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11111,10111(2)
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3. !
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43
· §3 35. 3(cos 280 D i sin 280 D ) : ¨ (cos 70 D i sin 70 D ) ¸ ; ¹ ©4 D D 6 36. (2(cos 50 i sin 50 )) ;
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S
S
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S
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41. ( 2 (cos(50 D ) i sin( 50 D ))12 . 5 ( . I '! ! : 42.
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20
21
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18a
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1 1 x 2
21a
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10a
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n
10
13
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n x n 1 c
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1 uc 1 u2
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52 x ln 5 4 52 x
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5. G . &" / 6&!*/
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5. G . &" / 6&!*/
83
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Y
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D
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0
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87
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88
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90
5. G . &" / 6&!*/
H
108 4 x 2 6x
106 4 x 2 6x 6x
18 2 x, x 3
( V
§ 18 2 · x¸ 2x2¨ © x 3 ¹
36 x
4 3 x . 3
( ( ) ( ) ( : 1. "') ! V < ( ( ! , ' >0 . 4 3
2. C ( (: V c 36 3 x 2
36 4 x 2 ; Vc=0; 42=36; 2= 9; =3.
3. C ( ( (: Vcc= –8x; Vcc(3)<0, ' = 3 <
, '( '9 ! . A (: 18 2 3 6 2 4. 3 3 %&%>: "'’< 7 < '9 , 7 ) ( 3 6 , 4 .
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9 ! < ' ! . 1. "') ! < < ( ( ! , ' >0. 2. C ( (: Sc = 302x–300 = 60x–300, Sc =0, 60x = 300, x = 5. 3. C ( ( (: Scc = 60, Scc(5)>0, ' = 5 S <
, <
9 ! . %&%>: B 10 ' ( ( ( : 5 5. 5. C ( : S = –t3+9t2–24t–8 . S – , t – (. C 9 ( . ?;’; !!: > ( ( ! ( )< (
9 S. V(t) = Sc = –3t+18t–24. (< ) ) ( ) ( ( : Vc(t) = –6t+18, Vc(t)=0; t=3c; Vcc(t) = –6 . ( (’< ; ( (< 7 9 ( < '9 ) t = 3. 5. G . &" / 6&!*/ 91
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Y
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5. G . &" / 6&!*/
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1, 2
1r 1 8 2
1r 3 ; x1 2
2, x 2 1.
3. 5( ! ! ( ( = –2 = 1 ! , ( ' ). 5. G . &" / 6&!*/
93
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-2
(-2; 1)
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+
0
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0
+
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-36
-12
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43 4 . 5
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2. 5 ! ! < ) ! ): f ( x)
94
5. G . &" / 6&!*/
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4 27 81 5
27 5
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12 4 2 3 2 5 5
12 ( 2 ) . 5
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4 8 16 16 3,2 5 5 A ! (0; 0) (2; 3,2). 9 ' ) ('. 2). ..= 2, &..= &(2) =
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(-f, 0) –
0 0 0
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2 0 3,2
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5. G . &" / 6&!*/
95
5( ( ! ( ’<(< ) ). ! ( ( ( ! &(–1) = –1. Y &
5,4
4 3 4 5
3,2
–1
1
2 3
4
X
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ª0º «¬ 0 »¼ ' f ( x) i g ( x)
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x
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ªf º «¬ f »¼ . ! ( !
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xoa
xoa
xoa
• ) ( f c( x) i g c( x) · • < ! lim xoa
f c( x) g c( x)
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a;
A;
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96
5. G . &" / 6&!*/
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f ( x) g ( x)
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f c( x) g c( x)
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lim xoa
f cc( x) g cc( x)
... .
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?;’; !!: R '! ,
x 4 16 lim 3 x o 2 x 5 x 2 6 x 16
lim( x 4 16) x o2 3
lim ( x 5 x 6 x 16) 2
x o2
0 . 0
C < :
lim x o2
x 4 16 x3 5 x 2 6 x 16
( x 4 16)c x o2 ( x 3 5 x 2 6 x 16)c
lim
x 4 16 %&%>: lim 3 x o2 x 5 x 2 6 x 16 : "'! ) lim x o0
4 x3 x o2 3 x 2 10 x 6
lim
32 26
16 . 13
16 . 13
e2 x 1 . sin x
?;’; !!:
e2 x 1 lim x o0 sin x
lim( e2 x 1) x o0
limsin x x o0
ª0º «¬ 0 »¼ ,
.
e2 x 1 (e 2 x 1)c lim x o0 sin x x o0 (sin x )c
lim
2e 2 x x o0 cos x
lim
2 1
2.
5. G . &" / 6&!*/
97
e2 x 1 2. x o0 sin x
%&%>: lim
1 cosax . x o0 1 cos bx
: "'! ) lim ?;’; !!:
1 cosax x o0 1 cos bx
lim
(1 cosax)c ª0º lim «¬ 0 »¼ xo0 (1 cos bx)c
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lim
a 2 co s ax ª0º lim «¬ 0 »¼ xo0 b 2 co s bx
a2 . b2
5 ( ( (!.
1 cosax x o0 1 cos bx
a2 . b2
%&%>: lim
xctg 2 x. : "'! ) lim x o0 ?;’; !!:
lim xctg 2 x lim x lim ctg 2 x [0 f]. x o0
x o0
x o0
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xc ª0º «¬ 0 »¼ lim x o0 (tg 2 x )c
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lim xctg 2 x lim x o0
%&%>: lim xctg 2 x x o0
cos 2 2 x x o0 2
lim
1 . 2
1 . 2
: "'! ) lim(tgx) xo
tg 2 x
S
.
4
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a
lim( tgx)tg 2 x , S xo
ln a ln lim( tgx)tg 2 x S xo
4
4
lim(ln( tgx)tg 2 x ) lim( tg 2 x ln tgx) limS S S xo
4
xo
4
xo
4
ln tgx ctg 2 x
C < : 98
5. G . &" / 6&!*/
ª0º «¬ 0 »¼ .
ln a
limS xo
4
1 tgx cos 2 x limS 2 xo 4 sin 2 2 x
(ln tgx)c (ctg 2 x)c
C( a
limS xo
4
sin 2 2 x 2sin x cos x
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4
e1 .
%&%>: lim(tgx)tg 2 x xo
S
e1 .
4
1· § 1 ¸. x o0 sin x x¹ ©
: "'! ) lim ¨ ?;’; !!:
1· § 1 ¸ [f f]. lim ¨ x o0 sin x x¹ ©
/ ), 9 ( :
1· x sin x § 1 lim ¨ ¸ lim x o0 sin x x ¹ xo0 x sin x ©
ª0º «¬ 0 »¼ .
C < :
x sin x ( x sin x)c lim x o 0 x sin x ( x sin x)c sin x lim 0. x o0 2cos x x sin x
lim x o0
lim x o0
1 cos x sin x x cos x
(1 cos x)c ª0º «¬ 0 »¼ lim x o0 (sin x x cos x )c
1· § 1 ¸ 0. © sin x x ¹
%&%>: lim ¨ x o0
C ( ) ( '9 “!( ” . & (,
1
• lim x o0
(arcsin x) c x o0 xc
arcsin x x
lim
lim x o0
1 x2 1
1;
x
§ 1· • lim ¨1 ¸ ! , '( 9 : x of © x¹ 5. G . &" / 6&!*/
99
1· § ln a ln lim ¨1 ¸ x of © x¹
x
1· § ln ¨1 ¸ x¹ lim © x of 1 x
1 ·· § § lim ¨ x ln ¨1 ¸ ¸ [0 f] x of x ¹¹ © ©
1 § 1 · 1 § · 1 ¨© x 2 ¸¹ ln c ¨1 ¸ 1 x¹ x lim © lim x of x of 1 c §1· 2 ¨ ¸ x © x¹ ln a 1, .
lim
x of
1 1 1 x
ª0º «¬ 0 »¼
1;
5.13. & .
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9 '9 ! (? 13. H ) ( ) . 14. R ! ? 15. C ( : ) & = (2–x2)4; ') & = lnsin2x; ) f(x) = cos3(cos3x). 16. C ( ( ( : ) S t ; ') & = lnsinx; ) y = cos2x. 17. H( ( ! ( y = tg2x ! ( . 18. / ! ( ! ( & = 2 & = 3 .
1 t 3 3t 2 5 (S – , t – 6 (). C ( 9 ( !, ( )< ). 20. C ( y = 2x3 – 6x2 – 18x + 7. 19. A < S
100
5. G . &" / 6&!*/
21. C ( '9
9 ! & = 3–3 2–9+35 ( – 4d d 4. 22. ( ( ) 84 ' ( , 7 ' 7 ' '9 ). 23. B 16 ( ( ( ( , 7 ' ( '
9 ). 24. 5 ! ! & = 35–54+4. 25. C ( : 1. y = x3 + x5. 9. y 2 x cos x. 2. y = 2x4 + x1/3. 3. y
4 x
1 . x2
4. y = 3sinx + 2x + 2ex.
4 x ln x . x 4 6. y = 2sinx.
10. y
ex . ex 1
11. y
x2 . x2 1
12. y
1 cos x . 1 cos x
5. y
7. y = ex(1 + x2). 8. y
2 tgx arcsin x.
C ( ( '! ! ( !. 26. y
x x 3 3 x,
x = 4.
S
27. y
sin x tgx,
x
28. y
x2 1 , x2 2
x 1.
29. y
ln x 5 x 2 3x ,
x 1.
30. y
31. y
x 1 x 1
,
e x sin x,
x
4
.
4.
x 0.
5. G . &" / 6&!*/
101
32. y 33. y 34.
2 3 4 , x 2 x3 x 4
x
f ( x)
2.
3x x x 3 ,
x
2.
ln cos x,
x
S
35. f(x) = sinx – cos2x,
x
3 0.
36. f(x) = esinx,
x
0.
x
S
37.
f ( x) lnctg x,
38. f x
e cos 2 x ,
x
39. f ( x )
ln sin 4 x,
x
.
S
.
4
4 S 16
.
.
S
40. f(x) = cos2x2 ,
x
41. f(x) = esin2x – 3cos2x,
x
0.
42. f(x) = tg23x,
x
0.
2
43. f ( z )
z2 1 , z
z
44. f ( x )
3 e 4 x 3 ,
x
0.
45. f ( x)
ln
x 1 , x2 1
x
2.
x2 1 , x
x
46. f ( x)
102
2
x
.
3.
5.
5. G . &" / 6&!*/
9x
47. f ( x )
,
x2 1
x 1 , x 1
48. f ( x)
ln
49. f ( x)
e 3 x e3 x , 3 x2 4
50. f ( x)
ln
51. f ( x )
3 e2x 1 ,
x2 1
x
52. f ( x)
x 1 2
53. f ( x)
ln 3
,
,
x2 4 x2 4
e x ex
54. f ( x )
e x e x
,
,
x (3 x x ),
55. f ( x )
x
2 2.
x
2.
x
0.
x
2.
x
0.
x
4.
x
2.
x 1. x 1.
56. f ( x)
ln x , 1 ln x
x e.
57. f ( x)
ln 2 x 2 1 ,
x 1.
58. f ( x )
x cos 1 x ,
x 1.
C ( ( ( '! ! ( !. 59. y
2 4 , x x2
x 1.
5. G . &" / 6&!*/
103
60. y 61. y
62. y
5 6 4, 3 x x 3x
6 x2
,
6x 4 7 x3 2x 2 1
x
x 1. ,
x
2.
3
63. y
x 4 8x 4 ,
64. y
4x 2 9x 2 ,
x 9.
65. y
6 x
3 , x
x 1.
66. y
6 x 3 x3 x x ,
x 1.
67. y
3 x 2 6 x 2 7 x 2,
x 1.
68. y
24 x 9 x 2 3 x 2
69. y
(3 x 2)(7 x 4),
x
2.
70. y
(2 x 5)(3x 2 4 x 4),
x
1 . 2
71. y
(4 x 3 5 x)( x 2 5),
x 1.
72. y
(9 2 x)(2 x 3 9 x 2 ),
x
7
x 1.
5
2 73. y ( 3x)( x 1) , x
74. y
104
2.
3x 2
1 x
2
1 x3
,
7 x2
x 1.
3 . 4
x 1. x 1.
5. G . &" / 6&!*/
75. y
x 1 , 5x 2
x
76. y
2x 3 , 3x 7
x 1.
77. y
5x , x 3
x 1.
78. y 79. y 80. y
1 x 1 x
x 1 x 3
,
,
x 2 3x
1 x2
,
2.
x
4.
x
9.
x
9. 2.
81. y
x , x 1
x
82. y
5x 2 , x 3
x 1.
x 1 , x 1. 7x 4 C ( '9
9 ! ( :
83. y
84. y
x 2 6 x 13,
xW[0;6] .
85. y
1 2 1 3 x x , 2 3
xW[1;3] .
86 y
6x 2 x3 ,
xW[1;6] .
87. y
x 3 3x 2 9 x 35,
xW[4;4] .
88. y
x 3 9 x 2 24 x 10,
xW[0;3] .
89. y
2 x 3 3x 2 ,
xW[1;4] .
90. y
2 x 3 6 x 2 18x,
xW[0;4] .
91. y
x 4 18 x 2 5 ,
xW[2;2] .
5. G . &" / 6&!*/
105
( ) ( ) ( '( : 92. y
1 3 x x. 3
93. y
x3 6x 2 9 .
94. y
x 4 5x 2 4 .
95. y
2 x 3 3x 2 .
96. y
x 3 3x 2 2 .
97. y
x 3 3x.
98. y
x 3 3x 2 3x 2 .
99. y
x3 2x 2 x .
100. y
1 3 1 2 x x 1 . 3 2
101. y
x4 4x 4 .
102. y
x 3 5x 2 8 .
103. y
1 3 5 2 x x 6x . 3 2 2
104. A ! < S sin t . C ( ! t, ! ( )< 1. 105. C ( 9 ( ! , < S
sin 2t ! ( S – , t – ().
106. A ! < S
1 3 t 2t 2 3 ( ). C ( 3
9 ( ! ! t = 3 . 107. A ! < S
1 3 t 2t 2 45. "'! 3
9 ( ! t = 5 c. 108. ! ) S1 106
2 3 2 t t t 14 3
5. G . &" / 6&!*/
S2
2 3 1 2 t t 11t 8 . 5 ! 9 ( '( ? 3 2
109. A ! < S sin 2 t . C !,, ). 110. A ? )< ! t ? = 0,2t2. R 9 ( ! t = 10 c. 111. H # )< ( ! t #=0,4t2 (S – , t – (). C 9 ( ( . 112. A ! < S !, 1.
2t 3 t 2 4 . C
113. A ! < S ! ! t = 3c.
2t 3 t 2 4 . C -
114. A ! < S ! ! t = 2 c.
2t 3 4t 2 5t . C 9 (-
115. ! ) S1 2t 3 4t 2 5t S 2 2t 3 1,5t 2 . C !, 9 ( . 116. A ! < 9 () )< 6t 2 2t 11 . C !, ! 2. 117. H # )< ( ! t #=0,4t 2 (t – (, # – ). C 9 ( ! t = 8c. 118. C 9 ( ! ! t=3c, 7 V
< S t 3 5t 2 4 . 119. A < S = S(t). W , 7 Sc(t) = 1? 120. A < S = S(t). W , 7 Scc(t) < 0? 121. A < S (t ) ! , b, '( ?
at 2 bt c . / -
122. A < S (t ) at 2 bt c . / ! , b, '( ? 123. C ! S (t ) A sin( wt M ) . 5. G . &" / 6&!*/
107
a0t
124. A < S (t ) / ( 9 0, ?
at 2 ( 0, – ). 2
3t 2 2t 3 . 5
125. A < S (t ) ! ? 126. A ! < S (t )
! )?
t4 t3 3t 2 4 . 5
4 2
127. C ( ! ( ' y ' x1
1, x 2
0, x3
2 x 2 1 !
1.
128. C < ( ! , ( ( ' y x 2 : a) ! ( ; ') ! (3; 9); ) ! (–2; 4); ) ! ) y 3x 2. 129. 5 ! < ( ! ( '! ' y x 3 ( )< 3? 130. 5 ! ( ! ( '! ' : a) ; ') )< ) ? 131. /( ) ' ? 132. 5 ! ( ! ( ' : a)
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1. lim
108
x . x of ln(1 x )
3. lim
4. lim xo
S
2
tg 5 x . tg 3 x
5. G . &" / 6&!*/
5. lim
ln sin x . ln sin 5 x
15. lim x e
6. lim
cos 3x cos x .
16. lim ¨
x o0
xo
S
2
2
x o0
x 1 . x 2
x of
arctg2 x . x o 0 arcsin 5 x 3
x o0
1· . M ¸¹
M o0
©
x o0
x ln x .
1 11. lim(tgM ) S cos M . Mo 2
x · § 1 ¸. © ln x x 1 ¹
12. lim ¨ x o1
§
17. lim ¨ ctgM
§ · ¨ x 1 ¸ ¸ 18. lim ¨ ctg x o0 x ¸. 3 ¨¨ sin ¸ 3¹ © x 19. lim ctg x ln x e .
9. lim
10. lim
.
7 · § 5 7 ¸. 5 x o1 x 1 x 1¹ ©
e x e x 2 . 7. lim x o 0 1 cos 2 x 8. lim
x
1· § 1 ¸. © sin t t ¹
20. lim sin(2 x 1) tgS x xo
1 2
21. lim 1 e x x of
1 x
.
.
x
m· § 22. lim ¨ cos ¸ . x of x¹ © a
13. lim ¨ t o0
23. lim x 1 ln 2( x 1) .
14. lim cos x tg 5x
24. lim 2 x ln x .
x o1 0
1
xo
S
.
x o0
2
5. G . &" / 6&!*/
109
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0
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Sc
(ln 2 t )c (ln 2 t ) 2
2 ln t (ln t )c ln 4 t
1 3t ln t 2
2 . t ln 3 t
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6. [6* 6&!*/
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2dt dx . t ln 3 t
2dt dx . t ln 3 t
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9 cos
2
S 6
sin
S 6
2
§ 3· 1 ¸ 9¨ ¨ 2 ¸ 2 © ¹
3 1 9 4 2
27 8
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0,01
C( , dv = –3,3750,01= –0,03375. %&%>: dv = –0,03375. 6.3. * !! /!+% * ! # $! : # !>. / ( () ( ( ( ! a'. R7 <) ) ! ), < ' '& | dy, ' ' ( . 5 )! , 7 '& =f(+') – f() , < f(+') – f()|dy, ( f(+')|f()+dy. + ' ) ( ' '! , ' '! ( ! 9, '! . 4. "'! ' ! &=2+2+5 ( =2 ( =2,001. ?;’; !!: C ( ( d =' =2,001 – 2=0,001. / , '& ' ( )< ( d&. '! )< ): dy=yc(x)dx. H ! ( ( ! = 2. yc= 2x+2,
6. [6* 6&!*/
113
yc(2) = 22+2 = 6. A (: dy = 60,001 = 0,006; '& | 0,006. A ! ! ( ): '& = f(2,001) – f(2), ( f(2) = 22 + 22 + 5 = 13, f(2,001) = (2,001)2 + 22,001 + 5 = 13,006001. A ( '& = 13,006001 – 13 = 0,006001. / ))! ( dy, '! , 7 ' ) ' ( )< 0,000 001. / ' ) ' (< ( ! (, '! ( ':
Z
0,000001 0,02% . 0,006001
A ! ( ( ( ( , ( ( . %&%>: '& | 0,006. 5. "'! ' ! & = 3 + 2 – 2 = 2,01. ?;’; !!: C ( ( dx='=2,01–2=0,01. / , ( '! ' ! < : f(+') | f(x) + d&, ' f(2,01) | f(2) + dy. H ! ( ! = 2: f(2) = 23 + 22 – 22 = 8. ( ): dy = &c()dx, ( ( ( ! = 2: &c= 32 + 2 – 2, &c(2) = 322 – 2 = 12 + 4 – 2 = 14; A ( dy = 140,01 = 0,14; C( : f(2,01) | 8 + 0,14 = 8,014. %&%>: f(2,01) | 8,014. 6: C ' !
16,06 .
?;’; !!: & ' ' ! y
=16,06. C ( ( : d =' = 16,06 – 16 = 0,06. / ,
114
f(16,06) | f(16) + d&, f(16) = 16 = 4 . 6. [6* 6&!*/
x
( ): d& = &c()dx, ( ! ( ( ! = 16.
1
f c( x) ( x )c
2 x
1
f c(16)
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1 8
2 16
0,0125 .
d& = 0,1250,06 = 0,0075.
A (
16,06 | 4 0,0075 = 4,0075.
C( , A ! !
16,06 = 4,0074929.
%&%>: 16,06 = 4,0075. 7. C ' !
0,988 . ?;’; !!: R ( (, < f(0,988) | f(1) + dy,
y yc ( x1/ 3 )c
3
x ; dx =' = 0,988 – 1= –0,012;
1 2 / 3 x 3
1 ( 0.012) 3
dy
3
3
1 3
3 x
0,004;
A (: %&%>:
3
2
;
1 ; 3
yc(1) f (1)
3
1 1.
0,988 | 1 0,004 0,996.
0,988 | 0,996 .
8. "'’< ', ' ( )< 4 , '9< 0,96 3. R '9< ' '? ?;’; !!: "'’< ' ' '! )< ): V = 3. " 'V | dV, dV | 0,96. '! )< ) dV=Vc (x)dx, (
dx
dV . /9 <) ) ( ( V V c(x)
! = 4: Vc= 32, Vc(4) = 342 = 48. A ( dx | 0,96/48 = 0,02, ' | 0,02. %&%>: I' ' '9 ' 0,02 . 6. [6* 6&!*/
115
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x 3 x 5,
2, x 2
2,01 .
13. f ( x)
x 3 4 x 2 5 x 3,
x1
1,
x2
1,03 .
14. f ( x)
x 3 x 2 x,
x1
2, x 2
2,01 .
15. f ( x)
2 x 3 3 x 1,
x1
2, x 2
2,001.
16. f ( x)
x 3 2 x 2 x 4,
x1
2, x 2
2,04 .
17. f ( x)
5 x 3 x 2 5 x 4,
x1
1 , x2
1,06 .
18. f ( x)
x 3 3 x 2,
x1
4, x 2
4,003 .
19. f ( x)
x 3 6 x 2 6 x 2,
x1
1,
x2
1,005 .
"'! ' ! y 20. f ( x)
116
x1
1 4 1 2 x x 2 x, 4 2
f (x) ( ! x
1,01 .
6. [6* 6&!*/
21. f ( x)
1 4 1 2 x x 2 x, 4 2
x
4,02 .
22. f ( x)
2 x 3 4 x 2 5 x 2,
x
2,04 .
23. f ( x)
2 x 3 4 x 2 5 x 2,
x 1,04 .
24. f ( x)
x 3 x 1,
x
25. f ( x)
1 3 x x 2 3x 4 3
x 1,02 .
26. f ( x)
x 3 6 x 2 6 x 2,
x
3,01 .
27. f ( x)
x 3 2 x 2 3x 1,
x
2,02 .
28. f ( x)
x 3 x 2 5 x 1,
x
2,03 .
2,04 .
29. f ( x) 2 x 3 x 2 3 x 4, x 1,02 . "'! ' ! 30. 32.
3
4,08 .
31. (1,01) 7 .
1,04 .
33.
3
26,98 .
34. (2,03) 6 .
D 35. sin 31 .
D 36. cos 32 .
37. tg 47 D .
6. [6* 6&!*/
117
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=# ,! < ; % Y
'y yc
'x o0 'x 'y yc D , D o 0 'x ' o 0 '& &c' D ( )'
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y+ǻy
( ! B ǻy
D
y
C
D x
!
dy
A
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x+ǻx
X
yc(x)
3 ' ABCBC=ACtgD= ' xtgD=yc ' x
dy
ycdx
yc
dy dx
dy
ycdx
'y | dy
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'& | dy y ( x 'x) y ( x) | ycdx
y ( x 'x) | y ( x) yc( x ) 'x : 1. C ( & 2
Y
2
y2
2
dy ycdx (e x )cdx 2 xe x dx . 2. C ' ! & = cosx ! = 45030c cos(45D30c) cos(45D 0,5D ) | cos 45D (cos x)c 2 ( sin x) x 2
118
45D
0,0087
x
45D
0,0087
2 2 0,0087 | 0,69. 2 2
y
y x x1
x2
X
' – ' & – ' & = &2 – &1 = f(x2) – f(x1)= = f(x1+ ' x) – f(x1)
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%!= ( f(x) !)
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A f(x)dx – ( , f(x) – ( , – , – ( . dx
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³ cos
2
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119
Y
0
X . 1
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³
³
2. & ! ( ( :
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³ Af ( x)dx
A³ f ( x ) dx .
4. & ! ( '!
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³ f1 x
r
f 2 x dx
³ f1x dx
r
³ f 2 x dx.
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F kx b C . k ( ( 1-5 ( ( ' ! . & (, ( ( 4:
³ f kx b dx
³ f x r f x dx c 1
120
2
f1 x r f 2 x ,
7. " ^ _
( !
³ f x dx c r ³ f x dx c 1
f1 x r f 2 x .
2
'( ! . C!!% / * %!=* !! ( # + %!= %).
C ( ) < ( ( -
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³ x dx n
& @ # +F !! : %!= %:
1. 3. 5. 7.
³ ³x
x C;
dx 1
dx
³
dx x
2. ln x C ;
ax
³ a dx ln a C ; ³ cos xdx sin x C ; x
dx
9.
³ sin
11 .
³1 x
13 .
³x
2
x
dx
2
2
dx a2
4. 6. 8.
ctg x C ; arctg x C ; ® ¯ arcctg x C 1 xa ln C; 2a x a
³ ³ e dx x n dx x
x n 1 C , ( n z 1); n 1 e x C;
³ sin xdx dx ³ cos x
cos x C ; tg x C ;
2
10 .
³³
12 .
³
14 .
arcsinxx/a CC ½ arcsin ®® ¾; arccosxx/ C a ; C ¿ ¯¯arccos
dx dx
a12 xx
22
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³
2
ln x
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1 x arctg C a a
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.
H( ( ) .
7. " ^ _
121
7.3. ;&!H %!=* !!.
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2
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1 n
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³
3 x 1 C
3 C . x
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3dx
³x
3x 21 C 2 1
3 x 2 dx
2
2. C
dx
³ 2x
x
.
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a
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n
a m ( ! ( : dx
³ 2x %&%>:
x
dx
³ 2x
x
3 1
1 x 2 C 2 32 1
1 3 / 2 x dx 2
³
1 x
1 x
C.
C.
3: C :
³ 8x
5
x 3 dx .
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( ( a n a m
a n m ; a n
C ( ! ( : 122
7. " ^ _
n
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13
³
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³
³
³
5 3 %&%>: 8 x x dx
40 2 5 3 x x C . 13
40 2 5 3 x x C. 13
³
4. C :
5x x x 3
x
dx .
?;’; !!: 5 < ( ' , ( ( ( i ( ( ( ( : § 5x x3 / 2 · ¸ ¨ 3 ¨ x1/ 3 x1/ 3 ¸dx x ¹ © 6 5 x 2 / 3dx x 7 / 6 dx 3 x3 x 2 x 2 6 x C . 13
³
5x x x
³
%&%>:
³
³
dx
³
5x x x 3
x
dx 3x3 x 2
6 26 x x C. 13 2
1 · § 5. C : ¨1 2 ¸ dx. © x ¹
³
?;’; !!: 5( < ( ) ( – b)2 = 2 – 2 b + b2 ! ( '! ) '! ) ) ! ( :
³
2
1 · § ¨1 2 ¸ dx © x ¹
§
2
³ ¨©1 x
2
1 · ¸dx x4 ¹
x
2 1 3 C . x 3x
2
1 · 2 1 § %&%>: ¨1 2 ¸ dx x 3 C. x 3x © x ¹
³
6. C :
³ ctg
2
xdx .
7. " ^ _
123
?;’; !!: ( <
1 1 ! :: sin 2 x
ctg 2 x
³ ctg
2
§
1
³ ¨© sin
xdx
2
x
· 1¸dx ¹
ctg x x C.
³
2 %&%>: ctg xdx ctg x x C.
5 ! !) , ( (
, ) 5: 1 kx b e C; k 1 3 . sin( kx b ) cos ( kx b ) C ; k dx 1 5. tg( kx b ) C ; cos 2 ( kx b ) k
³ ³ ³
1 . e kx b dx
6.
³k
2
dx b2x2
1 b arctg x C ; bk k
A, (
1 a kx b C; k ln a 1 4 . cos( kx b ) dx sin( kx b ) C ; k dx 1 6. = - ctg( kx b ) C ; sin 2 ( kx b ) k
³
2 . kx b dx
³ ³
8.
³
dx k b x 2
2 2
1 b arcsin x C . b k
x
³ cos 2 dx ::
³ cos kxdx
1 sin kx C , k k
1 , 2
(
x
³ cos 2 dx
2 sin
x C . 2
7.4.!=* !! &% ! (; %! ; %!!,).
R7 ( ' ! ( ) , ( ' < ( ( ( ). H ( ( < : ) ) ) ! ( , ( ) < ! , 7 9 ( )! , ( ( ! ( ( ( ( ). 5 ( ( ' (: 124
7. " ^ _
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³
dx 3
.
(5 3x) 2
?;’; !!: C ' ( t = 5 – 3x, ( dt =–3dx, ( dx
³
:
dx 3
(5 3x)
1 t 1/ 3 C 3 1 3
%&%>:
³
dx 3
(5 3 x)
³
2
dt 3
t
2
t 1/ 3 C
3
1 3
³t
t 1/ 3 C
2 / 3
dt . 3
dt
(5 3 x)1/ 3 C .
3 5 3 x C .
2
8. C : ³ (2+cosx)2 sinxdx. ?;’; !!: & 2 + cosx = t, (: – sinxd = dt, ( sinxdx = –dt. " < :
³ (2 cosx)
2
³
sinxdx t 2 dt
³
2 %&%>: (2 cosx) sinxdx
9. C :
t3 3 C
1 2 cos x 3 C. 3
1 2 cos x 3 C. 3
e x dx
³ 2 3e
x
.
?;’; !!: & t = 2 + 3e, ( 3edx=dt, e x dx
%&%>:
³
e x dx 2 3e x
1 dt 3 t
³
e x dx 2 3e x
1 ln 2 3e x C . 3
³
1 ln t C 3
1 dt . < : 3
1 ln 2 3e x C . 3
7. " ^ _
125
10. C
x 2
?;’; !!: &
x
³ cos 2 dx.
t , (
1 dx 2
x
³ cos 2 dx 2³ cos tdt x %&%>: cos dx 2
³
2 sin
dt ( 2dt = dx. " < :
2 sin t C
2 sin
x C. 2
x C. 2
7.5. !=* !! ! .
5 ( ! . 5( , 7 : (uv)c=ucv+uvc , ' d(uv)=vdu+udv. )! ! , <
³ d uv ³ vdu ³ udv , ³ udv
'
³
uv vdu
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³
³
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³ vdu ( , '
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³ x e dx x
126
³ x e dx. x
³
x e x e x dx
x e x e x C.
7. " ^ _
u=x dv=edx 12. C : ?;’; !!:
³
x cos 2 xdx
du=dx v=³ edx=e
³ x cos2xdx .
x 1 sin 2 x sin 2 xdx 2 2
³
u=x dv=cos2x dx 13. C : ?;’; !!:
³
x 2 ln x dx
x3 ln x 3
³
x 1 sin 2 x cos 2 x C , 2 4
du=dx v= ³ cos2x dx = 0,5 sin2x
³x
2
1 x3 dx x 3
ln xdx . 1 x3 ln x x 2 dx 3 3
³
x3 x3 ln x C . 3 9
u=lnx
du=1/x dx
dv=x 2dx
v=³x 2dx=x 3/3
7.6. != % /*!+%<, %> ! < !.
³ ax
Ax B dx; bx c
³
Ax B
dx; ³ ax bx c dx . ax 2 bx c (9 ( ! )) ( ( !, ()! ( 2
2
2 2 §§ §§ · b · c b2 · b · 2 a¨¨ x a x ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ k ¸¸ . 2 ¸ ¨© ¨ 2a ¹ a 4 a ¹ 2a ¹ © ©© ¹ A ( ( ( < 9 ( ' ! ' ( (
ax 2 bx c
a( x2
b c x ) a a
7. " ^ _
127
³ ³
t 2 b t b ln t t 2 b C 2 2 t a2 t a 2 t 2 dt a 2 t 2 arcsin C . 2 2 a
t 2 bdt
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dx . 4x 8 ?;’; !!: 5 ( ( ! (
³x
14: C
2
x2 4x 8 x2 2 2 x 4 4 (x 2)2 4; ( '( (
³x 5( : x 2
³x
2
dx 4x 8
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2
dx 4x 8
³x
2
2
4
dx 4x 8
2
4
.
dt , (
t , dx
dx
³ ( x 2)
dx
³ ( x 2)
³t
2
dt 22
1 t arctg C 2 2
1 x2 arctg C. 2 2
1 x2 C. arctg 2 2
7 8x dx . 3x 1 ?;’; !!: 5 ( ( ! ( 15: C # =
³ 2x
3 1· § 2 x 3x 1 2 ¨ x 2 x ¸ 2 2¹ ©
2 §§ 3· 1 9 · 2¨¨ x ¸ ¸ ¨© 4 ¹ 2 16 ¸¹ ©
2
( x 3 4 #=
128
³ 2x
7 8x dx 3x 1
2
t , dx
2
2 §§ 3· 1· 2¨¨ x ¸ ¸ . ¨© 4 ¹ 16 ¸¹ ©
dt , 7 8 x 1 8t . A (
1 1 8t dt 2³ 2 1 t 16
1 2³
1 t2
1 16
dt
8 2³
7. " ^ _
t t2
1 16
dt
I1 I 2 .
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1 2³
I1
1 t2
1 16
dt
( , #2 , ( ) t 2
I2
8 2³
tdt
4
1 t 1 1 4 C, ln 1 1 2 2 t 4 4 1 16
1 dv 2³ v
v, 2tdt
2 ln v C
dv, tdt
1 16 / ( 9 t2
I
%&%>: I
ln
ln
2 ln t 2
1 dv 2
1 C. 16
x 1 2 ln x 2 1,5 x 0,5 C . x 0,5
x 1 2 ln x 2 1,5 x 0,5 C . x 0,5
dx
³
16: C I
. x 4x 3 ?;’; !!: 5 ( ( ( ! 2
x2 4x 3 ( x 2
I
³
dx x 4x 3
%&%>: I
³
dt ; (
t , dx dx
³
2
( x 2) 2 7 ,
x 2
2
³
7
dx x 4x 3 2
dt t 7 2
ln x 2
17: C I
³
ln x 2
x 2
2
x 2
2
7 C.
7 C.
3x 5 dx
. 9 6 x 3x 2 ?;’; !!: 5 ( ( ! ( 9 6 x 3x 2 ( z
3( x 2 2 x 3)
3(( x 1) 2 4)
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3((4 ( x 1) 2 ) , 129
3x 5 dx
³
I
9 6 x 3x
3z 2
1
³ 3
2
,
4 z2
³
I1
3
³ 3
dz
zdz
4 z 4 z #1, ( 9 2
zdz
t , 2 zdz
1 dt 2³ t
arcsin
dz
2
³ 3
4z
3I1
2
2 3
I 2.
1 dt 2
dt , zdz
dz
³
I2
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4 z < ' ! 2
2
4 z 2 C.
z C. 2
4 z /( ( ( ; ( I
3(4 z 2 )
%&%>: I
2 3
2
arcsin
z C 2
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³
18: C : I
C 9 6 x 3x 2 2 3
arcsin
2 3
arcsin
x 1 . 2
x 1 . 2
x 2 2 x 6dx .
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x2 2x 6
x 1
2
5;
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³
³ x 1
x 2 2 x 6dx
( x 1) 2
%&%>: I
2
x 1
( x 1) 2
³
5dx 2
t 2 5dt
5 5 ln x 1 2
x 1
19: C : I
2
t 2 5 t 5 ln(t t 2 5) C 2 2
x 1
5 5 ln x 1 2
³
2
5 C.
x 1
2
5 C.
3 4 x x 2 dx .
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7. " ^ _
7 x 2 ; 2
3 4x x2
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x 2 , dt
³
dx, a 2
7 '! )<
t 7 t 7 t 2 arcsin C 2 2 7 7 x2 x2 7 ( x 2) 2 arcsin C. 2 2 7
3 4 x x 2 dx
%&%>:
³
³
7 t 2 dt
x2 x2 7 7 ( x 2) 2 arcsin C. 2 2 7
3 4 x x 2 dx
7.7. !=* !! +%! >! : /*!+%<.
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x2 x3 x n 1 ³ a0 a1 x a2 x ... an x dx a0 x a1 2 a2 3 ...an n 1 C . P ( x) dx , ( P( x), Q( x) – ( ( ' ³ Q( x) n
2
! , ! 9 ( ( ( , 7 ! 9 . A (' ) , 9 ( – ( ' . &
(' ( , ( 9 ! . / (' ( ( ( (:
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Mx N , ( x px q) n 2
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1. I Q ( x ) 9 ( , ' ( Q ( x) a0 ( x a ) m ...( x b) k ( x 2 px q ) n ...( x 2 cx d ) r .
7. " ^ _
131
2. C ( ( ' ( (
Am Bk A1 A2 B B2 P( x) ... 1 ... 2 2 m ( x a) ( x b) k Q( x) x a ( x a ) x b ( x b) M x Nn M x N1 M x N2 2 1 2 2 ... 2 n 2 ( x px q) n x px q ( x px q ) C x D1 C x D2 C x Dr 21 2 2 ... 2 r 2 ( x cx d ) r x cx d ( x cx d ) ( A1 , A2 ,..., Am , B1 , B2 ,...Bk , M 1 ,..., M n , N1 ,..., N n , C1 ,..., Cr ,...D1 ,...Dr – ( . ( ( ( < , ( Q( x) . 3. C ( , ( 9 ' ( ! Q ( x ) . 4. H ( (
A1 , A2 ,..., Am , B1 , B2 ,...Bk , M 1 ,..., M n , N1 ,..., N n , C1 ,..., Cr ,...D1 ,...Dr , ))! < ( x ' ! . 5. I ’ ( ( !
A1 , A2 ,..., Am , B1 , B2 ,...Bk , M 1 ,..., M n , N1 ,..., N n , C1 ,..., Cr ,...D1 ,...Dr (. 6. "( ( ( ' ( (
I1 I2 I3
dx ( x a ) m1 ³ ( x a)m m 1 C , m z 1, dx ³ x a ln x a C , m 1, Mx N ³ ( x2 px q)n dx.
#3 ( ?
3x 2 8 dx. 20: C ³ 3 x 4 x2 4 x 132
7. " ^ _
?;’; !!: 5 < ( ( ( : 1) ( 9 ( :
x3 4 x 2 4 x
x( x 2 4 x 4)
x( x 2)2 ;
2) 9 ( ( ( ' ( (
3x2 8 x( x 2) 2
B1 A B ; x x 2 ( x 2) 2
3) ( , ( 9 ' ( ! x( x 2) 2 :
3x 2 8
A( x 2) 2 Bx( x 2) B1 x ( A B) x 2 (4 A 2 B B1 ) x 4 A;
4) ( ( ! ( A, B, B1 , 9 < ( x :
A B 3 ° ®4 A 2 B B1 °4 A 8 ¯
0;
5) ’ ( :
A 2, B 3 A 1, B1
4 A 2 B
10;
6) 9 ( ( ( ( <
3x 2 8 x( x 2) 2
2 1 10 ; x x 2 ( x 2) 2
3x 2 8 ³ x( x 2)2 dx
§2
2ln x ln x 2
%&%>:
1
10
³ ¨© x x 2 ( x 2)
2
· 1 1 1 dx 10 ³ dx ¸dx 2 ³ dx ³ x x2 ( x 2) 2 ¹
10 C. x2
3x 2 8 10 ³ x( x 2)2 dx 2ln x ln x 2 x 2 C.
7. " ^ _
133
x3 4 x 2 2 x 1 dx. 21: C ³ x4 x
?;’; !!: 1) I ( 9 ( :
x4 x
x( x3 1)
x( x 1)( x 2 x 1) ;
2) 9 ( ( ( ' ( ( :
x3 4 x 2 2 x 1 x( x 1)( x 2 x 1)
A B Cx D 2 ; x x 1 x x 1
3) ( , ( 9 ' ( !
x( x 1)( x 2 x 1) : x 3 4 x 2 2 x 1 A( x 3 1) Bx( x 2 x 1) (Cx D ) x( x 1) ( A B C ) x 3 (C D B ) x 2 ( B D ) x A; 4) ( ( ! ( A, B, C , D , 9 < ( x:
A B C 1 °C D B 4 ° ® ; ° B D 2 °¯ A 1
5) ’ ( : A = 1, B = –2, C = 2, D = 0; 6) 9 ( ( ( ( <
x3 4 x 2 2 x 1 x( x 1)( x 2 x 1)
1 2 2x 0 ; 2 x x 1 x x 1
x3 4 x 2 2 x 1 2 2x 0 · §1 ³ x( x 1)( x2 x 1) dx ³ ¨© x x 1 x2 x 1 ¸¹dx xdx 1 1 ³ x dx 2³ x 1dx 2³ x2 x 1 ln x 2ln x 1 2I ;
# 9 (
³x 134
2
xdx x 1
1 2( x 1) 2 dx 2 ³ x2 x 1
1 (2 x 1)dx 1 dx ³ , 2 ³ 1 2 x x 1 2 ( x )2 3 2 4
7. " ^ _
x 2 x 1, dt
< t
(2 x 1)dx, v
1 x , dv dx . 2
A (
1 dt 1 dt 1 1 2v ³ ln t arctg ³ 2 t 2 v2 3 2 3 3 4 1 1 2 x 1 ln x 2 x 1 C. arctg 2 3 3
³x
2
xdx x 1
"
2 2x 1 x3 4 x 2 2 x 1 dx ln x 2ln x 1 ln x 2 x 1 arctg C 4 ³ x x 3 3 ln
x x 2 x 1 ( x 1)
2
2 2x 1 arctg C. 3 3
x x 2 x 1 2 x3 4 x 2 2 x 1 2x 1 dx ln arctg C. %&%>: ³ 4 2 x x ( x 1) 3 3 7.8. & .
1. R () ) ? 2. R ) ) ) f(x)? 3. ! ! . 4. R ( ? 5. & (' ! ). 6. C : a)
b)
³
1 3x 4 x 2 dx ; x
³
x 3 3x 2 1 x5
dx ;
³e ³
6
ex x
4
dx ;
x
x
dx ;
³ x sin xdx ; ³ x cos 4 xdx ;
7. " ^ _
135
c)
³
f)
x 2
³x
d)
e)
x4
³
³
x3 1
x 1
2
5 ( x 2 cos x)dx ; 3
2x
³e
h)
³ (5 cos x 6 2
³
dx ;
x
3 2
sin x
1 2
cos x
x
³
k)
³ (5
l)
³ (5
x
1 x )dx ; x
³
³
1 x
)dx ; 2
x 3 3x 5 x
3
dx ;
x2
³ ³
6 x dx
³
dx ;
e 3 x 9 e 3 x dx ;
e 2 x dx 1 e
2x
36 x 1
3
54
cos x
³ cos x
;
³ cos
x
³e
x
³ sin x
dx ;
dx ;
³ (2 x 1)e dx ;
x
2
dx xtgx
1
x
³ sin
sin x dx ;
e x dx
2
dx ;
1 x 2
dx ;
x
x
arcsin x 1
³ cos
ln x
³
³ cos
tgx 2
³ (1 4 x) sin 2 xdx ;
;
x
sin x 3
³ (2 x 3) cos xdx ;
;
4 x dx
³ 4 cos
³
x )dx ;
m) (sin x
) dx ;
)dx ;
sin 3 x 1 dx ; sin 2 x
j)
3
³
g)
n)
³
dx ;
3 x e x dx ;
i) (
136
³ 3x 3
dx ;
dx ;
;
;
cos 3 x dx ;
7. " ^ _
2
3x
x 2
3x
dx ;
dx ; x
³ (2 x 5) cos 2 xdx ; ³e
3 x
(2 x)dx ;
³ arcsin xdx ; ³ arccos 2 xdx ; ³ arctg3xdx ;
o)
p)
q)
r)
s)
³
cos 3 x 1 dx ; cos 2 x
³1 5
³
1 cos 2 x dx ; 3 cos x
³
³ ³
3
5x
x2 x dx ; x
x 2 7x 3 x
4 ; · ¨5 x ¸ x © ¹
x 2 6x 7x3
³
u)
³ (6
v)
³ ( x 1) ( x
w)
³ ( x 1)
x
2
dx ;
v 3v 2 5v)dv ;
2
2) dx ;
dx ;
³
x 3 3x 4 5 x 5 dx ; x
³
3
y)
a)
³x
x)
x x 3x
³ ln
dx xx
2
sin x
³ cos
2
3
x
3x
dx ;
³ (3x 1) ln xdx ;
dx ;
³ (1 2 x) ln xdx ;
x
³
1 cos x sin xdx ;
³
³ (3x 1)e
³ ( x 1) sin 2 xdx ;
;
³5 ³
dx ;
dx ;
x
cos x
³ sin
2
³ x ln xdx ;
dx
³§
dx ;
t)
ln x
³x
ctgxdx ;
³ tgxdx ;
x 3 x 4 x dx ; x
³
³ ln 3xdx ;
dx ;
x
³ (1 x) cos 2 xdx ;
cos 5 x dx ;
4 16 x 1
³ 5 arcsin 3xdx ; ³ ( x 3)e
dx ;
sin xdx
2x
dx ;
2 1 3 dx . ; 1 cos 2 x x 7. C ( , 7 ( !:
2
dx ; x6
dx ;
³
dx
³ 4x 1 4x
2
;
7. " ^ _
3x 4 dx ; 2 5x
³x
137
b)
³
c)
³
dx x 2x 2
³
;
x 2 4 xdx ;
³
x3 x 6x 2
dx ;
1 2x x 2 dx ;
³
³
x5 x 2 10 x
dx ;
x 2 3dx .
8. C ( :
138
a)
xdx ³ x3 1 ;
dx ³ x3 x 2 ;
( x 2 1)dx ³ x3 3x 2 3x 1 ;
b)
(7 x 15)dx ³ x3 2 x 2 5 x ;
2 x5 2 x 1 ³ 1 x 4 dx ;
x 4 dx ³ x4 2 x2 1 .
139
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F ( x) C .
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³ f ( x)dx
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8. ^ _
143
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b
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³
b
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f ( x)dx
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³ f ( x)dx ; c
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f(c) 0
a
b
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b
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b
³ f ( x)dx
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³ xdx = 7 8 .
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7
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8
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C ) “ ” : S|
b n
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¦ f (x ) i
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0,3523 0,4706 0,5972 0,7243 0,8415)
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49. y2 = x; y t 0, x = 0, x = 3. 50. & = –2 + 2x+ 8; & = 0. 2 2 x + x; y = 0. 9 52. y = –x2 + 6x – 6; y = 0, x = 2, x = 3.
51. y = –
53. & =
1 ; & = 0, = 1, = 3. x
54. & =
2 ; & = 0, =2, = 4. x
55. y = cos x; y = 0, x = 0, x = 56. y = tg x; y = 0, x = 0, x =
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57. y2 = 4x; x = 1, x = 9. 58. y2 = 9x; x = 4.
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8. ^ _
169
61. y = x2; y = – 3. 62.y = x2; y = 2x + 8. 63. y = x2; y = x + 2 . 1 64. & = – 2 – 4x + 10; & = + 2. 2 "'! '’< , ' , '
65. y = x2;4 y2 =x. 66. & =
x ; & = 0, =2; 10
67. y = sin x, y = 0, x < [0; S]; 68. y = 3x – x2; y = 0; 69. y = x2, y = 0, x = 2; 70. y = 10 – x2, y = 0; 71. y = x3, y = 0, x = 1; 72. y = arcsinx, y = 0, x = 1; 73. y = 2x – x2, y = 0; 74. > ( ! v = (24t – 6t2) /. C (: ) 9, ( ! ) 3 ( ! ; ') 9, ( ! ) ) (; ) 9, ( ! ) ( ! ( . 75. ! ( ! (< ! ( . /9 < 9 () v = (4t +5) /, ( – 9 () v = (6t2+2t) /. & ( ( ( ( '( ! 5 ? 76. A , C 9 () v = (39,2 – 9,8t) /. C '9 ( . 77. / < 0,02 ( (<) 60 &. R ' < , )! 0,12 2. 78. / < ( 0,1 . H 20 & < 0,01 . R ' ' , 7 ' ( 0,12 ( 0,14 ? 79. + ( ! <). "'! '! ) , 7 =0,08 ( R = 0,04 . % 900 / 3. 80. "'! ( ( , 0,80,50,3. @ ( ( ).
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177
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6. C ’ ( : &cc–5&c+6& = 0 . ?;’; !!: H( ! ( : 9. [6* $ "
179
k2 – 5k + 6 = 0,
D = 25 – 24 = 1,
5 1 5 1 2; k 2 3. 2 2 ! < ( , &1 = 2x, &2 = 3x – ! ’ , & = 1 2x + 2 3x – ’ ( . 7. C ’ ( : &cc+4&+4& = 0 . ?;’; !!: O ! k2+4k+4 = 0, ' (k+2)2 = 0 < ( k1 = k2 = –2, &1 = –2, &2 = -2 – ! ’ , & = -2(1+2) ’ ( . 8. C ’ ( : &cc+6&c+13&=0 , ?;’; !!: H( ! ( : k1
k 2 6k 13 0, D 36 4 13 16, 6 4i k1 3 2i; k 2 3 2i 2 ! < – , & 1 = -3 cos2x, y2= e-3x sin2x – ! ’ , y=e-3x(C1cos2x + C2sin2x) – ’ ( ( . 9. C ! ’ ( & cc –2& c +& = 0 ( ! &(0) = 4; &c(0) = 2. ?;’; !!: O ! k2 – 2k + 1=0, ' (k – 1)2= 0 < ( k1= k2=1, &1= , &2= – ! ’ , & = (1+2) – ’ ( ( . ! ! ’ ! ( ( &c & = (1+2): &c = (1+2)c+ ()c(1+2) = 2+(1+2) = (1+2+2). A ( ! ( & &c:
° 4 0 1 1 4 ® ' ®2 , ( 1= 4, 2= –2 . 0 °¯2 (1 2 ) 1 2 ¯ /( 9 ! ’ , ( ! ’ ( ( ! : & = (4 – 2) .
180
9. [6* $ "
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4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
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y ( 0) 1 .
23. y c y sin 2 x
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24. x 2 ( y 3 5)dx ( x 3 5) y 2 dy=0, 25. x 1 y 2 dx y 1 x 2 dx 26. xydx (1 y 2 ) 1 x 2 dy 27.
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0,
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25 .
28. tg ydx x ln xdy 0 ,
§S · y¨ ¸ e . ©2¹
29. &c = 22 + 5x + 12,
y(1) =
30. &c – y2 – 3y + 4 = 0,
y(0) = 1.
31. 1 y 2 dx 1 x 2 dy
0,
32. (1 y 2 )dx (1 x 2 )dy
0,
1 . 6
&(1) = 2.
33. &c+2& = -2 ,
&(0) = 0.
34. &c+4& = 2-4 ,
&(0) = 1 &( ) = 62. 2
35. 2&c+5&+4 = 0 , 36. &c+& = cosx ,
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4. z32
1. 9 ( ( 2. 12 – 8j
5. 2j63 – 4j36 + 3j22 – j13
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2. &=45
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5
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1
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2 1
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(U V )c U c V c (U V )c U cV U V c c § U · U cV UV c ¨ ¸ V2 ©V ¹ f c(U ( x )) f c(U ) U c( x ) c ex ex c eU eU U c
Cc
c
x
1. & = 3e+x3-1
8. y = e2x+1
2. & = e x
9. &
3e 2 x
3. & = 2 e 1 4. & e 1
10. &
3e
11. &
e 3x x 2 1
5. y = 3x10-4ex
12. y
e
13. &
3
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x
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3e x x x
347
3
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(U V )c U c V c (U V )c U cV U V c c U cV U V c §U · ¨ ¸ V2 ©V ¹ f c(U ( x )) f c(U ) U c( x ) c ax a x ln a sin x c cos x cos x c sin x
tgx c
1 cos 2 x ctgx c 12 sin x c ex ex c xn nx n 1
348
! < c. 1. & = sinx +3cosx
11. y = cos2x
2. & = 4ctgx-3tgx 3. & = 5sinxtgx sin x 4. & cos x 1 tgx 1 5. & tgx 1
12. & x tg x 13. y = cos5x 14. y = 2xctg3x
6. y = tgx (cosx+sinx)
16. &
3 cos
7. y
17. y
sin 1 x 2
8. y=cosx2
18. y
tg
9. y
19. y
cos 2 tg
20. y
e cos x
10. y
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sin x 1 sin x
[ !
3
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x x 1
x 1 x 1 3x x 1
4
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0
1
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1. & = 12
11. &
2. & = 37
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2 3 4
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n
am
an
an am an am
anm
c
n 1
n x c C 0 C const U x V x c U cx V cx Cf ( x) c C f ( x) c
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21
5. & 12
anm
x n
4. &
3 4
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1 14
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7. y
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3
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3 4 3 9 4 3 5 3 3 x7 4 5
14. &
6. &
8. &
2 3 2
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3. & = 2 - 8
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3 4 5 2 7 2 7 3 18. y 3 2 3
19. y 20. &
4
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2 5
4 12 3 3
349
1
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2 3 x ln x ex 2 1 x
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y
1. C ( .
2. ( ) '( :
y
2 x 3 15 x 2 36 x 20 .
3. H # ( ) )< ( ! t ( () : I = 2t2-5t C ( .
2
: :%! ,, ; * !!. 1. C ( . y
4 x 3 53 x 12; y
y
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2e 1 tgx; y 1 sincosx x ; x
1 x2 ;
y
y
ex
2
2. C '9
9 !
y
1 1 3 1 2 x x 2x , 3 3 2
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S
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350
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3
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y
1. C ( :
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x
2. ( ) '( :
y
2 x 3 9 x 2 12 x 15 .
3. C 9 ( , < : S = t3 + 5t2 + 4 (S - , t - () ! t = 2c.
: :%! ,, ; * !!.
4
1. C ( :
y
ln
x 1 e3x x 1 2
2. C ( ( l , 7 < '9 7. C . 3. A < : S = 2t3 - t2 - 4 5 ! 9 (
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351
1
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y
2
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x 3 ln x; y
1 e3 x 1 e3 x
3. "'! ( 9, 7
S
1 3 1 2 t t t 2 3 2
t = 3, 't = 0,02.
2
: /!+% /*!+%, 1. ! ( . 2. C (
y
2
2 sin 5 x 3 cos 4 x; y
xe x ; y
1 x 1 x
3. C ' ! & = 23 - 32 + 4
( 3 ( 3,001.
3
: /!+% /*!+%, 1. C ( .
y
ln( x ln x )e x ; y
e sin 3 x 2
2. C ' !:
1 x 2
8,94 .
3. 5 ( '! ' !
352
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1
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2.
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3.
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x
3 sin 2 x 4 dx
3
2
4.
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5.
³ 4 3 sin x
6.
³ 4 3x2
cos xdx
2
1 dx
xdx
2
: " ;! ! < %!= §
4
· 3 ¸¸dx 9 x2 ¹ 5
1.
³ ¨¨ 4 x
2.
x 2 dx ³ 5 2x 3
5.
³ 3 sin x 1
3.
³ xarctgxdx
6.
³ os xdx 3 sin x 1 dx
©
2
4.
³ tg
2
xdx
cos xdx
3
: " ;! ! < %!= 1.
³ sin
2
5 xdx
t 2 dx
2.
³
3.
³ arctgxdx
1 2t 3
4. ³
3
3
ln x dx x
§ 2 x x 1 ·¸ 5. ³ ¨¨ ¸dx 2 x 9 4 x © ¹
sin x
dx 6. ³ cos 3 x [ !
353
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1
³ cos 3x sin 2 x dx;
³x
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2
5 2 x dx; 3
0
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³ xe
x
dx.
0
2. C (< ! & = 22+ [1; 2]. 3. C 7 , ' . & = 2, = 1, = 2, & = 0.
2
: ;! ! < %!= 1. "'!
³ 5 x 3x dx; 1
2
1
1
2 x ³x e
3
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1
³ x sin xdx.
dx;
0
0
1 sin 3x [0; S ]. 2 6
2. C (< ! y
3. C 7 , ' &=
1 , x
= 1,
= 3,
& = 0.
: ;! ! < %!= .
3
1. "'! S /2
³ 0
x x· § ¨ cos sin ¸dx; 2 2 © ¹
2
³ 0
S /3
xdx 25 4 x
; 2
³ x cos xdx. 0
2. C (< ! & = cos2x [0; 3. C 7 , ' . & = 2+2, & = 2x+2 354
[ !
S 4
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2. C ’ ( .
y x
) yc
0;
') sin xdx
dy =0. y
2
: /!+% >!% %!!! 1. I ’ (! 9 ) & cc+& c- 20 = 0, ') yc
xe y ,
& (0) = 9/5, & c(0) = 0;
& (1) = 0.
2. C ’ ( )
dy x 1
dx ; y2
2 ') y dx
e x dy
: /!+% >!% %!!!
3
1. C ’ ( . ) & c = 2cosx-3;
') y c = x y ;
) y cc-4yc+5y = 0.
2. I ’ (! 9. ) & c= 2+&, &(0) = 3
') & cc= 24, &(0) = 1, & c(0) = 1
[ !
355
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y
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: -%&#%!% /*!+%, sh x 1. : 1 ch x
y
2. C (
³ ch
3. C :
3
th
x 2
ch 2 x, y
cth 3 x 4 x 2
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1
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2. I ( # ): & = 3.
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1. 5 ' (
1
x x2 x3 2 3 3 2 3 3 3 4
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2
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1. 1 2. 3. 4. 5.
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2
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357
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358
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