Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 2. Индивидуальные задания: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С КИ Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т Ф акультетп рикладной математики, информатикиимеханики Кафедравычислительной математики

Ч исленноереш ениезадачиКош идля об ыкновенных дифференциальных уравнений методамитип аРунге-К утта Ч асть 2. И ндивидуальныезадания У чеб но-методическоеп особ ие С п ециальность 010501 (010200)

В оронеж 2005

2

У тверж дено научно-методическим С оветом факультетап рикладной математики, информатикиимеханики12.12.05., п ротокол № 4.

С оставители: КорзунинаВ .В ., Ш аб унинаЗ.А.

У чеб но-методическое п особ ие п одготовлено накафедре вычислительной математики факультета п рикладной математики, информатики и механики В оронеж ского государственного университета. Рекомендуется для студентов 3 и 4 курсов дневного и вечернего отделений.

3

Д анное учеб но-методическое п особ ие является п родолж ением работы /1/ и содерж ит индивидуальные задания для вып олнения лабораторных работ п о курсу « Ч исленные методы». Каж дое задание содерж ит ссылки на соответствую щ иеразделы /1/. З а да ние1. Реш ение задачи Кош и с ап остериорной оценкой глоб альной п огреш ности, максимальноедоп устимоезначениекоторой задано. Н азначение. И нтегрированиеоб ыкновенного дифференциального уравнения

y′ = f(x,y), x∈[А,В ]

(1)

с начальным условием

y(c)=yc, гдеточкаc совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez – имя файлавыходных данных; Icod – код заверш ения. Замечаниео структурефайлаисходных данных. 1. П ервая строка– значения A, B, C, yc; 2. В торая строка– начальноезначениеH ш ага интегрирования; максимальное доп устимое значение ε - аб солю тной п огреш ностивконечной точкеинтегрирования. Замечаниео структуревыходного файла. 1. П ервая строка– вычисленноезначениеεr аб солю тной п огреш ностив конечной точке интегрирования; ш аг интегрирования, с которым п олучена п огреш ность εr; значение Icod – индикатор ош иб ки, п ринимаю щ ий следую щ иезначения: • Icod = 0 – заверш ениевсоответствиис назначением (εr ≤ ε); • Icod = 1 – п роцесс реш ения п рекращ ен, т.к. с уменьш ением ш ага п огреш ность неуменьш ается; • Icod = 2 – п роц есс реш ения п рекращ ен, т.к. значение ш агастало недоп устимо малым. 2. В торая строка – X-координата конца отрезка интегрирования; п олученноевконцеотрезкаинтегрирования значениереш ения. М етод(см. раздел 4.1. О ценкаглоб альной п огреш ностип о п равилу Рунге) 1. О п ределяется значение ш агаH1 – б лиж айш ее меньш ее илиравное H такое, чтоб ы вотрезке интегрирования значение H1 укладывалось кратноечисло раз.

4

2. С п остоянным ш агом H1 иH1/2 методом Рунге – К утта, конкретный вид которого оп ределяется номером В аш его варианта, от начальной до конечной точки реш ается задача К ош и (1). Д ва п олученных п риб лиж енных реш ения вконечной точке интервалаинтегрирования п озволяю т оц енить глоб альную п огреш ность реш ения п о п равилу Рунге. Е сли п олученная п огреш ность меньш е или равна максимальной доп устимой п огреш ности ε , то п роцесс реш ения п рекращ ается. В п ротивном случаереш ениенеоб ходимо уточнить. 3. Д ля уточнения реш ения строится итерационный п роцесс; каж дая итерация – это п овторение п .п . 1,2 настоящ его оп исания методас новым ш агом интегрирования, оп ределенным п о формуле (96). И терационный п роцесс п рекращ ается вследую щ их случаях: • треб уемая точность достигнута; • п огреш ность неуменьш илась; • ш аг интегрирования стал недоп устимо малым (см. Замечание 5 раздела 5.1 Автоматический выб ор ш ага интегрирования задачиКош и). П рактикап оказывает, что об ычно б ывает достаточно сделать 2 – 3 итерации. Замечания п о п рограммированию : 1. Занимать маш инную п амять для хранения значений реш ения внутри интерваланедоп устимо. 2. М инимальный доп устимый п остоянный ш аг интегрирования Hmin на отрезке[A,B] оп ределяется из неравенства

|Hmin| ≤ macheps * max(|A|, |B|, σ), где σ – минимальное п олож ительное число, п редставляемое на данной Э В М , macheps – значение маш инного эп силон. П араметр

σ, вооб щ

е говоря, долж ен оп ределяться п рограммным об разом, но доп ускается п рисвоение ему некоторого разумного значения. О вычислениимаш инного эп силон см. Замечание5 раздела5.1 В арианты задания 1. В ариант 1 2 3 4 5

М М М М М М

етод Рунге– К утта/1/ етод четвертого п орядка етод четвертого п орядка етод четвертого п орядка етод третьего п орядка етод третьего п орядка

(32) (33) (34) (30) (31)

5

З а да ние2. Реш ение задачи Кош и с ап остериорной оценкой глоб альной п огреш ности, максимальноедоп устимоезначениекоторой задано. Н азначение. И нтегрированиеоб ыкновенного дифференциального уравнения

y′ = f(x,y),

x∈[А,В ]

с начальным условием

y(c)=yc, гдеточкаc совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez – имя файлавыходных данных; Icod – код заверш ения. Замечаниео структурефайлаисходных данных. 1. П ервая строка– значения A, B, C, yc; 2. В торая строка – начальное значение H ш ага интегрирования; максимально доп устимое значение ε аб солю тной п огреш ности в конечной точкеинтегрирования. Замечаниео структуревыходного файла. 1. П ервая строка– вычисленноезначениеεr аб солю тной п огреш ностив конечной точке интегрирования; ш аг интегрирования, с которым п олучена п огреш ность εr; значение Icod – индикатор ош иб ки, п ринимаю щ ий следую щ иезначения: • Icod = 0 – заверш ениевсоответствиис назначением (εr ≤ ε); • Icod = 1 – п роцесс реш ения п рекращ ен, т.к. с уменьш ением ш ага п огреш ность неуменьш ается; • Icod = 2 – п роц есс реш ения п рекращ ен, т.к. значение ш агастало недоп устимо малым; • Icod = 3 – п роцесс реш ения п рекращ ен, т.к. дальнейш ее п рименение метода невозмож но (в случае, когда реализуется расчетная схема2 или3); • Icod = 4 – реш ение не п олучено, двухсторонний метод Рунге – К уттас данным начальным ш агом неп рименим (вслучае, когда реализую тся расчетныесхемы 2 или3). 2. В торая строка – X– координата конца отрезка интегрирования; п олученноевконцеотрезкаинтегрирования значениереш ения. Е слиIcod = 4, то выходной файл во второй строке содерж ит только X – координату концаотрезкаинтегрирования.

6

М етод (см. раздел 2. Д вухсторонние методы Рунге – К утта; cм. раздел 4.1. О ц енкаглоб альной п огреш ностип о п равилу Рунге). 1. О п ределяется значение ш агаH1 – б лиж айш ее меньш ее илиравное H такое, чтоб ы вотрезке интегрирования значение H1 укладывалось кратноечисло раз. 2. С п остоянным ш агом H1, двухсторонним методом Рунге – К утта, конкретный вид которого оп ределяется номером В аш его варианта, от начальной до конечной точки реш ается задача Кош и (1). Е сли реализуется схема2 или3, то возмож но, что п роцесс реш ения б удет п рекращ ен из-заневозмож ностип рименения метода(Icod = 4). Е слив конечной точкеп олучены двап риб лиж енных реш ения, иабсолю тная величинаих разности меньш е или равнамаксимальной доп устимой п огреш ности ε, то их среднее арифметическое п ринимается за искомоереш ение. В п ротивном случаереш ениенеоб ходимо уточнить. 3. Д ля уточнения реш ения строится итерационный п роцесс; каж дая итерация – это п овторение п .п . 1, 2 настоящ его оп исания методас новым ш агом интегрирования, оп ределенным п о формуле (97). И терационный п роцесс п рекращ ается вследую щ их случаях: • треб уемая точность достигнута; • п огреш ность неуменьш илась; • ш аг интегрирования стал недоп устимо малым (см. Замечание 5 раздела5.1. Автоматический выб ор ш агаинтегрирования); • дальнейш ее п рименение двухстороннего метода Рунге – К утта невозмож но (см. раздел 2.3. О рганизация счета в двусторонних методах тип аРунге– К утта). П рактикап оказывает, что об ычно б ывает достаточно 2 – 3 итераций. Е сли итерационный п роцесс останавливается по п ричине невозмож ностидальнейш его п рименения двухстороннего методаРунге – К утта, то зареш ение п ринимается реш ение с п редыдущ ей итерации (Icod = 3). Замечаниеп о п рограммированию . 1. Занимать маш инную п амять для хранения значений реш ения внутри интерваланедоп устимо. 2. М инимальный доп устимый ш аг интегрирования Hmin наотрезке[A,B] оп ределяется из неравенства

|Hmin| ≤ macheps * max(|A|, |B|, σ), где

σ

– минимальное п олож ительное число, п редставляемое на

данной Э В М , macheps – значениемаш инного эп силон. П араметр σ, вооб щ е говоря, долж ен оп ределяться п рограммным об разом, но доп ускается п рисвоение ему некоторого разумного значения (о вычислениимаш инного эп силон см. Замечание5 раздела5.1).

7

В арианты Задания 2: В ариантД вухсторонний метод Рунге – К уттаО рганизация счета/1/ /1/ 1 Д вучленные формулы (50) С хема2 2 Д вучленные формулы (51) С хема2 3 Д вучленные формулы (52) С хема3 4 Д вучленные формулы (53) С хема3 5 Т рехчленныеформулы (57) С хема1 6 Т рехчленныеформулы (58) С хема1 7 Т рехчленныеформулы (59) С хема1 8 Т рехчленныеформулы (60) С хема1 З а да ние3. Реш ение задачи Кош и методом Э йлера с экстрап оляционным п овыш ением п орядкаточностип о Ричардсону. Н азначение. И нтегрирование с п остоянным ш агом об ыкновенного дифференциального уравнения

y′

= f(x,y),

с начальным условием

x∈[А,В ]

(1)

y(c)=yc,

гдеточкаc совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez – имя файлавыходных данных; Icod – код заверш ения. Замечаниео структурефайлаисходных данных. 1. П ервая строка– значения A, B, C, yc; 2. В торая строка– число точек M, вкоторых долж но б ыть п олучено реш ение; 3. Т ретья строка – r (п орядок точности реш ения), N1,N2,… ,Nr (см. раздел 3.1.) Замечаниео структуревыходного файла. П ервыеип оследую щ иестрокисодерж атзначениеX – координаты точки интегрирования изначениевычисленного реш ения вэтой точке. М етод (см. раздел 3. П овыш ение точности экстрап оляционным методом Ричардсона.)

8

1. Реш ается системаr линейных алгеб раических для оп ределения коэффициентовγ1, γ2, … , γr.

уравнений

2. М етодом Э йлера(9) r раз реш ается исходная задачаКош и (1) с r различнымиш агамиτk = 1/(Nk*M), k = 1, 2, … , r. τ 3. И з п олученныхреш ений u κ, k = 1, 2, … , r строится экстраполированное п о Ричардсону реш ение r

U

H

= ∑ γ k uτ k k =1

насеткес п остоянным ш агом (B-A)/M. Замечания п о п рограммированию . 1. С охранять в маш инной п амяти вычисленные значения реш ений разреш ается только вузлах сеткис ш агом (B-A)/M. τ 2. Ж елательно не хранить значения реш ений u κ, ап ри реализации на Э В М об ъ единить п .2 ип .3 М етода. В арианты Задания 3. В ариант 1 2 3 4

П орядок методаr 3 4 5 6

З а да ние4. Реш ение задачи Кош и методом Э йлера с экстрап оляционным п овыш ением п орядкаточностип о Ричардсону с ап остериорной оценкой п огреш ности. Н азначение. И нтегрирование с п остоянным ш агом об ыкновенного дифференциального уравнения

y′ = f(x,y),

x∈[А,В ]

(1)

с начальным условием y(c)=yc, где точкаc совп адает либ о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez – имя файлавыходных данных. Замечаниео структурефайлаисходных данных. 1. П ервая строка– значения A, B, C, yc. 2. В торая строка– число точек M, вкоторых долж но б ыть п олучено реш ение.

9

3. Т ретья строка – r (п орядок точностиреш ения, N1, N2, … , Nr, Nr+1(см. раздел 3.1 иЗамечаниеоб оценкеп огреш ности)). Замечаниео структуревыходного файла. П ервая ип оследую щ иестрокисодерж атп о 3 числа: x-координататочки интегрирования, вычисленное реш ение в этой точке, значение п огреш ности. П риэтом x-координаты точек интегрирования п о строкам расп олож ены вп орядкевозрастания. М етод (см. Раздел 3.1. П овыш ение точности экстрап оляц ионным методом РичардсонаиЗамечаниеоб оценкеп огреш ности). 1. Реш аю тся две системы (64) линейных алгеб раических уравнений – одна размерности r для оп ределения коэффиц иентов γ 1 , γ ,...,γ r , другая

размерности

(r +1)

для

оп ределения

коэффициентов

γ1,γ 2 ,...,γ r+1 .

2. М етодом Э йлера (r +1) раз реш ается исходная задача Кош и на равномерных сетках с ш агом 3. И з п олученных реш ений u

τ k , k = 1,2,...,r +1. τk

, k = 1, 2 ,... r + 1 экстрап оляц ией п о

H =1/ M оп ределяю тся двареш ения H п орядка r и U п орядка (r +1) . П о реш ению UH вычисляется

Ричардсону насетке с ш агом

UH главный член п огреш ностиреш ения UH. Замечания п о п рограммированию . 1. С охранять в маш инной п амяти вычисленные значения реш ений разреш ается только вузлах сеткис ш агом (B-A)/M. τ 2. Ж елательно не хранить значения реш ений u κ, ап риреализациина Э В М об ъ единить п .2 ип .3 М етода В арианты Задания 4 В ариант 1 2 3 4

П орядок методаr 3 4 5 6

З а да ние5 П остроение неп рерывного п риб лиж енного реш ения задачи Кош и заданного п орядкаточностиr. Н азначение. И нтегрированиеоб ыкновенного дифференциального уравнения

y′ = f(x,y),

x∈[А,В ] (1)

с начальным условием

y(c)=yc,

10

где точкаc совп адает либ о с началом, либ о интегрирования.

с

конц ом

отрезка

О п исаниеп араметров data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez1 - имя файлавыходных данных; rez2 - имя файлавыходных данных. Замечаниео структурефайлаисходных данных. 1. П ервая строка– значения A, B, C, yc; 2. В торая строка– число точек М , вкоторых долж но б ыть п олучены реш ения; 3. Т ретья строка – r (п орядок точности реш ения), N1,N2,… ,Nr (см. раздел 3.1) Замечаниео структуревыходного файлаrez1. В файле rez1 расп олож ена таблица значений реш ения с ш агом (B − A) / M . П ервые и п оследую щ ие строки содерж ат значение x– координаты точкиинтегрирования изначение вычисленного реш ения вэтой точке. Замечаниео структуревыходного файлаrez2. П ервая ип оследую щ иестрокисодерж атследую щ иезначения: номерэлементарного отрезкасеткис п остоянным ш агом (B− A) / M , x– координата начала отрезка, коэффициенты ап п роксимирую щ его реш ения интерп оляционного п олинома соответствую щ ем элементарном отрезке

степ ени

(r-1)

на

М етод.

1. Реш ается система r линейных алгеб раических уравнений для оп ределения коэффициентовγ1, γ2, … , γr.

2. М етодом Э йлера(9) R раз реш ается исходная задачаКош и (1) с R различнымиш агамиτk = 1/(Nk*M), k = 1, 2, … , r. τ 3. И з п олученных реш ений u κ, k = 1, 2, … , r строится экстрап олированноеп о Ричардсону реш ение r

U

H

= ∑ γ k uτ k k =1

насеткес п остоянным ш агом (B-A)/M. 4. Д ля каж дого элементарного отрезка

[ti , ti+1 ]

сетки ω τ выб ираю тся

доп олнительно к ним ещ ё r-2 б лиж айш их узласеткиω τ , ип о этим r узлам строится интерп оляционный п олином вида

11

a0(i) +a1(i) (t −ti ) +a2(i) (t −ti )2 +...+ar(i−)1(t −ti )r−1. (i)

(i)

С п особ

оп ределения

(i)

коэффициентовa0 , a1 ,...,ar−1 студентвыб ираетсам. Замечания п о п рограммированию . 1. С охранять в маш инной п амяти вычисленные значения реш ений разреш ается только вузлах сеткис ш агом (B-A)/M.

, ап риреализации на

τκ

2. Ж елательно не хранить значения реш ений u Э В М об ъ единить п .2 ип .3 М етода. В арианты Задания 5 В ариант 1 2 3 4

П орядок методаr 4 5 6 7

З а да ние6 П остроение неп рерывного п риб лиж енного реш ения задачи Кош и заданного п орядкаточности. Н азначение. И нтегрированиеоб ыкновенного дифференциального уравнения

y′ = f(x,y),

x∈[А,В ] (1) y(c)=yc, гдеточкаc совп адаетлиб о с началом, либ о

с начальным условием с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez1 - имя файлавыходных данных; rez2 - имя файлавыходных данных. Замечаниео структурефайлаисходных данных. П ервая строка – значения A, B, C, yc, M (число точек, в которых долж но б ыть п олучено откорректированноереш ение). Замечаниео структуревыходного файлаrez1. В файле rez1 расп олож ена таблица значений реш ения с ш агом (B − A) / M . П ервые и п оследую щ ие строки содерж ат значение x– координаты точкиинтегрирования изначение вычисленного реш ения вэтой точке. Замечаниео структуревыходного файлаrez2. П ервая ип оследую щ иестрокисодерж атследую щ иезначения:

12

номер элементарного отрезка сетки с п остоянным ш агом (B − A) /(rM) , x – координата начала отрезка, коэффиц иенты ап п роксимирую щ его реш ение интерп оляционного п олинома степ ени ( r − 1) на соответствую щ ем элементарном отрезке. М етод (см. раздел 3.2 и Замечание о коэффициентах интерп оляц ионных п олиномовоткорректированного реш ения). 1. Реш ается система r линейных алгеб раических уравнений для оп ределения коэффициентовγ1, γ2, … , γr. 2. М етодом Э йлера (9) r раз реш ается исходная задача Кош и с r различнымиш агамиτ k = 1 /(kM), k = 1,2,...,r . 3. Каж дому численному реш ению

uτ k

на сетке

ωτ k ставится в

соответствие неп рерывное п риб лиж енное реш ение

[ti ,ti+1]

этого для каж дого элементарного отрезка выб ираю тся доп олнительно к узлам

ti ,ti+1 ещ

ё

u τ k (t ) . сетки

r−2 б лиж айш

Д ля

ωτ k

их узла,

и п о значениям вэтих r узлах оп ределяется п олином степ ени r-1 (ik) (ik) (ik) r −1 вида, a0 + a1 t + ...+ ar −1 t , который п ринимается за неп рерывное п риб лиж енное реш ение сеткиω τ k .

uτk (t) на отрезке [t i , t i +1 ]

4. С исп ользованием неп рерывных интерп олянтов

uτk (t)

искомое

H

п риб лиж енное реш ение U (t) п редставляется как линейная τk комб инация u (t) ввиде(67). Т аким об разом, п остроенноереш ение

UH(t) - это неп рерывная функция, которая накаж дом отрезке самой мелкой сетки

ωτ k

элементарном

есть п олином степ ени

r-1,

коэффициенты которого оп ределяю тся отдельно для каж дого элементарного отрезкасамой мелкой сеткиωτ k

Замечания п о п рограммированию . 1. С охранять в маш инной п амяти вычисленные значения реш ения разреш ается только вузлах сеткис самым круп ным ш агом (B − A) / M . 2. Ц елесооб разно п .2, п .3 ип .4 М етодавып олнять п араллельно, то есть, п роинтегрировавметодом Э йлераочередную задачу Кош и и строя неп рерывное реш ение, сразу аддитивно доб авлять соответствую щ ие слагаемые в линейные комб инации интерп оляц ионных

13

коэффициентов, которые п ослеинтегрирования всех r задач Кош и дадут коэффициенты интерп оляционных п олиномов откорректированного реш ения. В арианты Задания 6 В ариант 1 2 3 4

П орядок точностиr 4 5 6 7

З а да ние7 Реш ение задачи Кош и для системы об ыкновенных дифференциальных уравнений п ервого п орядка с ап остериорной оценкой п огреш ности в контрольных точках. Н азначение. И нтегрирование системы об ыкновенных дифференциальных уравнений

y′ = f (x, y),x∈[A, B] с начальным условием y(c) = yc (точкаC совп адает либ о с

началом, либ о с концом

отрезка интегрирования), где

y =(y1, y2,...,yM)T ,

yc =(y1c, yc2,...,ycM )T , f = ( f 1(x, y1,...,yM ),...,f M (x, y1,...,yM ))T , M

- размерность

системы уравнений. О п исаниеп араметров. data - имя файлаисходных данных; f имя п одп рогра ммы, в ычисляю щ ей зна чения функций f i (x, y1,...,yM ), i = 1, M . С п исок её п араметров: (M, x,Y1, R1) , где М оп исан выш е; х - входная п еременная х , оп ределяю щ ая значениеаргументах ; Y1 - входной массив размера M , содерж ащ ий значения аргументов

y1 , y 2 ,..., y M ; R1 -

выходной массив размера M , содерж ащ ий значения

функций

f i ( x, y1 ,..., y M ) , i = 1, M rez - имя файлавыходных данных; код заверш ения п одп рограммы, Icod - выходная п еременная – п ринимаю щ ей следую щ иезначения: Icod=0 – нетош иб ки, реш ениеп олучено; Icod=4 – вчетвертой контрольной точкереш ениене п олучено из-за невозмож ности дальнейш его п рименения двухстороннего методаРунге-К утта; Icod=1 – ош иб кавходныхданных.

14

Замечание о структуре файла исходных данных. П ервая строка – значения A, B,C, M, H - наиб ольш ая доп устимая величинаш ага;

(M+1)-ой

строки – номер i комп оненты реш ения исоответствую щ еезначение y ci ; В торая, третья и др. до

(M+2) -ая строка– число контрольныхточек К Т ;

С трокис (M + 3) -ей п о (М+2+К Т)-ую – номер

S

контрольной точки,

значение x S аргумента контрольной точки (контрольные точки уп орядочены п о возрастанию аргумента и п ринадлеж ат интервалу [A, B ] ). Замечаниео структуревыходного файла. П ервая и п оследую щ ие строки – номер S контрольной точки и номер 1 2 строки одновременно, x S , y s, y s, … , yMS, ε S (о п ринятых об означениях см. ниж е п .2 М етода). Значения x S следует в п орядке возрастания, S = 1, … , KT. Е сли п оследняя контрольная точка не совп адает с концом интервала интегрирования, то в конц е файла выводится строка, соответствую щ ая конц у интервала. М етод. Н иж е для п ростоты излож ения п редп олагаем, что начало и конец интервалаинтегрирования [A, B] вклю чены вчисло контрольныхточек.

1. Н акаж дом п одинтервале [x S , x S +1 ] оп ределяется максимальный ш аг H S такой, что его длинаменьш е илиравнанаиб ольш ей доп устимой длине ш ага H , адлинап одинтервалакратнадлине ш ага H S . Е сли

x S +1 − x S < H , то H S = x S +1 − xS . 2. Н акаж дом п одинтервале [x S , x S +1 ] двухсторонним методом РунгеК утта, конкретной вид которого и схема организации счета оп ределяю тся номером В аш его варианта, с ш агом H S оп ределяю тся − + реш ения y , y . За значение реш ения в точке x S +1 п ринимается

y S +1 = 0.5( y S−+1 + y S++1 ) . Э то значение yi +1 б удет рассматриваться как начальное значение п ри интегрировании задачи Кош и на следую щ ем

п одинтервале

[x S +1 , x S + 2 ].

п огреш ности п риб лиж енного реш ения

y S +1

В

качестве

вточке

x S +1

оценки возьмем

ε S +1 = max y Si −+1 − y Si++1 . i Е сли реализуется схема2 или 3, то, возмож но, что п роцесс реш ения б удет п рекращ ен из-заневозмож ностидальнейш его п рименения метода (см. раздел 2.3). В этом случае ввыходном файле б удет п омещ аться

15

информация только о тех контрольных точках, реш ение в которыхп олучено. Замечания п о п рограммированию . 1. Занимать маш инную п амять разреш ено только для хранения реш ения в контрольных точках. С охранять значения реш ения внутри п одинтервала[x S , x S +1 ] недоп устимо. 2. Ц елесооб разно нап исать п одп рограмму, являю щ ую ся интегратором системы уравнений наодном ш аге. В арианты Задания 7 В ариантД вухсторонний метод Рунге – К уттаО рганизация счета/1/ /1/ 1 Д вучленные формулы (50) С хема2 2 Д вучленные формулы (51) С хема2 3 Д вучленные формулы (52) С хема3 4 Д вучленные формулы (53) С хема3 5 Т рехчленныеформулы (57) С хема1 6 Т рехчленныеформулы (58) С хема1 7 Т рехчленныеформулы (59) С хема1 8 Т рехчленныеформулы (60) С хема1 З а да ние8. Реш ениезадачиКош идля систем 3х линейных дифференциальных уравнений с ап остериорной оценкой п огреш ности. Н азначение И нтегрированиелинейной системы дифференциальных уравнений

∂u (1) = P (x)u +Q(1)(x)v + R(1)(x)w+T (1)(x) ∂x ∂v (2) (2) (2) (2) =P (x)u+Q (x)v+R (x)w+T (x) ∂x ∂w (3) = P (x)u +Q(3)(x)v + R(3)(x)w+T (3)(x),x∈[A, B] ∂x с начальными условиями u(c)=uc, v(c)=vc, w(c)=wc, где точка с совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п одп рограммы, вычисляю щ ей значение функц ий P(i)(x), имя Q(i)(x), R(i)(x), T(i)(x), i=1,2,3; С п исок ее п араметров: (x, P1, Q1,

16

R1, T1), где x – входная п еременная, оп ределяю щ ая значение аргумента; P1,Q1, - входные массивы размера 3 со значениями функций

R1,T1

P(i)(x),

Q(i)(x), R(i)(x), T(i)(x), i=1,2,3;

rez - имя файлавыходных данных; код заверш ения п одп рограммы, Icod - выходная п еременная – п ринимаю щ ей следую щ иезначения: Icod= 0 – нетош иб ки, реш ениеп олучено; Icod= 1 – ош иб кавходныхданных. Замечаниео структурефайлаисходных данных. 1. П ервая строка– значения А , В, С , Н – ш аг интегрирования. 2. В торая строка- uc, vc, wc. Замечаниео структуревыходного файла. П ервая ип оследую щ иестроки– x , u , v , w , u ' , v ' , w ' , ε u , ε v , ε w , гдеl l l l l l l l l l

xl точкаинтегрирования;

u l , v l , w l , u l' , v l' , w l' - значения реш ения и п роизводныхреш ения вточкеxl; ε u , ε v , ε w - п огреш ностиреш ения. l l l М етод 1.

2.

О п ределяется значение ш агаH1 – б лиж айш ее меньш ее илиравное H такое, чтоб ы вотрезкеинтегрирования значениеH1 укладывалось кратноечисло раз; ~ С п остоянным ш агом H двухсторонним методом Рунге-К утта, конкретный вид которого оп ределяется номером В аш его варианта, п о той или иной схеме организации вычислений, которая такж е оп ределяется номером В аш его варианта, вкаж дой расчетной точке оп ределяю тся п о два значения для каж дого из реш ений u − , u + , v − , v + , w − , w + . Затем эти значения усредняю тся l

l

l

l

l

l

на логично) ив ычисляется величина , ( u = ( u − + u + ) / 2 , для v , w - а l l l l l характеризую щ ая п огреш ность ε u = u + − u − / 2 , для ε v , ε w l

l

l

l

l

аналогично. Е сли реализуется расчетная схема 2 или 3, то, возмож но, счет не дойдет до концаотрезкаинтегрирования (см. раздел 2.3), тогда в выходной файл зап исывается только п олученная часть реш ения. П омимо значений реш ения, вкаж дой точке вычисляю тся значения п равых частей исходной системы уравнений, являю щ иеся п роизводнымиu ' , v ' , w ' . l

l

l

Замечаниеп о п рограммированию Занимать маш инную п амять для хранения значений реш ений реш ения и п роизводныхреш ения внутриинтервалаинтегрирования недоп устимо.

17

В арианты задания 8. В ариант Д вухсторонний метод Рунге – К уттаО рганизация счета/1/ /1/ 1 Д вучленные формулы (50) С хема2 2 Д вучленные формулы (51) С хема2 3 Д вучленные формулы (52) С хема3 4 Д вучленные формулы (53) С хема3 5 Т рехчленныеформулы (57) С хема1 6 Т рехчленныеформулы (58) С хема1 7 Т рехчленныеформулы (59) С хема1 8 Т рехчленныеформулы (60) С хема1 З а да ние9. Реш ение задачи Кош и для системы об ыкновенных дифференциальных уравнений п ервого п орядкас ап остериорной оценкой глоб альной п огреш ности, наиб ольш еедоп устимоезначениекоторой задано. Н азначение И нтегрирование системы об ыкновенных дифференциальных уравнений

y′ = f (x, y),x∈[A, B] с начальным условием y(c) = yc (точкаC совп адает либ о с

началом, либ о с концом

отрезка интегрирования), где

y =(y1, y2,...,yM)T ,

yc =(y1c, yc2,...,ycM )T , f = ( f 1 (x, y1 ,...,yM ),...,f M (x, y1,...,yM ))T , M

- размерность

системы уравнений. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п одп рогра ммы, в ычисляю щ ей зна чения функций f i (x, y1,...,yM ), i = 1, M . С п исок её п араметров: (M, x,Y1, R1) , где М оп исан выш е; х - входная п еременная х , оп ределяю щ ая значениеаргументах ; Y1 - входной массив размера M , содерж ащ ий значения аргументов

y1 , y 2 ,..., y M ; R1 -

выходной массив размера M , содерж ащ ий значения

функций

f i ( x, y1 ,..., y M ) , i = 1, M rez - имя файлавыходных данных; Icod - выходная п еременная – код заверш ения п одп рограммы, п ринимаю щ ей следую щ иезначения: Icod= 0 – нетош иб ки, реш ениеп олучено; Icod= 1 – треб уемая точность не достигнута, реш ениеп олучено с меньш ей точностью ; Icod= 2 – ош иб кавходныхданных.

18

Замечание о структурефайлаисходных данных. П ервая строка– значения A, B, C, M , H min - наименьш еедоп устимое значение для выводаввыходной файл, H - наиб ольш ее доп устимое значение ш ага интегрирования, ε - наиб ольш ее доп устимое значение глоб альной аб солю тной п огреш ностиреш ения. В торая, третья и т.д. до (М+1)-ой строки – номер i-ой комп оненты i реш ения исоответствую щ еезначениеy c. Замечаниео структуревыходного файла. П ервая строка – вычисленное значение εr аб солю тной п огреш ностивконечной точке интегрирования; ш аг интегрирования, с которой п олученап огреш ность εr ; значение Icod – индикатор ош иб ки, п ринимаю щ ий следую щ иезначения: Icod =0 – заверш ениевсоответствиис назначением (εr ≤ ε); Icod=1 – п роцесс реш ения п рекращ ен, т.к. значение ш ага интегрирования делилось 20 раз. В торая ип оследую щ ие строки– значение аргумента xs ; значения реш ения

М етод

y1s , ys2 ,K, ysM ; п огреш

ность ε s (см. п . 2 метода).

В выходной файл значения реш ения выводятся с ш агом, не меньш им H min инеб ольш е H . Ш аг мож етб ыть п еременным. 1.О п ределяется ш аг интегрирования, об есп ечиваю щ ий п олучение реш ения с заданной аб солю тной глоб альной п огреш ностью следую щ им сп особ ом:

~

а) В ычисляется значение ш агаH - б лиж айш ее меньш ее или равное

H такое,

чтоб ы в отрезке интегрирования [A,B] значение укладывалось кратноечисло раз.

~

~ H

~

б ) С п остоянным ш агом H и H / 2 методом Рунге-К утта, конкретный вид которого оп ределяется номером В аш его варианта, реш ается задача Кош и от начальной до конечной точки. Ц ель – п олучить реш ение на конце отрезка интегрирования, п оэтому п ромеж уточные значения нигде не сохраняю тся. П о п равилу Рунге на конце отрезка интегрирования оц енивается абсолю тная п огреш ность каж дой из комп онент реш ения y1s , ys2 ,K, y sM (см. Замечание 5 к разделу 4.1) и выб ирается максимальная. Е сли максимальная п огреш ность меньш е или равнанаиб ольш ей доп устимой п огреш ности ε , ш аг интегрирования найден. В п ротивном случае его необ ходимо уточнить. в) Д ля уточнения значения ш ага интегрирования строится итерационный п роцесс. Каж дая итерация – это п овторениеп . б ) с новым значением ш ага. П ервый раз п . б ) п овторяется со значением ш агов

~ H /4и

~ H /8

19

и

т.д. И терационный п роцесс п рекращ ается

вследую щ их случаях: - найден ш аг, об есп ечиваю щ ий треб уемую точность; - п огреш ность неуменьш ается;

~

- сделано двадц ать делений п ервоначального ш агаH . 2. С п оследним значением ш агаинтегрирования из п .1 М етодавновь считаем задачу К ош и. П ри этом одновременно осущ ествляется вывод п олученного реш ения в выходной файл. В ыводятся не все п одряд значения, атак как оп исано вЗамечании о структуре выходного файла. В каж дой выводимой строке для каж дой комп оненты реш ения п о п равилу Рунге (90) оп ределяется аб солю тная п огреш ность и максимальная из них ε s такж евыводится вфайл. Замечаниеп о п рограммированию . Ц елесооб разно нап исать п одп рограмму, являю щ ую ся интегратором системы уравнений наодном ш аге. В арианты задания 9. В ариант 1 2 3 4 5 6

М етод Рунге-К утта/1/ М етод второго п орядка(20) М етод второго п орядка(22) М етод третьего п орядка(30) М етод третьего п орядка(31) М етод четвертого п орядка(32) М етод четвертого п орядка(33)

З а да ние10. Реш ение задачиКош ис заданной точностью с автоматическим выб ором ш ага методом удвоения иделения ш агап оп олам. Н азначение И нтегрированиеоб ыкновенного дифференциального уравнения

y′ = f(x,y),

x∈[А,В ] (1)

с начальным условием

y(c)=yc, гдеточкаc совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez - имя файлавыходных данных; Icod - выходная п еременная – код заверш ения п одп рограммы, п ринимаю щ ая следую щ иезначения: Icod = 0 – нетош иб ки, реш ениеп олучено;

20

Icod = 1 – треб уемая точность не достигнута, реш ение п олучено с меньш ей точностью ; Icod = 2 – ош иб кавходныхданных. Замечаниео структурефайлаисходных данных. П ервая строка- значения A, B, C , yc . В торая строка -

hmin

минимально доп устимый ш аг интегрирования,

наиб ольш еедоп устимоезначениеε аб солю тной п огреш ности. Замечаниео структуревыходного файла. П ервая ип оследую щ ие строки- x − координататочкиинтегрирования, п олученное п риб лиж енное значение в этой точке, локальная п огреш ность вэтой точке. П оследняя строкафайла– число точек интегрирования; число точек, в которых не достигается заданная точность; об щ ее количество минимальных ш аговинтегрирования. М етод (см. раздел 4.2 П рактические сп особ ы оценкип огреш ности; раздел 5.1 М етод удвоения иделения ш агап оп олам.) 1) Конкретный вид метода Рунге-К утта и сп особ оценки локальной п огреш ностип риб лиж енного реш ения наш агеоп ределяется номером В аш его варианта. 2) Д линасамого п ервого ш агаинтегрирования б ерется равной (В -А)/10. 3) Д ля достиж ения заданной точности ш аг hn в каж дой точке интегрирования выб ирается методом удвоения и деления ш ага п оп олам. Е сли п ри делении ш агаон становится меньш е hmin , то делениенедоп устимо иш агу п рисваивается значение hmin . 4) Д ля каж дого вычисленного ш ага hn делается п роверка на конец интервала. П усть интегрирование п роисходит слеванап раво, тогда п роверяется вып олнениенеравенстваB − ( xn + hn ) < hmin . Е слионо

неудовлетворяется, то следую щ ей точкой назначается xn + hn . Е сли неравенство сп раведливо, то для достиж ения конца отрезка интегрирования B необ ходимо сделать один или два ш ага, что регламентируется следую щ им п равилом: a) Е сли B − xn ≥ 2hmin , то делается два ш ага; b) c)

xn +1 = B − hmin , xn + 2 = B ; Е сли B − x x ≤ 1,5hmin , то вып олняется один ш аг; xn +1 = B ; Е сли1,5hmin < B − x x < 2hmin , то делается дваш ага; xn +1 = xn + ( B − xn ) / 2, xn + 2 = B.

21

Замечания п о п рограммированию . 1. П осле вычисления очередного п риб лиж енного значения реш ения оно сразу выводится в файл, занимать маш инную п амять для хранения п риб лиж енных значений реш ения недоп устимо. 2. Ц елесооб разно нап исать п одп рограмму, являю щ ую ся интегратором уравнения наодном ш аге. В арианты задания 10. В ариант 1 2 3 4 5

М етод Рунге-К уттадля реш ения /1/ М етод третьего п орядка(110) М етод второго п орядка(113) М етод второго п орядка(22) М етод второго п орядка(121) М етод четвертого п орядка(129)

М етод Рунге-К утта для уточнения реш ения /1/ М етод четвертого п орядка(111) М етод четвертого п орядка(112) М етод четвертого п орядка(115) М етод третьего п орядка(30) М етод п ятого п орядка(127)

З а да ние11. Реш ение задачи Кош и с заданной точностью с автоматическим выб ором максимальной длины ш ага. Н азначение И нтегрированиеоб ыкновенного дифференциального уравнения

y′ = f(x,y),

x∈[А,В ]

с начальным условием

y(c)=yc, гдеточкаc совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez - имя файлавыходных данных; Icod - В ыходная п еременная – код заверш ения, п ринимаю щ ий следую щ ие значения: Icod = 0 – нетош иб ки, реш ениеп олучено; Icod = 1 – треб уемая точность не достигнута, реш ение п олучено с меньш ей точностью ; Icod = 2 – ош иб кавходныхданных. Замечаниео структурефайлаисходных данных. П ервая строка– значения A, B, C , yc . В торая строка-

hmin минимальный доп устимый ш

hmax - максимальный доп устимый ш

аг интегрирования;

аг интегрирования;

доп устимоезначениеабсолю тной п огреш ности.

ε - наиб ольш

ее

22

Замечаниео структуревыходного файла. П ервая ип оследую щ ие строки- x − координататочкиинтегрирования, п олученное п риб лиж енное значение в этой точке, минимальная п огреш ность вэтой точке. П оследняя строкафайла– число точек интегрирования; число точек, в которых не достигается заданная точность; об щ ее количество минимальных ш аговинтегрирования; об щ ее количество максимальных ш аговинтегрирования. М етод (см. раздел 4.2 П рактические сп особ ы оценкип огреш ности; раздел 5.2 М етод выб орамаксимальной длины ш ага) 1. Конкретный вид метода Рунге-К утта и сп особ оценки локальной п огреш ности п риб лиж енного реш ения наш аге оп ределяется номером В аш его варианта. 2. Д лина самого п ервого ш ага интегрирования б ерется равной ( B − A) /10 . 3. Как и во всех задачах Кош и реш ение уравнения вычисляется п оследовательно от точки к точке. П усть xn - точка, в которой п риб лиж енное реш ение известно. Д ля п олучения следую щ ей точки в соответствии с методом выб ора максимальной длины ш ага оп ределяется рекомендуемая длинаш агаhε . В качествереального ш ага интегрирования из точки xn п ринимается значение

hmin , если hε ≤ hmin hn = hε , если hmin < hε ≤ hmax hmax , если hε > hmax 3.

Д ля каж дого вычисленного ш ага hn делается п роверка на конец интервалас тем, чтоб ы п оследний ш аг неоказался слиш ком малым. Алгоритм выб ора двух п оследних ш агов у конца отрезка интегрирования разраб отать самостоятельно.

Замечания п о п рограммированию . 1. П осле вычисления очередного п риб лиж енного значения реш ения оно сразу выводится в файл, занимать маш инную п амять для хранения п риб лиж енных значений реш ения недоп устимо. 2. Ц елесооб разно нап исать п одп рограмму, являю щ ую ся интегратором уравнения наодном ш аге.

23

В арианты задания 11. В ариант 1 2 3 4 5

М етод Рунге-К уттадля реш ения /1/ М етод второго п орядка(121) М етод второго п орядка(113) М етод второго п орядка(22) М етод третьего п орядка(110) М етод четвертого п орядка(129)

М етод Рунге-К уттадля уточнения реш ения /1/ М етод третьего п орядка(30) М етод третьего п орядка(112) М етод четвертого п орядка(115) М етод четвертого п орядка(111) М етод п ятого п орядка(127)

З а да ние12. Реш ение задачи Кош и для системы 3-х линейных об ыкновенных дифференциальных уравнений с ап остериорным оп ределением числаверных знаковреш ения. Н азначение И нтегрированиелинейной системы дифференциальных уравнений

∂u = P(1) ( x)u + Q (1) ( x)v + R(1) ( x)w + T (1) ( x) ∂x ∂v (2) (2) (2) (2) = P ( x)u +Q ( x)v + R ( x)w+T ( x) ∂x ∂w = P (3) ( x)u + Q (3) ( x)v + R (3) ( x)w + T (3) ( x), x ∈[ A, B] ∂x

с начальными условиями u(c)=uc, v(c)=vc, w(c)=wc, где точка с совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data - имя файлаисходных данных; f - имя п одп рограммы, вычисляю щ ей значение функций P(i)(x), имя Q(i)(x), R(i)(x), T(i)(x), i=1,2,3; С п исок ее п араметров: (x, P1, Q1, R1, T1), где x – входная п еременная, оп ределяю щ ая значение аргумента; P1,Q1, - входные массивы размера 3 со значениями функций P(i)(x),

R1,T1

Q(i)(x), R(i)(x), T(i)(x), i=1,2,3;

rez - имя файлавыходных данных; Icod - выходная п еременная – код заверш ения п одп рограммы, п ринимаю щ ий следую щ иезначения: Icod= 0 – нетош иб ки, реш ениеп олучено; Icod= 1 – ош иб кавходныхданных.

24

Замечаниео структурефайлаисходных данных. П ервая строка– значения А , В, С , Н – ш аг интегрирования. В торая строка- uc, vc, wc. Замечаниео структуревыходного файла. П ервая ип оследую щ иестроки - xe, ue, ve, we, u`e, v`e, w`e, Ke, Le, Me, гдех e – точкаинтегрирования; ue, ve, we, u`e, v`e, w`e – значения реш ения ип роизводных реш ения вточке xe; Ke, Le,Me – число верных знаковвп риб лиж енных реш ениях ue, ve, we соответственно. М етод (см. раздел 1.7. Реш ение систем об ыкновенных дифференциальных уравнений методамитип аРунге-К утта; раздел 4.5. М ерап огреш ности п риб лиж енного реш ения.) 1. О п ределяется значение ш агаH1 – б лиж айш ее меньш ее илиравное H такое, чтоб ы вотрезке интегрирования значение H1 укладывалось кратноечисло раз; 2. С п остоянным ш агом H1 п оследовательно от начальной до конечной точкиинтегрирования вып олняю тся следую щ иедействия для каж дой расчетной точких e: а) М етодом Рунге-К утта2-го п орядка, конкретный вид которого номером В аш его варианта, вычисляю тся значения п риб лиж енных реш ений ue, ve, we. б ) И сп ользуя метод Рунге-К утта 3-го п орядка, конкретный вид которого оп ределяется номером В аш его варианта, вычисляю тся локальные п огреш ности реш ения εue, ε ve, ε we, вернее главные частиэтихп огреш ностей. в) Е сли ul≠0, то оп ределяется максимальное целое m, удовлетворяю щ еенеравенству:

|εue | / |ue|≤12 10-m Н айденное целое число m б удет равно числу Ke верных знаков п риб лиж енного реш ения ue. Ч исла верных знаков Le, Ne в п риб лиж енных реш енияхve, we п одсчитываю тся аналогично. г) Д ля оп ределения п риб лиж енных значений п роизводных u' e, v'e, w' e вычисляю тся п равыечастиуравнений. д) П олученныеданныео точкеxe зап исываю тся ввыходной файл.

25

В арианты Задания 12. В ариант М етод Рунге-К утта второго М етод Рунге-К утта третьего п орядка для оп ределения п орядка для оп ределения реш ения /1/ п огреш ности/1/ 1 (20) (30) 2 (22) (31) 3 (24) (30) З а да ние13. Реш ение задачи Кош и для системы 3-х об ыкновенных дифференциальных уравнений с ап остериорным оп ределением числаверных знаковреш ения. Н азначение. И нтегрирование системы об ыкновенных дифференциальных уравнений:

du/dx=f(1)(x,u,v,w) dv/dx=f(2)(x,u,v,w) dw/dx=f(3)(x,u,v,w), x Є [A,B] c начальнымиусловиямиu(c)=uc, v(c)=vc, w(c)=wc, гдеточкас совп адает либ о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data - имя файлаисходных данных; f имя - имя п одп рограммы, вычисляю щ ей значение функций f(i), i=1,2,3; сп исок ее п араметров: (x u, v, f1, f2, f3), где x – входная п еременная, оп ределяю щ ая значение аргумента, f1, f2, f3 – зна чения (1) (2) (3) функций f (x,u,v,w),f (x,u,v,w),f (x,u,v,w) соответственно rez - имя файлавыходных данных; Icod - выходная п еременная – код заверш ения п одп рограммы, п ринимаю щ ий следую щ иезначения: Icod= 0 – нетош иб ки, реш ениеп олучено; Icod= 1 – ош иб кавходныхданных. Замечаниео структурефайлаисходных данных. П ервая строка– значения А , В, С , Н – ш аг интегрирования. В торая строка- uc, vc,wc. Замечаниео структуревыходного файла. П ервая ип оследую щ ие строки - xe, ue, ve, we, u`e, v`e, w`e, Ke, Le, Me, гдех e – точкаинтегрирования; ue, ve, we, u`e, v`e, w`e – значения реш ения ип роизводных реш ения вточкеxe;

26

Ke, Le ,Me – число верных знаковвп риб лиж енных реш ениях ue,

ve, we соответственно.

М етод (см. раздел 1.7 Реш ение систем об ыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге-К утта; раздел 4.5 М ера п огреш ности п риб лиж енного реш ения; раздел 4.2 О ценкалокальной п огреш ностип о п равилу Рунге.) 1. О п ределяется значение ш агаH1 – б лиж айш ее меньш ее илиравное H такое, чтоб ы в отрезке интегрирования значение H1 укладывалось кратноечисло раз;

~

2. C п остоянным ш агом H п оследовательно от начальной до конечной точкиинтервалаинтегрирования вып олняю тся следую щ ие действия для каж дой расчетной точкиxl: а) М етодом Рунге-К утта четвертогоо п орядка, конкретный вид которого оп ределяется номером ваш его варианта, вычисляю тся значения п риб лиж енныхреш ений ue, ve, we. б ) П о п равилу Рунге оценкилокальной п огреш ности вычисляю тся локальныеп огреш ности εue, ε ve, ε ue, вернееих главныечасти. в) Е сли ul≠0, то оп ределяется максимальное целое m, удовлетворяю щ еенеравенству:

|Εue | / |ue|

≤

1 10-m 2

Н айденное ц елое число m б удет равно числу K

e

верных знаков

п риб лиж енного реш ения u e. Ч исла верных знаков Le, Ne в п риб лиж енных реш енияхv, we п одсчитываю тся аналогично. г) Д ля оп ределения п риб лиж енных значений п роизводных u' e,v'e, w' e вычисляю тся п равыечастиуравнений. д) П олученныеданныео точкеxl зап исываю тся ввыходной файл. В арианты Задания 13 В ариант 1 2 3

М етод Рунге-К уттачетвертого п орядка/1/ (32) (33) (34)

З а да ние14. Реш ение задачи Кош и с заданным числом верных знаков реш ения с автоматическим выб ором ш ага. Н азначение. И нтегрированиеоб ыкновенного дифференциального уравнения

y' = f(x,y),

x∈[А,В ]

27

с начальным условием

y(c)=yc, гдеточкаc совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez - имя файлавыходных данных; Icod - выходная п еременная – код заверш ения. Замечаниео структурефайлаисходных данных. П ервая строка– значения A, B, C, yc. В торая строка– начальноезначениеН ш агаинтегрирования; m – число верных знаковреш ения; hmin – наименьш ий доп устимый ш аг интегрирования. Замечаниео структуревыходного файла. П ервая и п оследую щ ие строки - х– координататочки интегрирования; п олученное п риб лиж енное реш ение вэтой точке, число верных знаков п риб лиж енного реш ения. П оследняя строка– значение Icod – индикатор ош иб ки, п ринимаю щ ий следую щ иезначения: Icod=0 – заверш ениевсоответствиис назначением (п риб лиж енноереш ениес заданным числом верныхзнаковп олучено); Icod=L – вL точкахтреб уемая точность недостигается; Icod=1 – ош иб кавходныхданных; значениереального наименьш его ш агаинтегрирования; значениенаиб ольш его ш агаинтегрирования. М етод. (С м. раздел 4.4. В лож енныеметоды локальной п огреш ности; Раздел 5.1. М етод удвоения иделения ш агап оп олам; раздел 4.5. М ерап огреш ностип риб лиж енного реш ения). 1. Д ля п олучения п риб лиж енных значений реш ения и оценки их локальных п огреш ностей исп ользую тся влож енныеметоды, конкретный вид которых зависитотномераВ аш его варианта. 2. Д ля достиж ения заданной точности реш ения (для об есп ечения m верных знаковвп риб лиж енных значениях реш ения) ш аг вкаж дой точке интегрирования выб ирается методом удвоения иделения ш агап оп олам. П ри этом метод удвоения и деления ш ага п оп олам долж ен б ыть реализован с учетом Замечания 1 иЗамечания 5 из раздела5.1. Кроме того, необ ходимо вып олнить следую щ еетреб ованиек алгоритму выб ора ш ага. Е сли текущ ее значение ш ага, б ольш ее hmin., не об есп ечивает треб уемую точность, ап риделениитекущ его ш агап оп олам п олучается

28

необ ходимо п редп ринять значение, меньш ее hmin., то п оп ытку нахож дения п риб лиж енного реш ения со значениями ш ага, равнымиhmin. 3. Т реб уемая точность мож етнедостигаться вслучаях: - значение ш ага стало равным hmin , дальнейш ее его уменьш ение недоп устимо; - п роцесс п оследовательного деления ш агап оп олам п рекращ ен, т. к. с уменьш ением ш ага п огреш ность п риб лиж енного реш ения п ерестала уменьш аться. 4. П оследняя точка, вкоторой оп ределяется реш ение, долж нанаходиться от концаинтервалаинтегрирования нарасстоянии, не п ревыш аю щ ем hmin. В арианты Задания 14. В ариант 1 2 3

М етод Рунге-К утта для М етод Рунге-К уттадля уточнения реш ения /1/ реш ения /1/ М етод второго п орядка М етод четвертого п орядка(32) (118) М етод второго п орядка М етод третьего п орядка(30) (121) М етод третьего п орядка М етод четвертого п орядка(123) (125)

З а да ние15. Реш ение задачи Кош и с заданным числом верных знаков реш ения с автоматическим выб ором ш ага. Н азначение. И нтегрированиеоб ыкновенного дифференциального уравнения

y' = f(x,y),

x∈[А,В ] (1)

с начальным условием

y(c)=yc, гдеточкаc совп адаетлиб о с началом, либ о с концом отрезкаинтегрирования. О п исаниеп араметров. data – имя файлаисходных данных; f – имя п роцедуры – функции с двумя п араметрами, которая долж на б ыть оп исанавп рограмме (функция f – вычисляет значение п равой частиуравнения (1)); rez - имя файлавыходных данных; Icod - В ыходная п еременная – код заверш ения. Замечаниео структурефайлаисходных данных. П ервая строка– значения A,B,C, yc .

29

В торая строка – значение H начального ш агаинтегрирования; М аксимальное доп устимое число k делений п ервоначального ш ага; число верных знаковреш ения – m. Замечание о структуревыходного файла. П ервая и п оследую щ ие строки - х-координататочки интегрирования; п олученное п риб лиж енное реш ение вэтой точке: число верных знаков п риб лиж енного реш ения. П оследняя строка– значение Icod – индикатор ош иб ки, п ринимаю щ ий следую щ иезначения: Icod=0 - заверш ение всоответствиис назначением (п риб лиж енное реш ениес заданным числом верных знаковп олучено); Icod=1- треб уемая точность не достигнута, реш ение п олучено с меньш ей точностью ; значениереального наименьш его ш агаинтегрирования; значениенаиб ольш его ш агаинтегрирования. М етод. (С м. раздел 4.2. О ц енка локальной п огреш ности п о п равилу Рунге; раздел 5.1. М етод удвоения и деления ш ага п оп олам раздел; 4.5. М ера п огреш ностип риб лиж енного реш ения.) 1. Д ля п олучения п риб лиж енных значений реш ения исп ользуется метод Рунге-К утта, конкретный вид которого оп ределяется номером В аш его варианта, локальная п огреш ность оценивается п о п равилу Рунге. 2. Д ля достиж ения заданной точности реш ения (об есп ечения m верных знаков) ш аг вкаж дой точкеинтегрирования выб ирается методом удвоения и деления ш ага п оп олам. П ри этом число делений п ервоначального ш ага ограничивается значением п араметра k (cм. Замечание6 раздела5.1.). 3. Т реб уемая точность мож етнедостигаться вслучаях: - дальнейш ее уменьш ение ш ага невозмож но (число делений п ервоначального ш агадостигло значения k); - п роцесс п оследовательного деления ш агап оп олам п рекращ ен, т.к. с уменьш ением ш ага п огреш ность п риб лиж енного реш ения п ересталауменьш аться. 4. П оследняя точка xn , в которой оп ределяется п риб лиж енное реш ение, долж насовп адать с точкой B(A) илинаходиться сп рава(слева) k от нее нарасстоянии, не п ревыш аю щ ем H/2 , еслиначальное условие п оставлено вточкеA(B). В арианты задания 15. В ариант 1 2 3

М етод Рунге-К утта/1/ М етод третьего п орядка(30) М етод четвертого п орядка(33) М етод п ятого п орядка(127)

30

Л И Т Е Р АТ У Р А 1. КорзунинаВ .В . Ч исленноереш ениезадачиКош идля об ыкновенных дифференциальныхуравнений методамиРунге-К утта/ В .В .Корзунина, З.А.Ш аб унина. – В оронеж : В Г У , 2002. – Ч .1. – 53 с.

31

С оставители: КорзунинаВ ераВ асильевна, Ш аб унинаЗоя Александровна. Редактор Т ихомироваО .А.