Вища математика. 2-ге видання.Навчальний посібник

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Author: Литвин І.І.

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z1 z2

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32.

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43

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S

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87

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1 5 ; 3

192 128 72 6 128 3 2 1 24 2 256 64 16 2 64 3 3 2 3 4

3. ", '9 ! y y

1 45 62 3

y 3 9

2 . 3

1 y 2 5 ,

9 ! 3

1 . 4

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9 ? ?;’; !!: A ' ! ( R ( , 7 ' ( '’< 7 '

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9 ! < ' '! . A , 7 S < <) ( , ( ' )! . 5( , 7 '’< ( V = SR2H = 250S. 5 ! V:

250S SR 2

250 500 S 2S R 2 2S R 2 . 2 R R 1. "') ! S < ( ( ! (, ' R>0.

H

250 ( S R2

2. C ( (: S c

2S R

500S 4SR. R2

3. C ( ! ! : 500S 4SR 0, 4SR 3 2 R 4. C ( ( (:

500S , R 3 125, R 5 .

c 500S R 2 500S 2 R 1000S 4S 4S 4S . 4 4 R R R3 5. A , 7 Scc(5)>0, R = 5 ( < , <

9 S cc

! S. A ( H

250 , ' H R2

250 25

10 .

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9

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90

5. G . &" / 6&!*/

H

108 4 x 2 6x

106 4 x 2 6x 6x

18 2 x, x 3

( V

§ 18 2 · x¸ 2x2¨ © x 3 ¹

36 x

4 3 x . 3

( ( ) ( ) ( : 1. "') ! V < ( ( ! , ' >0 . 4 3

2. C ( (: V c 36 3 x 2

36 4 x 2 ; Vc=0; 42=36; 2= 9; =3.

3. C ( ( (: Vcc= –8x; Vcc(3)<0, ' = 3 <

, '( '9 ! . A (: 18 2 3 6 2 4. 3 3 %&%>: "'’< 7 < '9 , 7 ) ( 3 6 , 4 .

4. B 10 ' ( ( ( ( ( , 7 ' ' '

9 ). ?;’; !!: & ( ( ( ( )< , ( ( ( ( '( 10–. H ' ( ( ( )<: S = x3+(10–x)3 = x3+1000–300x+30x2–x3; S = 30x2–300x+1000. &

9 ! < ' ! . 1. "') ! < < ( ( ! , ' >0. 2. C ( (: Sc = 302x–300 = 60x–300, Sc =0, 60x = 300, x = 5. 3. C ( ( (: Scc = 60, Scc(5)>0, ' = 5 S <

, <

9 ! . %&%>: B 10 ' ( ( ( : 5 5. 5. C ( : S = –t3+9t2–24t–8 . S – , t – (. C 9 ( . ?;’; !!: > ( ( ! ( )< (

9 S. V(t) = Sc = –3t+18t–24. (< ) ) ( ) ( ( : Vc(t) = –6t+18, Vc(t)=0; t=3c; Vcc(t) = –6 . ( (’< ; ( (< 7 9 ( < '9 ) t = 3. 5. G . &" / 6&!*/ 91

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Y

b I . 7

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5. G . &" / 6&!*/

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*. R7 ( ! ! ! ( = 0 ( ( )< , 0 – ' ! . "( ! ( )< !) ! 0. A ! (0f(x0)) – ! & = f(x). W ' ! ! ( ( ' : 1. C ' ! . 2. C ( ( ! ! ( (. 3. 5( ' ! ! ! ( ( ! . 4. ( ( ( ( . 5. 5 . 6. 5 ! ' ! '! ( . : 5 ! ! & = 4+23–122–5+2. ?;’; !!: 1. "') ! < ( ! , ' R. 2. C ( ( ( ! ! ( (: &c=43+62–24–5; &cc= 122+12–24; &cc= 12(2+–2); &cc=0 2+–2=0

1, 2

1r 1 8 2

1r 3 ; x1 2

2, x 2 1.

3. 5( ! ! ( ( = –2 = 1 ! , ( ' ). 5. G . &" / 6&!*/

93

(-f;-2)

-2

(-2; 1)

1

(1;+f)

&cc

+

0

-

0

+

&

-36

-12

4. (< ( ( : &cc(–3)>0, ycc(0)<0, ycc(2)>0 . 5. <–2 x>1, –2<x<1 . 6. C ( ( ! (. .) ..=–2, &..= &(–2) = 16–28–124+52+2 = –36; ..=1, &..= &(1) = 1+2–12–5+2 = –12. . %&%>: A ! (–2; –36); (1; –12). 5.11. = >! : %$!! /*!+%, % &#* ,: = /%%. '( ! ), ( (. 1. C ' ! . 2. 5 ! ! < , ( ! . 3. C ! ( . 4. C . 5. C ! . 6. / '( , )! ( ( (. R7 ( , ' 7 ( ! , (! . : / '( &

43 4 . 5

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f , lim y xof

f .

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2. 5 ! ! < ) ! ): f ( x)

94

5. G . &" / 6&!*/

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1 · §4 &c ¨ 3 4 ¸ 5 ¹ ©5

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4 2 (3 ), &c=0, 1=0 2=3. 5

5( ! ! 9 ( = 0 = 3 ! ( (< ( ( : &c(–1)>0, yc(1)>0, yc(4)<0. * < <3 (< >3; = 3 – ! . &max

y (3)

4 27 81 5

27 5

5,4 . 9 ' ) ('. 1).

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0

(0;3)

3

(3;f)

&c

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0

+

0

-

&

0

5,4 max

5. C ( ! .

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§ 12 2 4 3 · ¨ ¸ 3 ¹ © 5

12 4 2 3 2 5 5

12 ( 2 ) . 5

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4 8 16 16 3,2 5 5 A ! (0; 0) (2; 3,2). 9 ' ) ('. 2). ..= 2, &..= &(2) =

fcc f

(-f, 0) –

0 0 0

(0, 2) +

2 0 3,2

(2,+f) –

5. G . &" / 6&!*/

95

5( ( ! ( ’<(< ) ). ! ( ( ( ! &(–1) = –1. Y &

5,4

4 3 4 5

3,2

–1

1

2 3

4

X

5.12. A&% . / ( ( ' '! ) ( ! x a ' x o f . 5 ( ' ' ( , , , ( ( ( ' . "( '9 ' ( ( < & A&% , ( ' ( (.

ª0º «¬ 0 »¼ ' f ( x) i g ( x)

A&% :

x

R7 a

ªf º «¬ f »¼ . ! ( !

• lim f ( x) lim g ( x) 0 ' lim f ( x) lim g ( x) f ; xoa

xoa

xoa

xoa

• ) ( f c( x) i g c( x) · • < ! lim xoa

f c( x) g c( x)

! x

a;

A;

f ( x) f c( x) . lim x oa g ( x ) x oa g c( x ) / ( ( a f . lim

96

5. G . &" / 6&!*/

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( ) 7 , ' ) , 7 ' ( ( :

lim x oa

f ( x) g ( x)

lim xoa

f c( x) g c( x)

: "'! ) lim x o2

lim xoa

f cc( x) g cc( x)

... .

x 4 16 . x3 5 x 2 6 x 16

?;’; !!: R '! ,

x 4 16 lim 3 x o 2 x 5 x 2 6 x 16

lim( x 4 16) x o2 3

lim ( x 5 x 6 x 16) 2

x o2

0 . 0

C < :

lim x o2

x 4 16 x3 5 x 2 6 x 16

( x 4 16)c x o2 ( x 3 5 x 2 6 x 16)c

lim

x 4 16 %&%>: lim 3 x o2 x 5 x 2 6 x 16 : "'! ) lim x o0

4 x3 x o2 3 x 2 10 x 6

lim

32 26

16 . 13

16 . 13

e2 x 1 . sin x

?;’; !!:

e2 x 1 lim x o0 sin x

lim( e2 x 1) x o0

limsin x x o0

ª0º «¬ 0 »¼ ,

.

e2 x 1 (e 2 x 1)c lim x o0 sin x x o0 (sin x )c

lim

2e 2 x x o0 cos x

lim

2 1

2.

5. G . &" / 6&!*/

97

e2 x 1 2. x o0 sin x

%&%>: lim

1 cosax . x o0 1 cos bx

: "'! ) lim ?;’; !!:

1 cosax x o0 1 cos bx

lim

(1 cosax)c ª0º lim «¬ 0 »¼ xo0 (1 cos bx)c

a sin ax x o0 b sin bx

lim

a 2 co s ax ª0º lim «¬ 0 »¼ xo0 b 2 co s bx

a2 . b2

5 ( ( (!.

1 cosax x o0 1 cos bx

a2 . b2

%&%>: lim

xctg 2 x. : "'! ) lim x o0 ?;’; !!:

lim xctg 2 x lim x lim ctg 2 x [0 f]. x o0

x o0

x o0

/ ) , 9 ( ( '

xc ª0º «¬ 0 »¼ lim x o0 (tg 2 x )c

x x o0 tg 2 x

lim xctg 2 x lim x o0

%&%>: lim xctg 2 x x o0

cos 2 2 x x o0 2

lim

1 . 2

1 . 2

: "'! ) lim(tgx) xo

tg 2 x

S

.

4

?;’; !!: , 7 < ( [1f ] . / < ) 9 ) :

a

lim( tgx)tg 2 x , S xo

ln a ln lim( tgx)tg 2 x S xo

4

4

lim(ln( tgx)tg 2 x ) lim( tg 2 x ln tgx) limS S S xo

4

xo

4

xo

4

ln tgx ctg 2 x

C < : 98

5. G . &" / 6&!*/

ª0º «¬ 0 »¼ .

ln a

limS xo

4

1 tgx cos 2 x limS 2 xo 4 sin 2 2 x

(ln tgx)c (ctg 2 x)c

C( a

limS xo

4

sin 2 2 x 2sin x cos x

lim( sin 2 x) 1. S xo

4

e1 .

%&%>: lim(tgx)tg 2 x xo

S

e1 .

4

1· § 1 ¸. x o0 sin x x¹ ©

: "'! ) lim ¨ ?;’; !!:

1· § 1 ¸ [f f]. lim ¨ x o0 sin x x¹ ©

/ ), 9 ( :

1· x sin x § 1 lim ¨ ¸ lim x o0 sin x x ¹ xo0 x sin x ©

ª0º «¬ 0 »¼ .

C < :

x sin x ( x sin x)c lim x o 0 x sin x ( x sin x)c sin x lim 0. x o0 2cos x x sin x

lim x o0

lim x o0

1 cos x sin x x cos x

(1 cos x)c ª0º «¬ 0 »¼ lim x o0 (sin x x cos x )c

1· § 1 ¸ 0. © sin x x ¹

%&%>: lim ¨ x o0

C ( ) ( '9 “!( ” . & (,

1

• lim x o0

(arcsin x) c x o0 xc

arcsin x x

lim

lim x o0

1 x2 1

1;

x

§ 1· • lim ¨1 ¸ ! , '( 9 : x of © x¹ 5. G . &" / 6&!*/

99

1· § ln a ln lim ¨1 ¸ x of © x¹

x

1· § ln ¨1 ¸ x¹ lim © x of 1 x

1 ·· § § lim ¨ x ln ¨1 ¸ ¸ [0 f] x of x ¹¹ © ©

1 § 1 · 1 § · 1 ¨© x 2 ¸¹ ln c ¨1 ¸ 1 x¹ x lim © lim x of x of 1 c §1· 2 ¨ ¸ x © x¹ ln a 1, .

lim

x of

1 1 1 x

ª0º «¬ 0 »¼

1;

5.13. & .

1. ! ( . 2. 5 ! < ! ( ? 3. 5 ! < ! ( ? 4. ! ( ( . 5. 5 ! < ! ( ( ? 6. & 9 ( ). 7. 5 ( ( ( ( ' . 8. H ) ( . 9. H ) '( . 10. H ) ( . 11. R ! ? 12. R

9 '9 ! (? 13. H ) ( ) . 14. R ! ? 15. C ( : ) & = (2–x2)4; ') & = lnsin2x; ) f(x) = cos3(cos3x). 16. C ( ( ( : ) S t ; ') & = lnsinx; ) y = cos2x. 17. H( ( ! ( y = tg2x ! ( . 18. / ! ( ! ( & = 2 & = 3 .

1 t 3 3t 2 5 (S – , t – 6 (). C ( 9 ( !, ( )< ). 20. C ( y = 2x3 – 6x2 – 18x + 7. 19. A < S

100

5. G . &" / 6&!*/

21. C ( '9

9 ! & = 3–3 2–9+35 ( – 4d d 4. 22. ( ( ) 84 ' ( , 7 ' 7 ' '9 ). 23. B 16 ( ( ( ( , 7 ' ( '

9 ). 24. 5 ! ! & = 35–54+4. 25. C ( : 1. y = x3 + x5. 9. y 2 x cos x. 2. y = 2x4 + x1/3. 3. y

4 x

1 . x2

4. y = 3sinx + 2x + 2ex.

4 x ln x . x 4 6. y = 2sinx.

10. y

ex . ex 1

11. y

x2 . x2 1

12. y

1 cos x . 1 cos x

5. y

7. y = ex(1 + x2). 8. y

2 tgx arcsin x.

C ( ( '! ! ( !. 26. y

x x 3 3 x,

x = 4.

S

27. y

sin x tgx,

x

28. y

x2 1 , x2 2

x 1.

29. y

ln x 5 x 2 3x ,

x 1.

30. y

31. y

x 1 x 1

,

e x sin x,

x

4

.

4.

x 0.

5. G . &" / 6&!*/

101

32. y 33. y 34.

2 3 4 , x 2 x3 x 4

x

f ( x)

2.

3x x x 3 ,

x

2.

ln cos x,

x

S

35. f(x) = sinx – cos2x,

x

3 0.

36. f(x) = esinx,

x

0.

x

S

37.

f ( x) lnctg x,

38. f x

e cos 2 x ,

x

39. f ( x )

ln sin 4 x,

x

.

S

.

4

4 S 16

.

.

S

40. f(x) = cos2x2 ,

x

41. f(x) = esin2x – 3cos2x,

x

0.

42. f(x) = tg23x,

x

0.

2

43. f ( z )

z2 1 , z

z

44. f ( x )

3 e 4 x 3 ,

x

0.

45. f ( x)

ln

x 1 , x2 1

x

2.

x2 1 , x

x

46. f ( x)

102

2

x

.

3.

5.

5. G . &" / 6&!*/

9x

47. f ( x )

,

x2 1

x 1 , x 1

48. f ( x)

ln

49. f ( x)

e 3 x e3 x , 3 x2 4

50. f ( x)

ln

51. f ( x )

3 e2x 1 ,

x2 1

x

52. f ( x)

x 1 2

53. f ( x)

ln 3

,

,

x2 4 x2 4

e x ex

54. f ( x )

e x e x

,

,

x (3 x x ),

55. f ( x )

x

2 2.

x

2.

x

0.

x

2.

x

0.

x

4.

x

2.

x 1. x 1.

56. f ( x)

ln x , 1 ln x

x e.

57. f ( x)

ln 2 x 2 1 ,

x 1.

58. f ( x )

x cos 1 x ,

x 1.

C ( ( ( '! ! ( !. 59. y

2 4 , x x2

x 1.

5. G . &" / 6&!*/

103

60. y 61. y

62. y

5 6 4, 3 x x 3x

6 x2

,

6x 4 7 x3 2x 2 1

x

x 1. ,

x

2.

3

63. y

x 4 8x 4 ,

64. y

4x 2 9x 2 ,

x 9.

65. y

6 x

3 , x

x 1.

66. y

6 x 3 x3 x x ,

x 1.

67. y

3 x 2 6 x 2 7 x 2,

x 1.

68. y

24 x 9 x 2 3 x 2

69. y

(3 x 2)(7 x 4),

x

2.

70. y

(2 x 5)(3x 2 4 x 4),

x

1 . 2

71. y

(4 x 3 5 x)( x 2 5),

x 1.

72. y

(9 2 x)(2 x 3 9 x 2 ),

x

7

x 1.

5

2 73. y ( 3x)( x 1) , x

74. y

104

2.

3x 2

1 x

2

1 x3

,

7 x2

x 1.

3 . 4

x 1. x 1.

5. G . &" / 6&!*/

75. y

x 1 , 5x 2

x

76. y

2x 3 , 3x 7

x 1.

77. y

5x , x 3

x 1.

78. y 79. y 80. y

1 x 1 x

x 1 x 3

,

,

x 2 3x

1 x2

,

2.

x

4.

x

9.

x

9. 2.

81. y

x , x 1

x

82. y

5x 2 , x 3

x 1.

x 1 , x 1. 7x 4 C ( '9

9 ! ( :

83. y

84. y

x 2 6 x 13,

xW[0;6] .

85. y

1 2 1 3 x x , 2 3

xW[1;3] .

86 y

6x 2 x3 ,

xW[1;6] .

87. y

x 3 3x 2 9 x 35,

xW[4;4] .

88. y

x 3 9 x 2 24 x 10,

xW[0;3] .

89. y

2 x 3 3x 2 ,

xW[1;4] .

90. y

2 x 3 6 x 2 18x,

xW[0;4] .

91. y

x 4 18 x 2 5 ,

xW[2;2] .

5. G . &" / 6&!*/

105

( ) ( ) ( '( : 92. y

1 3 x x. 3

93. y

x3 6x 2 9 .

94. y

x 4 5x 2 4 .

95. y

2 x 3 3x 2 .

96. y

x 3 3x 2 2 .

97. y

x 3 3x.

98. y

x 3 3x 2 3x 2 .

99. y

x3 2x 2 x .

100. y

1 3 1 2 x x 1 . 3 2

101. y

x4 4x 4 .

102. y

x 3 5x 2 8 .

103. y

1 3 5 2 x x 6x . 3 2 2

104. A ! < S sin t . C ( ! t, ! ( )< 1. 105. C ( 9 ( ! , < S

sin 2t ! ( S – , t – ().

106. A ! < S

1 3 t 2t 2 3 ( ). C ( 3

9 ( ! ! t = 3 . 107. A ! < S

1 3 t 2t 2 45. "'! 3

9 ( ! t = 5 c. 108. ! ) S1 106

2 3 2 t t t 14 3

5. G . &" / 6&!*/

S2

2 3 1 2 t t 11t 8 . 5 ! 9 ( '( ? 3 2

109. A ! < S sin 2 t . C !,, ). 110. A ? )< ! t ? = 0,2t2. R 9 ( ! t = 10 c. 111. H # )< ( ! t #=0,4t2 (S – , t – (). C 9 ( ( . 112. A ! < S !, 1.

2t 3 t 2 4 . C

113. A ! < S ! ! t = 3c.

2t 3 t 2 4 . C -

114. A ! < S ! ! t = 2 c.

2t 3 4t 2 5t . C 9 (-

115. ! ) S1 2t 3 4t 2 5t S 2 2t 3 1,5t 2 . C !, 9 ( . 116. A ! < 9 () )< 6t 2 2t 11 . C !, ! 2. 117. H # )< ( ! t #=0,4t 2 (t – (, # – ). C 9 ( ! t = 8c. 118. C 9 ( ! ! t=3c, 7 V

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122. A < S (t ) at 2 bt c . / ! , b, '( ? 123. C ! S (t ) A sin( wt M ) . 5. G . &" / 6&!*/

107

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124. A < S (t ) / ( 9 0, ?

at 2 ( 0, – ). 2

3t 2 2t 3 . 5

125. A < S (t ) ! ? 126. A ! < S (t )

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4 2

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1, x 2

0, x3

2 x 2 1 !

1.

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S (t ) 12t 2 ( ( ! ! ) ( . 134. C , )! :

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1. lim

108

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3. lim

4. lim xo

S

2

tg 5 x . tg 3 x

5. G . &" / 6&!*/

5. lim

ln sin x . ln sin 5 x

15. lim x e

6. lim

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16. lim ¨

x o0

xo

S

2

2

x o0

x 1 . x 2

x of

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x o0

1· . M ¸¹

M o0

©

x o0

x ln x .

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12. lim ¨ x o1

§

17. lim ¨ ctgM

§ · ¨ x 1 ¸ ¸ 18. lim ¨ ctg x o0 x ¸. 3 ¨¨ sin ¸ 3¹ © x 19. lim ctg x ln x e .

9. lim

10. lim

.

7 · § 5 7 ¸. 5 x o1 x 1 x 1¹ ©

e x e x 2 . 7. lim x o 0 1 cos 2 x 8. lim

x

1· § 1 ¸. © sin t t ¹

20. lim sin(2 x 1) tgS x xo

1 2

21. lim 1 e x x of

1 x

.

.

x

m· § 22. lim ¨ cos ¸ . x of x¹ © a

13. lim ¨ t o0

23. lim x 1 ln 2( x 1) .

14. lim cos x tg 5x

24. lim 2 x ln x .

x o1 0

1

xo

S

.

x o0

2

5. G . &" / 6&!*/

109

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(ln 2 t )c (ln 2 t ) 2

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2 . t ln 3 t

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6. [6* 6&!*/

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2dt dx . t ln 3 t

2dt dx . t ln 3 t

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2

S 6

sin

S 6

2

§ 3· 1 ¸ 9¨ ¨ 2 ¸ 2 © ¹

3 1 9 4 2

27 8

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6. [6* 6&!*/

113

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Z

0,000001 0,02% . 0,006001

A ! ( ( ( ( , ( ( . %&%>: '& | 0,006. 5. "'! ' ! & = 3 + 2 – 2 = 2,01. ?;’; !!: C ( ( dx='=2,01–2=0,01. / , ( '! ' ! < : f(+') | f(x) + d&, ' f(2,01) | f(2) + dy. H ! ( ! = 2: f(2) = 23 + 22 – 22 = 8. ( ): dy = &c()dx, ( ( ( ! = 2: &c= 32 + 2 – 2, &c(2) = 322 – 2 = 12 + 4 – 2 = 14; A ( dy = 140,01 = 0,14; C( : f(2,01) | 8 + 0,14 = 8,014. %&%>: f(2,01) | 8,014. 6: C ' !

16,06 .

?;’; !!: & ' ' ! y

=16,06. C ( ( : d =' = 16,06 – 16 = 0,06. / ,

114

f(16,06) | f(16) + d&, f(16) = 16 = 4 . 6. [6* 6&!*/

x

( ): d& = &c()dx, ( ! ( ( ! = 16.

1

f c( x) ( x )c

2 x

1

f c(16)

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1 8

2 16

0,0125 .

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A (

16,06 | 4 0,0075 = 4,0075.

C( , A ! !

16,06 = 4,0074929.

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0,988 . ?;’; !!: R ( (, < f(0,988) | f(1) + dy,

y yc ( x1/ 3 )c

3

x ; dx =' = 0,988 – 1= –0,012;

1 2 / 3 x 3

1 ( 0.012) 3

dy

3

3

1 3

3 x

0,004;

A (: %&%>:

3

2

;

1 ; 3

yc(1) f (1)

3

1 1.

0,988 | 1 0,004 0,996.

0,988 | 0,996 .

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dx

dV . /9 <) ) ( ( V V c(x)

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115

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x 3 x 5,

2, x 2

2,01 .

13. f ( x)

x 3 4 x 2 5 x 3,

x1

1,

x2

1,03 .

14. f ( x)

x 3 x 2 x,

x1

2, x 2

2,01 .

15. f ( x)

2 x 3 3 x 1,

x1

2, x 2

2,001.

16. f ( x)

x 3 2 x 2 x 4,

x1

2, x 2

2,04 .

17. f ( x)

5 x 3 x 2 5 x 4,

x1

1 , x2

1,06 .

18. f ( x)

x 3 3 x 2,

x1

4, x 2

4,003 .

19. f ( x)

x 3 6 x 2 6 x 2,

x1

1,

x2

1,005 .

"'! ' ! y 20. f ( x)

116

x1

1 4 1 2 x x 2 x, 4 2

f (x) ( ! x

1,01 .

6. [6* 6&!*/

21. f ( x)

1 4 1 2 x x 2 x, 4 2

x

4,02 .

22. f ( x)

2 x 3 4 x 2 5 x 2,

x

2,04 .

23. f ( x)

2 x 3 4 x 2 5 x 2,

x 1,04 .

24. f ( x)

x 3 x 1,

x

25. f ( x)

1 3 x x 2 3x 4 3

x 1,02 .

26. f ( x)

x 3 6 x 2 6 x 2,

x

3,01 .

27. f ( x)

x 3 2 x 2 3x 1,

x

2,02 .

28. f ( x)

x 3 x 2 5 x 1,

x

2,03 .

2,04 .

29. f ( x) 2 x 3 x 2 3 x 4, x 1,02 . "'! ' ! 30. 32.

3

4,08 .

31. (1,01) 7 .

1,04 .

33.

3

26,98 .

34. (2,03) 6 .

D 35. sin 31 .

D 36. cos 32 .

37. tg 47 D .

6. [6* 6&!*/

117

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'x o0 'x 'y yc D , D o 0 'x ' o 0 '& &c' D ( )'

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( ! B ǻy

D

y

C

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dy

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x+ǻx

X

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3 ' ABCBC=ACtgD= ' xtgD=yc ' x

dy

ycdx

yc

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dy

ycdx

'y | dy

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y ( x 'x) | y ( x) yc( x ) 'x : 1. C ( & 2

Y

2

y2

2

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118

45D

0,0087

x

45D

0,0087

2 2 0,0087 | 0,69. 2 2

y

y x x1

x2

X

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2

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119

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³

³

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³ f1x dx

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120

2

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f1 x r f 2 x .

2

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1. 3. 5. 7.

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dx

³

dx x

2. ln x C ;

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³ a dx ln a C ; ³ cos xdx sin x C ; x

dx

9.

³ sin

11 .

³1 x

13 .

³x

2

x

dx

2

2

dx a2

4. 6. 8.

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³ ³ e dx x n dx x

x n 1 C , ( n z 1); n 1 e x C;

³ sin xdx dx ³ cos x

cos x C ; tg x C ;

2

10 .

³³

12 .

³

14 .

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dx dx

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22

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³

2

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1 x arctg C a a

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.

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121

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2

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³

3 x 1 C

3 C . x

3 C . x

3dx

³x

3x 21 C 2 1

3 x 2 dx

2

2. C

dx

³ 2x

x

.

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n

a m ( ! ( : dx

³ 2x %&%>:

x

dx

³ 2x

x

3 1

1 x 2 C 2 32 1

1 3 / 2 x dx 2

³

1 x

1 x

C.

C.

3: C :

³ 8x

5

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( ( a n a m

a n m ; a n

C ( ! ( : 122

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n

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13

³

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³

³

³

5 3 %&%>: 8 x x dx

40 2 5 3 x x C . 13

40 2 5 3 x x C. 13

³

4. C :

5x x x 3

x

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³

5x x x

³

%&%>:

³

³

dx

³

5x x x 3

x

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6 26 x x C. 13 2

1 · § 5. C : ¨1 2 ¸ dx. © x ¹

³

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³

2

1 · § ¨1 2 ¸ dx © x ¹

§

2

³ ¨©1 x

2

1 · ¸dx x4 ¹

x

2 1 3 C . x 3x

2

1 · 2 1 § %&%>: ¨1 2 ¸ dx x 3 C. x 3x © x ¹

³

6. C :

³ ctg

2

xdx .

7. " ^ _

123

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1 1 ! :: sin 2 x

ctg 2 x

³ ctg

2

§

1

³ ¨© sin

xdx

2

x

· 1¸dx ¹

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³

2 %&%>: ctg xdx ctg x x C.

5 ! !) , ( (

, ) 5: 1 kx b e C; k 1 3 . sin( kx b ) cos ( kx b ) C ; k dx 1 5. tg( kx b ) C ; cos 2 ( kx b ) k

³ ³ ³

1 . e kx b dx

6.

³k

2

dx b2x2

1 b arctg x C ; bk k

A, (

1 a kx b C; k ln a 1 4 . cos( kx b ) dx sin( kx b ) C ; k dx 1 6. = - ctg( kx b ) C ; sin 2 ( kx b ) k

³

2 . kx b dx

³ ³

8.

³

dx k b x 2

2 2

1 b arcsin x C . b k

x

³ cos 2 dx ::

³ cos kxdx

1 sin kx C , k k

1 , 2

(

x

³ cos 2 dx

2 sin

x C . 2

7.4.!=* !! &% ! (; %! ; %!!,).

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7. " ^ _

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³

dx 3

.

(5 3x) 2

?;’; !!: C ' ( t = 5 – 3x, ( dt =–3dx, ( dx

³

:

dx 3

(5 3x)

1 t 1/ 3 C 3 1 3

%&%>:

³

dx 3

(5 3 x)

³

2

dt 3

t

2

t 1/ 3 C

3

1 3

³t

t 1/ 3 C

2 / 3

dt . 3

dt

(5 3 x)1/ 3 C .

3 5 3 x C .

2

8. C : ³ (2+cosx)2 sinxdx. ?;’; !!: & 2 + cosx = t, (: – sinxd = dt, ( sinxdx = –dt. " < :

³ (2 cosx)

2

³

sinxdx t 2 dt

³

2 %&%>: (2 cosx) sinxdx

9. C :

t3 3 C

1 2 cos x 3 C. 3

1 2 cos x 3 C. 3

e x dx

³ 2 3e

x

.

?;’; !!: & t = 2 + 3e, ( 3edx=dt, e x dx

%&%>:

³

e x dx 2 3e x

1 dt 3 t

³

e x dx 2 3e x

1 ln 2 3e x C . 3

³

1 ln t C 3

1 dt . < : 3

1 ln 2 3e x C . 3

7. " ^ _

125

10. C

x 2

?;’; !!: &

x

³ cos 2 dx.

t , (

1 dx 2

x

³ cos 2 dx 2³ cos tdt x %&%>: cos dx 2

³

2 sin

dt ( 2dt = dx. " < :

2 sin t C

2 sin

x C. 2

x C. 2

7.5. !=* !! ! .

5 ( ! . 5( , 7 : (uv)c=ucv+uvc , ' d(uv)=vdu+udv. )! ! , <

³ d uv ³ vdu ³ udv , ³ udv

'

³

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³

³

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³ vdu ( , '

! u dv. ! u, dv, du, v )) ( ' . # ( ! ! ) , 7 ( ' , ' ! . 11. C : ?;’; !!:

³ x e dx x

126

³ x e dx. x

³

x e x e x dx

x e x e x C.

7. " ^ _

u=x dv=edx 12. C : ?;’; !!:

³

x cos 2 xdx

du=dx v=³ edx=e

³ x cos2xdx .

x 1 sin 2 x sin 2 xdx 2 2

³

u=x dv=cos2x dx 13. C : ?;’; !!:

³

x 2 ln x dx

x3 ln x 3

³

x 1 sin 2 x cos 2 x C , 2 4

du=dx v= ³ cos2x dx = 0,5 sin2x

³x

2

1 x3 dx x 3

ln xdx . 1 x3 ln x x 2 dx 3 3

³

x3 x3 ln x C . 3 9

u=lnx

du=1/x dx

dv=x 2dx

v=³x 2dx=x 3/3

7.6. != % /*!+%<, %> ! < !.

³ ax

Ax B dx; bx c

³

Ax B

dx; ³ ax bx c dx . ax 2 bx c (9 ( ! )) ( ( !, ()! ( 2

2

2 2 §§ §§ · b · c b2 · b · 2 a¨¨ x a x ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ k ¸¸ . 2 ¸ ¨© ¨ 2a ¹ a 4 a ¹ 2a ¹ © ©© ¹ A ( ( ( < 9 ( ' ! ' ( (

ax 2 bx c

a( x2

b c x ) a a

7. " ^ _

127

³ ³

t 2 b t b ln t t 2 b C 2 2 t a2 t a 2 t 2 dt a 2 t 2 arcsin C . 2 2 a

t 2 bdt

&( ( .

dx . 4x 8 ?;’; !!: 5 ( ( ! (

³x

14: C

2

x2 4x 8 x2 2 2 x 4 4 (x 2)2 4; ( '( (

³x 5( : x 2

³x

2

dx 4x 8

%&%>:

2

dx 4x 8

³x

2

2

4

dx 4x 8

2

4

.

dt , (

t , dx

dx

³ ( x 2)

dx

³ ( x 2)

³t

2

dt 22

1 t arctg C 2 2

1 x2 arctg C. 2 2

1 x2 C. arctg 2 2

7 8x dx . 3x 1 ?;’; !!: 5 ( ( ! ( 15: C # =

³ 2x

3 1· § 2 x 3x 1 2 ¨ x 2 x ¸ 2 2¹ ©

2 §§ 3· 1 9 · 2¨¨ x ¸ ¸ ¨© 4 ¹ 2 16 ¸¹ ©

2

( x 3 4 #=

128

³ 2x

7 8x dx 3x 1

2

t , dx

2

2 §§ 3· 1· 2¨¨ x ¸ ¸ . ¨© 4 ¹ 16 ¸¹ ©

dt , 7 8 x 1 8t . A (

1 1 8t dt 2³ 2 1 t 16

1 2³

1 t2

1 16

dt

8 2³

7. " ^ _

t t2

1 16

dt

I1 I 2 .

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1 2³

I1

1 t2

1 16

dt

( , #2 , ( ) t 2

I2

8 2³

tdt

4

1 t 1 1 4 C, ln 1 1 2 2 t 4 4 1 16

1 dv 2³ v

v, 2tdt

2 ln v C

dv, tdt

1 16 / ( 9 t2

I

%&%>: I

ln

ln

2 ln t 2

1 dv 2

1 C. 16

x 1 2 ln x 2 1,5 x 0,5 C . x 0,5

x 1 2 ln x 2 1,5 x 0,5 C . x 0,5

dx

³

16: C I

. x 4x 3 ?;’; !!: 5 ( ( ( ! 2

x2 4x 3 ( x 2

I

³

dx x 4x 3

%&%>: I

³

dt ; (

t , dx dx

³

2

( x 2) 2 7 ,

x 2

2

³

7

dx x 4x 3 2

dt t 7 2

ln x 2

17: C I

³

ln x 2

x 2

2

x 2

2

7 C.

7 C.

3x 5 dx

. 9 6 x 3x 2 ?;’; !!: 5 ( ( ! ( 9 6 x 3x 2 ( z

3( x 2 2 x 3)

3(( x 1) 2 4)

x 1, dz dx .A ( 7. " ^ _

3((4 ( x 1) 2 ) , 129

3x 5 dx

³

I

9 6 x 3x

3z 2

1

³ 3

2

,

4 z2

³

I1

3

³ 3

dz

zdz

4 z 4 z #1, ( 9 2

zdz

t , 2 zdz

1 dt 2³ t

arcsin

dz

2

³ 3

4z

3I1

2

2 3

I 2.

1 dt 2

dt , zdz

dz

³

I2

1 2 t C 2

4 z < ' ! 2

2

4 z 2 C.

z C. 2

4 z /( ( ( ; ( I

3(4 z 2 )

%&%>: I

2 3

2

arcsin

z C 2

C 9 6 x 3x2

³

18: C : I

C 9 6 x 3x 2 2 3

arcsin

2 3

arcsin

x 1 . 2

x 1 . 2

x 2 2 x 6dx .

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x2 2x 6

x 1

2

5;

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³

³ x 1

x 2 2 x 6dx

( x 1) 2

%&%>: I

2

x 1

( x 1) 2

³

5dx 2

t 2 5dt

5 5 ln x 1 2

x 1

19: C : I

2

t 2 5 t 5 ln(t t 2 5) C 2 2

x 1

5 5 ln x 1 2

³

2

5 C.

x 1

2

5 C.

3 4 x x 2 dx .

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7. " ^ _

7 x 2 ; 2

3 4x x2

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x 2 , dt

³

dx, a 2

7 '! )<

t 7 t 7 t 2 arcsin C 2 2 7 7 x2 x2 7 ( x 2) 2 arcsin C. 2 2 7

3 4 x x 2 dx

%&%>:

³

³

7 t 2 dt

x2 x2 7 7 ( x 2) 2 arcsin C. 2 2 7

3 4 x x 2 dx

7.7. !=* !! +%! >! : /*!+%<.

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x2 x3 x n 1 ³ a0 a1 x a2 x ... an x dx a0 x a1 2 a2 3 ...an n 1 C . P ( x) dx , ( P( x), Q( x) – ( ( ' ³ Q( x) n

2

! , ! 9 ( ( ( , 7 ! 9 . A (' ) , 9 ( – ( ' . &

(' ( , ( 9 ! . / (' ( ( ( (:

A , ( x a)m

Mx N , ( x px q) n 2

( m,n – ( ( ! . ( ( '

P( x) ( ( ': Q( x)

1. I Q ( x ) 9 ( , ' ( Q ( x) a0 ( x a ) m ...( x b) k ( x 2 px q ) n ...( x 2 cx d ) r .

7. " ^ _

131

2. C ( ( ' ( (

Am Bk A1 A2 B B2 P( x) ... 1 ... 2 2 m ( x a) ( x b) k Q( x) x a ( x a ) x b ( x b) M x Nn M x N1 M x N2 2 1 2 2 ... 2 n 2 ( x px q) n x px q ( x px q ) C x D1 C x D2 C x Dr 21 2 2 ... 2 r 2 ( x cx d ) r x cx d ( x cx d ) ( A1 , A2 ,..., Am , B1 , B2 ,...Bk , M 1 ,..., M n , N1 ,..., N n , C1 ,..., Cr ,...D1 ,...Dr – ( . ( ( ( < , ( Q( x) . 3. C ( , ( 9 ' ( ! Q ( x ) . 4. H ( (

A1 , A2 ,..., Am , B1 , B2 ,...Bk , M 1 ,..., M n , N1 ,..., N n , C1 ,..., Cr ,...D1 ,...Dr , ))! < ( x ' ! . 5. I ’ ( ( !

A1 , A2 ,..., Am , B1 , B2 ,...Bk , M 1 ,..., M n , N1 ,..., N n , C1 ,..., Cr ,...D1 ,...Dr (. 6. "( ( ( ' ( (

I1 I2 I3

dx ( x a ) m1 ³ ( x a)m m 1 C , m z 1, dx ³ x a ln x a C , m 1, Mx N ³ ( x2 px q)n dx.

#3 ( ?

3x 2 8 dx. 20: C ³ 3 x 4 x2 4 x 132

7. " ^ _

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x3 4 x 2 4 x

x( x 2 4 x 4)

x( x 2)2 ;

2) 9 ( ( ( ' ( (

3x2 8 x( x 2) 2

B1 A B ; x x 2 ( x 2) 2

3) ( , ( 9 ' ( ! x( x 2) 2 :

3x 2 8

A( x 2) 2 Bx( x 2) B1 x ( A B) x 2 (4 A 2 B B1 ) x 4 A;

4) ( ( ! ( A, B, B1 , 9 < ( x :

A B 3 ° ®4 A 2 B B1 °4 A 8 ¯

0;

5) ’ ( :

A 2, B 3 A 1, B1

4 A 2 B

10;

6) 9 ( ( ( ( <

3x 2 8 x( x 2) 2

2 1 10 ; x x 2 ( x 2) 2

3x 2 8 ³ x( x 2)2 dx

§2

2ln x ln x 2

%&%>:

1

10

³ ¨© x x 2 ( x 2)

2

· 1 1 1 dx 10 ³ dx ¸dx 2 ³ dx ³ x x2 ( x 2) 2 ¹

10 C. x2

3x 2 8 10 ³ x( x 2)2 dx 2ln x ln x 2 x 2 C.

7. " ^ _

133

x3 4 x 2 2 x 1 dx. 21: C ³ x4 x

?;’; !!: 1) I ( 9 ( :

x4 x

x( x3 1)

x( x 1)( x 2 x 1) ;

2) 9 ( ( ( ' ( ( :

x3 4 x 2 2 x 1 x( x 1)( x 2 x 1)

A B Cx D 2 ; x x 1 x x 1

3) ( , ( 9 ' ( !

x( x 1)( x 2 x 1) : x 3 4 x 2 2 x 1 A( x 3 1) Bx( x 2 x 1) (Cx D ) x( x 1) ( A B C ) x 3 (C D B ) x 2 ( B D ) x A; 4) ( ( ! ( A, B, C , D , 9 < ( x:

A B C 1 °C D B 4 ° ® ; ° B D 2 °¯ A 1

5) ’ ( : A = 1, B = –2, C = 2, D = 0; 6) 9 ( ( ( ( <

x3 4 x 2 2 x 1 x( x 1)( x 2 x 1)

1 2 2x 0 ; 2 x x 1 x x 1

x3 4 x 2 2 x 1 2 2x 0 · §1 ³ x( x 1)( x2 x 1) dx ³ ¨© x x 1 x2 x 1 ¸¹dx xdx 1 1 ³ x dx 2³ x 1dx 2³ x2 x 1 ln x 2ln x 1 2I ;

# 9 (

³x 134

2

xdx x 1

1 2( x 1) 2 dx 2 ³ x2 x 1

1 (2 x 1)dx 1 dx ³ , 2 ³ 1 2 x x 1 2 ( x )2 3 2 4

7. " ^ _

x 2 x 1, dt

< t

(2 x 1)dx, v

1 x , dv dx . 2

A (

1 dt 1 dt 1 1 2v ³ ln t arctg ³ 2 t 2 v2 3 2 3 3 4 1 1 2 x 1 ln x 2 x 1 C. arctg 2 3 3

³x

2

xdx x 1

"

2 2x 1 x3 4 x 2 2 x 1 dx ln x 2ln x 1 ln x 2 x 1 arctg C 4 ³ x x 3 3 ln

x x 2 x 1 ( x 1)

2

2 2x 1 arctg C. 3 3

x x 2 x 1 2 x3 4 x 2 2 x 1 2x 1 dx ln arctg C. %&%>: ³ 4 2 x x ( x 1) 3 3 7.8. & .

1. R () ) ? 2. R ) ) ) f(x)? 3. ! ! . 4. R ( ? 5. & (' ! ). 6. C : a)

b)

³

1 3x 4 x 2 dx ; x

³

x 3 3x 2 1 x5

dx ;

³e ³

6

ex x

4

dx ;

x

x

dx ;

³ x sin xdx ; ³ x cos 4 xdx ;

7. " ^ _

135

c)

³

f)

x 2

³x

d)

e)

x4

³

³

x3 1

x 1

2

5 ( x 2 cos x)dx ; 3

2x

³e

h)

³ (5 cos x 6 2

³

dx ;

x

3 2

sin x

1 2

cos x

x

³

k)

³ (5

l)

³ (5

x

1 x )dx ; x

³

³

1 x

)dx ; 2

x 3 3x 5 x

3

dx ;

x2

³ ³

6 x dx

³

dx ;

e 3 x 9 e 3 x dx ;

e 2 x dx 1 e

2x

36 x 1

3

54

cos x

³ cos x

;

³ cos

x

³e

x

³ sin x

dx ;

dx ;

³ (2 x 1)e dx ;

x

2

dx xtgx

1

x

³ sin

sin x dx ;

e x dx

2

dx ;

1 x 2

dx ;

x

x

arcsin x 1

³ cos

ln x

³

³ cos

tgx 2

³ (1 4 x) sin 2 xdx ;

;

x

sin x 3

³ (2 x 3) cos xdx ;

;

4 x dx

³ 4 cos

³

x )dx ;

m) (sin x

) dx ;

)dx ;

sin 3 x 1 dx ; sin 2 x

j)

3

³

g)

n)

³

dx ;

3 x e x dx ;

i) (

136

³ 3x 3

dx ;

dx ;

;

;

cos 3 x dx ;

7. " ^ _

2

3x

x 2

3x

dx ;

dx ; x

³ (2 x 5) cos 2 xdx ; ³e

3 x

(2 x)dx ;

³ arcsin xdx ; ³ arccos 2 xdx ; ³ arctg3xdx ;

o)

p)

q)

r)

s)

³

cos 3 x 1 dx ; cos 2 x

³1 5

³

1 cos 2 x dx ; 3 cos x

³

³ ³

3

5x

x2 x dx ; x

x 2 7x 3 x

4 ; · ¨5 x ¸ x © ¹

x 2 6x 7x3

³

u)

³ (6

v)

³ ( x 1) ( x

w)

³ ( x 1)

x

2

dx ;

v 3v 2 5v)dv ;

2

2) dx ;

dx ;

³

x 3 3x 4 5 x 5 dx ; x

³

3

y)

a)

³x

x)

x x 3x

³ ln

dx xx

2

sin x

³ cos

2

3

x

3x

dx ;

³ (3x 1) ln xdx ;

dx ;

³ (1 2 x) ln xdx ;

x

³

1 cos x sin xdx ;

³

³ (3x 1)e

³ ( x 1) sin 2 xdx ;

;

³5 ³

dx ;

dx ;

x

cos x

³ sin

2

³ x ln xdx ;

dx

³§

dx ;

t)

ln x

³x

ctgxdx ;

³ tgxdx ;

x 3 x 4 x dx ; x

³

³ ln 3xdx ;

dx ;

x

³ (1 x) cos 2 xdx ;

cos 5 x dx ;

4 16 x 1

³ 5 arcsin 3xdx ; ³ ( x 3)e

dx ;

sin xdx

2x

dx ;

2 1 3 dx . ; 1 cos 2 x x 7. C ( , 7 ( !:

2

dx ; x6

dx ;

³

dx

³ 4x 1 4x

2

;

7. " ^ _

3x 4 dx ; 2 5x

³x

137

b)

³

c)

³

dx x 2x 2

³

;

x 2 4 xdx ;

³

x3 x 6x 2

dx ;

1 2x x 2 dx ;

³

³

x5 x 2 10 x

dx ;

x 2 3dx .

8. C ( :

138

a)

xdx ³ x3 1 ;

dx ³ x3 x 2 ;

( x 2 1)dx ³ x3 3x 2 3x 1 ;

b)

(7 x 15)dx ³ x3 2 x 2 5 x ;

2 x5 2 x 1 ³ 1 x 4 dx ;

x 4 dx ³ x4 2 x2 1 .

139

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b

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8. ^ _

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8. ^ _

141

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'S ( x ) d lim f ( x 'x) . 'x o0 'x

'S ( x) =Sc(x) )! f(x), 'x o0 'x

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'xo0

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'xo0

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8. ^ _

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³ f ( x)dx

F ( x) C .

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³ f ( x)dx

F ( x)

b

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³ f ( x)dx

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f ( x)dx

³

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b

³ f ( x)dx ³ f ( x)dx ³ f ( x)dx,

a

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c

8. ^ _

143

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b

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b

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b

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c

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³

b

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a

b

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c

b

c

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8. ^ _

b

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b

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1 / 2

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1 / 2

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4

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2

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7

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1 / 2

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8. ^ _

145

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1

3.

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S / 4

S /4

S /4

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S /4

S / 4

S / 4

2 .

S /4

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³ S

2 .

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146

8. ^ _

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4

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4

x

1/ 2

1 / 2

³

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1

4

4

4

1

4

2 x 1

³

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1

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1/ 2

4

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1

1

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8

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1

³ t 8

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1 / 3

8

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8 1 / 3

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1

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1 3 3 2

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1

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8. ^ _

147

2

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2

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2

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10

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³

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2

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2

10

3

1 1 3 t

10 3

1§ 1 1· ¨ ¸ 3 © 10 3 ¹

1§ 7 · ¨ ¸ 3 © 30 ¹

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³

0

cos x sin xdx

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1

1/ 2 ³ t dt 0

1 1

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1 0

1 2 t t 3

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2 (1 0) 3

2 . 3

S /2

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³ 0

148

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8. ^ _

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S /2

S /2

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³

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S /2

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2

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0

S § · ¨ cos cos 0 ¸ 2 © ¹

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2

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1

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³

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1

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1

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1 , 3

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S /2

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S /2

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sin 3 xdx 1

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1 3

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b

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8. ^ _

149

4

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³ x ln xdx

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8 ln 4 4

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2x

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8. ^ _

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1

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1 2 e 1 4

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151

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S|

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152

8. ^ _

1

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1

x 1= 0,1

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y1= 0,01

2

x 2= 0,2

22 = 0,04

y2= 0,04

3

x 3= 0,3

32 = 0,09

y3= 0,0899

4

x 4= 0,4

42 = 0,16

y4= 0,1593

5

x 5= 0,5

52 = 0,25

y5= 0,2474

6

x 6= 0,6

62 = 0,36

y6= 0,3523

7

x 7= 0,7

72 = 0,49

y7= 0,4706

8

x 8= 0,8

8 = 0,64

y8= 0,5972

9

x 9= 0,9

92 = 0,81

y9= 0,7243

10

x 10= 1

102 =1

y10= 0,8415

2

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b n

n 1

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0,1(0 0,01 0,04 0,0899 0,1593 0,2474

i 0

0,3523 0,4706 0,5972 0,7243)

0,1 2,6910

0,2691 .

C ) “ ” : S|

b n

n

¦ f (x ) i

0,1(0,01 0,04 0,0899 0,1593 0,2474

i 1

0,3523 0,4706 0,5972 0,7243 0,8415)

0,1 3,5325

8. ^ _

0,3525 . 153

C ) < : § 0 0,8415 · S | 0,1¨ 0,01 0,04 0,0899 0,1593 0,2474 0,3523 0,4607 0,7243 ¸ 0,3112 . 2 © ¹

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S6

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b

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I . 8 .

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S6

³ f ( x) dx

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8. ^ _

Y

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0

a

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S6

b

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a

b

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c

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Y

Y y=f1(x)

&=f1(x)

0

b

X

0

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b y=f2(x)

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X I .10.

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b

b

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.

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8. ^ _

155

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1

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S6

1

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X

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8. ^ _

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S6

1

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1

³

dx x dx 2

0

1

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2 1 3 3

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1 0

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8. ^ _

2 .

157

2

S6

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2

2

³ 4 2 x

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1

2 2

4x 1

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2

³

2 x dx

1

2

2 1

2

x2 2

1

1

³

2

³

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1

1

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³

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b

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R

X

.15

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8. ^ _

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R

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2

0

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SR

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³

³

0

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3

3

3

R

R

dx x 2 dx SR 2 x 0

0

2SR 1 ; Vk 3 2

3

3

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R 0

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³ V (t )dt .

S

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S

³

10

V (t )dt

t1

³

1 t 4 10 10 4 0

0,1t 3 dt

0

1 10 4 40

250 ( ) .

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S

³V (t )dt

t1

t2 4 2

4 0

t3 3

³ 4t t dt 4

2

0

4

4

0

0

4 ³ tdt ³ t 2dt

4 0

1 1 2 2 16 64 32 21 10 ( ) . 3 3 3

8. ^ _

159

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2 ( ) . 3

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b

A

³ F ( x)dx ³ 100 xdx

0

x2 1000 2

0,08

1000 0

0,0064 2

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%&%>: A 3,2 ( [ ). 19. H 196,2 & < 18 . R '
F x

196,2 0,18

1090& ,

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A

³

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0

1090 2 2

0,18

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%&%>: A 17,7 ( [ ). 20. 3 '( ' 16. & ( , 9 ' 144? ?;’; !!: C( %, F = kx; ( 0, 03

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160

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0,03 0

0,0009k ( [ ). 2

8. ^ _

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A2

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k

32 0,0009

320000 / . 9

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320000 2 9 2

0

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0,09 () .

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³

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³

0, 2

³

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0

x2 2

0,2

9810 0,3 0,02 58,86 ( ) . 0

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8. ^ _

161

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0

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2

7848 S 9 | 220000 ( ) . 0

2,2 105 ( ).

23. "'! ( , ) 6 ) 2 , )! , 7 9 ( , ( . 16).

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2

³

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2 0

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162

8. ^ _

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b

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49. y2 = x; y t 0, x = 0, x = 3. 50. & = –2 + 2x+ 8; & = 0. 2 2 x + x; y = 0. 9 52. y = –x2 + 6x – 6; y = 0, x = 2, x = 3.

51. y = –

53. & =

1 ; & = 0, = 1, = 3. x

54. & =

2 ; & = 0, =2, = 4. x

55. y = cos x; y = 0, x = 0, x = 56. y = tg x; y = 0, x = 0, x =

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57. y2 = 4x; x = 1, x = 9. 58. y2 = 9x; x = 4.

S

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8. ^ _

169

61. y = x2; y = – 3. 62.y = x2; y = 2x + 8. 63. y = x2; y = x + 2 . 1 64. & = – 2 – 4x + 10; & = + 2. 2 "'! '’< , ' , '

65. y = x2;4 y2 =x. 66. & =

x ; & = 0, =2; 10

67. y = sin x, y = 0, x < [0; S]; 68. y = 3x – x2; y = 0; 69. y = x2, y = 0, x = 2; 70. y = 10 – x2, y = 0; 71. y = x3, y = 0, x = 1; 72. y = arcsinx, y = 0, x = 1; 73. y = 2x – x2, y = 0; 74. > ( ! v = (24t – 6t2) /. C (: ) 9, ( ! ) 3 ( ! ; ') 9, ( ! ) ) (; ) 9, ( ! ) ( ! ( . 75. ! ( ! (< ! ( . /9 < 9 () v = (4t +5) /, ( – 9 () v = (6t2+2t) /. & ( ( ( ( '( ! 5 ? 76. A , C 9 () v = (39,2 – 9,8t) /. C '9 ( . 77. / < 0,02 ( (<) 60 &. R ' < , )! 0,12 2. 78. / < ( 0,1 . H 20 & < 0,01 . R ' ' , 7 ' ( 0,12 ( 0,14 ? 79. + ( ! <). "'! '! ) , 7 =0,08 ( R = 0,04 . % 900 / 3. 80. "'! ( ( , 0,80,50,3. @ ( ( ).

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A(sin D cos(Z t) cosD sin(Z t )) ,

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201

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2S

Z

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202

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S

³S f ( x) sin nxdx;

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2

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S

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203

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2

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S

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S

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204

10.

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S

10.

205

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2

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S

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S

S

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10.

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S

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S

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S

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an

1

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S 0

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S

³

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dv = cosnxdx

v = sinnx

10.

207

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³

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S

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S

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u=x

du = dx

dv = sinnxdx

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", b1 1; b2

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10.

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209

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³

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1 §¨ sin nx 0 2 sin nx S ·¸ 0; 0 ¸¹ n S n

S ¨©

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S

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S

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210

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211

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2 12

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2 12

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i

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i

i 0

S 2S 3S ) 86 cos( ) 63 cos( ) 24 cos 0 6 6 6 S 5S 4S 3S 2S 20 cos 26 cos 40 cos 58 cos 65 cos ) 8,3 , 6 6 6 6 6

88 cos(

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2 12

11

i

b2

i

i 0

... 58 cos b1

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¦ y cos 2 x

2 5S 2 4S 65 cos ) 6 6

11

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2 12

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2 12

¦ y sin 2 x

i

i

i 0

... 65 sin

i

2 5S ) 6

13,5 ,

i

22,3 ,

1 2 5S (44 sin(2S ) 46 sin ( ) ... 6 6

14,3 .

A ! , f ( x) | 53 22,3 sin x 8,3 cos x 14,3 sin 2 x 13,5 cos 2 x . , ( ! < ( *’< ( ( ( (.9.6). 2. I ( *’< ( ( (

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I (t ) 212

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10.

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S

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S

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S

S

³

A sin x dx

0

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2

S

S

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S

0

S

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S

S

³S

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A

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S

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2A

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4A

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2A § 2 2 2 · ¨1 cos 2Y t cos 4Z t cos 6Z t ...¸ . S © 3 15 35 ¹

10.

213

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S ³ S

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S

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S

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S

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S

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³

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0

0

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I (Zt ) #

A

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10.

215

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36.

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37. 10

102 103 10n ... ... . 22 33 nn

38.

1 2 3 4 2 3 4 ... . 2 2 2 2

39.

1 2 1 2 3 1 2 3 4 ... . 10 10 2 103

40.

1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 ... . 3 3 6 3 6 9 3 6 9 12

10.

217

41. 1

1 1 1 ... . 3! 5! 7!

42. 1

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43.

2 2 2 23 2 4 ... . 1 2 3 4

44.

2 4 6 2n ... n ...; 5 25 125 5

45.

3 12

32

22

33

32

...

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46.

1 1 2 1 2 3 n 3 ... n ... . 3 32 3 3

47.

(n 1)! 1 2 1 2 3 1 2 3 4 ... ... . 2 3 3 3 3 3n

48. 1

49.

1 2

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4

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53. 218

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10.

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54.

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f

64.

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66.

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) ln 3 !) ( 0,0001. 10.

219

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Sx 2

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3. & = 2 e 1 4. & e 1

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1 cos 2 x ctgx c 12 sin x c ex ex c xn nx n 1

348

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11. y = cos2x

2. & = 4ctgx-3tgx 3. & = 5sinxtgx sin x 4. & cos x 1 tgx 1 5. & tgx 1

12. & x tg x 13. y = cos5x 14. y = 2xctg3x

6. y = tgx (cosx+sinx)

16. &

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7. y

17. y

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19. y

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sin x 1 sin x

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y

y

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3. C 9 ( , < : S = t3 + 5t2 + 4 (S - , t - () ! t = 2c.

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3

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2. C ' !:

1 x 2

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2

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cos xdx

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2.

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3.

³ arctgxdx

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3

3

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x

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0

2. C (< ! & = 22+ [1; 2]. 3. C 7 , ' . & = 2, = 1, = 2, & = 0.

2

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³ 5 x 3x dx; 1

2

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dx;

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0

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S /3

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') sin xdx

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2

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xe y ,

& (0) = 9/5, & c(0) = 0;

& (1) = 0.

2. C ’ ( )

dy x 1

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e x dy

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1. C ’ ( . ) & c = 2cosx-3;

') y c = x y ;

) y cc-4yc+5y = 0.

2. I ’ (! 9. ) & c= 2+&, &(0) = 3

') & cc= 24, &(0) = 1, & c(0) = 1

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§ 2 6· ¨ ¸ ¨1 5 ¸ ¨ ¸ C ¨3 3 ¸ ¨ ¸ ¨1 4 ¸ © ¹

§2 9 0 · ¨ ¸ ¨7 1 5 ¸ ¨ ¸. ¨1 2 1¸ © ¹

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§ 2 3 5· ¨ ¸ ¨ 0 6 1¸ ¸ ¨ © 1 2 4¹

B

§1 5 6 · ¸ ¨ ¨ 4 6 9¸ ¸ ¨ © 2 4 6¹

2. 5 .

D

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3· ¸ 1¸ 2¸ ¸ 2¹

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2

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A

§ 3 4 5· ¸ ¨ 0 1 6 ¸ ¨ ¸ ¨ © 4 6 5¹

B

§ 2 9 3· ¸ ¨ 7 1 5 ¸ ¨ ¸ ¨ ©1 6 8 ¹

2. 5 .

D

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§ 2 3 5· ¨ ¸ ¨ 0 6 1¸ ¨ ¸ © 1 2 4¹

B

§1 5 6 · ¨ ¸ ¨ 4 6 9¸ ¨ ¸ © 2 4 6¹

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2

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