群論の基礎 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近 年 に お け る 科学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の応 用 も さ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が 大 きい.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の 素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 き を望 め な い で あ ろ う.   編 者 ら は,こ の よ うな 事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分野 にお け る基 本 的知 識 を確 実 に 伝 え る こ と を 目的 と して 本 シ リー ズの 刊 行 を企 画 した の で あ る.   上 の 主 旨 に した が って 本 シ リー ズで は,重 要 な基 礎概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の考 え方 を平 易 に理 解 で きる よ う 解説 して あ る.高 等 学 校 の数 学 に 直結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に進 んで 高等 数学 の理 解へ の 大道 に容 易 に は い れ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よ っ て,高 校 の数 学 教 育 に携 わ る 人 た ち や技 術 関 係 の 人 々 の 参 考書 と し て,ま た 学生 の 入 門書 と して,ひ ろ く利 用 され る こ とを 念 願 と して い る.   この シ リー ズ は,読 者 を数 学 とい う花壇 へ招 待 し,そ れ の観 覚 に 資 す る と と も に,つ

ぎの段 階 に すす む た め の 力 を 養 うに 役 立 つ こ とを 意 図 した もの で あ る.

ま

え

が

き

  群 論 は 方 程 式 論 の 研究 に そ の端 を 発 して 以 来,数 学 の み な らず,物 理 学 そ の ほか の 分 野 に も広 く深 い 影 響 を 及 ぼ し,数 々 の 輝 か しい 成 果 を あ げ て き た.数 学 に 限 っ て み て も,'群'の

言 葉 で 語 られ る分 野 の 著 しい 進 歩 は,近 代 数 学 の 一

つ の特 徴 とい え る.こ の よ うに,群 の 概 念 は 微 積 分 学 の 発 見 以 来,近 代 数 学 の と らえ た 最 も本 質 的 な 概 念 で あ る とい っ て も過 言 で は な い.近 時,高 校 や 大 学 教 養 課 程 に お け る数 学 教 育 に,群 論 を い か に と りい れ るか と い うこ とが,論 議 の 対 象 とな っ て き て い る こ と も,理 由 の あ る こ とな の で あ る.   本 書 の 第4章

ま で は,普 通 群 論 の 入 門 書 で 語 られ る事 柄 で あ る.こ の 部 分 で

は,群 が 応 用 上 あ らわ れ る最 も 自然 な 姿 で あ る 変 換 群 を 例 に と りな が ら,対 称 の 概 念 の 群 論 的 な 解 釈 を の べ た り して,群 の 概 念 が よ く理 解 され る よ うに,で き る だ け 丁 寧 に 解 説 した つ も りで あ る.第5章

以後 は,現 代 の数 学 で 常 識 と し

て 知 って お か な けれ ば な らな い,群 論 の 基 礎 的 な 事 柄 を 簡 潔 に ま とめ た もの で あ る.ま た,随 所 に 〔 話 題 〕 と して,少

し程 度 の高 い 事 柄 や,直 接 本 文 と関 係

は な い が 興 味 あ る事 柄 を い くつ か と りあ げ て み た.省 い て 読 まれ て も,本 文 の 理 解 に は 差 支 え な い よ うに な って い るが,適 当 に 利 用 して い た だ け れ ば 幸 い で あ る.   本 書 の 執 筆 は,小 松 醇 郎 教 授 の お す す め に よ る もの で,こ 表 した い.ま た,原 稿 の 一 部 は,著 者 が1966年3月

こに 先 生 に 謝 意 を

よ り6月 ま で,国 立 台 湾

大 学 お よび 中 央 研 究 院 に 滞 在 中に 書 か れ た も の で あ る.そ の 間 お 世 話 に な った 施 拱 星 教 授 を は じめ,台 湾 大 学,中 央 研 究 院 の 方 々 に も謝 意 を 表 す る.   さ らに,本 書 の校 正 の 時 期 が ち ょ うど著 者 の 渡 米 中 に あ た り,そ の た め,朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に 必 要 以 上 の 労 を 煩 わ す結 果 に な っ た.ま た,大 山 豪,野 田隆 三 郎 の 両 君 に は,校 正 刷 を 精 読 して い た だ い て,多

くの 注 意 を い た だ い た.

これ ら の 諸 氏 に 感 謝 の 意 を 表 す る.   最 後 に,執

筆 に あ た り,浅

野 啓 三 教 授 と の 共 著 「群 論 」(岩 波 全 書)を

ば 参 考 に し た こ と を 附 記 し て お く. 1967年1月 Pasadenaに

著

て

者

しば し

目

1.  集

合

と 写

  1.1  集

次

像 

1

合

 

 

1.1.1 

集合 の概 念

 

1.1.2  部 分 集 合

 

1.1.3  和 集 合 と 共 通 集 合

 

1.1.4  集 合 の 直 積

  1.2  写

1  1  1

 2  3

像

 

4

 

1.2.1  写 像 の 概 念

 4

 

1.2.2  写 像 の 積

 7

  1.3  演  

算

問

2.  群

 9

題1 

の

13

概

念 

14

  2.1  群 の 定 義 

14

  2.2  群 の 簡 単 な 性 質   2.3  加

群

  16  

群

18

  2.4  部

分

 

2.4.1 

部分群 の定義

 19

 

2.4.2 

巡 回部 分 群

 23

 

2.4.3 

い くつ か の 元 で 生 成 さ れ る 部 分 群

  2.5  対 称 群 ・交 代 群

  19

  27  28

 

2.5.1 

対称群

  28

 

2.5.2 

交代 群

  29

  2.6  同

型

  36

  2.7  変 換 群 と 対 称 性  

2.7.1 

自己 同型 群

 

2.7.2 

対称 性

 

2.7.3 

多面 体群

 

問

 39   39  40   43

題2 

47

3.  部 分 群 ・剰 余 類

  48

  3.1  同 値 関 係 と 類 別  

3.1.1 

類

 

3.1.2 

同値 関 係

 

3.1.3 

同値 関 係 と類 別

  3.2  剰

余

別

 48

類 

  3.3  巡 回 群 の 部 分 群   3.4  共  

問

役

 

49 50  53

60

・剰 余 群

  4.1  正 規 部 分 群 余

  48

 55

題3 

4.  正 規 部 分 群

  4.2  剰

  48

  61   61

群 

63

  4.3  準 同 型 写 像

  64

  4.4  交 換 子 群 ・可 解 群

  68

 

問

題4 

73

5.  直 積 ・組 成   5.1  直

積

列

 75   75

 

5.1.1 

与 え られ た 群 の 直 積

  75

 

5.1.2 

部 分群 の直積

  77

  5.2  組

成

 

題5 

6. 

問

ア

  6.1 

ー

列 

81

ベ

86

ル

群 

88

自由 ア ー ベ ル 群

 88

 

6.1.1 

階

数

  88

 

6.1.2 

自 由 ア ーベ ル 群 の 部 分 群

  89

  6.2  ア ー ベ ル 群 の 基 本 定 理

 91

  6.3  直 既 約 な ア ー ベ ル 群

 94

  6.4  有 限 ア ー ベ ル 群

  95

 

6.4.1 

p−成 分

  95

 

6.4.2 

指標群

  96

 問

7.  有

題6 

98

限

群

 

  7.1  両 側 分 解   7.2 

100   100

p群

  101

  7.3  シ ロ ー(Sylow)の   7.4  べ き 零 群

 

102

  106

  7.5  置

換

 

7.5.1 

可移 群

  109

 

7.5.2 

置換 表現

  111

 問

題7 

群 

定理

109

119

8. 

一 次 変 換 群 ・表 現 論

 121

  8.1  二 次 形 式 ・エ ル ミー ト形 式

  121

  8.1.1 

二 次 形 式 ・エ ル ミー ト形 式

 121

  8.1.2 

一 次変換

 122

  8.1.3 

正値形式

  123

  8.2  一 次 変 換 群

  125

  8.3  群 の 表 現

  127

  8.4 

シ ュ ア ー(Schur)の

補題

  130

  8.5  ユ ニ タ リー 行 列 に よ る 表 現

  131

  8.6  指  

8.6.1 

標 指

 

標 

132 132

  8.6.2 

指 標 の 第1直

交 関係

  8.6.3 

既 約 表 現 の重 複 度

 137

  8.6.4 

指 標 の 第2直

 139

交関係

  8.7  誘 導 表 現   8.8  群 の 直 積 の 表 現 ・表 現 の 積  

問

題8 

  134

  142  145 147

問 題解答 の指 針

  148

索

  153

引

1. 

 1.1  集

集

合

と

写

像

合

 1.1.1  集 合   数 学 で は"も

の 概 の"の

念

集 りを 集 合 と よ ぶ.こ

の と き,"も

っ き り して い る こ とを 前 提 と して い る の で,勝

手 に"も

の"の の"を

集 りの 範 囲 が は も っ て き た と き,

そ れ が こ の 集 合 に 含 ま れ る か ど うか 判 定 で き る も の だ け を 考 え る.た "す べ て の 自然 数 の 集 合"と 合 で あ る が,"美   集 合Aを 集 合Aの

か"す

人 の 集 合"と

べ て の 正 三 角 形 の 集 合"な

か"大

い う集

き い 数 の 集 合"な ど は 数 学 の 対 象 で は な い.

構 成 す る 一 つ 一 つ の"も

の"をAの

元 と い う.あ

る"も

の"aが

元であ るとき a∈Aま

と か き,aはAに

属 す る,Aはaを

で な い と き, 

また は 

  1か

らnま

合 と い う.こ

た はA∋a 含 む な ど と い う.ま

れ に 対 して,す

た,aがAの

元

とか く.

で の 自 然 数 の 集 合 の よ うに,有

集 合 を 無 限 集 合 とい う.た る.数

と え ば,

どは 数 学 で

限 個 の 元 か らな る集 合 を 有 限 集

べ て の 自 然 数 の 集 合 の よ うに 無 限 個 の 元 か らな る だ 一 つ の 元 か ら な る 集 合 も わ れ わ れ の い う集 合 で あ

学 で は さ らに 元 を ま っ た く 含 ま な い 集 合 も 集 合 の 仲 間 に 入 れ て,こ

れを

空 集 合 と い う.   例1.  る.一

平 面 上 で,与

直 線 上 に な い3点

あ る.ま

た,一

 1.1.2  部

え られ た2点

を 通 る 円 の 集 合 は,た

直 線 上 の3点 分

集

だ 一 つ の 元 か らな る 有 限 集 合 で

を 通 る 円 の 集 合 は 空 集 合 で あ る.

合

  あ る ク ラ ス の 生 徒 の 集 合 をAと ば,BはAの

を通 るす べ て の 円 の集 合 は 無 限 集 合 で あ

し,そ

の ク ラ ス の 女 生 徒 の 集 合 をBと

一 部 分 か ら な る 集 合 で あ る.こ

の よ うに ,あ

る 集 合Aの

すれ 一 部分

か ら な る 集 合 をAの

部 分 集 合 と い う.一 般 に,BがAの

x∈B⇒x∈A 

(⇒

が 成 り立 つ こ とで あ る.こ あ る.BがAの

は"な

部 分 集 合 で あ る こ とは

らば"と

の 定 義 に よれ ば,A自

よ む)

身 はAの

一 つ の部分集合 で

部 分 集 合 で あ る とき B⊂Aま

とか き,BはAに

た はA⊃B

含 ま れ る,ま

な い と き, 

た はAはBを

ま た は 

含 む とい う.AがBを

と か く.Aと

の 真 部 分 集 合 と い う.BがAの

異 な るAの

含 ま

部 分 集 合 をA

真 部 分 集 合 で あ る と き, 

ま た は 

とか く.  1.1.3 

和 集 合 と共 通 集 合

 二 つ の 集 合AとBと

を 合 併 し て で き る 集 合 をAとBと

の 和 集 合 と い い,

記号 で A∪B とか く.す

な わ ち,和

べ て の 元 とBの

集 合A∪BはAの

す

す べ て の 元 とか ら な る 集 合 で

あ る.   ま た,AとBと

の 共 通 部 分 をAとBと

の

共 通 集 合 とい い,記 号 で A∩B と か く.す

な わ ち,共

通 集 合A∩BはAとBと

に 共 通 に 含 まれ る す べ て の

元 か らな る 集 合 で あ る.   集 合 を あ らわ す の に,よ 2,…,n}と

か い て1か

く"か らnま

っ こ"{…}が

用 い られ る.た

で の 自 然 数 の 集 合 を あ らわ す.ま

と え ば,{1, た

{x￨…} とか い て,…

を み た す す べ て のxの

い て の あ る 条 件 で あ る.た

とえ ば

集 合 を あ らわ す.こ

こ で,…

はxに

つ

{1,2,…,n}={x￨1≦x≦n,xは

こ の 記 号 を 用 い る と和 集 合,共

自 然 数}

通 集 合 は つ ぎ の よ うに あ ら わ さ れ る:

A∪B={x￨x∈Aま

た はx∈B}

A∩B={x￨x∈Aか   例2. 

整 数 の 集 合 に お い て,2の

つx∈B} 倍 数 の 全 体 をA,3の

倍 数 の 全 体 をBと

すれ ば A∩B={x￨xは2で

も3で

={x￨xは6の  

一 般 に,n個

も 割 り切 れ る 整 数}

倍 数}

の 集 合A1,A2,…,Anを

合 併 して で き る集 合 を こ れ ら の

和 集 合 とい い A1∪A2∪ とか く.ま

た,こ

…

∪An

れ らに 共 通 に 含 ま れ る す べ て の 元 か らな る 集 合 を これ ら の 共

通 集 合 とい い A1∩A2∩

…

∩An

とか く.   問1. 

つ ぎ を 証 明 せ よ.

 (1) 

A∪B=A⇔B⊂A

 (2) 

A∩B=B⇔B⊂A

 1.1.4 

集

合

の 直

  二 つ の 集 合AとBと 全 体 をAとBと

積 に 対 して,Aの

元aとBの

の 直 積 と い い,A×Bで

元bと

の 組(a,b)の

あ らわ す:

A×B={(a,b)￨a∈A,b∈B}   一 般 にn個 …,A

nの

の 集 合A1,A2,…,Anに 元anを

対 し て,A1の

元a1,A2の

な らべ た も の (a1,a2,…,an)

の 全 体 をA1,A2,…,Anの

直 積 と い い,A1×A2×

…

×Anと

か く:

元a2,

A1×A2×

…

各Aiがki個

×An={(a1,a2,…,an)￨ai∈Ai(i=1,2,…,n)}

の 元 か ら な る 有 限 集 合 な ら ば,直

…kn個

の 元 か ら な る 有 限 集 合 で あ る.

  1.2 

写

積A1×A2×

…

×Anはk1k2

像

  1.2.1 

写

像 の 概

集 合Aの

各 元aに

念

対 して,あ

る き ま っ た 規 則 に した が っ て 集 合Bの 元bが Bへ

対 応 す る と き,こ

一つ の

の 対 応 をAか

ら

の 写 像 と い う.写 像 を あ らわ す の に f:A→B

な ど と か く.ま aに

た,こ

Uの

写 像fに

よ るaの

元 の 像 の 全 体 をf(U),ま

U}.こ

れ はBの

あ る と き,す

っ て い る と き,fをAか   例1. 

Rを

か らR自

身 へ の 写 像f:R→Rが

実 数xにx+1を

の と き,g(R)=Rでgは

対 し て,

よ る 像 と よ ば れ る. 任 意 の 元 がAの

ある元 の 像 に な

意 の 実 数xにx2を

得 られ る.こ

対 応 さ せ る と,R

の と き,f(R)は

負 で ない

上 へ の 写 像 で は な い. 対 応 さ せ れ ば,写

像g:R→Rが

得 られ る.こ

上 へ の 写 像 で あ る.

  写 像f:A→Bに

お い て,Bの

集 合 をbの

か ぎ ら な い.bの

部 分 集 合Uに

上 へ の 写 像 と い う.

実 数 全 体 の 集 合 と し,任

す べ て の 実 数 の 集 合 でfは

て の 元aの

な わ ち,Bの

らBの

た はb=af

か く:f(U)=Uf={f(x)￨x∈

一 つ の 部 分 集 合 で,Uのfに

  f(A)=Bで

  例2. 

像 と い う.Aの

た はUfと

元

対 応 す る 元bを b=f(a)ま

な ど と か き,bを

の 写 像 でAの

元bに

原 像 と い う.原

原 像 をf−1(b)と

対 しf(a)=bと

な るAの

す べ

像 は 一 般 に た だ 一 つ の 元 か ら な る とは

か く:

f−1(b)={a￨a∈A,f(a)=b} 特 に,bがAの

像f(A)に

き はf−1(b)は

属 さな い と

空 集 合 で あ る.

  も っ と一 般 に,UがBの る と き,f(a)∈Uと

部 分集合 で あ

をUの

な るAの

元の全 体

原 像 と い い,f1(U)で

あ らわ す:

f−1(U)={a￨a∈A,f(a)∈U}   問2. 

例1.に

お い て,f−1(x)は

何 個 の 元 か ら な る か.

  問3. 

例2.に

お い て,g−1(x)は

何 個 の 元 か ら な る か.

  写 像f:A→Bが

上 へ の 写 像 で,し

つ と き,fをAか

らBへ

の1対1の

か もBの

各元が ただ一つ の原像 を も

写 像 と い う.fが1対1の

写像で あ る

た めの必要 十分条件は   (ⅰ)  f(A)=B   (ⅱ)  f(a)=f(a′)⇒a=a′ が 成 り立 つ こ と で,こ

の と きfに

よ っ てAの

元 とBの

元 とが 一 つず つ も れ

な く 対 応 す る.   1対1の

写 像f:A→Bに

られ る.す

な わ ち,Bの

対 して,そ 任 意 の 元bに

た だ 一 つ き ま る か ら,bに る.こ

れ がfの

1対1の

a自

逆 写 像f−1で

写 像 で,さ

  特 に,集

合Aか

ら に,f−1の らA自

対 してf(a)=bと 対 応 さ せ てBか

自然 に 得

な るAの らAへ

あ る:f(a)=b⇔a=f−1(b).逆 逆 写 像 はf自

身 へ の 写 像 をAの

  例3.

空 間(ま

元aが

の 写 像 が 得 られ 写 像 は また

身 で あ る:(f−1)−1=f. 上 の 変 換 と い う.Aの

身 を 対 応 させ る 変 換 を 恒 等 変 換(ま た は 恒 等 写 像)と い い,1Aで

れ は 明 らか に1対1の

る.そ

こ のaを

の 逆 写 像f−1:B→Aが

各 元aに 示 す.こ

変 換 で,そ の 逆 写 像 は ま た 恒 等 変 換 で あ る:1A−1=1A. た は 平 面)の

の 任 意 の 点Pに,Pを

す べ て の 点 の 集 合 をE3(ま

た はE2)と

す

一 定 の 方 向 に 一 定 の 距 離 だ け 移 動 さ せ た 点P′

を 対 応 さ せ る と,E3(ま が 得 られ る.こ

れ を 空 間(ま

る 平 行 移 動 と い う.平 の 変 換 で,一 る.す 点P′

aに

引 い た 終 点Q′

おけ

る 点Pが

平 行移 動に よ って と す れ ば,任

こ の 平 行 移 動 に よ っ て,Qか た が っ て,こ

意

らベ ク

の 平 行 移 動 は ベ ク トル

よ っ て 表 示 さ れ る.

  例4. 

空 間 に お い て,各

た 点 に 移 せ ば,E3の い,α

た は 平 面)に

行 移 動 は 明 らか に1対1

に 移 る と き,a=PP′

に 移 され る.し

上の変換

つ の ベ ク トル に よ っ て あ らわ さ れ

な わ ち,あ

の 点Qは トルaを

た はE2)の

点 を 定 直 線lの

上 の 変 換 が 得 られ る.こ

を そ の 回 転 角 とい う.回

  例5. 

まわ りに 一 定 の 角 α だ け 回 転 し れ を,lを

転 は 明 らか に1対1の

空 間 に お い て,各 点 を 定 平 面 π に 対 称 な 点

に 移 す 変 換 を π に 関 す る鏡 映 とい う.鏡 映 は 明 ら か に1対1の   例6. 

変 換 で あ る. 平 面 に お い て,各 点 を 定 点Oの

まわ りに 一

定 の角 α だ け 回 転 した 点 に 移 せ ば,E2の

上 の変 換

が 得 られ る.こ れ を 点Oを

中心 とす る 回転 と い い,

軸 とす る 回 転 とい 変 換 で あ る.

α を そ の 回転 角 とい う.こ れ は 明 らか に1対1の

変換 で あ る(回 転 角 は時 計 の

針 の 動 く向 き と反 対 の 向 きを 正 と して 符 号 を つ け る の が 普 通 で あ る).   例7.  平 面 に お い て,各 点 を 定 直 線lに 換 が 得 られ る.こ れ を 直 線lに

対 称 な 点 に 移 せ ば,E2の

上 の変

関

す る鏡 映 とい う.こ れ は 明 らか に1 対1の 変 換 で あ る.こ の平 面 を 含 む 空 間 の 中 で 考 えれ ば,こ の 鏡 映 はl を 軸 とす る 回 転 角 π(=180°)の   注 意1. 

回 転 に よ っ て ひ き お こ さ れ る.

空 間 ま た は 平 面 の 点 の 移 動 を 考 え る と き,力

の 過 程 を 考 慮 す る 場 合 が あ る が,上 と き に は,ど

学 な どで は そ の 途 中

の よ うに これ を 点 の 変 換 と して と ら え る

の 点 が ど の 点 に 移 っ た か だ け を 問 題 に し て,そ

の途 中 の過 程 は

考 慮 の ほ か に お い て い る の で あ る.   1.2.2 

写

  集 合Aか →Cに

像

の

積

ら集 合Bへ 対 し て,こ

a→g(f(a))が

の 写 像f:A→Bと,Bか

れ ら の 写 像f,gを

ら集 合Cへ

の 写 像g;B

続 け て 行 な え ば,Aか

らCへ

の 写像

得 られ る:

これ を 二 つ の 写 像fとgと

の 積 とい い,fgで

あ らわ す:

(fg)(a)=g(f(a)).  注 意2. 

二 つ の 写 像f,gの

積 は,fの

像 の 属 す る 集 合 とgの

原 像 の属 す

る 集 合 が 一 致 す る と き に の み 定 義 さ れ る.  注 意3. 

写 像 の 積 を 上 の よ うに 定 義 す る と き は,aのfに

か く 方 が 都 合 が よ い.こ

の 記 号 を 用 い る と,積fgに

よ る 像 をafと よ るaの

像は

a(fg)=(af)g に よ って 与 え られ る.  上 の 注 意3に

よ り,こ れ か ら写 像fに

よ るaの

像 を あ らわ す の に,主

とし

て 記 号afを   例8. 

用 い る こ とに す る. 空 間(ま

た は 平 面)に

お い て,ベ

ク トルa,bに

二 つ の 平 行 移 動 を そ れ ぞ れf,gで ベ ク トルa+bに   例9.  をf,gと fgは

し,そ

直 線lを

軸 とす る 二 つ の 回 転

れ ぞ れ の 回 転 角 を α,β 軸 と す る 回 転 角 α+β

に お け る 定 点Oを   定 理1.1 

あ らわ せ ば,積fgは

よ っ て あ らわ さ れ る 平 行 移 動 で あ る.

空 間 に お い て,定

ま たlを

よ っ て あ らわ さ れ る

と す れ ば,積

の 回 転 で あ る.平

面

中 心 と す る 回 転 に つ い て も 同 様 で あ る.

三 つの写像 f:A→B,g:B→C,h:C→D

に 対 して,次

の(結

合)法

則 が 成 り立 つ: (fg)h=f(gh)

  証 明 

a(fg)h=(afg)h=((af)g)h af(gh)=(af)gh=((af)g)h

  した が っ て,(fg)hもf(gh)も

と も に 三 つ の 写 像f,g,hを

順 次続けて い

った も の で 同 じ写 像 で あ る.    集 合Aか T(A)な Aの

らA自

身 へ の 変 換 の 全 体 をT(A)と

らば 積fgが

定 義 さ れ て,そ

恒 等 写 像1Aは

意 のf∈T(A)に

(証終) す る.こ

れ は ま たT(A)の

こ の 積 に 関 して 数 の1と

の と き,f,g∈ 元 で あ る.ま

同 じ性 質 を も つ.す

た,

な わ ち,任

対 して

1Af=f1A=f が 成 り立 つ.   T(A)の

中 で1対1の

変 換 の 全 体 をS(A)と

つ の命 題 が 成 り立 つ.   (ⅰ)  f,g∈S(A)⇒fg∈S(A)   (ⅱ)  f,g,h∈S(A)な

らば

す れ ば,こ れ に 対 して 次 の 四

(fg)h=f(gh) 

(結 合 法 則)

が 成 り立 つ.   (ⅲ)  1A∈S(A)で,任

意 のf∈S(A)に

対 して

1Af=f1A=f が 成 り立 つ.   (ⅳ)  f∈S(A)な

らば,f−1∈S(A)で ff−1=f−1f=1A

が 成 り立 つ.   (ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)が

成 り立 つ こ と は 明 らか で あ る が,(ⅰ)が

次 の よ うに して 証 明 さ れ る.f,gをAの

成 り立 つ こ とは

上 の 二 つ の1対1の

変 換 とす れ ば

た,afg=bfgと

す れ ば,(af)g

Afg=(Af)g=Ag=A と な る か ら,fgは =(bf)gで

上 へ の 写 像 で あ る.ま

あ る か らaf=bf,し

た が っ てa=b.す

な わ ち,fgは1対1の

写 像 で あ る.   S(A)が

こ れ ら の 条 件 を み た す こ とは,S(A)が

あ る こ と を 示 す も の で,こ ば れ,"群"の

  1.3 

の よ うな1対1の

変 換 か ら な る"群"は

演

算

義 さ れ て い る.す

な わ ち,任

お い て は,加

法,乗

た は 積 と よ ば れ る 実 数abが

  一 般 に,集

お い て 任 意 の 二 元a,bに

aとbと c=a+bと

合Gに

定 ま る と き,Gに

法 と よば れ る二 つ の 演 算 が 定

意 の 二 つ の 実 数a,bに

ば れ る 実 数a+b,ま

元cが

変 換 群 とよ

最 も 重 要 な 実 例 で あ る.

  す べ て の 実 数 の 集 合Rに

Gの

次 の 章 で 定 義 す る"群"で

対 し て,こ

れ らの和 と よ

定 ま る. 対 し て,あ

る規則 に した が って

お い て 演 算 が 定 義 さ れ て い る と い う.そ

を こ の 演 算 で 結 合 し た 元 がcで か い た りす る.c=abと

あ る と い い,c=abと

か く と き,こ

し て,

か い た り,

の 演 算 を 乗 法 と よ び,

c=a+bと

か く と き 加 法 と よ ぶ.

  Gに

お い て 演 算 が 定 義 さ れ て い る と い う こ とは,写

らGへ

の 写 像fが

がaとbと て,こ

与 え ら れ て い る こ と に ほ か な ら な い.こ

を 結 合 した 元 で,演

れ をabと

  例1. 

像 を 用 い れ ばG×Gか

算 を 乗 法 と よぶ か 加 法 と よ ぶ か に した が っ

か い た りa+bと

1.2で

の と き,f(a,b)

か く の で あ る.

定 義 したT(A),S(A)は

と もに 乗 法 の定 義 され た 集 合 で あ

る.   例2. 

空 間(ま

た は 平 面)に

ベ ク トル の 和 に つ い てVは   演 算(た

お け る ベ ク トル の 全 体 をVと

す れ ば,普

通の

と え ば 乗 法)の

合 法 則 が 成 り立 つ とい う.三

つの

加 法 の 定 義 さ れ た 集 合 で あ る. 定 義 さ れ た 集 合Gに

お いて

(ab)c=a(bc) が 任 意 のa,b,cに 元a,b,cを

対 し て 成 り立 つ と き,結

こ の 順 序 で つ ぎ つ ぎ に 結 合 す る 仕 方 は 上 の 二 通 り しか な い か ら,

結 合 法 則 が 成 り立 つ こ とは,そ

の 結 合 の 仕 方 に 無 関 係 に 結 果 が 一 意 的 に定 ま る

こ と を 意 味 し て い る.   一 般 にn個

の 元a1,a2,…,anを

最 初 か ら つ ぎ つ ぎ に 結 合 して 得 られ る 元

(…((a1a2)a3)…)an をa1a2…anと

か く.Gに

お い て 結 合 法 則 が 成 り 立 て ば,a1,a2,…,anを

こ の 順 序 で ど ん な 仕 方 で つ ぎ つ ぎ に 結 合 し て も,結 に 一 致 す る こ とが 証 明 さ れ る(話 つ い て(結

題1).た

果 は つ ね に 上 のa1a2…an

と え ば,四

つ の 元a1,a2,a3,a4に

合 法 則 を 用 い て) (a1a2)(a3a4)=((a1a2)a3)a4=a1a2a3a4

  問4.(a1(a2a3))a4,a1((a2a3)a4),a1(a2(a3a4))は い こ とを 証 明 せ よ(た

だ し,結

  演 算 の 定 義 さ れ た 集 合Gに ぶ こ とが あ る.

す べ てa1a2a3a4に

等 し

合 法 則 が 成 り立 つ も の とす る). お い て 結 合 法 則 が 成 り立 つ と き,Gを

半群 と よ

  半 群Gの

二 つ の 元a,bに

対 して ab=ba

が 成 り立 つ と き,aとbと 換 で あ る と き,Gに

は 可 換 で あ る と い う.ま

た,Gの

お い て 交 換 法 則 が 成 り立 つ と い う.こ

個 の 元 の 列a1,a2,…,anに

対 し て,そ

任意 の 二 元 が 可 の と き,任

意 のn

の 順 序 を か え た 列 をap1,ap2,…,apn

とす る と ap1ap2…apn=a1a2…an

が つ ね に 成 り立 つ(話

題1).

  〔話 題1〕   一 般 の 結 合 法 則 と 交 換 法 則   半 群Gに

お い て,n個

の 元 の 列a1,a2,…,anを

合 す る と い う こ と は,正 る.ま

ず,あ

確 に い え ば,次

こ の順 序 でつ ぎつ ぎに 結

の 操 作 を つ ぎつ ぎに 行 な う こ と で あ

る 隣 り合 っ た 二 元aiとai+1と

を 結 合 し てn−1個

の元の列

a1,…,(aiai+1),…,an が 得 られ る.次

に,こ

の 列 の あ る 隣 り合 っ た 二 元 を 結 合 してn−2個

が 得 られ る.こ

の 操 作 を つ ぎ つ ぎ に 行 な え ば 最 後 に はGの

の元の列

あ る一 つ の 元 が 得

られ る.   Gに

お い て 結 合 法 則 が 成 り立 つ こ とか ら,上

の操 作 に よ って 得 られ た 最 後

の 結 果 が 途 中 の 操 作 に 無 関 係 に 一 意 的 に 定 ま り,つ こ と をnに   n=1,2の

ね にa1a2…anに

等 しい

関 す る 帰 納 法 で 証 明 し よ う. と き は 証 明 す る ま で も な い.n=3の

ち 結 合 法 則 で あ る. 

と し て,n−1個

り立 つ と仮 定 し よ う.n個 を 結 合 し て 得 られ るn−1個

と きは 上 の 事 柄 は す な わ

の 元 の 列 に 対 して は 上 の 事 柄 が 成

の 元 の 列a1,a2,…,anに の 元 の 列 をAkと

対 し て,akとak+1と す る:

Ak:a1,…,(akak+1),…,an 帰 納 法 の 仮 定 に よ り,Akか る.特

に

ら は 途 中 の 操 作 に 無 関 係 に 元skが

一意 的に 定 ま

A1:(a1a2),a3,…,an

か ら定 ま る 元s1はa1a2…anに

等 し い.し

た が っ て,sk=s1が

つ ね に 成 り

立 つ こ と を 証 明 す れ ば よ い.   ま ず,k>2の

と き,Akの

最 初 の 二 項 を 結 合 す れ ば

Ak1:(a1a2),…,(akak+1),…,an が 得 ら れ る.そ k−1番

し て,こ

目 とk番

元 はs1に

あ る.一

方,Ak1はA1の

目 の 項 を 結 合 し て 得 ら れ る 列 で も あ る か ら,こ

等 し い.し

  次 に,k=2の

れ か ら 定 ま る 元 はskで

た が っ て,sk=s1を

と き,A2の

れ か ら定 ま る

得 る.

最 初 の 二 項 を 結 合 す れ ば A21:a1(a2a3),a4,…,an

が 得 ら れ,こ

れ か ら 定 ま る 元 はs2で

あ る.一

方,結

合 法 則 に よ り,A21は

(a1a2)a3,a4,…,an に 等 し く,こ

れ はA1の

ら 定 ま る 元 はs1に   次 に,半

群Gに

最 初 の 二 項 を 結 合 し て 得 ら れ る 列 で あ る か ら,こ

等 し い.し

た が っ て,s2=s1を

お い て 交 換 法 則 が 成 り立 つ

序 を ど ん な に か え てap1,ap2,…,apnを

れ か

得 る. と 仮 定

し,a1,a2,…,anの

順

つ く って も

ap1ap2…apn=a1a2…an

が 成 り立 つ こ と をnに   n=2の

と き は,上

関 す る 帰 納 法 で 証 明 し よ う. の 事 柄 は 交 換 法 則 に ほ か な らな い.n−1個

て 成 り立 つ と 仮 定 し,n個

の 元 に つ い て 証 明 す る.a1a2…anに

の 隣 り合 っ た 元 を 入 れ か え て も,aiai+1=ai+1aiで な い.こ

の 操 作 を 何 回 か つ づ け て,apnを

の元に つ い お い て,二

つ

あ る か ら積 の 結 果 は か わ ら

最 後 に も っ て ゆ く こ とが で き る:

a1a2…an=a1…apn−1apn+1…anapn

ap1…apn−1はa1…apn−1apn+1…anの

順 序 を か え て 結 合 し た も の で あ る か ら,

帰 納 法 の 仮 定 に よ り こ れ に 等 し い.し

た が って

a1a2…an=ap1…ap−1apn

を 得 る.

問 1.1  集 合Xの

部 分 集 合A,B,Cに

  (1) 

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

  (2) 

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

  (3) 

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

  (4) 

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

1.2  f:A→Bを   (1) 

集 合Aか

U,VをAの

題1 対 し て,次

らBへ

の 等 式 が 成 り立 つ こ と を 証 明 せ よ.

の 写 像 と す る.

部 分 集 合 とす れ ば f(U∪V)=f(U)∪f(V) f(U∩V)⊂f(U)∩f(V)

  (2) 

U′,V′

をBの

部 分 集 合 とす れ ば f−1(U′ ∪V′)=f−1(U′)∪f−1(V′) f−1(U′ ∩V′)=f−1(U′)∩f−1(V′)

2.  群

  2.1 

群

の

  演 算(た

定

概

念

義

と え ば 乗 法)の

て い る と き,Gを

の

定 義 さ れ た 集 合Gに

お い て,次

の条 件がみ た さ れ

群 と よ ぶ.

  Ⅰ  結 合 法 則:Gの

任 意 の 三 元a,b,cに

対 して

(ab)c=a(bc) が 成 り立 つ.   Ⅱ  単 位 元 の 存 在:Gの

任 意 の 元xに

対 して

xe=ex=x

が 成 り立 つ よ うな 特 定 の 元eが

存 在 す る(こ の よ うな 元eをGの

単位 元 と

い う).   Ⅲ  逆 元 の 存 在:Gの

各 元aに

対 して

aa−1=a−1a=e

を み た す 元a−1が

存 在 す る(こ

の よ うな 元a−1をaの

逆 元 と い う).

  上 の 三 つ の 条 件 を 群 の 公 理 と よ ぶ こ と が あ る.   群Gが

さ らに つ ぎ の 条 件 を み た す と き,こ

れ を ア ー ベ ル 群 また は 可 換 群 と

い う.   Ⅳ   交 換 法 則:Gの

任 意 の 二 元a,bに

対 して

ab=ba が 成 り立 つ.   群Gが

有 限 個 の 元 か ら な る と き,こ

の 位 数 とい う.Gの き,こ

位 数 を 記 号 で￨G￨と

れ を 有 限 群 と い い,そ か く.Gが

の 元 の 個 数 をG

無 限個 の 元 か らな る と

れ を 無 限 群 と い う.

  例1. 

Q*を0と

異 な るす べ て の 有 理 数 の 集 合 と す れ ば,こ

れ は普通 の数

の 乗 法 に 関 し て ア ー ベ ル 群 を つ く る.単

位 元 は1で,aの

逆 元 は 逆 数1/aで

あ る.   同 様 に,0と

異 な る す べ て の 実 数 の 集 合,0と

異 な るす べ て の複 素 数 の 集 合

な ど も ア ー ベ ル 群 を つ く る.   例2. 

集 合Aの

上 の1対1の

般 に ア ー ベ ル 群 で は な い.た

変 換 の 全 体S(A)は と え ば,A={1,2,3}の

f:1→2,  g:1→1,  を とれ ば,fgに

れ は 一

上の二 つの変 換

2→1, 

3→3

2→3, 

3→2

よ っ て1→3,gfに

群 を つ く る.こ

よ っ て1→2で

あ る か ら, 

で

あ る.   問1. 

す べ て の 有 理 数 の 集 合 は 乗 法 に 関 し て 群 を つ く ら な い.ど

の 公理 が

み た さ れ な い か.   問2. 

0と 異 な る す べ て の 整 数 の 全 体 は 乗 法 に 関 し て 群 を つ く ら な い.ど

の 公 理 が み た さ れ な い か.   例 題1.  ab=eな

群Gに

お い て,aa=aな

らば,b=a−1,a=b−1で

  証 明   aa=aの

らばa=e(単

位 元)で

あ る.ま

た,

あ る.

両 辺 に 右 か らa−1を (aa)a−1=aa−1,  ae=e 

かけると a(aa−1)=e ∴a=e

と な る.   ま た,ab=eの

両 辺 に 左 か らa−1を a−1(ab)=a−1e,  eb=a−1 

を 得 る.同

様 に,ab=eの

か け る と (a−1a)b=a−1 ∴b=a−1

両 辺 に 右 か らb−1を

か け て,a=b−1を

得 る. (証 終)

  2.2 

群 の 簡 単 な 性 質

  こ の 節 で は,群 群Gに   (1) 

の 公 理 か ら 簡 単 に 導 か れ る 事 柄 に つ い て の べ る.す

な わ ち,

お い て 次 の 事 柄 が 成 り 立 つ こ と を 示 そ う. 単 位 元 の 一 意 性:公

理 Ⅱ の 条 件 を み た す 元(単

位 元)は

た だ 一 つ 存 在

す る.   証 明   e′ がGの 特 にx=e′

任 意 の 元xに

対 し て,xe′=e′x=xを

と お い て,e′e′=e′.し

み た す と す れ ば,

た が っ て,2.1,例

題1.に

よ りe′=e

を 得 る.   (2) 

逆 元 の 一 意 性:Gの

元aに

対 して

ab=ba=e を み た す 元b(aの   証 明   bが   (3) 

逆 元)は

た だ 一 つ 存 在 す る.

上 の 等 式 を み た せ ば,2.1,例

簡 約 法 則:ax=ay(ま

  証 明   ax=ayの

題1.に

両 辺 に 左 か らa−1を

ら ば,x=yで

あ る.

か け る と (a−1a)x=(a−1a)y

ex=ey  除 法 の 可 能 性:二

な る.

た は,xa=ya)な

a−1(ax)=a−1(ay), 

  (4) 

よ りb=a−1と

∴x=y

元a,bに

対 して

ax=b,ya=b を み た す 元x,yが

一 意 的 に 定 ま り,そ

れ ぞ れx=a−1b,y=ba−1と

  証 明   ax=bの

両 辺 に 左 か らa−1を

か け て

a−1(ax)=a−1b, 

(a−1a)x=a−1b

ex=a−1b  し た が っ て,ax=bを =a−1bと

な る .逆

∴x=a−1b

み た す 元xが に,x=a−1bと

な る.

あ れ ば,そ

れ は 一 意 的 に 定 ま り,x

お け ば

ax=a(a−1b)=(aa−1)b=eb=b と な る か ら,こ

れ はax=bの

解 で あ る.ya=bを

み た すyに

つ い て も ま

っ た    

く 同 様 に 証 明 さ れ る.

(5) 

(a1a2…an)−1=an−1…a2−1a1−1

証 明   (a1a2…an)(an−1…a2−1a1−1)=e

が 成

り 立 つ こ と を 証 明 す れ ば

で 証 明 す る.n=1の

よ い(2.1,例

と き は 明

題1).こ

らか で あ る か

つ い て は 成 立 す る と 仮 定 す る.こ

の

れ をnに

ら,n>1と

関 す

る 帰

し,n−1個

納

法

の 元 に

と き

(a1…an−1an)(a−1na−1n−1…a1−1)=a1…an−1(anan−1)a−1n−1…a1−1 =a1…an

−1ea−1n−1…a1−1=(a1…an−1)(a−1n−1…a1−1)

=e

  例 題1.  Gは

群Gの

任 意 の 元xに

対 してx2=eで

あ れ ば,x=x−1と

な り,

ア ー ベ ル 群 で あ る.

  証 明   x2=eの

両 辺 に 右 か らx−1を

かけれ ば

x2x−1=ex−1,  と な る.い

ま,a,bをGの

x=x−1

任 意 の 二 元 とす れ ば ab=(ab)−1=b−1a−1=ba

と な り,Gは

ア ー ベ ル 群 で あ る. 

(証 終)

  〔話 題2〕   群 の 公 理 に つ い て   群 の公理 で あ る.一

Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

は,こ

れ か ら展 開 し よ う と す る 理 論 の 出 発 点 とな る も の

般 に 公 理 とは,実

在 す る 重 要 な 具 体 例 か らそ の 本 質 的 な 事 柄 を 抽 出

し整 理 した も の で,そ

れ ら を 出 発 点 と して 展 開 さ れ る 理 論 は 個 々 の 具 体 例 に 対

し て す べ て 適 用 で き る と い う普 遍 性 を 有 す る も の で あ る.こ 成 法 は 現 代 の 数 学 を 色 ど る 特 徴 的 な 思 想 で,公   最 初 に と る 公 理 の 選 択 は,そ で あ る が,重

の よ うな 理 論 の 構

理 主 義 と よ ば れ て い る.

れ が 矛 盾 を 含 ま な い か ぎ り一 応 わ れ わ れ の 自 由

要 な 具 体 例 の裏 づ け の な い 場 合 に は 興 味 あ る深 い 理 論 の 進 展 は 期

待 しが た い の が 普 通 で あ る.ま じ 理 論 体 系 が 得 られ る が,一

た,た

が い に 同 値 な二 つ の 公 理 系 か らは 当 然 同

つ の 理 論 体 系 に 対 し て,最

初 に で き るだ け 無駄 の

な い 公 理 系 を 選 び た い と考 え る の は,そ

の 実 用 性 よ り もむ し ろ 数 学 者 の 一 つ の

審 美 眼 に よ る も の と も い うべ き も の で あ る.こ の か わ りに,よ

の 意 味 で,群

の公 理

Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

り簡 単 な 次 の 三 つ を 群 の 公 理 と して も よ い.

  Ⅰ  結 合 法 則:Gの

三 元a,b,cに

対 して

(ab)c=a(bc) が つ ね に 成 り立 つ.   Ⅱ ′ 右 単 位 元 の 存 在:Gの

任 意 の 元xに

対 して

xe=x

を み た す よ うな 特 定 の 元(右 単 位 元)eが   Ⅲ ′ 右 逆 元 の 存 在:Gの

各 元aに

存 在 す る.

対 して

aa−1=e

を み た す 元(右

逆 元)a−1が

  実 際,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ る が,逆

が 成 り立 て ば,Ⅰ,Ⅱ

′,Ⅲ ′が 成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ

に Ⅰ,Ⅱ ′,Ⅲ ′か ら Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ

が 次 の よ うに し て 導 か れ る.

任 意 の 元 と す れ ば,a−1に

対 して Ⅲ ′に よ りa−1a′=eを

  aをGの 元a′

存 在 す る.

が 存 在 す る.こ

み たす

の とき a−1a=a−1ae=a−1aa−1a′=a−1ea′

=a−1a′=e

と な り,Ⅲ

が 成 り立 つ.ま

た

ea=(aa−1)a=a(a−1a)=ae=a と な る か ら Ⅱ が 成 り立 つ.

  2.3 

加

群

  ア ー ベ ル 群 に お い て は,そ の と き,群

の 演 算 を 加 法 の 形 で か く こ と が しば しば あ る.こ

0と か き,ま

を 加 群 ま た は 加 法 群 とい い,そ た 元aの

逆元 を

−aと

の 単 位 元 を 零 元 と よ ぶ.零

か く.

元を 普通

  加 法 の 定 義 さ れ た 集 合Gが

加 群 で あ る とは,詳

し く い え ばGが

次の四つ の

条 件 を み た す こ と で あ る.   Ⅰ  結 合 法 則:Gの

三 元a,b,cに

対 して

(a+b)+c=a+(b+c) が つ ね に 成 り立 つ.   Ⅱ  零 元 の 存 在:Gの

任 意 の 元xに

対 して

x+0=0+x=x を み た す よ う な 特 定 の 元0が   Ⅲ   逆 元 の 存 在:Gの

存 在 す る.

各 元aに

対 して

a+(−a)=(−a)+a=0 を み たす 元

−aが

存 在 す る.

  Ⅳ  交 換 法 則:Gの

任 意 の 二 元a,bに

対 して

a+b=b+a が つ ね に 成 り立 つ.   加 群Gに

お い て は,a+(−b)をa−bと

た 差 と い う.こ   例1. 

か い て,こ

れ をaか

れ は,x+b=aを

み た す た だ 一 つ の 解 で あ る.

す べ て の 整 数 の 集 合Z,す

べ て の 有 理 数 の 集 合Qな

らbを

引い

どは,数

の加

法 に 関 して 加 群 を つ く る.   例2. 

空 間(ま

た は 平 面)に

お け る す べ て の ベ ク トル の 集 合 は,普

通 の ベ

ク トル の 加 法 に 関 して 加 群 を つ く る.   問3. 

負 で な い す べ て の 整 数 の 全 体 は,数

の 加 法 に 関 し て 加 群 を 作 ら な い.

ど の 条 件 が み た さ れ て い な い か を い え.

  2.4 

部

分

群

  2.4.1 

部 分 群 の 定 義

  群Gの

部 分 集 合Hが

次 の 二 つ の 条 件 を み た す と き,こ

れ をGの

部 分群 と

い う:   (ⅰ)  a,b∈H⇒ab∈H   (ⅱ)  a∈H⇒a−1∈H   Hが

上 の 二 つ の 条 件 を み た せ ば,HはGに

して 群 を つ く る.実 て お り,結 す る.ま

合 法 則 はGに

た,(ⅱ)に

演 算 の 定 義 さ れ た 集 合 で あ る こ とを 示 し

お い て 成 立 し て い る か ら も ち ろ んHに

よ っ て 逆 元 の 存 在 が 保 障 さ れ,さ

ば,a−1∈Hよ

り(ⅰ)を

元 が 存 在 す る.こ Ⅱ,Ⅲ

際,(ⅰ)はHが

お い て 定 義 され て い る 乗 法 に 関

用 い てe=aa−1∈H.す

の よ うに して,Hは

お

らに,Hの

い て も成 立 元aを

な わ ち,Hの

とれ

中に 単位

演 算 の 定 義 され た 集 合 で,群

の 公 理 Ⅰ,

を み た す か ら 群 を つ く る.

  群Gに

お い て,G自

な る 集 合{e}もGの

身 は 一 つ の 部 分 群 で あ る.ま 部 分 群 で あ る.Gと

も{e}と

た,単

位 元eだ

も 異 な るGの

け か ら

部 分 群 をG

の 真 部 分 群 と い う.   例 題1. 

群Gの

部 分 集 合HがGの

部分群 であ るため必要 十分 な条 件は

  (ⅲ)  a,b∈H⇒ab−1∈H が み た さ れ る こ と で あ る.   証 明   (ⅰ),(ⅱ)が ∈H.し

成 り立 つ とす れ ば,a,b∈Hに

た が っ て,(ⅰ)に

(ⅲ)が

よ りab−1∈Hと

成 り立 つ とす る.a∈Hと

=a−1∈Hと

な り(ⅱ)が

  群Gの STと

た,a,b∈Hと

な り(ⅰ)が

二 つ の 部 分 集 合S,Tに

対 して,Sの

か く: ST={st￨s∈S,t∈T}

ま た,Sの

な り(ⅲ)が

す れ ば,e=aa−1∈H.し

成 り立 つ .ま

あ る か らa(b−1)−1=ab∈Hと

対 し て(ⅱ)に

元 の 逆 元 の 全 体 をS−1と

か く:

S−1={s−1￨s∈S}

成 り立 つ.  元 とTの

よ りb−1

成 り 立 つ.逆

に

た が っ て,ea−1 す れ ば,b−1∈Hで (証 終) 元 との 積 の 全 体 を

こ の と き,明

ら か に 次 の 等 式 が 成 り立 つ:

(S−1)−1=S, 

(ST)R=S(TR), 

こ の 記 号 を 用 い れ ば,Gの

(ST)−1=T−1S−1

部 分 集 合HがGの

部 分 群 で あ る ため 必 要 十 分 な

条 件は   (ⅰ′) HH⊂H, 

(ⅱ′) H−1⊂H

が み た さ れ る こ と で あ る.あ

るい は

  (ⅲ′) HH−1⊂H が み た さ れ る こ とで あ る と い っ て も よ い.そ =H

,H−1=H,HH−1=Hが

得 る.ま

りHH⊃He=H.し た,aをHの

a=(a−1)−1∈H−1.よ

と は,Hが

任 意 の 元 とす れ ば,a−1∈Hで

お い て は,そ

部

あ る か ら,

あ わ せ てH−1=Hを

あ る か ら,(ⅲ′)に

加 群Gに

際,Hが

た が っ て,(ⅰ ′)と あ わ せ て

っ て,H⊂H−1.(ⅱ′)と

さ ら に,HH−1=HH=Hで   注 意1. 

の と き 実 は 等 式HH

成 り立 つ こ と に 注 意 して お く.実

分 群 で あ れ ば,e∈Hよ HH=Hを

し て,こ

得 る.

お い て 等 号 が 成 立 す る.

の 部 分 集 合Hが

部 分 加 群 で あ る とい う こ

次 の条件

  (ⅰ″) a,b∈H⇒a+b∈H  

(ⅱ″) a∈H⇒

−a∈H

 を み た す こ と で あ る.あ  

るい は

(ⅲ″)  a,b∈H⇒a−b∈H

 を み た す こ と で あ る とい っ て も よ い.   例1. 

0と 異 な る す べ て の 実 数 の つ く る 乗 法 群R*の

て の 有 理 数 の つ く る 乗 法 群Q*は   例2.  加 法 群Zは   例 題2. 

中 で0と

異な るすべ

そ の 部 分 群 で あ る.

す べ て の 有 理 数 の つ く る 加 法 群Qの

中 で,す

べて の整数 の つ くる

そ の 部 分 加 群 で あ る. H,Kが

部 分 群 で あ る.

と も に 群Gの

部 分 群 で あ れ ば,共

通 集 合H∩KもGの

  証 明   a,b∈H∩Kと ∈H.同

す れ ば,aとbと

様 にab−1∈Kが

は と も にHの

い え る か ら,ab−

∈H∩Kと

元 で あ る か らab−1 な り,H∩KはG

の 部 分 群 で あ る.    例 題3. 

(証 終)

群Gの

二 つ の 部 分 群H,Kに

対 して,HKが

ま たGの

部分群 と

な るため 必要十 分な条 件は HK=KH が 成 り立 つ こ とで あ る.   証 明   HK=KHが

成 り 立 つ とす れ ば

(HK)(HK)−1=HKK−1H−1=HKH−1=KHH−1 =KH した が っ て,HKはGの

部 分 群 で あ る.逆

に,HKが

部 分 群 で あ る とす れ ば

HK=(HK)−1=K−1H−1=KH とな る. 

(証終)

  例 題4. 

集 合Aの

部 分 集 合Bに ={f￨f∈G

上 の す べ て の1対1の

対 し て,BをB自

身 に うつ すGの

,Bf=B}.こ

  証 明   H∋f,gと

変 換 の つ く る 群 をGと

の と き,HはGの

元 の 全 体 をHと

し,Aの す る:H

部 分 群 で あ る.

す れば Bfg=(Bf)g=Bg=B

した が っ て,fg∈Hで

あ る.ま

各aiをai自

A,Gを

Bff−1=Bf−1

B1A=Bf−1 

∴B=Bf−1

な り,HはGの

例 題4の

身 に 移 すGの

(i=1,2,…,n)}.こ

両 辺 にf−1を

(Bf)f−1=Bf−1, 

し た が っ て,f−1∈Hと   問4. 

た,Bf=Bの

部 分 群 で あ る. 

とお り と す る.Aの 元 の 全 体 をHと

の と き,HはGの

ほ ど こ して

元a1,a2,…,anに す る:H={f￨f∈G,aif=ai

部 分 群 で あ る.

(証 終) 対 し て,

  2.4.2 

巡

 群Gの

回 部 分 群

元aのn個

をaのn乗

と い い,anと

をaの ば,任

の積

−n乗

とい い,a−nと

意 の 整 数mに

と い う.こ

か く.ま

か く.さ

対 してamが

の と き,任

た,a−1のn個

の 積

ら に,a0=e(単

定 義 さ れ る.こ

意 の 整 数m,nに

位 元)と

れ を 元aの

定 義 す れ

累 乗 また は べ き

対 して

(an)−1=a−n aman=am+n

(am)n=amn が 成 り立 つ こ と が 容 易 に 証 明 さ れ る.特

に,ab=baな

らば

(ab)n=anbn が 成 り立 つ.   注 意2. 

加 群Gに

お い て は,元aのn個

をaのn倍

と い い,naと

を(−n)aと

か く.さ

任 意 の 整 数mに

か く.ま

ら に0a=0(右

対 し てmaが

の和

た,−aのn個

辺 の0はGの

定 義 さ れ,次 −(na)=(−n)a ma+na=(m+n)a n(ma)=(nm)a

の和

零 元)と

の 等 式 が 成 り立 つ.

定 義 す れ ば,

n(a+b)=na+nb   群Gの

元aの

べ き の全 体 …

をHと

,a−2,a−1,a0=e,a,a2,…

す る:H={an￨n∈Z}.こ

H∋am,anと

の と き,HはGの

部 分 群 で あ る.実

際,

すれ ば am(an)−1=ama−n=am−n

と な り,こ

れ は ま たHの

元 で あ る.Hを

部 分 群 と い い,H=〈a〉   特 に,G=〈a〉

と か く.ま

で あ る と き,す

部 分 群 で あ る と き,Gを

aに  

加 群Gに

た,こ

あ る か ら,巡

よ っ て 生 成 さ れ るGの

の と きaをHの

な わ ちG自

巡 回 群 とい い,aを

anam=an+m=am+nで   注 意3. 

元aに

巡回

生 成 元 と い う.

身 あ る 元aで

生成 さ れ る 巡 回

そ の 生 成 元 と い う.aman=am+n,

回 群 は ア ーベ ル 群 で あ る .

お い て は,元aのm倍

の 全 体H={ma￨m∈Z}が

元

よ っ て 生 成 さ れ る 巡 回 部 分 加 群 で あ る.

群Gの

元aに

群 で あ る と き,nを

よ っ て 生 成 さ れ る 巡 回 部 分 群H=〈a〉 元aの

位 数 と い う.Hが

が 位 数nの

無 限 群 の と き はaの

有限 位数 は

無 限 大 で あ る と い う.   定 理2.1  Gは

巡 回 群G=〈a〉

有 限 巡 回 群 で あ る.か

位 数 はnで,Gは

に お い て,am=eを か るmの

異 な るn個

み た す 自 然 数mが

う ち 最 小 な 自 然 数 をnと

あれば

す れ ば,Gの

の元

a0=e,a,a2,…,an−1

か ら な る.さ

ら に,こ

の と きak=eな

ら ば,kはnの

  証 明   ま ず,ai(i=0,1,…,n−1)が =as, 

倍 数 で あ る.

す べ て 異 な る こ と を 証 明 す る.ar

と す れ ば ,こ

の 両 辺 にa−sを

か け て

ar−s=as−s=a0=e

を 得 る.こ =sと

こ で, 

な る.

で あ る か ら,nの

最 小 性 に よ りr−s=0,r

つ ぎ に,akをaの

任意 のべ き と し

とす れ ば

ak=anq+r=(an)qar=ar し た が っ て,Gの ={a0=e

任 意 の 元 はa0=e,a,…,an−1の

,a,…,an−1}.よ

  さ ら に,ak=eと

で あ る か ら,nの

い ず れ か と 一 致

っ て,￨G￨=nを

す れ ば,上

し,G

得 る.

の考 察 で

最 小 性 に よ りr=0.し

た が っ て,kはnの

倍 数 で あ る. (証 終)

  この 定 理 に よ り,群Gの を み たす 自然 数nの   定 理2.2 

元aの

位 数 が 有 限 で あれ ば,aの

位 数 はan=e

うち最 小 の もの で あ る.

G=〈a〉

が 無 限 巡 回 群 な らば …

,a−2,a−1,a0=e,a,a2,…

は す べ て 異 な る.   証 明   ar=as, 

とす れ ば,ar−s=e.こ

限 群 と な る か ら,r=sを   例 題5. 

群Gの

ら ばGは

得 る. 

元a,bが

い に 素 で あ れ ば,abの

こで,r>sな

有

(証 終)

可 換 で,aの

位 数 はmnで

位 数mとbの

位 数nと

が たが

あ る.

  証 明   (ab)mn=amnbmn=(am)n(bn)m=e し た が っ て,abの

位 数 は 有 限 で,そ

れ はmnの

約 数 で あ る.一

方,lをab

の 位 数 とす れ ば (ab)l=albl=e, 

al=b−l

∴aln=b−ln=e

した が っ て,lnはaの はmで

割 り切 れ る.同

位 数mで

割 り切 れ る.nはmと

じ よ うに して,lはnで

素 で あ る か ら,l

も 割 り切 れ る.mとnは

た

が い に 素 で あ る か ら,lはmnの

倍 数 と な り,l=mnを

得 る. 

  与 え られ た 巡 回 群 の 生 成 元 は 一 つ と は か ぎ ら な い.そ

(証 終)

れ に 関 して 次 の定 理 が

成 り立 つ.   定 理2.3 

巡 回 群G=〈a〉

だ け で あ る.Gが

位 数nの

が 無 限 巡 回 群 な らば,Gの

生 成 元 はaとa−1

有 限 巡 回 群 で あ る と き は,aの

べ きarがGの

生 成 元 で あ る た め 必 要 十 分 な 条 件 はrがnと   証 明   b=arがGの とか け る.し

た が い に 素 で あ る こ と で あ る.

生 成 元 で あ る とす れ ば,aはbの

べ き と してa=bs

た が って a=bs=(ar)s=ars

ars−1=e

と な る.   Gが

無 限 巡 回 群 の と き は,定

あ る か らr=±1で で あ る が,こ   Gが

よ りrs=1.r,sは

な け れ ば な ら な い.し

れ らが 実 際 にGの

位 数nの

で あ る.し

理2.2に

た が っ て,Gの

と もに 整 数 で 生 成 元 はaかa−1

生 成 元 で あ る こ と は 明 らか で あ る.

有 限 巡 回 群 の と き は,定

理2.1に

よ りrs−1はnの

倍数

た が って rs−1=nt, 

と な り,rとnと b=arはGの

rs−nt=1

は た が い に 素 で あ る.逆

に,rがnと

生 成 元 で あ る こ と を 示 す.そ

b0=e,b,…,bn−1が

の た め に は,￨G￨=nで

す べ て 異 な る こ と を い え ば 十 分 で あ る.い

と し,bi=bjと

あ るか ら ま, 

仮 定すれ ば bi−j=e, 

と な り,r(i−j)はnの らi−jはnで

たが いに素 な らば

倍 数 で あ る.こ

割 り切 れ る.一

ar(i−j)=e

こ で,rはnと

方, 

た が い に 素 で あ るか

で あ る か ら,i=jと

な る. (証 終)

 例3. 

平 面 上 の 定 点Oを

中 心 と す る 回 転 をfと

し,そ

の 回 転 角 を α とす

る.こ の と き,fに

よ って 生 成 され る 巡 回 群〈f〉 は 回転 角 が α の 整 数 倍 で

あ る回 転 の 全 体 で あ る.   巡 回 群〈f〉 は α が2π あ る とき 有 限 群 で,そ で あ る.実

=eな

うで な い とき 無 限 群

際, 

と な り,〈f〉

の 有理 数倍 で

な らばfn=e

は 有 限 群 で あ る.逆

ら ばnα

は2π

に,fn

の 整 数 倍 と な り,

  とか け る(空 間 に お け る定 直 線lを

軸 と す る 回 転 に つ い て も 同 じ こ とが い え る).

  例4. 

す べ て の1のn乗

根 の集 合

は 数 の 乗 法 に 関 し て ρ1に よ っ て 生 成 さ れ る 位 数nの 実 際,ρk=ρ1kで を1の

原 始n乗

kがnと   例5.  Zの

す べ て の 整 数 の 集 合Zは,数 ±1で

と え ば ρ1)

根 と な る た め 必 要 十 分 な 条 件 は, 理2.3).

の 加 法 に 関 し て 無 限 巡 回 加 群 で あ る.

あ る.

い くつ か の 元 で 生 成 さ れ る 部 分 群

群Gの

部 分 集 合 と す る と き,Mの

部 分 集 合Mに

ま た,MをHの Hはaに

原 始n乗

た が い に 素 と な る こ とで あ る(定

とあ らわ され る元 の全 体 をHと Hを

根 の つ く る 巡 回 群 の 生 成 元(た

根 と い う.ρkが

生 成元 は

  2.4.3  Mを

あ る.1のn乗

有 限 巡 回 群 を つ く る.

元 の べ き 積 と して

す れ ば,Hは

よ って 生 成 され るGの

明 らか にGの

部 分 群 で あ る.

部 分 群 とい い,H=〈M〉

生 成 系 と もい う.特 に,Mが

た だ 一 つ の元aか

とか く. らな る と き,

よ っ て生 成 され る 巡 回 群 で あ る.

  定 理2.4 

群Gの

部 分 集 合Mに

よ って 生 成 され る 部 分 群H=〈M〉

は,

Mを

含 むGの

部 分 群 の うち 最 小 な も の で あ る.

  証 明   H⊃Mで Gの

あ る こ とはHの

任 意 の 部 分 群 をUと

⊂Uを

す れ ば,Mの

得 る.し た が って,HはMを

  2.5 

対 称群

  2.5.1 

対

元 の べ き積 は す べ てUに

含む

含 ま れ,H

含 む 最 小 な 部 分 群 で あ る. 

(証終)

・交 代 群 称

  有 限 個 の 集 合,た

群 と え ば Ω={1,2,…,n}か

の 写 像 を 置 換 と よ ぶ こ とが あ る.置 き,iの

定 義 よ り明 らか で あ る.ま た,Mを

下 にpiを

ら Ω 自 身 の 上 へ の1対1

換 σ に よ っ て 文 字iがpiに

移 され る と

かい て

とか く.こ の 記 法 で は 上 下 の組 だ け が 問 題 で あ るか ら,こ の組 を か え な い で 上 段 の文 字 の順 序 は 任 意 に か え て よ い.た

で,こ

れ ら は す べ て1→3,2→1,3→2な

とえ ば

る

Ω={1,2,3}の

上 の 置 換 で

あ る.

  置 換 σ に よ っ てi→pi,置 積 στ をi→qiな

換 τ に よ っ てpi→qiで

る 置 換 と 定 義 す る.す

なわ ち

で あ る とき

と な る.こ 例1.

れ は σ と τ の 写 像 と し て の 積 に 一 致 す る.

あ る と き,σ

と τ の

に 対 して

 問5. 

次 の σ,τ に つ い て,σ τ お よ び τσ を 求 め て 比 較 せ よ.

Ω の 各 文 字 を そ れ 自身 に 移 す 置 換

を 単 位 置 換,ま

た は 恒 等 置 換 と い う.ま

た,置

換

の逆写像

を σ の 逆 置 換 と い う.こ

の と き,明

lσ=σl=σ, 

らか に σσ−1=σ−1σ=l

が 成 り立 つ.   集 合 Ω={1,2,…,n)の

上 の す べ て の 置 換 の 集 合 は,上

に 関 し て 群 を つ く る(2.1,例2).こ 対 称 群 と い い,SΩ

ま た はSnと

に 定 義 した 乗 法

れ を Ω の 上 の 対 称 群,ま か く.ま

た,一

般 にSnの

た はn次

の

部 分 群 をn次

の

置 換 群 と い う.   Snの

元 と,1,2,…,nの

の 個 数n!に   2.5.2 

順 列 と1対1に

対 応 す る か ら,Snの

位 数は順列

一 致 す る. 交代群

置 換 を あ らわ す の に,動

か な い 文 字 は 省 い て か く こ とが あ る.た

とえ ば

を簡単に

とか く.こ

の 場 合,省

か れ た 文 字1,3は

そ れ ぞ れ そ れ 自 身 に 移 され る と考 え

る.  Ω に 属 す る 文 字 α1,α2,…,αrを

巡 回的 に α1→

α2→

…→

αr→

α1

と移 し,他 の 文 字 は 動 か さな い 置 換

を 長 さrの

巡 回置 換 とい い (α1,α2,…,αr)

で あ らわ す.αiか

らは じ め て (αi,αi+1,…,αr,α1,…,αi−1)

とか い て も 同 じ 巡 回 置 換 で あ る.   特 に,長

さ2の

巡 回 置 換(α,β)を

互 換 と よ ぶ.こ

れ は,α

と β とを 入 れ

か え て そ の ほ か の 文 字 は 動 か さ な い よ うな 置 換 で あ る.   問6. 

長 さrの

(α,β)に

対 し て は(α,β)−1=(α,β)で

  定 理2.5 

巡 回 置 換 の 位 数 はrで

あ る こ と を 証 明 せ よ.特

に,互

換

あ る.

任 意 の 置 換 は た が い に 共 通 文 字 を 含 まな い 巡 回 置 換 の 積 に 一 意 的

に 分 解 さ れ る.   こ の 定 理 を 証 明 す る 前 に,そ

の 分 解 の 仕 方 を 示 す 例 に つ い て の べ よ う.置

に お い て は,文 字 が 次 の よ うに 順 次 移 され て い る.

換

6→6 こ の よ うに し て,文 5),(2,4,7),(6)が

字 が 三 つ の 組 に 分 け られ て,各 ひ き お こ さ れ て い る.こ

組 に つ い て 巡 回 置 換(1,3,

れ よ り(動

か ない文字 を 省 く こ

と に す れ ば) σ=(1,3,5)(2,4,7)

と共 通 文 字 を 含 まな い 二 つ の 巡 回 置 換 の 積 に 分 解 され る.  問7. 

上 の 例 に な ら って,つ

 定 理2.5の

ぎ の 置 換 を巡 回 置 換 の 積 に 分 解 せ よ.

証 明   置 換 σ で 実 際 に 動 か され る 文 字 α1を 一 つ と り,α1か

らは じめ て 順 次 σ に よ って 移 して で き る列

を 考 え る.置 り,αr+1は

換 す る 文 字 は 有 限 個 で あ る か ら,α1,α2,…,αrは そ の 前 の あ る 文 字 

こ の と き,αj=α1で

と 一 致 す る よ う なrが

な け れ ば な ら な い.実

の σ に よ る 原 像 を と っ て,αr=αj−1と σ は 文 字 の 集 合{α1,α2,…,αr}の

す べ て異 な

際, 

あ る.

と す れ ば,αr+1=αj

な り矛 盾 で あ る.こ

の よ う に し て,

上 で 巡 回 置 換(α1,α2,…,αr)を

ひ き

お こ す.   つ ぎ に,上 っ て,上

の と き,も

αi−1=βj−1.同

す る.し

際 に 動 か さ れ る 文 字 β1を と

と同 様 の列

を 考 え る.こ って

の 列 に あ らわ れ な い 文 字 の う ち,実

し αi=βjと

な る αi,βjが

じ こ と を 繰 り返 し て αk=β1と

た が っ て,(α1,α2,…,αr)と(β1,β2,…,βs)は

含 ま な い.こ

の よ う な 操 作 を 続 け れ ば,σ1は

回 置 換 の 積 と して

存 在 す れ ば,原 な り,β1の

像 を と

と り方 に 反

共通す る 文 字 を

たが いに共 通文字 を含 ま な い 巡

σ=(α1,…,αr)(β1,…,βs)…

と あ らわ さ れ る.ま   例 題1. 

た,分

長 さmの

解 の 一 意 性 は ほ と ん ど 明 らか で あ る. 

巡 回 置 換 はm−1個

(証 終)

の 互 換 の 積 に 分 解 さ れ る.

  証 明  実 際 に (α1,α2,…,αm)=(α1,α2)(α1,α3)…(α1,αm) が 成 り立 つ.    定 理2.5 

(証 終)

と 例 題1に

の 仕 方 も,ま

よ り任 意 の 置 換 は 互 換 の 積 に 分 解 され る が,そ

た あ らわ れ る 互 換 の 個 数 も 一 定 で は な い.た

の分解

とえ ば

(1,2,3)=(1,2)(1,3) =(2,3)(1,3)(2,3)(1,3) しか し,あ

らわ れ る 互 換 の 個 数 が 偶 数 で あ る か 奇 数 で あ る か は,そ

方 に 無 関 係 に 一 定 で あ る こ と を これ か ら証 明 し よ う.そ xnの(差

積 と よ ば れ る)多

の分 解 の 仕

の た め に,x1,x2,…,

項式

を 考 え る.変 数 に 置 換

を 行 な う こ と を,xiをxpiで

お き か え る こ と と し,Δ

の変 数 に σ を 行 な っ

た 結 果 を Δσ とす れ ば

と な る.こ

れ は Δ と ± の 符 号 だ け 異 な る:Δ σ=±

σ,τ に 対 して

Δ.ま

た,二

つ の置換

が 成 り立 つ.   特 に,互 xsを

換(r,s)を

行 な え ば,Δ

の 項 の うち 影 響 を うけ る の はxrま

たは

含 む 次 の 項 だ け で あ る.

これ らの 積 は

とな り,xrとxsを

い れ か え る と符 号 が か わ る.し

た が っ て,Δ(r,s)=−

Δ

で あ る.   一 般 に,置 換 σ を 互 換 の 積 に 分 解 す る と き,Δ に 符 号 が か わ るか ら,Δ σ=Δ

に互 換 を一 回 ほ ど こす ご と

な らば そ の 互 換 の 個 数 は 必 ず 偶 数 と な り,Δ °

=− Δ な らば 必 ず 奇 数 に な る .   以 上 を ま とめ て 次 の 定 理 を 得 る.   定 理2.6 

任 意 の 置 換 は 互 換 の積 に 分 解 され,そ

の互 換 の 個 数 が 偶 数 で あ る

か 奇 数 で あ るか は,分 解 の仕 方 に 無 関 係 に 一 定 で あ る.   偶 数 個 の 互 換 の 積 に あ らわ され る 置換 を 偶 置 換,奇 数 個 の互 換 の 積 に あ らわ され る 置 換 を 奇 置 換 とい う.積 に関 して,明

らか に

(偶置 換)×(偶 置 換)=偶

置換

(偶置 換)×(奇 置 換)=奇

置換

(奇置 換)×(偶 置 換)=奇

置換

(奇 置 換)×(奇 置 換)=偶

置換

が 成 り立 つ.ま

た,偶

置換 σ=(α1,β1)…(α2r,β2r)

の逆 元 は σ−1=(α2r,β2r)…(α1,β1)

で あ る か ら,こ

れ は ま た 偶 置 換 で あ る.

  以 上 よ り,n次 群 で あ る.こ

の 偶 置 換 の 全 体 をAnと

れ をn次

の 交 代 群 と い う.交

す れ ば,Anは

対 称 群Snの

代 群Anは,差

積

部分

Δ を不 変 に す

る す べ て の 置 換 か らな る.   例 題2. 

交 代 群Anは

  証 明   長 さ3の

長 さ3の

す べ て の 巡 回 置 換 に よ っ て 生 成 さ れ る.

巡 回 置 換(α,β,γ)は (α,β,γ)=(γ,β)(β,α)

で あ る か ら,偶

置 換 でAnに

(γ,δ)で 生 成 さ れ る.こ 置 換 か,ま

た は,長

含 まれ る.一

二 つ の 互 換 の 積(α,β)

の 二 つ の 互 換 が 共 通 す る 文 字 を も て ば,こ

さ3の

巡 回 置 換 で あ る.た

れ ば,(α,β)(β,δ)=(δ,β,α)と を 含 ま な け れ ば,間

方,Anは

な る.ま

に(β,γ)(β,γ)を

れ は恒 等

と え ば,β=γ, 

た,二

とす

つ の互換 が共 通 す る 文 字

入れて

(α,β)(γ,δ)=(α,β)(β,γ)・(β,γ)(γ,δ) =(γ,β,α)(δ,γ,β)

と な り,長 さ3の

さ3の

二 つ の 巡 回 置 換 の 積 で あ らわ さ れ る.し

た が っ てAnは

巡 回 置 換 に よ っ て 生 成 さ れ る. 

 問8. 

長

(証 終)

次 の 等 式 を 証 明 せ よ.

(i,j)=(1,i)(1,j)(1,i)   問9. 

n次

の 対 称 群Snはn−1個

よ っ て 生 成 さ れ る こ とを 証 明 せ よ(定   問10.  せ よ.

3次 の 対 称 群S3の

の 互 換(1,2),(1,3),…,(1,n)に 理2.6,問8.参

元 を す べ て あ げ,こ

照). れ を 偶 置 換 と奇 置 換 に 分 類

  問11. 

長 さrの

巡 回 置 換 は,rが

偶 数 な らば 奇 置 換,rが

奇 数 な らば 偶

置 換 で あ る こ と を 証 明 せ よ.   〔話 題3〕   対 称 式 と 交 代 式   x1,x2,x3の

な ど は,変

多項式

数 に ど ん な 置 換 を 行 な っ て も か わ ら な い.こ

式 と い う.一 なn次

般 に,n個

の 変 数x1,…,xnの

の よ うな 多 項 式 を 対 称

多 項 式F(x1,…,xn)に

どん

の置換

を 変 数 に 行 な っ て もか わ らな い とき,す な わ ち

と な る と き,F(x1,…,xn)を

対 称 式 と い う.二

つ の 対 称 式 の 和,差,積

は明

らか に ま た 対 称 式 で あ る.   n次

の 対 称 群Snは

項 式F(x1,…,xn)は

す べ て の 互 換 に よ っ て 生 成 さ れ る か ら(定

理2.6),多

す べ て の 互 換 に 関 し て 不 変 で あ れ ば 対 称 式 で あ る.さ

らに,Snはn−1個

の 互 換(1,i)(i=2,3,…,n)に

ら,F(x1,…,xn)が

対 称 式 で あ る た め に は,こ

よ っ て生 成 さ れ る か れ が 上 のn−1個

の互換 に関

し て 不 変 で あ れ ば 十 分 で あ る.   方 程 式 の 根 と係 数 の 関 係 に あ らわ れ る 式 x1+x2+…+xn x1x2+x1x3+…+xn−1xn……

x1x2…xn

な どは す べ て 対 称 式 で,基 本 対 称 式 と よば れ る.任 意 の 対 称 式 は 基 本 対 称 式 の

多項 式 と して あ らわ され る こ とが 知 られ て い る.  多項式 x1(x2−x3)+x2(x3−x1)+x3(x1−x2)

の 変 数 に,ど

ん な 互 換 を 行 な っ て も ± の 符 号 だ け か わ る.こ

を 交 代 式 と い う.一

般 に,n個

の 変 数x1,…,xnの

ど ん な 互 換 を 行 な っ て も,± た と え ば,差

の よ うな 多 項 式

多 項 式F(x1,…,xn)に

の 符 号 だ け か わ る と き,こ

れ を 交 代 式 と い う.

積

は 交 代 式 で あ る.二

つ の 交 代 式 の 和,差

は ま た 交 代 式 で あ る が,積

は 対称式 で

あ る.   交 代 式 の 変 数 に,交

代 群 に 属 す る 任 意 の 置 換 を 行 な っ て も か わ ら な い.

  任 意 の 交 代 式F(x1,…,xn)は,差

積 とあ る対 称式 との積 と して あ ら わ さ

れ る こ とが 次 の よ うに して 示 さ れ る.xiとxjと

いれか え る と

F(…,xi,…,xj,…)=−F(…,xj,…,xi,…) こ こ で,xj=xiと

お けば 2F(…,xi,…,xi,…)=0 F(…,xi,…,xi,…)=0

と な る.よ

っ て,F(x1,…,xn)はxi−xjで

割 り 切 れ,し

た が っ て,差

積 で

割 り 切 れ る: F(x1,…,xn)=Δ(x1,…,xn)G(x1…,xn)

こ こ で,F,Δ

は と も に 交 代 式 で あ る か ら,Gは

  2.6  同   群Gか a,bに

ら群G′

対 称 式 で あ る.

型 の 上 へ の1対1の

写 像f:G→G′

対 して

f(ab)=f(a)f(b)

が,Gの

任意の二元

を み た す と き,fを 元a,bの で,い

同 型 写 像(ま

積 に は,そ ま,aの

れ ぞ れ の 像f(a),f(b)の

像f(a)をa′

の 対 応 

た は 同 型 対 応)と

い う.上

の 式 は,Gの

二

積 が 対 応 す る こ とを 示 す も の

と か く こ と に す れ ば,GとG′

が 同 型 対 応 で あ る と い う こ と は,こ

の 間 の1対1

の対応 で

な らば

と な る こ と に ほ か な ら な い.こ 像f−1:G′

→Gも

  二 つ の 群G,G′ と い い,記

の こ とか ら,fが

同 型 写 像 な ら ば,そ

の逆 写

同 型 写 像 で あ る こ と が わ か る. の 間 に 同 型 対 応 が 存 在 す る と き,GとG′

とは 同型 で あ る

号で ま た は,

と か く.   群Gの

元 に 番 号 を つ け て,G={a1,a2,…}と

ば,kはi,jの

関 数

  い ま,i番 け ば,次

φ(i,j)と

目 の 横 とj番

す る と き,aiaj=akな

ら

考 え ら れ る:aiaj=aφ(i,j). 目 の 縦 の 交 叉 す る と こ ろ にaiとajと

の 積 を か

の よ う な 表 が で き る:

これ を群Gの

乗 積 表 とい う.Gに

お け る 演 算 は,そ

の 乗積 表 が 与 え られ れ ば

定 ま る.   二 つ の 群GとG′ 表 はGの

とが 対 応 

乗 積 表 でaiをai′

に よ って 同型 で あ れ ば,G′

で お きか え れ ば 得 られ る.す

の乗 積

な わ ち,GとG′

は,あ る 元 をaiと

よぶ かai′ とよ ぶ か,そ の よび 方 が 異 な る だ け で,二 つ の

群 の 演 算 に 関 す る構 造 は 同 じで あ る と考 え て よい.   注 意  わ れ わ れ が,最 初 に か か げ た 群 の公 理 か ら出 発 して,群 の 理 論 を 組 み 立 て る と き,わ れ わ れ は そ の演 算 に 関す る性 質 の み を 追 求 し て い る の で あ る.置 換 群 とか 幾 何 学 的 な 変 換 群 な どに お い て は,演 算 の ほ か に 個 々の 元が あ る具 体 的 な 性 質 を もつ もの で あ るが,こ れ らの性 質 を 忘 れ て,そ の 演 算だ け を 抽 象 し,そ れ に 注 目す る とき,こ れ を 抽 象 群 と よぶ こ とが あ る.こ の よ うな 抽 象 的 な 立 場 に た つ とき,二 つ の 同型 な 群 は そ の 元 の よび 方 の 相 違 だ け で,群

と して は 本 質 的 に 異 な る も の で は な く,こ れ らは しば しば 同一 視 され

る.   例 題1.  (e:単

有 限 群Gの

位 元).こ

元 に 番 号 を つ け て,G={a1=e,a2,…,an}と

の とき,Gの

各 元xにGの

を 対 応 さ せ れ ば,G*={x*￨x∈G}はGの GとG*の

上 の置換

上 の 置 換 群 で,写

上 の 置 換 で あ る こ と は 容 易 に 示 さ れ る.置

っ てai→ai(xy)で

あ る が,一

した が っ て,(xy)*=x*y*が

よ っ てai→(aix)y=ai(xy).

成 り立 つ.ま

た,x*(x−1)*=(xx−1)*=e*で,

二 元 の 積 は ま たG*に

は 対 称 群SGの

部 分 群 で あ る.写

の 写 像 で あ る が,  した が っ て,上

  上 の 例 題 に よ り,任

属 し,各 像x→x*は

な らば,x*,y*に

の 対 応 は1対1で,さ

型 対 応 で あ る. 

換(xy)*に

方,x*y*に

明 ら か に 恒 等 置 換 で あ る か ら,(x*)−1=(x−1)*と

て,G*の

像x→x*は

間 の 同 型 対 応 を 与 え る.

  証 明   x*がGの

e*は

する

な る.こ

元 の 逆 元 もG*に 明 ら か にGか よ るa1=eの

らに(xy)*=x*y*が

よ

の よ うに し

属 す る か ら,G* らG*の

上へ

像 を 考 え て  成 り 立 つ か ら同 (証終)

意 の 有 限 群 は あ る 置 換 群 と 同 型 で あ る こ とが わ か る.こ

の 例 題 の よ う な 同 型 写 像x→x*を,Gの(右)正   問12.    問13. 

3次 の 対 称 群S3の 例 題1に

則 表 現 と い う.

乗 積 表 を つ くれ.

お い て,Gの

各 元xに,Gの

を 対 応 させ れ ば,*G={*x￨x∈G}はGの と*Gの

上 の置換

上 の 置 換 群 で,写 像x→*xはG

間 の 同型 対 応 を 与 え る こ とを 証 明 せ よ.

  2.7  変 換 群 と 対 称 性   2.7.1  自 己 同 型 群   数 学 で は,何

の 関 係 も な い 元 の 集 合 を 考 え る こ とは まれ で,元 の 間 に あ る関

係 の 定 義 され た 集 合,い い か え る とあ る構 造 を も った 集 合 を 考 え る 場 合 が 多 い.こ

の よ うな 集 合 の 上 の1対1の

変 換 で,そ の 構 造 を か え な い も の の 全 体 は

一 般 に 群 を つ く り,自 己 同 型 群 と よば れ る.変 換 群 の 中で 特 に 重 要 な の は,こ の よ うな 変 換 群 で あ る.   た とえ ば,空

間 の す べ て の 点 の 集 合E3の

上 の1対1の

の 距 離 を 不 変 に す る も の,す なわ ち,任 意 の 二 点P,Qに

変 換 σ で,二

点間

対 して

PQ=PσQσ を つ ね に み た す σ の 全 体 は,容 易 に 示 さ れ る よ うに,群 を つ く る.こ れ を 空 間 の 合 同 変 換 群,ま た は 運 動 群 とい い,そ の 元 を 合 同 変 換,ま た は運 動 とい う.   問14. 

上 の よ うな σ の 全 体 が 群 を つ く る こ とを 証 明せ よ.

  定 直 線 を 軸 とす る 回 転,平 行 移 動,定 平 面 に 関 す る鏡 映 な どは 明 らか に 合 同 変 換 で あ るが,任 意 の 合 同 変 換 は これ らを 合 成 して得 られ る こ とが 知 られ て い る.   合 同 変 換 群 の なか で,定 点Oを Oを

通 る直 線 を 軸 とす る二 つ の 回 転 の積 は ま た

通 る あ る 直線 を 軸 とす る 回転 で,定

点Oを

不 変 にす る回 転 の 全 体 は 部 分

群 を つ く る.こ れ をOを   次 に,群Gの

中 心 とす る 回転 群 とい う.

上 の1対1の

は,Gの

任 意 の 元a,bに

=(ab)σ

とな る こ とで ,σ

変 換 σ が,そ の 乗 法 を 不 変 に す る と い う こ と 対 してab=cな がGか

な らな い.こ の よ うな σ を 群Gの 群 を つ く り,こ れ を 群Gの

らばaσbσ=cσ,す

らG自

な わ ち,aσbσ

身 へ の同型写像 であ る こと に ほ か

自己 同 型 とい う.Gの

自己 同 型 の 全 体 は

自己 同 型 群 とい う.

  問15. 

群Gの

自 己 同型 の 全 体 が 群 を つ くる こ とを 証 明 せ よ.

  問16. 

群Gの

上 の1対1の

変 換x→a−1xaはGの

を 証 明 せ よ(こ の よ うな 自己 同 型 を 元aに   2.7.2  対

称

自己 同 型 で あ る こ と

よ る 内 部 自 己 同型 とい う).

性

  立 体 や 空 間 図形 が 平 面,直 線 あ るい は 点 に 関 して 対 称 で あ る とい うこ とは, そ れ ぞれ 平 面 に 関す る鏡 映,直 線 を 軸 とす る回 転 角180° の 回 転,点

に関す る

対 称 移 動 な どの 合 同 変 換 に よ って,立 体 や 空 間 図 形 が そ れ 自身 に 移 され る こ と で あ る.わ れ わ れ は,図 形 の 対 称 の 度 合 を あ る 程 度 直 観 的 に 知 って い る が,そ れ を 明 確 に と らえ る に は 群 の 概 念 が 必 要 で あ る.   立 体 また は 空 間 図形Fを

点 の 集 合 と考 え て,合

同 変 換 群Gの

中 で,Fを

全 体 と して不 変 にす る 元 の 全 体 H={σ￨σ はGの Hが

部 分 群 を つ くる.こ れ をFの 単 位 元 の み か らな る とき は,Fは

∈G,Fσ=F} 不 変 群,ま た は 対 称 の 群 な ど と い う. 非 対 称 で あ る.Fの

称 の群Hに

よ って 特 徴 づ け られ る と考 え て よい.

  注 意1. 

上 で は 主 に 空 間 に つ い て 述 べ た が,平

換 群,平   例1. 

面 に つ い て も平 面 の 合 同 変

面 図形 の 対 称 性 な どを ま った く同 じ よ うに 定 義 す る こ とが で き る. 平 面 上 の 正 三 角 形 の 対 称 度 は,こ

の正 三 角 形 を そ れ 自身 に 移 す 平 面

上 の す べ て の 合 同変 換 の つ く る群(正 三 角 形 の対 称 の 群)Hに け られ る.

対 称 度 は,そ の 対

よ っ て特 徴 づ

  対 称 の 群Hを

求 め る た め に,正

点 に 番 号 を つ け て1,2,3と の 中 心 をOと

転 角120°

し,ま

す る.Hの

に す る か ら,Hは

た正三 角形

元 は 中 心Oを

単 位 元e,Oを

の 回 転 σ,240°

線(1),(2),(3)に

三角 形 の 頂

不 変

中心 とす る 回

の 回 転 σ2と,中

関 す る 鏡 映 τ1,τ2,τ3の6

個 の 元 か らな る.Hの

各 元は正 三 角 形 の 頂 点

の 間 の 置 換 を ひ き お こ し,各

元に対応 す る置換

は 次 の よ うに な る.

 容 易 に わ か る よ うに,上 の 対 応 はHと3次

の 対 称 群S3と

の同型対 応 を 与

え る:   例2. 

平 面 上 の 正 方 形 の(平

称 の 群 をHと

す る.正

番 号 を つ け,ま は 中 心Oを

関 す る鏡 映

す る.Hの

不 変 に す る か ら,Hは

τ3,τ4の8個

元

単 位 元e,O

の回転

の 回 転 σ3と,1,3を

す る 鏡 映 τ1,2,4を 中 線AB,CDに

方形 の頂点 に図 の よ うに

た そ の 中 心 をOと

を 中 心 とす る 回 転 角90° σ2,270°

面 に お け る)対

σ,180°

の 回転

結ぶ 対 角 線 に 関

結 ぶ 対 角 線 に 関 す る 鏡 映 τ2,

の 元 か ら な る.Hの

が ひ き お こ す 頂 点 の 間 の 置 換 を 対 応 さ せ れ ば,Hは4次

各 元 に,そ

の あ る置 換 群 に 同 型

に な る.   問17. 

上 のHの

  問18. 

(ⅰ)  τ1=τ

れ

各 元 に 対 応 す る 頂 点 の 間 の 置 換 を 求 め よ. と お け ば,σ τ=τ4,σ2τ=τ2,σ3τ=τ3と

な り,H

は 次 の8個 の 元 か らな る こ とを 証 明せ よ. e,σ,σ2,σ3

τ,σ

  (ⅱ)  τσ=σ−1τ

と な る こ と を 証 明 せ よ. 

(ⅲ)  上 の(ⅰ)と(ⅱ)を

 例3. 

τ,σ2τ,σ3τ

用 い てHの

乗 積 表 を つ くれ.

(正 方 形 で な い)長 方 形 の 対 称 の 群Kは

単 位 元e,中

心Oの

まわ り

の180° の 回 転 σ,中 線AB,CDに

関す る

鏡 映 τ1,τ2の4個

れ をク

の 元 か ら な る.こ

ラ イ ン の 四 元 群 と い う.   問19. 

Kの

置 換 を 求 め よ.ま

各 元に対 応す る頂 点 の 間 の た,Kの

乗 積 表 を つ くれ.

  対 称 性 を 上 の よ うに と ら え る と き,そ 幾 何 学 的 な も の に 限 らず,も 合Aの

あ る 変 換 群Gを

固 定 す る と き,Gの

自 身 に 移 す な ら ば,Bは 体 はGの

っ と一 般 の 場 合 に 自然 に 拡 張 さ れ る.一

変換

部 分 群 を つ く り,そ

元 σ がAの

れ を(Gに

お け る)Bの

般 に,集

部 分 集 合Bを

σ に 関 し て 対 称 で あ る と い う.か

れは

それ

か る σ の全

対 称 の 群,ま

たは 不変

群 と い う.   た とえ ば,変

数x1,…,xnの

の 上 の 対 称 群 をGと ひ き お こ さ れ る.多

す る.変

多 項 式 の 全 体 をAと

し,Ω={1,2,…,n}

数 に 置 換 を ほ ど こ せ ばAの

上 の1対1の

項 式f(x1,…,xn)の

変 数 に 置 換 σ を ほ ど こ して も 不 変

で あ る と き,f(x1,…,xn)は

σ に 関 し て 対 称 で あ る.す

て 対 称 な 多 項 式 が 対 称 式 で,ま

た差 積

の 対 称 の 群 は 交 代 群 で あ る.た

と え ば,x12+x22+x32+x42は

x1+x22+x3+x42は   問20. 

対 称 式 で は な い.

x1+x22+x3+x42の

変換が

対 称 の 群 を 求 め よ.

べての置換 に 関 し

対 称 式 で あ る が,

 2.7.3 

多

面

体

 正 多 面 体 に は 正4面

群 体,正6面

正4面 体

体,正8面

正6面 体

体,正12面

正8面 体

体,正20面

正12面 体

体 の五 つ

正20面 体

しか な い こ とが 知 られ て い る.   この うち,正6面

体 と正8面 体,正12面

体 と正20面

体 とは そ れ ぞ れ た が い

に 双 対 的 な 多 面 体 と よば れ る も の で,一 方 の 各 面 の 中 心 を 結 べ ば 他 方 の 多 面 体 が 得 られ る.   正 多 面 体 の 中 心Oの

まわ りの 回 転 群Gの

うち,正 多 面 体 を そ れ 自身 に 移 す

す べ て の 回 転 の つ く る部 分 群(正 多 面 体 の 対 称 の群)Hを 多 面 体 が 正4面

体,正8面

面 体 群,正8面

体 群,正20面

称 の 群 を も つ か ら,正6面 正20面

体,正20面

多 面 体 群 とい い,正

体 で あ る に した が って,そ れ ぞ れ 正4

体 群 とい う.双 対 的 な 二 つ の正 多 面 体 は 同 じ 対 体,正12面

体 の 対 称 の 群 は そ れ ぞ れ 正8面

体 群,

体 群 に 一 致 す る.

  正 多 面 体 群 を 調 べ るに は,各 元 の 回 転 軸,す な わ ち,正 多 面 体 の 対 称 軸 を 調 べ る 必 要 が あ る.正 多 面 体 の 対 称 軸 に は 次 の 四 つ の 種 類 が あ る.   (1)  向 か い 合 った 二 つ の 頂 点 を 結 ぶ 直 線   (2)  向 か い 合 った 二 つ の 面 の 中 心 を 結 ぶ 直 線   (3)  向 か い 合 った 一 つ の 頂 点 と一 つ の 面 の 中 心 を結 ぶ 直線   (4)  向 か い 合 った 二 辺 の 中 点 を結 ぶ 直 線   正 多 面 体 の 対 称 軸 の総 数 をpと

し,そ の うち(1),(2),(3),(4)の

対 称 軸 の 個 数 を そ れ ぞれp1,p2,p3,p4と を 得 る.

す れ ば,各

種類 の

正 多 面 体 に つ い て 次 の表

  ま た,(1)の

種 類 の 一つ の 対 称 軸 を 軸 と す る 回 転 の 個 数 は,そ

の 頂 点 を 通 る 辺 の 個 数n1に つ の 面 の 頂 点 の 個 数n2に す る 回 転 は,恒 ∼(4)の

等 し く,(2)と(3)の 等 しい.さ

種類 の ものに対 して は 一

らに,(4)の

等 変 換 と 回 転 角180°

種 類 の一 つ の 対 称 軸 を 軸 と

の 回 転 の 二 つ で あ る.し

種 類 の 一 つ の 対 称 軸 を 軸 と す る 回 転 の 個 数 は ,恒

そ れ ぞ れn1−1,n2−1,n2−1,1と

な る.よ

の軸上 の一つ

っ て,多

た が っ て,(1)

等 変 換 を の ぞ け ば,

面 体 群 の 位 数Nは

N=p1(n1−1)+p2(n2−1)+p3(n2−1)+p4+1 =p1(n1−1)+(p2+p3)(n2−1)+p4+1

と な る.各

正 多 面 体 群 に つ い て,n1,n2を

求 めNを

計 算 す る と次 の 表 の よ う

に な る.

 注 意2. 

  正4面

次 の 同 型 対 応 が 存 在 す る こ とが 知 られ て い る. 正4面

体 群 

(4次 の 交 代 群)

正8面

体 群 

(4次 の 対 称 群)

正20面

体 群 

(5次 の 交 代 群)

体 群 に つ い て は,そ の 各 元 に そ れ が ひ き お こす 頂 点 の 間 の 置 換 を 対

応 さ せ て上 の 同型 対 応 を 得 る.正8面

体 群 に つ い て は,各 元 に 正6面

体の 四

つ の 対 角 線 の 間 の 置換 を 対 応 させ れ ば よ い.正20面 雑 で,こ

こで は 事 実 だ け を の べ て お く(話 題8参

  平 面 上 の 正n角

照).

形 を 空 間 図 形 とみ な し,そ の 中心Oの

お け る対 称 の 群Dnをn次

まわ りの 回 転 群 に

の 二 面 体 群 とい う.す なわ ち,二 面 体 群Dnは

n角 形 を そ れ 自身 に 移 す よ うなOの る.正n角

体 群 に つ い て は ,少 し複

形 の 対 称 軸 に は,次

正

まわ りの す べ て の 回 転 の つ く る 群 で あ

の四つ の 種 類

が あ る.   (1)  Oを 通 り,正n角

形 の の って い る 平

面 に垂直 な直線   (2)  相 対 す る 頂 点 を 結 ぶ 直 線   (3)  相 対 す る辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線   (4)  相 対 す る頂 点 と辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線   (1) を 軸 とす る 回 転 は,恒

等 変 換,回

転 角2π/nの

回転

σ とそ の べ き か ら

なる e,σ,σ2,…,σn−1

のn個

で あ る.nが

ず つ あ り,nが

偶 数 な らば(2),(3)の

奇 数 な らば(4)の

称 軸 を 軸 と す る 回 転 は,恒 あ る.し

た が っ て,Dnの

一 つ と り,そ

種 類 の 対 称 軸 が そ れ ぞ れn/2本

種 類 の 対 称 軸 がn本

等 変 換 を の ぞ け ば 回 転 角 が180° 位 数 は2nで,(1)以

れ を τ とす れ ば,Dnの

τ,σ

こ の こ と か ら,Dnの   問21. 

D5の

は 次 の 関 係 式 を み た す: τ=τ

乗 積 表 は 容 易 に 求 め られ る.

乗 積 表 を 求 め よ.

の回転 ただ一 つで

元 は 次 の よ うに あ らわ さ れ る:

τ,σ2τ,…,σn−1τ

σn=e,τ2=e,σ

れ ぞ れ の対

外 の 対 称 軸 を 軸 とす る 回 転 を

e,σ,σ2,…,σn−1

容 易 に わ か る よ うに,σ,τ

あ っ て,そ

σ −1

  二 面 体 群 も多 面 体 群 の 一 つ と考 え る場 合 が 多 い.   注 意3. 

空 間 に お い て,定 点Oを

面 体 群 か,Oを つ くるn次

中心 とす る 回 転 群 の 有 限 部 分 群 は.多

通 る 定 直 線 を 軸 とす る,回 転 角 が2π/nの

整 数 倍 の 回転 の

の巡 回 群 に か ぎ る こ とが 知 られ て い る(話 題8参

照) .

 〔 話 題4〕   群 論 の 発 生   現 在,群 が 最 も よ くあ らわ れ る姿 は 変 換 群 と して で あ る が,そ の 発 生 の 因 を な した もの は 代 数 方 程 式 に 関 す る 問 題 で あ った.方 程 式 a0xn+a1xn−1+…+an=0

の 根 が,そ

の 係 数a0,a1,…,anか

ほ ど こ し て 得 られ る と き,方

ら ±,×,÷, 

な どの 操 作 を 有 限 回

程 式 は 代 数 的 に 解 け る と い う.4次

以下 の文字係

数 の 方 程 式 に つ い て は,そ れ が 代 数 的 に 解 け る こ と,す な わ ち 根 の 公 式 が 存 在 す る こ と は16世

紀 に イ タ リ ア の 数 学 者 達 に よ っ て 示 さ れ て い た が,5次

の 方 程 式 に つ い て は19世

紀 に い た る ま で 長 い 間 未 解 決 で あ っ た.18世

以上 紀末

か ら こ の 問 題 と 関 連 し て 根 の 間 の 置 換 の つ く る 群 が 注 目 さ れ て い た が,こ 考 え に も と づ い て,ま

ず ア ー ベ ル(Abel)(1802−1829)が5次

つ い で ガ ロ ア(Galois)(1181−1832)が5次 不 存 在 を 示 し た.特 で,代

に ガ ロ ア は,決

同 値 で あ る こ とを 示 し て,群   特 に 文 字 係 数 のn次

以上 の方 程 式 に つ い て 根 の 公 式 の 闘 の 前 夜 友 人 に 書 きの こ した 遺 書 の な か

の ガ ロ ア 群 が 可 解 群(4.4参

い.彼

対 称 群 に な り,4次

題3,定

は 主 に あ る 対 称 の 群 と し て,そ

に ク ラ イ ン(Klein)(1849−1925)の は 幾 何 学 を,与

あ る こ とが

以 下 の対

以 上 の 対 称 群 は 非 可 解 で あ る と い う こ と か ら,

ガ ロ ア の 結 果 が 導 か れ た の で あ る(4.4例   そ の 後,群

照)で

程

の 概 念 の 有 用 性 を は じめ て 明 ら か に し た.

方 程 式 の ガ ロ ア 群 はn次

称 群 は 可 解 群 で あ る が,5次

た が,特

方 程 式 に つ い て,

数 方 程 式 に 現 在 ガ ロ ア 群 と よ ば れ る 根 の 間 の 置 換 群 を 対 応 さ せ,方

式 が 代 数 的 に 解 け る こ と と,そ

の

理4.10参

照).

の 有 用 性 を 各 方 面 で 認 め られ て き 幾 何 学 に つ い て の見 解 は 興 味 深

え られ た 変 換 群 に 関 し て 不 変 な(あ

る い は 対 称 な)性

質

を 研 究 す る 学 問 と して 規 定 した.た

とえ ば,ユ

ー ク リ ッ ド幾 何 学 は 合 同変 換 群

に よ って 特 徴 づ け られ,射 影 幾 何 学 は 射 影 変 換 群 に 関 して 不 変 な性 質 を 研 究 す る も の と して 特 徴 づ け られ る.こ の よ うに して,既 存 の 幾 何 学 は そ れ ぞ れ あ る 変 換 群 に よ って 特 徴 づ け られ る こ とを 示 した.こ

の 思 想 は,ク

ン ゲ ン大 学 に お け る教 授 就 任 講 演 で 公 表 した も の で,"エ

ラ イ ンが エ ル ラ

ル ラ ンゲ ンの プ ロ グ

ラ ム"と よば れ て い る. 問

  2.1  O以 ば,R*は

外 のす べ て の 実 数 の集 合R*に

は な い.そ

お い て,a°b=a/bと

積a°bを

定義 す れ

こ の乗 法 に 関 して 群 を つ く らな い.そ の 理 由 を い え.

  2.2  集 合Xの AとBと

題2

す べ て の部 分 集 合 を 元 とす る集合 をSと

の 積 をAB=A∩Bと

定 義 す れ ば,Sは

す る.Xの

二 つ の部 分 集 合

単 位 元 を もつ 半 群 で あ る が,群

の理 由 を い え.

  2.3  巡 回 置換(α1,α2,…,αγ)の (α1,α2,…,α

逆 元は γ)−1=(α

γ,…,α2,α1)

で あ る.   2.4  群Gに  

お い て,次

の 対 応 はGの

上 の1対1の

変 換 で あ る こ と を 証 明 せ よ.

(ⅰ)  x→x−1   (ⅱ)  x→xa   (ⅲ)  x→a−1xa

  (た だ し,(ⅱ),(ⅲ)に

お い て は,aは

固 定 さ れ た 元 とす る.)

で

3.  部 分 群 ・剰 余類

  3.1   3.1.1 

同 値 関 係 と類 別 類

 集 合Aが

別 い くつ か の 部 分 集 合A1,A2,…

の 和 集 合 と して

A=A1∪A2∪

と あ らわ さ れ,ど

…

の 二 つ の 部 分 集 合 も 共 通 元 を も た な い と き,こ

の 類 別 とい い,各Aiを

類 と い う.上

の 分 解 をA

の 和 が 類 別 で あ る とき

A=A1+A2+…

と か く こ と が あ る.類Aiか 代 表 元 と い い,各

ら一 つ の 元aiを

と り だ す と き,aiを

類Aiの

類 か ら 一つ ず つ と り だ し た 代 表 元 の 集 合{a1,a2,…}を

こ

の 類 別 の 完 全 代 表 系 と い う.   た と え ば,あ

る 学 校 の 生 徒 の ク ラ ス 分 け は.全

ク ラ ス か ら ク ラ ス 代 表 を 一 人 ず つ 選 べ ば,そ

生 徒 の 集 合 の 類 別 を 与 え,各

れ らは こ の 類 別 の 完 全 代 表 系 で あ

る.   3.1.2 

同

値

関

係

  平 面 上 の す べ て の 三 角 形 の 集 合 をAと あ る と きa∼bと

か く こ と に す れ ば,こ

し,三

角 形aが

三 角 形bに

合 同 で

の 関 係 は 次 の 三 つ の 条 件 を み た す:

  (ⅰ)  反 射 律   a∼a   (ⅱ)  対 称 律  a∼b⇒b∼a   (ⅲ)  移 動 律   a∼b,b∼c⇒a∼c   一 般 に,あ

る 集 合Aの

元 の 間 の 関 係 ∼ が 上の 三 つ の 条 件 を み た す と き,こ

の 関 係 は 同 値 律 を み た す,ま る と き,aとbと   問1. 

た は 同 値 関 係 で あ る とい う.そ

し て,a∼bで

あ

は 同 値 で あ る と い う.

次 の 集 合Aに

お け る 関 係 ∼ の う ち,同

値 律 を み た す も の を い え.

また,同 値 律 を み た さ な い もの に つ い て は,ど   (1)  A=す

の 条 件 が み た され な い か い え.

べ ての三角 形 の集合

a∼b⇔aとbと   (2)  A=す

は相 似

べ て の 整 数 の集 合

a∼b⇔a−bが   (3)  A=す

定 数nで

割 り切 れ る

べ て の整数 の集合

a∼b⇔aがbの   (4)  A=す

倍数

べ て の実 数 の 集 合

a∼b⇔a=−b   (5)  A=す

べ て の実 数 の 集 合

a∼b⇔a
同 値 関 係 と類 別

  集 合Aに

同 値 関 係 ∼ が 定 義 さ れ て い る とす る.Aの

の 元 の 集 合 をCaと   補 題3.1 

か き,こ

元aに

同値 なすべ て

れ を 同 値 類 と い う:Ca={x￨x∼a}.

同 値 類 に 関 し て 次 の 事 柄 が 成 り立 つ.

  (1) 

a∈Ca

  (2) 

Ca∩Cbが

空 集 合 で な い な らば,Ca=Cb

  対 偶 を と って   (2′) 

な らば,CaとCbと

  証 明   a∼aで ∋cと

あ る か ら(1)は

仮 定 す る.こ

明 ら か で あ る.(2)を

の と き,c∼a,c∼bで

意 の 元 と す れ ば,x∼a.c∼aに

あ る.い

(移 動 律)

x∼c,c∼b⇒x∼b 

(移 動 律)

得 る か ら,Ca=Cb. 

証 明 す る た め,Ca∩Cb ま,xをCaに

対 称 律 を 用 い て,a∼cで

x∼a,a∼c⇒x∼c 

した が っ て,x∈Cb,Ca⊂Cbを Cb⊂Caを

は 共 通 元 を も た な い.

得 る.aとbと

属 す る任

あ るか ら

入 れ か え て,同

じ よ うに し て (証 終)

  い ま,Aの

異 な る 同 値 類 をA1,A2,…

の 任 意 の 元 は あ るAiに を 含 ま な い.し

属 し,ま

た が っ て,Aの

と す れ ば,補

た(2′)に

題 の(1)に

よ りA

よ り異 な るAiとAjは

共 通 元

類別 A=A1+A2+…

を 得 る.こ

こ で,一

つ の 同 値 類 に 属 す る 元 は た が い に 同 値 で,異

属 す る 二 元 は 同 値 で な い.実 と す れ ば,b∼a,c∼a(よ b∼cと

際,あ っ てa∼c)で

す れ ば,b,c∈Ccで

  次 に,集

合Aの

る 同 値 類Ai=Caに

属 す る 二 元 をb,c

あ る か ら,b∼cと

あ る か ら,bとcと

な る 同値 類 に

な る.ま

た,逆

に

は 同 じ 同 値 類 に 属 す る.

類別 A=A1+A2+…

が 与 え られ て い る とす る.Aの の と きに 限 りa∼bで み た し,各Aiが

二 元a,bが

同 じ類Aiに

あ る と して 関 係 ∼ を 定 義 す れ ば,こ

属 す る とき,か つ そ の関 係 は 同 値 律 を

そ の 同 値 類 に な る.

  以 上 を ま とめ て,次 の 定 理 を 得 る.   定 理3.2 

集 合Aに

同値 関 係 が 与 え られ れ ば,そ

の 類 別 を 与 え る.逆 に,Aの

の 異 な る同 値 類 の 和 はA

類 別 が 与 え られ れ ば 同値 関 係 が 定 義 され て,与 え

られ た 類 別 は この 同 値 類 に よ る類 別 と一 致 す る.

  3.2  剰   Hを

余

群Gの

類

部 分 群 とす る.Gの

二 元a,bは ab−1∈H

を み た す とき,Hを

法 と して 左 合 同 で あ る とい い a≡b(mod

と か く.こ (mod =ba−1∈H

の 関 係 は 同 値 律 を み た す.実

H).ま

た,a≡b(mod .し

た が っ て,b≡a(mod

H)な

H) 際,aa−1=e∈Hで

あ る か ら,a≡a

らば,ab−1∈Hで

あ る か ら(ab−1)−1

H)と

な る.さ

ら に,a≡b,b≡c

(mod

H)な

ら ば,ab-1∈H,bc-1∈Hで

し た が っ て,a≡c(mod   Hを

H)と

あ る か ら,(ab-1)(bc-1)=ac-1∈H. な る.

法 と す る 左 合 同 に 関 し て,元aを

含 む 同 値 類 は

であ るか ら Ha={ha￨h∈H}

に 一 致 す る.こ れ を(aを を 含 む 左 剰 余 類 はH自

含 む)Hに

よ る 左 剰 余 類 とい う.特 に,単 位 元e

身 で あ る.Gは

異 な る 左 剰 余 類 の和 と して

G=Ha1+Ha2+… と 類 別 さ れ る.こ

れ をGのHに

よ る 左 分 解 と い う.

  ま っ た く同 様 に a-1b∈H

で あ る と き,aとbと 値 関 係 で,aを

はHを

法 と して 右 合 同 で あ る とい う.こ

の関 係 は 同

含む 同値類 は aH={ah￨h∈H}

と な る.こ れ をHに

よ る右 剰 余 類 とい う.Gは

異 な る右 剰 余 類 の 和 と して

G=b1H+b2H+…

と 類 別 さ れ る.こ

 例 題1. 

れ をGのHに

群Gの

よ る 右 分 解 と い う.

部 分 群Hに

よ る左 分 解 を

G=Ha1+Ha2+…

とす れ ば,GのHに

よ る右 分 解 は G=a1-1H+a2-1H+…

に よ り 与 え ら れ る.  証 明  

xをGの

=ai-1H.し に,ai-1H=aj-1Hと

任 意 の 元 と し,x-1∈Haiと

た が っ て ,Gの す れ ば

す れ ば,x∈(Hai)-1=ai-1H-1

任 意 の 元 は あ る 右 剰 余 類ai-1Hに

含 ま れ る.次

H=aiaj-1H, 

aiaj-1∈H

∴Hai=Hal

と な り,i=jを

得 る.し

た が っ て,a1-1H,a2-1H,…

は す べ て 異 な

り,G

の右 分 解 G=a1-1H+a2-1H+…

を 得 る. 

(証 終)

  例 題1に

よ り,Hに

が つ く.し

よ る 左 剰 余 類 と 右 剰 余 類 の 間 に1対1の

た が っ て,左,右

の 対 応 が つ く と い う意 味 で)等 ￨G:H￨で

あ らわ す.特

の 剰 余 類 の 個 数 は(無 しい.そ

れ をHのGに

に,H={e}の

と き は,そ

対 応 

限 個 の と き は1対1 お け る 指 数 と い い,

の 指 数 はGの

位数 に 一 致

す る.   定 理3.3 

Gを

有 限 群,Hを

そ の 部 分 群 と す れ ば,次

の 等 式 が 成 り立 つ.

￨G￨=￨G:H￨￨H￨  証 明   r=￨G:H￨と

し て,GのHに

よ る左 分 解 を

G=Ha1+Ha2+…+Har とす れ ば,各Haiは

ち ょ う ど￨H￨個

の 元 を 含 む か ら,￨G￨=r￨H￨を

得 る. (証 終)

  こ の 定 理 か ら,た だ ち に 次 の重 要 な 定 理 を 得 る.   定 理3.4(ラ

グ ラ ン ジ ュ)  有 限 群Gの

部 分 群 の位 数 お よび 指 数 は,Gの

数 の約 数 で あ る.   特 別 な 場 合 と して   定 理3.5 

Gを

位 数gの

有 限 群 とす れ ば,Gの

約 数 で あ る.し た が っ て ag=e

がつ ね に 成 り立 つ.  例 題2. 

位 数 が 素 数pの

群Gは

巡 回 群 で あ る.

任 意 の元aの

位 数 はgの

位

  証 明   aを 数 はpか1で =Gと

単 位 元 と 異 な るGの あ る が,1で

な り,Gは

  例 題3. 

Gを

任 意 の 元 と す る.定

あ る こ と は な い か らpで

理3.5に あ る.し

よ り,aの

位

た が っ て,〈a〉

巡 回 群 で あ る. 

(証 終)

有 限 群 と し,H,Kを

そ の 部 分 群 と す る.H⊃Kな

らば

￨G:K￨=￨G:H￨￨H:K￨ が 成 り立 つ.   証 明   GのHに

よ る左 分 解 を G=Ha1+…+Har(r=￨G:H￨)

と し,ま

た,HのKに

よ る左 分 解 を H=Kb1+…+Kbs(s=￨H:K￨)

と す る.こ

の と き,明

らか に

Hai=Kb1ai+…+Kbsai(i=1,2,…,r)

はHaiの

類 別 で,こ

を 得 る.こ

れ はKに

れ に よ りGの

よ るGの

類別

左 分 解 と な る か ら,￨G:K￨=rsで

あ る.

 別証明   一 方

で あ るか ら

, 

(証 終)

  3.3  巡 回 群 の 部 分 群   G=〈a〉 る.ai∈Hと

をaに

よ っ て生 成 され る巡 回 群 と し, 

な る 自然 数iの

うち最 小 数 をhと

れ る巡 回 部 分 群 で あ る こ とを 示 す.そ

をそ の 部 分 群 とす

す れ ば,Hはahで

の た め,akをHの

生成さ

任 意 の元 と し

とす れ ば ar=ak-hq=ak(ah)-q∈H

と な る.hの

最 小 性 に よ りr=0.し

た が っ て,ak=(ah)qと

な り,H=〈ah〉

を 得 る.   以 上 よ り,次   定 理3.6 

の 定 理 が 成 立 す る.

巡 回 群 の 部 分 群 は ま た 巡 回 群 で あ る.

  特 に,G=〈a〉

を 位 数nの

と す る.こ

の と き,mはnの

が っ て,位

数mの

有 限 巡 回 群 と し,Hを 約 数 で あ る が,H=〈an/m〉

任意 の 部 分 群

と な る こ と,し

た

の た め,ahを

上

部 分 群 は た だ 一つ 存 在 す る こ と を 示 す.そ

の よ うに とれ ば,an=e∈Hで n/h個

位 数mの

あ る か ら,nはhの

倍 数 で,Hは

つ ぎの

の 元 か ら な る こ と が わ か る: e=(ah)0,ah,…,(ah)n/h-1

し た が っ て,m=n/hと  逆 に,nの ら,次

な り,H=〈ah〉=〈an/m〉

任 意 の 約 数mに

を 得 る.

対 し て,〈an/m〉

は 位 数mの

部 分 群 で あ るか

の 定 理 を 得 る.

  定 理3.7 

G=〈a〉

に 対 し て,位

数mの

を 位 数nの

有 限 巡 回 群 と す れ ば,nの

部 分 群 が た だ 一 つ 存 在 し,そ

れ はan/mに

任 意 の 約 数m よって 生 成 さ

れ る 巡 回 部 分 群 で あ る.   G=〈a〉

が 無 限 巡 回 群 の と き は,〈ah〉(h=0,1,2,…)は

に 異 な る 無 限 巡 回 群 で,定   例 題1. 

群Gが

理3.6に

よ りGの

明 らか に た が い

部 分 群 は これ らで つ く さ れ る.

真 部 分 群 を 含 ま な け れ ば,Gは

位 数が素 数 の 巡 回 群 で あ

る.   証 明   aをeと

異 な るGの

仮 定 に よ りG=〈a〉

と な る.Gが

任 意 の 元 と す れ ば,  無 限 巡 回 群 な ら ば,〈a2〉

と も 異 な る 部 分 群 と な り仮 定 に 反 す る.Gが が 素 数 で な い な らば,そ

で あ る か ら,

の 一 つ の 素 因 子 をpと

位 数nの

はGと

も{e}

巡 回 群 と す る と き,n

す る.〈ap〉

は 位 数 がn/pの

部 分 群 でGと

も{e}と

も 異 な る.こ

れ は 仮 定 に 反 す る か ら,nは

る. 

素 数 であ (証 終)

  定 理3.6 

の 応 用 と し て,整

数 の 最 大 公 約数 に 関 す る 次 の 性 質 を 証 明 し て み

よ う.   例 題2. 

整 数a1,a2,…,arの

最 大 公 約 数 をdと

すれ ば

a1b1+a2b2+…+arbr=d を み た す 整 数b1,b2,…,brが

存 在 す る.

  証 明   す べ て の 整 数 の つ く る 加 法 群Zは,1に 加 群 で あ る.い

よ っ て 生 成 され る 無 限 巡 回

ま,Hをa1x1+a2x2+…+arxr(xi∈Z)の

べ て の 整 数 の 集 合 とす れ ば,HはZの とa1y1+…+aryrと

をHの

形にか か れ るす

部 分 加 群 で あ る.実

際,a1x1+…+arxr

二 つ の 元 とす れ ば

(a1x1+…+arxr)-(a1y1+…+aryr) =a1(x1-y1)+…+ar(xr-yr)∈H

と な る.定 Hはd′

理3.6に

よ り,Hは

ま た 巡 回 加 群 で,そ

の 生 成 元 をd′ とす れ ば,

の す べ て の 倍 数 の 集 合 で あ る.ai=a10+…+ai1+…+ar0∈H

で あ る か ら,各aiはd′ 数 で あ る.一

方,d′

で 割 り切 れ,し ∈Hで

た が っ て,d′

はa1,…,arの

公約

あ るか ら d′=a1b1+…+arbr

と あ らわ さ れ,a1,…,arの a1,…,arの

  3.4 

の 約 数 で あ る.し

た が っ て,d′

最 大 公 約 数 で あ る. 

共

  群Gの aに

公 約 数 はd′

は

(証 終)

役

元aに

対 し て,t-1at(t∈G)をaをtで

共 役 な 元 と い う.元bがaに

な る 元tが   (ⅰ)  a∼a

存 在 す る と き,a∼bと

変 換 し た 元,ま

共 役 で あ る と き,す か く こ とに す れ ば,こ

た は,

な わ ち,b=t-1atと の関 係 は 同 値 律

  (ⅱ) 

a∼b⇒b∼a

  (ⅲ) 

a∼b,b∼c⇒a∼c

を み た す.実

際,e-1ae=aで

あ る か ら(ⅰ)が

な ら ば,a=tbt-1=(t-1)-1b(t-1)で =t-1at

,c=s-1bsな

成

り 立 つ.ま

あ る か ら(ⅱ)が

成

た,b=t-1at

り 立 つ.さ

ら ば,c=s-1(t-1at)s=(ts)-1a(ts)と

ら に,b

な り(ⅲ)が

成

り 立 つ.   例1.  の と き,σ

空 間 に お い て,直 を合 同 変 換

線lを

軸 と す る 回 転 角θ

τ で 変 換 した

τ-1στ は, 

の 回 転 を

(lの

σ と す る.こ

τ に よ る 像)を

軸 と

す る 同 じ回 転 角 θの 回 転 で あ る こ と を 示 そ う.l上

の 点Cに

対 し て,Cσ=C

で あ るか ら

と な り, 

上 の 点 

で 不 変 で あ る.し

は すべ て

τ-1σ τ

た が っ て,τ-1σ τ は

 を 軸 と す る 回 転 で あ る.   ま た,任 P′(=Pσ)と

Pか

らlに

す れ ば,点 

され, 

は 

を 

  例2. Ω={1,2,…,n}の

は 

σに よ る像 を

に 移 さ れ る.実

す れ ば,∠PCP′=θ

に よ っ て △PCP′

に し て,τ-1σ τ は 

を 置換

は τ-1σ τ に よ っ て 

下 し た 垂 線 の 足 をCと

同 変 換 で あ る か ら,τ

意 の 点Pの

で あ る が,τ

は 合

に 直 交 す る合 同 な 三 角 形に 移

の ま わ りに 角 θ だ け 回 転 し た 点 で あ る.こ

を 軸 と す る 回 転 角 θ の 回 転 で あ る. 上の置換

際

の よ う

で変換すれば

と な る.す

な わ ち,τ-1σ τ は

か え れ ば 得 られ る.実

σ の 上,下

の 文 字 を それ ぞ れ τ に よ る像 で お き

際,

とな る か らで あ る.  特 に,σ

が た が い に 共 通 文 字 を 含 ま な い 巡 回 置 換 の積 と して

と あ らわ さ れ て お れ ば,τ-1σ τ は

とな り,σ

と 同 じ長 さ の(た が い に 共 通 文 字 を 含 ま な い)巡 回 置 換 の 積 に あ

らわ され る.逆

に,σ′ が σ と 同 じ長 さ の(た が い に 共 通 文 字 を 含 ま な い)巡

回置 換 の 積 と して

とあ らわ され て い る とす れ ば,

とお い て,τ-1στ=σ ′ とな る.   例2に

よ り,対 称 群 に お け る 共 役 に 関 す る次 の 事実 が わ か る.

  例 題1. 

n次 の 対称 群 に お い て,二

つ の 置 換 が 共 役 で あ るた め の必 要 十 分

な 条 件 は,そ れ らが(た が い に 共 通 文 字 を 含 ま な い)同

じ長 さ の 巡 回 置 換 の積

に 分 解 さ れ る こ とで あ る.   Gに

お い て   た が い に 共 役 な 元 を 一 つ の類 に ま とめ る とGの

る.こ の と き,各 類 をGの

類 別 が 得 られ

共 役 類 とい う.各 共 役 類 か ら一 つ ず つ 代 表 元 を と

りだ し て,そ は な く,ま   群Gの

の 完 全 代 表 系 をa1,a2,… たGの

元aと

と す れ ば,こ

任 意 の 元 は た だ 一 つ のaiに

れ らは た が い に 共 役 で

共 役 で あ る.

可 換 な す べ て の 元 の 集 合 をaの

中 心 化 群 と い い,C(a)で

示

す: c(a)={x∈G￨xa=ax}

aの

中 心 化 群C(a)はGの

部 分 群 で あ る.実

際,x,y∈C(a)な

らば

xya=xay=axy と な る か ら,xy∈C(a)で

あ る.ま

た,xa=axの

両 辺 に 左,右

か らx-1を

か け て x-1xax-1=x-1axx-1, 

と な り,x-1∈C(a)で

定 理3.8  対1の

群Gの

ax-1=x-1a

あ る.

元aの

対 応 が つ く.特

の 指 数￨G:C(a)￨に

共 役 元 と,GのC(a)に

に,aの

よ る 左 剰 余 類 と の 間 に1

共 役 元 の 個 数 が 有 限 な らば,そ

の 個 数 はC(a)

等 し い.

  証 明   t-1at=s-1aS⇔(ts-1)-1a(ts-1)=a ⇔a(ts-1)=(ts-1)a⇔ts-1∈C(a)

と な る か ら,aをtで とsと

変 換 し た 元 と,sで

がC(a)の

変 換 した 元 と が 一 致 す る の は,t

同 じ 左 剰 余 類 に 属 す る と き,か

つ そ の と き に 限 る.し

たが

って G=C(a)t1+C(a)t2+…

をGのC(a)に

よ る左 分 解 とす れ ば t1-1at1,t2-1at2,…

は す べ て 異 な り,aと

共 役 な 元 は これ らで つ くさ れ る.す な わ ち, 

な る対 応 で,C(a)に

よ る 左 剰 余 類 とaの

共 役 元 との 間 に1対1の

が つ く.    特 に,Gを

対応

(証終) 位 数gの

有 限 群 と し,そ の共 役 類 を

K1={e},K2,…,Kk

とす る.こ

の 完 全 代 表 系 をa1=e,a2,…,akと

る 元 の 個 数 は￨G:C(ai)￨に

等 しい.こ

す れ ば,共 れ をhiと

役 類Kiに

す れ ば,hiはgの

属す 約 数 で,

次 の 等 式 が 成 り立 つ: g=1+h2+…+hk 

これ を 群Gの

類 等 式 とい う.

  Gの

共 役 な 元 がaだ

元aに

(h1=1)

け で あ る と き,G=C(a)と

な り,aはGの

任 意 の 元 と可 換 で あ る.こ の よ うな す べ て の 元 の 集 合 をGの の 中 心 をZと

すれ ば Z={a￨xa=ax(∀x∈G)}(∀

で,こ

中 心 と い う.G

れ はGの

は"任

部 分 群 で あ る.実

で,各C(x)はGの

意 の"と

よ む)

際

部 分 群 で あ る か ら,そ の 共 通 集 合 も ま たGの

部分 群で あ

る.   Gが

ア ー ベ ル 群 な らば,G=Zで

  Gが

有 限 群 の と き,そ

らばhi>1と

各 元 は そ れ 自 身 で 一 つ の 共 役 類 を つ く る.

の 類 等 式 に お い て,h1=h2=…=hz=1,i>zな

す れ ば,中

心Z={a1=e,a2,…,az}と

な り,Gの

類 等 式

は つ ぎ の よ うに あ らわ さ れ る: g=z+hz+1+…+hk 

  例3. 

3次 の 対 称 群S3の

(z=￨Z￨,hi>1)

共 役 類 は,置

換 をた がい に共通 す る文字 を 含 ま

な い 巡 回 置 換 の 積 に 分 解 し た と き の 型 に よ っ て き ま る か ら,{e}と(1,2)を 含 む 共 役 類{(1,2)}と(1,2,3)を の 置 換 の 個 数 を 求 め て,類

含 む{(1,2,3)}で 等式 6=1+3+2

を 得 る.   問2. 

S4,S5の

類 等 式 を 求 め よ.

あ る.そ

れ ぞれ の型

問   3.1  Gを

題3

ア ー ベ ル 群 とす れ ば G(n)={an￨a∈G},G(n)={a∈G￨an=e}

は そ れ ぞ れGの   3.2  群Gの

部 分 群 を つ くる. 二 つ の 部 分 群H,Kの

位 数 が た が い に 素 で あ れ ば,H∩K={e}で

る.   3.3  位 数 が 素 数pの らば,K⊂Hで   3.4  群Gの

べ き で あ る巡 回群Gの

あ る. 二 つ の 部 分 群H,Kに

対 し て,HKがGの

￨HK:H￨=￨K:H∩K￨,￨HK:K￨=￨H:H∩K￨ と な る.

二 つ の 部 分 群H,Kは,￨K￨≦￨H￨な

部分群 であれぼ

あ

4.  正 規 部 分 群 ・ 剰 余群

  4.1  正 規 部 分 群   群Gの

部 分 集合Sに

対 して t−1St={t−1st￨s∈S}

をSをtで

変 換 し た 部 分 集 合,ま

SがGの

た は,Sに

部 分 群 で あ れ ば,t−1Stも

部 分 群 と い う.実 際,a,b∈Sな

共 役 な 部 分 集 合 と い う.特

ま たGの

部 分 群 で,こ

らばab−1∈Sで

れ をSに

に,

共役 な

あ るか ら

(t−1at)(t−1bt)−1=t−1att−1b−1t=t−1(ab−1)t∈t−1St

と な り,t−1StはGの   Gの

部 分 群Nに

部 分 群 で あ る. 共 役 な 部 分 群 がNだ

け しか な い と き,す

なわ ち

t−1Nt=N

がGの

任 意 の 元tに

対 し て 成 り立 つ と き,NをGの

正 規 部 分 群 と い う.こ

の とき Nt=tN が 任 意 のt∈Gに は 一致

し,こ

を,記

号で

対 し て 成 り立 つ.し

た が っ て,Nの

れ を 単 に 剰 余 類 と よ ん で よ い.NがGの

左 剰 余 類 と右 剰 余 類 と 正 規 部 分群 で あ る こ と

また は と か く こ と が あ る.Gお

よ び{e}はGの

自 明 な 正 規 部 分 群 で あ る が,こ

ら以 外 に 正 規 部 分 群 が 存 在 し な い と き.Gを   Gが

ア ー ベ ル 群 で あ れ ば,Gの

  注 意   任 意 のt∈Gに り立 ち,NはGの よ り,こ

単 純 群 と い う.

任 意 の 部 分 群 は 正 規 部 分 群 で あ る.

対 し て,t−1Nt⊂Nが 正 規 部 分 群 で あ る.実

の 両 辺 に 左 か らt−1,右

れ

か らtを

成 り 立 て ばt−1Nt=Nが

成

際,(t−1)−1N(t−1)=tNt−1⊂N か け て,N⊂t−1Ntと

な り,

  t−1Nt=Nを   例1. 

得 る.

群Gの

分 群 はGの

中心ZはGの

正 規 部 分 群 で あ る.さ

らに,Zの

任意 の 部

正 規 部 分 群 で あ る.

  定 理4.1 

H,Kが

と もに 群Gの

正 規 部 分 群 で あれ ば,H∩KもGの

正

規 部 分 群 で あ る.   証 明   Gの 任 意 の 元tに

対 して

t−1(H∩K)t⊂t−1Ht∩t−1Kt=H∩K

した が っ て,H∩KはGの   定 理4.2  はGの

正 規 部 分 群 で あ る. 

NをGの

正 規 部 分 群,HをGの

部 分 群 で あ る.特 に,HもGの

(証終)

任 意 の 部 分 群 と す れ ば,NH

正 規 部 分 群 で あ れ ば,NHは

ま たG

の 正 規 部 分 群 で あ る.   証 明   Hの

任 意 の 元hに

あ る.し た が って,2.4の Hも

対 し て,Nh=hNで 例 題3に

あ る か ら,NH=HNで

よ り,NHはGの

部 分 群 で あ る.ま

た,

正 規 部分群 であれ ば t−1(NH)t=(t−1Nt)(t−1Ht)=NH

と な り,NHもGの  例 題1. 

正 規 部 分 群 で あ る. 

群Gの

 証 明   HをGの し て,Hに

指 数2の

(証終)

部 分 群 は 正 規 部 分 群 で あ る.

指 数2の 部 分 群 とす れ ば,Hに

含 まれ な い 任 意 の 元tに 対

よ る 左,右 分 解 は G=H+Ht=H+tH

と な り, Ht=tH, 

t−1Ht=H

を得 る.  

Hの

任 意 の 元hに

ら,HはGの   群Gの

対 して,h−1Hh=Hが

正 規 部 分 群 で あ る.  部 分 集 合Sに

対 し て,Sを

成 り立 つ こ とは 明 らか で あ るか (証終)

変 換 して不 変 に す る よ うな す べ て の 元

の 集 合 をNG(S)と

か く: NG(S)={t∈G￨t−1St=S}

NG(S)はGの

部 分 群 で,こ

NG(S)が

れ をSの(Gに

お け る)正

部 分 群 に な る こ と は,t,u∈NG(S)に

規 化 群 と い う.

対 して

(tu)−1S(tu)=u−1t−1Stu=u−1Su=S (t−1)−1S(t−1)=tSt−1=S

し た が っ て,tu,t−1∈NG(S)と   NG(S)を

簡 単 にN(S)と

な る こ と か らわ か る. か く こ と が あ る.特

か らな る と き は,N(S)=N(a)は   Gの Gの

部 分 群Hの

元aの

に,S={a}が

中 心 化 群C(a)と

正 規 化 群NG(H)は,Hを

一 つ の 元a 一 致 す る.

正 規 部 分 群 と して 含 む よ う な

最 大 の 部 分 群 で あ る.

  3.4の

定 理3.8と

ま っ た く 同 様 に し て 次 の 定 理 が 証 明 さ れ る.

  定 理4.3 

群Gの

部 分 集 合Sに

間 に1対1の

対 応 が つ く.特

そ の 個 数 は￨G:NG(S)￨に 交 代 群Anは

  問2. 

4次 の 対 称 群S4に 数4の

に,Sに

左剰余 類の

共 役 な 部 分 集 合 の 個 数 が 有 限 な ら ば,

等 し い.

  問1. 

(2,3)}は,位

共 役 な 部 分 集 合 と,NG(S)の

対 称 群Snの

正 規 部 分 群 で あ る.

お い て,{e,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)

正 規 部 分 群 を つ く る.こ

れ は,ク

ラ イ ンの 四 元 群 に 同 型

で あ る.

  4.2    Nを

剰 群Gの

余

群

正 規 部 分 群 と す る.Nの

二 つ の 剰 余 類NaとNbと

の積は

(Na)(Nb)=NaNa−1ab=NNab=N(ab) と な る か ら,こ   い ま,Nに 余類 の積を

れ は 元abを

含 む 剰 余 類 で あ る.

よ る す べ て の 剰 余 類 の 集 合G={Na￨a∈G}を

考 え,二

つ の剰

(Na)(Nb)=N(ab) と定 義 す れ ば,Gは

こ の積 に 関 して 群 を つ く る.実 際,こ の 積 は 部 分 集 合 と

して の 積 に 一 致 す る か ら結 合 法 則 が 成 り立 ち,ま た,Ne=Nは

明 らか に 単

位 元 で,Naの

よ る剰 余 群

逆 元 はNa−1で

とい い,G/Nで

あ る.GをGの

正 規 部 分 群Nに

あ らわ す.

  剰 余 群G/Nに

お い て,元aを

含 む 剰 余 類Naをaで

あ らわ せ ば,G/N

に お け る積 の 定 義 に よ り ab=ab と な る.

  4.3  準  群Gか

同 型 写 像 ら群G′

へ の写 像f:G→G′

の任 意 の 二 元a,bに

が 積 を 保 存 す る と き,す な わ ち,G

対 して

f(ab)=f(a)f(b) が つ ね に 成 り立 つ とき,fをGか

らG′ へ の準 同 型 写 像 とい う.こ れ は 同 型

写 像 の 定 義 の拡 張 で あ る.特 に,fが

上 へ の 写 像 で あ る と き,こ

G′ の 上 へ の 準 同 型 写 像 とい う.Gか

らG′ の上 へ の 準 同型 写 像 が 存 在 す る と

き,G′

はGに

れ をGか

ら

準 同 型 で あ る とい い,記 号 で G∼G′

と か く.

  例1.  =Naは

Nを

群Gの

正 規 部 分 群 と す れ ば,Gか

上 へ の 準 同 型 写 像 で あ る .し

らG/Nへ

の 写 像a→a

た が っ て,

G∼G/N で あ る.準 同 型 写 像a→aをGか

ら剰 余 群G/Nへ

の 自然 な 準 同 型 写 像 と

い う.   例 題1.  f:G→G′

を 準 同 型 写 像 とす れ ば,Gの

単 位 元 に はG′

の単 位

元 が 対 応 す る.ま た,Gの

元aの

逆 元 に はf(a)の

逆 元 が 対 応 す る:

f(a−1)=f(a)−1

 証 明   Gの

単 位 元 をeと

す れ ば,ee=eで

あ るか ら

f(e)f(e)=f(ee)=f(e) し た が っ て,f(e)はG′ ま た,aa−1=eよ

の 単 位 元 で あ る(2.1,例

題1).

り f(a)f(a−1)=f(aa−1)=f(e)

した が っ て,f(a−1)はf(a)の   例 題2.  はG′

f:G→G′

逆 元 で あ る.

が 群Gか

らG′

へ の 準 同 型 写 像 で あ れ ば,像f(G)

の 部 分 群 で あ る.

  証 明   a,b∈Gと

すれ ば f(a)f(b)−1=f(a)f(b−1)=f(ab−1)∈f(G)

し た が っ て,f(G)はG′

の 部 分 群 で あ る. 

 準 同 型 写 像f:G→G′

に お い て,G′

(証 終)

の 単 位 元e′

の原 像

f−1(e′)={x∈G￨f(x)=e′}

をfの

核 と い う.こ

れ はGの

正 規 部 分 群 で あ る.実

際,f(x)=e′,f(y)=e′

な らば f(xy)=f(x)f(y)=e′e′=e′

ま た,上

の例題に よ り f(x−1)=f(x)−1=e′−1=e′

と な る か ら,xy,x−1∈f−1(e′).し さ ら に,任

た が っ て,f−1(e′)はGの

意 のt∈G,x∈f−1(e′)に

部 分 群 で あ る.

対 して

f(t−1xt)=f(t−1)f(x)f(t)=f(t)−1e′f(t) =e′

と な り,t−1xt∈f−1(e′).し   群Gの

た が っ て,f−1(e′)はGの

剰 余 群 は 自 然 な 準 同 型 写 像 に よ りGに

正 規 部 分 群 で あ る.

準 同 型 で あ る が,次

の定理は

この 逆 が 成 り立 つ こ とを 示 す も の で,準 同 型 定 理 と よば れ,群 論 に お け る最 も 基 本 的 な 定 理 の 一 つ で あ る.   定 理4.4(準

同 型 定 理)  fを 群Gか

らG′ の 上 へ の 準 同 型 写 像 と し,N

を そ の 核 とす れ ば

で あ る.   証 明   G′ の 単 位 元 をe′

し た が っ て,f(a)=a′ る.fは

と す れ ば,Gの

とす れ ば,a′

二 元a,bに

対 して

の 原 像f−1(a′)は

剰 余 類Naと

一致す

上 へ の 写 像 で あ るか ら

な る 対 応 で,G/Nの

元 とG′

G′ の 上 へ の こ の1対1の

の 元 と の 間 の1対1の

写 像 をfと

対 応 を 得 る.G/Nか

す れ ば,f(a)=f(a)で

ら

あ る.ま

た

f(ab)=f(ab)=f(ab)=f(a)f(b) =f(a)f(b) で あ る か ら,fは   例 題3. 

同 型 対 応 で あ る. 

群Gの

(証 終)

自 己 同 型 群 をA(G)と

部 自 己 同 型 を σ(a):x→a−1xaと

す る.ま

σ(a)はGか

す る.こ

  (1) 

写 像 σ:a→

  (2) 

上 の 写 像 の 像 をI(G)={σ(a)￨a∈G}と

た,Gの

元aに

よ る 内

の とき

らA(G)へ

の 準 同 型 写 像 で あ る. す れ ば,I(G)はA(G)の

正 規 部 分 群 で あ る.   (3) 

上 の 準 同 型 写 像 の 核 はGの

中 心Zに

一 致 し,し

た が っ て, 

で あ る. I(G)を

群Gの

同 型 群 と い う.

内 部 自 己 同 型 群 と い い,剰

余 群A(G)/I(G)をGの

外 部 自己

 証 明  (1) し た が っ て,σ(a)σ(b)=σ(ab)と   (2) 

例 題2に

な り,写 像a→

よ り,I(G)はA(G)の

σ(a)は

準 同 型 写 像 で あ る.

部 分 群 で あ る.α

∈A(G)をG

の任 意 の 自己 同 型 とす れ ば

し た が っ て,  る.よ

と な り,こ

っ て,α −1I(G)α ⊂I(G)と

  (3) 

σ(a)がA(G)の

σ はGか

らI(G)の

り, 

意 のx∈Gに

な る か ら,σ

対 し て,

の 核 はZで

な わ ち,  あ る.(2)に

上 へ の 準 同 型 写 像 を ひ き お こ す か ら,準

 定 理4.5(第1同

(証 終)

の 二 つ の 同 型 定 理 が 導 か れ る.

型 定 理)  f:G→G′

をG′

よ り,

同 型 定理 に よ

と な る. 

  準 同 型 定 理 よ り,次

は ま たGの

正 規 部 分 群 で あ る.

成 りた つ こ と と 同 じ で あ る.す

単 位 元)⇔a∈Zと

像 と し,H′

に よ る 内 部 自己 同 型 で あ

な り,I(G)はA(G)の

単 位 元 で あ る こ と は,任

a−1xa=x,xa=axが (A(G)の

れ はaα

の 正 規 部 分 群 と す る.こ

を 群Gか

らG′

の と き,H′

の上 へ の 準 同 型 写 の 原 像H=f−1(H′)

正規 部分群 で

が 成 り立 つ.

 証 明 φ:G′ →G′/H′ を 自然 な 準 同 型 写 像 とす れ ば,fとφ

の積

を と っ て,Gか

際,a,b∈G

らG′/H′

の 上 へ の 準 同 型 写 像 が 得 ら れ る.実

に 対 して

とな るか らで あ る(一 般 に,二 つ の 準 同 型 写 像 の積 は また 準 同 型 写 像 で あ る).

  fφ の核 は,(fφ)(x)がG′/H′ 元xの

の 単 位 元H′

に一致 す るよ うな す べ て の

集 合 で,

で あ るか ら,そ れ はHに

一 致 す る.し た が って,準 同 型 定 理 に よ り,HはG

の 正 規 部 分 群 で,    定 理4.6(第2同

が 成 り立 つ.  型 定 理)  NをGの

(証終)

正 規 部 分 群 と し,HをGの

任意 の部

分群 とすれば

が 成 り立 つ(こ

の 定 理 は 左 図 の よ う に して 覚 え る と

よ い).   証 明   自 然 な 準 同 型 写 像f:G→G/Nに HはHN/Nの

上 に 移 さ れ る.し

上 へ の 準 同 型 写 像f′:H→HN/Nを

ひ き お こす.こ

よ っ て,

た が っ て,fは

の と き,x∈Hに

対 し

て

で あ る か ら,f′

の 核 はH∩Nで,準

同 型 定 理 に よ り,

を 得 る. 

  4.4    群Gの

(証 終)

交換 子群

・可 解 群

二 つ の 元a,bに

こ れ を[a,b]と

対 し て,a−1b−1abをaとbと

の 交 換 子 と い い,

か く. a−1b−1ab=e⇔b−1ab=a⇔ab=ba

で あ る か ら,aとbと

が 可 換 で あ る た め 必 要 十 分 な 条 件 は,そ

れ らの交 換 子

a−1b−1abが 単 位 元 に 等 し い こ と で あ る.   群Gの

二 つ の 部 分 群A,Bに

対 し て,Aの

元aとBの

元bと

の交換 子

[a,b]の

全 体 に よ っ て 生 成 さ れ る 部 分 群 を[A,B]と

と の 交 換 子 群 と い う.[A,B]={e}と

か き,こ

な る こ と は,Aの

れ をAとB

任 意 の 元 とBの

任

意 の 元 と が 可 換 に な る こ とで あ る.   例 題1. 

A,BがGの

正 規 部 分 群 で あ れ ば,[A,B]は

分 群 で,[A,B]⊂A∩Bと

な る.特

に,A∩B={e}な

ま たGの

正規 部

らば,AとBと

は 元 ご と に 可 換 で あ る.   証 明   tをGの

任 意 の 元 と し,a∈A,b∈Bと

すれ ば

t−1[a,b]t=t−1(a−1b−1ab)t=(t−1at)−1(t−1bt)−1(t−1at)(t−1bt) =[t−1at

t−1at∈A,t−1bt∈Bで

,t−1bt]

あ る か ら,こ

あ る.[A,B]はAの

元 とBの

t−1[A,B]t⊂[A,B]と

な り,後

元 との 交 換 子 で

正 規 部 分 群 で あ る.

あ る と き,[a,b]=a−1b−1abは,a−1,b−1ab∈A

属 し,ま た,a−1b−1a,b∈Bで

が っ て,[A,B]⊂A∩Bと ={e}と

元 とBの

元 と の 交 換 子 の べ き 積 の 全 体 で あ る か ら,

な り,[A,B]はGの

  次 に.a∈A,b∈Bで で あ る か らAに

れ は ま たAの

な る.特

あ る か らBに

に,A∩B={e}な

も属 す る.し ら ば,[A,B]

半 を 得 る. 

  特 に,群GとG自

(証 終)

身 と の 交 換 子 群[G,G]をD(G)と

か き,こ

の 交 換 子 群 と い う.   定 理4.7   (1) 

群Gの

交 換 子 群D(G)はGの

  (2) 

剰 余 群G/D(G)は

  (3) 

HがGの

正 規 部 分 群 で あ る.

ア ー ベ ル 群 で あ る.

正 規 部 分 群 で,G/Hが

ア ー ベ ル 群 な ら ば,HはD(G)を

含 む.   証 明   (1)  は 例 題1よ   (2) 

G/D(G)に

た

り明 らか で あ る.

おい て (D(G)x)−1(D(G)y)−1(D(G)x)(D(G)y)

れ をG

=D(G)x−1y−1xy=D(G)

し た が っ て,D(G)xとD(G)yは   (3) 

G/Hが

可 換 で,G/D(G)は

ア ー ベ ル 群 で あ る.

ア ー ベ ル 群 な らば H=(Hx)−1(Hy)−1(Hx)(Hy)=Hx−1y−1xy

し た が っ て,任

意 の 交 換 子x−1y−1xyはHに

含 ま れ,D(G)⊂Hと

な る. (証終)

  上 の 定 理 の(2),(3)に 規 部 分 群Hの

よ り,D(G)はG/Hが

ア ー ベ ル 群 とな る よ うな正

う ち 最 小 の も の で あ る.

  群Gの

交 換 子 群 をD(G)=D1(G)と

=[D1(G)

,D1(G)]と

し,つ

し,D1(G)の

交 換 子 群 をD2(G)

ぎ つ ぎ に 交 換 子 群 を と り,一

般に

Di+1(G)=[Di(G),Di(G)] とす れ ば,Gの

正 規 部 分 群 の列

G=D0(G)⊃D1(G)⊃D2(G)⊃

を 得 る.こ

の 列 をGの

…

交 換 子 群 列 と い う.こ

⊃Di(G)⊃

…

の と き,各 剰 余群Di(G)/Di+1(G)

は ア ー ベ ル 群 で あ る.   交 換 子 群 列 が 有 限 回 で 単 位 元{e}で な るrが

存 在 す る と き,Gを

終 る と き,す

可 解 群 と よ ぶ.ア

な わ ち,Dr(G)={e}と

ーベ ル群 は 明 らか に 可 解 群 で

あ る. Di+1(G)=Di(G)な

らば Di+2(G)=[Di+1(G),Di+1(G)] =[Di(G)

と な る.ま

た,同

じ よ うに し て,す

と な る こ と が わ か る.し ={e}な

と な る.

ら ば ,Gの

,Di(G)]=Di+1(G)=Di(G)

べ て のj>iに

た が っ て,Gが

交 換子群列 は

対 し て,Dj(G)=Di(G)

可 解 群 で, 

Dr(G)

 定 理4.8  可 解 群 の部 分 群,剰 余 群 は また 可 解 群 で あ る.  証 明  Hを

可 解 群Gの

部 分 群 とす れ ば,明

らか に

D1(G)⊃D1(H)

また D2(G)=[D1(G),D1(G)] ⊃[D1(H),D1(H)]=D2(H)

同 じ よ うに して,一

般 に,Di(G)⊃Di(H)を

な ら ばDr(H)={e}と

な り,Hは

  次 に,NをGの

得 る.し 可 解 群 で あ る.

正 規 部 分 群 と す れ ば,剰

の 交 換 子 はN(a−1b−1ab)と

た が っ て,Dr(G)={e}

余 群G/Nに

お い てNaとNb

な るか ら

D1(G/N)=ND1(G)/N と な る.同

じ よ うに し て,一

さ れ る.し

た が っ て,Dr(G)={e}な

て,G/Nは

な る こ とが 証 明

らば,Dr(G/N)=N(単

位 元)と

可 解 群 で あ る. 

  定 理4.9  ば,Gも

般 に,Di(G/N)=NDi(G)/Nと

Gの

なっ

(証 終)

正 規 部 分 群Nに

対 し て,G/N,Nが

とも に 可 解 群 で あ れ

可 解 群 で あ る.

  証 明   Dr(G/N)=N(単 =NDr(G)/Nで

位 元),Ds(N)={e}と

あ る か ら,Dr(G)⊂Nで

す る.こ

⊃Ds(Dr(G))=Dr+s(G),Dr+s(G)={e}と

あ る.し

の と き,Dr(G/N)

た が っ て,{e}=Ds(N)

な り,Gは

可 解 群 で あ る. (証 終)

  例 題2. 

対 称 群Snの

  証 明   剰 余 群Sn/Anは で,D(Sn)⊂Anと

交 換 子 群 はAnに 位 数2の

な る.一

て 生 成 さ れ る(2.5,例

と な る か ら,An⊂D(Sn).し

一 致 す る.

巡 回 群 で あ る か ら,も

方,Anは

長 さ3の

ちろ んア ーベ ル群

巡 回 置 換(α,β,γ)に

よっ

題2).

た が っ て,An=D(Sn)と

な る. 

(証 終)

  例 題3. 

4次 以 下 の 対 称 群 は す べ て 可 解 群 で あ る.

  証 明   S2は

位 数2の

巡 回 群 で あ る か ら 明 ら か で あ る.S3に

D1(S3)=A3で,A3は

位 数3の

と な り可 解 群 で あ る.ま

た,S4に

つ い て は,

巡 回 群 で あ る か ら,D1(A3)=D2(S3)={e} ついて は

V4={e,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)} と す れ ば,V4は で あ る,S4の

ア ー ベ ル 群 で(ク

ラ イ ン の 四 元 群 と 同 型),S4の

正規 部 分 群

正規 部分 群 の列 S4⊃A4⊃V4⊃{e}

を 考 え れ ば,A4/V4は 4.9に

よ りA4は

位 数3の 可 解,し

  定 理4.10 

巡 回 群,V4は

た が っ て,S4も

ア ー ベ ル 群 で あ る か ら,定 可 解 群 で あ る. 

は 非 可 解 な 単 純 群 で あ る.し

理

(証 終)

た が っ て, 

は 可 解 群 で は な い.   証 明 

と し て,NをAnの{e}と

異 な る 正 規 部 分 群 と す る.Nの

元 の う ち 実 際 に 動 か す 文 字 の 個 数 が 最 小 に な る も の を σ と す れ ば,σ 3の 巡 回 置 換 に な る こ と を ま ず 示 す.そ 動 か す と仮 定 す る.σ

が 少 な く と も4個

の文字 を

を 共 通 す る 文 字 を 含 ま な い 巡 回 置 換 の 積 に 分 解 す れ ば,

σ は 互 換 ば か り の 積 か,長   (1) 

の た め,σ

は長 さ

さ が 少 な く と も3の

巡 回 置 換 を 含 む.す

なわ ち

σ=(12)(34)…

また は   (2) 

σ=(123…)…

と して よ い.(2)の

場 合 に は,σ

らば,ち

の 文 字 を 動 か す とす る と,σ

よ う ど4個

は 少 な く と も5個

これ は 奇 置 換 で あ る か ら矛 盾 で あ る.し 2,3,4,5を

は 長 さ4の

た が っ て,(2)の

σ を 変 換 す る と,上

σ1=τ−1στ=(12)(45)…

ぜ な

巡 回 置 換 と な り,

場 合,σ

実 際 に 動 か す と し て よ い.

  い ま,τ=(3,4,5)で   (1) 

の 文 字 を 動 か す.な

の各 場 合 に つ い て

は 文 字1,

  (2) 

σ1=τ

と な る.し

た が っ て, 

kT=kで =1

−1σ τ=(124…)…

あ る か ら,kσ1σ −1=k.ま

,さ

ら に(1)の

字 の 個 数 は っ て,σ

た,(1),(2)の

場 合 は2σ1σ −1=2で

は 長 さ3の

と な る も の が あ る.ρ

れ は

よっ て不 変 な 文

σ の と り 方 に 反 す る.し

元

が も し奇 置 換 な らば,(n−1,n)ρ

ρ で

を 改 め て ρ とお い

の と き,ρ −1σ ρ=(i,j,k)∈Nで,N

任 意 の 巡 回 置 換 を 含 む か ら,2.5,例

題2に

よ りN=Anで

定 理 の 後 半 は 明 らか で あ る.    例 題4. 

あ る. (証 終)

可解 な 単 純 群 は 位 数 が 素 数 の 巡 回 群 で あ る.

  証 明   Gを あ る か ら,単

た が

し て よ い.

の 文 字 と す れ ば,Snの

は 偶 置 換 で あ る と し て よ い.こ

は 長 さ3の

い ず れ の 場 合 も1σ1σ −1

巡 回 置 換 で,σ=(123)と

異 な る 任 意 の3個

σ で 不 変 で あ れ ば,

あ る か ら,σ1σ −1に

σ の そ れ よ り も 大 き く な る.こ

  i,j,kを

て,ρ

で あ る.k>5が

可 解 な 単 純 群 とす る.D(G)はGと

正規 部 分 群で

た が っ て,Gは

ア ー ベ ル 群 で あ る.

ア ー ベ ル 群 の 部 分 群 は す べ て 正 規 部 分 群 で あ る か ら,Gの

真部 分 群 は 存 在 し

な い.よ

純 性 に よ りD(G)={e}.し

異 な るGの

っ て,3.3,例

題1に

よ り,Gは

問

  4.1  NをGの

正 規 部 分 群,HをGの

位 数 が 素 数 の 巡 回 群 で あ る.(証 終)

題4

任 意 の 部 分 群 とす れ ば,H∩NはHの

正

規 部 分 群 であ る.   4.2  〈u〉を無 限 巡 回 群 とす れ ば,〈u〉/〈un〉は 位 数nの   4.3  HをGの   4.4  群Gか

任 意 の部 分 群 とす れ ば, 

巡 回 群 で あ る.

はGの

らア ー ベ ル 群G′ へ の 準 同 型 写 像 をfと

正 規 部分 群 で あ る.

す れ ば,fの

核 はGの

交換子

群 を 含 む.   4.5  H,KがGの

正 規 部 分 群 で,G/H,G/Kが

と もに ア ーベ ル 群 な らば,G/H∩K

もア ーベ ル 群 であ る.  4.6  Gの

部 分 群HがD(G)を

含 め ば,HはGの

 4.7  実 数 全 体 の つ くる加 法 群Rは,指

正 規 部 分 群 で あ る.

数 有 限 の真 部 分 群 を 含 まな い.

 4.8  0と 異 な る複 素 数 全 体 のつ くる 乗 法 群C*は,指

数 有 限 の真 部 分 群 を 含 ま な い.

5.  直

  5.1 

直

  5.1.1 

積

・組

成

列

積

与え られた群 の直積

  4章 で,群Gと

そ の 正 規 部 分 群Nが

与 え られ れ ば,剰

し い 群 が 構 成 さ れ る こ と を の べ た が,こ

こ で,与

余 群G/Nと

い う新

え られ た い く つ か の 群 か ら新

し い 群 を 構 成 す る 別 の 方 法 に つ い て の べ よ う.   G1,G2,…,Gnを をGと

す る.す

与 え られ たn個 な わ ち,Gは

の 群 と し,こ

各Giか

れ らの集 合 と し て の 直 積

ら一 つ ず つ 元aiを

と りだ して な ら べ

た もの (a1,a2,…,an)(ai∈Gi)

の全 体 で あ る.Gに

乗法 を

(a1,a2,…,an)(b1,b2,…,bn)=(a1b1,a2b2,…,anbn)

に よ っ て 定 義 す れ ば,Gは

群 を つ く る.実

る こ と に よ っ て 定 義 さ れ て い る か ら,結 る.ま

た,eiをGiの

際,上

の乗 法 が 成 分 ご と に 積 を と

合 法 則 が 成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ

単 位 元 とす れ ば e=(e1,e2,…,en)

はGの

単 位 元 で,さ

ら にGの

元a=(a1,a2,…,an)の

逆 元 は

a−1=(a1−1,a2−1,…,an−1)

に よ っ て 与 え られ る.   こ の よ うに し て 定 義 さ れ た 群GをG1,G2,…,Gnの G=G1×G2×

…

直 積 と い い, ×Gn

とか く.  直 積 の 定 義 か ら容 易 に 次 の 事 柄 が 導 か れ る.  (1)

 証 明   対 応 

で 同 型 で あ る.

 (2) 

な らば

 証明 対応 で 

な らば

な る対 応 で 上 の 同 型 対 応 を 得 る.  (3) 

G=G1×

…

×Gn,H=H1×

…

×Hmな

らば

  証 明   G∋a=(a1,…,an),H∋b=(b1,…,bm)に

対 して

な る 対 応 で 上 の 同 型 対 応 を 得 る.   有 限 群 に つ い て は,明   (4) 

らか に 次 の事 柄 が 成 り立 つ.

直 積G=G1×G2×

限 群 な らば,位

…

×Gnに

お い て,G1,G2,…,Gnが

すべ て有

数 に 関 して

が 成 り立 つ.   直 積G=G1×G2×

…Gnに

お い て,第i番

目の成 分 以 外 は す べ て 単 位 元

で あ る よ うな 元 ai*=(e1,…,ei−1,ai,ei+1,…,en)

の 全 体 をGi*と

す る.Gi*は 

な る対 応 でGiと

同 型 なGの

部分

群 で,次 の 性 質 を もつ.   (ⅰ) 

な らば,Gi*の

任 意 の 元 とGj*の

で あ る.   (ⅱ)  Gの 任 意 の元 a=(a1,a2,…an)

はGi*(i=1,2,…,n)の

元 の積 と して

任 意 の 元 とは た が い に 可 換

a=a1*a2*…an*

と 一 意 的 に あ らわ さ れ る.  

こ れ か ら,Gの

二元 a=a1*a2*…an*, 

b=b1*b2*…bn*

の積 は ab=(a1*b1*)(a2*b2*)…(an*bn*) に よ っ て 与 え られ る.   注 意1. 

同 型 な 群 を 同 一 視 し て,上

か く こ と が 多 い.ま

の(1)∼(3)に

た,Gi*とGiと

お け る〓

を 同 一 視 し て,し

を 等 号=で

ば しばGi自

身 をG

の 部 分 群 と 考 え る.   5.1.2 

部 分 群 の 直 積

  群Gの

部 分 群H1,H2,…,Hnが

次 の 条 件 を み た す と き,Gは

これ ら の 部

分 群 の 直 積 で あ る と い う.

  (ⅰ) 

な らば,Hiの

任 意 の 元 とHjの

任 意 の 元 とは 可換 で あ る.

  (ⅱ)  Gの 任 意 の 元aは a=a1a2…an

とH1,H2…,Hnの

元 の 積 と し て 一 意 的 に あ らわ さ れ る .

  この と き a=a1a2…an, 

b=b1b2…bn

な らば ab=(a1b1)(a2b2)…(anbn) と な り,Gは

な る 対 応 で,5.1.1に ×Hnに

同 型 で あ る.同

お い て 定 義 した(与

え ら れ た 群 の)直

型 な も の を 同 一 視 し て ,Gが

の 直 積 で あ る と き,5.1.1と

同 じ記 号 を用 い て

積H1×H2×

部 分 群H1,H2,…,Hn

…

G=H1×H2×

…

×Hn

と か く.   ま た,逆

にGが

与 え られ た 群G1,…,Gnの

と 同 一 視 し て,こ

れ をGの

直 積 で あ る と き,各GiをGi*

部 分 群 と み れ ば,Gは

こ れ らの 部 分 群 の 直 積 で あ

る.   こ の よ うに して,5.1.1と5.1.2で 的 に 異 な る も の で は な く,以   注 意2. 

与 え られ た 二 つ の 直 積 の 定 義 は,本

後 こ れ らを 区 別 し な い こ とに す る.

加 群H1,H2,…,Hnの

  と か く.す

質

直 積Gを

普 通 直 和 と よ び,記

号で

な わ ち,G={(a1,a2,…,an)￨ai∈H(i=1,2,…,n)}で,

加 法は (a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn) に よ っ て 定 義 さ れ る.ま

た,加

群Gが

和 で あ る た め 必 要 十 分 な 条 件 は,Gの (ai∈Hi)と   群Gが

そ の 部 分 加 群H1,H2,…,Hnの

直

任 意 の 元aが,a=a1+a2+…+ai

一 意 的 に あ らわ さ れ る こ と で あ る.

部 分 群H1,H2,…,Hnの

積 因 子 と い う.直

直 積 で あ る と き,各

積 因 子 はGの

正 規 部 分 群 で あ る.実

の 各 元 と可 換 で あ る か ら,Gの

部 分 群Hiを

際,Hiの

任 意 の 元a=a1a2…anに

その直

元 は 他 の  対 し て,

a−1Hia=ai−1Hiai=Hi と な る.群Gが る と い う.Gが

二 つ の 真 部 分 群 の 直 積 に 分 解 さ れ な い と き,Gは 直 既 約 な 部 分 群H1,H2,…,Hnの G=H1×H2×

と 分 解 さ れ て い る と き,こ

の 分 解 をGの

  二 つ の 部 分 群 の 直 積 に 関 し て,次   定 理5.1    (1) 

A,Bは

群Gが

直 積 と して …

×Hn

直 既 約 分 解 と い う.

の 定 理 が 成 り立 つ.

二 つ の 部 分 群A,Bの と も にGの

直既 約であ

直 積 で あ るた め 必 要 十 分 な 条 件 は

正 規 部 分 群 で あ る.

  (2) 

G=AB,A∩B={e}

が 成 り立 つ こ と で あ る.   証 明   G=A×Bと

仮 定 す る と,上

規 部 分 群 で あ る.ま ∋xと

た,直

の 注 意 に よ り,A,Bは

積 の 定 義 に よ り,G=ABと

す れ ば,xはAの

元 とBの

な る.い

の あ らわ し方 の 一 意 性 に よ り,x=eを

得 る.し

あ る.

  逆 に,(1),(2)の

条 件 が み た さ れ て い る とす る と,4.4,例

は 元 ご と に 可 換 で あ る.G=ABで

元 とBの

あ る か ら,Gの

元 と の 積 に あ らわ さ れ る が,そ

と す る.こ

ま,A∩B

x=ex(e∈A,x∈B)

て,A∩B={e}で

とBと

正

元 の 積 と し て 二 通 りに

x=xe(x∈A,e∈B), 

と あ らわ さ れ る が,そ

と も にGの

題1に

たがっ

よ り,A

任 意 の 元 はAの

の 一 意 性 を 証 明す るた め に

の と き,

と な る か ら,a=a′,b=b′

を 得 る.よ

っ て,xをAの

元 とBの

あ らわ す 仕 方 は た だ 一 通 り で あ る.    例1. 

(証 終)

ク ラ イ ン の 四 元 群V4(2.7,例3)に

に 関 す る鏡 映 を そ れ ぞれ

τ1,τ2と す れ ば,V4は V4=〈

元 との積に

お い て,長 位 数2の

方 形 の二つ の 中 線 二 つの巡 回群 の直積

τ1〉×〈τ2〉

と 分 解 さ れ る.   例2. 

位 数 が 素 数pの

  定 理5.1は,一   定 理5.2 

般 にn個 群Gが

い く つ か の 巡 回 群 の 直 積 を,基 本 ア ー ベ ル 群 とい う. の 部 分 群 の 直 積 に つ い て,次

部 分 群H1,H2,…,Hnの

件は   (1) 

Hiは

す べ てGの

  (2) 

G=H1H2…Hn

正 規 部 分 群 で あ る.

の よ うに 拡 張 さ れ る.

直 積 で あ るた め 必 要 十 分 な 条

  (3) 

(H1…Hi−1)∩Hi={e} 

(i=2,3,…n)

が 成 り 立 つ こ と で あ る.   証 明   G=H1× あ る.ま

…

×Hnで

あ れ ば,(1),(2)が

た,(H1…Hi−1)∩Hi∋xと

成 り立 つ こ とは 明

す れ ば,xはH1…Hi−1の

て,x=x1…xi−1(x1∈H,…,xi−1∈Hi−1)と xはH1,…,Hnの

らか で 元 と し

あ らわ さ れ る.し

た が っ て,

元 の積 と して x=x1…xi−1ee…e

=e…exe…e(x∈Hi) と 二 通 りに あ らわ さ れ る が,そ し た が っ て,(3)が

の あ らわ し 方 の 一 意 性 に よ りx=eを

成 り立 つ.

  逆 に,Gが(1),(2),(3)の …Hi…Hj

条 件 を み た す とす る.i<jな

−1で あ る か ら,Hi∩Hj={e}と

せ て,HiとHjは

な る.し

元 ご と に 可 換 に な る.(2)に

H1,…,Hnの

得 る.

元 の 積 で あ らわ さ れ る が,そ

らば,Hi⊂H1

た が っ て,(1)と

よ り,Gの

あわ

任 意 の 元xは

の 一 意 性 を 証 明 す るた め に

x=x1x2…xn

(xi,yi∈Hi) =y1y2…yn

と す る.い

ま, 

最 大 の も の をrと

と な るiが す る.こ

存 在 す る と 仮 定 し,こ

の よ う なiの

うち

の とき

x1x2…xr=y1y2…yr

xryr−1=x−1r−1…x2−1x1−1y1y2…yr−1 と な る.こ

の 左 辺 はHrの

よ りxryr−1=e,xr=yrと てxi=yiが   例 題1.  Gの

元 で,右

辺 はH1…Hr−1の

な り 矛 盾 で あ る.し

元 で あ る か ら,(3)に た が っ て,す

成 り 立 つ.  直 積G=G1×

べ て のiに

つ い

(証 終) …

×Gnに

お い て,直

積 因 子Giの

正 規 部 分 群 は

正 規 部 分 群 で あ る.

  証 明   HiをGiの

正 規 部 分 群 と し,a=a1…an(aj∈Gj)をGの

任 意 の

元 とす れ ば a−1Hia=ai−1Hiai=Hi と な り,HiはGの   例 題2. 

正 規 部 分 群 で あ る. 

直 積G=G1×

…

×Gnの

子 群 の 直 積 で あ る:D(G)=D(G1)×   特 に,Gが

(証 終)

交 換 子 群D(G)は,各 …

直 積 因 子 の 交換

×D(Gn).

可 解 群 で あ る た め 必 要 十 分 な 条 件 は,直

積 因 子 がす べ て 可 解 群

で あ る こ と で あ る.   証 明   積D(G1)…D(Gn)は か ら,D(G1)×

…

明 らか に 直 積 で あ る.D(Gi)⊂D(G)で

×D(Gn)⊂D(G)で

(ai,bi∈Gi)をGの

あ る.一

あ る

方,a=a1…an,b=b1…bn

任 意 の 二 元 とす れ ば a−1b−1ab=(a1−1b1−1a1b1)…(an−1bn−1anbn)

で あ る か ら,D(G)⊂D(G1)×   Gが

…

可 解 群 でDr(G)={e}と

て 可 解 群 で あ る.逆

に,Giが

×D(Gn)を

得 る.

す れ ば,Dr(Gi)={e}と

な り,Giは

す べ て 可 解 群 で あ れ ば,rを

Dr(Gi)={e}(i=1,…,n)と

な る.こ

十 分 大 き く と っ て,

の と き,Dr(G)={e}と

な り,Gは

可 解 群 で あ る. 

(証 終)

  問1. 

G=A×Bな

  問2. 

A,Bを

ら ば, 

G=A×Bな

は 群Gの

中 心 と す る.

  群Gの(重

正 規 部 分 群 と し,G=ABな

ら

の 直 積 で あ る.

  問3. 

組

で あ る.

位 数 が た が い に 素 なGの

ば,GはAとBと

  5.2 

すべ

成

ら ば,Z(G)=Z(A)×Z(B)で

だ し,Z(G)

列

複 を 許 し た)部

分 群 の列

G=H0⊃H1⊃ に お い て,各HiがHi−1の

あ る.た

… ⊃Hr={e}

正 規 部 分 群 で あ る と き,こ

の 列 をGの

正規 鎖 と

い う.ま た,正 規 鎖 か ら得 られ る剰 余 群 の 列 H0/H1, 

H1/H2,…,Hr−1/Hr(=Hr−1)

を そ の 剰 余 群 列 と い う.   特 に,上

の 正 規 鎖 に お い て,H0,H1,…,Hrが

の 間 に こ れ ら と異 な るHi−1の Hi−1/Hiが

正 規 部 分 群 が 存 在 し な い と き,す

す べ て 単 純 群 で あ る と き,こ

け る 剰 余 群 列 を 組 成 剰 余 群 列 と い い,各 ま た,組

成 剰 余 群 の 個 数rを

す べ て 異 な り,Hi−1とHi

れ をGの

組 成 列 と い う.組

剰 余 群Hi−1/Hiを

な わ ち,Gと

異 な るGの

H1と

し,次

にH1と

H2と

し,こ

れ を 続 け れ ば,Gの

が あ る.こ

成列 にお

組 成 剰 余 群 と い う.

組 成 列 の 長 さ と い う.

  ど の 群 も 組 成 列 を もつ と は か ぎ らな い が,Gが 在 す る.す

な わ ち.

異 な るH1の

の よ うに し て,Gの

有限群 であれば 組 成 列 が 存

正 規 部 分 群 の う ち,位 正 規 部 分 群 の うち,位

数が 最 大 な もの を 数が最 大 な ものを

位 数 は 有 限 で あ る か ら,Hr={e}と 組 成 列G=H0⊃H1⊃H2⊃

な るr

… ⊃Hr={e}

が で き る.   例1. 

3次 の 対 称 群S3に

お いて S3⊃A3⊃{e}

は そ の 組 成 列 を 与 え,組

成 剰 余 群S3/A3,A3は,そ

れ ぞ れ 位 数 が2,3の

巡

回 群 で あ る.   例2. 

4次 の 対 称 群S4に

は そ の 組 成 列 を 与 え る.た (2,3)},W={e,(1,2)(3,4)}と A4/V,V/W,Wは   例3.  成 列

おいて

だ

し,V={e,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4) す る.そ

そ れ ぞ れ 位 数 が2,3,2,2の 無 限 巡 回 群 は 組 成 列 を も た な い.実

し て,そ

の 組 成 剰 余 群S4/A4,

巡 回 群 で あ る. 際,無

限 巡 回 群G=〈a〉

が 組

を もつ とす れ ば,各Hiは 有 限 群 で あ る.Gの

ま た 無 限 巡 回 群 で あ る か ら,各 剰 余 群Hi/Hi+1は

位 数 は これ らの 組 成 剰 余 群 の 位 数 の 積 に 等 し い か ら,G

は有 限 群 とな り矛 盾 で あ る.   例 題1. 

組 成 列 を もつ 群Gが

可 解 群 で あ るた め 必 要 十 分 な 条 件 は,組 成 剰

余 群 が す べ て位 数 が 素 数 の 巡 回群 とな る こ とで あ る.特 に,組 成 列 を もつ 可 解 群 は 有 限 群 で あ る.   証 明   Gの 組 成 列 を

と す る.Gが か ら,位

可 解 群 で あ れ ば,各

組 成 剰 余 群Hi−1/Hiは

数 が 素 数 の 巡 回 群 で あ る.ま

し い か ら,Gは   逆 に,各

た,Gの

可解 な単純群 で あ る

位 数 は そ の組 成 剰 余 群 の 積 に 等

有 限 群 で あ る.

組 成 剰 余 群 の 位 数 が 素 数 で あ る とす れ ば,H0/H1は

あ る か ら,D1(G)⊂H1.同

ア ーベ ル群 で

様に

D2(G)=[D1(G),D1(G)]⊂[H1,H1]⊂H2

と な り,同

じ議 論 を つ づ け て,Dr(G)⊂Hr={e},Dr(G)={e}を

た が っ て,Gは

得 る.し

可 解 群 で あ る. 

  組 成 列 を も つ 群 に つ い て,次

(証 終) の ジ ョ ル ダ ン ・ヘ ル ダ ー(Jordan

Holder)

の 定 理 は 基 本 的 で あ る.   定 理5.3(ジ

をGの

ョル ダ ン ・ヘ ル ダ ー)  Gを

二 つ の 組 成 列 とす れ ば,r=sで,そ

組 成 列 を も つ 群 と して

れ ぞれ の組成剰 余群列

H0/H1, 

H1/H2, 

…, 

Hr−1/Hr

K0/K1, 

K1/K2, 

…, 

Kr−1/Kr

は 同 型 と順 序 を 度 外 視 して 一 致 す る.す な わ ち,適 当 に1対1の が つ い て,こ れ らが 同 型 と な る よ うに で き る.

対 応 

  こ の 定 理 を 証 明 す る た め,ま   補 題5.4(ザ

ず 次 の 補 題 を 証 明 す る.

ッセ ン ハ ウ ス(Zassenhaus)) 

の 部 分 群 と し, 

H1,H2,K1,K2をGの

な らば

 証 明 

で あ る か ら,  で あ る.同

様 に, 

で あ る. 

で あ るか ら,第2同

HiとKiを

型 定理 に よ り

いれ か え て 同 じ議 論 を す れ ば

した が って,求 め る 同型 を 得 る.   群Gの

四つ

(証終)

正規鎖

に 対 して,各Hi−1とHiの

間 に い くつ か の 部 分 群 を い れ て で き る 正 規 鎖

を も と の 正 規 鎖 の 細 分 と い う.  定 理5.5(シ

ュ ラ イ エ ル(Schreier)) 

に 対 して,こ れ らを 細 分 して,新

群Gの

二つ の正規鎖

し く得 られ た 二 つ の正 規 鎖 の 剰 余 群 列 が,同

型 と順 序 を 度 外 視 す れ ば 一 致 す る よ うに で き る.

 証明 と し,各i,jに r−1個

対 し て,HiとHi+1の

の部 分 群 を い れ て

間 にs−1個,KjとKj+1の

間に

と す れ ば,正

規 鎖(H),(K)の

る.ま

題5.4に

た,補

細 分 が 得 られ,そ

の 長 さ は い ず れ もrsで

あ

よ り

とな り,細 分 さ れ た 正 規 鎖 の 剰 余 群 列 は,同 型 と順 序 を 度 外 視 す れ ば 一 致 す る. 

(証終)

  シ ュ ラ イ エ ル の 定 理 に お い て,与 え られ た 正 規 鎖 に 同 じ部 分群 が 重 複 して あ らわ れ な い と き は,細 分 した 正 規 鎖 も重 複 が な い も の と し て よい.実 際,た え ばHij=Hi,j+1な

らば,剰 余 群Hij/Hi,j+1は

と

単 位 元 の み か ら な る.二 つ

の 剰 余 群 列 に お い て,こ の よ うな 剰 余群 は 同 じ回 数 あ らわ れ るか ら,重 複 す る 部 分 群 を 一 つ に お きか え て も定 理 が 成 り立 つ.   ジ ョル ダ ン ・ヘ ル ダ ーの 定 理 は,シ

ュ ラ イ エ ル の定 理 か ら た だ ち に 導 か れ

る.す な わ ち,組 成 列 は(部 分群 を 重複 させ る こ とな しで は)も は や 細 分 で き な い よ うな 正 規 鎖 で あ るか ら,二 つ の組 成 剰 余 群 列 は,同 型 と順 序 を 度 外 視 し て,一 致 しな け れ ば な らな い.   例 題2.  G/N,Nは

Gを 組 成 列 を もつ 群 とす る.NをGの と もに 組 成 列 を も ち,Gの

正 規 部 分 群 と す れ ば,

組 成 列 の 長 さは これ らの 組 成 列 の 長 さ

の 和 に 一 致 す る.   証 明  正 規 鎖G⊃N⊃{e}を

な る 正 規 鎖 の 剰 余 群 列 が,Gの て 一 致 す る よ うに で き る.こ Gi=Gi/N(i=0,1,…,r)と

は,そ

れ ぞ れG,Nの

細 分 して

あ る 組 成 剰 余 群 列 と,同 の と き,Gの

型 と順 序 を 度 外 視 し

組 成 列 の 長 さ はr+sで,ま

た,

お けば

組 成 列 と な る.こ

れ ら の 組 成 列 の 長 さ はr,sで

あ る

か ら,最 後 の 主 張 が 成 り立つ.    例 題3. 

群Gが

(証終)

組 成 列 を も て ば,Gの

直 既 約 分 解 が 存 在 す る.

  証 明   Gの 組 成 列 の 長 さに 関す る帰 納 法 で 証 明す る.Gが

直既約 で あ れ ば

証 明 す る まで もな い.Gが

と 直 積 に 分 解 さ れ る と す れ ば,H,Kの り小 で あ る か ら,帰

組 成列 の長 さ よ

納法 の仮定に よ り H=H1×

と直 既 約 分 解 さ れ る.こ

…

×Hr,  K=K1×

…

×Ks

の とき

G=H1× はGの

組 成 列 の 長 さ はGの

…

×Hr×K1×

…

×Ks

直 既 約 分 解 で あ る.

  注 意   組 成 列 を も つ 群 の 直 既 約 分 解 に 関 す る,次

の ク ル ル ・ レ マ ク ・シ ュ ミ

ッ トの 定 理 を 証 明 な し で の べ て お く.  

組 成 列 を も つ 群Gの

二つ の直既約 分解 を G=G1×G2×

…

×Gr

G=H1×H2×

…

×Hs

とす れ ば,r=sで,1対1の

対 応 

がつ いて

 (1)  (2) と な る よ うに で き る.

問  5.1  G=A×Bに

おい て,Aを

含 むGの

題5 部 分 群 をHと

す れ ば,H=A×(B∩H)

で あ る.  5.2  M,Nを

 5.3  NをGの

そ れ ぞ れA,Bの

正 規 部 分 群 とす れ ば,

正 規 部 分 群 と し,G/N,Nが

と もに 組 成 列 を もて ば,Gも

組成列を も

つ.

  5.4  有 限 群Gの

極 小 正 規 部 分 群M(M,{e}と

うな 正 規 部 分 群)は,た

異 な るGの

正 規 部 分 群 を含 ま な い よ

が い に 同 型 な 単 純 群 の 直 積 で あ る.

  5.5  有 限 な 可 解 群 の 極 小 正 規 部 分 群 は 基 本 ア ー ベ ル 群 で あ る.   5.6 

Gの

直積分解 G=G1×G2×

…

に お い て,G∋aがa=a1a2…an(ai∈Gi)と れ ば,Gか

らG自

  (1) 

分 解 さ れ る と き,aにaiを

身 へ の 準 同 型 写 像(Gの

(こ の 直 積 分 解 に 関 す る)Giへ

×Gn

自 己 準 同 型)εi:a→aiが

の 射 影 と い う.こ

Gεi(i=1,2,…,n)はGの

得 られ る.εiを

の とき

正 規 部 分 群 で あ る.

  (2) 

が 成 り立 つ.こ

恒 等 写 像,0はa→eな

対 応 させ

る 写 像 と し,ε1+…+εnはa→aε1aε2…aεnな

こ で,lはGの る写 像 とす

る.   5.7 

Gの

自己準 同型

ε1,ε2,…,εnが

上 の 問 題 の(1),(2)を

直積 G=Gε1×Gε2× と 分 解 さ れ,εiは

…

こ の 直 積 分 解 に 関 す る 射 影 で あ る.

×Gεn

み た す な ら ば,Gは

6.  ア

  6.1 

ー

ベ

ル

群

自 由ア ー ベ ル 群

  6.1.1 

階

数

  い くつ か の 無 限 巡 回 群 〈ui〉 の 直 積 F=〈u1〉 を 自 由 ア ー ベ ル 群 と い い,直 元,ま

た は 基 と い う.自

×〈u2〉× …

×〈ur〉

積 因 子 の 生 成 元u1,u2,…,urを

由 ア ー ベ ル 群Fの

任 意 の 元uは,そ

そ の 自 由生 成 の 基 のべ き積

と して 一 意 的 に あ らわ され る.   定 理6.1 

自 由 ア ー ベ ル 群 の基 に 属 す る元 の 個 数 は,基

の と り方 に 無 関 係 に

一 定 で あ る.   証 明   自由 ア ー ベ ル 群Fが

無 限 巡 回 群 の直 積 と して

と 二 通 りに あ らわ され て い る とす る.こ の た め,nを F(n)と

の と き,r=sを

一 つ の 自 然 数 と し て,Fの

す る:

元 のn乗

F(n)={xn￨x∈F} こ の と き,明

と な り,し

らか に

た が って

証 明 す れ ば よ い.そ

の全 体 か ら な る 部 分 群 を

と な る.〈ui〉/〈uin〉,〈υj〉/〈 υjn〉 は そ れ ぞ れ 位 数 がnの 位 数 を 比 較 し て,nr=ns,し

た が っ て,r=sを

  自 由 ア ー ベ ル 群 の 基 に 属 す る 元 の 個 数 を,そ   6.1.2 

巡 回 群 で あ る か ら,

得 る. 

(証 終)

の 階 数 とい う.

自由アーベ ル群 の部分群

  定 理6.2 

Fを

階 数rの

の と き,Hは

階 数 がr以

自 由 ア ー ベ ル 群 と し,Hを 下 の 自 由 ア ー ベ ル 群 で,Fの

そ の 部 分 群 とす る.こ 基u1,u2,…,urを

適 当 に とれ ば

と あ ら わ さ れ る.こ

こ で,さ

ら にe1,e2,…,esは

正 の 整 数 で

e1/e2, e2/e3, …,  es−1/es と な る よ う に で き る(記

号ei/ei+1はeiがei+1の

  こ の 定 理 を 証 明 す る た め,次   補 題6.3 

F=〈x1〉

  証 明   Fが

〈u1〉 と

の 簡 単 な 補 題 を 証 明 し て お く.

× 〈x2〉 × …

と す れ ば,u1,x2,…,xrは

×〈xr〉 を 自 由 ア ー ベ ル 群 と し,

ま たFの 〈x2〉 × …

を 証 明 す れ ば よ い.ま

ず

で あ る か ら,F=〈u1〉

〈x2,…,xr〉

  次 に,〈u1〉

約 数 で あ る こ と を 示 す).

∩ 〈x2,…,xr〉

基 で あ る.

× 〈xr〉=〈x2,…,xr〉

との 直 積 に な る こ と

で あ る.

∋wと

す れ ば,w=u1n=x2m2…xrmrと

あ ら

わ され

と な る.x1,…,xrは 〈x2,…,xr〉={e}を

基 で あ る か 得 る.よ

っ て,

ら,n=0,し

た が っ て,w=e,〈u1〉

∩

と な り,u1,x2,…,xrはFの   定 理6.2の

基 で あ る. 

証 明  r=1の

(証 終)

と き は,F=〈u1〉

は 無 限 巡 回 群 で あ る か ら,H

も 無 限 巡 回 群 で,H=と

か け る.い

理 が 成 立 す る と 仮 定 し て,rに

関 す る 帰 納 法 で 証 明 す る.

  Fの

基x1,…,xrを

と す る.Hの

こに あ らわ れ るaiの

うち0で

元 全 体 を う ご い た と き の 

を 改 め てx1,…,xrと

し,そ

の(最

らば 基 の 番 号 を つ け か え て,￨a1￨=hで 逆 元 を と っ て,a1>0,す

き,a2,…,arは

す べ てa1で ai=a1qi+ri, 

る 

小 の)高

存 在 し て,あ

ない ものを 考

の 最 小 値 を,こ

基 を 適 当 に え ら ん で,こ

の 元w=x1a1x2a2…xrarが

と し,あ

下の ときは 定

元wは

に 関 す る 高 さ と い う.Fの

ばwの

数 がr−1以

一つ と り

と一意 的 に あ らわ さ れ る が,こ え,wがHの

ま,階

の高 さが最 小 に な る も の

さ をhと

す る.こ

る￨ai￨がhに

の と き,H

等 し く な る.必

あ る と 仮 定 し て よ い.ま な わ ち,a1=hで

の 基 のH

た,必

要な

あ る と し て よ い.こ

要な ら

割 り切 れ る.実

際

￨ri￨
(i=2,…,r)

のと

と仮 定 す れ ば

とお い て

と な る.u1,x2,…,xrは

補 題6.3に

は￨ri￨以

下 と な り,こ

=a1qiと

な る .よ

れ はhの

って

w=u1a1∈H

よ っ てFの

基 で,そ

最 小 性 に 矛 盾 す る.し

のHに

関 す る 高 さ

た が っ て,ri=0,ai

で あ る.   Hの

任 意 の 元 をυ=u1b1x2b2…xrbrと

し

b1=a1p+s, 

￨s￨
とす れ ば

と な り, 

と な る.こ

な らばhの

最 小 性 に 反 す る.し

の こ と か ら 容 易 に,Hは H=×H1, 

た が っ て,s=0と

直 積 H1=H∩

〈x2,…,xr〉

に 分 解 さ れ る こ と が わ か る.  法 の 仮 定 を 適 用 し て,F1の

と な り,a2,…,asは

基u2,…,urを

適 当 に え らべ ば

関 す る 高 さ はt以

下 と な り,hの

t=0で

あ る. 

  6.2 

ア ー ベ ル 群 の基 本 定 理

な り,基u1u2q,u2,…, 最 小 性 に 反 す る.し

有 限 生 成 の ア ー ベ ル 群 に 関 す る 次 の 定 理 は,ア

  定 理6.4 

理2と

た が っ て, (証 終)

  ア ー ベ ル 群 が 有 限 個 の 元 か ら生 成 さ れ る と き,Gは

も の で,定

約 数 に な

約 数 に な る こ と が 証 明 さ れ れ ば 証 明 は 完 了 す る.

と す れ ば,H∋u1a1u2a2=(u1u2q)a1u2tと

urのHに

帰 納

の とき

と な る か ら,a1がa2の

と し, 

と そ の 部 分 群H1に

正 の 整 数 で,ai(i=2,…,s−1)はai+1の

る よ う に で き る.こ

な り

有 限 生 成 で あ る とい う.

ー ベ ル 群 の 基 本 定 理 と よば れ る

準 同 型 定 理 か ら 自 然 に 導 か れ る.

有 限 生 成 の ア ー ベ ル 群 は 巡 回 群 の 直 積 で あ る.

  証 明   Gを る.い

有 限 生 成 の ア ー ベ ル 群 と し,そ

ま,x1,x2,…,xrを

と し,Fか

らGへ

を 考 えれ ば,明 Hと

の 生 成 元 をa1,a2,…,arと

す

基 とす る 自 由 ア ーベ ル群 を

の写像

らか に これ はFか

らGの

上 へ の 準 同 型 写 像 で あ る.そ の 核 を

す れ ば,準 同 型 定 理 に よ り

一 方 ,定

理6.2に

よ り,Fの

と な る よ うに で き る.こ

と な り,巡

基 を 適 当 に え らん で,

の とき

回 群 の 直 積 で あ る.し

た が っ て,こ

れ と 同 型 なGも

巡回群 の直積

に な る. 

(証 終)

  上 の 証 明 で,準

同 型 写 像F→Gに

よ るuiの

像 をbiと

す れ ば, 

は そ れ ぞ れ 位 数 がe1,…, esの

有 限 巡 回 群,〈bs+1〉,…,〈br〉

ei+1(i=1,2,…,s−1)と

し て よ い.特

す れ ば,〈b1〉=…=={e}で て よ い.し

た が っ て,記

  定 理6.5 

は す べ て 無 限 巡 回 群 で あ る.さ に,e1=…=ek=1,ek+1>1と

あ る か ら,こ 号 を 少 し か え て,次

有 限 生 成 の ア ー ベ ル 群Gは

ら に,ei/

れ らを 直 積 因 子 か らは ぶ い

の 定 理 の 前 半 を 得 る.

次 の よ うに 巡 回 群 の 直 積 に 分 解 さ れ

る. G=〈a1〉 こ こ で,〈ai〉

は 位 数 がeiの

×…

×〈at〉×〈b1〉× …

×〈bs〉

有 限 巡 回 群 で,ei/ei−1(i=2,3,…,t)を

し,〈bj〉 は 無 限 巡 回 群 で あ る.さ

らに,こ

の よ う な 分 解 に つ い て,位

みた 数 の組

(e1,…,et,0,…,0)はGに 位 数 を こ こ で は0と

よ っ て 一 意 的 に 定 ま る(た

  一 般 に,ア をGの

そ れ ぞ れ 次 の も の の 倍 数 に な る よ うに 番 号

た が っ て,  ー ベ ル 群Gの

捩 れ の 群 と い う.有

で あ る. 位 数 が 有 限 な 元 の 全 体 は,部 限 生 成 の ア ー ベ ル 群Gが

分 解 さ れ て い る と き は,Gの捩   定 理6.5の

限 巡 回群 の

お く).

  注 意   便 宜 上,e1,e2,…,etは を つ け た.し

だ し,無

分 群 を つ く る.こ

定 理6.5の

よ うに 直 積

れ の 群 は 明 らか に 〈a1〉× …×

証 明   後 半 を 証 明 す れ ば よ い.そ

を 定 理 の よ うな 直 積 分 解 と し,ai′

れ

〈at〉 で あ る.

のため

の 位 数 をei′

と す る.Gの

捩 れ の 群 をT

とす れ ば

で あ るか ら

と な る.こ

れ は 自 由 ア ー ベ ル 群 で あ る か ら,階

ま た,Tに

つ い て, 

つ か つ け 加 え て,t=t′  と す れ ば,た

な ら ば,少

な い 方 に 適 当 に 位 数1の

と 仮 定 し て よ い.こ と え ば,eν

′>eν

数 を 考 え て,s=s′

を 得 る. 群{e}を

い く

の と き,e1=e1′,…,eν−1=e′ν−1,

な らば

と な る が,〈aeν1〉,…,〈aeνν−1〉 の 位 数 は そ れ ぞ れ〈a′eν1〉,…,〈a′eνν−1〉 の 位 数 に 等 し く,e1/eν,…,eν−1/eν

で あ る.一

位 数 を 比 較 し て 矛 盾 を 得 る.し

方,eν ′>eν

で あ る か ら, 

た が っ て,ei=ei′(i=1,2,…,t)で

で, あ る. (証 終)

  有 限 生 成 の ア ー ベ ル 群Gに

対 し て,定

理6.5の

よ うに し て 一 意 的 に 定 ま る

(e1,…,et,0,…,0)(ei/ei−1)をGの の 不 変 形 は(0,0,…,0)で

  6.3 

不 変 系 と い う.特

に,自

由ア ー ベ ル 群

あ る.

直 既約 なア ーベ ル群

  有 限 生 成 な ア ー ベ ル 群 が 直 既 約 な らば,そ け れ ば な らな い.逆   定 理6.6  れ ば,Gは

に,巡

に よ り巡 回 群 で な

回 群 は い つ 直 既 約 に な る か み て み よ う.

巡 回 群G=〈a〉 位 数mの

れ は 定 理6.4に

の 位 数 が,た

巡 回 群 と 位 数nの

が いに に素 な 整 数mとnの

積で あ

巡 回 群 と の 直 積 に一 意 的 に に分 解 さ れ

る.   証 明  〈am〉,〈an〉 は そ れ ぞ れ 位 数 がn,mの

巡 回 群 で,nとmと

い に 素 で あ る か ら,〈am〉 ∩〈an〉 の 元 の 位 数 はnとmの 〈am〉 ∩ 〈an〉={e}で 較 し て,G=〈am〉

あ る.し

た が っ て,積〈am〉

×〈an〉 を 得 る.ま

部 分 群 は そ れ ぞれ た だ

た,巡

はた が

公 約 数=1と

・〈an〉は 直 積 で,位

回 群 に お い て は,位

一つ し か な い か ら,分

な り, 数を比

数n,mの

解 の 一 意 性 は 明 らか で あ る (証 終)

  定 理6.7 

有 限 生 成 の ア ー ベ ル 群 は,位

で あ る と き,か

つ そ の と き に 限 り直 既 約 で あ る.

  証 明   G=〈a〉

を 位 数 が 素 数 べ きpnの

任 意 の 二 つ の 部 分 群H,Kは

  逆 に,有

した が っ て,Gは 限 生 成 の ア ー ベ ル 群Gが

とK=〈am〉

た,G=〈a〉

が 無 限 巡 回群

は 元anmを

共通に に含 む か

直 既 約 で あ る. 直 既 約 な らば,そ

れ は 巡 回 群 で あ る.G

が 無 限 巡 回 群 で も,ま

た 位 数 が 素 数 べ き で も な い と す る と,定

Gは 直 既 約 で な い.こ

れ は 矛 盾 で あ る. 

  定 理6.6は

異なる

部 分 群 を 共 通 に 含 む か ら, 

直 既 約 で あ る.ま

つ の 部 分 群H=〈an〉

ら, 

巡 回 群 と す る.Gの{e}と

と もに 位 数pの

した が っ て,Gは の と き は,二

数 が 素 数 べ き の 巡 回 群 か 無 限 巡 回群

容 易 に 次 の よ うに 一 般 化 さ れ る.

理6.6に

よ り (証 終)

  定 理6.8 

巡 回 群Gの

位 数 の 素 因 数 分 解 をp1r1p2r2…ptrtと

位 数 が そ れ ぞ れp1r1,p2r2,…,ptrtの   ま た,定

理6.6か

ら,元

群Gの

元aの

  定 理6.9  で あ れ ば,aは

す れ ば,Gは

巡 回 群 の 直 積 に 一 意 的 に 分 解 さ れ る.

の 分 解 に 関 す る 次 の 定 理 を 得 る. 位 数 が,た

が い に 素 な 二 つ の 整 数mとnと

た が い に 可 換 な 位 数 がmの

元xと

位 数 がnの

の積

元yと

の積

と し て 一 意 的 に あ らわ さ れ る: a=xy=yx,  さ らに,こ

xm=e, 

の と き,x,yはaの

  証 明   定 理6.6に

べ き で あ る.

よ り,〈a〉=〈an〉

a=xy,x∈〈an〉,y∈〈am〉

位 数 は そ れ ぞ れm

あ る か ら,an∈〈x〉,し

様 に,〈am〉=〈y〉

と な る.次

に,一

と 別 の 分 解 が あ っ た と す る.x′,y′ き で あ るx,yと ,(yy′

×〈am〉 と分 解 さ れ る.こ

と す れ ば,x,yの

実 際,an=xnyn=xnで

=e

yn=e

は 明 ら か にaと

可 換 で あ る か ら,そ

よ り,x−1x′=yy′

の べ

−1.(x−1x′)m

た が い に 素 で あ る か ら,

(証 終)

  ま た,定

理6.6の

  定 理6.10 

逆 と して

位 数 が た が い に 素 な 二 つ の 巡 回 群 の 直 積 は,ま

  証 明  〈a〉,〈b〉 を そ れ ぞ れ 位 数 がm,nの い に 素 と す る.こ た が っ て,位

 6.4.1 

あ る.

た が っ て〈an〉=〈x〉.同

を 得 る. 

 6.4 

,nで

意 性 を 証 明 す るた め

も 可 換 で あ る.xy=x′y′

−1)n=eで,mとnは

の 分 解 で,

有限 ア ーベ ル群 p‐ 成

巡 回 群 と し,mとnと

の と き,〈a〉 ×〈b〉 に お い て,abの

数 を 比 較 し て,〈ab〉=〈a〉

分

た 巡 回 群 で あ る.

位 数 はmnで

×〈b〉 を 得 る. 

は た が あ る .し (証 終)

  補 題6.11  位 数pの

有 限 ア ー ベ ル 群Gの

位 数 が 素 数pで

割 り切 れ る な らば,Gは

元 を 含 む.

  証 明   Gの か ら.あ

不 変 系 を(e1,e2,…,er)と

るeiはpで

〈ui〉 は 位 数pの

す れ ば, 

割 り切 れ る.Gは

位 数eiの

はGの

位数 で あ る

巡 回 部 分 群〈ui>を

元 を 含 む. 

含 み, (証 終)

  有 限 ア ー ベ ル 群Gの

位 数 の 素 因 数 分 解 をp1n1…prnrと

べ き で あ る よ うなGの

す べ て の 元 の 集 合,す

す る.位

数 がpiの

なわ ち

G(pi)={x∈G￨xpini=e} はGの

部 分 群 を つ く る.Gの

任 意 の 元 は,定

理6.8に

よ り,位

数 がpiの

べ

き で あ る よ うな 元 の 積 と し て 一 意 的 に あ らわ さ れ る か ら G=G(p1)×G(p2)× で あ る.し

た が っ て,両

位 数 はpiniで

ある こ と

成 分 と い う.

成 分 は,7章

  有 限 ア ー ベ ル 群Gの

×G(pr)

辺 の 位 数 を 比 較 し てG(pi)の

が わ か る.G(pi)をGのp−   注 意   Gのp‐

…

で の べ るp‐ シ ロ ー 群 に 一 致 す る.

位 数 が 素 数pの

べ き で あ る と き,こ

れ を巡 回群 の積に

分 解 して G=〈a1〉 と し,a1,a2,…,atの pet)はGの る(定

×〈a2〉× …

×〈at〉

位 数 を 

不 変 系 で あ る.さ

とす れ ば,(pe1,pe2,…,

らに,こ

の 分 解 はGの

直既約 分 解 を 与 え て い

理6.7).

  一 般 の 有 限 ア ー ベ ル 群Gに 積 に 分 解 す れ ば,Gの

つ い て は,そ

の 各pi‐ 成 分G(pi)を

直 既 約 分 解 が 得 られ る.ま

た,G(p1),G(p2),…

系 を そ れ ぞ れ(p1e1,p1e2,…),(p2f1,p2f2,…)と (p1e1p2f1…,p1e2p2f2…,…)に   6.4.2 

指

標

す れ ば,Gの

巡 回 群 の 直 の不 変 不 変 系 は

よ り与 え られ る.

群

  0と 異 な る 複 素 数 の つ く る 乗 法 群 をC*と

す る.有

限 ア ー ベ ル 群Aか

ら

C*の

中 へ の準 同 型 写 像 をAの

を単 位 指 標 とい う.Aの

指 標 とい う.特 に,Aの

す べ て の指 標 の 集 合 をA*と

各 元 を1に

移 す 指標

し,二 つ の 指 標 χ,χ′

の積 を

で 定 義 す る.す あ る.二

な わ ち,χ χ′はa→

と な る.し

つ の指 標 の積

χχ′は ま た 指 標 で あ る.実

た が っ て,A*は

ベ ル 群 を つ く る.実 れ る.ま る.Aの

た,単

合 法 則,交

位 指 標 が 単 位 元 で,指

,r)を

位 数 をniと

ζiと

す る.χ

をAの

はa1,a2,…,arに

χ に 対 して

あ

指 標 群 と い う.

×〈ar〉

指 標 と す れ ば,Aの

任 意 の 元a

対 す る 値 に よ っ て 一 意 的 に 定 ま る.ま

す れ ば,Aの 指 標 原 始ni乗

根 で あ る.逆

χ(ai)=ρix1と

に,1のni乗

元a=a1x1a2x2…arxrに χ を 与 え,χ(ai)=ζiと 根

と し,指

=χi(ai−1)=χi(ai+1)=…=χi(ar)=1と 標

χ(a)−1で

対 して

応 さ せ る 写 像 はAの 2,…,r)を1の

の 乗 法 に 関 して ア ー

標 χ の 逆 元 は χ−1:a→

×〈a2〉× …

で あ る か ら,χ(ai)は1のni乗 …

らば

巡 回 群 の 直 積 に 分 解 して A=〈a1〉

と な る か ら,χ

の写像で

換 法 則 が 成 り立 つ こ と は 容 易 に 確 か め ら

す べ て の 指 標 の つ く る 群A*をAの

=a1x1a2x2…arxrに

らC*へ

際,a,b∈Aな

乗 法 の 定 義 さ れ た 集 合 で,こ

際,結

  有 限 ア ー ベ ル 群Aを

と し,aiの

χ(a)χ ′(a)な るAか

標

根(i=1,2, ζ1x1ζ2x2…ζrxrを

な る.い χiを

は

対

ま,ρi(i=1,

χi(ai)=ρi,χi(a1)=…

な る よ う に き め れ ば,任 す る と き,χ

た

意 の 指

と一 意 的 に あ らわ さ れ る.し

と 直 積 分 解 さ れ,各  定 理6.12    Aの

標群 は

χiの 位 数 は 明 ら か にniで

有 限 ア ー ベ ル 群Aの

一 つ の 元aに

な るA*か

た が っ て,指

あ る か ら,次

指 標 群A*はAに

の 定 理 を 得 る.

同 型 で あ る.

対 して

らC*へ

の 写 像aを

考 え れ ば,こ

れ はA*の

指 標 を 与 え る.実

際

と な る.Aか

らA*の

指 標 群(A*)*へ

の 写 像a→aは,Aと(A*)*と

同 型 対 応 を 与 え る こ と が 次 の よ うに し て 示 さ れ る.ま

と な る か ら,ab=abで,写 と す れ ば,あ て, 

A*と(A*)*と

た, 

こ の と き, 

でaはA*の

元 の み か らな り,こ

ず

像 は 準 同 型 写 像 で あ る.ま

る 

と な る.し

単位指 標で はない

れ はAか

ら(A*)*の

は 定 理6.12に

の

よ っ て,a→aの

たがっ 核 は 単位

中 へ の 同 型 写 像 で あ る.AとA*,

よ り位 数 が 等 し い か ら,a→aは

上へ の同型

写 像 で な け れ ば な らな い.   aとaと

同 一 視 す れ ば,(A*)*=Aと

問

し て よ い.

  6.1  有限 ア ー ベ ル 群Gの

題6

任意 の 元xがxp=eを

基 本 ア ーベ ル 群 で あ る.た だ し,pは

み た せ ば,Gは

あ る素 数 とす る.

位 数 がpべ

きの

  6.2  位 数 がpベ す 元xの

き の ア ー ベ ル 群Gがr個

個 数 はprで

対 し て,G/G(m)は

有 限 ア ー ベ ル 群 で あ る.た

自然 数 と し G(m)={xm￨x∈G}

とす る.  6.4  位数 が 素 数pの

と し,HをGの  (1)  Hの

と す れ ば,    (2) 

G/Hの

と す れ ば, 

みた

あ る.

  6.3  有 限 生 成 の ア ー ベ ル 群Gに mは

の 巡 回 群 の 直 積 で あ れ ば,xp=eを

べ きの ア ー ベ ル 群Gの

不変 系 を

部 分 群 とす る. 不 変系を

で, 

で あ る.

不 変系を

で, (i=1,2,…,t)で

あ る.

だ し,

7.  有

  こ の 章 で は,簡

  7.1 

両

  群Gの =hykと (H,K)を

側

限

群

単 の た め 群 は す べ て 有 限 群 とす る.

分

解

二 つ の 部 分 群 をH,Kと な る よ うなHの

す る.Gの

元hとKの

二 つ の 元x,yに

元kが

存在す る と き

対 し て,x ,xとyと

は

法 と して 合 同 で あ る と い い x≡y 

(mod

(H,K))

と か く.   問1. 

上 の 関 係 は 同 値 律 を み た す こ と を 証 明 せ よ.

  こ の 同 値 関 係 でGを ∈H,k∈K}で

類 別 し た と き,xを

あ る.し

含 む 同 値 類 はHxK={hxk￨h

た が っ て,Gは

G=Hx1K+Hx2K+…+…+HxrK と 類 別 さ れ る.こ

れ をGの(H,K)に

よ る 両 側 分 解 と い い,各HxiKを

そ

の 両 側 類 と い う.   例 題1. 

両 側 類HxKはHの

左 剰 余 類 の 和 集 合 で,そ

れ に 含 ま れ るHの

左 剰 余 類 の個 数 は ￨K:K∩x−1Hx￨ に 等 し い.  証 明 

で あ る か ら,こ

れ はHの

左 剰 余 類 の和 集 合 で あ

る.

で あ る か ら,Kの

部 分 群K∩x−1Hxに

よ る左 分 解 を

K=(K∩x−1Hx)k1+…+(K∩x−1Hx)kt

とす れ ば,Hxk1,…,Hxktは

す べ て 異 な り,か

で あ る.し

た が っ て,HxKに

x−1Hx￨に

等 し い. 

含 ま れ るHの

つHxKは

これ ら の 和 集 合

左 剰 余 類 の 個 数 は￨K:K∩ (証 終)

 7.2  p群   位 数 が 素 数pの

べ き で あ る 群 をp‐

p‐群 で あ る と き,こ  例 題1. 

pを

指 数 がpで

れ をp‐

群Gの

た,群Gの

部 分 群Pが

部 分 群 と い う.

位 数 を 割 る 素 数 とす る.Gと

割 り切 れ る な ら ば,Gの

が っ て, 

群 と い う.ま

中 心Zの

異 な る任 意 の 部 分 群 の

位 数 はpで

割 り切 れ る.し

た

で あ る.

 証 明  Gの

位 数 をgと

し,そ

の類等 式を

g=z+h1+…+h,  と す る.こ

こ で,hiは

等 しい.仮

定 に よ り,g,h1,…,hrは

(z=￨Z￨,hi>1)

あ る 元aiを

含 む 共 役 類 の 元 の 個 数 で,￨G:C(ai)￨に す べ てpで

割 り切 れ る か ら,zもp

で 割 り切 れ る.   特 に,Gがp‐

(証 終) 群 で あ れ ば,例

題1の

仮 定 は み た さ れ る か ら,次

の定 理 を 得

る  定 理7.1    Gの

p‐群 の 中 心 は{e}と

部 分 群 の 位 数 はGの

対 し て,そ

異 な る.

位 数gの

約 数 で あ る が,逆

にgの

れ を 位 数 に も つ 部 分 群 は 必 ず し も 存 在 し な い.こ

任 意 の約 数に

れ に 関 して 次 の 定

理 が 成 り立 つ.   定 理7.2 

群Gの

位 数 が 素 数pの

べ きpsで

割 り切 れ る な ら ば,psを

位

数 に も つ 部 分 群 が 少 な く と も一 つ 存 在 す る.  証 明  Gが

位 数pの

る 帰 納 法 で 証 明 す る.

群 の と き は 定 理 は 明 らか で あ る か ら,Gの

位数 に関す

  Gと

異 な る 部 分 群Hで,そ

ま たpsで

割 り切 れ る か ら,帰

含 む.ま 1に

た,Gと

よ りGの

ら,位

の 指 数 がpと

位 数 はpで

部 分 群Pを

で,G/Pの

位 数ps−1の

部 分 群U/Pを

題

アーベ ル群 であ るか

た が っ て,帰

もつ.こ

部分 群 を

割 り切 れ る と き は,例

中 心 に 含 ま れ る か ら,Gの

割 り切 れ る.し

位 数 は

位 数 がpsの

割 り切 れ る.Zは

含 む.Pは

位 数 はps−1で

G/Pは

納 法 の 仮 定 に よ りHは

異 な る 任 意 の 部 分 群 の 指 数 がpで 中 心Zの

数pの

素 な も の が あ れ ば,Hの

正規 部 分群

納 法 の 仮 定 に よ り,

の と き,Uの

位 数 はpsで

あ る. (証 終)

 例 題2. 

位 数 がp2の

 証 明  Gを

群 は ア ー ベ ル 群 で あ る.た

は 位 数pの

位 数 がp2の

群 と す る.Gの

部 分 群H=〈a〉

だ し,pは

中 心Zは{e}と

を 含 む.G/Hは

位 数pの

素 数 とす る. 異 な る か ら,Z

巡 回 群 で あ る か ら,

 と す れ ば G=H+Hb+…+Hbp−1 とな る.し

た が っ て,G=〈a,b〉

換 で,Gは

  7.3   群Gの

と な る が,a∈Zで

あ る か らaとbは

ア ー ベ ル 群 に な る. 

シ ロ ー(Sylow)の 位 数gを

と す れ ば,pとg′ 群 が 存 在 す る.こ

(証 終)

定理

割 る 素 数pの

最 高 べ き をprと

と は た が い に 素 で あ る.定 の よ うな 部 分 群 をGのp‐

のp‐ シ ロ ー 群 は,Gのp−

可

理7.2に

の と き,g=prg′

よ り 位 数prの

シ ロ ー 群 と い う.す

部 分 群 で そ の 指 数 がpと

シ ロ ー 群 に 関 す る 次 の シ ロ ー の 定 理 は,有

す る.こ

部 分

な わ ち,G

素 に な る も の で あ る.p‐

限 群 論 に お い て 最 も基 本 的 な も の の

一 つ で あ る.  定 理7.3(シ

ロ ー の 定 理 Ⅰ)  Pを

群Gのp‐

部 分 群 と す れ ば,Pを

含 むG

のp‐ シ ロ ー 群 が 存 在 す る.  定 理7.4(シ

ロ ー の 定 理Ⅱ) 

Gの

二 つ のp‐ シ ロ ー 群 は た が い に 共 役 で あ

る.  証 明  上 の 二 つ の 定 理 を 同 時 に 証 明 す る.SpをGの

一 つ のp‐ シ ロ ー 群 と

し,PをGのp−

両 側分解 を

部 分 群 と す る.(Sp,P)に

よ るGの

G=Spx1P+…+SpxrP とす れ ば,SpxiPに

と な る.し

含 ま れ るSpの

左 剰 余 類 の個 数 は

た が って ￨G:Sp￨=pe1+…+per

こ こ で,左

辺 はpと

素 で あ る か ら,pei=1と

=P∩xi−1Spxiと がGのp‐

な り,Pはp‐

な るiが

あ る.こ

シ ロ ー 群xi−1Spxiに

シ ロ ー 群 な ら ば,P=xi−1Spxiと

の と き,P

含 ま れ る.特

な り,PとSpと

る. 

に,P

は共 役 で あ (証 終)

  定 理7.4か

らた だ ち に 次 の 系 を 得 る.

  系  群Gのp‐

シ ロ ー群Spが

正 規 部 分 群 な ら ば,SpはGの

ただ 一 つ の

p‐ シ ロ ー 群 で あ る.   定 理7.5 

群Gの

異 な るp‐ シ ロ ー 群 の 個 数 は,1+kpの

形 に あ ら わ され

る.   証 明   SpをGのp‐ ら,異

シ ロ ー 群 と す る.p‐

な るp‐ シ ロ ー 群 の 個 数 は,Spに

等 し い.Gの(N(Sp),Sp)に

シ ロ ー群 は た が い に 共 役 で あ る か

共 役 な 部 分 群 の 個 数￨G:N(Sp)￨に

よ る両 側 分 解 を

G=N(Sp)x1Sp+N(Sp)x2Sp+…+N(Sp)xrSp とす る.特

に,x1=eと

して よい. pei=￨Sp:Sp∩xi−1N(Sp)xi￨

と す れ ば,こ 等 しい.pe1=1で

れ はN(Sp)xiSpに あ るか ら

含 ま れ るN(Sp)に

よ る左 剰 余 類 の 個 数 に

と な る.し る 

た が っ て,ei>0(i=2,…,r)が

証 明 で き れ ば よ い.い

に 対 し てei=0,pei=1と

⊂N(Sp)と はN(Sp)の

ま,あ

仮 定 す れ ば,Sp⊂xi−1N(Sp)xi,xiSpxi−1

な る.SpもxiSpxi−1もN(Sp)のp−

シ ロ ー 群 で あ る が ,Sp

正 規 部 分 群 で あ る か ら,上 の 系 に よ りSp=xiSpxi−1,xi∈N(Sp)

と な る.こ

の と き,N(Sp)xiSp=N(Sp)x1Spで 

し た が っ て,ei>0(i=2,…,r)で

と い う仮 定 に 反 す る. あ る. 

(証 終)

 次 の 例 題 は し ば しば 用 い られ る.   例 題1. 

Hを

=N(P)Hが

群Gの

シ ロ ー 群 と す れ ば,G

成 り立 つ .

 証 明  xをGの

任 意 の 元 とす れ ば,x−1Px⊂Hで,x−1Pxは

p‐シ ロ ー 群 で あ る.し Hの

正 規 部 分 群,PをHのp‐

元hが

た が っ て,定

存 在 す る.こ

∈N(P)h⊂N(P)Hで

理7.4に

ま たHの

よ り,x−1Px=h−1Phと

な る

の と き,P=(xh−1)−1P(xh−1),xh−1∈N(P)

あ る か ら,G=N(P)Hを

,x

得 る. 

(証 終)

  こ の 例 題 の 応 用 と して   定 理7.6 

SpをGのp‐

群 と す れ ば,Hの

正 規 化 群 はH自

  証 明   M=N(H)と ロ ー 群 で あ る .し =Hと

シ ロ ー 群,HをSpの

部 分

正 規 部 分 群 で,SpはHのp‐

シ

身 に 一 致 す る.

す れ ば,HはMの た が っ て,例

正 規 化 群 を 含 むGの

題1に

な る(こ こ で ,NG(Sp),NM(Sp)は

よ り,M=NM(Sp)H⊂NG(Sp)H そ れ ぞ れSpのG,Mに

正 規 化 群 で あ る).    ま た,正   定 理7.7 

規 部 分 群,剰 NをGの

す れ ば,Sp∩N,NSp/Nは   証明  

お け る (証 終)

余 群 のP‐ シ ロ ー 群 に 関 し て 次 の 定 理 が 成り 立 つ. 正 規 部 分 群 と す る.SpをGの そ れ ぞ れN,G/Nのp‐ で あ る か ら,NSp/Nはp‐

一 つ のp‐ シ ロ ー 群 と シ ロ ー 群 で あ る. 群 で あ る.ま

た

で あ る か ら,こ

れ はpと

素 で,NSp/NはG/Nのp‐

シ

ロ ー 群 で あ る.  次 に,N∩Spはp‐

群 であ るが

￨N:N∩Sp￨=￨NSp:Sp￨ で,こ

れ はpと

素 で あ る か ら,N∩SpはNのp‐

シ ロ

ー 群 で あ る. 

(証 終)

 〔 話 題5〕  ホ ー ル 部 分 群  群Gの

位 数 をgと

す る.Gの

部 分 群Hは,そ

と指 数 が た が い に素 で あ る と き,Gの う.n=￨H￨,m=￨G:H￨と あ る と き,Hは

の位 数

ホ ール 部 分 群 とい

す れ ば,g=mnで,mとnが ホ ー ル 部 分 群 で あ る.た

と え ば,p‐

たが い に 素 で シ ロー群 は 一 つ の ホ ー ル

部 分 群 で あ る.   ホ ー ル(P.Hall)は

シ ロ ー の 定 理 を 可 解 群 の 場 合 に 拡 張 し て,次

の定 理 を

得 た.   定 理   Gを

位 数gの

可 解 群 と し,g=mn,mとnと

はた がい に素で あ る

とす れ ば   (1) 

位 数mの

ホ ー ル 部 分 群 が 少 な く と も一 つ 存 在 す る.

  (2) 

位 数mの

二 つ の ホ ー ル 部 分 群 は た が い に 共 役 で あ る.

  (3) 

mの

約 数m′

を 位 数 とす る 任 意 の 部 分 群 は,位

数mの

あ るホ ール部

分 群 に 含 ま れ る.   さ らに 興 味 あ る こ とは,こ

の 定 理 の 逆 が 成 り立 つ こ と で,群Gに

能 な ホ ー ル 部 分 群 が つ ね に 存 在 す れ ば,Gは   群Gの pべ とg′

位 数 がpべ

可 解 群 と な る.

き で あ る ホ ー ル 部 分 群 がp‐ シ ロ ー 群 で あ る が,指

き で あ る ホ ー ル 部 分 群 をp‐ は た が い に 素 と す る と き,位

 上 に の べ た 注 意 は,仮

お い て 可

シ ロ ー 補 群 と い う.す 数g′

数 が

な わ ち,g=prg′,p

の 部 分 群 がp‐ シ ロ ー 補 群 で あ る.

定 を 少 し弱 め る こ と が で き て,次

の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理   群Gの

位 数 を 割 る各 素 数pに

つ い て,p‐ シ ロー補 群 が 存 在 す れ ば

Gは 可 解 群 で あ る.  この 定 理 の 証 明 に は,バ

ー ンサ イ ドの 定 理 「位 数 がprqs(p,qは

群 は 可 解 群 で あ る」 を 用 い るが,バ

素 数)の

ー ンサ イ ドの 定 理 は 現 在 の と こ ろ,群 の表

現 論 を 用 い な い で は 証 明 で きな い.   ホ ール の これ らの 定 理 は,可 解 群 の理 論 で は 基 本 的 で あ る.

  7.4  べ   群Gの

き

零

群

部分群 の列

を,Γ1(G)=[G,G],Γ2(G)=[G,Γ1(G)],…,Γi(G)=[G,Γi−1(G)],・ と つ ぎ つ ぎ にGと 列 をGの

の 交 換 子 群 を と っ て で き る 列 とす る.こ

降 中 心 列 と い い,群

={e}と

な るrが

中 心 列 が{e}で

存 在 す る と き ,Gを

Γ

任 意 の 元,yを

i(G)で

な わ ち,Γr(G)

べ き 零 群 と い う.

Γi−1(G)の

あ る か ら,Γi(G)を

の よ うな 部 分 群 の

終 る と き,す

  降 中 心 列 に お い て は,Γi−1(G)/Γi(G)はG/Γi(G)の 際,xをGの

・

中 心 に 含 ま れ る.実

任 意 の 元 と す れ ば,x−1y−1xy∈

法 と し て 考 え れ ば,Γi(G)xとΓi(G)yと

は

可 換 で あ る.   次 に,Gの

部分群 の列

を,Z1(G)はGの

中 心,Z2(G)はZ2(G)/Z1(G)がG/Z1(G)の

よ う な 正 規 部 分 群Z2(G)と Zi−1(G)の 群Gの

し,一

中心に な る

般 に,Zi(G)はZi(G)/Zi−1(G)がG/

中 心 と な る よ うな 正 規 部 分 群 と して 定 義 さ れ る 列 と す る.こ

れ を

昇 中 心 列 と い う.

  定 理7.8 

群Gが

で 終 る こ と,す

べ き 零 で あ る た め 必 要 十 分 な 条 件 は,Gの

な わ ち,Zs(G)=Gと

な るsが

昇 中 心 列 がG

存 在 す る こ と で あ る.

  証 明   Gが

べ き 零 で あ る と し,Γr(G)={e}と

⊃ Γr−i(G)(i=0,1,…,r)と =0の

仮 定 す る.こ

な る こ と をiに

と き は 明 ら か で あ る .い

ま,i>0と

関 す る 帰 納 法 で 証 明 す る.i

し,Zi−1(G)⊃Γr−i+1(G)と

す れ ば,[G,Γr−i(G)]=Γr−i+1(G)⊂Zi−1(G)で Zi−1(G)はG/Zi−1(G)の り,Zi(G)⊃

な る.特

で あ る か ら,Zr(G)=Gを

た が っ て,Zi(G)の

に,i=rに

定 義 に よ

対 し て,Zr(G)⊃Γ0(G)=G

得 る.

  次 に,Zs(G)=Gと

な るsが

(i=0,1,…,s)と

存 在 す る と す る.こ

な る こ と をiに

は 明 ら か で あ る か ら,i>0と

Zs−i+1(G)]⊂Zs−i(G)と

の と き,Γi(G)⊂Zs−i(G)

関 す る 帰 納 法 で 証 明 す る.i=0の

し て,Γi−1(G)⊂Zs−i+1(G)を

で あ る が,Zs−i+1(G)/Zs−i(G)はG/Zs−i(G)の

と き

仮 定 す る.

中 心 に 含 ま れ る か ら,[G,

な り,Γi(G)⊂Zs−i(G)を

れ ば,Γs(G)⊂Z0(G)={e}と

得 る.特

な り,Γs(G)={e},す

に,i=sと

す

な わ ち,Gは

群 と な る. 

べ き零 (証 終)

  特 に,Gがp−

群 な らば,定

な る.G/Z1(G)は

理7.1に

よ りGの

ま たp− 群 で あ る か ら,そ

異 な り, 

と な る.こ

き く な る 部 分 群 の 列 で,Gは と な る.す

仮定

あ る か ら,Zi−1(G)Γr−i(G)/

中 心 に 含 ま れ る.し

Γr−i(G)と

の と き,Zi(G)

中 心Z1(G)は{e}と

の 中 心Z2(G)/Z1(G)も

の よ うに し て,Gの

有 限 群 で あ る か ら,あ

るsに

異 単位元 と

昇 中 心 列 は実 際 に 大 対 し てZs(G)=G

なわ ち

  定 理7.9 

p−群 は べ き 零 群 で あ る.

  群GがG1,G2,…,Gt,の

直積 G=G1×G2×

…

×Gt

で あ る と きは

とな る.し た が っ て,Gが

べ き零 群 で あ るた め 必 要 十 分 な 条 件 は ,各 直 積 因

子Giが

べ き 零 群 と な る こ と で あ る.

  定 理7.10 

群Gが

べ き 零 群 で あ る た め 必 要 十 分 な 条 件 は,Gが

そ の シ ロ

ー群 の 直 積 G=Sp1×Sp2×

…

×Spr

と な る こ と で あ る.   こ の 定 理 を 証 明 す る た め,ま  補 題7.11 

群Gが

ず 次 の 補 題 を 証 明 し て お く.

べ き 零 群 な らば,そ

のGと

異 な る 部 分 群Hに

対 し て,

 とな る.  証 明  Gの

昇 中心 列 を

と す る. 

で あ る か ら,Zi(G)⊂Hで

が あ る.こ

の と き,Zi+1(G)∋x,H∋yと

はHに

 定 理7.10の

な り,x−1Hx⊂H,x∈N(H)を

含 ま れ な い 元 が あ る か ら, 

す る.SpiをGのpi‐

よ り,N(Spi)の

ら な い.こ

な わ ち,SpiはGの

の と き,積Sp1…Spiは

す る 帰 納 法 で 証 明 す る.i=1の …Spi−1は れ はpiniと

直 積Sp1×

…

シ ロ ー 群 とす れ ば,定

直 積Sp1×

た が っ て,上

正規 部分群 でなけれ ば な …

×Spiと

な る こ と をiに

と き は 明 ら か で あ る か ら,i>1と

×Spi−1で あ る と す る .そ

た がいに素 であ るか ら Sp1…Spi−1∩Spi={e}

と な る.し

べ き 零 群 と し,そ

正 規 化 群 は そ れ 自 身 に 一 致 す る.し

の 補 題 に よ りN(Spi)=G,す

(証 終)

群 がべ き零 群 で あ る こ と

要 で あ る こ と を 証 明 す る た め,Gは

の 位 数 をg=p1n1p2n2…prnrと

得 る. とな る. 

証 明  条 件 が 十 分 で あ る こ とは,p‐

か ら 明 らか で あ る.必

理7.6に

と な るi

す れ ば,x−1yxy−1∈Zi(G)⊂H,

し た が っ て,x−1yx∈Hy=Hと Zi+1(G)に

あ る が, 

た が っ て, Sp1…Spi−1Spi=(Sp1…Spi−1)×Spi

関

し,Sp1

の 位 数 はpn11…Pni−1i−1で,こ

=Sp1× と な る.特

  7.5 

置

  7.5.1   

に,i=rと

Gを

i−1×Spi (証 終)

群

移

群

Ω={1,2,…,n}の

i=jaと

×Sp

し て 定 理 を 得 る. 

換

可

…

上 の 置 換 群 と す る.二

な る よ うなGの

元aが

存 在 す る と きG同

つ の 文 字i,j∈Ω

は,

値 で あ る と い い, 

と か く こ と に す る.  問2. 

は 同 値 律 を み た す こ とを 証 明 せ よ.

関 係 

でΩ

 同値関係  い う.一 とG同

つ の可 移域

を 同値 類 に 類 別 した と き,各

Γ は,そ

同値 類 をGの

れ に 含 ま れ る 一 つ の 文 字 をiと

可移域 と

す る と き,i

値なす べて の文字 の集合で Γ=iG={ia￨a∈G}

と あ らわ さ れ る.特 う.す i,jに

な わ ち,置

に,Ω

換 群Gが

対 し て,ia=jと

 定 理7.12 

自身 が

可 移 群 で あ る とい う こ とは,任 な る よ うなGの

Ω={1,2,…,n}の

十 分 な 条 件 は,特

一つ の 可 移 域 で あ る と き,Gを

元aが

と え ば1を

意 の二 つ の文字

存 在 す る こ と で あ る.

上 の 置 換 群Gが

定 の 文 字,た

可移 群 とい

可移 群で あ る た め 必 要

任 意 の 文 字 に 移 すGの

元が 存 在 す

る こ と で あ る.  証 明  条 件 が 必 要 な こ と は 明 らか で あ る.十 を 任 意 の 二 つ の 文 字 と す る.1をiに ajと

移 すGの

分 な こ と を 証 明 す る た め,i,j 元 をai,1をjに

移す 元を

すれ ば iai−1aj=1ai=j

と な る か ら,ai−1ajはiをjに  置 換 群Gに

お い て,文

移 すGの 字iを

元 で あ る. 

そ れ 自身 に 移 す す べ て の 元 の 集 合

Gi={a∈G￨ia=i}

(証 終)

はGの

部 分 群 を つ く る.こ

 定 理7.13 

置 換 群Gの

れ をiの

不 変 群 と い う.

可 移 域Γ

る 文 字 の 個 数 は￨G:Gi￨に

に 属 す る 文 字 をiと

す れ ば,Γ

に 属す

等 し い.

 証 明

で あ るか ら,GのGiに

よ る左 分 解 を G=Gia1+Gia2+…+Giat

と す れ ば,ia1,ia2,…,iatは

す べ て 異 な り,Γ

が っ て,￨Γ￨=￨G:Gi￨で

は こ れ ら で つ くさ れ る.し

あ る. 

た

(証 終)

 こ の 定 理 の 特 別 な 場 合 と し て  定 理7.14 

可 移 群Gの

次 数 は,Gの

位 数 の 約 数 で あ る.

 一 つ の 文 字 の 不 変 群 に 関 し て  例 題1. 

置 換 群Gに

お い て,文

任 意 の 元 とす れ ば,x−1Gixは  特に,Gが

文 字ixの

可 移 群 で あ れ ば,一

 証 明  aをGiの

字iの

不 変 群 をGiと

す る.xをGの

不 変 群 で あ る:x−1Gix=Gix.

つ の 文 字 の 不 変 群 は た が い に 共 役 で あ る.

任 意 の 元 とす れ ば (ix)x−1ax=iax=ix

で あ る か ら,x−1ax∈Gix,x−1Gix⊂Gixを 域 に 属 す る か ら,GiとGixと あ る.よ

は 同 じ 指 数 を も ち,し

っ て,x−1Gix=Gixと

対 し て,ia=jと り,GiとGjと  定 理7.15 

な るGの

な る.Gが

元aが

た,iとixは

同 じ可 移

た が っ て,位

可 移 群 な ら ば,二

可 移 群Gに

Ω=iGで,x−1Gix=Gixで

数 が 同 じで

つ の 文 字i,jに

存 在 す る か ら,a−1Gia=Gia=Gjと

は 共 役 で あ る. 

し た が っ て,Giは{e}と   証 明 

得 る.ま

な (証 終)

おい ては

異 な るGの

不 変 部 分 群 を 含 ま な い. あ る か ら, 

の 元 は,

Ω の す べ て の 文 字 を不 変 に す る.し た が って 単 位 元 のみ で あ る.ま た,Nを Giに

含 まれ るGの

N={e}と

な る. 

 7.5.2    Gを

で あ る か ら,

正 規 部 分 群 とす れ ば, 

置

(証 終)

換

表

現

一 般 の 群 と し,Hを

そ の 部 分 群 と す る.GのHに

よる左分解 を

G=Ha1+Ha2+…+Han と す る と き,Gの

元xに,左

剰 余 類 の 集 合

Ω={Ha1,Ha2,…,Han}の

上

の置 換

を 対 応 さ せ る.   問3. 

x*が

実 際に

Ω の 上 の 置 換 で あ る こ と,す

が Ω の 上 の1対1の

な わ ち 写 像Hai→Haix

変 換 で あ る こ と を 証 明 せ よ.

  写 像x→x*はGか

らΩ

は 準 同 型 写 像 で あ る.実

際

の 上 の 対 称 群SΩ

の 中 へ の 写 像 で あ る が,こ

れ

(xy)*:Hai→Hai(xy)=Haixy x*y*:Hai→(Haix)y*=Haixy した が っ て,(xy)*=x*y*が   一 般 に,群Gか G→SΩ

らあ る 集 合 Ω の 上 の 対 称 群SΩ

を,GのΩ

と い う.Gの

成 り 立 つ.

の 上 の 置 換 表 現 と い う.ま

像φ(G)が に,上

GのHに

よ る 置 換 表 現 と い う.特

  GのΩ

の 上 の 置 換 表 現φ

で 

た,￨Ω￨を

Ω の 上 の 可 移 群 で あ る と き,こ

と い う.特

間 に1対1の

の 中 へ の 準 同型 写 像

の よ うに し て 得 られ た 表 現x→x*は

対 応 

に,H={e}の

この 表 現 の 次 数 の表現 を 可 移 表 現

可 移 表 現 で,こ

とな る と き,同

れ を

と き は 右 正 則 表 現 で あ る.

と,Ω ′ の 上 の 置 換 表 現φ ′ は,Ω が つ い て,Gの

φ:

任 意 の 元aに

値 で あ る と い う.同

と Ω′ と の

対 し て,こ

の対 応

値 な表現 は 単 に 置 換

す る 文 字 の あ らわ し方 が 異 な る だ け で,表 現 と して 本 質 的 に 異 な る もの で は な い.   置 換 表 現φ:G→SΩ よ うなGの る)不

に お い て,φ(a)が

元aの

全 体 は 部 分 群 を つ く る.こ

変 群 と い い,Giで

をGの

つ の 文 字,た

と え ば1の

換 表 現 に 同 値 で あ る.ま   証 明   1φ(xi)=iと Hに

Ω を不変に す る

れ を,iの(こ

の表 現 に 関 す

示 す.

  定 理7.16 φ:G→SΩ る,一

一 つ の 文 字i∈

た,φ

な るGの

Ω={1,2,…,n}の

不 変 群 をHと

す れ ば,φ

はGのHに

よ る置

に 一 致 す る.

の 核 は  元xiを

上 の可 移 表 現 と す

各iに

っ い て 一 つ ず つ と れ ば,Gの

よ る左 分 解 は G=Hx1+Hx2+…+Hxn

と な り,左 Ω と

剰 余 類Hxiは1φ(x)=iと

Ω ′={Hx1,Hx2,…,Hxn}と

れ ば,Gの

元xに

な る よ うな す べ て のxの の 間 の1対1の

対 応 

対 し て,φ(xix)=φ(xi)φ(x)は1をiφ(x)に

集 合 で あ る. を 考 え 移 す か ら.

で あ る ． した が っ て,ψ

は 

の 上 の 表 現x→x*

不 変 群 で あ る か ら,φ

の核は

に 同 値 で あ る.   ま た,x−1Hxは1φ(x)の

 で あ る.   〔話 題6〕   多 重 可 移 群  

の 上 の 置 換 群 をGと

す る.t個

け られ た 任 意 の 二 つ の 組{i1,i2,…,it}と{j1,j2,…,jt}と 方 か ら他 方 へ 順 序 を 保 存 し て 移 す よ うなGの

が 存 在 す る と き,Gはt重 群 の 定 義 で あ る.t>1の

に 対 し て,一

元a:

可 移 で あ る と い う.t＝1の と き,Gは

の 文 字 か らな る 順 序 づ

ときがち よ うど 可 移

一 般 に 多 重 可 移 群 と よば れ て い る.n次

の 対 称 群Snは

明 らか にn重

可 移 群 で あ る が,n次

重 可 移 群 で あ る こ と も 容 易 に 示 され る.こ で い る が,高 な い.た

の 交 代 群Anが(n−2)

れ らを 普 通 自 明 な 多 重 可 移 群 と よん

い 可 移 度 を も っ た 自 明 で な い 多 重 可 移 群 は わ ず か しか 知 られ て い

と え ば,自 明 で な い4重

に よ っ て 発 見 さ れ た,次 M24,M23,M12,M11以

可 移 群 は,約100年

数 が そ れ ぞ れ24,23,12,11の 外 は 知 られ て い な い.自

て い る も の は,上

程前

のM24とM12の

マ シ ュ ー(Mathieu) い わ ゆ る マ シ ュ ー群

明 で な い5重

二 つ だ け で あ る.さ

可 移 群 で 知 られ

ら に6重

度 を も つ 自 明 で な い 多 重 可 移 群 は 一 つ も 知 ら れ て い な い.さ こ と は,上

の 四 つ のMathieu群

分 類 す る と い う問 題 は,単

が 単 純 群 で あ る こ と で,多

以 上 の可移

ら に,興

味 ある

重 可移 群 を す べ て

純 群 の分 類 問 題 と も 関連 して重 要 な 問題 の 一 つ で あ

る.   〔話 題7〕   単 純 群 の 分 類 問 題   有 限 群 は,そ

の 組 成 列 を 考 え れ ば,い

る.そ

限 単 純 群 を す べ て 決 定 す る とい う こ と が ま ず 問 題 に な る が,こ

こ で,有

れ は 現 在 な お 解 決 さ れ て い な い.可 ら,問 は,最

くつ か の 単 純 群 を 積 み 重 ね て 得 ら れ

題 は 非 可 解 な 場 合 で あ る が,こ

解 な 単 純 群 は 位 数 が 素 数 の 巡 回 群 と な るか の場 合 の 有 限 単 純 群 の分 類 問 題 に つ い て

近 の 群 論 の 著 し い 発 展 の 中 で そ の 中 心 問 題 と し て,多

れ て き て い る.こ

こ で,今

く の 努 力 が は らわ

ま で 知 られ て い る 単 純 群 に つ い て 概 説 し て お く の も

無 意 味 な こ と で は な い で あ ろ う.   Ι 

リ ー 型 の 単 純 群:い

わ ゆ る 古 典 群 は デ ィ ク ソ ン(Dickson)な

て 古 くか ら 知 られ て い た が,シ け る 有 名 な 論 文(Tohoku

ュ ヴ ァ レ ー(Chevalley)は

M.J.7(1955),14-66)に

どに よ っ

東北数学 雑誌 にお お い て,リ

ー 環 論 の立

場 か ら古 典 群 の 理 論 の 統 一 を 試 み,い

くつ か の 新 し い 単 純 群 を 発 見 し た.そ

後,ス

シ ュ ヴ ァ レー の 方 法 を 変 形 して 古 典 群 が

タ イ ンバ ー グ(Steinberg)は

す べ て 得 られ る こ と を 示 し,さ 方,鈴

の

らに い くつ か の 新 し い 単 純 群 を 発 見 し た.一

木 通 夫 は 特 殊 な 条 件 を み た す 置 換 群 の 分 類 問 題 と 関 連 し て,1960年

に

新 しい 単 純 群 の 族 を 発 見 し,そ の す ぐ あ と,李

れ は 現 在 鈴 木 群 と よ ば れ て い る.鈴

木群 の発見

林 学 は 鈴 木 群 が や は り リ ー 環 論 の 立 場 か ら 自 然 に 得 られ る こ と

を 示 す と 同 時 に,彼

自 身 新 し い 単 純 群 の 二 つ の 族 を 発 見 し た.こ

李 群 と よば れ て い る.複 総 称 し て,リ

れ らは 現 在

素 数 体 上 の 単 純 リ ー 環 か ら 得 られ る これ ら の 単 純 群 を

ー 型 の 単 純 群 と い う.

  Ⅱ  交 代 群:定

理4.10で

示 し た よ うに,交

代 群 

は 単 純 群 の一

つ の 族 を な す.   Ⅲ  マ シ ュ ー 群:1861年

マ シ ュ ー に よ っ て 発 見 さ れ た5個

M24,M23,M22,M12,M11は M23,M11は4重

単 純 群 で あ る.こ

の う ち,M22は3重

可 移 群,M24,M12は5重

  Ⅳ   ヤ ン コ 群:1965年 +1)(113−1)の

の多 重 可移 群 可 移 群,

可 移 群 で あ る(話

ヤ ン コ(Janko)に

題6参

照).

よ っ て 発 見 さ れ た 位 数 が11(11

単 純 群 が あ る.

  〔注 意 〕  本 書 の 初 版 が 出 版 さ れ た1967年 知 識 は 以 上 の よ うで あ っ た が,そ

当 時 の単 純 群 に 関 す る わ れ わ れ の

の 後 十 数 年 間 の 研 究 の 進 展 は 驚 異 的 で,1982

年 つ い に 有 限 単 純 群 の 分 類 が 完 成 し た.そ

れ に よ れ ば,非

可 換 な有限 単純 群

は 上 の Ι,Ⅱ の 型 か,Ⅲ,Ⅳ

に そ の 後 発 見 さ れ た も の を 加 え た26個

単 純 群 に 限 る 〔鈴 木 通 夫:有

限 単 純 群(紀

類 結 果 か ら,4重,5重

伊 國 屋 書 店)参

の散 在型

照 〕.ま た,こ

の分

可 移 群 は 知 ら れ た も の に 限 る こ と も わ か る.

  〔話 題8〕   有 限 回 転 群   空 間 の 一 点Oを

中 心 とす る 回 転 群 の 位 数 が 有 限 の 部 分 群(有

限 回 転 群)を

す べ て 決 定 し よ う.   Gを

位 数Nの

をKと

す る.Gの

有 限 回 転 群 と し,Oを 元aはKの

そ の 変 換 に よ っ て 回 転aは (Kとaの

軸 と の 交 点)の

中 心 と す る 単 位 球 面(半

点 の 上 の1対1の 一 意 的 に き ま る.  み を 固 定 す る.し

る 回 転 は 恒 等 置 換 の み で あ る. 

径1の

変 換 を ひ き お こ し,ま な らば,aはK上

た が っ て,K上

の 固 定 す る 二 点 をaの

球 面) た, の二点

の三 点 を 固 定 す 極 と い う.

  Gの

元 

の 元aが

の 極 の 全 体 をMと

存 在 し てP′=Paと

あ る と い う.こ

す る.二

つ の 極PとP′

な る と き,PとP′

の 関 係 は 同 値 律 を み た し,同

に 対 し て,G

と はGの

も とで 共 役 で

値 類 をM1,M2,…,Mhと

すれ

ば,Mは M=M1+M2+…+Mh と 類 別 さ れ る.類Miに   Miに Pに

属 す る 極 の 個 数 をmiと

属 す る 極Pを

固 定 す るGの

共 役 な 点 とGPに

す る.

元 の 全 体 はGの

よ る 左 剰 余 類 と の 間 に1対1の

=N/￨GP￨と

な る .し

そ れ をniと

すれ ば

た が っ て,￨GPはMiの

部 分 群GPを

つ く る.

対 応 が つ く か ら.mi

極Pの

と り方 に 無 関 係 で,

対(a,P)の

個 数 を 考 え る.ま

mi=N/ni とな る.Pをni位   Gの

の 極 と い う.

元 

とaで

ず,各  2(N−1)に

固 定 さ れ る 点Pの

に 対 し て,aの 等 し い.一

方,各Miに

つ 一 つ の 極 に 対 し て,こ る か ら,上

属 す る 極 はmi個

れ を 固 定 す るGの

元 

あ る か ら,対

の個 数 は

あ り,Miに

属 す る一

の 個 数 はni−1個

あ

の対 の個 数 は

に 等 し い.し

た が っ て,次

両 辺 をN=miniで

を 得 る.こ

固 定 点 の 個 数 は2で

こ で, 

な い こ と が わ か る.

の 等 式 が 成 り立 つ.

割 ると

で あ る か ら, 

と な り,次

の 場 合 しか

  Ι  h=2の

と き:n1=n2=N

  Ⅱ   h=3の

と き:

  し た が っ て,次

の い ず れ か の 場 合 を 得 る.

  (Ⅱ.a) 

n1=n2=2, 

n3=N/2

  (Ⅱ.b) 

n1=2, 

n2=n3=3, 

  (Ⅱ.c) 

n1=2, 

n2=3, 

n3=4, 

  (Ⅱ.d) 

n1=2, 

n2=3, 

n3=5, 

  上 の 各 場 合 に つ い てGを

N=12 N=24 N=60

調 べ る.

  Ι  h=2;n1=n2=N   極 の 総 数 はN/n1+N/n2=2で り の 回 転 で あ る.Gの る.bをGの

あ る.こ

し,そ の 回 転 角 を α とす

の と き, 

とす れ ば,そ っ て,b=amと

の 回 転 角 は β−mα な り,G=〈a〉,aは

回 転 角 と す る 回 転 で あ る.

  (Ⅱ.a) 

h=3:n1=n2=2, 

  m3=N/n3=2で P,Qを

まわ

を そ の 回 転 角 と す れ ば, 

と な り α の 最 小 性 に 反 す る.よ

2π/Nを

元 は す べ て 同 じ 軸lの

元 で 回 転 角 が 最 小 な 元 をaと

任 意 の 元 と し,β

とな る整 数mが <α

あ る か ら,Gの

n3=N/2

あ る か ら,M3は

と も に 固 定 す る か,ま

GP=GQで,そ る.GPの に して,GPは

元 は す べ て 直 線PQを

あ る.よ

っ て,GPはGの

た が っ て,

場 合 と 同様

巡 回 群 で あ る:GP=〈a〉.bをGpに 二 つ の 極 とP,Qの4点

と な る.abは

含 まれ な い か ら

∴ba=a−1b あ る か ら,Gは

次 のN個

含 まれ な

を 固 定 す る か ら,b2=e

e=(ab)2=abab

と な る.G=GP+GPbで

元は

正 規 部分 群 で あ

軸 と す る 回 転 で あ る か ら,Iの

い 元 と す れ ば,b2はbの ま たGPに

ら な る.Gの

た は そ の 間 の 互 換 を ひ き お こ す.し

の 指 数 は2で

位 数N/2の

二 個 の 極P,Qか

の 元 か ら な る:

e,a,a2,…,an−1 b,ab,a2b,…,an−1b Gの

乗 積 表 は,ba=a−1bな

し て,Gは

る 関 係 を 用 い て か く こ と が で き る.こ

次 数 がN/2の

  (Ⅱ.b) 

二 面 体 群 と な る こ と が わ か る.

h=3:n1=2,n2=n3=3;N=12

  m2=N/n2=4で

あ る か ら,M2は4個

上 の 置 換 を ひ き お こ し,準 換 を ひ き お こ すGの が っ て,fの

の 極 か ら な る.Gの

同 型 写 像f:G→SM2を

元 は,4個

  (Ⅱ.c) 

正4面

f(G)はSM2の 代 群)と

な る.し

部 分

た が っ て, 

体 群 で あ る.

あ る か ら,M2は8個

を な す 極P′(OPとKと な り,M2は4個

に 類 別 さ れ る.Gの

の 極 か らな る.P∈M2な

の 交 点)は

 な らばaの か ら,aはM2の お こ す.Gの

元 は こ れ ら の4個

の 位 数 は3で

の 極 で あ る か ら,P

の 対 の 間 の 置 換 を ひ き お こす.a∈Gが の 極 を 固 定 す る か ら,a2=eで

位 数 は2で,GPi(ま

た はGpi′)の

ど の 極 も 固 定 しな い.し 任 意 の 元xに

あ る か ら,xaの

つ い て も 同 じ こ と が い え る.し

に, 

位 数 は6で

い ず れ か で あ る か ら,xaの

をGp1の あ る.一

位 数 は4以

a=eで,Gは4次

の 対 称 群S4の

を 比 較 し て, 

とな る.実

あ る

対 の極 の 互 換 を ひ き

各 極 を 固 定 し,a−1x−1ax=eを

中 心 に 属 す る.特

あ る.

位 数 は す べ て3で

た が っ て,各

対 し て,x−1axに

た が っ て,a−1x−1axはM2の が っ て,aはGの

ま た3位

らば,

の 極 の 対(P1,P1′),(P2,P2′),(P3,P3′),(P4,P4′)

こ の 各 対 を 固 定 す る と す れ ば,a2は8個

3,4の

指 数2の

た

h=3:n1=2,n2=3,n3=4:N=24

  m2=N/n2=8で

∈M2と

上 の恒 等 置

の 点 を 固 定 す る か ら単 位 元 の み で あ る.し

核 は 単 位 元 の み で 

で,Gは

元 はM2の

得 る.M2の

群 で あ る か ら正 規 部 分 群 で,f(G)=AM2(交

Pと

の よ うに

得 る.し

た

元 と す れ ば,x

方,xaの

極 の 位 数 は2,

下 で 矛 盾 で あ る.し

た が っ て,

中 に 同 型 に うつ され る.GとS4の

位数

際,Gは

正8面

体 群 に な る.

  (Ⅱ.d) 

h=3:n1=2, 

n2=3, 

n3=5, 

N=60

  m1=N/n1=30で

あ る か ら,M1は30個

の 極 か らな る.(Ⅱ.c)と

理 由 で,M1は15個

の 極 の 対 に 類 別 され,Gの

同 じ

任 意 の 元 は こ れ らの15個

の

対 の 間 の 置 換 を ひ き お こ す.   M1に Gの

属 す る 一 つ の 極 の 対 を(P,P′)と

元 とす る.GP=GP′

し, 

の 位 数 は2で

を これ ら を 極 と す る

あ る か ら,GP=GP′=〈a〉,a2=e

で あ る.   GはM1の

上 で 可 移 で あ る か ら,Pb=P′

と な るb∈Gが

あ る.こ

のと

き

と な る か ら,b−1ab∈GP′.し

た が って b−1ab−a 

と な る.ま bはP,P′

た,b−1abの

∴b∈C(a)

極 の 対 は(Pb,P′b)で

の 互 換 を ひ き お こ す.逆

ば,(Pc,P′c)はc−1ac=aの

お こ す 場 合 はcb−1がP,P′ cb−1=eま

とP,P′ ま た,bま

た はa 

∴c=bま

を と もに 固 定

あ る.b2はbの

換 を ひ き

極 

の ア ー ベ ル 群 で あ る.

つ い て 同 じ 考 察 を 行 な え ば,C(a)=C(b)=C(ab)を

極 の 対(P,P′),(Q,Q′),(R,R′)は

れ を 極 と す る 元 

異 な る3個

任 意 の 元 とす れ

た はab

を 固 定 す る か ら 単 位 元 で,C(a)は(2.2)型 た はabに

り,

を と も に 固 定 す る か ら,

元 は 各 対 を 全 体 と し て 固 定 す る.こ

eと

をC(a)の

な

も に 固 定 す る 場 合 はc=a.互

た が っ て,C(a)={e,a,b,ab}で

る.a,b,abの

と り,こ

に, 

極 の 対 で あ る か ら,cはP,P′

す る か そ の 間 の 互 換 を ひ き お こ す.と

と な る.し

あ る か ら,P′b=Pと

得

す べ て 異 な り,C(a)の

れ ら の 極 の 対 と 異 な る 対(S,S′)を か ら 出 発 し て,上

の 元 の 極 の 対(S,S′),(T,T′),(U,U′)を

き,{P,P′,Q,Q′,R,R′}と{S,S′,T,T′,U,U′}は

と 同

一 つ

じ 様 に し てC(s)の 得 る が,こ

の と

共 通 す る 点 を も た

な い.た と え ば,P=Tと り,(S,S′)に

す れ ば,P′=T′

つ い て の 仮 定 に 矛 盾 す る.こ

の 極 か らな る5個

の 類 に 類 別 さ れ,ま

群 を ひ き お こ す.こ 固 定 す るGの

元 の 全 体HはGの た が っ て,Hの

合 に な る.し

た が っ て, 

る こ と は な い.た

と え ば,上

こ れ らの 類 の 間 の 可 移 な 置 換 得 る.一

つ の類を

部 分 群 を つ く り,￨G:H￨=5で 元 は2位

ま た は3位

Hの

あ る か ら,

の 極 を も ち(Ⅱ.b)の

位 数2の

の(P,P′)を

の 一 つ の 対,た

a∈C(s),C(a)=C(s)と

極 と す る 元aが{S,S′T,T′,

ら,fの

位 数2の

核={e}と

の と き,

あ る 位 数3の

元xが

共 役 元 で 生 成 さ れ る か ら,H⊂(fの

元 も す べ て の 類 を 固 定 す る.こ

な り,fは

正 規 部 分 群 で,し

間 の 置換 固 定 す る.こ

な り矛 盾 で あ る.ま た,Hの

な り,Hの

場

元 は二 つ以上 の類 を 固 定 す

と え ば(S,S′)を

核 に 属 す る と す れ ば,Hはxの

核)と

た,Gは

点 は6個

固 定 す る とす れ ば,aは(S,S′),(T,T′),(U,U′)の

を ひ き お こ す が,そ

fの

な

の よ う に し て,M1の

の よ うに し て,準 同 型 写 像f:G→S5を

￨H￨=12.し

U,U′}を

でa∈C(s),C(s)=C(a)と

れ は 矛 盾 で あ るか

同 型 写 像 で あ る.f(G)はS5の

た が っ て,f(G)=A5, 

を 得 る.こ

指 数2の れ は 正20面

体

群 に 一 致 す る.

問

  7.1  PをGの   7.2 

題7

正規p‐ 部 分 群 とす れ ば,Gの で,￨G:N￨がpと

任 意 のp‐ シ ロ ー群 はPを

素 な らば,Gの

含 む.

任 意 のp‐ シ ロ ー 群 はNに

含 まれ

る.   7.3  Pを p)の

位 数p3の

非 可 換 な 群 と し,Zを

そ の 中 心 とす れ ば,P/Zは

不 変 系 が(P,

ア ー ベ ル 群 で あ る.

  7.4  べ き零 群 の極 大 部 分 群 はGの   7.5  べ き 零 群Gに

正 規 部 分 群 で,そ

お い て,二 つ の 元aとbの

の指 数 は あ る素 数pで

位 数 が た が い に 素 で あ れ ば,aと

bと は 可 換 で あ る.   7.6  Gの

元 をa1,a2,…,anと

す る.Gの

あ る.

元xに

置換

を 対 応 さ せ れ ば,GのG上

の 置 換 表 現 が 得 ら れ る こ と を 証 明 せ よ.ま

∈G},*G={*x￨x∈G}と

す れ ば,*GはG*の

各 元 と 可 換 なSΩ

合 で あ り,G*は*Gの

各 元 と 可 換 なSΩ

た だ し,x→x*はGの

右 正 則 表 現 とす る.

た,G*={x*￨x のす べ て の元 の集

の す べ て の 元 の 集 合 に な る こ と を 証 明 せ よ.

8. 一 次 変 換 群 ・表 現 論

 こ の 章 で は,行

  8.1 

列,行

二 次形式

  8.1.1 

列 式 に 関 す る 基 礎 的 な 知 識 を 仮 定 して の べ る.

・エ ル ミ ー ト形 式

二 次 形 式 ・エ ル ミー ト形 式

 変 数x1,x2,…,xnに

つ い て の斉 次 二 次 式

 (8.1)

を 二 次 形 式 とい う.こ

こ で,aji=aijと

で あ る と き,こ

れ を 実 二 次 形 式 と い う.こ

をF(x,x)の

係 数 の 行 列 と い う.Aの

す る.特

転 置 行 列 をATと

AT=A の よ うな 行 列 を 対 称 行 列 と い う.

  二 次 形 式F(x,x)は

 (8.2)

と あ らわ され る.  特に

数aijが

す べ て実 数

の 係 数 を な らべ て で き る 行 列

で あ るか ら

が 成 り立 つ.こ

に,係

行列 記号 を用い て

か け ば,aij=aji

の 形 の 二 次 形 式 を 単 位 二 次 形 式 とい う.そ の 係 数 の 行 列 は 単 位 行 列 で あ る.  次 に  (8.3)

の 形 の 式 を エ ル ミ ー ト形 式 と い う.た す る(aijはaijの

共 役 複 素 数).こ

と す れ ば,AT=Aが る.こ

成 り立 つ.こ

だ し,aji=aij(i,j=1,2,…,n)と の 係 数 の 行列 を

こ で,ATはA=(aij)の

の よ うな 行 列 を エ ル ミー ト行 列 とい う.行

転置 行列で あ

列 記 号 を 用 い る と,エ

ル ミー

ト形 式 は

 (8.4)

と あ らわ さ れ る.特

に x1x1+x2x2+…+xnxn

の 形 の エ ル ミー ト形 式 を 単 位 エ ル ミー ト形 式 と い う.  8.1.2 

一

次

  二 次 形 式(8.1)の

変

換 変数に

 (8.5)

を 代 入 す れ ば,x1′,…,xn′ xi′ の か わ りにxiと 換(8.5)を

に 関 す る 二 次 形 式G(x′,x′)を

お い て)二

次 形 式G(x,x)をF(x,x)に

行 な っ て 得 られ る 二 次 形 式 と い う.(8.5)は

得 る.(こ

こ で,

変 数 の 一 次変 行 列 記 号 を用 い て

 (8.6)

と あ らわ さ れ る.し

た が っ て,C=(cij)と

お い て,(8.6)を(8.2)に

代 入

す れ ば

と な る.よ

っ て,次

  定 理8.1 

の 定 理 を 得 る.

二 次 形 式(8.1)(ま

た は(8.6))を

た は(8.2))に,変

数 の 一 次 変 換(8.5)(ま

行 な っ て 得 られ る 二 次 形 式 の 係 数 の 行 列 は CTAC

に よ り与 え られ る.   エ ル ミ ー ト形 式H(x,x)に を 代 入 し,xiの

つ い て も,xi(i=1,…,n)の

か わ りに(8.5)

か わ りに

を 代 入 す れ ば,x1′

…,xn′

に 関 す る エ ル ミー ト形 式 が 得 られ る.そ

し て,そ

の係 数の行列 は CTAC に よ っ て 与 え られ る.こ H(x,x)の   8.1.3 

こ で,xi′

変 数 に 一 次 変 換(8.5)を 正

値

形

お き か え た エ ル ミ ー ト形 式 を,

行 な っ て 得 られ る エ ル ミー ト形 式 と い う.

式

 実 二 次 形 式  の 実 数 値 ξ1,…,ξnに

をxiで

(aijは

実 数)は,0ば

対 して

が つ ね に 成 り立 つ と き,正 値 実 二 次 形 式 とい う.ま た,そ 実 対 称 行 列 とい う.

か りで は な い 任 意

の係 数 の 行 列 を 正 値

に つ い て は,0ば

  エ ル ミ ー ト形 式 

の 複 素 数 値 ξ1,…,ξnに

対 して

が つ ね に 成 り立 つ と き,こ

れ を 正 値 エ ル ミー ト形 式 と い い,そ

正 値 エ ル ミ ー ト行 列 とい う.た   定 理8.2  ま た,任

か りで は ない 任 意

と え ば,単

任 意 の 実 正 則 行 列Aに

意 の 正 則 行 列Aに

位 形 式 は 正 値 形 式 で あ る.

対 し て,ATAは

対 し て,ATAは

  証 明   証 明 は 同 じ で あ る か ら,後

の 係 数 の行 列 を

正 値 実 対 称 行 列 で あ る.

正 値 エ ル ミ ー ト行 列 で あ る.

半 を 証 明 す る.

(ATA)T=(ATA)T=ATA し た が っ て,ATAは

エ ル ミー ト行 列 で あ る. 

に対

して

と お け ば,Aは

正 則 行 列 で あ る か ら, 

で あ る.エ

ル ミー ト形 式

に,ξ1…,ξnを

代入すれ ば

した が って,H(x,x)は   定 理8.3 

正 値 形 式 で あ る. 

n次 の 正 値 実 二 次 形 式(ま た は 正 値 エ ル ミー ト形 式)に

の正則一 次変換

(証終) 次 の形

を行 な って

また は, と 変 形 す る こ と が で き る.   証 明   正 値 エ ル ミ ー ト形 式 に つ い て 証 明 す る.H(x,x)を 形 式 と し,そ

の 係 数 の 行 列 をA=(aij)と

と お け ば,H(x,x)の

値 はa11と

正値 エ ル ミー ト

す る.x1=1,x2=…=xn=0

な る か ら,a11は

正 の 実 数 で あ る.H(x,x)

の変数 に正則 一次変換

を行なえば

と な る.

  はx2′,…,xn′

に つ い て の正 値 エ ル

ミー

ト形 式 とな る

か ら,変 数 の 個 数 に 関す る帰 納 法 で 定 理 が 証 明 され る.

  8.2  一 次 変 換 群   実 数 を 成 分 とす るn次

の 正則 行 列 の全 体 は,行 列 の積 に 関 して群 を つ くる.

これ を 実 数 の 上 の 一 般 一 次 変 換 群 とい い,GL(n,R)と

か く.ま た,複

を 成 分 とす るn次

つ く り,こ れ を 複 素

の 正 則 行 列 の 全 体 は 群GL(n,C)を

数 の上 の 一 般 一 次 変 換 群 とい う.明 らか に,GL(n,R)はGL(n,C)の

素数

部分

群 で あ る.   GL(n,R)(ま

た はGL(n,C))に

お い て,行 列 式 の 値 が1で

あ る よ うな す

べ て の 行 列 の 集 合 は そ の 部 分 群 を つ く る.こ (n,R)(ま   問1. 

た はSL(n,C))と

れ を 特 殊 一 次 変 換 群 と い い,SL

か く.

SL(n,C)はGL(n,C)の

正 規 部 分 群 で,GL(n,C)/SL(n,C)は

0と 異 な る す べ て の 複 素 数 の つ く る 乗 法 群C*に

同 型 で あ る(行

列に 行列式

を 対 応 さ せ る 準 同 型 写 像 を 考 え よ).   一 般 に,GL(n,R)(ま

た はGL(n,C))の

の 一 次 変 換 群 と い う.一 は エ ル ミー ト形 式)の

部 分 群 を,R(ま

次 変 換 群 の うち 重 要 な も の は,あ

た はC)の

る 実 二 次 形 式(ま

上 た

対 称 の 群 で あ る.

  実二 次形式

が,正 則 一 次 変 換

を 行 な っ て も 不 変 で あ る と い う こ と は,定

理8.1に

より

PTAP=A が 成 り 立 つ こ と で あ る.し

た が っ て,F(x,x)の

対 称 の群 は

{P∈GL(n,R)￨PTAP=A} で あ る.特

に,単

群 と い う.実

位 二 次 形 式 の 対 称 の 群 をO(n,R)と

行 列PがO(n,R)に

の直 交変換

含 ま れ る た め 必 要 十 分 な 条 件 は,Pが

PTP=E  を み た す こ と で,こ

か き,n次

(E:単

の と き,PT=P−1で

位 行 列) あ るか ら

PPT=E が 成 り 立 つ.こ

の よ うなPを

直 交 行 列 と い う.Pが

式 の 両 辺 の 行 列 式 を と っ て,￨P￨2=1,し

直 交 行 列 で あ れ ば,上

た が っ て,￨P￨=±1で

あ る.行

の 列

式 の 値 が1に

等 し いn次

こ れ をn次

の 回 転 群 と い い,O+(n,R)と

  問2.    Aを

の 直 交 行 列 の 全 体 はO(n,R)の

n次

の 回 転 群 はn次

部 分 群 を つ く る.

か く.

の 直 交 変 換 群 の 指 数2の

係 数 の 行 列 と す る エ ル ミ ー ト形 式 の 対 称 の 群 は,上

正 規 部 分 群 で あ る. と 同 じ よ うに し て

{U∈GL(n,C)￨UTAU=A} で あ る.特

に,単

U(n,C)と

位 エ ル ミ ー ト形 式 の 対 称 の 群 を ユ ニ タ リ ー 変 換 群 と い い,

がく: U(n,C)={U∈GL(n,C)￨UTU=UUT=E}

U(n,C)の

元 をn次

  問3. 

  8.3 

の ユ ニ タ リ ー 行 列 と い う.

(1) 

O(n,R)∩SL(n,R)=O+(n,R)

 (2) 

U(n,C)∩GL(n,R)=O(n,R)

群

の

  群Gか

表

現

らGL(n,C)の

中へ の 準 同 型 写 像 A:a→A(a)

をGの

表 現 と い い,nを

そ の 次 数 とい う.こ

A(ab)=A(a)A(b), 

A(e)=E, 

の とき A(a−1)=A(a)−1

が 成 り立 つ.   特 に,Gの をGの

対 応 さ せ れ ば,Gの1次

の 表 現 が 得 ら れ る.こ

れ

単 位 表 現 と い う.

  群Gの Pが

各 元 に 数1を

二 つ の 表 現A:a→A(a)とB:a→B(a)に

対 し て,正

則 行 列

あ って B(a)=P−1A(a)P

が 任 意 のa∈Gに い,A∼Bで

対 し て 成 り立 つ と き,AとBと 示 す.同

は 同 値 律 を み た し,す

は 同 値 な 表 現 で あ る とい

値 な 表 現 の 次 数 は も ち ろ ん 一 致 す る.ま

た,こ

の 関係

べ て の 表 現 の 集 合 は こ の 同 値 関 係 で 類 別 さ れ る.同

値な

表 現 の つ くる類 を 表 現 の 同値 類 とい う.同 値 な 二 つ の表 現 は 本 質 的 に 異 な る も の とはみ な さな い.   群Gのn次

の 表 現A:a→A(a)に

と 各P−1A(a)Pが C(a)は

対 して,正 則 行 列Pが

分 解 さ れ る と き,Aは

存 在 して

可 約 で あ る と い う.た

そ れ ぞ れr次,s次(r,s>0)の

だ し,B(a),

正 方 行 列 で,r+s=nと

こ の と き,B:a→B(a),C:a→C(a)は

そ れ ぞ れr次,s次

す る. のGの

表 現

で あ る.   表 現Aは,可

約 で な い と き 既 約 で あ る とい う.

  次 に,Gの

二 つ の 表 現A:a→A(a)とB:a→B(a)と

る と き,こ

れ らを 合 成 し て で き る 表 現

をAとBと ば,A    群Gの

の 直 和 とい い,A  Bの

次 数 はn+mで

が 任 意 のa∈Gに n次

か く.Aがn次,Bがm次

な ら

い くつ か の 既 約 表 現Fi:a→Fi(a)(i=1,

直 和 に 同 値 で あ る と き,Aは

正 則 行 列Pを

完 全 可 約 で あ る と い う.こ

の と き,

適 当 に とれ ば

対 して 成 り立 つ. の正 方 行 列Pの

が す べ て0で あ る と き,Pを の 第pi列

Bと あ る.

表 現A:a→A(a)が

2,…,r)の

  例1. 

が 与 え られ て い

各 行,各 列 に1が 一 つ ず つ あ っ て,他 置 換 行 列 とい う.置 換 行 列Pに

に1が あ る とす れ ば

の成 分

お い て,第i行

と な り,Pの

各 列 に1が

こ と が わ か る.し

が 対 応 す る.逆 P(σ)を

一 つ し か な い こ と か ら,p1,…,pnは

た が っ て,置

に,置

換 σ に,(i,pi)成

対 応 さ せ れ ば,一

置 換 とn次

換 行 列Pに,置

換

分 が1で

他 の 成 分 が す べ て0の

つ の 置 換 行 列 が 対 応 す る.こ

の 置 換 行 列 と の 間 に1対1の と な る か ら,n次

すべ て 異 な る

の よ うに し て,n次

対 応 

の 対 称 群 とn次

行列 の

が つ き, 

の 置 換 行 列 全 体 の つ くる 一 次

変 換 群 と は 同 型 で あ る.   群Gの

置 換 表 現φ:G→Snが

置 換 行 列 をΦ(a)と 特 に,Gの

与 え られ た と き,φ(a)(a∈G)に

す れ ば,Gの(行

列 に よ る)表

対応 す る

現Φ:a→Φ(a)を

元 に 番 号 を つ け て,G={a1,a2,…,an}と

得 る.

す る と き,Gの

右 正

則表 現

に 対 応 す る 行 列 表 現R:a→R(a)を,ま =(αij(a))と

で あ る.し

たGの

右 正 則 表 現 と い う.R(a)

す れば

た が っ て, 

な らばR(a)の

対 角 線 上 の 成 分 は す べ て0で

あ

る.   問4. 

群Gの

二 つ の 表 現A,Bに

で あ る  Esは

そ れ ぞ れr次,s次

で 変 換 せ よ.た

対 し て,A〓BとB〓Aと だ し,r,sはA,Bの

の 単 位 行 列 とす る).

は 同値 次 数 と し,Er,

  8.4 

シ ュ ア ー(Schur)の

補 題

  次 の 補 題 は シ ュ ア ー の 補 題 と よ ば れ,群   補 題8.4(シ B(a)と

ュ ア ー)  群Gの

す る.行

列Pが

の 表 現 論 に お い て 基 本 的 で あ る.

二 つ の 既 約 表 現 をA:a→A(a),B:a→

任 意 のa∈Gに

対 して

A(a)P=PB(a) を み た せ ば,P=0で

あ る か,ま

た はAとBと

の 次 数 が 等 し く,Pは

正則

行 列 で あ る.   証明  Q,Rが

で,ま

たPは

正 則 行 列 で も な い と す る.こ

の と き,正

則 行列

存 在 して

と な り,rはPの

行 ま た は 列 の 数 よ り も 小 に な る. QA(a)PR=QPB(a)R ∴QA(a)Q−1・QPR=QPR・R−1B(a)R

した が って

  (A11,B11はr次

の 正 方 行 列)

とす れ ば

と な る.よ る か ら,Aま

っ て,A21=0,B12=0.rはAま

  定 理8.5 

た はBが 群Gの

に 対 し て,A(a)と   証 明   Pを

可 約 に な り,仮

た はBの 定 に 反 す る. 

既 約 表 現 をA:a→A(a)と 可 換 な 行 列 は λE(λ ∈C)と

す べ て のA(a)(a∈G)と

次数 よ り も小 で あ

す れ ば,す

(証 終) べ て のa∈G

か け る.

可 換 な 行 列 と し,λ

をPの

一 つ の

固 有 値 とす る.こ

の と き,￨λE−P￨=0.し

た が っ て,λE−Pは

正則 行列 で

は な い.  一 方 A(a)(λE−P)=(λE−P)A(a) が 任 意 のa∈Gに P=λEを

対 し て 成 り立 つ か ら,シ

ュ ア ー の 補 題 に よ り,λE−P=0,

得 る. 

(証 終)

  こ の定 理 の 応 用 と して   定 理8.6 

ア ー ベ ル 群 の 既 約 表 現 の 次 数 は1で

  証 明  A:a→A(a)を A(x)(x∈G)と

ア ー ベ ル 群Gの

可 換 で あ る か ら.上

し た が っ て,Aの

次 数nが1よ

あ る.

既 約 表 現 と す る.A(a)は

の 定 理 に よ り,A(a)=λ(a)Eと

り大 き け れ ば,Aは

任 意 の な る.

可 約 と な って 仮定 に 反

す る. 

(証 終)

  8.5 

ユ ニ タ リー 行 列 に よ る 表 現

  こ の 節 以 後,群   定 理8.7 

は 特 に こ と わ ら な い か ぎ り有 限 群 と す る.

有 限 群 の 表 現 は,す

べ て ユ ニ タ リー行 列 に よ る 表 現 に 同 値 で あ

る.   証 明   A:a→A(a)を

有 限 群Gの

は 正 値 エ ル ミー ト行 列 で あ る こ と が,定 て,定

理8.3に

よ り,正

則 行 列Cが

CTHC=E,  とな る.

とな るか ら

表 現 とす れ ば

理8.2と

同 様 に 証 明 さ れ る.し

存 在 して H=(CT)−1C−1

たが っ

A(a)T(CT)−1C−1A(a)=(CT)−1C−1 (C−1A(a)C)T(C−1A(a)C)=E と な り,C−1A(a)Cは

ユ ニ タ リ ー 行 列 で あ る. 

  こ の 定 理 の 応 用 と し て,次   定 理8.8 

(証 終)

の 重 要 な 定 理 を 得 る.

有 限 群 の 任 意 の 表 現 は 完 全 可 約 で あ る.

  証 明   有 限 群Gの

表 現A:a→A(a)が

と 分 解 し て い る とす る.定

理8.3と

可 約 で あ る と して

上の定理 に よ り

な る形 の 正 則 行 列 が 存 在 し て,C−1A(a)C=U(a)が A(a)とCの

ユ ニ タ リ ー 行 列 と な る.

形か ら

と 分 解 さ れ て い る こ と が わ か る.U(a)はユ =U(a)−1=U(a−1)

.し

た が って

し た が っ て,V(a)T=0,V(a)=0と a→U(a)は

ニ タ リ ー 行 列 で あ る か ら,U(a)T

な る.よ

二 つ の 表 現U1:a→U1(a)とU2:a→U2(a)と

さ れ る.こ

れ か ら,あ

っ て,Aと

同 値 な 表 現U: の 直 和 に 分解

と は 表 現 の 次 数 に 関 す る 帰 納 法 で 定 理 が 証 明 さ れ る. (証 終)

  8.6 

指

  8.6.1    n次

指

標 標

の 正 方 行 列A=(aij)の

対 角 線 上 の 成 分 の 和a11+a22+…+annを

Aのtraceと

い い,trAで

 補 題8.9 

(1) 

あ ら わ す.

tr(AB)=tr(BA)

 (2) 

Pが

正則行 列で あれば tr(P−1AP)=trA

  証 明   (1) 

 (2) 

A=(aij),B=(bij)と

tr(P−1AP)=tr(APP−1)=trA 

  一 般 に,群Gの ば,χ(a)は う.明

すれ ば

(証 終)

表 現A:a→A(a)と

す る と き,trA(a)=χ(a)と

複 素 数 の 値 を と るGの

らか に,χ(e)は

表 現Aの

上 の 関 数 で,こ

れ を 表 現Aの

次 数 に 等 し い.特

に,既

すれ 指 標 とい

約表 現 の指 標 を 既

約 指 標 とい う.   上 の 補 題 に よ り,同  群Gの

値 な 表 現 の 指 標 は 一 致 す る.

上 で 定 義 され た 関 数 φ は,Gに

と る と き 類 関 数 と い う.表 =A(x)−1A(a)A(x)で

お い て 共 役 な 元 に 対 して 同 じ 値 を

現 の 指 標 は 類 関 数 で あ る.実

際,A(x−1ax)

あるか ら χ(x−1ax)=trA(x−1ax)=trA(a)=χ(a)

と な る.

 例1. 

群Gの

右 正 則 表 現 の指 標 をΠ

とす れ ば の とき の とき

た だ し,gはGの   群Gの

位 数 とす る.

表 現A:a→A(a)に

て 考 え れ ばHの

お い て,aをGの

表 現 を 得 る.こ れ をAのHへ

す.特 に,有 限 群Gの

元aで

部 分 群Hの

の 制 限 と い い,AHで

生 成 され る 巡 回 部 分 群H=〈a〉

す れ ば,表 現 の完 全 可 約 性 と定 理8.6に 値 に な る.し た が って,正 則 行 列Pが

よ り,AHは1次 存在 して

元に制 限 し

にAを

示 制限

の 表 現 の 直和 と 同

と 分 解 さ れ る.ar=eで =εiと

な る .よ

とな る.Aの

あ れ ば

εir=1(i=1,2,…,n).し

た が っ て,εi−1

っ て

指 標 をχ

とす れ ば

 (8.7)

と な る.   一 般 に,有 て,内

限 群Gの

上 で 定 義 さ れ た 複 素 数 の 値 を と る 関 数φ,ψ

積(φ,ψ)G(ま

こ こ で,gはGの

た は 簡 単 に(φ,ψ))を

位 数 と す る.aがG全

次 の よ うに 定 義 す る:

体 を 動 け ば,a−1もG全

か ら

ま た,定 義 か ら容 易 に

特 に,(φ,ψ)=0で   8.6.2 

あ る と き,φ

指 標 の 第1直

と ψ と は 直 交 す る と い う.

交関係

  次 の 定 理 を ま ず 証 明 す る.   定 理8.10    (1) 

Gを

位 数gの

有 限 群 と す る.

A:a→A(a)=(αij(a))をn次

に 対 し

の 既 約 表 現 とす れ ば

体を動 く

(こ こ で,δijは

ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ で, 

な らばδij=0と

す る)   (2) 

B:a→B(a)=(βij(a))をAと

  証 明   既 約 表 現A,Bの n)型

同 値 で な い 既 約 表 現 とす れ ば

次 数 を そ れ ぞ れm,nと

す る.C=(cij)を(m,

の 任 意 の 行 列 と して

とお け ば

と な る.こ

こ で,xがGの

ま たx−1=y−1aで

元 全 体 に わ た れ ば,y=axもG全

体 に わ た り,

あ るか ら

 (8.8)

を 得 る.   した が っ て,AとBと

が 同 値 で な い と す れ ば,シ

ュ ア ー の 補 題 に よ りP=0,

す なわ ち

とな る.Cは cμν=1と

任 意 の 行 列 で あ っ た か ら,特 お き,他

と な り,(2)が  次 に,A=Bと

のcpσ=0と

に,あ

る 指 定 さ れ た μ,ν に つ い て

おけば

証 明 さ れ た. す れ ば,(8.8)と

定 理8.5に

より

 (8.9)

 (8.10)

と な る.こ

こで

λ を 求 め る た め,(8.9)のtraceを

とれ ば

 (8.11)

と な る.特

に,あ

るcμν=1,他

のcρ σ=0と

お け ば,(8.10)と(8.11)よ

り

と な り,(1)が   特 に,定

証 明 され る. 

理8.10で,μ=i,ν=jと

れ ば,つ

お い て,す

べ て のi,jに

つい て加 え

ぎ の 指 標 の 直 交 関 係 を 得 る.

  定 理8.11(指   (1) χ

標 の 第1直

をGの

  (2) χ

  い ま,有

交 関 係)  Gを

有 限 群 とす る.

既 約 指 標 とす れ ば

限 群Gの

既 約 表 現 の 同 値 類 か ら代 表 を 一 つ ず つ と っ て,そ

と し,χ1,χ2,…

を そ れ ら の 指 標 と す る.ま

共 役 類 と し,a1,a2,…,akを

標 の 第1直

位 数gの

とχ′ を 同 値 で な い 二 つ の既 約 表 現 の指 標 とす れ ば

F1,F2,… をGの

(証 終)

た,K1,K2,…,Kk

そ の 完 全 代 表 系 とす る.こ

交 関 係 は 次 の よ うに 簡 単 に あ らわ す こ と が で き る.

  定 理8.11′   (χi,χj)=δij   ま た,(8.7)と   定 理8.11″

指 標 が 類 関 数 で あ る こ とを 用 い て  ￨G￨=g,￨Kα￨=hα

とす れ ば

れ を

の と き,指

  8.6.3 

既約表現の重複度

  有 限 群Gの

表 現Aは

完 全 可 約 で あ る か ら,Gの

をF1,F2,…

と し て,

と し て よ い.こ

の とき

既 約 表現 の 同 値類 の 代表

A∼m1F1+m2F2+… と か い て,こ

れ をAの

の と き,FiをAの

既 約 分 解,miをAに 既約成分

とい う.Fiの

お け るFiの 指 標 をχiと

重 複 度,mi>0 す れ ば,Aの

指標

χは

と あ らわ さ れ る.こ

れ をχ

の 既 約 分 解 と い い,mi>0の

と き,χiをχ

の

既 約 成 分 と い う.   定 理8.12 

群Gの

表 現 の 指 標χ

に お け る,既

約 指 標χiの

重 複 度miは

mi=(χ,χi) に よ り与 え られ る.し

 証明

 

た が っ て,χ

の 既 約 分 解 は 一 意 的 に 定 ま る.

をχ の既約分解 とすれば

(証終)   表 現 の 完全 可 約 性 に よ り,Gの 件 は,各 既約 表 現Fiの

二 つ の 表 現 が 同値 で あ るた め 必 要 十 分 な 条

重 複 度 が 一 致 す る こ とで あ る.上 の 定 理 に よ り,重 複

度 は 指 標 に よ って定 ま る か ら,次 の定 理 を 得 る.

  定 理8.13 

群Gの

二 つ の 表 現 が 同 値 で あ る た め 必 要 十 分 な 条 件 は,そ

れ

ら の 指 標 が 一 致 す る こ と で あ る.   特 に,群Gの =g(Gの

右 正 則 表 現 の 指 標Π

位 数) , 

に つ い て 考 え よ う.例1に

な らばΠ(a)=0で

あ る か ら,

とな る.こ

こで,χi(e)はFiの

指 標 はΠ

の既 約 成 分 とな り,異 な る 既 約 指 標 の個 数 は 有 限 で あ る.こ の よ う

に して,次

の定 理 を得 る.

  定 理8.14 

群Gの

  定 理8.15  … ,fl,Gの  (1) 

既 約 表 現Fiの

次 数 で あ る.

の 既 約 分 解 の 両 辺 の 値 を 比 較 し て,次

Gの

た が って,任 意 の 既 約

の既約分 解は

こ で,fiは

  上 の 定 理 で,Π

等 しい.し

同 値 で な い 既 約 表 現 の 個 数 は 有 限 で あ る.ま た,Gの

右 正 則 表 現 の 指 標Π

で あ る.こ

次 数fiに

よ り,Π(e)

既 約 指 標 をχ1,χ2,…,χlと

位 数 をgと

し,そ

の 定 理 を 得 る. れ ら の 次 数 をf1,f2,

すれ ば

g=f12+f22+…+fl2

 (2)

が 成 り立 つ.   注 意   後 に,Gの

異 な る既 約 指 標 の 個 数 は,Gの

共 役 類 の個 数 に 等 しい こ

とが 証 明 され る.  群Gの

既 約 指 標 の 整 数 を 係 数 とす る一 次 結 合 をGの

  定 理8.16 

群Gの

一 般 指 標χ

が 既 約 指 標 で あ るた め 必 要 十 分 な 条 件 は,

χが  (1) 

(χ,χ)=1 

をみ た す こ と で あ る.

一 般 指 標 とい う.

(2) χ(e)>0

  証 明  χ が 既 約 指 標 で あ れ ば,(1),(2)を に,χ

が(1),(2)を

み た す こ と は 明 らか で あ る.逆

み た す と す る.{χi}をGの

既 約 指 標 と し て, 

とす れ ば

し た が っ て,あ =±χiと   8.6.4 

るiに

対 し てmi2=1,他

な る が ,(2)に 指 標 の 第2直

  有 限 群Gの

のmj=0と

よ りχ=χiで

な わ ち,χ

あ る. 

(証 終)

交 関係

共 役 類 をK1={e},K2,…,Kkと

a2,…,akと

な る.す

す る.ま

た,Gの

し,そ

の 完 全 代 表 系 をa1,

異 な る 既 約 指 標 をχ1,χ2,…,χlと

す れ ば,

次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理8.17(指

標 の 第2直

交 関 係) aα

の 中 心 化 群C(aα)の

位 数 をnα

と

すれ ば

が 成 り立 つ.   証 明  hα=g/nα(g:Gの の 個 数 で あ る.い

位 数)と

ま,共

役 類Kα

す れ ば,こ

れ は 共 役 類Kα

に 属 す る 元 を 形 式 的 に+で

に 属 す る元

結 んだ和 を

Kα=x1+x2+…+xhα とす る.ま

た,Kα

とKβ=y1+y2+…+yhβ

との 積 を

 (8.12)

で 定 義 す る.こ

の と き,右

辺 に 共 役 類Kγ

ば,xiyj=zと

な る 元 の 組(xi,yj)の

=a−1zaを

と り,a−1xia=xi′,a−1yja=yj′

xi′yj′=z′

と な り,こ

の 個 数 もtに

の 元zがt個 個 数 がtで

た が っ て,(8.12)の

あ る.Kγ

の 他 の 元z′

と す れ ば,xiyj=zな

の 逆 も い え る か ら,xi′yj′=z′

等 しい.し

あ らわ れ る と す れ

らば

と な る 元 の 組(xi′,yj′)

右 辺 に はKγ

の 各 元 は 同 じ個 数

あ らわ れ る.そ

の 個 数 をtαβγ とす れ ば,(8.12)は

次 の よ うに か か れ る:

 (8.13)

  Kα の元 の 逆 元 の 集 合 は ま た 一 つ の 共 役 類 を つ くる.こ れ をKα′ で あ らわ せ ば,明

らか に

と な る.  

F:a→F(a)をGのf次

と お け ば,(8.13)に

の既 約 表 現 と し

よ り

 (8.14)

と な る.ま

た,xiがKα

の 元 全 体 に わ た れ ば,a−1xiaもKα

の元 全 体 に わ

た るか ら

した が っ て,定

理8.5に

より

 (8.15)

と あ らわ さ れ る.ωα traceを

を 求 め る た め,Fの

指 標 をχ

とれ ば

 (8.16)

を 得 る.(8.15),(8.16)を(8.14)に

代 入 して

と し,(8.15)の

両辺 の

 (8.17)

を 得 る.(8.17)は そ の 両 辺 をiに

と な る.こ

各既 約指標

χi(i=1,2,…,l)に

対 し て 成 り 立 つ か ら,

つ いて加 え る と

こ で,定

理8.15の(2)を

用 い る と

の とき の とき を 得 る.す な わ ち

と な る. 

(証終)

  指 標 の 二 つ の 直 交 関 係 か ら 次 の 定 理 が 導 か れ る.   定 理8.18 

群Gの

異 な る 既 約 指 標 の 個 数 は,Gの

共 役 類 の 個 数 に 等 し い.

  こ の 定 理 を 証 明 す る た め,次

の 簡 単 な 補 題 を 準 備 し て お く.

  補 題8.19 

の 行 列,Bを(n,m)型

m次

Aを(m,n)型

の 正 方 行 列ABの

  証 明   m>nと

行 列 式 の 値 が0で

仮 定 し て￨AB￨=0を

個 の 列 を つ け 加 え,Bに0ば m次

で あ る か ら,￨A1B1￨=￨A￨￨B1￨=0,し   定 理8.18の をGの り

な け れ ば.  い う.Aに0ば

か りか らな るm−n個

の 正 方 行 列 を そ れ ぞ れA1,B1と

証 明  χ1,…,χlをGの

共 役 類 の 完 全 代 表 系 とす る.指

の 行 列 と す る と き, で あ る. か りか ら な るm−n の行をつ け加 えてで き る

す れ ば,AB=A1B1で た が っ て,￨AB￨=0で

あ る.￨A1￨=0 あ る.(証 終)

異 な る 既 約 指 標 と し,a1,…,ak 標 の 第1直

交 関 係(定

理8.11″)に

よ

こ こ で,右

辺 の 行 列 式 の 値 は0と

異 な る か ら, 

一 方,指

標 の 第2直

交

関係 に よ り

こ こ で,右

辺 の 行 列 式 の 値 は0と

異 な る か ら, 

した が っ て,k=lで

あ る. 

  8.7 

(証 終)

誘

  群Gの

導

表

現

部 分 群Hに

よる左分解 を G=Ha1+Ha2+…+Har

とす る.Hのn次

の 表 現A:a→A(a)(a∈H)が

か ら誘 導 さ れ るGの aに

対 し て,nr次

与 え られ た と き,こ

表 現 が 次 の よ うに し て 得 られ る こ と を 示 そ う.Gの

こ で,Gの

A(x)=0(零

行 列)と

元xがA(  す る.こ

)の

定 義 域Hに

属 さ な い と き は,

の とき AG:a→AG(a)

表 現 で あ る こ と を 示 す.a,b∈Gに

ブ ロ ッ クに は,n次

対 して,AG(a)AG(b)の(i,k)

の正 方行列

 (8.18)

が あ る.こ

元

の行 列

を 考 え る.こ

がGの

れ

れ がA(aiabak−1)に

等 し い こ と を 示 せ ば よ い.い

ま.aia∈Haj,

す な わ ち,aiaaj−1∈Hと

す れ ば,(8.18)の

で あ る か ら,A(aiaaμ−1)=0,し

右 辺 で, 

な

ら ば 

た が っ て

Cik=A(aiaaj−1)A(ajbak−1) と な る.aiabak−1=(aiaaj−1)(ajbak−1)で,aiaaj−1∈Hで な ら ば,  を 得 る.ま

あ る か ら, 

A(ajbak−1)=0と

た,aiabak−1∈Hな

な り,A(aiabak−1)=Cik=0

ら ば,ajbak−1∈Hで,AがHの

表 現 で あ

る か ら,Cik=A(aiaaj−1ajbak−1)=A(aiabak−1)を

得 る.

  上 の よ う に し て 得 ら れ たGの

よ るGの

う.ま

た,Aの

指 標 を

表 現AGを,Aに

θ と す る と き,AGの

指 標 を

θGと

誘 導 表 現 か き,こ

れ

と い を

θ

に よ る 誘 導 指 標 と い う.   定 理8.20 

と な る.た

θ をGの

部 分 群Hの

だ し,hはHの

に 属 さ な い と き は0と

表 現 の 指 標 とす れ ば

位 数 で,θ(x−1ax)はx−1axが

θ の 定 義 域H

す る.

  証 明   誘 導 表 現 の定 義 よ り

θ はHの

類 関 数 で あ る か ら,y∈Hと

す れ ば,θ((yai)a(yai)−1)=θ(aiaai−1)

とな り

を 得 る.こ れ をiに   一 般 に,Gの

つ い て 加 え れ ば,定 理 の 式 が 得 られ る. 

類 関 数φ

の 定 義 域 をGの

関 数 が 得 られ る.こ れ をφHと 現Aの る.

指 標 で あ れ ば,明

部 分 群Hに

か き,φ のHへ

らか にφHはAのHへ

(証終)

制 限 す れ ば,Hの

の 制 限 とい う.φ がGの の 制 限AHの

類 表

指標 で あ

 ま た,Hの

類 関 数 θ が 与 え られ た と き,Gを

に よ っ て 定 義 す れ ば,θGはGの で あ る と き は0と   補 題8.21 φ

をGの

定 義 域 とす る関 数 θGを

類 関 数 で あ る.た

す る.θGを 類 関 数,θ

だ し,θ(x−1ax)は 

θ に よ る 誘 導 関 数 と い う. をGの

部 分 群Hの

類 関 数 とす れ ば

が 成 り 立 つ.

 証明

こ こ で,aと

し て はx−1ax=a∈H,す

な わ ち,a=xax−1(a∈H)と

な

る も の だ け 考 え れ ば よ い か ら,

(証 終)   こ の 補 題 か ら,次   定 理8.22(フ χ1,χ2,…,χrと

の 定 理 を 得 る.

ロ ベ ニ ウ ス(Frobenius)の し,Gの

部 分 群Hの

可 逆 定 理)  群Gの 既 約 指 標 を θ1,θ2,…,θsと

 証明 

既約 指標 を すれば

とす れ ば

(証終)  この 定 理 を 表 現 の 言 葉 で い い 直 せ ば,Gの

既 約 表 現Aに

対 し て,AHが

Hの

既 約 表 現Bを

重 複 度rで

含 め ば,BGはAを

同 じ重 複 度rで

含 む.

対 し て,nm次

の正

  8.8  群 の 直 積 の 表 現 ・表 現 の 積  n次

の正 方 行 列A=(aij)と,m次

の正 方 行 列Bに

方行 列

をAとBと A 

の ク ロ ネ ッ カ ー 積,ま

た は テ ン ソ ル 積 と い い,A 

Bと

か く.

Bのtraceは

で あ る か ら,  (8.19)

が 成 り立 つ.   ま た,A′=(a′ij)をn次,B′

をm次

の 正 方 行 列 とす れ ば

とな る か ら  (8.20) が 成 り 立 つ.   い ま,二

つ の 群G1,G2の

直 積 をG=G1×G2と

G1,G2の

表 現 と す る と き,Gの

A2(a2)を

対 応 さ せ れ ば,(8.20)に

し,A1,A2を

元a=(a1,a2)(ai∈Gi)に よ りGの

そ れ ぞ れ 行 列A1(a1) 

表 現 が 得 ら れ る.こ

れ をA1と

A2の

直 積,ま

た は テ ン ソ ル 積 と い い,A1 A2と

A1,A2の

指 標 を それ ぞ れ

(8.19)に

よ り

χ1,χ2と

か く:

す れ ば,A1 

A2の

指 標

χ1 

χ2は,

に よ り与 え られ る.   定 理8.23 

χ1,χ2をG1,G2の

の 既 約 指 標 で あ る.ま

た,Gの

既 約 指 標 と す れ ば,χ1 

χ2はG=G1×G2

既 約 指 標 は す べ て こ の よ うな 形 で あ ら わ さ れ

る.   証 明   G,G1,G2の

ま た,明 はGの

らか に χ(e)=χ1(e)χ2(e)>0で

し,χ=χ1 

あ る か ら,定

理8.16に

χ2と

す れ ば

よ り,χ

既 約 指 標 で あ る.

  G1,G2の 個 のGの Gの

位 数 を そ れ ぞ れg,g1,g2と

共 役 類 の 個 数 を そ れ ぞ れk1,k2と 既 約 指 標 が 得 られ る が,こ

す れ ば,上

れ はGの

の よ う に し てk1k2

共 役 類 の 個 数 と 一 致 す る か ら,

既 約 指 標 は こ れ らで つ く さ れ る. 

  群Gの

二 つ の 表 現A,Bが

な る 対 応 は,(8.20)に い い,A×Bと 標 χ は

与 え られ た と き,

よ り ま たGの

か く.A,Bの

(証 終)

表 現 で あ る.こ

指 標 を そ れ ぞ れφ,ψ

れ をAとBと と す れ ば,A×Bの

の積 と 指

に よ り与 え られ る.

問

  8.1  Gの

表 現 をA:a→A(a)と

題8

す れ ば,A*:a→A(a−1)Tは

ま たGの

表現 であ

る.   8.2  RをGの   8.3  Gの

右 正 則 表 現 とす れ ば,R*はRと

既 約 表 現Fiの

指 標 を χiと し,Fi*の

と す れ ば,αijk=αkj*i=αki*jが

 8.4  χ をGの

同 値 な 表 現 で あ る. 指 標 を χi*と す る. 

成 り立 つ.

は χ に お け る単 位指 標 の重 複 度

表 現 の 指 標 とす れ ば, 

に 等 し い(g=￨G￨).

  8.5  Gの

部 分 群Hに

表現 に よ るGの  8.6  Gの  (1) 

a∈Gに

 (2) Pの

よ る置 換 表 現 を 行 列 に よ る表 現 とみ る とき,そ れ はHの

単位

誘 導 表 現 に一 致 す る.

Ω={1,2,…,n}の 対 し て,χ(a)はaに

可 移 域 の 個 数 は 

上 の 置 換 表 現 をPと

し,そ

の 指 標 を χ と す る.

よ っ て 不 変 な 文 字 の 個 数 に 等 し い. に 等 し い.

問 題 解 答 の 指 針

 問

題2

  2.1  結 合 法 則 が 成 り立 た な い.   2.2  結 合 法 則,単   2.4 

(ⅰ) 

位 元(=X)の

yをGの

元 の 存 在 が 成 り立 た な い.

任 意 の 元 と す れ ば,x=y−1と

し た が っ て,x→x−1は ら,1対1の

存 在 は い い が,逆

上 へ の 写 像 で あ る.ま

お い て,x−1=(y−1)−1=y.

た,x−1=y−1な

ら ばx=yで

あ る か

写 像 で あ る.

  (ⅱ)  (ⅲ)  の 証 明 も 同 様 に で き る.

 問

題3

  3.1  (ab)n=anbnと   3.2  H∩Kの

な る こ と を 用 い る.

元 の 位 数 は,￨H￨と￨K￨の

  3.3 

と す れ ば,Hは

り そ れ はKに

k,k′ ∈Kに

した が って,HKに に1対1の

位 数pnの

部 分 群 を も ち,定

理3.7に

よ

一 致 す る.

  3.4 

 問

公 約 数 で あ る.

含 まれ るHの

対 して

左 剰 余 類 と,Kに

含 まれ るH∩Kの

左 剰余類 の間

対 応 が つ く.

題4

  4.2 〈u〉

の〈un〉

に よ る 剰 余 類 の 完 全 代 表 系 が,{e,u,…,un−1}に

よって与 え ら

れ る. aがG全

  4.3 

  4.4 

fの

核 をNと

す れ ば,G/Nはア

体 を 動 け ば,atもG全

ー ベ ル 群 で あ る.

  4.5  H⊃D(G),K⊃D(G).   4.6  t∈G,h∈Hに

対 し て,t−1ht=hh−1t−1ht∈HD(G)=H.

体 を 動 く.

  4.7  任 意 の 自 然 数nに

対 し て,nR=R.

  4.8  (C*)n=C*.

 問

題5

  5.2  A×Bか

ら(A/M)×(B/N)へ

の 自 然 な 準 同 型 写 像 を 考 え よ.

  5.3

をG/N,Nの

はGの

組 成 列 とす れ ば

組 成 列 で あ る.

  5.4  NをMの

極 小 正 規 部 分 群 と す る. 

が あ る.x−1Nxは

ま たMの

=N×(x−1Nx).こ

正 規 部 分 群 で,N∩x−1Nx={e}.よ

れ がMと

と な るyが の よ う に し て,M=N×N1×

同 型 な 部 分 群 の 直 積 に 分 解 され る.Nの

群 で あ る か ら,Nは

と な るx∈G っ て,N・(x−1Nx)

異 な れ ば, 

の と き,M⊃N×(x−1Nx)×(y−1Ny).こ =xi−1Nxi)と

な ら ば, 

正 規 部 分 群 は,Mの

…

あ る.こ ×Nr(Ni 正 規 部 分

単 純 群 で あ る.

  5.5  前 問 の 結 果 を 用 い よ.   5.6  (1)   (2) 

Gi=Gεi a=a1a2…an(ai∈G)な

ら ば,aεi=ai.

  5.7  (2)  よ りG=Gε1Gε2…Gεnで,各Gεiは(1)よ Gεi−1∩Gεi∋xと

り正 規 部 分 群 で あ る.Gε1…

すれば

故 に,

と な り,x=eを

得 る.

  問 題6   6.1 

Gを

巡 回 群 の 直 積 に 分 解 し て み よ.

  6.2  G=〈a1〉

×…

×〈ar〉 と し,aiの

位 数 をpniと

す る.qi=pni−1と

お け ば,G(p)

={x∈G￨xp=e}=〈a1q1〉   6.3  G=〈a1〉   6.4  (1) 

×…

×…

×〈arqr〉.

×〈ar〉 と す れ ば,G(m)=〈a1m〉

G(p)⊃H(p)で,両

と し,ai
×…

×〈armr〉 で あ る.

辺 の 位 数 を 比 較 し て, 

な る と仮 定 す る.q=paiと

ま た, 

お け ば,G(q)⊃H(q)で,G(q)の

不 変系は (pa1−ai,…,pai−1−ai) H(q)の

不 変形 は (pb1−ai,…,pbi−1−ai,pbi−ai,…)

と な り,xp=1を   (2) 

み た す 元 の 個 数 を 比 較 し て 矛 盾 を 得 る.

Gの

部 分 群Kで, 

と な る も の が 存 在 す る.

  問 題7   7.1  Pを

含 むp− シ ロ ー 群 は 少 な く と も 一 つ あ る.他

のp− シ ロ ー 群 は そ れ に 共 役 で

あ る.   7.2  Nのp−

シ ロ ー 群 はGのp−

シ ロ ー 群 で あ る.Gのp−

シロー群の共役性を用 い

よ.   7.3 

P/Zが

巡 回 群 な ら ば,7.2,例

題2の

よ うに し て,Pは

ア ーベ ル

群 と な り 仮 定 に 反 す る.   7.4  MをGの ら,そ

極 大 部 分 群 とす る と,G=NG(M).G/Mは

の 位 数 はpで

  7.5  G=Sp1×

真部分 群 を 含 ま な い か

あ る. …

×Spnと

す れ ば, 

として

よ い.   7.6  *Gの

がG*の

元 がG*の

各 元 と可 換 な こ と は 容 易 に わ か る.

各 元 と可 換 で あ る とす れ ば,任 意 のx∈Gに

対 して

し た が っ て,σ(aix)=σ(ai)xと =σ(e)ai=y−1ai.し

問

な

る.い

た が っ て,σ=*yで

ま,σ(e)=y−1と

お け ば,σ(ai)=σ(eai)

あ る.

題8

  8.2 

R*の

指 標 はRの

指 標 に 一 致 す る.

  8.3

た だ し,1GはGの

  8.4 

 8.5  GのHに aに

とす る と き,Hに

よ る左 分 解 を 

対 応 す る 行 列 の(i,j)成

か つ そ の と き に 限 り1で,そ

単 位 指 標 と す る.

分 は,Haia=Haj,す の ほ か の と き は0で

よ る置 換 表 現 に お い て,

な わ ち,aiaaj−1∈Hな あ る.し

た が っ て,Hの

る と き, 単位表現 に よ

る 誘 導 表 現)に一 致 す る.   8.6  (1) 

P(a)の

ほ か は す べ て0で  (2) 

Pは

対 角 線 上 に は,aに

よ っ て 不 変 な 文 字 の 個 数 だ け1が

の

あ る.

各 可 移 域 に お け る 可 移 表 現 の 直 和 に 分 解 さ れ る.し

現 と し て よ い.こ

あ り,そ

の と き,一

の 単 位 表 現).(1G)H=1Hで ベ ニ ウ ス の 可 逆 定 理).し

つ の 文 字 の 不 変 群 をHと あ る か ら,(1H)Gは

た が っ て,

た が っ て,Pは

可移表

す れ ば,P=(1H)G(1HはH

単 位 表 現1Gを

重 複 度1で

含 む(フ

ロ

索

引 加 法   10

ア

行

加 法 群   18

ア ーベ ル群   14

可 約   128

ア ーベ ル の基 本 定 理  91

完 全 可 約   128 完 全 代 表 系   48

位 数   14,24 1対1の 写 像 5 一 次 変 換 群   126

基   88

一 般 一 次 変 換 群   125

基 本 ア ー べ ル 群  79

奇 置 換   33

既 約   128 上 へ の写 像  4

既 約 指 標   133

運 動 群   39

既 約 分 解   137 逆 元   14

エ ル ミー ト行 列   122

逆写像 5

エ ル ミー ト形 式   122

鏡 映   6,7

演 算 9

共通集合 2 共 役   55,61 カ

行

共 役 な部 分 群   61

可 移 域   109

共 役 類   57

可 移 群   109

極  114

可 移 表 現   111 階 数   89

空集合  1

回転 6

偶 置 換   33

回 転 角   6,7

クラ イ ンの 四 元 群  42

回転 群   40,127

クル ル ・ レマ ク ・シ ュ ミッ トの定 理   86

外 部 自己 同型 群   66

クロ ネ ッ カ ー積  145

可 解 群   70

群   14

可 換   11

群 の公 理  14

可 換 群   14 核   65

係 数 の 行 列   121

加 群   18

結 合 法 則   10

集合  1

元 1 原 始n乗

根  27

自由 生 成 元   88 巡 回 群   24

原像   4

巡 回 置 換   30 交 換 子   68

巡 回 部 分 群  24

交 換 子 群   69

準 同 型   64

交換 子 群 列   70

準 同 型 写 像   64

交 換 法 則   11

準 同型 定 理   66

交代 群   34

シ ュ ライ エ ル の定 理   84

交代 式   36

乗 積 表   37

降 中 心 列   106

昇 中心 列   106

恒等 写像 5

乗法  9

恒等 変換 5

剰 余 群   64

合 同 変 換   39

剰 余 群 列   82

公 理 主 義   17

剰 余 類   61

互 換   30

ジ ョル ダ ン ・ヘ ル ダ ーの 定 理   83 サ

行

シ ロ ー の定 理   102 真 部 分 群   20

差   19

真部分 集合 2

細 分  84 正 規 化 群   63 自己 準 同 型   87

正 規 鎖   81

自己 同 型   40

正規 部 分 群   61

自己 同型 群   39, 40

制 限   133,143

指 数   52

正4面

次 数   111,127

生 成 系   27

自然 な準 同 型 写 像   64

生成 元   24

実 二 次 形 式   121

正 則 表 現   39

指 標   97,133

正 値 エ ル ミー ト行 列   124

指 標 群   97

正値 エ ル ミー ト形 式   124

指 標 の 直 交 関 係   136

正 値 実 対 称 行 列   123

射 影   87

正値 実 二 次 形 式   123

写像 4

正20面

シ ュ ア ー の 補 題   130

正8面

自由 ア ーベ ル 群   88

積  7,28,146

体 群   43

体 群   43 体 群   43

像 4

直 和   78,128

組 成 剰 余 群   82 テ ン ソル 積  145

組 成 剰 余 群 列   82 組 成 列   82

同 型   37 タ

行

同 型 写 像   37

対 称 行 列   121

同 型 対 応   37

対 称 群   29

同 型 定 理   67

対 称 式   35

同値   48,111

対 称 の群   40

同値 関 係   48

代 表 元   48

同値 な 表 現   127

多 重 可 移 群   112

同値 律   48

多 面 体 群   43

特 殊 一 次 変 換 群   126

単 位 エ ル ミー ト形 式   122

ナ

単 位 元   14 単 位 指 標   97

内 積   134

単 位 二 次 形 式   122

内 部 自己 同 型  40,66

単 位 表 現   127

長 さ  30,82

行

単 純 群   61 二 次 形 式   121 置 換   28

二 面 体 群   45

置 換 行 列   128 置 換 群   29

捩 れ の 群   93

置 換 表 現   111

ハ

抽 象 群   38 中 心   59

半 群   10

中心 化 群   58 重 複 度   137

p‐群  101

直 既 約   78

p‐シ ロ ー 群  102

直 既 約 分 解   78

p‐シ ロー 補 群   105

直 交   134

p‐部 分 群   101

直 交 行 列   126

左 合 同  50

直 交 変 換   126

左 剰 余 類   51

直 積   3,75

左 分 解   51

直 積 因子  78

表 現   127

行

表 現 の 同 値 類   128 ヤ 部 分 群   20

有 限 群   14

部 分 群 の直 積   77

有限 集合  1

部 分 集 合  2

有 限 生 成   91

不 変 群  40,110

誘 導 指 標   143

不 変 系   94

誘 導 表 現   143 ユ ニ タ リー 行 列   127

フ ロベ ニ ウ ス の 可 逆 定 理  144

行

ユ ニ タ リー変 換 群   127 平 行移 動 6 べ き  23

ラ

べ き 零 群   106

行

ラ グ ラ ン ジ ュの 定 理   52

変 換   5,55,61 変 換 群 9

両 側 分 解   100 両 側 類   100

ホ ー ル 部 分 群   105 マ

行

類   48 類 関 数   133

右 合 同  51

累 乗   23

右 剰 余 類  51

類 等 式   59

右 正 則 表 現   129

類 別   48

右 分 解   51 零 元   18 無 限 群   14

ワ

無 限 集合   1 和集合

2

行

著者略歴 永 尾

汎

1925年  広 島県に生れ る 1946年  大 阪大学理 学部卒業 現 在 大 阪大学名誉 教授 ・理学博士

基礎数学シリーズ2 群

論

の 基

礎

定価 は カバー に表示

1967年2月20日

  初 版 第1刷

2004年12月1日

  復 刊 第1刷

2008年5月20日

 

第3刷

著 者 永

尾

発行者 朝

汎

倉

発行所  株式 会社  朝

邦

倉

造

書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町  6-29 郵 便番号   電

話 

FAX 

〈 検 印省略 〉 C1967〈 ISBN 

03(3260)0180

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無 断 複 写 ・転 載 を禁 ず 〉 978-4-254-11702-8 

162-8707

03(3260)0141

C3341

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