. . , . . Ǒ
Ǒ
ó 1999
517.2 -2...
7 downloads
235 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
. . , . . Ǒ
Ǒ
ó 1999
517.2 -23 517.9
-23 ¨ à ® ¢ . ., Ǒ ® « ï ¨ . . ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©: ¯à ¢®ç¨ª. | .: ó ªâ®à¨ « , 1999. | 272 á. | ISBN 5-88688-043-7. ª¨£¥ ¨§« £ îâáï â®çë¥, ¯à¨¡«¨¥ë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ ¨ ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨ ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. Ǒ®¬¨¬® ª« áá¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢ ®¯¨á ë â ª¥ ¥ª®â®àë¥ ®¢ë¥ ¬¥â®¤ë. «ï «ãç襣® ¯®¨¬ ¨ï à áᬮâà¥ëå ¬¥â®¤®¢ ¢® ¢á¥å à §¤¥« å ª¨£¨ ¤ ë ¯à¨¬¥àë à¥è¥¨ï ª®ªà¥âëå ãà ¢¥¨©. Ǒਢ¥¤¥ë ¥ª®â®àë¥ â®çë¥ ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©, ¢áâà¥ç îé¨åáï ¢ ¯à¨«®¥¨ïå (¢ ¬¥å ¨ª¥ ¨ 䨧¨ª¥). ¯à ¢®ç¨ª ¯à¥¤ § ç¥ ¤«ï è¨à®ª®£® ªà㣠ãçëå à ¡®â¨ª®¢, ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥© ¢ã§®¢, ᯨà ⮢ ¨ áâ㤥⮢, á¯¥æ¨ «¨§¨àãîé¨åáï ¢ à §«¨çëå ®¡« áâïå ¯à¨ª« ¤®© ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨, 䨧¨ª¨, ⥮ਨ ã¯à ¢«¥¨ï ¨ ¨¥¥àëå ãª. ¨¡«¨®£à. 108 §¢.
¯à ¢®ç®¥ ¨§¤ ¨¥ «¥ªá ¤à « ¤¨¬¨à®¢¨ç Ǒ ¤à¥© ¬¨âਥ¢¨ç
Ǒ
®¬¯ìîâ¥à ï ¢¥àáâª
. . ã஢
®à¬ â 60 × 90/16. á«. ¯¥ç. «. 17. 㬠£ ®äá¥â ï N0 1. à¨âãà «¨â¥à âãà ï. Ǒ®¤¯¨á ® ª ¯¥ç ⨠05.05.1999. ¨à 600 íª§. ª § N0 829 . §¤ ⥫ìá⢮ ó ªâ®à¨ « , 117449, ®áª¢ , /ï 331; N0 063537 ®â 22.07.1994. ⯥ç â ® á £®â®¢ëå ¤¨ ¯®§¨â¨¢®¢ ¢ ǑǑǑ ó¨¯. ó 㪠121099, ®áª¢ , 㡨᪨© ¯¥à., 6.
ISBN 5-88688-043-7
. . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨, 1999
ó ªâ®à¨ « , ®ä®à¬«¥¨¥, 1999
£« ¢«¥¨¥
................................................ ...... 1.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1-1. ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1-2. âàãªâãà à¥è¥¨© «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . . . . 1.1-3. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1-4. ëç¥âë. ®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1-5. ¥¬¬ ®à¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®à¬ã« ®¡à 饨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2-2. ¡à 饨¥ à 樮 «ìëå äãªæ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2-3. ¥®à¥¬ ® ᢥà⪥ ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2-4. Ǒ।¥«ìë¥ â¥®à¥¬ë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2-5. á®¢ë¥ á¢®©á⢠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2-6. ®à¬ã« Ǒ®áâ {¨¤¤¥à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®à¬ã« ®¡à 饨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3-2. á®¢ë¥ á¢®©á⢠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3-3. ¢ï§ì ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¥««¨ , ¯« á ¨ ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®à¬ã« ®¡à 饨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4-2. ¥á¨¬¬¥âà¨ç ï ä®à¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4-3. «ìâ¥à ⨢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4-4. ¥®à¥¬ ® ᢥà⪥ ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. ¨ãá- ¨ ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5-1. ®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5-2. ¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. à㣨¥ ¨â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6-1. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ª¥«ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6-2. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥©¥à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6-3. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ®â®à®¢¨ç {¥¡¥¤¥¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6-4. Y -¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¨ ¤à㣨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï .................... Rx (x, t)y(t) dt = f (x) . . . K a 2.1. à ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1-1. âàãªâãà ãà ¢¥¨©. « ááë äãªæ¨© ¨ 拉à . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1-2. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì à¥è¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬: K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t) . 2.2-1. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬ K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + g2 (x)h2 (t) . . . . . . . . . . . . 2.2-2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ®¡é¥£® ¢¨¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. C¢¥¤¥¨¥ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ª ãà ¢¥¨ï¬ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3-1. Ǒ¥à¢ë© ᯮᮡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3-2. â®à®© ᯮᮡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬: K (x, t) = K (x − t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4-1. ¥â®¤ à¥è¥¨ï, ®á®¢ ë© ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¯« á . . . . . . . . . . . 2.4-2. «ãç © à 樮 «ì®£® ®¡à § à¥è¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4-3. Ǒ।áâ ¢«¥¨¥ à¥è¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4-4. ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4-5. ¢¥¤¥¨¥ ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ . . . . . . . . . 2.4-6. ¢ï§ì ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¨ ¨¥à {®¯ä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ǒ।¨á«®¢¨¥
9
1. á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
10
10 10 11 12 12 13 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 20 20 20 21 21 21 22 22 22
2. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
25 25 26 26 26 27 28 28 28 29 29 30 30 31 32 33
25
âà ¨æ 3
4
£« ¢«¥¨¥
2.5. ¥â®¤ ¤à®¡®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤à®¡ëå ¨â¥£à «®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5-2. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤à®¡ëå ¯à®¨§¢®¤ëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5-3. á®¢ë¥ á¢®©á⢠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5-4. ¥è¥¨¥ ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. à ¢¥¨ï á ï¤à ¬¨, ¨¬¥î騬¨ á« ¡ãî ®á®¡¥®áâì . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6-1. ¥â®¤ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ï¤à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6-2. ¤à® á «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ®á®¡¥®áâìî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7-1. ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7-2. ¡é ï á奬 ¬¥â®¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7-3. «£®à¨â¬ ®á®¢¥ ä®à¬ã«ë âà ¯¥æ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7-4. «£®à¨â¬ ¤«ï ãà ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. à ¢¥¨ï á ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8-1. à ¢¥¨¥ á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï . . . . . . . . 2.8-2. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . R 3. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y(x) −
x a
K(x, t)y(t) dt = f (x)
3.1. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1-1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï. à ¢¥¨ï ¤«ï १®«ì¢¥âë . . . . . . . . . . . 3.1-2. ¢ï§ì ¬¥¤ã à¥è¥¨ï¬¨ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬: K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t) . 3.2-1. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬ K (x, t) = ϕ(x) + ψ(x)(x − t) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2-2. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬ K (x, t) = ϕP(tn) + ψ(t)(t − x) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2-3. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬ K (x, t) = P mn =1 ϕm (x)(x − t)m−1 . . . . . . . . . . . 3.2-4. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬ K (x, t) = =1 ϕm (t)(t − x)m−1 . . . . . . . . . . . 3.2-5. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬m®¡é¥£® ¢¨¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬: K (x, t) = K (x − t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3-1. ¥â®¤ à¥è¥¨ï, ®á®¢ ë© ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¯« á . . . . . . . . . . . 3.3-2. ¥â®¤, ®á®¢ ë© à¥è¥¨¨ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . 3.3-3. ¢¥¤¥¨¥ ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ . . . . . . . . . 3.3-4. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . 3.3-5. ¥â®¤ ¤à®¡®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï . . . . . . . . . . . . . 3.3-6. ¨áâ¥¬ë ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. ¯¥à â®àë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . 3.4-1. ᯮ«ì§®¢ ¨¥ à¥è¥¨ï ó㪮à®ç¥®£® ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . 3.4-2. ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . 3.4-3. ¥â®¤ à¥è¥¨ï óª¢ ¤à âëå ®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . . . . 3.4-4. ¥è¥¨¥ ®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨© ¯®«¨®¬¨ «ì®£® ¢¨¤ . . . . . . . . . . . 3.4-5. ¥ª®â®àë¥ ®¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Ǒ®áâ஥¨¥ à¥è¥¨© ãà ¢¥¨© á® á¯¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî . . . . . . . . . . . 3.5-1. ¡é ï á奬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5-2. Ǒ®à®¤ îé ï äãªæ¨ï íªá¯®¥æ¨ «ì®£® ¢¨¤ . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5-3. Ǒ®à®¤ îé ï äãªæ¨ï á⥯¥®£® ¢¨¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5-4. Ǒ®à®¤ îé ï äãªæ¨ï, ᮤ¥à é ï á¨ãáë ¨«¨ ª®á¨ãáë . . . . . . . . . 3.6. ¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6-1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6-2. ¯¨á ¨¥ ¬¥â®¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6-3. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç á⨠. . . . . . . . . . . 3.6-4. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï á⥯¥®© ¯à ¢®© ç á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . 3.6-5. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯à ¢®© ç á⨠. . . . . . . . . . . . 3.6-6. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï ª®á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯à ¢®© ç á⨠. . . . . . . . . . . 3.6-7. ¥ª®â®àë¥ ®¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. ¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7-1. ¤à® ᮤ¥à¨â á㬬ã íªá¯®¥â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7-2. ¤à® ᮤ¥à¨â á㬬㠣¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨å äãªæ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7-3. ¤à® ᮤ¥à¨â á㬬ã âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãªæ¨© . . . . . . . . . . . . . . 3.7-4. ¤à® ᮤ¥à¨â ª®¬¡¨ 樨 à §«¨çëå äãªæ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 33 34 35 35 36 36 37 38 38 39 40 40 41 41 42 43
43 43 44 44 44 45 46 46 47 48 48 50 50 51 51 53 53 53 54 56 57 58 58 58 59 61 62 63 63 64 64 66 67 67 67 68 68 69 70 71
âà ¨æ 4
£« ¢«¥¨¥
3.8. ¢¥¤¥¨¥ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ª ãà ¢¥¨ï¬ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8-1. Ǒ¥à¢ë© ᯮᮡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8-2. â®à®© ᯮᮡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9-1. ¡é ï á奬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9-2. ®à¬ã« ¤«ï १®«ì¢¥âë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10-1. ¡é ï á奬 ¬¥â®¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10-2. Ǒਬ¥¥¨¥ ä®à¬ã«ë âà ¯¥æ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10-3. «ãç © ¢ëத¥®£® ï¤à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11. à ¢¥¨ï á ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11-1. «ãç © ¯¥à¥¬¥®£® ¨¥£® ¯à¥¤¥« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï . . . . . . . . . . . . 3.11-2. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . Rb K(x, t)y(t) dt = f (x) . . . a 4.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1-1. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . . . 4.1-2. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî . . . . . . 4.1-3. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1-4. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. ¥â®¤ ३ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2-1. ᮢ®¥ ¨ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2-2. ¥è¥¨¥ ®á®¢®£® ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3-1. à ¢¥¨¥ à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢á¥© ®á¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3-2. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬ K (x, t) = K (x/t) ¯®«ã®á¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3-3. à ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ K (x, t) = K (xt) ¨ ¥£® ®¡®¡é¥¨ï . . . . . . . . . . . . . 4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4-1. ¢ï§ì ¨â¥£à « ãàì¥ á ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4-2. ¤®áâ®à®¨¥ ¨â¥£à «ë ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4-3. ¥®à¥¬ ®¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ⥮६ ¨ã¢¨««ï . . . . . . . . 4.4-4. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4-5. ¤ ç ¨¬ á à 樮 «ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4-6. ᪫îç¨â¥«ìë¥ á«ãç ¨. ¤®à®¤ ï § ¤ ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4-7. ᪫îç¨â¥«ìë¥ á«ãç ¨. ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . 4.5-1. à ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5-2. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨ ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . 4.6. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6-1. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ãà ¢¥¨ï á à §®áâ묨 ï¤à ¬¨ . . . . . . . . . . . . 4.6-2. ®çë¥ à¥è¥¨ï ¥ª®â®àëå ¯ àëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . 4.6-3. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ¯ àëå ãà ¢¥¨© ª ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬ . . . . . . . . . . . 4.7. ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© á «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ®á®¡¥®áâìî 4.7-1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7-2. ¥è¥¨¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å § 票ïå å à ªâ¥à®£® ¯ à ¬¥âà . . . . . . . . . . 4.7-3. ¥è¥¨¥ ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå å à ªâ¥à®£® ¯ à ¬¥âà . . . . . . . . . . . . 4.7-4. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ⥮ਨ ã¯à㣮á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. ¥â®¤ë ॣã«ïਧ 樨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8-1. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¢à¥â쥢 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8-2. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¨å®®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
5. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
R y(x) − ab K(x, t)y(t) dt = f (x)
5.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1-1. à ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¨ ãà ¢¥¨ï á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî . . . . . . . . 5.1-2. âàãªâãà à¥è¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1-3. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . . 5.1-4. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
71 72 72 72 72 73 74 74 75 75 75 76 77 78
78 78 78 79 80 80 80 81 82 82 82 82 83 84 85 86 87 93 94 96 99 99 99 102 102 104 105 109 109 109 110 112 112 112 113 114
114 114 115 115 115
âà ¨æ 5
6
£« ¢«¥¨¥
5.2. à ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ . . . . . . . . . . . . . 5.2-1. Ǒà®á⥩襥 ¢ëத¥®¥ ï¤à® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2-2. ëத¥®¥ ï¤à® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. ¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ ¯ à ¬¥âà . ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3-1. â¥à¨à®¢ ë¥ ï¤à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3-2. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3-3. Ǒ®áâ஥¨¥ १®«ì¢¥âë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3-4. à⮣® «ìë¥ ï¤à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. ¥â®¤ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ।£®«ì¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4-1. ®à¬ã« ¤«ï १®«ì¢¥âë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4-2. ¥ªãàà¥âë¥ á®®â®è¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. ¥®à¥¬ë ¨ «ìâ¥à ⨢ ।£®«ì¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5-1. ¥®à¥¬ë ।£®«ì¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5-2. «ìâ¥à ⨢ ।£®«ì¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த á ᨬ¬¥âà¨ç묨 ï¤à ¬¨ . 5.6-1. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . 5.6-2. ¨«¨¥©ë© àï¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6-3. ¥®à¥¬ ¨«ì¡¥àâ {¬¨¤â . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6-4. ¨«¨¥©ë¥ àï¤ë ¨â¥à¨à®¢ ëå 拉à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6-5. ¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6-6. «ìâ¥à ⨢ ।£®«ì¬ ¤«ï ᨬ¬¥âà¨çëå ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . . . 5.6-7. ¥§®«ì¢¥â ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6-8. ªáâ६ «ìë¥ á¢®©á⢠å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« . . . . . . . . . . . . . . . 5.6-9. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, ¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ª ᨬ¬¥âà¨çë¬ . . . . . . . . . . . 5.6-10. ®á®á¨¬¬¥âà¨ç®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. ¯¥à â®àë© ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த . . . . . . . 5.7-1. Ǒà®á⥩è ï á奬 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7-2. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த ¯®«ã®á¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ ¬¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© . . . . . . . . 5.8-1. à ¢¥¨¥ á à §®áâë¬ ï¤à®¬− 1 ¢á¥© ®á¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8-2. à ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ K (x, t) = t Q(x/t) ¯®«ã®á¨ . . . . . . . . . . . . . . 5.8-3. à ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ K (x, t) = tβ Q(xt) ¯®«ã®á¨ . . . . . . . . . . . . . . . 5.8-4. ¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© ¤«ï ãà ¢¥¨© ¢á¥© ®á¨ . . . . . . . . . . . . 5.9. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த . . . 5.9-1. à ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9-2. â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨ . . . . . . . . . . . . . 5.9-3. à ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï . . . . . 5.9-4. Ǒ ஥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. ¥â®¤ ¨¥à {®¯ä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10-1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10-2. ¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . 5.10-3. ¡é ï á奬 ¬¥â®¤ . Ǒ஡«¥¬ ä ªâ®à¨§ 樨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10-4. ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . 5.10-5. ᪫îç¨â¥«ìë© á«ãç © ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த . . . . . 5.11. ¥â®¤ ३ ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11-1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï. Ǒ஡«¥¬ ä ªâ®à¨§ 樨 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11-2. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11-3. ®à¬ã« ®¯ä {®ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ª®¥ç®¬ ®â१ª¥ . . . . . 5.12-1. ¥â®¤ ३ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12-2. ¤à á à 樮 «ì묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ãàì¥ . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12-3. ¢¥¤¥¨¥ ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ . . . . . . . . 5.13. ¥â®¤ § ¬¥ë ï¤à ¢ëத¥ë¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13-1. ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ï¤à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13-2. Ǒਡ«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116 116 117 120 120 120 121 122 123 123 124 125 125 125 125 125 127 128 128 129 130 130 131 131 132 132 132 132 133 133 135 136 137 137 137 141 146 148 149 149 151 154 156 157 158 158 159 161 162 162 163 164 166 166 167
âà ¨æ 6
£« ¢«¥¨¥
5.14. ¥â®¤ ¥©â¬¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14-1. ¡é ï á奬 ¬¥â®¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14-2. ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ á«ãç ¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. ¥â®¤ ª®««®ª 樨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15-1. ¡é¨¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15-2. Ǒਡ«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15-3. ®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16. ¥â®¤ ¨¬¥ìè¨å ª¢ ¤à ⮢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16-1. ¯¨á ¨¥ ¬¥â®¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16-2. Ǒ®áâ஥¨¥ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17. ¥â®¤ ã¡®¢ { «¥àª¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17-1. ¯¨á ¨¥ ¬¥â®¤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.17-2. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18-1. ¡é ï á奬 ¤«ï ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . 5.18-2. Ǒ®áâ஥¨¥ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18-3. ᮡ¥®á⨠¯à¨¬¥¥¨ï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« . . . . . . . . . . . . . . . . 5.19. ¨áâ¥¬ë ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . . 5.19-1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.19-2. ¥â®¤ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ¢ ®¤® ãà ¢¥¨¥ . . . . . . . 5.20. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¥ª®â®àëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த . . . . . . . . . . . 5.20-1. ᮢ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ â¥®à¥¬ë ¥â¥à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20-2. ¥£ã«ïਧãî騥 ®¯¥à â®àë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.20-3. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... 6.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1-1. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . 6.1-2. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ . . . . . . . . . . 6.2. â¥£à « ⨯ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2-2. á«®¢¨¥ ñ«ì¤¥à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2-3. « ¢®¥ § 票¥ ᨣã«ïண® ¨â¥£à « . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2-4. ®£®§ çë¥ äãªæ¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2-5. « ¢®¥ § 票¥ ᨣã«ïண® ªà¨¢®«¨¥©®£® ¨â¥£à « . . . . . . . . . . 6.2-6. ®à¬ã« ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ Ǒã ª à¥{¥àâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-1. ¥®à¥¬ ®¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ⥮६ ¨ã¢¨««ï . . . . . . . . 6.3-2. â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¯®«¨®¬ ନâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-3. Ǒ®ï⨥ ¨¤¥ªá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-4. Ǒ®áâ ®¢ª § ¤ ç¨ ¨¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-5. ¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-6. ¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-7. ¤ ç ¨¬ á à 樮 «ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-8. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-9. ᪫îç¨â¥«ìë¥ á«ãç ¨ § ¤ ç¨ ¨¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-10. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¬®£®á¢ï§®© ®¡« á⨠. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3-11. «ãç ¨ à §àë¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¨ à §®¬ªãâëå ª®âã஢ . . . . . . . . 6.3-12. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨«ì¡¥àâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. ¨£ã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4-1. Ǒà®á⥩襥 ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4-2. à ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4-3. à ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ª®¥ç®¬ ®â१ª¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4-4. ¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ï¤à®¬ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4-5. à ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. ¥â®¤ ã«ì⮯¯ { « ¤¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5-1. ¥è¥¨¥, ¥ ®£à ¨ç¥®¥ ª®æ å ®â१ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5-2. ¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ®¤®¬ ª®æ¥ ®â१ª . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5-3. ¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ®¡®¨å ª®æ å ®â१ª . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
7
168 168 169 171 171 172 173 174 174 175 176 176 176 178 178 179 179 180 180 181 181 181 182 183 185
185 185 185 186 186 187 187 189 190 192 192 192 194 194 196 198 199 201 204 206 210 213 213 214 214 214 215 216 217 218 218 220 221
âà ¨æ 7
8
........ 7.1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1-1. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1-2. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1-3. ¡ ãà ¢¥¨ïå ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ª®âãॠ. . . . . . . . . . . . . . 7.2. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2-1. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2-2. à ¢¥¨¥, á®î§®¥ á å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2-3. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ . . . . . . . . . . . . . 7.2-4. ᪫îç¨â¥«ìë© á«ãç © å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï . . . . . . . . . . . 7.2-5. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2-6. à ¢¥¨¥ ਪ®¬¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Ǒ®«ë¥ ᨣã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, à §à¥è ¥¬ë¥ ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥ 7.3-1. ¬ªã⮥ à¥è¥¨¥ ¯à¨ ¯®áâ®ïëå ª®íää¨æ¨¥â å . . . . . . . . . . . . . . 7.3-2. ¬ªã⮥ à¥è¥¨¥ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© . . . . 7.4-1. ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠ᨣã«ïàëå ®¯¥à â®à®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4-2. ¥£ã«ïਧãî騩 ®¯¥à â®à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4-3. ¯®á®¡ë ॣã«ïਧ 樨 á«¥¢ ¨ á¯à ¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4-4. Ǒ஡«¥¬ à ¢®á¨«ì®© ॣã«ïਧ 樨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4-5. ¥®à¥¬ë ñâ¥à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4-6. ¯®á®¡ ॣã«ïਧ 樨 à«¥¬ {¥ªã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4-7. ¥£ã«ïਧ æ¨ï ¢ ¨áª«îç¨â¥«ìëå á«ãç ïå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4-8. Ǒ®«®¥ ãà ¢¥¨¥ ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... 8.1. ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ § ¬¥ç ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1-1. ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1-2. ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï . . . . 8.2. ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2-1. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2-2. ¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . . . . . . 8.2-3. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2-4. ¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2-5. ¥â®¤ ª®««®ª 樨 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2-6. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. à ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3-1. ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬¨ ï¤à ¬¨ . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3-2. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3-3. ¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© . . . . . . . . . . . . . . 8.3-4. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3-5. ¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3-6. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3-7. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¨å®®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................
7. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
222 222 223 224 226 226 229 230 232 234 234 235 235 236 238 238 240 241 242 243 244 246 246
222
8. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
250 250 251 252 252 253 254 256 258 258 260 260 262 263 264 264 267 267
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
269
250
âà ¨æ 8
Ǒ।¨á«®¢¨¥
9
Ǒ
â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢áâà¥ç îâáï ¢ à §«¨çëå ®¡« áâïå 㪨 ¨ ¬®£®ç¨á«¥ëå ¯à¨«®¥¨ïå (¢ ⥮ਨ ã¯à㣮áâ¨, ⥮ਨ ¯« áâ¨ç®áâ¨, £¨¤à®¤¨ ¬¨ª¥, ⥮ਨ ¬ áá®- ¨ ⥯«®¯¥à¥®á , ⥮ਨ ã¯à ¢«¥¨ï, 娬¨ç¥áª®© â¥å®«®£¨¨, ¡¨®¬¥å ¨ª¥, ⥮ਨ ¬ áᮢ®£® ®¡á«ã¨¢ ¨ï, íª®®¬¨ª¥, ¬¥¤¨æ¨¥ ¨ ¤à.). ª¨£¥ ¨§« £ îâáï â®çë¥, ¯à¨¡«¨¥ë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ ¨ ç¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨ ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. Ǒ®¬¨¬® ª« áá¨ç¥áª¨å ¬¥â®¤®¢ ®¯¨á ë â ª¥ ¥ª®â®àë¥ ®¢ë¥ ¬¥â®¤ë. Ǒਠ®â¡®à¥ ¬ â¥à¨ « ¢â®àë ®â¤ ¢ «¨ ¡¥§ãá«®¢®¥ ¯à¥¤¯®ç⥨¥ ¯à ªâ¨ç¥áª®© áâ®à®¥ ¢®¯à®á (ª®áâàãªâ¨¢ë¬ ¬¥â®¤ ¬, ¯®§¢®«ïî騬 íä䥪⨢® óáâநâì à¥è¥¨ï). «ï «ãç襣® ¯®¨¬ ¨ï à áᬮâà¥ëå ¬¥â®¤®¢ ¢® ¢á¥å à §¤¥« å ª¨£¨ ¤ ë ¯à¨¬¥àë à¥è¥¨ï ª®ªà¥âëå ãà ¢¥¨©. Ǒਢ¥¤¥ë ¥ª®â®àë¥ â®çë¥ ¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©, ¢áâà¥ç îé¨åáï ¢ ¯à¨«®¥¨ïå (¢ ¬¥å ¨ª¥ ¨ 䨧¨ª¥). «ï 㤮¡á⢠è¨à®ª®£® ªà㣠¯®â¥æ¨ «ìëå ç¨â ⥫¥© á à §®© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¯®¤£®â®¢ª®© ¢â®àë ¯® ¢®§¬®®á⨠áâ à «¨áì ¨§¡¥£ âì ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï á¯¥æ¨ «ì®© â¥à¬¨®«®£¨¨. Ǒ®í⮬㠥ª®â®àë¥ ¬¥â®¤ë ¨§« £ îâáï á奬 â¨ç¥áª¨ ¨ ã¯à®é¥® (á ¥®¡å®¤¨¬ë¬¨ áá뫪 ¬¨ ª¨£¨, ¢ ª®â®àëå í⨠¬¥â®¤ë à áᬮâà¥ë ¡®«¥¥ ¤¥â «ì®). ᯮ«®¥¨¥ ãà ¢¥¨© ¢ãâਠ¢á¥å à §¤¥«®¢ ®â¢¥ç ¥â ¯à¨æ¨¯ã ó®â ¯à®á⮣® ª á«®®¬ã . â® áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ®¡«¥£ç ¥â à ¡®âã á ¬ â¥à¨ «®¬. ®£¨¥ à §¤¥«ë ª¨£¨ ¬®£ãâ ç¨â âìáï ¥§ ¢¨á¨¬® ¤à㣠®â ¤à㣠, çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¡ëáâà® ¢¨ª âì ¢ áãâì ¢®¯à®á . ®áâ â®ç® ¯®¤à®¡®¥ ®£« ¢«¥¨¥ ¯®¬®¥â ç¨â ⥫î 室¨âì ¨áª®¬ãî ¨ä®à¬ æ¨î. ⤥«ìë¥ à §¤¥«ë ª¨£¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ë ¢ ª ç¥á⢥ ®á®¢ë ¤«ï á¯¥æ¨ «ìëå ªãàᮢ ¯® ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¨ ãà ¢¥¨ï¬ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ¤«ï áâ㤥⮢ ¨ ᯨà ⮢ 㨢¥àá¨â¥â®¢ ¨ â¥å¨ç¥áª¨å ¢ã§®¢. ¢â®àë ¤¥îâáï, çâ® á¯à ¢®ç¨ª ®ª ¥âáï ¯®«¥§ë¬ ¤«ï è¨à®ª®£® ªà㣠ãçëå à ¡®â¨ª®¢, ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥© ¢ã§®¢, ¨¥¥à®¢ ¨ áâ㤥⮢, á¯¥æ¨ «¨§¨àãîé¨åáï ¢ à §«¨çëå ®¡« áâïå ¯à¨ª« ¤®© ¬ ⥬ ⨪¨, ¬¥å ¨ª¨, 䨧¨ª¨, ⥮ਨ ã¯à ¢«¥¨ï ¨ íª®®¬¨ª¥. . . ¨à®¢ . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 9
1. á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï 1.1. ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, § ¬¥ç ¨ï ¨ ä®à¬ã«ë 1.1-1. ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï
ãªæ¨ï f (x) §ë¢ ¥âáï ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬®© (ª¢ ¤à â¨ç® á㬬¨à㥬®©, ¨â¥£à¨à㥬®© á ª¢ ¤à ⮬) ®â१ª¥ [a, b℄, ¥á«¨ f 2 (x) ¨â¥£à¨à㥬 [a, b℄. ®¢®ªã¯®áâì ¢á¥å ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬ëå [a, b℄ äãªæ¨© ®¡®§ ç îâ L2 (a, b) ¨«¨ ª®à®âª® L2 *. ®¢®ªã¯®áâì ¢á¥å ¨â¥£à¨à㥬ëå [a, b℄ äãªæ¨© ®¡ëç® ®¡®§ ç îâ L1 (a, b) ¨«¨ ª®à®âª® L1 . á®¢ë¥ á¢®©á⢠äãªæ¨© ¨§ L2 :
1◦ . 㬬 ¤¢ãå ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬ëå äãªæ¨© ¥áâì ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬 ï äãªæ¨ï. 2◦ .
Ǒந§¢¥¤¥¨¥ ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬®© äãªæ¨¨ ª®áâ âã ¥áâì ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬 ï äãªæ¨ï.
3◦ .
Ǒந§¢¥¤¥¨¥ ¤¢ãå ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬ëå äãªæ¨© ¥áâì ¨â¥£à¨à㥬 ï äãªæ¨ï.
4◦ .
᫨ f (x) ∈ L2 ¨ g (x) ∈ L2 , â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢮ ã类¢áª®£® | ¢ àæ : (f, g )2 6 kf k2 kgk2 ,
(f, g ) =
Z
b a
f (x)g (x) dx,
kf k2
= (f, f ) =
Z
b a
f 2 (x) dx.
¨á«® (f, g ) §ë¢ ¥âáï ᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ äãªæ¨© f (x) ¨ g (x), ç¨á«® kf k | ®à¬®© äãªæ¨¨ f (x) ¢ L2 .
5◦ .
«ï f (x) ∈ L2 ¨ g (x) ∈ L2 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¥à ¢¥á⢮ âà¥ã£®«ì¨ª :
kf
+ gk 6 kf k + kgk.
Ǒãáâì äãªæ¨¨ f (x) ¨ f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x), . . . ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨àã¥¬ë ®â१ª¥ [a, b℄.
᫨
6◦ .
lim n→∞
Z
a
b
fn (x) − f (x)
2
dx = 0,
â® £®¢®àïâ, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì äãªæ¨© f1 (x), f2 (x), . . . á室¨âáï ¢ á।¥¬ ª¢ ¤à â¨ç®¬ ª äãªæ¨¨ f (x).
᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì äãªæ¨© {fn (x)} ¨§ L2 á室¨âáï à ¢®¬¥à® ª f (x), â® f (x) ∈ L2 ¨ {fn (x)} á室¨âáï ª f (x) ¢ á।¥¬. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¢¢®¤¨âáï ¯®ï⨥ ¨â¥£à¨à㥬®© (á㬬¨à㥬®©) äãªæ¨¨ ¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥ëå. ¯à¨¬¥à, äãªæ¨ï f (x, t) §ë¢ ¥âáï ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬®© ¢ ®¡« á⨠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}, ¥á«¨ f (x, t) ¨§¬¥à¨¬ ¨
kf k2 ≡
Z
b
a
Z
b
a
f 2 (x, t) dx dt < +∞.
¤¥áì, ª ª ¨ à ¥¥ kf k ®¡®§ ç ¥â ®à¬ã äãªæ¨¨ f (x, t).
* ®¡é¥¬ á«ãç ¥ à áᬠâਢ îâáï ¨§¬¥à¨¬ë¥ äãªæ¨¨ ¨ ¨â¥£à « ¥¡¥£ . ª ®¡ëç®, íª¢¨¢ «¥âë¥ äãªæ¨¨ (â. ¥. à ¢ë¥ ¯®ç⨠¢áî¤ã ¨«¨ ®â«¨ç î騥áï ¬®¥á⢥ ¬¥àë ã«ì) áç¨â îâáï ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¥ í«¥¬¥â®¬ L2 .
âà ¨æ 10
11
1.1. ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, § ¬¥ç ¨ï ¨ ä®à¬ã«ë
1.1-2. âàãªâãà à¥è¥¨© «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
¨¬¥¥â ¢¨¤
βy (x) +
Z
£¤¥ y (x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï.
x a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
(1)
¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
¨¬¥¥â ¢¨¤
βy (x) + Ǒਠβ
= 0,
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x).
(2)
ãà ¢¥¨ï (1) ¨ (2) §ë¢ îâáï «¨¥©ë¬¨ ¨â¥£à «ì묨 6 0 | «¨¥©ë¬¨ ¨â¥£à «ì묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯à¨ β =
ãà ¢¥¨ï¬¨ ¯¥à¢®£® த ,
¢â®à®£® த .
à ¢¥¨ï ¢¨¤ (1) ¨ (2) ¯à¨ á¯¥æ¨ «ìëå ãá«®¢¨ïå, ª« ¤ë¢ ¥¬ëå ¨å ï¤à ¨ ¯à ¢ë¥ ç áâ¨, ®¡à §ãîâ à §«¨çë¥ ª« ááë ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© (ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà , ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ , ãà ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ ¨ ¤à.), ª®â®àë¥ ¯®¤à®¡® à áᬮâà¥ë ¢ £« ¢ å 2{7. à拉 á«ãç ¥¢, ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¯¥à â®àãî ä®à¬ã § ¯¨á¨ «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© (1) ¨ (2):
L [y ℄
= f (x).
(3)
¨¥©ë© ®¯¥à â®à L ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨:
L [y1 + y2 ℄ = L [y1 ℄ + L [y2 ℄, L [σy ℄ = σ L [y ℄, σ = onst . Ǒਠf (x) ≡ 0 «¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï §ë¢ îâáï ®¤®à®¤ë¬¨ , ¯à¨ f (x) 6≡ 0 | ¥®¤®à®¤ë¬¨.
î¡®¥ «¨¥©®¥ ®¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ y ≡ 0.
᫨ y1 = y1 (x) ¨ y2 = y2 (x) | ç áâë¥ à¥è¥¨ï «¨¥©®£® ®¤®à®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, â® ¨å «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï 1 y1 + C2 y2 á ¯à®¨§¢®«ì묨 ¯®áâ®ï묨 C1 , C2 â ª¥ ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ ¤ ®£® ãà ¢¥¨ï (¢ 䨧¨ç¥áª¨å § ¤ ç å í⮠᢮©á⢮ §ë¢ îâ ¯à¨æ¨¯®¬ «¨¥©®© á㯥௮§¨æ¨¨). ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ «¨¥©®£® ¥®¤®à®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (3) à ¢® á㬬¥ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï Y = Y (x) ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï = y(x) ¤ ®£® ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï L [Y ℄ = 0 ¨ «î¡®£® ç á⮣® à¥è¥¨ï y L [ y ℄ = f (x): y = Y + y. (4)
᫨ ®¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥
Y ≡ 0, â® à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¡ã¤¥â ¥¤¨á⢥-
ë¬ (¥á«¨ ®® áãé¥áâ¢ã¥â). Ǒãáâì y 1 ¨ y2 | à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¥®¤®à®¤ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ «¥¢ë¬¨ ¨ à §ë¬¨ ¯à ¢ë¬¨ ç áâﬨ: L [ y1 ℄ = f1 (x) ¨ L [ y2 ℄ = f2 (x). = y1 + y2 ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï L [y℄ = f1 (x) + f2 (x). ®£¤ äãªæ¨ï y Ǒ८¡à §®¢ ¨¥
x = g (z ),
t = g (τ ),
y (x) = ϕ(z )w(z ) + ψ (z ),
£¤¥ g (z ), ϕ(z ), ψ (z ) | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¥¯à¥àë¢ë¥ äãªæ¨¨
(
gz′
6=
(5)
0), ¯à¨¢®¤¨â
âà ¨æ 11
12
á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
ãà ¢¥¨ï (1) ¨ (2) ª «¨¥©ë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ⮣® ¥ ¢¨¤ ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ w = w(z ). ª¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤«ï ¯®áâ஥¨ï â®çëå à¥è¥¨© «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. 1.1-3. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤
f~ (λ) =
Z
b
ϕ(x, λ)f (x) dx.
a
~ (λ) | ¨§®¡à ¥¨¥¬ (¨«¨ ®¡à §®¬) äãªãªæ¨ï f (x) §ë¢ ¥âáï ®à¨£¨ «®¬, f 樨 f (x), ϕ(x, λ) | ï¤à®¬ ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. Ǒ।¥«ë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï a ¨ b | ¤¥©á⢨⥫ìë¥ (ª ª ¯à ¢¨«® a = 0, b = ∞ ¨«¨ a = −∞, b = ∞). à §¤. 1.2{1.6 ®¯¨á ë ¨¡®«¥¥ à á¯à®áâà ¥ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ( ¯« á , ¥««¨ , ãàì¥ ¨ ¤à.), ª®â®àë¥ ¢áâà¥ç îâáï ¢ í⮩ ª¨£¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ª®ªà¥âëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. íâ¨å ¥ à §¤¥« å ¤ ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ä®à¬ã«ë ¤«ï ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤ f (x) =
Z
L
ψ (x, λ)f~ (λ) dλ
~ (λ) ¢®ááâ ®¢¨âì ®à¨£¨ « f (x). ®âãà ¨ ¯®§¢®«ïîâ ¯® § ¤ ®¬ã ¨§®¡à ¥¨î f ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï L ¯à¨ í⮬ ¬®¥â ¯à®å®¤¨âì ª ª ¯® ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, â ª ¨ ¯® ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®áâ¨. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤«ï à¥è¥¨ï à §«¨çëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. à¨á. 1 ¯à¨¢¥¤¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ì ï á奬 à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© (¢ á«ãç ¥, ¯à¨¢¥¤¥®¬ á奬¥, ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ¯®¤å®¤ï饣® ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì «¨¥©®¥ «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® ~ (λ)). ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® ¨§®¡à ¥¨ï f ® ¬®£¨å á«ãç ïå ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ®¯à¥¤¥«¥ëå ¨â¥£à «®¢, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯« á , ¥««¨ ¨ ãàì¥, ¨á¯®«ì§ãîâ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®, ¢ª«îç ï ⥮६㠮 ¢ëç¥â å ¨ «¥¬¬ã ®à¤ , ª®â®àë¥ ¨§« £ îâáï ¨¥ ¢ ¯¯. 1.1-4 ¨ 1.1-5. 1.1-4. ëç¥âë. ®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨©
ëç¥â®¬ äãªæ¨¨ f (z ) ¢ ¨§®«¨à®¢ ®© ®á®¡®© â®çª¥ z ¯«®áª®á⨠z §ë¢ ¥âáï ç¨á«®
res f (z ) = 1 z =a
2πi
Z
cε
f (z ) dz,
i2
=
a ª®¬¯«¥ªá®©
= −1,
£¤¥ cε | ®ªàã®áâì ¤®áâ â®ç® ¬ «®£® à ¤¨ãá ε, ª®â®à ï ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ |z − a| = ε.
᫨ â®çª z = a ¥áâì ¯®«îá n-£® ¯®à浪 * äãªæ¨¨ f (z ), â®
res f (z ) =
z =a
1 lim (n − 1)! z→a
dn−1 (z − a)n f (z ) . dxn−1
= 1, ®âáî¤ ¨¬¥¥¬ res f (z ) = z→a lim (z − a)f (z ) . z =a
«ï ¯à®á⮣® ¯®«îá , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â n
* ®ªà¥áâ®á⨠í⮩ â®çª¨ f (z) ≈ onst (z − a)−n .
âà ¨æ 12
13
1.1. ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, § ¬¥ç ¨ï ¨ ä®à¬ã«ë
¨á. 1. Ǒà¨æ¨¯¨ «ì ï á奬 à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ϕ(z ) , ¯à¨ç¥¬ ϕ(a) 6= 0, ψ (z ) ¨¬¥¥â ¢ â®çª¥ z ψ(z ) ¯®à浪 , â. ¥. ψ (a) = 0, ψz′ (a) 6= 0, â®
᫨ f (z ) =
res f (z ) =
z =a
= a ã«ì ¯¥à¢®£®
ϕ(a) . ψz′ (a)
1.1-5. ¥¬¬ ®à¤
᫨ äãªæ¨ï f (z ) ¥¯à¥àë¢ ¢ ®¡« á⨠|z| > R0 , Im z > α (α | 䨪á¨à®¢ ®¥ ¤¥©á⢨⥫쮥 ç¨á«®) ¨ lim f (z ) = 0, â® ¤«ï «î¡®£® λ > 0 ¢ë¯®«ï¥âáï z→∞ ¯à¥¤¥«ì®¥ à ¢¥á⢮ Z
lim
R→∞
CR
eiλz f (z ) dz
= 0,
âà ¨æ 13
14
á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
£¤¥ CR | ¤ã£ ®ªàã®á⨠|z|
= R, «¥ é ï ¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ®¡« áâ¨.
• : . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . ¢¥è¨ª®¢, . . ¨å®®¢ (1970). ¨â¥à âãà
1.2. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á 1.2-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®à¬ã« ®¡à 饨ï
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á
¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© (ª®¬¯«¥ªá®§ 箩) äãªæ¨¨
f (x) ¤¥©á⢨⥫쮣® ¯¥à¥¬¥®£® x (x > 0) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: Z ∞ f~ (p) = e−px f (x) dx, (1) 0 £¤¥ p = s + iσ | ª®¬¯«¥ªá ï ¯¥à¥¬¥ ï. ~ (p) | ¨§®¡à ¥¨¥¬ (®¡à §®¬) ãªæ¨ï f (x) §ë¢ ¥âáï ®à¨£¨ «®¬, f äãªæ¨¨ f (x).
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á áãé¥áâ¢ã¥â ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå ¨ ªãá®ç®-¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î |f (x)| < M eσ0 x , £¤¥ M > 0 ¨ σ0 > 0 | ¥ª®â®àë¥ ç¨á« . «¥¥ áç¨â ¥¬, çâ® ¢ 㪠§ ®© ®æ¥ª¥ ¢§ïâ® ¨¬¥ì襥 ¨§ ¢®§¬®ëå ç¨á¥« σ0 , ª®â®à®¥ §ë¢ ¥âáï ¯®ª § ⥫¥¬ à®áâ äãªæ¨¨ f (x). ~ (p) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠«ï ¢á类£® ®à¨£¨ « f (x) äãªæ¨ï f Re p > σ0 ¨ ï¥âáï ¢ í⮩ ¯«®áª®á⨠«¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥©. ®à¬ã«ã (1) ªà ⪮ ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì â ª:
f~ (p) = L f (x)
¨«¨
f~ (p) = L f (x), p .
~ (p) ®à¨£¨ « 室¨âáï á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á f (x) =
1 2πi
Z c+i∞ c−i∞
f~ (p)epx dp,
i2
= − 1,
(2)
£¤¥ ¯ãâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï à ᯮ«®¥ ¯ à ««¥«ì® ¬¨¬®© ®á¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®á~ (p), ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â c > σ0 . ª®á⨠á¯à ¢ ®â ¢á¥å ®á®¡ëå â®ç¥ª äãªæ¨¨ f â¥£à « ¢ (2) ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï:
Z c+i∞ c−i∞
f~ (p)epx dp =
lim ω→∞
Z c+iω c−iω
f~ (p)epx dp.
®¡« á⨠x < 0 ä®à¬ã« (2) ¤ ¥â f (x) ≡ 0. ®à¬ã« (2) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨©.
᫨ ¢ â®çª¥ x = x0 x = x0 > 0, äãªæ¨ï f (x) ¨¬¥¥â ª®¥çë© à §àë¢ ¯¥à¢®£® த , â® ¯à ¢ ï ç áâì ä®à¬ã«ë (2) ¢ í⮩ â®çª¥ ¤ ¥â § 票¥ 21 [f (x0 − 0) + f (x0 + 0)℄ (¯à¨ x0 = 0 ¯¥à¢ë© ç«¥ ¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å ¤®«¥ ¡ëâì ®¯ãé¥). ®à¬ã«ã ®¡à é¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á (2) ªà ⪮ ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì â ª:
f (x) = L−1 f~ (p)
¨«¨
f (x) = L−1 f~ (p), x .
1.2-2. ¡à 饨¥ à 樮 «ìëå äãªæ¨©
áᬮâਬ ¢ ë© á«ãç ©, ª®£¤ ¨§®¡à ¥¨¥ ï¥âáï à 樮 «ì®© äãªæ¨¥© ¢¨¤ R(p) f~ (p) = , (3) Q(p)
âà ¨æ 14
15
1.2. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á
£¤¥ Q(p) ¨ R(p) | ¬®£®ç«¥ë ¯¥à¥¬¥®© p, ¯à¨ç¥¬ á⥯¥ì ¬®£®ç«¥ Q(p) ¡®«ìè¥ á⥯¥¨ ¬®£®ç«¥ R(p). Ǒãáâì ¢á¥ ã«¨ § ¬¥ â¥«ï ¯à®áâë¥, â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥á⢮
Q(p) ≡ onst (p − λ1 )(p − λ2 ) . . . (p − λn ). ®£¤ ®à¨£¨ « ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯® ä®à¬ã«¥
f (x) =
n X R(λk ) k=1
Q′ (λk )
exp(λk x),
(4)
£¤¥ èâà¨å®¬ ®¡®§ ç¥ë ¯à®¨§¢®¤ë¥. Ǒãáâì ¬®£®ç«¥ Q(p) ¨¬¥¥â ªà âë¥ ª®à¨, â. ¥.
Q(p) ≡ onst (p − λ1 )s1 (p − λ2 )s2 . . . (p − λm )sm . í⮬ á«ãç ¥ ®à¨£¨ « ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥
f (x) =
m X
1 lim ( sk − 1)! p→sk k=1
dsk −1 (p − λk )sk f~ (p)epx . dpsk −1
1.2-3. ¥®à¥¬ ® ᢥà⪥ ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á
¢¥à⪮©
(¯® ¯« áã) ¤¢ãå äãªæ¨© f (x) ¨ g (x) §ë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥
f (x) ∗ g (x) ≡ ¯à ¢¥¤«¨¢
Z
x
0
f (t)g (x − t) dt.
⥮६ ® ᢥà⪥:
L f (x) ∗ g (x) = L f (x) L g (x) , ª®â®à ï ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà á à §®áâë¬ ï¤à®¬.
1.2-4. Ǒ।¥«ìë¥ â¥®à¥¬ë
~ (p) = L f (x) | ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á äãªæ¨¨ f (x). Ǒãáâì 0 6 x < ∞ ¨ f
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« f (x) ¯à¨ x → 0, â® lim f (x) = lim pf~ (p) . x→0 p→∞
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« f (x) ¯à¨ x → ∞, â®
lim f (x) = p→ lim0 pf~ (p) .
x→∞
1.2-5. á®¢ë¥ á¢®©á⢠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á
¨¥ ¢ â ¡«¨æ¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ®á®¢ë¥ ä®à¬ã«ë ᮮ⢥âáâ¢¨ï ®à¨£¨ «®¢ ¨ ¨§®¡à ¥¨© ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á .
âà ¨æ 15
16
á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
1 á®¢ë¥ á¢®©á⢠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á N0
1 2 3 4
ਣ¨ « af1 (x) + bf2 (x) f (x/a), a > 0 f (x − a), f (ξ ) ≡ 0 ¯à¨ ξ < 0
e−ap f~ (p)
¤¢¨£ à£ã¬¥â
(−1)n f~p(n) (p)
¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ⥣à¨à®¢ ¨¥ ¨§®¡à ¥¨ï ¬¥é¥¨¥ ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥
1 x
Z
f (x)
6
eax f (x)
7
fx′ (x)
8
fx(n) (x)
9
xm fx(n) (x), m > n
10
dn m x f (x) , m > n dxn Z x f (t) dt
12
¨¥©®áâì §¬¥¥¨¥ ¬ áèâ ¡
xn f (x); n = 1, 2, . . .
5
11
§®¡à ¥¨¥ af~1 (p) + bf~2 (p) af~ (ap)
Z
∞ p
f~ (p − a)
pf~ (p) − f (+0) n P pn f~ (p) − pn−k fx(k−1) (+0)
0
¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥
k=1
d m n ~ p f (p) dp dm (−1)m pn m f~ (p) dp
¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥
−
f1 (t)f2 (x − t) dt
¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥
f~ (p) p
⥣à¨à®¢ ¨¥
f~1 (p)f~2 (p)
¢¥àâª
0
x
f~ (q ) dq
¯¥à æ¨ï
ãé¥áâ¢ãîâ â ¡«¨æë ¯àï¬ëå ¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯« á (á¬. «¨â¥à âãàã ¢ ª®æ¥ à §¤¥« ), ¢ ª®â®àëå ᢥ¤¥ë ¢¬¥á⥠ª®ªà¥âë¥ äãªæ¨¨ ¨ ¨å ¨§®¡à ¥¨ï. ⨠⠡«¨æë 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ à¥è¥¨¨ «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©. 1.2-6. ®à¬ã« Ǒ®áâ {¨¤¤¥à
«ï ¯à¨«®¥¨© ¨¬¥¥âáï ¢®§¬®®áâì ®¯à¥¤¥«ïâì § ç¥¨ï ®à¨£¨ « f (x), ~ (t) ¤¥©á⢨⥫쮩 ¯®«ã®á¨ ¯à¨ t = p > 0. ¥á«¨ ¨§¢¥áâë § ç¥¨ï ¨§®¡à ¥¨ï f «ï í⮣® ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã Ǒ®áâ {¨¤¤¥à :
f (x ) =
n+1 n (n) n lim (−1) n f~t n→∞ n!
x
x
.
(5)
«ï ¯®«ãç¥¨ï ¯à¨¡«¨¥®© ä®à¬ã«ë ®¡à é¥¨ï ¬®® ¢ (5) ¢¬¥áâ® ¯à¥¤¥« ¢§ïâì ª®ªà¥â®¥ (¤®áâ â®ç® ¡®«ì讥) 楫®¥ § 票¥ n.
: . . ¨àè¬ , . . ¨¤¤¥à (1958), . ¥©â¬¥, . थ©¨ (1969), . ñç (1971), J. W. Miles (1971), . . ¨âª¨, . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1974), B. Davis (1978), Yu. A. Bry hkov, A. P. Prudnikov (1989), W. H. Beyer (1991), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 16
1.3. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨
17
1.3. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨
1.3-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®à¬ã« ®¡à 饨ï
¢¨î
Ǒãáâì äãªæ¨ï f (x) ®¯à¥¤¥«¥ ¯à¨ ¯®«®¨â¥«ìëå x ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®-
Z 1
|f (x)|xσ1 −1 dx < ∞
Z
|f (x)|xσ2 −1 dx < ∞
0
¨ ãá«®¢¨î
∞
1
¯à¨ ¯®¤å®¤ï饬 ¢ë¡®à¥ ç¨á¥« σ1 ¨ σ2 (σ1 < σ2 ).
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ äãªæ¨¨ f (x) ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
fb (s ) =
Z
∞
0
f (x)xs−1 dx,
(1)
= σ + iτ | ª®¬¯«¥ªá ï ¯¥à¥¬¥ ï (σ1 < σ < σ2 ). b (s ) | ¨§®¡à ¥¨¥¬ f (x). ãªæ¨ï f (x) §ë¢ ¥âáï ®à¨£¨ «®¬, f
£¤¥ s
®à¬ã«ã (1) ªà ⪮ ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì â ª:
¨«¨ ¢ à拉 á«ãç ¥¢ ¢ ä®à¬¥
fb (s ) = M{f (x)},
fb (s ) = M{f (x), s }.
b (s ) ®à¨£¨ « 室¨âáï á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨ : f (x) =
1 2πi
Z σ +i∞ σ−i∞
fb (s )x−s ds ,
σ1 < σ < σ2 ,
(2)
£¤¥ ¯ãâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï à ᯮ«®¥ ¯ à ««¥«ì® ¬¨¬®© ®á¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠s , ¨â¥£à « ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï.
®à¬ã« (2) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨©.
᫨ ¢ â®çª¥ x = x0 = x0 > 0, äãªæ¨ï f (x) ¨¬¥¥â ª®¥çë© à §àë¢ ¯¥à¢®£® த , â® ¯à ¢ ï ç áâì ä®à¬ã«ë (2) ¢ í⮩ â®çª¥ ¤ ¥â § 票¥ 21 [f (x0 − 0) + f (x0 + 0)℄ (¯à¨ x0 = 0
x
¯¥à¢ë© ç«¥ ¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å ¤®«¥ ¡ëâì ®¯ãé¥). à ⪮ ä®à¬ã«ã (2) ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì â ª:
f (x) = M−1 {fb (s )}
¨«¨
f (x) = M−1 {fb (s ), x}.
1.3-2. á®¢ë¥ á¢®©á⢠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨
¨¥ ¢ â ¡«¨æ¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ®á®¢ë¥ ä®à¬ã«ë ᮮ⢥âáâ¢¨ï ®à¨£¨ «®¢ ¨ ¨§®¡à ¥¨© ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨ . 2 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 17
18
á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
2 á®¢ë¥ á¢®©á⢠¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨ N0
ਣ¨ « af1 (x) + bf2 (x) f (ax), a > 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xλf
§®¡à ¥¨¥
¯¥à æ¨ï
¨¥©®áâì §¬¥¥¨¥ ¬ áèâ ¡ a f (s ) ¤¢¨£ à£ã¬¥â a x f (x) fb (s + a) ã ¨§®¡à ¥¨ï 1 1 2 b ¢ ¤à â¨çë© à£ã¬¥â f (x ) 2f 2s §¬¥¥¨¥ § ª ã f (1/x) fb (−s ) à£ã¬¥â ¨§®¡à ¥¨ï 1 − s+βλ b s + λ Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ®à¨£¨ « , axβ , a > 0, β 6= 0 a f ᮤ¥à 饥 á⥯¥¨ β β b ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ fx′ (x) −(s − 1)f (s − 1) ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ xfx′ (x) −s fb (s ) ( s ) ®£®ªà ⮥ (−1)n fb (s − n) fx(n) (x) ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ (s − n) d n ®£®ªà ⮥ f (x) x (−1)n s n fb (s ) ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ dx afb1 (s ) + bfb2 (s ) −s b
Z ∞ xα tβ f1 (xt)f2 (t) dt fb1 (s + α)fb2 (1 − s −α + β ) 0 Z ∞ x f2 (t) dt fb1 (s + α)fb2 (s + α + β +1) xα tβ f1 t 0
«®®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ «®®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥
1.3-3. ¢ï§ì ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¥««¨ , ¯« á ¨ ãàì¥
ãé¥áâ¢ãîâ â ¡«¨æë ¯àï¬ëå ¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¥««¨ (á¬. «¨â¥à âãàã ¢ ª®æ¥ à §¤¥« ), ª®â®àë¥ ã¤®¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ à¥è¥¨¨ ª®ªà¥âëå ¨â¥£à «ìëå ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ á¢ï§ ® á ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ¯« á ¨ ãàì¥ á«¥¤ãî騬¨ ä®à¬ã« ¬¨:
M{f (x), s } = L{f (ex ), −s } + L{f (e−x ), s } = F{f (ex ), is },
çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì â ª¥ ¡®«¥¥ à á¯à®áâà ¥ë¥ â ¡«¨æë ¯àï¬ëå ¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯« á ¨ ãàì¥.
: . ¥©â¬¥, . थ©¨ (1969), . ñç (1971), . . ¨âª¨, . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1974), Yu. A. Bry hkov, A. P. Prudnikov (1989), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998).
•
¨â¥à âãà
1.4. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ 1.4-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥. ®à¬ã« ®¡à 饨ï
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
1 2π
f~ (u) = √
Z
∞ −∞
f (x)e−iux dx.
(1)
®à¬ã«ã (1) ªà ⪮ ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì â ª:
f~ (u) = F{f (x)}
¨«¨
f~ (u) = F{f (x), u}.
âà ¨æ 18
19
1.4. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥
~ (u) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á ¯®¬®éìî ®¡Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥: Z
1 2π
f (x) = √
∞ −∞
f~ (u)eiux du.
(2)
®à¬ã« (2) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨©.
᫨ ¢ â®çª¥ x = x0 = x0 > 0, äãªæ¨ï f (x) ¨¬¥¥â ª®¥çë© à §àë¢ ¯¥à¢®£® த , â® ¯à ¢ ï ç áâì ä®à¬ã«ë (2) ¢ í⮩ â®çª¥ ¤ ¥â § 票¥ 21 [f (x0 − 0) + f (x0 + 0)℄.
x
à ⪮ ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì (2) â ª:
f (x) = F−1 {f~ (u)}
f (x) = F−1 {f~ (u), x}.
¨«¨
1.4-2. ¥á¨¬¬¥âà¨ç ï ä®à¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
à拉 á«ãç ¥¢ ¡ë¢ ¥â 㤮¡® ¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥ ¢ ä®à¬¥
f (u) =
Z
∞ −∞
f (x)e−iux dx,
(3)
(u) = F{f (x)} ¨«¨ f (u) = F{f (x), u}. £¤¥ (3) § ¯¨è¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: f (u) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á í⮬ á«ãç ¥ ¯® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ ¢ ¢¨¤¥ 1 2π
f (x ) =
Z
∞ −∞
f (u)eiux du,
(4)
¯à¨ç¥¬ ¤«ï (4) ¢¢®¤¨âáï ᨬ¢®«¨ç¥áª ï § ¯¨áì f (x) f (x) = F−1 {f (u), x}.
= F−1 {f (u)}
¨«¨
1.4-3. «ìâ¥à ⨢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥
®£¤ , ¯à¨¬¥à ¢ ⥮ਨ ªà ¥¢ëå § ¤ ç, ¨á¯®«ì§ãîâ «ìâ¥à ⨢®¥ (¥£® §ë¢ îâ ¯à®áâ® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥) ¢ ä®à¬¥
®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥
1 2π
F (u) = √
Z
∞ −∞
f (x)eiux dx.
¯à¥-
(5)
®à¬ã«ã (5) ªà ⪮ ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
F (u) = F{f (x)}
¨«¨
F (u) = F{f (x), u}.
Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î F (u) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï:
1 2π
f (x) = √
Z
∞ −∞
F (u)e−iux du.
(6)
®à¬ã«ã (6) ªà ⪮ ¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì â ª:
f (x) = F−1 {F (u)} ¨«¨ f (x) = F−1 {F (u), x}. ãªæ¨ï F (u) §ë¢ ¥âáï â ª¥ ¨â¥£à «®¬ ãàì¥ ®â äãªæ¨¨ f (x).
«®£¨ç® ⮬ã, ª ª ¡ë«® ¯à®¤¥« ® ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥, ¬®® ¢¢¥á⨠¥á¨¬¬¥âà¨çãî ä®à¬ã ¨ ¤«ï «ìâ¥à ⨢®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥:
(u) = F
Z
∞ −∞
f (x)eiux dx,
f (x) =
1 2π
Z
∞ −∞
(u)e−iux du, F
(7)
= F f (x) ¨ (u) = F f (x), u ¨ f (x) = F −1 F (u) x ᮮ⢥âá⢥¨«¨ F
(u) ¯à¨ í⮬ ¯àאַ¥ ¨ ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (7) ®¡®§ ç îâ F f (x) = F ®.
−1
(u) F
2*
âà ¨æ 19
20
á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
1.4-4. ¥®à¥¬ ® ᢥà⪥ ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥
¢¥à⪮©
(¯® ãàì¥) ¤¢ãå äãªæ¨© f (x) ¨ g (x) §ë¢ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥
1 2π
f (x) ∗ g (x) ≡ √
Z
∞ −∞
f (x − t)g (t) dt.
Ǒã⥬ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå x − t = u «¥£ª® ãáâ ®¢¨âì, ç⮠ᢥà⪠ᨬ¬¥âà¨ç ®â®á¨â¥«ì® ᢥàâë¢ ¥¬ëå äãªæ¨©: f (x) ∗ g (x) = g (x) ∗ f (x).
¥®à¥¬ . Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ á¢¥à⪨ à ¢® ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ¨â¥£à «®¢ ãàì¥ á¢¥àâë¢ ¥¬ëå äãªæ¨©:
F f (x) ∗ g (x) = F f (x) F g (x) .
(8)
«ï «ìâ¥à ⨢®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ â¥®à¥¬ ® ᢥà⪥ ¢ëà ¥âáï á®®â®è¥¨¥¬ F f (x) ∗ g (x) = F f (x) F g (x) . (9)
®à¬ã«ë (8) ¨ (9) ¡ã¤ã⠨ᯮ«ì§®¢ ë ¢ £« ¢ å 4 ¨ 5 ¤«ï à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á à §®áâ묨 ï¤à ¬¨.
: . ¥©â¬¥, . थ©¨ (1969), J. W. Miles (1971), . . ¨âª¨, . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1974), B. Davis (1978), Yu. A. Bry hkov, A. P. Prudnikov (1989), W. H. Beyer (1991), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998).
•
¨â¥à âãà
1.5. ¨ãá- ¨ ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ 1.5-1. ®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥
Ǒãáâì äãªæ¨ï f (x) ¨â¥£à¨à㥬 ¯®«ã®á¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
f~ (u) =
r
2 π
Z
∞
0
f (x) os(xu) dx,
0
6 x < ∞. ®á¨ãá-
0 < u < ∞.
(1)
~ (u) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á ¯®¬®éìî Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f ®¡à ⮣® ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥: f (x) =
r
2 π
Z
∞
0
f~ (u) os(xu) du,
0 < x < ∞.
(2)
~ (u) = F f (x) . § ä®à¬ã®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ (1) ®¡®§ ç îâ f 2 «ë (2) á«¥¤ã¥â, çâ® ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ F = 1. ãé¥áâ¢ãîâ â ¡«¨æë ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (á¬. «¨â¥à âãàã ¢ ª®æ¥ à §¤¥« ), ª®â®à묨 㤮¡® ¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ª®ªà¥âëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. ®£¤ ¯®«ì§ãîâáï ¥á¨¬¬¥âà¨ç®© ä®à¬®© ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥, § ¤ ¢ ¥¬®© ¯ ன ä®à¬ã« f (u) =
Z
∞
0
f (x) os(xu) dx,
f (x) =
2 π
Z
∞
0
f (u) os(xu) du.
(3)
Ǒàאַ¥ ¨ ®¡à ⮥ ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (3) ®¡ëç® ®¡®§ ç îâ 1 f (u) = F f (x) ¨ f (x) = F− á f (u) ᮮ⢥âá⢥®.
âà ¨æ 20
21
1.6. à㣨¥ ¨â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
1.5-2. ¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥
Ǒãáâì äãªæ¨ï f (x) ¨â¥£à¨à㥬 ¯®«ã®á¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
f~s (u) =
r
Z
2 π
∞
0
f (x) sin(xu) dx,
0
6 x < ∞. ¨ãá-
0 < u < ∞.
(4)
~s (u) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á ¯®¬®éìî Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f ®¡à ⮣® á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥: f (x ) =
r
2 π
Z
∞
0
f~s (u) sin(xu) du,
0 < x < ∞.
~s (u) ¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ (4) ªà ⪮ ®¡®§ ç îâ f
(5)
= Fs f (x)
2
. §
ä®à¬ã«ë (5) á«¥¤ã¥â, çâ® á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ Fs = 1. ãé¥áâ¢ãîâ â ¡«¨æë á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (á¬. «¨â¥à âãàã ¢ ª®æ¥ à §¤¥« ), ª®â®à묨 㤮¡® ¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ª®ªà¥âëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. à拉 á«ãç ¥¢ ¡ë¢ ¥â 㤮¡¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¥á¨¬¬¥âà¨çãî ä®à¬ã á¨ãá¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥, § ¤ ¢ ¥¬ãî á«¥¤ãî饩 ¯ ன ä®à¬ã«:
fs (u) =
Z
∞
0
f (x) sin(xu) dx,
f (x) =
2 π
Z
∞
0
fs (u) sin(xu) du.
(6)
Ǒàאַ¥ ¨ ®¡à ⮥ á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (6) ç áâ® ®¡®§ ç îâ ᮮ⢥âs (u) = Fs f (x) ¨ f (x) = Fs−1 fs (u) . á⢥® f
• : . ¥¤¤® (1955), . . ¨àè¬ , . . ¨¤¤¥à (1958), . ¥©â¬¥, . थ©¨ (1969), . . ¨âª¨, . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1974), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998). ¨â¥à âãà
1.6. à㣨¥ ¨â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï 1.6-1. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ª¥«ï
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ª¥«ï ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
f~ν (u) =
Z
∞
0
xJν (ux)f (x) dx,
0 < u < ∞,
(1)
£¤¥ ν > − 12 , Jν (x) | äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¯¥à¢®£® த ¯®à浪 ν . ~ν (u) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á ¯®¬®éìî Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª¥«ï:
f (x) =
Z
∞
0
uJν (ux)f~ν (u) du,
0 < x < ∞.
(2)
⬥⨬, çâ® ¥á«¨ äãªæ¨ï f (x) â ª ï, çâ® f (x) = O(xα ) ¯à¨ x → 0, α + ν + 2 > 0 ¨ f (x) = O(xβ ) ¯à¨ x → ∞, β + 32 < 0, â® ¨â¥£à « (1) á室¨âáï. ®à¬ã« ®¡à 饨ï (2) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå äãªæ¨©.
᫨ f (x) ¢ ¥ª®â®àëå â®çª å ¨¬¥¥â ª®¥çë© à §àë¢ ¯¥à¢®£® த , â® «¥¢ãî ç áâì ä®à¬ã «ë (2) á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì 21 f (x − 0) + f (x + 0) . ~ν (u) = Hν f (x) . § ä®àǑ८¡à §®¢ ¨¥ ª¥«ï (1) ªà ⪮ ®¡®§ ç îâ f 2 ¬ã«ë (2) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ª¥«ï ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ H = 1. ν
âà ¨æ 21
22
á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
1.6-2. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥©¥à
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥©¥à ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
fbµ (s ) =
r
Z
2 π
∞
0
√
( )f (x) dx,
s x Kµ s x
0 < s < ∞,
(3)
£¤¥ Kµ (x) | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ï äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¢â®à®£® த (äãªæ¨ï ª¤® «ì¤ ) ¯®à浪 µ. ~µ (s ) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á ¯®¬®éìî Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥©¥à :
1 2π
f (x ) = √ i
Z c+i∞ √
( )fbµ (s ) ds ,
0 < x < ∞,
s x Iµ s x
c−i∞
(4)
£¤¥ Iµ (x) | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ï äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¯¥à¢®£® த ¯®à浪 µ. «ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥©¥à ®¯à¥¤¥«¥ ᢥà⪠¨ ¯®áâ஥® ®¯¥à 樮®¥ ¨áç¨á«¥¨¥. 1.6-3. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ®â®à®¢¨ç {¥¡¥¤¥¢
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ®â®à®¢¨ç {¥¡¥¤¥¢ ¢¢®¤¨âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
F (τ ) =
Z
∞
0
Kiτ (x)f (x) dx,
0<τ
< ∞,
(5)
£¤¥ Kµ (x) | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ï äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¢â®à®£® த (äãªæ¨ï ª¤® «ì¤ ) ¯®à浪 µ, i | ¬¨¬ ï ¥¤¨¨æ . Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î F (τ ) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®â®à®¢¨ç {¥¡¥¤¥¢ :
f (x ) = 1.6-4.
2
π2 x
Z
∞
0
Y -¯à¥®¡à §®¢ ¨¥
τ sh(πτ )Kiτ (x)F (τ ) dτ,
0 < x < ∞.
(6)
¨ ¤à㣨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
â¥£à «ì®¥ Y -¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¢¢®¤¨âáï á®®â®è¥¨¥¬
Fν (u) =
Z
∞
0
√
ux Yν (ux)f (x) dx,
(7)
£¤¥ Yν (x) | äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¢â®à®£® த ¯®à浪 ν . Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î Fν (u) ®à¨£¨ « f (x) 室¨âáï á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® Y -¯à¥®¡à §®¢ ¨ï:
f (x) =
Z
∞
0
√
ux Hν (ux)Fν (u) du,
(8)
£¤¥ Hν (x) | äãªæ¨ï âà㢥, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ä®à¬ã«®©
Hν (x) =
∞ P
j =0
(−1)j (x/2)ν +2j+1 . j + 32 ν + j + 32
ãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¤à㣨¥ ¨â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ®á®¢ë¥ ¨§ ª®â®àëå, àï¤ã á 㪠§ 묨 ¢ëè¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨, ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ â ¡«. 3 (®¡ ®£à ¨ç¥¨ïå, ª« ¤ë¢ ¥¬ëå äãªæ¨¨ ¨ ¯ à ¬¥âàë ¯à¥®¡à §®¢ ¨©, á¬. ¢ «¨â¥à âãà¥, ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ ª®æ¥ à §¤¥« ).
âà ¨æ 22
23
1.6. à㣨¥ ¨â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
3 â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï §¢ ¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á ¢ãåáâ®à®¥¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¨ãá¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ®á¨ãá¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ à⫨ Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ª¥«ï Y -¯à¥®¡à §®¢ ¨¥
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥©¥à (K -¯à¥®¡à §®¢ ¨¥) Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ®å¥à (n =1, 2, . . . )
â¥£à «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ fe (p)=
Z∞
0
e−pxf (x) dx
Z∞
fe∗(p)=
®à¬ã« ®¡à 饨ï f (x)=
e−pxf (x) dx
f (x)=
−∞
1 fe (u)= √
2π
fes(u)= fe (u)=
r
r
2 π
2 π
Z∞
e−iuxf (x) dx
Z∞
0
sin(xu)f (x) dx
Z∞
0
os(xu)f (x) dx
Z∞
g (x, u)f (x) dx,
2π −∞ g (x, u) ≡ os xu +sin xu Z∞
0
fbν (w )= Fν (u)=
fb (s )=
0
Z∞
√
0
Z∞
0 r
Z∞
0
ux Yν (ux)f (x) dx
kν (s , x)f (x) dx,
kν (s , x) ≡ fe (r )=
xJν (xw )f (x) dx
2√
π
c−i∞
c−i∞
1 2π
f (x)=
r
f (x)=
r
x r
n
2
J n −1(2πxr ),
2
Z∞
−∞
Z∞
2 π
0
Z∞
2 π
0
1 2π
f (x)=
f (x)=
Z∞
f (x)=
0
0
epxfe∗(p) dp
eiuxfe (u) du
sin(xu)fes(u) du
os(xu)fe (u) du
Z∞
f (x)= √
Z∞
epxfe (p) dp
c+ Z i∞
−∞
g (x, u)feh(u) du
c+ Z i∞
c−i∞
x−s fb (s ) ds
wJν (xw )fbν (w ) dw √
ux Hν (ux)Fν (u) du
cZ +i∞
c−i∞
s x Kν (s x)
Gn(x, r )f (x) dx,
Gn(x, r ) ≡ 2πr
c+ Z i∞
f (x)= √
1 f (x)= 2πi
x 1f (x) dx s−
Z∞
1 2πi
−∞
1 feh(u)= √ fb (s )=
1 2πi
rν (s , x)fb (s ) ds ,
1
rν (s , x) ≡ √ i 2π
√
s x Iν (s x)
Z∞ f (x)= Gn(r, x)fe (r ) dr
0
âà ¨æ 23
24
á®¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë. â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥¡¥à Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ®â®à®¢¨ç { ¥¡¥¤¥¢ Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥«¥à {®ª Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¨«ì¡¥àâ *
Fa(u)=
Z∞
Wν (xu, au)xf (x) dx,
a
Wν (β, µ) ≡ Jν (β )Yν (µ)− −Jν (µ)Yν (β ) F (τ )=
e (τ )= F b (s )= F
Z∞
Kiτ (x)f (x) dx
Z∞
P− 1 +iτ (x)f (x) dx
0
1
1 π
2
Z∞
−∞
f (x) dx x− s
f (x)=
Z∞
0
c (xu, au)F (u) du, W a ν
Z∞
D (x, τ )F (τ ) dτ,
c (xu, au) ≡ W ν f (x)=
0
Wν (xu, au)u Jν2(au)+ Yν2(au)
2
D (x, τ ) ≡ 2 τ sh(πτ )Kiτ (x) π x Z∞ e (τ ) dτ, f (x)= L(x, τ )F
0
L(x, τ ) ≡ τ th(πτ )P− 1 +iτ (x)
2
Z∞ b F (s ) 1 f (x)= − ds π s −x −∞
: , ¨ Yµ(x) | äãªæ¨¨ ¥áá¥«ï ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® த , ¨ Kµ(x) | ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë¥ äãªæ¨¨ ¥áá¥«ï ¯¥à¢®£® ¨ ¢â®à®£® த , Pµ(x) | áä¥à¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¥ ¤à ¢â®à®£® த . ¯àאַ¬ ¨ ®¡à ⮬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå ¨«ì¡¥àâ ¨â¥£à «ë ¯®¨¬ * îâáï ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï. ¡®§ 票ï
Iµ(x)
√ i = −1 Jµ(x)
Ǒਬ¥ç ¨¥.
: . ¥©â¬¥, . थ©¨ (1969), J. W. Miles (1971), . . ¨âª¨, . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1974), B. Davis (1978), D. Zwillinger (1989), Yu. A. Bry hkov, A. P. Prudnikov (1989), W. H. Beyer (1991).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 24
Rx
2. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
2.1. à ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த 2.1-1. âàãªâãà ãà ¢¥¨©. « ááë äãªæ¨© ¨ 拉à
£« ¢¥ 2 ¨§« £ îâáï ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த , ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤:
Z
x a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
(1)
£¤¥ y (x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï (a 6 x 6 b), K (x, t) | ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® f (x) | ¥ª®â®à ï ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, ª®â®à ï §ë¢ ¥âáï ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬ ¨«¨ ¯à ¢®© ç áâìî ãà ¢¥¨ï (1). ãªæ¨¨ y (x) ¨ f (x) ®¡ëç® áç¨â îâ ¥¯à¥àë¢ë¬¨, «¨¡® ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬묨 [a, b℄. ¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) ¯®« £ îâ ¥¯à¥àë¢ë¬ ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}, «¨¡® 㤮¢«¥â¢®àïî騬 ãá«®¢¨î
ãà ¢¥¨ï,
Z
b a
Z
b a
K 2 (x, t) dx dt = B 2 < ∞,
(2)
£¤¥ B | ¯®áâ®ï ï, â. ¥. ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨àã¥¬ë¬ ¢ í⮬ ª¢ ¤à â¥. ä®à¬ã«¥ (2) ¯®« £ ¥âáï, çâ® K (x, t) ≡ 0 ¯à¨ t > x. ¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) §ë¢ ¥âáï ¢ëத¥ë¬, ¥á«¨ ®® ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t). ¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) §ë¢ ¥âáï à §®áâë¬, ¥á«¨ ®® § ¢¨á¨â ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢: K (x, t) = K (x − t). áᬠâਢ îâ â ª¥ ¯®«ïàë¥ ï¤à
K (x, t) = ¨
«®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨¥ ï¤à
L(x, t) + M (x, t), (x − t)β
0 < β < 1,
(3)
(ï¤à , ¨¬¥î騥 «®£ à¨ä¬¨ç¥áªãî ®á®¡¥®áâì)
K (x, t) = L(x, t) ln(x − t) + M (x, t),
(4)
£¤¥ L(x, t) (L(x, x) 6≡ 0) ¨ M (x, t) | ¥¯à¥àë¢ë ¢ S . Ǒ®«ïàë¥ ¨ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨¥ ï¤à á®áâ ¢«ïîâ ª« áá 拉à á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî. à ¢¥¨ï, ᮤ¥à 騥 â ª¨¥ ï¤à , §ë¢ îâáï ãà ¢¥¨ï¬¨ á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî. áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï (1) á ï¤à®¬ (3) ï¥âáï ®¡®¡é¥®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡¥«ï: Z x y (t) 0 < β < 1. dt = f (x), ( x − t)β a «ï ¥¯à¥àë¢ëå K (x, t) ¨ f (x) ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï (1) ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬:
1◦ .
᫨ K (a, a) 6= 0, â® ¤®«® ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ f (a)
= 0.
âà ¨æ 25
26
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
2◦ .
(n−1)
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
(n) (a, a) < ∞, â®
᫨ K (a, a) = Kx (a, a) = · · · = Kx (a, a) = 0, 0 < Kx ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬ ′
f (a) = fx′ (a) = · · · = fx(n) (a) = 0. 3◦ .
᫨ K (a, a) = Kx′ (a, a) = · · · = Kx(n−1) (a, a) = 0, Kx(n) (a, a) = ∞, â® ¯à ¢ ï
ç áâì ãà ¢¥¨ï ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬
f (a) = fx′ (a) = · · · = fx(n−1) (a) = 0.
«ï ¯®«ïàëå ï¤¥à ¢¨¤ (4) ¨ ¥¯à¥àë¢ëå f (x) ¯à ¢ãî ç áâì ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ãá«®¢¨ï ¥ ª« ¤ë¢ îâáï. ¬¥ç ¨¥ 1.
«ãç ©, ª®£¤ a
= −∞, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¨áª«îç ¥âáï.
2.1-2. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì à¥è¥¨ï
᫨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (1) äãªæ¨¨ f (x) ¨ K (x, t) | ¥¯à¥àë¢ë ¨ ®£à ¨ç¥ë ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ ¯¥à¢ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ [a, b℄ ¨ ¢ S ᮮ⢥âá⢥®, ¯à¨ç¥¬ K (x, x) 6= 0 (x ∈ [a, b℄) ¨ f (a) = 0, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥®¥ ¥¯à¥à뢮¥ à¥è¥¨¥ y (x) ãà ¢¥¨ï (1). ¬¥ç ¨¥ 2. ®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த â¥á® á¢ï§ á ãá«®¢¨ï¬¨, ¯à¨ ª®â®àëå ®® ¯à¨¢®¤¨âáï ª ãà ¢¥¨ï¬ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த (á¬. à §¤. 2.3). ¬¥ç ¨¥ 3. à ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ¬®® âà ªâ®¢ âì ª ª ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த , ï¤à® ª®â®à®£® K (x, t) ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ t > x (á¬. £« ¢ã 4).
: . ãàá (1934), . . îâæ (1934), . . ¨å«¨ (1959), . ਪ®¬¨ (1960), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . « ä (1970), J. A. Co hran (1972), C. Corduneanu (1973), . . ¬¨à®¢ (1974), . ®«ìâ¥àà (1982), A. J. Jerry (1985), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998, 1999).
•
¨â¥à âãà
2.2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬:
K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t) 2.2-1. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬
K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + g2 (x)h2 (t)
áᬠâਢ ¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥ ¬®® § ¯¨á âì â ª:
g1 (x)
Z
x a
h1 (t)y (t) dt + g2 (x)
Z
x a
ç¨â ¥âáï, çâ® ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï: g1 (x) 6=
0 < g12 (a) + g22 (a) < ∞, f (a) = 0. ¬¥
u(x) =
Z
x a
h2 (t)y (t) dt = f (x).
onst g2 (x),
h1 (t)y (t) dt
h1 (t) 6=
(1)
onst h2 (t), (2)
¨ ¯®á«¥¤ãî饥 ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯® ç áâï¬ ¢â®à®£® ¨â¥£à « ¢ (1) á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠u(a) = 0 ¤ ¥â ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த
[g1 (x)h1 (x)+ g2 (x)h2 (x)℄u(x) −g2 (x)h1 (x)
Z xh i h2 (t) ′ a
h1 (t)
t
u(t) dt = h1 (x)f (x). (3)
âà ¨æ 26
2.2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬:
Ǒ®¤áâ ®¢ª
w (x ) =
K (x, t)
Z x a
h2 (t) h1 (t)
= g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t) 27 ′
u(t) dt
(4)
t
¯à¨¢®¤¨â (3) ª «¨¥©®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪
[g1 (x)h1 (x)+g2(x)h2 (x)℄wx′ −g2 (x)h1 (x)
h2 (x) h1 (x)
′
w = f (x)h1 (x)
x
h2 (x) h1 (x)
′
. (5)
x
1◦ . Ǒਠg1 (x)h1 (x) + g2 (x)h2 (x) 6≡ 0, à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (5), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î w(a) = 0 (ª®â®à®¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ § ¬¥ë (4)), ¨¬¥¥â ¢¨¤ ′ Z x f (t)h1 (t) dt h2 (t) w(x) = (x) , h t ) ( t )[ g t ( ( 1 1 )h1 (t) + g2 (t)h2 (t)℄ a Z x t′ g2 (t)h1 (t) dt h2 (t) (x) = exp . h1 (t) t g1 (t)h1 (t) + g2 (t)h2 (t) a
(6) (7)
Ǒத¨ää¥à¥æ¨à㥬 ®¡¥ ç á⨠(4) ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¥¨¥ § ¢¨á¨¬®áâì (6). Ǒ®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ç áâï¬ á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠f (a) = 0, w(a) = 0, ¯à¨ f 6≡ onst g2 ¯®«ã稬
u(x) =
g2 (x)h1 (x)(x) g1 (x)h1 (x) + g2 (x)h2 (x)
Z x a
f (t) g2 (t)
′
t
dt
(t)
.
Ǒਠ¯®¬®é¨ ä®à¬ã«ë (2) 室¨¬ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ¢¨¤¥
y (x) =
1 h1 (x)
d dx
g2 (x)h1 (x)(x) g1 (x)h1 (x) + g2 (x)h2 (x)
Z x a
f (t) g2 (t)
′
t
dt (t)
,
(8)
£¤¥ äãªæ¨ï (x) ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ (7).
᫨ f (x) ≡ onst g2 (x), â® à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ (8) ¨ (7), ¢ ª®â®àëå ¨¤¥ªá 1 ¤®«¥ ¡ëâì § ¬¥¥ 2 ¨ ®¡®à®â.
2◦ .
Ǒਠg1 (x)h1 (x) + g2 (x)h2 (x) ≡
y (x) =
1
d h1 dx
0 à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
(f /g2 )′x (g1 /g2 )′x
=
1
d − h1 dx
(f /g2 )′x . (h2 /h1 )′x
2.2-2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ®¡é¥£® ¢¨¤
à ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ®¡é¥£® ¢¨¤ ¬®® § ¯¨á âì â ª: n X
m=1
gm (x)
Z
x
a
hm (t)y (t) dt = f (x).
(9)
ᯮ«ì§ãï ®¡®§ 票ï
wm (x) =
Z
x a
hm (t)y (t) dt,
m = 1, 2, . . . , n,
(10)
§ ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (9) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: n X
m=1
gm (x)wm (x) = f (x).
(11)
âà ¨æ 27
28
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¨ää¥à¥æ¨àãï ä®à¬ã«ë (10) ¨ ¨áª«îç ï ¨§ ¯®«ãç¥ëå ¢ëà ¥¨© y (x), ¯à¨å®¤¨¬ ª «¨¥©ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¤«ï äãªæ¨© wm = wm (x): ′ h1 (x)wm
= hm (x)w1′ ,
m = 2, 3, . . . , n,
(12)
(èâà¨å ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à®¨§¢®¤®© ¯® x) ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨
wm (a) = 0,
m = 1, 2, . . . , n.
᫨ ©¤¥® à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (11), (12), â® à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (9) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî «î¡®£® ¨§ ¢ëà ¥¨© ′ (x) wm , hm (x)
y (x ) =
m = 1, 2, . . . , n,
ª®â®àë¥ ¯®«ãç¥ë ¯ã⥬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ä®à¬ã«ë (10). ¨á⥬ã (11), (12) (¯ã⥬ ¥®¤®ªà ⮣® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï (11) á ãç¥â®¬ (12)) ¬®® ᢥá⨠ª «¨¥©®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î (n − 1)-£® ¯®à浪 ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ wm (x) (m = 1, 2, . . . , n).
•
: . ãàá (1934), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986).
¨â¥à âãà
2.3. C¢¥¤¥¨¥ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ª ãà ¢¥¨ï¬ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த 2.3-1. Ǒ¥à¢ë© ᯮᮡ
Ǒãáâì ï¤à® ¨ ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï
Z
x a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
(1)
¨¬¥îâ ¥¯à¥àë¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® x ¨ ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ K (x, x) 6≡ 0. ®£¤ ¯®á«¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï (1) á ¯®á«¥¤ãî騬 ¤¥«¥¨¥¬ ®¡¥¨å ç á⥩ ¯®«ã祮£® ¢ëà ¥¨ï K (x, x), ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த :
y (x ) +
Z
x a
Kx′ (x, t) y (t) dt K (x, x)
=
fx′ (x) . K (x, x)
(2)
à ¢¥¨ï í⮣® ⨯ à áᬠâਢ îâáï ¢ £« ¢¥ 3.
᫨ K (x, x) ≡ 0, â® ¤¨ää¥à¥æ¨àãï ¤¢ ¤ë ãà ¢¥¨¥ (1) ¯® x ¯à¨ Kx′ (x, t)|t=x 6≡ 0 ¨¬¥¥¬ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த Z x ′′ (x, t) Kxx f ′′ (x) y (x) + y (t) dt = ′ xx . ′ (x, t)| K K x x (x, t)|t=x t=x a
᫨ ¥ Kx′ (x, x) ≡ 0, â® ¢®¢ì ¬®® ¯à¨¬¥¨âì ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¨ â. ¤. á«ãç ¥, ª®£¤ ¯¥à¢ë¥ m − 2 ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ï¤à ¯® x ⮤¥á⢥® à ¢ë ã«î, (m − 1)-ï ¯à®¨§¢®¤ ï ¥ à ¢ ã«î, â® m-ªà ⮥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¤ ¥â á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த :
y (x) +
Z
x a
(m) Kx (x, t) ( m−1) K (x, t)|
t=x
x
y (t) dt =
(m) fx (x) ( m−1) K (x, t)| x
t=x
.
2.3-2. â®à®© ᯮᮡ
¢¥¤¥¬ ®¢ãî ¯¥à¥¬¥ãî
Y (x) =
Z
x a
y (t) dt,
âà ¨æ 28
2.4. à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬:
K (x, t)
= K (x − t)
29
§ ⥬ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯® ç áâï¬ ¯à ¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (1) á ãç¥â®¬ à ¢¥áâ¢
f (a) = 0. १ã«ìâ ⥠¯®á«¥ ¤¥«¥¨ï ®¡¥¨å ç á⥩ ¯®«ã祮£® ¢ëà ¥¨ï K (x, x), ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த : Z x ′ f (x) Kt (x, t) Y (x) − Y (t) dt = , K (x, x) K (x, x) a ¤«ï ª®â®à®£® ¤®«® ¢ë¯®«ïâìáï ãá«®¢¨¥ K (x, x) 6≡ 0.
•
: . ãàá (1934), . ®«ìâ¥àà (1982).
¨â¥à âãà
2.4. à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬:
K (x, t) = K (x − t)
2.4-1. ¥â®¤ à¥è¥¨ï, ®á®¢ ë© ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¯« á
à ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢, ¨¬¥îâ ¢¨¤ Z x
0
K (x − t)y (t) dt = f (x).
(1)
«ï à¥è¥¨ï íâ¨å ãà ¢¥¨© ¨á¯®«ì§ãî⠯८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á (á¬. à §¤. 1.2). «ï ¤ «ì¥©è¥£® ¯® ¤®¡ïâáï ®¡à §ë ï¤à ¨ ¯à ¢®© ç á⨠¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ª®â®àë¥ ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
~ (p) = K
Z
∞
0
K (x)e−px dx,
f~ (p) =
Z
∞
0
f (x)e−px dx.
(2)
Ǒਬ¥ïï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á L ª ãà ¢¥¨î (1) ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® ¨â¥£à « á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢, ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¯® ¯à ¢¨«ã (á¬. ¯. 1.2-3):
L
Z
x
0
K (x − t)y (t) dt
~ (p)~y(p), =K
¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î ¤«ï ®¡à § ¨áª®¬®© ¢¥«¨ç¨ë y ~(p):
~ (p)~y(p) = f~ (p). K
(3)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (3) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
f~ (p)
y~(p) = ~ . K (p)
(4)
Ǒਬ¥ïï ª (4) ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á (¥á«¨ ®® áãé¥áâ¢ã¥â), ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ¢¨¤¥
y (x ) =
1 2πi
Z c+i∞ f~ (p)
px
(5) ~ (p) e dp. K Ǒਠ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ 㪠§ ®£® «¨â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ¬®£ãâ ¢®§¨ªãâì á«¥¤ãî騥 â¥å¨ç¥áª¨¥ âà㤮áâ¨: Z ∞ ~ (p) = K (x)e−px dx ¤«ï ¤ ®£® ï¤à K (x). 1◦ . Ǒ®«ã票¥ ¨§®¡à ¥¨ï K
2◦ .
c−i∞
0
Ǒ®«ã票¥ ®à¨£¨ « (4), § ¤ ¢ ¥¬®£® ä®à¬ã«®© (5). «ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨â¥£à «®¢ ¯à¨¬¥ïîâ â ¡«¨æë ¯àï¬ëå ¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯« á , ¯à¨ç¥¬ ¢® ¬®£¨å á«ãç ïå ¤«ï ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨á¯®«ì§ãîâ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®, ¢ª«îç ï ⥮६㠮 ¢ëç¥â å (á¬. ¯. 1.1-4).
¬¥ç ¨¥.
᫨ ¨¨© ¯à¥¤¥« ¢ ¨â¥£à «¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢, à ¢¥ a, â® ¥£® ¬®® ᢥá⨠ª ãà ¢¥¨î (1) − a, t = t − a. á ¯®¬®éìî § ¬¥ë x = x
âà ¨æ 29
30
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rx a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
2.4-2. «ãç © à 樮 «ì®£® ®¡à § à¥è¥¨ï
áᬮâਬ ¢ ë© ç áâë© á«ãç ©, ª®£¤ ®¡à § à¥è¥¨ï (4) ï¥âáï à 樮 «ì®© äãªæ¨¥© ¢¨¤ f~ (p) R(p) y~(p) = ~ ≡ , Q(p) K (p)
£¤¥ Q(p) ¨ R(p) | ¬®£®ç«¥ë ¯¥à¥¬¥®© p, ¯à¨ç¥¬ á⥯¥ì ¬®£®ç«¥ Q(p) ¡®«ìè¥ á⥯¥¨ ¬®£®ç«¥ R(p).
᫨ ¢á¥ 㫨 § ¬¥ ⥫ï Q(p) ¯à®áâë¥, â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥á⢮
Q(p) = onst (p − λ1 )(p − λ2 ) . . . (p − λn )
6 λj ¯à¨ i = 6 j , â® à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ ¨ λi = y (x) =
n X R(λk ) k=1
Q′ (λk )
exp(λk x),
£¤¥ èâà¨å®¬ ®¡®§ ç¥ë ¯à®¨§¢®¤ë¥. Ǒਬ¥à 1.
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த Z
x
0
e−a(x−t) y (t) dt = A sh(bx).
Ǒਬ¥ïï ª ¥¬ã ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á , ¯®«ã稬 1
p+a
âáî¤ å®¤¨¬, çâ®
y ~(p)
y ~(p)
Ab
= 2 2 p −b
.
Ab(p + a) Ab(p + a) . = p2 − b2 (p − b)(p + b) R(p) = Ab(p + a) λ1 = b λ2
=
¬¥¥¬ Q(p) = (p − b)(p + b), ¨ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ¢¨¤¥ y (x)
,
= −b. Ǒ®í⮬ã à¥è¥¨¥
= 12 A(b + a)ebx + 12 A(b − a)e−bx = Aa sh(bx) + Ab h(bx).
2.4-3. Ǒ।áâ ¢«¥¨¥ à¥è¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨
Ǒਠà¥è¥¨¨ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ K (x − t) á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á ¨®£¤ ¯®«¥§® ¨á¯®«ì§®¢ âì á«¥¤ãî騩 ¯à¨¥¬. Ǒ।áâ ¢¨¬ ®¡à § à¥è¥¨ï (4) ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
~ (p)M ~ (p)f~(p), y~(p) = N
1
~ (p) ≡ N ~ (p)M ~ (p) . K
(6)
~ (p), çâ® áãé¥áâ¢ãîâ
᫨ 㤠¥âáï ¯®¤®¡à âì â ªãî äãªæ¨î M
~ (p) = M (x), L−1 M
~ (p) = N (x), L−1 N
(7)
â® à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ª®¬¯®§¨æ¨¨:
y (x ) = Ǒਬ¥à 2.
Z
x
0
N (x − t)F (t) dt,
F (t) =
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ Z
x
0
sin
√ k x − t y (t) dt = f (x),
Z
t
0
M (t − s )f (s ) ds .
f (0)
= 0.
(8)
(9)
âà ¨æ 30
2.4. à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬:
K (x, t)
= K (x − t)
31
ᯮ«ì§ãï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á , ¯®«ã稬 ¨§®¡à ¥¨¥ à¥è¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ ~(p) y
=
√
2
πk
p3/2 exp(α/p)f~ (p),
α = 14 k 2 .
(10)
Ǒ¥à¥¯¨è¥¬ ¯à ¢ãî ç áâì (10) ¢ íª¢¨¢ «¥â®¬ ¢¨¤¥ y ~(p)
=
2
√
πk
p2 p−1/2 exp(α/p) f~ (p),
α = 14 k 2 .
(11)
¤¥áì ¢ ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å ¢ë¤¥«¥ ᮬ®¨â¥«ì, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 M~ (p) ¢ ä®à¬ã«¥ (6), = onst p2 . Ǒਬ¥ïï ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á ¯® 㪠§ ®© á奬¥ ª ä®à¬ã«¥ (11) á ãç¥â®¬ à ¢¥áâ¢
~ (p) N
L−1 p2 ϕ~ (p) =
d2 ϕ(x), dx2
L−1
室¨¬ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï y (x)
d2 πk dx2
2
=
Z
x
p−1/2 exp(α/p)
h
0
=
1
√ πx
h
√ k x ,
√ k x−t √ f (t) dt. x−t
2.4-4. ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
Z
x a
K (x − t)y (t) dt = f (x),
(12)
£¤¥ ï¤à® K (x) ¨¬¥¥â ¨â¥£à¨à㥬ãî ®á®¡¥®áâì ¯à¨ x = 0. Ǒãáâì w = w(x) | à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ãà ¢¥¨ï ¯à¨ f (x) ≡ 1, a = 0: Z x
0
K (x − t)w(t) dt = 1.
(13)
®£¤ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï á ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâìî (12) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (13) á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë
y (x) =
d dx
Ǒਬ¥à 3.
Z
x a
w(x − t)f (t) dt = f (a)w(x − a) +
áᬮâਬ ®¡®¡é¥®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡¥«ï Z
x a
y (t) dt = f (x), (x − t)µ
Z
x a
w(x − t)ft′ (t) dt.
0 < µ < 1.
(14)
(15)
¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï Z
x
w (t) dt
0 (x − t)µ
= 1,
0 < µ < 1,
(16)
¨é¥¬ ¬¥â®¤®¬ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢ ¢¨¤¥ w (x)
= Axβ .
(17)
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ (17) ¢ (15), § ⥬ ᤥ« ¥¬ ¢ ¨â¥£à «¥ ᤥ« ¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®© t = xξ. ç¨âë¢ ï á¢ï§ì Z 1 B (p, q )
=
0
ξ p−1 (1 − ξ )1−q dξ
=
(p) (q) (p + q)
âà ¨æ 31
32
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
¬¥¤ã ¡¥â - ¨ £ ¬¬ -äãªæ¨ï¬¨, ¨¬¥¥¬ A
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
(β + 1) (1 − µ) β +1−µ x = 1. (2 + β − µ)
§ í⮣® à ¢¥á⢠室¨¬ ª®íää¨æ¨¥âë A ¨ β : β
= µ − 1,
A=
sin(πµ) 1 = . (µ) (1 − µ) π
(18)
®à¬ã«ë (17), (18) ®¯à¥¤¥«ïîâ à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (16) ¨ ¯®§¢®«ïîâ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë (14) ¯®«ãç¨âì à¥è¥¨¥ ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï (15) ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: y (x)
=
sin(πµ) π
d dx
Z
x a
f (t) dt (x − t)1−µ
=
sin(πµ) π
f (a) (x − a)1−µ
+
Z
x a
ft′ (t) dt . (x − t)1−µ (19)
2.4-5. ¢¥¤¥¨¥ ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬
áᬮâਬ á¯¥æ¨ «ìë© á«ãç ©, ª®£¤ ®¡à § ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
~ (p) = K
M (p) , N (p)
(20)
£¤¥ M (p) ¨ N (p) ¥ª®â®àë¥ ¬®£®ç«¥ë á⥯¥¥© m ¨ n ᮮ⢥âá⢥®:
M (p) =
m X
k=0
Ak pk ,
N (p) =
n X
k=0
Bk pk .
(21)
í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) (¥á«¨ ®® áãé¥áâ¢ã¥â) 㤮¢«¥â¢®àï¥â «¨¥©®¬ã ¥®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î m-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨: m X
n
X Ak yx(k) (x) = Bk fx(k) (x). k=0 k=0
(22)
à ¢¥¨¥ (22) ¬®® ªà ⪮ § ¯¨á âì ¢ ®¯¥à â®à®¬ ¢¨¤¥
M (D)y (x) = N (D)f (x),
D≡
d . dx
ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (22), â ª¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¥ ¥®¡å®¤¨¬® «®¨âì ¯à ¢ãî ç áâì ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1), ¯®«ãç îâáï ¨§ à ¢¥á⢠k− n X X1 k−1−s (s) pk−1−s yx(s) (0) − Bk p fx (0) = 0 s =0 s =0 k=0 k=0 ¯ã⥬ ¢ë¤¥«¥¨ï ç«¥®¢ ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå ¯ à ¬¥âà p. m X
Ak
k− X1
(23)
®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ã⢥थ¨ï ¯à®¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî ¯à¨¬¥¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î (22) ¨ ¯®á«¥¤ãî騬 áà ¢¥¨¥¬ ¯®«ã祮£® ¢ëà ¥¨ï á ãà ¢¥¨¥¬ (3) á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(20).
âà ¨æ 32
33
2.5. ¥â®¤ ¤à®¡®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï
2.4-6. ¢ï§ì ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¨ ¨¥à {®¯ä
à ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢¨¤
Z
x
K (x − t)y (t) dt = f (x),
0
0 < x < ∞,
(24)
¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த ¢ ä®à¬¥
Z
∞
0
K+ (x − t)y (t) dt = f (x),
0 < x < ∞,
(25)
£¤¥ ï¤à® K+ (x − t) ¤ ¥âáï á®®â®è¥¨¥¬
K+ (s ) =
K (s ) ¯à¨ s > 0, ¯à¨ s < 0.
0
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (25) ¯à¨¢¥¤¥ë ¢ £« ¢¥ 4.
• : Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . ñç (1971), . . ¨âª¨, . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1974), . . ¬¨à®¢ (1974), . . 客, . . ¥à᪨© (1978). ¨â¥à âãà
2.5. ¥â®¤ ¤à®¡®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï 2.5-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤à®¡ëå ¨â¥£à «®¢
ãªæ¨ï f (x) §ë¢ ¥âáï ¡á®«îâ® ¥¯à¥à뢮© ®â१ª¥ [a, b℄, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ¬®® ©â¨ â ª®¥ δ > 0, çâ® ¤«ï «î¡®© ª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë ¯®¯ à® ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®â१ª®¢ [ak , bk ℄ ⊂ [a, b℄, k = 1, 2, . . . , n, â ª®©, çâ® n P
k=1
(bk − ak ) < δ , á¯à ¢¥¤«¨¢®
¥à ¢¥á⢮
n P
k=1
|f (bk ) − f (ak )| < ε. « áá ¢á¥å
â ª¨å äãªæ¨© ®¡®§ ç ¥âáï AC . ¥à¥§ AC n , £¤¥ n = 1, 2, . . . , ®¡®§ 稬 ª« áá äãªæ¨© f (x), ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå [a, b℄ ¤® ¯®à浪 n − 1, ¯à¨ç¥¬ f (n−1) (x) ∈ AC . Ǒãáâì ϕ(x) ∈ L1 (a, b). â¥£à «ë
Z
x ϕ(t) 1 dt, (µ) a (x − t)1−µ Z b ϕ(t) 1 µ dt, Ib− ϕ(x) ≡ (µ) x (t − x)1−µ
Ia+ ϕ(x) ≡ µ
x > a,
(1)
x < b,
(2)
£¤¥ µ > 0, §ë¢ îâáï ¨â¥£à « ¬¨ ¤à®¡®£® ¯®à浪 µ. Ǒ¥à¢ë© ¨§ ¨å §ëµ µ ¢ îâ ¨®£¤ «¥¢®áâ®à®¨¬, ¢â®à®© | ¯à ¢®áâ®à®¨¬. ¯¥à â®àë Ia+ , Ib− §ë¢ îâ ®¯¥à â®à ¬¨ ¤à®¡®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. â¥£à «ë (1), (2) ¯à¨ïâ® §ë¢ âì â ª¥ ¤à®¡ë¬¨ ¨â¥£à « ¬¨ ¨¬ { ¨ã¢¨««ï. ¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã«
Z
b a
ϕ(x)Iµa+ ψ (x) dx =
Z
b a
ψ (x)Iµb− ϕ(x) dx,
§ë¢ ¥¬ ï ¨®£¤ ä®à¬ã«®© ¤à®¡®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ஡®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬
Ia+ Ia+ ϕ(x) µ
β
= Iµa++β ϕ(x),
¢®©á⢮ (4) §ë¢ ¥âáï
Ib− Ib− ϕ(x) µ
β
= Iµb−+β ϕ(x),
(3)
¯® ç áâï¬.
µ > 0,
β > 0.
(4)
¯®«ã£à㯯®¢ë¬ ᢮©á⢮¬ ¤à®¡®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï.
3 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 33
34
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
2.5-2. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤à®¡ëå ¯à®¨§¢®¤ëå
஡®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¥áâ¥á⢥® ¢¢¥á⨠ª ª ®¯¥à æ¨î, ®¡à âãî ¤à®¡®¬ã ¨â¥£à¨à®¢ ¨î. «ï äãªæ¨¨ f (x), § ¤ ®© ®â१ª¥ [a, b℄, ¢ëà ¥¨ï Z x d 1 f (t) µ (5) Da+ f (x) = dt, (1 − µ) dx a (x − t)µ
Db− f (x) µ
=−
1
d dx
(1 − µ)
Z
f (t) dt (t − x)µ
b
x
(6)
§ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥® «¥¢®áâ®à®¥© ¨ ¯à ¢®áâ®à®¥© ¤à®¡ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤µ. íâ¨å ä®à¬ã« å áç¨â ¥âáï, çâ® 0 < µ < 1. à®¡ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ (5), (6) §ë¢ îâ ®¡ëç® ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¨¬ { ¨ã¢¨««ï. ¬¥â¨¬, çâ® ¤à®¡ë¥ ¨â¥£à «ë ®¯à¥¤¥«¥ë ¤«ï «î¡®£® ¯®à浪 µ > 0, ¤à®¡ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ | ¯®ª ⮫쪮 ¤«ï ¯®à浪 0 < µ < 1. µ
᫨ f (x) ∈ AC , â® äãªæ¨ï f (x) ¨¬¥¥â ¯®ç⨠¢áî¤ã ¯à®¨§¢®¤ë¥ Da+ f (x) µ µ µ ¨ Db− f (x), 0 < µ < 1, ¯à¨ç¥¬ Da+ f (x), Db− f (x) ∈ Lr (a, b), 1 6 r < 1/µ, ¨ ¨å ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì â ª¥ ¢ ¢¨¤¥ 묨 ¯®à浪
D a + f (x )
1
=
µ
f (a) (x − a)µ
+
Z
x
ft′ (t) dt , (x − t)µ
(1 − µ) a Z b ( b ) f 1 ft′ (t) µ Db− f (x) = − dt . µ (1 − µ) (b − x)µ x (t − x)
(7) (8)
Ǒ¥à¥©¤¥¬, ª®¥æ, ª ¤à®¡ë¬ ¯à®¨§¢®¤ë¬ ¯®à浪®¢ µ > 1. 㤥¬ ¯®«ì§®¢ âìáï ®¡®§ 票ﬨ: [µ℄ | 楫 ï ç áâì ç¨á« µ, {µ} | ¤à®¡ ï ç áâì ç¨á« µ, 0 6 {µ} < 1, â ª çâ® µ = [µ℄ + {µ}. (9)
᫨ µ | 楫®¥ ç¨á«®, â® ¯®¤ ¤à®¡®© ¯à®¨§¢®¤®© ¯®à浪 µ ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì ®¡ë箥 ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥: µ
Da +
=
d dx
µ
µ
Db−
,
=
−
d dx
µ
,
µ = 1, 2, . . .
(10)
᫨ ¥ µ | ¥ 楫®¥, â® Da+ f (x), Db− f (x) ¢¢®¤ïâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
Da+ f (x) ≡ µ
Db− f (x) ≡ µ
ª¨¬ ®¡à §®¬,
d dx
−
1
µ
[µ℄
d dx
Da+ f (x)
[µ℄
{µ}
µ
=
Db− f (x) {µ}
n Z
=
d dx
−
[µ℄+1 d dx
1−{µ} f (x),
Ia +
[µ℄+1
f (t) dt, µ−n+1 (n − µ) a (x − t) n Z b (−1)n f (t) d µ Db− f (x) = dt, (n − µ) dx ( t − x )µ−n+1 x
Da+ f (x) µ
=
d dx
x
1−{µ} f (x).
Ib−
(11) (12)
n = [µ℄ + 1,
(13)
n = [µ℄ + 1.
(14)
®áâ â®ç®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¯à®¨§¢®¤ëå (13), (14) á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë Z x f (t) dt ∈ AC [µ℄ . {µ} a (x − t) «ï ¢ë¯®«¥¨ï í⮣® ãá«®¢¨ï ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë f (x) ∈ AC [µ℄ .
âà ¨æ 34
2.5. ¥â®¤ ¤à®¡®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï
35
¬¥ç ¨¥. ¯à¥¤¥«¥¨ï ¤à®¡ëå ¨â¥£à «®¢ ¨ ¤à®¡ëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¬®® ®¡®¡é¨âì á«ãç © ª®¬¯«¥ªáëå µ (á¬., ¯à¨¬¥à, . . ¬ª®, . . ¨«¡ á, . . à¨ç¥¢ (1987)). 2.5-3. á®¢ë¥ á¢®©áâ¢
¥à¥§ Ia+ (L1 ), µ > 0, ®¡®§ 稬 ª« áá äãªæ¨© f (x), ¯à¥¤áâ ¢¨¬ëå «¥¢®áâ®à®¨¬ ¤à®¡ë¬ ¨â¥£à «®¬ ¯®à浪 µ ®â ¨â¥£à¨à㥬®© äãªæ¨¨: f (x) = Iµa+ ϕ(x), ϕ(x) ∈ L1 (a, b), 1 6 p < ∞. µ «ï ⮣® ç⮡ë f (x) ∈ Ia+ (L1 ), µ > 0, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë µ
£¤¥ n
= [µ℄ + 1, ¨ ç⮡ë*
n fn−µ (x) ≡ In−µ a+ f (x) ∈ AC ,
(k ) fn−µ (a) = 0,
(15)
= 0, 1, . . . , n − 1. (16) Ǒãáâì µ > 0. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® äãªæ¨ï f (x) ∈ L1 ¨¬¥¥â ¨â¥£à¨à㥬ãî µ n−µ ¤à®¡ãî ¯à®¨§¢®¤ãî Da+ f (x), ¥á«¨ Ia+ f (x) ∈ AC n , n = [µ℄ + 1. k
à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, í⨬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¢¢¥¤¥® ¯®ï⨥, ¨á¯®«ì§ãî饥 ⮫쪮 µ ¯¥à¢®¥ ¨§ ¤¢ãå ãá«®¢¨© (15), (16), ®¯¨áë¢ îé¨å ª« áá Ia+ (L1 ). Ǒãáâì µ > 0. ®£¤ à ¢¥á⢮
Da+ Ia+ ϕ(x)
= ϕ(x) ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï «î¡®© ¨â¥£à¨à㥬®© äãªæ¨¨ ϕ(x), à ¢¥á⢮ µ µ Ia+ Da+ f (x) = f (x) µ
µ
(17) (18)
¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï äãªæ¨¨
f (x) ∈ Iµa+ (L1 ). (19)
᫨ ¢¬¥áâ® (19) ¯à¥¤¯®«®¨âì, çâ® äãªæ¨ï f (x) ∈ L1 (a, b) ¨¬¥¥â á㬬¨à㥬ãî µ ¯à®¨§¢®¤ãî Da+ f (x), â® (18), ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥¢¥à® ¨ § ¬¥ï¥âáï ä®à¬ã«®© n− X1 (x − a)µ−k−1 (n−k−1) µ µ fn−µ (a), (20) Ia+ Da+ f (x) = f (x) − (µ − k) k=0 £¤¥ n
= [µ℄ + 1 ¨ fn−µ (x) = In−µ a+ f (x). ç áâ®áâ¨, ¯à¨ 0 < µ < 1 ¨¬¥¥¬ Ia+ Da+ f (x) µ
µ
= f (x ) −
f1−µ (a)
(µ)
(x − a)µ−1 .
(21)
2.5-4. ¥è¥¨¥ ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡¥«ï ¢ ä®à¬¥
Z
x a
y (t) dt = f (x), (x − t)µ
(22)
£¤¥ 0 < µ < 1. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® x ∈ [a, b℄, f (x) ∈ AC , y (t) ∈ L1 , ¨ ¯à¨¬¥¨¬ â¥å¨ªã ¤à®¡®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï. §¤¥«¨¢ ®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï (22) (1 − µ), ®á®¢ ¨¨ (1) § ¯¨è¥¬ íâ® ãà ¢¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥
1−µ
Ia+ y (x) =
f (x) , (1 − µ)
x > a.
(23)
* ¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¢ à §¤. 2.5 § ¯¨áì f (n) (x) ®¡®§ ç ¥â n-î ¯à®¨§¢®¤ë¥ ä㪠樨 f (x) ¯® ¥¥ à£ã¬¥âã, f (n) (a) ≡ f (n) (x) x=a .
3*
âà ¨æ 35
36
Rx
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
Ǒ®¤¥©áâ¢ã¥¬ ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(23) ®¯¥à â®à®¬ ¤à®¡®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ 1−µ ¨ï Da+ . ®£¤ ®á®¢ ¨¨ ᢮©á⢠®¯¥à â®à®¢ ¤à®¡®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¯®«ã稬
,
f (a) 1 + (µ) (1 − µ) (x − a)1−µ
Z
¨«¨ ¢ à §¢¥àã⮩ § ¯¨á¨
y (x) =
1−µ
Da+ f (x)
y (x) =
¥¯¥àì á ãç¥â®¬ á®®â®è¥¨ï
(1 − µ)
(24)
x a
ft′ (t) dt . (x − t)1−µ
1 = sin(πµ) (µ) (1 − µ) π
¯à¨¤¥¬ ª à¥è¥¨î ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï ¢ ä®à¬¥
y (x) =
(25)
sin(πµ) π
f (a) (x − a)1−µ
+
Z
x a
ª®â®à ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®«ã祮© à ¥¥ ¢ ¯. 2.4-4.
ft′ (t) dt (x − t)1−µ
,
(26)
• : K. B. Oldham, J. Spanier (1974), . . ¡¥ª® (1986), . . ¬ª®, . . ¨«¡ á, . . à¨ç¥¢ (1987). ¨â¥à âãà
2.6. à ¢¥¨ï á ï¤à ¬¨, ¨¬¥î騬¨ á« ¡ãî ®á®¡¥®áâì 2.6-1. ¥â®¤ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ï¤à
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ¯®«ïàë¬ ï¤à®¬ L(x, t) K (x, t) = 0 < α < 1. (1) , (x − t)α ®£¤ ¨áá«¥¤ã¥¬®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¬®® § ¯¨á âì ¢ ä®à¬¥
Z
x
0
L(x, t) y (t) dt = f (x), (x − t)α
(2)
¯à¨ç¥¬ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® äãªæ¨¨ L(x, t) ¨ ∂L(x, t)/∂x ïîâáï ¥¯à¥àë¢ë¬¨ ¨ ®£à ¨ç¥ë¬¨. «ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (2) 㬮¨¬ ®¡¥ ¥£® ç á⨠dx/(ξ − x)1−α ¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ®â 0 ¤® ξ . ®£¤
Ǒ®« £ ï
Z ξ Z
0
x
0
L(x, t) y (t) dt (x − t)α
dx (ξ − x)1−α
=
Z
f (x) dx . ( ξ − x)1−α 0 ξ
Z ξ L(x, t) dx , K ∗ (ξ, t) = (ξ − x)1−α (x − t)α t Z ξ f (x) dx ϕ(ξ ) = , ϕ(0) = 0, 0 (ξ − x)1−α
¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¤à㣮¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¥© y (t):
¢ ª®â®à®¬ ï¤à® K
∗
Z
ξ
0
K ∗ (ξ, t)y (t) dt = ϕ(ξ ),
(3)
(ξ, t) ¥ ¨¬¥¥â ®á®¡¥®á⥩.
âà ¨æ 36
37
2.6. à ¢¥¨ï á ï¤à ¬¨, ¨¬¥î騬¨ á« ¡ãî ®á®¡¥®áâì
®® ¯®ª § âì, çâ® «î¡®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (3) ï¥âáï â ª¥ à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (2). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï (2) ª ¢¨¤ã (3), ª ¯®á«¥¤¥¬ã ¯à¨¬¥¨¬ë ¬¥â®¤ë, ¯à¨£®¤ë¥ ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå 拉à. 2.6-2. ¤à® á «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ®á®¡¥®áâìî
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
Z
x
0
ln(x − t)y (t) dt = f (x),
f (0) = 0.
(4)
«ï ¥£® à¥è¥¨ï ¯à¨¬¥¨¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á . ¬¥â¨¬, çâ®
L xν =
Z
∞
(ν + 1)
e−px xν dx =
0
pν +1
,
ν > −1.
Ǒத¨ää¥à¥æ¨à㥬 á®®â®è¥¨¥ (5) ¯® ν . ®£¤
(ν + 1)
L xν ln x = Ǒਠν
= 0 ¢ ᨫã (6) ¨¬¥¥¬
pν +1
(5)
(ν + 1) + ln 1 . (ν + 1) p
′ ν
(6)
(1) = −C, (1)
′ ν
£¤¥ C = 0.5772. . . | ¯®áâ®ï ï ©«¥à . ãç¥â®¬ ¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠ä®à¬ã« (6) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ ln p + C L ln x = − . (7) p Ǒਬ¥ïï ª ãà ¢¥¨î (4) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á , á ãç¥â®¬ (7) ¯®«ã稬
ln p + C
−
p
y~(p) = f~ (p),
®âªã¤
¯¨è¥¬ ⥯¥àì y ~(p) ¢ ¢¨¤¥
y~(p) = − ª ª ª f (0)
= 0, â®
pf~ (p) . ln p + C
(8)
p2 f~ (p) − fx′ (0) fx′ (0) − . p(ln p + C ) p(ln p + C )
(9)
y~(p) = −
′′ L fxx (x) = p2 f~ (p) − fx′ (0).
(10)
Ǒ¥à¥¯¨è¥¬ ä®à¬ã«ã (5) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
L
xν (ν + 1)
=
1
pν +1
¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ®¡¥ ç á⨠(11) ¯® ν ¢ ¯à¥¤¥« å ®â
L
Z
∞
0
xν
(ν + 1)
dν
=
Z
∞
0
(11)
,
0 ¤® ∞. ®£¤
dν pν +1
=
p
1 . ln p
®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã«®© ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á ¯à¨ ¨§¬¥¥¨¨ ¬ áèâ ¡ ¯¥à¥¬¥®© (á¬. â ¡«. 1 ¨§ ¯. 1.2-5), ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
L
Z
∞
0
Z
∞ (x/a)ν dν = (ν + 1) 0
dν pν +1
=
p
1 = ln ap
1
p (ln p + ln a)
.
âà ¨æ 37
38
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
᫨ ¯®«®¨âì a
= eC , â®
Z
L
∞
0
xν e−Cν dν (ν + 1)
=
Rx a
K (x, t)y (t) dt
1
p (ln p + C )
¡à ⨬áï ª à ¢¥áâ¢ã (9). ᨫã á®®â®è¥¨ï (12)
fx′ (0) p (ln p + C )
=L
fx′ (0)
Z
∞
0
= f (x)
(12)
.
xν e−Cν dν . (ν + 1)
(13)
ç¨âë¢ ï (10) ¨ (12), ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(9) ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¨§®¡à ¥¨©. «ï ®âë᪠¨ï í⮣® á« £ ¥¬®£® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥮६®© ® ᢥà⪥:
p2 f~ (p) − fx′ (0) p (ln p + C )
=L
Z
x
0
′′ ftt (t)
Z
∞
0
(x − t)ν e−Cν dν dt . (ν + 1)
(14)
®á®¢ ¨¨ á®®â®è¥¨© (9), (13) ¨ (14) ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (4) ¢ ¢¨¤¥
y (x) = −
•
Z
x
0
′′ ftt (t)
Z
∞
0
Z
∞ xν e−Cν (x − t)ν e−Cν dν dt − fx′ (0) dν. (ν + 1) (ν + 1) 0
(15)
: . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . ®«ìâ¥àà
¨â¥à âãà
(1982).
2.7. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà 2.7-1. ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë
¥â®¤®¬ ª¢ ¤à âãà §ë¢ ¥âáï ¬¥â®¤ ¯®áâ஥¨ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ®á®¢ ë© § ¬¥¥ ¨â¥£à «®¢ ª®¥ç묨 á㬬 ¬¨ ¯® ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«¥. ª¨¥ ä®à¬ã«ë §ë¢ îâáï ª¢ ¤à âãà묨 ¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤
Z
b a
ψ (x) dx =
n X i=1
Ai ψ (xi ) + εn [ψ ℄,
(1)
£¤¥ xi (i = 1, 2, . . . , n) | ¡áæ¨ááë â®ç¥ª à §¡¨¥¨ï ¯à®¬¥ã⪠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï [a, b℄ ¨«¨ ã§«ë ª¢ ¤à âãàë (¨«¨ ¨â¥à¯®«¨à®¢ ¨ï), Ai | ç¨á«®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¥ § ¢¨áï騥 ®â ¢ë¡®à äãªæ¨¨ ψ (x), εn [ψ ℄ | ®áâ â®çë© ç«¥ (®è¨¡ª ) n P Ai = b − a. ä®à¬ã«ë (1). ª ¯à ¢¨«® Ai > 0 ¨ i=1
ãé¥áâ¢ã¥â ¤®¢®«ì® ¬®£® ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã« ¢¨¤ (1). ¨¡®«¥¥ ¯à®áâ묨 ¨ ç áâ® ¯à¨¬¥ï¥¬ë¬¨ ¯à ªâ¨ª¥ ïîâáï á«¥¤ãî騥 (h | ¯®áâ®ïë© è £ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï): ®à¬ã« ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢:
= A2 = · · · = An−1 = h, An = 0, b−a h= , xi = a + h(i − 1) (i = 1, . . . , n). A1
n−1
(2)
®à¬ã« âà ¯¥æ¨©:
= An = b−a h= , A1
n−1
1 2 h,
= A3 = · · · = An−1 = h, xi = a + h(i − 1) (i = 1, . . . , n). A2
(3)
âà ¨æ 38
39
2.7. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà
®à¬ã« ¨¬¯á® (¯ à ¡®«):
= A2m+1 = 13 h, A2 = · · · = A2m = 43 h, b−a h= , xi = a + h(i − 1) (n = 2m + 1,
A1
= · · · = A2m−1 = i = 1, . . . , n), A3
2 h, 3
(4)
n−1 £¤¥ m | âãà «ì®¥ ç¨á«®. ¨à®ª®£® ¯à¨¬¥ïîâáï â ª¥ ª¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë ¥¡ë襢 ¨ ãáá á à §ë¬ ª®«¨ç¥á⢮¬ 㧫®¢ ¨â¥à¯®«¨à®¢ ¨ï. Ǒந««îáâà¨à㥬 í⨠ä®à¬ã«ë ¯à¨¬¥à¥. Ǒਬ¥à. [−1, 1℄ ®à¬ã« ¥¡ë襢 (n = 6)
®â१ª¥
, ¯ à ¬¥âàë ä®à¬ã«ë (1) ¯à¨¨¬ îâ á«¥¤ãî騥 § 票ï: :
2 1 = A2 = · · · = = , n 3 x2 = −x5 = −0.4225186538, (n = 7): A1 = A7 = 0.1294849662, A3 = A5 = 0.3818300505, x1 = −x7 = −0.9491079123, x3 = −x5 = −0.4058451514, A1
x1
= −x6 = −0.8662468181, x3 = −x4 = −0.2666354015.
(5)
A2 = A6 = 0.2797053915, A4 = 0.4179591837, x2 = −x6 = −0.7415311856, x4 = 0.
(6)
®à¬ã« ãáá
¬¥â¨¬, çâ® ª¢ ¤à âãàë¬ ä®à¬ã« ¬ ¯®á¢ïé¥ ®¡è¨à ï «¨â¥à âãà , ª®â®àãî § ¨â¥à¥á®¢ ë© ç¨â ⥫ì ᬮ¥â ©â¨, ¯à¨¬¥à, ¢ ª¨£ å . . å¢ «®¢ (1973), . . ¨ª®«ì᪨© (1979), . ®à, . ®à (1984). 2.7-2. ¡é ï á奬 ¬¥â®¤
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த
Z
x a
K (x, t)y (t)dt = f (x),
f (a) = 0,
(7)
¨ ¯à¨¬¥¨¬ ¤«ï ¥£® à¥è¥¨ï ®â१ª¥ a 6 x 6 b ¬¥â®¤ ª¢ ¤à âãà. Ǒà®æ¥¤ãà ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨ï á®á⮨⠨§ ¤¢ãå íâ ¯®¢:
1◦ . ®-¯¥à¢ëå, ®¯à¥¤¥«¨¬ ç «ì®¥ § 票¥ y (a). «ï í⮣® ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ãà ¢¥¨¥ (7) ¯® x. ®£¤ K (x, x)y (x) + Ǒ®« £ ï x
= a, ©¤¥¬ y1
Z
x a
= y (a) =
Kx′ (x, t)y (t) dt = fx′ (x). fx′ (a) K (a, a)
=
fx′ (a) . K11
2◦ . ®§ì¬¥¬ ¯®áâ®ïë© è £ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï h ¨ à áᬮâਬ ¤¨áªà¥â®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª xi = a + h(i − 1), i = 1, 2, . . . , n. Ǒਠx = xi ãà ¢¥¨¥ (7) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ Z xi
a
K (xi , t)y (t) dt = f (xi ),
i = 2, 3, . . . , n.
(8)
¬¥ïï ¨â¥£à « ¢ (8) ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«®© (1) ¨ ¢ë¡¨à ï xj (j = 1, 2, . . . , i) 㧫 ¬¨ ª¢ ¤à âãàë (¯® ¯¥à¥¬¥®© t), ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©: i X
j =1
Aij K (xi , xj )y (xj ) = f (xi ) + εi [y ℄,
i = 2, 3, . . . , n,
(9)
âà ¨æ 39
40
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
£¤¥ Aij | ª®íää¨æ¨¥âë ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë ®â१ª¥ [a, xi ℄, εi [y ℄ | ®è¨¡ª ¯¯à®ªá¨¬ 樨. Ǒ®« £ ï εi [y ℄ ¬ «ë¬¨ ¨ ®â¡à áë¢ ï ¨å, ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¢ ä®à¬¥ i X j =1
Aij Kij yj
= fi ,
i = 2, . . . , n,
(10)
£¤¥ Kij = K (xi , xj ) (j = 1, . . . , i), fi = f (xi ), yj | ¯à¨¡«¨¥ë¥ § ç¥¨ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ y (x) ¢ 㧫 å xi . ¥¯¥àì á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (10) ¯®§¢®«ï¥â ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯à¨ Ai Kii = 6 0 (i = 1, 2, . . . , n) ¨áª®¬ë¥ ¯à¨¡«¨¥ë¥ § ç¥¨ï ¯®á।á⢮¬ ä®à¬ã«
y1
=
fx′
(a)
K11
,
y2
=
f2 − A21 K21 y1 , A22 K22
...,
yn
=
fn −
n− P1 j =1
Anj Knj yj
Ann Knn
,
ª®ªà¥âë© ¢¨¤ ª®â®àëå § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë. 2.7-3. «£®à¨â¬ ®á®¢¥ ä®à¬ã«ë âà ¯¥æ¨©
ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã«®© âà ¯¥æ¨© (3), ¨¬¥¥¬
Ai1
= Aii =
1 2 h,
Ai2
= · · · = Ai,i−1 = h,
i = 2, . . . , n.
Ǒਬ¥¥¨¥ í⮩ ä®à¬ã«ë ¢ ®¡é¥© á奬¥ ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠯®è £®¢®¬ã «£®à¨â¬ã:
fx′ (a) , K11
y1
=
yi
= 2
Kii
fx′ (a) = i−1
−3f1
+ 4f2 − f3 , 2h
X fi − βj Kij yj , h j =1
βj
=
1 2
1
¯à¨ j = 1, ¯à¨ j > 1,
i = 2, . . . , n,
£¤¥ ®¡®§ 票ï ᮢ¯ ¤ îâ á ¢¢¥¤¥ë¬¨ ¢ ¯. 2.7-2. ®à¬ã« âà ¯¥æ¨© ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ , íä䥪⨢ ¨ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à ªâ¨ª¥ ¤«ï à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. ®á®¢ ¨¨ 2.7-1 ¨ 2.7-2 ¬®® ¢ë¯¨á âì «®£¨çë¥ ¢ëà ¥¨ï á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¤àã£¨å ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«. ¤ ª® áãé¥áâ¢ãî⠮ᮡ¥®á⨠¢ ¨å ¯à¨¬¥¥¨¨. ¯à¨¬¥à, ¯à¨¬¥¥¨¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¯á® ¤®«® ç¥à¥¤®¢ âìáï ¤«ï ¥ç¥âëå 㧫®¢ á ª ª¨¬-«¨¡® ¤à㣨¬ ¯à ¢¨«®¬, ᪠¥¬, á ä®à¬ã«®© ¯àאַ㣮«ì¨ª®¢ ¨«¨ ä®à¬ã«®© âà ¯¥æ¨©. «ï ãà ¢¥¨© á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢®§¨ª îâ á«®®á⨠¨ ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ä®à¬ã« ¥¡ë襢 ¨ ãáá . 2.7-4. «£®à¨â¬ ¤«ï ãà ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬
¡é¥¥ ᢮©á⢮ «£®à¨â¬®¢ ¬¥â®¤ ª¢ ¤à âãà ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த á ¯à®¨§¢®«ìë¬ ï¤à®¬ á®á⮨⠢ ¯à®¯®à樮 «ì®© § ¢¨á¨¬®á⨠ª®«¨ç¥á⢠¢ëç¨á«¥¨© è £¥ ®â ®¬¥à è £ : ¢á¥ ®¯¥à 樨 ¯à¥¤ë¤ã饣® è £ ¯®¢â®àïîâáï á ®¢ë¬¨ ¤ 묨 á«¥¤ãî饬 è £¥ ¨ ¤®¡ ¢«ï¥âáï ¥é¥ ®¤¨ ç«¥ á㬬ë.
᫨ ¥ ï¤à® ¢ ãà ¢¥¨¨ (7) ¢ëத¥®¥, â. ¥.
K (x, t) =
m X
k=1
pk (x)qk (t),
(11)
âà ¨æ 40
41
2.8. à ¢¥¨ï á ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
¨«¨ ¢®§¬® ¯à¨¡«¨¥ ï § ¬¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ï¤à ¢ëத¥ë¬, â® ¬®® ¯®áâநâì «£®à¨â¬, ¤«ï ª®â®à®£® ª®«¨ç¥á⢮ ®¯¥à 権 ¥ § ¢¨á¨â ®â ®¬¥à 㧫 ¤¨áªà¥â¨§ 樨. ãç¥â®¬ (11) ãà ¢¥¨¥ (7) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ m X
k=1
pk (x)
Z
x a
qk (t)y (t) dt = f (x).
(12)
Ǒਬ¥ïï ª (12) ä®à¬ã«ã âà ¯¥æ¨©, ¯®«ãç ¥¬ ४ãàà¥âë¥ ¢ëà ¥¨ï ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (á¬. ä®à¬ã«ë ¯. 2.7-3):
f ′ (a)
x y (a) = P , m pk (a)qk (a) k=1
yi
=
m P
k=1
2 pki qki
m
i−1
k=1
j =1
X X fi − pki βj qkj yj , h
£¤¥ yi | ¯à¨¡«¨¥ë¥ § ç¥¨ï ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ y (x) ¢ 㧫 å xi , fi = f (xi ), pki = pk (xi ), qki = qk (xi ).
: . . å¢ «®¢ (1973), . . àë«®¢, . . ®¡ª®¢, Ǒ. . ® áâëàë© (1984), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986).
•
¨â¥à âãà
2.8. à ¢¥¨ï á ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
Ǒ।áâ ¢«ïîâ ¨â¥à¥á ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ®¤¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬, ¤à㣨¬ ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥« ¬¨, ᮤ¥à 騥 à §®á⮥ ï¤à®. áâ® ï¤à ¨ äãªæ¨¨ â ª¨å ãà ¢¥¨© ¥ ¯à¨ ¤«¥ â ®¯¨á ë¬ ¢ ç «¥ £« ¢ë ª« áá ¬. áá«¥¤®¢ ¨¥ íâ¨å ãà ¢¥¨© ¯à®¢®¤¨âáï ¬¥â®¤®¬ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© (á¬. à §¤. 3.6) ¨«¨ ¬¥â®¤®¬ ᢥ¤¥¨ï ª ãà ¢¥¨ï¬ ⨯ ᢥà⪨. áᬮâਬ ®â¬¥ç¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¯à¨¬¥à¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬. 2.8-1. à ¢¥¨¥ á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬:
Z
∞ x
K (x − t)y (t) dt = f (x).
(1)
à ¢¥¨¥ (1) ¥«ì§ï à¥è¨âì ¯ã⥬ ¥¯®á।á⢥®£® ¯à¨¬¥¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á , â ª ª ª §¤¥áì ⥮६ ® ᢥà⪥ ¥ ¯à¨¬¥¨¬ . ᮮ⢥âá⢨¨ á ¬¥â®¤®¬ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨©, ¯®¤à®¡®¥ ¨§«®¥¨¥ ª®â®à®£® ¯à¨¢¥¤¥® ¢ à §¤. 3.6, à áᬮâਬ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥ á íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî
¥è¥¨¥ (2) ¨¬¥¥â ¢¨¤
Z
∞ x
K (x − t)y (t) dt = epx .
1
Y (x, p) = ~ epx , K (−p)
~ (−p) = K
Z
∞
0
(2)
K (−z )epz dz.
(3)
®£¤ ®á®¢ ¨¨ íâ¨å ä®à¬ã« ¨ ä®à¬ã«ë (11) ¨§ à §¤. 3.6 ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ¢ ä®à¬¥
y (x) =
1 2πi
Z c+i∞ c−i∞
f~ (p) px e dp, ~ K (−p)
(4)
~ (p) | ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï £¤¥ f ¯« á .
âà ¨æ 41
42
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï Ǒਬ¥à.
Z
∞ x
ea(x−t) y (t) dt
= A sin(bx),
a > 0.
(5)
ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã« ¬¨ (3) ¨ (4) ¯®«ã稬 ¢ëà ¥¨ï ¤«ï f~ (p) ¨ K~ (−p): f~ (p)
~ (−p) K
Ab
= 2 2, p +b
â ª¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (5) ¢ ä®à¬¥ y (x)
=
1 2πi
=
Z
∞
0
e(p−a)z dz
=
1
a−p
Z c+i∞ Ab(a − p) px e dp. p2 + b2 c−i∞
,
(6)
(7)
¥¯¥àì, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì â ¡«¨æ ¬¨ ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á , ¯®«ã稬 â®ç®¥ à¥è¥¨¥ y (x)
= Aa sin(bx) − Ab os(bx),
a > 0,
(8)
ª®â®à®¥ ¬®® «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì ¯®¤áâ ®¢ª®© (8) ¢ ãà ¢¥¨¥ (5) á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ â ¡«¨æ ¨â¥£à «®¢. 2.8-2. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த
à ¢¥¨¥ (1) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥® ª ®¤®áâ®à®¥¬ã ãà ¢¥¨î ¯¥à¢®£® த Z ∞
K− (x − t)y (t) dt = −f (x), 0 £¤¥ ï¤à® K− (x − t) ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤: 0 ¯à¨ K− (s ) = −K (s ) ¯à¨
0 < x < ∞,
s s
(9)
> 0, < 0.
¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï (9) ®¯¨á ë ¢ £« ¢¥ 4.
•
: . . 客, . . ¥à᪨© (1978), . . Ǒ®«ï¨, . . ¨à®¢
¨â¥à âãà
(1997).
âà ¨æ 42
Rx
3. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
3.1. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த 3.1-1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï. à ¢¥¨ï ¤«ï १®«ì¢¥âë
£« ¢¥ 3 ¨§« £ îâáï ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த , ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤:
y (x ) −
Z
x a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
(1)
£¤¥ y (x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï (a 6 x 6 b), K (x, t) | ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® f (x) | ᢮¡®¤ë© ç«¥ ¨«¨ ¯à ¢ ï ç áâì ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. « ááë äãªæ¨©, ª®â®àë¬ ¬®£ã⠯ਠ¤«¥ âì y (x), f (x) ¨ K (x, t), ®¯à¥¤¥«¥ë ¢ ¯. 2.1-1. íâ¨å ª« áá å äãªæ¨© à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥®. Ǒਠf (x) ≡ 0 ãà ¢¥¨¥ (1) §ë¢ îâ ®¤®à®¤ë¬ , ¯à¨ f (x) 6≡ 0 | ¥®¤®à®¤ë¬. ¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) §ë¢ ¥âáï ¢ëத¥ë¬, ¥á«¨ ®® ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t). ¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) §ë¢ ¥âáï à §®áâë¬, ¥á«¨ ®® § ¢¨á¨â ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢: K (x, t) = K (x − t).
ãà ¢¥¨ï,
¬¥ç ¨¥ 1. ¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥.
¬¥ç ¨¥ 2. 뢮¤ ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á¯à ¢¥¤«¨¢ ¨ ¤«ï £®à §¤® ¡®«¥¥ è¨à®ª®£® ª« áá ï¤¥à ¨ äãªæ¨©. ¬¥ç ¨¥ 3. à ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¬®® âà ªâ®¢ âì ª ª ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த , ï¤à® ª®â®à®£® K (x, t) ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯à¨ t > x (á¬. £« ¢ã 4). ¬¥ç ¨¥ 4. «ãç ©, ª®£¤ a = −∞ ¨/¨«¨ b = ∞, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¨áª«îç ¥âáï, ® ¯à¨ í⮬ á«¥¤ã¥â ¢¨¬ â¥«ì® ¯à®¢¥àïâì ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨ï ª¢ ¤à â¨ç®© ¨â¥£à¨à㥬®á⨠ï¤à K (x, t) ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}.
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
y (x) = f (x) +
Z
x a
R(x, t)f (t) dt,
(2)
£¤¥ १®«ì¢¥â R(x, t) ¥ § ¢¨á¨â ®â ᢮¡®¤®£® ç«¥ f (x) ¨ ¨¥£® ¯à¥¤¥« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï a, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ï¤à®¬ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ¥§®«ì¢¥â ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà (1) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¢ã¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ Z x
R(x, t) = K (x, t) + R(x, t) = K (x, t) +
Zt x t
K (x, s )R(s , t) ds ,
(3)
K (s , t)R(x, s ) ds ,
(4)
¢ ª®â®àëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® à §«¨çë¬ ¯ à ¬ ¯¥à¥¬¥ëå ï¤à ¨ १®«ì¢¥âë.
âà ¨æ 43
44
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
3.1-2. ¢ï§ì ¬¥¤ã à¥è¥¨ï¬¨ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
Ǒਢ¥¤¥¬ ¤¢¥ ¯®«¥§ë¥ ä®à¬ã«ë, ¢ëà î騥 à¥è¥¨¥ ®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨¥ ç¥à¥§ à¥è¥¨ï ¤àã£¨å ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©.
1◦ . Ǒãáâì à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á ï¤à®¬ K (x, t) ®â¢¥ç ¥â १®«ì¢¥â R(x, t). ®£¤ à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á ï¤à®¬ K ∗ (x, t) = −K (t, x) ®â¢¥ç ¥â १®«ì¢¥â R∗ (x, t) = −R(t, x).
2◦ . Ǒãáâì ¨¬¥îâáï ¤¢ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á ï¤à ¬¨ K1 (x, t) ¨ K2 (x, t), ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ १®«ì¢¥âë R1 (x, t) ¨ R2 (x, t). ®£¤ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà á ï¤à®¬ K (x, t) = K1 (x, t) + K2 (x, t) −
¨¬¥¥â १®«ì¢¥âã
R(x, t) = R1 (x, t) + R2 (x, t) +
Z
Z
x t x
t
K1 (x, s )K2 (s , t) ds
(5)
R1 (s , t)R2 (x, s ) ds .
(6)
⬥⨬, çâ® ¢ ä®à¬ã« å (5) ¨ (6) ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® à §«¨çë¬ ¯ à ¬ ¯¥à¥¬¥ëå.
: . ãàá (1934), . . îâæ (1934), . . ¨å«¨ (1959), . ਪ®¬¨ (1960), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . « ä (1970), J. A. Co hran (1972), C. Corduneanu (1973), . . ¬¨à®¢ (1974), . ®«ìâ¥àà (1982), A. J. Jerry (1985), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998, 1999).
•
¨â¥à âãà
3.2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬:
K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t) 3.2-1. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬
K (x, t) = ϕ(x) + ψ (x)(x − t)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà á â ª¨¬ ï¤à®¬ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ä®à¬ã«ë ′′ y = wxx , (1) £¤¥ w = w(x) | à¥è¥¨¥ «¨¥©®£® ¥®¤®à®¤®£® ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 ′′ wxx − ϕ(x)wx′ − ψ (x)w = f (x),
(2)
w(a) = wx′ (a) = 0.
(3)
㤮¢«¥â¢®àïî饥 ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬
Ǒãáâì w1 = w1 (x) | ¥âਢ¨ «ì®¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® «¨¥©®£® ®¤®à®¤®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (2) ¯à¨ f (x) ≡ 0. Ǒãáâì w1 (a) 6= 0. ®£¤ ¤à㣮¥ ¥âਢ¨ «ì®¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ 㪠§ ®£® «¨¥©®£® ®¤®à®¤®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï w2 = w2 (x) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
w2 (x) = w1 (x)
Z
x a
(t) dt, [w1 (t)℄2
hZ
(x) = exp
x a
i ϕ(s ) ds .
¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (2), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬ (3), ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
w(x) = w2 (x)
Z
x a
w1 (t) f (t) dt − w1 (x) (t)
Z
x a
w2 (t) f (t) dt. (t)
(4)
âà ¨æ 44
3.2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬:
K (x, t)
= g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t) 45
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (4) ¢ ä®à¬ã«ã (1), ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï Z
y (x) = f (x) +
£¤¥
x
a
1 = (t)
R(x, t) = [w2′′ (x)w1 (t) − w1′′ (x)w2 (t)℄
= ϕ(x) (x)
¤¥áì
w1 (t) w1 (x) (t) hZ x
(x) = exp
®© x.
a
R(x, t)f (t) dt,
+ [ϕ(x)w1′ (x) + ψ(x)w1 (x)℄ w1 (t) (t)
Z
x t
(s ) ds . [w1 (s )℄2
i ϕ(s ) ds , èâà¨å ¬¨ ®¡®§ ç¥ë ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥-
«ï ¢ëத¥®£® ï¤à à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢¨¤ १®«ì¢¥âã ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯® ä®à¬ã«¥
R(x, t) = u′′xx ,
£¤¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ì ï äãªæ¨ï u ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ «¨¥©®£® ®¤®à®¤®£® ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪
u′′xx − ϕ(x)u′x − ψ (x)u = 0,
(5)
㤮¢«¥â¢®àïî騬 á«¥¤ãî騬 ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨ x
u x=t
u′x x=t
= 0,
= 1.
= t: (6)
Ǒ à ¬¥âà t ¢å®¤¨â «¨èì ¢ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï (6), ¯à¨ í⮬ á ¬® ãà ¢¥¨¥ (5) ¥ § ¢¨á¨â ®â t. ¬¥ç ¨¥ 1.
¤à® à áᬠâਢ ¥¬®£® ãà ¢¥¨ï ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
K (x, t) = G1 (x) + tG2 (x), £¤¥ G1 (x) = ϕ(x) + xψ (x), G2 (x) = −ϕ(x). 3.2-2. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬
K (x, t) = ϕ(t) + ψ (t)(t − x)
«ï ¢ëத¥®£® ï¤à à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢¨¤ १®«ì¢¥â ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ ′′ R(x, t) = −vtt , (7)
£¤¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ì ï äãªæ¨ï v ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ «¨¥©®£® ®¤®à®¤®£® ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® ¯®à浪 ′′ vtt + ϕ(t)vt′ + ψ(t)v
= 0,
(8)
㤮¢«¥â¢®àïî騬 á«¥¤ãî騬 ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¯à¨ t
v t=x
vt′ t=x
= 0,
= 1.
= x: (9)
¥«¨ç¨ x ¢å®¤¨â ¢ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï (9) «¨èì ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨, ¯à¨ í⮬ á ¬® ãà ¢¥¨¥ (8) ¥ § ¢¨á¨â ®â x. Ǒãáâì v1 = v1 (t) | ¥âਢ¨ «ì®¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (8). ®£¤ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ í⮣® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
v (t) = C1 v1 (t) + C2 v1 (t)
Z
t a
hZ
ds , (s )[v1 (s )℄2
(t) = exp
t a
i ϕ(s ) ds .
¤®¢«¥â¢®àïï ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬ (9), 室¨¬ § ¢¨á¨¬®áâì ¯®áâ®ïëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï C1 ¨ C2 ®â ¯ à ¬¥âà x. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (8), (9):
v
= v1 (x)(x)
Z
t x
ds
(s )[v1 (s )℄2
.
(10)
âà ¨æ 45
46
y (x) −
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (10) ¢ ä®à¬ã«ã (7) ¨ ¨áª«îç ï ¢â®àãî ¯à®¨§¢®¤ãî á ¯®¬®éìî ãà ¢¥¨ï (8), ©¤¥¬ १®«ì¢¥âã
v (x)(x) R(x, t) = ϕ(t) 1 v1 (t)(t) ¬¥ç ¨¥ 2.
á âì ¢ ¢¨¤¥ K (x, t)
+ v1 (x)(x)[ϕ(t)vt′ (t) + ψ(t)v1 (t)℄
Z
t x
ds
(s )[v1 (s )℄2
.
¤à® à áᬠâਢ ¥¬®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¬®® § ¯¨= G1 (t) + xG2 (t), £¤¥ G1 (t) = ϕ(t) + tψ(t), G2 (t) = −ϕ(t).
3.2-3. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬
Pn
K (x, t) =
m =1
ϕm (x)(x − t)m− 1
«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï १®«ì¢¥âë R(x, t) ¢¢¥¤¥¬ ¢á¯®¬®£ ⥫ìãî äãªæ¨î
u(x, t) =
1
(n − 1)!
Z
x t
R(s , t)(x − s )n−1 ds +
(x − t)n−1 , (n − 1)!
ª®â®à ï ¯à¨ x = t ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ n−2 ¯¥à¢ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯® x, ¯à®¨§¢®¤ ï ¯®à浪 n − 1 ¯à¨ x = t à ¢ ¥¤¨¨æ¥. ஬¥ ⮣®,
R(x, t) = u(xn) (x, t),
u(xn)
=
dn u(x, t) . dxn
(11)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï (11) ¢ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï १®«ì¢¥âë (3) ¨§ ¯. 3.1-1, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
u(xn) (x, t) = K (x, t) +
Z
x t
K (x, s )us(n) (s , t) ds .
(12)
Ǒਬ¥ïï ª ¨â¥£à «ã ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(12) ä®à¬ã«ã ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ç áâï¬, ¯®«ã稬 n− X1 (−1)m Ks(m) (x, s )us(n−m−1) (s , t) ss==xt . u(xn) (x, t) = K (x, t) + m=0
(13)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ⥯¥àì ¢ (13) ¢ëà ¥¨ï ¤«ï K (x, t) ¨ u(x, t), ¯à¨¤¥¬ ª «¨¥©®¬ã ®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î n-£® ¯®à浪 ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨¨ u(x, t). ª¨¬ ®¡à §®¬, १®«ì¢¥âã R(x, t) ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ 㪠§ ®£® ¢¨¤ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ (11), £¤¥ u(x, t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî饬㠤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¨ ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬:
u(xn) − ϕ1 (x)u(xn−1) − ϕ2 (x)u(xn−2) − 2ϕ3 (x)u(xn−3) − · · · − (n − 1)! ϕn (x)u = 0, u x=t = u′x x=t = · · · = u(xn−2) x=t = 0, u(xn−1) x=t = 1. ¥«¨ç¨ t ¢å®¤¨â ¢ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï «¨èì ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨, ¯à¨ í⮬ á ¬® ãà ¢¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â t. ¬¥ç ¨¥ 3.
ï¤àã à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢¨¤ í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨-
ﬨ ¯à¨¢®¤¨âáï ï¤à® K (x, t)
3.2-4. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬
=
n P
m=1
φm (x)tm−1 .
K (x, t) =
Pn
m =1
ϕm (t)(t − x)m− 1
Ǒ।áâ ¢¨¬ १®«ì¢¥âã § ¤ ®£® ¢ëத¥®£® ï¤à ¢ ¢¨¤¥
(n) R(x, t) = −vt (x, t),
(n) vt
=
dn v(x, t) , dtn
âà ¨æ 46
3.2. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬:
K (x, t)
= g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t) 47
¯à¨ç¥¬ ¢á¯®¬®£ ⥫ì ï äãªæ¨ï v (x, t) ¯à¨ t = x ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¢¬¥á⥠á n − 2 ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯® t, n − 1-ï ¯à®¨§¢®¤ ï ¯® t ¯à¨ t = x à ¢ ¥¤¨¨æ¥. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï १®«ì¢¥âë ¢ ãà ¢¥¨¥ (3) ¨§ ¯. 3.1-1, ¯®«ã稬
Z
(n) vt (x, t) =
x t
K (s , t)vs(n) (x, s ) ds − K (x, t).
Ǒਬ¥¨¬ ª ¨â¥£à «ã ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ä®à¬ã«ã ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ç áâï¬. ®£¤ , ãç¨âë¢ ï ᢮©á⢠¢á¯®¬®£ ⥫쮩 äãªæ¨¨ v (x, t), ¯à¨¤¥¬ ª á«¥¤ãî饩 § ¤ ç¥ ®è¨ ¤«ï ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï n-£® ¯®à浪 :
(n) (n−1) vt + ϕ1 (t)vt + ϕ2 (t)vt(n−2) + 2ϕ3 (t)vt(n−3) + · · · + (n − 1)! ϕn (t)v = 0, (n−2) = 0, vt(n−1) t=x = 1. v t=x = vt′ t=x = · · · = vt t=x ¥«¨ç¨ x ¢å®¤¨â ¢ ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï «¨èì ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨, ¯à¨ í⮬ á ¬® ãà ¢¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â x. ¬¥ç ¨¥ 4.
ï¤àã à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢¨¤ í«¥¬¥â à묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨-
ﬨ ¯à¨¢®¤¨âáï ï¤à® K (x, t)
=
n P
φm (t)xm−1 .
m=1
3.2-5. à ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ®¡é¥£® ¢¨¤
¤ ®¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
y (x) −
n X
m=1
ᯮ«ì§ãï ®¡®§ 票ï
wj (x) =
Z
gm (x)
x a
Z
x a
hm (t)y (t) dt = f (x).
hj (t)y (t) dt,
j
= 1, 2, . . . , n,
(14)
(15)
§ ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (14) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
y (x) =
n X
m=1
gm (x)wm (x) + f (x).
(16)
¨ää¥à¥æ¨àãï ¢ëà ¥¨ï (15) á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë (16), ¯à¨å®¤¨¬ ª á¨á⥬¥ «¨¥©ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨© wj = wj (x):
wj′
= hj (x)
n hX
ç «ì묨 ãá«®¢¨ï¬¨
m=1
i gm (x)wm + f (x) ,
wj (a) = 0,
j
j
= 1, 2, . . . , n,
= 1, 2, . . . , n.
᫨ ©¤¥® à¥è¥¨¥ í⮩ á¨á⥬ë, â® à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (14) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (16) ¨«¨ á ¯®¬®éìî «î¡®£® ¨§ ¢ëà ¥¨©
y (x ) =
wj′ (x) hj (x)
,
j
= 1, 2, . . . , n,
ª®â®àë¥ ¯®«ãç¥ë ¯ã⥬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ä®à¬ã«ë (15).
: . ãàá (1934), . . îâæ (1934), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 47
48
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
3.3. à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬:
Rx a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
K (x, t) = K (x − t)
3.3-1. ¥â®¤ à¥è¥¨ï, ®á®¢ ë© ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¯« á
à ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢, ¨¬¥îâ ¢¨¤ Z x
y (x) −
0
K (x − t)y (t) dt = f (x).
(1)
Ǒਬ¥ïï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á L ª ãà ¢¥¨î (1) ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® ¨â¥£à « á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢, ¯® ⥮६¥ ® ᢥà⪥ (á¬. ¯. 1.2-3) ~ (p)~y(p), ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î ¤«ï ®¡à § ¨áª®¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ K ¬®© ¢¥«¨ç¨ë ~ (p)~y(p) = f~ (p). y~(p) − K (2) ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (2) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
y~(p) =
f~ (p)
(3)
~ (p) , 1−K
ª®â®àãî ¬®® § ¯¨á âì ¢ íª¢¨¢ «¥â®¬ ¢¨¤¥
~ (p)f~ (p), y~(p) = f~ (p) + R
~ (p) = R
~ (p) K
~ (p) . 1−K
(4)
Ǒਬ¥ïï ª (4) ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á , ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ¢¨¤¥ Z x
y (x) = f (x) + R(x − t)f (t) dt, 0 Z c+ i∞ 1 ~ (p)epx dp. R(x) = R
2πi
(5)
c−i∞
Ǒਠ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ä®à¬ã«ë (5) ¬®£ãâ ¢®§¨ªãâì â¥å¨ç¥áª¨¥ âà㤮áâ¨: Z ∞ ~ (p) = 1◦ . Ǒਠ¯®«ã票¨ ¨§®¡à ¥¨ï K K (x)e−px dx ¤«ï ª®ªà¥â®£®
0
ï¤à K (x).
~ (p) Ǒਠ室¥¨¨ ®à¨£¨ « १®«ì¢¥âë (5), ¨§®¡à ¥¨¥ ª®â®à®£® R 室¨âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (4). «ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨â¥£à «®¢ ¯à¨¬¥ïîâ â ¡«¨æë ¯àï¬ëå ¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯« á , ¯à¨ç¥¬ ¢® ¬®£¨å á«ãç ïå ¤«ï ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨á¯®«ì§ãîâ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®, ¢ª«îç ï ⥮६㠮 ¢ëç¥â å (á¬. ¯. 1.1-4). 2◦ .
¬¥ç ¨¥.
᫨ ¨¨© ¯à¥¤¥« ¢ ¨â¥£à «¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢, à ¢¥ a, â® ¥£® ¬®® ᢥá⨠ª ãà ¢¥¨î (1) − a, t = t − a. á ¯®¬®éìî § ¬¥ë x = x
à¨á. 2 ¯à¨¢¥¤¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ì ï á奬 à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ á ¯®¬®éìî ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á . Ǒਬ¥à 1.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ y (x) + A
Z
x
0
sin λ(x − t) y(t) dt = f (x),
(6)
ª®â®à®¥ ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ K (x) = −A sin(λx).
âà ¨æ 48
3.3. à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬:
K (x, t)
= K (x − t)
49
¨á. 2. 奬 à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ á ¯®¬®éìî ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á . ~ ~ (p) = K (p) . R(x) | ®à¨£¨ « äãªæ¨¨ R ~ (p ) 1−K ç « , ¨á¯®«ì§ãï â ¡«¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯« á [. ¥©â¬¥, . थ©¨ (1969, áâà. 138)℄, ¯®«ã稬 ®¡à § ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ ~ (p) K
Aλ
=− 2 2 p +λ
.
⥬ ¯® ä®à¬ã«¥ (4) ©¤¥¬ ®¡à § १®«ì¢¥âë: ~ (p) R
Aλ
=− 2 . p + λ(A + λ)
ᯮ«ì§ãï ¤ «¥¥ â ¡«¨æë ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯« á [. ¥©â¬¥, . थ©¨ (1969, áâà. 207)℄, ¯®«ã稬 ®à¨£¨ « १®«ì¢¥âë: Aλ sin(kx) ¯à¨ λ(A + λ) > 0, − k R(x) = £¤¥ k = |λ(A + λ)|1/2 . − Aλ sh(kx) ¯à¨ λ(A + λ) < 0, k ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ç á⮬ á«ãç ¥ ¯à¨ λ = −A ¯®«ãç ¥¬ R(x) = A2 x. Ǒ®¤áâ ¢«ïï í⨠¢ëà ¥¨ï ¢ ä®à¬ã«ã (5), 室¨¬ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (6). ç áâ®áâ¨, ¯à¨ 4 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 49
50
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
λ(A + λ) > 0
y (x) −
íâ® à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤:
y (x)
= f (x) −
Aλ k
Z
x
0
sin k(x − t) f (t) dt,
Rx a
k
K (x, t)y (t) dt
=
p
= f (x)
λ(A + λ).
(7)
3.3-2. ¥â®¤, ®á®¢ ë© à¥è¥¨¨ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
Ay (x) + B
Z
x a
K (x − t)y (t) dt = f (x).
(8)
= w(x) | à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ãà ¢¥¨ï ¯à¨ f (x) ≡ 1, a = 0: Z x Aw(x) + B K (x − t)w(t) dt = 1. (9) 0 Ǒãáâì w
®£¤ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï á ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâìî (8) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (9) á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë
y (x) =
d dx
Z
x a
w(x − t)f (t) dt = f (a)w(x − a) +
Z
x a
w(x − t)ft′ (t) dt.
(10)
®ª ¥¬ íâ® ã⢥थ¨¥. Ǒ¥à¥¯¨è¥¬ ¢ëà ¥¨¥ (10) (¢ ª®â®à®¬ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® ᤥ« ® ¯¥à¥®¡®§ 票¥ ¯ à ¬¥âà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï t s) ¢ ¢¨¤¥ y (x)
=
d I (x), dx
I (x )
=
Z
x a
w (x − s )f (s ) ds ,
(11)
¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¥£® ¢ «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (8). १ã«ìâ ⥠¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ ¨§¬¥¥¨ï ¯®à浪 ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ ¤¢®©®¬ ¨â¥£à «¥ á ãç¥â®¬ (9) ¯®«ã稬 Z x Z x d d d d AI (x) + B I (t) dt = AI (x) + B K (x − t)I (t) dt = K (x − t) dx dt dx dx a a Z Z Z i x x t d h w (x − s )f (s ) ds + B A K (x − t)w (t − s )f (s ) ds dt = = dx Z a Z xa a h i o d n x = f (s ) Aw (x − s ) + B K (x − t)w (t − s ) dt ds = dx s a Z Z x−s i o h d n x f (s ) Aw (x − s ) + B K (x − s − λ)w (λ) dλ ds = = dx 0 Z xa d f (s ) ds = f (x), = dx a
çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.
3.3-3. ¢¥¤¥¨¥ ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬
áᬮâਬ á¯¥æ¨ «ìë© á«ãç ©, ª®£¤ ®¡à § ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
~ (p) = 1−K
Q (p ) , R(p)
(12)
£¤¥ Q(p) ¨ R(p) ¥ª®â®àë¥ ¬®£®ç«¥ë á⥯¥¨ n:
Q(p) =
n X
k=0
Ak pk ,
R (p ) =
n X
k=0
Bk pk .
(13)
âà ¨æ 50
3.3. à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬:
K (x, t)
= K (x − t)
51
í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) 㤮¢«¥â¢®àï¥â «¨¥©®¬ã ¥®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î n-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨: n X
n
X Ak yx(k) (x) = Bk fx(k) (x). k=0 k=0
(14)
à ¢¥¨¥ (14) ªà ⪮ ¬®® § ¯¨á âì ¢ ®¯¥à â®à®¬ ¢¨¤¥
Q(D)y (x) = R(D)f (x),
D≡
d . dx
ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï (14) ¯®«ãç îâáï ¨§ à ¢¥á⢠k− n X1 k−1−s (s) X pk−1−s yx(s) (0) − Bk p fx (0) = 0 s =0 s =0 k=0 k=0 ¯ã⥬ ¢ë¤¥«¥¨ï ç«¥®¢ ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå ¯ à ¬¥âà p. n X
Ak
k− X1
(15)
®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ã⢥थ¨ï ¯à®¢®¤¨âáï á ¯®¬®éìî ¯à¨¬¥¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î (14) ¨ ¯®á«¥¤ãî騬 áà ¢¥¨¥¬ ¯®«ã祮£® ¢ëà ¥¨ï á ãà ¢¥¨¥¬ (2) á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(12). à㣮© ¬¥â®¤ ᢥ¤¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ®¯¨á ¢ à §¤. 3.7. 3.3-4. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
à ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢¨¤
y (x ) +
Z
x
0
K (x − t)y (t) dt = f (x),
0 < x < ∞,
(16)
¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¢ ä®à¬¥
y (x) +
Z
∞
0
K+ (x − t)y (t) dt = f (x),
0 < x < ∞,
(17)
£¤¥ ï¤à® K+ (x − t) ¤ ¥âáï á®®â®è¥¨¥¬
K+ (s ) =
K (s ) ¯à¨ s > 0, ¯à¨ s < 0.
0
¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï (17) ®¯¨á ë ¢ £« ¢¥ 5, £¤¥ ¯à¨¢¥¤¥ ¨ ¯à¨¬¥à ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¯®á।á⢮¬ à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த (á¬. ¯. 5.9-3). 3.3-5. ¥â®¤ ¤à®¡®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï
áᬮâਬ ®¡®¡é¥®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡¥«ï ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥
y (x ) − λ
Z
x a
y (t) dt = f (x), (x − t)µ
x > a,
(18)
£¤¥ 0 < µ < 1. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® x ∈ [a, b℄, f (x) ∈ AC , y (t) ∈ L1 , ¨ ¯à¨¬¥¨¬ â¥å¨ªã ¤à®¡®£® ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï (á¬. à §¤. 2.5). Ǒ®«®¨¢ ν µ = 1 − β, 0 < β < 1, λ= , (19) (β ) 4*
âà ¨æ 51
52
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
®á®¢ ¨¨ (2.5.1) § ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (18) ¢ ¢¨¤¥
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
1 − ν Iβa+ y (x) = f (x),
x > a. (20) ¥¯¥àì à¥è¥¨¥ ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï ¢â®à®£® த ¬®® ᨬ¢®«¨ç¥áª¨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: y (x) =
−1
f (x), x > a. (21) §« £ ï ®¯¥à â®à®¥ ¢ëà ¥¨¥ ¢ ᪮¡ª å ¢ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ ®¯¥à â®à ¯à¨ ¯®¬®é¨ ä®à¬ã«ë ¤«ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®£à¥áᨨ, ¯®«ã稬 y (x ) =
1 − ν Iβa+ ∞ X
1+
ν Iβa+
n=1
n
f (x),
(22)
x > a.
à §¢¥àã⮩ § ¯¨á¨ á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(Ia+ )n = Ia+ ä®à¬ã« (22) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ Z x ∞ X νn y (x) = f (x) + (x − t)βn−1 f (t) dt, x > a. (23) (βn) a β
βn
n=1
Ǒ®¬¥ï¥¬ ¢ ¢ëà ¥¨¨ (23) ¯®à冷ª á㬬¨à®¢ ¨ï ¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ¨ § ¬¥â¨¬, çâ® ∞ ∞ X X ν n (x − t)βn−1 ν n (x − t)βn = d . (βn) dx (1 + βn) n=1
n=1
®£¤ á ãç¥â®¬ § ¬¥ë (19) à¥è¥¨¥ ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï ¢â®à®£® த ¯à¨¬¥â ¢¨¤ Z x
y (x) = f (x) +
R(x − t)f (t) dt,
x > a,
(24)
£¤¥ १®«ì¢¥â R(x − t) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© n ∞ d X λ (1 − µ)(x − t)(1−µ) R(x − t) = . dx [1 + (1 − µ)n℄
(25)
a
n=1
ï¤ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ १®«ì¢¥âë (25) 㤠¥âáï ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¯à®á㬬¨à®¢ âì ¨ ¯®«ãç¨âì ¤«ï ¥¥ ¥ ¢ëà ¥¨¥. Ǒਬ¥à 2.
µ = 21
)
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¡¥«ï ¢â®à®£® த (¢ ãà ¢¥¨¨ (18) ¯®« £ ¥¬ y (x) − λ
Z
x
y (t) √ dt x−t
= f (x),
(26)
x > a.
ᨫã ä®à¬ã«ë (25) १®«ì¢¥â ¤«ï ãà ¢¥¨ï (26) § ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ p §¢¥áâ®, çâ®
a
R(x − t)
xn/2
∞ X
=
∞ d X λ dx n=1
= ex erf 1 + 12 n
n=1
√
x,
π (x − t) 1 + 12 n
erf x ≡
n
2
√
π
(27)
.
Z
x
0
2
e−t dt,
(28)
£¤¥ erf x | ¨â¥£à « ¢¥à®ïâ®á⥩. ®£¤ ®á®¢ ¨¨ (27) ¨ (28) ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï १®«ì¢¥âë ¬®® § ¯¨á âì ¢ ä®à¬¥ n o R(x − t)
=
d dx
exp[λ2 π(x − t)℄ erf
p λ π (x − t) .
(29)
®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì á®®â®è¥¨ï¬¨ (24) ¨ (27), ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï ¢â®à®£® த , ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z n o y (x)
= f (x) +
d dx
x
exp[λ2 π(x − t)℄ erf
p λ π (x − t) f (t) dt,
¬¥â¨¬, çâ® ¢ à áᬮâ८¬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ¯®áâ஥® ¢ § ¬ªã⮬ ¢¨¤¥. a
x > a.
(30)
âà ¨æ 52
53
3.4. ¯¥à â®àë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
3.3-6. ¨áâ¥¬ë ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á ¬®® ¯à¨¬¥¨âì ¤«ï à¥è¥¨ï á¨á⥬ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢¨¤
y m (x ) −
n Z X k=1
x
0
Kmk (x − t)yk (t) dt = fm (x),
m = 1, 2, . . . , n.
(31)
Ǒ®¤¥©áâ¢ã¥¬ á¨á⥬ã (31) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¯« á . ®£¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
y~m (p) −
n X
k=1
~ mk (p)~yk (p) = f~m (p), K
m = 1, 2, . . . , n.
(32)
¥è ï íâã á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ®¯à¥¤¥«¨¬ y ~m (p), ¨ à¥è¥¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ¯à¨¬¥â ¢¨¤
1 2πi
y m (x ) =
Z c+i∞ c−i∞
y~m (p)epx dp.
(33)
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á ¬®® ¯à¨¬¥¨âì ¤«ï ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨ï á¨á⥬ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ¨ ¨â¥£à®¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©.
: . . ¨âª¨, . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1965), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . ¬¨à®¢ (1974), K. B. Oldham, J. Spanier (1974), . . 客, . . ¥à᪨© (1978), . . ¡¥ª® (1986), . . ¬ª®, . . ¨«¡ á, . . à¨ç¥¢ (1987), R. Gorenflo, S. Vessella (1991).
•
¨â¥à âãà
3.4. ¯¥à â®àë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© 3.4-1. ᯮ«ì§®¢ ¨¥ à¥è¥¨ï ó㪮à®ç¥®£® ãà ¢¥¨ï
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த
y (x) + L [y ℄ = f (x),
(1)
£¤¥ L | ¥ª®â®àë© «¨¥©ë© (¨â¥£à «ìë©) ®¯¥à â®à. Ǒãáâì à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ó㪮à®ç¥®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
L [u℄
= g (x),
(2)
¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥o ¢ ¢¨¤¥
u(x) = M L[g ℄ ,
(3)
£¤¥ M | ¥ª®â®àë© ¨§¢¥áâë© «¨¥©ë© ®¯¥à â®à. ®à¬ã« (3) ®§ ç ¥â, çâ®
稬
Ǒ®¤¥©áâ¢ã¥¬ ®¯¥à â®à®¬ L
−1
M L[y ℄
L
−1
= ML.
®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï (1). १ã«ìâ ⥠¯®«ã-
+ y (x) = M L[f ℄
.
᪫îç ï y (x) ¨§ (1) ¨ (4), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã ãà ¢¥¨î:
M [w℄ − w(x)
£¤¥ ¨á¯®«ì§®¢ ë ®¡®§ 票ï
w
= L [y ℄,
= F (x),
(4) (5)
F (x) = M L[f ℄ − f (x).
âà ¨æ 53
54
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
à拉 á«ãç ¥¢ ãà ¢¥¨¥ (5) ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à®é¥, 祬 ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ (1). â® ¡ë¢ ¥â, ¯à¨¬¥à, ª®£¤ ®¯¥à â®à M ï¥âáï ª®áâ ⮩ (á¬. ¯. 5.7-2) ¨«¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ®¯¥à â®à®¬:
M
= an Dn + an−1 Dn−1 + · · · + a1 D + a0 ,
D≡
d . dx
¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (5) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡ëª®¢¥®¥ «¨¥©®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨¨ w.
᫨ à¥è¥¨¥ w = w(x) ãà ¢¥¨ï (5) ¯®«ã祮, â® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© y (x) = M L[w℄ . Ǒਬ¥à 1.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¡¥«ï ¢â®à®£® த y (x) + λ
Z
y (t) dt √ x−t
x
a
= f (x).
(6)
«ï ¥£® à¥è¥¨ï ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¥¡®«ìèãî ¬®¤¨ä¨ª æ¨î á奬ë, ®¯¨á ®© ¢ëè¥, d . ª®â®à ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î M ≡ onst dx Ǒ¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (6) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: Z
y (t) dt √ x−t
x a
f (x) − y (x) . λ
=
(7)
ç¨â ï ¯à ¢ãî ç áâì ¨§¢¥á⮩, ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì (7) ª ª ãà ¢¥¨¥ ¡¥«ï ¯¥à¢®£® த .
£® à¥è¥¨¥ ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ (á¬. ¯à¨¬¥à ¨§ ¯. 2.4-4) y (x)
¨«¨
y (x) +
1
d πλ dx
Z
Z
1
d π dx
=
x a
x a
f (t) − y (t) √ dt λ x−t
1 d y (t) dt √ dt = x−t πλ dx x
Z
x a
f (t) dt √ . x−t
(8)
Ǒத¨ää¥à¥æ¨à㥬 ®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï (6) ¯® , § ⥬ 㬮¨¬ ®¡¥ ç á⨠(8) −πλ2 ¨ á«®¨¬ ¯®ç«¥® ¯®«ãç¥ë¥ ¢ëà ¥¨ï. १ã«ìâ ⥠¯à¨¤¥¬ ª «¨¥©®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¤«ï äãªæ¨¨ y = y(x): yx′ − πλ2 y
£¤¥
F (x)
= Fx′ (x),
= f (x ) − λ
Z
x a
f (t) dt √ . x−t
(9) (10)
à ¢¥¨¥ (9) á«¥¤ã¥â ¤®¯®«¨âì ó ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ y (a)
ª®â®à®¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ (6). ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (9){(11) ¨¬¥¥â ¢¨¤ y (x)
= F (x) + πλ2
Z
= f (a), x
a
exp[πλ2 (x − t)℄F (t) dt
(11)
(12)
¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï ¢â®à®£® த (6).
3.4-2. ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï ¢â®à®£® த (6) ¬®® ¡ë«® ¯®«ãç¨âì â ª¥ ¤à㣨¬ ¬¥â®¤®¬, ª®â®àë© ¨§« £ ¥âáï ¨¥. áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥
y (x) − L [y ℄ = f (x),
(13)
âà ¨æ 54
55
3.4. ¯¥à â®àë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
£¤¥ L | «¨¥©ë© ®¯¥à â®à. Ǒãáâì à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï
n−1
[w ℄ , L [w℄ ≡ L L ᮤ¥à 饣® n-î á⥯¥ì ®¯¥à â®à L, ¨§¢¥áâ® ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© w(x) = M [(x)℄. ®£¤ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (13) ¨¬¥¥â ¢¨¤ w(x) − Ln [w℄ = (x),
n
(14) (15)
(x) = Ln−1 [f ℄ + Ln−2 [f ℄ + · · · + L [f ℄ + f (x). (16) â® ã⢥थ¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ®¯¥à â®à Ln−1 + Ln−2 + · · · + L +1 y (x) = M [(x)℄,
ª ®¡¥¨¬ ç áâï¬ ãà ¢¥¨ï (13) ãç¥â®¬ ®¯¥à â®à®£® à ¢¥áâ¢
1 − L Ln−1 + Ln−2 + · · · + L + 1 = 1 − Ln ¨ ä®à¬ã«ë (16) ¤«ï (x). ãà ¢¥¨¨ (14) ¢¬¥áâ® w(x) ¬®® ¯¨á âì y (x).
ᯮ«ì§ã¥¬ ⥯¥àì ®¯¥à â®àë© ¬¥â®¤ (¯à¨ n = 2) ¤«ï à¥è¥¨ï ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï á ¯®ª § ⥫¥¬ 3Z/4: Ǒਬ¥à 2.
y (x) − b
y (t) dt
x
0 (x − t)3/4
= f (x).
(17)
áᬮâਬ á ç « ¨â¥£à «ìë© ®¯¥à â®à á à §®áâë¬ ï¤à®¬ Z x
L [y (x)℄ ≡
0
Ǒ®á¬®âਬ ª ª ¤¥©áâ¢ã¥â L2 :
K (x − t)y (t) dt.
Z xZ t L2 [y ℄ ≡ L L [y ℄ = K (x − t)K (t − s )y (s ) ds dt Z x Z 0x 0 Z x = y (s ) ds K (x − t)K (t − s ) dt = K2 (x − s )y (s ) ds , 0 0 Z zs K2 (z ) = K (ξ )K (z − ξ ) dξ.
(18)
0
Ǒਠ¢ë¢®¤¥ í⮩ ä®à¬ã«ë ¬¥ï«áï ¯®à冷ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¨ ¤¥« « áì § ¬¥ ξ = t − s. «ï ï¤à á⥯¥®£® ¢¨¤ K (ξ ) = bξ µ ¨¬¥¥¬ 2 K2 (z )
«ï ãà ¢¥¨ï (17) ¨¬¥¥¬ µ=−
3 , 4
(1 + µ) 1+2µ . z (2 + 2µ)
= b2
K2 (z )
1 =A√
z
,
b2 A= √ π
(19)
2 ( 1 ). 4
Ǒ®í⮬㠢ᯮ¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥ (14), ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 § 票î n = 2, ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z £¤¥
y (t) dt √ = (x), x−t Z x f (t) dt f (x) + b . 0 (x − t)3/4 A → −λ → f
y (x) − A
(x) =
x
0
à ¢¥¨¥ (20) á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥®¡®§ 票© ¥£® à¥è¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¯® ä®à¬ã«¥ (12).
,
(20)
ᮢ¯ ¤ ¥â á ãà ¢¥¨¥¬ (6),
¬¥ç ¨¥. § ä®à¬ã«ë (19) á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ®¡®¡é¥®£® ãà ¢¥¨ï ¡¥«ï á ¯®ª § ⥫¥¬ β Z x y (t) dt y (x ) + λ = f (x) 0 (x − t)β ᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï «®£¨ç®£® ¢¨¤ á ¤à㣨¬ ¯®ª § ⥫¥¬ á⥯¥¨ β1 = 2β − 1. ç áâ®áâ¨, ãà ¢¥¨¥ ¡¥«ï (6), ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 § 票î β = 21 , ᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ¯à¨ β1 = 0.
âà ¨æ 55
56
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
3.4-3. ¥â®¤ à¥è¥¨ï óª¢ ¤à âëå ®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨©
Ǒãáâì ¨§¢¥áâ® à¥è¥¨¥ «¨¥©®£® (¨â¥£à «ì®£®, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¨ ¤à.) ãà ¢¥¨ï y (x) − λL [y ℄ = f (x) (21)
¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ¨ «î¡®£® λ ¨§ ¨â¥à¢ « ¡®§ 稬 íâ® à¥è¥¨¥ â ª:
y
(λmin , λmax ).
= Y (f, λ).
(22)
Ǒ®áâந¬ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ á«®®£® ãà ¢¥¨ï ¢¨¤
y (x) − aL [y ℄ − bL2 [y ℄ = f (x),
(23)
£¤¥ a ¨ b | ¥ª®â®àë¥ ç¨á« , f (x) | ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï. «ï í⮣® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (23) ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®¯¥à â®à®¢:
1 − aL − bL2 [y ℄ ≡ 1 − λ1 L 1 − λ2 L [y ℄,
(24)
λ2 − aλ − b = 0.
(25)
£¤¥ λ1 ¨ λ2 | ª®à¨ ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï Ǒãáâì λmin < λ1 , λ2 < λmax . ¥è¨¬ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥
w(x) − λ2 L [w℄ = f (x),
(26)
ª®â®à®¥ ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï (21) ¯à¨ λ = λ2 .
£® à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© w(x) = Y (f, λ2 ). (27) à ¢¥¨¥ (23) á ãç¥â®¬ (24) ¨ (26) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
1 − λ1 L 1 − λ2 L [y ℄ = 1 − λ2 L [w℄ ¨«¨, á ãç¥â®¬ ⮤¥á⢠(1 − λ1 L)(1 − λ2 L) ≡ (1 − λ2 L)(1 − λ1 L), ¢ ¢¨¤¥ o n 1 − λ2 L 1 − λ1 L [y ℄ − w(x) = 0. â® à ¢¥á⢮ ¡ã¤¥â ¢ë¯®«ïâìáï, ¥á«¨ ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï y (x) ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢¥¨î
y (x) − λ1 L [y ℄ = w(x).
(28)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (28) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
y (x) = Y (w, λ1 ),
= Y (f, λ2 ). y (x) − λ2 L[y ℄ = 0 ¨¬¥¥â ⮫쪮 £¤¥
w
(29)
᫨ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ âਢ¨ «ì®¥* à¥è¥¨¥ y ≡ 0, â® ä®à¬ã« (29) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (23). Ǒਬ¥à 3.
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ Z y (x) −
0
x
√
A x−t
+ B y(t) dt = f (x).
§ १ã«ìâ ⮢ ¯à¨¬¥à 2 (á¬. ¯. 3.4-2) á«¥¤ã¥â, çâ® ¥£® ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢¥¨ï (23): Z x y (x) − AL [y ℄ − π1 B L2 [y ℄ = f (x),
L [y ℄ ≡
0
y (t) dt √ . x−t
*
᫨ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ y(x) − λ2 L[y℄ = 0 ¨¬¥¥â ¥âਢ¨ «ìë¥ à¥è¥¨ï, â® ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï (28) ¢¬¥áâ® w(x) ¤®« áâ®ïâì äãªæ¨ï w(x) + y0 (x), £¤¥ y0 | ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ 㪠§ ®£® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï.
âà ¨æ 56
3.4. ¯¥à â®àë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
57
Ǒ®í⮬ã à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (¢ ª¢ ¤à âãà å) ¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ Y (f, λ) = F (x) + πλ2
Z
= Y (w, λ1 ),
w = Y (f, λ2 ), Z 2 exp πλ (x − t) F (t) dt, F (x) = f (x) + λ
y (x) x
0
x
0
f (t) dt √ , x−t
£¤¥ λ1 ¨ λ2 | ª®à¨ ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï λ2 − Aλ − π1 B = 0. â®â ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥¨¬Z â ª¥ ¤«ï à¥è¥¨ï (¢ ª¢ ¤à âãà å) ¡®«¥¥ ®¡é¨å ãà ¢¥¨© ¢¨¤ y (x) −
0
xh
A (x − t)β
+
i B y (t) dt = f (x), 2 β− 1 (x − t) 0<β<1
£¤¥ β |à 樮 «ì®¥ ç¨á«®, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î
(á¬. ¯à¨¬¥à 2 ¨§ ¯. 3.4-2).
3.4-4. ¥è¥¨¥ ®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨© ¯®«¨®¬¨ «ì®£® ¢¨¤
¥â®¤, ®¯¨á ë© ¢ ¯. 3.4-3, ¤®¯ã᪠¥â ®¡®¡é¥¨¥ á«ãç © ®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨© ¯®«¨®¬¨ «ì®£® ¢¨¤ . 㤥¬ áç¨â âì, çâ® à¥è¥¨¥ «¨¥©®£® ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (21) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (22), ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥. Ǒ®áâந¬ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ á«®®£® ãà ¢¥¨ï á ¯®«¨®¬¨ «ì®© «¥¢®© ç áâìî ®â®á¨â¥«ì® ®¯¥à â®à L:
y (x) −
n X
k=1
Ak Lk [y ℄ = f (x),
k−1
k
L ≡L L
(30)
,
£¤¥ Ak | ¥ª®â®àë¥ ç¨á« , f (x) | ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï. ¡®§ 稬 λ1 , λ2 , . . . , λn ª®à¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï
λn −
n X
k=1
Ak λn−k
= 0.
(31)
¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (30) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®¯¥à â®à®¢:
y (x) −
n X
k=1
Ak Lk [y ℄ ≡
n Y
k=1
1 − λk L [y ℄.
(32)
¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (26), ¢ ª®â®à®¬ ¯¥à¥®¡®§ ç¥ë w → yn−1 , λ2 → λn , ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© yn−1 (x) = Y (f, λn ). ááã¤ ï «®£¨ç® ⮬ã, ª ª íâ® ¤¥« «®áì ¢ ¯. 3.4-3, ¯®«ã稬, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (30) ᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨î ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ãà ¢¥¨ï n− Y1 k=1
1 − λk L [y ℄ = yn−1 (x),
(33)
ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¬¥ìèãî á⥯¥ì ( ¥¤¨¨æã) ®â®á¨â¥«ì® ®¯¥à â®à L, 祬 ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥. «®£¨çë¬ ®¡à §®¬ ¬®® ¯®ª § âì, çâ® ãà ¢¥¨¥ (33) ᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨î ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ n− Y2 k=1
1 − λk L [y ℄ = yn−2 (x),
yn−2 (x) = Y (yn−1 , λn−1 ).
Ǒத®« ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à®æ¥áá ¯®¨¥¨ï ¯®à浪 ãà ¢¥¨ï, ¯à¨¤¥¬ ¢ ¨â®£¥ ª ãà ¢¥¨î (28), ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ª®â®à®£® á⮨â äãªæ¨ï y1 (x) = Y (y2 , λ2 ). ¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© y (x) = Y (y1 , λ1 ). ¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (30) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ४ãàà¥â® á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«
yk−1 (x) = Y (yk , λk );
k
= n, . . . , 2, 1,
£¤¥
yn (x) ≡ f (x),
y0 (x) ≡ y (x). = n, . . . , 2, 1.
⬥⨬, çâ® §¤¥áì ¨á¯®«ì§ã¥âáï ã¡ë¢ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì k
âà ¨æ 57
58
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
3.4-5. ¥ª®â®àë¥ ®¡®¡é¥¨ï
Ǒãáâì «¥¢ ï ç áâì «¨¥©®£® (¨â¥£à «ì®£®) ãà ¢¥¨ï
y (x) − Q [y ℄ = f (x)
(34)
¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï
y (x ) − Q [ y ℄ ≡
n Y
k=1
1 − Lk [y ℄,
(35)
£¤¥ Lk | «¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® à¥è¥¨ï ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå ãà ¢¥¨© y (x) − Lk [y ℄ = f (x), k = 1, 2, . . . , n, (36) ¨§¢¥áâë ¨ ¤ îâáï ä®à¬ã« ¬¨
y (x) = Yk f (x) ,
= 1, 2, . . . , n. (37) ¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (36) ¯à¨ k = n, ¢ ª®â®à®¬ ¯¥à¥®¡®§ 祮 y → yn−1 , ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© yn−1 (x) = Yn f (x) . ááã¤ ï «®£¨ç® ⮬ã, k
ª ª íâ® ¤¥« «®áì ¢ ¯. 3.4-3, ¯®«ã稬, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (34) ᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨î ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ãà ¢¥¨ï n− Y1 k=1
1 − Lk [y ℄ = yn−1 (x).
Ǒத®« ï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯à®æ¥áá 󯮨¥¨ï ¯®à浪 ãà ¢¥¨ï, ¯à¨¤¥¬ ¢ ¨â®£¥ ª ãà ¢¥¨î (36) ¯à¨ k = 1, ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ª®â®à®£® á⮨â äãªæ¨ï y1 (x) = Y2 y2 (x) . ¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© y (x) = Y1 y1 (x) . ¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (35) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ४ãàà¥â® á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«
yk−1 (x) = Yk yk (x) ; k
= n, . . . , 2, 1,
£¤¥ yn (x) ≡ f (x),
y0 (x) ≡ y (x).
⬥⨬, çâ® §¤¥áì ¨á¯®«ì§ã¥âáï ã¡ë¢ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì k
•
: A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998).
= n, . . . , 2, 1.
¨â¥à âãà
3.5. Ǒ®áâ஥¨¥ à¥è¥¨© ãà ¢¥¨© á® á¯¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî
í⮬ à §¤¥«¥ ®¯¨á ë á¯®á®¡ë ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨© ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á® á¯¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî. â¨ á¯®á®¡ë ®á®¢ ë ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå à¥è¥¨©, § ¢¨áïé¨å ®â ᢮¡®¤®£® ¯ à ¬¥âà . 3.5-1. ¡é ï á奬
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥, ª®â®à®¥ ¤«ï ªà ⪮á⨠¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥ (1) L [y ℄ = fg (x, λ), £¤¥ L | ¥ª®â®àë© «¨¥©ë© (¨â¥£à «ìë©, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨ ¤à.) ®¯¥à â®à, ª®â®àë© ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ¯¥à¥¬¥®© x ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥âà λ; fg (x, λ) | ª®ªà¥â ï äãªæ¨ï, ª®â®à ï § ¢¨á¨â ®â ¯¥à¥¬¥®© x ¨ ¯ à ¬¥âà λ. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¨§¢¥áâ®:
y
= y (x, λ).
(2)
âà ¨æ 58
3.5. Ǒ®áâ஥¨¥ à¥è¥¨© ãà ¢¥¨© á® á¯¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî
59
Ǒãáâì M | ¥ª®â®àë© «¨¥©ë© (¨â¥£à «ìë©, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨ ¤à.) ®¯¥à â®à, ª®â®àë© ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ¯ à ¬¥âàã λ ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯¥à¥¬¥®© x. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ®¯¥à â®àë L ¨ M ª®¬¬ãâ ⨢ë. Ǒ®¤¥©áâ¢ã¥¬ ®¯¥à â®à®¬ M ®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï (1). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬, çâ® ãà ¢¥¨¥
L [w℄
fM (x) = M fg (x, λ) ,
= fM (x),
¨¬¥¥â à¥è¥¨¥
= M y (x, λ)
w
.
(3) (4)
롨à ï à §«¨çë¬ ®¡à §®¬ ®¯¥à â®à M ¬®® ¯®«ãç¨âì à¥è¥¨ï ¤«ï ¤àã£¨å ¯à ¢ëå ç á⥩ ãà ¢¥¨ï (1). á室ãî äãªæ¨î fg (x, λ) ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯®à®¤ î饩 äãªæ¨¥© ¤«ï ®¯¥à â®à L. 3.5-2. Ǒ®à®¤ îé ï äãªæ¨ï íªá¯®¥æ¨ «ì®£® ¢¨¤
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ á íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî
L [y ℄
= eλx .
(5)
㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¥£® à¥è¥¨¥ ¨§¢¥áâ® ¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (2). â ¡«¨æ¥ 4 ¯à¨¢¥¤¥ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï L [y ℄ = f (x) á à §«¨ç®© ¯à ¢®© ç áâìî, ª®â®àë¥ ¢ëà îâáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (5). ¬¥ç ¨¥ 1. Ǒਠ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ 㪠§ ëå ¢ â ¡«¨æ¥ ä®à¬ã« ¥ ¤® § âì «¥¢ãî ç áâì «¨¥©®£® ãà ¢¥¨ï (5) (ãà ¢¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¨â¥£à «ìë¬, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ¨ ¤à.), ¥á«¨ ¨§¢¥áâ® ¥£® ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¤«ï íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâ¨. Ǒਠí⮬ ¢ «¨èì á ¬ ï ®¡é ï ¨ä®à¬ æ¨ï ® ⮬, çâ® «¥¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥âà λ. ¬¥ç ¨¥ 2. Ǒਠ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ 㪠§ ëå ¢ â ¡«¨æ¥ ä®à¬ã« ¥®¡å®¤¨¬® ¯à®¢¥àïâì á室¨¬®áâì ¨â¥£à «®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ ¯®«ã祮¥ à¥è¥¨¥. Ǒਬ¥à 1.
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï á íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî y (x) +
Z
∞
K (x − t)y (t) dt
x
= eλx
(6)
¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ y(x, λ) = keλx ¬¥â®¤®¬ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 y (x, λ)
=
1 λx e , B (λ)
B (λ)
=1+
Z
§ ¯. 3 â ¡«¨æë 4 á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï y (x) +
¨¬¥¥â ¢¨¤ D
=1+
Z
Z
∞ x
0
K (x − t)y (t) dt
K (−z )eλz dz.
= Ax
(7)
(8)
A AC x− 2 , D DZ ∞ ∞ K (−z ) dz, = zK (−z ) dz. y (x)
0
∞
=
0
«ï ⮣® ç⮡ë â ª®¥ à¥è¥¨¥ áãé¥á⢮¢ «®, ¤®«ë áãé¥á⢮¢ âì ¥á®¡áâ¢¥ë¥ ¨â¥£à «ë ®â äãªæ¨© K (−z), zK (−z). Ǒ®í⮬ã äãªæ¨ï K (−z) ¤®« ã¡ë¢ âì ¡ëáâ॥, 祬 z−2 ¯à¨ z → ∞. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ à¥è¥¨ï ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. â¥à¥á® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¤«ï à áâãé¨å ¯® á⥯¥®¬ã § ª®ã äãªæ¨© K (−z) ¯à¨ z → ∞ ¢ á«ãç ¥ λ < 0 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (6) áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (7), à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (8) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. Ǒ®í⮬ã á«¥¤ã¥â ¡ëâì ®áâ®à®ë¬ ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ä®à¬ã« ¨§ â ¡«¨æë 4 ¨ ¯à®¢¥àïâì á室¨¬®áâì ¨â¥£à «®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ à¥è¥¨¥.
âà ¨æ 59
60
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
4 ¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï L [y℄ = f (x) á ¯®à®¤ î饩 äãªæ¨¥© íªá¯®¥æ¨ «ì®£® ¢¨¤ N0
Ǒà ¢ ï ç áâì f (x)
¥è¥¨¥ y y (x, λ) 1 e 2 A1eλ1 x+ · · · + Aneλn x A1 y(x, λ1 )+ · · · + An y(x, λn ) λx
3
Ax + B
4
Axn , n = 0, 1, 2, . . .
5
A , a>0 x+a
6
Axn eλx , n = 0, 1, 2, . . .
7
A h(λx)
9
A sh(λx)
10
Axm h(λx), m = 1, 3, 5, . . .
12
i d h + By(x, 0) y (x, λ) λ=0 dλ n h i ∂ y A ( x, λ ) ∂λn λ=0 Z ∞ −aλ A e y (x, −λ) dλ
0
A
Axm h(λx), m = 2, 4, 6, . . .
Axm sh(λx), m = 1, 3, 5, . . .
i ∂n h y (x, λ) n ∂λ y (x, ln a)
ax
8
11
A
1 A[y(x, λ) + y(x, −λ) 2 1 A[y(x, λ) − y(x, −λ) 2 m
1 A ∂ [y(x, λ) − y(x, −λ) 2 ∂λm m
1 A ∂ [y(x, λ)+ y(x, −λ) 2 ∂λm m
1 A ∂ [y(x, λ)+ y(x, −λ) 2 ∂λm
13
Axm sh(λx), m = 2, 4, 6, . . .
14
A os(βx)
15
A sin(βx)
16
Axn os(βx), n = 1, 2, 3, . . .
A Re
17
Axn sin(βx), n = 1, 2, 3, . . .
n h i ∂ A Im y (x, λ) n ∂λ λ=iβ
18
Aeµx os(βx)
19
Aeµx sin(βx)
20
Axn eµx os(βx), n = 1, 2, 3, . . .
A Re
21
Axn eµx sin(βx), n = 1, 2, 3, . . .
n h i ∂ y (x, λ) A Im n ∂λ λ=µ+iβ
m
1 A ∂ [y(x, λ) − y(x, −λ) 2 ∂λm A Re y (x, iβ ) A Im y (x, iβ )
i ∂n h y ( x, λ ) ∂λn λ=iβ
A Re y (x, µ + iβ )
A Im y (x, µ + iβ )
i ∂n h y ( x, λ ) ∂λn λ=µ+iβ
ª ¯®«ã祮 á室®¥ ãà ¢¥¨¥ «¥¤á⢨¥ «¨¥©®á⨠«¥¤á⢨¥ «¨¥©®á⨠¨ १ã«ìâ ⮢ ¯. 4 «¥¤á⢨¥ १ã«ìâ ⮢ ¯. 6 ¯à¨ λ = 0 ⥣à¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âàã λ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âàã λ «¥¤á⢨¥ ¯. 1 ¨¥©®áâì ¨ á¢ï§ì á íªá¯®¥â®© ¨¥©®áâì ¨ á¢ï§ì á íªá¯®¥â®© ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, ¨ á¢ï§ì á íªá¯®¥â®© ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, ¨ á¢ï§ì á íªá¯®¥â®© ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, ¨ á¢ï§ì á íªá¯®¥â®© ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, ¨ á¢ï§ì á íªá¯®¥â®© 뤥«¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ç á⨠¯à¨ λ = iβ 뤥«¥¨¥ ¬¨¬®© ç á⨠¯à¨ λ = iβ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯®λ, ¢ë¤¥«¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ç á⨠¯à¨ λ = iβ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, ¢ë¤¥«¥¨¥ ¬¨¬®© ç á⨠¯à¨ λ = iβ 뤥«¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ç á⨠¯à¨ λ = µ + iβ 뤥«¥¨¥ ¬¨¬®© ç á⨠¯à¨ λ = µ + iβ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, ¢ë¤¥«¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ç á⨠¯à¨ λ = µ + iβ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, ¢ë¤¥«¥¨¥ ¬¨¬®© ç á⨠¯à¨ λ = µ + iβ
âà ¨æ 60
61
3.5. Ǒ®áâ஥¨¥ à¥è¥¨© ãà ¢¥¨© á® á¯¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî
§ ¯. 15 â ¡«¨æë 4 á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï y (x) +
¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
Z
∞ x
K (x − t)y (t) dt = A sin(λx)
(9)
A B sin(λx) − Bs os(λx) , y (x) = 2 B + Bs2 Z ∞ Z ∞ B = 1 + K (−z ) os(λz ) dz, Bs = K (−z ) sin(λz ) dz.
0
0
3.5-3. Ǒ®à®¤ îé ï äãªæ¨ï á⥯¥®£® ¢¨¤
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ á® á⥯¥®© ¯à ¢®© ç áâìî
L [y ℄
= xλ .
(10)
㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¥£® à¥è¥¨¥ ¨§¢¥áâ® ¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (2). â ¡«¨æ¥ 5 ¯à¨¢¥¤¥ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï L [y ℄ = f (x) á à §«¨ç®© ¯à ¢®© ç áâìî, ª®â®àë¥ ¢ëà îâáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (10).
5 ¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï L [y℄ = f (x) á ¯®à®¤ î饩 äãªæ¨¥© á⥯¥®£® ¢¨¤ N0
Ǒà ¢ ï ç áâì f (x)
¥è¥¨¥ y
ª ¯®«ã祮
1
xλ
y (x, λ)
á室®¥ ãà ¢¥¨¥
n X
2
k=0
A ln x + B
3 4
n
n X
Ak x k
A lnn x, = 0, 1, 2, . . .
5
Axn xλ , n = 0, 1, 2, . . .
6
A os(β ln x)
7
A sin(β ln x)
8
Axµ os(β ln x)
9
Axµ sin(β ln x)
Ǒਬ¥à 2.
k=0
A
Ak y (x, k )
«¥¤á⢨¥ «¨¥©®áâ¨
i d h + By(x, 0) y (x, λ) λ=0 dλ n h i d y (x, λ) A n dλ λ=0 A
i dn h y ( x, λ ) dλn
A Re y (x, iβ ) A Im y (x, iβ )
A Re y (x, µ + iβ )
A Im y (x, µ + iβ )
«¥¤á⢨¥ «¨¥©®á⨠¨ १ã«ìâ ⮢ ¯. 4 «¥¤á⢨¥ १ã«ìâ ⮢ ¯. 5 ¯à¨ λ = 0 ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âàã λ 뤥«¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ç á⨠¯à¨ λ = iβ 뤥«¥¨¥ ¬¨¬®© ç á⨠¯à¨ λ = iβ 뤥«¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ç á⨠¯à¨ λ = µ + iβ 뤥«¥¨¥ ¬¨¬®© ç á⨠¯à¨ λ = µ + iβ
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï á® á⥯¥®© ¯à ¢®© ç áâìî y (x) +
Z
x
1
0 x
K
t y (t) dt x
= xλ
âà ¨æ 61
62
y (x) −
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ y(x, λ) = kxλ ¬¥â®¤®¬ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 y (x, λ)
=
1
1 + B (λ)
B (λ)
xλ ,
=
Z 1
0
K (t)tλ dt.
§ ¯. 3 â ¡«¨æë 5 á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï á «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ¯à ¢®© ç áâìî y (x) +
Z
y (x)
=
¨¬¥¥â ¢¨¤ I0
=
Z 1
0
x
1
0 x
K
A
1 + I0
K (t) dt,
t y (t) dt x
ln x − I1
=
= A ln x
AI1
(1 + I0 )2
Z 1
0
,
K (t) ln t dt.
3.5-4. Ǒ®à®¤ îé ï äãªæ¨ï, ᮤ¥à é ï á¨ãáë ¨«¨ ª®á¨ãáë
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ á á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî
L [y ℄
= sin(λx).
(11)
㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¥£® à¥è¥¨¥ ¨§¢¥áâ® ¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (2). â ¡«¨æ¥ 6 ¯à¨¢¥¤¥ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï L [y ℄ = f (x) á à §«¨ç®© ¯à ¢®© ç áâìî, ª®â®àë¥ ¢ëà îâáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (11).
6 ¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï L [y℄ = f (x) á á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯®à®¤ î饩 äãªæ¨¥© N0
Ǒà ¢ ï ç áâì f (x) sin(λx) 1 2 3 4
n X
k=1
¥è¥¨¥ y y (x, λ) n X
Ak sin(λk x)
Axm , m = 1, 3, 5, . . .
Axm sin(λx), m = 2, 4, 6, . . .
5
Axm os(λx), m = 1, 3, 5, . . .
6
sh(βx)
7
xm sh(βx), m = 2, 4, 6, . . .
ª ¯®«ã祮 á室®¥ ãà ¢¥¨¥
Ak y (x, λk )
«¥¤á⢨¥ «¨¥©®áâ¨
h dm i y (x, λ) λ=0 dλm m dm A(−1) 2 y (x, λ) dλm m m−1 d y (x, λ) A(−1) 2 dλm
«¥¤á⢨¥ १ã«ìâ ⮢ ¯. 5 ¯à¨ λ = 0 ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âàã λ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âàã λ ¢ï§ì á £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ á¨ãᮬ, λ = iβ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, á¢ï§ì á £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ á¨ãᮬ, λ = iβ
k=1
A(−1)
m−1
2
−i y (x, iβ ) i (−1)
m+2 h
2
i dm y (x, λ) λ=iβ dλm
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ á ª®á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî
L [y ℄
= os(λx).
(12)
㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¥£® à¥è¥¨¥ ¨§¢¥áâ® ¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (2). â ¡«¨æ¥ 7 ¯à¨¢¥¤¥ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï L [y ℄ = f (x) á à §«¨ç®© ¯à ¢®© ç áâìî, ª®â®àë¥ ¢ëà îâáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (12).
âà ¨æ 62
63
3.6. ¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨©
7 ¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï L [y℄ = f (x) á ª®á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯®à®¤ î饩 äãªæ¨¥© N0
Ǒà ¢ ï ç áâì f (x)
os(λx) 1 2 3 4
n X
k=1
Ak os(λk x)
6
h(βx)
7
xm h(βx), m = 2, 4, 6, . . .
k=1
Ak y (x, λk )
«¥¤á⢨¥ «¨¥©®á⨠«¥¤á⢨¥ १ã«ìâ ⮢ ¯. 4 ¯à¨ λ = 0 ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âàã λ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ¯ à ¬¥âàã λ ¢ï§ì á £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ ª®á¨ãᮬ, λ = iβ ¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® λ, á¢ï§ì á £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¬ ª®á¨ãᮬ, λ = iβ
m
A(−1) 2
Axm os(λx), m = 2, 4, 6, . . .
Axm sin(λx), m = 1, 3, 5, . . .
n X
ª ¯®«ã祮 á室®¥ ãà ¢¥¨¥
h dm i ( x, λ ) y λ=0 dλm m dm A(−1) 2 y (x, λ) dλm m m+1 d A(−1) 2 y (x, λ) dλm
Axm , m = 0, 2, 4, . . .
5
¥è¥¨¥ y y (x, λ)
y (x, iβ ) m
(−1) 2
h dm i y (x, λ) λ=iβ dλm
3.6. ¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨©
*
3.6-1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥, ª®â®à®¥ ¤«ï ªà ⪮á⨠¡ã¤¥¬ § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥ L [y (x)℄ = f (x), (1) £¤¥ L | ¥ª®â®àë© «¨¥©ë© (¨â¥£à «ìë©) ®¯¥à â®à, y (x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, f (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï. ¤ ¤¨¬ ¯®ª ¯à®¨§¢®«ì® ¥ª®â®à®¥ ¯à®¡®¥ à¥è¥¨¥
y0
= y0 (x, λ),
(2)
§ ¢¨áï饥 ®â ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ¯ à ¬¥âà λ (áç¨â ¥âáï, çâ® ®¯¥à â®à L ¥ § ¢¨á¨â ®â λ ¨ y0 6≡ onst). § ãà ¢¥¨ï (1) ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯à ¢ãî ç áâì, ª®â®à ï ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ¯à®¡®¬ã à¥è¥¨î (2):
f0 (x, λ) = L [y0 (x, λ)℄.
¬®¨¬ ®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ y = y0 ¨ f = f0 ¥ª®â®àãî äãªæ¨î ϕ(λ), § ⥬ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯®«ã祮¥ à ¢¥á⢮ ¯® λ ®â१ª¥ [a, b℄. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 L [yϕ (x)℄ = fϕ (x), (3) £¤¥
yϕ (x) =
Z
b a
y0 (x, λ)ϕ(λ) dλ,
fϕ (x) =
Z
b a
f0 (x, λ)ϕ(λ) dλ.
(4)
§ ä®à¬ã« (3), (4) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ¯à ¢®© ç á⨠f = fϕ (x), à¥è¥¨¥¬ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¡ã¤¥â y = yϕ (x). áç¥â ¯à®¨§¢®« ¢ ¢ë¡®à¥ äãªæ¨¨ ϕ(λ) (¨ ®â१ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï) äãªæ¨î fϕ (x) ¢ ¯à¨æ¨¯¥ ¬®® ᤥ« âì «î¡®©. ᮢ ï ¯à®¡«¥¬ §¤¥áì á®á⮨⠢ ⮬, ª ª ¯®¤®¡à âì äãªæ¨î ϕ(λ), çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì § ¤ ãî äãªæ¨î fϕ (x). â㠯஡«¥¬ã ¬®® à¥è¨âì, ¥á«¨ 㤠¥âáï ©â¨
* ® ç⥨ï í⮣® à §¤¥« ¯®«¥§® ¯à®á¬®âà¥âì à §¤. 3.5.
âà ¨æ 63
64
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
â ª®¥ ¯à®¡®¥ à¥è¥¨¥, ¤«ï ª®â®à®£® ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï (1) ¡ã¤¥â ï¤à®¬ ¨§¢¥á⮣® ®¡à ⮣® ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (â ª®¥ ¯à®¡®¥ à¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì Y (x, λ) ¨ §ë¢ âì ¬®¤¥«ìë¬ à¥è¥¨¥¬). 3.6-2. ¯¨á ¨¥ ¬¥â®¤
¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì P | ¥ª®â®à®¥ ®¡à ⨬®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, ª®â®à®¥ «î¡®© äãªæ¨¨-®à¨£¨ «ã f (x) áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ ¨§®¡à ¥¨¥ F (λ) ¯® ¯à ¢¨«ã F (λ) = P{f (x)}. (5) ç¨â ¥¬, çâ® ®¡à ⮥ ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¤¥©áâ¢ã¥â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
P−1 {F (λ)} = f (x),
P−1 {F (λ)} ≡
Z
P−1
b a
¨¬¥¥â ï¤à® ψ (x, λ) ¨
F (λ)ψ (x, λ) dλ.
(6)
Ǒ।¥«ë a ¨ b ¨ ¯ãâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ (6) ¬®£ãâ «¥ âì ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®áâ¨. Ǒãáâì 㤠«®áì ©â¨ ¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ Y (x, λ) ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 § ¤ ç¨ ¤«ï −1 ãà ¢¥¨ï (1), ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ª®â®à®£® á⮨â ï¤à® ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï P :
L [Y (x, λ)℄
= ψ(x, λ).
(7)
¬®¨¬ ®¡¥ ç á⨠(7) F (λ), § ⥬ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯® λ ¢ â¥å ¥ ¯à¥¤¥« å, ª®â®àë¥ áâ®ïâ ¢ ®¡à ⮬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ (6). ç¨âë¢ ï, çâ® ®¯¥à â®à L ¥ −1 § ¢¨á¨â ®â λ ¨ ¨á¯®«ì§ãï à ¢¥á⢮ P {F (λ)} = f (x), ¯®«ã稬
L
hZ
b
a
Y (x, λ)F (λ) dλ
i
= f (x).
âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ f (x) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (7) ¯® ä®à¬ã«¥
y (x) =
Z
b a
Y (x, λ)F (λ) dλ,
(8)
£¤¥ F (λ) | ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (5). ª ç¥á⢥ ¯à ¢®© ç á⨠¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (7) ¬®®, ¯à¨¬¥à, ¢§ïâì íªá¯®¥æ¨ «ìãî, á⥯¥ãî ¨ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âá⢥® ïîâáï ï¤à ¬¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯« á , ¥««¨ , á¨ãá ¨ ª®á¨ãá ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ãàì¥ (á â®ç®áâì ¤® ¯®áâ®ï®£® ¬®¨â¥«ï). à拉 á«ãç ¥¢ ¬¥â®¤®¬ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ 㤠¥âáï áà ¢¨â¥«ì® ¯à®áâ® ©â¨ ¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ (§ ¤ ¢ ¥£® áâàãªâãàã). Ǒ®á«¥ í⮣® ¤«ï ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï á ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâìî ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë, ¢ë¯¨á ë¥ ¤ «¥¥ ¢ ¯¯. 3.6-3{3.6-6. 3.6-3. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâ¨
Ǒãáâì 㤠«®áì ¯®¤®¡à âì ¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ Y íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâ¨:
L [Y (x, λ)℄
= eλx .
= Y (x, λ), ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 (9)
áᬮâਬ ¤¢ á«ãç ï.
âà ¨æ 64
65
3.6. ¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨©
1◦ .
à ¢¥¨¥ ¯®«ã®á¨,
0 6 x < ∞. ¡®§ 稬 f~ (p) ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ f (x),
¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á :
f~ (p) = L{f (x)},
L{f (x)} ≡
Z
∞
f (x)e−px dx.
0
(10)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï á íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî (9) ¯à¨ λ = p ¯® ä®à¬ã«¥
y (x) =
1 2πi
Z c+i∞ c−i∞
Y (x, p)f~ (p) dp.
(11)
~ (u) ¨§®¡à ¥¨¥ äãªà ¢¥¨¥ ¢á¥© ®á¨, −∞ < x < ∞. ¡®§ 稬 f 樨 f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥:
2◦ .
f~ (u) = F{f (x)},
F{f (x)} ≡
1 2π
√
Z
∞ −∞
f (x)e−iux dx.
(12)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï á íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî (9) ¯à¨ λ = i u ¯® ä®à¬ã«¥
y (x) =
1 2π
√
Z
∞ −∞
Y (x, iu)f~ (u) du.
(13)
«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¨â¥£à «®¢ ¢ ¯à ¢ëå ç áâïå ä®à¬ã« (11) ¨ (13) ¨á¯®«ì§ãîâ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®, ¢ª«îç ï «¥¬¬ã ®à¤ ¨ ⥮६㠮 ¢ëç¥â å (á¬. ¯¯. 1.1-4 ¨ 1.1-5). ¬¥ç ¨¥ 1. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ Y (x, λ) ¬®¥â ¨¬¥âì áâàãªâãàã, ®â«¨çãî ®â ï¤à ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á ¨«¨ ãàì¥.
¬¥ç ¨¥ 2. Ǒਠ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ 㪠§ ®£® ¬¥â®¤ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® § âì «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (1) (ãà ¢¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¨â¥£à «ìë¬, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬, äãªæ¨® «ìë¬ ¨ ¤à.), ¥á«¨ ¨§¢¥áâ® ¥£® ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¤«ï íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâ¨. Ǒਠí⮬ ¢ «¨èì á ¬ ï ®¡é ï ¨ä®à¬ æ¨ï, çâ® ãà ¢¥¨¥ «¨¥©® ¨ ¥£® «¥¢ ï ç áâì ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯ à ¬¥âà λ. ¬¥ç ¨¥ 3. ª § ë© ¬¥â®¤ ¬®¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï â ª¥ ¯à¨ à¥è¥¨¨ «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå (¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå, ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨ äãªæ¨® «ìëå) ãà ¢¥¨© á® á«®ë¬ à£ã¬¥â®¬ 㠨᪮¬®© äãªæ¨¨. Ǒਬ¥à 1.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ y (x) +
Z
∞ x
K (x − t)y (t) dt = f (x).
(14)
K (x − t)y (t) dt = epx .
(15)
â® ãà ¢¥¨¥ ¥«ì§ï à¥è¨âì ¯ã⥬ ¥¯®á।á⢥®£® ¯à¨¬¥¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á , â ª ª ª §¤¥áì ⥮६ ® ᢥà⪥ ¥ ¯à¨¬¥¨¬ . ᮮ⢥âá⢨¨ á ¬¥â®¤®¬ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© à áᬮâਬ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥ á íªá¯®¥æ¨ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî y (x) +
Z
∞ x
£® à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (á¬. ¯à¨¬¥à 1 ¨§ ¯. 3.5-2) Y (x, p)
=
1 px ~ (−p) e , 1+K
~ (−p) K
=
Z
∞
0
K (−z )epz dz.
(16)
5 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 65
66
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
âáî¤ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë (11) ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (12) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠Z
c+i∞ f~ (p) 1 px (17) ~ (−p) e dp, 2πi c−i∞ 1 + K £¤¥ f~(p) |¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á (10)
y (x)
=
(á¬. â ª¥ à §¤. 3.11). ⬥⨬, çâ® ¡®«¥¥ á«®ë¬ ¯ã⥬ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (12) ¡ë«® ¯®«ã祮 ¢ ª¨£¥ . . à ᮢ , . . ¨á¥«¥¢ , . . ª ४® (1968, áâà. 42, 43). 3.6-4. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï á⥯¥®© ¯à ¢®© ç áâ¨
= Y (x, s ), ᮮ⢥âáâ¢ãî饥
Ǒãáâì 㤠«®áì ¯®¤®¡à âì ¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ Y á⥯¥®© ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï
L [Y (x, s )℄
= x −s ,
λ = −s .
(18)
b (s ) ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¡®§ 稬 f ¨ï ¥««¨ fb (s ) = M{f (x)},
M{f (x)} ≡
Z
∞
0
f (x)xs−1 dx.
(19)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï á® á⥯¥®© ¯à ¢®© ç áâìî (18) ¯® ä®à¬ã«¥
1 2πi
y (x) =
Z c+i∞ c−i∞
Y (x, s )fb (s ) ds .
(20)
«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨â¥£à «®¢ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ä®à¬ã«ë (20) ¨á¯®«ì§ãîâ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®, ¢ª«îç ï «¥¬¬ã ®à¤ ¨ ⥮६㠮 ¢ëç¥â å (á¬. ¯¯. 1.1-4 ¨ 1.1-5). Ǒਬ¥à 2.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ Z
y (x) +
x
1
0 x
K
t y (t) dt = f (x). x
(21)
t y (t) dt x
(22)
ᮮ⢥âá⢨¨ á ¬¥â®¤®¬ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© à áᬮâਬ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥ á® á⥯¥®© ¯à ¢®© ç áâìî y (x) +
Z
x
1
0 x
K
= x −s .
£® à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (á¬. ¯à¨¬¥à 2 ¨§ ¯. 3.5-3 ¯à¨ λ = −s) Y (x, s )
=
1
1 + B (s )
x −s ,
B (s )
=
Z 1
0
K (t)t−s dt.
(23)
âáî¤ ®á®¢ ¨¨ ä®à¬ã«ë (20) ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (21) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠Z c+i∞ fb (s ) 1 x−s ds , 2πi c−i∞ 1 + B (s ) äãªæ¨¨ f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî
y (x)
£¤¥ fb(s) | ¨§®¡à ¥¨¥ (19).
=
(24)
¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨-
âà ¨æ 66
3.6. ¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨©
67
3.6-5. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯à ¢®© ç áâ¨
Ǒãáâì 㤠«®áì ¯®¤®¡à âì ¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ Y á¨ãáã ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨:
= Y (x, u), ᮮ⢥âáâ¢ãî饥
L [Y (x, u)℄ = sin(ux), λ = u. (25) ¡®§ 稬 fs (u) ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¥á¨¬¬¥âà¨ç®© ä®à¬ë á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥:
fs (u) = Fs {f (x)},
Fs {f (x)} ≡
Z
∞
0
f (x) sin(ux) dx.
(26)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï á á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯à ¢®© ç áâìî (25) ¯® ä®à¬ã«¥
y (x ) =
2 π
Z
∞
0
Y (x, u)fs (u) du.
(27)
3.6-6. ®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¤«ï ª®á¨ãᮨ¤ «ì®© ¯à ¢®© ç áâ¨
Ǒãáâì 㤠«®áì ¯®¤®¡à âì ¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ Y ª®á¨ãáã ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨:
= Y (x, u), ᮮ⢥âáâ¢ãî饥
L [Y (x, u)℄ = os(ux), λ = u. (28) ¡®§ 稬 f (u) ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¥á¨¬¬¥âà¨ç®© ä®à¬ë ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥:
f (u) = F {f (x)},
F {f (x)} ≡
Z
∞
0
f (x) os(ux) dx.
(29)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï á ª®á¨ãᮬ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(28) ¯® ä®à¬ã«¥ Z
y (x) =
2
π
∞
0
Y (x, u)f (u) du.
(30)
3.6-7. ¥ª®â®àë¥ ®¡®¡é¥¨ï
ª ¨ à ¥¥, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® P | ®¡à ⨬®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, ª®â®à®¥ «î¡®© äãªæ¨¨-®à¨£¨ «ã f (x) áâ ¢¨â ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¨§®¡à ¥¨¥ F (λ) ¯® ¯à ¢¨«ã (5). ¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (6). Ǒãáâì 㤠«®áì ©â¨ ¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ Y (x, λ) á«¥¤ãî饩 ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 § ¤ ç¨ ¤«ï ãà ¢¥¨ï (1):
Lx [Y (x, λ)℄
= Hλ [ψ(x, λ)℄.
(31)
¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï (31) á⮨⠥ª®â®àë© ®¡à â¨¬ë© «¨¥©ë© (¨â¥£à «ìë©, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨«¨ äãªæ¨® «ìë©) ®¯¥à â®à, ª®â®àë© ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯¥à¥¬¥®© x ¨ ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ¯ à ¬¥âàã λ ï¤à® ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ψ (x, λ), ¬. ä®à¬ã«ã (6). «ï £«ï¤®á⨠®¯¥à â®à ¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï (31) ¯®¬¥ç¥ ¨¤¥ªá®¬ x (® ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ¯¥à¥¬¥®© x ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â λ). 1 Ǒ®¤¥©áâ¢ã¥¬ ®¡¥ ç á⨠(31) ®¡à âë¬ ®¯¥à â®à®¬ H− λ . १ã«ìâ ⥠¢ ¯à ¢®© ç á⨠¯®«ã稬 ï¤à® ψ (x, λ), ¢ «¥¢®© ç á⨠¯¥à¥áâ ¢¨¬ ®¯¥à â®àë ¯® −1 −1 ¯à ¢¨«ã Hλ Lx = Lx Hλ (íâ® ª ª ¯à ¢¨«® ¬®® ᤥ« âì, â ª ª ª ®¯¥à â®àë 5*
âà ¨æ 67
68
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
¤¥©áâ¢ãîâ ¯® à §«¨çë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬). ¬®¨¬ ¤ «¥¥ ®¡¥ ç á⨠¯®«ã祮£® à ¢¥á⢠¨§®¡à ¥¨¥ F (λ), § ⥬ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯® λ ¢ â¥å ¥ ¯à¥¤¥« å, ª®â®àë¥ áâ®ïâ ¢ ®¡à ⮬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ (6). १ã«ìâ ⥠á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠P−1 {F (λ)} = f (x) ¯®«ã稬
Lx
hZ
b
a
1 F (λ)H− λ [Y (x, λ)℄ dλ
i
= f (x).
(32)
âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ f (x) ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (31) ¯® ä®à¬ã«¥
y (x) =
Z
b a
1 F (λ)H− λ [Y (x, λ)℄ dλ,
(33)
£¤¥ F (λ) | ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ f (x), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï P ¯® ä®à¬ã«¥ (5). ª®© ¯®¤å®¤ § áç¥â ¯à®¨§¢®« ¢ ¢ë¡®à¥ ®¯¥à â®à Hλ à áè¨àï¥â ¢®§¬®®á⨠¬¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨©.
•
: A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1997, 1998).
¨â¥à âãà
3.7. ¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
à拉 á«ãç ¥¢ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ (®¤®ªà ⮥, ¤¢ãªà ⮥ ¨ â. ¤.) ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯®á«¥¤ãî騬 ¨áª«î票¥¬ ¨â¥£à «ìëå ç«¥®¢ á ¯®¬®éìî ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¯®§¢®«ï¥â ᢥá⨠¨å ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬. ®£¤ á ¯®¬®éìî ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï 㤠¥âáï ᢥá⨠à áᬠâਢ ¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥ ª ¡®«¥¥ ¯à®áâ®¬ã ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î, à¥è¥¨¥ ª®â®à®£® ¨§¢¥áâ®. ¨¥ ¯¥à¥ç¨á«¥ë ¥ª®â®àë¥ ª« ááë ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©, ª®â®àë¥ á¢®¤ïâáï ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. 3.7-1. ¤à® ᮤ¥à¨â á㬬ã íªá¯®¥â
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
y (x) +
Z x X n a
k=1
Ak eλk (x−t) y (t) dt = f (x).
(1)
â® ãà ¢¥¨¥ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®® ᢥá⨠ª «¨¥©®¬ã ¥®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î n-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. è¨à®ª®¬ ¤¨ ¯ §®¥ ¨§¬¥¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ Ak , λk à¥è¥¨¥ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥:
y (x) = f (x) +
Z x X n a
k=1
Bk eµk (x−t) f (t) dt,
£¤¥ ¯ à ¬¥âàë à¥è¥¨ï Bk , µk á¢ï§ ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ãà ¢¥¨ï Ak , λk . Ǒਬ¥à 1.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ Z y (x) +
x
a
A1 eλ1 (x−t) + A2 eλ2 (x−t) y (t) dt = f (x).
âà ¨æ 68
69
3.7. ¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
1◦ .
¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票ï Z x I1
=
eλ1 (x−t) y (t) dt,
I2
=
Z
x
eλ2 (x−t) y (t) dt.
Ǒத¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¤¢ ¤ë ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥. १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬ (¯¥à¢ë¬ § ¯¨á ® ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥) a
a
y + A1 I1 + A2 I2 = f, f = f (x), yx′ + (A1 + A2 )y + A1 λ1 I1 + A2 λ2 I2
(2) (3)
= fx′ , ′′ ′ ′′ yxx + (A1 + A2 )yx + (A1 λ1 + A2 λ2 )y + A1 λ21 I1 + A2 λ22 I2 = fxx .
(4)
᪫îç ï ®âáî¤ ¢¥«¨ç¨ë I1 ¨ I2 , ¯à¨å®¤¨¬ ª «¨¥©®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨
′′ ′′ yxx +(A1 + A2 −λ1 −λ2 )yx′ +(λ1 λ2 −A1 λ2 −A2 λ1 )y = fxx − (λ1 + λ2 )fx′ + λ1 λ2 f. (5)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï § 票¥ x = a ¢ à ¢¥á⢠(2) ¨ (3), ¯®«ã稬 ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï y (a)
= f (a),
yx′ (a)
= fx′ (a) − (A1 + A2 )f (a).
(6)
¥è¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï (5) á ãá«®¢¨ï¬¨ (6) ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. 2◦ . áᬮâਬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ µ2
+ (A1 + A2 − λ1 − λ2 )µ + λ1 λ2 − A1 λ2 − A2 λ1 = 0,
(7)
ª®â®à®¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¤®à®¤®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î (5) ¯à¨ f (x) ≡ 0. âàãªâãà à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï § ¢¨á¨â ®â § ª ¤¨áªà¨¬¨ â ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï (7): D ≡ (A1 − A2 − λ1 + λ2 )2 + 4A1 A2 . á«ãç ¥ D > 0 ª¢ ¤à ⮥ ãà ¢¥¨¥ (7) ¨¬¥¥â ¤¥©á⢨⥫ìë¥ (¨ à §«¨çë¥) ª®à¨ µ1 ¨ µ2 : √ √ µ1
= 12 (λ1 + λ2 − A1 − A2 ) + 21
µ2
D,
= 12 (λ1 + λ2 − A1 − A2 ) − 12
Ǒਠí⮬ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z £¤¥
y (x)
x
= f (x) +
a
B1 eµ1 (x−t)
+ B2 eµ2 (x−t) f (t) dt,
µ − λ2 µ − λ1 µ − λ2 µ B1 = A1 1 , B2 = A1 2 + A2 1 + A2 2 µ2 − µ1 µ2 − µ1 µ1 − µ2 µ1 D<0 µ1 = σ + iβ, µ2 = σ − iβ, σ = 12 (λ1 + λ2 − A1 − A2 ), β =
á«ãç ¥ £¤¥
− λ1 . − µ2
ª¢ ¤à ⮥ ãà ¢¥¨¥ (7) ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªá® ᮯàï¥ë¥√ª®à¨
Ǒਠí⮬ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z y (x)
D.
= f (x) + B1
x
a
1 2
−D.
B1 eσ (x−t) os[β (x − t)℄ + B2 eσ (x−t) sin[β (x − t)℄ f (t) dt,
= −A1 − A2 ,
B2
=
1
β
A1 (λ2 − σ) + A2 (λ1 − σ) .
3.7-2. ¤à® ᮤ¥à¨â á㬬㠣¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨å äãªæ¨©
à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢¨¤
y (x) +
Z
K (x) =
x
K (x − t)y (t) dt = f (x),
a m X
k=1
Ak h(λk x) +
s X
k=1
Bk sh(µk x),
(8)
á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« h β = 12 (eβ + e−β ) ¨ sh β = 21 (eβ − e−β ) ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ n = 2m + 2s . Ǒ®í⮬㠮¨ ᢮¤ïâáï ª «¨¥©ë¬ ¥®¤®à®¤ë¬ ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨.
âà ¨æ 69
70
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
3.7-3. ¤à® ᮤ¥à¨â á㬬ã âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãªæ¨©
à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢¨¤
y (x ) + y (x ) +
Z Z
x a x a
K (x − t)y (t) dt = f (x),
K (x) =
K (x − t)y (t) dt = f (x),
K (x) =
m X
k=1 m X k=1
Ak os(λk x),
(9)
Ak sin(λk x),
(10)
â ª¥ ¬®® ᢥá⨠ª «¨¥©ë¬ ¥®¤®à®¤ë¬ ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ 2n-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒਬ¥à 2.
1
◦
. ¡®§ 稬
áᬮâਬ ¯®¤à®¡¥¥ ãà ¢¥¨¥ (10). Ik (x)
=
Z
x a
sin[λk (x − t)℄y(t) dt.
(11)
Ǒத¨ää¥à¥æ¨à㥬 (11) ¤¢ ¤ë ¯® x. १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬ (èâà¨å¨ ®¡®§ ç î⠯ந§¢®¤ë¥ ¯® x) Ik′
= λk
Z
x a
os[λk (x − t)℄y(t) dt,
= λk y(x) − λ2k
Ik′′
Z
x a
sin[λk (x − t)℄y(t) dt.
(12)
§ ᮯ®áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã« (11) ¨ (12) ¯®«ã稬 á¢ï§ì ¬¥¤ã Ik′′ ¨ Ik : Ik′′
= λk y(x) − λ2k Ik ,
Ik
= Ik (x).
(13)
â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¯®¬®éìî (11) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ y (x) +
n X
k=1
Ak I k
= f (x).
(14)
¨ää¥à¥æ¨àãï (14) ¤¢ ¤ë ¯® x, á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(13) ¨¬¥¥¬ ′′ yxx (x) + σn y(x) −
n X
k=1
Ak λ2k Ik
′′ = fxx (x),
᪫îç ï ¨â¥£à « In ¨§ (14) ¨ (15), ¯®«ã稬 ′′ yxx (x) + (σn
+ λ2n )y(x) +
n− X1 k=1
Ak (λ2n − λ2k )Ik
σn
=
n X
k=1
Ak λk .
′′ = fxx (x) + λ2n f (x).
(15)
(16)
¨ää¥à¥æ¨àãï à ¢¥á⢮ (16) ¤¢ ¤ë ¯® x ¨ ¨áª«îç ï ¨â¥£à « In−1 ¨§ ¯®«ã祮£® ¢ëà ¥¨ï á ¯®¬®éìî (16), ¯à¨¤¥¬ ª «®£¨ç®¬ã à ¢¥áâ¢ã, ¢ «¥¢®© ç á⨠ª®â®à®£® ¡ã¤¥â áâ®ïâì «¨¥©ë© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ®¯¥à â®à ç¥â¢¥à⮣® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨n−2 樥⠬¨ (¤¥©áâ¢ãî騩 y) ¨ á㬬 ¢¨¤ P Bk Ik . Ǒத®« ï ¤ «¥¥ ¯®¬®éìî ¤¢ãk=1 ªà ⮣® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨ á®®â®è¥¨ï (13) ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¨áª«îç âì á« £ ¥¬ë¥ In−2 , In−3 , . . . , ¯à¨¤¥¬ ¢ ¨â®£¥ ª «¨¥©®¬ã ¥®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¯®à浪 2n. ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ y(x) 室ïâáï ¢ १ã«ìâ ⥠¯®¤áâ ®¢ª¨ § 票ï x = a ¢ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ ¢á¥ ¥£® á«¥¤á⢨ï, ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®¬®éìî ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï. 2◦ . ©¤¥¬ ª®à¨ zk «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï n X λk Ak z + λ2k k=1
+ 1 = 0,
(17)
âà ¨æ 70
3.8. ¢¥¤¥¨¥ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà 2-£® த ª ãà ¢¥¨ï¬ ®«ìâ¥àà 1-£® த
71
ª®â®à®¥ ¯®á«¥ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ª ®¡é¥¬ã § ¬¥ ⥫î ᢮¤¨âáï ª § ¤ ç¥ ®¡ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ª®à¥© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬®£®ç«¥ n-© á⥯¥¨. Ǒãáâì ¢á¥ ª®à¨ zk ãà ¢¥¨ï (17) ¤¥©á⢨⥫ìë, à §«¨çë ¨ ¥ à ¢ë ã«î. ᥠª®à¨ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¨å § ª à §®¡ì¥¬ ¤¢¥ £à㯯ë: z1 > 0, z 2 > 0, ..., z > 0 (¯®«®¨â¥«ìë¥ ª®à¨); z +1 < 0, z +2 < 0, . . . , zn < 0 (®âà¨æ ⥫ìë¥ ª®à¨). ¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ s
s
y (x) = f (x)+
Z
s
s x X
k=1
a
n X Bk sh µk (x−t) + Ck sin µk (x−t) f (t) dt, k=s +1
µk =
q
®íää¨æ¨¥âë Bk ¨ Ck 室ïâáï ¨§ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© s X
Bk µk λ2m + µ2k k=0
+
n X
Ck µk −1 λ2 − µ2k k=s +1 m
= 0,
µk
=
q
|zk |,
|zk |. (18)
m = 1, 2, . . . , n. (19)
«ãç © á ã«¥¢ë¬ ª®à¥¬ z = 0 à áᬠâਢ ¥âáï á ¯®¬®éìî ¢¢¥¤¥¨ï ®¢®© ¯®áâ®ï®© D = B µ ¨ ¯à¥¤¥«ì®£® ¯¥à¥å®¤ µ → 0. १ã«ìâ ⥠¢ à¥è¥¨¨ (18) ¢¬¥áâ® ç«¥ B sh µ (x − t) ¢®§¨ª ¥â á« £ ¥¬®¥ D (x − t), ¢ á¨á⥬¥ (19) ¯®ï¢«ïîâáï ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á« £ ¥¬ë¥ Dλ−m2 . s
s
s
s
s
s
à ¢¥¨¥ á à §®áâë¬ ï¤à®¬, ᮤ¥à 騬 á㬬㠪®á¨ãᮢ ¨ á¨ãᮢ, â ª¥ ᢮¤¨âáï ª «¨¥©®¬ã ¥®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. 3.7-4. ¤à® ᮤ¥à¨â ª®¬¡¨ 樨 à §«¨çëå äãªæ¨©
î¡®¥ ãà ¢¥¨¥ á à §®áâë¬ ï¤à®¬, ᮤ¥à 騬 «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î á« £ ¥¬ëå ¢¨¤
(x − t)m (m = 0, 1, 2, . . .), exp α(x − t) ,
h β (x − t) , sh γ (x − t) , os λ(x − t) , sin µ(x − t) ,
(20)
â ª¥ á ¯®¬®éìî ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¬®¥â ¡ëâì ᢥ¤¥® ª «¨¥©®¬ã ¥®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ªá¯®¥æ¨ «ì ï, £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¥ ¨ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ ¬®£ãâ ¡ëâì 㬮¥ë â ª¥ (x − t)n (n = 1, 2, . . . ).
¬¥ç ¨¥. ¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï á ãᯥ宬 ¬®¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï â ª¥ ¤«ï à¥è¥¨ï ¡®«¥¥ á«®ëå ãà ¢¥¨© á ¥à §®áâë¬ ï¤à®¬, ª ª®â®àë¬ ¥¯à¨¬¥¨¬® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á .
3.8. ¢¥¤¥¨¥ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ª ãà ¢¥¨ï¬ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த
à ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த
y (x) −
Z
x a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
(1)
¬®® ᢥá⨠ª ãà ¢¥¨î ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨.
âà ¨æ 71
72
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
3.8-1. Ǒ¥à¢ë© ᯮᮡ
Ǒந⥣à¨à㥬 ®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï (1) ¯® x ®â a ¤® x, § ⥬ ¨§¬¥¨¬ ¯®à冷ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢ ¤¢®©®¬ ¨â¥£à «¥. १ã«ìâ ⥠¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த
Z
x a
M (x, t)y (t) dt = F (x),
¢ ª®â®à®¬ ¨á¯®«ì§®¢ ë á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï:
M (x, t) = 1 −
Z
x t
K (s , t) ds ,
F (x) =
(2)
Z
x a
f (t) dt.
(3)
3.8-2. â®à®© ᯮᮡ
Ǒãáâì ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ f (a) = 0. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (1) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ãà ¢¥¨î ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ¤«ï ¯à®¨§¢®¤®© ¨áª®¬®© äãªæ¨¨
Z
£¤¥
x a
N (x, t)yt′ (t) dt = f (x), N (x, t) = 1 −
Z
x t
y (a) = 0,
(4)
K (x, s ) ds .
(5)
¥©á⢨⥫ì®, ¨â¥£à¨àãï ¯® ç áâï¬ ¯à ¢ãî ç áâì (4) á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë (5), ¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î (1). ¬¥ç ¨¥. Ǒਠf (a) 6= 0 ¨§ ãà ¢¥¨ï (1) á«¥¤ã¥â, çâ® y (a) = f (a). í⮬ á«ãç ¥ § ¬¥ z (x) = y (x) − f (a) ¯à¨¢®¤¨â ª ãà ¢¥¨î ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த
z (x) −
Z
x
a
K (x, t)z (t) dt = (x),
(x) = f (x) − f (a) + f (a)
Z
x
a
K (x, t) dt,
¤«ï ¯à ¢®© ç á⨠ª®â®à®£® ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ (0) = 0 ¨ ª®â®à®¥ 㥠¬®¥â ¡ëâì ᢥ¤¥® ¢â®àë¬ á¯®á®¡®¬ ª ãà ¢¥¨î ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த .
•
: . ®«ìâ¥àà (1982), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986).
¨â¥à âãà
3.9. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© 3.9-1. ¡é ï á奬
1◦ .
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த
y (x) −
Z
x a
K (x, t)y (t) dt = f (x).
(1)
㤥¬ áç¨â âì, çâ® f (x) ¥¯à¥àë¢ ®â१ª¥ [a, b℄, ï¤à® K (x, t) ¥¯à¥à뢮 ¯à¨ a 6 x 6 b, a 6 t 6 x. 㤥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥ ¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©. «ï í⮣® ¯®«®¨¬
y (x) = f (x) +
∞ X
n=1
ϕn (x),
(2)
âà ¨æ 72
73
3.9. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©
£¤¥ ϕn (x) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬
ϕ1 (x) = ϕ2 (x) = ϕ3 (x) = ¤¥áì
Z
x
Z ax Z ax a
K (x, t)f (t) dt, K (x, t)ϕ1 (t) dt = K (x, t)ϕ2 (t) dt =
Kn (x, t) =
Z
x a
Z
x
Zax a
K2 (x, t)f (t) dt, K3 (x, t)f (t) dt,
...
K (x, z )Kn−1 (z, t) dz,
(3)
£¤¥ n = 2, 3, . . ., ¯à¨ç¥¬ K1 (x, t) ≡ K (x, t), Kn (x, t) = 0 ¯à¨ t > x. ãªæ¨¨ Kn (x, t), ¤ ¢ ¥¬ë¥ ä®à¬ã« ¬¨ (3), §ë¢ îâáï ¨â¥à¨à®¢ 묨 ï¤à ¬¨. «ï ¨å á¯à ¢¥¤«¨¢® á®®â®è¥¨¥
Kn (x, t) =
Z
x a
Km (x, s )Kn−m (s , t) ds ,
(4)
£¤¥ m | «î¡®¥ âãà «ì®¥ ç¨á«®, ¬¥ì襥 n.
2◦ .
Ǒ®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à¨¡«¨¥¨ï ¬®® ¯®áâநâì ¨ ¯® ¤à㣮©, ¡®«¥¥ ®¡é¥© á奬¥: Z
yn (x) = f (x) +
x
a
K (x, t)yn−1 (t) dt,
n = 1, 2, . . . ,
(5)
£¤¥ y0 (x) | ª ª ï-«¨¡® ¥¯à¥àë¢ ï [a, b℄ äãªæ¨ï. Ǒ®«ãç ¥¬ë¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ äãªæ¨¨ y1 (x), y2 (x), . . . â ª¥ ¥¯à¥àë¢ë ®â१ª¥ [a, b℄. Ǒਠᤥ« ëå ¢ëè¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå ®â®á¨â¥«ì® f (x) ¨ K (x, t) ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì {yn (x)} á室¨âáï ¯à¨ n → ∞ ª ¥¯à¥à뢮¬ã à¥è¥¨î y (x) ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ¤ çë© ¢ë¡®à óã«¥¢®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï y0 (x) ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¡ëáâன á室¨¬®á⨠¯à®æ¥áá . «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ ç á⮬ á«ãç ¥ y0 (x) = f (x) ¤ ë© ¬¥â®¤ ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¬¥â®¤, ¨§«®¥ë© ¢ 1◦ .
᫨ ï¤à® K (x, t) ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬® ¢ ª¢ ¤à ⥠{a 6 x 6 b, a 6 t 6 b} ¨ f (x) ∈ L2 (a, b), â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à¨¡«¨¥¨ï á室ïâáï ¢ á।¥¬ ª à¥è¥¨î y (x) ∈ L2 (a, b) ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ «î¡®¬ ¢ë¡®à¥ ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï y0 (x) ∈ L2 (a, b). ¬¥ç ¨¥ 1.
S
=
3.9-2. ®à¬ã« ¤«ï १®«ì¢¥âë
¥§®«ì¢¥â ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ ¨â¥à¨à®¢ ë¥ ï¤à ä®à¬ã«®©
R(x, t) =
∞ X
n=1
Kn (x, t),
(6)
£¤¥ á室ï騩áï àï¤, áâ®ï騩 ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨, §ë¢ ¥âáï à冷¬ ¥©¬ ï¤à K (x, t). ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த (1) ¬®¥â ⥯¥àì ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ âà ¤¨æ¨®®© ä®à¬¥
y (x) = f (x) +
Z
x a
R(x, t)f (t) dt.
(7)
âà ¨æ 73
74
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¬¥ç ¨¥ 2. á«ãç ¥ ï¤à á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 à áᬮâà¥ë¬ ¢ëè¥ ¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©. Ǒਠí⮬ ï¤à Kn (x, t), ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® § 票ï n, ¥¯à¥àë¢ë. Ǒਠα < 12 ¥¯à¥àë¢ë¬ ¡ã¤¥â 㥠ï¤à® K2 (x, t).
: . . ®¢¨ââ (1957), . . ¨å«¨ (1959), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . ¬¨à®¢ (1974), . ®«ìâ¥àà (1982).
•
¨â¥à âãà
3.10. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà 3.10-1. ¡é ï á奬 ¬¥â®¤
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த
y (x) −
Z
x a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
(1)
®â१ª¥ a 6 x 6 b, ¨ ¯à¨¬¥¨¬ ¤«ï ¥£® à¥è¥¨ï ¬¥â®¤ ª¢ ¤à âãà. 㤥¬ áç¨â âì ï¤à® ¨ ¯à ¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï ¥¯à¥àë¢ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨. ®á®¢ ¨¨ ãà ¢¥¨ï (1) ©¤¥¬, çâ® y (a) = f (a). ®§ì¬¥¬ ¯®áâ®ïë© è £ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï h ¨ à áᬮâਬ ¤¨áªà¥â®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª xi = a + h(i − 1), i = 1, 2, . . . , n. Ǒਠx = xi ãà ¢¥¨¥ (1) ¯à¨¬¥â ¢¨¤
y (xi ) −
Z
xi a
K (xi , t)y (t) dt = f (xi ),
i = 1, . . . , n.
(2)
¬¥ïï ¨â¥£à « ¢ (2) ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«®© (á¬. ¯. 2.7-1) ¨ ¢ë¡¨à ï xj (j = 1, 2, . . . , i) 㧫 ¬¨ ª¢ ¤à âãàë (¯® ¯¥à¥¬¥®© t), ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©:
y (xi ) −
i X
j =1
Aij K (xi , xj )y (xj ) = f (xi ) + εi [y ℄,
i = 2, . . . , n,
(3)
£¤¥ Aij | ª®íää¨æ¨¥âë ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë ®â१ª¥ [a, xi ℄, εi [y ℄ | ®è¨¡ª ¯¯à®ªá¨¬ 樨. Ǒ®« £ ï εi [y ℄ ¬ «ë¬¨ ¨ ®â¡à áë¢ ï ¨å, ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¢ ä®à¬¥
y1
= f1 ,
yi −
i X j =1
Aij Kij yj
= fi ,
i = 2, . . . , n,
(4)
£¤¥ Kij = K (xi , xj ) (j = 1, . . . , i), fi = f (xi ), yj | ¯à¨¡«¨¥ë¥ § ç¥¨ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ y (x) ¢ 㧫 å xi . ®á®¢ ¨¨ (4) ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî ४ãàà¥âãî ä®à¬ã«ã:
y1
= f1 ,
yi
á¯à ¢¥¤«¨¢ãî ¯à¨ ãá«®¢¨¨
=
fi +
i− P1
j =1
Aij Kij yj
1 − Aii Kii
1 − Aii Kii = 6 0,
,
i = 2, . . . , n,
(5)
(6)
祣® ¢á¥£¤ ¬®® ¤®¡¨âìáï § áç¥â ¢ë¡®à 㧫®¢ ¨ ®¡¥á¯¥ç¥¨ï ¤®áâ â®ç®© ¬ «®á⨠ª®íää¨æ¨¥â®¢ Aii .
âà ¨æ 74
3.11. à ¢¥¨ï á ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
75
3.10-2. Ǒਬ¥¥¨¥ ä®à¬ã«ë âà ¯¥æ¨©
ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã«®© âà ¯¥æ¨© (á¬. ¯. 2.7-1), ¨¬¥¥¬
Ai1
= Aii =
1 h, 2
y1
= f1 ,
=
Ai2
= · · · = Ai,i−1 = h,
i = 2, 3, . . . , n.
ᯮ«ì§®¢ ¨¥ ä®à¬ã«ë âà ¯¥æ¨© ¢ ®¡é¥© á奬¥ ¬¥â®¤ ª¢ ¤à âãà ¤«ï à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî饬㠯®è £®¢®¬ã «£®à¨â¬ã: i− P1 fi + h βj Kij yj
yi
j =1
1 − 12 hKii
,
i = 2, . . . , n, 1 ¯à¨ j = 1, βj = 2 1 ¯à¨ j > 1,
b−a + 1, h £¤¥ ®¡®§ 票ï ᮢ¯ ¤ îâ ¢¢¥¤¥ë¬ ¢ ¯. 3.10-1. ®à¬ã« âà ¯¥æ¨© ¤®áâ â®ç® ¯à®áâ , íä䥪⨢ ¨ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à ªâ¨ª¥. ¥ª®â®àë¥ ®á®¡¥®á⨠¯à¨¬¥¥¨ï ¬¥â®¤ ª¢ ¤à âãà ¤«ï à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ®â¬¥ç¥ë ¢ ¯. 2.7-3.
xi
= a + (i − 1)h,
n=
3.10-3. «ãç © ¢ëத¥®£® ï¤à
á«ãç ¥ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த á ¯à®¨§¢®«ìë¬ ï¤à®¬ ¯® ¬¥à¥ 㢥«¨ç¥¨ï ®¬¥à è £ à á⠥⠨ ®¡ê¥¬ ¢ëç¨á«¥¨©.
᫨ ¥ ï¤à® ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ëத¥ë¬, â® ¢®§¬®® ¯®áâ஥¨¥ «£®à¨â¬®¢ á ¥¨§¬¥ë¬ ®¡ê¥¬®¬ ¢ëç¨á«¥¨© è £¥. ¥©á⢨⥫ì®, ¤«ï ¢ëத¥®£® ï¤à K (x, t)
=
m P
k=1
pk (x)qk (t) ãà ¢¥¨¥ (1) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ y (x ) =
m X
k=1
pk (x)
Z
x a
qk (t)y (t) dt + f (x).
Ǒਬ¥¥¨¥ ä®à¬ã«ë âà ¯¥æ¨© ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî饥 ४ãàà¥â®¥ ¢ëà ¥¨¥ (á¬. ¯. 3.10-2): i− m P P1 fi + h pki βj qkj yj
y1
= f1 ,
yi
=
k=1
1 − 12 h
j =1
m P
k=1
,
pki qki
£¤¥ yi | ¯à¨¡«¨¥ë¥ § ç¥¨ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ y (x) ¢ 㧫 å xi , fi = f (xi ), pki = pk (xi ), qki = qk (xi ), ¨§ ª®â®à®£® ¢¨¤®, çâ® ª®«¨ç¥á⢮ ¢ëç¨á«¥¨© ª ¤®¬ è £¥ ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥ë¬.
: . . àë«®¢, . . ®¡ª®¢, Ǒ. . ® áâëàë© (1984), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986).
•
¨â¥à âãà
3.11. à ¢¥¨ï á ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
Ǒ।áâ ¢«ïîâ â ª¥ ¨â¥à¥á ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த á ®¤¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬, ¤à㣨¬ ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥« ¬¨, ᮤ¥à 騥 à §®á⮥ ï¤à®. ¤à ¨ äãªæ¨¨ â ª¨å ãà ¢¥¨© ¬®£ãâ ¥ ¯à¨ ¤«¥ âì ®¯¨á ë¬ ¢ ç «¥ £« ¢ë ª« áá ¬. í⮬ á«ãç ¥ ¨å ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯à®¢®¤¨âáï ¬¥â®¤®¬ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© (á¬. à §¤. 3.6) ¨«¨ ¬¥â®¤®¬ ᢥ¤¥¨ï ª ãà ¢¥¨ï¬ ⨯ ᢥà⪨. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠à áᬮâਬ ¤ «¥¥ ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï.
âà ¨æ 75
76
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rx a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
3.11-1. «ãç © ¯¥à¥¬¥®£® ¨¥£® ¯à¥¤¥« ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¢ á«ãç ¥ à §®á⮣® ï¤à ¨¬¥¥â ¢¨¤
y (x) +
Z
∞ x
K (x − t)y (t) dt = f (x),
0 < x < ∞.
(1)
® ¯à¨æ¨¯¨ «ìë¬ ®¡à §®¬ ®â«¨ç ¥âáï ®â ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த , à áᬮâà¥ëå ¢ëè¥, ¤«ï ª®â®àëå à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥®. ¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï
y (x) +
Z
∞ x
K (x − t)y (t) dt = 0
(2)
¬®¥â ¡ëâì ¨ ¥âਢ¨ «ìë¬. ®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (2) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª®àﬨ á«¥¤ãî饣® âà á楤¥â®£® (¨«¨ «£¥¡à ¨ç¥áª®£®) ãà ¢¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¯ à ¬¥âà λ: Z ∞
0
K (−z )e−λz dz
= − 1.
(3)
¥¢ ï ç áâì í⮣® ãà ¢¥¨ï ¥áâì ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ K (−z ), ¯®«ã祮¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á á ¯ à ¬¥â஬ λ. ¯à¨¬¥à, ¯à®á⮬㠤¥©á⢨⥫쮬㠪®àî λk ãà ¢¥¨ï (3) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï yk (x) = exp(−λk x). ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î (á ¯à®¨§¢®«ì묨 ¯®áâ®ï묨) ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ãà ¢¥¨ï (2). ¨¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1 ¤ ë ®¡é¨¥ à¥è¥¨ï ª®ªà¥â®£® ãà ¢¥¨ï ⨯ (2) ¤«ï á«ãç ¥¢ ªà âëå ¨ ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© (3). ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨§ ᥡï á㬬㠮¡é¥£® à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (2) ¨ ç á⮣® à¥è¥¨ï ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (1). Ǒਬ¥à 1.
áᬮâਬ ®¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ Ǒ¨ª à {ãàá y (x) + A
Z
∞ x
(t − x)n y(t) dt = 0,
n = 0, 1, 2, . . . ,
(4)
ª®â®à®¥ ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ K (z) = A(−z)n . ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ y (x)
=
m X
k=1
Ck exp(−λk x),
(5)
£¤¥ Ck | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥, λk | ª®à¨ «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï λn+1
+ An! = 0,
(6)
㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î Re λk > 0 (m | ç¨á«® ª®à¥© ãà ¢¥¨ï (6), ¤«ï ª®â®àëå íâ® ãá«®¢¨¥n ¢ë¯®«ï¥âáï). à ¢¥¨¥ (6) ¥áâì ç áâë© á«ãç © ãà ¢¥¨ï (3) ¯à¨ K (z ) = A(−z ) . ®à¨ ãà ¢¥¨ï (6), ¤«ï ª®â®àëå Re λk 6 0 ¤®«ë ¡ëâì ®â¡à®è¥ë, ¯®áª®«ìªã ¨â¥£à « ¢ (3) ¤«ï ¨å à á室¨âáï. à ¢¥¨¥ (6) ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªáë¥ ª®à¨. áᬮâਬ ¤¢ á«ãç ï, ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ à §ë¬ § ª ¬ ¢¥«¨ç¨ë A. 1◦ . Ǒãáâì A < 0. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (4) ¨¬¥¥â ¢¨¤ y (x)
= Ce−λx ,
λ = −An!
1
n+1
,
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. â® à¥è¥¨¥ ¥¤¨á⢥® ¯à¨ n = 0, 1, 2, 3.
(7)
âà ¨æ 76
77
3.11. à ¢¥¨ï á ¡¥áª®¥çë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
Ǒਠn > 4, ¢ë¤¥«ïï ¢ (5) ¤¥©á⢨⥫ìãî ¨ ¬¨¬ãî ç áâ¨, ¯à¨¤¥¬ ª ®¡é¥¬ã à¥è¥¨î ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï Ǒ¨ª à {ãàá ¢ ä®à¬¥ y (x)
= Ce−λx +
[X n/4℄ k=1
exp(−αk x) Ck(1) os(βk x) + Ck(2) sin(βk x) ,
(8)
£¤¥ Ck(1) , Ck(2) | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥, [a℄ | 楫 ï ç áâì ç¨á« a, λ ®¯à¥¤¥«¥® ¢ (7), ª®íää¨æ¨¥âë αk ¨ βk ¤ îâáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ 1
= |An!| n+1 os
αk
2πk , n+1
βk
1
= |An!| n+1 sin
2πk . n+1
¬¥â¨¬, çâ® à¥è¥¨¥ (8) ᮤ¥à¨â ¥ç¥â®¥ ç¨á«® á« £ ¥¬ëå. Ǒãáâì A > 0. 뤥«ïï ¢ (5) ¤¥©á⢨⥫ìãî ¨ ¬¨¬ãî ç áâ¨, ¯®«ã稬 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï Ǒ¨ª à {ãàá ¢ ä®à¬¥
2◦ .
+2
4 X
n
y (x)
=
exp(−αk x) Ck(1) os(βk x) + Ck(2) sin(βk x) ,
k=0
(9)
£¤¥ Ck(1) , Ck(2) | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥, ª®íää¨æ¨¥âë αk ¨ βk ¤ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ αk
1
= (An!) n+1 os
2πk + π , n+1
βk
1
2πk + π . n+1
= (An!) n+1 sin
¬¥â¨¬, çâ® à¥è¥¨¥ (9) ᮤ¥à¨â ç¥â®¥ ç¨á«® á« £ ¥¬ëå. ç áâëå á«ãç ïå ¯à¨ n = 0 ¨ n = 1, ¢ëà ¥¨¥ (9) ¯à¨¢®¤¨â ª âਢ¨ «ì®¬ã à¥è¥¨î y(x) ≡ 0. áᬮâਬ ¥®¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ Ǒ¨ª à {ãàá Z Ǒਬ¥à 2.
∞
y (x) + A
x
(t − x)n y(t) dt = Be−µx ,
n = 0, 1, 2, . . . ,
(10)
ª®â®à®¥ ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ K (z) = A(−z) ¨ f (x) = 㤥¬ áç¨â âì, çâ® µ > 0. áᬮâਬ ¤¢ á«ãç ï. 1◦ . Ǒãáâì µn+1 + An! 6= 0. á⮥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ n
(x) y
= De−µx ,
D
=
Be−µx
.
Bµn+1 . µn+1 + An!
(11)
Bµn+2 . A(n + 1)!
(12)
ǑਠA < 0, ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï Ǒ¨ª à {ãàá ï¥âáï á㬬®© à¥è¥¨© (8) ¨ (11). ǑਠA > 0, ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (10) ¥áâì á㬬 à¥è¥¨© (9) ¨ (11). 2◦ . Ǒãáâì µn+1 + An! = 0. Ǒ®áª®«ìªã µ ¯®«®¨â¥«ì®, â® A ¤®«® ¡ëâì ®âà¨æ ⥫ìë¬. á⮥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ (x) y
= Exe−µx ,
E
=
¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï Ǒ¨ª à {ãàá ¥áâì á㬬 à¥è¥¨© (8) ¨ (12). 3.11-2. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
à ¢¥¨¥ (1) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¨¢¥¤¥® ª ®¤®áâ®à®¥¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® த ⨯
y (x ) −
Z
∞
0
K− (x − t)y (t) dt = f (x),
0 < x < ∞,
(13)
£¤¥ ï¤à® K− (s ) = 0 ¯à¨ s > 0 ¨ K− (s ) = −K (s ) ¯à¨ s < 0. ¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï (13) ®¯¨á ë ¢ £« ¢¥ 5, £¤¥ à áᬠâਢ îâáï ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨. ¬ ¥ ¢ ¯. 5.9-3 ¨§ã祮 ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¨ ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯®á।á⢮¬ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¥£® ª ãà ¢¥¨î ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த .
•
: . . 客, . . ¥à᪨© (1978).
¨â¥à âãà
âà ¨æ 77
4. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
4.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï 4.1-1. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த
¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¨¬¥îâ ä®à¬ã
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
(1)
£¤¥ y (x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï (a 6 x 6 b), K (x, t) | ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, f (x) | ¥ª®â®à ï ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, ª®â®à ï §ë¢ ¥âáï ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬ ¨«¨ ¯à ¢®© ç áâìî ãà ¢¥¨ï (1). ãªæ¨¨ y (x) ¨ f (x) ®¡ëç® áç¨â îâ ¥¯à¥àë¢ë¬¨, «¨¡® ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬묨 [a, b℄.
᫨ ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¥¯à¥à뢮 ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}, «¨¡® ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬® ¢ í⮬ ª¢ ¤à â¥, â. ¥.
Z
b a
Z
b a
K 2 (x, t) dx dt = B 2 < ∞,
(2)
£¤¥ B | ¯®áâ®ï ï, â® ¥£® §ë¢ îâ ä।£®«ì¬®¢ë¬ ï¤à®¬. à ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢¨¤ (1), ¨¬¥î騥 ä।£®«ì¬®¢® ï¤à®, §ë¢ îâ ãà ¢¥¨ï¬¨ ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த . ¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) §ë¢ ¥âáï ¢ëத¥ë¬, ¥á«¨ ®® ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥ K (x, t) = g1 (x)h1 (t) + · · · + gn (x)hn (t). ¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) §ë¢ ¥âáï à §®áâë¬, ¥á«¨ ®® § ¢¨á¨â ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢: K (x, t) = K (x − t). ¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨çë¬, ¥á«¨ ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î K (x, t) = (t, x). â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, ¯®«ã祮¥ ¨§ (1) § ¬¥®© ï¤à K (x, t) K (t, x), §ë¢ ¥âáï á®î§ë¬ á (1) ¨«¨ âà ᯮ¨à®¢ ë¬ ª ¥¬ã. ¬¥ç ¨¥ 1. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ t ¨ x ¢ ãà ¢¥¨¨ (1) ¬®£ãâ ¨§¬¥ïâìáï ¢ à §«¨çëå ¯à¥¤¥« å ( ¯à¨¬¥à, a 6 t 6 b ¨ c 6 x 6 d).
4.1-2. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî
᫨ ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ï¥âáï
K (x, t) = «¨¡® «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨¬:
L(x, t) |x − t|α
+ M (x, t),
¯®«ïàë¬:
0 < α < 1,
K (x, t) = L(x, t) ln |x − t| + M (x, t),
£¤¥ L(x, t), M (x, t) ¥¯à¥àë¢ë ¢ S ¨ L(x, x) 6≡ 0, â® ®® §ë¢ ¥âáï ï¤à®¬ á ¬® ãà ¢¥¨¥ | ãà ¢¥¨¥¬ á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâì.
(3)
(4) á®
á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî,
âà ¨æ 78
79
4.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï
¬¥ç ¨¥ 2.
0<α<
¤à á «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ®á®¡¥®áâìî ¨ ¯®«ïàë¥ ï¤à ¯à¨
1 ïîâáï ä।£®«ì¬®¢ë¬¨. 2
¬¥ç ¨¥ 3. «ãç ©, ª®£¤ ¯à¥¤¥«ë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï a ¨/¨«¨ b ¬®£ãâ ¡ëâì ¡¥áª®¥ç묨, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¨áª«îç ¥âáï, ® ¯à¨ í⮬ á«¥¤ã¥â ¢¨¬ â¥«ì® ¯à®¢¥àïâì ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨ï (2).
4.1-3. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨
â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢á¥© ®á¨ (¥£® §ë¢ îâ ¨®£¤ ãà ¢¥¨¥¬ ⨯ ᢥà⪨ ¯¥à¢®£® த á ®¤¨¬ ï¤à®¬) ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z ∞
−∞
K (x − t)y (t) dt = f (x),
−∞ < x < ∞,
(5)
£¤¥ y (x) | ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï, K (x) | ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, f (x) | ¯à ¢ ï ç áâì ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (¢¢¥¤¥ë¥ ®¡®§ ç¥¨ï ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¤ «¥¥). â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¯®«ã®á¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z ∞
0
K (x − t)y (t) dt = f (x),
à ¢¥¨¥ (6) §ë¢ ¥âáï â ª¥
0 < x < ∞.
®¤®áâ®à®¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¯¥à¢®£® த
¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த .
(6)
¨«¨
â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ᢥà⪨ á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨ ¯¥à¢®£® த ¨¬¥¥â ¢¨¤
Z
∞
0
K1 (x − t)y (t) dt +
Z 0
−∞
K2 (x − t)y (t) dt = f (x),
−∞ < x < ∞,
(7)
£¤¥ K1 (x) ¨ K2 (x) | ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (7). ãªæ¨ï g (x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¥©á⢨⥫ìëå x1 ¨ x2 ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮
|g (x2 ) − g (x1 )| 6 A|x2 − x1 |λ ,
0 < λ 6 1,
¨ ¤«ï «î¡ëå ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ¯® ¬®¤ã«î x1 ¨ x2 á¯à ¢¥¤«¨¢®
1 1 |g (x2 ) − g (x1 )| 6 A − x2 x1
λ ,
0 < λ 6 1,
£¤¥ A ¨ λ | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« (¯®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ ñ«ì¤¥à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨). Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® äãªæ¨¨ y (x), f (x) ¨ ï¤à K (x), K1 (x), K2 (x) â ª®¢ë, çâ® ¨å ¨§®¡à ¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥, ¯à¨ ¤«¥ â L2 (−∞, ∞) ¨, ªà®¬¥ ⮣®, 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . «ï ⮣® çâ®¡ë ¥ª®â®à ï äãªæ¨ï y (x) ¯à¨ ¤«¥ « ¢¢¥¤¥®¬ã ª« ááã äãªæ¨©, ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë äãªæ¨ï y (x) ¯à¨ ¤«¥ « L2 (−∞, ∞), xy (x) ¡ë« ¡á®«îâ® ¨â¥£à¨à㥬 (−∞, ∞). ¬¥ç ¨¥ 4. ®£¤ ª« áá äãªæ¨© ¨ ï¤¥à ¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ (¢ ç áâ®áâ¨, ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ) ®â«¨ç ¥âáï ®â ¢¢¥¤¥®£® ¢ ¯. 4.1-3. â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¡ã¤¥â ®£®¢ ਢ âìáï ¢ ª ¤®¬ ®â¤¥«ì®¬ á«ãç ¥.
âà ¨æ 79
80
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
4.1-4. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Ǒ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ᢥà⪨)
¨¬¥¥â ¢¨¤
Z
∞
Z−∞ ∞ −∞
á à §®áâ묨 ï¤à ¬¨ (⨯
K1 (x − t)y (t) dt = f (x),
0 < x < ∞,
K2 (x − t)y (t) dt = f (x),
−∞ < x < 0,
(8)
£¤¥ ®¡®§ 票ï, ª« áá äãªæ¨© ¨ 拉à ᮢ¯ ¤ îâ á ¢¢¥¤¥ë¬¨ à ¥¥ ¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨. Ǒ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ¢ ¤®áâ â®ç® ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z ∞
Z a∞ a
K1 (x, t)y (t) dt = f1 (x),
a < x < b,
K2 (x, t)y (t) dt = f2 (x),
b < x < ∞,
£¤¥ f1 (x), f2 (x) ¨ K1 (x, t), K2 (x, t) | ¨§¢¥áâë¥ ¯à ¢ë¥ ç á⨠¨ ï¤à ãà ¢¥¨ï (9), y (x) | äãªæ¨ï, ¯®¤«¥ é ï ®¯à¥¤¥«¥¨î.
£® à §«¨çë¥ ä®à¬ë ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥ë ¢ ¯¯. 4.6-2 ¨ 4.6-3. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ ¨§ (5){(8) § ¬¥®© ï¤à K (x − t) K (t − x), §ë¢ îâáï á®î§ë¬¨ á ¨¬¨ ¨«¨ âà ᯮ¨à®¢ 묨 ª ¨¬. ¬¥ç ¨¥ 5. ãà ¢¥¨ï¬ (5){(8) ¯à¨¢®¤ïâáï ¥ª®â®àë¥ ãà ¢¥¨ï, ï¤à ª®â®àëå ᮤ¥à ⠯ந§¢¥¤¥¨¥ ¨«¨ ®â®è¥¨¥ ¯¥à¥¬¥ëå x ¨ t. ¬¥ç ¨¥ 6. à ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ (5){(8) ¨®£¤ § ¯¨áë¢ îâ ¢ ä®à¬¥, √ £¤¥ ¯¥à¥¤ ¨â¥£à « ¬¨ áâ ¢ïâ ¬®¨â¥«ì 1/ 2π .
: . ¥¤¤® (1955), . . ¨å«¨ (1959), . ®¡« (1962), . . ®å¡¥à£, . . ३ (1967), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . « ä (1970), . . ä«ï¤ (1977), . . 客, . . ¥à᪨© (1978), A. J. Jerry (1985), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986), L. A. Sakhnovi h (1996), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998, 1999).
•
¨â¥à âãà
4.2. ¥â®¤ ३ 4.2-1. ᮢ®¥ ¨ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨ï
¯¨è¥¬ §¤¥áì ¬¥â®¤ ¯®áâ஥¨ï â®çëå «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨© «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî ¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâìî. ¥â®¤ ®á®¢ ¯®áâ஥¨¨ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® à¥è¥¨ï ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ãà ¢¥¨ï á ¯à ¢®© ç áâìî à ¢®© ¥¤¨¨æ¥. ᯮ¬®£ ⥫쮥 à¥è¥¨¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨ï ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâ¨. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
Z
a −a
K (x − t)y (t) dt = f (x),
−a 6 x 6 a.
(1)
ç¨â ¥¬, çâ® ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ï¥âáï ¯®«ïàë¬ ¨«¨ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨¬, K (x) | ç¥â ï ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ ï äãªæ¨ï, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ï
âà ¨æ 80
81
4.2. ¥â®¤ ३
¢ ¢¨¤¥
K (x) = β|x|−µ + M (x),
1
K (x) = β ln
0 < µ < 1,
+ M (x),
|x|
£¤¥ β > 0, −2a 6 x 6 2a, M (x) | ¤®áâ â®ç® £« ¤ª ï äãªæ¨ï. ¤®¢à¥¬¥® á (1) ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥, § ¢¨áï饥 ®â ¯ à ¬¥âà ξ (0 6 ξ 6 a):
Z
ξ −ξ
K (x − t)w(t, ξ ) dt = 1,
(2)
−ξ 6 x 6 ξ.
4.2-2. ¥è¥¨¥ ®á®¢®£® ãà ¢¥¨ï
«ï «î¡®© ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ f (x) à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¬®¥â ¡ëâì ¢ëà ¥® ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ãà ¢¥¨ï (2) ¯® ä®à¬ã«¥
£¤¥ M (ξ ) =
Z
h d Z
1
y (x) =
a
i w(t, a)f (t) dt w(x, a)
2M ′ (a) da −a Z Z ξ i h 1 1 a d d − w(x, ξ ) w(t, ξ )f (t) dt dξ ′ 2 |x| dξ M (ξ ) dξ −ξ Z a hZ ξ i 1 d w (x, ξ ) − w(t, ξ ) df (t) dξ, ′ 2 dx |x| M (ξ ) −ξ
ξ
(3)
w(x, ξ ) dx, èâà¨å ®¡®§ ç ¥â ¯à®¨§¢®¤ãî, ¯®á«¥¤¨© ¢ãâà¥-
0
¨© ¨â¥£à « ¡¥à¥âáï ¯® ⨫âì¥áã. ®à¬ã« (3) ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¥ª®â®àë¥ â®çë¥ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤ (1) á ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâìî. Ǒਬ¥à 1.
¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï Z
a −a
ln
A |x − t|
y (t) dt = f (x),
ª®â®à®¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ⥮ਨ ã¯à㣮áâ¨, ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (3), £¤¥ äãªæ¨¨ M (ξ) ¨ w(t, ξ) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ M (ξ ) Ǒਬ¥à 2.
= ln
2A −1 ξ
,
w (t, ξ )
=
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ Z
a −a
y (t) dt |x − t|µ
= f (x),
π
M (ξ ) p . ξ 2 − t2
0 < µ < 1,
ª®â®à®¥ ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ⥮ਨ ¯®«§ãç¥áâ¨.
£® à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (3), £¤¥ äãªæ¨¨ M (ξ) ¨ w(t, ξ) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ M (ξ )
= µ
•
√ 2 π µ µ 1−µ ξ ,
2
2
w (t, ξ ) =
1 π
πµ
os
2
ξ 2 − t2
µ−1
2 .
: . . àãâîï (1959), . . ®å¡¥à£, . . ३ (1967).
¨â¥à âãà
6 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 81
82
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
4.3. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©
¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨¢¥á⨠¥ª®â®àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢á¥© ®á¨ ¨ ¯®«ã®á¨ ª «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¤«ï ¨§®¡à ¥¨©. Ǒ®á«¥¤¨¥ í«¥¬¥â à® à §à¥è îâáï ®â®á¨â¥«ì® ¨§®¡à ¥¨ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨. ¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯®«ãç ¥âáï ¢ १ã«ìâ ⥠¯à¨¬¥¥¨ï ®¡à ⮣® ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. 4.3-1. à ¢¥¨¥ à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢á¥© ®á¨
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
Z
∞ −∞
K (x − t)y (t) dt = f (x),
−∞ < x < ∞,
(1)
£¤¥ f (x), y (x) ∈ L2 (−∞, ∞) ¨ K (x) ∈ L1 (−∞, ∞). Ǒਬ¥¨¬ ª ãà ¢¥¨î (1) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥. ®£¤ á ãç¥â®¬ â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ (á¬. ¯. 1.4-4) ¯®«ã稬
√
~ (u)~y (u) = f~ (u). 2π K
(2)
ª¨¬ ®¡à §®¬, á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ ¬ 㤠«®áì ᢥá⨠à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ª à¥è¥¨î «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï (2) ¤«ï ¨§®¡à ¥¨ï ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï. ¥è¥¨¥ ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ä®à¬ã 1 f~ (u) y~(u) = √ (3) ~ (u) , 2π K
~ (u)/K ~ (u) ¤®« ¯à¨ ¤«¥ âì L2 (−∞, ∞). ¯à¨ç¥¬ äãªæ¨ï f ¥¬ á ¬ë¬ ¨§®¡à ¥¨¥ à¥è¥¨ï ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®ª § «®áì ¢ëà ¥ë¬ ç¥à¥§ ¨§®¡à ¥¨ï § ¤ ëå äãªæ¨© | ï¤à ¨ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï. ¬® à¥è¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¢ëà ¥® ç¥à¥§ ¥£® ¨§®¡à ¥¨¥ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï: y (x ) =
Z
1 2π
√
∞ −∞
4.3-2. à ¢¥¨ï á ï¤à®¬
y~(u)e
iux
Z
1 du = 2π
K (x, t) = K (x/t)
∞ −∞
f~ (u) iux ~ (u) e du. K
(4)
¯®«ã®á¨
â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த
Z
∞
0
K (x/t)y (t) dt = f (x),
0 6 x < ∞,
(5)
§ ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå x = eξ , t = eτ , w(τ ) = ty (t) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¢¨¤ã (1).
£® à¥è¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì â ª¥ ¯®«ã祮 ¯ã⥬ ¥¯®á।á⢥®£® ¯à¨¬¥¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨ , çâ® ¡ã¤¥â ¢ «®£¨ç®© á¨âã 樨 ¯à®¤¥« ® ¢ á«¥¤ãî饬 à §¤¥«¥. 4.3-3. à ¢¥¨¥ á ï¤à®¬
1
◦
K (x, t) = K (xt)
¨ ¥£® ®¡®¡é¥¨ï
. áᬮâਬ á ç « á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥:
Z
∞
0
K (xt)y (t) dt = f (x),
0 6 x < ∞.
(6)
âà ¨æ 82
83
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
£® § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå x = eξ , t = e−τ ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ¢¨¤ã (1), ® §¤¥áì 㤮¡¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ (á¬. à §¤. 1.3). ¬® ï ®¡¥ ç á⨠(6) xs −1 ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® x ®â ã«ï ¤® ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¯®«ã稬
Z
∞
0
y (t) dt
Z
∞
0
K (xt)xs−1 dx =
Z
∞
0
f (x)xs−1 dx.
® ¢ãâ॥¬ ¨â¥£à «¥ ¤¢®©®£® ¨â¥£à « ᤥ« ¥¬ § ¬¥ã z = xt. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬 Z
b (s ) K
ç¨âë¢ ï à ¢¥á⢮
Z
∞
0
∞
0
y (t)t−s dt = fb (s ).
(7)
y (t)t−s dt = b y(1 − s ),
¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (7) ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
b (s )b y(1 − s ) = fb (s ). K
(8)
y (s ), ¬¥ïï ¢ (8) 1 − s s ¨ à §à¥è ï ¯®«ã祮¥ ¢ëà ¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® b 室¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥ ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï b y(s ) =
fb (1 − s ) . b (1 − s ) K
(9)
Ǒ® ä®à¬ã«¥ ®¡à é¥¨ï ¥««¨ ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (6) ¢ ¢¨¤¥ Z c+i∞ fb (1 − s ) −s 1 y (x) = x ds . b (1 − s ) 2πi c−i∞ K
2◦ .
áᬮâਬ ⥯¥àì ¡®«¥¥ á«®®¥ ãà ¢¥¨¥
Z
∞
0
K ϕ(x)ψ (t) g (t)y (t) dt = f (x).
ç¨â ¥¬, çâ® ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï ϕ(0) ψ (∞) = ∞, ψx′ > 0. Ǒ८¡à §®¢ ¨¥
z
= ϕ(x),
τ
= 0, ϕ(∞) =
= ψ(t),
y (t) =
∞,
(10)
ϕ′x
> 0, ψ (0)
= 0,
g (t) w(τ ) ψt′ (t)
¯à¨¢®¤¨â (10) ª ãà ¢¥¨î ¢¨¤ (6)
Z
∞
0
K (zτ )w(τ ) dτ
= F (z ),
£¤¥ äãªæ¨ï F (z ) § ¤ ¥âáï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨: F = f (x), z = ϕ(x). ® ¬®£¨å á«ãç ïå, ¨áª«îç ï ¨§ íâ¨å à ¢¥á⢠x, 㤠¥âáï ¯®«ãç¨âì ï¢ãî § ¢¨á¨¬®áâì F = F (z ).
: . . ¨âª¨, . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1965), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968).
•
¨â¥à âãà
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬ á«ã¨â ®¤¨¬ ¨§ ®á®¢ëå ¨áâà㬥⮢ ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨© ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©, ª ª®â®àë¬ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ë à §«¨çë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¨ ¯à¨ í⮬ ¢®§¬®® ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ⥮६ ⨯ ᢥà⪨.
¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯à®¢®¤¨âáï ¯à¨¬¥à¥ ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥. 6*
âà ¨æ 83
84
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
4.4-1. ¢ï§ì ¨â¥£à « ãàì¥ á ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨
Ǒãáâì Y (τ ) | äãªæ¨ï, ¨â¥£à¨à㥬 ï § ¬ªã⮬ ¨«¨ à §®¬ªã⮬ ª®âãॠL, à ᯮ«®¥®¬ ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠z = u + iv (τ | ª®¬¯«¥ªá ï ª®®à¤¨ â â®ç¥ª ª®âãà ). áᬮâਬ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ (á¬. à §¤. 6.2):
Z
1 2πi
Y (τ ) dτ. τ −z
L
®¯à¥¤¥«ï¥â äãªæ¨î, «¨â¨ç¥áªãî ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠á à §à¥§®¬ ¯® ª®âãàã L.
᫨ L | § ¬ªãâ ï ªà¨¢ ï, â® ¨â¥£à « ¡ã¤¥â äãªæ¨¥©, «¨â¨ç¥áª®© ¢ ª ¤®© á¢ï§®© ç á⨠¯«®áª®áâ¨, ®£à ¨ç¨¢ ¥¬®© L. Ǒãáâì ª®âãà L ¥áâì ¢¥é¥á⢥ ï ®áì, ⮣¤
1 2πi
Z
Y (τ ) dτ τ −z
+ Y (z ) ¯à¨ Y − (z ) ¯à¨
Im z > 0, (1) Im z < 0. ஬¥ ⮣®, áãé¥áâ¢ãî⠯।¥«ìë¥ § 票ï äãªæ¨© Y ± (z ) ¤¥©á⢨⥫ì∞
−∞
=
®© ®á¨ ¨ ®¨ ¡ã¤ãâ á¢ï§ ë á ¯«®â®áâìî Y ¨â¥£à « á«¥¤ãî騬¨
®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï:
Z
∞ 1 1 Y (τ ) Y (u) + dτ, 2 2πi −∞ τ − u Z ∞ 1 1 Y (τ ) Y − (u) = − Y (u) + dτ 2 2πi −∞ τ − u
Y + (u) =
¨«¨
ä®à¬ã« ¬¨
Y + (u) − Y − (u) = Y (u),
Y + (u) + Y − (u) =
1 πi
Z
(2)
∞ −∞
Y (τ ) dτ. τ −u
(3)
â¥£à « ¢ ¯®á«¥¤¨å ä®à¬ã« å ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § ç¥¨ï ¯® ®è¨. ¨â¥£à « ãàì¥*
Z
1 2π
Y (u) = √
∞ −∞
y (x)eiux dx
¤¥©á⢨⥫ìë© ¯ à ¬¥âà u ¢å®¤¨â ¯®á।á⢮¬ «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨, ¯®í⮬㠢 ¥¬ ¬®® u § ¬¥¨âì ª®¬¯«¥ªá®¥ z . ãªæ¨ï ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£® Y (z ), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¨â¥£à «®¬
1 2π
Y (z ) = √
Z
∞
−∞
y (x)eizx dx,
(4)
¡ã¤¥â «¨â¨ç¥áª®© ¢ ⮩ ®¡« á⨠ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠z = u + iv , £¤¥ ¨â¥£à « (4) ¡á®«îâ® á室¨âáï.
᫨ â ª ï ®¡« áâì ¥ ᢮¤¨âáï ª ®¤®© ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, â® ¨â¥£à « (4) ¤ áâ «¨â¨ç¥áª®¥ ¯à®¤®«¥¨¥ ¨â¥£à « ãàì¥ ¢ ª®¬¯«¥ªáãî ¯«®áª®áâì z = u + iv . â¥£à « (4) ¡ã¤¥¬ â ª¥ §ë¢ âì ¨â¥£à «®¬ ãàì¥. áâ ®¢¨¬ á¢ï§ì ¬¥¤ã í⨬ ¨â¥£à «®¬ ¨ ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨ á ¯«®â®áâìî Y (u), ¢§ïâ묨 ¯® ®á¨. 㤥¬ ¨¬¥âì
1 2πi 1 2πi
Z Z
∞
−∞ ∞ −∞
Y (τ ) dτ τ −z
= √1
Z
∞
y (x)eizx dx,
2π 0 Z 0 1 Y (τ ) y (x)eizx dx, dτ = − √ τ −z 2π −∞
Im z > 0,
(5)
Im z < 0.
(6)
* à §¤. 6.4{6.6 ¨á¯®«ì§ã¥âáï «ìâ¥à ⨢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ (á¬. ¯. 1.4-3).
âà ¨æ 84
85
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
4.4-2. ¤®áâ®à®¨¥ ¨â¥£à «ë ãàì¥
᫨ Y (z ) = Y + (z ) ¥áâì «¨â¨ç¥áª ï ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠äãªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ᢮¨¬ ¯à¥¤¥«ìë¬ § 票¥¬ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ äãªæ¨î Y (u) = Y + (u) ∈ L2 (−∞, ∞), â® äãªæ¨î Y + (z ) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¨â¥£à «®¬ ®è¨. âáî¤ ¢ ®á®¢ ¨¨ (5) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
Z
∞ 1 y (x)eizx dx, 2π 0
Y + (z ) = √
¯à¨ç¥¬ ¢ ᨫ㠥¯à¥à뢮á⨠¨â¥£à « ¯à¥¤¥«ìë¥ § ç¥¨ï ®á¨ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯à®á⮩ § ¬¥®© ¢ ¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ z u :
Z
∞ 1 y (x)eiux dx, 2π 0
Y + (u) = √
£¤¥ y (x) ¥áâì, ᮣ« á® (5), ®à¨£¨ « ¤«ï Y (u). Ǒà ¢ãî ç áâì ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¨â¥£à « ãàì¥ ®â äãªæ¨¨, à ¢®© ⮤¥á⢥® ã«î ¤«ï ®âà¨æ ⥫ìëå x. âáî¤ ¢ ᨫ㠥¤¨á⢥®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï äãªæ¨¨ Y + (u) ¨â¥£à «®¬ ãàì¥ á«¥¤ã¥â, çâ® y (x) ≡ 0 ®âà¨æ ⥫쮩 ¯®«ã®á¨. ®¡®à®â, ¥á«¨ y (x) ≡ 0 ¤«ï x < 0, â® ¥¥ ¨â¥£à « ãàì¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
Z
∞ 1 y (x)eiux dx. 2π 0
Y (u) = √
â § ¬¥ë ¯ à ¬¥âà u ç¨á«® z , «¥ 饥 ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, á室¨¬®áâì ¨â¥£à « ⮫쪮 ã«ãçè ¥âáï. âáî¤ á«¥¤ã¥â «¨â¨ç®áâì äãªæ¨¨
Z
∞ 1 y (x)eizx dx 2π 0
Y (z ) = √
¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®áâ¨. «ãç © ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠à áᬠâਢ ¥âáï «®£¨ç®. â¥£à «ë
Z
∞ 1 1 y (x)eizx dx, Y − (z ) = − √ 2π 0 2π
Y + (z ) = √
Z 0
−∞
y (x)eizx dx
(7)
§ë¢ îâáï ®¤®áâ®à®¨¬¨ ¨â¥£à « ¬¨ ãàì¥, ¯à ¢ë¬ ¨ «¥¢ë¬ ᮮ⢥âá⢥®. 窨 ± ¤ ᨬ¢®« ¬¨ äãªæ¨©, ª ª ¨ ¢ ä®à¬ã«¥ (1), ¡ã¤ãâ ®§ ç âì «¨â¨ç®áâì íâ¨å äãªæ¨© ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨«¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå. ¢¥¤¥¬ äãªæ¨¨
y+ (x) =
y (x) ¯à¨ x > 0, 0 ¯à¨ x < 0,
y − (x ) =
0
¯à¨ x > 0, −y (x) ¯à¨ x < 0.
(8)
㤥¬ §ë¢ âì ¨å ¯à ¢®© ¨ «¥¢®© ®¤®áâ®à®¨¬¨ äãªæ¨ï¬¨ ¤«ï y (x) ᮮ⢥âá⢥®, ¨®£¤ ¯à®áâ® ¯à ¢®© ¨ «¥¢®© äãªæ¨ï¬¨. 祢¨¤®, ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥á⢮ y (x) = y+ (x) − y− (x). (9)
sign x: n sign x = 1
ᯮ«ì§ãï ¨§¢¥áâãî äãªæ¨î
¯à¨ x > 0, −1 ¯à¨ x < 0,
(10)
¬®® y± (x) ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ y (x) ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
y± (x) = 12 (±1 + sign x)y (x). ®¤®áâ®à®¨å äãªæ¨© § 窨 ± ¡ã¤¥¬ ¢á¥£¤ ¯¨á âì ¢¨§ã.
(11)
âà ¨æ 85
86
Rb
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
â¥£à «ë ãàì¥ ¯à ¢®© ¨ «¥¢®© ®¤®áâ®à®¨å äãªæ¨© ¥áâì ªà ¥¢ë¥ § 票ï äãªæ¨©, «¨â¨ç¥áª¨å ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå. Ǒਢ¥¤¥¬ «®£¨ ä®à¬ã« ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï (3) ¢ ¨â¥£à « å ãàì¥:
1
Y (u) = √ 2π Z 0
+ √1 2π Z 1 ∞ πi
−∞
−∞
Z
∞ −∞
y (x)eiux dx = Y + (u) − Y − (u),
Y (τ ) dτ τ −u
Z
= Y + (u) + Y − (u) =
1 y (x)eiux dx − √ 2π 0 2π Z ∞ y (x) sign x eiux dx. = √1 2π −∞
= √1
Z
∞ 1 y (x)eiux dx+ 2π 0
y (x)eiux dx = √
∞
Z 0
−∞
(12)
y (x)eiux dx =
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯¥à¢ ï ¨§ ä®à¬ã« ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï (¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ ¢ ¢¨¤¥ à §®á⨠ªà ¥¢ëå § 票© «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨©) §¤¥áì ï¥âáï âਢ¨ «ìë¬ á«¥¤á⢨¥¬ à §¡¨¥¨ï ¨â¥£à « ãàì¥ ¯à ¢ë© ¨ «¥¢ë©. â®àãî ¨§ ä®à¬ã« ¬®® § ¯¨á âì ¥é¥ ¢ á«¥¤ãî饩 ä®à¬¥:
F{y (x) sign x}
= 1
πi
Z
Y (τ ) dτ. τ −u
∞ −∞
(13)
4.4-3. ¥®à¥¬ ®¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ⥮६ ¨ã¢¨««ï
¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ë ⥮६ ®¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ ï ⥮६ ¨ã¢¨««ï ¢ ä®à¬¥ ¥¤¨®£® ã⢥थ¨ï, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ ® ¤ «¥¥ ¢ £« ¢ å 4 ¨ 5. Ǒãáâì äãªæ¨¨ Y1 (z ) ¨ Y2 (z ) «¨â¨çë ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© 6 ∞, £¤¥ ®¨ ¬®£ãâ ¨¬¥âì ¯®«ã¯«®áª®áâïå § ¨áª«î票¥¬ ¬®¥â ¡ëâì â®çª¨ z∗ = ¯®«îá.
᫨ Y1 (z ) ¨ Y2 (z ) ®£à ¨ç¥ë ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¯à¨ç¥¬ £« ¢ë¥ ç á⨠¨å à §«®¥¨© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ z∗ ¨¬¥îâ ¢¨¤
c1 z − z∗
+
c2
(z − z∗ )2
+··· +
cm
≡
(z − z∗ )m
Pm−1 (z ) , (z − z∗ )m
á ¬¨ äãªæ¨¨ ᮢ¯ ¤ îâ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, â® ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¥¤¨ãî ¢® ¢á¥© ¯«®áª®á⨠à 樮 «ìãî äãªæ¨î
Y (z ) = c0 +
Pm−1 (z ) , (z − z∗ )m
£¤¥ c0 | ¯®áâ®ï ï, Pm−1 | ¯®«¨®¬ á⥯¥¨ m − 1. Ǒ®«îá z∗ ¬®¥â «¥ âì ª ª ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâïå, â ª ¨ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ ¡®«¥¥ ®¡é ï ®¡ê¥¤¨¥ ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ⥮६.
᫨ äãªæ¨¨ Y1 (z) ¨ Y2 (z) «¨â¨çë ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå § ¨áª«î票¥¬ ¬®¥â ¡ëâì ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª z0 = ∞, zk (k = 1, 2, . . . , n), £¤¥ ®¨ ¬®£ãâ ¨¬¥âì ¯®«îáë, ¯à¨ç¥¬ £« ¢ë¥ ç áâ¨ à §«®¥¨© íâ¨å äãªæ¨© ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯®«îᮢ ¨¬¥îâ ¢¨¤ c01 z + c02 z 2 + · · · + c0m0 z m0 ≡ Pm0 (z ) ¢ â®çª¥ z0 , k k k P ( c z ) c1 c2 m −1 m ¢ â®çª å zk , ≡ + m m 2 + ··· + z − zk
(z − z k )
k
k
(z − zk )
k
(z − zk )
k
âà ¨æ 86
87
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
á ¬¨ äãªæ¨¨ ᮢ¯ ¤ îâ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, â® ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¥¤¨ãî ¢® ¢á¥© ¯«®áª®á⨠à 樮 «ìãî äãªæ¨î Y (z ) = C + Pm0 (z ) +
n X Pmk −1 (z )
k=1
(z − zk )mk
£¤¥ C | ¯®áâ®ï ï. Ǒ®«îáë zk ¬®£ãâ «¥ âì ª ª ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâïå, â ª ¨ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. 4.4-4. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¨¬ ¢ í⮬ à §¤¥«¥ ¡ã¤¥â ®â«¨ç âìáï ®â âà ¤¨æ¨®®£® ⥬, çâ® ®® ¡ã¤¥â ¢ëà âìáï ¥ ¢ ¨â¥£à « å ⨯ ®è¨ (á¬. ¯. 6.3-7), ¢ ¨â¥£à « å ãàì¥. «ï à¥è¥¨ï à áᬠâਢ ¥¬ëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¯®á«¥¤¨© ¯¯ à â ï¥âáï ¡®«¥¥ 㤮¡ë¬. ¤¥ªá®¬ ¥¯à¥à뢮© ¥ ®¡à é î饩áï ¢ ã«ì ª®¬¯«¥ªá®© äãªæ¨¨ M(u) (M(u) = M1 (u) + iM2 (u), −∞ < u < ∞, M(−∞) = M(∞)) §ë¢ ¥âáï ¨§¬¥¥¨¥ ¥¥ à£ã¬¥â ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, ¢ëà ¥®¥ ¢ ¯®«ëå ®¡®à®â å:
= 1 ln M(u) ∞ = 1 Ind M(u) = 1 arg M(u) ∞ −∞ −∞
2π
2πi
2πi
Z
∞ −∞
d ln M(u).
᫨ M(u) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 , ® ¨¬¥¥â ®£à ¨ç¥ãî ¢ ਠæ¨î, â® ¨â¥£à « ã® ¯®¨¬ âì ¢ á¬ëá«¥ ⨫âì¥á . § ¯à ¢¨« ¤¥©á⢨© ¤ à£ã¬¥â®¬ ¢ë⥪ îâ á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠¨¤¥ªá :
Ind
Ind
M1 (u) M2 (u)
M1 (u)M2 (u)
= Ind M1 (u) + Ind M2 (u),
= Ind M1 (u) − Ind M2 (u), Ind Mn (u) = n Ind M(u).
᫨ äãªæ¨ï M(u) ï¥âáï ªà ¥¢ë¬ § 票¥¬ «¨â¨ç¥áª®©, § ¨áª«î票¥¬ ¬®¥â ¡ëâì ª®¥ç®£® ç¨á« ¯®«îᮢ ¢ ¢¥à奩 ¨«¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠äãªæ¨¨, â®
Ind M(u) = ±(N − P ),
£¤¥ § ª ¯«îá ¡¥à¥âáï ¤«ï ¢¥à奩, ¬¨ãá | ¤«ï ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, N | ç¨á«® ã«¥©, P | ç¨á«® ¯®«îᮢ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, ¯à¨ç¥¬ 㫨 ¨ ¯®«îáë áç¨â îâáï á ãç¥â®¬ ¨å ªà â®áâ¨.
᫨ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¥ª®â®à®© â®çª¨ z0 «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï Y (z ) ¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥
Y (z ) = (z − z0 )m Y1 (z ),
£¤¥ Y1 (z ) «¨â¨ç ¨ Y1 (z0 ) 6= 0, ⮠楫®¥ ç¨á«® m (¯®«®¨â¥«ì®¥, ®âà¨æ ⥫쮥 ¨«¨ ã«ì) §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¬ äãªæ¨¨ Y (z ) ¢ â®çª¥ z0 .
᫨ m > 0, â® ¯®à冷ª äãªæ¨¨ ¥áâì ¯®à冷ª ¥¥ ã«ï, ¥á«¨ m < 0, â® ¯®à冷ª ¥¥ ¥áâì ¯®à冷ª ¯®«îá á ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬ § ª®¬.
᫨ ¯®à冷ª äãªæ¨¨ ¢ z0 ¥áâì ã«ì, â® ¢ â ª®© â®çª¥ äãªæ¨ï ¯à¨¨¬ ¥â ª®¥ç®¥, ®â«¨ç®¥ ®â ã«ï, § 票¥. Ǒਠà áᬮâ२¨ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ à §®áâì z − z0 á«¥¤ã¥â § ¬¥¨âì 1/z . ä®à¬ã«¨à㥬 § ¤ çã ¨¬ . Ǒãáâì ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ § ¤ ë ¤¢¥ äãªæ¨¨: D(u) | ª®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¨ H(u) | ᢮¡®¤ë© ç«¥, ¯à¨ç¥¬ ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ ®à¬ «ì®á⨠D(u) 6= 0. ãªæ¨¨ H(u) ¨ D(u) − 1 ¯à¨ ¤«¥ â L2 (−∞, ∞) ¨ ¯à¨ í⮬ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (á¬. ¯. 4.1-3). ॡã¥âáï ©â¨ ¤¢¥ äãªæ¨¨ Y ± (z ) | «¨â¨ç¥áª¨¥ ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥©
âà ¨æ 87
88
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¯®«ã¯«®áª®áâïå,* ¯à¥¤¥«ìë¥ § ç¥¨ï ª®â®àëå ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î
Y + (u) = D(u)Y − (u) + H(u). (14) § ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï D(u) ¢ë⥪ ¥â, çâ® D(∞) = 1. Ǒ®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ ¥ ®£à ¨ç¨-
¢ ¥â ®¡é®á⨠¤ «ì¥©è¨å à áá㤥¨©, ¯®áª®«ìªã, à §¤¥«¨¢ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (14) D(∞), ¢á¥£¤ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¥®¡å®¤¨¬ãî ä®à¬ã § ¤ ç¨.**
᫨ D(u) ≡ 1, â® § ¤ ç ¨¬ §ë¢ ¥âáï § ¤ 祩 ® ᪠窥.
᫨ H(u) ≡ 0, â® § ¤ ç ¨¬ §ë¢ ¥âáï ®¤®à®¤®©. ¤¥ªá ν ª®íää¨æ¨¥â ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ D(u) §ë¢ ¥âáï ¨¤¥ªá®¬ § ¤ ç¨ ¨¬ . áᬮâਬ § ¤ çã ® ᪠窥, â. ¥. ®¯à¥¤¥«¨¬ Y ± (z ) ¯® ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î
Y + (u) − Y − (u) = H(u).
(15)
¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¤ ¥â ¯¥à¢ ï ä®à¬ã« (12):
Z
∞ 1 H (x)eizx dx, 2π 0
Y + (z ) = √
£¤¥
1 2π
H (x ) = √
1 2π
Y − (z ) = − √ Z
∞ −∞
Z 0
−∞
H (x)eizx dx, (16)
H(u)e−iux du.
(17)
Ǒ®áâந¬ ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¤«ï ¤ «ì¥©è¨å ¨áá«¥¤®¢ ¨© ç á⮥ à¥è¥¨¥ X (z ) ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ (14):
X + (u) = D(u)X − (u),
D(∞) = 1, (18) ¥ ®¡à é î饥áï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ¢ ã«ì á ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ X ± (∞) = 1. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ N+ ¨ N− ç¨á« ã«¥© äãªæ¨© X + (z ) ¨ X − (z ) ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå. ëç¨á«ïï ¨¤¥ªá ®¡¥¨å ç á⥩ ªà ¥¢®£® ãá«®¢¨ï (18), ®á®¢ ¨¨ ᢮©á⢠¨¤¥ªá ¯®«ã稬 N+ + N− = Ind D(u) = ν. (19) Ǒãáâì á ç « ν = 0. í⮬ á«ãç ¥ ln D(u) ¡ã¤¥â ®¤®§ 箩 äãªæ¨¥©. § á®®â®è¥¨ï (19) á«¥¤ã¥â, çâ® N+ = N− = 0, â. ¥. à¥è¥¨¥ ¥ ¨¬¥¥â ã«¥© ¢® ¢á¥© ¯«®áª®áâ¨. Ǒ®í⮬ã äãªæ¨¨ ln X + (z ) ¨ ln X − (z ) ¡ã¤ãâ «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¢ ᢮¨å ¯®«ã¯«®áª®áâïå ¨, á«¥¤®¢ â¥«ì® ®¤®§ ç묨 ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ ªà ¥¢ë¬¨ § 票ﬨ ln X + (u) ¨ ln X − (u). ®£ à¨ä¬¨àãï ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (18) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
ln X + (u) − ln X − (u) = ln D(u). ln D(u) â ªãî ¢¥â¢ì, ç⮡ë ln D(∞) = 0
(20) (¬®® ¯®ª § âì, ç⮠롨à ï ¤«ï ®ª®ç ⥫ìë© à¥§ã«ìâ â ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ¢¥â¢¨), ¯à¨¤¥¬ ª § ¤ ç¥ ® ᪠窥. ®£¤ ®á®¢ ¨¨ (15){(17) ¨ (20) à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (18) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥
G + (z ) =
− + X + (z ) = eG (z ) , X − (z ) = eG (z ) , Z ∞ Z 0 1 1 √ g (x)eizx dx, g (x)eizx dx, G − (z ) = − √ 2π 0 2π −∞ Z ∞ 1 g (x) = √ ln D(u) e−iux du.
2π
(21)
−∞
* Ǒ àã äãªæ¨© (z) ¬®® âà ªâ®¢ âì ª ª ®¤ã ªãá®ç® «¨â¨ç¥áªãî ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠äãªæ¨î Y (z). à拉 á«ãç ¥¢ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®á«¥¤¥¥ ®¡®§ 票¥. ** Ǒ®áª®«ìªã ®á®¢ë¬ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¢ëà ¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ¨¬ ï¥âáï ¥¥ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥, â® ¯à¨ áá뫪 å ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî § ¤ ç㠡㤥¬ ç á⮠㪠§ë¢ âì ⮫쪮 ¥¥ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¨ ¯¨á âì, ¯à¨¬¥à, § ¤ ç ¨¬ (14). Y±
âà ¨æ 88
89
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
®®â®è¥¨ï (21) ¯®§¢®«ïîâ ᤥ« âì ¢ ë© ¢ë¢®¤ ® ⮬, çâ® ¥ ®¡à é îéãîáï ¢ ã«ì ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ äãªæ¨î ã«¥¢®£® ¨¤¥ªá D(u), â ªãî çâ® D(∞) = 1, ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ®â®è¥¨ï äãªæ¨©, ïîé¨åáï ªà ¥¢ë¬¨ § 票ﬨ äãªæ¨©, «¨â¨ç¥áª¨å ¨ ¥ ®¡à é îé¨åáï ¢ ã«ì ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª á«ãç î ¯à®¨§¢®«ì®£® ¨¤¥ªá ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ (18). ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© (®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ ) X (z ) §ë¢ îâ äãªæ¨î, 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î (18), ãá«®¢¨î X ± (∞) = 1 ¨ ¨¬¥îéãî ã«¥¢®© ¯®à冷ª ¢áî¤ã, § ¨áª«î票¥¬ ¬®¥â ¡ëâì â®çª¨ −i, £¤¥ ¥¥ ¯®à冷ª à ¢¥ ¨¤¥ªáã § ¤ ç¨ ¨¬ ν .
¥ ¬®® ¯®áâநâì, ¯à¨¢¥¤ï ®¤®à®¤ãî § ¤ çã ¨¬ ª à áᬮâ८¬ã á«ãç î ã«¥¢®£® ¨¤¥ªá . ¥©á⢨⥫ì®, § ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ (18) ¢ ä®à¬¥
X + (u) =
u−i u+i
−ν
D(u)
u−i u+i
ν
X
−
(u)
.
(22)
®£¤ áâ®ïé ï ¢ ¯¥à¢ëå ª¢ ¤à âëå ᪮¡ª å äãªæ¨ï ¨¬¥¥â ã«¥¢®© ¨¤¥ªá ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ ®â®è¥¨ï ªà ¥¢ëå § 票© «¨â¨ç¥áª¨å ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå äãªæ¨©. âáî¤ ¨ ¨§ ªà ¥¢®£® ãá«®¢¨ï (22) ¯®«ã稬 ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¨
G + (z ) =
−ν − + z−i X + (z ) = eG (z ) , X − (z ) = eG (z ) , z+i Z ∞ Z 0 1 1 √ g (x)eizx dx, G − (z ) = − √ g (x)eizx dx, 2π 0 2π −∞ −ν Z ∞ 1 g (x) = √ ln u − i D(u) e−iux du,
2π
(23)
u+i
−∞
£¤¥ X (z ) ¢ á«ãç ¥ ν > 0 ¨¬¥¥â ¢ â®çª¥ −i ã«ì ¯®à浪 ν , ¢ á«ãç ¥ ν < 0 | ¯®«îá ¯®à浪 |ν|. ®íää¨æ¨¥â ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ D(u) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ ®â®è¥¨ï ªà ¥¢ëå § 票© ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ (á¬. (22) ¨ (23)): −
D(u) =
X + (u ) . X − (u)
(24)
ª®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ D(u) ¢ ¢¨¤¥ ®â®è¥¨ï ªà ¥¢ëå § 票© ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ç áâ® §ë¢ îâ ä ªâ®à¨§ 樥©. áᬮâਬ ⥯¥àì ®¤®à®¤ãî § ¤ çã ¨¬ á ªà ¥¢ë¬ ãá«®¢¨¥¬
Y + (u) = D(u)Y − (u), D(∞) = 1. (25) Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ (25) ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï D(u) ¢ ä®à¬¥ (24), ¯à¨¢¥¤¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ª
¢¨¤ã
− Y + (u) = Y −(u) . (26) X + (u ) X (u) ®£« á® ä®à¬ã« ¬ (23) ¤«ï X (z ) ¢ «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâïå à ¢¥á⢠(26) áâ®ïâ ªà ¥¢ë¥ § 票ï äãªæ¨© «¨â¨ç¥áª¨å ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå, § ¨áª«î票¥¬ ¬®¥â ¡ëâì â®çª¨ −i, £¤¥ ¯®à冷ª à ¢¥ ν . «ï ¢ë¡à ®£® ª« áá äãªæ¨© ¨å § 票¥ ¡¥áª®¥ç®á⨠¥áâì ã«ì. ®£¤ ¯® ⥮६¥ ®¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥®© ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï (á¬. ¯. 4.4-3) ¯à¨ ν > 0 ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
Y + (z ) X + (z )
=
Y − (z ) X − (z )
=
Pν−1 (z )
(z + i)ν
,
(27)
âà ¨æ 89
90
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
£¤¥ Pν−1 (z ) | ¯à®¨§¢®«ìë© ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ν − 1 (á⥯¥ì ç¨á«¨â¥«ï ¨¥ á⥯¥¨ § ¬¥ â¥«ï ¢ ᨫã Y (∞) = 0). âáî¤
Y (z ) = X (z )
Pν−1 (z )
(z + i)ν
(28)
.
Ǒਠν 6 0 ¢ ᨫã Y (∞) = 0 ¯® ®¡®¡é¥®© ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï Y (z ) ≡ 0. â ª, ®¤®à®¤ ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬ ¯à¨ ν > 0 ¨¬¥¥â â®ç® ν «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ¢¨¤
z k−1 X (z ) , (z + i)ν
k
= 1, 2, . . . , ν,
¯à¨ ν 6 0 ¥âਢ¨ «ìëå à¥è¥¨© ¥â. Ǒà ¢ ï ç áâì à ¢¥á⢠(28) ¨¬¥¥â ¢® ¢á¥© ¯«®áª®á⨠஢® ν ã«¥©, ¢ª«îç ï ¨ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ⨠㫨 ¬®£ãâ ¡ëâì à ᯮ«®¥ë ¢ «î¡ëå â®çª å ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⥩ ¨«¨ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨.
᫨ ®¡®§ ç¨âì ç¨á«® ã«¥© ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ç¥à¥§ N0 , â® ä®à¬ã« (19) ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ (¡¥§ ãá«®¢¨ï ®¡ ®âáãâá⢨¨ ã«¥© ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨) § ¬¥ï¥âáï á«¥¤ãî饩:
N+ + N− + N0
= Ind D(u) = ν.
(29)
Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª à¥è¥¨î ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ á ªà ¥¢ë¬ ãá«®¢¨¥¬ (14). ®á¯®«ì§ã¥¬áï á®®â®è¥¨¥¬ (24) ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ª ¢¨¤ã
Y + (u) X + (u)
=
Y − (u) X − (u)
+
H(u) . X + (u)
(30)
H(u) , X + (u)
(31)
Ǒ।áâ ¢¨¬ ¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥ ª ª à §®áâì ªà ¥¢ëå § 票© «¨â¨ç¥áª¨å ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå äãªæ¨© (á¬. § ¤ çã ® ᪠窥), â. ¥.
W + (u) − W − (u) = £¤¥
Z
∞ 1 1 w(x)eizx dx, W − (z ) = − √ 2π 0 2π Z ∞ H(u) −iux 1 w (x ) = √ e du. 2π −∞ X + (u)
W + (z ) = √
Z 0
−∞
w(x)eizx dx, (32)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï (31) ¢ (30), ¯®«ã稬
Y + (u ) − W + (u) X + (u)
=
Y − (u) − W − (u). X − (u)
(33)
Ǒ® ⥮६¥ ®¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥®© ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï ¯à¨ ν > 0 ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
Y + (z ) − W + (z ) X + (z )
âªã¤ ¯à¨ ν >
0 ¯®«ã稬
=
Y − (z ) − W − (z ) X − (z )
=
Pν−1 (z )
(z + i)ν
P (z ) Y (z ) = X (z ) W (z ) + ν−1 ν .
(z + i)
.
(34)
¯à ¢®© ç á⨠ä®à¬ã«ë (34) ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¢ ª ç¥á⢥ á« £ ¥¬®£® ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ (28) ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ã祮 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨.
âà ¨æ 90
91
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
Ǒਠν 6 ¢¨¤¥
0 á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Pν−1 (z ) ≡ 0, ¨ ¨áª®¬®¥
à¥è¥¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢
Y (z ) = X (z )W (z ).
(35)
¤ ª® ⮫쪮 ¯à¨ ν = 0 ä®à¬ã« (35) ¤ ¥â à¥è¥¨¥ 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ¢á¥¬ ãá«®¢¨ï¬.
᫨ ν < 0, â® äãªæ¨ï X (z ) ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢ â®çª¥ −i ¯®«îá ¯®à浪 |ν|. í⮬ á«ãç ¥ ¤«ï áãé¥á⢮¢ ¨ï à¥è¥¨ï ¢ ¢ë¡à ®¬ ª« áᥠäãªæ¨© ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¢â®à®© ¬®¨â¥«ì ¨¬¥« ¢ â®çª¥ −i ã«ì ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¯®à浪 . ®á®¢ ¨¨ á®®â®è¥¨© (6) ¨ (32) ¯à¥¤áâ ¢¨¬ äãªæ¨î W − (z ) ¢ ä®à¬¥
1 2πi
W − (z ) =
Z
H(τ ) dτ . X + (τ ) τ − z
∞
−∞
§« £ ï ¯®á«¥¤¨© ¨â¥£à « ¢ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ z + i ¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ã«î ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ (z + i)k−1 (k = 1, 2, . . . , |ν|), ¯®«ã稬 ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥
Z
∞ −∞
H(u) X + (u )
du
(u + i)k
= 0,
k
= 1, 2, . . . , |ν|.
(36)
«ï £«ï¤®á⨠à¨á. 3 ¯à¨¢¥¤¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ì ï á奬 ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¨¬ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ä®à¬ã«¨à㥬 ®ª®ç ⥫ìë¥ à¥§ã«ìâ âë, ª á î騥áï à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¨¬ .
᫨ ¨¤¥ªá § ¤ ç¨ ν > 0, â® ®¤®à®¤ ï ¨ ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç¨ ¨¬ ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬ë ¨ ¨å à¥è¥¨ï
Y ± (z ) = X ± (z )
Pν−1 (z )
(z + i)ν
Y ± (z ) = X ± (z ) W ± (z ) +
Pν−1 (z )
(z + i)ν
(®¤®à®¤ ï § ¤ ç ),
(37)
(¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç )
(38)
§ ¢¨áïâ ®â ν ¯à®¨§¢®«ìëå ª®¬¯«¥ªáëå ¯®áâ®ïëå, £¤¥ Pν−1 (z ) | ¯®«¨®¬ á⥯¥¨ ν − 1.
᫨ ν 6 0, â® ®¤®à®¤ ï § ¤ ç ¨¬¥¥â «¨èì âਢ¨ «ì®¥ ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥, ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥
Y ± (z ) = X ± (z )W ± (z )
¯à¨ ᮡ«î¤¥¨¨ |ν| ãá«®¢¨© (36). Ǒਠí⮬
Z
−ν ∞ 1 D(u) e−iux du, ln u − i u+i 2π −∞ Z ∞ Z 0 1 1 g (x)eizx dx, G + (z ) = √ g (x)eizx dx, G − (z ) = − √ 2π 0 2π −∞ −ν + − z−i X + (z ) = eG (z ) , X − (z ) = eG (z ) , z+i Z ∞ 1 H(u) −iux w(x) = √ e du, 2π −∞ X + (u) Z ∞ Z 0 1 1 w(x)eizx dx. W + (z ) = √ w(x)eizx dx, W − (z ) = − √ 2π 0 2π −∞
g (x) = √
(39)
(40) (41) (42) (43) (44)
Ǒ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤¥©á⢨© ¤«ï ¯®«ã票ï à¥è¥¨ï ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: Ǒ® ä®à¬ã«¥ (40) ®âë᪨¢ ¥âáï g (x), ¯® ¥© á ¯®¬®éìî (41) | äãªæ¨ï G ± (z ).
1◦ .
âà ¨æ 91
92
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¨á.−3. 奬 à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¤«ï äãªæ¨© Y +(z) ¨ Y (z), «¨â¨çëå ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠z = u + iv. ç¨â ¥âáï, çâ® D(u) 6= 0 ¨ Pν−1 (z ) ≡ 0 ¯à¨ ν 6 0.
âà ¨æ 92
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
2◦ . 3◦ .
93
Ǒ® ä®à¬ã« ¬ (42) 室¨âáï ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï X ± (z ).
Ǒ® ä®à¬ã«¥ (43) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï w(x), § ⥬ á ¯®¬®éìî (44) | äãªæ¨ï W ± (z ).
Ǒ®á«¥ í⮣® ¯® ä®à¬ã« ¬ (37){(39) ¨ (42) 室¨âáï à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© ¨ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç. á«ãç ¥ ν < 0 ¥®¡å®¤¨¬® ¥é¥ ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«¨¬®áâì ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®á⨠(36). 4.4-5. ¤ ç ¨¬ á à 樮 «ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨
Ǒ®«ã祮¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¨¬ âॡã¥â ¢ëç¨á«¥¨ï àï¤ ¨â¥£à «®¢ ãàì¥. ¥£ª® ¬®® ¡ë«® ¡ë ¢ëà §¨âì à¥è¥¨¥ â ª¥ ç¥à¥§ ¨â¥£à «ë ⨯ ®è¨. ª ¯à ¢¨«®, ¨â¥£à «ë ¥ ¡¥àãâáï ¢ ª®¥ç®¬ ¢¨¤¥, ¢ëç¨á«ïîâáï à §«¨ç묨 ¯à¨¡«¨¥ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨. â® âà㤮¥¬ª¨© ¯à®æ¥áá, ¯®í⮬㠯।áâ ¢«ï¥â ¨â¥à¥á ¢ë¤¥«¨âì ⥠á«ãç ¨, ª®£¤ à¥è¥¨¥ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯® ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î ¬¥â®¤®¬ «¨â¨ç¥áª®£® ¯à®¤®«¥¨ï, ¬¨ãï ª¢ ¤à âãàë. Ǒãáâì ¢ ªà ¥¢®¬ ãá«®¢¨¨ (14)
D(u) =
R+ (u) R− (u) Q+ (u) Q− (u)
.
¤¥áì R+ (u), Q+ (u) ¨ R− (u), Q− (u) | ¬®£®ç«¥ë, 㫨 ª®â®àëå «¥ â ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå (¥ á«¥¤ã¥â ᬥ訢 âì ¨å á ¢¢¥¤¥ë¬¨ à ¥¥, ¨¬¥î騬¨ «®£¨çë¥ ®¡®§ 票ï, ®¤®áâ®à®¨¬¨ äãªæ¨ï¬¨). ¡®§ 稬 á⥯¥¨ ¬®£®ç«¥®¢ R+ , R− , Q+ , Q− ᮮ⢥âá⢥® m+ , m− , n+ , n− . ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î § ¤ ç¨ D(∞) ¥ ¬®¥â ®¡à é âìáï ¨ ¢ ã«ì, ¨ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì, ¡ã¤¥â ¢ë¯®«ïâìáï á®®â®è¥¨¥ m+ + m− = n+ + n− . ¤¥ªá § ¤ ç¨ ¢ëà §¨âáï à ¢¥á⢮¬
= Ind D(u) = m+ − n+ = −(m− − n− ). ¬®¨¢ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ Q− (u)/R− (u), ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ν
Q− (u)
R− (u)
Y + (u) −
R+ (u) Q + (u )
Y − (u) =
Q− (u)
R− (u)
H(u).
᫨ ᢮¡®¤ë© ç«¥ H(u) â ª¥ ¥áâì à 樮 «ì ï äãªæ¨ï, â® «¥£ª® à¥è ¥âáï § ¤ ç ® ᪠窥 Q (u) W + (u) − W − (u) = − H(u). (45) R− (u)
«ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ¯à ¢ãî ç áâì à §«®¨âì á㬬㠯à®áâëå ¤à®¡¥©. ®£¤ W + (u) ¨ W − (u) ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢥® á㬬 ¬¨ ¤à®¡¥© á ¯®«îá ¬¨ ¢ ¨¥© ¨ ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®áâïå. ¯®«ã祮¬ã à ¢¥áâ¢ã
Q− (u)
R− (u)
Y + (u) − W + (u) =
R+ (u) Q+ (u)
Y − (u) − W − (u)
¬®® ¥¯®á।á⢥® ¯à¨¬¥¨âì ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï.
¤¨á⢥®© ¨áª«îç¨â¥«ì®© â®çª®©, £¤¥ ¥¤¨ ï ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠«¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¬®¥â ¨¬¥âì ¥ã«¥¢®© ¯®à冷ª, ¡ã¤¥â ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï, £¤¥ ¯®à冷ª äãªæ¨¨ ¡ã¤¥â à ¢¥ ν − 1 = m+ − n+ − 1 = n− − m− − 1. Ǒਠν > 0 à¥è¥¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥
Y + (z ) =
R− (z ) Q− (z )
[W + (z ) + Pν−1 (z )℄,
Y − (z ) =
Q+ (z )
R+ (z )
[W − (z ) + Pν−1 (z )℄.
âà ¨æ 93
94
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
Ǒਠν 6 0 ã® ¯®«®¨âì Pν−1 ≡ 0 ¨ ¯à¨ ν < 0 ¢ë¯¨á âì ¥é¥ ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®áâ¨, ¯®«ãç ¥¬ë¥ ¯à¨à ¢¨¢ ¨¥¬ ã«î |ν| ç «ìëå ç«¥®¢ à §«®¥¨ï à 樮 «ì®© äãªæ¨¨ W (z ) ¢ àï¤ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ (¯® á⥯¥ï¬ 1/z ). ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ® ᪠窥 (45) ¬®® ¯®«ãç¨âì ¨«¨ ¨á¯®«ì§ãï ¬¥â®¤ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢, ª ª íâ® ¤¥« ¥âáï ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ à 樮 «ìëå äãªæ¨©, ¨«¨ ¥ ¨á¯®«ì§ãï ⥮à¨î äãªæ¨©. Ǒãáâì zk ¥áâì ¢ëç¥â®¢ «¨â¨ç¥áª¨å ¯®«îá ªà â®á⨠m äãªæ¨¨ Q− (z )/R− (z ) H(z ). ®£¤ ª®íää¨æ¨¥âë £« ¢®© ç á⨠¥¥ à §«®¥¨ï ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ zk
ck1 z − zk
+ ··· +
ckm
(z − zk )m
¬®£ãâ ¡ëâì ¯®«ãç¥ë ¯® ä®à¬ã«¥
ckj
=
1
(j − 1)!
dj−1 dz j−1
Q− (z )
R− (z )
H(z )
z =z k
.
áᬮâà¥ë© á«ãç © ¥à¥¤ª® ¢áâà¥ç ¥âáï ¯à ªâ¨ª¥. ¢ ¥ â ª¥ ¨ ª ª ®¤¨ ¨§ ¢®§¬®ëå ¯ã⥩ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¯à¨ ®¡é¨å ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå. ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¯à®¨§¢®«ìëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ à áᬠâਢ ¥¬®£® ª« áá à 樮 «ì묨 äãªæ¨ï¬¨ ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ à á¯à®áâà ¥ëå ᯮᮡ®¢ ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ .
4.4-6. ᪫îç¨â¥«ìë¥ á«ãç ¨. ¤®à®¤ ï § ¤ ç
Ǒãáâì ¢ ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¨¬ ª®íää¨æ¨¥â D(u) ¨¬¥¥â 㫨 ᮮ⢥âá⢥® ¯®à浪®¢ α1 , . . . , αr ¢ â®çª å a1 , . . . , ar ¨ ¯®«îáë* ¯®à浪®¢ β1 , . . . , βs ¢ â®çª å b1 , . . . , bs (α1 , . . . , αr , β1 , . . . , βs | æ¥«ë¥ ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« ). ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®íää¨æ¨¥â ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥
D(u) =
r Y
i=1
(u − ai )αi
s
Y
j =1
(u − bj )βj
D1 (u), D1 (u) 6= 0, −∞ < u < ∞,
r X i=1
αi = m,
ãªæ¨î D1 (u) ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ¯à¥¤áâ ¢¨¬ (á¬. ¯. 4.4-5) ¢ ¢¨¤¥
D1 (u) =
R+ (u)R− (u) Q+ (u)Q− (u)
D2 (u),
s X
j =1
βj = n. (46)
(47)
£¤¥ R+ (u), Q+ (u) ¨ R− (u), Q− (u), â ª ¥ ª ª ¨ ¢ëè¥ | ¬®£®ç«¥ë á⥯¥¥© ᮮ⢥âá⢥® m+ , n+ ¨ m− , n− , ¨¬¥î騥 㫨 ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå. ãªæ¨ï D2 (u) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¨¬¥¥â ã«¥¢®© ¨¤¥ªá ¨ ¨£¤¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì. ஬¥ ⮣®, ¥¥ ¬®£ãâ ¡ëâì «®¥ë ¥ª®â®àë¥ ãá«®¢¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®ç¥ª ai , bj ¨, ¬®¥â ¡ëâì, ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨. * á«ãç ¥, ª®£¤ äãªæ¨ï D (u) ¥ «¨â¨ç¥áª ï, â¥à¬¨®¬ 󯮫îá ¡ã¤¥â ®¡®§ ç âìáï â®çª , £¤¥ äãªæ¨ï ®¡à é ¥âáï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì 楫®£® ¯®à浪 .
âà ¨æ 94
95
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
à ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥ r Y
Y + (u) = i=1 s
(u − ai )αi R+ (u)R− (u)
Y
j =1
(u − bj )
βj
Q+ (u)Q− (u)
D2 (u)Y − (u).
(48)
¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ®£à ¨ç¥ëå ¢¥é¥á⢥®© ®á¨ ¨ ®¡à é îé¨åáï ¢ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨:
Y (∞) = 0.
(49)
®íää¨æ¨¥â D(u) ¡¥áª®¥ç®á⨠¨¬¥¥â ¯®à冷ª
η
¨á«®
= n + n+ + n− − m − m+ − m− .
(50)
= m+ − n+
(51)
h = n− − m− .
(52)
ν §®¢¥¬
¨¤¥ªá®¬
§ ¤ ç¨. ¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票¥
®£¤ ¯®à冷ª ¡¥áª®¥ç®á⨠¢ëà §¨âáï ä®à¬ã«®©
η
= h − ν + n − m.
(53)
Ǒà¨áâ㯨¬ ⥯¥àì ª à¥è¥¨î § ¤ ç¨ (48). Ǒਬ¥ïï ®¡é¨¥ ¯à¨¥¬ë, ¯®«®¨¬
D2 (u) = G + (z ) =
+ eG (u)
Z ∞ 1 √ , g ( x ) = ln D2 (u)e−iux du, − 2π −∞ eG (u) Z 0 Z ∞ 1 1 √ g (x)eizx dx g (x)eizx dx, G − (z ) = − √ 2π 0 2π −∞
(54)
¨ § ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ¢¨¤¥ r Y
Q− (u)Y + (u)
+ (u − ai )αi R− (u)eG (u)
i=1
=
s
Y
j =1
R+ (u)Y − (u)
− (u − bj )βj Q+ (u)eG (u)
.
(55)
Ǒਬ¥ïï, «®£¨ç® ⮬ã, ª ª í⮠ᤥ« ® à ¥¥, «¨â¨ç¥áª®¥ ¯à®¤®«¥¨¥ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï, ¯®«ã稬 ¢ ª ç¥á⢥ ¥¤¨á⢥®© ¢®§¬®®© ®á®¡¥®á⨠¯®«îá ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ®§¬®ë ¤¢ á«ãç ï:
1◦ . Ǒãáâì ¯®à冷ª ª®íää¨æ¨¥â ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¡¥áª®¥ç®á⨠η > 0, â. ¥. D(u) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠ã«ì ¯®à浪 η . § (53) á«¥¤ã¥â n − ν > m − h. Ǒà¨à ¢¨¢ ï «¥¢ãî ¨ ¯à ¢ãî ç áâ¨ à ¢¥á⢠(55) ¬®£®ç«¥ã Pν−n−1 (z ), ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
Y + (z ) = Y
−
(z ) =
r Y
i=1
(z − ai )αi
s Y
j =1
(z − bj )
βj
R− (z ) Q− (z )
Q+ (z )
R+ (z )
+ eG (z ) Pν−n−1 (z ), e
G − (z )
Pν−n−1 (z ).
(56)
¤ ç ¨¬¥¥â ν −n «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ¯à¨ ν −n > 0 ¨ ¨¬¥¥â «¨èì âਢ¨ «ì®¥ ã«¥¢®¥ à¥è¥¨¥ ¯à¨ ν − n 6 0.
âà ¨æ 95
96
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
2◦ .
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
Ǒãáâì η < 0, â. ¥. D(u) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®«îá ¯®à浪 −η . í⮬ á«ãç ¥ m − h > n − ν , ¨ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¯®«ã稬 ¨§ (56), ¥á«¨ ¢ ¥¬ § ¬¥¨¬ Pν−n−1 (z ) Ph−m−1 (z ). í⮬ á«ãç ¥ § ¤ ç ¨¬¥¥â h − m à¥è¥¨© ¯à¨ h − m > 0 ¨ «¨èì âਢ¨ «ì®¥ ã«¥¢®¥ ¯à¨ h − m 6 0. ®£« á® (53) ¨¬¥¥¬ h − m = ν − n + η. (57)
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ®¡®¨å à áᬮâà¥ëå á«ãç ïå ç¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© à ¢® ¨¤¥ªáã ¬¨ãá á㬬 ஥ ç¨á«® ¯®«îᮢ (¢ª«îç ï ¨ ¯®«îá ¡¥áª®¥ç®áâ¨) ª®íää¨æ¨¥â D(u). «¥¤®¢ ⥫ì®, ç¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¥ ¨§¬¥ï¥âáï ®â «¨ç¨ï ã«¥© ª®íää¨æ¨¥â ¨ 㬥ìè ¥âáï á㬬 àë© ¯®à冷ª ¥£® ¯®«îᮢ. 4.4-7. ᪫îç¨â¥«ìë¥ á«ãç ¨. ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç
Ǒ।¯®«®¨¬, ç⮠᢮¡®¤ë© ç«¥ ¨¬¥¥â ⥠¥ ¯®«îáë, çâ® ¨ ª®íää¨æ¨¥â. à ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ r Y
Y + (u) = i=1 s Y
(u − ai )αi R+ (u)R− (u)
j =1
(u − bj )βj Q+ (u)Q− (u)
D2 (u)Y − (u) + s Y
H1 (u)
j =1
,
(u − bj )βj
(58)
£¤¥ D2 (u), H1 (u) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¥ª®â®àë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®ç¥ª ai , bj , ∞.
1◦ .
Ǒãáâì ¯®à冷ª ª®íää¨æ¨¥â ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¡¥áª®¥ç®á⨠η > 0. ᨫã ⮣®, çâ® ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ç«¥ à ¢¥á⢠(58) ¡¥áª®¥ç®á⨠®¡à é îâáï ¢ ã«ì, ¬¨¨¬ «ì® ¢®§¬®ë© ¯®à冷ª H1 (u) ¡¥áª®¥ç®áâ¨ à ¢¥ 1 −n. ¬¥ïï, ª ª ¨ ¢ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¥, D2 (u) ®â®è¥¨¥¬ ¤¢ãå äãªæ¨© (54), § ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ¢¨¤¥ (¯®¤ 䨣ãà묨 ᪮¡ª ¬¨ ¢ë¯¨á ë ¯®à浪¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å äãªæ¨© ¡¥áª®¥ç®áâ¨) s Y
j =1
|
(u − bj )βj Q− (u)Y + (u) R− (u)eG + (u)
{z 1−n−h
}
=
r Y
i=1
|
(u − ai )αi R+ (u)Y − (u) Q+ (u)eG − (u)
+
H1 (u)Q− (u)
R− (u)eG + (u)
{z } | {z } 1−m−ν 1−n−h ®¯ãá⨬, çâ® ¬®£®ç«¥ S (u) á⥯¥¨ n + h − 1 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â £« ¢ãî ç áâì à §«®¥¨ï ¯®á«¥¤¥£® ç«¥ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ (¢ á«ãç ¥, ¥á«¨ n + h − 1 > 0)
H1 (u)Q− (u) + R− (u)eG (u)
= S (u) + W (u),
W (∞) = 0.
¬¥¨¢ W (u) à §®áâìî ªà ¥¢ëå § 票© «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨©
W (u) = W + (u) − W − (u),
£¤¥
Z
∞ 1 W (u)e−iux du, 2π −∞ Z 0 Z ∞ 1 1 W + (u) = √ w(x)eiux dx, w(x)eiux dx, W − (u) = − √ 2π −∞ 2π 0
w(x) = √
(59)
(60)
âà ¨æ 96
4.4. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
97
¯à¨¢¥¤¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ª ¢¨¤ã s Y
j =1
r Y
(u − bj )βj Q− (u)Y + (u)
(u − ai )αi R+ (u)Y − (u)
−S (u)−W + (u)= i=1
R− (u)eG + (u)
Q+ (u)eG − (u)
−W − (u).
Ǒਬ¥ïï ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® ¥¤¨á⢥®© ®á®¡®© â®çª®© à áᬠâਢ ¥¬®© äãªæ¨¨ ¬®¥â ¡ëâì «¨èì ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï â®çª , â ª¥ â®â ä ªâ, çâ® −n − h 6 −m − ν (η > 0), ¯®«ã稬
Y + (z ) =
+ R− (z )eG (z )
s Y
j =1
Y − (z ) =
r Y
(z − bj )
βj
i=1
Q− (z )
− Q+ (z )eG (z )
(z − ai )αi R+ (z )
[W + (z ) + S (z ) + Pν +m−1 (z )℄, (61)
[W − (z ) + Pν +m−1 (z )℄.
Ǒ®á«¥¤¨¥ ä®à¬ã«ë ®¯à¥¤¥«ïîâ à¥è¥¨¥, ¨¬¥î饥 ¢ â®çª å ai , bj ¯®«ïàë¥ ®á®¡¥®áâ¨. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ®£à ¨ç¥®¥ à¥è¥¨¥, ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨. ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© V (z ) ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ á«ãç ¥ §ë¢ ¥âáï ªãá®ç® «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î (58), ¨¬¥îé ï ¢® ¢á¥© ª®¥ç®© ç á⨠¯«®áª®áâ¨, ¢ª«îç ï â®çª¨ ai ¨ bj , ã«¥¢®© ¯®à冷ª ¨ ®¡« ¤ îé ï ¡¥áª®¥ç®á⨠¨¨§è¨¬ ¢®§¬®ë¬ ¯®à浪®¬. Ǒãáâì Up (z ) | ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ ନâ á 㧫 ¬¨ ¨â¥à¯®«ï樨 ¯®à浪®¢ αi , βj ᮮ⢥âá⢥® ¢ â®çª å ai , bj . ª®© ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ p = m + n − 1 áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ (á¬. ¯. 6.3-1). § ¤ ë¥ äãªæ¨¨ D1 (u), H1 (u) ã® «®¨âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥, çâ®¡ë ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®ç¥ª ai , bj ®¨ ¨¬¥«¨ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯®à浪®¢ αi , βj ᮮ⢥âá⢥®, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . ®£¤ ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥
V + (z ) =
+ R− (z )eG (z )
s
Y
j =1
V − (z ) =
r Y
(z − bj )
βj
Q− (z )
− Q+ (z )eG (z )
(z − ai )αi R+ (z )
[W + (z ) + S (z ) − Up (z )℄, (62)
[W − (z ) − Up (z )℄.
i=1
ª« ¤ë¢ ï V (z ) á ¯®«ãç¥ë¬ à ¥¥ ®¡é¨¬ à¥è¥¨¥¬ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨, ¯®«ã稬 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨:
Y + (z ) = V + (z ) + Y − (z ) = V − (z ) +
r Y
i=1
(z − ai )αi
s Y
j =1
(z − bj )βj
R− (z ) Q− (z )
Q+ (z )
R+ (z )
+ eG (z ) Pν−n−1 (z ), − eG (z ) Pν−n−1 (z ).
(63)
7 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 97
98
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
Ǒਠν −n > 0 § ¤ ç ¨¬¥¥â ν −n «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©. á«ãç ¥ ν −n 6 0 ã® ¯®«®¨âì Pν−n−1 (z ) ≡ 0. Ǒਠν − n < 0 ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï V (z ) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®à冷ª ν − n < 0 ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯¥à¥á⠥⠡ëâì à¥è¥¨¥¬ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨. ¤ ª®, ¯®¤ç¨ïï ᢮¡®¤ë© ç«¥ n − ν ãá«®¢¨ï¬, ¬®® ¤®¡¨âìáï ¯®¢ëè¥¨ï ¯®à浪 ¡¥áª®¥ç®á⨠äãªæ¨¨ V (u) n − ν ¥¤¨¨æ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¢®¢ì ᤥ« âì ª ®¨ç¥áªãî äãªæ¨î V (z ) à¥è¥¨¥¬ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨. â®¡ë ®¡¥á¯¥ç¨âì ¢ë¯®«¨¬®áâì 㪠§ ëå ®¯¥à 権, ¤®áâ â®ç® ¯®âॡ®¢ âì, ç⮡ë äãªæ¨¨ uk H1 (u) ¨ D2 (u) ¨¬¥«¨ ¡¥áª®¥ç®á⨠¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯®à浪®¢ ¤® n − ν , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à .
0. ¨¨§è¨© ¢®§¬®ë© ¯®à冷ª H1 (u) ¡¥áª®¥ç®+ á⨠h − ν − m + 1. ®£¤ ¢ ãá«®¢¨¨ (58) äãªæ¨ï [H1 (u)Q− (u)℄/[R− (u)eG (u) ℄ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®à冷ª, à ¢ë© 1 − m − ν . í⮬ á«ãç ¥ ¯®á«¥ + ¢ë¤¥«¥¨ï £« ¢®© ç áâ¨ à §«®¥¨ï [H1 (u)Q− (u)℄/[R− (u)eG (u) ℄ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ ¯à¨ m + ν − 1 > 0 ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ § ¯¨è¥¬ ¢ 2◦ .
Ǒãáâì η <
¢¨¤¥ s Y j =1
r Y
(u − bj )βj Q− (u)Y + (u)
−W + (u)= i=1
+ R− (u)eG (u)
(u − ai )αi R+ (u)Y − (u) Q+ (u)eG − (u)
−W − (u)+S (u).
®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
+ R− (z )eG (z )
V1+ (z ) = s Y
j =1
(z − bj )
βj
Q− (z )
G − (z )
Q (z )e V1− (z ) = r + Y α
(z − ai )
i=1
+ (z )
iR
[W + (z ) − Up (z )℄, (64)
[W − (z ) − S (z ) − Up (z )℄.
¡é¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (58) ¯à¨¬¥â ¢¨¤
Y R (z ) + (z − ai )αi − eG (z) Ph−m−1 (z ), Y + (z ) = V1+ (z ) + Q− (z ) i=1 (65) s Y βj Q+ (z ) G − (z ) − − e Ph−m−1 (z ). Y (z ) = V1 (z ) + (z − bj ) R+ (z ) j =1 Ǒਠh − m > 0 § ¤ ç ¨¬¥¥â h − m «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©. á«ãç ¥ h−m 6 0 ¬®£®ç«¥ Ph−m−1 (z ) ã® ¯®«®¨âì ⮤¥á⢥® à ¢ë¬ ã«î, ®â ᢮¡®¤®£® ç«¥ ¢ á«ãç ¥ h−m < 0 ¯®âॡ®¢ âì ¢ë¯®«¥¨ï m−h ãá«®¢¨© â ª®£® r
¥ ¢¨¤ , ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥. Ǒਠ¢ë¯®«¥¨¨ íâ¨å ãá«®¢¨© ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç (58) ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥.
¬¥ç ¨¥. à §¤. 4.5 ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥ë ãà ¢¥¨ï, ª®â®àë¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ª § ¤ ç¥ ¨¬ ¯®á।á⢮¬ ¯à¨¬¥¥¨ï â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥. «®£¨ç® ¬®® ¨áá«¥¤®¢ âì ãà ¢¥¨ï, ª ª®â®àë¬ ¯à¨¬¥¨¬ë â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ ¤«ï ¤àã£¨å ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©, ¯à¨¬¥à ¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨ .
• : . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客, . . ¥à᪨© (1978), S. G. Mikhlin, S. Prossdorf (1986). ¨â¥à âãà
âà ¨æ 98
4.5. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¯¥à¢®£® த
99
4.5. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¯¥à¢®£® த ¥â®¤®¬ à«¥¬ §®¢¥¬ ¬¥â®¤ ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ â¥®à¨¨ «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨©, ¢ ç áâ®áâ¨, ª § ¤ ç¥ ¨¬ . «ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ â ª®¥ ¯à¨¢¥¤¥¨¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï á ¯®¬®éìî ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©. Ǒ®á«¥ à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ ¯®á।á⢮¬ ®¡à ⮣® ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. 4.5-1. à ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த
Z
∞ 1 K (x − t)y (t) dt = f (x), 2π 0
√
0 < x < ∞,
(1)
ª®â®à®¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ¯à¨«®¥¨ïå. ®®¯à¥¤¥«¨¬ ¥£® ®âà¨æ ⥫쮩 ¯®«ã®á¨ ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥¨ï ®¤®áâ®à®¨å äãªæ¨©
y+ (x) =
y (x) ¯à¨ x > 0, f+ (x) = 0 ¯à¨ x < 0,
f (x) ¯à¨ x > 0, y− (x) = 0 ¯à¨ x > 0. 0 ¯à¨ x < 0,
ᯮ«ì§ãï ®¤®áâ®à®¨¥ äãªæ¨¨, § ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (1) ¢ ¢¨¤¥
1 2π
√
Z
∞ −∞
K (x − t)y+ (t) dt = f+ (x) + y− (x),
−∞ < x < ∞.
(2)
ᯮ¬®£ ⥫ì ï äãªæ¨ï y− (x) ¢¢¥¤¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤®®¯à¥¤¥«¨âì «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (2) ¯à¨ x < 0. ¬¥â¨¬, çâ® y− (x) ¢ ®¡« á⨠x < 0 ¥¨§¢¥áâ ¨ 室¨âáï ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥¨ï § ¤ ç¨. Ǒਬ¥ïï ⥯¥àì ª ãà ¢¥¨î (2) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥, ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî ªà ¥¢ãî § ¤ çã:
Y + (u) =
1 Y − (u) + K(u)
F + (u) . K(u)
(3)
᫨ σ | ¯®à冷ª K(u) ¡¥áª®¥ç®áâ¨, â® ¯®à冷ª ª®íää¨æ¨¥â ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¡¥áª®¥ç®á⨠η = −σ < 0. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (3) ¬®® ¯®«ãç¨âì ®á®¢ ¨¨ á®®â®è¥¨© (65) ¨§ ¯. 4.4-7, § ¬¥¨¢ ¢ ¨å Ph−m−1 (z ) Pν−n+η−1 (z ). ¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¯®«ã稬 ¨§ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (3) ¯® ä®à¬ã«¥ ®¡à 饨ï Z
1 2π
y (x) = y+ (x) = √
∞
−∞
Y + (u)e−iux du,
x > 0.
(4)
⬥⨬, çâ® ¢ ä®à¬ã«¥ (4)  ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ⮫쪮 äãªæ¨ï Y + (u), ª®â®à ï á¢ï§ á Y − (u) á®®â®è¥¨¥¬ (3). 4.5-2. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨ ¯¥à¢®£® த
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த
Z
∞ 1 1 √ K1 (x−t)y (t) dt + √ 2π 0 2π
Z 0
−∞
K2 (x−t)y (t) dt = f (x),
−∞ < x < ∞.
(5) Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ãà ¢¥¨ï (5) ¯à¨¢®¤¨â ª à¥è¥¨î á«¥¤ãî饩 ªà ¥¢®© § ¤ ç¨: K (u) − F (u) Y + (u) = 2 Y (u) + , −∞ < u < ∞. (6) K1 (u) K1 (u) 7*
âà ¨æ 99
100
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¥ ª®íää¨æ¨¥â ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®â®è¥¨¥ äãªæ¨©, ®¡à é îé¨åáï ¢ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯à¥¤ë¤ã饣® á«ãç ï, ¬®¥â ¨¬¥âì ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ã«ì ¨«¨ ¯®«îá ¥ª®â®à®£® ¯®à浪 . Ǒãáâì K1 (u) = T1 (u)/uλ , K2 (u) = T2 (u)/uµ , £¤¥ äãªæ¨¨ T1 (u) ¨ T2 (u) ¨¬¥îâ ¡¥áª®¥ç®á⨠㫥¢®© ¯®à冷ª. § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, ¡ã¤¥â «¨ à §®áâì η = µ − λ ®âà¨æ â¥«ì ¨«¨ ¯®«®¨â¥«ì , ¬®£ã⠯।áâ ¢¨âìáï ¤¢ á«ãç ï. «ï ®¡é®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¨¬¥îâáï â ª¥ ¨áª«îç¨â¥«ìë¥ â®çª¨ ª®¥ç®¬ à ááâ®ï¨¨. Ǒãáâì äãªæ¨¨ K1 (u) ¨ K2 (u) ¨¬¥î⠯।áâ ¢«¥¨ï
K1 (u) = K2 (u) =
s Y
j =1 r Y
( u − b j )β j
(u − ai )αi
i=1
p Y
k=1 p
Y
k=1
(u − ck )γk K11 (u),
(u − ck )γk K12 (u).
஬¥ ®¡é¨å ã«¥© ¢ â®çª å ck ªà â®á⨠γk , äãªæ¨¨ K1 (u) ¨ K2 (u) ¨¬¥îâ ¡¥áª®¥ç®á⨠®¡é¨© ã«ì ¯®à浪 min(λ, µ). ®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¨¬ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ r Y
i=1
D(u) =
(u − ai )αi R+ (u)R− (u)
s Y
(u − bj )
βj
j =1
Q+ (u)Q− (u)
D2 (u).
§ (6) á«¥¤ã¥â, çâ® íâ § ¤ ç ¨ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (5) ¡ã¤ãâ à §à¥è¨¬ë, ¥á«¨ F (u) ¢ â®çª å ck , ïîé¨åáï ®¡é¨¬¨ ã«ï¬¨ äãªæ¨© K1 (u), K2 (u), ¨¬¥¥â ã«ì ¯®à浪 γk , â. ¥. F (u) ¨¬¥¥â ¢¨¤
F (u) =
p Y
k=1
(u − ck )γk F1 (u).
+ · · · + γp = l ãá«®¢¨© = 0, jk = 0, 1, . . . , γk − 1,
«ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¥¨¥ γ1
(j ) Fu k (u) u=c
¨«¨, çâ® ¢á¥ à ¢®, ãá«®¢¨©
Z
k
∞ −∞
(7)
f (x)xjk eick x dx = 0.
(8)
í⨬ ãá«®¢¨ï¬ ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த ¤®¡ ¢ïâáï ¥é¥
d = min(λ, µ) + 1
(9)
ãá«®¢¨©, ª« ¤ë¢ ¥¬ëå ¯®¢¥¤¥¨¥ F (u) ¡¥áª®¥ç®áâ¨, â ª ª ª äãªæ¨¨ K1 (u), K2 (u) ¨¬¥îâ ¡¥áª®¥ç®á⨠®¡é¨© ã«ì ¯®à浪 min(λ, µ). «¥¤®¢ ⥫ì®, F (u) ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬ (8) ¨ ¨¬¥âì ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®à冷ª ¥ ¨¥ d.
᫨ í⨠ãá«®¢¨ï ¢ë¯®«¥ë, â® ªà ¥¢ ï § ¤ ç (6) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ r Y
Y + (u) = i=1 s Y
(u − ai )αi R+ (u)R− (u)
j =1
(u − bj )
βj
Q+ (u)Q− (u)
D2 (u)Y − (u) + s Y
j =1
H1 (u)
.
(u − bj )βj
âà ¨æ 100
101
4.5. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¯¥à¢®£® த
¥ à¥è¥¨¥ ¯à¨¢¥¤¥® à ¥¥ ¢ ¯. 4.4-7. á«ãç ¥ η > 0 (µ > λ) ®® § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ r Y R (z ) + Y + (z ) = V + (z ) + (z − ai )αi − eG (z) Pν−n+1 (z ), Q− (z ) i=1 (10) s Y − βj Q+ (z ) G − (z ) −
Y
(z ) = V (z ) +
á«ãç ¥ η <
j =1
(z − b j )
Pν−n+1 (z ).
R+ (z )
e
R− (z )
+ eG (z ) Ph−m−1 (z ),
0 (µ < λ) ®® ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ r
Y Y + (z ) = V1+ (z ) + (z − ai )αi i=1 s Y − − Y (z ) = V1 (z ) + (z − bj )βj j =1
Q− (z )
Q+ (z )
R+ (z )
− eG (z ) Ph−m−1 (z ).
(11)
¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ®¡®¨å á«ãç ïå ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ëà ¥¨© (10), (11) ¢ ä®à¬ã«ã
1 2π
y (x) = √
Ǒਬ¥à.
Z
∞ −∞
[Y + (u) − Y − (u)℄e−iux du.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த Z
∞ 1 √ K1 (x − t)y (t) dt + 2π 0
£¤¥ K1 (x)
= 0√2π (e3x − e2x )
1 2π
√
¯à¨ x > 0, ¯à¨ x < 0,
Z 0
−∞
K2 (x − t)y (t) dt = f (x),
K2 (x)
√
F (u)
=
−2x = 0− 2π ie
¯à¨ x > 0, f (x) = 2π (e3x − e2x ) ¯à¨ x < 0. Ǒਬ¥ïï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ª äãªæ¨ï¬ ¨§ (13), ¯®«ã稬 K 1 (u )
(12)
=
1 , (u − 2i)(u − 3i)
à ¥¢ ï § ¤ ç (6) §¤¥áì ¨¬¥¥â ¢¨¤ ®íää¨æ¨¥â (ν = −1). ®£¤ m+
Y + (u)
=
= 0,
ν
D (u)
= 2,
n+
¯à¨ x > 0, ¯à¨ x < 0,
0 √
K2 (u)
=
1
u + 2i
,
(13)
1 . (u − 2i)(u − 3i)
(u − 2i)(u − 3i) − Y (u) + 1. u + 2i
¨¬¥¥â ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 = m+ − n+ = 2, min(λ, µ) = 1,
d = 2.
ãªæ¨ï F (u) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠ã«ì ¢â®à®£® ¯®à浪 , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨ï ¢ë¯®«¥®. ¤®à®¤ ï § ¤ ç Y + (u)
=
(u − 2i)(u − 3i) − Y (u) u + 2i
¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ®¡à é îé¨åáï ¢ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¨¬¥¥â á«¥¤ãî饥 à¥è¥¨¥: Y + (z )
=
C , z + 2i
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï.
Y − (z )
=
C
(z − 2i)(z − 3i)
,
âà ¨æ 101
102
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© § ¤ ç¨ (13) ¬¥ìè¥ ¨¤¥ªá ¥¤¨¨æã, â ª ª ª ¨¬¥¥â ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ®¡à é îé¨åáï ¢ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¨¬¥¥â ¢¨¤
D (u)
C C − 2i − z Y + (z ) = , Y − (z ) = , z + 2i (z − 2i)(z − 3i) √ − 2π iCe−2x √ √ √ 2π C (e2x − e3x ) − 4i 2π e2x + 5i 2π e3x
¯à¨ x > 0, ¯à¨ x < 0. Ǒਠ¢ë¡à ®© ¢ëè¥ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨¥ ®ª §ë¢ ¥âáï à §à¥è¨¬ë¬. ®§ì¬¥¬ ⥯¥àì, ¯à¨¬¥à, 0 ¯à¨ x > 0, f (x) = √ (14) 2π i(5e3x − 4e2x ) ¯à¨ x < 0. ®£¤ F (u) = (u + 2i)/[(u − 2i)(u − 3i)℄. ®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤ y (x )
=
Y + (u)
=
(u − 2i)(u − 3i) − Y (u) + u + 2i. u + 2i
¥ à¥è¥¨¥ ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ®£à ¨ç¥ëå ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥ Y + (z )
=
C−z , z + 2i
Y − (z )
=
C − z − (z + 2i)2 . (z − 2i)(z − 3i)
(15)
¨ ¯à¨ ª ª®¬ ¯®¤¡®à¥ ¯®áâ®ï®© C à¥è¥¨¥ ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ãà ¢¥¨¥ á ¯à ¢®© ç áâìî, § ¤ ®© ¢ëà ¥¨¥¬ (14), ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©, ¨â¥£à¨à㥬ëå ¢¥é¥á⢥®© ®á¨.
• : . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客, . . ¥à᪨© (1978), S. G. Mikhlin, S. Prossdorf (1986). ¨â¥à âãà
4.6. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த 4.6-1. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ãà ¢¥¨ï á à §®áâ묨 ï¤à ¬¨
áᬮâਬ ¯ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ᢥà⪨
Z
∞ 1 K1 (x − t)y (t) dt = f (x), 2π −∞ Z ∞ 1 √ K2 (x − t)y (t) dt = f (x), 2π −∞
√
0 < x < ∞, −∞ < x < 0,
(1)
£¤¥ äãªæ¨ï y (x) ¯®¤«¥¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î. 楫ìî ¤ «ì¥©è¥£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (á¬. ¯¯. 1.4-3, 4.4-1, 4.4-2) ¤®®¯à¥¤¥«¨¬ á®®â®è¥¨ï (1) ¢áî ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì. «ï í⮣® ¤®¡ ¢¨¬ ¢ ¯à ¢ë¥ ç á⨠®¡®¨å á®®â®è¥¨© ®¢ë¥ ¥¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨. ⨠äãªæ¨¨ ¤®«ë ¡ëâì ¢ë¡à ë â ª, çâ®¡ë § ¤ ë¥ ¯®«ã®áïå ãà ¢¥¨ï ®áâ ¢ «¨áì á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¯à ¢®© ç á⨠¯¥à¢®£® ãà ¢¥¨ï (1) á«¥¤ã¥â ¯à¨¡ ¢¨âì äãªæ¨î, ¨á祧 îéãî ¯®«®¨â¥«ì®© ¯®«ã®á¨, ª ¯à ¢®© ç á⨠¢â®à®£® ãà ¢¥¨ï (1) | äãªæ¨î, ¨á祧 îéãî ®âà¨æ ⥫쮩 ¯®«ã®á¨. ¨â®£¥ ¯ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
Z
∞ 1 K1 (x − t)y (t) dt = f (x) + ξ− (x), 2π −∞ Z ∞ 1 √ K2 (x − t)y (t) dt = f (x) + ξ+ (x), 2π −∞
√
− ∞ < x < ∞,
£¤¥ ξ± (x) | ¥¨§¢¥áâë¥ ¯à ¢ ï ¨ «¥¢ ï ®¤®áâ®à®¨¥ äãªæ¨¨.
âà ¨æ 102
103
4.6. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Ǒਬ¥ïï ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥, ¯®«ã稬
K2 (u)Y (u) = F (u) + + (u). (2) ®®â®è¥¨ï (2) ᮤ¥à â âਠ¥¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨ Y (u), + (u), ¨ − (u). ᪫îç ï Y (u) ¨§ á®®â®è¥¨© (2), ¯à¨¤¥¬ ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¨¬ ¢ ä®à¬¥ K1 (u)Y (u) = F (u) + − (u),
+ (u) =
K2 (u) K1 (u)
K2 (u) − K1 (u) F (u), K1 (u)
− (u) +
−∞ < u < ∞.
¤ ®¬ á«ãç ¥ ª®íää¨æ¨¥â ªà ¥¢®£® ãá«®¢¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®â®è¥¨¥ äãªæ¨©, ®¡à é îé¨åáï ¢ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¥â ¨¬¥âì ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ã«ì ¨«¨ ¯®«îá ¥ª®â®à®£® ¯®à浪 . ¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¬®¥â ¡ëâì ¯®áâ஥® ®á®¢ ¨¨ ¯¯. 4.4-6 ¨ 4.4-7, à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ®¯à¥¤¥«¨âáï ¯® ä®à¬ã«¥
1 2π
y (x) = √
Z
∞ −∞
+ (u) + F (u) −iux e du = K2 (u)
1 2π
√
Z
∞ −∞
− (u) + F (u) −iux e du. K1 (u)
¥è¨¬ ¯ ஥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த (1), £¤¥ 0√ ¯à¨ 2π (e3x − e2x ) ¯à¨ x < 0, K1 (x) = K2 (x) = − 2π ie−2x ¯à¨ 0 ¯à¨ x > 0, ( 1√ 2π e2x ¯à¨ x < 0, 4 √ f (x ) = 1 2 x − − 4 2π e ¯à¨ x > 0. ©¤¥¬ ¨â¥£à «ë ãàì¥
(3)
Ǒਬ¥à.
√
K1 (u)
=
1 , (u − 2i)(u − 3i)
K2 (u)
=
1
u + 2i
,
F (u)
, ,
x<0 x>0
1 = 2 . u +4
®®â¢¥âáâ¢ãîé ï í⮬ã ãà ¢¥¨î ªà ¥¢ ï § ¤ ç (2) § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥ + (u) =
u − 3i (u − 2i)(u − 3i) − (u) + u + 2i (u + 2i)2
−
u2
1 . +4
(4)
®íää¨æ¨¥â D(u) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 (¨¤¥ªá ν = −1). ãªæ¨¨ K1 (u) ¨ K2 (u) ¨¬¥îâ ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ®¡é¨© ã«ì ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ®£¤ m+
= 2,
n+
Ǒ।áâ ¢«ïï ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ä®à¬¥ (u + 2i)+ (u) −
u − 3i u + 2i
= 0,
ν
= m+ − n+ = 2.
= (u − 2i)(u − 3i)− (u) −
1
u − 2i
¨ ¨á¯®«ì§ãï «¨â¨ç¥áª®¥ ¯à®¤®«¥¨¥ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï, ¯®«ã稬, çâ® ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ (4) ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ®¡à é îé¨åáï ¢ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ + (z ) =
1 z + 2i
z − 3i z + 2i
+C
,
− (z ) =
1 (z − 2i)(z − 3i)
1
z − 2i
+C
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. ¥è¥¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï 室¨âáï ¯® ä®à¬ã«¥ y (x)
=
1 2π
√
Z
∞ −∞
,
(5)
+ (u) + F (u) −iux e du. K2 (u)
ª ª ª äãªæ¨ï K2 (u) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠ã«ì ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , â® + (u)+F (u) ¤®« ¨¬¥âì ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ã«ì, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 . § í⮣® ãá«®¢¨ï 室¨¬ C = −1.
âà ¨æ 103
104
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
ǑਠC = −1 à¥è¥¨¥ (5) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
√ i √2π e2x 5 2π e−2x
¯à¨ x < 0, ¯à¨ x > 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨î à §à¥è¨¬®áâ¨, ¢ë⥪ î饬㠨§ «¨ç¨ï ®¡é¥£® ã«ï äãªæ¨© K1 (u) ¨ K2 (u), 㤠«®áì 㤮¢«¥â¢®à¨âì ¯ã⥬ ¯®¤¡®à ¢å®¤ï饩 ¢ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯®áâ®ï®©, ¨ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®ª § «®áì ®¤®§ ç® à §à¥è¨¬ë¬. + (z ) =
−5i , (z + 2i)2
1 + 2i − z , (z − 2i)2 (z − 3i)
− (z ) =
y (x)
=
4.6-2. ®çë¥ à¥è¥¨ï ¥ª®â®àëå ¯ àëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
¯à¨«®¥¨ïå ( ¯à¨¬¥à, ¢ ⥮ਨ ã¯à㣮áâ¨, ⥯«®¯à®¢®¤®áâ¨, í«¥ªâà®áâ ⨪¥) ¢áâà¥ç îâáï ¯ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤
Z
∞
Z0 ∞
0
K1 (x, t)y (t) dt = f1 (x)
¯à¨
0 < x < a,
K2 (x, t)y (t) dt = f2 (x)
¯à¨
a < x < ∞,
(6)
£¤¥ K1 (x, t), K2 (x, t), f1 (x), f2 (x) | ¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨, y (x) | äãªæ¨ï, ¯®¤«¥ é ï ®¯à¥¤¥«¥¨î. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï à §«¨çëå ⨯®¢ â ª¨å ãà ¢¥¨© ®¯¨á ë, ¯à¨¬¥à, ¢ ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ ª®æ¥ à §¤¥« «¨â¥à âãà¥. ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥ë à¥è¥¨ï ¥ª®â®àëå ª« áᮢ ¯ àëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©, ª®â®àë¥ ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ¢ ¯à¨«®¥¨ïå.
1◦ .
áᬮâਬ ¯ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ä®à¬¥
Z
∞
Z0 ∞
0
J0 (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
tJ0 (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(7)
£¤¥ J0 (x) | äãªæ¨ï ¥áᥫï ã«¥¢®£® ¯®à浪 . ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© (7) ¬®® ¯®«ãç¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ª¥«ï. ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
y (x) =
2◦ .
2 π
Z
a
0
os(xt)
d dt
Z
t
0
s f (s ) ds √ t2 − s 2
®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï
Z
∞
Z0 ∞
0
dt.
tJ0 (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
J0 (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(8)
(9)
£¤¥ J0 (x) | äãªæ¨ï ¥áᥫï ã«¥¢®£® ¯®à浪 , ¯®áâ஥®¥ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª¥«ï, ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
y (x) =
3◦ .
2 π
Z
a
0
sin(xt)
d dt
Z
t
0
s f (s ) ds √ t2 − s 2
®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï
Z
∞
Z0 ∞
0
dt.
tJµ (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
Jµ (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(10)
(11)
âà ¨æ 104
105
4.6. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
£¤¥ Jµ (x) | äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¯®à浪 µ, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ¢ëà ¥¨¥¬ (§¤¥áì â ª¥ ¯à¨¬¥ï¥âáï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ª¥«ï):
r
y (x ) =
4◦ .
2x π
Z
a
0
t3/2 Jµ+ 1 (xt)
2
Z
π/2
0
sinµ+1 θf (t sin θ) dθ
áᬮâਬ ¯ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢ ä®à¬¥
Z
∞
Z0
∞
0
t2β Jµ (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < 1,
Jµ (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
1 < x < ∞,
dt.
(12)
(13)
£¤¥ Jµ (x) | äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¯®à浪 µ. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (13) ¬®® ¯®«ãç¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ . Ǒਠβ > 0 íâ® à¥è¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã« ¬¨
y (x) =
Z
Z
1 (2x)1−β 1 1+β t Jµ+β (xt)F (t) dt, F (t) = f (tζ )ζ µ+1 (1 − ζ 2 )β−1 dζ. (β ) 0 0 (14)
Ǒਠβ > −1 à¥è¥¨¥ ¯ ண® ãà ¢¥¨ï (13) ¨¬¥¥â ¢¨¤
y (x) =
Z
1 (2x)−β tµ+1 (1 − t2 )β f (t) dt+ x1+β Jµ+β (x) (1 + β ) 0 Z
(x, t) =
Z 1
0
+
1
0
tµ+1 (1 − t2 )β (x, t) dt ,
(15)
(xξ )2+β Jµ+β +1 (xξ )f (ξt) dξ.
®à¬ã« (15) á¯à ¢¥¤«¨¢ ¯à¨ β > −1 ¨ −µ − 12 < 2β < µ + 32 . ®® ¯®ª § âì, çâ® ¯à¨ β > 0 à¥è¥¨¥ (15) ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ¢¨¤ã (14).
5◦ .
®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï
Z
∞
Z0 ∞
0
tP− 1 +it ( h x)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
th(πt)P− 12 +it ( h x)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
2
(16)
£¤¥ Pµ (x) | áä¥à¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¥ ¤à ¯¥à¢®£® த , i | ¬¨¬ ï ¥¤¨¨æ , ¬®¥â ¡ëâì ¯®áâ஥® ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥«¥à {®ª (á¬. à §¤. 1.6) ¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© Z t √ Z a 2 f (s ) sh s √ sin(xt) y (x ) = ds dt. (17) π
h t − h s 0 0 ¬¥â¨¬, çâ® √ Z x 2
os(ts ) √ P− 1 +it ( h x) = ds , x > 0, 2 π
h x − h s 0 £¤¥ ¨â¥£à « ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠§ë¢ ¥âáï ¨â¥£à «®¬ ¥«¥à . 4.6-3. Ǒਢ¥¤¥¨¥ ¯ àëå ãà ¢¥¨© ª ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬
¤¨¬ ¨§ íä䥪⨢ëå ¬¥â®¤®¢ ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨¥ ¯ àëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த ï¥âáï ¬¥â®¤ ¨å ᢥ¤¥¨ï ª ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (á¬. £« ¢ã 5). ¨¥ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¥ª®â®àë¥ ¯ àë¥ ãà ¢¥¨ï, ª®â®àë¥ ¢áâà¥ç îâáï ¢ § ¤ ç å ¬¥å ¨ª¨ ¨ 䨧¨ª¨, ¨ á¢ï§ ë¥ á ¨¬¨ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த .
âà ¨æ 105
106
1◦ .
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Z
∞
Z0 ∞
0
g (t)J0 (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
tJ0 (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(18)
£¤¥ g (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, J0 (x) | äãªæ¨ï ¥áᥫï ã«¥¢®£® ¯®à浪 , ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z a
y (x) =
ϕ(t) os(xt) dt.
0
(19)
ãªæ¨ï ϕ(x) ¢ à ¢¥á⢥ (19) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :
ϕ(x) −
1 π
Z
a
0
K (x, t)ϕ(t) dt = ψ (x),
0 < x < a,
(20)
ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ï¤à® K (x, t) ¨ ¯à ¢ ï ç áâì ψ (x) ª®â®à®£® ¤ îâáï á®®â®è¥¨ï¬¨
K (x, t) = 2
Z
∞
[1 − g (s )℄ os(xs ) os(ts ) ds ,
0
ψ (x) =
2
d π dx
¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï â ª¨å ãà ¢¥¨© ¨§«®¥ë ¢ £« ¢¥ 5.
2◦ .
Z
x
√
0
tf (t) dt. (21) x2 − t2
¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Z
∞
Z0 ∞
0
tg (t)J0 (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
J0 (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(22)
£¤¥ g (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, J0 (x) | äãªæ¨ï ¥áᥫï ã«¥¢®£® ¯®à浪 , ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z a
y (x) =
ϕ(t) sin(xt) dt.
0
(23)
ãªæ¨ï ϕ(x) ¢ à ¢¥á⢥ (23) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (20), £¤¥
K (x, t) = 2
Z
∞
0
[1 − g (s )℄ sin(xs ) sin(ts ) ds ,
ψ (x) =
2 π
¬¥â¨¬, çâ® ï¤à® K (x, t) | ᨬ¬¥âà¨ç®¥.
3◦ .
Z
x
0
tf (t) √ dt. x2 − t2
¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Z
∞
Z0 ∞
0
g (t)Jµ (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
tJµ (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(24)
£¤¥ g (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, Jµ (x) | äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¯®à浪 µ, ¨¬¥¥â ¢¨¤
y (x) =
r
πx
2
Z
a
0
√
t Jµ− 1 (xt)ϕ(t) dt.
2
(25)
âà ¨æ 106
4.6. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
107
ãªæ¨ï ϕ(x) ¢ à ¢¥á⢥ (25) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (20), ¢ ª®â®à®¬
√ Z ∞ [1 − g (s )℄s Jµ− 12 (xs )Jµ− 12 (ts ) ds , K (x, t) = π xt 0 Z π/2 2 f (0) + µ(sin θ)µ−1 f (x sin θ) + x(sin θ)µ f ′ (x sin θ) dθ , ψ (x) = π 0 df (ξ ) ′ £¤¥ f (x sin θ ) = , ¯à¨ç¥¬ ï¤à® K (x, t) | ᨬ¬¥âà¨ç®¥. dξ ξ=x sin θ
4◦ .
¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Z
∞
Z0 ∞
0
tg (t)Jµ (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
Jµ (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(26)
£¤¥ g (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, Jµ (x) | äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¯®à浪 µ, ¨¬¥¥â ¢¨¤
y (x) =
r
Z
πx
2
a
0
√
t Jµ+ 1 (xt)ϕ(t) dt.
2
(27)
ãªæ¨ï ϕ(x) ¢ à ¢¥á⢥ (27) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (20), ¢ ª®â®à®¬
√ Z K (x, t) = π xt ψ (x) =
∞
0
2x π
Z
[1 − g (s )℄s Jµ+ 21 (xs )Jµ+ 21 (ts ) ds , π/2
0
f (x sin θ)(sin θ)µ+1 dθ,
¯à¨ç¥¬ ï¤à® K (x, t) | ᨬ¬¥âà¨ç®¥.
5◦ .
¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Z
∞
Z0 ∞
0
g (t)Jµ (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
Jµ (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(28)
£¤¥ g (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, Jµ (x) | äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¯®à浪 µ, ¨¬¥¥â ¢¨¤
y (x) = x
r
πx
2
Z
√
a
0
t Jµ− 1 (xt)ϕ(t) dt.
2
(29)
ãªæ¨ï ϕ(x) ¢ à ¢¥á⢥ (29) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (20), ¢ ª®â®à®¬
K (x, t) = x
6◦ .
µ
√
2πt
Z
a x
p
ρ1−µ
ρ2 − x2
ψ (x) =
2
π
x
Z
µ
∞
Z0
[1 − g (s )℄s 3/2 Jµ (ρs )Jµ− 12 (ts ) ds dρ,
a x
p
ρ1−µ
ρ2 − x2
dρ.
¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Z
∞
Z0
0
∞
t2β g (t)Jµ (xt)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
Jµ (xt)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
(30)
âà ¨æ 107
108
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
£¤¥ 0 < β < 1, g (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, Jµ (x) | äãªæ¨ï ¥áá¥«ï ¯®à浪 µ, ¨¬¥¥â ¢¨¤ r Z a √ π 1−β y (x) = x t Jµ+β (xt)ϕ(t) dt. (31)
2
0
ãªæ¨ï ϕ(x) ¢ à ¢¥á⢥ (31) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (20), ¢ ª®â®à®¬
√ Z ∞ [1 − g (s )℄s Jµ+β (xs )Jµ+β (ts ) ds , K (x, t) = π xt 0 r Z π 21−β 2x β 2 f (x sin θ)(sin θ)µ+1 ( os θ)2β−1 dθ, ψ (x) = x (β ) π 0 ¯à¨ç¥¬ ï¤à® K (x, t) | ᨬ¬¥âà¨ç®¥.
7◦ .
¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Z
∞
g (t)P− 1 +it ( h x)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
t th(πt)P− 1 +it ( h x)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
2
Z0 ∞
2
0
(32)
£¤¥ Pµ (x) | áä¥à¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¥ ¤à ¯¥à¢®£® த , i | ¬¨¬ ï ¥¤¨¨æ , g (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
y (x) =
Z
a
os(xt)ϕ(t) dt.
0
(33)
ãªæ¨ï ϕ(x) ¢ à ¢¥á⢥ (33) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (20), ¢ ª®â®à®¬
K (x, t) =
Z
∞
0
[1 − g (s )℄{ os[(x + t)s ℄ + os[(x − t)s ℄} ds ,
ψ (x) =
√
2
π
d dx
¯à¨ç¥¬ ï¤à® K (x, t) | ᨬ¬¥âà¨ç®¥.
8◦ .
Z
x
0
f (s ) sh s ds ,
h x − h s
√
¥è¥¨¥ ¯ ண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
Z
∞
Z0 ∞
0
tg (t)P− 1 +it ( h x)y (t) dt = f (x)
¯à¨
0 < x < a,
th(πt)P− 12 +it ( h x)y (t) dt = 0
¯à¨
a < x < ∞,
2
(34)
£¤¥ Pµ (x) | áä¥à¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¥ ¤à ¯¥à¢®£® த , i | ¬¨¬ ï ¥¤¨¨æ , g (x) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
y (x) =
Z
a
0
sin(xt)ϕ(t) dt.
(35)
ãªæ¨ï ϕ(x) ¢ à ¢¥á⢥ (35) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (20), ¢ ª®â®à®¬ Z ∞ √ Z x 2 f (s ) sh s √ K (x, t)= [1−g (s )℄{ os[(x−t)s ℄− os[(x+t)s ℄} ds , ψ (x)= ds , π 0 h x − h s 0 ¯à¨ç¥¬ ï¤à® K (x, t) | ᨬ¬¥âà¨ç®¥.
: E. ¨âç¬ àè (1948), . ¥¤¤® (1955), . . ä«ï¤ (1977), . . 客, . . ¥à᪨© (1978).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 108
4.7. ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨©
109
4.7. ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© á «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ®á®¡¥®áâìî 4.7-1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த
Z 1
−1
K
x−t λ
y (t) dt = f (x),
−1 6 x 6 1,
(1)
á å à ªâ¥àë¬ ¯ à ¬¥â஬ λ, £¤¥ 0 < λ < ∞. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ï¤à® K = K (x) ï¥âáï ç¥â®© ¥¯à¥à뢮© (¯à¨ x 6= 0) äãªæ¨©, ª®â®à ï ¨¬¥¥â «®£ à¨ä¬¨ç¥áªãî ®á®¡¥®áâì ¯à¨ x → 0 ¨ íªá¯®¥æ¨ «ìë¬ ®¡à §®¬ ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ x → ∞. à ¢¥¨ï á â ª¨¬ ï¤à®¬ ¢®§¨ª î⠯ਠà¥è¥¨¨ à §«¨çëå § ¤ ç ¬¥å ¨ª¨ ᯫ®è®© á।ë ᮠᬥè 묨 £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨. Ǒãáâì f (x) ¯à¨ ¤«¥¨â ¯à®áâà áâ¢ã äãªæ¨©, ¯¥à¢ë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ª®â®àëå 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à á ¯®ª § ⥫¥¬ α > 12 ®â१ª¥ [−1, 1℄. í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥® ¯à¨ «î¡®¬ λ ∈ (0, ∞), ¯à¨ç¥¬ ®® ¨¬¥¥â á«¥¤ãîéãî áâàãªâãàã:
ω (x)
y (x ) = √
1 − x2
(2)
,
£¤¥ ω (x) | ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï, ª®â®à ï ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ª®æ å ®â१ª ¯à¨ x = ±1.* § ä®à¬ã«ë (2) á«¥¤ã¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¥®£à ¨ç¥® ¯à¨ x → ±1. â® ¢ ®¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¡ã¤¥â ãç⥮ ¢ ¯. 4.7-3 ¯à¨ ¯®áâ஥¨¨ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ¢ á«ãç ¥ λ → 0. ¬¥â¨¬, çâ® ¡®«¥¥ ®¡é¨¥ ãà ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¨ ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®¥ç묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢á¥£¤ ¬®® § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå ¯à¨¢¥á⨠ª (1). ¤¥áì ä®à¬ (1) ¢§ïâ ¤«ï 㤮¡á⢠¤ «ì¥©è¥£® ¨§«®¥¨ï. 4.7-2. ¥è¥¨¥ ¯à¨ ¡®«ìè¨å § 票ïå å à ªâ¥à®£® ¯ à ¬¥âà
Ǒãáâì ¤«ï ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯à¨ x → 0:
K (x) = ln |x|
∞ X
n=0
an |x|n +
∞ X
n=0
bn |x|n ,
(3)
£¤¥ a0 6= 0. § ¢ëà ¥¨ï (3) ¢¨¤®, çâ® ¢ ãà ¢¥¨¥ (1) ¯à¨ λ → ∞ ¢å®¤ïâ ¤¢ à §® ¬ áèâ ¡ëå ¡®«ìè¨å ¯ à ¬¥âà λ ¨ ln λ. â®à®© óª¢ §¨¯®áâ®ïë© ¯ à ¬¥âà à áâ¥â áãé¥á⢥® ¬¥¤«¥¥¥, 祬 ¯¥à¢ë© ( ¯à¨¬¥à, ¯à¨ λ = 100 ¨ λ = 1000 ¨¬¥¥¬ ᮮ⢥âá⢥® ln λ ≈ 4, 6 ¨ ln λ ≈ 6, 9). â¡à®á¨¬ ¢ ãà ¢¥¨¨ (1) ¢á¥ á« £ ¥¬ë¥, § âãå î騥 ¯à¨ λ → ∞. ãç¥â®¬ (3), ¤«ï £« ¢®£® (ã«¥¢®£®) ¯à¨¡«¨¥¨ï ¯®«ã稬
Z 1
−1
a0 ln |x − t| − a0 ln λ + b0 y0 (t) dt = f (x),
−1 6 x 6 1.
(4)
* ¢¥á⢠ω(±1) = 0 ¬®£ã⠢믮«ïâáï «¨èì ¢ ¨áª«îç¨â¥«ìëå á«ãç ïå ¯à¨ ®á®¡ëå § 票ïå ¯ à ¬¥âà λ.
âà ¨æ 109
110
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ ¯®¤ëâ¥£à «ì®¬ ¢ëà ¥¨¨ ¥«ì§ï ¡ë«® á®åà ¨âì ⮫쪮 ®¤® á« £ ¥¬®¥, ¯à®¯®à樮 «ì®¥ ln λ (â ª ª ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ó㪮à®ç¥®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡ë«® ¡ë ¥à §à¥è¨¬ë¬). ®áâ â b0 â ª¥ ¤®« ¡ëâì ¢ª«îç¥ ¢ (4), ç⮡ë ãà ¢¥¨¥ ¤«ï £« ¢®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï ¡ë«® ¨¢ ਠâë¬ ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥®à¬¨à®¢ª¨ ¯ à ¬¥âà λ ¢ ãà ¢¥¨¨ (1). «ï ¯®áâ஥¨ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ λ → ∞ 㤮¡® ¯®áâ㯨âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. áᬮâਬ á ç « ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¤¢ã¬ï ¯ à ¬¥âà ¬¨ λ ¨ β :
Z 1
−1
K(x − t, β, λ)y (t) dt = f (x),
K(x, β, λ) =
ln |x| − β
∞ X an n=0
λn
−1 6 x 6 1,
|x|n +
∞ X bn
n=0
λn
(5)
|x|n .
£® à¥è¥¨¥ ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥ ॣã«ïண® ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï ¯® ®¡à âë¬ á⥯¥ï¬ λ (¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ β ). ¨â®£¥ ¤«ï ¯¥à¢ëå N ç«¥®¢ ¯®«ã稬:
y (x, β, λ) =
N X
n=0
λ−n yn (x, β ) + o λ−N .
(6)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï (6) ¢ (5), ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨© yn (x, β ) ¯®«ã稬 ४ãàà¥âãî 楯®çªã ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤ (4):
Z 1
−1
a0 ln |x − t| − a0 β + b0 yn (t, β ) dt = gn (x, β ),
−1 6 x 6 1,
(7)
¯à ¢ë¥ ç á⨠ª®â®àëå gn (x, β ) § ¢¨áïâ ⮫쪮 ®â ¯à¥¤ë¤ãé¨å ç«¥®¢ à §«®¥¨ï y0 , y1 , . . . , yn−1 . ç⥬, çâ® ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥ (5) ¯à¨ β = ln λ ᮢ¯ ¤ ¥â á ãà ¢¥¨¥¬ (1), ¢ ª®â®à®¥ ¯®¤áâ ¢«¥® à §«®¥¨¥ (3). Ǒ®í⮬ã ᨬ¯â®â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯®«ãç ¥âáï á ¯®¬®éìî ¢ëà ¥¨© (6) ¨ (7) ¯à¨ β = ln λ. ®â ªâë¥ § ¤ ç¨ â¥®à¨¨ ã¯à㣮á⨠ç áâ® ¯à¨¢®¤ïâáï ª ãà ¢¥¨î (1), ¢ ª®â®à®¬ ï¤à® ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ (3) ¯à¨ an = 0 ¤«ï ¢á¥å n > 0 ¨ b2m+1 = 0 ¯à¨ m = 0, 1, 2, . . . í⮬ á«ãç ¥ ¢ à¥è¥¨¨ (6) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì yn (x, β ) ≡ 0 ¯à¨ n = 1, 3, 5, . . . «ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å 楫¥© ®¡ëç® ¬®® ®£à ¨ç¨âìáï ã¤¥à ¨¥¬ ç«¥®¢ ¯®à浪 ¤® λ−4 . 4.7-3. ¥è¥¨¥ ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå å à ªâ¥à®£® ¯ à ¬¥âà
Ǒਠ«¨§¥ ¯à¥¤¥«ì®£® á«ãç ï λ → 0 ãç⥬ ®á®¡¥®á⨠à¥è¥¨ï ª®æ å ®â१ª −1 6 x 6 1 (á¬. ä®à¬ã«ã (2)). «ï í⮣® à áᬮâਬ ¢á¯®¬®£ ⥫ìãî á¨á⥬㠤¢ãå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
Z −1 x−t K y1 (t) dt = f1 (x) + y2 (t) dt, λ −∞ −1 Z 1 Z ∞ x−t x−t y2 (t) dt = f2 (x) + K y1 (t) dt, K λ λ −∞ 1 Z
∞
K
x−t λ
−1 6 x < ∞, −∞ < x 6 1.
Ǒ¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ ᯮᮡáâ¢ã¥â ¢ë¤¥«¥¨î ®á®¡¥®á⨠à¥è¥¨ï ¯à¨ x ¢â®à®¥ | ¢ë¤¥«¥¨î ®á®¡¥®á⨠à¥è¥¨ï ¯à¨ x = +1, ãªæ¨¨ f1 (x) ¨ f2 (x) â ª®¢ë, çâ®
f1 (x) + f2 (x) = f (x), −1 6 x 6 1, ¯à¨ x → ∞, f1 (x) = O e−α1 x f2 (x) = O eα2 x ¯à¨ x → −∞,
(8)
= −1,
(9)
âà ¨æ 110
111
4.7. ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨©
£¤¥ α1 > 0, α2 > 0. Ǒਠ¢ë¯®«¥¨¨ ¯¥à¢®£® ãá«®¢¨ï (9) à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ®âë᪨¢ ¥âáï ª ª á㬬 à¥è¥¨© ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© (8), â. ¥.
y (x) = y1 (x) + y2 (x),
−1 6 x 6 1.
(10)
⬥⨬, çâ® ¢ ᨫ㠤¢ãå ¯®á«¥¤¨å ãá«®¢¨© (9) á¯à ¢¥¤«¨¢ë á®®â®è¥¨ï
y1 (x) = O e−β1 x y2 (x) = O eβ2 x
¯à¨ ¯à¨
x → ∞,
(11)
x → −∞,
£¤¥ β1 > 0, β2 > 0. ¯®¬¨¬, çâ® ï¤à® K (x) ï¥âáï ç¥â®© äãªæ¨¥©. Ǒ®í⮬㠥᫨ äãªæ¨ï f (x) ¢ ¨â¥£à «ì®¬ ãà ¢¥¨¨ (1) ç¥â ï ¨«¨ ¥ç¥â ï, â® ¢ á¨á⥬¥ (8) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì* f1 (x) = ±f2 (−x), y1 (x) = ±y2 (−x). (12) ®¡®¨å íâ¨å á«ãç ïå á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (8) ¯ã⥬ ¯¥à¥å®¤ ª ®¢ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ ᢮¤¨âáï ª ®¤®¬ã ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î
Z
∞
0
K (z − τ )w(τ ) dτ
= F (z ) ±
Z
∞
2/λ
K (2/λ − z − τ )w(τ ) dτ,
0 6 z < ∞,
(13)
¢ ª®â®à®¬ ¨á¯®«ì§®¢ ë á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï:
z
=
x+1 , λ
τ
= t+1 , λ
w(τ ) = y (t),
F (z ) =
1 λ
f1 (x).
(14)
ãç¥â®¬ ᢮©á⢠ï¤à K (x) (á¬. ¯. 4.7-1) ¨ ¯¥à¢®£® á®®â®è¥¨ï (11) ¬®® ¯®«ãç¨âì à ¢®¬¥àãî ¯® τ ᨬ¯â®â¨ç¥áªãî ®æ¥ªã
I (w) ≡
Z
∞
2/λ
K (2/λ − z − τ )w(τ ) dτ
=O
e−2β1 /λ .
(15)
®£« á® (15), ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (13) ¯à¨ ¬ «ëå λ ¬®® à¥è âì ¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© ¯® á奬¥
Z
∞
0
K (z − τ )wn (τ ) dτ
= F (z ) ± I
wn−1 ,
n = 1, 2, . . . ,
(16)
®â¡à áë¢ ï ¢ £« ¢®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¨â¥£à « I (w0 ) ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨. Ǒ®«ãç¥ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த (16) à¥è îâáï ¢ § ¬ªã⮬ ¢¨¤¥ (á¬. ¯. 4.5-1). § ä®à¬ã« (10), (12) ¨ (14) á«¥¤ã¥â, çâ® £« ¢ë© ç«¥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® à §«®¥¨ï à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ λ → 0 ¨¬¥¥â ¢¨¤
y (x) = w1
1+x λ
± w1
1−x λ
,
(17)
£¤¥ w1 = w1 (τ ) | à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (16) ¯à¨ n = 1 ¨ w0 ≡ 0. «ï ¯à ªâ¨ç¥áª¨å 楫¥© ®¡ëç® ¡ë¢ ¥â ¤®áâ â®ç® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ã (17).
* ä®à¬ã« å (12), (13), (16) ¨ (17) § ª ¯«îá ¡¥à¥âáï ¤«ï ç¥â®© äãªæ¨¨ f (x), ¬¨ãá| ¤«ï ¥ç¥â®© äãªæ¨¨ f (x).
âà ¨æ 111
112
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
4.7-4. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ⥮ਨ ã¯à㣮áâ¨
ª®â ªâëå § ¤ ç å ⥮ਨ ã¯à㣮á⨠ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (1), ¢ ª®â®à®¬ ï¤à® § ¤ ¥âáï á ¯®¬®éìî ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥
K (x) =
Z
∞
0
L(u) u
os(ux) du.
¤¥áì äãªæ¨ï L(u) ¥¯à¥àë¢ ¨ ¯®«®¨â¥«ì ¯à¨ u ∈ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ à ¢¥áâ¢
(18)
(0, ∞), ¯à¨ç¥¬ ¤«ï ¥¥
L(u) = Au + O(u3 ) ¯à¨ u → 0, N− X1 Bn u−n + O u−N ¯à¨ u → ∞, L(u) = n=0
(19)
£¤¥ A > 0, B0 > 0. § ä®à¬ã«ë (18) á«¥¤ã¥â, çâ® ï¤à® ï¥âáï ç¥â®© äãªæ¨¥©: K (x) = K (−x). ¡ëç® áç¨â ¥âáï, çâ® L(u)u−1 ¨ u[L(u)℄−1 ª ª äãªæ¨¨ ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£® w = u + iv ᮮ⢥âá⢥® ॣã«ïàë ¢ ¯®«®á¥ |v| 6 γ1 ¨ ¢ ¯®«®á¥ |v| 6 γ2 . âáî¤ , ¢ ç áâ®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® ï¤à® K (x) ã¡ë¢ ¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¥ á« ¡¥¥, 祬 exp(−γ1 |t|). § ä®à¬ã« (18) ¨ (19) á«¥¤ã¥â, çâ® ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x) ¨¬¥¥â «®£ à¨ä¬¨ç¥áªãî ®á®¡¥®áâì ¯à¨ x = 0. Ǒਠí⮬ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (3), £¤¥ an = 0 ¯à¨ n = 1, 3, 5, . . . ª¨¬ ®¡à §®¬ ï¤à®, § ¤ ®¥ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë (18), ¨¬¥¥â ⥠¥ á ¬ë¥ å à ªâ¥àë¥ ®á®¡¥®áâ¨, ª®â®àë¥ ¯à¥¤¯®« £ «¨áì ¢ë¯®«¥ë¬¨ ¤«ï ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1). Ǒ®í⮬㠤«ï ᨬ¯â®â¨ç¥áª®£® «¨§ ãà ¢¥¨ï (1) á ï¤à®¬ (18) ¯à¨ λ → ∞ ¨ λ → 0 ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì १ã«ìâ âë ¯¯. 4.7-2 ¨ 4.7-3.
: . . ®à®¢¨ç, . . «¥ªá ¤à®¢, . . ¡¥èª® (1974), . . «¥ªá ¤à®¢,
. . ®¢ «¥ª® (1986), . . «¥ªá ¤à®¢ (1993).
•
¨â¥à âãà
4.8. ¥â®¤ë ॣã«ïਧ 樨 4.8-1. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¢à¥â쥢
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த (á¬. â ª¥ § ¬¥ç ¨¥ 3 ¨§ ¯. 5.6-5)
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b,
(1)
£¤¥ f (x) ∈ L2 (a, b), y (x) ∈ L2 (a, b), ï¤à® K (x, t) | ª¢ ¤à â¨ç® á㬬¨à㥬®¥, ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ¨ ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®¥ (á¬. ¯. 5.6-2). ¢ë¡à ëå ª« áá å äãªæ¨© ¨ ï¤¥à § ¤ ç ®âë᪠¨ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (1) ï¥âáï ¥ª®à४⮠¯®áâ ¢«¥®©, â. ¥. ¥ãá⮩稢®© ¯® ®â®è¥¨î ª ¬ «ë¬ ¨§¬¥¥¨ï¬ ¯à ¢®© ç á⨠¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ®£« á® ¬¥â®¤ã ॣã«ïਧ 樨 ¢à¥â쥢 àï¤ã á ãà ¢¥¨¥¬ (1) à áᬮâਬ â ª¥ ॣã«ïਧ®¢ ®¥ ãà ¢¥¨¥
εyε (x) +
Z
b a
K (x, t)yε (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b,
(2)
£¤¥ ε > 0 | ¯ à ¬¥âà ॣã«ïਧ 樨, ª®â®à®¥ ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¨ ¬®¥â ¡ëâì à¥è¥® ¬¥â®¤ ¬¨, ¨§«®¥ë¬¨ ¢ £« ¢¥ 5, ¯à¨ç¥¬ ¥£® à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥®.
âà ¨æ 112
113
4.8. ¥â®¤ë ॣã«ïਧ 樨
¤ ¢ ï ¢ ãà ¢¥¨¨ (2) ¯ à ¬¥âà ε ¤®áâ â®ç® ¬ «ë¬, ©¤¥¬ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï yε (x) ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ íâ® à¥è¥¨¥ ¢ ãà ¢¥¨¥ (1). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
Z
b
K (x, t)yε (t) dt = fε (x),
a
a 6 x 6 b.
(3)
᫨ ¯®«ãç¥ ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ äãªæ¨ï fε (x) ¬ «® ®â«¨ç ¥âáï ®â f (x), â. ¥. kf (x) − fε (x)k 6 δ, (4) £¤¥ δ | ¥ª®â®à®¥ § à ¥¥ ¨§¢¥á⮥ ¬ «®¥ ¯®«®¨â¥«ì®¥ ç¨á«®, â® à¥è¥¨¥ fε (x) áç¨â ¥âáï ¤®áâ â®ç® å®à®è¨¬ ¯à¨¡«¨¥ë¬ à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (1). ¡ëç® ¯ à ¬¥âà δ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®£à¥è®áâì ¨á室ëå ¤ ëå, ª®£¤ ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï (1) § ¤ ¥âáï ¨«¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ íªá¯¥à¨¬¥â¥ á ¥ª®â®à®© â®ç®áâìî. á«ãç ¥, ª®£¤ ¯à¨ § ¤ ®¬ ε ãá«®¢¨¥ (4) ¥ ¢ë¯®«ï¥âáï, ¢ë¡¨à ¥âáï ®¢®¥ § 票¥ ¯ à ¬¥âà ॣã«ïਧ 樨, ¨ ¯®¢â®àï¥âáï ®¯¨á ï ¯à®æ¥¤ãà . á«¥¤ãî饬 ¯ãªâ¥ ®¯¨á ¬¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨, ¯à¨£®¤ë© ¤«ï ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬묨 ï¤à ¬¨. 4.8-2. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¨å®®¢
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
(5)
c 6 x 6 d.
㤥¬ ¯®« £ âì, çâ® K (x, t) ¥áâì «î¡ ï ª¢ ¤à â¨ç® á㬬¨à㥬 ï ¢ ®¡« á⨠{a 6 t 6 b, c 6 x 6 d} äãªæ¨ï, f (x) ∈ L2 (c, d) ¨ y (x) ∈ L2 (a, b). ¤ ç ®âë᪠¨ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (5) â ª¥ ï¥âáï ¥ª®à४⮠¯®áâ ¢«¥®© ¢ 㪠§ ®¬ ¢ëè¥ á¬ëá«¥. ®£« á® ¬¥â®¤ã ॣã«ïਧ 樨 ¨å®®¢ (ã«¥¢®£® ¯®à浪 ), àï¤ã á ãà ¢¥¨¥¬ (5) à áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (á¬. £« ¢ã 5)
εyε (x) + £¤¥
Z
K ∗ (x, t) = K ∗ (t, x) =
b a
Z
K ∗ (x, t)yε (t) dt = f ∗ (x), d
c
K (s , x)K (s , t) ds ,
a 6 x 6 b,
f ∗ (x) =
Z
d c
(6)
K (s , x)f (s ) ds , (7)
ç¨á«® ε > 0 | ¯ à ¬¥âà ॣã«ïਧ 樨. à ¢¥¨¥ (6) §ë¢ ¥âáï ॣã«ïਧ®¢ ë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬, ¯à¨ç¥¬ ¥£® à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥®. ¤ ¢ ï ¢ ãà ¢¥¨¨ (6) ¯ à ¬¥âà ε ¤®áâ â®ç® ¬ «ë¬, ©¤¥¬ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï yε (x) ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ íâ® à¥è¥¨¥ ¢ ãà ¢¥¨¥ (5). ®£¤
Z
b a
K (x, t)yε (t) dt = fε (x),
c 6 x 6 d.
(8)
à ¢¨¢ ï ©¤¥ãî ¯à ¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï fε (x) á § ¤ ®© f (x) ¯® ä®à¬ã«¥ (4) ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¯¨á ë¬ ¢ëè¥ ¯à®á⥩訬 «£®à¨â¬®¬, «¨¡® á®ç⥬ ¯®«ã祮¥ ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ yε (x) 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ìë¬, «¨¡® ¯à®¤®«¨¬ ¯®¨áª ¯à¨ ®¢®¬ § 票¨ ¯ à ¬¥âà ॣã«ïਧ 樨. ëè¥ ¨§«®¥ë ¯à®á⥩訥 ¯à¨æ¨¯ë ¢ë¡®à ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த . ®«¥¥ ᮢ¥àè¥ë¥ ¨ á«®ë¥ «£®à¨â¬ë ¬®® ©â¨ ¢ æ¨â¨à㥬®© ¨¥ «¨â¥à âãà¥.
: . . ¨å®®¢, . . àᥨ (1979), . . ¢à¥â쥢, . . ®¬ ®¢, . Ǒ. ¨è â᪨© (1980), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986).
•
¨â¥à âãà
8 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 113
5. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
5.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï 5.1-1. à ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¨ ãà ¢¥¨ï á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî
¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¨¬¥îâ ä®à¬ã
y (x ) − λ
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
(1)
£¤¥ y (x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï (a 6 x 6 b), K (x, t) | ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, f (x) | ¥ª®â®à ï ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, ª®â®à ï §ë¢ ¥âáï ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬ ¨«¨ ¯à ¢®© ç áâìî ãà ¢¥¨ï (1). «ï 㤮¡á⢠«¨§ ¢ ¨â¥£à «ì®¬ ãà ¢¥¨¨ (1) ¯® âà ¤¨æ¨¨ ¯à¨ïâ® ¢ë¤¥«ïâì ç¨á«®¢®© ¯ à ¬¥âà λ, ª®â®àë© §ë¢ îâ ¯ à ¬¥â஬ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. « ááë à áᬠâਢ ¥¬ëå äãªæ¨© ¨ ï¤¥à ¡ë«¨ ®¯à¥¤¥«¥ë à ¥¥ ¢ ¯¯. 4.1-1 ¨ 4.1-2. ⬥⨬, çâ® ãà ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢¨¤ (1), ¨¬¥î騥 ä।£®«ì¬®¢ë ï¤à ¨«¨ ï¤à á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî, §ë¢ îâáï ᮮ⢥âá⢥® ãà ¢¥¨ï¬¨ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¨«¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî ¢â®à®£® த . ¨á«® λ §ë¢ ¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ç¨á«®¬ ¨«¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ § 票¥¬ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (f (x) ≡ 0). ¬® ¥ íâ® ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ᮡá⢥®© äãªæ¨¥© ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã λ.
᫨ λ ï¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ç¨á«®¬, â® ¢¥«¨ç¨ 1/λ §ë¢ ¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ç¨á«®¬ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1). Ǒà ¢¨«ìë¬ ¨«¨ ॣã«ïàë¬ § 票¥¬ ¯ à ¬¥âà λ §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ¥£® § 票¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ 㯮¬ïã⮥ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥. ®£¤ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ §ë¢ îâ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬¨ ç¨á« ¬¨ ¨ ᮡá⢥묨 äãªæ¨ï¬¨ ï¤à K (x, t). ¤à® K (x, t) ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) §ë¢ ¥âáï ¢ëத¥ë¬, ¥á«¨ ®® ¨¬¥¥â ¢¨¤ K (x, t) = g1 (x)h1 (t)+ · · · + gn (x)hn (t), à §®áâë¬, ¥á«¨ ®® § ¢¨á¨â ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢: K (x, t) = K (x − t), ᨬ¬¥âà¨çë¬, ¥á«¨ ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î K (x, t) = (t, x). â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, ¯®«ã祮¥ ¨§ (1) § ¬¥®© ï¤à K (x, t) K (t, x), §ë¢ ¥âáï á®î§ë¬ á (1) ¨«¨ âà ᯮ¨à®¢ ë¬ ª (1). ¬¥ç ¨¥ 1. Ǒ¥à¥¬¥ë¥ t ¨ x ¬®£ãâ ¨§¬¥ïâìáï ¢ à §«¨çëå ¨â¥à¢ « å ( ¯à¨¬¥à, a 6 t 6 b ¨ c 6 x 6 d). «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¤ «¥¥ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® c = a ¨ d = b (í⮣® ¢á¥£¤ ¬®® ¤®¡¨âìáï «¨¥©®© ¯®¤áâ ®¢ª®© x = αx +β á ¯®¬®éìî ¤«¥ 饣® ¢ë¡®à ¯®áâ®ïëå α ¨ β ). ¬¥ç ¨¥ 2. «ãç ©, ª®£¤ ¯à¥¤¥«ë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï a ¨/¨«¨ b ¬®£ãâ ¡ëâì ¡¥áª®¥ç묨, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¨áª«îç ¥âáï, ® ¯à¨ í⮬ á«¥¤ã¥â ¢¨¬ â¥«ì® ¯à®¢¥àïâì ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨ï ª¢ ¤à â¨ç®© ¨â¥£à¨à㥬®á⨠ï¤à K (x, t) ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}.
âà ¨æ 114
115
5.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï
5.1-2. âàãªâãà à¥è¥¨©
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ä®à¬¥
y (x) = f (x) + λ
Z
b a
R(x, t; λ)f (t) dt,
£¤¥ १®«ì¢¥â R(x, t; λ) ¥ § ¢¨á¨â ®â ᢮¡®¤®£® ç«¥ f (x) ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ï¤à®¬ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ¥§®«ì¢¥â ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ (1) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¢ã¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬
R(x, t; λ) = K (x, t) + R(x, t; λ) = K (x, t) +
Z Z
b
a b a
K (x, s )R(s , t; λ) ds , K (s , t)R(x, s ; λ) ds ,
¢ ª®â®àëå ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¥¤¥âáï ¯® à §«¨çë¬ ¯ à ¬ ¯¥à¥¬¥ëå ï¤à ¨ १®«ì¢¥âë. 5.1-3. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த
â¥£à «ì묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ ⨯ ᢥà⪨ (á¬. â ª¥ ¯. 4.1-3) §ë¢ îâáï ãà ¢¥¨ï, ª®â®àë¥ ¯à¨ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ¨¬ ¥ª®â®à®£® ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨ â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ ¤«ï í⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯à¨¢®¤ïâáï ª «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¤«ï ¨§®¡à ¥¨© ¨«¨ ª ªà ¥¢ë¬ § ¤ ç ¬ ⥮ਨ «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨©. áᬮâਬ ãà ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த , á¢ï§ ë¥ á ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥. â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢á¥© ®á¨ (¥£® §ë¢ îâ ¨®£¤ ãà ¢¥¨¥¬ ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த á ®¤¨¬ ï¤à®¬) ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z
y (x) +
∞
−∞
K (x − t)y (t) dt = f (x),
(2)
−∞ < x < ∞,
£¤¥ f (x) ¨ K (x) | ¨§¢¥áâë¥ ¯à ¢ ï ç áâì ¨ ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, y (x) | ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï. â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¯®«ã®á¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z
y (x) +
∞
0
K (x − t)y (t) dt = f (x),
à ¢¥¨¥ (3) §ë¢ ¥âáï â ª¥
0 < x < ∞.
(3)
®¤®áâ®à®¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¢â®à®£® த
¨«¨
¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ᢥà⪨ á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨ ¢â®à®£® த
¢¨¤
Z
∞
Z 0
K2 (x−t)y (t) dt = f (x), −∞ < x < ∞, (4) 0 −∞ £¤¥ K1 (x) ¨ K2 (x) | ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (4). « áá äãªæ¨© ¨ 拉à y (x)+
K1 (x−t)y (t) dt +
¨¬¥¥â
¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢¢¥¤¥ à ¥¥ ¢ ¯. 4.1-3.
5.1-4. Ǒ àë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த
Ǒ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த
ᢥà⪨) ¨¬¥¥â ¢¨¤
á à §®áâ묨 ï¤à ¬¨ (⨯
8*
âà ¨æ 115
116
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) + y (x) +
Z
∞
Z−∞ ∞ −∞
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
K1 (x − t)y (t) dt = f (x),
0 < x < ∞,
K2 (x − t)y (t) dt = f (x),
−∞ < x < 0,
(5)
£¤¥ ®¡®§ 票ï, ª« áá äãªæ¨© ¨ 拉à ᮢ¯ ¤ îâ á ¢¢¥¤¥ë¬¨ ¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢ ¯. 4.1-3. Ǒ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த ¢ ¤®áâ â®ç® ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z
y (x) + y (x) +
∞
Z a∞ a
K1 (x, t)y (t) dt = f1 (x),
a < x < b,
K2 (x, t)y (t) dt = f2 (x),
b < x < ∞,
(6)
£¤¥ f1 (x), f2 (x) ¨ K1 (x, t), K2 (x, t) | ¨§¢¥áâë¥ ¯à ¢ë¥ ç á⨠¨ ï¤à ãà ¢¥¨ï (6), y (x) | äãªæ¨ï, ¯®¤«¥ é ï ®¯à¥¤¥«¥¨î. ª¨¥ ãà ¢¥¨ï ¬®® ¨áá«¥¤®¢ âì ¬¥â®¤ ¬¨ à §«¨çëå ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© á ¯à¨¢¥¤¥¨¥¬ ª ªà ¥¢ë¬ § ¤ ç ¬ ⥮ਨ «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨©, â ª¥ ¤à㣨¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ à §¢¨â묨 ¤«ï ¯ àëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த (á¬., ¯à¨¬¥à, . ¥¤¤® (1955), . . ä«ï¤ (1977)). â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ ¨§ (2){(5) § ¬¥®© ï¤à K (x − t) K (t − x), §ë¢ îâáï á®î§ë¬¨ ¨¬¨ ¨«¨ âà ᯮ¨à®¢ 묨 ª ¨¬.
᫨ ¯à ¢ë¥ ç á⨠ãà ¢¥¨© (1){(6) ⮤¥á⢥® à ¢ë ã«î, â® ¨å §ë¢ îâ ®¤®à®¤ë¬¨.
᫨ ¥ ¯à ¢ë¥ ç á⨠¥ ®¡à é îâáï ¢ ã«ì ¢áî¤ã ¢ ®¡« á⨠¨å ®¯à¥¤¥«¥¨ï, â® ãà ¢¥¨ï (1){(6) §ë¢ îâ ¥®¤®à®¤ë¬¨. ¬¥ç ¨¥ 3. ãà ¢¥¨ï¬ (2){(5) ¯à¨¢®¤ïâáï ¥ª®â®àë¥ ãà ¢¥¨ï, ï¤à ª®â®àëå ᮤ¥à ⠯ந§¢¥¤¥¨¥ ¨«¨ ®â®è¥¨¥ ¯¥à¥¬¥ëå x ¨ t. ¬¥ç ¨¥ 4. à ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ (2){(5) ¨®£¤ § ¯¨áë¢ îâ ¢ ä®à¬¥, √ £¤¥ ¯¥à¥¤ ¨â¥£à « ¬¨ áâ ¢ïâ ¬®¨â¥«ì 1/ 2π . ¬¥ç ¨¥ 5.
᫨ ª« áá äãªæ¨© ¨ ï¤¥à ¤«ï ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ (¢ ç áâ®áâ¨, ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ) ®â«¨ç ¥âáï ®â ¢¢¥¤¥®£® ¢ ¯. 4.1-3, â® íâ® ¡ã¤¥â ®á®¡® ®£®¢ ਢ âìáï ¢ ª ¤®¬ á«ãç ¥ (á¬. à §¤. 5.10 ¨ 5.11).
: . ¨ ठ(1933), . ãàá (1934), . . îâæ (1934), . . Ǒਢ «®¢ (1935), . . Ǒ¥â஢᪨© (1951), . . ३ (1958), . . ¨å«¨ (1959), . ਪ®¬¨ (1960), . ®¡« (1962), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à á®á¥«ì᪨©, . . ©¨ªª®, Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª® ¨ ¤à. (1969), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . « ä (1970), J. A. Co hran (1972), . . ¬¨à®¢ (1974), . . ®«¬®£®à®¢, . . ®¬¨ (1976), . . â®à®¢¨ç, . Ǒ. ª¨«®¢ (1977), . . 客, . . ¥à᪨© (1978), . ¨áá, . ñª¥ä «ì¢¨- ¤ì (1979), . . ã⪮¢áª¨© (1979), L. M. Delves, J. L. Mohamed (1985), A. J. Jerry (1985), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986), A. Golberg (1990), D. Porter, D. S. G. Stirling (1990), C. Corduneanu (1991), J. Kondo (1991), S. Prossdorf, B. Silbermann (1991), W. Ha kbus h (1995), R. P. Kanwal (1996), K. E. Atkinson (1997), . . Ǒ®«ï¨, . . ¨à®¢ (1998), . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨ (1998), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998, 1999).
•
¨â¥à âãà
5.2. à ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ 5.2-1. Ǒà®á⥩襥 ¢ëத¥®¥ ï¤à®
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த á ¯à®á⥩訬
âà ¨æ 116
5.2. à ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬
117
¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬
y (x) − λ
Z
b a
g (x)h(t)y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b.
(1)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¨é¥¬ ¢ ¢¨¤¥
y (x) = f (x) + λAg (x).
(2)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨ï (2) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1), ¯®á«¥ ¯à®áâëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì Z b Z b
1−λ
A
h(t)g (t) dt
a
=
f (t)h(t) dt.
a
(3)
ç¨â ¥âáï, çâ® ®¡ ¨â¥£à « , ¢å®¤ï騥 ¢ (3), áãé¥áâ¢ãîâ. ®á®¢ ¨¨ (1){(3), á ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ¥¤¨á⢥®¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ç¨á«® λ1 ãà ¢¥¨ï (1) ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬
λ1
=
¯®«ã稬 á«¥¤ãî騥 १ã«ìâ âë.
Z
b
h(t)g (t) dt
a
−1
(4)
,
᫨ λ = 6 λ1 , â® ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1), ª®â®à®¥ ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
1◦ .
y (x) = f (x) +
2◦ .
λλ1 f1 g (x), λ1 − λ
f1
=
Z
b a
f (t)h(t) dt.
(5)
= λ1 ¨ f1 = 0, â® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥ y = f (x) + Cy1 (x), y1 (x) = g (x), (6) £¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï, y1 (x) | ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî
᫨ λ
é ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã λ1 .
3◦ .
᫨ λ
= λ1 ¨ f1 6= 0 à¥è¥¨ï ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
5.2-2. ëத¥®¥ ï¤à® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥
â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
y (x) − λ
Z
b a
"
n X
k=1
#
gk (x)hk (t) y (t) dt = f (x),
n = 2, 3, . . .
(7)
Ǒ¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (7) ¢ ä®à¬¥
y (x) = f (x) + λ
n X
k=1
gk (x)
Z
b a
hk (t)y (t) dt,
n = 2, 3, . . .
(8)
Ǒ।¯®« £ ï, çâ® ãà ¢¥¨¥ (8) ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥, á ãç¥â®¬ ®¡®§ 票ï
Ak ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
=
Z
b a
hk (t)y (t) dt
y (x) = f (x) + λ
n X
k=1
Ak gk (x),
(9)
(10)
âà ¨æ 117
118
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt = f (x)
¨§ ª®â®à®£® ¢¨¤®, çâ® à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ᢮¤¨âáï ª ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯®áâ®ïëå Ak . ¬®¨¬ ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(10) hm (x) ¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯® x ¢ ¯à¥¤¥« å ®â a ¤® b. ®£¤ ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ª®â®à®© 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª®íää¨æ¨¥âë Ak :
Am − λ £¤¥ smk
=
Z
b a
n X
k=1
hm (x)gk (x) dx,
smk Ak
fm
=
= fm ,
Z
b a
m = 1, 2, . . . , n,
f (x)hm (x) dx,
m, k
= 1, 2, . . . , n.
(11)
(12)
Ǒਠ¢ëç¨á«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ smk ¨ fm ¤«ï ª®ªà¥âëå ¢ëத¥ëå ï¤¥à ¬®® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï â ¡«¨æ ¬¨ ¨â¥£à «®¢ ¨§ á¯à ¢®ç¨ª®¢ . . à ¤è⥩ , . . 먪 (1975), . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ , . . àë窮¢ , . . à¨ç¥¢ (1981, 1983, 1986).
᫨ ¯®áâ஥® à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (11), â® ¯®áâ஥® ¨ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ (7). ç¥¨ï ¯ à ¬¥âà λ, ¯à¨ ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (11) ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì, ïîâáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬¨ ç¨á« ¬¨ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (7), ¯à¨ç¥¬ ¨å ஢® n èâ㪠á ãç¥â®¬ ªà â®áâ¨. ¥¯¥àì ¬®® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ®á®¢ë¥ à¥§ã«ìâ âë ® à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨ï (7).
1◦ .
᫨ λ | ¯à ¢¨«ì®¥, â® ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬, ª®â®à®¥ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥ (10), £¤¥ ª®íää¨æ¨¥âë Ak ïîâáï à¥è¥¨¥¬ á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (11). Ǒ®áâ®ïë¥ Ak ¬®® ®¯à¥¤¥«¨âì, ¯à¨¬¥à, ¯® ä®à¬ã« ¬ à ¬¥à .
᫨ λ | å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ¨ f (x) ≡ 0, â® à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤
2◦ .
y (x ) =
p X i=1
Ci yi (x),
(13)
£¤¥ Ci | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥, yi (x) | «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ï¤à , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã λi :
yi (x) =
n X
k=1
Ak(i) gk (x).
(14)
¤¥áì ¯®áâ®ïë¥ Ak(i) á®áâ ¢«ïîâ p (p 6 n) «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© á«¥¤ãî饩 ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©:
Am(i) − λ
n X
k=1
smk Ak(i)
= 0;
m = 1, . . . , n,
i = 1, . . . , p.
(15)
3◦ .
᫨ λ | å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ¨ f (x) 6= 0, â® ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠¥®¤®à®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (7) ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï f (x) 㤮¢«¥â¢®àï« p ãá«®¢¨ï¬ n X
k=1
Bk(i) fk
= 0,
i = 1, . . . , p,
p 6 n.
(16)
âà ¨æ 118
5.2. à ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬
119
¤¥áì ¯®áâ®ïë¥ Bk(i) á®áâ ¢«ïîâ p «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, âà ᯮ¨à®¢ ®© ª á¨á⥬¥ (15). í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (7) ¨¬¥¥â ¢¨¤
y (x) = y0 (x) +
p X i=1
Ci yi (x),
(17)
£¤¥ y0 (x) | ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (7), á㬬 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (á¬. 2◦ ). ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ f (x) 6= 0, ® ¢á¥ fk à ¢ë ã«î, â®
y (x ) = f (x ) + Ǒਬ¥à.
¥è¨¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ Z
y (x ) − λ
π
−π
=
i=1
Ci yi (x).
(18)
(x os t + t2 sin x + os x sin t)y(t) dt = x,
¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票ï Z A1
p X
π
−π
y (t) os t dt,
A2
=
Z
π −π
t2 y (t) dt,
A3
=
−π 6 x 6 π. Z
π −π
y (t) sin t dt,
£¤¥ A1 , A2 , A3 | ¥¨§¢¥áâë¥ ¯®áâ®ïë¥. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (19) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ y (x)
= A1 λx + A2 λ sin x + A3 λ os x + x.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (21) ¢ à ¢¥á⢠(20), ¯®«ã稬 Z A1
=
A2
=
A3
=
π
Z −π π Z −π π −π
(19)
(20) (21)
(A1 λt + A2 λ sin t + A3 λ os t + t) os t dt, (A1 λt + A2 λ sin t + A3 λ os t + t)t2 dt, (A1 λt + A2 λ sin t + A3 λ os t + t) sin t dt.
ëç¨á«ïï ¢å®¤ï騥 ¢ í⨠ãà ¢¥¨ï ¨â¥£à «ë, ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï 室¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå A1 , A2 , A3 : A1 − λπA3 A2 + 4λπA3 −2λπA1 − λπA2 + A3
¯à¥¤¥«¨â¥«ì í⮩ á¨áâ¥¬ë ®â«¨ç¥ ®â ã«ï: (λ) =
1 0 −λπ 1 4λπ 0 −2λπ −λπ 1
= 0, = 0, = 2π.
(22)
= 1 + 2λ2 π2 6= 0.
ª¨¬ ®¡à §®¬, á¨á⥬ (22) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ A1
=
2λπ2 , 1 + 2λ2 π2
A2
=−
8λπ2 , 1 + 2λ2 π2
A3
=
2π . 1 + 2λ2 π2
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ©¤¥ë¥ § 票ï A1 , A2 , A3 ¢ (21), ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¤ ®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ y (x)
=
2λπ (λπx − 4λπ sin x + os x) + x. 1 + 2λ2 π2
: . . ¨å«¨ (1959), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . à ¤è⥩, . . 먪 (1975), A. J. Jerry (1985), . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢, . . àë窮¢, . . à¨ç¥¢ (1981, 1983, 1986).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 119
120
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
5.3. ¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ ¯ à ¬¥âà . ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© 5.3-1. â¥à¨à®¢ ë¥ ï¤à
Ǒãáâì ¨¬¥¥¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த
y (x ) − λ
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b.
(1)
㤥¬ ¨áª âì ¥£® à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ ¯® á⥯¥ï¬ ¯ à ¬¥âà λ:
y (x) = f (x) +
∞ X
n=1
λn ψn (x).
(2)
Ǒ®¤áâ ¢¨¬ àï¤ (2) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1). Ǒà¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå λ, ¯®«ã稬 ४ãàà¥âãî á¨á⥬ã á®®â®è¥¨© ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨© ψn (x):
ψ1 (x) = ψ2 (x) = ψ3 (x) = ¤¥áì
Z Z Z
b a b a b a
K (x, t)f (t) dt, K (x, t)ψ1 (t) dt = K (x, t)ψ2 (t) dt =
Kn (x, t) =
Z
b a
Z Z
b a b a
K2 (x, t)f (t) dt, K3 (x, t)f (t) dt,
...
K (x, z )Kn−1 (z, t) dz,
(3)
£¤¥ n = 2, 3, . . ., ¯à¨ç¥¬ K1 (x, t) ≡ K (x, t). ãªæ¨¨ Kn (x, t), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯® ä®à¬ã« ¬ (3), §ë¢ îâáï ¨â¥à¨à®¢ 묨 ï¤à ¬¨. «ï ¨å á¯à ¢¥¤«¨¢® á®®â®è¥¨¥ Z b
Kn (x, t) =
a
Km (x, s )Kn−m (s , t) ds ,
(4)
£¤¥ m | «î¡®¥ âãà «ì®¥ ç¨á«®, ¬¥ì襥 n. â¥à¨à®¢ ë¥ ï¤à Kn (x, t) ¬®® ¥¯®á।á⢥® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ ¤ ®¥ ï¤à® K (x, t) ¯® ä®à¬ã«¥
Kn (x, t) =
Z
|a
b
Z
b
··· a {z n−1
Z
b a
K (x, s1 )K (s1 , s2 ) . . . K (sn−1 , t) ds1 ds2 . . . dsn−1 .
}
ᥠ¨â¥à¨à®¢ ë¥ ï¤à Kn (x, t), ç¨ ï á K2 (x, t), ¡ã¤ãâ ¥¯à¥àë¢ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨ ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}, ¥á«¨ ç «ì®¥ ï¤à® K (x, t) ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬® ¢ í⮬ ª¢ ¤à â¥.
᫨ ¤ ®¥ ï¤à® K (x, t) ᨬ¬¥âà¨ç®, â® ¢á¥ ¨â¥à¨à®¢ ë¥ ï¤à Kn (x, t) ⮥ ᨬ¬¥âà¨çë. 5.3-2. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©
¥§ã«ìâ âë ¯. 5.3-1 ¬®£ãâ ¡ëâì â ª¥ ¯®«ãç¥ë á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©. «ï í⮣® á«¥¤ã¥â ¨á¯®«ì§®¢ âì ४ãàà¥â®¥ á®®â®è¥¨¥
yn (x) = f (x) + λ
Z
b a
K (x, t)yn−1 (t) dt,
¢ ª®â®à®¬ ã«¥¢®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ y0 (x)
n = 1, 2, . . . ,
= f (x).
âà ¨æ 120
5.3. ¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ àï¤ . ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©
121
5.3-3. Ǒ®áâ஥¨¥ १®«ì¢¥âë
¥§®«ì¢¥â ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ ¨â¥à¨à®¢ ë¥ ï¤à ä®à¬ã«®©
R(x, t; λ) =
∞ X
n=1
λn−1 Kn (x, t),
(5)
£¤¥ àï¤, áâ®ï騩 ¢ ¯à ¢®© ç áâ¨, §ë¢ ¥âáï à冷¬ ¥©¬ ï¤à K (x, t). á室¨âáï ¢ á।¥¬ ª ¥¤¨á⢥®¬ã ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬®¬ã à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï (1), ¥á«¨
1
|λ| <
᫨, ªà®¬¥ ⮣®,
Z
B b a
,
B
=
s
Z
b a
Z
b a
K 2 (x, t) dt 6 A,
K 2 (x, t) dx dt.
(6)
a 6 x 6 b,
£¤¥ A | ¥ª®â®à ï ¯®áâ®ï ï, â® àï¤ ¥©¬ á室¨âáï [a, b℄ ¡á®«îâ® ¨ à ¢®¬¥à®. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (1) ¢ëà ¥âáï ä®à¬ã«®©
y (x) = f (x) + λ
Z
b a
R(x, t; λ)f (t) dt,
a 6 x 6 b.
(7)
¥à ¢¥á⢮ (6) ï¥âáï áãé¥áâ¢¥ë¬ ¤«ï á室¨¬®á⨠àï¤ (5). ¤ ª® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¬®¥â áãé¥á⢮¢ âì ¨ ¤«ï § 票© |λ| > 1/B . ¬¥ç ¨¥ 1.
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¢â®à®£® த á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî
y (x ) − λ
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b,
£¤¥ ï¤à® K (x, t) ¨¬¥¥â ¢¨¤
K (x, t) =
L(x, t) , |x − t|α
0 < α < 1,
a äãªæ¨ï L(x, t) | ¥¯à¥àë¢ ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}, ¬®® ¯®áâநâì ¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© ¯à¨ ãá«®¢¨¨
|λ| <
1−α , 2B ∗ (b − a)1−α
B∗
= sup |L(x, t)|.
¬® ¥ ãà ¢¥¨¥ á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬ ¢¨¤
y (x ) − λ n
Z
b a
Kn (x, t)y (t) dt = F (x),
F (x) = f (x) +
n− X1 p=1
λp
Z
b a
a 6 x 6 b,
Kp (x, t)f (t) dt,
£¤¥ Kp (x, t) (p = 1, 2, . . . , n) | p-®¥ ¨â¥à¨à®¢ ®¥ ï¤à®, ¯à¨ç¥¬ Kn (x, t) | ä।£®«ì¬®¢® ¯à¨ n > 12 (1 − α)−1 ¨ ®£à ¨ç¥®¥ ¯à¨ n > (1 − α)−1 .
âà ¨æ 121
122
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Ǒਬ¥à 1.
y (x) −
¥è¨¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ Z 1
y (x) − λ
0
xty (t) dt = f (x),
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
0 6 x 6 1,
¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©. ¤¥áì K (x, t) = xt, a = 0, b = 1. Ǒ®á«¥¤®¢ â¥«ì® ©¤¥¬ Z 1 xt K1 (x, t) = xt, K2 (x, t) = (xz )(zt) dz = , 3 0 1Z1 xt xt (xz )(zt) dz = 2 , . . . , Kn (x, t) = n−1 . K3 (x, t) = 3 0 3 3
®£« á® ä®à¬ã«¥ (5) ¤«ï १®«ì¢¥âë R(x, t; λ)
=
∞ X
n=1
λn−1 Kn (x, t)
= xt
∞ X λ n−1
n=1
3
=
3xt , 3−λ
¯à¨ç¥¬ |λ| < 3, ¨ ¢ ᨫã ä®à¬ã«ë (7) à¥è¥¨¥ ¤ ®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï § ¯¨è¥âáï ¢ ä®à¬¥ Z 1 y (x)
3xt f (t) dt, 0 6 x 6 1, 3 −λ 0
= f (x) + λ
ç áâ®áâ¨, ¯à¨ f (x) = x ¯®«ã稬 y (x)
3x , 3−λ
=
0 6 x 6 1,
λ 6= 3.
λ= 6 3.
5.3-4. à⮣® «ìë¥ ï¤à
«ï ¥ª®â®àëå ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ àï¤ ¥©¬ (5) ¤«ï १®«ì¢¥âë á室¨âáï ¯à¨ «î¡ëå § 票ïå λ. Ǒ®ª ¥¬ íâ®. Ǒãáâì ¨¬¥¥¬ ¤¢ ï¤à : K (x, t) ¨ L(x, t). 㤥¬ §ë¢ âì í⨠ï¤à ®à⮣® «ì묨, ¥á«¨ ¢ë¯®«ïîâáï ¤¢ ãá«®¢¨ï:
Z
b a
K (x, z )L(z, t) dz
Z
= 0,
b a
L(x, z )K (z, t) dz
= 0,
(8)
¯à¨ «î¡ëå ¤®¯ãá⨬ëå § 票ïå x ¨ t. ãé¥áâ¢ãîâ ï¤à , ®à⮣® «ìë¥ á ¬¨¬ ᥡ¥. «ï â ª¨å 拉à K2 (x, t) ≡ 0, £¤¥ K2 (x, t) | ¢â®à®¥ ¨â¥à¨à®¢ ®¥ ï¤à®. í⮬ á«ãç ¥, ¢á¥ ¯®á«¥¤ãî騥 ¨â¥à¨à®¢ ë¥ ï¤à â ª¥ à ¢ë ã«î ¨ १®«ì¢¥â ᮢ¯ ¤ ¥â á ï¤à®¬ K (x, t). K (x, t) = sin(x − 2t) 0 6 x 6 2π 0 6 t 6 2π Ǒਬ¥à 2.
¬¥¥¬
Z 2π
0
,
©¤¥¬ १®«ì¢¥âã ï¤à
sin(x − 2z ) sin(z − 2t) dz = 12 =
Z 2π
0
1 − 1 2 3
,
.
[ os(x + 2t − 3z ) − os(x − 2t − z )℄ dz =
π sin(x + 2t − 3z ) + sin(x − 2t − z ) zz=2 =0 = 0.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ í⮬ á«ãç ¥ १®«ì¢¥â ï¤à à ¢ á ¬®¬ã ï¤àã: R(x, t; λ) ≡
sin(x − 2t),
â ª çâ® àï¤ ¥©¬ (5) á®á⮨⠨§ ®¤®£® ç«¥ ¨, ®ç¥¢¨¤®, á室¨âáï ¯à¨ «î¡®¬ λ.
(1) (x, t), M (2) (x, t), . . . , M (n) (x, t) ¯®¯ à® ®à ¬¥ç ¨¥ 2.
᫨ ï¤à M ⮣® «ìë, ⮠१®«ì¢¥â , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¨å á㬬¥ K (x, t) =
n X
m=1
M (m) (x, t),
à ¢ á㬬¥ १®«ì¢¥â, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ª ¤®¬ã ¨§ á« £ ¥¬ëå.
: . . ¨å«¨ (1959), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), J. A. Co hran (1972), . . ¬¨à®¢ (1974), A. J. Jerry (1985).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 122
123
5.4. ¥â®¤ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ।£®«ì¬
5.4. ¥â®¤ ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥© ।£®«ì¬ 5.4-1. ®à¬ã« ¤«ï १®«ì¢¥âë
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த
y (x ) − λ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
Z
b
K (x, t)y (t) dt = f (x),
a
y (x) = f (x) + λ
Z
b a
(1)
a 6 x 6 b,
R(x, t; λ)f (t) dt,
(2)
a 6 x 6 b,
£¤¥ १®«ì¢¥â R(x, t; λ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥á⢮¬
R(x, t; λ) =
D (x, t; λ) , D (λ)
D(λ) 6= 0.
(3)
¤¥áì D(x, t; λ) ¨ D(λ) | á⥯¥ë¥ àï¤ë ¯® λ:
D(x, t; λ) =
∞ X (−1)n
n!
n=0
An (x, t)λn ,
D(λ) =
ª®íää¨æ¨¥âë ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨
A0 (x, t) = K (x, t),
K (x, t) K (x, t1 ) b b K (t1 , t) K (t1 , t1 ) ··· An (x, t) = .. .. . . | a {z a} K (tn , t) K (tn , t1 ) n B0 = 1, K (t1 , t1 ) K (t1 , t2 ) · · · Z b Z b K (t2 , t1 ) K (t2 , t2 ) · · · ··· Bn = . . .. .. .. . a a | {z } K (tn , t1 ) K (tn , t2 ) · · · n Z
Z
∞ X (−1)n
n=0
n!
Bn λn ,
· · · K (x, tn ) · · · K (t1 , tn ) dt1 . . . dtn , .. .. . . · · · K (tn , tn ) K (t1 , tn ) K (t2 , tn ) dt1 . . . dtn . . .. K (tn , tn )
(4)
(5)
(6)
ãªæ¨ï D(x, t; λ) §ë¢ ¥âáï ¬¨®à®¬ ।£®«ì¬ , D(λ) | ®¯à¥¤¥«¨â¥ï¤ë (4) á室ïâáï ¤«ï ¢á¥å § 票© λ ¨, § ç¨â, ïîâáï 楫묨 «¨â¨ç¥áª¨¬¨ äãªæ¨ï¬¨ ®â λ. ¥§®«ì¢¥â R(x, t; λ) ¥áâì «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ®â λ, ªà®¬¥ â¥å § 票© λ, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ª®àﬨ D(λ). Ǒ®á«¥¤¨¥ ᮢ¯ ¤ îâ á å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬¨ ç¨á« ¬¨ ãà ¢¥¨ï ¨ ïîâáï ¯®«îá ¬¨ १®«ì¢¥âë R(x, t; λ).
«¥¬ ।£®«ì¬ .
Ǒਬ¥à 1.
¬¥¥¬
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ y (x) − λ
A0 (x, t)
Z 1
0
xet y (t) dt = f (x),
= xet ,
A2 (x, t)
=
A1 (x, t)
Z 1 Z 1 xet t et 1 0 0 t et 2
0 6 x 6 1,
λ 6= 1.
Z 1 t xe xet1 dt1 = 0, t t 0 t1 e t1 e 1 xet1 xet2 t1 et1 t1 et2 dt1 dt2 = 0, t2 et1 t2 et2
=
âà ¨æ 123
124
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
â ª ª ª ®¯à¥¤¥«¨â¥«¨ ¯®¤ § ª®¬ ¨â¥£à « à ¢ë ã«î. 祢¨¤®, çâ® ¨ ¢á¥ ¯®á«¥¤ãî騥 An (x, t)=0. 室¨¬ ª®íää¨æ¨¥âë Bn : Z Z Z Z B1
=
1
0
K (t1 , t1 ) dt1
1
=
0
t1 et1 dt1
= 1,
B2
祢¨¤®, çâ® ¨ ¢á¥ ¯®á«¥¤ãî騥 Bn = 0. ®£« á® ä®à¬ã« ¬ (4) ¨¬¥¥¬ D (x, t; λ)
ª¨¬ ®¡à §®¬,
= K (x, t) = xet ;
R(x, t; λ)
D (x, t; λ) D (λ)
=
¨ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¬®® § ¯¨á âì ¢ ä®à¬¥ Z y (x)
= f (x) + λ
1 xet
0 1−λ
ç áâ®áâ¨, ¤«ï f (x) = e−x ¯®«ãç ¥¬ y (x)
= e−x +
λ
1−λ
1
=
f (t) dt,
0
D (λ)
=
= 1 − λ.
xet
1−λ
,
0 6 x 6 1,
0 6 x 6 1,
x,
1 t et1 t et2 1 dt dt = 0. 1 1 2 t t 0 t2 e 1 t2 e 2
λ 6= 1.
λ= 6 1.
5.4-2. ¥ªãàà¥âë¥ á®®â®è¥¨ï
ëç¨á«¥¨¥ ¯® ä®à¬ã« ¬ (5) ¨ (6) ª®íää¨æ¨¥â®¢ An (x, t) ¨ Bn à冷¢ (4) ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¢®§¬®® «¨èì ¢ ®ç¥ì ।ª¨å á«ãç ïå, ® ¨§ íâ¨å ä®à¬ã« ¯®«ãç îâáï á«¥¤ãî騥 ४ãàà¥âë¥ á®®â®è¥¨ï:
Z
b
An (x, t) = Bn K (x, t) − n K (x, s )An−1 (s , t) ds , a Z b Bn = An−1 (s , s ) ds .
(7) (8)
a
Ǒ®«ì§ãïáì ä®à¬ã« ¬¨ (7) ¨ (8), ©¤¥¬ १®«ì¢¥âã ï¤à K (x, t) = x − 2t, £¤¥ 0 6 x 6 1, 0 6 t 6 1. ¥©á⢨⥫ì®, B0 = 1, A0 (x, t) =Z x − 2t. Ǒ® ä®à¬ã«¥ (8), ©¤¥¬ Ǒਬ¥à.
Ǒ® ä®à¬ã«¥ (7) ¯®«ã稬 A1 (x, t)
«¥¥ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
=−
B1
x − 2t
2
B2
D (λ)
=
x − 2t
Z 1
0
Z 1
1
0
(−s ) ds = − 12 .
(x − 2s )(s − 2t) ds = −x − t + 2xt + 23 .
−2s + 2s 2
0 Z 1
+ 23 ds = 31 ,
(x − 2s ) −s − t + 2s t + 23 ds = 0, −2 3 0 B3 = B4 = · · · = 0, A3 (x, t) = A4 (x, t) = · · · = 0.
A2 (x, t)
«¥¤®¢ ⥫ì®,
−
=
=
= 1 + 12 λ + 16 λ2 ;
D (x, t; λ)
¥§®«ì¢¥â ¤ ®£® ï¤à ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤ R(x, t; λ)
=
= x − 2t + λ x + t − 2xt − 23 .
x − 2t + λ x + t − 2xt − 23
1 + 21 λ + 61 λ2
.
: . . ¨å«¨ (1959), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . ¬¨à®¢ (1974).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 124
â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ 2-£® த á ᨬ¬¥âà¨ç묨 ï¤à ¬¨
125
5.5. ¥®à¥¬ë ¨ «ìâ¥à ⨢ ।£®«ì¬ 5.5-1. ¥®à¥¬ë ।£®«ì¬
¥®à¥¬ 1. à ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¨¬¥¥â ¥ ¡®«¥¥ áç¥â®£® ¬®¥á⢠å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥«, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ á£ãé âìáï ⮫쪮 ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ¥®à¥¬ 2.
᫨ § 票¥ λ ¯à ¢¨«ì®¥, â® ª ª ¤ ®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, â ª ¨ á®î§®¥ á ¨¬ ãà ¢¥¨¥, à §à¥è¨¬® ¯à¨ «î¡®¬ ᢮¡®¤®¬ ç«¥¥ ¨ à¥è¥¨¥ ª ¤®£® ¨§ íâ¨å ãà ¢¥¨© ¥¤¨á⢥®. ®®â¢¥âáâ¢ãî騥 ®¤®à®¤ë¥ ãà ¢¥¨ï ¨¬¥îâ ⮫쪮 âਢ¨ «ìë¥ à¥è¥¨ï. ¥®à¥¬ 3.
᫨ § 票¥ λ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥, â® ®¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, â ª ¥ ª ª ¨ á®î§®¥ á ¨¬ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥, ¨¬¥¥â ¥âਢ¨ «ìë¥ à¥è¥¨ï. ¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ª®¥ç® ¨ à ¢® ç¨á«ã «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®£® á®î§®£® ãà ¢¥¨ï. ¥®à¥¬ 4. «ï ⮣® çâ®¡ë ¥®¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡ë«® à §à¥è¨¬®, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¥£® ᢮¡®¤ë© ç«¥ f x 㤮¢«¥â¢®àï« ãá«®¢¨ï¬
( )
( )
Z
b a
f (x)ψk (x) dx = 0,
k
= 1, . . . , n,
£¤¥ ψk x | ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® á®î§®£® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï. 5.5-2. «ìâ¥à ⨢ ।£®«ì¬
§ ⥮६ ।£®«ì¬ ¢ë⥪ ¥â â ª §ë¢ ¥¬ ï «ìâ¥à ⨢ ।£®«ì¬ , ª®â®à®© ç é¥ ¢á¥£® ¯®«ì§ãîâáï ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. «ìâ¥à ⨢ ।£®«ì¬ . ¨¡® ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ à §à¥è¨¬®, ª ª®¢ ¡ë ¨ ¡ë« ¥£® ¯à ¢ ï ç áâì, «¨¡® ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¥âਢ¨ «ìë¥ à¥è¥¨ï.
Ǒ¥à¢ ï ç áâì «ìâ¥à â¨¢ë ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¥á«¨ ¤ ®¥ § 票¥ ¯ à ¬¥âà ¯à ¢¨«ì®¥, ¢â®à ï | ¥á«¨ ®® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥. ¬¥ç ¨¥. ¥®à¨ï ।£®«ì¬ á¯à ¢¥¤«¨¢ ¨ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî.
: . . ¨å«¨ (1959), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), J. A. Co hran (1972), . . ¬¨à®¢ (1974) A. J. Jerry (1985), D. Porter, D. S. G. Stirling (1990), C. Corduneanu (1991), J. Kondo (1991), W. Ha kbus h (1995), R. P. Kanwal (1996).
•
¨â¥à âãà
5.6. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த á ᨬ¬¥âà¨ç묨 ï¤à ¬¨ 5.6-1. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« ¨ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨
¨¬¬¥âà¨ç묨 ¨â¥£à «ì묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ §ë¢ îâáï ãà ¢¥¨ï, ï¤à ª®â®àëå ᨬ¬¥âà¨çë, â. ¥. K (x, t) = K (t, x). ¤®¥ ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ï¤à®, ¥ à ¢®¥ ⮤¥á⢥® ã«î, ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ç¨á«®.
âà ¨æ 125
126
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
®¢®ªã¯®áâì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« n-£® ¨â¥à¨à®¢ ®£® ï¤à ¯à¨ «î¡®¬ n ᮢ¯ ¤ ¥â á ᮢ®ªã¯®áâìî n-ëå á⥯¥¥© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ¯¥à¢®£® ï¤à . ®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à §«¨çë¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ç¨á« ¬, ®à⮣® «ìë, â. ¥. ¥á«¨
ϕ1 (x) = λ1 â®
Z
b a
K (x, t)ϕ1 (t) dt,
ϕ2 (x) = λ2
(ϕ1 , ϕ2 ) = 0,
(ϕ, ψ ) ≡
Z
Z
b a
b a
K (x, t)ϕ2 (t) dt,
λ1 6= λ2 ,
ϕ(x)ψ (x) dx.
à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à ¤¥©á⢨⥫ìë. ®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ¬®® ᤥ« âì ®à¬¨à®¢ 묨: ¤®áâ â®ç® ª ¤ãî ¨§ ¨å à §¤¥«¨âì ¥¥ ®à¬ã.
᫨ ¥ª®â®à®¬ã å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã ᮮ⢥âáâ¢ãî⠥᪮«ìª® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥ëå äãªæ¨©, ¯à¨¬¥à, ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x), â® ª ¤ ï ¨å «¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï â ª¥ ï¥âáï ᮡá⢥®© äãªæ¨¥© ¨ í⨠«¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨 ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ë¡à ë â ª, çâ® ¯®«ãç¥ë¥ ¯à¨ í⮬ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ¡ã¤ãâ ®à⮮ନ஢ ë. ¥©á⢨⥫ì®, äãªæ¨ï
ψ1 (x) =
ϕ1 (x) , kϕ1 k
¨¬¥¥â ®à¬ã, à ¢ãî ¥¤¨¨æ¥: kψ1 k ¢ë¡¥à¥¬ α â ª, çâ®
kϕ1 k =
= 1.
p
(ϕ1 , ϕ1 ),
¡à §ã¥¬ ª®¬¡¨ æ¨î αψ1
+ ϕ2
¨
(αψ1 + ϕ2 , ψ1 ) = 0,
â. ¥. ¢®§ì¬¥¬ ãªæ¨ï
α=−
(ϕ2 , ψ1 ) = −(ϕ2 , ψ1 ). (ψ1 , ψ1 )
ψ2 (x) =
αψ1 kαψ1
+ ϕ2 + ϕ2 k
®à⮣® «ì ª ψ1 (x) ¨ ¨¬¥¥â ®à¬ã, à ¢ãî ¥¤¨¨æ¥. «¥¥ ¢ë¡¨à ¥âáï ª®¬¡¨ æ¨ï αψ1 + βψ2 + ϕ3 ¨ ¯®áâ®ïë¥ α ¨ β 室ïâáï ¨§ ãá«®¢¨© ®à⮣® «ì®áâ¨
(αψ1 + βϕ2 + ϕ3 , ψ1 ) = 0, (αψ1 + βψ2 + ϕ3 , ψ2 ) = 0.
©¤¥ë¬¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ α ¨ β äãªæ¨ï αψ1 + βψ2 + ϕ2 ψ3 = kαψ1 + βϕ2 + ϕ3 k
®à⮣® «ì ª ψ1 , ψ2 ¨ ¨¬¥¥â ®à¬ã, à ¢ãî ¥¤¨¨æ¥, ¨ â. ¤. ®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à §ë¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ç¨á« ¬, ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥® à ¥¥, ®à⮣® «ìë. âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à ¬®® ᤥ« âì ®à⮮ନ஢ ®©. ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à ®à⮮ନ஢ . á«®¢¨¬áï â ª¥ 㬥஢ âì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« ¢ ¯®à浪¥ ¢®§à áâ ¨ï ¨å ¡á®«îâëå ¢¥«¨ç¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨
λ1 , λ2 , . . . , λ n , . . .
(1)
¥áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ¥ª®â®à®£® ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à , ¨ ¥© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ᮡá⢥ëå äãªæ¨©
ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , . . .
(2)
âà ¨æ 126
â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ 2-£® த á ᨬ¬¥âà¨ç묨 ï¤à ¬¨
â ª çâ®
ϕn (x) − λn â®
Z
¨
b a
Z
b a
K (x, t)ϕn (t) dt = 0,
ϕi (x)ϕj (x) dx =
n
1 0
¯à¨ i = j , ¯à¨ i 6= j ,
|λ1 | 6 |λ2 | 6 · · · 6 |λn | 6 · · ·
127
(3)
(4) (5)
᫨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ¡¥áª®¥ç® ¬®£®, â® ¯® ⥮६¥ 1 ।£®«ì¬ ®¨ á£ãé îâáï ⮫쪮 ¡¥áª®¥ç®á⨠¨ ¯®â®¬ã λn → ∞ ¯à¨ n → ∞. ®¢®ªã¯®áâì ¢á¥å å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨¬ ®à⮮ନ஢ ëå ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à §ë¢ îâáï á¨á⥬®© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ¨ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ¤ ®£® ï¤à . ¨á⥬ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© §ë¢ ¥âáï ¥¯®«®©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®â«¨ç ï ®â ã«ï ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬 ï äãªæ¨ï, ®à⮣® «ì ï ª® ¢á¥¬ äãªæ¨ï¬ á¨á⥬ë. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ á¨á⥬ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© §ë¢ ¥âáï ¯®«®©. 5.6-2. ¨«¨¥©ë© àï¤
Ǒãáâì ï¤à® K (x, t) ¤®¯ã᪠¥â à §«®¥¨¥ ¢ à ¢®¬¥à® á室ï騩áï àï¤ ¯® ®à⮮ନ஢ ®© á¨á⥬¥ ᢮¨å ᮡá⢥ëå äãªæ¨©
K (x, t) =
∞ X
k=1
ak (x)ϕk (t)
(6)
¤«ï ª ¤®£® 䨪á¨à®¢ ®£® § 票ï x ¢ á«ãç ¥ ¥¯à¥à뢮£® ï¤à ¨«¨ ¯®ç⨠¢á¥å x ¢ á«ãç ¥ ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬®£® ï¤à . ®£¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
ak (x) = ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®,
Z
b a
K (x, t)ϕk (t) dt =
K (x, t) = ¡à â®, ¥á«¨ àï¤
á室¨âáï à ¢®¬¥à®, â®
∞ X ϕk (x)ϕk (t)
λk
k=1
ϕk (x) , λk
(7)
.
(8)
∞ X ϕk (x)ϕk (t)
K (x, t) =
(9)
λk
k=1
∞ X ϕk (x)ϕk (t) k=1
λk
.
¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 ã⢥थ¨¥: ¡¨«¨¥©ë© àï¤ (9) á室¨âáï ¢ á।¥¬ ª ï¤àã K (x, t).
᫨ ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ï¤à® K (x, t) ¨¬¥¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥«, â® ®® ¢ëத¥®¥, â ª ª ª ¢ í⮬ á«ãç ¥
K (x, t) =
n X ϕk (x)ϕk (t) k=1
λk
.
(10)
âà ¨æ 127
128
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¤à® K (x, t) §ë¢ ¥âáï ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ë¬, ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å äãªæ¨© ϕ(x), ®â«¨çëå ®â ⮤¥á⢥®£® ã«ï,
Z
b a
Z
b a
K (x, t)ϕ(x)ϕ(t) dx dt > 0,
¨ «¨èì ¤«ï ϕ(x) ≡ 0 㪠§ ë© ¢ëè¥ ª¢ ¤à â¨ç¥áª¨© äãªæ¨® « à ¢¥ ã«î. ª®¥ ï¤à® ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¯®«®¨â¥«ìë¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« . «®£¨ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®âà¨æ â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®¥ ï¤à®. á类¥ ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ¥¯à¥à뢮¥ ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®¥ (¨«¨ ®âà¨æ â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®¥) ï¤à® à §« £ ¥âáï ¯® ᮡáâ¢¥ë¬ äãªæ¨ï¬ ¢ ¡¨«¨¥©ë© àï¤, ¡á®«îâ® ¨ à ¢®¬¥à® á室ï騩áï ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥¬¥ëå x, t. ⢥थ¨¥ ®áâ ¥âáï ¢¥àë¬, ¥á«¨ ¤®¯ãáâ¨âì, çâ® ï¤à® ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® ®âà¨æ ⥫ìëå (ᮮ⢥âá⢥® ¯®«®¨â¥«ìëå) å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥«.
᫨ ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) ᨬ¬¥âà¨ç®, ¥¯à¥à뢮 ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b} ¨ ¨¬¥¥â ¢ ¯®á«¥¤¥¬ à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë¥ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥, â® ®® à §« £ ¥âáï ¯® ᮡáâ¢¥ë¬ äãªæ¨ï¬ ¢ à ¢®¬¥à® á室ï騩áï ¡¨«¨¥©ë© àï¤. 5.6-3. ¥®à¥¬ ¨«ì¡¥àâ {¬¨¤â
᫨ äãªæ¨î f (x) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
f (x) =
Z
b a
K (x, t)g (t) dt,
(11)
£¤¥ K (x, t) | ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬®¥ ï¤à®, g (t) | ¥ª®â®à ï ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬 ï äãªæ¨ï, â® f (x) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ᢮¨¬ à冷¬ ãàì¥ ®â®á¨â¥«ì® ®à⮮ନ஢ ®© á¨á⥬ë ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ï¤à K (x, t):
f (x) = £¤¥
ak
=
᫨, ªà®¬¥ ⮣®,
Z
b a
Z
∞ X
k=1
ak ϕk (x),
f (x)ϕk (x) dx, b
a
k
(12)
= 1, 2, . . .
K 2 (x, t) dt 6 A < ∞,
(13)
â® àï¤ (12) á室¨âáï ¡á®«îâ® ¨ à ¢®¬¥à® ¤«ï ª ¤®© äãªæ¨¨ f (x) ¢¨¤ (11). ¬¥ç ¨¥ 1. ⥮६¥ ¨«ì¡¥àâ {¬¨¤â ¯®«®â á¨á⥬ë ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï. 5.6-4. ¨«¨¥©ë¥ àï¤ë ¨â¥à¨à®¢ ëå 拉à
Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨â¥à¨à®¢ ëå 拉à
Km (x, t) =
Z
b a
K (x, z )Km−1 (z, t) dz,
m = 2, 3, . . .
(14)
®íää¨æ¨¥âë ãàì¥ ak (t) ï¤à Km (x, t), à áᬠâਢ ¥¬®£® ª ª äãªæ¨ï x, ®â®á¨â¥«ì® ®à⮮ନ஢ ®© á¨á⥬ë ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ï¤à K (x, t) à ¢ë Z b ϕ (t) Km (x, t)ϕk (x) dx = km . ak (t) = (15) λk a
âà ¨æ 128
â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ 2-£® த á ᨬ¬¥âà¨ç묨 ï¤à ¬¨
129
Ǒਬ¥¥¨¥ â¥®à¥¬ë ¨«ì¡¥àâ {¬¨¤â ª (14) ¤ ¥â
Km (x, t) =
∞ X ϕk (x)ϕk (t)
m = 2, 3, . . .
,
λm k
k=1
(16)
ä®à¬ã«¥ (16) á㬬 àï¤ ¯®¨¬ ¥âáï ª ª ¯à¥¤¥« ¢ á।¥¬.
᫨ ¥ ¤®¯®«¨â¥«ì® ¢ë¯®«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮ (13), â® ¢ ä®à¬ã«¥ (16) àï¤ á室¨âáï à ¢®¬¥à®. 5.6-5. ¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï
Ǒ।áâ ¢¨¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
y (x ) − λ
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
£¤¥ § 票¥ λ ¯à ¢¨«ì®¥, ¢ ¢¨¤¥
y (x) − f (x) = λ
Z
b a
a 6 x 6 b,
K (x, t)y (t) dt
(17)
(18)
¨ ¯à¨¬¥¨¬ ⥮६㠨«ì¡¥àâ {¬¨¤â ª äãªæ¨¨ y (x) − f (x):
y (x) − f (x) = Ak =
Z
b a
[y (x) − f (x)℄ϕk (x) dx =
Z
b a
∞ X
k=1
Ak ϕk (x),
y (x)ϕk (x) dx −
®£¤ á ãç¥â®¬ à §«®¥¨ï (8) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
λ ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬,
λ
yk λk
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = λ
= yk − fk ,
yk
=
«¥¤®¢ ⥫ì®,
y (x) = f (x) + λ
∞ X yk k=1
λk fk , λk − λ ∞ X
k=1
λk
Z
b
a
f (x)ϕk (x) dx = yk − fk .
ϕk (x)
Ak
=
λfk . λk − λ
fk ϕk (x). λk − λ
(19)
(20)
᫨ ¥ § 票¥ λ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥, â. ¥.
λ = λp
= λp+1 = · · · = λq ,
(21)
6 p, p +1, . . . , q ç«¥ë (20) á®åà ïîâ ᢮© ¢¨¤. Ǒਠk = p, p +1, . . . , q ¨§ â® ¯à¨ k = ä®à¬ã«ë (19) á«¥¤ã¥â fk = Ak (λ − λk )/λ ¨ ¢ ᨫã (21) fp = fp+1 = · · · = fq = 0. Ǒ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® Z
b
a
f (x)ϕk (x) dx = 0
¯à¨ k = p, p +1, . . . , q , â. ¥. ᢮¡®¤ë© ç«¥ ãà ¢¥¨ï ¤®«¥ ¡ëâì ®à⮣® «ìë¬ ª ᮡáâ¢¥ë¬ äãªæ¨ï¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã λ. ¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (17) ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤
y (x) = f (x) + λ
∞ X
k=1
q
X fk Ck ϕk (x), ϕk (x) + λk − λ k=p
(22)
£¤¥ ¢ ¯¥à¢®© ¨§ á㬬 (22) ¤®«ë ¡ëâì ®¯ãé¥ë ç«¥ë ¯à¨ k = p, p +1, . . . , q , ¤«ï ª®â®àëå ®¤®¢à¥¬¥® ®¡à é îâáï ¢ ã«ì fk ¨ λ − λk . ®íää¨æ¨¥âë ¢® ¢â®à®© á㬬¥ Ck | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥. 9 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 129
130
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¬¥ç ¨¥ 2. «®£¨ç® ¯à®¤¥« ®¬ã ¢ëè¥ ¬®® ®á®¢ ¨¨ ¡¨«¨¥©®£® à §«®¥¨ï (8) ¨ â¥®à¥¬ë ¨«ì¡¥àâ {¬¨¤â ¯®áâநâì à¥è¥¨¥ ᨬ¬¥âà¨ç®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
¢ á«¥¤ãî饩 ä®à¬¥:
y (x) =
∞ X
k=1
a 6 x 6 b,
fk λk ϕk (x),
¯à¨ç¥¬ ¥®¡å®¤¨¬ë¬¨ ¨ ¤®áâ â®ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠⠪®£® à¥è¥¨ï ¨§ L2 (a, b) ïîâáï ¯®«®â á¨á⥬ë ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ϕk (x) ï¤à K (x, t) ¨ á室¨¬®áâì àï¤
∞ P
k=1
fk2 λ2k , £¤¥ λk | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥
å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« . «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯à®¢¥àª ¯®á«¥¤¥£® ãá«®¢¨ï ¤«ï ª®ªà¥âëå ãà ¢¥¨© § âà㤨⥫ì . ¡ëç® ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¯¥à¢®£® த ¯®«ì§ãîâáï ¬¥â®¤ ¬¨, ¨§«®¥ë¬¨ ¢ £« ¢¥ 4. 5.6-6. «ìâ¥à ⨢ ।£®«ì¬ ¤«ï ᨬ¬¥âà¨çëå ãà ¢¥¨©
´.
Ǒ®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë ¬®® ®¡ê¥¤¨¨âì ¢ á«¥¤ãî饩 «ìâ¥à ⨢®© ä®à¨¬¬¥âà¨ç®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
y (x ) − λ
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b,
(23)
¯à¨ § ¤ ®¬ λ «¨¡® ¨¬¥¥â ¤«ï ¢á类© ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ f (x) ∈ L2 (a, b) ®¤® ¨ ⮫쪮 ®¤® ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬®¥ à¥è¥¨¥, (¢ ç áâ®áâ¨, y = 0 ¤«ï f = 0), «¨¡® ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® r «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© Y1 (x), Y2 (x), . . . , Yr (x), r > 0. ® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ § ¤ ï äãªæ¨ï f (x) ®à⮣® «ì ¢á¥¬ äãªæ¨ï¬ Y1 (x), Y2 (x), . . . , Yr (x) ®â१ª¥ [a, b℄. Ǒਠí⮬ à¥è¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ¤¤¨â¨¢®© «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 A1 Y1 (x) + A2 Y2 (x) + · · · + Ar Yr (x), £¤¥ Ai (i = 1, 2, . . . , r ) | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥. 5.6-7. ¥§®«ì¢¥â ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (23) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
y (x) = f (x) + λ £¤¥ १®«ì¢¥â R(x, t; λ) ¨¬¥¥â ¢¨¤
R(x, t; λ) =
Z
b a
R(x, t; λ)f (t) dt,
∞ X ϕk (x)ϕk (t) k=1
λk − λ
.
(24)
(25)
¤¥áì ᮢ®ªã¯®á⨠ϕk (x) ¨ λk á®áâ ¢«ïîâ á¨á⥬ë ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ãà ¢¥¨ï (23). § ä®à¬ã«ë (25) ¢ë⥪ ¥â, ç⮠१®«ì¢¥â ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¯à®áâë¥ ¯®«îáë.
âà ¨æ 130
â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ 2-£® த á ᨬ¬¥âà¨ç묨 ï¤à ¬¨
131
5.6-8. ªáâ६ «ìë¥ á¢®©á⢠å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥«
¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票ï
Z
b
u(x)w(x) dx, kuk2 = (u, u), Z bZ b K (x, t)u(x)u(t) dx dt, (Ku, u) =
(u, w) =
a
a
a
£¤¥ (u, w ) | ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨© u(x) ¨ w(x), kuk | ®à¬ äãªæ¨¨ u(x), (Ku, u) | ª¢ ¤à â¨ç ï ä®à¬ ¯®à®¤¥ ï ï¤à®¬ K (x, t). Ǒãáâì λ1 | ¨¬¥ì襥 ¯® ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ç¨á«® ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à K (x, t) ¨ ¯ãáâì y1 (x) | ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï í⮬ã ç¨á«ã ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï. ®£¤ 1 |(Ky, y )| = max ; (26) y6≡0 |λ1 | kyk2
¢ ç áâ®áâ¨, ¬ ªá¨¬ã¬ ¤®á⨣ ¥âáï ¨ y = y1 ï¥âáï â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ . Ǒãáâì λ1 , λ2 , . . . , λn | ¯¥à¢ë¥ n å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ᨬ¬¥âà¨ç®£® ï¤à K (x, t) (¢ ¯®à浪¥ ¢®§à áâ ¨ï ¨å ¡á®«îâëå ¢¥«¨ç¨), y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) | ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ®à⮮ନ஢ ë¥ á®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨. ®£¤ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ç¨á« λn+1 , á«¥¤ãî饣® § λn , á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« 1 = max |(Ky,2y)| , (27) |λn+1 | kyk ¯à¨ç¥¬ ¬ ªá¨¬ã¬ ¡¥à¥âáï ¬®¥á⢥ äãªæ¨© y , ®â«¨çëå ®â ⮤¥á⢥®£® ã«ï ¨ ®à⮣® «ìëå ª ᮡáâ¢¥ë¬ äãªæ¨ï¬ y1 , y2 , . . . , yn :
(y, yj ) = 0,
= 1, . . . , n; ¢ ç áâ®áâ¨, ¬ ªá¨¬ã¬ ¢ (27) ¤®á⨣ ¥âáï ¨ y = yn+1 ï¥âáï
(28)
j
â®çª®© ¬ ªá¨¬ã¬ , £¤¥ yn+1 | ᮡá⢥ ï äãªæ¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã λn+1 ¨ ®à⮣® «ì ï ª y1 , y2 , . . . , yn .
¬¥ç ¨¥ 3. «ï ¯®«®¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥®£® ï¤à K (x, t) § ª ¬®¤ã«ï ¢ á®®â®è¥¨ïå (26) ¨ (27) ¬®¥â ¡ëâì ®¯ãé¥.
5.6-9. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, ¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ª ᨬ¬¥âà¨çë¬
à ¢¥¨¥ ¢¨¤
y (x) − λ
Z
b a
K (x, t)ρ(t)y (t) dt = f (x),
(29)
£¤¥ K (x, t) | ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ï¤à® ¨ ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ρ(t) > 0 [a, b℄, ¬®® p ρ(x) ¯à¨¢¥á⨠ª ᨬ¬¥âà¨ç®¬ã. ¥©á⢨⥫ì®, 㬮 ï ®¡¥ ç á⨠(29)
¨ ¢¢®¤ï ®¢ãî ¨áª®¬ãî äãªæ¨î z (x) ãà ¢¥¨î
z (x) − λ
Z
b a
L(x, t)z (t) dt = f (x)
£¤¥ L(x, t) | ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ï¤à®.
p
=
ρ(x),
p
ρ(x) y (x), ¯à¨¤¥¬ ª ¨â¥£à «ì®¬ã L(x, t) = K (x, t)
p
ρ(x)ρ(t), (30)
9*
âà ¨æ 131
132
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
5.6-10. ®á®á¨¬¬¥âà¨ç®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
®á®á¨¬¬¥âà¨çë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬
ª®â®à®£® ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç®, â. ¥. ¢ ãà ¢¥¨¨
Z
y (x) − λ
b a
§ë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥, ï¤à®
K (x, t)y (t) dt = f (x)
(31)
ï¤à® K (x, t) ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬:
K (t, x) = −K (x, t).
(32)
à ¢¥¨¥ (31) á ª®á®á¨¬¬¥âà¨çë¬ ï¤à®¬ (32) ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ç¨á«® ¨ ¢á¥ ¥£® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« | ç¨áâ® ¬¨¬ë¥.
: . ãàá (1934), . ãà â, . ¨«ì¡¥àâ (1951), . . ¨å«¨ (1959), . ਪ®¬¨ (1960), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), J. A. Co hran (1972), . . ¬¨à®¢ (1974), A. J. Jerry (1985), D. Porter, D. S. G. Stirling (1990), C. Corduneanu (1991), J. Kondo (1991), W. Ha kbus h (1995), R. P. Kanwal (1996).
•
¨â¥à âãà
5.7. ¯¥à â®àë© ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த 5.7-1. Ǒà®á⥩è ï á奬
áᬮâਬ «¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த á¯¥æ¨ «ì®£® ¢¨¤
y (x) − λL [y ℄ = f (x),
(1)
£¤¥ L | ¥ª®â®àë© «¨¥©ë© (¨â¥£à «ìë©) ®¯¥à â®à, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãá«®¢¨î L2 = k , k = onst. Ǒ®¤¥©áâ¢ã¥¬ ®¯¥à â®à®¬ L ®¡¥ ç á⨠ãà ¢¥¨ï (1). १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
L [y ℄ − kλy (x)
= L [f (x)℄.
(2)
᪫îç ï ¨§ (1) ¨ (2) á« £ ¥¬®¥ L [y ℄, 室¨¬ à¥è¥¨¥:
y (x) = ¬¥ç ¨¥.
1 f (x) + λL [f ℄ . 1 − kλ2
(3)
à §¤. 3.4 ®¯¨á ë à §«¨çë¥ ®¡®¡é¥¨ï 㪠§ ®£® ¬¥â®¤ .
5.7-2. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த ¯®«ã®á¨
1
◦
. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
y (x) − λ
Z
∞
0
os(xt)y (t) dt = f (x).
(4)
¯¥à â®à L ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ï®£® ᮬ®¨â¥«ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ª®á¨ãá-¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥:
L [y ℄
=
Z
∞
os(xt)y (t) dt =
0 ¨ ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ¯à ¢¨«ã L2 = k , £¤¥ k
=
π
r
π
2
F [y ℄
2 (á¬. ¯. 1.5-1). ¥è¥¨¥ ¯®«ã稬 ¯® ä®à¬ã«¥ (3) á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(5): y (x ) =
2
f (x) + λ 2 − πλ2
Z
∞
0
os(xt)f (t) dt
,
λ 6= ±
(5)
r
2 π
.
(6)
âà ¨æ 132
5.8. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ ¬¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨©
2◦ .
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
y (x) − λ
Z
133
∞
tJν (xt)y (t) dt = f (x), 0 £¤¥ Jν (x) | äãªæ¨ï ¥áᥫï, Re ν > − 12 .
(7)
¯¥à â®à L §¤¥áì á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ï®£® ᮬ®¨â¥«ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ª¥«ï:
L [y ℄
=
Z
∞
0
tJν (xt)y (t) dt
¨ ¤¥©áâ¢ã¥â ¯® ¯à ¢¨«ã L2 = 1 (á¬. ¯. 1.6-1). ¥è¥¨¥ ¯®«ã稬 ¯® ä®à¬ã«¥ (3) ¯à¨ k =
y (x) =
•
1
1 − λ2
f (x ) + λ
Z
∞
0
(8)
1 á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠(8):
tJν (xt)f (t) dt ,
λ 6= ±1.
(9)
: A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998, 1999).
¨â¥à âãà
5.8. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ ¬¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© 5.8-1. à ¢¥¨¥ á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ¢á¥© ®á¨
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த á ®¤¨¬ ï¤à®¬
1 2π
y (x ) + √
Z
∞ −∞
K (x − t)y (t) dt = f (x),
−∞ < x < ∞,
(1)
£¤¥ f (x) ¨ K (x) | ¨§¢¥áâë¥ ¯à ¢ ï ç áâì ¨ ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, y (x) | ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï. Ǒਬ¥¨¬ ª ãà ¢¥¨î (1) «ìâ¥à ⨢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥. ®£¤ á ãç¥â®¬ â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ (á¬. ¯. 1.4-4)
Y (u)[1 + K(u)℄ = F (u).
(2)
ª¨¬ ®¡à §®¬, á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨¢®¤¨âáï ª à¥è¥¨î «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï (2) ¤«ï ¨§®¡à ¥¨ï ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (2) ¨¬¥¥â ¢¨¤
Y (u) =
F (u) . 1 + K(u)
(3)
®à¬ã« (3) ¢ëà ¥â ¨§®¡à ¥¨¥ à¥è¥¨ï ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ç¥à¥§ ¨§®¡à ¥¨ï § ¤ ëå äãªæ¨© | ï¤à ¨ ¯à ¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï. ¬® à¥è¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¯à¨ ¯®¬®é¨ ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥:
1 2π
y (x) = √
Z
∞ −∞
1 2π
Y (u)e−iux du = √
Z
∞ −∞
F (u) e−iux du. 1 + K (u )
(4)
K(u) . 1 + K(u)
(5)
®à¬ã« (4) ä ªâ¨ç¥áª¨ à¥è ¥â § ¤ çã, ®¤ ª® ® ¥ ¢á¥£¤ 㤮¡ ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï, â ª ª ª âॡã¥â ¢ëç¨á«¥¨ï ¨§®¡à ¥¨ï F (u) ¤«ï ª ¤®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x). ® ¬®£¨å á«ãç ïå ¡®«¥¥ 㤮¡ë¬ ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ à¥è¥¨ï ¥®¤®à®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ç¥à¥§ १®«ì¢¥âã ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï. â®¡ë ¯®«ãç¨âì âॡ㥬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥, § ¬¥â¨¬, çâ® ä®à¬ã« (3) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥®¡à §®¢ ª ¢¨¤ã
Y (u) = [1 − R(u)℄F (u),
R(u) =
âà ¨æ 133
134
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
®á®¢ ¨¨ (5) ¯à¨ ¯®¬®é¨ ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ ¨ â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ (¤«ï ¨§®¡à ¥¨©) ¯®«ã稬
Z
1 2π
y (x) = f (x) − √
∞ −∞
R(x − t)f (t) dt,
(6)
£¤¥ १®«ì¢¥â R(x − t) ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) § ¤ ¥âáï á®®â®è¥¨¥¬
1 2π
R(x) = √
Z
∞
−∞
K(u) e−iux du. 1 + K(u)
(7)
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï à¥è¥¨ï ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¤®áâ â®ç® ©â¨ äãªæ¨î R(x) ¯® ä®à¬ã«¥ (7). ãªæ¨ï R(x) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ á¯¥æ¨ «ì®¬ ¢¨¤¥ äãªæ¨¨ f (x). ¥©á⢨⥫ì®, ¨§ ä®à¬ã« (3) ¨ (5) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ Y (u) = R(u) äãªæ¨ï F (u) à ¢ K(u). â® ®§ ç ¥â, çâ® à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ f (x) ≡ K (x) ï¥âáï äãªæ¨ï y (x) ≡ R(x), â. ¥. १®«ì¢¥â ãà ¢¥¨ï (1) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î
Z
1 2π
R(x) + √
∞ −∞
K (x − t)R(t) dt = K (x),
−∞ < x < ∞.
(8)
⬥⨬, çâ® ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ¯àï¬ëå ¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ãàì¥ áãé¥áâ¢ãîâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 â ¡«¨æë ¢ ª¨£ å . ¥©â¬¥ , . थ©¨ (1969), . . ¨âª¨ , . Ǒ. Ǒà㤨ª®¢ (1965, 1974). Ǒਬ¥à.
¥è¨¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
y (x) − λ
Z
∞ −∞
exp
α|x − t| y (t) dt = f (x),
−∞ < x < ∞,
(9)
ª®â®à®¥ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨ ª®ªà¥â®¬ ï¤à¥ K (x − t), § ¤ ¢ ¥¬®¬ ¢ëà ¥¨¥¬ K (x) = −
√
2π λe−α|x| ,
α > 0.
©¤¥¬ äãªæ¨î R(x), ¤«ï 祣® ¢ëç¨á«¨¬ ®£¤ ¯® ä®à¬ã«¥ (5)
=−
R(u)
®âªã¤ R(x)
K(u)
=
1 2π
√
Z
∞ −∞
=
Z
2αλ + α2
∞
λe−α|x| eiux dx = − 2 u −∞
(10)
(11)
.
K(u) 2αλ =− 2 , 1 + K(u) u + α2 − 2αλ
R(u)e−iux du
=−
r
2 π
Z
∞ −∞
u2
(12)
αλ
+ α2 − 2αλ
e−iux du.
(13)
Ǒ®«®¨¬, çâ® λ < 12 α. ®£¤ ¨â¥£à « (13) ¨¬¥¥â á¬ëá« ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥ á ¯®¬®éìî ⥮ਨ ¢ëç¥â®¢ ¯ã⥬ ¯à¨¬¥¥¨ï «¥¬¬ë ®à¤ (á¬. ¯¯. 1.1-4 ¨ 1.1-5). Ǒ®á«¥ ¥ª®â®àëå ¢ëª« ¤®ª ©¤¥¬ R(x)
√
p
αλ exp −|x| α2 − 2αλ α2 − 2αλ
= − 2π
√
Z
exp
¨, ®ª®ç ⥫ì®, ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (6) ¯®«ã稬 y (x) = f (x)+ √
αλ α2 − 2αλ
∞ −∞
−|x−t|
p
α2 − 2αλ f (t) dt,
(14)
−∞ < x < ∞. (15)
âà ¨æ 134
5.8. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ ¬¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨©
5.8-2. à ¢¥¨¥ á ï¤à®¬
K (x, t) = t− 1 Q(x/t)
135
¯®«ã®á¨
áᬮâਬ §¤¥áì ãà ¢¥¨¥ ¯®«ã®á¨
y (x) −
Z
∞
1 x
y (t) dt = f (x). Q (16) t t «ï à¥è¥¨ï ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ , ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ (á¬. â ª¥ à §¤. 1.3):
0
Z
∞
f (x)xs−1 dx, (17) 0 b (s ) | ¨§®¡à ¥¨¥ £¤¥ s = σ + iτ | ª®¬¯«¥ªá ï ¯¥à¥¬¥ ï (σ1 < σ < σ2 ), f äãªæ¨¨ f (x). «¥¥ ¤«ï ªà ⪮á⨠¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì M{f (x)} ≡ M{f (x), s }. b (s ) ®à¨£¨ « 室¨âáï á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® Ǒ® ¨§¢¥á⮬㠨§®¡à ¥¨î f fb (s ) = M{f (x), s } ≡
¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨
Z
á+i∞ 1 fb (s )x−s ds , 2πi á−i∞
f (x) = M−1 {fb (s )} ≡
σ1 < á < σ2 ,
(18)
£¤¥ ¯ãâì ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï à ᯮ«®¥ ¯ à ««¥«ì® ¬¨¬®© ®á¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠s , ¨â¥£à « ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï. Ǒਬ¥ïï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ ª ãà ¢¥¨î (16) ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® ¨â¥£à « á â ª¨¬ ï¤à®¬ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¯à® ¯à ¢¨«ã (á¬. ¯. 1.3-2)
M
Z
∞
0
1 x t
Q
t
y (t) dt
b (s )b =Q y(s ),
¯à¨å®¤¨¬ ª ãà ¢¥¨î ¤«ï ¨§®¡à ¥¨ï ¨áª®¬®© ¢¥«¨ç¨ë b y (s ):
b (s )b b y (s ) − Q y (s ) = fb (s ).
¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© fb (s )
b y (s ) =
b (s ) 1−Q
(19)
.
Ǒਬ¥ïï ª (19) ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ (18), ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï Z á+i∞ fb (s ) 1 y (x) = x −s d s . (20) b (s ) 2πi á−i∞ 1 − Q â® à¥è¥¨¥ ¬®® § ¯¨á âì â ª¥ á ¯®¬®éìî १®«ì¢¥âë ¢ ¢¨¤¥
y (x) = f (x) +
£¤¥ ¯à¨ïâë ®¡®§ 票ï
Z
∞
0
b (s )}, N (x) = M−1 {N
1 t
N
x t
f (t) dt,
b (s ) = N
b (s ) Q . b (s ) 1−Q
(21)
(22)
Ǒਠ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ 㪠§ ®£® «¨â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ¬®£ãâ ¢®§¨ªãâì â¥å¨ç¥áª¨¥ âà㤮áâ¨: 1) ¯à¨ ¯®«ã票¨ ¨§®¡à ¥¨ï ¤«ï § ¤ ®£® ï¤à K (x) ¨ 2) ¯à¨ 室¥¨¨ ®à¨£¨ « à¥è¥¨ï ¯® ¥£® ¨§®¡à ¥¨î b y(s ). «ï ¢ëç¨á«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨â¥£à «®¢ ¯à¨¬¥ïîâ â ¡«¨æë ¯àï¬ëå ¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¥««¨ . ® ¬®£¨å á«ãç ïå á ç « ¨á¯®«ì§ãîâ á¢ï§ì ¬¥¤ã ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¥««¨ ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ãàì¥ ¨ ¯« á :
M{f (x), s } = F{f (ex ), is } = L{f (ex ), −s } + L{f (e−x ), s },
(23)
§ ⥬ ¯à¨¬¥ïîâ â ¡«¨æë ¯àï¬ëå ¨ ®¡à âëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ãàì¥ ¨ ¯« á .
âà ¨æ 135
136
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
¬¥ç ¨¥ 1.
y (x) −
à ¢¥¨¥
y (x ) −
Z
∞
H
0
x t
a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
xα t−α−1 y (t) dt = f (x)
¬®® § ¯¨á âì ¢ ä®à¬¥ (16), ¥á«¨ ®¡®§ ç¨âì K (z ) 5.8-3. à ¢¥¨¥ á ï¤à®¬
Rb
K (x, t) = tβ Q(xt)
(24)
= z α H (z ).
¯®«ã®á¨
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¯®«ã®á¨
y (x) −
Z
∞
0
tβ Q(xt)y (t) dt = f (x).
(25)
«ï à¥è¥¨ï ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ . ¬® ï ®¡¥ ç á⨠(25) xs −1 ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® x ®â ã«ï ¤® ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¯®«ã稬
Z
∞
0
y (x)x 1 dx − s−
¤¥« ¥¬ § ¬¥ã z
Z
∞
0
y (t)t dt β
Z
∞
0
Q(xt)x 1 dx = s−
= xt. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
ç¨âë¢ ï à ¢¥á⢮
b (s ) b y(s ) − Q Z
∞
0
Z
∞
0
Z
∞
0
f (x)xs−1 dx.
y (t)tβ−s dt = fb (s ).
(26)
(27)
y (t)tβ−s dt = b y(1 + β − s ),
¯¥à¥¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (27) ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
b (s )b b y(s ) − Q y(1 + β − s ) = fb (s ).
¬¥ïï s ¢ á®®â®è¥¨¨ (28)
(28)
1 + β − s , ¨¬¥¥¬
b (1 + β − s )b b y(1 + β − s ) − Q y (s ) = fb (1 + β − s ).
(29)
᪫îç ï ¨§ à ¢¥á⢠¢¥«¨ç¨ã b y(1 + β − s ) ¨ à §à¥è ï ¯®«ã祮¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® b y(s ), 室¨¬ ¨§®¡à ¥¨¥ ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï
b y(s ) =
b (s )fb (1 + β − s ) fb (s ) + Q . b (s )Q b (1 + β − s ) 1−Q
(30)
Ǒ® ä®à¬ã«¥ ®¡à é¥¨ï ¥««¨ ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (25) ¢ ¢¨¤¥
y (x) = ¬¥ç ¨¥ 2.
1 2πi
Z c+i∞ b (s )fb (1 + β − s ) fb (s ) + Q c−i∞
à ¢¥¨¥
y (x) −
Z
∞
0
b (s )Q b (1 + β − s ) 1−Q
x −s d s .
(31)
H (xt)xptq y (t) dt = f (x)
¬®® § ¯¨á âì ¢ ä®à¬¥ (25), ¥á«¨ ®¡®§ ç¨âì Q(z )
= z p H (z ), β = q − p.
âà ¨æ 136
5.9. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த
137
5.8-4. ¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© ¤«ï ãà ¢¥¨© ¢á¥© ®á¨
Ǒந««îáâà¨à㥬 ¢®§¬®®á⨠®¡®¡é¥®© ¬®¤¨ä¨ª 樨 ¬¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© (á¬. à §¤. 3.6) ¯à¨¬¥à¥ ãà ¢¥¨ï
Ay (x) +
Z
∞ −∞
Q(x + t)eβt y (t) dt = f (x),
(32)
£¤¥ Q = Q(z ), f (x) | ¯à®¨§¢®«ìë¥ äãªæ¨¨, A, β | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¥ª®â®àë¬ ®£à ¨ç¥¨ï¬. «ï £«ï¤®á⨠¢¬¥áâ® ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (32) ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì
L [y (x)℄
= f (x).
(33)
ª ç¥á⢥ ¯à®¡®£® à¥è¥¨ï ¢®§ì¬¥¬ íªá¯®¥âã
y0
= epx .
(34)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï (34) ¢ «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (33), ¯®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯®«ã稬
L [e
px
℄ = Aepx + q(p)e−(p+β )x,
£¤¥
q (p) =
Z
∞ −∞
Q(z )e(p+β )z dz.
(35)
Ǒà ¢ãî ç áâì (35) ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª äãªæ¨® «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ï¤à ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á epx . «ï ¥£® à¥è¥¨ï § ¬¥¨¬ p ¢ (35) −p − β . १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
L [e
−(p+β )x
℄ = Ae−(p+β )x + q(−p − β )epx .
(36)
¬®¨¬ ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(35) A, ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠(36) −q (p) ¨ á«®¨¬ ¯®ç«¥® ¯®«ãç¥ë¥ ¢ëà ¥¨ï. १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬
− q (p)e−(p+β )x℄ = [A2 − q (p)q (−p − β )℄epx . (37) 2 Ǒ®¤¥«¨¢ ®¡¥ ç á⨠(37) ¯®áâ®ïãî A − q (p)q (−p − β ), ¯®«ã稬 ¨á室®¥ L [Ae
px
¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥
Y (x, p) =
Aepx − q (p)e−(p+β )x , A2 − q (p)q (−p − β )
L [Y (x, p)℄
= epx .
(38)
¤¥áì −∞ < x < ∞, ¯®í⮬ã á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì p = iu ¨ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã« ¬¨ ¨§ ¯. 3.6-3. ®£¤ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (32) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ f (x) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
1 2π
y (x) = √
Z
∞ −∞
Y (x, iu)f~ (u) du,
f~ (u) =
Z
∞ −∞
f (x)e−iux dx.
(39)
• : Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . ¬¨à®¢ (1974), . . 客, . . ¥à᪨© (1978), . . Ǒ®«ï¨, . . ¨à®¢ (1997), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998). ¨â¥à âãà
5.9. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த 5.9-1. à ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
¯à¨«®¥¨ïå ç áâ® ¢áâà¥ç îâáï ãà ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த ¢¨¤ *
Z
∞ 1 K (x − t)y (t) dt = f (x), 2π 0
y (x) + √
0 < x < ∞,
(1)
* Ǒ¥à¥¤ ç⥨¥¬ í⮣® à §¤¥« ४®¬¥¤ã¥âáï ®§ ª®¬¨âáï á à §¤. 4.4 ¨ 4.5.
âà ¨æ 137
138
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
£¤¥ ï¤à® K (x) ®¯à¥¤¥«¥® ¢á¥© ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ®®¯à¥¤¥«¨¬ (1) ®âà¨æ ⥫쮩 ¯®«ã®á¨ ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥¨ï ®¤®áâ®à®¨å äãªæ¨©
y+ (x) =
y (x) ¯à¨ x > 0, f+ (x) = 0 ¯à¨ x < 0,
®£¤ ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥
1 2π
y+ (x) + √
Z
∞ −∞
f (x) ¯à¨ x > 0, y− (x) = 0 ¯à¨ x > 0. ¯à¨ x < 0,
0
K (x − t)y+ (t) dt = y− (x) + f+ (x),
−∞ < x < ∞, (2)
ª®â®à®¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á (1) ¯à¨ x > 0. ᯮ¬®£ ⥫ì ï äãªæ¨ï y− (x) ¢¢¥¤¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤®®¯à¥¤¥«¨âì «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (2) ¯à¨ x < 0. ¬¥â¨¬, çâ® y− (x) ¢ ®¡« á⨠x < 0 ¥¨§¢¥áâ ¨ 室¨âáï ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥¨ï § ¤ ç¨. Ǒ¥à¥å®¤ï ¢ à ¢¥á⢥ (2) ª ¨â¥£à « ¬ ãàì¥ (á¬. ¯¯. 1.4-3, 4.4-1, 4.4-2), ¯®«ã稬 § ¤ çã ¨¬ ¢ ä®à¬¥ + Y − (u) + F (u ) , Y + (u) = −∞ < u < ∞. (3) 1 + K(u) 1 + K(u) ◦ 1 . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ ®à¬ «ì®áâ¨, â. ¥.
1 + K(u) 6= 0,
¨ § ¯¨è¥¬ § ¤ çã ¨¬ ¢ ¥¥ ®¡ë箩 ä®à¬¥ £¤¥
Y + (u) = D(u)Y − (u) + H(u), D(u) =
−∞ < u < ∞,
(4)
F (u) 1 , H(u) = . 1 + K(u) 1 + K(u)
(5)
1 , 1 + K(u)
(6)
¤ ç ¨¬ (4) à ¢®á¨«ì ãà ¢¥¨î (1): ®¨ ®¤®¢à¥¬¥® à §à¥è¨¬ë ¨«¨ ¥à §à¥è¨¬ë, ¨¬¥îâ ¢ ®¡é¨å à¥è¥¨ïå ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå.
᫨ ¨¤¥ªá § ¤ ç¨ ¨¬
ν
= Ind
ª®â®àë© ¨®£¤ §ë¢ îâ ¨¤¥ªá®¬ ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த ¯®«®¨â¥«¥, â® ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ (1) (f (x) ≡ 0) ¨¬¥¥â ஢® ν «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©, ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬®, ¨ ¥£® à¥è¥¨¥ § ¢¨á¨â ®â ν ¯à®¨§¢®«ìëå ª®¬¯«¥ªáëå ¯®áâ®ïëå. á«ãç ¥ ν 6 0 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ ¨¬¥¥â ®â«¨çëå ®â ã«ï à¥è¥¨©. ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨ ν = 0 ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬®, ¯à¨ç¥¬ à¥è¥¨¥ ¥¤¨á⢥®. ®£¤ ¨¤¥ªá ν ®âà¨æ ⥫¥, ãá«®¢¨ï Z ∞ F (u) du = 0, k = 1, 2, . . . , −ν, (7) + k −∞ X (u)[1 + K(u)℄(u + i)
¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (á¬. ¯. 4.4-4). ® ¢á¥å á«ãç ïå, ª®£¤ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) áãé¥áâ¢ã¥â, ¥£® ¬®® ©â¨ ¯® ä®à¬ã«¥
1 2π
y (x) = y+ (x) = √
Z
∞ −∞
Y + (u)e−iux du,
x > 0,
(8)
£¤¥ Y + (u) | ¯®áâ஥®¥ ¯® á奬¥ ¨§ ¯. 4.4-4 (á¬. à¨á. 3) à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¨¬ (4) ¨ (5). ⬥⨬, çâ® ¢ ä®à¬ã«¥ (8)  ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ⮫쪮 äãªæ¨ï Y + (u), ª®â®à ï á¢ï§ á Y − (u) á®®â®è¥¨¥¬ (4).
âà ¨æ 138
5.9. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த
139
2◦ .
áá«¥¤ã¥¬ ⥯¥àì ¨áª«îç¨â¥«ìë© á«ãç © ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1), ª®£¤ àãè ¥âáï ãá«®¢¨¥ ®à¬ «ì®á⨠¤«ï § ¤ ç¨ ¨¬ (3) (á¬. ¯¯. 4.4-6 ¨ 4.4-7). í⮬ á«ãç ¥ ®âáãâáâ¢ãîâ 㫨 ª®íää¨æ¨¥â D(u) = [1 + K(u)℄−1 ¨ ¯®à冷ª ¥£® ¡¥áª®¥ç®á⨠η = 0. ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (3) ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯® ä®à¬ã« ¬ (63) ¨§ ¯. 4.4-7 ¯à¨ αi = 0. ¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ®¯à¥¤¥«¨âáï ¨§ à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¯® ä®à¬ã«¥ (8). à¨á. 4 ¨§®¡à ¥ á奬 à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨¥à {®¯ä (á¬. â ª¥ ¯. 4.5-1). Ǒਬ¥à.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ y (x) +
Z
∞
0
(a + b|x − t|)e−|x−t| y(t) dt = f (x),
x > 0,
(9)
£¤¥ ¯®áâ®ïë¥ a ¨ b ¢¥é¥áâ¢¥ë ¨ b 6= 0. ¤à® K (x−t) ¢ ãà ¢¥¨¨ (1) ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ K (x) =
©¤¥¬ ¨§®¡à ¥¨¥ ï¤à : K(u)
âáî¤
=
1 + K(u) =
Z
∞ −∞
√
2π (a + b|x|)e−|x| .
(a + b|x|)e−|x|+iux dx = 2
P (u) (u2 + 1)2
,
P (z )
u2 (a − b) + a + b . (u2 + 1)2
= z 4 + 2(a − b + 1)z 2 + 2a + 2b + 1.
áå®¤ï ¨§ ãá«®¢¨ï ®à¬ «ì®áâ¨, ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¯®áâ®ïë¥ a ¨ b â ª®¢ë, çâ® ¬®£®ç«¥ P (z) ¥ ¨¬¥¥â ¢¥é¥á⢥ëå ª®à¥©. Ǒãáâì α + iβ | ª®à¥ì ¡¨ª¢ ¤à ⮣® ãà ¢¥¨ï P (z ) = 0, ¯à¨ç¥¬ α > 0, β > 0. ®£¤ , ¢ ᨫ㠢¥é¥á⢥®á⨠ª®íää¨æ¨¥â®¢ ãà ¢¥¨ï, ¢¥«¨ç¨ë (α − iβ ), (−α + iβ ) ¨ (−α − iβ ) ¡ã¤ãâ âà¥¬ï ®áâ «ì묨 ª®àﬨ. ª¥ ¢ ᨫ㠢¥é¥á⢥®á⨠äãªæ¨ï 1 + K(u) ¨¬¥¥â ã«¥¢®© ¨¤¥ªá, â ª çâ® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (9) áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨á⢥®. §« £ ï ¬®¨â¥«¨, 室¨¬ 1 + K(u) = X − (u)/X + (u), £¤¥ X + (u )
=
(u + i)2 , (u + α + iβ )(u − α + iβ )
X − (u)
=
(u − α − iβ )(u + α − iβ ) . (u − i)2
ᯮ«ì§ãï íâ®â १ã«ìâ â, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (4), (5) ¢ ¢¨¤¥ Y + (u) (u − i)2 F + (u) − + X (u ) (u − α − iβ )(u + α − iβ )
=
Y − (u) , X − (u)
−∞ < u < ∞.
(10)
Ǒਬ¥ïï ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï (á¬. ¯. 4.4-3), ¯®«ãç ¥¬ ¢®§¬®®áâì ¯à¨à ¢ïâì ®¡¥ ç áâ¨ à ¢¥á⢠¢¥«¨ç¨¥ 1
u − α − iβ
+
2
u + α − iβ
£¤¥ ¯®áâ®ïë¥ C1 ¨ C2 ¯®¤«¥ â ®¯à¥¤¥«¥¨î. âáî¤
,
(u − i)2 F + (u) 1 2 + + . (u − α − iβ )(u + α − iβ ) u − α − iβ u + α − iβ «ï ãáâà ¥¨ï ¯®«îᮢ (α + iβ ) ¨ (−α + iβ ) ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¯®«®¨âì (α + iβ − i)2 F + (α + iβ ) (−α + iβ − i)2 F + (−α + iβ ) C1 = − , C2 = − . 2α −2α Y + (u)
= X + (u )
(11)
(12)
¢¨¤ã £à®¬®§¤ª®á⨠¯¥à¥å®¤ ®â ¨§®¡à ¥¨ï (11) ª ®à¨£¨ «ã ®áãé¥á⢨¬ ¢ ¤¢ íâ ¯ . ç « ©¤¥¬ ®à¨£¨ « á« £ ¥¬®£®
Y1 (u) = X + (u)
(u − i)2 F + (u) 1 = F + (u) = F + (u) + R(u)F + (u). (u − α − iβ )(u + α − iβ ) 1 + K(u)
âà ¨æ 139
140
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
¨á. 4. 奬 à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨¥à {®¯ä . Ǒਠ= 0 ¨¬¥¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த , ¯à¨ β = 1 | ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த . β
¤¥áì R(u)
2u2 (a − b) + 2a + 2b µ µ =− 2 = 2 + 2 [u − (α + iβ )2 ℄[u2 − (α − iβ )2 ℄ u − (α + iβ )2 u − (α − iβ )2
,
âà ¨æ 140
5.9. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த
µ
=i
©¤¥¬ ®à¨£¨ « ¯¥à¢®© ¤à®¡¨: F− 1
(α + iβ )2 (a − b) + a + b . 2αβ
µ u2 − (α + iβ )2
u2 − (α − iβ )2
ਣ¨ « ¢â®à®© ¤à®¡¨ § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ F−1
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨
R(x)
=
r
2
y1 (x) = f (x)+ ρ
Z
µ
=
r
=
r
π
2
π
2
µ e−(β−iα)|x| . β − iα µ e−(β +iα)|x| . β + iα
ρ eiθ+iα|x| + e−iθ−iα|x| e−β|x|
π
∞
0
141
(13)
√
= 2π ρe−β|x| os(θ + α|x|)
e−β|x−t| os(θ + α|x−t|)f (t) dt,
x > 0,
ρeiθ =
µ . (14) β − iα
¬¥â¨¬, çâ® ®¤®¢à¥¬¥® ¬ë 諨 १®«ì¢¥âã R(x − t) ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢á¥© ®á¨ Z y0 (x) +
∞
−∞
(a + b|x − t|)e−|x−t| y0 (t) dt = f0 (x),
¥¯¥àì à áᬮâਬ ®áâ ¢èãîáï ç áâì ¨§®¡à ¥¨ï (11):
ëç¨á«¨¢ ¨â¥£à «ë F−1 {Y2 (u)}
=
Y2 (u)
C √1 2π
Z
= X + (u )
∞ −∞
1
u − α − iβ
+
2
−∞ < x < ∞.
u + α − iβ
.
(u + i)2 e−iux du + (u + iβ − α)(u + iβ + α)(u − α − iβ ) Z ∞ C (u + i)2 e−iux du +√2 2π −∞ (u + iβ − α)(u + iβ + α)(u + α − iβ )
á ¯®¬®éìî ⥮ਨ ¢ëç¥â®¢ (á¬. ¯¯. 1.1-4 ¨ 1.1-5) ¨ ¯®¤áâ ¢¨¢ ¢¬¥áâ® ¯®áâ®ïëå C1 ¨ C2 ¨å § 票ï (12), ¯®«ã稬 ¯à¨ x > 0 y2 (x)
=
[α + (β − 1)2 ℄2 Z ∞ −β (x+t) e
os[α(x − t)℄f (t) dt+ 4α2 β 0 Z ∞ (β − 1 − iα)4 ρ e−β (x+t) os[ψ + α(x + t)℄f (t) dt, ρ∗ eiψ = + ∗2 4α 0 8α2 (β − iα)
.
(15)
ª ª ª Y +(u) = Y1 (u)+Y2 (u), â® ¨áª®¬®¥ à¥è¥¨¥ ¡ã¤¥â á㬬®© äãªæ¨© (14) ¨ (15). 5.9-2. â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨ ¢ ä®à¬¥ (−∞ < x < ∞)
Z
∞ 1 K1 (x − t)y (t) dt + 2π 0
y (x) + √
1 2π
√
Z 0
−∞
K2 (x − t)y (t) dt = f (x). (16)
¬¥â¨¬, çâ® ª ¤®¥ ¨§ 拉à K1 (x) ¨ K2 (x) § ¤ ® ¢á¥© ¢¥é¥á⢥®© ®á¨. Ǒ।áâ ¢«ïï ¨áª®¬ãî äãªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ à §®á⨠®¤®áâ®à®¨å:
y (x) = y+ (x) − y− (x),
(17)
âà ¨æ 141
142
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
§ ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥
1 2π
y+ (x)+ √
Z
∞ −∞
1 2π
K1 (x−t)y+ (t) dt−y− (x)− √
Z
Rb
∞ −∞
a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
K2 (x−t)y− (t) dt = f (x).
(18) Ǒ¥à¥å®¤ï ®â ®à¨£¨ «®¢ ª ¨§®¡à ¥¨ï¬ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (á¬. ¯. 1.4-3), ¯®«ã稬
[1 + K1 (u)℄Y + (u) − [1 + K2 (u)℄Y − (u) = F (u).
(19)
âªã¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
Y + (u) =
F (u) 1 + K2 (u) − Y (u) + . 1 + K1 (u) 1 + K1 (u)
(20)
¤¥áì K1 (u), K2 (u) ¨ F (u) | ¨â¥£à «ë ãàì¥ ¨§¢¥áâëå äãªæ¨©. ¥¨§¢¥áâë¥ ¨§®¡à ¥¨ï Y + (u) ¨ Y − (u) ïîâáï ªà ¥¢ë¬¨ § 票ﬨ äãªæ¨©, «¨â¨ç¥áª¨å ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç¥ ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬ .
1◦ .
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï ®à¬ «ì®áâ¨, â. ¥.
1 + K1 (u) 6= 0, 1 + K2 (u) 6= 0,
¨ § ¯¨è¥¬ § ¤ çã ¨¬ ¢ ¥¥ ®¡ë箩 ä®à¬¥ (á¬. ¯. 4.4-4):
Y + (u) = D(u)Y − (u) + H(u),
£¤¥
D(u) =
−∞ < u < ∞,
F (u) 1 + K2 (u) , H(u) = . 1 + K1 (u) 1 + K1 (u)
(21) (22)
¤ ç ¨¬ (21), (22) à ¢®á¨«ì ãà ¢¥¨î (16): ®¨ ®¤®¢à¥¬¥® à §à¥è¨¬ë ¨«¨ ¥à §à¥è¨¬ë ¨ ¨¬¥îâ ¢ ®¡é¨å à¥è¥¨ïå ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå.
᫨ ¨¤¥ªá 1 + K2 (u) ν = Ind (23) 1 + K1 (u)
¯®«®¨â¥«¥, â® ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ (16) (f (x) ≡ 0) ¨¬¥¥â ஢® ν «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©, ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬®, ¨ ¥£® à¥è¥¨¥ § ¢¨á¨â ®â ν ¯à®¨§¢®«ìëå ª®¬¯«¥ªáëå ¯®áâ®ïëå. á«ãç ¥ ν 6 0 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ ¨¬¥¥â ®â«¨çëå ®â ã«ï à¥è¥¨©. ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨ ν = 0 ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬®, ¯à¨ç¥¬ à¥è¥¨¥ ¥¤¨á⢥®. ®£¤ ¨¤¥ªá ν ®âà¨æ ⥫¥, ãá«®¢¨ï
Z
∞ −∞
F (u) du X + (u)[1 + K1 (u)℄(u + i)k
= 0,
k
= 1, 2, . . . , −ν,
(24)
¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï. ® ¢á¥å á«ãç ïå, ª®£¤ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (16) áãé¥áâ¢ã¥â, ¥£® ¬®® ©â¨ ¯® ä®à¬ã«¥
1 2π
y (x ) = √
Z
∞ −∞
[Y + (u) − Y − (u)℄e−iux du,
−∞ < x < ∞,
(25)
£¤¥ Y + (u), Y − (u) | ¯®áâ஥®¥ ¯® á奬¥ ¨§ ¯. 4.4-4 (á¬. à¨á. 3) à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¨¬ (21), (22). â ª, à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (16) à ¢®á¨«ì® à¥è¥¨î ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¨ ᢮¤¨âáï ª ¢ëç¨á«¥¨î ¥ª®â®à®£® ç¨á« ¨â¥£à «®¢ ãàì¥.
âà ¨æ 142
5.9. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த
143
2◦ .
áá«¥¤ã¥¬ ⥯¥àì ¨áª«îç¨â¥«ìë© á«ãç © ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (16). ®¯ãá⨬, çâ® äãªæ¨¨ 1 + K1 (u), 1 + K2 (u) ¬®£ãâ ¨¬¥âì 㫨, ¯à¨ç¥¬ í⨠㫨 ¬®£ãâ ¡ëâì ª ª ¢ à §«¨çëå, â ª ¨ ¢ ᮢ¯ ¤ îé¨å â®çª å ª®âãà . ¯¨è¥¬ à §«®¥¨¥ íâ¨å äãªæ¨©, ¢ë¤¥«¨¢ ᮢ¯ ¤ î騥 㫨:
1 + K1 (u) = 1 + K2 (u) =
s Y
j =1 r Y
i=1
(u − bj )βj
(u − ai )αi
p Y
k=1 p
Y
k=1
(u − dk )γk K11 (u),
(u − dk )γk K12 (u),
p X
k=1
(26)
γk
= l.
¤¥áì ai 6= bj , ® ¢®§¬®®, çâ® ®â¤¥«ìë¥ â®çª¨ dk (k = 1, . . . , p) ¬®£ãâ ᮢ¯ ¤ âì «¨¡® á ai , «¨¡® á bj . â® ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ⮬ã á«ãç î, ª®£¤ äãªæ¨¨ 1 + K1 (u) ¨ 1 + K2 (u) ¨¬¥îâ ®¡é¨© ã«ì à §®© ªà â®áâ¨. ë ¥ ¢ë¤¥«ï¥¬ â ª¨¥ â®çª¨ ®á®¡®, ¯®â®¬ã çâ® ¨å «¨ç¨¥ ¥ ®ª §ë¢ ¥â ¢«¨ï¨ï ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠¨ ç¨á«® à¥è¥¨© § ¤ ç¨. § à ¢¥á⢠(19) ¨ ãá«®¢¨ï ª®¥ç®á⨠ª®âãॠà¥è¥¨ï ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ãà ¢¥¨ï (16), ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë F (u) ¢® ¢á¥å â®çª å dk ®¡à é « áì ¢ ã«ì ¯®à浪 γk , â. ¥. F (u) ¤®« ¨¬¥âì ¢¨¤
F (u) =
p Y
k=1
«ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¥¨¥ γ1
Fu(jk ) (dk ) = 0,
(u − dk )γk F1 (u). + γ2 + · · · + γp = l ãá«®¢¨© jk
= 0, 1, . . . , γk − 1,
(27)
¨«¨, çâ® ¢á¥ à ¢®, ãá«®¢¨©
Z
∞ −∞
f (x)xjk eidk x dx = 0.
(28)
ª ª ª äãªæ¨¨ K1 (u) ¨ K2 (u) ®¡à é îâáï ¢ ã«ì ¡¥áª®¥ç®áâ¨, â® ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï â®çª ï¥âáï ®¡ëª®¢¥®© â®çª®© D(u). ®¯ãá⨬, çâ® ãá«®¢¨ï (28) ¢ë¯®«¥ë. ®£¤ ªà ¥¢ãî § ¤ çã ¨¬ (20) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ (á¬. ¯¯. 4.4-6 ¨ 4.4-7) r Q
Y + (u) = i=1 s Q
(u − ai )αi R+ (u)R− (u)
j =1
(u − bj )βj Q+ (u)Q− (u)
H1 (u) D2 (u)Y − (u) + Q . s (u − bj )βj j =1
(29)
©¤ï ¢ í⮬ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¥¥ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥, ¯®«ã稬 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ (25). ä®à¬ã«¨à㥬 ¢ë¢®¤ë ®¡ ãá«®¢¨ïå à §à¥è¨¬®á⨠¨ ç¨á«¥ à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï (16). «ï à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨ï (16) ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ á¢®¡®¤®£® ç«¥ ãà ¢¥¨ï 㤮¢«¥â¢®àï«® l ãá«®¢¨ï¬ (27).
᫨ í⨠ãá«®¢¨ï ¢ë¯®«¥ë, â® ¯à¨ ν − n > 0 § ¤ ç (20) ¨ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (16) ¨¬¥îâ ஢® ν − n «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©. Ǒਠν − n 6 0 ¬®£®ç«¥ Pν−n−1 (z ) á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì ⮤¥á⢥® à ¢ë¬ ã«î, ¯à¨ç¥¬ ®â ᢮¡®¤®£® ç«¥ ¢ á«ãç ¥ ν − n < 0 ¥®¡å®¤¨¬® ¯®âॡ®¢ âì ¢ë¯®«¥¨ï ¥é¥ n − ν ãá«®¢¨©. Ǒਠ¢ë¯®«¥¨¨ ¯®á«¥¤¨å ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥.
âà ¨æ 143
144
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ (16), ¤«ï ª®â®à®£® √ √ x > 0, −(1 + α) 2π e−x , −(1 + β ) 2π e−x , x > 0, K1 (x) = K2 (x) = 0, 0, x < 0, x < 0, 0,√ x > 0, f (x) = x < 0, − 2π ex , £¤¥ α ¨ β | ¢¥é¥áâ¢¥ë¥ ¯®áâ®ïë¥. ®£¤ K1 (x − t) = 0 ¤«ï x < t ¨ K2 (x − t) = 0 ¤«ï x < t. «¥¤®¢ ⥫ì®, § ¤ ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ä®à¬ã Ǒਬ¥à.
y (x) − (1 + α) y (x) − (1 + β )
Z
x
Z0
e−(x−t) y (t) dt − (1 + β )
x
e−(x−t) y (t) dt
−∞
ëç¨á«¨¬ ¨â¥£à «ë ãàì¥ K1 (u)
= −(1 + α)
Z
∞
0
−∞
e−(x−t) y (t) dt = 0,
=
i(1 + α) , K2 (u) u+i u − iβ D (u) = . u − iα
à ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ =
i , u−i
x > 0, x < 0.
= − 2π ex ,
e−x eiux dx = −
F (u)
Y + (u)
√
Z 0
=−
i(1 + β ) , u+i
u − iβ − i(u + i) Y (u) + . u − iα (u − i)(u − iα)
(30)
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¨¬ ¡ã¤¥â à §«¨çë¬ ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â § ª®¢ α ¨ β . 1◦ . Ǒãáâì α > 0 ¨ β > 0. í⮬ á«ãç ¥ ν = Ind D(u) = 0. «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâïå ªà ¥¢®£® ãá«®¢¨ï áâ®ïâ äãªæ¨¨, «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ë¥ ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥àåîî ¨ ¨îî ¯®«ã¯«®áª®áâ¨. Ǒਬ¥ïï ¥¯®á।á⢥® ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï (á¬. ¯. 4.4-3), ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì Y + (z )
âáî¤ y + (x )
= 0,
= 0,
i(z + i) z − iβ − Y (z ) + z − iα (z − i)(z − iα)
= −y− (x) =
√
Z
β+1 1 i(β − 1) z − iβ
=
Y − (z ) X − (z )
y (x)
1 2π
∞ −∞
= 0.
i(u + i) e−iux du. (u − i)(u − iβ )
ëç¨á«ïï ¯®á«¥¤¨© ¨â¥£à « ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨ β 6= 1, ¯® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å (á¬. ¯¯. 1.1-4 ¨ 1.1-5) ¯®«ã稬 ¯à¨ x > 0, 0 √ 2π y (x) = x βx [2e − (1 + β )e ℄ ¯à¨ x < 0. − 1−β á«ãç ¥ β = 1 ¨¬¥¥¬ 0√ ¯à¨ x > 0, y (x) = − 2π ex (1 + 2x) ¯à¨ x < 0. 2◦ . Ǒãáâì α < 0 ¨ β < 0. ¤¥áì ¯®-¯à¥¥¬ã ν = 0, X + (z ) = (z − iβ )(z − iα)−1 , X − (z ) = 1. à㯯¨àãï ç«¥ë, ᮤ¥à 騥 ªà ¥¢ë¥ § ç¥¨ï «¨â¨ç¥áª¨å ¢ ª ¤®© ¨§ ¯®«ã¯«®áª®á⥩ äãªæ¨© ¨ ¯à¨¬¥ïï § ⥬ ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï (á¬. ¯. 4.4-3), ©¤¥¬ Y + (z ) X + (z )
+
+
2
1
i(β − 1) z − i
= 0.
âà ¨æ 144
145
5.9. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த
âáî¤ Y + (z ) y (x)
3◦ .
=
1 2π
√
Z
∞ −∞
β+1 i , β − 1 z − iα
=
Y − (z )
+ Y (u) − Y − (u) e−iux du
=
2i 1 , β−1 z−i √ β + 1 αx e 2π √ β−1 2 2π ex β−1 =
¯à¨
x>0
,
¯à¨
x<0
.
Ǒãáâì α < 0 ¨ β > 0, ⮣¤ ν = 1. í⮬ á«ãç ¥, ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (30) § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥ i(1 + α) 1 1 − α u − iα
Y + (u) +
2i 1−α
u − iβ − Y (u) − u − iα
=
1
u−i
.
Ǒਬ¥ïï ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï (á¬. ¯. 4.4-3) ¯®«ã稬, çâ® Y + (z ) +
Ǒ®í⮬ã
Y + (z )
=
i(1 + α) 1 1 − α z − iα
1+α 1−α
C−i
z − iβ − Y (z ) − z − iα
=
1 z − iα
Y − (z )
,
=
2i 1−α
C − z − iβ
1
z−i
=
C . z − iα
2i z − iα , 1 − α (z − i)(z − iβ )
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. ¥¯¥àì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥, ¯®«ã稬 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ä®à¬¥
4◦ .
√ − 2π iC + y (x) = √ − 2π iC +
1 + α αx e ¯à¨ x > 0, 1−α √ 2 2π x 2(α − β ) e ¯à¨ x < 0. eβx − (1 − α)(1 − β ) 1−β Ǒãáâì α > 0 ¨ β < 0, ⮣¤ ν = −1. Ǒ® ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï (á¬. ¯. 4.4-3) z − iβ − i(z + i) Y (z ) + = 0, Y + (z ) = z − iα (z − i)(z − iα)
â ª çâ®
i(z + i) . (z − i)(z − iβ ) § ¢ëà ¥¨ï ¤«ï Y −(z) ¢¨¤®, çâ® ®á®¡¥®áâì äãªæ¨¨ Y − (z) ¢ â®çª¥ iβ ¨á祧¥â, ¥á«¨ ¯®«®¨âì β = −1. Ǒ®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¨ ¡ã¤¥â ãá«®¢¨¥¬ à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ ¨¬ . Y + (z )
= 0,
Y − (z )
=−
í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ y (x )
=
1 2π
√
Z
∞ −∞
i e−iux du u−i
=
0√ − 2π ex
¯à¨ ¯à¨
x> x<
0, 0.
¬¥ç ¨¥ 1. à áᬮâà¥ë¬ ¢ ¯. 5.9-2 ãà ¢¥¨ï¬ ¯à¨¢®¤ïâáï ¥ª®â®àë¥ ãà ¢¥¨ï, ¢ ï¤à ª®â®àëå ¢å®¤ïâ ¥ à §®áâ¨, ¤à㣨¥ ¨å ª®¬¡¨ 樨: ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨«¨, ç é¥, ®â®è¥¨ï. ª, ¯à¨¬¥à, ãà ¢¥¨¥
Y (ξ ) +
Z 1 1
0 τ
N1
ξ τ
Y (τ ) dτ +
Z
∞
1
1 τ
N2
ξ τ
Y (τ ) dτ
= g (ξ ),
ξ > 0, (31)
áâ ®¢¨âáï ®¡ëçë¬ ãà ¢¥¨¥¬ á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨, ¥á«¨ ᤥ« âì á«¥¤ãî騥 § ¬¥ë äãªæ¨© ¨ ¨å à£ã¬¥â®¢: ξ = ex , τ = et , N1 (ξ ) = K1 (x), N2 (ξ ) = K2 (x), g (ξ ) = f (x), Y (ξ ) = y (x). 10 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 145
146
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
5.9-3. à ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
1
◦
. áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த
Z
x 1 K (x − t)y (t) dt = f (x), 2π 0
y (x) + √
0 6 x < T,
(32)
£¤¥ ¯à®¬¥ã⮪ [0, T ) ¬®¥â ¡ëâì ª ª ª®¥çë¬, â ª ¨ ¡¥áª®¥çë¬. ®â«¨ç¨¥ ®â ãà ¢¥¨ï (1), £¤¥ ï¤à® § ¤ ¥âáï ¢á¥© ®á¨, §¤¥áì ï¤à® § ¤ ¥âáï ¯®«®¨â¥«ì®© ¯®«ã®á¨. à ¢¥¨¥ (32) ¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ç áâë© á«ãç © ®¤®áâ®à®¥£® ãà ¢¥¨ï (1) ¨§ ¯. 5.9-1. «ï í⮣® ¤®áâ â®ç® § ¯¨á âì ¥£® ¢ ¢¨¤¥
Z
∞ 1 K+ (x − t)y (t) dt = f (x), 2π 0
y (x) + √
0 < x < ∞,
¯à¨¢®¤ï饬áï ª á«¥¤ãî饩 ªà ¥¢®© § ¤ ç¥:
Y − (u) 1 + K+ (u)
Y + (u) =
+
F + (u) . 1 + K+ (u)
¤¥áì ª®íää¨æ¨¥â [1 + K+ (u)℄−1 § ¤ ç¨ ¥áâì äãªæ¨ï, «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ ï ¢ ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì, § ¨áª«î票¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« ¢®§¬®ëå ¯®«îᮢ, ïîé¨åáï ã«ï¬¨ äãªæ¨¨ 1 + K+ (z ) (áç¨â ¥¬, çâ® ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ 1 + K+ (z ) 6= 0). Ǒ®í⮬㠨¤¥ªá ν § ¤ ç¨ ¢á¥£¤ ¥¯®«®¨â¥«¥, ν 6 0. Ǒ¥à¥¯¨á ¢ § ¤ çã ¢ ¢¨¤¥ [1 + K+ (u)℄Y + (u) = Y − (u) + F + (u), ¢¨¤¨¬, çâ® Y − (u) ≡ 0, â ª çâ® F + (u) Y + (u) = . (33) 1 + K+ (u) áᬮâਬ á«¥¤ãî騥 á«ãç ¨.
1.1. ãªæ¨ï 1+ K+ (z ) ¥ ¨¬¥¥â ã«¥© ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠(íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ν = 0). «¥¤®¢ ⥫ì®, ãà ¢¥¨¥ (32) ¯à¨ «î¡®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ª®â®à®¥ ¬®® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ १®«ì¢¥âã:
Z
x 1 R(x − t)f (t) dt, 2π 0
y (x ) = f (x ) + √ £¤¥
1 2π
R(x) = − √
Z
∞ −∞
x > 0,
(34)
K+ (u) e−iux du. 1 + K+ (u)
1.2. ãªæ¨ï 1 + K+ (z ) ¨¬¥¥â 㫨 ¢ â®çª å z = a1 , a2 , . . . , am ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠(⮣¤ ν < 0, ¯à¨ç¥¬ ν à ¢® ¢§ï⮬ã á® § ª®¬ ¬¨ãá á㬬 ஬㠯®à浪ã ã«¥©). ®£ã⠯।áâ ¢¨âìáï ¤¢¥ ¢®§¬®®áâ¨:
(a) ãªæ¨ï F + (z ) ¢ â®çª å a1 , a2 , . . . , am ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì, ¯à¨ç¥¬ ¯®à浪¨ íâ¨å ã«¥© ¥ ¨¥ ¯®à浪®¢ ã«¥© äãªæ¨¨ 1+ K+ (z ). í⮬ á«ãç ¥ äãªæ¨ï F + (z )[1 + K+ (z )℄−1 ®¯ïâì ¥ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¯®«îᮢ, â ª çâ® ¯®-¯à¥¥¬ã ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ (34). Ǒ।«®¥¨¥ dk F + (aj )/dz k = 0 ®¡ ®¡à 饨¨ F + (z ) ¢ ã«ì à ¢®á¨«ì® ãá«®¢¨ï¬
Z
∞ −∞
f (t)e−iaj t tk dt = 0,
k
= 0, . . . , ηj − 1,
j
= 1, . . . , m,
(35)
£¤¥ ηj | ªà â®áâì ã«ï äãªæ¨¨ 1 + K+ (z ) ¢ â®çª¥ aj . á«®¢¨ï (35) ª« ¤ë¢ îâáï 㥠¥¯®á।á⢥® ¯à ¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï.
âà ¨æ 146
5.9. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த
147
(b) ãªæ¨ï F + (z ) ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¢ â®çª å a1 , a2 , . . . , am (¨«¨, ¥á«¨ ®¡à é ¥âáï, â® á ªà â®áâﬨ, ¬¥ì訬¨, 祬 1 + K+ (z )). ®£¤ äãªæ¨ï F + (z )[1 + K+ (z )℄−1 ¨¬¥¥â ¯®«îáë, ¨ ¯®í⮬ã äãªæ¨ï (33) ¥ ¯à¨ ¤«¥¨â ãá«®¢«¥®¬ã ª« ááã. à ¢¥¨¥ (32) ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨© ¢ ¢ë¡à ®¬ ª« áᥠäãªæ¨©. à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ãá«®¢¨ï (35) ¥ ¢ë¯®«ïîâáï. Ǒ®á«¥¤¨© १ã«ìâ â ¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¨§¢¥á⮬ã ä ªâã, çâ® ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. à ¢¥¨¥ (32) ¯à¨ ¤«¥¨â ª« ááã ãà ¢¥¨© ⨯ ®«ìâ¥àà ¨ ¯®í⮬㠢 á«ãç ¥ (b) ¡ã¤¥â â ª¥ à §à¥è¨¬®, ® ¢ ¡®«¥¥ è¨à®ª®¬ ¯à®áâà á⢥ äãªæ¨© á ¯®ª § ⥫ìë¬ à®á⮬.
2◦ . à㣨¬ ¯à®áâë¬ ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï (1) ¨§ ¯. 5.9-1 ¡ã¤¥â ãà ¢¥¨¥ á ¯¥à¥¬¥ë¬ ¨¨¬ ¯à¥¤¥«®¬: 1 2π
y (x) + √
Z
∞ x
K (x − t)y (t) dt = f (x),
0 < x < ∞.
(36)
⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â á«ãç î, ª®£¤ ¢ ãà ¢¥¨¨ (1) äãªæ¨ï K (x) ¡ã¤¥â «¥¢®© ®¤®áâ®à®¥©: K (x) = K− (x). ¤ ç ¨¬ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ 1+ K− (u) 6= 0 ¯à¨¬¥â ¢¨¤ + Y − (u) Y + (u) = (37) + F (−u) . − 1 + K (u) 1 + K (u )
2.1. ãªæ¨ï 1+ K− (z ) ¥ ¨¬¥¥â ã«¥© ¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨. â® ®§ ç ¥â, çâ® ®à¨£¨ «®¬ äãªæ¨¨ Y − (u)[1 + K− (u)℄−1 á«ã¨â «¥¢ ï ®¤®áâ®à®ïï, ¯®á«¥¤ïï ¥ ®ª ¥â ¢«¨ï¨ï ¯à¨ x > 0 á®®â®è¥¨¥ ¬¥¤ã ®à¨£¨ « ¬¨ à ¢¥á⢠(37). â ª, ¢¢¥¤ï ¤«ï 㤮¡á⢠äãªæ¨î
R− (u) = −
K− (u) , 1 + K− (u)
¯à¨¬¥ïï ª ®¡¥¨¬ ç áâï¬ à ¢¥á⢠(37) ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¨ ¯®« £ ï x > 0, ¯®«ã稬 ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (36)
1 2π
y (x) = f (x) + √
Z
∞ x
R− (x − t)f (t) dt,
x > 0.
2.2. ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠ã äãªæ¨¨ 1 + K− (z ) ¥áâì 㫨. ª ª ª íâ äãªæ¨ï ¢á¥© ¢¥é¥á⢥®© ®á¨, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ®â«¨ç ®â ã«ï, â® ç¨á«® ¥¥ ã«¥© ª®¥ç®. ¤ ç ¨¬ (37) ¨¬¥¥â ¯®«®¨â¥«ìë© ¨¤¥ªá, ª ª à § à ¢ë© ç¨á«ã ã«¥© äãªæ¨¨ ¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠(㫨 áç¨â îâáï á⮫쪮 à §, ª ª®¢ ¨å ªà â®áâì):
ν
= Ind
1 = − Ind[1 + K− (u)℄ = η1 + · · · + ηn > 0. 1 + K− (u)
¤¥áì ηk | ªà â®á⨠㫥© zk äãªæ¨¨ Ǒãáâì C1k + C2k 2 z − zk (z − zk )
1 + K− (z ), k = 1, 2, . . . , n. + ··· +
Cηk k
(z − zk )ηk
¥áâì £« ¢ ï ç áâì à §«®¥¨ï äãªæ¨¨ Y (z )[1 + K− (z )℄−1 ¢ àï¤ ®à ¯® á⥯¥ï¬ (z − zk ), k = 1, 2, . . . , n. ®£¤ à ¢¥á⢮ (37) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
Y + (u) =
F + (u) 1 + K− (u)
+
−
ηk n X X
Cjk
(z − zk )j k=1 j =1
+ ··· ,
(38)
10*
âà ¨æ 147
148
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
£¤¥ ¬®£®â®ç¨¥ ®§ ç ¥â äãªæ¨î, ®à¨£¨ « ª®â®à®© à ¢¥ ã«î ¯à¨ x > Ǒ¥à¥å®¤ï ¢ à ¢¥á⢥ (38) ª ®à¨£¨ « ¬, ¯à¨ x > 0 ¯®«ã稬
1 2π
y (x) = f (x) + √
Z
∞ x
R− (x − t)f (t) dt +
n X
k=1
Pk (x)e−izk x ,
0.
x > 0. (39)
¤¥áì Pk (x) | ¬®£®ç«¥ë á⥯¥¥© ηk − 1. ®® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® (39) ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (36) ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ìëå ª®íää¨æ¨¥â å ¬®£®ç«¥®¢. ª ª ª ç¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (36) à ¢® ¨¤¥ªáã, â® ©¤¥®¥ à¥è¥¨¥ (39) ¡ã¤¥â ®¡é¨¬ à¥è¥¨¥¬ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï. 5.9-4. Ǒ ஥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த
áᬮâਬ ¯ ஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த
Z
∞ 1 K1 (x − t)y (t) dt = f (x), 2π −∞ Z ∞ 1 K2 (x − t)y (t) dt = f (x), y (x) + √ 2π −∞
y (x) + √
0 < x < ∞, −∞ < x < 0,
(40)
£¤¥ äãªæ¨ï y (x) ï¥âáï ¨áª®¬®©. «ï ¯à¨¬¥¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (á¬. ¯¯. 1.4-3, 4.4-1, 4.4-2) ¤®®¯à¥¤¥«¨¬ ®¡ ãá«®¢¨ï ¢ ãà ¢¥¨¨ (40), ä®à¬ «ì® § ¯¨á ¢ ¨å ¤«ï ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ìëå § 票© x. ⮣® ¬®® ¤®á⨣ãâì ¯ã⥬ ¢¢¥¤¥¨ï ¢ ¯à ¢ë¥ ç á⨠®¢ëå ¥¨§¢¥áâëå äãªæ¨©. Ǒ®á«¥¤¨¥ ¤®«ë ¡ëâì ¢ë¡à ë â ª, çâ®¡ë ®¨ ¥ àãè «¨ § ¤ ëå ¯®«ã®áïå ãá«®¢¨©. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥à奥 ãá«®¢¨¥ (40) ¤®«® ¡ëâì ¤®¯®«¥® á« £ ¥¬ë¬, ª®â®à®¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¯®«®¨â¥«ì®© ¯®«ã®á¨, ¨¥¥ | á« £ ¥¬ë¬, à ¢ë¬ ã«î ®âà¨æ ⥫쮩. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯ ஥ ãà ¢¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ä®à¬¥
Z
∞ 1 K1 (x − t)y (t) dt = f (x) + ξ− (x), 2π −∞ Z ∞ 1 K2 (x − t)y (t) dt = f (x) + ξ+ (x), y (x) + √ 2π −∞
y (x) + √
− ∞ < x < ∞,
(41)
£¤¥ ξ± (x) | ¯®ª ¥¨§¢¥áâë¥ ¯à ¢ ï ¨ «¥¢ ï ®¤®áâ®à®¨¥ äãªæ¨¨. ®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¨â¥£à «ìë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥, ¯®«ã稬
[1 + K1 (u)℄Y (u) = F (u) + − (u), [1 + K2 (u)℄Y (u) = F (u) + + (u). ¤¥áì ¥¨§¢¥áâ묨 ïîâáï âਠäãªæ¨¨ Y (u), + (u) ¨ − (u).
(42)
¥¯¥àì ¬®® ®á®¢ ¨¨ (42) ©â¨
Y (u) =
F (u) + − (u) 1 + K1 (u)
=
F (u) + + (u) 1 + K2 (u)
(43)
¨, ¨áª«îç ï ¯à¨ ¯®¬®é¨ à ¢¥á⢠(43) äãªæ¨î Y (u) ¨§ á®®â®è¥¨© (42), ¯®«ãç¨âì ªà ¥¢ãî § ¤ çã ¨¬ ¢ ¢¨¤¥
+ (u) = 1 + K2 (u) − (u) + 1◦ .
1 + K1 (u)
K2 (u) − K1 (u) F (u), 1 + K1 (u)
−∞ < u < ∞.
(44)
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï ®à¬ «ì®áâ¨, â. ¥.
1 + K1 (u) 6= 0, 1 + K2 (u) 6= 0,
âà ¨æ 148
149
5.10. ¥â®¤ ¨¥à {®¯ä
¨ § ¯¨è¥¬ ⥯¥àì § ¤ çã ¨¬ (44) ¢ ¥¥ ®¡ë箩 ä®à¬¥ (á¬. ¯. 4.4-4)
+ (u) = D(u)− (u) + H(u),
£¤¥
−∞ < u < ∞,
(45)
K2 (u) − K1 (u) F (u). (46) 1 + K1 (u) ¤ ç ¨¬ (45), (46) à ¢®á¨«ì ãà ¢¥¨î (40): ®¨ ®¤®¢à¥¬¥® à §à¥è¨¬ë ¨«¨ ¥à §à¥è¨¬ë, ¨¬¥îâ ¢ ®¡é¨å à¥è¥¨ïå ®¤¨ ª®¢®¥ ç¨á«® ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå.
᫨ ¨¤¥ªá 1 + K2 (u) ν = Ind (47) 1 + K1 (u)
D(u) =
1 + K2 (u) , H(u) = 1 + K1 (u)
¯®«®¨â¥«¥, â® ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ (40) (f (x) ≡ 0) ¨¬¥¥â ஢® ν «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©, ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬®, ¨ ¥£® à¥è¥¨¥ § ¢¨á¨â ®â ν ¯à®¨§¢®«ìëå ª®¬¯«¥ªáëå ¯®áâ®ïëå. á«ãç ¥ ν 6 0 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ ¨¬¥¥â ®â«¨çëå ®â ã«ï à¥è¥¨©. ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨ ν = 0 ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬®, ¯à¨ç¥¬ à¥è¥¨¥ ¥¤¨á⢥®. ®£¤ ¨¤¥ªá ν ®âà¨æ ⥫¥, ãá«®¢¨ï
Z
∞ −∞
K2 (u) − K1 (u) du F (u) X + (u)[1 + K1 (u)℄ (u + i)k
= 0,
k
= 1, 2, . . . , −ν,
(48)
¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï. ® ¢á¥å á«ãç ïå, ª®£¤ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (40) áãé¥áâ¢ã¥â, ¥£® ¬®® ©â¨ ¯® ä®à¬ã«¥
Z
Z
F (u) + + (u) −iux e du, 2π −∞ 1 + K2 (u) −∞ (49) £¤¥ + (u), − (u) | ¯®áâ஥®¥ ¯® á奬¥ ¨§ ¯. 4.4-4 (á¬. à¨á. 3) à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¨¬ (45), (46).
1 2π
y (x) = √
∞
F (u) + − (u) −iux e du 1 + K1 (u)
= √1
∞
2◦ .
áá«¥¤ã¥¬ ⥯¥àì ¨áª«îç¨â¥«ìë© á«ãç © ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (40). ®¯ãá⨬, çâ® äãªæ¨¨ 1 + K1 (u), 1 + K2 (u) ¬®£ãâ ¨¬¥âì 㫨, ¯à¨ç¥¬ í⨠㫨 ¬®£ãâ ¡ëâì ª ª ¢ à §«¨çëå, â ª ¨ ¢ ᮢ¯ ¤ îé¨å â®çª å ª®âãà . ®§ì¬¥¬ à §«®¥¨¥ íâ¨å äãªæ¨©, ¢ë¤¥«¨¢ ᮢ¯ ¤ î騥 㫨 ¢ ä®à¬¥ (26), ¨ ¤ «¥¥ ¯®¢â®à¨¬ ¢á¥ à áá㤥¨ï, ¯à®¢¥¤¥ë¥ ¤«ï ãà ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨ ¢â®à®£® த á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨. ©¤ï ¢ í⮬ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ á«ãç ¥ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ (44) (á¬. ¯. 4.4-7), ¯®«ã稬 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (40) ¯® ä®à¬ã«¥ (49). 뢮¤ë ®¡ ãá«®¢¨ïå à §à¥è¨¬®á⨠¨ ç¨á«¥ à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï (40) «®£¨çë ᤥ« ë¬ ¤«ï ãà ¢¥¨ï á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨ ¢ ¯. 5.9-2. ¬¥ç ¨¥ 2.
áᬮâà¥ë¥ ¢ à §¤. 5.9 ãà ¢¥¨ï ¨®£¤ §ë¢ îâ
å à ª-
â¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ ⨯ ᢥà⪨.
•
: . . 客, . . ¥à᪨© (1978).
¨â¥à âãà
5.10. ¥â®¤ ¨¥à {®¯ä 5.10-1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï
Ǒãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ äãªæ¨¨ y (x) (á¬. ¯. 1.4-3):
1 2π
Y (z ) = √
Z
∞ −∞
y (x)eizx dx.
(1)
âà ¨æ 149
150
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¯ à ¬¥âà z , ¢å®¤ï騩 ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ (1), ¬®¥â ¯à¨¨¬ âì ¨ ª®¬¯«¥ªáë¥ § 票ï. áá«¥¤ã¥¬ ᢮©á⢠äãªæ¨¨ Y (z ), à áᬠâਢ ¥¬®© ª ª äãªæ¨ï ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z . «ï í⮣® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ äãªæ¨î y (x) ¢ ¢¨¤¥*
y (x) = y + (x) + y − (x), − + £¤¥ äãªæ¨¨ y (x) ¨ y (x) ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë 0 ¯à¨ x > 0, y (x) ¯à¨ x > 0, y + (x) = y − (x) = y (x) ¯à¨ x < 0. 0 ¯à¨ x < 0,
(2)
(3)
§®¡à ¥¨¥ Y (z ) äãªæ¨¨ y (x) ¯à¨ í⮬, ®ç¥¢¨¤®, à ¢® á㬬¥ ¨§®¡à ¥¨© Y+ (z ), Y− (z ) äãªæ¨© y + (x) ¨ y − (x). ëïᨬ «¨â¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠äãªæ¨¨ Y (z ), ãáâ ®¢¨¢ «¨â¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠äãªæ¨© Y+ (z ) ¨ Y− (z ). áᬮâਬ äãªæ¨î y + (x), § ¤ ¢ ¥¬ãî á®®â®è¥¨ï¬¨ (3).
¥ ¨§®¡à ¥¨¥¬ ï¥âáï Z ∞ 1 Y+ (z ) = √ y + (x)eizx dx. (4) 2π 0 ®® ¯®ª § âì, çâ® ¥á«¨ äãªæ¨ï y + (x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î |y + (x)| < M ev− x ¯à¨ x → ∞, (5) £¤¥ M | ¥ª®â®à ï ¯®áâ®ï ï, â® äãªæ¨ï Y+ (z ), ®¯à¥¤¥«¥ ï ä®à¬ã«®© (4), ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z = u + iv ¢ ®¡« á⨠Im z > v− , ¯à¨ç¥¬ ¢ í⮩ ®¡« á⨠Y+ (z ) → 0 ¯à¨ |z| → ∞. ®® â ª¥ ¯®ª § âì, çâ® äãªæ¨¨ y + (x) ¨ Y+ (z ) á¢ï§ ë á«¥¤ãî騬 á®®â®è¥¨¥¬:
1 2π
y + (x) = √
Z
∞+iv
−∞+iv
Y+ (z )e−izx dz,
(6)
£¤¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® «î¡®© ¯àאַ© Im z = v > v− , ¯ à ««¥«ì®© ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠z . Ǒਠv− < 0 (â. ¥. ¤«ï ã¡ë¢ îé¨å ¡¥áª®¥ç®á⨠äãªæ¨© y (x)) ®¡« áâì «¨â¨ç®á⨠äãªæ¨¨ Y+ (z ) ᮤ¥à¨â ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì ¨ ¢ ä®à¬ã«¥ (6) ¬®® ¯à®¢®¤¨âì ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¢¤®«ì ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨.
᫨ v− > 0 (â. ¥. äãªæ¨ï y + (x) à áâ¥â ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ® ¥ ¡ëáâ॥, 祬 íªá¯®¥â á «¨¥©ë¬ ¯®ª § ⥫¥¬), â® ®¡« áâì «¨â¨ç®á⨠äãªæ¨¨ Y+ (z ) «¥¨â ¤ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®áìî ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠z (¯à¨ í⮬ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ¨â¥£à « (4) ¬®¥â à á室¨âìáï). «®£¨ç®, ¥á«¨ äãªæ¨ï y − (x) ¨§ á®®â®è¥¨© (3), 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î
|y − (x)| < M ev+ x
â® ¥¥ ¨§®¡à ¥¨¥, äãªæ¨ï
1 2π
Y− (z ) = √
Z 0
¯à¨
−∞
x → −∞,
y − (x)eizx dx,
(7)
(8)
ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z ¨ ¢ ®¡« áâ¨
Im z < v+ . ãªæ¨ï y − (x) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ äãªæ¨î Y− (z ) á ¯®¬®éìî á®®â®è¥¨ï
1 2π
y − (x) = √
Z
∞+iv
−∞+iv
Y− (z )e−izx dz,
Im z = v < v+ .
(9)
* ¢¥¤¥ë¥ ¢ í⮬ à §¤¥«¥ äãªæ¨¨ y± (x) ¨ Y± (x) ¥ á«¥¤ã¥â ¯ãâ âì á äãªæ¨ï¬¨ ¨ Y ±(x), ¢¢¥¤¥ë¬¨ ¢ ¯. 4.4-2 ¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¢è¨¬¨áï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨.
y± (x)
âà ¨æ 150
151
5.10. ¥â®¤ ¨¥à {®¯ä
᫨ v+ > 0, â® ®¡« áâì «¨â¨ç®á⨠äãªæ¨¨ Y− (z ) ᮤ¥à¨â ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì. 祢¨¤®, ¯à¨ v− < v+ äãªæ¨ï Y (z ), ®¯à¥¤¥«¥ ï ¯® ä®à¬ã«¥ (1), ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ . Ǒਠí⮬ äãªæ¨¨ y (x) ¨ Y (z ) á¢ï§ ë ®¡à âë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥:
Z
1 2π
y (x) = √
∞+iv
−∞+iv
Y (z )e−izx dz,
(10)
£¤¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® «î¡®© ¯àאַ©, ¯ à ««¥«ì®© ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠z , «¥ 饩 ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ . ç áâ®áâ¨, ¯à¨ v− < 0 ¨ v+ > 0 äãªæ¨ï Y (z ) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¢ ¯®«®á¥, ᮤ¥à 饩 ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠z . Ǒਬ¥à 1.
ãªæ¨ï K (x) = e−α|x| ¯à¨ α > 0 ®¡« ¤ ¥â ¨§®¡à ¥¨¥¬ K(z )
1 2π
=
√
α2
2α , + z2
ïî騬áï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z ¢ ¯®«®á¥ −α < Im z < α, ᮤ¥à 饩 ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì. 5.10-2. ¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
áᬮâਬ ®¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥ Z ∞
y (x) =
0
K (x − t)y (t) dt,
(11)
£¤¥ äãªæ¨ï K (x) § ¤ ¢á¥© ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï, ®ç¥¢¨¤®, 室¨âáï á â®ç®áâìî ¤® ¯à®¨§¢®«ì®£® ¬®¨â¥«ï. ¬®¥â ¡ëâì ©¤¥ ¨§ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨© § ¤ ç¨, ¯à¨¬¥à ãá«®¢¨© ®à¬¨à®¢ª¨. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ãà ¢¥¨¥ (11) ®¯à¥¤¥«ï¥â äãªæ¨î y (x) ¤«ï ¢á¥å § 票© ¯¥à¥¬¥®© x, ª ª ¯®«®¨â¥«ìëå, â ª ¨ ®âà¨æ ⥫ìëå. ¢¥¤¥¬ äãªæ¨¨ y − (x) ¨ y + (x) ¯® ä®à¬ã« ¬ (3). 祢¨¤®, y (x) = y + (x)+ y − (x), ¨ ãà ¢¥¨¥ (11) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
y + (x) = y − (x) =
Z
∞
Z0
0
∞
K (x − t)y + (t) dt,
x>0
(12)
K (x − t)y + (t) dt,
x < 0.
(13)
® ¥áâì äãªæ¨ï y + (x) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (12), äãªæ¨ï y − (x) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ äãªæ¨¨ y + (x) ¨ K (x) á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë (13). Ǒਠí⮬ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â®è¥¨¥
y + (x) + y − (x) =
Z
∞ −∞
K (x − t)y + (t) dt,
(14)
íª¢¨¢ «¥â®¥ ¨á室®¬ã ãà ¢¥¨î (11). Ǒãáâì äãªæ¨ï K (x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬
|K (x)| < M ev− x |K (x)| < M ev+ x
£¤¥ v− < 0, v+ > 0. ®£¤ äãªæ¨ï
1 2π
K(z ) = √
Z
¯à¨ ¯à¨
∞ −∞
x → ∞, x → −∞,
K (x)eizx dx,
(15)
(16)
âà ¨æ 151
152
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ . 㤥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (11), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î
|y + (x)| < M1 eµx
¯à¨
|y − (x)| < M2 ev+ x
¯à¨
x → ∞,
(17)
x → −∞.
(18)
£¤¥ µ < v+ (â ª®¥ à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â). Ǒਠí⮬ ¨â¥£à «ë ¢ ¯à ¢ëå ç áâïå á®®â®è¥¨© (12) ¨ (13), ª ª ¬®® ¯à®¢¥à¨âì, ïîâáï á室ï騬¨áï, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï äãªæ¨¨ y − (x) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ®æ¥ª § ãá«®¢¨© (17) ¨ (18) á«¥¤ã¥â, çâ® ¨§®¡à ¥¨ï Y+ (z ) ¨ Y− (z ) äãªæ¨© y + (x) ¨ y − (x) ïîâáï «¨â¨ç¥áª¨¬¨ äãªæ¨ï¬¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z ¯à¨ Im z > µ ¨ Im z < v+ ᮮ⢥âá⢥®. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª à¥è¥¨î ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (11) ¨«¨ íª¢¨¢ «¥â®£® ¥¬ã ãà ¢¥¨ï (14), ¤«ï 祣® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥. ¯®¬®éìî â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ (á¬. ¯. 1.4-4) ®á®¢ ¨¨ (14) ¯®«ã稬
¨«¨ £¤¥
Y+ (z ) + Y− (z ) =
√
2π K(z )Y+ (z ),
W (z )Y+ (z ) + Y− (z ) = 0, W (z ) = 1 −
√
2π K(z ) 6= 0.
(19) (20)
â ª, á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ ã¤ «®áì ¯¥à¥©â¨ ®â ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ª «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï ¨§®¡à ¥¨©. ¤ ª® ⥯¥àì ¢ ãà ¢¥¨¥ (19) ¢å®¤ïâ 㥠¤¢¥ ¥¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨. ®®¡é¥ £®¢®àï, ¨§ ®¤®£® «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¥«ì§ï ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤¢¥ ¥¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨. ¥â®¤ ¨¥à {®¯ä ¯®§¢®«ï¥â à¥è¨âì íâã § ¤ çã ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®£® ª« áá äãªæ¨©. ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì á¢ï§ á ¨§ã票¥¬ ®¡« á⥩ «¨â¨ç®á⨠¢å®¤ïé¨å ¢ ãà ¢¥¨¥ äãªæ¨© ¨ á¯¥æ¨ «ìë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ í⮣® ãà ¢¥¨ï. ᮢ ï ¨¤¥ï ¬¥â®¤ ¨¥à {®¯ä § ª«îç ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬. Ǒãáâì ãà ¢¥¨¥ (19) ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥
W+ (z )Y+ (z ) = −W− (z )Y− (z ),
(21)
W+ (z )Y+ (z ) = −W− (z )Y− (z ) = onst .
(22)
£¤¥ «¥¢ ï ç áâì ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z > µ, ¯à ¢ ï | «¨â¨ç¥áª®© ¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z < v+ , ¯à¨ç¥¬ µ < v+ , â ª çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ®¡é ï ¯®«®á «¨â¨ç®á⨠íâ¨å äãªæ¨© µ < Im z < v+ . ®£¤ ¢ ᨫ㠥¤¨á⢥®á⨠«¨â¨ç¥áª®£® ¯à®¤®«¥¨ï ¬®® ã⢥ठâì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ ï 楫 ï äãªæ¨ï ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®©, ᮢ¯ ¤ îé ï á «¥¢®© ç áâìî (21) ¢ ¢¥à奩 ¨ ¯à ¢®© ç áâìî (21) ¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠ᮮ⢥âá⢥®.
᫨ ¯à¨ í⮬ ¨§¢¥áâ®, çâ® äãªæ¨¨, ¢å®¤ï騥 ¢ (21), à áâãâ ¡¥áª®¥ç®á⨠¥ ¡ëáâ॥, 祬 ª®¥ç ï á⥯¥ì z , â® ¢ ᨫ㠮¡®¡é¥®© â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï (á¬. ¯. 4.4-3) ¤ ï 楫 ï äãªæ¨ï ¥áâì ¯®«¨®¬. ç áâ®áâ¨, ¢ á«ãç ¥ ®£à ¨ç¥®© ¡¥áª®¥ç®á⨠äãªæ¨¨ ¯®«ã稬 âáî¤ äãªæ¨¨ Y+ (z ) ¨ Y− (z ) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ®¤®§ ç®. â ª, ¯à¨¬¥¨¬ ¤ ãî á奬㠪 à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï (19). § ¯à®¢¥¤¥ëå ¢ëè¥ à áᬮâ२© á«¥¤ã¥â, çâ® ®¡« á⨠«¨â¨ç®á⨠äãªæ¨© Y+ (z ), Y− (z ) ¨ √ W (z ) = 1− 2π K(z ) ᮮ⢥âá⢥® ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¢¥àåîî ¯®«ã¯«®áª®áâì Im z > µ, ¨îî ¯®«ã¯«®áª®áâì Im z < v+ ¨ ¯®«®áã v− < Im z < v+ . ¥¬ á ¬ë¬
âà ¨æ 152
153
5.10. ¥â®¤ ¨¥à {®¯ä
íâ® ãà ¢¥¨¥ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ ¯®«®á¥* µ < Im z < v+ , ïî饩áï ®¡é¥© ®¡« áâìî «¨â¨ç®á⨠¢á¥å ¢å®¤ïé¨å ¢ íâ® ãà ¢¥¨¥ äãªæ¨©. «ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï (19) ª ¢¨¤ã (21) ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® ¢®§¬®® à §«®¥¨¥ äãªæ¨¨ W (z ):
W (z ) =
W+ (z )
W− (z )
(23)
,
£¤¥ äãªæ¨¨ W+ (z ) ¨ W− (z ) ïîâáï «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¯à¨ Im z > µ ¨ Im z < v+ ᮮ⢥âá⢥®. ஬¥ ⮣®, ¯à¥¤¯®«®¨¬, çâ® ¢ ®¡« áâïå ᢮¥© «¨â¨ç®á⨠í⨠äãªæ¨¨ ¡¥áª®¥ç®á⨠à áâãâ ¥ ¡ëáâ॥, 祬 z n , £¤¥ n | ¥ª®â®à®¥ ¯®«®¨â¥«ì®¥ 楫®¥ ç¨á«®. Ǒ।áâ ¢«¥¨¥ (23) «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ W (z ) ç áâ® §ë¢ îâ ¥¥ ä ªâ®à¨§ 樥©. â ª, ¢ १ã«ìâ â¥ ä ªâ®à¨§ 樨 ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨¢¥¤¥® ª ¢¨¤ã (21). § ¯à¥¤ë¤ãé¨å à áᬮâ२© á«¥¤ã¥â, çâ® ®® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥ª®â®àãî 楫ãî äãªæ¨î ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z . ª ª ª Y± (z ) → 0 ¯à¨ |z| → ∞, W± (z ) à áâãâ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ª ª z n , â® ¤ ï 楫 ï äãªæ¨ï ¬®¥â ¡ëâì «¨èì ¯®«¨®¬®¬ Pn−1 (z ) á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n − 1.
᫨ äãªæ¨¨ W± (z ) à áâãâ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, «¨èì ª ª ¯¥à¢ ï á⥯¥ì ¯¥à¥¬¥®© z , â® ¨§ á®®â®è¥¨© (22) ¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï á«¥¤ã¥â, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï 楫 ï äãªæ¨ï ¥áâì ¯®áâ®ï ï C . ®£¤ ¤«ï ¥¨§¢¥áâëå Y+ (z ) ¨ Y− (z ) ¯®«ã稬 ¢ëà ¥¨ï
C , W+ (z )
Y+ (z ) =
Y− (z ) = −
C , W− (z )
(24)
®¯à¥¤¥«ïî騥 ¨§®¡à ¥¨ï ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ï®£® ¬®¨â¥«ï, ª®â®àë© ¬®¥â ¡ëâì ©¤¥ å®âï ¡ë ¨§ ãá«®¢¨© ®à¬¨à®¢ª¨. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢ëà ¥¨ï
Pn−1 (z )
Y+ (z ) =
W+ (z )
,
Y− (z ) = −
Pn−1 (z ) W− (z )
(25)
,
®¯à¥¤¥«ïîâ ¨§®¡à ¥¨ï ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (11) á â®ç®áâìî ¤® ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ¯®áâ®ïëå, ª®â®àë¥ ¬®® ©â¨ ¨§ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨© § ¤ ç¨. ¬® à¥è¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (6), (9) ¨ (10).
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
Ǒਬ¥à 2.
y (x)
=λ
Z
∞
0
e−|x−t| y (t) dt,
0 < λ < ∞,
ï¤à® ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ¢¨¤ K (x) = λe−|x|. ©¤¥¬ ¨§®¡à ¥¨¥ äãªæ¨¨ K (x): ãªæ¨ï
K(z )
=
λ √
2π
Z
∞ −∞
K (x)e
izx
dx
=
r
2
π z2
λ
+1
(26)
.
(27)
ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z ¢ ¯®«®á¥ . Ǒ।áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨¥
K(z ) −1 < Im z < 1
W (z )
√
= 1 − 2π K(z ) =
z 2 − 2λ + 1 z2 + 1
(28)
* «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¯®«®¨¬ µ > v− . ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ®¡é¥© ®¡« áâìî «¨â¨ç®á⨠¡ã¤¥â ¯®«®á v− < Im z < v+ .
âà ¨æ 153
154
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
¢ ¢¨¤¥ (23), £¤¥ W+ (z )
z 2 − 2λ + 1 , z+i
=
y (x) −
W− (z )
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= z − i.
= f (x)
(29)
ãªæ¨ï W√+(z) ¢ (29) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¨ ®â«¨ç®© ®â ã«ï äãªæ¨¥© z ¢√®¡« á⨠2λ − 1. Ǒਠ0 < λ < 12 íâ ®¡« áâì ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ Im z > 1 − 2λ, Im z > Im ¯à¨ç¥¬ √1 − 2λ 6 µ < 1. Ǒਠλ > 12 äãªæ¨ï W+ (z) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¨ ®â«¨ç®© ®â ã«ï ¢ ®¡« á⨠Im z > 0. ãªæ¨ï W− (z), ®ç¥¢¨¤®, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®â«¨çãî ®â ã«ï «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î ¢ ®¡« á⨠Im z < 1. Ǒ®í⮬㠯ਠ0 < λ < 12 ®¡¥ äãªæ¨¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ1 âà¥¡ã¥¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¢ ¯®«®á¥ µ < Im z < 1. Ǒਠλ > 2 ®¡é¥© ®¡« áâìî «¨â¨ç®á⨠äãªæ¨© W+ (z) ¨ W− (z) ï¥âáï ¯®«®á 0 < Im z < 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥®¡å®¤¨¬ ï ä ªâ®à¨§ æ¨ï äãªæ¨¨ (28) ¯à®¨§¢¥¤¥ . áᬮâਬ ¢ëà ¥¨ï Y± (z)W± (z). ª ª ª Y± (z) → 0 ¯à¨ |z| → ∞, W± (z), ᮣ« á® (29), à áâãâ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ª ª ¯¥à¢ ï á⥯¥ì z, ⮠楫 ï äãªæ¨ï Pn−1 (z), ᮢ¯ ¤ îé ï á Y+ (z)W+ (z) ¯à¨ Im z > µ ¨ á Y− (z)W− (z) ¯à¨ Im z < 1, ¬®¥â ¡ëâì
«¨èì ¯®«¨®¬®¬ ã«¥¢®© á⥯¥¨. Ǒ®í⮬ã
Y+ (z )W+ (z )
âáî¤ ¨, ᮣ« á® (6),
Y + (z ) y + (x)
=
Z
√
2π
(30)
z+i =C 2 z − 2λ + 1 ∞+iv
C √
= C.
−∞+iv
(31)
z+i e−izx dz, z 2 − 2λ + 1
(32)
£¤¥ µ < v < 1. ¬ªã¢ ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯à¨ x > 0 ¤ã£®© ¯®«ã®ªàã®á⨠¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠¨ ®æ¥¨¢ ¨â¥£à « ¯® í⮩ ¤ã£¥ á ¯®¬®éìî «¥¬¬ë ®à¤ (á¬. ¯¯. 1.1-4 ¨ 1.1-5), ¯®á«¥ àï¤ ¢ëç¨á«¥¨© ¯®«ã稬 y + (x )
= C os( 2λ − 1 x) +
√
sin( 2λ − 1 x) √ 2λ − 1
,
(33)
£¤¥ C | ¯®áâ®ï ï. Ǒਠ0 < λ < 12 íâ® à¥è¥¨¥ íªá¯®¥æ¨ «ì® ¢®§à áâ ¥â á à®á⮬ x, ¯à¨ 12 < λ < ∞ | ®£à ¨ç¥® ¡¥áª®¥ç®áâ¨. 5.10-3. ¡é ï á奬 ¬¥â®¤ . Ǒ஡«¥¬ ä ªâ®à¨§ 樨
®¡é¥¬ á«ãç ¥ § ¤ ç , à¥è ¥¬ ï ¬¥â®¤®¬ ¨¥à {®¯ä , ᢮¤¨âáï ª á«¥¤ãî饩. ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì äãªæ¨¨ Y+ (z ) ¨ Y− (z ) ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z , «¨â¨ç¥áª¨¥ ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâïå Im z > v− ¨ Im z < v+ (v− < v+ ), áâ६ï騥áï ª ã«î ¯à¨ |z| → ∞ ¢ ᢮¨å ®¡« áâïå «¨â¨ç®á⨠¨ 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¢ ¯®«®á¥ (v− < Im z < v+ ) äãªæ¨® «ì®¬ã ãà ¢¥¨î
A(z )Y+ (z ) + B (z )Y− (z ) + C (z ) = 0.
(34)
¤¥áì A(z ), B (z ), C (z ) | § ¤ ë¥ äãªæ¨¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z , «¨â¨ç¥áª¨¥ ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ , ¯à¨ç¥¬ A(z ) ¨ B (z ), ®â«¨çë ®â ã«ï ¢ í⮩ ¯®«®á¥. ᮢ ï ¨¤¥ï à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨ ®á®¢ ¢®§¬®®áâ¨ ä ªâ®à¨§ 樨 ¢ëà ¥¨ï A(z )/B (z ), â. ¥. ¢®§¬®®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¥£® ¢ ¢¨¤¥
A(z ) B (z )
=
W+ (z )
W− (z )
,
(35)
£¤¥ äãªæ¨¨ W+ (z ) ¨ W− (z ) ïîâáï «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¨ ®â«¨ç묨 ®â ã«ï ′ ′ ¨ Im z < v+ ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâïå Im z > v− , ¯à¨ç¥¬ ¯®«®áë
âà ¨æ 154
155
5.10. ¥â®¤ ¨¥à {®¯ä
v− <
Im z
′ < v+ ¨ v− <
Im z
′ ¨¬¥îâ ®¡éãî ç áâì. ®£¤ á ¯®¬®éìî (35) < v+
ãà ¢¥¨¥ (34) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
W+ (z )Y+ (z ) + W− (z )Y− (z ) + W− (z )
C (z ) B (z )
= 0.
(36)
᫨ ¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ (36) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
W− (z )
C (z ) B (z )
= D+ (z ) + D− (z ),
(37)
£¤¥ äãªæ¨¨ D+ (z ) ¨ D− (z ) ïîâáï «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâïå Im z > v−′′ ¨ Im z < v+′′ ᮮ⢥âá⢥®, ¨ ¢á¥ âਠ¯®«®áë v− < Im z < v+ , 0 < Im z < v 0 , ′ ′ ′′ ′′ ¨ v− ¨¬¥îâ ®¡éãî ç áâì | ¯®«®áã v− v− < Im z < v+ < Im z < v+ + â® ¢ í⮩ ¯®«®á¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® äãªæ¨® «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
W+ (z )Y+ (z ) + D+ (z ) = −W− (z )Y− (z ) − D− (z ).
(38)
¥¢ ï ç áâì (38) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© äãªæ¨î, «¨â¨ç¥áªãî ¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠0 < Im z , ¯à ¢ ï | äãªæ¨î, «¨â¨ç¥áªãî ¢ ®¡« á⨠Im z < v 0 . § à ¢¥á⢠v− + 0 < Im z < v 0 á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ ï íâ¨å äãªæ¨© ¢ ¯®«®á¥ v− + 楫 ï äãªæ¨ï, ᮢ¯ ¤ îé ï ᮮ⢥âá⢥® á «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâﬨ (38) ¢ ®¡« áâïå ¨å «¨â¨ç®áâ¨.
᫨ ¢á¥ äãªæ¨¨, ¢å®¤ï騥 ¢ ¯à ¢ë¥ ç á⨠(35) ¨ (37), à áâãâ ¡¥áª®¥ç®á⨠¢ ᢮¨å ®¡« áâïå «¨â¨ç®á⨠¥ ¡ëáâ॥, 祬 z n , â® ¨§ ãá«®¢¨ï Y± (z ) → 0 ¯à¨ |z| → ∞ á«¥¤ã¥â, çâ® íâ 楫 ï äãªæ¨ï ï¥âáï ¯®«¨®¬®¬ Pn−1 (z ) á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n − 1. ¥¬ á ¬ë¬ à ¢¥áâ¢
Y+ (z ) =
Pn−1 (z ) − D+ (z ) W+ (z )
,
Y− (z ) =
−Pn−1 (z ) − D− (z ) W− (z )
(39)
®¯à¥¤¥«ïî⠨᪮¬ë¥ äãªæ¨¨ á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ïëå. Ǒ®á«¥¤¨¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ©¤¥ë ¨§ ¤®¯®«¨â¥«ìëå ãá«®¢¨© § ¤ ç¨. Ǒਬ¥¥¨¥ ¬¥â®¤ ¨¥à {®¯ä ®á®¢ ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ïå (35) ¨ (37).
᫨ äãªæ¨ï G (z ) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ , ¯à¨ç¥¬ ¢ í⮩ ¯®«®á¥ G (z ) à ¢®¬¥à® áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ |z| → ∞, â® ¢ ¤ ®© ¯®«®á¥ ¢®§¬®® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ G (z ) = G+ (z ) + G− (z ), (40) £¤¥ äãªæ¨ï G+ (z ) | «¨â¨ç¥áª ï ¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠æ¨ï G− (z ) | ¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z < v+ , ¯à¨ç¥¬
G+ (z ) =
1 2πi
G− (z ) = −
Z
1 2πi
′ ∞+iv−
−∞+
Z
′ iv−
∞+iv ′
G (τ ) dτ, τ −z
+
−∞+iv ′
+
G (τ ) dτ, τ −z
Im z
> v− , äãª-
′ v− < v− < Im z < v+ ,
(41)
′ v− < Im z < v+ < v+ .
(42)
â¥£à «ë (41) ¨ (42), ª ª ¨â¥£à «ë, § ¢¨áï騥 ®â ¯ à ¬¥âà , ®¯à¥¤¥«ïîâ «¨â¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® â®çª z ¥ «¥¨â ª®âãॠ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. ç áâ®áâ¨, G+ (z ) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z > v−′ , G− (z ) | ¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z > v+′ . ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ äãªæ¨ï H(z ) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¨ ®â«¨ç®© ®â ã«ï ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ , ¯à¨ç¥¬ H(z ) à ¢®¬¥à® ¢ í⮩ ¯®«®á¥ áâ६¨âáï ª ¥¤¨¨æ¥ ¯à¨ |z| → ∞, â® ¢ ¤ ®© ¯®«®á¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥
H(z ) = H+ (z )H− (z ),
(43)
âà ¨æ 155
156
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
H+ (z ) = exp
1 2πi
Z
′ ∞+iv− ′ −∞+iv−
Z 1 H− (z ) = exp −
2πi
ln H(τ ) τ −z
∞+iv ′
dτ ,
+ ln H(τ )
−∞+iv ′
+
τ −z
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
′ v− < v− < Im z < v+ , (44)
dτ ,
′ v− < Im z < v+ < v+ , (45)
£¤¥ äãªæ¨¨ H+ (z ) ¨ H− (z ) ïîâáï «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¨ ®â«¨ç묨 ®â ã«ï ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâïå Im z > v− ¨ Im z < v+ . Ǒ।áâ ¢«¥¨¥ (43) §ë¢ ¥âáï ä ªâ®à¨§ 樥© äãªæ¨¨ H(z ). 5.10-4. ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
y (x) −
Z
∞
0
K (x − t)y (t) dt = f (x).
(46)
㤥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ï¤à® ãà ¢¥¨ï K (x) ¨ ¥£® ¯à ¢ ï ç áâì f (x) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ (15), ¨ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì à¥è¥¨¥ y + (x) ãà ¢¥¨ï (46), ¤«ï ª®â®à®£® ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ (17). ®£¤ , ¯à®¢®¤ï à áá㤥¨ï, «®£¨çë¥ à áá㤥¨ï¬ ¯à¨ ¢ë¢®¤¥ äãªæ¨® «ì®£® ãà ¢¥¨ï (19) ¤«ï ®¤®à®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨ï (46) ¢ ¯®«®á¥ µ < Im z < v+ ¤®«® 㤮¢«¥â¢®àïâìáï äãªæ¨® «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
¨«¨
Y+ (z ) + Y− (z ) =
√
2π K(z )Y+ (z ) + F+ (z ) + F− (z )
W (z )Y+ (z ) + Y− (z ) − F (z ) = 0,
(47) (48)
£¤¥ W (z ), ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¯®¤ç¨¥ ãá«®¢¨î (20). ¬¥â¨¬ ⥯¥àì, çâ® ãà ¢¥¨¥ (48) ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï (34). ãªæ¨ï W (z ) ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¨ à ¢®¬¥à® áâ६¨âáï ª ¥¤¨¨æ¥ ¯à¨ |z| → ∞, â ª ª ª |K(z )| → 0 ¯à¨ |z| → ∞. ®£¤ ¥¥ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ (á¬. (43){(45))
W (z ) =
W+ (z )
W− (z )
,
(49)
£¤¥ W+ (z ) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z > v− , W− (z ) | ¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z < v+ , ¯à¨ç¥¬ äãªæ¨¨ W± (z ) à áâãâ ¡¥áª®¥ç®á⨠¥ ¡ëáâ॥, 祬 z n . ®á®¢ ¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (49) ãà ¢¥¨¥ (48) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
W+ (z )Y+ (z ) + W− (z )Y− (z ) − W− (z )F− (z ) − W− (z )F+ (z ) = 0.
(50)
«ï ¯à¨¢¥¤¥¨ï ãà ¢¥¨ï (50) ª ¢¨¤ã (38) ¤®áâ â®ç® à §«®¨âì ¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥: F+ (z )W− (z ) = D+ (z ) + D− (z ), (51)
á㬬ã äãªæ¨© D+ (z ) ¨ D− (z ), ïîé¨åáï «¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâïå Im z > µ ¨ Im z < v+ ᮮ⢥âá⢥®. «ï ®¡®á®¢ ¨ï ¢®§¬®®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (51) § ¬¥â¨¬, çâ® F+ (z ) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z > v− ¨ à ¢®¬¥à® áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ |z| → ∞. ãªæ¨ï W− (z ) ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© ¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠Im z < v+ , ¨ ¯® ᯮᮡ㠥¥ ¯®áâ஥¨ï ¬®® â ª ¯à®¢¥áâ¨ ä ªâ®à¨§ æ¨î (49), ç⮡ë W− (z ) ®áâ ¢ « áì ®£à ¨ç¥®© ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+
âà ¨æ 156
5.11. ¥â®¤ ३ ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä
157
¯à¨ |z| → ∞. âáî¤ á«¥¤ã¥â (á¬. (40){(42)), çâ® ¤«ï äãªæ¨¨ F+ (z )W− (z ) ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ ¢ë¯®«¥ë ¢á¥ ãá«®¢¨ï, ¤®áâ â®çë¥ ¤«ï ®¡®á®¢ ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (51). Ǒ஢¥¤¥ë¥ à áá㤥¨ï ¯®§¢®«ïîâ ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® äãªæ¨¨ W± (z ) à áâãâ ¡¥áª®¥ç®á⨠¥ ¡ëáâ॥, 祬 z n , ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¨§®¡à ¥¨ï à¥è¥¨ï ¥®¤®à®¤®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (46) ¢ ¢¨¤¥
Y+ (z ) =
Pn−1 (z ) + D+ (z ) W+ (z )
,
Y− (z ) =
−Pn−1 (z ) + W− (z )F− (z ) + D− (z ) W− (z )
. (52)
¬® à¥è¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¨§ (52) á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ (6), (9) ¨ (10). 5.10-5. ᪫îç¨â¥«ìë© á«ãç © ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
áᬮâਬ ¨áª«îç¨â¥«ìë© á«ãç © ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த , √ ª®£¤ äãªæ¨ï W (z ) = 1 − 2π K(z ) ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® ã«¥© N (á ãç¥â®¬ ¨å ªà â®áâ¨) ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ . ®§¬®®áâì ä ªâ®à¨§ 樨 á®åà ï¥âáï ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥. «ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ¢¢¥á⨠¢á¯®¬®£ ⥫ìãî äãªæ¨î
Y W1 (z ) = ln (z 2 + b2 )N/2 W (z ) (z − zi )−αi ,
(53)
i
£¤¥ αi | ªà â®áâì ã«¥© zi , ¯®áâ®ï ï b > {|v− |, |v+ |} ¢ë¡¨à ¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï, ç⮡ë äãªæ¨ï, áâ®ïé ï ¯®¤ § ª®¬ «®£ à¨ä¬ , ¥ ¨¬¥« ¤®¯®«¨â¥«ìëå ã«¥© ¢ ¯®«®á¥ v− < Im z < v+ . ¤ ª® ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¬¥â®¤ ¨¥à {®¯ä ¯à¨¢®¤¨â ª १ã«ìâ âã ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ç¨á«® ã«¥© äãªæ¨¨ W (z ) ç¥â®. â® á¢ï§ ® á ⥬, ç⮠⮫쪮 ¢ á«ãç ¥ ç¥â®£® ç¨á« ã«¥© ¬®® ¤®¡¨âìáï ¥®¡å®¤¨¬®£® ¤«ï ¯à¨¬¥¥¨ï ¬¥â®¤ ¨¥à {®¯ä ¯®¢¥¤¥¨ï äãªæ¨¨ (z 2 + b2 )N/2 ¡¥áª®¥ç®á⨠(á¬. . . 客, . . ¥à᪨© (1978), áâà. 144{146). Ǒ®á«¥¤¥¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¥ ¬¥è ¥â è¨à®ª®¬ã ¨á¯®«ì§®¢ ¨î ¬¥â®¤ ¨¥à {®¯ä ¤«ï à¥è¥¨ï ¯à¨ª« ¤ëå § ¤ ç, £¤¥ ®¡ëç® ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x) ï¥âáï ç¥â®© äãªæ¨¥©, ¨ ¯®í⮬㠢ᥠ¯à®¢®¤¨¬ë¥ à áá㤥¨ï ¡¥§ã¯à¥çë. ¬¥ç ¨¥ 1. à ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த ¤«ï äãªæ¨©, ã¡ë¢ îé¨å ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¯à¨¢®¤¨âáï ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¨¬ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ (á¬. ¯. 5.9-1). ®£¤ ¯à¥¤¯®«®¥¨ï ® ç¥â®á⨠ç¨á« ã«¥© äãªæ¨¨ W (z ) ¨«¨ ç¥â®á⨠ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x) ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¥áãé¥á⢥ë. ¬¥ç ¨¥ 2. Ǒ®«®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த ¤«ï äãªæ¨© à áâãé¨å ¡¥áª®¥ç®á⨠¯à¨¢¥¤¥® ¢ 㯮¬ïã⮩ ª¨£¥ . . 客 , . . ¥à᪮£® (1978). ¬¥ç ¨¥ 3. ¥â®¤ ¨¥à {®¯ä ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¤«ï à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨¥à {®¯ä ¯¥à¢®£® த ¯à¨ ãá«®¢¨¨ ç¥â®á⨠拉à íâ¨å ãà ¢¥¨©.
: . ®¡« (1962), . . ¢¥è¨ª®¢, . . ¨å®®¢ (1970), . . ¬¨à®¢ (1974), . . 客 (1977), . . 客, . . ¥à᪨© (1978).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 157
158
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
5.11. ¥â®¤ ३ ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä 5.11-1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï. Ǒ஡«¥¬ ä ªâ®à¨§ 樨
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
y (x) −
Z
∞
0
K (x − t)y (t) dt = f (x),
0 6 x < ∞,
(1)
£¤¥ f (x), y (x) ∈ L1 (0, ∞) ¨ K (x) ∈ L1 (−∞, ∞). 㤥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ª« ááë äãªæ¨©, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ëå ª ª ¨§®¡à ¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ ( «ìâ¥à ⨢®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ ¢ ¥á¨¬¬¥âà¨ç®© ä®à¬¥, á¬. ¯. 1.4-3) äãªæ¨© ¨§ L1 (−∞, ∞), L1 (0, ∞) ¨ L1 (−∞, 0). «ï ªà ⪮á⨠¢¬¥áâ® íâ¨å ᨬ¢®«®¢ ¡ã¤¥¬ ¯à®áâ® ¯¨á âì L, L+ ¨ L− . Ǒãáâì äãªæ¨¨ h(x), h1 (x), ¨ h2 (x) ¯à¨ ¤«¥ â ᮮ⢥âá⢥® L, L+ ¨ L− , ⮣¤ ¨å ¨§®¡à ¥¨ï ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥
(u)= H
Z
∞
−∞
1 (u)= h(x)eiux dx, H
Z
∞
0
2 (u)= h1 (x)eiux dx, H
Z 0
−∞
h2 (x)eiux dx.
¥à¥§ Q, Q+ ¨ Q− ®¡®§ 稬 ª« ááë äãªæ¨©, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ëå ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¨¤¥
(u) = 1 + H (u), W
1 (u), 1 (u) = 1 + H W
2 (u), 2 (u) = 1 + H W
(2)
£¤¥ äãªæ¨¨ ¨§ Q+ ¨«¨ Q− , à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ª ª äãªæ¨¨ ª®¬¯«¥ªá®© ¯¥à¥¬¥®© z = u + iv , «¨â¨çë ¯à¨ Im z > 0 ¨«¨ Im z < 0 ¨ ¥¯à¥àë¢ë ¢¯«®âì ¤® ¢¥é¥á⢥®© ®á¨. Ǒãáâì T (x) ¯à¨ ¤«¥¨â L, T (u) | ¥¥ ¨§®¡à ¥¨¥, ¯à¨ç¥¬
n o∞ 1 − T (u) 6= 0, Ind[1 − T (u)℄ = 1 arg[1 − T (u)℄ = 0,
2π
⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ q (x) ∈ L, çâ®
ln[1 − T (u)℄ =
−∞
Z
∞ −∞
−∞ < u < ∞, (3)
q (x)eiux dx.
(4)
§ í⮩ ä®à¬ã«ë ¥¯®á।á⢥® á«¥¤ã¥â, çâ® ln[1 − T (u)℄ → 0 ¯à¨ u → ±∞. ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ä ªâ®à¨§ æ¨î ¥¯à¥àë¢ëå ¯à®¬¥ãâ (u) ª« áá Q. Ǒ®¤ í⨬ ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ª¥ −∞ 6 u 6 ∞ äãªæ¨© M (u) ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï äãªæ¨¨ M
(u) = M + (u) M
u−i u+i
k
− (u), M
(5)
+ (z ) | «¨â¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯®«ã¯«®áª® − (z ) ¨ M £¤¥ M áâïå Im z > 0 ¨ Im z < 0, ¥¯à¥àë¢ë¥ ¢¯«®âì ¤® ¢¥é¥á⢥®© ®á¨. ஬¥ ⮣®, + (z ) 6= 0 M
¯à¨ Im z > 0
§ (5) ¬®® § ª«îç¨âì, çâ®
k
− (z ) 6= 0 ¯à¨ Im z 6 0. ¨ M
(6)
(u). = Ind M
ªâ®à¨§ æ¨ï (5) §ë¢ ¥âáï ª ®¨ç¥áª®©, ¥á«¨ k = 0. ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì «¨èì äãªæ¨¨ ¢¨¤
(±∞) â ª¨¥ çâ® M
(u) = 1 − T (u), M
= 1. ®® â ª¥ áç¨â âì, çâ® + (±∞) = M − (±∞) = 1. M
(7)
(8)
âà ¨æ 158
159
5.11. ¥â®¤ ३ ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä
ä®à¬ã«¨à㥬 ®á®¢ë¥ १ã«ìâ âë, ª á î騥áï ¯à®¡«¥¬ë ä ªâ®à¨§ 樨. «ï ⮣® ç⮡ë äãªæ¨ï (7) ¤®¯ã᪠« ª ®¨ç¥áªãî ä ªâ®à¨§ æ¨î, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® «¨ç¨ï ¤¢ãå ãá«®¢¨©:
(u) 6= 0, M
(u) = 0. Ind M
(9)
Ǒਠí⮬ ª ®¨ç¥áª ï ä ªâ®à¨§ æ¨ï ¥¤¨á⢥ . ஬¥ ⮣®, ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ãá«®¢¨© (9) áãé¥áâ¢ã¥â äãªæ¨ï M (x) ¨§ L â ª ï, çâ®
Z ∞ (u) = exp M (x)eiux dx , M (10) −∞ Z ∞ Z 0 − (u) = exp + (u) = exp M (x)eiux dx . (11) M M (x)eiux dx , M 0 −∞ (u) ∈ Q ¨ M ± (u) ∈ Q± . ®¨â¥«¨ ¢ ª ®¨ç¥áª®© âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® M ä ªâ®à¨§ 樨 ®¯à¥¤¥«ïîâáï â ª¥ á«¥¤ãî騬¨ ä®à¬ã« ¬¨:
Z
(τ ) ln M dτ, 2πi −∞ τ − z Z ∞ (τ ) ln M − (z ) = − 1 ln M dτ, 2πi −∞ τ − z
+ (z ) = 1 ln M
∞
Im z > 0,
(12)
Im z < 0.
(13)
®¡é¥¬ á«ãç ¥ ä ªâ®à¨§ 樨 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¥¨¥. «ï ⮣® ç⮡ë äãªæ¨ï (7) ¤®¯ã᪠« ä ªâ®à¨§ æ¨î (5), ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¢ë¯®«ï«®áì ãá«®¢¨¥
(u) 6= 0, M
−∞ < u < ∞.
í⮬ á«ãç ¥ à ¢¥á⢮ (5) ¬®® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
u−i u+i
−k
− (u)M + (u), (u) = M M
−∞ < u < ∞.
Ǒ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â ª ®¨ç¥áªãî ä ªâ®à¨§ æ¨î ¤«ï äãªæ¨¨
1 (u) = M
u−i u+i
−k
(u). M
± (u) á¯à ¢¥¤«¨¢ë ä®à¬ã«ë (10){(13), ¥á«¨ ¢ «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï ¬®¨â¥«¥© M 1 (u). (u) M ¨å § ¬¥¨âì M ¥à¥¬áï ⥯¥àì ª ãà ¢¥¨î (1), ¤«ï ª®â®à®£® (u) = K
Z
∞ −∞
K (x)eiux dx.
(14)
5.11-2. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த
( )
¥®à¥¬ 1. «ï ⮣® ç⮡ë ãà ¢¥¨¥ (1) ¯à¨ «î¡®¬ f x ¨§ L+ ¨¬¥«® ®¤® ¨ ⮫쪮 ®¤® à¥è¥¨¥ ¨§ L+ , ¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¤®áâ â®çë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:
(u) 6= 0, −∞ < u < ∞, 1−K (u)℄ = 0. ν = − Ind[1 − K
(15) (16)
0
¥®à¥¬ 2.
᫨ ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (15), â® ¥à ¢¥á⢮ ν > ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤®áâ â®çë¬ ãá«®¢¨¥¬ ⮣®, çâ®¡ë ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥
y (x) −
Z
∞
0
K (x − t)y (t) dt = 0
(17)
âà ¨æ 159
160
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb
K (x, t)y (t) dt
a
= f (x)
¨¬¥«® ¢ L+ ®â«¨çë¥ ®â ã«ï à¥è¥¨ï. ®¥á⢮ íâ¨å à¥è¥¨© ¨¬¥¥â , , . . . , ν ), áâ६ïé¨åáï ª ã«î ¡ §¨á, á®áâ®ï騩 ¨§ ν äãªæ¨© ϕk x (k ¯à¨ x → ∞ ¨ á¢ï§ ëå ¬¥¤ã ᮡ®î á«¥¤ãî騬¨ á®®â®è¥¨ï¬¨:
( )
ϕk (x) =
Z
x
0
ϕk+1 (t) dt,
k
=1 2
= 1, 2, . . . , ν − 1,
ϕν (x) =
Z
x
0
ψ (t) dt + C, (18)
£¤¥ C | ¥ª®â®à ï ®â«¨ç ï ®â ã«ï ¯®áâ®ï ï, äãªæ¨¨ ¯à¨ ¤«¥ â L+ .
ϕk (t) ¨ ψ (t)
0
¥®à¥¬ 3.
᫨ ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (15) ¨ ν > , â® ¯à¨ «î¡®¬ ãà ¢¥¨¥ (1) ¨¬¥¥â ¡¥áç¨á«¥®¥ ¬®¥á⢮ à¥è¥¨© ¨§ L+ .
f (x) ∈ L+
᫨ ¥ ν < 0, â® ¯à¨ ¤ ®¬ f (x) ∈ L+ ãà ¢¥¨¥ (1) «¨¡® ¢®¢á¥ ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨© ¨§ L+ , «¨¡® ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. «ï ⮣® çâ®¡ë ¨¬¥« ¬¥áâ® ¯®á«¥¤¨© á«ãç ©, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë¯®«¥¨¥ á«¥¤ãîé¨å ãá«®¢¨©:
Z
∞
0
f (x)ψk (x) dx = 0,
k
= 1, 2, . . . , |ν|,
(19)
£¤¥ ψk (x) | ª ª®©-«¨¡® ¡ §¨á ¬®¥á⢠¢á¥å à¥è¥¨© âà ᯮ¨à®¢ ®£® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï
ψ (x) −
1◦ .
Z
∞
0
K (t − x)ψ (t) dt = 0.
(20)
᫨ ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï (15), (16), â® ¨¬¥¥âáï ¥¤¨á⢥ ï ä ªâ®à¨§ æ¨ï:
+ (u)M − (u), (u)℄−1 = M [1 − K
¯à¨ç¥¬
+ (u) = 1 + M
Z
∞
0
− (u) = 1 + M
R+ (t)eiut dt,
¥§®«ì¢¥â ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
Z
R(x, t) = R+ (x − t) + R− (t − x) +
Z
(21)
∞
0
R− (t)e−iut dt.
(22)
∞
R+ (x − s )R− (t − s ) ds (23) 0 ¨ R− (x) = 0 ¯à¨ x < 0, â ª çâ® ¯à¨ f (x)
£¤¥ 0 6 x < ∞, 0 6 t < ∞, R+ (x) = 0 ¨§ L+ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬
y (x) = f (x) +
Z
∞
0
R(x, t)f (t) dt.
(24)
®à¬ã«ã (23) ¬®® § ¯¨á âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
R(x, t) = R(x − t,
᫨ K (x − t)
0) + R(0, t − x) +
Z
∞
0
R(x − s ,
0)R(0, t − s ) ds .
(25)
= K (t − x), â® ä®à¬ã« (25) ¨¬¥¥â ¢¨¤
R(x, t) = R(|x − t|, 0) +
Z min(x,t)
0
R(x − s , 0)R(t − s , 0) ds .
(26)
⬥⨬, çâ® R+ (x) = R(x, 0) ¨ R− (x) = R(0, x) | ¥¤¨áâ¢¥ë¥ ¢ ª« áᥠL+ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ (0 6 x < ∞):
R+ (x) +
R− (x) +
Z
∞
Z0∞
0
K (x − t)R+ (t) dt = K (x),
K (t − x)R− (t) dt = K (−x).
(27)
âà ¨æ 160
5.11. ¥â®¤ ३ ¤«ï ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä
2◦ .
161
Ǒ®«®¨¬, çâ® ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (15), ®
(u)℄ > 0. = − Ind[1 − K (u)℄−1 ¤®¯ã᪠¥â á«¥¤ãîéãî ä ªâ®à¨§ æ¨î: í⮬ á«ãç ¥ äãªæ¨ï [1 − K ν
[1 − K (u)℄−1 = G− (u)
ν
u−i u+i
+ (u), G
−∞ < u < ∞.
(28)
− (u) ¨ M + (u), ®¯à¥¤¥«¥ëå à ¢¥á⢠¬¨ «ï äãªæ¨© M − (u) = G− (u) M
+ (u) = ¨ M
u−i u+i
ν
+ (u), G
(29)
¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (22) ¨ ä®à¬ã« (23) ¤«ï १®«ì¢¥âë. ஬¥ ⮣®, ¤«ï k = 1, 2, . . . , ν ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï
+ (u) ik M (u − i)k
=
Z
∞
0
gk (x)eiux dx,
(30)
¯à¨ç¥¬ gk (x) | à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (17). ¥à¥§ ¨å ¬®®, ¥áâ¥á⢥®, ¢ëà §¨âì ¨ à¥è¥¨ï ϕk (x), 㯮¬ïãâë¥ ¢ ⥮६¥ 2.
3◦ .
᫨ ν
(u)℄ < 0, â® ã âà ᯮ¨à®¢ ®£® ãà ¢¥¨ï = − Ind[1 − K y (x ) −
Z
∞
0
K (t − x)y (t) dt = f (x)
(31)
¨¤¥ªá −ν > 0.
᫨ ä®à¬ã« (28) ®¯à¥¤¥«ï¥â ä ªâ®à¨§ æ¨î ¤«ï ãà ¢¥¨ï (1), â® ¤«ï âà ᯮ¨à®¢ ®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥¬ ä ªâ®à¨§ æ¨î
+ (−u), − (−u)M [1 − K (u)℄−1 = M − (−u) ¨£à ¥â ஫ì M + (u) ¨ M + (−u) | ஫ì M − (u). ¯à¨ç¥¬ M 5.11-3. ®à¬ã« ®¯ä {®ª
Ǒਢ¥¤¥¬ §¤¥áì ¯®«¥§ãî ä®à¬ã«ã, ¯®§¢®«ïîéãî ¢ëà §¨âì à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x) ç¥à¥§ à¥è¥¨¥ ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¢á¯®¬®£ ⥫쮣® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ¯à ¢®© ç áâìî íªá¯®¥æ¨ «ì®£® ¢¨¤ . Ǒãáâì ¢ ãà ¢¥¨¨ (1)
f (x) = eiζx ,
Im ζ > 0,
y (x) = yζ (x)
(32)
¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï (15), (16). ®£¤
yζ (x) = eiζx +
Z
∞
0
R(x, t)eiζt dt,
(33)
£¤¥ R(x, t) ¨¬¥¥â ¢¨¤ (25). Ǒ®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¬®® ¯®«ãç¨âì, çâ®
− (−ζ ) 1 + yζ (x) = M
Z
x
0
R(t, 0)e
−iζt
dt eiζx .
(34)
= 0 ¢ (34), ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì − (−ζ ), yζ (0) = M (35) ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ç¥â®© äãªæ¨¨ K (x), ®¯¨áë¢ î饩 ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï + (ζ ). yζ (0) = M (36) Ǒ®« £ ï x
11 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 161
162
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
ᯮ« £ ï ä®à¬ã«®© (34), ¬®® ¯®«ãç¨âì à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ f (x) (á¬. â ª¥ à §¤. 3.6):
y (x) =
1 2π
Z
∞ −∞
+ (−ζ )yζ (x) dζ, F
+ (u) = F
Z
∞
0
f (x)eiux dx.
(37)
¬¥ç ¨¥ 1. ᥠ¯®«ãç¥ë¥ ¢ à §¤. 5.11 १ã«ìâ âë, ª á î騥áï ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢â®à®£® த á¯à ¢¥¤«¨¢ë â ª¥ ¤«ï ¥¯à¥àë¢ëå, ª¢ ¤à â¨ç® á㬬¨à㥬ëå ¨ àï¤ ¤àã£¨å ª« áᮢ äãªæ¨©, ª®â®àë¥ ¯®¤à®¡® ®¡á㤠îâáï ¢ à ¡®â¥ . . ३ (1958) ¨ ª¨£¥ C. Corduneanu (1973). ¬¥ç ¨¥ 2. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¨¥à {®¯ä ¢ ¤àã£¨å ª« áá å äãªæ¨© (u) = 0 (á¬. ¯¯. 5.9-1 ¬®¥â ¡ëâì ¯®áâ஥® ¨ ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ á«ãç ¥, ª®£¤ 1 − K ¨ 5.10-5).
: . . ®ª (1942), . . ३ (1958), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), C. Corduneanu (1973), . . ¬¨à®¢ (1974).
•
¨â¥à âãà
5.12. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ª®¥ç®¬ ®â१ª¥ 5.12-1. ¥â®¤ ३
áᬮâਬ ¬¥â®¤ ¯®áâ஥¨ï â®çëå «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥¨© «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâìî. ¥â®¤ ®á®¢ ¯®áâ஥¨¨ ¤¢ãå ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå à¥è¥¨© ¡®«¥¥ ¯à®áâëå ãà ¢¥¨© á ¯à ¢®© ç áâìî à ¢®© ¥¤¨¨æ¥. ᯮ¬®£ ⥫ìë¥ à¥è¥¨ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤«ï ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨ï ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâ¨.
1◦ .
Ǒãáâì ¤ ® ãà ¢¥¨¥
y (x ) −
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
(1)
a 6 x 6 b,
¤®¢à¥¬¥® á (1) ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¤¢ ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå ãà ¢¥¨ï, § ¢¨áïé¨å ®â ¯ à ¬¥âà ξ (a 6 ξ 6 b):
w(x, ξ ) −
Z
w∗ (x, ξ ) −
ξ a
Z
K (x, t)w(t, ξ ) dt = 1, ξ
a
(2)
K (t, x)w∗ (t, ξ ) dt = 1,
£¤¥ a 6 x 6 ξ . Ǒãáâì ¤«ï «î¡®£® ξ ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¥ ãà ¢¥¨ï (2) ¨¬¥îâ ¥¤¨áâ¢¥ë¥ ¥¯à¥àë¢ë¥ à¥è¥¨ï w(x, ξ ) ¨ w∗ (x, ξ ), 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î w(ξ, ξ )w∗ (ξ, ξ ) 6= 0 (a 6 ξ 6 b). ®£¤ ¤«ï «î¡®© ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ f (x) ¥¤¨á⢥®¥ ¥¯à¥à뢮¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¯® ä®à¬ã«¥
y (x) = F (b)w(x, b) − £¤¥
Z
b x
w(x, ξ )Fξ′ (ξ ) dξ,
F (ξ ) =
1 m(ξ )
d dξ
Z
ξ a
w∗ (t, ξ )f (t) dt, (3)
m(ξ ) = w(ξ, ξ )w∗ (ξ, ξ ).
®à¬ã« (3) ¯®§¢®«ï¥â áâநâì à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à®¨§¢®«ì®© ¯à ¢®© ç áâìî f (x) á ¯®¬®éìî à¥è¥¨© ¤¢ãå ¡®«¥¥ ¯à®áâëå ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå ãà ¢¥¨© (2) (§ ¢¨áïé¨å ®â ¯ à ¬¥âà ξ ) á ¯®áâ®ï®© ¯à ¢®© ç áâìî à ¢®© ¥¤¨¨æ¥.
âà ¨æ 162
¥â®¤ë ¤«ï ãà ¢¥¨© á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ª®¥ç®¬ ®â१ª¥
2◦ .
163
áᬮâਬ ⥯¥àì ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢:
y (x) +
Z
b a
K (x − t)y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b.
(4)
ç¨â ¥âáï, çâ® K (x) | ç¥â ï äãªæ¨ï, ¨â¥£à¨à㥬 ï ®â१ª¥ [a − b, b − a℄. ¤®¢à¥¬¥® á (4) ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥, § ¢¨áï饥 ®â ¯ à ¬¥âà ξ (a 6 ξ 6 b):
w(x, ξ ) +
Z
ξ a
K (x − t)w(t, ξ ) dt = 1,
a 6 x 6 ξ.
(5)
Ǒãáâì ¤«ï «î¡®£® ξ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥ (5) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ ¥¯à¥à뢮¥ à¥è¥¨¥ w(x, ξ ). ®£¤ ¤«ï «î¡®© ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ f (x) à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (4) ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¯® ä®à¬ã«¥ (3), ¥á«¨ ¢ ¥© ¯®«®¨âì w∗ (x, t) = w(x, t). ª ¥¬ §¤¥áì ¥é¥ ®¤ã ¯®«¥§ãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢:
y (x) +
Z
a −a
K (x − t)y (t) dt = f (x),
−a 6 x 6 a.
(6)
ç¨â ¥âáï, çâ® K (x) | ç¥â ï äãªæ¨ï, ¨â¥£à¨à㥬 ï ®â१ª¥ [−2a, 2a℄. ¤®¢à¥¬¥® á (6) ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥, § ¢¨áï饥 ®â ¯ à ¬¥âà ξ (0 < ξ 6 a):
w(x, ξ ) +
Z
ξ −ξ
K (x − t)w(t, ξ ) dt = 1,
−ξ 6 x 6 ξ.
(7)
Ǒãáâì ¤«ï «î¡®£® ξ ¢á¯®¬®£ ⥫쮥 ãà ¢¥¨¥ (7) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ ¥¯à¥à뢮¥ à¥è¥¨¥ w(x, ξ ). ®£¤ ¤«ï «î¡®© ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ f (x) à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (6) ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¯® ä®à¬ã«¥
y (x) =
£¤¥ M (ξ )
Z
a d 1 w(t, a)f (t) dt w(x, a)− 2M (a) da −a Z Z 1 a d 1 d ξ w(x, ξ ) − w(t, ξ )f (t) dt dξ− 2 |x| dξ M (ξ ) dξ −ξ Z ξ Z a 1 d w (x, ξ ) − w(t, ξ ) df (t) dξ, 2 dx |x| M (ξ ) −ξ
(8)
= w2 (ξ, ξ ), ¯®á«¥¤¨© ¢ãâ२© ¨â¥£à « ¡¥à¥âáï ¯® ⨫âì¥áã.
5.12-2. ¤à á à 樮 «ì묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ãàì¥
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤
y (x) −
Z
T
0
K (x − t)y (t) dt = f (x),
(9)
£¤¥ 0 6 x 6 T < ∞.
᫨ ï¤à® K (x) ¨â¥£à¨à㥬® ¢ ¯à®¬¥ã⪥ [−T, T ℄, â® ª í⮬ã ãà ¢¥¨î ¯à¨¬¥¨¬ ⥮à¨ï ।£®«ì¬ . Ǒ®áª®«ìªã ¢ ãà ¢¥¨¥ ¢å®¤ïâ § 票ï ï¤à K (x) «¨èì ¤«ï [−T, T ℄, â® ¬®® ¯à®¤®«¨âì ï¤à® «î¡ë¬ ®¡à §®¬ ¢¥ í⮣® ®â१ª . Ǒãáâì ï¤à® ¯à®¤®«¥® ¢áî ®áì á á®åà ¥¨¥¬ ¨â¥£à¨à㥬®áâ¨. ®£¤ ¢ ¯à®áâà á⢥ L2 (0, T ) ãà ¢¥¨¥ (9) ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ᢮¤¨âáï ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ â¥®à¨¨ «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨© (§ ¤ ç¥ ¨¬ ) ¤«ï ¤¢ãå ¯ à ¥¨§¢¥áâëå äãªæ¨©. 11*
âà ¨æ 163
164
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
᫨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ï¤à
(u) = K
Z
∞ −∞
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
K (x)eiux dx
(u) 6= 0 à 樮 «ì®, â® ãà ¢¥¨¥ (9) à¥è ¥âáï ¢ § ¬ªã⮬ ¢¨¤¥. Ǒãáâì 1 − K (−∞ < u < ∞). ®£¤ ¨§®¡à ¥¨¥ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (9) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (u) = Y
¢ ª®â®à®©
1 −iT u − + W (u) , (u) F (u) − W (u) − e 1−K
(10)
±
± (u) = W
pn XX
n k=1
± Mnk
k (u − b± n)
,
− £¤¥ b+ n ¨ bn | ¯®«îáë äãªæ¨¨ 1 − K(u), «¥ 騥 ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ± ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, p± n | ¨å ªà â®áâ¨. Ǒ®áâ®ïë¥ Mnk ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë ¨§ ãá«®¢¨© ds + + − (u) − F (u) + = 0, W (u) + e−iT u W s = 0, 1, . . . , qn − 1, u=an dus ds + − (u) − = 0, W (u) + e−iT u − F s = 0, 1, . . . , qn − 1, u=an dus − £¤¥ a+ n ¨ an | 㫨 äãªæ¨¨ 1 − K(u), «¥ 騥 ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨± ± | ¨å ªà â®áâ¨. Ǒ®áâ®ïë¥ Mnk ¬®® ®¯à¥¤¥«ïâì â ª¥ ¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, qn á ¯®¬®éìî ¯®¤áâ ®¢ª¨ à¥è¥¨ï ¢ ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥. ¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (9) ¯®«ãç ¥âáï ®¡à 饨¥¬ ä®à¬ã«ë (10). 5.12-3. ¢¥¤¥¨¥ ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬
1
◦
. áᬮâਬ á¯¥æ¨ «ìë© á«ãç ©, ª®£¤ ®¡à § ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (9), ¯®«ãç¥ë© á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥, ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
(u) M
(u) = K (u ) , N
(11)
(u) ¨ N (u) ¥ª®â®àë¥ ¬®£®ç«¥ë á⥯¥¥© m ¨ n ᮮ⢥âá⢥®: £¤¥ M (u) = M
m X
k=0
Ak uk ,
(u) = N
n X
k=0
Bk uk .
(12)
í⮬ á«ãç ¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (9) (¥á«¨ ®® áãé¥áâ¢ã¥â) 㤮¢«¥â¢®àï¥â «¨¥©®¬ã ¥®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î m-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ i d y (x) = N i d f (x), M 0 < x < T. (13) dx dx ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (13) ᮤ¥à¨â m ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå, ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯®¤áâ ®¢ª®© à¥è¥¨ï ¢ ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ (9). Ǒਠí⮬ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®áâ®ïëå ¯®«ãç ¥âáï á¨á⥬ «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©.
2◦ .
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த á à §®áâë¬ ï¤à®¬, ᮤ¥à 騬 á㬬ã íªá¯®¥â:
y (x) +
Z b X n a
k=1
Ak eλk |x−t| y (t) dt = f (x).
(14)
âà ¨æ 164
¥â®¤ë ¤«ï ãà ¢¥¨© á à §®áâë¬ ï¤à®¬ ª®¥ç®¬ ®â१ª¥
165
â® ãà ¢¥¨¥ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¬®® ᢥá⨠ª «¨¥©®¬ã ¥®¤®à®¤®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î 2n-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. Ǒਬ¥à.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ y (x) +
Z
b a
eλ|x−t| g (t)y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b,
ª®â®à®¥ ¯à¨ g(t) ≡ onst ¡ã¤¥â ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨ï (14). áªà®¥¬ ¬®¤ã«ì ¢ ¯®¤ëâ¥£à «ì®¬ ¢ëà ¥¨¨. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
1◦ .
Z
y (x) +
x a
eλ(x−t) g (t)y (t) dt +
¨ää¥à¥æ¨àãï (15) ¤¢ ¤ë ¯® x, ¨¬¥¥¬ ′′ yxx (x) + 2λg(x)y(x) + λ2
Z
x a
Z
b x
eλ(t−x) g (t)y (t) dt = f (x).
eλ(x−t) g (t)y (t) dt + λ2
Z
b x
(15)
′′ eλ(t−x) g (t)y (t) dt = fxx (x).
(16)
᪫îç ï ¨§ (15) ¨ (16) ¨â¥£à «ìë¥ ç«¥ë, ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠮¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 ¤«ï äãªæ¨¨ y = y(x): ′′ yxx + 2λg(x)y − λ2 y
′′ = fxx (x) − λ2 f (x).
(17)
. 뢥¤¥¬ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï (17). 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¯à¥¤¥«ë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ −∞ < a < b < ∞. Ǒ®« £ ï ¢ (15) x = a ¨ x = b, ¨¬¥¥¬ ¤¢ á«¥¤á⢨ï: Z b 2
◦
y (a) + e−λa y (b) + eλb
Z
a
b
a
eλt g (t)y (t) dt = f (a),
e−λt g (t)y (t) dt
(18)
= f (b).
′′ ¨ f ′′ ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ (18). Ǒ®á«¥ ëà §¨¬ ¨§ ãà ¢¥¨ï (17) ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ g(x)y ç¥à¥§ yxx xx ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ç áâï¬ ¯®«ã稬
eλb ϕ′x (b) − eλa ϕ′x (a) e−λb ϕ′x
(b) −
e−λa ϕ′x
= λeλa ϕ(a) + λeλb ϕ(b), (a) = λe−λa ϕ(a) + λe−λb ϕ(b),
ϕ(x)
= y(x) − f (x).
âáî¤ ¯®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ©¤¥¬ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ y(x): ϕ′x (a) + λϕ(a)
= 0,
ϕ′x (b) − λϕ(b)
= 0;
ϕ(x)
= y(x) − f (x).
(19)
à ¢¥¨¥ (17) ¢¬¥áâ¥ á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (19) ®¯¨áë¢ ¥â à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. Ǒਠg(t) ≡ onst ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à¥è¥¨¥ ¯à¨¢¥¤¥® ¢ ª¨£¥ . . Ǒ®«ï¨ , . . ¨à®¢ (1998, áâà. 261). 3◦ .
à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬, ᮤ¥à 騬 á㬬㠣¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨å äãªæ¨©:
y (x) +
Z
b a
K (x − t)y (t) dt = f (x),
K (x) =
n X
k=1
Ak sh λk |x|
(20)
â ª¥ á ¯®¬®éìî ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ᢮¤ïâáï ª «¨¥©ë¬ ¥®¤®à®¤ë¬ ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ 2n-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨.
4◦ .
à ¢¥¨ï á à §®áâë¬ ï¤à®¬, ᮤ¥à 騬 á㬬ã âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å äãªæ¨©:
y (x) +
Z
b a
K (x − t)y (t) dt = f (x),
K (x) =
n X
k=1
Ak sin λk |x|
(21)
âà ¨æ 165
166
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
â ª¥ ¬®® ᢥá⨠ª «¨¥©ë¬ ¥®¤®à®¤ë¬ ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ 2n-£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨.
• : W. B. Davenport, W. L. Root (1958), . . ®å¡¥à£, . . ३ (1967), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), A. . Ǒ®«ï¨, . . ¨à®¢ (1998), A. D. Polyanin, A. V. Manzhirov (1998). ¨â¥à âãà
5.13. ¥â®¤ § ¬¥ë ï¤à ¢ëத¥ë¬ 5.13-1. ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ï¤à
«ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த
y (x ) −
Z
b a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b,
(1)
£¤¥ äãªæ¨¨ f (x) ¨ K (x, t) ¤«ï ¯à®áâ®âë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ¥¯à¥àë¢ë¬¨, ï¤à® K (x, t) § ¬¥ïîâ ¡«¨§ª¨¬ ª ¥¬ã ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬
K(n) (x, t) =
n X
k=0
gk (x)hk (t).
(2)
ª ¥¬ ¥áª®«ìª® ᯮᮡ®¢ â ª®© § ¬¥ë.
᫨ ï¤à® K (x, t) ¤®áâ â®ç®¥ ç¨á«® à § ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬® ¯® x ®â१ª¥ [a, b℄, â® ¢ ª ç¥á⢥ ¢ëத¥®£® ï¤à K(n) (x, t) ¬®® ¢§ïâì ª®¥çë© ®â१®ª àï¤ ¥©«®à :
K(n) (x, t) =
n X (x − x0 )m
m!
m=0
Kx(m) (x0 , t),
(3)
£¤¥ x0 | ¥ª®â®à ï â®çª ®â१ª [a, b℄. «®£¨çë© ¯à¨¥¬ ¬®® ¯à¨¬¥¨âì â ª¥, ¥á«¨ K (x, t) ¤®áâ â®ç®¥ ç¨á«® à § ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¯® t ®â१ª¥ [a, b℄. «ï ¯®áâ஥¨ï ¢ëத¥®£® ï¤à ¬®® â ª¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ª®¥çë© ®â१®ª ¤¢®©®£® àï¤ ¥©«®à :
K(n) (x, t) = £¤¥
apq
n X n X
p=0 q =0
apq (x − x0 )p (t − t0 )q ,
∂ p+q K (x, t) x=x0 , p! q ! ∂xp ∂tq t=t
= 1
0
a 6 x0 6 b,
(4)
a 6 t0 6 b.
¥¯à¥à뢮¥ ï¤à® K (x, t) ¤®¯ã᪠¥â â ª¥ ¯¯à®ªá¨¬ æ¨î âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯®«¨®¬®¬ ¯¥à¨®¤ 2l, £¤¥ l = b − a. ¯à¨¬¥à, ¬®® ¯®«®¨âì
K(n) (x, t) = £¤¥ ak (t) (k
n
X 1 a0 (t) + ak (t) os 2 k=1
kπx l
,
(5)
= 0, 1, 2, . . .) | ª®íää¨æ¨¥âë àï¤ ãàì¥: ak (t) =
2 l
Z
b a
K (x, t) os
kπx dx. l
(6)
âà ¨æ 166
167
5.13. ¥â®¤ § ¬¥ë ï¤à ¢ëத¥ë¬
«®£¨ç®¥ à §«®¥¨¥ ¯®«ãç ¥âáï, ¥á«¨ ¯®¬¥ïâì ஫ﬨ ¯¥à¥¬¥ë¥ x ¨ t. ®® â ª¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ª®¥çë© ®â१®ª ¤¢®©®£® àï¤ ãàì¥, ¯®« £ ï, ¯à¨¬¥à,
ak (t) ≈
n
X 1 ak 0 + akm os 2 m=1
mπt l
,
k
= 0, 1, . . . , n,
(7)
¨§ ä®à¬ã« (5){(7) ¨¬¥¥¬
K(n) (x, t) =
n
1X 1 a + a os 4 00 2 k=1 k0
+ £¤¥
akm
= 42 l
Z
a
b a
n X
+ 1 2
m=1
a0m os
mπt l
kπx l
os
mπt l
,
K (x, t) os
kπx l
os
mπt l
dx dt.
k=1 m=1
Z
kπx l
akm os
n X n X b
+
(8)
ãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¤à㣨¥ ¯à¨¥¬ë ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ï¤à K (x, t). 5.13-2. Ǒਡ«¨¥®¥ à¥è¥¨¥
᫨ K(n) (x, t) ¥áâì ¢ëத¥®¥ ï¤à®, ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饥 ï¤à® K (x, t), ¨ äãªæ¨ï fn (x) ¡«¨§ª ª f (x), â® à¥è¥¨¥ yn (x) ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï
Z
yn (x) −
b a
K(n) (x, t)yn (t) dt = fn (x)
(9)
¬®® à áᬠâਢ âì ª ª ¯à¨¡«¨¥¨¥ à¥è¥¨ï y (x) ãà ¢¥¨ï (1). Ǒãáâì á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãîé ï ®æ¥ª ¯®£à¥è®áâ¨:
Z
b a
|K (x, t) − K(n) (x, t)| dt 6 ε,
|f (x) − fn (x)| 6 δ,
¨ १®«ì¢¥â Rn (x, t) ¤«ï ãà ¢¥¨ï (9) â ª®¢ , çâ®
Z
b a
|Rn (x, t)| dt 6 Mn
¯à¨ a 6 x 6 b, ¯à¨ç¥¬ ¢ë¯®«¥® ¥à ¢¥á⢮
q
= ε(1 + Mn ) < 1.
®£¤ ãà ¢¥¨¥ (1) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ y (x) ¨
|y (x) − yn (x)| 6 ε Ǒਬ¥à.
N (1 + Mn )2 1−q
+ δ,
©¤¥¬ ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï y (x) −
Z 1/2
0
e−x
2 t2
N
= a6x6b max |f (x)|.
y (t) dt = 1.
(10)
(11)
Ǒ®«ì§ãïáì à §«®¥¨¥¬ ¢ ¤¢®©®© àï¤ ¥©«®à , ï¤à® K (x, t)
= e−x
2 t2
§ ¬¥ï¥¬ ¯à¨¡«¨¥ë¬ ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ K(2) (x, t)
= 1 − x2 t2 + 21 x4 t4 .
âà ¨æ 167
168
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
âáî¤ ¢¬¥áâ® ãà ¢¥¨ï (11) ¯®«ãç ¥¬ y2 (x)
«¥¤®¢ ⥫ì®, £¤¥ A1
=
Z 1/2
0
= 1+ y2 (x)
y2 (x) dx,
A2
Z 1/2
0
Rb
K (x, t)y (t) dt
a
= f (x)
1 − x2 t2 + 12 x4 t4 y2 (t) dt.
(12)
= 1 + A1 + A2 x 2 + A3 x 4 ,
=−
Z 1/2
0
(13)
1 1/2 4 x y2 (x) dx. 2 0 Z
x2 y2 (x) dx,
A3
=
= −0, 0833,
A3
= 0, 0007.
(14)
®á®¢ ¨¨ ä®à¬ã« (13) ¨ (14) ¯®«ã稬 á¨á⥬ã âà¥å ãà ¢¥¨© á âà¥¬ï ¥¨§¢¥áâ묨, à¥è¨¢ ª®â®àãî, á â®ç®áâìî ¤® ç¥âëà¥å § ç é¨å æ¨äà ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì «¥¤®¢ ⥫ì®,
A1
= 0, 9930,
y (x) ≈ y2 (x)
A2
= 1, 9930 − 0, 0833 x2 + 0, 0007 x4 ,
0 6 x 6 12 .
(15)
楪㠯®£à¥è®á⨠¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï (15) ¬®® ¯à®¨§¢¥á⨠¯® ä®à¬ã«¥ (10).
• : . . ¨å«¨ (1959), . . â®à®¢¨ç, . . àë«®¢ (1962), . Ǒ. ¥¬¨¤®¢¨ç, . . à®,
. . 㢠«®¢ (1963), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968). ¨â¥à âãà
5.14. ¥â®¤ ¥©â¬¥ 5.14-1. ¡é ï á奬 ¬¥â®¤
®¥â ®ª § âìáï ¯®«¥§®© ç áâ® ¥ ⮫쪮 § ¬¥ ¤ ®£® ï¤à ¢ëத¥ë¬, ® ¨ ¯à¨¡«¨¥®¥ ¥£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë ï¤à , ¤«ï ª®â®à®£® १®«ì¢¥â ¨§¢¥áâ , ¨ ¢ëத¥®£® ï¤à . «ï ï¤¥à ¯®á«¥¤¥£® ¢¨¤ १®«ì¢¥â ¬®¥â ¡ëâì ¤ ¢ ª®¥ç®¬ ¢¨¤¥. áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த
y (x) − λ
Z
b a
k(x, t)y (t) dt = f (x)
(1)
á ï¤à®¬ k (x, t), १®«ì¢¥â ª®â®à®£® r (x, t; λ) ¨§¢¥áâ , â. ¥. à¥è¥¨¥ (1) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ä®à¬¥
y (x ) = f (x ) + λ
Z
b a
r (x, t; λ)f (t) dt.
®£¤ ¤«ï ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬
K (x, t) =
k(x, t) g1 (x) · · · gn (x) h (t) a 11 · · · a1n 1 1 , . . . .. . . (aij ) .. . . . hn (t) an1 · · · ann
a11 a21 (aij ) = .. . a n1
(2)
a12 · · · a1n a22 · · · a2n .. . . .. , (3) . . . an2 · · · ann
£¤¥ gi (x), hi (t) ¨ aij (i, j = 1, 2, . . . , n) | ¯à®¨§¢®«ìë¥ äãªæ¨¨ ¨ ¯à®¨§¢®«ìë¥ ç¨á« ᮮ⢥âá⢥®, १®«ì¢¥â ¤ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥
R(x, t; λ) =
ϕ1 (x) ··· ϕn (x) r (x, t; λ) ψ (t) a11 + λb11 · · · a1n + λb1n 1 1 , . .. .. .. . (aij + λbij ) . . . . ψn (t) an1 + λbn1 · · · ann + λbnn
(4)
âà ¨æ 168
169
5.14. ¥â®¤ ¥©â¬¥
£¤¥
Z b r (x, t; λ)gk (t) dt, ψk (x) = hk (x) + λ r (x, t; λ)hk (t) dt, a a Z b gj (x)hi (x) dx, k, i, j = 1, . . . , n. bij =
ϕk (x) = gk (x) + λ
Z
b
a
(5)
5.14-2. ¥ª®â®àë¥ ç áâë¥ á«ãç ¨
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ®
K (x, t) = k(x, t) − â. ¥. ¢ ä®à¬ã«¥ (3) aij ¢¨¤
n X
k=1
gk (x)hk (t),
(6)
= 0 ¯à¨ i = 6 j ¨ aii = 1. ¥§®«ì¢¥â ¤«ï í⮣® á«ãç ï ¯à¨¬¥â
ϕn (x) r (x, t; λ) ϕ1 (x) · · · ψ (t) 1 + λb11 · · · λb1n 1 1 , R(x, t; λ) = . . . .. .. .. .. ∗ . ψn (t) λbn1 · · · 1 + λbnn 1 + λb11 λb12 ··· λb1n 1 + λb22 · · · λb2n λb21 . ∗ = .. .. .. .. . . . . λb λb · · · 1 + λb n1 n2 nn Ǒãáâì, ªà®¬¥ ⮣®, k (x, t) = 0, â. ¥. ï¤à® K (x, t) | ¢ëத¥®¥: n X K (x, t) = − gk (x)hk (t). k=1 ¤ ®¬ á«ãç ¥, ®ç¥¢¨¤®, çâ® r (x, t; λ) = 0, ¨ ¢¢¨¤ã (7) Z b gj (x)hi (x) dx. ϕk (x) = gk (x), ψk (x) = hk (x), bij =
(7)
(8)
a
Ǒ®í⮬ã १®«ì¢¥â ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
gn (x) λb1n . R(x, t; λ) = (9) . . .. .. .. . λbn1 · · · 1 + λbnn áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¥ª®â®àë¬ ï¤à®¬ Q(x, t). 롥६ ¯à®¨§¢®«ì® ¢ ¯à®¬¥ã⪥ (a, b) â®çª¨ x1 , x2 , . . . , xn ¨ t1 , t2 , . . . , tn , ¨ ¯®«®¨¬ 0 1 h1 (t) ∗ ... hn (t)
g1 (x) ··· 1 + λb11 · · ·
¢ à ¢¥á⢥ (3)
k(x, t) = 0,
gk (x) = Q(x, tk ), hk (t) = −Q(xk , t), aij = Q(xi , tj ). ®£¤ , ®ç¥¢¨¤®, r (x, t; λ) = 0 ¨ ï¤à® K (x, t) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ 0 Q(x, t1 ) · · · Q(x, tn ) Q(x1 , t1 ) · · · Q(x1 , tn ) Q(x , t) Q(x , t ) · · · Q(x , t ) 1 1 1 1 n 1 .. .. .. , D = K (x, t) = . . . . . . . . . . .. . D . . . Q(xn , t1 ) · · · Q(xn , tn ) Q(xn , t) Q(xn , t1 ) · · · Q(xn , tn )
âà ¨æ 169
170
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
ëà ¥¨¥ ¤«ï ï¤à 㤮¡® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
Q(x, t) Q(x, t1 ) · · · Q(x, tn ) Q(x , t) Q(x , t ) · · · Q(x , t ) 1 1 1 1 n 1 . K (x, t) = Q(x, t) − .. .. .. .. D . . . . Q(xn , t) Q(xn , t1 ) · · · Q(xn , tn )
(10)
â® ï¤à® ¢ëத¥®¥ ¨ ®¡« ¤ ¥â ⥬ ᢮©á⢮¬, ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á Q(x, t) ¯àï¬ëå x = xi , t = tj (i, j = 1, 2, . . . , n). ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¯®«®¨âì x = xi ¨«¨ t = tj , â® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, áâ®ï騩 ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¢â®à®£® ç«¥ , ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¤¢¥ ®¤¨ ª®¢ëå áâப¨ ¨«¨ á⮫¡æ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¡à â¨âáï ¢ ã«ì, ¯®í⮬ã
K (xi , t) = Q(xi , t),
K (x, tj ) = Q(x, tj ).
ª®¥ ᮢ¯ ¤¥¨¥ 2n ¯àï¬ëå ¯®§¢®«ï¥â à ááç¨âë¢ âì â®, çâ® K (x, t) ¡«¨§ª® ª Q(x, t), à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ K (x, t) | ª à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ Q(x, t). «¥¤ã¥â § ¬¥â¨âì, çâ® ¥á«¨ Q(x, t) ¢ëத¥®¥, â. ¥. ¨¬¥¥â ¢¨¤
Q(x, t) =
n X
k=1
gk (x)hk (t),
(11)
â® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ⮤¥á⢥® à ¢¥ ã«î, ¯®â®¬ã ¢ í⮬ á«ãç ¥
K (x, t) ≡ Q(x, t).
(12)
«ï ï¤à K (x, t) १®«ì¢¥â ¬®¥â ¡ëâì á®áâ ¢«¥ ®á®¢ ¨¨ á«¥¤ãîé¨å à ¢¥áâ¢:
r (x, t; λ) = 0, ϕi (x) = gi (x) = Q(x, ti ), ψj (t) = hj (t) = −Q(xj , t), Z b i, j = 1, . . . , n, Q(x, tj )Q(xi , x) dx = −Q2 (xi , tj ), bij = −
(13)
a
£¤¥ Q2 (x, t) | ¢â®à®¥ ¨â¥à¨à®¢ ®¥ ï¤à® ¤«ï Q(x, t):
Q2 (x, y ) = ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®,
R(x, t; λ) =
£¤¥
Z
b a
Q(x, s )Q(s , t) ds ,
0 Q(x, t1 ) ··· Q(x, tn ) Q(x , t) Q(x , t ) − λQ (x , t ) · · · Q(x , t ) − λQ (x , t ) 1 1 1 2 1 1 1 n 2 1 n 1 , . . . .. . . . Dλ . . . . Q(xn , t) Q(xn , t1 ) − λQ2 (xn , t1 ) · · · Q(xn , tn ) − λQ2 (xn , tn )
(14)
Dλ
= D − λD2 ,
Q2 (x1 , t1 ) · · · Q2 (x1 , tn ) .. .. .. D2 = . . . . Q2 (xn , t1 ) · · · Q2 (xn , tn )
¯®¬®éìî १®«ì¢¥âë R(x, t; λ) ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ Q(x, t). ç áâ®áâ¨, ¯à¨¡«¨¥ë¥ § ç¥¨ï ¤«ï ᮡá⢥ëå § 票© λ í⮣® ï¤à ©¤¥¬, ¯à¨à ¢¨¢ ï ã«î ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì Dλ , áâ®ï騩 ¢ § ¬¥ ⥫¥ (14).
âà ¨æ 170
171
5.15. ¥â®¤ ª®««®ª 樨
Ǒਬ¥à.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ y (x) − λ
Z 1
Q(x, t)y (t) dt = 0, x(t − 1) Q(x, t) = t(x − 1)
(15)
0 6 x 6 1,
0
¯à¨ x 6 t, ¯à¨ x > t. ©¤¥¬ ¥£® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« . «ï í⮣® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© (14), £¤¥ ¤«ï ¢â®à®£® ¨â¥à¨à®¢ ®£® ï¤à ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ( 1 Z 1 2 2 6 x(1 − t)(2t − x − t ) ¯à¨ x 6 t, Q2 (x, t) = Q(x, s )Q(s , t) ds = 1 2 2 0 6 t(1 − x)(2x − x − t ) ¯à¨ x > t. 롥६ à ¢®®âáâ®ï騥 â®çª¨ xi ¨ tj ¨ ¢®§ì¬¥¬ n = 5, ⮣¤ x1
= t1 = 16 ,
x2
= t2 = 26 ,
x3
= t3 = 36 ,
x4
= t4 = 46 ,
x5
= t5 = 56 .
Ǒà¨à ¢ï¥¬ ã«î ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì, áâ®ï騩 ¢ § ¬¥ ⥫¥ (14). ®£¤ ¯®á«¥ ¥ª®â®àëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯à¨¤¥¬ ª ãà ¢¥¨î 130µ5 − 441µ4 + 488µ3 − 206µ2 + 30µ − 1 = 0 (λ~ = 216µ),
ª®â®à®¥ ¬®® § ¯¨á âì ¢ ä®à¬¥
(µ − 1)(2µ − 1)(5µ − 1)(13µ2 − 22µ + 1) = 0.
Ǒ®á«¥ à¥è¥¨ï (16) ©¤¥¬ ~1 λ
(16)
= 10, 02, λ~ 2 = 43, 2, λ~ 3 = 108, λ~ 4 = 216, λ~ 5 = 355, 2.
®çë¥ ¢¥«¨ç¨ë å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å § 票© à áᬠâਢ ¥¬®£® ãà ¢¥¨ï ¨§¢¥áâë: = π2 = 9, 869 . . . ,
= (3π)2 = 88, 826 . . . , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®è¨¡ª ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯¥à¢®£® ᮡá⢥®£® § 票ï 2%, ¢â®à®£®| 9%, âà¥â쥣® | 20%. ¥§ã«ìâ â ¬®® ã«ãçè¨âì ¢ë¡®à®¬ ¤à㣮© ᮢ®ªã¯®á⨠â®ç¥ª xi ¨ yi (i = 1, 2, . . . , 5). λ1
λ2
= (2π)2 = 39, 478 . . . ,
λ3
¤ ª® ¯à¨ â ª®¬ ç¨á«¥ ®à¤¨ â ®ç¥ì ¢ë᮪ ï â®ç®áâì ¥ ¬®¥â ¡ëâì ¤®á⨣ãâ , â ª ª ª á ¬® ï¤à® Q(x, t) ¨¬¥¥â ®á®¡¥®áâì: ¯à®¨§¢®¤ ï ¥£® à §àë¢ ¯à¨ x = t ¢á«¥¤á⢨¥ 祣® ¥¢®§¬® å®à®è ï ¯¯à®ªá¨¬ æ¨ï ¥£® â ª¨¬¨ ï¤à ¬¨.
• : H. Bateman (1922), . ãàá (1934), . . â®à®¢¨ç, . . àë«®¢ (1962). ¨â¥à âãà
5.15. ¥â®¤ ª®««®ª 樨 5.15-1. ¡é¨¥ § ¬¥ç ¨ï
¯¨è¥¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥
ε[y (x)℄ ≡ y (x) − λ
Z
b a
K (x, t)y (t) dt − f (x) = 0.
(1)
㤥¬ ¨áª âì ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ¢¨¤¥ äãªæ¨¨ ¢¨¤
Yn (x) = (x, A1 , A2 , . . . , An )
(2)
ᮠ᢮¡®¤ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨ A1 , A2 , . . . , An . Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (2) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1), ¯®«ã稬 ¥¢ï§ªã
ε[Yn (x)℄ = Yn (x) − λ
Z
b a
K (x, t)Yn (t) dt − f (x).
(3)
âà ¨æ 171
172
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
᫨ y (x) ï¥âáï â®çë¬ à¥è¥¨¥¬, â® ¥¢ï§ª ε[y (x)℄ à ¢ ã«î. Ǒ®í⮬ã áâ à îâáï ¯®¤®¡à âì ¯ à ¬¥âàë A1 , A2 , . . . , An â ª, çâ®¡ë ¥¢ï§ª ε[y (x)℄ ¡ë« ¡ë ¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ á¬ëá«¥ ¢®§¬®® ¬ «®©. ¨¨¬¨§¨à®¢ âì ¥¢ï§ªã ε[y (x)℄ ¬®® à §«¨ç묨 ᯮᮡ ¬¨. ¡ëç® ¤«ï ¯à®áâ®âë ¢ëª« ¤®ª ¡¥àãâ äãªæ¨î Yn (x), «¨¥©® § ¢¨áïéãî ®â ¯ à ¬¥â஢ A1 , A2 , . . . , An . ©¤ï ¯ à ¬¥âàë A1 , A2 , . . . , An , ¯®«ãç î⠯ਡ«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ (2).
᫨
lim
n→∞
Yn (x) = y (x),
(4)
â® ¬®®, ¢§ï¢ ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讥 ç¨á«® ¯ à ¬¥â஢ A1 , A2 , . . . , An , ©â¨ à¥è¥¨¥ y (x) á «î¡®© ¯¥à¥¤ § ¤ ®© á⥯¥ìî â®ç®áâ¨. Ǒ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¨§«®¥¨î ®¤®£® ¨§ ª®ªà¥âëå ¬¥â®¤®¢ ¯®áâ஥¨ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï Yn (x). 5.15-2. Ǒਡ«¨¥®¥ à¥è¥¨¥
Ǒ®«®¨¬
Yn (x) = ϕ0 (x) +
n X i=1
Ai ϕi (x),
(5)
£¤¥ ϕ0 (x), ϕ1 (x), . . . , ϕn (x) | ¨§¢¥áâë¥ ª®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨ ¨ A1 , A2 , . . . , An | ¥®¯à¥¤¥«¥ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë, ¯à¨ç¥¬ äãªæ¨¨ ϕi (x) (i = 1, 2, . . . , n) «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ç áâ®áâ¨, ¬®® ¯®«®¨âì ϕ0 (x) = f (x) ¨«¨ ϕ0 (x) ≡ 0. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (5) ¢ «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (1), ¯®«ã稬 ¥¢ï§ªã
ε[Yn (x)℄ = ϕ0 (x) + ¨«¨
n X i=1
Ai ϕi (x) − f (x) − λ
ε[Yn (x)℄ = ψ0 (x, λ) + £¤¥
Z
b a
n X i=1
n X Ai ϕi (t) dt, K (x, t) ϕ0 (t) + i=1 Ai ψi (x, λ),
Z b ψ0 (x, λ) = ϕ0 (x) − f (x) − λ K (x, t)ϕ0 (t) dt, a Z b i = 1, . . . , n. K (x, t)ϕi (t) dt, ψi (x, λ) = ϕi (x) − λ
(6)
(7)
a
®£« á® ¬¥â®¤ã ª®««®ª 樨 ¯®âॡ㥬, çâ®¡ë ¥¢ï§ª ε[Yn (x)℄ ®¡à é « áì ¢ ã«ì ¢ § ¤ ®© á¨á⥬¥ â®ç¥ª ª®««®ª 樨 x1 , x2 , . . . , xn ¨§ ®â१ª [a, b℄, â. ¥. ¯®« £ ¥¬, çâ®
ε[Yn (xj )℄ = 0,
j
= 1, . . . , n,
£¤¥
a 6 x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn 6 b.
¡ëç® ¯®« £ îâ x1 = a ¨ xn = b. âáî¤ , ®á®¢ ¨¨ ä®à¬ã«ë (6) ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ A1 , A2 , . . . , An ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© n X i=1
Ai ψi (xj , λ) = −ψ0 (xj , λ),
j
= 1, 2, . . . , n.
(8)
âà ¨æ 172
173
5.15. ¥â®¤ ª®««®ª 樨
᫨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (8):
ψ1 (x1 , λ) ψ1 (x2 , λ) · · · ψ1 (xn , λ) ψ (x , λ) ψ (x , λ) · · · ψ (x , λ) 2 2 2 n 2 1 = det[ψi (xj , λ)℄ = . . . .. 6 0, . . . . . . . ψn (x1 , λ) ψn (x2 , λ) · · · ψn (xn , λ) â® ¨§ á¨á⥬ë (8) ¬®® ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¨âì A1 , A2 , . . . , An ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ©â¨ ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ Yn (x) ¯® ä®à¬ã«¥ (5). 5.15-3. ®¡áâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ãà ¢¥¨ï
Ǒà¨à ¢¨¢ ï ã«î ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (8), ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥
det[ψi (xj , λ)℄ = 0,
ª®â®à®¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ ¯à¨¡«¨¥ë¥ § 票ï å à ªâ¥à¨áâ¨~ k (k = 1, 2, . . . , n) ï¤à K (x, t). ç¥áª¨å ç¨á¥« λ
᫨ ¯®«®¨âì
f (x) ≡ 0,
ϕ0 (x) ≡ 0,
~k, λ=λ
â® ¢¬¥áâ® á¨á⥬ë (8) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ®¤®à®¤ãî á¨á⥬ã n X ~ (ik) ψi (xj , λ~ k ) = 0, A j = 1, 2, . . . , n. (9) i=1 ~ (ik) (i = 1, 2, . . . , n) á¨á⥬ë (9), ¯®«ã稬 ¤«ï ¯à¥¤¥«¨¢ ¥ã«¥¢ë¥ à¥è¥¨ï A ï¤à K (x, t) ¯à¨¡«¨¥ë¥ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ n X ~ (ik) ϕi (x), Y~n(k) (x) = A i=1 ~k. ®â¢¥ç î騥 ¥£® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã λk ≈ λ Ǒਬ¥à.
¥â®¤®¬ ª®««®ª 樨 à¥è¨âì ãà ¢¥¨¥ y (x) −
Z 1 2 t y (t) dt 0 x2 + t2
= x ar tg
1 x
Ǒ®«®¨¬ Y2 (x) = A1 + A2 x. Ǒ®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¥¨¥ ¢ ãà ¢¥¨¥(10), ¯®«ã稬 ¥¢ï§ªã ε[Y2 (x)℄
= −A1 x ar tg
1
x
+ A2
x−
1 1 x2 + ln 1 + 2 2 2 x
롨à ï â®çª¨ ª®««®ª 樨 x1 = 0, x2 = 1 ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® lim x ar tg x→0
¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢
1
x A1
(10)
.
1 = 0, x→ lim0 x2 ln 1 + 2 x
− x ar tg
1 x
.
= 0,
¨ A2 ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì á¨á⥬ã:
0 × A1 − 12 A2 = 0, − π4 A1 + 12 (1 + ln 2)A2 = π 4. âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ A2 = 0 ¨ A1 = −1. ª¨¬ ®¡à §®¬, Y2 (x) = −1.
(11)
©¤¥®¥ à¥è¥¨¥ (11), ª ª «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì ï¥âáï â®çë¬.
• : . ®«« âæ (1958), . Ǒ. ¥¬¨¤®¢¨ç, . . à®,
. . 㢠«®¢ (1963), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986). ¨â¥à âãà
âà ¨æ 173
174
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
5.16. ¥â®¤ ¨¬¥ìè¨å ª¢ ¤à ⮢
5.16-1. ¯¨á ¨¥ ¬¥â®¤
«ï ãà ¢¥¨ï
ε[y (x)℄ ≡ y (x) − λ
Z
b a
K (x, t)y (t) dt − f (x) = 0,
(1)
«®£¨ç® ¬¥â®¤ã ª®««®ª 樨, ¯®« £ ¥¬
Yn (x) = ϕ0 (x) +
n X i=1
Ai ϕi (x),
(2)
£¤¥ ϕ0 (x), ϕ1 (x), . . . , ϕn (x) | ¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨ ¨ A1 , A2 , . . . , An | ¥®¯à¥¤¥«¥ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë, ¯à¨ç¥¬ ϕi (x) (i = 1, 2, . . . , n) «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë. Ǒ®¤áâ ¢«ïï (2) ¢ «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (1), ¯®«ã稬 ¥¢ï§ªã
R[Yn (x)℄ = ψ0 (x, λ) +
n X i=1
Ai ψi (x, λ),
(3)
£¤¥ ψ0 (x, λ) ¨ ψi (x, λ) (i = 1, 2, . . . , n) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ (7) ¨§ ¯. 5.15-2. ®£« á® ¬¥â®¤ã ¨¬¥ìè¨å ª¢ ¤à ⮢, ª®íää¨æ¨¥âë Ai (i = 1, . . . , n) ®âë᪨¢ îâáï ¨§ ãá«®¢¨ï ¬¨¨¬ã¬ ¨â¥£à «
I
=
Z
b a
{ε[Yn (x)℄}2 dx =
Z b a
ψ0 (x, λ) +
n X i=1
Ai ψi (x, λ)
2
dx.
(4)
â® âॡ®¢ ¨¥ ¯à¨¢®¤¨â ª á¨á⥬¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©
∂I ∂Aj
= 0,
j
= 1, 2, . . . , n,
(5)
®âªã¤ ®á®¢ ¨¨ (4), ¤¨ää¥à¥æ¨àãï ¯® ¯ à ¬¥âà ¬ A1 , . . . , An ¯®¤ § ª®¬ ¨â¥£à « , ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
1 2
∂I ∂Aj
=
Z
b a
n X Ai ψi (x, λ) dx = 0, ψj (x, λ) ψ0 (x, λ) + i=1
j
= 1, 2, . . . , n.
(6)
¯®¬®éìî ®¡®§ 票© ⨯
cij (λ) =
Z
b a
ψi (x, λ)ψj (x, λ) dx
(7)
á¨á⥬ã (6) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
c11 (λ)A1 + c12 (λ)A2 + · · · + c1n (λ)An = −c10 (λ), c21 (λ)A1 + c22 (λ)A2 + · · · + c2n (λ)An = −c20 (λ), ·················································· cn1 (λ)A1 + cn2 (λ)A2 + · · · + cnn (λ)An = −cn0 (λ).
(8)
¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ϕ0 (x) ≡ 0, â® ψ0 (x) = −f (x). ஬¥ ⮣®, â ª ª ª áij (λ) = áji (λ), â® ¬ âà¨æ á¨á⥬ë (8) ᨬ¬¥âà¨ç ï.
âà ¨æ 174
175
5.16. ¥â®¤ ¨¬¥ìè¨å ª¢ ¤à ⮢
5.16-2. Ǒ®áâ஥¨¥ ᮡá⢥ëå äãªæ¨©
¥â®¤ ¨¬¥ìè¨å ª¢ ¤à ⮢ ¯à¨¬¥ï¥âáï ¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ¨ ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ï¤à K (x, t). ¥©á⢨⥫ì®, ¯®« £ ï f (x) ≡ 0 ¨ ϕ0 (x) ≡ 0, ®âªã¤ ψ0 (x) ≡ 0, ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯à¨¡«¨¥ë¥ § 票ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ¨§ «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï
det[cij (λ)℄ = 0.
(9)
Ǒ®á«¥ í⮣® ¯à¨¡«¨¥ë¥ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ 室ïâáï ¨§ ®¤®à®¤®© á¨á⥬ë (8), £¤¥ ¢¬¥áâ® λ ¯®¤áâ ¢«¥® ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¯à¨¡«¨¥®¥ § 票¥. Ǒਬ¥à.
¥â®¤®¬ ¨¬¥ìè¨å ª¢ ¤à ⮢ ©â¨ ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï y (x)
= x2 +
Z 1
−1
sh(x + t)y(t) dt
(10)
«ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ¯®« £ ¥¬ Y2 (x) = x2 + A2 x + A1 . âáî¤ ϕ1 (x)
ç¨âë¢ ï, çâ®
Z 1
−1
sh(x + t) dt = a sh x, a=
2 sh 1 = 2, 3504,
= 1,
Z 1
−1
ϕ2 (x)
= x,
t sh(x + t) dt
b = 2e−1
= 1 − a sh x,
ψ2
= x2 .
= b sh x,
= 0, 7358,
®á®¢ ¨¨ ä®à¬ã« (7) ¨§ ¯. 5.15-2 ¨¬¥¥¬ ψ1
ϕ0 (x)
c=
= x − b h x,
Z 1
−1
t2 sh(x + t) dt = c sh x,
6 sh 1 − 4 h 1 = 0, 8788,
ψ0
= −c sh x.
«¥¥ 室¨¬ (á â®ç®áâìî ¤® ç¥âëà¥å § ç é¨å æ¨äà ¯®á«¥ § ¯ï⮩)
= 2 + a2 12 sh 2 − 1 = 6, 4935, c22 = 23 + b2 12 sh 2 + 1 = 2, 1896, c12 = −4(ae−1 + b sh 1) = −8e−1 sh 1 = −3, 4586, c10 = ac 12 sh 2 − 1 = 1, 6800, c20 = −2ce−1 = −0, 6466, c11
¨ ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬㠤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ A1 ¨ A2 6, 4935A1 − 3, 4586A2 −3, 4586A1 + 2, 1896A2
= −1, 6800, = 0, 6466.
âáî¤ ¨¬¥¥¬ A1 = −0, 5423, A2 = −0, 5613. ª¨¬ ®¡à §®¬, Y2 (x)
ª ª ª ¢ ãà ¢¥¨¨ (10) ï¤à®
K (x, t)
= x2 − 0, 5613x − 0, 5423.
(11)
= sh(x + t) = sh x h t + h x sh t
¢ëத¥®¥, â® ¬®® ¯®«ãç¨âì â®ç®¥ à¥è¥¨¥:
y (x) = x2 + α sh x + β h x, (12) 6 sh 1 − 4 h 1 1 α= = −0, 6821, β = α 2 sh 2 − 1 = −0, 5548. 2 − 12 sh 2 2 § áà ¢¥¨ï ä®à¬ã« (11) ¨ (12) § ª«îç ¥¬, çâ® ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ Y2 (x) ¡«¨§ª® ª â®ç®¬ã y(x), ¥á«¨ |x| | ¬ « ï ¢¥«¨ç¨ . ª®æ å x = ±1 à á室¥¨¥ |y(x) − Y2 (x)|
¤®¢®«ì® § ç¨â¥«ì®.
• : . . â®à®¢¨ç, . . àë«®¢ (1962), . Ǒ. ¥¬¨¤®¢¨ç, . . à®,
. . 㢠«®¢ (1963), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968). ¨â¥à âãà
âà ¨æ 175
176
y (x) −
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
5.17. ¥â®¤ ã¡®¢ { «¥àª¨ 5.17-1. ¯¨á ¨¥ ¬¥â®¤
Ǒãáâì
ε[y (x)℄ ≡ y (x) − λ
Z
b a
K (x, t)y (t) dt − f (x) = 0.
(1)
«®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬ã, ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ¢¨¤¥ ª®¥ç®© á㬬ë
Yn (x) = f (x) +
n X i=1
Ai ϕi (x),
i = 1, 2, . . . , n,
(2)
£¤¥ ϕi (x) (i = 1, 2, . . . , n) | ¥ª®â®àë¥ ¨§¢¥áâë¥ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ äãªæ¨¨ (ª®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨) ¨ A1 , A2 , . . . , An | ¥®¯à¥¤¥«¥ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ (2) ¢ «¥¢ãî ç áâì ãà ¢¥¨ï (1), ¯®«ã稬 ¥¢ï§ªã
ε[Yn (x)℄ =
n X
j =1
Z Aj ϕj (x) − λ
b a
Z K (x, t)ϕj (t) dt − λ
b a
K (x, t)f (t) dt.
(3)
®£« á® ¬¥â®¤ã ã¡®¢ { «¥àª¨ , ¨áª®¬ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë Ai ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ãá«®¢¨ï ®à⮣® «ì®á⨠¥¢ï§ª¨ ª® ¢á¥¬ ª®®à¤¨ âë¬ äãªæ¨ï¬ ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x). â® ¤ ¥â á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©
Z
¨«¨ ¢ ᨫã (3)
b a
n X
j =1
£¤¥
αij
=
Z
b a
ε[Yn (x)℄ϕi (x) dx = 0,
i = 1, . . . , n,
(αij − λβij )Aj = λγi ,
ϕi (x)ϕj (x) dx, Z bZ γi = a
βij b a
=
Z
i = 1, 2, . . . , n,
b a
Z
b a
(4)
K (x, t)ϕi (x)ϕj (t) dt dx,
K (x, t)ϕi (x)f (t) dt dx.
᫨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (4)
D(λ) = det[αij − λβij ℄
®â«¨ç¥ ®â ã«ï, â® ¨§ í⮩ á¨áâ¥¬ë ¬®® ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¨âì ª®íää¨æ¨¥âë A1 , A2 , . . . , An . ®£¤ ä®à¬ã« (2) ¤ ¥â ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1). 5.17-2. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« ãà ¢¥¨ï
§ ãà ¢¥¨ï D(λ) = 0 室ïâáï ¯à¨¡«¨¥ë¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« ~ 1 , λ~ 2 , . . . , λ~ n ãà ¢¥¨ï. ©¤ï ¥ã«¥¢ë¥ à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®© «¨¥©®© λ
á¨á⥬ë
n X
j =1
(αij − λ~ k βij )A~ (jk) = 0,
i = 1, 2, . . . , n,
âà ¨æ 176
177
5.17. ¥â®¤ ã¡®¢ { «¥àª¨
~n ¬®® ¯®áâநâì ¯à¨¡«¨¥ë¥ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ Y ~ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ç¨á« ¬ λk :
(k )
(x), ᮮ⢥âáâ¢ãî騥
n X ~ (ik) ϕ(x). A i=1
Y~n(k) (x) =
®® ¯®ª § âì, çâ® ¬¥â®¤ ã¡®¢ { «¥àª¨ à ¢®á¨«¥ § ¬¥¥ ¨á室®£® ï¤à K (x, t) ¥ª®â®àë¬ ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ K(n) (x, t). Ǒ®í⮬㠤«ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï Yn (x) ¨¬¥¥âáï ®æ¥ª ¯®£à¥è®áâ¨, «®£¨ç ï ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ ¯. 5.13-2. Ǒਬ¥à.
©¤¥¬ ¯¥à¢ë¥ ¤¢ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á« ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ε[y (x)℄ ≡ y (x) − λ
£¤¥
K (x, t)
®á®¢ ¨¨ (5) ¨¬¥¥¬
=
Z 1
0
n
Z ε[y (x)℄ = y (x) − λ
t x
x
0
K (x, t)y (t) dt = 0,
¯à¨ ¯à¨
t 6x t>x
ty (t) dt +
Ǒ®«®¨¬ Y2 (x) = A1 x + A2 x2 . ®£¤
, .
Z 1 x
(5)
xy (t) dt .
ε[Y2 (x)℄ = A1 x + A2 x2 − λ = A1 1 − 12 λ x +
à⮣® «¨§ãï
1 A x3 + 1 A x4 + x 1 A + 1 A − 1 A x3 + 1 A x4 = 3 1 4 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 λx3 + A − 1 λx + x2 + 1 λx4 . 2 3 6 12 ¥¢ï§ªã ε[Y2 (x)℄, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì á¨á⥬ã Z 1 ε[Y2 (x)℄x dx = 0, 0 Z 1 ε[Y2 (x)℄x2 dx = 0, 0
¨«¨ ®¤®à®¤ãî á¨á⥬㠤¢ãå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© á ¤¢ã¬ï ¥¨§¢¥áâ묨: A1 (120 − 48λ) + A2 (90 − 35λ) A1 (630 − 245λ) + A2 (504 − 180λ)
=0 = 0.
(6)
Ǒà¨à ¢¨¢ ï ã«î ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì á¨á⥬ë (6), ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥«: 120 − 48λ D (λ) ≡ 630 − 245λ
âªã¤
90 − 35λ 504 − 180λ = 0.
λ2 − 26, 03λ + 58, 15
§ ãà ¢¥¨ï (7) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ~1 λ
= 0.
(7)
= 2, 462 . . . ¨ λ~ 2 = 23, 568 . . .
«ï áà ¢¥¨ï 㪠¥¬ â®çë¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ç¨á« λ1
= 41 π2 = 2, 467 . . . ¨
λ2
= 49 π2 = 22, 206 . . . ,
′′ yxx (x) + λy(x)
y (0)
¯®«ãç¥ë¥ ¨§ à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨, íª¢¨¢ «¥â®© ¨á室®¬ã ãà ¢¥¨î: = 0;
= 0, yx′ (1) = 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®£à¥è®áâì λ~1 à ¢ ¯à¨¬¥à® 0, 2%, λ~2 | 6%.
: . . â®à®¢¨ç, . . àë«®¢ (1962), . Ǒ. ¥¬¨¤®¢¨ç, . . à®,
. . 㢠«®¢ (1963), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986).
•
¨â¥à âãà
12 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 177
178
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
5.18. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà 5.18-1. ¡é ï á奬 ¤«ï ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த
¢¥¤¥¨¥ § ¤ ç¨ à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ª à¥è¥¨î á¨á⥬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, ¯®«ãç ¥¬ëå § ¬¥®© ¨â¥£à «®¢ ª®¥ç묨 á㬬 ¬¨, ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ á ¬ëå íä䥪⨢ëå ¬¥â®¤®¢. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà ®â®á¨âáï ª ¯¯à®ªá¨¬ æ¨®ë¬ ¬¥â®¤ ¬. è¨à®ª® à á¯à®áâà ¥ ¢ ¯à ªâ¨ª¥, ¯®áª®«ìªã ¤®áâ â®ç® 㨢¥àá «¥ ¢ ®â®è¥¨¨ ¯à¨æ¨¯ ¯®áâ஥¨ï «£®à¨â¬®¢ à¥è¥¨ï ª ª «¨¥©ëå, â ª ¨ ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. ª ¥ ª ª íâ® ¡ë«® ¢ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà , ¢ ®á®¢¥ ¬¥â®¤ «¥¨â ¥ª®â®à ï ª¢ ¤à âãà ï ä®à¬ã« (á¬. ¯. 2.7-1):
Z
b a
ϕ(x) dx =
n X
j =1
Aj ϕ(xj ) + εn [ϕ℄,
(1)
£¤¥ xj | ã§«ë ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë, Aj | ¨§¢¥áâë¥ ª®íää¨æ¨¥âë, ¥ § ¢¨áï騥 ®â äãªæ¨¨ ϕ(x), εn [ϕ℄ | ®è¨¡ª § ¬¥ë ¨â¥£à « á㬬®© (®áâ â®çë© ç«¥ ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë).
᫨ ¢ «¨¥©®¬ ¥®¤®à®¤®¬ ¨â¥£à «ì®¬ ãà ¢¥¨¨ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த
y (x ) − λ
¯à¨ïâì x = xi (i á®®â®è¥¨¥
Z
b
a
K (x, t)y (t) dt = f (x),
= 1, 2, . . . , n),
y (xi ) − λ
Z
b a
a 6 x 6 b,
(2)
â® ¯®«ã稬 ¨á室®¥ ¤«ï ¤ ®£® ¬¥â®¤
K (xi , t)y (t) dt = f (xi ),
i = 1, 2, . . . , n,
(3)
¨§ ª®â®à®£® ¯®á«¥ § ¬¥ë ¨â¥£à « ª®¥ç®© á㬬®© ¯®«ãç ¥âáï á¨á⥬ ãà ¢¥¨©:
y (xi ) − λ
n X
j =1
Aj K (xi , xj )y (xj ) = f (xi ) + λεn [y ℄.
(4)
Ǒ®á«¥ ®â¡à áë¢ ¨ï ¢ ¥© ¬ «®© ¢¥«¨ç¨ë λεn [y ℄ ¤«ï ®âë᪠¨ï ¯à¨¡«¨¥ëå § 票© yi à¥è¥¨ï y (x) ¢ 㧫 å x1 , x2 , . . . , xn ¯®«ãç ¥âáï á¨á⥬ «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©
yi − λ
n X
j =1
Aj Kij yj
= fi ,
i = 1, 2, . . . , n,
(5)
£¤¥ Kij = K (xi , xj ), fi = f (xi ). ¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (5) ¤ ¥â § 票ï y1 , y2 , . . . , yn , ¯® ª®â®àë¬ ¯ã⥬ ¨â¥à¯®«ï樨 室¨âáï ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (2) ¢á¥¬ ®â१ª¥ [a, b℄. Ǒਠí⮬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ¬®® ¯à¨ïâì äãªæ¨î, ¯®«ãç¥ãî «¨¥©®© ¨â¥à¯®«ï樥©, â. ¥. ᮢ¯ ¤ îéãî á yi ¢ â®çª å xi ¨ «¨¥©ãî ¢ ª ¤®¬ ¨§ ¯à®¬¥ã⪮¢ [xi , xi+1 ℄. ஬¥ ⮣®, ¢ ª ç¥á⢥ «¨â¨ç¥áª®£® ¢ëà ¥¨ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¯à¨¨¬ ¥âáï äãªæ¨ï
y~(x) = f (x) + λ
n X
j =1
Aj K (x, xj )yj ,
(6)
â ª¥ ¨¬¥îé ï ¢ 㧫 å x1 , x2 , . . . , xn § 票ï y1 , y2 , . . . , yn .
âà ¨æ 178
179
5.18. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà
5.18-2. Ǒ®áâ஥¨¥ ᮡá⢥ëå äãªæ¨©
¥â®¤ ª¢ ¤à âãà ¯à¨¬¥ï¥âáï â ª¥ ¤«ï à¥è¥¨ï ®¤®à®¤ëå ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த . í⮬ á«ãç ¥ á¨á⥬ (5) áâ ®¢¨âáï ®¤®à®¤®© (fi ≡ 0) ¨ ¨¬¥¥â ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì D(λ) à ¢¥ ã«î. «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ D(λ) = 0 á⥯¥¨ n ®â®á¨â¥«ì® λ ~ 1 , λ~ 2 , . . . , λ~ n , ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ᮡ®© ¯à¨¡«¨¥ë¥ § ¯®§¢®«ï¥â ©â¨ ª®à¨ λ ~k 票ï n å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ãà ¢¥¨ï. Ǒ®¤áâ ®¢ª «î¡®£® ¨§ § 票© λ (k = 1, 2, . . . , n) ¢ (5) ¯à¨ fi ≡ 0 ¯à¨¢®¤¨â ª á¨á⥬¥ ãà ¢¥¨© n
(k) ~ X (k) yi − λ Aj Kij yj = 0, i = 1, 2, . . . , n, k j =1 (k) ¥ã«¥¢ë¥ à¥è¥¨ï ª®â®à®© yi ¯®§¢®«ïîâ ¯®«ãç¨âì ¯à¨¡«¨¥ë¥ ¢ëà ¥¨ï
¤«ï ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï:
~k y~k (x) = λ
n X j =1
(k) Aj K (x, xj )yj .
~ k , â® ¥®¤®à®¤ ï á¨á⥬ «¨¥©ëå
᫨ λ ¥ à ¢® ¨ ®¤®¬ã ¨§ ª®à¥© λ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (5) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. ¤®à®¤ ï á¨á⥬ ãà ¢¥¨© (5) ¢ í⮬ ¥ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥. 5.18-3. ᮡ¥®á⨠¯à¨¬¥¥¨ï ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«
®ç®áâì ¯®«ãç ¥¬ëå à¥è¥¨© áãé¥á⢥® § ¢¨á¨â ®â £« ¤ª®á⨠ï¤à ¨ ᢮¡®¤®£® ç«¥ . Ǒਠ¢ë¡®à¥ ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë ¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì, ç⮠祬 ¡®«¥¥ â®çãî ä®à¬ã«ã ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï ¯à¨¬¥¨âì, ⥬ ¡®«ì訥 âॡ®¢ ¨ï ¤®«ë ¡ëâì ¯à¥¤ê¥ë ª £« ¤ª®á⨠ï¤à , à¥è¥¨ï ¨ ¯à ¢®© ç áâ¨.
᫨ ¯à ¢ ï ç áâì ¨«¨ ï¤à® ¨¬¥î⠮ᮡ¥®áâ¨, ⮠楫¥á®®¡à §® ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® ¯à¥®¡à §®¢ âì ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ á 楫ìî ¯®«ãç¥¨ï ¡®«¥¥ â®ç®£® ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï. Ǒਠí⮬ ¯à¨¬¥ïîâáï á«¥¤ãî騥 ¯à¨¥¬ë.
᫨ ®á®¡¥®á⨠¨¬¥¥â ¯à ¢ ï ç áâì f (x), ï¤à® £« ¤ª®¥, â® ¬®® ¢¬¥áâ® y (x) ¢¢¥á⨠¥¨§¢¥áâãî äãªæ¨î z (x) = y (x) − f (x), ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ª®â®à®© ¢ ¨á室®¬ ãà ¢¥¨¨ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ãà ¢¥¨¥
z (x) − λ
Z
b a
K (x, t)z (t) dt = λ
Z
b a
K (x, t)f (t) dt,
¢ ª®â®à®¬ ¯à ¢ ï ç áâì ᣫ ¥ , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ à¥è¥¨¥ z (x) ¡ã¤¥â ¡®«¥¥ £« ¤ª¨¬. Ǒ® ©¤¥®© äãªæ¨¨ z (x) «¥£ª® ©â¨ ¨áª®¬®¥ à¥è¥¨¥ y (x). â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ ï¤à® K (x, t) ¨«¨ ¥£® ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¯® t ¨¬¥îâ à §àë¢ë ¤¨ £® «¨ x = t, à¥è ¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥ 楫¥á®®¡à §® § ¯¨á âì ¢ íª¢¨¢ «¥â®¬ ¢¨¤¥:
y (x)
1−λ
Z
b a
Z K (x, t) dt − λ
b a
K (x, t)[y (t) − y (x)℄ dt = f (x),
£¤¥ ¯®¤ëâ¥£à «ì ï äãªæ¨ï ¢® ¢â®à®¬ ¨â¥£à «¥ ¥ ¨¬¥¥â ®á®¡¥®á⥩, ¯®áª®«ìªã ¤¨ £® «¨ x = t à §®áâì y (t) − y (x) ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì, ¢ëç¨á«¥¨¥ Z b ¨â¥£à « K (x, t) dt ¢ë¯®«ï¥âáï ¡¥§ ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ¨ ç áâ® ¢®§¬®® ¢ ¬ ¢¨¤¥.
a
12*
âà ¨æ 179
180
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
Ǒਬ¥à.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ y (x) − 12
Z 1
0
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
xty (t) dt = 56 x.
롥६ 㧫ë x1 = 0, x2 = 12 , x3 = 1 ¨ ¢ëç¨á«¨¬ ¢ ¨å § ç¥¨ï ¯à ¢®© ç á⨠f (x) = 56 x ¨ ï¤à K (x, t) = xt:
5 , f (1) = 5 , = 0, f 12 = 12 6 K (0, 0) = 0, K 0, 2 = 0, K (0, 1) = 0, K 12 , 0 = 0, K 12 , 12 = 14 , K 12 , 1 = 12 , K (1, 0) = 0, K 1, 12 = 12 , K (1, 1) = 1. f (0) 1
ᯮ«ì§ãï ª¢ ¤à âãàãî ä®à¬ã«ã ¨¬¯á® (á¬. ¯. 2.7-1) Z 1
0
F (x) dx ≈ 16 F (0) + 4F 12 + F (1)
¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¨¡«¨¥ëå § 票© yi (i = 1, 2, 3) à¥è¥¨ï y(x) ¢ 㧫 å xi , ¯®«ã稬 á¨á⥬ã
y1 = 0, 11 y − 1 y = 5 , 12 2 24 3 12 2 y + 11 y = 5 , − 12 2 12 3 6 à¥è¥¨¥¬ ª®â®à®© ïîâáï y1 = 0, y2 = 21 , y3 = 1. Ǒਡ«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨
á ¢ëà ¥¨¥¬ (6) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ~(x) y
= 56 x + 21
× 16
0 + 4 × 12
× 12 x + 1 × 1 × x
= x.
¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ®® ᮢ¯ ¤ ¥â á â®çë¬ à¥è¥¨¥¬.
• : . . å¢ «®¢ (1973), . . àë«®¢, . . ®¡ª®¢, Ǒ. . ® áâëàë© (1984), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986). ¨â¥à âãà
5.19. ¨áâ¥¬ë ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த 5.19-1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï
¨á⥬ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¨¬¥¥â ¢¨¤
yi (x) − λ
n Z X j =1
b a
Kij (x, t)yj (t) dt = fi (x),
a 6 x 6 b,
i = 1, . . . , n.
(1)
Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ï¤à Kij (x, t) ¥¯à¥àë¢ë ¨«¨ ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨àã¥¬ë ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}, ᢮¡®¤ë¥ ç«¥ë fi (x) ¥¯à¥àë¢ë ¨«¨ ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬ë [a, b℄. ⠨᪮¬ëå äãªæ¨© yi (x) â ª¥ ¯®âॡ㥬, çâ®¡ë ®¨ ¡ë«¨ [a, b℄ ¥¯à¥àë¢ë «¨¡® ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬ë. â ª¨¥ á¨áâ¥¬ë ¯®«®áâìî à á¯à®áâà ï¥âáï ⥮à¨ï, à §¢¨â ï ¤«ï ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த . ª, ¬®® ¯®ª § âì, çâ® ¤«ï á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (1) ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à¨¡«¨¥¨ï á室ïâáï ¢ á।¥¬ ª à¥è¥¨î í⮩ á¨á⥬ë, ¥á«¨ λ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥à ¢¥áâ¢ã £¤¥
|λ| < n X n Z X i=1 j =1
b a
Z
b a
1
B∗
,
|Kij (x, t)|2 dx dt = B∗2 < ∞.
(2)
(3)
âà ¨æ 180
181
5.20. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¥ª®â®àëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த
᫨ ï¤à Kij (x, t) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥é¥ ¨ ãá«®¢¨î
Z
b
2 (x, t) dt 6 A , Kij ij
a
(4)
a 6 x 6 b,
£¤¥ Aij | ¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ïë¥, â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à¨¡«¨¥¨ï á室ïâáï ¡á®«îâ® ¨ à ¢®¬¥à®.
᫨ ¢á¥ ï¤à Kij (x, t) ¢ëத¥ë¥, â® á¨á⥬ (1) ᢮¤¨âáï ª «¨¥©®© «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨á⥬¥. ®® ãáâ ®¢¨âì, çâ® ¤«ï á¨áâ¥¬ë ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢á¥ ⥮६ë ।£®«ì¬ . 5.19-2. ¥â®¤ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ¢ ®¤® ãà ¢¥¨¥
¨á⥬ã ãà ¢¥¨© (1) ¬®® ¯à¥®¡à §®¢ âì ¢ ®¤® ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த . ¥©á⢨⥫ì®, ®¯à¥¤¥«¨¬ äãªæ¨¨ Y (x) ¨ F (x) [a, nb − (n − 1)a℄, ¯®«®¨¢
Y (x) = yi x − (i − 1)(b − a) ,
¯à¨
F (x) = fi x − (i − 1)(b − a)
(i − 1)b − (i − 2)a 6 x 6 ib − (i − 1)a.
¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï K (x, t) § ¤ ¤¨¬ ¢ ª¢ ¤à â¥
= {a 6 x 6 nb − (n − 1)a,
Sn ¯®«®¨¢
a 6 t 6 nb − (n − 1)a},
K (x, t) = Kij x − (i − 1)(b − a), t − (j − 1)(b − a)
¯à¨
(i − 1)b − (i − 2)a 6 x 6 ib − (i − 1)a, (j − 1)b − (j − 2)a 6 t 6 jb − (j − 1)a. ¥¯¥àì á¨á⥬ (1) § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ®¤®£® ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬
Y (x) − λ
Z
nb−(n−1)a
a
K (x, t)Y (t) dt = F (x),
a 6 x 6 nb − (n − 1)a.
᫨ ï¤à Kij (x, t) ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨àã¥¬ë ¢ ª¢ ¤à ⥠S = {a 6 x 6 b, a 6 t 6 b}, ᢮¡®¤ë¥ ç«¥ë fi (x) | [a, b℄, â® ï¤à® K (x, t) ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬® ¢ ®¢®¬ ª¢ ¤à ⥠Sn , ᢮¡®¤ë© ç«¥ F (x) ª¢ ¤à â¨ç® ¨â¥£à¨à㥬 [a, nb − (n − 1)a℄.
᫨ ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (4), â® ï¤à® K (x, t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãîé¥¬ã ¥à ¢¥áâ¢ã:
Z
b a
K 2 (x, t) dt 6 A∗ ,
a < x < nb − (n − 1)a,
£¤¥ A∗ | ¥ª®â®à ï ¯®áâ®ï ï.
•
: . . ¨å«¨ (1959).
¨â¥à âãà
5.20. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¥ª®â®àëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த 5.20-1. ᮢ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨ â¥®à¥¬ë ¥â¥à
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥
1
y (x) + √ 2π Z ∞
+
−∞
Z
∞
0
1 2π
K1 (x − t)y (t) dt + √
M (x, t)y (t) dt = f (x),
Z 0
−∞
K2 (x − t)y (t) dt+
−∞ < x < ∞.
(1)
âà ¨æ 181
182
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
㤥¬ áç¨â âì, çâ® äãªæ¨¨ y (x), f (x) ¨ ï¤à K1 (x), K2 (x), M (x, t) â ª®¢ë, çâ® ¨å ¨§®¡à ¥¨ï, ¯®«ãç¥ë¥ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥, ¯à¨ ¤«¥ â L2 (−∞, ∞) ¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¯à¨ç¥¬ ¤«ï ï¤à M (x, t) | ¯® ª ¤®© ¯¥à¥¬¥®©. ஬¥ ⮣®,
Z
∞ −∞
Z
∞ −∞
|M (x, t)|2 dx dt < ∞.
®® § ¬¥â¨âì, çâ® ãà ¢¥¨¥ (1) ¯à¨ M (x, t) ≡ 0 ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¨§ã祮¥ à ¥¥ ¢ ¯. 5.9-2 ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ᢥà⪨ á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨. ®î§®¥ á (1) ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
Z ∞ Z 0 1 1 K (t − x)ϕ(t) dt+ ϕ(x) + √ K1 (t − x)ϕ(t) dt + √ 2π 0 2π −∞ 2 Z ∞ −∞ < x < ∞. + M (t, x)y (t) dt = 0,
(2)
−∞
㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï ®à¬ «ì®á⨠(á¬. ¯.5.9-2), â. ¥.
1 + K1 (u) 6= 0, 1 + K2 (u) 6= 0,
−∞ < u < ∞.
(3)
¥®à¥¬ 1. ¨á« «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥-
¨ï (1) (f
(x) ≡ 0) ¨ á®î§®£® á ¨¬ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (2) ª®¥çë.
¥®à¥¬ 2. «ï à §à¥è¨¬®á⨠¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¥®¡å®¤¨-
¬ë ¨ ¤®áâ â®çë ãá«®¢¨ï
Z
( )
∞ −∞
f (t)ϕk (t) dt = 0,
k
= 1, . . . , N,
(4)
£¤¥ ϕk x | ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¢á¥å «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© á®î§®£® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (2). ¥®à¥¬ 3. §®áâì ç¨á« «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¨ ç¨á« «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ®¤®à®¤®£® á®î§®£® ãà ¢¥¨ï (2) à ¢ ¨¤¥ªáã
ν
= Ind 1 + K2 (u) = 1 arg 1 + K2 (u) 1 + K1 (u)
2π
1 + K1 (u)
∞
.
(5)
−∞
5.20-2. ¥£ã«ïਧãî騥 ®¯¥à â®àë
¤¨¬ ¨§ ¬¥â®¤®¢ ª ª ⥮à¥â¨ç¥áª®£® ¨áá«¥¤®¢ ¨ï, â ª ¨ ¯à ªâ¨ç¥áª®£® à¥è¥¨ï à áᬠâਢ ¥¬ëå ãà ¢¥¨© ï¥âáï ¨å ॣã«ïਧ æ¨ï, â. ¥. ¯à¨¢¥¤¥¨¥ ª ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த . ¡®§ 稬 ç¥à¥§ K ®¯¥à â®à, ®¯à¥¤¥«¥ë© «¥¢®© ç áâìî ãà ¢¥¨ï (1):
Z
∞ 1 K1 (x − t)y (t) dt+ 2π 0 Z 0 Z ∞ + √1 K2 (x − t)f (t) dt + M (x, t)y (t) dt, 2π −∞ −∞
K[y (x)℄ ≡ y (x) + √
(6)
¨ ¢¢¥¤¥¬ ¥é¥ ®¤¨ «®£¨çë© ®¯¥à â®à
Z
∞ 1 L1 (x − t)ω (t) dt+ 2π 0 Z 0 Z ∞ + √1 L2 (x − t)ω (t) dt + Q(x, t)ω (t) dt. 2π −∞ −∞
L[ω (x)℄ ≡ ω (x) + √
(7)
âà ¨æ 182
5.20. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¥ª®â®àëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த
183
©¤¥¬ ®¯¥à â®à L â ª®©, çâ®¡ë ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ LK ®¯à¥¤¥«ï«®áì «¥¢®© ç áâìî ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ï¤à®¬ K (x, t):
LK[y (x)℄ ≡ y (x) +
Z
∞ −∞
K (x, t)y (t) dt,
Z
∞ −∞
Z
∞ −∞
|K (x, t)|2 dx dt < ∞.
(8)
¯¥à â®à L §ë¢ ¥âáï ॣã«ïਧãî騬 á«¥¢ ¨«¨ «¥¢ë¬ ॣã«ïਧ â®à®¬. «ï ⮣® çâ®¡ë ®¯¥à â®à K ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1) ¨¬¥« ॣã«ïਧãî騩 á«¥¢ ®¯¥à â®à L ¢¨¤ (7), ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¢ë¯®«ï«¨áì ãá«®¢¨ï ®à¬ «ì®á⨠(3).
᫨ ãá«®¢¨ï (3) ¢ë¯®«¥ë, ⮠ॣã«ïਧãî騩 á«¥¢ ®¯¥à â®à L ¨¬¥¥â ¢¨¤
Z
∞ 1 R1 (x − t)ω (t) dt− 2π 0 Z 0 Z ∞ 1 − √ R2 (x − t)ω (t) dt + Q(x, t)ω (t) dt, 2π −∞ −∞
L[ω (x)℄ ≡ ω (x) − √
(9)
£¤¥ १®«ì¢¥âë R1 (x − t) ¨ R2 (x − t) 拉à K1 (x − t) ¨ K2 (x − t) § ¤ îâáï ¢ëà ¥¨ï¬¨ (á¬. ¯. 5.8-1)
1 2π
Rj (x)= √ £¤¥ j = ∞ R ∞ R
−∞ −∞
Z
Kj (u)
∞ −∞
1 + Kj (u)
e−iux du,
1, 2, äãªæ¨ï Q(x, t) |Q(x, t)|2 dx dt < ∞.
1 2π
Kj (u)= √
Z
∞ −∞
Kj (x)eiux dx, (10)
¬®¥â ¡ëâì «î¡®©, 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ãá«®¢¨î
Ǒਠãá«®¢¨¨ (3) ®¯¥à â®à L, ®¯à¥¤¥«¥ë© ä®à¬ã«®© (9), ¤«ï ®¯¥à â®à K ï¥âáï ®¤®¢à¥¬¥® ¨ ॣã«ïਧãî騬 á¯à ¢ :
KL[y (x)℄ ≡ y (x) +
Z
∞ −∞
K∗ (x, t)y (t) dt,
Z
∞ −∞
Z
∞ −∞
|K∗ (x, t)|2 dx dt < ∞. (11)
5.20-3. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨
Ǒãáâì ¤ ® ãà ¢¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥
K[y (x)℄
= f (x),
−∞ < x < ∞,
(12)
£¤¥ ®¯¥à â®à K ®¯à¥¤¥«¥ ¢ëà ¥¨¥¬ (6). ãé¥áâ¢ã¥â ¥áª®«ìª® ᯮᮡ®¢ ¥£® ॣã«ïਧ 樨, â. ¥. ¯à¨¢¥¤¥¨ï ª ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬ . ®-¯¥à¢ëå, ¬®® ¯à¨¢¥á⨠íâ® ãà ¢¥¨¥ ª ãà ¢¥¨î á ï¤à®¬ ®è¨. ¥£ã«ïਧ®¢ ¢ ¯®á«¥¤¥¥ ®¤¨¬ ¨§ ᯮᮡ®¢, ¨§«®¥ëå ¢ à §¤. 7.4, ¬®® áç¨â âì æ¥«ì ¤®á⨣ã⮩. â®â ¯ãâì ¯à¨¥¬«¥¬, ¥á«¨ 㤠¥âáï ©â¨ ¯® § ¤ ë¬ äãªæ¨ï¬ K1 (x), K2 (x), M (x, t) ¨ f (x) ¯à®áâë¥ ¢ëà ¥¨ï ¤«ï ¨å ¨â¥£à «®¢ ãàì¥. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¥áâ¥á⢥® ¯à®¢®¤¨âì ॣã«ïਧ æ¨î ãà ¢¥¨ï (12) ¥¯®á।á⢥®, ¡¥§ ¯¥à¥å®¤ ª ¨§®¡à ¥¨ï¬. ¥£ã«ïਧ æ¨ï á«¥¢ ãà ¢¥¨ï (12) § ª«îç ¥âáï ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ®¡¥¨¬ ¥£® ç áâï¬ ¯®áâ஥®£® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ãªâ¥ ॣã«ïਧãî饣® ®¯¥à â®à L:
LK[y (x)℄
= L[f (x)℄.
(13)
ᨫã (8) ãà ¢¥¨¥ (13) ¥áâì ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬
y (x) +
Z
∞ −∞
K (x, t)y (t) dt = L[f (x)℄.
(14)
âà ¨æ 183
184
¥â®¤ë à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) −
Rb a
K (x, t)y (t) dt
= f (x)
â ª, ãà ¢¥¨¥ (12) ॣã«ïਧ 樥© á«¥¢ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ á ⮩ ¥ ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¥© y (x) ¨ ¨§¢¥á⮩ ¯à ¢®© ç áâìî L[f (x)℄. §¢¥áâ®, ç⮠ॣã«ïਧ æ¨ï á«¥¢ ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®â¥à¥ à¥è¥¨©: á।¨ à¥è¥¨© ॣã«ïਧ®¢ ®£® ãà ¢¥¨ï ᮤ¥à âáï ¢á¥ à¥è¥¨ï ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (12). ¤ ª® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥ ¢á类¥ à¥è¥¨¥ ॣã«ïਧ®¢ ®£® ãà ¢¥¨ï ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ ¨á室®£®. ¥£ã«ïਧ æ¨ï á¯à ¢ § ª«îç ¥âáï ¢ ¯®¤áâ ®¢ª¥ ¢ ãà ¢¥¨¥ (12) ¢¬¥áâ® ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ ¢ëà ¥¨ï y (x) = L[ω (x)℄, (15) £¤¥ ω (x) | ®¢ ï ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï. १ã«ìâ ⥠¯à¨å®¤¨¬ ª ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î, ª®â®à®¥ ¢ ᨫã (10) â ª¥ ï¥âáï ä।£®«ì¬®¢ë¬:
KL[ω (x)℄ ≡ ω (x) +
Z
∞
−∞
K∗ (x, t)ω (t) dt = f (x),
−∞ < x < ∞.
(16)
ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â ãà ¢¥¨ï (12) ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ y (x) 㤠«®áì ¯¥à¥©â¨ ª ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬ ®â®á¨â¥«ì® ®¢®© ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ ω (x). ¥è¨¢ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ (16), ¯® ä®à¬ã«¥ (15) ©¤¥¬ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (12). ¥£ã«ïਧ æ¨ï á¯à ¢ ¥ ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¯®áâ®à®¨¬ à¥è¥¨ï¬, ® ¨§¢¥áâ®, çâ® ® ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¯®â¥à¥ à¥è¥¨©. Ǒ।áâ ¢«ï¥â § ç¨â¥«ìë© â¥®à¥â¨ç¥áª¨© ¨ ¯à ªâ¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á à¥è¥¨¥ ¢®¯à®á ® à ¢®á¨«ì®© ॣã«ïਧ 樨, ª®£¤ ¥ ¯à®¨á室¨â ¨ ¯®â¥à¨ à¥è¥¨©, ¨ ¯®ï¢«¥¨ï ¯®áâ®à®¨å óà¥è¥¨© . «ï ⮣® ç⮡ë ãà ¢¥¨¥ (12) ¤®¯ã᪠«® à ¢®á¨«ìãî ॣã«ïਧ æ¨î á«¥¢ ¯à¨ «î¡®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x), ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¨¤¥ªá ν , ®¯à¥¤¥«¥ë© ä®à¬ã«®© (5), ¡ë« ¥®âà¨æ ⥫ìë¬ ç¨á«®¬. ª ç¥á⢥ à ¢®á¨«ì® ॣã«ïਧãî饣® ®¯¥à â®à ¬®® ¢§ïâì ®¯¥à â®à L◦ , ®¯à¥¤¥«¥ë© ¢ëà ¥¨¥¬
Z
∞ 1 R1 (x − t)ω (t) dt − 2π 0
L [ω (x)℄ ≡ ω (x) − √ ◦
1 2π
√
Z 0
−∞
R2 (x − t)ω (t) dt.
â ª, ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ L◦ K[y (x)℄ = L◦ [f (x)℄,¢ á«ãç ¥ ν > 0 ¨¬¥¥â ⥠¨ ⮫쪮 ⥠à¥è¥¨ï, ª ª¨¥ ¨¬¥¥â ãà ¢¥¨¥ (12). á«ãç ¥, ª®£¤ ¨¤¥ªá ν ç¨á«® ¥¯®«®¨â¥«ì®¥, ®¯¥à â®à L◦ ®áãé¥á⢫ï¥â à ¢®á¨«ìãî ॣã«ïਧ æ¨î á¯à ¢ ãà ¢¥¨ï (12) ¯à¨ «î¡®© ¯à ¢®© ç á⨠f (x). ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ ν 6 0, ©¤ï à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ KL◦ [ω (x)℄ = f (x),¯® ä®à¬ã«¥ y (x) = L◦ [ω (x)℄ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¢á¥ à¥è¥¨ï ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (12). §¢¥á⥠¥é¥ ®¤¨ ᯮᮡ ॣã«ïਧ 樨 à«¥¬ {¥ªã , ®á®¢ë¢ î騩áï à¥è¥¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï. à ¢¥¨¥ (12) ä®à¬ «ì® § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢¥¨ï á ¤¢ã¬ï ï¤à ¬¨
Z
∞ 1 K1 (x − t)y (t) dt + 2π 0 Z
y (x) + √
f1 (x) = f (x) −
1 2π
√ ∞
−∞
Z 0
−∞
K2 (x − t)y (t) dt = f1 (x),
M (x, t)y (t) dt.
(17)
⥬, äãªæ¨ï f1 (x) ¢à¥¬¥® áç¨â ¥âáï ¨§¢¥á⮩, ¨ à¥è ¥âáï ãà ¢¥¨¥ (17) (á¬. ¯. 5.9-2). «¨§ ä®à¬ã«ë, ¯®«ã祮© ¢ १ã«ìâ ⥠¤«ï äãªæ¨¨ y (x), ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® íâ ä®à¬ã« ¯à¨ ν = 0 ï¥âáï ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ।£®«ì¬ á ¥¨§¢¥á⮩ y (x). á«ãç ¥ ν > 0 ¯®«ã祮¥ ãà ¢¥¨¥ ¡ã¤¥â ᮤ¥à âì ν ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå. Ǒਠ®âà¨æ ⥫쮬 ¨¤¥ªá¥ ν ª ãà ¢¥¨î ¤®¡ ¢«ïîâáï ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®áâ¨.
•
: . . 客, . . ¥à᪨© (1978).
¨â¥à âãà
âà ¨æ 184
6. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த 6.1. Ǒ।¢ à¨â¥«ìë¥ § ¬¥ç ¨ï 6.1-1. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ®è¨
¨£ã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ®è¨
1 πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
= f (t),
i2
¨¬¥¥â ¢¨¤
= −1,
(1)
£¤¥ L | £« ¤ª¨© § ¬ªãâë© ¨«¨ à §®¬ªãâë© ª®âãà ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠z = x+iy , t ¨ τ | ª®¬¯«¥ªáë¥ ª®®à¤¨ âë ¥£® â®ç¥ª, ϕ(t) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï,
1
τ −t
|
ï¤à® ®è¨,
f (t) | ¥ª®â®à ï äãªæ¨ï, ª®â®à ï §ë¢ ¥âáï
᢮¡®¤ë¬
¨«¨ ¯à ¢®© ç áâìî ãà ¢¥¨ï (1). â¥£à « ¢ «¥¢®© ç á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § ç¥¨ï ¯® ®è¨ (á¬. ¯. 6.2-5). áâ묨 á«ãç ﬨ ãà ¢¥¨ï (1) ïîâáï ¯à®á⥩襥 ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, ª®£¤ L | £« ¤ª¨© § ¬ªãâë© ª®âãà, ãà ¢¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ Z 1 ∞ ϕ(t) dt = f (x), −∞ < x < ∞, (2) π −∞ t − x ç«¥®¬
â ª¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ ª®¥ç®¬ ®â१ª¥
1 π ¢¨¤
Z
b a
ϕ(t) dt t−x
= f (x),
(3)
a 6 x 6 b.
¡é¥¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ®è¨ ¨¬¥¥â
1 πi
Z
L
M (t, τ ) ϕ(τ ) dτ τ −t
= f (t),
(4)
£¤¥ M (t, τ ) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï.
£® â ª¥ § ¯¨áë¢ îâ ¨ ¢ ¤à㣮© íª¢¨¢ «¥â®© ä®à¬¥, ª®â®à ï ¯à¨¢¥¤¥ ¢ ¯. 6.4-4. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¢á¥ äãªæ¨¨ ¢ ãà ¢¥¨ïå (1){(4) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (á¬. ¯. 6.2-2), ¯à¨ç¥¬ äãªæ¨ï M (t, τ ) | ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. 6.1-2. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ
Ǒà®á⥩襥 ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z 2π 1
tg ξ − x ϕ(ξ ) dξ = f (x), (5) 2π 0 2
£¤¥ ϕ(x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï (0 6 x 6 2π ), tg 12 (ξ − x) | ï¤à® ¨«ì¡¥àâ , f (x) | § ¤ ï ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï. ¡é¥¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z 2π 1 ξ−x − N (x, ξ ) tg ϕ(ξ ) dξ = f (x), (6) 2π 0 2
âà ¨æ 185
186
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
£¤¥ N (x, ξ ) | ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï. à ¢¥¨¥ (6) ç áâ® § ¯¨áë¢ îâ ¢ íª¢¨¢ «¥â®© ä®à¬¥, ª®â®à ï ¯à¨¢¥¤¥ ¢ ¯. 6.4-5. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ¢á¥ äãªæ¨¨ ¢ ãà ¢¥¨ïå (5) ¨ (6) â ª¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (á¬. ¯. 6.2-2), ¯à¨ç¥¬ äãªæ¨ï N (x, ξ ) | ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬.
᫨ ¯à ¢ë¥ ç á⨠ãà ¢¥¨© (1){(6) ⮤¥á⢥® à ¢ë ã«î, â® ãà ¢¥¨ï §ë¢ îâáï ®¤®à®¤ë¬¨, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ | ¥®¤®à®¤ë¬¨.
: . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客 (1977), . . ãᥩ®¢, . . ãåâ ஢ (1980), S. G. Mikhlin, S. Prossdorf (1986), S. Prossdorf, B. Silbermann (1991), A. Dzhuraev (1992), . . ¨ä ®¢ (1995).
•
¨â¥à âãà
6.2. â¥£à « ⨯ ®è¨ 6.2-1. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨
Ǒãáâì L | ¥ª®â®àë© £« ¤ª¨© § ¬ªãâë© ª®âãà* ¯«®áª®á⨠ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£® z = x + iy . ¡« áâì, «¥ éãî ¢ãâਠª®âãà L, ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì + + ¢ãâ॥© ¨ ®¡®§ ç âì , ¤®¯®«¨â¥«ìãî ª ∪ L ®¡« áâì, ᮤ¥à éãî ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ãî â®çªã, ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¢¥è¥© ¨ ®¡®§ ç âì − .
᫨ f (z ) | äãªæ¨ï, «¨â¨ç¥áª ï ¢ + ¨ ¥¯à¥àë¢ ï ¢ + ∪ L, ⮠ᮣ« á® ¨§¢¥á⮩ ¨§ ⥮ਨ äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£® ä®à¬ã«¥ ®è¨
Z
z ∈ + , = 0f (z ) ¯à¨ ¯à¨ z ∈ − . L
᫨ ¥ f (z ) «¨â¨ç ¢ ®¡« á⨠− ¨ ¥¯à¥àë¢ ¢ − ∪ L, â® Z 1 f (τ ) f (∞) ¯à¨ z ∈ + , dτ = −f (z ) + f (∞) ¯à¨ z ∈ − . 2πi L τ − z
1 2πi
f (τ ) dτ τ −z
(1)
(2)
¯®«®¨â¥«ì®¥ ¯à ¢«¥¨¥ ®¡å®¤ ª®âãà L, ª ª ®¡ëç®, ¡ã¤¥¬ ¯à¨¨¬ âì â®, ¯à¨ ª®â®à®¬ ®¡« áâì + ®áâ ¥âáï á«¥¢ . ®à¬ã« ®è¨ ¤ ¥â ¢®§¬®®áâì ¢ëç¨á«¨âì § 票ï äãªæ¨¨ ¢ «î¡®© â®çª¥ ®¡« áâ¨, ¥á«¨ ¨§¢¥áâë ¥¥ § ç¥¨ï £à ¨æ¥ ®¡« áâ¨, â. ¥. ä®à¬ã« ®è¨ à¥è ¥â ªà ¥¢ãî § ¤ çã ¤«ï «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨©. â¥£à «, áâ®ï騩 ¢ «¥¢®© ç á⨠ä®à¬ã« (1) ¨ (2), §ë¢ ¥âáï ¨â¥£à «®¬ ®è¨. Ǒãáâì ⥯¥àì L | £« ¤ª¨© § ¬ªãâë© ¨«¨ ¥§ ¬ªãâë© ª®âãà, 楫¨ª®¬ à ᯮ«®¥ë© ¢ ª®¥ç®© ç á⨠¯«®áª®áâ¨, τ | ª®¬¯«¥ªá ï ª®®à¤¨ â ¥£® â®ç¥ª ¨ ϕ(τ ) | ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï â®ç¥ª ª®âãà . ®£¤ ¨â¥£à «
(z ) = 1
2πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ, τ −z
(3)
¯®áâà®¥ë© â ª ¥, ª ª ¨ ¨â¥£à « ®è¨, §ë¢ ¥âáï ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨. ãªæ¨ï ϕ(τ ) §ë¢ ¥âáï ¥£® ¯«®â®áâìî, 1/(τ − z ) | ï¤à®¬. «ï ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ á ¥¯à¥à뢮© ¯«®â®áâìî ϕ(τ ) ¥¤¨á⢥묨 â®çª ¬¨, £¤¥ ¯®¤ëâ¥£à «ì ï äãªæ¨ï ¯¥à¥á⠥⠡ëâì «¨â¨ç¥áª®© ®â®á¨â¥«ì® z , ïîâáï â®çª¨ «¨¨¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï L. Ǒ®á«¥¤ïï ï¥âáï ®á®¡®© «¨¨¥© ¤«ï äãªæ¨¨ (z ).
᫨ L | ¥§ ¬ªãâë© ª®âãà, â® (z ) ¡ã¤¥â äãªæ¨¥©, «¨â¨ç¥áª®© ¢® ¢á¥© ¯«®áª®áâ¨ á «¨¨¥© ®á®¡¥®á⥩ L. Ǒãáâì ⥯¥àì L | § ¬ªãâë© ª®âãà.
* Ǒ®¤ ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì ¯à®áâãî (¡¥§ â®ç¥ª á ¬®¯¥à¥á¥ç¥¨ï) § ¬ªãâãî ¨«¨ ¥§ ¬ªãâãî «¨¨î á ¥¯à¥à뢮 ¬¥ïî饩áï ª á ⥫쮩 ¨ ¥ ¨¬¥îéãî â®ç¥ª ¢®§¢à â (§ ®áâ२ï). £« ¤ª¨¬ ª®âã஬
âà ¨æ 186
187
6.2. â¥£à « ⨯ ®è¨
®£¤ (z ) à ᯠ¤ ¥âáï ¤¢¥ á ¬®áâ®ï⥫ìë¥ äãªæ¨¨: + (z ), ®¯à¥¤¥«¥ãî ¢ ®¡« á⨠+ , ¨ − (z ), ®¯à¥¤¥«¥ãî ¤«ï â®ç¥ª ¢ ®¡« á⨠− . ãªæ¨¨ íâ¨, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ïîâáï «¨â¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«¥¨¥¬ ¤à㣠¤à㣠. «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î (z ), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ãî ¢ ¤¢ãå ¤®¯®«ïîé¨å ¤à㣠¤à㣠¤® ¯®«®© ¯«®áª®á⨠®¡« áâïå + , − ¤¢ã¬ï á ¬®áâ®ï⥫ì묨 ¢ëà ¥¨ï¬¨ + (z ), − (z ), ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ªãá®ç® «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥©. ⬥⨬ ®¤® ¢ ®¥ ᢮©á⢮ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨. ãªæ¨ï (z ), ¯à¥¤áâ ¢«¥ ï ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨ (3), ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì, â. ¥. − (∞) = 0. â® ãá«®¢¨¥ ï¥âáï â ª¥ ¨ ¤®áâ â®çë¬ ¤«ï ¯à¥¤áâ ¢¨¬®á⨠ªãá®ç® «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨. 6.2-2. á«®¢¨¥ ñ«ì¤¥à
Ǒãáâì L | £« ¤ª ï ªà¨¢ ï ¯«®áª®á⨠ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£® z = x + iy ¨ ϕ(t) | äãªæ¨ï â®ç¥ª í⮩ ªà¨¢®©. ®¢®àïâ, çâ® äãªæ¨ï ϕ(t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªà¨¢®© ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå â®ç¥ª í⮩ ªà¨¢®©
|ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )| 6 A|t2 − t1 |λ ,
(4)
£¤¥ A ¨ λ | ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« . ¨á«® A §ë¢ ¥âáï ¯®áâ®ï®© ñ«ì¤¥à , λ | ¯®ª § ⥫¥¬ ñ«ì¤¥à .
᫨ ¡ë λ ¡ë«® ¡ë ¡®«ìè¥ ¥¤¨¨æë, â® ¨§ ãá«®¢¨ï (4) ¢ë⥪ «® ¡ë, çâ® ¯à®¨§¢®¤ ï ϕ′ (t) ¢áî¤ã à ¢ ã«î ¨ äãªæ¨ï ϕ(t) ¡ë« ¡ë ⮤¥á⢥® à ¢ ¯®áâ®ï®©. Ǒ®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® 0 < λ 6 1.
᫨ λ = 1, â® ãá«®¢¨¥ ñ«ì¤¥à ç áâ® §ë¢ îâ ãá«®¢¨¥¬ ¨¯è¨æ . ®£¤ ãá«®¢¨¥ ñ«ì¤¥à §ë¢ îâ ãá«®¢¨¥¬ ¨¯è¨æ ¯®à浪 λ.
᫨ t1 , t2 ¤®áâ â®ç® ¡«¨§ª¨ ¤à㣠ª ¤àã£ã ¨ ãá«®¢¨¥ ñ«ì¤¥à ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¯®ª § ⥫ï λ1 , â® ®® ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¢ë¯®«ïâìáï ¨ ¤«ï ¢á类£® ¯®ª § ⥫ï λ < λ1 . ¡à ⮥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥á¯à ¢¥¤«¨¢®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¥ì襬ã λ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡®«¥¥ è¨à®ª¨© ª« áá äãªæ¨©. ¨¡®«¥¥ 㧪¨¬ ª« áᮬ ¡ã¤¥â ª« áá äãªæ¨©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î ¨¯è¨æ . ®á®¢ ¨¨ ¯®á«¥¤¥£® ᢮©á⢠«¥£ª® ãáâ ®¢¨âì, çâ® ¥á«¨ äãªæ¨¨ ϕ1 (t), ϕ2 (t) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ᮮ⢥âá⢥® á ¯®ª § ⥫ﬨ λ1 , λ2 , â® ¨å á㬬 , ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, â ª¥ ç á⮥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® § ¬¥ â¥«ì ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì, 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à á ¯®ª § ⥫¥¬ λ = min(λ1 , λ2 ).
᫨ ϕ(t) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¨ ¨¬¥¥â ª®¥çãî ¯à®¨§¢®¤ãî, â® ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ¨¯è¨æ . ¡à ⮥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥¢¥à®. 6.2-3. « ¢®¥ § 票¥ ᨣã«ïண® ¨â¥£à «
áᬮâਬ ¨â¥£à «
Z
b a
dx , x−c
a < c < b.
ëç¨á«ïï ¥£® ª ª ¥á®¡á⢥ë©, ¯®«ã稬
Z
b a
dx x−c
= εlim →0 1 ε2 →0
Z −
1
c−ε a
dx c−x
+
Z
b c+ε
2
dx x−c
= ln
b−c c−a
ln + εlim →0 1 ε2 →0
ε1 . (5) ε2
Ǒ।¥« ¯®á«¥¤¥£® ¢ëà ¥¨ï § ¢¨á¨â, ®ç¥¢¨¤®, ®â ᯮᮡ áâ६«¥¨ï ε1 ¨ ε2 ª ã«î. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨â¥£à «, ¯®¨¬ ¥¬ë© ª ª ¥á®¡á⢥ë©, ¥ áãé¥áâ¢ã¥â.
£® §ë¢ îâ ᨣã«ïàë¬ ¨â¥£à «®¬. ®®, ®¤ ª®, ¥¬ã ¯à¨¤ âì á¬ëá«, ¥á«¨
âà ¨æ 187
188
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
ãáâ ®¢¨âì ¥ª®â®àãî § ¢¨á¨¬®áâì ¬¥¤ã ε1 ¨ ε2 . Ǒ®« £ ï, çâ® ¢ë१ ¥¬ë© ¨â¥à¢ « à ᯮ«®¥ ᨬ¬¥âà¨ç® ®â®á¨â¥«ì® â®çª¨ c, â. ¥.
ε1
= ε2 = ε,
(6)
¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ¯®ïâ¨î £« ¢®£® § 票ï ᨣã«ïண® ¨â¥£à « ¯® ®è¨. « ¢ë¬ § 票¥¬ ¯® ®è¨ ᨣã«ïண® ¨â¥£à «
Z
§ë¢ ¥âáï
lim ε→0
b
dx , x−c
a
Z
c−ε
a < c < b,
dx x−c
a
+
Z
b c+ε
ç¨âë¢ ï ä®à¬ã«ã (5) ¨ ãá«®¢¨¥ (6), ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
Z
b
dx x−c
a
= ln
áᬮâਬ ⥯¥àì ¡®«¥¥ ®¡é¨© ¨â¥£à «
Z
b a
dx x−c
.
b−c . c−a
(7)
ϕ(x) dx, x−c
(8)
£¤¥ ϕ(x) | ¥ª®â®à ï äãªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . â®â ¨â¥£à « «®£¨ç® à áᬮâ८¬ã ¢ëè¥ ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï, ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
Z
ϕ(x) dx x−c
b a
= ε→ lim0
Z
c−ε a
ϕ(x) dx + x−c
¯¨áë¢ ï ⮤¥á⢮
Z
b a
ϕ(x) dx x−c
=
Z
b a
Z
b c+ε
ϕ(x) − ϕ(c) dx + ϕ(c) x−c
ϕ(x) dx . x−c
Z
b a
dx , x−c
§ ¬¥ç ¥¬, çâ® ¯¥à¢ë© ¨â¥£à « ¢ ¯à ¢®© ç á⨠á室¨âáï ª ª ¥á®¡á⢥ë©, ¯®áª®«ìªã ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï ñ«ì¤¥à
ϕ(x) − ϕ(c) A 6 , x−c |x − c|1−λ
0 < λ 6 1,
¢â®à®© ¨â¥£à « ᮢ¯ ¤ ¥â á (7). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬, ç⮠ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « (8), £¤¥ ϕ(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , áãé¥áâ¢ã¥â ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § ç¥¨ï ¯® ®è¨, ¯à¨ç¥¬
Z
b a
ϕ(x) dx x−c
=
Z
b a
ϕ(x) − ϕ(c) b−c dx + ϕ(c) ln . x−c c−a
«ï ®¡®§ 票ï ᨣã«ïண®R¨â¥£à « , ¥ª®â®àë¥ ¢â®àë 㯮âॡ«ïîâ á¯¥æ¨ «ìë¥ á¨¬¢®«ë, ¯à¨¬¥à v.p. (valeur prin ipale). ¤ ª® ¢ í⮬ ¥â ®á®¡®© ¥®¡å®¤¨¬®áâ¨, ¯®â®¬ã çâ®, á ®¤®© áâ®à®ë, ¥á«¨ ¨â¥£à « (8) áãé¥áâ¢ã¥â ª ª ®¡ëª®¢¥ë© ¨«¨ ª ª ¥á®¡á⢥ë©, â® ® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï, ¯à¨ç¥¬ ¨å § 票ï ᮢ¯ ¤ îâ, á ¤à㣮© ¥ áâ®à®ë, ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « ¢á¥£¤ ¡ã¤¥¬ ¯®¨¬ âì ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï. Ǒ®í⮬ã ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ®¡ëçë¬ § ª®¬ ¨â¥£à « .
âà ¨æ 188
189
6.2. â¥£à « ⨯ ®è¨
6.2-4. ®£®§ çë¥ äãªæ¨¨
§ ¤ ¨¨ ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« z = ρeiθ ¬®¤ã«ì ρ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¤®§ ç®, à£ã¬¥â ¥ θ á â®ç®áâìî ¤® á« £ ¥¬®£®, ªà ⮣® 2π . Ǒ®á«¥¤¥¥ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮ ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¬®£®§ ç®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ç¨á« ¢ ᨫã ⮣®, çâ® à£ã¬¥â ¢å®¤¨â ¢ íâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ç¥à¥§ ¯®á।á⢮ äãªæ¨¨ eiθ , ¨¬¥î饩 ¯¥à¨®¤ 2π . ® ¥á«¨ «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï â ª®¢ , çâ® ¢ ¥¥ ¢ëà ¥¨¥ à£ã¬¥â ¢å®¤¨â ¯®á।á⢮¬ äãªæ¨¨ ¥ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª®©, â® ® ®ª ¥âáï ¬®£®§ 箩. ।¨ í«¥¬¥â àëå äãªæ¨© ª â ª¨¬ ¯à¨ ¤«¥ â «®£ à¨ä¬:
ln(z − z0 ) = ln |z − z0 | + i arg(z − z0 ) = ln ρ + i,
(9)
¨ á⥯¥ ï äãªæ¨ï á ¥æ¥«ë¬ ¯®ª § ⥫¥¬:
(z − z0 )γ = ργ eiγ = ρα [ os(β ln ρ)+ i sin(β ln ρ)℄eiγθ ei2πkγ ,
γ = α + iβ. (10)
® ¢á¥å à áá㤥¨ïå ¯®¤ «®£ à¨ä¬®¬ ¬®¤ã«ï ª®¬¯«¥ªá®£® ç¨á« ¢á¥£¤ ¯®¨¬ ¥âáï ¥£® ¤¥©á⢨⥫쮥 § 票¥ ᮣ« á® ®¡ë箬㠮¯à¥¤¥«¥¨î. ¡é¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ à£ã¬¥â ¨¬¥¥â ¢¨¤ = θ + 2πk , £¤¥ k ¬®¥â ¯à¨¨¬ âì «î¡ë¥ æ¥«ë¥ § 票ï (k = 0, ±1, ±2, . . . ), ¢ ª ç¥á⢥ θ ¬®® ¢§ïâì ¨¬¥ì襥 ¯® ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨¥ § 票¥ à£ã¬¥â . ¤®¬ã ¢ë¡à ®¬ã § 票î k ¡ã¤¥â ᮮ⢥âá⢮¢ âì ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢¥â¢ì ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨. «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ç¨á«® ¢¥â¢¥© ¡¥áª®¥ç®. á⥯¥®© ¯à¨ ¨àà 樮 «ì®¬ ¨«¨ ª®¬¯«¥ªá®¬ ¯®ª § ⥫¥ â ª¥ ¡¥áª®¥ç®.
᫨ ¥ ¯®ª § ⥫ì à 樮 «ìë©, γ = p/q , £¤¥ p/q | ¥á®ªà ⨬ ï ¤à®¡ì, â® á⥯¥ ï äãªæ¨ï ¨¬¥¥â q ¢¥â¢¥©. ¥â¢¨ «®£ à¨ä¬ ®â«¨ç îâáï ¤à㣠®â ¤à㣠᫠£ ¥¬®¥ ¢¨¤ i2πm, ¢¥â¢¨ á⥯¥®© äãªæ¨¨ ¬®¨â¥«ì ei2πmγ (m | 楫®¥ ç¨á«®). «ï § ¤ ¨ï ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨, ®ç¥¢¨¤®, ¥®¡å®¤¨¬® 㪠§ âì ¢ë¡à ãî ¢¥â¢ì. ¤ ª®, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â äãªæ¨© ¤¥©á⢨⥫쮣® ¯¥à¥¬¥®£®, í⮣® ¥é¥ ¥¤®áâ â®ç® ¤«ï ¯®«®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨ ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®. «ï ¯®á«¥¤¨å áãé¥áâ¢ãîâ ¯«®áª®á⨠â®çª¨, ®¡« ¤ î騥 ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ®, ª®£¤ ¯¥à¥¬¥®¥, ¨§¬¥ïïáì ¯® § ¬ªã⮬㠪®âãàã, ®ªàã î饬ã íâã â®çªã, ¢®§¢à é ¥âáï ª ç «ì®¬ã § 票î, ¢ë¡à ï ¢¥â¢ì äãªæ¨¨ ¥ ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥®©, ¯¥à¥å®¤¨â ¢ ¥ª®â®àãî ¤àã£ãî ¢¥â¢ì. ª¨¥ â®çª¨ §ë¢ îâáï â®çª ¬¨ ¢¥â¢«¥¨ï ¬®£®§ 箩 äãªæ¨¨. «ï à áᬠâਢ ¥¬ëå äãªæ¨© (9) ¨ (10) â®çª ¬¨ ¢¥â¢«¥¨ï ¡ã¤ãâ z0 ¨ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï.
᫨ ¯¥à¥¬¥®¥ ®¯¨áë¢ ¥â ª®âãà, ®ªàã î騩 â®çªã z0 ¢ ¯®«®¨â¥«ì®¬ ¨«¨ ®âà¨æ ⥫쮬 ¯à ¢«¥¨¨, â® à£ã¬¥â ¨§¬¥ï¥âáï 2𠨫¨ −2π . Ǒਠí⮬ «®£ à¨ä¬ ¯®«ãç ¥â á« £ ¥¬®¥ i2𠨫¨ −i2π , á⥯¥ ï äãªæ¨ï ¬®¨â¥«ì ei2πγ ¨«¨ e−i2πγ . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢¥â¢ì, ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¢ë¡à ®¬ã § 票î k = n, ¯¥à¥å®¤¨â ¢ á®á¥¤îî ¢¥â¢ì, ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî § 票î k = n + 1 ¨«¨ k = n − 1. áá«¥¤®¢ ¨¥ ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ¯à®¨§¢®¤¨âáï, ª ª ®¡ëç®, ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨ z = 1/ζ ¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¢ â®çª¥ ζ = 0. ®åà ¨âì ¢ë¡à ãî ¢¥â¢ì äãªæ¨¨ 㤠áâáï «¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ᤥ« âì ¥¢®§¬®ë¬ ®¡å®¤ë ¢®ªà㣠â®ç¥ª ¢¥â¢«¥¨ï. Ǒ®á«¥¤¥¥ ¤®á⨣ ¥âáï ¯à®¢¥¤¥¨¥¬ ¢ ¯«®áª®áâ¨ à §à¥§®¢, ᮥ¤¨ïîé¨å â®çª¨ ¢¥â¢«¥¨ï. à áᬠâਢ ¥¬ëå á«ãç ïå «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© ¨ á⥯¥®© äãªæ¨© ã® ¯à®¢¥áâ¨ à §à¥§ ¢¤®«ì ¥ª®â®à®© «¨¨¨, ¨á室ï饩 ¨§ â®çª¨ z0 ¨ 㤠«ïî饩áï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì. à ¨æë ¨§¬¥¥¨ï à£ã¬¥â ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯®«®¥¨¥¬ à §à¥§ .
᫨, ¯à¨¬¥à, à §à¥§ ¯à®¢¥¤¥ ¯® «ãçã, ®¡à §ãî饬ã á ®áìî ¡áæ¨áá 㣮« θ0 , â® ¤«ï £« ¢®© ¢¥â¢¨ (k = 0) θ0 6 6 θ0 + 2π . ç áâ®áâ¨, ¤«ï à §à¥§ , ¯à ¢«¥®£® ¯® ¯®«®¨â¥«ì®© ¯®«ã®á¨ ¡áæ¨áá, 0 6 6 2π , ¯® ®âà¨æ ⥫쮩 ¯®«ã®á¨,
âà ¨æ 189
190
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
−π 6 6 π .
᫨ à §à¥§ ªà¨¢®«¨¥©ë©, â® £à ¨æë ¨§¬¥¥¨ï à£ã¬¥â ¡ã¤ãâ
äãªæ¨ï¬¨ â®çª¨. ç «ì®¥ § 票¥ à£ã¬¥â ᮮ⢥âáâ¢ã¥â «¥¢®¬ã (¥á«¨ ᬮâà¥âì ®â â®çª¨ z0 ) ¡¥à¥£ã à §à¥§ , ª®¥ç®¥ | ¯à ¢®¬ã. ¡®§ 稬 § 票¥ à£ã¬¥â «¥¢®¬ ¨ ¯à ¢®¬ ¡¥à¥£ å à §à¥§ ᮮ⢥âá⢥® + ¨ − . ®£¤ − − + = 2π . §à¥§ ¤«ï ¢ë¡à ®© ¢¥â¢¨ ¡ã¤¥â «¨¨¥© à §àë¢ . ¡¥à¥£ å à §à¥§ ¢ë¯®«ïîâáï á®®â®è¥¨ï
ln(z − − z0 ) = ln(z + − z0 ) + i2π, (z − − z0 )γ = ei2πγ (z + − z0 )γ .
¢®©á⢮ à §à뢮á⨠¢¥â¢¥© ¬®£®§ çëå äãªæ¨© ¡¥à¥£ å à §à¥§ è¨à®ª® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ªà ¥¢ëå § ¤ ç á à §àë¢ë¬¨ £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨. ®£ à¨ä¬ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ à §àë¢ ï äãªæ¨ï ¢å®¤¨â ¢ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ª ç¥á⢥ á« £ ¥¬®£®, á⥯¥ ï äãªæ¨ï, | ¥á«¨ ¬®¨â¥«¥¬. 6.2-5. « ¢®¥ § 票¥ ᨣã«ïண® ªà¨¢®«¨¥©®£® ¨â¥£à «
Ǒãáâì L | £« ¤ª¨© ª®âãà, τ ¨ t | ª®¬¯«¥ªáë¥ ª®®à¤¨ âë ¥£® â®ç¥ª. áᬮâਬ ªà¨¢®«¨¥©ë© ᨣã«ïàë© ¨â¥£à «
Z
ϕ(τ ) dτ. τ −t
L
(11)
Ǒ஢¥¤¥¬ ¨§ â®çª¨ t ª®âãà , ª ª ¨§ æ¥âà , ®ªàã®áâì à ¤¨ãá ρ, ¨ ¯ãáâì t1 , t2 | â®çª¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨ï í⮩ ®ªàã®áâ¨ á ªà¨¢®©. ¤¨ãá ¡ã¤¥¬ áç¨â âì á⮫쪮 ¬ «ë¬, çâ®¡ë ®ªàã®áâì ¥ ¨¬¥« á ªà¨¢®© L ¤à㣨å â®ç¥ª ¯¥à¥á¥ç¥¨ï, ªà®¬¥ t1 ¨ t2 . ¡®§ 稬 ç áâì ª®âãà L, ¢ë१ ¥¬ãî ®ªàã®áâìî, ç¥à¥§ l ¨ ¢®§ì¬¥¬ ¨â¥£à « Z ϕ(τ ) (12) dτ. L−l
τ −t
Ǒ।¥« ¨â¥£à « (12) ¯à¨ ρ → 0 §ë¢ ¥âáï ¨â¥£à « (11). Ǒ।áâ ¢«ïï ¥£® ¢ ¢¨¤¥
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
=
Z
L
ϕ(τ ) − ϕ(t) dτ τ −t
£« ¢ë¬ § 票¥¬ ᨣã«ïண®
+ ϕ(t)
Z
L
dτ τ −t
¨ à áá㤠ï â ª ¥, ª ª ¨ à ¥¥, ¯®«ã稬, ç⮠ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « (11) ¤«ï äãªæ¨¨ ϕ(τ ), 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , áãé¥áâ¢ã¥â ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § ç¥¨ï ¯® ®è¨. ® ¢á¥å â®çª å £« ¤ª®á⨠¥£® ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¤¢ãå ¢¨¤ å:
Z
ZL L
ϕ(τ ) dτ τ −t ϕ(τ ) dτ τ −t
= =
Z
ZL L
ϕ(τ ) − ϕ(t) dτ τ −t ϕ(τ ) − ϕ(t) dτ τ −t
+ ϕ(t) ln
£¤¥ a ¨ b | ª®æ¥¢ë¥ â®çª¨ ª®âãà L. ç áâ®áâ¨, ¤«ï § ¬ªã⮣® ª®âãà , ¯®« £ ï a
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
=
Z
L
+ ϕ(t) ln
ϕ(τ ) − ϕ(t) dτ τ −t
b−t a−t
+ iπ
b−t , t−a
,
= b, ¯®«ã稬 + iπϕ(t).
Ǒãáâì L | £« ¤ª¨© ª®âãà (§ ¬ªãâë© ¨«¨ ¥§ ¬ªãâë©) ¨ ϕ(τ ) | äãªæ¨ï â®ç¥ª ª®âãà , 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . ®£¤ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨
(z ) = 1
2πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −z
(13)
âà ¨æ 190
191
6.2. â¥£à « ⨯ ®è¨
¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«ìë¥ § 票ï + (t), − (t) ¢® ¢á¥å â®çª å ª®âãà L, ¥ ᮢ¯ ¤ îé¨å á ¥£® ª®æ ¬¨, ¯à¨ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ª ª®âãàã á«¥¢ ¨«¨ á¯à ¢ ¯® «î¡®¬ã ¯ãâ¨, ¨ í⨠¯à¥¤¥«ìë¥ § ç¥¨ï ¢ëà îâáï ç¥à¥§ ¯«®â®áâì ¨â¥£à « ϕ(t) ¨ ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « (13) ¯® ä®à¬ã« ¬ ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï:
Z
+ (t) = 1 ϕ(t) + 1 2
2πi
L
ϕ(τ ) dτ, τ −t
− (t) = − 1 ϕ(t) + 1 2
2πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ. (14) τ −t
ëç¨â ï ¨ ᪫ ¤ë¢ ï ä®à¬ã«ë (14), ¯®«ã稬 ¯ àã à ¢®á¨«ìëå ¨¬ ä®à¬ã«
+ (t) − − (t) = ϕ(t)Z,
+ (t) + − (t) = 1
πi
L
(15)
ϕ(τ ) dτ, τ −t
(16)
ª®â®à묨 ç áâ® ¯®«ì§ãîâáï ¢¬¥áâ® (14). ®à¬ã«ë ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
+ (x) = 1 ϕ(x)+ 1 2
2πi
Ǒà¨ç¥¬
Z
ϕ(τ ) dτ, τ −x
∞ −∞
+ (∞) =
âáî¤ ¨ ¨§ (17) ¨¬¥¥¬
1 ϕ(∞), 2
¨¬¥îâ ¢¨¤
− (x) = − 1 ϕ(x)+ 1 2
2πi
Z
∞ −∞
ϕ(τ ) dτ. τ −x (17)
− (∞) = − 12 ϕ(∞).
+ (∞Z) + − (∞) = 0, lim
x→∞
∞
−∞
ϕ(τ ) dτ τ −x
(18)
= 0.
(19)
ãªæ¨ï, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ï ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, ¥®¡å®¤¨¬® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (18). â® ãá«®¢¨¥ ï¥âáï â ª¥ ¨ ¤®áâ â®çë¬ ¤«ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ªãá®ç® «¨â¨ç¥áª®© ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå äãªæ¨¨ ¨â¥£à «®¬ ¯® ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. áᬮâਬ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ ¯® ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨, áç¨â ï z ¥ «¥ 騬 ¥©: Z ∞ ϕ(x) dx, (20) (z ) = 1 2πi −∞ x − z £¤¥ ϕ(x) | ª®¬¯«¥ªá ï äãªæ¨ï ¤¥©á⢨⥫쮣® ¯¥à¥¬¥®£® x, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (á¬. ¯. 4.1-3).
᫨ «¨â¨ç¥áª ï ¢ ¢¥à奩 ¯®«ã¯«®áª®á⨠äãªæ¨ï ϕ(z ) ¥¯à¥àë¢ ¢ § ¬ªã⮩ ¯®«ã¯«®áª®á⨠¨ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , â® Z ∞ ϕ(z ) − 12 ϕ(∞) ¯à¨ Im z > 0, 1 ϕ(x) (21) dx = 2πi −∞ x − z − 12 ϕ(∞) ¯à¨ Im z < 0. ª¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã«
1 2πi
Z
∞ −∞
ϕ(x) − ϕ(∞) dx x−z
1 ϕ(∞) ¯à¨ = 2 −ϕ(z ) + 12 ϕ(∞) ¯à¨
Im z > 0, Im z < 0,
(22)
¥á«¨ «¨â¨ç¥áª ï ¢ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠äãªæ¨ï ϕ(z ) ¥¯à¥àë¢ ¢ § ¬ªã⮩ ¯®«ã¯«®áª®á⨠¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à .
âà ¨æ 191
192
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
6.2-6. ®à¬ã« ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ Ǒã ª à¥{¥àâà
áᬮâਬ ¯ àã á«¥¤ãîé¨å ¯®¢â®àëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «®¢:
Z
1
N (t) =
πi
M (t ) =
πi
1
ZL
L
Z
K (τ, τ1 ) dτ1 , τ −τ Z L 1 1 K (τ, τ1 ) dτ, dτ1 πi L (τ − t)(τ1 − τ )
1 dτ τ − t πi
(23) (24)
£¤¥ L | £« ¤ª¨© ª®âãà, äãªæ¨ï K (τ, τ1 ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. ¡ ¨â¥£à « ¨¬¥îâ á¬ëá«, ¨ å®âï N ¨ M ®â«¨ç îâáï «¨èì ¯®à浪®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ®¨ ¥ à ¢ë, çâ® ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ Ǒã ª à¥{¥àâà :
1 πi
Z
L
1 dτ τ − t πi
Z
L
K (τ, τ1 ) dτ1 τ1 − τ
= K (t, t) + 1
πi
Z
L
ª®â®àãî ¬®® § ¯¨á âì ¥é¥ ¨ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
Z
L
dτ τ −t
Z
K (τ, τ1 ) dτ1 τ1 − τ
L
= −π 2 K (t, t) +
Z
L
dτ1
dτ1
Z
L
1 πi
Z
L
K (τ, τ1 ) dτ, (τ − t)(τ1 − τ )
(25)
K (τ, τ1 ) dτ. (τ − t)(τ1 − τ )
(26)
ëç¨á«¨¬ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨, ¢§ïâë© ¯® ¥¤¨¨ç®© ®ªàã®á⨠|z| = 1, á ¯«®â®áâìî ϕ(τ ) = 2/[τ (τ − 2)℄, â. ¥. Ǒਬ¥à.
1 Z 1 dτ . 2πi L τ τ − z L τ −2 ãªæ¨ï 1/(z − 2) «¨â¨ç ¢ + , 1/z «¨â¨ç ¢ − ¨ ®¡à é ¥âáï ¡¥áª®¥ç®á⨠¢ ã«ì. Ǒ¥à¢ë© ¨â¥£à « ¯® ä®à¬ã«¥ (1) à ¢¥ 1/(z−2) ¤«ï z ∈ + ¨ à ¢¥ ã«î ¤«ï z ∈ − . â®à®© ¨â¥£à « ¯® ä®à¬ã«¥ (2) ¤«ï z ∈ − à ¢¥ −1/z, ¤«ï z ∈ + à ¢¥ ã«î. âáî¤ 1 1 + (z ) = , − (z ) = . z−2 z (z ) =
.
•
1 2πi
Z
1
dτ − τ −z
: . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客 (1977), S. G. Mikhlin, S. Prossdorf
¨â¥à âãà
(1986).
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬ 6.3-1. ¥®à¥¬ ®¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ⥮६ ¨ã¢¨««ï
¥®à¥¬ ®¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ (¯à¨æ¨¯ ¥¯à¥à뢮áâ¨).
Ǒãáâì ¤¢¥ ®¡« á⨠1 ¨ 2 £à ¨ç â ¢¤®«ì ¥ª®â®à®© £« ¤ª®© ªà¨¢®© L. ®¡« áâïå 1 ¨ 2 § ¤ ë «¨â¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ f1 z ¨ f2 z . Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® ¯à¨ áâ६«¥¨¨ â®çª¨ z ª ªà¨¢®© L ®¡¥ äãªæ¨¨ áâ६ïâáï ª ¯à¥¤¥«ìë¬ § 票ï¬, ¥¯à¥àë¢ë¬ ªà¨¢®© L, ¯à¨ç¥¬ í⨠¯à¥¤¥«ìë¥ § 票ï à ¢ë ¬¥¤ã ᮡ®©. Ǒਠíâ¨å ãá«®¢¨ïå äãªæ¨¨ f1 z ¨ f2 z ¡ã¤ãâ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«¥¨¥¬ ¤à㣠¤à㣠.
( )
( )
( )
( )
Ǒãáâì ¢ ®¡« á⨠, ®£à ¨ç¥®© ª®âã஬ L, äãªæ¨ï f (z ) «¨â¨ç , § ¨áª«î票¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª, £¤¥ ® ¬®¥â ¨¬¥âì ¯®«îáë. 믨襬 à §«®¥¨¥ ¢ àï¤ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¥ª®â®à®© â®çª¨ z0 :
f (z ) = cn (z − z0 )n + cn+1 (z − z0 )n+1 + · · · = (z − z0 )n f1 (z ),
f1 (z0 ) = cn 6= 0.
âà ¨æ 192
193
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
¨á«® n §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¬ äãªæ¨¨ ¢ â®çª¥ z0 .
᫨ n > 0, â® ¯®à冷ª äãªæ¨¨ ¥áâì ¯®à冷ª ¥¥ ã«ï, ¥á«¨ n < 0, â® ¯®à冷ª ¥¥ ¥áâì ¯®à冷ª ¯®«îá á ¯à®â¨¢®¯®«®ë¬ § ª®¬.
᫨ ¯®à冷ª äãªæ¨¨ ¢ z0 ¥áâì ã«ì, â® ¢ â ª®© â®çª¥ äãªæ¨ï ¯à¨¨¬ ¥â ª®¥ç®¥, ®â«¨ç®¥ ®â ã«ï, § 票¥. Ǒਠà áᬮâ२¨ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ à §®áâì z −z0 ã® § ¬¥¨âì 1/z .
᫨ â®çª z0 «¥¨â ª®âãॠL, â® ¯®à浪®¬ äãªæ¨¨ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ç¨á«® 21 n. Ǒãáâì N , P ¨ NL , PL ᮮ⢥âá⢥® ç¨á« ã«¥© ¨ ¯®«îᮢ ¢ ®¡« á⨠¨ ª®âãà¥, ¯à¨ç¥¬ ª ¤ë© ¨§ ¨å ¡¥à¥âáï á⮫쪮 à §, ª ª®¢ ¥£® ªà â®áâì. ¨¬¢®«®¬ [δ ℄L ®¡®§ 稬 ¯à¨à 饨¥ ¢¥«¨ç¨ë δ ¯à¨ ®¡å®¤¥ ª®âãà ¢ ¯®«®¨â¥«ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨. Ǒ®«®¨â¥«ìë¬ ®¡å®¤®¬, ª ª ¢á¥£¤ , áç¨â ¥âáï â®â, ¯à¨ ª®â®à®¬ à áᬠâਢ ¥¬ ï ®¡« áâì ®áâ ¥âáï á«¥¢ .
( )
Ǒà¨æ¨¯ à£ã¬¥â . Ǒãáâì f z ¥áâì äãªæ¨ï, «¨â¨ç¥áª ï ¨ ®¤®§ ç ï ¢ ¬®£®á¢ï§®© ®¡« á⨠, ®£à ¨ç¥®© £« ¤ª¨¬ ª®âã஬ L L0 L1 · · · Lm , § ¨áª«î票¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª, £¤¥ ® ¬®¥â ¨¬¥âì ¯®«îáë, ¥¯à¥àë¢ ï ¢ § ¬ªã⮩ ®¡« á⨠L ¨ ¨¬¥¥â ª®âãॠ¥ ¡®«¥¥ 祬 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ã«¥© 楫®£® ¯®à浪 . ®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã«
=
+
+
+
+
N − P +
1 (N − PL ) = 1 [arg f (z )℄L . 2 L 2π
¡®¡é¥ ï ⥮६ ¨ã¢¨««ï. Ǒãáâì
äãªæ¨ï
f (z )
«¨â¨ç
¢á¥© ¯«®áª®á⨠ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®, § ¨áª«î票¥¬ â®ç¥ª (k
a0
=
¢®
∞, a k
= 1, 2, . . . , n), £¤¥ ® ¨¬¥¥â ¯®«îáë, ¯à¨ç¥¬ £« ¢ë¥ ç áâ¨ à §«®¥¨© äãªf (z ) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¯®«îᮢ ¨¬¥îâ ¢¨¤ Q0 (z ) = c01 z + c02 z 2 + · · · + c0m0 z m0 ¢ â®çª¥ a0 ,
樨
Qk
1
z − ak
®£¤ äãªæ¨ï
=
f (z )
c1k z − ak
+
ck2 (z − ak )2
+ ··· +
ckmk
(z − ak )mk
¢ â®çª å
ak .
¥áâì à 樮 «ì ï äãªæ¨ï ¨ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥
ä®à¬ã«®©
f (z ) = C
+ Q0 (z ) +
n X
k=1
Qk
1 z − ak
,
C | ¯®áâ®ï ï. ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ¥¤¨á⢥ ï ®á®¡¥®áâì äãªæ¨¨ f (z ) m ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥, â® f (z ) ¥áâì ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ m: f (z ) = c0 + c1 z + · · · + cm z m .
£¤¥
¥áâì ¯®«îá ¯®à浪
¡ëç® ¨á¯®«ì§ãîâ á«¥¤ãî騥 ®¡®§ 票ï: a) f (z ) | äãªæ¨ï, ᮯàï¥ ï á ¤ ®© äãªæ¨¥© f (z ); b) f ( z ) | äãªæ¨ï, ¯®«ãç ¥¬ ï ¨§ f (z ) ¯ã⥬ § ¬¥ë ¢ ¥© z z , â. ¥. y −y ¢ f (z ); (z ) | äãªæ¨ï, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ãá«®¢¨¥¬ f (z ) = f (z ).
) f
᫨ z = x + iy ¨ f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ), â®
f (z ) = u(x, y )−iv (x, y ), f ( z ) = u(x, −y )+iv (x, −y ), f (z ) = u(x, −y )−iv (x, −y ). n P ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ f (z ) § ¤ à冷¬ f (z ) = ck z k , â® k=0 n n n X X X ck z k , f (z ) = ck z k . f (z ) = ck zk , f (z ) = k=0 k=0 k=0 13 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 193
194
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
«ï äãªæ¨¨, ¯à¥¤áâ ¢«¥®© ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨
¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
f (z ) = −
1 2πi
Z
L
f (z ) =
1 2πi
Z
ϕ(τ ) dτ , f ( z) = τ − z
1 2πi
Z
L
L
ϕ(τ ) dτ, τ −z
1 ϕ(τ ) dτ, f (z ) = − τ − z 2πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ . τ − z
(z ) = f (z ), â® ¤«ï ¢¥é¥á⢥ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ äãªæ¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î f ëå § 票© z ® ¯à¨¨¬ ¥â ç¨áâ® ¤¥©á⢨⥫ìë¥ § 票ï. ¯à ¢¥¤«¨¢® â ª¥ ¨ ®¡à ⮥ ¯à¥¤«®¥¨¥. 6.3-2. â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¯®«¨®¬ ନâ
â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¯®«¨®¬ ନ⠨ᯮ«ì§ã¥âáï ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¢ ¯¯. 4.4-7 ¨ 6.3-9. Ǒãáâì § ¤ ë à §«¨çë¥ â®çª¨ zk (k = 1, 2, . . . , m) ¨ ¯ãáâì ª ¤®© â®çª¥ zk
(j )
ᮯ®áâ ¢«¥ë ç¨á« k (j = 0, 1, . . . , nk − 1), £¤¥ nk | § ¤ ë¥ âãà «ìë¥ ç¨á« . ॡã¥âáï ¯®áâநâì ¯®«¨®¬ Up (z ) ¨¨§è¥© á⥯¥¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ãá«®¢¨ï¬
(j ) Up(j ) (zk ) = k ,
(j )
k
= 1, 2, . . . , m,
j
= 0, 1, . . . , nk − 1,
£¤¥ Up (zk ) | § ç¥¨ï ¯à®¨§¢®¤ëå j -£® ¯®à浪 ¯®«¨®¬ ¢ â®çª å zk . ¨á« zk §ë¢ îâáï 㧫 ¬¨ ¨â¥à¯®«¨à®¢ ¨ï, nk | ªà â®áâﬨ ¨â¥à¯®«¨à®¢ ¨ï ¢ 㧫 å zk . ª®© ¯®«¨®¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩 ¢¨¤ (á¬. . . ¬¨à®¢, . . ¥¡¥¤¥¢ (1964)):
Up (z ) = ζ (z ) =
m Y
k=1
m X
k=1
nk −1 X ζ (z ) Ak,r (z − zk )r , (z − zk )nk
(z − zk )nk , k
Ak,r
r =0 r X
=
= 1, 2, . . . , m,
(kj) j ! (r − j )! j =0 r
p=
d r−j dz r−j
m X
k=1
nk − 1,
(z − zk )nk ζ (z )
= 0, 1, . . . , nk − 1,
z =z k
,
¯à¨ç¥¬ ® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬. â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¯®«¨®¬ Up (z ), ¯®áâà®¥ë© ¤«ï äãªæ¨¨ f (z ), ¢ â®çª å zk ¤®«¥ 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨ï¬
(j ) Up(j ) (zk ) = k = f (j ) (zk ), k = 1, 2, . . . , m, j = 0, 1, . . . , nk − 1, £¤¥ f (j ) (zk ) | § ç¥¨ï ¯à®¨§¢®¤ëå j -£® ¯®à浪 í⮩ äãªæ¨¨ ¢ â®çª å zk . 6.3-3. Ǒ®ï⨥ ¨¤¥ªá
Ǒãáâì L | £« ¤ª¨© § ¬ªãâë© ª®âãà ¨ D(t) | § ¤ ï ¥¬ ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï, ¥ ®¡à é îé ïáï ¢ ã«ì. ¤¥ªá®¬ ν äãªæ¨¨ D (t) ¯® ª®âãàã L §ë¢ ¥âáï à §¤¥«¥®¥ 2π ¯à¨à 饨¥ ¥¥ à£ã¬¥â ¯à¨ ®¡å®¤¥ ªà¨¢®© L ¢ ¯®«®¨â¥«ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨:
ν
= Ind D(t) = 1 [arg D(t)℄L . 2π
(1)
âà ¨æ 194
195
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
ª ª ª ln D(t) = ln |D(t)| + i arg D(t) ¨ ¯®á«¥ ®¡å®¤ ª®âãà L äãªæ¨ï |D(t)| ¢®§¢à é ¥âáï ª ç «ì®¬ã § 票î, â® [ln D(t)℄L = i[arg D(t)℄L ¨ á«¥¤®¢ ⥫ì®,
= 1 [ln D(t)℄L .
ν
(2)
2πi
¤¥ªá ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¨â¥£à «
ν
= Ind D(t) = 1
2πi
Z
L
d ln D(t) =
1 2π
Z
L
d arg D(t).
(3)
Ǒਠí⮬, ¥á«¨ D(t) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 , ® ¨¬¥¥â ®£à ¨ç¥ãî ¢ ਠæ¨î, â® ¨â¥£à « ¯®¨¬ ¥âáï ¢ á¬ëá«¥ ⨫âì¥á . ᨫ㠥¯à¥à뢮á⨠D(t) ®¡à § § ¬ªã⮣® ª®âãà L ¡ã¤¥â â ª¥ § ¬ªãâë¬ ª®âã஬ ¨ ¯à¨à 饨¥ à£ã¬¥â D(t) ¯à¨ ®¡å®¤¥ ª®âãà L ¡ã¤¥â ªà âë¬ 2π . «¥¤®¢ ⥫ì®, á¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ã⢥थ¨ï.
1◦ . ¤¥ªá äãªæ¨¨, ¥¯à¥à뢮© § ¬ªã⮬ ª®âãॠ¨ ¨£¤¥ ¥ ®¡à é î饩áï ¢ ã«ì, ¥áâì 楫®¥ ç¨á«® (¢®§¬®®, ã«ì).
2◦ . ¤¥ªá ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï äãªæ¨© à ¢¥ á㬬¥ ¨¤¥ªá®¢ ᮬ®¨â¥«¥©. ¤¥ªá ç á⮣® à ¢¥ à §®á⨠¨¤¥ªá®¢ ¤¥«¨¬®£® ¨ ¤¥«¨â¥«ï. Ǒãáâì ⥯¥àì D(t) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ªà ¥¢®¥ § 票¥ «¨â¨ç¥áª®© ¢ãâਠ¨«¨ ¢¥ ª®âãà L äãªæ¨¨. ®£¤ ν
= 1
2πi
Z
L
1 2πi
d ln D(t) =
Z
L
Dt′ (t) dt D (t)
(4)
®ª §ë¢ ¥âáï à ¢ë¬ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®¬ã ¢ëç¥âã äãªæ¨¨ D(t). § ¯à¨æ¨¯ à£ã¬¥â (á¬. ¯. 6.3-1) ¢ë⥪ îâ á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠¨¤¥ªá :
᫨ D(t) ¥áâì ªà ¥¢®¥ § 票¥ äãªæ¨¨, «¨â¨ç¥áª®© ¢ãâਠ¨«¨ ¢¥ ª®âãà , â® ¨¤¥ªá ¥¥ à ¢¥ ç¨á«ã ã«¥© ¢ãâਠª®âãà ¨«¨ ᮮ⢥âá⢥® ç¨á«ã ã«¥© ¢¥ ª®âãà , ¢§ï⮬ã á® § ª®¬ ¬¨ãá.
3◦ .
4◦ .
᫨ äãªæ¨ï D(z ) «¨â¨ç ¢ãâਠª®âãà , § ¨áª«î票¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª, £¤¥ ® ¬®¥â ¨¬¥âì ¯®«îáë, â® ¨¤¥ªá ¥¥ à ¢¥ à §®á⨠ç¨á« ã«¥© ¨ ç¨á« ¯®«îᮢ ¢ãâਠª®âãà . 㫨 ¨ ¯®«îáë áç¨â îâáï ¯à¨ í⮬ á⮫쪮 à §, ª ª®¢ ¨å ªà â®áâì. ¬¥â¨¬ ¥é¥, çâ® ¨¤¥ªáë ª®¬¯«¥ªá® ᮯàï¥ëå äãªæ¨© ®¡à âë ¯® § ªã. Ǒãáâì ª®âãà L ®¯¨áë¢ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬
t = t1 (s ) + it2 (s ),
0 6 s 6 l.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¥¨¥ ª®¬¯«¥ªá®© ª®®à¤¨ âë t ¢ äãªæ¨î D(t), ¯®«ã稬
D(t) = D t1 (s ) + it2 (s )
= ξ (s ) + iη(s ).
(5)
㤥¬ à áᬠâਢ âì ξ ¨ η ª ª ¤¥ª àâ®¢ë ª®®à¤¨ âë. ®£¤
ξ
= ξ (s ),
η
= η(s )
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ª®â®à®© ªà¨¢®© . ᨫ㠥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨¨ D(t) ¨ § ¬ªãâ®á⨠ª®âãà L ªà¨¢ ï ¡ã¤¥â § ¬ªã⮩. ¨á«® ¢¨âª®¢ ªà¨¢®© ¢®ªàã£ ç « ª®®à¤¨ â, â. ¥. ç¨á«® ¯®«ëå ®¡®à®â®¢ à ¤¨ãá -¢¥ªâ®à , ª®£¤ ¯¥à¥¬¥ ï s ¨§¬¥ï¥âáï ®â 0 ¤® l, ¨ ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¨¤¥ª®â®á¨â¥«ì® ᮬ äãªæ¨¨ D(t). ¨á«® íâ® ¨®£¤ §ë¢ îâ ¯®à浪®¬ ªà¨¢®© ç « ª®®à¤¨ â.
᫨ ªà¨¢ãî 㤠¥âáï ¯®áâநâì, â® ç¨á«® ¢¨âª®¢ ãᬠâਢ ¥âáï ¥¯®á।á⢥®. ®® ¯à¨¢¥á⨠¬®£® ¯à¨¬¥à®¢, ª®£¤ ¨¤¥ªá ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ¯® 13*
âà ¨æ 195
196
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
¢¨¤ã ªà¨¢®© . ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ D(t) | ¤¥©á⢨⥫ì ï ¨«¨ ç¨áâ® ¬¨¬ ï äãªæ¨ï, ¥ ®¡à é îé ïáï ¢ ã«ì, â® ¥áâì ®â१®ª ¯àאַ© (¯à®å®¤¨¬ë© ç¥â®¥ ç¨á«® à §) ¨ ¨¤¥ªá D(t) à ¢¥ ã«î.
᫨ ¤¥©á⢨⥫ì ï ç áâì ξ (s ) ¨«¨ ¬¨¬ ï ç áâì η (s ) ¥ ¬¥ï¥â § ª , â® ¨¤¥ªá, ®ç¥¢¨¤®, â ª¥ à ¢¥ ã«î ¨ â. ¯.
᫨ äãªæ¨î D(t) ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¨«¨ ç á⮣® äãªæ¨©, ïîé¨åáï ¯à¥¤¥«ì묨 § 票ﬨ «¨â¨ç¥áª¨å ¢ãâਠ¨«¨ ¢¥ ª®âãà äãªæ¨©, â® ¨¤¥ªá ¢ëç¨á«ï¥âáï ®á®¢ ¨¨ ᢮©á⢠2◦ , 3◦ ¨ 4◦ . ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¨¤¥ªá ¬®¥â ¡ëâì ¯à®¨§¢¥¤¥® ¯® ä®à¬ã«¥ (3). Ǒ®« £ ï ¢ ¥© ®á®¢ ¨¨ ä®à¬ã«ë (5)
d arg D(t) = d ar tg
η(s ) ξ (s )
¨ ¯à¥¤¯®« £ ï ξ ¨ η ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬묨, ¯®«ã稬
= 1
ν
2π
Z
ξ dη − η dξ ξ 2 + η2
= 1
Z
l
2π 0
ξ (s )ηs′ (s ) − η(s )ξs′ (s ) ds . ξ 2 (s ) + η2 (s )
(6)
ëç¨á«¨âì ¨¤¥ªá D(t) = tn ¯® «î¡®¬ã ª®âãàã L, ®ªàã î饬ã ç «® ª®®à¤¨ â. . ãªæ¨ï tn ¥áâì ªà ¥¢®¥ § 票¥ äãªæ¨¨ zn , ¨¬¥î饩 ®¤¨ ã«ì ¯®à浪 n ¢ãâਠª®âãà . «¥¤®¢ ⥫ì®, Ǒਬ¥à.
1-©
ᯮᮡ
ν
= Ind tn = n.
.
᫨ à£ã¬¥â t ¥áâì ϕ, â® à£ã¬¥â tn à ¢¥ nϕ. ®£¤ â®çª t, ®¡®©¤ï ª®âãà L, ¢®§¢à é ¥âáï ª ç «ì®¬ã § 票î, ϕ ¯®«ãç ¥â ¯à¨à 饨¥ 2π. «¥¤®¢ ⥫ì®, 2-© ᯮᮡ
Ind tn = n.
. ¤¥ªá ¬®¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ ¨ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ç¨á«¥ëå ¬¥â®¤®¢. ᨫã 楫®ç¨á«¥®á⨠§ 票© ¨¤¥ªá ¯à¨¡«¨¥®¥ ¥£® § 票¥, ©¤¥®¥ á ¯®£à¥è®áâìî, ¬¥ì襩 12 , ¨ ®ªà㣫¥®¥ ¤® ¡«¨ ©è¥£® 楫®£® ç¨á« , ¤ áâ â®ç®¥ § 票¥. 6.3-4. Ǒ®áâ ®¢ª § ¤ ç¨ ¨¬
ë ¯à®á⮩ £« ¤ª¨© § ¬ªãâë© ª®âãà L, ¤¥«ï騩 ¯«®áª®áâì ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£® ¢ãâà¥îî ®¡« áâì + ¨ ¢¥èîî − , ¨ ¤¢¥ äãªæ¨¨ â®ç¥ª ª®âãà D(t) ¨ H (t), 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (á¬. ¯. 6.2-2), ¯à¨ç¥¬ D(t) ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì.
¤ ç ¨¬ . ©â¨ ¤¢¥ äãªæ¨¨ (¬®® £®¢®à¨âì ®¡ ®¤®© ªãá®ç® + z | «¨â¨ç¥áªãî ¢ ®¡« á⨠+ , ¨ − z | «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨): − , ¢ª«îç ï z ∞, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ª®âã «¨â¨ç¥áªãî ¢ ®¡« á⨠ॠL «¨¥©®¬ã á®®â®è¥¨î
( )
+ (t) = D(t)− (t)
=
( )
(®¤®à®¤ ï § ¤ ç )
(7)
(¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç ).
(8)
¨«¨
+ (t) = D(t)− (t) + H (t)
ãªæ¨î D(t) ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ª®íää¨æ¨¥â®¬ § ¤ ç¨ ¨¬ , äãªæ¨î H (t) | ¥¥ ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬. áᬮâਬ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® § ¤ çã ¨¬ ç á⮣® ¢¨¤ , ª®â®àãî §ë¢ îâ § ¤ 祩 ® ᪠窥. Ǒãáâì § ¬ªã⮬ ª®âãॠL ¤ äãªæ¨ï ϕ(t), 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . ॡã¥âáï ©â¨ ªãá®ç® «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î (z )
âà ¨æ 196
197
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
((z ) = + (z ) ¯à¨ z ∈ + , (z ) = − (z ) ¯à¨ z ∈ − ), ¨á祧 îéãî ¡¥áª®¥ç®á⨠¨ ¨á¯ëâë¢ îéãî ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ç¥à¥§ ª®âãà L ᪠箪 ϕ(t), â. ¥. 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ãá«®¢¨î ãªæ¨ï
+ (t) − − (t) = ϕ(t).
(z ) = 1
2πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −z
®á®¢ ¨¨ ä®à¬ã« ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï (á¬. ¯. 6.2-5) ¤ ¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, § ¤ ãî § ¬ªã⮬ ª®âãॠ¯à®¨§¢®«ìãî äãªæ¨î ϕ(t), 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¬®® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ à §®á⨠äãªæ¨© + (t) ¨ − (t), ïîé¨åáï ªà ¥¢ë¬¨ § 票ﬨ «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨© + (z ) ¨ − (z ), ¯à¨ ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ ãá«®¢¨¨ − (∞) = 0.
᫨ ®â¡à®á¨âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ − (∞) = 0, â® à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¡ã¤¥â ¤ ¢ âìáï ä®à¬ã«®© Z 1 ϕ(τ ) dτ + onst . (9) (z ) = 2πi L τ − z 㤥¬ ¨áª âì ç á⮥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ (7) ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ¥ ®¡à é îé¨åáï ª®âãॠ¢ ã«ì. Ǒãáâì N+ , N− | ç¨á«® ã«¥© ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ᮮ⢥âá⢥® ¢ ®¡« áâïå + , − . §ï¢ ¨¤¥ªá ®¡¥¨å ç á⥩ à ¢¥á⢠(7), ®á®¢ ¨¨ ¥£® ᢮©á⢠2◦ ¨ 3◦ ¯®«ã稬
N+ + N−
= Ind D(t) = ν.
(10)
¤¥ªá ν ª®íää¨æ¨¥â D(t) ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¨¤¥ªá®¬ § ¤ ç¨ ¨¬ . Ǒãáâì ν = 0. Ǒਠí⮬ ãá«®¢¨¨ ln D(t) ¡ã¤¥â ®¤®§ 箩 äãªæ¨¥©. § (10) á«¥¤ã¥â N+ = N− = 0, â. ¥. à¥è¥¨¥ ¥ ¨¬¥¥â ã«¥© ¢® ¢á¥© ¯«®áª®áâ¨. ãªæ¨¨ ln ± (z ) ¡ã¤ãâ ¯®í⮬㠫¨â¨ç¥áª¨¬¨ ¢ ᢮¨å ®¡« áâïå ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¤®§ ç묨 ¢¬¥á⥠ᮠ᢮¨¬¨ ªà ¥¢ë¬¨ § 票ﬨ ln ± (t). ®£ à¨ä¬¨àãï ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (7), ¯®«ã稬
ln + (t) − ln − (t) = ln D(t).
(11)
«ï ln D(t) ¬®® ¢ë¡à âì «î¡ãî ¢¥â¢ì, ¯®áª®«ìªã ®ª®ç ⥫ìë© à¥§ã«ìâ â ¥ § ¢¨á¨â ®â ¥¥ ¢ë¡®à . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥®¡å®¤¨¬® ©â¨ ªãá®ç® «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î ln (z ) ¯® § ¤ ®¬ã L ᪠çªã. ¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¯à¨ ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ ãá«®¢¨¨ ln − (∞) = 0 ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
ln (z ) = 1
2πi
¡®§ 稬 ¤«ï ªà ⪮áâ¨
1 2πi
Z
Z
ln D(τ )
L
ln D(τ ) τ −z
L
τ −z
dτ
(12)
dτ.
= G(z ).
(13)
¥è¥¨ï¬¨ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (7), 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨ ãá«®¢¨î − (∞) = 1, ¡ã¤ãâ, ª ª íâ® ¥¯®á।á⢥® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ä®à¬ã« ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï, äãªæ¨¨
+ (z)
− (z ) = eG (z) . (14)
᫨ ®â¡à®á¨âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ − (∞) = 1, â® ¢ ä®à¬ã«¥ (12) ã® + (z ) = eG
¨
−
¤®¡ ¢¨âì ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¯®áâ®ï®¥ á« £ ¥¬®¥ ¨ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤
+ (z)
+ (z ) = CeG
,
− (z ) = CeG
−
(z ) ,
(15)
âà ¨æ 197
198
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. ª ª ª G− (∞) = 0, â® C ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § 票¥ − (z ) ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á«ãç ¥ ν = 0 ¨ ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ − (∞) 6= 0 à¥è¥¨¥ ᮤ¥à¨â ®¤ã ¯à®¨§¢®«ìãî ¯®áâ®ïãî, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥¥âáï ®¤® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®¥ à¥è¥¨¥.
᫨ − (∞) = 0, â® C = 0 ¨ § ¤ ç ¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ | ⮤¥áâ¢¥ë© ã«ì, çâ® ¥áâ¥á⢥® ¢ ᨫã N− = 0. âáî¤ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¢ ®¥ á«¥¤á⢨¥. ¤ ãî ª®âãॠL ¯à®¨§¢®«ìãî äãªæ¨î D(t) 6= 0, 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ¨ ¨¬¥îéãî ¨¤¥ªá ã«ì, ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ®â®è¥¨ï äãªæ¨© + (t) ¨ − (t), ïîé¨åáï ªà ¥¢ë¬¨ § 票ﬨ äãªæ¨©, «¨â¨ç¥áª¨å ¢ ®¡« áâïå + , − ¨ ¥ ¨¬¥îé¨å ¢ íâ¨å ®¡« áâïå ã«¥©. ãªæ¨¨ í⨠®¯à¥¤¥«ïîâáï á â®ç®áâìî ¤® ¯à®¨§¢®«ì®£® ¯®áâ®ï®£® ¬®¨â¥«ï ¨ ¤ îâáï ä®à¬ã« ¬¨ (15). Ǒ¥à¥å®¤ï ⥯¥àì ª ®¡é¥¬ã á«ãç î, ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ªãá®ç® «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î, 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ®¤®à®¤®¬ã ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î (7) ¨ ¨¬¥îéãî ã«¥¢®© ¯®à冷ª ¢® ¢á¥© ¯«®áª®áâ¨, ªà®¬¥ ®¤®© ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨, £¤¥ ¥¥ ¯®à冷ª à ¢¥ ¨¤¥ªáã § ¤ ç¨. ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© (®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ ) X (z ) §®¢¥¬ äãªæ¨î, 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î (7) ¨ ªãá®ç® «¨â¨ç¥áªãî ¢áî¤ã ¢ ¯«®áª®áâ¨, § ¨áª«î票¥¬ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨, £¤¥ ¯®à冷ª ¥¥ à ¢¥ ¨¤¥ªáã § ¤ ç¨. âã äãªæ¨î ¬®® ¯®áâநâì ¯à¨¢¥¤¥¨¥¬ ª á«ãç î ã«¥¢®£® ¨¤¥ªá . ¥©á⢨⥫ì®, § ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (7) ¢ ¢¨¤¥
+ (t) = t−ν D(t)tν − (t). Ǒ।áâ ¢«ïï ¨¬¥îéãî ã«¥¢®© ¨¤¥ªá äãªæ¨î t−ν D(t) ª ª ®â®è¥¨¥ ªà ¥¢ëå § 票© «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨©
t−ν D(t) =
+ eG (t)
, eG− (t)
G(z ) =
1 2πi
¯®«ã稬 ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¨: § X + (t)
+ X + (z ) = eG (z ) ,
Z
ln[τ −ν D(τ )℄ L
τ −z
− X − (z ) = z −ν eG (z ) .
dτ,
(16)
(17)
= D(t)X (t) á«¥¤ã¥â, çâ® ª®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¨¬ ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ ®â®è¥¨ï ª ®¨ç¥áª¨å äãªæ¨©: −
D(t) =
X + (t) . X − (t)
(18)
Ǒ।áâ ¢«¥¨¥ (18) ç áâ® §ë¢ îâ ä ªâ®à¨§ 樥©. Ǒਠν > 0 ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï, ¨¬¥ï ¡¥áª®¥ç®á⨠ã«ì ¯®à浪 ν , ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ ç áâëå à¥è¥¨© ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (7). Ǒਠν < 0 ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®«îá ¯®à浪 |ν| ¨ 㥠¥ ï¥âáï à¥è¥¨¥¬, ® ® ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 äãªæ¨¨ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨. 6.3-5. ¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨
Ǒãáâì ν =Ind D(t) ¥áâì «î¡®¥ 楫®¥ ç¨á«®. Ǒ।áâ ¢«ïï D(t) ¯® ä®à¬ã«¥ (18), ¯à¨¢¥¤¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (7) ª ¢¨¤ã − + (t) = −(t) . + X (t) X (t)
âà ¨æ 198
199
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
«¥¢®© ç á⨠¯®á«¥¤¥£® à ¢¥á⢠áâ®¨â ªà ¥¢®¥ § 票¥ äãªæ¨¨, «¨â¨ç¥áª®© ¢ + , ¢ ¯à ¢®© | ªà ¥¢®¥ § 票¥ äãªæ¨¨, ¨¬¥î饩 ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®à冷ª ¥ ¨¥ −ν . Ǒ® ¯à¨æ¨¯ã ¥¯à¥à뢮á⨠(á¬. ¯. 6.3-1), äãªæ¨¨ ¢ «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâïå ïîâáï «¨â¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«¥¨¥¬ ¤à㣠¤à㣠¢áî ¯«®áª®áâì, § ¨áª«î票¥¬ à §¢¥ çâ® ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨, £¤¥ ¢ á«ãç ¥ ν > 0 ¢®§¬®¥ ¯®«îá ¯®à浪 ¥ ¢ëè¥ ν . âáî¤ , ¯à¨ ν > 0 ¯® ®¡®¡é¥®© ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï (á¬. ¯. 6.3-1) íâ ¥¤¨ ï «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ï¥âáï ¬®£®ç«¥®¬ á⥯¥¨ ν á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨.
᫨ ν < 0, â® ¢®¢ì ¯® ®¡®¡é¥®© ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï (¯. 6.3-1), äãªæ¨ï ¥áâì ¯®áâ®ï ï. ® â ª ª ª ¡¥áª®¥ç®á⨠® ¤®« ®¡à â¨âìáï ¢ ã«ì, â® ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ® ¥áâì ⮤¥áâ¢¥ë© ã«ì. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯à¨ ν < 0 ®¤®à®¤ ï § ¤ ç ¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ | ⮤¥áâ¢¥ë© ã«ì. 㤥¬ §ë¢ âì ¥à §à¥è¨¬ë¬¨ § ¤ ç¨, ¥ ¨¬¥î騥 ¤à㣨å à¥è¥¨©, ªà®¬¥ âਢ¨ «ì®£®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¤®à®¤ ï § ¤ ç (7) ¯à¨ ®âà¨æ ⥫쮬 ¨¤¥ªá¥ ¥à §à¥è¨¬ . Ǒਠν > 0, ®¡®§ ç ï ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ν á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ç¥à¥§ Pν (z ), ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥
(z ) = Pν (z )X (z ),
¨«¨
+ (z)
+ (z ) = Pν (z )eG
− (z ) = z −ν Pν (z )eG
−
,
(z ) ,
(19)
£¤¥ G(z ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (16). â ª, ¥á«¨ ¨¤¥ªá ν ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¥®âà¨æ ⥫¥, â® ®¤®à®¤ ï § ¤ ç (7) ¨¬¥¥â ν + 1 «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©
+ (z)
k+ (z ) = z k eG
−k (z ) = z k−ν eG (z) (k = 0, 1, . . . , ν ). (20) ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ᮤ¥à¨â ν + 1 ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã−
,
«®© (19). Ǒਠ®âà¨æ ⥫쮬 ¨¤¥ªá¥ § ¤ ç (7) ¥à §à¥è¨¬ . ®£®ç«¥ Pν (z ) ¨¬¥¥â ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠â®ç® ν ã«¥©. § ä®à¬ã« (19) á«¥¤ã¥â, çâ® ç¨á«® ¢á¥å ã«¥© à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®© ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ â®ç® à ¢® ¨¤¥ªáã ν . § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯®¤¡®à ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¬®£®ç«¥ í⨠㫨 ¬®£ãâ ¯®¯ áâì ¢ «î¡ãî ¨§ ®¡« á⥩ ± , â ª¥ ¨ ª®âãà. ¡®§ ç ï, ª ª ¨ à ¥¥, N± ç¨á«® ã«¥© à¥è¥¨ï ¢ ®¡« áâïå ± , N0 ç¨á«® ã«¥© ª®âãॠL, ¯®«ã稬, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ (¡¥§ ®£à ¨ç¥¨ï ®âáãâá⢨ï ã«¥© ª®âãà¥) ä®à¬ã« (10) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ N+ + N− + N0 = ν. (21) 6.3-6. ¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨
¬¥ïï ª®íää¨æ¨¥â D(t) ªà ¥¢®£® ãá«®¢¨ï (8) ®â®è¥¨¥¬ ªà ¥¢ëå § 票© ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ¯® ä®à¬ã«¥ (18), ¯à¨¢¥¤¥¬ (8) ª ¢¨¤ã − + (t) = −(t) + + X (t) X (t)
H (t) . X + (t)
(22)
ãªæ¨ï H (t)/X + (t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . ¬¥¨¬ ¥¥ à §®áâìî ªà ¥¢ëå § 票© «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨© (á¬. § ¤ çã ® ᪠窥 ¨§ ¯. 6.3-4):
H (t) X + (t) £¤¥
= + (t) − − (t),
(z ) = 1
2πi
Z
L
H (τ ) dτ . X + (τ ) τ − z
(23)
âà ¨æ 199
200
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
®£¤ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (22) ¬®® ¡ã¤¥â § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
+ (t) − (t) − + (t) = − − − (t). + X (t) X (t) ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ν > 0 äãªæ¨ï − (z )/X − (z ) ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®«îá, ¯à¨ ν < 0 | ã«ì ¯®à浪 |ν|. áá㤠ï ᮢ¥à襮 â ª ¥, ª ª íâ® ¤¥« «®áì ¯à¨ à¥è¥¨¨ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨, ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騥 १ã«ìâ âë. Ǒãáâì ν > 0, ⮣¤
+ (t) − + (t) X + (t)
− = −(t)
X
− − (t) = Pν (t).
(t)
âáî¤ ¨¬¥¥¬ à¥è¥¨¥
(z ) = X (z )[ (z ) + Pν (z )℄,
(24)
¯à¨ç¥¬ X (z ) ¨ (z ) ¢ëà îâáï ä®à¬ã« ¬¨ (17) ¨ (23), Pν (z ) | ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ν á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ä®à¬ã« (24) ¤ ¥â ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨, â ª ª ª ®® ᮤ¥à¨â ¢ ª ç¥á⢥ á« £ ¥¬®£® ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ X (z )Pν (z ). Ǒãáâì ν < 0. í⮬ á«ãç ¥ − (z )/X − (z ) à ¢® ã«î ¡¥áª®¥ç®á⨠¨
− (t) + (t) − + (t) = − − − (t) = 0, + X (t) X (t)
®âªã¤
(25) (z ) = X (z ) (z ). ¢ëà ¥¨¨ äãªæ¨¨ (z ) ¯¥à¢ë© ¬®¨â¥«ì ®á®¢ ¨¨ ä®à¬ã«ë (17) −
¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®«îá ¯®à浪 −ν , ¢â®à®©, ª ª ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ (23), ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ã«ì ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . «¥¤®¢ ⥫ì®, − (z ) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¯®«îá ¯®à浪 ¥ ¢ëè¥ ç¥¬ −ν − 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ν < −1, ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥à §à¥è¨¬ . ¡ã¤¥â à §à¥è¨¬ «¨èì ⮣¤ , ª®£¤ ᢮¡®¤ë© ç«¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥ª®â®àë¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ãá«®¢¨ï¬. «ï ¯®«ãç¥¨ï ¨å à §«®¨¬ ¢ àï¤ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ (23) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨:
− (z ) =
∞ X
k=1
ck z −k ,
£¤¥
ck
=− 1
2πi
Z
L
H (τ ) k−1 τ dτ. X + (τ )
«ï «¨â¨ç®á⨠(z ) ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ã®, çâ®¡ë ¯¥à¢ë¥ −ν − 1 ª®íää¨æ¨¥â®¢ à §«®¥¨ï − (z ) ®¡à ⨫¨áì ¢ ã«ì. âáî¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¢ á«ãç ¥ ®âà¨æ ⥫쮣® ¨¤¥ªá (ν < −1) ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë 㤮¢«¥â¢®à﫨áì á«¥¤ãî騥 −ν − 1 ãá«®¢¨©:
Z
L
−
H (τ ) k−1 τ dτ X + (τ )
= 0,
k
= 1, 2, . . . , −ν − 1.
(26)
â ª, ¢ á«ãç ¥ ν > 0 ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç ¨¬ à §à¥è¨¬ ¯à¨ «î¡®¬ ᢮¡®¤®¬ ç«¥¥ ¨ ¥¥ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
(z ) =
X (z ) 2πi
Z
L
H (τ ) dτ X + (τ ) τ − z
+ X (z )Pν (z ),
(27)
âà ¨æ 200
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
201
£¤¥ ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï X (z ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ (17), Pν (z ) | ¯®«¨®¬ á⥯¥¨ ν á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®¬¯«¥ªá묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨.
᫨ ν = −1, â® ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç â ª¥ à §à¥è¨¬ ¨ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥. á«ãç ¥ ν < −1 ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç , ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥à §à¥è¨¬ . «ï ⮣® çâ®¡ë ® ¡ë« à §à¥è¨¬ , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë ᢮¡®¤ë© ç«¥ § ¤ ç¨ ã¤®¢«¥â¢®àï« −ν − 1 ãá«®¢¨ï¬ (26). Ǒਠ¢ë¯®«¥¨¨ ¯®á«¥¤¨å ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (27), £¤¥ ã® ¯®«®¨âì Pν (z ) ≡ 0. ë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ á ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ âॡ®¢ ¨¥¬, çâ®¡ë ®® ®¡à é «®áì ¢ ã«ì ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥. í⮬ á«ãç ¥ ¢¬¥áâ® ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ν ã® ¢§ïâì ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ν − 1. «ï à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ ¢ á«ãç ¥ ®âà¨æ ⥫쮣® ¨¤¥ªá ¯à¨¤¥âáï ¯®âॡ®¢ âì ®¡à é¥¨ï ¢ ã«ì â ª¥ ¨ ª®íää¨æ¨¥â c−ν . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ ãá«®¢¨¨ − (∞) = 0 à¥è¥¨¥ ¡ã¤¥â § ¤ ¢ âìáï ¯à¨ ν > 0 ä®à¬ã«®© (z ) = X (z )[ (z ) + Pν−1 (z )℄, (28) £¤¥ ¯à¨ ν = 0 ã® ¯®«®¨âì Pν−1 (z ) ≡ 0.
᫨ ν < 0, â® à¥è¥¨¥ ¯®-¯à¥¥¬ã ¡ã¤¥â ¢ëà âìáï ä®à¬ã«®© (28), £¤¥ Pν−1 (z ) ≡ 0, ¯à¨ ᮡ«î¤¥¨¨ −ν ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®áâ¨:
Z
L
H (τ ) k−1 τ dτ X + (τ )
= 0,
k
= 1, 2, . . . , −ν.
(29)
í⮬ á«ãç ¥ ã⢥थ¨¥ ® à §à¥è¨¬®á⨠¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¯à¨¨¬ ¥â ¡®«¥¥ ᨬ¬¥âà¨çë© ¢¨¤. Ǒਠν > 0 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ «¨¥©® § ¢¨á¨â ®â ν ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå. Ǒਠν < 0 ç¨á«® ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®áâ¨ à ¢® −ν . ¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ¯à¨ ν = 0 ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬ ¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬. ®á®¢ ¨¨ ¨§«®¥®£® à¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ ᢮¤¨âáï ¢ ®á®¢®¬ ª ¤¢ã¬ á«¥¤ãî騬 ®¯¥à æ¨ï¬:
1◦ .
Ǒ।áâ ¢«¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨, § ¤ ®© ª®âãà¥, ¢ ¢¨¤¥ à §®á⨠ªà ¥¢ëå § 票© äãªæ¨©, «¨â¨ç¥áª¨å ¢ ®¡« áâïå + ¨ − (§ ¤ ç ® ᪠窥).
2◦ .
Ǒ।áâ ¢«¥¨¥ ¥¨á祧 î饩 äãªæ¨¨ ¢ ¢¨¤¥ ®â®è¥¨ï ªà ¥¢ëå § 票© «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨© (ä ªâ®à¨§ æ¨ï). Ǒਠí⮬ ¢â®à ï ®¯¥à æ¨ï ¬®¥â ¡ëâì ᢥ¤¥ ª ¯¥à¢®© ¯ã⥬ «®£ à¨ä¬¨à®¢ ¨ï. ¥ª®â®àë¥ ®á«®¥¨ï ¯à¨ ¥ã«¥¢®¬ ¨¤¥ªá¥ ¢®á¨â ⮫쪮 ¥®¤®§ ç®áâì «®£ à¨ä¬ . Ǒ¥à¢ ï ®¯¥à æ¨ï ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ à ¢®á¨«ì ¢ëç¨á«¥¨î ¨â¥£à « ⨯ ®è¨. á¢ï§¨ á í⨬ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¯® ä®à¬ã« ¬ (17), (23){(25) ¢ëà ¥âáï  (¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥) ç¥à¥§ ¨â¥£à «ë ⨯ ®è¨. 6.3-7. ¤ ç ¨¬ á à 樮 «ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨
áᬮâਬ ªà ¥¢ãî § ¤ çã ¨¬ á ª®âã஬, á®áâ®ï騬 ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¯à®áâëå ªà¨¢ëå, ª®íää¨æ¨¥â D(t) ª®â®à®© ¥áâì à 樮 «ì ï äãªæ¨ï, ¥ ¨¬¥îé ï ã«¥© ¨ ¯®«îᮢ ª®âãà¥. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à®¨§¢®«ì ï ¥¯à¥àë¢ ï ( ⥬ ¡®«¥¥ 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ) äãªæ¨ï ¬®¥â ¡ëâì á «î¡®© â®ç®áâìî ¯à¨¡«¨¥ à 樮 «ì묨 ¨ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ á à 樮 «ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¬®¥â áâ âì ®á®¢®© ¥¥ ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥. Ǒ।¯®«®¨¬, çâ® § ¤ ç ¨¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤
+ (t) = p(t) − (t) + H (t), q (t)
(30)
âà ¨æ 201
202
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
£¤¥ ¬®£®ç«¥ë p(z ) ¨ q (z ) ¬®® à §«®¨âì ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥
p(z ) = p+ (z )p− (z ),
q (z ) = q+ (z )q− (z ),
(31)
¯à¨ç¥¬ p+ (z ), q+ (z ) | ¬®£®ç«¥ë, ª®à¨ ª®â®àëå «¥ â ¢ + , p− (z ), q− (z ) | ¬®£®ç«¥ë á ª®àﬨ ¢ − . § ᢮©á⢠4◦ ¨¤¥ªá (¯. 6.3-3) «¥£ª® ¯®«ãç¨âì, çâ® ν = m+ − n+ , £¤¥ m+ ¨ n+ | ç¨á« ã«¥© ¬®£®ç«¥®¢ p+ (z ) ¨ q+ (z ). ¢¨¤ã ⮣®, çâ® ª®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¥áâì äãªæ¨ï, «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ ï ¢ ®¡« á⨠± , §¤¥áì 楫¥á®®¡à §® ¥ ¯®«ì§®¢ âìáï ®¡é¨¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ à¥è¥¨ï, ¯®«ãç¨âì ¯®á«¥¤¥¥ ¥¯®á।á⢥®, ¯®«ì§ãïáì «¨â¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«¥¨¥¬, ¯à¨ç¥¬ ஫ì áâ ¤ à⮩ äãªæ¨¨ ⨯ tν , ¨á¯®«ì§ã¥¬®© ¤«ï ᢥ¤¥¨ï ¨¤¥ªá ª ã«¥¢®¬ã, ᯮᮡ® ¨£à âì ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ «î¡ë¥ â®çª¨ ®¡« áâ¨
ν Q
j =1
(t−aj ), £¤¥ a1 , a2 ,. . . , aν |
+ . Ǒ।áâ ¢«ïï ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ¢¨¤¥
q− (t)
p− (t)
+ (t) −
p+ (t) q+ (t)
− (t) =
q− (t)
p− (t)
H (t),
£¤¥ ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ëà ¥¨ï¬¨
X + (z ) =
p− (z ) q− (z )
,
X − (z ) =
q+ (z )
p+ (z )
(32)
,
®á®¢ ¨¨ â¥å ¥ á®®¡à ¥¨©, çâ® ¨ ¢ ¯. 6.3-6, ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ¢ ä®à¬¥
+ (z ) = £¤¥
p − (z ) q− (z )
[ (z ) + Pν−1 (z )℄, − (z ) =
(z ) = 1
2πi
Z
L
q− (τ ) H (τ ) dτ , τ −z
p− (τ )
q+ (z )
p+ (z )
[ (z ) + Pν−1 (z )℄,
− (∞) = 0.
᫨ ¨¤¥ªá ®âà¨æ ⥫ìë©, â® ã® ¯®«®¨âì Pν−1 (z ) ≡ ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®áâ¨
Z
q− (τ )
L
p− (τ )
H (τ )τ k−1 dτ
= 0,
k
(33)
= 1, 2, . . . , −ν,
0
¨ ¤®¡ ¢¨âì (34)
ª®â®àë¥ á®£« áãîâáï á ®¡é¥© ä®à¬ã«®© (29) á ãç¥â®¬ ⮣®, çâ® ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ (32). ¬¥â¨¬, çâ® ¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯à¨ ¯à ªâ¨ç¥áª®¬ à¥è¥¨¨ § ¤ ç¨ ¨¬ ¡ë¢ ¥â 㤮¡® ª®íää¨æ¨¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ¢ ¢¨¤¥
D(t) =
p+ (t)p− (t) q+ (t)q− (t)
D1 (t),
£¤¥ D1 (t) | äãªæ¨ï á ã«¥¢ë¬ ¨¤¥ªá®¬, ¬®£®ç«¥ë p± (t) ¨ q± (t) ¯®¤¡¨à îâáï, ¨áå®¤ï ¨§ ¢¨¤ ª®íää¨æ¨¥â . Ǒਠ㤠箬 ¯®¤¡®à¥ â ª¨å ¬®£®ç«¥®¢ à¥è¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ¨¡®«¥¥ ¯à®áâë¬ ¯ã⥬. Ǒਬ¥à.
áᬮâਬ § ¤ çã ¨¬
t t3 − t2 + 1 − (t) + + (t) = 2 t −1 t3 − t − ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® (∞) = 0 ¨ L | ¯à®¨§¢®«ìë© £« ¤ª¨© § ¬ªãâë© ª®âãà á«¥¤ãî饣®
¢¨¤ : 1◦ . ®âãà L ᮤ¥à¨â ¢ãâਠᥡï â®çªã z1 = 0 ¨ ¥ ᮤ¥à¨â â®ç¥ª z2 = 1, z3 = −1; 2◦ . ®âãà L ᮤ¥à¨â ¢ãâਠᥡï â®çª¨ z1 = 0, z2 = 1 ¨ ¥ ᮤ¥à¨â â®çª¨ z3 = −1;
âà ¨æ 202
203
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
®âãà L ᮤ¥à¨â ¢ãâਠᥡï â®çª¨ z1 = 0, z2 = 1, z3 = −1; ®âãà L ᮤ¥à¨â ¢ãâਠᥡï â®çª¨ z2 = 1, z3 = −1 ¨ ¥ ᮤ¥à¨â â®çª¨ z1 = 0. áᬮâਬ á«ãç ¨ 1◦ {4◦ ¯® ¯®à浪ã. «ï à¥è¥¨ï ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¬¥â®¤ ¨§ ¯. 6.3-7. ◦ 1 . í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì 3◦ . 4◦ .
p+ (t) q+ (t)
= t, = 1,
p− (t)
q− (t)
¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ¢¨¤¥ âáî¤
Z
1 2πi
(z ) =
L
= 1, = t2 − 1,
m+ n+
= 1, = 0,
ν
= m+ − n+ = 1.
(t2 − 1)+ (t) − t− (t) =
1 3 2 (t − t + 1)(t + 1).
q− (τ )
Z
dτ τ −z
H (τ )
p− (τ )
1 2πi
=
t
L
τ3 − τ + 1 dτ τ −z
+
¨, § ç¨â, ¢ ᨫã ä®à¬ã« ¤«ï ¨â¥£à « ®è¨ (á¬. ¯. 6.2-1) ¨¬¥¥¬ + (z ) = z 3 − z + 1, − (z ) = −
1 z
Z
1 2πi
L
1/τ dτ, τ −z
.
¡é¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ á®¤¥à¨â ®¤® ¯à®¨§¢®«ìãî ¯®áâ®ïãî. Ǒ® ä®à¬ã«¥ (33) 室¨¬ 1 z3 − z + 1 C (z 3 − z + 1 + C ) = + 2 , + (z ) = 2 z −1 z2 − 1 z −1 1 1 C 1 − (z ) = − +C =− 2 + , z
z
z
z
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. ¬¥ïï C C − 1, ¬®® à¥è¥¨î ¯à¨¤ âì ¥é¥ ¨ â ªãî ä®à¬ã: , − (z ) = − + (z ) = z + 2 z −1 C
2◦ .
¬¥¥¬
p+ (t)
(z ) =
= t,
1 2πi
p− (t)
Z
L
q+ (t)
= 1,
= t − 1,
+ (z ) =
¬¥¥¬
p+ (t)
(z ) =
p− (z ) q− (z )
+ (z ) =
q (z ) − (z ) = + − (z ) = p+ (z )
= t,
p− (t)
1 2πi
= t + 1,
C . z
+
m+
= n+ = 1,
t (t + 1)(t3 − t2 + 1) (t + 1)+ (t) − − (t) = , t−1 t(t − 1) 2 Z z + z, τ2 + τ (τ + 1)/[τ (τ − 1)℄ 1 z+1 dτ + dτ = , − τ −z 2πi L τ −z z (z − 1)
¤ ç ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥:
3◦ .
q− (t)
z+1 z2
Z
L
= 1,
q+ (t)
τ dτ τ −z
+
1
z+1
1 2πi
Z
q− (t)
= 1,
1/[τ (τ − 1)℄ L
= 0,
+ , z ∈ − .
z∈
(z 2 + z ) = z,
z−1 z+1 − z z (z − 1)
= t2 − 1,
ν
τ −z
dτ
=−
m+ = 1, z,
=−
z+1 . z2
n+
1
= 2,
z (z − 1)
= −1,
+ , z ∈ − . ν
z∈ ,
âà ¨æ 203
204
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®á⨠(34) ¨«¨, ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥, ®¤®£® ãá«®¢¨ï: Z q− (τ )
p − (τ )
L
ëç¨á«ïï íâ®â ¨â¥£à «, 室¨¬ Z
L
τ3 − τ2 + 1 dτ τ2 − τ
=
Z
τ dτ L
+
Z
H (τ ) dτ
= 0.
dτ − τ −1
L
Z
L
dτ τ
= 0 + 2πi − 2πi = 0.
á«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®áâ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ë¯®«ï¥âáï, ¨ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨ ¡ã¤¥â 4◦ .
í⮬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬
p+ (t)
= 1,
p− (t)
= t,
+ (z ) = z, − (z ) = − q+ (t)
= t2 − 1,
q− (t)
z+1 . z2
= 1,
ν
= m+ − n+ = −2 < 0.
«ï à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¥¨¥ ¤¢ãå ãá«®¢¨©: Z
q− (τ )
L
p− (τ )
H (τ )τ k−1 dτ
= 0,
ëç¨á«ïï ¯®á«¥¤¨© ¨â¥£à « ¯à¨ k = 1, 室¨¬ Z
L
τ3 − τ2 + 1 dτ τ (τ 2 − τ )
=
Z L
1−
1
τ
−
1
+ τ2
k
1
= 1, 2.
τ −1
dτ
= 2πi = 6 0.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠¥ ¢ë¯®«¥®, ¨ ¯®í⮬㠧 ¤ ç ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨ï. ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ä®à¬ «ì® ¢ëç¨á«¨âì äãªæ¨î (z), â® ® ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¯®«îá ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥ ¬®¥â ïâìáï à¥è¥¨¥¬ § ¤ ç¨. . 6.3-8. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
Ǒãáâì ª®âãà L ¥áâì ¤¥©á⢨⥫ì ï ®áì. ª ¨ à ¥¥, § ¤ ç ¨¬ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ®¡ë ©â¨ ¤¢¥ ®£à ¨ç¥ë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå äãªæ¨¨ + (z ), − (z ) (ªãá®ç® «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î (z )), ¯à¥¤¥«ìë¥ § ç¥¨ï ª®â®àëå ª®âãॠ㤮¢«¥â¢®àïîâ ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î
+ (x) = D(x)− (x) + H (x), −∞ < x < ∞. äãªæ¨¨ D(x) ¨ H (x) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à
(35)
¤ ë¥ ª ª ¢ ª®¥çëå â®çª å, â ª ¨ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ ª®âãà . ç¨â ¥¬ â ª¥, çâ® D(x) 6= 0. « ¢®¥ ®â«¨ç¨¥ ®â à áᬮâ८£® à ¥¥ á«ãç ï ª®¥ç®© ªà¨¢®© á®á⮨⠢ ⮬, çâ® §¤¥áì ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï â®çª ¨ ç «® ª®®à¤¨ â «¥ â á ¬®¬ ª®âãॠ¨ ¯®â®¬ã ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¨ïâë ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª«îç¨â¥«ì®© â®çª¨, £¤¥ ¤«ï ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ¤®¯ãá⨬ ¥ã«¥¢®© ¯®à冷ª. ¬¥á⮠㯮âॡ«ï¢è¥©áï ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 äãªæ¨¨ t, ¨¬¥î饩 ¯® L ¨¤¥ªá, à ¢ë© ¥¤¨¨æ¥, §¤¥áì ¡ã¤¥â ¢¢¥¤¥ ®¡« ¤ îé ï ⥬ ¥ ᢮©á⢮¬ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ¤à®¡®«¨¥© ï äãªæ¨ï x−i . x+i à£ã¬¥â í⮩ äãªæ¨¨
arg
x−i x+i
2 = arg (x2− i) = 2 arg(x − i) x
+i
âà ¨æ 204
205
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
¨§¬¥ï¥âáï 2π , ª®£¤ x ¯à®¡¥£ ¥â ¤¥©á⢨⥫ìãî ®áì ¢ ¯®«®¨â¥«ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, Ind x − i = 1. x+i
᫨ Ind D(x) = ν , â® äãªæ¨ï
x−i x+i
−ν
D(x)
¨¬¥¥â ¨¤¥ªá, à ¢ë© ã«î.
¥ «®£ à¨ä¬ ¡ã¤¥â ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ äãªæ¨¥© ®¤®§ 箩. Ǒ®áâந¬ ª ®¨ç¥áªãî äãªæ¨î, ¤«ï ª®â®à®© ¨áª«îç¨â¥«ì®© â®çª®© ¡ã¤¥â â®çª −i: −ν − + z−i eG (z ) , X + (z ) = eG (z ) , X − (z ) = (36) z+i £¤¥ −ν Z ∞ 1 τ −i dτ G(z ) = ln . D(τ ) 2πi −∞ τ +i τ −z Ǒ®«ì§ãïáì ¯à¥¤¥«ì묨 § 票ﬨ í⮩ äãªæ¨¨, ¯à¥®¡à §ã¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (35) ª ¢¨¤ã − + (x) = −(x) + H+(x) . X + (x) X (x ) X (x ) «¥¥, ¢¢®¤ï «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î
(z ) = 1
2πi
¯à¥¤áâ ¢¨¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ä®à¬¥
Z
∞ −∞
dτ H (τ ) , X + (τ ) τ − z
(37)
+ (x) − (x) − + (x ) = − − − (x). + X (x) X (x)
¬¥â¨¬, çâ®, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â á«ãç ï ª®¥ç®£® ª®âãà , §¤¥áì, ¢®®¡é¥ £®¢®àï,
− (∞) 6= 0. Ǒਬ¥ïï ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ®
¥¤¨á⢥®© ®á®¡¥®áâìî à áᬠâਢ ¥¬®© äãªæ¨¨ ¬®¥â ¡ëâì «¨èì ¯®«îá ¢ â®çª¥ z = −i ¯®à浪 ¥ ¢ëè¥ ν (¯à¨ ν > 0), ®á®¢ ¨¨ ®¡®¡é¥®© â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï (á¬. ¯. 6.3-1) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
+ (z ) − + (z ) X + (z )
− = −(z )
X
(z )
− − (z ) =
Pν (z ) , ν > 0, (z + i)ν
£¤¥ Pν (z ) | ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ ν á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨
(z ) = X (z ) (z ) +
Pν (z ) (z + i)ν
(z ) = X (z )[ (z ) + C ℄
¯à¨
ν > 0,
(38)
¯à¨
ν < 0,
(39)
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. Ǒਠν < 0 äãªæ¨ï X (z ) ¨¬¥¥â ¢ â®çª¥ z = −i ¯®«îá ¯®à浪 −ν , ¯®í⮬㠤«ï à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ ã® ¯®«®¨âì C = − − (−i). Ǒਠν < −1, ªà®¬¥ ⮣®, ¤®«ë ¢ë¯®«ïâìáï ¥é¥ á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï: Z ∞ H (x) dx = 0, k = 2, 3, . . . , −ν. (40) + ( X x ) ( x + i)k −∞
âà ¨æ 205
206
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç¥ë १ã«ìâ âë, «®£¨çë¥ â¥¬, ª®â®àë¥ ¨¬¥«¨ ¬¥áâ® ¢ á«ãç ¥ ª®¥ç®£® ª®âãà . ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¨ ν > 0 ®¤®à®¤ ï ¨ ¥®¤®à®¤ ï ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ ¨¬ ¤«ï ¯®«ã¯«®áª®á⨠¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬ë ¨ à¥è¥¨¥ ¨å § ¢¨á¨â «¨¥©® ®â ν + 1 ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå. Ǒਠν < 0 ®¤®à®¤ ï § ¤ ç ¥à §à¥è¨¬ . ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç ¯à¨ ν < 0 à §à¥è¨¬ ®¤®§ ç®, ¯à¨ç¥¬ ¢ á«ãç ¥ ν = −1 ¡¥§ãá«®¢®, ¯à¨ ν < −1 «¨èì ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ −ν − 1 ãá«®¢¨© (40). áâ ®¢¨¬áï á«ãç ¥ ¨á祧 îé¨å ¡¥áª®¥ç®á⨠à¥è¥¨© (á¬. â ª¥ ¯. 4.3-4). Ǒ®¤áâ ¢«ïï + (∞) = − (∞) = 0 ¢ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥, ¯®«ã稬 H (∞) = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, çâ®¡ë § ¤ ç ¨¬ ¨¬¥« à¥è¥¨¥, ¨á祧 î饥 ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ᢮¡®¤ë© ç«¥ ªà ¥¢®£® ãá«®¢¨ï ¤®«¥ ¡¥áª®¥ç®á⨠®¡à é âìáï ¢ ã«ì. 㤥¬ áç¨â âì íâ® ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«¥ë¬. «ï ¯®«ã票ï à¥è¥¨ï ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ á«¥¤ã¥â ¢ (38) ¢¬¥áâ® Pν (z ) ¢§ïâì Pν−1 (z ), ¢ (39) ¯®áâ®ïãî C ¯à¨à ¢ïâì ã«î. ª¨¬ ®¡à §®¬,
(z ) = X (z ) (z ) +
Pν−1 (z )
(z + i)ν
.
(41)
Ǒਠν 6 0 ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ ã® ¯®«®¨âì Pν−1 (z ) ≡ 0. ãá«®¢¨ï¬ à §à¥è¨¬®á⨠(40) ¤®¡ ¢¨âáï ¥é¥ ®¤®: (−i) = 0, ¨ ¢ १ã«ìâ ⥠®¨ ¯à¨¬ãâ ¢¨¤
Z
∞
−∞
H (x) X + (x )
dx
(x + i)k
= 0,
k
= 1, 2, . . . , −ν.
(42)
¥¯¥àì ¯à¨ ν > 0 ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì à¥è¥¨¥, § ¢¨áï饥 ®â ν ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå, ¯à¨ ν 6 0 à¥è¥¨¥ ¥¤¨á⢥®, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ν < 0 ¤«ï ¥£® áãé¥á⢮¢ ¨ï ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë¯®«¥¨ï −ν ãá«®¢¨©. 6.3-9. ᪫îç¨â¥«ìë¥ á«ãç ¨ § ¤ ç¨ ¨¬
¯®áâ ®¢ª¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ âॡ®¢ «®áì, çâ®¡ë ª®íää¨æ¨¥â D(t) 㤮¢«¥â¢®àï« ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (çâ® ¨áª«îç «® ¢®§¬®®áâì ®¡à é¥¨ï ¥£® ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì) ¨ ¨£¤¥ ¥ ®¡à é «áï ¢ ã«ì. £à ¨ç¥¨ï íâ¨, ª ª ¡ë«® ¢¨¤® ¨§ 室 à¥è¥¨ï (¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ln D(t)), áãé¥á⢥ë. Ǒãáâì ⥯¥àì D(t) ¢ ®â¤¥«ìëå â®çª å ª®âãà ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®áâì 楫ëå ¯®à浪®¢. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ª®âãà L á®á⮨⠨§ ®¤®© § ¬ªã⮩ ªà¨¢®©. áᬮâਬ ®¤®à®¤ãî § ¤ çã. ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¢ ¢¨¤¥ Qµ mk + (t) = Qkκ=1 (t − αk ) pj D1 (t)− (t). (43) ( t − β ) j j =1
¤¥áì αk (k = 1, 2, . . . , µ) ¨ βj (j = 1, 2, . . . , κ ) | ¥ª®â®àë¥ â®çª¨ ª®âãà , mk ¨ pj | æ¥«ë¥ ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« , D1 (t) | äãªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ¨ ¥ ®¡à é îé ïáï ¢ ã«ì. ®çª¨ αk ¡ã¤ãâ ã«ï¬¨ äãªæ¨¨ D(t). ®çª¨ βj ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¥¥ ¯®«îá ¬¨. ª ª ª äãªæ¨ï D(t) ¥ «¨â¨ç¥áª ï, â® ¯à¨¬¥¥¨¥ â¥à¬¨ 󯮫îá ¥ ¢¯®«¥ § ª®®. 㤥¬ 㯮âॡ«ïâì íâ®â â¥à¬¨ ¤«ï ªà ⪮áâ¨, ¯®¨¬ ï ¯®¤ í⨬ â®çªã, £¤¥ äãªæ¨ï (¥ «¨â¨ç¥áª ï) ®¡à é ¥âáï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì 楫®£® ¯®à浪 . ¡®§ 稬
Ind D1 (t) = ν,
κ X j =1
pj
= p,
µ X
k=1
mk
= m.
¥è¥¨¥ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ®£à ¨ç¥ëå ª®âãà¥.
âà ¨æ 206
207
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
Ǒãáâì X (z ) ¥áâì ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï § ¤ ç¨ ¨¬ á ª®íää¨æ¨¥â®¬ D1 (t). Ǒ®¤áâ ¢¨¬ D1 (t) = X + (t)/X − (t) ¢ (43) ¨ § ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ¢¨¤¥ − + (t) Q = − Qκ (t) (44) pj . mk X + (t) µ t − α ) X ( t ) ( k j =1 (t − βj ) k=1
Ǒਬ¥¨¬ ª ¯®á«¥¤¥¬ã à ¢¥áâ¢ã ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï (á¬. ¯. 6.3-1). ®çª¨ αk , βj ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®á®¡ë¬¨ â®çª ¬¨ ¥¤¨®© «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¨, â ª ª ª íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨«® ¡ë ¯à¥¤¯®«®¥¨î ®¡ ®£à ¨ç¥®á⨠+ (t) ¨«¨ − (t). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥¤¨á⢥®© ¢®§¬®®© ®á®¡¥®áâìî ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï â®çª . Ǒ®à冷ª ¡¥áª®¥ç®á⨠X − (z ) ¥áâì ν , ¯®à冷ª
¡¥áª®¥ç®á⨠äãªæ¨¨
− (z )/
κ Q
j =1
X − (z )
(z − βj )pj
κ Q
j =1
(z − βj )pj
ᮣ« á® ®¡®¡é¥®© ⥮६¥ ¨ã¢¨««ï, ¨¬¥¥¬
X + (z ) Ǒ®í⮬ã
+ (z ) = X + (z )
+ (z ) = mk k=1 (z − αk )
Qµ µ Y
k=1
à ¢¥ −p. âáî¤ ¯®à冷ª
X − (z )
¥áâì −ν + p. Ǒਠν − p > 0,
− (z ) pj = Pν−p (z ). j =1 (z − βj )
Qκ
(z − αk )mk Pν−p (z ), − (z ) = X − (z )
κ Y
j =1
(z − βj )pj Pν−p (z ).
(45)
᫨ ν − p < 0, â® ã® ¯®«®¨âì Pν−p (z ) ≡ 0 ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, § ¤ ç ¥ ¨¬¥¥â à¥è¥¨©. §®¢¥¬ ªà ¥¢ãî § ¤ çã á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ D1 (t) ¯à¨¢¥¤¥®© § ¤ 祩. ¤¥ªá ¯à¨¢¥¤¥®© § ¤ ç¨ ν §®¢¥¬ ¢¬¥á⥠á ⥬ ¨ ¨¤¥ªá®¬ ¨á室®© § ¤ ç¨. ®à¬ã«ë (45) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® á⥯¥ì ¯à¨áãâáâ¢ãî饣® ¢ ¨å ¬®£®ç«¥ p ¥¤¨¨æ ¬¥ìè¥ ¨¤¥ªá § ¤ ç¨ ν . âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ç¨á«® à¥è¥¨© § ¤ ç¨ (43) ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ®£à ¨ç¥ëå ª®âãà¥, ¥ ¨§¬¥ï¥âáï ®â «¨ç¨ï ã«¥© ã ª®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¨ 㬥ìè ¥âáï á㬬 àë© ¯®à冷ª ¢á¥å ¯®«îᮢ. ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ¨¤¥ªá ®ª §ë¢ ¥âáï ¬¥ìè¥ á㬬 ண® ¯®à浪 ¯®«îᮢ, â® § ¤ ç ¥à §à¥è¨¬ .
᫨ § ¤ ç à §à¥è¨¬ , â® ¥¥ à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ (45), ¢ ª®â®àëå ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¯à¨¢¥¤¥®© § ¤ ç¨ X (z ) 室¨âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (16) ¨ (17), ¯à¨ç¥¬ ¢ ¨å D(t) ã® § ¬¥¨âì D1 (t).
᫨ «®¥® ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ − (∞) = 0, â® ç¨á«® à¥è¥¨© 㬥ìè ¥âáï ¥¤¨¨æã ¨ ¬®£®ç«¥ ¢ (45) ã® ¢§ïâì á⥯¥¨ ν − p − 1. áè¨à¨¬ ⥯¥àì ª« áá à¥è¥¨©, ¤®¯ã᪠ï, çâ® ®¤ ¨§ ¨áª®¬ëå äãªæ¨© + (z ) ¨«¨ − (z ) ¬®¥â ®¡à é âìáï ª®âãॠ¢ ¥ª®â®àëå â®çª å ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì 楫®£® ¯®à浪 , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤àã£ ï ¢ íâ¨å â®çª å ®áâ ¥âáï ®£à ¨ç¥®©. ¥£ª® ãᬮâà¥âì, çâ® â ª®¥ ¤®¯ã饨¥ ¥ ¯®¢«¥ç¥â ¨ª ª¨å ¨§¬¥¥¨© ¢ ¥¨áª«îç¨â¥«ìëå â®çª å. ¤¥áì ®£à ¨ç¥®áâì ®¤®© ¨§ äãªæ¨© ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¢«¥ç¥â § ᮡ®© ®£à ¨ç¥®áâì ¤à㣮©. ç¥ ®¡á⮨⠤¥«® ¢ ¨áª«îç¨â¥«ìëå â®çª å. ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (43) ¢ ¢¨¤¥ Qκ Qµ pj + mk − (t) j =1 (t − βj ) (t) k=1 (t − αk ) = . (46) X + (t) X − (t) ááã¤ ï «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬㠨 ãç¨âë¢ ï, çâ® ¯à ¢ ï ç áâì ¨¬¥¥â
âà ¨æ 207
208
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
¡¥áª®¥ç®á⨠¯®«îá ¯®à浪 ν
+ (z )= X + (z )
µ Y
k=1
+ m, ¯®«ã稬 ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥
(z−αk )−mk Pν +m (z ), − (z )= X − (z )
κ Y
j =1
(z−βj )−pj Pν +m (z ).
(47) ®à¬ã«ë (47) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¢ ª« áᥠà¥è¥¨© á ¤®¯ãá⨬®© ¯®«ïன ®á®¡¥®áâìî ã ®¤®© ¨§ äãªæ¨© ç¨á«® à¥è¥¨© ¯® áà ¢¥¨î á ª« áᮬ ®£à ¨ç¥ëå ª®âãॠäãªæ¨© 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï (¯à¨ ν > 0) á㬬 àë© ¯®à冷ª ¢á¥å ã«¥© ¨ ¯®«îᮢ ª®íää¨æ¨¥â . áᬮâਬ ⥯¥àì ¥®¤®à®¤ãî § ¤ çã. ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ ä®à¬¥ Qµ mk (48) + (t) = Qkκ=1 (t − αk ) pj D1 (t)− (t) + H (t). t − β ) ( j j =1
¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¥ ¬®¥â ¡ëâì 㤮¢«¥â¢®à¥® ª®¥ç묨 + (t) ¨ − (t), ¥á«¨ ¤®¯ãáâ¨âì, çâ® H (t) ¨¬¥¥â ¯®«îáë ¢ â®çª å, ®â«¨çëå ®â βj , ¨«¨ ¥á«¨ ¢ ¯®á«¥¤¨å â®çª å ¯®à浪¨ ¯®«îᮢ H (t) ¯à¥¢ëè îâ pj . áå®¤ï ¨§ í⮣®, ¯à¨¬¥¬ ª ª ãá«®¢¨¥, çâ® H (t) ¬®¥â ¨¬¥âì ¯®«îáë ⮫쪮 ¢ â®çª å βj ¨ ¯®à浪¨ ¨å ¥ ¯à¥¢ëè îâ pj . «ï ¯à®¢¥¤¥¨ï ¤ «ì¥©è¨å à áá㤥¨© ¥®¡å®¤¨¬® â ª¥ ¯®âॡ®¢ âì, ç⮡ë äãªæ¨¨ D1 (t) ¨
κ Q
j =1
(t − βj )pj H (t) ¢ ¨áª«îç¨â¥«ìëå â®çª å
¡ë«¨ ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë ¤®áâ â®ç®¥ ç¨á«® à §. ¬¥¨¬, ª ª ¨ ¢ ®¤®à®¤®© § ¤ ç¥, D1 (t) ®â®è¥¨¥¬ ª ®¨ç¥áª¨å äãªæ¨© X + (t)/X − (t) ¨ § ¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (48) ¢ ¢¨¤¥ κ Y
j =1
κ Y Y + − (t − βj )pj +(t) = (t − αk )mk −(t) + (t − βj )pj µ
X
(t)
X
k=1
(t)
j =1
H (t) . X + (t)
(49)
¬¥¨¢ äãªæ¨î, ¯à¥¤áâ ¢«¥ãî ¢â®àë¬ á« £ ¥¬ë¬ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(49), à §®áâìî ªà ¥¢ëå § 票© «¨â¨ç¥áª¨å äãªæ¨© κ Y
j =1
£¤¥
(t − βj )pj
(z ) = 1
2πi
H (t) X + (t)
Z Y κ
L j =1
= + (t) − − (t),
(τ − βj )pj
¯à¨¢¥¤¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ª ¢¨¤ã κ Y
j =1
+ (t − βj )pj +(t) X
(t)
− + (t) =
µ Y
k=1
H (τ ) dτ , X + (τ ) τ − z
− (t − αk )mk −(t)
X
(t)
(50)
− − (t).
Ǒਬ¥ïï ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï, ¯®«ã稬
+ (z ) = − (z ) =
X + (z ) pj j =1 (z − βj )
Qκ
[ + (z ) + Pν +m (z )℄,
X − (z ) mk k=1 (z − αk )
Qµ
[ − (z ) + Pν +m (z )℄.
(51)
Ǒ®á«¥¤¨¥ ä®à¬ã«ë ¤ îâ à¥è¥¨ï, ª®â®àë¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ®¡à é îâáï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì ¢ â®çª å αk , βk . «ï ⮣® ç⮡ë à¥è¥¨¥ ¡ë«® ®£à ¨ç¥ë¬, ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë äãªæ¨ï + (z ) + Pν +m (z ) ¨¬¥« 㫨 ¯®à浪®¢ pj ¢ â®çª å βj ,
âà ¨æ 208
209
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
äãªæ¨ï − (z ) + Pν +m (z ) | 㫨 ¯®à浪®¢ mk ¢ â®çª å αk . ⨠âॡ®¢ ¨ï ª« ¤ë¢ îâ m + p ãá«®¢¨© ª®íää¨æ¨¥âë ¬®£®ç«¥ Pν +m (z ).
᫨ ª®íää¨æ¨¥âë ¬®£®ç«¥ Pν +m (z ) ¯®¤®¡à âì ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á «®¥ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨, â® ä®à¬ã«ë (51) ¤ ¤ãâ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ (48) ¢ ª« áᥠ®£à ¨ç¥ëå äãªæ¨©. áᬮâਬ ¤à㣮©, ¡®«¥¥ 㤮¡ë© ᯮᮡ à¥è¥¨ï, ®á®¢ ë© ¯®áâ஥¨¨ á¯¥æ¨ «ì®£® ç á⮣® à¥è¥¨ï. ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ Y (z ) §ë¢ ¥âáï ªãá®ç® «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î (48), ¨¬¥îé ï ¢áî¤ã ¢ ª®¥ç®© ç á⨠¯«®áª®á⨠(¢ª«îç ï ¨ â®çª¨ αk , βj ) ã«¥¢®© ¯®à冷ª ¨ ®¡« ¤ îé ï ¡¥áª®¥ç®á⨠¨¨§è¨¬ ¢®§¬®ë¬ ¯®à浪®¬. Ǒਠ¯®áâ஥¨¨ ª ®¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ¡ã¤¥¬ ¨á室¨âì ¨§ à¥è¥¨ï, ¤ ¢ ¥¬®£® ä®à¬ã« ¬¨ (51). Ǒ®áâந¬ ¬®£®ç«¥ Un (z ) â ª, çâ®¡ë ® 㤮¢«¥â¢®àï« á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬:
Un(i) (βj ) = +(i) (βj ), U (l) (α ) = −(l) (α ), n
k
k
i = 0, 1, . . . , pj − 1, l = 0, 1, . . . , mk − 1,
j = 1, 2, . . . , κ, k = 1, 2, . . . , µ,
£¤¥ +(i) (βj ), −(l) (αk ) | § ç¥¨ï ¯à®¨§¢®¤ëå i-£® ¨ l-£® ¯®à浪®¢ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å â®çª å. ª¨¬ ®¡à §®¬, Un (z ) ¥áâì ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ ନ⠤«ï äãªæ¨¨ + (z ) ¢ â®çª å βj , (z ) = − (z ) ¢ â®çª å αk
á 㧫 ¬¨ ¨â¥à¯®«ï樨 βj ¨ αk ªà â®á⥩ ᮮ⢥âá⢥® pj ¨ mk (á¬. ¯. 6.3-2). ª®© ¬®£®ç«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¨ ¥£® á⥯¥ì n ¥ ¢ëè¥ m + p − 1. ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¬®£®ç«¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
+ (z ) − Un (z ) Y + (z ) = X + (z ) Q κ pj , j =1 (z − βj )
− (z ) − U (z )
n . Y − (z ) = X − (z ) Q µ mk k=1 (z − αk )
(52)
«ï ¯®áâ஥¨ï ®¡é¥£® à¥è¥¨ï ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ (48) ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, çâ® íâ® ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¨§ ¥ª®â®à®£® ç á⮣® à¥è¥¨ï ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨ ¨ ®¡é¥£® à¥è¥¨ï ®¤®à®¤®©. ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ë (47) ¨ (52), ¯®«ã稬
+ (z ) = Y + (z ) + X + (z ) (z ) = Y (z ) + X (z ) −
−
−
µ Y
k=1 κ Y j =1
(z − αk )mk Pν−p (z ),
(z − βj )
pj
(53)
Pν−p (z ).
á«ãç ¥, ¥á«¨ ν − p < 0, ã® ¯®«®¨âì Pν−p (z ) ≡ 0. Ǒ®«ì§ãïáì ä®à¬ã«®© (52), ¥âà㤮 ¯®¤áç¨â âì, çâ® ¯®à冷ª Y − (z ) ¡¥áª®¥ç®áâ¨ à ¢¥ ν − p + 1.
᫨ ν < p − 1, â® Y − (z ) ¨¬¥¥â ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥ ¯®«îá ¨ ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¯¥à¥á⠥⠡ëâì à¥è¥¨¥¬ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨. ¤ ª®, ¯®¤ç¨ïï ᢮¡®¤ë© ç«¥ H (t) p − ν − 1 ãá«®¢¨ï¬, ¬®® ¤®¡¨âìáï ¯®¢ëè¥¨ï ¯®à浪 ¡¥áª®¥ç®á⨠äãªæ¨¨ Y (z ) p − ν − 1 ¥¤¨¨æ ¨ ⥬ á ¬ë¬ ¢®¢ì ᤥ« âì ª ®¨ç¥áªãî äãªæ¨î Y (z ) à¥è¥¨¥¬ ¥®¤®à®¤®© § ¤ ç¨. «ï í⮣®, ®ç¥¢¨¤®, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¢ à §«®¥¨¨ äãªæ¨¨ (z ) −Un (z ) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¨ ¯¥à¢ë¥ p−ν − 1 ª®íää¨æ¨¥â®¢ ®¡à é «¨áì ¢ ã«ì. â® ¨ ¤ áâ p − ν − 1 ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®á⨠14 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 209
210
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
§ ¤ ç¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥. ëïᨬ å à ªâ¥à íâ¨å ãá«®¢¨©. §«®¥¨¥ ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥
(z ) − Un (z )
(z )−Un (z )= −anz n −an−1 z n−1 −· · ·−a0 +a−1 z −1 +a−2 z −2 +· · ·+a−k z −k +· · · , £¤¥ a0 , a1 , . . . , an | ª®íää¨æ¨¥âë ¬®£®ç«¥ Un (z ), a−k | ª®íää¨æ¨¥âë à §«®¥¨ï äãªæ¨¨ (z ), ¢ëç¨á«ï¥¬ë¥ ¯® ä®à¬ã«¥ a−k
=− 1
2πi
Z Y κ
L j =1
k−1 (τ − βj )pj H (τ+)τ
X
(τ )
dτ.
á«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢¨¤
an
= an−1 = · · · = an−p+ν +2 = 0.
᫨ à¥è¥¨¥ «®¥® ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ãá«®¢¨¥ − (∞) = 0, â® ¯à¨ ν − p > 0 ¢ ä®à¬ã« å (53) ã® ¢§ïâì ¬®£®ç«¥ Pν−p−1 (z ), ¯à¨ ν − p < 0 ¯® ¤®¡¨âáï 㤮¢«¥â¢®à¨âì p − ν ãá«®¢¨ï¬. 6.3-10. ¤ ç ¨¬ ¤«ï ¬®£®á¢ï§®© ®¡« áâ¨
Ǒãáâì L = L0 + L1 + · · · + Lm | ᮢ®ªã¯®áâì m +1 ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ª®âã஢, ¯à¨ç¥¬ ª®âãà L0 ᮤ¥à¨â ¢ãâà¨ á¥¡ï ¢á¥ ®áâ «ìë¥. Ǒãáâì + | (m + 1)á¢ï§ ï ®¡« áâì, «¥ é ï ¢ãâਠª®âãà L0 ¨ ¢¥ ª®âã஢ L1 , L2 , . . . , Lm , − ¤®¯®«¥¨¥ + + L ¤® ¯®«®© ¯«®áª®áâ¨. «ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠¡ã¤¥¬ áç¨â âì ç «® ª®®à¤¨ â à ᯮ«®¥ë¬ ¢ ®¡« á⨠+ . Ǒ®«®¨â¥«ìë¬ ®¡å®¤®¬ ª®âãà L áç¨â ¥âáï â®â, ª®â®àë© ®áâ ¢«ï¥â ®¡« áâì + á«¥¢ , â. ¥. ª®âãà L0 ã® ®¡å®¤¨âì ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨, ª®âãàë L1 , L2 , . . . , Lm | ¯® ç ᮢ®©. Ǒ।¥ ¢á¥£® 㪠¥¬, çâ® § ¤ ç ® ᪠窥
+ (t) − − (t) = H (t)
à¥è ¥âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ ⮩ ¥ ä®à¬ã«ë
(z ) = 1
2πi
Z
L
H (τ ) dτ , τ −z
çâ® ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¤®á¢ï§®© ®¡« áâ¨. â® ¢ë⥪ ¥â ¨§ ä®à¬ã« ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¤«ï ¬®£®á¢ï§®© ®¡« á⨠â®â ¥ ¢¨¤, çâ® ¨ ¤«ï ®¤®á¢ï§®©. ¤ ç ¨¬ (®¤®à®¤ ï ¨ ¥®¤®à®¤ ï) ä®à¬ã«¨àã¥âáï ᮢ¥à襮 â ª ¥, ª ª ¤«ï ®¤®á¢ï§®© ®¡« áâ¨. ¡®§ 稬 νk = 21π [arg D(t)℄Lk (¢á¥ ª®âãàë ®¡å®¤ïâáï ¢ ¯®«®¨â¥«ì®¬ ¯à ¢«¥¨¨). ¤¥ªá®¬ § ¤ ç¨ §®¢¥¬ ¢¥«¨ç¨ã
ν
=
m X
k=0
(54)
νk .
᫨ νk (k = 1, 2, . . . , m) ¤«ï ¢ãâà¥¨å ª®âã஢ à ¢ë ã«î, â® à¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¨¬¥¥â ᮢ¥à襮 â®â ¥ ¢¨¤, çâ® ¨ ¤«ï ®¤®á¢ï§®© ®¡« áâ¨. «ï ¯à¨¢¥¤¥¨ï ®¡é¥£® á«ãç ï ª ¯à®á⥩襬㠢¢®¤¨¬ äãªæ¨î m Y
k=1
(t − zk )νk ,
£¤¥ zk | â®çª¨, «¥ 騥 ¢ãâਠª®âã஢ Lk (k = 1, 2, . . . , m). ç¨âë¢ ï, [arg(t − zk )℄Lj = 0, ¥á«¨ k = 6 j , ¨ [arg(t − zj )℄Lj = −2π , ¯®«ã稬
m
Y 1 arg (t − zk )νk 2π k=1
Lj
= 1 arg(t − zj )νj Lj = −νj ,
2π
j
çâ®
= 1, 2, . . . , m.
âà ¨æ 210
211
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
âªã¤
arg
D(t)
m Y
k=1
(t − zk )νk
= 0,
j
ëç¨á«¨¬ ¨§¬¥¥¨¥ à£ã¬¥â äãªæ¨¨ D(t)
m
Y 1 arg D(t) (t − zk )νk 2π k=1
0
=
2π
m X
2π k=1
1◦ .
arg
m Y
k=1
(t − zk )νk D(t)
¯® ª®âãàã L0 :
m X
k=1
ãªæ¨î t−ν
tν νk k=1 (t − zk )
Qm
m Q
k=1
= ν.
= 0.
(55)
L
+ (t) = D(t)− (t)
+ (t) =
νk
¯¨è¥¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥
¤®à®¤ ï § ¤ ç .
¢ ¢¨¤¥
(k
(t − zk )νk
[arg t℄L0 = 2π.
= 1, 2, . . . , m,
k
t−ν
k=1
[νk arg(t − zk )℄L0 = ν0 +
+ , â®
ª ª ª ç «® ª®®à¤¨ â «¥¨â ¢ ®¡« á⨠Ǒ®í⮬ã
m Q
L
= 1 arg D(t) L0 + 1
[arg t℄Lk = 0,
= 1, 2, . . . , m.
Lj
(t
t−ν
m Y
k=1
(56)
(t − zk )νk D(t) − (t).
(57)
− zk )νk D(t), ¨¬¥îéãî ª ¤®¬ ¨§ ª®âã஢ Lk
= 1, 2, . . . , m) ¨¤¥ªá ã«ì, ¬®® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ®â®è¥¨ï t−ν
£¤¥
G(z ) =
1 2πi
m Y
k=1
Z
L
(t − zk )νk D(t) =
ln
τ −ν
m Y
k=1
+ eG (t)
− eG (t)
(58)
,
(τ − zk )νk D(τ )
dτ . τ −z
(59)
®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï § ¤ ç¨ ¤ ¥âáï ä®à¬ã« ¬¨
X + (z ) =
m Y
k=1
+ (z)
(z − zk )−νk eG
,
− X − (z ) = z −ν eG (z ) .
(60)
¥¯¥àì ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ (57) ¬®¥â ¡ëâì § ¯¨á ® ¢ ä®à¬¥ − + (t) = −(t) . + X (t) X (t)
Ǒਬ¥ïï ⥮६㠮¡ «¨â¨ç¥áª®¬ ¯à®¤®«¥¨¨ ¨ ®¡®¡é¥ãî ⥮६㠨㢨««ï (¯. 6.3-1), ¯®«ã稬
+ (z ) =
m Y
k=1
+ (z)
(z − zk )−νk eG
Pν (z ),
− (z ) = z −ν eG
−
(z ) P (z ). ν
(61)
14*
âà ¨æ 211
212
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
¥è¥¨¥, ª ª ¢¨¤¨¬, ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯®«ã祮£® à ¥¥ à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¤«ï ®¤®á¢ï§®© ®¡« á⨠«¨èì «¨ç¨¥¬ ã äãªæ¨¨
+ (z ) ¬®¨â¥«ï
m Q
k=1
(z − zk )−νk .
Ǒਠ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ ãá«®¢¨¨ − (∞) = 0 ¢ ä®à¬ã« å (61) á«¥¤ã¥â ¡à âì ¬®£®ç«¥ Pν−1 (z ). ®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã« ¬¨ ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
G± (t) = ± 12
ln[t−ν (t)D(t)℄ + G(t),
£¤¥ G(t) ¥áâì £« ¢®¥ § 票¥ ¨â¥£à « (59) ¨
(t) =
m Y
k=1
(t − zk )νk .
Ǒ¥à¥å®¤ï ⥯¥àì ¢ ä®à¬ã« å (60) ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ z → t, ¯®«ã稬
X + (t) =
r
D (t) eG(t) , tν (t)
X − (t) = p
ª ª®àï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë¡®à®¬ ¢¥â¢¨ äãªæ¨¨ ¡ëâì ¢§ï⠯ந§¢®«ì®.
1
tν (t)D (t)
eG(t) .
(62)
ln[t−ν (t)D(t)℄, ª®â®à ï ¬®¥â
2◦ .
¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç . áá㤠ï ᮢ¥à襮 «®£¨ç® ⮬ã, ª ª íâ® ¤¥« «®áì à ¥¥, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥
+ (t) = D(t)− (t) + H (t)
¢ ¢¨¤¥
£¤¥
(63)
+ (t) − (t) − + (t) = − − − (t), + X (t) X (t)
(z ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«®©: (z ) = 1
2πi
âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¨«¨
Z
L
dτ H (τ ) . X + (τ ) τ − z
(z ) = X (z )[ (z ) + Pν (z )℄
(64)
(z ) = X (z )[ (z ) + Pν−1 (z )℄,
(65)
¥á«¨ à¥è¥¨¥ «®¥® ãá«®¢¨¥ − (∞) = 0. Ǒਠν < 0 ¥®¤®à®¤ ï § ¤ ç à §à¥è¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï Z H (t) k−1 dt = 0, (66) + t L X (t)
£¤¥ k ¯à¨¨¬ ¥â § ç¥¨ï ®â 1 ¤® −ν − 1, ¥á«¨ ¨éãâáï à¥è¥¨ï, ®£à ¨ç¥ë¥ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¨ ®â 1 ¤® −ν , ¥á«¨ áç¨â âì, çâ® − (∞) = 0. Ǒਠ¢ë¯®«¥¨¨ ãá«®¢¨© (66) à¥è¥¨¥ ¬®® ¯®«ãç¨âì ¨§ ä®à¬ã« (64) ¨«¨ (65), ¯®« £ ï ¢ ¨å Pν (z ) ≡ 0 ¨«¨ Pν−1 (z ) ≡ 0.
᫨ ®âáãâáâ¢ã¥â ¢¥è¨© ª®âãà L0 ¨ ®¡« áâì + ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯«®áª®áâì á ¤ëà ¬¨, â® £« ¢®¥ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯à¥¤ë¤ã饣® á«ãç ï á®á⮨⠢ ⮬, ç⮠⥯¥àì ã«¥¢®© ¨¤¥ªá ®â®á¨â¥«ì® ¢á¥å ª®âã஢ Lk (k = 1, 2, . . . , m) ¨¬¥¥â äãªæ¨ï
m Q
k=1
(t − zk )νk D(t), ¢ ª®â®àãî ¥ ¢å®¤¨â ¬®¨â¥«ì t−ν . Ǒ®í⮬ã
¤«ï ¯®«ã票ï à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ ¤®áâ â®ç® ¯®¢â®à¨âì ¢á¥ ¯à¥¨¥ à áá㤥¨ï, ®¯ãá⨢ íâ®â ¬®¨â¥«ì.
âà ¨æ 212
6.3. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
213
6.3-11. «ãç ¨ à §àë¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¨ à §®¬ªãâëå ª®âã஢
Ǒãáâì äãªæ¨¨ D(t), H (t) ¢ ªà ¥¢®¬ ãá«®¢¨¨ § ¤ ç¨ ¨¬ (63) ¢áî¤ã L 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , § ¨áª«î票¥¬ â®ç¥ª t1 , t2 , . . . , tm , £¤¥ ®¨ ¨¬¥îâ à §àë¢ë 1-£® த , ¯à¨ç¥¬ L | § ¬ªãâ ï ªà¨¢ ï. ¨ª ª®¥ ¨§ ¯à¥¤¥«ìëå § 票© ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¨ ªà ¥¢®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«ï¥âáï ¢áî¤ã, ªà®¬¥ â®ç¥ª à §àë¢ , £¤¥ ®® â¥àï¥â á¬ëá«. ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ à §ë᪨¢ ¥âáï ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, ¨â¥£à¨à㥬ëå ª®âãà¥. âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® à¥è¥¨¥ ¥¯à¥à뢮 ¢ á¬ëá«¥ ñ«ì¤¥à ¢áî¤ã, ªà®¬¥ à §¢¥ çâ® â®ç¥ª tk . íâ¨å â®çª å ¨¬¥îâáï à §ë¥ ¢®§¬®®áâ¨.
1◦ .
®® âॡ®¢ âì ®£à ¨ç¥®á⨠¢® ¢á¥å â®çª å à §àë¢ , ®âë᪨¢ ï à¥è¥¨¥ ¢áî¤ã ®£à ¨ç¥®¥.
2◦ .
®® âॡ®¢ âì, ç⮡ë à¥è¥¨¥ ¡ë«® ®£à ¨ç¥ë¬ ¢ ¥ª®â®àëå â®çª å à §àë¢ , ¤®¯ãáª ï ¨â¥£à¨à㥬ãî ¡¥áª®¥ç®áâì ¢ ®áâ «ìëå â®çª å à §àë¢ .
3◦ . ®® ¤®¯ãáâ¨âì ®¡à 饨¥ à¥è¥¨ï ¢ ¡¥áª®¥ç®áâì ¨â¥£à¨à㥬®£® ¯®à浪 ¢® ¢á¥å â®çª å, £¤¥ íâ® ¤®¯ã᪠¥âáï ãá«®¢¨ï¬¨ § ¤ ç¨. Ǒ¥à¢ë© ª« áá à¥è¥¨© ï¥âáï ¨¡®«¥¥ 㧪¨¬, ¢â®à®© ª« áá ï¥âáï ¡®«¥¥ è¨à®ª¨¬, ¨ á ¬ë¬ è¨à®ª¨¬ ï¥âáï ¯®á«¥¤¨© ª« áá. ¨á«® à¥è¥¨© § ¢¨á¨â ®â ⮣® ª« áá , ¢ ª ª®¬ ®® ®âë᪨¢ ¥âáï, ¨ ¬®¥â ®ª § âìáï, çâ® § ¤ ç , à §à¥è¨¬ ï ¢ ¡®«¥¥ è¨à®ª®¬ ª« áá¥, ¡ã¤¥â ¥à §à¥è¨¬®© ¢ ¡®«¥¥ 㧪®¬. ¥áª®«ìª® á«®¢ ® § ¤ ç¥ ¨¬ ¤«ï à §®¬ªãâëå ª®âã஢. Ǒãáâì ª®âãà L á®á⮨⠨§ ᮢ®ªã¯®á⨠m ¯à®áâëå £« ¤ª¨å ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ªà¨¢ëå L1 , L2 . . . , Lm , ª®æë ª®â®àëå ak ¨ bk (¯®«®¨â¥«ìë© ®¡å®¤ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ®â ak ª bk ), ¨ ¯ãáâì D(t), H (t) | § ¤ ë¥ L äãªæ¨¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¯à¨ç¥¬ ¢áî¤ã D(t) 6= 0. ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì äãªæ¨î (z ), «¨â¨ç¥áªãî ¢á¥© ¯«®áª®áâ¨, ªà®¬¥ â®ç¥ª ª®âãà L, £à ¨çë¥ § 票ï + (t), − (t) ª®â®à®© ¯à¨ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ª L á«¥¢ ¨ á¯à ¢ áãâì ¨â¥£à¨àã¥¬ë¥ äãªæ¨¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ªà ¥¢®¬ã ãá«®¢¨î (63). ¤ ç ¨¬ ¤«ï à §®¬ªã⮣® ª®âãà , ª ª ¢¨¤® ¨§ ¯®áâ ®¢ª¨, ¯à¨æ¨¯¨ «ì® ®â«¨ç ¥âáï ®â § ¤ ç¨ ¤«ï § ¬ªã⮣® ª®âãà ⥬, çâ® ¢áï ¯«®áª®áâì á à §à¥§®¬ ¯® ªà¨¢®© L á®áâ ¢«ï¥â ®¤ã ®¡« áâì ¨ ¯à¨å®¤¨âáï ®âë᪨¢ âì ¥ ¤¢¥ á ¬®áâ®ï⥫ìë¥ «¨â¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ + (z ) ¨ − (z ), ®¤ã «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î (z ), ¤«ï ª®â®à®© ª®âãà L ï¥âáï «¨¨¥© ᪠窮¢. ä®à¬ã«¨à®¢ ãî § ¤ çã ¬®® ᢥá⨠ª § ¤ ç¥ ¤«ï § ¬ªã⮣® ª®âãà á à §àë¢ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ®«¥¥ ¯®¤à®¡® ® ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¨¬ á à §àë¢ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨ à §®¬ªãâ묨 ª®âãà ¬¨ ¬®® ¯à®ç¨â âì ¢ æ¨â¨à㥬®© ¢ ª®æ¥ à §¤¥« «¨â¥à âãà¥. 6.3-12. à ¥¢ ï § ¤ ç ¨«ì¡¥àâ
Ǒãáâì ¤ ¯à®á⮩ £« ¤ª¨© § ¬ªãâë© ª®âãà L ¨ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ äãªæ¨¨ ¤ã£¨ s ª®âãà a(s ), b(s ), c(s ), 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . à ¥¢®© § ¤ 祩 ¨«ì¡¥à⠡㤥¬ §ë¢ âì á«¥¤ãîéãî § ¤ çã. ©â¨ «¨â¨ç¥áªãî ¢ ®¡« á⨠+ ¨ ¥¯à¥àë¢ãî ª®âãॠäãªæ¨î
f (z ) = u(x, y ) + iv (x, y ),
¯à¥¤¥«ìë¥ § ç¥¨ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ¨ ¬¨¬®© ç á⥩ ª®â®à®© 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª®âãॠ«¨¥©®¬ã á®®â®è¥¨î
a(s )u(s ) + b(s )v (s ) = c(s ).
(67)
âà ¨æ 213
214
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
Ǒਠc(s ) ≡ 0 ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ®¤®à®¤ãî § ¤ çã, ¯à¨ c(s ), ®â«¨ç®© ®â ã«ï, | à ¥¢ ï § ¤ ç ¨«ì¡¥àâ ¬®¥â ¡ëâì ᢥ¤¥ ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¨¬ . ¯®á®¡ë â ª®£® ᢥ¤¥¨ï ¬®® ©â¨ ¢ æ¨â¨à㥬®© ¨¥ «¨â¥à âãà¥. ¥®¤®à®¤ãî.
: . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客 (1977).
•
¨â¥à âãà
6.4. ¨£ã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த 6.4-1. Ǒà®á⥩襥 ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨
Ǒãáâì ¤ ® ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த
1 πi
Z
ϕ(τ ) dτ τ −t
L
= f (t),
(1)
£¤¥ L | § ¬ªãâë© ª®âãà. Ǒ®áâந¬ ¥£® à¥è¥¨¥. ¬¥¨¬ ¢ ®¡¥¨å ç áâïå 1 dτ1 ¯¥à¥¬¥ãî t τ1 , 㬮¨¬ , ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯® ª®âãàã L ¨ πi τ1 − t ¯¥à¥áâ ¢¨¬ ¯® ä®à¬ã«¥ Ǒã ª à¥{¥àâà (á¬. ¯. 6.2-6) ¯®à冷ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. ®£¤
1
πi
Z
L
f (τ1 ) dτ1 τ1 − t
= ϕ(t) + 1
πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ
1
πi
ëç¨á«¨¬ ¢â®à®© ¨â¥£à « ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(2):
Z
L
dτ1 (τ1 − t)(τ − τ1 )
ª¨¬ ®¡à §®¬,
=
1 τ −t
Z
L
dτ1 − τ1 − t
ϕ(t) =
1 πi
Z
L
Z
dτ1 τ1 − τ
L
Z
dτ1
L
(τ1 − t)(τ − τ1 )
=
1 τ −t
.
(2)
(iπ − iπ ) = 0.
f (τ ) dτ. τ −t
(3)
Ǒ®á«¥¤ïï ä®à¬ã« ¤ ¥â à¥è¥¨¥ ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த (1) ¤«ï § ¬ªã⮣® ª®âãà L. ¨£ã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ª®âãà L ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ®è¨ (á¬. ¯¯. 7.1-1 ¨ 7.2-1). 6.4-2. à ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
áᬮâਬ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ Z 1 ∞ ϕ(t) dt = f (x), −∞ < x < ∞. (4) πi −∞ t − x
à ¢¥¨¥ (4) ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ (á¬. ¯. 7.2-4) ¨ ¢ ª« áᥠ¨á祧 îé¨å ¡¥áª®¥ç®á⨠äãªæ¨© ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥
ϕ(x) = ¡®§ ç ï f (x)
1
π
Z
∞ −∞
1 πi
Z
∞ −∞
f (t) dt, t−x
−∞ < x < ∞.
(5)
= F (x)i−1 § ¯¨è¥¬ á®®â®è¥¨ï (4) ¨ (5) ¢ ä®à¬¥
ϕ(t) dt t−x
= F (x),
ϕ(x) = −
1
π
Z
∞ −∞
F (t) dt, t−x
−∞ < x < ∞.
(6)
Ǒ àã ä®à¬ã« (6) §ë¢ î⠯८¡à §®¢ ¨¥¬ ¨«ì¡¥àâ (á¬. ¯. 1.6-4).
âà ¨æ 214
215
6.4. ¨£ã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
6.4-3. à ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ª®¥ç®¬ ®â१ª¥
áᬮâਬ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ª®¥ç®¬ ®â१ª¥
Z
1
π
ϕ(t) dt t−x
b a
= f (x),
(7)
a 6 x 6 b.
£® à¥è¥¨ï ¬®® ¯®áâநâì, ®¯¨à ïáì ⥮à¨î ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ ¤«ï à §®¬ªã⮣® ª®âãà (á¬. ¯. 6.3-11). Ǒਢ¥¤¥¬ ®ª®ç ⥫ìë¥ à¥§ã«ìâ âë.
1◦ .
¥è¥¨¥, ¥ ®£à ¨ç¥®¥ ®¡®¨å ª®æ å: Z b p 1 p 1 (t − a)(b − t) ϕ(x) = − f (t) dt + C , π t−x (x − a)(b − x) a
(8)
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï, ¯à¨ç¥¬
2◦ .
Z
a
ϕ(t) dt = C.
(9)
¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ª®æ¥ a ¨ ¥ ®£à ¨ç¥®¥ ª®æ¥ b:
ϕ(x) = −
3◦ .
b
1 π
r
x−a b−x
Z
b a
r
b − t f (t) dt. t−a t−x
(10)
¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ®¡®¨å ª®æ å:
ϕ(x) = − ¯à¨ ãá«®¢¨¨
1p
π
(x − a)(b − x) Z
b a
p
Z
b
p
a
f (t) (t − a)(b − t)
dt t−x
(11)
f (t) dt = 0. (t − a)(b − t)
(12)
®® ¯®áâநâì ¨ à¥è¥¨ï, ¨¬¥î騥 â®çªã ᨣã«ïà®á⨠s ¢ãâਠ®â१ª [a, b℄. ¨ ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤.
4◦ .
¨£ã«ï஥ à¥è¥¨¥, ¥ ®£à ¨ç¥®¥ ®¡®¨å ª®æ å: Z b p 1 1 (t − a)(b − t) ϕ(x) = − p f (t) dt + C1 π t−x (x − a)(b − x) a
£¤¥
5◦ .
1 ¨ C2 | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥.
6
◦
C2 x−s
, (13)
¨£ã«ï஥ à¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ®¤®¬ ª®æ¥:
ϕ(x) = − £¤¥
+
1p
π
(x − a)(b − x)
| ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï.
Z
b a
r
b − t f (t) C dt + t−a t−x x−s
,
(14)
. ¨£ã«ï஥ à¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ®¡®¨å ª®æ å:
ϕ(x) = −
1p
π
(x − a)(b − x)
Z
b
p
f (t)
(t − a)(b − t) Z 1 f (t) dt p . A= (t − a)(b − t) −1 a
dt t−x
+
A x−s
, (15)
âà ¨æ 215
216
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
6.4-4. ¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ï¤à®¬ ®è¨
áᬮâਬ
®¡é¥¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ®è¨
1 πi
Z
L
M (t, τ ) ϕ(τ ) dτ τ −t
= f (t),
(16)
£¤¥ ¨â¥£à «, ¯®¨¬ ¥¬ë© ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï, ¡¥à¥âáï ¯® § ¬ªã⮬㠨«¨ à §®¬ªã⮬㠪®âãàã L. ¤ ë¥ L äãªæ¨¨ f (t) ¨ M (t, τ ) áç¨â îâáï, ª ª ®¡ëç®, 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¯à¨ç¥¬ ¯®á«¥¤ïï ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. Ǒ஢¥¤ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥
¨ ®¡®§ 稢
M (t, τ ) τ −t
=
M (t, τ ) − M (t, t) τ −t
1
M (t, t) = b(t), Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
M (t, t) τ −t
M (t, τ ) − M (t, t) τ −t
πi
§ ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (16) ¢ ¢¨¤¥
b(t) πi
+
+
Z
L
= K (t, τ ),
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f (t).
(17)
(18)
§ ä®à¬ã« (17) á«¥¤ã¥â, çâ® äãªæ¨ï b(t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ¢á¥¬ ª®âãॠL, K (t, τ ) ¢áî¤ã, ªà®¬¥ â®ç¥ª τ = t, £¤¥ ¤«ï ¥¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª
|K (t, τ )| 6
A , |τ − t|λ
A = onst < ∞,
0 6 λ < 1.
¡é¥¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ®è¨ ç áâ® § ¯¨áë¢ îâ ¢ ä®à¬¥ (18). ¡é¥¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ¯®«®£® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, ⥮à¨ï ª®â®à®£® à áᬠâਢ ¥âáï ¢ £« ¢¥ 7. ¡ëç® ®® ¥ à¥è ¥âáï ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥. ¤ ª® ¨¬¥¥âáï àï¤ á«ãç ¥¢, ª®£¤ â ª®¥ à¥è¥¨¥ ¢®§¬®®. Ǒãáâì äãªæ¨ï M (t, τ ) ¢ ãà ¢¥¨¨ (16), 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ £« ¤ª®¬ § ¬ªã⮬ ª®âãॠL, «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ ¢ ®¡« áâì + ¯® ª ¤®© ¯¥à¥¬¥®©.
᫨ M (t, t) ≡ 1, â® à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (16) ¬®® ¯®«ãç¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ä®à¬ã«ë Ǒã ª à¥{¥àâà (á¬. ¯. 6.2-6). ® ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© Z M (t, τ ) 1 f (τ ) dτ. ϕ(t) = (19) πi L τ − t à ¢¥¨¥ (16) ¬®® à¥è¨âì ¨ ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï äãªæ¨î M (t, τ ) ãá«®¢¨¥¬ M (t, t) ≡ 1. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì äãªæ¨ï M (t, τ ) «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ ¢ + ¯® ª ¤®© ¯¥à¥¬¥®©, ¨ ¯ãáâì M (z, z ) 6= 0 ¤«ï z ∈ + . ®£¤ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (16) ¨¬¥¥â ¢¨¤
ϕ(t) =
1 πi
1 M (t, t)
Z
L
M (t, τ ) f (τ ) dτ. M (τ, τ ) τ − t
(20)
à §¤. 6.5 ¤ â ª¥ ç¨á«¥ë© ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï ®¤®£® ¢¨¤ ®¡é¥£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த , ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 á ¬®áâ®ï⥫ìë© ¨â¥à¥á á â®çª¨ §à¥¨ï ¥£® ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¤«ï à¥è¥¨ï ¯à¨ª« ¤ëå § ¤ ç. ¬¥ç ¨¥ 1. Ǒ®áâà®¥ë¥ ¢ ¯. 6.4-4 à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯à¨¬¥¨¬ë ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ª®âãà L ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨§ ᥡï ᮢ®ªã¯®áâì ª®¥ç®£® ç¨á« £« ¤ª¨å § ¬ªãâëå ª®âã஢ ¡¥§ ®¡é¨å â®ç¥ª.
âà ¨æ 216
6.4. ¨£ã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த
217
6.4-5. à ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ
1 . áᬮâਬ ¯à®á⥩襥 ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ ◦
Z
2π 1
tg 2π 0
ξ−x
2
¯à¨ ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ ãá«®¢¨¨
ϕ(ξ ) dξ
Z 2π
0
= f (x),
0 6 x 6 2π
ϕ(x) dx = 0.
(21)
(22)
à ¢¥¨¥ (21) ¬®¥â ¨¬¥âì à¥è¥¨¥ ⮫쪮 ¯à¨ ᮡ«î¤¥¨¨ ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®áâ¨, ª®â®à®¥ ¯®«ãç ¥âáï ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ®¡¥¨å ç á⥩ (21) ¯® x ®â ã«ï ¤® 2π ¨, á ãç¥â®¬ Z 2π ξ−x
tg
0
¨¬¥¥â ¢¨¤
Z 2π
0
dx = 0,
2
f (x) dx = 0.
(23)
«ï ¯®áâ஥¨ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (21) ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï à¥è¥¨¥¬ ¯à®á⥩襣® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ®è¨, áç¨â ï ª®âãà L ®ªàã®áâìî ¥¤¨¨ç®£® à ¤¨ãá á æ¥â஬ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â (á¬. ¯. 6.4-1). ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ ¨ ¥£® à¥è¥¨¥ ¢ ä®à¬¥
1 π
Z
L
ϕ1 (τ ) dτ τ −t
ϕ1 (t) = −
1
π
Z
= f1 (t),
L
(24)
f1 (τ ) dτ, τ −t
(25)
ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï ¯®¤áâ ®¢ª®© ¢ á®®â®è¥¨ï ¨§ ¯. 6.4-1 äãªæ¨¨ ϕ1 (t) ¢¬¥áâ® ϕ(t) ¨ äãªæ¨¨ f1 (t)i−1 ¢¬¥áâ® f (t). Ǒ®« £ ï t = eix ¨ τ = eiξ ©¤¥¬ á®®â®è¥¨¥ ¬¥¤ã ï¤à ¬¨ ®è¨ ¨ ¨«ì¡¥àâ : dτ = 1 tg ξ − x dξ + i dξ. (26) τ −t 2 2 2
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ⥯¥àì á®®â®è¥¨¥ (26) ¢ ãà ¢¥¨¥ (24) ¨ ¥£® à¥è¥¨¥ (25), á ãç¥â®¬ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ϕ(x) = ϕ1 (t) ¨ f (x) = f1 (t) ¯®«ã稬
Z
Z
2π 2π 1
tg ξ − x ϕ(ξ ) dξ + i ϕ(ξ ) dξ = f (x), 2π 0 2 2π 0 Z 2π Z 2π 1
tg ξ − x f (ξ ) dξ − i ϕ(x) = − f (ξ ) dξ. 2π 0 2 2π 0
(27) (28)
à ¢¥¨¥ (21) ¯à¨ ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ ãá«®¢¨¨ (22) ᮢ¯ ¤ ¥â á ãà ¢¥¨¥¬ (27), § ç¨â ¥£® à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ¢ëà ¥¨¥¬ (28). ç¨âë¢ ï ãá«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠(23), ®á®¢ ¨¨ (28) § ¯¨è¥¬ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (21) ¢ ¢¨¤¥
ϕ(x) = −
Z
2π 1
tg 2π 0
ξ−x
2
f (ξ ) dξ.
®à¬ã«ë (21) ¨ (29) ¢¬¥á⥠á ãá«®¢¨ï¬¨ (22) ¨ (23) §ë¢ îâáï ®¡à é¥¨ï ¨«ì¡¥àâ .
(29) ä®à¬ã« ¬¨
âà ¨æ 217
218
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
¬¥ç ¨¥ 2. à ¢¥¨¥ (21) ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ (á¬. ¯¯. 7.1-2 ¨ 7.2-5).
2◦ .
áᬮâਬ ®¡é¥¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ Z 2π 1 ξ−x ϕ(ξ ) dξ = f (x). N (x, ξ ) tg (30) 2π 0 2
Ǒ।áâ ¢¨¬ ¥£® ï¤à® ¢ ä®à¬¥
N (x, ξ ) tg
ξ−x
2
=
¢®¤ï ®¡®§ 票ï
N (x, ξ ) − N (x, x)
§ ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (30) ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
b(x) 2π
Z 2π
0
tg
ξ−x
tg
2
1 N (x, ξ ) − N (x, x) tg 2π
N (x, x) = −b(x),
−
ξ−x
2
ϕ(ξ ) dξ +
Z 2π
0
+ N (x, x) tg ξ−x
2
ξ−x
2
= K (x, ξ ),
K (x, ξ )ϕ(ξ ) dξ
= f (x),
.
(31)
(32)
§ ä®à¬ã« (31) á«¥¤ã¥â, çâ® äãªæ¨ï b(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ï¤à® K (x, ξ ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¢áî¤ã, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì, â®ç¥ª x = ξ , £¤¥ ¤«ï ¥£® á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª
|K (x, ξ )| 6
A , |ξ − x|λ
A = onst < ∞,
0 6 λ < 1.
¡é¥¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ ç áâ® § ¯¨áë¢ îâ ¢ ä®à¬¥ (32). ® ï¥âáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ¯®«®£® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ , ª®â®à®¥ à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ¯¯. 7.1-2 ¨ 7.4-8.
: . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客 (1977), . . 客 ¨ . . ¥à᪨© (1978), S. G. Mikhlin, S. Prossdorf (1986), . . ¨ä ®¢ (1995).
•
¨â¥à âãà
6.5. ¥â®¤ ã«ì⮯¯ { « ¤¨ï
áᬮâਬ ®¡é¥¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯¥à¢®£® த á ï¤à®¬ ®è¨ ª®¥ç®¬ ®â१ª¥ [−1, 1℄ ¢¨¤
1
π
Z 1 ϕ(t) dt −1
t−x
+ 1
π
Z 1
−1
K (x, t)ϕ(t) dt = f (x).
(1)
â® ãà ¢¥¨¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï ¢ ¯à¨«®¥¨ïå, ®á®¡¥® ª íத¨ ¬¨ª¥ ¨ ¯«®áª®© ⥮ਨ ã¯à㣮áâ¨. Ǒਢ¥¤¥¬ ᯮᮡ ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨, çâ® ®® ¤®¯ã᪠¥â à¥è¥¨¥ ¢ 㪠§ ëå ¨¥ ª« áá å. 6.5-1. ¥è¥¨¥, ¥ ®£à ¨ç¥®¥ ª®æ å ®â१ª
ª®¥ à¥è¥¨¥ ᮣ« á® ®¡é¥© ⥮ਨ ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© (á¬., ¯à¨¬¥à, . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968)) ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥
ψ(x)
ϕ(x) = √
1 − x2
,
(2)
âà ¨æ 218
219
6.5. ¥â®¤ ã«ì⮯¯ { « ¤¨ï
£¤¥ ψ (x) | ®£à ¨ç¥ ï äãªæ¨ï [−1, 1℄. Ǒ®¤áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨¥ (2) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1) ¨ ¢¢¥¤¥¬ ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ θ ¨ τ à ¢¥á⢠¬¨ x = os θ , t = os τ , 0 6 θ 6 π , 0 6 τ 6 π . ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (1) ¯à¨¬¥â ¢¨¤
1
π ¯®
Z
ψ( os τ ) dτ
os τ − os θ
π
0
Ǒ®áâந¬
+ 1
π
Z
π
0
K ( os θ, os τ )ψ ( os τ ) dτ
¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¯®«¨®¬ £à
祡ë襢᪨¬ 㧫 ¬
xm
= os θm ,
θm
= 2m − 1 π,
Ln (ψ ; os θ) =
n 1 X
n
l=1
(3)
¤«ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ ψ (x)
m = 1, 2, . . . , n.
2n
§¢¥áâ®, çâ® â ª®© ¯®«¨®¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤
= f ( os x).
(−1)l+1 ψ( os θl ) os nθ sin θl
os θ − os θl
.
(4)
¬¥â¨¬, çâ® ¤à®¡ì ¢ ¯à ¢®© ç á⨠ä®à¬ã«ë (4) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à¨ «î¡®¬ l ç¥âë© âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¯®«¨®¬ á⥯¥¨ 6 n − 1. ¯à¥¤¥«¨¢ ª®íää¨æ¨¥âë í⮣® ¯®«¨®¬ á ¯®¬®éìî ¨§¢¥áâëå à ¢¥áâ¢
1 π
Z
π
0
os nτ dτ = sin nθ ,
os τ − os θ sin θ
0 6 θ 6 π,
n = 0, 1, 2, . . . ,
(5)
§ ¯¨è¥¬ ä®à¬ã«ã (4) ¢ ¢¨¤¥
Ln (ψ ; os θ) =
n 2 X
n
l=1
ψ ( os θl )
n− X1
m=0
os mθl os mθ − 1
n
n X l=1
ψ ( os θl ).
(6)
®á®¢ ¨¨ ¤¢ãå ¯à¥¤ë¤ãé¨å à ¢¥á⢠¢ë¯¨è¥¬ ª¢ ¤à âãàãî ä®à¬ã«ã ¤«ï ᨣã«ïண® ¨â¥£à « :
1 π
Z 1 ϕ(t) dt −1
t−x
=
n− n X1 2 X
os mθl sin mθ. ψ ( os θl ) n sin θ m=1 l=1
(7)
â ä®à¬ã« â®ç ¢á¥£¤ , ª®£¤ ψ (t) | ¯®«¨®¬ ®â t ¯®à浪 6 n − 1. ® ¢â®à®¬ã ¨â¥£à «ã ¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨¬¥¨¬ á«¥¤ãîéãî ä®à¬ã«ã:
Z 1 P (x) dx √ π −1 1 − x 2
1
= 1
n
n X l=1
P ( os θl ),
(8)
á¯à ¢¥¤«¨¢ãî ¢á¥£¤ , ª®£¤ P (x) | ¯®«¨®¬ á⥯¥¨ 6 2n − 1. ®£¤ ¢ ᨫã (8) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
1 π
Z 1
−1
K (x, t)ϕ(t) dt =
n 1 X
n
l=1
K ( os θ,
os θl )ψ( os θl ).
(9)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï á®®â®è¥¨ï (7) ¨ (9) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1), ¯®«ã稬 n n n− X X1 2 X ψ ( os θl )
os mθl sin mθ + 1 K ( os θ, os θl )ψ( os θl ) = f ( os θ). n sin θ n m=1 l=1 l=1
Ǒ®« £ ï θ
(10)
= θk (k = 1, 2, . . . , n), á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë n− X1
m=1
os mθl sin mθk = 1 tg 2
θk ± θl
2
,
(11)
âà ¨æ 219
220
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯¥à¢®£® த
£¤¥ § ª ¯«îá ¡¥à¥âáï, ª®£¤ ç¨á«® |k − l| ç¥â®¥, ¬¨ãá, ª®£¤ ®® ¥ç¥â®¥, ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï 室¥¨ï ¯à¨¡«¨¥ëå § 票© ψl ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ ψ (x) ¢ 㧫®¢ëå â®çª å ¢ ä®à¬¥ n X l=1
akl
akl ψl
=
1 n
= fk ,
fk
= f ( os θk ),
1
tg sin θk
θk ± θl
2
k
= 1, 2, . . . , n,
+ K ( os θk , os θl )
(12)
.
Ǒ®á«¥ à¥è¥¨ï á¨á⥬ë (12) ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) 室¨âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (2) ¨ (4). 6.5-2. ¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ®¤®¬ ª®æ¥ ®â१ª
í⮬ á«ãç ¥ ¯®« £ ¥¬
ϕ(x) =
r
1−x ζ (x), 1+x
(13)
£¤¥ ζ (x) | ®£à ¨ç¥ ï ®â१ª¥ [0, 1℄ äãªæ¨ï. áâ ¢¨¢ ã§«ë ¨â¥à¯®«ï樨 â ª¨¬¨ ¥, ª ª ¨ ¢ ¯. 6.5-1, § ¬¥¨¬ ζ (x) ¬®£®ç«¥®¬
Ln (ζ ; os θ) =
n 1 X
n
l=1
(−1)l+1 ζ ( os θl ) os nθ sin θl
os θ − os θl
(14)
,
¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ १ã«ìâ â ¢ ᨣã«ïàë© ¨â¥£à «, ¢å®¤ï騩 ¢ ¢ëà ¥¨¥ (1). ®£¤ , «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬ã, ¯®«ã稬 ª¢ ¤à âãàãî ä®à¬ã«ã
1 π
Z 1 ϕ(t) dt −1
t−x
= 2 1 − os θ n sin θ
n X l=1
ζ ( os θl )
n− X1
m=1
os mθl sin mθ − 1
n
n X l=1
ζ ( os θl ).
â ä®à¬ã« â®ç , ¥á«¨ ζ (t) | ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ 6 n − 1. ®à¬ã« (9) ¤«ï ¢â®à®£® á« £ ¥¬®£® ¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤
1 π
Z 1
−1
K (x, t)ϕ(t) dt =
n 1 X
n
l=1
(1 − os θl )K ( os θ, os θl )ζ ( os θl ).
(15)
(16)
¡ã¤¥â â®ç®©, ¥á«¨ ¯®¤ëâ¥£à «ì®¥ ¢ëà ¥¨¥ ¥áâì ¯®«¨®¬ ®â t á⥯¥¨ 6 2n − 2. Ǒ®¤áâ ¢«ïï á®®â®è¥¨ï (15) ¨ (16) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1) ¨ ¯®« £ ï θ = θk (k = 1, 2, . . . , n), á ãç¥â®¬ ä®à¬ã«ë (11) ¯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¤«ï ¯à¨¡«¨¥ëå § 票© ζl ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ ζ (t) ¢ 㧫 å ¢ ä®à¬¥ n X l=1
bkl
bkl ζl
= fk ,
= 1 tg n
θk
2
fk
tg
= f ( os θk ), θk ± θl
2
k
= 1, 2, . . . , n,
− 1 + 2 sin2
θl
2
K ( os θk ,
os θl )
(17)
.
Ǒ®á«¥ à¥è¥¨ï á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (17) ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (13) ¨ (14).
âà ¨æ 220
221
6.5. ¥â®¤ ã«ì⮯¯ { « ¤¨ï
6.5-3. ¥è¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ ®¡®¨å ª®æ å ®â१ª
£à ¨ç¥®¥ ®â१ª¥ à¥è¥¨¥ (1) ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ª®æ å ®â१ª : ϕ(1) = ϕ(−1) = 0. (18) 㤥¬ ¯à¨¡«¨ âì äãªæ¨î ϕ(x) ç¥âë¬ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯®«¨®¬®¬ ®â θ , ¯®áâà®¥ë¬ ¯® 㧫 ¬ ¨â¥à¯®«ï樨, ïî騬¨áï ª®àﬨ ¯®«¨®¬ ¥¡ë襢 ¢â®à®£® த : kπ xk = os θk , θk = , k = 1, 2, . . . , n. (19) n+1 Ǒ®«¨®¬ íâ®â ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤
Mn (ϕ; os θ) =
n n X 2 X ϕ( os θl ) sin mθl sin mθ. n+1 m=1 l=1
(20)
®£¤ ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî ª¢ ¤à âãàãî ä®à¬ã«ã:
1 π
Z 1 ϕ(t) dt −1
t−x
=− 2
n+1
n X l=1
ϕ( os θl )
n X
m=1
sin mθl os mθ.
(21)
â®ç ¢á¥£¤ , ª®£¤ ϕ(x) | ¥ç¥âë© âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¯®«¨®¬ á⥯¥¨ 6 n. ॣã«ïà®¬ã ¨â¥£à «ã ¢ ãà ¢¥¨¨ (1) ¯à¨¬¥¨¬ ä®à¬ã«ã
Z 1 √ −1
1 − x2 P (x) dx =
π
n+1
n X l=1
sin2 θl P ( os θl ),
(22)
¨¬¥îéãî âã ¥ â®ç®áâì, çâ® ¨ ä®à¬ã« (8). ®á®¢ ¨¨ (22) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
1 π
Z 1
−1
K (x, t)ϕ(t) dt =
n 1 X sin θl K ( os θ, os θl )ϕ( os θl ). n+1 l=1
(23)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï á®®â®è¥¨ï (21) ¨ (23) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1) ¨ ¯®« £ ï θ = θk (k = 1, 2, . . . , n), «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯®«ã稬 á¨á⥬㠫¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ¢ ä®à¬¥
n X l=1
ckl ϕl
= fk ,
k
= 1, . . . , n,
(24)
¯à¨ ç¥âëå |k − l|, 2εkl sin θl ckl = + K ( os θk , os θl ) , εkl = 10 ¯à¨ ¥ç¥âëå |k − l|, n + 1 os θl − os θk
£¤¥ fk = f ( os θk ), ϕl | ¯à¨¡«¨¥ë¥ § 票ï äãªæ¨¨ ϕ(t) ¢ 㧫 å. Ǒ®á«¥ à¥è¥¨ï á¨á⥬ë (24) ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (20). Ǒਠà¥è¥¨¨ ᨣã«ïண® ãà ¢¥¨ï ¬¥â®¤®¬ ã«ì⮯¯ { « ¤¨ï áãé¥á⢥®, çâ®¡ë ¨áª®¬ë¥ à¥è¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï«¨áì ¢ ¢¨¤¥
ϕ(x) = (1 − x)α (1 + x)β χ(x), (25) 1 1 £¤¥ α = ± 2 , β = ± 2 , χ(x) | ®£à ¨ç¥ ï äãªæ¨ï ®â१ª¥, ¯à¨¨¬ îé ï ®¯à¥¤¥«¥ë¥ § ç¥¨ï ª®æ å. Ǒਠ«¨ç¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (25) ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥¨¬ ª ¯®«®¬ã ᨣã«ïà®¬ã ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î, ª®â®à®¥ ¨§ãç ¥âáï ¢ £« ¢¥ 7. à㣨¥ ¬¥â®¤ë ç¨á«¥®£® à¥è¥¨ï ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¬®® ©â¨ ¢ æ¨â¨à㥬®© ¨¥ «¨â¥à âãà¥.
: . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . « ¤¨ï (1973), . . ¥«®æ¥àª®¢áª¨©, . . ¨ä ®¢ (1985), . . ¨ä ®¢ (1995).
•
¨â¥à âãà
âà ¨æ 221
7. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© 7.1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï 7.1-1. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ®è¨
Ǒ®«®¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤
a(t)ϕ(t) +
1 πi
Z
M (t, τ ) ϕ(τ ) dτ τ −t
L
i2
= f (t),
= −1,
(1)
£¤¥ ¨â¥£à «, ¯®¨¬ ¥¬ë© ¢ á¬ëá«¥ £« ¢®£® § 票ï, ¡¥à¥âáï ¯® § ¬ªã⮬㠨«¨ à §®¬ªã⮬㠪®âãàã L, t ¨ τ | ª®¬¯«¥ªáë¥ ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª ª®âãà . ¤ ë¥ L äãªæ¨¨ a(t), f (t), M (t, τ ) ¨ ¨áª®¬ ï ϕ(t) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (á¬. ¯. 6.2-2), ¯à¨ç¥¬ M (t, τ ) | ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ¬®® â ª¥ § ¯¨á âì ¢ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥¬®© íª¢¨¢ «¥â®© ä®à¬¥. «ï í⮣® à áᬮâਬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ï¤à
M (t, τ ) τ −t
£¤¥ ®¡®§ 稬
=
M (t, τ ) − M (t, t) τ −t
+
M (t, t) , τ −t
1 M (t, τ ) − M (t, t) πi τ −t ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (1) á ãç¥â®¬ (2) ¨ (3) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ M (t, t) = b(t),
a(t)ϕ(t) +
b(t) πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
+
Z
L
(2)
= K (t, τ ).
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f (t).
(3)
(4)
§ ä®à¬ã« (3) á«¥¤ã¥â, çâ® äãªæ¨ï b(t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ¢á¥¬ ª®âãॠL, K (t, τ ) ¢áî¤ã, ªà®¬¥ â®ç¥ª τ = t, £¤¥ ¤«ï ¥¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª
|K (t, τ )| 6
A , |τ − t|λ
A = onst < ∞,
0 6 λ < 1.
áâ¥á⢥®, çâ® ãà ¢¥¨¥ (4) â ª¥ §ë¢ îâ ¯®«ë¬ ᨣã«ïàë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ï¤à®¬ ®è¨. ãªæ¨¨ a(t) ¨ b(t) §ë¢ îâáï ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ãà ¢¥¨ï (4),
1
τ −t
| ï¤à®¬
®è¨,
a ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï f (t) | ¯à ¢®©
ç áâìî
¨«¨ ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬ ãà ¢¥¨ï. Ǒ¥à¢®¥ ¨ ¢â®à®¥ á« £ ¥¬ë¥ ¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï (4) á®áâ ¢«ïîâ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî ç áâì ¨«¨ å à ªâ¥à¨á⨪㠯®«®£® ᨣã«ïண® ãà ¢¥¨ï, âà¥âì¥ | ¥£® ॣã«ïàãî ç áâì, ¯à¨ç¥¬ äãªæ¨ï K (t, τ ) §ë¢ ¥âáï ï¤à®¬ ॣã«ïன ç áâ¨. ᨫ㠯®«ã祮© ¤«ï ï¤à ॣã«ïன ç á⨠®æ¥ª¨ K (t, τ ) ï¥âáï ï¤à®¬ á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî «¨¡® ä।£®«ì¬®¢ë¬ ï¤à®¬. «ï ãà ¢¥¨© (1) ¨ (4) ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ®¯¥à â®àãî ä®à¬ã § ¯¨á¨, ª®â®à ï ¨¬¥¥â ¢¨¤ K[ϕ(t)℄ = f (t), (5) £¤¥ ®¯¥à â®à K §ë¢ ¥âáï à ¢¥¨¥
ᨣã«ïàë¬ ®¯¥à â®à®¬.
K [ϕ(t)℄ ≡ a(t)ϕ(t) + ◦
b(t) πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
= f (t)
(6)
âà ¨æ 222
223
7.1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï
§ë¢ ¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯®«®¬ã ãà ¢¥¨î (4), ®¯¥à â®à K◦ | å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ®¯¥à â®à®¬. ¢®¤ï ¤«ï ॣã«ïன ç á⨠ãà ¢¥¨ï ®¡®§ 票¥
Kr [ϕ(t)℄ ≡
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ,
£¤¥ ®¯¥à â®à Kr §ë¢ ¥âáï ॣã«ïàë¬ (ä।£®«ì¬®¢ë¬) ®¯¥à â®à®¬, § ¯¨è¥¬ ¯®«®¥ ᨣã«ï஥ ãà ¢¥¨¥ ¥é¥ ¢ ®¤®© ®¯¥à â®à®© ä®à¬¥:
K[ϕ(t)℄ ≡ K [ϕ(t)℄ + Kr [ϕ(t)℄ ◦
ª®â®à ï ¡ã¤¥â ¨á¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. à ¢¥¨¥
K [ψ (t)℄ ≡ a(t)ψ (t) − ∗
1 πi
Z
L
b(τ )ψ(τ ) dτ τ −t
+
Z
L
= f (t),
(7)
K (τ, t)ψ (τ ) dτ
= g (t),
(8)
¯®«ãç ¥¬®¥ ¨§ ãà ¢¥¨ï (4) ¯¥à¥áâ ®¢ª®© ¯¥à¥¬¥ëå ¢ ï¤à¥, §ë¢ ¥âáï á®î§∗ ë¬ (4) ¨«¨ âà ᯮ¨à®¢ ë¬ ª ¥¬ã. ¯¥à â®à K §ë¢ ¥âáï á®î§ë¬ á ®¯¥à â®à®¬ K ¨«¨ âà ᯮ¨à®¢ ë¬ ª ¥¬ã. ç áâ®áâ¨, ãà ¢¥¨¥
K
◦∗
[ψ(t)℄ ≡ a(t)ψ(t) − 1
πi
Z
L
b(τ ) ψ (τ ) dτ τ −t
= g (t)
(9)
¡ã¤¥â ãà ¢¥¨¥¬, á®î§ë¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ (6). «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ®¯¥à â®à K◦∗ , á®î§ë© á å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ®¯¥à â®à®¬ K◦ , ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¯¥à â®à®¬ K∗◦ , å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¤«ï á®î§®£® ãà ¢¥¨ï (8). Ǒ®á«¥¤¨© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© ∗◦
K
[ψ(t)℄ ≡ a(t)ψ(t) − b(t) πi
Z
L
ψ(τ ) dτ. τ −t
(10)
áî¤ã ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ª®âãà L á®á⮨⠢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¨§ = L0 + L1 + · · · + Lm . ¡ ãà ¢¥¨ïå ¤«ï à §®¬ªãâëå ª®âã஢ ¬®® ¯à®ç¨â âì, ¯à¨¬¥à, ¢ ª¨£ å . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客 (1977).
m + 1 § ¬ªãâëå £« ¤ª¨å ªà¨¢ëå: L
¬¥ç ¨¥ 1. áâ ®¢«¥ ï á¢ï§ì ¬¥¤ã ãà ¢¥¨ï¬¨ (1) ¨ (4), ¢ª«îç îé ï ᢮©á⢠íâ¨å ãà ¢¥¨©, àãè ¥âáï, ¥á«¨ ¯à¥¤¯®«®¨âì, çâ® ¢ ãà ¢¥¨¨ (1) äãªæ¨ï (t, τ ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ¢áî¤ã ª®âãॠ§ ¨áª«î票¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª, £¤¥ ®¨ ¨¬¥îâ à §àë¢ë ¯¥à¢®£® த . í⮬ á«ãç ¥ ¯®«®¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á«¥¤ã¥â ª ª¨¬-«¨¡® ®â«¨çë¬ ®â ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï (2) ¨ (3) ᯮᮡ®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥ (4) á ¢ë¤¥«¥ë¬¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ¨ ॣã«ïன ç áâﬨ, ¯®áª®«ìªã 㯮¬ïã⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ª â ª®¬ã ¢ë¤¥«¥¨î ¥ ¯à¨¢®¤¨â. ¡ ãà ¢¥¨ïå á à §àë¢ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¬®® ¯à®ç¨â âì ¢ 㯮¬ïãâëå ¢ëè¥ ª¨£ å.
7.1-2. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ
Ǒ®«®¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ ¨¬¥¥â ¢¨¤
a(x)ϕ(x) +
Z
2π 1 N (x, ξ ) tg 2π 0
ξ−x
2
ϕ(ξ ) dξ
= f (x),
(11)
£¤¥ ¤¥©á⢨⥫ìë¥ äãªæ¨¨ a(x), f (x), N (x, ξ ) ¨ ¨áª®¬ ï ϕ(x) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (á¬. ¯. 6.2-2), ¯à¨ç¥¬ N (x, ξ ) ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬.
âà ¨æ 223
224
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (11) ¬®® â ª¥ § ¯¨á âì ¢ ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥¬®© íª¢¨¢ «¥â®© ä®à¬¥. «ï í⮣® ¯à¥®¡à §ã¥¬ ¥£® ï¤à® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
ξ−x
N (x, ξ ) tg
2
=
£¤¥ ®¡®§ 稬
N (x, ξ ) − N (x, x)
tg
ξ−x
2
1 N (x, ξ ) − N (x, x) tg 2π
N (x, x) = −b(x),
ξ−x
, (12)
= K (x, ξ ).
(13)
+ N (x, x) tg ξ−x
2
2
®£¤ ãà ¢¥¨¥ (11) á ãç¥â®¬ (12) ¨ (13) ¯à¨¬¥â ¢¨¤
a(x)ϕ(x) −
b(x) 2π
Z 2π
0
tg
ξ−x
2
ϕ(ξ ) dξ +
Z 2π
0
K (x, ξ )ϕ(ξ ) dξ
= f (x).
(14)
§ ä®à¬ã« (13) á«¥¤ã¥â, çâ® äãªæ¨ï b(x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ï¤à® K (x, ξ ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¢áî¤ã, ªà®¬¥, ¬®¥â ¡ëâì â®ç¥ª x = ξ , £¤¥ ¤«ï ¥£® á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥ª
|K (x, ξ )| 6
A , |ξ − x|λ
A = onst < ∞,
0 6 λ < 1.
à ¢¥¨¥ ¢ ä®à¬¥ (14) â ª¥ §ë¢ îâ ¯®«ë¬ ᨣã«ïàë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ . 1 ãªæ¨¨ a(x) ¨ b(x) §ë¢ îâáï ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ãà ¢¥¨ï (14), tg 2 (ξ −x) | ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ , a ¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï f (x) | ¯à ¢®© ç áâìî ¨«¨ ᢮¡®¤ë¬ ç«¥®¬ ãà ¢¥¨ï. Ǒ¥à¢®¥ ¨ ¢â®à®¥ á« £ ¥¬ë¥ ¢ «¥¢®© ç á⨠ãà ¢¥¨ï (14) á®áâ ¢«ïîâ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî ç áâì ¨«¨ å à ªâ¥à¨á⨪㠯®«®£® ᨣã«ïண® ãà ¢¥¨ï, âà¥âì¥ | ¥£® ॣã«ïàãî ç áâì, ¯à¨ç¥¬ äãªæ¨ï K (x, ξ ) §ë¢ ¥âáï ï¤à®¬ ॣã«ïன ç áâ¨. à ¢¥¨¥
a(x)ϕ(x) −
b(x) 2π
Z 2π
0
tg
ξ−x
2
ϕ(ξ ) dξ
= f (x),
(15)
§ë¢ ¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯®«®¬ã ãà ¢¥¨î (14). ᥠà áᬮâà¥ë¥ ¨ ¯®á«¥¤ãî騥 ãà ¢¥¨ï, ¯à ¢ë¥ ç á⨠ª®â®àëå à ¢ë ã«î ¢áî¤ã ¢ ®¡« á⨠¨å ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¡ã¤¥¬, ª ª ®¡ëç®, §ë¢ âì ®¤®à®¤ë¬¨, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ | ¥®¤®à®¤ë¬¨. 7.1-3. ¡ ãà ¢¥¨ïå ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ª®âãà¥
¥®à¨ï ।£®«ì¬ ¨ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த , ¯à¥¤áâ ¢«¥ë¥ ¢ £« ¢¥ 5, ®áâ îâáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨, ¥á«¨ ¢á¥ äãªæ¨¨ ¨ ¯ à ¬¥âàë ¢ ãà ¢¥¨ïå áç¨â âì ª®¬¯«¥ªá묨, ®â१®ª ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ § ¬¥¨âì ¥ª®â®àë¬ ª®âã஬ L. ¤¥áì ¯à¨¢¥¤¥¬ ⮫쪮 ¥ª®â®àë¥ á¢¥¤¥¨ï ¨ § ¯¨è¥¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥, 㤮¡®© ¤«ï ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¢ í⮩ £« ¢¥. áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¢ ä®à¬¥
ϕ(t) + λ
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f (t),
(16)
£¤¥ L | ¥ª®â®àë© £« ¤ª¨© ª®âãà, t ¨ τ | ª®¬¯«¥ªáë¥ ª®®à¤¨ âë ¥£® â®ç¥ª, ϕ(t) | ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï, f (t) | ᢮¡®¤ë© ç«¥ ¨«¨ ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï, K (t, τ ) | ¥£® ï¤à®.
᫨ ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ § 票¨ ¯ à ¬¥âà λ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ¨¬¥¥â ¥âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ (¨«¨ ¥âਢ¨ «ìë¥ à¥è¥¨ï), â® λ §ë¢ ¥âáï
âà ¨æ 224
225
7.1. ¥ª®â®àë¥ § ¬¥ç ¨ï
å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ç¨á«®¬ (å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ § 票¥¬),
á ¬¨ ¥âਢ¨ «ìë¥ à¥è¥¨ï | ᮡá⢥묨 äãªæ¨ï¬¨ ï¤à K (t, τ ) ¨«¨ ãà ¢¥¨ï (16). à ¢¥¨¥ (16) ¨¬¥¥â ¥ ¡®«¥¥ áç¥â®£® ¬®¥á⢠å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥«.
᫨ íâ® ¬®¥á⢮ ¡¥áª®¥ç®, â® ¥£® ¯à¥¤¥«ì®© â®çª®© ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥ ï â®çª . ¤®¬ã å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᮡá⢥ëå äãªæ¨©. ®¥á⢮ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ç¨á¥« ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï §ë¢ ¥âáï ¥£® ᯥªâ஬. ¯¥ªâà ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¥áâì ¬®¥á⢮ ¤¨áªà¥â®¥.
᫨ § 票¥ ¯ à ¬¥âà λ ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â ¨ á ®¤¨¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ç¨á«®¬ (¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥£® §ë¢ îâ ¯à ¢¨«ìë¬ ¨«¨ ॣã«ïàë¬), â. ¥. ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥, â® ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ (16) à §à¥è¨¬® ¯à¨ «î¡®© ¯à ¢®© ç á⨠f (t). ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
ϕ(t) = f (t) −
Z
L
R(t, τ ; λ)f (τ ) dτ,
(17)
£¤¥ äãªæ¨ï R(t, τ ; λ) §ë¢ ¥âáï १®«ì¢¥â®© ãà ¢¥¨ï ¨«¨ १®«ì¢¥â®© ï¤à K (t, τ ) ¨ ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ¯®á«¥¤¥¥.
᫨ § 票¥ ¯ à ¬¥âà λ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ¤«ï ãà ¢¥¨ï (16), â® ®¤®à®¤®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
ϕ(t) + λ
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= 0,
(18)
= 0,
(19)
â ª¥ ª ª ¨ á®î§®¥ á ¨¬ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥
ψ (t) + λ
Z
L
K (τ, t)ϕ(τ ) dτ
¨¬¥îâ ¥âਢ¨ «ìë¥ à¥è¥¨ï, ¯à¨ç¥¬ ç¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï (18) ª®¥ç® ¨ à ¢® ç¨á«ã «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï (19). ¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¬®¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥
ϕ(t) =
n X
k=1
Ck ϕk (t),
(20)
£¤¥ ϕ1 (t), ϕ1 (t), . . . , ϕn (t) | ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¢á¥å «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥ëå äãªæ¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã λ, Ck | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥.
᫨ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ (18) à §à¥è¨¬®, â® ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ (16), ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥à §à¥è¨¬®. ® ¡ã¤¥â à §à¥è¨¬® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï Z L
f (t)ψk (t) dt = 0,
(21)
£¤¥ ψk (t) (k = 1, 2, . . . , n) ¥áâì ª®¥çë© ¡®à ¢á¥å «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥ëå äãªæ¨© á®î§®£® ãà ¢¥¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ç¨á«ã λ.
᫨ ãá«®¢¨ï (21) ¢ë¯®«¥ë, â® ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (16) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (á¬., ¯à¨¬¥à, ¯. 5.6-5)
ϕ(t) = f (t) −
Z
L
Rg (t, τ ; λ)f (τ ) dτ
+
n X
k=1
Ck ϕk (t),
(22)
15 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 225
226
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
£¤¥ Rg (t, τ ; λ) §ë¢ îâ ®¡®¡é¥®© १®«ì¢¥â®©, á㬬 ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(22) ¥áâì ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï. áᬮâਬ ⥯¥àì ãà ¢¥¨¥ ¢â®à®£® த á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî ª®âãॠZ M (t, τ ) ϕ(t) + ϕ(τ ) dτ = f (t), (23) α L |τ − t| £¤¥ M (t, τ ) | ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï ¨ 0 < α < 1. ª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¨â¥à 樨 ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬ ¢â®à®£® த (á¬. § ¬¥ç ¨¥ 1 ¨§ à §¤. 5.3). ® ®¡« ¤ ¥â ¢á¥¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ (á¬. § ¬¥ç ¨¥ ¨§ à §¤. 5.5). ⥮ਨ ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¢ ᨫã ᪠§ ®£® ®¡ëç® ¥ ¤¥« îâ à §«¨ç¨© ¬¥¤ã ãà ¢¥¨ï¬¨ ।£®«ì¬ ¨ ãà ¢¥¨ï¬¨ á® á« ¡®© ®á®¡¥®áâìî ¨ ¨á¯®«ì§ãîâ ®¡éãî ¤«ï ¨å ä®à¬ã § ¯¨á¨
ϕ(t) + λ
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= 0,
K (t, τ ) =
M (t, τ ) , |τ − t|α
0 6 α < 1,
(24)
¯à¨ç¥¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (24) â ª ¥, ª ª ¨ ¥£® ï¤à®, §ë¢ îâ ¯à®áâ® ä।£®«ì¬®¢ë¬¨.
᫨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (24) ¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¯à¨ç¥¬ M (t, τ ) | ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥ë¬, â® «î¡®¥ ®£à ¨ç¥®¥ ¨â¥£à¨à㥬®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (24) â ª¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . ¬¥ç ¨¥ 2. ¤à ॣã«ïàëå ç á⥩ à áᬮâà¥ëå ¢ëè¥ á¨£ã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¢ ᨫ㠯ਢ¥¤¥ëå ¤«ï ¨å ®æ¥®ª ïîâáï ä।£®«ì¬®¢ë¬¨. ¬¥ç ¨¥ 3. Ǒ®«ë¥ ¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ᨣã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï §ë¢ îâ ¨®£¤ ᨣã«ïà묨 ¨â¥£à «ì묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ ¢â®à®£® த .
• : . . ¨å«¨ (1959), . ਪ®¬¨ (1960), . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客 (1977), . . ãᥩ®¢, . . ãåâ ஢ (1980), S. G. Mikhlin, S. Prossdorf (1986), S. Prossdorf, B. Silbermann (1991), A. Dzhuraev (1992), . . ¨ä ®¢ (1995). ¨â¥à âãà
7.2. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© 7.2-1. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨
áᬮâਬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨
Z
b(t) ϕ(τ ) dτ = f (t), (1) πi L τ − t £¤¥ ª®âãà L á®á⮨⠨§ m +1 § ¬ªãâëå £« ¤ª¨å ªà¨¢ëå: L = L0 + L1 + · · · + Lm . ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¬®® ᢥá⨠ª à¥è¥¨î ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ (á¬. ¯. 6.3-10) ¨ ¤ âì à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥. ¢¥¤¥¬ ªãá®ç® «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î, § ¤ ãî ¨â¥£à «®¬ ®è¨, ¯«®â®áâìî ª®â®à®£® á«ã¨â ¨áª®¬®¥ à¥è¥¨¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï
K [ϕ(t)℄ ≡ a(t)ϕ(t) + ◦
(z ) = 1
2πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ. τ −z
(2)
®£« á® ä®à¬ã« ¬ ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï (á¬. ¯. 6.2-5)
1 πi
Z
ϕ(t) = + (t) − − (t),
L
ϕ(τ ) dτ τ −z
= + (t) + − (t).
(3)
âà ¨æ 226
227
7.2. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©
Ǒ®¤áâ ¢«ïï (3) ¢ ãà ¢¥¨¥ (1) ¨ à¥è ï ¥£® ®â®á¨â¥«ì® + (t), ¯®«ã稬, çâ® ªãá®ç® «¨â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï (z ) ¤®« ïâìáï à¥è¥¨¥¬ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ + (t) = D(t)− (t) + H (t), (4) £¤¥
D(t) =
a(t) − b(t) , a(t) + b(t)
H (t ) =
f (t) . a(t) + b(t)
(5)
ᨫã ⮣®, çâ® ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï (z ) ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¨â¥£à «®¬ ⨯ ®è¨, ® ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ¤®¯®«¨â¥«ì®¬ã ãá«®¢¨î
− (∞) = 0. D(t) § ¤ ç¨ ¨¬
(6)
a(t) ± b(t) 6= 0.
(7)
a2 (t) − b2 (t) = 1.
(8)
¤¥ªá ν ª®íää¨æ¨¥â (4) ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¨¤¥ªá®¬ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (1). ¥è¨¢ ªà ¥¢ãî § ¤ çã (4), ¯® ¯¥à¢®© ä®à¬ã«¥ (3) ©¤¥¬ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ᢥ«®áì ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¨¬ (4). ⮡ë ãáâ ®¢¨âì à ¢®á¨«ì®áâì ãà ¢¥¨ï ¨ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨, ®â¬¥â¨¬, çâ®, ¨ ®¡à â®, ϕ(t), ©¤¥ ï 㪠§ ë¬ ®¡à §®¬ ¨§ à¥è¥¨ï ªà ¥¢®© § ¤ ç¨, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢¥¨î (1). áᬮâਬ á ç « ®à¬ «ìë© (¥ ¨áª«îç¨â¥«ìë©) á«ãç ©, ª®£¤ ª®íää¨æ¨¥â D(t) § ¤ ç¨ ¨¬ (4) ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®áâì, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤«ï ãà ¢¥¨ï (1) ãá«®¢¨î «ï ã¯à®é¥¨ï ¤ «ì¥©è¨å ä®à¬ã« ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ãà ¢¥¨ï (1) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î â ª®¬ã á«ãç î p ¢á¥£¤ ¬®® ¯à¨¢¥á⨠¨áá«¥¤ã¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤¥«¥¨¥¬ ®¡¥¨å ¥£® ç á⥩ a2 (t) − b2 (t). 믨襬 à¥è¥¨¥ ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ (4), áç¨â ï ν > 0, ¨ ¢ëç¨á«¨¬ ¯® ä®à¬ã« ¬ ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï ¯à¥¤¥«ìë¥ § 票ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å äãªæ¨© (á¬. ¯¯. 6.2-5, 6.3-6 ¨ 6.3-10)
+ (t) = X + (t) 1
H (t) X + (t)
2
(t) = X (t) − 1 2 −
−
£¤¥
(t) = 1
+ (t) − 1 Pν−1 (t) 2
H (t) X + (t)
2πi
Z
L
, (9)
+ (t) − 1 Pν−1 (t) , 2
dτ H (τ ) . X + (τ ) τ − t
(10)
Ǒந§¢®«ìë© ¬®£®ç«¥ ¢§ïâ ¢ ä®à¬¥ − 12 Pν−1 (t) ¤«ï 㤮¡á⢠¤ «ì¥©è¨å ®¡®§ 票©. âáî¤ ¯® ä®à¬ã«¥ (3)
ϕ(t) =
1 1+ 2
X − (t) H (t) + X + (t) X + (t)
1−
X − (t) X + (t)
(t) − 1 Pν−1 (t) 2
.
Ǒ।áâ ¢«ïï ª®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¨¬ ¢ ¢¨¤¥ D(t) = X + (t)/X − (t), ¨ § ¬¥ïï äãªæ¨î (t) ¥¥ ¢ëà ¥¨¥¬ ¯® ä®à¬ã«¥ (10), ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
ϕ(t)=
1 1+ 1 H (t)+X + (t) 1− 1 2 D (t) D (t)
1 2πi
Z
L
dτ H (τ ) − X + (τ ) τ − t
1 (t ) . P 2 ν−1
15*
âà ¨æ 227
228
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
Ǒ®¤áâ ¢«ïï, ª®¥æ, ¢¬¥áâ® X + (t) ¥¥ ¢ëà ¥¨¥, § ¤ ¢ ¥¬®¥ ä®à¬ã«®© (62) ¨§ ¯. 6.3-10, ¨ § 票ï D(t) ¨ H (t) ¨§ (5), ¯®«ã稬
ϕ(t) = a(t)f (t) −
Z
b(t)Z (t) πi
£¤¥
L
f (τ ) dτ Z (τ ) τ − t
+ b(t)Z (t)Pν−1 (t), eG(t)
Z (t) = [a(t) + b(t)℄X + (t) = [a(t) − b(t)℄X − (t) = p G(t) =
1 2πi
Z
L
ln
τ −ν (τ )
a(τ ) − b(τ ) a(τ ) + b(τ )
dτ , τ −t
tν (t)
(t) =
(11)
,
m X
k=1
(t − zk )νk ,
(12)
¯à¨ç¥¬ ª®íää¨æ¨¥âë a(t) ¨ b(t) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î (7). ¤¥áì (t) ≡ 1 ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ L | ¯à®á⮩ ª®âãà, ®å¢ âë¢ î騩 ®¤®á¢ï§ãî ®¡« áâì. ª ª ª äãªæ¨¨ a(t), b(t), f (t) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , â® ®á®¢ ¨¨ ᢮©á⢠¯à¥¤¥«ìëå § 票© ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ äãªæ¨ï ϕ(t) â ª¥ ¡ã¤¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . Ǒ®á«¥¤¨© ç«¥ ä®à¬ã«ë (11) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (f (t) ≡ 0), ¯¥à¢ë¥ ¤¢ ç«¥ | ¥ª®â®à®¥ ç á⮥ à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï. á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¬®® § ¯¨á âì ª ª R[f (t)℄, £¤¥ R | ®¯¥à â®à, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© à ¢¥á⢮¬
R[f (t)℄
= a(t)f (t) − b(t)Z (t) πi
®£¤ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¯à¨¬¥â ¢¨¤
ϕ(t) = R[f (t)℄ +
ν X
k=1
Z
L
f (τ ) dτ . Z (τ ) τ − t
ck ϕk (t),
(13)
£¤¥ ϕk (t) = b(t)Z (t)tk−1 (k = 1, 2, . . . , ν ) | ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï.
᫨ ν < 0, â® § ¤ ç ¨¬ (4), ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥à §à¥è¨¬ . á«®¢¨ï ¥¥ à §à¥è¨¬®áâ¨
Z
L
H (τ ) k−1 τ dτ X + (τ )
= 0,
k
= 1, 2, . . . , −ν,
(14)
¡ã¤ãâ ¢¬¥á⥠á ⥬ ¨ ãá«®¢¨ï¬¨ à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨ï (1). ¬¥ïï H (τ ) ¨ X + (τ ) ¨å ¢ëà ¥¨ï¬¨ ¨§ (5) ¨ (12), ¬®® § ¯¨á âì ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠¢ ¢¨¤¥
Z
L
f (τ ) k−1 τ dτ Z (τ )
= 0,
k
= 1, 2, . . . , −ν.
(15)
᫨ ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠ᮡ«î¤¥ë, â® à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï (4) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (11) ¯à¨ Pν−1 (t) ≡ 0.
᫨ ν > 0, â® ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ K◦ [ϕ(t)℄ ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©
1◦ . 2
ϕk (t) = b(t)Z (t)tk−1 ,
k
= 0
¨¬¥¥â ν «¨¥©®
= 1, 2, . . . , ν.
.
᫨ ν 6 0, â® ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥à §à¥è¨¬® (¨¬¥¥â ⮫쪮 âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥). ◦
âà ¨æ 228
7.2. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©
229
3◦ .
᫨ ν > 0, â® ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ à §à¥è¨¬® ¯à¨ «î¡®© ¯à ¢®© ç á⨠f (t) ¨ ¥£® ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ «¨¥©® § ¢¨á¨â ®â ν ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå.
4◦ .
᫨ ν < 0, â® ¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ à §à¥è¨¬® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥£® ¯à ¢ ï ç áâì f 㤮¢«¥â¢®àï¥â −ν ãá«®¢¨ï¬: Z
L
ψk (t)f (t) dt = 0,
tk−1 . Z (t)
ψk (t) =
(16)
à ¢¨¢ ï ¯¥à¥ç¨á«¥ë¥ ᢮©á⢠å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ᮠ᢮©á⢠¬¨ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ (á¬. ¯. 7.1-3), ¬®® ãᬮâà¥âì ¬¥¤ã ¨¬¨ áãé¥áâ¢¥ë¥ à §«¨ç¨ï. «ï ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ ¢ á«ãç ¥ à §à¥è¨¬®á⨠®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï ¥®¤®à®¤®¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥à §à¥è¨¬® ¨, ®¡®à®â, ¢ á«ãç ¥ ¥à §à¥è¨¬®á⨠¯¥à¢®£® ¢â®à®¥ ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬®. «ï ᨣã«ïண® ¥ ãà ¢¥¨ï ¯à¨ à §à¥è¨¬®á⨠®¤®à®¤®£® ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬® ¨ ¥®¤®à®¤®¥, ¯à¨ ¥à §à¥è¨¬®á⨠¥ ¯¥à¢®£®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥à §à¥è¨¬® ¨ ¢â®à®¥. ¢¥¤¥¬ «®£¨ç® ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬ ¢ ï¤à® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¯ à ¬¥âà λ ¨ à áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
a(t)ϕ(t) +
λb(t) πi
Z
ϕ(τ ) dτ τ −t
L
= 0.
ª ¡ë«® ¯®ª § ®, ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ à §à¥è¨¬®, ¥á«¨
ν
= Ind a(t) − λb(t) a(t) + λb(t)
> 0.
¤¥ªá ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ ¨§¬¥ï¥âáï ᪠窮®¡à §®, ¯à¨ç¥¬ ⮫쪮 ¤«ï â ª¨å § 票© λ, ¤«ï ª®â®àëå a(t) ∓ λb(t) = 0.
᫨ ¢ ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®á⨠λ = λ1 +iλ2 ¯à®¢¥á⨠ªà¨¢ë¥ λ = ±a(t)/b(t), â® ®¨ à §¤¥«ïâ ¯«®áª®áâì ®¡« áâ¨, ¢ ª ¤®© ¨§ ª®â®àëå ¨¤¥ªá ¡ã¤¥â ¯®áâ®ïë¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ᮡáâ¢¥ë¥ § 票ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï § ¯®«ïîâ æ¥«ë¥ ®¡« áâ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ᯥªâà ¥£®, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ᯥªâà ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ , ï¥âáï ¥ ¤¨áªà¥âë¬, ᯫ®èë¬. 7.2-2. à ¢¥¨¥, á®î§®¥ á å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬
à ¢¥¨¥
K
◦∗
[ψ(t)℄ ≡ a(t)ψ(t) − 1
πi
Z
L
b(τ )ψ(τ ) dτ τ −t
á®î§®¥ á å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ ãà ¢¥¨¥¬ K◦ [ϕ(t)℄ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬. ¤ ª® ¯ã⥬ ¯®¤áâ ®¢ª¨
= g (t),
= f (t),
(17)
á ¬® ¥ ï¥âáï
b(t)ψ (t) = ω (t)
(18)
®® ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨¨ ω (t):
a(t)ω (t) −
b(t) πi
Z
L
ω (τ ) dτ τ −t
= b(t)g (t).
(19)
¯à¥¤¥«¨¢ ¨§ ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï ω (t) ¯® ä®à¬ã«¥ ¯®«ãç î饩áï á«®¥¨¥¬ à ¢¥á⢠(17) ¨ (18), ©¤¥¬ ¨áª®¬ãî äãªæ¨î ψ (t):
ψ (t) =
1 1 ω (t) + a(t) + b(t) πi
Z
L
ω (τ ) dτ τ −t
+ g (t)
.
âà ¨æ 229
230
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
¢®¤ï ªãá®ç® «¨â¨ç¥áªãî äãªæ¨î
∗ (z ) = 1
2πi
¯à¨¤¥¬ ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¨¬
Z
L
ω (τ ) dτ, τ −z
∗+ (t) = a(t) + b(t) −∗ (t) + a(t) − b(t)
(20)
b(t)g (t) . a(t) − b(t)
(21)
®íää¨æ¨¥â ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (21) ¥áâì ¢¥«¨ç¨ , ®¡à â ï ª®íää¨æ¨¥âã § ¤ ç¨ ¨¬ (4), ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ãà ¢¥¨î K◦ [ϕ(t)℄ = f (t). «¥¤®¢ ⥫ì®,
ν∗
= Ind a(t) + b(t) = − Ind a(t) − b(t) = −ν. a(t) − b(t)
a(t) + b(t)
(22)
¬¥â¨¬, çâ® ¢ ᨫã ä®à¬ã« (17) ¨§ ¯. 6.3-4 ª ®¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ X ∗ (z ) ¤«ï ãà ¢¥¨ï (21) ¨ X (z ) ¤«ï (4) ¡ã¤ãâ ®¡à âë ¯® ¢¥«¨ç¨¥:
X ∗ (z ) =
1
X (z )
.
«®£¨ç® ¯à®¤¥« ®¬ã ¢ ¯. 7.2-1 ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (17) ¯à¨ ν ∗ = −ν > 0 ¢ ¢¨¤¥
ψ (t) = a(t)g (t) +
1
πiZ (t)
Z
L
b(τ )Z (τ )g (τ ) dτ τ −t
+ 1
Z (t)
Qν ∗ −1 (t),
(23)
£¤¥ Z (t) § ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (12), Qν ∗ −1 (t) | ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ ν ∗ − 1 á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨.
᫨ ν ∗ = 0, â® á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Qν ∗ −1 (t) ≡ 0.
᫨ ν ∗ = −ν < 0, â® ¤«ï à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨ï (17) ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® ¢ë¯®«¥¨¥ ãá«®¢¨©
Z
L
b(t)Z (t)g (t)tk−1 dt = 0,
k
= 1, 2, . . . , −ν ∗ ,
(24)
¯à¨ ᮡ«î¤¥¨¨ ª®â®àëå à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (23), £¤¥ ã® ¯®«®¨âì Qν ∗ −1 (t) ≡ 0. ¥§ã«ìâ âë ®¤®¢à¥¬¥®£® ¨áá«¥¤®¢ ¨ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¨ á®î§®£® á ¨¬ ãà ¢¥¨© ¯®ª §ë¢ îâ áãé¥á⢥®¥ ®â«¨ç¨¥ ¨å ᢮©á⢠®â ᢮©á⢠ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ (á¬. ¯. 7.1-3). à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ¨ á®î§®¥ á ¨¬ ®¤®à®¤ë¥ ãà ¢¥¨ï ¨ª®£¤ ¥ ¡ë¢ îâ ®¤®¢à¥¬¥® à §à¥è¨¬ë. ¨ ¨«¨ ®¡ ¥à §à¥è¨¬ë ¯à¨ ν = 0, ¨«¨, ¯à¨ ¥ã«¥¢®¬ ¨¤¥ªá¥, à §à¥è¨¬® â® ¨§ ¨å, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¯®«®¨â¥«ìë© ¨¤¥ªá. ⬥⨬, çâ® à §®áâì ç¨á¥« à¥è¥¨© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¨ á®î§®£® á ¨¬ ®¤®à®¤ëå ãà ¢¥¨© à ¢ ¨¤¥ªáã ν . ⢥थ¨ï 1◦ , 2◦ ¨ 3◦ , 4◦ , áä®à¬ã«¨à®¢ ë¥ ¢ ¯. 7-2.1, §ë¢ îâáï ¯¥à¢®© ¨ ¢â®à®© ⥮६ ¬¨ ñâ¥à ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï, ®â¬¥ç¥ ï §¤¥áì á¢ï§ì ¨¤¥ªá ãà ¢¥¨ï á ª®«¨ç¥á⢮¬ à¥è¥¨© ®¤®à®¤ëå ãà ¢¥¨© K◦ [ϕ(t)℄ = 0 ¨ K◦∗ [ψ (t)℄ = 0 | âà¥â쥩 ⥮६®© ñâ¥à . 7.2-3. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨
¥®à¨ï ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ ¯®ª §ë¢ ¥â (á¬. à §¤. 6.2), çâ® ¥á«¨ ¯«®â®áâì ¨â¥£à « ⨯ ®è¨, ¢§ï⮣® ¯® ¡¥áª®¥ç®© ªà¨¢®©, à ¢ ã«î ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ⮠᢮©á⢠¨â¥£à « ¢ á«ãç ïå ª®¥ç®£® ¨ ¡¥áª®¥ç®£® ª®âã஢ ¢® ¢á¥¬ áãé¥á⢥®¬ ᮢ¯ ¤ îâ. Ǒ®í⮬ã ⥮à¨ï ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï
âà ¨æ 230
231
7.2. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©
¡¥áª®¥ç®¬ ª®âãॠ¢ ª« áᥠ¨á祧 îé¨å ¡¥áª®¥ç®á⨠à¥è¥¨© ᮢ¯ ¤ ¥â á ⥮ਥ© ãà ¢¥¨ï ª®¥ç®¬ ª®âãà¥. ª ¥, ª ª ¢ á«ãç ¥ ª®¥ç®£® ª®âãà , å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ Z ∞ b(x) ϕ(τ ) a(x)ϕ(x) + dτ = f (x) (25) πi −∞ τ − x á ¯®¬®éìî ¨â¥£à « ⨯ ®è¨
Z
(z ) = 1
2πi
∞ −∞
ϕ(τ ) dτ τ −z
(26)
¨ ä®à¬ã« ®å®æª®£®{Ǒ«¥¬¥«ï (á¬. ¯. 6.2-5) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ªà ¥¢®© § ¤ ç¥ ¨¬ ¤«ï ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ (á¬. ¯. 6.3-8)
+ (x) = a(x) − b(x) − (x) + a(x) + b(x)
㤥¬ áç¨â âì, çâ®
f (x) , a(x) + b(x)
(27)
−∞ < x < ∞.
a2 (x) − b2 (x) = 1,
(28)
¯®áª®«ìªã ãà ¢¥¨¥ (25) ¢á¥£¤ ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª á«ãç î (28) ¤¥«¥¨¥¬ ®¡¥¨å p ¥£® ç á⥩ a2 (t) − b2 (t) á ¯®á«¥¤ãî騬¨ ¯¥à¥®¡®§ 票ﬨ, ¨ § ¬¥â¨¬, çâ® ¨¤¥ªá ν ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (25) ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®©
ν ®£¤ ¯à¨ ν >
= Ind a(x) − b(x) .
0 ¯®«ã稬
ϕ(x) = a(x)f (x) −
(29)
a(x) + b(x)
Z
b(x)Z (x) πi
£¤¥
∞ −∞
f (τ ) dτ Z (τ ) τ − x
+ b(x)Z (x)
Z (x) = [a(x) + b(x)℄X + (x) = [a(x) − b(x)℄X − (x) = G(x) =
1 2πi
Z
∞ −∞
ln
τ −i τ +i
−ν
a(τ ) − b(τ ) a(τ ) + b(τ )
Pν−1 (x)
(x + i)ν
x−i x+i
−ν/2
,
(30)
eG(x) ,
dτ . τ −x
á«ãç ¥ ν 6 0 á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Pν−1 (x) ≡ 0 ¨ ¯®âॡ®¢ âì ¯à¨ ν < 0 ¢ë¯®«¥¨ï ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®áâ¨
Z
∞ −∞
f (x) Z (x)
dx
= 0,
(x + i)k
k
= 1, 2, . . . , −ν.
(31)
à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨ï (25) ¢ ª« áᥠ®£à ¨ç¥ëå ¡¥áª®¥ç®á⨠äãªæ¨© ¬®® ¯à®ç¨â âì ¢ ª¨£¥ . . 客 (1977). ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ «®£®¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤
a(x)ϕ(x) +
b(x) πi
Z
∞ −∞
x − z0 ϕ(τ ) dτ τ − z0 τ − x
= f (x),
(32)
£¤¥ z0 | â®çª , ¥ «¥ é ï ª®âãà¥. «ï ¥£® á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢á¥ ª ç¥áâ¢¥ë¥ à¥§ã«ìâ âë ¨ ä®à¬ã«ë, ¯®«ãç¥ë¥ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï § ¬ªã⮬ ª®¥ç®¬ ª®âãà¥. ç áâ®áâ¨, ®ª §ë¢ îâáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨ ä®à¬ã«ë ®¡à é¥¨ï ¨â¥£à « ⨯ ®è¨
ψ (x) =
1
πi
Z
∞ −∞
x − z0 ϕ(τ ) dτ, τ − z0 τ − x
ϕ(x) =
1
πi
Z
∞ −∞
x − z0 ψ(τ ) dτ. τ − z0 τ − x
(33)
âà ¨æ 231
232
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
7.2-4. ᪫îç¨â¥«ìë© á«ãç © å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï
Ǒਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ¯. 7-2.1 ¨áª«îç «áï á«ãç ©, ª®£¤ äãªæ¨¨ a(t) ± b(t) ®¡à é «¨áì ª®âãॠL ¢ ã«ì. â® ¡ë«® ¢ë§¢ ® ⥬, çâ® ª®íää¨æ¨¥â D(t) § ¤ ç¨ ¨¬ , ª ª®â®à®© ¯à¨¢®¤¨âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥, ¨¬¥¥â ¢ íâ¨å á«ãç ïå ª®âãॠ㫨 ¨ ¯®«îáë, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, â ª ï § ¤ ç ¥ ¯®¤ç¨ï¥âáï ®¡é¥© ⥮ਨ. áᬮâਬ 㪠§ ë© ¨áª«îç¨â¥«ìë© á«ãç ©. 㤥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ¨áá«¥¤ã¥¬ëå ᨣã«ïàëå ãà ¢¥¨© â ª®¢ë, çâ® ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï ¢ë¯®«¥¨¥ ¤®¯®«¨â¥«ì®£® âॡ®¢ ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠äãªæ¨©, ª®â®à®¥ ¢¢®¤¨«®áì ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¨áª«îç¨â¥«ìëå á«ãç ¥¢ § ¤ ç¨ ¨¬ (á¬. 6.3-9). áᬮâਬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ (1) ¢ ¯à¥¤¯®«®¥¨¨, çâ® äãªæ¨¨ a(t) − b(t) ¨ a(t) + b(t) ¨¬¥îâ ª®âãॠ㫨 ᮮ⢥âá⢥® ¢ â®çª å α1 , α2 , . . . , αµ ¨ β1 , β2 , . . . , βη 楫ëå ¯®à浪®¢ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ë ¢ ¢¨¤¥
a(t) − b(t) =
µ Y
k=1
(t − αk )mk r(t),
a(t) + b(t) =
η Y
j =1
(t − βj )pj s (t),
£¤¥ r (t) ¨ s (t) ¨£¤¥ ¥ ®¡à é îâáï ¢ ã«ì. ᥠαk ¨ βj ¯à¥¤¯®« £ îâáï à §«¨ç묨. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ãà ¢¥¨ï (1) 㤮¢«¥â¢®àïîâ á®®â®è¥¨î
a2 (t) − b2 (t) =
µ Y
k=1
(t − αk )mk
η Y
j =1
(t − βj )pj = A0 (t).
(34)
â ª®¬ã á«ãç î p ¨áá«¥¤ã¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢á¥£¤ ¬®® ¯à¨¢¥á⨠¤¥«¥¨¥¬ ®¡¥¨å s (t)r (t) á ¯®á«¥¤ãî騬¨ ®ç¥¢¨¤ë¬¨ ¯¥à¥®¡®§ 票ﬨ. ¥£® ç á⥩ à ¢¥¨¥ (1) ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ á«ãç ¥, «®£¨ç® ¯à®¤¥« ®¬ã ¢ ¯. 7.2-1, ¯à¨¢®¤¨âáï ª § ¤ ç¥ ¨¬
+ (t) =
µ Y
(t − αk )mk
k=1 η Y
j =1
(t − βj )
pj
D1 (t)− (t) + η Y
j =1
f (t)
,
(35)
(t − βj )pj s (t)
£¤¥ D1 (t) = r (t)/s (t). ¥è¥¨¥ í⮩ § ¤ ç¨ ¢ ª« áᥠäãªæ¨©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î (∞) = 0, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã« ¬¨
+ (z ) =
η Y
X + (z )
j =1
− (z ) =
µ Y
(z − βj )pj
k=1
£¤¥
[ + (z ) − Uρ (z ) + A0 (z )Pν−p−1 (z )℄,
X − (z )
(z − αk )mk
(z ) = 1
2πi
[ − (z ) − Uρ (z ) + A0 (z )Pν−p−1 (z )℄, Z
L s
f (τ ) (τ )X + (τ )
dτ , τ −z
(36)
(37)
âà ¨æ 232
7.2. ¥â®¤ à«¥¬ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©
233
Uρ (z ) | ¨â¥à¯®«ïæ¨®ë© ¯®«¨®¬ ନâ (á¬. ¯. 6.3-2) ¤«ï äãªæ¨¨ (z ) p − 1 á 㧫 ¬¨ á⥯¥¨ ρ = m +P P ¢ â®çª å αk ¨ βj ᮮ⢥âá⢥® ªà â®á⥩ mk , p = pj . mk ¨ pj , £¤¥ m = á«®¢¨¬áï ¬®£®ç«¥ Uρ (z ) à áᬠâਢ âì ª ª ®¯¥à â®à, áâ ¢ï騩 ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ᢮¡®¤®¬ã ç«¥ã f (t) ãà ¢¥¨ï (1) ¯®«¨®¬, ¨â¥à¯®«¨àãî騩 㪠§ ë¬ ®¡à §®¬ ¨â¥£à « ⨯ ®è¨ (37). ¡®§ 稬 íâ®â ®¯¥à â®à
1 T[f (t)℄ = U (z ). ρ 2
(38)
®íää¨æ¨¥â 12 §¤¥áì ¢§ïâ ¤«ï 㤮¡á⢠¤ «ì¥©è¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨©.
«¥¥, «®£¨ç® ⮬ã, ª ª íâ® ¡ë«® ᤥ« ® ¢ ®à¬ «ì®¬ á«ãç ¥, ¨§ (36) ©¤¥¬
+ (t) =
η Y
j =1
− (t) =
µ Y
X + (t)
(t − βj )pj
k=1
Z
1 f (t) + 1 2 s (t)X + (t) 2πi
L s
f (τ ) (τ )X + (τ )
dτ − τ −t
X − (t)
(t − αk )mk
1 1 − T[f (t)℄ − A0 (t)Pν−p−1 (t) , 2 2 Z 1 f (t) dτ 1 f (τ ) + − − 2 s (t)X + (t) 2πi L s (τ )X + (τ ) τ − t −
1 1 T[f (t)℄ − A0 (t)Pν−p−1 (t) . 2 2
®íää¨æ¨¥â − 12 ¢ ¯®á«¥¤¨å á« £ ¥¬ëå íâ¨å ä®à¬ã« ¢§ïâ ¤«ï 㤮¡á⢠¤ «ì¥©è¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì®á⨠ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¬®£®ç«¥ Pν−p−1 (t). «¥¤®¢ ⥫ì®,
(t)f (t) ϕ(t) = + (t) − − (t) = 1 + + s (t)X (t) Z f (τ ) dτ ( ( + 2 ( t ) 1 − T [ f ( t )℄ − A t ) P t ) , (39) 0 1 ν−p− πi s (τ )X + (τ )(τ − t) L
£¤¥
1 (t) = 2 (t) =
X + (t)
2
η Y
j =1
(t − β j )
pj
X + (t)
2
η Y
j =1
+
(t − β j )
pj
®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ®¡®§ 票¥¬
−
2 2
µ Y
X − (t)
k=1 µ Y
,
(t − αk )
mk
X − (t)
k=1
.
(t − αk )
mk
Z (t) = s (t)X + (t) = r (t)X − (t),
(40)
â ª¥ á®®â®è¥¨¥¬ (34), ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«ã (39) ¢ ¢¨¤¥
ϕ(t) =
1 b(t)Z (t) a(t)f (t) − A0 (t) πi
Z
L
dτ f (τ ) Z (τ ) τ − t
+
+ b(t)Z (t)T[f (t)℄ + b(t)Z (t)Pν−p−1 (t).
âà ¨æ 233
234
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
¢®¤ï ®¯¥à â®à R1 [f (t)℄ ä®à¬ã«®©
R1 [f (t)℄ ≡
1 b(t)Z (t) a(t)f (t) − A0 (t) πi
®ª®ç â¥«ì® ¯®«ã稬
Z
L
dτ f (τ ) Z (τ ) τ − t
+ b(t)Z (t)T[f (t)℄
ϕ(t) = R1 [f (t)℄ + b(t)Z (t)Pν−p−1 (t).
, (41)
(42)
®à¬ã« (42) ¤ ¥â à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (1) ¢ ¨áª«îç¨â¥«ì®¬ á«ãç ¥ ¯à¨
ν − p > 0, ª®â®à®¥ «¨¥©® § ¢¨á¨â ®â ν − p ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå.
᫨ ν − p < 0, â® à¥è¥¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ p − ν á¯¥æ¨ «ìëå ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®áâ¨, « £ ¥¬ëå ᢮¡®¤ë© ç«¥ f (t) ¨ ¢ë⥪ îé¨å ¨§ ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 í⮬ã á«ãç î § ¤ ç¨ ¨¬ (35). 7.2-5. à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ
áᬮâਬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ
a(x)ϕ(x) −
b(x) 2π
Z 2π
0
tg
ξ−x
2
ϕ(ξ ) dξ
= f (x).
(43)
ª å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨ á¢ï§ ® á ªà ¥¢®© § ¤ 祩 ¨¬ , â ª ¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥ ãà ¢¥¨¥ (43) á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ «¨â¨ç¥áª¨ ¥¯®á।á⢥® ¯à¨¢®¤¨âáï ª § ¤ ç¥ ¨«ì¡¥àâ . ¤ ç ¨«ì¡¥àâ ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ¬®¥â ¡ëâì ᢥ¤¥ ª § ¤ ç¥ ¨¬ (á¬. ¯. 6.3-12), § ç¨â ¬®® ¯®áâநâì «¨â¨ç¥áª®¥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (43). Ǒਠν > 0 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ (43) (f (x) ≡ 0) ¨¬¥¥â 2ν «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨©, ¥®¤®à®¤®¥ ¡¥§ãá«®¢® à §à¥è¨¬® ¨ § ¢¨á¨â «¨¥©® ®â 2ν ¤¥©á⢨⥫ìëå ¯®áâ®ïëå. Ǒਠν < 0 ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥à §à¥è¨¬®, ¥®¤®à®¤®¥ à §à¥è¨¬® «¨èì ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ −2ν ¤¥©á⢨⥫ìëå ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®áâ¨. ç¨âë¢ ï, çâ® ª®¬¯«¥ªáë© ¯ à ¬¥âà ᮤ¥à¨â ¤¢ ¤¥©á⢨⥫ìëå, ª®¬¯«¥ªá®¥ ãá«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®áâ¨ à ¢®á¨«ì® ¤¢ã¬ ¤¥©á⢨⥫ìë¬, § ª«îç ¥¬, çâ® ¯à¨ ν 6= 0 ª ç¥áâ¢¥ë¥ à¥§ã«ìâ âë ¨áá«¥¤®¢ ¨ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ ¯®«®áâìî ᮢ¯ ¤ îâ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ १ã«ìâ â ¬¨ ¤«ï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ®è¨. 7.2-6. à ¢¥¨¥ ਪ®¬¨
¨£ã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ਪ®¬¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤
ϕ(x) − λ
Z 1
0
1 ξ−x
−
1
x + ξ − 2xξ
ϕ(ξ ) dξ
= f (x), 0 6 x 6 1.
(44)
¤à® í⮣® ãà ¢¥¨ï á®á⮨⠨§ ¤¢ãå á« £ ¥¬ëå. Ǒ¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ï¤à® ®è¨. â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¥¯à¥à뢮, ¥á«¨ å®âï ¡ë ®¤ ¨§ ¯¥à¥¬¥ëå x ¨ ξ ¬¥ï¥âáï áâண® ¢ãâਠ®â१ª [0, 1℄, ® ¥á«¨ x = ξ = 0 ¨«¨ x = ξ = 1, â® íâ® á« £ ¥¬®¥ áâ ®¢¨âáï ¡¥áª®¥çë¬ ¨ ¥¨â¥£à¨àã¥¬ë¬ ¢ ª¢ ¤à ⥠{0 6 x 6 1, 0 6 ξ 6 1}. Ǒਠ¯®¬®é¨ ªãá®ç®- «¨â¨ç¥áª®© ¢ ¢¥à奩 ¨ ¨¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå äãªæ¨¨
(z ) = 1
Z 1
2πi 0
1
ξ−z
−
1
z + ξ − 2zξ
ϕ(ξ ) dξ
âà ¨æ 234
235
Ǒ®«ë¥ ᨣã«ïàë¥ ãà ¢¥¨ï, à §à¥è ¥¬ë¥ ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥
ãà ¢¥¨¥ (44) ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª § ¤ ç¥ ¨¬ á ªà ¥¢ë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ਪ®¬¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤
ϕ(x) =
Z α 1−x α 1 ξ ( x )+ f × 1 + λ2 π2 x 1−ξ 0 1 1 C (1 − x)β − f (ξ ) dξ + × 1+β ,
1
α=
2
π
x + ξ − 2xξ βπ
ξ−x
ar tg(λπ ) (−1 < α < 1), tg
2
x
= λπ (−2 < β < 0),
£¤¥ C | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï.
• : . ਪ®¬¨ (1960), . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . 客 (1977). ¨â¥à âãà
7.3. Ǒ®«ë¥ ᨣã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, à §à¥è ¥¬ë¥ ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥
Ǒ®«ë¥ ᨣã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨å ¨ á®î§ëå á ¨¬¨, ¥ à¥è îâáï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥. ¤ ª® ¨¬¥¥âáï àï¤ á«ãç ¥¢, ª®£¤ ¨ ¯®«ë¥ ãà ¢¥¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì à¥è¥ë ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥. 7.3-1. ¬ªã⮥ à¥è¥¨¥ ¯à¨ ¯®áâ®ïëå ª®íää¨æ¨¥â å
áᬮâਬ ¯®«®¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ï¤à®¬ ®è¨ ¢ ä®à¬¥ (á¬. ¯. 7.1-1)
a(t)ϕ(t) +
b(t) πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
+
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f (t),
(1)
£¤¥ L | ¯à®¨§¢®«ìë© § ¬ªãâë© ª®âãà. Ǒ®ª ¥¬, çâ® ãà ¢¥¨¥ (1) à¥è ¥âáï ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥, ¥á«¨ a(t) = a ¨ b(t) = b ¯®áâ®ïë, K (t, τ ) | «î¡ ï äãªæ¨ï, «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ ï ¢ ®¡« áâì + ¯® ª ¤®© ¯¥à¥¬¥®©. à ¢¥¨¥ (1) ¯à¨ 㪠§ ëå ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå ¨¬¥¥â ¢¨¤
aϕ(t) + £¤¥ M (t, τ ) ¡®§ 稬
1 πi
Z
L
M (t, τ ) ϕ(τ ) dτ τ −t
= b + πi(t − τ )K (t, τ ), â ª ψ (t) =
1
bπi
Z
L
çâ® M (t, t)
= f (t), = b = onst.
M (t, τ ) ϕ(τ ) dτ. τ −t
(2) Ǒãáâì b = 6
0. (3)
®£« á® ¯. 6.4-4 äãªæ¨ï ϕ(t) ¢ëà ¥âáï ç¥à¥§ ψ (t) â®ç® â ª ¥, ª ª ψ (t) ç¥à¥§ ϕ(t). ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (2) § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥
aϕ(t) + bψ (t) = f (t).
(4)
Ǒਬ¥ïï ª ®¡¥¨¬ ç áâï¬ ®¯¥à æ¨î (3), ¯®«ã稬
aψ (t) + bϕ(t) = w(t), £¤¥
w (t ) =
1 bπi
Z
L
(5)
M (t, τ ) f (τ ) dτ. τ −t
âà ¨æ 235
236
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
¥è ï á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© (4) ¨ (5), ©¤¥¬ ϕ(t):
1
ϕ(t) =
1
af (t) − a2 − b2 πi
Z
L
(6)
a = onst
(7)
M (t, τ ) f (τ ) dτ τ −t
¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® a 6= ±b. 6 ±b ¨ «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬®¬ ï¤à¥ K (t, τ ) ãà ¢¥ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ a = ¨¥ (1) ¨«¨ (2) à §à¥è¨¬® ¨ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥, ¤ ¢ ¥¬®¥ ä®à¬ã«®© (6). à ¢¥¨¥ (1) à áᬠâਢ «®áì ¯à¨ b 6= 0. â® ¯à¥¤¯®«®¥¨¥ ¥áâ¥á⢥® ¢¢¨¤ã ⮣®, çâ® ¯à¨ b ≡ 0 ãà ¢¥¨¥ (1) ¯¥à¥á⠥⠡ëâì ᨣã«ïàë¬. ¤ ª®, ¯®«ãç ¥¬®¥ ¯à¨ b = 0 ä।£®«ì¬®¢® ãà ¢¥¨¥
aϕ(t) +
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f (t),
à §à¥è¨¬® ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥ ¯à¨ «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬®¬ ï¤à¥ K (t, τ ). Ǒãáâì äãªæ¨ï K (t, τ ) «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ ¢ ®¡« áâì + ¯® ª ¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¨ ¥¯à¥àë¢ ¯à¨ t, τ ∈ L. ®£¤
1◦ .
ãªæ¨ï
+ (t) =
Z
«¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ ¢ ®¡« áâì 饩 ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à .
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
+ ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ ϕ(t), 㤮¢«¥â¢®àïî-
2◦ .
᫨ äãªæ¨ï ϕ+ (t), 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬ ¢ ®¡« áâì + , â® Z
âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®
Z
L
L
K (t, τ )ϕ+ (τ ) dτ
K (t, τ )
Z
L
= 0.
K (τ, τ1 )ϕ(τ1 ) dτ1 dτ
(8)
=0
(9)
¤«ï «î¡®© (㤮¢«¥â¢®àïî饩 ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à ) äãªæ¨¨ ϕ(t). Ǒ®í⮬㠨§ (7) 室¨¬ Z Z
a
¨ ⮣¤
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
=
Z
ϕ(t) =
1
af (t) − a2
L
L
K (t, τ )f (τ ) dτ,
K (t, τ )f (τ ) dτ .
(10)
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ï¤à® K (t, τ ) «¨â¨ç® ¢ ®¡« á⨠+ ¯® ª ¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¨ ¥¯à¥à뢮 ¯à¨ t, τ ∈ L, â® ãà ¢¥¨¥ (7) à §à¥è¨¬® ¯à¨ «î¡®© ¯à ¢®© ç á⨠¨ ¥£® à¥è¥¨¥ ¤ ¥âáï ä®à¬ã«®© (10). 7.3-2. ¬ªã⮥ à¥è¥¨¥ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥
Ǒ¥à¥©¤¥¬ ª ®¡é¥¬ã á«ãç î à §à¥è¨¬®á⨠ãà ¢¥¨ï (1) ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® äãªæ¨ï K (t, τ )[a(t) + b(t)℄−1 «¨â¨ç ¯® τ ¨ ¬¥à®¬®àä ¯® t ¢ ®¡« á⨠+ . ¡®§ 稬 ¤«ï ªà ⪮áâ¨
Kr [ϕ(t)℄
=
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
âà ¨æ 236
Ǒ®«ë¥ ᨣã«ïàë¥ ãà ¢¥¨ï, à §à¥è ¥¬ë¥ ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥
¨ § ¬¥â¨¬, çâ®
+ (t)℄ = 0
Kr [ϕ
237 (11)
¤«ï ¢á类© äãªæ¨¨ ϕ+ (t), «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¨¬®© ¢ ®¡« áâì + . Ǒ®« £ ï ϕ(t) = ϕ+ (t) − ϕ− (t), ¯à¨¢®¤¨¬ ãà ¢¥¨¥ (1) á ãç¥â®¬ (11) ª á®®â®è¥¨î ⨯ § ¤ ç¨ ¨¬
ϕ+ (t) − £¤¥
1
a(t) + b(t)
Kr [ϕ
−
(t)℄ = D(t)ϕ− (t) + H (t),
a(t) − b(t) , a(t) + b(t) Ǒ® ¯à¥¤¯®«®¥¨î ¨¬¥¥¬
D(t) =
K (t, τ ) a(t) + b(t)
=
H (t ) =
A+ (t, τ ) , + (t)
(12)
f (t) . a(t) + b(t)
+ (t) =
n Y
k=1
(t − zk )mk ,
(13)
£¤¥ zk ∈ + , mk | æ¥«ë¥ ¯®«®¨â¥«ìë¥ ç¨á« , äãªæ¨ï A+ (t, τ ) «¨â¨ç ¯® t ¨ ¯® τ ¢ + . ®®â®è¥¨¥ (12) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
(14) + (t)ϕ+ (t) + A+ [ϕ− (t)℄ = + (t)[D(t)ϕ− (t) + H (t)℄, £¤¥ A+ | ¨â¥£à «ìë© ®¯¥à â®à á ï¤à®¬ A+ (t, τ ). ª ª ª äãªæ¨ï A+ ϕ− (t) «¨â¨ç ¢ + , â® ¯®á«¥¤¥¥ á®®â®è¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡ëçãî § ¤ çã ¨¬ , ¨§ ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«ïîâáï äãªæ¨¨ + (t)ϕ+ (t) + A+ [ϕ− (t)℄ ¨ ϕ− (t), á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ ϕ(t). á ¬®¬ ¤¥«¥, § ¯¨áë¢ ï D(t) ¢ ¢¨¤¥ D(t) = X + (t)/X − (t), £¤¥ X ± (z ) | ª ®¨ç¥áª ï äãªæ¨ï § ¤ ç¨ ¨¬ , ¨ ¯à¨¢®¤ï á®®â®è¥¨¥ (14) ª ¢¨¤ã, ¤®¯ã᪠î饬㠯ਬ¥¥¨¥ ®¡®¡é¥®© â¥®à¥¬ë ¨ã¢¨««ï (á¬. ¯. 6.3-1), ¯à¨¤¥¬ ª ¬®£®ç«¥ã á⥯¥¨ ν − 1 +
k=1
mk á ¯à®¨§¢®«ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨
+ (t)
mk >
0).
¤ ª® «¨ç¨¥ ¬®¨â¥«ï
®¡à é î饣®áï ¢ ã«ì ¢
+
á á㬬 àë¬ ¯®à浪®¬ ã«¥©
(¢ á«ãç ¥ ν
+
n P
n P
k=1
ç¨á«® ¯à®¨§¢®«ìëå ¯®áâ®ïëå ¢ ®¡é¥¬ à¥è¥¨¨.
n P
k=1
¯¥à¥¤ ϕ+ (t),
mk , 㬥ìè¨â
¬¥ç ¨¥ 1. «®£¨ç® ¯à®¤¥« ®¬ã ¢ ¯. 7.3-2 ¬®¥â ¡ëâì à áᬮâॠá«ãç ©, ª®£¤ ï¤à® K (t, τ ) ¬¥à®¬®àä® ¨ ¯® τ . ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (1) ¬®® ᢥá⨠ª § ¤ ç¥ ¨¬ ⨯ (12) ¨ ¥ª®â®à®© «¨¥©®© «£¥¡à ¨ç¥áª®© á¨á⥬¥. ¬¥ç ¨¥ 2. Ǒ®áâà®¥ë¥ ¢ à §¤. 7.3 à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯à¨¬¥¨¬ë ¢ á«ãç ¥ ª®£¤ ª®âãà L ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨§ ᥡï ᮢ®ªã¯®áâì ª®¥ç®£® ç¨á« £« ¤ª¨å § ¬ªãâëå ª®âã஢ ¡¥§ ®¡é¨å â®ç¥ª. Ǒਬ¥à 1.
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ λϕ(t) +
1
πi
Z
os(τ − t) τ −t
L
ϕ(τ ) dτ
= f (t),
(15)
£¤¥ L | ¯à®¨§¢®«ìë© § ¬ªãâë© ª®âãà. ¬¥â¨¬, çâ® äãªæ¨ï M (t, τ ) = os(τ − t) ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ M (t, t) ≡ 1. áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ä®à¬ã«®© (6), â ª çâ® ¤«ï ãà ¢¥¨ï (15) ¨¬¥¥¬ ϕ(t) .
1 = 2 λ −1
λf (t) −
1
πi
Z
os(τ − t)
L
τ −t
f (τ ) dτ ,
λ 6= ±1.
âà ¨æ 237
238
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
Ǒਬ¥à 2.
λϕ(t) +
1
πi
Z
sin(τ − t) ϕ(τ ) dτ = f (t), (τ − t)2
L
(16)
£¤¥ L | ¯à®¨§¢®«ìë© § ¬ªãâë© ª®âãà. ãªæ¨ï M (t, τ ) = [sin(τ − t)℄/[τ − t℄ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ M (t, t) ≡ 1. ®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ä®à¬ã«®© (6), ¤«ï ãà ¢¥¨ï (16) ¯®«ã稬 ϕ(t)
1 = 2 λ −1
λf (t) −
1
πi
Z
L
sin(τ − t) f (τ ) dτ (τ − t)2
,
λ= 6 ±1.
: . . 客 (1977).
•
¨â¥à âãà
7.4. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© 7.4-1. ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠ᨣã«ïàëå ®¯¥à â®à®¢
Ǒãáâì K1 , K2 | ᨣã«ïàë¥ ®¯¥à â®àë:
1
K1 [ϕ(t)℄ ≡ a1 (t)ϕ(t) +
πi
K2 [ω (t)℄ ≡ a2 (t)ω (t) +
πi
1
Z
ZL L
M1 (t, τ ) ϕ(τ ) dτ, τ −t M2 (t, τ ) ω (τ ) dτ. τ −t
(1) (2)
¯¥à â®à K = K2 K1 , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ä®à¬ã«®© K[ϕ(t)℄ = K2 K1 [ϕ(t)℄ , ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ª®¬¯®§¨æ¨¥© ¨«¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ®¯¥à â®à®¢ K1 ¨ K2 . ®áâ ¢¨¬ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ®¯¥à â®à K:
K[ϕ(t)℄
= K2 K1 [ϕ(t)℄ ≡ a2 (t) +
1 πi
Z
L
a1 (t)ϕ(t) +
1 πi
1 M2 (t, τ ) a1 (τ )ϕ(τ ) + τ −t πi
Z
Z
L
L
M1 (t, τ ) ϕ(τ ) dτ τ −t
+
M1 (τ, τ1 ) ϕ(τ1 ) dτ1 dτ, (3) τ1 − τ
¨ ¢ë¤¥«¨¬ ¥£® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî ç áâì. «ï í⮣® ¯à®¤¥« ¥¬ á«¥¤ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï:
Z
Z
Z
M1 (t, τ ) ϕ (τ ) M1 (t, τ ) − M1 (t, t) ϕ(τ ) dτ = M1 (t, t) dτ + ϕ(τ ) dτ, τ −t τ −t L L τ −t L Z Z ϕ(τ ) a1 (τ )M2 (t, τ ) ϕ(τ ) dτ = a1 (t)M2 (t, t) dτ + τ −t L τ −t L Z + a1 (τ )M2 (t, τ ) − a1 (t)M2 (t, t) ϕ(τ ) dτ, τ −t L Z Z 1 1 M2 (t, τ ) M1 (τ, τ1 ) dτ ϕ(τ1 ) dτ1 = M2 (t, t)M1 (t, t)ϕ(t)+ πi L τ − t πi L τ1 − τ Z Z 1 M2 (t, τ )M1 (τ, τ1 ) + 1 dτ. ϕ(τ1 ) dτ1 πi L πi L (τ1 − τ )(τ − t) (4) ¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ä®à¬ã« ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ ¯®à浪 ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï Ǒã ª à¥{ ¥àâà (á¬. ¯. 6.2-6). ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¢á¥ ï¤à ¨â¥£à «®¢ ¢ ¯®á«¥¤¨å á« £ ¥¬ëå ¯à ¢ëå ç á⥩ ä®à¬ã« (4) ïîâáï ä।£®«ì¬®¢ë¬¨.
âà ¨æ 238
7.4. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
239
¡®§ ç ï
M1 (t, t) = b1 (t), M2 (t, t) = b2 (t), (5) ¯®«ã稬, çâ® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ®¯¥à â®à K◦ ª®¬¯®§¨æ¨¨ (¯à®¨§¢¥¤¥¨ï) K ¤¢ãå ᨣã«ïàëå ®¯¥à â®à®¢ K1 ¨ K2 ¢ëà ¥âáï ä®à¬ã«®© K [ϕ(t)℄ ◦
= (K2 K1 )◦ [ϕ(t)℄ =
Z
a2 (t)b1 (t) + b2 (t)a1 (t) ϕ(τ ) dτ. (6) πi L τ −t ¯¨è¥¬ ®¯¥à â®àë K1 , K2 ¢ ä®à¬¥ (3) á  ¢ë¤¥«¥®© å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ç áâìî: Z Z ϕ(τ ) b (t) dτ + (7) K1 [ϕ(t)℄ ≡ a1 (t)ϕ(t) + 1 K1 (t, τ )ϕ(τ ) dτ, πi τ −t ZL ZL ω (τ ) b (t) K2 [ω (t)℄ ≡ a2 (t)ω (t) + 2 dτ + (8) K2 (t, τ )ω (τ ) dτ. πi L τ −t L
= [a2 (t)a1 (t) + b2 (t)b1 (t)℄ϕ(t) +
ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®íää¨æ¨¥âë a(t) ¨ b(t) å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ç á⨠¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®¯¥à â®à®¢ K1 K2 ¢ëà îâáï ä®à¬ã« ¬¨
a(t) = a2 (t)a1 (t) + b2 (t)b1 (t),
b(t) = a2 (t)b1 (t) + b2 (t)a1 (t). (9) ⨠ä®à¬ã«ë ¥ ᮤ¥à â ॣã«ïàëå 拉à K1 , K2 ¨ ®¨ ᨬ¬¥âà¨çë ®â®á¨-
â¥«ì® ¨¤¥ªá®¢ 1 ¨ 2. âáî¤ § ª«îç ¥¬, çâ® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï ç áâì ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ᨣã«ïàëå ®¯¥à â®à®¢ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¨å ॣã«ïன ç á⨠¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¯®à浪 á«¥¤®¢ ¨ï íâ¨å ®¯¥à â®à®¢ ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§¬¥¥¨¥ ¯®à浪 ®¯¥à â®à®¢, â ª¥ ¨§¬¥¥¨¥ ¨å ॣã«ïன ç á⨠®ª §ë¢ ¥â ¢«¨ï¨¥ ⮫쪮 ॣã«ïàãî ç áâì ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®¯¥à â®à®¢, ¥ § âà £¨¢ ï ¥¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ç áâ¨. ëç¨á«¨¬ ª®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¨¬ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¬ã ®¯¥à â®àã (K2 K1 )◦ : a(t) − b(t) D (t ) = = [a2 (t) − b2 (t)℄ [a1 (t) − b1 (t)℄ = D2 (t)D1 (t), (10) a(t) + b(t) [a2 (t) + b2 (t)℄ [a1 (t) + b1 (t)℄ £¤¥ ç¥à¥§ a (t) − b1 (t) a (t) − b2 (t) (11) D1 (t) = 1 , D2 (t) = 2 a1 (t) + b1 (t) a2 (t) + b2 (t) ®¡®§ ç¥ë ª®íää¨æ¨¥âë § ¤ ç ¨¬ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¯¥à â®à ¬ K◦1 , K◦2 . âáî¤ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ª®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¨¬ ®¯¥à â®à (K2 K1 )◦ à ¢¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ª®íää¨æ¨¥â®¢ § ¤ ç ¨¬ ®¯¥à â®à®¢ K◦1 ¨ K◦2 , ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¤¥ªá ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ᨣã«ïàëå ®¯¥à â®à®¢ à ¢¥ á㬬¥ ¨¤¥ªá®¢ ¯¥à¥¬® ¥¬ëå ®¯¥à â®à®¢: ν = ν1 + ν2 . (12) Ǒ®«ë© ¢¨¤ ®¯¥à â®à K2 K1 ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¢ëà ¥¨¥¬
K2 K1 [ϕ(t)℄ ≡ a(t)ϕ(t) +
b(t) πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
+
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ,
£¤¥ a(t) ¨ b(t) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ (9), ®á®¢ ¨¨ ä®à¬ã« (4) ¬®® ¢ë¯¨á âì ¥ ¢ëà ¥¨¥ ¤«ï ॣã«ïண® ï¤à K (t, τ ). «ï ᨣã«ïண® ®¯¥à â®à K ¨ á®î§®£® á ¨¬ K∗ (á¬. ¯. 7.1-1) á¯à ¢¥¤«¨¢ë á®®â®è¥¨ï: Z Z L
ψ (t)K[ϕ(t)℄ dt =
L
ϕK∗ [ψ (t)℄ dt
¤«ï «î¡ëå äãªæ¨© ϕ(t) ¨ ψ (t), 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à , ¨
(K2 K1 )∗ = K∗1 K∗2 .
âà ¨æ 239
240
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
7.4-2. ¥£ã«ïਧãî騩 ®¯¥à â®à
¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 á®á⮨⠢ ¯à¨¢¥¤¥¨¨ ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ª ä।£®«ì¬®¢ã. ¬ ¯à®æ¥áá â ª®£® ¯à¨¢¥¤¥¨ï §ë¢ ¥âáï ॣã«ïਧ 樥©.
᫨ ᨣã«ïàë© ®¯¥à â®à K2 â ª®¢, çâ® ®¯¥à â®à K2 K1 ï¥âáï ॣã«ïàë¬ (ä।£®«ì¬®¢ë¬), â. ¥. ¢ ¥¬ ®âáãâáâ¢ã¥â ᨣã«ïàë© ¨â¥£à « (b(t) ≡ 0), â® K2 §ë¢ ¥âáï ॣã«ïਧãî騬 ®¯¥à â®à®¬ ¯® ®â®è¥¨î ª ᨣã«ï஬㠮¯¥à â®àã K1 ¨«¨, ª®à®âª®, ¥£® ॣã«ïਧ â®à®¬. ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ K2 ï¥âáï ॣã«ïਧ â®à®¬, ⮠ॣã«ïàë¬ ¡ã¤¥â ¨ ®¯¥à â®à K1 K2 . ©¤¥¬ ®¡é¨© ¢¨¤ ॣã«ïਧãî饣® ®¯¥à â®à . Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î, ¤®«® ¢ë¯®«ïâìáï à ¢¥á⢮
b(t) = a2 (t)b1 (t) + b2 (t)a1 (t) = 0,
(13)
¨§ ª®â®à®£® á«¥¤ã¥â, çâ®
a2 (t) = g (t)a1 (t),
b2 (t) = −g (t)b1 (t),
(14)
£¤¥ g (t) | ¯à®¨§¢®«ì ï ¥ ®¡à é îé ïáï ¢ ã«ì äãªæ¨ï, 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ K | ᨣã«ïàë© ®¯¥à â®à:
K[ϕ(t)℄ ≡ a(t)ϕ(t) +
b(t) πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
Z
+
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ,
(15)
~ ¬®® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥ â® ¥£® ॣã«ïਧ â®à K ~ [ω (t)℄ ≡ g (t)a(t)ω (t) − K
g (t)b(t) πi
Z
L
ω (τ ) dτ τ −t
+
Z
L
~ (t, τ )ω (τ ) dτ, K
(16)
~ (t, τ ) | ¯à®¨§¢®«ì®¥ ä।£®«ì¬®¢® ï¤à®, g (t) | ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï, £¤¥ K 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à . ª ª ª ¨¤¥ªá ॣã«ïண® ®¯¥à â®à (b(t) ≡ 0), ®ç¥¢¨¤®, à ¢¥ ã«î, â® ¨§ ᢮©á⢠¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®¯¥à â®à®¢ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¨¤¥ªá ॣã«ïਧãî饣® ®¯¥à â®à à ¢¥ ¯® ¡á®«î⮩ ¢¥«¨ç¨¥ ¨ ®¡à ⥠¯® § ªã ¨¤¥ªáã ॣã«ïਧ㥬®£® ®¯¥à â®à . â® ¥ § ª«î票¥ ¬®® ᤥ« âì ¥¯®á।á⢥® ¯® ¢¨¤ã ॣã«ïਧãî饣® ®¯¥à â®à (16), ¨áå®¤ï ¨§ ⮣®, çâ® ~ (t ) = D
a ~(t) − ~b(t) a ~(t) + ~b(t)
= a(t) + b(t) = 1 a(t) − b(t)
D (t)
.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ᨣã«ïண® ®¯¥à â®à á ï¤à®¬ ®è¨ (15) ®à¬ «ì®£® ⨯ (a(t) ± b(t) 6= 0) áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áç¨á«¥®¥ ¬®¥á⢮ ॣã«ïਧãîé¨å ®¯¥à â®à®¢ (16) á å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ç áâìî, § ¢¨áï饩 ®â ¯à®¨§¢®«ì®© ~ (t, τ ). äãªæ¨¨ g (t), ¨ ᮤ¥à é¨å ¯à®¨§¢®«ì®¥ ॣã«ï஥ ï¤à® K ~ Ǒந§¢®«ì묨 í«¥¬¥â ¬¨ g (t), K (t, τ ) ¬®®, ¯à¨ á«ãç ¥, à ᯮà廊âìáï â ª, ç⮡ë ॣã«ïਧãî騩 ®¯¥à â®à 㤮¢«¥â¢®àï« ¥ª®â®àë¬ ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ ãá«®¢¨ï¬. ®®, ¯à¨¬¥à, ¤®¡¨âìáï ¢ ॣã«ïਧ®¢ ®¬ ãà ¢¥¨¨ ®à¬¨à®¢ ¨ï ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ϕ(t), ᤥ« ¢ ¥£® à ¢ë¬ ¥¤¨¨æ¥. «ï í⮣® ã® ¯®«®¨âì g (t) = [a2 (t) − b2 (t)℄−1 .
᫨ ¨ª ª¨å ãá«®¢¨© ¥ « £ ¥âáï, â® ¥áâ¥á⢥® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à®á⥩訬¨ ॣã«ïਧ â®à ¬¨. å ¬®® ¯®«ãç¨âì, ¥á«¨ ¢ ä®à~ (t, τ ) ≡ 0, ¯®á«¥ 祣® ॣã«ïਧ â®à ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¬ã«¥ (16) ¯®«®¨âì g (t) ≡ 1, K ¢¨¤ Z ω (τ ) ~ [ω (t)℄ = K∗◦ [ω (t)℄ ≡ a(t)ω (t) − b(t) dτ, K (17) πi L τ − t
âà ¨æ 240
7.4. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
~ (t, τ ) ¨«¨ ¥ ¯®«®¨âì g (t) ≡ 1, K ~ [ω (t)℄ K
241
= − 1 b(τ ) − b(t) , ⮣¤ τ −t
πi
= K [ω (t)℄ ≡ a(t)ω (t) − 1 ◦∗
πi
Z
L
b(τ )ω (τ ) dτ. τ −t
(18)
Ǒà®á⥩訥 ®¯¥à â®àë K∗◦ ¨ K◦∗ 㯮âॡ«ïîâáï ¢ ª ç¥á⢥ ॣã«ïਧ â®à®¢ ¨¡®«¥¥ ç áâ®. ª ª ª ¯¥à¥¬®¥¨¥ ®¯¥à â®à®¢ ¥ ¯¥à¥¬¥áâ¨â¥«ì®, â® á«¥¤ã¥â à §«¨ç âì ¤¢ ¢¨¤ ॣã«ïਧ 樨: ॣã«ïਧ æ¨î á«¥¢ , ª®£¤ ¢ १ã«ìâ ⥠¯®«ãç ¥âáï ®¯¥~ , ¨ ॣã«ïਧ æ¨î á¯à ¢ , ª®£¤ ® ¯à¨¢®¤¨â ª ®¯¥à â®àã KK ~ . ®áà â®à KK ®¢ ¨¨ ᤥ« ®£® ¢ëè¥ § ¬¥ç ¨ï ॣã«ïਧ â®à á¯à ¢ ï¥âáï ®¤®¢à¥¬¥® ¨ ॣã«ïਧ â®à®¬ á«¥¢ , ¨ ®¡®à®â. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à æ¨ï ॣã«ïਧ 樨 ¯¥à¥¬¥áâ¨â¥«ì . ~ ï¥âáï ॣã«ïਧãî騬 ¤«ï ®¯¥à â®à K, â® ¨ ®¡à â®,
᫨ ®¯¥à â®à K ~ . ¯¥à â®àë KK ~ ¨ KK ~ ®¯¥à â®à K ï¥âáï ॣã«ïਧ â®à®¬ ¤«ï ®¯¥à â®à K ¬®£ã⠮⫨ç âìáï ¤à㣠®â ¤à㣠«¨èì ॣã«ïன ç áâìî. 7.4-3. ¯®á®¡ë ॣã«ïਧ 樨 á«¥¢ ¨ á¯à ¢
Ǒãáâì ¤ ® ¯®«®¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
K[ϕ(t)℄ ≡ a(t)ϕ(t) +
b(t) πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
+
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f (t).
(19)
ᯮ«ì§ãîâáï âਠᯮᮡ ¥£® ॣã«ïਧ 樨. Ǒ¥à¢ë¥ ¤¢ ®á®¢ ë ª®¬¯®§¨æ¨¨ ¤ ®£® ᨣã«ïண® ®¯¥à â®à ¨ ¥£® ॣã«ïਧ â®à (ॣã«ïਧ æ¨ï á«¥¢ ¨ á¯à ¢ ). à¥â¨© ᯮᮡ áãé¥á⢥® ®â«¨ç ¥âáï ®â ¯¥à¢ëå ¤¢ãå, ¢ ¥¬ ãáâà ¥¨¥ ᨣã«ïண® ¨â¥£à « ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï.
1◦ .
¥£ã«ïਧ æ¨ï á«¥¢ .
®§ì¬¥¬ ॣã«ïਧãî騩 ®¯¥à â®à (16)
~ [ω (t)℄ ≡ g (t)a(t)ω (t) − K
g (t)b(t) πi
Z
L
ω (τ ) dτ τ −t
+
Z
L
~ (t, τ )ω (τ ) dτ. K
(20)
~ [ω (t)℄ ¢¬¥áâ® äãªæ¨¨ ω (t) ¢ëà ¥¨¥ K[ϕ(t) − f (t)℄, ¯à¨¤¥¬ Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ K ª ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ~ [ϕ(t)℄ KK
~ [f (t)℄. =K
(21)
~ ä।£®«ì¬®¢, â ª ª ª K ~ | ॣã«ïਧ â®à. «¥Ǒ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ®¯¥à â®à KK ¤®¢ ⥫ì®, ãà ¢¥¨¥ (21) ¥áâì ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯à¥®¡à §®¢ «¨ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (19) ¢ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ (21) ®â®á¨â¥«ì® ⮩ ¥ ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ ϕ(t). í⮬ á®á⮨⠯¥à¢ë© ᯮᮡ ॣã«ïਧ 樨, ª®â®àë© §ë¢ ¥âáï ॣã«ïਧ 樥© á«¥¢ .
2◦ . ¥£ã«ïਧ æ¨ï ¢ëà ¥¨¥ (20):
á¯à ¢ .
Ǒ®¤áâ ¢¨¢ ¢ ãà ¢¥¨¥ (19) ¢¬¥áâ® ¨áª®¬®© äãªæ¨¨
~ [ω (t)℄, ϕ(t) = K
(22)
£¤¥ ω (t) | ¥ª®â®à ï ®¢ ï ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï, ¯à¨¤¥¬ ª ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ~ [ω (t)℄ = f (t), KK (23)
ª®â®à®¥ â ª¥ ï¥âáï ä।£®«ì¬®¢ë¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (19) ®â®á¨â¥«ì® ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ ϕ(t) ¬ë ¯¥à¥è«¨ 16 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 241
242
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
ª ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ।£®«ì¬ ®â®á¨â¥«ì® ®¢®© ¥¨§¢¥á⮩ äãªæ¨¨ ω (t). ¥è¨¢ ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ (23), ¯® ä®à¬ã«¥ (22) ©¤¥¬ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (19). Ǒਬ¥¥¨¥ ä®à¬ã«ë (22) âॡã¥â ⮫쪮 ¢ëç¨á«¥¨ï ª¢ ¤à âãà (®¤¨ ¨â¥£à « ®¡ëª®¢¥ë© ¨ ®¤¨ ᨣã«ïàë©). í⮬ á®á⮨⠢â®à®© ᯮᮡ ॣã«ïਧ 樨, ª®â®àë© §ë¢ ¥âáï ॣã«ïਧ 樥© á¯à ¢ . 7.4-4. Ǒ஡«¥¬ à ¢®á¨«ì®© ॣã«ïਧ 樨
¯à®æ¥áᥠ¯à¨¢¥¤¥¨ï ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ª ॣã«ï஬㠤 ãà ¢¥¨¥¬ ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¥ª®â®à®¥ äãªæ¨® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥. â® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¬®¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¨«¨ ¢¥á⨠¯®áâ®à®¨¥ à¥è¥¨ï, ¥ 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¨á室®¬ã ãà ¢¥¨î, ¨«¨ ¢ë§¢ âì ¯®â¥àî ¥ª®â®àëå ¨§ ¨å. Ǒ®í⮬㠯®«ãç ¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ à ¢®á¨«ì® ¨á室®¬ã. áᬮâਬ á¢ï§¨ ¬¥¤ã à¥è¥¨ï¬¨ íâ¨å ãà ¢¥¨© ¨ ¢ëïᨬ ª®£¤ ãà ¢¥¨ï à ¢®á¨«ìë.
1◦ .
¥£ã«ïਧ æ¨ï á«¥¢ .
Ǒãáâì ¤ ® ᨣã«ï஥ ãà ¢¥¨¥
K[ϕ(t)℄
= f (t )
(24)
¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¥¬ã ॣã«ï஥
~ [ϕ(t)℄ KK ¯¨è¥¬ (25) ¢ ä®à¬¥
~ [f (t)℄. =K
~ K[ϕ(t)℄ − f (t) K
(25)
= 0. (26) ~ ª ª ª ®¯¥à â®à K ®¤®à®¤ë©, â® ¢á类¥ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï (24) (äãªæ¨ï, ®¡à é îé ï ¢ëà ¥¨¥ K[ϕ(t)℄ − f (t) ¢ ã«ì) 㤮¢«¥â¢®àï¥â â ª¥ ãà ¢¥¨î (26). «¥¤®¢ ⥫ì®, ॣã«ïਧ æ¨ï á«¥¢ ¥ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®â¥à¥ à¥è¥¨©. ® ¥ ¢á类¥ à¥è¥¨¥ ॣã«ïਧ®¢ ®£® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¨á室®£®. áᬮâਬ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ॣã«ïਧãî饬㠮¯¥à â®àã ~ [ω (t)℄ = 0. K (27)
Ǒãáâì ω1 (t), ω2 (t), . . . , ωp (t) | ¥£® ¯®« ï á¨á⥬ à¥è¥¨©, â. ¥. ᮢ®ªã¯®áâì ~. ¢á¥å «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥ëå äãªæ¨© ॣã«ïਧãî饣® ®¯¥à â®à K áᬠâਢ ï ãà ¢¥¨¥ (26) ª ª ᨣã«ï஥ ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ (27) á ¨áª®¬®© äãªæ¨¥© ω (t) = K[ϕ(t)℄ − f (t), ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
K[ϕ(t)℄ − f (t)
=
p X
j =1
αj ωj (t),
(28)
£¤¥ αj | ¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ïë¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ॣã«ïਧ®¢ ®¥ ãà ¢¥¨¥ à ¢®á¨«ì® ¥ ¨á室®¬ã ãà ¢¥¨î (24), ãà ¢¥¨î (28). â ª, ãà ¢¥¨¥ (25) à ¢®á¨«ì® ãà ¢¥¨î (28), ¢ ª®â®à®¬ αj | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¨«¨ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¯®áâ®ïë¥. ®¥â ®ª § âìáï, çâ® ãà ¢¥¨¥ (28) à §à¥è¨¬® ⮫쪮 ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢á¥ αj = 0. í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (25) ¡ã¤¥â à ¢®á¨«ì® ¨á室®¬ã ãà ¢¥¨î (24), ¨ ॣã«ïਧ â®à ¡ã¤¥â à ¢®á¨«ìë¬. ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ॣã«ïਧ â®à ¥ ¨¬¥¥â ᮡá⢥ëå äãªæ¨©, â® ¯à ¢ ï ç áâì
âà ¨æ 242
7.4. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
243
ãà ¢¥¨ï (28) ⮤¥á⢥® à ¢ ã«î, ¨ ® ®¡ï§ â¥«ì® ï¢«ï¥âáï à ¢®á¨«ìë¬. ª®© ®¯¥à â®à § ¢¥¤®¬® áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¨ ν > 0. ¯à¨¬¥à, ¨¬ ¬®¥â ¡ëâì ॣã«ïਧ â®à K∗◦ , ¥ ¨¬¥î騩 ¢ í⮬ á«ãç ¥ ᮡá⢥ëå äãªæ¨©, â ª ª ª ¨¤¥ªá ॣã«ïਧ â®à K∗◦ à ¢¥ −ν 6 0.
2◦ .
¥£ã«ïਧ æ¨ï á¯à ¢ .
¥¨¥
Ǒãáâì ¨¬¥¥¬ ãà ¢¥¨¥ (24) ¨ ॣã«ïਧ®¢ ®¥ ãà ¢-
~ [ω (t)℄ KK
¯®«ã祮¥ ¯®¤áâ ®¢ª®©
~ [ω (t)℄ K
= f (t),
(29)
= ϕ(t).
(30)
᫨ ωj (t) ¥áâì ª ª®¥-¨¡ã¤ì à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (29), â® ¨§ ä®à¬ã«ë (30) ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¥¬ã à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï
~ [ωj (t)℄. ϕj (t) = K «¥¤®¢ ⥫ì®, ॣã«ïਧ æ¨ï á¯à ¢ ¥ ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¯®áâ®à®¨¬ à¥è¥¨ï¬. Ǒãáâì, ®¡®à®â, ϕk (t) ¥áâì ¥ª®â®à®¥ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï. ®£¤ à¥è¥¨¥ ॣã«ïਧ®¢ ®£® ãà ¢¥¨ï (29) ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 ª ª à¥è¥¨¥ ¥®¤®à®¤®£® ᨣã«ïண® ãà ¢¥¨ï
~ [ω (t)℄ K
= ϕk (t),
ª®â®à®¥, ®¤ ª®, ¬®¥â ®ª § âìáï ¥à §à¥è¨¬ë¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ॣã«ïਧ æ¨ï á¯à ¢ ¬®¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¯®â¥à¥ à¥è¥¨©. ª®© ¯®â¥à¨ ¥ ¯à®¨§®©¤¥â, ª®£¤ ~ ãà ¢¥¨¥ (30) à §à¥è¨¬® ¯à¨ «î¡®© ¯à ¢®© ç áâ¨. í⮬ á«ãç ¥ ®¯¥à â®à K ¡ã¤¥â à ¢®á¨«ìë¬ à¥£ã«ïਧ â®à®¬ á¯à ¢ .
~ = K∗◦ ï¥âáï ¯à¨ «î¡®¬ ¨¤¥ªá¥ 3◦ . ¢®á¨«ì ï ॣã«ïਧ æ¨ï. ¯¥à â®à K à ¢®á¨«ìë¬ à¥£ã«ïਧ â®à®¬, ¯à¨ç¥¬ ¯à¨ ν > 0 á«¥¤ã¥â ¯à¨¬¥ïâì ॣã«ïਧ æ¨î á«¥¢ , ¯à¨ ν 6 0 | ॣã«ïਧ æ¨î á¯à ¢ . ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ¯®«ãç ¥âáï ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ®¢®© äãªæ¨¨ ω (t), ® ¥á«¨ ® ©¤¥ , â® ¬®® ¯®áâநâì ¢á¥ à¥è¥¨ï ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ª¢ ¤à âãà å, ¯à¨ç¥¬ ¯® ᢮©áâ¢ã ॣã«ïਧ 樨 á¯à ¢ ¥ ¬®¥â ¢®§¨ªãâì ¯®áâ®à®¨å à¥è¥¨©. ¤à㣨å ᯮᮡ å à ¢®á¨«ì®© ॣã«ïਧ 樨 ¬®® ¯à®ç¨â âì ¢ æ¨â¨à㥬®© ¢ ª®æ¥ à §¤¥« «¨â¥à âãà¥. 7.4-5. ¥®à¥¬ë ñâ¥à
Ǒãáâì ¤ ® ¯®«®¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥
K[ϕ(t)℄
= f (t).
(31)
¥®à¥¬ 1. ¨á«® à¥è¥¨© ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (31)
ª®¥ç®. ¥®à¥¬ 2. ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¨ ¤®áâ â®çë¬ ãá«®¢¨¥¬ à §à¥è¨¬®á⨠ᨣã«ïண® ãà ¢¥¨ï (31) ï¥âáï ¢ë¯®«¥¨¥ à ¢¥áâ¢
()
()
Z
L
f (t)ψj (t) dt = 0,
()
j
= 1, 2, . . . , m,
(32)
£¤¥ ψ1 t , ψ2 t , . . . , ψm t | ¬ ªá¨¬ «ìë© «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ¡®à ∗ . à¥è¥¨© á®î§®£® ®¤®à®¤®£® ãà ¢¥¨ï K ψ t
[ ( )℄ = 0
16*
âà ¨æ 243
244
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
¥®à¥¬ 3. §®áâì ç¨á« n «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© ᨣã«ïਠç¨á« m «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨© á®®£® ãà ¢¥¨ï K ϕ t ∗ £® ãà ¢¥¨ï K ψ t § ¢¨á¨â «¨èì ®â å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ç á⨠®¯¥à â®à K ¨ à ¢ ¥£® ¨¤¥ªáã, â. ¥.
[ ( )℄ = 0 [ ( )℄ = 0
n − m = ν.
(33)
«¥¤á⢨¥. § ¢á¥å ᨣã«ïàëå ãà ¢¥¨©, ¨¬¥îé¨å ¤ ë© ¨¤¥ªá ν , ¨¬¥ì襥 ç¨á«® à¥è¥¨© ¨¬¥îâ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥. 7.4-6. ¯®á®¡ ॣã«ïਧ 樨 à«¥¬ {¥ªã
Ǒ¥à¥¥á¥¬ ॣã«ïàë© ç«¥ ᨣã«ïண® ãà ¢¥¨ï ¢ ¯à ¢ãî ç áâì ¨ § ¯¨è¥¬ ¥£® ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
a(t)ϕ(t) +
b(t) πi
¨«¨, ¢ ®¯¥à â®à®© ä®à¬¥,
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
K [ϕ(t)℄ ◦
= f (t ) −
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f (t) − Kr [ϕ(t)℄.
(34)
(35)
¥è¨¬ ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ª ª å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®¥, à áᬠâਢ ï ¢à¥¬¥® ¯à ¢ãî ç áâì ª ª ¨§¢¥áâãî äãªæ¨î. ®£¤ (á¬. ¯. 7.2-1)
Z f (τ ) dτ b(t)Z (t) ϕ(t) = a(t)f (t) − πi L Z (τ ) τ − t Z Z b(t)Z (t) K (t, τ )ϕ(τ ) dτ − − a(t) πi
L
L
+ b(t)Z (t)Pν−1 (t)
dτ1 Z (τ1 )(τ1 − t)
Z
L
−
K (τ1 , τ )ϕ(τ ) dτ ,
(36)
£¤¥ ¯à¨ ν 6 0 á«¥¤ã¥â ¯®«®¨âì Pν−1 (t) ≡ 0. ¥ïï ¢ ¤¢®©®¬ ¨â¥£à «¥ ¯®à冷ª ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, § ¯¨è¥¬ ¢ëà ¥¨¥ ¢ ¯®á«¥¤¨å ªà㣫ëå ᪮¡ª å á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
Z L
Z
b(t)Z (t) πi
a(t)K (t, τ ) −
L
K (τ1 , τ ) dτ1 ϕ(τ ) dτ. Z (τ1 )(τ1 − t)
ª ª ª äãªæ¨ï Z (t) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ñ«ì¤¥à (á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®£à ¨ç¥ ) ¨ ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì, K (τ1 , τ ) ¢¡«¨§¨ τ1 = τ ¨¬¥¥â ®æ¥ªã |K (τ1 , τ )| 6 A|τ1 − τ |−λ (0 6 λ < 1), â® ¨ ¢¥áì ¨â¥£à «
Z
L
K (τ1 , τ ) dτ1 Z (τ1 )(τ1 − t)
¨¬¥¥â âã ¥ ®æ¥ªã, çâ® ¨ K (τ1 , τ ). «¥¤®¢ ⥫ì®, ï¤à®
N (t, τ ) = a(t)K (t, τ ) −
b(t)Z (t) πi
Z
L
K (τ1 , τ ) dτ1 Z (τ1 )(τ1 − t)
(37)
ï¥âáï ä।£®«ì¬®¢ë¬. Ǒ¥à¥®áï ¢á¥ ç«¥ë, ᮤ¥à 騥 ϕ(t), ¢ «¥¢ãî ç áâì, ¯®«ã稬 Z
ϕ(t) +
L
N (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f1 (t),
(38)
£¤¥ N (t, τ ) | ä।£®«ì¬®¢® ï¤à®, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ä®à¬ã«®© (37), f1 (t) | ᢮¡®¤ë© ç«¥, ¨¬¥î騩 ¢¨¤
f1 (t) = a(t)f (t) −
b(t)Z (t) πi
Z
L
f (τ ) dτ Z (τ ) τ − t
+ b(t)Z (t)Pν−1 (t).
(39)
âà ¨æ 244
7.4. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
245
᫨ ¨¤¥ªá ãà ¢¥¨ï (34) ν < 0, â® àï¤ã á ãà ¢¥¨¥¬ ।£®«ì¬ (38) äãªæ¨ï ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì á®®â®è¥¨ï¬
Z Z L
L
K (t, τ ) k−1 t dt ϕ(τ ) dτ Z (t)
=
Z
L
f (t) k−1 t dt, Z (t)
k
= 1, 2, . . . , −ν.
(40)
â ª, ¥á«¨ ν > 0, â® à¥è¥¨¥ ¯®«®£® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (34) ¯à¨¢®¤¨âáï ª à¥è¥¨î ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ।£®«ì¬ (38).
᫨ ν < 0, â® ãà ¢¥¨¥ (34) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ãà ¢¥¨î (38) (£¤¥ ã® ¯®«®¨âì Pν−1 (t) ≡ 0) ᮢ¬¥áâ® á ãá«®¢¨ï¬¨ (40), ª®â®àë¥ ¬®® § ¯¨á âì ¢ ä®à¬¥
Z
k = 1, 2, . . . , −ν, ρk (τ )ϕ(τ ) dτ = fk , Z Z K (t, τ ) k−1 f (t) k−1 ρk (τ ) = t dt, fk = t dt, L
L
Z (t)
L
(41)
Z (t)
£¤¥ ρk (τ ) | ¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨ ¨ fk | ¨§¢¥áâë¥ ç¨á« . ¢¥á⢠(41) ¥áâì ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠ॣã«ïਧ®¢ ®£® ãà ¢¥¨ï (38). ¤ ª® ¥ ¢á¥ ®¨ ïîâáï ãá«®¢¨ï¬¨ à §à¥è¨¬®á⨠¨á室®£® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (34). áâì ¨å ¬®¥â ®ª § âìáï ãá«®¢¨ï¬¨ à ¢®á¨«ì®á⨠íâ¨å ¤¢ãå ãà ¢¥¨©. 뤥«¨¬ ãá«®¢¨ï 㪠§ ëå ¤¢ãå ⨯®¢. Ǒãáâì á।¨ äãªæ¨© ρk (t) ¨¬¥¥âáï h «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå. ®¥¬ ¢ë¡à âì 㬥à æ¨î â ª, ç⮡ë íâ® ¡ë«¨ ρ1 (t), ρ2 (t), . . . , ρh (t). ®£¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
Z
L
ρk (t)ϕ(t) dt = fk ,
k
= 1, 2, . . . , h.
(42)
= |ν| − h ¥§ ¢¨á¨¬ëå «¨¥©ëå á®®â®è¥¨© αj 1 ρ1 (t) + · · · + αj|ν| ρ|ν| (t) = 0, j = 1, 2, . . . , η.
஬¥ ⮣®, ¡ã¤ã⠢믮«ïâìáï η
¬®¨¬ à ¢¥á⢠(40) ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® αj 1 , αj 2 , . . . , αj|ν| ¨ á«®¨¬. ç¨âë¢ ï ¯®á«¥¤¨¥ à ¢¥á⢠, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
Z
L
f (t)ψj (t) dt = 0,
ψj (t) =
|ν| 1 X αjk tk−1 , Z (t) k=1
j
= 1, 2, . . . , η.
(43)
â¨ à ¢¥á⢠, ¥ ᮤ¥à 騥 ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ ϕ(t), ¡ã¤ãâ ãá«®¢¨ï¬¨ à §à¥è¨¬®áâ¨, ª®â®àë¬ ¥®¡å®¤¨¬® ¤®«¥ 㤮¢«¥â¢®àïâì ᢮¡®¤ë© ç«¥ f (t) ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨á室®¥ ᨣã«ï஥ ãà ¢¥¨¥ ¨ ¥£® ॣã«ïਧ®¢ ®¥ ¡ë«¨ à §à¥è¨¬ë. ¢¥á⢠(42) ¡ã¤ãâ ãá«®¢¨ï¬¨ à ¢®á¨«ì®á⨠ãà ¢¥¨© ¨á室®£® ᨣã«ïண® ¨ ॣã«ïਧ®¢ ®£®. § à¥è¥¨© ä।£®«ì¬®¢ ãà ¢¥¨ï (38) ¤ ®¬ã ᨣã«ï஬ã ãà ¢¥¨î (34) ¡ã¤ãâ 㤮¢«¥â¢®àïâì «¨èì â¥, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ (42). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ ν > 0 ॣã«ïਧ®¢ ®¥ ãà ¢¥¨¥ (38) à ¢®á¨«ì® ¨á室®¬ã ᨣã«ï஬ã. Ǒਠν < 0 ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ ¡ã¤¥â à ¢®á¨«ì® ॣã«ïਧ®¢ ®¬ã (¢¬¥áâ¥ á ®¡é¨¬¨ ¤«ï ¨å ãá«®¢¨ï¬¨ à §à¥è¨¬®á⨠(43)) ¨ ãá«®¢¨ï¬ (42). ¬¥ç ¨¥ 1.
᫨ ï¤à® ॣã«ïன ç á⨠¯®«®£® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬ ®è¨ ¢ëத¥®¥, ⮠ᯮᮡ®¬ ॣã«ïਧ 樨 à«¥¬ {¥ªã íâ® ãà ¢¥¨¥ ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î á¨áâ¥¬ë «¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© (á¬., ¯à¨¬¥à, . . ¨å«¨, . . ¬®«¨æª¨© (1965)). ¬¥ç ¨¥ 2.
¯®á®¡ ॣã«ïਧ 樨 à«¥¬ {¥ªã ¨®£¤ §ë¢ îâ
à¥-
£ã«ïਧ 樥© à¥è¥¨¥¬ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï.
âà ¨æ 245
246
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
7.4-7. ¥£ã«ïਧ æ¨ï ¢ ¨áª«îç¨â¥«ìëå á«ãç ïå
áᬮâਬ ¯®«®¥ ᨣã«ï஥ ãà ¢¥¨¥ á ï¤à®¬ ®è¨
K[ϕ(t)℄ ≡ a(t)ϕ(t) +
b(t) πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
+
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
= f (t)
(44)
¯à¨ â¥å ¥ ¯à¥¤¯®«®¥¨ïå ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨© a(t) ± b(t), çâ® ¨ ¢ ¯. 7.2-4. Ǒ।áâ ¢¨¢ ¥£® ¢ ¢¨¤¥
K [ϕ(t)℄ ◦
= f (t) −
Z
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ,
¯à¨¬¥¨¬ ¬¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 à«¥¬ {¥ªã . ®£¤ ¯® ä®à¬ã«¥ (42) ¨§ ¯. 7.2-4 ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥
ϕ(t) + R1
Z
= R1 [f (t)℄ + b(t)Z (t)Pν−p−1 (t),
R1 K (t, τ ) ϕ(τ ) dτ
= R1 [f (t)℄ + b(t)Z (t)Pν−p−1 (t),
L
K (t, τ )ϕ(τ ) dτ
(45)
£¤¥ ®¯¥à â®à R1 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (41) ¨§ ¯. 7.2-4. ¢ëà ¥¨¨ ¤«ï ¢â®à®£® á« £ ¥¬®£® ¢ «¥¢®© ç á⨠(45) ®¯¥à æ¨ï R1 ¯® ¯¥à¥¬¥®© t ¨ ®¯¥à æ¨ï ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® τ ¯¥à¥áâ ®¢®çë. ®£¤ ãà ¢¥¨¥ (45) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ä®à¬¥
ϕ(t) +
Z
L
t
(46)
£¤¥ ¨¤¥ªá t ã ᨬ¢®« ®¯¥à â®à Rt1 㪠§ë¢ ¥â, çâ® ®¯¥à æ¨ï ¯à®¨§¢®¤¨âáï ¯® ¯¥à¥¬¥®© t. ª ª ª ®¯¥à â®à R1 ®£à ¨ç¥ë©, â® ¯®«ã祮¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (46) ï¥âáï ä।£®«ì¬®¢ë¬ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, § ¤ ç ॣã«ïਧ 樨 ᨣã«ïண® ãà ¢¥¨ï (44) à¥è¥ . § ®¡é¥© ⥮ਨ ॣã«ïਧ 樨 á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ ν − p > 0 ãà ¢¥¨¥ (44) à ¢®á¨«ì® ãà ¢¥¨î (46), ¯à¨ ν − p < 0 | ãà ¢¥¨î (46) ¨ á¨á⥬¥ ¥ª®â®àëå äãªæ¨® «ìëå ãà ¢¥¨©. § ª«î票¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï à áᬮâà¥ëå á«ãç ¥¢ ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ⥮६ë ñâ¥à ®ª §ë¢ îâáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬¨. ¬¥ç ¨¥. ᪫îç¨â¥«ìë¥ á«ãç ¨ ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á ï¤à®¬ ®è¨ ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ãà ¢¥¨ï¬ ®à¬ «ì®£® ⨯ . 7.4-8. Ǒ®«®¥ ãà ¢¥¨¥ ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ
áᬮâਬ ¯®«®¥ ᨣã«ï஥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥¬ á ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ (á¬. ¯. 7.1-2)
a(x)ϕ(x) −
b(x) 2π
Z 2π
0
tg
ξ−x
2
ϕ(ξ ) dξ +
Z 2π
0
K (x, ξ )ϕ(ξ ) dξ
= f (x).
(47)
Ǒ®ª ¥¬, çâ® ãà ¢¥¨¥ (47) ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ¯®«®¬ã ᨣã«ïà®¬ã ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î á ï¤à®¬ ®è¨, ¢ á¢ï§¨ á 祬 ¢áï ⥮à¨ï ¯®á«¥¤¥£® ¬®¥â ¡ëâì ¥¯®á।á⢥® ¯¥à¥¥á¥ ãà ¢¥¨¥ (47). ª ª ª ॣã«ïàë¥ ç á⨠㠮¡®¨å ⨯®¢ ãà ¢¥¨© ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© å à ªâ¥à, â® ¤®áâ â®ç® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á®®â®è¥¨¥¬ ¬¥¤ã ï¤à®¬ ¨«ì¡¥àâ ¨ ï¤à®¬ ®è¨ (á¬. ¯. 6.4-5)
dτ τ −t
= 1 tg 2
ξ−x
2
dξ +
i
2
dξ.
(48)
âà ¨æ 246
7.4. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
âªã¤
1
tg 2
ξ−x
2
dξ
=
dτ − τ −t
1 2
dτ , τ
247
(49)
£¤¥ t = eix ¨ τ = eiξ | ª®¬¯«¥ªáë¥ ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª ª®âãà L, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饣® ¨§ á¥¡ï ®ªàã®áâì ¥¤¨¨ç®£® à ¤¨ãá . ¬¥ïï ¢ ãà ¢¥¨¨ (47) ï¤à® ¨«ì¡¥àâ ¢ëà ¥¨¥¬ (49) ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï x = −i ln t, ξ = −i ln τ , dξ = −i dτ /τ , ¯®á«¥ ®ç¥¢¨¤ëå ¯¥à¥®¡®§ 票© ¯à¨¢¥¤¥¬ ãà ¢¥¨¥ (47) ª ¯®«®¬ã ᨣã«ïà®¬ã ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î á ï¤à®¬ ®è¨ ¢ ä®à¬¥
a1 (t)ϕ1 (t) −
ib1 (t) πi
Z
L
ϕ1 (τ ) dτ τ −t
+
Z
L
K1 (t, τ ) dτ
= f1 (t).
(50)
®íää¨æ¨¥â § ¤ ç¨ ¨¬ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ãà ¢¥¨î (50), ¨¬¥¥â ¢¨¤
a1 (t) + ib1 (t) a1 (t) − ib1 (t)
D(t) =
= a(x) + ib(x) ,
¨¤¥ªá ¢ëà ¥âáï ä®à¬ã«®©
a(x) − ib(x)
Ind D(t) = 2 Ind[a(x) + ib(x)℄.
(51)
(52)
Ǒந§¢¥¤¥¬ à §«¨ç묨 ᯮᮡ ¬¨ ॣã«ïਧ æ¨î á«¥¤ãî饣® ᨣã«ïண® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï: Ǒਬ¥à.
K[ϕ(t)℄ ≡ (t + t−1 )ϕ(t)+
t − t−1 πi
Z
L
ϕ(τ ) 1 dτ − τ −t 2πi
Z
L
(t+ t−1 )(τ + τ −1 )ϕ(τ ) dτ = 2t2 , (53)
£¤¥ L | ¥¤¨¨ç ï ®ªàã®áâì. ¥£ã«ïà ï ç áâì ï¤à ï¥âáï ¢ëத¥®©, ¯®í⮬ã ⥬ ¥ ᯮᮡ®¬, ª®â®àë© ¯à¨¬¥ï¥âáï ¯à¨ à¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨© ।£®«ì¬ á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ (á¬. à §¤. 5.2), ãà ¢¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ᢥ¤¥® ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¨ «¨¥©®£® «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ãà ¢¥¨ï ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, à¥è¥® ¢ § ¬ªã⮩ ä®à¬¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, §¤¥áì ¥â ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¢ ॣã«ïਧ 樨. ¤ ª® à áᬠâਢ ¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥ 㤮¡® ¤«ï ¨««îáâà 樨 ¥¬ ®¡é¨å ¬¥â®¤®¢, ¯®áª®«ìªã ®ª®ç ⥫ìë© à¥§ã«ìâ â ¬®® ¯®«ãç¨âì ¢ § ¬ªã⮬ ¢¨¤¥. «ï 㤮¡á⢠¤ «ì¥©è¨å à áá㤥¨© ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® à¥è¨¬ ¤ ®¥ ãà ¢¥¨¥. ¡®§ ç ï Z 1 2πi
L
(τ + τ −1 )ϕ(τ ) dτ = A,
§ ¯¨è¥¬ ¥£® ¢ ä®à¬¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£®: (t + t−1 )ϕ(t) +
t − t−1 πi
Z
L
«ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬
ϕ(τ ) dτ τ −t
(54)
= 2t2 + A(t + t−1 ).
+ (t) = t−2 − (t) + t + 21 A(1 + t−2 )
(55)
¨¤¥ªá ν = −+2 ¨ ãá«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠(á¬. ¯. 7.2-1) ¡ã¤ã⠢믮«ïâìáï ⮫쪮 ¯à¨ A = 0. Ǒਠí⮬+ (z) =− z ¨ − (z) = 0. âáî¤ ¯®«ã稬 à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (53) ¢ ä®à¬¥ ϕ(t) = (t) − (t) = t. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¥¨¥ ¢ à ¢¥á⢮ (54), ã¡¥¤¨¬áï ¢ ⮬, çâ® ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¯à¨ A = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤ ®¥ ãà ¢¥¨¥ à §à¥è¨¬® ¨ ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®¥ à¥è¥¨¥ 1◦ .
ϕ(t)
= t.
ª ª ª ¨¤¥ªá ãà ¢¥¨ï ν = −2 < 0, â® «î¡®© ¥£® ॣã«ïਧãî騩 ®¯¥à â®à ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ (¥ ¬¥¥¥ ¤¢ãå), ¯®í⮬ã ॣã«ïਧ æ¨ï á«¥¢ ¯à¨¢®¤¨â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ª ãà ¢¥¨î, ¥ à ¢®á¨«ì®¬ã ¨á室®¬ã. ¥£ã«ïਧ æ¨ï á«¥¢ .
âà ¨æ 247
248
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
áᬮâਬ á ç « ॣã«ïਧ æ¨î á«¥¢ ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯à®á⥩襣® ॣã«ïਧ â®à K∗◦ . ©¤¥¬ ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ãà ¢¥¨ï K∗◦ [ω (t)℄ ≡ (t + t−1 )ω (t) −
®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬
t − t−1 πi
Z
L
ω (τ ) dτ τ −t
= 0.
+ (t) = t2 − (t)
¨¬¥¥â ⥯¥àì∗◦¨¤¥ªá ν = 2. å®¤ï ¯® ä®à¬ã« ¬ ¨§ ¯. 7.2-1 ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ®¯¥à â®à K , ¯®«ã稬 ω1 (t) = 1 − t−2 , ω2 (t) = t − t−1 . K∗◦ K[ϕ(t)℄ = K∗◦ [f (t)℄
¥£ã«ï஥ ãà ¢¥¨¥ ®á®¢ ¨¨ ®¡é¥© ⥮ਨ (á¬. ¯. 7.4-4) ¡ã¤¥â à ¢®á¨«ì® á«¥¤ãî饬ã ᨣã«ï஬ã ãà ¢¥¨î: K[ϕ(t)℄ = f (t) + α1 ω1 (t) + α2 ω2 (t),
(56)
£¤¥ α1 , α2 | ¥ª®â®àë¥ ¯®áâ®ïë¥, ª®â®àë¥ ¬®£ãâ ®ª § âìáï ¨«¨ ¯à®¨§¢®«ì묨 ¨«¨ ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨. ç¨âë¢ ï (54), § ¯¨è¥¬ ãà ¢¥¨¥ (56) ¢ ä®à¬¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£®: (t + t−1 )ϕ(t) +
t − t−1 πi
Z
L
ϕ(τ ) dτ τ −t
= 2t2 + A(t + t−1 ) + α1 (1 − t−2 ) + α2 (t − t−1 ).
®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ¥¬ã ªà ¥¢ ï § ¤ ç ¨¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤
+ (t) = t−2 − (t) + t + 21 A(1 + t−2 ) + 12 α1 (t−1 + t−3 ) + 12 α2 (1 − t−2 ).
¥ à¥è¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ä®à¬¥
+ (z ) = z + 12 A + 12 α2 , − (z ) = 12 z 2 [α1 z −3 + (α2 − A)z −2 − α1 z −1 ℄. á«®¢¨ï à §à¥è¨¬®á⨠¤ îâ α1 = 0 ¨ α2 = A. ®£¤ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï (56) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï
ä®à¬ã«®© ϕ(t) = + (t) − − (t) = t + A. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ©¤¥®¥ § 票¥ ϕ(t) ¢ à ¢¥á⢮ (54), ¯®«ã稬 ⮤¥á⢮ A = A. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®áâ®ï ï α2 = A ®áâ ¥âáï ¯à®¨§¢®«ì®©, ¨ ॣã«ïਧ®¢ ®¥ ãà ¢¥¨¥ à ¢®á¨«ì® ¥ ¨á室®¬ã ãà ¢¥¨î, ãà ¢¥¨î K[ϕ(t)℄
= f (t) + α2 ω2 (t),
¨¬¥î饬ã à¥è¥¨¥ ϕ(t) = t + A, £¤¥ A | ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. Ǒ®á«¥¤¥¥ à¥è¥¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¨á室®¬ã ãà ¢¥¨î ⮫쪮 ¯à¨ A = 0. 2◦ . ª ç¥á⢥ ॣã«ïਧ â®à á¯à ¢ ¢®§ì¬¥¬ ¯à®á⥩訩 ®¯¥à â®à K∗◦ . Ǒ®« £ ï ¥£ã«ïਧ æ¨ï á¯à ¢ .
ϕ(t)
= K∗◦ [ω(t)℄ ≡ (t + t−1 )ω(t) −
t − t−1 πi ω (t)
¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥ ।£®«ì¬ ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨¨ Z KK
∗◦
[ω(t)℄ ≡ ω(t) −
1 4πi
L
:
Z
L
ω (τ ) dτ, τ −t
[t(τ 2 − 1 + τ −2 ) + 2τ −1 + t−1 (τ 2 + 3 + τ −2 )− − 2τ −2 τ −1 ℄ω (τ ) dτ
¥è ï ¯®á«¥¤¥¥ ãà ¢¥¨¥ ª ª ¢ëத¥®¥, ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ω (t)
(57)
= 21 t2 .
(58)
= 12 t2 + α(t − t−1 ) + β (1 − t−2 ),
£¤¥ α, β | ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ॣã«ïਧ®¢ ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ®â®á¨â¥«ì® ω(t) ¤¢ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à¥è¥¨ï, ⮣¤ ª ª ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ (53) à¥è «®áì ®¤®§ ç®. Ǒ®¤áâ ¢«ïï ©¤¥®¥ § 票¥ ω(t) ¢ ä®à¬ã«ã (57), ¯®«ã稬 ϕ(t)
= K∗◦ 12 t2 + α(t − t−1 ) + β (1 − t−2 ) = t,
£¤¥ ϕ(t) | à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ᨣã«ïண® ãà ¢¥¨ï. ¥§ã«ìâ â ᮣ« áã¥âáï∗◦ á ®¡é¥© ⥮ਥ©, â ª ª ª ¯à¨ ®âà¨æ ⥫쮬 ¨¤¥ªá¥ ॣã«ïਧ æ¨ï á¯à ¢ ®¯¥à â®à®¬ K ï¥âáï à ¢®á¨«ì®©.
âà ¨æ 248
7.4. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¤«ï ¯®«ëå ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
249
3◦ . â®â ᯮᮡ ॣã«ïਧ 樨 ¯à®¢®¤¨âáï ¯® ä®à¬ã« ¬ (36){(39). ¤ ª® ã®2 ¯®¬¨âì, çâ® í⨠ä®à¬ã«ë ¯à¨¬¥¨¬ë ª ãà ¢¥¨î, ¤«ï ª®â®à®£® ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ a (t) − b2 (t) = 1. Ǒ®í⮬㠯।¢ à¨â¥«ì® ã® à §¤¥«¨âì ãà ¢¥¨¥ (53) 2. ®£¤ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¥£ã«ïਧ æ¨ï à«¥¬ {¥ªã .
1 =− (t + t−1 )(τ + τ −1 ), 4πi Z (t − t−1 )t τ 2 dτ X + (z ) = 1, Z (t) = (a+ b)X + = t, f1 (t) = 12 (t+t−1 )t2 − = t, 2πi L τ τ −t 1 1 N (t, τ ) = − (t + t−1 ) (t + t−1 )(τ + τ −1 )+ 2 4πi Z 1 τ1 + τ1−1 dτ1 (t − t−1 ) t (τ + τ −1 ) =− (τ + τ −1 ). + 2πi · 4πi τ1 τ1 − t 2πi L a = 21 (t + t−1 ),
b = 12 (t − t−1 ),
f (t)
= t2 ,
K (t, τ )
¥£ã«ïਧ®¢ ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ 1 2πi
ϕ(t) −
Z
L
(τ + τ −1 )ϕ(τ ) dτ = t.
(59)
¥¬ã ã® ¤®¡ ¢¨âì ¥é¥ ãá«®¢¨ï (41) ¯à¨ k = 1, 2. ¥è ï ¥£® ª ª ¢ëத¥®¥, ©¤¥¬ ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ ϕ(t) = t+A, £¤¥ A |¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. 믨襬 ãá«®¢¨ï (42), (43). ¤¥áì ρk (τ ) ρ1 (τ )
=
Z
L
= 0,
K (t, τ ) k−1 t dt Z (t) ρ2 (τ )
=−
τ
+ τ −1 4πi
= − 12 (τ + τ −1 ),
fk
Z
=
L
Z
(1 + t−2 )tk−1 dt, L
f (t) k−1 t dt = Z (t)
k Z
= 1, 2,
tk dt, L
f1
= f2 = 0.
ãªæ¨¨ ρ1 (t), ρ2 (t) «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. ¢¨á¨¬®áâì αj1 ρ1 (t)+ · · · + αj|ν| ρ|ν| (t) = 0 (á¬. ¯. 7.4-6) ¨¬¥¥â ¢¨¤ α1 ρ1 (t) + 0 · ρ2 (t)
= 0.
âáî¤ ãá«®¢¨¥ à §à¥è¨¬®á⨠(43) ¢ë¯®«ï¥âáï ⮤¥á⢥®. á«®¢¨¥ à ¢®á¨«ì®á⨠(42) Z Z L
ρ2 (τ )ϕ(τ ) dτ
= − 12
L
(τ + τ −1 )(τ + A) dτ = 0
㤮¢«¥â¢®àï¥âáï «¨èì ¯à¨ A = 0. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨§ ¬®¥á⢠à¥è¥¨© ॣã«ïਧ®¢ ®£® ãà ¢¥¨ï ϕ(t) = t + A ¨á室®¬ã ᨣã«ï஬ã 㤮¢«¥â¢®àï¥â «¨èì äãªæ¨ï ϕ(t) = t.
• : . . ãá奫¨è¢¨«¨ (1968), . . 客 (1977), S. G. Mikhlin, S. Prossdorf (1986). ¨â¥à âãà
âà ¨æ 249
8. ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© 8.1. ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ § ¬¥ç ¨ï 8.1-1. ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà
¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥: Z x
a
K x, t, y (t) dt = F x, y (x) ,
(1)
£¤¥ K x, t, y (t) | ï¤à® ¥«¨¥©®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, y (x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï (a 6 x 6 b). ᥠäãªæ¨¨ ¢ (1) ®¡ëç® áç¨â îâ ¥¯à¥àë¢ë¬¨. ¨¤ (1) ¥ ®å¢ âë¢ ¥â ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ ä®à¬ë ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà , ®¤ ª® ¢ª«îç ¥â ç áâ® ¢áâà¥ç î騥áï ¨ ¡®«¥¥ ¢á¥£® ¨§ãç¥ë¥. ¥«¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (1) §ë¢ ¥âáï ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ®«ìâ¥àà ¢ ä®à¬¥ àëá® . à拉 á«ãç ¥¢ ãà ¢¥¨¥ (1) 㤠¥âáï § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
à ¢¥¨¥ (2) §ë¢ îâ «®£¨ç® ãà ¢¥¨¥
Z
x a
K x, t, y (t) dt = f (x).
(2)
ãà ¢¥¨¥¬ ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ¢ ä®à¬¥ àëá® .
y (x) −
Z
x a
K x, t, y (t) dt = f (x)
(3)
§ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥ àëá® . à ¢¥¨¥ (3) § ¬¥®© u(x) = y (x) − f (x) ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ª ®¨ç¥áª®© ä®à¬¥ Z
u(x) =
x
a
K x, t, u(t) dt,
(4)
£¤¥ K x, t, u(t) | ï¤à®* ª ®¨ç¥áª®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ¤à® K x, t, y (t) §ë¢ ¥âáï ¢ëத¥ë¬, ¥á«¨
K x, t, y (t)
=
n X
k=1
gk (x)hk t, y (t) .
᫨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (1) ï¤à® K x, t, y (t) (t, y ) | ¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨, â® ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬¥ ¬¬¥àè⥩ :
Z
x a
= Q(x, t)
t, y (t) , ¯à¨ç¥¬ Q(x, t) ¨
¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢
Q(x, t) t, y (t) dt = F x, y (x) ,
(5)
£¤¥ äãªæ¨¨ y (x), F (x, y ), (t, y ) ¨ ï¤à® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï Q(x, t) ®¡ëç® áç¨â îâ ¥¯à¥àë¢ë¬¨.
* ãé¥áâ¢ãîâ ¨ ¤à㣨¥ á¯®á®¡ë ¯à¨¢¥¤¥¨ï ãà ¢¥¨ï (3) ª ä®à¬¥ (4), ¯à¨ í⮬ ¢¨¤ äãªæ¨¨ K ¨§¬¥¨âáï.
âà ¨æ 250
8.1. ¥ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨ § ¬¥ç ¨ï
251
à拉 á«ãç ¥¢ ãà ¢¥¨¥ (5) 㤠¥âáï § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
Z
x a
Q(x, t) t, y (t) dt = f (x).
à ¢¥¨¥ (6) §ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ è⥩ . «®£¨ç® ãà ¢¥¨¥
y (x ) −
Z
x a
(6)
®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ¢ ä®à¬¥ ¬¬¥à-
Q(x, t) t, y (t) dt = f (x)
(7)
§ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥ ¬¬¥àè⥩ . à ¢¥¨¥ (7) ¬®® ¯à¨¢¥á⨠ª ª ®¨ç¥áª®© ä®à¬¥
u(x) = £¤¥ u(x)
= y (x) − f (x).
Z
x a
Q(x, t)∗ t, u(t) dt,
(8)
¬¥ç ¨¥ 1. Ǒ®áª®«ìªã ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢ ä®à¬¥ ¬¬¥àè⥩ ïîâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢ ä®à¬¥ àëá® , â® ¢á¥ à áᬮâà¥ë¥ ¨¥ ¬¥â®¤ë ¤«ï ¯®á«¥¤¨å ¡¥§ãá«®¢® ¯à¨¬¥¨¬ë ¨ ª ¯¥à¢ë¬.
8.1-2. ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ ¢¨¤¥
Z
b a
K x, t, y (t) dt = F (x, y (x)),
α 6 x 6 β,
(9)
£¤¥ K x, t, y (t) | ï¤à® ¥«¨¥©®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï, y (x) | ¥¨§¢¥áâ ï äãªæ¨ï. ¡ëç® ¢á¥ äãªæ¨¨ ¢ (9) áç¨â îâ ¥¯à¥àë¢ë¬¨ ¨ à áᬠâਢ îâ á«ãç © α = a ¨ β = b. ¨¤ (9) ¥ ®å¢ âë¢ ¥â ¢á¥ ¢®§¬®ë¥ ä®à¬ë ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, ®¤ ª®, «®£¨ç® ä®à¬¥ (1) ¤«ï ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà , ¢ª«îç ¥â ç áâ® ¢áâà¥ç î騥áï ¨ ¡®«¥¥ ¢á¥£® ¨§ãç¥ë¥. ¥«¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï (9) ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ⨯ àëá® .
᫨ ãà ¢¥¨¥ (9) 㤠¥âáï § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
â® (10) §ë¢ îâ
Z
b a
K x, t, y (t) dt = f (x),
ãà ¢¥¨¥¬ àëá® ¯¥à¢®£® த .
y (x ) −
Z
b a
(10)
«®£¨ç® ãà ¢¥¨¥
K x, t, y (t) dt = f (x)
(11)
§ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ àëá® ¢â®à®£® த . à ¢¥¨¥ àëá® ¢â®à®£® த ¬®® § ¯¨á âì ¢ ª ®¨ç¥áª®© ä®à¬¥
u(x) =
Z
b a
K x, t, u(t) dt.
(12)
¬¥ç ¨¥ 2. á«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï àëá® ®¡á㤠îâáï ¨¥ ¢ ¯¯. 8.3-4 ¨ 8.3-5.
âà ¨æ 251
252
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
᫨ ¢ ãà ¢¥¨¨ (9) ï¤à® K x, t, y (t) = Q(x, t) t, y (t) , ¯à¨ç¥¬ Q(x, t) ¨ (t, y ) | ¨§¢¥áâë¥ äãªæ¨¨, â® ¯®«ãç ¥¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ⨯ ¬¬¥àè⥩ : Z b
a
Q(x, t) t, y (t) dt = F x, y (x) ,
(13)
£¤¥ ¢á¥ äãªæ¨¨ ãà ¢¥¨ï, ®¡ëç®, áç¨â îâáï ¥¯à¥àë¢ë¬¨.
᫨ ãà ¢¥¨¥ (13) 㤠¥âáï § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥
Z
b a
Q(x, t) t, y (t) dt = f (x),
(14)
â® (14) §ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ ¬¬¥àè⥩ ¯¥à¢®£® த . «®£¨ç® ãà ¢¥¨¥
y (x ) −
Z
b a
Q(x, t) t, y (t) dt = f (x)
(15)
§ë¢ îâ ãà ¢¥¨¥¬ ¬¬¥àè⥩ ¢â®à®£® த . à ¢¥¨¥ ¬¬¥àè⥩ ¢â®à®£® த ¬®® § ¯¨á âì ¢ ª ®¨ç¥áª®© ä®à¬¥ Z
u(x) =
b
a
Q(x, t)∗ t, u(t) dt.
(16)
ãé¥á⢮¢ ¨¥ ª ®¨ç¥áª¨å ä®à¬ (4), (8), (12) ¨ (16) ᢨ¤¥â¥«ìáâ¢ã¥â ® ⮬, çâ® à §«¨ç¨¥ ¬¥¤ã ¥®¤®à®¤ë¬¨ ¨ ®¤®à®¤ë¬¨ ¥«¨¥©ë¬¨ ¨â¥£à «ì묨 ãà ¢¥¨ï¬¨ ®á¨â ¥ ¯à¨æ¨¯¨ «ìë© å à ªâ¥à ¨ á®áâ ¢«ï¥â ®â«¨ç¨â¥«ìãî ®á®¡¥®áâì ¯® ®â®è¥¨î ª «¨¥©ë¬ ãà ¢¥¨ï¬.
é¥ ®¤®© ®â«¨ç¨â¥«ì®© ®á®¡¥®áâìî ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¯® ®â®è¥¨î ª «¨¥©ë¬ ï¥âáï «¨ç¨¥, ª ª ¯à ¢¨«®, ¥áª®«ìª¨å à¥è¥¨©. ¬¥ç ¨¥ 3. Ǒ®áª®«ìªã ãà ¢¥¨ï ¬¬¥àè⥩ ïîâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨© àëá® , â® ¢á¥ à áᬮâà¥ë¥ ¨¥ ¬¥â®¤ë ¤«ï ¯®á«¥¤¨å ¡¥§ãá«®¢® ¯à¨¬¥¨¬ë ¨ ª ¯¥à¢ë¬.
: . . ¬¨à®¢ (1951), . . à á®á¥«ì᪨© (1956), . ਪ®¬¨ (1960), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . à á®á¥«ì᪨©, . . ©¨ªª® ¨ ¤à. (1969), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986).
•
¨â¥à âãà
8.2. ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà 8.2-1. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà á ª¢ ¤à â¨ç®© ¥«¨¥©®áâìî Z x
µy (x) − λ
0
y (x − t)y (t) dt = f (x).
(1)
«ï ¥£® à¥è¥¨ï ¨á¯®«ì§ãî⠯८¡à §®¢ ¨¥ ¯« á , ª®â®à®¥ á ãç¥â®¬ â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ (á¬. à §¤. 1.2) ¯à¨¢®¤¨â ª ª¢ ¤à ⮬ã ãà ¢¥¨î ®â®á¨â¥«ì® ¨§®¡à ¥¨ï y ~(p) = L{y (x)}: âáî¤ ¨¬¥¥¬
µy~(p) − λy~2 (p) = f~ (p).
y~(p) =
µ±
q
µ2 − 4λf~ (p)
2λ
.
(2)
âà ¨æ 252
253
8.2. ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà
−1
ਣ¨ « y (x) = L {y ~(p)} (¥á«¨ ® áãé¥áâ¢ã¥â), ¯®«ãç¥ë© á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (1). ⬥⨬, çâ® à §ë¬ § ª ¬ ¢ ä®à¬ã«¥ ¤«ï ¨§®¡à ¥¨© (2) ®â¢¥ç îâ ¤¢ à¥è¥¨ï ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï. Ǒਬ¥à 1.
áᬮâਬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ Z
x
0
y (x − t)y (t) dt
= Axm ,
m > −1.
Ǒਬ¥ïï ª ®¡¥¨¬ ç áâï¬ à áᬠâਢ ¥¬®£® ãà ¢¥¨ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á , á ãç¥â®¬ à ¢¥á⢠L{xm } = (m + 1)p−m−1 ¨¬¥¥¬ y ~2 (p)
= A (m + 1)p−m−1 ,
£¤¥ (m) | £ ¬¬ -äãªæ¨ï. §¢«¥ª ï ¨§ ®¡¥¨å ç á⥩ ª¢ ¤à âë© ª®à¥ì, ¯®«ã稬 ¨§®¡à ¥¨ï m+1 p ~(p) y
=±
A
(m + 1)p− 2
.
ᯮ«ì§ãï ®¡à ⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯« á , 室¨¬ ¤¢ à¥è¥¨ï ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï y1 (x)
=−
p
A (m + 1) m+1 x
m−1
2
,
2
y2 (x)
=
p
A (m + 1) m+1 x
m−1
2
.
2
8.2-2. ¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
à拉 á«ãç ¥¢ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ (®¤®ªà ⮥, ¤¢ãªà ⮥ ¨ â. ¤.) ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¯®á«¥¤ãî騬 ¨áª«î票¥¬ ¨â¥£à «ìëå ç«¥®¢ á ¯®¬®éìî ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï ¯®§¢®«ï¥â ᢥá⨠¨å ª ¥«¨¥©ë¬ ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬. ¨¥ ªà ⪮ ¯¥à¥ç¨á«¥ë ¥ª®â®àë¥ ãà ¢¥¨ï â ª®£® ⨯ .
1◦ .
à ¢¥¨¥ ¢¨¤
y (x ) +
Z
x a
f t, y (t) dt = g (x)
(3)
á ¯®¬®éìî ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¥«¨¥©®¬ã ãà ¢¥¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 :
yx′ + f (x, y ) − gx′ (x) = 0 á ç «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ y (a) = g (a).
2◦ .
à ¢¥¨¥ ¢¨¤
y (x) +
Z
x a
(x − t)f
t, y (t) dt = g (x).
(4)
á ¯®¬®éìî ¤¢ãªà ⮣® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï (á ¯®á«¥¤ãî騬 ¨áª«î票¥¬ ¨â¥£à «ì®£® ç«¥ á ¯®¬®éìî ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¥«¨¥©®¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 ′′ ′′ yxx + f (x, y ) − gxx (x) = 0.
ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ y
3
◦
= y (x) ¨¬¥îâ ¢¨¤ yx′ (a) = gx′ (a).
y (a) = g (a), . à ¢¥¨¥ ¢¨¤
y (x) +
Z
x a
eλ(x−t) f t, y (t) dt = g (x)
(5) (6)
(7)
âà ¨æ 253
254
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
á ¯®¬®éìî ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï (á ¯®á«¥¤ãî騬 ¨áª«î票¥¬ ¨â¥£à «ì®£® ç«¥ á ¯®¬®éìî ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¥«¨¥©®¬ã ãà ¢¥¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 yx′ + f (x, y ) − λy + λg (x) − gx′ (x) = 0. (8)
᪮¬ ï äãªæ¨ï y = y (x) ¤®« 㤮¢«¥â¢®àïâì ç «ì®¬ã ãá«®¢¨î y (a)= g (a).
4◦ .
à ¢¥¨ï ¢¨¤
y (x) + y (x) + y (x) + y (x) +
Z
x
Z ax Z ax Z ax a
h λ(x − t)
f t, y (t) dt = g (x),
f t, y (t) dt = g (x),
f t, y (t) dt = g (x)
sh λ(x − t)
os λ(x − t) sin λ(x − t)
(9) (10)
f t, y (t) dt = g (x),
(11) (12)
â ª¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 á ¯®¬®éìî ¤¢ãªà ⮣® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï. Ǒਬ¥à 2.
x
, ¯®«ã稬
áâ ®¢¨¬áï ¯®¤à®¡¥¥ ãà ¢¥¨¨ (12). ¨ää¥à¥æ¨àãï ¥£® ¤¢ à § ¯®
yx′ (x) + λ
Z
x a
os[λ(x − t)℄f
′′ yxx (x) + λf x, y(x) − λ2
Z
t, y (t) dt x
a
= gx′ (x),
sin[λ(x − t)℄f
(13)
t, y (t) dt
′′ = gxx (x).
(14)
᪫îç ï ¨§ à ¢¥á⢠(14) ¨â¥£à «ì®¥ á« £ ¥¬®¥ á ¯®¬®éìî ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï, ¯à¨å®¤¨¬ ª ¥«¨¥©®¬ã ®¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 ′′ ′′ yxx + λf (x, y) + λ2 y − λ2 g(x) − gxx (x)
= 0.
(15)
Ǒ®« £ ï x = a ¢ ¨á室®¬ ãà ¢¥¨¨ ¨ à ¢¥á⢥ (13), ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî騥 ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ y = y(x): ′ ′ y (a)
= g(a),
yx (a)
= gx (a).
(16)
à ¢¥¨¥ (15) á ãá«®¢¨ï¬¨ (16) ®¯à¥¤¥«ï¥â à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ®çë¥ à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® ¯®à浪 (15) ¤«ï à §«¨çëå äãªæ¨© f (x, y) ¨ g(x) ¬®® ©â¨ ¢ ª¨£ å . . ©æ¥¢ , . . Ǒ®«ï¨ (1995, 1997). 8.2-3. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©
1
◦
. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© ¢® ¬®£¨å á«ãç ïå ¬®¥â ¡ëâì ãá¯¥è® ¯à¨¬¥¥ ª à¥è¥¨î à §«¨çëå ¢¨¤®¢ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. Ǒà¨æ¨¯ ¯®áâ஥¨ï ¨â¥à 樮®£® ¯à®æ¥áá ®áâ ¥âáï â ª¨¬ ¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. «ï ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥ àëá®
y (x) −
Z
x a
K x, t, y (t) dt = f (x),
(17)
a 6 x 6 b,
ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ४ãàà¥â®¥ ¢ëà ¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
yk+1 (x) = f (x) +
Z
x a
K x, t, yk (t) dt,
k
= 0, 1, 2, . . .
ª ç¥á⢥ ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï y0 (x) ®¡ëç® ¢ë¡¨à ¥âáï y0 (x) ≡ y0 (x) = f (x).
(18)
0
¨«¨
âà ¨æ 254
255
8.2. ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà
®â«¨ç¨¥ ®â á«ãç ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ®£à ¨ç¥ãî ®¡« áâì á室¨¬®áâ¨. Ǒਢ¥¤¥¬ ãá«®¢¨ï á室¨¬®á⨠¨â¥à 樮®£® ¯à®æ¥áá (18), ®¤®¢à¥¬¥® ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 ¨ ãá«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ¨ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (17). Ǒãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®á⨠y0 (x) = f (x).
᫨ ¤«ï «î¡®© ¯ àë ¢¥«¨ç¨ z1 , z2 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â®è¥¨¥
|K (x, t, z1 ) − K (x, t, z2 )| 6 ϕ(x, t)|z1 − z2 |
¨, ªà®¬¥ ⮣®,
¯à¨ç¥¬
Z
x a
Z
x a
K x, t, f (t) dt 6 ψ (x), Z
ψ 2 (t) dt 6 N 2 ,
b
a
Z
x
a
ϕ2 (x, t) dt dx 6 M 2 ,
£¤¥ N ¨ M | ¯®áâ®ïë¥, â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à¨¡«¨¥¨ï á室ïâáï ª ¥¤¨á⢥®¬ã à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï (17) ¯®ç⨠¢áî¤ã ¡á®«îâ® ¨ à ¢®¬¥à®. Ǒਬ¥à 3.
ᯮ«ì§ã¥¬ ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï Z y (x)
᫨ y0 (xZ) ≡ 0, â® y1 (x)
=
x
1 + y2 (t) 1 + t2 0 x
=
dt.
dt
= ar tg x, 0 1 + t2 Z x 1 + ar tg2 t y2 (x) = dt = ar tg x + 13 ar tg 3 x, 1 + t2 0 Z x 1 + ar tg t + 13 ar tg3 t dt = y3 (x) = 1 + t2 0 = ar tg x + 13 ar tg3 x + 32·5 ar tg5 x + 71·9 ar tg7 x.
Ǒத®« ï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¬®® § ¬¥â¨âì, çâ® yk (x) → tg(ar tg x) = x ¯à¨ k → ∞, â. ¥. y(x) = x. Ǒ®¤áâ ®¢ª í⮣® १ã«ìâ â ¢ ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯®¤â¢¥à¤ ¥â ¥£® ¯à ¢¨«ì®áâì. «ï ¥«¨¥©®£® ãà ¢¥¨ï Z Ǒਬ¥à 4.
y (x)
x
=
0
[ty2 (t) − 1℄ dt
¥®¡å®¤¨¬® ¯®«ãç¨âì âਠ¯¥à¢ëå ¯à¨¡«¨¥¨ï.
᫨ ¯à¨ïâì y0 (x) = 0, â® Z y1 (x)
=
y2 (x)
=
y3 (x)
=
x
Z 0x Z0
0
(−1) dt = −x,
(t3 − 1) dt = −x + 14 x4 ,
x
1 t8 − 1 t5 t 16 2
+ t2
1 x7 − 1 dt = −x + 14 x4 − 14
1 x10 . + 160
2◦ . ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© ¯à¨¬¥¨¬ ª à¥è¥¨î ¨ ¤àã£¨å ¢¨¤®¢ ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¯à¨¬¥à, ãà ¢¥¨© ¢¨¤
y (x) = F x,
Z
x a
K (x, t)y (t) dt ,
®¡ê¥¤¨ï¥¬ëå ⥬, çâ® ®¨ à §à¥è¨¬ë ®â®á¨â¥«ì® y (x), ¨â¥£à « ¨¬¥¥â x ¢ ª ç¥á⢥ ¢¥à奣® ¯à¥¤¥« . â® ¯®§¢®«ï¥â ¯à¨ ç¨á«¥®© ॠ«¨§ 樨 ¯®«ãç¨âì à¥è¥¨¥ ¯ã⥬ ¤¢¨¥¨ï ¬ «ë¬¨ è £ ¬¨ ¯® x ¨ «¨¥ ਧ 樨 ª ¤®¬ è £¥, çâ® â ª¥ ®¡ëç® ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¥¤¨á⢥®áâì १ã«ìâ â ¨â¥à 権 ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ ç «ì®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨.
âà ¨æ 255
256
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
3◦ .
ç «ì®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ áãé¥á⢥® ¢«¨ï¥â ª®«¨ç¥á⢮ ¨â¥à 権 ¤«ï ¯®«ã票ï १ã«ìâ â á ¥®¡å®¤¨¬®© â®ç®áâìî, ¯®í⮬㠯ਠ¥£® ¢ë¡®à¥ ®¡ëç® ¯®«ì§ãîâáï ¥ª®â®à묨 ¤®¯®«¨â¥«ì묨 á®®¡à ¥¨ï¬¨. ª ¤«ï ãà ¢¥¨ï
Ay (x) −
Z
x
0
Q(x − t) y (t) dt = f (x),
£¤¥ A | ¥ª®â®à ï ¯®áâ®ï ï, å®à®è¥¥ ç «ì®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ y0 (x) ¨®£¤ ¬®¥â ¡ëâì ©¤¥® ¨§ à¥è¥¨ï á«¥¤ãî饣®, ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âà á楤¥â®£®, ãà ¢¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® y ~0 (p):
~ (p) y~0 (p) Ay~0 (p) − Q
= f~ (p),
~ (p) ¨ f~ (p) | ¨§®¡à ¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å äãªæ¨©, ¯®«ãç¥ë¥ £¤¥ y ~0 (p), Q ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á .
᫨ y ~0 (p) ®¯à¥¤¥«¥®, â® ç «ì®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ ¬®® ©â¨, ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ®¡à âë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¯« á : y0 (x) = L−1 {y~0 (p)}. 8.2-4. ¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç
®á⮨á⢮¬ ¨â¥à 樮ëå ¬¥â®¤®¢ ¯à¨¬¥¨â¥«ì® ª «¨¥©ë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ï¥âáï ¨å ¥¨§¡¥ ï á室¨¬®áâì ¯à¨ á« ¡ëå ®£à ¨ç¥¨ïå ï¤à® ¨ ¯à ¢ãî ç áâì. Ǒਠà¥è¥¨¨ ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ®¡« áâì á室¨¬®á⨠¬¥â®¤ ¯à®áâëå ¨â¥à 権 áã ¥âáï, ¥á«¨ ¯à®æ¥áá ¨ á室¨âáï, â® ¢® ¬®£¨å á«ãç ïå ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠¬®¥â ®ª § âìáï ®ç¥ì ¨§ª®©. ¤¨¬ ¨§ íä䥪⨢ëå ¬¥â®¤®¢, ¯®§¢®«ïîé¨å ¯à¥®¤®«¥âì 㪠§ ë¥ âà㤮áâ¨, ï¥âáï ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç . á®¢ë¬ § 票¥¬ ¤ ®£® ¬¥â®¤ ï¥âáï à¥è¥¨¥ ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¢â®à®£® த á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ® ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®«¥§ë¬ ¨ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¬®£¨å § ¤ ç ¤«ï ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà , ¯®§¢®«ïï § ç¨â¥«ì® ã᪮à¨âì á室¨¬®áâì ¯® áà ¢¥¨î á ¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©. Ǒਬ¥¨¬ ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç ª à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥ àëá®
y (x) = f (x) +
Z
x a
K x, t, y (t) dt.
(19)
®£¤ ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騩 ¨â¥à æ¨®ë© ¯à®æ¥áá:
yk (x) = yk−1 (x) + ϕk−1 (x), k = 1, 2, . . . , Z x ′ ϕk−1 (x) = εk−1 (x) + Ky x, t, yk−1 (t) ϕk−1 (t) dt, Z x a εk−1 (x) = f (x) + K x, t, yk−1 (t) dt − yk−1 (x).
(20) (21) (22)
a
®á®¢¥ «£®à¨â¬ «¥¨â à¥è¥¨¥ «¨¥©®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (21) ®â®á¨â¥«ì® ¯®¯à ¢ª¨ ϕk−1 (x) á ¨§¬¥ïî騬¨áï ®â è £ ª è £ã ï¤à®¬ ¨ ¯à ¢®© ç áâìî. ª®© ¯à®æ¥áá ®¡« ¤ ¥â ¡ëáâன á室¨¬®áâìî, ®¤ ª® ¤®áâ â®ç® á«®¥ ¨§-§ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠à¥è¥¨ï ®¢®£® ãà ¢¥¨ï ª ¤®¬ ¨â¥à 樮®¬ è £¥. ¯à®é¥¨¥ ¬®¥â ¡ëâì ¤®á⨣ãâ® ¯ã⥬ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¢¬¥áâ® (21) ãà ¢¥¨ï
ϕk−1 (x) = εk−1 (x) + ¨«¨ ãà ¢¥¨ï
ϕk−1 (x) = εk−1 (x) +
Z
Z
x a x
a
Ky′ x, t, y0 (t) ϕk−1 (t) dt
Ky′ x, t, ym (t) ϕk−1 (t) dt,
(23)
(24)
âà ¨æ 256
8.2. ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà
257
ï¤à ª®â®àëå ¥¨§¬¥ë. ãà ¢¥¨¨ (24) m 䨪á¨à®¢ ® ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î m < k − 1. à ¢¥¨¥ (23) 楫¥á®®¡à §® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ ã¤ ç® ¢ë¡à ®¬ ç «ì®¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¬®® ®áâ ®¢¨âìáï ¥ª®â®à®¬ m-¬ ¯à¨¡«¨¥¨¨ ¨, ç¨ ï á ¥£®, ¨á¯®«ì§®¢ âì ã¯à®é¥®¥ ãà ¢¥¨¥ (24). Ǒ®«ãç î騩áï ¢ १ã«ìâ ⥠¨â¥à æ¨®ë© ¯à®æ¥áá ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë© ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç . ¯à¨æ¨¯¥ ® á室¨âáï ¬¥¤«¥¥¥, 祬 ¨áå®¤ë© ¯à®æ¥áá (20){(22), ®¤ ª® ¬¥¥¥ á«®¥ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨ïå. Ǒਬ¥à 5.
Ǒਬ¥¨¬ ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç ª à¥è¥¨î ãà ¢¥¨ï y (x)
=
Z
x
0
[ty2 (t) − 1℄ dt.
Ǒந§¢®¤ ï ¯®¤ëâ¥£à «ì®£® ¢ëà ¥¨ï ¯® y ¨¬¥¥â ¢¨¤ Ky′ t, y (t)
= 2ty(t).
Ǒਨ¬ ï ¢ ª ç¥á⢥ ã«¥¢®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï y0 (x) ≡ 0, ¯®«ã稬 ᮣ« á® (20) ¨ (21), çâ® ϕ0 (x) = −x ¨ y1 (x) = −x. «¥¥, y2 (x) = y1 (x) + ϕ1 (x). ®£« á® (22) ¨¬¥¥¬ ε1 (x)
=
Z
x
0
[t(−t)2 − 1℄ dt + x = 14 x4 .
à ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ¯®¯à ¢ª¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ϕ1 (x)
= −2
Z
x
0
t2 ϕ1 (t) dt +
1 4 x 4
¨ ¬®¥â ¡ëâì à¥è¥® «î¡ë¬ ¨§ ¬¥â®¤®¢ à¥è¥¨ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த . ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©, ª®â®àë© ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî騬 १ã«ìâ â ¬ (®¬¥à è £ 㪠§ë¢ ¥âáï ¢¥à娬 ¨¤¥ªá®¬): (0) = (1) ϕ1 = ϕ1
1 4 4x , Z x 1 7 1 4 1 4 1 6 4 x − 2 0 4 t dt = 4 x − 14 x , Z
(2) = 1 x4 − 2 x t2 1 t4 − 1 x7 dt = 1 x4 − 1 x7 + 1 x10 . 4 4 14 4 14 70 0
ϕ1
£à ¨ç¨¢è¨áì §¤¥áì ¢â®àë¬ ¯à¨¡«¨¥¨¥¬, ¯®«ã稬 y2 (x)
1 x7 + 1 x10 , = −x + 41 x4 − 14 70
¨ ¯¥à¥©¤¥¬ ª âà¥â쥬㠨â¥à 樮®¬ã è £ã ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç :
y3 (x) = y2 (x) + ϕ2 (x), 10 1 1 x13 − 1 x16 + 1 x19 + 1 x22 , ε2 (x) = 160 x − 1820 7840 9340 107800 Z x 1 t7 + 1 t10 ϕ (t) dt. ϕ2 (x) = ε2 (x) + 2 t −t + 41 t4 − 14 2 70 0
£à ¨ç¨¢è¨áì ã«¥¢ë¬ ¯à¨¡«¨¥¨¥¬ ¯à¨ à¥è¥¨¨ ¯®á«¥¤¥£® ãà ¢¥¨ï, ¯®«ã稬 y3 (x)
1 x7 + 23 x10 − 1 x13 − 1 x16 + 1 x19 + 1 x22 . = −x + 41 x4 − 14 112 1820 7840 9340 107800
Ǒਬ¥¥¨¥ ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© ª ¨á室®¬ã ãà ¢¥¨î ¯à¨¢®¤¨â ª â ª®¬ã ¥ १ã«ìâ âã ç¥â¢¥à⮬ è £¥. Ǒਠç¨á«¥®¬ à¥è¥¨¨ ¨â¥£à «, ª ª ®¡ëç®, § ¬¥ï¥âáï ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«®©. ᮢ ï âà㤮áâì ॠ«¨§ 樨 ¬¥â®¤ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬®¥â § ª«îç âìáï ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯à®¨§¢®¤®© ®â ï¤à . ¤ ç ã¯à®é ¥âáï, ¥á«¨ ï¤à® § ¤ ® ¢ ¢¨¤¥ «¨â¨ç¥áª®£® ¢ëà ¥¨ï, ¤®¯ã᪠î饣® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¢ «¨â¨ç¥áª®¬ ¢¨¤¥.
᫨ ¥ ï¤à® § ¤ ® â ¡«¨æ¥©, â® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¤®«® ¢ë¯®«ïâìáï ç¨á«¥®. 17 . . ¨à®¢, . . Ǒ®«ï¨
âà ¨æ 257
258
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
8.2-5. ¥â®¤ ª®««®ª 樨
Ǒਬ¥¨â¥«ì® ª à¥è¥¨î ãà ¢¥¨© ®«ìâ¥àà ¯¥à¢®£® த ¢ ä®à¬¥ àëá® Z x a
K x, t, y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b,
(25)
¬¥â®¤ ª®««®ª 樨 á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. Ǒ஬¥ã⮪ [a, b℄ à §¡¨¢ ¥âáï N ãç á⪮¢, ª ¤®¬ ¨§ ª®â®àëå ¨áª®¬®¥ à¥è¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ äãªæ¨¨ ®¯à¥¤¥«¥®£® ¢¨¤
y~(x) = (x, A1 , A2 , . . . , Am ),
(26)
§ ¢¨áï饩 ®â ᢮¡®¤ëå ¯ à ¬¥â஢ Ai (i = 1, 2, . . . , m). ¥è ¥¬®¥ ãà ¢¥¨¥ § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ¤®¬ (k +1)-¬ ãç á⪥ xk 6 x 6 xk+1 (k = 0, 1, . . . , N − 1) ¢ ¢¨¤¥
Z
£¤¥ ¨â¥£à «
x
K x, t, y~(t) dt = f (x) − k (x),
xk
k (x) =
Z
xk a
K x, t, y~(t) dt
(27)
(28)
¢á¥£¤ ¬®¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¥ ¯® ¨§¢¥á⮬㠯஬¥ã⪥ a 6 x 6 xk ¯à¨¡«¨¥®¬ã à¥è¥¨î y ~(x), ¯®«ã祮¬ã ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® ¤«ï k − 1 ãç á⪮¢. ç «ì®¥ § 票¥ y (a) ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï 室¨âáï ª ª¨¬-«¨¡® ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¬ á¯®á®¡®¬ ¨«¨ áç¨â ¥âáï § ¤ ë¬. «ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï (27) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (26), ᢮¡®¤ë¥ ¯ à ¬¥âàë Ai (i = 1, 2, . . . , m) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ ãá«®¢¨ï ®¡à é¥¨ï ¢ ã«ì ¥¢ï§®ª
ε(Ai , xk,j ) =
Z
xk,j xk
K xk,j , t, (t, A1 , . . . , Am ) dt − f (xk,j ) − k (xk,j ), (29)
£¤¥ xk,j (j = 1, 2, . . . , m) | 㧫ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à §¡¨¥¨î ®â१ª [xk , xk+1 ℄ m ç á⥩ (¯®¤®â१ª®¢). ëà ¥¨¥ (29) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á¨á⥬ã m ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® A1 , A2 , . . . , Am . «ï 㤮¡á⢠¢ëç¨á«¥¨© ¨áª®¬®¥ à¥è¥¨¥ ãç á⪥ 楫¥á®®¡à §® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ¢ ¢¨¤¥ ª ª®£®-«¨¡® ¯®«¨®¬
y~(x) =
m X i=1
Ai ϕi (x),
(30)
£¤¥ ϕi (x) | «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ª®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨. ª ç¥á⢥ ϕi (x) ç áâ® ¢ë¡¨à îâáï á⥯¥ë¥ ¨ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯®«¨®¬ë, ¢ ⮬ ç¨á«¥, ϕi (x) = xi−1 . ¯à¨«®¥¨ïå ª®ªà¥âë© ¢¨¤ äãªæ¨© ϕi (x) ¢ ä®à¬ã«¥ (30), â ª¥ ¢¨¤ äãªæ¨¨ ¢ (26), ¨®£¤ § ¤ ¥âáï ¨§ 䨧¨ç¥áª¨å á®®¡à ¥¨© ¨«¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï áâàãªâãன à¥è¥¨ï ¡®«¥¥ ¯à®á⮣® ¬®¤¥«ì®£® ãà ¢¥¨ï. 8.2-6. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà
à¥è¥¨î ¥«¨¥©®£® ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà ¬®® ¯à¨¬¥¨âì ¬¥â®¤, ®á®¢ ë© ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«. ¥â®¤¨ª á®áâ ¢«¥¨ï ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饩 á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ®áâ ¥âáï â ª®© ¥, ª ª ¨ ¢ «¨¥©®¬ á«ãç ¥ (á¬. ¯. 3.10-1).
âà ¨æ 258
8.2. ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ®«ìâ¥àà
1◦ .
259
áᬮâਬ ¥«¨¥©®¥ ãà ¢¥¨¥ ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥ àëá®
Z
x
(31) K x, t, y (t) dt = f (x) a ®â१ª¥ a 6 x 6 b. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® K x, t, y (t) ¨ f (x) | ¥¯à¥àë¢ë¥ y (x) −
äãªæ¨¨. ®á®¢ ¨¨ ãà ¢¥¨ï (31) ©¤¥¬ y (a) = f (a). ®§ì¬¥¬ ¯®áâ®ïë© è £ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï h ¨ à áᬮâਬ ¤¨áªà¥â®¥ ¬®¥á⢮ â®ç¥ª xi = a + h(i − 1), £¤¥ i = 1, 2, . . . , n. â®çª å x = xi ãà ¢¥¨¥ (31) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
y (x i ) −
Z
xi a
K xi , t, y (t) dt = f (xi ).
(32)
롨à ï xi ¢ ª ç¥á⢥ 㧫®¢ ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë (á¬. ¯. 2.7-1), ¤«ï ª®â®à®© ®è¨¡ª®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨 ¡ã¤¥¬ ¯à¥¥¡à¥£ âì, ¨ § ¬¥ïï ¥î ¨â¥£à « ¢ ¢ëà ¥¨¨ (32), ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî á¨á⥬㠥«¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å (¨«¨ âà á楤¥âëå) ãà ¢¥¨©:
y1
= f1 ,
i X
yi −
j =1
Aij Kij (yj ) = fi ,
i = 2, 3, . . . , n,
(33)
£¤¥ Aij | ª®íää¨æ¨¥âë ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë ®â१ª¥ [a, xi ℄, yi | ¯à¨¡«¨¥ë¥ § 票ï à¥è¥¨ï y (x) ¢ 㧫 å xi , fi = f (xi ) ¨ Kij (yj ) = K (xi , tj , yj ). ®®â®è¥¨ï (33) ¬®® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠४ãàà¥âëå ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
y1
= f1 ,
yi − Aii Kii (yi ) = fi +
i−1 X
j =1
Aij Kij (yj ),
i = 2, 3, . . . , n,
(34)
¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¨¡«¨¥®£® § ç¥¨ï ¨áª®¬®£® à¥è¥¨ï ¢ 㧫®¢ëå â®çª å.
2◦ .
Ǒਬ¥¨â¥«ì® ª ãà ¢¥¨î ®«ìâ¥àà ¢â®à®£® த ¢ ä®à¬¥ ¬¬¥àè⥩
y (x ) −
Z
x a
Q(x, t) t, y (t) dt = f (x)
®á®¢ë¥ á®®â®è¥¨ï ¬¥â®¤ ª¢ ¤à âãà ¨¬¥îâ ¢¨¤ (x1
y1
= f1 ,
yi −
i X
j =1
Aij Qij j (yj ) = fi ,
(35)
= a)
i = 2, . . . , n,
(36)
£¤¥ Qij = Q(xi , tj ) ¨ j (yj ) = (tj , yj ). ¨ ¯à¨¢®¤ïâ ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¥«¨¥©ëå ४ãàà¥âëå ãà ¢¥¨©
y1
= f1 ,
yi − Aii Qii i (yi ) = fi +
i−1 X
j =1
Aij Qij j (yj ),
i = 2, . . . , n,
(37)
à¥è¥¨ï ª®â®àëå ¤ î⠯ਡ«¨¥ë¥ § ç¥¨ï ¨áª®¬®© äãªæ¨¨. Ǒਬ¥à 6.
Ǒਠà¥è¥¨¨ ãà ¢¥¨ï Z y (x) −
x
0
e−(x−t) y 2 (t) dt = e−x ,
0 6 x 6 0, 1,
£¤¥ Q(x, t) = e−(x−t), t, y(t) = y2 (t) ¨ f (x) = e−x, ¯¯à®ªá¨¬¨à㥬®¥ ¢ëà ¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z x
y (xi ) −
i
0
e−(xi −t) y 2 (t) dt = e−xi .
17*
âà ¨æ 259
260
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
ᯮ«ì§ãï ¤«ï § ¬¥ë ¨â¥£à « ä®à¬ã«ã âà ¯¥æ¨© (è £ h = 0, 02) ¨ ®âë᪨¢ ï à¥è¥¨¥ ¢ 㧫 å xi = 0, 0,02, 0,04, 0,06, 0,08, 0,1, ¯®«ãç ¥¬ ᮣ« á® (33) á«¥¤ãîéãî á¨á⥬ã à áç¥âëå á®®â®è¥¨©: y1
= f1 ,
yi − 0, 01 Qii yi2
= fi +
i−1 X
j =1
0, 02 Qij yj2 ,
i = 2, 3, . . . , 6.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï 室¥¨ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ¥®¡å®¤¨¬® à¥è¨âì ª¢ ¤à ⮥ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ª ¤®£® § 票ï yi , çâ® ¯®§¢®«ï¥â § ¯¨á âì yi
= 50 ± 50 1 − 0, 04
fi +
i−1 X
j =1
0, 02 Qij yj2
1/2
,
i
= 2, . . . , 6.
• : Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . à ᮢ, . . ¨á¥«¥¢, . . ª ४® (1968), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986). ¨â¥à âãà
8.3. à ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï 8.3-1. ¥«¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï á ¢ëத¥ë¬¨ ï¤à ¬¨
1◦ .
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ ¬¬¥àè⥩ ¢â®à®£® த ¢ ª ®¨ç¥áª®© ä®à¬¥
y (x) =
Z
b a
Q(x, t) t, y (t) dt,
(1)
£¤¥ Q(x, t), (t, y ) | § ¤ ë¥ äãªæ¨¨, y (x) | ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï. Ǒãáâì Q(x, t) | ¢ëத¥®¥ ï¤à®, â. ¥.
Q(x, t) =
m X
k=1
gk (x)hk (t).
(2)
í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (1) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤
y (x) = Ǒ®«®¨¬
Ak
=
Z
b a
m X
k=1
gk (x)
Z
b a
hk (t) t, y (t) dt.
hk (t) t, y (t) dt,
k
= 1, 2, . . . , m,
(3)
(4)
£¤¥ Ak | ¯®ª ¥¨§¢¥áâë¥ ¯®áâ®ïë¥. ®£¤ ¢ ᨫã (3) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
y (x ) =
m X
k=1
Ak gk (x).
(5)
Ǒ®¤áâ ¢«ïï ¢ à ¢¥á⢠(4) ¢ëà ¥¨¥ (5) ¤«ï y (x), ¯®«ã稬 ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ m âà á楤¥âëå ãà ¢¥¨© ¢¨¤ Ak = k (A1 , A2 , . . . , Am ), k = 1, 2, . . . , m, (6) ᮤ¥à é¨å m ¥¨§¢¥áâëå ¢¥«¨ç¨ A1 , A2 , . . . , Am . á«ãç ¥, ª®£¤ (t, y ) | ¬®£®ç«¥ ®â®á¨â¥«ì® y , â. ¥. (t, y ) = p0 (t) + p1 (t)y + · · · + pn (t)y n, (7) £¤¥ p0 (t), p1 (t), . . . , pn (t) ¥áâì, ¯à¨¬¥à, ¥¯à¥àë¢ë¥ äãªæ¨¨ t ®â१ª¥ [a, b℄, á¨á⥬ (6) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ á¨á⥬㠥«¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® A1 , A2 , . . . , Am . ¨á«® à¥è¥¨© ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (3) à ¢® ç¨á«ã à¥è¥¨© á¨á⥬ë (6). ¤®¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë (6) ¯®à®¤ ¥â à¥è¥¨¥ (5) ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï.
âà ¨æ 260
8.3. à ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
261
2◦ .
áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥ àëá® ¢â®à®£® த á ã¯à®é¥ë¬ ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :
y (x) +
£® à¥è¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤
Z b X n
k=1
a
gk (x)fk t, y (t)
y (x) = h(x) +
n X
k=1
dt = h(x).
λk gk (x),
(8)
(9)
£¤¥ ¯®áâ®ïë¥ λk ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª®© (âà á楤¥â®©) á¨á⥬ë ãà ¢¥¨©
λm +
Z
b a
n X fm t, h(t) + λk gk (t) dt = 0, k=1
m = 1, 2, . . . , n.
(10)
§«¨çë¬ ª®àï¬ í⮩ á¨áâ¥¬ë ®â¢¥ç îâ à §«¨çë¥ à¥è¥¨ï ¥«¨¥©®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï. ®§¬®ë á¨âã 樨, ª®£¤ (¤¥©á⢨⥫ìë¥) à¥è¥¨ï ®âáãâáâ¢ãîâ. ¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï àëá® ¢â®à®£® த á ¢ëத¥ë¬ ï¤à®¬ ¢ ®¡é¥© ä®à¬¥
f x, y (x)
+
Z b X n a
¬®® § ¯¨á âì ¢ ¥ï¢®¬ ¢¨¤¥
f x, y (x)
k=1
+
gk x, y (x) hk t, y (t) dt = 0
n X
k=1
λk gk x, y (x)
= 0,
(11)
(12)
£¤¥ ¯ à ¬¥âàë λk ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯ã⥬ à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë «£¥¡à ¨ç¥áª¨å (âà á楤¥âëå) ãà ¢¥¨©
λk − Hk (~λ) = 0, k = 1, 2, . . . , n, Z b hk t, y (t) dt, ~λ = {λ1 , λ2 , . . . , λn }. Hk (~λ) =
(13)
a
á¨á⥬ã (13) á«¥¤ã¥â ¯®¤áâ ¢¨âì äãªæ¨î y (x) = y (x, ~ λ), ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï ¯ã⥬ à §à¥è¥¨ï (12). ¨á«® à¥è¥¨© ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¨á«®¬ à¥è¥¨©, ¯®«ãç¥ëå ¨§ (12) ¨ (13). ®§¬®ë á¨âã 樨, ª®£¤ à¥è¥¨ï ®âáãâáâ¢ãîâ. Ǒਬ¥à 1.
¥è¨¬ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ y (x)
=λ
á ¯ à ¬¥â஬ λ. Ǒ®«®¨¬ A
®£¤ ¨§ (14) ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì
=
Z 1
0
Z 1
0
y (x)
xty 3 (t) dt
ty 3 (t) dt.
= λAx.
Ǒ®¤áâ ¢«ïï y(x) ¢ ä®à¬¥ (16) ¢ á®®â®è¥¨¥ (15), ¯®«ã稬 A=
Z 1
0
(14)
(15) (16)
tλ3 A3 t3 dt.
âà ¨æ 261
262
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
âªã¤
A
= 15 λ3 A3 .
A2
=
r
y2 (x)
=
(17)
Ǒਠλ > 0 ãà ¢¥¨¥ (17) ¨¬¥¥â âਠà¥è¥¨ï: A1
= 0,
5
, λ3
A3
=−
r
5
λ3
.
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ (14) â ª¥ ¨¬¥¥â âਠà¥è¥¨ï ¯à¨ «î¡®¬ λ > 0: y1 (x) ≡ 0,
r
5
x, λ3
y3 (x)
=−
r
5
λ3
x.
Ǒਠλ 6 0 ãà ¢¥¨¥ (17) ¨¬¥¥â ⮫쪮 ®¤® âਢ¨ «ì®¥ à¥è¥¨¥ y(x) ≡ 0. 8.3-2. ¥â®¤ ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©
1◦ .
áᬮâਬ ¥«¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ á ª¢ ¤à â¨ç®© ¥«¨¥©®áâìî ¯®«ã®á¨ Z ∞ 1 x y (t) dt = f (x). µy (x) − λ y (18) t 0 t
«ï ¥£® à¥è¥¨ï ¨á¯®«ì§ãî⠯८¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ , ª®â®à®¥ á ãç¥â®¬ â¥®à¥¬ë ® ᢥà⪥ (á¬. à §¤. 7.3) ¯à¨¢®¤¨â ª ª¢ ¤à ⮬ã ãà ¢¥¨î ®â®á¨â¥«ì® ¨§®¡à ¥¨ï b y (s ) = M{y (x)}:
µb y (s ) − λb y 2 (s ) = fb (s ).
âáî¤ ¨¬¥¥¬
−1
b y(s ) =
µ±
q
µ2 − 4λfb (s )
2λ
.
(19)
ਣ¨ « y (x) = M {b y (s )} (¥á«¨ ® áãé¥áâ¢ã¥â), ¯®«ãç¥ë© á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¡ã¤¥â à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨ï (18). §ë¬ § ª ¬ ¢ ä®à¬ã«¥ ¤«ï ¨§®¡à ¥¨© (19) ®â¢¥ç îâ ¤¢ à¥è¥¨ï ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï.
2◦ .
¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨ ¬®® à¥è âì â ª¥ ¥«¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¢¨¤
y (x) − λ
Z
∞
0
tβ y (xt)y (t) dt = f (x).
(20)
Ǒ८¡à §®¢ ¨¥ ¥««¨ (á¬. â ¡«. 2 ¨§ à §¤. 1.3) ¯à¨¢®¤¨â (20) ª äãªæ¨® «ìy (s ) = M{y (x)}: ®¬ã ãà ¢¥¨î ¤«ï ¨§®¡à ¥¨ï b
b y (s ) − λb y(s )b y (1 − s + β ) = fb (s ).
1 − s + β , ¨¬¥¥¬ á«¥¤á⢨¥ b y (1 − s + β ) − λb y(s )b y (1 − s + β ) = fb (1 − s + β ).
¬¥ïï ¢ (21) s
(21)
(22)
᪫îç ï ¨§ (21) ¨ (22) ª¢ ¤à â¨çë© ç«¥, ¯®«ã稬 á¢ï§ì
b y(s ) − fb (s ) = b y (1 − s + β ) − fb (1 − s + β ).
(23)
ëà ï ®âáî¤ b y(1 − s + β ) ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ (21), ¯à¨å®¤¨¬ ª ª¢ ¤à ⮬ã ãà ¢¥¨î ®â®á¨â¥«ì® ¨§®¡à ¥¨ï
λb y 2 (s ) −
1 + fb(s ) − fb(1 − s + β ) by (s ) + fb(s ) = 0. (24) §à¥è¨¢ (24) ®â®á¨â¥«ì® b y(s ) á ¯®¬®éìî ®¡à ⮣® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¥««¨ ¬®® ©â¨ à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (20).
âà ¨æ 262
8.3. à ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
263
8.3-3. ¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
1
◦
. áᬮâਬ ãà ¢¥¨¥
Z
y (x) +
b
|x − t|f t, y (t) dt = g (x).
a
(25)
áªà®¥¬ ¬®¤ã«ì ¢ ¯®¤ëâ¥£à «ì®¬ ¢ëà ¥¨¨. १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬
y (x) +
Z
x a
Z
t, y (t) dt +
(x − t)f
¨ää¥à¥æ¨àãï (26) ¯® x, ¨¬¥¥¬
yx′ (x) +
Z
x a
Z
f t, y (t) dt −
b x b x
(t − x)f
t, y (t) dt = g (x).
f t, y (t) dt = gx′ (x).
(26)
(27)
¨ää¥à¥æ¨àãï (27), ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠮¡ëª®¢¥®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 ¤«ï äãªæ¨¨ y = y (x): ′′ ′′ yxx + 2f (x, y ) = gxx (x). (28) 뢥¤¥¬ ⥯¥àì £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ãà ¢¥¨ï (28). ç¨â ¥¬, çâ® −∞ < a < b < ∞. Ǒ®« £ ï ¢ (26) x = a ¨ x = b, ¨¬¥¥¬ ¤¢ á«¥¤á⢨ï:
y (a) +
y (b) +
Z
Z
b
a b
a
(t − a)f
(b − t)f
t, y (t) dt = g (a),
t, y (t) dt = g (b).
(29)
ëà §¨¬ ¨§ ãà ¢¥¨ï (28) äãªæ¨î f (x, y ) ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢ (29). Ǒ®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® ç áâï¬ ¯®«ã稬 ¨áª®¬ë¥ £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï äãªæ¨¨ y (x):
y (a) + y (b) + (b − a) gx′ (b) − yx′ (b) = g (a) + g (b), ′ y (a) + y (b) + (a − b) gx (a) − yx′ (a) = g (a) + g (b).
(30)
⬥⨬ ¯®«¥§®¥ á«¥¤á⢨¥ íâ¨å à ¢¥áâ¢:
yx′ (a) + yx′ (b) = gx′ (a) + gx′ (b),
ª®â®à®¥ ¬®® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¢¬¥áâ® ®¤®£® ¨§ ãá«®¢¨© (30). à ¢¥¨¥ (28) ¢¬¥áâ¥ á £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ (30) ®¯¨áë¢ ¥â à¥è¥¨¥ ¨á室®£® ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (®â¬¥â¨¬, çâ® à¥è¥¨© ¬®¥â ¡ëâì ¥áª®«ìª®).
2◦ .
à ¢¥¨¥ ¢¨¤
y (x) +
Z
b a
eλ|x−t| f t, y (t) dt = g (x)
(31)
á ¯®¬®éìî ¤¢ãªà ⮣® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï (á ¯®á«¥¤ãî騬 ¨áª«î票¥¬ ¨â¥£à «ì®£® ç«¥ á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï) ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¥«¨¥©®¬ã ãà ¢¥¨î ¢â®à®£® ¯®à浪 ′′ yxx + 2λf (x, y ) − λ2 y
′′ = gxx (x) − λ2 g (x).
(32) £à ¨çëå ãá«®¢¨ïå ¤«ï í⮣® ãà ¢¥¨ï á¬. ¢ ª¨£¥ . . Ǒ®«ï¨ , . . ¨à®¢ (1998, áâà. 392).
3◦ .
®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 á ¯®¬®éìî ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ¯à¨¢®¤ïâáï â ª¥ ãà ¢¥¨ï ¢¨¤
y (x) + y (x) +
Z Z
b a b a
sh sin
λ|x − t| f t, y (t) dt = g (x),
λ|x − t| f t, y (t) dt = g (x).
(33) (34)
¡ íâ¨å ãà ¢¥¨ïå á¬. ¢ ª¨£¥ . . Ǒ®«ï¨ , . . ¨à®¢ (1998, áâà. 393).
âà ¨æ 263
264
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
8.3-4. ¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨©
áᬮâਬ ¥«¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ àëá® ¢ ª ®¨ç¥áª®© ä®à¬¥
Z
y (x) =
b a
K x, t, y (t) dt,
(35)
a 6 x 6 b.
â¥à æ¨®ë© ¯à®æ¥áá ¤«ï í⮣® ãà ¢¥¨ï áâநâáï ¯® ä®à¬ã«¥
Z
yk (x) =
b a
K x, t, yk−1 (t) dt,
k
= 1, 2, . . .
(36)
᫨ äãªæ¨ï K(x, t, y ) ¥¯à¥àë¢ ¢¬¥áâ¥ á ¯à®¨§¢®¤®© Ky′ (x, t, y ) ¯® ᮢ®ªã¯®á⨠¯¥à¥¬¥ëå a 6 x 6 b, a 6 t 6 b, |y| 6 ρ ¨
Z
b
a
Z
sup |K(x, t, y )| dt 6 ρ, y
b
a
sup |Ky′ (x, t, y )| dt 6 β < 1, y
(37)
â® ¯à¨ «î¡®© ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¨ ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï y0 (x) ¨§ ®¡« á⨠{|y| 6 ρ, a 6 x 6 b} ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à¨¡«¨¥¨ï (36) á室ïâáï ª ¥¯à¥à뢮¬ã à¥è¥¨î y ∗ (x), ª®â®à®¥ à ᯮ«®¥® ¢ ⮩ ¥ ®¡« á⨠¨ ¥¤¨á⢥® ¢ ¥©. ª®à®áâì á室¨¬®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮¬
βk 1−β
|y ∗ (x) − yk (x)| 6
sup |y1 (x) − y0 (x)|,
a 6 x 6 b,
x
ª®â®à®¥ ¤ ¥â ¯à¨®àãî ®æ¥ªã ¯®£à¥è®á⨠k -£® ¯à¨¡«¨¥¨ï. ¨, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¡®«¥¥ â®ç ï ®æ¥ª ¨¬¥¥â ¢¨¤
|y ∗ (x) − yk (x)| 6
β
1−β
sup |yk (x) − yk−1 (x)|,
(38)
¯®áâ¥à¨®à ï
a 6 x 6 b.
x
(39)
¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï ¢¨¤ (35) á ¤®¯®«¨â¥«ìë¬ á« £ ¥¬ë¬ f (x) ¢ ¯à ¢®© ç á⨠¬®¥â ¡ëâì ¯®áâ஥® «®£¨çë¬ ®¡à §®¬. Ǒਬ¥à 2.
Ǒਬ¥¨¬ ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï y (x)
=
Z 1
0
5 x + 1. xty 2 (t) dt − 12
®®â¢¥âáâ¢ãîé ï ४ãàà¥â ï ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¢¨¤ yk (x)
=
Z 1
0
2 (t) dt − 5 x + 1, xtyk− 1 12
k
= 1, 2, . . .
ª ç¥á⢥ ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï ¢®§ì¬¥¬ y0 (x) = 1. ëç¨á«¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® y1 (x) y8 (x) y16 (x)
= 1 + 0, 083 x, = 1 + 0, 27 x, = 1 + 0, 318 x,
y2 (x) y9 (x) y17 (x)
= 1 + 0, 14 x, = 1 + 0, 26 x, = 1 + 0, 321 x,
y3 (x) y10 (x) y18 (x)
= 1 + 0, 18 x, . . . = 1 + 0, 29 x, . . . = 1 + 0, 323 x, . . . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨¡«¨¥¨ï á室ïâáï ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î y(x) = 1 + 13 x. ¨¤®, çâ®
᪮à®áâì á室¨¬®á⨠®ç¥ì ¬ « . ¯. 8.3-5 íâ® ãà ¢¥¨¥ ¡ã¤¥â à¥è¥® ¡®«¥¥ íää¥ªâ¨¢ë¬ ¬¥â®¤®¬. 8.3-5. ¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç
¥è¥¨¥ ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ï¥âáï á«®®© § ¤ 祩 ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ¬ ⥬ ⨪¨, çâ® ®¡ãá«®¢«¥® âà㤮áâﬨ ª ª ¯à¨æ¨¯¨ «ì®£®,
âà ¨æ 264
8.3. à ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
265
â ª ¨ ¢ëç¨á«¨â¥«ì®£® å à ªâ¥à . á¢ï§¨ á í⨬ à §à ¡ âë¢ îâáï ¬¥â®¤ë, á¯¥æ¨ «ì® ¯à¥¤ § ç¥ë¥ ¤«ï à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨©. â ª¨¬ ¬¥â®¤ ¬ ®â®á¨âáï ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç , ª®â®àë© ¢® ¬®£¨å á«ãç ïå ¯®§¢®«ï¥â à¥è âì ¢®¯à®áë ®¡¥á¯¥ç¥¨ï ¨ ã᪮२ï á室¨¬®á⨠¨â¥à 樮ëå ¯à®æ¥áᮢ. áᬮâਬ ¤ ë© ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥¨â¥«ì® ª ãà ¢¥¨î àëá® ¢ ª ®¨ç¥áª®© ä®à¬¥ (35). â¥à æ¨®ë© ¯à®æ¥áá áâநâáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
yk (x) = yk−1 (x) + ϕk−1 (x), k = 1, 2, . . . , Z b ϕk−1 (x) = εk−1 (x) + Ky′ x, t, yk−1 (t) ϕk−1 (t) dt, a Z b εk−1 (x) = K x, t, yk−1 (t) dt − yk−1 (x).
(40) (41) (42)
a
ª ¤®¬ è £¥ «£®à¨â¬ à¥è ¥âáï «¨¥©®¥ ¨â¥£à «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ¯®¯à ¢ª¨ ϕk−1 (x). Ǒà®æ¥áá (40) ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥ëå ãá«®¢¨ïå ®¡« ¤ ¥â ¡ëáâன á室¨¬®áâìî, ®¤ ª® ¤®áâ â®ç® á«®¥, ¯®áª®«ìªã ª ¤®© ¨â¥à 樨 ¥®¡å®¤¨¬® ¯®«ãç âì ®¢®¥ ï¤à® Ky′ x, t, yk−1 (t) ¤«ï ãà ¢¥¨ï (41). ¯à®é¥¨¥ «£®à¨â¬ ¤®á⨣ ¥âáï ¯ã⥬ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï
ϕk−1 (x) = εk−1 (x) +
Z
b
a
Ky′ x, t, y0 (t) ϕk−1 (t) dt
(43)
¢¬¥áâ® (41). Ǒਠ㤠箬 ¢ë¡®à¥ ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï ¨â¥£à «ìë¥ ®¯¥à â®àë ¢ (41) ¨ (43) ®â«¨ç îâáï ¬ «®. Ǒਠí⮬ ï¤à® ¢ (43) ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥¨ï ®áâ ¥âáï ¥¨§¬¥ë¬. ¥â®¤ ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï, á®áâ®ï騩 ¢ ¯à¨¬¥¥¨¨ ä®à¬ã« (40), (42) ¨ (43), §ë¢ ¥âáï ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë¬ ¬¥â®¤®¬ ìîâ® { â®à®¢¨ç . ¯à¨æ¨¯¥ ® á室¨âáï ¬¥¤«¥¥¥, 祬 ¨áå®¤ë© (¥¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë©) ¬¥â®¤, ®¤ ª® ¬¥¥¥ á«®¥ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥¨ïå ¨ ¯®â®¬ã ç áâ® ®ª §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¯®çâ¨â¥«ìë¬. Ǒãáâì äãªæ¨ï K(x, t, y ) ¥¯à¥àë¢ ¢¬¥áâ¥ á ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ Ky′ (x, t, y ) ¨ ′′ Kyy (x, t, y ) ¯® ᮢ®ªã¯®á⨠¯¥à¥¬¥ëå a 6 x 6 b, a 6 t 6 b ¨ ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:
1◦ . Ǒà¨ ç «ì®¬ R(x, t) â ªãî, çâ® 2◦ .
¯à¨¡«¨¥¨¨ y0 (x) ï¤à® Ky′ x, t, y0 (t)
Z
b a
|R(x, t)| dt 6 A < ∞,
¨¬¥¥â १®«ì¢¥âã
a 6 x 6 b.
¥¢ï§ª ε0 (x) ãà ¢¥¨ï (42) ¤«ï ¯à¨¡«¨¥¨ï y0 (x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥à ¢¥áâ¢ã Z b
3◦ . 4◦ .
|ε0 (x)| =
K x, t, y0 (t) dt − y0 (x) 6 B < ∞.
a
®¡« á⨠|y (x) − y0 (x)| 6
Z
a
b
2(1 + A)B ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á®®â®è¥¨¥
′′ sup Kyy (x, t, y ) dt 6 D < ∞. y
Ǒ®áâ®ïë¥ A, B ¨ D ¯®¤ç¨¥ë ãá«®¢¨î
= (1 + A)2 BD 6 12 . ãá«®¢¨© 1◦ {4◦ ¯à®æ¥áá (40) H
®£¤ ¯à¨ ¢ë¯®«¥¨¨ ãà ¢¥¨ï (35), à ᯮ«®¥®¬ã ¢ ®¡« áâ¨
|y (x) − y0 (x)| 6
√
á室¨âáï ª à¥è¥¨î y ∗ (x)
(1 − 1 − 2H )H −1 (1 − A)B,
a 6 x 6 b,
âà ¨æ 265
266
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
¨ ¥¤¨á⢥®¬ã ¢ ®¡« áâ¨
|y (x) − y0 (x)| 6
2(1 + A)B,
a 6 x 6 b.
ª®à®áâì á室¨¬®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®æ¥ª®© k |y ∗ (x) − yk (x)| 6 21−k (2H )2 −1 (1 − A)B,
a 6 x 6 b.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ãá«®¢¨ï ãáâ ¢«¨¢ îâ á室¨¬®áâì «£®à¨â¬ , áãé¥á⢮¢ ¨¥, ®¡« áâì à ᯮ«®¥¨ï ¨ ®¡« áâì ¥¤¨á⢥®á⨠à¥è¥¨ï ¥«¨¥©®£® ãà ¢¥¨ï (35). ¨ â ª¥ ¯à¥¤êïîâ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ âॡ®¢ ¨ï ª ç «ì®¬ã ¯à¨¡«¨¥¨î y0 (x), ¢ë¡®à ª®â®à®£® ï¥âáï ¢ ®© á ¬®áâ®ï⥫쮩 § ¤ 祩, ¥ ¨¬¥î饩 ¥¤¨®£® ¯®¤å®¤ . ¡ëç® ç «ì®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï «¨¡® ¡®«¥¥ ¤¥â «ìë¬ ¯à¨®àë¬ «¨§®¬ à¥è ¥¬®£® ãà ¢¥¨ï, «¨¡® 䨧¨ç¥áª¨¬¨ á®®¡à ¥¨ï¬¨, ¢ë⥪ î騬¨ ¨§ áãé¥á⢠§ ¤ ç¨, ®¯¨áë¢ ¥¬®© í⨬ ãà ¢¥¨¥¬. Ǒਠ㤠箬 ¢ë¡®à¥ ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¢ë᮪ãî ᪮à®áâì á室¨¬®á⨠¨â¥à 樮®£® ¯à®æ¥áá ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï á § ¤ ®© â®ç®áâìî. ¬¥ç ¨¥. Ǒãáâì ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢¥¨ï (35) ᮤ¥à¨â ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥® ¢ ¢¨¤¥ (35) á á« £ ¥¬®¥ f (x). ®£¤ â ª®¥ ãà ¢¥¨¥ ¬®¥â ¯®¤ëâ¥£à «ìë¬ ¢ëà ¥¨¥¬ K x, t, y (t) + (b − a)−1 f (x).
Ǒਬ¥¨¬ ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç ¤«ï à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï
Ǒਬ¥à 3.
y (x)
=
Z 1
0
5 x + 1. xty 2 (t) dt − 12
(44)
ª ç¥á⢥ ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï ¢®§ì¬¥¬ y0 (x) = 1. ¯à¥¤¥«¨¬ ᮣ« á® (42) ¥¢ï§ªã: ε 0 (x )
=
Z 1
0
5 x + 1 − y (x) xty02 (t) dt − 12 0
=x
Z 1
0
5 x+1−1 t dt − 12
1 x. = 12
¥®¡å®¤¨¬ ï ¢ à áç¥â å ¯à®¨§¢®¤ ï ®â ï¤à K(x, t, y) = xty2 (t) ¨¬¥¥â ¢¨¤ K′y (x, t, y) = = 2xty(t). ᮮ⢥âá⢨¨ á (41) á®áâ ¢¨¬ ®â®á¨â¥«ì® ϕ0 (x) ãà ¢¥¨¥ ϕ0 (x)
Z 1 = 121 x + 2x ty0 (t)ϕ0 (t) dt, 0
¢ ª®â®à®¬ ï¤à® ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ëத¥ë¬, çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ϕ0 (x) = 14 x. ¥¯¥àì ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯¥à¢®¥ ¯à¨¡«¨¥¨¥ ¨áª®¬®© äãªæ¨¨: y1 (x) = y0 (x) + ϕ0 (x) = 1 + 41 x. Ǒத®« ï ¨â¥à æ¨®ë© ¯à®æ¥áá, ¯®«ã稬 ε1 (x)
=
Z 1
0
xt
5 x − 1 + 1 x = 1 x. 1 + 41 t dt + 1 − 12 4 64
à ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ϕ1 (x) ¨¬¥¥â ¢¨¤ ϕ1 (x)
Z 1 1 x + 2x 5 x − 1 + 1 x , = 64 t 1 + 14 t dt + 1 − 12 4
0 3 ¨ ¥£® à¥è¥¨¥ ϕ1 (x) = 40 x. âáî¤ y2 (x) = 1 + 41 x + 403 x = 1 + 0, 325x. ªá¨¬ «ì®¥ ®â«¨ç¨¥ â®ç®£® à¥è¥¨ï y(x) = 1 + 13 x ®â ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï y2 (x) ¡«î¤ ¥âáï
¯à¨ x = 1 ¨ á®áâ ¢«ï¥â ¬¥¥¥ 0,5%. ®¥ à¥è¥¨¥ ¥ ¥¤¨á⢥®¥. â®à®¥ à¥è¥¨¥ â ª¥ ¬®¥â ¡ëâì ¯®«ã祮, ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ç «ì®£® ¯à¨¡«¨¥¨ï ¢ë¡à âì äãªæ¨î y0 (x) = 1 + 0, 8x. í⮬ á«ãç ¥ ¯®¢â®à¥¨¥ ¯à¨¢¥¤¥®© ¢ëè¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¯à¨¡«¨¥¨© ¯à¨¢®¤¨â ª á«¥¤ãî騬 १ã«ìâ â ¬: y1 (x)
= 1 + 0, 82 x,
y2 (x)
= 1 + 1, 13 x,
y 3 (x )
= 1 + 0, 98 x,
...,
âà ¨æ 266
267
8.3. à ¢¥¨ï á ¯®áâ®ï묨 ¯à¥¤¥« ¬¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï
¨ ¯®á«¥¤ãî騥 ¯à¨¡«¨¥¨ï áâ६ïâáï ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î y(x) = 1 + x. ë ¢¨¤¨¬, ç⮠᪮à®áâì á室¨¬®á⨠¨â¥à 樮®£® ¯à®æ¥áá á¢ï§ ®£® á ¬¥â®¤®¬ ìîâ® { â®à®¢¨ç áãé¥á⢥® ¢ëè¥, 祬 ¤«ï á«ãç ï ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© (á¬. ¯à¨¬¥à 2 ¨§ ¯. 8.4-4). à ¢¨¬ â ª¥ ᪮à®á⨠á室¨¬®á⨠¨â¥à 樮ëå ¯à®æ¥áᮢ ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç ¨ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ®£® ¬¥â®¤ . Ǒਬ¥¥¨¥ ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ®£® ¬¥â®¤ ¤ ¥â yn (x)
k0
= 1 + kn x;
k1
k2
k3
k4
k5
k6
k7
k8
0 0, 25 0, 69 0, 60 0, 51 0, 44 0, 38 0, 36 0, 345
... ...
.
â¥à æ¨®ë© ¯à®æ¥áá ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ®£® ¬¥â®¤ â ª¥ á室¨âáï ª â®ç®¬ã à¥è¥¨î y(x) = 1 + 13 x. ¨¤®, çâ® ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë© ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç ¬¥¥¥ íä䥪⨢¥, 祬 ¬¥â®¤ ìîâ® { â®à®¢¨ç , ® ¡®«¥¥ íä䥪⨢¥, 祬 ¬¥â®¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¡«¨¥¨© (á¬. ¯à¨¬¥à 2 ¨§ ¯. 8.4-4). 8.3-6. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà
à¥è¥¨î «î¡®£® ¥«¨¥©®£® ãà ¢¥¨ï ¬®® ¯à¨¬¥¨âì ¬¥â®¤, ®á®¢ ë© ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ª¢ ¤à âãàëå ä®à¬ã«. ¥â®¤¨ª á®áâ ¢«¥¨ï ¯¯à®ªá¨¬¨àãî饩 á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© ®áâ ¥âáï â ª®© ¥, ª ª ¨ ¢ «¨¥©®¬ á«ãç ¥ (á¬. ¯. 5.18-1). áᬮâਬ ¥¥ ¯à¨¬¥à¥ ãà ¢¥¨ï àëá® ¢â®à®£® த
y (x) − Ǒ®«®¨¬ x
Z
b a
K x, t, y (t) dt = f (x),
a 6 x 6 b.
(45)
= xi (i = 1, 2, . . . , n), ⮣¤ y (xi ) −
Z
b a
K xi , t, y (t) dt = f (xi ),
i = 1, 2, . . . , n,
(46)
®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«®© ¨§ ¯. 5.18-1 ¨ ¯à¥¥¡à¥£ ï ®è¨¡ª®© ¯¯à®ªá¨¬ 樨, ¯à¥®¡à §ã¥¬ á®®â®è¥¨ï (46) ¢ á¨á⥬㠥«¨¥©ëå ãà ¢¥¨©
yi −
n X j =1
Aj Kij (yj ) = fi ,
i = 1, 2, . . . , n,
(47)
®â®á¨â¥«ì® ¯à¨¡«¨¥ëå § 票© yi à¥è¥¨ï y (x) ¢ 㧫 å x1 , x2 , . . . , xn , £¤¥ fi = f (xi ), Kij (yj ) = K (xi , tj , yj ), Aj | ª®íää¨æ¨¥âë ª¢ ¤à âãன ä®à¬ã«ë. ¥è¥¨¥ ¥«¨¥©®© á¨á⥬ë (47) ¤ ¥â § 票ï y1 , y2 , . . . , yn , ¯® ª®â®àë¬ ¯ã⥬ ¨â¥à¯®«ï樨 室¨âáï ¯à¨¡«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ¨â¥£à «ì®£® ãà ¢¥¨ï (45) ¢á¥¬ ®â१ª¥ [a, b℄. ª ç¥á⢥ «¨â¨ç¥áª®£® ¢ëà ¥¨ï ¯à¨¡«¨¥®£® à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï ¬®¥â ¡ëâì ¢§ïâ äãªæ¨ï
y~(x) = f (x) +
n X
j =1
Aj K (x, xj , yj ).
(48)
8.3-7. ¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¨å®®¢
Ǒਬ¥¨â¥«ì® ª ¥«¨¥©®¬ã ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î àëá® ¯¥à¢®£® த
Z
b a
K x, t, y (t) dt = f (x),
c 6 x 6 d,
(49)
âà ¨æ 267
268
¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©
£¤¥ f (x) ∈ L2 (c, d) ¨ y (t) ∈ L2 (a, b), ¬¥â®¤ ॣã«ïਧ 樨 ¨å®®¢ ¯à¨¢®¤¨â ª ॣã«ïਧ®¢ ®¬ã ¥«¨¥©®¬ã ¨â¥£à «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢ ä®à¬¥
Z
b
M t, x, yα (t), yα (x) dt = F x, yα (x) , a 6 x 6 b, a Z d M t, x, y (t), y (x) = K s , t, y (t) Ky′ s , x, y (x) ds , c Z d F x, y (x) = Ky′ t, x, y (x) f (t) dt,
αyα (x) +
(50) (51) (52)
c
£¤¥ α | ¯ à ¬¥âà ॣã«ïਧ 樨. ¥â®¤ ª¢ ¤à âãà á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ä®à¬ã«ë âà ¯¥æ¨©, ¯à¨¬¥à, ¯à¨¢®¤¨â ãà ¢¥¨¥ (50) ª á¨á⥬¥ ¥«¨¥©ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©. Ǒਡ«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ (49) áâநâáï ¯® ¯à¨æ¨¯ã, ®¯¨á ®¬ã ¤«ï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© (á¬. à §¤. 4.8).
• : . . ¬¨à®¢ (1951), . ਪ®¬¨ (1960), Ǒ. Ǒ. ¡à¥©ª®, . . ®è¥«¥¢ ¨ ¤à. (1968), . . ¥à« ì, . . ¨§¨ª®¢ (1986). ¨â¥à âãà
âà ¨æ 268
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë ¡à ¬®¢¨æ ., ⨣ .
1979.
¯à ¢®ç¨ª ¯® á¯¥æ¨ «ìë¬ äãªæ¨ï¬. | .: 㪠,
ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¬¥å ¨ª¨ ᯫ®è®© á।ë: § ¤ ç¨ á® á¬¥è 묨 £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨ // Ǒ. . 57. ë¯. 2. 1993. «¥ªá ¤à®¢ . ., ®¢ «¥ª®
. . ¤ ç¨ ¬¥å ¨ª¨ ᯫ®èëå á। ᮠᬥè 묨 £à ¨ç묨 ãá«®¢¨ï¬¨. | .: 㪠, 1986. àãâîï . . ¥ª®â®àë¥ ¢®¯à®áë ⥮ਨ ¯®«§ãç¥áâ¨. | .{.: ®áâ¥å¨§¤ â, 1952. àãâîï . . Ǒ«®áª ï ª®â ªâ ï § ¤ ç ⥮ਨ ¯®«§ãç¥á⨠// Ǒ. . 23. ë¯. 5. 1959. ¡¥ª® . . ¥¯«®¬ áá®®¡¬¥: ¥â®¤ à áç¥â ⥯«®¢ëå ¨ ¤¨ää㧨®ëå ¯®â®ª®¢. | .: ¨¬¨ï, 1986. å¢ «®¢ . . ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë. | .: 㪠, 1973. ¥©â¬¥ ., थ©¨ . ëá訥 âà á楤¥âë¥ äãªæ¨¨. ®¬ 1. | .: 㪠, 1973. ¥©â¬¥ ., थ©¨ . ëá訥 âà á楤¥âë¥ äãªæ¨¨. ®¬ 2. | .: 㪠, 1974. ¥©â¬¥ ., थ©¨ . ¡«¨æë ¨â¥£à «ìëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨©. ®¬ 1. | .: 㪠, 1969. ¥««¬ ., 㪠. ¨ää¥à¥æ¨ «ì®-à §®áâë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: ¨à, 1967. ¥«®æ¥àª®¢áª¨© . ., ¨ä ®¢ . . ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨ïå. | .: 㪠, 1985. ã⪮¢áª¨© . . à ªâ¥à¨á⨪¨ á¨á⥬ á à á¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¯ à ¬¥âà ¬¨. | .: 㪠, 1979. ¥à« ì . ., ¨§¨ª®¢ . . ¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© á ¯à®£à ¬¬ ¬¨ ¤«ï . | ¨¥¢: 㪮¢ 㬪 , 1986. ¨ ठ. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .{.: , 1933. ®«ìâ¥àà . ¥®à¨ï äãªæ¨® «®¢, ¨â¥£à «ìëå ¨ ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©. | .: 㪠, 1982. ®à®¢¨ç . ., «¥ªá ¤à®¢ . ., ¡¥èª® . . ¥ª« áá¨ç¥áª¨¥ ᬥè ë¥ § ¤ ç¨ â¥®à¨¨ ã¯à㣮áâ¨. | .: 㪠, 1974. 客 . . à ¥¢ë¥ § ¤ ç¨. | .: 㪠, 1977. 客 . ., ¥à᪨© . . à ¢¥¨ï ⨯ ᢥà⪨. | .: 㪠, 1978. ®å¡¥à£ . ., ३ . . ¥®à¨ï ¢®«ìâ¥à஢ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà á⢥ ¨ ¥¥ ¯à¨«®¥¨ï. | .: 㪠, 1967. à ¤è⥩ . ., 먪 . . ¡«¨æë ¨â¥£à «®¢, á㬬, à冷¢ ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨©. | .: 㪠, 1975. ãàá . ãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ , â. 3, ç áâì II. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. ਠ樮®¥ ¨áç¨á«¥¨¥. | .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1934. ãᥩ®¢ . ., ãåâ ஢ . . ¢¥¤¥¨¥ ¢ ⥮à¨î ¥«¨¥©ëå ᨣã«ïàëå ãà ¢¥¨©. | .: 㪠, 1980. ¥¬¨¤®¢¨ç . Ǒ., à® . ., 㢠«®¢ . . ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë «¨§ . | .: ¨§¬ ⣨§, 1963. ñç . 㪮¢®¤á⢮ ª ¯à ªâ¨ç¥áª®¬ã ¯à¨¬¥¥¨î ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯« á ¨ Z-¯à¥®¡à §®¢ ¨ï. | .: 㪠, 1971. «¥ªá ¤à®¢ . .
âà ¨æ 269
270
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
¨âª¨ . ., Ǒà㤨ª®¢ . Ǒ.
㪠, 1965.
¯à ¢®ç¨ª ¯® ®¯¥à 樮®¬ã ¨áç¨á«¥¨î. | .:
â¥£à «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨ ®¯¥à 樮®¥ ¨áç¨á«¥¨¥. | .: 㪠, 1974. ¡à¥©ª® Ǒ. Ǒ., ®è¥«¥¢ . ., à á®á¥«ì᪨© . . ¨ ¤à. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: 㪠, 1968. ©æ¥¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . ¯à ¢®ç¨ª ¯® «¨¥©ë¬ ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬. | .: ªâ®à¨ «, 1997. ©æ¥¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . ¯à ¢®ç¨ª ¯® ¥«¨¥©ë¬ ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬. | .: ªâ®à¨ «, 1997. ©æ¥¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . ¯à ¢®ç¨ª ¯® ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬: ®çë¥ à¥è¥¨ï. | .: 㪠, 1995. « ¤¨ï . . ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¤¢ã¬¥à®© ã¯à㣮áâ¨. | .: 㪠, 1973. ¬ª¥ . ¯à ¢®ç¨ª ¯® ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬. | .: 㪠, 1976. â®à®¢¨ç . ., àë«®¢ . . Ǒਡ«¨¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¢ëá襣® «¨§ . | .-.: ¨§¬ ⫨â, 1962. â®à®¢¨ç . ., ª¨«®¢ . Ǒ. ãªæ¨® «ìë© «¨§. | .: 㪠, 1977. ®«« âæ . ¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©. | .: ®áâà ï «¨â¥à âãà , 1958. ®«¬®£®à®¢ . ., ®¬¨ . . «¥¬¥âë ⥮ਨ äãªæ¨© ¨ äãªæ¨® «ì®£® «¨§ . | .: 㪠, 1976. ®à ., ®à . ¯à ¢®ç¨ª ¯® ¬ ⥬ ⨪¥. | .: 㪠, 1984. à ᮢ . ., ¨á¥«¥¢ . ., ª ४® . . â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: 㪠, 1968. à á®á¥«ì᪨© . . ®¯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¬¥â®¤ë ¢ ¥®à¨¨ ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. | .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1956. à á®á¥«ì᪨© . ., ©¨ªª® . ., ¡à¥©ª® Ǒ. Ǒ. ¨ ¤à. Ǒਡ«¨¥®¥ à¥è¥¨¥ ®¯¥à â®àëå ãà ¢¥¨©. | .: 㪠, 1969. ३ . . â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¯®«ã¯àאַ© á ï¤à®¬, § ¢¨áï騬 ®â à §®á⨠à£ã¬¥â®¢ // á¯¥å¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ãª. . 13. ë¯. 5 (83). 1958. àë«®¢, . ., ®¡ª®¢, . ., ® áâëàë©, Ǒ. . ç « ⥮ਨ ¢ëç¨á«¨â¥«ìëå ¬¥â®¤®¢. â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, ¥ª®à४âë¥ § ¤ ç¨ ¨ ã«ãç襨¥ á室¨¬®áâ¨. | ¨áª: 㪠¨ â¥å¨ª , 1984. ãà â ., ¨«ì¡¥àâ . ¥â®¤ë ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ®¬ 1. | .-.: ¨§¬ ⣨§, 1951. ¢à¥â쥢 . ., ®¬ ®¢ . ., ¨è â᪨© . Ǒ. ¥ª®à४âë¥ § ¤ ç¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ¨ «¨§ . | .: 㪠, 1980. ¨ä ®¢ . . ¥â®¤ ᨣã«ïàëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨ ç¨á«¥ë© íªá¯¥à¨¬¥â. | .: "ãá", 1995. ®¢¨ââ . . ¨¥©ë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1957. ¨à®¢ . ., Ǒ®«ï¨ . . â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: Ǒ, 1998. ⥬ â¨ç¥áª ï í横«®¯¥¤¨ï, â. 2. | .: ®¢¥â᪠ï í横«®¯¥¤¨ï, 1979. ⥬ â¨ç¥áª ï í横«®¯¥¤¨ï, â. 5. | .: ®¢¥â᪠ï í横«®¯¥¤¨ï, 1985. ¨å ©«®¢ . . â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï á ï¤à®¬, ®¤®à®¤ë¬ á⥯¥¨ −1. | ãè ¡¥: ®¨è, 1966. ¨å«¨ . . â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï ¨ ¨å ¯à¨«®¥¨ï. | .-.: ®áâ¥å¨§¤ â, 1949. ¨å«¨ . . ¥ªæ¨¨ ¯® «¨¥©ë¬ ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬. | .: ¨§¬ ⣨§, 1959. ¨âª¨ . ., Ǒà㤨ª®¢ . Ǒ.
âà ¨æ 270
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
271
¨å«¨ . ., ¬®«¨æª¨© . . Ǒਡ«¨¥ë¥
¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. | .: 㪠, 1965. ãá奫¨è¢¨«¨ . . ¨£ã«ïàë¥ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: 㪠, 1968. îâæ . . â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1934. ¨ª®«ì᪨© . . ¢ ¤à âãàë¥ ä®à¬ã«ë. | .: 㪠, 1979. ®¡« . Ǒਬ¥¥¨¥ ¬¥â®¤ ¨¥à {®¯ä ¤«ï à¥è¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå. | .: §¤-¢® ¨®áâà ®© «¨â¥à âãàë, 1962. Ǒ¥â஢᪨© . . ¥ªæ¨¨ ¯® ⥮ਨ ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. | .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1951. Ǒ®«ï¨ . ., ¨à®¢ . . ¥â®¤ ¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨© ¢ ⥮ਨ «¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© // ®ª«. . . 354. N0 1. 1997. Ǒ®«ï¨ . ., ¨à®¢ . . ¯à ¢®ç¨ª ¯® ¨â¥£à «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬: ®çë¥ à¥è¥¨ï. | .: \ ªâ®à¨ «", 1998. Ǒਢ «®¢ . . â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .{.: , 1935. Ǒà㤨ª®¢ . Ǒ., àë窮¢ . ., à¨ç¥¢ . . â¥£à «ë ¨ àï¤ë. «¥¬¥â àë¥ äãªæ¨¨. | .: 㪠, 1981. Ǒà㤨ª®¢ . Ǒ., àë窮¢ . ., à¨ç¥¢ . . â¥£à «ë ¨ àï¤ë. ¯¥æ¨ «ìë¥ äãªæ¨¨. | .: 㪠, 1983. Ǒà㤨ª®¢ . Ǒ., àë窮¢ . ., à¨ç¥¢ . . â¥£à «ë ¨ àï¤ë. ®¯®«¨â¥«ìë¥ £« ¢ë. | .: 㪠, 1986. ¨áá ., ñª¥ä «ì¢¨- ¤ì . ¥ªæ¨¨ ¯® äãªæ¨® «ì®¬ã «¨§ã. | .: 㪠, 1979. ¬ª® . ., ¨«¡ á . ., à¨ç¥¢ . . â¥£à «ë ¨ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¤à®¡®£® ¯®à浪 ¨ ¥ª®â®àë¥ ¨å ¯à¨«®¥¨ï. | ¨áª: 㪠¨ â¥å¨ª , 1987. ¢¥è¨ª®¢ . ., ¨å®®¢ . . ¥®à¨ï äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®. | .: 㪠, 1970. ¬¨à®¢ . ., ¥¡¥¤¥¢ . . ®áâàãªâ¨¢ ï ⥮à¨ï äãªæ¨© ª®¬¯«¥ªá®£® ¯¥à¥¬¥®£®. | .{.: 㪠, 1964. ¬¨à®¢ . . ãàá ¢ëá襩 ¬ ⥬ ⨪¨. ®¬ 4, ç áâì 1. | .: 㪠, 1974. ¬¨à®¢ . . ¢¥¤¥¨¥ ¢ ⥮à¨î ¥«¨¥©ëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨©. | .: ®áâ¥å¨§¤ â, 1951. ¥¤¤® . Ǒ८¡à §®¢ ¨ï ãàì¥. | .: ®áâà ï «¨â¥à âãà , 1955. ¨âç¬ àè
. ¢¥¤¥¨¥ ¢ ⥮à¨î ¨â¥£à «®¢ ãàì¥. | .-.: ®áâ¥å¨§¤ â, 1948. ¨å®®¢ . ., àᥨ . . ¥â®¤ë à¥è¥¨ ¥ª®à४âëå § ¤ ç. | .: 㪠, 1979. ਪ®¬¨ . â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: ®áâà ï «¨â¥à âãà , 1960. ¨â⥪¥à . ., âá® . . ãàá ᮢ६¥®£® «¨§ . áâì 1. | .: ¨§¬ ⫨â, 1963. ®ª . . ¥ª®â®àëå ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨ïå ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨. ®ª«. , 1942, â. 26, N0 4{5, á. 147{151. ¨àè¬ . ., ¨¤¤¥à . . Ǒ८¡à §®¢ ¨ï ⨯ ᢥà⪨. | .: ®áâà ï «¨â¥à âãà , 1958. « ä . . ਠ樮®¥ ¨áç¨á«¥¨¥ ¨ ¨â¥£à «ìë¥ ãà ¢¥¨ï. | .: 㪠, 1970. Atkinson K. E. The Numeri al Solution of Integral Equations of the Se ond Kind. | Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997. Bateman H. On the numeri al solution of linear integral equations // Pro . Roy. So . (A). Vol. 100. No. 705, 1922. Beyer W. H. CRC Standard Mathemati al Tables and Formulae. | Bo a Raton: CRC Press, 1991.
âà ¨æ 271
272
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
Aufl osung der Abels hen Integralglei hung 2. Art. | ZAMP, 1965, Vol. 16, Fas . 2, S. 295{298. Bry hkov Yu. A., Prudnikov A. P. Integral Transforms of Generalized Fun tions. | New York: Gordon & Brea h S i. Publ., 1989. Co hran J. A. The Analysis of Linear Integral Equations. | New York: M Graw-Hill Book Co., 1972. Corduneanu C. Integral Equations and Stability of Feedba k Systems. | New York: A ademi Press, 1973. Corduneanu C. Integral Equations and Appli ations. | Cambridge{New York: Cambridge Univ. Press, 1991. Davenport W. B., Root W. L. An Introdu tion to the Theory of Random Signals and Noise. | New York: M Graw-Hill Book Co., 1958. Davis B. Integral Transforms and Their Appli ations. | New York: Springer-Verlag, 1978. Delves L. M., Mohamed J. L. Computational Methods for Integral Equations. | Cambridge{New York: Cambridge Univ. Press, 1985. Dzhuraev A. Methods of Singular Integral Equations. | New York: J. Wiley, 1992. Golberg A., Ed. Numeri al Solution of Integral Equations. | New York: Plenum Press, 1990. Gorenflo R., Vessella S. Abel Integral Equations: Analysis and Appli ations. | Berlin{ New York: Springer-Verlag, 1991. Gripenberg G., Londen S.-O., Staffans O. Volterra Integral and Fun tional Equations. | Cambridge{New York: Cambridge Univ. Press, 1990. Ha kbus h W. Integral Equations: Theory and Numeri al Treatment. | Boston: Birkh auser Verlag, 1995. Jerry A. J. Introdu tion to Integral Equations with Appli ations. | New York{Basel: Mar el Dekker, 1985. Kanwal R. P. Linear Integral Equations. | Boston: Birkh auser, 1996. Kondo J. Integral Equations. | Oxford: Clarendon Press, 1991. ssdorf S. Singular Integral Operators. | Berlin{New York: SpringerMikhlin S. G., Pro Verlag, 1986. Miles J. W. Integral Transforms in Applied Mathemati s. | Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1971. Oldham, K. B. and Spanier, J., The Fra tional Cal ulus. | London: A ademi Press, 1974. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbook of Integral Equations. | Bo a Raton{New York: CRC Press, 1998. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbu h der Integralglei hungen. | Heidelberg: Spe trum Akad. Verlag, 1999. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exa t Solutions for Ordinary Differential Equations. | Bo a Raton{New York: CRC Press, 1995. Porter D., Stirling D. S. G. Integral Equations: A Pra ti al Treatment, from Spe tral Theory to Appli ations. | Cambridge{New York: Cambridge Univ. Press, 1990. ssdorf S., Silbermann B. Numeri al Analysis for Integral and Related Operator Pro Equations | Basel{Boston: Birkh auser Verlag, 1991. Sakhnovi h L. A. Integral Equations with Differen e Kernels on Finite Intervals. | Basel{Boston: Birkh auser Verlag, 1996. Zwillinger D. Handbook of Differential Equations. | San Diego: A ademi Press, 1989. Brakhage H., Ni kel K., Rieder P.
âà ¨æ 272
