Математические модели неньютоновских жидкостей: Учебное пособие

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ Âîðîíåæñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò

Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî ñïåöèàëüíîñòè "Ìàòåìàòèêà"(010100)

Âîðîíåæ 2004

Óòâåðæäåíî ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÂÃÓ, ïðîòîêîë  6 îò 15.01.2004

Àâòîðû: Çâÿãèí Â.Ã., Âîðîòíèêîâ Ä.À.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå àëãåáðû è òîïîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ àíàëèçà ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÂÃÓ Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ 5-6 êóðñîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

Ââåäåíèå

Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ìíîãèå ïðîáëåìû ãèäðîäèíàìèêè ÿâëÿþòñÿ îáúåêòîì ïðèñòàëüíîãî èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ. Íà ïóòè ðåøåíèÿ ýòèõ ïðîáëåì áûëè ñîçäàíû ìíîãèå ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ çàäà÷ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Îäíàêî, êàê ïðàâèëî, òðàäèöèîííûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòèêîâ ÿâëÿåòñÿ íüþòîíîâñêàÿ ãèäðîäèíàìèêà. Íà íàø âçãëÿä, ýòî ñâÿçàíî ñ òåì ôàêòîì, ÷òî îáúåêòû íåíüþòîíîâñêîé ãèäðîäèíàìèêè íåäîñòàòî÷íî õîðîøî èçâåñòíû â ìàòåìàòè÷åñêîé ñðåäå è èõ èññëåäîâàíèå â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñâÿçàíî â îñíîâíîì ñ óñèëèÿìè ìåõàíèêîâ. Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå íàïðàâëåíî íà èñïðàâëåíèå ýòîãî ïîëîæåíèÿ. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ââåäåíèå â íåíüþòîíîâñêóþ ãèäðîäèíàìèêó äëÿ ìàòåìàòèêîâ. Ïðè íàïèñàíèè ïîñîáèÿ íàøåé çàäà÷åé áûëî ïðèâëå÷ü âíèìàíèå ìàòåìàòèêîâ ê ýòîé òåîðèè ñ öåëüþ äàëüíåéøèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé îáúåêòîâ ýòîé íàóêè. Ýòà ðàçðàáîòêà íàïèñàíà íà îñíîâå ñïåöêóðñîâ "Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ãèäðîäèíàìèêè"è "Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè äâèæåíèÿ íåëèíåéíî-âÿçêîé æèäêîñòè", ÷èòàâøèõñÿ ñòóäåíòàì ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà â Íàó÷íî-îáðàçîâàòåëüíîì öåíòðå "Âîëíîâûå ïðîöåññû â íåîäíîðîäíûõ è íåëèíåéíûõ ñðåäàõ".

3

1

1.1

Æèäêîñòü â ãèäðîìåõàíèêå

Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè òå÷åíèÿ æèäêîñòè

Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ðåàëüíûõ æèäêîñòåé â ðàçëè÷íûõ ñèòóàöèÿõ â ãèäðîìåõàíèêå îáû÷íî ïîëàãàþò, ÷òî ÷àñòèöû æèäêîñòè áåñêîíå÷íî ìàëû è íàõîäÿòñÿ â òî÷êàõ íåêîòîðîé îáëàñòè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ýòà îáëàñòü ñîîòâåòñòâóåò ñîñóäó, çàïîëíåííîìó æèäêîñòüþ. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ÷àñòèöû äâèæóòñÿ è îïèñûâàþò íåêîòîðûå òðàåêòîðèè â ïðîñòðàíñòâå. "Ñîñóä"òîæå ìîæåò äâèãàòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, èìåòü ýëàñòè÷íóþ ãðàíèöó, êîòîðàÿ èçìåíÿåò ôîðìó ïîä äåéñòâèåì ïîòîêà æèäêîñòè, èìåòü îòâåðñòèÿ, â êîòîðûå âòåêàåò èëè âûòåêàåò æèäêîñòü è ò.ï. Çàäà÷à îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè ñâîäèòñÿ ê îïèñàíèþ äâèæåíèÿ êàæäîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè - ÷àñòèöû æèäêîñòè. Ðàññìîòðèì êàêóþ-íèáóäü òàêóþ ÷àñòèöó. Åå ïîëîæåíèå â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé x(t) âðåìåíè ñî çíà÷åíèÿìè â òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå çàôèêñèðîâàíû íà÷àëî êîîðäèíàò è áàçèñ.  ýòîì ñëó÷àå êîîðäèíàòû òî÷êè (èëè âåêòîðà) áóäåì îáîçíà÷àòü êàê x = (x1 , x2 , x3 ). Ñêîðîñòü ÷àñòèöû ñ òðàåêòîðèåé x(t) â ìîìåíò âðåìåíè t åñòü

v(t) = x0(t)

(1.1.1)

(Çäåñü è äàëåå ìû ñ÷èòàåì âñå ôóíêöèè äîñòàòî÷íî ãëàäêèìè, ÷òîáû âñå òðåáóåìûå ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâîâàëè). Òåíçîðîì áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíûé îïåðàòîð, ïåðåâîäÿùèé (òðåõìåðíûå) âåêòîðû â âåêòîðû. Ïðè âûáðàííîì áàçèñå åãî ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ìàòðèöåé 3 × 3, ýëåìåíòû êîòîðîé íàçûâàþòñÿ êîìïîíåíòàìè òåíçîðà. 4

Îáîçíà÷èì ÷åðåç v(t, x) ñêîðîñòü ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êå ïðîñòðàíñòâà x. Ðàññìîòðèì ãðàäèåíò ýòîé âåëè÷èíû - òåíçîð ñ êîìïîíåíòàìè

(∇v)ij (t, x) =

∂vi(t, x) . ∂xj

(1.1.2)

Åãî ñèììåòðè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ

1 E = (∇v + ∇v T ) 2

(1.1.3)

íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè, à êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ 1 W = (∇v − ∇v T ) (1.1.4)

2

òåíçîðîì çàâèõðåííîñòè. Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðóþ ÷àñòèöó âíóòðè æèäêîñòè. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà îãðàíè÷åíà âîîáðàæàåìîé ïîâåðõíîñòüþ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû. Îñòàëüíàÿ ÷àñòü æèäêîñòè äåéñòâóåò íà ÷àñòèöó ÷åðåç ýòó ïîâåðõíîñòü.Ðàññìîòðèì ìàëóþ ïëîñêóþ ïëîùàäêó íà ýòîé ïîâåðõíîñòè ïëîùàäüþ ∆S ñ âåêòîðîì âíåøíåé íîðìàëè n. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn ñèëó, ñ êîòîðîé îñòàëüíàÿ ÷àñòü æèäêîñòè äåéñòâóåò íà ÷àñòèöó ÷åðåç ðàññìîòðåííóþ ïëîùàäêó. Âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà

Pn ∆S→0 ∆S

pn = lim

íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåíèåì. Îêàçûâàåòñÿ, ñóùåñòâóåò ñèììåòðè÷íûé òåíçîð TH (t, x) òàêîé, ÷òî íàïðÿæåíèå â ìîìåíò t â òî÷êå x â íàïðàâëåíèè n ðàâíî

pn(t, x) = TH (t, x)n. Ýòîò òåíçîð íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåíèé. 5

Òåíçîð

1 σ = TH − T rTH I, 3

(1.1.5)

ãäå I - åäèíè÷íûé òåíçîð, íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé. Îí õàðàêòåðèçóåò ñèëû âíóòðåííåãî òðåíèÿ â æèäêîñòè. 1.2

Íüþòîíîâñêàÿ æèäêîñòü

Íàóêà î äåôîðìàöèè è òå÷åíèè ìàòåðèàëîâ íàçûâàåòñÿ ðåîëîãèåé. Ðåîëîãè÷åñêîå ïîâåäåíèå êîíêðåòíîãî ìàòåðèàëà çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèé ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè, äåôîðìàöèÿìè, ðàñòÿæåíèÿìè â íåì. Íàèáîëåå âàæíûì èç òàêèõ ñîîòíîøåíèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ôîðìîèçìåíåíèÿ, íàçûâàåìîå òàêæå îïðåäåëÿþùèì ñîîòíîøåíèåì (constitutive law), çàäàþùåå ñâÿçü ìåæäó òåíçîðîì σ êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé è ðàçëè÷íûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äåôîðìàöèè. Íàèáîëåå ïðîñòàÿ çàâèñèìîñòü òàêîãî ñîðòà, îïèñûâàþùàÿ æèäêîñòü, èìååò âèä σ = 2ηE, (1.2.1) ãäå η - ÷èñëîâîé ïàðàìåòð, íàçûâàåìûé âÿçêîñòüþ. Ïðè η = 0 æèäêîñòü íàçûâàåòñÿ èäåàëüíîé. Ïðè η > 0 ïîëó÷àåòñÿ êëàññè÷åñêàÿ íüþòîíîâñêàÿ æèäêîñòü. Ýòî îñíîâíîé îáúåêò èññëåäîâàíèÿ êëàññè÷åñêîé ãèäðîäèíàìèêè. Îäíàêî â ýòîì ïîñîáèè íàñ êàê ðàç èíòåðåñóþò ìîäåëè, îòëè÷íûå îò íüþòîíîâñêîé. 1.3

Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíî ïîëå ñêîðîñòåé v(t, x) âî âñåõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òî÷êàõ x îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå íàõîäèòñÿ æèäêîñòü â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t èç íåêîòîðîãî 6

âðåìåííîãî ïðîìåæóòêà. Òîãäà, ÷òîáû îïèñàòü äâèæåíèå ÷àñòèöû, íàõîäÿùåéñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 â òî÷êå x0, äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè

x0(t) = v(t, x(t)),

(1.3.1)

x(t0) = x0.

(1.3.2)

Ïðè äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíîì ïîëå ñêîðîñòåé v ýòà çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Èñõîäÿ èç ýòîãî, îñíîâíûì âîïðîñîì ïðè îïèñàíèè äâèæåíèÿ æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ïîëÿ ñêîðîñòåé v(t, x). Ïîëå ñêîðîñòåé è òåíçîð íàïðÿæåíèé ñâÿçàíû ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì, íàçûâàåìûì óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ: 3

X ∂v ∂v vi − DivTH = ρf. ρ +ρ ∂t ∂x i i=1

(1.3.3)

Çäåñü f (t, x) - ïîëå âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöû òåëà (íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííûõ ñèë), ρ(t, x) - ïëîòíîñòü æèäêîñòè, à äèâåðãåíöèåé òåíçîðà DivTH (t, x) íàçûâàåòñÿ âåêòîð

  3 3 3 X ∂TH1j (t, x) X ∂TH2j (t, x) X ∂TH3j (t, x)  = , , ∂xj ∂xj ∂xj j=1 j=1 j=1  3  X ∂TH1j (t, x) ∂TH2j (t, x) ∂TH3j (t, x) = , , ∂x ∂x ∂xj j j j=1

(1.3.4)

Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè èìååòñÿ íåñêîëüêî áîëüøå èíôîðìàöèè. Âî-ïåðâûõ, äëÿ íåå

div v(t, x) =

3 X ∂vj (t, x) j=1 7

∂xj

= 0.

(1.3.5)

Âî-âòîðûõ, ñëåä òåíçîðà íàïðÿæåíèé ñ÷èòàåòñÿ ïîëíîñòüþ íåçàâèñèìûì îò õàðàêòåðèñòèê äåôîðìàöèè, è ââîäÿò åùå îäíó íåèçâåñòíóþ ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ p(t, x) = − 13 T rTH , íàçûâàåìóþ äàâëåíèåì. Â-òðåòüèõ, ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà, è ìîæíî ñ÷èòàòü åå ðàâíîé åäèíèöå. Çàìåòèì, ÷òî Div(pI) = ∇p. Ïîýòîìó (1.3.3) ñ ó÷åòîì (1.1.5) äàåò 3

∂v X ∂v + vi − Divσ + ∇p = f. ∂t i=1 ∂xi

(1.3.6)

Ýòî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Íàïîìíèì, ÷òî îïåðàòîð Ëàïëàñà äåéñòâóåò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∆v =

3 P

j=1

∂ 2v . ∂x2j

Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî

 3  X ∂E1j ∂E2j ∂E3j , , = 2Div E = 2 ∂x ∂x ∂x j j j j=1 =

3 X j=1

2

2

2

∂ v1 ∂ v2 ∂ v3 , , ∂x2j ∂x2j ∂x2j

!

 3  X ∂ 2 vj ∂ 2 vj ∂ 2 vj , , + ∂x ∂x ∂x ∂x j 1 j 2 ∂xj ∂x3 j=1

Èç (1.3.5) ñëåäóåò, ÷òî âòîðàÿ ñóììà ðàâíà íóëþ. Ïîýòîìó

2Div E = ∆v

(1.3.7)

Òîãäà èç îïðåäåëÿþùåãî ñîîòíîøåíèÿ íüþòîíîâñêîé æèäêîñòè (1.2.1) è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (1.3.6) ïîëó÷èì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íüþòîíîâñêîé æèäêîñòè, 3

∂v X ∂v + vi − η∆v + ∇p = f, ∂t i=1 ∂xi êîòîðîå îáû÷íî íàçûâàþò óðàâíåíèåì Íàâüå-Còîêñà. 8

(1.3.8)

2 2.1

Îäíîìåðíûå ìîäåëè âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé Ìåòîä ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé, îïèñûâàþùèõ òåëà ñ áîëåå ñëîæíûìè ñâîéñòâàìè, ÷åì íüþòîíîâñêàÿ æèäêîñòü, â ðåîëîãèè ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé. Îïèøåì ñóùíîñòü ýòîãî ìåòîäà. Îñíîâíûå ñâîéñòâà äëÿ ðåîëîãèè  óïðóãîñòü, âÿçêîñòü è ïëàñòè÷íîñòü. Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ óïðóãîñòè èñïîëüçóåòñÿ ñïèðàëüíàÿ ïðóæèíà. Äëÿ íåå èìååò ìåñòî çàêîí Ãóêà: óäëèíåíèå ïðóæèíû ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèëîæåííîé ê åå êîíöàì ñèëå. Ýòó ìîäåëü áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâîé H . Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ âÿçêîñòè èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü â âèäå ïðîáèðêè, çàïîëíåííîé âÿçêèì ìàñëîì, â êîòîðîé ñâîáîäíî ïåðåìåùàåòñÿ ïîðøåíü. Ñêîðîñòü ïîðøíÿ (îòíîñèòåëüíî ìàñëà) ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà ïðèëîæåííîé ñèëå. Ýòà ìîäåëü îáîçíà÷àåòñÿ N . Ìîäåëü äëÿ ïëàñòè÷íîñòè íàì íå ïîòðåáóåòñÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé òåë ñî ñëîæíûìè ðåîëîãè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè ìîæíî ñîåäèíèòü ýòè ýëåìåíòû ïàðàëëåëüíî (îáîçíà÷àåòñÿ | ) èëè ïîñëåäîâàòåëüíî (îáîçíà÷àåòñÿ −). Ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè íàãðóçêè, âîñïðèíèìàåìûå êàæäûì ýëåìåíòîì, ñêëàäûâàþòñÿ, à ñêîðîñòè óäëèíåíèÿ êàæäîãî ýëåìåíòà îäèíàêîâû. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè ñêëàäûâàþòñÿ ñêîðîñòè óäëèíåíèÿ ýëåìåíòîâ, è êàæäûé èç íèõ ïîäâåðãàåòñÿ îäèíàêîâîé íàãðóçêå. Äëÿ ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé íóæíû íå ñèëû è ñêîðîñòè, à íàïðÿæåíèå è ñêîðîñòè äåôîðìàöèè. Çäåñü íóæíî âñïîìíèòü, ÷òî íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëèðîâàíèå ðåàëüíûõ âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé. Ãðóáî ãîâîðÿ, ýòè æèäêîñòè ïðåäïîëàãàþòñÿ ñîñòîÿùèìè èç ìèêðîêîìïëåêñîâ èç ìàëåíüêèõ ïðóæèíîê è ïðî9

áèðîê ñ ïîðøíÿìè. Ïîýòîìó ìû äîëæíû ïîíèìàòü íàïðÿæåíèå è ñêîðîñòü äåôîðìàöèè òàê, ÷òîáû ýòî ñîãëàñîâàëîñü ñ îïðåäåëåíèÿìè èç ï.1.1. Èñõîäÿ èç ýòîãî, îïðåäåëèì íàïðÿæåíèå σ (â ïðóæèíå èëè â ïðîáèðêå ñ ïîðøíåì) êàê îòíîøåíèå ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ (êîòîðàÿ ðàâíà ïî ìîäóëþ ïðèëîæåííîé ñèëå) ê ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ (ïðóæèíû èëè ïîðøíÿ), à ñêîðîñòü äåôîðìàöèè E êàê ïîëîâèíó îòíîøåíèÿ ñêîðîñòè (ïîðøíÿ â ìàñëå èëè èçìåíåíèÿ äëèíû ïðóæèíû) ê õàðàêòåðíîé (ñðåäíåé) ïðîäîëüíîé äëèíå ïðîáèðêè ñ ïîðøíåì èëè ïðóæèíû. "Ïîëîâèíà"çäåñü ïîÿâèëàñü â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.1.3), íî ñêîðî îíà áóäåò "ïîãàøåíà"ïîÿâëÿþùèìèñÿ äâîéêàìè â êîýôôèöèåíòàõ ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. Ýòî ñòðàííîå íà ïåðâûé âçãëÿä óìíîæåíèå èëè äåëåíèå íà 2, êîòîðîå ìîæíî çàìåòèòü è â ôîðìóëå (1.2.2), îáúÿñíÿåòñÿ êàê èñòîðè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè, òàê è íåêîòîðûì óäîáñòâîì ïðè ïåðåõîäå ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ: íàïðèìåð â (1.3.8) äâîéêà èñ÷åçëà. Òåïåðü íåîáõîäèìî çàïèñàòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåíèåì è ñêîðîñòüþ äåôîðìàöèè äëÿ ïðóæèíû è ïðîáèðêè ñ ïîðøíåì. Äëÿ ïðîáèðêè ñ ïîðøíåì ýòî ñîâñåì ïðîñòî: òàê êàê ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè, òî íàïðÿæåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî ñêîðîñòè äåôîðìàöèè

σN = 2ηEN

(2.1.1)

Îòìåòèì, ÷òî (2.1.1) ñîâïàäàåò ïî ôîðìå ñ (1.2.1), è η èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë âÿçêîñòè. Óñëîâèìñÿ òîëüêî äëÿ ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé îáîçíà÷àòü ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè òî÷êîé. Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïî âðåìåíè çàêîí Ãóêà äëÿ ïðóæèíû, ïîëó÷èì, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îò ñèëû ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ äëèíû ïðóæèíû. Ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ îò íàïðÿæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè äå10

ôîðìàöèè (2.1.2)

σ˙ H = 2µEH

Êîýôôèöèåíòû ïðîïîðöèîíàëüíîñòè µ è η îáû÷íî ïîëîæèòåëüíû. 2.2

Òåëî Ìàêñâåëëà

Íàèáîëåå ïðîñòîé êîíñòðóêöèåé ìîäåëè âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ òåëî Ìàêñâåëëà (ñ ñèìâîëüíîé çàïèñüþ M = H −N ): ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå ïðóæèíà è ïîðøåíü. Âûâåäåì óðàâíåíèå ôîðìîèçìåíåíèÿ äëÿ ýòîãî òåëà. Äëÿ ýòîãî âñïîìíèì, ÷òî ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî σM = σN = σH , (2.2.1) à ñêîðîñòè äåôîðìàöèè ñêëàäûâàþòñÿ

EM = EH + EN

(2.2.2)

Èç ðàâåíñòâ (2.1.1) - (2.2.2) ñëåäóåò, ÷òî

EM =

σ˙M σM + 2µ 2η

(2.2.3)

Ýòî îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå äëÿ òåëà Ìàêñâåëëà. Îíî èìååò âèä ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ îòíîñèµ òåëüíî σM . Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà e η t . Èìååì: µ ηt

e EM µ ηt

µ σM σ˙M =e + eηt 2µ 2η

e EM

µ ηt

µ ˙ (e η tσM ) = 2µ

Îòñþäà µ

e η tσM = σM0 + 2µ

Zt 0

11

µ

e η sEM (s) ds,

ãäå σM0 åñòü íàïðÿæåíèå â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè (çäåñü è íèæå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ìîìåíò t = 0). Ïîëó÷àåì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.2.3) èìååò ñëåäóþùèé âèä: − µη t

σM = e

Zt

µ ηs

e EM (s) ds)

(σM0 + 2µ

(2.2.4)

0 2.3

Òåëî Äæåôôðèñà

Òèïè÷íûì ïðåäñòàâèòåëåì ìîäåëåé âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü Äæåôôðèñà J = M |N : ïàðàëëåëüíî ñîåäèíÿþòñÿ ìîäåëü Ìàêñâåëëà, ñîñòîÿùàÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ïðóæèíû è ïîðøíÿ, è åùå îäèí ïîðøåíü, ïðè÷åì âÿçêîñòè ñðåäû â äâóõ ðàçíûõ ïðîáèðêàõ ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ; ìû îáîçíà÷èì èõ η1 è η2 . Èòàê, èìååì äëÿ ìàêñâåëëîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé òåëà Äæåôôðèñà:

 − ηµ t 

σM = e

1



Zt

σM0 + 2µ

e

µ η1 s M

E (s) ds ,

(2.3.1)

0

à äëÿ íüþòîíîâñêîé ñîñòàâëÿþùåé (2.3.2)

σN = 2η2EN Íî ïðè ïàðàëëåëüíîì ñîåäèíåíèè ïîëó÷àåì:

σJ = σM + σN

(2.3.3)

EJ = EM = EN

(2.3.4)

Ðàâåíñòâà (2.3.1)-(2.3.4) âëåêóò

 − ηµ t 

σJ = e

1



Zt

σM0 + 2µ

e

µ η1 s J

0 12

E (s) ds + 2η2EJ

(2.3.5)

Îáîçíà÷èì íàïðÿæåíèå è ñêîðîñòü äåôîðìàöèè òåëà Äæåôôðèñà â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè ÷åðåç σJ0 è EJ0 . Ïîëîæèâ â (2.3.5) t = 0, ïîëó÷èì ðàâåíñòâî: (2.3.6)

σJ0 = σM0 + 2η2EJ0 Èç (2.3.5) è (2.3.6) ñëåäóåò

 − ηµ t 

σJ = e

σJ0 − 2η2EJ0 + 2µ

1



Zt EJ (s)e

µ η1 s

ds + 2η2EJ (2.3.7)

0

Ýòî îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå äëÿ òåëà Äæåôôðèñà ñ ÿâíî âûðàæåííûì íàïðÿæåíèåì. Áîëåå òðàäèöèîííà äðóãàÿ ôîðìà îïðåäåëÿþùåãî ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðóþ ìû ñåé÷àñ âûâåäåì. Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî t âûðàæåíèå (2.3.5):

 − ηµ t

σ˙ J = e

1

2µe

µ − ηµ t  E (t) − e 1 σM0 + 2µ η1

µ η1 t J



Zt e

µ η1 s J

E (s) ds +

0

+2η2E˙J

(2.3.8)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç (2.3.5) ñëåäóåò:

 − ηµ t 

e

1



Zt σM0 + 2µ

e

µ η1 s J

E (s) ds = σJ − 2η2EJ

(2.3.9)

0

Ðàâåíñòâà (2.3.8) è (2.3.9) âëåêóò

σ˙ J = 2µEJ − Óìíîæèì ýòî íà

σJ +

η1 µ

µ (σJ − 2η2EJ ) + 2η2E˙J η1

è ïåðåíåñåì ÷ëåí σJ â ëåâóþ ÷àñòü:

η1 η1 η2 ˙ σ˙ J = 2(η1 + η2)EJ + 2 EJ µ µ 13

(2.3.10)

Îáîçíà÷èì λ1 = ηµ1 , λ2 = ïåðåïèøåòñÿ â âèäå

η1 η2 µ(η1 +η2 ) ,

ηJ = η1 + η2. Òîãäà (2.3.10)

σJ + λ1σ˙ J = 2ηJ (EJ + λ2E˙J )

(2.3.11)

Ýòî è åñòü äðóãàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ôîðìîèçìåíåíèÿ äëÿ òåëà Äæåôôðèñà. Ïàðàìåòð ηJ íàçûâàåòñÿ âÿçêîñòüþ òåëà Äæåôôðèñà. Ïàðàìåòð λ1 íàçûâàåòñÿ âðåìåíåì ðåëàêñàöèè, à ïàðàìåòð λ2 âðåìåíåì ïîñëåäåéñòâèÿ. Òàê êàê âÿçêîñòè ïîëîæèòåëü2 , òî λ2 < λ1 . Ïàðàìåòðû λ1 , λ2 , ηJ îòëè÷àþòñÿ íû, à λ2 = λ1 η η+η 1 2 îò ïàðàìåòðîâ µ1 , η1 , η2 òåì, ÷òî îíè íå òîëüêî ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè ìåõàíè÷åñêîé ìîäåëè, íî ìîãóò áûòü òàêæå èçìåðåíû äëÿ êîíêðåòíûõ æèäêîñòåé, îáëàäàþùèõ âÿçêîóïðóãèìè ñâîéñòâàìè ìîäåëè Äæåôôðèñà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñêîðîñòü äåôîðìàöèè ïîñòîÿííà è ðàâíà EJ0 . Òîãäà E˙J = 0, è óðàâíåíèå (2.3.11) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: 0

σJ − 2ηJ EJ0 + λ1(σJ − 2ηJ EJ0 ) = 0 Ðåøàÿ ýòî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì: − λt

σJ − 2ηJ EJ0 = (σJ0 − 2ηJ EJ0 )e

1

È ìû èìååì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ íàïðÿæåíèÿ: − λt

σJ = 2ηJ EJ0 + (σJ0 − 2ηJ EJ0 )e

1

(2.3.12)

Åñëè σJ0 = 2ηJ EJ0 , òî σJ = 2ηJ EJ0 , è íàïðÿæåíèå íå áóäåò çàâèñåòü îò âðåìåíè. Åñëè æå â òåëå âîçíèêëà íåêîòîðàÿ äåôîðìàöèÿ, êîòîðàÿ îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, òî ñêîðîñòü äåôîðìàöèè EJ0 ðàâíà íóëþ, è íàïðÿæåíèå óáûâàåò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó: − λt

σJ = σJ0 e 14

1

Èòàê, âðåìÿ ðåëàêñàöèè λ1  ýòî âðåìÿ, çà êîòîðîå íàïðÿæåíèå ïðè ïîñòîÿííîé äåôîðìàöèè óáûâàåò (ðåëàêñèðóåò) â e ðàç. Ïðè îòñóòñòâèè íàïðÿæåíèÿ (σJ = 0) èç (2.3.11) ïîëó÷àåì

EJ + λ2E˙J = 0 è

− λt

EJ = e

2

(2.3.13)

EJ0

ò.å. ñêîðîñòü äåôîðìàöèè óáûâàåò ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó, è çà âðåìÿ ïîñëåäñòâèÿ λ2 ñêîðîñòü äåôîðìàöèè óìåíüøèòñÿ â e ðàç. Âûðàçèì òåïåðü "ìåõàíè÷åñêèå"ïàðàìåòðû ÷åðåç âÿçêîñòü òåëà Äæåôôðèñà è âðåìåíà ðåëàêñàöèè è ïîñëåäñòâèÿ:

η 2 = ηJ

λ2 λ2 λ1 − λ2 , η1 = ηJ (1 − ), µ = ηJ . λ1 λ1 λ21

Òàêèì îáðàçîì, (2.3.7) ïåðåïèøåòñÿ êàê − λt 1

σJ = e

λ2 λ1 − λ2 (σJ0 − 2ηJ EJ0 + 2ηJ λ1 λ21 +2ηJ

λ2 EJ λ1

Zt

s λ1

e EJ (s) ds)+ 0

(2.3.14)

Ýòî åùå îäíà ôîðìà îïðåäåëÿþùåãî ñîîòíîøåíèÿ äëÿ òåëà Äæåôôðèñà. Óðàâíåíèÿ (2.3.11) è (2.3.14) ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëÿþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè òàêæå äëÿ òåëà Ëåòåðçèõà ñ ñèìâîëüíîé çàïèñüþ (N |H) − N , ãäå îïÿòü æå âÿçêîñòè äâóõ ïîðøíåé N ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ. Ïðè λ2 = η2 = 0 èç òåëà Äæåôôðèñà ïîëó÷àåòñÿ òåëî, ýêâèâàëåíòíîå òåëó Ìàêñâåëëà. ×òîáû çàìåòèòü ýòî, äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü (2.3.5)è (2.2.4). Äàëåå ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ òåëîì Äæåôôðèñà (λ1 , λ2 , ηJ > 0), õîòÿ ïðàêòè÷åñêè âñå ïîëó÷åííûå 15

âûâîäû áóäóò âåðíû è äëÿ òåëà Ìàêñâåëëà, åñëè ïîëîæèòü â ïîëó÷àåìûõ óðàâíåíèÿõ λ2 = η2 = 0. Âìåñòå ñ òåì ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ìàòåðèàëû ñ íóëåâûì âðåìåíåì çàïàçäûâàíèÿ, â òîì ÷èñëå òåëî Ìàêñâåëëà, îáëàäàþò ìíîæåñòâîì ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ, íî îíè îñòàíóòñÿ çà ðàìêàìè íàøåãî ðàññìîòðåíèÿ.

16

3

3.1

Ìíîãîìåðíûå ìîäåëè âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé

Ïåðåõîä ê ìíîãîìåðíûì ìîäåëÿì

Îòìåòèì, ÷òî ïðèìåíåíèå ïîëó÷åííûõ íàìè ìîäåëåé äëÿ îïèñàíèÿ æèäêîñòåé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â ðåàëüíîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, òðåáóåò îáîáùåíèÿ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé, è, â ïåðâóþ î÷åðåäü, óðàâíåíèÿ ôîðìîèçìåíåíèÿ, íà òðåõìåðíûé ñëó÷àé. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäíèì øàãîì ìåòîäà ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé. Îòìåòèì, ÷òî âñå îáñóæäàåìûå íèæå óðàâíåíèÿ ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â ïðîñòðàíñòâàõ ïðîèçâîëüíîé ðàçìåðíîñòè è òîò ôàêò, ÷òî ìû äî ýòîãî ìîìåíòà è íèæå ãîâîðèì î òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, îáúÿñíÿåòñÿ ëèøü òåì, ÷òî èìåííî ýòà ñèòóàöèÿ èìååò ôèçè÷åñêèé ñìûñë (õîòÿ ïðè èññëåäîâàíèè ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ òå÷åíèé èëè òå÷åíèé â óçêîé îáëàñòè ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíî ïðèáåãàòü ê äâóìåðíûì ìîäåëÿì). Ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, êàê ïîíèìàòü ñîñòàâëÿþùèå ïîëó÷åííûõ íàìè îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé, íàïðèìåð (2.3.11), â òðåõìåðíîì ñëó÷àå. Îòâåò òàêîâ: âðåìåíà ðåëàêñàöèè è çàïàçäûâàíèÿ, à òàêæå âÿçêîñòü òåëà Äæåôôðèñà îñòàþòñÿ ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè, è èõ ìîæíî äàæå èçìåðèòü äëÿ êîíêðåòíûõ ìàòåðèàëîâ; íàïðÿæåíèå è ñêîðîñòü äåôîðìàöèè åñòåñòâåííî ïîíèìàòü êàê òåíçîð êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé è òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè. Îñòàåòñÿ ëèøü âîïðîñ î òîì, êàê ïîíèìàòü ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, îáîçíà÷àâøóþñÿ òî÷êîé. Îäíîçíà÷íîãî îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ íåò, âîçìîæíû âàðèàíòû (èç êîòîðûõ, âïðî÷åì, ïî÷òè âñå ìîæíî ïîäâåðãíóòü êðèòèêå), è îò âûáîðà òàêîãî âàðèàíòà çàâèñèò ïîëó÷àåìàÿ ìîäåëü. Ñëåäóþùèå íåñêîëüêî ïóíêòîâ áóäóò ïîñâÿùåíû àíàëèçó îñíîâíûõ âàðèàíòîâ. 17

3.2

×àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ

Ñàìûì ïðîñòûì âûõîäîì èç ïîëîæåíèÿ, ïðè êîòîðîì âîçíèêàåò ìèíèìóì ìàòåìàòè÷åñêèõ òðóäíîñòåé, ÿâëÿåòñÿ âûáîð ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè t â êà÷åñòâå çàìåíû ïðîèçâîäíîé, îáîçíà÷àâøåéñÿ òî÷êîé. Òàê êàê ìû òåïåðü áóäåì ðàçáèðàòü âñå âàðèàíòû íà ïðèìåðå ìîäåëè Äæåôôðèñà, èíäåêñû J ó âÿçêîñòè è òåíçîðîâ íàïðÿæåíèÿ è ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè áóäåì äëÿ êðàòêîñòè îïóñêàòü. Îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå (2.3.11) ïðèíèìàåò âèä

σ + λ1

∂σ ∂E = 2η(E + λ2 ), ∂t ∂t

(3.2.1)

à ýêâèâàëåíòíîå åìó îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå (2.3.14)  âèä

 − λt

σ=e

1

σ0 − 2η λ2 E0 + 2η λ1 − λ2 λ1 λ21



Zt

s

e λ1 E(s) ds + 2η

λ2 E λ1

0

(3.2.2)  ñëó÷àå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ïîëó÷àåì îòñþäà, âîñïîëüçîâàâøèñü (1.3.7):

 − λt

Div σ = e

1

Divσ0 − η λ2 ∆v|t=0 + η λ1 − λ2 λ1 λ21 +η

Zt

 s λ1

e ∆v(s) ds + 0

λ2 ∆v λ1

Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (1.3.6), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè

∂v + ∂t

3 X i=1

∂v λ2 λ1 − λ2 vi − η ∆v − η ∂xi λ1 λ21 18

Zt e 0

s−t λ1

∆v(s) ds + ∇p =

− λt

=f +e 3.3

1

(Divσ0 − η

λ2 ∆v|t=0) λ1

(3.2.3)

Ñóáñòàíöèîíàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ

Óðàâíåíèå (3.2.1) ñâÿçûâàåò òåíçîðû íàïðÿæåíèÿ è äåôîðìàöèè è èõ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè, ò.å. ñêîðîñòè èõ èçìåíåíèÿ â êàæäîé êîíêðåòíîé ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà. Áîëåå åñòåñòâåííûì ñ ðàçëè÷íûõ òî÷åê çðåíèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîäõîä, êîãäà ðåîëîãè÷åñêîå ñîîòíîøåíèå ñâÿçûâàåò ýòè òåíçîðû ñî ñêîðîñòÿìè èõ èçìåíåíèÿ äëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé ÷àñòèöû. Äëÿ åãî ðåàëèçàöèè íàì ïîíàäîáèòñÿ ôóíêöèÿ z(t, τ, x), îáîçíà÷àþùàÿ òî÷êó â ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ â ìîìåíò t òà ÷àñòèöà, êîòîðàÿ â ìîìåíò âðåìåíè τ íàõîäèòñÿ â òî÷êå x. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî

∂z(t, τ, x) = v(t, z(t, τ, x)) ∂t z(t, t, x) = x z(s, t, z(t, τ, x)) = z(s, τ, x)

(3.3.1) (3.3.2) (3.3.3)

Ïóñòü A(t, x) - íåêîòîðàÿ äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ òî÷êè è âðåìåíè. Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ A äëÿ êîíêðåòíîé ÷àñòèöû ðàâíà

A(t + ∆t, z(t + ∆t, t, x)) − A(t, x) ∂ lim = A(t, z(t, τ, x)) = ∆t→0 ∆t ∂t τ =t 3 ∂A(t, x) X ∂A(t, x) ∂zi(t, τ, x) = + = ∂t ∂x ∂t i τ =t i=1 3

∂A X ∂A = + vi ∂t ∂xi i=1 19

(3.3.4)

Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ñóáñòàíöèîíàëüíîé ïðîèçâîäíîé A d è îáîçíà÷àåòñÿ dt A. Çàìåòèì, ÷òî 3

3

dx ∂x X ∂x X = + vi = viei = v, dt ∂t ∂x i i=1 i=1 ãäå ei , i = 1, 2, 3  áàçèñíûå âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâå. Èòàê, ìû èìååì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ñóáñòàíöèîíàëüíîé ïðîèçâîäíîé:

v(t, x) =

dx dt

(3.3.5)

×òîáû ïîëó÷èòü àíàëîã (2.3.14), íàì ïîòðåáóåòñÿ èñïîëüçîd âàòü îïåðàöèþ, îáðàòíóþ íîâîìó äèôôåðåíöèðîâàíèþ dt ,  èíòåãðèðîâàíèå. Òàêîé îáðàòíîé îïåðàöèåé ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî òðàåêòîðèÿì ÷àñòèö. Èçó÷èì ýòîò âîïðîñ áîëåå ôîðìàëüíî. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó Êîøè d dt U (t, x)

= A(t, x), (3.3.6)

U (0, x) = U0(x), ãäå A è U0 ïðîèçâîëüíûå äîñòàòî÷íî ãëàäêèå èçâåñòíûå ôóíêöèè. Ïîêàæåì, ÷òî

d dt

Zt A(s, z(s, t, x)) ds = A(t, x)

(3.3.7)

0

 ñàìîì äåëå, öåïî÷êà ðàâåíñòâ (3.3.4) äàåò

dA ∂ = A(t, z(t, τ, x)) dt ∂t τ =t

(3.3.8)

Ñ ó÷åòîì (3.3.3) è (3.3.8) ïîëó÷àåì:

d dt

Zt 0

∂ A(s, z(s, t, x)) ds = ∂t

Zt 0 20

A(s, z(s, t, z(t, τ, x))) ds

= τ =t

=

∂ ∂t

Zt

A(s, z(s, τ, x)) ds

0

τ =t

= A(t, z(t, τ, x))

= A(t, x) τ =t

Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ U0 (z(0, t, x)) ïðèíèìàåò çíà÷åíèå U0 (x) ïðè t = 0. Êðîìå òîãî, ïîëüçóÿñü (3.3.3) è (3.3.8), ïîëó÷èì

d ∂ U0(z(0, t, x)) = U0(z(0, t, z(t, τ, x))) = dt ∂t τ =t ∂ = U0(z(0, τ, x)) = 0 ∂t τ =t Èòàê, ðåøåíèå çàäà÷è (3.3.6) èìååò ñëåäóþùèé âèä:

Zt U0(z(0, t, x)) +

A(s, z(s, t, x)) ds 0

Ïîêàæåì, ÷òî ýòà çàäà÷à íå ìîæåò èìåòü áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü U1 è U2  äâà ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.3.6) è w = U1 − U2 . Òîãäà èìååì:

d w(t, x) = 0, w(0, x) = 0 dt Ðàâåíñòâî (3.3.8) äàåò

∂ w(t, z(t, τ, x)) = 0 ∂t τ =t Ïîëîæèì çäåñü x = z(τ, 0, y), ãäå y - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Ïîëó÷èì

∂ 0 = w(t, z(t, τ, z(τ, 0, y))) ∂t 21

= τ =t

∂ w(t, z(t, 0, y)) ∂t

Ïóñòü w1 (t, y) = w(t, z(t, 0, y)). Òîãäà

∂ w1(t, y) = 0, w1(0, y) = 0 ∂t Ñëåäîâàòåëüíî, w1 ≡ 0. Òîãäà 0 = w1(t, z(0, t, x)) = w(t, z(t, 0, z(0, t, x))) = w(t, x) äëÿ ëþáîãî x. Èòàê, w ≡ 0, è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.3.6) äîêàçàíà. Òåïåðü ìû ìîæåì âåðíóòüñÿ ê ïîëó÷åíèþ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé. Èñïîëüçóÿ ñóáñòàíöèîíàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ, ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ôîðìîèçìåíåíèÿ (2.3.11) â âèäå

σ + λ1

d d σ = 2η(E + λ2 E) dt dt

(3.3.9)

Âûâåäåì îòñþäà ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ σ , ò.å. àíàëîã (2.3.14). Ïðîâåäåì ðÿä ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ (3.3.9):

σ − 2η

λ2 d λ2 λ1 − λ2 E + λ1 (σ − 2η E) = 2η( E) λ1 dt λ1 λ1

t λ1

t λ −λ t d λ2 e λ2 1 2 λ λ 1 E) (σ − 2η E) = 2ηe 1 ( (σ − 2η E) + e 2 λ1 dt λ1 λ1 λ1 t λ −λ d λt λ2 1 2 (e 1 (σ − 2η E)) = 2ηe λ1 ( E) dt λ1 λ21

Êàê ìû ïîêàçàëè ïðè èññëåäîâàíèè çàäà÷è (3.3.6), ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò ñëåäóþùèé âèä: t λ1

e (σ − 2η

λ2 λ2 E) = σ0(z(0, t, x)) − 2η E0(z(0, t, x))+ λ1 λ1

λ1 − λ2 +2η λ21

Zt

s λ1

e E(s, z(s, t, x))) ds 0 22

Îòñþäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ σ : − λt

σ(t, x) = e λ1 − λ2 +2η λ21

1

Zt

[σ0(z(0, t, x)) − 2η

λ2 E0(z(0, t, x))+ λ1

s

e λ1 E(s, z(s, t, x)) ds] + 2η

λ2 E(t, x) λ1

(3.3.10)

0

 ñëó÷àå íåñæèìàåìîé æèäêîñòè (3.3.10) è (1.3.7) âëåêóò − λt

Div σ(t, x) = e

+2η

λ1 − λ2 λ21

1

Zt

Div[σ0(z(0, t, x)) − 2η

λ2 E0(z(0, t, x))]+ λ1

s−t

e λ1 Div[E(s, z(s, t, x))] ds + η

λ2 ∆v λ1

0

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè Äæåôôðèñà ïîäñòàâèì ýòî â (1.3.6): t

Z 3 s−t ∂v X ∂v λ2 λ1 − λ2 λ1 Div [E(s, z(s, t, x))] ds+ + vi −η ∆v−2η e 2 ∂t i=1 ∂xi λ1 λ1 0

− λt

+∇p = f + e 3.4

1

Div[σ0(z(0, t, x)) − 2η

λ2 E0(z(0, t, x))] (3.3.11) λ1

Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè ïîâåäåíèÿ ìàòåðèàëà

Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îïèñàíèþ äðóãèõ îáúåêòîâ, ìîãóùèõ çàìåíèòü â òðåõìåðíîé ñèòóàöèè ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, îáîçíà÷àâøóþñÿ òî÷êîé, íåîáõîäèìî ðàññêàçàòü âêðàòöå î ïðèíöèïå îáúåêòèâíîñòè ïîâåäåíèÿ ìàòåðèàëà. Ýòî îäèí èç îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ ðàöèîíàëüíîé ìåõàíèêè, êîòîðûé âûðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî ñâîéñòâà ìàòåðèàëà íå çàâèñÿò îò âûáîðà íàáëþäàòåëÿ. 23

Íàáëþäàòåëÿ â ðàöèîíàëüíîé ìåõàíèêå îòîæäåñòâëÿþò ñ ñèñòåìîé îòñ÷åòà, ò.å. íåêèì ïðàâèëîì, ñîïîñòàâëÿþùèì êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíò x ïðîñòðàíñòâà R3 , à êàæäîìó ìîìåíòó âðåìåíè ýëåìåíò t ÷èñëîâîé îñè. Ïðè èçìåíåíèè íàáëþäàòåëÿ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñîõðàíÿåòñÿ ìåòðèêà â R3 è íà ÷èñëîâîé îñè, è ñîõðàíÿåòñÿ íàïðàâëåíèå âðåìåíè. Òîãäà ñàìîå îáùåå èçìåíåíèå êîîðäèíàò êàæäîé òî÷êè èìååò âèä

t∗ = t + a

(3.4.1)

x∗ = x∗0 (t) + Q(t)(x − x0),

(3.4.2)

ãäå a - íåêîòîðîå çíà÷åíèå âðåìåíè, x0 - íåêîòîðàÿ òî÷êà â ïðîñòðàíñòâå, x∗0 (t) - íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè ñî çíà÷åíèÿìè â òî÷êàõ ïðîñòðàíñòâà, Q - ôóíêöèÿ âðåìåíè, çíà÷åíèÿìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûå òåíçîðû. Çàìåíà íàáëþäàòåëÿ èíäóöèðóåò íåêîòîðîå ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðîâ è òåíçîðîâ. Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè óòâåðæäàåò, ÷òî ôîðìóëû, âûðàæàþùèå ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà òåëà è ñîäåðæàùèå âðåìÿ t, òî÷êó x è èõ ðàçëè÷íûå ôóíêöèè íå äîëæíû ìåíÿòüñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ (3.4.1)-(3.4.2). Ïóñòü èìååòñÿ âåêòîð, ÿâëÿþùèéñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì, ò.å. ïðåäñòàâëÿþùèì èç ñåáÿ íàïðàâëåííûé îòðåçîê, ñóùåñòâóþùèé íåçàâèñèìî îò íàáëþäàòåëÿ. Ïóñòü â ïåðâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îí èìå−− → ∗ ∗→ ∗ åò âèä w = − x− 1 x2 . Òîãäà â íîâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà w = x1 x2 =

−− −−−−−−−−−−−−−−−−∗−−−−−−−−−−−−−→ → ∗ x0 (t) + Q(t)(x1 − x0), x0 (t) + Q(t)(x2 − x0) = Q(t)− x− 1 x2 = Q(t)w Åñëè æå T - òåíçîð, ïåðåâîäÿùèé ãåîìåòðè÷åñêèå âåêòîðû â

ãåîìåòðè÷åñêèå, òî èìååì â ïåðâîé ñèñòåìå îòñ÷åòà:

w1 = T w2, ãäå w1 è w2 - äâà ïðîáíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðà. Òàê êàê äëÿ îðòîãîíàëüíîãî òåíçîðà Q(t)T Q(t) = I , ïîëó÷àåì

w1∗ = Q(t)w1 = Q(t)T Q(t)T Q(t)w2 = T ∗w2∗, 24

ãäå T ∗ = Q(t)T Q(t)T . Èñõîäÿ èç ïîëó÷åííîãî, áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ w âðåìåíè è òî÷êè íå çàâèñÿùåé îò íàáëþäàòåëÿ, åñëè åå êîîðäèíàòû ïðè èçìåíåíèè ñèñòåìû îòñ÷åòà (3.4.1)-(3.4.2) ïðåîáðàçóþòñÿ êàê

w∗(t∗, x∗) = Q(t)w(t, x),

(3.4.3)

à òåíçîðíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ T íå çàâèñÿùåé îò íàáëþäàòåëÿ, åñëè T ∗(t∗, x∗) = Q(t)T (t, x)Q(t)T (3.4.4) Èç ìåõàíèêè èçâåñòíî, ÷òî òåíçîð íàïðÿæåíèé TH ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì. Ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ A âðåìåíè è òî÷êè íàçûâàåòñÿ íå çàâèñÿùåé îò íàáëþäàòåëÿ, åñëè ïðè èçìåíåíèè ñèñòåìû îòñ÷åòà

A∗(t∗, x∗) = A(t, x)

(3.4.5)

Ïðèìåðîì òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòü ρ(t, x). 3.5

Òåîðåìà Çàðåìáû-Çîðàâñêîãî

Äëÿ ïðîâåðêè ðåîëîãè÷åñêèõ ñîîòíîøåíèé íà îáúåêòèâíîñòü íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå î ïðåîáðàçîâàíèè ïðè èçìåíåíèè íàáëþäàòåëÿ òåíçîðîâ ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè è çàâèõðåííîñòè, íîñÿùåå èìÿ òåîðåìû Çàðåìáû-Çîðàâñêîãî. Òåîðåìà. Ïðè èçìåíåíèè ñèñòåìû îòñ÷åòà (3.4.1)-(3.4.2) èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ:

E ∗(t∗, x∗) = Q(t)E(t, x)Q(t)T ,

(3.5.1)

ò.å. òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ;

W ∗(t∗, x∗) = Q(t)W (t, x)Q(t)T + Q0(t)Q(t)T , 25

(3.5.2)

ò.å. òåíçîð çàâèõðåííîñòè çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ z(t, τ, x) ïðè ôèêñèðîâàííûõ àðãóìåíòàõ åñòü òî÷êà â ïðîñòðàíñòâå. Ïîýòîìó â ñèëó (3.4.2):

z ∗(t∗, τ ∗, x∗) = x∗0 (t) + Q(t)(z(t, τ, x) − x0)

(3.5.3)

Îòñþäà

∂z ∗(t∗, τ ∗, x∗) ∂[x∗0 (t) + Q(t)(z(t, τ, x) − x0)] = = ∂t∗ ∂(t + a) ∂z(t, τ, x) = ∂t ∂z(t, τ, x) x∗0 0(t) + Q0(t)Q(t)T (z ∗(t∗, τ ∗, x∗) − x∗0 (t)) + Q(t) ∂t ∗ ∗ Ïîëîæèâ â ýòîì ðàâåíñòâå t = τ , t = τ è, èñïîëüçóÿ (3.3.1) è = x∗0 0(t) + Q0(t)(z(t, τ, x) − x0) + Q(t)

(3.3.2), ïîëó÷èì:

∗ ∗ ∗ ∗ ∂z (t , τ , x ) v ∗(t∗, x∗) = ∗ ∗= ∗ ∂t t =τ = x∗0 0(t) + Q0(t)Q(t)T (x∗ − x∗0 (t)) + Q(t)v(t, x)

(3.5.4)

Ïîýòîìó

∂v ∗(x∗, t∗) (∇v) = = ∂x∗ ∂(x∗0 0(t) + Q0(t)Q(t)T (x∗ − x∗0 (t)) + Q(t)v(t, x)) = = ∂x∗ ∂[Q(t)v(t, x)] ∂x = Q0(t)Q(t)T + = ∂x ∂x∗ ∂(x0 + Q(t)T (x∗ − x∗0 (t))) 0 T = Q (t)Q(t) + Q(t)(∇v) = ∂x∗ = Q0(t)Q(t)T + Q(t)(∇v)Q(t)T ∗

Èòàê,

(∇v)∗ = Q(t)(∇v)Q(t)T + Q0(t)Q(t)T 26

(3.5.5)

Òðàíñïîíèðóåì ýòî ðàâåíñòâî:

[(∇v)∗]T = Q(t)(∇v)T Q(t)T + Q(t)Q0(t)T

(3.5.6)

Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ òîæäåñòâî Q(t)Q(t)T = I , ïîëó÷èì

Q0(t)Q(t)T + Q(t)Q0(t)T = 0

(3.5.7)

Âîçüìåì ïîëóñóììó ðàâåíñòâ (3.5.5) è (3.5.6) c ó÷åòîì (3.5.7):

1 1 E ∗ = ((∇v)∗ + [(∇v)∗]T ) = [Q(t)(∇v)Q(t)T + Q0(t)Q(t)T + 2 2 +Q(t)(∇v)T Q(t)T + Q(t)Q0(t)T ] = Q(t)EQ(t)T Òåïåðü ðàññìîòðèì ïîëóðàçíîñòü (3.5.5) è (3.5.6):

1 1 W ∗ = ((∇v)∗ − [(∇v)∗]T ) = [Q(t)(∇v)Q(t)T + Q0(t)Q(t)T − 2 2 −Q(t)(∇v)T Q(t)T − Q(t)Q0(t)T ] = Q(t)W Q(t)T + Q0(t)Q(t)T Òåîðåìà äîêàçàíà. 3.6

Îáúåêòèâíûå ïðîèçâîäíûå

Óðàâíåíèå ôîðìîèçìåíåíèÿ êàê âûðàæåíèå ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâ æèäêîñòè, ñîãëàñíî ïðèíöèïó îáúåêòèâíîñòè, íå äîëæíî ìåíÿòü ñâîþ ôîðìó ïðè èçìåíåíèè ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ïðîâåðèì, èìååò ëè ìåñòî ýòî óòâåðæäåíèå äëÿ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé (3.2.1) è (3.3.9). Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, òåíçîð íàïðÿæåíèé TH íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ. Ïîêàæåì, ÷òî òåíçîð êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé òàêæå íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ. Èìååì:

1 σ ∗ = TH∗ − T rTH∗ I = 3 1 Q(t)TH Q(t)T − T r(Q(t)TH Q(t)T )I = Q(t)TH Q(t)T − 3 27

3 3 X 1 X T 1 − qij THjk qik I = Q(t)TH Q(t) − [Q(t)T Q(t)]jk THjk I = 3 3 i,j,k=1

j,k=1

3 1X = Q(t)TH Q(t) − Ijk THjk I = 3 T

j,k=1

1 = Q(t)TH Q(t)T − T rTH I = Q(t)σQ(t)T 3

(3.6.1)

Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, èìååì ïðåäñòàâëåíèå

σ = Q(t)T σ ∗Q(t)

(3.6.2)

À èç (3.5.1) ñëåäóåò, ÷òî

E = Q(t)T E ∗Q(t)

(3.6.3)

Ïîäñòàâèì ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ â (3.2.1):

∂Q(t)T σ ∗Q(t) Q(t) σ Q(t) + λ1 = ∂t T

∗

∂Q(t)T E ∗Q(t) ) = 2η(Q(t) E Q(t) + λ2 ∂t Ïðèìåíèâ ñëåâà Q(t), à ñïðàâà Q(t)T , ïîëó÷èì T

∗

∂σ ∗ σ +λ1 ∗ +λ1Q(t)Q0(t)T σ ∗Q(t)Q(t)T +λ1Q(t)Q(t)T σ ∗Q0(t)Q(t)T ∂t ∂E ∗ ∗ = 2η(E + λ2 ∗ + λ2Q(t)Q0(t)T E ∗Q(t)Q(t)T + ∂t +λ2Q(t)Q(t)T E ∗Q0(t)Q(t)T ) ∗

Òåïåðü èñïîëüçóåì (3.5.7) è (3.4.1):

∂σ ∗ σ +λ1 ∗ +λ1Q(t∗ −a)Q0(t∗ −a)T σ ∗ −λ1σ ∗Q(t∗ −a)Q0(t∗ −a)T = ∂t ∂E ∗ ∗ 2η(E +λ2 ∗ +λ2Q(t∗ −a)Q0(t∗ −a)T E ∗ −λ2E ∗Q(t∗ −a)Q0(t∗ −a)T ) ∂t ∗

28

Èòàê, ïðè çàìåíå íàáëþäàòåëÿ â îïðåäåëÿþùåì ñîîòíîøåíèè (3.2.1) ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî è â (3.3.9) ïîÿâëÿþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ñëàãàåìûå. Îêàçûâàåòñÿ, ýòè ñëàãàåìûå ìîãóò äàòü â ñóììå òîæäåñòâåííûé íóëü, åñëè óñëîæíèòü îáúåêò, êîòîðûì ìû çàìåíÿåì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè, îáîçíà÷àâøóþñÿ òî÷êîé. Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü T (t, x)  ïðîèçâîëüíàÿ òåíçîðíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, íå çàâèñÿùàÿ îò íàáëþäàòåëÿ. Îïåðàòîð âèäà

DT (t, x) dT (t, x) = + G(∇v(t, x), T (t, x)), Dt dt

(3.6.4)

ãäå G -íåêîòîðàÿ ìàòðè÷íîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ìàòðè÷íûõ àðãóìåíòîâ, íàçûâàåòñÿ îáúåêòèâíîé ïðîèçâîäíîé, åñëè ïðè ëþáîì èçìåíåíèè ñèñòåìû îòñ÷åòà (3.4.1)-(3.4.2) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ∗ ∗

D T DT = Q(t) Q(t)T ∗ Dt Dt äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ ôóíêöèé T .

(3.6.5)

D∗ Çàìå÷àíèå. Ñèìâîë Dt∗ îáîçíà÷àåò ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîD ðà Dt â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, ò.å. âûðàæåíèå âèäà 3

d∗T ∗ ∂T ∗ X ∗ ∂T ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + G((∇v) , T ) = + v + G((∇v) , T ) i ∗ dt∗ ∂t∗ ∂x i i=1 Âûáîð ôóíêöèè G îñóùåñòâëÿåòñÿ íà îñíîâå ðàçëè÷íûõ ìåõàíè÷åñêèõ è îïûòíûõ ñîîáðàæåíèé. D Èìåÿ íåêîòîðóþ îáúåêòèâíóþ ïðîèçâîäíóþ Dt , ìîæíî îò (2.3.11) ïåðåéòè ê îïðåäåëÿþùåìó ñîîòíîøåíèþ

σ + λ1

DE Dσ = 2η(E + λ2 ) Dt Dt

(3.6.6)

Òàêîå îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå óæå óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó îáúåêòèâíîñòè. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ â (3.6.6) ïðåä29

ñòàâëåíèÿ (3.6.2) è (3.6.3) è ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì (3.6.5) îáúåêòèâíîé ïðîèçâîäíîé, ïîëó÷àåì: ∗

Q(t) σ Q(t) + λ1Q(t)

÷òî âëå÷åò

TD

∗ ∗

σ Q(t) = Dt∗ ∗ ∗ T ∗ TD E 2η(Q(t) E Q(t) + λ2Q(t) Q(t)), Dt∗ T

  ∗ ∗ ∗ ∗ D σ D E σ ∗ + λ1 = 2η E ∗ + λ2 ∗ Dt Dt∗

(3.6.7)

Äëÿ ðàçëè÷íûõ îáúåêòèâíûõ ïðîèçâîäíûõ ìîæåò îêàçàòüñÿ î÷åíü ñëîæíûì èëè íåâîçìîæíûì âûðàçèòü ÿâíî èç (3.6.6) òåíçîð σ ÷åðåç õàðàêòåðèñòèêè äåôîðìàöèè. Ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ, íàïðèìåð, íåñæèìàåìîé âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó (1.3.5), (1.3.6), (3.6.6) ñ áîëüøèì ÷èñëîì íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé. 3.7

Ïðèìåðû îáúåêòèâíûõ ïðîèçâîäíûõ

Ñàìûé ïðîñòîé ïðèìåð îáúåêòèâíîé ïðîèçâîäíîé òåíçîðà ýòî ïðîèçâîäíàÿ ßóìàííà:

D0T (t, x) dT (t, x) = + T (t, x)W (t, x) − W (t, x)T (t, x) (3.7.1) Dt dt Îíà òàêæå íàçûâàåòñÿ êîðîòàöèîííîé. Ïîêàæåì, ÷òî îíà äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3.6.5). Èìååì, ïîëüçóÿñü (3.3.8), (3.5.2) è (3.5.7):

D0∗T ∗ ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = T (t , z (t , τ , x )) +T W − W T = ∗ ∗ Dt∗ ∂t∗ τ =t ∂ = [Q(t)T (t, z(t, τ, x))Q(t)T ] +Q(t)T Q(t)T (Q(t)W Q(t)T + ∂t τ =t +Q0(t)Q(t)T ) − (Q(t)W Q(t)T + Q0(t)Q(t)T )Q(t)T Q(t)T = 30

dT Q(t)T + Q(t)T Q0(t)T + Q(t)T W Q(t)T + dt Q(t)T QT (t)Q0(t)Q(t)T −Q(t)W T Q(t)T −Q0(t)Q(t)T Q(t)T Q(t)T = D0 T = Q(t) Q(t)T + Q0(t)T Q(t)T + Q(t)T Q0(t)T − Dt D0 T −Q0(t)T Q0(t)T Q(t)Q(t)T −Q0(t)Q(t)T Q(t)T Q(t)T = Q(t) Q(t)T Dt = Q0(t)T Q(t)T + Q(t)

Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. çàìå÷àíèå â ïóíêòå 4.2), ÷òî âñÿêàÿ îáúåêòèâíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå

DT (t, x) D0T (t, x) = + G1(E(t, x), T (t, x)), Dt Dt

(3.7.2)

ãäå G1 - ìàòðè÷íîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ äâóõ ìàòðè÷íûõ àðãóìåíòîâ. Ñìûñë ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ëþáàÿ îáúåêòèâíàÿ ïðîèçâîäíàÿ åñòü ñóììà ïðîèçâîäíîé ßóìàííà è âûðàæåíèÿ, íå çàâèñÿùåãî îò òåíçîðà çàâèõðåííîñòè W . Ïðîñòåéøåå îáîáùåíèå ïðîèçâîäíîé ßóìàííà - ïðîèçâîäíàÿ Îëäðîéäà, çàâèñÿùàÿ îò ïàðàìåòðà a ∈ [−1, 1]:

Da T D0 T = − a(ET + T E) Dt Dt

(3.7.3)

Ïðè a = 0 ýòî ïðîèçâîäíàÿ ßóìàííà. Ïðè a = 1 ïðîèçâîäíàÿ (3.7.3) íàçûâàåòñÿ âåðõíåé êîíâåêöèîííîé, à ïðè a = −1 íèæíåé êîíâåêöèîííîé. 3.8

Ðàçðåøèìîñòü íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìîäåëè âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè ñ ïðîèçâîäíîé Îëäðîéäà

Ìàòåìàòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé, îñîáåííî âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé, ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíûì. Ê íàñòîÿùåìó ìîìåíòó èçâåñòíî íå î÷åíü ìíîãî ñåðüåçíûõ ðåçóëüòàòîâ â ýòîé îáëàñòè. Ýòî ìîæåò 31

îáúÿñíÿòüñÿ ñëåäóþùèìè ôàêòîðàìè: âî-ïåðâûõ, äàæå ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ íüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé è óðàâíåíèé ÍàâüåÑòîêñà ñîâñåì íå ïîëíà è ñîäåðæèò ðÿä êðóïíûõ íåðåøåííûõ ïðîáëåì; âî-âòîðûõ, ìíîãèå ñèñòåìû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé, â ÷àñòíîñòè âÿçêîóïðóãèõ, ñóùåñòâåííî ñëîæíåå óðàâíåíèé Íàâüå-Ñòîêñà è íå âñåãäà ìîãóò áûòü èññëåäîâàíû òåìè æå ìåòîäàìè; â-òðåòüèõ, îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ìíîãèõ íåíüþòîíîâñêèõ æèäêîñòåé ïîÿâèëèñü ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî è ìàëî èçâåñòíû â ñðåäå ìàòåìàòèêîâ.  ýòîì ïóíêòå ìû ïðèâåäåì îäèí èç íàèáîëåå ñèëüíûõ èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ  òåîðåìó î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ëîêàëüíîãî ïî âðåìåíè ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè ñ îáúåêòèâíîé ïðîèçâîäíîé Îëäðîéäà â îïðåäåëÿþùåì ñîîòíîøåíèè, ïðèíàäëåæàùóþ Ãèëüîïå è Ñî [4]. Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü (ò.å. îòêðûòîå ìíîæåñòâî) â ïðîñòðàíñòâå R3 . Ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷ó, ñîñòîÿùóþ èç óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 3

∂v(t, x) X ∂v(t, x) + vi(t, x) − Divσ(t, x) + ∇p(t, x) = f, ∂t ∂x i i=1 (t, x) ∈ [0, T ] × Ω,

(3.8.1)

îïðåäåëÿþùåãî ñîîòíîøåíèÿ

σ(t, x) + λ1

Daσ(t, x) DaE(t, x) = 2η(E(t, x) + λ2 ), Dt Dt (t, x) ∈ [0, T ] × Ω, (3.8.2)

óñëîâèÿ íåñæèìàåìîñòè æèäêîñòè

div v(t, x) = 0, (t, x) ∈ [0, T ] × Ω,

(3.8.3)

óñëîâèÿ ïðèëèïàíèÿ æèäêîñòè ê ñòåíêàì ñîñóäà

v(t, x) = 0, (t, x) ∈ [0, T ] × ∂Ω, 32

(3.8.4)

è íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ

v(0, x) = a(x), σ(0, x) = σ0(x), x ∈ Ω.

(3.8.5)

Äàâëåíèå p ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû. Ïîýòîìó ê çàäà÷å (3.8.1)-(3.8.5) îáû÷íî äëÿ îïðåäåëåííîñòè äîáàâëÿåòñÿ óñëîâèå

Z p(t, x)dx ≡ 0

(3.8.6)

Ω

Ââåäåì íåîáõîäèìûå ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà. Ñèìâîëîì L2 áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîñòðàíñòâî ñóììèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì íà îáëàñòè Ω ôóíêöèé ñî çíà÷åíèÿìè â R, R3 èëè ïðîñòðàíñòâå ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö 3×3. Ñèìâîëîì H s , ãäå s  íàòóðàëüíîå ÷èñëî, îáîçíà÷èì ñîáîëåâñêîå ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé (ñî çíà÷åíèÿìè â R, R3 èëè ïðîñòðàíñòâå ñèììåòðè÷íûõ ìàòðèö 3 × 3), ñóììèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì íà îáëàñòè Ω âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè äî ïîðÿäêà s âêëþ÷èòåëüíî; ñèìâîëîì H0s  çàìûêàíèå â H s ìíîæåñòâà áåñêîíå÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé ñ êîìïàêòíûì â Ω íîñèòåëåì; ñèìâîëîì H −s  ïðîñòðàíñòâî, ñîïðÿæåííîå ê H0s . Ñèìâîëàìè C([0, T ]; X) è L2 (0, T ; X) áóäåì îáîçíà÷àòü áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâåííî íåïðåðûâíûõ è ñóììèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì ôóíêöèé íà ïðîìåæóòêå [0, T ] ñî çíà÷åíèÿìè â íåêîòîðîì áàíàõîâîì ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå X .  ñëó÷àå, êîãäà X åñòü L2 èëè H s , ëþáîé ýëåìåíò u ïðîñòðàíñòâ C([0, T ]; X) è L2 (0, T ; X) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ôóíêöèåé u(t, x), çàäàííîé íà [0, T ] × Ω, ñëåäóþùèì îáðàçîì:

u(t)(x) 7→ u(t, x)

(3.8.7)

Èñõîäÿ èç ýòîãî, òðîéêà (v, σ, p) èç ïîäîáíûõ ïðîñòðàíñòâ íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (3.8.1)-(3.8.6), åñëè ñîîòâåòñòâóþ33

ùàÿ òðîéêà ôóíêöèé (v(t, x), σ(t, x), p(t, x)) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è. Òåïåðü ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ðåçóëüòàò Ãèëüîïå è Ñî. 3 Òåîðåìà. Ïóñòü Ω  îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ C - ãëàäêîé 0 ãðàíèöåé. Ïóñòü f ∈ L2 (0, T ; H 1 ), ft ∈ L2 (0, T ; H −1 ), T 2 2 a ∈ H 2 H01, div a = 0, σ0 ∈ H 1, σ0 − 2ηλ λ1 E(a) ∈ H . Òîãäà ñóùåñòâóåò t0 > 0 è òðîéêà (v, σ, p) èç êëàññà 3

\

C([0, t0]; H 2 ∩ H01) \ 0 1 vt ∈ L2(0, t0; H0 ) C([0, t0]; L2)

v ∈ L2(0, t0; H )

p ∈ L2(0, t0; H 2) \ 2 σ ∈ L2(0, t0; H ) C([0, t0]; H 1), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (3.8.1)-(3.8.6). Ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî â óêàçàííîì êëàññå.

34

4 4.1

Íåëèíåéíî-âÿçêèå æèäêîñòè Íåëèíåéíàÿ âÿçêîñòü è âÿçêîóïðóãîñòü

Êîíöåïöèÿ âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé êîíöåïöèåé, ïðåäëàãàåìîé äëÿ îáúÿñíåíèÿ è îïèñàíèÿ íåíüþòîíîâñêîãî ïîâåäåíèÿ ðåàëüíûõ æèäêîñòåé. Ñóùåñòâóåò äðóãîé êëàññ ìîäåëåé, íàçûâàåìûõ íåëèíåéíî-âÿçêèìè æèäêîñòÿìè. Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òåíçîð íàïðÿæåíèé â ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êå x åñòü ôóíêöèÿ îò äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê æèäêîñòè â ýòîé æå òî÷êå â ýòîò æå ìîìåíò:

TH (t, x) = g1(t, x, v(t, x), ∇v(t, x), ρ(t, x))

(4.1.1)

Èç (1.1.5) ñëåäóåò, ÷òî òîãäà è σ åñòü ôóíêöèÿ ýòèõ õàðàêòåðèñòèê:

σ(t, x) = g2(t, x, v(t, x), ∇v(t, x), ρ(t, x))

(4.1.2)

Î÷åâèäíî, îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (3.2.2) è (3.3.10), è òåì áîëåå (3.6.6) íå ñâîäÿòñÿ ê (4.1.2). Òåíçîð êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé σ(t, x) ó íèõ îêàçûâàåòñÿ çàâèñÿùèì îò õàðàêòåðèñòèê æèäêîñòè â äðóãèõ òî÷êàõ â äðóãèå ìîìåíòû âðåìåíè. Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñïåöèôè÷åñêèì ñâîéñòâîì âÿçêîóïðóãèõ ìîäåëåé. Ïîä âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòüþ â øèðîêîì ñìûñëå ñëîâà ìîæíî ïîíèìàòü âñå ìîäåëè æèäêîñòåé, íå ñâîäèìûå ê (4.1.2). Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ñëîæíûõ ìîäåëåé âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé. Ýòî, íàïðèìåð, ìîäåëè, ïîñòðîåííûå ìåòîäîì ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ èñïîëüçîâàíèåì â ïðîáèðêàõ ñ ïîðøíÿìè ìàñëà ñ íåíüþòîíîâñêèìè ñâîéñòâàìè; ìîäåëè, â êîòîðûõ âðåìåíà ðåëàêñàöèè è çàïàçäûâàíèÿ òàêæå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè õàðàêòåðèñòèê æèäêîñòè; ìîäåëè, èìåþùèå èíòåãðàëüíûé âèä è íåñâîäèìûå ê ìåòîäó ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé è äð. Çàìå÷àíèå.

35

4.2

Òåîðåìà Íîëëà è ãèïîòåçà Ñòîêñà.

Ñîîòíîøåíèå (4.1.2) åñòü îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå äëÿ íåëèíåéíî-âÿçêîé æèäêîñòè. Ñîãëàñíî ïðèíöèïó îáúåêòèâíîñòè åãî ôîðìà íå äîëæíà çàâèñåòü îò íàáëþäàòåëÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ýòî ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü è óòî÷íèòü ôîðìó îïðåäåëÿþùåãî ñîîòíîøåíèÿ (4.1.2). Ïåðâûì øàãîì íà ýòîì ïóòè ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà Íîëëà. Òåîðåìà. Åñëè ñîîòíîøåíèå (4.1.2) óäîâëåòâîðÿåò ïðèíöèïó îáúåêòèâíîñòè, òî g2 ñâîäèòñÿ ê ôóíêöèè òîëüêî E è ρ:

g2(t, x, v, ∇v, ρ) = g3(E, ρ)

(4.2.1)

 ñèëó ïðèíöèïà îáúåêòèâíîñòè äëÿ ëþáîé çàìåíû íàáëþäàòåëÿ (3.4.1) - (3.4.2) ôîðìà îïðåäåëÿþùåãî ñîîòíîøåíèÿ (4.1.2) îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Îòìåòèì, ÷òî ïëîòíîñòü ρ íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ. Òîãäà ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèé (3.5.1), (3.5.2), (3.5.4) è (3.6.2) ïîëó÷èì Äîêàçàòåëüñòâî.

g2(t, x, v, ∇v, ρ) = QT g2(t∗, x∗, v ∗, (∇v)∗, ρ∗)Q = = QT g2(t + a, x∗0 + +Q(x − x0), x∗0 0 + Q0QT (x∗ − x∗0 ) + Qv, QEQT + QW QT + Q0QT , ρ)Q

(4.2.2)

Ïóñòü x1 è t1 ïðîèçâîëüíûå ôèêñèðîâàííûå òî÷êà è ìîìåíò âðåìåíè. Ðàññìîòðèì òåíçîðíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ

Q(t) = e(t1−t)W (t1,x1),

(4.2.3)

ãäå W (t1 , x1 )  òåíçîð çàâèõðåííîñòè â òî÷êå (t1 , x1 ). Ïîêàæåì, ÷òî çíà÷åíèÿìè Q(t) ÿâëÿþòñÿ îðòîãîíàëüíûå òåíçîðû. Ïî ñâîéñòâó ýêñïîíåíòû Q0 (t) = −Q(t)W (t1 , x1 ). Èìååì

Q(t1)Q(t1)T = I (Q(t)Q(t)T )0 = Q0(t)Q(t)T + Q(t)Q0(t)T = 36

= −Q(t)W Q(t)T − Q(t)W T Q(t)T = 0 â ñèëó êîñîñèììåòðè÷íîñòè W . Ýòî âëå÷åò

Q(t)Q(t)T ≡ I. Îòìåòèì, ÷òî Q(t1 ) = I, Q0 (t1 ) = −W (t1 , x1 ). Ïîëîæèì â (4.2.2) t = t1 , x = x1 , Q êàê â (4.2.3), à òàêæå

x0 = 0 x∗0 (t) = −x1 − (t − t1)(v(t1, x1) − W (t1, x1)x1) a = −t1

(4.2.4) (4.2.5) (4.2.6)

Ïîëó÷èì:

g2(t1, x1, v(t1, x1), ∇v(t1, x1), ρ(t1, x1)) = = g2(−a + a, −x1 + x1, −(v(t1, x1) − W (t1, x1)x1) + W (t1, x1)x1+ +v(t1, x1), E(t1, x1) + W (t1, x1) − W (t1, x1), ρ(t1, x1)) = = g2(0, 0, 0, E(t1, x1), ρ(t1, x1))

(4.2.7)

 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè t1 è x1 ýòî âëå÷åò óòâåðæäåíèå òåîðåìû. D Çàìå÷àíèå. Ïóñòü Dt - ïðîèçâîëüíàÿ îáúåêòèâíàÿ ïðîèçâîäíàÿ. Òîãäà â ñèëó (3.6.5) DT Dt íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ äëÿ ëþáîãî íåçàâèñÿùåãî îò íàáëþäàòåëÿ òåíçîðà T (t, x). Òàê êàê D0 T ïðîèçâîäíàÿ ßóìàííà îáúåêòèâíà, òî DT − Dt Dt òàêæå íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ. Íî â ñèëó (3.6.4) è (3.7.1) ýòî âûðàæåíèå ðàâíî G(∇v, T ) − T W + W T . Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç G1(∇v, T ). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå t1 è x1 è îïðåäåëèì Q ïî ôîðìóëå (4.2.3). Òàê êàê G1 (∇v, T ) íå çàâèñèò îò íàáëþäàòåëÿ, òî òàê æå, êàê â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû Íîëëà, ïîëó÷àåì:

G1(∇v, T ) = QT G1((∇v)∗, T ∗)Q = = QT G1(QEQT + QW QT + Q0QT , QT QT )Q 37

 ìîìåíò t1 â òî÷êå x1 ïîëó÷àåòñÿ:

G1(∇v(t1, x1), T (t1, x1)) = G1(E(t1, x1), T (t1, x1)), ÷òî âëå÷åò ïðåäñòàâëåíèå (3.7.2). Èòàê, ïî òåîðåìå Íîëëà ñîîòíîøåíèå (4.1.2) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå:

σ(t, x) = g3(E(t, x), ρ(t, x))

(4.2.8)

 ñëó÷àå, êîãäà òåíçîð êàñàòåëüíûõ íàïðÿæåíèé íå çàâèñèò îò ïëîòíîñòè (íàïðèìåð, æèäêîñòü íåñæèìàåìàÿ), èìååì ïðîñòî:

σ(t, x) = g3(E(t, x))

(4.2.9)

Ýòî ñîîíîøåíèå íàçûâàþò ãèïîòåçîé Ñòîêñà. 4.3

Òåîðåìà Ðèâëèíà-Ýðèêñåíà

Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î ôóíêöèè g3 èç (4.2.9). Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî èç (4.2.1) è (4.2.2) ñëåäóåò:

g3(E) = QT g3(E ∗)Q Òîãäà (3.5.1) äàåò

g3(E) = QT g3(QEQT )Q

(4.3.1)

äëÿ ëþáîãî îðòîãîíàëüíîãî òåíçîðà Q. Îêàçûâàåòñÿ, èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå - ÷àñòíûé ñëó÷àé çíàìåíèòîé òåîðåìû Ðèâëèíà-Ýðèêñåíà î ïðåäñòàâëåíèè. Åñëè ôóíêöèÿ g3 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4.3.1), òî îíà ïðåäñòàâèìà â âèäå Òåîðåìà.

g3(E) = ϕ0(I1, I2, I3)I + ϕ1(I1, I2, I3)E + ϕ2(I1, I2, I3)E 2, (4.3.2) 38

ãäå 2

I1 = T rE = div v, I2 = T rE =

3 X

Eij2 , I3 = det E,

i,j=1

à ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 -ñêàëÿðíûå ôóíêöèè òðåõ ñêàëÿðíûõ àðãóìåíòîâ. Äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè I1 = div v = 0. Ïîýòîìó äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ (4.3.2) óïðîùàåòñÿ:

g3(E) = ϕ0(I2, I3)I + ϕ1(I2, I3)E + ϕ2(I2, I3)E 2

(4.3.3)

Îòñþäà

Div σ = Div(ϕ0I + ϕ1E + ϕ2E 2) = ∇ϕ0 + Div(ϕ1E + ϕ2E 2) ×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, ïîäñòàâèì ýòî â (1.3.6): 3

∂v X ∂v + vi − ∇ϕ0 − Div (ϕ1E + ϕ2E 2) + ∇p = f ∂t i=1 ∂xi

(4.3.4)

Îáîçíà÷èì pe(t, x) = p(t, x)−ϕ0 (I2 (t, x), I3 (t, x)). Ïîëó÷àåì îáùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé íåëèíåéíî-âÿçêîé æèäêîñòè: 3 ∂v X ∂v + vi −Div (ϕ1(I2, I3)E +ϕ2(I2, I3)E 2)+∇e p = f (4.3.5) ∂t i=1 ∂xi

Ôóíêöèè ϕ0 , ϕ1 , ϕ2 îïðåäåëÿþòñÿ îïûòíûì ïóòåì. Äëÿ óïðîùåíèÿ ïîñòðîåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé ìîæíî ïðèìåíÿòü ìåòîä òèïà ìåòîäà ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé, ò.å. ñâåäåíèÿ ê îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ. Íàïðèìåð, Îëäðîéä ïðåäëîæèë ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó. Èñõîäÿ èç ïðîñòûõ òå÷åíèé, îïðåäåëÿåòñÿ îäíîìåðíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó íàïðÿæåíèåì σ1 è ñêîðîñòüþ äåôîðìàöèè E1 â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè, íàïðèìåð, â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè ïðè òå÷åíèè â òðóáå: Çàìå÷àíèå.

σ1 = ψ(E1) 39

(4.3.6)

Îáîçíà÷èì ψ1 (E1 ) =

ψ(E1 ) E1 .

Èìååì: (4.3.7)

σ1 = ψ1(E1)E1

Ïðè ïåðåõîäå ê òðåõìåðíîé ñèòóàöèè çàìåíÿåì σ1 íà σ , E1 íà E . Íî òàê êàê ψ1 åñòü ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà, íåîáõîäèìî ïîñòàâèòü åå àðãóìåíòîì íåêîòîðûé ñêàëÿð, õàðàêòåðèçóþùèé ñêîðîñòü äåôîðìàöèè. Ïðîñòåéøèé âàðèàíò  ýòî åâêëèäîâà s íîðìà òåíçîðà ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè

3 P

i,j=1

Eij2 =

√

I2.

Ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå îïðåäåëÿþùåå ñîîòíîøåíèå

p σ = ψ1( I2)E

(4.3.8)

×òîáû ýòî ñîâïàëî ïî ôîðìå ñ (4.3.3), ñëåäóåò ïîëîæèòü

ϕ0 ≡ ϕ2 ≡ 0, ϕ1(I2, I3) = ψ1(

40

p

I2)

(4.3.9)

Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå

3

1

4

Æèäêîñòü â ãèäðîìåõàíèêå

1.1 1.2 1.3 2

Îäíîìåðíûå ìîäåëè âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé

2.1 2.2 2.3 3

4

Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè òå÷åíèÿ æèäêîñòè . . Íüþòîíîâñêàÿ æèäêîñòü . . . . . . . . . . . . . . Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . .

4 6 6 9

Ìåòîä ìåõàíè÷åñêèõ ìîäåëåé . . . . . . . . . . . Òåëî Ìàêñâåëëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Òåëî Äæåôôðèñà . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 11 12

Ìíîãîìåðíûå ìîäåëè âÿçêîóïðóãèõ æèäêîñòåé

17

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

17 18 19 23 25 27 30

Ïåðåõîä ê ìíîãîìåðíûì ìîäåëÿì . . . . . . . . . ×àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ . . . . . . . . . . . . . . . . Ñóáñòàíöèîíàëüíàÿ ïðîèçâîäíàÿ . . . . . . . . . Ïðèíöèï îáúåêòèâíîñòè ïîâåäåíèÿ ìàòåðèàëà . . Òåîðåìà Çàðåìáû-Çîðàâñêîãî . . . . . . . . . . . Îáúåêòèâíûå ïðîèçâîäíûå . . . . . . . . . . . . . Ïðèìåðû îáúåêòèâíûõ ïðîèçâîäíûõ . . . . . . . Ðàçðåøèìîñòü íà÷àëüíî-êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìîäåëè âÿçêîóïðóãîé æèäêîñòè ñ ïðîèçâîäíîé Îëäðîéäà . . . . . . . . . . . . . .

31

Íåëèíåéíî-âÿçêèå æèäêîñòè

35

4.1 4.2 4.3

35 36 38

Íåëèíåéíàÿ âÿçêîñòü è âÿçêîóïðóãîñòü . . . . . Òåîðåìà Íîëëà è ãèïîòåçà Ñòîêñà. . . . . . . . . Òåîðåìà Ðèâëèíà-Ýðèêñåíà . . . . . . . . . . . .

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

42 41

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] Îëäðîéä Äæ.Ã. Íåíüþòîíîâñêîå òå÷åíèå æèäêîñòåé è òâåðäûõ òåë/ Äæ.Ã. Îëäðîéä// Ðåîëîãèÿ: òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ.- Ì., 1962.- ñ. 757-793. [2] Ðåéíåð Ì. Ðåîëîãèÿ/ Ì. Ðåéíåð.- Ì.: Ôèçìàòãèç, 1965. 224 ñ. [3] Òðóñäåëë Ê. Ïåðâîíà÷àëüíûé êóðñ ðàöèîíàëüíîé ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä/ Ê. Òðóñäåëë. - Ì.: Ìèð, 1975. -592ñ. [4] Guillop
e C. Existence results for the flow of viscoelastic fluids with a differential constitutive law/ C.Guillop
e, J.C. Saut// Nonl. Anal. TMA.- 1990.- V.15,  9.- pp. 849-869.

42

.

Àâòîðû: Çâÿãèí Âèêòîð Ãðèãîðüåâè÷, Âîðîòíèêîâ Äìèòðèé Àëåêñàíäðîâè÷ Ðåäàêòîð Òèõîìèðîâà Î.À.

43