рi = 0,56+ 0,38+ 0,06 = 1. i =1

Вычислим основные числовые характеристики: ƒ математическое ожидание М(Х), 3

М ( Х ) = ∑хi рi = 0 ⋅ 0,56 + 1⋅ 0,38 + 2 ⋅ 0,06 = 0,5 , i =1

ƒ дисперсию D( X ) = М ( Х 2 ) − (M ( X ))2 . Для этого составим закон распределения квадрата случайной величины Х: 0 1 4 Х2 Р 0,56 0.38 0,06 М ( Х 2 ) = 0 ⋅ 0,56 + 1⋅ 0,38 + 4 ⋅ 0,06 = 0,62 ,

D( X ) = 0,62 − (0,5) = 0,37 . 2

9

Среднее квадратическое отклонение: σ ( Х ) = D( X ) = 0,37 ≈ 0,61. В ряде задач на повторные независимые испытания вычисление вероятностей возможных значений случайной величины и ее числовых характеристик упрощается. Пример 9. Каждый из трех независимо работающих приборов регистрирует уровень шума, превышающий установленную норму с вероятностью 0,9. Составить закон распределения числа приборов, зарегистрировавших шум, превышающий норму. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Случайная величина Х – число приборов, зарегистрировавших превышение уровня шума, может принимать четыре значения (k=0, 1, 2, 3); соответствующие вероятности найдем по формуле Бернулли при n=3; р=0,9; q=1–р=0,1; k=0, 1, 2, 3. Р( Х = 0) = Р3 (0) = С30 р 0 q 3 = 0,001 ,

Р( Х = 1) = Р3 (1) = С31 р1q 2 = 0,027 , Р( Х = 2) = Р3 (2) = С32 р 2 q1 = 0,243 , Р( Х = 3) = Р3 (3) = С33 р 3 q 0 = 0,729 . Запишем закон распределения случайной величины: 0 1 2 3 0,001 0,027 0,243 0,729 3

Контроль:

∑р i =1

i

= 0,01 + 0,027 + 0,243 + 0,729 = 1 .

Закон распределения составлен правильно. Так как случайная величина имеет биномиальный закон распределения, то математическое ожидание М ( Х ) = n ⋅ p = 3⋅ 0,9 = 2,7 . Дисперсия D( Х ) = npq = 4 ⋅ 0,9 ⋅ 0,1 = 0,36 и среднее квадратическое отклонение σ ( Х ) = D( X ) = 0,6 . Особую трудность у студентов вызывает составление закона распределения. Поясним этот процесс еще на одном примере. Пример 10. На пути движения автомобиля 3 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,6 разрешает автомобилю дальнейшее движе10

ние. Найти закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Решение. Здесь случайной величиной Х является число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Пусть событие А – светофор пройден без остановки, А – противоположное событие (остановка). Вычислим вероятность значений случайной величины: Р( Х = 0) = Р( А) = 1 − Р( А) = 0,4 ,

Р( Х = 1) = Р( А ⋅ А) = 0,6 ⋅ 0,4 = 0,24 , Р( Х = 2) = Р( А ⋅ А ⋅ А) = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = 0,144 , Р( Х = 3) = Р( А ⋅ А ⋅ А) = 0,6 ⋅ 0,6 ⋅ 0,6 = 0,216 . Контроль:

3

∑р i =1

i

= 0,4 + 0,24 + 0,144 + 0,216 = 1.

При исследовании непрерывных случайных величин используются основные законы распределения: нормальный, показательный и равномерный ([1] гл. 10-13, [2] гл. 6, [3]). Пример 11. Изготавливаемые цехом детали по длине распределяются по нормальному закону со средним значением 20 см и дисперсией равной 0,2 см2. Записать плотность распределения случайной величины Х (длина детали). Определить вероятность того, что длина наудачу взятой детали а) будет заключена в пределах от 19,7 см до 20,3 см; б) превысит 20,3 см.

Решение. Так как случайная величина Х – длина детали распределена по нормальному закону, плотность вероятности которого −( x−a)2

1 2 f (x) = e 2σ , а среднее значение длины а=20 и среднее квадратиσ 2π ческое отклонение σ x = D ( X ) = 0,2 ≈ 0,45 , то искомая плотность −( x − 20) 2

1 e 0, 4 . вероятности имеет вид f ( x) = 0,45 2π Вероятность того, что случайная величина примет значение из (19,7; 20,3), определяется через функцию Лапласа. 11

Ф ( x) =

по формуле

1 2π

х

∫е

t2 2

dt

0

⎛β −а⎞ ⎛α − а ⎞ Р(α ≤ Х ≤ β ) = Ф⎜ ⎟ − Ф⎜ ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠

и равна

⎛ 20 ,3 − 20 ⎞ ⎛ 19 ,7 − 20 ⎞ Р (19 ,7 ≤ Х ≤ 20 ,3) = Ф ⎜ ⎟ − Ф⎜ ⎟= ⎝ 0, 45 ⎠ ⎝ 0 , 45 ⎠ = Ф ( 0 ,67 ) − Ф ( − 0 ,67 ) = 2Ф ( 0 ,67 ) = 0 , 4980 . При этом значение функции Лапласа определяются по прил. 1. Аналогично рассматривается вероятность превышения длины 20,3 см. ⎛ ∞ − 20 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ − Ф ⎜ 19 ,7 − 20 ⎟ = Р ( Х > 20 ,3) = Р ( 20 ,3 ≤ Х < ∞ ) = Ф ⎜⎜ ⎟ ⎜ 0, 2 ⎟⎠ ⎝ 0, 2 ⎠ ⎝ = Ф ( ∞ ) − Ф (0,67 ) = 0,5 − 0, 249 = 0,251 .

Пример 12. Продолжительность текущего ремонта автомобилей есть случайная величина Т с функцией распределения F(t) = 1− e0,17⋅t (t ≥ 0). Найти функцию плотности вероятности, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что ремонт автомобиля продлится от 5 до 10 дней.

Решение. Для показательного закона распределения плотность вероятности f (t) = F′(t) = (1− e−λt )′ = λe−λt ; (t ≥ 0). Следовательно, плотность вероятностей случайной величины Т – продолжительности текущего ремонта автомобиля – при заданном параметре λ = 0,17 имеет вид f (t ) = 0,17e−0,17⋅t . Числовые характеристики показательного распределения вычис1 1 1 ляются по формулам М (t ) = , D (t ) = 2 , σ (t ) = . λ λ λ

12

Поэтому математическое ожидание М (t ) =

1 = 5,88 , дисперсия 0,17

1 = 34,6 и σ (t ) = 34,6 = 5,88. 0,172 Найдем вероятность того, что ремонт автомобиля продлится от 5 до 10 дней. Она равна: Р(5 ≤ Т ≤ 10) = F (10) − F (5) = (1 − e−0,17⋅10 ) − (1 − е−0,17⋅5 ) D(t ) =

= е−0,85 − е−1,7 = 0,4274− 0,1827 ≈ 0,24. Пример 13. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 1. Показания округляются до ближайшего деления шкалы. Найти функцию плотности вероятностей ошибки округления, ее математическое ожидание и дисперсию.

Решение. Ошибка округления принимает значения из интервала [0; 0,5] и является случайной величиной, распределенной равномерно, т. к. все возможные значения внутри промежутка имеют равную вероятность. Функция плотности равномерного закона имеет вид ⎧ 1 = 2,0 ≤ х ≤ 0,5; ⎪ f ( x) = ⎨ 0,5 − 0 ⎪0, х < 0; х > 0,5. ⎩ Найдем числовые характеристики: ƒ математическое ожидание ∞

0

0, 5

∞

0, 5

−∞

−∞

0

0, 5

0

М ( х) = ∫ хf ( x)dx = ∫ 0xdx + ∫ x2dx + ∫ x0dx = 2 ∫ xdx = 0,25;

ƒ дисперсия ∞

D( х) =

2 2 ∫ x f ( x)dx − [M ( x)] =

−∞ 0,5

= 2 ∫ x 2 dx − 0,0625 = 0

2 3 ⋅x 3

0, 5 0

0

2 ∫ x 0dx +

−∞

0,5

2 ∫ x 2dx + 0

∞

∫x

2

0dx − 0,252 =

0, 5

2 −0,0625 = 0,53 − 0,0625 = 0,021; 3

ƒ и среднее квадратическое отклонение σ ( х) = D( X ) = 0,021 = 0,14

13

Замечание: Числовые характеристики равномерного распределения проще рассчитать, используя готовые формулы а+b (b − a ) 2 М (х) = , т. е. , D ( x) = 2 12 М (х) =

0 + 0,5 (0,5 − 0) 2 = 0,25, D( x) = = 0,021 , σ ( х) = 0,14 . 2 12

Пример 14. Функция распределения случайной величины имеет вид ⎧ 0 , х ≤ 0; ⎪х ⎪ f ( x ) = ⎨ , 0 < х ≤ 3; ⎪3 ⎩⎪1, х > 3 .

Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины в интервал (2; 4). Решение. Найдем функцию плотности вероятностей по определению f (x) = F′(x) . Для этого продифференцируем функцию F(х), т. е. ⎧0, х ≤ 0; ⎪1 ⎪ f ( x) = ⎨ ,0 < х ≤ 3; ⎪3 ⎪⎩0, х > 3.

Числовые характеристики вычисляем по формулам ∞

∞

−∞

−∞

М (х) = ∫ х ⋅ f (x)dx; D( x) = ∫ ( x − M ( x))2 ⋅ f ( x)dx .

Иногда для определения дисперсии удобно использовать формулу ∞

D( x) =

∫x

2

⋅ f ( x ) dx − ( M ( x )) 2 .

−∞

Так как f(x) задана на разных интервалах различными аналитическими выражениями, то несобственный интеграл при нахождении математического ожидания и дисперсии будет представлен в виде суммы интегралов 0

3

∞

3

1 1 1 x2 М ( х) = ∫ х ⋅ 0 ⋅ dx + ∫ х ⋅ ⋅ dx + ∫ x ⋅ 0 ⋅ dx = ∫ x ⋅ dx = ⋅ 3 30 3 2 −∞ 0 3 14

1 9 3 = ⋅ = . 3 2 2 0 3

Дисперсию вычисляем по второй формуле 0

2

∞

3

3

1 1 9 ⎛3⎞ D( х) = ∫ х ⋅ 0 ⋅ dx + ∫ х ⋅ ⋅ dx + ∫ x 2 ⋅ 0 ⋅ dx − ⎜ ⎟ = ∫ x 2 ⋅ dx − = 3 30 4 ⎝2⎠ 0 3 −∞ 2

1 x3 = ⋅ 3 3

3 0

−

2

9 1 9 1 3 = ⋅9 − = 3− 2 = . 4 3 4 4 4

Найдем вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле 2 1 Р(2 < х < 4) = F (4) − F (2) = 1 − = . 3 3 Для выполнения заданий 5 и 6 необходимо использовать знания по математической статистике. Одной из задач математической статистики является установление закономерностей массовых случайных явлений, основанное на изучении результатов наблюдений. Покажем на примере систематизацию опытных данных и вычисление числовых характеристик. Пример 15. На угольных предприятиях определяли производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина Х) и скорость проходки (случайная величина Y, м/мес). Результаты наблюдений приведены в таблице 1.

Таблица 1 Исходные данные (выборка) х

у

х

у

х

у

х

у

х

у

0,31 0,16 0,27 0,25 0,23 0,17 0,18 0,22 0,29 0,25

136 76 160 170 101 87 72 100 194 190

0.19 0,16 0,14 0,21 0,18 0,24 0,12 0,24 0,21 0,23

110 87 75 120 97 100 123 103 100 103

0,16 0,33 0,23 0,36 0,20 0,17 0,25 0,20 0,18 0,17

70 300 185 311 97 120 201 152 118 158

0,15 0,18 0,21 0,26 0,29 0,22 0,23 0,16 0,18 0,17

118 152 155 151 230 215 202 120 101 100

0,15 0,19 0,31 0,22 0,23 0,36 0,31 0,21 0,16 0,28

100 64 150 150 126 280 154 120 120 125

15

По данным Х (производительность труда рабочего (табл. 1)), необходимо: а) составить вариационный ряд; б) вычислить выборочную среднюю х , выборочную дисперсию Db , выборочное среднее квадратическое отклонение σ x ; в) подобрать теоретический закон распределения; г) проверить по критерию Пирсона правильность выбранной гипотезы при уровне значимости α = 0,05. Решение. а. Систематизация результатов наблюдения. Для построения интервального вариационного ряда определим оптимальную величину интервала (шаг) по формуле Стерджеса: x − x min , h = max 1 + 3,2 lg n где xmax и xmin – соответственно максимальные и минимальные значения Х, n – объем выборки. 0,36 − 0,12 0,24 h= = ≈ 0,04 . 1 + 3,2 lg 50 6,44 Величину интервала определяем с той же точностью, с какой заданы исходные данные. Составим таблицу распределения случайной величины или признака Х, называемую вариационным рядом. Таблица 2 Вариационный ряд производительности труда рабочих Интервалы J

Частота mi

[0,12; 0,16) [0,16; 0,20) [0,20; 0,24) [0,24; 0,28) [0,28; 0,32) [0,32; 0,36]

4 16 14 7 6 3

∑

50 16

Замечания к составлению таблицы 2. 1. Запись интервалов начинается с xmin и продолжается до тех пор, пока не войдет xmax . 2. Просматривая по табл. 1 исходные данные признака Х в порядке записи, проставляют (во втором столбце табл. 2) точки в интервале, которому соответствует данное значение Х. Подсчитав количество проставленных точек, определим частоту, соответствующую данному интервалу. 3. В интервал включаются значения большие или равные нижней границе и меньшие верхней границы интервала. б. Вычисление числовых характеристик Таблица 3 Расчет числовых характеристик xi

mi

xi ⋅ mi

xi − x

( xi − x) 2

( xi − x) 2 ⋅ mi

0,14 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34

4 16 14 7 6 3 50

0,56 2,88 3,08 1,82 1,80 1,02 11,16

-0,08 -0,04 0 0,04 0,08 0,12

0,0064 0,0016 0 0,0016 0,0064 0,0144

0,0256 0,0256 0 0,0112 0,0384 0,0432 0,1440

∑

Замечания к таблице 3 1. В первом столбце записаны середины интервалов, например, 0,12+ 0,16 для первого интервала h = = 0,14. 2 2. В третьем столбце – результаты перемножения соответствующих значений первого и второго столбца. Вычисляем выборочную ∑ xi ⋅ mi = 11,16 = 0,2238 ≈ 0,22 . среднюю х = n 50 3. В четвертом столбце – разности между значениями xi и выборочным средним х . 17

4. В пятом столбце записываются квадраты значений четвертого столбца. 5. В шестом столбце записаны результаты перемножения соответствующих значений второго и пятого столбцов. Вычислим выбо-

∑(х − x) ⋅ m = 0,1440≈ 0,0029 и среднее квад= 2

рочную дисперсию Db

i

i

50 n ратическое отклонение σ x = Db = 0,0029 ≈ 0,053.

в. Построим полигоны эмпирических частот производительности труда рабочих 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

mi

xi 0,14

0,18

0,22

0,26

0,3

0,34

Для нормального распределения теоретические частоты m i по формуле

mi = где t i =

xi − x

σx

, ϕ (t ) =

nh

σx

⋅ ϕ (t i ), 2

t − 1 ⋅ e 2 , n – объем выборки, h – шаг 2π

интервала. Составим расчетную таблицу.

18

Таблица 4 Расчет теоретических частот xi

mi

0,14 0,18 0,22 0,26 0,30 0,34

4 16 14 7 6 3 50

∑

ti =

xi − 0,22 0,053

ϕ (t i )

-1,51 -0,75 0 0,75 1,51 2,26

0,1276 0,3011 0,3989 0,3011 0,1276 0,0310

mi =

50 ⋅ 0,04 ⋅ ϕ (t i ) 0,053 5 11 15 11 5 1 48

Замечения к таблице 4 Значения ϕ (t i ) находят по приложению 1 [1, с. 461; 2, с. 324] 2

t − 1 ⋅ e 2 ». При этом учиты«Таблица значений функции ϕ (t ) = 2π вают, что ϕ (− x ) = ϕ ( x ). Для Х > 3,99 ⇒ ϕ ( x ) = 0. Теоретические частоты округляются до целых. Гипотеза – случайная величина Х имеет нормальное распределение.

г. Проверим согласованность теоретического и эмпирического распределения по критерию Пирсона

x = 2 p

r

∑

(m

i =1

19

i

− mi mi

)

2

.

Таблица 5 Расчет величины x

2 p

( mi − m i ) 2

xi

mi

mi

mi − m i

( mi − m i ) 2

0,14 0,18

4 ⎫ ⎬20 16 ⎭ 14 7 6⎫ ⎬9 3⎭

5⎫ ⎬16 11⎭

4

16

1

-1 -4

1 16

0,07 1,45

1

1

0,166

50

48

0,22 0,26 0,30 0,34

∑

15 11 5⎫ ⎬6 1⎭

mi

2,686

Замечания к таблице 5 Если число наблюдений (частота m i ) в интервале меньше 5, то интервал объединяется с соседними и их частоты складываются. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты m i также надо сложить. По прил. 5 «Критические точки распределения χ 2 » [1, с. 465; 2,

2 (k , α ), где α = 0,05 – уровень значимости, k – с. 329] находим χ табл число степеней свободы, k = r – 3 = 4 – 3 = 1 (r – число интервалов 2 после объединения), χ табл (1;0 ,05 ) = 3,8 . Т.к. χ p2 = 2,686 меньше

2 (1;0,05) = 3,8 , то различия между теоретическими и эмпирическиχ табл ми частотами незначимы.

Вывод. Производительность труда рабочих при проходке штрека распределяется по нормальному закону и имеет функцию плотности ( х − 0 , 22 ) 2

− 2 1 f ( x) = e 2 ( 0 , 053 ) . 0 ,53 2π

20

Пример 16. Вычислить выборочный коэффициент корреляции между случайными величинами Х (производительность труда) и Y (скорость проходки) по данным, приведенным в табл. 1 (пример 15). Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии σy y x − y = rb ⋅ ⋅ ( x − x ). σx Решение. Определяем величину интервала для интервального вариационного ряда признака Y: hy =

y max − y min 311 − 64 = ≈ 38 . 1 + 3, 2 lg n 6, 44

Составим таблицу для расчета выборочного коэффициента корреляции (табл. 6).

21

0,0784

102

57,12

хi mх

ух

хi m х у х

∑

2

0,56

хi m х

3

293,76

102

0,5184

2,88

16

2

3

2

4

3

4

4

414,48

134,57

0,6776

3,08

14

279,5

153,57

0,4732

1,82

7

1

1

2

4

10

0,24-0,28 (0,26)

2

0,2-0,24 (0,22)

0,16-0,2 (0,18)

0,12-0,16 (0,14)

mх

Y Х 64-102 (83) 102-140 (121) 140-178 (159) 178-216 (197) 216-254 (235) 254-292 (273) 292-330 (311)

22

297,594

165,33

0,54

1,8

6

304,297

298,33

0,3468

1,02

50

2

2 3

1

1

1

1

10

13

17

mу

6

0,32-0,36 (0,34)

1

2

2

0,28-0,32 (0,30)

Расчет коэффициента корреляции

622

273

235

1182

1590

1573

1411

уi m y

6886

193442

74529

55225

232854

252810

190333

117113

2

уi m y

2

1116306

96721

74529

55225

38809

25281

14641

6889

уi

312095

1646,75

955,80

2,6344

11,16

∑

Таблица 6

Замечания к таблице 6 1. В первой строке приведены интервалы для признака Х, полученные в примере 15. В скобках указаны середины интервалов. 2. В первом столбце приведены интервалы для признака Y, полученные в примере 15. В скобках указаны середины интервалов. 3. Просматривая по таблице 1 исходные данные (парами ( xi , yi ) ), проставляем точки в тех клетках табл. 6, которым соответствуют данные значения ( xi , yi ) . Число точек в клетке определяет частоту mij (i – номер строки, j – номер столбца). 4. В столбце m у указана частота по данной строке. 5. В каждой клетке столбца уi m y записаны произведения середины интервала на соответствующую частоту. 2 6. В каждой клетке столбца уi m y записаны произведения уi и уi m y . 2

7. В каждой клетке столбца уi записаны квадраты середин интервалов для признака Y. 2 8. Каждую клетку строк m х , хi mх , хi mх заполняем по аналогии с пунктами 4, 5, 6. 9. В строке у х записываем групповые средние признака Y. Например для столбца с интервалом [0,20; 0,24) и его серединой 0,22 полу83 ⋅ 4 + 121 ⋅ 4 + 159 ⋅ 3 + 197 ⋅ 3 чаем у х = 0 , 22 = = 134 ,57 . 14 10. В строке хi m х у х записываем произведения соответствующих значений строк хi m х и у х . 11. В конце каждой строки и столбца записываем суммы значений данной строки и столбца. Для определения коэффициента корреляции вычисляем значения

23

∑хm

11,16 = 0,22; 50 n ∑ yi mi = 6886 = 137,72; y= 50 n ∑ xi mi y x = 1646,75 = 32,935; xy = 50 n 2 ∑ x i mi = 2,6344 = 0,0527; x2 = n 50 2 y m i i 1116306 y2 = ∑ = = 22326,12; n 50 х=

i

i

=

()

σ x = Db ( x) = x 2 − x = 0,0527 − (0,22)2 = 0,054 ; 2

σy =

Db ( y) =

()

y2 − y

2

=

22326 ,12 − (137 ,72 ) = 57 ,96 . 2

Определяем коэффициент корреляции

rb =

xy − x ⋅ y

σ xσ y

=

32 ,935 − 0 , 22 ⋅ 137 ,72 ≈ 0,7 . 0 ,054 ⋅ 57 ,96

Так как rb = 0,7 , то связь между признаками Х и Y тесная, т.е. скорость проходки зависит от производительности труда. Определим коэффициент регрессии

ρ у х = rb ⋅

σy 57 ,96 = 0 ,7 ⋅ ≈ 751 ,3 . σx 0 ,054

Запишем уравнение прямой регрессии

y x − 137 ,72 = 751 ,3( x − 0 , 22 ) или y x − 751 ,3 x − 17 ,57 . Построим на одном чертеже полученную прямую регрессии и эмпирическую линию регрессии, отложив точки с координатами ( xi , у х ) 24

(xi – середины интервалов, у х – условные средние, вычисленные в таблице 6 в предпоследней строке) и соединив их ломаной. Y 350 300 250 200 150 100 50 0

X 0,14

0,18

0,22

0,26

25

0,3

0,34

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ Вариант 1

1. Какова вероятность, что в январе наудачу взятого года окажется 4 воскресенья? 2. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает а) все три вопроса; б) только два вопроса. 3. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается один белый шар и после тщательного перемешивания наудачу извлекается один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар? 4. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом, без возвращения извлекают 3 шара. Случайная величина Х – число белых шаров в выборке. Составить закон распределения и найти М(х), D(x). 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,1 14 3,1 12,63 2,4 14,52

3,2 10,5 2 15,6 2,2 16,3

2,2 15,1 2,5 14,25 1,3 17,49

2,6 13 2,1 17,5 2,5 14,25

2,5 14,25 2,3 14,79 2 13,1

2,4 14,52 2,1 15,33 2 15,6

2,1 17,4 2,4 14,52

2,4 14,52 2 14,5

2,7 13,71 2,5 13,98

1,8 19,5 3 11,4

2,1 15,33 2,3 14,79

2,2 16,8 2 15,6

26

2,2 14 2,6 18

3,1 13,6 2,8 13,44

1,8 16,14 2,3 14,79

2,3 14,79 2,6 14,7

1,8 16,14 2,7 13,71 2,2 15,06

2,7 13,71 2,5 14,25 2,2 15,06

2,3 16,4 2,3 14,79 2,7 13,71

2,6 13,98 2,7 13,71 2,2 15,06

Вариант 2

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры кратны 3? 2. В каждой из двух урн находятся 4 белых и 6 красных шаров. Из первой урны переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется красным. 3. Часы изготавливаются на 3-х заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40% продукции, второй – 45%, третий – 15%. В продукции первого завода спешат 80% часов, второго – 70%, третьего – 90%. Какова вероятность того, что купленные часы спешат? 4. Деталь, изготовленная заводом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется выборочным средним отклонением. Считая, что для данной технологии σ = 5 и Х – нормально распределена, выяснить, сколько % годных деталей изготавливает завод. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

5,15 143 5,2 141 5,91 163 4,53 127 5,53 154

7,02 200 5,81 162 5,17 144 5,08 132 5,59 168

5.48 152 6,39 171 4,78 145 4,85 147 5,13 143

5,44 154 5,62 140 5,51 168 6,73 187 5,09 179

4,46 131 6,02 175 5,01 151 4,76 133 6,67 203

27

4,44 120 5,31 148 5,82 162 6,11 182 5,22 146

5,61 156 4,8 120 6,32 184 5,82 156 5,77 161

5,31 148 5 148 4,62 129 5,29 139 5,61 160

5,68 165 5,05 151 4,35 138 6,26 174 5,23 146

5,48 153 5,89 164 5,28 158 4,6 124 6,15 171

Вариант 3

1. На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, ..., 9. Все девять карточек перемешаны Наугад берут 4 из них и раскладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получить при этом число 1, 2, 3, 4? 2. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9; вторым – 0,8; третьим – 0,7. Найти вероятность того, что а) только один попал в цель; б) все три попали в цель. 3. Из полного набора костей домино (28 шт.) наугад берут две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой. 4. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события А в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5? 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

4,88 4,00 3,62 2,10 4,58 2,50 3,61 1,80 4,25 2,75

3,95 2,57 4,22 2,73 3,86 2,52 4,03 2,30 4,08 2,65

3,64 2,38 4,07 2,64 3,55 2,33 3,86 2,52 4,41 2,85

4,16 2,70 3,91 4,20 3,12 2,00 3,79 2,47 4,33 2,80

3,96 3,00 3,75 2,70 3,19 2,11 3,43 2,26 3,93 2,56

28

3,88 2,53 3,25 2,15 3,81 2,48 3,98 2,59 3,58 2,35

3,78 2,47 3,50 2,30 3,92 2,70 4,14 2,68 3,87 2,52

4,28 2,90 3,80 2,48 3,95 2,57 4,16 2,69 3,68 2,60

4,18 2,71 4,71 3,03 3,98 2,90 3,91 2,80 4,23 3,10

4,10 2,66 3,61 2,37 4,28 2,77 3,74 2,45 3,66 2,39

Вариант 4

1. В урне 12 шаров: 5 черных и 7 белых. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется чёрным? 2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз. 3. В спартакиаде участвуют: из первой группы 4 студента, из второй – 6 и из третьей – 5. Студент первой группы попадает в сборную института с вероятностью 0,9, для студента второй группы эта вероятность равна 0,7, а для студента третьей группы – 0,8. Наудачу выбранный студент попал в сборную института. В какой группе, вероятнее всего, учится этот студент? 4. Среднее число дождливых дней в июле 10. Оценить вероятность того, что в июле будет более 20 дождливых дней. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05 . 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

20 4,3 16 3,7 19 3,6 15 3,55 21 4,45

13 3,25 11 3,4 19 4,15 19 4,15 30 5,6

25 5,05 11 4,1 33 4,1 24 4,9 22 4,6

32 3,5 14 5,2 22 4,6 13 3,25 14 3,4

32 4,8 15 3,55 21 4,45 15 3,9 29 5,65

29

34 3,1 10 2,8 26 4,9 10 2,8 18 4,0

10 3,5 17 3,5 32 5,6 30 5,8 24 4,9

20 4,5 19 3,4 27 5,35 10 3 32 6,1

32 5,8 24 4,1 14 3,4 15 3,55 13 3,25

13 3,25 19 4,15 11 3,6 28 5,5 10 2,8

Вариант 5

1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что произведение выпавших очков окажется равным 5? 2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,04. Найти вероятность того, что в 1500 испытаниях событие наступит 10 раз. 3. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружено одно попадание. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок. 4. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньше 1 кг. Каков процент коробок, масса которых превышает 940 г.? 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

26 81 32 74,4 40 68 39 65,2 25 80

27 78,4 28 77,6 31 77,2 34 74,6 43 68,6

29 71,2 45 64 28 70,5 30 76 36 71,2

30 76 31 75,2 27 78,4 29 72,1 34 72,8

30 79,3 30 76 50 65.2 29 78,3 30 76

30

28 77,6 32 74,4 28 77,6 27 84,7 33 73,6

29 76,8 38 83,4 29 78,1 29 79,2 35 72

25 84,6 30 79,4 35 72 31 70,7 26 79,2

37 75,4 26 80 33 70,4 41 60,7 34 72,8

36 71,2 36 67,4 33 74,3 28 77,6 35 74,2

Вариант 6

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нём все цифры различные? 2. В партии из 1000 изделий 10 дефектных. Найти вероятность того, что из 50 изделий, взятых наудачу из нее, три окажутся дефектными. 3. Студент, разыскивая книгу, решил обратиться в три библиотеки. Для каждой из библиотек одинаково вероятно, есть в её фондах книга или нет. Если она есть, то одинаково вероятно, выдана она или нет. Что вероятнее, достанет студент книгу или нет? 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти f(x), M(x), D(x). ⎧0, x ≤ 1 ⎪ 2 ⎪x − x ,1 < x ≤ 2 F ( x) = ⎨ ⎪ 2 ⎪⎩1, x > 2 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,7 1,2 1,4 1,3 0,5 2 8,8 3 6,3 3

4 1,9 2,1 1,5 1,5 1,5 1,9 1,8 1,2 0,5

6,5 2,3 6,6 2,5 0,5 0,2 0,5 0,5 15 4,2

11,5 2,4 12 3,9 4,1 1,5 2,5 0,9 6 2,1

0,5 2,5 4,9 2,5 5,6 2,9 2,8 2,1 9,5 4,6

31

0,1 0,1 1,3 0,5 0,5 0,3 14,5 1 2,3 0,8

0,3 0,6 2,1 1,8 4,5 3,2 0,3 0,3 10,2 4,8

10,8 5,1 5,1 2,8 3,1 2 11,5 7 8,2 3,1

8,6 3,8 1,1 0,7 4,3 1 7,1 3,2 4,5 2,2

0,2 0,1 2,5 1,9 4,2 2 13,3 5 1,6 0,9

Вариант 7

1. В книге 500 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер кратный 7? 2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 120 испытаниях событие наступит не менее 70 и не более 90 раз. 3. По самолету производится три выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5, при втором – 0,6, при третьем – 0,8. При одном попадании самолет будет сбит с вероятностью 0,3, при двух – с вероятностью – 0,6, при трех – самолет будет сбит наверняка. Какова вероятность того, что самолет будет сбит? 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти f(x), M(x), D(x). ⎧0, x ≤ 0 ⎪ 2 ⎪x F ( x ) = ⎨ ,0 < x ≤ 3 ⎪9 ⎪⎩1, x > 3 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

15 1,2 16,8 1,3 2,5 2,8 25,5 3,8 30 3

22 1,9 10,2 1,5 2 1,5 6,8 1,8 7 0,5

33,5 2,3 35 2,5 3,5 0,2 4,8 0,5 45 4,2

25 2,4 49 5,9 18,1 1,5 6,5 0,9 28 2,1

9 2,5 19 2,5 18,9 2,9 18,3 2,1 24 4,6

32

4,2 0,1 18 0,5 2,3 0,3 22,5 1 15 0,8

12,5 0,6 20 1,8 38,2 3,2 0,5 0,3 46,5 4,8

60 5,1 40 2,6 28,7 2 55,5 7 32 3,1

41 3,8 5 0,7 5 1 21,5 3,2 30 2,2

5 0,1 14,2 1 21,5 2 75 5 8,5 0,9

Вариант 8

1. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры нечетные. 2. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке 10%, на втором – 30%, на третьем 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на 1 станке; 0,8 – на втором и 0,9 – на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной. 3. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачу вынимаются два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета, при условии, что он не синий. 4. Дискретная случайная величина Х принимает два значения Х1 и Х2(Х1<Х2). По известным данным найти закон распределения этой величины: Р1=0,9, М(х)=2,2, D(х)=0,36. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,2 1,2 2,3 1,3 3 2,8 3,2 3,8 3,1 3

2,6 1,9 2,5 1,5 1,6 1,5 1,9 1,8 0 0,3

3,5 2,3 2,9 2,5 1,2 0,2 2,4 0,5 0,8 4,2

4 2,4 3,8 5,9 3 1,5 1,5 0,9 2,3 2,1

3 2,5 3,5 2,5 4,5 2,9 2 2,1 3,1 4,6

33

1 0,1 1,4 0,5 1,2 0,3 3,1 1 1,3 0,8

0,5 0,6 3 1,8 3,1 3,2 2,3 0,3 3,2 4,8

4 5,1 3,8 2,6 2,5 2 4,5 7 3,7 3,1

4,7 3,8 1,6 0,7 2,4 1 5 3,2 2,5 2,2

2 0,1 2,1 1 3,8 2 3,6 5 2 0,9

Вариант 9

1. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них будет два туза? 2. Из 12 собранных аппаратов, 3 получили высокую оценку. Определить вероятность того, что среди взятых наугад 4 аппаратов только 2 из них высокого качества. 3. Программа экзамена содержит 30 различных вопросов, из которых студент Иванов знает только 15. Для успешной сдачи экзамена достаточно ответить на два предложенных вопроса или на один из них плюс дополнительный вопрос. Какова вероятность того, что Иванов успешно сдаст экзамен? 4. Дискретная случайная величина Х принимает два значения Х1 и Х2(Х1<Х2). По известным данным найти закон распределения этой величины: Р1=0,4, М(х)=3,6, D(х)=0,24. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

5,6 1,2 3,5 4,3 3 2,8 4 3,8 4,5 2

5,3 1 4,7 1,5 3,5 1,5 6 1,8 4 0,5

3,5 2,3 4,1 2,5 5 0,2 6 0,5 2,5 4,2

3,8 2,4 1,9 5,9 4,9 1,5 3,2 0,9 4 2,1

5,7 2,5 3,5 2,5 2,5 2,9 3,3 2,1 3,3 4,6

34

6 0,1 5 6,5 4,3 6,3 2,3 1 3,8 0,8

4,9 0,6 4,1 1,8 2 3,2 5,8 0,3 3,8 4,8

3 5,1 3,5 2,6 4,1 2 2,6 7 3,5 3,1

3,3 5,8 5,5 0,7 4,2 1 2 3,2 4,5 2,2

4,6 0,1 4,5 1,9 4,8 2 1,5 5 6 0,9

Вариант 10

1. В ящике находятся катушки четырех цветов: белых – 50%, красных – 20%, зеленых – 20%, синих – 10%. Какова вероятность того, что взятая наудачу катушка окажется зелёной или синей? 2. В 20 лотерейных билетах 4 выигрышных и 16 невыигрышных. Взять один билет, содержание которого осталось неизвестным. Какова вероятность того, что второй билет выигрышный? 3. Вероятность попадания в самолет равна 0,8, а вероятность его сбить 0,32. Найти вероятность того, что при двух попаданиях самолет будет сбит. 4. Известны М(х) и σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал ( α , β ), а = 8 , σ =1, α = 4 , β = 9 . 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

7 1,2 0 1,3 6 2,8 13 3,8 9 3

4 1,9 4 1,5 2 1,5 5 1,6 6 0,5

4 2,3 8 2,5 5 0,2 7 0,5 11 4,2

15 2,4 14 5,9 3 1,5 3 0,9 7 2,1

1 2,5 10 2,5 12 2,9 3 2,1 20 4,6

35

1 0,1 0 0,5 2 0,3 10 1 1 0,8

7 0,6 1 1,8 9 3,2 0 0,3 14 4,8

15 5,1 11 2,6 6 2 11 7 6 3,1

19 3,8 8 0,7 2 1 17 3,2 7 2,2

4 0,1 2 1 5 2 11 5 4 0,9

Вариант 11

1. Из колоды в 36 карт наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы 1 туз? 2. Вероятности правильного определения химического состава детали для каждого из трех контролеров соответственно равны 4/5; 3/4; 2/5. Найти вероятность того, что будет допущена ошибка, если равновероятно деталь может попасть на проверку к любому из контролеров? 3. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет. 4. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал ( α , β ), а = 6 , σ = 3, α = 2 , β =11. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

96,6 1,2 99,5 1,3 98 2,8 97 3,8 96,2 3

97,5 1,9 96,5 1,5 99,9 1,5 98,5 1,3 97,5 0,5

96,3 2,3 97,2 2,5 98,8 0,2 97 0,5 95 4,2

97,3 2,4 95,5 4,9 97,5 1,5 100 0,9 96,4 2,1

99 2,5 98,4 2,5 95,8 2,9 98,3 2,1 95,7 4,6

36

99,3 0,1 99,4 0,5 100 0,3 97 1 99,9 0,8

96,7 0,6 99,8 1,8 97,5 3,2 97,6 0,3 97,9 3,4

95 5,1 98,5 2,6 99,2 2 95,2 4,3 98,3 3,1

99,2 2,4 99,6 0,7 99,2 1 95 3,2 99,1 2,2

99,9 0,1 99,4 1 96,5 2 96 5 98,6 0,9

Вариант 12

1. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из них 3 женщины. В смену заняты 3 человека. Найти вероятность того, что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее двух. 2. Детали изготавливаются на трех станках, производящих соответственно 25%, 30%, 45% от общего количества продукции. Брак в выпущенной продукции составляет соответственно 4%, 3%, 2%. Какова вероятность того, что случайно взятая деталь окажется дефектной? 3. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одного цвета? 4. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал: ( α , β ), а = 2, σ = 5, α = 4 , β = 9 . 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

0,93 358 0,96 325 1,15 345 0,74 505 1 240

0,84 480 1,06 435 0,98 463 0,48 900 1,14 394

1,05 150 0,76 553 0,6 502 0,85 630 0,95 621

1,3 50 0,82 589 1,4 123 0,52 848 1,26 294

0,73 632 0,83 642 0,8 909 1,15 200 0,95 412

37

0,71 769 0,85 452 0,88 780 1,2 235 0,56 794

0,7 948 1,05 489 1 372 1,1 300 1,09 298

0,55 999 0,4 930 0,97 605 0,67 812 1 540

0,89 694 1,08 110 1,12 305 0,59 666 0,58 626

1,19 86 1,25 313 1,1 471 0,9 613 0,85 755

Вариант 13

1. Для производственной практики 30 студентам предоставлены 15 мест в Минске, 8 – в Гомеле, 7 – в Витебске. Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику в один город? 2. В магазин поступили фонари с двух заводов: 35 с первого, 50 – со второго. Вероятность того, что фонарь, изготовленный на первом заводе, не выйдет из строя 0,85. Аналогичная вероятность для второго завода – 0,7. Наудачу выбранный фонарь не сломан. Найти вероятность того, что он был изготовлен на втором заводе. 3. В урне 10 шаров. Вероятность вытаскивания двух черных равна 2/15. Сколько в урне белых шаров? 4. Найти D(х) дискретной случайной величины Х – число появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятность появления события в этих испытаниях одинакова и М(х)=0,9. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

5,2 356 5,1 325 4,3 345 2,7 805 6 240

4,8 480 5 435 4,8 463 5,5 565 5,8 394

4,9 150 3,5 553 2,8 682 4,7 630 2,6 621

5,2 354 4,9 589 6 123 4,8 548 6 294

4,9 632 3,2 642 3,5 909 2,8 485 4 412

38

3,6 769 5,2 452 4 780 4,2 235 2,5 794

2,7 948 5,6 489 4,7 372 4,2 300 4,7 298

2,6 1000 2,7 930 3,7 605 5 612 4 540

3,8 694 5 210 2,5 505 4,9 666 3,9 623

5,5 86 5,3 315 2,2 671 2,8 613 3 755

Вариант 14

1. Брошены две кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков? 2. На склад поступило 400 коробок с лампами. Вероятность того, что в наугад взятой коробке все лампы целы, равна 0,9. Какова вероятность того, что лампы целы в 350 коробках? 3. Шесть шаров, среди которых 3 белых и 3 черных, распределены по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее – один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы вероятность события А = {вынутый шар белый} была максимальной? 4. Найти М(х), D(х), σ(х) для дискретной случайной величины Х, имеющей ряд распределения: Хi Pi

0 0,2

1 0,3

2 0,4

3 0,1

5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,3 458 0,8 325 0,7 345 0,7 505 0,9 240

1,8 480 2,2 435 1,7 463 2,9 900 0,9 394

1 150 2 553 1,7 602 1,4 630 1 821

0,5 50 0,9 589 0,6 123 2,7 848 0,6 294

2,1 632 0,9 642 2,4 909 0,5 200 1,4 412

39

2,1 769 0,6 452 2,6 780 1,3 235 2,3 794

3 948 1,7 489 1,6 372 1,6 300 1,1 298

2,6 1000 2,8 930 1,3 605 2,7 812 1,9 540

2,3 694 0,9 110 0,5 305 2,2 666 1,5 628

0,7 86 0,8 315 1 471 1,1 613 2,5 755

Вариант 15

1. В урне 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что 3 наудачу вынутых шара окажутся белыми. 2. Нарушения работы конвейера составляют в среднем 10%. Найти вероятность того, что из 12 случайных проверок более чем в 10 случаях конвейер работал нормально. 3. Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если достаточно одного попадания торпеды в цель? 4. Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения Х1 и Х2(Х1<Х2). По известным данным найти закон распределения этой случайной величины: Р1=0,4, М(х)=3,6, D(х)=0,24. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

273 358 260 325 240 345 267 505 311 240

190 480 319 435 294 463 128 900 328 394

285 150 290 553 265 602 172 630 218 621

302 50 225 589 350 123 180 848 256 294

189 632 215 642 184 909 322 200 245 412

40

176 769 250 452 100 780 270 235 200 790

138 948 235 489 279 372 257 300 298 298

120 1000 152 930 232 605 140 812 165 540

208 694 295 110 239 305 212 666 174 628

346 86 315 315 300 471 275 613 218 755

Вариант 16

1. Сколько раз нужно подбросить две пятикопеечные монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,99 можно было утверждать, что хотя бы один раз выпадут два герба? 2. Вероятность того, что человек имеет высшее образование в России 0,14. Какова вероятность того, что в 100 случаях высшее образование имеют более 20% человек? 3. Мимо бензоколонки проезжают легковые и грузовые машины. Среди них грузовых машин 60%. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет к заправке грузовых машин равна 0,1, а для легковых – 0,2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что она грузовая? 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(х). Найти f(х), М(х), D(х). ⎧0, x ≤ 0 ⎪ 2 ⎪x F ( x ) = ⎨ ,0 < x ≤ 2 ⎪4 ⎪⎩1, x > 2 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,1 14 3,1 12,63 2,4 14,52 2,1 17,4 2,4 14,52

3,2 10,5 2 15,6 2,2 16,3 2,4 14,52 2 14,5

2,2 15,1 2,5 14,25 1,3 17,49 2,7 13,71 2,6 13,98

2,6 13 2,1 17,5 2,5 14,25 1,8 19,5 3 11,4

2,5 14,25 2,3 14,79 2 13,1 2,1 15,33 2,3 14,79

41

2,4 14,52 2,1 15,33 2 15,6 2,2 16,8 2 15,6

2,2 14 2,6 18 1,8 16,14 2,7 13,71 2,2 15,06

3,1 13,6 2,8 13,44 2,7 13,71 2,5 14,25 2,2 15,06

1,8 16,14 2,3 14,79 2,3 18,4 2,3 14,79 2,7 13,71

2,3 14,79 2,6 14,7 2,6 13,98 2,7 13,71 2,2 15,06

Вариант 17

1. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели? 2. В студии телевидения имеются 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что в данный момент она включена, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера. 3. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом – 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика попадется именно один белый шар, если из каждого ящика вынуть по одному шару. 4. Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал ( α , β ). а =3, σ = 2 , α = 3 , β = 10 . 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

5,15 143 5,2 141 5,91 163 4,53 127 5,53 154

7,02 200 5,81 162 5,17 144 5,08 132 5,59 168

5,48 152 6,39 171 4,78 145 4,85 147 5,13 143

5,44 154 5,62 140 5,51 168 6,73 187 5,09 179

4,46 131 6,02 175 5,01 151 4,76 133 6,67 203

42

4,44 120 5,31 148 5,82 162 6,11 182 5,22 146

5,61 156 4,8 120 6,32 184 5,82 156 5,77 161

5,31 148 5 148 4,62 129 5,29 139 5,61 160

5,68 165 5,05 151 4,35 138 6,26 174 5,23 146

5,48 153 5,89 164 5,28 158 4,6 124 6,15 171

Вариант 18

1. В урне 20 белых и 6 черных шаров. Из нее вынимают наугад два шара подряд. Найти вероятность того, что оба шара черные. 2. Вероятность того, что покупателю нужна обувь 40 размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 900 покупателей не более 160 потребуют обувь этого размера. 3. В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что точка, поставленная наудачу в круг, окажется внутри квадрата? 4. Вероятность сдачи экзамена по математике для каждого из 4 студентов 0,7. Составить закон распределения числа студентов, не сдавших экзамен. Найти его числовые характеристики. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05 . 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

4,88 4,00 3,62 2,10 4,58 2,50 3,61 1,80 4,25 2,75

3,95 2,57 4,22 2,73 3,88 2,52 4,03 2,30 4,08 2,65

3,64 2,38 4,07 2,64 3,55 2,33 4,86 2,52 4,41 2,85

4,16 2,70 3,91 4,20 3,12 2,00 3,79 2,47 4,33 2,80

3,96 3.00 3,75 2,70 3,19 2,11 3,43 2,26 3,93 2,56

43

3,88 2,53 3,25 2,15 3,81 2,48 3,98 2,59 3,58 2,35

3,78 2,47 3,50 2,30 3,92 2,70 4,14 2,68 3,87 2,52

4,28 2,90 3,80 2,48 3,95 2,57 4,16 2,69 3,68 2,60

4,18 2,71 4,71 3,03 3,98 2,90 3,91 2,80 4,23 3,10

4,10 2,66 3,61 2,37 4,23 2,77 3,74 2,45 3,66 2,39

Вариант 19

1. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка – 0,6, для второго – 0,7; для третьего – 0,75. Найти вероятность, по крайней мере, одного попадания в цель, если каждый стрелок делает по одному выстрелу. 2. Двадцати школьникам предоставлены 10 путевок в Москву, 5 – в Самару и 5 – в Калининград. Найти вероятность того, что трое из них попадут в один и тот же город. 3. На склад поступает продукция 3 фабрик; причем, изделия первой фабрики составляют 30%, второй – 32%, третьей – 38%. В продукции первой фабрики 60% изделий высшего сорта, второй – 25%, третьей – 50%. Найти вероятность того, что среди 300 наудачу взятых изделий от 130 до 170 первосортные. 4. Время (в днях) продолжительности ремонта станков есть показательное распределение с ρ=1. Найти F(x), M(x), D(x) вероятность того, что продолжительность ремонта займет от одного до двух дней. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05 . 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

20 4,3 16 3,7 19 3,6 15 3,55 21 4,45

13 3,25 11 3,4 19 4,15 19 4,15 30 5,6

25 5,05 11 4,1 33 4,1 24 4,9 22 4,6

32 3,5 14 5,2 22 4,6 13 3,25 14 3,4

32 4,8 15 3,55 21 4,45 15 3,9 29 5,65

44

34 3,1 10 2,8 26 4,9 10 2,8 18 4,0

10 3,5 17 3,5 32 5,6 30 5,8 24 4,9

20 4,5 19 3,4 27 5,35 10 3 32 6,1

32 5,8 24 4,1 14 3,4 15 3,55 13 3,25

13 3,25 19 4,15 11 3,6 28 5,5 10 2,8

Вариант 20

1. Найти вероятность того, что наудачу взятое число окажется кратным либо 2, либо 5, либо 2 и 5 одновременно. 2. Имеются две коробки с кубиками. В первой коробке – 12 штук, во второй – 10, причем в каждой по одному сломанному кубику. Кубик, взятый наудачу из первой коробки, перекладывается во вторую. Определить вероятность извлечения именно сломанного кубика из второй коробки. 3. Автоматическая штамповка клемм дает 10% отклонений от принятого стандарта. Сколько стандартных клемм следует ожидать с вероятностью 0,0587 среди 400 клемм? 4. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Считая, что случайная величина Х – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на указанном интервале, найти средне время ожидания М(х) и D(х). 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

26 81 32 74,4 40 68 39 65,2 25 80

27 78,4 28 77,6 31 77,2 34 74,6 43 68,6

29 71,2 45 64 28 70,5 30 76 36 71,2

30 76 31 75,2 27 78,4 29 72,1 34 72,8

30 79,3 30 76 50 65,2 29 78,3 30 76

45

28 77,6 32 74,4 28 77,6 27 84,7 33 73,6

29 76,8 38 83,4 29 78,1 29 79,2 35 72

25 84,6 30 79,4 35 72 31 70,7 26 79,2

37 75,4 26 80 33 70,4 41 60,7 34 72,8

36 71,2 36 67,4 33 74,3 28 77,6 35 74,2

Вариант 21

1. В магазин трикотажных изделий поступили капроновые чулки, 60% из них доставила первая фабрика, 25% – вторая и 15% – третья. Какова вероятность того, что купленные наугад чулки изготовлены на первой или третьей фабрике? 2. 5% заводских аппаратов требуется ремонт в течение гарантийного срока. Найти вероятность того, что из 6 аппаратов более чем трем потребуется ремонт? 3. Два стрелка стреляют в цель и делают по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,5, вторым – 0,7. Какова вероятность того, что оба стрелка попадут в цель? 4. Случайная величина Х задана плотностью распределения 1 f (x) = x в интеграле (0;2); вне этого интервала f(x)=0. Найти М(х). 2 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,7 1,2 1,4 1,3 0,5 2 8,8 3 6,3 3

4 1,9 2,1 1,5 1,5 1,5 1,9 1,8 1,2 0,5

6,5 2,3 6,6 2,5 0,5 0,2 0,5 0,5 15 4,2

11,5 2,4 12 3,9 4,1 1,5 2,5 0,9 6 2,1

0,5 2,5 4,9 2,5 5,6 2,9 2,8 2,1 9,5 4,6

46

0,1 0,1 1,3 0,5 0,5 0,3 14,5 1 2,3 0,8

0,3 0,6 2,1 1,8 4,5 3,2 0,3 0,3 10,2 4,8

10,8 5,1 5,1 2,8 3,1 2 11,5 7 8,2 3,1

8,6 3,8 1,1 0,7 4,3 1 7,1 3,2 4,6 2,2

0,2 0,1 2,5 1,9 4,2 2 13,3 5 1,6 0,9

Вариант 22

1. Брошены 2 игральные кости. Чему равна вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет 5 очков? 2. На карточках написаны числа от 1 до 30. Из них случайно выбирают две карточки. Найти вероятность того, что в обеих карточках написаны числа меньше 10. 3. На складе 15 кинескопов, причем 10 из них сделаны на Львовском заводе. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов три окажутся Львовского завода. 4. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2;8). 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

15 1,2 16,8 1,3 2,5 2,8 25,5 3,8 30 3

22 1,9 10,2 1,5 2 1,5 5,8 1,8 7 0,5

33,5 2,3 35 2,5 3,5 0,2 4,8 0,5 45 4,2

25 2,4 49 5,9 18,1 1,5 6,5 0,9 28 2,1

9 2,5 19 2,5 18,9 2,9 18,3 2,1 24 4,6

47

4,2 0,1 18 0,5 2,3 0,3 22,5 1 15 0,8

12,5 0,6 20 1,8 38,2 3,2 0,5 0,3 46,5 4,8

60 5,1 40 2,6 28,7 2 55,5 7 32 3,1

41 3,8 5 0,7 5 1 21,5 3,2 30 2,2

5 0,1 14,2 1 21,5 2 75 5 8,5 0,9

Вариант 23

1. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, второго – 20%. Найти вероятность того, что одна наугад взятая болванка без дефектов. 2. В каждой урне содержится по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Вынимают наудачу по одному билету из определенной урны, не возвращая. Найти вероятность того, что оба билета будут иметь № 6. 3. Стрелок сделал 30 выстрелов с вероятностью попадания при отдельном выстреле 0,3. Найти вероятность того, что у стрелка будет 8 попаданий. 4. Нормально распределенная случайная величина Х задана −( x−1)2 1 плотностью f ( x) = e 50 . Найти числовые характеристики дан5 2π ной случайной величины. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05 . 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,2 1,2 2,3 1,3 3 2,8 3,2 3,8 3,1 3

2,6 1,9 2,5 1,5 1,6 1,5 1,9 1,8 0 0,3

3,5 2,3 2,9 2,5 1,2 0,2 2,4 0,5 0,8 4,2

4 2,4 3,8 5,9 3 1,5 1,5 0,9 2,3 2,1

3 2,5 3,5 2,5 4,5 2,9 2 2,1 3,1 4,6

48

1 0,1 1,4 0,5 1,2 0,3 3,1 1 1,3 0,8

0,5 0,6 3 1,8 3,1 3,2 2,3 0,3 3,2 4,8

4 5,1 3,8 2,6 2,5 2 4,5 7 3,7 3,1

4,7 3,8 1,6 0,7 2,4 1 5 3,2 2,5 2,2

2 0,1 2,1 1 3,8 2 3,6 5 2 0,9

Вариант 24

1. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник? 2. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработают: а) только два устройства; б) все три устройства. 3. В шкафу находится 10 пар ботинок различных сортов. Из них произвольно вынимают 4 ботинка. Найти вероятность того, что среди выбранных ботинок отсутствуют парные. 4. В обувной отдел зашли трое покупателей. Вероятность того, что требуется обувь 40 размера, равна – 0,4. Пусть Х – число покупателей, которым потребовалась обувь 40 размера. Найти функцию распределения, составить закон распределения. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

5,6 1,2 3,5 1,3 3 2,8 4 3,8 4,5 2

5,3 1 4,7 1,5 3,5 1,5 6 1,8 4 0,5

3,5 2,3 4,1 2,5 5 0,2 6 0,5 2,5 4,2

3,8 2,4 1,9 5,9 4,9 1,5 3,2 0,9 4 2,1

5,7 2,5 3,5 2,5 2,5 2,9 3,3 2,1 3,3 4,6

49

6 0,1 5 0,5 4,3 0,3 2,3 1 3,8 0,8

4,9 0,6 4,1 1,8 2 3,2 5,8 0,3 3,8 4,8

3 5,1 3,5 2,6 4,1 2 2,6 7 3,5 3,1

3,3 5,8 5,5 0,7 4,2 1 2 3,2 4,5 2,2

4,6 0,1 4,5 1,9 4,8 2 1,5 5 6 0,9

Вариант 25

1. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. Какова вероятность того, что некто, приобретая 8 облигаций, выиграет по 6 из них? 2. В группе из 28 студентов оценку «отлично» получили двое студентов, «хорошо» – 8 студентов, «удовлетворительно» – 9 студентов. Какова вероятность того, что два наудачу выбранных студента имеют неудовлетворительные оценки? 3. Пусть всхожесть семян ржи составляет 90%. Чему равна вероятность, что из 7 посеянных семян взойдет 5? 4. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, наугад извлекают 3 шара, не возвращая их. Случайная величина Х – число белых шаров в выборке. Найти закон распределения величины Х. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

7 1,2 0 1,3 6 2,8 13 3,8 9 3

4 1,9 4 1,5 2 1,5 5 1,6 6 0,5

4 2,3 8 2,5 5 0,2 7 0,5 11 4,2

15 2,4 14 5,9 3 1,5 3 0,9 7 2,1

1 2,5 10 2,5 12 2,9 3 2,1 20 4,6

50

1 0,1 0 0,5 2 0,3 10 1 1 0,8

7 0,6 1 1,8 9 3,2 0 0,3 14 4,8

15 5,1 11 2,6 6 2 11 1 6 3,1

19 3,8 8 0,7 2 1 17 3,2 7 2,2

4 0,1 2 1 5 2 11 5 4 0,9

Вариант 26

1. Из последовательности чисел 1, 2, 3, …, 99, 100 выбирают наугад с возвращениями 10 чисел. Чему равна вероятность того, что среди них кратных 7 будет менее двух? 2. Электрическая схема состоит из трех блоков, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что они работают исправно, соответственно равна 0,8; 0,5; 0,6. Схема годна при наличии хотя бы двух исправных блоков из трех имеющихся. Определить вероятность того, что схема будет работать. 3. Из последовательности чисел 1, 2, …, 100 выбирают наугад 10 чисел с возвращениями. Чему равна вероятность того, что среди них кратных 7 будет не более двух? 4. Чему равна вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3 и дисперсией равной 1, примет значение из интервала (0,5; 3,5). 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

96,6 1,2 99,5 1,3 98 2,8 97 3,8 96,2 3

97,5 1,9 96,5 1,5 99,9 1,5 98,5 1,3 97,5 0,5

96,3 2,3 97,2 2,5 98,8 0,2 97 0,5 95 4,2

97,3 2,4 95,5 4,9 97,5 1,5 100 0,9 96,4 2,1

99 2,5 98,4 2,5 95,8 2,9 98,3 2,1 95,7 4,6

51

99,3 0,1 99,4 0,5 100 0,3 97 1 99,9 0,8

96,7 0,6 99,8 1,8 97,5 3,2 97,6 0,3 97,9 3,4

95 5,1 98,5 2,6 99,2 2 95,2 4,3 98,3 3,1

99,2 2,4 99,6 0,7 99,2 1 95 3,2 99,1 2,2

99,9 0,1 99,4 1 96,5 2 96 5 98,6 0,9

Вариант 27

1. Вероятность попадания снаряда в цель равна 0,3. Сколько должно быть произведено независимых выстрелов, чтобы вероятность по меньшей мере одного попадания в цель была более чем 0,9? 2. Из 20 кубиков всего 6 окрашены. Какова вероятность того, что среди взятых наугад восьми кубиков будут окрашены только два? 3. В ящике находятся 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5 старых. Для игры наудачу выбирают два мяча и после игры возвращают их в ящик. Затем для второй игры также наудачу извлекают еще два мяча. Какова вероятность того, что во второй игре будут использованы именно новые теннисные мячи? 4. Найти вероятность того, что нормальная случайная величина Х с математическим ожиданием равна 1, и дисперсией равной 4, примет значение, меньшее 0, но большее -5. 5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

0,93 358 0,96 325 1,15 345 0,74 505 1 240

0,84 480 1,06 435 0,98 463 0,48 900 1,14 394

1,05 150 0,76 553 0,6 502 0,85 630 0,95 621

1,3 50 0,82 589 1,4 123 0,52 848 1,26 294

0,73 632 0,83 642 0,8 909 1,15 200 0,95 412

52

0,71 769 0,85 452 0,88 780 1,2 235 0,56 794

0,7 948 1,05 489 1 372 1,1 300 1,09 298

0,55 999 0,4 930 0,97 605 0,67 812 1 540

0,89 694 1,08 110 1,12 305 0,59 666 0,58 626

1,19 86 1,25 313 1,1 471 0,9 613 0,85 755

Вариант 28

1. Автоматическая штамповка клемм для предохранителей допускает 10% отклонений от принятого стандарта. Сколько стандартных клемм следует ожидать с вероятностью 0,0587 среди 400 клемм? 2. Из 12 студенческих курсовых работ 3 оценены на «отлично». Определить вероятность того, что среди взятых наугад 5 работ «отличными» будут только две. 3. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой. 4. Найти М(х), D(х) случайной величины, заданной таблицей распределения: Хi Pi

-2 0,1

-1 0,2

0 0,3

1 0,3

2 0,1

5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

5,2 356 5,1 325 4,3 345 2,7 805 6 240

4,8 480 5 435 4,8 463 5,5 565 5,8 394

4,9 150 3,5 553 2,8 682 4,7 630 2,6 621

5,2 354 4,9 589 6 123 4,8 548 6 294

4,9 632 3,2 642 3,5 909 2,8 485 4 412

53

3,6 769 5,2 452 4 780 4,2 235 2,5 794

2,7 948 5,6 489 4,7 372 4,2 300 4,7 298

2,6 1000 2,7 930 3,7 605 5 612 4 540

3,8 694 5 210 2,5 505 4,9 666 3,9 623

5,5 86 5,3 315 2,2 671 2,8 613 3 755

Вариант 29

1. В партии смешаны детали двух сортов: 80% первого и 20% второго. Сколько деталей первого сорта с вероятностью 0,0967 можно ожидать среди 100 наудачу взятых деталей? 2. Из колоды в 52 карты вынимаются наудачу три. Найти вероятность того, что это «тройка», «семерка» и «туз». 3. Высажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность приживания одного дерева равна 0,8. 4. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной законом распределения. Xi Pi

1 0,1

3 0,1

4 0,3

6 0,4

7 0,1

5. Для случайной величины Х составить интервальный вариационный ряд, вычислить выборочные средние характеристики, подобрать теоретический закон распределения, проверить его согласование с теоретическим критерием Пирсона, при α = 0,05. 6. Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Х и Y. Составить выборочное уравнение линии регрессии Y по Х и построить ее. X Y X Y X Y X Y X Y

2,3 458 0,8 325 0,7 345 0,7 505 0,9 240

1,8 480 2,2 435 1,7 463 2,9 900 0,9 394

1 150 2 553 1,7 602 1,4 630 1 821

0,5 50 0,9 589 0,6 123 2,7 848 0,6 294

2,1 623 0,9 642 2,4 909 0,5 200 1,4 412

54

2,1 769 0,6 452 2,6 780 1,3 235 2,3 794

3 948 1,7 489 1,6 372 1,6 300 1,1 298

2,6 1000 2,8 930 1,3 605 2,7 812 1,9 540

2,3 694 0,9 110 0,5 305 2,2 668 1,5 628

0,7 86 0,8 315 1 471 1,1 613 2,5 755

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш. шк., 1977. – 478 с. 2. Гмурман В. Е. – Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 1975. – 334 с. 3. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под ред. В. С. Ковелюк. – М.: Наука, 1985. – 308 с. 4. Сборник задач по математической статистике для вузов: Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. А. В. Ефимова. – М.: Наука, 1990. – 471 с.

55

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1

1 2π

Таблица значений функции Ф ( x ) =

x

∫e

x2 − 2

dx

0

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

x

Ф(x)

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42

0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,1554 0,1591 0,1628

0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85

0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023

0,86 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28

0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 0,3849 0,3869 0,3883 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997

1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,71

0,4015 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 0,4554 0,4564

1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80 1,81 1,82 1,83 1,84 1,85 1,86 1,87 1,88 1,89 1,90 1,91 1,92 1,93 1,94 1,95 1,96 1,97 1,98 1,99 2,00 2,02 2,04 2,06 2,08 2,10 2,12 2,14 2,16 2,18 2,20 2,22 2,24 2,26 2,28

0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 0,4772 0,4783 0,4793 0,4803 0,4812 0,4821 0,4830 0,4838 0,4846 0,4854 0,4861 0,4868 0,4875 0,4881 0,4887

2,30 2,32 2,34 2,36 2,38 2,40 2,42 2,44 2,46 2,48 2,50 2,52 2,54 2,56 2,58 2,60 2,62 2,64 2,66 2,68 2,70 2,72 2,74 2,76 2,78 2,80 2,82 2,84 2,86 2,88 2,90 2,92 2,94 2,96 2,98 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00

0,4893 0,4898 0,4904 0,4909 0,4913 0,4918 0,4922 0,4927 0,4931 0,4934 0,4938 0,4941 0,4945 0,4948 0,4951 0,4953 0,4956 0,4959 0,4961 0,4963 0,4965 0,4967 0,4969 0,4971 0,4973 0,4974 0,4976 0,4977 0,4979 0,4980 0,4981 0,4982 0,4984 0,4985 0,4986 0,49865 0,49931 0,49966 0,499841 0,499928 0,499968 0,499997 0,499997

Примечания к таблице: 1. Функция Ф(x) нечетная, то есть Ф(-x)=-Ф(x); 2. Ф(x)=0,5, при x>5.

56

a

b

xi

xi

xi

xmax − xmin ≈ Sx 2

xmax + xmin ≈x 2

x − xmin ≈ S x

xmax + xmin ≈x 2 xmax − xmin ≈ Sx 6

Особенности характеристик

2σ 2

( x − a )2

⎧ 1 ⎪ , x ∈ [a, b] f (x) = ⎨b − a ⎪⎩0, x ∉ [a, b]

− λ ( x −a )

− 1 f (x ) = e σ 2π

Теоретический закон распределения

⎧λe ,x≥a f (x) = ⎨ ⎩0, x < a

57

Закон

Показательный Равномерный

a

mi

a

mi

mi

Вид гистограммы

Нормальный

⎧a + b =x ⎪⎪ 2 ⎨b − a = Sx ⎪ ⎩⎪ 2 3 a, b − ?

⎧ 1 ⎪a + λ = x ⎨1 ⎪ = Sx ⎩λ a, λ − ?

⎧a = x ⎨ ⎩σ = S x a, σ − ?

Параметры закона

σ

miT =

nh b−a

miT = nhλe−λ ( xi −a )

ϕ (t ) =

t2

, 1 −2 e 2π

σ

ϕ (ti ),

xi − a

nh

где, ti =

miT =

Теоретические частоты

Приложение 2

Приложение 3

Таблица значений функции ϕ ( x ) =

− 1 e 2π

x2 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661

0,3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637

0,3989 3961 3894 3790 3652 3485 3292 3079 2850 2613

0,3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589

0,3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565

0,3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541

0,3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516

0,3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492

0,3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468

0,3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,2420 2179 1942 1714 1479 1295 1109 0940 0790 0656

0,2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644

0,2371 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632

0,2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620

0,2323 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608

0,2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596

0,2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584

0,2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573

0,2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562

0,2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060

0,0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0104 0077 0058

0,0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056

0,0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055

0,0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053

0,0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051

0,0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050

0,0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048

0,0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047

0,0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0006 0004 0003 0002

0,0043 0032 0023 0017 0012 0008 0006 0004 0003 0002

0,0042 0031 0022 0016 0012 0008 0006 0004 0003 0002

0,0040 0030 0022 0016 0011 0008 0005 0004 0003 0002

0,0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002

0,0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002

0,0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002

0,0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002

0,0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001

0,0034 0024 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001

58

Гипотеза

H0: случайная величина распределена по предполагаемому закону H1: случайная величина не подчиняется предполагаемому закону

Для двух генеральных совокупностей: H0: σx = σy H1: σx ≠ σy

DX и DY известны: H0: MX = MY H1: MX ≠ MY

Задача

1. Сравнение предполагаемого распределения генеральной совокупности с теоретическим

2. Сравнение дисперсий нормальных генеральных совокупностей

3. Сравнение средних нормальных генеральных совокупностей

н i

2

)

59

Критерий Стьюдента x−y z= DX DY + nx ny

Критерий Фишера-Снедекера 2 2 2 2 ⎪⎧ S S при S x > S y F = ⎨ x2 y2 2 2 ⎪⎩ S y S x при S y > S x kx = nx – 1, ky = ny – 1

χ2 = ∑

r

− miT miT i =1 k = к − δ −1 r – число интервалов вариационного ряда, δ – число параметров распределения

(m

Критерий Пирсона

Наблюдаемое значение статистики, число степеней свободы

Ф(x ) =

1 2π

0

∫e

x

−

x2 2

dx »

z набл > z кр zкр из уравнения Ф (z кр ) = (1 − α ) 2 Функция Ф(x) по таблице «Таблица значений функции

Fнабл > Fкр Fкр = F p (k1 , k 2 ) «Квинтили распределения Фишера»

точки распределения χ 2 »

χ кр2 (n, α ) по таблице «Критические

2 χ набл > χ кр2

Критическая область при уровне значимости α=0,05

Приложение 4

4. Исследование грубых ошибок результатов наблюдений

H0: результат x0 принадлежит к остальным наблюдениям H1: x0 не принадлежит к остальным наблюдениям

DX и DY неизвестны, причем гипотеза об их равенстве отклоняется: H0: MX = MY H1: MX ≠ MY

DX и DY неизвестны, но предполагается, что они равны: H0: MX = MY H1: MX ≠ MY

60

2

) (

n x + S y2 n y

)

2

2 x

k = nx − 1

2

)

S2 n nx + y y nx − 1 ny − 1

(S

2 x

Критерий Стьюдента x −x t= 0 , Sx

k=

(S

k = nx + n y − 2

nx + n y − 2

(nx − 1)S x2 + (n y − 1)S y2

t-критерий Стьюдента x−y Т набл = , 2 S x2 S y + nx n y

S p2 =

t-критерий Стьюдента x−y , Т набл = 1 1 Sp + nx n y

,

t набл > t кр t кр (α , k ) по таблице «Критические точки распределения Стьюдента» (односторонняя критическая область)

Tкр (α , k ) по таблице «Критические точки распределения Стьюдента» (двусторонняя критическая область)

Tнабл > Tкр

Tнабл > Tкр Tкр (α , k ) по таблице «Критические точки распределения Стьюдента» (двусторонняя критическая область)

Продолжение приложения 4

Приложение 5

Критические точки распределения Число степеней свободы k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

χ2

Уровень значимости α 0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

6,6 9,2 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2 27,7 29,1 30,6 32,0 33,4 34,8 36,2 37,6 38,9 40,3 41,6 43,0 44,3 45,6 47,0 48,3 49,6 50,9

5,0 7,4 9,4 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3 24,7 26,1 27,5 28,8 30,2 31,5 32,9 34,2 35,5 36,8 38,1 39,4 40.6 41,9 43,2 44,5 45,7 47,0

3,8 6,0 7,8 9,5 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0 22,4 23,7 25,0 26,3 27,6 28,9 30,1 31,4 32,7 33,9 35,2 36,4 37,7 38,9 40,1 41,3 42,6 43,8

0,0039 0,103 0,352 0,711 1,15 1,64 2,17 2,73 3,33 3,94 4,57 5,23 5,89 6,57 7,26 7,96 8,67 9,39 10,1 10,9 11,6 12,3 13,1 13,8 14,6 15,4 16,2 16,9 17,7 18,5

0,00098 0,051 0,216 0,484 0,831 1,24 1,69 2,18 2,70 3,25 3,82 4,40 5,01 5,63 6,26 6,91 7,56 8,23 8,91 9,59 10,3 11,0 11,7 12,4 13,1 13,8 14,6 15,3 16,0 16.8

0,00016 0,029 0,115 0,297 0,554 0,872 1,24 1,65 2,09 2,56 3,05 3,57 4,11 4,66 5,23 5,81 6,41 7,01 7,63 8,26 8,90 9,54 10,2 10,9 11,5 12,2 12,9 13,6 14,3 15,0

61

Составители: Ирина Николаевна ЧАЙКОВСКАЯ Любовь Ивановна МАМОНОВА Светлана Валерьевна МИКОВА Рецензент: Сергей Павлович КАЗАКОВ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Методические указания, расчетно-графические работы для студентов экономических специальностей очной формы обучения

Сверстано и отпечатано в филиале ГУ КузГТУ в г. Прокопьевске. 653033, г. Прокопьевск, ул. Ноградская, 19а. Редактор: Н. П. Романцова Подписано в печать 26.12.08 г. Отпечатано на ризографе. Формат 60×84 1/16. Объем 3,9 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 007.

62

63