МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
В.С. Ре...
2 downloads
248 Views
4MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
В.С. Ремизович, А.И. Кузовлев
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТА В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ Часть 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СВЕТА В МОДЕЛЬНЫХ СРЕДАХ Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Москва 2010
УДК 535.361(075 ББК 22.343я7 Р 38 Ремизович В.С., Кузовлев А.И. Введение в теорию распространения света в случайных средах. Ч.2. Вычисление интенсивности света в модельных средах: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. 276 с. В пособии излагается материал, соответствующий одному из разделов курса “Физическая теория переноса излучения” – распространение светового излучения в случайных средах. Данное пособие является непосредственным продолжением предыдущего пособия “Введение в теорию распространения света в случайных средах. Часть 1. Определение основных оптических характеристик распространения светового излучения. Уравнение переноса”. В данной части пособия описаны простейшие методы расчета световых полей в модельных средах. Учебное пособие частично восполняет практически полное отсутствие учебного материала по вопросам курса, одновременно обеспечивая специфическую форму подачи материала именно для студентов дневного отделения НИЯУ МИФИ. При этом предполагается необходимый уровень знаний определенных разделов математики (теории линейных дифференциальных уравнений, теории интегральных преобразований) и теоретической физики (квантовой механики, элементов физической кинетики). При написании пособия авторы стремились к максимально подробному изложению материала, включив многие промежуточные выкладки. Некоторые задачи решены одновременно несколькими способами. Это, несомненно, будет полезно для широкой студенческой аудитории с большой дифференциацией знаний и поможет существенно легче усвоить излагаемый материал. Пособие снабжено богатым иллюстративным материалом, что придает максимальную наглядность излагаемому предмету. Данное учебное пособие может быть также полезно для студентов факультетов дневного отделения НИЯУ МИФИ, обучающимся по специальностям “Физика плазмы”, “Физика конденсированного состояния вещества”, “Радиационная безопасность человека и окружающей среды”, а также аспирантам, специализирующимся в области теории взаимодействия излучения с веществом. Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Калашников Н.П.
ISBN 978-5-7262-1271-5 © Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”, 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 5. Распространение светового излучения в случайнонеоднородных средах с двунаправленной индикатрисой рассеяния…………………………………………………………………..5 §1. Одномерное стационарное блуждание фотона в полубесконечной однородной среде…………………………..….6 §2. Разложение нисходящего и восходящего излучения по парциальным потокам……………………………..……..………15 §3. Полный и парциальные коэффициенты отражения от полубесконечной среды с 2-направленной индикатрисой рассеяния…………………….…………………….……………...29 §4. Нестационарное одномерное блуждание фотона в случайной полубесконечной среде………………………………39 §5. Полный и парциальные коэффициенты отражения при облучении поверхности -импульсным световым потоком…………………………………………………………....65 Глава 6. Распространение излучения в изотропно рассеивающей среде……………………………………………..….72 §1. Уравнения переноса при изотропном рассеянии…….……..73 §2. Закон Фика в бесконечной изотропно рассеивающей среде…………..…………………………………………………...85 §3. Распространение излучения в бесконечной гомогенной изотропно рассеивающей среде. Основные уравнения…….…………………………………………………...89 §4. Вычисление плотности энергии светового поля….………103 §5. Вычисление интенсивности излучения в бесконечной гомогенной изотропно рассеивающей среде……………….…110 §6. Отражение от полубесконечной изотропно рассеивающей среды……………………………………………136 Глава 7. Двухпотоковое приближение………………………….176 §1. Уравнения переноса в двухпотоковом приближении…….178 §2. Вычисление энергетических характеристик светового поля……………………………………………………………….189 §3. Коэффициент отражения от полубесконечной изотропно-рассеивающей среды в двухпотоковом
3
приближении………………………………………….…….…...197 §4. Функция отражения от полубесконечной изотропно рассеивающей среды в двухпотоковом приближении….…….206 Приложение 5. Интегропоказательные функции………..….…….213 Приложение 6. Исследование функции ; ...…..…………217 Приложение 7. Вычисление плотности энергии поля в слабо поглощающих средах……………………………………...229 Приложение 8. Получение уравнения Амбарцумяна для функции отражения от полубесконечной среды, используя принцип инвариантности…………………………………...……....234 Приложение 9. Решение уравнений в однопараметрическом варианте двухпотокового приближения в изотропно рассеивающей среде.….…………………………………………….249 Вопросы для самоконтроля………………….……………………..261 Список литературы………………..……………………………..…273
4
Глава 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С ДВУНАПРАВЛЕННОЙ ИНДИКАТРИСОЙ РАССЕЯНИЯ Настоящая глава посвящена изучению проблемы распространения фотонов в модельной среде с хаотически распределенными рассеивающими разномасштабными центрами с 2-направленной индикатрисой рассеяния на каждом из них, т.е. с игольчатой индикатрисой вида “вперед – назад” (2.3.4a). В ряде случаев это сводится к изучению одномерного блуждания фотонов в таких средах. В других случаях, даже несмотря на такое радикальное упрощение, задача о распространении света в такой модельной среде не является одномерной, например, если на нижней границе плоского слоя вещества имеется диффузно отражающая подложка. Изучение распространения света в среде со столь, казалось бы, простой индикатрисой рассеяния тем не менее представляет несомненный интерес и оправдано, поскольку простота закона однократного рассеяния позволяет, уже без каких-либо дополнительных упрощений, найти точное аналитическое решение как стационарных, так и нестационарных задач теории распространения светового излучения в случайных средах. Полученные результаты не могут претендовать на высокую точность. Однако они позволяют сравнительно просто получить качественные оценки различных средних характеристик световых полей для широкого круга задач теории распространения светового излучения в мутных средах при различных значениях дифракционного параметра a / . В средах с мелкомасштабными рассеивающими центрами a , 1 рассеяние света близко к изотропному. В случае сред с крупномасштабными рассеивающими центрами ( a , 1 ) рассеяние света на отдельных центрах носит резко выраженный анизотропный характер. В ряде случаев полученные результаты достаточно хорошо совпадают с данными аналитических и численных расчетов различных характеристик световых полей в мутных средах с реальными индикатрисами рассеяния. Замена реального закона рассеяния, модельной 2-направленной индикатрисой радикально упрощает проблему расчета световых
5
полей. В этом случае можно найти не только точное аналитическое решение уравнения переноса с соответствующими граничными условиями, но и указать регулярную процедуру определения всех парциальных потоков для нисходящего I(2m ) и восходящего I(2m 1)
излучения. Величины
I(2m) z
и
(2m 1) I z
определяют
ту часть полной интенсивности излучения на глубине z , которая создается фотонами, изменившими знак проекции своей скорости cz на ось z (а не кратность рассеяния, т.е. число актов рассеяния!) ровно n раз. Очевидно, что при облучении поверхности вещества z 0 широким световым потоком, если n четно ( n 2m ), то такие фотоны движутся в глубь среды, формируя нисходящее излучение. Если n нечетно ( n 2m 1 ), то соответствующие парциальные потоки на глубине z формируют восходящее излучение, которое распространяются вверх, т.е. в сторону границы среды. Возможность вычисления парциальных потоков I(2m ) и I(2m 1) в
рассматриваемой модельной задаче позволяет детально исследовать процесс формирования световых полей на различных глубинах, в том числе и характеристики отраженного излучения. Полученные результаты позволяют дать качественную оценку роли парциальных потоков любой кратности при изучении проблемы распространения светового излучения в средах с реальными индикатрисами рассеяния. § 1. Одномерное стационарное блуждание фотона в полубесконечной однородной среде В этом параграфе излучается проблема одномерного стационарного блуждания фотонов в модельной среде с хаотическим распределением рассеивающими центрами при 2-направленном законе однократного рассеяния. Рассматривается самый простой случай полубесконечной гомогенной среды, когда толщина плоского слоя вещества L .
6
Постановка задачи. Уравнение переноса при 2-направленной индикатрисе рассеяния Пусть на плоскую поверхность однородного полубесконечного слоя вещества падает под углом 0 к оси z широкий, стационарный световой поток с интенсивностью I0 . Полярный угол есть угол между направлением распространения фотона и осью z , которая направлена перпендикулярно к поверхности вещества в глубь среды, т.е. вниз. Вертикальная плоскость XoZ параллельна вектору 0 , так что начальный азимут 0 0 .
I0 O
z0
I
0
I
z Рис. 5.1.1. Условное изображение одномерного блуждания фотона в среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния
Как уже отмечалось выше, в условиях плоской геометрии, при падении на поверхность вещества широкого светового потока, интенсивность излучения не зависит от поперечных координат x, y , а зависит только от глубины z : I I(z; ) . Поэтому уравнение переноса и дополнительные условия вид имеют вид: I(z; ) I I z; d , (5.1.1) z 4
7
I (z 0; , ) I0( 0 )() , I (z ; , ) 0 .
(5.1.2) (5.1.3)
Здесь, как обычно, – коэффициент экстинкции; – коэффициент рассеяния фотона; – коэффициент истинного погло щения; ( ) индикатриса упругого рассеяния из состояния в состояние . Условие (5.1.2) определяет нисходящее (падающее) излучение на поверхности вещества (рис.5.1.1). Условие (5.1.3) выражает тот очевидный факт, что в глубине вещества отсутствует излучение. Таким образом, определение интенсивности излучения, I(z; , ) как в глубине вещества, так и на его поверхности, сводится к нахождению такого решения уравнения переноса (5.1.1), которое удовлетворяет дополнительным условиям (5.1.2) и (5.1.3). При 2-направленном законе однократного рассеяния индикатрису рассеяния можно записать в виде ( ) p ( ) p( ) . (5.1.4) Здесь
( ) ( )( ) ; ( ) ( )( ) . Для такой индикатрисы условие нормировки выглядит так: ( )d 1 , т.е. p p 1 .
(5.1.5) (5.1.6)
4
Величина p есть вероятность однократного рассеяния фотона без изменения направления его движения, когда не изменяется знак проекции скорости фотона на ось z . Величина p определяет вероятность однократного рассеяния в направлении, противоположном направлению первоначального движения. В этом случае знак проекции скорости фотона на ось z изменяется на противоположный. При 2-направленной индикатрисе рассеяния имеют место соотношения (2.3.4с), (2.3.4d):
8
cos p p ; p
1 cos
; p
1 cos
. (5.1.7) 2 2 Таким образом, при законе рассеяния (5.1.4) имеется только один свободный параметр – средний косинус угла рассеяния cos , который определяет степень анизотропии при однократном рассеянии. Так, при 2-направленном “изотропном” рассеянии изтр p p 1 / 2 , т.е. cos 0 . При моделировании резко
анизотропного рассеяния, когда 1 cos 1 , p p . Решение уравнения переноса. Вычисление интенсивности на произвольных глубинах Приступая, к вычислению интенсивности излучения в модельной среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния заметим, что в случае мононаправленного облучения поверхности в направлении 0 (0 ; 0 0) , фотоны могут распространяться только вдоль одной прямой в двух взаимно противоположных направлениях: 0 и 0 , т.е. (0 ; 0 0) и ( 0 ; ) (см. рис.5.1.1). При этом, хотя каждый влетевший в среду фотон и движется прямолинейно, но направление его движения за счет упругого рассеяния может неоднократно изменяться на противоположное. Таким образом, в рассматриваемом случае имеет место одномерное стационарное блуждание фотона в случайной среде. Из сказанного выше следует, что выражение для интенсивности излучения I(z; ) на глубине z может быть записано в виде I(z; ) I (z)( 0 ) I (z)( 0 ) . (5.1.8) Здесь I (z)( 0 ) – нисходящая часть излучения, описывающая те фотоны, которые на любой глубине 0 z распространяются в глубь среды, т.е. вниз. Для таких фотонов 0 2 , т.е. cos 0 . Наоборот, величина I (z)( 0 ) описывает восходящее излучение на глубине z в диапазоне углов 2 ,
9
т.е. cos 0
.
Подставляя выражения (5.1.4) и
(5.1.8) в уравнение переноса (5.1.1), и выполняя элементарное интегрирование по , будем иметь: I () I () 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) z z I ()( 0 ) I ()( 0 ) (5.1.9) p I () p I () ( 0 ) p I () pI () ( 0 ). Приравнивая в уравнении (5.1.9) коэффициенты при ( 0 ) и ( 0 ) , получаем систему двух уравнений для восходящего I (z) и нисходящего I (z) потоков излучения:
I (z) eff I (z) wI (z); 0 dz (5.1.10) I (z) I (z) w I (z). eff 0 dz Дополнительные условия (5.1.2) и (5.1.3) применительно к системе уравнений (5.1.10) выглядят так: I (z 0) I0 , (5.1.11) I (z ) 0 .
(5.1.12)
Таким образом, на поверхности вещества задана интенсивность только нисходящего потока излучения, а при z задано значение восходящего потока излучения. Восходящий поток излучения на поверхности вещества I (z 0) не известен. Он определяет интенсивность отраженного излучения и подлежит определению в процессе решения задачи. В системе уравнений (5.1.10) введены следующие обозначения: w p , w p , (5.1.13) eff w .
Из условия нормировки (5.1.6) следует, что w w .
10
(5.1.14) (5.1.15)
Величина w представляют собой вероятность рассеяния фотона на единице пути без изменения направления его движения. Величина w представляет собой вероятность рассеяния на единице пути в обратном направлении, т.е. вероятность "переворота" из нижней полусферы 0 в верхнюю полусферу 0 , или наоборот. С учетом формул (5.1.7) соотношения (5.1.13) запишутся так: 1 cos 1 cos w ; w . (5.1.16) 2 2 При 2-направленном законе рассеяния средний путь, проходя который фотон изменяет направление своего движения на противоположное (средняя длина "переворота"), есть величина, обратная w : l
1 2lтр , w
где
lтр
1 . 1 cos
(5.1.17)
Величина lтр есть транспортная длина упругого рассеяния, т.е. тот путь, проходя который в консервативной среде, первоначально мононаправленный световой поток становится практически изотропным. Таким образом, при 2-направленном законе однократного рассеяния средняя длина переворота фотона всегда в два раза больше транспортной длины, независимо от значения величины среднего косинуса угла однократного рассеяния cos . Величину eff в уравнениях (5.1.10) можно трактовать как "эффективный" коэффициент ослабления (экстинкции) в модельной среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния. Действительно, фотон, распространяющийся в каком-то одном из двух направле ний 0 или 0 , может выбыть из этого состояния только по одной из двух причин: либо за счет истинного поглощения ( ), либо за счет перехода в направление, обратное первоначальному ( w ). Величина eff p меньше обычного коэффициента ослабления , что равносильно увеличению вероятности выживания кванта. Уменьшение коэффициента ослабления допускает простую физическую интерпретацию. В рассматривае-
11
мой модельной задаче нерассеянное излучение и излучение, рассеянное в направлении первоначального направления распространения фотона, физически неразличимы. Поэтому коэффициент рассеяния , заменяется на меньшую величину: eff p w . Отсюда получаем, что eff eff w . С учетом условия нормировки (5.1.15) можно записать: eff w ; eff eff w . (5.1.18) Отношение eff / eff естественно трактовать как "эффективную" вероятность выживания кванта в среде с 2-направленным законом рассеяния eff eff . (5.1.19) eff Учитывая соотношения (5.1.18), для величины eff , получаем: w w 1 eff . (5.1.20a) eff w 1 (l / la ) Здесь la 1 / – средняя длина поглощения. Как и должно быть при чисто упругом рассеянии ( 0, т .е. la ) значение eff 1 . Если учесть, что / / 1 и w 1 cos / 2 , то выражение для эффективной вероятно-
сти выживания кванта будет выглядеть так: eff ; cos . 2 1 1 cos
(5.1.20b)
Следует отметить, что величина eff зависит не только от истиной вероятности выживания кванта , но и от степени анизотропии индикатрисы рассеяния cos . Так, при 2-направленном изотропном рассеянии, изтр eff / 2 .
cos 0 ,
когда
12
получаем,
что
Система уравнений (5.1.10) представляет собой систему двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому легко найти аналитическое решение этой системы уравнений. Для этого из второго уравнения системы (5.1.10) выразим нисходящий поток излучения I (z) через восходящий поток I (z) : dI (z) 1 eff I (z) . (5.1.21) 0 w dz Подставляя (5.1.21) в первое уравнение системы (5.1.10), получаем уравнение для определения величины I (z) : I (z)
20
d2I (z) 2
2I (z) 0 .
(5.1.22)
dz В уравнении (5.1.22) введено обозначение
2eff w2 eff 1 2eff . Теперь общее решение уравнения (5.1.22) запишется так: I (z) A exp( z / 0 ) B exp( z / 0 ) .
(5.1.23) (5.1.24)
Из условия (5.1.12) для восходящего потока при z , находим, что B 0 . Поэтому I (z) A exp( z / 0 ) . (5.1.25) Подставляя (5.1.25) в (5.1.21) получаем выражение для потока нисходящего излучения: eff I (z) A exp(z / 0 ) . (5.1.26) w Неизвестную константу A определяем из условия (5.1.11) на поверхности вещества. Пологая в (5.1.26) z 0 , получим: eff w . A I0 I0 eff 1 1 2eff Подставляя найденное значение A в (5.1.25) и (5.1.26), окончательно находим выражения для величин I (z) и I (z) : I (z) I0 exp(z / 0 ) .
13
(5.1.27)
I (z) I0
eff 1 1 2eff
exp(z / 0 ) .
(5.1.28)
Теперь, в соответствии с общим выражением (5.1.8), получаем значение для интенсивности излучения на глубине z в модельной среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния при наклонном падении излучения на поверхность вещества: z I(z; 0 ) I0 exp ( 0 ) 0 (5.1.29) w z I0 exp ( 0 ). eff 0 Вектор плотности потока световой энергии на глубине z j z I r ; d I (z)0 I (z)0 . (5.1.30)
4
Из соотношения (5.1.30) находим выражение для проекции вектора плотности потока излучения на ось z : jz z I (z) I (z) 0 . (5.1.31) Поскольку зависимость всех характеристик светового поля от величины 0 тривиальна, везде в дальнейшем будем полагать 0 1 , т.е. рассматривать случай нормального падения излучения на поверхность вещества. При нормальном падении ( 0 ) (1 ) / 2 и ( 0 ) (1 ) / 2 . Поэтому выражения (5.1.27), (5.1.28), (5.1.29) для нисходящего и восходящего потоков излучения, полной интенсивности излучения, а так же для проекции вектора плотности потока световой энергии на ось z (5.1.31) будут выглядеть так: I (z) I0 exp z 2eff w2 , 0 1 . (5.1.32) w I (z) I0 exp z 2eff w2 , eff 2eff w2
0
1 .
14
(5.1.33)
w I I(z; ) o (1 ) (1 ) 2 eff 2eff w2 (5.1.34) exp z 2eff w2 ; jz z I (z) I (z) .
(5.1.35)
Подставляя (5.1.32) и (5.1.33) в (5.1.35), находим: jz z I0 exp z 2eff w2 0 . (5.1.36) 2 w2 eff
eff
Из полученных выражений следует, что в консервативной среде
0, eff w
величины I и I равны и не зависят от глу-
бины: I (z; 0) I0 ;
I (z; 0) I0
(5.1.37)
Как следствие этого вектор плотности потока световой энергии (5.1.36) на любой глубине в консервативной среде равен нулю: jz z; 0 0 . Полученный результат допускает простое объяснение. В консервативной среде, в силу закона сохранения энергии, количество световой энергии, проникающее в глубь вещества через единичную площадку за счет внешнего облучения, равно количеству отраженной энергии через ту же площадку в единицу времени. Сказанное относится к единичной площадке не только на поверхности вещества, но и для любой глубины z0 . Поток энергии через единичную площадку снизу вверх равен потоку энергии через ту же площадку на глубине z0 сверху вниз, так как вещество занимает все полупространство, т.е. и область глубин z0 z . Поэтому плоскость z0 в консервативной среде находится в тех же условиях, что и поверхность вещества z 0 . С аналогичной ситуацией сталкиваемся и в реальной консервативной среде.
15
§ 2. Разложение нисходящего и восходящего излучения по парциальным потокам В соответствии с формулой (5.1.8) интенсивность света на любой глубине z можно представить в виде суммы нисходящего и восходящего излучения. При нормальном падении светового потока на поверхность среды формула (5.1.8) запишется так: I (z) I (z) I(z; ) (1 ) (1 ) . (5.2.1) 2 2 В свою очередь нисходящий и восходящий потоки излучения могут быть представлены в виде суммы парциальных потоков:
I z Iанз z I (2m) z ;
(5.2.2)
m 1
I z I (2m 1) z .
(5.2.3)
m 0
Первое слагаемое в правой части выражения (5.2.2) описывает ту часть потока фотонов, которые от момента влета в среду через поверхность вещества z 0 систематически движутся вниз. Эти фотоны ни разу не изменили знака проекции своей скорости на ось z cz 0 . Однако эти фотоны могут испытывать многократное рассеяние, в каждом из которых с вероятностью w не изменяют направление первоначального движения. Эту часть интенсивности света будем называть анизотропной частью излучения. Величины I(2m) z и I(2m 1) z в выражениях (5.2.2) и (5.2.3)
тоже имеют простой физический смысл. Каждое из них определяет часть полного светового потока излучения на глубине z , создаваемую теми фотонами, которые изменили знак проекции своей скорости cz на ось z с вероятностью w в каждом акте рассеяния ровно n раз. Если n четно ( n 2m ), то такие фотоны движутся в глубь среды. Поэтому вместе с величиной Iанз сумма четных слагаемых в выражении (5.2.2) описывает полное нисходящее излучение. Если n нечетно ( n 2m 1 ), то соответствующие слагаемые в выражении (5.2.3) описывают те фотоны, которые на глубине z
16
распространяются вверх, т.е. в сторону границы среды. Сумма по нечетным значениям числа актов рассеяния в (5.2.3), в каждом из которых фотон изменяет направление своего движения на противоположное, описывает полное восходящее излучение. При z 0 выражение (5.2.3) определяет величину светового потока I (z 0) выходящего из среды в направлении 1 , которое неизвестно и подлежит определению в процессе решения задачи. Замена реального закона рассеяния модельной 2-направленной индикатрисой (5.1.4) настолько упрощает проблему расчета световых полей, что можно указать простую регулярную процедуру определения всех парциальных потоков. Возможность вычисления парциальных потоков I(2m ) и I(2m 1) в рассматриваемой модель
ной задаче позволяет детально исследовать процесс формирования световых полей на различных глубинах, в том числе и отраженного излучения. Полученные результаты позволяют дать качественную оценку роли парциальных потоков любой кратности при изучении проблемы распространения светового излучения в средах с реальными индикатрисами рассеяния. Действительно, только величина w определяет те акты рассеяния, при которых фотон изменяет знак проекции своей скорости
cz на ось z . Поэтому величины I(2m ) и I(2m 1) получаются про
стым разложением выражений (5.1.32) и (5.1.33) в ряд Тейлора по отношению (w / eff ) , т.е. в ряд по величине eff . Для этого представим выражения (5.1.32) и (5.1.33) для величин I (z) и I (z) в виде:
I (z) I0 exp eff z 1 2eff
I (z) I0
eff 1 1
2eff
;
(5.2.4)
exp eff z 1 2eff .
17
(5.2.5)
Нисходящее излучение Для того чтобы разложить выражение (5.2.4) в ряд по величине eff , воспользуемся формулой
exp v 1 x exp v x m pm (v) ; (0 x 1) . (5.2.6a) m 0
Полиномы pm (v) , входящие в разложение (5.2.6а), для любого значения m определяются выражением m (1)m v2m v 1 d v pm (v) e e (5.2.6b) . 2m m ! v dv Первые несколько полиномов pm (v) имеют следующий вид: 1 p0 (v) 1 ; p1 (v) v / 2 ; p2 (v) v(v 1) ; 8 v 2 p3 (v) (v 3v 3) . (5.2.6c) 48 Полагая в (5.2.6a) v 0 находим, что для любого значения x
x m pm (v 0) 1 , т.е.
pm (v 0) m,0 . (5.2.6d)
m 0
С учетом формулы (5.2.6a), из (5.2.4) получаем выражение для всех нисходящих парциальных потоков I(2m) (z) :
I(2m) (z) I0
2m
eff
pm ( eff z) exp(eff z) ,
( m 0,1, 2... ). (5.2.7) Полагая в (5.2.7) m 0 , находим значение анизотропной составляющей, которая описывает фотоны ни разу не изменившие знака проекции своей скорости на ось z от момента влета в вещество до глубины z : I(0) (z) Iанз z I0 exp(eff z) , т.е. Iанз (z) I0 exp ( w )z .
18
(5.2.8)
Формулу (5.2.8) можно записать в виде ряда Тейлора по степеням величины w z : Iанз z (5.2.9) (w z)2 ( w z )n I0 exp(z) 1 w z .... ... . n! 2 Первое слагаемое в разложении (5.2.9) описывает истинно нерассеянное излучение, которое имеет тот же вид, что и в среде с реальной индикатрисой рассеяния н.рас I (z) I exp(z) . 0
Все остальные слагаемые описывают вклад в величину Iанз z от тех фотонов, которые испытали 1, 2, 3 и т.д. актов рассеяния с вероятностью w на единице пути, но только в направлении первоначального движения. Число таких актов взаимодействия может быть любым, а не обязательно четным. Все слагаемые в формуле (5.2.9), кроме первого, определяют вклад в Iанз z от диффузно
D z I рассеянного излучения, так как Iанз анз z I н.рас (z) . Поскольку в соответствии с формулами (5.1.18), (5.1.20) eff w и eff w / w , то полученные выше выражения (5.2.4), (5.2.7) и (5.2.8) для величин I , Iанз z и I(2m )
можно записать в несколько ином виде. Так, например,
I (z) I0 exp zw
/ w / w 2 .
Последнее выражение можно записать так:
I (z ) I0 exp z ( 2) .
(5.2.10)
В формуле (5.2.10) величина z – приведенная глубина, т.е. глубина, измеряемая в длинах "переворота" фотона l : z zw z / l .
(5.2.11)
Параметр есть отношение длины "переворота" фотона к длине поглощения:
19
/ w l / la .
Слабому поглощению
la l
(5.2.12)
соответствует значения пара-
метра 1 . В консервативной среде 0 . Сильному поглощению соответствуют значения 1 . Параметр связан с величиной eff соотношением
1 eff eff
,
т.е.
eff
1 . 1
Аналогично получаем, что Iанз I0 exp v . I(2m)
I0 (1 )2m
pm v exp v ,
(5.2.13)
(5.2.14)
(m 1,2, ....) .
(5.2.15)
Здесь v (1 )z . (5.2.16) Выпишем в явном виде выражения для второго m 1 и четвер-
того m 2 парциального потока. С учетом формул (5.2.6c) получим: z I (2) (z ) I0 exp (1 )z ; (5.2.17) 2(1 ) z I(4) z I0 1 (1 )z exp (1 )z . (5.2.18) 8(1 )3 Из приведенных выше формул видно, что как величина Iанз (5.2.14), так и полный нисходящий поток I (5.2.10) всегда монотонно убывают с глубиной. Что же касается нисходящих парциальных потоков I(2) , I(4) и т.д., то их зависимость от глубины со
вершенно иная. Каждый из них имеет локальный максимум на определенной глубине, значение которой зависит от параметра . Так, второй и четвертый парциальные потоки имеют локальные максимумы на приведенных глубинах: 4 1 5 2 1 , zнв zнв (5.2.19) 1 2(1 )
20
соответственно. Из формул (5.2.19) следует, что с увеличением поглощения, когда параметр / w возрастает, положение максимумов парциальных потоков смещается в область меньших приведенных глубин. Значение в максимумах при этом уменьшается: I0 0.18 I (2) I0 , 2 max 2e(1 ) (1 )2
I(4) max I0 8(12 5)4 exp 1 2 5 (1 0.1)4 I0 . I
α=0
Iанз
I2
I 4
z a)
α=0.2 α=0.2
I
Iанз
I2
I 4
z b)
21
α=0.5
I
Iанз
I2
I 4 z
c)
I
α=1
Iанз I
I2
z d) Рис.5.2.1. Графики зависимости нисходящих парциальных потоков от приведенной глубины z при различных значениях (I0 1) : a – 0 , b – 0.2 , c – 0.5 , d – 1 На рис.5.2.1 приведены графики зависимости нисходящих парциальных потоков от приведенной глубины z при различных значениях параметра (I0 1) .
22
Из рис. 5.2.1,a, 5.2.1,b видно, что при малых значениях (слабое поглощение) из общего нисходящего потока нельзя выделить преобладающий парциальный поток: на глубине z ~ 1 существенный вклад дают потоки Iанз , I(2) , I(4) . При 0.5 (см. рис. 5.2.1,c) основной вклад в нисходящий поток на глубинах z ~ 1 дают парциальные потоки Iанз и I(2) . При 1 (рис. 5.2.1,d) анизо тропная часть излучения доминирует в области глубин z ~ 1 . Легко сформулировать условие для области приведенных глубин, при выполнении которого основной вклад в нисходящий поток I дает только анизотропная составляющая Iанз , а всеми остальными парциальными потоками можно пренебречь: I (z ) Iанз (z ) 1 . I (z ) Подставляя в это неравенство формулы (5.2.10) и (5.2.14) находим: z 1 ( 2) . (5.2.20) В случае слабого поглощения ( 1) из формулы (5.2.20), как и следовало ожидать, получаем, что z 1 . Но уже при 1 из неравенства (5.2.20) находим, что z 4 , а при 9 , z 20 . Таким образом, чем сильнее поглощение, тем в большем диапазоне глубин доминирующей составляющей в полном нисходящем потоке является анизотропная часть излучения. Конечно, на очень больших глубинах z (1 ( 2)) может быть существенным (и даже преобладать!) вклад парциальных потоков более
высокой кратности I (2) , I (4) ... . Однако при 1 это происхо
дит на столь больших глубинах, где значение интенсивности нисходящего полного потока I (z ) будет ничтожно мало. Поэтому эта область глубин обычно не представляет сколь-нибудь значительного интереса.
23
Восходящее излучение Для того чтобы разложить выражение (5.2.5) в ряд по eff , запишем: exp v 1 1 x exp v 1 x ev 1 1 x 1 1 x (5.2.21a)
exp v x m dm (v). m 0
Чтобы определить значения коэффициентов dm (v) в разложении (5.2.21a), заметим, что 1 1 d exp v 1 x 1 exp v 1 x . x dv 1 1 x Теперь, учитывая разложения (5.2.21a) и (5.2.6a), приходим к равенству
exp v x m dm (v) m 0
(5.2.21b) d 1 m 1 exp v x pm (v) . x dv m 0 Выполняя дифференцирование и, учитывая, что p0 (v) 1 находим: dp (v) dp (v) x m dm (v) x m 1 m xk k 1 . (5.2.21c) dv dv m 0 m 0 k 0 Отсюда сразу получаем, что dpm 1(v) . (5.2.21d) dm (v) dv Формула (5.2.21d) устанавливает простую связь между введенными ранее полиномами pm (v) и полиномами dm (v) . Используя (5.2.21d) можно вычислить значение dm (v) , если известны величин pm (v) . Первые несколько полиномов dm (v) имеют вид: 2v 1 1 d0 (v) 1 / 2 ; d1 (v) ; d2 (v) (1 v)2 . (5.2.21e) 8 16
24
Полагая в (5.2.21a) v 0 , получаем следующую формулу: 1 x m dm (v 0) , т.е. 1 1 x x m 1dm (0) . 1 1 x m 0 m 0 Здесь учтено, что 1 1 1 x . x 1 1 x Отсюда, используя известное разложение величины 1 x по степеням x x 11 2 11 3 3 11 3 5 4 x x x ... , 1 x 1 2 2 4 246 2468 находим значения величин dm (v 0) : Г (m 1 / 2) (2m 1)!! dm (0) . (5.2.22a) (m 1) 2 (m 1)! 2 (m 1)! В частности, d0 (0) 1 / 2 ; d1 (0) 1 / 8 ; d2 (0) 1 / 16 . (5.2.22b)
Полагая в (5.2.21a) x 1 получаем, что dm (v) ev . Отсюда m 0
находим полезную для дальнейшего формулу
dm (0) 1 .
(5.2.23)
m 0
Теперь, используя формулу (5.2.21a) из соотношения (5.2.5) получаем следующее выражение для восходящих парциальных потоков: 2m 1
I(2m 1) (z) I0 eff
dm ( eff z) exp(eff z) ,
m 0,1, 2... .
(5.2.24) Перепишем выражения (5.2.5) и (5.2.24) для восходящего потока I и парциальных потоков I(2m 1) в терминах приведенной глу
бины z zw z / l : I (z )
I0 (1 ) ( 2)
exp z ( 2) ;
25
(5.2.25)
I(2m 1) (z )
I0
dm (1 )z exp (1 )z . (5.2.26) (1 )2m 1 Выпишем в явном виде выражения для первого m 0 , третьего
m 1
и пятого m 2 парциального восходящего потоков. С учетом соотношения (5.2.21e) получим: I0 (5.2.27) I (1) (z ) exp (1 )z ; 2(1 ) I0 I(3) (z ) 1 2(1 )z exp (1 )z ; (5.2.28) 8(1 )3 I0 I(5) (z ) 1 (1 )z 2 exp (1 )z . (5.2.29) 5 16(1 ) Парциальный восходящий поток I(1) (z ) имеет максимальное зна
чение на поверхности среды z 0 и монотонно убывает с глубиной. Все остальные парциальные потоки имеют локальный максимум на некоторой глубине, зависящей от параметра , (см. рис.5.2.2). Так, третий I(3) (z ) и пятый I(5) (z ) парциальные потоки
имеют максимумы на глубинах 1 3 5 1 . zнв , zнв (5.2.30) 2(1 ) 1 Из формул (5.2.30) следует, что с увеличением поглощения, когда параметр возрастает, положение максимумов парциальных потоков смещается в область меньших приведенных глубин. Их значения в максимумах при этом уменьшаются: 0.15 0.09 I(3) I ; I(5) I0 . 3 0 max max (1 ) (1 )5 На рис.5.2.2 приведены графики зависимости восходящих парциальных потоков от приведенной глубины z при различных значениях параметра (I0 1) .
26
II
I1
α=0
I3
I5
z a)
I
α=0.2
I1
I3
I5
z b)
27
I
α=0.5
I1 I3 I5
z c)
I
α=1 1
I
I3
I5
z d) Рис.5.2.2. Графики зависимости восходящих парциальных потоков от приведенной глубины z при различных значениях (I0 1) : a – 0 , b – 0.2 , c–
0.5 , d – 1
28
Из рис. 5.2.2,a, 5.2.2,b видно, что при малых значениях (слабое поглощение) из общего восходящего потока нельзя выделить преобладающий парциальный поток: на глубине z ~ 1 существенный вклад в I (z ) дают потоки I(1) z , I(3) z и I(5) z . При 0.5 (рис. 5.2.2,c) основной вклад в восходящий поток на глубинах z ~ 1 дают парциальные потоки I(1) и I(3) . При 1 (рис.5.2.2,d) явно доминирует первый парциальный восходящий поток. Таким образом, в случае сильного поглощения ( 1 , т.е. eff 1 ) основной вклад в восходящий поток дают фотоны, которые лишь однажды изменили знак проекции скорости на ось z . Следовательно, при сильном поглощении восходящее излучение (и в частности отраженное) с хорошей точностью описывается первым парциальным потоком I(1) (z ) . Это и понятно, так как при
сильном поглощении вероятность фотону изменить направление своего движения на противоположное более одного раза незначительна. § 3. Полный и парциальные коэффициенты отражения от полубесконечной среды с 2-направленной индикатрисой рассеяния В этом разделе, используя полученные в предыдущих параграфах результаты, рассмотрим проблему отражения излучения от полубесконечной гомогенной среды с 2-направленным законом рассеяния на отдельных рассеивающих центрах. Пусть на плоскую поверхность однородного полубесконечного слоя вещества падает под углом 0 arccos 0 к оси z широкий, стационарный световой поток с интенсивностью I0 . Угловое распределение отраженного от плоского полубесконечного слоя вещества определяется функцией отражения (ФО) S( , 0 ; ) , которая связана с интенсивностью выходящего из среды излучения I (z 0; , 0 ) соотношением (4.4.3):
29
1 0 . (5.3.1) / 2 соответст-
S(| |, 0 ) | | I (z 0; , 0 ) ,
Напомним, что отраженному излучению
вуют отрицательные значения 0 . Поскольку восходящее излучение I можно представить в виде суммы парциальных потоков I(2m 1) (5.2.3), то и полную ФО можно тоже представить в аналогичном виде:
S( ; 0 ) S(2m 1) ( ; 0 ) .
(5.3.2)
m 0
Здесь S(2m 1) – парциальная функция отражения (ПФО). Величина S(2m 1)d d есть среднее количество световой энергии тех фотонов, которые выходят в единицу времени через единицу поверхности вещества в интервале углов d , d , изменив знак проекции скорости cz на ось z ровно (2m 1) раз:
S(2m 1) ( ; 0 ) I(2m 1) (z 0; ; 0 ) . (5.3.3) Таким образом, выражение (5.3.2) представляет полную ФО в виде суммы по ПФО. В рассматриваемой задаче восходящий поток I (z) дается формулой (5.2.5) Поэтому, полная ФО будет определяться выражением eff S( ; 0 ) I0 ( 0 ) . (5.3.4) 2 1 1 eff Эффективная вероятность выживания кванта eff : w 1 eff . eff 1
(5.3.5)
Наличие в формуле (5.3.4) угловой -функции ( 0 ) выражает тот очевидный факт, что вылетают из вещества только те фотоны, которые распространяются в направлении
30
противоположном направлению 0 падающих на поверхность вещества. Что касается парциальных потоков восходящего излучения
I(2m 1) (z) , то они определяются формулой (5.2.24), из которой
следует, что при z 0 2m 1
I(2m 1) (z 0) I0 eff
dm (0) ,
m 0,1, 2... .
(5.3.6)
Величины dm (z 0) определяются формулой (5.2.22a). Поэтому получаем следующее выражение для ПФО любого порядка: S(2m 1) ; 0 I0
(2m 1)!! 2( m 1) (m 1)!
eff (2m 1) ( 0 ).
(5.3.7)
Поскольку
1 ( 0 ) ( 0 )( 0 )( ) , 2 то как полная ФО, так и каждая ПФО удовлетворяют теореме оптической взаимности, т.е. не изменяются при замене 0 : S( ; 0 ) S(0 ; ) , S(2m 1) ; 0 S(2m 1) 0 ; . Поскольку в рассматриваемой модельной задаче угловая зависимость ФО и всех ПФО тривиальна и далека от реальной, то основной интерес представляет вычисление не самой ФО и ПФО, а полного и парциальных коэффициентов отражения. Полный коэффициент отражения wотр 0 при наклонном
падении широкого мононаправленного светового пучка на поверхность полубесконечного слоля вещества L связан с ФО соотношением (4.4.15) wотр 0
1 2 1 d d S(| |, 0 ) . I00 0 0
(5.3.8)
Подставляя сюда значение S(| |, 0 ) (5.3.4), получим следующее выражение для полного коэффициента отражения от
31
полубесконечной однородной среды с 2-направленным законом однократного рассеяния: eff I (z 0) wотр eff . (5.3.9) I0 1 1 2eff
Из (5.3.9) следует, что в консервативной среде ( 0) , когда eff 1 величина wотр 0 1 . Учитывая связь (5.3.5) между величинами eff и , формулу (5.3.9) можно записать в виде 2 . (5.3.10) 2 Из полученных формул видно, что при одномерном блуждании фотона полный коэффициент отражения не зависит от угла падения, т.е. от величины 0 . Поэтому можно в дальнейшем wотр
считать 0 1 , т.е. расматривать случай нормального падения светового потока на поверхность вещества. Таким образом, при одномерном блуждании фотона величина полного коэффициента отражения определяется только одним параметром eff или . определяется выражением (5.2.12): Параметр / w l / la . В случае "изотропного" 2-направленого рассеяния изтр p p 1 / 2 , т.е. eff p / 2 . Поэтому /2 . (5.3.11) /2 2 Здесь учтено, что / 1 / . Подставляя (5.3.11) в (5.3.9) получаем: изтр () 1 1 . (5.3.12) wотр 1 1 В то же время известно, что в случае изотропного рассеяния точное выражение для полного коэффициента отражения от полубесконечного рассеивателя при нормальном падении излучения на его поверхность имеет вид:
изтр eff
32
изтр () 1 H( 1; ) 1 . wотр 0
(5.3.13)
Здесь H(0 1; ) – функция Амбарцумяна – Чандрасекара 1 dk arctgk H(0 1; ) exp ln 1 . (5.3.14) 2 k 0 1 k Для функции H(0 1; ) известна следующая простая аппроксимация: 1 3 H(0 1; ) . (5.3.15) 1 3(1 ) Поэтому выражение (5.3.13) для полного коэффициента от реальной изотропно рассеивающей среды можно приближенно записать в виде: изтр () 1 1 . wотр (5.3.16) 1 3(1 ) Видим, что величина полного коэффициента отражения (5.3.12), полученного при использовании модельной "изотропноой" 2направленной индикатрисы рассеяния имеет ту же структуру, что и выражение (5.3.16) и отличается от него только наличием множителя 3 во втором слагаемом знаменателя дроби. Поэтому выражение (5.3.12) для полного коэффициента отражения, рассчитанное в рамках рассматриваемой модельной среды, всегда дает завышенное значение коэффициента отражения. Относительная погрешность расчета по формулам (5.3.12) и (5.3.16) определяется выражением 1 % ( 3 1) 100% . 1 1 Наименьшая относительная погрешность 0 имеет место при 1 , когда wотр 1 . При уменьшении вероятности выживания кванта относительная погрешность возрастает. Так, при 0.9 17 % . Наибольшее значение погрешность имет при 0 : max 36 % . Полный коэффициент отражения также может быть представлен в виде ряда по парциальным коэффициентам отражения
33
m 1) (1) (5) wотр w(2 wотр w(3) отр отр wотр ..... .
(5.3.17)
m 0
m 1) Парциальные коэффициенты отражения w(2 связаны с ПФО отр
S(2m 1) (| |, 0 ) соотношением, аналогичным (5.3.8)
1 2 1 (2m 1) (| |, 0 ) . (5.3.18) d d S I00 0 0 Теперь, используя (5.3.7), из формулы (5.3.18) получаем следующее выражение для парциальных коэффициентов отражения любого порядка: (2m 1)!! m 1) w(2 (m 1) (5.3.19) eff 2m 1 . отр 2 (m 1)! m 1) w(2 отр
Поскольку
eff 1
1
,
то
выражение
(5.3.19)
можно
переписать в терминах параметра : (2m 1)!! 1 m 1) w(2 ( 1) . (5.3.20) отр m 2 (m 1)! 1 2m 1 Из полученных выше формул следует, что при чисто упругом рассеянии, когда eff 1 , парциальные коэффициенты отражения будут выглядеть так: (2m 1)!! m 1) w(2 ( 1) ( m 1) dm (0) . (5.3.21) отр 2 (m 1)! Таким образом, величины dm (0) (5.2.22a), введенные в предыдущем разделе, имеют простой физический смысл. Величина dm (0) есть парциальный коэффициент отражения порядка ( 2m 1 ) в
консервативной среде. В соответствие с (5.2.23)
dm (0) 1 . m 0
Именно поэтому из формулы (5.3.21) получаем, что при чисто упругом рассеянии
m 0
m 0
(2m 1) wотр ( 1) wотр ( 1) dm (0) 1 .
34
Из (5.3.21) следует, что в консервативной модельной среде с 2направленной индикатрисой рассеяния парциальные коэффициенты отражения определяются только значением их порядка m и не зависят от величины cos , т.е. от степени анизотропии индикатрисы рассеяния. Конечно, это не имеет места в диссипативной среде. При "изотропном" 2-направленном законе рассеяния с учетом формулы (5.3.11) из общей формулы (5.3.19) находим: 2m 1
изтр (2m 1) (2m 1)!! wотр 2( m 1) (m 1)! 2 Здесь – обычная вероятность выживания кванта. В соответствие с формулой (5.1.20b) 1 cos eff ; cos 2 1 1 cos С учетом выражения (5.3.23), формулы (5.3.9) и полного коэффициента отражения wотр и всех
.
.
(5.3.22)
(5.3.23)
(5.3.19) для парциальных
m 1) можно записать в виде в коэффициентов отражения w(2 отр терминах вероятности выживания кванта и среднего косинуса угла однократного рассеяния cos :
wотр
1 cos 1
;
(5.3.24)
1 cos 1
m 1) w(2 (; cos ) отр 2m 1 (5.3.25) 1 cos . 2( m 1) (m 1)! 2 1 1 cos Из формул (5.3.24) и (5.3.25) видим, что в поглощающей среде 1 , в отличие от консервативной среды (5.3.21), величины
(2m 1)!!
m 1) wотр и w(2 зависят от величины среднего косинуса угла отр
однократного рассеяния cos .
35
Из общих формул (5.3.19), (5.3.20) находим значения первых трех парциальных коэффициентов отражения при m 0,1,2 : 1 1 w(1) eff ; (5.3.26a) отр 2(1 ) 2 1 1 w(3) eff3 ; (5.3.26b) отр 3 8 8(1 ) w(5) отр Графики
зависимости
1 5
16(1 )
величин
1 5 eff . 16
wотр ()
и
(5.3.26c)
m 1) w(2 () отр
от
параметра , расчитанные по формулам (5.3.10) и (5.3.26), представлены на рис.5.3.1.
wотр 1 wотр 3 wотр
5 wотр
Рис.5.3.1. Зависимость полного и парциальных коэффициентов отражения от параметра
Из рис. 5.3.1 видно, что при 1.5 коэффициенты wотр () и
w(1) отр () практически не отличаются. Теперь можно выяснить, каков относительный вклад в отраженное излучение различных парциальных потоков. Так, например,
36
w(1) отр
2 1 1 cos 4 (3) 1 cos wотр
(2m 1)
4 2eff
.
(5.3.27)
В случае чисто упругого рассеяния ( eff 1 ) отношение (5.3.27) равно 4. Это означает, что вклад первого парциального восходящего потока I(1) (z 0) в четыре раза больше, чем вклад от
третьего парциального потока I(3) (z 0) . Тем не менее при
вычислении полного коэффициента отражения в консервативной (1) среде нельзя ограничиваться рассмотрением лишь величины wотр .
Действительно, при
1
величина полного коэффициента
отражения wотр 1 1 , а значение w(1) отр 1 1 / 2 . Следовательно, все остальные парциальные коэффициенты отражения (кроие первого) вместе взятые дают точно такой же вклад в отраженное излучение, как и первый парциальный поток. Поэтому необходимо ответить на вопрос: при каких условиях отраженное излучение практически полностью формируется теми фотонами, которые лишь один раз изменили знак проекции своей скорости на ось z ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим отношение первого парциального коэффициента отражения к сумме всех остальных парциальных коэфициентов:
w(1) отр (1) wотр wотр
.
Используя формулы (5.3.24) и (5.3.25), получаем 2
1 cos 1 1 . 2 1 cos 1 wотр
Если величина 1 , т.е.
wотр 1 ,
(5.3.28)
то это означает, что
основной вклад в полный коэффициент отражения дает первый (1) парциальный коэффициент отражения wотр , а всеми остальными
парциальными коэффициентами отражения можно пренебречь. Проанализируем выражение (5.3.28).
37
1. Чисто упругое рассеяние: 1 : В этом случае wотр 1 ; w(1) отр 1 / 2 , так, что 1 . Таким образом, как уже отмечалось выше, в консервативной среде нельзя ограничиться при вычислении коэффициента отражения только (1) величиной первого парциального коэффициента wотр .
2. “Изотропное” рассеяние: cos 0 : 2
1 1 ( ) (5.3.29) . 1 1 изтр Заметим, что при 0.9 значение 3.7 . Если 0.75 , изтр изтр 9 , причем с уменьшением величина то
изтр
быстро возрастает. Так, при 0.5 величина этом случае вклад
w(1) отр
изтр
34 , т.е. в
в 34 раза превышает вклад всех
остальных парциальных коэффициентов отражения, вместе взятых! 3. Резко анизотропное рассеяние: 1 cos 1 . В этом случае формулу (5.3.28) удобно записать в виде 2
1 1 cos 1 . 1 1 cos 1 Учитывая, что / 1 / , получаем:
(5.3.30a)
2
1 / 1 cos 1 . (5.3.30b) 1 / 1 cos 1 Поскольку 1 cos тр , то выражение (5.3.30b) запишется
так: 2
1 / 1 1 тр 1 тр / 1 1
38
2
la / lтр 1 . la / lтр 1
(5.3.31)
При выполнении условия la lтр 2l , когда реализуется случай сильного поглощения, выражение (5.3.31) принимает вид: 2
16 lтр / la 1 ; (5.3.32) la lтр . Таким образом, при сильном поглощении для вычисления коэффициента отражения от резко анизотропно рассеивающих (1) . При сред тоже достаточно определить только величину wотр
la lтр величина 1 2
4
34 .
§ 4. Нестационарное одномерное блуждание фотона в случайной полубесконечной среде В предыдущих параграфах был подробно исследован вопрос о распространении стационарного светового сигнала в случайной полубесконечной среде при 2-направленной индикатрисе рассеяния на отдельных центрах. Настоящий параграф посвящен исследованию проблемы одномерного блуждания временного импульсного светового сигнала в такой среде. И так, пусть широкий -импульсный световой поток падает в азимутальной плоскости 0 0 под углом 0 arccos 0 к поверхности однородной среды, занимающей область полупространства z 0 . Так как интенсивность излучения в среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния при наклонном падении зависит от величины z / 0 , то без ограничения общности будем считать, что 0 1 , т.е. рассматривать случай нормального падения -импульсного светового сигнала на поверхность вещества, когда зависи мость от азимутального угла отсутствует: I(z; ; t) I(z; ; t ) . Для определения интенсивности излучения I(z; ; t ) необходимо решить нестационарное уравнение переноса с соответствующими дополнительными условиями: 1 1 I z; ; t I ( )I d I z; ; t . (5.4.1) c t z 1
39
I z; ; t 0 Iнач z; 0 , 0 z . (5.4.2) E I(z 0; ; t) 0 ( 1)(t ) , (5.4.3a) 0 . 2 I(z ; ; t) 0 . (5.4.3b) Здесь – индикатриса рассеяния, проинтегрированная по
азимуту (2.1.34); E0 – полная энергия импульса, отнесенная к единице площади: E0 Дж/м2 . Первое условие (5.4.2) выражает тот факт, что до облучения вещества световое поле в среде отсутствуют. Для решения уравнения (5.4.1) можно использовать преобразование Лапласа по временной переменной t . Умножим обе части уравнения (5.4.1) и граничные условия (5.4.2), (5.4.3) на exp pt dt и проинтегрируем затем по времени в пределах 0 t . Для лаплас-образа интенсивности излучения
I z; ; p I z; ; t e pt dt , 0
уравнение (5.4.1) и дополнительные условия (5.4.2), (5.4.3) будет выглядеть так: 1 I z; ; p ( p / c )I d I z; ; t ; z 1 (5.4.4a) E0 I(z 0; 0; p) ( 1) ; I(z ; ; p) 0 . (5.4.4b) 2 При получении уравнения (5.4.4a) было учтено соотношение I z; ; t pt e pI z; ; p I z; ; t 0 pI z; ; p , dt t 0 поскольку в соответствие с (5.4.2) начальное световое поле отсутствует. Уравнение (5.4.4a) формально идентично стационарному уравнению переноса, если в последнем сделать замену I z; ; I z; ; p и p / c .
40
Таким образом, решение нестационарного уравнения (5.4.1) связано с решением соответствующей стационарной задачи I(z; ) простым соотношением, о чем подробно шла речь в §4 главы 1: I z; ; p I z; p / c . Здесь – истинный коэффициент поглощения; p / c – "временной коэффициент поглощения". Теперь, используя формулу обращения Лапласа с заменой I0 E0 , где I0 – интенсивность падающего на поверхность вещества излучения в стационарной задаче, получим: 1 i pt (5.4.5) dpe I(z; p / c) . 2i i Разумеется, что соотношение (5.4.5) справедливо как для нисходящего I (z; 0; t) , так и для восходящего I (z; ; t) потоI(z;, ; t)
ков излучения, а также для всех нисходящих и восходящих парциальных потоков I(2m) (z; 0; t) , I(2m 1) (z; ; t ) .
В рассматриваемой модельной среде с 2-направленной индикатрисой, после интегрирования (5.1.4) по азимутальному углу будем иметь: ( ) p ( ) p( ) . Величина I(z; ) определяется выражением (5.1.8), которое в случае нормального падения имеет вид: I (z ) I (z ) I(z; ) ( 1) ( 1) . 2 2 Нисходящий I (z ) и восходящий I (z ) потоки определяются выражениями (5.1.27) и (5.1.28), в которых нужно положить 0 1 . Тогда, с учетом формулы (5.4.5), получаем: I (z; t) I (z; t) I(z; ; t) ( 1) ( 1) . (5.4.6) 2 2 Здесь cE i (5.4.7) I (z; t) 0 dp exp pct (p)z , 2i i
41
w cE0 i dp exp pct (p)z . (5.4.8) 2i i eff p (p) В формулах (5.4.7) и (5.4.8) сделана замена переменной интегрирования p / c p . Поскольку eff w , то при замене I (z; t)
p , величина
eff
заменяется на величину eff p . По-
этому (p)
2
eff p
w2 .
(5.4.9)
Исследуем временную зависимость нисходящего и восходящего потоков светового излучения. Нисходящее нестационарное излучение Подставляя (5.4.9) в формулу (5.4.7) и выполняя обращение Лапласа, получаем следующее выражение для нисходящего нестационарного потока излучения: I (z; t) I(синг) (z; t) I (рег) (z; t ) .
Здесь I(синг) (z; t)
– сингулярная, а
(рег) I (z; t )
(5.4.10)
– регулярная части
нисходящего излучения: I(синг) (z; t) cE0 e
eff s
(рег) I (z; t )
(s z) ;
(5.4.11)
(5.4.12) z w 2 2 I w s z ( s z ). 1 2 2 s z Величина s ct , есть путь, пройденный фотоном за время t ; – единичная функция; I1(x) – модифицированная функция Бесселя. В выражении (5.4.11) отсутствует величина w , так как cE0 e
seff
eff w . Это означает, что фотоны ни разу не изменили зна-
ка проекции своей скорости cz на ось z : cz c 0 . Поэтому сингулярное слагаемое (5.4.11) в формуле (5.4.10) описывает вклад в
42
нисходящее излучение только тех фотонов, которые достигают глубины z , ни разу не испытав рассеяния назад. Поэтому эти фотоны достигают глубины z только в момент времени t z / c , проходя путь s z . Именно этот факт и отражает наличие функции в формуле (5.4.11). Следовательно, в нестационарной задаче величина I(синг) (z; t) представляет анизотропную часть излу
чения I(синг) (z; t) Iанз (z; t) . (5.4.13) Выражение для величины Iанз (z; t ) , аналогично разложению (5.2.9), можно представить в виде: Iанз (z; t) = (w s)2 (w s)n cE0 e s 1 w s ... .... (s z) . (5.4.14) 2 n! Первое слагаемое в (5.4.14) описывает истинно нерассеянное излучение, а все остальные слагаемые описывают вклад в величину Iанз (z; t) от тех фотонов, которые испытали 1, 2, 3 и т.д. актов рассеяния, но только в направлении первоначального движения, т.е. вклад в анизотропную часть от диффузно рассеянного излучения в среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния. Теперь исследуем наиболее интересную регулярную часть нисходящего излучения, которая определяет вклад от тех фотонов, которые оказываются на глубине z в моменты времени t z / c , изменив при этом хотя бы один раз знак проекции скорости cz на ось z . Эти фотоны формируют основную часть диффузно рассеянного излучения. Используя представление для модифицированной функции Бесселя I1(x) в виде ряда
(x / 2)2k 1 (x / 2)2k x , т.е. I1 x , I x 2 k 0 k ! 1 k k 0 k ! k 1 ! получаем:
43
I(рег) (z; t)
2 2 m 1 (5.4.15) s z 2m eff s cE0z e w ( s z ). 2m 1 m !(m 1)! m 1 2 Каждое слагаемое в выражении (5.4.15) определяет вклад в нисходящее излучение от тех фотонов, которые ровно 2m , т.е. четное число раз, изменили знак проекции скорости cz на ось z . Поэтому выражение (5.4.15) представляет собой разложение нисходящего
излучения по парциальным потокам I(2m) (z; t) в нестационарной
задаче при распространении -импульсного светового сигнала в полубесконечной гомогенной среде: I(2m) (z; t)
2 2 m 1 (5.4.16) s z seff 2m E0c ze w (s z). 2m 1 m !(m 1)! 2 Наличие единичной функции в выражениях (5.4.15) и (5.4.16) означает, что на глубине z световой сигнал появляется когда s z , т.е. в момент времени t z / c . До этого момента времени интенсивность излучения на глубине z равна нулю. Выражения для интенсивности нисходящего потока излучения и парциальных нисходящих потоков удобно записать, вводя безразмерные величины – приведенную глубину z и приведенное время t: z zw z / l ; t sw t / t . (5.4.17)
Здесь
t (cw )1 l / c (5.4.18) есть среднее время, за которое фотон изменяет направление своего движения на противоположное (время “переворота”). Таким образом, приведенная глубина, как и в стационарном случае, измеряется в единицах длин переворота фотона l , а приведенное время в
44
единицах среднего времени переворота t . Удобно ввести приведенную интенсивность I (рег) (z ; t ) и приведенные парциальных
потоков
I (2m) (z ; t ) ,
которые связаны с величинами I(рег) и I(2m )
стандартными соотношениями: I (рег)dt I (рег)dt ;
I (2m)dt I(2m)dt ,
т.е., I (рег) I(рег) / cw ;
Для величин
(рег) I (z ; t )
I (2m ) I(2m) / cw .
(5.4.19)
и I (2m) (z ; t ) из формул (5.4.12), (5.4.15)
и (5.4.16) получаем: I (рег) (z ; t )
z 1 t E0 e I1 2 2 t z
t 2 z 2 ( t z );
(5.4.20)
I (рег) (z ; t )
2 2 m 1 t z 1 t E0z e ( t z ); 2m 1 m !(m 1)! m 1 2
(5.4.21)
I (2m ) (z ; t )
m 1 (5.4.22) z t 2 z2 1 t E0 e ( t z ). 2m 1 m !(m 1)! 2 Здесь, как и ранее параметр есть отношение длины переворота к длине поглощения l / la , eff 1 . (5.4.23)
Теперь, в безразмерных переменных, условие t z / c запишется в виде t z .
45
Исследование интенсивности на фронте импульса Полагая в общем выражении (5.4.21) t z 0 , получим значение интенсивности нисходящего потока излучения и парциальных потоков на фронте импульса. При t z в сумме по m формулы (5.4.21) отлично от нуля только одно слагаемое с m 1 . Все остальные слагаемые зануляются. Поэтому для величины I (рег) (z ; t z 0) получаем следующее выражение:
E 1 t I (рег) (z ; t z 0) 0 z e . (5.4.24) 2 Формула (5.4.24) для рассматриваемой модельной среды является абсолютно точной и определяет значение приведенного светового нисходящего потока излучения на приведенной глубине z в тот приведенный момент времени t z , когда на этой глубине появляются первые фотоны, т.е. значение приведенной интенсивности фронта импульса. В соответствие с (5.4.22) видим, что при t z , отличным от нуля будет только второй парциальный поток m 1 . Сказанное означает, что на фронте импульса регулярная часть нисходящего излучения формируется только теми фотонами, которые ровно два раза изменили знак проекции своей скорости на ось z : “ + - + ”, т.е.
I (рег) (z ; t z ) I (2) (z ; t z ) .
(5.4.25)
Парциальные потоки более высокой кратности, I (4) , I (6) и т.д. не
дают вклада в интенсивность излучения на фронте импульса. Из формулы (5.4.24) находим значение той приведенной глубины zнв , на которой величина нисходящего потока фронта импульса достигает своего предельного значения (главный максимум): dI (2) (z ; t z )
0
zнв
1 . 1
dz Учитывая, что 1 eff , в обычных единицах 1 1 1 zнв . eff w w
46
(5.4.26a)
(5.4.26b)
Значение приведенного нисходящего излучения в точке главного максимума 0.18 I (рег) (z zнв ; t zнв ) E0 . (5.4.27a) 1 В обычных единицах I(рег) (z
0.18w2
cE . (5.4.27b) 0 w На рис. 5.4.1 изображена зависимость нисходящего потока излучения на фронте импульса как функция приведенной глубины z (или, что то же самое, приведенного времени t , так как на фронте импульса t z ), при различных значениях параметра , рассчитанная по формуле (5.4.24), для импульса единичной мощности, когда E0 1 .
zнв ; t zнв / c)
Из формулы (5.4.26b) видим, что значение zнв оказывается наибольшим для консервативной среды: zнв 0 1 , т.е. zнв ( 0) l ; (5.4.28) I (рег) (z zнв ; t zнв ) 0.18E0 , ( 0) .
(5.4.29)
С увеличением поглощения положение главного максимума (5.4.26) смещается в область меньших глубин, т.е. zнв ( 0) l , а его величина (5.4.27) уменьшается (см. рис.5.4.1). На этом исследование характера фронта импульса на различных глубинах можно считать законченным.
47
0 0.1 0.5 2
z Рис. 5.4.1. Зависимость полного приведенного нисходящего потока (рег) I (z ; t z ) I (2) (z ; t z ) на фронте -импульсного сигнала от при веденной глубины z z / l при различных значениях параметра
l / la . Верхняя жирная кривая – 0 (чисто упругое рассеяние)
Временная зависимость -импульсного нисходящего сигнала на различных глубинах Теперь исследуем временную зависимость -импульсного нисходящего сигнала на различных приведенных глубинах z , когда t z , т.е. t z / c . Выясним, имеет ли интенсивность излучения локальный максимум и при каких условиях он может возникнуть. Появление локального максимума (при фиксированной глубине наблюдения z ), определяется из уравнения I (рег) (z ; t )
t
0,
где I (рег) (z ; t ) при t z определяется выражением (5.4.20):
48
z
1 t I (рег) (z ; t ) E0 e
2
2
I1
t 2 z 2 , t z . (5.4.30)
t z С учетом соотношения для модифицированных функций Бесселя dI1 (x) / dx I2 (x) I1 (x) / x , получаем уравнение 1 t I1 t 2 z 2 I2 t 2 z 2 . (5.4.31) 1 t 2 z2
Уравнение (5.4.31) определяет момент времени t z ; , когда на глубине z появляется локальный максимум. Если в уравнении (5.4.31) положить t z , то определим значение приведенной глубины z , когда локальный максимум будет находиться на фронте импульса, т.е. ту глубину, начиная с которой реально возникает локальный максимум. Учитывая, что In x 0
xn 2n 1 n
xn 2n n !
,
находим: t 2 z2 1 t t 2 z2 , 2 1 8
т.е., t z z () 4 1 . (5.4.32) Поскольку при z z локальный максимум находится на фронте импульса, то значение интенсивности восходящего излучения при t z можно определить, подставив t z в формулу (5.4.24). В результате получим: 2 4 1 I (рег) (z ; t z ) 2E 1 e .
0
При упругом рассеянии из формулы (5.4.32) получаем, что z 0 4 , т.е. z ( 0) 4l (рис.5.4.2). Значение величины I (рег) в первом локальном максимуме
I (рег) (z 4; t 4) 2E0 exp 4 0.03E0 .
49
Из формулы (5.4.32) также видно, что с увеличением поглощения, значение z тоже увеличивается, т.е. локальный максимум появляется на больших глубинах. На рис.5.4.2 представлены графики зависимости приведенного нисходящего излучения, от приведенного времени t ct / l на различных приведенных глубинах z z / l в консервативной среде, рассчитанные по формуле (5.4.30) при 0 E0 1 : I (рег) (z ; t ) e t
z 2
t z
2
I1
t 2 z 2 ( t z ) .
(5.4.33)
0
z 0.2 z 1 z 3 z 4
z 5
t Рис.5.4.2. Графики зависимости регулярной части нисходящего полного потока (рег) излучения I от приведенного времени t в модельной среде с 2-направлен ной индикатрисой рассеяния для различных приведенных глубин z при чисто упругом рассеянии. Пунктирная кривая –- фронт импульса (второй парциальный поток на глубине z при t z )
50
Кривые на рис. 5.4.2 для глубин z 0.2 , z 1 и z 3 изображают полную интенсивность нисходящего излучения до появления локального максимума. Кривые, соответствующие приведенным глубинам z 4 и z 5 – после появления локального максимума. Пунктирная кривая на рис.5.4.2 определяет интенсивность на фронте импульса для различных моментов времени t , рассчитанная по формуле (5.4.24) в консервативной среде I ( t z 0) t exp( t ) / 2 , 0 . (5.4.34) Видно, что в соответствии с (5.4.32) в области приведенных глубин z 4 , нисходящее излучение монотонно убывает от своего наибольшего значения на фронте импульса и никакого локального максимума нет. Абсолютный максимум в соответствии с выражением (5.4.28), достигается на приведенной глубине z ( 0) 1 и в соответствие с (5.4.29) равен 0.18 . Из рис. 5.4.2 видно, что в области глубин z 4 характер светового сигнала принципиально изменяется. Интенсивность излучения перестает быть монотонно убывающей функцией времени – возникает, хотя и слабо выраженный, локальный максимум, положение которого смещается в область больших времен на больших глубинах. На рис. 5.4.3 представлены графики зависимости приведенного нисходящего потока излучения от приведенного времени t на различных приведенных глубинах z в поглощающей среде, для значения параметра 0.1 , рассчитанные по формуле (5.4.20): z I (рег) (z ; t ) e 1.1t I1 t 2 z 2 ( t z ) , 2 2 t z (5.4.35) E0 1 . Пунктирная кривая на рис.5.4.3 определяется формулой (5.4.24) для фронта импульса при 0.1 : t I (рег) ( t z 0) exp 1.1t . (5.4.36) 2
51
z 4
0.1
z 4.4 z 5
z 6
t Рис.5.4.3. Графики зависимости регулярной части полного нисходящего потока (рег) излучения I (z ; t ) E0 1 от приведенного времени t в модельной сре де с 2-направленной индикатрисой рассеяния на различных приведенных глубинах z при наличии слабого поглощеия: 0.1 (расчет по формуле (5.4.35)). Пунктирная кривая – второй парциальный поток на глубине z в момент времени
t z – фронт импульса (расчет по формуле (5.4.36))
Видно, что в соответствии с формулой (5.4.32) в области приведенных глубин z z 4.4 нисходящее излучение монотонно убывает от своего наибольшего значения на фронте импульса. В области глубин z z появляется локальный максимум. Положение локального максимума (при фиксированной глубине наблюдения z z () ) определяется из уравнения (5.4.31). Абсолютный максимум в соответствие с выражением (5.4.26a) достигается на глубине zнв ( 0.1) 1 / 1.1 0.91 и в соответствии с формулой (5.4.27a) равен 0.184 / 1.1 0.167 (график приведенной интенсивности, соответствующий глубине zнв ( 0.1) 0.91 на рисунке не представлен). Из сравнения рис.5.4.2 и рис.5.4.3 видно, что наличие слабого поглощения не изменяет качественной картины временной зависимости светового сигнала.
52
Временная зависимость парциальных потоков нисходящего сигнала Теперь проанализируем вклад различных парциальных потоков в нисходящее излучение (5.4.20). Используя общую формулу (5.4.22), выпишем в явном виде выражения для второго m 1 , четвертого
m 2
и шестого m 3 парциальных потоков t z
z 1 t ; (5.4.37) e 2 z 2 1 t I (4) (z ; t ) E0 t z2 e ; (5.4.38) 16 2 1 t z I (6) (z ; t ) E0 t 2 z2 e . (5.4.39) 384 На рис. 5.4.4 представлены графики зависимости нисходящего I (2) (z ; t ) E0
приведенного потока излучения I (рег) (z ; t ) и приведенных парциальных потоков
I (2) (z ; t ) ,
(4) I (z ; t )
и I (6) (z ; t ) от приведенного
времени для чисто упругого рассеяния 0 для двух приведенных глубин – z 0.5 и z 5 . На рис. 5.4.5 представлены те же зависимости на тех же глубинах в поглощающей среде. Из рис.5.4.4,a и 5.4.5,a видно, что на малых глубинах z 0.5 область вблизи фронта импульса 0.5 t 2 определяется в основном вторым парциальным потоком, так как вероятность фотону изменить направление своего движения на противоположное более двух раз мала. Однако в области больших времен эта вероятность увеличивается. При t 3 все больший вклад в нисходящее излучение дают парциальные потоки более высокого порядка I(4) , I(6)
и т.д.. Кроме того, на малых глубинах интенсивность нисходящего излучения I (рег) (z ; t ) монотонно убывает от своего наибольшего
значения на фронте импульса при t z .
53
I(рег )
0
I(2) I(4)
I(6)
t a)
I(рег )
0
I(2)
I(4)
I(6)
t b) Рис. 5.4.4. Графики зависимости нисходящего приведенного потока излучения I (рег) (z ; t ) и приведенных парциальных потоков I (2) (z ; t ) , I (4) (z ; t ) и (6) I (z ; t ) от приведенного времени для чисто упругого рассеяния 0 для двух приведенных глубин: a –- z 0.5 , b – z 5
54
0.2 I(рег ) I(2) I(4)
t a)
I(рег )
0.2 I(2) I(4)
I(6)
t b) Рис. 5.4.5. Графики зависимости нисходящего приведенного потока излучения I (рег) (z ; t ) и приведенных парциальных потоков I (2) (z ; t ) , I (4) (z ; t ) и (6) I (z ; t ) от приведенного времени в поглощающей среде для двух приведенных глубин: a –- z 0.5 , b – z 5
55
Ситуация радикально меняется на относительно больших глубинах. Как видно из рис. 5.4.4,b и 5.4.5,b на глубине z 5 величина I (рег) (z ; t ) имеет явно выраженный локальный максимум.
Уменьшается область времен вблизи фронта импульса t z , где доминирует второй парциальный поток. В подавляющей области времен t 5.5 основной вклад в полное нисходящее излучение дают парциальные потоки I(4) , I(6) и более высокого порядка.
Определим временную зависимость нисходящего излучения на произвольной приведенной глубине z в области относительно больших времен вдали от фронта импульса, когда t z , т.е. t z / c . Учитывая асимптотическое представление для функций Бесселя I1(x) (2x)1/2 exp(x) ,
находим, что z e t , 2 t 3/2 В обычных размерных единицах z w ect , I(рег) (z; t) cE0 2 (ct)3/2 I (рег) (z ; t ) E0
t
z .
(5.4.40a)
t z / c .
(5.4.40b)
В консервативной среде 0 в области относительно больших времен t z / c нисходящее излучение затухает по степенному закону: I(рег) (z; t 0) ~ (ct )3/2 .
Восходящее излучение Подставляя (5.4.9) в формулу (5.4.8) и выполняя обращение Лапласа, получаем следующее выражение для нестационарного восходящего потока излучения при облучении поверхности -импульсным временным сигналом:
56
sz 2 2 cE0 eff s s z I1 w s z I (z; t) e (s z) .(5.4.41) ct z 2 2 zw I0 w s z Используя представление для модифицированных функций Бесселя I0 (x) и I1(x) в виде ряда
I0 x
(x / 2)2k
k 0
k ! 2
2 k 1 (x / 2) , k 0 k ! k 1 !
,
I2 x
выражение (5.4.41) можно записать в виде I (z; t)
cE0 e
eff s
s z s2 z2
(5.4.42) 2m 1 s (2m 1)z w s2 z2 (s z). m !( m 1)! 2 m 0 Здесь s ct – путь, пройденный фотоном за время t . Наличие единичной функции (s z) в выражении (5.4.42) означает, что на глубине z световой сигнал появляется в момент времени t z / c . До этого момента времени интенсивность восходящего излучения (так же как и нисходящего) на глубине z равна нулю. Каждое слагаемое в формуле (5.4.39) определяет вклад в восходящее излучение от тех фотонов, которые ровно 2m 1 , т.е. нечетное число раз, изменили знак проекции скорости cz на ось z . Поэтому выражение (5.4.39) представляет собой разложение восходящего излучения по парциальным потокам в рассматриваемой нестационарной задаче
I (z; t) I(2m 1) (z; t) I (1) (z; t) I (3) (z; t ) ...... , m 0
где
57
I(2m 1) (z; t ) cE0 e
eff s
(w )2m 1
m
(5.4.43) z 1 2m (s z). s z 22m 1 m !(m 1)! Если, как и ранее, ввести приведенную глубину z и приведенное время t (5.4.17), то для приведенной интенсивности I (z ; t ) и
s2 z2
приведенных восходящих парциальных потоков I (2m 1) (z ; t ) , ко
торые связаны с величинами I и гичными (5.4.19)
I(2m 1)
соотношениями, анало-
I (2m 1)dt I (2m 1)dt ,
I dt I dt ,
т.е. I I / cw , I (2m 1) I(2m 1) / cw , из формул (5.4.41), (5.4.42) и (5.4.43) получаем ( t z ) : I (z ; t ) 1 t e t z I1 E0 t z t z
t 2 z 2 zI0
1 t e t (2m 1)z I (z ; t ) E0 2 t z m 0 m !(m 1)!
(5.4.44)
(5.4.45) t 2 z2 ;
t 2 z2 4
m
; (5.4.46)
I (2m 1) (z ; t )
m
(5.4.47) z E0e 1 2m . t z 22m 1 m !(m 1)! При t z 0 , т.е. t z / c 0 получаем значение интенсивности восходящего излучения и парциальных потоков на фронте импульса. Полагая в общем выражении (5.4.45) t z , видим, что в сумме по m будет отличным от нуля только одно слагаемое с m 0 . Все остальные слагаемые зануляются. В результате полу 1 t
t 2 z2
58
чим следующее выражение для интенсивности восходящего излучения на фронте импульса: E I (z ; t z 0) 0 exp 1 t . (5.4.48) 2 Формула (5.4.48) для рассматриваемой модельной среды является абсолютно точной и определяет значение приведенной интенсивности восходящего излучения на приведенной глубине z в тот момент времени t z , когда на этой глубине появляются первые фотоны, распространяющиеся из вещества в сторону поверхности, т.е. значение интенсивности фронта импульса для восходящего излучения. С другой стороны, из (5.4.47) следует, что при t z отличным от нуля будет только первый парциальный поток. Это означает, что на глубине z в момент времени t z восходящее излучение формируется только теми фотонами, которые только один раз изменили знак проекции своей скорости на ось z : “ + - ”: I (z ; t z ) I (1) (z ; t z ) .
(5.4.49)
Парциальные потоки более высокой кратности I (3) , I (5) и т.д., не
дают вклада в восходящее излучение на фронте импульса. Конечно, с увеличением времени, когда t z ситуация изменяется и вклад в восходящее излучение все в большей мере будет определяться теми фотонами, которые много раз изменяли знак проекции своей скорости на ось z . Время появления локального максимума (при фиксированной глубине z ) определяется из уравнения I (z ; t ) 0, t где I (z ; t ) определяется выражением (5.4.45). Если в данном уравнении положить t z , то получим значение приведенной глубины, когда локальный максимум будет находиться на фронте импульса, т.е. ту глубину z () , начиная с которой возникает локальный максимум. Соответствующие вычисления дают, что z () 2 1 . (5.4.50)
59
Сравнивая это с (5.4.32) видим, что z () z () / 2 , т.е. локальный максимум восходящего излучения появляется на глубинах в два раза меньших, чем локальный максимум нисходящего излучения. Поскольку при z z локальный максимум лежит на фронте импульса, то значение интенсивности восходящего излучения I при z z можно определить, подставив t z в (5.4.48). В результате получим: E 2 I (z z ; t z ) 0 exp 2 1 . (5.4.51) 2 В случае чисто упругого рассеяния локальный максимум в восходящем излучении появляется на наименьшей глубине z ( 0) 2 . Значение интенсивности восходящего излучения в
первом локальном максимуме I (z 2; t 2) 0.07E0 . С увеличением поглощения локальный максимум появляется в области больших времен и расположен все дальше (по временной шкале) от фронта импульса на данной глубине z . На рис. 5.4.6 представлены графики зависимости полного приведенного восходящего излучения от приведенного времени t на различных приведенных глубинах z в консервативной среде 0 , рассчитанные по формуле (5.4.45), при E0 1 : I (z ; t )
exp t t z I1 t z t z
t 2 z 2 zI0
60
. (5.4.52) t 2 z2
0 z 0 z 1 z 2
z 3 t
Рис.5.4.6. Графики зависимости восходящего потока излучения от приведенного времени t в модельной среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния. Пунктирная кривая – первый парциальный восходящий поток на глубине z в момент времени t z – фронт импульса (расчет по формуле (5.4.48))
Видно, что в соответствии с формулой (5.4.50) для приведенных глубин z 2 , восходящее излучение монотонно убывает от своего наибольшего значения на фронте импульса и никакого локального максимума нет. Как и должно быть, интенсивность восходящего излучения в точке первого локального максимума равна I (z 2; t 2) 0.07 E0 1 . Пунктирная кривая на рис.5.4.6 определяется формулой (5.4.48) при 0 : 1 I (z ; t z ) exp t , (5.4.53) 2 и определяет интенсивность на фронте импульса восходящего излучения для различных моментов времени t . Из рис. 5.4.6 следует, что в области глубин z 2 характер светового сигнала принципиально изменяется. Интенсивность излучения перестает быть монотонно убывающей функцией времени – возникает локальный максимум, положение которого смещается в
61
область больших времен на больших глубинах. На поверхности вещества восходящее излучение появляется в момент времени t 0 и его значение равно I (z 0; t 0) 0.5 . Теперь проанализируем вклад различных парциальных потоков в восходящее излучение (5.4.45). Используя общую формулу (5.4.47), выпишем в явном виде выражения для первого m 0 , третьего m 1 и пятого m 2 парциального потоков ( t z ) : E 1 t I (1) (z ; t ) 0 e ; (5.4.54) 2 E 1 t I (3) (z ; t ) 0 t z t 3z e ; (5.4.55) 16 E 1 t I (5) (z ; t ) 0 t z t 2 z 2 t 5z e . (5.4.56) 384 На рис. 5.4.7 представлены графики зависимости от приведенного времени t величины полного восходящего излучения I (z ; t )
1 (z ; t ) ,
(пунктирная кривая) и восходящих парциальных потоков I I
3
(z ; t ) и I
5
(z ; t ) – в консервативной среде 0 для двух
приведенных глубин - z 0.5 и z 3 .
I
I I1
0 I3
I5
t a)
62
I
0 I1
I3
z
Рис.5.4.7b
I5 3
t b) Рис. 5.4.7. Зависимость полного восходящего потока излучения (пунктирная кривая) и восходящих парциальных потоков от приведенного времени в консервативной среде для двух приведенных глубин: a – z 0.5 , b – z 3
Из рис. 5.4.7,a видно, что на малых глубинах z 0.5 область вблизи фронта импульса
0.5 t
2 определяется в основном
первым парциальным потоком, так как на малых глубинах вероятность фотону изменить направление своего движения на противоположное более одного раза мала. Однако в области больших времен эта вероятность увеличивается. При t 3 все больший вклад в восходящее излучение дают парциальные потоки более высокого порядка I(3) , I(5) и т.д.. Кроме того, на малых глубинах интенсив
ность восходящего излучения I (z ; t ) (пунктирная кривая) монотонно убывает от своего наибольшего значения на фронте импульса при t 0.5 . Ситуация меняется на относительно больших глубинах. Как видно из рис. 5.4.7,b на приведенной глубине z 3 величина полного восходящего потока I имеет явно выраженный локальный
63
максимум. Уменьшается область времен вблизи фронта импульса t 3 , где доминирует первый парциальный поток. В подавляющей области времен t 4 основной вклад в полное нисходящее излучение дают парциальные потоки I(3) , I(5) и более высокого
порядка. Определим временную зависимость восходящего излучения на произвольной глубине z в области относительно больших времен вдали от фронта импульса, когда t z , т.е. t z / c . Учитывая асимптотическое представление для модифицированных функций Бесселя In (x) (2x)1/2 exp(x) , находим: I (z ; t ) E0
1 z e t , 2 ( t )3/2
В обычных единицах (1 w z) e ct I (z; t) cE0 , 2w (ct)3/2
t
z .
(5.4.57a)
t z / c .
(5.4.57b)
На относительно больших глубинах ( z 1 , т.е. z l ), при временах наблюдения t z , выражение для восходящего излучения выглядит так: z e t (5.4.58) , t z 1 . 2 ( t )3/2 Выражение (5.4.58) полностью совпадает с выражением (5.4.40a) для интенсивности нисходящего излучения при t z . Интересно отметить, что такая же асимптотическая зависимость полного светового потока от времени при распространении -импульсного временного сигнала имеет место и в некоторых реальных средах. Таким образом, в модельной среде с простой 2-направленной индикатрисой рассеяния оказалось возможным аналитически рассчитать и подробно проанализировать временную зависимость всех парциальных потоков как для восходящего, так и для нисходящего излучения. I (z ; t ) E0
64
§5. Полный и парциальные коэффициенты отражения при облучении поверхности -импульсным световым потоком В предыдущем параграфе был подробно исследован вопрос о распространении нестационарного светового сигнала в случайной среде при 2-направленной индикатрисе рассеяния на отдельных центрах. Были рассчитаны восходящие и нисходящие световые потоки, а также их парциальные компоненты. Настоящий параграф посвящен исследованию временной зависимости полного и парциальных коэффициентов отражения при облучении поверхности временным -импульсным световым потоком, падающим по нормали 0 1 к поверхности вещества. Временной коэффициент отражения определяется обычным образом, как отношение световой энергии, отраженной с единицы поверхности вещества во всех направлениях в единицу времени в момент времени t , к энергии, падающей на ту же единичную поверхность за то же время 2 0 wотр (t) I (z 0; ; t )d E0 1 (5.5.1) 2 1 I (z 0; ; t)d . E0 0 В рассматриваемом случае модельной среды, с учетом формулы (5.4.6), получаем: I z 0; t wотр (t) . (5.5.2) E0 Величина wотр (t )dt есть количество световой энергии, выходящей из вещества через единичную площадку его поверхности во всех направлениях в интервале времен t t dt . Из формулы (5.4.41) предыдущего параграфа сразу находим, что s I1 w s wотр (t) c e eff . (5.5.3) s Здесь s ct – путь, проходимый фотоном в веществе от момента влета до момента вылета из среды; eff w w Ис-
65
пользуя представление для модифицированной функции Бесселя I1 x в виде ряда, получаем разложение временного коэффициента отражения (5.5.3) по парциальным временным коэффициентам m 1) w(2 (t) : отр
m 1) wотр (t ) w(2 (t ) , отр m 1) w(2 (t) отр
Здесь t cw
1
m 0 eff ct
t / t 2m 1
e
22m 1 m ! m 1 !
t
(5.5.4)
.
(5.5.5)
l / c – время “переворота”. Как и ранее
удобно ввести приведенное время (4.4.17) t t / t sw , а также приведенный коэффициент отражения wотр ( t ) и приведенm 1) ные парциальные коэффициенты отражения w(2 ( t ) , связанные отр m 1) с wотр (t) и w(2 (t) соотношениями отр m 1) (2m 1) wотр t dt wотр t dt ; w(2 ( t )dt wотр (t )dt , отр
т.е. m 1) (2m 1) wотр ( t ) wотр (t ) / cw ; w(2 ( t ) wотр (t ) / cw .(5.5.6) отр
Тогда выражения (5.5.3) и (5.5.5) запишутся следующим образом: 1 t I1 t wотр ( t ) e , (5.5.7) t m 1) (t ) w(2 отр
e
t 2m
1 t
22m 1 m ! m 1 !
.
(5.5.8)
Таким образом, в терминах приведенного времени величины wотр m 1) и w(2 зависят только от одного безразмерного параметра отр
или, что-то же самое, от величины эффективной вероятности вы1
живания кванта eff 1 . Формулы (5.5.7) и (5.5.8), конечно следуют из формул (5.4.45) и (5.4.47) предыдущего параграфа, если в них положить z 0 и
66
учесть выражение (5.5.2) для временного коэффициент отражения. Полный коэффициент отражения получается интегрированием выражения (5.5.3) по всем временам вылета фотонов:
wотр wотр (t)dt wотр ( t )dt . 0
(5.5.9)
0
Подставляя сюда (5.5.7), после интегрирования, получим: eff 2 wотр . 2 1 1 2
(5.5.10)
eff
Как и должно быть, полученный результат (5.5.10) в точности совпадает с выражением (5.3.9) (или (5.3.10)) для коэффициента отражения при облучении поверхности вещества стационарным световым потоком. Из общей формулы (5.5.8) находим значения первых трех парциальных коэффициентов отражения: t 2 (1) t 1 (1) t (3) w t w(1) t e ; ( ) e ; отр отр 2 16 w(5) отр ( t )
t 4 (1 ) t e . 384
(5.5.11)
0
wотр (1) w от р
(3 ) w от р
(5 ) w от р
t a)
67
0.5 wотр (1) w от р
(3 ) w от р
t b) Рис. 5.5.1. Зависимость полного и нескольких парциальных временных коэффициентов отражении от приведенного времени для консервативной и диссипативной сред: a – консервативная среда 0 , b – диссипативная среда 0.5
На рис.5.5.1,a представлены графики зависимости wотр ( t ) и первых трех приведенных парциальных коэффициентов отражения в зависимости от приведенного времени t для случая чисто упругого рассеяния 0 . На рис.5.5.1,b представлены графики вели(1) (3) чин wотр ( t ) , wотр и wотр в диссипативной среде 0.5 . (1) Из рисунков видно, что величины wотр ( t ) и wотр t имеют
наибольшее значение равное 1 / 2 при t 0 как в консервативной, так и в поглощающей среде. С возрастанием t величины (1) wотр ( t ) и wотр t монотонно убывают со временем по экспо-
ненциальному закону. Остальные парциальные коэффициенты от(3) (5) ражения wотр , wотр ,… зависят от времени иначе. В начальный
момент времени все они равны нулю. Поэтому в начальный момент (3) времени wотр ( t 0) w(5) отр t 0 . Затем величина каждого из
парциальных коэффициентов отражения возрастает, достигая сво-
68
2m 1 его наибольшего значения wотр
max
2m 1 t t в не wотр
который момент времени t (m) , значение которого зависит от порядка парциального коэффициента отражения и параметра : 2 t m; m; 1 2 m 1 2m 2m m e 1 2m 1 wотр (5.5.12) . 2 max 2 m 1 m 1 Здесь m – гамма-функция Эйлера. При получении второй фор-
мулы (5.5.12) учтено, что m ! m 1 m m . Таким образом, чем выше порядок парциального коэффициента отражения, тем в более поздний момент времени он достигает своего наибольшего значения: t (m) ~ m . Это и понятно, так как чем больше m , тем больше актов “переворота” совершает фотон, на что требуется большее время. При больших значениях m можно воспользоваться формулой Стирлинга:
m 1 2m m m e m .
Тогда вторая формула (5.5.12) запишется так:
wотр
2m 1
max
1
Из
1
2m
1 2 1 4 m что максимальное
2m
eff 4 m2
. (5.5.13)
формулы (5.5.13) видно, значение 2m 1 wотр ~ 1 / m2 и поэтому тем меньше, чем выше номер
max
парциального коэффициента отражения m и чем меньше эффективная вероятность выживания кванта eff , т.е. чем больше значение l / la . Из рис.5.5.1,a видно, что даже в консервативной среде роль пятого парциального коэффициента отражения в области наиболее интересных значений времен, когда полный коэффициент отражения wотр ( t ) ещё не слишком мал, невелика. Парциальные потоки высоких порядков начинают давать заметный вклад лишь при
69
больших значениях t 1 , т.е. t t . Это ещё в большей степени относится к поглощающей среде. Из рис.5.5.1,b видно, что в диссипативной среде в наиболее интересной области времен полный коэффициент отражения wотр практически совпадает с пер(1) . вым парциальным коэффициентом wотр
Используя выражение (5.5.8) можно определить отношение значений двух "соседних" приведенных парциальных коэффициентов отражения: m 3) (t ) w(2 отр (2m 1) (t ) wотр
t2 . 4 m 1 m 2
(5.5.14)
Интересно отметить, что это отношение не зависит от величины m 3) (2 m 1) поглощения в среде. Видим, что w(2 ( t ) wотр ( t ) , когда отр
t 2
m 1 m 2 . Так, при
(5) будет даm 1 , значение wотр
(3) , вать больший вклад в общий коэффициент отражения чем wотр (5) если t 5 , т.е. когда t 5t . При m 2 , w(7) отр ( t ) wотр ( t )
если t 7 и т.д. Вообще, при достаточно больших значениях порядка парциального коэффициента отражения m 1 неравенm 3) (2 m 1) ство w(2 ( t ) wотр ( t ) будет выполняться в области всё отр
больших времен t 2m , т.е. t 2mt . В заключение этого раздела приведем выражения для предельных значений полного коэффициента отражения wотр ( t ) при относительно малых и больших значениях приведенного времени. Учитывая, что I1(x 1) x / 2 и I1(x 1) (2x)1/2 exp(x) из точной формулы (5.5.7) следует, что 1 2 exp 1 t , если t 1; wотр ( t ) (5.5.15) 3/2 exp t 1 , если t 1. t 2
70
В обычных размерных единицах 1 если t t ; 2t exp ct , (5.5.16) wотр (t) 3/2 1 exp ct t , если t t . t t 2 Таким образом, используя метод разделения потоков, оказалось возможным аналитически рассчитать и досконально проанализировать временную зависимость парциальных коэффициентов отражения в модельной среде с 2- направленной индикатрисой рассеяния при облучении поверхности вещества -импульсным временным световым потоком.
71
Глава 6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В ИЗОТРОПНО РАССЕИВАЮЩЕЙ СРЕДЕ Поскольку индикатриса является ядром уравнения переноса, то сложность решения этого уравнения определяется, в первую очередь (если отвлечься от проблемы граничных условий), именно видом индикатрисы. Самым простым является изотропный закон рассеяния, при котором вероятность однократного рассеяния в любом направлении одинакова. Такая ситуация имеет место, например, при рассеянии излучения инфракрасного диапазона на частицах пыли в космических туманностях и т.д.. При изотропном законе рассеяния сравнительно просто удается найти точное аналитическое решение уравнения переноса в бесконечной однородной среде при произвольном распределении объемных источников QV r ; . Исключительно большое значение имеет альбедная за-
дача о вычислении углового спектра отраженного излучения от полубесконечной среды, без каких-либо ограничений на угол падения излучения и на угол вылета фотонов из вещества (угол отражения). Эта задача решена в работах Фока, Амбарцумяна и Чандрасекара. При этом используется метод Виннера – Хопфа или определяется одна вспомогательная функция (функция Амбарцумяна – Чандрасекара H ; ) из соответствующего нелинейного интегрального уравнения. Сравнительно недавно удалось получить точное аналитическое решение для линейной (2.1.18) индикатрисы рассеяния. При этом приходится определить три вспомогательные функции из соответствующих нелинейных интегральных уравнений. Настоящая глава посвящена изучению некоторых вопросов распространения фотонов в среде с хаотически распределенными рассеивающими мелкомасштабными центрами при изотропном законе однократного рассеяния. При этом не ставится цель дать всеобъемлющее описание многочисленных методов решения такого рода задач, что может послужить темой отдельного пособия. Главное – продемонстрировать на некоторых простых примерах доступные начинающему читателю методы решения наиболее простых задач, используя уравнение переноса, записанное в обычном интегродифференциальном виде или в интегральной форме. Поэтому везде
72
в дальнейшем рассматривается случая плоской геометрии, когда в плоском слое вещества имеются или плоские источники, или на его поверхность падает широкий стационарный световой поток, так что интенсивность излучения зависит только от глубины z (оптической глубины ). § 1. Уравнения переноса для интенсивности и плотности энергии излучения при изотропном рассеянии Как обычно, для описания распространения излучения можно использовать уравнение переноса, записанное в двух формах: либо обычное уравнение в интегродифференциальном виде с соответствующими граничными условиями, либо уравнение переноса в виде интегрального уравнения, в котором граничные условия выполняются автоматически. В силу простоты изотропного закона однократного рассеяния, каждое из этих уравнений имеет достаточно простой вид. Отличительной особенностью уравнений переноса при изотропном рассеянии является наличие простой связи между интенсивностью излучения I ; , и плотностью световой энергии в таких средах. Уравнение переноса для интенсивности излучения при изотропном рассеянии Пусть внутри слоя вещества оптической толщины L имеется произвольное распределение источников с объемной плотностью, не зависящей от поперечных координат (6.1.1) k , Q z / ; / , q V ; V
а падающее на поверхность слоя излучение отсутствует. При изотропном законе однократного рассеяния изтр (cos ) 1 / 4 , (6.1.2) уравнение переноса для полной интенсивности излучения следует из общего уравнения (3.1.4), в котором нужно учесть явный вид индикатрисы рассеяния (6.1.2). В результате получаем:
73
c 1 I ; q V ; ; (6.1.3) 4 I( 0; 0, ) 0 , I( L ; 0, ) 0 . (6.1.4) Здесь, как обычно, L L – оптическая толщина однородного
слоя вещества; I ; ; L – полная интенсивность излучения; L
– полня плотность энергии излучения на оптической глу-
бине
1 I ; d . (6.1.5) c 4 Уравнение переноса (6.1.3) устанавливает дифференциальную связь между полной интенсивностью излучения I ; и полной энер-
гией светового поля . Как обычно, полную интенсивность излучения можно представить в виде суммы нерассеянного и диффузно рассеянного излучения н.рас D ; I ; . (6.1.6) I ; I
Интенсивность нерассеянного излучения определяется “укороченным” уравнением переноса: н.рас 1 I ; q V ; . 6.1.7) Решение уравнения (6.1.7) определяется формулой (3.2.15): 1 L н.рас I (; L ) exp q V (; )d .(6.1.8) 0 Плотность энергии светового поля тоже можно представить в виде суммы плотности энергии нерассеянного и плотности энергии диффузно рассеянного излучения н.рас D . (6.1.9)
Здесь
L
L
L
1 D L I D ; L d ; c 4
74
(6.1.10)
1 н.рас L I н.рас ; L d . (6.1.11) c 4 Как уже отмечалось ранее, интенсивность нерассеянного излучения не зависит от конкретного вида закона однократного рассеяния cos , а определяется только характером распределения объем ных источников q V ; и зависит от толщины слоя L , так как
объемные источники могут быть распределены по всему слою 0 L . Подставляя (6.1.6) в (6.1.3) и учитывая уравнение (6.1.7) для интенсивности нерассеянного излучения, получаем уравнение для диффузной части интенсивности излучения в изотропно рассеивающей среде: D 1 I (; L ) c D н.рас (6.1.12) L L ; 4 D D I ( 0; 0) 0; I ( L ; 0) 0. Уравнение (6.1.12) для диффузной части интенсивности излучения является частным случаем общего уравнения (3.3.11) в изотропно рассеивающей среде, если учесть, что 1 q V (; L ) н.рас c н.рас изтр I ; L d L . 4 4 Таким образом, последнее слагаемое в правой части уравнения 1 (6.1.12) есть плотность источников q V (; L ) , порожденная взаимодействием нерассеянного излучения с веществом. Величина 1 q V (; L ) в изотропно рассеивающей среде пропорциональна плотности энергии нерассеянного излучения (6.1.11). Уравнение (6.1.12) устанавливает дифференциальную связь между диффузной D интенсивностью излучения I ; и диффузной плотно-
75
L
D стью энергии светового поля L . Для сокращения записи в
тех случаях, где это не вызывает сомнений, не будем указывать зависимость характеристик светового поля от величины L . Если воспользоваться интегральной формой записи уравнения переноса (3.3.8), то в изотропно рассеивающей среде получаем, что I(; ) I(н.рас) (; ) (6.1.13) c L exp ()d . 4 0 Первое слагаемое в (6.1.13) есть интенсивность нерассеянного из лучения (6.1.8) от произвольного источника (6.1.1) q V ; . Вто
рое слагаемое в (6.1.13) определяет интенсивность диффузно рассеянных фотонов: c L D I (; ) exp ()d . (6.1.14) 4 0 Соотношения (6.1.13) и (6.1.14) устанавливают интегральную связь D между величинами I(; ) , I (; ) и полной плотностью энергии светового поля . Интегральные соотношения справедливы как для слоя конечной толщины, так и для полубесконечной и бесконечной среды, если осуществить замену L L или . 0 0 0 Таким образом, для вычисления интенсивности диффузного излучения в изотропно рассеивающей среде достаточно знать полную плотность энергии фотонов (или плотность энергии диффузD но рассеянного излучения , поскольку они связаны простым соотношением (6.1.9)). Это обстоятельство радикально упрощает задачу. Теперь достаточно определить плотность энергии фотонов () , т.е. функцию только оптической глубины , чтобы из уравнения (6.1.13) или (6.1.14) найти значение полной интен-
76
сивности света I(; , L ) или её диффузную составляющую D I (; L ) . Поэтому следующим шагом является получение замкнутого уравнения для плотности световой энергии ( L ) . Уравнение для плотности энергии поля в изотропно рассеивающей среде Для того чтобы получить замкнутое уравнение непосредственно для величины () , проинтегрируем соотношение (6.1.13) по всем углам d dd . При интегрировании первого слагаемого в уравнении (6.1.13) получаем плотность энергии нерассеянного излучения (6.1.11): н.рас
L
(6.1.15) q V (; , ). н.рас Явное выражение для величины L может быть полу
2 1 1 L d exp d d c 0 0 1
чено только после того, когда задан конкретный вид распределения источников q V (; ) . При интегрировании второго интегрального слагаемого уравнения (6.1.13) по угловым переменным, последовательно получаем: 1 d J 2 exp , 1 1 0 d d J 2 exp exp . 0 1 Осуществляя во втором интеграле замену переменной интегрирования , запишем:
1 d J 2 exp . 0 Поскольку 1 , находим, что
77
J 2E1 ,
где 1 d E1 exp . (6.1.16) 0 С учетом всего проделанного выше получаем следующее интегральное уравнение для плотности энергии светового поля в слое вещества конечной оптической толщины:
L н.рас ( L ) ( L ) E1 ( L )d . (6.1.17) 2 0
Таким образом, ядром интегрального уравнения (6.1.17) является интегропоказательная функция (6.1.16) первого порядка, которая выражается через обычную интегральную показательную функцию E1 x Ei x . (6.1.18) Используя представление для Ei x (см. приложение 5), величину E1 в области больших и малых значений можно определить по приближенной формуле: ln , если E1 e , если
1; 1.
(6.1.19)
Из формулы (6.1.19) видно, что величина E1 быстро убывает при 1 и имеет логарифмическую особенность при 0 . Таким образом, ядро интегрального уравнения (6.1.17) имеет логарифмическую особенность при . График функции E1 x 0 приведен на рис.6.1.1.
78
Рис.6.1.1. График функции
E1 x
Функция E1 x является частным случаем интегропоказательных функций En x , которые часто встречаются в теории переноса (см. приложение 5): 1
En x exp x / n 2d ,
x 0 .
(6.1.20)
0
Например, E0 x exp x / x . Из формулы (6.1.20) видно, что при x интегропоказательные функции стремятся к нулю: En x 0 при любом значении n . При x 0 только две функции E0 x и E1 x имеют особенность: E0 x 1 ~ 1 / x , E1 x 1 ~ ln x . Для остальных функций при x 0 En x 0 1 / n 1 , (6.1.21) n 1 . Из формулы (6.1.20) следует, что (см. приложение 5) dEn 1(x) 1 x En x e xEn 1 x , En x , n 1 . n 1 dx (6.1.22)
79
Таким образом, взятие производной по аргументу понижает порядок функции En 1 x на единицу. Из уравнения (6.1.17) следует соотношение, связывающее плотность энергии диффузно рассеянного излучения и полную плотность энергии светового поля в изотропно рассеивающей среде: L D ( L ) (6.1.23) E1 ( L )d . 2 0 Уравнения (6.1.17) и (6.1.23) носят универсальный характер в том смысле, что они справедливы при произвольном распределении объемных источников q V (; ) . Поверхностный мононаправленный источник в плоском слое вещества В качестве иллюстрации получим уравнения для величин I (; 0 , L ) и ( 0 , L ) , когда на поверхности слоя вещества
I 0 L 0
I
Рис.6.1.2. Условное изображение поверхностного мононаправленного источника, испускающего фотоны в глубь вещества
80
L
находится плоский мононаправленный источник, испускающий фотоны в глубь вещества в азимутальной плоскости, т.е. в направ лении 0 0 0; 0 0 (рис.6.1.2) В этом случае q V ; I00 0 . (6.1.24)
Как отмечалось ранее, такой источник эквивалентен падающему на поверхность вещества 0 световому потоку с интенсивностью I0 под углом 0 arccos 0 (рис.6.1.3).
0
I0
I
0
L
I
Рис.6.1.3. Условное изображение падения широкого светового пучка на плоский слой вещества
Подставляя формулу (6.1.24) в выражения (6.1.8), (6.1.15), учитывая, что 0 , после элементарного интегрирования находим, что
I
(н.рас)
(; ) I0 e 0 0 ,
I0 0 н.рас e . c
81
(6.1.25)
н.рас В рассматриваемом случае величины I (н.рас) (; ) и не
зависят от толщины слоя L . Теперь, уравнения (6.1.13) и (6.1.17) запишутся в виде:
I(; 0 , L ) I0e 0 ( 0 ) c L e ( 0 , L )d ; 4 0
(6.1.26)
I L ( 0 , L ) 0 e 0 E1 ( 0 , L )d . (6.1.27) c 2 0 Из уравнения (6.1.27) следует, что при изотропном законе рассеяния диффузная часть интенсивности излучения D I ; , (второе слагаемое в соотношении (6.1.26)), не
0
L
зависит от азимутального угла даже при наклонном падении. Что касается полной интенсивности, то от угла зависит только нерассеянная часть излучения. Конечно, все эти величины зависят от косинуса угла падения 0 , толщины слоя L и вероятности выживания кванта , как от параметров. Уравнение (6.1.27) представляет собой интегральное уравнение с разностным ядром на конечном интервале глубин 0 L . До сих пор не существует аналитических методов решения уравнений такого рода, которые позволили бы определить величину ( 0 , L ) в квадратурах. Уравнение (6.1.27) было получено О. Д. Хвольсоном в 80-х годах XIX века и носит его имя. Частный случай этого уравнения, когда свободное слагаемое отсутствует (однородное уравнение Хвольсона) и рассеяние происходит в консервативной среде 1 , было получено независимо почти полвека спустя Милном и называется уравнением Милна, а задача о нахождении решения этого уравнения – задачей (проблемой) Милна. Принято уравнением Милна называть та же однородное интегральное уравнение (6.1.27) и в
82
более общем случае при 1 , т.е. при распространении фотонов в изотропно рассеивающей диссипативной среде. В более простом случае полубесконечной среды, когда L , уравнение (6.1.27) выглядит так 0 ^ I ( 0 ) 0 exp / 0 E1 ( 0 )d , c 2 0
0
0 . (6.1.28) В отличие от уравнения (6.1.27), уравнение (6.1.28) для плотности световой энергии представляет собой уравнение с разностным ядром, но на полубесконечном интервале значений 0 . Такого рода уравнения решаются методом Винера – Хопфа. Именно Хопфу принадлежит первая в истории теории переноса монография.
Некоторые свойства интегральных уравнений теории переноса в изотропных средах В заключение этого параграфа обсудим некоторые свойства полученных интегральных уравнений. Обратимся к уравнению (6.1.27) для слоя вещества конечной толщины. Вычислим квадрат нормы интегрального оператора: 2
L
E1 d
0 L
L
L
0
0
d d E1 L
d d E1 d E1 0 0
(6.1.29)
L L d d E1 d E1 . 0 0 0 При вычислении внутренних интегралов воспользуемся соотношением (6.1.22): E1 d dE2 . В результате получим:
83
d E1 dE2 E2 0
0
0
E2 E2 0 1 E2 ; L
L
0
0
d E1 dE2
E2 L E2 0 1 E2 L .
Здесь учтено, что в соответствии с (6.1.21) E2 0 1 . Следовательно, выражение в фигурных скобках формулы (6.1.29) запишется в виде:
d E1
L
0
d E1 2 E2 E2 L .
0
Следовательно, 2
L
E1 d
0
L d 2 E2 E2 L . (6.1.30) 2 0
Так как E2 dE3 / d , E2 L dE3 L / d , E3 0 1 / 2 , то L
d 2 dE3 / d dE3 L / d 2L 2E3 L 1 .
0
Окончательно получаем: 2 L E1 d L E3 L 1 / 2 . 2 0
(6.1.31)
Величина в фигурных скобках выражения (6.1.31) конечна при любых конечных оптических толщинах слоя L . Следовательно, интегральное уравнение (6.1.27) является уравнениями Фредгольма. Поэтому в случае рассеивающего слоя конечной толщины L это уравнение можно решать методом последовательных итераций. При этом ряд Неймана сходится тем лучше, чем меньше вероят-
84
ность выживания кванта и оптическая толщина слоя, т.е. чем меньше норма оператора (6.1.31). Если же близко к единице, а L велико, ряд сходится чрезвычайно медленно. При этом диффузно рассеянное излучение оказывается существенно больше поля нерассеянного излучения. Это означает, что поле излучения формируется за счет рассеяний высокой кратности, т.е. имеет место существенно многократное рассеяние. При расчете слагаемых ряда Неймана приходится вычислять повторные интегралы высокой кратности, что представляет далеко не простую задачу и обычно аналитически невыполнимо. Не имея возможности вычислять слагаемые такого рода точно, приходится прибегать к весьма радикальным упрощениям. Поэтому вычисление далеких слагаемых ряда Неймана происходит всё с меньшей точностью, ошибка вычислений резко возрастает и систематически накапливается. Сказанное означает, что при расчетах световых полей, образованных за счет существенно многократного рассеяния, итерационный метод не эффективен. Для полубесконечной среды, когда L , величина E3 L 0 и квадрат нормы интегрального оператора урав-
нения (6.1.31) стремится к бесконечности пропорционально L . Это означает, что при L уравнение (6.1.27) перестает быть фредгольмовским и становится сингулярным. Однако можно доказать, что при L соответствующий ряд Неймана сходится, правда очень медленно, при “хороших” в неинтегральных слагаемых. § 2. Закон Фика в бесконечной изотропно рассеивающей среде При решении различных задач математической физики используется закон Фика. Так, в обычной теории диффузии, закон Фика устанавливает эмпирическую связь между вектором плотности по тока вещества j r ; t и градиентом плотности вещества r ; t j r ; t D grad r ; t . (6.2.1) Здесь D – коэффициент пространственной диффузии. Тогда, используя уравнение непрерывности
85
r ; t
divj r ; t 0 ,
t получаем уравнение пространственной диффузии r ; t D r ; t . (6.2.2) t В одномерном стационарном случае из (6.2.1) получаем d z jz z D . (6.2.3) dz В этом параграфе, используя интегральное уравнение (6.1.13) для интенсивности излучения в бесконечной изотропно рассеивающей среде, получим точную связь между плотностью потока световой энергии j () и плотностью энергии
фотонов на глубине . Интенсивность диффузно рассеянных фотонов определяется выражением (6.1.14): c D I (; ) exp ()d , 4
1 1 .
(6.2.4) Выражение для проекции вектора диффузной плотности потока световой энергии на ось определяется обычным образом: 1 D D D j () I (; )d 2 I (; )d . (6.2.5) 4
1
Подставляя выражение (6.2.4) в соотношение (6.2.5), получаем c D j () J ()d . 4
(6.2.6)
Здесь 1 J 2 exp d . 1 Интегрируя по , последовательно получаем:
86
(6.2.7)
1 0 J 2 exp d . d exp 0 1 Осуществляя во втором интеграле замену переменной интегрирования , запишем
1 d J 2 exp . 0 Поскольку sgn , где sgn x – знако-
вая функция: sgn x 1 , если x 0 и sgn x 1 если x 0 , получаем, что 1 J sgn exp d (6.2.8) 0 E2 sgn .
Здесь E2 x – интегропоказательная функция второго порядка, которая определяется из общей формулы (6.1.20) при n 2 : 1
E2 x exp x / d e x xEi x ; 0
x 0 .
(6.2.9) Подставляя выражение (6.2.8) в соотношение(6.2.6) будем иметь: c D j () E2 () sgn d . 2
(6.2.10)
Вводя новую переменную интегрирования , выражение (6.2.10) можно записать в виде c D j () E2 () ( ) ( ) d . 2 0
(6.2.11)
Формула (6.2.11) устанавливает точную связь между плотностью потока световой энергии диффузно рассеянного излучения j D ()
и полной плотностью световой энергии на любой глубине
87
в рассматриваемой задаче о распространении светового излучения в бесконечной гомогенной среде. Из точной формулы (6.2.11) видно, что в одномерном случае величины j D () и конечно не связаны соотношением
(6.2.3), т.е. при точном решении задачи закон Фика не имеет места. Поэтому представляет интерес выяснить, при каких условиях из точной формулы (6.2.11) получается приближенное соотношение (6.2.3). Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо принять во внимание следующее обстоятельство. Функция E2 () (6.2.9) имеет острый максимум при 0 , где E2 ( 0) 1 . С увеличением функция E2 () достаточно быстро убывает. График функции E2 ()
Рис. 6.2.1. График функции
E2 ()
в диапазоне значений 0 3 представлен на рис. 6.2.1. Поэтому, если величина является достаточно “плавной” функцией оптической глубины , что, как правило, имеет место вдали от источников излучения, то величины и , входящие в выражение (6.2.10), можно разложить в ряд по переменной .
88
Поскольку величина разности является нечетной функцией , то, с точностью до членов ~ 3 , будем иметь: d 2 . (6.2.12) d С учетом интегрального представления (6.2.9) для функции E2 находим, что
1
1
0
0
0
0
2 E2 ()d d exp / d d
1 . 3
Поэтому, вместо точного соотношения (6.2.11), получаем d d z D , или jz D (z) Dz . (6.2.13) j () D d dz Здесь c c D , (6.2.14) D м/c . 3 3 ( ) c Dz , (6.2.15) Dz м2 /с . 3 ( )2 Это и есть закон Фика для случая одномерной диффузии. Величина D есть коэффициент пространственной диффузии при измерении глубины в оптических единицах, а величина Dz есть коэффициент пространственной диффузии при измерении глубины в обычных единицах. §3. Распространение излучения в бесконечной гомогенной изотропно рассеивающей среде. Основные уравнения В §1 настоящей главы было показано, что в изотропно рассеивающей среде задача о вычислении полной интенсивности света I (; L ) (или интенсивности диффузно рассеянного излучения D I (; L ) ) при произвольном распределении объемных источ ников q V ; в плоском слое вещества конечной толщины L ,
89
сводятся к более простой задаче о вычислении плотности энергии светового поля ( L ) . В настоящем параграфе рассматривается одна из наиболее простых задач теории переноса о распространении излучения в бесконечной, изотропно рассеивающей среде, когда . Эта задача имеет принципиальное значение в теории переноса светового излучения, так как, используя сравнительно простые математические методы, удается получить точное аналитическое решение уравнения переноса. Кроме того, эта задача тесно связана с более сложной и практически очень важной задачей о распространении излучения от полубесконечной изотропно рассеивающей среды, когда 0 L . Постановка задачи. Уравнение для плотности энергии излучения Пусть в бесконечной среде, занимающей всё полное пространство , имеются произвольно распределенные источники с объемной плотностью q V ; . Уравнение для плотности энер-
гии светового излучения в бесконечной среде в интегральном виде следует из уравнения переноса (6.1.17), если интегрирование осуществлять по всему диапазону значений :
н.рас () () E1 ()d , .(6.3.1) 2 Уравнение (6.3.1) есть интегральное уравнение с разностным ядром (ядром типа свертки). Для решения таких уравнений используется преобразование Фурье. Умножая обе части уравнения (6.3.1) на exp ik d и интегрируя по в интервале , , получим:
н.рас (k) E k (k) . (k) (6.3.2) 1 2 Здесь E1 k – фурье-образ интегропоказательной функции первого порядка E1 :
90
0
E1 k E1 exp ik d 2 E1 cos k d . (6.3.3)
Из уравнения (6.3.2) находим фурье-образ (k) полной плотности энергии светового поля
(k) () exp ik d ,
(6.3.4)
н.рас (k) . (6.3.5) 1 E1 k 2 Значение E1 k легко получить из формулы (6.3.3), если воспользоваться интегральным представлением (6.1.16) для E1 . Учи-
(k)
тывая, что
exp / exp ik d
2 exp / cos k d 0
2 1 k 22
,
получаем E1 k 2b k .
(6.3.6)
Здесь обозначено b k
1 d 2 2 1k 0
arctg k . k
Подставляя формулу (6.3.7) в выражение (6.3.5), находим: н.рас н.рас (k) (k ) (k) . arctg k 1 b k 1 k Поскольку D н.рас k k (k) ,
91
(6.3.7)
(6.3.8)
(6.3.9)
то получаем следующее выражение для фурье-образа плотности энергии диффузно рассеянного излучения: D н.рас k (k) k; . (6.3.10) Здесь b k arctg k k; . (6.3.11) 1 b k k arctg k D Таким образом, для вычисления величин k и k достаточно знать только фурье-образ плотности энергии нерассеянного излучения н.рас (k) , так как функция k; вообще не зави
сит от распределения источников фотонов. Теперь, используя формулу обращения Фурье, получаем выражение для плотности энергии диффузно рассеянного излучения во всем интервале глубин : 1 D ; 2
н.рас k k; e ik d .
(6.3.12)
Выражение (6.3.12) можно записать в несколько ином виде, если использовать теорему о свертке. Суть этой теоремы состоит в следующем: если f1 k и f2 k – фурье-образы функций f1 и f2 , то обращение Фурье от их произведения, сводится к интегралу от произведения их оригиналов 1 ik f k f k dk e 1 f1 f2 d . 2 2 Применяя теорему о свертке к формуле (6.3.12), получим
D н.рас ; ; d .
Здесь
92
(6.3.13)
;
1 ik ; e dk 2
(6.3.14)
2
b k 1 b k
e
ik
dk.
Таким образом, в соответствии с общей формулой (6.3.13), D плотность энергии диффузно рассеянного излучения оп
ределяется интегралом от произведения плотности энергии нерасн.рас () и функции ; . Понятно, что сеянного излучения реальная возможность вычисления интеграла в формуле (6.3.13) зависит от конкретного вида этих величин. Что касается плотности энергии нерассеянного излучения н.рас () , то применительно к бесконечной среде она определяется из общей формулы (3.2.18): н.рас
L
2 1 1 d d d exp c 1 0
(6.3.15) q ( ; , ). V
н.рас Значение величины зависит от конкретного вида плот ности источников q V ; , который и определяет все разнообра-
зие различных задач теории переноса светового излучения в бесконечной изотропно рассеивающей среде. Что же касается функции ; , то в отличие от н.рас , она является универсальной, так как её вид один и тот же при любом распределении источников q V ; . Это
обстоятельство указывает на необходимость подробного исследования основных свойств функции ; , которые могут оказать решающую роль при вычислении плотности энергии
93
шающую роль при вычислении плотности энергии диффузно расD сеянного излучения по формуле (6.3.13).
Основные свойства функции ; . Интегральное уравнение для ; Интегрируя выражение (6.3.14) по всем глубинам , с учетом того, что в соответствии с (6.3.7) b k 0 1 , получаем:
; d k 0; 1 .
(6.3.16)
Соотношение (6.3.16) можно рассматривать как своеобразное условие “нормировки” функции ; . Поскольку b k – четная функция k , то формулу (6.3.14) можно записать в виде:
;
arctg k cos k dk . k arctg k
(6.3.17)
0
Из (6.3.17) следует, что функция ; тоже является четной функцией оптической глубины ; ; . (6.3.18) Поэтому достаточно проанализировать поведение функции ; только при 0 . Так как при k подынтегральное выражение в формуле (6.3.17) равно cos k / k , то при любом значении вероятности выживания кванта , функция ; имеет логарифмическую особенность при 0 : 0; ~ ln , (6.3.19) 0 . График функции ; при различных значениях вероятности выживания кванта представлен на рис.6.3.1.
94
0.9 0.8 0.7
Рис.6.3.1. Графики универсальной функции значениях
; при различных
Нетрудно получить интегральное уравнение для функции ; . Для этого достаточно переписать выражение (6.3.11) для фурье-образа k; тождественно в виде k; b k b k k; . (6.3.20) Теперь возьмем обращение Фурье от обеих частей соотношения (6.3.20). Тогда, учитывая, что в соответствие с (6.3.6) b k E1 k / 2 , (6.3.21) и используя теорему о свертке, получаем следующее интегральное уравнение для функции ; : E1 E1 ; d . (6.3.22) 2 2 Таким образом, неоднородностью интегрального уравнения (6.3.22) для функции ; является величина E1 , которая ;
в соответствии с (6.1.19) имеет логарифмическую особенность при
95
0 . Именно эта особенность неоднородности уравнения (6.3.22) приводит к указанной выше логарифмической особенности (6.3.19) самой функции ; . Поскольку arctg k 1 1 ik b k ln , (6.3.23) k 2ik 1 ik то выражение (6.3.14) для ; можно записать так:
; 2
1 ik 1 ik eikdk . 1 ik 2ik ln 1 ik
ln
(6.3.24)
Формула (6.3.24) неудобна для вычислений, так как под интегралом стоит быстро осциллирующая функция exp(ik) . Однако используя метод контурного интегрирования в комплексной k плоскости, выражение (6.3.24) для ; можно преобразовать к значительно более простому виду. Это позволит, например, сравнительно просто получить информацию о поведении этой функции на больших расстояниях от источника, когда 1 . Из (6.3.24) следует, что подынтегральная функция имеет следующие особенности в комплексной k - плоскости: простые полюса k1,2 i0 0 0 и логарифмические точки ветвления k3,4 i . При вычислении функции ; при 0 , значение интеграла (6.3.24) определяется особенностями подынтегральной функции только в верхней полуплоскости Im k 0 , т.е. полюсом k1 i0 и точкой ветвления k3 i . В результате выражение (6.3.24) можно представить в виде двух слагаемых: ас пер ; ; ; . (6.3.25)
Первое (асимптотическое) слагаемое в (6.3.25) определяет вклад в функцию ; от полюса k i0 , а второе слагаемое – от интегрирования по берегам разреза, охватывающего точку лога-
96
рифмического ветвления k i . Как показано в приложении 6 , ас пер функции ; и ; выглядят следующим образом: ас 0;
e , 1 20 0 1 02
0
0 .
(6.3.26)
пер ; 2
xe x dx
, 0 . (6.3.27) 2 22 x 1 x ln 4 2 x 1 1 Величина 0 зависит от вероятности выживания кванта и является корнем характеристического уравнения 1 0 ln 1 , т.е. 0 th 0 . (6.3.28) 20 1 0
0
Рис. 6.3.2. График зависимости 0
График зависимости 0 представлен на рис. 6.3.2. Величина 0 есть монотонно убывающая функция, изменяющаяся от 0 1 при 0 до 0 0 при 1 , т.е. величина 0 изменяется в
97
ас пределах 0 0 1 . Выражение для ; можно записать в виде: ас ; d 0 / d e 0 . (6.3.29) Из характеристического уравнения (6.3.28) нетрудно получить асимптотические значения 0 в слабо и сильно поглощающих средах:
0 3 1 ,
1 1 , 1 2 exp 2 / , 1 .
(6.3.30)
0 (6.3.31) В табл. 6.3.1 представлены значения корней характеристического уравнения 0 при различных значениях вероятности выживания
кванта. В скобках приведены значения 0 в слабо поглощающих средах 0.8 1 , рассчитанные по формуле (6.3.30) и в сильно поглощающих средах 0.4 , рассчитанные по формуле (6.3.31). Таблица 6.3.1
0 при различных значениях вероятности выживания кванта
Значения корней характеристического уравнения
0
1.0
0.000
0.98
0.95
0.9
0.243 (0.245)
0.380 (0.387)
0.525 (0.548)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.710 (0.775)
0.907
0.986 (0.986)
0.999 (0.999)
Теперь, подставляя выражения (6.3.26), (6.3.27) в формулу (6.3.25) и, учитывая четность функции ; , (т.е. делая замену ), находим :
98
;
0 1 02 1
e
20
0
2
(6.3.32)
xe
x
dx
. 2 22 x 1 x ln x 1 4 2 1 Таким образом, за счет интегрального слагаемого в формуле (6.3.32), обусловленного наличием логарифмических точек ветвления, не удается получить простого аналитического выражения для функции ; .
На рис. 6.3.3 приведены графики функций , ас , пер в слабо поглощающей среде и в среде с достаточно сильным поглощением. Проанализируем вклад каждого из слагаемых в общем выражении (6.3.32) в значение универсальной функции ; . Первое слагаемое убывает с расстоянием экспоненциально как ас e 0 , т.е. быстрота убывания ; определяется корнем
характеристического уравнения (6.3.28), причем 0 1 . В то же пер время, второе слагаемое, т.е. величина ; , является суперпозиций функций вида exp x с x 1 . Поэтому пер
должна убывать с глубиной, по крайней мере, как e (в действительности она стремится к нулю несколько быстрее). За счет этого на достаточно больших расстояниях от источника величина ас
пер оказывается доминирующей по сравнению с . Поэтому при ас функция описывает глубинный режим. Величина
0 называется коэффициентом глубинного затухания, значение которого зависит только от вероятности выживания кванта. Величина обратная 0 называется диффузной длиной:
99
d
1 0
.
(6.3.33)
0.8
ас
пер
a)
0.95
ас
пер
ас пер : a – в слабо поглощающей среРис.6.3.3. Графики функций , , де; b– в среде с достаточно сильным поглощением
В табл. 6.3.2 приведены значения диффузионной длины d при различных значениях вероятности выживания кванта. В скобках
100
приведены приближенные значения d в слабо и сильно поглощающих средах, рассчитанных по асимптотическим формулам (6.3.30), (6.3.31). Из асимптотических формул (6.3.30) и (6.3.31) получаем следующие выражения для диффузионной длины в сильно и слабо поглощающих изотропно рассеивающих средах: 1 , 1 1 ; d 3 1 (6.3.34) 1 2 exp 2 / , 1 . Существенно, что диффузная длина заметно отличается от единицы (т.е. от длины свободного пробега кванта), только когда относительная роль поглощения невелика. Это видно из приведенной выше таблицы для значений 0.6 , 0.4 и 0.2 . При 1 , т.е. в консервативной среде, d . пер Из сказанного выше ясно, что величину можно рас
сматривать как отклонение от глубинного режима, которое существенно только при относительно небольших значениях , т.е. на сравнительно малых расстояниях от источника фотонов. Таким обпер разом, величина описывает переходной режим. Разбие
ние плотности энергии фотонов на два слагаемых – асимптотическое и переходное является важнейшей особенностью полученного точного решения. Таблица 6.3.2 Значения диффузионной длины
d
при различных значениях вероятности выжи-
вания кванта
1.0
d
0.98
0.95
0.9
0.6
0.4
0.2
4.115 (4.081)
2.632 (2.584)
1.905 (1.825)
1.102
1.014 (0.986)
1.001 (0.999)
101
Однако такое разбиение не является универсальным. Конечно, ас на очень больших глубинах экспоненциальное слагаемое
1
является доминирующим. Но при сильном поглощении расстояние, на котором экспоненциальный член преобладает над интегральным, оказывается таким, что в эту область глубин излучение от источника просто не доходит. Поэтому говорить о преимущественной роли асимптотического слагаемого можно весьма условно. Из формул (6.3.26) и (6.3.30), (6.3.31) следуют асимптотические формулы в слабо и сильно поглощающих средах: 1 3 exp 3 1 , 1 1 ; 2 1 ас (6.3.35) 2 4 e exp , 1 . ас Из (6.3.35) видно, что при 1 функция имеет расхо-
димость, которая проявляется в условии “нормировки” (6.3.16) полной функции . Однако эта расходимость является чисто формальной, поскольку в действительности всегда имеется хотя и малое, но отличное от нуля поглощение фотонов. Поэтому в любой реальной среде 1 . Кроме того, среда никогда не может быть бесконечной в полном смысле этого слова. Эти два фактора и устраняют указанную формальную расходимость. Однако аномальный ас рост величины при очень малом поглощении означает,
что при любых сколь-угодно малых глубинах , всегда, начиная с некоторого значения очень близкого к единице, величина ас пер всегда будет превосходить , которая при лю
бом значении является конечной величиной. Поэтому в предельном случае очень слабого поглощения имеет место приближенная формула 1 3 ас ; exp 3 1 , 2 1
102
1 1 .
(6.3.36) Приближенное выражение (6.3.36) для универсальной функции ; справедливо не только в глубинном режиме, но и для любых .
§ 4. Вычисление плотности энергии светового поля В предыдущем параграфе были получены общие соотношения, позволяющие вычислять плотность энергии диффузно рассеянного излучения при произвольном виде объемных источников q V ; :
D ;
н.рас ; d ,
(6.4.1)
н.рас L
2 1 d 1 d d exp c 1 0
(6.4.2) q ( ; ). V
; – универсальная функция
; 2
b k 1 b k
e ik d , b k
arctg k . (6.4.3) k
В настоящем параграфе вычислим плотность энергии светового поля для двух важных частных случаев, когда в плоскости 0 находится изотропный или мононаправленный источник. Плотность энергии излучения при наличии плоского изотропного источника Пусть в плоскости 0 находится изотропный источник фотонов, испускающий фотоны с равной вероятностью во всех направлениях (рис.6.4.1). В этом случае
103
P изтр qV ; 0 . (6.4.4) 2 Здесь P0 – энергия, испускаемая таким источником в единицу времени с единицы поверхности во всех направлениях, т.е. как в нижнюю, так и в верхнюю полусферы 1 1 :
2 1 изтр P0 d d P , P Вт/м2 . P 0 0 2 0 1
Таким образом, размерность величины P0 та же, что и у интенсивности излучения I ; .
O 0
Рис. 6.4.1. Условное изображение изотропного источника, расположенного в плоскости 0 бесконечной среды. Крестиками отмечены точки поглощения фотонов
Подставляя (6.4.4) в (6.4.2) находим, что плотность энергии нерассеянного излучения в случае плоского изотропного источника P н.рас изтр 0 E1 0E1 . (6.4.5) c
104
Здесь 0 P0 / c – объемная плотность энергии испускаемых фотонов: 0 Дж/м3 . При получении выражения (6.4.5) учтено интегральное представление (6.3.6) для функции E1 . Теперь из общей формулы (6.4.1) получаем следующее выражение для плотности энергии диффузно рассеянного излучения изтр D ; при наличии в плоскости 0 изотропного ис
точника фотонов (6.4.4):
изтр D ; 0 E1 ; d ,
.
(6.4.6)
Полагая в (6.4.6) и , с учетом того, что , получим, как и следовало ожидать из соображений симметрии, что в этом случае плотность энергии диффузно рассеянных фотонов является четной функцией : изтр D изтр D .
Полная плотность энергии светового поля изтр н.рас изтр D изтр будет определяться выражением
изтр ; 0E1 0 E1 ; d . (6.4.7)
Сравнивая интегральные уравнения (6.3.22) для функции ; с выражением (6.4.7) видим, что 2 изтр ; 0 ; , 0 P0 / c . (6.4.8) Формула (6.4.8) позволяет понять физический смысл функции ; . С точностью до множителя 20 / функция ; есть плотность энергии фотонов при наличии в плоскости 0 изотропного источника (6.4.4). Учитывая асимптотические формулы (6.3.35), получаем следующие выражения для плотности энергии светового поля на
105
больших расстояниях от изотропного источника (в глубинном режиме) в слабо и сильно поглощающих средах: изтр ас
3 exp 3 1 , 1 1 ; 0 . 1 2 8 exp , 1 . 0 2 e Из формул (6.4.9) видно, что при 1 изтр ас ; 1 ~ 1 / 1 .
(6.4.9)
(6.4.10) Следовательно, плотность энергии фотонов при 1 становится сколь угодно большой. Фактически это означает, что в бесконечной, консервативной, изотропно рассеивающей среде с плоским изотропным источником не существует стационарного решения уравнения переноса. В действительности всегда имеется хотя и малое, но отличное от нуля поглощение фотонов, т.е. в любой реальной среде 1 . Кроме того, среда никогда не может быть в абсолютном смысле бесконечной. Как отмечалось ранее, эти два фактора и устраняют указанную формальную расходимость. Однако аномальный рост величины изтр ас при очень малом поглоще
нии означает, что при любых сколь угодно малых глубин всегда, начиная с некоторого значения очень близкого к единице, велиизтр пер чина изтр ас всегда будет превосходить , кото-
рая при любом значении является конечной величиной. Поэтому в предельном случае очень слабого поглощения на любых глубинах имеет место приближенная формула для плотности энергии изтр изтр ас светового поля , т.е.
изтр 0
3 exp 3 1 , 1 1 1 .
106
(6.4.11)
Плотность энергии излучения при наличии плоского мононаправленного источника Пусть в плоскости 0 бесконечной изотропно рассеивающей среды находится мононаправленный источник фотонов q V ; I0 0 0 , (6.4.12)
испускающий фотоны в азимутальной плоскости 0 0 в произвольном направлении 0 0 0 , т.е. 1 0 1 .
O
0 0
Рис. 6.4.2. Условное изображение мононаправленного источника, расположенного в плоскости 0 бесконечной среды, испускающего фотоны в нижнюю полуплоскость. Крестиками отмечены точки поглощения фотонов
Если 0 0 (рис.6.4.2), то такой плоский источник эквивалентен падающему на поверхность полубесконечной среды излучению I 0; , I0 0 . Фотоны, испущенные источником, начиная распространяться в нижнее полупространство 0 , за счет рассеяния могут пересечь плоскость 0 из нижнего полупространства и оказаться в верхнем полупространстве 0 . Поскольку вещество занимает всё полное пространство , то затем они либо погло-
107
тятся, либо за счет рассеяния опять пересекут плоскость 0 , но уже сверху вниз и окажутся в нижнем полупространстве. Такой процесс – переход из нижнего полупространство в верхнее и обратно в бесконечной среде, может происходить неограниченное число раз. В случае полубесконечной среды, фотоны, пересекшие поверхность 0 снизу вверх только один раз, уже не могут вернуться в нижнее полупространство, т.е. “выбывают из игры”. Собственно только в этом и состоит принципиальное отличие между задачами о распространении излучения в бесконечной и полубесконечной среде. При наличии плоского мононаправленного источника (6.4.12), плотность энергии нерассеянного излучения (6.4.2) будет определяться выражением н.рас exp / / ,
0
0
1 0 1 .
0
0
(6.4.13)
Здесь 0 I0 / c – плотность энергии падающего светового потока. Теперь из общей формулы (6.4.1), получаем :
0
; d , 0 1 1 . (6.4.14) 0 Следовательно, полная плотность энергии светового поля будет определяться выражением 0 ; D 0 ; 0 e
(6.4.15) 0 0e 0 e ; d . 0 0 Ещё раз отметим, что формулы (6.4.13) – (6.4.15) носят общий характер и справедливы как в том случае, когда фотоны испускаются в нижнее полупространство 0 0 1 , так и в верхнее полупро
0
108
странство 1 0 0 . Из общей формулы (6.4.15) следует, что если осуществить замены 0 0 и , то D D 0 ; 0 ; .
(6.4.16)
В слабо поглощающих средах 1 1 , с учетом приближенной формулы (6.3.35) для ; , точную формулу (6.4.14) можно заменить существенно более простым выражением: D ;
0
. (6.4.17) 3 0 d e exp 3 1 1 0 Выполняя интегрирование, получаем (см. приложение 7): D 0 2
0 2
При
0
1 (6.4.18) 3 1 sgn 3 31 0 e sgn . 0 1 1 3 1 20
получении
(6.4.18)
учтено,
что
1
и
sgn . D Выражение (6.4.18) определяет плотность энергии ; 0 диффузного светового поля в слабо поглощающих средах 1 1 , при любом значении 1 0 1 во всей области
глубин . При 0 1 и 0 1 из общей формулы (6.4.18), соответственно, получаем: D 1
0 2
0
, 3 31 1 3 1 sgn e 1 1 3 1
109
(6.4.19)
D 1 0 0 2
. 3 31 1 3 1 sgn e 1 1 3 1
(6.4.20)
Из выражений (6.4.19), (6.4.20) видно, что плотность энергии светового поля больше в том полупространстве, в направлении которого испускаются фотоны. Например, при 0 1 D 0 1 ~ 0
1 1 3 1
и D 0 1 ~ 0
1
,
1 3 1
D D 0 1 . Все сказанное в полт.е. 0 0 1 0 ной мере относится, конечно, и к общему случаю произвольных значений 0 , что видно непосредственно из общей формулы (6.4.18).
§ 5. Вычисление интенсивности излучения в бесконечной гомогенной изотропно рассеивающей среде В предыдущих параграфах, исходя из уравнения переноса для плотности энергии (; ) в интегральной форме (6.3.1), было показано, что плотность энергии диффузно рассеянного излучения D ; выражается через универсальную функцию ; , которая определяется интегральным уравнением (6.3.22). Фурьеобраз k; функции ; определяется выражением (6.3.11), а её явное выражение определяется формулой (6.3.32). В настоящем параграфе рассматривается более общая задача о вычислении интенсивности излучения I ; в бесконечной
изотропно рассеивающей среде, которая определяет пространственно-угловое распределение энергии поля излучения. Вычисление интенсивности излучения можно осуществить двумя
110
интенсивности излучения можно осуществить двумя эквивалентными способами. Первый способ состоит в определении интенсивности излучения непосредственно из уравнения переноса (6.1.3), которое устанавли вает дифференциальную связь между величинами I ; и
; при произвольном распределении объемных источников c 1 I ; q V ; , . (6.5.1) 4 Второй способ состоит в том, чтобы использовать уже полученные общие интегральные соотношения (6.1.13) и (6.1.14), кото рые связывают полную интенсивность излучения I ; L , или D интенсивность диффузно рассеянного изучения I (; L ) , с
плотностью энергии поля (; L ) для слоя вещества конечной толщины L . В случае бесконечной среды эти соотношения выглядят так: (н.рас) I (; ) I (; ) (6.5.2) c exp ( ; ) d . 4 c D (; I ) exp (; )d . (6.5.3) 4 (н.рас) Здесь I (; ) – интенсивность нерассеянного излучения (6.1.8). В бесконечной среде 1 (н.рас) I (; ) exp q V (; )d , (6.5.4) где q V ; QV ; / – объемная плотность источников.
Учитывая особую значимость рассматриваемой задачи как одну из немногих задач в теории переноса светового излучения, допускающую точное аналитическое решение сравнительно простыми математическими методами, вычислим в этом параграфе интенсив-
111
ность излучения исходя из исходного дифференциального уравнения (6.5.1). Тем самым, начинающий читатель сможет сравнить оба указанных выше метода вычисления, установив для себя преимущества того или иного подхода к решению одной и той же задачи. Постановка задачи. Общие соотношения Пусть в бесконечной среде, занимающей всё пространство , имеются произвольно распределенные источники, с объемной плотностью q V ; QV z; / . Воспользуемся
уравнением (6.5.1) для интенсивности излучения при изотропном законе рассеяния. При наличии сколь угодно слабого поглощения, дополнительные условия на бесконечности будут выглядеть так: I ; 0 , 0 . (6.5.5)
В силу условия (6.5.5) для решения уравнения (6.5.1) можно воспользоваться преобразованием Фурье по . Умножим обе части уравнения (6.5.1) на exp ik d и проинтегрируем по в интервале , . Тогда получим: c (6.5.6) ik 1 I k; k; qV k; . 4 Здесь I k; , k – фурье-образы полной интенсивности из-
лучения и полной плотности лучистой энергии соответственно. Ве личина q V k; есть фурье-образ плотности источников
q V k; e ik q V ; d .
(6.5.7)
Теперь из уравнения (6.5.6) находим, что c k; q V k; I k; . (6.5.8) 4 1 ik 1 ik Таким образом, при изотропном рассеянии существует простая связь между фурье-образом полной интенсивности излучения I k ; и фурье-образом плотности световой энергии
112
; . Это означает, что достаточно определить только значе-
ние ; , чтобы с помощью формулы (6.5.8) найти фурье образ интенсивности I (k; ) . Затем, используя обращение Фурье, можно вычислить непосредственно значение интенсивности во всей области глубин: 1 ik I ; e I k; dk , . (6.5.9) 2 Второе слагаемое в выражении (6.5.8), не зависящее от вероятности выживания кванта , есть фурье-образ интенсивности нерассеянного излучения: ; q k V н.рас I k; . (6.5.10) 1 ik Следовательно, интенсивность нерассеянного излучения будет определяться выражением 1 q V k; ; ik н.рас (6.5.11) e dk . I ; 2 1 ik Используя теорему о свертке, выражение (6.5.11) можно записать в виде н.рас (6.5.12) I ; f q V ; d .
Здесь f
1 e ik dk 1 / e . 2 1 ik
(6.5.13)
Действительно, пусть 0 . Тогда, простой полюс k i / подынтегрального выражения (6.5.13) лежит на мнимой оси в верхней полуплоскости Imk 0 . При 0 замыкаем контур интегрирования полуокружностью бесконечно большого радиуса в верхней полуплоскости Imk 0 так, что полюс находится внутри контура интегрирования. При 0 замыкаем контур интегрирования полуокружностью бесконечно большого радиуса, но в нижней полуплоскости. Поэтому полюс находится вне этого контура. В ре-
113
зультате получаем, что при 0 интеграл в формуле (6.5.13) равен exp / . В противоположном случае, когда 0 , полюс подынтегрального выражения k i / будет находиться на мнимой оси, но уже в нижней полуплоскости Imk 0 . Поэтому при 0 интеграл в (6.5.13) равен нулю, а при 0 равен exp / exp / . Знак минус возникает ввиду того, что направление обхода контура во втором случае в нижней части комплексной плоскости происходит не против, а по часовой стрелке. Объединяя всё сказанное, приходим к формуле (6.5.13). Теперь, подставляя (6.5.13) в (6.5.12) находим, что н.рас ; I
(6.5.14) 1 exp q ; d . V Как и следовало ожидать, выражение (6.5.14) совпадает с формулой (6.5.4). Естественно, что интенсивность нерассеянного излучения не зависит от вероятности выживания кванта . Таким образом, определение интенсивности нерассеянного излучения просто сводится к вычислению интеграла в формуле (6.5.14) при заданном виде объемных источников q V ; .
Поэтому основной интерес представляет вычисление интенсивD ности диффузно рассеянного излучения I (; ) . Фурье-образ
D (; ) определяется первым слагаемым в выражевеличины I нии (6.5.8) c k; D k; I . (6.5.15) 4 1 ik Используя обращение Фурье, получаем, что во всей области глубин k; D ; c 1 I 4 2 1 ik eikd , 1 1 . (6.5.16)
114
Из формулы (6.3.16) следует, что в изотропно рассеивающей среде D интенсивность диффузного излучения I ; не зависит от
азимутального угла при любом виде функции источников q V ; , . Применяя теорему о свертке, выражение (6.5.16) представим в виде D I ;
(6.5.17) c exp d . 4 При получении формулы (6.5.17) учтено соотношение (6.5.13). ВыD ражение (6.5.17) для I ; в точности совпадает с формулой
(6.5.3). Как следует из выражения (6.5.15), чтобы определить фурье D образ интенсивности I k; , необходимо предварительно
определить фурье-образ плотности энергии k; . Это можно сделать из того же соотношения (6.5.15). Интегрируя обе его части по угловым переменным , и учитывая, что 1 D k; D D I d 2 I k; d c k; ,
4
1
получим D k; k; b k ,
(6.5.18a)
т.е. D k; . (6.5.18b) k; b k Соотношения (6.5.18) устанавливают взаимную связь между велиD чинами k; и k; . Величина b k , входящая в формулы (6.5.18), определяется выражением
115
1 d 1 1 d . 4 4 1 ik 2 1 1 ik Вычисляя интеграл в (6.5.19), находим, что b k
1 1 d 1 1 ik . ln 2 1 1 ik 2ik 1 ik Тот же интеграл можно вычислить несколько иначе: b k
b k 1
1 1 d 1 1 1 ik d 2 1 1 ik 2 1 1 k 2
(6.5.19)
(6.5.20a)
(6.5.20b)
d
arctg k . 2 k 0 1 k
Следовательно, величина b k определяется любой из двух эквивалентных формул: 1 1 ik arctg k b k ln или b k . (6.5.21) 2ik 1 ik k Напомним, что ранее было показано (6.3.6), что b k E1 k / 2 , где E1 k – фурье-образ (6.3.3) интегропоказательной функции первого порядка E1 . D н.рас Поскольку k k (k) , то из формулы (6.5.18a) получаем следующее выражение для фурье-образа плотности энергии диффузно рассеянного излучения: D н.рас k k; (k) ,
где k;
b k
, (6.5.22) 1 b k что, конечно, совпадает с формулами (6.3.10), (6.3.11). Таким образом, использование первого способа решения уравнения переноса, D также приводит к тому, что величина k выражается через
подробно изученную ранее универсальную функцию k; .
116
Подставляя (6.5.22) в (6.5.18b) находим выражение для фурьеобраза полной плотности энергии поля излучения н. рас (k ) . (6.5.23) k; 1 b k Выражения (6.5.22), (6.5.23) позволяют определить фурье-образ плотности энергии диффузного и полного излучения, если известен фурье-образ нерассеянного излучения. С учетом формулы (6.5.10) для величины I н.рас (k; ) , находим выражение для величины
н.рас (k) :
1 н.рас н.рас (k; (k) I )d c 4 1 q V k; 1 2 d. d d c 0 1 ik 1
(6.5.24)
Выполняя обращение Фурье применительно к выражению (6.5.22), получаем: 1 н.рас D (6.5.25) (k) k; e ik dk , ; 2 что в точности совпадает с (6.3.12). Таким образом, показано, что все соотношения для плотности энергии поля, полученные ранее из уравнения переноса (6.3.1) в интегральной форме, могут быть получены из транспортного уравнения, записанного в форме (6.5.1). Теперь определим выражение для фурье-образа интенсивности диффузно рассеянного излучения. Подставляя (6.5.23) в (6.5.15), будем иметь, что н.рас (k) D k; c I (6.5.26) 4 1 ik 1 b k . Выражение (6.5.26) позволяет вычислить фурье-образ интенсивноD сти диффузно рассеянного излучения I k; , если известен
фурье-образ
плотности
энергии
117
нерассеянного
излучения
н.рас (k) , который определяется общей формулой (6.5.24). Используя обращение Фурье, запишем:
D (; ) c 1 I 4 2
н.рас (k) exp ik dk
1 ik 1 b k
,
(6.5.27) . Выражение (6.5.27) является основным результатом теории распространения излучения в изотропно рассеивающей однородной бесконечной среде. Используя формулу (6.5.27), можно вычислить D интенсивность диффузно рассеянного излучения I ; на
любых глубинах и во всем интервале значений 1 1 при любом виде функции источников q V ; , . Теперь, используя общую формулу (6.5.27), рассчитаем интенсивность диффузно рассеянных фотонов при некоторых конкрет ных распределениях источников q V ; .
Интенсивность излучения при равномерном распределении источников Рассмотрим сначала самый простой случай, когда плотность источников не зависит от оптической глубины, т.е. источники равномерно распределены по всему бесконечному пространству 3 Q , QV Вт/м , т.е. : QV z; V q V ; q V QV / , q V Вт/м2 . (6.5.28)
При равномерном распределении источников, их фурье-образ q V k; в соответствии с формулой (6.5.7), определяется выра-
жением
118
q V k; e ik q V d
(6.5.29) QV 2q V k 2 k . Таким образом, в этом случае q V k; ~ k . Подставляя
(6.5.29) в (6.5.11), получаем значение интенсивности нерассеянного излучения: q V k; Q V 1 н.рас ; , I e ik dk 2 1 ik
.
(6.5.30) Выражение (6.5.30) совпадает с формулой (3.4.53) для интенсивности нерассеянного излучения равновесного спектра излучения в бесконечной среде с равномерно распределенными источниками фотонов. Чтобы определить интенсивность диффузно рассеянного излун.рас (k) чения (6.5.27), необходимо определить фурье-образ
плотности энергии нерассеянного излучения для рассматриваемой задачи. Подставляя (6.5.29) в (6.5.24), получим: 1 q V k; 2 Q0 н. рас (6.5.31) (k) d k . c 4 1 ik c
Здесь Q0 P0 – плотность мощности объемных источников Q0 QV d , Q0 Вт/м3 . (6.5.32)
4
Теперь, подставляя (6.5.31) в общую формулу (6.5.27), учитывая, что b k 0 1 , получаем: Q D ( I ) 0 . (6.5.33) 4 1 Полученный результат совпадает с формулой (3.4.56), которая была получена при решении уравнения переноса методом сферических гармоник (разложением по полиномам Лежандра). Естествен-
119
н.рас D но, что в рассматриваемом случае величины I и I не зависят от оптической глубины (равновесный спектр). Кроме того, поскольку рассматривается бесконечная изотропно рассеивающая среда, то интенсивность диффузно рассеянного излучения не зависит от углов. Последнее и понятно, так как уже после одного акта изотропного рассеяния направление распространения любого фотона во всех направлениях равновероятно, независимо от первоначального угла вылета из источника, т.е. от конкретного ви да объемных источников QV .
Интенсивность излучения от плоского мононаправленного источника Пусть в плоскости 0 находится мононаправленный источник (6.1.24), испускающий фотоны или в нижнее полупространство 0 0 , или в верхнее полупространство 0 0 : q V ; I0 0 0 , 0 0 ; 0 0 . (6.5.34)
Фурье-образ плотности такого источника не зависит от k : q V k; e ik q V ; d I0 0 0 . (6.5.35)
Подставляя выражение (6.5.35) в формулу (6.5.24), определяем фурье-образ плотности энергии нерассеянного излучения: q k ; 0 I V 1 н.рас (k) , d 0 c 4 1 ik c 1 ik0
1 0 1 .
(6.5.36) Теперь из общей формулы (6.5.27) находим значение диффузной интенсивности излучения:
120
D (; ) I 0 (6.5.37) exp ik dk 1 I0 0 . 4 2 1 ik 1 ik0 1 b k Выражение (6.5.37) определяет интенсивность диффузно рассеянного излучения при наличии в плоскости 0 плоского, мононаправленного источника (6.5.34), испускающего фотоны в любом направлении 1 0 1 , для любых значений 1 1 во всей области глубин . Полученное выражение (6.5.37) можно преобразовать к существенно более простому виду. Для этого учтем, что 1 1 0 . (1 ik 0 )(1 ik) 0 1 ik0 1 ik Кроме того, в соответствии с (6.5.23) и (6.5.36) н.рас 0 (k) I0 k; . (6.5.38) 1 b k c 1 ik0 1 b k Поэтому 1 c k 0 ; , 1 ik0 1 b k I0 0
1 0 1 ,
(6.5.39a)
1 c k ; , 1 1 . (6.5.39b) 1 ik 1 b k I0
Важно, что в последних формулах величины 0 и могут иметь любой знак. D Теперь выражение (6.5.37) для величины I (; ) запишет
ся так:
121
0
D (; ) 1 0 c 1 I 0 4 0 2
0 k 0 ; k ; e ik d. 0 В то же время
(6.5.40)
1 k 0 ; eikd 0 ; , 2 1 k ; e ik d ; . 2
Здесь величины 0 и играют роль параметров. Теперь выражение (6.5.40) принимает вид 1 0 , 1 : sgn 0 0 sgn , 0 I0 (6.5.41) 0 . c При получении формулы (6.5.41), учтено, что 0 / 0 sgn 0
D (; ) I 0 I 0 0 40
и / sgn . Из формулы (6.5.41) следует, что при замене 0 не изменяется величина D (; ) / I D (; ) / . I (6.5.42) 0 0 0 Соотношение (6.5.42) выражает принцип обратимости светового излучения, который является частным случаем общей теоремы оптической взаимности применительно к задаче о распространении света в условиях плоской геометрии среды. Поэтому с чисто формальной точки зрения величины 0 и в формуле (6.5.41) равноправны – каждую из них можно рассматривать как независимую переменную. Важной особенностью формулы (6.5.41) является то, что в случае плоского мононаправленного источника вида (6.5.34), диффуз-
122
D (; ) на любой глубине ная часть интенсивности излучения I 0 простым алгебраическим образом связана непосредственно с плотностью энергии светового поля 0 , . Поэтому для вычисления диффузионной части интенсивности излучения D I (; ; ) достаточно вычислить только плотность энергии
0
светового поля (; ; ) , которая определяется формулой вида (6.4.15): 0 ; 0 (6.5.43) 0 0 e e ; d . 0 0 Подводя итоги сказанному выше, заключаем, что вычисление D интенсивности излучения I (; ; ) осуществляется в два
0
этапа. На первом этапе вычисляется полная плотность энергии светового поля по формуле (6.5.43), которая включает в себя помимо диффузной составляющей и плотность энергии нерассеянного излучения. На втором этапе, используя полученное выражение для 0 ; по формуле (6.5.41), определяется непосредственно
D (; ; ) . величина I 0 Из всего изложенного выше может создаться ложное впечатление о простоте решения задачи о распространении излучения в бесконечной изотропно рассеивающей среде. В какой-то мере это так, если ограничиться только получением решения в квадратурах. Однако если попытаться довести решение задачи до конца, во всем диапазоне значений вероятности выживания кванта 0 1 , то эта, казалось бы чисто техническая часть проблемы наталкивается на значительные математические сложности, связанные с определением конкретного вида функции ; , через которую выражаются все основные характеристики поля излучения и последующим вычислении интегралов, типа входящего в формулу (6.5.43).
123
Интенсивность излучения от плоского мононаправленного источника, испускающего фотоны в нижнее полупространство Рассмотрим случай, когда источник (6.5.34) испускает фотоны в нижнее полупространство 0 0 . Как уже отмечалось выше, такой источник в бесконечной среде эквивалентен широкому световому потоку с интенсивностью I0 , падающему под углом 0 arccos 0 на поверхность 0 плоского слоя вещества L . Поэтому ряд результатов, полученных при рассмотрении задачи в бесконечной среде, может быть полезен при сравнении с результатами расчета характеристик световых полей при изучении существенно более сложной (и более важной) задачи о распространении излучения в полубесконечной среде, когда L . Поскольку в рассматриваемом случае sgn 0 1 , то диффузная часть интенсивности излучения (6.5.41) будет определяться выражением D (; 0) I 0 0 sgn , I 0 0 4 0 0
1 1 .
(6.5.44) Формула (6.5.44) позволяет определить как интенсивность нисходящего излучения I (; 0, ) , распространяющегося в направлении 0 , т.е. в нижнее полупространство, так и интенсивность восходящего излучения I (; 0 0 ) , распространяющегося из нижнего полупространства в направлении плоскости источника 0. Нисходящее диффузионное излучение Нисходящему излучению 0 / 2 соответствуют положительные значения величины , поэтому sgn 1 . С учетом этого из формулы (6.5.44) получаем, что
124
D (;
I
0, 0 ) I0
0 (; 0 ) (; ) . (6.5.45) 4 0 0
Поскольку
(; 0 0) 0e
0
D (; ) , 0
D (; ) , (; 0) 0e выражение (6.5.45) можно записать в виде D I (; 0 0 )) I (1) (; 0 )
D D 0 (; 0 ) (; ) I0 . 0 4 0
(6.5.46)
Здесь
0
e e I(1) (; 0 ) I0 0 4 0
.
(6.5.47)
Величина I(1) (; 0 ) ~ есть та часть интенсивности нисходяще
го излучения, которая сформирована фотонами, испытавшими только одно рассеяние из состояния 0 0 в произвольное состояние 0 в нижнем полупространстве, т.е. не изменив при рассеянии знака проекции своей скорости: cz 0 . Величина I(1) (; 0 ) определяется полученной ранее методом итераций
формулой (4.5.13). Следовательно, второе слагаемое в выражении (6.5.46) определяет вклад в интенсивность нисходящего излучения тех фотонов, которые испытали два, три и т.д. актов рассеяния. В глубинном режиме 1 в нижнем полупространстве второе слагаемое определяет вклад от многократного рассеяния. В соответствии с формулой (6.4.18), в глубинном режиме в слабо поглощающих средах
125
D 0 0 0 0 2
31 3 e , 1 1 0 3 1
1 1 .
(6.5.48)
Аналогично выглядит и величина D (; 0) . Подставляя (6.5.48) в (6.5.47), получим: I D I 1 0 0 4 31 e 0 e 1 3 e . 2 1 1 0 3 1 1 3 1 0 (6.5.49) Поскольку 3 1 , то подавно 3 1 / 0 , /
даже в самом неблагоприятном случае, когда 0 , 1 . Поэтому в слабо поглощающих средах первое слагаемое в фигурных скобках формулы (6.5.49) мало по сравнению со вторым. Это означает, что в таких средах в глубинном режиме преобладает многократное рассеяние и выражение для интенсивности излучения будет выглядеть так: D I 1 (6.5.50) 3 3 1 I0 0 h 0 ; h ; e . 8 1 Безразмерные функции h 0 ; и h ; определяются формулами: 1 1 h 0 ; , h ; . (6.5.51) 1 0 3 1 1 3 1 Из выражения (6.5.50) видно, что в глубинном режиме имеет место факторизация углового спектра: интенсивность излучения про-
126
порциональна произведению двух одинаковых функций h , одна из которых зависит только от 0 , а другая от . Восходящее излучение Теперь обратимся к исследованию восходящего излучения в нижнем полупространстве 0; 0 . Поскольку в этом случае sgn 1 , то из общей формулы (6.5.44) получаем, что I 0 (; 0 ) (; ) I (; 0 ) 0 . (6.5.52) 4 0 0 В этом случае величина (; ) определяется только диффузно рассеянными фотонами, так как те фотоны, которые испущены источником в направлении в верхнее полупространство
0 ,
могут оказаться в нижнем полупространстве 0 (т.е.
изменить знак проекции скорости cz с минуса на плюс), только при условии, что они испытали хотя бы один акт рассеяния. Поэтому
(; 0 0) 0e
0
D (; ) , 0
D (; ) . (; 0) (6.5.53) Подставляя выражение (6.5.53) в формулу (6.5.52), получим: I (; ) I (1) (; )
D D I0 0 (; 0 ; ) (; ; ) ; 4 0 0
(6.5.54)
I(1) (;
I 0 ; ) 0 e 0 . 4 0
(6.5.55)
Величина I(1) (; ; ) ~ есть та часть интенсивности вос
ходящего излучения, которая сформирована фотонами, испытав-
127
шими только одно рассеяние. Ранее, используя метод итераций, была получена формула (4.6.2) для интенсивности восходящего излучения при однократном рассеянии в полубесконечной среде при произвольном законе однократного рассеяния: I(1) (; 0 ; L )
I0
0 (0 ; ) exp . 0 0
(6.5.56)
изтр Подставляя сюда (0 ; ) 1 / 4 , приходим к выражению (6.5.55). Таким образом, интенсивность восходящего излучения за счет однократного рассеяния в бесконечной и полубесконечной средах совпадают. Это и понятно, так как однократно рассеянные фотоны в бесконечной среде могут пересечь плоскость 0 снизу вверх только один раз, как и в полубесконечной среде (рис.6.5.1).
I1 0 O
I0
I1 *
Рис.6.5.1. Условное изображение однократного рассеяния в процессе формирования восходящего излучения в бесконечной и полубесконечной средах
Особый интерес представляет вычисление излучения, выходящего из нижнего полупространства в верхнее, т.е.значение I при 0:
128
I ( 0; 0 )
(6.5.57) c 0 ( 0; 0 ) ( 0; ) . 4 0 Плотность энергии нерассеянного излучения в плоскости источника 0 : н.рас н.рас ( 0; 0) , ( 0; 0) 0 . (6.5.58)
0
0
Поэтому, в соответствии с (6.5.43) 0 0; 0 0 1 e ; d , 0 0;
0 e
; d .
(6.5.59a)
(6.5.59b)
0
Здесь учтено, что в рассматриваемом случае н.рас ; 0 0 ~ , н.рас ; ~ , ; ; . Подставляя в выражение (6.5.59) значение функции ; (6.3.17), после интегрирования по , получаем: k; 0 0 0 1 0 dk , (6.5.60a) 0 1 20k2
0 0
k; dk . 0 1 2 k2
(6.5.60b)
Подставляя в выражения (6.5.60a,b) значение k; из (6.5.22), будем иметь: b k I D 0 0 0 0 dk . (6.5.61) 2 2 c 0 1 k 1 b k 0
129
b k I D 0 0 dk . (6.5.62) c 0 1 2 k2 1 b k
С учетом всего сказанного выше окончательно получаем: I ( 0; 0 ; ) I 0 1 H 0 ; H ; . 0 4 0
(6.5.63)
Безразмерная функция H ; представляет собой отношение плотности энергии фотонов в плоскости 0 , к плотности энергии фотонов 0 , испускаемых (в этой же плоскости) источником 0; ; H ; . 0
(6.5.64)
Подставляя в (6.5.64) значение 0; ; , определяемое формулой (6.5.61), получаем: b k dk , 0 . (6.5.65) H ; 0 1 b k 1 2k2 Величина I 0 1 I ( 0; 0 ) 0 (6.5.66) 4 0 описывает ту часть восходящего излучения в плоскости 0 , которая формируется фотонами, испытавшими истинно однократное рассеяние, т.е. теми фотонами, которые только один раз изменили знак проекции своей скорости cz с “плюса” на “ минус”. Понятно, что выражение (6.5.66) будет описывать и однократно отраженные фотоны в полубесконечной среде, так как после вылета из среды они уже не могут возвратиться в нижнее полупространство. Формула (6.5.66) является частным случаем полученного ранее более общего выражения (4.5.18) 0 I(1) ( 0; 0 ; L ) I0 (0 ; ) 0 в изотропно рассеивающей среде, когда
130
изтр cos 1 / 4 . Во многих случаях представляет интерес не интенсивность восходящего излучения, а количество световой энергии, проходящей через единичную площадку в плоскости 0 в единицу времени из нижнего полупространства в верхнее в направлении , т.е. ве-
I ( 0; ) . По физическому смыслу величина
личина
I ( 0; ) полностью аналогична функции отражения (ФО)
от поверхности (3.5.3) и может рассматриваться как “функция отражения” от нижнего полупространства в верхнее в бесконечной среде: S (| |; 0 ) | | I ( 0; ; 0 ) , 1 0 . (6.5.67) Величина S (| |; 0 )d d есть количество световой энергии, выходящей из нижнего полупространства в верхнее через единичную поверхность плоскости 0 в интервале значений d , d в единицу времени. В изотропно рассеивающей среде величина S не зависит от азимутального угла . Из точной формулы (6.5.63) получаем: 1 (| |; ; ) S (| |; 0 ; ) S 0 (6.5.68) 1 H 0 ; H ; .
(| |; ; ) есть ФО при истинно однократном рассеянии Здесь S 0 1
1 (| |; ; ) I0 0 . S 0 4 0
(6.5.69)
Восходящее излучение в сильно поглощающих средах. Сравнение с полубесконечной средой Полученные формулы (6.5.68), (6.5.69) являются точными и справедливы при любом значении вероятности выживания кванта. В сильно поглощающих средах, когда 1 , величина
131
1 b k 1 . В этом приближении интеграл по k в формуле (6.5.65) вычисляется. Поэтому в сильно поглощающих средах функция H ; 1 выглядит так: H ; 1
arctg k 1 dk ln . 2 2 0 k 1 k 2
(6.5.70)
На рис.6.5.2 представлен график функции H ; 1 1 ln f . 2 Значение функции f изменяется в пределах
fmin f fmax , где
fmin f 0 0 ,
fmax 1 0.346 . Следовательно,
значения функции H ; 1 лежат в интервале 0 H ; 1 0.346 .
Рис.6.5.2. График функции
132
f .
Подставляя (6.5.70) в точную формулу (6.5.63), получаем приближенное значение для восходящего излучения в плоскости 0 с точностью до членов ~ 2 : I ( 0; ; 0 ) 1 (6.5.71) I 0 0 1 0 0 ln . 1 ln 4 0 2 2 0 В случае сильного поглощения 1 , подставляя выражение (6.5.70) в формулу (6.5.68), получаем: S (| |; 0 ; )
1 (| |; ; ) 1 0 ln 1 0 ln 1 S 0 2 2 0
(6.5.72) .
Слагаемые пропорциональные 2 в приближенных формулах (6.5.71), (6.5.72) для I 0 и S I 0 описывают процесс двукратного рассеяния, каждое из которых происходит в нижнем полупространстве 0 . При этом, только в одном из них изменяется знак проекции скорости фотона cz с плюса на минус (рис.6.5.6). Приближенное соотношение (6.5.72) совпадает с выражением (4.6.23), которое было получено совершенно иным способом – методом итераций для ФО от полубесконечной среды, и учитывает рассеяния первой и второй кратности. Это и понятно, так как переход фотона из нижнего полупространства в верхнее при двукратном рассеянии возможен только при условии, что оба акта рассеяния происходят в нижнем полупространстве. Это наглядно проиллюстрировано на рис. 6.5.3. Интересно сравнить полученные результаты для “функции отражения” S ( ; 0 ; ) в бесконечной среде с реальной функцией отражения S( ; 0 ; ) от полубесконечной среды. Понятно, что отличие будет минимальным в случае сильного поглощения, когда вероятность фотонам пересечь плоскость 0 в бесконечной среде более одного раза будет мала. В полубесконечной среде ФО определяется выражением
133
1 S( ; 0 ; ) S ( ; 0 ; )H 0 ; H ; . (6.5.73) 1 Здесь S ( ; 0 ; ) – ФО при истинно однократном рассеянии от полубесконечной среды. Естественно, что
I1
0
I2
O
I2
I0
Рис.6.5.3. Условное изображение процессов однократного и двукратного рассеяния фотонов, приводящих к образованию восходящего излучения в плоскости 0 при 0 1 1 1 (| |; ; ) , поэтому величина S1 ( ; ; ) S ( ; 0 ; ) S 0 0 для полубесконечной среды определяется формулой (6.5.69). Функция H 0; есть функция Амбарцумяна – Чандрасекара, которая связана с плотностью энергии фотонов в полубесконечной среде соотношением, аналогичным (6.5.64) для бесконечной среды: 0 ; H ; . (6.5.74) 0
Здесь 0 ; – плотность энергии светового поля отраженных фотонов на поверхности полубесконечной среды. Функция H ; удовлетворяет уравнению
134
H ; 1
1 H ; H ; d , 2 0
0 .
(6.5.75)
Решение этого уравнения было получено Фоком и выглядит так: dk (6.5.76) H(; ) exp ln 1 b k . 1 k22 0 В случае сильного поглощения 1 ln 1 b k b k 1 . Поэтому arctg k b k dk H(; 1) exp 1 dk . 2 2 0 k 1 k 22 0 1 k
Таким образом, 1 ln . (6.5.77) 2 Поэтому в полубесконечной среде в случае сильного поглощения из точной формулы (6.5.73) с учетом приближенного выражения (6.5.76) для H(; 1) получаем, что S( ; 0 ; 1) H(; 1) 1 H ; 1 1
1 S ( ; 0 ; ) 1 H 0 ; 1 1 H ; 1 .
1 Поскольку S ( ; 0 ; ) ~ и H 0 ; 1 ~ , то с точно-
стью до членов ~ 2 будем иметь: S( ; 0 ; 1)
(6.5.78) 1 S ( ; 0 ; ) 1 H 0 ; 1 H ; 1 . Это в точности совпадает с формулой (6.5.72) для ФО в бесконечной, сильно поглощающей среде.
135
§ 6. Отражение от полубесконечной изотропно рассеивающей среды В §5 настоящей главы рассмотрен вопрос о распространении фотонов в изотропно рассеивающей бесконечной среде: . Было показано (двумя способами), как можно аналитически рассчитать плотность энергии фотонов, полную и диффузную интенсивность излучения в такой среде при наличии в ней произвольных плоских источников q V ; . Специально было
рассмотрено вычисление интенсивности излучения, когда в плоскости 0 находился мононаправленный световой источник, эквивалентный падающему на поверхность вещества мононаправленному световому потоку. В этом параграфе рассматривается задача теории переноса о распространении излучения в полубесконечной, изотропно рассеивающей среде. При облучении поверхности полубесконечного слоя вещества какая-то часть светового излучения выходит обратно через поверхность 0 и образует поле отраженного излучения. Если ось направлена по нормали к поверхности в глубь среды, то отраженным фотонам соответствуют значения угла вылета / 2 , так, что cos 0 , т.е. . Таким образом, в отличие от бесконечной среды, теперь фотоны могут вылетать из вещества, т.е. пересекать плоскость 0 снизу вверх только один раз, образуя световое поле отраженного излучения. На поверхности вещества считается заданной интенсивность падающего излучения I 0; 0 на половинном 0 1 , а не на полном интервале значений угловой переменной cos . При этом интенсивность излучения выходящего (отраженного) излучения I 0; 0 в интервале 1 0 не известна и подлежит определению в процессе решения задачи. Поэтому расчет интенсивности в полубесконечной среде представляет собой значительно более сложную задачу, по сравнению с определением интенсивности излучения в бесконечной однородной среде.
136
Вычисление интенсивности излучения в полубесконечной среде удобно производить как бы по частям. Сначала специальными методами находится только выходящее из среды излучение I 0; , т.е. фактически функция отражения (ФО), в интервале значений 1 0 . После этого становится известной интенсивность излучения на поверхности вещества 0 не на половинном, а на полном интервале
1 1
значений уг-
ловой переменной cos . Затем, зная интенсивность излучения I 0; 1 1 , можно определить интенсивность излучения
внутри среды. Такой путь оказывается достаточно эффективным и быстро приводит к цели, поскольку вычисление интенсивности внутри вещества в полубесконечной среде формально сводится к задаче о расчете светового поля в бесконечной среде. Поэтому настоящий параграф посвящен краткому описанию вычисления интенсивности излучения фотонов, вылетающих из вещества, т.е. вычислению функции отражения. Следует отметить, что для многочисленных приложений задача об определении различных характеристик только отраженного излучения имеет особое значение. Изучение угловых спектров обратно рассеянного излучения является самостоятельным разделом общей линейной теории переноса (не только света, но и заряженных частиц или ионов). Особая важность этой проблемы связана с тем, что во многих случаях практически единственно доступным способом получать информацию о среде является измерение параметров только отраженного от неё излучения. Наглядным примером может служить изучение свойств Мирового океана и других водных бассейнов с помощью оптических приборов, установленных на различных летающих объектах – самолетах или искусственных спутниках Земли, особенно в связи с мониторингом экологического состояния среды. То же можно сказать и о разнообразных исследованиях атмосферы Земли с помощью оптических лидаров в различных частях спектра. Сказанное относится, конечно, и к дистанционному исследованию оптических свойств атмосфер планет Солнечной системы на основе наземных наблюдений отраженного солнечного света. Поэтому, в силу особой значимости такого круга задач, их
137
обычно выделяют в отдельный раздел под названием альбедные задачи теории переноса. Таким образои, во многих случаях требуется определить не интенсивность излучения на произвольных глу бинах I(; ) , а именно угловой спектр отраженного излучения I ( 0; ) , который и представляет основной интерес в альбедных задачах теории переноса. Одной из важнейших альбедных задач является проблема определения углового спектра излучения, отраженного от однородной полубесконечной, изотропно рассеивающей среды. Эту задачу по своей значимости в линейной теории переноса можно сравнить с задачей о расчете волновых функций и уровней энергии атома водорода в квантовой механике. Общая постановка задачи Пусть на поверхность 0 полубесконечной диссипативной среды падает произвольный световой поток с интенсивностью I 0; 0; (рис.6.6.1). В силу линейности уравнения переноса, отраженное излучение, т.е. восходящее излучение I 0; 0; , можно представить в виде линейного функционала от падающего излучения, записав I 0; ; 2
1
0
0
d G ; I 0; ; d.
(6.6.1)
Соотношение (6.6.1) есть частный случай более общего выражения (4.4.17) и получается предельным переходом L . Если на поверхность вещества падает мононаправленный световой поток в азимутальной плоскости 0 0 под углом 0 0 / 2 с интенсивностью I0 , то I 0; 0; I0( 0 )() .
138
(6.6.2)
0
I0
I
0
0
I
Рис.6.6.1. Условное изображение отражения широкого светового пучка от полубесконечной среды
Теперь из соотношения (6.6.1) получаем, что I 0; ; ; 0 I0G ; ; 0 .
(6.6.3)
Но в соответствии с определением функции отражения (4.4.3) | | I ( 0; , ; 0 ) S(| |, ; 0 ) ,
1
0 .
(6.6.4)
Здесь S(| |, ; 0 ) – ФО при облучении поверхности вещества мононаправленным световым потоком. Напомним, что величина S(| | ; 0 )d d есть количество световой энергии, выходящей из вещества с единицы поверхности 0 в интервале значений d , d в единицу времени, т.е. яркость поверхности 0 при мононаправленном облучении поверхности под углом 0 arccos 0 . Её размерность – S Вт/м2 . ФО при мононаправленном облучении поверхности широким пучком фотонов зависит от угловых переменных | |, , 0 , а также от вероятности выживания кванта , как от параметра. Теперь из формулы (6.6.3) получаем, что
139
1 S(| |, ; 0 ) . (6.6.5) I0 Функция G является безразмерной величиной. Подставляя (6.6.5) в (6.6.1), можем записать: I 0; ; G ; ; 0
1 (6.6.6) 1 2 d S ; I 0; ; d. I0 0 0 Из формулы (6.6.6) следует, что для вычисления углового спектра обратно рассеянного излучения при произвольной интенсивности падающего излучения I 0; 0; достаточно определить
ФО S(| |, ; 0 ) при облучении вещества мононаправленным световым потоком. Поэтому естественно всё внимание сосредоточить на вычислении ФО, которая с точностью до множителя 1 / I0 представляет функцию Грина G ; ; 0 альбедной задачи теории отражения излучения от полубесконечной среды. Принципиально важно, что в случае полубесконечной однородной среды, занимающей всю область нижнего полупространства 0 , функциональное соотношение (6.6.6) справедливо на любой глубине , а не только при 0 : I ; ; 1 (6.6.7) 1 2 d S ; I ; ; d. I0 0 0 Другими словами, ядро функционального соотношения (6.6.7) не зависит от оптической глубины , поскольку область пространства, расположенная ниже любой плоскости const , тоже является полубесконечной средой. Таким образом, соотношение (6.6.7) является следствием линейности уравнения переноса и того факта, что рассеивающая среда является полубесконечной и однородной и справедливо при любом законе однократного рассеяния, т.е. при произвольном виде индикатрисы рассеяния cos , а не только для изотропно рассеивающей среды.
140
Следует иметь в виду, что отраженное излучение всегда определяется диффузной частью интенсивности излучения. Как было показано ранее (см., например, формулу (6.1.14)), в случае изотропно рассевающей среды диффузно рассеянное излучение на любой глубине , а, следовательно, и ФО не зависят от азимутального угла : S(| |; 0 ) | | I ( 0; ; 0 ) .
(6.6.8)
Поэтому при изотропном рассеянии функциональное соотношение (6.6.7), связывающее интенсивность восходящего и нисходящего излучения на произвольной глубине 0 , будет выглядеть так: I ;
1 I0
1
S ; I ; d ,
0
2
I ; dI ; ; .
(6.6.9)
0
Таким образом, восходящее излучение на произвольной глубине определяется проинтегрированной по азимуту (нулевой азимутальной гармоникой) нисходящего излучения. Отметим, что нисходящее излучение зависит от азимутального угла из-за присутствия нерассеянной компоненты излучения. Итак, пусть широкий мононаправленный световой поток с интенсивностью I0 падает под углом 0 arccos 0 по отношению к направлению внутренней нормали к поверхности вещества. Уравнение переноса в изотропно рассеивающей среде для полной ин тенсивности I(; ) и дополнительные условия имеют обычный вид: c (6.6.10) 1 I ; ; , 4 I( 0; , ) I0( 0 )() , если 0 , (6.6.11) I( ; , ) 0 . (6.6.12) Здесь
141
1 I ; 0 ; d (6.6.13) c 4 есть полная плотность энергии светового поля, которая включает в себя и плотность энергии нерассеянного излучения. Существует несколько способов вычисления ФО от полубесконечной рассеивающей среды. Один из них состоит в использовании уравнения переноса (6.1.13) для интенсивности излучения в интегральном виде, в котором L : 0 ;
I(; 0 ; ) I0e 0 ( 0 )()
(6.6.14) c e ( 0 ; )d . 4 0 Всё отличие уравнения (6.6.14) от аналогичного уравнения (6.5.2) в бесконечной среде состоит только в том, что интегрирование в (6.6.14) ведется по области глубин 0 , а не по области , как в уравнении (6.5.2). Полагая в уравнении (6.6.14) 0 и с учетом определения ФО (6.6.8), получим: S(| |; 0 )
c exp / ( 0 ; )d . 4 0
(6.6.15a)
Соотношение (6.6.15a) устанавливает однозначную связь между ФО и плотностью энергии фотонов () . Аналогичное соотношение имело место и в бесконечной среде, если в формуле (6.5.3) положить 0 , и учесть, что в соответствии с (6.5.67) S | | I ( 0; ) : S (| |; 0 ; )
c exp / (; )d . 4 0
(6.6.15b)
Из соотношения (6.6.15a) видно, что ФО от полубесконечной, изотропно рассеивающей среды формально выражается через лаплас-образ по от плотности световой энергии фотонов:
142
S(| |; 0 )
c 1 p 0 ; . 4
(6.6.16a)
Здесь
(p) exp p ()d .
(6.6.16b)
0
Таким образом, чтобы определить угловое распределение отраженного излучения достаточно знать лаплас-образ плотности световой энергии. н.рас () D (; ) , то формулу (6.6.15a) Поскольку () можно записать в виде: 1 S(| |; 0 ) S (| |; 0 )
c D exp / ( 0 ; )d . 4 0
(6.6.17)
Здесь c 1 н.рас ( )d . S (| |; 0 ) exp / 0 4 0
(6.6.18)
н.рас Для рассматриваемой задачи I0 / c exp / 0 . Под-
н.рас в формулу (6.6.18), после интегрироставляя это значение вания получим: 1 S (| |; ) 0
(6.6.19) 1 0 1 exp d I . 0 4 0 4 0 0 1 Величина S (| |; 0 ) ~ , т.е. определяет вклад в полную ФО от процесса истинно однократного рассеяния. Заметим, что выра1 жение для величины S в полубесконечной среде совпадает с
I0
аналогичным по смыслу выражением (6.5.69) для величины 1 S (| |; ) в бесконечной среде.
0
143
Теперь выражение для ФО (6.6.17) запишется в виде: 0 S(| |; 0 ) I0 4 0 c D exp / ( 0 ; )d . 4 0
(6.6.20)
Второе слагаемое в формуле (6.6.20) определяет вклад в ФО тех фотонов, которые испытали более одного рассеяния, и зависит только от диффузной плотности лучистой энергии D () . Величину ( 0 ; ) можно определить из уравнения (6.1.28): ( 0 ; ) 0 exp / 0
E1 ( 0 ; )d . 2 0
(6.6.21)
Здесь 0 I0 / c ; E1 Ei – интегропоказательная функция первого порядка (6.1.16). Как уже отмечалось ранее, при интегральная показательная функция имеет логарифмическую особенность: E1 0 ln , и поэтому интегральное уравнение (6.6.21) является уравнением с сингулярным ядром. Уравнение (6.6.21) для плотности световой энергии представляет собой уравнение с разностным ядром на полубесконечном интервале глубин 0 . Такого рода уравнения решаются методом Винера – Хопфа. В работах Кейза К. и Цвайфеля П. предложен несколько другой подход к расчету ФО, основанный на разложении интенсивности излучения по собственным сингулярным функциям уравнения переноса. Таким образом, вычисление ФО по формуле (6.6.15a) требует знания плотности энергии лучистой энергии на всех глубинах внутри полубесконечного слоя вещества. Однако, как отмечалось выше, во многих случаях достаточно определить только интенсивность отраженного излучения, т.е. только саму ФО, определяемую интенсивностью выходящего излучения на поверхности 0 . В этом случае решение уравнений (6.6.10) или (6.6.21) содержит в
144
себе, вообще говоря, избыточную информацию о поле излучения. Поэтому возникает вопрос о возможности определения ФО (яркости поверхности), минуя вычисление интенсивности излучения I ; 0 или плотности лучистой энергии 0 на различных глубинах. Указанный вопрос был поставлен и решен В.А. Амбарцумяном в Елабужском филиале Ленинградского университета в 1941-1942 гг. Предложенные им два новых метода вычисления ФО открыли новый этап в развитии теории переноса и стали основой для дальнейших обобщений. Первый подход основан на формальных математических действиях с уравнением переноса (6.6.10). Второй метод решения рассматриваемой задачи основан на введении принципиально нового понятия – принципа инвариантности. Естественно, что эти два подхода приводят к одному и тому же результату – получению уравнения непосредственно для ФО S(| | ; 0 ) . Получение уравнения для функции отражения из уравнения переноса Получим уравнение для ФО, используя первый способ, т.е. используя уравнение переноса (6.6.10) и соотношение (6.6.9), которое, являясь следствием линейности уравнения переноса и устанавливает функциональную связь между восходящим и нисходящим излучением в однородной полубесконечной, изотропно рассеивающей среде. Для этого продифференцируем соотношение (6.6.9) по глубине и положим затем 0 : I ; 0 (6.6.22) 1 1 I ; dS . I0 0 0 Значения производных I ; 0 / и I ; / при 0 можно определить из уравнения переноса (6.6.10). Интегрируя уравнение (6.6.10) при 0 по и полагая затем 0 , запишем:
145
I ( 0; ) c I (; 0) 0 0 . 2 0
Поскольку I ( 0; ) I0( 0 ) , получаем: ( 0 ) c I (; 0) I0 0 0 ; . (6.6.23) 0 2 0 Теперь положим в уравнении (6.6.10) 0 и 0 . Тогда получим, что c I (; ) I ( 0; ) 0 0 . 4 0 Из определения ФО (6.6.8) следует, что I ( 0; ) S(| | 0 )/ | | . Поэтому I (; ) 0 (6.6.24) S(| |; 0 ) c 0 0 ; . || 4 Подставляя соотношения (6.6.23) и (6.6.24) в выражение (6.6.22), будем иметь: S(| |; 0 ) c 0 0 ; || 4 1
S ; S ; 0 c 0 0 ; d, 0 2I0
0
т.е.
146
1 1 S(| |; 0 ) 0 | | 1 2 S ; c d . 0 0 ; 1 I0 4 0
(6.6.25)
Осталось выразить величину 0 0 ; через ФО. Полагая в формуле (6.6.13) 0 запишем: 0 0 ; 0 0 0 ; . Величина 0 определяет плотность энергии падающего излучения и не зависит от величин 0 и 0
0
1 2 1 d dI 0; 0; 0 , c 0 0
I0 / c .
(6.6.26a)
Величина 0 0 ; определяется интенсивностью отраженного излучения и выражается через ФО: 0 0 ;
S(| |; 0 ) . (6.6.26b) 2 0 2 1 d I d 0; c 1 c 0 ||
Следовательно, 1 2 S(| |; 0 ) d . 0 0 ; 0 1 (6.6.27) I | | 0 0 Формула (6.6.27) связывает плотность световой энергии на поверхности вещества 0 и ФО. Теперь, подставляя (6.6.27) в (6.6.25) получим:
147
1 1 S(| |; 0 ) 0 | | 1 1 (6.6.28) I0 2 S(| |; 0 ) 2 S(| |; ) d 1 d 1 . 4 I0 | | I0 0 0 Это и есть уравнение Амбарцумяна для ФО от полубесконечной однородной среды при облучении её поверхности мононаправленным световым потоком с интенсивностью I0 . Из уравнения (6.6.28) видно, что ФО симметрична относительно перестановки её аргументов S(| |; 0 ) S(0 ;| |) , т.е. I (; 0 ) / 0 I (; 0 ) / . (6.6.29)
Соотношение (6.6.29) аналогично соотношению (6.5.42) в бесконечной среде и является следствием теоремы оптической взаимности. Следует отметить, что величины и 0 входят в уравнение (6.6.28) как равноценные переменные и должны рассматриваться как две независимые угловые переменные. Учитывая формулу (6.6.27), из (6.6.25) можно выразить ФО через плотность энергии светового поля на поверхности вещества: c2 0 | | S(| |; 0 ) 0 0 ; 0 ; .(6.6.30) 4I0 0 | | Формулу (6.6.30) можно записать в виде S(| |; 0 )
(6.6.31) 0 | | 0 0 ; 0 ; . 4 0 | | 0 0 Из уравнения (6.6.28) видно, что удобно ввести безразмерную функцию S ; S ; 2 1 2 1 H ; 1 d 1 d . (6.6.32) I0 0 I0 0 I0
148
Здесь учтено, что S ; S ; . Функция H ; называется функцией Амбарцумяна – Чандрасекара. H -функция зависит от и вероятности выживания кванта , как от параметра. Из (6.6.32) следует, что S ; 2 1 d H ; 1 . (6.6.33) I0 0 Подставляя (6.6.33) в (6.6.28), получим: 0 | | S(| |; 0 ) I0 H 0 ; H ; . (6.6.34) 4 0 | | Из уравнения (6.6.34) (впрочем, как и из формулы (6.6.30)) видно, что для нахождения ФО двух переменных и 0 достаточно определить только функцию H одной переменной 0 1 . Сравнивая два выражения (6.6.31) и (6.6.34) для одной и той же ФО, заключаем, что 0 ; H ; , (6.6.35) 0 . 0 Формула (6.6.35) вскрывает физический смысл функции Амбарцумяна. Функция Амбарцумяна есть отношение плотности световой энергии отраженного излучения на поверхности вещества к плотности световой энергии 0 I0 / c падающего на поверхность светового потока. Заметим, что аналогичное соотношение (6.5.64) имело место и в бесконечной среде: H ; 0; ; / 0 . Учитывая выражение (6.6.19), формулу (6.6.34) для ФО можно теперь представить в виде 1 S(| |; ) S (| | ; )H ; H ; . (6.6.36) 0
0
0
Таким образом, вычисление ФО S(| |; 0 ) двух угловых переменных свелось к определению функции H ; одной переменной. Заметим, что в бесконечной среде связь между соответствующими аналогичными величинами S и H (6.5.68) выглядела несколько иначе:
149
1 (| |; ) 1 H ; H ; . S (| |; 0 ) S 0 0
Уравнение для функции Амбарцумяна – Чандрасекара Чтобы получить уравнение для функции H ; , достаточно просто подставить формулу (6.6.34) в выражение (6.6.32). В результате получим: 1 H ; H ; 1 H ; d . (6.6.37) 2 0 Уравнение (6.6.37) называется уравнением Амбарцумяна. Из уравнения (6.6.37) видно, что H ; 0 1 и H 0; 1 . H функция достигает наибольшего значения в консервативной среде 1 при 1 : Hmax H 1; 1 2.91 . Используя уравнение (6.6.37), можно вычислить моменты функции H : 1
m h m H ; d .
(6.6.38)
0
Вычислим нулевой момент функции Амбарцумяна: 1
0 h H ; d .
(6.6.39)
0
Интегрируя обе части уравнения (6.6.37) по в пределах [0,1] , запишем: 1 H 1 0 h 1 H d d . (6.6.40) 20 0 Обозначим 11
H H dd . 00
J
Представив числитель этого выражения в виде , запишем:
150
11
1 1 H H
J H H dd 00
00
dd .
2
, а второе есть J . Поэтому 2J h , т.е. J h / 2 . С учетом сказанного получаем 0 h
Первое слагаемое есть 2
0
2
0
уравнение для определения величины h 0 : 2
0 h
0 4h 4 0 .
Квадратное уравнение (6.6.41) имеет два корня: 2 0 h1,2 1 1 .
(6.6.41)
(6.6.42)
0 Из уравнения (6.6.41) следует, что при 0 h 0 1 . Поэтому в формуле (6.6.42) нужно оставить знак минус. Следовательно, 2 2 0 h 1 1 . (6.6.43) 1 1 Используя полученное выражение (6.6.43) для нулевого момен0 та h , можно записать уравнение (6.6.37) для H -функции в
несколько другой форме. Для этого перепишем уравнение (6.6.37) в виде: 1 H H 1 H d 2 0 1
1 H d H 2 0
т.е. H 1
1 H 0 H h H d . 2 2 0
151
Поделив обе части этого уравнения на H , с учетом формулы (6.6.43), получим: 1 1 H ; 1 d . (6.6.44) H ; 2 0 Уравнение (6.6.44) полностью тождественно исходному уравнению (6.6.37) и определяет искомые (и теперь единственные) значения функции H ; . Именно уравнение (6.6.44), ввиду быстрой сходимости итерационного ряда, решается методом итераций для составления таблиц функции Амбарцумяна в диапазоне значений 0 1 во всем диапазоне значений 0 1 . Формально из уравнения (6.6.44) можно определить H и при 1 , так как значения H 1 под знаком интеграла уже известны. В частности, H 1 / 1 . Аналитическое выражение для функции Амбарцумяна в явном виде было найдено В.А. Фоком arctg k dk H(; ) exp ln 1 . (6.6.45) k 1 k22 0 Весьма сложное выражение (6.6.45) может быть с неплохой точностью рассчитано по следующей приближенной формуле: 1 3 H ; . (6.6.46) 1 3(1 ) Максимальное значение функции H ; , рассчитанное по формуле (6.6.46), составляет H 1; 1 1 3 2.73 , вместо точного значения Hmax 2.91 . На рис.6.6.2 представлены графики зависимости функции H при различных значениях вероятности выживания кванта . Если использовать приближенное выражение (6.6.46), поучаем 0 следующие приближенные значение для величин h и
1 h :
152
0 h 1 h
1 1
1 1 ln 1 3 1 1 3 1
; (6.6.47)
1 1
1 1 1 ln 1 3 1 3 1 . 3 1 2
. (6.6.48)
Λ=1.0
Λ=0.95
Λ=0.8
Λ=0.5
Рис.6.6.2.
Графики функции H ; при различных значениях вероятности
выживания кванта : сплошные кривые – расчет по точной формуле (6.6.45); пунктирные кривые – расчет по приближенной формуле (6.6.46)
В табл. 6.6.1 представлены значения H -функции для различных значений и вероятности выживания кванта . В круглых скобках указаны значения H ; , рассчитанные по приближенной
153
формуле (6.6.46). В последней строке таблицы указаны значения 0 нулевого момента h (6.6.43). В квадратных скобках указана
относительная погрешность для некоторых значений . Таблица 6.6.1
cos 0 и значениях 0 вероятности выживания кванта , а также значения нулевого момента h Функция Амбарцумяна при различных углах падения
0.1 0.3 0.5
0.8 0.9 1.0 0 h
1.00
0.99
0.95
0.90
0.50
1.25 (1.17) [6.4%]
1.22 (1.15) [5.7%]
1.19 (1.13) [5.1%]
1.17 (1.11) [5.1%]
1.07 (1.04) [2.8%]
1.64 (1.52) 2.01 (1.87) [7.0%] 2.55 (2.39) [6.3%] 2.73 (2.56)
1.56 (1.44) 1.85 (1.72) [7.0%] 2.24 (2.10) [6.2%] 2.36 (2.21)
1.46 (1.36) 1.67 (1.56) [6.6%] 1.93 (1.82) [6.2%] 2.01 ( 1.90)
1.39 (1.31) 1.56 (1.46) [6.4%] 1.75 (1.66) [5.1%] 1.80 (1.71)
1.14 (1.11) 1.19 (1.16) [2.5%] 1.23 (1.21) [1.6%] 1.24 (1.22)
2.91 (2.73) [6.2%] 2.00 (1.86) [7%]
2.47 (2.33) [5.7%] 1.82 (1.70) [6.6%]
2.08 (1.97) [5.3%] 1.63 (1.54) [5.5%]
1.85 (1.77) [4.3%] 1.52 (1.44) [5.3%]
1.25 (1.23) [1.6%] 1.17 (1.14) [2.6%]
Из табл. 6.6.1 видно, что относительная погрешность в слабо поглощающих средах 1 1 лежит в пределах 5-7 %, а в сильно поглощающих средах 0.5 – в пределах 1.6-2.5 %.
154
Коэффициент отражения от полубесконечной среды Зная функцию Амбарцумяна H ; , можно определить полный коэффициент отражения в соответствие с общей формулой (4.4.7): j 0; L wотр L . (6.6.49) j0 Величина j 0; L есть величина плотности потока энергии отраженного излучения, т.е. количество световой энергии, выходящей через единичную площадку поверхности 0 во всех направлениях в единицу времени: 1
j 0; L 2 d S(| |; 0 ) .
(6.6.50)
0
Величина j0 j ( 0) есть количество лучистой энергии, входящей внутрь вещества в единицу времени через единицу поверхности. При мононаправленном облучении верхней границы слоя (6.6.2) j0 I00 . Поэтому полный коэффициент отражения от полубесконечного слоя вещества при падении на его поверхность широкого мононаправленного светового потока с интенсивностью I0 будет определяться выражением wотр 0 ;
2 I00
1
S ; 0 d .
(6.6.51)
0
Подставляя сюда значение ФО (6.6.34), получим: wотр 0 ;
1 H 0 ; H ; d . 2 0 0
(6.6.52)
Из уравнения (6.6.45) для функции H следует, что 1
2
1
H d 1 . H 0 0 0
(6.6.53)
Подставляя (6.6.53) в предыдущую формулу (6.6.52), получаем: wотр 0 ; 1 H(0 ; ) 1 . (6.6.54)
155
Таким образом, полный коэффициент отражения от полубесконечной изотропно рассеивающей среды совсем просто выражается через функцию Амбарцумяна. Как и должно быть, при отражении от консервативной среды 1 полный коэффициент отражения равен единице при любых углах падения 0 arccos 0 . В случае абсолютно поглощающей среды 0 wотр 0 ; 0 0 , так как в соответствии с уравнением (6.6.45) H(0 ; 0) 1 . На рис.6.6.3 представлены графики зависимости коэффициента отражения от величины 0 при различных значениях вероятности выживания кванта .
Λ=1.0 Λ=0.99 Λ=0.95 Λ=0.90
Λ=0.50
0 Рис.6.6.3. Графики коэффициента отражения
wотр 0 ; , рассчитанные по
точной формуле (6.6.54)
Если для функции H ; использовать приближение (6.6.46), то из формулы (6.6.54) получаем следующее, простое приближенное выражения для коэффициента отражения: 1 1 wотр 0 ; . (6.6.55) 1 0 3(1 ) В табл. 6.6.2 представлены значения полного коэффициента отражения, рассчитанные по точной формуле (6.6.54) и по прибли-
156
женной формуле (6.6.55) (в круглых скобках). В квадратных скобках указаны значения относительной погрешности для некоторых значений величины 0 . Таблица 6.6.2 Значения полного коэффициента отражения при различных углах падения и различных значениях вероятности выживания кванта
0 1.00 0.1
1.0 (1.0)
0.5
1.0 (1.0)
0.8
1.0 (1.0)
1.0
1.0 (1.0)
0.99
0.95
0.90
0.50
0.876 (0.885) [-1%] 0.815 (0.828) [-1.6%] 0.776 (0.790) [-3.5%] 0.753 (0.767) [-1.8%]
0.732 (0.747) [-2%] 0.625 (0 .651) [-4.2%] 0.567 (0.593) [-4.6%] 0.535 (0.560) [-4.8%]
0.630 (0.648) [-2.8%] 0.508 (0.537) [-5.7%] 0.448 (0.475) [-6.0%] 0.415 (0.442) [-6.5%]
0.242 (0.261) [-7.8%] 0.160 (0.182) [-13.7%] 0.130 (0.148) [-13.8%] 0.116 (0.132) [-13.8%]
Из табл. 6.6.2 видно, что точность расчета полного коэффициента отражения с использованием приближенной формулы и точного значения функции Амбарцумяна лежат в пределах от 1 % в случае слабого поглощения до 13 % при сильном поглощении. При этом расчет по приближенной формуле всегда приводит к завышенному значению коэффициента отражения. Вклад однократного рассеяния в полный коэффициент отражения Пользуясь полученным общим выражением для ФО (6.6.36), рассмотрим вопрос об относительном вкладе истинно однократного рассеяния в процесс обратного рассеяния. Для этого вычислим 1 отношение полной ФО S(| |; 0 ) (6.6.36) к ФО S (| |; 0 ) (6.6.19) за счет однократного рассеяния. Из формулы (6.6.36) следует, что
157
S(| |; 0 ) H 0 ; H ; . 1 S (| |; 0 )
0 , 0 H ; 1 , функций Амбарцумяна H 0 ; H ;
(6.6.56)
то произведение двух
Поскольку при
показывает, во сколько
раз полная ФО больше, чем ФО за счет истинно однократного рассеяния. В табл. 6.6.3 представлены значения отношения 1 S / S H 1; H ;
при нормальном 0 0 падении излучения на поверхность вещества и некоторых углах вылета фотонов при различных значениях вероятности выживания кванта . Таблица 6.6.3 Отношение
S / S1 при нормальном падении 0 0
1.00
0.99
0.95
0.90
0.50
0.1
3.63
3.01
2.48
2.15
1.34
0.3
4.77
3.85
3.04
2.57
1.43
0.5
5.85
4.57
3.47
2.89
1.49
0.7
6.90
5.21
3.85
3.13
1.53
1.0
8.47
6.1
4.33
3.42
1.56
В табл. 6.6.4 представлены значения величины отношения S / S1 при наклонном падении излучения 0 60 ; 0 0.5 на
поверхность вещества и некоторых углах вылета фотонов при различных значениях .
158
Отношение
S / S1
при наклонном падении
Таблица 6.6.4
0 60
1.00
0.99
0.95
0.90
0.50
0.1
2.51
2.26
1.99
1.83
1.27
0.3
3.30
2.89
2.44
2.17
1.36
0.5
4.04
3.4
2.79
2.43
1.42
0.7
4.74
3.90
3.09
2.64
1.45
1.0
5.85
4.57
3.47
2.89
2.44
Из приведенных данных видна большая роль многократного рассеяния в слабо поглощающих средах, когда 1 1 (первые четыре столбца каждой из таблиц), особенно при большом угле полного рассеяния между направлением падения фотонов и направлением их вылета из вещества. Так, при нормальном падении 0 1 и вылете фотонов в прямо противоположном направлении
1 1 1 отношение S / S 8.5 при 1 и S / S 4.3 при
0.95 . Это означает неэффективность решения уравнения переноса в слабо поглощающих средах методом последовательных итераций, т.е. разложением интенсивности в ряд по степеням (ряд Неймана). Разумеется, что в сильно поглощающих средах при малых значениях вклад в полную ФО от процесса однократного обратного рассеяния может быть значительным (см. последние столбцы таблиц для 0.5 ). Однако в большинстве задач атмосферной оптики Земли и других планет, как правило, реализуется случай слабого поглощения, когда 1 1 . Учитывая большую роль многократного рассеяния, легко понять, что сходимость указанного ряда будет весьма слабая. (Ска-
159
занное относится в ещё большей мере к средам с резко анизотропным законом однократного рассеяния, когда 1 cos 1 .) Поэтому нахождение аналитических решений, дающих в замкнутой форме строгий учет сразу всех порядков рассеяния, имеет чрезвычайно важное значение. В задаче об отражении от изотропно рассеивающей полубесконечной среды функция Амбарцумяна H ; как раз представляет пример такого решения. Коэффициент отражения при облучении поверхности произвольным световым потоком Получим выражения для углового спектра отраженного излучения и коэффициента отражения при облучении поверхности произвольным (не мононаправленным) широким световым потоком I 0; 0; . В соответствии с формулой (6.6.6), когда при мононаправленном обучении поверхности ФО не зависит от азимутального угла, будем иметь: I 0; ;
Здесь I 0; ; I
1 I0
0
1
S ; I 0; d . (6.6.57)
0
0; 0
– нулевая азимутальная
гармоника интенсивности падающего светового потока 2
I 0; dI 0; ; .
(6.6.58)
0
Подставляя в (6.6.57) значение ФО, определяемое формулой (6.6.37), получаем I 0; ; 1 H ; (6.6.59) || 0 H ; I 0; d. 4 0 || Выражение для коэффициента отражения может быть получено из общей формулы
160
1
2 I 0; ; d
j 0; wотр j0
0
.
1
(6.6.60)
dI 0; 0
Используя (6.6.9), числитель выражения (6.6.60) преобразуем к виду: 1 1 2 1 2 I 0; ; d 0; d I S d . I0 0 0 0 Но в соответствии с (6.6.51) 1 I0 S ; d 2 wотр ; . 0
Следовательно, 1
1
0
0
2 I 0; ; d wотр ; I 0; d .
Поэтому из (6.6.51) получаем: 1
wотр ; I 0; d wотр 0
.
1
(6.6.61)
I ( 0; )d 0
Формула (6.6.61) не противоречит полученной ранее формуле (4.4.16) 2
1
wотр L d wотр (; L ) ; d , 0
0
если учесть, что в соответствии с (4.4.10) (; ) I ( 0; ; ) / j0 . Подставляя в (6.6.61) значение wотр ; , определяемое формулой (6.6.54), получаем:
161
1
H(; )I 0; d wотр 1 1
0
.
1
(6.6.62)
I ( 0; )d 0
Из формулы (6.6.62) видно, что независимо от закона облучения I ( 0; ) , коэффициент отражения от консервативной среды
1
всегда равен единице. Выражение (6.6.62) позволяет определить полный коэффициент отражения, если известна нулевая гармоника падающего излучения и коэффициент отражения wотр ; при мононаправленном облучении поверхности 0 . Рассмотрим ряд частных случаев. 1. При диффузном облучении поверхности вещества (4.4.13a) изтр изтр I ( 0; , ) I0 , т.е. I ( 0; ) 2I0 . (6.6.63)
В этом случае j0 I0 , а количество световой энергии, входящее в вещество через единичную площадку в единицу времени в направ изтр лении I ( 0; 0) I0 , т.е. определяется “законом
косинуса”. Из общей формулы (6.6.62) получаем изтр 1 2 1 h1 . wотр
(6.6.64)
1 Здесь, в соответствии с (6.6.38) h – первый момент функции Амбарцумяна – Чандрасекара. Если использовать приближенное 1 выражение (6.6.48) для h , получим:
изтр wотр (6.6.65) 1 1 . 3 1 ln 1 3 1 3 1 2. При ортотропном облучении поверхности вещества (4.4.14a)
2
162
орт (
I
0; , ) I0 / ,
т.е. I
орт
0; 0 2I0 / .
(6.6.66)
При ортотропном облучении j0 2I0 , а количество световой энергии, входящее в вещество через единичную площадку в единицу времени в любом направлении , не зависит от : орт I ( 0; , ) I0 const . В этом случае из общей формулы
(6.6.62) получаем орт 1 1 h 0 . wотр 0 h
Здесь,
(6.6.67)
– нулевой момент функции Амбарцумяна-
Чандрасекара (6.6.43) . Подставляя значение h 0 в выражение (6.6.69), получаем: орт 1 1 . wотр (6.6.68) 1 1 Стоит обратить внимание на то обстоятельство, что при получении точной формулы (6.6.68) нигде не было использовано явного выражения для функции Чандрасекара, а следовательно, и выражения для ФО. Если использовать приближенное выражение (6.6.47) для 0 h , получим:
орт 1 1 ln 1 3 1 . wотр 3 1
(6.6.69)
орт от На рис.6.6.4. представлены графики зависимости wотр величины вероятности выживания кванта. Сплошная кривая – расчет по точной формуле (6.6.68). Пунктирная кривая – расчет по приближенной формуле (6.6.69).
163
орт при ортотропном
Рис.6.6.4. Графики коэффициента отражения wотр
облучении поверхности: сплошная кривая – расчет по точной формуле; пунктирная кривая – расчет по приближенной формуле
Как и должно быть, коэффициент отражения от консервативной орт среды w 1 1 , а в случае абсолютно поглощающей среотр
орт 0 0 как при расчете по точной, так и ды 0 wотр по приближенной формулам. Видно, что кривая, рассчитанная по приближенной формуле, незначительно отличается от точной кривой. Чтобы сравнить зависимость полного коэффициента отражения при изотропном и ортотропном облучении поверхности, воспольизтр зуемся приближенными формулами (6.6.65) для w и (6.6.69) отр
орт . На рис.6.6.5 представлены графики зависимости для wотр изтр и w орт от величины вероятности выживания кванта, wотр отр рассчитанные по формулам (6.6.65) и (6.6.69) соответственно.
164
орт
wотр
изтр
wотр
Рис.6.6.5. Графики зависимости полного коэффициента отражения от вероятности выживания кванта при ортотропном облучении поверхности (верхняя кривая) и при изотропном облучении (нижняя кривая)
Видно, что коэффициент отражения при изотропном облучении несколько меньше, чем при ортотропном облучении. Идея второго метода получения уравнения для ФО основана на использовании принципиально нового подхода – принципа инвариантности и состоит в следующем. Добавление к полубесконечной однородной рассеивающей среды тонкого слоя 1 того же вещества не должно изменить угловой спектр отраженного излучения, т.е. вид ФО, так как среда по-прежнему остается полубесконечной. Рассматривая дополнительные процессы рассеяния, которые возникают в добавленном слое , и потребовав чтобы их совокупность не изменяла вид отраженного излучения, можно получить интегральное уравнение непосредственно для ФО. Такого рода подход к проблеме отражения света представляет собой эвристический метод, который позволяет получить решение задачи об отражении излучения, не используя явно уравнение переноса. Таким образом, сформулированный Амбарцумяном принцип
165
инвариантности (принцип инвариантного погружения) позволяет написать нелинейное интегральное (функциональное) уравнение непосредственно для ФО, которое в случае облучения поверхности полубесконечного, изотропно рассеивающего слоя вещества мононаправленным световым потоком интенсивности I0 , имеет вид (см. приложение 7): 1 1 S(| |; 0 ) | | 0 S(| |; 0 ) 2 1 2 1 S(| |; ) 1 | | d d | | I I 0 0 0 0 I 0 . 4 42 1 S | |; 0 1 S | |; d | | d 2 | | I 0 0 0 Нетрудно заметить, что полученное таким образом уравнение полностью совпадает с уравнением (6.6.28).
Связь между функцией отражения от полубесконечной среды с задачей о распространении излучения в бесконечной среде. Альтернативное линейное уравнение для функции отражения Как уже отмечалось выше, в силу линейности уравнения переноса в случае полубесконечной однородной среды, занимающей всю область нижнего полупространства 0 , восходящее излучение I 0 ; ; на произвольной глубине 0 0 определяется линейным функционалом от нисходящего излучения на той же глубине 0 : I 0 ; ; 2
1
0
0
d G , ; I 0 ; ; d
.
(6.6.70)
Ядро функционального соотношения (6.6.70) не зависит от оптической глубины 0 , поскольку область пространства, расположенная ниже любой плоскости 0 , тоже является полубеско-
166
нечной средой. Соотношение (6.6.70) справедливо при произвольном падающем световом потоке I 0; 0; на поверхность вещества и, в частности, при мононаправленном облучении, когда I 0; ; I0 0 (рис.6.6.6). В этом случае, в соответствии с формулой (6.6.5) G ; ; 0 S(| |, ; 0 ) / I0 , где S(| |, ; 0 ) – функция отражения при облучении поверхности мононаправленным световым потоком.
I 0
I0 O
0
0
I 0
Восходящее излучение Нисходящее излучение
I 0
Рис.6.6.6. Условное изображение восходящего и нисходящего излучения в полубесконечной среде на произвольной глубине
0
Безразмерная величина G , ; фактически определяет отражающую способность полубесконечного слоя вещества, занимающего область пространства ниже плоскости 0 : 0 . Из сказанного ясно, что функциональное соотношение (6.6.70) должно иметь место не только в полубесконечной, но и в бесконечной однородной среде, когда вещество занимает не только нижнее 0 , но и все верхнее полупространство 0 . Поскольку соотношение (6.6.70) справедливо при произвольном падающем световом потоке, то источники излучения, создающие “первичный” падающий световой поток на плоскость 0 в бесконечной среде, могут быть произвольными, но расположенными в области 0 ,
167
т.е. выше или в плоскости 0 . С учетом сказанного выше можно переписать соотношение (6.6.70) в виде 2
1
0
0
; ; d G , ; I ; ; d ,
I
0 .
Здесь I
и I
(6.6.71)
– интенсивности восходящего и нисходящего
световых потоков в бесконечной среде. Переход от соотношения (6.6.70) к соотношению (6.6.71) имеет принципиальное значение. Функциональное соотношение (6.6.70) не является уравнением для определения величины G , ; , поскольку сами величины I ; ; и I ; ; в полубесконечной среде неизвестны. Соотно-
шение (6.6.70) устанавливает только связь между этими величинами, исходя из линейности уравнения переноса и однородности вещества рассеивателя. В отличие от (6.6.70), соотношение (6.6.71) можно уже рассматривать как замкнутое линейное уравнение относительно величины G , ; , т.е. фактически уравнение для ФО от полубесконечной среды, при условии, что известно выражение для интенсив ности излучения I в бесконечной гомогенной среде. При такой
интерпретации величина I
; ;
является ядром интеграль-
ного уравнения для величины G . По поводу полученного уравнения (6.6.71) нужно сделать следующее замечание. Поскольку величина G , ; описывает отражающую способность однородного полубесконечного слоя вещества, то её конкретный вид не должен зависеть от того, каким способом создается световой поток I в бесконечной среде. Дру гими словами, в качестве I ; , может быть использовано любое решение уравнения переноса в бесконечной однородной среде с произвольным одним плоским источником фотонов (или груп-
168
пы плоских источников q V ; ), лишь бы все они находились в области верхнего полупространства 0 , т.е. q V 0; 0 .
Указанное обстоятельство существенно с технической точки зрения, так как удачный выбор вида распределения источников q V ; при решении вспомогательной задачи о вычислении ин-
тенсивности в бесконечной среде позволяет получить наиболее простое аналитическое выражение для I ; , и, следовательно, записать уравнение (6.6.71) тоже в наиболее простом виде, поскольку, как отмечалось выше, величина I ; ; является
ядром интегрального уравнения (6.6.71). Но вычисление интенсивности излучения в бесконечной среде, с математической точки зрения, всегда представляет собой значительно более простую задачу, чем вычисление интенсивности в полубесконечной среде из-за существенно более простых дополнительных условий: если источники занимают ограниченную область пространства, то I ; , 0 . Сказанное подтверждается хотя бы тем,
что в предыдущем параграфе, используя только преобразование Фурье, сравнительно легко было получено аналитическое выраже ние для интенсивности I ; , при изотропном законе рас-
сеяния. Следует особо подчеркнуть, что уравнение (6.6.71), впрочем, как и соотношение (6.6.70), справедливо при любом законе однократного рассеяния, т.е. при произвольном виде индикатрисы рассеяния cos , а не только для изотропно рассеивающей среды. Из всего сказанного ясно, что существует бесчисленное множество формально отличающихся друг от друга уравнений для ФО от полубесконечной среды, так как конкретный выбор вида источни ков q V ; в верхнем полупространстве ничем не ограничен.
Однако, хотя уравнения будут иметь разный вид, решение любого из них будет давать одно и то же выражение для G , ; .
169
Пусть в бесконечной среде имеется мононаправленный источник в плоскости 0 , испускающий фотоны в направлении 0 0; 0 0 в нижнее полупространство 0 0 (рис.6.6.7).
O 0
0 Рис.6.6.7. Условное изображение плоского мононаправленного источника в плоскости 0 бесконечной среды, испускающего фотоны в нижнее полупространство: 0 / 2
Такой источник, с объемной плотностью q V ; I0 0 ,
эквивалентен падающему на поверхность полубесконечной среды световому потоку с интенсивностью I0 в направлении 0 0; 0 0 . Интенсивность излучения всегда можно пред н.рас ставить в виде суммы нерассеянного излучения I ; (син D гулярная часть) и диффузно рассеянного излучения I ; . В
рассматриваемом случае I ; , I0 0 e
0
D I ; , 0 .
D Величина I ; , 0 является регулярной функцией и не
имеет каких-либо особенностей, связанных с наличием источника, во всей области глубин , включая и плоскость 0 . Следовательно, D D I 0 I 0; , . (6.6.72)
170
0
С учетом сказанного, имеем, что I 0; ; I D 0; , 0 ,
I
(6.6.73)
0; ;
(6.6.74) 0; , . 0 Положим в уравнении (6.6.71) 0 . Тогда с учетом формул (6.6.73) и (6.6.74), получим: I 0; ; I0G , 0 ; I0 0 I
D
2
1
0
0
0; ; d d G , ; I
.
(6.6.75)
Но, в соответствии с (6.5.67) величина | | I ( 0; ; 0 ) S (| |; 0 ; )
есть “функция отражения” от нижнего полупространства в верхнее в бесконечной среде. В то же время, в соответствии с (6.6.5) величина I0G , 0 ; S(| |, 0 ; ) есть ФО от полубесконечной среды. Поэтому из формулы (6.6.75) получаем, что S(| |, 0 ; ) S (| |; 0 ; )
1 1 2 d I 0; ; 0 S , ; d. I0 0 0
(6.6.76)
Выражение (6.6.76) есть линейное уравнение для ФО от полубесконечной среды. Ядром этого интегрального уравнения является величина нисходящего излучения в бесконечной среде, а неоднородностью – “функция отражения” от нижнего полупространства в верхнее в бесконечной среде. Интегральный член в правой части уравнения (6.6.76) учитывает тот факт, что наличие реальной границы полубесконечной среды 0 приводит к уменьшению, по сравнению с бесконечной средой, потока фотонов, выходящих из нижнего полупространства в верхнее. Отраженные от полубесконечной среды фотоны пересекают плоскость 0 снизу вверх только один раз, после чего они уже не участвуют в процессе рассеяния. По этой причине второе
171
слагаемое в уравнении (6.6.76) всегда отрицательно, так как в бесконечной среде фотоны могут пересекать плоскость 0 снизу вверх неоднократно из-за возможности рассеяния в верхнем полупространстве. Поэтому всегда S (| |; 0 ; ) S(| |, 0 ; ) . Ещё раз подчеркнем, что при получении уравнения (6.6.76) нигде не конкретизировался закон однократного рассеяния. Поэтому уравнение (6.6.76) применимо в среде с произвольным законом однократного рассеяния cos . Если уравнение (6.6.76) решать методом итераций, то каждая итерация учитывает сразу большое число столкновений в отличие от итераций уравнения (6.6.28): 0 S (| |, ; ) S (| |; ; ) . (6.6.77)
0
0
1 S (| |, 0 ; ) S (| |; 0 ; ) 1 (6.6.78) 1 2 d I 0; ; 0 S , ; d. I0 0 0 1 Величина S (| |, ; ) учитывает уменьшение S (| |; ; ) за
0
0
счет того, что фотоны пересекают плоскость 0 три раза: снизу вверх, сверху вниз и опять снизу вверх.
a b
O
c
d
0
0 Рис.6.6.8. Схематическое изображение блуждания фотона, испущенного источником в точке a в плоскости 0 . В точках b , c и d фотон пересекает плоскость 0
172
Сказанное схематически изображено на рис.6.6.8. Фотон испускается источником в точке a в плоскости 0 в нижнее полупространство под углом 0 / 2 . Распространяясь по криволинейной “траектории”, фотон оказывается первый раз снова в плоскости 0 в некоторой точке b и влетает в верхнее полупространство. Затем, многократно рассеиваясь, после блуждания в верхнем полупространстве, фотон оказывается в плоскости 0 в некоторой точке c и влетает в нижнее полупространство, пересекая плоскость 0 уже второй раз. Далее, после хаотического блуждания в нижнем полупространстве, фотон в третий раз пересекает плоскость 0 в точке d , попадая из нижнего полупространства в верхнее. Из сказанного ясно, что решение уравнения (6.6.76) методом итераций вовсе не является рядом по степеням , т.е. по кратности рассеяния, поскольку на участках “траектории” между точками a b , b c и c d фотон может испытывать существенно многократное рассеяние. В заключение этого параграфа отметим следующее. В работе В.В. Соболева, выполненной ещё в Елабужском филиале Ленинградского университета в послевоенные годы (1949г.), было получено линейное интегральной уравнение для функции Амбарцумяна и линейное уравнение для ФО: 1
1 H d , 1 ln H 1 2 1 2
0 ;
(6.6.79)
0
1 1 ln S 0 ; 2 1 d 0 1 . I0 S ; 0 4 0 2 0 Уравнение (6.6.80) можно переписать в виде
173
(6.6.80)
S ; 0 I0
0 4 0
(6.6.81) 1 1 d S ; 0 ln S ; 0 . 2 1 0 Вычислим первые две итерации этого уравнения. Первая итерация 0 1 S 0 ; I0 . (6.6.82) 4 0 Таким образом, первая итерация пропорциональна и определяет ФО истинно однократно рассеяния (6.6.19). Вторая итерация
S(2 0 ; 1 (6.6.83) 1 2 d I0 0 ln . 8 0 1 0 0 Интеграл, входящий в формулу (6.6.83), уже был вычислен ранее при получении формулы (4.6.21) и получается заменой 0 в формуле (4.6.20c): 1 0 1 0 d ln 1 ln . 0 0 0 0 0
Подставляя это соотношение в (6.6.83), получаем: 1 0 2 0 1 S(2) 0 ; I0 ln 0 ln . (6.6.84) 8 0 0 Следовательно, с точностью до членов порядка 2 включительно, будем иметь следующее выражение для ФО от полубесконечной среды: 1 2 S S S 1 0 1 0 0 ln . 1 ln 4 0 2 2 0 Это в точности совпадает с формулой (4.6.23), которая определяет ФО истинно двукратного отражения от полубесконечной среды. I0
174
Естественно, что формула (4.6.23) совпадает с выражением (6.5.72), которое определяет функцию отражения от нижнего полупространства в верхнее в бесконечной однородной среде в сильно поглощающих средах, когда 1 .
175
Глава 7. ДВУХПОТОКОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ Основная задача классической теории переноса светового излучения в неупорядоченных средах сводится к вычислению интен сивности излучения I r ; из линеаризованного уравнения
Больцмана. Интенсивность излучения дает исчерпывающую информацию о пространственно-угловом распределении светового поля как внутри слоя вещества, так и на его поверхности. Когда поверхность z 0 плоского слоя вещества 0 z L облучается широким стационарным мононаправленным световым потоком с интенсивностью I0 , речь идет о нахождении величины I z; из
уравнения переноса (4.1.7) с соответствующими граничными условиями. Практически трудно (почти невозможно) предположить, что указанная выше задача может быть аналитически решена в обозримом будущем, при произвольной индикатрисе рассеяния , которая является ядром уравнения переноса. Кроме
того, специфические граничные условия сильно усложняют проблему расчета световых полей, так как ни на одной из границ рассеивающего слоя L неизвестна интенсивность излучения во всем интервале изменения полярного угла . Поэтому предложено много различных методов приближенного решения уравнения переноса, которые при выполнении ряда допущений и упрощений позволяют с той или иной точностью рассчитать либо саму интенсивность излучения, либо некоторые средние, не зависящие от направления распространения фотонов, характеристики световых полей. В этой главе дано описание одного из таких, наиболее ранних приближенных методов расчета средних энергетических характеристик световых полей в условиях плоской геометрии. В ряде случаев не требуется полной информации об угловом распределении излучения, так как основной интерес представляют энергетические характеристики поля излучения – плотность лучистой энергии z и проекция вектора плотности потока энергии jz z на ось z , которые в стационарном случае в условиях пло-
176
ской геометрии связаны с интенсивностью излучения I z; соот-
ношениями z
1 I z; d ; c 4
2
1
jz z d I z; ; d . 1
0
Например, при расчете полного коэффициента отражения или коэффициента прохождения через плоский слой вещества, достаточно определить лишь выходящие из вещества потоки излучения через его верхнюю и нижнюю границы (4.4.7), (4.4.8): j (z 0; L) j (z L; L) wотр L z ; wпрх L z . j0 j0 Для вычисления энергетических характеристик поля излучения в условиях плоской геометрии было предложено двухпотоковое приближение, которое является одним из наиболее простых методов расчета нисходящих и восходящих потоков излучения при освещении плоского слоя вещества бесконечно широким световым источником. Двухпотоковое приближение, разработанное Шустером в 1905г., было затем развито и использовано Шварцшильдом – так называемое приближение Шварцшильда – Шустера. Двухпотоковое приближение в его классическом варианте широко использовалось вплоть до начала семидесятых годов XX века, а иногда применяется и сейчас, особенно при проведении не слишком точных, часто оценочных расчетов светового излучения в плоских средах. Основная идея двухпотокового приближения состоит в том, что бы минуя расчет интенсивности излучения I z; , сразу сформу-
лировать дифференциальные уравнения непосредственно только для плотности потока лучистой энергии нисходящего j (z) и восходящего j (z) световых потоков: 2 1 2 0 j (z) d dI (z; ) 0 ; j (z) d d I(z; ) 0 . 0
0
0
1
Однако последовательно развить эту процедуру не удается, так как коэффициенты получающихся уравнений являются некоторыми
177
функционалами a'priori неизвестной интенсивности I(z, ) . Радикальное упрощение достигается в двухпотоковом приближении за счет того, что эти неизвестные коэффициенты в значительной мере произвольно заменяются некоторыми постоянными, не зависящими от глубины, величинами. Таким образом, главная трудность двухпотокового приближения состоит в наиболее удачном способе задания коэффициентов уравнений для восходящего и нисходящего потоков. Обычно коэффициенты уравнений выбираются эмпирически, путем использования соответственным образом обработанных экспериментальных данных или результатов численного решения уравнения переноса. Следует отметить, поскольку этот простейший подход к решению задач теории переноса развивался десятилетия с участием многочисленных исследователей, его можно считать достаточно законченным, а искусство подбора соответствующих коэффициентов достигло высокого мастерства. Следует отметить, что в классическом варианте двухпотокового приближения невозможно получить какую-либо информацию об угловом распределении излучения, т.е. вычислить, например, угловое распределение отраженного (или прошедшего) излучения.
§1. Уравнения переноса в двухпотоковом приближении Постановка задачи Поскольку задача о вычислении характеристик светового излучения в слое вещества конечной толщины 0 z L и в полубесконечной среде L отличаются только одним граничным условием, то для демонстрации метода Шварцильда – Шустера, рассмотрим случай полубесконечной среды. Это никак не отражается на тех основных принципах и допущениях, которые положены в основу двухпотокового приближения. Однако при этом удается избежать, хотя и простых (и принципиально незначимых), но довольно громоздких выкладок, в основном алгебраического порядка. И так, пусть на верхнюю границу z 0 полубесконечного однородного слоя вещества падает широкий мононаправленный световой поток с интенсивностью I0 под углом 0 arccos 0 в азиму-
178
тальной плоскости т.е. 0 0 ; 0 0 (рис.7.1.1). Уравнение переноса и граничные условия имеют обычный вид: 1 I ; , I ; d ; (7.1.1) 4 I( 0; 0, ) I0( 0 ) I0( 0 )(); (7.1.2) I( ; 0, ) 0. Здесь z – оптическая глубина; / – вероятность выживания кванта. Для увеличения точности расчетов целесообразно предварительно из общего светового поля выделить нерассеянное излучение I н.рас , представив полную интенсивность излучения в виде суммы интенсивности нерассеянного и диффузно рассеянного излучения: н.рас D I ; I ; I ; (7.1.3) / 0 D I0e ( 0 )() I ; ; .
I 0
I0
O
0
0
I
* I
Рис.7.1.1. Условное изображение широкого светового потока, падающего на поверхность полубесконечного слоя вещества под углом 0 . На рисунке условно изображены фотоны, выходящие из вещества через поверхность ( / 2 ). Звездочкой отмечена точка поглощения фотона
179
0
Таким образом, фактически необходимо рассчитать энергетические характеристики только диффузного поля излучения, которое формируется фотонами, испытавшими хотя бы одно рассеяние, приводящее к изменению направления их движения: 2
1
0
0
1
D ( ) d dI D (; , ) dI D (; ) 0 ; (7.1.4)
j
D (; )
j
0
2
0
0
1
D d dI (; ; )
(7.1.5)
0
D dI (; ) 0. 1
D ()
Видим, что для вычисления величин j
D ()
и j
достаточно
знать только нулевую азимутальную гармонику диффузно рассеянD 0 D ного излучения I (; ) I ; :
2
D D I (; ) d I (; , ) .
Величины j () , j () и
0 D j () ,
D ()
j
(7.1.6)
связаны простыми соот-
ношениями:
D D j () I00 exp / 0 j () ; j () j () (7.1.7) Нисходящая плотность потока энергии j () состоит из двух слагаемых – из плотности потока энергии нерассеянного излучения и плотности потока энергии диффузно рассеянного излучения. Восходящая плотность потока энергии j () , в том числе и плотность энергии отраженного излучения j ( 0) , определяется только диффузным полем излучения. Уравнения и граничные условия (4.1.21), (4.1.22) для интенсивности диффузного светового поля I D (; ) для полубесконечной среды L L , имеют вид:
180
D D 1 I ; d q V (; 0 ); 1 I 4 1 q I н.рас ; d I0 0 e / 0 ; V 4 (7.1.8) I D ( 0; 0, ) 0; I D ( ; 0, ) 0 . (7.1.9)
1 Здесь, как и ранее, q V – есть плотность объемных источников, порождаемая взаимодействием нерассеянного излучения с рассеивающими центрами. В случае плоского слоя конечной толщины изменяется только второе граничное условие (7.1.9): I D ( ; 0, ) 0 . L
Уравнение переноса для нулевой азимутальной гармоники дифD фузной составляющей интенсивности излучения I ; следу-
ет из уравнения (7.1.8) после интегрирования по азимуту D ; 1 I 1
(7.1.10)
D d I ; I0 0 e / 0 . 1
Здесь – индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту, т.е. нулевая азимутальная гармоника индикатрисы рассеяния 2
1
; d ; d 1 . (7.1.11) 1
0
Уравнения двухпотокового приближения в изотропно рассеивающей среде Рассмотрим простейший случай изотропно рассеивающей среды, когда изтр 1/2. (7.1.12)
181
Изучение этой частной задачи оправдано тем, что проблема расчета интенсивности излучения как внутри такой среды, так и углового распределения отраженного излучения детально изучены теоретически и имеются точные аналитические выражения для этих величин. Последнее очень важно, так как дает возможность проанализировать точность полученных приближенных выражений с использованием двухпотокового приближения. В изотропно рассеивающей среде уравнение переноса (7.1.10) для диффузной части интенсивности излучения, заинтегрированной по азимуту, и дополнительные условия существенно упрощаются, и будут выглядеть так: D D 1 I ; c c0e / 0 ; (7.1.13) 2 2 D D I 0; 0 0 ; I ; 0 0 . (7.1.14)
Величина 0 I0 / c – плотность энергии падающего излучения; D – полная плотность энергии диффузно рассеянного излу-
чения 1 1 D D (7.1.15) d I ; . c 1 Представим интенсивность диффузного излучения в виде нисходящей и восходящей частей: D D I ; I ; I D ; . (7.1.16)
Здесь – единичная функция Хэвисайда. Первое слагаемое в (7.1.16) определяет световое излучение на глубине распространяющееся в глубь среды 0 . Второе слагаемое определяет световое излучение на глубине , распространяющееся в сторону поверхности вещества 0 . На самой поверхности 0 величиD на I 0; определяет угловое распределение выхо
дящего из среды излучения. Подставляя соотношение (7.1.16) в уравнение (7.1.13), запишем:
182
I D ; I D ; c D I0 e /0 , 0 1 ; 2 2 (7.1.17) I D ; D D I0 e/0 , 1 0 . I ; c 2 2 Проинтегрируем первое уравнение (7.1.17) по половинному промежутку изменения 0;1 , а второе уравнение по интервалу
1; 0 . Тогда получим: j D 1 c D c D c e /0 , 0 2 2 2 (7.1.18) j D c D D c 1 c c0e/0 . 2 2 2 D Величины j и j D есть проекции вектора плотности по
тока световой энергии диффузного нисходящего и восходящего излучения на ось . При получении системы (7.1.18) было учтено, что 1 1 D D D D d I ; , c 1
где 1 D 1 d I D ; 0 , c0
183
1 0 D D d I ; 0 . c 1
(7.1.19)
D Величины и D представляют собой плотность энер
гии нисходящего и восходящего диффузного светового излучения соответственно. При получении системы уравнений (7.1.18) не было сделано каких-либо приближений. Поэтому эти уравнения являются абсолютно точными. Однако система двух уравнений (7.1.18) содержит D четыре неизвестные функции глубины – j , j D ,
D , D и поэтому не является замкнутой. Основная
идея двухпотокового приближения состоит в том, чтобы эмпириче D D D D , и j , , ски задать связь между парами величин j ,
D
и затем получить два уравнения для величин j
D
и j
.
Систему уравнений (7.1.18) можно тождественно переписать в более наглядном виде. Для этого введем значения величин средних косинусов углов наклона световых пучков в нисходящем D D и восходящем диффузионных потоках на глубине : 1
D
D ; d
I
0
0;
1
D I ; d
0
0
D
D I ; d
10
0.
(7.1.20)
D I ; d
1
Учитывая соотношения (7.1.4), (7.1.5) и (7.1.15), перепишем формулы (7.1.20) в виде:
184
D
D 1 j , c D
D
D 1 j . c D
(7.1.21)
Из формул (7.1.21) следуют соотношения: D D j j D D , . (7.1.22) D D c c Формулы (7.1.21) и (7.1.22) являются точными, так как непосредD ственно следуют из определения (7.1.20) величин и
D
соответственно.
Подставляя соотношения (7.1.22) в уравнения (7.1.18), получаем: j D 2 D D j j 2 I0 e /0 ; D D (7.1.23) j D 2 D D j j 2 I0 e /0 . D D Система двух уравнений (7.1.23) полностью эквивалентна уравнениям (7.1.18) и тоже содержит четыре неизвестные функции глуD бины. Помимо искомых величин j , j D , в систему
уравнений (7.1.23) входят ещё две величины
D
D
и
. Поэтому, как и (7.1.18), система уравнений (7.1.23) то-
же не является замкнутой. Система уравнений (7.1.23) применима к
185
любой из задач с плоской геометрией как к слою вещества конечной толщины L , так и к полубесконечной среде L . Таким образом, при изотропном рассеянии формально неизD вестными остаются только значения двух величин 0 и
D
0 . Если значения величин средних косинусов на про-
извольной глубине были бы известны, то из уравнений (7.1.23) D можно было вычислить значения j и j D . Однако вели
D
D
чины и являются некоторыми функционалами (7.1.20) a'priori неизвестной интенсивности света, точнее, её D нулевой азимутальной гармоники, I ; .
Практически маловероятно предсказать зависимость величин D D и от глубины даже в рассматриваемом простейшем случае изотропно рассеивающей полубесконечной D D среде. Поэтому обычно величины и заменяют их средними по слою значениями.
D 1 L D d , D 1 L D d . (7.1.24) L 0 L 0
В полубесконечной среде в формулах (7.1.24) нужно осуществить предельный переход L . D D Но даже усредненные значения и зависят от вероят
ности выживания кванта . Однако, как показали численные расчеты, их среднее арифметическое значение незначительно меняется при изменении как толщины слоя, так и вероятности выживания D D кванта . Поэтому обычно две величины и заменяют
одной величиной, полагая D D D 0 .
После этого, система уравнений (7.1.23) принимает вид:
186
(7.1.25)
D j 2 D D D 2 j j I0 D e / 0 ; (7.1.26) D j 2 D D D D /0 . j 2 j I0 e Численные расчеты показывают, что для полубесконечной среды D 0,51; 0.51; 0.55 при 0.95; 0.9; 0.7 соответственно. Поэтому следующее радикальное приближение состоит в том, что в уравнениях (7.1.26) полагают 1 D . (7.1.27a) 2 Следует указать, что все сделанные приближения реально сводятся к тому, что в точных формулах (7.1.20) под знаком интеграла полаD гают 1 / 2 в выражении для и 1 / 2 в выра-
D D жении для . В результате обе величины и D перестают зависеть от оптической глубины и оказываются равными:
D 1/2 . (7.1.27b) Из формул (7.1.20) видно, что приближение (7.1.27b) фактически означает предположение о полной изотропизации диффузной инD тенсивности излучения, когда величина I ; , а, следователь
D
но, I
D
;
и I
D
;
не зависят от .
Это радикальное приближение позволяет преобразовать систему уравнений (7.1.26) к замкнутой системе двух неоднородных диф-
187
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для D двух функций j и j D :
j D D D 2 j j I0 e/0 ; 2 (7.1.28) D j D 2 j j D I0 e/0 . 2 D D Поскольку величины j и j зависят только от глубины,
то задание дополнительных условий для них не представляет труда. В полубесконечной среде они получаются из граничных условий (7.1.14) после интегрирования последних по : D D j j (7.1.29) 0 0 ; 0 .
Таким образом, в простейшем варианте двухпотокового приближения предполагается, что в полубесконечной среде восходящая и нисходящая плотности потока диффузной энергии светового поля пропорциональны плотностям лучистой энергии нисходящего и восходящего потока соответственно. Действительно, при допущении (7.1.27b) имеет место следующая простая связь между D D D D , и j , , которая следует из парами величин j ,
формул (7.1.22): c c , j . (7.1.30) 2 2 Как и должно быть в соответствии с определениями (7.1.4), (7.1.5), D величина j 0 , а j D 0 . j
188
§2. Вычисление энергетических характеристик светового поля Вычисление плотности потока энергии в полубесконечной изотропной среде Поскольку система двух дифференциальных уравнений (7.1.28) есть система уравнений с постоянными коэффициентами, то нахождение её аналитического решения не представляет труда. Решая полученную систему уравнений (7.1.28) с граничными условиями (7.1.29), находим плотности потока энергии нисходящего и восходящего светового потока (см. приложение 9): D ; I0 0 1 20 e2 1 e /0 ; (7.2.1) j 2 0 1 420 1
D
j
I
0 ; 20
0 1 20 1 420 1
(7.2.2)
1 1 2 1 1 20 / 0 . e e 1 20 1 1 Плотность потока энергии диффузного излучения D D j ; 0 j ; 0 j D ; 0 .
Подставляя сюда выражения (7.2.1), (7.2.2), получим: I00 D j 1 420 1
1 1
1 1 20 e
2 1
e
/ 0
.
(7.2.3)
Полная плотность потока световой энергии j , включающая и нерассеянное излучение, равна: н.рас D D j ; 0 ; j jz ; 0 ; I00e /0 jz ; 0 ; . Подставляя сюда (7.2.3), получаем:
189
j I00
1 1 20 1 420 1
1 1 e
(7.2.4)
2 1
1 1 20 e/ 0 .
Рассмотрим случай, когда поглощение в среде отсутствует. При консервативном рассеянии 1 из формул (7.2.1) – (7.2.4) находим, что I D j ; 0 ; 1 0 0 1 20 1 e /0 ; (7.2.5a) 2 D ; ; 1 I0 1 2 1 1 20 e /0 ; j 0 2 0 0 1 20 (7.2.5b) D н.рас / 0 j ; ; 1 I e j ; ; (7.2.5c)
0
0 0
j ; 0 ; 1 0 .
0
(7.2.5d)
Видим, что в консервативной среде полная плотность потока световой энергии j на любой глубине равна нулю. Это означает, что изза отсутствия поглощения встречные световые потоки, распространяющиеся из среды в сторону её верхней границы и в глубь вещества, одинаковы. Полагая в формуле (7.2.4b) 0 получим D j (7.2.5e) 0; 0 ; 1 I00 .
Как и должно быть количество световой энергии, выходящей из вещества через единичную площадку поверхности в единицу времени, равно количеству энергии входящей через ту же площадку внутрь среды. Это отражает закон сохранения энергии в консервативной среде. Световые потоки при нормальном падении излучения на поверхность однородной полубесконечной среды Проанализируем полученные результаты более подробно для случая нормального падения светового потока на поверхность ве-
190
щества, когда 0 1 . В этом случае полученные выше выражения становятся несколько проще: I 3 D j ; 0 1; 0 e2 1 e , (7.2.6) 2 1 4 1
D
j
; 0 1;
1 1 2 1 1 , I 3 0 e e 2 1 4 1 1 1 3
(7.2.7)
D j ; 0 1;
, (7.2.8) I0 2 1 e 3 1 1 1 e 1 4 1
j ; 0 1;
(7.2.9) 3 1 2 1 1 e . 1 1 e 1 4 1 На рис. 7.2.1 представлены графики зависимости от оптической D глубины величин j ; 0 1; , j D ; 0 1; , а также I0
D j
; 0 1;
(7.2.8), при различных значениях вероятности
выживания кванта
I0
1 .
D
Из рисунка видно, что восходящий поток j
0 диффузного
излучения имеет наибольшее (по величине) значение на поверхности вещества (отраженное излучение) и монотонно убывает с глубиной стремясь к нулю при . Совершенно иная зависимость D от глубины у нисходящего светового потока j 0 . На поверхно
D
сти вещества в силу первого граничного условия j
0 0
,
диффузно рассеянное нисходящее излучение отсутствует. С увели-
191
0 1
jD D
jz
0. 9
D
j a)
D
j
0 1
jz D 0.7 j D
b)
D ,
Рис.7.2.1. Зависимость от глубины плотности потока энергии нисходящего j
D излучения и полного потока диффузно рассеянного излучения
восходящего j
D D D j j j при нормальном падении светового потока на поверхность вещества при двух значениях вероятности выживания кванта: a– 0.9 ; b – 0.7 .
192
D
чением глубины величина j
; 0 1;
сначала возрастает,
достигая максимального значения на некоторой глубине, зависящей от вероятности выживания кванта , а затем экспоненциально убывает при . Полный диффузный поток энергии D j ; 1; имеет наибольшее по величине, (отрицательное
0
по знаку) значение на поверхности вещества: D D j 0; 0 1; j 0; 0 1; . С ростом глубины
сначала преобладает восходящее излучение, так, что D j ; 0 1; 0 . На некоторой глубине полный диффузный поток обращается в ноль. С увеличением глубины начинает преобD ладать нисходящее излучение, так, что j ; 1; 0 . Дос
0
тигнув своего максимального значения, диффузный световой поток экспоненциально стремится к нулю при . Плотность энергии в полубесконечной изотропной среде Полученные выше формулы позволяют определить плотность энергии диффузного и полного поля излучения. В соответствии с формулой (7.1.34) , плотность энергии нисходящего и восходящего диффузного поля излучения 2 2 D D j D , j D . (7.2.10) c c Поэтому плотность энергии диффузно рассеянных фотонов будет определяться выражением D ( ; ) () () 0
(7.2.11) 2 D D ; 0 ; j ; 0 ; . j c Подставляя в (7.2.11) выражения (7.2.1) и (7.2.2), получим:
193
20 1 20 1 1 D 0 1 420 1
(7.2.12) 2 1 1 0 2 1 e e / 0 . 1 20 Здесь 0 I0 / c – плотность энергии падающего излучения. Для плотности энергии полного поля излучения н.рас D D () ( ) ( ; ) e/0 ( ; ) ,
0
0
0
0
получим следующее выражение: 1 20 0 ; 0 1 420 1
20 1 1 e
2 1
(7.2.13)
1 20 e
/0
.
Из формул (7.2.12) и (7.2.13) получаем выражения для плотности энергии поля излучения на поверхности вещества 0 : 1 1 D ; (7.2.14) 0 0 ; 200 1 20 1 1 20 . (7.2.15) 0 0 ; 0 1 20 1 Непосредственной проверкой легко установить, что из формул (7.2.14) и (7.2.15) следует, что как и должно быть D 0 0 .
0
В консервативной среде D 0 ; 1 200 1 20 1 e/0
0 1 20 1 20 1 e /0
.
;
(7.2.16a) (7.2.16b)
В абсолютно поглощающей среде , 0 получаем, что
194
0 exp z , , 0 exp 0 0 т.е. плотность энергии отлична от нуля только на поверхности вещества за счет энергии поля падающего излучения: 0 0 ,
0 0 . Плотность энергии при нормальном падении светового потока на поверхность среды получается из формул (7.2.12) и (7.2.13) при 0 1 : D 0 1; 20
1 1 e
2 1
; 0 1; 0
2 1 1 e
3 1 4 1
(7.2.17)
2 e ; 3
3 1 4 1
2 1
e
(7.2.18)
.
На поверхности вещества из формулы (7.2.15) при 0 1 получаем, что 3 . (7.2.19) 0; 0 1; 0 12 1 В консервативной среде 1 из формулы (7.2.19) следует, что на поверхности вещества 30 , т.е. плотность энергии диффузно рассеянных фотонов в два раза больше плотности энергии падающего светового потока: D 0; 1; 1 2 .
0
0
0
На рисунке 7.2.2 представлены графики зависимости полной плотности энергии ; 0 1; (7.2.19) от глубины , при различных значениях для случая нормального облучения среды 0 1 . Из рисунка видно, что вероятность выживания кванта исключительно сильно влияет на зависимость плотности энергии от глуби-
195
ны. В консервативной среде (пунктирная кривая) плотность энергии монотонно возрастает от наименьшего значения 3 на поверхности вещества до предельного значения 6 и, начиная с глубин 4 6 , практически остается постоянной. При вероятности выживания кванта 0.95 , плотность энергии поля сначала возрастает от своего минимального значения на поверхности вещества, достигает локального максимума на глубине ~ 0.6 , а затем
монотонно ~ exp 2 1 стремится к нулю. В сильно поглощающей среде 0.7 плотность энергии монотонно убывает с глубиной от наибольшего значения на поверхности вещества и никакого локального максимума не наблюдается.
1
0.95
0.7
Рис.7.2.2. Графики зависимости полной плотности энергии светового поля от оптической глубины при различных значениях вероятности выживания кванта. Пунктирная кривая соответствует консервативной среде
196
§3. Коэффициент отражения от полубесконечной изотропно рассеивающей среды в двухпотоковом приближении При облучении поверхности слоя вещества внешним световым потоком какая-то часть фотонов поглощается в веществе (см. рис.7.1.1). Часть фотонов за счет рассеяния выходит из вещества через его верхнюю границу, образуя поле обратнорассеянного (отраженного) излучения. Отраженное излучение формируется только диффузно рассеянными фотонами. Интегральной характеристикой поля обратнорассеянного излучения является коэффициент отражения wотр . Как уже говорилось ранее в §4 главы 4, коэффициент отражения wотр определяется отношением величины энергии, выходящей с единицы поверхности вещества 0 в единицу времени во всех направлениях, к величине энергии j0 , которая входит в вещество в единицу времени через ту же единичную площадку поверхности: D 0 j 2 1 wотр , j0 d I ( 0; , )d . (7.3.1) j0 0 0 В отличие от формулы (4.4.7) в формуле (7.3.1) возникает модуль в выражении для wотр , так как в настоящем разделе, следуя традиции двухпотокового приближения, j есть не величина плотности потока энергии восходящего излучения (которая всегда положительная), а проекция плотности потока энергии на ось , кото D рая направлена в глубь среды и поэтому j 0 . При падении на
поверхность вещества широкого светового потока с интенсивностью I0 в направлении 0 , 0 0 , величина j0 I00 , а значеD ние j определяется формулой (7.2.2). Полагая в (7.2.2)
0 , из общей формулы (7.3.1) получаем:
197
wотр ; 0
1 0 1 20 2 1 42 1 0
1 1 1 20 1 20 1 1
Здесь
учтено,
что
1
1 1 1 .
. Так
как
1 420 1 1 20 1 1 20 1 , то после простых алгебраических преобразований находим следующее выражение для коэффициента отражения при наклонном облучении поверхности вещества в двухпотоковом приближении: 1 1 wотр ; 0 . (7.3.2) 1 20 1 Как и должно быть, независимо от угла падения 0 , при отражении от консервативной среды wотр 1; 0 1 , а для абсолютно поглощающей среды wотр 0; 0 0 . Важно заметить, что выражение для коэффициента отражения (7.3.2) может быть записано в виде wотр ; 0 1 h 0 ; 1 . (7.3.3) Функция h 0 ; определяется выражением h 0 ;
1 20
. (7.3.4) 1 20 1 Сравнивая формулу (7.3.4) с выражением (7.2.15), видим, что D 0 0 ; 0 0 ; (7.3.5) h 0 ; 1 1. 0 0 Формула (7.3.5) определяет физический смысл функции h 0 ; . Безразмерная величина h 0 ; есть отношение полной плотности энергии светового поля на поверхности вещества к плотности энергии 0 падающего излучения. Как отмечалось выше, двухпотоковое приближение дает возможность вычислить только энергетические характеристики поля
198
излучения на различных глубинах, т.е. величин и j . Поэтому нет ничего удивительного и в том, что в рамках классического двухпотокового приближения, вычислив эти величины из приближенной системы уравнений (7.1.28), можно сразу получить выражение для полного коэффициента отражения (7.3.2). Тем не менее вопрос о точности полученного результата остается открытым – слишком много радикальных приближений было сделано на пути от исходного уравнения переноса (7.1.13) в изотропно рассеивающей среде до полученного результата (7.3.2)! Для того чтобы определить точность полученного выражения (7.3.2), воспользуемся тем обстоятельством, что в случае изотропно рассеивающей полубесконечной среды известно точное аналитическое выражение для коэффициента отражения (6.6.54): wотр 0 ; 1 H(0 ; ) 1 . (7.3.6) Здесь H(; ) –- функция Амбарцумяна – Чандрасекара ( H функция) (6.6.45), которая, как и функция h 0 ; , представляет собой отношение плотности световой энергии излучения на поверхности вещества к плотности световой энергии падающего на поверхность светового потока (6.6.35). Сравнивая выражения (7.3.6) и (7.3.3) видим, что точная и приближенная формула для коэффициента отражения имеют одинаковую структуру. Поэтому возникает вопрос: как сильно отличается H -функция Амбарцумяна – Чандрасекара от функции h 0 ; , определяемой формулой (7.3.4)? В определенной мере ответ на этот вопрос можно получить, если учесть, что весьма сложное выражение (6.6.45) может быть с неплохой точностью рассчитано по одной из приближенных формул (6.6.46) для H -функции: 1 3 H ; . (7.3.7) 1 3(1 ) Полученные совершенно разными способами и в разное время, обе приближенные формулы (7.3.4) и (7.3.7) имеют одинаковую структуру и отличаются только численным множителем под радикалом: выражение (7.3.4) получается заменой в формуле (7.3.7) 3 2 , т.е. заменой тройки на четверку.
199
При 0 значения обеих функций (7.3.4) и (7.3.7) равно единице. С увеличением величины обе функции монотонно возрастают. При 1 обе функции линейно зависят от H ; 1 1 3 , h ; 1 1 2 , достигая наибольшего
значения
при
1:
hmax h 0 1; 1 3 ,
H 1; 1 1 3 2.73
вместо
точного
и
значения
Hmax 2.91 , которое следует из формулы (6.6.45). Видим, что значение hmax , полученное в рамках двухпотокового приближения, ближе к точному значению, чем это следует из приближенной формулы (7.3.7).
1
0.95
0.8
Рис.7.3.1. Зависимость точной H -функции Чандрасекара (сплошные кривые), приближенной H -функции (штриховые кривые) и h -функции в двухпотоковом приближении (пунктирные кривые) от при различных значениях вероятности выживания кванта
200
На рис. 7.3.1 представлены графики H -функции, рассчитанные по точной формуле (6.6.45) (сплошные кривые) и двум приближенным формулам (7.3.7) (штриховые кривые) и (7.3.4) (пунктирные кривые), в зависимости от , при различных значениях вероятности выживания кванта. В табл. 7.3.1 приведены точные значения H -функции, и рассчитанные по приближенным формулам: (7.3.7) (круглые скобки) и по формуле (7.3.4) в двухпотоковом приближении (квадратные скобки). Таблица 7.3.1 Точная и приближенные функции Чандрасекара
1.00
0.95
0.90
0.50
0.1
1.25 (1.17) [1.20]
1.19 (1.13) [1.15]
1.17 (1.11) [1.13]
1.07 (1.04) [1.05]
0.3
1.64 (1.52) [1.60]
1.46 (1.36) [1.41]
1.39 (1.31) [1.34]
1.14 (1.11) [1.12]
0.5
2.01 (1.87) [2.00]
1.67 (1.56) [1.63]
1.56 (1.46) [1.52]
1.19 (1.16) [1.17]
0.7
2.37 (2.21) [2.40]
1.85 (1.74) [1.83]
1.69 (1.60) [1.66]
1.22 (1.19) [1.21]
0.8
2.55 (2.39) [2.60]
1.93 (1.82) [1.91]
1.75 (1.66) [1.91]
1.23 (1.21) [1.22]
0.9
2.73 (2.56) [2.80]
2.01 (1.90) [2.00]
1.80 (1.71) 1.78]
1.24 (1.22) [1.23]
1.0
2.91 (2.73) [3.00]
2.08 (1.97) [2.07]
1.85 (1.77) [1.84]
1.25 (1.23) [1.24]
Видим, что значения H -функции, рассчитанные по приближенной формуле (7.3.4), в двухпотоковом приближении несколько ближе к точным значениям, чем рассчитанные по приближенной формуле (7.3.7). Обе приближенные формулы значительно ближе к точной в сильно поглощающих средах (см. последний столбец таблицы для 0.5 ).
201
Сказанное выше позволяет предложить следующее приближенное выражение для функции Амбарцумяна – Чандрасекара, рассчитанное в рамках двухпотокового приближения: 1 2 H ; h ; . (7.3.8) 1 2 1 Сравнивая формулу для коэффициента отражения, рассчитанную в двухпотоковом приближении (7.3.2), и приближенную формулу (6.6.55) 1 1 1 1 , wотр 0 ; , wотр ; 0 1 30 (1 ) 1 20 1 видим, что выражение для коэффициента отражения (7.3.2) всегда дает несколько заниженное значение коэффициента отражения, по сравнению с выражением (6.6.55). Различие между обеими приближенными формулами незначительно и наибольшее для случая нормального падения 0 1 . На рис.7.3.2 представлены для сравнения графики полного коэффициента отражения в зависимости от вероятности выживания кванта рассчитанные по формуле (6.6.55) (верхняя кривая) и по формуле (7.3.2) (нижняя кривая) в зависимости от вероятности выживания кванта для случая нормального падения 0 1 , когда отличие между обеими приближенными формулами максимально. Видно, что даже в самом неблагоприятном варианте, отличие между двумя кривыми незначительно во всем диапазоне значений вероятности выживания кванта . В табл. 7.3.2 приведены точные значения коэффициента отражения (7.3.6) и приближенные значения, рассчитанные по формуле (6.6.55) (в круглых скобках) и по формуле (7.3.2) в двухпотоковом приближении (в квадратных скобках). Как видно значения коэффициента отражения, рассчитанные в двухпотоковом приближении, не отличаются от точных значений с точностью до долей процента. Простота приближенной формулы (7.3.2) дает возможность представить полный коэффициента отражения в виде ряда по степеням :
202
k wотр ; 0 w 0 ; k wk 0 . k 1
(7.3.9)
k 1
Величина w 0 ; k wk 0 есть коэффициент отражения k -го порядка, который определяет вклад в полный коэффициент отражения тех фотонов, которые испытали ровно k актов рассеяния внутри среды до вылета из вещества. Выражения первых трех кратных коэффициентов отражения выглядят так: 1 60 1 1 ; w 2 2 ; w 2 2 1 20 8 1 2 k
0
3 w
2020
80 1 3 . 3 16 1 20
(7.3.10)
В случае нормального падения 0 1 : w1 0 1
1 7 29 ; w2 0 1 0.1 ; w3 0 1 0.07 . 6 72 432
(7.3.11)
wотр 0 1
Рис.7.3.2. Зависимость коэффициента отражения, рассчитанного по двум приближенным формулам: (6.6.55) – верхняя кривая и (7.3.2) – нижняя кривая
203
Таблица 7.3.2 Точные и приближенные коэффициенты отражения
0 0.99
0.95
0.90
0.50
0.1
0.88 (0.89) [0.88]
0.73 (0.75) [0.74]
0.63 (0.65) [0.64]
0.24 (0.26) [0.26]
0.3
0.84 (0.86) [0.85]
0.67 (0.7) [0.68]
0.56 (0.59) [0.57]
0.19 (0.21) [0.21]
0.5
0.82 (0.83) [0.82]
0.63 (0.65) [0.63]
0.51 (0.54) [0.52]
0.16 (0.18) [0.17]
0.7
0.79 (0.80) [0.79]
0.59 (0.61) [0.59]
0.47 (0.49) [0.47]
0.14 (0.16) [0.15]
0.8
0.78 (0.79) [0.78]
0.57 (0.59) [0.57]
0.45 (0.48) [0.45]
0.13 (0.15) [0.14]
0.9
0.76 (0.78) [0.76]
0.55 (0.58) [0.55]
0.43 (0.46) [0.44]
0.12 (0.14) [0.13]
1.0
0.75 (0.77) [0.75]
0.53 (0.56) [0.54]
0.42 (0.44) [0.42]
0.11 (0.13) [0.12]
Теперь можно вычислить отношение полного коэффициента отражения к коэффициенту отражения первой кратности: wотр 0 ; 2 1 20 1 0 ; . (7.3.12) 1 1 2 1 1 1 w ;
0
0
В сильно поглощающих средах, когда 1 величина 1 ; 1 ,
(7.3.13) и практически не зависит от угла падения. В абсолютно поглощающей среде 0 , как и следовало ожидать, 0
1 0 ; 0 1 . В слабо поглощающих средах 1 ; 2 1 2
0
0
,
204
1 1 .
(7.3.14)
1 Величина достигает наибольшего значения в консервативной среде 1 при нормальном падении 0 0, 0 1 светового потока на поверхность вещества: 1 1; 1 6 . (7.3.15)
max
0
При скользящем падении излучения на поверхность вещества, когда угол падения 0 близок к / 2 , из формулы (7.3.12) находим, что 2 1 0 ; , (7.3.16) 0 1 . 1 1 В этом случае величина изменяется в пределах 1 2 . Если среда консервативная, то 2 . Из приведенных данных видна большая роль многократного рассеяния в слабо поглощающих средах, когда 1 1 , особенно при углах падения, близких к нормальному. Это означает неэффективность решения уравнения переноса в слабо поглощающих средах методом последовательных итераций, т.е. разложением интенсивности в ряд по степеням . Разумеется, что в сильно поглощающих средах при малых значениях вклад в полный коэффициент отражения от процесса однократного обратного рассеяния может быть значительным (см. формулу (7.3.12)). Однако в большинстве задач атмосферной оптики Земли и других планет, как правило, реализуется случай слабого поглощения, когда 1 1 . Таким образом, сравнивая выражение для полного коэффициента отражения в двухпотоковом приближении (которое является результатом простейшего приближения Шварцильда – Шустера, разработанного в начале прошлого века) с результатами расчета полного коэффициента отражения (полученного Амбарцумяном и Чандрасекаром значительно позже, в 50-х годах прошлого столетия), можно получить приближенное выражение для функции H ; и коэффициента отражения wотр ; 0 .
205
§4. Функция отражения от полубесконечной изотропно рассеивающей среды в двухпотоковом приближении В предыдущем параграфе было получено приближенное выражение для коэффициента отражения и H -функции Чандрасекара – Амбарцумяна. Теперь рассмотрим принципиально новую задачу о вычислении функции отражения, используя результаты расчета энергетических характеристик световых полей в рамках классического двухпотокового приближения. Для этого воспользуемся формулой (6.6.15) , которая позволяет вычислить ФО, если известно значение полной плотности энергии светового поля в полубесконечной, изотропно рассеивающей среде: S(| |; 0 )
c exp / ( 0 ; )d . 4 0
Применим эту формулу для приближенного определения ФО, используя значение для плотности энергии () (7.2.13), полученное в рамках классического двухпотокового приближения: 0 ; 0
1 20 1 420 1
20 1 1 e
2 1
1 20 e /0 .
Ввиду довольно громоздких вычислений ФО в общем случае при наклонном падении потока фотонов на поверхность вещества, вычислим ФО в наиболее простом случае нормального падения 0 0 , когда 0 1 :
c S(| |; 0 1 ) exp ( 0 1; )d . 4 0
Величина ( 0 1; ) определяется формулой (7.2.18)
206
(7.4.1)
; 0 1; 0
2 1 1 e
3 1 4 1
2 1
e
(7.4.2)
.
Подставляя выражение (7.4.2) в формулу (7.4.1), запишем: S(| |; 0 1 ) (7.4.3)
3 s1 0 1 s2 0 1 . 4 1 4 1
I0
Здесь
s1 2 1 1
1 exp 2 1
d
(7.4.4)
0
2 1 1
1 2 1
,
1 s2 exp 1 d . 1
(7.4.5)
0
Подставляя соотношения (7.4.4), (7.4.5) в выражение (7.4.3), получим, что в случае нормального падения S(| |; 0 1) I0
2 1 1 3 1 4 1 4 1 1 2 1 1
.
(7.4.6)
Поскольку 2 1 1 1 2 1 1 2 1 , 1 1 2 1 1 1 2 1 выражение (7.4.6) принимает вид:
207
S(| |; 0 1) I0
1 2 1 1 2 3 . 4 1 4 1 1 2 1 1
Учитывая, что 1 4 1 1 2 1 1 2 1 , окончательно получаем: 3 1 2 S(| |; 0 1) I0 .(7.4.7) 4 1 1 2 1 1 2 1
Принимая во внимание выражение (7.3.4) для функции h 0 ; при 0 1 и при 0 3 h 0 1; , 1 2 1
h ;
12 1 2 1
, (7.4.8)
функцию отражения S 0 1; (7.4.7) можно представить в виде: h 0 1; h ; . (7.4.9) 4 1 Используя общую формулу (7.2.13) для плотности энергии поля, можно показать, что в общем случае наклонного падения светового потока на поверхность вещества под углом 0 arccos 0 , выражение для ФО будет выглядеть так: 0 S ; 0 I0 h 0 ; h ; . (7.4.10) 4 0 Как и должно быть, выражение (7.4.10) инвариантно относительно замены 0 , что является следствием теоремы оптической взаимности в задачах теории переноса с плоской геометрией. В то же врем точное выражение для ФО от полубесконечной изотропно рассеивающей среды определяется выражением (6.6.34) 0 S ; 0 I0 H 0 ; H ; . (7.4.11) 4 0 Сравнивая формулы (7.4.10) и (7.4.11), получаем: S 0 1; I0
208
1 2 . 1 2 1 Приближенное выражение для H -функции в точности совпадает с формулой (7.3.8), которая была получена в предыдущем разделе совершенно иным способом, без вычисления ФО с использованием интегрального соотношения (7.4.1)! Учитывая выражение (7.3.5) для h 0 ; , формулу (7.4.10) можно записать в виде: I 0 S 0 ; 0 4 0 (7.4.12) D D 0 ; 0 0 ; . 1 1 0 0 Из (7.4.12) видно, что линейная по часть ФО определяется выражением 0 1 . (7.4.13) S 0 ; I0 4 0 H ; h ;
1 Величина S 0 ; определяет ту часть полной функции от-
ражения S 0 ; , которая формируется однократно рассеянными фотонами. Это следует, конечно, и из общей формулы н.рас D (6.6.15), если учесть, что ( 0 ; ) ( 0 ) ( 0 ; ) . Плотность энергии нерассеянного излучения не зависит от вероятн. рас ности выживания кванта ( ) exp / . Поэто0
0
0
н.рас му, подставляя в (6.6.15) вместо ( 0 ; ) величину ( 0 ) , получим:
209
c0 1 S 0 ; 4
1 1 exp d 0
(7.4.14)
0
0 . 4 0 Формула (7.4.14) является частным случаем более общей формулы (4.5.17) для ФО от слоя вещества конечной толщины при произвольном законе однократного рассеяния: || 1 SL (| |, 0 ) I0 0 (0 ; ) 1 exp L 0 , 0 0 если в последней положить L и изтр ( ; ) 1 / 4 . I0
0
Таким образом, точная формула (7.4.14) для ФО при истинно однократном рассеянии полностью совпадает с выражением (7.4.13), которое получено в рамках двухпотокового приближения. Следовательно, используя двухпотоковое приближение, оказывает1 ся возможным получить точное значение S ; , которое
0
входит и в формулу (7.4.10) для ФО. С учетом всего сказанного, приближенное (7.4.10) выражение для ФО можно записать в виде: 1 S ; S ; h ; h ; . (7.4.15)
0
0
0
В то же время, точное выражение для ФО определяется выражением (6.6.34): 1 S ; 0 S 0 ; H 0 ; H ; . Подставляя в выражение (7.4.15) значения h -функции (7.3.8), получаем приближенное выражение для ФО от полубесконечной изотропной среды, рассчитанной с использованием результатов двухпотокового приближения:
210
S ; 0 I0
1 20 1 2 0 . 4 0 1 20 1 1 2 1
(7.4.16)
Используя довольно простое выражение (7.4.16) для ФО, рассмотрим вопрос об относительном вкладе истинно однократного рассеяния в процесс обратного рассеяния. Для этого вычислим от1 ношение полной ФО S(| | ; ) к ФО S (| | ; ) за счет 0
0
однократного рассеяния: S ; 0 1 ; 0 h 0 ; h ; . (7.4.17) 1 S ; 0 Таким образом, произведение двух h - функций показывает, во сколько раз полная ФО больше, чем ФО за счет истинно однократного рассеяния. Сказанное относится, конечно, и к точной формуле (6.6.34): произведение двух функций H 0 ; H ; точно показывает, во сколько раз полная ФО больше чем ФО за счет истинно однократного рассеяния. Подставляя в (7.4.17) значение h -функции (7.3.8), получим: 1 20 1 2 1 ; 0 . (7.4.18) 1 20 1 1 2 1
Анализ формулы (7.4.18) показывает большую роль многократного рассеяния в слабо поглощающих средах, когда 1 1 , особенно при большом угле полного рассеяния между направлением падения фотонов и направлением их вылета из вещества. Так, при нормальном падении 0 1 и вылете фотонов в прямо противоположном направлении 1 (полный угол рассеяния 180 ) 2
3 1 1; 0 1 (7.4.19) . 1 2 1 Из формулы (7.4.19) следует, что в слабо поглощающих средах значение может быть достаточно большим. Так, при 1 значение 9 , а при 0.95 значение 4.3 (значения , рассчитанные
211
по точным формулам равны 8.5 и 4.3 , соответственно). Это означает неэффективность решения уравнения переноса в слабо поглощающих средах методом последовательных итераций, т.е. разложением интенсивности в ряд по степеням . (Это конечно в полной мере относится и к вычислению ФО.) Учитывая большую роль многократного рассеяния света, сходимость указанного ряда будет весьма слабая. Поэтому нахождение аналитических решений, дающих в замкнутой форме строгий учет сразу всех порядков рассеяний, имеет чрезвычайно важное значение. В задаче об отражении от изотропно-рассеивающей полубесконечной среды H функция Амбарцумяна, так же как и h -функция, определенная с использованием двухпотокового приближения, как раз представляют пример такого решения. Разумеется, что в сильно поглощающих средах при малых значениях вклад в полную ФО от процесса однократного обратного рассеяния может быть значительным. Например, при 0.5 .значение 1.54 (точное значение 1.56 ).
212
Приложение 5 Интегропоказательные функции В ядерной физике, астрофизике и теории переноса функции En x определяются следующим образом:
1
1
0
En x exp xt t n dt exp x / n 2d ;
x 0 .
(П.5.1) Эти функции принято называть интегропоказательными функциями. Величина n называется порядком функции En x , который может быть любым, а необязательно целым. Что касается аргумента, то достаточно ограничиться значениями x 0 . Функции E x простым образом связаны с неполной -функцией Эйлера:
E x x 1 1 ; x , ; x t 1 exp t dt . (П.5.2) x
При различных значениях параметра через неполную Гфункцию Эйлера выражаются многие другие специальные функции: интегральная показательная функция, интегральный логарифм, интегральные синус и косинус, интеграл ошибок и интеграл Френеля. При x 0 только две функции E0 x и E1 x имеют особенность: 1 E0 x 1 ~ , E1 x 1 ~ ln x . (П.5.3) x Для остальных функций 1 En x 0 , n 1 . (П.5.4) n 1 Из формулы (П.5.1) видно, что En x 0 при любом значении n . Асимптотическое разложение функций En x при x 1 выглядит так:
213
En x 1
ex k n 1 k ! 1 k x k 0 x n 1 !
(П.5.5) n n n 1 ex ..... . 1 x x x2 Ряд (П.5.5) вообще говоря, является асимптотическим рядом. Однако при больших значениях x 1 первые слагаемые разложения (П.5.5) дают хорошее приближение к функции En x . Суммировать асимптотические ряды необходимо до последнего слагаемого, величина модуля которого меньше модуля предыдущего. Таким образом, особенность асимптотических рядов заключается в том, что погрешность при их суммировании нельзя сделать сколь угодно малой, в отличие от истинно сходящихся рядов. Сохраняя первые два члена разложения в (П.5.5), будем иметь: e x n n 0,1, 2..... . 1 ..... , x x При n 0 и n 1 из определения (П.5.1) получаем: E0 x exp x / x ; En x 1
E1 x Ei x .
(П.5.6)
(П.5.7) (П.5.8)
Здесь Ei x – интегральная показательная функция: x
Ei x C ln x
e t 1 dt , t
x 0 .
(П.5.9)
0
C 0.57 – постоянная Эйлера. Значение Ei x в области больших и малых значений аргумента хорошо известно: если 0 x 1; C ln x x, x (П.5.10) Ei x e если x 1. x Поэтому
214
x ln x C ln x, если 0 x 1; E1 x e x если x 1. , x При n 1 , интегрируя (П.5.1) по частям, получаем: En x
(П.5.11)
1 1 x/ n 1 d e n 10
1 1 n 1 x/ 1 x e x / n 3 d . e 0 n 1 0 Отсюда следует рекуррентное соотношение: 1 x En x e xEn 1 x , n 1 . (П.5.12) n 1 Таким образом, зная функции E0 x и E1 x можно определить все остальные интегропоказательные функции. В частности:
E2 x e x xE1 x e x xEi x ;
E3 x
(П.5.13)
1 x e 1 x x2E1 x 2
(П.5.14) 1 x 2 e 1 x x Ei x . 2 Взятие производной по аргументу, понижает порядок функции En 1 x на единицу dEn 1(x) En x . dx
(П.5.15)
В частности: dE2 (x) dE3 (x) E1 x ; xE1 x e x . (П.5.16) dx dx На рис.П.5.1 представлены графики функций E0 x , E1 x , E2 x и E3 x .
215
E0 E1 E2 E3
Рис. П.5.1. Графики функций
216
En (x)
Приложение 6 Исследование функции ; Установим некоторые общие свойства функции ; и получим для её вычисления более удобные формулы. В соответствии с (6.3.11), фурье-образ функции ; определяется выражением b k k; . (П.6.1) 1 b k Выполняя обращение Фурье, будем иметь:
;
2
b k 1 b k
eikdk .
(П.6.2)
b(k)
k Рис. П.6.1. График функции
b k 0
Здесь b k
arctg k . k
217
(П.6.3)
График функции b k приведен на рис. П.6.1. Так как b k – четная функция k , то формулу (П.6.2) можно записать в виде
;
arctg k cos k dk . k arctg k
(П.6.4)
0
Из (П.6.4) следует, что функция ; тоже является четной функцией оптической глубины ; ; , т.е. ; ; . (П.6.5) Поэтому достаточно проанализировать поведение функции ; только при 0 . Так как arctg k / 2 , то при k подынтегральное выражение в (П.6.4) ~ cos k / k . Поэтому при 0
0; ~ dk / k , 0
т.е. функция ; при любом значении вероятности выживания кванта имеет логарифмическую особенность при 0 : 0; ~ ln . (П.6.6) Формулы (П.6.2) и (П.6.4) неудобны для вычислений, так как под интегралом стоит осциллирующая функция. Однако используя метод контурного интегрирования, формулу (П.6.2) для ; можно преобразовать к значительно более простому виду. Это позволит, например, сравнительно просто получить информацию о поведении этой функции на больших расстояниях от источника, когда 1 . Чтобы определить все особенности подынтегрального выражения в (П.6.2) на комплексной k - плоскости, величину b k удобно записать в виде 1 1 ik ln b k . (П.6.7) 2ik 1 ik Теперь формула (П.6.2) для ; будет выглядеть так:
218
; 2
1 ik 1 ik eikdk . 1 ik 2ik ln 1 ik
ln
(П.6.8)
Из выражений (П.6.4) или (П.6.8) следует, что подынтегральная функция имеет следующие особенности в комплексной k - плоскости: 1. Простые полюса, являющиеся корнями уравнения k arctg k 0 , т.е. arctg k 1 k , т.е. k tg . (П.6.9a) k Используя (П.6.7) уравнение (П.6.9a) можно записать в виде 1 1 ik 1 ln . (П.6.9b) 2ik 1 ik 2. Логарифмические точки ветвления при (П.6.10) k i . Поскольку arctg k / k является четной функцией k , то если уравнение (П.6.9a) имеет какой-то корень 1 , то оно имеет и ко-
рень 2 1 . Функция b k при действительных значениях k монотонно убывает от своего наибольшего значения, равного единице при k 0 , до нуля при k (рис. П.6. 1.). Поскольку при наличии сколь угодно слабого поглощения 1 , то 1 / 1 . Следовательно, уравнение (П.6.9a) не имеет действительных корней. В силу четности функции arctg k / k корни уравнения (П.6.9a) могут быть только чисто мнимыми, причем оказывается, что их только два: 1 i0 и 2 i0 , где 0 – действительное, неотрицательное число, величина которого зависит от вероятности выживания кванта : 0 0 0 . Полагая в выражении (П.6.9b) k i0 , получим уравнение для определения 0 :
219
1 0 ln 1. (П.6.11) 20 1 0 Уравнение (П.6.11) называется характеристическим уравнением. Уравнение (П.6.11) удобно переписать в эквивалентном виде, которое следует из (П.6.9a), если учесть, что tg ix i th x 0 th 0 . (П.6.12) Уравнение (П.6.12) удобно при численном определении зависимости 0 . Кроме того, уравнение (П.6.12) позволяет легко полу-
чить асимптотические разложения величины 0 в слабо и сильно поглощающих средах. Действительно, в слабо поглощающих средах, когда 1 1 из (П.6.12) сразу видно, что 0 1 0 . Следовательно, при значениях близких к единице, когда 1 1 , уравнение (П.6.12) можно приближенно записать в виде: 0 th 0 th 0 1 . (П.6.13) 1 Поскольку при 1 , величина 0 1 , то гиперболический тангенс можно разложить в ряд. Ограничиваясь первыми двумя членами разложения, полагая th x 1 x x3 / 3 , вместо (П.6.13) получим следующее приближенное уравнение: 3 20 3 0 0 1 0 1 , т.е. 1 3 . 3 3 Поскольку 1 1 и 0 1 , то чтобы не превысить точ-
1 3
1 . В результате
1 1 .
(П.6.14)
ность вычислений, следует положить находим, что
0 3 1 ,
220
Если при разложении th 0 учитывать члены более высокого 1 порядка малости по 0 и , то можно получить следующее, более
точное приближенное выражение для 0 : 2 1 2 0 3 1 1 O 1 , 1 1 .(П.6.15) 5
0
П.6.2. График зависимости
0
Поскольку th x 1 , то из уравнения (П.6.12) сразу следует, что 0 0 1 . (П.6.16) Следовательно, в сильно поглощающих средах 1 значение
0
близко к единице, и в таких средах 0 / 1 . Поэтому для нахождения 0 можно воспользоваться асимптотическим выражением: th x 1 1 2 exp 2x . Тогда уравнение (П.6.12) принимает вид
221
0 1 2 exp 2 0 . (П.6.17) Полагая в первом приближении в показателе экспоненты 0 1 , получаем
0 1 2e
2
O e4/ ,
1 .
(П.6.18)
Более точные вычисления дают:
2
4
4 0 1 2e 2 e O e6/ . 1 . График зависимости 0 представлен на рис. П.6.2. Из рисунка
видно, что величина 0 – монотонная убывающая функция , изменяющаяся от 0 1 при 0 до 0 0 при 0 . Теперь приступим к вычислению функции ; в области 0 . Для вычисления интеграла (П.6.8) в области 0 выберем контур интегрирования, состоящий из горизонтальной оси Im k 0 , полуокружности радиуса R в верхней полуплоскости Im k 0 с разрезом вдоль мнимой оси, охватывающим точку k i (рис. П.6.3). Указанный контур охватывает все особенности подынтегральной функции в верхней полуплоскости. С учетом леммы Жордана, значение интеграла (П.6.8) по действительной оси будет определяться вычетом в простом полюсе k0 i0 и интегралом по берегам разреза вдоль мнимой оси, охватывающий точку ветвления k i . Поэтому функция ; будет состоять из двух слагаемых ас пер ; . (П.6.19)
Первое слагаемое ас в (П.6.19) определяет вклад в функцию ; от полюса k0 i0 (полюсное слагаемое). Второе (интегральное слагаемое) пер определяет вклад в функцию
; от интегрирования по берегам разреза, охватывающего точку логарифмического ветвления.
222
Im k
0
i i0 0
Re k
Рис. П.6.3. Контур интегрирования при вычислении функции
;
Вычислим сначала полюсное слагаемое в выражении (П.6.19): 1 ik0 ik0 ln e ik 1 ас 0 i 2 2 1 ik0 2ik0 ln 1 ik0 k (П.6.20) 0 1 ik0 1 ik0 ik0 e . 2 1 1 k02 ln
Поскольку k0 i0 , то в соответствии с уравнением (П.6.9b) 1 ik0 2ik0 ln . 1 ik0 Поэтому ас
ik0 1 k02 1 k02
eik 0
e . 1 20
223
0 1 02
0
(П.6.21)
Выражение (П.6.21) можно записать несколько иначе. Дифференцируя характеристическое уравнение (П.6.11) по вероятности выживания кванта, получим, что 1 0 d ln 0. d 20 1 0 Поскольку d / d d / d 0 d 0 / d , то уравнение запишется так: 1 2 d 0 d 0 1 0 ln 1 0. 20 0 d 1 0 1 20 d Учитывая, что ln 1 0 / 1 0 20 / будем иметь 0 d0 d0 0. d 1 20 d Из уравнения (П.6.22) следует, что
(П.6.22)
d0 d0 . d d 1 20 0 1 02
Здесь учтено, что d0 / d 0 . Следовательно, теперь выражение (П.6.21) для ас во всей области глубин может быть записано в виде d 0 0 ас ; e . (П.6.23) d пер Теперь вычислим величину ; , которая определяется
i; i и
суммой двух интегралов по правому левому i; i берегам разреза (рис. П.6.3): пер ; ( Jпр ; Jлев ; ) . На правом берегу разреза k i ( 1)e i/2 , dk id . Поэтому из (П.6.8) получаем, что
224
i
Jпр ; 2
1 ik 1 ik e ik dk 1 ik 2ik ln 1 ik ln
i 1
i
2
1 i e 1 e d. 1 i 2 ln e 1
ln
Следовательно,
Jпр ;
2
1
1 1 e d . 1 i 2 ln 1 i ln
(П.6.24)
На левом берегу разреза k i ( 1)e i3/2 , dk id . Поэтому Jлев ; i
2
1 ik ln 1 ik e ik dk i 1 ik 2 2ik ln 1 ik
1 i e 1 e d. 1 i 2 ln e 1 ln
1
i
Таким образом,
Jлев ; 2
1
1 1 e d . (П.6.25) 1 i 2 ln 1 i ln
Складывая, получаем:
225
пер
;
2
1 1 e d 1 i 2 ln 1 i ln
1
2
1
1 1 e d. 1 i 2 ln 1 i ln
Приводя подобные члены, окончательно находим
пер ; 2
xe x dx
, 0 . (П.6.26) 2 22 x 1 x ln 4 2 x 1 1 Теперь, подставляя выражения (П.6.21), (П.6.26) в (П.6.19) и учитывая четность функции ; , т.е. делая замену , получаем :
;
0 1 02 1
e
20
0
2
xe 2 2
x
dx 2
x 1 x ln 4 2 x 1 1 (П.6.27) ас С учетом формулы (П.6.23) для , выражение (П.6.27) для
функции ; можно переписать в виде:
226
1 d2 0 e 0 0 d ; (П.6.28) 2 xe x dx 2 2 2 x ln x 1 4 2 x 1 1 Формула (П.6.28), конечно, полностью эквивалентна формуле (П.6.27). Однако при исследовании поведения полюсного слагаемого в средах с сильным поглощением 1 и в слабо погло-
щающих средах 1 1 , выражение (П.6.28) с чисто вычислительной стороны оказывается более удобным и менее трудоемким. Из характеристического уравнения (П.6.9) можно получить асимптотические разложения величины 0 удобные при расчетах в сильно поглощающих средах (малые ), и в средах со слабым поглощением, т.е. 0 ~ 1 . Для малых в сильно поглощающих средах: 2 4 6 4 0 1 2e 2 Oe , e (П.6.29a) 2 4 6 4 2 20 1 4e 4 e Oe . (П.6.29b) В слабо поглощающих средах 1 1 : 0 3 1 2 2 1 12 1 3 1 O 1 , 5 175 2 4 1 4 1 3 20 3 1 1 O 1 5 175
227
(П.6.30a)
. (П.6.30b)
Дифференцируя (П.6.29b) и (П.6.30b) по , получаем полезные разложения для вычисления полюсного слагаемого as .
Для малых в сильно поглощающих средах: 2 4 6 d20 8 8 8 6 e e Oe . d 2 3 В слабо поглощающих средах 1 1 :
(П.6.22)
2 8 1 12 1 d02 3 3 1 O 1 d 5 175
. (П.6.23)
228
Приложение 7 Вычисление плотности энергии поля в слабо поглощающих средах В слабо поглощающих средах 1 1 , с учетом приближенной формулы (6.3.36) для ; , точную формулу (6.4.14) для плотности энергии диффузного светового поля
0
; d , 0 (П.7.1) 1 0 1 , можно заменить существенно более простым выражением (6.4.17): I 3 D 0 ; 0 J 0 ; . (П.7.2) 2c 1 Здесь D
0 ; 0
e
0
exp 3 1 d . (П.7.3) 0 Вычислим входящий в (П.7.3) интеграл оп при различных значениях 0 . 1. Пусть фотоны испускаются в нижнее полупространство, т.е. 0 0 (рис. 6.4.2). Тогда / 0 и выражение J 0 ; e
(П.7.3) можно записать в виде (П.7.4) J 0 0; exp 3 1 d . 0 Рассмотрим сначала область нижнего полупространства 0 . В этой области глубин J 0 0 0; J1 0 0 0; J2 0 0 0; ,
где 0 1 1 J1 exp 3 1 d , 1 0 3 1 0
229
1 J2 exp 3 1 d 0 0
1 exp 3 1 1 0 . 1 3 1 0 Следовательно, J 0 0 0; 1 (П.7.5) 31 2 3 1 e 0 . 1 1 3 1 3 1 0 0 Теперь рассмотрим область 0 . В верхнем полупространстве J 0 0 0; 1
1 31 e 0
(П.7.6) 1 exp 3 1 d . 1 0 3 1 0 Подставляя (П.7.5), (П.7.6) в (П.7.3), для рассматриваемого случая 0 0 , получаем следующее приближенное выражение для J 0 0; в слабо поглощающих средах 1 1 для всех значений :
230
1 1 3 1 0 2 3 1 31 0 e e , 1 (П.7.7) J 0 0; 3 1 0 0; 31 e 0. , 1 3 1 0
Так
как
1 1 ,
/ 0 3 1 ,
то
и
exp / 0 exp 3 1 . Поэтому второй экспонентой
в формуле (П.7.7) можно пренебречь. В результате получаем: 1 , 1 3 1 3 1 0 J 0 0; e 1 , 1 3 1 0
0;
(П.7.8) 0.
Выражение (П.7.8) можно записать в виде J 0 0; e
31
1 . 1 3 1 3 1 0 0
Приводя выражение в фигурных скобках к общему знаменателю и, учитывая, что 1 и sgn , получим:
231
1 3 1 sgn 3 1 0 . J 0 0; e 1 3 1 20
(П.7.9)
2. Теперь рассмотрим случай, когда фотоны испускаются в верхнее полупространство, т.е. 0 0 0 . В этом случае нет необходимости вычисления интегралов в формуле (П.7.3) для J 0 ; . Удобно воспользоваться соотношением (6.4.16), из которого следует, что J 0 ; J 0 ; .
(П.7.10)
Пологая в (П.7.10) 0 0 , получаем, что
J 0 0 ; J 0 ; .
(П.7.11)
Поэтому в этом случае 0 0 из формулы (П.7.9) находим, что 1 3 1 sgn . 31 0 J 0 0 ; e 1 3 1 2 0
Поскольку при 0 0 , 0 0 , то полученную формулу можно записать в виде 1 3 1 sgn 31 0 . J 0 0; e 1 3 1 20
(П.7.12)
Нетрудно заметить, что две формулы (П.7.9) и (П.7.12) можно записать в виде одного выражения 1 3 1 sgn 31 0 J 0 ; e sgn 0 , 1 3 1 20
1 0 1 . 232
(П.7.13)
Подставляя найденное значение для J 0 ; в (П.7.2), окончательно получаем D
0
1 3 1 sgn (П.7.14) I0 3 31 0 e sgn 0 . 1 2c 1 3 1 20 D Выражение (П.7.14) определяет плотность энергии ; 0 диффузного светового поля в слабо поглощающих средах 1 1 , при любом значении 1 0 1 во всей области глубин .
233
Приложение 8 Получение уравнения Амбарцумяна для функции отражения от полубесконечной среды, используя принцип инвариантности Одним из методов получения уравнения для функции отражения (ФО) является метод, основанный на принципе инвариантности (метод инвариантного погружения), впервые предложенный Амбарцумяном в 1943 г. Идея этого метода состоит в следующем. Если к полубесконечному однородному слою вещества, занимающего область полупространства 0 z , добавить слой того же вещества конечной толщины или бесконечно тонкий слой (толщиной l ), то угловое распределение отраженного излучения не изменяется, т.е. не изменяется ФО. Другими словами, не изменяется средняя энергия излучения, выходящая из среды через единицу её поверхности d 1 в любом направлении. Это утверждение справедливо при произвольном законе однократного рассеяния cos . Пусть на поверхность полубесконечного (основного) слоя вещества падает однородный широкий световой поток в направлении 0 0 ; 0 0 с интенсивностью I0 . Тогда через единичную площадку d A 1 в окрестности произвольной точки A основного слоя вещества, в единицу времени в среду входит энергия 0I0 . Рассеиваясь в веществе, часть фотонов вылетает из среды, образуя поле отраженного излучения. При мононаправленном облучении поверхности широким световым потоком, количество световой энергии, выходящей из вещества с единицы поверхности dB 1 в окрестности любой произвольной точки B в направле нии в интервале значений d , d в единицу времени, определяется функцией отражения (4.4.3) при L Eотр S(| |, 0 )d | | d | | I (z 0; , 0 )d | | d .
234
(П.8.1)
Здесь,
как
cos .
обычно
Для
отраженных
фотонов
/ 2 и поэтому 0 . Этот процесс условно изображен на рис. П.8.1
B
z I0 0
0
A
Рис. П.8.1. Условное изображение фотона, влетающего в полубесконечный слой вещества в направлении 0 и вылетающего из среды в направлении . Пунктиром условно изображена “траектория” движения фотона
Величина S(| |, 0 ) wотр 0 wотр , 0 (П.8.2) I00 определяет вероятность отражения от полубесконечного слоя вещества в направлении , при мононаправленном облучении
его поверхности. Величина wотр , 0 называется иногда дифференциальным коэффициентом обратного рассеяния. В силу линейности уравнения переноса S ~ I0 , и поэтому дифференциальный коэффициент обратного рассеяния wотр , 0 не зависит от величины I0 . Следовательно, Eотр jпад wотр , 0 d | | d I00 wотр , 0 d | | d .
235
(П.8.3)
При этом не следует наивно считать, что через единичную площадку dB из среды вылетают именно те фотоны, которые попали в вещество, влетев в него через площадку d A в окрестности точки A . Часть фотонов, влетевших в вещество через площадку d A , вообще не вылетают из среды из-за поглощения. Другие фотоны вылетают из вещества вовсе не в окрестности точки B , а совершенно в других точках поверхности z 0 . Другими словами, отраженный поток фотонов через площадку dB формируется всеми фотонами, влетающими в среду через всю поверхность z 0 . Добавление к основному слою вещества тонкого слоя l приводит к следующим пяти дополнительным процессам, условно изображенных на рис. П.8.2. Процесс a. Фотоны (рис. П.8.2,а) распространяются в слое l в первоначальном направлении 0 cos 0 ; 0 0 без рассеяния и без поглощения, проходя путь l / cos 0 . Интенсивность излучения такого процесса определяется интенсивностью нерассеянного излучения. Поэтому на единичную площадку основного слоя вещества падает энергия, меньшая, чем на единичную площадку добавленного слоя. Другими словами j 0 I00 exp l / cos 0 I00 1 l / 0 . (П.8.4a) Пройдя слой l , фотоны вылетает из основного слоя вещества в заданном направлении cos , с вероятностью wотр , 0 (П.8.2). Таким образом, в соответствии с (П.8.3),
на правой (внутренней) границе добавленного слоя l возникает плотность потока энергии в направлении , равная j j 0 wотр , 0 , т.е. j I00 1 l / 0 wотр , 0 .
(П.8.4b)
Затем фотоны второй раз проходят в слое l в рассматриваемом направлении путь l / cos без рассеяния и без поглощения и выходят из вещества. Поэтому в процессе, представленном на рис.П.8.2,a
236
a I 1 l / w jотр 0 0 0 отр , 0 1 l / . (П.8.4c) Сохраняя только члены до первого порядка малости по l включительно, получаем a j I w , отр
0 0 отр
0
(П.8.4d) 1 1 I00 wотр , 0 l . 0 Следовательно, в процессе a из вещества (с добавленным слоем l ) в интервале углов отражения d | | d выходит энергия a a E j d | | d . Учитывая, что в соответствии с формулой отр
отр
(П.8.3), энергия, отраженная с единицы поверхности основным слоем Eотр I00 wотр , 0 d | | d S , 0 d | | d , получаем, что a E Eотр отр 1 1 I00 wотр , 0 d | | d l 0
(П.8.5)
или 1 1 a E Eотр S , 0 d | | d . (П.8.5) отр l 0 Второе слагаемое в формуле (П.8.5) определяет убыль отраженной энергии за счет ослабления интенсивности излучения при прохождении (дважды) через слой l . Процесс b. Фотоны рассеиваются в добавленном слое l сразу из первоначального направления 0 в конечное состояние и вообще не попадают в основное вещество. На рис. П.8.2b условно изображен этот процесс для одного фотона рассеивающегося в точке b , из общего светового потока, падающего на поверхность вещества. Вероятность такого процесса определяется функцией отражения при истинно однократном рассеянии в тонком слое вещества толщиной l . Поэтому энергия, отраженная в интервал на-
237
правлений
d , d
в
процессе
b
b S1 (| |, )d | | d , где S1 (| |, ; l ) определяEотр 0 0 ется формулой (4.5.20): 1 S (| |, 0 ; l) || I0 0 (0 ; ) 1 exp l 0 0 0
I0 0
l a)
b
0
I0 l b)
238
.
c
I0 0
l c)
I0 d 0
l d)
239
e
I0 0
l e) Рис. П.8.2. Условное изображение дополнительных процессов при добавлении к основному слою вещества тонкого слоя l
Поскольку l 1 , то разлагая экспоненту в ряд с точностью до членов порядка l включительно, получим 1 S (| |, 0 ; l) I0l(0 ; ) . (П.8.6) Здесь учтено, что / . Следовательно,
b l I ( ; )d | | d . Eотр 0 0
(П.8.7)
Процесс с. Фотоны проходят через слой l без рассеяния и поглощения и влетают в основное вещество в первоначальном на правлении 0 (рис. П.8.2,c). Аналогично процессу a, интенсивность излучения при прохождении слоя определяется интенсивностью нерассеянного излучения. Поэтому на единичную площадку основного слоя вещества падает энергия, определяемая формулой (П.8.4a): j 0 I00 1 l / 0 . Затем фотоны отражаются от основного слоя вещества в промежуточном направлении с вероятностью wотр , 0 . Поэтому на правой (внутренней) границе добавленного слоя l возникает плотность потока энергии
240
в направлении , равная j , j 0 wотр , 0 , т.е. j , I00 1 l / 0 wотр , 0 . (П.8.8) Поскольку j , I z 0; , , то внутренняя поверхность слоя l облучается световым потоком с интенсивностью I z 0; , j , / . Далее, как и в процессе b можно воспользоваться формулой c S1 (| |, | |)d | | d . Eотр
Разница состоит лишь в том, что в процессе с на внутреннюю поверхность слоя l падает мононаправленный световой поток в про извольном направлении 0; с интенсивностью I z 0; , I00 1 l / 0
wотр , 0
. (П.8.9) Поэтому ФО при истинно однократном рассеянии будет определяться выражением, аналогичным (П.8.6), с той лишь разницей, что величину I0 нужно заменить на I z 0; , : 1 S (| |, 0 ; l)
I00 1 l / 0
wотр , 0
( ; )l . Сохраняя здесь только члены первого порядка малости, получим ( ; ) c Eотр l I00wотр , 0 d | | d (П.8.10а) или ( ; ) c l Eотр S , 0 d | | d . (П.8.10b)
241
На рис. П.8.2,с условно изображен этот процесс для одного фотона, рассеивающегося в точке c из промежуточного направления на угол 0 / 2 и вылетающего из вещества в рассматри ваемое направление . Формула (П.8.10) не является окончательной, так как определяет энергию отраженного излучения тех фотонов, которые вылетели из основного вещества в слой l только в одном произвольном c направлении . Чтобы получить выражение для энергии E , отр
отраженной в интервал направлений d , d в процессе с, нужно проинтегрировать выражение (П.8.10) по всем промежуточным состояниям : 0 1 , 0 2 . В результате получим: 2 1 c l d d ( ; ) Eотр 0 0 S , 0 (П.8.11) d | | d . Процесс d. Фотоны, влетая в слой l в направлении 0 рассеиваются в нем на угол / 2 и, распространяясь в направлении , попадают в основное вещество. После однократного рассеяния на внутренней поверхности основного слоя образуется интенсивность излучения, определяемая формулой (4.5.10), в которой нужно положить l : I (z l; 0; 0 ) l l
(0 ; ) I0 e
1 1 exp d . 0
0
Поскольку l 1 , то с точностью до членов порядка l включительно, достаточно заменить обе экспоненты на единицу. После этого получаем, что интенсивность проходящего излучения будет определяться выражением
242
I (l; 0; 0 ) I0l
(0 "; ")
(0 "; ") I0l .
(П.8.12)
Величина I (l; 0; 0 ) определяет интенсивность излучения при однократном рассеянии, т.е. интенсивность излучения тех фотонов, которые проходя слой l , испытали только один акт рассеяния, не изменив знака проекции скорости (импульса) на ось z : cz 0 . Затем фотон отражается от основного слоя вещества в ко нечное направлении с вероятностью wотр , . На рис. П.8.2,d условно изображен этот процесс для одного фотона, рассеивающегося в точке d из начального состояния 0 в проме жуточное состояние " , отраженного от основного вещества в рассматриваемое направление , проходя после этого слой l без рассеяния и поглощения. Далее, совершенно аналогично тому, как это было сделано в пункте c, получаем: (0 ; ) d Eотр l I00wотр , d | | d (П.8.13a) или (0 ; ) d Eотр l S , d | | d . (П.8.13b) d Чтобы получить выражение для энергии E , отраженной в ин-
отр
тервал направлений d , d в процессе d, нужно проинтегрировать выражение (П.8.13) по всем промежуточным со стояниям : 0 1 , 0 2 . В результате получим
243
2 1 d l d d( ; ) Eотр 0 0 0 S , (П.8.14) d | | d . Процесс e. Фотоны, свободно проходя слой l , попадают в ос новное вещество в направлении 0 и отражаются от него в произ вольном направлении . Поэтому на правую (внутреннюю) гра ницу добавленного слоя l , при фиксированном значении , падает мононаправленный световой поток в произвольном направле нии 0; с интенсивностью, которая определяется формулой (П.8.8) для процесса с: I z 0; ,
I00 1 l / 0
wотр , 0
(П.8.15) .
Затем в слое l происходит истинно однократное рассеяние, аналогичное диаграмме с с той лишь разницей, что после рассеяния на угол / 2 фотон меняет знак проекции скорости на ось z с плюса на минус и опять влетает в основное вещество в каком-то направлении (см. рис.П.8.2,e). При этом на поверхности основного вещества z 0 образуется световое поле с интенсивностью
I 0; 0,
S(1) ,
(П.8.16) ( ; ) lI 0; 0, . Подставляя в формулу (П.8.16) выражение (П.8.15), и пренебрегая 2
членами порядка l , получим: I z 0; 0, l
I00 wотр , 0 ( ; )
или
244
I z 0; 0, l
S , 0 ( ; ) .
(П.8.17)
Величину I z 0; 0, нужно рассматривать как интенсивность широкого светового потока, падающего на основной слой излучения в направлении 0, . Поэтому e j I z 0; 0, пад
S , 0
( ; ). Затем фотоны отражаются от основного вещества в рассматривае мом направлении и вылетают из вещества, проходя слой l без рассеяния и поглощения. Вероятность такого процесса 1 l / wотр , (П.8.18) wотр , . l
Далее, совершенно аналогично тому, как это было сделано в пункте c, получаем: e e E j , ; w , d | | d ,
отр
пад
0
отр
т.е.
e l S , 0 ( ; ) Eотр . (П.8.19)
wотр , d | | d
Величина wотр , есть коэффициент отражения от полубесконечной среды при падении на её поверхность широкого по тока фотонов в направлении 0, . При этом, в силу линейности уравнения переноса, можно считать что jпад I0 . Поэтому S , wотр , . (П.8.20) I0
245
Подставляя (П.8.20) в (П.8.19), получим e l S , 0 ( ; ) Eотр I0
S ,
(П.8.21)
d | | d.
e , отраженной с едиЧтобы получить выражение для энергии Eотр ницы наружной поверхности слоя l в единицу времени в интервале значений d , d в процессе e, нужно проинтегрировать выражение (П.8.21) по всем промежуточным со стояниям и в интервале значений 0 1, 0 2 и
0 1,0 2 . В результате получим e Eотр l
1 S , 0 2 d d d d ( ; ) I0 0 0
S ,
d | | d .
(П.8.22) Поскольку, как отмечалось выше, добавление к однородной полубесконечной среде слоя l не изменяет энергии отраженного излучения, то имеет место равенство a b c d e E E E E E E . (П.8.23) отр
отр
отр
отр
отр
отр
Подставляя в (П.8.23) полученные выше значения величин a E e , сокращая на общий множитель ld | | d , и, поEотр отр делив обе части получающегося равенства на , находим, что
246
1 1 S , 0 I0(0 ; ) 0 2 1 S , 0 d d ( ; ) 0 0 2
1
d d(0 ; ) 0
S ,
0
(П.8.24)
1 S , 0 2 d d d d I0 0 0
( ; )
S ,
. Здесь учтено, что / – вероятность выживания кванта. Это и есть уравнение Амбарцумяна для функции отражения от полубесконечной однородной среды, при облучении её поверхности z 0 широким мононаправленным световым потоком с интенсивностью I0 под углом 0 arccos 0 в азимутальной плоскости
0
0 .
Уравнение Амбарцумяна для функции отражения от полубесконечной изотропно рассеивающей среды Наиболее просто уравнение (П.8.21) выглядит для изотропно рассеивающей среды, когда cos 1 / 4 . (П.8.25) Подставляя выражение (П.8.25) в общее уравнение (П.8.24) видим, что все слагаемые в правой части уравнения (П.8.24) после интегрирования по азимутальным углам перестают зависеть от азимута. Поэтому и выражение в левой части этого уравнения, т.е. ФО от изотропно рассеивающей среды не должна зависеть от азимутального угла изтр S , S ; . (П.8.26)
0
0
В результате ФО будет определяться уравнением
247
1 1 S ; 0 0 2 1 S ; 0 2 1 S ; d d 1 (П.8.27) I0 0 I0 0 I0 . 1 4 S ; 0 S ; 42 1 d d I02 0 0 Поскольку 1 1 S ; 0 S ; d d 0 0
1 S ; 0 1 S ; d d , 0 0 то уравнение (П.8.27) можно записать в виде 1 1 S(| |; 0 ) 0 | | 1 1 . I0 S(| |; ) 2 S(| |; 0 ) 2 d 1 d 1 I0 I0 4 | | 0 0
(П.8.28) Уравнение (П.8.28) в точности совпадает с уравнением (6.6.28), которое было получено непосредственно из уравнения переноса без использования принципа инвариантности.
248
Приложение 9 Решение уравнений в однопараметрическом варианте двухпотокового приближения в изотропно рассеивающей среде Рассмотрим однопараметрический вариант двухпотокового D и приближения, когда в соответствии с (7.1.25) две величины
D
заменяют одной величиной, полагая
D
D
0,
0 1 .
(П.9.1)
Здесь и в дальнейшем для сокращения письма обозначено D . В рассматриваемом приближении формулы (7.1.22), свя-
D D D D зывающие пары величин j , , и j ,
будут выгля-
деть так:
D D j j D D , . (П.9.2) c c Основную систему уравнений (7.1.26) удобно записать в виде I0 / 0 d D D ; a j bj 2 e (П.9.3) d a j D bj D I0 e/0 . d 2 Здесь введены обозначения: 2 1 a b, b . (П.9.4a) 2 2 Из (П.9.4a) следует, что 1 1 a b 1, a b 0. (П.9.4b) Дополнительные условия к системе уравнений (П.9.3) имеют обычный вид
249
D
j
0 0 ;
D
j
0 .
(П.9.5)
Уравнения (П.9.3) содержат один произвольный параметр . Поэтому рассматриваемое приближение соответствует однопараметрическому варианту двухпотокового приближения. Ниже будет найдено решение системы уравнений (П.9.3) при произвольном значении . Затем, исходя из дополнительных физических соображений, можно будет рассматривать различные численные значения параметра , пытаясь выбрать такое, которое D давало бы наиболее точные значения для величин j и
D j
,
т.е. оптимизировать плотность потока энергии нисхо-
дящего и восходящего излучения. Вычисление плотности потока энергии нисходящего излучения Из первого уравнения системы (П.9.3) имеем, что I 1 d D j a j D 0 e/0 . (П.9.6) b d 2b Выражение (П.9.6) позволяет определить плотность потока энергии D восходящего излучения j , если известно значение плотно
D
сти потока энергии нисходящего излучения j учетом второго условия (П.9.5) находим, что D j 0 .
. При
,с (П.9.7)
Подставляя (П.9.6) во второе уравнение системы (П.9.3) получаем уравнение для определения плотности потока энергии нисхоD дящего излучения j :
250
D d2 j
2
D
a2 b2 j
d (П.9.8) /0 I0 1 . a b e 2 0 Поскольку, в соответствии с (П.9.4b) 1 1 a2 b2 a b a b 2 , a b , окончательно получаем D d2 j 1 D I 1 1 j 0 e/0 . (П.9.9) 2 2 2 0 d Дополнительные условия к уравнению (П.9.9) для плотности потока энергии восходящего излучения, с учетом (П.9.7), выглядят так D j 0 0 ; j D 0 . (П.9.10)
Общее решение неоднородного уравнения (П.9.10) складывается из общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения D j jодн j н.одн . (П.9.11)
Общее решение однородного уравнения D d2 j 1 D j 0 2 d 2 ищем в виде одн j Ce .
(П.9.12)
(П.9.13)
Подставляя (П.9.13) в (П.9.12) получаем уравнение для определения 1 2 0. (П.9.14) 2 Из уравнения (П.9.14) находим, что 1 , 2 , где
251
1 (П.9.15) 0. Теперь общее решение однородного уравнения (П.9.12) запишется в виде: одн j (П.9.16) C1e C2e .
При наличии сколь угодно слабого поглощения 1, 0 , из условия ограниченности (П.9.10) при получаем, что C1 0 . Поэтому j
одн
, 0 ; C2 , 0 ; e
1
.
(П.9.17)
Частное решение неоднородного уравнения (П.9.9) имеет вид н.одн j (П.9.18) De/0 .
н.одн
Подставляя выражение (П.9.18) для j
одн
для j
и выражение (П.9.17)
D
в формулу (П.9.16) для величины j j
D
, 0 ; C2e
1
, получим
De/0 .
(П.9.19)
Из граничного условия (П.9.10) на поверхности вещества D j 0 0 , находим, что C2 D . Следовательно,
1 /0 j e , 0 ; D , 0 ; e . (П.9.20) Таким образом, осталось определить только значение коэффициента D . Подставляя выражение (П.9.18) в уравнение (П.9.9), получим 1 1 I 1 1 D 0 . 2 2 2 0 0 Отсюда находим, что
D
252
I 0 D , 0 ; 0 0 . (П.9.21) 2 2 20 1 Теперь, подставляя соотношение (П.9.21) в формулу (П.9.21), получим D , , j 0
1 (П.9.22) I0 0 / 0 0 2 e e . 2 20 1 D D Из формулы (П.9.22) видим, что, j 0 и j 0 0 .
Формула (П.9.22) определяет плотность потока энергии нисходящего излучения во всей области глубин 0 , при произвольном угле падения 0 arccos 0 , произвольных значениях параметра и вероятности выживания кванта . В консервативной среде 1 , получаем: j
D
, 0 , 1 I0
0 0 2
1 e/ . 0
(П.9.23)
Вычисление плотности потока энергии восходящего излучения Теперь, определив плотность потока энергии нисходящего изD лучения j , по формуле (П.9.6) можно определить плотность
D
потока энергии восходящего излучения j
.
Подставляя выражение (П.9.20) в соотношение (П.9.6) последовательно будем иметь:
253
1 D d d /0 j a e a e b d d (П.9.24) I 0 e/0 . 2b Учитывая, что a 2 / 2 , получаем:
D
j
D
1 D a e b
D 1 I0 / 0 . a e 0 2b b Запишем полученное выражение в виде D j Ae Be/0 .
(П.9.25)
(П.9.26)
Здесь A B
D 1 a ; b
(П.9.27)
1 I0 D . a b 0 2b
(П.9.28)
Учтем, что I 0 1 2 , a ; b , D 0 0 . 2 2 2 2 20 1 Следовательно, 0 D I002 . (П.9.29) b 2 20 1 Вычислим коэффициент A : Поскольку
1 1 1 a 2
254
2
1 1 , 2 1 1
то с учетом формулы (П.9.29), получаем 0 0 1 1 . (П.9.30) A , 0 , I0 2 2 2 1 1 1 0 Вычислим коэффициент B : Подставляя в выражение (П.9.28) значения величин a и D / b последовательно будем иметь: 0 0 2 1 B I0 1 , 2 2 0 0 1 2 2 1 2 0 0 , 0 20 2 2 2 / 2 0 0 0 B I0 1 . 2 2 0 1 Приводя выражение в фигурных скобках к общему знаменателю, после приведения подобных, получаем: 0 0 B , 0 , I0 . (П.9.31) 2 2 2 1 0 Теперь, определив коэффициенты A и B , из формулы (П.9.26) находим следующее выражение для плотности энергии восходящего излучения: I 0 0 D j 0 2 2 20 1 (П.9.32) 1 0 /0 1 1 e e . 0 1 1 Формула (П.9.32) определяет плотность потока энергии восходящего излучения во всей области глубин 0 , при произволь-
255
ном угле падения 0 arccos 0 и произвольных значениях параметра и вероятности выживания кванта . В консервативной среде 1 , получаем: D j , 0 , 1
I 0 0 0 1 2
0 / 0 e . 0
(П.9.33)
Полная плотность потока световой энергии j , включающая и нерассеянное излучение определяется выражением: D j ; , 0 ; I00e / 0 j ; , 0 ; j D ; , 0 ; .
В консервативной среде, учитывая формулы (П.9.23) и (П.9.33) будем иметь: / 0 0 1 e/0 e 2 j ; 1 I00 . 0 1 0 e/0 2 0 После приведения подобных членов получим: j ; , 0 ; 1 0 , (П.9.34)
при любых значениях величин , 0 . Вычисление полного коэффициента отражения Полный коэффициент отражения определяется обычным образом D 0 , , j wотр , 0 ,
I00 Полагая в выражении (П.9.32) 0 , получим:
256
0
.
(П.9.35)
j
D
0
I0 0 0 1 1 0 . 2 2 2 1 1 1 0 0
Поскольку 1 1 0 0 1 , 2 1 1 0 1 1 0
то
D
j
0 I00
1 1
. (П.9.36) 0 1 Подставляя выражение (П.9.36) в соотношение (П.9.35), получим 1 1 . (П.9.37) wотр , 0 , 0 1 При отражении от консервативной среды 1 из общей формулы (П.9.37) получаем, что wотр , 0 , 1 1 , (П.9.38) при любых значениях и 0 . Исследование полученных результатов при различных значениях параметра Значения величин средних косинусов углов наклона световых D D и восходящем дифпучков в нисходящем фузионных потоках на глубине (7.1.20): 1
D
определяется формулами
D ; d
I
0
0;
1
D I ; d
0
257
0
D
D I ; d
10
0.
(П.9.39)
D I ; d
1
Здесь I
D
и I
D
– интенсивности нисходящего и восходящего
излучения, проинтегрированные по азимуту. В предположении о полной изотропизации диффузной интенD сивности излучения, когда величина I ; , а, следовательно, D I ; и I D ; не зависят от , получаем, что
D 1 / 2 . Другими словами, сделанное предположение означает, что 1 . (П.9.40) 2 При таком выборе значения параметра , из общих формул D (П.9.22) для j , 0 , , (П.9.32) для j D , 0 , и фор
D
мулы (П.9.37) для wотр , 0 , , будем иметь:
D
j
1 / 2, 0 ,
, I 0 1 20 2 1 0 e e / 0 2 1 420 1
D
j
I
1 / 2, 0 , 20
0 1 20
1 420 1 1 1 2 1 1 20 / 0 e e , 1 20 1 1 1 1 wотр 1 / 2, 0 , . 1 20 1
258
(П.9.41)
(П.9.42)
(П.9.43)
Формулы (П.9.41), (П.9.42) в точности совпадают с выражениями D (7.2.1) для j 0 ; и (7.2.2) для j D 0 ; , которые были
положены в основу расчетов различных характеристик световых полей в §§2-4 седьмой главы. Естественно, что формула (П.9.43) совпадает с выражением для полного коэффициента отражения (7.3.2). В глубинном режиме в слабо поглощающих средах, когда 1 1 , второй экспонентой в формулах (П.9.41) можно пренебречь, тогда получим, что D ас j (П.9.44) 1 / 2 ~ e2 1 .
Однако в асимптотике интенсивность излучения и другие, связанные с ней величины (плотность энергии, плотность потока энер-
гии) зависят от глубины по закону ~ exp 3 1 (см. формулу (6.4.9)). Поэтому можно для выбора параметра воспользоваться другим критерием, потребовав, чтобы из формулы (П.9.22) получалась правильная асимптотическая зависимость от глубины. Чтобы иметь правильную асимптотику в глубинном режиме D j ~ e 31 ,
величину нужно определить из уравнения 1 3 1 . (П.9.45) Отсюда находим, что 1 3 . (П.9.46) 3 3 В этом случае, из формулы (П.9.37) для коэффициента отражения получим 1 1 wотр 1 / 3, 0 , . (П.9.47) 1 0 3 1 Это в точности совпадает с известной приближенной формулой
259
wотр 0 ;
1 1
. (П.9.48) 1 0 3(1 ) Интересно отметить, что поскольку при изотропном законе рассеяния изтр cos2 1/3, (П.9.49) то из сравнения (П.9.46) и (П.9.47) следует, что при таком выборе параметра имеет место равенство
cos2
260
изтр
.
(П.9.50)
Вопросы для самоконтроля Глава 5 1. Перечислите основные свойства 2-направленной индикатрисы рассеяния. Каков физический смысл величин p и p в выражении для такой индикатрисы? Как выглядит условие нормировки 2-направленной индикатрисы? Как выражается значение среднего угла однократного рассеяния cos через величины p и p ?
2. В чем состоят основные особенности распространения излучения в модельной среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния? 3. Всегда ли в плоском слое вещества с 2-направленным законом однократного рассеяния распространение светового излучения будет носить характер одномерного блуждания? Что изменится, если нижняя поверхность вещества z L будет не свободной? Опишите качественные изменения, если: a) на нижней поверхности вещества будет находиться зеркально отражающая подложка? b) на нижней поверхности будет находиться диффузно отражающая подложка, отражающая фотоны с равной вероятностью во все направления верхней полусферы 0 ? 4. Что такое интенсивность нисходящего I и восходящего I излучения? Каким из этих потоков формируется отраженное излучение, при падении на поверхность полубесконечной среды потока фотонов? 5. В каком виде и почему ищется решение уравнения переноса в полубесконечной среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния? Какое обстоятельство приводит к тому, что интегродифференциальное уравнение переноса сводится к системе двух обычных дифференциальных уравнений для величин I z и I z ?
6. Почему в полубесконечной среде с 2-направленной индикатрисой рассеяния удается обойти те трудности, которые связаны с нестандартными граничными условиями на поверхности вещества z 0 ? Каков вид этих условий?
261
7. Каков физический смысл величины l ? Какова связь между величинами l и p ? Какова связь между величиной l и транспортной длиной рассеяния lтр ? 8. Что называется и каков физический смысл величины эффективного коэффициента ослабления (экстинкции) eff ? Почему величина eff всегда меньше истинного коэффициента ослабления ? Чему равно значение eff в консервативной среде? 9. Что называется и каков физический смысл эффективной вероятности выживания eff ? Почему величина eff зависит не только от истиной вероятности выживания кванта , но и от величины cos ? Какова связь между величинами eff и в среде с “изотропной” 2-направленной индикатрисой рассеяния? 10. Как зависят от глубины величины I z и I z ? 11. Почему в консервативной среде 0 величины I z и I z не зависят от глубины? Чему равно значение этих величин при облучении поверхности вещества световым потоком с интенсивностью I0 ? 2m 12. Каков физический смысл парциальных потоков I z и
I
2m 1
z ? Как выглядят разложения нисходящего и восходящего
излучения по парциальным потокам? 13. Что называется и каков физический смысл анизотропной части Iанз z нисходящего излучения? В чем принципиальное отличие между величиной Iанз z и интенсивностью нерассеянного излучения I (н.рас) z ? Какая из этих величин быстрее убывает с глубиной и почему? 14. В чем состоит принцип разложения величин I z и I z по парциальным потокам, позволяющий в конечном итоге получить выражения для всех парциальных потоков?
262
15. Почему величина Iанз z монотонно убывает с глубиной, в 2m то время как парциальные потоки I z m 0 имеют ло
кальные максимумы?
2m
16. Опишите качественно зависимость величин I
z
от па-
раметра l / la . Что происходит с парциальными потоками 2m I z с увеличением коэффициента поглощения 1 / la ? В
каких средах вклад анизотропной части излучения в нисходящее излучение I z наиболее значим?
1
17. Какие фотоны описывает первый парциальный поток I
1
восходящего излучения? На какой глубине значение I
z
z
мак-
симально и почему? 18. В чем принципиальное отличие зависимости от глубины ве1 личины I z и парциальных потоков восходящего излучения I
3
z ,
5 I
z … более высокой кратности? 2m 1
19. Опишите качественно зависимость величин I
z
от
параметра l / la . Что происходит с парциальными потоками 2m 1 I z с увеличением коэффициента поглощения 1 / la ?
В каких средах вклад первого парциального потока в восходящее излучение I z наибольший? 20. Что называется полным коэффициентом отражения wотр от полубесконечной среды с 2-направленной индикатрисой рассеяния и каков его физический смысл? Зависит ли значение wотр от угла падения светового потока 0 arccos 0 на поверхность вещества?
263
21. От каких основных параметров среды зависит значение wотр ? Как зависит значение wотр от величины eff ? 22. Как зависит значение wотр от величины в среде с “изотропной” 2-направленной p p 1 / 2 ?
индикатрисой
рассеяния,
когда
23. Что называется парциальными коэффициентами отражения
2m 1 wотр
от полубесконечной среды с 2-направленной индикатри-
сой рассеяния и каков их физический смысл? Какие фотоны фор2m 1 мирую парциальный коэффициент отражения w ? отр
2m 1 2m 1 ~ 24. Почему wотр ? eff
2m 1 от ко25. Опишите качественно зависимость величин wотр эффициента поглощения. При каком поглощении значения парци2m 1 альных потоков w наибольшее? отр
1 в консервативной среде? 26. Чему равны значения wотр и wотр В каких средах с высокой точностью можно считать, что 1 w w ? отр
отр
синг
27. В чем принципиальное отличие сингулярной I
рег
регулярной I
z; t
z; t
и
частей нисходящего излучения, при облу-
чении поверхности вещества -импульсным временным сигналом? синг Какие фотоны формируют величину I z; t ?
28. Какой физический смысл величины t l / c ? Что называется приведенной глубиной z и приведенным временем t ? Что выражает равенство t z ? 29. В какой момент времени на глубине z появляются первые фотоны нисходящего излучения? Как объяснить тот факт, что на фронте импульса регулярная часть нисходящего излучения форми-
264
руется только теми фотонами, которые только два раза изменили знак проекции скорости cz , т.е. I (рег) (z ; t z ) I (2) (z ; t z ) ?
30. Как можно объяснить наличие локального максимума интенсивности излучения фронта импульса? рег 31. Всегда ли величина I z; t имеет локальный максимум?
32. В какой момент времени на заданной приведенной глубине z значение I (2) (z ; t ) максимально?
33. Какова асимптотическая зависимость от времени величины I(рег) (z; t z / c) ? Как выглядит асимптотика I(рег) в консерва
тивной среде? 34. Как объяснить тот факт, что на фронте импульса на приведенной глубине z t z , т.е. t z / c полное восходящее излучение I (z ; t z ) формируется только теми фотонами, которые только один раз изменили знак проекции своей скорости на ось z : “ + - ”, т.е. что I (z ; t z ) I (1) (z ; t z ) ? 35. Какова асимптотическая зависимость от времени величины I (z; t z / c) ? Как выглядит асимптотика восходящего потока I в консервативной среде?
36. Дайте определение временного коэффициента отражения wотр (t) . 37. Величина
wотр (t)
eff s I1
определяется
ws ,
выражением
(5.5.3)
где s ct , I1 – модифицированная s функция Бесселя. Как из этой общей формулы получить выражение для временного парциального коэффициента отражения wотр (t) c e
m 1) w(2 (t) ? отр
265
(1) 38. Чему равно значения величин wотр и wотр в начальный (3) , момент времени t 0 ? Чему равны значения величин wотр (5) wотр …при t 0 ? Прокомментируйте полученный результат. 39. Почему чем выше порядок парциального коэффициента отm 1) ражения w(2 (t) , тем в более поздний момент времени он досотр тигает своего наибольшего значения? 40. Как зависит от времени величина wотр (t) в двух предельных
случаях: t t и t t ? Глава 6 1. Какое рассеяние называется изотропным? 2. Какой вид имеет уравнение переноса для интенсивности излучения в изотропно рассеивающей среде? 3. Какой вид имеет уравнение для плотности энергии излучения в изотропно рассеивающей среде? 4. Какие функции называются интегропоказательными? 5. Какой вид имеют интегропоказательные функции при малых и больших значениях аргумента? 6. Что такое закон Фика? 7. Какой вид имеет закон Фика в случае распространения излучения в плоской изотропно рассеивающей бесконечной среде? 8. Какой вид имеет фурье-образ плотности энергии излучения в плоской изотропно рассеивающей бесконечной среде? 9. Как выражается плотность энергии диффузно рассеянного излучения в плоской изотропно рассеивающей бесконечной среде через плотность энергии нерассеяного излучения и вспомогательную функцию (; ) ? 10. Какой вид имеет выражение для вспомогательной функции (; ) ? 11. Какому интегральному уравнению удовлетворяет вспомогательная функция (; ) ? 12. Какой вид имеет характеристическое уравнение и какую величину оно определяет?
266
13. Как ведет себя коэффициент затухания интенсивности излучения при слабом и сильном поглощении? 14. Как выражается интенсивность излучения в плоской изотропно рассеивающей бесконечной среде через плотность энергии излучения? 15. Какой вид имеет интенсивность излучения при равномерном распределении источников в плоской изотропно рассеивающей бесконечной среде? 16. Какой вид имеет интенсивность излучения, если в изотропно рассеивающей бесконечной среде присутствует плоский мононаправленный источник? 17. Какой вид имеет уравнение для функции отражения при распространении излучения в плоской изотропно рассеивающей полубесконечной среде? 18. Как выражается функция отражения от плоской изотропно рассеивающей полубесконечной среды через H-функции? 19. Какой вид имеет уравнение для H-функции? 20. Чему равен нулевой момент H-функции? 21. Какой вид имеет приближенное выражение для H-функции? 22. Какой вид имеет коэффициент отражения от плоской изотропно рассеивающей полубесконечной среды при ее облучении мононаправленным световым потоком? 23. Какой вид имеет интенсивность подающего излучения при облучении рассеивающей среды диффузным световым потоком? 24. Какой вид имеет коэффициент отражения от плоской изотропно рассеивающей полубесконечной среды при ее облучении диффузным световым потоком? 25. Какой вид имеет интенсивность подающего излучения при облучении рассеивающей среды ортотропным световым потоком? 26. Какой вид имеет коэффициент отражения от плоской изотропно рассеивающей полубесконечной среды при ее облучении ортотропным световым потоком? 27. В чем заключается основная идея метода инвариантного включения?
267
Глава 7 1. Какие величины являются основными средними энергетическими характеристиками световых полей? 2. Как связана плотность энергии поля z , вектор плотности потока энергии j z и проекция вектора плотности потока энергии на ось z jz z с интенсивностью излучения I z; , в стационарных задачах теории переноса в условиях плоской геометрии? 3. Напишите выражения, связывающие плотности потока лучистой энергии для нисходящего j (z) и восходящего j (z) световых потоков с интенсивностью излучения I z; . Каковы размерности
и знаки этих величин? 4. Поверхность вещества облучается широким световым потоком с интенсивностью I0 , падающим под углом 0 arccos 0 к оси z в азимутальной плоскости 0 0 . Напишите выражение для плотности потока энергии нерассеянного излучения. Почему велин.рас чина j z имеет один и тот же вид в полубесконечной среде
z
и в слое вещества конечной толщины? 5. Как связаны величины j (z) и j (z) с плотностью потока
D ()
энергии диффузно рассеянного излучения j
D ()
физический смысл величин j
D () ?
и j
Каков
D () ?
и j
6. Чем отличается уравнение переноса для полной интенсивно сти I z; от уравнения переноса для интенсивности диффузно D рассеянного излучения I z; ? Поясните физическую причину
этого отличия. 7. Запишите уравнение переноса для интенсивности диффузного светового поля I D (; , ) и её нулевой азимутальной гармониD ки I ; при произвольном законе однократного рассеяния
268
cos при облучении поверхности вещества широким световым
потоком, падающим в направлении 0 0; 0 0 . 8. Определение каких величин светового поля является основной целью двухпотокового приближения? 9. Почему в рамках двухпотокового приближения используется уравнение переноса только для нулевой азимутальной гармоники D I ; интенсивности диффузно рассеянного излучения?
10. Запишите уравнение переноса и граничные условия для нуD левой азимутальной гармоники I ; в изотропно рассеивающей полубесконечной однородной среде в терминах оптической глубины . D 11. Запишите исходную систему уравнений для величин j ()
и j
D
() . Почему эта система уравнений не является замкнутой?
D Каков физический смысл величин и D , входящих в
эти уравнения?
D D 12. Что представляют собой величины и ? Каков знак этих величин? Запишите определение этих величин чеD D рез I (; ) и I (; ) .
13. Используя определение величин
D
и
D
,
запишите точные формулы, связывающие эти величины с парами D D D D величин j (), () и j (), () .
14. Какие основные допущения используются в двухпотоковом приближении для получения замкнутой системы уравнений для D D величин j () и j () ? В чем состоит физическая обоснован
ность этих допущений? 15. Что позволяет считать, что
269
D
D
1 / 2?
16. Как
j
связаны
D D (), ()
пары
величин
j
D D (), ()
и
в двухпотоковом приближении? D ()
17. Выпишите основную систему уравнений для величин j
D ()
и j
в двухпотоковом приближении.
18. Чему равна полная плотность световой энергии j в консервативной среде 1 ? D 19. Чему равна величина j ; 0 на поверхности вещества в
консервативной среде? Следствием какого физического закона является это равенство? D D 20. Опишите качественно зависимость величин j () и j ()
при нормальном падении светового потока на поверхность вещестD ва 0 1 . Почему величина j () на поверхности вещества
равна нулю, а величина j
D
() на поверхности вещества имеет
наибольшее (по величине) значение? 21. Как полная плотность энергии на поверхности вещества 0; 0 1; зависит от вероятности выживания кванта? 22. Во сколько раз в консервативной среде плотность энергии диффузно рассеянных фотонов D 0; 0 1; 1 больше плотности энергии 0 I0 / c падающего излучения? 23. Опишите качественно зависимость полной плотности энергии ; 0 1; от оптической глубины. Как изменяется эта зависимость с увеличением коэффициента поглощения? 24. Дайте определение полного коэффициента отражения wотр . Какова размерность величины wотр ? Как связаны вели-
D ()
чины wотр и j
при произвольном падающем световом
потоке?
270
25. Как в двухпотоковом приближении коэффициент отражения wотр 0 , зависит от величин 0 и при облучении поверхности полубесконечной изотропно рассеивающей среды мононаправленным световым потоком под углом 0 arccos 0 ? 26. Каков физический смысл величины h 0 ; в формуле wотр ; 0 1 h 0 ; 1 для коэффициента отражения?
27. Что служит основанием рассматривать h 0 ; как некоторое приближенное выражение для H - функции Чандрасекара? 28. Как определить значение коэффициента отражения k -го поk рядка w ; из общей формулы для полного коэффициента
отражения
wотр ; 0 ? Каков физический смысл величины? Как 0
k величина w 0 ; зависит от вероятности выживания кванта ? 1 29. Что определяет отношение wотр 0 ; / w 0 ; ? Как
зависит это отношение от 0 в сильно 1 и слабо 1 1 поглощающих средах? Чему равно это отношение в консервативной среде при нормальном падении излучения на поверхность вещества 0 1 ? 30. Что указывает на неэффективность итерационной процедуры решения уравнения переноса в слабо поглощающих средах? 31. Дайте общее определение функции отражения S(| |; ) от полубесконечной среды. В чем особенность ФО от изотропно рассеивающей среды? 32. Как выражается ФО от полубесконечной изотропно рассеивающей среды S(| |; 0 ) через значение полной плотности энергии светового поля ( 0 ; ) ? 33. Что позволяет вычислить функцию отражения, которая зависит от угловых переменных | | и 0 , используя результаты двухпотокового приближения для средних энергетических характери-
271
стик светового поля, которые зависят от глубины и вообще не зависят от угловых переменных? 34. Как выглядит ФО за счет истинно однократного рассеяния 1 S ; в рамках двухпотокового приближения? Сколь ве-
0
лико её отличие от точного значения? 35. Как выражается приближенное значение для полной ФО че1 рез S и функции h 0; в рамках двухпотокового прибли-
жения? 36. Как выражается точное значение для полной ФО через S и функции Чандрасекара H 0; ? 37. Какие заключения можно сделать, сравнивая точное выражение для ФО от изотропно рассеивающей полубесконечной среды и значение для ФО, полученное с использованием двухпотокового приближения? 1
272
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература 1. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972. 2. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 3. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953. Дополнительная литература 1. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. М.: Наука, 1985. 2. Минин И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. М.: Наука, 1988. 3. Зеге Э.П., Иванов А.П., Кацев И.Л. Перенос изображения в рассеивающей среде. Минск: Наука и техника, 1985. 4. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М: Мир, 1969. 5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М: Физматгиз, 1963.
273
Ремизович Валерий Стефанович Кузовлев Александр Иванович
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСПРОСТРАНЕНИЯ СВЕТА В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ Часть 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕНСИВНОСТИ СВЕТА В МОДЕЛЬНЫХ СРЕДАХ Учебное пособие
Редактор Н.В. Шумакова Оригинал-макет изготовлен А.И. Кузовлевым Подписано в печать 10.12.2009. Формат 60х84 1/16 Печ. л. 17,25. Уч.-изд. л. 17,25. Тираж 100 экз. Изд. № 1/4/79. Заказ № 35 _______________________________________________________________________ Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское ш., 31 ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42
