Алгебра, и логика, 39, N 4 (2000), 465-479
УДК 512.54
О НЕКОТОРЫХ ПОДГРУППАХ ПОЛУЛИНЕЙНО У П О Р Я Д О Ч Е Н Н Ы Х ГРУПП*)
в. м. копытов Введение, предварительные сведения Напомним, что полулинейно упорядоченной группой {G; <} называ ется группа G, на которой задано отношение частичного порядка < такое, что для любых элементов я, у, и из G неравенство х < у влечет хи < уи, причем для любых элементов ж, у, z 6 G из неравенств х < у,х < z следует, что элементы у и z сравнимы. Понятие полулинейно упорядоченной груп пы было введено Фреге в 1903 г. в связи с изучением отношения порядка в арифметике и вопросами о минимальной аксиоматике поля вещественных чисел. Первый пример полулинейно упорядоченной, но не правоупорядоченной группы был построен в 1987 г. Аделеке, Дамметом и Нейманном в [1]. Свойства полулинейно упорядоченных групп изучались в последние годы разными авторами. Основное содержание теории полулинейно упо рядоченных групп изложено в |2]. Мы используем здесь в основном обо значения и терминологию из этой книги, причем для удобства читателя воспользуемся при ссылках нумерацией из указанной работы. Кз,к обычно, через Р = P(G) обозначается положительный конус частично правоупорядоченной группы G, т. е. Р = Р(С?) = {а; eG\x
> e}.
*^ Работа выполнена при финансовой поддержке фона Российского фонда фунда ментальных исследований, проект N 99-01-00156.
@
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
466
В. М. Копыто в
При изучении полулинейно упорядоченных групп бывает полезно рассмо треть множество Р ^ = Р U Р - 1 — совокупность всех элементов группы, сравнимых с единицей. В терминах множеств Р и Р± полулинейно упорядоченные группы описываются следующим утверждением [2, теор. 8.1.1]: группа G тогда и только тогда является полулинейно ной группой с положительным
упорядочен
конусом Р, когда выполняются
следую
щие условия:
0.1. Р Р С Р , 0.2.РГР~1
= {е},
О.4. G - P " 1 0.7. Р Р "
1
Р, СР±.
В [2] для полулинейно упорядоченной группы были выделены под группы, тесно связанные с положительным и отрицательным конусами этой группы. Точнее, если G — полулинейно упорядоченная группа с поло жительным конусом Р , то через n(G) обозначается наибольшая выпуклая направленная нормальная подгруппа группы О, через o(G) — наибольшая выпуклая правоупорядоченная подгруппа О, через г (О) — множество всех элементов х из G таких, что х и х"1 сравнимы со всяким элементом из Р^. В [2, теор. 8.3.3] доказано , что r(G) является выпуклой правоупорядоченной подгруппой в О, причем n(G) C r ( G ) C o ( G ) . Здесь мы установим одно новое свойство подгруппы г (С?). Покажем так же с помощью примеров, что неравенства в приведенной выше системе включений, вообще говоря, строгие. Напомним, что, как обычно, для любого подмножества S группы G через NG{S) обозначается нормализатор 5 в G: NG(S) = {x£G\x-1Sx
= S}.
О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп
467
§ 1 . Нормализатор порядка
ТЕОРЕМА 1. Во всякой полулинейно упорядоченной группе G под группа r(G) совпадает с нормализатором множества
Р^.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что i V ^ P * ) С r(G). Для этого установим сначала, что подгруппа NciP^) ±
элемент х из NG(P )
правоупорядочена, т.е. любой
сравним с единицей группы G. Пусть х Е
NoiP^
— а""1Ь) где а,Ь £ Р. Такое представление элемента х возможно,
их
поскольку G = Р~1Р. Так как х Е ^ ( P * ) , l
l
x~ ar x
1
г
Е Р ^ , т.е. х~ а~ х
1
1
1
a~l Е Р±)
выполняется
1
= (а" ^)" • а*" • (агЧ) = б" а • а"1 • а""х6 =
= Ь- 1 а- 1 6 = 6 - 1 - ж е Р ± . Если б" 1 ^ > е, то Ь" 1 > х" 1 , а поскольку б" 1 < е, получаем, что x l
~
< е5 откуда следует: х > е, ж Е Р ^ . Е]сли же Ь" 1 ^ < е, то ж - 1 > Ь"1. Учитывая е > b~l и то, что в
полулинейно упорядоченной группе всякие два элемента, имеющие общую нижнюю грань сравнимы между собой, заключаем, что элементы х~1 и е сравнимы, т. е. и в этом случае х Е Р ^ . Итак, подгруппа J V G ( P ± ) является правоуиорядоченной подгруппой в G. Теперь докажем, что для любого элемента х из NG(P^)
И ДЛЯ
бого элемента а из Р± элементы х) х~~х и а сравнимы. Поскольку
лю
NoiP^)
1
правоупорядочена, то элементы х и х" сравнимы между собой и сравни мы с е. Не ограничивая общности считаем, что ж" 1 < е < х. Ясно, что достаточно рассмотреть только случай а < е и доказать, что тогда х~~1 сравним с а. Так как x~l Е NQ(P±)
, то х~1а~1х Е Р±. Если х~1а~1х > е,
то х~1а~~1 > х~1. Отсюда и из неравенства е > х~х следует, что элемент х~~1а~1 сравним с е , и тогда элемент х~1 сравним с а. Если же х~~1а~1х < е, то х~1а~1 < х"1 < е и х~1 < а. Таким образом, Л ^ Р * ) Q Г(СУ). Докажем обратное включение Л ^ Р * ) 2 V{G). Пусть х 6 r(G), x > е. Очевидно, что x~lr(G)x
= r(G), x~lax Е Р * для любого элемента а из
r(G) П Р * . Пусть а £ Р \ r(G). Поскольку х" 1 Е r(G), то элемент ж" 1 сравним с любым элементом из Р1^ и, в частности, с а""1. Поскольку г (СУ) выпукла и а" 1 £ r(G), то возможно лишь неравенство а"1 < х~х. Тогда
468
В. М. Копытов
е < х~~ха, х < х~1ах. А так как е < ж, то е < х~~1ах. Следовательно, для любого элемента а из Р^ справедливо х~1ах £ Р ^ , откуда имеем x-ip±x
Q
р± Последнее вместе с хРх~1 С Р± дает х Е NQ(P±).
Теорема
доказана. Рассмотрим расположение относительно r(G) некоторых подгрупп полулинейно упорядоченной группы G. Пусть, как обычно, ((G) = (i(G) — центр группы G; если а — некоторый ординал, то (Q(G) — член верхнего центрального ряда G с номером а. Через Za обозначим выпуклую под группу полулинейно упорядоченной группы G, порожденную подгруппой С«(
Т Е О Р Е М А 2. Для всякого ординала а выпуклое замыкание
Za(G)
подгруппы Qa (G) полулинейно упорядоченной группы G содержится в под группе v{G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для любого элемента z центра ((G) выполня ется z G NoiP^i
и тогда по теореме 1 справедливо ((G) С r(G). Доказа
тельство проводится индукцией по ординалам а. Предположим, что для всякого ординала /9, /3 < а, выполняется Zp(G) С r(G). Если а — предельный ординал, то Z a =
|J Zp, откуда
сразу же следует Za(G) С r(G). Пусть теперь а не является предельным, т.е. существует ординал а - 1 и Z a - i ( G ) С r(G). Пусть ^ Е C«(G), p G Р * . Тогда г " 1 ^ = Р * р " 1 ^ " " 1 ^ , причем элемент [р) z] = р " 1 ^ - 1 ^ содержится в Ca-i(G) и, по индуктивному предположению, [р, 2r] E r(G), т.е. элемент [р, z] сравним с любым элементом из
в частности, с р. Следовательно, z lpz = р •
[р, z] E Р±, а значит, г ^ Р * * С Р±. Так как г — произвольный элемент из Ca(G), то z P i z " 1 С Р± и г е NoiP*),
Ca{G) С Л^(Р±) - r(G). Отсюда
следует и включение Za С r(G). Теорема доказана. Используя примененные методы, можно получить следующие при знаки, когда правоупорядоченными будут полулинейно упорядоченная группа и некоторые ее подгруппы. В следующей теореме п означает нату ральное число.
О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп
469
Т Е О Р Е М А 3* Пусть G — полулинейно упорядоченная группа с по ложительным конусом Р . Если п-й член yn(G) ее нижнего центрального ряда является правоупорядоченной группой, то G также является правоупорядоченной группой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G = 71(G) Э 72(G) Э •••7»-i(G) Э ln{G) D нижний центральный ряд группы G, 7fc+i (G) = [G, 7fk(G)]} и пусть jn{G) С С Р * е Достаточно доказать, что 7n-i(G) Q Р±Если 7n(G) = JE7, то группа G является нильпотентной полулинейно упорядоченной группой и, как доказано Вараксиным (см.[3] или [2, теор. 8,3.5]), группа G является правоупорядоченной. Пусть yn{G) ф Е. В этом случае достаточно доказать, что yn-i(G) элемент а из yn^i(G)
Q Р^- Выберем произвольный
\ yn(G). Поскольку G полулинейно упорядочена, то
найдется положительный элемент Ь в G, для которого ЬаЬ~г £ Р±Рассмотрим сначала случай bab"1 6 Р . Тогда bab~l > е,
а • а~1ЬаЬ"~1 > е,
а > Ьа"1Ь""1а = [б""1, а],
где [Ь~\а] G G n С Р± по условию. Если [б""1, а] > е, то а > е. Если же [б""1, а] < е, то в силу неравенств а > [Ь~_1,а], е >[Ь"" 1 ,а] элементы а и 6 сравнимы, т. е. а € Р±. Если же баб" 1 < е, то ЬсГ^""1 > е,
а" 1 • aba~~lb~~l > е,
а" 1 > ЬаЬ""1а"1 = [б""1, а" 1 ].
Поскольку [б""1, а""1] Е 7n(G), то, как и выше, [Ь"" 1 ^" 1 ] Е Р±1 и сле довательно, элемент а™1 сравним с некоторым элементом из множества P i: « Тогда он сравним и с единицей группы G. Теорема доказана. Т Е О Р Е М А 4. Пусть Н — нормальная правоупорядоченная под группа полулинейно упорядоченной группы G, А — подгруппа G и Н С А, причем А/Н содержится в некотором члене (a(G/H)
верхнего централь
ного ряда фактор-группы G/H. Тогда А — правоупорядоченная подгруппа группы Н.
470
В. М. Копытов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нетрудно видеть, что достаточно рассмо
треть случай А/Н С (д (C?/if). Пусть z Е А\Н. Тогда для всякого элемента х из G справедливо соотношение xzx~l — z-c, где с Е Н. Выберем элемент х такой, чтобы выполнялись соотношения х > е, xzx~~x Е Р ± . Если xzx~~l G Р , то 2с > е, 2 > с - 1 . При с - 1 > е получаем z > е. Если же с""1 < е, то в силу неравенств z > с" 1 , е > с*""1 элементы z и е сравнимы, т.е. z Е Р * . Случай xzx~l
сводится к предыдущему заменой
z на г" 1 . Итак, в любом из возможных случаев получаем z Е Р±, т.е. G является правоупорядоченной группой. Теорема доказана.
§ 2. Примеры Поскольку сопряжение положительного конуса элементами группы является существенным моментом в определении полулинейно упорядо ченной группы, то для построения примера полулинейно упорядоченной группы с нетривиальной подгруппой o(Gr), отличной от группы r(G), ис пользуем собирательный процесс сопряженных элементов, который введен в [4] для других целей, в частности, для построения линейно упорядо ченной группы с некоторыми специфическими свойствами. Точнее, пусть F = Р(#, у) — свободная группа со свободными порождающими ж, у. Через ft обозначаем подмножество в F , снабженное линейным порядком •< и на бором частичных операций ш( , ,те),где те Е Z. Здесь элемент w = и(и, г?, те) определен тогда и только тогда, когда u, v E ft, и У г>, и, если v = cj(a, Ь, m), то а У и. По определению, полагаем и;(а, Ь, 0) = Ь для любых допустимых а, 6 из ft и u(w, г?,те)= u~n -v-un. Тогда каждый элемент w из ft единствен ным образом представляется в виде w = u(uk>w{v,k-u • • •, w(ui, у, тех),..., n*_i),
те*),
(1)
где и\ У и2 У . . . У Uk- Такое подмножество ft и названо в [4] моделью собирательного процесса. Определяем индуктивно высоту h элемента из ft следующим образом: h(x) — h(y) = 1 и, если w E ft, w — и(и, v,fc),fc^ 0, то полагаем ft.(w) = max(/i(ii),/i(v)) -f 1.
О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп
471
Для нашей конкретной ситуации выбираем модель Q в F , построен ную в [4] рекуррентным образом с порядком ^ , обладающим следующими свойствами. Во-первых,- х У у. Далеег-нус-ть с использованием формулы (1) элементы а и Ь, а ф Ь, из Q, заданы в виде а = UJ(US,u>(us_b...,
u;(ui, «7, n i ) , . . . , n e _i), n e ),
Ь = w(tv,(j(t; r _i,... ,u(vx, w, m i ) , . . . , m r _i), m r ), где tii ^ ^i или tii = t;i, ni ф rrix. В рассматриваемой модели fi справед ливо неравенство а >~ Ъ тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий 5 =
0, т.е.
а
=
w,
mi
< 0;
г
0, т.е.
Ь
=
ti7, Гц
> 0;
s ф Офг,
щ
=
vi, ni
> mi;
5 у£ О ^ г ,
г/4 > и ь щ
s
u\
=
ф Офг,
> 0;
< vi, mi < 0.
По имеющейся модели собирательного процесса можно определить процедуру, называемую собирательным процессом сопряженных и позво ляющую каждый элемент свободной группы F(x,y)
представить в виде
произведения элементов из £1. Точнее, если w = хп^ут^
. . .xn(*0ym(fe) —
несократимое слово группы F , то осуществляем первый шаг сборки W -
ж п(1)+п(2)+...+п(*) ш(а . ?
^
n ( 2 ) +
^ >+n(fc))m(l)
#
^
у?
П^Г^Ч™^
Затем выбираем среди множителей о>(#,у, п(г) + . . . + п(&)) наибольший (относительно порядка ^ на £2) и выводим его на второе после х место, используя операции ш( , , ). Повторяя эту процедуру конечное число раз, получаем представление элемента в виде произведения элементов из Q. Поэтому каждый неединичный элемент g группы F единственным образом представим в виде
g = af)«f)..... a;W,
(2)
где a i , a 2 , . . . a e G ft, ax у а2 У . . . >- a8, n ( l ) , n ( 2 ) , . . . , n(s) — ненулевые це лые числа. Такое представление элемента называем регулярным. Элемент
472
В. М. Копытов
nil)
ах v ' регулярного представления элемента д называется его старшим чле ном, элемент а\ — старшей меткой элемента д, число п{1) — показателем старшего члена элемента д. Элемент а^ s* назовем младшим членом, эле мент as — младшей меткой элемента g и число n(s) — показателем млад шего члена элемента д. Старшую метку неединичного элемента д будем обозначать #*, младшую метку — д*. Для построения необходимого правого частичного порядка понадо бится несколько вспомогательных понятий и утверждений относительно 12 и сопряжений в группе F. Если a Е 12, то обозначим через 12а множество элементов Ь из £2 таких, что Ь •< а. Для каждого элемента а из 12 рас смотрим ограничение <р(а) на 120 внутреннего автоморфизма группы F , индуцированного элементом а: если с Е 12д, то су?(а) = а ^ с а . Л Е М М А 1, Для любого элемента а из 12 справедливо равенство 12а<у?(а) = 12а, причем <р(а) является автоморфизмом линейно упорядо ченного множества 12а, и для любых а, Ь, с из 12, с -< b -< а, &, / Е Z, выполняется c
0;
(3)
cip(a)k -< ^ ( ^ ' ( с ) , если fe < 0.
(4)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а е CL, с -< а. Рассмотрим элемент к
к
в группе F. Докажем индукцией по высоте элемента с, что а~ксак 6
а" са
Е 12а. Случай /г(с) = 1 возможен лишь при с — у, а У у. Тогда элемент и{а,у,к)
определен в Г2, и следовательно, отображение (р(а)к определено
на элементе с = у. Предположим, что для элементов d из 12а таких, что h(d) < п, спра ведливо а kdak e Q, причем отображение (р(а) монотонно на тех элемен тах, на которых оно заведомо определено. Рассмотрим элемент а~~ксак для элемента с такого, что h(c) = п > 1. Тогда с = и){и, v,m), h(u) < n, ft(v) < гг. Если a -< и, то элемент и(а,с,к) к
а~ са
к
где
определен в Q и
к
= с<р(а) = a;(a,c, fc). Если a = u, то с = a;(a, v, m) и, очевидно,
а~ксак = 0^(0)* — u;(a, t>,ra + /г). Наконец, если и -< а, то обязательно
О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп а У v и, по индуктивному предположению, элементы шр(а)к,
473 v(p(a)k(v)
определены в Q. Поэтому справедлива следующая цепочка равенств: аГксак = а~~кш(и, v,m)ak =
a~ku~~mvumak
= a~ku~~mak • a~~kvak • ak • a~kumak = (ii9(a)*)~ m • v(p(a)k • (u(p(a)k)m = и(шр(а)к, v(p(a)k, ra); значит, отображение ^(a) fc определено на fia. To, что это отображение мо нотонно и для таких отображений справедливы соотношения (3), (4), вы текает из построения отображения <р(а). Взаимнооднозначность отображе ния <р(а) следует из того, что отображения ip(a) и (р(а)~1 взаимно обратны. Лемма доказана. Нетрудно видеть, что для элементов а,с £ Q, с •*< а, c — u(vr,. ..,u(v2,w(a,u)(vi,w,mi),m),rri2)..
.,mr),
где vr -< vr„i -<...-< ^2 -< a -< vi, справедливо равенство cxp(a)k = u;(tv
Mrar).
Доказанная лемма уточняет лемму 11 из [4]. Доопределим отображе ние (р(а) на все множество fi, полагая слр(а) — с для с 6 Q, с >^ а. Для каждого элемента а из Q определим подмножества i b = {* £ F | я* >: a},
Fa = { ^ € F | ^ ^ a } .
Как следует из [4], подмножества Fa и F a являются подгруппами груп пы F, причем Fa представляет собой полу прямое произведение своей нормальной подгруппы Fa и бесконечной циклической группы (а). Кро ме того, если а -< Ь в fi, то Fa С Fb, и множество fl(jF) всех скачков {{Fa С F a ) \ а £ Щ является линейно упорядоченным по включению множеством с каноническим изоморфизмом 9 : Q -+ fi(F), определенным равенством 9(a) = (F a С F a ). Рассмотрим сначала на F линейный (двусторонний) порядок с поло жительным конусом Q, считая g 6 Q тогда и только тогда, когда щ > О
474
В. М. Копытов
или д — е. Данный порядок рассмотрен в [4], он продолжает порядок •< на £7, при этом множество всех скачков выпуклых подгрупп F совпадает с множеством 0 ( F ) , т. е. элемент д из F , д ф е, определяет скачок выпуклых подгрупп в F , имеющий вид (Fg* С F ^ ) , у £ F5* \ Fg*. Будем обозначать этот порядок на F тем же символом ^ , что и порядок на Q. Как доказано ранее (см. [4, теор. 2]), отображение (р : F —>• А(£2), определенное равен ством ™¥>Ы = {9~~1™9У Д л я ^ f ,
w G fi С F,
является порядковым изоморфизмом линейно упорядоченной группы (F, -<) в /-группу автоморфизмов линейно упорядоченного множества fi, т. е. для любых элементов м, г; из £2 и любого элемента д из F неравенство w -^ г; влечет и
p(g) ^ u(p(h) при и £ £1, g,h £ F, g ^ h,
uip(g) = ucp(h) тогда и только тогда, когда и У (#)*, u ^ (Л)*.
(5)
Как нетрудно заметить, автоморфизм (р(а) линейно упорядоченно го множества Q при а 6 fi в точности совпадает с автоморфизмом у? (а), определенным в лемме 1, что позволяет использовать данные обозначения. Рассмотрим одновременно линейный порядок -
д = a ^ o f ) •... • <W выполняется одно из условий: 9 = е; п(1) < О, ^ О Г 1 )
>- у;
(6)
л(1) < 0, дМ9'1)
=
(7)
У, »(s) < 0.
Л Е М М А 2. Множество Р определяет на свободной группе F(x, у) полулинейный порядок, не являющийся
правым.
О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку Р С Q" 1 , то Pf)P~l
475
= {е}, т.е.
для Р выполняется условие 0.2. Докажем, что для Р выполняются условия 0 . 1 и 0.7. Пусть a,b £ Р, а ф b, a ф е,Ь ф е; запишем эти элементы в регуляр ном виде
ъ=
ь?11)ь?{2)...ь?(г\
причем п(1) < 0, т ( 1 ) < 0 и аау>(а~1) У у, ЬГ<^(Ь*~1) >^ у. Очевидно, что старший член произведения ab совпадает либо со старшим членом а, либо со старшим членом Ь, либо, когда они равны, является их произведением. В любом из этих случаев показатель старшего члена элемента ab отрица телен. Нетрудно заметить, что процесс сборки элемента ab можно провести отдельно для а и 6, а затем переставить элементы из регулярного вида элемента Ь с элементами из регулярного вида элемента а, используя пре образования (р. Поскольку преобразования <р(с) сохраняют порядок на $1 то либо (ab)* = Ь*, либо (ab)* = a*(p(b), либо b* = a*
(ab)* - y ( \
m(r) < 0.
Если (ab)* = a*
получаем
476
В. М. Копытов
поскольку элемент ft удовлетворяет условию (6) или (7). Как и в предыду щем случае, если а*(р{а~1) = у, то показатель степени при у в регулярном представлении элемента aft равен n(s) и тоже отрицателен. Если же ft* = a*(p(b) и (aft)* У ft*, то из полученного выше неравен ства b*
(8)
Рассуждая так же, как при доказательстве свойства 0 . 1 для Р , заключаем, что справедливо одно и только одно из соотношений: (aft-^-a^ft^HftrV^ft-1); (aft' 1 )* = ftr^ft-1) -4 a^(ft~ 1 ); (aft"1)* >-ftr(^(ft""1)= a,¥>(6 -1 ),
при
а5 = br,n(s) - ra(r) = 0;
(aft -1 )* = br99(ft_1) = a599(ft_1),
при
as — ftr, n(s) — ra(r) ^ 0.
Если (aft""1)* = a^ft"" 1 ) -< ft^ft"1), то (aft""1)*y?(aft""1) = ^^(a"" 1 ) ^ у и при а 5 (^(а -1 ) >- у выполняется условие (6) для aft""1. Если же а8<р(а~1) = у, то метка младшего члена элемента aft -1 равна у, а показатель младшего члена равен n(s) и отрицателен, в силу справедливости в этом случае усло вия (7) для а. Поэтому aft"1 £ Р. Пусть (aft -1 )* -1
=
br(p(b~l)
-< a s ^(6~ 1 ). Если ftr<^(ft""1) >l
то для (aft )* выполняется условие (6). Если же br(p(b~ )
=
у,
у, то
О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп
477
(ab~1)*~ у для аЬ" 1 выпол няется условие (6). Если же (аЬ~1)*^((аЬ"1)""1) = у, то yy>(a_i) = у, т.е. а* ^ у. Это возможно лишь при s — 1, а = а^
= а"
= У- Из наших
предположений а" 1 X Ь""1 и Ь € Р следует Ь = y w ( r \ а это противоречит предположению br
сократилось, то (аЬ"~'1)*<уэ((аЬ~1)~1) >-
У а8(р(оГ1) У у, и следовательно, a6_i 6 Р . Если a e = 6 r , n(s) - m(r) ~ Ои ^(^(а" 1 ) У у, то из свойства (6) определения Р так же следует ab"1 £ Р. Итак, осталось рассмотреть случай as = Ьг, п(з) — rn(r) ^ 0 и а8<р(а~1) = у. Достаточно установить, что n(s) — га(г) < 0. Рассмо трим младшие метки элементов а и Ь. В этой ситуации a5<^(a""1) = у и Ьг^Ь"*"1) >: у. Так как a s = Ьг, имеем ^ ^ ( а " 1 ) = у. Поскольку а - 1 >- Ь"1 по предположению об элементах а, 6, то для любого элемента с £ Q справедли во неравенство с<р{а~1) >^ с ^ б " 1 ) , в частности, у = brip{a~x) У 6Г<^(6~1). Из этого неравенства и ранее отмеченного неравенства br
478
В. М. Копытов
подгруппу в Р . Покажем, что Y является выпуклой. Пусть е < д < ук для некоторого элемента д из Р . Если д ф е, д &Y и д = а^^а"
*... * d*
~
регулярное представление элемента у, то неравенство е < д влечет п(1) < О и у -< а\ в Q. Тогда очевидно, что старший член и элемента у" 1 , и элемента укд~~1 имеет вид aj
', а это противоречит предположению у < yfc, укд~~1 G
G P . Итак, Y С о(Р). В заключение покажем, что У £ г(Р). Действительно, у < е, ж < е и элемент а — уж""1 = х~ги(х, у, —1) несравним с е, поскольку показатель старшего члена а равен —1, младший член а имеет вид и>(ж, у, —1), причем а;(а;, у, - l j ^ a " " 1 ) = сс?(ж, у, —1)(^(жг/"1) = у, но показатель младшего члена а положителен. Заметим также, что подгруппа Fx = {д € Р|(у)* -< ж} группы Р , с порядком, индуцированным порядком Р, является о-простой полули нейно упорядоченной группой, т.е. она не имеет собственных нормальных выпуклых подгрупп. ПРИМЕР 2. Рассмотрим группу G матриц вида
(
рк Ч о
1
где р — фиксированное целое число, р ф 0, ± 1 , g — рациональное число вида р п 5, п, А;, 5 G Z. Рассмотрим множество Р матриц a(k,q) таких, что к ^ 1, q G Z или & = 0, g G Z, q ^ 0. Известно (см. [2, пример 8.1.1]), что Р задает на G полулинейный порядок, при котором подгруппа А = = {a(k,q)\k = 0, g G Z} является выпуклой правоупорядоченной подгруп пой. Покажем, что А = o(G) = r(G) ^ Р . Действительно, если a(fc, g) G Р , а(0,г) G А, то a(0,r)a(fc,g)a(0,r)~ 1 = a(fc, r ( l - p f c ) + g ) , причем, если к ^ 1, g G Z, г G Z, то г(1 - рк) + г G Z, т.е. а ^ г ) ^ , ? ) ^ , * - ) " " 1 G Р . Если же к = 0, g G Z, g ^ 0, то и в этом случае a(0, r)a(0,g)a(0,r)'~ 1 = a(0,g) G P . Отсюда следует включение А С NG{P±)-
ПО
теореме 1 справедливо
Л С r(G), а поскольку А — максимальная правоупорядоченная подгруппа в G, получаем А = o(G) = r(G).
О некоторых подгруппах полулинейно упорядоченных групп
479
ЛИТЕРАТУРА 1. S. A. Adeleke, M. A. E. Dummett, P. M. Neumann, On a question of Frege's about right-ordered groups, Bull. Lond. Math. Soc, 19, N 6 (1987), 513—521. 2. В. М, Копытпов, Н. Я. Медведев, Правоупорядоченные группы, Новоси бирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 3. С.А.Вараксин,
Полулинейные порядки на разрешимых и нильпотентных
группах, Алгебра и логика, 29, N 6 (1990), 631—636. 4. В. М. Копытпов, Неабелево многообразие решеточно упорядоченных групп, в котором всякая разрешимая f-группа абелева, Матем. сб., 126, N 2 (1985), 247-266.
Адрес автора: К О П Ы Т О В Валерий Матвеевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН.
Поступило 10 марта 1999 г.
