Математика. Раздел 2. Математический анализ. Тетрадь 2.1: Учебно-методическое пособие для менеджеров и экономистов

РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (ТЕТРАДЬ 2.1)

ВВЕДЕНИЕ Математический анализ, как единое целое сложился в трудах И.Ньютона (1642 – 1727), Г.Лейбница (1646 – 1716), Л.Эйлера (1734 – 1800), Ж.Лагранжа (1736 – 1813), хотя его основа – теория пределов, – была разработана значительно позже О.Коши (1789 –1857). Объектом изучения математического анализа являются функции. В природе и технике повсеместно встречаются процессы, которые удобно описывать функциями, поэтому математический анализ охватывает весьма большую часть прикладной математики. В него входят дифференциальное и интегральное исчисления, теория дифференциальных уравнений, теория пределов, теория рядов, теория функций комплексного переменного, вариационное исчисление. Понятие функции существенно базируется на понятии действительного числа. Благодаря Р.Декарту (1596-1650), который ввел в математику прямоугольную систему координат, появилась возможность устанавливать связь между числами (координатами) и изображать функции в виде графиков. В настоящее время понятие функции базируется на более фундаментальном понятии множества ( см. Часть 1 ). Методом изучения функций является теория пределов. Хотя процесс предельного перехода был известен еще Архимеду (3 век до н. э.), окончательное понятие предела было сформулировано только в XIX веке. Сведения о рядах мы находим еще в египетских папирусах (2 тыс. лет до н.э.), а древние греки уже рассматривали бесконечные ряды.

1

Важнейший класс функций образуют, так называемые, непрерывные функции. Понятие предела и непрерывности непосредственно связаны с понятием бесконечности. Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математическом анализе. Главные трудности математического учения о бесконечности в настоящее время сосредоточились на вопросе о природе бесконечных множеств, который еще далеко нельзя считать решенным. В математической практике не делается принципиальных различий между конечными и бесконечными множествами. Последние рассматриваются таким образом, как будто все их элементы уже даны нам одновременно. Другим подходом к понятию бесконечности является представление о топологическом пространстве, служащим предметом изучения современной геометрии ( см. Раздел 3 ).

2

2.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2.1.1 Числовые последовательности

1) Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число xn , то говорят, что задана последовательность x1 , x2 , x3 ,..., xn или

xn ;

xn – называется общим членом последовательности и он является

функцией натурального аргумента n: xn  f (n), n  1, 2, 3... Пример:

xn   1/ n: 1, 1/ 2, 1/ 3, 1/ 4,... xn   sin(n / 2): 1, 0,  1, 0, 1,...

2) Последовательность

xn 

называется ограниченной,

если

существует число M > 0 такое, что для всех n выполняется неравенство:

xn  M , т.е. члены последовательности принадлежат интервалу (-М,М). Последовательность xn  называется ограниченной сверху (справа), если все ее члены меньше некоторого числа М, т.е. xn  M . Последовательность xn  называется ограниченной снизу (слева), если выполняется неравенство xn  M . Примеры:

Число

a

xn   n – ограничена снизу xn    n – ограничена сверху

xn   (1) n n = -1, 2, -3, 4, -5,.. – не ограничена. называется пределом последовательности an 

если для

любого положительного числа  найдется такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство

a  xn   .

Другими

словами: если у

последовательности xn  есть предел a, то члены последовательности при всех

n>N

удовлетворяют

неравенству:

a    xn  a   .

Предел

последовательности записывается так: lim xn  a , или xn  a . В этом случае

говорят, что последовательность сходится. 3

Теорема 1. Последовательность может иметь не более одного предела.

Пусть xn  a ;

Доказательство (от противного):

xn  b ( a  b) .

Возьмем число   0 . Т.к. xn  a , то a  xn   / 2 при n  N1 . Т.к. xn  b , то b  xn   / 2

при n  N 2 . Тогда для n  N , где N  N1 , N 2

должны

выполняться оба неравенства, следовательно: a  b  (a  xn )  ( xn  b)  a  xn  xn  b   / 2   / 2   , т.е. разность

может быть меньше любого положительного числа, следовательно a  b . Теорема 2. Если xn  a , то xn  a .

Доказательство: неравенство:

Для

a  xn   .

a  x  a  xn ,

  0,

любого Но

по

следовательно,

при

свойству при

nN

nN,

выполняется

абсолютной должно

величины: выполняться

неравенство a  x   , т.е. xn  a . Теорема 3. Если xn  a , то последовательность xn ограничена.

Доказательство: Пусть   1 , тогда найдется такой номер N, что для nN

a  an  1;

an  (an  a)  a  (an  a)  a  1  a .

следовательно:

Откуда: an  a  1 , для всех n  N . Обозначим через M наибольшее из чисел: a1 , a2 , ... an , a  1 , т.е. an  M , значит последовательность

xn ограничена. Обратная теорема неверна: из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. 4) Последовательность

xn ,

не имеющая конечного предела,

называется расходящейся. Пример: n 2 . Последовательность xn  называется бесконечно большой, если для любого числа M > 0 найдется номер N, такой, что для всех n  N , выполняется неравенство xn  M . Геометрически это означает, что все

4

члены последовательности кроме конечного числа лежат вне отрезка

 M ; M . Пример: n;  n. Бесконечно большая последовательность записывается в виде:

xn   или lim xn   . 5) Последовательность

xn называется

бесконечно малой,

если

lim xn   Пример: xn   1 / n 2  Общие члены бесконечно малых последовательностей обозначают буквами греческого алфавита:  n ,  n ,  n . По определению предела,  n  будет бесконечно малой, если для любого  , n  N выполняется  n   . Если последовательность

 n 

бесконечно малая и все ее члены

отличны от нуля, то последовательность xn   1 /  n  - бесконечно большая, и обратно, если последовательность

xn 

-

бесконечно большая, то

последовательность  n   1 / xn  - бесконечно малая. Теорема 4. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть

бесконечно малая:  n  0,  n  0   n   n  0 . Доказательство: Возьмем   0 , тогда существует такой номер N1 , что при n  N1 будет  n   / 2 , и

такой номер N 2 , что при n  N 2

будет

 n   / 2 . Обозначим через N наибольшее из чисел N1 и N2,тогда при n  N выполняются оба неравенства, следовательно:

 n   n   n   n   / 2   / 2   , т.к. для любого   0 при n  N  n   n   , то последовательность  n   n  - бесконечно малая. Теорема

бесконечно

5.

малой

Произведение

ограниченной

последовательности

есть

последовательности бесконечно

и

малая

последовательность. Пусть xn  - ограниченная последовательность,  n  бесконечно малая последовательность. Надо доказать, что xn n  0 . 5

Доказательство: Существует такое

число

M>0, что для всех n

Возьмем любое число   0 ,

выполняется неравенство xn  M .

соответствует такое число N, что при всех Тогда xn n  M  / M   , т.е.

xn n   при

nN

ему

n   / M .

n  N . Это означает, что

xn n  0 . Теорема 6. Алгебраическая сумма двух сходящихся последователь-

ностей есть сходящаяся последовательность, ее предел равен соответствующей сумме пределов данных последовательностей: xn  a, y n  b; xn  y n  a  b

Доказательство: Пусть

xn  a   n , где  n  0, y n  b   n ,

где

 n  0 . Тогда xn  yn  a  b    n   n  , но  n   n  - бесконечно малая, следовательно:

lim xn  yn   a  b , т.е. lim xn  yn   lim xn  lim y n . Коротко: предел суммы равен сумме пределов. Теорема 7. Произведение двух сходящихся последовательностей есть

сходящаяся последовательность, ее предел равен произведению пределов данных последовательностей: xn  a, y n  b; xn y n  ab .

Доказательство: xn  a   n ;  n  0; yn  b   n ;  n  0 . Тогда

xn yn  a   n b   n   ab  (a n  b n   n  n ) , но ( n  b n   n  n )  0

–

т.е.

это

бесконечно

малая

последовательность. Значит: lim( xn yn )  ab , т.е. lim( xn y n )  lim xn lim y n . Коротко: предел произведения равен произведению пределов.

Чтобы доказать теорему о пределе частного двух сходящихся последовательностей, рассмотрим две леммы. Лемма 1. Если lim xn  a, a  0 , то существует число K>0 и натуральное

число N, такие, что при n  N выполняется неравенство: xn  K , т.е. говорят, что последовательность xn  отделима от нуля. 6

Доказательство:

по

условию

lim xn  a ,тогда

lim xn  a  0 ,

следовательно для любого   0 и для n  N , выполняется неравенство: a    xn  a   . Возьмем такое  : 0    a / 2 , тогда получим xn  a / 2 ,

полагая K  a / 2 , получим утверждение леммы 1. Лемма 2. Если lim xn  a, a  0 и все члены последовательности

отличны от нуля, то последовательность 1 / xn  ограничена. Доказательство: по лемме 1, существует число K>0, такое, что при n  N имеет место неравенство: xn  K , следовательно: 1 / xn  K . Если

обозначим через M наибольшее из чисел

1 / x1 , 1 / x2 , ... 1 / xn , 1 / K , то

1 / xn  M для всех n. Теорема 8. Если

последовательности

xn 

и

yn 

сходятся,

xn / yn  сходится и ее предел равен отношению пределов последовательностей xn  и yn : xn / yn  a / b . lim xn  a; lim y n  b , причем yn  0 и

Доказательство:

,то последовательность

xn  a   n ,  n  0; y n  b   n ,  n  0 .

Тогда:

xn a bxn  ay n b(a   n )  a (b   n ) b n  a n     . yn b by n by n by n

Так как последовательность

1/ yn 

- ограничена ( лемма 2 ),

(b n  a n ) / b  0

(по теоремам о бесконечно малых) следовательно

последовательность

b n  a n  / byn 

- бесконечно малая (по теореме 7).

Значит : xn / y n  a / b или lim xn / y n  lim xn / lim y n . 2) Число e. Рассмотрим последовательность x = (1 + 1/n)n: (1 + 1)1, (1 + 1/2)2,...,(1 + 1/n)n. Докажем, что она имеет конечный предел. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

7

1 n(n  1) 1 n(n  1)(n  2)...(n  (k  1)) 1  2  ...   n; xn  (1  1/ n) n  1  n  n 1 2 n 1  2  ...  n n

или 1  1 1  1  2   k  1 1  1  2   n  1 xn  1  1  1    ...  1  1  ...1  .   ...  1  1  ...1  k! n  n   n  n! n  n   n  2! n  Покажем, что эта последовательность возрастающая, для этого сравним xn с xn+1:

1 1  1 1   2   k  1   ... ...1  ... 1    ...  1  2!  n  1  k!  n  1   n  1   n  1  1 1  2  1  1   n   1  . 1  ...1   1  n!  n  1  n  1  (n  1)!  n  1   n  1  x n 1  1  1 

Не

трудно

видеть,

что

каждое

соответствующего

слагаемого

в xn,

дополнительное

положительное

последовательность

xn 

слагаемое

кроме

в

xn+1

того в xn+1

слагаемое.

Таким

больше

есть одно образом

- возрастающая. Докажем, что при любом n ее

члены не превосходят 3: xn>3. 1 1 1 1 1 1 1  1/ 2n 1 xn  1  1    ...   1  1   2  ...  n 1  1  1   3. n 1  1/ 2 2! 3! 2 2 1  1/ 2 2

Итак,

последовательность

(1+1/n)n

-

монотонно

возрастает

и

ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Этот предел обозначается буквой e: lim(1  1 / n) n  e . Значит e  3 . Оставим в xn только три слагаемых: (1  1/n)n  2  1/ 2( 1-1/n) , переходя к пределу: e  2  1 / 2  2.5, т.е. 2,5  e  3 .

Более точные вычисления показывают, что e - иррациональное число e=2.71828...

Логарифмы

чисел по основанию e называются натуральными

логарифмами и обозначаются lnx.

Связь между натуральным и десятичным логарифмами: y=logax;

ay=x. Прологарифмируем это равенство по основанию e:

ylogba=logbx или logbx=logba· logax. В частности, при x=b: logba·logab = 1. 8

Обозначим M=logba, тогда: logbx=Mlogax. Пусть a=e, b=10; lgx=Mlnx, где M=lge~0.43429. 2.1.2 Предел функции

1) Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к a (или в точке a), если для любого положительного числа e найдется такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих условию: 0<|x - a|<δ выполняется неравенство:

f ( x)  A   или другими словами: для

любого e>0, найдется δ>0, такое, что для всех x, удовлетворяющих условию a    x  a   , выполняется условие: A    f ( x)  A  

Записывается: limf(x)=A, или f ( x)  A при x  a . 2) Число A называется пределом функции f(x) при x  a , если для любой последовательности значений аргумента x: x1, x2, ...,xn, сходящейся к a,

xn  a , соответствующая последовательность значений функций f(x1),

f(x2),..., f(xn) сходится к A. Примем следующие теоремы без доказательств. Теорема 1: Предел суммы функций равен сумме пределов функций:

lim f ( x)   ( x)  lim f ( x)  lim ( x) . Теорема 2: Предел произведения функций равен произведению

пределов функций: lim f ( x)   ( x)  lim f ( x)  lim ( x) Теорема 3: Предел частности двух функций равен частности пределов

этих функций: lim

f ( x) lim f ( x) , при условии, что lim  ( x)  0 .   ( x) lim ( x)

Теорема 4: Если f(x)>0 вблизи a и lim f(x) = A, то A > 0.

Аналогично для f(x) < 0; A < 0. Теорема 5: Если вблизи а выполняются неравенства: 9

 ( x)  f ( x)   ( x) и lim ( x)  lim ( x)  A , то lim f ( x)  A . 3) Функция f(x) называется ограниченной вблизи а, если существует число M>0, такое, что |f(x)| < M вблизи а. Теорема 6: Если функция f(x) при x  a имеет конечный предел, то

она ограничена вблизи а. 4) Функция

f(x)

называется бесконечно малой при x  a ,

если

lim f ( x)  0 . Пример: f(x) = sinx; lim(sinx) = 0. Теорема 7: Для того, чтобы функция f(x) имела предел A при x  a ,

необходимо и достаточно, чтобы вблизи а выполнялось равенство: f ( x)  A   ( x) , где  ( x)  0 при x  a . Теорема 8: Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций

при x  a есть функция бесконечно малая при x  a . Теорема 9: Произведение фиксированного числа бесконечно малых

функций при x  a есть функция бесконечно малая при x  a . Теорема 10: Произведение функции бесконечно малой при x  a на

функцию, ограниченную вблизи а, есть функция бесконечно малая при xa. 5) Функция f(x) называется бесконечно большой при x  a , если lim f ( x)   . Теорема 11: Если функция f(x) - бесконечно малая при x  a и

f ( x)  0

вблизи а,то функция 1/f(x) - бесконечно большая при x  a , и

обратно, если функция f(x) - бесконечно большая при x  a , то функция 1/f(x) - бесконечно малая при x  a . Примеры: f(x) = x - бесконечно малая функция при x  0 , f(x) = 1/x - бесконечно большая функция при x  0 . f(x) = x - бесконечно большая функция при x   , f(x) = 1/x - бесконечно малая функция при x  0 . 10

6) Сложная функция: u   ( x),

y  f  ( x) .

y  f (u ),

Теорема 12: Если lim ( x)  b, lim f (u )  A и, кроме, того, A = f(b), то

сложная функция y  f  (x) имеет предел при x  a равный A; 7) Число A называется пределом справа функции f(x) при x  a , если для любого числа   0 , найдется число   0 , такое, что неравенство A  f (x)   ,

выполняется

для

всех

x,

удовлетворяющих

условию:

0  x  a   . Обозначается: f(a + 0). Число A называется пределом слева функции f(x) при x  a , если f (a )  a  

неравенство

выполняется

для

всех x,

для которых

0  a  x   . Обозначается: f (a  0) . 8) Некоторые замечательные пределы. а) Пусть P ( x )  a 0 x n  a1 x n  1  ...  a n ; Q( x)  b0 x m  b1 x m 1  ...  bm , тогда: x n (a0  a1 / x  ...  an / x n ) P ( x) a0 x n  a1 x n 1  ...  an    Q( x) b0 x m  b1 x m 1  ...  bm x m (b0  b1 / x  ...  bm / xm ) x

a0  a1 / x  ...  an / x n . b0  b1 / x  ...  bm / x m

nm

Но lim

a0  a1 / x  ...  an / x n

x   b0

 b1 / x  ...  bm / x m



a0 , следовательно b0

0, если n  m P( x)   a0 / b0 , если n  m lim x   Q( x)  , если n  m. Пример:

lim

3x 2  7 x  5 4x2  9

x 

б) lim

3  ; 4

lim

x   3x

x3  3 4

 5x  3

 0.

sin x sin( x) sin x sin x - четная, т.к. f ( x)  ; функция   f ( x) , x x x x

x 0

поэтому достаточно рассмотреть значения 0  x   / 2. 11

T M

Возьмем дугу радиуса R и угол в x радиан.

R

ОМ=ОА=R; sin x 

x K

A

MK AT ; tgx  . R R

Рисунок 2.1.1 Площадь ΔОАМ < площади сектора ОАМ < площади ΔОАТ или (1/2)ОА·МК < (1/2)ОА·МК < (1/2)ОА·АТ и (1/2)R2·sinx < (1/2)R2x < (1/2)R2·tgx, т.е. sinx < x < tgx. Разделим это неравенство на sinx: 1

x 1 sin x  или 1   cos x ; sin x cos x x

cos x  1, при x  0 , поэтому lim

sin x 1 ; x >0. x

x 0

В силу четности функции

sin x sin x имеем:; lim 1 ; x < 0. x x x 0

Окончательно: lim

sin x 1 . x

x 0

в) lim (1 + 1/x)x = e; мы знаем что lim (1 + 1/n)n = e Пусть x > 1; положим n = E(x), тогда x  n   (0    1) при x   (n  ) имеем: n

x

1   1  1  1    1    1   x  n  n  1   1 1    n

n 1

n 1

, но

n

 1  1  1    1    e  1  e  n  n

1  1/ n  1n  1  e  e, т.е. lim (1 + 1/x)x = e. 1   и 1    1  1 / n  1 1  n  1 n

Пусть теперь x < -1; положим x = -y. Тогда:

12

x

 1  1 1    1   x  y 

y

y

  y  1  1      1    1    y  1  y  1    y  1

y 1

 1    e 1  e 1  y  1  

при y   ( x  ) . Таким образом, в обоих случаях lim (1 + 1/x)x = e. Если положить 1 / x   (  0, при x  ), то lim(1   )1 /   e. 9) Непрерывность функций Функция f(x), определенная в точке x0 и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в точке x0, если предел функции при x  x0 равен значению функции в точке x0: limf(x)=f(x0) или иначе: limf(x)=f(limx), то есть для непрерывной функции, знаки функции и предела можно переставлять. Если функция f(x) определена в точке x0 и не является непрерывной в этой точке, то ее называют разрывной в точке x0. Теорема 13. Сумма, разность, произведение фиксированного числа

функций, непрерывных в точке, непрерывны в этой точке. Теорема 14.

Частное от деления двух функций, непрерывных в

некоторой точке, непрерывно в этой точке при условии, что знаменатель не равен нулю в этой точке. Теорема 15. Если u = φ(x) – непрерывная в точке x0, а функция y=f(u)

непрерывна в точке u0, то функция y=f[φ (x)] непрерывна в точке x0. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна на интервале (a,b), и кроме того, непрерывна справа от точки a и непрерывна слева от точки b. То есть не требуется непрерывности на концах отрезка. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, если функция f(x) имеет конечные пределы справа и слева в этой точке, т.е. в точке x0 функция имеет конечный скачок. Во всех остальных случаях x0 называется точкой разрыва второго рода. 13

Примеры: а) f(x) = e1/x, x = 0 – точка разрыва второго рода. б) f ( x)  Функция

sin x , x = 0 – точка разрыва первого рода. x f(x)

называется

ограниченной

на

промежутке,

если

существует число M > 0, такое, что для всех точек этого промежутка выполняется неравенство f ( x)  M . Это означает, что график функции на рассматриваемом промежутке не выходит из полосы -M < y < M. Теорема 16. Функция, непрерывная на отрезке [a,b] ограничена на этом

отрезке. Теорема 17. Функция f(x), непрерывная на отрезке [a,b] принимает на

этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значение. Теорема 18. Функция, непрерывная на отрезке [a,b], принимает на этом

отрезке все значения между любыми двумя ее значениями. Теорема 19. Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непре-

рывна на нем. 2.1.3 Производная функции одной переменной

1) Рассмотрим функцию y

y  f  x  ; x – значение аргумента. Разность

N

называется

приращением аргумента. Предполагаем ,

y0+y

что y0

x  x1  x

x  0 .

соответствует

M

Разность x0

x0+x

x

Точке функция

x1  x  x f ( x  x) .

f ( x  x)  f ( x)  y

называется приращением функции.

Рисунок 2.1.2 Функция f(x) называется непрерывной в точке x, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. 14

Возьмем на кривой две точки M и N . Соединим их прямой MN – называющейся

секущей. Будем приближать точку

N

к точке

M

неограниченно, то есть расстояние между MN стремится к нулю (рис.2.1.2). Предельное

положение

секущей

MN

при

неограниченном

приближении точки N по кривой к точке M называется касательной к кривой в точке M. Напишем уравнение касательной. Кривая с уравнением точке

M принимает

значение y 0  f ( x0 ) , аргументу

y  f (x) в

x0

+  x0

соответствует значение функции y0  y  f ( x0  x) в точке N .Уравнение секущей:

y  y0  y / c x  x0  .

Устремим

x  0 , тогда точка N стремится к точке M . Секущая

превратится в касательную.  – угол наклона секущей NM ;  – угол наклона касательной в точке M . Если x  0 , то    и tg  tg , но tg  y / x , следовательно tg  lim y / x . Таким образом, уравнение касательной: y  y0  lim y / c x  x0  . 2) Предел отношения приращения функции к приращению аргумента y / x при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел

существует и конечен, называется производной функции f(x) в точке x . Обозначения: y; f (x); dy/ dx; df / dx f ( x  x)  f ( x) y ; f ( x)  lim x  0 x x  0 x

y  lim

Очевидно, что в каждой точке x производная будет иметь различные значения,

то есть

f (x)

является функцией переменной

x. Если

фиксировать значения x, например x  x0 , то производная в точке x  x0 обозначается:

15

y  x  x ; f ( x0 ); 0

df  x0  dx

Так как y  tg , это означает, что производная функции f(x) в точке x равна угловому коэффициенту касательной в точке M(x, f(x)) к кривой, заданной уравнением y = f ( x ). Пример: y  x 2 ;

y  f ( x  x)  f ( x)  ( x  x) 2  x 2  2 xx  (x) 2 и y / x  2 x  x , следовательно y   lim

 

 y  2 x , или x 2  2 x . x

В частности при x  1

f (1)  2. Пусть y  1 , тогда для уравнения

касательной y  1  2( x  1) и y  2 x  1 . 3) Необходимо уточнить условие существования производной. Теорема 1. Если функция f(x) имеет производную в точке x , то она

непрерывна в этой точке. Доказательство: по условию, если существует производная, то существует предел: lim

x  0

f ( x  x )  f ( x )  f ( x). x

По определению предела: f ( x  x )  f ( x )  f ( x)   ,   0 при x  0 . x Откуда y  f ( x  x )  f ( x )   f ( x )   x . Следовательно, y  0 при x  0 ,

а это означает, что функция

f ( x ) непрерывна в точке x . Заметим, что

непрерывность функции в точке не является

достаточным условием существования производной в данной точке. В определении производной речь идет о конечном пределе y / x при x  0 . Если этот предел бесконечен, то говорят, что производная

не

существует. Геометрически – это случай вертикальной касательной. 16

Нахождение

производной

данной

функции

называется

дифференцированием. 4) Производные элементарных функций. а) y  c (c  const). x  0, y  0 , следовательно

y y  0 и y   lim  0 , c  0 . x  0 x x

б) y  x

y  1 , x  1 . x  0 x

y  x, lim

в) y  x n . y   x  x n  x n  nx n 1x  откуда

nn  1 n  2 2 x x  ...  x n 1 2

y nn  1 n  2  nx n 1  x  ...  x n 1 , следовательно: x 1 2

 

 y  nx n 1 , то есть x n  nx n 1 . x  0 x

y   lim

г) y  sin x

y  sin  x  x   sin x y sin( x  x)  sin x  lim  lim x  0 x x  0 x  0 x

y   lim

sin

или y   lim

x  0

2 sin

x x   cos x   2 2   x

x x   cos x   x  2 2     lim cos x    cos x . x x  0 2   2

sin x   cos x д) y  cos x

y  cos x  x   cos x

17

ее

y  lim x  0 x x  0

 2 sin

y   lim

sin   lim

x  0

x  x  x  sin   2  2  x

x  x  sin  x   2 2     sin x x 2

(cos x)   sin x 5) Основные правила дифференцирования. а) Производная суммы функций. y  u  v , u  f ( x) , v   ( x) , аргументу дадим приращение x , тогда u и v получат соответственно приращение u и v . y  u  u   v  v   u  v   u  v y u v   x x x u v  u v  . y   lim   lim    lim x  0 x x  x  0 x x  0 x

Окончательно: u  v   u   v . б) Производная произведения. y  uv y  u  u v  v   uv  vu  uv

y v u   u  lim  v u  v   x  0 x x  0 x x x  lim

u v u lim v v  lim u  lim x  0 x x  0 x x  0 x x  0

 lim

u v  u  , lim  v , lim v  0 , то x  0 x x  0 x x  0

Так как lim

y  u  v   u  v  vu .

18

В частности, если

v  c (c  const). , то

cu   cu  cu   cu  ,

т.е.

постоянный множитель можно выносить за знак производной. Пример: y  2x3  5x 2  7 ;

   

  y   2 x 3  5 x 2  6 x 2  10 x . Если даны три функции: y  uvw , то

uvw  uv w  uv  w  uv w  u v  uvw  uvw  u vw  uvw  uvw . в) Производная частного . y  y 

u , v   x   0 . v

u  u u vu  uv ;   v  v v vv  v 

y  lim x  0 x x  0 lim

v

u v u x ; x vv  v 

u  u v  vu .  v v2 Везде применяем теоремы о пределах частного, произведения, суммы и о непрерывности функции в точке x . Примеры:

 sin x  sin x  cos x  cos x  sin x cos2 x  sin 2 x  tg x       2 2 cos x cos x cos x   

1 cos 2 x



2 , т.е. tg x   sec x

   2 2  cos x  cos x  sin x  sin x  cos x sin x  cos x  ctg x        sin 2 x sin 2 x  sin x  

1  2 , т.е. ctg x    cosec x 2 sin x 19

  sin x  1   cos x   sec x     , т.е.   cos 2 x cos 2 x  cos x 

sec x   tg x sec x    1   sin x  cos x  cosec x     2 , то есть   2 sin x sin x sin x  

cosec x    ctg x cosec x г) Производная сложной функции .

y  f u  , u    x  y y u   – тождество x u x u y y  lim  lim или x  0 x u  0 u x  0 x lim

dy dy du   dx du dx Пример:



y  2  x2



10

Обозначим: y  u10 , u  2  x 2 , тогда











 9 y   10u 9u   10 2  x 2 2  x 2  20 x 2  x 2 . д) Производная логарифмической функции. y  ln x . Пусть x >0 1  x  x  x

y ln(x  x)  ln x  ln  x x  x 1 

 

x

1 x  x

  ln1   x 



x

 x  x x 1  x  x  ln1    ln1   x  x  x   x  x  x

1  ln1   x  0 x  x  1 1  ln e  x x y  lim



x  x  x

1  lim ln1   x x  o  x 

20

x x  x

1   ln lim 1   x  x  0 x 



Таким образом

ln x   1 . x

Если y  log a x , и так как log a x 

ln x 1 . , то log a x   x  ln a lg a

Пусть y  ln x – функция определенная везде, кроме точки x =0. ln x, x  0 y  ln x   ln x , x  0 

ln x   1 , ln x    x  x

x



1  1 , т.о. ln x   x x

Найдем производную y  ln f ( x) . Обозначим y  ln u , u  f (x) . 1 f  x    Тогда y  ln u   u   u   ln f ( x)  . u f ( x) Отношение

f  x  называется логарифмической производной функции f x 

y f ( x ) , то есть f  x   ln f  x   f  x  или  ln y  . Это упрощает взятие y производных от сложных функций. Пример: 10  x  1 e sin x y

1  x 

2 3





3 Логарифмируем ln y  10 ln x  1  sin x  ln 1  x 2 , дифференцируем 2

f  x  y 3 2x  10  ln y    cos x   f x  x 1 y 2 1 x2 10 3 x  x  110 esin x  cos x  откуда y  3 x 1 1  x2 1  x2





Способ логарифмического дифференцирования применим, если x  1. е) Производная степенных функций . y  x , где x  0

21

y Прологарифмируем ln y    ln x , тогда ln y   . y

 y 1    ; y    y    x 1 x y x

 

 Таким образом x    x 1 .  1 1 В частности: при   1 ;     2 x  x

1 при   ; 2

 x   12

x.

y  a x ; a  0; a  1 ; ln y  x ln a ;

 

 y  ln a ; y   ln a  y  a x  ln a ; a x  a x  ln a . y

 

 Пусть a = e, тогда e x  e x . 2 Пример: y  2 ln x ; y   2 ln x  ln x   ln 2  2 ln x  ln . x ж) Производная показательно-степенной функции. y  u v ; u  f (x) ; v   (x) ; ln y  v  ln u

y u  v ln u  v , откуда: y u  u  y  u v  v  v ln u  ;  u 

u    vu v

v 1

u  u vv ln u .

з) Производные обратных функций. y  arcsin x , то есть x   sin x . Дифференцируем: 1  cos y  y  откуда: y 

1 . cos y

cos y  1  sin 2 y  1  x 2 , таким образом 22

y  arcsin x  

1 1 x

2

,  1  x  1.

y  arccos x ; x  cos y . Дифференцируем: 1   sin y  y  .

y  

1 1 1   sin y 1  cos 2 y 1 x2

y  arctg x ; x  tg y . Дифференцируем : 1  sec 2 y  y

y 

1 1 1   2 2 sec y 1  tg y 1  x 2

y  arcctg x ; x  ctg x . Дифференцируем: 1   cosec 2 x  y 

y  

1 1 1   2 2 cosec x 1  ctg x 1  x2

y  f (x) ; x   ( y ) . Дифференцируем: 1   ( y ) y  ;

y 

1 ;   y 

dy 1  dx dx dy

Таблица формул дифференцирования.

1. y  c

y  0

2. y  x

y  1

3. y  x a

y   ax a 1

y x

y 

y

1 x

1 2 x

y  

1 x2 23

x 4. y  a

y   a x ln a

y  ex

y  e x

5. y  log a x

y 

1 x ln a

y 

1 x

y  ln x

6. y  sin x

y   cos x

7. y  cos x

y    sin x

8. y  tg x

y   sec 2 x

9. y  ctg x

y   cosec 2 x

10. y  sec x

y   sec x  tg x

11. y  cosec x

y    cosec x  ctg x

12. y  arcsin x

y  1/ 1  x 2

13. y  arccos x

y   1 / 1  x 2

14. y  arctg x

y  1 / 1  x 2

15. y  arcctg x

y  1 / 1  x 2

24

6) Производные высших порядков

Определение 1: производная

функции f (x) в точке x называется

второй производной функции f ( x) , или производной второго порядка в этой точке. Обозначения: y; f  x  ;

d2y d2 f ; ; y xx ; f xx dx 2 dx 2

d 2 y d  dy      Таким образом: y   y  или   . dx 2 dx  dx  Определение 2: производная

от

второй

производной

называется

третьей производной.

Определение 3: n-ой производной, или

производной

n-го

порядка

функции f(x) в точке х, называется производная от производной (n-1)-го

dny   n n порядка в этой точке и обозначается: y ; f  x ; n ; dx

df n  x  d n y d  d n 1 y   ; . dx n dx n dx  dx n 1  Пример: y  x 4  5 x  4;

y  4 x3  5; y  12 x 2 ; y  24 x; y 4   24; y 5   0. Вторая производная имеет механический смысл ускорения. Пусть

S  f t ;

ds  V t  – скорость; dt

d 2 S d  dS  dV – ускорение.    dt 2 dt  dt  dt

ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ:

а) cu   cu; cu   cu  cu; cu n   cu n  ; б) u  v   u  v; 25

u  v   u  v  u  v;

u  v n   u n   vn  ; в) uv   uv  uv;

uv   uv  uv  uv  uv  uv  uv  uv  2uv  uv; (uv)  uv  2uv  uv   uv  uv  2uv  2uv  uv  uv   uv  3uv  3uv  uv. Формула Лейбница:

uv n   u n v  nu n 1v  nn  1 u n  2 v   2!



nn  1n  k  1 n  k  k  u v    uv n . k!

7) Дифференциал функции Пусть y  f  x ; Тогда слагаемое

y  f  x  . x   x lim

y  f  x    , где   0 при x

x  0, следовательно, первое

f  x x – является бесконечно малым 1-го порядка (главная

часть), второе слагаемое x – является

бесконечно

малым

второго

порядка. Определение 1: функция y  f  x  называется дифференцируемой в точке х, если приращение функции в точке х можно записать как сумму главной части относительно x и бесконечно малой части более высокого порядка чем x. Определение 2: дифференциалом функции f  x  в точке x называется главная, линейная относительно x часть приращения функции. Дифференциал обозначается dy; df  x ; dy  f  x dx; то есть f

dy – отношение дифференциалов. dx 26

Геометрический смысл дифференциала: из MLK : KL  dy  tg  x; dy  y  x , (рис. 2.1.3)

Рисунок 2.1.3

Понятия «функция, дифференцируемая в точке» и «функция, имеющая производную в точке» равносильны. Свойства дифференциала: а) d u  v   u  v  dx  udx  vdx  du  dv ; б) d uv   uv  dx  uv  vu dx  vdu  udv ; uv  vu vdu  udv  u   u  в) d     dx  ; dx  2 v v2 v  v  г) d 2 y  d dy   f  x dx 2 ;

 

d 3 y  d d 2 y  f  x dx3 ; d n y  f n   x dx n . 8) Теоремы о среднем Теорема Ролля: если

a,b,

функция f  x  непрерывна

на

отрезке

дифференцируема на интервале a, b  и значения функции на концах

отрезка

равны, f a   f b , то на

интервале (a,b) существует точка  ,

a    b, в которой производная функции f(x) равна нулю: f '(  )=0, то есть

27

если выполняются условия теоремы, то в точке  касательная параллельна оси ОХ. Точек может быть много. Доказательство: пусть в точке 

f(  )=M – наибольшее значение

функции, тогда: f    f   x   f    0 . При этом:

x  0 f    0,  если . x x  0  0,

Так как по условию теоремы, производная существует в точке  , то существует

и

предел: lim

f   f   . Учитывая, что lim 0 , а значит x x

f  0 , то есть f    0 , что и требовалось доказать. x  0 x lim

Теорема Лагранжа: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), то на этом интервале найдется точка f b   f a   f   . ba

 , a <  < b, такая что Заметим,

что теорема Ролля является

частным

случаем теоремы

Лагранжа при f(a)=f(b). Геометрически

f b   f a  – угловой коэффициент секущей. ba

Доказательство: рассмотрим вспомогательную функцию: F(x)=f(x) – yсек . Уравнение секущей в точке (a,f(a)): y  f a  

f b   f a  x  a  . ba

При этом: F ( x)  f ( x)  f (a ) 

f (b)  f (a ) ( x  a) . ba

Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля, так как при x=a, x=b F(a)=0, F(b)=0, то есть F(a)=f(b). Таким образом, F'(  )=0. Так как F ( x)  f ( x) 

f (b)  f (a ) f (b)  f (a ) , то F'(  )=f '(  ) ba ba 28

откуда

f ( ) 

f (b)  f (a) , что и требовалось доказать. ba

Формула f(b) – f(a)=f '(  )(b-a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Теорема Коши: если функции f(x) и  (x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на

интервале (a,b), и  ( x)  0 , то существует

точка  , a <  < b, такая что f (b)  f (a ) f   .   (b)   (a)    Доказательство: заметим, что  (b)   (a )  0 . Действительно, если бы

 (b)   (a) , то по теореме Ролля найдется точка  , где  ( )  0 , а это противоречит условию теоремы:  ( x)  0 . Рассмотрим вспомогательную функцию: F ( x)  f ( x)  f (a ) 

f (b)  f (a )  x    a .  (b)   (a)

Не трудно видеть, что на отрезке [a,b] эта функция удовлетворяет теореме Ролля, то есть F(a)=F(b), таким образом F'(  )=0. Так как F ( x)  f ( x)  F    0  f ( ) 

f (b)  f (a )   x  , то  (b)   (a )

f (b)  f (a ) f   f (b)  f (a ) , что и    , то есть  b    a      (b)   (a)

требовалось доказать. Это формула Коши. Теорема Лагранжа – частный случай теоремы Каши. 9) Неопределенности Рассмотрим бесконечные

последовательности. Последовательность

может иметь конечный предел:

xn  n 2 ; yn  n 2  5; xn  yn  5  5 . 29

Последовательность может стремиться к ∞: x n  n 2  n; yn  n 2 ; xn  yn  n  ~ Последовательность

может

стремится

к

0:

xn  n 2 ; yn  n 2  1 ; xn  yn  1  0 . n n Может встретится такой случай: xn  n 2  ; yn   n 2  (1) n   ; xn  yn  (1) n – предела нет. В этом случае говорят, имеет место неопределенность вида «∞, – ∞». При

делении

последовательностей

могут

встретиться

неопределенности вида 0 0 и ~ ~ . Чтобы выяснить, как себя ведет в этом случае последовательность, говорят, что надо «раскрыть» неопределенность. Пример 1: найти lim ( n  n  1) – неопределенность ( , ), n 

lim ( n  n  1)  lim

n 

n 4  5n  3 Пример 2: lim  n  n3n

 lim n 

n 

n  (n  1)  0. n  n 1

(неопределенность , ) =

n 4 (1  5 / n 3  3 / n 4 )  n 3 (1  7 / n 2  6 / n 3 )

1  5 / n3  3 / n 4 .  lim n n  1  7 / n 2  6 / n3 Тоже самое встречается, при рассмотрении предела отношений функции

f ( x) , если в точке а функция f(a)=f(a)=0.  ( x)

Раскрытие таких неопределенностей делается с помощью правила Лопиталя. Правило Лопиталя: если функции f(x) и  (х) дифференцируемы в точке а, непрерывны в точке а,  а   0 и f(a)=  (a)=0, то предел отношения функции при x  a , равен пределу отношений их производных (если тот существует): 30

f ( x) f ( x) .  lim x  a  ( x) x  a  ( x ) lim

Доказательство: применим формулу Коши: f ( x)  f (a ) f    , x   a.  ( x)   (a)    Учитывая, что f(a)=  (a)=0;

f ( x) f ( )  . Пусть x  a , тогда   a и  ( x)  ( )

f ( x) f ( x) , что и требовалось доказать.  lim x  a  ( x) x  a  ( x ) lim

Если окажется, что f (x) и  (x) – бесконечно малые при x  a , то правило Лопиталя надо применить еще раз, до тех пор, пока не появиться определенность. Пример: ex  1 ex lim  lim  1 . x 0 x x 0 1 f ( x) f ( x) .  lim x   ( x) x    ( x )

Правило Лопиталя справедливо и при x   : lim f ( x)   и lim  ( x)   , Тоже и для: lim xa xa

f ( x) f ( x) .  lim x  a  ( x) x  a  ( x ) lim

Пример: ln x 1/ x  lim 0 , x  x x  1 lim

x  (  1)(  (n  1) x) n x lim  lim x    lim  0. x  a x x   a ln a x  a x (ln a ) n Неопределенность типа 0   и    можно свести к известным 0/0 и /. Пусть f(x)  0 ,   х   , x  a ,

31

 f ( x) 1 /  ( x) . f ( x)   ( x)    ( ) x  1 / f ( x) f ( x) – неопределенность типа 0/0, 1 /  ( x)

 ( x) 1 / f ( x)

– неопределенность типа  /  . ln x 1/ x  lim  0. x 0 1 / x x 0  1 / x 2

Пример: lim ( x ln x)  lim x 0

Неопределенности вида

0 0 , 1,  0

встречаются при рассмотрении

функции y   f ( x)  x . Для нахождения предела у достаточно найти предел ln y   ( x)  ln f ( x). Действительно, если

lim ln y  A , то lim y  e A ,

xa

xa

а при отыскании lim ln y придется раскрывать неопределенность вида xa

0   , которая приводится к 0/0 и  /  . Пример: lim x x ; y  x x ; ln y  x ln x ,

x 0

lim ln y  lim x ln x  0 .

x 0

x 0

Следовательно: lim y  lim x x  e0  1. x 0

x 0

Задания для самостоятельной работы : 1)

Найти производную второго порядка : а) y=x²·lnx б) y=exp(-x²) в) y=sin²x г) y=(expx)·cosx д) y=(expx³)/x²

2)

Найти производную четвертого порядка : 32

а) y=(x+1)/(x-1) б) y=(expx)·sinx в) y=cosx·(3x³-4) 2.1.4 Исследование функции

1) Возрастание и убывание функций Определение: функция

f(x) называется возрастающей на данном

промежутке, если для любых двух точек

х1 и х2 этого промежутка из

х1  x2 следует неравенство

f ( x1 )  f ( x2 ) , то есть функция

неравенства

возрастает, если знак приращения функции y совпадает со знаком приращения аргумента x . Определение:

функция

f(x)

называется

убывающей

на

данном

промежутке, если для неравенства х1  x2 следует неравенство f ( x1 )  f ( x2 ) , то есть приращение функции аргумента разного знака. Теорема Если

(необходимое условие возрастания и убывания функции): дифференцируемая функция f(x) возрастает на данном

промежутке, то в любой точке х этого промежутка f ( x)  0. Если функция f(x) убывает, то f ( x)  0 в любой точке этого промежутка. Доказательство: пусть f(x) – возрастает. Рассмотрим точку х, дадим х приращение х , соответствующее приращению функции у ,

х  0 , так как у

y  f ( x)  x . Аналогично x  0 x

они одного знака. Приведем к пределу: lim доказывается и для убывающей функции.

Геометрически это означает, что касательная к возрастающей функции образует острый угол с ОХ, а к убывающей – тупой угол с ОХ . Теорема

(достаточное условие возрастания и убывания функции).

33

Если в каждой точке х данного промежутка f ( x)  0, то функция f(x) возрастает на этом промежутке. Если в каждой точке х f ( x)  0, то функция f(x) убывает на этом промежутке. Доказательство: По условию f ( x)  0 . Возьмем две точки x1 и x2 . По формуле Лагранжа: f ( x2 )  f ( x1 )  f ( )( x2  x1 ). Так как f ( )  0 , то знаки ( x2  x1 ) и f ( x2 )  f ( x1 ) совпадают, то есть функция возрастает. Аналогично и для f ( x)  0 . Точка, в которой f ( x)  0

называется

точкой стационарности

функции. Еще могут быть точки, где производной не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x). Критические точки разбивают область определения функции на интервале, где f (x) сохраняет знак. Правила исследования функций: а) находим критические точки функции и разбиваем на интервалы; б) исследуем знак f (x) на каждом из этих интервалов. Если f ( x) 0 , то функция возрастает, если f ( x) 0 – убывает. 2) Экстремум функции Определение 1: Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в окрестности точки х0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) . Определение 2: Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если в окрестности точки х0 выполняется неравенство f ( x)  f ( x0 ) . Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Функция может иметь на отрезке несколько экстремумов, причем некоторые минимумы функции могут быть больше максимумов. Теорема

(необходимые условия экстремума функции):

Если дифференцируемая функция f(x) имеет в точке х0

f ( x0 )  0 .

34

экстремум, то

Доказательство:

Пусть

y=f(x)

имеет

в

точке

х0 max.

Тогда

y  f ( x0  x)  f ( x0 )  0 . y  0 при x  0  x  0 при x  0

Следовательно:

y y  0, lim  0. x  0 x x  0  x

Переходя к пределу: lim x  0

x  0

По определению эти пределы равны: f ( x0 )  0. Теорема

(достаточное условие существования экстремума):

Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой ее окрестности и при переходе через точку х0 f (x) меняет знак с плюса на минус, то функция f(x) имеет max в точке х0 , если же f (x) меняет свой знак с минуса на плюс, то в точке х0 функция f(x) имеет минимум. Доказательства: Пусть f (x) меняет знак при переходе точки х0 с плюса

на

минус.

Тогда

по

функции

Лагранжа:

f ( x)  f ( x0 )  f ( )( x  x0 ), x    x0 . Если x  x0 , то f ( )  0 и f ( x)  f ( x0 )  0. Если

x  x0 , то

f ( )  0 и

f ( x)  f ( x0 )  0 . Таким образом в

окрестности точки х0 f ( x)  f ( x0 )  0 , то есть это максимум. Аналогично рассматривается случай минимума. Правила нахождения экстремума: а) найти точки, в которых f ( x)  0 или не существует; б) исследовать знак f (x) в окрестности критической точки. Если f (x) меняет знак при переходе через критическую точку, значит в этой точке f(x) имеет экстремум. Пример: f ( x)  x 2 3 (2  x) f ( x) 

2( 2  x )  3 x 5( x  4 5) 2 1 3 x (2  x)  x 2 3    3 33 x 33 x 35

f ( x)  0 при x=4/5, при х=0 – производной не существует.

x

  x  

x0

0  x0  4 / 5

x  4/5

4/5  x  

y

-

не

+

0

-

возрастает

f (4 / 5)  6 / 5(4 / 5) 2 / 3

убывает

существует y

убывает

min

max Пример 1: Какую банку надо сделать, чтобы ушло min материала? Площадь поверхности банки: S  2r 2  H 2r S   2 2r  2H  0, 2r  H

S   4  0 – min.

Пример 2: Какой должен быть угол х, чтобы объем конуса был max ? Объем конуса:

36

V  1 / 3r 2 H ;2r  Rx; r 

Rx ; 2

R2 x2 R H  R r  R   2 2 4 2

2

2

4 2  x 2

R2 x2 R R3 2 2 V  1 / 3 x 4 2  x 2  4  x  2 2 2 4 24 f ( x)  x 4 (4 2  x 2 )  4 2 x 4  x 6 f ( x)  16 2 x3  6 x5  0; x1  0; x2  2 2 / 3; Из заготовки в виде круга надо вырезать: 2 (1  2 / 3 ) . 3) Точка перегиба Определение 1: Кривая называется выпуклой в точке х0 , если в некоторой окрестности точки х0 кривая расположена ниже касательной в точке х0 . Определение 2: Кривая называется вогнутой в точке х0 , если в некоторой окрестности точки х0 кривая расположена ниже касательной в точке х0 . Определение 3: Точка х0 называется точкой перегиба кривой y=f(x), если с одной стороны от х0 кривая выпукла, с другой стороны от х0 кривая вогнута, то есть касательная в точке перегиба кривой пересекает эту кривую. Теорема: Если функция f(x) в некоторой окрестности точки х0 дважды дифференцируема и

f ( x)  0 , то необходимым и достаточным условием

f ( x)  0 , а вогнутости – f ( x)  0 .

выпуклости кривой является условие

Из этой теоремы непосредственно получаем необходимые условия точек перегиба. Если f(x) – дважды дифференцируемая функция на некотором промежутке, то в точках перегиба кривой у= f(x) на этом промежутке, вторая производная равна нулю f ( x)  0 . Но это еще не достаточно для существования точки перегиба. 37

Пример: y  x3 ; y  3 x 2 ; y  6 x; х=0 – точка перегиба. y  x 4 ; y  4 x3 ; y  12 x 2 ; х=0 – не точка перегиба. Теорема: (достаточное условие точки перегиба): Если в некоторой окрестности точки х0 вторая производная f (x) непрерывна и при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 – точка перегиба. Доказательство: Действительно, если знак второй производной при переходе через точку х0 меняет знак с + на -, то это означает, что вогнутость сменилась на выпуклость, то есть х0 – точка перегиба. Если f (x) не меняет знак при переходе через точку х0 , то в этой точке перегиба нет. Правила исследования на точку перегиба: f (x) =0 или

а) находим точки, где

f (x) – не существует – это

критические точки функции f(x) по второй производной; б) эти точки делят область определения функции f(x) на интервалы, где

f (x) сохраняет знак. Если f ( x) 0 – это вогнутость. Если f ( x) 0 – это выпуклость. Точка перегиба – разделяет интервалы вогнутости и выпуклости. Пример: y  xe x – функция определена при всех х. f ( x)  e  x  xe x  (1  x)e  x f ( x)  e  x (1  x)  e  x  e  x (2  x) f (x)

– не существует для всех х.

Критические точки f(х) по второй производной:

f (0)  0 ; x=2 – возможен перегиб. y

x x<2

-

y выпукла 38

x=2

0

точка перегиба

x>2

+

вогнута

Уравнение асимптоты

Асимптотой называется прямая, расстояние от которой до точки на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.

Рисунок 2.1.4 Yкр  f (x) – кривая; Yкас  kx  b – асимптота; | Yкр  Yкас | MN  то

MP  0 при x ~ cos 

Yкр  Yкас   ( x);  ( x) ~; x ~

есть

или:

f ( x)  (kx  b)   ( x) ;

определим k и b: Разделим на х: f ( x)  ( x)  (k  b / x)  , перейдем к пределу: x x lim

x 

f ( x) f ( x)  k  0 , откуда k  lim . x  x x

Теперь определим b: b  f ( x)  kx   ( x) , перейдем к пределу: b  lim [ f ( x)  kx] ; x 

а) если при х  ~ :y  b – это горизонтальная асимптота y=b; б) если при х  ~:y  ~ – возможна наклонная асимптота; 39

в) если при x  a:y  ∞ – эта вертикальная асимптота: х=а . Построение графиков

Правила: а) найти область определения функции; б) проверить функцию на четность и нечетность; в) исследовать знак функции f(x) по ее критическим точкам, то есть там, где f(x)=0; г) найти асимптоты функции; д) исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремум: f (x) ; е) исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и перегиб: f (x) ; ж) кроме того, следует посмотреть, как ведет себя функция при стремлении к «граничным точкам» области ее определения. x3 Пример: f ( x)  2 x 1 а) область определения: везде, кроме x  1 ; б) f(x) – нечетная, так как f(-x)=-f(x), то есть

достаточно исследовать

функцию только для x  0 ; в) критические точки: f(x)=0 при х=0, не существует при x  1 . При 0<x<1: f(x) – отрицательна, 1<x<∞: f(x) – положительна.

40

Рисунок 2.1.5 Заштриховываем те области, где функция не существует. г) асимптоты: х= -1, х=1 – вертикальные асимптоты, так как при x  1 ; f ( x) ~ ; 3x 2 6x x3 lim lim   ~ , то есть асимптота наклонная; x  x 2  1 x  2 x x  2 lim

2x 2 f ( x) x2  lim 2  lim  lim  1; x  x  1 x  2 x x  2 x

k  lim

x 

1 x  lim  0. x  x  1 x  2 x

b  lim [ f ( x)  kx]  lim x 

2

Уравнение асимптоты: у=х , д) точки экстремума: y  

y  0 ,

3 x 2 ( x 2  1)  2 x  x 3 x 2 ( x 2  3)  ( x 2  1) 2 ( x 2  1) 2

при х=0; х= x   3  1,7 ,

при 0<x<1 y – отрицательно, значит у – убывает; при 1  x  3 y – отрицательно, значит у – убывает; при

3  x ~ y – положительно, значит у – возрастает. е) y 

[2 x( x 2  3)  x 2 2 x]( x 2  1) 2  2( x 2  1)2 x  x 2 ( x 2  3) , ( x 2  1) 4

при х=0; y =0 – значит точка х=0 – точка перегиба, 3  2 3 (3  1) 2 3 3 при x  3; y    0 – min, 2 (3  1) 4 f ( 3) 

3 3 3 3  , 3 1 2

при x   3; y  

3 3  0 – max. 2

При х = 0; y = 0 – значит точка х = 0 – точка перегиба,

41

при х = 3 ; y = f ( 3) =

3 3 3  2 3 (3  1) 2  0 - min; = 4 2 (3  1)

3 3 3 3 3 3 при х =  3 ; y =    0 - max. 3 1 2 2

Задания для самостоятельной работы :

1) Найти предел функций : а)

lim [(x²-25)/(x-5)] x→5

б)

lim [(x²-5x+6)/(x-3)] x→ 3

в)

lim [(x³+5)/(x²+3)] x→∞

г)

lim [(x²+x+1)/(x-1)²] x→∞

д)

lim [(2x³+4)/(x²+5)] x→∞

е)

lim (x·ctg x→0

2) Найти производную функций : а) y=x³+2x²+4 б) y=[(x³-1)/(x²+1)] 42

в) y=(sinx)/x г) y=sinx-(sin³x)/3 д) y=cos(1-3x) е)

y=(cosx)³

ж) y=ln(2x) з) y=ln²x и) y=ln(x²) к) y=ln(sin2x)

3)Исследовать функцию и построить график : а)

y=(expx)/x

б) y=x²/exp(-x) в) y=x/(x²+1) г) y=(lnx)/x д) y=x³-3x 3) Раскрыть неопределенности : а) lim [(x³-3x²+2)/(2x³-4x²+3)] x→∞ б) lim [x³/(expx)] 43

x→∞ в) lim[(expx-1)/x] x →∞ 4) Темы для реферата и научной работы

а) Понятие непрерывной функции б) Числа Фибоначчи в) Замечательные пределы

44