Математический анализ

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‘®¤¥°¦ ­¨¥ ½²®© ª­¨£¨ ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¯°®£° ¬¬¥ ¯¥°¢®£® ±¥¬¥±²°  ·¥²»°¥µ±¥¬¥±²°®¢®£® ³­¨¢¥°±¨²¥²±ª®£® ª³°±  ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£®  ­ «¨§ . ‚ ²¥·¥­¨¥ ¬­®£¨µ «¥² ¿ ·¨² ¾ ² ª®© ª³°± ±²³¤¥­² ¬ ±¯¥¶¨ «¼­®±²¨ \Œ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¥ ®¡¥±¯¥·¥­¨¥ ¨  ¤¬¨­¨±²°¨°®¢ ­¨¥ ¨­´®°¬ ¶¨®­­»µ ±¨±²¥¬" ­  ¬ ²¥¬ ²¨ª®-¬¥µ ­¨·¥±ª®¬ ´ ª³«¼²¥²¥ ‘ ­ª²-¥²¥°¡³°£±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥­­®£® ³­¨¢¥°±¨²¥² . ‚ ª­¨£³ ¢®¸«¨ ±«¥¤³¾¹¨¥ ° §¤¥«»: ¢¢¥¤¥­¨¥, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ, ¯°¥¤¥« ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©, ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ´³­ª¶¨© ®¤­®© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­­®©, ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «. ¥±¬®²°¿ ­  ±³¹¥±²¢³¾¹³¾ ®¡¸¨°­³¾ ³·¥¡­³¾ «¨²¥° ²³°³ ¯® ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®¬³  ­ «¨§³, ¿ ­ ¤¥¾±¼, ·²® ½²®² ³·¥¡­¨ª ¡³¤¥² ¯®«¥§¥­ ±²³¤¥­² ¬ ¨ ¯®§¢®«¨² ¨¬ ¢ ®±­®¢­®¬ ®±¢®¨²¼ ²¥®°¥²¨·¥±ª¨© ª³°±  ­ «¨§  §  ±° ¢­¨²¥«¼­® ­¥¡®«¼¸®© ±°®ª, ² ª ±ª § ²¼, \¢ ¡®¥¢®© ®¡±² ­®¢ª¥". ²® ¯®¦¥« ­¨¥ ­ ª« ¤»¢ ¥² ­¥ª®²®°»¥ ³±«®¢¨¿ ­  ±²¨«¼ ³·¥¡­¨ª . Š³°± ­¥ ¤®«¦¥­ ¡»²¼ \­¥¯®¤º¥¬­»¬" ¤«¿ ±²³¤¥­² , ±«¨¸ª®¬ ° §¤³²»¬ §  ±·¥² ª° ±¨¢»µ ¯°¨¬¥°®¢, ¯°¨«®¦¥­¨©, ®¡®¡¹¥­¨©, ¨±²®°¨·¥±ª¨µ § ¬¥· ­¨© ¨ ¬­®£®·¨±«¥­­»µ ¯®¿±­¥­¨©. Š« ±±¨·¥±ª¨© ²°¥µ²®¬­»© \Š³°± ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨ ¨­²¥£° «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿" ƒ. Œ.”¨µ²¥­£®«¼¶ , ¯®±«³¦¨¢¸¨© ®±­®¢®© ¬­®£¨µ ·¨² ¢¸¨µ±¿ ª³°±®¢, ­ ¯¨± ­ ®·¥­¼ ¯®¤°®¡­® ¨ ±®¤¥°¦¨² ­¥®¡»· ©­® ¬­®£® ¯°¨¬¥°®¢ ¨ ¯°¨«®¦¥­¨©. ²® ¤®±²®¨­±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¢ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿ ¨ ­¥¤®±² ²ª®¬. Š°®¬¥ ²®£®, ¯® ¿§»ª³ ®­ ³¦¥ ¤®¢®«¼­®  °µ ¨·¥­, ¬¥±² ¬¨ ¨§«®¦¥­¨¥ ­¥¤®±² ²®·­® ±²°®£®, ¨ ¬­®£®«¥²­¨© ®¯»² ¯®ª § «, ·²® ¬­®£¨¥ ° §¤¥«» ¶¥«¥±®®¡° §­¥¥ ° ±±ª §»¢ ²¼ ¯®-¤°³£®¬³. ‚¬¥±²¥ ± ²¥¬, ª³°± ¤®«¦¥­ ¡»²¼ ¯® ¢®§¬®¦­®±²¨ ±²°®£¨¬, ±®¤¥°¦ ²¼ ¢±¥ ­¥®¡µ®¤¨¬»¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . ¥¨§¡¥¦­»¥ \¢®«¼­®±²¨", ­  ¬®© ¢§£«¿¤, ¤®«¦­» ¡»²¼ ±ª®­¶¥­²°¨°®¢ ­» ¢® ¢¢¥¤¥­¨¨,   ¯®±«¥ ½²®£® «®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®¡¥«» ¢ ª³°±¥ ª° ©­¥ ­¥¦¥« ²¥«¼­». ®½²®¬³ ¤¥² «¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¨ ®±®¡¥­­® ®¯°¥¤¥«¥­¨©, ª®²®°»¥ · ±²® ¢»§»¢ ¾² ²°³¤­®±²¨ ³ ±²³¤¥­²®¢, ¯®¤°®¡­® ° §º¿±­¿¾²±¿.

4

°¥¤¨±«®¢¨¥

Œ®¦­® ±ª § ²¼, ·²® ³·¥¡­¨ª ­ ¯¨± ­ ¢ ¦ ­°¥ ¯®¤°®¡­®£® ª®­±¯¥ª²  «¥ª¶¨©. ‚¢¥¤¥­¨¥ ¢ ª³°± (£« ¢  1) ¤®±² ²®·­® ª®°®²ª®¥, ¥£® ®±­®¢­ ¿ § ¤ ·  | ¯®§­ ª®¬¨²¼ ±«³¸ ²¥«¿ ± ®¡¹¥³¯®²°¥¡¨²¥«¼­»¬¨ ²¥°¬¨­ ¬¨ ¨ ¤ ²¼ ­¥®¡µ®¤¨¬»© ¬¨­¨¬³¬ ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­»µ ±¢¥¤¥­¨©. ®¤µ®¤ ª ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢ | \­ ¨¢­»©". ˆ§ ½«¥¬¥­²®¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¨ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ²®«¼ª® ±¨¬¢®«¨ª ,   ª¢ ­²®°» ³¯®²°¥¡«¿¾²±¿ ª ª ±²¥­®£° ´¨·¥±ª¨¥ §­ ·ª¨. ‚ ²¥µ ±«³· ¿µ, ª®£¤  ¯°¨¢®¤¨²±¿ ±®ª° ¹¥­­ ¿ § ¯¨±¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ± ª¢ ­²®° ¬¨, ®­  ² ª¦¥ ° ±¸¨´°®¢»¢ ¥²±¿ ±«®¢¥±­®, ·²®¡» ±²³¤¥­² ­ ³·¨«±¿ ¨ § ¯¨±»¢ ²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿, ¨ ·¨² ²¼ ±®¡±²¢¥­­»¥ § ¯¨±¨. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±«  ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨. ®±²°®¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ¢ ª³°±¥  ­ «¨§  ¿ ±·¨² ¾ ¨§«¨¸­¨¬,   ¢°¥¬¥­¨, ¯®²° ·¥­­®£® ¢ ¯¥°¢®¬ ±¥¬¥±²°¥, ­¥ µ¢ ²¨² ¢ ·¥²¢¥°²®¬. ’¥®°¨¿ ¯°¥¤¥«®¢ ¨ ­¥¯°¥°»¢­»µ ®²®¡° ¦¥­¨© ° ±±ª §»¢ ¥²±¿ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ, ¡¥§ ®²¤¥«¼­®£® ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­®£® ¨§«®¦¥­¨¿ ¤«¿ ·¨±«®¢»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¨ ´³­ª¶¨© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­­®©. ®½²®¬³ ¯®­¿²¨¿ ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¯°®±²° ­±²¢ ¯®¿¢«¿¾²±¿ ¢ ª³°±¥ ° ­®, ­  4-© | 5-© «¥ª¶¨¨. “²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¤«¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­®£® ¨ ª®¬¯«¥ª±­®£® ±«³· ¥¢ ¯°¨ ¢®§¬®¦­®±²¨ ¨ ®²±³²±²¢¨¨ ±¯¥¶¨´¨ª¨ ¢»¢®¤¿²±¿ ª ª ±«¥¤±²¢¨¿ ¨§ ®¡¹¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©.   ¬®© ¢§£«¿¤, ² ª®© ³°®¢¥­¼ ®¡¹­®±²¨ ®¯²¨¬ «¥­ ¤«¿ ¤ ­­®£® ª³°±  (¯®¤·¥°ª­³, ·²® °¥·¼ ¨¤¥² ® ·¥²»°¥µ±¥¬¥±²°®¢®¬ ª³°±¥  ­ «¨§ , ¢ª«¾· ¾¹¥¬ ¨ ²¥®°¨¾ ´³­ª¶¨© ª®¬¯«¥ª±­®© ¯¥°¥¬¥­­®©). ‚®-¯¥°¢»µ, ®­ ¯®§¢®«¿¥² §­ ·¨²¥«¼­® ±½ª®­®¬¨²¼ «¥ª¶¨®­­®¥ ¢°¥¬¿, ­¥ ±«¨¸ª®¬ ³¢¥«¨·¨¢ ²°³¤­®±²¼ ¢®±¯°¨¿²¨¿. ‚®-¢²®°»µ, ¨¬¥¥² ¬¥²®¤¨·¥±ª¨© ±¬»±« ­¥ ®²¢«¥ª ²¼ ¢­¨¬ ­¨¥ ±«³¸ ²¥«¿ ­  ±¯¥¶¨´¨ª³ ·¨±«®¢®© ¯°¿¬®© (­ «¨·¨¥ ¯®°¿¤ª ) ¢ ²¥µ ¢®¯°®± µ, £¤¥ ®­  ­¥±³¹¥±²¢¥­­ . ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ¡®«¥¥ ®¡¹¨© ³°®¢¥­¼ ¨§«®¦¥­¨¿ (²®¯®«®£¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , ¯°¥¤¥« ¯® ¡ §¥) § ²°³¤­¨« ¡» ¯®­¨¬ ­¨¥ ¯¥°¢®ª³°±­¨ª ¬. ®­¿²¨¥ ²®¯®«®£¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢  ®¡»·­® ¢¢®¤¨²±¿ ¢ ª³°±¥ £¥®¬¥²°¨¨ ¨ ²®¯®«®£¨¨ ¢® ¢²®°®¬ ±¥¬¥±²°¥,   ¢  ­ «¨§¥ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¼ ¢ ½²®¬ ¯®­¿²¨¨ ¢®§­¨ª ¥² £®° §¤® ¯®§¦¥, ¢ ª³°±¥ ´³­ª¶¨®­ «¼­®£®  ­ «¨§ . ’¥®°¨¿ ¯°¥¤¥«®¢ ­ ·¨­ ¥²±¿ ± ¡®«¥¥ ­ £«¿¤­®£® ¯®­¿²¨¿ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (£« ¢  2), ¨ «¨¸¼ ¯®²®¬ (¢ £« ¢¥ 3) ¨§³· ¥²±¿ ¯°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿. ‚ £« ¢¥ ¯°® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (x 3) ¯®¿¢«¿-

°¥¤¨±«®¢¨¥

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¾²±¿ ¯®­¿²¨¥ ª®¬¯ ª²­®±²¨ ¨ ²¥®°¥¬  ƒ¥©­¥ { ®°¥«¿. ‚ ª³°±¥ ¤ ¥²±¿ ±²°®£®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±²¥¯¥­­®© ¨ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨© ¨ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ \¸ª®«¼­®¥" £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±¨­³±  ¨ ª®±¨­³± . „¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ (£« ¢  4) ¢ ¯¥°¢®¬ ±¥¬¥±²°¥, ­ ¯°®²¨¢, ¨§« £ ¥²±¿ ¤«¿ ´³­ª¶¨© ®¤­®© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­®©, ·²® «¥£ª® ®¡º¿±­¨²¼ ±¯¥¶¨´¨ª®© ½²®£® ±«³· ¿. ˆ§«®¦¥­¨¥ ¤®±² ²®·­® ±² ­¤ °²­®, ®¤­ ª® ¯®±«¥¤­¨© ¯ ° £° ´ (x 5) ¯°® ¢»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨ ±®¤¥°¦¨² ¤®¢®«¼­® ¬­®£® ¬ ²¥°¨ « , ¢µ®¤¿¹¥£® ­¥ ¢® ¢±¿ª¨© ª³°±: «¥¬¬  ® ²°¥µ µ®°¤ µ, ¢»¯³ª«®±²¼ ¨ ®¯®°­»¥ ¯°¿¬»¥, ª« ±±¨·¥±ª¨¥ ­¥° ¢¥­±²¢ . ¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ± ¬»¬ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ±¯®±®¡®¬ | ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯®°­®© ¯°¿¬®©. ˆ§ £« ¢» 5 ¯°® ¨­²¥£° « ¢ ½²³ · ±²¼ ª³°±  ¢®¸¥« «¨¸¼ ¯¥°¢»© ¯ ° £° ´ ® ¯¥°¢®®¡° §­®© ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®¬ ¨­²¥£° «¥. Ž¯»² ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¯®±«¥ ¯°®·²¥­¨¿ ¬ ²¥°¨ «  ½²®© ª­¨£¨ (§  ¢»·¥²®¬ ­¥ª®²®°»µ ¯°¨¬¥°®¢ ¨ § ¬¥· ­¨©) ³ «¥ª²®°  ¢ ¯¥°¢®¬ ±¥¬¥±²°¥ ®±² ¥²±¿ ¥¹¥ ­¥±ª®«¼ª® «¥ª¶¨© ¤«¿ ° ±±ª §  ¯°® ®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «. Ž¤­ ª®, ¯°®£° ¬¬  ½ª§ ¬¥­  ¯¥°¢®£® ±¥¬¥±²°  ®¡»·­® § ª ­·¨¢ ¥²±¿ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»¬ ¨­²¥£° «®¬,   ± ®¯°¥¤¥«¥­­®£® ¨­²¥£° «  ­ ·¨­ ¥²±¿ ¯°®£° ¬¬  ¢²®°®£® ±¥¬¥±²° . ’ ª¨¬ ¦¥ ®¡° §®¬ ° §¡¨² ­  · ±²¨ ¨ ½²®² ª³°±. Š­¨£  ­¥ ±®¤¥°¦¨² ­¨ª ª®© ±¯¥¶¨ «¼­® ¯®¤®¡° ­­®© ª®««¥ª¶¨¨ § ¤ ·, ­® ¨­®£¤  ¤®¯®«­¨²¥«¼­»¥ ±¢¥¤¥­¨¿ ±®®¡¹ ¾²±¿ ·¨² ²¥«¾ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . ³¬¥° ¶¨¿ ²¥®°¥¬ ¨ «¥¬¬ ®²¤¥«¼­ ¿ ¢ ª ¦¤®¬ ¯ ° £° ´¥; ­³¬¥° ¶¨¿ ´®°¬³« ®²¤¥«¼­ ¿ ¢ ª ¦¤®© £« ¢¥; ­³¬¥° ¶¨¿ ±«¥¤±²¢¨© ¨ § ¬¥· ­¨© ®²¤¥«¼­ ¿ ª ª ¦¤®¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ ¨«¨ £°³¯¯¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨©, ª ª®²®°»¬ ½²¨ ±«¥¤±²¢¨¿ ¨ § ¬¥· ­¨¿ ®²­®±¿²±¿; ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ª ª ¯° ¢¨«®, ­¥ ­³¬¥°³¾²±¿. Š®­¥¶ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ®¡®§­ · ¥²±¿ ±¨¬¢®«®¬ . €¢²®° ¡« £®¤ °¥­ €.‹.ƒ°®¬®¢³ ¨ €. €. ”«®°¨­±ª®¬³, ¢»±ª § ¢¸¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¶¥­­»µ § ¬¥· ­¨© ¯® ²¥ª±²³ °³ª®¯¨±¨,   ² ª¦¥ ¢±¥¬ ª®««¥£ ¬ ¯® ª ´¥¤°¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®£®  ­ «¨§  ‘ ­ª²¥²¥°¡³°£±ª®£® £®±³¤ °±²¢¥­­®£® ³­¨¢¥°±¨²¥² , ·¼¨ ¬¥²®¤¨·¥±ª¨¥ ­ µ®¤ª¨ ¨±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ¢ ½²®© ª­¨£¥. ‘¥­²¿¡°¼ 2009 £®¤ 

Ž. ‹.‚¨­®£° ¤®¢

ƒ‹€‚€ 1. ‚‚…„…ˆ…

x 1.

Œ­®¦¥±²¢ 

®­¿²¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ¡³¤¥² ¤«¿ ­ ± ¯¥°¢¨·­»¬, ­¥®¯°¥¤¥«¿¥¬»¬. ®±ª®«¼ª³ ¢±¿ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±¢®¤¨² ­®¢®¥ ¯®­¿²¨¥ ª ³¦¥ ¨§¢¥±²­®¬³, ª ª¨¥-²® ¯®­¿²¨¿ ¯°¨µ®¤¨²±¿ ±·¨² ²¼ ¨§¢¥±²­»¬¨ § ° ­¥¥. ¥ ®¯°¥¤¥«¿¿ ¯®­¿²¨¥ ¬­®¦¥±²¢ , ¬», ²¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ®¡±³¤¨¬ ¥£® ±¢®©±²¢  ¨ ¯° ¢¨«  ®¡° ¹¥­¨¿ ± ­¨¬. ‚®§¬®¦¥­ ¨ ¤°³£®© ¯®¤µ®¤: ¢ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© «®£¨ª¥ ¬­®¦¥±²¢® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨;  ª±¨®¬» ®¯¨±»¢ ¾² ±¢®©±²¢  ¬­®¦¥±²¢ ¨ ¯° ¢¨«  ¯®±²°®¥­¨¿ ®¤­¨µ ¬­®¦¥±²¢ ¨§ ¤°³£¨µ. Ž¤­ ª®, ¢ ª³°±¥ ­ ¬ ¡³¤¥² ³¤®¡­¥¥ ®±² ¢ ²¼±¿ ¢ ° ¬ª µ \­ ¨¢­®©" ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢. ‚¬¥±²® ±«®¢  \¬­®¦¥±²¢®" · ±²® ³¯®²°¥¡«¿¾²±¿ ¥£® ±¨­®­¨¬»: ª« ±±, ±®¢®ª³¯­®±²¼, ­ ¡®°, ª®««¥ª¶¨¿, ±®¡° ­¨¥. ’¥®°¨¿ ¬­®¦¥±²¢ ¡»«  ®±­®¢ ­  ƒ. Š ­²®°®¬. Œ­®¦¥±²¢® ±®±²®¨² ¨§ ®¡º¥ª²®¢, ¢¥¹¥©, ­ §»¢ ¥¬»µ ¥£® ½«¥¬¥­² ¬¨. ‡ ¯¨±¼ x 2 X ®§­ · ¥², ·²® ®¡º¥ª² x ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ X, ¿¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­²®¬ ¬­®¦¥±²¢  X,   § ¯¨±¼ x 2= X ¨«¨ x 2 X | ·²® ®¡º¥ª² x ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ X, ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­²®¬ ¬­®¦¥±²¢  X. Œ­®¦¥±²¢® ¬®¦¥² § ¤ ¢ ²¼±¿ ¯¥°¥·¨±«¥­¨¥¬ ±¢®¨µ ½«¥¬¥­²®¢: f1; 2; 3g, fA; B g | ¨«¨ ³ª § ­¨¥¬ ±¢®©±²¢ : § ¯¨±¼ fx : P (x)g ¨«¨ fx j P (x)g ®¡®§­ · ¥² ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢, ®¡« ¤ ¾¹¨µ ±¢®©±²¢®¬ P . «¥¬¥­² ¬¨  ¬­®¦¥±²¢ ¬®£³² ¡»²¼ ¬­®¦¥±²¢ .  ¯°¨¬¥°, ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ 1; f1g; f1; 2g ²°¨ ½«¥¬¥­² : ·¨±«® 1, ¬­®¦¥±²¢®, ¥¤¨­±²¢¥­­»¬ ½«¥¬¥­²®¬ ª®²®°®£® ¿¢«¿¥²±¿ ·¨±«® 1, ¨ ¬­®¦¥±²¢® ¨§ ¤¢³µ ½«¥¬¥­²®¢ | ·¨±¥« 1 ¨ 2. °¨ ®¡° §®¢ ­¨¨ ¬­®¦¥±²¢ ¨§ ½«¥¬¥­²®¢ ±«¥¤³¥² ±®¡«¾¤ ²¼ ¨§¢¥±²­³¾ ®±²®°®¦­®±²¼; ² ª, ¯®­¿²¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ¢±¥µ ¬­®¦¥±²¢ ¯°®²¨¢®°¥·¨¢® (²® ¥±²¼ ² ª®£®

x 1. Œ­®¦¥±²¢ 

7

¬­®¦¥±²¢  ­¥²). —²®¡» ¨§¡¥¦ ²¼ ¯°®²¨¢®°¥·¨©, ²°¥¡³¾², ·²®¡» ½«¥¬¥­²» ¡»«¨ ®¯°¥¤¥«¥­» ° ­¼¸¥ ¬­®¦¥±²¢ . ‚ · ±²­®±²¨, ­¨ª ª®¥ ¬­®¦¥±²¢® ­¥ ¬®¦¥² ±®¤¥°¦ ²¼ ±¥¡¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ ½«¥¬¥­² . Ž¡»·­® ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ½«¥¬¥­²», ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ ­¥ª®²®°®¬³ ®±­®¢­®¬³ ¬­®¦¥±²¢³ U (®¡º¥¬«¾¹¥¬³ ¬­®¦¥±²¢³, ¬­®¦¥±²¢³ ¤®¯³±²¨¬»µ ½«¥¬¥­²®¢). Œ­®¦¥±²¢® U ´¨ª±¨°®¢ ­® ¨ «¨¡® ¿±­® ¨§ ª®­²¥ª±² , «¨¡® ¿¢­® ³ª §»¢ ¥²±¿.  ¯°¨¬¥°, ¢ ¯« ­¨¬¥²°¨¨ U | ½²® ¯«®±ª®±²¼, ¢ ±²¥°¥®¬¥²°¨¨ | ²°¥µ¬¥°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ¨ ².¤. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. …±«¨ ª ¦¤»© ½«¥¬¥­² ¬­®¦¥±²¢  X ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ Y , ²® £®¢®°¿², ·²® X ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ Y (  ² ª¦¥ | ·²® X | ¯®¤¬­®¦¥±²¢® Y , X | · ±²¼ Y , Y ±®¤¥°¦¨² X), ¨ ¯¨¸³² X  Y ¨«¨ Y  X. Œ­®¦¥±²¢  X ¨ Y ­ §»¢ ¾² ° ¢­»¬¨ ¨ ¯¨¸³² X = Y , ¥±«¨ ®­¨ ±®±²®¿² ¨§ ®¤­¨µ ¨ ²¥µ ¦¥ ½«¥¬¥­²®¢. „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, X = Y ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  X  Y ¨ Y  X. “¤®¡­® ¢¢¥±²¨ ¢ ° ±±¬®²°¥­¨¥ ¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® | ¬­®¦¥±²¢®, ¢ ª®²®°®¬ ­¥² ­¨ ®¤­®£® ½«¥¬¥­² . ³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ®¡®§­ · ¥²±¿ ±¨¬¢®«®¬ ?. ³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ «¾¡®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ Y , ² ª ª ª ¢ ­¥¬ ­¥² ­¨ ®¤­®£® ½«¥¬¥­² , ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¥£® Y . ¥±ª®«¼ª® ·¨±«®¢»µ ¬­®¦¥±²¢ ¨¬¥¾² ®¡¹¥¯°¨­¿²»¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿: N | ¬­®¦¥±²¢® ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« (­ ²³° «¼­»© °¿¤); Z+ | ¬­®¦¥±²¢® ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»µ ¶¥«»µ ·¨±¥«; Z| ¬­®¦¥±²¢® ¶¥«»µ ·¨±¥«; Q | ¬­®¦¥±²¢® ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«, ²® ¥±²¼ ¤°®¡¥© ¢¨¤  pq , £¤¥ p 2 Z, q 2 N; R | ¬­®¦¥±²¢® ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ (¤¥©±²¢¨²¥«¼­»µ) ·¨±¥«; C | ¬­®¦¥±²¢® ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«. …±«¨ P ¨ Q | ¤¢  ³²¢¥°¦¤¥­¨¿, ²® § ¯¨±¼ P ) Q ­ §»¢ ¥²±¿ ¨¬¯«¨ª ¶¨¥© ¨ ®§­ · ¥², ·²® ¥±«¨ ¢¥°­® P , ²® ¢¥°­® ¨ Q. ’ ª¦¥ £®¢®°¿², ·²® ¨§ P ±«¥¤³¥² Q, P ¢«¥·¥² Q, P ¤®±² ²®·­® ¤«¿ Q, Q ­¥®¡µ®¤¨¬® ¤«¿ P . ‡ ¯¨±¼ Q ( P ®§­ · ¥² ²® ¦¥ ± ¬®¥. …±«¨ P ) Q ¨ Q ) P , ²® £®¢®°¿², ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ P ¨ Q ° ¢­®±¨«¼­» (¨«¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­») ¨«¨ P ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­® ¤«¿ Q, ¨

8

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

¯¨¸³² P , Q. —¥°¥§ P ¨«¨ eP ®¡®§­ · ¥²±¿ ®²°¨¶ ­¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ P . „«¿ ±®ª° ¹¥­¨¿ § ¯¨±¨ ¡»¢ ¥² ³¤®¡­® ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ ¤¢  ±¯¥¶¨ «¼­»µ §­ ·ª , ­ §»¢ ¥¬»µ ª¢ ­²®° ¬¨: 8 | ª¢ ­²®° ®¡¹­®±²¨ (¨«¨ ª¢ ­²®° ¢±¥®¡¹­®±²¨ ); § ¬¥­¿¥² ±«®¢  \«¾¡®©", \¢±¿ª¨©", \ª ¦¤»©" ¨«¨ \¤«¿ «¾¡®£®", \¤«¿ ¢±¿ª®£®", \¤«¿ ª ¦¤®£®"; 9 | ª¢ ­²®° ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ; § ¬¥­¿¥² ±«®¢  \±³¹¥±²¢³¥²", \­ ©¤¥²±¿", \¬®¦­® ¯®¤®¡° ²¼". „¢®¥²®·¨¥ ¢ ´®°¬³« µ ± ª¢ ­²®° ¬¨ § ¬¥­¿¥² ±«®¢  \² ª®©, ·²®", ­® ¡³¤¥² ±² ¢¨²¼±¿ ­¥ ¢±¥£¤ .  ¯°¨¬¥°, ³²¢¥°¦¤¥­¨¿

9x : x > 0; x2 = 2;

9x > 0 : x2 = 2;

9x > 0 x2 = 2

®§­ · ¾² ®¤­® ¨ ²®¦¥ ¨ ·¨² ¾²±¿: \±³¹¥±²¢³¥² x, ² ª®¥ ·²® x ¡®«¼¸¥ ­³«¿ ¨ x-ª¢ ¤° ² ° ¢­® ¤¢³¬" ¨«¨ \±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ x, ª¢ ¤° ² ª®²®°®£® ° ¢¥­ ¤¢³¬". ”° §»

8x : x > 0; x < 2 x2 < 4;

8x > 0 : x < 2 x2 < 4

² ª¦¥ ®§­ · ¾² ®¤­® ¨ ²® ¦¥ ¨ ·¨² ¾²±¿: \¤«¿ «¾¡®£® x, ² ª®£® ·²® x ¡®«¼¸¥ ­³«¿ ¨ ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ, x-ª¢ ¤° ² ¬¥­¼¸¥ ·¥²»°¥µ" ¨«¨ \¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® x, ¬¥­¼¸¥£® ¤¢³µ, x-ª¢ ¤° ² ¬¥­¼¸¥ ·¥²»°¥µ" (  ­¥ \¤«¿ «¾¡®£® x ¡³¤¥² x ¡®«¼¸¥ ­³«¿, x ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ¨ x-ª¢ ¤° ² ¡®«¼¸¥ ·¥²»°¥µ" ¨ ­¥ \¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® x ¡³¤¥² x ¬¥­¼¸¥ ¤¢³µ ¨ x-ª¢ ¤° ² ¡®«¼¸¥ ·¥²»°¥µ"!) ¥ª®²®°»¥  ¢²®°» ¯°¥¤¯®·¨² ¾² § ¯¨±»¢ ²¼ ¯®±«¥¤­¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢ ¢¨¤¥

8x ((x > 0; x < 2) ) x2 < 4);

8x > 0 (x < 2 ) x2 < 4);

­® ¬» ¯°¥¤¯®·¨² ¥¬ § ¯¨±¼, ¯® ¢®§¬®¦­®±²¨ ¡«¨§ª³¾ ª ³±²­®© °¥·¨ ¨ ¬¥­¥¥ £°®¬®§¤ª³¾. ³±²¼ P (x) | ³²¢¥°¦¤¥­¨¥, § ¢¨±¿¹¥¥ ®² ¯ ° ¬¥²°  x 2 X. Ž²°¨¶ ­¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ \¤«¿ «¾¡®£® x ¢¥°­® P (x)" ®§­ · ¥², ·²® \±³¹¥±²¢³¥² x, ¤«¿ ª®²®°®£® P (x) ­¥¢¥°­®",   ®²°¨¶ ­¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ \¤«¿ ­¥ª®²®°®£® x ¢¥°­® P (x)" ®§­ · ¥², ·²® \¤«¿ «¾¡®£® x ­¥¢¥°­® P (x)":

8x 2 X P (x) , 9x 2 X P (x); 9x 2 X P (x) , 8x 2 X P (x):

x 1. Œ­®¦¥±²¢ 

9

ˆ² ª, ±¯° ¢¥¤«¨¢® ² ª®¥ ¯° ¢¨«® ®²°¨¶ ­¨¿ ³²¢¥°¦¤¥­¨©, ±®¤¥°¦ ¹¨µ ª¢ ­²®°»: ­³¦­® § ¬¥­¨²¼ ¢±¥ ª¢ ­²®°» ­  ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ¨ ± ¬®¥ ¯®±«¥¤­¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­  ¥£® ®²°¨¶ ­¨¥. Œ» ¡³¤¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ «®£¨·¥±ª®© ±¨¬¢®«¨ª®© ª ª ¢±¯®¬®£ ²¥«¼­®©, ­¥ ´®°¬ «¨§³¿ ¥¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¥. Œ­®¦¥±²¢® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ±¢®¨¬¨ ½«¥¬¥­² ¬¨, ¯®½²®¬³ ¡¥±±¬»±«¥­­® £®¢®°¨²¼, ·²® ª ª®©-²® ½«¥¬¥­² ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ ¢ ­¥±ª®«¼ª¨µ ½ª§¥¬¯«¿° µ, ¨«¨ ·²® ¬­®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨² ­¥±ª®«¼ª® ®¤¨­ ª®¢»µ ½«¥¬¥­²®¢. —²®¡» ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ­¥±ª®«¼ª® ½ª§¥¬¯«¿°®¢ ®¤­®£® ¨ ²®£® ¦¥ ½«¥¬¥­² , ¨±¯®«¼§³¾² ¯®­¿²¨¥ ±¥¬¥©±²¢ . ‘²°®£® £®¢®°¿, ±¥¬¥©±²¢® | ½²® ®²®¡° ¦¥­¨¥, ² ª ·²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±¥¬¥©±²¢  ¡³¤¥² ¤ ­® ¢ x 3. ‡¤¥±¼ ¬» ®¯¨¸¥¬ ¯®­¿²¨¥ ±¥¬¥©±²¢  ­¥´®°¬ «¼­®. ³±²¼ X ¨ A | ¬­®¦¥±²¢ , ¨ ­¥ª®²®°»¥ ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  X ±­ ¡¦¥­» (§ ­³¬¥°®¢ ­») §­ ·ª ¬¨ | ½«¥¬¥­² ¬¨ ¬­®¦¥±²¢  A (¨­¤¥ª± ¬¨). °¨ ½²®¬ ª ¦¤»© ¨­¤¥ª± ¨±¯®«¼§®¢ ­ °®¢­® ®¤¨­ ° §, ­® ½«¥¬¥­²» X ¬®£³² ¡»²¼ ±­ ¡¦¥­» ¡®«¥¥ ·¥¬ ®¤­¨¬ ¨­¤¥ª±®¬. ®±«¥¤­¥¥ ¨ ®§­ · ¥², ·²® ½«¥¬¥­²» X ¬®£³² ¯°¨±³²±²¢®¢ ²¼ ¢ ±¥¬¥©±²¢¥ ¢® ¬­®£¨µ ½ª§¥¬¯¿° µ. ‘¥¬¥©±²¢® ®¡®§­ · ¥²±¿ ² ª: fxg2A ¨«¨ (x )2A . ˆ­¤¥ª±  ¢ ½²®¬ ®¡®§­ ·¥­¨¨, ª ª £®¢®°¿², \­¥¬®©" ¨ ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¬¥­¥­ ¤°³£®© ¡³ª¢®©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ fX g2A | ±¥¬¥©±²¢® ¬­®¦¥±²¢. Ž¡º¥¤¨­¥­¨¥¬ ±¥¬¥©±²¢  fX g2A ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢, ª®²®°»¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ² µ®²¿ ¡» ®¤­®¬³ ¨§ ¬­®¦¥±²¢ X : [ X = fx : 9 2 A x 2 X g: 2A

…±«¨ ±¥¬¥©±²¢® ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ ¬­®¦¥±²¢ X ¨ Y , ¯¨¸³² X [ Y (­¥¢ ¦­®, ª ª ­³¬¥°®¢ ²¼ ¬­®¦¥±²¢ ). Ÿ±­®, ·²® (X [ Y ) [ Z = X [ (Y [ Z); X [ Y = Y [ X; X [ X = X [ ? = X: Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ fX g2A | ±¥¬¥©±²¢® ¬­®¦¥±²¢. ¥°¥±¥·¥­¨¥¬ ±¥¬¥©±²¢  fX g2A ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢, ª®²®°»¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ª ¦¤®¬³ ¨§ ¬­®¦¥±²¢ X : \ X = fx : 8 2 A x 2 X g: 2A

10

‚¢¥¤¥­¨¥

ƒ« ¢  1.

…±«¨ ±¥¬¥©±²¢® ±®±²®¨² ¨§ ¤¢³µ ¬­®¦¥±²¢ X ¨ Y , ¯¨¸³² X \ Y . Ÿ±­®, ·²® (X \Y )\Z = X \(Y \Z); X \Y = Y \X; X \X = X; X \? = ?: Š®£¤  ¬­®¦¥±²¢® ¨­¤¥ª±®¢ A ¥±²¼ f1; : : :; ng, ²® ¯¨¸³²

Sn X , k

k=1 1 1 S T Xk ,   ª®£¤  A = N, ²® Xk , Xk .  ±±¬ ²°¨¢ ¾² ² ª¦¥ k=1 k=1 k=1

Tn

®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¨ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ­¥ ±¥¬¥©±²¢ ,   ¬­®¦¥±²¢  ¬­®¦¥±²¢ ¢ ²®¬ ¦¥ ±¬»±«¥ (¢¯°®·¥¬, ¬®¦­® § ­³¬¥°®¢ ²¼ ª ¦¤®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ¨±¯®«¼§³¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ ¨­¤¥ª±  ± ¬® ¬­®¦¥±²¢®, ¨ ±¢¥±²¨ ¤¥«® ª ±«³· ¾ ±¥¬¥©±²¢ ). Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.  §­®±²¼¾ ¬­®¦¥±²¢ X ¨ Y ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢, ª®²®°»¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ² X, ­® ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ² Y : X n Y = fx : x 2 X; x 2= Y g: ‚ ½²®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­¥ ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿, ·²® Y  X. …±«¨ Y  X, ²® ° §­®±²¼ X n Y ­ §»¢ ¥²±¿ ¥¹¥ ¤®¯®«­¥­¨¥¬ ¬­®¦¥±²¢  Y ¤® ¬­®¦¥±²¢  X. „®¯®«­¥­¨¥ X ¤® ®±­®¢­®£® ¬­®¦¥±²¢  U ­ §»¢ ¥²±¿ ª®°®·¥ | ¤®¯®«­¥­¨¥¬ X | ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ X c (¨­®£¤  ² ª¦¥ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ®¡®§­ ·¥­¨¿ CX, X, X 0 ). ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¤®¯®«­¥­¨¥ X ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ½«¥¬¥­²®¢ ®±­®¢­®£® ¬­®¦¥±²¢ , ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ X. Ÿ±­®, ·²® ° ¢¥­±²¢® ¬­®¦¥±²¢ ° ¢­®±¨«¼­® ° ¢¥­±²¢³ ¨µ ¤®¯®«­¥­¨©, (X c )c = X, X [ X c = U, X \ X c = ?. ‘®®²­®¸¥­¨¿ X  Y , Y c  X c , X \ Y c = ? ¨ Y [ X c = U ° ¢­®±¨«¼­». ’¥®°¥¬  1. ‡ ª®­» ¤¥ Œ®°£ ­ . ³±²¼ fX g2A | ±¥¬¥©±²¢® ¬­®¦¥±²¢, Y | ¬­®¦¥±²¢®. ’®£¤  [ \ Y n X = (Y n X ); (1) Yn

2A

\

2A

X =

2A

[

(Y n X ):

2A

(2)

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§  ¨  «¥¢³¾ ¨ ¯° ¢³¾ · ±²¨ ° ¢¥­±²¢  (1). ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ° §­®±²¨ ±®®²­®¸¥­¨¥ x 2 

x 1. Œ­®¦¥±²¢ 

11

®§­ · ¥², ·²® x 2 Y ¨ x ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ®¡º¥¤¨­¥­¨¾ ¬­®¦¥±²¢ X . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ½²® §­ ·¨², ·²® x 2 Y ¨ x ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ­¨ ®¤­®¬³ ¨§ ¬­®¦¥±²¢ X , ²® ¥±²¼ x 2 Y n X ¯°¨ ¢±¥µ  2 A. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯®±«¥¤­¥¥ §­ ·¨², ·²® x 2 .  ¢¥­±²¢®  =  ¤®ª § ­®. ‘®®²­®¸¥­¨¥ (2) ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­®.  ’¥¬ ¦¥ ±¯®±®¡®¬ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ . ’¥®°¥¬  2. ³±²¼ fX g2A | ±¥¬¥©±²¢® ¬­®¦¥±²¢, Y | ¬­®¦¥±²¢®. ’®£¤ 

Y\ Y[

[ 2A

\

2A

X = X =

[

(Y \ X );

(3)

(Y [ X ):

(4)

2A

\

2A

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§  ¨  «¥¢³¾ ¨ ¯° ¢³¾ · ±²¼ ° ¢¥­±²¢  (3). ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ±®®²­®¸¥­¨¥ S x 2  ®§­ · ¥², ·²® x 2 Y ¨ x 2 X . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡º¥¤¨­¥2A ­¨¿ ½²® §­ ·¨², ·²® x 2 Y ¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ 0 2 A, ·²® x 2 X0 . „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ 0 2 A, ·²® x 2 Y \ X0 . ®±«¥¤­¥¥ ®§­ · ¥², ·²® x 2 .  ¢¥­±²¢®  =  ¤®ª § ­®. ‘®®²­®¸¥­¨¥ (4) ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­®.  “¯®°¿¤®·¥­­ ¿ ¯ °  | ½²® ¤¢³µ½«¥¬¥­²­®¥ ±¥¬¥©±²¢®, £¤¥ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¨­¤¥ª±®¢ ¿¢«¿¥²±¿ f1; 2g. °¨ ½²®¬ ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¨ ³¯®°¿¤®·¥­­®© ¯ °» (a; b) ±·¨² ¥²±¿, ·²® ­  ¯¥°¢®¬ ¬¥±²¥ ­ ¯¨± ­ ½«¥¬¥­², § ­³¬¥°®¢ ­­»© ¨­¤¥ª±®¬ 1,   ­  ¢²®°®¬ | ¨­¤¥ª±®¬ 2. ®°¿¤®ª ½«¥¬¥­²®¢ ³¤®¡­® ³ª §»¢ ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¨­¤¥ª± ¶¨¨: (x1; x2). ®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ½«¥¬¥­²» x1 ¨ x2 ¬®£³² ±®¢¯ ¤ ²¼ (¢ ®²«¨·¨¥ ®² ±«³· ¿ ­¥³¯®°¿¤®·¥­­®© ¯ °» | ¤¢³µ½«¥¬¥­²­®£® ¬­®¦¥±²¢  fx1; x2g: ¥±«¨ x1 = x2, ²® ½²® ®¤­®½«¥¬¥­²­®¥ ¬­®¦¥±²¢®), ¨ ·²® ¯®°¿¤®ª ½«¥¬¥­²®¢ ±³¹¥±²¢¥­¥­. ˆ­ ·¥ £®¢®°¿,  ¢¥­±²¢® ¯ ° (a; b) ¨ (c; d) ®§­ · ¥², ·²® a = c ¨ b = d. €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ³¯®°¿¤®·¥­­»© ­ ¡®° ¨§ m ½«¥¬¥­²®¢ (x1; : : :; xm ). «¥¬¥­²» ³¯®°¿¤®·¥­­®£® ­ ¡®°  ­ §»¢ ¾²±¿ ¥£® ª®®°¤¨­ ² ¬¨ ¨«¨ ª®¬¯®­¥­² ¬¨.

12

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. „¥ª °²®¢»¬ ¨«¨ ¯°¿¬»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¬­®¦¥±²¢ X ¨ Y ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¯ °, ² ª¨µ ·²® ¯¥°¢»© ½«¥¬¥­² ¯ °» ¯°¨­ ¤«¥¦¨² X,   ¢²®°®© | Y : X  Y = f(x; y) : x 2 X; y 2 Y g: ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®¡®¡¹ ¥²±¿ ­  ­¥±ª®«¼ª® ±®¬­®¦¨²¥«¥©: X1 


 Xm = f(x1 ; : : :; xm ) : xi 2 Xi ¯°¨ ¢±¥µ i = 1; : : :; mg: ®°¿¤®ª ±®¬­®¦¨²¥«¥© ±³¹¥±²¢¥­¥­; ¬®¦­® ±ª § ²¼, ·²® ¯°¿¬®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ¤«¿ ³¯®°¿¤®·¥­­®£® ­ ¡®°  ¬­®¦¥±²¢. …±«¨ X1 = : : : = Xm = X, ²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ®¡®§­ · ¾² ² ª¦¥ ·¥°¥§ X m ; ¢ · ±²­®±²¨, X 1 = X. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, X m | ½²® ¬­®¦¥±²¢® ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ­ ¡®°®¢ ¨§ m ½«¥¬¥­²®¢, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ ¬­®¦¥±²¢³ X. ‚ · ±²­®±²¨, Rm (·¨² ¥²±¿: \½°-½¬",   ­¥ \½° ¢ ±²¥¯¥­¨ ½¬") | ½²® ¬­®¦¥±²¢® ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ­ ¡®°®¢ ¨§ m ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«,   C m (\¶¥-½¬") | ¨§ m ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«. ’®·ª³ ¯°¿¬®© ¬®¦­® ®²®¦¤¥±²¢¨²¼ ± ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬ ·¨±«®¬, ²®·ª³ ¯«®±ª®±²¨ | ± ¯ °®©,   ²®·ª³ ¯°®±²° ­±²¢  | ± ²°®©ª®© ·¨±¥«, ±«³¦ ¹¨µ ¥¥ ª®®°¤¨­ ² ¬¨. ®½²®¬³ ¬­®¦¥±²¢® R1 = R ­ §»¢ ¾² ¯°¿¬®©, R2 | ¯«®±ª®±²¼¾,   R3 | ²°¥µ¬¥°­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬. ®  ­ «®£¨¨ ¬­®¦¥±²¢® Rm ­ §»¢ ¾² m-¬¥°­»¬ (¢¥¹¥±²¢¥­­»¬) ¯°®±²° ­±²¢®¬,   ¥£® ½«¥¬¥­²» | m-¬¥°­»¬¨ ²®·ª ¬¨ ¨«¨ ¢¥ª²®° ¬¨. ®±«¥¤­¨© ²¥°¬¨­ ®¡º¿±­¿¥²±¿ ²¥¬, ·²® ¨ ¢¥ª²®° ¬®¦­® ®²®¦¤¥±²¢¨²¼ ± ­ ¡®°®¬ ·¨±¥« | ¥£® ª®®°¤¨­ ².

x 2.

‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« 

—¨² ²¥«¾, ª®­¥·­®, §­ ª®¬» ¨§ ¸ª®«» ±¢®©±²¢  ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ (¤¥©±²¢¨²¥«¼­»µ) ·¨±¥«, µ®²¿ ·¥²ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥¹¥±²¢¥­­®£® ·¨±« , ±ª®°¥¥ ¢±¥£®, ­¥¨§¢¥±²­®. ‚ ½²®¬ ¯ ° £° ´¥ ¬» ®¯°¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥±²¢® ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª¨: ¬­®¦¥±²¢® R ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«, ¥±«¨ ¢»¯®«­¥­ ­¥ª®²®°»© ­ ¡®° ³±«®¢¨© ( ª±¨®¬). Œ­®¦¥±²¢® ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­® ¨ ª®­±²°³ª²¨¢­®, ²® ¥±²¼ ¯®±²°®¥­®: ± ¯®¬®¹¼¾ ¡¥±ª®­¥·­»µ ¤¥±¿²¨·­»µ ¤°®¡¥©, ¤¥¤¥ª¨­¤®¢»µ ±¥·¥­¨©, ´³­¤ ¬¥­² «¼­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¨«¨ ¨­»¬ ±¯®±®¡®¬. ®±²°®¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  R ¢ ½²®¬ ª³°±¥ ¯°®¢®¤¨²¼±¿ ­¥ ¡³¤¥².

x 2. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« 

13

„«¿ ³¤®¡±²¢  ° §®¡¼¥¬  ª±¨®¬», ª®²®°»µ ¢±¥£® ¸¥±²­ ¤¶ ²¼, ­  £°³¯¯». I. €ª±¨®¬» ¯®«¿. ‚ ¬­®¦¥±²¢¥ R ®¯°¥¤¥«¥­» ¤¢¥ ®¯¥° ¶¨¨, ­ §»¢ ¥¬»¥ ±«®¦¥­¨¥¬ ¨ ³¬­®¦¥­¨¥¬, ¤¥©±²¢³¾¹¨¥ ¨§ R R ¢ R ¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢ ¬. I.1. ‘®·¥² ²¥«¼­»© § ª®­ ( ±±®¶¨ ²¨¢­®±²¼) ±«®¦¥­¨¿: (x + y) + z = x + (y + z): I.2. ¥°¥¬¥±²¨²¥«¼­»© § ª®­ (ª®¬¬³² ²¨¢­®±²¼) ±«®¦¥­¨¿: x + y = y + x: I.3. ‘³¹¥±²¢³¥² ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«® ­³«¼ (0, ­¥©²° «¼­»© ½«¥¬¥­² ¯® ±«®¦¥­¨¾), ² ª®¥ ·²® x + 0 = x ¤«¿ ¢±¥µ x. I.4. „«¿ «¾¡®£® ·¨±«  x ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® x~, ·²® x+~x = 0 (½²® ·¨±«® x~ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¬ ·¨±«³ x ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ x). I.5. ‘®·¥² ²¥«¼­»© § ª®­ ( ±±®¶¨ ²¨¢­®±²¼) ³¬­®¦¥­¨¿: (xy)z = x(yz): I.6. ¥°¥¬¥±²¨²¥«¼­»© § ª®­ (ª®¬¬³² ²¨¢­®±²¼) ³¬­®¦¥­¨¿: xy = yx: I.7. ‘³¹¥±²¢³¥² ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«® ¥¤¨­¨¶  (1, ­¥©²° «¼­»© ½«¥¬¥­² ¯® ³¬­®¦¥­¨¾), ®²«¨·­®¥ ®² ­³«¿, ² ª®¥ ·²® x
1 = x ¤«¿ ¢±¥µ x. I.8. „«¿ «¾¡®£® ·¨±«  x, ®²«¨·­®£® ®² ­³«¿, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® x0, ·²® xx0 = 1 (½²® ·¨±«® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡° ²­»¬ ª x ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ x 1 ¨«¨ x1 ). I.9.  ±¯°¥¤¥«¨²¥«¼­»© § ª®­ (¤¨±²°¨¡³²¨¢­®±²¼): x(y + z) = xy + xz: Œ­®¦¥±²¢®, ¢ ª®²®°®¬ ®¯°¥¤¥«¥­» ¤¢¥ ®¯¥° ¶¨¨, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ±¢®©±²¢ ¬ I.1{I.9, ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«¥¬,   ± ¬¨ ±¢®©±²¢  I.1{ I.9 |  ª±¨®¬ ¬¨ ¯®«¿. €ª±¨®¬  I.4 ¯®§¢®«¿¥² ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¢»·¨² ­¨¥: x y = x+( y),    ª±¨®¬  I.8 | ¤¥«¥­¨¥ ­  «¾¡®¥ ·¨±«®, ®²«¨·­®¥ ®² ­³«¿: xy = x
y1 .

14

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

II. €ª±¨®¬» ¯®°¿¤ª . Œ¥¦¤³ ½«¥¬¥­² ¬¨ R ®¯°¥¤¥«¥­® ®²­®¸¥­¨¥ 6 ±® ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨. II.1. „«¿ «¾¡»µ x; y ¢¥°­® x 6 y ¨«¨ y 6 x. II.2. ’° ­§¨²¨¢­®±²¼: ¥±«¨ x 6 y ¨ y 6 z, ²® x 6 z. II.3. …±«¨ x 6 y ¨ y 6 x, ²® x = y. II.4. …±«¨ x 6 y, ²® x + z 6 y + z ¤«¿ «¾¡®£® z. II.5. …±«¨ 0 6 x ¨ 0 6 y, ²® 0 6 xy. ®«¥, ¢ ª®²®°®¬ ¢¢¥¤¥­® ®²­®¸¥­¨¥ ¯®°¿¤ª , ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¥¥ ±¢®©±²¢ ¬ II.1{II.5, ­ §»¢ ¥²±¿ ³¯®°¿¤®·¥­­»¬. „°³£¨¥ §­ ª¨ ­¥° ¢¥­±²¢ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ² ª:

a < b ®§­ · ¥², ·²® a 6 b ¨ a 6= b; a > b ®§­ · ¥², ·²® b 6 a; a > b ®§­ · ¥², ·²® b 6 a ¨ a 6= b: €ª±¨®¬» ¯®«¿ ¨ ¯®°¿¤ª  | ½²® ¯°¨¢»·­»¥ ±¢®©±²¢   °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨© ¨ ­¥° ¢¥­±²¢ ± ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬¨ ·¨±« ¬¨. „°³£¨¥ §­ ª®¬»¥ ±¢®©±²¢  (­ ¯°¨¬¥°, 0 < 1 ¨«¨ ( x)( y) = xy), ¯°¨  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ± ¯®¬®¹¼¾ ½²®© ±¨±²¥¬»  ª±¨®¬ ¿¢«¿¾²±¿ ²¥®°¥¬ ¬¨ ¨ ¬®£³² ¡»²¼ ¢»¢¥¤¥­» ¨§  ª±¨®¬. Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ¤®ª §»¢ ²¼ ¢±¥ ¯®¤®¡­»¥ ²¥®°¥¬» (½²® ±®¢±¥¬ ¯°®±²®, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ®±®§­ ­¨¿, ·²® ²®² ¨«¨ ¨­®© ´ ª² ²°¥¡³¥² ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ), ¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ¨µ ¤®ª § ­­»¬¨. Œ­®¦¥±²¢® ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ³¤®¡­® ¨§®¡° ¦ ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ·¨±«®¢®© ¯°¿¬®©,   ± ¬¨ ·¨±«  | ²®·ª ¬¨ ­  ½²®© ¯°¿¬®©. ®½²®¬³ ·¨±«  ­ §»¢ ¾² ¥¹¥ ¨ ²®·ª ¬¨.  «¨·¨¥ ¯®°¿¤ª  ¯®§¢®«¿¥² ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¯°®¬¥¦³²ª¨ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ R. ³±²¼ a; b 2 R. …±«¨ a 6 b, ²® ¬­®¦¥±²¢® [a; b] = fx 2 R : a 6 x 6 bg ­ §»¢ ¥²±¿ ®²°¥§ª®¬ ¨«¨ ±¥£¬¥­²®¬. …±«¨ a < b, ²® ¬­®¦¥±²¢® (a; b) = fx 2 R : a < x < bg ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­²¥°¢ «®¬,   ¬­®¦¥±²¢  [a; b) = fx 2 R : a 6 x < bg; (a; b] = fx 2 R : a < x 6 bg

x 2. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« 

15

| ¯®«³¨­²¥°¢ « ¬¨. °¨ a = b ®²°¥§®ª ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®© ½²®© ²®·ª¨ ¨ ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»°®¦¤¥­­»¬. Œ­®¦¥±²¢  [a; +1) = fx 2 R : a 6 xg; (a; +1) = fx 2 R : a < xg; ( 1; b] = fx 2 R : x 6 bg; ( 1; b) = fx 2 R : x < bg ­ §»¢ ¾²±¿ «³· ¬¨ (¯¥°¢®¥ ¨ ²°¥²¼¥ | § ¬ª­³²»¬ «³·®¬, ¢²®°®¥ ¨ ·¥²¢¥°²®¥ | ®²ª°»²»¬). ‚±¥ ¬­®¦¥±²¢® R ®¡®§­ · ¥²±¿ ¥¹¥ ( 1; +1). ‘¨¬¢®« ¬ 1 ¨ +1 ¢ ½²¨µ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ­¥ ¯°¨¯¨±»¢ ¥²±¿ ± ¬®±²®¿²¥«¼­®£® §­ ·¥­¨¿. —¥°¥§ ha; bi ®¡®§­ · ¥²±¿ ¯°®¬¥¦³²®ª «¾¡®£® ¨§ ·¥²»°¥µ ²¨¯®¢ ± ª®­¶ ¬¨ a ¨ b; ·¥°¥§ ha; b) | «¾¡®© ¨§ ¤¢³µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ (a; b) ¨ [a; b), ¨ ².¤. ®«®¦¨¬ ² ª¦¥ [a : b] = [a; b] \ Z. …±«¨ a; b 2 R,   ²®·ª  c ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¨­²¥°¢ «³ ± ª®­¶ ¬¨ a ¨ b, ²® £®¢®°¿², ·²® c «¥¦¨² ¬¥¦¤³ a ¨ b. Ž¡®§­ ·¨¬ ¥¹¥ ·¥°¥§ R+ ¬­®¦¥±²¢® ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»µ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«, ²® ¥±²¼ R+ = [ 0; +1). Œ­®¦¥±²¢® R = R[ f 1; +1g ­ §»¢ ¥²±¿ ° ±¸¨°¥­­®© ·¨±«®¢®© ¯°¿¬®©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ R ª ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬ ·¨±« ¬ ¤®¡ ¢«¿¾²±¿ ¤¢  ­®¢»µ ±¨¬¢®«  (­¥±®¡±²¢¥­­»µ ½«¥¬¥­² ): 1 ¨ +1. ‘·¨² ¾², ·²® 1 < x < +1 ¤«¿ «¾¡®£® x 2 R ¨ 1 < +1. ’®£¤  ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¯°®¬¥¦³²ª¨ ¢ R ¢¨¤  ha; +1] ¨«¨ [ 1; bi. ‘ ­¥±®¡±²¢¥­­»¬¨ ½«¥¬¥­² ¬¨ ¬®¦­® ±®¢¥°¸ ²¼ ­¥ª®²®°»¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿. „«¿ x 2 R ¯®« £ ¾² x + (+1) = (+1) + x = +1; x + ( 1) = ( 1) + x = 1;  +1; x > 0; x
(+1) = (+1)
x = ; x < 0;  1 1; x > 0; x
( 1) = ( 1)
x = +1; x < 0: Š°®¬¥ ²®£®, ¯®« £ ¾² (+1) + (+1) = +1; ( 1) + ( 1) = 1; (+1)
(+1) = ( 1)
( 1) = +1; (+1)
( 1) = ( 1)
(+1) = 1: ‘¨¬¢®« ¬ (+1) + ( 1), (+1) (+1), ( 1) ( 1), 0
(1) ¨ (1)
0 ­¥ ¯°¨¯¨±»¢ ¥²±¿ ­¨ª ª®£® §­ ·¥­¨¿.

16

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

III. €ª±¨®¬  €°µ¨¬¥¤ . Š ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ¯®«®¦¨²¥«¼-

­»¥ ·¨±«  nx > y.

x; y 2 R, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«® n, ·²®

“¯®°¿¤®·¥­­®¥ ¯®«¥, ¢ ª®²®°®¬ ¢»¯®«­¿¥²±¿  ª±¨®¬  €°µ¨¬¥¤ , ­ §»¢ ¥²±¿  °µ¨¬¥¤®¢»¬. ˆ§  ª±¨®¬» €°µ¨¬¥¤  ±«¥¤³¥², ·²® ±³¹¥±²¢³¾² ±ª®«¼ ³£®¤­® ¡®«¼¸¨¥ ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±« . ‘´®°¬³«¨°®¢ ­­»¥ ¯¿²­ ¤¶ ²¼  ª±¨®¬ ¥¹¥ ­¥ ®¯°¥¤¥«¿¾² ¬­®¦¥±²¢® ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ¯®«­®±²¼¾: ½²¨¬  ª±¨®¬ ¬ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥², ­ ¯°¨¬¥°, ¨ ¬­®¦¥±²¢® ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«. ®½²®¬³ ­¥®¡µ®¤¨¬® ¢¢¥±²¨ ¥¹¥ ª ª¨¥-²®  ª±¨®¬», ª®²®°»¥ ¯®§¢®«¨«¨ ¡» ° §«¨·¨²¼ ¬­®¦¥±²¢  R ¨ Q. „«¿ ½²®© ¶¥«¨ µ¢ ² ¥² ®¤­®©  ª±¨®¬»; ¥¥ ­ §»¢ ¾²  ª±¨®¬®© ¯®«­®²» ¨«¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨. ‘´®°¬³«¨°®¢ ²¼  ª±¨®¬³ ¯®«­®²» ¬®¦­® ° §­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨; ¬» ±¤¥« ¥¬ ½²® ¢ ¢¨¤¥  ª±¨®¬» ® ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª µ. “· ±²¢³¾¹¨© ¢ ¥¥ ´®°¬³«¨°®¢ª¥ ²¥°¬¨­ \¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼" ±²°®£® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¢ x 3. IV. €ª±¨®¬  Š ­²®°  ® ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª µ.

³±²¼ f[an; bn]g1 n=1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª®¢, ²® ¥±²¼ an 6 an+1 6 bn+1 6 bn ¤«¿ ¢±¥µ n 2 N. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ²®·ª , ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢±¥¬ ®²°¥§ª ¬ [an; bn], ²® ¥±²¼

1 \

[an; bn] 6= ?:

n=1

‚ ¬­®¦¥±²¢¥ Q ½²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿. °¨¢¥¤¥¬ ¯« ­ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ; ³ ·¨² ²¥«¿ ¯®¿¢¿²±¿ ¢±¥ ­¥®¡µ®¤¨¬»¥ ¤«¿ °¥ «¨§ ¶¨¨ ½²®£® ¯« ­  ±¢¥¤¥­¨¿ ¯®±«¥ ¯°®·²¥­¨¿ £« ¢» 2. ‘³¹¥±²¢³¾² ¨°° ¶¨®­ «¼­»¥ ·¨±« , ²® ¥±²¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« ,p ­¥ ¿¢«¿¾¹¨¥±¿ ° ¶¨®­ «¼­»¬¨, ¨, ¢ · ±²­®±²¨, ±³¹¥±²¢³¥² 2 p| ² ª®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® c, ·²® c2 = 2. ˆ°° ¶¨®­ «¼­®±²¼ 2 ·¨² ²¥«¾ ¨§¢¥±²­ .p ‚®§¼¬¥¬ ª ª®¥-­¨¡³¤¼ ¨°° ¶¨®­ «¼­®¥ ·¨±«® c (­ ¯°¨¬¥°, c = 2) ¨ ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ an ¤¥±¿²¨·­»¥ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ c ± ­¥¤®±² ²ª®¬,   ·¥°¥§ bn | ± ¨§¡»²ª®¬. ’®£¤  ¢

x 2. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« 

17

¬­®¦¥±²¢¥ R ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¢±¥µ ®²°¥§ª®¢ [an; bn] ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨ c,   ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ Q ®­® (²®·­¥¥, ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ®²°¥§ª®¢ ¢ Q: [an; bn] = fx 2 Q : an 6 x 6 bng) ¯³±²®, ² ª ª ª c ¨°° ¶¨®­ «¼­®. €ª±¨®¬  ® ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª µ | ±¯®±®¡ ¢»° §¨²¼, ·²® ¢¥¹¥±²¢¥­­ ¿ ¯°¿¬ ¿ \±¯«®¸­ ¿", ­  ­¥© ­¥² \¤»°®ª", ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ° ¶¨®­ «¼­®© ¯°¿¬®©, ¨¬¥¾¹¥© \¤»°ª³" ­  ª ¦¤®¬ ¬¥±²¥, ­  ª®²®°®¬ ¤®«¦­® ­ µ®¤¨²¼±¿ ¨°° ¶¨®­ «¼­®¥ ·¨±«®. ˆ§¢¥±²­»¥ ±¯®±®¡» ¯®±²°®¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ª ª ° § ¨ ±®±²®¿² ¢ ´®°¬ «¨§ ¶¨¨ ¯°®¶¥¤³°» \§ ¯®«­¥­¨¿ ¤»°®ª". ‚  ª±¨®¬¥ ±³¹¥±²¢¥­­®, ·²® °¥·¼ ¨¤¥² ¨¬¥­­® ®¡ ®²°¥§ª µ; ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¢«®¦¥­­»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ¤°³£®£® ²¨¯  ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ¯³±²»¬.  ¯°¨¬¥°, 1  1i 1 \ \ 0; n = ?; [n; +1) = ? n=1 n=1 (½²® «¥£ª® ±«¥¤³¥² ¨§  ª±¨®¬» €°µ¨¬¥¤ ). °¨  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ®¡º¥ª²  ¢®§­¨ª ¾² ²°¨ ¢®¯°®± : ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ±¨±²¥¬   ª±¨®¬ ­¥¯°®²¨¢®°¥·¨¢®© (²® ¥±²¼ ­¥ ±«¥¤³¾² «¨ ¨§ ­¥¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ­¥ª®²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¨ ¥£® ®²°¨¶ ­¨¥), ­¥§ ¢¨±¨¬®© (²® ¥±²¼ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ®¤­  ¨§  ª±¨®¬ ±«¥¤±²¢¨¥¬ ®±² «¼­»µ | ¨ ²®£¤  ¥¥ ¬®¦­® ³¤ «¨²¼) ¨ ¯®«­®© (²® ¥±²¼ ¥¤¨­±²¢¥­­»© «¨ ®¡º¥ª² ®¯¨±»¢ ¥²±¿ ±¨±²¥¬®©  ª±¨®¬). Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ®¡±³¦¤ ²¼ ½²¨ ¢®¯°®±» ¨ ¯°¨¬¥¬ ­  ¢¥°³, ·²® ¤«¿ ¯°¨¢¥¤¥­­®©  ª±¨®¬ ²¨ª¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ®²¢¥² ­  ­¨µ, ¯®±«¥ ­¥ª®²®°»µ ³²®·­¥­¨©, ¯®«®¦¨²¥«¥­. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ x 2 R. —¨±«®  x; jxj = x; xx <> 0; 0 ­ §»¢ ¥²±¿ ¬®¤³«¥¬ ¨«¨  ¡±®«¾²­®© ¢¥«¨·¨­®© ·¨±«  x. ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª¨ jxj ¥±²¼ ° ±±²®¿­¨¥ ®² ²®·ª¨ x ­  ·¨±«®¢®© ®±¨ ¤® ²®·ª¨ 0.  ¯®¬­¨¬ ¨§¢¥±²­»¥ ±¢®©±²¢  ¬®¤³«¿: jxj > 0; j xj = jxj; x 6 jxj; x jxj jxyj = jxjjyj; y = jyj ; y 6= 0; jxj jyj 6 jx  yj 6 jxj + jyj:

18

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

…±«¨ a > 0, ²® ­¥° ¢¥­±²¢® jxj < a ° ¢­®±¨«¼­® ¤¢®©­®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³ a < x < a. ƒ° ´¨ª ´³­ª¶¨¨ ¬®¤³«¼ ¨§®¡° ¦¥­ ­  °¨±³­ª¥ 1. y x

0 ¨±. 1

Š° ²ª® ±´®°¬³«¨°³¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ¯°®±²¥©¸¨¥ ±¢®©±²¢  ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«. ®¤°®¡­¥¥ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±«  ¨§³· ¾²±¿ ¢ ª³°±¥  «£¥¡°». Š®¬¯«¥ª±­®¥ ·¨±«® z | ½²® ³¯®°¿¤®·¥­­ ¿ ¯ °  ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« (x; y), ² ª ·²® ª ª ¬­®¦¥±²¢® C = R2. —²®¡» ¯®«³·¨²¼ ¯° ¢® ­ §»¢ ²¼ ½«¥¬¥­²» C ·¨±« ¬¨, ±«¥¤³¥² ®¯°¥¤¥«¨²¼  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨. ‘ª« ¤»¢ ¾²±¿ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±« , ª ª ¨ ¢¥ª²®° , ¯®ª®®°¤¨­ ²­® (±¬. °¨±³­®ª 2). z1 +z2 z2 z1 0 ¨±. 2

…±«¨ z1 = (x1; y1 ), z2 = (x2 ; y2), ²® z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2 ): ³«¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ ²®·ª  (0; 0),   ·¨±«®¬, ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¬ z, | ·¨±«® z = ( x; y). “¬­®¦¥­¨¥ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« § ¤ ¥²±¿ ´®°¬³«®© z1 z2 = (x1x2 y1 y2 ; x1y2 + x2y1 ): (5)

x 2. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« 

19

…¤¨­¨¶¥© ¿¢«¿¥²±¿ ²®·ª  (1; 0). ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±«  x ®²®¦¤¥±²¢«¿¾²±¿ ± ª®¬¯«¥ª±­»¬¨ ·¨±« ¬¨ ¢¨¤  (x; 0); ¯® ½²®¬³ ±®£« ¸¥­¨¾ R C . ’®·ª  i = (0; 1) ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­¨¬®© ¥¤¨­¨¶¥©,   ·¨±«  ¢¨¤  (0; y) | ¬­¨¬»¬¨ (·¨±²® ¬­¨¬»¬¨). ‚±¿ª®¥ ª®¬¯«¥ª±­®¥ ·¨±«® ¬®¦¥² ¡»²¼ § ¯¨± ­® ¢ ¢¨¤¥ z = (x; y) = x(1; 0) + y(0; 1) = x + iy (§¤¥±¼ ¯®¤ iy ¯®­¨¬ ¥²±¿ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢¥ª²®°  i ­  ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«® y).  ¢¥­±²¢® z = x + iy ­ §»¢ ¥²±¿  «£¥¡° ¨·¥±ª®© ´®°¬®© § ¯¨±¨ ª®¬¯«¥ª±­®£® ·¨±« . ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²® i2 = 1. “¬­®¦¥­¨¥ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ¯® ´®°¬³«¥ (5) ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¯¨± ­® ² ª: ­³¦­® ° ±ª°»²¼ ±ª®¡ª¨, ¯®«®¦¨²¼ i2 = 1 ¨ ¯°¨¢¥±²¨ ¯®¤®¡­»¥ ·«¥­». …±«¨ z 6= 0, ²® ®¡° ²­»¬ ª z ¿¢«¿¥²±¿ ·¨±«® 1 = x +i y : z x2 + y2 x2 + y2 ‹¥£ª® ¯°®¢¥°¿¥²±¿, ·²® ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±«  ®¡° §³¾² ¯®«¥. Ž¤­ ª®, ½²® ¯®«¥ ­¥³¯®°¿¤®·¥­­®¥. …±«¨ z = x+iy, x; y 2 R, ²® x ­ §»¢ ¾² ¢¥¹¥±²¢¥­­®© · ±²¼¾,   y | ¬­¨¬®© · ±²¼¾ z, ¨ ¯¨¸³² x = Re z, y = Imz. —¨±«® z = x iy ­ §»¢ ¥²±¿ ±®¯°¿¦¥­­»¬ ª z. ‚¨¤­®, ·²® Re z = z +2 z ; Im z = z 2i z ; z = z; z1  z2 = z1  z2 ; £¤¥  ®¡®§­ · ¥² ®¤­® ¨§ ·¥²»°¥µ  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨©. ¤³«¥¬ ·¨±«  z ­ §»¢ ¥²±¿ ¤«¨­  ®²¢¥· ¾¹¥£® ¥¬³ ¢¥ª²®° :

Ψ-

p

jz j = x2 + y2 : Œ®¤³«¼ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨:

jz1 z2j = jz1 jjz2j;

z jz j 1 = 1 ; z2 6= 0; z2 jz2j

jz j jz j 6 jz  z j 6 jz j + jz j; 1 2 1 2 1 2

zz = jz j2:

20

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

…±«¨ z 6= 0, ²® ³£®« ', ®²±·¨² ­­»© ®² ¢¥ª²®°  1 ¤® ¢¥ª²®°  z ¯°®²¨¢ · ±®¢®© ±²°¥«ª¨, ­ §»¢ ¥²±¿  °£³¬¥­²®¬ ·¨±«  z ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ arg z. €°£³¬¥­² ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ­¥ ®¤­®§­ ·­®,   ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ±« £ ¥¬®£®, ª° ²­®£® 2. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ §­ ·¥­¨©  °£³¬¥­²  z ®¡®§­ · ¾² Arg z,   ·¥°¥§ arg z ®¡®§­ · ¾² «¾¡®© ½«¥¬¥­² ½²®£® ¬­®¦¥±²¢ . Œ®¦­® ¤®¯®«­¨²¥«¼­® ¯®²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» arg z ¯°¨­ ¤«¥¦ « ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬³ ¯®«³¨­²¥°¢ «³ ¤«¨­» 2; ®¡»·­® ¤«¿ ½²®© ¶¥«¨ ¢»¡¨° ¾² ¯®«³¨­²¥°¢ « ( ; ] ¨«¨ [ 0; 2),   ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥ §­ ·¥­¨¥  °£³¬¥­²  ­ §»¢ ¾² £« ¢­»¬. —¨±«  r = jz j ¨ ' = arg z ­ §»¢ ¾²±¿ ¯®«¿°­»¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ ²®·ª¨ z = (x; y) ­  ¯«®±ª®±²¨ (±¬. °¨±³­®ª 3). y

z r

'

x

0 ¨±. 3

® ¨§¢¥±²­»¬ ´®°¬³« ¬ ¤«¿ ¯°¿¬®³£®«¼­®£® ²°¥³£®«¼­¨ª  x = r cos ';

y = r sin ':

®½²®¬³ z = r(cos ' + i sin ');

r = jz j; ' = arg z:

²® ° ¢¥­±²¢® ­ §»¢ ¥²±¿ ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª®© ´®°¬®© § ¯¨±¨ ª®¬¯«¥ª±­®£® ·¨±« . °¨ ¯¥°¥¬­®¦¥­¨¨ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ¨µ ¬®¤³«¨ ¯¥°¥¬­®¦ ¾²±¿,    °£³¬¥­²» ±ª« ¤»¢ ¾²±¿. ’®·­¥¥, ¥±«¨ '1 2 Arg z1 , '2 2 Arg z2 , ²® '1 + '2 2 Arg(z1 z2 ). ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª¨ ³¬­®¦¥­¨¥ ª®¬¯«¥ª±­®£® ·¨±«  z1 ­  ·¨±«® z2 , ¯® ¬®¤³«¾ ° ¢­®¥ 1, ®§­ · ¥²

x 2. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« 

21

¯®¢®°®² ¢¥ª²®°  z1 ­  ³£®« '2 ¯°®²¨¢ · ±®¢®© ±²°¥«ª¨. “¬­®¦¥­¨¥ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ¨§®¡° ¦¥­® ­  °¨±³­ª¥ 4. z1 z2

z2

z1 0

1

¨±. 4

‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ n 2 N, ' 2 Arg z, ²® n' 2 Arg z n . Ž²±¾¤  ¢»²¥ª ¥² ´®°¬³«  Œ³ ¢° : z n = rn(cos n' + i sin n'); ¢¥°­ ¿ ¤«¿ ¢±¥µ ¶¥«»µ n. °¨­¶¨¯®¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ ­ §»¢ ¾² ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. °¨­¶¨¯ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨. ³±²¼

¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨©. …±«¨ 1) P1 ¢¥°­®, 2) ¤«¿ «¾¡®£® n 2 N ¨§ Pn ±«¥¤³¥² Pn+1 , ²® Pn ¢¥°­® ¤«¿ ¢±¥µ n 2 N.

fPng1 n=1 |

“²¢¥°¦¤¥­¨¥ 1) ­ §»¢ ¥²±¿ ¡ §®© ¨­¤³ª¶¨¨,   ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ 2) | ¨­¤³ª¶¨®­­»¬ ¯¥°¥µ®¤®¬ ; ¯°¨ ½²®¬ Pn ­ §»¢ ¾² ¨­¤³ª¶¨®­­»¬ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥¬.

®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ¯°¨ ¯°®¢¥°ª¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 2) ­³¦­® ¤®ª §»¢ ²¼ ­¥ ¨±²¨­­®±²¼ Pn ,   ²®² ´ ª², ·²® ¨§ Pn ±«¥¤³¥² Pn+1. ˆ­®£¤  ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ±«¥¤³¾¹ ¿ ¬®¤¨´¨ª ¶¨¿ ¯°¨­¶¨¯  ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨. …±«¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨© fPng1 n=m § ¤ ­  ¤«¿ ¢±¥µ ¶¥«»µ n, ­¥ ¬¥­¼¸¨µ ­¥ª®²®°®£® ¶¥«®£®

22

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

·¨±«  m, ²® ¡ §®© ¨­¤³ª¶¨¨ ±«³¦¨² ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ Pm ,   ¨­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤ ¤¥« ¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ n > m. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¤®±² ²®·­® ¯°¨¬¥­¨²¼ ¯°¨­¶¨¯ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ ª ³²¢¥°¦¤¥­¨¿¬ Qn = Pn+m 1 , n 2 N. °¨  ª±¨®¬ ²¨·¥±ª®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¬­®¦¥±²¢  ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ¯°¨­¶¨¯ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ (¨«¨ ª ª®¥-­¨¡³¤¼ ¡«¨§ª®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥) ¯°¨­¨¬ ¥²±¿ §   ª±¨®¬³. Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ¯°¨¢®¤¨²¼  ª±¨®¬ ²¨ª³ N,   ®¯°¥¤¥«¨¬ N ª ª ¯®¤¬­®¦¥±²¢® R.  §³¬¥¥²±¿, ·²®¡» ­¥ ¯®¯ ±²¼ ¢ ¯®°®·­»© ª°³£, ¬­®¦¥±²¢® N ¤®«¦­® ¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­® ¤® ´®°¬³«¨°®¢®ª  ª±¨®¬ €°µ¨¬¥¤  ¨ Š ­²®° . Œ­®¦¥±²¢® M  R ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­¤³ª²¨¢­»¬, ¥±«¨ 1 2 M ¨ ¢¬¥±²¥ ± ª ¦¤»¬ ±¢®¨¬ ½«¥¬¥­²®¬ x ¬­®¦¥±²¢® M ±®¤¥°¦¨² ¨ ½«¥¬¥­² x + 1. ˆ­¤³ª²¨¢­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ±³¹¥±²¢³¾²: R | ¨­¤³ª²¨¢­®¥ ¬­®¦¥±²¢®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Œ­®¦¥±²¢®¬ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ­ §»¢ ¥²±¿ ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ¯® ¢ª«¾·¥­¨¾ ¨­¤³ª²¨¢­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® R. „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨,

N=

\

M R M ¨­¤³ª²¨¢­®

M:

(6)

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯° ¢ ¿ · ±²¼ ° ¢¥­±²¢  (6) ¿¢«¿¥²±¿ ¨­¤³ª²¨¢­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¨ ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ «¾¡®¬ ¨­¤³ª²¨¢­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥. °¨­¶¨¯ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥ £®° §¤® · ¹¥, ·¥¬ ¿¢­® ³¯®¬¨­ ¥²±¿. …±«¨ ¢ ª ª®¬-²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¨«¨ ° ±±³¦¤¥­¨¨ ¢±²°¥²¨«¨±¼ ±«®¢  \¨ ² ª ¤ «¥¥", \¯°®¤®«¦¨¬ ½²®² ¯°®¶¥±± ­¥®£° ­¨·¥­­®" ¨«¨ § ¬¥­¿¾¹¥¥ ¨µ ¬­®£®²®·¨¥ | ½²® ¢¥°­»© ¯°¨§­ ª ²®£®, ·²® ¯°¨ ´®°¬ «¼­®¬ ¨§«®¦¥­¨¨ ¤®«¦¥­ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯°¨­¶¨¯ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨. ¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ § ¯¨± ­­»¥ ­¨¦¥ \®¯°¥¤¥«¥­¨¿" ±³¬¬» ¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ­¥±ª®«¼ª¨µ ·¨±¥«, ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥, ®¯¨° ¾¹¨¥±¿ ­  ¨­¤³ª¶¨¾. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¯°¥¤³¯°¥¤¨¢ ·¨² ²¥«¿ ® ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­®© ¢®§¬®¦­®±²¨,   ¨­®£¤  ¨ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ ° ±¸¨´°®¢ª¨ ±«®¢ \¨ ² ª ¤ «¥¥", ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ § ­¨¬ ²¼±¿ ½²®© ° ±¸¨´°®¢ª®©. ‚ ª ·¥±²¢¥ ®¤­®£® ¨§ ¯°¨¬¥­¥­¨© ¬¥²®¤  ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ ¤®ª ¦¥¬ ´®°¬³«³ ¡¨­®¬  ¼¾²®­ . °¥¤¢ °¨²¥«¼­® ¢¢¥¤¥¬ °¿¤ ®¡®§­ ·¥­¨©.

x 2. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« 

23

…±«¨ m; n 2 Z, m 6 n, ²® ¯®« £ ¥¬ n X

k=m n Y

ak = am + : : : + an ; ak = am
: : :
an:

k=m Pn

…±«¨ m > n, ²® ±³¬¬ 

Qn

k=m

ak ±·¨² ¥²±¿ ° ¢­®© 0,   ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥

P

ak | ° ¢­»¬ 1. ‚ ¡®«¥¥ ®¡¹¥© ±¨²³ ¶¨¨ ±¨¬¢®« ¬¨ a k=mQ 2A ¨ a ®¡®§­ · ¾²±¿ ±³¬¬  ¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ª®­¥·­®£® ·¨±«®¢®£® 2A ±¥¬¥©±²¢  (²® ¥±²¼ ² ª®£®, ·²® ¬­®¦¥±²¢® ¨­¤¥ª±®¢ ª®­¥·­®). ˆ­¤¥ª±» k ¨  ¢ ½²¨µ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ \­¥¬»¥" ¨ ¬®£³² ¡»²¼ § ¬¥­¥­» n n P P ¤°³£¨¬¨ ¡³ª¢ ¬¨, ­ ¯°¨¬¥°: ak = aj . j =m k=m ‘«¥¤³¾¹¥¥ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ ­ §»¢ ¾² ±¤¢¨£®¬ ¨­¤¥ª±  ±³¬¬¨°®¢ ­¨¿: ¥±«¨ p 2 Z, ²® n X k=m

ak =

nX +p j =m+p

aj p :

‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ®¡¥¨µ · ±²¿µ ° ¢¥­±²¢  § ¯¨± ­  ±³¬¬  ·¨±¥« am ; : : :; an. …±«¨ n 2 N, ²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ n! = 1
: : :
n ­ §»¢ ¥²±¿ ´ ª²®°¨ «®¬ ·¨±«  n; ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ 0! = 1. —¨±«  Cnk = k! (nn! k)! ­ §»¢ ¾²±¿ ¡¨­®¬¨ «¼­»¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨, ¢  ­£«®¿§»·­®© «¨
²¥° ²³°¥ ®­¨ ®¡®§­ · ¾²±¿ nk . Ž²¬¥²¨¬, ·²® C00 = Cnn = 1;

Cn1 = Cnn 1 = n;

Cnk+1 = Cnk 1 + Cnk : „®£®¢®°¨¬±¿ ±·¨² ²¼ x0 = 1 ¯°¨ ¢±¥µ x, ¢ ²®¬ ·¨±«¥ ¯°¨ x = 0.

24

²®

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

’¥®°¥¬  1. ¨­®¬ ¼¾²®­ . …±«¨ n 2 Z+, x; y 2 R ¨«¨ C ,

(x + y)n =

n X

k=0

Cnk xk yn k :

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ n = 0 ¨ n = 1 ° ¢¥­±²¢® ®·¥¢¨¤­®; ¯°¨ n = 1 ®­® ±«³¦¨² ¡ §®© ¨­¤³ª¶¨¨. ‘¤¥« ¥¬ ¨­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤. ³±²¼ ´®°¬³«  ¢¥°­  ¤«¿ ­®¬¥°  n; ¤®ª ¦¥¬, ·²® ®­  ¢¥°­  ¨ ¤«¿ n + 1. ® ¨­¤³ª¶¨®­­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾

(x + y)n+1 = (x + y)(x + y)n = (x + y) =

n X k=0

Cnk xk+1yn k +

n X k=0

n X k=0

Cnk xk yn k =

Cnk xk yn+1 k :

‚ ¯¥°¢®© ±³¬¬¥ ±¤¢¨­¥¬ ¨­¤¥ª±: j = k + 1,   § ²¥¬ ¯¥°¥¨¬¥­³¥¬ j ¢ k ¨ ¯°¨¢¥¤¥¬ ¯®¤®¡­»¥ ·«¥­»: (x + y)n+1 = =

nX +1 j =1 nX +1

X Cnj 1xj yn+1 j + Cnk xk yn+1 k = n

Cnk 1xk yn+1 k +

k=0 n X

Cnk xk yn+1 k =

k=1 k=0 n X = Cnn xn+1y0 + (Cnk 1 + Cnk )xk yn+1 k + Cn0 x0yn+1 = k=1 n +1 xn+1y0 + X C k xk yn+1 k + C 0 x0yn+1 = = Cnn+1 n+1 n+1 k=1 nX +1 = Cnk+1xk yn+1 k ; k=0

·²® ¨ § ¢¥°¸ ¥² ¨­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤.

x 2. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±« 

25

 R ­ §»¢ ¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­»¬ ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® M 2 R, ·²® x 6 M ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E. —¨±«® M ¯°¨ ½²®¬ ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥© ¬­®¦¥±²¢  E. Œ­®¦¥±²¢® E  R ­ §»¢ ¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­»¬ ±­¨§³, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® m 2 R, ·²® x > m ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E. —¨±«® m ¯°¨ ½²®¬ ­ §»¢ ¥²±¿ ­¨¦­¥© £° ­¨¶¥© ¬­®¦¥±²¢  E. Œ­®¦¥±²¢® E  R ­ §»¢ ¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­»¬, ¥±«¨ ®­® ®£° ­¨·¥­® ¨ ±¢¥°µ³, ¨ ±­¨§³. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ M | ¢¥°µ­¿¿ £° ­¨¶  ¬­®¦¥±²¢  E, ²® ¢±¿ª®¥ ·¨±«®, ¡®«¼¸¥¥ M, | ²®¦¥ ¢¥°µ­¿¿ £° ­¨¶  ¬­®¦¥±²¢  E. …±«¨ m | ­¨¦­¿¿ £° ­¨¶  ¬­®¦¥±²¢  E, ²® ¢±¿ª®¥ ·¨±«®, ¬¥­¼¸¥¥ m, | ²®¦¥ ­¨¦­¿¿ £° ­¨¶  ¬­®¦¥±²¢  E. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. Ž£° ­¨·¥­­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  E ° ¢­®±¨«¼­  ¥£® \®£° ­¨·¥­­®±²¨ ¯® ¬®¤³«¾", ²® ¥±²¼ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¾ ² ª®£® ·¨±«  K, ·²® jxj 6 K ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E. „®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ jxj 6 K ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E, ²® K 6 x 6 K ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E, ¨ ¬®¦­® ¯®«®¦¨²¼ m = K, M = K. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ m 6 x 6 M ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E, ²® ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¢ ª ·¥±²¢¥ K ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨§ ·¨±¥« jmj ¨ jM j.  Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. —¨±«® M ­ §»¢ ¥²±¿ ¬ ª±¨¬³¬®¬ ¨«¨ ­ ¨¡®«¼¸¨¬ ½«¥¬¥­²®¬ ¬­®¦¥±²¢  E  R, ¥±«¨ M 2 E ¨ x 6 M ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E. —¨±«® m ­ §»¢ ¥²±¿ ¬¨­¨¬³¬®¬ ¨«¨ ­ ¨¬¥­¼¸¨¬ ½«¥¬¥­²®¬ ¬­®¦¥±²¢  E  R, ¥±«¨ m 2 E ¨ x > m ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E. Œ ª±¨¬³¬ ¨ ¬¨­¨¬³¬ ¬­®¦¥±²¢  E ®¡®§­ · ¾²±¿ maxE ¨ minE. Ÿ±­®, ·²® ¬ ª±¨¬³¬ ¬­®¦¥±²¢  ¿¢«¿¥²±¿ ¥£® ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥©,   ¬¨­¨¬³¬ | ­¨¦­¥© £° ­¨¶¥©. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ­¥ ¢±¿ª®¥, ¤ ¦¥ ®£° ­¨·¥­­®¥ ±¢¥°µ³ (±­¨§³), ¬­®¦¥±²¢® ¨¬¥¥² ¬ ª±¨¬³¬ (¬¨­¨¬³¬).  ¯°¨¬¥°, ¢ ¨­²¥°¢ «¥ (0; 1) ­¥² ­¨ ­ ¨¡®«¼¸¥£®, ­¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥£® ½«¥¬¥­² . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Œ­®¦¥±²¢® E

±¢¥°µ³,

’¥®°¥¬  2. ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¬ ª±¨¬³¬  ¨ ¬¨­¨¬³¬  ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢ . ‚® ¢±¿ª®¬ ª®­¥·­®¬ ¯®¤¬­®¦¥±²¢¥ R

¥±²¼ ­ ¨¡®«¼¸¨© ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¨© ½«¥¬¥­².

26

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

„®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°®¢¥¤¥¬ ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® ·¨±«³ n ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢ .  §  ¨­¤³ª¶¨¨ | ±«³· © n = 1: ¥±«¨ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ ¢±¥£® ®¤¨­ ½«¥¬¥­², ²® ®­ ¨ ­ ¨¡®«¼¸¨©, ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¨©. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ¨­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤ ¯°®¢¥¤¥¬ ¢ ±«³· ¥ ¬ ª±¨¬³¬ . ³±²¼ ¢±¿ª®¥ n-½«¥¬¥­²­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® R ¨¬¥¥² ¬ ª±¨¬³¬, E | (n + 1)-½«¥¬¥­²­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® R:

E = fx1; : : :; xn; xn+1g: Ž¡®§­ ·¨¬

c = maxfx1; : : :; xng: …±«¨ c 6 xn+1 , ²®, ®·¥¢¨¤­®, xn+1 = maxE,   ¥±«¨ c > xn , ²® c = maxE.  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. ‚® ¢±¿ª®¬ ­¥¯³±²®¬ ®£° ­¨·¥­­®¬ ±¢¥°µ³ (±­¨-

Z¥±²¼ ­ ¨¡®«¼¸¨© (­ ¨¬¥­¼¸¨©) ½«¥¬¥­². „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ E  Z, E = 6 ?, E ®£° ­¨·¥­® ±¢¥°µ³. ‚»¡¥°¥¬ ª ª®©-­¨¡³¤¼ ½«¥¬¥­² n0 2 E ¨ ¯®«®¦¨¬ E1 = fn 2 E : n > n0 g:

§³) ¯®¤¬­®¦¥±²¢¥

®±ª®«¼ª³ E ®£° ­¨·¥­® ±¢¥°µ³, ¬­®¦¥±²¢® E1 ª®­¥·­®: ¥±«¨ M | ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®, ±«³¦ ¹¥¥ ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥© E, ²® ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ E1 ­¥ ¡®«¥¥ M n0 + 1 ½«¥¬¥­²®¢. ® ²¥®°¥¬¥ 2 ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ E1 ¥±²¼ ­ ¨¡®«¼¸¨© ½«¥¬¥­²; ¿±­®, ·²® ®­ ¨ ¡³¤¥² ­ ¨¡®«¼¸¨¬ ½«¥¬¥­²®¬ E. ‘«³· © ®£° ­¨·¥­­®£® ±­¨§³ ¬­®¦¥±²¢  ° §¡¨° ¥²±¿  ­ «®£¨·­®.  ‘«¥¤±²¢¨¥ 2. ‚® ¢±¿ª®¬ ­¥¯³±²®¬ ¯®¤¬­®¦¥±²¢¥ ­ ¨¬¥­¼¸¨© ½«¥¬¥­².

N ¥±²¼

²® ±¢®©±²¢® ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«­®© ³¯®°¿¤®·¥­­®±²¼¾ ¬­®¦¥±²¢  N. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ x 2 R.  ¨¡®«¼¸¥¥ ¶¥«®¥ ·¨±«®, ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¿¹¥¥ x, ­ §»¢ ¥²±¿ ¶¥«®© · ±²¼¾ x ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ [x]. ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¶¥«®© · ±²¨ ®¡¥±¯¥·¨¢ ¥²±¿ ±«¥¤±²¢¨¥¬ 1, ¯®½²®¬³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª®°°¥ª²­®.

x 3. Ž²®¡° ¦¥­¨¿

27

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ˆ§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±«¥¤³¥², ·²®

[x] 6 x < [x] + 1;

x 1 < [x] 6 x:

Ž¡° ²­®, ¥±«¨ y 2 Z¨ x 1 < y 6 x, ²® y = [x]. ’¥®°¥¬  3. «®²­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«. ‚® ¢±¿ª®¬ ¨­²¥°¢ «¥ ¥±²¼ ° ¶¨®­ «¼­®¥ ·¨±«®.

³±²¼ a; b 2 R, a < b. ’®£¤  b 1 a > 0, ¨ ¯®  ª±¨®¬¥ €°µ¨¬¥¤  ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ n 2 N, ·²® n > b 1 a , ²® ¥±²¼ [na]+1 1 n < b a. ®«®¦¨¬ c = n . ’®£¤  c 2 Q ¨ „®ª § ²¥«¼±²¢®.

c 6 nan+ 1 = a + n1 < a + b a = b; c > na n1 + 1 = a; ²® ¥±²¼ c 2 (a; b).  ‘¢®©±²¢®, ¢»° ¦¥­­®¥ ¢ ²¥®°¥¬¥ 3, ­ §»¢ ¾² ¬­®¦¥±²¢  Q ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ R.

¯«®²­®±²¼¾

‘«¥¤±²¢¨¥ 3. ‚® ¢±¿ª®¬ ¨­²¥°¢ «¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®£® ° ¶¨-

®­ «¼­»µ ·¨±¥«.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ¨­²¥°¢ «¥ (a; b) ª®«¨·¥±²¢® ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« ª®­¥·­®. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ x1 ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ ¨§ ­¨µ. ’®£¤  ¢ ¨­²¥°¢ «¥ (a; x1) ­¥² ­¨ ®¤­®£® ° ¶¨®­ «¼­®£® ·¨±« , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ²¥®°¥¬¥ 3. 

x 3.

Ž²®¡° ¦¥­¨¿

³±²¼ X ¨ Y | ¬­®¦¥±²¢ . …±«¨ ª ¦¤®¬³ ½«¥¬¥­²³ x ¬­®¦¥±²¢  X ±®¯®±² ¢«¥­ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­­®¬³ ¯° ¢¨«³ f ®¤¨­ ½«¥¬¥­² y ¬­®¦¥±²¢  Y , ²® £®¢®°¿², ·²® § ¤ ­® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  X ¢ ¬­®¦¥±²¢® Y , ¨ ¯¨¸³² f: X ! Y ¨«¨ X f! Y:

28

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

²® ®¯¨± ­¨¥ ­¥«¼§¿ ±·¨² ²¼ ±²°®£¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ¯®­¿²¨¿ \®²®¡° ¦¥­¨¥", ² ª ª ª ®­® ±®¤¥°¦¨² ­¥ ¯®«³·¨¢¸¨¥ ¤® ±¨µ ¯®° ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯®­¿²¨¿ \¯° ¢¨«®" ¨ \±®¯®±² ¢«¥­". ˆ µ®²¿ ¬®¦­® ¤ ²¼ ±²°®£®¥ ´®°¬ «¼­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ­  ®±­®¢¥ ³¦¥ ¨§¢¥±²­®£® ¯®­¿²¨¿ ¬­®¦¥±²¢ , ­ ¬ ¡³¤¥² ³¤®¡­¥¥ ­¥ ¯°®¢®¤¨²¼ ½²³ ´®°¬ «¨§ ¶¨¾ ¨ ±·¨² ²¼ ¯®­¿²¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ­¥®¯°¥¤¥«¿¥¬»¬. Ž²®¡° ¦¥­¨¥ | ½²® ²°®©ª  ®¡º¥ª²®¢ (X; Y; f). …±«¨ ¨§ ª®­²¥ª±²  ¿±­®, ® ª ª¨µ ¬­®¦¥±²¢ µ X ¨ Y ¨¤¥² °¥·¼, ²® ³¯®¬¨­ ­¨¥ ® ­¨µ ®¯³±ª ¾², ³ª §»¢ ¾² ²®«¼ª® ¯®±«¥¤­¨© ½«¥¬¥­² ²°®©ª¨ | ¯° ¢¨«® f | ¨ £®¢®°¿² \®²®¡° ¦¥­¨¥ f". Œ­®¦¥±²¢® X ­ §»¢ ¾² ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¨«¨ ®¡« ±²¼¾ § ¤ ­¨¿,   ¬­®¦¥±²¢® Y | ®¡« ±²¼¾ §­ ·¥­¨© ¨«¨ ®¡« ±²¼¾ ¨§¬¥­¥­¨¿ ®²®¡° ¦¥­¨¿. ’®² ½«¥¬¥­² y 2 Y , ª®²®°»© ±®¯®±² ¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­²³ x 2 X ¯® ¯° ¢¨«³ f, ®¡®§­ · ¥²±¿ ·¥°¥§ f(x) ¨ ­ §»¢ ¥²±¿ §­ ·¥­¨¥¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ­  ½«¥¬¥­²¥ x ¨«¨ ®¡° §®¬ ½«¥¬¥­²  x. °¨ ½²®¬ x ­ §»¢ ¥²±¿  °£³¬¥­²®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¨«¨ ­¥§ ¢¨±¨¬®© ¯¥°¥¬¥­­®©,   y | §­ ·¥­¨¥¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¨«¨ § ¢¨±¨¬®© ¯¥°¥¬¥­­®©. ¨¸³² ² ª¦¥ x 7! f(x), x 2 X.  §³¬¥¥²±¿, ¢¬¥±²® x, y ¨ f ¬®£³² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¨ ¤°³£¨¥ ¡³ª¢». …±«¨ X ¨ Y | ·¨±«®¢»¥ ¬­®¦¥±²¢ , ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ­ §»¢ ¾² ´³­ª¶¨¥©. ²® ±®£« ¸¥­¨¥ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®¡¹¥¯°¨­¿²»¬: ¨­®£¤  ²¥°¬¨­ \´³­ª¶¨¿" ³¯®²°¥¡«¿¾² ¢ ²®¬ ¦¥ ±¬»±«¥, ·²® ¨ \®²®¡° ¦¥­¨¥",   ¨­®£¤  ´³­ª¶¨¥© ­ §»¢ ¾² ®²®¡° ¦¥­¨¥ ± ·¨±«®¢®© ®¡« ±²¼¾ §­ ·¥­¨©. ‚ ¯®±«¥¤­¥© ±¨²³ ¶¨¨ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ² ª¦¥ ²¥°¬¨­ ´³­ª¶¨®­ «.

°¨¢»·­¥¥ ¢±¥£®  ­ «¨²¨·¥±ª®¥ § ¤ ­¨¥ ´³­ª¶¨¨ (¯° ¢¨« ), ²® ¥±²¼ § ¤ ­¨¥ p ± ¯®¬®¹¼¾ ¿¢­®© ´®°¬³«», ­ ¯°¨¬¥°: f(x) = sin x ¨«¨ g(x) = 1 x2. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¥±²¥±²¢¥­­®© ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨ ­ §»¢ ¾² ¬­®¦¥±²¢® ²¥µ §­ ·¥­¨©  °£³¬¥­² , ¤«¿ ª®²®°»µ ´®°¬³«  ¨¬¥¥² ±¬»±«. ‡¤¥±¼ ¤«¿ f ½²® ¡³¤¥² ¯°¿¬ ¿ R,   ¤«¿ g | ®²°¥§®ª [ 1; 1]. ‚¬¥±²¥ ± ²¥¬, ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿, ·²® ´³­ª¶¨¿ § ¤ ­  ­  ¬¥­¼¸¥¬ ¬­®¦¥±²¢¥. ’ ª, ¯«®¹ ¤¼ ª¢ ¤° ²  ¿¢«¿¥²±¿ ´³­ª¶¨¥© S ¤«¨­» ¥£® ±²®°®­» a: S(a) = a2. ° ¢ ¿ · ±²¼ ½²®© ´®°¬³«» ¨¬¥¥² ±¬»±« ¤«¿ ¢±¥µ ·¨±¥« a, ­® ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿

x 3. Ž²®¡° ¦¥­¨¿

29

´³­ª¶¨¨ S ¡³¤¥² «¨¸¼ ¬­®¦¥±²¢® ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ ·¨±¥«. ®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ¬­®£®§­ ·­»µ ®²®¡° ¦¥­¨© ­¥ ¡»¢ ¥²: ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ ª ¦¤®¬³ ½«¥¬¥­²³ x 2 X p±®¯®±² ¢«¿¥²±¿ ®¤¨­ ½«¥¬¥­² y 2 Y , ² ª ·²® f ¢ § ¯¨±¨ f(x) =  x | ­¥ ´³­ª¶¨¿. …±«¨ ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  Y ¿¢«¿¾²±¿ ¬­®¦¥±²¢ ¬¨, ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ ±®¯®±² ¢«¿¥² ª ¦¤®¬³ x 2 X ¬­®¦¥±²¢®. ’ ª, ª ¦¤®¬³ x 2 R ¬®¦­® ¯®±² ¢¨²¼ ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬­®¦¥±²¢® F (x) ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ª®°­¥© ³° ¢­¥­¨¿ t2 = x ¨ ²¥¬ ± ¬»¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¥ F ¨§ R ¢ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ R. ’®£¤ 

8 f px; pxg; > < F (x) = > f0g; : ?;

x > 0; x = 0; x < 0:

’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ²¥°¬¨­» \¬­®£®§­ ·­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥" ¨ \¬­®£®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿" ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª¥, ­® ®­¨ ²°¥¡³¾² ·¥²ª¨µ ®¯°¥¤¥«¥­¨©, ¨±ª«¾· ¾¹¨µ ¢±¿ª¨© ¯°®¨§¢®« ¢ ¢»¡®°¥ §­ ·¥­¨©. ®ª  ­ ¬ ½²¨ ²¥°¬¨­» ­¥ ¯®­ ¤®¡¿²±¿, ­® ¢ ²¥®°¨¨ ´³­ª¶¨© ª®¬¯«¥ª±­®© ¯¥°¥¬¥­®© ®­¨ ¨£° ¾² ¢ ¦­³¾ °®«¼. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž²®¡° ¦¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« N ¢ ¬­®¦¥±²¢® Y ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ ¢ Y . …±«¨ Y | ·¨±«®¢®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­ §»¢ ¥²±¿ ·¨±«®¢®© (­ ¯°¨¬¥°, ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¨«¨ ª®¬¯«¥ª±­®©). ˆ² ª, ·¨±«®¢ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ | ½²® ´³­ª¶¨¿ ­ ²³° «¼­®£®  °£³¬¥­² . ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¡³¤¥² ®¡®§­ · ²¼±¿ ±¨¬¢®«®¬ fxng1 n=1 ¨«¨ ¯°®±²® fxng. ˆ­®£¤  ¢¬¥±²® ´¨£³°­»µ ±ª®¡®ª ¨±¯®«¼§³¾² ª°³£«»¥. ³ª¢  x ¢ ½²®© § ¯¨±¨ ®§­ · ¥² ¯° ¢¨«®, ª ª ° ­¼¸¥ f, ²®«¼ª® ¢¬¥±²® x(n) ¬» ¯¨¸¥¬ xn , § ¯¨±»¢ ¿  °£³¬¥­² ¢ ¢¨¤¥ ¨­¤¥ª± . ˆ­¤¥ª± n ­ §»¢ ¥²±¿ ¥¹¥ ­®¬¥°®¬. «¥¬¥­² xn ­ §»¢ ¥²±¿ n-¬ ·«¥­®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ‡ ¯¨±¼  °£³¬¥­²  ¢ ¢¨¤¥ ¨­¤¥ª±  ²¨¯¨·­  ¤«¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ­® ³¯®²°¥¡«¿¥²±¿ ¨ ¢ ¤°³£¨µ ±«³· ¿µ. ‘¥¬¥©±²¢® ffx gx2X ½«¥¬¥­²®¢ ¬­®¦¥±²¢  Y ¥±²¼ ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¨§ X ¢ Y ,   fx | ¤°³£®¥ ®¡®§­ ·¥­¨¥ ¤«¿ f(x). ˆ­¤¥ª± ¶¨¿ ¨ ®§­ · ¥² ±®¯®±² ¢«¥­¨¥ ª ¦¤®¬³ ¨­¤¥ª±³ x 2 X ½«¥¬¥­²  f(x) 2 Y .

30

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

— ±²® ²¥°¬¨­ \¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼" ³¯®²°¥¡«¿¾² ¢ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª®¬ ±¬»±«¥ ¨ ­ §»¢ ¾² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ ®²®¡° ¦¥­¨¥, § ¤ ­­®¥ ­  ­¥ª®²®°®¬ ¯®¤¬­®¦¥±²¢¥ ¬­®¦¥±²¢  Z¶¥«»µ ·¨±¥«. ’ ª, £®¢®°¿² ® ª®­¥·­®© ¨«¨ m-·«¥­­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (³¯®°¿¤®·¥­­®¬ ­ ¡®°¥) fxngmn=1 ,   ² ª¦¥ ® ¡¥±ª®­¥·­®© ¢ ®¡¥ ±²®°®­» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng1 n= 1. …±«¨ ­¥ ®£®¢®°¥­® ¯°®²¨¢­®¥, ¬» ¡³¤¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¯¥°¢®­ · «¼­»¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ¨ ±·¨² ²¼, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ § ¤ ­  ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«.  ¤ ´³­ª¶¨¿¬¨ f; g: X ! R ¨«¨ C (¢ · ±²­®±²¨, ·¨±«®¢»¬¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¿¬¨) ®¯°¥¤¥«¥­»  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨: f + g, f g, fg, cf (± | ·¨±«®).  ¯°¨¬¥°, ±³¬¬  f + g | ½²® ´³­ª¶¨¿, ¤¥©±²¢³¾¹ ¿ ¨§ X ¢ R ¨«¨ C ¯® ¯° ¢¨«³: (f + g)(x) = f(x) + g(x);

x 2 X:

…±«¨ ´³­ª¶¨¿ g ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­³«¼ ­  X, ²® ­  ¬­®¦¥±²¢¥ X ®¯°¥¤¥«¥­® ¨ · ±²­®¥ fg . ‚ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ · ±²­®£® ±«³¦¨² ¬­®¦¥±²¢® D = fx 2 X : g(x) 6= 0g. €­ «®£¨·­»© ±¬»±« ¯°¨¤ ¥²±¿ ±¨¬¢®« ¬ f 2 , jf j, maxff; gg, minff; gg ¨ ¤°³£¨¬ (¢ ¯®±«¥¤­¨µ ¤¢³µ ±«³· ¿µ ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ¢¥¹¥±²¢¥­­®§­ ·­»). ”³­ª¶¨¾, ®¯°¥¤¥«¥­­³¾ ­  ¯®¤¬­®¦¥±²¢¥ ¯°®±²° ­±²¢  Rm (¨«¨ C m ), ­ §»¢ ¾² ´³­ª¶¨¥© ­¥±ª®«¼ª¨µ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ (¨«¨ ª®¬¯«¥ª±­»µ) ¯¥°¥¬¥­­»µ. …±«¨ §­ ·¥­¨¿ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¯°¨­ ¤«¥¦ ² Rm ¨«¨ C m , ²® f ¥¹¥ ­ §»¢ ¾² ¢¥ª²®°-´³­ª¶¨¥©. …±«¨ f: X ! Y , Y  Rm (¨«¨ C m ), ²® ª ¦¤®¬³ ½«¥¬¥­²³ x 2 X ±®¯®±² ¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­² f(x) = (f1 (x); : : :; fm (x)) 2 Y . Ž²®¡° ¦¥­¨¥ fk : X ! R (¨«¨ C ), ª®²®°®¥ ª ¦¤®¬³ ½«¥¬¥­²³ x ±®¯®±² ¢«¿¥² ·¨±«® fk (x), ­ §»¢ ¾² k-© ª®®°¤¨­ ²­®© ´³­ª¶¨¥© ®²®¡° ¦¥­¨¿ f (k 2 [1 : m]) ¨ ¯¨¸³² f = (f1 ; : : :; fm ). Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X ! Y , A  X. Œ­®¦¥±²¢® f(A) = fy 2 Y : 9x 2 A f(x) = yg ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡° §®¬ ¬­®¦¥±²¢  A ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ f. Œ­®¦¥±²¢® f(X) | ®¡° § ¬­®¦¥±²¢  X | ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢®¬ §­ ·¥­¨© ®²®¡° ¦¥­¨¿ f.

x 3. Ž²®¡° ¦¥­¨¿

31

! Y , B  Y . Œ­®¦¥±²¢® f 1 (B) = fx 2 X : f(x) 2 B g

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X

­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®®¡° §®¬ ¬­®¦¥±²¢  B ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ f. “±«®¢¨¿ A  X ¨ B  Y ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿µ ®¡° §  ¨ ¯°®®¡° §  ®¯¨±»¢ ¾² ²¨¯¨·­»¥ ±¨²³ ¶¨¨, ­® ¨µ ¬®¦­® ¡¥§ ³¹¥°¡  ®¯³±²¨²¼, ² ª ª ª §­ ·¥­¨¿ f(x) ®¯°¥¤¥«¥­» ²®«¼ª® ¯°¨ x 2 X ¨ ¯°¨­ ¤«¥¦ ² Y . …±«¨ ¬­®¦¥±²¢® B ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨: B = fy0 g, ²® ¥£® ¯°®®¡° § ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ª®°­¥© ³° ¢­¥­¨¿ f(x) = y0 :

f 1 (fy0 g) = fx 2 X : f(x) = y0 g: ‚ ®¡®§­ ·¥­¨¨ ½²®£® ¯°®®¡° §  ´¨£³°­»¥ ±ª®¡ª¨ ¨­®£¤  ®¯³±ª ¾² ¨ ¯¨¸³² f 1 (y0 ). ˆ§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢¨¤­®, ·²® ¬» ° §«¨· ¥¬ ¬­®¦¥±²¢® §­ ·¥­¨© f(X) ¨ ®¡« ±²¼ §­ ·¥­¨© Y ®²®¡° ¦¥­¨¿ f: ¢±¥£¤  f(X)  Y , ­® ¬®¦¥² ¡»²¼ f(X) 6= Y . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X ! Y . …±«¨ f(X) = Y , ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ­ §»¢ ¥²±¿ ±¾°º¥ª²¨¢­»¬, ¨«¨ ±¾°º¥ª¶¨¥©, ¨«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬ \­ " (®²®¡° ¦¥­¨¥¬ X ­  Y ). „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ±¾°º¥ª²¨¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ®§­ · ¥², ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ y 2 Y ³° ¢­¥­¨¥ f(x) = y ¨¬¥¥² µ®²¿ ¡» ®¤­® °¥¸¥­¨¥ ¢ X. ®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ¯°¥¤«®£ \­ " ­¥±¥² ¤®¯®«­¨²¥«¼­³¾ ±¬»±«®¢³¾ ­ £°³§ª³: ¢»° ¦¥­¨¿ \®²®¡° ¦¥­¨¥ ¢ Y " ¨ \®²®¡° ¦¥­¨¥ ­  Y " ¨¬¥¾² ° §­»© ±¬»±«. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X ! Y . …±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ ° §«¨·­»µ ½«¥¬¥­²®¢ X ¨µ ®¡° §» ° §«¨·­», ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¨­º¥ª²¨¢­»¬, ¨«¨ ¨­º¥ª¶¨¥©, ¨«¨ ®¡° ²¨¬»¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, f ¨­º¥ª²¨¢­®, ¥±«¨ ¨§ ²®£®, ·²® x1; x2 2 X, x1 6= x2, ±«¥¤³¥², ·²® f(x1 ) 6= f(x2 ). „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¨­º¥ª²¨¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ®§­ · ¥², ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ y 2 Y ³° ¢­¥­¨¥ f(x) = y ¨¬¥¥² ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®£® °¥¸¥­¨¿ ¢ X.

32

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X ! Y . …±«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ®¤­®¢°¥¬¥­­® ±¾°º¥ª²¨¢­® ¨ ¨­º¥ª²¨¢­®, ²® f ­ §»¢ ¥²±¿ ¡¨¥ª²¨¢­»¬, ¨«¨ ¡¨¥ª¶¨¥©, ¨«¨ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­»¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬ (±®®²¢¥²±²¢¨¥¬). „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¡¨¥ª²¨¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ®§­ · ¥², ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ y 2 Y ³° ¢­¥­¨¥ f(x) = y ¨¬¥¥² °®¢­® ®¤­® °¥¸¥­¨¥ ¢ X. °¥¤³¯°¥¤¨¬ ·¨² ²¥«¿ ® ²®¬, ·²® ­¥ª®²®°»¥  ¢²®°» ¯°¨¤¥°¦¨¢ ¾²±¿ ¤°³£®© ²¥°¬¨­®«®£¨¨ ¨ ­ §»¢ ¾² ¡¨¥ª²¨¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ®¡° ²¨¬»¬¨,   ¨­º¥ª²¨¢­»¥ | ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­»¬¨ (¯°¨ ½²®¬ \¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥" ¢±¥-² ª¨ ®§­ · ¥² ¡¨¥ª¶¨¾). Ž²¬¥²¨¬, ·²® ±¢®©±²¢® ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¡»²¼ ±¾°º¥ª²¨¢­»¬, ¨­º¥ª²¨¢­»¬ ¨«¨ ¡¨¥ª²¨¢­»¬ § ¢¨±¨² ­¥ ²®«¼ª® ®² ¯° ¢¨«  f, ­® ¨ ®² ¬­®¦¥±²¢ X ¨ Y . °¨¬¥°. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f: X ! Y § ¤ ¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬ f(x) = x2. 1. …±«¨ X = Y = R, ²® f ­¥ ±¾°º¥ª²¨¢­  (² ª ª ª ­¥ ¯°¨­¨¬ ¥² ®²°¨¶ ²¥«¼­»µ §­ ·¥­¨©) ¨ ­¥ ¨­º¥ª²¨¢­  (² ª ª ª, ­ ¯°¨¬¥°, f( 1) = f(1) = 1). 2. …±«¨ X = R, Y = R+, ²® f ±¾°º¥ª²¨¢­ , ­® ­¥ ¨­º¥ª²¨¢­ . 3. …±«¨ X = R+, Y = R, ²® f ¨­º¥ª²¨¢­ , ­® ­¥ ±¾°º¥ª²¨¢­ . 4. …±«¨ X = Y = R+, ²® f ±¾°º¥ª²¨¢­  ¨ ¨­º¥ª²¨¢­ , ²® ¥±²¼ ¡¨¥ª²¨¢­ . Ÿ±­®, ·²® ¥±«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f: X ! Y ®¡° ²¨¬®, ²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ f: X ! f(X) ¡¨¥ª²¨¢­® (¬» ±®µ° ­¨«¨ ®¡®§­ ·¥­¨¥ f ¤«¿ ¯° ¢¨« ). Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X ! Y . ƒ° ´¨ª®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® f = f(x; y) : x 2 X; y = f(x)g:

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, f  X  Y . ‚ §­ ª®¬®© ¨§ ¸ª®«» ±¨²³ ¶¨¨, ª®£¤  f | ¢¥¹¥±²¢¥­­®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­­®©, £° ´¨ª f ¥±²¼ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¯«®±ª®±²¨. ƒ° ´¨ª ®²®¡° ¦¥­¨¿ ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢®¬: ¥±«¨ (x; y1), (x; y2 ) 2 f , ²® y1 = y2 .

x 3. Ž²®¡° ¦¥­¨¿

33

  ¯«®±ª®±²¨ ½²® ®§­ · ¥², ·²® ­¨ª ª ¿ ¢¥°²¨ª «¼­ ¿ ¯°¿¬ ¿ ­¥ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¤¢³µ ®¡¹¨µ ²®·¥ª ± £° ´¨ª®¬. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® G  X  Y ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾: ¥±«¨ (x; y1), (x; y2) 2 G, ²® y1 = y2 ,

(7)

²® G ¥±²¼ £° ´¨ª ­¥ª®²®°®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿. …£® ®¡« ±²¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±«³¦¨² ¬­®¦¥±²¢® E = fx 2 X : 9y 2 Y (x; y) 2 Gg;   ¯° ¢¨«® ² ª®¢®: ª ¦¤®¬³ x 2 E ±®¯®±² ¢«¿¥²±¿ ²®² (¥¤¨­±²¢¥­­»© ¢ ±¨«³ (7)) ½«¥¬¥­² y 2 Y , ¤«¿ ª®²®°®£® (x; y) 2 G. ³±²¼ f: X ! Y , f ®¡° ²¨¬®. ’®£¤  ¤«¿ «¾¡®£® y 2 f(X) ±³¹¥±²¢³¥² °®¢­® ®¤¨­ x 2 X, ² ª®© ·²® f(x) = y. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X ! Y , f ®¡° ²¨¬®. Ž²®¡° ¦¥­¨¥, ª®²®°®¥ ª ¦¤®¬³ y ¨§ ¬­®¦¥±²¢  f(X) ±®¯®±² ¢«¿¥² ²® (¥¤¨­±²¢¥­­®¥) §­ ·¥­¨¥ x ¨§ X, ¤«¿ ª®²®°®£® f(x) = y, ­ §»¢ ¥²±¿ ®¡° ²­»¬ ª f ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ f 1 . ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ° §º¿±­¿¥² ²¥°¬¨­ \®¡° ²¨¬®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥". ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, f 1 : f(X) ! X: Ž·¥¢¨¤­®, ·²® f 1 | ¡¨¥ª¶¨¿ ¬¥¦¤³ f(X) ¨ X. ‘®®²­®¸¥­¨¿ y = f(x) ¨ x = f 1 (y) ¤«¿ ®¡° ²¨¬®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ ° ¢­®±¨«¼­». ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ° ¢­®±¨«¼­» ±®®²­®¸¥­¨¿ (x; y) 2 f ¨ (y; x) 2 f 1 . „«¿ ´³­ª¶¨© ½²® §­ ·¨², ·²® £° ´¨ª¨ ®¡° ²¨¬®© ´³­ª¶¨¨ ¨ ®¡° ²­®© ª ­¥© ±¨¬¬¥²°¨·­» ®²­®±¨²¥«¼­® ¯°¿¬®© y = x (°¨±³­®ª 5). …±«¨ f | ¡¨¥ª¶¨¿, ²® ®¡° ²­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ª f 1 ¥±²¼ f. Ž¡®§­ ·¥­¨¥ f 1 (B) ²¥¯¥°¼ ¯®«³·¨«®±¼ ¤¢³±¬»±«¥­­»¬: ± ®¤­®© ±²®°®­», ² ª ®¡®§­ · ¥²±¿ ¯°®®¡° § ¬­®¦¥±²¢  B ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ f,   ± ¤°³£®© ±²®°®­», ¥±«¨ f ®¡° ²¨¬®, | ®¡° § ¬­®¦¥±²¢  B ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ f 1 . ²® ° §­®·²¥­¨¥ ­¥ ¯°¨¢®¤¨² ª

34

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

¯³² ­¨¶¥: ·¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ¢ ±«³· ¥ ®¡° ²¨¬®±²¨ f ½²¨ ¤¢  ¬­®¦¥±²¢  ±®¢¯ ¤ ¾². y

0

x

¨±. 5

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X ! Y , g: Y0 ! Z, f(X)  Y0 . Ž²®¡° ¦¥­¨¥ h: X ! Z, ¤¥©±²¢³¾¹¥¥ ¯® ¯° ¢¨«³ h(x) = g(f(x)); x 2 X; ­ §»¢ ¥²±¿ ª®¬¯®§¨¶¨¥© ¨«¨ ±³¯¥°¯®§¨¶¨¥© ®²®¡° ¦¥­¨© f ¨ g,   ² ª¦¥ ±«®¦­»¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬, ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ g  f. °¨ ½²®¬ g ­ §»¢ ¥²±¿ ¢­¥¸­¨¬,   f | ¢­³²°¥­­¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬. ˆ² ª, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ (g  f)(x) = g(f(x)). „«¿ ²®£®, ·²®¡» ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¡»«  ®¯°¥¤¥«¥­  ­  ¬­®¦¥±²¢¥ X, ²°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ¬­®¦¥±²¢® §­ ·¥­¨© ¢­³²°¥­­¥£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ ±®¤¥°¦ «®±¼ ¢ ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢­¥¸­¥£®. ˆ­®£¤  ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ½²®£® ­¥ ²°¥¡³¾², ¨ ²®£¤  ª®¬¯®§¨¶¨¿ ®ª §»¢ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ f 1 (Y0 ). Ž²¬¥²¨¬, ·²®, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, g  f 6= f  g, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ®¡¥ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ®¯°¥¤¥«¥­». Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž²®¡° ¦¥­¨¥ idX : X ! X, ª®²®°®¥ ª ¦¤®¬³ ½«¥¬¥­²³ ¬­®¦¥±²¢  X ±®¯®±² ¢«¿¥² ± ¬ ½²®² ½«¥¬¥­², ­ §»¢ ¥²±¿ ²®¦¤¥±²¢¥­­»¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥¬ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ X. …±«¨ f ®¡° ²¨¬®, ²® ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡° ²­®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ f 1  f = idX ; f  f 1 = idf (X ) :

x 4. ‘·¥²­»¥ ¬­®¦¥±²¢ 

35

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: X ! Y , X0  X. Ž²®¡° ¦¥­¨¥, ª®²®°®¥ ª ¦¤®¬³ ½«¥¬¥­²³ x ¬­®¦¥±²¢  X0 ±®¯®±² ¢«¿¥² §­ ·¥­¨¥ f(x), ­ §»¢ ¥²±¿ ±³¦¥­¨¥¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ­  ¬­®¦¥±²¢® X0 ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ f jX0 . …±«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ g ¥±²¼ ±³¦¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f, ²® f ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¤®«¦¥­¨¥¬ , ° ±¯°®±²° ­¥­¨¥¬ ¨«¨ ° ±¸¨°¥­¨¥¬ g. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ±³¦¥­¨¿ ¯° ¢¨«® ¨ ®¡« ±²¼ §­ ·¥­¨© ®±² ¾²±¿ ²¥¬¨ ¦¥ ± ¬»¬¨,   ¬¥­¿¥²±¿ ²®«¼ª® ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿: f jX0 : X0 ! Y . Ÿ±­®, ·²® ±³¦¥­¨¥ ¥¤¨­±²¢¥­­®,   ¯°®¤®«¦¥­¨¥ | ­¥². …±«¨ D  X, f: D ! Y , ²® ¯¨¸³² ª®°®·¥: f: D  X ! Y . …±«¨ ¦¥ ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ±®¤¥°¦¨² ¬­®¦¥±²¢® D, ²® £®¢®°¿², ·²® f § ¤ ­® ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D.

x 4.

‘·¥²­»¥ ¬­®¦¥±²¢ 

³±²¼ ¤ ­» ¤¢  ª®­¥·­»µ ¬­®¦¥±²¢ . Š ª ³§­ ²¼, ®¤¨­ ª®¢® «¨ ·¨±«® ½«¥¬¥­²®¢ ¢ ­¨µ? ‘ ®¤­®© ±²®°®­», ¬®¦­® ¯°®±²® ¯¥°¥±·¨² ²¼ ½«¥¬¥­²» ¨ ±° ¢­¨²¼ ¯®«³·¨¢¸¨¥±¿ ¢ °¥§³«¼² ²¥ ·¨±« . ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¥±«¨ ¢ ¬­®¦¥±²¢ µ ®¤¨­ ª®¢®¥ ·¨±«® ½«¥¬¥­²®¢, ²® ¬®¦­® ³±² ­®¢¨²¼ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥. ‚¥°­® ¨ ®¡° ²­®¥: ¥±«¨ ¬¥¦¤³ ¬­®¦¥±²¢ ¬¨ ¬®¦­® ³±² ­®¢¨²¼ ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥, ²® ·¨±«® ½«¥¬¥­²®¢ ¢ ­¨µ ®¤¨­ ª®¢®. ‚²®°®© ±¯®±®¡, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ¯¥°¢®£®, ¯°¨¬¥­¨¬ ¨ ª ¡¥±ª®­¥·­»¬ ¬­®¦¥±²¢ ¬. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Œ­®¦¥±²¢  A ¨ B ­ §»¢ ¾² ½ª¢¨¢ «¥­²­»¬¨ ¨«¨ ° ¢­®¬®¹­»¬¨ ¨ ¯¨¸³² A  B, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¡¨¥ª¶¨¿ ': A ! B. „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨: ¤¢  ¬­®¦¥±²¢  ­ §»¢ ¾²±¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­»¬¨, ¥±«¨ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨ ¬®¦­® ³±² ­®¢¨²¼ ¢§ ¨¬­®®¤­®§­ ·­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥. °¨¬¥°». 1. °®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ±²®°®­» ¯°¿¬®³£®«¼­¨ª , ®·¥¢¨¤­®, ° ¢­®¬®¹­»: ¤°³£ ¤°³£³ ±®¯®±² ¢«¿¾²±¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ²®·ª¨. 2. ƒ¨¯®²¥­³§  ¨ ª ²¥² ¯°¿¬®³£®«¼­®£® ²°¥³£®«¼­¨ª  ² ª¦¥ ° ¢­®¬®¹­», µ®²¿ ¨ ¨¬¥¾² ° §­»¥ ¤«¨­»: ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­»¬ ±®®²¢¥²±²¢¨¥¬ ¡³¤¥² ¯°®¥ª¶¨¿ £¨¯®²¥­³§» ­  ª ²¥² (°¨±³­®ª 6).

36

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

3. ‹¾¡»¥ ¤¢  ­¥¢»°®¦¤¥­­»µ ®²°¥§ª  [a; b] ¨ [c; d] ° ¢­®¬®¹­»: ®¤­  ¨§ ¡¨¥ª¶¨© § ¤ ¥²±¿ ´®°¬³«®© y = xb aa d + bb xa c: ²  ¦¥ ´®°¬³«  § ¤ ¥² ¡¨¥ª¶¨¾ ¨­²¥°¢ «®¢ (a; b) ¨ (c; d) (°¨±³­®ª 7). y

d c 0

a

¨±. 6

b x ¨±. 7

4. Š®­¶¥­²°¨·¥±ª¨¥ ®ª°³¦­®±²¨ ° ¢­®¬®¹­»: ¤°³£ ¤°³£³ ±®¯®±² ¢«¿¾²±¿ ²®·ª¨, «¥¦ ¹¨¥ ­  ®¤­®¬ «³·¥, ¢»µ®¤¿¹¥¬ ¨§ ¶¥­²° . 5. ˆ­²¥°¢ « ( 1; 1) ° ¢­®¬®¹¥­ R: ®¤­  ¨§ ¡¨¥ª¶¨© § ¤ ¥²±¿ ´®°¬³«®© y = 1 xjxj . 6. Žª°³¦­®±²¼ ¡¥§ ²®·ª¨ ¨ ¯°¿¬ ¿ ° ¢­®¬®¹­». ‚§ ¨¬­®®¤­®§­ ·­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥, ¨§®¡° ¦¥­­®¥ ­  °¨±³­ª¥ 8, ­ §»¢ ¥²±¿ ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª®© ¯°®¥ª¶¨¥©.

A1

N B1

A

B ¨±. 8

ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢ ¿¢«¿¥²±¿ · ±²­»¬ ±«³· ¥¬ ®¡¹¥£® ¯®­¿²¨¿ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨, ª®²®°®¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ² ª.

x 4. ‘·¥²­»¥ ¬­®¦¥±²¢ 

37

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž²­®¸¥­¨¥  ¬¥¦¤³ ½«¥¬¥­² ¬¨ ­¥ª®²®°®£® ¬­®¦¥±²¢  ­ §»¢ ¥²±¿ ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨, ¥±«¨ ®­® ®¡« ¤ ¥² ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ²°¥¬¿ ±¢®©±²¢ ¬¨. 1. ¥´«¥ª±¨¢­®±²¼: A  A. 2. ‘¨¬¬¥²°¨·­®±²¼: ¥±«¨ A  B, ²® B  A. 3. ’° ­§¨²¨¢­®±²¼: ¥±«¨ A  B ¨ B  C, ²® A  C. °¨¬¥° ¬¨ ®²­®¸¥­¨© ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ ±«³¦ ² ° ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª®¢, ¯®¤®¡¨¥ ²°¥³£®«¼­¨ª®¢, ¯ ° ««¥«¼­®±²¼ ¯°¿¬»µ (¥±«¨ ¤®£®¢®°¨²¼±¿ ±·¨² ²¼ ¯°¿¬³¾ ¯ ° ««¥«¼­®© ± ¬®© ±¥¡¥). ‡ ¬¥· ­¨¥ 1.  ¢­®¬®¹­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢ ¿¢«¿¥²±¿ ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ’ ª ª ª idA | ¡¨¥ª¶¨¿ ¬­®¦¥±²¢  A ­  ±¥¡¿, ²® A  A. …±«¨ ': A ! B | ¡¨¥ª¶¨¿, ²® ' 1 : B ! A | ²®¦¥ ¡¨¥ª¶¨¿, ¯®½²®¬³ ¨§ ²®£®, ·²® A  B, ±«¥¤³¥², ·²® B  A. …±«¨ ': A ! B ¨ : B ! C | ¡¨¥ª¶¨¨, ²®  ': A ! C | ²®¦¥ ¡¨¥ª¶¨¿, ¯®½²®¬³ ¨§ ²®£®, ·²® A  B ¨ B  C ±«¥¤³¥², ·²® A  C.  Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Œ­®¦¥±²¢® ­ §»¢ ¥²±¿ ±·¥²­»¬ , ¥±«¨ ®­® ½ª¢¨¢ «¥­²­® ¬­®¦¥±²¢³ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬­®¦¥±²¢® A ±·¥²­®, ¥±«¨ ¥£® ½«¥¬¥­²» ¬®¦­® ° ±¯®«®¦¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨:

A = fa1 ; a2; a3; a4; a5; : : : g; ²® ¥±²¼ § ­³¬¥°®¢ ²¼ ­ ²³° «¼­»¬¨ ·¨±« ¬¨ ² ª, ·²® ª ¦¤»© ½«¥¬¥­² ¡³¤¥² § ­³¬¥°®¢ ­ °®¢­® ®¤¨­ ° § ¨ ¯°¨ ½²®¬ ¡³¤¥² ¨§° ±µ®¤®¢ ­ ¢¥±¼ ­ ²³° «¼­»© °¿¤. °¨¬¥°». 1. Œ­®¦¥±²¢® A = f2; 4; 6; 8; 10; : : : g ¢±¥µ ·¥²­»µ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ±·¥²­®. ¨¥ª¶¨¿: an = 2n. 2. Œ­®¦¥±²¢® A = f1; 4; 9; 16; 25; : : : g ¢±¥µ ª¢ ¤° ²®¢ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« ±·¥²­®. ¨¥ª¶¨¿: an = n2 .

38

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

3. Œ­®¦¥±²¢® ¶¥«»µ ·¨±¥«

Z= f0; 1; 1; 2; 2; : : : g ±·¥²­®. ³¬¥° ¶¨¿ ¢ ³ª § ­­®¬ ¯®°¿¤ª¥ § ¤ ¥²±¿ ´®°¬³« ¬¨ a2n 1 = n 1, a2n = n. ’¥®°¥¬  1. ‚±¿ª®¥ ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨² ±·¥²­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¬­®¦¥±²¢® A ¡¥±ª®­¥·­®. ’®£¤  ¢ ­¥¬ ¥±²¼ ½«¥¬¥­² a1. Œ­®¦¥±²¢® A nfa1 g ¡¥±ª®­¥·­®, ¯®½²®¬³ ¢ ­¥¬ ¥±²¼ ½«¥¬¥­² a2 . Œ­®¦¥±²¢® A n fa1 ; a2g ² ª¦¥ ¡¥±ª®­¥·­®, ¯®½²®¬³ ¢ ­¥¬ ¥±²¼ ½«¥¬¥­² a3 . ‚¢¨¤³ ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢  A ½²®² ¯°®¶¥±± ­¥ ®¡®°¢¥²±¿ ­¨ ­  ª ª®¬ ¸ £¥; ¯°®¤®«¦ ¿ ¥£® ¨ ¤ «¥¥, ¯®«³·¨¬ ¬­®¦¥±²¢® B = fa1 ; a2; a3; : : : g, ª®²®°®¥ ¯® ¯®±²°®¥­¨¾ ¡³¤¥² ±·¥²­»¬ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®¬ A. 

’¥®°¥¬  2. ‚±¿ª®¥ ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ±·¥²­®£® ¬­®¦¥±²¢  ±·¥²­®: ¥±«¨ A ±·¥²­®, B  A ¨ B ¡¥±ª®­¥·­®, ²® B ±·¥²­®. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

²¥«¼­®±²¨:

 ±¯®«®¦¨¬ ½«¥¬¥­²» A ¢ ¢¨¤¥ ¯®±«¥¤®¢ -

A = fa1 ; a2; a3; a4; a5; : : : g: ³¤¥¬ ­³¬¥°®¢ ²¼ ½«¥¬¥­²» B ¢ ¯®°¿¤ª¥ ¨µ ¯®¿¢«¥­¨¿ ¢ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ’¥¬ ± ¬»¬ ª ¦¤»© ½«¥¬¥­² B ¡³¤¥² § ­³¬¥°®¢ ­ °®¢­® ®¤¨­ ° § ¨, ² ª ª ª ¬­®¦¥±²¢® B ¡¥±ª®­¥·­®, ¤«¿ ­³¬¥° ¶¨¨ ¡³¤¥² ¨±¯®«¼§®¢ ­ ¢¥±¼ ­ ²³° «¼­»© °¿¤.  ’¥®°¥¬» 1 ¨ 2 ¯®ª §»¢ ¾², ·²® ±·¥²­»¥ ¬­®¦¥±²¢  | ± ¬»¥ \¡¥¤­»¥ ½«¥¬¥­² ¬¨" ¡¥±ª®­¥·­»¥ ¬­®¦¥±²¢ . ®½²®¬³ · ±²® ³¯®²°¥¡«¿¥²±¿ ±«¥¤³¾¹¨© ²¥°¬¨­. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²®¥, ª®­¥·­®¥ ¨«¨ ±·¥²­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­»¬ . ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ˆ­®£¤  ±·¥²­»¬¨ ­ §»¢ ¾² ¬­®¦¥±²¢ , ª®²®°»¥ ²®«¼ª® ·²® ¡»«¨ ­ §¢ ­» ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­»¬¨, ²® ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢ , ° ¢­®¬®¹­»¥ ª ª®¬³-«¨¡® ¯®¤¬­®¦¥±²¢³ N. ’ ª¦¥ ­¥² ®¡¹¥¯°¨­¿²®£® ±®£« ¸¥­¨¿, ±·¨² ²¼ «¨ ¯³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ª®­¥·­»¬ ¨«¨ ¢»¤¥«¿²¼ ¢ ®²¤¥«¼­»© ª« ±±.

x 4. ‘·¥²­»¥ ¬­®¦¥±²¢ 

39

‹¥¬¬  1. ³±²¼ ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  A ° ±¯®«®¦¥­» ¢ ¢¨¤¥ ¡¥±ª®­¥·­®© ¢ ®¡®¨µ ­ ¯° ¢«¥­¨¿µ ² ¡«¨¶» (¬ ²°¨¶»):

0 a11 a12 a13 : : : 1 A=B @ aa2131 aa2232 aa2333 :: :: :: CA

’®£¤ 

A ±·¥²­®.

::: ::: ::: :::

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ¥·¥²ª®¥ ¢»° ¦¥­¨¥ \§ ¯¨± ­» ¢ ¢¨¤¥ ¬ ²°¨¶»" ­  ± ¬®¬ ¤¥«¥ ®§­ · ¥², ·²® ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  A § ­³¬¥°®¢ ­» ± ¯®¬®¹¼¾ ³¯®°¿¤®·¥­­»µ ¯ ° ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥« (¯¥°¢»© ½«¥¬¥­² ¯ °» | ­®¬¥° ±²°®ª¨, ¢²®°®© | ­®¬¥° ±²®«¡¶  ¢ ¬ ²°¨¶¥), ¯°¨·¥¬ ª ¦¤»© ½«¥¬¥­² § ­³¬¥°®¢ ­ °®¢­® ®¤¨­ ° § ¨ ¨§° ±µ®¤®¢ ­» ¢±¥ ¯ °». „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, § ¤ ­  ¡¨¥ª¶¨¿ ¬­®¦¥±²¢ N  N ¨ A. ’¥¬ ± ¬»¬ «¥¬¬  1 ³²¢¥°¦¤ ¥² ±·¥²­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  N  N. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ­³¬¥°³¥¬ ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  A \¯® ¤¨ £®­ «¿¬": A = fa11; a12; a21; a13; a22; a31; : : : g ¨«¨ \¯® ª¢ ¤° ² ¬": A = fa11; a12; a22; a21; : : : g:  ’¥®°¥¬  3. ¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®¥ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­»µ ¬­®¦¥±²¢ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®.

Sn

S1

³±²¼ B = Ak ¨«¨ B = Ak , ¬­®¦¥±²k=1 k=1 ¢  Ak ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­». ‡ ¯¨¸¥¬ ½«¥¬¥­²» A1 ¢ ¯¥°¢³¾ ±²°®ª³ ¬ ²°¨¶», ½«¥¬¥­²» A2 n A1 | ¢® ¢²®°³¾ ±²°®ª³ ¨ ² ª ¤ «¥¥, ²® kS1 ¥±²¼ ¥±«¨ § ¤ ­® ¬­®¦¥±²¢® Ak , ²® ½«¥¬¥­²» Ak n Aj § ¯¨¸¥¬ j =1 ¢ k-¾ ±²°®ª³ ¬ ²°¨¶». ’ ª¨¬ ®¡° §®¬ ¢±¥ ½«¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  B ®ª ¦³²±¿ § ¯¨± ­­»¬¨ ¢ ª«¥²ª¨ ¬ ²°¨¶» (­® ¯°¨ ½²®¬ ­¥ª®²®°»¥ ª«¥²ª¨ ¬®£³² ®±² ²¼±¿ ¯³±²»¬¨). ‡­ ·¨², B ° ¢­®¬®¹­® ­¥ª®²®°®¬³ ¯®¤¬­®¦¥±²¢³ ±·¥²­®£® ¯® «¥¬¬¥ 1 ¬­®¦¥±²¢  N  N. ® ²¥®°¥¬¥ 2 ¬­®¦¥±²¢® B ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®.  „®ª § ²¥«¼±²¢®.

40

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

’¥®°¥¬  4. Œ­®¦¥±²¢® ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« ±·¥²­®.

Ž¡®§­ ·¨¬ Q+ = fx 2 Q : x > 0g; Q = fx 2 Q : x < 0g:  °¨ ¢±¥µ q 2 N ¬­®¦¥±²¢® Qq = q1 ; q2 ; 3q ; : : : ±·¥²­®. ® ²¥®°¥S1 ¬¥ 3 ¨ Q+ = Qq ±·¥²­®. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® Q  Q+. ‘­®¢  ¯® q=1 ²¥®°¥¬¥ 3 ¬­®¦¥±²¢® Q = Q+ [ Q [ f0g ±·¥²­®.  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. …±«¨ a; b 2 R, a < b, ²® Q\ (a; b) ±·¥²­®. „® ±¨µ ¯®° ¬» ­¥ ¯°¨¢¥«¨ ­¨ ®¤­®£® ¯°¨¬¥°  ¡¥±ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢ , ¯°® ª®²®°®¥ ¡»«® ¡» ¤®ª § ­®, ·²® ®­® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ±·¥²­»¬ (² ª¨¥ ¬­®¦¥±²¢  ­ §»¢ ¾² ­¥±·¥²­»¬¨). ’¥®°¥¬  5. Ž²°¥§®ª [ 0; 1] ­¥±·¥²¥­. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥: ¯³±²¼ ®²°¥§®ª [ 0; 1] ±·¥²¥­, ²® ¥±²¼ ¢±¥ ·¨±«  ®²°¥§ª  [ 0; 1] ¬®¦­® ° ±¯®«®¦¨²¼ ¢ ¢¨¤¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨: [ 0; 1] = fx1; x2; x3; x4; x5; : : : g       §®¡¼¥¬ ®²°¥§®ª [ 0; 1] ­  ²°¨ ° ¢­»µ ®²°¥§ª  0; 13 , 31 ; 23 ¨ 23 ; 1 ¨ ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ [a1; b1] ²®² ¨§ ­¨µ, ª®²®°»© ­¥ ±®¤¥°¦¨² ²®·ª¨ x1 (¥±«¨ ² ª¨µ ¤¢ , ²® ¢±¥ ° ¢­®, ª ª®©). „ «¥¥ ° §®¡¼¥¬ ®²°¥§®ª [a1; b1] ­  ²°¨ ° ¢­»µ ®²°¥§ª  ¨ ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ [a2; b2] ²®² ¨§ ­¨µ, ª®²®°»© ­¥ ±®¤¥°¦¨² ²®·ª¨ x2 (¥±«¨ ² ª¨µ ¡®«¥¥ ®¤­®£®, ²® ¢±¥ ° ¢­®, ª ª®©). ²®² ¯°®¶¥±± ¯°®¤®«¦¨¬ ­¥®£° ­¨·¥­­®. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¬» ¯®±²°®¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª®¢ f[an; bn]g1 n=1, ¯°¨·¥¬ xn 2= [an; bn] ¤«¿ «¾¡®£® n. ®  ª±¨®¬¥ ® ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª µ ±³¹¥±²¢³¥² ²®·ª  x , ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢±¥¬ ®²°¥§ª ¬ [an; bn]. ’¥¬ ¡®«¥¥, x 2 [ 0; 1]. ® ²®£¤  x ¨¬¥¥² ­®¬¥°: x = xm ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ m. ® ¯®±²°®¥­¨¾ x 2= [am ; bm], ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯°¨­ ¤«¥¦­®±²¨ x ¢±¥¬ ®²°¥§ª ¬ [an; bn].  ˆ§ ¤®ª § ­­®© ²¥®°¥¬» ¢»²¥ª ¥² ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¨°° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

x 4. ‘·¥²­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ‘«¥¤±²¢¨¥ 2. Œ­®¦¥±²¢  ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«

®­ «¼­»µ ·¨±¥«

Rn Q ­¥±·¥²­».

41

R ¨ ¨°° ¶¨-

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. …±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ½ª¢¨¢ «¥­²­® ®²°¥§ª³ [ 0; 1], ²® £®¢®°¿², ·²® ®­® ¨¬¥¥² ¬®¹­®±²¼ ª®­²¨­³³¬ . Ž²¬¥²¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¥¹¥ ­¥±ª®«¼ª® ´ ª²®¢ ® ¬®¹­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Ÿ±­®, ·²® «¾¡®© ­¥¢»°®¦¤¥­­»© ®²°¥§®ª ¨¬¥¥² ¬®¹­®±²¼ ª®­²¨­³³¬ . Œ®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® «¾¡®© ­¥¢»°®¦¤¥­­»© ¯°®¬¥¦³²®ª ¨, ¢ · ±²­®±²¨, ¢±¿ ¯°¿¬ ¿ R, ¨¬¥¥² ¬®¹­®±²¼ ª®­²¨­³³¬ . ®«¥¥ ²®£®, ¯°¨ «¾¡®¬ m 2 N ¬­®¦¥±²¢® Rm ¨¬¥¥² ¬®¹­®±²¼ ª®­²¨­³³¬ . ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ´³­ª¶¨© f: [ 0; 1] ! R ¡®«¥¥ ¡®£ ²® ½«¥¬¥­² ¬¨, ·¥¬ ®²°¥§®ª [ 0; 1], ²® ¥±²¼ ®­® ­¥ ° ¢­®¬®¹­® ®²°¥§ª³, ­® ¨¬¥¥² · ±²¼, ° ¢­®¬®¹­³¾ ®²°¥§ª³. ¢®

ƒ¨¯®²¥§  ª®­²¨­³³¬ . ‚±¿ª®¥ ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²-

R ° ¢­®¬®¹­® N ¨«¨ R.

²  £¨¯®²¥§  ¡»«  ±´®°¬³«¨°®¢ ­  Š ­²®°®¬. ‚ 1934 £®¤³  ¢±²°¨©±ª¨© ¬ ²¥¬ ²¨ª Š.ƒ¥¤¥«¼ ¤®ª § «, ·²® £¨¯®²¥§  ª®­²¨­³³¬  ­¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨² ®±² «¼­»¬  ª±¨®¬ ¬ ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢. ‚ 1964 £®¤³  ¬¥°¨ª ­±ª¨© ¬ ²¥¬ ²¨ª .Š®½­ ¤®ª § «, ·²® ¥¥ ®²°¨¶ ­¨¥ ² ª¦¥ ­¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨² ®±² «¼­»¬  ª±¨®¬ ¬ ²¥®°¨¨ ¬­®¦¥±²¢. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. Œ» ®¯°¥¤¥«¨«¨ ° ¢­®¬®¹­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢, ­¨£¤¥ ­¥ ®¯°¥¤¥«¿¿, ·²® ² ª®¥ ¬®¹­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢ , ¨ ­¥ ¯®«¼§³¿±¼ ½²¨¬ ¯®­¿²¨¥¬. —²®¡» ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¯®­¿²¨¥ ¬®¹­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢ , ¬®¦­® ¯®±²³¯¨²¼ ² ª.  §®¡¼¥¬ ¢±¥ ¬­®¦¥±²¢  ­  ª« ±±» ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨: ¤¢  ¬­®¦¥±²¢  ¯®¯ ¤ ¾² ¢ ®¤¨­ ª« ±±, ¥±«¨ ®­¨ ½ª¢¨¢ «¥­²­». ®±«¥ ½²®£® ª ¦¤»© ª« ±± ­ §®¢¥¬ ¬®¹­®±²¼¾. Ž¡»·­® ¬®¹­®±²¼ n-½«¥¬¥­²­®£® ¬­®¦¥±²¢  (ª« ±± n-½«¥¬¥­²­»µ ¬­®¦¥±²¢) ² ª ¨ ®¡®§­ · ¾² ·¨±«®¬ n,   ¬®¹­®±²¼ ª®­²¨­³³¬  | ¡³ª¢®© c. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ¥±«®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ¨§ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢  ³¤ «¨²¼ ®¤¨­ ½«¥¬¥­² ¨«¨ ¤ ¦¥ «¾¡®¥ ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ½«¥¬¥­²®¢, ²® ¯®«³·¨²±¿ ¬­®¦¥±²¢®, ° ¢­®¬®¹­®¥ ¨±µ®¤­®¬³.

42

ƒ« ¢  1.

‚¢¥¤¥­¨¥

’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢±¿ª®¥ ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¨¬¥¥² ° ¢­®¬®¹­³¾ ±¥¡¥ ¯° ¢¨«¼­³¾ (²® ¥±²¼ ­¥ ±®¢¯ ¤ ¾¹³¾ ± ­¨¬ ± ¬¨¬) · ±²¼. Š®­¥·­»¥ ¬­®¦¥±²¢  ½²¨¬ ±¢®©±²¢®¬ ­¥ ®¡« ¤ ¾², ¯®½²®¬³ ¬®¦­® ¤ ¦¥ ¤ ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢  ª ª ¬­®¦¥±²¢ , ¨¬¥¾¹¥£® ° ¢­®¬®¹­³¾ ±¥¡¥ ¯° ¢¨«¼­³¾ · ±²¼.

ƒ‹€‚€ 2. Ž‘‹…„Ž‚€’…‹œŽ‘’ˆ ‚ Œ…’ˆ—…‘Šˆ• Ž‘’€‘’‚€•

x 1.

°¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

 ·­¥¬ ± ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯°¥¤¥«  ·¨±«®¢®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ¢¥°®¿²­®, §­ ª®¬®£® ·¨² ²¥«¾ ¨§ ¸ª®«¼­®£® ª³°± . Œ» ¡³¤¥¬ § ¯¨±»¢ ²¼ ½²® ¨ ¬­®£¨¥ ¤°³£¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ª° ²ª® ± ¯®¬®¹¼¾ ª¢ ­²®°®¢. ‚® ¨§¡¥¦ ­¨¥ ®¸¨¡®ª ·¨² ²¥«¾ °¥ª®¬¥­¤³¥²±¿ ¢±¯®¬­¨²¼ ±®£« ¸¥­¨¿ ® ¯° ¢¨« µ ·²¥­¨¿ ´®°¬³« ± ª¢ ­²®° ¬¨ ¨§ x 1 ¢¢¥¤¥­¨¿. Ž¤­®¢°¥¬¥­­® ¬» ¡³¤¥¬ ¤ ¢ ²¼ ±«®¢¥±­³¾ ´®°¬³«¨°®¢ª³, ¯®«­®±²¼¾ ° ±¸¨´°®¢»¢ ¾¹³¾ ª° ²ª³¾ § ¯¨±¼. “¤®¡­® ¯°¥¤±² ¢«¿²¼ ±¥¡¥, ·²®, ¢ ²® ¢°¥¬¿ ª ª ª° ²ª ¿ ´®°¬³«¨°®¢ª  § ¯¨±»¢ ¥²±¿ («¥ª²®°®¬ ­  ¤®±ª¥ ¨«¨ ±²³¤¥­²®¬ ¯°¨ ®²¢¥²¥ ­  ½ª§ ¬¥­¥), ±«®¢¥±­ ¿ ´®°¬³«¨°®¢ª  ¯°®¨§­®±¨²±¿. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ fxng1 n=1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«. —¨±«® a 2 R ­ §»¢ ¾² ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ¨ ¯¨¸³² ¨«¨ xn n!1 ! a; ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n, ¡®«¼¸¨µ N, ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jxn aj < ": nlim !1 xn = a

8" > 0 9N 2 N 8n 2 N : n > N jxn aj < ":

(1)

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ¨¬¥¾¹ ¿ ­¥ª®²®°®¥ ·¨±«® ±¢®¨¬ ¯°¥¤¥«®¬, ­ §»¢ ¥²±¿ ±µ®¤¿¹¥©±¿ ; ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ (²® ¥±²¼ ¥±«¨ ­¨ª ª®¥ ·¨±«® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«®¬ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨) | ° ±µ®¤¿¹¥©±¿.

44

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

ˆ­®£¤ , ¥±«¨ ­¥² ®¯ ±­®±²¨ ­¥¤®° §³¬¥­¨©, § ¯¨±¼ n ! 1 ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  ®¯³±ª ¾² ¨ ¯¨¸³² limxn = a ¨«¨ xn ! a: ƒ®¢®°¿² ² ª¦¥ \xn ±µ®¤¨²±¿ ª a" ¨ \xn ±²°¥¬¨²±¿ ª a". °¨¬¥° 1. „®ª ¦¥¬ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾, ·²® ·¨±«® a = 0 ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ xn = n1 . ‚®§¼¬¥¬ " > 0 (± ½²®© ´° §» ³¤®¡­® ­ ·¨­ ²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ³²¢¥°¦¤¥­¨© ­  \"-¿§»ª¥"). ®±² ° ¥¬±¿ ¯®¤®¡° ²¼ ­ ²³ 1 0 <² ª®¥ ° «¼­®¥ N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n > N ¡³¤¥² ", ²® ¥±²¼ n 1 < ". ®«®¦¨¬ N = 1  + 1; ²®£¤ , ¥±«¨ n > N, ²®, ²¥¬ ¡®«¥¥, n " n > "1 ¨ n1 < ". ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ·¨±«® 0 ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ n1 . °¨¬¥° 2. ³±²¼ ¢±¥ ·«¥­» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ xn ° ¢­» ®¤­®¬³ ¨ ²®¬³ ¦¥ §­ ·¥­¨¾ a. ’ ª ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®±²®¿­­®© ¨«¨ ±² ¶¨®­ °­®©. „®ª ¦¥¬, ·²® ¨ limxn = a. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ­¥° ¢¥­±²¢® jxn aj = 0 < " ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ " > 0 ¨ n 2 N, ¯®½²®¬³ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯®¤µ®¤¨² «¾¡®© ­®¬¥° N, ­ ¯°¨¬¥°, N = 1. °¨¬¥° 3. „®ª ¦¥¬, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ xn = ( 1)n ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥« . „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°®¢¥¤¥¬ ¬¥²®¤®¬ ®² ¯°®²¨¢­®£®. ³±²¼ a = lim( 1)n. ’®£¤  ¤«¿ ·¨±«  " = 1 ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n, ¡®«¼¸¨µ N, ¡³¤¥² jxn aj < 1. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, 2 = jxN +1 xN +2 j = j(xN +1 a) (xN +2 a)j 6 6 jxN +1 aj + jxN +2 aj < 1 + 1 = 2; ·²®  ¡±³°¤­®. ‘¤¥« ¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°®±²»µ, ­® ¢ ¦­»µ § ¬¥· ­¨© ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥« . ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  "0 ­ ¸¥«±¿ ­®¬¥° N ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯°¥¤¥« , ²® ²®² ¦¥ ­®¬¥° N ¯®¤µ®¤¨² ¨ ¤«¿ «¾¡®£® ·¨±«  " > "0 . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ jxn aj < "0 ,

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

45

  " > "0 , ²® ¨ ¯®¤ ¢­® jxn aj < ". ®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¿²¼ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ (±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ­®¬¥°  N) «¨¸¼ ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¬ «»µ " (²® ¥±²¼ ¤«¿ ¢±¥µ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ ", ¬¥­¼¸¨µ ­¥ª®²®°®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±« ). ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. …±«¨ ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  "0 ­ ¸¥«±¿ ­®¬¥° N ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯°¥¤¥« , ²® ¤«¿ ²®£® ¦¥ " ¯®¤µ®¤¨² ¨ «¾¡®© ­®¬¥° N1 , ¡®«¼¸¨© N. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ­¥° ¢¥­±²¢® jxn aj < " ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n > N,   N1 > N, ²® ®­® ¨ ¯®¤ ¢­® ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n > N1 . ® ²®© ¦¥ ¯°¨·¨­¥ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» N ¡»«® ­ ²³° «¼­»¬ ·¨±«®¬. “ª § ­¨¥ ­  ²®, ·²® n | ­ ²³° «¼­®¥ ·¨±«®, ¬» ² ª¦¥ ¡³¤¥¬ ®¡»·­® ®¯³±ª ²¼ ¤«¿ ª° ²ª®±²¨.  ’ ª, ¢ ¯°¨¬¥°¥ 1 ¬®¦­® ¡»«® ¯®«®¦¨²¼ N = "1 (·²® ° ¢­® ­³«¾ ¯°¨ " > 1) ¨«¨ ¤ ¦¥ N = 1" (·²® ­¥ ®¡¿§ ­® ¡»²¼ ¶¥«»¬). ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¥¤¥«  ®±² ­¥²±¿ ° ¢­®±¨«¼­»¬ ¨±µ®¤­®¬³, ¥±«¨ ¢¬¥±²® n > N ¯¨± ²¼ n > N ¨ (¨«¨) ¢¬¥±²® jxn aj < " ¯¨± ²¼ jxn aj 6 ". ®¿±­¨¬ ½²® ¤«¿ ­¥° ¢¥­±²¢ ± jxn aj. ‘ ®¤­®© ±²®°®­», ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  jxn aj < " ±«¥¤³¥² ­¥° ¢¥­±²¢® jxn aj 6 ". ®½²®¬³ ¥±«¨ ·¨±«® a ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±® §­ ª®¬ \<", ²® ®­® ¨ ¯®¤ ¢­® ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±® §­ ª®¬ \6". ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¯³±²¼ ·¨±«® a ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±® §­ ª®¬ \6". ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨ ¯®¤¡¥°¥¬ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n, ¡®«¼¸¨µ N, ¡³¤¥² jxn aj 6 2" . ’®£¤  ²¥¬ ¡®«¥¥ jxn aj < ". ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ·¨±«® a ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±® §­ ª®¬ \<". 1 ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ³±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng1 n=1 ¨ fyngn=1 ² ª®¢», ·²®, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥°  n0 , ¨µ §­ ·¥­¨¿ ±®¢¯ ¤ ¾²: xn = yn ¯°¨ ¢±¥µ n > n0. ’®£¤  ¨µ ¯°¥¤¥«» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ±³¹¥±²¢³¾² ¨«¨ ­¥² ¨, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾², ²® ° ¢­». ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ a = limxn ¨ ­®¬¥° N ¯®¤µ®¤¨² ¤«¿ ·¨±«  " ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ limxn , ²® ­®¬¥° N1 = maxfN; n0 1g ¯®¤µ®¤¨² ¤«¿ ·¨±«  " ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ limyn . €­ «®£¨·­®¥ ° ±±³¦¤¥­¨¥ ¢¥°­®, ¥±«¨ ¯®¬¥­¿²¼ xn ¨ yn °®«¿¬¨. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±«¨ ¨§¬¥­¨²¼ ³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ xn ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ·«¥­®¢, ²® ¥¥ ¯°¥¤¥« ­¥ ¨§¬¥­¨²±¿. ‘ª § ­­®¥ ¯®§¢®«¿¥²,

46

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

­¥ ¬¥­¿¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, £®¢®°¨²¼ ® ¯°¥¤¥«¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢¨¤  fzn g1 n=n0 , § ¤ ­­®© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¶¥«»µ ·¨±¥«, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® n0 (n0 2 Z). ‡ ¬¥· ­¨¥ 5. ¥° ¢¥­±²¢® ¤«¿ ¬®¤³«¿

jxn aj < " ° ¢­®±¨«¼­® ¤¢®©­®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³ a " < xn < a + ": Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ˆ­²¥°¢ « (a

"; a + ") ­ §»¢ ¥²±¿ "-®ª°¥±²²®·ª¨ a ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ Va (") ¨«¨ Va , ¥±«¨ §­ ·¥­¨¥ " ­¥±³¹¥±²¢¥­­®. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¬®¦­® ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼, ¨±¯®«¼§³¿ ¯®­¿²¨¥ ®ª°¥±²­®±²¨, ² ª: ·¨±«® a ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a ¢±¥ ·«¥­» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ½²®© ®ª°¥±²­®±²¨. Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¯®­¿²¨¥ ¯°¥¤¥«  ¨¬¥¥² ±¬»±« ­¥ ²®«¼ª® ¤«¿ ·¨±«®¢»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©. ‘³¹¥±²¢¥­­»¬ ®ª §»¢ ¥²±¿ ²®, ·²® ¬¥¦¤³ xn ¨ a ®¯°¥¤¥«¥­® ° ±±²®¿­¨¥ (°®«¼ ª®²®°®£® ¤«¿ ·¨±«®¢»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¨£° ¥² ¬®¤³«¼ ° §­®±²¨: jxn aj). ®½²®¬³ ¤ «¥¥ ¬» ¤ ¤¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ¤®ª ¦¥¬ ­¥ª®²®°»¥ ±¢®©±²¢  ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¡®«¥¥ ®¡¹¥© ±¨²³ ¶¨¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ : X X ! R+ ­ §»¢ ¥²±¿ ¬¥²°¨ª®© ¨«¨ ° ±±²®¿­¨¥¬ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ X, ¥±«¨ ®­  ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ ³±«®¢¨¿¬. 1. (x; y) = 0 () x = y; x; y 2 X. 2. (x; y) = (y; x); x; y 2 X. 3. (x; z) 6 (x; y) + (y; z); x; y; z 2 X.  °  (X; ) | ¬­®¦¥±²¢® ± ¬¥²°¨ª®© ¢ ­¥¬ | ­ §»¢ ¥²±¿ ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬. “±«®¢¨¿ 1{3 ­ §»¢ ¾²±¿  ª±¨®¬ ¬¨ ¬¥²°¨ª¨ (¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢ ). «¥¬¥­²» ¬­®¦¥±²¢  X · ±²® ­ §»¢ ¾² ²®·ª ¬¨. ‘¢®©±²¢® 3 ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®¬ ²°¥³£®«¼­¨ª  ¯®  ­ «®£¨¨ ± ¨§¢¥±²­»¬ ­¥° ¢¥­±²¢®¬ ²°¥³£®«¼­¨ª  ¨§ ¯« ­¨¬¥²°¨¨. ­®±²¼¾

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

47

®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ° ±±²®¿­¨¥ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ X ¬®¦¥² ¡»²¼ ®¯°¥¤¥«¥­® ° §­»¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨; ¯®«³· ¾¹¨¥±¿ ¯°¨ ½²®¬ ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢  ±·¨² ¾²±¿ ° §«¨·­»¬¨. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¥±«¨ ¿±­®, ® ª ª®¬ ° ±±²®¿­¨¨ ¨¤¥² °¥·¼, £®¢®°¿² ª®°®·¥: \¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢® X". °¨¬¥°». 1. ³±²¼ X | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢®,  1; x 6= y; (x; y) = 0; x = y: ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²®  | ¬¥²°¨ª . ’ ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨±ª°¥²­»¬,   ¬¥²°¨ª  | ±¨¬¯«¨¶¨ «¼­®©. 2. X = R, (x; y) = jx yj. 3. X = C , (z; w) = jz wj. ‘¢®©±²¢  ¬®¤³«¿ ®¡¥±¯¥·¨¢ ¾² ¢»¯®«­¥­¨¥  ª±¨®¬ ¬¥²°¨ª¨. 4. X = Rm; ¥±«¨ x = (x1 ; : : :; xm ), y = (y1 ; : : :; ym ) | ²®·ª¨ ¨§ Rm, ²® v

u m uX (x; y) = t (xk yk )2 : k=1

(2)

”®°¬³«  (2) ®¡®¡¹ ¥² ¨§¢¥±²­³¾ ¨§ ¸ª®«¼­®£® ª³°±  £¥®¬¥²°¨¨ ´®°¬³«³ ¤«¿ ° ±±²®¿­¨¿ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ ­  ¯«®±ª®±²¨ ¨ ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. ‚»¯®«­¥­¨¥  ª±¨®¬ 1 ¨ 2 ¬¥²°¨ª¨ ®·¥¢¨¤­®. ¥° ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª  ¯°¨ m = 1; 2; 3 ¨§¢¥±²­® ¨§ ¸ª®«¼­®£® ª³°± ; ¯°¨ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ m ¬» ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¯®§¦¥ (¤ ¦¥ ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨).  ±±²®¿­¨¥ (2) ­ §»¢ ¥²±¿ ¥¢ª«¨¤®¢»¬,   ¬­®¦¥±²¢® Rm ± ¥¢ª«¨¤®¢»¬ ° ±±²®¿­¨¥¬ | ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬ ¥¢ª«¨¤®¢»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬.

5. X = C m ; m ¨§ C , ²®

¥±«¨ z = (z1 ; : : :; zm ), w = (w1; : : :; wm ) | ²®·ª¨

v u m uX (z; w) = t jzk wk j2 : k=1

(3)

Œ­®¦¥±²¢® C m ± ° ±±²®¿­¨¥¬ (3) ­ §»¢ ¥²±¿ ª®¬¯«¥ª±­»¬ ¥¢ª«¨¤®¢»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬. ²®² ¯°¨¬¥° ®¡®¡¹ ¥² ¯°¨¬¥° 2; ­¥° ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª  ¡³¤¥² ¤®ª § ­® ¯®§¤­¥¥. ‡ ¬¥²¨¬ ¥¹¥,

48

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

·²® ª ª ¬­®¦¥±²¢® C m = R2m. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ®¡®§­ ·¨²¼ zk = xk + iyk , ²® ²®·ª³ z = (z1 ; : : :; zm ) ¨§ C m ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ²®·ª³ z = (x1 ; y1; : : :; xm ; ym ) ¨§ R2m. °¨ ½²®¬ ° ±±²®¿­¨¿ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ z ¨ w (wk = uk + ivk ) ª ª ½«¥¬¥­² ¬¨ C m ¨ R2m, ®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ´®°¬³« ¬¨ (2) ¨ (3), ±®¢¯ ¤ ¾², ² ª ª ª jzk wk j2 = (xk uk )2 + (yk vk )2.  ±±²®¿­¨¥ ¢ ¬­®¦¥±²¢ µ Rm ¨ C m ¬®¦­® ¢¢¥±²¨ ¨ ¤°³£¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨. 6. X = Rm, (x; y) = max jxk yk j. 16k6m 7. X = C m , (z; w) = max jzk wk j. 16k6m m P 8. X = Rm, (x; y) = jxk yk j. k=1

†¨²¥©±ª¨© ¯°¨¬¥° ½²®£® ° ±±²®¿­¨¿ ¯°¨ m = 2: ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ¯¥°¥ª°¥±²ª ¬¨ ¢ £®°®¤¥, ³«¨¶» ª®²®°®£® ®¡° §³¾² ¯°¿¬®³£®«¼­³¾ ±¥²ª³ (¤¢¨£ ²¼±¿ ¬®¦­® ²®«¼ª® ¯® ³«¨¶ ¬). 9. X = C m , (z; w) =

m P jzk wk j.

k=1

°®¢¥°ª   ª±¨®¬ ­¥ ¢»§»¢ ¥² § ²°³¤­¥­¨© (¯°¨ ½²®¬ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª  ¤«¿ ¬®¤³«¿) ¨ ¯°¥¤®±² ¢«¿¥²±¿ ·¨² ²¥«¾. (Œ¥¦¤³ ¯°®·¨¬, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ¯°¨¬¥°®¢ 4 ¨ 5, ¢ ¯°¨¬¥° µ 6 ¨ 7, 8 ¨ 9 ° ±±²®¿­¨¿ ¬¥¦¤³ ²®·ª ¬¨ z ¨ w ª ª ½«¥¬¥­² ¬¨ C m ¨ R2m ­¥ ±®¢¯ ¤ ¾².) 10.  ±±²®¿­¨¥ ­  ±´¥°¥ (¯®¢¥°µ­®±²¨ ‡¥¬«¨) | ¤«¨­  ª° ²· ©¸¥© ¤³£¨, ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ¤¢¥ ²®·ª¨. 11. ³±²¼ Y  X,  | ¬¥²°¨ª  ¢ X. Ž·¥¢¨¤­®, ·²® ²®£¤  jY Y | ¬¥²°¨ª  ¢ Y . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Œ¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢® (Y; jY Y ) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢®¬ ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢  (X; ). ‘«¥¤³¾¹¨¥ ¯®­¿²¨¿ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ®¡®¡¹ ¾² ¯®­¿²¨¿ ¸ °  ¨ ±´¥°» ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥, ª°³£  ¨ ®ª°³¦­®±²¨ ­  ¯«®±ª®±²¨, ¨­²¥°¢ «  ¨ ®²°¥§ª .

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

49

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ (X; ) | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, a 2 X, r > 0. Œ­®¦¥±²¢®

B(a; r) = fx 2 X : (x; a) < rg ­ §»¢ ¥²±¿ ®²ª°»²»¬ ¸ °®¬ ° ¤¨³±  r ± ¶¥­²°®¬ ¢ ²®·ª¥ a ¨«¨ ®ª°¥±²­®±²¼¾ (r-®ª°¥±²­®±²¼¾ ) ²®·ª¨ a ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ ¥¹¥ Va (r) ¨«¨ Va , ¥±«¨ §­ ·¥­¨¥ r ­¥±³¹¥±²¢¥­­®. Œ­®¦¥±²¢® B(a; r) = fx 2 X : (x; a) 6 rg ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²»¬ ¸ °®¬,   ¬­®¦¥±²¢® S(a; r) = fx 2 X : (x; a) = rg | ±´¥°®© ° ¤¨³±  r ± ¶¥­²°®¬ ¢ ²®·ª¥ a. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¤¢³µ ®ª°¥±²­®±²¥© ²®·ª¨ a ¥±²¼ ¥¥ ®ª°¥±²­®±²¼:




Va (r1) \ Va (r2) = Va minfr1; r2g : ’¥¯¥°¼ ¤ ¤¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¨ ¤®ª ¦¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ²¥®°¥¬ ® ¯°¥¤¥« µ. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ (X; ) | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, fxng1 n=1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ X. ’®·ª³ a 2 X ­ §»¢ ¾² ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ¨ ¯¨¸³² ¨«¨ xn n!1 ! a; ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n, ¡®«¼¸¨µ N, ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® (xn ; a) < ": lim x = a n!1 n

8" > 0 9N 2 N 8n 2 N : n > N (xn ; a) < ":

(4)

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ¨¬¥¾¹ ¿ ­¥ª®²®°³¾ ²®·ª³ ±¢®¨¬ ¯°¥¤¥«®¬, ­ §»¢ ¥²±¿ ±µ®¤¿¹¥©±¿ ; ¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ | ° ±µ®¤¿¹¥©±¿.

50

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

‘µ®¤¨¬®±²¼ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ (X; ) ­ §»¢ ¾² ¥¹¥ ±µ®¤¨¬®±²¼¾ ¯® ¬¥²°¨ª¥ (¯® ° ±±²®¿­¨¾) . ‘ ¯®¬®¹¼¾ ¯®­¿²¨¿ ®ª°¥±²­®±²¨ ½²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯¥°¥´®°¬³«¨°³¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ¤«¿ ·¨±«®¢®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ’®·ª  a ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a ¢±¥ ·«¥­» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ½²®© ®ª°¥±²­®±²¨:

8Va 9N 2 N 8n 2 N : n > N xn 2 Va : …±«¨ ±° ¢­¨²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ (4) ¨ (1), ²® ¢¨¤­®, ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ (4) ®§­ · ¥² ¢ ²®·­®±²¨ ²®, ·²® ·¨±«®¢ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ f(xn ; a)g ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾: xn ! a () (xn ; a) ! 0: ‡ ¬¥· ­¨¿ 1{4 ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ·¨±«®¢®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ±¯° ¢¥¤«¨¢» ¨ ¤«¿ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. ’¥®°¥¬  1. …¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ­¥ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¯°¥¤¥« : ¥±«¨ xn ! a, xn ! b, ²® a = b.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢­®¥: ¯³±²¼ a 6= b. ’®) £¤  ¯® ¯¥°¢®©  ª±¨®¬¥ ° ±±²®¿­¨¿ (a; b) > 0. ‚®§¼¬¥¬ " = (a;b 2 . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ­®¬¥°  N1 ¨ N2 , ·²® (xn ; a) < " ¤«¿ ¢±¥µ n > N1 ,   (xn; b) < " ¤«¿ ¢±¥µ n > N2 . ’®£¤ , ¥±«¨ n > maxfN1 ; N2g, ²® ¯®  ª±¨®¬ ¬ ° ±±²®¿­¨¿

(a; b) 6 (a; xn) + (xn ; b) < " + " = (a; b); ·²®  ¡±³°¤­®.  Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ®¤¬­®¦¥±²¢® D ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢  X ­ §»¢ ¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­»¬, ¥±«¨ ®­® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ¸ °¥: 9a 2 X; R > 0 D  B(a; R):

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

51

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ X ­ §»¢ ¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­®©, ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ¥¥ §­ ·¥­¨© ®£° ­¨·¥­®: 9a 2 X; R > 0 8n 2 N (xn ; a) 6 R: ˆ±¯®«¼§®¢ ²¼ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ®²ª°»²»© ¨«¨ § ¬ª­³²»© ¸ ° | ¡¥§° §«¨·­®: ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ®²ª°»²®¬ ¸ °¥, ²® ®­® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¨ ¢ § ¬ª­³²®¬ ¸ °¥ ²®£® ¦¥ ° ¤¨³± ,   ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ § ¬ª­³²®¬ ¸ °¥, ²® ®­® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¨ ¢ ®²ª°»²®¬ ¸ °¥ ¢ ¤¢  ° §  ¡®«¼¸¥£® ° ¤¨³±  ± ²¥¬ ¦¥ ¶¥­²°®¬. ’ ª¦¥ ¢ ½²®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¬®¦­® ± ± ¬®£® ­ · «  § ´¨ª±¨°®¢ ²¼ ¶¥­²° ¸ ° . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ a; b 2 X ¨ x 2 B(a; R), ²® ¯® ­¥° ¢¥­±²¢³ ²°¥³£®«¼­¨ª  (x; b) 6 (x; a) + (a; b) 6 R + (a; b) = R1 ; ²® ¥±²¼ x 2 B(b; R1). ®½²®¬³, ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® D ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ¸ °¥ ± ¶¥­²°®¬ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥, ²® ®­® ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ¸ °¥ ¨ ± ¶¥­²°®¬ ¢ «¾¡®© ¤°³£®© ²®·ª¥. ’¥®°¥¬  2. ‘µ®¤¿¹ ¿±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ®£° ­¨·¥­ . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ xn ! a. ‚§¿¢ " = 1, ¯®¤¡¥°¥¬ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n > N ¡³¤¥² (xn ; a) < 1. ®«®¦¨¬ R = maxf(x1 ; a); : : :; (xN ; a); 1g; ²®£¤  (xn ; a) 6 R ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N. 

‘«¥¤³¾¹¨¥ ¤¢¥ ²¥®°¥¬» ®²­®±¿²±¿ ª ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¿¬ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«. ’¥®°¥¬  3. °¥¤¥«¼­»© ¯¥°¥µ®¤ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥. ³±²¼

fxng, fyn g | ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, xn 6 yn ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N, a; b 2 R, xn ! a, yn ! b. ’®£¤  a 6 b. „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨: ¥±«¨ xn 6 yn ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N ¨ ±³¹¥±²¢³¾² ¯°¥¤¥«» fxng ¨ fyn g, ²® limxn 6 limyn .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢­®¥: ¯³±²¼ a > b. ’®£¤  " = a 2 b ¯®«®¦¨²¥«¼­®. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ­®¬¥°  N1 ¨ N2 , ·²® a " < xn ¤«¿ ¢±¥µ n > N1 ,   yn < b + " ¤«¿ ¢±¥µ n > N2 . ‡­ ·¨², ¥±«¨ n > maxfN1 ; N2g, ²® yn < b + " = a +2 b = a " < xn ;

52

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¾.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Š ª ¯®ª §»¢ ¥² ¯°¨¬¥° ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© xn = n1 ¨ yn = n1 , ±²°¥¬¿¹¨µ±¿ ª ­³«¾, ¯°¨ ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ±²°®£®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¬®¦¥² ¯°¥¢° ²¨²¼±¿ ¢ ­¥±²°®£®¥: ¨§ ²®£®, ·²® xn < yn ¯°¨ ¢±¥µ n, ­¥ ±«¥¤³¥², ·²® limxn < limyn . ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. 1. …±«¨ xn 6 b ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N ¨ ±³¹¥±²¢³¥² limxn , ²® limxn 6 b. 2. …±«¨ xn > a ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N ¨ ±³¹¥±²¢³¥² limxn, ²® limxn > a. 3. …±«¨ xn 2 [a; b] ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N ¨ ±³¹¥±²¢³¥² limxn , ²® limxn 2 [a; b]. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¯¥°¢®£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ­³¦­® ¢§¿²¼ ¢ ª ·¥±²¢¥ fyng ±² ¶¨®­ °­³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼: yn = b ¯°¨ ¢±¥µ n. ‚²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­®, ²°¥²¼¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯¥°¢»µ ¤¢³µ. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‘¢®©±²¢® ®²°¥§ª  ¨§ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 3 ±«¥¤±²¢¨¿ (­¥¢¥°­®¥ ¤«¿ ª®­¥·­»µ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ¤°³£®£® ²¨¯ ) ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²®±²¼¾. ®¤°®¡­¥¥ ¯®­¿²¨¥ § ¬ª­³²®±²¨ ¡³¤¥² ®¡±³¦¤ ²¼±¿ ¢ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯ ° £° ´¥. ’¥®°¥¬  4. Ž ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ³±²¼ fxng, fyn g, fzng | ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, xn 6 yn 6 zn ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N, a 2 R, limxn = limzn = a. ’®£¤  ¯°¥¤¥« fyn g ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ a. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ­®¬¥°  N1 ¨ N2 , ·²® a " < xn ¤«¿ ¢±¥µ n > N1 ,   zn < a + " ¤«¿ ¢±¥µ n > N2 . ®«®¦¨¬ N = maxfN1 ; N2 g. ’®£¤  ¯°¨ ¢±¥µ n > N a " < xn 6 yn 6 zn < a + ": ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ¯°¥¤¥« fyn g ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ a.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ‚ ®¤­®¬ ±² °®¬ ³·¥¡­¨ª¥ ²¥®°¥¬  4 ±®¯°®¢®¦¤ « ±¼ °¨±³­ª®¬, ­  ª®²®°®¬ ¤¢  ¬¨«¨¶¨®­¥°  (fxng ¨ fzn g) ¯®¤ °³ª¨ ¢¥«¨ ­ °³¸¨²¥«¿ (fyn g) ¢ ®²¤¥«¥­¨¥ (a). ‘ ²¥µ ¯®° ²¥®°¥¬³ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (¨ ¥¥ ®¡®¡¹¥­¨¥ | ²¥®°¥¬³ ® ±¦ ²®© ´³­ª¶¨¨) ­ §»¢ ¾² ¥¹¥ ¯°¨­¶¨¯®¬ ¤¢³µ ¬¨«¨¶¨®­¥°®¢.

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

53

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. Ž²¬¥²¨¬ · ±²­»© ±«³· © ²¥®°¥¬» 4: ¥±«¨

jynj 6 zn ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N ¨ zn ! 0, ²® yn ! 0.

‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ‚ ²¥®°¥¬ µ 3 ¨ 4 ¤®±² ²®·­® ¢»¯®«­¥­¨¿ ­¥° ¢¥­±²¢ ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ¨«¨ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ­ §»¢ ¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®©, ¥±«¨ ®­  ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ±²°¥¬«¥­¨¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ª a ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ f(xn ; a)g ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « . ‹¥¬¬  1. °®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ­  ®£° ­¨·¥­­³¾ ¥±²¼ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿: ¥±«¨ fxng, fyn g | ·¨±«®¢»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, fxng | ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿, fyn g ®£° ­¨·¥­ , ²® fxnyn g | ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ±¨«³ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ fyn g ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ K > 0, ·²® jynj 6 K ¯°¨ ¢±¥µ n. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® jxnj 6 K" ¤«¿ ¢±¥µ n > N. ® ²®£¤  ¤«¿ ¢±¥µ n > N jxnyn j < K"
K = ": ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ½²® ¨ ®§­ · ¥², ·²® xn yn ! 0.  °¥¦¤¥, ·¥¬ ¤®ª §»¢ ²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ®¡  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨¿µ ­ ¤ ¯°¥¤¥« ¬¨, ®¯°¥¤¥«¨¬ ¯®­¿²¨¥ ¢¥ª²®°­®£® ¨ ­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¯°®±²° ­±²¢ . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ K | ¯®«¥, X | ¬­®¦¥±²¢®, ¨ ­ ¤ ½«¥¬¥­² ¬¨ X ¨ K ®¯°¥¤¥«¥­» ¤¢¥ ®¯¥° ¶¨¨: ±«®¦¥­¨¥ X  X +! X : ¨ ³¬­®¦¥­¨¥ K  X ! X, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨¥ ±«¥¤³¾¹¨¬ ³±«®¢¨¿¬. 1. (x + y) + z = x + (y + z); x; y; z 2 X. 2. x + y = y + x; x; y 2 X. 3. 9  2 X 8x 2 X 0
x = . 4. ( + )x = x + x; x 2 X; ;  2 K. 5. (x + y) = x + y; x; y 2 X;  2 K. 6. ()
x = 
(x); x 2 X; ;  2 K.

54

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

7. 1
x = x; x 2 X. ’®£¤  X ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥ª²®°­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬ ¨«¨ «¨­¥©­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ­ ¤ ¯®«¥¬ K. «¥¬¥­²» X ­ §»¢ ¾²±¿ ¢¥ª²®° ¬¨, ½«¥¬¥­²» K | ±ª «¿° ¬¨ ,   ±¢®©±²¢  1{7 |  ª±¨®¬ ¬¨ ¢¥ª²®°­®£® ¯°®±²° ­±²¢ . «¥¬¥­²  ¨§  ª±¨®¬» 3 ­ §»¢ ¥²±¿ ­³«¥¬ (­³«¥¢»¬ ¢¥ª²®°®¬, ­¥©²° «¼­»¬ ½«¥¬¥­²®¬) ¯°®±²° ­±²¢  X. —¥°¥§ y ®¡®§­ ·¨¬ ½«¥¬¥­² ( 1)
y,   ¯®¤ ° §­®±²¼¾ x y ¡³¤¥¬ ¯®­¨¬ ²¼ x+( y). °®¢¥°ª³ ­¥±«®¦­»µ ®¡¹¨µ ±¢®©±²¢ ¢¥ª²®°­»µ ¯°®±²° ­±²¢ (­ ¯°¨¬¥°, ²®£®, ·²® ¤«¿ «¾¡®£® x 2 X ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­»© ½«¥¬¥­² y 2 X, ² ª®© ·²® x + y = , ¨ ½²®² y ° ¢¥­ x) ®±² ¢«¿¥¬ ·¨² ²¥«¾. ®¤°®¡­¥¥ ¢¥ª²®°­»¥ ¯°®±²° ­±²¢  ¨§³· ¾²±¿ ¢ ª³°±¥  «£¥¡°». „ «¥¥ ¢ ª³°±¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ¢¥ª²®°­»¥ ¯°®±²° ­±²¢  ²®«¼ª® ­ ¤ ¯®«¿¬¨ R ¨ C . °¨¬¥°». °®±²¥©¸¨¬¨ ¯°¨¬¥° ¬¨ ¢¥ª²®°­»µ ¯°®±²° ­±²¢ ±«³¦ ² ¯°®±²° ­±²¢  R ¨ C . ‘«¥¤³¾¹¨¥ ¯°¨¬¥°» ¤ ¾² ¯°®±²° ­±²¢  Rm ¨ C m . ‘«®¦¥­¨¥ ¢¥ª²®°®¢ ¨ ³¬­®¦¥­¨¥ ­  ±ª «¿° ¢ ­¨µ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯®ª®®°¤¨­ ²­®: ¥±«¨ x = (x1; : : :; xm ), y = (y1 ; : : :; ym ), ²® x + y = (x1 + y1 ; : : :; xm + ym ); x = (x1 ; : : :; xm ): ˆ§ ¸ª®«¼­®£® ª³°±  £¥®¬¥²°¨¨ ¨§¢¥±²­®, ·²® ¯°¨ ®¯¥° ¶¨¿µ ± ¢¥ª²®° ¬¨ ¨µ ª®®°¤¨­ ²» ¯°¥®¡° §³¾²±¿ ¨¬¥­­® ² ª. ³«¥¬ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®°, ¢±¥ ª®®°¤¨­ ²» ª®²®°®£® ° ¢­» ­³«¾ (\¦¨°­»© ­³«¼"): O = Om = (0; : : :; 0). Œ­®¦¥±²¢® ´³­ª¶¨© f: D ! R (¨«¨ C ), § ¤ ­­»µ ­  ­¥ª®²®°®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®°­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬, ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ­ ¤ R ¨«¨ C . ³«¥¬ ±«³¦¨² ´³­ª¶¨¿, ²®¦¤¥±²¢¥­­® ° ¢­ ¿ ­³«¾. — ±²­»¥ ±«³· ¨ ½²®£® ¯°¨¬¥°  | ¯°®±²° ­±²¢  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ¨«¨ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥«; ¤«¿ ­¨µ D = N. „ «¼­¥©¸¥¥ ®¡®¡¹¥­¨¥ ¯®«³· ¥²±¿, ¥±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼ ¬­®¦¥±²¢® ®²®¡° ¦¥­¨© f: D ! Y ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ ¢¥ª²®°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ Y . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ X | ¢¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ­ ¤ R ¨«¨ C . ®°¬®© ¢ X ­ §»¢ ¥²±¿ ´³­ª¶¨¿ p: X ! R+, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹ ¿ ±«¥¤³¾¹¨¬ ³±«®¢¨¿¬.

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

55

1. ®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼: p(x) = 0 () x = : 2. ®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ®¤­®°®¤­®±²¼: p(x) = jjp(x): 3. ¥° ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª  (¯®«³ ¤¤¨²¨¢­®±²¼): p(x + y) 6 p(x) + p(y): °¨­¿²® ®¡®§­ · ²¼ ­®°¬³ ¤¢®©­»¬¨ ¯ «®·ª ¬¨: p(x) = kxk.  °  (X; k
k) ­ §»¢ ¥²±¿ ­®°¬¨°®¢ ­­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬,   ±¢®©±²¢  1{3 |  ª±¨®¬ ¬¨ ­®°¬». …±«¨ ´³­ª¶¨¿ p: X ! R+ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥²  ª±¨®¬ ¬ 2 ¨ 3, ²® p ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«³­®°¬®©. ®­¿²¨¥ ­®°¬» ®¡®¡¹ ¥² ¯®­¿²¨¥ ¤«¨­» ¢¥ª²®° . ‹¥¬¬   Pn 2. ‘¢®©±²¢   Pn ¯®«³­®°¬. 1. p k xk 6 jk jp(xk ). k=1 k=1

2. p() = 0. 3. p( x) = p(x). 4. jp(x) p(y)j 6 p(x y). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¢®¥ ±¢®©±²¢® ¯®«³· ¥²±¿ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±¢®©±²¢ 2 ¨ 3 ­ ¤® ¯®¤±² ¢¨²¼  = 0 ¨  = 1 ¢  ª±¨®¬³ 2. „®ª ¦¥¬ ±¢®©±²¢® 4. ® ­¥° ¢¥­±²¢³ ²°¥³£®«¼­¨ª  p(x) = p(x y + y) 6 p(x y) + p(y): Ž²±¾¤ 

p(x) p(y) 6 p(x y): Œ¥­¿¿ x ¨ y ¬¥±² ¬¨, ¯®«³· ¥¬ p(y) p(x) 6 p(y x) = p(x y): ¥° ¢¥­±²¢  5 ¨ 6 ¨ ®§­ · ¾², ·²® jp(x) p(y)j 6 p(x y). 

(5) (6)

56

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

°¨¬¥°». °®±²¥©¸¨¬¨ ¯°¨¬¥° ¬¨ ­®°¬¨°®¢ ­­»µ ¯°®±²° ­±²¢ ±«³¦ ² R ¨ C , ­®°¬  | ¬®¤³«¼ ·¨±« . …¢ª«¨¤®¢  ­®°¬  ¢ Rm ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬

v u m uX kxk = t x2k : k=1

…¢ª«¨¤®¢  ­®°¬  (¤«¨­ ) ¢¥ª²®°  x ¡³¤¥² ² ª¦¥ (¢ ®²«¨·¨¥ ®² ¤°³£¨µ ­®°¬) ®¡®§­ · ²¼±¿ jxj. €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¥¢ª«¨¤®¢  ­®°¬  ¢ C m : v

u m uX kz k = t jzk j2 : k=1

®°¬» ¢ Rm ¨ C m ¬®¦­® ¢¢¥±²¨ ¨ ¤°³£¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨, ­ ¯°¨¬¥°:

kxk = 16max jx j k 6m k

¨«¨

kxk =

m X

k=1

jxk j:

°¨¬¥°®¬ ¯®«³­®°¬», ­¥ ¿¢«¿¾¹¥©±¿ ­®°¬®©, ±«³¦¨² ¤«¨­  ¯°®¥ª¶¨¨ ¢¥ª²®°  ­  ®¤­³ ¨§ ª®®°¤¨­ ²­»µ ®±¥©. …±«¨ (X; k
k) | ­®°¬¨°®¢ ­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, (x; y) = kx yk, ²®  | ¬¥²°¨ª  ¢ X (¢»¯®«­¥­¨¥  ª±¨®¬ ¬¥²°¨ª¨ ®·¥¢¨¤­®). ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ £®¢®°¿², ·²® ¬¥²°¨ª   ¯®°®¦¤¥­  ­®°¬®©. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ®ª §»¢ ¥²±¿ ®¯°¥¤¥«¥­® ¯®­¿²¨¥ ±µ®¤¨¬®±²¨. ®¤ ±µ®¤¨¬®±²¼¾ ¯® ­®°¬¥ ¯®­¨¬ ¥²±¿ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¯® ¬¥²°¨ª¥, ¯®°®¦¤¥­­®© ½²®© ­®°¬®©. —²®¡» § ¯¨± ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¥¤¥«  ¯® ­®°¬¥, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  ·¨±«®¢®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ­³¦­® § ¬¥­¨²¼ ®¤¨­®·­»¥ ¯ «®·ª¨ ¬®¤³«¿ ­  ¤¢®©­»¥ ¯ «®·ª¨ ­®°¬» (  ¤«¿ ¥¢ª«¨¤®¢®© ­®°¬» ¬®¦­® ¨ ¢®¢±¥ ­¨·¥£® ­¥ ¬¥­¿²¼, ²®«¼ª® ­ ¤® ¯®­¨¬ ²¼, ·²® ®§­ · ¥² jxn aj). ‚ · ±²­®±²¨, ±®®²­®¸¥­¨¿ xn ! a ¨ kxn ak ! 0 ° ¢­®±¨«¼­». Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ±®µ° ­¿¥² ±¬»±« ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ´®°¬³«¨°³¥²±¿ ² ª: ¯®¤¬­®¦¥±²¢® D ­®°¬¨°®¢ ­­®£® ¯°®±²° ­±²¢  X ­ §»¢ ¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­»¬, ¥±«¨: 9R > 0 8x 2 D kxk 6 R:

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

57

…±«¨ ¬¥²°¨ª  ¯®°®¦¤¥­  ­®°¬®©, ²® kxk = (x; ). Ž¤­ ª®, ¬¥²°¨ª  ¬®¦¥² ­¥ ¯®°®¦¤ ²¼±¿ ­¨ª ª®© ­®°¬®© ¯® ±«¥¤³¾¹¨¬ ¯°¨·¨­ ¬. ‚®-¯¥°¢»µ, ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ¬®¦¥² ­¥ ¡»²¼ ¢¥ª²®°­»¬ (­¨ª ª¨¥  «£¥¡° ¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ± ²®·ª ¬¨ ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢ , ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­»). ‚®-¢²®°»µ, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥ª²®°­»¬, (x; ) ¬®¦¥² ­¥ ¡»²¼ ­®°¬®©. °¨¬¥°: (x; y) = 1+jxjx yjyj | ¬¥²°¨ª  ¢ R, ­® (x; 0) | ­¥ ­®°¬ . ’¥®°¥¬  5. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ±µ®¤¿¹¨¬¨±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¿¬¨ ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. ³±²¼ (X; k
k) | ­®°¬¨°®¢ ­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, fxng, fyn g | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ X , fng | ·¨±«®¢ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, x0; y0 2 X , 0 2 R (¨«¨ C ), xn ! x0, yn ! y0 , n ! 0 . ’®£¤  1. xn + yn ! x0 + y0 ; 2. nxn ! 0 x0; 3. xn yn ! x0 y0 ; 4. kxnk ! kx0k.

Ž²¤¥«¼­® ±´®°¬³«¨°³¥¬ ²¥®°¥¬³ ¤«¿ ·¨±«®¢»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, ¤®¡ ¢¨¢ ²³¤  ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ® ¯°¥¤¥«¥ · ±²­®£®, ª®²®°®¥ ­¥ ¨¬¥¥² ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­®£®  ­ «®£  ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥.

’¥®°¥¬  50. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ±µ®¤¿¹¨¬¨±¿ ·¨±«®¢»¬¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¿¬¨. ³±²¼ fxng, fyn g | ·¨±«®¢»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, x0; y0 2 R (¨«¨ C ), xn ! x0, yn ! y0. ’®£¤  1. xn + yn ! x0 + y0 ; 2. xnyn ! x0 y0 ; 3. xn yn ! x0 y0 ; 4. jxnj ! jx0j; 5. …±«¨, ª°®¬¥ ²®£®, yn 6= 0 ¯°¨ ¢±¥µ n ¨ y0 6= 0, ²® xynn ! xy00 . „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬ 5 ¨ 50 .

1. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ­®¬¥°  N1 ¨ N2 , ·²® kxn x0k < 2" ¤«¿ ¢±¥µ n > N1 ,   kyn y0 k < 2" ¤«¿ ¢±¥µ n > N2 . ®«®¦¨¬ N = maxfN1; N2 g. ’®£¤  ¯°¨ ¢±¥µ n > N ¡³¤¥² k(xn + yn ) (x0 + y0 )k 6 kxn x0k + kyn y0 k < 2" + 2" = ";

58

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

·²® ¨ ¤®ª §»¢ ¥² ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ 1. 2. ® ­¥° ¢¥­±²¢³ ²°¥³£®«¼­¨ª  knxn 0 x0k = k(n 0 )xn + 0 (xn x0)k 6 (7) 6 jn 0 jkxnk + j0 jkxn x0k: ® ³±«®¢¨¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fjn 0 jg ¨ fkxn x0kg ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «»¥,   ¯® ²¥®°¥¬¥ 2 ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fkxnkg ®£° ­¨·¥­ , ª ª ¨ ¯®±²®¿­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fj0jg. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯® «¥¬¬¥ 1 ®¡  ±« £ ¥¬»µ ¢ ¯° ¢®© · ±²¨ (7) ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «»¥,   ²®£¤  ¯® ¤®ª § ­­®¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ 1 ® ¯°¥¤¥«¥ ±³¬¬» ¨ ¨µ ±³¬¬  ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿.  ª®­¥¶, kn xn 0x0 k ! 0 ¯® § ¬¥· ­¨¾ 2 ª ²¥®°¥¬¥ 4, ·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼. 3. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ 1 ¨«¨ ¯°¨¬¥­¥­¨¥¬ ³¦¥ ¤®ª § ­­»µ ³²¢¥°¦¤¥­¨© 1 ¨ 2: xn yn = xn + ( 1)yn ! x0 + ( 1)y0 = x0 y0 : 4. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  kx k kx k 6 kx x k n 0 n 0 («¥¬¬» 2) ¨ § ¬¥· ­¨¿ 2 ª ²¥®°¥¬¥ 4. 5. „®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® y1n ! y10 , ² ª ª ª ²®£¤  ¯® ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ 2 ¯®«³·¨¬, ·²® xn = x
1 ! x
1 = x0 : 0 y yn n yn 0 y0 ®±ª®«¼ª³ 1 1 1 1 y y = (y0 yn )
y
y ; n

0

0

n

¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fy0 yn g ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿,   ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼ ­®±²¼ y10 ®£° ­¨·¥­­ ¿, ¯® «¥¬¬¥ 1 ®±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼ ®£° ­¨·¥­­®±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ y1n . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ¤«¿ ·¨±«  " = jy20 j , ª®²®°®¥ ¯® ³±«®¢¨¾ ¯®«®¦¨²¥«¼­®, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® kyn y0 k < " ¤«¿ ¢±¥µ n > N. ’®£¤  ¯°¨ ¢±¥µ n > N ¯® ±¢®©±²¢ ¬ ¬®¤³«¿ jyn j = jy0 + yn y0 j > jy0 j jyn y0 j > jy0 j " = jy20j :

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

n

o

59

Ž¡®§­ ·¨¬ k = min jy1 j; : : :; jynj; jy20 j . ’®£¤  k > 0 ¨ jyn j > k ¢±¥µ n, ·²® ¨ ®§­ · ¥² ¯°¨ ¢±¥µ n. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, y1n 6 k1 ¯°¨ 1 ®£° ­¨·¥­­®±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ yn .  Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ X | ¢¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ­ ¤ R ¨«¨ C . ”³­ª¶¨¿ ': X  X ! R (¨«¨ C ) ­ §»¢ ¥²±¿ ±ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¢ X (®¡®§­ ·¥­¨¥: '(x; y) = (x; y)), ¥±«¨ ®­  ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ±«¥¤³¾¹¨¬ ±¢®©±²¢ ¬ ( ª±¨®¬ ¬ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿). 1. ‹¨­¥©­®±²¼ ¯® ¯¥°¢®¬³  °£³¬¥­²³: ¤«¿ ¢±¥µ x1 ; x2; y 2 X ¨ ¢±¥µ ;  2 R (¨«¨ C ) (x1 + x2 ; y) = 
(x1; y) + 
(x2 ; y): 2. °¬¨²®¢±ª ¿ ±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼: (y; x) = (x; y): 3. ®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼: (x; x) > 0; (x; x) = 0 () x = : ‚ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ ±«³· ¥ ·¥°²³ ¬®¦­® ®¯³±²¨²¼. ¥°¥·¨±«¨¬ ­¥ª®²®°»¥ ±¢®©±²¢  ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. 1. (x; y1 + y2 ) = (x; y1) + (x; y2) 2. (x; y) = (x; y) 3. (; y) = (x; ) = 0 ²¨ ±¢®©±²¢  ±«¥¤³¾² ¨§  ª±¨®¬ 1 ¨ 2. .

.

.

4. ¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£® { ˜¢ °¶ .

(x; y) 2 6 (x; x)(y; y):

(8)

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘·¨² ¿ (y; y) > 0 (¢ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥ y =  ¨ ­¥° ¢¥­±²¢® (8) ¢»¯®«­¥­®), ¯®«®¦¨¬ y) :  = (x; (y; y)

60

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

’®£¤  ¢ ±¨«³  ª±¨®¬ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¨ ° ¢¥­±²¢   = jj2 (x + y; x + y) = (x; x) + (x; y) + (y; x) + jj2(y; y) = y)j2 j(x; y)j2 + j(x; y)j2 : = (x; x) j(x; (y; y) (y; y) (y; y) ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, (x; x)(y; y) j(x; y)j2 = (y; y)(x + y; x + y) > 0:  Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. „¢  ¢¥ª²®°  x ¨ y ­ §»¢ ¾²±¿ ª®««¨­¥ °­»¥±«¨ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ­³«¥¢®© ¨«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ±ª «¿° , ·²® x = y. „¢  ¢¥ª²®°  x ¨ y ­ §»¢ ¾²±¿ ±®­ ¯° ¢«¥­­»¬¨, ¥±«¨ ®¤¨­ ¨§ ­¨µ ­³«¥¢®© ¨«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® x = y. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£® { ˜¢ °¶  ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢¥ª²®°  x ¨ y ª®««¨­¥ °­». ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±«¥¤³¥², ·²® ¥±«¨ ­¥° ¢¥­±²¢® (8) ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢®, ²® ¨«¨ y =  ¨«¨ x + y = . Ž¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­®. p 5. ”³­ª¶¨¿ p(x) = (x; x) | ­®°¬  ¢ X . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼ ´³­ª¶¨¨ p ±«¥¤³¥² ¨§ ¯®«®¦¨²¥«¼­®© ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ±ª «¿°­®£® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. „ «¥¥, ¬¨,

p

q

p(x) = (x; x) = (x; x) = jjp(x): „®ª ¦¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª . °¨¬¥­¿¿ 4, ¨¬¥¥¬ p2(x + y) = (x + y; x + y) = (x; x) + (x; y) + (y; x) + (y; y) = = (x; x) + 2 Re(x; y) + (y; y) 6 (x; x) + 2j(x; y)j + (y; y) 6 6 p2 (x) + 2p(x)p(y) + p2(y) = (p(x) + p(y))2 :  ˆ±¯®«¼§³¿ ¢­®¢¼ ¢¢¥¤¥­­³¾ ­®°¬³, ­¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£® { ˜¢ °¶  ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ² ª: j(x; y)j 6 kxkkyk:

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

61

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ¥° ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª  ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¢¥ª²®°  x ¨ y ±®­ ¯° ¢«¥­». „®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ ®¤¨­ ¨§ ¢¥ª²®°®¢ ­³«¥¢®©, ° ¢¥­±²¢® ®·¥¢¨¤­®. ³±²¼ x; y 6= . Ž¡° ¹¥­¨¥ ­¥° ¢¥­±²¢  ²°¥³£®«¼­¨ª  ¢ ° ¢¥­±²¢® ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® Re (x; y) = j(x; y)j = kxkkyk: ‚²®°®¥ ° ¢¥­±²¢® ¯® § ¬¥· ­¨¾ 1 ° ¢­®±¨«¼­® ª®««¨­¥ °­®±²¨ x ¨ y, ²® ¥±²¼ ° ¢¥­±²¢³ x = y. ®¤±² ¢«¿¿ ¢ ¯¥°¢®¥ ° ¢¥­±²¢®, ¯®«³· ¥¬ Re (y; y) = jj(y; y), ®²ª³¤   > 0.  6. …±«¨ xn ! x0 ¨ yn ! y0 , ²® (xn ; yn) ! (x0; y0 ). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘ ¯®¬®¹¼¾ 4 ¯®«³· ¥¬ j(xn; yn ) (x0; y0 )j 6 j(xn; yn y0 )j + j(xn x0; y0 )j 6 6 kxnk kyn y0 k + kxn x0k ky0 k: ’ ª ª ª ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ®£° ­¨·¥­ , ¯® «¥¬¬¥ 1 ¨ ²¥®°¥¬¥ 50 ¯° ¢ ¿ · ±²¼ ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, (xn; yn ) ! (x0; y0) ¯® ²¥®°¥¬¥ 4.  °¨¬¥° ¬¨ ¯®ª  ·²® ¤«¿ ­ ± ¡³¤³² ²®«¼ª® ¯°®±²° ­±²¢  Rm m ¨ C ±® ±ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬

(x; y) =

m X

k=1

xk yk ;

(z; w) =

m X

k=1

zk wk :

…¢ª«¨¤®¢  ­®°¬  ª ª ° § ¯®°®¦¤ ¥²±¿ ½²¨¬ ±ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬. ‘«¥¤±²¢¨¥ 3. ¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£® ¨ ­¥° ¢¥­±²¢® ²°¥³£®«¼­¨ª  ¢ Rm. „«¿ «¾¡»µ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« x1 ; : : :; xm , y1 ; : : :; ym X 2 X m m X m  2 xk yk 6 xk yk2 ; k=1 k=1 kv =1 v v u u u m m m u tX(xk + yk )2 6 u tX x2k + u tX yk2 : k=1 k=1 k=1

62

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

²¨ ­¥° ¢¥­±²¢  | ª®­ª°¥²¨§ ¶¨¿ ­¥° ¢¥­±²¢ ¨§ 4 ¨ 5. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ¥° ¢¥­±²¢® (8) ¨ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥, ¨ ¤«¿ ° §«¨·­»µ ª®­ª°¥²­»µ ¯°®±²° ­±²¢ ­ §»¢ ¾² ¯®-° §­®¬³: ­¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨, ­¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£®, ­¥° ¢¥­±²¢® ³­¿ª®¢±ª®£® { ˜¢ °¶  ¨ ².¤. ‚ Rm · ¹¥ ¢±¥£® ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ­ §¢ ­¨¥ \­¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£®". Ž±² ­®¢¨¬±¿ ¯®¤°®¡­¥¥ ­  ±µ®¤¨¬®±²¨ ¢ Rm. ³¬¥°®¢ ²¼ ·«¥­» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ Rm ¡³¤¥¬ ¢¥°µ­¨¬ ¨­¤¥ª±®¬: fx(n)g1 n=1,   ­¨¦­¨© ¨­¤¥ª± ®±² ¢¨¬ ¤«¿ ­³¬¥° ¶¨¨ ª®®°¤¨­ ². Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ƒ®¢®°¿², ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fx(n)g ²®·¥ª Rm ±µ®¤¨²±¿ ª ¯°¥¤¥«³ x(0) 2 Rm ¯®ª®®°¤¨­ ²­®, ¥±«¨ x(jn) n!1 ! x(0) j ¤«¿ ¢±¥µ j 2 [1 : m]. ‹¥¬¬  3. ‚

Rm ¯®ª®®°¤¨­ ²­ ¿

¯® ¥¢ª«¨¤®¢®© ­®°¬¥ ° ¢­®±¨«¼­». „®ª § ²¥«¼±²¢®.

±µ®¤¨¬®±²¼ ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼

“²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢

(n) x(0)j = jx(jn) x(0) j j 6 jx

v u m uX p (n) x(0) j (9) j x = t (x(kn) x(0) k )2 6 m 16max k k6m k k=1

¨ ²¥®°¥¬» ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥.  ‘«¥¤±²¢¨¥ 4. ‘µ®¤¨¬®±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ª®¬¯«¥ª±­»µ ·¨±¥« ° ¢­®±¨«¼­  ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¨µ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ¨ ¬­¨¬»µ · ±²¥©:

zn ! z0 ()

 Re zn ! Rez0;

Imzn ! Imz0 :

³±²¼ a; b 2 Rm. …±«¨ ak 6 bk (ak < bk ) ¯°¨ ¢±¥µ k 2 [1 : m], ²® ¡³¤¥¬ ¯¨± ²¼ a 6 b (a < b). Ÿ±­®, ·²® ­¥ «¾¡»¥ ¤¢  ¢¥ª²®°  ±° ¢­¨¬».

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

63

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ a; b 2 Rm, a < b. Œ­®¦¥±²¢®

(a; b) = fx 2 Rm : a < x < bg ­ §»¢ ¥²±¿ ®²ª°»²»¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤®¬. ³±²¼ a; b 2 Rm, a 6 b. Œ­®¦¥±²¢® [a; b] = fx 2 Rm : a 6 x 6 bg ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²»¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤®¬. ‚±¿ª®¥ ¬­®¦¥±²¢®
, ² ª®¥ ·²® (a; b) 
 [a; b], ­ §»¢ ¥²±¿ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤®¬. …±«¨ ¢±¥ °¥¡°  ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ° ¢­»: b1 a1 = : : : = bm am , ²® ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ­ §»¢ ¥²±¿ ª³¡®¬. ‚ ½²¨µ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿µ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¬¨ ­ §¢ ­» ²®«¼ª® ¯°¿¬®³£®«¼­»¥ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤» ± °¥¡° ¬¨, ¯ ° ««¥«¼­»¬¨ ª®®°¤¨­ ²­»¬ ®±¿¬. ¥° ¢¥­±²¢  (9) ¨¬¥¾² ¿±­»© £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±«: ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ m-¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¸ ° ° ¤¨³±  R ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ª³¡¥ ± ²¥¬ ¦¥ ¶¥­²°®¬ ¨ p °¥¡°®¬ 2R, ª®²®°»©, ¢ ±¢®¾ ®·¥°¥¤¼, ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ¸ °¥ ° ¤¨³±  R m ± ²¥¬ ¦¥ ¹¥­²°®¬.  ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ «¾¡»¬¨ ¤¢³¬¿ ²®·ª ¬¨ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤  ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¥£® ¤¨ £®­ «¨: ¥±«¨ x; y 2 [a; b], ²®

v v u u m m X u uX 2 t jx yj = (xk yk ) 6 t (bk ak )2 = jb aj: k=1

k=1

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ƒ®¢®°¿², ·²® ¢¥¹¥±²¢¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±²°¥¬¨²±¿ ª: 1) ¯«¾± ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ¨ ¯¨¸³²

lim x = +1 n!1 n

¨«¨ xn n!1 ! +1; ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  E ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n, ¡®«¼¸¨µ N, ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® xn > E:

8E > 0 9N 2 N 8n 2 N : n > N xn > E;

64

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

2) ¬¨­³± ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ¨ ¯¨¸³² nlim !1 xn =

1 ¨«¨ xn n!1 ! 1;

¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  E ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n, ¡®«¼¸¨µ N, ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® xn < E:

8E > 0 9N 2 N 8n 2 N : n > N xn < E; 3) ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ (¡¥±ª®­¥·­®±²¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®£® §­ ª ), ¨ ¯¨¸³² lim x = 1 ¨«¨ xn n!1 ! 1; n!1 n ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  E ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n, ¡®«¼¸¨µ N, ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jxnj > E:

8E > 0 9N 2 N 8n 2 N : n > N jxnj > E: ’°¥²¼¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¨£®¤­® ² ª¦¥ ¤«¿ ª®¬¯«¥ª±­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¨«¨ ¤ ¦¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ (£¤¥ ­ ¤® § ¬¥­¨²¼ ¬®¤³«¼ ­  ­®°¬³). ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ˆ§ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ±«¥¤³¥², ·²® ¥±«¨ xn ! 1, ²® xn ! 1. Ž¡° ²­®¥ ­¥¢¥°­®: ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ xn = ( 1)n n ±²°¥¬¨²±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ­® ­¥ ±²°¥¬¨²±¿ ­¨ ª ¯«¾±, ­¨ ª ¬¨­³± ¡¥±ª®­¥·­®±²¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ­ §»¢ ¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸®©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ˆ§ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ±«¥¤³¥², ·²® ¥±«¨ xn ! 1, ²® xn ­¥ ®£° ­¨·¥­ . Ž¡° ²­®¥ ­¥¢¥°­®: ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ xn = (1 + ( 1)n )n ­¥ ®£° ­¨·¥­  ¨ ­¥ ±²°¥¬¨²±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. Ÿ±­®, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­¥ ¬®¦¥² ®¤­®¢°¥¬¥­­® ±²°¥¬¨²¼±¿ ª ª®­¥·­®¬³ ¯°¥¤¥«³ ¨ ª ()1 (1),   ² ª¦¥ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¿¬ ° §­»µ §­ ª®¢. Ž²±¾¤  ¢»²¥ª ¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ¯°¥¤¥«  ¢ R: ¥±«¨ fxng | ¢¥¹¥±²¢¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, a; b 2 R, xn ! a, xn ! b, ²® a = b.

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

65

‡ ¬¥· ­¨¥ 4. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¿²¼ «¨¸¼ ¤«¿ ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨µ ·¨±¥« E; ¬®¦­® ² ª¦¥ ®¯³±²¨²¼ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ²°¥¡®¢ ­¨¥ E > 0. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±µ®¤¿¹¥©±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿: ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­ §»¢ ¥²±¿ ±µ®¤¿¹¥©±¿, ¥±«¨ ®­  ¨¬¥¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥«. ¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸¨¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ±·¨² ¾²±¿ ° ±µ®¤¿¹¨¬¨±¿. ‡ ¬¥· ­¨¥ 6. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¥¤¥«  ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨© ¯¥°¥­®±¨²±¿ ­  ¡¥±ª®­¥·­»¥ ¯°¥¤¥«»: xn ! a, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a ¢±¥ ·«¥­» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ½²®© ®ª°¥±²­®±²¨. „«¿ ½²®£® ­ ¤® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ®ª°¥±²­®±²¨ ¡¥±ª®­¥·­® ³¤ «¥­­»µ ²®·¥ª:

V+1 = (E; +1]; V 1 = [ 1; E); V1 = fx 2 R : jxj > E g [ f1g: €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ®ª°¥±²­®±²¨ 1 ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ X: V1 = fx 2 X : kxk > E g [ f1g: …±«¨ ¦¥ ­³¦­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ ¨¬¥­­® "-®ª°¥±²­®±²¨, ²® ¯®« £ ¾²  V+1 (") = "1 ; +1 ¨ ².¯.; ²®£¤  "-®ª°¥±²­®±²¨ ±³¦ ¾²±¿ ± ³¬¥­¼¸¥­¨¥¬ " > 0. ‡ ¬¥· ­¨¥ 7. 1. …±«¨ xn > yn ¯°¨ ¢±¥µ n ¨ yn ! +1, ²® xn ! +1. 2. …±«¨ xn 6 yn ¯°¨ ¢±¥µ n ¨ yn ! 1, ²® xn ! 1. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  ¤«¿ ·¨±«  E ¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ¯®¤µ®¤¨² ²®² ¦¥ ­®¬¥° N, ·²® ¨ ¤«¿ ·¨±«  E ¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fyng. ²® § ¬¥· ­¨¥ ¤®¯®«­¿¥² ²¥®°¥¬³ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ‹¥¬¬  4. ‘¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸¨¬¨ ¨ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «»¬¨. ³±²¼ fxng | ·¨±«®¢ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, xn 6= 0 ­¨ ¯°¨ ª ª®¬ n. ’®£¤  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng | ¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸ ¿ ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  x1n | ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿.

³±²¼ xn ! 1; ¤®ª ¦¥¬, ·²® x1n ! 0. ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨ ¤«¿ ·¨±«  E = "1 ¯®¤¡¥°¥¬ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ „®ª § ²¥«¼±²¢®.

66

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

¢±¥µ N ¡³¤¥² jxnj > E. ®±«¥¤­¥¥ ° ¢­®±¨«¼­® ­¥° ¢¥­±²¢³ 1 ·²® ¨ ®§­ · ¥² ±²°¥¬«¥­¨¥ x1n ª ­³«¾. „®ª § ²¥«¼±²¢® ¢ xn ®¡° ²­³¾ ±²®°®­³  ­ «®£¨·­®.  ‘«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬  ¤®¯®«­¿¥² ²¥®°¥¬³ ®¡  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨¿µ ­ ¤ ±µ®¤¿¹¨¬¨±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¿¬¨. ‚ ­¥©, ¥±«¨ ­¥ ®£®¢®°¥­® ¯°®²¨¢­®¥, ¯°¥¤¥«» ¬®£³² ¡»²¼ ¨ ¡¥±ª®­¥·­»¬¨,   ²¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿, ª®²®°»¥ ¨¬¥¾² ±¬»±« ¤«¿ ª®¬¯«¥ª±­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, ¢¥°­» ¨ ¤«¿ ­¨µ. ’¥®°¥¬  6. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸¨¬¨. ³±²¼ fxng, fyn g | ·¨±«®¢»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. 1. …±«¨ xn ! +1, fyn g ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³, ²® xn + yn ! +1. 2. …±«¨ xn ! 1, fyng ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³, ²® xn + yn ! 1. 3. …±«¨ xn ! 1, fyn g ®£° ­¨·¥­ , ²® xn + yn ! 1. 4. …±«¨ xn ! 1, yn > b > 0 ¤«¿ ¢±¥µ n (¨«¨ yn ! b1 > 0), ²® xnyn ! 1. 5. …±«¨ xn ! 1, yn 6 b < 0 ¤«¿ ¢±¥µ n (¨«¨ yn ! b1 < 0), ²® xnyn ! 1. 6. …±«¨ xn ! 1, jynj > b > 0 ¤«¿ ¢±¥µ n (¨«¨ yn ! b1 6= 0), ²® xnyn ! 1. 7. …±«¨ xn ! a 6= 0, yn ! 0, yn 6= 0 ¯°¨ ¢±¥µ n, ²® xynn ! 1. 8. …±«¨ xn ! a 2 C , yn ! 1, ²® xynn ! 0. 9. …±«¨ xn ! 1, yn ! b 2 C , yn 6= 0 ¯°¨ ¢±¥µ n, ²® xynn ! 1. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „®ª ¦¥¬ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 1, 6 ¨ 8. 1. ‚®§¼¬¥¬ E > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ±­¨§³ ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ·¨±«® m 2 R, ·²® yn > m ¯°¨ ¢±¥µ n. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¯°¥¤¥«  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® xn > E m ¤«¿ ¢±¥µ n > N. ’®£¤  ¤«¿ ¢±¥µ n > N xn + yn > E m + m = E: ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ E ½²® ®§­ · ¥², ·²® xn + yn ! +1. 6. ³±²¼ jynj > b > 0 ¤«¿ ¢±¥µ n. ‚®§¼¬¥¬ E > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¯°¥¤¥«  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® jxnj > Eb ¤«¿ ¢±¥µ n > N. ’®£¤  ¤«¿ ¢±¥µ n > N jxnyn j > Eb
b = E;

x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

67

·²® ¨ ®§­ · ¥² ±²°¥¬«¥­¨¥ xnyn ª 1. ³±²¼ yn ! b1 6= 0. ®«®¦¨¬ b = jb21j , ¥±«¨ b1 | ·¨±«®, ¨ b = 1, ¥±«¨ b1 | ¡¥±ª®­¥·­®±²¼. ’®£¤ , ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , jynj > b, ¨ ¯°¨¬¥­¨¬® ²®«¼ª® ·²® ¤®ª § ­­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. 8. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ¨ «¥¬¬¥ 4 xn = x
1 ! a
0 = 0: yn n yn „®ª § ²¼ ®±² «¼­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ²¥®°¥¬» ®±² ¥²±¿ ·¨² ²¥«¾ ¢ ª ·¥±²¢¥ ­¥±«®¦­®£® ³¯° ¦­¥­¨¿.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. — ±²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨© ²¥®°¥¬ ®¡  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨¿µ ¬®¦­® ®¡º¥¤¨­¨²¼ ±«¥¤³¾¹¥© ´®°¬³«¨°®¢ª®©. …±«¨ fxn g, fyng | ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, xn ! x0 2 R, yn ! y0 2 R, §­ ª  ®§­ · ¥² ®¤­® ¨§ ·¥²»°¥µ  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨© ¨ x0  y0 ®¯°¥¤¥«¥­® ¢ R, ²® xn  yn ! x0  y0 . ’¥®°¥¬» ®¡  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨¿µ ­¥ ¯®§¢®«¿¾² ±¤¥« ²¼ § ª«¾·¥­¨¥ ® §­ ·¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  ¢ ±«¥¤³¾¹¨µ ·¥²»°¥µ ±«³· ¿µ. 1: xn ! +1; yn ! 1: xn + yn ! ? 2: xn ! 0; yn ! 1: xnyn ! ? xn ! ? 3: xn ! 0; yn ! 0: yn x n 4: xn ! 1; yn ! 1: yn ! ? ‚ ½²¨µ ±¨²³ ¶¨¿µ ¡¥§ ¤®¯®«­¨²¥«¼­®© ¨­´®°¬ ¶¨¨ ®¡ xn ¨ yn ­¨·¥£® ­¥«¼§¿ ±ª § ²¼ ® ¯°¥¤¥«¥. °¨¢¥¤¥¬ ¯°¨¬¥°» ¤«¿ ¯¥°¢®£® ±«³· ¿. °¨¬¥°». 1 . …±«¨ xn = n + a (a 2 R), yn = n, ²® xn + yn = a ! a. 1¡. …±«¨ xn = n2 + n, yn = n2 , ²® xn + yn = n ! +1. 1¢. …±«¨ xn = n2 , yn = n2 n, ²® xn + yn = n ! 1. 1£. …±«¨ xn = n+ ( 1)n, yn = n, ²® xn + yn = ( 1)n ­¥ ¨¬¥¥² ­¨ ª®­¥·­®£®, ­¨ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¯°¥¤¥« . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¥¤¥« ±³¬¬» ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ° ¢­»¬ «¾¡®¬³ ·¨±«³, ¯«¾± ¨«¨ ¬¨­³± ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ ¨«¨ ¢®¢±¥ ­¥ ±³¹¥±²¢®¢ ²¼. —¨² ²¥«¼ ± ¬ ¯°¨¢¥¤¥²  ­ «®£¨·­»¥ ¯°¨¬¥°» ¤«¿ ²°¥µ ®±² ¢¸¨µ±¿ ±«³· ¥¢.

68

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

‚ ±¨²³ ¶¨¿µ 1{4 £®¢®°¿², ·²® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼ 1 ±®®²¢¥²±²¢¥­­®,   ­ µ®¦¤¥­¨¥ ¯°¥¤¥«  ¢¨¤  1 1, 0
1, 00 ¨ 1 ­ §»¢ ¾² ° ±ª°»²¨¥¬ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨.

x 2.

’®·ª¨ ¨ ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥

‚ ½²®¬ ¯ ° £° ´¥, ¥±«¨ ­¥ ®£®¢®°¥­® ¯°®²¨¢­®¥, (X; ) | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, D  X, a 2 X. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ’®·ª  a ­ §»¢ ¥²±¿ ¢­³²°¥­­¥© ²®·ª®© ¬­®¦¥±²¢  D, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ a, ±®¤¥°¦ ¹ ¿±¿ ¢ D. Œ­®¦¥±²¢® D ­ §»¢ ¥²±¿ ®²ª°»²»¬ (¢ X), ¥±«¨ ¢±¥ ¥£® ²®·ª¨ ¢­³²°¥­­¨¥. °¨¬¥°». Œ­®¦¥±²¢® X, ®·¥¢¨¤­®, ®²ª°»²®. ³±²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ² ª¦¥ ®²ª°»²®, ¯®²®¬³ ·²® ¢ ­¥¬ ­¥² ­¨ª ª¨µ ²®·¥ª ¨, ¢ · ±²­®±²¨, ²¥µ, ª®²®°»¥ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ¢­³²°¥­­¨¬¨. ®ª ¦¥¬, ·²® ®²ª°»²»© ¸ ° B(a; r) | ®²ª°»²®¥ ¬­®¦¥±²¢® ¢ ±¬»±«¥ ¤ ­­®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. ³±²¼ p 2 B(a; r), ²® ¥±²¼ (p; a) < r (°¨±³­®ª 9). x h hp r a

¨±. 9

„®ª ¦¥¬, ·²® p | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  B(a; r). ®«®¦¨¬ h = r (p; a) (h > 0) ¨ ¯°®¢¥°¨¬, ·²® B(p; h)  B(a; r). ³±²¼ x 2 B(p; h), ²® ¥±²¼ (x; p) < h. ’®£¤  (x; a) 6 (x; p) + (p; a) < h + r h = r; ²® ¥±²¼ x 2 B(a; r). 

x 2. ’®·ª¨ ¨ ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥

69

‘«®¢® \®ª°¥±²­®±²¼" ³¯®²°¥¡«¿¥²±¿ ¢ ° §­»µ §­ ·¥­¨¿µ. „® ±¨µ ¯®° ¬» ­ §»¢ «¨ ®ª°¥±²­®±²¼¾ ²®·ª¨ ®²ª°»²»© ¸ ° ± ¶¥­²°®¬ ¢ ½²®© ²®·ª¥ (¸ °®¢³¾ ®ª°¥±²­®±²¼). Žª°¥±²­®±²¼¾ ²®·ª¨ ¢ ¸¨°®ª®¬ ±¬»±«¥ · ±²® ­ §»¢ ¾² «¾¡®¥ ®²ª°»²®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ ¤ ­­³¾ ²®·ª³. ‚ ¯°®±²° ­±²¢¥ Rm ° ±±¬ ²°¨¢ ¾² ¥¹¥ ª³¡¨·¥±ª¨¥ ®ª°¥±²­®±²¨ (®²ª°»²»¥ ª³¡» ± ¶¥­²°®¬ ¢ ¤ ­­®© ²®·ª¥) ¨ ¤°³£¨¥ ®ª°¥±²­®±²¨ ±¯¥¶¨ «¼­®£® ¢¨¤ . ’ ª ª ª ¢±¿ª ¿ ¸ °®¢ ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ ±®¤¥°¦¨² ª³¡¨·¥±ª³¾ ¨ ®¡° ²­®, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¢­³²°¥­­¥© ²®·ª¨ ¬­®¦¥±²¢  ¢ Rm ¸ °®¢»¥ ®ª°¥±²­®±²¨ ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ­  ª³¡¨·¥±ª¨¥. Œ» ¯® ³¬®«· ­¨¾ ¡³¤¥¬ ¯®-¯°¥¦­¥¬³ ¯®­¨¬ ²¼ ¯®¤ ®ª°¥±²­®±²¼¾ ¸ °®¢³¾ ®ª°¥±²­®±²¼. ’¥®°¥¬  1. ‘¢®©±²¢  ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢.

1.

Ž¡º¥¤¨­¥­¨¥ «¾¡®£® ±¥¬¥©±²¢  ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢ ®²ª°»²®. 2. ¥°¥±¥·¥­¨¥ ª®­¥·­®£® ±¥¬¥©±²¢  ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢ ®²ª°»²®. „®ª § ²¥«¼±²¢®. S1. ³±²¼ § ¤ ­® ±¥¬¥©±²¢® ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢ fGg2A , G = G , x 2 G. „®ª ¦¥¬, ·²® x | ¢­³²°¥­­¿¿ 2A ²®·ª  G. ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡º¥¤¨­¥­¨¿ ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ¨­¤¥ª± , ·²® x 2 G . ’ ª ª ª G ®²ª°»²®, x | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  G, ²® ¥±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² ¸ ° B(x; r), ±®¤¥°¦ ¹¨©±¿ ¢ G . ® ²®£¤  ²¥¬ ¡®«¥¥ B(x; r)  G. 2. ³±²¼ n§ ¤ ­® ª®­¥·­®¥ ±¥¬¥©±²¢® ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢ fGk gnk=1, G = T Gk , x 2 G. ’®£¤  x ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ª ¦¤®¬³ ¨§ ¬­®k=1 ¦¥±²¢ Gk , ¨ ¢ ±¨«³ ®²ª°»²®±²¨ Gk ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ ·¨±«  r1; : : :rn, ·²® B(x; rk )  Gk ¯°¨ ¢±¥µ k 2 [1 : n]. Ž¡®§­ ·¨¬ r = minfr1; : : :; rng; ²®£¤  r > 0 ¨ B(x; r)  Gk ¯°¨ ¢±¥µ k 2 [1 : n]. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ B(x; r)  G.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ¥°¥±¥·¥­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­®£® ±¥¬¥©±²¢  ®²ª°»²»µ ¬­®¦¥±²¢ ­¥ ®¡¿§ ­® ¡»²¼ ®²ª°»²»¬.  ¯°¨¬¥°,

1  1 1 \ ; = f0g; n=1 n n

  ®¤­®²®·¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®²ª°»²»¬ ¢ R.

70

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¢­³²°¥­­¨µ ²®·¥ª ¬­®¦¥±²

¢  D ­ §»¢ ¥²±¿ ¢­³²°¥­­®±²¼¾ D ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ D ¨«¨ Int D. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‚­³²°¥­­®±²¼ D ¥±²¼:  ) ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¢±¥µ ®²ª°»²»µ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ D; ¡) ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¯® ¢ª«¾·¥­¨¾ ®²ª°»²®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® D. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ G | ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¢±¥µ ®²ª°»²»µ ¯®¤¬­®¦¥±²¢ D. ’®£¤  G  D, G ±®¤¥°¦¨² «¾¡®¥ ®²ª°»²®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® D, ¨ G ®²ª°»²® ¯® ²¥®°¥¬¥ 1, ²® ¥±²¼ G | ¬ ª±¨¬ «¼­®¥ ¯® ¢ª«¾·¥­¨¾ ®²ª°»²®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® D. …±«¨ x | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  D, ²® D ±®¤¥°¦¨² ®ª°¥±²­®±²¼ Vx ²®·ª¨ x,   ²®£¤  x 2 Vx  G. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¥±«¨ x 2 G, ²® x ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ­¥ª®²®°®¬³ ®²ª°»²®¬³ ¯®¤¬­®¦¥±²¢³ D ¨, §­ ·¨², ¿¢«¿¥²±¿ ¥£® ¢­³²°¥­­¥© ²®·ª®© ¨, ²¥¬ ¡®«¥¥, ¢­³²°¥­­¥© ²®·ª®© D.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. Œ­®¦¥±²¢® D ®²ª°»²® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­® ±®¢¯ ¤ ¥² ±® ±¢®¥© ¢­³²°¥­­®±²¼¾. ²® § ¬¥· ­¨¥ ®·¥¢¨¤­® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ’®·ª  a ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¥¤¥«¼­®© ²®·ª®© ¨«¨ ²®·ª®© ±£³¹¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  D, ¥±«¨ ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  D, ®²«¨·­ ¿ ®² a. ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ³¤®¡­® ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®­¿²¨¿ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. °®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¼¾ ²®·ª¨ a ­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®¦¥±²¢® V_a = Va n fag: ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ²®·ª  a ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¥¤¥«¼­®© ²®·ª®© ¬­®¦¥±²¢  D, ¥±«¨ «¾¡ ¿ ¯°®ª®«®² ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ a ¨¬¥¥² ± D ­¥¯³±²®¥ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. °¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  ¬®¦¥² ¯°¨­ ¤«¥¦ ²¼,   ¬®¦¥² ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ²¼ ¬­®¦¥±²¢³. ’ ª, ª ¦¤ ¿ ²®·ª  ®²°¥§ª  [c; d] ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«¼­®© ¤«¿ ¨­²¥°¢ «  (c; d). ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. …±«¨ a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, ²® ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a (¯°®ª®«®²®© ¨«¨ ­¥² | ­¥¢ ¦­®) ­ ©¤¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®£® ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D.

x 2. ’®·ª¨ ¨ ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥

71

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¢ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ Va ²®·ª¨ a «¨¸¼ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ²®·¥ª D. ¥°¥­³¬¥°³¥¬ ¨µ, ¨±ª«¾·¨¢, ¡»²¼ ¬®¦¥², ± ¬³ ²®·ª³ a:

V_a \ D = fx1; : : :; xN g: Ž¡®§­ ·¨¬

r = minf(x1 ; a); : : :; (xN ; a)g:

’®£¤  r > 0 ¨ V_a (r) \ D = ?, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«¼­®© ²®·ª¨.  ‘«¥¤³¾¹¥¥ § ¬¥· ­¨¥ ¯®¿±­¿¥² ­ §¢ ­¨¥ \¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª ". ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ’®·ª  a ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«¼­®© ¤«¿ ¬­®¦¥±²¢  D ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D, ®²«¨·­»µ ®² a, ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª a. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. ’®£¤  ¤«¿ «¾¡®£® n 2 N ¢ ¯°®ª®«®²®© n1 -®ª°¥±²­®±²¨ a ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  xn ¬­®¦¥±²¢  D. ®±²°®¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±²°¥¬¨²±¿ ª a, ² ª ª ª (xn ; a) < n1 ! 0. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ± ¯¥°¥·¨±«¥­­»¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨, ²® ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a ­ ©¤¥²±¿ ·«¥­ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (²³¤  ¯®¯ ¤³² ¤ ¦¥ ¢±¥ ·«¥­», ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° ), ²® ¥±²¼ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  D, ®²«¨·­ ¿ ®² a.  Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. …±«¨ ²®·ª  a ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¬­®¦¥±²¢³ D, ­® ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¥£® ¯°¥¤¥«¼­®© ²®·ª®©, ²® a ­ §»¢ ¥²±¿ ¨§®«¨°®¢ ­­®© ²®·ª®© ¬­®¦¥±²¢  D. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Œ­®¦¥±²¢® D ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²»¬ (¢ X), ¥±«¨ ®­® ±®¤¥°¦¨² ¢±¥ ±¢®¨ ¯°¥¤¥«¼­»¥ ²®·ª¨. °¨¬¥° ¬¨ § ¬ª­³²»µ ¬­®¦¥±²¢ ±«³¦ ² X, ?, ®¤­®²®·¥·­®¥ ¬­®¦¥±²¢®, B(a; r) (¯®±«¥¤­¥¥ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ¤®ª § ²¼ ·¨² ²¥«¾).  ¯®¬­¨¬, ·²® ·¥°¥§ Dc ®¡®§­ · ¥²±¿ ¤®¯®«­¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢  D: Dc = X n D.

72

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

’¥®°¥¬  2. Œ­®¦¥±²¢® ®²ª°»²® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ § ¬ª­³²®.

³±²¼ Dc § ¬ª­³²®. ‚®§¼¬¥¬ ²®·ª³ x 2 D ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® x | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  D; ¢ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ x ½²® ¨ ¡³¤¥² ®§­ · ²¼, ·²® D ®²ª°»²®. ®±ª®«¼ª³ x 2= Dc ,   Dc § ¬ª­³²®, x ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«¼­®© ²®·ª®© Dc , ²® ¥±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx ²®·ª¨ x, ·²® V_x \ Dc = ?. ’®£¤  ¨ Vx \ Dc = ?, ² ª ª ª x 2 D. ® ½²® ®§­ · ¥², ·²® Vx  D, ²® ¥±²¼ x | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  D. ³±²¼ D ®²ª°»²®. ‚®§¼¬¥¬ ²®·ª³ x, ¯°¥¤¥«¼­³¾ ¤«¿ Dc , ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® x 2 Dc ; ¢ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ x ½²® ¨ ¡³¤¥² ®§­ · ²¼, ·²® Dc § ¬ª­³²®. ®±ª®«¼ª³ ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ x ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  Dc , x ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¢­³²°¥­­¥© ²®·ª®© D,   ²®£¤ , ¢ ±¨«³ ®²ª°»²®±²¨ D, x 2= D, ²® ¥±²¼ x 2 Dc .  ’¥®°¥¬³ 2 ¬®¦­®, ª®­¥·­®, ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¨ ² ª: ¬­®¦¥±²¢® § ¬ª­³²® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ ®²ª°»²®. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

’¥®°¥¬  3. ‘¢®©±²¢  § ¬ª­³²»µ ¬­®¦¥±²¢.

1. ¥°¥±¥·¥­¨¥ «¾¡®£® ±¥¬¥©±²¢  § ¬ª­³²»µ ¬­®¦¥±²¢ § ¬ª­³²®. 2. Ž¡º¥¤¨­¥­¨¥ ª®­¥·­®£® ±¥¬¥©±²¢  § ¬ª­³²»µ ¬­®¦¥±²¢ § ¬ª­³²®. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

´®°¬³«

\ 2A

F =

’¥®°¥¬  3 ±° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» 2 ¨

 [ c 2A

Fc

;

[n k=1

F =

 \n c k=1

Fc : 

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Ž¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­®£® ±¥¬¥©±²¢  § ¬ª­³²»µ ­¥ ®¡¿§ ­® ¡»²¼ § ¬ª­³²»¬.  ¯°¨¬¥°, ¬­®¦¥±²¢® S fq¬­®¦¥±²¢ g = Q ­¥ § ¬ª­³²® ¢ R. ‚¥¤¼ ² ª ª ª ¢ «¾¡®¬ ¨­²¥°¢ «¥ q2Q ¥±²¼ ° ¶¨®­ «¼­®¥ ·¨±«®, ¢±¥ ²®·ª¨ ·¨±«®¢®© ¯°¿¬®©,   ­¥ ²®«¼ª® ° ¶¨®­ «¼­»¥, ¿¢«¿¾²±¿ ¯°¥¤¥«¼­»¬¨ ¤«¿ Q. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ’®·ª  a ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·ª®© ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  D, ¥±«¨ ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a, ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  D.

x 2. ’®·ª¨ ¨ ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥

73

Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ²®·¥ª ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  D ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬»ª ­¨¥¬ D ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ D ¨«¨ Cl D. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. Š ª ¢¨¤­®, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ²®·ª¨ ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ ­¥ ²°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ± D ¯¥°¥±¥ª « ±¼ ¨¬¥­­® ¯°®ª®«®² ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ a, ¯®½²®¬³ ¢±¿ª ¿ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  D ¿¢«¿¥²±¿ ¥£® ²®·ª®© ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬­®¦¥±²¢® ²®·¥ª ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ D ±®±²®¨² ¨§ ¯°¥¤¥«¼­»µ ¨ ¨§®«¨°®¢ ­­»µ ²®·¥ª D. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ’®·ª  a | ²®·ª  ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  D ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D, ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª a. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ a | ²®·ª  ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ D. …±«¨ a 2 D, ²® ¬®¦­® ¢§¿²¼ ±² ¶¨®­ °­³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ¢±¥ ·«¥­» ª®²®°®© ° ¢­» a. …±«¨ ¦¥ a 2= D, ²® a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, ¨ ¨±ª®¬ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² ¯® § ¬¥· ­¨¾ 3 ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«¼­®© ²®·ª¨. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ± ¯¥°¥·¨±«¥­­»¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨, ²® ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a ­ ©¤¥²±¿ ·«¥­ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ (²³¤  ¯®¯ ¤³² ¤ ¦¥ ¢±¥ ·«¥­», ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° ), ²® ¥±²¼ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  D.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ‡ ¬»ª ­¨¥ D ¥±²¼:  ) ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¢±¥µ § ¬ª­³²»µ ¬­®¦¥±²¢, ±®¤¥°¦ ¹¨µ D; ¡) ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ¯® ¢ª«¾·¥­¨¾ § ¬ª­³²®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ D. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ F | ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¢±¥µ § ¬ª­³²»µ ¬­®¦¥±²¢, ±®¤¥°¦ ¹¨µ D. ’®£¤  D  F , F ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ «¾¡®¬ § ¬ª­³²®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, ±®¤¥°¦ ¹¥¬ D, ¨ F § ¬ª­³²® ¯® ²¥®°¥¬¥ 3, ²® ¥±²¼ F | ¬¨­¨¬ «¼­®¥ ¯® ¢ª«¾·¥­¨¾ § ¬ª­³²®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ±®¤¥°¦ ¹¥¥ D. …±«¨ x 2 D, ²® ¥±²¼ x | ²®·ª  ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ D, ²® ²¥¬ ¡®«¥¥ x | ²®·ª  ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ F ,   ²®£¤  x 2 F ¢ ±¨«³ § ¬ª­³²®±²¨ F. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¥±«¨ x 2= D, ²® ³ ²®·ª¨ x ±³¹¥±²¢³¥² ®ª°¥±²­®±²¼ Vx , ±®¤¥°¦ ¹ ¿±¿ ¢ Dc . ’®£¤  ¥¥ ¤®¯®«­¥­¨¥ Vxc § ¬ª­³²® ¨ ±®¤¥°¦¨² D, ¯®½²®¬³ F  Vxc , ²® ¥±²¼ Vx  F c ¨, ¢ · ±²­®±²¨, x 2= F . 

74

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

‡ ¬¥· ­¨¥ 5. Œ­®¦¥±²¢® D § ¬ª­³²® ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ®­® ±®¢¯ ¤ ¥² ±® ±¢®¨¬ § ¬»ª ­¨¥¬. ²® § ¬¥· ­¨¥ ®·¥¢¨¤­® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ‚­³²°¥­­®±²¼ ¤®¯®«­¥­¨¿ ¬­®¦¥±²¢  D ­ §»¢ ¥²±¿ ¢­¥¸­®±²¼¾ D ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ Ext D. ’®·ª  a ­ §»¢ ¥²±¿ £° ­¨·­®© ²®·ª®© ¬­®¦¥±²¢  D, ¥±«¨ ¢ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a ­ ©¤¥²±¿ ª ª ²®·ª , ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ D, ² ª ¨ ²®·ª , ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ D. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ £° ­¨·­»µ ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D ­ §»¢ ¥²±¿ £° ­¨¶¥© D ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ @D ¨«¨ Fr D. Œ­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ¯°¥¤¥«¼­»µ ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤­»¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ ¬­®¦¥±²¢  D ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ D0 . ‡ ¬¥· ­¨¥ 6. 1. Ext D = (D)c .  2. @D = D n D. 3. ƒ° ­¨¶  § ¬ª­³² . 4. Œ­®¦¥±²¢® D0 § ¬ª­³²®. „®ª § ²¥«¼±²¢® § ¬¥· ­¨¿ 6 ®±² ¥²±¿ ·¨² ²¥«¾. °¨¬¥°.   °¨±³­ª¥ 10

D = f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 > 1 ¨«¨ x2 + y2 = 1; y > 0 ¨«¨ x = y = 0g: y D

1 -1

0

1 -1

¨±. 10

x

x 2. ’®·ª¨ ¨ ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥

75

„«¿ ½²®£® ¬­®¦¥±²¢  D = f(x; y) : x2 + y2 > 1g [ f(0; 0)g;  D = f(x; y) : x2 + y2 > 1g; Ext D = f(x; y) : 0 < x2 + y2 < 1g; D0 = f(x; y) : x2 + y2 > 1g; @D = f(x; y) : x2 + y2 = 1g [ f(0; 0)g; (0; 0) | ¨§®«¨°®¢ ­­ ¿ ²®·ª  D. ³±²¼ Y | ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® X, D  Y . ’®£¤  ¬®¦­® ±² ¢¨²¼ ¢®¯°®± ®¡ ®²ª°»²®±²¨ (§ ¬ª­³²®±²¨) D ¢ X ¨ ¢ Y . Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ±¢®©±²¢® ¬­®¦¥±²¢  D ¡»²¼ ®²ª°»²»¬ (§ ¬ª­³²»¬) § ¢¨±¨² ®² ²®£®, ¢ ª ª®¬ ®¡º¥¬«¾¹¥¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¬­®¦¥±²¢® D. ’ ª, ¢±¿ª®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢  X ®²ª°»²® ¨ § ¬ª­³²® ¢ ± ¬®¬ ±¥¡¥ ª ª ¯®¤¯°®±²° ­±²¢¥ X. ˆ­²¥°¢ « ¿¢«¿¥²±¿ ®²ª°»²»¬ ¯®¤¬­®¦¥±²¢®¬ ¯°¿¬®©, ­® ­¥ ¯«®±ª®±²¨, ¥±«¨ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¯°¿¬³¾ ª ª ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® ¯«®±ª®±²¨. —²®¡» ³±² ­®¢¨²¼ ±¢¿§¼ ¬¥¦¤³ ®²ª°»²®±²¼¾ ¨ § ¬ª­³²®±²¼¾ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¨ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢¥, § ¯¨¸¥¬, ª ª ±¢¿§ ­» ®ª°¥±²­®±²¨: B X (a; r) = fx 2 X : (x; a) < rg; B Y (a; r) = fx 2 Y : (x; a) < rg; B Y (a; r) = B X (a; r) \ Y: ’¥®°¥¬  4. Ž²ª°»²®±²¼ ¨ § ¬ª­³²®±²¼ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¨ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢¥. ³±²¼ (X; ) | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²-

D  Y  X. 1. D ®²ª°»²® ¢ Y ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¬­®¦¥±²¢® G, ®²ª°»²®¥ ¢ X , ·²® D = G \ Y . 2. D § ¬ª­³²® ¢ Y ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¬­®¦¥±²¢® F , § ¬ª­³²®¥ ¢ X , ·²® D = F \ Y . „®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ³±²¼ D = Y \ G, £¤¥ G ®²ª°»²® ¢ X. ‚®§¼¬¥¬ ²®·ª³ a 2 D. ‚ ±¨«³ ®²ª°»²®±²¨ G ¢ X ±³¹¥±²¢³¥² ¢®,

76

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

®ª°¥±²­®±²¼ VaX ²®·ª¨ a ¢ X: VaX  G. ’®£¤  VaY = VaX \ Y | ®ª°¥±²­®±²¼ a ¢ Y ¨ VaY  D. ‡­ ·¨², a | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  D. ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ a ¬­®¦¥±²¢® D ®²ª°»²® ¢ Y . Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ D ®²ª°»²® ¢ Y . ’®£¤  ¤«¿ ª ¦¤®© ²®·ª¨ a 2 D ­ ©¤¥²±¿ ¥¥ ®ª°¥±²­®±²¼ ¢ YS, ±®¤¥°¦ ¹ ¿±¿ ¢ D: VaY = B Y (a; ra)  D. Ž¡®§­ ·¨¬ G = B X (a; ra ). ’®£¤  G a2D ®²ª°»²® ¢ X ª ª ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ®²ª°»²»µ ¢ X ¬­®¦¥±²¢, ¨ [ X
[ G\Y = B (a; ra ) \ Y = B Y (a; ra ) = D: a2D

a2D

2. ® ²¥®°¥¬¥ 2 § ¬ª­³²®±²¼ D ¢ Y ° ¢­®±¨«¼­  ®²ª°»²®±²¨ Y n D ¢ Y . ® ¤®ª § ­­®¬³ ¯®±«¥¤­¥¥ ° ¢­®±¨«¼­® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¾ ² ª®£® ®²ª°»²®£® ¢ X ¬­®¦¥±²¢  G, ·²® Y n D = G \ Y . Ž±² «®±¼ ®¡®§­ ·¨²¼ F = Gc ¨ ³·¥±²¼, ·²® ±®®²­®¸¥­¨¿ D = F \ Y ¨ Y n D = G \ Y ° ¢­®±¨«¼­». ‡ ¬¥· ­¨¥ 7. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¥¤¥«¼­®© ²®·ª¨ ¯°¨¬¥­¨¬® ¨ ª®£¤  X = R, a = ()1 ¨«¨ X | ­®°¬¨°®¢ ­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, a = 1. ’ ª, ¢ R V_+1 = (E; +1); V_ 1 = ( 1; E); V_1 = ( 1; E) [ (E; +1): ‡ ¬¥· ­¨¿ 2 ¨ 3 ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«¼­®© ²®·ª¨ ®±² ¾²±¿ ¢ ±¨«¥, ²°¥¡³¾²±¿ «¨¸¼ ­¥¡®«¼¸¨¥ ¨§¬¥­¥­¨¿ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ µ.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ ¯°¥¤¯®«®¦¨²¼, ·²® ¢ ­¥ª®²®°®© ®ª°¥±²­®±²¨ +1 ±®¤¥°¦¨²±¿ «¨¸¼ ª®­¥·­®¥ ·¨±«® ²®·¥ª x1; : : :xN ¬­®¦¥±²¢  D  R, ²® ¢ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ (R; +1), £¤¥ R = 1max x , ­¥² ²®·¥ª D. 6i6N i ‹¥£ª® ² ª¦¥ ¢¨¤¥²¼, ·²® ­¥®£° ­¨·¥­­®±²¼ D (±¢¥°µ³, ±­¨§³) ° ¢­®±¨«¼­  ²®¬³, ·²® 1 (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, +1, 1) | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. ²® ° ±¸¨°¥­¨¥ ®¡« ±²¨ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ²¥°¬¨­  \¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª " ­¥ ¬¥­¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ § ¬ª­³²®±²¨: ¬­®¦¥±²¢® D ­ §»¢ ¥²±¿ § ¬ª­³²»¬ ¢ X, ¥±«¨ ®­® ±®¤¥°¦¨² ¢±¥ ±¢®¨ ¯°¥¤¥«¼­»¥ ²®·ª¨, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨¥ X.

x 3.

Š®¬¯ ª²­®±²¼, ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®° , ¯®«­®² 

³±²¼ ®²°¥§®ª [a; b] ¯®ª°»² ±¥¬¥©±²¢®¬ ¨­²¥°¢ «®¢: [ [a; b]  (a ; b): 2A

x 3. Š®¬¯ ª²­®±²¼, ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®° , ¯®«­®² 

77

Žª §»¢ ¥²±¿, ·²® ²®£¤  ®²°¥§®ª [a; b] ¬®¦­® ¯®ª°»²¼ ª®­¥·­»¬ ­ ¡®°®¬ ¨­²¥°¢ «®¢ ¨§ ¨±µ®¤­®£® ±¥¬¥©±²¢ :

91; : : :; N 2 A [a; b] 

N [

(ai ; bi ):

i=1

²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ²¥®°¥¬®© ƒ¥©­¥ { ®°¥«¿. „«¿ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ¤°³£®£® ²¨¯  ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­¥¢¥°­®. ’ ª, 1 1  [ ;1 ; (0; 1) = k=2 k ­® ¨­²¥°¢ « (0; 1) ­¥«¼§¿
¯®ª°»²¼ ­¨ª ª¨¬ ª®­¥·­»¬ ­ ¡®°®¬ ¨­²¥°¢ «®¢ ¢¨¤  k1 ; 1 (k 1 2 N). Ž¡®¡¹¥­¨¿ ²¥®°¥¬» ƒ¥©­¥ { ®°¥«¿ ¯°¨¢®¤¿² ª ¯®­¿²¨¾ ª®¬¯ ª²­®±²¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ‘¥¬¥©±²¢® ¬­®¦¥±²¢ S G .fGg2A ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®ª°»²¨¥¬ ¬­®¦¥±²¢  K, ¥±«¨ K   2A ³±²¼ (X; ) | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, K  X. ®ª°»²¨¥ fGg2A ¬­®¦¥±²¢  K ­ §»¢ ¥²±¿ ®²ª°»²»¬, ¥±«¨ ¯°¨ «¾¡®¬  2 A ¬­®¦¥±²¢® G ®²ª°»²® ¢ X. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ®¤¬­®¦¥±²¢® K ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢  X ­ §»¢ ¥²±¿ ª®¬¯ ª²­»¬, ¥±«¨ ¨§ «¾¡®£® ®²ª°»²®£® ¯®ª°»²¨¿ K ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥: [ 8fGg2A : K  G; G ®²ª°»²» ¢ X 2A

91; : : :; N 2 A K 

N [ i=1

Gi :

‚®®¡¹¥ £®¢®°¿, ½²® ±¢®©±²¢® ±«¥¤®¢ «® ¡» ­ §¢ ²¼ ª®¬¯ ª²­®±²¼¾ ¢ X, ² ª ª ª ¥±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼ K ª ª ¯®¤¬­®¦¥±²¢® Y , £¤¥ Y | ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® X, ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨§¬¥­¨²±¿: ¢ ­¥¬ ¢¬¥±²® ¬­®¦¥±²¢, ®²ª°»²»µ ¢ X, ¡³¤³² ³· ±²¢®¢ ²¼ ¬­®¦¥±²¢ , ®²ª°»²»¥ ¢ Y . ‚ · ±²­®±²¨, ¬®¦­® £®¢®°¨²¼ ® ª®¬¯ ª²­®±²¨ K ¢ ±¥¡¥ (Y = K). ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¡¥§° §«¨·­®, ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¯®ª°»²¨¿ K ¬­®¦¥±²¢ ¬¨, ®²ª°»²»¬¨ ¢ X ¨«¨ Y : ±¢®©±²¢® ª®¬¯ ª²­®±²¨ (¢ ®²«¨·¨¥ ®² ®²ª°»²®±²¨ ¨ § ¬ª­³²®±²¨) ­¥ § ¢¨±¨² ®² ®¡º¥¬«¾¹¥£® ¯°®±²° ­±²¢ .

78

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

‹¥¬¬  1. ³±²¼ (X; ) | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, Y | ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® X , K  Y . ’®£¤  ±¢®©±²¢  ª®¬¯ ª²­®±²¨ K ¢ X ¨ Y ° ¢­®±¨«¼­». „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ K ª®¬¯ ª²­® ¢ X. ‚®§¼¬¥¬ ª°»²¨¥ K ¬­®¦¥±²¢ ¬¨ V , ®²ª°»²»¬¨ ¢ Y . ® ²¥®°¥¬¥ V = G \ Y , £¤¥ ¬­®¦¥±²¢  G ®²ª°»²» ¢ X. Œ­®¦¥±²¢  ®¡° §³¾² ¯®ª°»²¨¥ K:

K

[

2A

V 

[

2A

¯®2.4 G

G:

®«¼§³¿±¼ ª®¬¯ ª²­®±²¼¾ K ¢ X, ¨§¢«¥·¥¬ ¨§ ¯®ª°»²¨¿ fGg2A SN ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥: K  Gi . ®, ¯®±ª®«¼ª³ K  Y , K

N [ i=1

i=1

(Gi \ Y ) =

N [ i=1

Vi :

ˆ² ª, ¨§ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ¯®ª°»²¨¿ K ¬­®¦¥±²¢ ¬¨, ®²ª°»²»¬¨ ¢ Y , ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥, ·²® ¨ ®§­ · ¥² ª®¬¯ ª²­®±²¼ K ¢ Y . ³±²¼ ²¥¯¥°¼ K ª®¬¯ ª²­® ¢ Y . ‚®§¼¬¥¬ ¯®ª°»²¨¥ K ¬­®¦¥±²¢ ¬¨ G , ®²ª°»²»¬¨ ¢ X. ®«®¦¨¬ V = G \ Y ; ²®£¤  ¬­®¦¥±²¢  V ®²ª°»²» ¢ Y ¨ ®¡° §³¾² ¯®ª°»²¨¥ K. ‚ ±¨«³ ª®¬¯ ª²­®±²¨ K ¢ Y ¨§ ­¥£® ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥ fVi gNi=1 . ® ²®£¤  fGi gNi=1 | ²®¦¥ ¯®ª°»²¨¥ K, ¨ ª®¬¯ ª²­®±²¼ K ¢ X ¤®ª § ­ .  Š®¬¯ ª²­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ­ §»¢ ¾² ² ª¦¥ ª®¬¯ ª²­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬ ¨«¨ ª®¬¯ ª²®¬. ’¥®°¥¬  1. °®±²¥©¸¨¥ ±¢®©±²¢  ª®¬¯ ª²®¢. ³±²¼

(X; ) | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, K  X . 1. …±«¨ K ª®¬¯ ª²­®, ²® K § ¬ª­³²® ¨ ®£° ­¨·¥­®. 2. …±«¨ X ª®¬¯ ª²­®,   K § ¬ª­³²®, ²® K ª®¬¯ ª²­®. „®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. „®ª ¦¥¬, ·²® K c ®²ª°»²®. ‚®§¼¬¥¬ ²®·ª³ a 2 K c ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® a | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  K c ; ¢ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ a ½²® ¨ ¡³¤¥² ®§­ · ²¼, ·²® K c ®²ª°»²®. „«¿ ª ¦¤®©

x 3. Š®¬¯ ª²­®±²¼, ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®° , ¯®«­®² 

79

²®·ª¨ q 2 K ¯®«®¦¨¬ rq = (q;2 a) ; Vq = B(a; rq ); Wq = B(q; rq ): ’®£¤  Vq \ Wq = ?. ‘¥¬¥©±²¢® fWq gq2K | ®²ª°»²®¥ ¯®ª°»²¨¥ ª®¬¯ ª²  K. ˆ§¢«¥·¥¬ ¨§ ­¥£® ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥ fWqi gNi=1 : SN TN K  Wqi = W . ’®£¤  V = Vqi | ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ a, i=1 i=1 ¯°¨·¥¬ V \ W = ?. ’¥¬ ¡®«¥¥, V \ K = ?, ²® ¥±²¼ V  K c : „®ª ¦¥¬, ·²® K ®£° ­¨·¥­®. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ²®·ª³ a 2 X ¨ ° ±±¬®²°¨¬ ¯®ª°»²¨¥ ¬­®¦¥±²¢  K ®²ª°»²»¬¨ ¸ ° ¬¨ fB(a; n)g1 n=1. ‚ ±¨«³ ª®¬¯ ª²­®±²¨ K ¯®ª°»¢ ¥²±¿ ª®­¥·­»¬ ­ ¡®°®¬ ¸ °®¢   fB(a; ni )gNi=1 ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ¸ °¥ B a; 1max n . 6i6N i 2. ³±²¼ fGg2A | ®²ª°»²®¥ ¯®ª°»²¨¥ K. ’®£¤ , ¯®±ª®«¼ª³ K § ¬ª­³²®, fGg2A [ fK cg | ®²ª°»²®¥ ¯®ª°»²¨¥ X. ®«¼§³¿±¼ ª®¬¯ ª²­®±²¼¾ X, ¨§¢«¥·¥¬ ¨§ ­¥£® ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥ X: SN X = Gi [ K c . ® ²®£¤  fGi gNi=1 | ¯®ª°»²¨¥ K.  i=1 ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. „ «¥¥ ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ Rm ¢¥°­® ®¡° ¹¥­¨¥ ¯¥°¢®£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ²¥®°¥¬»: ¥±«¨

¬­®¦¥±²¢® § ¬ª­³²® ¨ ®£° ­¨·¥­®, ²® ®­® ª®¬¯ ª²­®. ‚ ¯°®¨§¢®«¼­®¬ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ ½²® ®¡° ¹¥­¨¥, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥¢¥°­®. ‘«¥¤³¾¹ ¿ «¥¬¬  ±«³¦¨² ®¡®¡¹¥­¨¥¬  ª±¨®¬» ® ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª µ ­  ¬­®£®¬¥°­»© ±«³· © ¨ ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ¯®±«¥¤­¥©.  | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢«®‹¥¬¬  2. ³±²¼ [a(n); b(n)] 1 n=1 ¦¥­­»µ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤®¢ ¢

Rm, ²® ¥±²¼

a(kn) 6 a(kn+1) 6 b(kn+1) 6 b(kn) ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N ¨ k 2 [1 : m]. ’®£¤ 

T1 [a(n); b(n)] 6= ?.

n=1

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ ª ¦¤®¬ k 2 [1 : m] ¨¬¥¥¬ ¯®±«¥¤®¢   . ®  ª±¨®¬¥ Š ­²¥«¼­®±²¼ ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª®¢ a(kn) ; b(kn) 1 n=1   ²®°  ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  xk , ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ ¢±¥¬ ®²°¥§ª ¬ a(kn) ; b(kn) .

80

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

’®£«  m-¬¥°­ ¿ ²®·ª  x = (x1 ; : : :; xm) ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ¢±¥¬ ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¬ [a(n); b(n)]. 

‹¥¬¬  3. ‡ ¬ª­³²»© ª³¡ ¢ Rm ª®¬¯ ª²¥­. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ I = [a; b] | ª³¡ ¢ Rm,  | ¥£® ¤¨ £®­ «¼. „®¯³±²¨¬, ·²® I ­¥ ª®¬¯ ª²¥­. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ fGg ² ª®¥

®²ª°»²®¥ ¯®ª°»²¨¥ I, ¨§ ª®²®°®£® ­¥«¼§¿ ¨§¢«¥·¼ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥.  §¤¥«¨¢ ª ¦¤»© ®²°¥§®ª [ak; bk ] ¯®¯®« ¬, ° §®¡¼¥¬ ª³¡ I ­  2m ª³¡®¢. ‘°¥¤¨ ­¨µ ­ ©¤¥²±¿ ²®², ª®²®°»© ­¥ ¯®ª°»¢ ¥²±¿ ­¨ª ª¨¬ ª®­¥·­»¬ ­ ¡®°®¬ ¬­®¦¥±²¢ ¨§ ±¥¬¥©±²¢  fGg (² ª ª ª ¨­ ·¥ ª³¡ I ¯®ª°»¢ «±¿ ¡» ª®­¥·­»¬ ­ ¡®°®¬ ¬­®¦¥±²¢ ¨§ ±¥¬¥©±²¢  fGg). Ž¡®§­ ·¨¬ ½²®² ª³¡ (¥±«¨ ² ª¨µ ª³¡®¢ ­¥±ª®«¼ª® | ²® ¢±¥ ° ¢­®, ª ª®©) ·¥°¥§ I1 . °®¤®«¦ ¿ ¯°®¶¥±± ¤¥«¥­¨¿ ¨ ¤ «¥¥, ¯®«³·¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢«®¦¥­­»µ § ¬ª­³²»µ ª³¡®¢ fIng1 n=1 ±® ±«¥¤³¾¹¨¬¨ ±¢®©±²¢ ¬¨: 1) I  I1  I2  : : :, 2) In ­¥ ¯®ª°»¢ ¥²±¿ ­¨ª ª¨¬ ª®­¥·­»¬ ­ ¡®°®¬ ¬­®¦¥±²¢ ¨§ ±¥¬¥©±²¢  fGg, 3) …±«¨ x; y 2 In , ²® jx yj 6 2n . ® «¥¬¬¥ 2 ±³¹¥±²¢³¥² ²®·ª  x , ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢±¥¬ ª³¡ ¬ In . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, x 2 I. ’®£¤  x ¯°¨­ ¤«¥¦¨² ­¥ª®²®°®¬³ ½«¥¬¥­²³ ¯®ª°»²¨¿ G . ®±ª®«¼ª³ G ®²ª°»²®, ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ r > 0, ·²® B(x ; r)  G . ’ ª ª ª 2n n!1 ! 0, ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ n, ·²® 2n < r. ® ±¢®©±²¢³ 3) ¤«¿ «¾¡®© ²®·ª¨ y 2 In ¡³¤¥² jy x j 6 2n < r, ²® ¥±²¼ In  B(x ; r). ‡­ ·¨², ª³¡ In ¯®ª°»¢ ¥²±¿ ®¤­¨¬ ¬­®¦¥±²¢®¬ G , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ±¢®©±²¢³ 2).  Š®¬¯ ª²­®±²¼ ¡»¢ ¥² ³¤®¡­® µ ° ª²¥°¨§®¢ ²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ fxng1 n=1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ X, fnk g1 | ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­ k=1 ²³° «¼­»µ ·¨±¥« (²® ¥±²¼ nk < nk+1 ¤«¿ ¢±¥µ k 2 N). ˆµ ª®¬¯®§¨¶¨¿ (fxng | ¢­¥¸­¥¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥, fnk g | ¢­³²°¥­­¥¥) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ fxnk g. ‘²°®£®¥ ¢®§° ±² ­¨¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¨­¤¥ª±®¢ fnk g ¢»° ¦ ¥² ²®² ´ ª², ·²® ·«¥­» ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ° ±¯®«®¦¥­»

x 3. Š®¬¯ ª²­®±²¼, ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®° , ¯®«­®² 

81

\¢ ²®¬ ¦¥ ¯®°¿¤ª¥", ·²® ¨ ·«¥­» ¨±µ®¤­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ’ ª, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ f2; 4; 6; 8; : :: g ¨ f1; 4; 9; 16; :: : g | ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ f1; 2; 3; 4; :: : g (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, nk = 2k ¨ nk = k2 ),   ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ f1; 1; 2; 3; : :: g ¨ f2; 1; 3; 4; ::: g | ­¥². ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. „«¿ ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¥© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fnk g ¯°¨ ¢±¥µ k ¡³¤¥² nk > k. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, n1 > 1 (¡ §  ¨­¤³ª¶¨¨), ¨ ¨§ ­¥° ¢¥­±²¢  nk > k ±«¥¤³¥², ·²® nk+1 > nk +1 > k +1 (¨­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤). ‹¥¬¬  4. ‚±¿ª ¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¿¹¥©±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ±µ®¤¨²±¿, ¨ ¯°¨²®¬ ª ²®¬³ ¦¥ ¯°¥¤¥«³: ¥±«¨ fxng | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ X , fxnk g | ¥¥ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, a 2 X , xn ! a, ²® xnk ! a. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥« 

±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® (xn ; a) < " ¤«¿ ¢±¥µ n > N. ® ²®£¤ , ¥±«¨ k > N, ²® ¯® § ¬¥· ­¨¾ 1 ¨ nk > N,   §­ ·¨², (xnk ; a) < ".  ‹¥¬¬  5. ³±²¼ fxng | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ X , fxnk g ¨ fxml g | ¥¥ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ¯°¨·¥¬ ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ ¬­®¦¥±²¢ ¨µ ¨­¤¥ª±®¢ ° ¢­® N, a 2 X . ’®£¤ , ¥±«¨ xnk ! a, xml ! a, ²® ¨ xn ! a. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ®¤­®© ¨ ¤°³£®© ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ­®¬¥°  K ¨ L, ·²® (xnk ; a) < " ¤«¿ ¢±¥µ k > K, (10) (xml ; a) < " ¤«¿ ¢±¥µ l > L. (11) ®«®¦¨¬ N = maxfnK ; mL g. …±«¨ n > N, ²® ¨«¨ n ° ¢­® ­¥ª®²®°®¬³ nk , ¯°¨·¥¬ k > K,   ²®£¤  (xn; a) < " ¢ ±¨«³ (10), ¨«¨ n ° ¢­® ­¥ª®²®°®¬³ ml , ¯°¨·¥¬ l > L,   ²®£¤  (xn ; a) < " ¢ ±¨«³ (11).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‹¥¬¬» 4 ¨ 5 ±®µ° ­¿¾² ±¨«³ ¤«¿ a = 1 (¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥) ¨ ¤«¿ a = 1 (¤«¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©). ‚ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ±«¥¤³¥² § ¬¥­¨²¼ ­¥° ¢¥­±²¢  ¢¨¤  (xn ; a) < " ­  jxnj > E ¨ ².¯. ¨«¨ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¿§»ª®¬ ®ª°¥±²­®±²¥©.

82

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

’¥®°¥¬  2. • ° ª²¥°¨±²¨ª  ª®¬¯ ª²®¢ ¢ Rm. ³±²¼ K  Rm. ’®£¤  ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ° ¢­®±¨«¼­».

1. K § ¬ª­³²® ¨ ®£° ­¨·¥­®. 2. K ª®¬¯ ª²­®. 3. ˆ§ ¢±¿ª®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

²®·¥ª K ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ¨¬¥¾¹³¾ ¯°¥¤¥«, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨© K .

¯°®¢¥¤¥¬ ¯® ±µ¥¬¥ 1 ) 2 ) 3 ) 1. 1 ) 2. ®±ª®«¼ª³ K ®£° ­¨·¥­®, K ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ­¥ª®²®°®¬ § ¬ª­³²®¬ ª³¡¥ I. ’®£¤  K § ¬ª­³²® ¢ I ¯® ²¥®°¥¬¥ 2.4, ² ª ª ª K = K \ I ¨ K § ¬ª­³²® ¢ Rm. Š³¡ I ª®¬¯ ª²¥­ ¯® «¥¬¬¥ 3. ® ²¥®°¥¬¥ 1 § ª«¾· ¥¬, ·²® K ª®¬¯ ª²­® ª ª § ¬ª­³²®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ª®¬¯ ª² . 2 ) 3. ³±²¼ fx(n)g1 n=1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ K; ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ D ¬­®¦¥±²¢® ¥¥ §­ ·¥­¨©. …±«¨ D ª®­¥·­®, ²® ¨§ fx(n)g ¬®¦­® ¢»¤¥«¨²¼ ±² ¶¨®­ °­³¾ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ¯°¨·¥¬ ¥¥ ¯°¥¤¥« ¡³¤¥² ±®¢¯ ¤ ²¼ ±® §­ ·¥­¨¥¬ ¨, §­ ·¨², ¯°¨­ ¤«¥¦ ²¼ K. ‘®¤¥°¦ ²¥«¥­ ±«³· ©, ª®£¤  D ¡¥±ª®­¥·­®. „®ª ¦¥¬ ®² ¯°®²¨¢­®£®, ·²® ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ¢ K ¥±²¼ ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. …±«¨ ¢ K ­¥² ¯°¥¤¥«¼­»µ ²®·¥ª D, ²® ³ ª ¦¤®© ²®·ª¨ q 2 K ­ ©¤¥²±¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Vq , ±®¤¥°¦ ¹ ¿ ­¥ ¡®«¥¥ ®¤­®© ²®·ª¨ ¬­®¦¥±²¢  D. ’®£¤  ¯®«³· ¥¬ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ± ª®¬¯ ª²­®±²¼¾ K: fVq gq2K | ®²ª°»²®¥ ¯®ª°»²¨¥ K, ¨§ ª®²®°®£® ­¥«¼§¿ ¨§¢«¥·¼ ª®­¥·­®£® ¯®¤¯®ª°»²¨¿ ­¥ ²®«¼ª® K, ­® ¤ ¦¥ D. ³±²¼ a 2 K | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. ’®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° n1, ¤«¿ ª®²®°®£® (x(n1 ) ; a) < 1. ’ ª ª ª ¬­®¦¥±²¢® B(a; 21 ) \ D ¡¥±ª®­¥·­®, ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° n2 > n1, ¤«¿ ª®²®°®£® (x(n2 ) ; a) < 12 . ²®² ¯°®¶¥±± ¯°®¤®«¦ ¥¬ ­¥®£° ­¨·¥­­®: ­  ¸ £¥ ± ­®¬¥°®¬ k, ¯®±ª®«¼ª³ ¬­®¦¥±²¢® B(a; k1 ) \ D ¡¥±ª®­¥·­®, ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° nk > nk 1, ¤«¿ ª®²®°®£® (x(nk ) ; a) < k1 . ® ¯®±²°®¥­¨¾ fx(nk) g | ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ¨ x(nk ) ! a. 3 ) 1. …±«¨ K ­¥ ®£° ­¨·¥­®, ²® ¤«¿ ª ¦¤®£® ­ ²³° «¼­®£® n ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  y(n) 2 K, ·²® jy(n) j > n. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fy(n) g ±²°¥¬¨²±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨,   ²®£¤  ¨§ ­¥¥ ­¥«¼§¿ ¢»¤¥«¨²¼ ±µ®¤¿¹³¾±¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ² ª ª ª ¯® «¥¬¬¥ 4 «¾¡ ¿ ¥¥ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±²°¥¬¨²±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨. …±«¨ ¦¥ K ­¥ § ¬ª­³²®, ²® ³ K ¥±²¼ ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  b, ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ K. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼„®ª § ²¥«¼±²¢®

x 3. Š®¬¯ ª²­®±²¼, ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®° , ¯®«­®² 

83

­®±²¼ ²®·¥ª K, ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª b. ® ²®£¤  ¯® «¥¬¬¥ 4 «¾¡ ¿ ¥¥ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ² ª¦¥ ±²°¥¬¨²±¿ ª b ¨, §­ ·¨², ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥« , ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¥£® K.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ¢ Rm ¢±¿ª®¥ § ¬ª­³²®¥ ®£° ­¨·¥­­®¥ ¬­®¦¥±²¢® ª®¬¯ ª²­® (¨¬¯«¨ª ¶¨¾ 1 ) 2), ¨ ¥£® · ±²­»© ±«³· © | «¥¬¬³ 3 | ­ §»¢ ¾² ²¥®°¥¬®© ƒ¥©­¥ { ®°¥«¿.

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. Š ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼, ¨¬¯«¨ª ¶¨¿ 2 ) 1 ¢¥°­  ¢ «¾¡®¬ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ (²¥®°¥¬  1),   1 ) 2 | ­¥ ¢ «¾¡®¬.   ± ¬®¬ ¤¥«¥, ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 2 ¨ 3 ° ¢­®±¨«¼­» ¢ «¾¡®¬ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. „®ª § ²¥«¼±²¢® 2 ) 3 ±®µ° ­¿¥² ±¨«³ ¢ «¾¡®¬ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ 3 ) 2 ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ ®±² ¢¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . ‘¢®©±²¢® 3 ­ §»¢ ¥²±¿ ±¥ª¢¥­¶¨ «¼­®© ª®¬¯ ª²­®±²¼¾ K. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ‚ µ®¤¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» ³±² ­®¢«¥­®, ·²® ¢±¿ª®¥ ¡¥±ª®­¥·­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® ª®¬¯ ª²  K  Rm ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥«¼­³¾ ²®·ª³, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹³¾ K. —¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ³¡¥¤¨²¼±¿ ± ¬®¬³, ·²® ½²® ±¢®©±²¢® ¬­®¦¥±²¢  K ° ¢­®±¨«¼­® ª®¬¯ ª²­®±²¨. ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. °¨­¶¨¯ ¢»¡®°  ®«¼¶ ­® { ‚¥©¥°¸²° ±± . ˆ§ ¢±¿ª®© ®£° ­¨·¥­­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ Rm ¬®¦­®

¨§¢«¥·¼ ±µ®¤¿¹³¾±¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚ ±¨«³ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ¢±¥ ·«¥­» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯°¨­ ¤«¥¦ ² ­¥ª®²®°®¬³ § ¬ª­³²®¬³ ª³¡³ I. ®±ª®«¼ª³ I ª®¬¯ ª²¥­, ¨§ ½²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ¨¬¥¾¹³¾ ¯°¥¤¥«, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨© I.  ‘«¥¤³¾¹¥¥ § ¬¥· ­¨¥ ¤®¯®«­¿¥² ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®°  ¤«¿ ­¥®£° ­¨·¥­­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©.

‡ ¬¥· ­¨¥ 4. …±«¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ­¥ ®£° ­¨·¥­  (±¢¥°µ³, ±­¨§³), ²® ¨§ ­¥¥ ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ±²°¥¬¿¹³¾±¿ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ (¯«¾± ¡¥±ª®­¥·­®±²¨, ¬¨­³± ¡¥±ª®­¥·­®±²¨). „«¿ ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ ¡¥§ §­ ª  ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­® ¨ ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥.

84

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ¤®ª ¦¥¬ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤«¿ +1. ’ ª ª ª ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³, ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° n1, ¤«¿ ª®²®°®£® xn1 > 1. „ «¥¥, ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° n2 > n1, ¤«¿ ª®²®°®£® xn2 > 2 (¨­ ·¥ fxng ¡»«  ¡» ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³ ·¨±«®¬ maxfx1; : : :; xn1 ; 2g). ²®² ¯°®¶¥±± ¯°®¤®«¦ ¥¬ ­¥®£° ­¨·¥­­®: ­  ¸ £¥ ± ­®¬¥°®¬ k ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° nk > nk 1, ¤«¿ ª®²®°®£® xnk > k. ® § ¬¥· ­¨¾ 7 ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¯°¥¤¥«  xnk ! +1.  Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ fxng1 n=1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ X. ƒ®¢®°¿², ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±µ®¤¨²±¿ ¢ ±¥¡¥ , ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n ¨ l, ¡®«¼¸¨µ N, ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® (xn ; xl ) < ": 8" > 0 9N 8n; l > N (xn ; xl ) < ": ‘µ®¤¿¹³¾±¿ ¢ ±¥¡¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ² ª¦¥ ­ §»¢ ¾² ´³­¤ ¬¥­² «¼­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ ¨«¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼¾ Š®¸¨. Š ª ¢¨¤­®, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¢ ±¥¡¥ ²°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ·«¥­» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ± ¤®±² ²®·­® ¡®«¼¸¨¬¨ ­®¬¥° ¬¨ ¡»«¨ ¡«¨§ª¨ ­¥ ª ²®·ª¥ a,   ¤°³£ ª ¤°³£³. ‹¥¬¬  6. 1. ‘µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±¥¡¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ®£° ­¨·¥­ .

2. …±«¨ ³ ±µ®¤¿¹¥©±¿ ¢ ±¥¡¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¥±²¼ ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ²® ± ¬  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¨²±¿.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ®«¼§³¿±¼ ±µ®¤¨¬®±²¼¾ fxng ¢ ±¥¡¥, ¯®¤¡¥°¥¬ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ n; l > N ¡³¤¥² (xn; xl ) < 1. ‚ · ±²­®±²¨, ²®£¤  (xn ; xN +1 ) < 1 ¤«¿ ¢±¥µ n > N. ³±²¼ b 2 X. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ ¢±¥µ n > N ¯® ­¥° ¢¥­±²¢³ ²°¥³£®«¼­¨ª  (xn ; b) < 1 + (xN +1 ; b). ®«®¦¨¬ R = maxf(x1 ; b); : : :; (xN ; b); 1 + (xN +1 ; b)g; ²®£¤  (xn ; b) 6 R ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n. 2. ³±²¼ fxng ±µ®¤¨²±¿ ¢ ±¥¡¥, xnk ! a. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° K, ·²® (xnk ; a) < "2

x 3. Š®¬¯ ª²­®±²¼, ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®° , ¯®«­®² 

85

¤«¿ ¢±¥µ k > K,   ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¢ ±¥¡¥ ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® (xn ; xl ) < 2" ¤«¿ ¢±¥µ n; l > N. ®ª ¦¥¬, ·²® ­ ©¤¥­­®¥ N | ²°¥¡³¥¬®¥ ¤«¿ " ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯°¥¤¥« . ³±²¼ n > N. ®«®¦¨¬ M = maxfN + 1; K + 1g; ²®£¤  nM > nN +1 > nN > N ¨,  ­ «®£¨·­®, nM > K. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, (xn ; a) 6 (xn ; xnM ) + (xnM ; a) < 2" + "2 = ": ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ½²® ¨ ®§­ · ¥², ·²® xn ! a.  ’¥®°¥¬  3. 1. ‚® ¢±¿ª®¬ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ «¾¡ ¿

±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¨²±¿ ¢ ±¥¡¥. 2. ‚ Rm «¾¡ ¿ ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±¥¡¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¨²±¿.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. Ž¡®§­ ·¨¬ limxn = a. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® (xn ; a) < "2 ¤«¿ ¢±¥µ n > N. ’®£¤  ¤«¿ ¢±¥µ n; m > N (xn ; xm ) 6 (xn ; a) + (a; xm ) < 2" + "2 = ": ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ½²® ¨ §­ ·¨², ·²® fxng ±µ®¤¨²±¿ ¢ ±¥¡¥. 2. ³±²¼ fx(n)g | ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±¥¡¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢ Rm. ® ¯³­ª²³ 1 «¥¬¬» 6 ®­  ®£° ­¨·¥­ . ® ¯°¨­¶¨¯³ ¢»¡®°  ®«¼¶ ­® { ‚¥©¥°¸²° ±±  ¨§ ­¥¥ ¬®¦­® ¨§¢«¥·¼ ±µ®¤¿¹³¾±¿ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼,   ²®£¤  ¯® ¯³­ª²³ 2 «¥¬¬» 6 ®­  ± ¬  ±µ®¤¨²±¿.  Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. …±«¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ X «¾¡ ¿ ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±¥¡¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¨²±¿, ²® ¯°®±²° ­±²¢® X ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®«­»¬. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ‚²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» 3 ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ² ª: ¯°®±²° ­±²¢® Rm ¯®«­®. °¨¬¥°®¬ ­¥¯®«­®£® ¯°®±²° ­±²¢  ±«³¦¨² Q ª ª ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® R. ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ ¢§¿²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«, ±²°¥¬¿¹³¾±¿ ª ¨°° ¶¨®­ «¼­®¬³p·¨±«³ (­ ¯°¨¬¥°, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¤¥±¿²¨·­»µ ¯°¨¡«¨¦¥­¨© ª 2), ²® ®­  ¡³¤¥² ±µ®¤¨²¼±¿ ¢ ±¥¡¥, ­® ­¥ ¡³¤¥² ¨¬¥²¼ ¯°¥¤¥«  ¢ Q.

86

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. “²¢¥°¦¤¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ¢ Rm ±µ®¤¨¬®±²¼ ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¢ ±¥¡¥ ° ¢­®±¨«¼­», ­ §»¢ ¾² ª°¨²¥°¨¥¬ ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ‘´®°¬³«¨°³¥¬ ¥£®

¥¹¥ ° §.

‚ ¯°®±²° ­±²¢¥ Rm ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fx(n)g ±µ®¤¨²±¿ ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ­®¬¥° N , ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n ¨ l, ¡®«¼¸¨µ N , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jx(n) x(l) j < ":

8" > 0 9N 8n; l > N jx(n) x(l) j < ":

Š°¨²¥°¨© ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ¡»¢ ¥² ³¤®¡¥­ ²¥¬, ·²® ¯®§¢®«¿¥² ¤®ª §»¢ ²¼ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ­¥ ¨±¯®«¼§³¿ ± ¬® §­ ·¥­¨¥ ¯°¥¤¥« .

x 4.

’®·­»¥ £° ­¨¶» ·¨±«®¢»µ ¬­®¦¥±²¢

¨ ¬®­®²®­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

‚ ½²®¬ ¯ ° £° ´¥ ° ±±¬ ²°¨¢ ¾²±¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ƒ®¢®°¿², ·²® f[an; bn]g1 n=1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±²¿£¨¢ ¾¹¨µ±¿ ®²°¥§ª®¢, ¥±«¨ an 6 an+1 6 bn+1 6 bn ¯°¨ ¢±¥µ n ¨ bn an ! 0. ’¥®°¥¬  1. Ž ±²¿£¨¢ ¾¹¨µ±¿ ®²°¥§ª µ.

³±²¼ f[an; bn]g1 n=1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±²¿£¨¢ ¾¹¨µ±¿ ®²°¥§ª®¢. ’®£¤  ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ¢±¥µ ®²°¥§ª®¢ [an ; bn] ±®±²®¨² ¨§ ®¤­®© ²®·ª¨, ²® ¥±²¼

9c 2 R : ¯°¨ ½²®¬ an

! c ¨ bn ! c.

1 \

[an; bn] = fcg;

n=1

’®, ·²® ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ ­¥¯³±²®, ±«¥¤³¥² ¨§  ª1 T ±¨®¬» ® ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª µ. ³±²¼ c; d 2 [an; bn]. „®ª ¦¥¬, n=1 ·²® c = d. ®±ª®«¼ª³ an 6 c 6 bn ¨ an 6 d 6 bn , ¨¬¥¥¬ an bn 6 c d 6 bn an: „®ª § ²¥«¼±²¢®.

x 4. ’®·­»¥ £° ­¨¶» ¨ ¬®­®²®­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

87

® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ 0 6 c d 6 0, ²® ¥±²¼ c = d. ’ ª ª ª 0 6 c an 6 bn an;

0 6 bn c 6 bn an;

¯® ²¥®°¥¬¥ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ an ! c ¨ bn ! c.   ¯®¬­¨¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® E  R ­ §»¢ ¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­»¬ ±¢¥°µ³, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® M, ·²® x 6 M ¤«¿ ¢±¥µ x 2 E. —¨±«® M ¯°¨ ½²®¬ ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥© ¬­®¦¥±²¢  E. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ E  R, E 6= ?, E ®£° ­¨·¥­® ±¢¥°µ³.  ¨¬¥­¼¸ ¿ ¨§ ¢¥°µ­¨µ £° ­¨¶ ¬­®¦¥±²¢  E ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·­®© ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥©, ¨«¨ ¢¥°µ­¥© £° ­¼¾, ¨«¨ ±³¯°¥¬³¬®¬ ¬­®¦¥±²¢  E ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ sup E. €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ²®·­ ¿ ­¨¦­¿¿ £° ­¨¶ . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ E  R, E 6= ?, E ®£° ­¨·¥­® ±­¨§³.  ¨¡®«¼¸ ¿ ¨§ ­¨¦­¨µ £° ­¨¶ ¬­®¦¥±²¢  E ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·­®© ­¨¦­¥© £° ­¨¶¥©, ¨«¨ ­¨¦­¥© £° ­¼¾, ¨«¨ ¨­´¨¬³¬®¬ ¬­®¦¥±²¢  E ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ inf E. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Œ®¦­® § ¯¨± ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢¥°µ­¥© ¨ ­¨¦­¥© £° ­¨ ± ¯®¬®¹¼¾ ­¥° ¢¥­±²¢:

 8x 2 E x 6 b; b = sup E ()  88x" 2> E0 9xx>2a;E : x > b "; a = inf E ()

8" > 0 9x 2 E : x < a + ":

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ±³¯°¥¬³¬  ¯¥°¢ ¿ ±²°®·ª  ®§­ · ¥², ·²® b | ¢¥°µ­¿¿ £° ­¨¶  E,   ¢²®° ¿ | ·²® ­¨ª ª®¥ ·¨±«®, ¬¥­¼¸¥¥ b, ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥© E. Ÿ±­®, ·²® ¥±«¨ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ E ¥±²¼ ­ ¨¡®«¼¸¨© ½«¥¬¥­² (¬ ª±¨¬³¬), ²® ®­ ¨ ¡³¤¥² ¢¥°µ­¥© £° ­¼¾ E. …±«¨ ¦¥ ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ E ­¥² ­ ¨¡®«¼¸¥£® ½«¥¬¥­² , ²® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¢¥°µ­¥© £° ­¨ ²°¥¡³¥² ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . €­ «®£¨·­® ¯®«®¦¥­¨¥ ¤¥« ± ­¨¦­¥© £° ­¼¾.

88

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

’¥®°¥¬  2. ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¢¥°µ­¥© ¨ ­¨¦­¥© £° ­¨. ‚±¿ª®¥ ­¥¯³±²®¥ ®£° ­¨·¥­­®¥ ±¢¥°µ³ (±­¨§³) ¯®¤¬­®¦¥±²¢®

R ¨¬¥¥² ¢¥°µ­¾¾ (­¨¦­¾¾) £° ­¼.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ¤®ª ¦¥¬ ²¥®°¥¬³ ¤«¿ ®£° ­¨·¥­­®£® ±¢¥°µ³ ¬­®¦¥±²¢ ; ¤«¿ ®£° ­¨·¥­­®£® ±­¨§³ ¬­®¦¥±²¢  ¤®ª § ²¥«¼±²¢®  ­ «®£¨·­®. ® ³±«®¢¨¾ ±³¹¥±²¢³¥² ²®·ª  x0 2 E ¨ M | ¢¥°µ­¿¿ £° ­¨¶  E, x0 6 M. Ž¡®§­ ·¨¬ [a1; b1] = [x0; M]. Ž²°¥§®ª [a1; b1] ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ¤¢³¬ ³±«®¢¨¿¬: 1) [a1; b1] \ E 6= ?, 2) (b1 ; +1) \ E = ?.  ±±¬®²°¨¬ ±¥°¥¤¨­³ ®²°¥§ª  [a1; b1] | ²®·ª³ a1 +2 b1 .  ®«®¦¨¬   a + b [a2; b2] = a1 ; 1 2 1 , ¥±«¨ a1 +2 b1 ; b1 \ E = ?, ¨ [a2; b2] = a1 +2 b1 ; b1 , ¥±«¨ a1 +2 b1 ; b1 \ E 6= ?. ‚ ®¡®¨µ ±«³· ¿µ 1) [a2; b2] \ E 6= ?, 2) (b2 ; +1) \ E = ?. „ «¥¥ ° ±±¬®²°¨¬ ±¥°¥¤¨­³ ®²°¥§ª  [a2; b2], ¨ ½²®² ¯°®¶¥±± ¯°®¤®«¦¨¬ ­¥®£° ­¨·¥­­®. ‚ °¥§³«¼² ²¥ ¬» ¯®±²°®¨¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª®¢ [an; bn], ¤«¿ ª®²®°»µ: 1) [an; bn] \ E 6= ?, 2) (bn ; +1) \ E = ?. °¨ ½²®¬ ®²°¥§ª¨ ±²¿£¨¢ ¾¹¨¥±¿: bn an = b21n a11 ! 0. ® ²¥®°¥¬¥ ® ±²¿£¨¢ ¾¹¨µ±¿ ®²°¥§ª µ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª  c, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢±¥¬ ®²°¥§ª ¬ [an; bn], ¯°¨·¥¬ an ! c ¨ bn ! c. °®¢¥°¨¬, ·²® c = sup E. …±«¨ x 2 E, n 2 N, ²® x 6 bn ¯® ±¢®©±²¢³ 2). ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ x 6 c, ²® ¥±²¼ c | ¢¥°µ­¿¿ £° ­¨¶  E. ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® c " ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥© E. ’ ª ª ª an ! c, ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° N, ¤«¿ ª®²®°®£® aN > c " (¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥« , ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , ¤ ¦¥ ¢±¥ an ¡³¤³² ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ½²®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³). ® ±¢®©±²¢³ 1) ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  x 2 [aN ; bN ] \ E,   ²®£¤  x > c ".  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. …±«¨ ¬­®¦¥±²¢® E ­¥ ®£° ­¨·¥­® ±¢¥°µ³, ²® ¯®« £ ¾² sup E = +1,   ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® E ­¥ ®£° ­¨·¥­® ±­¨§³, ²® ¯®« £ ¾² inf E = 1. °¨ ½²®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ±³¯°¥¬³¬ ¨

x 4. ’®·­»¥ £° ­¨¶» ¨ ¬®­®²®­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

89

¨­´¨¬³¬ ¢ R ±³¹¥±²¢³¾² ³ «¾¡®£® ­¥¯³±²®£® ¬­®¦¥±²¢ . Ž£° ­¨·¥­­®±²¼ E ±¢¥°µ³ (±­¨§³) ° ¢­®±¨«¼­  ­¥° ¢¥­±²¢³ sup E < +1 (inf E > 1). „«¿ ¯³±²®£® ¬­®¦¥±²¢  «¾¡®¥ ·¨±«® ±«³¦¨² ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥© ¨, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ¬­®¦¥±²¢® ¢¥°µ­¨µ £° ­¨¶ ­¥ ®£° ­¨·¥­® ±­¨§³. ®½²®¬³ «®£¨·­® ¯®«®¦¨²¼ sup ? = 1. ® ² ª¨¬ ¦¥ ¯°¨·¨­ ¬ ¯®« £ ¾² inf ? = +1. ²® ±®£« ¸¥­¨¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ­¥±ª®«¼ª® ±²° ­­®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³ sup ? < inf ?, ¯®½²®¬³ ¨­®£¤ , ¦¥« ¿ ¥£® ¨§¡¥¦ ²¼, £° ­¨ ¯³±²®£® ¬­®¦¥±²¢  ­¥ ®¯°¥¤¥«¿¾² ¢®¢±¥. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. …±«¨ D  E  R, D 6= ?, ²® sup D 6 sup E ,   inf D > inf E . „®ª § ²¥«¼±²¢®. „®ª ¦¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® ¤«¿ ¢¥°µ­¨µ £° ­¥©; ¤«¿ ­¨¦­¨µ £° ­¥© ¤®ª § ²¥«¼±²¢®  ­ «®£¨·­®. …±«¨ sup E = +1, ²® ­¥° ¢¥­±²¢® ²°¨¢¨ «¼­®. ³±²¼ sup E < +1. …±«¨ x 2 D, ²® x 2 E ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, x 6 sup E, ²® ¥±²¼ sup E | ª ª ¿-²® ¢¥°µ­¿¿ £° ­¨¶  ¬­®¦¥±²¢  D. ® sup D | ­ ¨¬¥­¼¸ ¿ ¢¥°µ­¿¿ £° ­¨¶  D, ¯®½²®¬³ sup D 6 sup E.  „«¿ E; F  R, t 2 R ®¡®§­ ·¨¬ E + F = fx + y : x 2 E; y 2 F g; E = f x : x 2 E g; tE = ftx : x 2 E g: ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. …±«¨ E; F  R, E; F 6= ?, t > 0, ²® sup(E + F ) = sup E + sup F; inf(E + F ) = inf E + inf F; sup(tE) = t sup E; inf(tE) = t inf E; sup( E) = inf E; inf( E) = sup E: ²¨ ° ¢¥­±²¢  ·¨² ²¥«¼ «¥£ª® ¤®ª ¦¥² ± ¬®±²®¿²¥«¼­®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. …±«¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­®§­ ·­ ¿ ´³­ª¶¨¿ f § ¤ ­  ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ²® ¯®¤ ±³¯°¥¬³¬®¬ (¨­´¨¬³¬®¬) ´³­ª¶¨¨ f ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D ¯®­¨¬ ¾² ±³¯°¥¬³¬ (¨­´¨¬³¬) ®¡° §  D: sup f(x) = supff(x) : x 2 Dg = sup f(D); x2D inf f(x) = inf ff(x) : x 2 Dg = inf f(D): x2D

90

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

‚ · ±²­®±²¨, °¥·¼ ¬®¦¥² ¨¤²¨ ® £° ­¿µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¬ ª±¨¬³¬ ¨ ¬¨­¨¬³¬ (­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¥) ´³­ª¶¨¨ ­  ¬­®¦¥±²¢¥. °¨ ½²®¬ ­¥¬³¾ ¯¥°¥¬¥­³¾ ¨­®£¤  ®¯³±ª ¾² ¨, ­ ¯°¨¬¥°, ­ ° ¢­¥ ± sup f(x) ¯¨x2D ¸³² sup f. D ”³­ª¶¨¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ®£° ­¨·¥­­®© (±¢¥°µ³, ±­¨§³) ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¥±«¨ ¬­®¦¥±²¢® f(D) ®£° ­¨·¥­® (±¢¥°µ³, ±­¨§³). ®­¿²¨¥ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ¨¬¥¥² ±¬»±« ¤«¿ ®²®¡° ¦¥­¨© ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ D  X  R. ”³­ª¶¨¿ f: X ! R ­ §»¢ ¥²±¿: ¢®§° ±² ¾¹¥© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1 , x2 ¨§ D, ² ª¨µ ·²® x1 < x2, ¡³¤¥² f(x1 ) 6 f(x2 ); ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¥© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1, x2 ¨§ D, ² ª¨µ ·²® x1 < x2, ¡³¤¥² f(x1 ) < f(x2 ); ³¡»¢ ¾¹¥© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1 , x2 ¨§ D, ² ª¨µ ·²® x1 < x2, ¡³¤¥² f(x1 ) > f(x2 ); ±²°®£® ³¡»¢ ¾¹¥© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1, x2 ¨§ D, ² ª¨µ ·²® x1 < x2, ¡³¤¥² f(x1 ) > f(x2 ). ‚®§° ±² ¾¹¨¥ ¨ ³¡»¢ ¾¹¨¥ ´³­ª¶¨¨ ­ §»¢ ¾²±¿ ¬®­®²®­­»¬¨ ,   ±²°®£® ³¡»¢ ¾¹¨¥ ¨ ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¨¥ | ±²°®£® ¬®­®²®­­»¬¨.

ˆ­®£¤  ´³­ª¶¨¨, ª®²®°»¥ ²®«¼ª® ·²® ¡»«¨ ­ §¢ ­» ¢®§° ±² ¾¹¨¬¨ (³¡»¢ ¾¹¨¬¨), ­ §»¢ ¾² ­¥³¡»¢ ¾¹¨¬¨ (­¥¢®§° ±² ¾¹¨¬¨),   ²¥, ·²® ¡»«¨ ­ §¢ ­» ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¨¬¨ (±²°®£® ³¡»¢ ¾¹¨¬¨), ­ §»¢ ¾² ¢®§° ±² ¾¹¨¬¨ (³¡»¢ ¾¹¨¬¨). Š ª®© ²¥°¬¨­®«®£¨¥© ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ | ¤¥«® ¢ª³± ; ¬» ¢ ª³°±¥ ¡³¤¥¬ ¯°¨¤¥°¦¨¢ ²¼±¿ ¯¥°¢®­ · «¼­® ±´®°¬³«¨°®¢ ­­»µ ®¯°¥¤¥«¥­¨©. ‘´®°¬³«¨°³¥¬ ®²¤¥«¼­® · ±²­»© ±«³· © ½²®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¤«¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ‚¥¹¥±²¢¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng1 n=1 ­ §»¢ ¥²±¿: ¢®§° ±² ¾¹¥©, ¥±«¨ xn 6 xn+1 ¤«¿ ¢±¥µ n 2 N; ±²°®£® ¢®§° ±² ¾¹¥©, ¥±«¨ xn < xn+1 ¤«¿ ¢±¥µ n 2 N; ³¡»¢ ¾¹¥©, ¥±«¨ xn > xn+1 ¤«¿ ¢±¥µ n 2 N;

x 4. ’®·­»¥ £° ­¨¶» ¨ ¬®­®²®­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

91

¥±«¨ xn > xn+1 ¤«¿ ¢±¥µ n 2 N. ‹¥£ª® ¢¨¤¥²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¨­¤³ª¶¨¨, ·²® ¤«¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ½²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ° ¢­®±¨«¼­» ¯°¥¤»¤³¹¨¬.  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ xn 6 xn+1 ¤«¿ ¢±¥µ n, ²® xn 6 xm ¤«¿ ¢±¥µ n, m: n < m. Š®£¤  £®¢®°¿², ·²® ´³­ª¶¨¿ ®£° ­¨·¥­  (¢®§° ±² ¥², ¯®«®¦¨²¥«¼­  ¨ ².¯.) ¡¥§ ³ª § ­¨¿ ¬­®¦¥±²¢ , ²® ¨¬¥¾² ¢ ¢¨¤³, ·²® ´³­ª¶¨¿ ®¡« ¤ ¥² ³ª § ­­»¬ ±¢®©±²¢®¬ ­  ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. ±²°®£® ³¡»¢ ¾¹¥©,

’¥®°¥¬  3. °¥¤¥« ¬®­®²®­­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨.

1. ‚±¿ª ¿ ¢®§° ±² ¾¹ ¿ ®£° ­¨·¥­­ ¿ ±¢¥°µ³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¨²±¿. 2. ‚±¿ª ¿ ³¡»¢ ¾¹ ¿ ®£° ­¨·¥­­ ¿ ±­¨§³ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¨²±¿. 3. ‚±¿ª ¿ ¬®­®²®­­ ¿ ®£° ­¨·¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ±µ®¤¨²±¿. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „®ª ¦¥¬ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ³±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³. ® ²¥®°¥¬¥ 2 ±³¹¥±²¢³¥² sup xn = c 2 R. „®ª ¦¥¬, ·²® c = limxn. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® n2N ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±³¯°¥¬³¬  (² ª ª ª c " ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥°µ­¥© £° ­¨¶¥© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨) ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® xN > c ". ‚ ±¨«³ ¢®§° ±² ­¨¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯°¨ «¾¡®¬ n > N ¡³¤¥² xn > xN . ‘­®¢  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±³¯°¥¬³¬  xn 6 c ¯°¨ ¢±¥µ n. ˆ² ª, ¤«¿ «¾¡®£® n > N

c " < xN 6 xn 6 c < c + ": ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ½²® §­ ·¨², ·²® c = limxn. ‚²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­®, ²°¥²¼¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯¥°¢»µ ¤¢³µ.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢®§° ±² ¥² ¨ ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³, ²® ®­  ±²°¥¬¨²±¿ ª ¯«¾± ¡¥±ª®­¥·­®±²¨. …±«¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ³¡»¢ ¥² ¨ ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³, ²® ®­  ±²°¥¬¨²±¿ ª ¬¨­³± ¡¥±ª®­¥·­®±²¨. „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°®¢¥¤¥¬ ¤«¿ ¢®§° ±² ¾¹¥© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng. ‚®§¼¬¥¬ E > 0. ’ ª ª ª fxn g ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³, ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® xN > E. ’®£¤  ¤«¿ «¾¡®£®

92

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

­®¬¥°  n > N ¢ ±¨«³ ¢®§° ±² ­¨¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ²¥¬ ¡®«¥¥ xn > E.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. „®ª § ­®, ·²® «¾¡ ¿ ¬®­®²®­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥« ¢ R, ª®­¥·­»© ¨«¨ ¡¥±ª®­¥·­»©. °¨ ½²®¬ ¤«¿ ¢±¿ª®© ¢®§° ±² ¾¹¥© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ limxn = sup xn;   ¤«¿ ¢±¿ª®© ³¡»¢ ¾¹¥© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

limxn = inf xn:

²®

‹¥¬¬  1. ¥° ¢¥­±²¢® Ÿ. ¥°­³««¨. …±«¨ n 2 Z+, x > 1,

(1 + x)n > 1 + nx:

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ n = 0 ¨ n = 1 (¡ §  ¨­¤³ª¶¨¨) ­¥° ¢¥­±²¢®, ®·¥¢¨¤­®, ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ¢¥°­®¥ ° ¢¥­±²¢®. ‘¤¥« ¥¬ ¨­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤: ¯³±²¼ ­¥° ¢¥­±²¢® ¢¥°­® ¤«¿ ­®¬¥°  n. ’®£¤  (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) > (1 + nx)(1 + x) = = 1 + (n + 1)x + nx2 > 1 + (n + 1)x:  —¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ n > 2 ¨ x 6= 0 ­¥° ¢¥­±²¢® Ÿ.¥°­³««¨ ±²°®£®¥. °¨¬¥° 1. ³±²¼ z 2 C , jz j < 1. „®ª ¦¥¬, ·²® nlim z n = 0. ‚ !1 ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fjz jng ³¡»¢ ¥² ¨ ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³ n ­³«¥¬. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© nlim !1 jz j = a. ¥°¥©¤¿ ¢ ° ¢¥­±²¢¥ jz jn+1 = jz jjz jn ª ¯°¥¤¥«³, ¯®«³·¨¬ a = jz ja ¨«¨ (1 jz j)a = 0. Ž²±¾¤  a = 0, ¯®±ª®«¼ª³ jz j < 1. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, jz jn ! 0, ·²® ° ¢­®±¨«¼­® z n ! 0. 1 1 …±«¨ jz j > 1, ²® z < 1. ® ¤®ª § ­­®¬³ nlim zn = 0,   ²®£¤  !1 lim z n = 1 ¯® «¥¬¬¥ 4 x 1. …±«¨ z = 1, ²® ®·¥¢¨¤­® nlim z n = 1. n!1 !1 °¨ z = 1 ¡»«® ¤®ª § ­®, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fz n g ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥« . —¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ ¢±¥µ z 2 C : jz j = 1, z 6= 1 ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fz n g ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥« .

x 4. ’®·­»¥ £° ­¨¶» ¨ ¬®­®²®­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

93

°¨¬¥°
2. —¨±«® e. „®ª ¦¥¬, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ xn = 1 + n1 n ±µ®¤¨²±¿.
®«®¦¨¬ yn = 1 + n1 n+1. Ÿ±­®, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fyn g ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³ ¥¤¨­¨¶¥©. Š°®¬¥ ²®£®, fyng ³¡»¢ ¥²:

 yn 1 = (1 + n 1 1 )n = ( nn 1 )n = n2 n+1 n 1 = yn (1 + n1 )n+1 ( nn+1 )n+1 n2 1 n     n +1 n 1 > 1+ n+1 n 1 = 1 = 1 + n2 1 1 n n2 1 n

(¬» ¢®±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ­¥° ¢¥­±²¢®¬ ¥°­³««¨). ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, fyn g ±µ®¤¨²±¿,   ²®£¤  ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¥ · ±²­®£® ¨ xn = 1+1yn=n ±µ®¤¨²±¿ ª ²®¬³ ¦¥ ¯°¥¤¥«³. n
no ­ §»Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ 1 + n1 ¢ ¾² ·¨±«®¬ ¥¯¥°  ¨«¨ ®±­®¢ ­¨¥¬ ­ ²³° «¼­»µ «®£ °¨´¬®¢ ¨ ®¡®§­ · ¾² ¡³ª¢®© e:



1 n : e = nlim 1 + !1 n

‚¯®±«¥¤±²¢¨¨ ¬» ¤®ª ¦¥¬, ·²® ·¨±«® e ¨°° ¶¨®­ «¼­® (¡®«¥¥ ²®£®, ®­® ²° ­±¶¥­¤¥­²­®, ²® ¥±²¼ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ª®°­¥¬ ­¨ª ª®£® ¬­®£®·«¥­  ± ¶¥«»¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨), ¨ ³ª ¦¥¬ ±¯®±®¡ ¥£® ¢»·¨±«¥­¨¿ ± «¾¡®© ²®·­®±²¼¾. ®ª  ®²¬¥²¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ , ·²® e = 2; 718281828459045: :: ’¥®°¥¬³ ® ¯°¥¤¥«¥ ¬®­®²®­­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ³¤®¡­® ¯°¨¬¥­¿²¼ ¤«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¯°¥¤¥«®¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, § ¤ ­­»µ °¥ª³°°¥­²­®, ²® ¥±²¼ ± ¯®¬®¹¼¾ ¢»° ¦¥­¨¿ n-£® ·«¥­  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ·¥°¥§ ¯°¥¤»¤³¹¨¥. °¨¬¥° 3. ”®°¬³«  ƒ¥°®­ . ³±²¼ a > 0, x0 > 0,

  a 1 xn+1 = 2 xn + x ; n

n 2 Z+:

(12)

94

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

Ÿ±­®, ·²® xn > 0 ¯°¨ ¢±¥µ n ¨, §­ ·¨², fxng ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³. ‚®±¯®«¼§®¢ ¢¸¨±¼ ®·¥¢¨¤­»¬ ­¥° ¢¥­±²¢®¬ t + 1t > 2;

t > 0;

¯®«³·¨¬, ·²® ¯°¨ ¢±¥µ n 2 Z+

pa  x pa  pa p xn+1 = 2 pna + x > 2
2 = a: n

®½²®¬³ ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N





xn+1 = x2n 1 + xa2 6 xn ; n ²® ¥±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ³¡»¢ ¥². ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®­  ±µ®¤¨²±¿; ®¡®§­ ·¨¬ limxn = . ¥°¥©¤¿ ª ¯°¥¤¥«³ ¢ ° ¢¥­±²¢¥ (12), ¯®«³·¨¬   = 12 + a ; ®²ª³¤  = pa, ² ª ª ªp > 0.  ¢¥­±²¢® limxn = a ­ §»¢ ¥²±¿ ´®°¬³«®© ƒ¥°®­  ¨ ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ¤«¿ ¯°¨¡«¨¦¥­­®£® ¢»·¨±«¥­¨¿ §­ ·¥­¨© ª®°­¿. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ³±²¼ xn > 0 ¯°¨ ¢±¥µ n, lim xxnn+1 < 1. ’®£¤  xn ! 0. Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® nk = 0; lim n!1 an an = 0; lim n!1 n! lim n! = 0: n!1 nn

a > 1; k 2 N; a 2 R;

„®ª § ²¥«¼±²¢® ± ¬®£® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¨ ¥£® ¯°¨«®¦¥­¨© ®±² ¥²±¿ ·¨² ²¥«¾ ¢ ª ·¥±²¢¥ ³¯° ¦­¥­¨¿.

x 4. ’®·­»¥ £° ­¨¶» ¨ ¬®­®²®­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

95

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ’®·ª  a ­ §»¢ ¥²±¿ · ±²¨·­»¬ ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxnk g, ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª a. ƒ®¢®°¿ ® ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¿µ, ¬» ¨¬¥¥¬ ¢ ¢¨¤³ ¨µ · ±²¨·­»¥ ¯°¥¤¥«» ¢ R. Ÿ±­®, ·²® ¯°¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¿¢«¿¥²±¿ ¥¥ · ±²¨·­»¬ ¯°¥¤¥«®¬. —¨±«  1 ¨ 1 | · ±²¨·­»¥ ¯°¥¤¥«» ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ xn = ( 1)n , ² ª ª ª x2k ! 1, x2k+1 ! 1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³. ‚¥«¨·¨­  lim x = lim sup xk n!1 n n!1 k >n

­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥°µ­¨¬ ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng. ³±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³. ‚¥«¨·¨­  lim xn = nlim x !1 kinf >n k

n!1

­ §»¢ ¥²±¿ ­¨¦­¨¬ ¯°¥¤¥«®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ zn = sup xk ¨ yn = inf xk k >n k>n ¨­®£¤  ­ §»¢ ¾² ¢¥°µ­¥© ¨ ­¨¦­¥© ®£¨¡ ¾¹¨¬¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng. …±«¨ fxng ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³, ²® zn = +1 ¯°¨ ¢±¥µ n, ¨ ¯®½²®¬³ ¯®« £ ¾² limxn = +1. ® ² ª¨¬ ¦¥ ¯°¨·¨­ ¬, ¥±«¨ fxng ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³, ¯®« £ ¾² limxn = 1. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‚¥°µ­¨© ¨ ­¨¦­¨© ¯°¥¤¥«» ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯®fxng ±³¹¥±²¢³¾² ¢ R, ¯°¨·¥¬ limxn 6 limxn . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ fxng ®£° ­¨·¥­  ¨ ±¢¥°µ³ ¨ ±­¨§³.

±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

’ ª ª ª ¯°¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ª ¯®¤¬­®¦¥±²¢³ ±³¯°¥¬³¬ ­¥ ³¢¥«¨·¨¢ ¥²±¿,   ¨­´¨¬³¬ ­¥ ³¬¥­¼¸ ¥²±¿, fyng ¢®§° ±² ¥²,   fzn g ³¡»¢ ¥². °¨ ¢±¥µ n y1 6 yn 6 zn 6 z1 : ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¥ ¬®­®²®­­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ¨ fyn g ±µ®¤¿²±¿, ²® ¥±²¼ ±³¹¥±²¢³¾² ª®­¥·­»¥ ¯°¥¤¥«» limyn = limxn ¨ limzn = limxn . ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ limxn 6 limxn.

96

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

…±«¨ fxng ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³, ­® ­¥ ±­¨§³, ²® limxn = 1,   ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fzn g ³¡»¢ ¥². ®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² limxn = limzn 2 [ 1; +1): …±«¨ fxng ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³, ­® ­¥ ±¢¥°µ³, ²® limxn = +1,   ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fyn g ¢®§° ±² ¥², ¯®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² limxn = limyn 2 ( 1; +1]: …±«¨ fxng ­¥ ®£° ­¨·¥­  ­¨ ±¢¥°µ³, ­¨ ±­¨§³, ²® ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ limxn = 1, limxn = +1.  ’¥®°¥¬  4. Ž ¢¥°µ­¥¬ ¨ ­¨¦­¥¬ ¯°¥¤¥«¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. ³±²¼ fxng | ¢¥¹¥±²¢¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼.

’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. 1. ‚¥°µ­¨© ¯°¥¤¥« | ­ ¨¡®«¼¸¨©,   ­¨¦­¨© ¯°¥¤¥« | ­ ¨¬¥­¼¸¨© ¨§ · ±²¨·­»µ ¯°¥¤¥«®¢ fxng. 2. °¥¤¥« fxng ¢ R ±³¹¥±²¢³¥² ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  limxn = limxn. °¨ ½²®¬ limxn ° ¢¥­ ¨µ ®¡¹¥¬³ §­ ·¥­¨¾.

I. ³±²¼ fxng ®£° ­¨·¥­  ¨ ±¢¥°µ³, ¨ ±­¨§³. 1. Ž¡®§­ ·¨¬ b = limxn. „®ª ¦¥¬, ·²® b | · ±²¨·­»© ¯°¥¤¥« fxng, ¤«¿ ·¥£® ¯®±²°®¨¬ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng, ±²°¥¬¿¹³¾±¿ ª b. °¨ ¢±¥µ n ¡³¤¥² zn > b. ®±ª®«¼ª³ „®ª § ²¥«¼±²¢®.

z1 = supfx1; x2; : : : g > b 1; ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° n1, ¤«¿ ª®²®°®£® xn1 > b 1. ®±ª®«¼ª³ zn1 +1 = supfxn1+1 ; xn1+2 ; : : : g > b 12 ; ­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° n2 > n1, ¤«¿ ª®²®°®£® xn2 > b 21 . ²®² ¯°®¶¥±± ¯°®¤®«¦ ¥²±¿ ­¥®£° ­¨·¥­­®: ­  k-¬ ¸ £¥, ª®£¤  ­®¬¥° nk 1 ³¦¥ ¢»¡° ­, ¯®±ª®«¼ª³ znk 1 +1 = supfxnk 1 +1 ; xnk 1+2 ; : : : g > b k1 ;

x 4. ’®·­»¥ £° ­¨¶» ¨ ¬®­®²®­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨

97

­ ©¤¥²±¿ ­®¬¥° nk > nk 1, ¤«¿ ª®²®°®£® xnk > b k1 . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®±²°®¥­  ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxnk g, ·«¥­» ª®²®°®© ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ­¥° ¢¥­±²¢³ b k1 < xnk 6 znk : ®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fznk g ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fzng, ±²°¥¬¿¹¥©±¿ ª b, ²®¦¥ ±²°¥¬¨²±¿ ª b. ® ²¥®°¥¬¥ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¨ xnk ! b. …±«¨ fxml g | ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng, xml ! , ²®, ±¤¥« ¢ ¯°¥¤¥«¼­»© ¯¥°¥µ®¤ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ xml 6 zml , ¯®«³·¨¬, ·²® 6 b, ²® ¥±²¼ b | ­ ¨¡®«¼¸¨© · ±²¨·­»© ¯°¥¤¥« fxng. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® limxn | ­ ¨¬¥­¼¸¨© · ±²¨·­»© ¯°¥¤¥« fxng. 2. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ yn ¨ zn ¯°¨ ¢±¥µ n ¡³¤¥² yn 6 xn 6 zn : …±«¨ limxn = limxn , ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ±³¹¥±²¢³¥² limxn ¨ limxn = limxn = limxn. …±«¨ ¦¥ ±³¹¥±²¢³¥² limxn , ²® ¢±¥ · ±²¨·­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨, ¢ · ±²­®±²¨, ¢¥°µ­¨© ¨ ­¨¦­¨© ¯°¥¤¥«, ± ­¨¬ ±®¢¯ ¤ ¾². II. ³±²¼ fxng ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³, ­® ­¥ ±­¨§³. ’®£¤  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ limxn = 1. ® § ¬¥· ­¨¾ 2 ª ¯°¨­¶¨¯³ ¢»¡®°  ¨§ fxng ¬®¦­® ¢»¡° ²¼ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ±²°¥¬¿¹³¾±¿ ª 1, ²® ¥±²¼ 1 | · ±²¨·­»© ¯°¥¤¥« fxng.  §³¬¥¥²±¿, 1 ¬¥­¼¸¥ «¾¡®£® ¤°³£®£® · ±²¨·­®£® ¯°¥¤¥« , ¥±«¨ ®­¨ ¥±²¼. ’®, ·²® limxn | ­ ¨¡®«¼¸¨© · ±²¨·­»© ¯°¥¤¥« fxng, ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ª ª ¢ · ±²¨ I. …±«¨ limxn = limxn, ²® ¥±²¼ zn ! 1, ²® ¨ xn ! 1, ² ª ª ª xn 6 zn . Ž¡° ²­®, ¥±«¨ limxn = 1, ²® ¨ limxn = 1 ª ª · ±²¨·­»© ¯°¥¤¥«. ‘«³· ©, ª®£¤  fxng ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³, ­® ­¥ ±¢¥°µ³, ° §¡¨° ¥²±¿  ­ «®£¨·­®. III. …±«¨ fxng ­¥ ®£° ­¨·¥­  ­¨ ±¢¥°µ³, ­¨ ±­¨§³, ²® ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ®·¥¢¨¤­®,   ¢²®°®¥ ­¥ °¥ «¨§³¥²±¿.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ’¥®°¥¬  4 ¤ ¥² ¤°³£®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¨­¶¨¯  ¢»¡®°  ®«¼¶ ­® { ‚¥©¥°¸²° ±±  ¢ ®¤­®¬¥°­®¬ ±«³· ¥.

98

ƒ« ¢  2.

®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ

‡ ¬¥· ­¨¥ 4. —¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ¤®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ µ ° ª²¥°¨±²¨ª³ ¢¥°µ­¥£® ¨ ­¨¦­¥£® ¯°¥¤¥«  ± ¯®¬®¹¼¾ ­¥° ¢¥­±²¢:

 8" > 0 9N 8n > N xn < b + "; b = limxn 2 R ()  88"" >> 00 89NN 98nn >> NN xxnn >> ba ";"; a = limx 2 R () n

8" > 0 8N 9n > N xn < a + ":

ƒ‹€‚€ 3. …„…‹› ˆ ……›‚Ž‘’œ Ž’Ž€†…ˆ‰

x 1.

°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ (X; X ) ¨ (Y; Y ) | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , f: D  X ! Y , a 2 X | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, A 2 Y . ’®·ª³ A ­ §»¢ ¾² ¯°¥¤¥«®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ¨ ¯¨¸³² lim f(x) = A ¨«¨ f(x) x!!a A; x!a

¥±«¨ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ®¤­® ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©. 1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  "-¿§»ª¥, ¨«¨ ¯® Š®¸¨. „«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® , ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ²®·¥ª x ¬­®¦¥±²¢  D, ®²«¨·­»µ ®² a ¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ­¥° ¢¥­±²¢³ X (x; a) < , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® Y (f(x); A) < ": 8" > 0 9 > 0 8x 2 D n fag : X (x; a) <  Y (f(x); A) < ": 2. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥©. „«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ VA ²®·ª¨ A ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ²®·ª¨ a, ·²® ®¡° § ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ V_a ± ¬­®¦¥±²¢®¬ D ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ f ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ VA :
8VA 9Va f V_a \ D  VA : 3. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, ¨«¨ ¯® ƒ¥©­¥. „«¿ «¾¡®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D, ®²«¨·­»µ ®² a, ±²°¥¬¿¹¥©±¿ ª a, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ff(xn )g ±²°¥¬¨²±¿ ª A: 8fxng : xn 2 D n fag; xn ! a f(xn ) ! A:

100

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

ƒ®¢®°¿² ² ª¦¥: \f(x) ±²°¥¬¨²±¿ ª A ¯°¨ x, ±²°¥¬¿¹¥¬±¿ ª a". ¥°¥¬¥­­ ¿ x ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  \­¥¬ ¿", ¯®½²®¬³ ¥¥ ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ «¾¡®© ¤°³£®© ¡³ª¢®© ¨«¨ ®¯³±²¨²¼ ¨ ¯¨± ²¼ lim f. a „ ¤¨¬ ®²¤¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  "-¿§»ª¥ ¢ · ±²­®¬ ±«³· ¥ ´³­ª¶¨¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­­®©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: D  R ! R, a 2 R | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, A 2 R. —¨±«® A ­ §»¢ ¾² ¯°¥¤¥«®¬ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ a ¨ ¯¨¸³² lim f(x) = A ¨«¨ f(x) x!!a A; x!a ¥±«¨:

8" > 0 9 > 0 8x 2 D : x 6= a; jx aj <  jf(x) Aj < ": ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ˆ§ ³±«®¢¨¿, ·²® a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, ±«¥¤³¥², ·²® V_a \ D 6= ? ¤«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a, ¨ ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±® ±¢®©±²¢ ¬¨: xn 2 D, xn 6= a, xn ! a. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. …±«¨ ¤¢  ®²®¡° ¦¥­¨¿ f; g: D ! Y ±®¢¯ ¤ ¾² ­  ¬­®¦¥±²¢¥ U_ a \ D, £¤¥ Ua | ª ª ¿-­¨¡³¤¼ ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ a, ¨ f(x) x!!a A, ²® ² ª¦¥ ¨ g(x) x!!a A. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ¯®¤µ®¤¨² ¤«¿ VA ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ¤«¿ f, ²® ®ª°¥±²­®±²¼ Va \ Ua ¯®¤µ®¤¨² ¤«¿ VA ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  ¤«¿ g. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¯°¥¤¥«  ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¢ ²®·ª¥ a | «®ª «¼­®¥ ±¢®©±²¢®: ®­® § ¢¨±¨² ®² ¯®¢¥¤¥­¨¿ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¢ «¾¡®© ­ ¯¥°¥¤ § ¤ ­­®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Ua ²®·ª¨ a, ·²® U_ a  D, ²® ³±«®¢¨¥ x 2 D ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­  "-¿§»ª¥ ¨ ³±«®¢¨¥ xn 2 D ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¬®¦­® ®¯³±²¨²¼,   ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ¯¨± ²¼ f(V_a ) ¢¬¥±²® f(V_a \ D). ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ Va  Ua , ²® V_a \ D = V_ a ,   ¥±«¨ xn 2 X, xn 6= a, xn ! a, ²®, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , xn 2 U_ a ¨, §­ ·¨², xn 2 D.

x 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿

101

‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ‡­ ·¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ­¥ ³· ±²¢³¥² ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«  ¢ ²®·ª¥ a. ®½²®¬³ ¤«¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¨ §­ ·¥­¨¿ ¯°¥¤¥«  ¢ ²®·ª¥ a ­¥±³¹¥±²¢¥­­®, § ¤ ­® «¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ¢ ²®·ª¥ a ¨, ¥±«¨ § ¤ ­®, ²® ª ª ¨¬¥­­®. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¥¤¥«  «¥£ª® ®¡®¡¹ ¥²±¿ ­  ±«³· ¨, ª®£¤  a ¨ (¨«¨) A ° ¢­» +1, 1 ¨«¨ 1. …±«¨ a (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, A) ° ¢­® 1, ²® ¬» ¤®«¦­» ±·¨² ²¼, ·²® X = R (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, Y = R). ‚ ±«³· ¥ a = 1 (A = 1) ¡³¤¥¬ ²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» X (Y ) ¡»«® ­®°¬¨°®¢ ­­»¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬ (¢ · ±²­®±²¨, R, C , Rm). ’°¥¡®¢ ­¨¥, ·²® a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, ±®µ° ­¿¥²±¿ ¨ ¥±«¨ a = ()1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ¢®®¡¹¥ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ­¥ ¬¥­¿¥²±¿, §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ²®£®, ·²® ­¥§ ·¥¬ ¯¨± ²¼ x 6= ()1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  "-¿§»ª¥ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ½²¨µ ±«³· ¿µ ¯®-° §­®¬³. °¨¢¥¤¥¬ ²°¨ ¯°¨¬¥°  (¤«¿ ´³­ª¶¨© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­­®©), ¢®±¯®«¼§®¢ ¢¸¨±¼ «®£¨·¥±ª®© ±¨¬¢®«¨ª®©. 1. ƒ®¢®°¿², ·²® x!lim +1 f(x) = 1, ¥±«¨

8E > 0 9
> 0 8x 2 D : x >
jf(x)j > E: 2. ƒ®¢®°¿², ·²® xlim !a f(x) = 1 (a 2 R), ¥±«¨

8E > 0 9 > 0 8x 2 D n fag : jx aj <  f(x) < E: 3. ƒ®¢®°¿², ·²® xlim !1 f(x) = A (A 2 R), ¥±«¨

8" > 0 9
> 0 8x 2 D : jxj >
jf(x) Aj < ": —¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ± ¬®¬³ ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢ ®±² «¼­»µ ±«³· ¿µ. ‡ ¬¥· ­¨¥ 6. …±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ²®·¥ª ±® ±¢®©±²¢ ¬¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ƒ¥©­¥ (xn 2 D, xn 6= a, xn ! a) ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ff(xn )g ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥«, ²® ¢±¥ ½²¨ ¯°¥¤¥«» ° ¢­» ¬¥¦¤³ ±®¡®© ¨, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ®²®¡° ¦¥­¨¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥« ¢ ²®·ª¥ a.

102

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯³±²¼ xn ; yn 2 D n fag ¤«¿ ¢±¥µ n 2 N, xn ! a, yn ! a, f(xn ) ! A, f(yn ) ! B. ®±²°®¨¬ ­®¢³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fzng: z2n 1 = xn, z2n = yn . ’®£¤  zn 2 D n fag, zn ! a. ®½²®¬³ f(zn ) ±²°¥¬¨²±¿ ª ­¥ª®²®°®¬³ ¯°¥¤¥«³ C. Ž²±¾¤  A = B = C ª ª ¯°¥¤¥«» ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ¨¬¥¾¹¥© ¯°¥¤¥«. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°¥¤¥«  ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¢ ²®·ª¥ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼ «¨¸¼ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¢±¥µ ¯°¥¤¥«®¢ ff(xn )g, £¤¥ xn 2 D, xn 6= a, xn ! a,   ¨µ ° ¢¥­±²¢® ¬®¦­® ­¥ ¯°®¢¥°¿²¼. ‡ ¬¥· ­¨¥ 7. ®­¿²¨¥ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ®¡±³¦¤ ¢¸¥¥±¿ ¢® ¢²®°®© £« ¢¥, | · ±²­»© ±«³· © ¯®­¿²¨¿ ¯°¥¤¥«  ®²®¡° ¦¥­¨¿. ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¤«¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¬­®¦¥±²¢® D ¥±²¼ N,   +1 (1) | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  N (¢ § ¯¨±¨ n ! 1 ¯® ²° ¤¨¶¨¨ ®¯³±ª ¾² §­ ª ¯«¾± ¯¥°¥¤ ¡¥±ª®­¥·­®±²¼¾). ’¨¯¨·­»© ±«³· ©, ª®£¤  ±² ¢¨²±¿ ¢®¯°®± ® ¯°¥¤¥«¥ ´³­ª¶¨¨: ´³­ª¶¨¿ § ¤ ­  ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¢ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a ¨«¨ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ ¢¨¤  hc; a) ¨«¨ (a; bi.  ¢­®±¨«¼­®±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¯°¥¤¥«  ­  "-¿§»ª¥ ¨ ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ®·¥¢¨¤­ : ¢® ¢²®°®¬ § ¯¨± ­® ²® ¦¥, ·²® ¨ ¢ ¯¥°¢®¬, ²®«¼ª® ± ¯®¬®¹¼¾ ¤°³£¨µ ®¡®§­ ·¥­¨©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ±¢®¤¨² ­®¢®¥ ¯®­¿²¨¥ ¯°¥¤¥«  ®²®¡° ¦¥­¨¿ ª ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­­®¬³ ¯®­¿²¨¾ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨.  ¢­®±¨«¼­®±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¯°¥¤¥«  ­  "-¿§»ª¥ ¨ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ²°¥¡³¥² ®²¤¥«¼­®£® ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . ’¥®°¥¬  1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯°¥¤¥«  ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¯® Š®¸¨ ¨ ¯® ƒ¥©­¥ ° ¢­®±¨«¼­». „®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ¤®ª ¦¥¬ ²¥®°¥¬³ ¯°¨ a 2 X, A 2 Y , ®±² ¢¨¢ ±«³· ¨ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¯°¥¤¥«  ¨ ¯°¥¤¥«  ¢ ¡¥±ª®­¥·­® ³¤ «¥­­®© ²®·ª¥ ·¨² ²¥«¾ ¢ ª ·¥±²¢¥ ³¯° ¦¥­­¨¿. 1. ³±²¼ A | ¯°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ¯® Š®¸¨; ¤®ª ¦¥¬, ·²® ²®£¤  A | ¯°¥¤¥« f ¨ ¯® ƒ¥©­¥. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±® ±¢®©±²¢ ¬¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ƒ¥©­¥: xn 2 D, xn 6= a, xn ! a. ’°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® f(xn ) ! A. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ Š®¸¨ ¯®¤¡¥°¥¬ ² ª®¥  > 0, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ x 2 D, ¤«¿ ª®²®°»µ x 6= a ¨ X (x; a) < , ¡³¤¥² Y (f(x); A) < ". ® ®¯°¥¤¥«¥-

x 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿

103

­¨¾ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ¤«¿ ·¨±«   ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¯°¨ ¢±¥µ n > N ¢¥°­® ­¥° ¢¥­±²¢® X (xn ; a) < . ® ²®£¤  Y (f(xn ); A) < " ¤«¿ ¢±¥µ n > N. ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ½²® §­ ·¨², ·²® f(xn ) ! A. 2. ³±²¼ A | ¯°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ¯® ƒ¥©­¥; ¤®ª ¦¥¬, ·²® ²®£¤  A | ¯°¥¤¥« f ¨ ¯® Š®¸¨. °¥¤¯®«®¦¨¬ ¯°®²¨¢­®¥: ¯³±²¼ A ­¥ ¥±²¼ ¯°¥¤¥« ¯® Š®¸¨. ‡ ¯¨±»¢ ¿ ®²°¨¶ ­¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ Š®¸¨, ¯®«³· ¥¬, ·²® ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ ·¨±«® " > 0, ·²® ¤«¿ «¾¡®£®  > 0 ±³¹¥±²¢³¥² x (§ ¢¨±¿¹¥¥ ®² ) ±® ±¢®©±²¢ ¬¨: x 2 D; x 6= a; X (x; a) < ; Y (f(x); A) > " : ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ ª ¦¤®£® n 2 N ¯® ·¨±«³  = n1 ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  xn, ·²® xn 2 D; xn 6= a; X (xn ; a) < n1 ; Y (f(xn ); A) > " : ® ²¥®°¥¬¥ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯®±²°®¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±²°¥¬¨²±¿ ª a, ² ª ª ª 0 < X (xn; a) < n1 : ’®£¤  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ƒ¥©­¥ f(xn ) ! A. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ff(xn )g ¤«¿ ·¨±«  " ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ n > N ¡³¤¥² Y (f(xn ); A) < " , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯®±²°®¥­¨¾.  “±² ­®¢«¥­­ ¿ ° ¢­®±¨«¼­®±²¼ ° §«¨·­»µ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¯°¥¤¥«  ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¯®§¢®«¿¥² ¢»¡¨° ²¼ ­ ¨¡®«¥¥ ³¤®¡­»© ±¯®±®¡ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬ ® ¯°¥¤¥« µ. Š ª ¯° ¢¨«®, ½²¨ ²¥®°¥¬» ¬®£³² ¡»²¼ ¤®ª § ­» ¤¢³¬¿ ±¯®±®¡ ¬¨: ¯®¢²®°¥­¨¥¬ ° ±±³¦¤¥­¨©, ª®²®°»¬¨ ¤®ª §»¢ «¨±¼  ­ «®£¨·­»¥ ²¥®°¥¬» ¤«¿ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, ¨«¨ ±¢¥¤¥­¨¥¬ ª ³¦¥ ¤®ª § ­­»¬ ²¥®°¥¬ ¬ ¤«¿ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ± ¯®¬®¹¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ƒ¥©­¥. — ¹¥ ¬» ¡³¤¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¢²®°»¬ ¯°¨¥¬®¬. ’¥®°¥¬  2. …¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ¯°¥¤¥«  ®²®¡° ¦¥­¨¿.

Ž²®¡° ¦¥­¨¥ ¢ ¤ ­­®© ²®·ª¥ ­¥ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ¯°¥¤¥« : ¥±«¨ X ¨ Y | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , f: D  X ! Y ,

104

ƒ« ¢  3.

a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ A = B.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

²®·ª 

D, A; B 2 Y , f(x) x!!a A, f(x) x!!a B ,

²®

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng: xn 2 D, xn 6= a, xn ! a. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ƒ¥©­¥ f(xn ) ! A ¨ f(xn ) ! B. ® ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ A = B.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ Y = R, ²®, ª ª ¨ ¤«¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, ¢ ²¥®°¥¬¥ 2 ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® A; B 2 R (´³­ª¶¨¿ ­¥ ¬®¦¥² ®¤­®¢°¥¬¥­­® ±²°¥¬¨²¼±¿ ª ·¨±«³ ¨ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¨ ¨«¨ ª ¡¥±ª®­¥·­®±²¿¬ ° §­»µ §­ ª®¢). ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ¥±«¨ f(x) x!!a 1, ²® f(x) x!!a 1.

’¥®°¥¬  3. ‹®ª «¼­ ¿ ®£° ­¨·¥­­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿, ¨¬¥¾¹¥£® ¯°¥¤¥«. ³±²¼ X ¨ Y | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , f: D  X ! Y , a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, A 2 Y , f(x) ! A. x!a ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ²®·ª¨ a, ·²® f ®£° ­¨·¥­® ¢ Va \ D (²® ¥±²¼ f(Va \ D) ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ­¥ª®²®°®¬ ¸ °¥ ¯°®±²° ­±²¢ 

Y ).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ®ª°¥±²­®±²¼ VA = B(A; 1). ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ²®·ª¨ a, ·²® f(V_a \ D)  B(A; 1). …±«¨ a 2= D, ²® ­  ½²®¬ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® § ª ­·¨¢ ¥²±¿, ² ª ª ª V_a \ D = Va \ D. …±«¨ ¦¥ a 2 D, ²®

f(Va \ D)  B(A; R); £¤¥ R = maxf1; Y (f(a); A)g:  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. Ž²®¡° ¦¥­¨¥, ¨¬¥¾¹¥¥ ¯°¥¤¥« ¢ ­¥ª®²®°®© ²®·ª¥ (¨ ¤ ¦¥ ¢® ¢±¥µ ²®·ª µ ±¢®¥© ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿), ­¥ ®¡¿§ ­® ¡»²¼ ®£° ­¨·¥­­»¬. ’ ª®¢», ­ ¯°¨¬¥°, ´³­ª¶¨¨ f(x) = x (x 2 R) ¨ g(x) = x1 (x 2 Rn f0g). ®½²®¬³ ¢ ­ §¢ ­¨¨ ²¥®°¥¬» ¯°¨±³²±²¢³¥² ±«®¢® \«®ª «¼­ ¿". ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. …±«¨ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, Y | ­®°¬¨°®¢ ­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® ± ­³«¥¬ , D  X, a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, g: D ! Y , xlim !a g(x) = B, B 6= , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va , ·²® g(x) 6=  ¤«¿ ¢±¥µ x 2 V_a \ D.

x 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿

105

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ­¥ ² ª: ²®£¤  ¤«¿ «¾¡®£® n 2 N ±³¹¥±²¢³¥² ²®·ª  xn 2 V_a ( n1 ) \ D, ¤«¿ ª®²®°®© g(xn ) = . ®±²°®¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±²°¥¬¨²±¿ ª a. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  g(xn ) ! B, ®²ª³¤  B = , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¾. 

’¥®°¥¬  4. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ®²®¡° ¦¥­¨¿¬¨, ¨¬¥¾¹¨¬¨ ¯°¥¤¥«. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²-

° ­±²¢®, Y | ­®°¬¨°®¢ ­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, D  X , f; g: D ! Y , : D ! R (¨«¨ C ), a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, A; B 2 Y , 0 2 R (¨«¨ C ), f(x) x!!a A, g(x) x!!a B , (x) x!!a 0 . ’®£¤  1. f(x) + g(x) x!!a A + B; 2. (x)f(x) x!!a 0 A; 3. f(x) g(x) x!!a A B; 4. kf(x)k x!!a kAk.

’¥®°¥¬  40. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ´³­ª¶¨¿¬¨, ¨¬¥¾¹¨¬¨ ¯°¥¤¥«. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²-

¢®, f; g: D  X ! R (¨«¨ C ), a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, A; B 2 R, f(x) x!!a A, g(x) x!!a B . ’®£¤  1. f(x) + g(x) x!!a A + B; 2. f(x)g(x) x!!a AB; 3. f(x) g(x) x!!a A B; 4. jf(x)j x!!a jAj; 5. …±«¨, ª°®¬¥ ²®£®, B 6= 0, ²® fg((xx)) x!!a BA .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ‘ ¯®¬®¹¼¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ²¥®°¥¬» 4 ¨ 40 ±¢®¤¿²±¿ ª ²¥®°¥¬ ¬ 5 ¨ 50 ¨§ x 1 £« ¢» 2. „®ª ¦¥¬, ­ ¯°¨¬¥°, ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±® ±¢®©±²¢ ¬¨: xn 2 D, xn 6= a, xn ! a. ’®£¤  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ƒ¥©­¥ f(xn ) ! A, g(xn ) ! B. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¥ ±³¬¬» ¤«¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© f(xn ) + g(xn ) ! A + B. ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ½²® ¨ §­ ·¨², ·²® f(x) + g(x) x!!a A + B. °¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ® ¯°¥¤¥«¥ · ±²­®£® ±«¥¤³¥² ¥¹¥ ³·¥±²¼, ·²® ¯® § ¬¥· ­¨¾ 3 ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va , ·²® · ±²­®¥ fg ®¯°¥¤¥«¥­® ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­ 

106

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

¬­®¦¥±²¢¥ V_a \ D.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ’¥®°¥¬  40 ¢¥°­  ¨ ¤«¿ ¡¥±ª®­¥·­»µ ¯°¥¤¥«®¢, §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ±«³· ¥¢ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ¢¨¤  1 1, 0
1, 00 ¨ 1 . °¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ­³¦­® ±®±« ²¼±¿ ­  ²¥®°¥¬³ 6 x 1 £« ¢» 2. 1 ‡ ¬¥· ­¨¥ 5. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®© ¨ ¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸®© ¯¥°¥­®±¨²±¿ ­  ´³­ª¶¨¨ (¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥). ’ ª, ´³­ª¶¨¿, ±²°¥¬¿¹ ¿±¿ ª ­³«¾ ¢ ²®·ª¥ a, ­ §»¢ ¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®© ¢ ²®·ª¥ a. “²¢¥°¦¤¥­¨¿ ® ²®¬, ·²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®© ´³­ª¶¨¨ ­  ®£° ­¨·¥­­³¾ ¥±²¼ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿, ¨ ® ±¢¿§¨ ¬¥¦¤³ ¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸¨¬¨ ¨ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «»¬¨ ±®µ° ­¿¾² ±¨«³. ‘«¥¤³¾¹¨¥ ²¥®°¥¬» ®²­®±¿²±¿ ª ¢¥¹¥±²¢¥­­®§­ ·­»¬ ´³­ª¶¨¿¬. ’¥®°¥¬  5. °¥¤¥«¼­»© ¯¥°¥µ®¤ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ ¤«¿ ´³­ª¶¨©. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®,

f; g: D  X ! R, a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, f(x) 6 g(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 D n fag, A; B 2 R, f(x) x!!a A, g(x) x!!a B . ’®£¤  A 6 B . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±® ±¢®©±²¢ ¬¨: xn 2 D, xn 6= a, xn ! a. ’®£¤  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ƒ¥©­¥ f(xn ) ! A, g(xn ) ! B. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ ¤«¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© A 6 B.  ’¥®°¥¬  6. Ž ±¦ ²®© ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, f; g; h: D  X ! R, a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, f(x) 6 g(x) 6 h(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 D n fag, A 2 R, f(x) ! A, x!a h(x) x!!a A. ’®£¤  ¨ g(x) x!!a A. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±® ±¢®©±²¢ ¬¨: xn 2 D, xn 6= a, xn ! a. ’®£¤  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ƒ¥©­¥ f(xn ) ! A, h(xn ) ! A. Š°®¬¥ ²®£®, ¯® ³±«®¢¨¾ ¤«¿ ¢±¥µ n 2 N f(xn ) 6 g(xn) 6 h(xn): ® ²¥®°¥¬¥ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ g(xn) ! A. ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ½²® ¨ §­ ·¨², ·²® g(x) x!!a A. 

x 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿

107

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¥±«¨ f(x) 6 g(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 D nfag ¨ f(x) x!!a +1 (g(x) x!!a 1), ²® ¨ g(x) x!!a +1 (f(x) x!!a 1). ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‚ ²¥®°¥¬ µ 5 ¨ 6 ¨ § ¬¥· ­¨¨ 1 ¤®±² ²®·­® ¢»¯®«­¥­¨¿ ­¥° ¢¥­±²¢ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ V_a \D, £¤¥ Va | ª ª ¿-­¨¡³¤¼ ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ a. ³±²¼ f: D  X ! Y , D1  D, a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D1 (  ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ D). ’®£¤ , ¥±«¨ ¯°¥¤¥« f ¢ ²®·ª¥ a ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ A, ²® ¯°¥¤¥« ±³¦¥­¨¿ f ­  D1 ¢ ²®·ª¥ a ² ª¦¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ A. ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ ±®®²­®¸¥­¨¥ f(x) 2 VA ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ x ¨§ V_a \ D, ²® ®­® ²¥¬ ¡®«¥¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ x ¨§ V_a \ D1 . Ž¤­ ª®, ¢®§¬®¦­  ±¨²³ ¶¨¿, ª®£¤  ¯°¥¤¥« ±³¦¥­¨¿ ±³¹¥±²¢³¥²,   ¯°¥¤¥« ¨±µ®¤­®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ | ­¥². Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: D  X ! Y , D1  D, a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ (x) ²®·ª  D1 . °¥¤¥« xlim f !a D1 ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¥¤¥«®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ¯® ¬­®¦¥±²¢³ D1 . Ž¤¨­ ²¨¯¨·­»© ±«³· © ¯°¥¤¥«  ¯® ¬­®¦¥±²¢³ | ¯°¥¤¥« ¯® ª°¨¢®© ­  ¯«®±ª®±²¨ ¨«¨ ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ (¢ n-¬¥°­®¬) ¯°®±²° ­±²¢¥. °¥¤¥« ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxnk g ² ª¦¥ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª · ±²­»© ±«³· © ¯°¥¤¥«  ¯® ¬­®¦¥±²¢³ (  ¨¬¥­­®, ¯® ¬­®¦¥±²¢³ §­ ·¥­¨© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¨­¤¥ª±®¢ fnk g). ’°¥²¨© ²¨¯¨·­»© ±«³· © | ®¤­®±²®°®­­¨© ¯°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿, § ¤ ­­®£® ­  ¯®¤¬­®¦¥±²¢¥ R. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: D  R! Y , a 2 R. 1. …±«¨ a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  D1 = D \ ( 1; a), ²® ¯°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ¯® ¬­®¦¥±²¢³ D1 ­ §»¢ ¥²±¿ «¥¢®±²®°®­­¨¬ ¯°¥¤¥«®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ lim f(x) ¨«¨ f(a ). x!a 2. …±«¨ a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  D2 = D \ (a; +1), ²® ¯°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ¯® ¬­®¦¥±²¢³ D2 ­ §»¢ ¥²±¿ ¯° ¢®±²®°®­­¨¬ ¯°¥¤¥«®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ xlim !a+ f(x) ¨«¨ f(a+). ‚¬¥±²® a ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°¥¤¥«®¢ ¨­®£¤  ¯¨¸³² a  0; ¢»° ¦¥­¨¥ a  0 ±«¥¤³¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ¥¤¨­®¥ ®¡®-

108

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

§­ ·¥­¨¥,   ­¥ ±«®¦¥­¨¥ (¢»·¨² ­¨¥). ‡ ¯¨¸¥¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ «¥¢®±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥«  ­  ° §­»µ ¿§»ª µ.  ¢¥­±²¢® xlim !a f(x) = A (A 2 Y ) ®§­ · ¥², ·²®: 1) 8" > 0 9 > 0 8x 2 D : 0 < a x <  Y (f(x); A) < "; 2) 8VA 9 > 0 8x 2 D : 0 < a x <  f(x) 2 VA ; 3) 8fxng : xn 2 D; xn < a; xn ! a f(xn ) ! A. ‚ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯° ¢®±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥«  ±«¥¤³¥² ­ ¯¨± ²¼ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® 0 < x a <  ¨ xn > a. ‚ § ¯¨±¨ ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ¬®¦­® ¢¢¥±²¨ ±¯¥¶¨ «¼­»¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿ ¤«¿ «¥¢®© ¨ ¯° ¢®© ®ª°¥±²­®±²¨ ¨ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a (¯°®¬¥¦³²ª®¢ (a ; a], [a; a + ), (a ; a), (a; a + )), ­® ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ ¨¬¨ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿. ®¤ «¥¢®±²®°®­­¨¬ ¯°¥¤¥«®¬ ¢ ²®·ª¥ +1 ¨ ¯° ¢®±²®°®­­¨¬ ¯°¥¤¥«®¬ ¢ ²®·ª¥ 1 ¯®­¨¬ ¾² ®¡»·­»© ¯°¥¤¥« ¢ ½²¨µ ²®·ª µ. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ³±²¼ f: D  R! Y , a 2 R, D1 = D \ ( 1; a), D2 = D \ (a; +1), a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D1 ¨ D2 . ’®£¤  ¤«¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°¥¤¥«  f ¢ ²®·ª¥ a ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ®¤­®±²®°®­­¨¥ ¯°¥¤¥«» f ¢ ²®·ª¥ a ±³¹¥±²¢®¢ «¨ ¨ ¡»«¨ ° ¢­» ¤°³£ ¤°³£³. „®ª § ²¥«¼±²¢®. Ÿ±­®, ·²® ¥±«¨ ¯°¥¤¥« ±³¹¥±²¢³¥², ²® ®¤­®±²®°®­­¨¥ ¯°¥¤¥«» ±³¹¥±²¢³¾² ¨ ° ¢­» ¥¬³. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ®¤­®±²®°®­­¨¥ ¯°¥¤¥«» ±³¹¥±²¢³¾² ¨ ° ¢­» A, ²® ¤«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ A ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ 1 ; 2 > 0, ·²® ±®®²­®¸¥­¨¥ f(x) 2 VA ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ x 2 D: 0 < a x < 1 ¨ ¤«¿ ¢±¥µ x 2 D: 0 < x a < 2 . ’®£¤  ®­® ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ x 2 D: 0 < jx aj < , £¤¥  = minf1 ; 2g.  ‚ ³±«®¢¨¿µ § ¬¥· ­¨¿ 1 ¯°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ a ­ §»¢ ¾² ¤¢³±²®°®­­¨¬, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°¥¤¥«®¢. ’¨¯¨·­»© ±«³· ©, ª®£¤  ¢»¯®«­¿¾²±¿ ³±«®¢¨¿ § ¬¥· ­¨¿: ®²®¡° ¦¥­¨¥ § ¤ ­® ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¢ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ a. ’¥®°¥¬  7.

Ž ¯°¥¤¥«¥ ¬®­®²®­­®© ´³­ª¶¨¨. ³±²¼

f: D  R ! R, a 2 ( 1; +1], D1 = D \ ( 1; a), a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D1 . 1. …±«¨ f ¢®§° ±² ¥² ¨ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³ ­  D1 , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« f(a ).

x 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ 2. …±«¨ f ³¡»¢ ¥² ¨ ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³ ­  ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« f(a ).

109

D1 , ²® ±³¹¥±²¢³¥²

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „®ª ¦¥¬ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥; ¢²®°®¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­®. ®«®¦¨¬ A = sup f(x); ²®£¤  A 2 R ¢ ±¨«³ x2D1 ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ´³­ª¶¨¨ ±¢¥°µ³. „®ª ¦¥¬, ·²® f(a ) = A. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¢¥°µ­¥© £° ­¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ²®·ª  x0 2 D1 , ·²® f(x0 ) > A ". ® ²®£¤  ¤«¿ ¢±¥µ ² ª¨µ x 2 D1 , ·²® x > x0, ¢ ±¨«³ ¢®§° ±² ­¨¿ f

A " < f(x0 ) 6 f(x) 6 A < A + ": ’¥¯¥°¼ ¯®«®¦¨¬  = a x0 ¯°¨ a 2 R ¨«¨
= maxfx0 ; 1g ¯°¨ a = +1; ²®£¤  ­¥° ¢¥­±²¢® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯°¥¤¥«  ¢»¯®«­¥­® ¤«¿ ¢±¥µ ² ª¨µ x 2 D, ·²® 0 < a x <  (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, x >
).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. €­ «®£¨·­® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿¬ 1 ¨ 2 ²¥®°¥¬» ¤®ª §»¢ ¾²±¿ ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. 3. …±«¨ f ¢®§° ±² ¥² ¨ ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³ ­  D1 , ²® ¯°¥¤¥« f(a ) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ +1. 4. …±«¨ f ³¡»¢ ¥² ¨ ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³ ­  D1 , ²® ¯°¥¤¥« f(a ) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ 1. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ‘´®°¬³«¨°³¥¬  ­ «®£¨·­³¾ ²¥®°¥¬³ ¤«¿ ¯° ¢®±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥« . ³±²¼ f: D  R ! R, a 2 [ 1; +1), D2 = D \ (a; +1), a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D2 . 1. …±«¨ f ¢®§° ±² ¥² ¨ ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³ ­  D2 , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« f(a+). 2. …±«¨ f ³¡»¢ ¥² ¨ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³ ­  D2 , ²® ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« f(a+). 3. …±«¨ f ¢®§° ±² ¥² ¨ ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±­¨§³ ­  D2 , ²® ¯°¥¤¥« f(a+) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ 1. 4. …±«¨ f ³¡»¢ ¥² ¨ ­¥ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³ ­  D2 , ²® ¯°¥¤¥« f(a+) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ +1. — ¹¥ ¢±¥£® ¢±²°¥· ¾²±¿ ±«³· ¨, ª®£¤  ´³­ª¶¨¿ f § ¤ ­  ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ ¢¨¤  hc; a) ¨«¨ (a; bi.

110

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

’¥®°¥¬  8. Š°¨²¥°¨© ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ¤«¿ ®²®¡° ¦¥­¨©. ³±²¼ X ¨ Y | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , Y ¯®«­®,

f: D  X ! Y , a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. ’®£¤  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¢ ²®·ª¥ a ¯°¥¤¥«  f , ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¥£® Y , ° ¢­®±¨«¼­® ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾. „«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ²®·ª¨ a, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ²®·¥ª x  ¨ x ¬­®¦¥±²¢  D, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ V_a , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® Y (f( x); f(x)) < ":

8 " > 0 9Va 8 x; x 2 V_a \ D Y (f(x); f(x)) < ":

(1)

1. ³±²¼ xlim !a f(x) = A 2 Y . ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ²®·ª¨ a, ·²® Y (f(x); A) < 2" ¤«¿ ¢±¥µ x 2 V_a \ D. ’®£¤ , ¥±«¨ x; x 2 V_a \ D, ²® Y (f(x); f(x)) 6 Y (f(x); A) + Y (A; f(x)) < ": ‚ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ " ³±«®¢¨¥ (1) ¢»¯®«­¥­®. 2. ³±²¼ ¢»¯®«­¥­® ³±«®¢¨¥ (1). „®ª ¦¥¬ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¯°¥¤¥«  f ¢ ²®·ª¥ a ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±® ±¢®©±²¢ ¬¨: xn 2 D, xn 6= a, xn ! a, ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² limf(xn ) 2 Y . ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨ ¯®¤¡¥°¥¬ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ¨§ ³±«®¢¨¿ (1). ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  fxng ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® xn 2 Va ¤«¿ ¢±¥µ n > N; ²®£¤  xn 2 V_a \ D ¤«¿ ²¥µ ¦¥ n. ® ¢»¡®°³ Va ¤«¿ ¢±¥µ n; l > N ¡³¤¥² Y (f(xn ); f(xl )) < ". ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ff(xn )g ±µ®¤¨²±¿ ¢ ±¥¡¥ ¨, §­ ·¨², ¢ ±¨«³ ¯®«­®²» Y , ±µ®¤¨²±¿ ª ­¥ª®²®°®¬³ ¯°¥¤¥«³, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¥¬³ Y . ’®£¤ , ¢ ±¨«³ § ¬¥· ­¨¿ 6 ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥« , ±³¹¥±²¢³¥² xlim !a f(x) 2 Y .  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ®«­®²  Y ¨±¯®«¼§®¢ « ±¼ ²®«¼ª® ¢® ¢²®°®© · ±²¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . „®ª § ²¥«¼±²¢®.

‘«¥¤±²¢¨¥ 1. Š°¨²¥°¨© ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ¤«¿ ´³­ª¶¨©. ³±²¼ f: D  R ! R (¨«¨ f: D  C ! C ), a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. ’®£¤  ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ª®­¥·­®£® ¯°¥¤¥«  ° ¢­®±¨«¼­® ±«¥¤³¾¹¥¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾.

f

¢ ²®·ª¥

a

x 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿

111

„«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ²®·ª¨ a, ·²® ¤«¿ «¾¡»µ ¤¢³µ ²®·¥ª x  ¨ x ¬­®¦¥±²¢  D, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ V_a , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jf( x) f(x)j < ":

8 " > 0 9Va 8 x; x 2 V_a \ D jf(x) f(x)j < ":

—¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ± ¬®±²®¿²¥«¼­® § ¯¨± ²¼ ª°¨²¥°¨© ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ¡¥§ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ±¨¬¢®«  ®ª°¥±²­®±²¨ ¤«¿ ±«³· ¥¢ a 2 R, a = 1, a = 1 ¨ ¤«¿ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°¥¤¥«®¢. Ž±² ­®¢¨¬±¿ ¥¹¥ ­  ®¤­®¬ ¢®¯°®±¥ ²¥®°¨¨ ¯°¥¤¥«®¢, µ ° ª²¥°­®¬ ¤«¿ ´³­ª¶¨© ­¥±ª®«¼ª¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ. Ž£° ­¨·¨¬±¿ ®¡±³¦¤¥­¨¥¬ ¨ ´®°¬³«¨°®¢ª ¬¨ ¤«¿ ´³­ª¶¨© ¤¢³µ ¯¥°¥¬¥­­»µ, ² ª ª ª ®¡¹¨© ±«³· © ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­»µ ®²«¨·¨©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ D1 ; D2  R, a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D1 , b | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D2 , D  (D1 n fag)  (D2 n fbg), f: D ! R. 1. …±«¨ ¤«¿ ª ¦¤®£® x 2 D1 nfag ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« '(x) = ylim f(x; y); !b ²® ¯°¥¤¥« ´³­ª¶¨¨ ' ¢ ²®·ª¥ a ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®¢²®°­»¬ ¯°¥¤¥«®¬ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ (a; b): lim '(x) = xlim f(x; y): x!a !a ylim !b 2. …±«¨ ¤«¿ ª ¦¤®£® y 2 D2 n fbg ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« (y) = xlim !a f(x; y); ²® ¯°¥¤¥« ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥ b ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®¢²®°­»¬ ¯°¥¤¥«®¬ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ (a; b): lim (y) = ylim lim f(x; y): y!b !b x!a 3. ’®·ª³ A ­ §»¢ ¾² ¤¢®©­»¬ ¯°¥¤¥«®¬ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ (a; b) ¨ ¯¨¸³² f(x; y) x!!a A; xlim !a f(x; y) = A; y!b

y !b

¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ VA ²®·ª¨ A ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ®ª°¥±²­®±²¨ Va ¨ Vb ²®·¥ª a ¨ b, ·²® f(x; y) 2 VA ¤«¿ ¢±¥µ x 2 V_a \ D1 , y 2 V_b \ D2 . ‚ ½²¨µ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿µ a ¨ b ¬®£³² ¡»²¼ ·¨±« ¬¨, 1 ¨«¨ 1.

112

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

’¥®°¥¬  9. Ž ¤¢®©­®¬ ¨ ¯®¢²®°­®¬ ¯°¥¤¥«¥. ³±²¼

D1 ; D2  R, a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D1 , b | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D2 , D  (D1 n fag)  (D2 n fbg), f: D ! R, ¨ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿: 1) ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¨«¨ ¡¥±ª®­¥·­»© ¤¢®©­®© ¯°¥¤¥« lim f(x; y) = A; x!a y !b 2) ¤«¿ ª ¦¤®£® x 2 D1 n fag ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« '(x) = ylim f(x; y): !b lim '(x) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ A. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ¯³±²¼ A 2 R. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¤¢®©­®£® ¯°¥¤¥«  ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ®ª°¥±²­®±²¨ Va ¨ Vb , ·²® ¤«¿ ¢±¥µ x 2 V_a \ D1 , y 2 V_b \ D2 ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jf(x; y) Aj < 2" : “±²°¥¬«¿¿ ¢ ­¥¬ y ª b ¨ ¯®«¼§³¿±¼ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ ¬®¤³«¿, ¯®«³· ¥¬ j'(x) Aj 6 "2 < " ¤«¿ ¢±¥µ x 2 V_a \ D1 , ·²® ¨ ®§­ · ¥² ²°¥¡³¥¬®¥. ‚ ±«³· ¥ ¡¥±ª®­¥·­®£® ¯°¥¤¥«  A ±«¥¤³¥² ¨§¬¥­¨²¼ ­¥° ¢¥­±²¢® ­  ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥¥.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¥±«¨ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ 1) ¨ 3) ¤«¿ ª ¦¤®£® y 2 D2 n fbg ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« ’®£¤  ¯®¢²®°­»© ¯°¥¤¥«

x!a

(y) = xlim !a f(x; y); ²® ¯®¢²®°­»© ¯°¥¤¥« ylim (y) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ A. !b

‘«¥¤±²¢¨¥ 1. °¨ ¢»¯®«­¥­¨¨ ³±«®¢¨© 1), 2) ¨ ¢²®°­»µ ¯°¥¤¥«  ±³¹¥±²¢³¾² ¨ ° ¢­» ¤¢®©­®¬³:

lim lim f(x; y) = ylim lim f(x; y) = xlim !a f(x; y): !b x!a

x!a y!b

y!b

3)

®¡  ¯®-

x 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿

113

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ³±²¼ (X; X ) ¨ (Y; Y ) | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , Z = X  Y ,


q

Z (x1 ; y1); (x2; y2 ) = 2X (x1; x2) + 2Y (y1 ; y2 ): ‹¥£ª® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® Z | ¬¥²°¨ª  ¢ Z, ¨ ±µ®¤¨¬®±²¼ ¯® ­¥© ° ¢­®±¨«¼­  ¯®ª®®°¤¨­ ²­®© ±µ®¤¨¬®±²¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¤¢®©­®£® ¨ ¯®¢²®°­»µ ¯°¥¤¥«®¢, ²¥®°¥¬  9 ¨ ±«¥¤±²¢¨¥ 1 ¢¬¥±²¥ ± ¤®ª § ²¥«¼±²¢ ¬¨ ®¡®¡¹ ¾²±¿ ­  ±«¥¤³¾¹³¾ ±¨²³ ¶¨¾: D1  X, D2  Y , D  (D1 n fag)  (D2 n fbg), f: D ! T, £¤¥ T | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. „«¿ ´³­ª¶¨© n ¯¥°¥¬¥­­»µ ¨¬¥¥² ±¬»±« ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ n! ¯®¢²®°­»µ ¯°¥¤¥«®¢, ¢»·¨±«¿¾¹¨µ±¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¯® ª ¦¤®© ¯¥°¥¬¥­­®©. 2 2 °¨¬¥°». 1. ³±²¼ f(x; y) = xx2 +yy2 . ’®£¤  ¯®¢²®°­»¥ ¯°¥¤¥«» f ¢ ²®·ª¥ (0; 0) ° §«¨·­»: lim lim f(x; y) = 1; ylim x!0 y!0 !0 xlim !0 f(x; y) = 1; ®²ª³¤  ±«¥¤³¥², ·²® ¤¢®©­®£® ¯°¥¤¥«  ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ (0; 0) ­¥ ±³¹¥±²¢³¥². 2. ³±²¼ f(x; y) = x2xy +y2 . •®²¿ ¯®¢²®°­»¥ ¯°¥¤¥«» f ¢ ²®·ª¥ (0; 0) ° ¢­»: lim lim f(x; y) = ylim x!0 y!0 !0 xlim !0 f(x; y) = 0; ¤¢®©­®£® ¯°¥¤¥«  ­¥ ±³¹¥±²¢³¥², ² ª ª ª ¯°¥¤¥« f ¢ ²®·ª¥ (0; 0) ¯® ¯°¿¬®© y = x ° ¢¥­ 21 ,   ­¥ 0. 3. ³±²¼ f(x; y) = x sin y1 +y sin x1 . ’®£¤  ¯®¢²®°­»µ ¯°¥¤¥«®¢ f ¢ ²®·ª¥ (0; 0) ­¥ ±³¹¥±²¢³¥²,   ¤¢®©­®© ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ 0, ² ª ª ª jf(x; y)j 6 jxj + jyj. …±«¨ ®¡« ±²¼ §­ ·¥­¨© ®²®¡° ¦¥­¨¿ | ¯°®±²° ­±²¢® Rm, ¢®¯°®± ® ¯°¥¤¥«¥ °¥¸ ¥²±¿ ¯®ª®®°¤¨­ ²­®. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, D  X , a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, f = (f1 ; : : :; fm ): D ! Rm; A = (A1 ; : : :; Am ) 2 Rm:

114

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

f(x) x!!a A ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ¢ ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  fk (x) x!!a Ak ¯°¨ ¢±¥µ k 2 [1 : m]. ²® § ¬¥· ­¨¥ ¢»²¥ª ¥² ¨§ «¥¬¬» 3 x 1 £« ¢» 2 ® ° ¢­®±¨«¼­®±²¨ ±µ®¤¨¬®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¯® ­®°¬¥ ¨ ¯®ª®®°¤¨­ ²­®. ’®£¤ 

x 2.

¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¢ ²®·ª¥ x0 | ´®°¬ «¨§ ¶¨¿ ²®£® ±¢®©±²¢ , ·²® §­ ·¥­¨¿ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ¢ ²®·ª µ, ¡«¨§ª¨µ ª x0, ¡«¨§ª¨ ª f(x0 ). Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ (X; X ) ¨ (Y; Y ) | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , f: D  X ! Y , x0 2 D. Ž²®¡° ¦¥­¨¥ f ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¢ ²®·ª¥ x0, ¥±«¨ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ®¤­® ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©. 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ x0 ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ f(x0 ). ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®, ¥±«¨ x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. 2. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  "-¿§»ª¥, ¨«¨ ¯® Š®¸¨. „«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® , ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ²®·¥ª x ¬­®¦¥±²¢  D, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ­¥° ¢¥­±²¢³ X (x; x0) < , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® Y (f(x); f(x0 )) < ":

8" > 0 9 > 0 8x 2 D : X (x; x0) <  Y (f(x); f(x0 )) < ": 3. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥©. „«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ Vf (x0 ) ²®·ª¨ f(x0 ) ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ²®·ª¨ x0, ·²® ®¡° § ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ®ª°¥±²­®±²¨ Vx0 ± ¬­®¦¥±²¢®¬ D ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ Vf (x0 ) :




8Vf (x0 ) 9Vx0 f Vx0 \ D  Vf (x0 ) : 4. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, ¨«¨ ¯® ƒ¥©­¥. „«¿ «¾¡®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D, ±²°¥¬¿¹¥©±¿ ª x0 , ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ff(xn )g ±²°¥¬¨²±¿ ª f(x0 ):

8fxng : xn 2 D; xn ! x0 f(xn ) ! f(x0 ):

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

115

5. ¥±ª®­¥·­® ¬ «®¬³ ¯°¨° ¹¥­¨¾  °£³¬¥­²  ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®¥ ¯°¨° ¹¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿:
y
x!! Y : X ‡¤¥±¼
x = x x0 ;
y =
f(x) = f(x) f(x0 ) | ¯°¨° ¹¥­¨¥  °£³¬¥­²  ¨ ¯°¨° ¹¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿. ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®, ¥±«¨ X ¨ Y | ­®°¬¨°®¢ ­­»¥ ¯°®±²° ­±²¢  ± ­³«¿¬¨ X ¨ Y , x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1.  ¢­®±¨«¼­®±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, ±«¥¤³¥² ¨§ ° ¢­®±¨«¼­®±²¨ ° §«¨·­»µ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¯°¥¤¥« . ®¤ ­®¬¥° ¬¨ 2, 3 ¨ 4 § ¯¨± ­ ­  "-¿§»ª¥, ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ¨ ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ²®² ´ ª², ·²® ²®·ª  A = f(x0 ) ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«®¬ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ x0 , ± ®¤­¨¬ ®²«¨·¨¥¬ ¢ ª ¦¤®¬ ±«³· ¥. ‚ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­  "-¿§»ª¥ ®¯³¹¥­® ³±«®¢¨¥ x 6= x0. ²® ­¥ ¬¥­¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ² ª ª ª ­¥° ¢¥­±²¢® Y (f(x); f(x0 )) < " ¯°¨ x = x0 , ®·¥¢¨¤­®, ¢»¯®«­¥­®. ‚ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ­¥ ¯°®ª®«®² . ²® ­¥ ¬¥­¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ² ª ª ª ¯°¨ x = x0, ®·¥¢¨¤­®, f(x) 2 Vf (x0 ) . ‚ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ®¯³¹¥­® ³±«®¢¨¥ xn 6= x0. ²® ² ª¦¥ ­¥ ¬¥­¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ¯®²®¬³ ·²® ¥±«¨ xn = x0 ¯°¨ ­¥ª®²®°»µ n, ²® f(xn ) = f(x0 ) ¯°¨ ² ª¨µ n, ¨ ­¥° ¢¥­±²¢® Y (f(xn ); f(x0 )) < " ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯°¥¤¥«  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ff(xn )g ¤«¿ ½²¨µ n ¢»¯®«­¿¥²±¿.  ª®­¥¶, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ 5 ­  «¾¡®¬ ¨§ ¿§»ª®¢ § ¯¨±»¢ ¥²±¿ ² ª ¦¥, ª ª ¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ³±²¼ x0 | ¨§®«¨°®¢ ­­ ¿ ²®·ª  D. ’®£¤  ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ Vx0 () ¤®±² ²®·­® ¬ «®£® ° ¤¨³±   ­¥² ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D, ®²«¨·­»µ ®² x0 , ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®,
f Vx0 () \ D = ff(x0 )g  Vf (x0 ) ; ª ª®¢» ¡» ­¨ ¡»«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ¨ ®ª°¥±²­®±²¼ Vf (x0 ) . …±«¨ xn 2 D, xn ! x0, ²®, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , xn 2 Vx0 () ¨, §­ ·¨², xn = x0 ,   ²®£¤  f(xn ) ! f(x0 ), ª ª®¢® ¡» ­¨ ¡»«® ®²®¡° ¦¥­¨¥ f. ®½²®¬³ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ 2{4 ° ¢­®±¨«¼­» ¨ ¢ ±«³· ¥ ¨§®«¨°®¢ ­­®© ²®·ª¨ x0. ‘®£« ±­® ¨¬, ¢ ¨§®«¨°®¢ ­­®© ²®·ª¥ ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢±¿ª®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ­¥¯°¥°»¢­®.

116

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: D  X ! Y , x0 2 D. …±«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­»¬ ¢ ²®·ª¥ x0 , ²® £®¢®°¿², ·²® f ° §°»¢­® (²¥°¯¨² ° §°»¢, ¨±¯»²»¢ ¥² ° §°»¢) ¢ ²®·ª¥ x0 ,   ²®·ª³ x0 ­ §»¢ ¾² ²®·ª®© ° §°»¢  ®²®¡° ¦¥­¨¿ f. ‘´®°¬³«¨°³¥¬ ®²¤¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¢ · ±²­®¬ ±«³· ¥ ´³­ª¶¨¨ ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­­®©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: D  R ! R, x0 2 D. ”³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­®© ¢ ²®·ª¥ x0 , ¥±«¨ ¢»¯®«­¿¥²±¿ ®¤­® ¨§ ±«¥¤³¾¹¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨©. 1. °¥¤¥« ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0 ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ f(x0 ). ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®, ¥±«¨ x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. 2. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  "-¿§»ª¥, ¨«¨ ¯® Š®¸¨. „«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® , ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ²®·¥ª x ¬­®¦¥±²¢  D, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ­¥° ¢¥­±²¢³ jx x0j < , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jf(x) f(x0 )j < ": 8" > 0 9 > 0 8x 2 D : jx x0j <  jf(x) f(x0 )j < ": 3. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥©. „«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ Vf (x0 ) ²®·ª¨ f(x0 ) ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ²®·ª¨ x0, ·²® ®¡° § ¯¥°¥±¥·¥­¨¿ ®ª°¥±²­®±²¨ Vx0 ± ¬­®¦¥±²¢®¬ D ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ Vf (x0 ) :
8Vf (x0 ) 9Vx0 f Vx0 \ D  Vf (x0 ) : 4. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, ¨«¨ ¯® ƒ¥©­¥. „«¿ «¾¡®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ²®·¥ª ¬­®¦¥±²¢  D, ±²°¥¬¿¹¥©±¿ ª x0 , ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ff(xn )g ±²°¥¬¨²±¿ ª f(x0 ): 8fxng : xn 2 D; xn ! x0 f(xn ) ! f(x0 ): 5. ¥±ª®­¥·­® ¬ «®¬³ ¯°¨° ¹¥­¨¾  °£³¬¥­²  ±®®²¢¥²±²¢³¥² ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®¥ ¯°¨° ¹¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨:
y
x! 0 !0

(
x = x x0,
y = f(x) f(x0 )). ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯°¨¬¥­¨¬®, ¥±«¨ x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D.

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

117

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ Y | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, f: D  R! Y , x0 2 D. …±«¨ ±³¦¥­¨¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ­  ¬­®¦¥±²¢® E1 = D \ ( 1; x0] (E2 = D \ [x0; +1)) ­¥¯°¥°»¢­® ¢ ²®·ª¥ x0, ²® £®¢®°¿², ·²® ®²®¡° ¦¥­¨¥ f ­¥¯°¥°»¢­® ±«¥¢  (±¯° ¢ ) ¢ ²®·ª¥ x0. …±«¨ x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  ¬­®¦¥±²¢  E1 (±®®²¢¥²±²¢¥­­®, E2), ²® ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ x0 ±«¥¢  (±¯° ¢ ) ®§­ · ¥², ·²® ¯°¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ f ¢ ²®·ª¥ x0 ±«¥¢  (±¯° ¢ ) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ f(x0 ). —¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ± ¬®¬³ § ¯¨± ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ®¤­®±²®°®­­¥© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¤°³£¨¬¨ ±¯®±®¡ ¬¨. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ § ¤ ­  ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¢ ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ x0. ˆ§ § ¬¥· ­¨¿ 1 ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°¥¤¥«®¢ ±«¥¤³¥², ·²® ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0 ° ¢­®±¨«¼­  ¥¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢  ¢ ²®·ª¥ x0. …±«¨ ±³¹¥±²¢³¾² ª®­¥·­»¥ ¯°¥¤¥«» f(x0 ) ¨ f(x0 +), ­® ­¥ ¢±¥ ²°¨ ·¨±«  f(x0 ), f(x0 +), f(x0 ) ° ¢­» ¬¥¦¤³ ±®¡®©, ²® ²®·ª³ x0 ­ §»¢ ¾² ²®·ª®© ° §°»¢  ¯¥°¢®£® °®¤  ´³­ª¶¨¨ f.  §°»¢ ¯¥°¢®£® °®¤  ¥¹¥ ­ §»¢ ¾² ±ª ·ª®¬. ‘ª ·ª®¬ ² ª¦¥ ­ §»¢ ¾² ° §­®±²¼ f(x0 +) f(x0 ),   ° §­®±²¨ f(x0 ) f(x0 ) ¨ f(x0 +) f(x0 ) ­ §»¢ ¾² ±ª ·ª ¬¨ ´³­ª¶¨¨ f ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢  ¢ ²®·ª¥ x0 . ‚ ¯°®²¨¢­®¬ ±«³· ¥, ²® ¥±²¼ ¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°¥¤¥«®¢ ¢ ²®·ª¥ ° §°»¢  x0 ¡¥±ª®­¥·¥­ ¨«¨ ¢®¢±¥ ­¥ ±³¹¥±²¢³¥², ²®·ª³ x0 ­ §»¢ ¾² ²®·ª®© ° §°»¢  ¢²®°®£® °®¤  ´³­ª¶¨¨ f. — ±²® ¢±²°¥· e²±¿ ±¨²³ ¶¨¿, ª®£¤  ´³­ª¶¨¿ f § ¤ ­  ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ¢ ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ x0, ­® ­¥ § ¤ ­  ¢ ²®·ª¥ x0. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ x0 ² ª¦¥ ­ §»¢ ¾² ²®·ª®© ° §°»¢  ´³­ª¶¨¨ f (¯¥°¢®£® °®¤ , ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾² ª®­¥·­»¥ ¯°¥¤¥«» f(x0 ) 6= f(x0 +) ¨ ¢²®°®£® °®¤ , ¥±«¨ µ®²¿ ¡» ®¤¨­ ¨§ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°¥¤¥«®¢ ¢ ²®·ª¥ x0 ¡¥±ª®­¥·¥­ ¨«¨ ¢®¢±¥ ­¥ ±³¹¥±²¢³¥²), ­¥±¬®²°¿ ­  ²®, ·²® f ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­  ¢ ²®·ª¥ x0 . ²¨ ­ §¢ ­¨¿ ®¯° ¢¤ ­» ²¥¬, ·²®, ª ª ¡» ­¨ ¤®®¯°¥¤¥«¨²¼ ´³­ª¶¨¾ ¢ ²®·ª¥ x0, ¤«¿ ­®¢®© ´³­ª¶¨¨ x0 ¡³¤¥² ²®·ª®© ° §°»¢  ¯¥°¢®£® ¨«¨ ¢²®°®£® °®¤  ±®®²¢¥²±²¢¥­­®. ³±²¼ f(x0 ) = f(x0 +) = A 2 R, ­® f(x0 ) 6= A ¨«¨ f ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­  ¢ ²®·ª¥ x0 . ’®£¤  ²®·ª³ x0 ­ §»¢ ¾² ²®·ª®© ³±²° ­¨¬®£® ° §°»¢  ´³­ª¶¨¨ f. …±«¨ ¤®®¯°¥¤¥«¨²¼ ¨«¨ ¯¥°¥®¯°¥¤¥«¨²¼ ´³­ª¶¨¾ ¢ ²®·ª¥ x0, ª ª £®¢®°¿², \¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨", ².¥ ¯®«®¦¨²¼ f(x0 ) = A, ²® ­®¢ ¿ ´³­ª¶¨¿ (ª®²®°³¾ ®¡»·­® ®¡®§­ · ¾² ²®© ¦¥

118

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

¡³ª¢®©, \§ ¡»¢ ¿" ®¡ ¨±µ®¤­®© ´³­ª¶¨¨) ¡³¤¥² ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0. „ «¥¥ ³¤®¡­® ±·¨² ²¼, ·²® ´³­ª¶¨¿, ­¥ ®¯°¥¤¥«¥­­ ¿ ¢ ²®·ª¥ ³±²° ­¨¬®£® ° §°»¢ , ¤®®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ¢ ­¥© ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨. …±«¨ ²®·ª  x0 | ®¤¨­ ¨§ ª®­¶®¢ ¯°®¬¥¦³²ª , ­  ª®²®°®¬ ®¯°¥¤¥«¥­  ´³­ª¶¨¿ (²®·­¥¥, f: D  R! R ¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®© ¨­²¥°¢ « (a; b), ·²® (a; b) \ D ° ¢­® (a; x0] ¨«¨ [x0; b)), ²® ¨¬¥¥² ±¬»±« £®¢®°¨²¼ «¨¸¼ ®¡ ®¤­®¬ ¨§ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°¥¤¥«®¢ ¢ ²®·ª¥ x0. …±«¨ ¯°¨ ½²®¬ x0 | ²®·ª  ° §°»¢  ´³­ª¶¨¨ f, ²® ¥¥ ² ª¦¥ ­ §»¢ ¾² ²®·ª®© ° §°»¢  ¯¥°¢®£® ¨«¨ ¢²®°®£® °®¤  ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ²®£®, ±³¹¥±²¢³¥² «¨ ª®­¥·­»© ®¤­®±²®°®­­¨© ¯°¥¤¥« f ¢ ½²®© ²®·ª¥. ‚ ±«³· ¥ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ª®­¥·­®£® f(x0 +) ¨«¨ f(x0 ) ¨¬¥¥² ±¬»±« £®¢®°¨²¼ ® ±ª ·ª¥ f ± ®¤­®© ±²®°®­». °¨¬¥°». ‘«¥¤³¾¹¨¥ ¯°¨¬¥°» ¨««¾±²°¨°³¾² ° §­»¥ ¢®§¬®¦­®±²¨, ¢®§­¨ª ¾¹¨¥ ¢ ²®·ª µ ° §°»¢ . 1. ”³­ª¶¨¿ ±¨£­³¬ (§­ ª).

8 1; x > 0; > < f(x) = sign x = > 0; x = 0; : 1; x < 0:

’®£¤  f(0+) = 1, f(0 ) = 1, ¨ 0 | ²®·ª  ° §°»¢  ¯¥°¢®£® °®¤  (°¨±³­®ª 11). y 1 x

0 -1 ¨±. 11

2.

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿  1; x =6 0; f(x) = j sign xj =

119

0; x = 0: ’®£¤  f(0+) = f(0 ) = 1, ¨ 0 | ²®·ª  ° §°»¢  ¯¥°¢®£® °®¤ , ¯°¨²®¬ ³±²° ­¨¬®£® ° §°»¢  (°¨±³­®ª 12). y 1 0

x

¨±. 12

3. f(x) = x1 . ’®£¤  f(0+) = +1, f(0 ) =

° §°»¢  ¢²®°®£® °®¤ .

1, ¨ 0 | ²®·ª 

4. f(x) = x12 . ’®£¤  f(0+) = f(0 ) = +1, ¨ 0 | ²®·ª  ° §-

°»¢  ¢²®°®£® °®¤ .

5. f(x) = xx2 11 . ’®£¤  f ®¯°¥¤¥«¥­  ­  Rnf 1; 1g, ¨ ­  ®¡« ±²¨ 1 . ’®·ª  1 | ²®·ª  ° §°»¢  ¢²®°®£® °®®¯°¥¤¥«¥­¨¿ f(x) = x+1

¤ , 1 | ²®·ª  ³±²° ­¨¬®£® ° §°»¢ . ®«®¦¨¢ f(1) = 21 , ¯®«³·¨¬ ­¥¯°¥°»¢­³¾ ¢ ²®·ª¥ 1 ´³­ª¶¨¾.

6. f(x) = sin x1 . „®ª ¦¥¬, ·²® 0 | ²®·ª  ° §°»¢  ¢²®°®£®

°®¤ . 1 , yn = 1 ®«®¦¨¬ xn = 2n (2n+ 12 ) , n 2 N. ’®£¤  xn ; yn > 0, xn; yn ! 0, f(xn ) = 0 ! 0, f(yn ) = 1 ! 1. Ž²±¾¤  ±«¥¤³¥², ·²® ¯° ¢®±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥«  f ¢ ²®·ª¥ 0 ­¥ ±³¹¥±²¢³¥², ² ª ª ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ½²®£® ¯°¥¤¥«  ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ­¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ®²±³²±²¢¨¥ «¥¢®±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥«  f ¢ ²®·ª¥ 0. 

120

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

ƒ° ´¨ª ½²®© ´³­ª¶¨¨ ¨§®¡° ¦¥­ ­  °¨±³­ª¥ 13. y 1 - 1

- 2

0

1



2



x

-1 ¨±. 13

7. f(x) = x sin x1 . ‡¤¥±¼ lim f(x) = 0, ¯®²®¬³ ·²® f ¥±²¼ ¯°®x!0

¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®© ­  ®£° ­¨·¥­­³¾. ®½²®¬³ 0 | ²®·ª  ³±²° ­¨¬®£® ° §°»¢  (°¨±³­®ª 14). y

- 2

- 1

0

1



2



x

¨±. 14

8. f(x) = 21=x. ’®£¤  f(0+) = +1, f(0 ) = 0, ¨ 0 | ²®·ª 

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

121

° §°»¢  ¢²®°®£® °®¤ . (°¨±³­®ª 15). y

1 0

x

¨±. 15

²¨ ´ ª²»,   ² ª¦¥ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ´³­ª¶¨© ¨§ ¯°¨¬¥°®¢ 3{8 ¢ ®±² «¼­»µ ²®·ª µ, ±«¥¤³¾² ¨§ ±¢®©±²¢ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨©, ª®²®°»¥ ¡³¤³² ³±² ­®¢«¥­» ¢ x 3. 9. ”³­ª¶¨¿ „¨°¨µ«¥  1; x 2 Q; (x) = 0; x 2= Q ° §°»¢­  ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥, ¯°¨·¥¬ ¢±¥ ° §°»¢» ¢²®°®£® °®¤ . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¤«¿ ª ¦¤®© ²®·ª¨ x0 2 R ¬®¦­® ¯®¤®¡° ²¼ ¤¢¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨: ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« fxng ¨ ¨°° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« fyng, ² ª¨¥ ·²® xn; yn > x0p, xn; yn ! x0.  ¯°¨¬¥°, ¬®¦­® ¢§¿²¼ xn = [nxn0 ]+1 , yn = xn + n2 . ’®£¤  (xn) = 1 ! 1, (yn ) = 0 ! 0. ®½²®¬³ ¯°¥¤¥«   ±¯° ¢  ¢ ²®·ª¥ x0 ­¥ ±³¹¥±²¢³¥². €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ®²±³²±²¢¨¥ «¥¢®±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥« .  10. ”³­ª¶¨¿ ¨¬ ­   1 ; x = p 2 Q; ¤°®¡¼ ­¥±®ª° ²¨¬ ; q (x) = q 0; x 2= Q ­¥¯°¥°»¢­  ¢® ¢±¥µ ¨°° ¶¨®­ «¼­»µ ¨ ¨¬¥¥² ° §°»¢» ¯¥°¢®£® °®¤  ¢® ¢±¥µ ° ¶¨®­ «¼­»µ ²®·ª µ. „®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¥¤¥« ¢ «¾¡®© ²®·ª¥ x0 ° ¢¥­ 0. ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨ ¯®¤¡¥°¥¬ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® N1 < ". Š®«¨·¥±²¢®

122

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« ±® §­ ¬¥­ ²¥«¿¬¨, ¬¥­¼¸¨¬¨ N, ¢ ¯°®ª®«®²®© 2-®ª°¥±²­®±²¨ ²®·ª¨ x0 ª®­¥·­®; ®¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ r ° ±±²®¿­¨¥ ®² x0 ¤® ¡«¨¦ ©¸¥£® ¨§ ­¨µ. ’®£¤  ¢ ¯°®ª®«®²®© r-®ª°¥±²­®±²¨ x0 ­¥² ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« ±® §­ ¬¥­ ²¥«¿¬¨, ¬¥­¼¸¨¬¨ N, ²® ¥±²¼ ¢±¥ §­ ·¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨ ¢ ½²®© ¯°®ª®«®²®© ®ª°¥±²­®±²¨ ¬¥­¼¸¥ ".  ˆ§®¡° §¨²¼ £° ´¨ª¨ ´³­ª¶¨© „¨°¨µ«¥ ¨ ¨¬ ­  ­¥ ³¤ ¥²±¿ ¨§-§  µ ®²¨·¥±ª®£® ¯®¢¥¤¥­¨¿ ½²¨µ ´³­ª¶¨©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž²®¡° ¦¥­¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥¯°¥°»¢­»¬ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¥±«¨ ®­® ­¥¯°¥°»¢­® ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ ¬­®¦¥±²¢  D. Œ­®¦¥±²¢® ®²®¡° ¦¥­¨© f: D  X ! Y , ­¥¯°¥°»¢­»µ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ®¡®§­ · ¥²±¿ C(D  X ! Y ) ¨«¨ C(D ! Y ). Œ­®¦¥±²¢® ´³­ª¶¨©, § ¤ ­­»µ ¨ ­¥¯°¥°»¢­»µ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ®¡®§­ · ¥²±¿ C(D). …±«¨ D = ha; bi | ¯°®¬¥¦³²®ª, ²® ±ª®¡ª¨ ®¡»·­® ®¯³±ª ¾² ¨ ¯¨¸³² C ha; bi. …±«¨ ¡»²¼ ²®·­»¬, ²® ·¥°¥§ C(D) ®¡®§­ · ¥²±¿ ¤¢  ° §­»µ ¬­®¦¥±²¢  ´³­ª¶¨©: ¢¥¹¥±²¢¥­­®- ¨ ª®¬¯«¥ª±­®§­ ·­»µ. ²® ®¡»·­® ­¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ¯³² ­¨¶¥; ¯°¨ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ ° §«¨· ²¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­»© ¨ ª®¬¯«¥ª±­»© ±«³· ¨ ¡³¤¥² ±¤¥« ­  ®£®¢®°ª . ’¥®°¥¬  1. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ­¥¯°¥°»¢­»¬¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿¬¨. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²-

¢®, Y | ­®°¬¨°®¢ ­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, D  X , x0 2 D, ®²®¡° ¦¥­¨¿ f; g: D ! Y , : D ! R (¨«¨ C ) ­¥¯°¥°»¢­» ¢ ²®·ª¥ x0, ’®£¤  ®²®¡° ¦¥­¨¿ f + g, f g, f , kf k ­¥¯°¥°»¢­» ¢ ²®·ª¥ x0.

’¥®°¥¬  10. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ­¥¯°¥°»¢­»¬¨ ´³­ª¶¨¿¬¨. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, D  X , x0 2 D, ´³­ª¶¨¨ f; g: D ! R (¨«¨ C ) ­¥¯°¥°»¢­» ¢ ²®·ª¥ x0. ’®£¤  ´³­ª¶¨¨ f + g, f g, fg, jf j, ­¥¯°¥°»¢­» ¢ ²®·ª¥ x0 ,   ¥±«¨ g(x0 ) 6= 0, ²® ¨ ´³­ª¶¨¿ fg ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ x0 | ¨§®«¨°®¢ ­­ ¿ ²®·ª  D, ²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²°¨¢¨ «¼­®. …±«¨ ¦¥ x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, ²® ²¥®°¥¬» ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ±«¥¤³¾² ¨§ ²¥®°¥¬ 4 ¨ 40 x 1 ® ¯°¥¤¥« µ. …±«¨ f ¨ g ­¥¯°¥°»¢­» ¢ ²®·ª¥ x0 , ²® f(x) x!!x0 f(x0 ); g(x) x!!x0 g(x0 ):

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

123

’®£¤ 

f(x) + g(x) x!!x0 f(x0 ) + g(x0 ); ·²® ¨ ®§­ · ¥² ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ±³¬¬» ¢ ²®·ª¥ x0 .  ±±³¦¤¥­¨¥ ¤«¿ ¤°³£¨µ ®¯¥° ¶¨©  ­ «®£¨·­®. 

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Ž ±² ¡¨«¨§ ¶¨¨ §­ ª  ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ g: D ! R ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0, ¯°¨·¥¬ g(x0 ) 6= 0, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 , ·²® sign g(x) = sign g(x0 ) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 Vx0 \ D.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ° ±±¬®²°¨¬ ±«³· ©, ª®£¤  g(x0 ) > 0. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥: ¯³±²¼ ¤«¿ «¾¡®£® n 2 N ±³¹¥±²¢³¥² ²®·ª  xn 2 Vx0 ( n1 ) \ D, ¤«¿ ª®²®°®© g(xn ) 6 0. ®±²°®¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±²°¥¬¨²±¿ ª x0. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ g(xn) ! g(x0). ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ g(x0 ) 6 0, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¾.  °¨¬¥°». ®±²®¿­­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ®·¥¢¨¤­®, ­¥¯°¥°»¢­  ­  R. ”³­ª¶¨¿ f(x) = x ­¥¯°¥°»¢­  ­  R (¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­  "-¿§»ª¥ ¤®±² ²®·­® ¯®«®¦¨²¼  = ",   ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© ¢»¯®«­¿¥²±¿ ²°¨¢¨ «¼­®). ’®£¤  ¯® ²¥®°¥¬¥ 10 ¢±¿ª¨© ¬­®£®·«¥­, ²® ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿ ¢¨¤ 

P(x) =

n X

k=0

ck xk ;

­¥¯°¥°»¢¥­ ­  R,   ¢±¿ª ¿ ° ¶¨®­ «¼­ ¿ ¤°®¡¼, ²® ¥±²¼ · ±²­®¥ ¤¢³µ ¬­®£®·«¥­®¢, ­¥¯°¥°»¢­  ­  ±¢®¥© ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ (²® ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢¥ ²®·¥ª, £¤¥ §­ ¬¥­ ²¥«¼ ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­³«¼). €­ «®£¨·­®, ¢±¿ª¨© ¬­®£®·«¥­ ®² m ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ¨«¨ ª®¬¯«¥ª±­»µ ¯¥°¥¬¥­­»µ X P (x1; : : :; xm ) = cr1 :::rm xr11 : : : xrmm r1 ;:::;rm

(±³¬¬  ¡¥°¥²±¿ ¯® ­¥ª®²®°®¬³ ª®­¥·­®¬³ ­ ¡®°³ ¶¥«»µ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»µ ¨­¤¥ª±®¢ r1 ; : : :; rm; ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ¨«¨ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±«  cr1 :::rm ­ §»¢ ¾²±¿ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨ ¬­®£®·«¥­ ) ­¥¯°¥°»¢¥­ ­  Rm (¨«¨ C m ),   ¢±¿ª ¿ ° ¶¨®­ «¼­ ¿ ¤°®¡¼ ®² m ¯¥°¥¬¥­­»µ ­¥¯°¥°»¢­  ­  ±¢®¥© ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿.

124

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

’¥®°¥¬  2. ¥¯°¥°»¢­®±²¼ ª®¬¯®§¨¶¨¨. ³±²¼ X , Y Z | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , f: D  X ! Y , g: E  Y ! Z , f(D)  E , f ­¥¯°¥°»¢­® ¢ ²®·ª¥ x0 2 D, g ­¥¯°¥°»¢­® ¢ ²®·ª¥ f(x0 ). ’®£¤  g  f ­¥¯°¥°»¢­® ¢ ²®·ª¥ x0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng, ² ª³¾ ·²® xn 2 D, xn ! x0 . Ž¡®§­ ·¨¬ yn = f(xn ), y0 = f(x0 ); ²®£¤  yn ; y0 2 E. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f ¢ ²®·ª¥ x0 ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© yn ! y0 . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ g ¢ ²®·ª¥ y0 ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© g(yn ) ! g(y0 ), ²® ¥±²¼ (g  f)(xn ) ! (g  f)(x0 ). ®±«¥¤­¥¥ ¢ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxn g ¨ ®§­ · ¥² ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ g  f ¢ ²®·ª¥ x0.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ³±²¼ f(x) = x sin x1 , g(y) = j signyj. ’®£¤  f(x) x!!0 0, g(y) y!!0 1, ­® ª®¬¯®§¨¶¨¿ g  f ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥«  ¢ ­³«¥, ² ª ª ª (g  f)( n1 ) = 0 ! 0,   (g  f)( (n+11=2) ) = 1 ! 1. ²®² ¯°¨¬¥° ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥: \¥±«¨ f(x) x!!a A, g(x) x!!A B, ²® (g  f)(x) x!!a B" ¬®¦¥² ­¥ ¢»¯®«­¿²¼±¿. …±«¨ ¦¥ § ¯°¥²¨²¼ f(x) ¯°¨­¨¬ ²¼ §­ ·¥­¨¥ A, ²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±² ­®¢¨²±¿ ¢¥°­»¬. ³±²¼ X , Y ¨ Z | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , f: D  X ! Y , g: E  Y ! Z , f(D)  E ¨ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿: 1) a | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, f(x) x!!a A; 2) A | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  E , g(x) x!!A B ; 3) ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ²®·ª¨ a, ·²® f(x) 6= A ¤«¿ «¾¡®£® x 2 V_a \ D. ’®£¤  (g  f)(x) ! B . x!a ¨

‡ ¬¥· ­¨¥ 3. Š ª ±«¥¤³¥² ¨§ § ¬¥· ­¨¿ 4 ¢ ª®­¶¥ x 1, ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ f: D  X ! Rm ° ¢­®±¨«¼­  ¥£® ¯®ª®®°¤¨­ ²­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨, ²® ¥±²¼ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¢±¥µ ¥£® ª®®°¤¨­ ²­»µ ´³­ª¶¨©. ¥°¥©¤¥¬ ª £«®¡ «¼­»¬ ±¢®©±²¢ ¬ ­¥¯°¥°»¢­»µ ®²®¡° ¦¥­¨©, ²® ¥±²¼ ª ±¢®©±²¢ ¬, ±¢¿§ ­­»¬ ± ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ ­  ¢±¥© ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. ’ ª ª ª ¯®¤¬­®¦¥±²¢® D ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢  X ± ¬® ¿¢«¿¥²±¿ ¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ¯°®±²° ­±²¢®¬ (¯®¤¯°®±²° ­±²¢®¬ X),

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

125

  ²®·ª¨ ¬­®¦¥±²¢  X n D ­¥ ³· ±²¢³¾² ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®²®¡° ¦¥­¨¿, § ¤ ­­®£® ­  D, ­¥ ³¬¥­¼¸ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ®¤­®£® ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢  ¢ ¤°³£®¥. ’¥®°¥¬  3. • ° ª²¥°¨±²¨ª  ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯°®®¡° §®¢. ³±²¼ X ¨ Y | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ ,

f: X ! Y .

’®£¤  ¤«¿ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f ­  X ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ¯°¨ ®²®¡° ¦¥­¨¨ f ¯°®®¡° § «¾¡®£® ®²ª°»²®£® ¢ Y ¬­®¦¥±²¢  ¡»« ®²ª°»² ¢ X .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ³±²¼ f ­¥¯°¥°»¢­® ¨ ¬­®¦¥±²¢® U ®²ª°»²® ¢ Y . „®ª ¦¥¬, ·²® ¬­®¦¥±²¢® f 1 (U) ®²ª°»²® ¢ X. „«¿ ½²®£® ¢®§¼¬¥¬ ²®·ª³ a 2 f 1 (U) ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® a | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  f 1 (U). ’ ª ª ª f(a) 2 U,   U ®²ª°»²®, ±³¹¥±²¢³¥² ®ª°¥±²­®±²¼ Vf (a) , ±®¤¥°¦ ¹ ¿±¿ ¢ U. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f ¢ ²®·ª¥ a ­ ©¤¥²±¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va ² ª ¿, ·²® f(Va )  Vf (a)  U. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, Va  f 1 (U), ²® ¥±²¼ a | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  f 1 (U). 2. ³±²¼ ¯°®®¡° § «¾¡®£® ®²ª°»²®£® ¬­®¦¥±²¢  ®²ª°»², a 2 X. „®ª ¦¥¬, ·²® f ­¥¯°¥°»¢­® ¢ ²®·ª¥ a; ¢ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ a ½²® ¨ ¡³¤¥² ®§­ · ²¼ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ f ­  ¢±¥¬ X. ‚®§¼¬¥¬
®ª°¥±²­®±²¼ Vf (a)  Y . ® ³±«®¢¨¾ ¥¥ ¯°®®¡° § G = f 1 Vf (a) ®²ª°»² ¢ X, ¯°¨ ½²®¬ a 2 G. ‡­ ·¨², ­ ©¤¥²±¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Va : Va  G. Ž±² «®±¼ ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® f(Va )  Vf (a) ; ²®£¤  ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f ¢ ²®·ª¥ a ­  ¿§»ª¥ ®ª°¥±²­®±²¥© ¡³¤¥² ¢»¯®«­¥­®. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ y 2 f(Va ), ²® ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡° §  y = f(x) ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® x 2 Va ; ²¥¬ ¡®«¥¥, x 2 G. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°®®¡° §  f(x) 2 Vf (a) , ²® ¥±²¼ y 2 Vf (a).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ³±²¼ f: [ 0; 2] ! R, f(x) = x. ’®£¤ 

f 1 (1; +1) = (1; 2]: °®²¨¢®°¥·¨¿ ± ²¥®°¥¬®© 3 §¤¥±¼ ­¥²: ¯®«³¨­²¥°¢ « (1; 2], ª ª ¨ £ ° ­²¨°³¥² ²¥®°¥¬  3, ®²ª°»² ¢ X = [ 0; 2], µ®²¿ ¨ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®²ª°»²»¬ ¢ R. ® ½²®¬³ ¯®¢®¤³ ³¬¥±²­® ¢±¯®¬­¨²¼ ²¥®°¥¬³ 4 x 2 £« ¢» 2 ®¡ ®²ª°»²®±²¨ ¢ ¯°®±²° ­±²¢¥ ¨ ¯®¤¯°®±²° ­±²¢¥.

126

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

’¥®°¥¬  4 (Š. ‚¥©¥°¸²° ±±). Ž ­¥¯°¥°»¢­»µ ®²®¡° ¦¥­¨¿µ. ³±²¼ X ¨ Y | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , X ª®¬-

¯ ª²­®, f 2 C(X ! Y ). ’®£¤  f(X) ª®¬¯ ª²­®. ­¥¯°¥°»¢­»© ®¡° § ª®¬¯ ª²  | ª®¬¯ ª².

¬:

„°³£¨¬¨ ±«®¢ -

„®ª § ²¥«¼±²¢®. S ³±²¼ fGg2A | ®²ª°»²®¥ ¯®ª°»²¨¥ ¬­®¦¥±²¢  f(X): f(X)  G . ® ²¥®°¥¬¥ 3 ¯°¨ ¢±¥µ  2 A ¬­®¦¥2A ±²¢  f 1 (G ) ®²ª°»²» ¢ X. °®¢¥°¨¬, ·²®

X=

[

2A

f 1 (G):

‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¥±«¨ a 2 X, ²® f(a) 2 Y ¨, §­ ·¨², f(a) 2 G ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ , ²® ¥±²¼ a 2 f 1 (G ) ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, X ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ ®¡º¥¤¨­¥­¨¨ f 1 (G ). Ž¡° ²­®¥ ¢ª«¾·¥­¨¥ ²°¨¢¨ «¼­®. ®«¼§³¿±¼ ª®¬¯ ª²­®±²¼¾ X, ¢»¤¥«¨¬ ¨§ ¥£® ®²ª°»²®£® ¯®ª°»²¨¿ ff 1 (G )g2A ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥: ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ª®­¥·­»© ­ ¡®° ¨­¤¥ª±®¢ 1; : : :; N 2 A, ·²® X= Ž±² «®±¼ ¯°®¢¥°¨²¼, ·²®

N [

i=1

f 1 (Gi ):

f(X) 

N [ i=1

Gi ;

(2)

½²® ¨ ¡³¤¥² ®§­ · ²¼, ·²® ¨§ ¯°®¨§¢®«¼­®£® ®²ª°»²®£® ¯®ª°»²¨¿ f(X) ³¤ ¥²±¿ ¨§¢«¥·¼ ª®­¥·­®¥ ¯®¤¯®ª°»²¨¥. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ y 2 f(X), ²® y = f(x) ¤«¿ ­¥ª®²®°®£® x 2 X. ’®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° i 2 [1 : N], ·²® x 2 f 1 (Gi ). ®±«¥¤­¥¥ ®§­ · ¥², ·²® f(x) 2 Gi , ²® ¥±²¼ y 2 Gi , ¨ ¢ª«¾·¥­¨¥ (2) ¤®ª § ­®.  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. ¥¯°¥°»¢­»© ®¡° § ª®¬¯ ª²  § ¬ª­³² ¨ ®£° -

­¨·¥­.

„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ª°®¬¥ ²¥®°¥¬» ‚¥©¥°¸²° ±±  ­ ¤® ¯°¨¬¥­¨²¼ ²¥®°¥¬³ 1 x 3 £« ¢» 2.

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

127

‘«¥¤±²¢¨¥ 2. ¥°¢ ¿ ²¥®°¥¬  ‚¥©¥°¸²° ±±  ® ­¥¯°¥°»¢­»µ ´³­ª¶¨¿µ. ”³­ª¶¨¿, ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ­  ®²°¥§ª¥, ®£° ­¨·¥­ .

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Ž¡  ³±«®¢¨¿: ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ´³­ª¶¨¨, ¨ ²®, ·²® ¥¥ ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¥±²¼ ®²°¥§®ª, | ±³¹¥±²¢¥­­». ’ ª, ´³­ª¶¨¨ f(x) = x ¨ g(x) = x1 ­¥¯°¥°»¢­», ­® ­¥ ®£° ­¨·¥­», ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ­  R ¨ (0; 1]. ”³­ª¶¨¿  1 ; x 2 (0; 1]; h(x) = x 0; x = 0; § ¤ ­  ­  [ 0; 1], ° §°»¢­  ¢ ®¤­®© ²®·ª¥ 0, ­® ­¥ ®£° ­¨·¥­ . ‘«¥¤±²¢¨¥ 3. ³±²¼ X ª®¬¯ ª²­®, f 2 C(X ! R). ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¾² max f(x) ¨ min f(x). „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨: ­¥¯°¥°»¢­ ¿ x2X x2X ­  ª®¬¯ ª²¥ ´³­ª¶¨¿ ¯°¨­¨¬ ¥² ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¥.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ª®¬¯ ª²­®¥ ¯®¤¬­®¦¥±²¢® E ·¨±«®¢®© ¯°¿¬®© (E = f(X)) ¨¬¥¥² ­ ¨¡®«¼¸¨© ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¨© ½«¥¬¥­². ‘³¹¥±²¢³¥² sup E = b 2 R. „®ª ¦¥¬, ·²® b 2 E; ½²® ¨ ¡³¤¥² ®§­ · ²¼, ·²® b = maxE. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±³¯°¥¬³¬  ¤«¿ «¾¡®£® n 2 N ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  xn 2 E, ·²® b n1 < xn 6 b. ®±²°®¥­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±²°¥¬¨²±¿ ª b. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, b 2 E ¢ ±¨«³ § ¬ª­³²®±²¨ E. „®ª § ²¥«¼±²¢® ¤«¿ ¬¨­¨¬³¬   ­ «®£¨·­®.

‘«¥¤±²¢¨¥ 4. ‚²®° ¿ ²¥®°¥¬  ‚¥©¥°¸²° ±±  ® ­¥¯°¥°»¢­»µ ´³­ª¶¨¿µ. ”³­ª¶¨¿, ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ­  ®²°¥§ª¥, ¯°¨­¨¬ ¥² ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¥.

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ˆ §¤¥±¼ ®¡  ³±«®¢¨¿ ±³¹¥±²¢¥­­». ’ ª, ´³­ª¶¨¨ f, g ¨ h ¨§ § ¬¥· ­¨¿ 1 ­¥ ¨¬¥¾² ­ ¨¡®«¼¸¥£® §­ ·¥­¨¿.  ¨¡®«¼¸¥£® §­ ·¥­¨¿ ­¥ ¨¬¥¥² ¨ ®£° ­¨·¥­­ ¿ ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿ f1 (x) = x ­  [ 0; 1). ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ˆ±²®°¨·¥±ª¨ ±«®¦¨«®±¼, ·²® ¤«¿ ´³­ª¶¨© ´®°¬³«¨°³¾² ¤¢¥ ²¥®°¥¬» ‚¥©¥°¸²° ±± : ¯¥°¢³¾ ¨ ¢²®°³¾; ²¥®°¥¬  4 ®¡®¡¹ ¥² ¨µ ®¡¥ ¤«¿ ®²®¡° ¦¥­¨©. ‡ ¬¥²¨¬ ¥¹¥, ·²® ¢²®° ¿ ²¥®°¥¬  ‚¥©¥°¸²° ±±  ³²®·­¿¥² ¯¥°¢³¾ (¥±«¨ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¥, ²® ®­  ®£° ­¨·¥­ ). ‚¬¥±²¥ ±

128

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

²¥¬, ¯¥°¢ ¿ ²¥®°¥¬  ‚¥©¥°¸²° ±±  ¢¥°­  ¤«¿ ª®¬¯«¥ª±­®§­ ·­»µ ´³­ª¶¨©,   ¢²®° ¿ «¨¸¥­  ¤«¿ ­¨µ ±¬»±« . Ž¡±³¤¨¬ ¯®¤°®¡­¥¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨. ¥¯°¥°»¢­®±²¼ ´³­ª¶¨¨ f: D  R ! R ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D ®§­ · ¥², ·²® f ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ x 2 D. ‡ ¯¨¸¥¬ ½²® ­  "-¿§»ª¥:

8x 2 D 8" > 0 9 > 0 8x 2 D : jx xj <  jf(x) f(x)j < ": ‚ ½²®© ´®°¬³«¥ ·¨±«®  § ¢¨±¨² ¨ ®² ", ¨ ®² ²®·ª¨ x. ‚®§­¨ª ¥² ¢®¯°®±: ¬®¦­® «¨ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¯®¤®¡° ²¼ ·¨±«® , § ¢¨±¿¹¥¥ ²®«¼ª® ®² " ¨ ®¡±«³¦¨¢ ¾¹¥¥ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢±¥ ²®·ª¨ x ¬­®¦¥±²¢  D? Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f: D  R! R ­ §»¢ ¥²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­®© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® , ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ²®·¥ª x, x ¬­®¦¥±²¢  D, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ­¥° ¢¥­±²¢³ jx xj < , ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jf(x) f(x)j < ":

8" > 0 9 > 0 8x; x 2 D : jx xj <  jf(x) f(x)j < ": Š ª ¢¨¤­®, ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ° ¢­®¬¥°­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ²®·ª  x ± ª¢ ­²®°®¬ ®¡¹­®±²¨ ­ ¯¨± ­  ¯®±«¥ , ²® ¥±²¼  § ¢¨±¨² ²®«¼ª® ®² ". ‚ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ²°¥¡³¥²±¿, ·²®¡» ­¥° ¢¥­±²¢® jf(x) f(x)j < " ¢»¯®«­¿«®±¼ ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¤«¿ ¢±¥µ ¯ ° ²®·¥ª, ° ±±²®¿­¨¥ ¬¥¦¤³ ª®²®°»¬¨ ¬¥­¼¸¥ . ˆ§ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¿±­®, ·²® ¢±¿ª ¿ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ­¥¯°¥°»¢­ . Ž¡° ²­®¥ ­¥¢¥°­®, ·²® ¡³¤¥² ¯®ª § ­® ­  ¯°¨¬¥° µ. ‡ ¯¨¸¥¬ ¥¹¥, ·²® §­ ·¨², ·²® ´³­ª¶¨¿ f ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­®© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D:

9" > 0 8 > 0 9x ; x 2 D : jx x j < ; jf(x ) f(x )j > " : °¨¬¥°». 1. ”³­ª¶¨¿ f(x) = x ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­  ­  R: ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¬®¦­® ¢§¿²¼  = ".

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

129

2. „®ª ¦¥¬, ·²® ´³­ª¶¨¿ g(x) = x2 ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­®© ­  R. ®«®¦¨¬ " = 1 ¨ ¢®§¼¬¥¬  > 0. ³±²¼ x = 1 , x = 1 + 2 . ’®£¤  jx x j = 2 < ;

­®

  jx2 x2 j = 2 2 + 2 > 1 = " ;

²® ¥±²¼ ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ g ¢»¯®«­¥­® ®²°¨¶ ­¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ° ¢­®¬¥°­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨. 3. —¨² ²¥«¾ ¯°¥¤« £ ¥²±¿ ± ¬®¬³ ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ­¥¯°¥°»¢­»¥ ´³­ª¶¨¨ h(x) = x1 ¨ k(x) = sin x1 (¯®±«¥¤­¿¿ ª ²®¬³ ¦¥ ®£° ­¨·¥­ ) ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­»¬¨ ­  (0; 1]. „ ¤¨¬ ²¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ | ¤«¿ ®²®¡° ¦¥­¨© ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ X ¨ Y | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , f: X ! Y . Ž²®¡° ¦¥­¨¥ f ­ §»¢ ¥²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­»¬ ­  X, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡®£® ¯®«®¦¨²¥«¼­®£® ·¨±«  " ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­®¥ ·¨±«® , ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ²®·¥ª , x ¯°®±²° ­±²¢  X,
< , x¢»¯®«­¿¥²±¿  ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ­¥° ¢¥­±²¢³  x  ; x ­¥° ¢¥­X
 ±²¢® Y f(x) f(x) < ":







8" > 0 9 > 0 8x; x 2 X : X x; x <  Y f(x); f(x) < ": Ÿ±­®, ·²® ¢±¿ª®¥ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ­¥¯°¥°»¢­®. ’¥®°¥¬  5 (ƒ. Š ­²®°). ¥¯°¥°»¢­®¥ ­  ª®¬¯ ª²¥ ®²®¡° -

¦¥­¨¥ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­®.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ X ª®¬¯ ª²­®, f 2 C(X ! Y ). °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® f ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­»¬. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ " > 0, ·²® ¯°¨ ª ¦¤®¬ n 2 N ¤«¿ ·¨±«   = n1 ­ ©¤³²±¿ ²®·ª¨ xn ; xn 2 X:

X xn ; xn < n1 ; Y yn ; yn > " ;

130

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©




£¤¥ yn = f(xn ), yn = f xn . ®«¼§³¿±¼ ±¥ª¢¥­¶¨ «¼­®© ª®¬¯ ª²­®±²¼¾ X, ¢»¤¥«¨¬ ¨§ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ²®·¥ª X ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxnk g, ¨¬¥¾¹³¾ ¯°¥¤¥« ¢ X: xnk ! c 2 X. ’®£¤  ¨ xnk ! c, ² ª ª ª



X xnk ; c 6 X xnk ; xnk + X xnk ; c < n1 + X xnk ; c ! 0: k ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f ¢ ²®·ª¥ c ynk ! f(c); ynk ! f(c):


‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, Y ynk ; ynk ! 0 ¨, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° ,
Y ynk ; ynk < " , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ¯®±²°®¥­¨¾.  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. ’¥®°¥¬  Š ­²®°  ¤«¿ ´³­ª¶¨©. ¥¯°¥-

°»¢­ ¿ ­  ®²°¥§ª¥ ´³­ª¶¨¿ ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­ .

’¥®°¥¬  6 (. ®«¼¶ ­®, Ž. Š®¸¨). Ž ¯°®¬¥¦³²®·­®¬ §­ ·¥­¨¨ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢-

­  ­  [a; b]. ’®£¤  ¤«¿ «¾¡®£® ·¨±«  C , «¥¦ ¹¥£® ¬¥¦¤³ ¨ f(b), ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ c 2 (a; b), ·²® f(c) = C .

f(a)

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ³±²¼ ·¨±«  f(a) ¨ f(b) ° §­»µ §­ ª®¢: f(a)f(b) < 0; ¤®ª ¦¥¬, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ²®·ª  c 2 (a; b), ·²® f(c) = 0. ¥ ³¬ «¿¿ ®¡¹­®±²¨, ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® f(a) < 0 < f(b); ¢²®°®© ±«³· © ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­®.  ±±¬®²°¨¬ ±¥°¥¤¨­³ ®²°¥§ª  [a; b] | ²®·ª³ a+2 b . …±«¨ f( a+2 b ) = 0, ²® ²¥®°¥¬  ¤®ª § ­  | ¬®¦­® ¯®«®¦¨²¼ c = a+2 b . ˆ­ ·¥ ¯®«®¦¨¬

 [ a+b ; b]; ¥±«¨ f( a+b ) < 0; 2 2 [a ; b ] = 1 1

[a; a+2 b ]; ¥±«¨ f( a+2 b ) > 0: ‚ ®¡®¨µ ±«³· ¿µ f(a1 ) < 0 < f(b1 ). °®¤®«¦¨¬ ½²®² ¯°®¶¥±± ¯®±²°®¥­¨¿ ¯°®¬¥¦³²ª®¢. …±«¨ ­  ­¥ª®²®°®¬ ¸ £¥ ´³­ª¶¨¿ f ®¡° ²¨²±¿ ¢ 0 ¢ ±¥°¥¤¨­¥ ®²°¥§ª , ²® ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ­  ½²®¬ § ª®­·¨²±¿. ˆ­ ·¥ ¡³¤¥² ¯®±²°®¥­  ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª®¢ f[an; bn]g, ² ª¨µ ·²® f(an ) < 0 < f(bn ). °¨ ½²®¬ ®²°¥§ª¨ ±²¿£¨¢ ¾¹¨¥±¿, ² ª ª ª bn an = b2na ! 0. ® ²¥®°¥¬¥ ® ±²¿£¨¢ ¾¹¨µ±¿ ®²°¥§ª µ ±³¹¥±²¢³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­ ¿ ²®·ª  c, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹ ¿

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿

131

®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢±¥¬ ®²°¥§ª ¬ [an; bn], ¯°¨ ½²®¬ an ! c ¨ bn ! c. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ f(c) 6 0 6 f(c), ²® ¥±²¼ f(c) = 0. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, c 2 (a; b), ¨ ²®·ª  c | ²°¥¡³¥¬ ¿. 2. „®ª ¦¥¬ ²¥®°¥¬³ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥. ³±²¼ ' = f C. ’®£¤  ' 2 C[a; b] ª ª ° §­®±²¼ ­¥¯°¥°»¢­»µ ´³­ª¶¨©, '(a)'(b) < 0. ® ¤®ª § ­­®¬³ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ²®·ª  c 2 (a; b), ·²® '(c) = 0, ²® ¥±²¼ f(c) = C.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ’¥®°¥¬³ ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¨ ² ª: ¥±«¨ ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ ´³­ª¶¨¿ ¯°¨­¨¬ ¥² ª ª¨¥-²® ¤¢  §­ ·¥­¨¿, ²® ®­  ¯°¨­¨¬ ¥² ¢±¥ §­ ·¥­¨¿, «¥¦ ¹¨¥ ¬¥¦¤³ ­¨¬¨.

‡¤¥±¼ ±³¹¥±²¢¥­­® ¨ ²®, ·²® ´³­ª¶¨¿ ­¥¯°¥°»¢­ , ¨ ²®, ·²® ®­  § ¤ ­  ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥. ”³­ª¶¨¿ sign, § ¤ ­­ ¿ ­  R, ° §°»¢­  ¢ ­³«¥. Ž­  ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¿ 1 ¨ 1, ­® ¨§ ·¨±¥« ¬¥¦¤³ 1 ¨ 1 ²®«¼ª® 0 ¿¢«¿¥²±¿ §­ ·¥­¨¥¬ ´³­ª¶¨¨. ‘³¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ sign ­  Rnf0g ­¥¯°¥°»¢­®, ­® ­¥ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨©, «¥¦ ¹¨µ ¬¥¦¤³ 1 ¨ 1. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ˆ­®£¤  ¯¥°¢³¾ · ±²¼ ²¥®°¥¬» | ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ® ²®¬, ·²® ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿, ¯°¨­¨¬ ¾¹ ¿ ­  ª®­¶ µ ¯°®¬¥¦³²ª  §­ ·¥­¨¿ ° §­»µ §­ ª®¢, ¨¬¥¥² ­  ½²®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥ ª®°¥­¼, ­ §»¢ ¾² ¯¥°¢®© ²¥®°¥¬®© ®«¼¶ ­® { Š®¸¨,   ²¥®°¥¬³ ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥ | ¢²®°®© ²¥®°¥¬®© ®«¼¶ ­® { Š®¸¨. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. Œ¥²®¤ ¯®«®¢¨­­®£® ¤¥«¥­¨¿, ¨±¯®«¼§®¢ ­­»© ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ¯¥°¢®© · ±²¨ ²¥®°¥¬», ¯®§¢®«¿¥² ¯°¨¡«¨¦¥­­® ­ µ®¤¨²¼ ª®°­¨ ³° ¢­¥­¨©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. „°³£®© ±¯®±®¡ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ | ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ¥±«¨ f 2 C[a; b], f(a) < 0 < f(b), ²® ²®·ª  c = supfx 2 [a; b] : f(x) < 0g ¥±²¼ ª®°¥­¼ ´³­ª¶¨¨ f. ’¥®°¥¬» ‚¥©¥°¸²° ±±  ¨ ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ¯®§¢®«¿¾² ¤¥« ²¼ ¢»¢®¤» ® ¬­®¦¥±²¢¥ §­ ·¥­¨© ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨. ‹¥¬¬  1. • ° ª²¥°¨±²¨ª  ¯°®¬¥¦³²ª®¢. ³±²¼ E  R. ’®£¤  ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ° ¢­®±¨«¼­». 1. E | ¯°®¬¥¦³²®ª (¢®§¬®¦­®, ¢»°®¦¤¥­­»©).

132

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

2. „«¿ «¾¡»µ x, y, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¨µ E (x < y), [x; y]  E . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ¯¥°¢®£® ²°¨¢¨ «¼­®. „®ª ¦¥¬ ®¡° ²­»© ¯¥°¥µ®¤. ³±²¼ E 6= ?. Ž¡®§­ ·¨¬ m = inf E, M = sup E. Ÿ±­®, ·²® E  [m; M]. „®ª ¦¥¬, ·²® (m; M)  E. ³±²¼ m < z < M. ’®£¤  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ £° ­¥© ±³¹¥±²¢³¾² ²®·ª¨ x; y 2 E: x < z < y. ® ³±«®¢¨¾ z 2 E.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ˆ§ ª³°±  £¥®¬¥²°¨¨ ¨§¢¥±²­® ¯®­¿²¨¥ ¢»¯³ª«®£® ¬­®¦¥±²¢ . Œ­®¦¥±²¢® (­  ¯°¿¬®©, ­  ¯«®±ª®±²¨, ¢ ²°¥µ¬¥°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥) ­ §»¢ ¥²±¿ ¢»¯³ª«»¬, ¥±«¨ ¢¬¥±²¥ ± «¾¡»¬¨ ±¢®¨¬¨ ¤¢³¬¿ ²®·ª ¬¨ ®­® ±®¤¥°¦¨² ¢¥±¼ ®²°¥§®ª, ¨µ ±®¥¤¨­¿¾¹¨©. ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯¥°¥­®±¨²±¿ ­  ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¢¥ª²®°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ (¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­® ­ ¤® ®¯°¥¤¥«¨²¼, ·²® ² ª®¥ ®²°¥§®ª ¢ ¢¥ª²®°­®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥). ‹¥¬¬  1 ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ­  ¯°¿¬®© ¢»¯³ª«»¬¨ ¿¢«¿¾²±¿ ¯°®¬¥¦³²ª¨, ¨ ²®«¼ª® ®­¨. ’¥®°¥¬  7. Ž ±®µ° ­¥­¨¨ ¯°®¬¥¦³²ª . Œ­®¦¥±²¢® §­ ·¥­¨© ­¥¯°¥°»¢­®© ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ ´³­ª¶¨¨ ¥±²¼ ¯°®¬¥¦³²®ª. Š®°®·¥: ­¥¯°¥°»¢­»© ®¡° § ¯°®¬¥¦³²ª  | ¯°®¬¥¦³²®ª.

³±²¼ f 2 C ha; bi, m = x2hinfa;bi f(x); M = sup f(x)

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

x2ha;bi

(m; M 2 R). ® ²¥®°¥¬¥ 6 ¬­®¦¥±²¢® E = f(ha; bi) ¢»¯³ª«®,   ¯® «¥¬¬¥ 1 E | ¯°®¬¥¦³²®ª, ²® ¥±²¼ f(ha; bi) = hm; M i.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. °®¬¥¦³²®ª hm; M i ¬®¦¥² ¡»²¼ ¤°³£®£® ²¨¯ , ­¥¦¥«¨ ha; bi. ’ ª, ´³­ª¶¨¿ ±¨­³± ®²®¡° ¦ ¥² ¯°®¬¥¦³²ª¨ R ¨ [ 0; 2) ­  ®²°¥§®ª [ 1; 1],   ¨­²¥°¢ « (0; ) | ­  ¯®«³¨­²¥°¢ « (0; 1]. ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. Ž ±®µ° ­¥­¨¨ ®²°¥§ª . ¥¯°¥°»¢­»© ®¡° §

®²°¥§ª  | ®²°¥§®ª.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¬­®¦¥±²¢® f([a; b]) | ¯°®¬¥¦³²®ª ¯® ²¥®°¥¬¥ 7,   ¯® ²¥®°¥¬¥ ‚¥©¥°¸²° ±±  ®­® ¨¬¥¥² ­ ¨¡®«¼¸¨© ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¨© ½«¥¬¥­².  ‡ ¬¥· ­¨¥ 3.  ¨¡®«¼¸¥¥ ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¿ ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¤®±²¨£ ¾²±¿ ­  ª®­¶ µ ®²°¥§ª .

x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ ­¨©.

133

Ž¡®¡¹¨¬ ²¥®°¥¬³ ® ¯°®¬¥¦³²®·­®¬ §­ ·¥­¨¨ ¤«¿ ®²®¡° ¦¥-

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ Y | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, E  Y . ¥¯°¥°»¢­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ®²°¥§ª  ¢ ¬­®¦¥±²¢® E:

2 C([a; b]  R! E) ­ §»¢ ¥²±¿ ¯³²¥¬ ¢ E. ’®·ª  (a) ­ §»¢ ¥²±¿ ­ · «®¬, (b) |

ª®­¶®¬ ¯³²¨.

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ Y | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, E  Y . Œ­®¦¥±²¢® E ­ §»¢ ¥²±¿ «¨­¥©­® ±¢¿§­»¬, ¥±«¨ «¾¡»¥ ¤¢¥ ¥£® ²®·ª¨ ¬®¦­® ±®¥¤¨­¨²¼ ¯³²¥¬ ¢ E: 8A; B 2 E 9 2 C([a; b]  R! E) : (a) = A; (b) = B: ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ | ´®°¬ «¨§ ¶¨¿ ²®£® ­ £«¿¤­®£® ±¢®©±²¢  ¯«®±ª®£® ¬­®¦¥±²¢ , ·²® «¾¡»¥ ¤¢¥ ¥£® ²®·ª¨ ¬®¦­® ±®¥¤¨­¨²¼, ­¥ ®²°»¢ ¿ ª ° ­¤ ¸  ®² ¡³¬ £¨ ¨ ­¥ ¢»µ®¤¿ §  ¯°¥¤¥«» ¬­®¦¥±²¢ . ’¥®°¥¬  8 (. ®«¼¶ ­®, Ž. Š®¸¨). Ž ­¥¯°¥°»¢­»µ ®²®¡° ¦¥­¨¿µ. ³±²¼ X ¨ Y | ¬¥²°¨·¥±ª¨¥ ¯°®±²° ­±²¢ , X «¨­¥©­® ±¢¿§­®,

£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨:

«¨­¥©­® ±¢¿§¥­.

f 2 C(X ! Y ). ’®£¤  f(X) «¨­¥©­® ±¢¿§­®. „°³­¥¯°¥°»¢­»© ®¡° § «¨­¥©­® ±¢¿§­®£® ¬­®¦¥±²¢ 

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ A; B 2 f(X). ’®£¤  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡° §  ±³¹¥±²¢³¾² ²®·ª¨ ; 2 X: A = f(), B = f( ). ’ ª ª ª X «¨­¥©­® ±¢¿§­®, ²®·ª¨  ¨ ¬®¦­® ±®¥¤¨­¨²¼ ¯³²¥¬ ¢ X, ²® ¥±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² ¯³²¼ 2 C([a; b] ! X): (a) = , (b) = . ® ²®£¤ , ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨, f  | ¯³²¼ ¢ f(X); ¯°¨ ½²®¬ (f  )(a) = A, (f  )(b) = B.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ‘®£« ±­® «¥¬¬¥ 1, ­  ¯°¿¬®© «¨­¥©­® ±¢¿§­»¬¨ ¿¢«¿¾²±¿ ²®«¼ª® ¯°®¬¥¦³²ª¨. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5. ’¥®°¥¬  ® ±®µ° ­¥­¨¨ ¯°®¬¥¦³²ª , ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥ ¤®¯³±ª ¥² ®¡° ¹¥­¨¿. ’ ª, ¬­®¦¥±²¢® §­ ·¥­¨© ° §°»¢­®© ´³­ª¶¨¨  x; x 2 [ 0; 1]; f(x) = 0; x 2 (1; 2]; ¥±²¼ ®²°¥§®ª [ 0; 1]. Ž¤­ ª®, ¤«¿ ¬®­®²®­­®© ´³­ª¶¨¨ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­®.

134

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

’¥®°¥¬  9. Ž ° §°»¢ µ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¬®­®²®­­®© ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ f: ha; bi ! R, f ¬®­®²®­­ . ’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢»

±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. 1. f ­¥ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ° §°»¢®¢ ¢²®°®£® °®¤ . 2. ¥¯°¥°»¢­®±²¼ f ° ¢­®±¨«¼­  ²®¬³, ·²® ¥¥ ¬­®¦¥±²¢® §­ ·¥­¨© | ¯°®¬¥¦³²®ª.

³±²¼ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ f ¢®§° ±² ¥². 1. ³±²¼ x0 2 (a; bi, x1 2 ha; x0). ’®£¤  f(x1 ) 6 f(x) 6 f(x0 ) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (x1 ; x0), ¯®½²®¬³ f ¢®§° ±² ¥² ¨ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³ ­  ha; x0). ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¥ ¬®­®²®­­®© ´³­ª¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« f(x0 ), ¯°¨·¥¬ ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ f(x1 ) 6 f(x0 ) 6 f(x0 ). €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¤«¿ «¾¡®© ²®·ª¨ x0 2 ha; b) ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« f(x0 +), ¯°¨·¥¬ f(x0 ) 6 f(x0 +) 6 f(x2 ) ¤«¿ ¢±¥µ x2 2 (x0; bi. 2. ‚¢¨¤³ ±«¥¤±²¢¨¿ ® ±®µ° ­¥­¨¨ ¯°®¬¥¦³²ª  ®±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼ ¤®±² ²®·­®±²¼. ³±²¼ f(ha; bi) | ¯°®¬¥¦³²®ª. „®ª ¦¥¬ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ f ±«¥¢  ¢ «¾¡®© ²®·ª¥ x0 2 (a; bi ®² ¯°®²¨¢­®£®. ³±²¼ f(x0 ) < f(x0 ) (±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ª®­¥·­®£® «¥¢®±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥«  ³¦¥ ¤®ª § ­®). ‚®§¼¬¥¬ y 2 (f(x0 ); f(x0 )). ’®£¤  ¥±«¨ a < x1 < x0, ²® y 2 [f(x1 ); f(x0 )]. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, y 2 f(ha; bi), ²® ¥±²¼ y | §­ ·¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ¤«¿ ¢±¥µ x 2 ha; x0) ¡³¤¥² f(x) 6 f(x0 ) < y,   ¤«¿ ¢±¥µ x 2 [x0; bi ¡³¤¥² f(x) > f(x0 ) > y, ²® ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿ ­¥ ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¥ y. ®«³·¥­­®¥ ¯°®²¨¢®°¥·¨¥ ¤®ª §»¢ ¥², ·²® f(x0 ) = f(x0 ). €­ «®£¨·­® f ­¥¯°¥°»¢­  ±¯° ¢  ¢ «¾¡®© ²®·ª¥ x0 2 ha; b).  „®ª § ²¥«¼±²¢®.

’¥®°¥¬  10. Ž ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ f 2 C(ha; bi ! R), f ±²°®£® ¬®­®²®­­ ,

m = x2hinfa;bi f(x);

M = sup f(x): x2ha;bi

’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. 1. f ®¡° ²¨¬ , f 1 : hm; M i ! ha; bi | ¡¨¥ª¶¨¿. 2. f 1 ±²°®£® ¬®­®²®­­  ®¤­®¨¬¥­­® ± f . 3. f 1 ­¥¯°¥°»¢­ . „®ª § ²¥«¼±²¢®.

±² ¥².

³±²¼ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ f ±²°®£® ¢®§° -

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

135

…±«¨ x1; x2 2 ha; bi, x1 < x2, ²® f(x1 ) < f(x2 ); ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, f ®¡° ²¨¬ . ® ²¥®°¥¬¥ ® ±®µ° ­¥­¨¨ ¯°®¬¥¦³²ª  f(ha; bi) = hm; M i. ® ®¡¹¨¬ ±¢®©±²¢ ¬ ®¡° ²­®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ f 1 | ¡¨¥ª¶¨¿ hm; M i ¨ ha; bi. „®ª ¦¥¬, ·²® f 1 ±²°®£® ¢®§° ±² ¥². …±«¨ y1; y2 2 hm; M i, y1 < y2 , ²® y1 = f(x1 ), y2 = f(x2 ), £¤¥ x1 ; x2 2 ha; bi, x1 = f 1 (y1 ), x2 = f 1 (y2 ). °¨ ½²®¬ x1 < x2, ² ª ª ª ¢®§¬®¦­®±²¼ x1 > x2 ¨±ª«¾·¥­  ¢ ±¨«³ ±²°®£®£® ¢®§° ±² ­¨¿ f. ‚®§° ±² ¾¹ ¿ ´³­ª¶¨¿ f 1 § ¤ ­  ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ hm; M i,   ¥¥ ¬­®¦¥±²¢® §­ ·¥­¨© | ¯°®¬¥¦³²®ª ha; bi. ® ²¥®°¥¬¥ 9 ®­  ­¥¯°¥°»¢­ .  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. „«¿ ®¡° ²¨¬®±²¨ ±²°®£® ¬®­®²®­­®© ´³­ª¶¨¨ ¨ ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ­¥ ­³¦­ . ‘´®°¬³«¨°³¥¬ ¥¹¥ ­¥±ª®«¼ª® ´ ª²®¢ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ . ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. 1. Œ­®¦¥±²¢® ²®·¥ª ° §°»¢  ¬®­®²®­­®© ´³­ª¶¨¨ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®. 2. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ § ¤ ­  ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥, ­¥¯°¥°»¢­  ¨ ®¡° ²¨¬ , ²® ®­  ±²°®£® ¬®­®²®­­  ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ®¡° ²­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ­¥¯°¥°»¢­ . 3. Ž²®¡° ¦¥­¨¥, ®¡° ²­®¥ ª ­¥¯°¥°»¢­®¬³, ¬®¦¥² ®ª § ²¼±¿ ° §°»¢­»¬. ‘®¯®±² ¢¨¬ ª ¦¤®© ²®·ª¥ x ¯®«³¨­²¥°¢ «  [0; 2) ²®·ª³ f(x) ¥¤¨­¨·­®© ®ª°³¦­®±²¨ S, ² ª³¾ ·²® ¤«¨­  ¤³£¨, ®²±·¨²»¢ ¥¬®© ®² ²®·ª¨ f(0) = (1; 0) ¤® ²®·ª¨ f(x), ° ¢­  x (¨«¨, ·²® ²® ¦¥ ± ¬®¥, arg f(x) = x). Ž²®¡° ¦¥­¨¥ f ¡¨¥ª²¨¢­® ¨ ­¥¯°¥°»¢­®, ­® f 1 ²¥°¯¨² ° §°»¢ ¢ ²®·ª¥ (1; 0): ¡«¨§ª¨¬ ª ­¥© ²®·ª ¬ ®ª°³¦­®±²¨ ± ®²°¨¶ ²¥«¼­®© ®°¤¨­ ²®© ±®®²¢¥²±²¢³¾² ²®·ª¨ ¯®«³¨­²¥°¢ « , ¡«¨§ª¨¥ ª 2,   ­¥ ª 0. ® ¥±«¨ ®²®¡° ¦¥­¨¥ § ¤ ­® ­  ª®¬¯ ª²¥, ­¥¯°¥°»¢­® ¨ ®¡° ²¨¬®, ²® ®¡° ²­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ ­¥¯°¥°»¢­®. 4. ‘³¹¥±²¢³¥² ®¡° ²¨¬ ¿ ´³­ª¶¨¿ f: R ! R, ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ¢ ²®·ª¥ 0, ­® ² ª ¿, ·²® f 1 ° §°»¢­  ¢ ²®·ª¥ f(0).

x 3.

«¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

Ž±­®¢­»¬¨ ½«¥¬¥­² °­»¬¨

1. ®±²®¿­­ ¿: x 7! c, c 2 R.

­ §»¢ ¾² ±«¥¤³¾¹¨¥ ´³­ª¶¨¨.

136

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

2. ‘²¥¯¥­­ ¿: x 7! x,  2 R. 3. ®ª § ²¥«¼­ ¿: x 7! ax , a > 0, a 6= 1. 4. ‹®£ °¨´¬: x 7! loga x, a > 0, a 6= 1. 5{8. ’°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª¨¥: ±¨­³±, ª®±¨­³±, ² ­£¥­±, ª®² ­£¥­± | sin, cos, tg, ctg. 9{12. Ž¡° ²­»¥ ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª¨¥:  °ª±¨­³±,  °ªª®±¨­³±,  °ª² ­£¥­±,  °ªª®² ­£¥­± | arcsin, arccos, arctg, arcctg. ”³­ª¶¨¨, ª®²®°»¥ ¯®«³· ¾²±¿ ¨§ ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© ± ¯®¬®¹¼¾ ª®­¥·­®£® ·¨±«   °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨© ¨ ®¯¥° ¶¨© ª®¬¯®§¨¶¨¨, ­ §»¢ ¾²±¿ ½«¥¬¥­² °­»¬¨ (¡¥§ ¤®¡ ¢«¥­¨¿ ¯°¨« £ ²¥«¼­®£® \®±­®¢­»¥"). ‚ ¸ª®«¥ ¨§³· «¨±¼, ª ª ¯° ¢¨«®, ½«¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨ (­® ­¥ ²®«¼ª®: ´³­ª¶¨¨, § ¤ ­­»¥ ° §­»¬¨ ´®°¬³« ¬¨ ­  ° §­»µ · ±²¿µ ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ª ª, ­ ¯°¨¬¥°, sign, ¬®£³² ­¥ ¡»²¼ ½«¥¬¥­² °­»¬¨). ‘¯¨±®ª ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© ¬®¦­® ¡¥§ ³¹¥°¡  ±®ª° ²¨²¼, ² ª ª ª, ­ ¯°¨¬¥°, cos x = sin( 2 x),   arccos x = 2 arcsin x. Œ» ­¥ ±² ¢¨¬ ¶¥«¨ ¬¨­¨¬¨§¨°®¢ ²¼ ±¯¨±®ª ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨©. „ «¥¥ ¬» ¤ ¤¨¬ ·¥²ª¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© (·²® °¥¤ª® ¤¥« ¾² ¢ ¸ª®«¥) ¨ ¨±±«¥¤³¥¬ ¨µ ±¢®©±²¢ . 1. ®±²®¿­­ ¿ ´³­ª¶¨¿. ”³­ª¶¨¿ x 7! c, ª ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼, ­¥¯°¥°»¢­  ­  R. 2. ‘²¥¯¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿. Œ» ®¯°¥¤¥«¨¬ ±²¥¯¥­¼ x ¯°¨ ° §«¨·­»µ x ¨ , ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ³±«®¦­¿¿ ¢¨¤ . ²® ¯®§¢®«¨² ­ ¬ ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ¤¢¥ ´³­ª¶¨¨: ±²¥¯¥­­³¾ ¨ ¯®ª § ²¥«¼­³¾. ‘²¥¯¥­­³¾ ´³­ª¶¨¾ ± ¯®ª § ²¥«¥¬ , ª®²®° ¿ x ±®¯®±² ¢«¿¥² x, ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ e : e (x) = x . ‡ ° ­¥¥ ®²¬¥²¨¬, ·²® ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±²¥¯¥­­»µ ´³­ª¶¨© ¬®£³² ¡»²¼ ° §«¨·­» ¯°¨ ° §«¨·­»µ ¯®ª § ²¥«¿µ. °¨  = 1 ´³­ª¶¨¿ e1 = idR, ª ª ³¦¥ ®²¬¥· «®±¼, ­¥¯°¥°»¢­  ­  R. °¨  = n 2 N ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ xn = x|
:{z: :
x}; x 2 R: n ° §

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ´³­ª¶¨¿ en ­¥¯°¥°»¢­  ­  R ª ª ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ ­¥¯°¥°»¢­»µ.

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

137

°¨  = n, £¤¥ n 2 N, ¯®« £ ¥¬ x n = x1n ; x 2 Rn f0g: ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ´³­ª¶¨¿ e n ­¥¯°¥°»¢­  ­  Rn f0g ª ª · ±²­®¥ ­¥¯°¥°»¢­»µ. °¨  = 0 ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯®« £ ¥¬ x0 = 1 ¯°¨ ¢±¥µ x 6= 0; ²®£¤  ¬®¦­® ¢ ±®®²¢¥²±²¢¨¨ ± ®¡¹¨¬ ±®£« ¸¥­¨¥¬ ¤®®¯°¥¤¥«¨²¼ ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ x0 = 1 ¨ ¯°¨ x = 0. …±«¨ n 2 N, n ­¥·¥²­®, ²® ´³­ª¶¨¿ en ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  R, sup en (x) = +1, xinf e (x) = 1; ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ±®µ° ­¥­¨¨ ¯°®2Rn x2R ¬¥¦³²ª  en(R) = R. …±«¨ n 2 N, n ·¥²­®, ²® ´³­ª¶¨¿ en ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  R+, sup en (x) = +1, xmin en (x) = 0; ¯® ²¥®°¥¬¥ ® 2R + x2R + ±®µ° ­¥­¨¨ ¯°®¬¥¦³²ª  en (R+) = R+. ® ²¥®°¥¬¥ ® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ­¥¯°¥°»¢­  ´³­ª¶¨¿ ( en 1; n ­¥·¥²­®, e1=n =   1 en R+ ; n ·¥²­®, p ª®²®° ¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ª®°­¥¬ n-© ±²¥¯¥­¨ ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ ¥¹¥ n (
): p e1=n(x) = x1=n = n x. ˆ² ª,

e1=n : R ­ ! R; n ­¥·¥²­®; ­  e1=n : R+ !R+; n ·¥²­®; e1=n ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ¨ ­¥¯°¥°»¢­ . ’¥¯¥°¼ ®¯°¥¤¥«¨¬ x ¯°¨ ° ¶¨®­ «¼­®¬  = r, ²® ¥±²¼ ¯°¨ p r = q , £¤¥ p 2 Z, q 2 N, ¤°®¡¼ pq ­¥±®ª° ²¨¬ . ®« £ ¥¬ xr = (xp )1=q ; ¤«¿ ¢±¥µ ²¥µ x, ¤«¿ ª®²®°»µ ¯° ¢ ¿ · ±²¼ ¨¬¥¥² ±¬»±«. „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, er = e1=q  ep . ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, xr ®¯°¥¤¥«¥­® ¢ ±«¥¤³¾¹¨µ ±«³· ¿µ: x > 0; r «¾¡®¥, x = 0; r > 0, x < 0; q ­¥·¥²­®.

138

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

”³­ª¶¨¿ er ­¥¯°¥°»¢­  ­  ±¢®¥© ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿; ®­  ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  [ 0; +1) ¯°¨ r > 0, ±²°®£® ³¡»¢ ¥² ­  (0; +1) ¯°¨ r < 0. ƒ° ´¨ª¨ ±²¥¯¥­­»µ ´³­ª¶¨© ¢ ¯¥°¢®© ·¥²¢¥°²¨ ¯°¨ ° §«¨·­»µ  ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±³­ª¥ 16.   ­¥¬ ³ ª ¦¤®£® £° ´¨ª  ´³­ª¶¨¨ y = x ¯®¤¯¨± ­® §­ ·¥­¨¥ . y 2

1

1=2 0

1 0

1

1

x

¨±. 16

3. ®ª § ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿. ‘«¥¤³¾¹¨© ¸ £ | ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±²¥¯¥­¨ ± ¨°° ¶¨®­ «¼­»¬ ¯®ª § ²¥«¥¬. ®«®¦¨¬ 0x = 0 ¤«¿ ¢±¥µ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ x. ³±²¼ a > 0. Œ» µ®²¨¬ ®¯°¥¤¥«¨²¼ ax ¤«¿ ¢±¥µ x 2 R. ® ª  ·²® ax ®¯°¥¤¥«¥­® ¤«¿ x 2 Q. Ž¡®§­ ·¨¬ ½²³ ´³­ª¶¨¾ a(
) Q; ¯°¨ a 6= 1 ­ §®¢¥¬ ¥¥ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¥© ° ¶¨®­ «¼­®£®  °£³¬¥­² . ¥°¥·¨±«¨¬ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¥¥ ±¢®©±²¢ , ¨§¢¥±²­»¥ ¨§ ¸ª®«¼­®£® ª³°± . ²¨ ±¢®©±²¢  «¥£ª® ¯°®¢¥°¿¾²±¿ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾. ‚ ­¨µ r; s 2 Q. 1. …±«¨ r < s, ²® ar < as ¯°¨ a > 1 ¨ ar > as ¯°¨ 0 < a < 1. 2. ar+s = ar as . 3. (ar )s = ars . 4. (ab)r = ar br . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ a > 0, x 2 R. ®«®¦¨¬ r : ax = rlim a !x Q

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

139

°¨ a > 0, a 6= 1 ´³­ª¶¨¿ expa , ¤¥©±²¢³¾¹ ¿ ¯® ´®°¬³«¥ expa x = ax ; x 2 R; ­ §»¢ ¥²±¿ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¥© ± ®±­®¢ ­¨¥¬ a. —²®¡» ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¨¬¥«® ±¬»±«, ­¥®¡µ®¤¨¬® ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¥¤¥« ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ·²® ¤«¿ ° ¶¨®­ «¼­»µ x ­®¢®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ax ±®¢¯ ¤ ¥² ± ³¦¥ ¨¬¥¾¹¨¬±¿. ‹¥¬¬  1. ³±²¼ a > 0, frng | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«, rn ! 0. ’®£¤  arn ! 1. „®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ a = 1 «¥¬¬  ®·¥¢¨¤­ , ² ª ª ª arn = 1 ¯°¨ ¢±¥µ n. ³±²¼ a > 1. „®ª ¦¥¬ «¥¬¬³ ±¯¥°¢  ¢ · ±²­®¬ ±«³· ¥ rn = n1 . ®±ª®«¼ª³ a1=n > 1, ¨¬¥¥¬ a1=n = 1 + n, £¤¥ n > 0. ’®£¤  ¯® ­¥° ¢¥­±²¢³ ¥°­³««¨ a = (1 + n)n > 1 + nn; ®²ª³¤  0 < n 6 a n 1 . ‡­ ·¨², n ! 0, ·²® ° ¢­®±¨«¼­® a1=n ! 1. „ «¥¥, ¯® ¤®ª § ­­®¬³ a 1=n = a11=n ! 11 = 1: ³±²¼ ²¥¯¥°¼ frng | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¨§ ³±«®¢¨¿ «¥¬¬». ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨, ¯®«¼§³¿±¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ¯°¥¤¥« , ¯®¤¡¥°¥¬ ² ª®© ­®¬¥° N0 , ·²® 1 " < a 1=N0 < a1=N0 < 1 + ": (3) ®±ª®«¼ª³ rn ! 0, ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ n > N ¡³¤¥² N10 < rn < N10 . ‚ ±¨«³ ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ ° ¶¨®­ «¼­®£®  °£³¬¥­²  1 " < a 1=N0 < arn < a1=N0 < 1 + " ¤«¿ ² ª¨µ n. ²® ¨ ®§­ · ¥², ·²® arn ! 1. …±«¨ 0 < a < 1, ²® a1 > 1, ¨ ¯® ¤®ª § ­­®¬³ 1 ! 1 = 1:  arn = (1=a) rn 1

140

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

‹¥¬¬  2. ³±²¼ a > 0, x 2 R, frn g | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«, rn ! x. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ farn g.

°¨ a = 1 «¥¬¬  ®·¥¢¨¤­ . ³±²¼ a > 1. ‚®§¼¬¥¬ ª ª³¾-«¨¡® ¢®§° ±² ¾¹³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fsn g ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥«, ±²°¥¬¿¹³¾±¿ ª x.  ¯°¨¬¥°, ¬®¦­® ¢§¿²¼ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¤¥±¿²¨·­»µ ¯°¨¡«¨¦¥­¨© ª x ± ­¥¤®±² ²ª®¬: n sn = [1010nx] . ’®£¤  x 101n < sn 6 x, ¯®½²®¬³ sn ! x. „®ª ¦¥¬, ·²® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fsn g ¢®§° ±² ¥². ¥° ¢¥­±²¢® sn 6 sn+1 ° ¢­®±¨«¼­® 10[A] 6 [10A], £¤¥ A = 10nx. ® 10[A] | ¶¥«®¥ ·¨±«®, ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¿¹¥¥ 10A, ¯®½²®¬³ 10[A] 6 [10A]. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fasn g ¢®§° ±² ¥² ¨ ®£° ­¨·¥­  ±¢¥°µ³ ·¨±«®¬ a[x]+1 . ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, fasn g ±µ®¤¨²±¿ ª ­¥ª®²®°®¬³ ¯°¥¤¥«³ L. ® ²®£¤  arn = arn sn asn ! L; ¯®²®¬³ ·²® arn sn ! 1 ¯® «¥¬¬¥ 1. …±«¨ 0 < a < 1, ²® a1 > 1, ¨ ¯® ¤®ª § ­­®¬³ ( a1 )rn ! L, ¯°¨·¥¬ L > 0. ’®£¤  1 ! 1:  arn = (1=a) rn L „®ª § ²¥«¼±²¢®.

ˆ§ «¥¬¬» 2 ¢»²¥ª ¥² ª®°°¥ª²­®±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ax . ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ±®£« ±­® § ¬¥· ­¨¾ 6 ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ¯® ƒ¥©­¥, ¯°¥¤¥« ±³¹¥±²¢³¥². …±«¨ ¦¥ x 2 Q, ²®, ¡¥°¿ ¢ ª ·¥±²¢¥ frng ±² ¶¨®­ °­³¾ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼: rn = x ¯°¨ ¢±¥µ n, ¯®«³· ¥¬, ·²® ­®¢®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ax ±®¢¯ ¤ ¥² ±® ±² °»¬. Ž²¬¥²¨¬ ®²¤¥«¼­®, ·²® 1x = 1 ¯°¨ ¢±¥µ x 2 R. “±² ­®¢¨¬ ­¥±ª®«¼ª® ±¢®©±²¢ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨. …1. ”³­ª¶¨¿ expa ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  R ¯°¨ a > 1 ¨ ±²°®£® ³¡»¢ ¥² ­  R ¯°¨ 0 < a < 1. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ a > 1, x < y. „®ª ¦¥¬, ·²® ax < ay . ‚®§¼¬¥¬ ° ¶¨®­ «¼­»¥ ·¨±«  r ¨ r, ² ª¨¥ ·²® x < r < r < y;

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

141

¨ ¤¢¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« frng ¨ frn g, ² ª¨¥ ·²® rn < x < y < rn; rn ! x; rn ! y: ’®£¤  ¢ ±¨«³ ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ ° ¶¨®­ «¼­®£®  °£³¬¥­²  arn < ar < ar < arn : ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ ax 6 ar < ar 6 ay : ‘«³· © 0 < a < 1 ° §¡¨° ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ¨«¨ ¯¥°¥µ®¤®¬ ª ®±­®¢ ­¨¾ a1 , ª ª ¢ «¥¬¬¥ 2.  …2. ax+y = ax ay . ‚ · ±²­®±²¨, a x = a1x . „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­ ¤® ¢§¿²¼ ¤¢¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« frng ¨ frn g, ±²°¥¬¿¹¨¥±¿ ª x ¨ y, ¨ ¯¥°¥©²¨ ª ¯°¥¤¥«³ ¢ ° ¢¥­±²¢¥ arn +rn = arn arn ; ª®²®°®¥ ¤«¿ ° ¶¨®­ «¼­»µ ¯®ª § ²¥«¥© ¨§¢¥±²­®. ‘¢®©±²¢® …2 ¨­®£¤  ­ §»¢ ¾² ®±­®¢­»¬ ±¢®©±²¢®¬ ±²¥¯¥­¨. …3. ®ª § ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ­¥¯°¥°»¢­  ­  R.

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥¯°¥°»¢­®±²¼ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ ¢ ­³«¥ ¤®ª §»¢ ¥²±¿ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, ª ª «¥¬¬  1. ³±²¼ a > 1, fxng | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥«, xn ! 0. ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨ § ´¨ª±¨°³¥¬ ­®¬¥° N0 , ¤«¿ ª®²®°®£® ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® (3). ’®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ² ª®© ­®¬¥° N, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ n > N ¡³¤¥² N10 < xn < N10 . ‚ ±¨«³ ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ (±¢®©±²¢  …1) 1 " < a 1=N0 < axn < a1=N0 < 1 + " ¤«¿ ² ª¨µ n. ²® ¨ ®§­ · ¥², ·²® axn ! 1. ‘«³· © 0 < a < 1 ° §¡¨° ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ¨«¨ ¯¥°¥µ®¤®¬ ª ®±­®¢ ­¨¾ a1 . ¥¯°¥°»¢­®±²¼ ¢ ¯°®¨§¢®«¼­®© ²®·ª¥ x0 ±«¥¤³¥² ¨§ ¤®ª § ­­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¢ ­³«¥: ax0 +
x ax0 = ax0 (a
x 1) ! 0: 

142

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

…4. (ax )y = axy . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‚®§¼¬¥¬ ¤¢¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ° ¶¨®­ «¼­»µ ·¨±¥« fxng ¨ fym g: xn n!1 ! x, ym m!1 ! y. ® ¨§¢¥±²­®¬³ ±¢®©±²¢³ ±²¥¯¥­¨ ± ° ¶¨®­ «¼­»¬ ¯®ª § ²¥«¥¬ (axn )ym = axn ym . ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ m ¨ ³±²°¥¬¨¬ n ª 1. ’®£¤  ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ axn ym n!1 ! axym ¨ axn n!1 ! ax,   ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ±²¥¯¥­­®© ´³­ª¶¨¨ ± ° ¶¨®­ «¼­»¬ ¯®ª § ²¥«¥¬ (axn )ym n!1 ! (ax )ym . ®½²®¬³ (ax )ym = axym . Ž±² «®±¼ ³±²°¥¬¨²¼ m ª 1 ¨ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨.  …5. (ab)x = ax bx. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­ ¤® ±¤¥« ²¼ ¯°¥¤¥«¼­»© ¯¥°¥µ®¤ ¢ ° ¢¥­±²¢¥ ¤«¿ ±²¥¯¥­¥© ± ° ¶¨®­ «¼­»¬ ¯®ª § ²¥«¥¬. …6. expa : R ­  !(0; +1). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ a > 1. ”³­ª¶¨¿ expa ±²°®£® ¢®§° ±² ¥², ¯®½²®¬³ ±³¹¥±²¢³¾² ¯°¥¤¥«» x!1 lim ax. ® ­¥° ¢¥­±²¢³ ¥°­³««¨ (a = 1 + ,  > 0)

an = (1 + )n > 1 + n ! +1;

a n = a1n ! 0:

‡­ ·¨², ¯® ±¢®©±²¢³ ±®µ° ­¥­¨¿ ¯°®¬¥¦³²ª  expa (R) = h0; +1). Š°®¬¥ ²®£®, §­ ·¥­¨¥ 0 ­¥ ¯°¨­¨¬ ¥²±¿ ¢ ±¨«³ ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨: ¥±«¨ ax0 = 0, ²® ax < 0 ¯°¨ x < x0, ·¥£® ¡»²¼ ­¥ ¬®¦¥². „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°¨ 0 < a < 1  ­ «®£¨·­®.  4. ‹®£ °¨´¬. Œ» ¤®ª § «¨, ·²® ´³­ª¶¨¿ expa | ¡¨¥ª¶¨¿

¬¥¦¤³ R ¨ (0; +1).

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ a > 0, a 6= 1. ”³­ª¶¨¿, ®¡° ²­ ¿ ª expa , ­ §»¢ ¥²±¿ «®£ °¨´¬®¬ ¯® ®±­®¢ ­¨¾ a ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ loga . ˆ§ ²¥®°¥¬» ® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ ±«¥¤³¥², ·²® loga : (0; +1) ­ !R;

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

143

´³­ª¶¨¿ loga ­¥¯°¥°»¢­ , ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ¯°¨ a > 1 ¨ ±²°®£® ³¡»¢ ¥² ¯°¨ 0 < a < 1; lim log x = x!+1 a

+1; a > 1;

1; 0 < a < 1;

lim log x = x!0+ a

 1; a > 1;

+1; 0 < a < 1:

ƒ° ´¨ª¨ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ ¨ «®£ °¨´¬  ¯°¨ a > 1 ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±³­ª¥ 17a,   ¯°¨ 0 < a < 1 | ­  °¨±³­ª¥ 17b. y

y

1

1 0 1

¨±. 17a

x

0 1

x

¨±. 17b

³±²¼ a > 0, a 6= 1. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ loga x | ½²® ² ª®¥ ·¨±«® y, ·²® ay = x. „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ·²®¡» ¤®ª § ²¼ ° ¢¥­±²¢® loga x = y, ±«¥¤³¥² ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® ay = x. „®ª ¦¥¬ ½²¨¬ ¯°¨¥¬®¬ ²°¨ ±¢®©±²¢  «®£ °¨´¬ . „ «¥¥ ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ ª ¦¤»© ° § ³¯®¬¨­ ²¼ ³±«®¢¨¿ a > 0, a 6= 1 (b > 0, b 6= 1), ª®²®°»¬ ¤®«¦­® ³¤®¢«¥²¢®°¿²¼ ®±­®¢ ­¨¥ «®£ °¨´¬ . ‹1. loga (xy) = loga x + loga y ¯°¨ ¢±¥µ x; y > 0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®±­®¢­®¬³ ±¢®©±²¢³ ±²¥¯¥­¨ aloga x+loga y = aloga x aloga y = xy: 

144

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

‹2. loga x =  loga x ¯°¨ ¢±¥µ x > 0,  loga x1 = loga x.

2 R.

‚ · ±²­®±²¨,

® ±¢®©±²¢³ …4 a loga x = (aloga x ) = x: 

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

1 bx ‹3. loga x = log logb a ¯°¨ ¢±¥µ x > 0. ‚ · ±²­®±²¨, loga b = logb a .

® ±¢®©±²¢³ …4 bloga x logb a = (blogb a )loga x = aloga x = x; ²® ¥±²¼ logb a
loga x = logb x.   ¨¡®«¥¥ ³¤®¡­» ¢ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¨, ¨ ½²® ¡³¤¥² ¢¨¤­® ¤ «¥¥, «®£ °¨´¬» ¯® ®±­®¢ ­¨¾ e | ­ ²³° «¼­»¥ «®£ °¨´¬».  ²³° «¼­»© «®£ °¨´¬ ®¡®§­ · ¥²±¿ ±¨¬¢®«®¬ ln. ®ª § ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ± ®±­®¢ ­¨¥¬ e ­ §»¢ ¥²±¿ ¥¹¥ ½ª±¯®­¥­²®© ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ exp. — ±²® ¨±¯®«¼§³¾²±¿ «®£ °¨´¬» ¯® ®±­®¢ ­¨¿¬ 10 ¨ 2 | ¤¥±¿²¨·­»¥ ¨ ¤¢®¨·­»¥ «®£ °¨´¬», ·²® ±¢¿§ ­® ± ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¥¬ ¤¥±¿²¨·­®© ¨ ¤¢®¨·­®© ±¨±²¥¬ ±·¨±«¥­¨¿. „¥±¿²¨·­»© «®£ °¨´¬ ®¡®§­ · ¥²±¿ ±¨¬¢®«®¬ lg. ¥°¥·¨±«¥­­»¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿ «®£ °¨´¬®¢ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ · ¹¥ ¢±¥£®, ­® ­¥ª®²®°»¥  ¢²®°» ¯°¥¤¯®·¨² ¾² ¤°³£¨¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿ (­ ¯°¨¬¥°, log ¤«¿ ­ ²³° «¼­®£® ¨«¨ ¤ ¦¥ lg ¤«¿ ¤¢®¨·­®£® «®£ °¨´¬ ). ‘¢®©±²¢® ‹3 ¯®§¢®«¿¥² ¢»° ¦ ²¼ «®£ °¨´¬» ¯® «¾¡®¬³ ®±­®¢ ­¨¾ ·¥°¥§ «®£ °¨´¬» ¯® ®¤­®¬³ ª®­ª°¥²­®¬³ ®±­®¢ ­¨¾.  ¯°¨¬¥°, ¬®¦­® ¢»° §¨²¼ ¢±¥ «®£ °¨´¬» ·¥°¥§ ­ ²³° «¼­»¥: x loga x = ln ln a : …±«¨ ¨§¢¥±²­» ­ ²³° «¼­»¥ «®£ °¨´¬», ²® ¯® ´®°¬³«¥ lg x = lg e
ln x ¬®¦­® ¢»·¨±«¿²¼ ¤¥±¿²¨·­»¥. ‡¤¥±¼ lg e | ª®½´´¨¶¨¥­² ¯¥°¥µ®¤ , ª®²®°»© ¢»·¨±«¿¥²±¿ ®¤¨­ ° §: lg e = 0; 43429 : : : „®ª § ²¥«¼±²¢®.

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

145

2. ‘²¥¯¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ (¯°®¤®«¦¥­¨¥). °¨ ¢±¥µ x > 0,

 2 R ¯® ±¢®©±²¢³ …4 ¢¥°­  ´®°¬³« 

x = e ln x : ®½²®¬³ ±²¥¯¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ e ­¥¯°¥°»¢­  ­  (0; +1) ¯°¨ ¢±¥µ  2 R (° ­¥¥ ½²® ¡»«® ³±² ­®¢«¥­® ¯°¨ ° ¶¨®­ «¼­»µ ). …±«¨  ¨°° ¶¨®­ «¼­®, ²® e : [ 0; +1) e : (0; +1)

­ ![ 0; +1);  > 0; ­ !(0; +1);  < 0:

¥¯°¥°»¢­®±²¼ e ¢ ­³«¥ ¯°¨  > 0 ² ª¦¥ ¨¬¥¥² ¬¥±²®: ¥±«¨ xn > 0, xn ! 0, ²® yn = ln xn ! 1 ¨ e (xn ) = eyn ! 0 = e (0). ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Ž¡®§­ ·¥­¨¿ loga ¤«¿ «®£ °¨´¬  ¨ exp ¤«¿ ½ª±¯®­¥­²» ¿¢«¿¾²±¿ ®¡¹¥¯°¨­¿²»¬¨, ¢ ®²«¨·¨¥ ®² ®¡®§­ ·¥­¨© e ¨ expa ¤«¿ ±²¥¯¥­­®© ¨ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨. Œ» ¢¢¥«¨ ¯®±«¥¤­¨¥ ¤¢  ®¡®§­ ·¥­¨¿, ·²®¡» ° §«¨· ²¼ ´³­ª¶¨¨ ¨ ¨µ §­ ·¥­¨¿ ¢ ²®·ª¥ x, ®¡®§­ · ¥¬»¥ x ¨ ax . Œ®¦­® ¡»«® ®¡®©²¨±¼ ¨ ¡¥§ ­®¢»µ ±¨¬¢®«®¢, ¨±¯®«¼§³¿ § ¯¨±¼ (
) ¨ a(
) , ­® ½²¨ ®¡®§­ ·¥­¨¿ ¨¬¥¾² ±¢®¨ ­¥³¤®¡±²¢ . ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‘³¹¥±²¢³¾² ° §­»¥ ±®£« ¸¥­¨¿, ª ± ¾¹¨¥±¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±²¥¯¥­¨. ¥ª®²®°»¥  ¢²®°» ±·¨² ¾², ·²® ±²¥¯¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ e (x) = x ®¯°¥¤¥«¥­  ²®«¼ª® ¯°¨ x > 0 (·²® ­¥ ¬¥¸ ¥² ¨¬ ­  ±®±¥¤­¥© ±²° ­¨¶¥ ¨±¯®«¼§®¢ ²¼ § ¯¨±¼ ( 1)n ); ¤°³£¨¥ ¤¥« ¾² ¤«¿ ¶¥«»µ . ’°¥²¼¨ ° §«¨· ¾², ­ ¯°¨¬¥°, ±¨¬¢®«» p3 x ®£®¢®°ª³ ¨ x1=3 ¨ ±·¨² ¾², ·²® ¯¥°¢»© ®¯°¥¤¥«¥­ ¤«¿ ¢±¥µ x,   ¢²®°®© | ²®«¼ª® ¤«¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ. Œ» ±·¨² ¥¬ ±²¥¯¥­¼ ®¯°¥¤¥«¥­­®© ­  ± ¬®¬ ¸¨°®ª®¬ ¬­®¦¥±²¢¥, ­  ª®²®°®¬ ¥¥ ¬®¦­® ° §³¬­® ®¯°¥¤¥«¨²¼ (®£° ­¨·¨¢ ¿±¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬¨ ·¨±« ¬¨), ¨ ­¥ ¢¨¤¨¬ ­¨ª ª¨µ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨µ ®±­®¢ ­¨© ±³¦ ²¼ ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±²¥¯¥­¨. 5{6. ‘¨­³± ¨ ª®±¨­³±. Œ» ¡³¤¥¬ ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¸ª®«¼­»¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ª®±¨­³±  ¨ ±¨­³±  ª ª  ¡±¶¨±±» ¨ ®°¤¨­ ²» ²®·ª¨ ¥¤¨­¨·­®© ®ª°³¦­®±²¨,   ² ª¦¥ ¢±¥¬¨ ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª¨¬¨ ´®°¬³« ¬¨, ¢»¢¥¤¥­­»¬¨ ­  ¥£® ®±­®¢¥. ®«­®²  ½²®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿

146

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

§ ¢¨±¨² ®² ²®£®, ­ ±ª®«¼ª® ±²°®£® ®¯°¥¤¥«¥­® ±®®²¢¥²±²¢¨¥ ¬¥¦¤³ ¢¥¹¥±²¢¥­­»¬¨ ·¨±« ¬¨ (²®·ª ¬¨ ·¨±«®¢®© ¯°¿¬®©) ¨ ²®·ª ¬¨ ¥¤¨­¨·­®© ®ª°³¦­®±²¨ (\³£« ¬¨", \¯®¢®°®² ¬¨" ¨ ².¯.). Ž¡° ²¨¢ ¢­¨¬ ­¨¥ ­  ¨¬¥¾¹¨©±¿ ¢ ¸ª®«¼­®¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¯°®¡¥«, ¬» ±¥©· ± ²®«¼ª® ±ª ¦¥¬, ·²® ¥±²¼, ¨ ­¥ ®¤­ , ¯°¨­¶¨¯¨ «¼­ ¿ ¢®§¬®¦­®±²¼ ¥£® «¨ª¢¨¤¨°®¢ ²¼ (­¥ ®¯¨° ¿±¼, ° §³¬¥¥²±¿, ­  ±«¥¤±²¢¨¿ ½²®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿, ·²®¡» ­¥ ¯®¯ ±²¼ ¢ ¯®°®·­»© ª°³£). ²¨ ¢®§¬®¦­®±²¨ ®¡±³¦¤ ¾²±¿ ¯°¨ ¨§³·¥­¨¨ ¨­²¥£° «®¢ ¨ °¿¤®¢. ‹¥¬¬  3. …±«¨ 0 < x < 2 , ²® sin x < x < tg x: „®ª § ²¥«¼±²¢®.

x ° ¤¨ ­ (°¨±³­®ª 18).

ˆ§®¡° §¨¬ ¥¤¨­¨·­³¾ ®ª°³¦­®±²¼ ¨ ³£®« ¢

B D O

x

C A

¨±. 18

  °¨±³­ª¥

4OAB  ±¥ª².OAB  4OAD:

®½²®¬³ ¯«®¹ ¤¨ ´¨£³° ±¢¿§ ­» ­¥° ¢¥­±²¢®¬ S4OAB < S±¥ª².OAB < S4OAD :

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

147

“·¨²»¢ ¿, ·²® S4OAB = 12 jOAj jBC j; S±¥ª². OAB = 12 jOAj2 x; S4OAD = 12 jOAj jADj; jOAj = 1; jBC j = sin x; jADj = tg x; ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬®¥. 

‘«¥¤±²¢¨¥ 1. °¨ ¢±¥µ x 2 R ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®

j sin xj 6 jxj; x = 0. 2 ±²°®£®¥ ­¥° ¢¥­±²¢® ¤®ª § -

¯°¨·¥¬ ° ¢¥­±²¢® ¨¬¥¥² ¬¥±²® ²®«¼ª® ¯°¨ „®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ ­® ¢ «¥¬¬¥. …±«¨ x > 2 , ²®

x 2 (0;  )

j sin xj 6 1 < 2 6 x;

¨ ­¥° ¢¥­±²¢® ¤®ª § ­® ¯°¨ ¢±¥µ x > 0. …±«¨ ¦¥ x < 0, ²® x > 0, ¨ ¯® ¤®ª § ­­®¬³

j sin xj = j sin( x)j < j xj = jxj: ‘«¥¤±²¢¨¥ 2. ”³­ª¶¨¨ ±¨­³± ¨ ª®±¨­³± ­¥¯°¥°»¢­» ­  R. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

„«¿ «¾¡®© ²®·ª¨ x0 2 R ¨¬¥¥¬:

x x x + x j sin x sin x0 j = 2 sin 2 0 cos 2 0 6

6 2
jx 2 x0 j
1 = jx x0 j x!!x0 0: 

¥¯°¥°»¢­®±²¼ ª®±¨­³±  ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ¨«¨ ± ¯®¬®¹¼¾ ´®°¬³«» ¯°¨¢¥¤¥­¨¿   cos x = sin 2 x ;

148

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

³¦¥ ¤®ª § ­­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ±¨­³±  ¨ ²¥®°¥¬» ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨. ƒ° ´¨ª¨ ±¨­³±  ¨ ª®±¨­³±  ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±³­ª µ 19 ¨ 20. y -2

1 0 -1

-

2 x



¨±. 19

y - 32

- 2

1 0 2 -1

3 2

x

¨±. 20

7{8. ’ ­£¥­± ¨ ª®² ­£¥­±. ”³­ª¶¨¨

sin x ; tg x = cos x cos ctg x = sin xx ;

n o x 2 Rn 2 + k : k 2 Z ;  x 2 Rn k : k 2 Z

­¥¯°¥°»¢­» ­  ±¢®¨µ ®¡« ±²¿µ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿

°»¢­®±²¨ · ±²­®£®.

¯® ²¥®°¥¬¥ ® ­¥¯°¥-

ƒ° ´¨ª¨ ² ­£¥­±  ¨ ª®² ­£¥­±  ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±³­ª µ 21

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¨ 22.

149

y

- 32

0

- 2

3 x 2



2

¨±. 21

y

-2

-

0



2 x

¨±. 22

9. €°ª±¨­³±. ”³­ª¶¨¿

sin: R ­ ![ 1; 1] ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®¡° ²¨¬®©, ² ª ª ª ¯°¨­¨¬ ¥² ±¢®¨ §­ ·¥­¨¿ ¡®«¥¥ ®¤­®£® ° §   (¤ ¦¥  ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®£® ° §). ® ±³¦¥­¨¥ ±¨­³±  ­  ®²°¥§®ª 2 ; 2 : i h sin [ 2 ; 2 ] : 2 ; 2 ­ ![ 1; 1] ±²°®£® ¢®§° ±² ¥², ¨ ¯®²®¬³ ®¡° ²¨¬®.

150

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿, ®¡° ²­ ¿ ª ±³¦¥­¨¾ ±¨­³±  ­  ®²  ;  , ­ §»¢ ¥²±¿  °ª±¨­³±®¬:

°¥§®ª

2 2



arcsin = sin [ 2 ; 2 ]



1

:

® ²¥®°¥¬¥ ® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®¡° ²­®© ´³­ªh i arcsin: [ 1; 1] ­ ! 2 ; 2 ; ´³­ª¶¨¿  °ª±¨­³± ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ¨ ­¥¯°¥°»¢­ . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨, ¥±«¨  x 2 [ 1; 1], ²® ° ¢¥­±²¢® y = arcsin x ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® ³ 2 2 ; 2 ¨ sin y = x. ¶¨¨

y



2

1

- 2 -1

0

1

2 x



-1 - 2 ¨±. 23

10. €°ªª®±¨­³±. ”³­ª¶¨¿

cos: R ­ ![ 1; 1] ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®¡° ²¨¬®©. ® ±³¦¥­¨¥ ª®±¨­³±  ­  ®²°¥§®ª [ 0; ]:

cos [ 0;] : [ 0; ] ­ ![ 1; 1]

±²°®£® ³¡»¢ ¥², ¨ ¯®²®¬³ ®¡° ²¨¬®.

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

151

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿, ®¡° ²­ ¿ ª ±³¦¥­¨¾ ª®±¨­³±  ­  ®²°¥§®ª [ 0; ], ­ §»¢ ¥²±¿  °ªª®±¨­³±®¬:



arccos = cos [ 0;] ¶¨¨



1

:

® ²¥®°¥¬¥ ® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®¡° ²­®© ´³­ªarccos: [ 1; 1] ­ ![ 0; ];

® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨, ¥±«¨ x 2 [ 1; 1], ²® ° ¢¥­±²¢® y = arccos x ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® ³ 2 [ 0; ] ¨ cos y = x. y 

´³­ª¶¨¿  °ªª®±¨­³± ±²°®£® ³¡»¢ ¥² ¨ ­¥¯°¥°»¢­ .



2

1 

0

-1

1

2



x

-1 ¨±. 24

„®ª ¦¥¬ ²®¦¤¥±²¢®

arcsin x + arccos x = 2 ;

x 2 [ 1; 1]:

Ž¡®§­ ·¨¬ y =  2 arccos  x ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® y = arcsin x. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ³ 2 2 ; 2 , ² ª ª ª arccos x 2 [ 0; ]. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», sin y = cos arccos x = x: 

152

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

11. €°ª² ­£¥­±. ”³­ª¶¨¿ ² ­£¥­±
­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®¡° ²¨¬®©. ® ±³¦¥­¨¥ ² ­£¥­±  ­  ¨­²¥°¢ « 2 ; 2 :



tg ( 2 ; 2 ) :

    ­  2; 2 !R

±²°®£® ¢®§° ±² ¥², ¨ ¯®²®¬³ ®¡° ²¨¬®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥.
”³­ª¶¨¿, ®¡° ²­ ¿ ª ±³¦¥­¨¾ ² ­£¥­±  ­  ¨­²¥°¢ « 2 ; 2 , ­ §»¢ ¥²±¿  °ª² ­£¥­±®¬:



arctg = tg ( 2 ; 2 )



1

:

® ²¥®°¥¬¥ ® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®¡° ²­®© ´³­ª  arctg: R ­ ! 2 ; 2 ; ´³­ª¶¨¿  °ª² ­£¥­± ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ¨ ­¥¯°¥°»¢­ . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨, ¥±«¨
x 2 R, ²® ° ¢¥­±²¢® y = arctg x ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® ³ 2 2 ; 2 ¨ tg y = x. ¶¨¨

y 

2

- 2

0 - 2

¨±. 25



2

x

x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨

153

12. €°ªª®² ­£¥­±. ”³­ª¶¨¿ ª®² ­£¥­± ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ®¡° ²¨¬®©. ® ±³¦¥­¨¥ ª®² ­£¥­±  ­  ¨­²¥°¢ « (0; ):

ctg (0;) : (0; ) ­ ! R

±²°®£® ³¡»¢ ¥², ¨ ¯®²®¬³ ®¡° ²¨¬®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿, ®¡° ²­ ¿ ª ±³¦¥­¨¾ ª®² ­£¥­±  ­  ¨­²¥°¢ « (0; ), ­ §»¢ ¥²±¿  °ªª®² ­£¥­±®¬:



arcctg = ctg (0;) ¶¨¨



1

:

® ²¥®°¥¬¥ ® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ®¡° ²­®© ´³­ªarcctg: R ­ !(0; );

® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨, ¥±«¨ x 2 R, ²® ° ¢¥­±²¢® y = arcctg x ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® ³ 2 (0; ) ¨ ctg y = x. ´³­ª¶¨¿  °ªª®² ­£¥­± ±²°®£® ³¡»¢ ¥² ¨ ­¥¯°¥°»¢­ .

y  

2

0 2

 x

¨±. 26

ƒ° ´¨ª¨ ®¡° ²­»µ ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª¨µ ´³­ª¶¨© ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±³­ª µ 23{26.

154

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

„®ª ¦¥¬ ²®¦¤¥±²¢®

arctg x + arcctg x = 2 ;

Ž¡®§­ ·¨¬ y = ±²¢¨²¥«¼­®, ³ 2 ±²®°®­»,

x 2 R:

 arcctg x ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® y = arctg x. „¥©2 
; , ² ª ª ª arcctg x 2 (0; ). ‘ ¤°³£®©

2 2

tg y = ctg arcctg x = x: 

ˆ² ª, ¬» ®¯°¥¤¥«¨«¨ ¤¢¥­ ¤¶ ²¼ ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© ¨ ¤®ª § «¨ ¨µ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼. ‚¢¨¤³ ²®£®, ·²®  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ®¯¥° ¶¨¨ ¨ ª®¬¯®§¨¶¨¿ ­¥ ¢»¢®¤¿² ¨§ ª« ±±  ­¥¯°¥°»¢­»µ ´³­ª¶¨©, ¢¥°­  ±«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬ . ’¥®°¥¬  1. ‚±¥ ½«¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨ ­¥¯°¥°»¢­» ­  ±¢®¨µ ®¡« ±²¿µ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿.

x 4.

‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨©

‡ ¬¥· ²¥«¼­»¬¨ ¯°¥¤¥« ¬¨ ­ §»¢ ¾² ¯¿²¼ ° ¢¥­±²¢, · ±²® ¨±¯®«¼§³¾¹¨µ±¿ ¯°¨ ° ±ª°»²¨¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¥©. ‡1.

lim sinx x = 1:

x!0




® «¥¬¬¥ 3 x 3 ¯°¨ ¢±¥µ x 2 0; 2 cos x < sinx x < 1: (4) ’ ª ª ª ¢±¥ ²°¨ · ±²¨ ­¥° ¢¥­±²¢  (4) | ·¥²­»¥ ´³­ª¶¨¨, ­¥° ¢¥­
±²¢® ¢¥°­® ¨ ¯°¨ x 2 2 ; 0 . °¨ x ! 0 «¥¢ ¿ · ±²¼ (4) ±²°¥¬¨²±¿ ª 1 ¢ ±¨«³ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ª®±¨­³± . ® ²¥®°¥¬¥ ® ±¦ ²®© ´³­ª¶¨¨ ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬®¥.  ®«³·¥­­»© °¥§³«¼² ² ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ¨ ² ª: ¥±«¨ ¤®®¯°¥¤¥«¨²¼ ´³­ª¶¨¾ '(x) = sinx x ¢ ­³«¥ ¥¤¨­¨¶¥©, ²® ¯®«³·¨¢¸ ¿±¿ ´³­ª¶¨¿ ¡³¤¥² ­¥¯°¥°»¢­  ­  R. ‡¤¥±¼ ¨ ¤ «¥¥ ³¤®¡­® ¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ½²¨¬ ±®£« ¸¥­¨¥¬ ¨ ¤®®¯°¥¤¥«¿²¼ ´³­ª¶¨¨ ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

x 4. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨©

155

‘«¥¤±²¢¨¥ 1.

x 1 lim 1 xcos 2 = 2; lim arcsin x = 1; x!0 x x!0

lim tgxx = 1; lim arctg x = 1: x!0 x

x!0

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ®«¼§³¿±¼ § ¬¥· ²¥«¼­»¬ ¯°¥¤¥«®¬ ¤«¿ ±¨­³± ,   ² ª¦¥ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ ª®±¨­³±  ¨ ²¥®°¥¬®© ®¡  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨¿µ ­ ¤ ´³­ª¶¨¿¬¨, ¨¬¥¾¹¨¬¨ ¯°¥¤¥«, ­ µ®¤¨¬:





1 cos x = 1 sin x2 2 ! 1 ; x!0 2 x2 2 x2 tg x = 1 sin x ! 1: x cos x x x!0

„«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ²°¥²¼¥£® ¯°¥¤¥«  ±¤¥« ¥¬ § ¬¥­³ x = sin y: y lim arcsin x = ylim x!0 x !0 sin y = 1: ‡ ¬¥­³ ¬®¦­® ®¡®±­®¢ ²¼, ­ ¯°¨¬¥°, ² ª. ”³­ª¶¨¿ f(x) = arcsin x ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ 0, f(0) = 0,   ´³­ª¶¨¿ g(y) = siny y ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ 0, g(0) = 1. ® ²¥®°¥¬¥ ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨ x ´³­ª¶¨¿ g(f(x)) = arcsin x ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ 0, ¨ g(f(0)) = 1. ®±«¥¤­¨© ¯°¥¤¥« ¢»·¨±«¿¥²±¿  ­ «®£¨·­®.  °¨ ®¡®±­®¢ ­¨¨ § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®© ¢¬¥±²® ²¥®°¥¬» ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ¬®¦­® ¡»«® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ § ¬¥· ­¨¥¬ ª ­¥© ¨«¨ ¿§»ª®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©, ª ª ±¤¥« ­® ¤ «¥¥ ¯°¨ ¢»·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«®¢ 4 ¨ 5.





1 x = e: ‡2. lim 1 + x!1 x „®ª § ²¥«¼±²¢®.  ¯®¬­¨¬, ·²® ·¨±«® e ®¯°¥¤¥«¿«®±¼ ª ª ¯°¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨:  1 n e = nlim !1 1 + n :

156

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

 §­¨¶  ¬¥¦¤³ ½²¨¬ ° ¢¥­±²¢®¬ ¨ ¤®ª §»¢ ¥¬»¬ ¢ ²®¬, ·²® ²¥¯¥°¼ °¥·¼ ¨¤¥²
® ¯°¥¤¥«¥ ­¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨,   ´³­ª¶¨¨ f(x) = 1 + x1 x , § ¤ ­­®© ­  R n [ 1; 0]:  °£³¬¥­² x ­¥ ®¡¿§ ­ ¯°¨­¨¬ ²¼ ­ ²³° «¼­»¥ ¨ ¤ ¦¥ ¯®«®¦¨²¥«¼­»¥ §­ ·¥­¨¿. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ¢®±¯®«¼§³¥¬±¿ ¿§»ª®¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng: xn ! 1 ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® f(xn ) ! e:

(5)

1. ³±²¼ ±­ · «  xn 2 N ¤«¿ ¢±¥µ n. ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ·¨±«  e ¯®¤¡¥°¥¬ ² ª®© ­®¬¥° K, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ ­®¬¥°®¢ (²® ¥±²¼ ­ ²³° «¼­»µ ·¨±¥«) k > K ¡³¤¥² jf(k) ej < ". ®, ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , xn > K,   ²®£¤  jf(xn) ej < ", ·²® ¨ ®§­ · ¥² ¢»¯®«­¥­¨¥ (5). 2. ³±²¼ xn ! +1. ’®£¤ , ­ ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥° , xn > 1, ¯®½²®¬³, ­¥ ³¬¥­¼¸ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ¢±¥ xn > 1. “¬¥­¼¸ ¿ ¨«¨ ³¢¥«¨·¨¢ ¿ ®±­®¢ ­¨¥ ¨ ¯®ª § ²¥«¼ ±²¥¯¥­¨, ¯®«³·¨¬ ­¥° ¢¥­±²¢ 



[xn]  1 xn  1 [xn]+1 1 + [x ]1+ 1 6 1+ x 6 1 + [x ] ; n n n ª®²®°»¥ ¯¥°¥¯¨¸¥¬ ¢ ¢¨¤¥


 1 
f [xn] + 1 6 f(xn ) 6 1 + [x ] f [xn] : 1 1 + [xn ]+1 n





(6)



’ ª ª ª [xn] ¨ [xn] + 1 | ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ­ ²³° «¼
­»µ ·¨±¥«,
±²°¥¬¿¹¨¥±¿ ª +1, ²® ¯® ¤®ª § ­­®¬³ f [xn] ! e ¨ f [xn] + 1 ! e. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ª° ©­¨¥ · ±²¨ ¢ (6) ±²°¥¬¿²±¿ ª e,   ²®£¤  ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¨ f(xn ) ±²°¥¬¨²±¿ ª e. 3. ³±²¼ xn ! 1; ²®£¤  yn = xn ! +1 ¨ yn 1 ! +1. ® ¤®ª § ­­®¬³



 yn  yn yn   1 1 f(xn ) = 1 + y = y 1 = 1 + y 1 f(yn 1) ! e: n n n

x 4. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨©

157

4. ³±²¼, ­ ª®­¥¶, xn 2= [ 1; 0 ], xn ! 1,   ¢ ®±² «¼­®¬ fxng ¯°®¨§¢®«¼­ . …±«¨ ·¨±«® ®²°¨¶ ²¥«¼­»µ (¯®«®¦¨²¥«¼­»µ) ·«¥­®¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fxng ª®­¥·­®, ²® xn ! +1 ( 1), ¨ ±®®²­®¸¥­¨¥ f(xn ) ! e ³¦¥ ¤®ª § ­®. …±«¨ ¦¥ ¢ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®£® ¨ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ, ¨ ®²°¨¶ ²¥«¼­»µ ·«¥­®¢, ²® ° §®¡¼¥¬ ­ ²³° «¼­»© °¿¤ ­  ¤¢¥ ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ fnk g ¨ fml g: xnk > 0, xml < 1. ® ¤®ª § ­­®¬³ f(xnk ) ! e ¨ f(xml ) ! e. ® «¥¬¬¥ 5 x 3 £« ¢» 2 ® ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¿µ f(xn ) ! e.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ‡ ¬¥­¿¿ x ­  x1 , ¢²®°®© § ¬¥· ²¥«¼­»© ¯°¥¤¥« ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¨ ² ª: lim (1 + x)1=x = e: x!0 ‡3.

lim loga (1x + x) = ln1a ;

x!0

‚ · ±²­®±²¨,

a > 0; a 6= 1:

lim ln(1x+ x) = 1:

x!0

x) ’ ª ª ª loga (1 + x) = ln(1+ ln a , ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ ° ¢¥­±²¢® ¤«¿ ­ ²³° «¼­®£® «®£ °¨´¬ . ˆ¬¥¥¬ 1=x 1=x lim ln(1x+ x) = xlim x!0 !0 ln(1 + x) = ln xlim !0(1 + x) = ln e = 1: ‚® ¢²®°®¬ ° ¢¥­±²¢¥ ¬» ¢®±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ «®£ °¨´¬  ¢ ²®·ª¥ e ¨ ²¥®°¥¬®© ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨ (¤«¿ ¥¥ ¯°¨¬¥­¥­¨¿ ¬» ¤®®¯°¥¤¥«¿¥¬ (1 + x)1=x = e ¯°¨ x = 0).  „®ª § ²¥«¼±²¢®.

‡4.



lim (1 + x)x x!0

1 = ;

 2 R:

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨  = 0 ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ° ¢¥­±²¢® ²°¨¢¨ «¼­®; ¯³±²¼  6= 0. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng: xn ! 0,

158

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

xn 6= 0; ­¥ ³¬¥­¼¸ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® jxnj < 1. ’®£¤  ¢ ±¨«³ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¨ ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨ ±²¥¯¥­­®© ´³­ª¶¨¨ yn = (1 + xn) 1 ! 0, yn 6= 0. °¨ ½²®¬ ln(1 + xn ) = ln(1 + yn ): ®«¼§³¿±¼ § ¬¥· ²¥«¼­»¬ ¯°¥¤¥«®¬ ¤«¿ «®£ °¨´¬ , ­ µ®¤¨¬ (1 + xn) 1 = yn = yn  ln(1 + xn ) ! :  xn xn ln(1 + yn ) xn ax 1 = ln a; lim x!0 x

‡5. ‚ · ±²­®±²¨,

a > 0:

ex 1 = 1: lim x!0 x

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ a = 1 ¤®ª §»¢ ¥¬®¥ ° ¢¥­±²¢® ²°¨¢¨ «¼­®; ¯³±²¼ a 6= 1. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng: xn ! 0, xn 6= 0. ’®£¤  ¢ ±¨«³ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¨ ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ yn = axn 1 ! 0, yn 6= 0. °¨ ½²®¬

xn ln a = ln(1 + yn ): ®«¼§³¿±¼ § ¬¥· ²¥«¼­»¬ ¯°¥¤¥«®¬ ¤«¿ «®£ °¨´¬ , ­ µ®¤¨¬: axn 1 = yn = yn ln a ! ln a:  xn xn ln(1 + yn ) –¥«¼ ±«¥¤³¾¹¥© ±¥°¨¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨© | ¯°¨¤ ²¼ ·¥²ª¨© ±¬»±« ¢»±ª §»¢ ­¨¿¬ ²¨¯  \®¤­  ´³­ª¶¨¿ ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾ (¡¥±ª®­¥·­®±²¨) ¡»±²°¥¥ ¤°³£®©", \¤¢¥ ´³­ª¶¨¨ ±²°¥¬¿²±¿ ª ­³«¾ (¡¥±ª®­¥·­®±²¨) ± ®¤¨­ ª®¢®© ±ª®°®±²¼¾" ¨ ².¯.

x 4. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨©

159

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, D  X, f; g: D ! R ¨«¨ C , x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D. …±«¨ ±³¹¥±²¢³¾² ´³­ª¶¨¿ ': D ! R ¨«¨ C ¨ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ²®·ª¨ x0 , ² ª¨¥ ·²® f(x) = '(x)g(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 V_x0 \ D (7)

¨

1) ' ®£° ­¨·¥­  ­  V_x0 \ D, ²® £®¢®°¿², ·²® ´³­ª¶¨¿ f ­¨·¥­  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± g ¯°¨ x ! x0 , ¨ ¯¨¸³² f(x) = O(g(x));

x ! x0;

®£° -

(8)

2) '(x) x!!x0 0, ²® £®¢®°¿², ·²® ´³­ª¶¨¿ f | ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿ ± g ¯°¨ x ! x0, ¨ ¯¨¸³²

¯® ±° ¢­¥­¨¾

f(x) = o(g(x));

x ! x0;

(9)

3) '(x) x!!x0 1, ²® £®¢®°¿², ·²® ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ½ª¢¨¢ «¥­²­» ¨«¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨ ° ¢­» ¯°¨ x ! x0, ¨ ¯¨¸³² f(x)  g(x);

x ! x0 :

(10)

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ D | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¬­®¦¥±²¢®, f; g: D ! R ¨«¨ C . …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ·¨±«® C > 0, ² ª®¥ ·²® jf(x)j 6 C jg(x)j ¤«¿ ¢±¥µ x 2 D, ²® £®¢®°¿², ·²® ´³­ª¶¨¿ f ®£° ­¨·¥­  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± g ­  ¬­®¦¥±²¢¥ D, ¨ ¯¨¸³²

f(x) = O(g(x));

x 2 D:

(11)

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. …±«¨ f(x) = O(g(x)) ¨ g(x) = O(f(x)) (¯°¨ x ! x0 ¨«¨ x 2 D), ²® £®¢®°¿², ·²® ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ±° ¢­¨¬» (¯°¨ x ! x0 ¨«¨ x 2 D ±®®²¢¥²±²¢¥­­®), ¨ ¯¨¸³² f  g. —¨² ¾² ´®°¬³«» (8), (9) ¨ (11), ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, ² ª: \f(x) ¥±²¼ Ž-¡®«¼¸®¥ ®² g(x) ¯°¨ x, ±²°¥¬¿¹¥¬±¿ ª x0", \f(x) ¥±²¼ o¬ «®¥ ®² g(x) ¯°¨ x, ±²°¥¬¿¹¥¬±¿ ª x0", \f(x) ¥±²¼ Ž-¡®«¼¸®¥ ®² g(x) ¯°¨ x, ¯°¨­ ¤«¥¦ ¹¥¬ D". O-±¨¬¢®«» ¡»«¨ ¢¢¥¤¥­» ¢ ¬ ²¥¬ ²¨ª³ . ‹ ­¤ ³. ‘®®²­®¸¥­¨¿ ± O-±¨¬¢®« ¬¨ ¨ ±¨¬¢®« ¬¨

160

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

 ¨  ­ §»¢ ¾²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¬¨. …±«¨ ¿±­®, ® ª ª®© ²®·ª¥ x0 ¨¤¥² °¥·¼, ²® § ¯¨±¼ x ! x0 ,   ¨­®£¤  ¨ ®¡®§­ ·¥­¨¥  °£³¬¥­²  x ®¯³±ª ¾² ¨ ¯¨¸³², ­ ¯°¨¬¥°, f = o(g). Ž¡±³¤¨¬ ¯®¤°®¡­¥¥ ±¢®©±²¢   ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ±®®²­®¸¥­¨©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. 1. ‘®®²­®¸¥­¨¥ (8) ° ¢­®±¨«¼­® ±«¥¤³¾¹¥¬³: ±³¹¥±²¢³¾² ·¨±«® C > 0 ¨ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ²®·ª¨ x0 , ² ª¨¥ ·²® jf(x)j 6 C jg(x)j; x 2 V_x0 \ D: (12) 2. ‘®®²­®¸¥­¨¥ (9) ° ¢­®±¨«¼­® ±«¥¤³¾¹¥¬³: ¤«¿ «¾¡®£® " > 0 ±³¹¥±²¢³¥² ®ª°¥±²­®±²¼ Ux0 ²®·ª¨ x0, ² ª ¿ ·²® jf(x)j 6 "jg(x)j; x 2 U_ x0 \ D: (13) „®ª § ²¥«¼±²¢®. ²¨ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ±° §³ ±«¥¤³¾² ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨©; ²¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¯°¨¢¥¤¥¬ ¯®¤°®¡­®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. …±«¨ ¢»¯®«­¥­® ±®®²­®¸¥­¨¥ (8), ²® ±³¹¥±²¢³¾² ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ¨ ´³­ª¶¨¿ ' ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. ‚ ±¨«³ ®£° ­¨·¥­­®±²¨ ' ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ¯®±²®¿­­ ¿ C > 0, ·²® j'(x)j 6 C ¤«¿ ¢±¥µ x 2 V_x0 \ D. ˆ§ ° ¢¥­±²¢  (7) ±«¥¤³¥² (12). Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ·¨±«® C > 0 ¨ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 , ·²® ¢»¯®«­¥­® (12). ‡ ¬¥²¨¬, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ x 2 V_x0 \ D, ¥±«¨ g(x) = 0, ²® ¨ f(x) = 0. ®«®¦¨¬ ¯°¨ x 2 D

'(x) =

( f (x)

g(x) ;

0;

g(x) 6= 0; g(x) = 0:

(14)

’®£¤  ­  V_x0 \ D ¡³¤¥² f = 'g ¨ j'j 6 C, ²® ¥±²¼ ¢»¯®«­¥­® (8). 2. ³±²¼ ¢»¯®«­¥­® (9), ²® ¥±²¼ ±³¹¥±²¢³¾² ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ¨ ´³­ª¶¨¿ ' ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. ‚®§¼¬¥¬ " > 0. ’ ª ª ª '(x) x!!x0 0, ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Ux0 , ±®¤¥°¦ ¹ ¿±¿ ¢ Vx0 , ·²® j'j 6 " ­  U_ x0 \ D. ‡­ ·¨², ¢¥°­® ±®®²­®¸¥­¨¥ (13). Ž¡° ²­®, ¥±«¨ Vx0 | ®ª°¥±²­®±²¼, ¯®¤®¡° ­­ ¿ ¯® ·¨±«³ " = 1,   ´³­ª¶¨¿ ' ¯°¨ x 2 V_x0 \ D ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬ (14), ²® f = 'g ­  V_x0 \ D, ¨ ¯® ³±«®¢¨¾ '(x) x!!x0 0. ‡­ ·¨², ¢¥°­® ±®®²­®¸¥­¨¥ (9). 

x 4. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨©

161

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ³±²¼ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Ux0 ²®·ª¨ x0, ·²® g ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­³«¼ ¢ U_ x0 \ D. ’®£¤  ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¬®¦­® ³¯°®±²¨²¼. 1. ‘®®²­®¸¥­¨¥ (8) ° ¢­®±¨«¼­® ±«¥¤³¾¹¥¬³: ±³¹¥±²¢³¥² ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ²®·ª¨ x0 , ² ª ¿ ·²® ´³­ª¶¨¿ fg ®£° ­¨·¥­  ¢ V_x0 \ D. 2. ‘®®²­®¸¥­¨¥ (9) ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® f(x) ! 0: g(x) x!x0 3. ‘®®²­®¸¥­¨¥ (10) ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® f(x) ! 1: g(x) x!x0 „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±«¥¤³¥² ®¡®§­ ·¨²¼ · ±²­®¥ fg ·¥°¥§ '. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2 ³¤®¡­® ¯°¨ ¯°®¢¥°ª¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ±®®²­®¸¥­¨© ­  ¯° ª²¨ª¥, ¯®±ª®«¼ª³ ¤«¿ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© ¤®¯®«­¨²¥«¼­®¥ ³±«®¢¨¥ ¨§ § ¬¥· ­¨¿ ®¡»·­® ¢»¯®«­¿¥²±¿. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. 1. €±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° ¢¥­±²¢® ´³­ª¶¨© ¿¢«¿¥²±¿ ®²­®¸¥­¨¥¬ ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ (¢ ±¬»±«¥ x 4 ¢¢¥¤¥­¨¿). 2. ‘®®²­®¸¥­¨¿ f  g, f = g+o(g) ¨ f = g+o(f) ° ¢­®±¨«¼­». 3. …±«¨ f = o(g), ²® f = O(g). 4. …±«¨  6= 0, f  g, ²® f  g. —¨² ²¥«¼ «¥£ª® ¤®ª ¦¥² ½²¨ ´ ª²» ± ¬. “²¢¥°¦¤¥­¨¿, ®¡° ²­»¥ ª ²°¥²¼¥¬³ ¨ ·¥²¢¥°²®¬³, ­¥¢¥°­» (±¬. ¤ «¥¥ ´®°¬³«³ (15)). ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ˆ­®£¤  ±¨¬¢®«» O ¨ o ¯°¨¬¥­¿¾² ª ®²®¡° ¦¥­¨¿¬ ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ ­®°¬¨°®¢ ­­»µ ¯°®±²° ­±²¢ µ (­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ¢ ®¤­®¬ ¨ ²®¬ ¦¥): ¯¨¸³² f = o(g), ¥±«¨ kf k = o(kgk), ¨  ­ «®£¨·­® ¤«¿ O. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5.  ©¤¥­­»¥ § ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ° ¢¥­±²¢: ¯°¨ x ! 0

sin x  tg x  arcsin x  arctg x  ln(1 + x)  x; 2 1 cos x  x2 ; ax 1  x ln a; (1 + x) 1  x

162

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

¨«¨ (±¬. § ¬¥· ­¨¥ 3) sin x = x + o(x); arcsin x = x + o(x);

tg x = x + o(x); arctg x = x + o(x); 2 ln(1 + x) = x + o(x); cos x = 1 x2 + o(x2 ); ax = 1 + x ln a + o(x); (1 + x) = 1 + x + o(x): ‚®² ¥¹¥ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ­®¢»µ ±¨¬¢®«®¢: x = o(x2 ); x ! 1; x2 = o(x); x ! 0; sin x = O(x); x 2 R; sin x = O(x); x ! 0; x = O(sin x); x ! 0; x 6= O(sin x); x 2 R;   (15) x  x 2 + sin x1 ; x ! 0: °¨¢»·­®, ·²® ¢±¿ª®¥ ° ¢¥­±²¢® ¬®¦¥² ¡»²¼ ¯°®·¨² ­® ª ª ±«¥¢  ­ ¯° ¢®, ² ª ¨ ±¯° ¢  ­ «¥¢®: ¥±«¨ \a ° ¢­® b", ²® ¨ \b ° ¢­® a".  ¢¥­±²¢  ± O-±¨¬¢®« ¬¨ ¢»£«¿¤¿² ±²° ­­»¬ ¨±ª«¾·¥­¨¥¬.  ¯°¨¬¥°, ° ¢¥­±²¢® sin x = O(x) (x 2 R) ¢¥°­®,   ° ¢¥­±²¢® O(x) = sin x (x 2 R) ­¥ ¤®¯³±ª ¥² ®¤­®§­ ·­®£® ¨±²®«ª®¢ ­¨¿: ­¥ ¢±¿ª ¿ ´³­ª¶¨¿, ¿¢«¿¾¹ ¿±¿ O(x), ¥±²¼ sin x. Š°®¬¥ ²®£®, ¨§ a = c, b = c ±«¥¤³¥², ·²® a = b, ­® ¨§ ° ¢¥­±²¢ sin x = O(x), x = O(x) ­¥«¥¯® ¢»¢®¤¨²¼, ·²® sinx = x. ²®² ª ¦³¹¨©±¿ ¯ ° ¤®ª± ¢»§¢ ­ ²®«¼ª® ¢»¡®°®¬ ®¡®§­ ·¥­¨©.   ± ¬®¬ ¤¥«¥, O(g) ¨ o(g) | ½²® ¬­®¦¥±²¢  ´³­ª¶¨© f, ³¤®¢«¥²¢®°¿¾¹¨µ ®¯°¥¤¥«¥­¨¾,   ° ¢¥­±²¢  f = O(g) ¨ f = o(g) ®§­ · ¾² ¢ª«¾·¥­¨¿ f 2 O(g) ¨ f 2 o(g). ’ ª, O(1) ®§­ · ¥² ª« ±± ®£° ­¨·¥­­»µ ´³­ª¶¨© (­  ¬­®¦¥±²¢¥ D ¨«¨ V_x0 \ D),   o(1) | ª« ±± ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «»µ ¢ ²®·ª¥ x0 ´³­ª¶¨©.  ¢¥­±²¢  ¢¨¤  o(g) = O(g) ®§­ · ¾² ¢ª«¾·¥­¨¥ «¥¢®© · ±²¨ ¢ ¯° ¢³¾. Ž¤­ ª®, ¯® ²° ¤¨¶¨¨ ¢ ±®®²­®¸¥­¨¿µ ± O-±¨¬¢®« ¬¨ ¨±¯®«¼§³¾² §­ ª ° ¢¥­±²¢ , ·²® ¡»¢ ¥² ³¤®¡­®, ² ª ª ª, ­ ¯°¨¬¥°, ¯®§¢®«¿¥² ¯¥°¥­®±¨²¼ O-·«¥­» ¨§ ®¤­®© · ±²¨ ° ¢¥­±²¢  ¢ ¤°³£³¾. „«¿  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ±®®²­®¸¥­¨© ±¯° ¢¥¤«¨¢» ´®°¬³«»: o(g) + o(g) = o(g); o(g) o(g) = o(g) (  ­¥ 0); 2O(g) = O(g); O(g)O(h) = O(gh)

x 4. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨©

163

¨ ².¯.  ¯°¨¬¥°, ¢²®°®¥ ° ¢­¥±²¢® ±«¥¤³¥² ¯®­¨¬ ²¼ ² ª: ¥±«¨ f1 = o(g) ¨ f2 = o(g), ²® ¨ f1 f2 = o(g) (¿±­®, ·²® ´³­ª¶¨¨ f1 ¨ f2 ­¥ ®¡¿§ ­» ³­¨·²®¦ ²¼±¿). —¨² ²¥«¼ ± ¬ ¯°¨ ­¥®¡µ®¤¨¬®±²¨ ° §¡¥°¥²±¿ ± ¯®¤®¡­»¬¨ ° ¢¥­±²¢ ¬¨. ‘«¥¤³¾¹ ¿ ²¥®°¥¬  ®¯¨±»¢ ¥² ±µ¥¬³ ¯°¨¬¥­¥­¨¿  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ° ¢¥­±²¢ ¤«¿ ¢»·¨±«¥­¨¿ ¯°¥¤¥«®¢. ’¥®°¥¬  1. ‡ ¬¥­  ­  ½ª¢¨¢ «¥­²­³¾ ¯°¨ ¢»·¨±«¥­¨¨ ¯°¥¤¥«®¢. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®,

f; f;e g; eg: D  X ! R ¨«¨ C , x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D,

e g(x)  eg(x); f(x)  f(x);

x ! x0:

’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. 1. xlim !x0 f(x)g(x) = xlim !x0 f (x)g (x). 2. …±«¨ x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ fg , ²® f (x) = lim fe(x) . lim x!x0 g(x) x!x0 eg (x) (‚ ®¡®¨µ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿µ ¯°¥¤¥«» ®¤­®¢°¥¬¥­­® ±³¹¥±²¢³¾² ¨«¨ ­¥² ¨, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾², ²® ° ¢­».)

e e

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ g(x) 6 0 ¢ V_ x0 \ D, ²® ¨ eg(x) 6 0 ¢ Ve_ x0 \ D,

¨ ®¡° ²­®. ®½²®¬³ ²®·ª  x0 ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¿¢«¿¥²±¿ ¨«¨ ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°¥¤¥«¼­®© ¤«¿ ®¡« ±²¥© ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ fg ¨ fege. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ½ª¢¨¢ «¥­²­»µ ´³­ª¶¨© ±³¹¥±²¢³¾² ®ª°¥±²­®±²¨ Ux0 , Vx0 ¨ ´³­ª¶¨¨ ', , ±²°¥¬¿¹¨¥±¿ ª 1 ¯°¨ x ! x0 , ² ª¨¥ ·²® f = 'fe ­  U_ x0 \ D; g = ge ­  V_x0 \ D: ’®£¤  ­  ¬­®¦¥±²¢¥ W_ x0 \ D, £¤¥ Wx0 = Ux0 \ Vx0 , ¢¥°­» ®¡  ° ¢¥­±²¢ . ‡­ ·¨², ­  W_ x0 \ D fg = (' )(fege):

e ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥±«¨ xlim !x0 f(x)eg(x) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ A, ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ xlim !x0 f(x)g(x) ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ A;

164

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

¢¥°­® ¨ ®¡° ²­®¥. €­ «®£¨·­® ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¤«¿ ¯°¥¤¥«  · ±²­®£® (± ²®© ° §­¨¶¥©, ·²® ¬®¦¥² ¯®­ ¤®¡¨²¼±¿ ¥¹¥ ±³§¨²¼ ®ª°¥±²­®±²¼, ·²®¡» ' ¨ ­¥ ®¡° ¹ «¨±¼ ¢ ­¥© ¢ ­³«¼).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ˆ§ ³±«®¢¨© ²¥®°¥¬» ­¥ ±«¥¤³¥², ·²® e lim (f(x)  g(x)) = xlim x!x0 !x0 (f(x)  ge(x)):

e = g(x) = eg(x) = x, ²®  ¯°¨¬¥°, ¥±«¨ x0 = +1, f(x) = x + 1, f(x) lim (f(x) g(x)) = 1;

x!x0

e ge(x)) = 0: lim (f(x)

x!x0

„°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯°¨ ®²»±ª ­¨¨ ¯°¥¤¥«  ¬­®¦¨²¥«¨ ¢ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¨ ¨ · ±²­®¬ § ¬¥­¿²¼ ­  ½ª¢¨¢ «¥­²­»¥ ¬®¦­®,   ±« £ ¥¬»¥ ¢ ±³¬¬¥ ¨ ° §­®±²¨, ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥«¼§¿. ln(1 + x + x2) + arcsin 3x 5x3 . °¨¬¥°.  ©¤¥¬ lim x!0 sin 2x + tg2 x “·¨²»¢ ¿, ·²® ¯°¨ x ! 0 ln(1 + x + x2) = x + x2 + o(x + x2 ) = x + o(x); arcsin 3x = 3x + o(x); 5x3 = o(x); sin 2x = 2x + o(x); tg2 x = o(x); ­ µ®¤¨¬:

ln(1 + x + x2) + arcsin 3x 5x3 = lim 4x + o(x) = 2: lim x!0 x!0 2x + o(x) sin 2x + tg2 x

‡ ¬¥· ­¨¥ 3. „«¿ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¯°¥¤¥«®¢ ´³­ª¶¨© ¢¨¤  f g

(f > 0) ¡»¢ ¥² ³¤®¡­® ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¥ (f(x))g(x) = eg(x) ln f (x) : ³±²¼ xlim !a g(x) ln f(x) = A. ’®£¤  ¯® ±¢®©±²¢ ¬ ½ª±¯®­¥­²»

8 eA ; > < g ( x ) lim (f(x)) = +1; x!a > : 0;

A 2 R; A = +1; A = 1:

x 4. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨©

165

²¨¬ ¯°¨¥¬®¬ § ¤ ·  ±¢®¤¨²±¿ ª ­ µ®¦¤¥­¨¾ ¯°¥¤¥«  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿.  ±±¬®²°¨¬ ¤¢   ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ° ¢¥­±²¢ : cos x  1;

x ! 0;

2 cos x  1 x2 ; x ! 0; ®·¥¢¨¤­®, ¢¥°­»µ (¯°¥¤¥« ®²­®¸¥­¨¿ «¥¢®© ¨ ¯° ¢®© · ±²¨ ° ¢¥­ 1). Ž¤­ ª®, ¢²®°®¥ ¨§ ­¨µ ±®¤¥°¦¨² ¢ ª ª®¬-²® ±¬»±«¥ ¡®«¼¸¥ ¨­´®°¬ ¶¨¨ ® ´³­ª¶¨¨ ª®±¨­³±. „¥«® ¢ ²®¬, ·²® ¯®£°¥¸­®±²¼ ¢²®°®£® ° ¢¥­±²¢  ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¯®£°¥¸­®±²¼¾ ¯¥°¢®£®:

1 x2=2 cos x = 1 lim x2=2 = 0: lim x!0 x!0 1 cos x 1 cos x ®½²®¬³ ° §³¬­® ¢¢¥±²¨ ±«¥¤³¾¹¥¥ ¯®­¿²¨¥. ³±²¼ f  g, f  h. …±«¨ f h = o(f g), ²® £®¢®°¿², ·²®  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° ¢¥­±²¢® f  h ²®·­¥¥, ·¥¬ f  g. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, D  X, x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, f: D ! R ¨«¨ C ¨ § ¤ ­  ª®­¥·­ ¿ ¨«¨ ±·¥²­ ¿ ±¨±²¥¬  ´³­ª¶¨© fgk gNk=0 (N 2 N) ¨«¨ fgk g1 k=0, gk : D ! R ¨«¨ C , ª ¦¤ ¿ ¨§ ª®²®°»µ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «  ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ± ¯°¥¤»¤³¹¥©: ¯°¨ ¢±¥µ k 2 [ 0 : N 1] ¨«¨ k 2 Z+ gk+1(x) = o(gk (x));

x ! x0:

®«¼¸³¾ °®«¼ ¢  ­ «¨§¥ ¨£° ¾²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨¥ ´®°¬³«» ¢¨¤  f(x) =

n X

k=0

ck gk (x) + o(gn(x)); x ! x0:

²¨ ° ¢¥­±²¢  ²¥¬ ²®·­¥¥, ·¥¬ ¡®«¼¸¥ n. Ž±®¡¥­­® · ±²® ¢±²°¥· ¾²±¿ ±«³· ¨, ª®£¤  gk (x) = (x x0)k (x0 2 R ¨«¨ C ) ¨«¨ gk (x) = x k (x0 = 1). ¥ ¢±¿ª ¿ ´³­ª¶¨¿ f ¤®¯³±ª ¥²  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¯® § ¤ ­­®© ±¨±²¥¬¥ ´³­ª¶¨©, ­® ¥±«¨ ² ª®¥  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¥±²¼, ²® ®­® ¥¤¨­±²¢¥­­®.

166

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

’¥®°¥¬  2. …¤¨­±²¢¥­­®±²¼  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ° §«®¦¥­¨¿. ³±²¼ X | ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢®, D  X , x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  D, n 2 Z+, f; gk : D ! R ¨«¨ C (k 2 [ 0 : n]), ¯°¨ ¢±¥µ

k 2 [ 0 : n 1]

gk+1(x) = o(gk (x)); x ! x0; ¨ ¤«¿ «¾¡®© ®ª°¥±²­®±²¨ Vx0 ±³¹¥±²¢³¥² ²®·ª  t 2 V_x0 \ D, ¢ ª®²®°®© gn(t) 6= 0. ’®£¤ , ¥±«¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ f ¯® ±¨±²¥¬¥ fgk g ±³¹¥±²¢³¥², ²® ®­® ¥¤¨­±²¢¥­­®: ¨§ ° ¢¥­±²¢

f(x) = f(x) =

n X k=0 n X k=0

ck gk (x) + o(gn (x)); x ! x0 ;

(16)

dk gk (x) + o(gn (x)); x ! x0

(17)

= dk ¯°¨ ¢±¥µ k 2 [ 0 : n]. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ¨­¤³ª¶¨¨ § ª«¾· ¥¬, ·²®

±«¥¤³¥², ·²® ck

gk (x) = o(gl (x));

x ! x0; l < k:

Ž¡®§­ ·¨¬ Ek = fx 2 D : gk (x) 6= 0g;

k 2 [ 0 : n]:

…±«¨ ¡» ´³­ª¶¨¿ gk ²®¦¤¥±²¢¥­­® ®¡° ¹ « ±¼ ¢ ­³«¼ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢¨¤  U_ x0 \ D, ²® ¨ ´³­ª¶¨¿ gn = 'k gk , £¤¥ 'k | ´³­ª¶¨¿ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±¨¬¢®«  o, ®¡° ¹ « ±¼ ¡» ²®¦¤¥±²¢¥­­® ¢ ­³«¼ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ V_x0 \ D, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¾. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, x0 | ¯°¥¤¥«¼­ ¿ ²®·ª  ª ¦¤®£® Ek . „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥: ¯³±²¼ ck = dk ­¥ ¯°¨ ¢±¥µ k 2 [ 0 : n]. ®«®¦¨¬ m = minfk 2 [ 0 : n] : ck 6= dk g:

x 4. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨©

167

ˆ§ ° §«®¦¥­¨© (16) ¨ (17) ±«¥¤³¥², ·²® f(x) = f(x) =

m X

k=0 m X k=0

ck gk (x) + o(gm (x)); x ! x0 ;

(18)

dk gk (x) + o(gm (x)); x ! x0:

(19)

‚»·²¿ (19) ¨§ (18), ­ ©¤¥¬ 0 = (cm dm )gm (x) + o(gm (x)); x ! x0: ®¤¥«¨¢ ­  gm (x) ¯°¨ x 2 Em ¨ ¯¥°¥©¤¿ ª ¯°¥¤¥«³ ¯® ¬­®¦¥±²¢³ Em , ¯®«³·¨¬ cm = dm , ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ m.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ f ¯® ±¨±²¥¬¥ fgk g ±³¹¥±²¢³¥²,   gl ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ l 2 [0 : n] | ²®¦¤¥±²¢¥­­»© ­³«¼ ­  ¬­®¦¥±²¢¥ ¢¨¤  V_x0 \ D, ²® ¢±¥ ´³­ª¶¨¨ gk lP1 ¯°¨ k 2 [l : n] ¨ ° §­®±²¼ f ck gk ®¡« ¤ ¾² ²¥¬ ¦¥ ±¢®©±²¢®¬. k=0 ®½²®¬³ ¯°¨ k 2 [l : n] ª®½´´¨¶¨¥­²» ck ¢  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¬ ° §«®¦¥­¨¨ ¯°®¨§¢®«¼­». Ž¤¨­ · ±²­»© ±«³· ©  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ° §«®¦¥­¨¿ | ¨§¢¥±²­®¥ ¨§ ¸ª®«¼­®£® ª³°±  ¯®­¿²¨¥ ­ ª«®­­®©  ±¨¬¯²®²» ´³­ª¶¨¨ (£° ´¨ª  ´³­ª¶¨¨).  ¯®¬­¨¬ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿  ±¨¬¯²®². Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ x0 2 R, ´³­ª¶¨¿ f § ¤ ­  ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­  ha; x0) ¨«¨ (x0; bi ¨ ¤¥©±²¢³¥² ¢ R. °¿¬ ¿ x = x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ¢¥°²¨ª «¼­®©  ±¨¬¯²®²®© ´³­ª¶¨¨ f, ¥±«¨ f(x0 +) ¨«¨ f(x0 ) ° ¢­» 1 ¨«¨ +1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ ha; +1)  D  R, f: D ! R, ; 2 R. °¿¬ ¿ y = x + ­ §»¢ ¥²±¿ ­ ª«®­­®©  ±¨¬¯²®²®© ´³­ª¶¨¨ f ¯°¨ x ! +1, ¥±«¨ f(x) = x + + o(1); x ! +1: (20) €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ­ ª«®­­ ¿  ±¨¬¯²®²  ¯°¨ x ! 1 ´³­ª¶¨¨, § ¤ ­­®© ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ ­  ( 1; bi. ƒ®°¨§®­² «¼­ ¿  ±¨¬¯²®²  | · ±²­»© ±«³· © ­ ª«®­­®© ¯°¨  = 0. °¿¬ ¿ y = | £®°¨§®­² «¼­ ¿  ±¨¬¯²®²  ´³­ª¶¨¨ f ¯°¨ x ! 1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  f(x) x!1 ! .

168

ƒ« ¢  3.

°¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨©

’¥®°¥¬  3. Ž ­ ª«®­­®©  ±¨¬¯²®²¥.

³±²¼ ha; +1)  D  R, f: D ! R, ; 2 R. °¿¬ ¿ y = x+ |  ±¨¬¯²®²  f ¯°¨ x ! +1 ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤ 

f(x)  = x!lim +1 x ; „®ª § ²¥«¼±²¢®.

= x!lim +1(f(x) x):

(21)

…±«¨ ¯°¿¬ ¿ y = x + |  ±¨¬¯²®²  f, ²®

f(x) = x + + '(x);

'(x) x!! +1 0:

(22)

®½²®¬³ f(x)  = + '(x) ! 0; x x x!+1 f(x) x = + '(x) x!! +1 : Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ¢»¯®«­¥­» ° ¢¥­±²¢  (21), ²®, ®¡®§­ ·¨¢ '(x) = f(x) x ; ¬» ¯®«³·¨¬ (22), ·²® ° ¢­®±¨«¼­® (20).  ‚²®°®© · ±²­»© ±«³· ©  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ° §«®¦¥­¨© | ° ¢¥­±²¢  ¢¨¤  f(x) = f(x0 ) + A(x x0) + o(x x0);

x ! x0;

¨§³·¥­¨¥ ª®²®°»µ ±®±² ¢«¿¥² ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥.

ƒ‹€‚€ 4. „ˆ””……–ˆ€‹œŽ… ˆ‘—ˆ‘‹…ˆ… ”“Š–ˆ‰ Ž„Ž‰ ‚…™…‘’‚…Ž‰ ……Œ…Ž‰

x 1.

°®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ¡»«® ±®§¤ ­® ¢ 17 ¢¥ª¥ ƒ. ‹¥©¡­¨¶¥¬ ¨ ˆ.¼¾²®­®¬. ‚ª° ²¶¥ ®±­®¢­³¾ ¨¤¥¾ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ² ª: ¢±¿ª ¿ \¤®±² ²®·­® µ®°®¸ ¿" ´³­ª¶¨¿ \¢ ¬ «®¬" «¨­¥©­ . (‡¤¥±¼, ª ª ¨ ¢ ¸ª®«¥, «¨­¥©­®© ­ §¢ ­  ´³­ª¶¨¿ ¢¨¤  g(x) = x + , ²® ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿, £° ´¨ª ª®²®°®© | ¯°¿¬ ¿. ²®, µ®²¿ ¨ ¯°¨¢»·­®¥, ­® ­¥ ®·¥­¼ ³¤®¡­®¥ ±«®¢®³¯®²°¥¡«¥­¨¥, ² ª ª ª ¯°¨ 6= 0 ½²  ´³­ª¶¨¿ ­¥ ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ «¨­¥©­®±²¨ ¢ ²®¬ ±¬»±«¥, ·²® g(x + y) 6= g(x) + g(y). ®½²®¬³ · ±²® «¨­¥©­»¬¨ ­ §»¢ ¾² «¨¸¼ ´³­ª¶¨¨ ¢¨¤  g(x) = x,   ´³­ª¶¨¨, «¨­¥©­»¥ ¢ \¸ª®«¼­®¬" ±¬»±«¥, ­ §»¢ ¾²  ´´¨­­»¬¨.) ‹¨­¥©­»¥ ´³­ª¶¨¨ ³±²°®¥­» ®·¥­¼ ¯°®±²®, ¨, §­ ¿ ±¢®©±²¢  «¨­¥©­»µ ´³­ª¶¨©, ¡«¨§ª¨µ ª ¤ ­­®©, ¬®¦­® ¤¥« ²¼ ¢»¢®¤» ® ±¢®©±²¢ µ ± ¬®© ´³­ª¶¨¨. ¥°¥©¤¥¬ ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¿¬. ‚ ½²®© £« ¢¥, ¥±«¨ ¨§ ª®­²¥ª±²  ­¥ ±«¥¤³¥² ¯°®²¨¢­®¥, ha; bi ®§­ · ¥² ­¥¢»°®¦¤¥­­»© ¯°®¬¥¦³²®ª. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 ha; bi. …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ ·¨±«® A 2 R, ·²® f(x) = f(x0 ) + A(x x0) + o(x x0);

x ! x0;

²® ´³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ x0. °¨ ½²®¬ ·¨±«® A ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤­®© ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0.

170

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 2. ³±²¼ f: ha; bi

±²¢³¥² ¯°¥¤¥«

! R, x0 2 ha; bi. …±«¨ ±³¹¥-

0) lim f(x)x f(x x0 ; ° ¢­»© ·¨±«³ A 2 R, ²® ´³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ x0 ,   ·¨±«® A | ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­®© ¢ ²®·ª¥ x0 . ’¥®°¥¬  1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿ 1 ¨ 2 ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ¨ ¯°®x!x0

¨§¢®¤­®© ° ¢­®±¨«¼­».

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ,   A | ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¢ ²®·ª¥ x0 ¢ ±¬»±«¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ 1. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1 £®¢®°¨², ·²®

f(x) = f(x0 ) + A(x x0 ) + '(x)(x x0 );

(1)

£¤¥ '(x) x!!x0 0. ¥°¥­®±¿ f(x0 ) ¢ «¥¢³¾ · ±²¼ ¨ ¤¥«¿ ­  x x0, ­ µ®¤¨¬, ·²® f(x) f(x0 ) = A + '(x) ! A; x!x0 x x0 ²® ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ,   A | ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¢ ±¬»±«¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ 2. 2. Ž¡° ²­®, ¯³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ,   A | ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¢ ²®·ª¥ x0 ¢ ±¬»±«¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ 2. Ž¡®§­ ·¨¬ 0 ) A: '(x) = f(x)x f(x x0

’®£¤  '(x) x!!x0 0 ¨ ¢»¯®«­¥­® ° ¢¥­±²¢® (1), ²® ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ,   A | ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¢ ±¬»±«¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ 1.  ˆ§ ¤®ª § ­­®© ²¥®°¥¬» ¨ ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨ ¯°¥¤¥«  ±«¥¤³¥² ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ ¯°®¨§¢®¤­®© ¢ ±¬»±«¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ 1 (®­  ² ª¦¥ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ²¥®°¥¬» 2 x 4 £« ¢» 3 ® ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ° §«®¦¥­¨¿). °®¨§¢®¤­ ¿ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0 ®¡®§­ · ¥²±¿ f 0 (x0 ) (½²® ®¡®§­ ·¥­¨¥ †. ‹ £° ­¦ ). ’ ª¦¥ ³¯®²°¥¡«¿¾²±¿ ®¡®§­ ·¥­¨¿

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

171

(x0 ) (·¨² ¥²±¿: \¤½-½´ ®² x0 ¯® ¤½-¨ª±") ¨ Š®¸¨ Df(x0 ). ‹¥©¡­¨¶  dfdx (x0 ) ¯®ª  ±«¥¤³¥² ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ƒ°®¬®§¤ª®¥ ®¡®§­ ·¥­¨¥ dfdx ¥¤¨­»© ±¨¬¢®«. „°®¡¼ f (xx) fx0(x0 ) ­ §»¢ ¥²±¿ ° §­®±²­»¬ ®²­®¸¥­¨¥¬. ˆ² ª,

f(x) f(x0 ) f 0 (x0) = xlim !x0 x x0 : ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ³±²¼, ª ª ®¡»·­®, y = f(x), y0 = f(x0 ),
x = x x0 2 ha x0; b x0i | ¯°¨° ¹¥­¨¥  °£³¬¥­² ,
y = y y0 | ¯°¨° ¹¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨. Ž¡®§­ ·¨¬ (
x) = '(x) = '(x0 +
x) (§ ¢¨±¨¬®±²¼ A,  ¨ ' ®² § ° ­¥¥ ´¨ª±¨°®¢ ­­®© ²®·ª¨ x0 ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ­¥ ®²° ¦ ²¼ ­¥ ¡³¤¥¬). ’®£¤  ° ¢¥­±²¢® (1) ¯¥°¥¯¨¸¥²±¿ ² ª:
y = A
x + (
x)
x; (2) £¤¥ (
x)
x! 0. ‡­ ·¥­¨¥ (0) ­¥ ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ° ¢¥­±²¢®¬ (2). !0 „®£®¢®°¨¬±¿ ±·¨² ²¼, ·²® (0) = 0; ²®£¤  ´³­ª¶¨¿  ¡³¤¥² ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ­³«¥. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ 1 ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ¬®¦­® ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ² ª: ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾² ² ª®¥ ·¨±«® A 2 R ¨ ² ª ¿ ´³­ª¶¨¿ : ha x0 ; b x0i ! R, ¢ ­³«¥ ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ¨ ° ¢­ ¿ ­³«¾, ·²® ¢»¯®«­¥­® ° ¢¥­±²¢® (2), ²® ´³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ x0 . °¨ ½²®¬ ·¨±«® A ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤­®© ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0. ˆ­®£¤ , ¥±«¨ ¿±­®, ® ª ª®© ²®·ª¥ x0 ¨¤¥² °¥·¼, ²® ¯°®¨§¢®¤­³¾ dy ¨«¨ Dy,   ° ¢¥­±²¢® ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ 2 § ¯¨±»¢ ®¡®§­ · ¾² y0 , dx ¾² ª®°®·¥:
y : y0 =
lim x!0
x

„°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¥±²¼ ¯°¥¤¥« ®²­®¸¥­¨¿ ¯°¨° ¹¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨ ª ¢»§¢ ¢¸¥¬³ ¥£® ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «®¬³ ¯°¨° ¹¥­¨¾  °£³¬¥­² . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ‚¥«¨·¨­  f 0 (x0 )
x ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «®¬ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¯°¨° ¹¥­¨¾
x, ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ df(x0 ;
x). ’ ª¦¥ ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ±®ª° ¹¥­­»¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿ df(x0 ), dfx0 ¨«¨ ¤ ¦¥ dy.

172

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

„«¿ ²®¦¤¥±²¢¥­­®© ´³­ª¶¨¨ y = x ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ¢ «¾¡®© ²®·ª¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ¯°¨° ¹¥­¨¥¬: dy = dx =
x, ¯®½²®¬³ ¯°¨° ¹¥­¨¥ ­¥§ ¢¨±¨¬®© ¯¥°¥¬¥­­®© x ®¡®§­ · ¾² dx ­ ° ¢­¥ ±
x ¨ ¯¨¸³² df(x0 ; dx) = f 0 (x0 )dx. ²® ±®£« ¸¥­¨¥ ¯®§¢®«¿¥² ²° ª²®¢ ²¼ ®¡®(x0 ) ¨ ª ª ¤°®¡¼. §­ ·¥­¨¥ ¯°®¨§¢®¤­®© dfdx ‘®£« ±­® ° ¢¥­±²¢³ (2) ¤¨´´¥°¥­¶¨ « df(x0 ;
x) ¥±²¼ «¨­¥©­ ¿ · ±²¼ ¯°¨° ¹¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨. „¨´´¥°¥­¶¨ «®¬ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0 ² ª¦¥ ­ §»¢ ¾² «¨­¥©­³¾ ´³­ª¶¨¾ df(x0 ;
): R! R, ¤¥©±²¢³¾¹³¾ ¯® ´®°¬³«¥ df(x0 ; h) = f 0 (x0 )h (§¤¥±¼ h | ¯°®¨§¢®«¼­®¥ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¥ ·¨±«®, ­¥ ®¡¿§ ²¥«¼­® ² ª®¥, ·²® x0 + h 2 ha; bi). ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ¨ ¯°®¨§¢®¤­®© ¡¥§ ¨§¬¥­¥­¨© ° ±¯°®±²° ­¿¾²±¿ ­  ±«¥¤³¾¹³¾ ±¨²³ ¶¨¾: f: D  R ! R, x0 2 D ¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® Q = (x0 ; x0 + ) \ D | ­¥¢»°®¦¤¥­­»© ¯°®¬¥¦³²®ª. ‚ ±¨«³ «®ª «¼­®±²¨ ¯°¥¤¥«  ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼ ¢ ²®·ª¥ x0 ´³­ª¶¨© f ¨ f Q ° ¢­®±¨«¼­ , ¯®½²®¬³ ¢ ¤ «¼­¥©¸¥¬ ¯°¨ ¨§³·¥­¨¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ¢ ²®·ª¥ ¬» ¡³¤¥¬ ¤«¿ ¯°®±²®²» ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ´³­ª¶¨¨, § ¤ ­­»¥ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: D  R ! R, D1 | ¬­®¦¥±²¢® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ f, ²® ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ²¥µ ²®·¥ª D, ¢ ª®²®°»µ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ . ”³­ª¶¨¿ f 0 : D1 ! R, ª®²®° ¿ ª ¦¤®¬³ x 2 D1 ±®¯®±² ¢«¿¥² ·¨±«® f 0 (x), ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤­®© (¯®¤°®¡­¥¥, ¯°®¨§¢®¤­®© ´³­ª¶¨¥©) ´³­ª¶¨¨ f. ƒ®¢®°¿², ·²® ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  ¬­®¦¥±²¢¥ E, ¥±«¨ ®­  ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ E. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: ha; bi ! R. °¥¤¥«» f(x) f+0 (x0) = x!lim x0+ x f(x) f 0 (x0) = x!lim x0 x

f(x0 ) ; x0 f(x0 ) ; x 0

x0 2 ha; b); x0 2 (a; bi

­ §»¢ ¾²±¿, ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¾², ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¯° ¢®±²®°®­­¥© ¨ «¥¢®±²®°®­­¥© (¨«¨ ¯° ¢®© ¨ «¥¢®© ) ¯°®¨§¢®¤­®© ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0 .

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

173

‚ ª®­¶¥¢®© ²®·ª¥ ¯°®¬¥¦³²ª , ­  ª®²®°®¬ § ¤ ­  ´³­ª¶¨¿, ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ®¤­®±²®°®­­¥© ¨ ®¡»·­®© ¯°®¨§¢®¤­®© ±®¢¯ ¤ ¾². ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. …±«¨ ¯°¥¤¥« ° §­®±²­®£® ®²­®¸¥­¨¿ f (xx) fx(0x0 ) ° ¢¥­ ()1, ²® £®¢®°¿², ·²® ´³­ª¶¨¿ f ¨¬¥¥² ¢ ²®·ª¥ x0 ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¯°®¨§¢®¤­³¾, ¨ ¯¨¸³² f 0 (x0 ) = ()1. €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¡¥±ª®­¥·­»¥ ®¤­®±²®°®­­¨¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥. ®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ´³­ª¶¨¨ ­¥ ¬¥­¿¥²±¿: ´³­ª¶¨¿, ¨¬¥¾¹ ¿ ¢ ²®·ª¥ ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¯°®¨§¢®¤­³¾, ­¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ½²®© ²®·ª¥. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 (a; b). ’®£¤  ¤«¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°®¨§¢®¤­®© f ¢ ²®·ª¥ x0 (ª®­¥·­®© ¨«¨ ¡¥±ª®­¥·­®©) ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨ ¤®±² ²®·­®, ·²®¡» ®¤­®±²®°®­­¨¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ f ¢ ²®·ª¥ x0 ±³¹¥±²¢®¢ «¨ ¨ ¡»«¨ ° ¢­» ¤°³£ ¤°³£³. ²® § ¬¥· ­¨¥ ¢»²¥ª ¥² ¨§  ­ «®£¨·­®£® § ¬¥· ­¨¿ 1 ª ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°¥¤¥«®¢ ¨§ x 1 £« ¢» 3. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x0, ²® ®­  ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, f(x) = f(x0 ) + f 0 (x0)(x x0) + o(x x0) x!!x0 f(x0 ):  Š ª ¯®ª §»¢ ¾² ¯°¨¬¥°» ­¨¦¥, ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­¥¢¥°­®: ¨§ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥ ­¥ ±«¥¤³¥² ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼. °¨¬¥° 1. ”³­ª¶¨¿ f(x) = jxj ­¥¯°¥°»¢­ , ­®

jxj 0 f0 (0) = xlim !0 x 0 = 1; ¯®½²®¬³ f ­¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ­³«¥. °¨¬¥° 2. ³±²¼ f(x) = x sin x1 ¯°¨ x 6= 0, f(0) = 0. ’®£¤  f ­¥¯°¥°»¢­ , ­® ° §­®±²­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ f(x) f(0) = sin 1 x 0 x

174

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

­¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥«  ¯°¨ x ! 0 ­¨ ±¯° ¢ , ­¨ ±«¥¢ , ¯®½²®¬³ f ­¥ ¨¬¥¥² ¢ ­³«¥ ¤ ¦¥ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ. „®«£®¥ ¢°¥¬¿ ¬ ²¥¬ ²¨ª¨ ¤³¬ «¨, ·²® ¢±¿ª ¿ ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢±¾¤³, ª°®¬¥ ®²¤¥«¼­»µ ¨±ª«¾·¨²¥«¼­»µ ²®·¥ª, ª ª ¢ ¯°¨¢¥¤¥­­»µ ¯°¨¬¥° µ. ® ½²® ®ª § «®±¼ ­¥¢¥°­»¬: ¢ 1860 £®¤³ ‚¥©¥°¸²° ±± ¯®±²°®¨« ¯°¨¬¥° ´³­ª¶¨¨ f: R! R, ­¥¯°¥°»¢­®© ¢±¾¤³, ­® ­¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ­¨ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥. p °¨¬¥° 3. ”³­ª¶¨¿ f(x) = 3 x ¨¬¥¥² ¢ ­³«¥ ¯°®¨§¢®¤­³¾, ° ¢­³¾ +1, ² ª ª ª

p3 x 0 2=3 x 0 = x x!!0 +1:

°¨¬¥° 4. …±«¨ f(x) =

pjxj, ²® f 0 (0) = 1, f 0(0) = 1. 

ƒ° ´¨ª¨ ½²¨µ ´³­ª¶¨© ¨§®¡° ¦¥­» ¤ «¥¥, ­  °¨±³­ª µ 28a ¨ 28c. °¨¬¥° 5. ”³­ª¶¨¿ f(x) = sign x ¨¬¥¥² ¢ ­³«¥ ¯°®¨§¢®¤­³¾, ° ¢­³¾ +1, ² ª ª ª sign x sign 0 = 1 ! +1: x 0 jxj x!0 ²®² ¯°¨¬¥° ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ­ «¨·¨¥ ³ ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥ ¡¥±ª®­¥·­®© ¯°®¨§¢®¤­®© ­¥ ¢«¥·¥² ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¢ ½²®© ²®·ª¥. °¥¦¤¥ ·¥¬ ³±² ­ ¢«¨¢ ²¼ ¤ «¼­¥©¸¨¥ ±¢®©±²¢  ¯°®¨§¢®¤­»µ, ° ±±¬®²°¨¬ ¤¢¥ § ¤ ·¨, ª®²®°»¥ ¢ ±¢®¥ ¢°¥¬¿ ¯°¨¢¥«¨ ª ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¾ ¯®­¿²¨¿ ¯°®¨§¢®¤­®©. ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ¯°®¨§¢®¤­®© (§ ¤ ·  ‹¥©¡­¨¶  ® ª ± ²¥«¼­®©). ˆ§ ¸ª®«¼­®£® ª³°±  £¥®¬¥²°¨¨ ¨§¢¥±²­® ®¯°¥¤¥-

«¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­®© ª ®ª°³¦­®±²¨ ­  ¯«®±ª®±²¨: ¯°¿¬ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ª ± ²¥«¼­®© ª ®ª°³¦­®±²¨, ¥±«¨ ®­  ¨¬¥¥² ± ®ª°³¦­®±²¼¾ °®¢­® ®¤­³ ®¡¹³¾ ²®·ª³. ²® ±¢®©±²¢® ­¥ ³¤ ¥²±¿ ¯°¨­¿²¼ §  ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­®© ª ª°¨¢®© ¢ ®¡¹¥¬ ±«³· ¥. ’ ª, ®¡¥ ª®®°¤¨­ ²­»¥ ®±¨ ¨¬¥¾² ± ¯ ° ¡®«®© y = x2 ¥¤¨­±²¢¥­­³¾ ®¡¹³¾ ²®·ª³ (0; 0),

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

175

­® ¿±­®, ·²® ª ± ²¥«¼­®© ª ¯ ° ¡®«¥ ¢ ½²®© ²®·ª¥ ±«¥¤³¥² ­ §»¢ ²¼ «¨¸¼ ®±¼  ¡±¶¨±±. ‘ ¤°³£®© ±²®°®­», ª ± ²¥«¼­®© ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨ y = cos x ¢ ²®·ª¥ (0; 1) µ®·¥²±¿ ­ §¢ ²¼ ¯°¿¬³¾ y = 1, µ®²¿ ®­  ¨¬¥¥² ± £° ´¨ª®¬ ª®±¨­³±  ¡¥±ª®­¥·­® ¬­®£® ®¡¹¨µ ²®·¥ª. ®¯»²ª  ¤ ²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­®© ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨ ¥±²¥±²¢¥­­»¬ ®¡° §®¬ ¯°¨¢®¤¨² ª ¯®­¿²¨¾ ¯°®¨§¢®¤­®©. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 ha; bi, y0 = f(x0 ), f ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0, ²®·ª  M0 ¨¬¥¥² ª®®°¤¨­ ²» (x0; y0 ) (°¨±³­®ª 27). y y1 M1 y0 M0 ±¥ª

ª ±

0

x0

x1

x

¨±. 27

‚®§¼¬¥¬ ­  £° ´¨ª¥ ´³­ª¶¨¨ f ¥¹¥ ²®·ª³ M1 ± ª®®°¤¨­ ² ¬¨ (x1 ; y1): x1 2 ha; bi, x1 6= x0, y1 = f(x1 ). °®¢¥¤¥¬ ¯°¿¬³¾ M0 M1 , ª®²®°³¾ ¡³¤¥¬ ­ §»¢ ²¼ ±¥ª³¹¥©. “° ¢­¥­¨¥ ±¥ª³¹¥© M0 M1 ¨¬¥¥² ¢¨¤ y = y0 + k±¥ª (x x0); £¤¥ k±¥ª = tg ±¥ª | ³£«®¢®© ª®½´´¨¶¨¥­² (² ­£¥­± ³£«  ­ ª«®­ ) ±¥ª³¹¥©. Ÿ±­®, ·²® k±¥ª = xy1 xy0 : 1 0 °¨ ¯°¨¡«¨¦¥­¨¨ ²®·ª¨ M1 ª M0 ±¥ª³¹ ¿ ¯®¢®° ·¨¢ ¥²±¿ ¢®ª°³£ ²®·ª¨ M0 . Š ± ²¥«¼­®© ­ §»¢ ¾² ¯°¥¤¥«¼­®¥ ¯®«®¦¥­¨¥ ±¥ª³¹¥© ¯°¨ M1 ! M0 (¨«¨, ·²® ²® ¦¥ ± ¬®¥, ¯°¨ x1 ! x0). ®¤°®¡­¥¥, ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¢»£«¿¤¨² ² ª. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ª®­¥·­»© ¯°¥¤¥« kª ± = x1lim !x0 k±¥ª ;

176

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

²® ¯°¿¬³¾, ¯°®µ®¤¿¹³¾ ·¥°¥§ ²®·ª³ M0 ¨ ¨¬¥¾¹³¾ ³£«®¢®© ª®½´´¨¶¨¥­² kª ± , ­ §»¢ ¾² ª ± ²¥«¼­®© ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ M0 . …±«¨ f ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0 ¨ ¯°¥¤¥« kª ± ° ¢¥­ 1, ²® ª ± ²¥«¼­®© ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ M0 ­ §»¢ ¾² ¯°¿¬³¾ x = x0 (°¨±³­®ª 28a). €­ «®£¨·­® ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ®¤­®±²®°®­­¨¥ ª ± ²¥«¼­»¥. ‚¬¥±²® \ª ± ²¥«¼­ ¿ ¢ ²®·ª¥ M0 " £®¢®°¿² ² ª¦¥ \ª ± ²¥«¼­ ¿ ¢ ²®·ª¥ x0 ", ­ §»¢ ¿ «¨¸¼  ¡±¶¨±±³. y y y 0 ¨±. 28a

x

0 ¨±. 28b

x

0

x

¨±. 28c

® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ­¥ ¢¥°²¨ª «¼­®© ª ± ²¥«¼­®© ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ M0 , ²® ¥±²¼ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ª®­¥·­®£® ¯°¥¤¥«  kª ±, ° ¢­®±¨«¼­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ f ¢ ²®·ª¥ x0; ¯°¨ ½²®¬ y1 y0 0 kª ± = tg ª ± = x1lim !x0 x1 x0 = f (x0 ): „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¥±²¼ ³£«®¢®© ª®½´´¨¶¨¥­² ª ± ²¥«¼­®©. ®½²®¬³ ³° ¢­¥­¨¥ ­¥ ¢¥°²¨ª «¼­®© ª ± ²¥«¼­®© ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ M0 ¨¬¥¥² ¢¨¤ y = f(x0 ) + f 0 (x0 )(x x0 ): ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¥±«¨ ´³­ª¶¨¿ ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0 , ²® ­ «¨·¨¥ ª ± ²¥«¼­®© ³ ¥¥ £° ´¨ª  ¢ ²®·ª¥ x0 ° ¢­®±¨«¼­® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¾ f 0 (x0 ) 2 R. …±«¨ x0 2 (a; b),   f+0 (x0 ) ¨ f 0 (x0) ±³¹¥±²¢³¾² ¢ R ¨ ° §«¨·­», ²® ° §«¨·­» ¨ ®¤­®±²®°®­­¨¥ ª ± ²¥«¼­»¥,   £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥ x0 ¨¬¥¥² ¨§«®¬ (°¨±³­®ª 28b). ˆ±ª«¾·¥­¨¥ ±®±² ¢«¿¥² ±«³· ©, ª®£¤  ®¤­  ¨§ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ° ¢­  +1, ¢ ¤°³£ ¿ ° ¢­  1; ²®£¤  ®¡¥ ®¤­®±²®°®­­¨¥ ª ± ²¥«¼­»¥ ¢¥°²¨ª «¼­», ­® ¨§«®¬ ­  £° ´¨ª¥ ¢±¥ ° ¢­® ¥±²¼, ¯®½²®¬³ ¬» ±·¨² ¥¬, ·²® £° ´¨ª ­¥ ¨¬¥¥² ª ± ²¥«¼­®© ¢ ²®·ª¥ x0

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

177

(°¨±³­®ª 28c). …±«¨ ¦¥ µ®²¿ ¡» ®¤­®© ¨§ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ­¥ ±³¹¥±²¢³¥², ²® ±¥ª³¹ ¿ ­¥ ±²°¥¬¨²±¿ ­¨ ª ª ª®¬³ ¯®«®¦¥­¨¾ ¯°¨ x ! x0 ±«¥¢  ¨«¨ ±¯° ¢ , ¯®½²®¬³ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¥© ª ± ²¥«¼­®© ­¥². ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ `(x) = f(x0 ) + f 0 (x0 )(x x0), ²® f(x) `(x) = o(x x0 );

x ! x0 :

(3)

‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, ­¨ª ª ¿ ¤°³£ ¿ ¯°¿¬ ¿ ­¥ ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ (3). ®½²®¬³ ±¢®©±²¢® (3) ¨­®£¤  ¯°¨­¨¬ ¾² §  ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ª ± ²¥«¼­®© (­¥ ¢¥°²¨ª «¼­®©) ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨. ¨±³­®ª 29 ¯®¿±­¿¥² ¯®­¿²¨¿ ¯°¨° ¹¥­¨¿ ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «  ´³­ª¶¨¨. y
y y0

dy

0

x0
x x ¨±. 29

”¨§¨·¥±ª¨© ±¬»±« ¯°®¨§¢®¤­®© (§ ¤ ·  ¼¾²®­  ® ±ª®°®±²¨). ¼¾²®­ ¯°¨¸¥« ª ¯®­¿²¨¾ ¯°®¨§¢®¤­®© ¨§ ´¨§¨·¥-

±ª¨µ ±®®¡° ¦¥­¨©. ³±²¼ ¬ ²¥°¨ «¼­ ¿ ²®·ª  ¤¢¨¦¥²±¿ ¯® ¯°¿¬®©. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ s(t) ¯³²¼, ¯°®©¤¥­­»© ²®·ª®© §  ¢°¥¬¿ ®² ­ · «¼­®£® ¬®¬¥­²  t0 ¤® t. ’®£¤  ¯³²¼, ¯°®©¤¥­­»© ²®·ª®© §  ¢°¥¬¿ ®² ­¥ª®²®°®£® ¬®¬¥­²  t1 ¤® t1 +
t, ° ¢¥­
s = s(t1 +
t) s(t1 ). ‘°¥¤­¿¿ ±ª®°®±²¼ v±° ²®·ª¨ ­  ®²°¥§ª¥ ¢°¥¬¥­¨ ¬¥¦¤³ t1 ¨ t1 +
t ¢»° ¦ ¥²±¿ ´®°¬³«®© v±° =

st , ¢¥°­®© ª ª ¯°¨
t > 0, ² ª ¨ ¯°¨
t < 0. °¥¤¥« v¬£­ (t1 ) =
lim v t!0 ±°

178

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

­ §»¢ ¾² ¬£­®¢¥­­®© ¨«¨ ¨±²¨­­®© ±ª®°®±²¼¾ ²®·ª¨ ¢ ¬®¬¥­² t1 . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°®¨§¢®¤­®© v¬£­ (t1 ) = s0 (t1 ): ˆ² ª, ±ª®°®±²¼ ¥±²¼ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¯³²¨ ¯® ¢°¥¬¥­¨. ®¤®¡­»¬ ®¡° §®¬ ¯®­¿²¨¥ ¯°®¨§¢®¤­®© ¢®§­¨ª ¥² ¨ ¢ ¤°³£¨µ ±¨²³ ¶¨¿µ, ª®£¤  °¥·¼ ¨¤¥² ® ±ª®°®±²¨ ¨§¬¥­¥­¨¿ ®¤­®© ¢¥«¨·¨­» ®²­®±¨²¥«¼­® ¤°³£®©. „¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥¬ ­ §»¢ ¾² ­ µ®¦¤¥­¨¥ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¨, ·²® ° ¢­®±¨«¼­®, ¤¨´´¥°¥­¶¨ «®¢. ° ¢¨«  ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿. ‚ ½²®¬ ¯³­ª²¥ ¬» ¢»¢¥¤¥¬ ¯° ¢¨«  ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ °¥§³«¼² ²®¢ ° §«¨·­»µ ®¯¥° ¶¨© ­ ¤ ´³­ª¶¨¿¬¨. „«¿ ª° ²ª®±²¨ ¡³¤¥¬ ®¡®§­ · ²¼ ²®·ª³, ¢ ª®²®°®© ¯°®¨§¢®¤¨²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥, ¡³ª¢®© ¡¥§ ¨­¤¥ª±  (­ ¯°¨¬¥°, x),   ¯°¨° ¹¥­¨¥  °£³¬¥­²  ®¤­®© ¡³ª¢®© (­ ¯°¨¬¥°, h). 1. °®¨§¢®¤­»¥ ±³¬¬» ¨ ° §­®±²¨. …±«¨ ´³­ª¶¨¨

f; g: ha; bi ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ x 2 ha; bi, f + g ¨ f g ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ x ¨ (f  g)0 (x) = f 0 (x)  g0 (x):

²® ´³­ª¶¨¨

(4)

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯°®¨§¢®¤­®© ª ª ¯°¥¤¥«  ¨ ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¥ ±³¬¬» (f + g)(x + h) (f + g)(x) = h = f(x + h)h f(x) + g(x + h)h g(x) h!!0 f 0 (x) + g0 (x): ²® ¨ ®§­ · ¥², ·²® ´³­ª¶¨¿ f + g ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x ¨ ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­®© ±³¬¬» ¢¥°­® ° ¢¥­±²¢® (4). „®ª § ²¥«¼±²¢® ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¤«¿ ° §­®±²¨  ­ «®£¨·­®.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Œ¥²®¤®¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ ¯° ¢¨«® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ±³¬¬» ° ±¯°®±²° ­¿¥²±¿ ­  ­¥±ª®«¼ª® ±« £ ¥¬»µ: X n 0 n X fk (x) = fk0 (x):

k=1

k=1

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

179

2. °®¨§¢®¤­ ¿ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. …±«¨ ´³­ª¶¨¨

f; g: ha; bi ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ x 2 ha; bi, ²® ´³­ª¶¨¿ fg ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x ¨ (fg)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f(x)g0 (x): (5)  ©¤¥¬ ¯°¥¤¥« ° §­®±²­®£® ®²­®¸¥­¨¿: (fg)(x + h) (fg)(x) = f(x + h) f(x) g(x + h)+ h h g(x + h) g(x) ! f 0 (x)g(x) + f(x)g0 (x): +f(x) h!0 h °¨ ¯¥°¥µ®¤¥ ª ¯°¥¤¥«³ ¬» ¢®±¯®«¼§®¢ «¨±¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ ¯°®¨§¢®¤­®© ¨ ²¥¬, ·²® ´³­ª¶¨¿ g, ¡³¤³·¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ x, ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ½²®© ²®·ª¥. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ´³­ª¶¨¿ fg ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x ¨ ¢¥°­® ° ¢¥­±²¢® (5).  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f: ha; bi ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x 2 ha; bi,  2 R, ²® ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x ¨ (f)0 (x) =  f 0 (x): „®ª § ²¥«¼±²¢®.

„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±«¥¤³¥² ¢ ª ·¥±²¢¥ g ¢§¿²¼ ´³­ª¶¨¾, ²®¦¤¥±²¢¥­­® ° ¢­³¾ , ¨ ³·¥±²¼, ·²® ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¯®±²®¿­­®© ´³­ª¶¨¨ ° ¢­  ­³«¾, ² ª ª ª ° §­®±²­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ ²®¦¤¥±²¢¥­­® ° ¢­® ­³«¾. Œ®¦­® ¤®ª § ²¼ ±«¥¤±²¢¨¥ ¨ ­¥¯®±°¥¤±²¢¥­­® ¯¥°¥µ®¤®¬ ª ¯°¥¤¥«³. ‘«¥¤±²¢¨¥ 2. ‹¨­¥©­®±²¼ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿. …±«¨

´³­ª¶¨¨ f; g: ha; bi ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ x ; 2 R, ²® ´³­ª¶¨¿ f + g ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥

(f + g)0 (x) =  f 0 (x) + g0 (x):

2 ha; bi,

x¨

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. „«¿ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ­¥±ª®«¼ª¨µ ´³­ª¶¨© ¯° ¢¨«® ¢»£«¿¤¨² ² ª: (f1 : : :fn)0 = f10 f2 : : :fn + f1 f20 : : :fn + : : : + f1 f2 : : :fn0

180

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

(¢±¥ §­ ·¥­¨¿ ´³­ª¶¨© ¨ ¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¡¥°³²±¿ ¢ ²®·ª¥ x). °¥¤« £ ¥¬ ·¨² ²¥«¾ ¯°®¢¥±²¨ ¯®¤°®¡­®¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ¯® ¨­¤³ª¶¨¨. 3. °®¨§¢®¤­ ¿ · ±²­®£®. …±«¨ ´³­ª¶¨¨ f; g: ha; bi ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ x 2 ha; bi ¨ g(x) 6= 0, ²® ´³­ª¶¨¿ fg ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x ¨  f 0 f 0 (x)g(x) f(x)g0 (x) : (x) = (6) g g2(x) „®ª § ²¥«¼±²¢®. °¥¦¤¥ ¢±¥£® § ¬¥²¨¬, ·²® ¢ ±¨«³ ³±«®¢¨¿ g(x) 6= 0 ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ´³­ª¶¨¨ g ¢ ²®·ª¥ x ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® g ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­³«¼ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ (x ; x+) \ha; bi. ®½²®¬³ · ±²­®¥ fg ®¯°¥¤¥«¥­® ­  ² ª®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥, ¨ ¬®¦­® ±² ¢¨²¼ ¢®¯°®± ® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ · ±²­®£® ¢ ²®·ª¥ x.  ©¤¥¬ ¯°¥¤¥« ° §­®±²­®£® ®²­®¸¥­¨¿:  f(x + h) f(x) f (x + h) f (x) 1 g g = g(x + h)g(x) g(x) h h  0 0 f(x) g(x + h)h g(x) h!!0 f (x)g(x)g2 (x)f(x)g (x) :

²® ¨ ®§­ · ¥², ·²® ´³­ª¶¨¿ fg ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x ¨ ¢¥°­® ° ¢¥­±²¢® (6).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ° ¢¨«  ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ¤«¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «®¢: d(f + g) = df + dg;  f  g df f dg d(fg) = g df + f dg; d g = g2 : 4. °®¨§¢®¤­ ¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f: ha; bi!hc; di ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x 2 ha; bi,   ´³­ª¶¨¿ g: hc; di ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ f(x), ²® ´³­ª¶¨¿ g  f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x ¨ (g  f)0 (x) = g0 (f(x))
f 0 (x): (7)

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

181

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž¡®§­ ·¨¬ y = f(x). ‚®±¯®«¼§³¥¬±¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥¬ 1 ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ (¢ ´®°¬¥ § ¬¥· ­¨¿ 1) ¨ § ¯¨¸¥¬

f(x + h) = f(x) + f 0 (x)h + (h)h; g(y + k) = g(y) + g0 (y)k + (k)k; £¤¥ ´³­ª¶¨¨  ¨ ¢ ­³«¥ ­¥¯°¥°»¢­» ¨ ° ¢­» ­³«¾. ®¤±² ¢«¿¿ ¢® ¢²®°®¥ ° ¢¥­±²¢® k = f 0 (x)h + (h)h = { (h), ¯®«³· ¥¬




g(f(x + h)) = g(f(x)) + g0 (f(x)) f 0 (x)h + (h)h + ({ (h)){ (h) = = g(f(x)) + g0 (f(x))f 0 (x)h + (h)h; £¤¥




(h) = g0(y)(h) + ({ (h)) f 0 (x) + (h) :

Ÿ±­®, ·²® (0) = 0 ¨ ´³­ª¶¨¿ ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ­³«¥ ¯® ²¥®°¥¬ ¬ ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ¨ °¥§³«¼² ²®¢  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨©. ®½²®¬³ ¢»¯®«­¥­® ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨ g  f ¢ ²®·ª¥ x, ¨ ¢¥°­® ° ¢¥­±²¢® (7).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ® ¨­¤³ª¶¨¨ ¯° ¢¨«® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ° ±¯°®±²° ­¿¥²±¿ ­  ­¥±ª®«¼ª® ´³­ª¶¨©: ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ° ¢­  ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¾ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ²®·ª µ.  ¯°¨¬¥°,




(h  g  f)0 (x) = h0 (g  f)(x)
g0 (f(x))
f 0 (x): ®½²®¬³ ¯° ¢¨«® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ¥¹¥ ­ §»¢ ¾²

¯° ¢¨«®¬ ¶¥¯®·ª¨.

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. „«¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «®¢ ½²® ¯° ¢¨«® §¢³·¨² ±®¢±¥¬ ¯°®±²®: ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ª®¬¯®§¨¶¨¨ ° ¢¥­ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «®¢ (¢§¿²»µ ¢ ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨µ ²®·ª µ). „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ª®¬¯®§¨¶¨¿ ¤¢³µ «¨­¥©­»µ ´³­ª¶¨© u(h) = Ah ¨ v(k) = Bk ¥±²¼ «¨­¥©­ ¿ ´³­ª¶¨¿ w(h) = BAh; ¢ ¤ ­­®¬ ±«³· ¥ A = f 0 (x), B = g0 (f(x)).

182

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

5. °®¨§¢®¤­ ¿ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ f 2 C ha; bi, f ±²°®£® ¬®­®²®­­ , ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x 2 ha; bi, f 0 (x) 6= 0. ’®£¤  ®¡° ²­ ¿ ª f ´³­ª¶¨¿ f 1 ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ f(x) ¨


f 1 0 (f(x)) = f 01(x) :

(8)

 ¯®¬­¨¬, ·²® f 1 ±³¹¥±²¢³¥², ®¯°¥¤¥«¥­  ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ P (¬­®¦¥±²¢¥ §­ ·¥­¨© f), ±²°®£® ¬®­®²®­­  ¨ ­¥¯°¥°»¢­  ¯® ²¥®°¥¬¥ 10 x 2 £« ¢» 3. Ž¡®§­ ·¨¬ y = f(x), ¢®§¼¬¥¬ ¯°¨° ¹¥­¨¥ k 6= 0, ² ª®¥ ·²® y + k 2 P, ¨ ¯®«®¦¨¬ h = f 1 (y + k) f 1 (y) = (k). ’®£¤  h 6= 0, x = f 1 (y), x + h = f 1 (y + k) ¨ f(x + h) f(x) = k. ‘®±² ¢¨¬ ° §­®±²­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ f 1 (y + k) f 1 (y) = (k) k f(x + (k)) f(x) ¨ ­ ©¤¥¬ ¥£® ¯°¥¤¥« ¯°¨ k ! 0. ® ³±«®¢¨¾ 1 h f(x + h) f(x) h!!0 f 0 (x) : ® (k) k!!0 0 ¯® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ f 1 ¢ ²®·ª¥ y. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, „®ª § ²¥«¼±²¢®.

f 1 (y + k) f 1 (y) ! 1 k!0 f 0 (x) k ¯® ²¥®°¥¬¥ ® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ (¨«¨ ® ¯°¥¤¥«¥) ª®¬¯®§¨¶¨¨.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1.  ¢¥­±²¢® (8) ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ² ª:
f 1 0 (y) = 0 11
: f f (y)  §³¬¥¥²±¿,  °£³¬¥­² ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ ¬®¦­® ®¡®§­ ·¨²¼ «¾¡®© ¡³ª¢®©, ¨ · ±²® ¥£® ¨§­ · «¼­® ®¡®§­ · ¾² ¡³ª¢®© x:
f 1 0 (x) = 0 11
: f f (x)

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

183

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. „¨´´¥°¥­¶¨ « ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥ f(x) ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿, ®¡° ²­ ¿ ª ¤¨´´¥°¥­¶¨ «³ ¨±µ®¤­®© ¢ ²®·ª¥ x. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ° ¢¨«® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ ¨¬¥¥² ­ £«¿¤­®¥ £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¨±²®«ª®¢ ­¨¥ (°¨±³­®ª 30a). ®±ª®«¼ª³ £° ´¨ª¨ f ¨ f 1 ±¨¬¬¥²°¨·­» ®²­®±¨²¥«¼­® ¡¨±±¥ª²°¨±» ¯¥°¢®© ¨ ²°¥²¼¥© ·¥²¢¥°²¨, ª ± ²¥«¼­»¥ ª ­¨¬ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢ ²®·ª µ x ¨ y ²®¦¥ ±¨¬¬¥²°¨·­». ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ³£«®¢»¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» ª ± ²¥«¼­»µ ±¢¿§ ­» ° ¢¥­±²¢®¬ tg  = ctg , ²® ¥±²¼ f 0 (x) = (f 11)0 (y) .



0



y

x

0 y

¨±. 30a

x

¨±. 30b

¨±³­®ª 30b ¯®§¢®«¿¥² ¢»±ª § ²¼ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥, ·²® ¥±«¨ ¯°¨ ¢»¯®«­¥­¨¨ ®±² «¼­»µ ³±«®¢¨© ¯° ¢¨«  f 0 (x) = 0, ²® f 1 )0 (y) = 1. „®ª § ²¼ ½²® ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ®±² ¥²±¿ ·¨² ²¥«¾. ³±²¼ T | ¬­®¦¥±²¢®, '; : T ! R.  ±±¬®²°¨¬ ®²®¡° ¦¥­¨¥

= ('; ): T ! R2. Ž¯°¥¤¥«¿¥² «¨ ±¨±²¥¬ 

 x = '(t); y = (t);

t2T

(9)

y ª ª ´³­ª¶¨¾ f ®² x? „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¿¢«¿¥²±¿ «¨ ¬­®¦¥±²¢®

(T) £° ´¨ª®¬ ´³­ª¶¨¨ y ®² x? …±«¨ ½²® ² ª, ²® £®¢®°¿², ·²® ±¨±²¥¬  (9) § ¤ ¥² ´³­ª¶¨¾ f ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨. ¥°¥¬¥­­³¾ t ¢ ±¨±²¥¬¥ (9) ­ §»¢ ¾² ¯ ° ¬¥²°®¬. Ÿ±­®, ·²® ®²¢¥² ­  ½²®² ¢®¯°®± ¬®¦¥² ¡»²¼ ®²°¨¶ ²¥«¼­»¬: ®ª°³¦­®±²¼ x = cos t, y = sin t (t 2 [0; 2)) ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ £° ´¨ª®¬

184

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

´³­ª¶¨¨. ® ¥±«¨ ' ®¡° ²¨¬ , ²® ®²¢¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­»©: ¨§ ¯¥°¢®£® ³° ¢­¥­¨¿ ±¨±²¥¬» ­ µ®¤¨¬ t = ' 1 (x), ¨ ²®£¤ 
y = ' 1 (x) ; x 2 '(T); ²® ¥±²¼ f =  ' 1 . Ž¡»·­® ¤«¿ ¢±²°¥· ¾¹¨µ±¿ ­  ¯° ª²¨ª¥ ±¨±²¥¬ (9) ¬­®¦¥±²¢® ¯ ° ¬¥²°®¢ T ¬®¦­® ° §¡¨²¼ ­  ­¥±ª®«¼ª® · ±²¥©, ­  ª ¦¤®© ¨§ ª®²®°»µ ´³­ª¶¨¿ ' ®¡° ²¨¬ . ³±²¼ ²¥¯¥°¼ T = ha; bi, t 2 ha; bi, ' 2 C ha; bi, ' ±²°®£® ¬®­®²®­­ , ' ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ¢ ²®·ª¥ t, '0(t) 6= 0, f =  ' 1 | ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ § ¤ ­­ ¿ ´³­ª¶¨¿. ’®£¤  f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x = '(t) ¨ 0 (t) : (10) f 0 (x) = '0 (t) ‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¯® ¯° ¢¨« ¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨ ¨ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ 0 ' 1 (x)
0 (t)


0 0 0 1 0 1 1 f (x) =  ' (x) = ' (x) ' (x) = 0 1
= '0 (t) : ' ' (x) — ±²® ° ¢¥­±²¢® (10) § ¯¨±»¢ ¾² ¢ ±®ª° ¹¥­­®¬ ¢¨¤¥: 0 yx0 = xyt0 ; t ³ª §»¢ ¿ ¯¥°¥¬¥­­³¾, ¯® ª®²®°®© ¯°®¨§¢®¤¨²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥, ¢ ¢¨¤¥ ¨­¤¥ª± . ‚ ½²®© § ¯¨±¨ ­¥ ° §«¨· ¾²±¿ ´³­ª¶¨¨ ¨ ¨µ §­ ·¥­¨¿, ¡³ª¢  y ¢ «¥¢®© ¨ ¯° ¢®© · ±²¨ ®§­ · ¥² ° §­»¥ ´³­ª¶¨¨,   ¡³ª¢  x ¢ «¥¢®© · ±²¨ ®§­ · ¥² ­¥§ ¢¨±¨¬³¾ ¯¥°¥¬¥­­³¾,   ¢ ¯° ¢®© | ´³­ª¶¨¾. —²®¡» ¨§¡¥¦ ²¼ ­¥¤®° §³¬¥­¨©, ¯°¨ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¨ ª° ²ª¨µ ¨ ±² °®¬®¤­»µ ®¡®§­ ·¥­¨© ­¥ ±«¥¤³¥² § ¡»¢ ²¼, ® ª ª¨µ ¨¬¥­­® ®¡º¥ª² µ ¨¤¥² °¥·¼. ”®°¬³«» ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿. ‚ ½²®¬ ¯³­ª²¥ ¬» ¢»¢¥¤¥¬ ´®°¬³«» ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­»µ ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© (² ¡«¨¶³ ¯°®¨§¢®¤­»µ). ²¨ ° ¢¥­±²¢  ¢¥°­» ¯°¨ ¢±¥µ ²¥µ §­ ·¥­¨¿µ x, ¯°¨ ª®²®°»µ ®¡¥ · ±²¨ ¨¬¥¾² ±¬»±«. ® ²° ¤¨¶¨¨, ¥±«¨ ½²® ­¥ ¯°¨¢®¤¨² ª ­¥¤®° §³¬¥­¨¿¬, ¸²°¨µ, ®¡®§­ · ¾¹¨© ¯°®¨§¢®¤­³¾, ±² ¢¿² ­¥ ³ ±¨¬¢®« , ®¡®§­ · ¾¹¥£® ´³­ª¶¨¾,   ³ ¢±¥© ´®°¬³«»: ­ ¯°¨¬¥°, ¢¬¥±²® ¡®«¥¥ ²®·­®£® ®¡®§­ ·¥­¨¿ sin0 x ¯¨¸³² (sin x)0 .

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥

185

1. c0 = 0: ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¯®±²®¿­­®© ´³­ª¶¨¨ ° ¢­  ­³«¾.

²®² ´ ª² ³¦¥ ®²¬¥· «±¿. 2. (x )0 = x 1,  2 R
. px
0 = p1 , 1
0 = 1 . 0 ‚ · ±²­®±²¨, x0 = 1, x2 = 2x, x2 2 x x „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ x 6= 0. ‘·¨² ¿, ·²® 0 < jhj < jxj, ¨ ¯®«¼§³¿±¼ § ¬¥· ²¥«¼­»¬ ¯°¥¤¥«®¬ ‡4 ¤«¿ ±²¥¯¥­­®© ´³­ª¶¨¨, ­ µ®¤¨¬ (x + h) x = (1 + h=x) 1 x 1 ! x 1: h!0 h h=x …±«¨  > 1, ²® ´®°¬³«  ¢¥°­  ¨ ¯°¨ x = 0:   (0 + h) 0 = h 1 ! 0;  > 1 = 
0 1:  h!0 1;  = 1 h Ž¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±²¥¯¥­­»µ ´³­ª¶¨© ± ° §«¨·­»¬¨ ¯®ª § ²¥«¿¬¨ ³ª § ­» ¢ x 3 £« ¢» 3. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. °¨  2 (0; 1) ¯°®¨§¢®¤­ ¿ x ¢ ­³«¥ (¯° ¢®±²®°®­­¿¿ ¨«¨ ¤¢³±²®°®­­¿¿, ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ) ° ¢­  +1. 3. (ax )0 = ax ln a, a > 0, a 6= 1. ‚ · ±²­®±²¨, (ex )0 = ex . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® § ¬¥· ²¥«¼­®¬³ ¯°¥¤¥«³ ‡5 ¤«¿ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ ax+h ax = ax ah 1 ! ax lna:  h h h!0 1 , x > 0, a > 0, a 6= 1. 4. (loga x)0 = x ln a 1 ‚ · ±²­®±²¨, (ln x)0 = . x „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® § ¬¥· ²¥«¼­®¬³ ¯°¥¤¥«³ ‡3 ¤«¿ «®£ °¨´¬  loga (x + h) loga x = 1 loga (1 + h=x) ! 1 :  h!0 x ln a h x h=x

186

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

5. (sin x)0 = cos x. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® § ¬¥· ²¥«¼­®¬³ ¯°¥¤¥«³ ‡1 ¤«¿ ±¨­³±  ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ª®±¨­³± 




sin(x + h) sin x = 2 sin h2 cos x + h2 ! cos x:  h!0 h h 6. (cos x)0 =

sin x. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ´®°¬³«¥ ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­®© ±¨­³±  ¨ ¯° ¢¨«³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨

 0   (cos x)0 = sin 2 x = cos 2 x ( 1) = sin x: 

7. (tg x)0 =

1 cos2 x .

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ´®°¬³« ¬ ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­»µ ±¨­³±  ¨ ª®±¨­³±  ¨ ¯° ¢¨«³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ · ±²­®£®

 sin x 0 (sin x)0 cos x (cos x)0 sin x = (tg x)0 = cos x = cos2 x 2 x + sin2 x = cos cos = cos12 x :  2x

1 . sin2 x „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ´®°¬³«¥ ¤«¿ ¯°®¨§¢®¤­®© ² ­£¥­±  ¨ ¯° ¢¨«³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨ 8. (ctg x)0 =

0  (ctg x)0 = tg 2 x = cos2 1 x
= 12 :  sin x 2

x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ p 1 2 , x 2 ( 1; 1). 1 x „®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ x 2 ( 1; 1), ²® y = arcsin x 2 9. (arcsin x)0 =

187

; 


2 2

¨ (sin y)0 = cos y > 0. ® ¯° ¢¨«³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ (arcsin x)0 = (sin1y)0 = cos1 y = p 1 2 = p 1 2 :  1 x 1 sin y 10. (arccos x)0 =

p 1 2 , x 2 ( 1; 1). 1 x

’ ª ª ª arccos x = 2 arcsin x, (arccos x)0 = (arcsin x)0 = p 1 2 :  1 x

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‚ ²®·ª µ 1 ¨ 1 ¯°®¨§¢®¤­ ¿  °ª±¨­³±  ° ¢­  +1,    °ªª®±¨­³±  | 1. 1 . 11. (arctg x)0 = 1 + x2 ; 
¨ „®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ x 2 R, ²® y = arctg x 2 2 2 (tg y)0 = cos12 y > 0. ® ¯° ¢¨«³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ (arctg x)0 = (tg1y)0 = cos2 y = 1 + 1tg2 y = 1 +1 x2 : 

1 . 1 + x2 „®ª § ²¥«¼±²¢®. ’ ª ª ª arcctg x = 2 arctg x, (arcctg x)0 = (arctg x)0 = 1 +1 x2 : 

12. (arcctg x)0 =

®±ª®«¼ª³ ½«¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¯®«³· ¾²±¿ ¨§ ¤¢¥­ ¤¶ ²¨ ®±­®¢­»µ ± ¯®¬®¹¼¾  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ®¯¥° ¶¨© ¨ ª®¬¯®§¨¶¨¨,

188

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

¤®ª § ­­»¥ ¯° ¢¨«  ¨ ´®°¬³«» ¯®§¢®«¿¾² ¯°®¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ²¼ «¾¡³¾ ½«¥¬¥­² °­³¾ ´³­ª¶¨¾ ¢® ¢±¥µ ²®·ª µ, £¤¥ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ±³¹¥±²¢³¥². ˆ§ ­¨µ ² ª¦¥ ¢¨¤­®, ·²® ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ½«¥¬¥­² °­®© ´³­ª¶¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­² °­®©. ‚ § ª«¾·¥­¨¥ ° ±±¬®²°¨¬ ¥¹¥ ®¤¨­ ¯°¨¥¬. ³¤¥¬ ±·¨² ²¼ ´³­ª¶¨¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»¬¨ ¨ ®¯³±ª ²¼ ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ²®·ª³, ¢ ª®²®°®© ¡¥°¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤­ ¿. Ÿ±­®, ·²® jxj0 = sign x ¯°¨ ¢±¥µ x 6= 0. ® ¯° ¢¨«³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨, ¥±«¨ f 6= 0, ²® 0 (ln jf j)0 = jf1 j
sign f
f 0 = ff : 0

— ±²­®¥ ff ­ §»¢ ¥²±¿ «®£ °¨´¬¨·¥±ª®© ¯°®¨§¢®¤­®© ´³­ª¶¨¨ f. ˆ­®£¤  ³¤®¡­® ­ µ®¤¨²¼ ¯°®¨§¢®¤­³¾ f ¯® ´®°¬³«¥ f 0 = f
(ln jf j)0 :  ©¤¥¬ ½²¨¬ ¯°¨¥¬®¬ ¯°®¨§¢®¤­³¾ ´³­ª¶¨¨ f g , £¤¥ f > 0. ˆ¬¥¥¬: 0

(ln f g )0 = (g ln f)0 = g0 ln f + g ff ;  0 (f g )0 = f g
g0 ln f + g ff :

x 2.

’¥®°¥¬» ® ±°¥¤­¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿

’¥®°¥¬  1 (. ”¥°¬ ). ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 (a; b), f(x0 ) = xmax f(x) ¨«¨ f(x0 ) = x2h min f(x), f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ 2ha;bi a;bi ²®·ª¥ x0. ’®£¤  f 0 (x0) = 0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ §­ ·¥­¨¥ ¢ ²®·ª¥ x0 ­ ¨¡®«¼¸¥¥, ²® ¥±²¼ f(x) 6 f(x0 ) ¯°¨ ¢±¥µ x 2 ha; bi. ’®£¤  f (x) f (x0 ) 6 0 ¯°¨ ¢±¥µ x 2 (x ; bi. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¼­®¬ ¯¥°¥0 x x0 µ®¤¥ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ f(x) f(x0 ) 6 0: f 0 (x0 ) = f+0 (x0) = x!lim x0 + x x0

x 2. ’¥®°¥¬» ® ±°¥¤­¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿

189

€­ «®£¨·­® f (xx) fx0(x0 ) > 0 ¯°¨ ¢±¥µ x 2 ha; x0), ¨ ¯®½²®¬³ f(x) f(x0 ) > 0: f 0 (x0) = f 0 (x0) = x!lim x0 x x0 ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, f 0 (x0 ) = 0.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ²¥®°¥¬» ”¥°¬  ² ª®¢: ¥±«¨ ¢® ¢­³²°¥­­¥© ²®·ª¥ ¬ ª±¨¬³¬  (¬¨­¨¬³¬ ) ±³¹¥±²¢³¥² ª ± ²¥«¼­ ¿ ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨, ²® ½²  ª ± ²¥«¼­ ¿ £®°¨§®­² «¼­  (°¨±³­ª¨ 31a ¨ 31b). y y

0 a

x0 ¨±. 31a

b x

0 a

x0

b x

¨±. 31b

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. °¨¬¥° ´³­ª¶¨¨ f1 (x) = jxj ­  ®²°¥§ª¥ [ 1; 1] ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¯°®¨§¢®¤­®© (ª ± ²¥«¼­®©) ¢ ²®·ª¥ ¬¨­¨¬³¬  ¬®¦¥² ­¥ ±³¹¥±²¢®¢ ²¼. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. “±«®¢¨¥, ·²® x0 | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  ¯°®¬¥¦³²ª  ha; bi, ±³¹¥±²¢¥­­®. ’ ª, ´³­ª¶¨¿ f2(x) = x2 ­  ®²°¥§ª¥ [ 0; 1] ¯°¨­¨¬ ¥² ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¥ ¢ ²®·ª¥ 0,   ­ ¨¡®«¼¸¥¥ | ¢ ²®·ª¥ 1; ¯°¨ ½²®¬ f 0 (0) = 0,   f 0 (1) = 2. ’¥®°¥¬  2 (Œ. ®««¼). ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  [a; b], ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b) ¨ f(a) = f(b). ’®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  c 2 (a; b), ·²® f 0 (c) = 0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ²¥®°¥¬¥ ‚¥©¥°¸²° ±±  ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ ²®·ª¨ x1; x2 2 [a; b], ·²® f(x1 ) = xmax f(x), f(x2 ) = xmin f(x). 2[a;b] 2[a;b] …±«¨ x1 ¨ x2 | ª®­¶¥¢»¥ ²®·ª¨ [a; b], ²® ¯® ³±«®¢¨¾ f(x1 ) = f(x2 ), ²® ¥±²¼ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¿ f ±®¢¯ ¤ ¾². ®½²®¬³ f ¯®±²®¿­­  ­  [a; b], ¨ ¢ ª ·¥±²¢¥ c ¬®¦­® ¢§¿²¼ «¾¡³¾ ²®·ª³ (a; b). …±«¨ ¦¥ x1 ¨«¨ x2 «¥¦¨² ¢ (a; b), ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ ”¥°¬  f 0 (x1 ) = 0 ¨«¨ f 0 (x2 ) = 0; ¯®½²®¬³ ¬®¦­® ¯®«®¦¨²¼ c = x1 ¨«¨ c = x2. 

190

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ²¥®°¥¬» ®««¿ ±«¥¤³¾¹¨©: ¢ ³±«®¢¨¿µ ²¥®°¥¬» ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª , ª ± ²¥«¼­ ¿ ¢ ª®²®°®© £®°¨§®­² «¼­  (°¨±³­®ª 32a).

y 0 a

y c ¨±. 32a

b x

0

y1 1 x ¨±. 32b

-1

0

1 x

¨±. 32c

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‚±¥ ³±«®¢¨¿ ²¥®°¥¬» ®««¿ ±³¹¥±²¢¥­­». „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ´³­ª¶¨¿ f1 (x) = x (x 2 [ 0; 1)),pf1 (1) = 0 ° §°»¢­  ¢ ²®·ª¥ 1 (°¨±³­®ª 32b), ´³­ª¶¨¿ f2 (x) = jxj (x 2 [ 1; 1]) ­¥ ¨¬¥¥² ¯°®¨§¢®¤­®© ¢ ²®·ª¥ 0 (°¨±³­®ª 32c), ´³­ª¶¨¿ f3(x) = x (x 2 [ 1; 1]) ¯°¨­¨¬ ¥² ° §­»¥ §­ ·¥­¨¿ ­  ª®­¶ µ ®²°¥§ª . Ž±² «¼­»¬ ³±«®¢¨¿¬ ²¥®°¥¬» ½²¨ ´³­ª¶¨¨ ³¤®¢«¥²¢®°¿¾², ­® § ª«¾·¥­¨¥ ¤«¿ ­¨µ ­¥ ¢»¯®«­¿¥²±¿. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ˆ§ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ f ±«¥¤³¥² ¥¥ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼, ¯®½²®¬³ § ª«¾·¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»µ ­  [a; b] ´³­ª¶¨©. ‚ ²¥®°¥¬¥ ®««¿ ´³­ª¶¨¨ ° §°¥¸ ¥²±¿ p ­¥ ¨¬¥²¼ ¯°®¨§¢®¤­®© ­  ª®­¶ µ ®²°¥§ª . ’ ª, ´³­ª¶¨¿ f4 (x) = 1 x2 ­¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  ª®­¶ µ ®²°¥§ª  [ 1; 1], ­® ³±«®¢¨¿¬ ²¥®°¥¬» ³¤®¢«¥²¢®°¿¥². ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ˆ§ ²¥®°¥¬» ®««¿ ±«¥¤³¥², ·²® ¬¥¦¤³ ¤¢³¬¿ ­³«¿¬¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ´³­ª¶¨¨ ¢±¥£¤  «¥¦¨² ­³«¼ ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­®©.

’¥®°¥¬  3 (†. ‹ £° ­¦). ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  [a; b] ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b). ’®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  c 2 (a; b), ·²® f(b) f(a) = f 0 (c): (11) b a ’¥®°¥¬  4 (Ž. Š®¸¨). ³±²¼ ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ­¥¯°¥°»¢­» ­  [a; b] ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ­  (a; b), g0 (x) 6= 0 ¤«¿ «¾¡®£® x 2 (a; b).

x 2. ’¥®°¥¬» ® ±°¥¤­¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ’®£¤  ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª 

191

c 2 (a; b), ·²®

f(b) f(a) = f 0 (c) : g(b) g(a) g0(c)

(12)

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ’¥®°¥¬  ‹ £° ­¦  | · ±²­»© ±«³· © ²¥®°¥¬» Š®¸¨, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨© ´³­ª¶¨¨ g(x) = x. ®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ ²¥®°¥¬³ Š®¸¨. Ž¤­ ª®, ²¥®°¥¬  ‹ £° ­¦  ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ £®° §¤® · ¹¥, ·¥¬ ¡®«¥¥ ®¡¹ ¿ ²¥®°¥¬  Š®¸¨, ¯®½²®¬³ ±´®°¬³«¨°®¢ ­  ®²¤¥«¼­®. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. …±«¨ f ¢»° ¦ ¥² § ¢¨±¨¬®±²¼ ¯³²¨ ®² ¢°¥¬¥­¨, ²® ° §­®±²­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ f (bb) af (a) ¥±²¼ ±°¥¤­¿¿ ±ª®°®±²¼ ²®·ª¨ ­  ®²°¥§ª¥ [a; b]. ’¥®°¥¬  ‹ £° ­¦  ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  c 2 (a; b), ¢ ª®²®°®© ¬£­®¢¥­­ ¿ ±ª®°®±²¼ ° ¢­  ±°¥¤­¥©. ®½²®¬³ ²¥®°¥¬  ‹ £° ­¦  ² ª¦¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ²¥®°¥¬®© ® ±°¥¤­¥¬,   ²¥®°¥¬  Š®¸¨ | ®¡®¡¹¥­­®© ²¥®°¥¬®© ® ±°¥¤­¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿.  ¢¥­±²¢® (11), ª®²®°®¥ ¥¹¥ § ¯¨±»¢ ¾² ¢ ¢¨¤¥ f(b) f(a) = f 0 (c)(b a); ¢»° ¦ ¥² ¯°¨° ¹¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ ·¥°¥§ ¯°¨° ¹¥­¨¥  °£³¬¥­² . Ž­® ­ §»¢ ¥²±¿ ´®°¬³«®© ‹ £° ­¦  ¨«¨ ´®°¬³«®© ª®­¥·­»µ ¯°¨° ¹¥­¨©,   ° ¢¥­±²¢® (12) | ´®°¬³«®© Š®¸¨. ‘ ¬³ ²¥®°¥¬³ ‹ £° ­¦  ¥¹¥ ­ §»¢ ¾² ²¥®°¥¬®© ® ª®­¥·­»µ ¯°¨° ¹¥­¨¿µ. „®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» 4. ‡ ¬¥²¨¬, ·²® g(a) 6= g(b), ² ª ª ª ¨­ ·¥ ¯® ²¥®°¥¬¥ ®««¿ ­ ¸« ±¼ ¡» ²®·ª  t 2 (a; b), ¢ ª®²®°®© g0 (t) = 0. ®«®¦¨¬ ' = f Kg, £¤¥ ª®­±² ­²³ K ¯®¤¡¥°¥¬ ¨§ ³±«®¢¨¿ '(a) = '(b), ²® ¥±²¼ K = fg((bb)) fg((aa)) . ’®£¤  ' ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¿¬ ²¥®°¥¬» ®««¿. ®½²®¬³ ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  c 2 (a; b), ·²® '0 (c) = 0, ²® ¥±²¼ f 0 (c) = Kg0 (c), ·²® ° ¢­®±¨«¼­® (12).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. „°®¡¼ f (bb) fa(a) ¥±²¼ ³£«®¢®© ª®½´´¨¶¨¥­² µ®°¤», ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ²®·ª¨ (a; f(a)) ¨ (b; f(b)),   f 0 (c) ¥±²¼ ³£«®¢®© ª®½´´¨¶¨¥­² ª ± ²¥«¼­®© ª £° ´¨ª³ ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥ ±  ¡±¶¨±±®© c. ®½²®¬³ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ²¥®°¥¬» ‹ £° ­¦  ² ª®¢: ­  £° ´¨ª¥ ´³­ª¶¨¨ ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª , ª ± ²¥«¼­ ¿ ¢ ª®²®°®© ¯ ° ««¥«¼­ 

192

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

µ®°¤¥, ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ª®­¶» £° ´¨ª  (°¨±³­®ª 33). y

0

a

c

b x

¨±. 33

ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ²¥®°¥¬» Š®¸¨ ² ª®© ¦¥, ¥±«¨ ° ±±¬®²°¥²¼ ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ § ¤ ­­³¾ ´³­ª¶¨¾: x = g(t), y = f(t) (t 2 [a; b]). Œ®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¢ ³±«®¢¨¿µ ²¥®°¥¬» ½²¨ ³° ¢­¥­¨¿ ¤¥©±²¢¨²¥«¼­® ®¯°¥¤¥«¿¾² y ª ª ´³­ª¶¨¾ x. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. •®²¿ ²¥®°¥¬  ®««¿ ¿¢«¿¥²±¿ · ±²­»¬ ±«³· ¥¬ ²¥®°¥¬» ‹ £° ­¦  ¨, ²¥¬ ¡®«¥¥, ²¥®°¥¬» Š®¸¨, ®­  ¨±¯®«¼§®¢ « ±¼ ¯°¨ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ¯®±«¥¤­¥©. ®½²®¬³, ·²®¡» ­¥ ¯®¯ ±²¼ ¢ ¯®°®·­»© ª°³£, ²¥®°¥¬  ®««¿ ¯°¥¤¢ °¨²¥«¼­® ¡»«  ¤®ª § ­  ®²¤¥«¼­®. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5. …±«¨ ¯°® ­ «¨§¨°®¢ ²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ²¥®°¥¬» ”¥°¬ , ²® ¬®¦­® ³¢¨¤¥²¼, ·²® ¥¥ § ª«¾·¥­¨¥ ±®µ° ­¿¥² ±¨«³ ¯°¨ ¡®«¥¥ ±« ¡®¬ ³±«®¢¨¨ ­  ´³­ª¶¨¾ f. „®±² ²®·­® ¯®²°¥¡®¢ ²¼, ·²®¡» ¢ ²®·ª¥ x0 ±³¹¥±²¢®¢ «  ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ´³­ª¶¨¨ ¢ R; ²®£¤  ®­  ¢±¥ ° ¢­® ®¡¿§ ­  ° ¢­¿²¼±¿ ­³«¾. ®½²®¬³ ¨ ®¯¨° ¾¹¨¥±¿ ¢ ª®­¥·­®¬ ±·¥²¥ ­  ²¥®°¥¬³ ”¥°¬  ²¥®°¥¬» ®««¿, ‹ £° ­¦  ¨ Š®¸¨ ®±² ¾²±¿ ¢¥°­»¬¨, ¥±«¨ ¢¬¥±²® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ f ­  (a; b) ¯®²°¥¡®¢ ²¼ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ³ f ­  (a; b) ¯°®¨§¢®¤­®© ¢ R. p °¨¬¥° ´³­ª¶¨¨ f(x) = jxj ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ° §°¥¸ ²¼ ´³­ª¶¨¨ ¨¬¥²¼ ¡¥±ª®­¥·­³¾ ¯°®¨§¢®¤­³¾ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®£® §­ ª  ­¥«¼§¿. ‡ ¬¥· ­¨¥ 6. ‹¥¢»¥ · ±²¨ ´®°¬³« ‹ £° ­¦  ¨ Š®¸¨ ­¥ ¬¥­¿¾²±¿ ¯°¨ ¯¥°¥¬¥­¥ a ¨ b ¬¥±² ¬¨. ®½²®¬³ ²¥®°¥¬» ®±² ¾²±¿ ¢¥°­»¬¨, ¥±«¨ ¯°¥¤¯®« £ ²¼, ·²® b < a,   ´³­ª¶¨¨ § ¤ ­» ­  ®²°¥§ª¥ [b; a], ¨ § ª«¾· ²¼ ® ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¨ ²®·ª¨ c 2 (b; a). ‡ ¬¥· ­¨¥ 7. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b). ’®£¤  ¤«¿ «¾¡»µ ° §«¨·­»µ ²®·¥ª x ¨ x+
x

x 2. ’¥®°¥¬» ® ±°¥¤­¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ ¨§

193

ha; bi ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥  2 (0; 1), ·²®

f(x +
x) f(x) = f 0 (x + 
x)
x:

„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­ ¤® ¯°¨¬¥­¨²¼ ²¥®°¥¬³ ‹ £° ­¦  ª ®²°¥§ª³ ± ª®­¶ ¬¨ x ¨ x +
x ¨ ³·¥±²¼, ·²® ¥±«¨ c «¥¦¨² ¬¥¦¤³ x ¨ x +
x, ²®  = c
xx 2 (0; 1). ‡ ¬¥· ­¨¥ ¢¥°­® ¨ ¯°¨
x = 0, ­® ¤«¿ x 2 fa; bg ­ ¤® ¤®¯®«­¨²¥«¼­® ¯®²°¥¡®¢ ²¼ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼ f ¢ ²®·ª¥ x. ‚ ½²®¬ ±«³· ¥ ¯®¤µ®¤¨² «¾¡®¥ . €­ «®£¨·­³¾ ¯¥°¥´®°¬³«¨°®¢ª³ ¤®¯³±ª ¥² ¨ ²¥®°¥¬  Š®¸¨. ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. Ž¶¥­ª  ¯°¨° ¹¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi, ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b),   ·¨±«® M > 0 ² ª®¢®, ·²® jf 0 (t)j 6 M ¤«¿ ¢±¥µ t 2 (a; b). ’®£¤  ¤«¿ «¾¡»µ ²®·¥ª x ¨ x +
x ¨§ ha; bi

jf(x +
x) f(x)j 6 M j
xj: „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¥±«¨ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ®£° ­¨·¥­  ·¨±«®¬ M, ²® ¯® ¬®¤³«¾ ¯°¨° ¹¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ¢ M ° § ¯°¥¢§®©¤¥² ¯°¨° ¹¥­¨¥  °£³¬¥­² . ‘«¥¤±²¢¨¥ 1 ®·¥¢¨¤­»¬ ®¡° §®¬ ¢»²¥ª ¥² ¨§ ²¥®°¥¬» ‹ £° ­¦  ¢ ´®°¬¥ § ¬¥· ­¨¿ 7. ‘«¥¤±²¢¨¥ 2. ”³­ª¶¨¿, ¨¬¥¾¹ ¿ ­  ha; bi ®£° ­¨·¥­­³¾ ¯°®¨§¢®¤­³¾, ° ¢­®¬¥°­® ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ M > 0 ² ª®¢®, ·²® jf 0 (t)j 6 M ¤«¿ ¢±¥µ t 2 ha; bi. ‚®§¼¬¥¬ " > 0 ¨ ¯®«®¦¨¬  = M" . ’®£¤ , ¥±«¨ x; y 2 ha; bi, jx yj < , ²® ¯® ±«¥¤±²¢¨¾ 1 jf(x) f(y)j 6 M jx yj < M = "; ·²® ¨ ¤®ª §»¢ ¥² ° ¢­®¬¥°­³¾ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ f.  ‘«¥¤³¾¹¨¥ ¤¢¥ ²¥®°¥¬» ­®±¿² ®¡¹¥¥ ­ §¢ ­¨¥ \¯° ¢¨«® ‹®¯¨² «¿" (¨«¨ ¯° ¢¨«® ˆ.¥°­³««¨ { ƒ. ‹®¯¨² «¿) ° ±ª°»²¨¿ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¥©.

194

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

’¥®°¥¬  5. ° ¢¨«® ‹®¯¨² «¿ ¤«¿ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¥© ¢¨¤  00 . ³±²¼ 1 6 a < b 6 +1, ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ­  (a; b), g0(t) 6= 0 ¤«¿ «¾¡®£® t 2 (a; b), lim f(x) = lim g(x) =0 x!a+ x!a+

¨ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¥¤¥«

f 0 (x) = A 2 R: lim x!a+ g0 (x)

lim f(x) g(x) ² ª¦¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ A. „®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ³±²¼ a 2 R. „®®¯°¥¤¥«¨¬ ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥ a ­³«¥¬: f(a) = g(a) = 0. ’®£¤  ¤®®¯°¥¤¥«¥­­»¥ ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ¡³¤³² ­¥¯°¥°»¢­» ­  [a; b). ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng: xn 2 (a; b), xn ! a, ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® fg((xxnn)) ! A. ”³­ª¶¨¨ f ¨ g ³¤®¢«¥²¢®°¿¾² ³±«®¢¨¿¬ ²¥®°¥¬» Š®¸¨ ­  ª ¦¤®¬ ®²°¥§ª¥ [a; xn]. ®½²®¬³ ¤«¿ «¾¡®£® n 2 N ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  cn 2 (a; xn), ·²® f(xn ) = f(xn ) f(a) = f 0 (cn ) : g(xn) g(xn) g(a) g0 (cn) ® ²¥®°¥¬¥ ® ±¦ ²®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ cn ! a. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¯° ¢®±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥«  ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥© f 0 (cn ) ! A,   ²®£¤  ¢ ±¨«³ ¯°®¨§¢®«¼­®±²¨ fx g ¨ f (x) ! A. n g0 (cn ) g(x) x!a+ 2. ³±²¼ a = 1. ‚ ±¨«³ «®ª «¼­®±²¨ ¯°¥¤¥«  ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® b < 0. ®«®¦¨¬ '(t) = f( 1t ), (t) = g( 1t ) (t 2 (0; 1b )). ’®£¤  ’®£¤  ¯°¥¤¥«

x!a+

'0 (t) = t12 f 0

 1

0 (t) = 1 g0 t2

 1

t ; t 6= 0; lim0+ (t) = x!lim1 g(x) = 0; lim '(t) = x!lim1 f(x) = 0; t! t!0+ '0 (t) = lim f 0 (x) = A: lim t!0+ 0 (t) x! 1 g0 (x) ® ¤®ª § ­­®¬³ lim f(x) = lim '(t) = A:  x! 1 g(x) t!0+ (t)

x 2. ’¥®°¥¬» ® ±°¥¤­¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿

195

’¥®°¥¬  6. ° ¢¨«® ‹®¯¨² «¿ ¤«¿ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¥© 1 . ³±²¼ 1 6 a < b 6 +1, ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ¤¨´´¥°¥­¶¨¢¨¤  1 °³¥¬» ­  (a; b), g0 (t) 6= 0 ¤«¿ «¾¡®£® t 2 (a; b), lim g(x) = 1 ¨ x!a+ ±³¹¥±²¢³¥² ¯°¥¤¥«

f 0 (x) = A 2 R: lim x!a+ g0 (x) lim f(x) g(x) ² ª¦¥ ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ° ¢¥­ A. „®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ³±²¼ A = 0. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fxng ±® ±¢®©±²¢ ¬¨: xn 2 (a; b), xn ! a, ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® f (xn ) ! 0. ‡ ´¨ª±¨°³¥¬ ·¨±«®  > 0. ® ³±«®¢¨¾ ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ g(xn ) 0 y 2 (a; b), ·²® ¤«¿ «¾¡®£® c 2 (a; y) ¡³¤¥² g(c) 6= 0 ¨ fg0 ((cc)) < .  ·¨­ ¿ ± ­¥ª®²®°®£® ­®¬¥°  xn 2 (a; y), ¯®½²®¬³ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® xn 2 (a; y) ¤«¿ ¢±¥µ n. ® ²¥®°¥¬¥ Š®¸¨ ¤«¿ «¾¡®£® n ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ cn 2 (xn ; y), ·²® f(xn ) = f(xn ) f(y) g(xn ) g(y) + f(y) = g(xn ) g(xn) g(y) g(x  n) f(y) g(xn) 0 (cn ) g(y) f = g0 (c ) 1 g(x ) + g(x ) : ’®£¤  ¯°¥¤¥«

x!a+

n

n

n

“·¨²»¢ ¿ ¥¹¥, ·²® g(xn ) ! 1, ­ µ®¤¨¬ f(x )  g(y)  f(y) ! : n 6  1 + g(xn) g(xn ) + g(xn ) n!1









®½²®¬³ lim fg((xxnn)) 6 . ®, ² ª ª ª  ¯°®¨§¢®«¼­®, lim fg((xxnn)) = 0,   §­ ·¨², ¨ lim fg((xxnn)) = 0. 2. ³±²¼ A 2 R ¯°®¨§¢®«¼­®. ®«®¦¨¬ h = f Ag. ’®£¤   f 0(x)  0(x) h lim = lim A = 0: x!a+ g0 (x) x!a+ g0(x) ® ¤®ª § ­­®¬³ hg((xx)) x!! 0, ²® ¥±²¼ fg((xx)) x!!a+ A. a+

196

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

3. ‘«³· ¨ A = +0 1 ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ±«³· ¾ A = 0. 0 °¨ ½²®¬ ¢¬¥±²® fg0 ((cc)) <  ¨±¯®«¼§³¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® fg0 ((cc)) > M ¨ ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® lim fg((xxnn )) > M. ‘«³· © A = 1 ° §¡¨° ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ¨«¨ ±¢®¤¨²±¿ ª ±«³· ¾ A = +1 ¯¥°¥µ®¤®¬ ª ´³­ª¶¨¨ f.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. “²¢¥°¦¤¥­¨¿,  ­ «®£¨·­»¥ ²¥®°¥¬ ¬ 5 ¨ 6, ±¯° ¢¥¤«¨¢» ¨ ¤«¿ «¥¢®±²®°®­­¥£®,   ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¨ ¤«¿ ¤¢³±²®°®­­¥£® ¯°¥¤¥« . ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‚ ²¥®°¥¬¥ 6 ´³­ª¶¨¿ f ­¥ ¯°¥¤¯®« £ ¥²±¿ ¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸®©, µ®²¿ ­  ¯° ª²¨ª¥ ¯° ¢¨«® ‹®¯¨² «¿ ®¡»·­® ¯°¨¬¥­¿¾² ¯°¨ ­ «¨·¨¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ‚ ³±«®¢¨¿µ ¯° ¢¨«  ‹®¯¨² «¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¯°¥¤¥«  ®²­®¸¥­¨¿ ´³­ª¶¨© ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ¯°¥¤¥«  ®²­®¸¥­¨¿ ¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ. Ž¡° ²­®¥ ­¥¢¥°­®.0 …±«¨ g(x) = x, f (x) f (x) f(x) = x + sin x, ²® x!lim +1 g(x) = 1,   ®²­®¸¥­¨¥ g0 (x) = 1 + cos x ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥«  ­  +1. ®½²®¬³ ¯°¨ ¯°¨¬¥­¥­¨¨ ¯° ¢¨«  ‹®¯¨² «¿ § ¯¨±¼ ¢¨¤  f(x) = lim f 0 (x) lim x!a g(x) x!a g0 (x) ®¯° ¢¤»¢ ¥²±¿ ¢ ª®­¶¥, ª®£¤  ¢»¿±­¿¥²±¿, ·²® ¯°¥¤¥« ®²­®¸¥­¨¿ ¯°®¨§¢®¤­»µ ±³¹¥±²¢³¥². ln x °¨¬¥°». 1. x! lim +1 x = 0 ¯°¨ ¢±¥µ  > 0. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯® ¯° ¢¨«³ ‹®¯¨² «¿ ln x = lim 1=x = lim 1 = 0:  x!+1 x 1 x!+1 x

lim x!+1 x

‡ ¬¥­¿¿ x ­  x1 , ½²®² ¯°¥¤¥« ¬®¦­® ¯¥°¥¯¨± ²¼ ¥¹¥ ¢ ² ª®¬ ¢¨¤¥: lim x ln x = 0 ¯°¨ ¢±¥µ  > 0: x!0+

x 2. ’¥®°¥¬» ® ±°¥¤­¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿

197

x

2. lim x = 0 ¯°¨ ¢±¥µ a > 1. x!+1 a

‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥,

1 lim x = x!lim +1 ax ln a = 0:  ²®² °¥§³«¼² ² ¬®¦­® ®¡®¡¹¨²¼: xk = 0 ¯°¨ ¢±¥µ a > 1; k 2 R: lim x!+1 ax …±«¨ k 6 0, ²® ° ¢¥­±²¢® ®·¥¢¨¤­®. …±«¨ k > 0, ²® ¯® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ° ¢¥­±²¢³ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ±²¥¯¥­­®© ´³­ª¶¨¨ x!+1 ax

 x k k x
= 0:  lim = lim x!+1 ax x!+1 a1=k x

ˆ² ª, ±²¥¯¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ° ±²¥² ­  +1 ¡»±²°¥¥ «®£ °¨´¬ , ­® ¬¥¤«¥­­¥¥ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨.

‚ · ±²­®±²¨, ¨§¤®ª § ­­®£® ±«¥¤³¥², ·²® ¯°¨ a > 1, k 2 R | ¡¥±ª®­¥·­® ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ nank 1 ¬ « ¿. ‚ x 4 £« ¢» 2 n=1 ½²®² °¥§³«¼² ² ¯°¥¤« £ «®±¼ ¢»¢¥±²¨ ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬, ± ¯®¬®¹¼¾ ²¥®°¥¬» ® ¯°¥¤¥«¥ ¬®­®²®­­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨. pn 3. lim xx = 1 ¨ nlim !1 n = 1. x!0+ ® ¯¥°¢®¬³ ¯°¨¬¥°³ xx = ex ln x x!!0+ e0 = 1; 4. Š®­¥·­®,

pn n = e lnnn ! e0 = 1:  n!1

cos x lim sinx x = xlim !0 1 = 1;

x!0

­®, ¯»² ¿±¼ ³±² ­®¢¨²¼ ² ª¨¬ ±¯®±®¡®¬ § ¬¥· ²¥«¼­»© ¯°¥¤¥« ¤«¿ ±¨­³± , ¬» ¯®¯ ¤ ¥¬ ¢ ¯®°®·­»© ª°³£: ¢¥¤¼ ¯°¨ ¢»¢®¤¥ ´®°¬³«» (sin x)0 = cos x ¨±¯®«¼§®¢ «±¿ ½²®² ¯°¥¤¥«. ‚ § ª«¾·¥­¨¥ ¯ ° £° ´  ³±² ­®¢¨¬ ±¢®©±²¢® ¯°®¨§¢®¤­®© ¯°¨­¨¬ ²¼ ¢±¥ ¯°®¬¥¦³²®·­»¥ §­ ·¥­¨¿.

198

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

’¥®°¥¬  7 (ƒ. „ °¡³). …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  [a; b], ²® ¤«¿ «¾¡®£® ·¨±«  C , «¥¦ ¹¥£® ¬¥¦¤³ f 0 (a) ¨ f 0 (b), ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ c 2 (a; b), ·²® f 0 (c) = C . „®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ³±²¼ ±­ · «  f 0 (a) ¨ f 0 (b) ° §­»µ §­ ª®¢; ¤®ª ¦¥¬, ·²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ c 2 (a; b), ·²® f 0 (c) = 0. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ¡³¤¥¬ ±·¨² ²¼, ·²® f 0 (a) < 0 < f 0 (b). ®±ª®«¼ª³ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  [a; b], ¯® ²¥®°¥¬¥ ‚¥©¥°¸²° ±±  ­ ©¤¥²±¿ ²®·ª  c 2 [a; b], ¤«¿ ª®²®°®© f(c) = xmin f(x). …±«¨ c 2 (a; b), ²® ¯® ²¥®2[a;b] °¥¬¥ ”¥°¬  f 0 (c) = 0. ®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼, ·²® c 6= a ¨ c 6= b. …±«¨ c = a, ²® ¥±²¼ ´³­ª¶¨¿ ¯°¨­¨¬ ¥² ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¥ ­  «¥¢®¬ ª®­¶¥ ®²°¥§ª , ²® f (xx) fa(a) > 0 ¯°¨ ¢±¥µ x 2 (a; b],   ¯®²®¬³ ¨ f 0 (a) > 0, ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¾. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® c 6= b. 2.  ±±¬®²°¨¬ ²¥¯¥°¼ ®¡¹¨© ±«³· ©. ³±²¼ ¤«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ f 0 (a) < C < f 0 (b). ®«®¦¨¬ '(x) = f(x) Cx. ’®£¤  '0 (a) = f 0 (a) C < 0 < f 0 (b) C = '0 (b): ® ¤®ª § ­­®¬³ ­ ©¤¥²±¿ ² ª®¥ c 2 (a; b), ·²® '0 (c) = 0, ²® ¥±²¼ f 0 (c) = C.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ’¥®°¥¬  „ °¡³ ¯®µ®¦  ­  ²¥®°¥¬³ ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ® ¯°®¬¥¦³²®·­»µ §­ ·¥­¨¿µ ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨, ­® ­¥ ¢»¢®¤¨²±¿ ¨§ ¯®±«¥¤­¥©, ² ª ª ª ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¬®¦¥² ¡»²¼ ° §°»¢­®©. „«¿ ¯°¨¬¥°  ° ±±¬®²°¨¬ ´³­ª¶¨¾ f(x) = x2 sin x1 ¯°¨ x 6= 0, f(0) = 0. ’®£¤  x2 sin x1 0 1 f 0 (0) = xlim !0 x 0 = xlim !0 x sin x = 0;   ¯°¨ ¢±¥µ x 6= 0 f 0 (x) = 2x sin x1 cos x1 : ®½²®¬³ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  R, ­® f 0 ­¥ ¨¬¥¥² ¯°¥¤¥«  ¢ ­³«¥ ¨, §­ ·¨², ° §°»¢­ . ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  ha; bi, ²® f 0 (ha; bi) | ¯°®¬¥¦³²®ª. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­ ¤® ±®±« ²¼±¿ ­  «¥¬¬³ 1 x 2 £« ¢» 3 ® µ ° ª²¥°¨±²¨ª¥ ¯°®¬¥¦³²ª®¢.

x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° 

199

‘«¥¤±²¢¨¥ 2. °®¨§¢®¤­ ¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ ´³­ª¶¨¨ ­¥ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ­  ­¥¬ ° §°»¢®¢ ¯¥°¢®£® °®¤ .

‘«¥¤±²¢¨¥ 2 ¤®ª §»¢ ¥²±¿  ­ «®£¨·­® ¢²®°®© · ±²¨ ²¥®°¥¬» 9

x 2 £« ¢» 3 ® ° §°»¢ µ ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ ¬®­®²®­­®© ´³­ª¶¨¨, ¨ ¬» °¥ª®¬¥­¤³¥¬ ·¨² ²¥«¾ ± ¬®¬³ ¯®¢²®°¨²¼ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‚ ²¥®°¥¬¥ „ °¡³ ¨ ¥¥ ±«¥¤±²¢¨¿µ ±³¹¥±²¢¥­­®, ·²® ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨ ¨ ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­®© | ¯°®¬¥¦³²®ª. ’ ª, (jxj)0 = sign x ¯°¨ ¢±¥µ x 6= 0, ­®, ­ ¯°¨¬¥°, ­  ¬­®¦¥±²¢¥ [ 1; 1] n f0g ½²  ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ­¥ ®¡« ¤ ¥² ±¢®©±²¢®¬ ¯°¨­¨¬ ²¼ ¢±¥ ¯°®¬¥¦³²®·­»¥ §­ ·¥­¨¿.

x 3.

°®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° 

³±²¼ f: D  R! R,D1 | ¬­®¦¥±²¢® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ f, f 0 : D1 ! R.  ¯®¬­¨¬, ·²® ª ¦¤ ¿ ²®·ª  x0 2 D1 ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾: ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® (x0 ; x0 + ) \ D | ­¥¢»°®¦¤¥­­»© ¯°®¬¥¦³²®ª. „ «¥¥ ±«¥¤³¥² ­ §¢ ²¼ f 00 | ¯°®¨§¢®¤­³¾ f 0 | ¢²®°®© ¯°®¨§¢®¤­®© f, ¯°®¨§¢®¤­³¾ f 00 | ²°¥²¼¥© ¯°®¨§¢®¤­®© f ¨ ².¤. „ ¤¨¬ ¯®¤°®¡­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥. °®¨§¢®¤­ ¿ ¯®°¿¤ª  n ´³­ª¶¨¨ f ®¡®§­ · ¥²±¿ f (n) ; f (1) ®§­ · ¥² ²® ¦¥, ·²® f 0 . °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ n 1 2 N, ¬­®¦¥±²¢® Dn 1 ¨ ´³­ª¶¨¿ f (n 1) : Dn 1 ! R ³¦¥ ®¯°¥¤¥«¥­». Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§ Dn ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ²®·¥ª x0 2 Dn 1, ¤«¿ ª®²®°»µ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® (x0 ; x0 + ) \ Dn 1 = (x0 ; x0 + ) \ D;

(14)

¨ f (n 1) ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x0. …±«¨ x0 2 Dn , ²® ´³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© n ° § ¢ ²®·ª¥ x0. ”³­ª¶¨¿


f (n) = f (n 1) 0 Dn : Dn ! R ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤­®© ¯®°¿¤ª  n, ¨«¨ ª®°®·¥, n-© ¯°®¨§¢®¤­®© ´³­ª¶¨¨ f.

200

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

„°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, f f (n) (x0 ) = xlim !x0

(n 1) (x) f (n 1)(x0 ) ; x0 2 Dn : x x0

®¤ ­³«¥¢®© ¯°®¨§¢®¤­®© ¯®­¨¬ ¾² ± ¬³ ´³­ª¶¨¾: f (0) = f. Ž¤­®±²®°®­­¨¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ®¯°¥¤¥«¿¾²±¿ ° ¢¥­±²¢ ¬¨



f+(n) (x0 ) = f D\[x0 ;+1) „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨,

(n)



(x0 ); f (n) (x0 ) = f D\( 1;x0 ]

f f(n) (x0 ) = x!lim x0 

(n)

(x0):

(n 1) (x) f(n 1)(x0 ) : x x0

‘«¥¤³¾¹¨© ¯°¨¬¥° ¯®ª §»¢ ¥² °®«¼ ³±«®¢¨¿ (14) ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ n-© ¯°®¨§¢®¤­®©. ³±²¼ D = ( 1; 1], f(x) = 0 ¯°¨ x 2 [ 0; 1] ¨ ¯°¨ x < 0, x 2 Q; f(x) = x2 ¯°¨ x < 0, x 2= Q. ’®£¤  D1 = [ 0; 1] ¨ f 0 = 0 ­  D1 . „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ° ¢¥­±²¢® f 0 (x) = 0 ¯°¨ x 2 (0; 1] ®·¥¢¨¤­®,   f(x) f(0) x 0 6 jxj x!!0 0;

¯®½²®¬³ ¨ f 0 (0) = 0. ‚ ²®·ª µ ¦¥ x < 0 ´³­ª¶¨¿ f ° §°»¢­  ¨ ²¥¬ ¡®«¥¥ ­¥ ¨¬¥¥² ¯°®¨§¢®¤­®©. ”³­ª¶¨¿ f 0 ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  D1 , ¨ ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ° ¢­  ­³«¾. Ÿ±­®, ·²® f 00(x) = 0 ¯°¨ ¢±¥µ x 2 (0; 1]. ® f 00(0) ­¥ ±³¹¥±²¢³¥², ² ª ª ª ²®·ª  0 ­¥ ³¤®¢«¥²¢®°¿¥² ³±«®¢¨¾ (14); ±³¹¥±²¢³¥² «¨¸¼ f+00 (0) = 0. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, D2 = (0; 1], ¨ f 00 = 0 ­  D2 . ²®² ½´´¥ª² ¨±·¥§ ¥², ¥±«¨ ®¯°¥¤¥«¿²¼ ¯°®¨§¢®¤­³¾ ²®«¼ª® ¢® ¢­³²°¥­­¨µ ²®·ª µ ®¡« ±²¨ § ¤ ­¨¿ ´³­ª¶¨¨;
²®£¤  ¬®¦­® ¯°®±²® ®¯°¥¤¥«¨²¼ f (n) ° ¢¥­±²¢®¬ f (n) = f (n 1) 0 . dn f (·¨² ¥²±¿:  °¿¤³ ± f (n) ¨±¯®«¼§³¾²±¿ ² ª¦¥ ®¡®§­ ·¥­¨¿ dx n n f. Š ª ®¡»·­®, § ¯¨±¼ f (n) (x0 ), \¤½-½­ ½´ ¯® ¤½-¨ª± ½­ ° §") ¨ D dn f (x0 ) ¨ Dn f(x ) ¢»° ¦ ¥² §­ ·¥­¨¥ n-© ¯°®¨§¢®¤­®© f ¢ ²®·0 dxn ª¥ x0 . „«¿ ¯°®¨§¢®¤­»µ ­¥¢»±®ª®£® ¯®°¿¤ª  · ¹¥ ¯¨¸³² f 00 ¨ f 000 ,   ¯®²®¬ ²° ª²³¾² ¸²°¨µ¨ ª ª °¨¬±ª¨¥ ¶¨´°»: f IV , f V ¨ ².¤.

x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° 

201

‘¤¥« ¥¬ ­¥¡®«¼¸®¥ § ¬¥· ­¨¥ ® ¯°¨­¶¨¯¥ ¯®±²°®¥­¨¿ ®¡®§­ ·¥­¨©. ³±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨¥ A ¤¥©±²¢³¥² ¨§ ®¤­®£® ¬­®¦¥±²¢  ´³­ª¶¨© (¨«¨ ¤ ¦¥ ®²®¡° ¦¥­¨©) ¢ ¤°³£®¥. Š ª ®¡»·­®, §­ ·¥­¨¥ A ­  ´³­ª¶¨¨ f ®¡®§­ · ¥²±¿ A(f). ’®£¤  §­ ·¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ A(f) ¢ ²®·ª¥ x ±«¥¤³¥² ®¡®§­ · ²¼ A(f)(x). „«¿ ¡®«¼¸¥© ­ £«¿¤­®±²¨ ±ª®¡ª¨ ¢®ª°³£ f · ±²® (®±®¡¥­­® ¥±«¨ A «¨­¥©­®) ®¯³±ª ¾² ¨ ¯¨¸³² Af ¨, ±®®²¢¥²±²¢¥­­®, Af(x) ¨«¨ (Af)(x) (·²®¡» ¯®¤·¥°ª­³²¼, ·²® ±¨¬¢®« Af ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ª x,   ­¥ ±¨¬¢®« A ª f(x)). ˆ­®£¤  ³¯®²°¥¡«¿¥²±¿ ¨ ®¡®§­ ·¥­¨¥ A(f; x). —¥°¥§ An ®¡®§­ · ¥²±¿ n-ª° ²­ ¿ ª®¬¯®§¨¶¨¿ A ± ± ¬¨¬ ±®¡®© (¥±«¨ ®­  ¨¬¥¥² ±¬»±«). ‚ ®¡®§­ ·¥­¨¨ Š®¸¨ D ¥±²¼ (± ­¥ª®²®°»¬¨ ®£®¢®°ª ¬¨, ª ± ¾¹¨¬¨±¿ ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿) ®²®¡° ¦¥­¨¥, ª®²®°®¥ ª ¦¤®© ´³­ª¶¨¨ ±®¯®±² ¢«¿¥² ¥¥ ¯°®¨§¢®¤­³¾. ‚ ®¡®§­ ·¥­¨¨ ‹¥©¡­¨¶  ²³ ¦¥ °®«¼ ¨£° ¥² ±¨¬¢®« dxd . ”³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ n ° § ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ­  ¬­®¦¥±²¢¥ E, ¥±«¨ ®­  n ° § ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ E. …±«¨ ¯°¨ ½²®¬ f (n) ­¥¯°¥°»¢­  ­  E, ²® f ­ §»¢ ¥²±¿ n ° § ­¥¯°¥°»¢­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ­  E. ³±²¼ E  R, n 2 N. Œ­®¦¥±²¢® ´³­ª¶¨©, § ¤ ­­»µ ¨ n ° § ­¥¯°¥°»¢­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»µ ­  E, ®¡®§­ · ¥²±¿ C (n)(E) ¨«¨ C n(E). Š°®¬¥ ²®£®, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ C (0) (E) = C(E) | ª« ±± ­¥¯°¥°»¢­»µ ­  E ´³­ª¶¨©. —¥°¥§ C (1) (E) ®¡®§­ · ¥²±¿ ª« ±± ¡¥±ª®­¥·­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»µ ­  E ´³­ª¶¨©, ²® ¥±²¼ ´³­ª¶¨©, § ¤ ­­»µ ­  E ¨ ¨¬¥¾¹¨µ ­  E ¯°®¨§¢®¤­»¥ ¢±¥µ ¯®°¿¤ª®¢: 1 (n) T ( 1 ) C (E) = C (E). Ÿ±­®, ·²® ª« ±±» C (n) (E) ³¬¥­¼¸ ¾²±¿ ± n=0 °®±²®¬ n: ¯°¨ ¢±¥µ n 2 Z+ C (n) (E)  C (n+1)(E) ¨ C (n)(E)  C (1)(E): °¨ ½²®¬ ¢±¥ ¢ª«¾·¥­¨¿ ±²°®£¨¥. „«¿ ¯°¨¬¥°  ° ±±¬®²°¨¬ ´³­ª¶¨¨ 8 xn+1 < fn (x) = : (n + 1)! ; x > 0; 0; x < 0: ’®£¤  fn0 = fn 1 ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N. ”³­ª¶¨¿ f0 ­¥¯°¥°»¢­  ­  R, ­® ­¥ ¨¬¥¥² ¯°®¨§¢®¤­®© ¢ ­³«¥. ®½²®¬³ fn ¯°¨­ ¤«¥¦¨² C (n)(R), ­®

202

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

­¥ ¨¬¥¥² (n + 1)-© ¯°®¨§¢®¤­®© ¢ ­³«¥ ¨ ²¥¬ ¡®«¥¥ ­¥ ¯°¨­ ¤«¥¦¨² C (n+1)(R) ¨ C (1) (R). °¨¬¥° ¢±¾¤³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ´³­ª¶¨¨ ± ° §°»¢­®© ¯°®¨§¢®¤­®© ¡»« ¯°¨¢¥¤¥­ ¢ x 2. Œ®¤¨´¨¶¨°³¿ ¥£®, ¬®¦­® ¯®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ «¾¡®¬ n 2 N ª« ±± n ° § ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»µ ­  E ´³­ª¶¨© ±²°®£® ¸¨°¥ ª« ±±  C (n)(E). Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ n 2 N, ´³­ª¶¨¿ f: D  R ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  n ° § ¢ ²®·ª¥ x0 2 D. ‚¥«¨·¨­  dnf(x0 ; dx) = f (n) (x0 ) dxn ­ §»¢ ¥²±¿ n-¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «®¬ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0, ±®®²¢¥²±²¢³¾¹¨¬ ¯°¨° ¹¥­¨¾ dx. Š°®¬¥ ²®£®, ¯®« £ ¾² d 0f(x0 ; dx) = f(x0 ). ˆ§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¿±­®, ·²®


dnf(x0 ; dx) = d dn 1f(
; dx) (x0; dx):

(15)

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ®¡®§­ ·¨²¼ g(x) = dn 1f(x; dx), ²®


dg(x0; dx) = g0 (x0) dx = f (n 1) 0(x0 ) dxn 1 dx = = f (n) (x0 ) dxn = dnf(x0 ; dx):

®½²®¬³ ´®°¬³«³ (15) ¬®¦­® ¯°¨­¿²¼ §  ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ n-£® ¤¨´´¥°¥­¶¨ « . “±«®¢¨¥ (14) ¯®§¢®«¿¥² ¨ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ±² °¸¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ®£° ­¨·¨¢ ²¼±¿ ´³­ª¶¨¿¬¨, § ¤ ­­»¬¨ ­  ­¥¢»°®¦¤¥­­®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥. ’¥®°¥¬  1. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ±² °¸¨¬¨ ¯°®¨§¢®¤­»¬¨. ³±²¼ n 2 N, ´³­ª¶¨¨ f; g: ha; bi ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» n ° § ¢ ²®·ª¥ x 2 ha; bi. ’®£¤  1) ¯°¨ «¾¡»µ ; 2 R ´³­ª¶¨¿ f + g ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x ¨

(f + g)(n) (x) = f (n) (x) + g(n) (x);

n ° §

x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° 

203

2) ´³­ª¶¨¿ fg ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  n ° § ¢ ²®·ª¥ x ¨ (fg)(n) (x) =

n X k=0

Cnk f (k) (x)g(n k)(x):

‚²®°®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯° ¢¨«®¬ ‹¥©¡­¨¶  ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿. ²  ´®°¬³«  ®·¥­¼ ¯®µ®¦  ­  ¡¨­®¬ ¼¾²®­ , ²®«¼ª® ¢¬¥±²® ¯®ª § ²¥«¥© ±²¥¯¥­¨ ±²®¿² ­®¬¥°  ¯°®¨§¢®¤­»µ. …¥ ¤®ª § ²¥«¼±²¢®, ª ª ¡³¤¥² ¢¨¤­®, ² ª¦¥  ­ «®£¨·­® ¢»¢®¤³ ¡¨­®¬  ¼¾²®­ . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ®·¥¢¨¤­® ¢»¢®¤¨²±¿ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨. „®ª ¦¥¬ ¯° ¢¨«® ‹¥©¡­¨¶  ² ª¦¥ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨. °¨ n = 1 (¡ §  ¨­¤³ª¶¨¨) ° ¢¥­±²¢® ¨§¢¥±²­®. ³±²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­® ¤«¿ ­®¬¥°  n; ¤®ª ¦¥¬, ·²® ®­® ¢¥°­® ¨ ¤«¿ n + 1. Ž¯³±ª ¿ ®¡®§­ ·¥­¨¥  °£³¬¥­²  x, ¨¬¥¥¬ (fg)(n+1) = =

X n

k=0 n X k=0

Cnk f (k) g(n k)

=

k=0

=

X Cnk f (k+1) g(n k) + Cnk f (k) g(n+1 k) =

= f (n+1) g(0) + nX +1

0

n

n X

k=0

(Cnk 1 + Cnk )f (k) g(n+1 k) + f (0) g(n+1) =

k=1

Cnk+1f (k) g(n+1 k);

·²® § ¢¥°¸ ¥² ¨­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤.  °¨¢¥¤¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢ ¢»·¨±«¥­¨¿ ±² °¸¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ. „®ª § ²¥«¼±²¢® ½²¨µ ´®°¬³« «¥£ª® ¯°®¢®¤¨²±¿ ¯® ¨­¤³ª¶¨¨. ‚ ­¨µ, ¥±«¨ ­¥ ®£®¢®°¥­® ¯°®²¨¢­®¥, n 2 Z+.  ¯®¬­¨¬ ±®£« ¸¥­¨¥, ·²® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥, ¢ ª®²®°®¬ ­¥² ±®¬­®¦¨²¥«¥©, ±·¨² ¥²±¿ ° ¢­»¬ 1.

204

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

°¨¬¥°». 1. (x)(n) = ( 1) : : :( n + 1)x n.

°¨ n = 1 ° ¢¥­±²¢® ¨§¢¥±²­®. ˆ­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤ ¤¥« ¥²±¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ° ¢¥­±²¢  (x n)0 = ( n)x n 1. ‚ · ±²­®±²¨, ¯°¨  = m 2 Z+ (xm )(n) =   ¯°¨  = 1

 m!; 0;

n = m; n > m;

 1 (n) ( 1)nn! = xn+1 : x

( 1)n 1 (n 1)! , n 2 N, x > 0. xn 1 0 ’ ª ª ª (ln x) = x , ½²®² ¯°¨¬¥° ¢»²¥ª ¥² ¨§ ¯°¥¤»¤³¹¥£®. 3. (ax )(n) = ax lnn a, a > 0. ‚ · ±²­®±²¨, (ex )(n) = ex . 4. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¿, ­ µ®¤¨¬ (sin x)0 = cos x, (sin x)00 = sin x, (sin x)000 = cos x, (sin x)IV = sin x,   ¤ «¥¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¯®¢²®°¿¥²±¿ ± ¯¥°¨®¤®¬ 4. ® ´®°¬³« ¬ ¯°¨¢¥¤¥­¨¿ ½²®² °¥§³«¼² ² ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¢¨¤¥ ®¤­®£® ° ¢¥­±²¢ :   (sin x)(n) = sin x + n 2 : 5. €­ «®£¨·­® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ¯°¨¬¥°³   (cos x)(n) = cos x + n 2 : 2. (ln x)(n) =

¥°¥©¤¥¬ ª ¢ ¦­¥©¸¥© ´®°¬³«¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ | ´®°¬³«¥ ’¥©«®° . ³±²¼ n 2 Z+, T | ¬­®£®·«¥­ ±²¥¯¥­¨ n, x0 2 R. ˆ§ ª³°±   «£¥¡°» ¨§¢¥±²­®, ·²® ¢±¿ª¨© ¬­®£®·«¥­ ° ±ª« ¤»¢ ¥²±¿ ¯® ±²¥¯¥­¿¬ x x0: n X T (x) = ak (x x0 )k : k=0

x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° 

205

„¨´´¥°¥­¶¨°³¿ ¥£® m ° § (m 2 [ 0 : n]), ¯®«³· ¥¬ T (m) (x) =

n X k=m

ak k(k 1) : : :(k m + 1)(x x0 )k m :

°¨ ¯®¤±² ­®¢ª¥ x = x0 ±« £ ¥¬»¥ ± ­®¬¥° ¬¨ k > m ®¡­³«¿¾²±¿, ¯®½²®¬³ T (m) (x0) = am m! ¨«¨, ·²® ° ¢­®±¨«¼­®, (m) am = T m!(x0) : ’ ª¨¬ ®¡° §®¬ ª®½´´¨¶¨¥­²» ° §«®¦¥­¨¿ ¬­®£®·«¥­  ¯® ±²¥¯¥­¿¬ x x0 ¢»° ¦ ¾²±¿ ·¥°¥§ §­ ·¥­¨¿ ± ¬®£® ¬­®£®·«¥­  ¨ ¥£® ¯°®¨§¢®¤­»µ ¢ ²®·ª¥ x0.  ¢¥­±²¢®

T (x) =

n T (k)(x ) X 0 k=0

k!

(x x0 )k

(16)

­ §»¢ ¥²±¿ ´®°¬³«®© ’¥©«®°  ¤«¿ ¬­®£®·«¥­ . ³±²¼ ²¥¯¥°¼ T | ¯°®¨§¢®«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿. „«¿ ²®£®, ·²®¡» ¯° ¢ ¿ · ±²¼ ° ¢¥­±²¢  (16) ¨¬¥«  ±¬»±«, ­¥®¡µ®¤¨¬  n-ª° ²­ ¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼ T ¢ ²®·ª¥ x0. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ T ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¬­®£®·«¥­®¬, ²® ° ¢¥­±²¢® (16), ¢®®¡¹¥ £®¢®°¿, ­¥¢¥°­®. Ž¤­ ª®, ®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¤«¿ ¬­®£¨µ ´³­ª¶¨© ¢ (16) ¨¬¥¥² ¬¥±²® ¯°¨¡«¨¦¥­­®¥ ° ¢¥­±²¢®, ¯®£°¥¸­®±²¼ ª®²®°®£® ¢ ²®¬ ¨«¨ ¨­®¬ ±¬»±«¥ ¬ « . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ n 2 N,   ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  n ° § ¢ ²®·ª¥ x0, ¨«¨ n = 0,   ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0. Œ­®£®·«¥­ n (k ) X Tn;x0 f(x) = f k!(x0) (x x0)k k=0

­ §»¢ ¥²±¿ ¬­®£®·«¥­®¬ ’¥©«®°  ¯®°¿¤ª  n ´³­ª¶¨¨ f ± ¶¥­²°®¬ ¢ ²®·ª¥ x0 .  §­®±²¼ Rn;x0 f(x) = f(x) Tn;x0 f(x)

206

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

­ §»¢ ¥²±¿ ®±² ²®·­»¬ ·«¥­®¬ ¨«¨ ®±² ²ª®¬ ´®°¬³«» ’¥©«®° ,   ° ¢¥­±²¢® f(x) = Tn;x0 f(x) + Rn;x0 f(x) (17) | ´®°¬³«®© ’¥©«®° . ®ª  ·²® ° ¢¥­±²¢® (17) ²°¨¢¨ «¼­®, ² ª ª ª ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¯¥°¥¯¨± ­­®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ Rn;x0 f(x). ‘®¤¥°¦ ²¥«¼­»¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ¯®«³· ²±¿, ¥±«¨ ±ª § ²¼ ·²®-­¨¡³¤¼ ® ±¢®©±²¢ µ ®±² ²ª . Ž±² ²®ª ´®°¬³«» ’¥©«®°  ¬®¦­®, ¯°¨ ²¥µ ¨«¨ ¨­»µ ³±«®¢¨¿µ ­  ´³­ª¶¨¾, § ¯¨± ²¼ ¢ ° §«¨·­»µ ´®°¬ µ. ²¨ ´®°¬» § ¯¨±¨ ®±² ²®·­®£® ·«¥­  ²®¦¥ ­®±¿² ¨¬¥­  ° §­»µ ¬ ²¥¬ ²¨ª®¢: ­ ¯°¨¬¥°, ´®°¬³«  ’¥©«®°  ± ®±² ²®·­»¬ ·«¥­®¬ ¢ ´®°¬¥ ¥ ­®, ¨«¨ ª®°®·¥, ´®°¬³«  ’¥©«®°  { ¥ ­®. ’¥®°¥¬  2. ”®°¬³«  ’¥©«®°  { ¥ ­®. ³±²¼ n 2 N, ´³­ª¶¨¿ f: ha; bi ! R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  n ° § ¢ ²®·ª¥ x0 2 ha; bi. ’®£¤ 

f(x) =

n f (k) (x ) X 0 k=0

k!




(x x0 )k + o (x x0)n ;

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ª° ²ª®±²¨ ¡³¤¥¬ = Rn;x0 f. ’°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® R(x)

x ! x0 :

¯¨± ²¼ T = T
n;x0 f, R = o (x x0 )n ¯°¨ ( m ) x ! x0. ®±ª®«¼ª³ R = f T ,   T (x0 ) = f (m) (x0 ) ¯°¨ ¢±¥µ m 2 [ 0 : n], ¨¬¥¥¬ R(m) (x0 ) = 0 ¯°¨ ¢±¥µ m 2 [ 0 : n]. ®½²®¬³ ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ ±«¥¤³¾¹¥¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥: ¥±«¨ n 2 N, ´³­ª¶¨¿ R ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  n ° § ¢ ²®·ª¥
x0 ¨ R(m) (x0 ) = 0 ¯°¨ ¢±¥µ m 2 [ 0 : n], ²® R(x) = o (x x0 )n ¯°¨ x ! x0 . „®ª ¦¥¬ ¥£® ¨­¤³ª¶¨¥© ¯® n.  §  ¨­¤³ª¶¨¨ | ±«³· © n = 1. ’ ª ª ª R(x0) = R0 (x0) = 0, ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ ¯®«³· ¥¬ R(x) = R(x0) + R0 (x0)(x x0) + o(x x0) = o(x x0); x ! x0: ˆ­¤³ª¶¨®­­»© ¯¥°¥µ®¤. °¥¤¯®«®¦¨¬, ·²® ¤«¿ ­®¬¥°  n ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¢¥°­®; ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤«¿ ­®¬¥°  n+1. ³±²¼ R(m) (x0) = 0 ¯°¨ ¢±¥µ m 2 [ 0 : n + 1]; ¤®ª ¦¥¬, ·²® R(x) (x x0)n+1 x!!x0 0:

x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° 

207

„®ª § ²¥«¼±²¢® ¡³¤¥¬ ¢¥±²¨ ­  ¿§»ª¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¥©. ‚®§¼¬¥¬ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ fx g ±® ±¢®©±²¢ ¬¨: x 2 ha; bi, x 6= x0 , x ! x0. ’®£¤  ¤«¿ ª ¦¤®£®  ¯® ´®°¬³«¥ ‹ £° ­¦  ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  c , «¥¦ ¹ ¿ ¬¥¦¤³ x ¨ x0, ·²® R(x ) = R(x ) R(x0 ) = R0 (c ) : (x x0)n+1 (x x0)n+1 (x x0 )n ˆ§ ­¥° ¢¥­±²¢  jc x0j 6 jx x0 j ±«¥¤³¥², ·²® c ! x0 . ® ¨­¤³ª¶¨®­­®¬³ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¾, ¯°¨¬¥­¥­­®¬³ ª ´³­ª¶¨¨ R0 , ³ ª®²®°®© ¢±¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ ¤® n-© ¢ª«¾·¨²¥«¼­® ¢ ²®·ª¥ x0 ° ¢­» ­³«¾, R(x ) R0(c )   (x x )n+1 6 (c x )n ! 0; 

0

0



·²® ¨ ²°¥¡®¢ «®±¼ ¤®ª § ²¼.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ”®°¬³«  ’¥©«®°  ± ¶¥­²°®¬ ¢ ­³«¥ ­ §»¢ ¥²±¿ ¥¹¥ ´®°¬³«®© Œ ª«®°¥­ . ‡ ¯¨¸¥¬ ¥¥ ± ®±² ²ª®¬ ¢ ´®°¬¥ ¥ ­®: n f (k) (0) X

xk + o(xn); x ! 0: k! k=0 ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. …±«¨ ¯®²°¥¡®¢ ²¼ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ f ¢ ²®·ª¥ x0, ²® ²¥®°¥¬  2 ±² ­®¢¨²±¿ ¢¥°­®© ¨ ¯°¨ n = 0. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ³±²¼ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ ²¥®°¥¬» 2 ¨«¨ § ¬¥· ­¨¿ 2. …±«¨ ¬­®£®·«¥­ P ±²¥¯¥­¨ ­¥ ¢»¸¥ n ² ª®¢, ·²® f(x) =




f(x) = P (x) + o (x x0)n ;

x ! x0 ;

(18)

P = Tn;x0 f . ²® ±° §³ ±«¥¤³¥² ¨§ ²¥®°¥¬» 2 x 4 £« ¢» 3 ® ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¨  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®£® ° §«®¦¥­¨¿. ‘¢®©±²¢® (18) · ±²® ¯°¨­¨¬ ¾² §  ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¬­®£®·«¥­  ’¥©«®° . ’®·­¥¥, ¬­®£®·«¥­ P ±²¥¯¥­¨ ­¥ ¢»¸¥ n ­ §»¢ ¾² ¬­®£®·«¥­®¬ ’¥©«®°  ¯®°¿¤ª  n ´³­ª¶¨¨ f ± ¶¥­²°®¬ ¢ ²®·ª¥ x0 , ¥±«¨ P (x0) = f(x0 ) ¨ ¢»¯®«­¥­® ° ¢¥­±²¢® (18). ˆ§ ®¯°¥¤¥«¥­¨© ¢¨¤­®, ·²® ¯°¨ n = 0; 1 ­®¢®¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±®¢¯ ¤ ¥² ±® ±² °»¬. ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ¬­®£®·«¥­  ’¥©«®°  ­³«¥¢®£® ²®

208

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

¯®°¿¤ª  ° ¢­®±¨«¼­® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨, ¯¥°¢®£® ¯®°¿¤ª  | ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ f ¢ ²®·ª¥ x0. …±«¨ ¦¥ n 1 2 N, ²® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ° ¢­®±¨«¼­» «¨¸¼ ¤«¿ ´³­ª¶¨©, n ° § ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»µ ¢ ²®·ª¥ x0. Œ­®£®·«¥­ P  0 ¿¢«¿¥²±¿ ¬­®£®·«¥­®¬ ’¥©«®°  ¯®°¿¤ª  n ´³­ª¶¨¨  0; x 2 Q; f(x) = n+1 x ; x 2= Q ¢ ²®·ª¥ 0 ¢ ±¬»±«¥ ­®¢®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ 0,   ¢ ®±² «¼­»µ ²®·ª µ ¤ ¦¥ ° §°»¢­ , ¯®½²®¬³ ­¥ ¨¬¥¥² ¢²®°®© ¯°®¨§¢®¤­®© ­¨ ¢ ®¤­®© ²®·ª¥. ²®² ¯°¨¬¥° ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ¬­®£®·«¥­ ’¥©«®°  ¢ ±¬»±«¥ ¢²®°®£® ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ±³¹¥±²¢³¥² ³ ¡®«¥¥ ¸¨°®ª®£® ª« ±±  ´³­ª¶¨©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ”®°¬³«  ’¥©«®°  { ¥ ­® £®¢®°¨² ® ±¢®©±²¢ µ ®±² ²ª  ¯°¨ x ! x0, ­® ­¨·¥£® ­¥ ³²¢¥°¦¤ ¥² ® §­ ·¥­¨¨ ®±² ²ª  ­¨ ¯°¨ ª ª®¬ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ x. ®½²®¬³ ´®°¬³«³ ’¥©«®°  { ¥ ­® ­ §»¢ ¾² «®ª «¼­»¬ ¢ °¨ ­²®¬ ´®°¬³«» ’¥©«®° . ‘«¥¤³¾¹ ¿ ´®°¬³«  ’¥©«®°  { ‹ £° ­¦  ¯®§¢®«¿¥² ®¶¥­¨¢ ²¼ ®±² ²®ª ¯°¨ ´¨ª±¨°®¢ ­­®¬ µ ¨ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ®¤¨­ ¨§ £«®¡ «¼­»µ ¢ °¨ ­²®¢ ´®°¬³«» ’¥©«®° . ’¥®°¥¬  3. ”®°¬³«  ’¥©«®°  { ‹ £° ­¦ .

³±²¼ n 2 Z+, f 2 C (n)ha; bi, f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  n+1 ° § ­  (a; b), x0; x 2 ha; bi, x 6= x0. ’®£¤  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ²®·ª  c, «¥¦ ¹ ¿ ¬¥¦¤³ x ¨ x0, ·²®

f(x) =

n f (k) (x ) X 0 k=0

(n+1) (c) k+f n+1 (x x ) 0 k! (n + 1)! (x x0 ) :

„®ª § ²¥«¼±²¢®. Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§
¨­²¥°¢ « ± ª®­¶ ¬¨ x0 ¨ x, ²®£¤ 
®¡®§­ · ¥² ®²°¥§®ª ± ²¥¬¨ ¦¥ ª®­¶ ¬¨. ®«®¦¨¬ (t) = (x t)n+1 ,

'(t) = f(x) f(t)

n f (k) (t) X

(x t)k ; k! k=1

t2


x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° 

209

(¤«¿ ³¤®¡±²¢  ¤ «¼­¥©¸¨µ ¢»·¨±«¥­¨© ­ · «¼­®¥ ±« £ ¥¬®¥ § ¯¨± ­® ®²¤¥«¼­®). ”³­ª¶¨¨ ' ¨ ­¥¯°¥°»¢­» ­ 
¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ­ 
, ¯°¨·¥¬ 0 (t) = (n + 1)(x t)n 6= 0 ¤«¿ «¾¡®£® t 2
.  ©¤¥¬ ¯°®¨§¢®¤­³¾ ':  n  f (k+1) (t) (k) X k f (t) k(x t)k 1 = '0 (t) = f 0 (t) (x t) k! k! k=1 n f (k+1) (t) n (k) X k + X f (t) (x t)k 1 = = f 0 (t) (x t) k! k=1 k=1 (k 1)! n 1 n (j +1) (t) X f (k+1) (t) k+Xf (x t) (x t)j = = k! j! j =0 k=0 (n+1) (t) f n = n! (x t) (¯®±«¥ ±¤¢¨£  ¨­¤¥ª±  j = k 1 ¢±¥ ±« £ ¥¬»¥, ª°®¬¥ ®¤­®£®, ³­¨·²®¦ ¾²±¿). Š°®¬¥ ²®£®, '(x) = 0, '(x0 ) = Rn;x0 f(x), (x) = 0, (x0 ) = (x x0)n+1 . ® ²¥®°¥¬¥ Š®¸¨ ® ±°¥¤­¥¬ (²¥®°¥¬  4 x 2) ­ ©¤¥²±¿ ² ª ¿ ²®·ª  c 2
, ·²® '(x) '(x0 ) = '0 (c) : 0 (c) (x) (x ) 0

®¤±² ¢«¿¿ §­ ·¥­¨¿ ´³­ª¶¨© ¨ ¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ, ¯®«³· ¥¬ 0 Rn;x0 f(x) = f (n+1) (c)(x c)n ; 0 (x x0)n+1 n! (n + 1)(x c)n ·²® ° ¢­®±¨«¼­® (n+1) (c) (x x0 )n+1:  Rn;x0 f(x) = f(n + 1)! ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ‡ ª«¾·¥­¨¥ ²¥®°¥¬» ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¨ ¢ ² ª®¬ ¢¨¤¥: ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  2 (0; 1), ·²® n (k ) (n+1) (x0 + (x x0 )) X f(x) = f k!(x0) (x x0)k + f (x x0)n+1 : (n + 1)! k=0

210

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±«¥¤³¥² ¯®«®¦¨²¼  = xc xx00 . …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² f (n+1) (x0) (½²® ³±«®¢¨¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­®¢»¬ «¨¸¼ ¯°¨ x0 = a ¨«¨ x0 = b), ²® ¢ ² ª®© ´®°¬³«¨°®¢ª¥ ­¥ ­³¦­® ­ ª« ¤»¢ ²¼ ³±«®¢¨¥ x 6= x0, ² ª ª ª ¯°¨ x = x0 ¯®¤µ®¤¨² «¾¡®¥ . ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ”®°¬³«  ª®­¥·­»µ ¯°¨° ¹¥­¨© ‹ £° ­¦  | · ±²­»© ±«³· © ´®°¬³«» ’¥©«®°  { ‹ £° ­¦  ¯°¨ n = 0. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ‡­ ·¥­¨¿ ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª µ ¢­¥ ®²°¥§ª 
­¥ ¨£° ¾² °®«¨ ¢ ²¥®°¥¬¥, ¯®½²®¬³ ¢ ´®°¬³«¨°®¢ª¥ ¬®¦­® ¡»«®, § ´¨ª±¨°®¢ ¢ ²®·ª¨ x0 ¨ x, § ¤ ¢ ²¼ ´³­ª¶¨¾ ­  ®²°¥§ª¥ ha; bi =
. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ”®°¬³«³ ’¥©«®°  { ‹ £° ­¦  ¬®¦­® § ¯¨± ²¼ ¢ ¤¨´´¥°¥­¶¨ « µ (dx = x x0 ): f(x) =

n 1 X

dk f(x0 ; dx) + (n +1 1)! dn+1 f(x0 +  dx; dx): k! k=0

‡ ¬¥· ­¨¥ 5. Ž±² ²®·­»© ·«¥­ ¢ ´®°¬³«¥ ’¥©«®°  { ‹ £° ­¦  ¯®µ®¦ ­  ±« £ ¥¬®¥ ± ­®¬¥°®¬ n + 1 ¢ ¬­®£®·«¥­¥ ’¥©«®° , ­® ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¡¥°¥²±¿ ­¥ ¢ ²®·ª¥ x0,   ¢ ­¥ª®²®°®© ¯°®¬¥¦³²®·­®© ²®·ª¥ c. ®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ²®·ª  c § ¢¨±¨² ®² x. ‡ ¬¥· ­¨¥ 6. …±«¨ T | ¬­®£®·«¥­ ±²¥¯¥­¨ ­¥ ¢»¸¥ n, ²® T (n+1)  0, ¯®½²®¬³ ®±² ²®ª ´®°¬³«» ’¥©«®°  ¤«¿ T ° ¢¥­ ­³«¾: n (k ) X T(x) = T k!(x0 ) (x x0)k : k=0

²®² °¥§³«¼² ² | ´®°¬³«  ’¥©«®°  ¤«¿ ¬­®£®·«¥­  | ³¦¥ ¡»« ¯®«³·¥­ ¢ ¯°¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ° §«®¦¥­¨¿ T ¯® ±²¥¯¥­¿¬ x x0 ; ²¥¯¥°¼ § ®¤­® ¤®ª § ­® ¨ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥. ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. ³±²¼ ¢»¯®«­¥­» ³±«®¢¨¿ ²¥®°¥¬» 3, M > 0, jf (n+1) (t)j 6 M ¤«¿ ¢±¥µ t, «¥¦ ¹¨µ ¬¥¦¤³ x ¨ x0. ’®£¤  x x0 jn+1 : jRn;x0 f(x)j 6 M j(n + 1)!

„®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥¬¥¤«¥­­® ¯®«³· ¥²±¿ ¨§ ´®°¬» ‹ £° ­¦  ®±² ²®·­®£® ·«¥­ .

x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®° 

211

‡ ¬¥· ­¨¥ 7. ˆ§ ±«¥¤±²¢¨¿ 1 ¢»²¥ª ¥², ·²® ¥±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ²®·ª¨ x0, ·²® f (n+1) ®£° ­¨·¥­  ­  ¬­®¦¥
±²¢¥ V_x0 \ ha; bi, ²® Rn;x0 f(x) = O (x x0)n+1 ¯°¨ x ! x0. ²® § ª«¾·¥­¨¥ ±¨«¼­¥¥, ·¥¬ ¢ ²¥®°¥¬¥ ’¥©«®°  { ¥ ­®, ­® ¨ ­  ´³­ª¶¨¾ ­ «®¦¥­» ¡®«¥¥ ®£° ­¨·¨²¥«¼­»¥ ³±«®¢¨¿. ‘«¥¤±²¢¨¥ 2. ³±²¼ f 2 C (1) ha; bi ¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ M > 0, ·²® ¯°¨ ¢±¥µ n 2 N ¨ t 2 ha; bi ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® jf (n) (t)j 6 M . ’®£¤  ¤«¿ «¾¡»µ x; x0 2 ha; bi Tn;x0 f(x) n!1 ! f(x): (19) „®ª § ²¥«¼±²¢®. Š ª ¡»«® ®²¬¥·¥­® ¢ § ¬¥· ­¨¨ 3 ª ²¥®°¥¬¥ 3 x 4 £« ¢» 2 ® ¯°¥¤¥«¥ ¬®­®²®­­®© ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨, K n ! 0 ¯°¨ «¾¡®¬ K 2 R. “·¨²»¢ ¿ ¥¹¥, ·²® ­¥° ¢¥­±²¢® n! n!1 ¨§ ±«¥¤±²¢¨¿ 1 ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢±¥µ n ®¤­®¢°¥¬¥­­®, ­ µ®¤¨¬ Rn;x0 f(x) n!1 ! 0, ·²® ° ¢­®±¨«¼­® (19).  ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢ ³±«®¢¨¿µ ±«¥¤±²¢¨¿ 2 ´³­ª¶¨¿ f ¯°¨¡«¨¦ ¥²±¿ ± «¾¡®© ²®·­®±²¼¾ ±¢®¨¬¨ ¬­®£®·«¥­ ¬¨ ’¥©«®° . ²®² ´ ª² ¬®¦¥² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¤«¿ ¯°¨¡«¨¦¥­­»µ ¢»·¨±«¥­¨©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 8. …±«¨ ¢ ¤®ª § ²¥«¼±²¢¥ ²¥®°¥¬» 3 ¢ ª ·¥±²¢¥ ¢§¿²¼ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ´³­ª¶¨¾, ­¥¯°¥°»¢­³¾ ­ 
, ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬³¾ ­ 
¨ ² ª³¾, ·²® 0 (t) 6= 0 ¤«¿ «¾¡®£® t 2
, ²® ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ ±«¥¤³¾¹³¾ ´®°¬³ § ¯¨±¨ ®±² ²®·­®£® ·«¥­ : (n+1) Rn;x0 f(x) = (x) 0 (c)(x0 ) f n! (c) (x c)n ¨«¨, ¥±«¨ ¯®«®¦¨²¼  = xc xx00 2 (0; 1),

(n+1) (x0 + (x x0 )) Rn;x0 f(x) = 0 (x(x)+ (x(x0x) )) f (1 )n (x x0 )n : n! 0 0 ‚»¡¨° ¿ ´³­ª¶¨¾ , ¬®¦­® ¢»¢¥±²¨ ° §«¨·­»¥ ´®°¬» § ¯¨±¨ ®±² ²ª . ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ ¢§¿²¼ p > 0, (t) = jx tjp , ²® (n+1) (x0 + (x x0)) Rn;x0 f(x) = f (1 )n+1 p (x x0 )n+1; (20) n! p

212

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

  ¥±«¨ ¢§¿²¼ (t) = x t, ²® (n+1) (x0 + (x x0 )) (1 )n (x x0)n+1 : (21) Rn;x0 f(x) = f n!  ¢¥­±²¢® (20) ­ §»¢ ¥²±¿ ´®°¬®© Ž. ˜«¥¬¨«¼µ  ¨ . ®¸ ,   ° ¢¥­±²¢® (21) | ´®°¬®© Š®¸¨ ®±² ²®·­®£® ·«¥­ . ®¤°®¡­»¥ ¢»ª« ¤ª¨ ®±² ¾²±¿ ·¨² ²¥«¾. ‚»¢¥¤¥¬ ²¥©«®°®¢±ª¨¥ ° §«®¦¥­¨¿ ­¥ª®²®°»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨©. °¨ ½²®¬ ¬» ¨±¯®«¼§³¥¬ ³¦¥ ­ ©¤¥­­»¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨§ x 4 £« ¢» 3 ¿¢«¿¾²±¿ ­ · «¼­»¬¨ ±«³· ¿¬¨ ½²¨µ ° §«®¦¥­¨© ¯°¨ n = 0 ¨«¨ n = 1. ‚® ¢±¥µ ­¨¦¥±«¥¤³¾¹¨µ  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª¨µ ° ¢¥­±²¢ µ x ! 0. Ž²¬¥²¨¬, ·²® ¯® § ¬¥· ­¨¾ 7 ®±² ²ª¨ ¢ ½²¨µ ° ¢¥­±²¢ µ ¬®¦­® § ¯¨±»¢ ²¼ ª ª ¢ ¢¨¤¥ o(xn ), ² ª ¨ ¢ ¢¨¤¥ O(xn+1). °¨¬¥° 1. ’ ª ª ª (ex )(k) = ex ; (ex )(k) x=0 = 1, ±¯° ¢¥¤«¨¢» ° ¢¥­±²¢  n k X ex = xk! + o(xn ) = k=0 2 3 4 n = 1 + x + x2 + x6 + x24 + : : : + xn! + o(xn ); n k x X ex = xk! + (ne+ 1)! xn+1;  2 (0; 1): k=0

‚ · ±²­®±²¨, ¯°¨ x = 1 e=

n 1 X k=0

e ;  2 (0; 1): + k! (n + 1)!

Ž²±¾¤  ¯®«³· ¾²±¿ ®¶¥­ª¨

X n xk maxfex ; 1g ex 6 jxjn+1; k! (n + 1)! k=0 n 1 X e 3 1

(n + 1)! < e k=0 k! < (n + 1)! < (n + 1)! :

(22)

x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®°  ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ «¾¡®£® x 2 R ex = nlim !1 ¨, ¢ · ±²­®±²¨, e = nlim !1

213

n xk X k=0

k!

n 1 X

k=0 k!

;

¯°¨·¥¬ ¯®£°¥¸­®±²¼ ² ª®£® ¯°¨¡«¨¦¥­¨¿ ·¨±«  e ®·¥­¼ ¡»±²°® ±²°¥¬¨²±¿ ª ­³«¾. ®½²®¬³ ´®°¬³«  (22) «¥£ª® ¯®§¢®«¿¥² ¯°¨¡«¨¦¥­­® ¢»·¨±«¨²¼ ·¨±«® e ± «¾¡®© ±²¥¯¥­¼¾ ²®·­®±²¨. ’¥®°¥¬  4. —¨±«® e ¨°° ¶¨®­ «¼­®. „®ª § ²¥«¼±²¢®. „®¯³±²¨¬ ¯°®²¨¢­®¥: ¯³±²¼ e = m n , £¤¥ m; n 2 N. ‚ x 2 £« ¢» 2 ¡»«® ¤®ª § ­®, ·²® 2 < e < 3. ®½²®¬³ n > 2, ² ª ª ª e 2= Z. “¬­®¦¨¬ ° ¢¥­±²¢® (22) ­  n!: n X e ;  2 (0; 1): (n 1)!
m = n! + k=0 k! n + 1  2 Z, ·²®  ¡±³°¤­®, ² ª ª ª n + 1 > 3,   e < e < 3.  Ž²±¾¤  ne+1 °¨¬¥° 2. ˆ§ ´®°¬³«»   (sin x)(m) = sin x + m 2 ¯°¨ k 2 Z+ ­ µ®¤¨¬ (sin x)(2k) x=0 = 0; (sin x)(2k+1) x=0 = ( 1)k : ®½²®¬³ n ( 1)k X sin x = (2k + 1)! x2k+1 + o(x2n+2) = k=0 3 x5 ( 1)n x2n+1 + o(x2n+2 ); = x x6 + 120 : : : + (2n + 1)! n k X ( 1) 2k+1 sin  2n+3 sin x = (2k + 1)! x + (2n + 3)! x ; k=0

214

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

 £¤¥  = x + (2n+3) 2 ,  2 (0; 1). °¨ § ¯¨±¨ ®±² ²ª  ¬» ³·«¨, ·²® ±³¬¬  ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¬­®£®·«¥­ ’¥©«®°  ´³­ª¶¨¨ ±¨­³± ­¥ ²®«¼ª® ¯®°¿¤ª  2n + 1 (ª ª®¢  ¥£® ±²¥¯¥­¼), ­® ¨ ¯®°¿¤ª  2n + 2, ² ª ª ª ±«¥¤³¾¹ ¿, (2n + 2)-¿, ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ±¨­³±  ¢ ­³«¥ ° ¢­  ­³«¾. Ž²±¾¤  ¯®«³· ¥¬ ®¶¥­ª³ ®±² ²ª 

jxj2n+3 : jR2n+2;0(sin; x)j 6 (2n + 3)! ®½²®¬³ ¯°¨ ¢±¥µ x 2 R sin x = nlim !1

n ( 1)k X 2k+1 (2k + 1)! x :

k=0

°¨¬¥° 3. €­ «®£¨·­® ¯®«³· ¥²±¿ ²¥©«®°®¢±ª®¥ ° §«®¦¥­¨¥

ª®±¨­³± :

  (cos x)(m) = cos x + m 2 ; (cos x)(2k) x=0 = ( 1)k ; (cos x)(2k+1) x=0 = 0;

cos x =

n ( 1)k X 2k 2n+1 (2k)! x + o(x ) = k=0

2 4 x6 1)n x2n + o(x2n+1); = 1 x2 + x24 720 + : : : + ((2n)! n ( 1)k X x2k + (2ncos+ 2)! x2n+2; cos x = (2k)! k=0  £¤¥ = x + (2n+2) 2 ,  2 (0; 1). Ž²±¾¤  ¯®«³· ¥¬ ®¶¥­ª³ ®±² ²ª 

jxj2n+2 : jR2n+1;0(cos; x)j 6 (2n + 2)!

x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®°  ®½²®¬³ ¯°¨ ¢±¥µ x 2 R cos x = nlim !1

215

n ( 1)k X 2k (2k)! x :

k=0

®«³·¥­­»¥ ´®°¬³«» ¬®£³² ¨±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ¤«¿ ¯°¨¡«¨¦¥­­®£® ¢»·¨±«¥­¨¿ §­ ·¥­¨© ±¨­³±  ¨ ª®±¨­³±  ± «¾¡®© ±²¥¯¥­¼¾ ²®·­®±²¨, ¯°¨·¥¬ ¯®£°¥¸­®±²¼ ²¥¬ ¬¥­¼¸¥, ·¥¬ ¬¥­¼¸¥ jxj. ‚ ±«¥¤³¾¹¨µ ¤¢³µ ° §«®¦¥­¨¿µ ®£° ­¨·¨¬±¿ § ¯¨±¼¾ ®±² ²ª  ¢ ´®°¬¥ ¥ ­®. °¨¬¥° 4. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ¢±¥µ k 2 N k 1 (ln(1+x))(k) = ( 1)(1 +(kx)k 1)! ; (ln(1+x))(k) x=0 = ( 1)k 1(k 1)!;   ln1 = 0, ¯®«³· ¥¬ n k 1 X ln(1 + x) = ( 1)k xk + o(xn) = k=1 2 3 4 n 1 = x x2 + x3 x4 + : : : + ( 1)n xn + o(xn ): °¨¬¥° 5. ³±²¼  2 R. ®«®¦¨¬ Ck = ( 1) : :k!:( k + 1) ; k 2 Z+: ’®£¤  (1 + x) =

n X

Ck xk + o(xn) =

(23) ( 1) = 1 + x + 2 x2 + : : : + Cn xn + o(xn): °¨  = n ·¨±«  Ck ±³²¼ ¡¨­®¬¨ «¼­»¥ ª®½´´¨¶¨¥­²», ®±² ²®ª ¢ ±¨«³ § ¬¥· ­¨¿ 6 ° ¢¥­ ­³«¾, ¨, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ´®°¬³«  (23) ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ±®¡®© ¡¨­®¬ ¼¾²®­ . ®½²®¬³ ·¨±«  Ck ­ §»¢ ¾² ®¡®¡¹¥­­»¬¨ ¡¨­®¬¨ «¼­»¬¨ ª®½´´¨¶¨¥­² ¬¨,   ´®°¬³«³ (23) | k=0

¡¨­®¬¨ «¼­»¬ ° §«®¦¥­¨¥¬.

216

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

’¥®°¥¬  5. °¨¬¥­¥­¨¥ ´®°¬³«» ’¥©«®°  ª ° ±ª°»²¨¾ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¥©. ³±²¼ f; g: ha; bi ! R, x0 2 ha; bi,

n 2 N, ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» n ° § ¢ ²®·ª¥ x0 , f(x0 ) = f 0 (x0 ) = : : : = f (n 1) (x0 ) = 0; g(x0 ) = g0 (x0) = : : : = g(n 1)(x0 ) = 0; g(n) (x0) 6= 0.

’®£¤ 

f(x) = f (n) (x0 ) : lim x!x0 g(x) g(n) (x ) 0

® ´®°¬³«¥ ’¥©«®°  { ¥ ­® ¯°¨ x ! x0 (n)
f(x) = f n!(x0) (x x0)n + o (x x0)n ; (n)
g(x) = g n!(x0 ) (x x0 )n + o (x x0)n :

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

®±ª®«¼ª³ g(n) (x0) 6= 0, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ Vx0 ²®·ª¨ x0, ·²® g(x) 6= 0 ¤«¿ «¾¡®£® x 2 V_x0 \ ha; bi. ‡­ ·¨², · ±²­®¥ f (x) ®¯°¥¤¥«¥­® ¯°¨ ¢±¥µ ² ª¨µ x. ‘®ª° ¹ ¿ ¤°®¡¼ ­  (x x0 )n , ¯®g(x) n! «³· ¥¬ f(x) = f (n) (x0) + o(1) ! f (n) (x0 ) :  g(x) g(n) (x ) + o(1) x!x0 g(n) (x ) 0

0

  ¯° ª²¨ª¥ ¯°¨ ®²»±ª ­¨¨ ¯°¥¤¥«®¢ ­¥ ¢»·¨±«¿¾² ±² °¸¨¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ ¿¢­®,   ¯®¤±² ¢«¿¾² ²¥©«®°®¢±ª¨¥ ° §«®¦¥­¨¿ ´³­ª¶¨©. Ž±­®¢­³¾ ²°³¤­®±²¼ ¯°¥¤±² ¢«¿¥² ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯®°¿¤ª  n, ¤® ª®²®°®£® ±«¥¤³¥² ¢¥±²¨ ° §«®¦¥­¨¥. e x2 =2 cos x . ® ¨§¢¥±²­»¬ ° §«®¦¥°¨¬¥°.  ©¤¥¬ lim x!0 x4 ­¨¿¬ ½ª±¯®­¥­²» ¨ ª®±¨­³±  ¯°¨ x ! 0 2 4 e x2 =2 = 1 x2 + x8 + o(x4 ); 2 4 cos x = 1 x2 + x24 + o(x4 ):

x 4. Œ®­®²®­­®±²¼ ¨ ½ª±²°¥¬³¬» ´³­ª¶¨©

217

®¤±² ¢«¿¿, ­ µ®¤¨¬ x4 + o(x4) x2 =2 cos x e 1: 12 = lim = lim 4 4 x!0 x ! 0 x x 12

Ÿ±­®, ·²® ¢ ½²®¬ ¯°¨¬¥°¥ ° §«®¦¥­¨¥ ¤® o(x2 ) ­¥ ° ±ª°»¢ «® ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼,   ­ µ®¦¤¥­¨¥ ª®½´´¨¶¨¥­²®¢ ¯°¨ ±²¥¯¥­¿µ ¢»¸¥ ·¥²¢¥°²®© «¨¸¼ ³±«®¦­¿«® ¢»·¨±«¥­¨¿.

x 4.

Œ®­®²®­­®±²¼ ¨ ½ª±²°¥¬³¬» ´³­ª¶¨©

’¥®°¥¬  1. Š°¨²¥°¨© ¬®­®²®­­®±²¨ ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b). ’®£¤  f ¢®§° ±² ¥² (³¡»¢ ¥²) ­  ha; bi ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  f 0 (x) > 0 (f 0 (x) 6 0) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ f ¢®§° ±² ¥². ‚®§¼¬¥¬ x 2 (a; b). ’®£¤  f(y) > f(x) ¤«¿ ¢±¥µ y 2 (x; bi, ¯®½²®¬³

limx+ f(y)y f(x) f 0 (x) = f+0 (x) = y! x > 0: 2. „®±² ²®·­®±²¼. ³±²¼ f 0 (x) > 0 ¤«¿ ¢±¥µ x 2 ha; bi. ‚®§¼¬¥¬ x1; x2 2 ha; bi: x1 < x2, ¨ ¤®ª ¦¥¬, ·²® f(x1 ) 6 f(x2 ). ® ²¥®°¥¬¥ ‹ £° ­¦  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ c 2 (x1; x2), ·²® f(x2 ) f(x1 ) = f 0 (c)(x2 x1 ) > 0:

(24)

‘«³· © ³¡»¢ ¾¹¥© ´³­ª¶¨¨ ±¢®¤¨²±¿ ª ° ±±¬®²°¥­­®¬³ ¯¥°¥µ®¤®¬ ª ´³­ª¶¨¨ f.  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. Š°¨²¥°¨© ¯®±²®¿­±²¢  ´³­ª¶¨¨. ³±²¼

f: ha; bi ! R.

’®£¤  f ¯®±²®¿­­  ­  ha; bi ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ f 2 C ha; bi ¨ f 0 (x) = 0 ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ’®, ·²® ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¯®±²®¿­­®© ´³­ª¶¨¨ ° ¢­  ­³«¾, ¨§¢¥±²­®. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ f 2 C ha; bi ¨ f 0 (x) = 0 ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b), ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ 1 ´³­ª¶¨¿ f ®¤­®¢°¥¬¥­­® ¢®§° ±² ¥² ¨ ³¡»¢ ¥², ²® ¥±²¼ ¯®±²®¿­­ , ­  ha; bi. 

±«³· ¥, ª®£¤ 

218

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ f ¢ ³±«®¢¨¿µ ²¥®°¥¬» 1 ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¥¹¥ ¨ ¢ ²®·ª¥ a ¨«¨ b, ²® ¨§ ¢®§° ±² ­¨¿ (³¡»¢ ­¨¿) f ±«¥¤³¥² ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¼ (­¥¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼) f 0 ¨ ¢ ½²®© ²®·ª¥. „®ª § ²¥«¼±²¢®  ­ «®£¨·­®. „ «¥¥ ¬», ª ª ¯° ¢¨«®, ¡³¤¥¬ ´®°¬³«¨°®¢ ²¼ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ ²®«¼ª® ¤«¿ ¢®§° ±² ¾¹¨µ ´³­ª¶¨©, ®±² ¢«¿¿ ¢²®°®© ±«³· © ·¨² ²¥«¾. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ³±²¼ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b). …±«¨ f 0 (x) > 0 ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b), ²® f ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  ha; bi. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ­¥° ¢¥­±²¢® (24) ±²°®£®¥. Ž¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­¥¢¥°­®: ¨§ ±²°®£®£® ¢®§° ±² ­¨¿ f ­¥ ±«¥¤³¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼ f 0 .  ¯°¨¬¥°, ´³­ª¶¨¿ f(x) = x3 ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  R, ­® f 0 (0) = 0.

‘«¥¤±²¢¨¥ 2. Š°¨²¥°¨© ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨ ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  ’®£¤  f ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  ha; bi ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤ : 1) f 0 (x) > 0 ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b); 2) f 0 ­¥ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ­³«¼ ²®¦¤¥±²¢¥­­® ­¨ ­  ª ª®¬ ¨­²¥°¢ «¥.

(a; b).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ±«¥¤±²¢¨¾ 1 ³±«®¢¨¥ 2) ®§­ · ¥², ·²® f ­¥ ¯®±²®¿­­  ­¨ ­  ª ª®¬ ¨­²¥°¢ «¥. ®½²®¬³ ¨§ ±²°®£®£® ¢®§° ±² ­¨¿ f ¢»²¥ª ¥² ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ 2),   ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ 1) ¢¥°­® ¯® ²¥®°¥¬¥ 1. ³±²¼ ²¥¯¥°¼ ¢»¯®«­¥­» ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 1) ¨ 2). ˆ§ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¨ ¯°®¨§¢®¤­®© ±«¥¤³¥² ¢®§° ±² ­¨¥ f. …±«¨ ¢®§° ±² ­¨¥ ­¥±²°®£®¥, ²® ­ ©¤³²±¿ ² ª¨¥ ²®·ª¨ x1; x2 2 ha; bi, ·²® x1 < x2,   f(x1 ) = f(x2 ). ’®£¤  f ¯®±²®¿­­  ­  [x1; x2], ·²® ¯°®²¨¢®°¥·¨² ³±«®¢¨¾ 2).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ’¥®°¥¬  1 ¨ ±«¥¤±²¢¨¿ 1 ¨ 2 ®¡®¡¹ ¾²±¿ ­  ±¨²³ ¶¨¾, ª®£¤  f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi,   ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b) §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ª®­¥·­®£® ¬­®¦¥±²¢  ²®·¥ª. „®ª § ²¥«¼±²¢® ¯°®¢¥¤¥¬ ¤«¿ ®¡®¡¹¥­¨¿ ²¥®°¥¬» 1. ³±²¼ a1 ; : : :; an | ¢±¥ ²¥ ²®·ª¨ ¨­²¥°¢ «  (a; b), ¢ ª®²®°»µ f ­¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ; a1 < : : : < an . …±«¨ f ¢®§° ±² ¥² ­  ha; bi, ²® f

x 4. Œ®­®²®­­®±²¼ ¨ ½ª±²°¥¬³¬» ´³­ª¶¨©

219

¢®§° ±² ¥² ­  ª ¦¤®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥ ha; a1], [a1; a2], : : : , [an; bi. ’®£¤  f 0 > 0 ­  (a; a1), (a1 ; a2), : : : , (an; b) ¯® ²¥®°¥¬¥ 1. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ f 2 C ha; bi ¨ f 0 > 0 ­  (a; a1), (a1 ; a2), : : : , (an ; b), ²® f ¢®§° ±² ¥² ­  ª ¦¤®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥ ha; a1], [a1; a2], : : : , [an; bi ¨, ±«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ­  ha; bi.  ’¥®°¥¬  2. „®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥° ¢¥­±²¢ ± ¯®¬®¹¼¾ ¯°®¨§¢®¤­®©. ³±²¼ ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ­¥¯°¥°»¢­» ­  [a; bi ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ­  (a; b), f(a) 6 g(a) ¨ f 0 (x) 6 g0 (x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b).

f(x) 6 g(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 [a; bi. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ®«®¦¨¬ h = g f. ’®£¤  h0 = g0 f 0 > 0 ­  (a; b). ® ²¥®°¥¬¥ 1 ´³­ª¶¨¿ h ¢®§° ±² ¥² ­  [a; bi. ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¤«¿ ¢±¥µ x 2 [a; bi h(x) > h(a) = g(a) f(a) > 0; ²® ¥±²¼ g(x) > f(x).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. €­ «®£¨·­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¢¬¥±²¥ ± ¤®ª § ²¥«¼±²¢®¬ ¨ ¢ ±«³· ¥, ª®£¤  ¨±µ®¤­® §­ ·¥­¨¿ ´³­ª¶¨© ±° ¢­¨¢ ¾²±¿ ­  ¯° ¢®¬ ª®­¶¥ ¯°®¬¥¦³²ª . ³±²¼ ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ­¥¯°¥°»¢­» ­  ha; b] ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ­  (a; b), f(b) > g(b) ¨ f 0 (x) 6 g0 (x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b). ’®£¤  f(x) > g(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 ha; b]. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. …±«¨ ¢ ³±«®¢¨¿µ ²¥®°¥¬» 2 ¡³¤¥² f 0 (x) < g0 (x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b), ²® f(x) < g(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; bi. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ´³­ª¶¨¿ h ±²°®£® ¢®§° ±² ¥², ¨ ¯®½²®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢® ±²°®£®¥. €­ «®£¨·­®¥ § ¬¥· ­¨¥ ¢¥°­® ¨ ¤«¿ ¯° ¢®£® ª®­¶  ¯°®¬¥¦³²ª . x2 ¯°¨ ¢±¥µ x 6= 0. °¨¬¥° 1. „®ª ¦¥¬, ·²® cos x > 1 2 ‚ ±¨«³ ·¥²­®±²¨ ®¡¥¨µ · ±²¥© ¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ ­¥° ¢¥­2 x ±²¢® ¯°¨ x > 0. ®«®¦¨¬ f(x) = 1 2 , g(x) = cos x. ’®£¤  f(0) = g(0) = 1 ¨ g0 (x) = sin x > x = f 0 (x) ¯°¨ ¢±¥µ x > 0: ® § ¬¥· ­¨¾ 2 ª ²¥®°¥¬¥ 2 ¨ f(x) < g(x) ¯°¨ ¢±¥µ x > 0. ’®£¤ 

220

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

ƒ« ¢  4.

x3

°¨¬¥° 2. „®ª ¦¥¬, ·²® sin x > x 6 ¯°¨ ¢±¥µ x > 0. 3 ®«®¦¨¬ f(x) = x x6 , g(x) = sin x. ’®£¤  f(0) = g(0) = 0 ¨

¯® ¯°¥¤»¤³¹¥¬³ ¯°¨¬¥°³

2 g0(x) = cos x > 1 x2 = f 0 (x) ¯°¨ ¢±¥µ x > 0: ®½²®¬³ ¨ f(x) < g(x) ¯°¨ ¢±¥µ x > 0. Œ¥²®¤®¬ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ ¬®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¯°¨ ¢±¥µ x > 0 ¨ n 2 N



nX1



( 1)k x2k+1 > 0; k=0 (2k + 1)!   nX1 ( 1)k 2k > 0: x ( 1)n cos x k=0 (2k)! ( 1)n sin x

2 °¨¬¥° 3. „®ª ¦¥¬, ·²® sin x > x ¯°¨ ¢±¥µ x 2 (0; 2 ).  ®«®¦¨¬ f(x) = sinx x ¯°¨ x 6= 0, f(0) = 1. ’®£¤  ¯® «¥¬¬¥ 3 x 3 £« ¢» 3 ¯°¨ ¢±¥µ x 2 (0;  ) 2

f 0 (x) = x cos xx2 sin x = cos x(xx2 tg x) < 0:

‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, f ±²°®£® ³¡»¢ ¥² ­  [ 0; 2 ], ¨ ¯®½²®¬³ f(x) > f( 2 ) ¯°¨ ¢±¥µ x 2 (0; 2 ), ·²® ° ¢­®±¨«¼­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³. °¨¬¥°» 2 ¨ 3 ¤®¯®«­¿¾² ®¶¥­ª³ sin x < x (x > 0). ‚ ±«¥¤³¾¹¥¬ ¯ ° £° ´¥ ¡³¤¥² ¿±­®, ·²® °¥§³«¼² ² ¯°¨¬¥°  3 ¥¹¥ ¯°®¹¥ ±«¥¤³¥² ¨§ ±²°®£®© ¢®£­³²®±²¨ ±¨­³±  ­  ®²°¥§ª¥ [ 0; 2 ]. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: D  R ! R, x0 2 D. …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²®: ¤«¿ «¾¡®£® x 2 (x0 ; x0 + ) \ D ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® f(x) 6 f(x0 ), ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·ª®© ¬ ª±¨¬³¬  ´³­ª¶¨¨ f;
¤«¿ «¾¡®£® x 2 (x0 ; x0 +) \ D nfx0g ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® f(x) < f(x0 ), ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·ª®© ±²°®£®£® ¬ ª±¨¬³¬  ´³­ª¶¨¨ f.

x 4. Œ®­®²®­­®±²¼ ¨ ½ª±²°¥¬³¬» ´³­ª¶¨©

221

…±«¨ ¢»¯®«­¿¾²±¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ­¥° ¢¥­±²¢ , ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ²®·ª®© ¬¨­¨¬³¬  ¨ ²®·ª®© ±²°®£®£® ¬¨­¨¬³¬  f. …±«¨ x0 ¿¢«¿¥²±¿ ²®·ª®© (±²°®£®£®) ¬ ª±¨¬³¬  ¨«¨ ¬¨­¨¬³¬  ´³­ª¶¨¨ f, ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·ª®© (±²°®£®£®) ½ª±²°¥¬³¬  f. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ x0 2 Int D, ²® ­¥ª®²®° ¿ ®ª°¥±²­®±²¼ ²®·ª¨ x0 ±®¤¥°¦¨²±¿ ¢ D, ¨ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¬®¦­® ­¥ ¯¨± ²¼ ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ c D. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‚ ²®·ª¥ ½ª±²°¥¬³¬  ´³­ª¶¨¿ ­¥ ®¡¿§ ­  ¯°¨­¨¬ ²¼ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨«¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¥ ­  ¢±¥© ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿: ®­® ¡³¤¥² ² ª¨¬ «¨¸¼ ¯® ±° ¢­¥­¨¾ ±® §­ ·¥­¨¿¬¨ ¢ ¤®±² ²®·­® ¡«¨§ª¨µ ²®·ª µ.   °¨±³­ª¥ 34 ¨§®¡° ¦¥­ £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨, § ¤ ­­®© ­  ®²°¥§ª¥ [a; b]. …¥ ²®·ª¨ ¬ ª±¨¬³¬ : a, x2 ¨ ¢±¥ ²®·ª¨ ¯®«³¨­²¥°¢ «  (x3 ; b]; ²®·ª¨ ±²°®£®£® ¬ ª±¨¬³¬ : a ¨ x2; ²®·ª¨ ¬¨­¨¬³¬ : x1 ¨ ¢±¥ ²®·ª¨ ®²°¥§ª  [x3; b]; ²®·ª  ±²°®£®£® ¬¨­¨¬³¬ : x1 . y

0 a x1

x2

x3 b x

¨±. 34

®½²®¬³ ²®·ª¨ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ­ §»¢ ¾² ²®·ª ¬¨ «®ª «¼­®£® ½ª±²°¥¬³¬ , ¢ ¯°®²¨¢®¢¥± ²®·ª ¬ £«®¡ «¼­®£® ½ª±²°¥¬³¬ , ²® ¥±²¼ ²¥¬, ¢ ª®²®°»µ ´³­ª¶¨¿ ¯°¨­¨¬ ¥² ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨«¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ §­ ·¥­¨¥. ‘«®¢® \«®ª «¼­»©" ¯°¨ ®¡±³¦¤¥­¨¨ ²®·¥ª ½ª±²°¥¬³¬  ¡³¤¥² ®¯³±ª ²¼±¿. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ «¥£ª® ° ±¯°®±²° ­¿¥²±¿ ­  ´³­ª¶¨¨, § ¤ ­­»¥ ­  ¯®¤¬­®¦¥±²¢¥ D ¬¥²°¨·¥±ª®£® ¯°®±²° ­±²¢ , ²®«¼ª® ¨­²¥°¢ « (x0 ; x0 + ) ­ ¤® § ¬¥­¨²¼ ®ª°¥±²­®±²¼¾ ²®·ª¨ x0.

222

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

’¥®°¥¬  3. ¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ ½ª±²°¥¬³¬ . ³±²¼

f: ha; bi ! R, x0 2 (a; b) | ²®·ª  ½ª±²°¥¬³¬  f , f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x0 . ’®£¤  f 0 (x0 ) = 0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ²®·ª¨ ½ª±²°¥¬³¬  ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® f(x0 ) = x2(x max f(x) ¨«¨ f(x0 ) = x2(x min f(x): ;x +) ;x +) 0

0

0

0 Ž±² ¥²±¿ ¯°¨¬¥­¨²¼ ²¥®°¥¬³ ”¥°¬  ª ´³­ª¶¨¨ f (x0

;x0 +) .



‡ ¬¥· ­¨¥ 1. Š ª ¨ ¢ ²¥®°¥¬¥ ”¥°¬ , ±³¹¥±²¢¥­­®, ·²® x0 | ¢­³²°¥­­¿¿ ²®·ª  ¯°®¬¥¦³²ª  ha; bi. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. “±«®¢¨¥ f 0 (x0 ) = 0 ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¤®±² ²®·­»¬ ¤«¿ ²®£®, ·²®¡» ¢ ²®·ª¥ x0 ¡»« ½ª±²°¥¬³¬. ’ ª, ´³­ª¶¨¿ f(x) = x3 ­¥ ¨¬¥¥² ½ª±²°¥¬³¬  ¢ ­³«¥, ­® f 0 (0) = 0. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ”³­ª¶¨¿ ¬®¦¥² ­¥ ¡»²¼ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢ ²®·ª¥ ½ª±²°¥¬³¬ . Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 (a; b). …±«¨ f 0 (x0) = 0, ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ±² ¶¨®­ °­®© ²®·ª®© ´³­ª¶¨¨ f. …±«¨ f 0 (x0) = 0 ¨«¨ f ­¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x0 , ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ª°¨²¨·¥±ª®© ²®·ª®© ´³­ª¶¨¨ f. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ª°¨²¨·¥±ª¨¥ ²®·ª¨ | ½²® ²®·ª¨, \¯®¤®§°¨²¥«¼­»¥" ­  ½ª±²°¥¬³¬. ’¥®°¥¬  3 ³²¢¥°¦¤ ¥², ·²® ¢±¥ ¢­³²°¥­­¨¥ ²®·ª¨ ½ª±²°¥¬³¬  ´³­ª¶¨¨ «¥¦ ² ¢ ¬­®¦¥±²¢¥ ¥¥ ª°¨²¨·¥±ª¨µ ²®·¥ª. ’¥®°¥¬  3 ³ª §»¢ ¥² ±¯®±®¡ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ­ ¨¡®«¼¸¥£® ¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥£® §­ ·¥­¨¿ ­¥¯°¥°»¢­®© ­  ®²°¥§ª¥ ´³­ª¶¨¨ (®­¨ ±³¹¥±²¢³¾² ¯® ²¥®°¥¬¥ ‚¥©¥°¸²° ±± ). ³±²¼ f 2 C[a; b].  ¤® ­ ©²¨ ª°¨²¨·¥±ª¨¥ ²®·ª¨ f ¨ ±° ¢­¨²¼ §­ ·¥­¨¿ f ¢ ª°¨²¨·¥±ª¨µ ²®·ª µ ¨ ¢ ²®·ª µ a ¨ b: ­ ¨¡®«¼¸¥¥ ¨§ ­¨µ ¨ ¡³¤¥² ¨±ª®¬»¬ ­ ¨¡®«¼¸¨¬,   ­ ¨¬¥­¼¸¥¥ | ¨±ª®¬»¬ ­ ¨¬¥­¼¸¨¬ §­ ·¥­¨¥¬. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ­ ¨¡®«¼¸¥¥ (¨«¨ ­ ¨¬¥­¼¸¥¥) §­ ·¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ ¤®±²¨£ ¥²±¿ ¢® ¢­³²°¥­­¥© ²®·ª¥ ®²°¥§ª , ²® ½²  ²®·ª  ª°¨²¨·¥±ª ¿. …±«¨ ¦¥ ²°¥¡³¥²±¿ ­ ©²¨ ¢±¥ ²®·ª¨ ½ª±²°¥¬³¬  ¨«¨ ¯®±²°®¨²¼ £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨, ²® ­¥®¡µ®¤¨¬® ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ­ ©¤¥­­»¥ ª°¨²¨·¥±ª¨¥ ²®·ª¨ ¨ ¢»¿±­¨²¼, ¿¢«¿¾²±¿ «¨ ®­¨ ²®·ª ¬¨ ½ª±²°¥¬³¬  ¨, ¥±«¨ ¿¢«¿¾²±¿, ²® ª ª®£® ¨¬¥­­®.

x 4. Œ®­®²®­­®±²¼ ¨ ½ª±²°¥¬³¬» ´³­ª¶¨©

223

„«¿ ¡®«¥¥ ¯®«­®£® ®¯¨± ­¨¿ ±¨²³ ¶¨¨ ¤ ¤¨¬ ¥¹¥ ±¥°¨¾ ®¯°¥¤¥«¥­¨©. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 (a; b). …±«¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® f(x) 6 f(x0 ) ¤«¿ «¾¡®£® x 2 (x0 ; x0 ) ¨ f(x) > f(x0 ) ¤«¿ «¾¡®£® x 2 (x0; x0 + ), ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·ª®© ¢®§° ±² ­¨¿ ´³­ª¶¨¨ f. …±«¨ ®¡  ­¥° ¢¥­±²¢  ±²°®£¨¥, ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·ª®© ±²°®£®£® ¢®§° ±² ­¨¿ ,   ¥±«¨ ¢»¯®«­¿¾²±¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ­¥° ¢¥­±²¢ , ²® ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ²®·ª®© ³¡»¢ ­¨¿ ¨ ²®·ª®© ±²°®£®£® ³¡»¢ ­¨¿ f. ’¥®°¥¬  4. ¥°¢®¥ ¯° ¢¨«® ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿ ª°¨²¨·¥±ª¨µ ²®·¥ª. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 (a; b), ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0, ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b) n fx0g ¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® f 0 ±®µ° ­¿¥² §­ ª ­  (x0 ; x0) ¨ (x0; x0 + ). 1. …±«¨ f 0 < 0 ­  (x0 ; x0 ) ¨ f 0 > 0 ­  (x0 ; x0 + ), ²® x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¬¨­¨¬³¬  f . 2. …±«¨ f 0 > 0 ­  (x0 ; x0 ) ¨ f 0 < 0 ­  (x0 ; x0 + ), ²® x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¬ ª±¨¬³¬  f . 3. …±«¨ f 0 > 0 ­  (x0 ; x0 ) ¨ (x0; x0 + ), ²® x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¢®§° ±² ­¨¿ f . 4. …±«¨ f 0 < 0 ­  (x0 ; x0 ) ¨ (x0; x0 + ), ²® x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ³¡»¢ ­¨¿ f . ‚ ±«³· ¿µ 3 ¨ 4 ¢ ²®·ª¥ x0 ½ª±²°¥¬³¬  ­¥².

„®ª § ²¥«¼±²¢®. „«¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¨ ¤®ª ¦¥¬ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿ 1 ¨ 3. 1. ® ±«¥¤±²¢¨¾ 2 ª ²¥®°¥¬¥ 1 ´³­ª¶¨¿ f ±²°®£® ³¡»¢ ¥² ­  (x0 ; x0 ] ¨ ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  [x0; x0 +). ®½²®¬³ f(x) > f(x0 ) ª ª ¯°¨ ¢±¥µ x 2 (x0 ; x0), ² ª ¨ ¯°¨ ¢±¥µ x 2 (x0; x0 +). ‡­ ·¨², x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¬¨­¨¬³¬  f. 3. ® ±«¥¤±²¢¨¾ 2 ª ²¥®°¥¬¥ 1 ´³­ª¶¨¿ f ±²°®£® ¢®§° ±² ¥² ­  (x0 ; x0 ] ¨ ­  [x0; x0 + ). ®½²®¬³ f(x) < f(x0 ) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (x0 ; x0 ) ¨ f(x) > f(x0 ) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (x0; x0 + ), ²® ¥±²¼ x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¢®§° ±² ­¨¿ f. ˆ§ ½²¨µ ¦¥ ­¥° ¢¥­±²¢ ¢»²¥ª ¥², ·²® x0 ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­¨ ²®·ª®© ¬ ª±¨¬³¬ , ­¨ ²®·ª®© ¬¨­¨¬³¬  f. 

224

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ¥±¬®²°¿ ­  ­ §¢ ­¨¥ ²¥®°¥¬», ¢ ¥¥ ³±«®¢¨¿µ ­¥ ±ª § ­®, ·²® x0 | ª°¨²¨·¥±ª ¿ ²®·ª  f. ‚ ±«³· ¿µ 3 ¨ 4 ½²®£® ¬®¦¥² ¨ ­¥ ¡»²¼. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ’¥®°¥¬  4 ¯°¨¬¥­¨¬  ­¥ ª® ¢±¥¬, ¤ ¦¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»¬, ´³­ª¶¨¿¬. „¥«® ¢ ²®¬, ·²® ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ¬®¦¥² ¬¥­¿²¼ §­ ª ­  «¾¡®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥ ¢¨¤  (x0 ; x0) ¨ (x0 ; x0 + ). ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ’®·ª  x0 ¬®¦¥² ­¥ ¡»²¼ ­¨ ²®·ª®© ¬ ª±¨¬³¬ , ­¨ ²®·ª®© ¬¨­¨¬³¬ , ­¨ ²®·ª®© ¢®§° ±² ­¨¿, ­¨ ²®·ª®© ³¡»¢ ­¨¿ f. °¨¬¥° 1. ³±²¼ f(x) = x5=3 5x2=3. ’®£¤  ¯°¨ x 6= 0 f 0 (x) = 53 x2=3 5 3
2 x 1=3 = 53 x 1=3(x 2): ‚¨¤­®, ·²® f 0 ¬¥­¿¥² §­ ª ± \+" ­  \ " ¢ ²®·ª¥ 0 ¨ ± \ " ­  \+" ¢ ²®·ª¥ 2; 0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¬ ª±¨¬³¬ ,   2 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¬¨­¨¬³¬  f. ‡ ¬¥²¨¬ ¥¹¥, ·²® ¢ ±² ¶¨®­ °­®© ²®·ª¥ 2 ª ± ²¥«¼­ ¿ ª £° ´¨ª³ £®°¨§®­² «¼­ ,   ¢ ²®·ª¥ 0 ¨¬¥¥² ¬¥±²® ² ª ­ §»¢ ¥¬»© \®±²°»©" ¬ ª±¨¬³¬, ² ª ª ª f0 (0) = 1. “·¨²»¢ ¿, ·²® f(0) = 0, p3 f(2) = 3 4, ¬®¦­® (¯®ª  ­¥ ®¡° ¹ ¿ ¢­¨¬ ­¨¿ ­  ¢»¯³ª«®±²¼) ­ °¨±®¢ ²¼ £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨. (  °¨±³­ª¥ 35 ¤«¿ ¡®«¼¸¥© ­ £«¿¤­®±²¨ ¬ ±¸² ¡ ­  ®±¿µ ° §«¨·¥­).

y 0

2 - p3 4

¨±. 35

5

x

x 4. Œ®­®²®­­®±²¼ ¨ ½ª±²°¥¬³¬» ´³­ª¶¨©

225


6 0, °¨¬¥° 2. „«¿ ´³­ª¶¨¨ f(x) = x2 2 + sin x1 ¯°¨ x =

f(0) = 0 ²®·ª  0, ®·¥¢¨¤­®, ¿¢«¿¥²±¿ ²®·ª®© ±²°®£®£® ¬¨­¨¬³¬ , ¨   1 0 f (x) = 2x 2 + sin x cos x1 ; x 6= 0:
’ ª ª ª 2x 2 + sin x1 x!!0 0,   cos x1 ¯°¨­¨¬ ¥² §­ ·¥­¨¿ 1 ±ª®«¼ ³£®¤­® ¡«¨§ª® ª 0, f 0 ¬¥­¿¥² §­ ª ¢ «¾¡®© «¥¢®© ¨«¨ ¯° ¢®© ®ª°¥±²­®±²¨ ­³«¿. °¨¬¥° 3.  ±±¬®²°¨¬ ´³­ª¶¨¾ f(x) = x2 sin x1 ¯°¨ x 6= 0, f(0) = 0. ’ ª ª ª f ¬¥­¿¥² §­ ª ¢ «¾¡®© «¥¢®© ¨«¨ ¯° ¢®© ®ª°¥±²­®±²¨ ­³«¿,   f(0) = 0, ²®·ª  0 ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ­¨ ²®·ª®© ¬ ª±¨¬³¬ , ­¨ ²®·ª®© ¬¨­¨¬³¬ , ­¨ ²®·ª®© ¢®§° ±² ­¨¿, ­¨ ²®·ª®© ³¡»¢ ­¨¿ f. ’¥®°¥¬  5. ‚²®°®¥ ¯° ¢¨«® ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿ ª°¨²¨·¥±ª¨µ ²®·¥ª. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 (a; b), n 2 N, ´³­ª¶¨¿ f ¤¨´´¥-

n ° § ¢ ²®·ª¥ x0, f 0 (x0 ) = : : : = f (n 1) (x0) = 0; f (n) (x0 ) 6= 0: 1. …±«¨ n ·¥²­® ¨ f (n) (x0) > 0, ²® x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¬¨­¨¬³¬  f . 2. …±«¨ n ·¥²­® ¨ f (n) (x0) < 0, ²® x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¬ ª±¨¬³¬  f . 3. …±«¨ n ­¥·¥²­® ¨ f (n) (x0) > 0, ²® x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ¢®§° ±² ­¨¿ f . 4. …±«¨ n ­¥·¥²­® ¨ f (n) (x0) < 0, ²® x0 | ²®·ª  ±²°®£®£® ³¡»¢ ­¨¿ f . „®ª § ²¥«¼±²¢®. ‡ ¯¨¸¥¬ ´®°¬³«³ ’¥©«®°  { ¥ ­®: n (k ) X
f(x) = f k!(x0 ) (x x0)k + o (x x0)n : k=0 °¥­¶¨°³¥¬ 

“·¨²»¢ ¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ±¨¬¢®«  o ¨ ®¡­³«¥­¨¥ ¯°®¨§¢®¤­»µ f, ¯¥°¥¯¨¸¥¬ ½²® ° ¢¥­±²¢® ¢ ¢¨¤¥  f (n)(x0)  n f(x) f(x0 ) = (x x0 ) n! + '(x) ;

226

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

£¤¥ '(x) x!!x0 0. Š ª ®¡»·­®, ¤®®¯°¥¤¥«¨¬ '(x0 ) = 0. ® § ¬¥· ­¨¾ 1 ª ²¥®°¥¬¥ 1 x 2 £« ¢» 3 ® ±² ¡¨«¨§ ¶¨¨ §­ ª  ­¥¯°¥°»¢­®© ´³­ª¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (x0 ; x0 + )





sign(f(x) f(x0 )) = sign (x x0)n f (n) (x0 ) : Ž±² «®±¼ ±° ¢­¨²¼ §­ ª¨ ±®¬­®¦¨²¥«¥©.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. — ¹¥ ¢±¥£® ²¥®°¥¬  5 ¯°¨¬¥­¿¥²±¿ ¯°¨ n = 2. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ’¥®°¥¬  5 ¯°¨¬¥­¨¬  ­¥ ª® ¢±¥¬, ¤ ¦¥ ¡¥±ª®­¥·­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»¬, ´³­ª¶¨¿¬. ‚®§¬®¦­  ±¨²³ ¶¨¿, ª®£¤  ¢±¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ ´³­ª¶¨¨ ¢ ²®·ª¥ x0 ° ¢­» 0. ®¤°®¡­¥¥ ½²®² ¢®¯°®± ¡³¤¥² ®¡±³¦¤ ²¼±¿ ¢ ²¥®°¨¨ ±²¥¯¥­­»µ °¿¤®¢.

x 5.

‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ”³­ª¶¨¿ f: ha; bi ! R ­ §»¢ ¥²±¿:

¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ­  ha; bi, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1 ; x2 2 ha; bi ¨ t 2 (0; 1) ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®

f(tx1 + (1 t)x2 ) 6 tf(x1 ) + (1 t)f(x2 ); (25) ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ­  ha; bi, ¥±«¨ ¤«¿ «¾¡»µ x1 ; x2 2 ha; bi (x1 6= x2) ¨ t 2 (0; 1) ¢»¯®«­¿¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢® f(tx1 + (1 t)x2 ) < tf(x1 ) + (1 t)f(x2 ):

(26)

…±«¨ ¢»¯®«­¿¾²±¿ ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¥ ­¥° ¢¥­±²¢ , ²® ´³­ª¶¨¿ f ­ §»¢ ¥²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¢»¯³ª«®© ¢¢¥°µ ¨«¨ ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ¢¢¥°µ ­  ha; bi. — ±²® ´³­ª¶¨¨, ª®²®°»¥ ²®«¼ª® ·²® ¡»«¨ ­ §¢ ­» ¢»¯³ª«»¬¨ ¢­¨§, ­ §»¢ ¾² ¯°®±²® ¢»¯³ª«»¬¨ ,   ²¥, ·²® ¡»«¨ ­ §¢ ­» ¢»¯³ª«»¬¨ ¢¢¥°µ, | ¢®£­³²»¬¨. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ x1 = x2 ¨«¨ t 2 f0; 1g, ²® ­¥° ¢¥­±²¢® (25) ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢®. Š°®¬¥ ²®£®, ­¥° ¢¥­±²¢  (25) ¨ (26) ­¥ ¬¥­¿¾²±¿ ¯°¨ ¯¥°¥¬¥­¥ x1 ¨ x2 ¬¥±² ¬¨, ¯®½²®¬³ ¢ ®¯°¥¤¥«¥­¨¨ ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® x1 < x2.

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

227

®¿±­¨¬ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« ¢»¯³ª«®±²¨ ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ x1; x2 2 ha; bi, x1 < x2 . ®«®¦¨¬ x = tx1 + (1 t)x2 . ’®£¤  t = xx2 xx ¨ 1 t = xx xx1 : 2 1 2 1 °¨ ½²®¬, ¥±«¨ x 2 (x1 ; x2), ²® t 2 (0; 1), ¨ ®¡° ²­®. ¥° ¢¥­±²¢® (25) ¯¥°¥¯¨±»¢ ¥²±¿ ¢ ¢¨¤¥ f(x) 6 xx2 xx f(x1 ) + xx xx1 f(x2 ); x 2 (x1; x2): (27) 2 1 2 1 ° ¢ ¿ · ±²¼ ½²®£® ­¥° ¢¥­±²¢  ¯°¨
x 2 [x1; x2] § ¤ ¥²
³° ¢­¥­¨¥ µ®°¤», ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ²®·ª¨ x1 ; f(x1) ¨ x2 ; f(x2) ­  £° ´¨ª¥ f. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¢»¯³ª«®±²¼ ´³­ª¶¨¨ ¢­¨§ ®§­ · ¥², ·²® £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨ «¥¦¨² ­¥ ¢»¸¥ «¾¡®© µ®°¤», ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ¤¢¥ ¥£® ²®·ª¨. ‘²°®£ ¿ ¢»¯³ª«®±²¼ ®§­ · ¥², ·²® £° ´¨ª «¥¦¨² ­¨¦¥ «¾¡®© µ®°¤», §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ª®­¶¥¢»µ ²®·¥ª. ‚»¯³ª«®±²¼ ´³­ª¶¨¨ ¢¢¥°µ, ­ ¯°®²¨¢, ®§­ · ¥², ·²® £° ´¨ª ´³­ª¶¨¨ «¥¦¨² ­¥ ­¨¦¥ «¾¡®© µ®°¤» (°¨±³­ª¨ 36a ¨ 36b). f(t)

a 0 x1

f(t)

x x2 b t ¨±. 36a

a 0 x1

x x2 b t ¨±. 36b

°¨¬¥°». 1. ”³­ª¶¨¿ f(x) = x + ­¥±²°®£® ¢»¯³ª«  ¨ ¢¢¥°µ, ¨ ¢­¨§ ­  R. 2. ”³­ª¶¨¿ f(x) = x2 ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  R. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¯°¨ «¾¡»µ x1 6= x2 ¨ t 2 (0; 1)


tx1 +(1 t)x2 2 = tx21 +(1 t)x22 t(1 t)(x1 x2)2 < tx21 +(1 t)x22:

„ «¥¥ ¬», ª ª ¯° ¢¨«®, ®£° ­¨·¨¬±¿ ´®°¬³«¨°®¢ª®© ³²¢¥°¦¤¥­¨© ¤«¿ ´³­ª¶¨©, ¢»¯³ª«»µ ¢­¨§, ®±² ¢«¿¿ ¢²®°®© ±«³· © ·¨² ²¥«¾.

228

­ 

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ³±²¼ ´³­ª¶¨¨ f ¨ g (±²°®£®) ¢»¯³ª«» ¢­¨§

ha; bi,  > 0. ’®£¤ 

1) ´³­ª¶¨¿ f + g (±²°®£®) ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi; 2) ´³­ª¶¨¿ f (±²°®£®) ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi; 3) ´³­ª¶¨¿ f (±²°®£®) ¢»¯³ª«  ¢¢¥°µ ­  ha; bi. ²® ¢»²¥ª ¥² ¨§ ½«¥¬¥­² °­»µ ±¢®©±²¢ ­¥° ¢¥­±²¢.

‡ ¬¥· ­¨¥ 3. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ x2 2 ha; bi, x1 < x2, ²® ¤«¿ «¾¡®£® x 2 ha; bi n [x1; x2]

­ 

ha; bi, x1,

f(x) > xx2 xx f(x1 ) + xx xx1 f(x2 ): 2 1 2 1 ƒ¥®¬¥²°¨·¥±ª¨ ½²® ®§­ · ¥², ·²® £° ´¨ª ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ´³­ª¶¨¨ «¥¦¨² ­¥ ­¨¦¥ ¯°®¤®«¦¥­¨¿ µ®°¤» (°¨±³­®ª 36a). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ x1 < x2 < x. ‡ ¯¨¸¥¬ ¤«¿ ½²¨µ ²®·¥ª ­¥° ¢¥­±²¢® (27), ¯®¬¥­¿¢ °®«¿¬¨ ²®·ª¨ x ¨ x2:

f(x2 ) 6 xx xx2 f(x1 ) + xx2 xx1 f(x); 1 1 ·²® ° ¢­®±¨«¼­® ¤®ª §»¢ ¥¬®¬³. €­ «®£¨·­® ° ±±¬ ²°¨¢ ¥²±¿ ±«³· © x < x1 < x2.  ­ 

‹¥¬¬  1. Ž ²°¥µ µ®°¤ µ. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§

ha; bi, x1 ; x2; x3 2 ha; bi, x1 < x2 < x3. ’®£¤ 

f(x2 ) f(x1 ) 6 f(x3 ) f(x1 ) 6 f(x3 ) f(x2 ) : x2 x1 x3 x1 x3 x2

(28)

‡ ¬¥· ­¨¥ 1.  §¢ ­¨¥ «¥¬¬» ¯®¿±­¿¥²±¿ °¨±³­ª®¬ 37: ³£«®¢»¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» µ®°¤ A1 A2 , A1 A3 ¨ A2 A3 ±¢¿§ ­» ­¥° ¢¥­±²-

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

229

¢®¬ (28): tg  6 tg 6 tg . y A3 A1

a 0 x1

A2

x2



x3 b x

¨±. 37

® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¢»¯³ª«®±²¨ f(x2 ) 6 tf(x1 ) + (1 t)f(x3 ); £¤¥ t = xx3 xx2 , 1 t = xx2 xx1 . °¥®¡° §³¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® ¤¢³¬¿ 3 1 3 1 ±¯®±®¡ ¬¨. ‘ ®¤­®© ±²®°®­»,
f(x2 ) 6 f(x1 )+(1 t) f(x3 ) f(x1 ) = f(x1 )+(x2 x1) f(xx3 ) xf(x1 ) ; 3 1 ·²® ° ¢­®±¨«¼­® «¥¢®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³ ¢ (28). ‘ ¤°³£®© ±²®°®­»,
1) ; f(x2 ) 6 f(x3 ) t f(x3 ) f(x1 ) = f(x3 ) (x3 x2) f(xx3 ) f(x x 3 1 ·²® ° ¢­®±¨«¼­® ¯° ¢®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³ ¢ (28).  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. „«¿ ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ´³­ª¶¨¨ ­¥° ¢¥­±²¢® ¢ «¥¬¬¥ ® ²°¥µ µ®°¤ µ ±²°®£®¥. „®ª § ²¥«¼±²¢®.

’¥®°¥¬  1. Ž¤­®±²®°®­­¿¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼ ¢»¯³ª«®© ´³­ª¶¨¨. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi. ’®0 (x), £¤  ¤«¿ «¾¡®© ²®·ª¨ x 2 (a; b) ±³¹¥±²¢³¾² ª®­¥·­»¥ f 0 (x), f+ 0 0 ¯°¨·¥¬ f (x) 6 f+ (x).

‚®§¼¬¥¬ x 2 (a; b) ¨ ¯®«®¦¨¬ g() = f() f(x) x ;  2 ha; bi n fxg:

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

230

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

® «¥¬¬¥ ® ²°¥µ µ®°¤ µ g ¢®§° ±² ¥² ­  ha; bi n fxg. ®½²®¬³, ¥±«¨ a <  < x <  < b, ²® g() 6 g(), ²® ¥±²¼ f() f(x) 6 f() f(x) :  x  x ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, g ®£° ­¨·¥­  ­  ha; x) ±¢¥°µ³,   ­  (x; bi | ±­¨§³. ® ²¥®°¥¬¥ ® ¯°¥¤¥«¥ ¬®­®²®­­®© ´³­ª¶¨¨ ±³¹¥±²¢³¾² ª®­¥·­»¥ ¯°¥¤¥«» g(x ) ¨ g(x+), ª®²®°»¥ ¯® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ¿¢«¿¾²±¿ ®¤­®±²®°®­­¨¬¨ ¯°®¨§¢®¤­»¬¨ f 0 (x) ¨ f+0 (x). “±²°¥¬«¿¿  ª x ±«¥¢ ,    | ±¯° ¢ , ¯®«³· ¥¬, ·²® f 0 (x) 6 f+0 (x).  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. …±«¨ ´³­ª¶¨¿ f ¢»¯³ª«  ­  ha; bi, ²® ®­  ­¥¯°¥°»¢­  ­  (a; b). „®ª § ²¥«¼±²¢®. ˆ§ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¿ ª®­¥·­»µ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¢»²¥ª ¥² ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ f ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢  ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ x 2 (a; b), ·²® ° ¢­®±¨«¼­® ­¥¯°¥°»¢­®±²¨.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. Š ª ¯®ª §»¢ ¥² ¯°¨¬¥° ´³­ª¶¨¨ f(x) =

p

1 x2 ¯°¨ x 2 ( 1; 1);

f( 1) = f(1) = 1

(°¨±³­®ª 38; £° ´¨ª f ­  ( 1; 1) | ¯®«³®ª°³¦­®±²¼), ­  ª®­¶ µ ¯°®¬¥¦³²ª  ¢»¯³ª« ¿ ´³­ª¶¨¿ ¬®¦¥² ¨±¯»²»¢ ²¼ ° §°»¢. y -1

1

0

1

x

-1 ¨±. 38

® ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ²¥®°¥¬» 1 ±«¥¤³¥², ·²® ¤«¿ ¢»¯³ª«®© 0 (a) 2 [ 1; +1),   ¤«¿ ¢­¨§ ­  [a; bi ´³­ª¶¨¨ f ±³¹¥±²¢³¥² f+ ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ­  ha; b] ´³­ª¶¨¨ f ±³¹¥±²¢³¥² f 0 (b) 2 ( 1; +1].

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

231

’¥®°¥¬  2. ‚»¯³ª«®±²¼ ¨ ª ± ²¥«¼­»¥. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  ha; bi. ’®£¤  f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  £° ´¨ª f «¥¦¨² ­¥ ­¨¦¥ «¾¡®© ±¢®¥© ª ± ²¥«¼­®©, ²® ¥±²¼ ¤«¿ «¾¡»µ x; x0 2 ha; bi

f

f(x) > f(x0 ) + f 0 (x0)(x x0):

(29)

„®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ³±²¼ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§, x0; x 2 ha; bi. …±«¨ x > x0 , ²® ¯® «¥¬¬¥ ® ²°¥µ µ®°¤ µ ¤«¿ «¾¡®£®  2 (x0; x)

f() f(x0 ) 6 f(x) f(x0 ) :  x0 x x0 “±²°¥¬«¿¿  ª x0 ±¯° ¢ , ¯®«³· ¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® 0) ; f 0 (x0) 6 f(x)x f(x x0

° ¢­®±¨«¼­®¥ (29). …±«¨ x < x0 , ²® ¯® «¥¬¬¥ ® ²°¥µ µ®°¤ µ ¤«¿ «¾¡®£®  2 (x; x0) f() f(x0 ) > f(x) f(x0 ) :  x0 x x0 “±²°¥¬«¿¿  ª x0 ±«¥¢ , ¯®«³· ¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® 0) ; f 0 (x0) > f(x)x f(x x0

° ¢­®±¨«¼­®¥ (29). 2. „®±² ²®·­®±²¼. ³±²¼ ¤«¿ «¾¡»µ x; x0 2 ha; bi ¢¥°­® ­¥° ¢¥­±²¢® (29). ‚®§¼¬¥¬ x1; x2 2 ha; bi: x1 < x2 , ¨ x 2 (x1; x2). °¨¬¥­¿¿ ­¥° ¢¥­±²¢® (29) ¤¢ ¦¤»: ±­ · «  ª ²®·ª ¬ x1 ¨ x,   § ²¥¬ | ª x2 ¨ x, ¯®«³· ¥¬ f(x1 ) > f(x) + f 0 (x)(x1 x);

f(x2 ) > f(x) + f 0 (x)(x2 x);

232

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

·²® ° ¢­®±¨«¼­® f(x) f(x1 ) 6 f 0 (x) 6 f(x2 ) f(x) : (30) x x1 x2 x Š° ©­¨¥ · ±²¨ ¨ ±®±² ¢«¿¾² ­¥° ¢¥­±²¢®, ° ¢­®±¨«¼­®¥ ­¥° ¢¥­±²¢³ (27) ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢»¯³ª«®±²¨.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. „«¿ ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ´³­ª¶¨¨ ¯°¨ x 6= x0 ­¥° ¢¥­±²¢® (29) ±²°®£®¥. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ ¯°¨ ¢±¥µ x 6= x0 ­¥° ¢¥­±²¢® (29) ±²°®£®¥, ²® ±²°®£¨¬¨ ¡³¤³² ¨ ®¡  ­¥° ¢¥­±²¢  ¢ (30), ·²® ¢«¥·¥² ±²°®£³¾ ¢»¯³ª«®±²¼ f. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, £° ´¨ª ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®© ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ´³­ª¶¨¨ ¬®¦­® ¯°¥¤±² ¢¨²¼ ª ª ¢¥°µ­¾¾ ®£¨¡ ¾¹³¾ ±¥¬¥©±²¢  ª ± ²¥«¼­»µ (°¨±³­®ª 39a). ƒ° ´¨ª ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ´³­ª¶¨¨ ¯¥°¥±¥ª ¥²±¿ ± ª ¦¤®© ª ± ²¥«¼­®© ²®«¼ª® ¢ ²®·ª¥ ª ± ­¨¿ (°¨±³­®ª 39b). y y

a 0

bx ¨±. 39a

a 0

bx ¨±. 39b

‘«¥¤±²¢¨¥ 1. ƒ° ´¨ª ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ´³­ª¶¨¨ «¥¦¨² ­¥ ­¨¦¥ «¾¡®© ±¢®¥© ®¤­®±²®°®­­¥© ª ± ²¥«¼­®© (¨±ª«¾· ¿ ¢®§¬®¦­® ±³¹¥±²¢³¾¹¨¥ ¢¥°²¨ª «¼­»¥ ª ± ²¥«¼­»¥ ­  ª®­¶ µ ¯°®¬¥¦³²ª ).

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi, x0 2 (a; b) (¥±«¨ x0 = a ¨«¨ x0 = b, ²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±¢®¤¨²±¿ ª ²¥®°¥¬¥ 2). ‘³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ ª®­¥·­»µ ®¤­®±²®°®­­¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ ¢ ²®·ª¥ x0 ¢»²¥ª ¥² ¨§ ²¥®°¥¬» 1. °¨¬¥­¿¿ ²¥®°¥¬³ 2 ª ´³­ª¶¨¿¬ f ha;x0 ] ¨ f [x0 ;bi , ­ µ®¤¨¬, ·²®

f(x) > f(x0 ) + f 0 (x0 )(x x0) ¯°¨ ¢±¥µ x 2 ha; x0]; f(x) > f(x0 ) + f+0 (x0 )(x x0 ) ¯°¨ ¢±¥µ x 2 [x0; bi:

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

233

“·¨²»¢ ¿, ·²® f 0 (x0 ) 6 f+0 (x0), ¯®«³· ¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢  ­  ®±² ¢¸¨µ±¿ ¯°®¬¥¦³²ª µ.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. €­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® £° ´¨ª ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ´³­ª¶¨¨ «¥¦¨² ¢»¸¥ «¾¡®© ±¢®¥© ®¤­®±²®°®­­¥© ª ± ²¥«¼­®©, §  ¨±ª«¾·¥­¨¥¬ ²®·ª¨ ª ± ­¨¿. ’¥®°¥¬  2 ¨ ±«¥¤±²¢¨¥ 1 ¯®¤±ª §»¢ ¾² ±«¥¤³¾¹¥¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 ha; bi. °¿¬ ¿, § ¤ ¢ ¥¬ ¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ y = `(x), ­ §»¢ ¥²±¿ ®¯®°­®© ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0, ¥±«¨ f(x0 ) = `(x0 ) ¨ f(x) > `(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 ha; bi: …±«¨ ¦¥ f(x0 ) = `(x0 ) ¨ f(x) > `(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 ha; bi n fx0g; ²® ¯°¿¬ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿ ±²°®£® ®¯®°­®© ¤«¿ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0. „°³£¨¬¨ ±«®¢ ¬¨, ¯°¿¬ ¿ ­ §»¢ ¥²±¿
®¯®°­®© ª f ¢ ²®·ª¥ x0, ¥±«¨ ®­  ¯°®µ®¤¨² ·¥°¥§ ²®·ª³ x0; f(x0 ) ¨ «¥¦¨² ­¥ ¢»¸¥ £° ´¨ª  ´³­ª¶¨¨. ‘²°®£® ®¯®°­ ¿ ¯°¿¬ ¿
«¥¦¨² ­¨¦¥ £° ´¨ª  ´³­ª¶¨¨ ¢® ¢±¥µ ²®·ª µ, ª°®¬¥ x0; f(x0 ) . ‘«¥¤±²¢¨¥ 2. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f (±²°®£®) ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi. ’®£¤  ¤«¿ «¾¡®© ²®·ª¨ x0 2 (a; b) ±³¹¥±²¢³¥² (±²°®£®) ®¯®°­ ¿ ¯°¿¬ ¿ ´³­ª¶¨¨ f ¢ ²®·ª¥ x0. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ²¥®°¥¬¥ 1 ¢ ª ¦¤®© ²®·ª¥ x0 2 (a; b) ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ®¤­®±²®°®­­¨¥ ª ± ²¥«¼­»¥,   ¯® ±«¥¤±²¢¨¾ 1 ª ²¥®°¥¬¥ 2 ®¤­®±²®°®­­¿¿ ª ± ²¥«¼­ ¿ ¿¢«¿¥²±¿ (±²°®£®) ®¯®°­®© ¯°¿¬®©.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ ¢»¯³ª« ¿ ¢­¨§ ­  ha; bi ´³­ª¶¨¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  ª®­¶¥ ¯°®¬¥¦³²ª , ²® ®¯®°­ ¿ (¨ ¤ ¦¥ ±²°®£® ®¯®°­ ¿) ¯°¿¬ ¿ ±³¹¥±²¢³¥² ¨ ¢ ª®­¶¥¢®© ²®·ª¥. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ¥±«®¦­® ¤®ª § ²¼, ·²® ¥±«¨ ´³­ª¶¨¿ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi, x0 2 (a; b), ²® ¯°¿¬ ¿ y = f(x0 )+k(x x0 ) ¡³¤¥² ®¯®°­®© ª f ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  k 2 [f 0 (x0 ); f+0 (x0 )]

234

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

(°¨±³­®ª 40). ‚ · ±²­®±²¨, ¥±«¨ f ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x0, ²® ®¯®°­ ¿ ¯°¿¬ ¿ ¢ ²®·ª¥ x0 ¥¤¨­±²¢¥­­  ¨ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ª ± ²¥«¼­®©. y

a0

x0

bx

¨±. 40

’¥®°¥¬  3. „¨´´¥°¥­¶¨ «¼­»¥ ª°¨²¥°¨¨ ¢»¯³ª«®±²¨. 1. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi ¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b). ’®£¤  f (±²°®£®) ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  f 0 (±²°®£®) ¢®§° ±² ¥² ­  (a; b). 2. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi ¨ ¤¢ ¦¤» ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b). ’®£¤  f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  f 00 (x) > 0 ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b). „®ª § ²¥«¼±²¢®.

x1 < x2. ® ²¥®°¥¬¥ 2

1. ¥®¡µ®¤¨¬®±²¼. ‚®§¼¬¥¬ x1; x2 2 (a; b):

1 ) 6 f 0 (x ); (31) f 0 (x1 ) 6 f(xx2 ) f(x 2 2 x1 ·²® ¨ ®§­ · ¥² ¢®§° ±² ­¨¥ f 0 . „®±² ²®·­®±²¼. ‚®§¼¬¥¬ x1; x2 2 ha; bi: x1 < x2, ¨ x 2 (x1; x2). ® ²¥®°¥¬¥ ‹ £° ­¦  ±³¹¥±²¢³¾² ² ª¨¥ c1 2 (x1 ; x) ¨ c2 2 (x; x2), ·²® f(x2 ) f(x) = f 0 (c ): f(x) f(x1 ) = f 0 (c ); 1 2 x x1 x2 x ’®£¤  x1 < c1 < x < c2 < x2,   f 0 ¯® ³±«®¢¨¾ ¢®§° ±² ¥², ¯®½²®¬³ f 0 (c1 ) 6 f 0 (c2 ), ²® ¥±²¼ f(x) f(x1 ) 6 f(x2 ) f(x) ; (32) x x1 x2 x

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

235

·²® ° ¢­®±¨«¼­® ­¥° ¢¥­±²¢³ (27) ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢»¯³ª«®±²¨. …±«¨ f ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§, ²® ®¡  ­¥° ¢¥­±²¢  ¢ (31) ±²°®£¨¥. Ž¡° ²­®, ¥±«¨ f 0 ±²°®£® ¢®§° ±² ¥², ²® ­¥° ¢¥­±²¢® (32) ±²°®£®¥, ·²® ¢«¥·¥² ±²°®£³¾ ¢»¯³ª«®±²¼ f. 2. ® ¯³­ª²³ 1 ¢»¯³ª«®±²¼ f ° ¢­®±¨«¼­  ¢®§° ±² ­¨¾ f 0 , ª®²®°®¥ ¯® ª°¨²¥°¨¾ ¬®­®²®­­®±²¨ ° ¢­®±¨«¼­® ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¨ f 00.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. …±«¨ f ¢ ³±«®¢¨¿µ ²¥®°¥¬» 3 ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  (¤¢ ¦¤» ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ) ¥¹¥ ¨ ¢ ²®·ª¥ a ¨«¨ b, ²® ¨§ ¢»¯³ª«®±²¨ f ±«¥¤³¥² ¢®§° ±² ­¨¥ f 0 ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥, ±®¤¥°¦ ¹¥¬ ½²³ ²®·ª³ (±®®²¢¥²±²¢¥­­® ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­®±²¼ f 00 ¨ ¢ ½²®© ²®·ª¥). „®ª § ²¥«¼±²¢®  ­ «®£¨·­®. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ­¥¯°¥°»¢­  ­  ha; bi ¨ ¤¢ ¦¤» ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ­  (a; b). …±«¨ f 00 (x) > 0 ¤«¿ ¢±¥µ x 2 (a; b), ²® f ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi. „®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ª°¨²¥°¨¾ ±²°®£®© ¬®­®²®­­®±²¨, ¥±«¨ f 00 ¯®«®¦¨²¥«¼­ , ²® f 0 ±²°®£® ¢®§° ±² ¥²,   ²®£¤  ¯® ¯¥°¢®¬³ ³²¢¥°¦¤¥­¨¾ ²¥®°¥¬» f ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§.  Ž¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­¥¢¥°­®: ¨§ ±²°®£®© ¢»¯³ª«®±²¨ f ­¥ ±«¥¤³¥² ¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¼ f 00 . °¨¬¥°®¬ ±«³¦¨² ´³­ª¶¨¿ f(x) = x4. Ž­  ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  R, ² ª ª ª f 0 (x) = 4x3 ±²°®£® ¢®§° ±² ¥². ‚ ²® ¦¥ ¢°¥¬¿, f 00 (0) = 0. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. €­ «®£¨·­® ¨«¨ ° ±±¬®²°¥­¨¥¬ ´³­ª¶¨¨ f ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® ¢»¯³ª«®±²¼ f ¢¢¥°µ ¢ ³±«®¢¨¿µ ²¥®°¥¬» 3 ° ¢­®±¨«¼­  ³¡»¢ ­¨¾ f 0 ¨ ­¥¯®«®¦¨²¥«¼­®±²¨ f 00 . ‘ ¬»© ³¤®¡­»© ±¯®±®¡ ¨±±«¥¤®¢ ­¨¿ ¢»¯³ª«®±²¨ | ¢»¿±­¥­¨¥ §­ ª  ¢²®°®© ¯°®¨§¢®¤­®©.
°¨¬¥°». 1. ®±ª®«¼ª³ ax 00 = ax ln2 a > 0 (a > 0, a 6= 1, x 2 R), ¯®ª § ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ expa ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  R ¯°¨ ¢±¥µ a > 0, a 6= 1. 2. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ¢±¥µ x > 0 (loga x)00 =

1 x2 ln a

 < 0; > 0;

a > 1; 0 < a < 1;

236

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

«®£ °¨´¬¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ loga ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢¢¥°µ ­  (0; +1) ¯°¨ a > 1 ¨ ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  (0; +1) ¯°¨ 0 < a < 1.

3. ®±ª®«¼ª³ ¯°¨ ¢±¥µ x > 0


x 00 = ( 1)x 2

 > 0; < 0;

a 2 ( 1; 0) [ (1; +1); a 2 (0; 1);

±²¥¯¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ e ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  [ 0; +1) ¯°¨  > 1, ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢¢¥°µ ­  [ 0; +1) ¯°¨ 0 <  < 1 ¨ ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  (0; +1) ¯°¨  < 0.

°¨ ²¥µ , ¯°¨ ª®²®°»µ e (x) ®¯°¥¤¥«¥­® ¤«¿ x < 0, ½²¨ °¥§³«¼² ²» ¬®¦­® ¤®¯®«­¨²¼. ’ ª, e ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  R ¯°¨  = qp , ¥±«¨ p; q 2 N, p > q, p ·¥²­®, q ­¥·¥²­®. Ž¯°¥¤¥«¿¿ §­ ª ¢²®°®© ¯°®¨§¢®¤­®©, ¬®¦­® ¨±±«¥¤®¢ ²¼ ¢»¯³ª«®±²¼ ¨ ¤°³£¨µ ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© ¨ ³¡¥¤¨²¼±¿, ·²® ¨µ £° ´¨ª¨ ¢»£«¿¤¿² ¨¬¥­­® ² ª, ª ª ®­¨ ¨§®¡° ¦¥­» ¢ x 3 £« ¢» 3. ‚»¯³ª«®±²¼ ´³­ª¶¨© ±«³¦¨² ¨±²®·­¨ª®¬ ¬­®£®·¨±«¥­­»µ ­¥° ¢¥­±²¢. °¨¢¥¤¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ¯°¨¬¥°®¢.
2 °¨¬¥°». 1. sin x > x ¯°¨ ¢±¥µ x 2 0; 2 .  ²® ­¥° ¢¥­±²¢® ­ ¬ ³¦¥ ¨§¢¥±²­®; ¤®ª ¦¥¬ ¥£® ¤°³£¨¬ ±¯®±®00 = sin x < 0 ­  0; 
, ´³­ª¶¨¿ ±¨­³± ±²°®£® ¡®¬. ’ ª ª ª (sin x) 2  
­  0; 2 «¥¦¨² ¢»¸¥ ¢»¯³ª«  ¢¢¥°µ ­  0; 2 . ®½²®¬³ ¥¥ £° ´¨ª
µ®°¤», ±®¥¤¨­¿¾¹¥© ²®·ª¨ (0; 0) ¨ 2 ; 1 .  2. ln(1 + x) < x ¯°¨ ¢±¥µ x > 1, x 6= 0. °¿¬ ¿ y = x ¿¢«¿¥²±¿ ª ± ²¥«¼­®© ¢ ²®·ª¥ 0 ª £° ´¨ª³ ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ¢¢¥°µ ­  ( 1; +1) ´³­ª¶¨¨ y = ln(1 + x), ¯®½²®¬³ ¯® ²¥®°¥¬¥ 2 £° ´¨ª «¥¦¨² ­¨¦¥ ª ± ²¥«¼­®©.  3. …±«¨  > 1, ²® (1 + x) > 1 + x ¯°¨ ¢±¥µ x > 1, x 6= 0. °¿¬ ¿ y = 1 + x ¿¢«¿¥²±¿ ª ± ²¥«¼­®© ¢ ²®·ª¥ 0 ª £° ´¨ª³ ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ­  [ 1; +1) ´³­ª¶¨¨ y = (1 + x) , ¯®½²®¬³ ¯® ²¥®°¥¬¥ 2 £° ´¨ª «¥¦¨² ¢»¸¥ ª ± ²¥«¼­®©.  ²® ­¥° ¢¥­±²¢® ®¡®¡¹ ¥² ­¥° ¢¥­±²¢® Ÿ.¥°­³««¨ ­  ±«³· © ­¥¶¥«»µ  > 1.

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

237

°¨¢¥¤¥¬ ¥¹¥ ­¥±ª®«¼ª® ¯®«¥§­»µ ±¢¥¤¥­¨© ® ¢»¯³ª«»µ ´³­ª¶¨¿µ ¡¥§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢ , ª ª ³¯° ¦­¥­¨¥. ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ³±²¼ f: ha; bi ! R.  §®¢¥¬ ¬­®¦¥±²¢® epi f = f(x; y) 2 R2 : x 2 ha; bi; y > f(x)g ­ ¤£° ´¨ª®¬ ´³­ª¶¨¨ f. ”³­ª¶¨¿ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi ²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ¥¥ ­ ¤£° ´¨ª | ¢»¯³ª«®¥ ¬­®¦¥±²¢®, ²® ¥±²¼ ¢¬¥±²¥ ± «¾¡»¬¨

±¢®¨¬¨ ¤¢³¬¿ ²®·ª ¬¨ ®­® ±®¤¥°¦¨² ®²°¥§®ª, ¨µ ±®¥¤¨­¿¾¹¨©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; +1), y = x + |  ±¨¬¯²®²  f ¯°¨ x ! +1. ’®£¤  f(x) > x +

¯°¨ ¢±¥µ

x 2 ha; +1):

²® ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ¡»¢ ¥² ¯®«¥§­»¬ ¯°¨ ¯®±²°®¥­¨¨ £° ´¨ª®¢. Ž­® ¯®ª §»¢ ¥², ·²® ­ ª«®­­³¾  ±¨¬¯²®²³ ¢»¯³ª«®© ´³­ª¶¨¨ ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ±¢®¥£® °®¤  \®¯®°­³¾ ¯°¿¬³¾ ¢ ¡¥±ª®­¥·­® ³¤ «¥­­®© ²®·ª¥". €­ «®£¨·­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ±¯° ¢¥¤«¨¢® ¨ ¤«¿  ±¨¬¯²®²» ¯°¨ x ! 1,   ² ª¦¥ ¤«¿ ¢»¯³ª«®© ¢¢¥°µ ´³­ª¶¨¨. ‚®§¬®¦­»¥ ±«³· ¨ ¨§®¡° ¦¥­» ­  °¨±³­ª µ 41a ¨ 41b. y y 0 0 ¨±. 41a

x

x ¨±. 41b

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f: ha; bi ! R, x0 2 (a; b). …±«¨

1) ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® f ¨¬¥¥² ° §­»© µ ° ª²¥° ¢»¯³ª«®±²¨ ­  (x0 ; x0] ¨ [x0; x0 + ); 2) f ­¥¯°¥°»¢­  ¢ ²®·ª¥ x0 ;

238

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

3) ±³¹¥±²¢³¥² f 0 (x0) 2 R; ²® x0 ­ §»¢ ¥²±¿ ²®·ª®© ¯¥°¥£¨¡  f. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥ ­ §»¢ ¥² ²®·ª®© ¯¥°¥£¨¡  ²®, ·²® µ®·¥²±¿ ² ª ­ §¢ ²¼ ¨§ ­ £«¿¤­»µ ±®®¡° ¦¥­¨©. “±«®¢¨¿ 2) ¨ 3) ®§­ · ¾², ·²® ¢ ²®·ª¥ ¯¥°¥£¨¡  £° ´¨ª ¨¬¥¥² ª ± ²¥«¼­³¾ (¢®§¬®¦­®, ¢¥°²¨ª «¼­³¾),   ¨§ ³±«®¢¨¿ 1) ±«¥¤³¥², ·²® ±«¥¢  ¨ ±¯° ¢  ®² ²®·ª¨ ¯¥°¥£¨¡  £° ´¨ª ° ±¯®«®¦¥­ ¯® ° §­»¥ ±²®°®­» ®² ª ± ²¥«¼­®© (°¨±³­ª¨ 42a ¨ 42b). y

y 0

x

¨±. 42a

0

x

¨±. 42b

’®·ª¨, ¢ ª®²®°»µ ´³­ª¶¨¿ ¬¥­¿¥² ­ ¯° ¢«¥­¨¥ ¢»¯³ª«®±²¨, ­® £° ´¨ª ­¥ ¨¬¥¥² ª ± ²¥«¼­®© (ª ª ¢ ±«³· ¥ ° §°»¢  ­  °¨±³­ª¥ 43a ¨«¨ ¨§«®¬  ­  °¨±³­ª¥ 43b), ª ²®·ª ¬ ¯¥°¥£¨¡  ­¥ ®²­®±¿²±¿. y

y 0

¨±. 43a

x

0

x

¨±. 43b

‡ ¬¥· ­¨¥ 3. …±«¨ x0 | ²®·ª  ¯¥°¥£¨¡  f ,   f ¤¢ ¦¤» ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬  ¢ ²®·ª¥ x0, ²® f 00 (x0) = 0.

„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­ ¤® ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ § ¬¥· ­¨¥¬ 1 ª ²¥®°¥¬¥ 3. ’¥®°¥¬  4. ¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­ . ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  ha; bi, n 2 N. ’®£¤  ¤«¿ «¾¡»µ x1 , : : : , xn 2 ha; bi ¨

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨ p1 , : : : , pn > 0

239

0 Pn 1 Pn p x pk f(xk ) k k B k=1 C k=1 C 6 : fB @ Pn A Pn k=1

pk

k=1

pk

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. —¨±«  pk ­ §»¢ ¾²±¿ ¢¥± ¬¨,   ®²­®¸¥­¨¥ n P pk xk k=1 | ¢§¢¥¸¥­­»¬ ±°¥¤­¨¬ ( °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬) ·¨±¥« x1; : : :; xn. n P p k=1

k

…±«¨ ¢±¥ pk = 1,n ²® ¢§¢¥¸¥­­®¥ ±°¥¤­¥¥ ¥±²¼ ®¡»·­®¥ ±°¥¤­¥¥  °¨´P ¬¥²¨·¥±ª®¥ n1 xk . ¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ¬®¦­® ±´®°¬³«¨°®¢ ²¼ k=1 ² ª: §­ ·¥­¨¥ ¢»¯³ª«®© ¢­¨§ ´³­ª¶¨¨ ®² ¢§¢¥¸¥­­®£® ±°¥¤­¥£® ­¥ ¯°¥¢®±µ®¤¨² ¢§¢¥¸¥­­®£® ±°¥¤­¥£® §­ ·¥­¨© ´³­ª¶¨¨. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ¥ ³¬¥­¼¸ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® Pn p = 1. °¨ ½²®¬ ³±«®¢¨¨ ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ¯°¨­¨¬ ¥² ¢¨¤ k k=1

f

X n k=1

 X n

pk xk 6

k=1

pk f(xk ):

„¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ pk ¯®«®¦¨¬ qk = Pnpk . ’®£¤  ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ¤«¿ ¢¥±®¢ pk ¨ qk ¢»£«¿¤¨² j=1

pj

®¤¨­ ª®¢®,  

Pn q = 1. k

k=1

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

³±²¼

Pn p = 1. ®«®¦¨¬ k

k=1 n X

x =

k=1

pk xk :

‘° §³ ®²¬¥²¨¬, ·²® ¥±«¨ x1 = : : : = xn , ²® x ± ­¨¬¨ ±®¢¯ ¤ ¥²,   ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢®.

240

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

³±²¼ ±°¥¤¨ ·¨±¥« x1, : : : , xn ¥±²¼ ° §«¨·­»¥. °®¢¥°¨¬, ·²® x 2 (a; b). „¥©±²¢¨²¥«¼­®, µ®²¼ ®¤­® ¨§ ·¨±¥« xk ¬¥­¼¸¥ b, ¯®½²®¬³ x =

n X k=1

pk xk <

n X k=1

pk b = b:

€­ «®£¨·­® ¤®ª §»¢ ¥²±¿, ·²® x > a. ‚ ²®·ª¥ x ³ ´³­ª¶¨¨ f ±³¹¥±²¢³¥² ®¯®°­ ¿ ¯°¿¬ ¿; ¯³±²¼ ®­  § ¤ ¥²±¿ ³° ¢­¥­¨¥¬ `(x) = x + . ® ®¯°¥¤¥«¥­¨¾ ®¯®°­®© ¯°¿¬®© `(x ) = f(x ) ¨ `(xk ) 6 f(xk ) ¯°¨ ¢±¥µ k. ®½²®¬³ f(x ) = `(x ) =  =

n X k=1

n X k=1

pk xk + =

pk (xk + ) =

n X k=1

pk `(xk ) 6

n X k=1

pk f(xk ): 

‡ ¬¥· ­¨¥ 3. …±«¨ f ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§,   ±°¥¤¨ ·¨±¥« x1, : : : , xn ¥±²¼ ° §«¨·­»¥, ²® ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ±²°®£®¥. „«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ±«¥¤³¥² ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥¬ ±²°®£® ®¯®°­®© ¯°¿¬®©. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. „«¿ ¢»¯³ª«®© ¢¢¥°µ ´³­ª¶¨¨ ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ¢»¯®«­¿¥²±¿ ± ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»¬ §­ ª®¬. ‡ ¬¥· ­¨¥ 5. “¤ «¿¿ ¨§ ±³¬¬ ° ¢­»¥ ­³«¾ ±« £ ¥¬»¥, ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ¬®¦­® ²°¨¢¨ «¼­® ®¡®¡¹¨²¼ ­  ±¨²³ ¶¨¾, ¢ ª®²®°®© pk | ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¥ ·¨±« , ­¥ ¢±¥ ° ¢­»¥ ­³«¾. ‡ ¬¥· ­¨¥ 6. °¨ n = 2 ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ±®¢¯ ¤ ¥² ± ­¥° ¢¥­±²¢®¬ ¨§ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¢»¯³ª«®±²¨. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. —¨±«  p ¨ q ¨§ (1; +1), ±¢¿§ ­­»¥ ±®®²­®¸¥­¨¥¬ 1p + 1q = 1, ­ §»¢ ¾²±¿ ±®¯°¿¦¥­­»¬¨ ¯®ª § ²¥«¿¬¨. Ÿ±­®, ·²® ¤«¿ ±®¯°¿¦¥­­»µ ¯®ª § ²¥«¥© q = p p 1 ¨ p = q q 1 .  ¯®¬­¨¬, ·²® ¥±«¨ a | ¢¥ª²®° ¨§ Rn ¨«¨ C n , ²® ·¥°¥§ ak ®¡®§­ · ¾²±¿ ¥£® ª®®°¤¨­ ²», ²® ¥±²¼ a = (a1 ; : : : ; an).

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

241

’¥®°¥¬  5. ¥° ¢¥­±²¢® ƒ¥«¼¤¥° . ³±²¼ C n , p > 1, p1 + 1q = 1. ’®£¤ 

a; b 2 Rn ¨«¨

X n 1=pX 1=q n n akbk 6 X jakjp jbk jq : k=1 k=1 k=1

„®ª § ²¥«¼±²¢®.

’ ª ª ª

X n n ak bk 6 X jakbkj; k=1 k=1

(33)

¤®±² ²®·­® ¤®ª § ²¼ ­¥° ¢¥­±²¢® ƒ¥«¼¤¥°  ¤«¿ ·¨±¥« jak j, jbk j. ®½²®¬³, ­¥ ³¬¥­¼¸ ¿ ®¡¹­®±²¨, ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ak ; bk 2 R+. ®«¥¥ ²®£®, ¬®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® ¢±¥ bk > 0. „¥©±²¢¨²¥«¼­®, ¥±«¨ ­¥° ¢¥­±²¢® ƒ¥«¼¤¥°  ¤®ª § ­® ¤«¿ ¯®«®¦¨²¥«¼­»µ ·¨±¥« bk , ²® n X k=1

ak bk =

X k:bk 6=0

6

ak bk 6

X n

k=1

apk

 X 1=p X 1=q apk

k:b 6=0 1=pkX n

k=1

bqk

1=q

k:bk6=0

bqk

:

6

(34)

ˆ² ª, ¯³±²¼ ak > 0, bk > 0 ¯°¨ ¢±¥µ k. ”³­ª¶¨¿ f(x) = xp ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  [ 0; +1). ®«®¦¨¬ pk = bqk , xk = ak b1k q ¨ ¯°¨¬¥­¨¬ ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­ :

0 Pn 1p Pn p p x pk xk k kC B k=1 k =1 B C @ Pn A 6 Pn : k=1

pk

k=1

pk

“·¨²»¢ ¿, ·²® pk xk = ak bk ;

pk xpk = bqk apk bpk(1 q) = apk ;

242

ƒ« ¢  4.

¯®«³· ¥¬:

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

0 Pn 1p Pn p a b ak k k B C k=1 k=1 ; B C 6 @ Pn A Pn X n k=1

bqk

ak bk

bqk

k=1 kp=1 X n X n p p q

6

k=1

ak

k=1

bk

(35) 1

:

Ž±² ¥²±¿ ¢®§¢¥±²¨ ®¡¥ · ±²¨ ­¥° ¢¥­±²¢  ¢ ±²¥¯¥­¼ p1 ¨ ¢®±¯®«¼§®¢ ²¼±¿ ²¥¬, ·²® 1 p1 = 1q .  ‚»¿±­¨¬, ª®£¤  ­¥° ¢¥­±²¢® ƒ¥«¼¤¥°  ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢®. °¥¤¢ °¨²¥«¼­® ¢¢¥¤¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ±®£« ¸¥­¨©. ³¤¥¬ £®¢®°¨²¼, ·²® ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ¨«¨ ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±«  ®¤­®£® §­ ª , ¥±«¨ ®­¨ «¥¦ ² ­  ®¤­®¬ «³·¥ ± ¢¥°¸¨­®© ¢ ­³«¥. „«¿ ¢¥¹¥±²¢¥­­»µ ·¨±¥« ½²® ¯®¯°®±²³ ®§­ · ¥², ·²® «¨¡® ¢±¥ ®­¨ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­», «¨¡® ¢±¥ ®­¨ ­¥¯®«®¦¨²¥«¼­» (ª ª ¢¨¤­®, ±«®¢® \§­ ª" ¯®­¨¬ ¥²±¿ ¢ ­¥±²°®£®¬ ±¬»±«¥: ­³«¼ ¤®¯³±ª ¥²±¿). ˆ§ ­¥° ¢¥­±²¢  ²°¥³£®«¼­¨ª  ¿±­®, ·²® X n n ak = X jakj k=1

k=1

²®£¤  ¨ ²®«¼ª® ²®£¤ , ª®£¤  ·¨±«  ak ®¤­®£® §­ ª . ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ¥° ¢¥­±²¢® ƒ¥«¼¤¥°  ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢® ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤ 
¢»¯®«­¿¾²±¿
¤¢  ³±«®¢¨¿: 1) ¢¥ª²®°  ja1jp ; : : :; janjp ¨ jb1jq ; : : :; jbnjq ±®­ ¯° ¢«¥­»; 2) ¢±¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ ak bk ®¤­®£® §­ ª . „®ª § ²¥«¼±²¢®. “±«®¢¨¥ 2) | ½²® ³±«®¢¨¥ ° ¢¥­±²¢  ¢ (33). Ž±² ¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²® ¤«¿ ak ;pbk > 0 ° ¢¥­±²¢® ¢ (34)

° ¢­®±¨«¼­® ±®­ ¯° ¢«¥­­®±²¨ ¢¥ª²®°®¢ a1 ; : : :; apn ¨ bq1; : : :; bqn . …±«¨ ¢¥ª²®° a ¨«¨ b ­³«¥¢®©, ²® ° ¢¥­±²¢® ®·¥¢¨¤­®. ³±²¼ a; b 6= O. …±«¨ bk > 0 ¯°¨ ¢±¥µ k, ²® ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  (35) ¤«¿ ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ´³­ª¶¨¨ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢® ¥±«¨ ¨ ²®«¼ª® ¥±«¨ x1 = : : : = xn , ²® ¥±²¼ a1 b11 q = : : : = anb1n q : (36)

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

243

Ž¡®§­ ·¨¬ ½²® ®¡¹¥¥ §­ ·¥­¨¥ ·¥°¥§ 1=p . ’®£¤  ° ¢¥­±²¢® (36) p q ° ¢­®±¨«¼­® ²®¬³, ·²® ak = bk ¯°¨ ¢±¥µ k. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ³±«®¢¨¥¬ ° ¢¥­±²¢  ¢ ¯¥°¢®¬ ­¥° ¢¥­±²¢¥ ¢ (34) ¡³¤¥²: apk = bqk ¯°¨ ¢±¥µ k, ¤«¿ ª®²®°»µ bk 6= 0. “±«®¢¨¥ ° ¢¥­±²¢  ¢® ¢²®°®¬ ­¥° ¢¥­±²¢¥ ¢ (34) ² ª®¥: ¥±«¨ bk = 0, ²® ¨ ak = 0. ®½²®¬³ ³±«®¢¨¥¬ ° ¢¥­±²¢  ¢ (34) ¡³¤¥²: apk = bqk ¯°¨ ¢±¥µ k.  ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. ¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£®. a; b 2 Rn ¨«¨ C n . ’®£¤ 

³±²¼

v uX u X v n n n X u t jbkj2: ak bk 6 t jakj2 u k=1 k=1 k=1

„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­ ¤® ¯®«®¦¨²¼ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ ƒ¥«¼¤¥°  p = q = 2. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£® ¡»«® ¤®ª § ­® ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬ ¢ x 1 £« ¢» 2. ’ ¬ ¦¥ ¡»«® ¯®«³·¥­® ³±«®¢¨¥ ° ¢¥­±²¢ , ±®±²®¿¹¥¥ ¢ ²®¬, ·²® ¢¥ª²®°  a = (a1; : : :; an) ¨ b = (b1 ; : : :; bn) ª®««¨­¥ °­» (·¥°²  ®§­ · ¥² ª®¬¯«¥ª±­®¥ ±®¯°¿¦¥­¨¥, ¨ ¢ ¢¥¹¥±²¢¥­­®¬ ±«³· ¥ ¥¥ ¬®¦­® ®¯³±²¨²¼). ²® ¦¥ ³±«®¢¨¥ ¬®¦­® ¢»¢¥±²¨ ¨ ¨§ § ¬¥· ­¨¿ 1 ¯°¨ p = 2. ¨«¨

’¥®°¥¬  6. ¥° ¢¥­±²¢® Œ¨­ª®¢±ª®£®. ³±²¼ a; b 2 Rn

C n , p > 1. ’®£¤ 

X n k=1

jak + bk jp

1=p X n 6

k=1

jak jp

1=p X n +

k=1

jbk jp

1=p

:

„®ª § ²¥«¼±²¢®. °¨ p = 1 ­¥° ¢¥­±²¢® Œ¨­ª®¢±ª®£® ±¢®¤¨²±¿ ª ­¥° ¢¥­±²¢³ ²°¥³£®«¼­¨ª  ¤«¿ ¬®¤³«¿. ³±²¼ p > 1, n P p q = p 1 . Ž¡®§­ ·¨¬ C = jak + bk jp . °¨¬¥­¨¬ ­¥° ¢¥­±²¢®

k=1

244

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

ƒ« ¢  4.

²°¥³£®«¼­¨ª ,   § ²¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® ƒ¥«¼¤¥° : C=

n X

n

k=1 n X

+ + =

X jak + bk jjak + bk jp 1 6 jak jjak + bk jp 1+ jbk jjak + bk jp 1 6

k=1X n

k=1 (X n k=1

jbk jp jak jp

1=pX n

k=1

k=1 X 1=pX n n

jak + bk j(p 1)q

1=p X n +

k=1

jak jp

k=1

jbk jp

1=p)

1=qk=1

jak + bk j(p 1)q

1=q

+

=

C 1=q :

…±«¨ C = 0, ²® ­¥° ¢¥­±²¢® Œ¨­ª®¢±ª®£® ®·¥¢¨¤­®,   ¥±«¨ C > 0, ²®, ±®ª° ¹ ¿ ­  C 1=q , ¯®«³· ¥¬ ²°¥¡³¥¬®¥.  ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. …±«¨ p > 1, ²® ­¥° ¢¥­±²¢® Œ¨­ª®¢±ª®£® ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢® ¢ ²®¬ ¨ ²®«¼ª® ²®¬ ±«³· ¥, ª®£¤  ¢¥ª²®°  a ¨ b ±®­ ¯° ¢«¥­». „®ª § ²¥«¼±²¢®. …±«¨ a ¨ b ±®­ ¯° ¢«¥­», ²® ° ¢¥­±²¢® ®·¥¢¨¤­®. „®ª ¦¥¬ ®¡° ²­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥. ³±²¼ ­¥° ¢¥­±²¢® Œ¨­ª®¢±ª®£® ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢®, a; b 6= O. °¨ a + b = O ­¥° ¢¥­±²¢® ±²°®£®¥, ¯®½²®¬³ a + b 6= O. Ž¡  ­¥° ¢¥­±²¢  ¨§ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­¥° ¢¥­±²¢  Œ¨­ª®¢±ª®£® ®¡° ¹ ¾²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢ . ‚®-¯¥°¢»µ, ¯°¨ ª ¦¤®¬ k ¢¥°­® ° ¢¥­±²¢®
jak + bk jjak + bk jp 1 = jak j + jbk j jak + bk jp 1; ¯®½²®¬³ ¯°¨ ª ¦¤®¬ k ¨«¨ ak ¨ bk ®¤­®£® §­ ª , ¨«¨ ak = bk . ‚®-¢²®°»µ, ¯® § ¬¥· ­¨¾ 1 ® ° ¢¥­±²¢¥
¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ ƒ¥«¼¤¥°  ­¥­³«¥¢®© ¢¥ª²®° ja1+b1 jp ; : : : ; jan+bn jp ±®­ ¯° ¢«¥­ ¨ ± ¢¥ª²®°®¬

. ®½²®¬³ p p p p ja1j ; : : : ; jan
j , ¨ ± ¢¥ª²®°®¬ j b j ; : : : ; j b j ¢¥ª²®°  n
1 ja1j; : : : ; janj ¨ jb1j; : : : ; jbnj ²®¦¥ ±®­ ¯° ¢«¥­». ‘«¥¤®¢ ²¥«¼­®, ¥±«¨ ak = bk ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ k, ²® ak = bk = 0, ² ª ·²® ¨ ¢ ½²®¬ ±«³· ¥ ak ¨ bk ®¤­®£® §­ ª . ˆ² ª, ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥  > 0, ·²® jak j = jbk j ¯°¨ ¢±¥µ k. ® ¯®±ª®«¼ª³ ak ¨ bk ®¤­®£® §­ ª , ¨ ak = bk ¯°¨ ¢±¥µ k. 

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

245

‘«¥¤±²¢¨¥ 2. ³±²¼ a; b 2 Rn ¨«¨ C n . ’®£¤ 

v v v u uX u n n n X X u u t jbkj2: t jak + bkj2 6 t jakj2 + u k=1

k=1

k=1

„«¿ ¤®ª § ²¥«¼±²¢  ­ ¤® ¯®«®¦¨²¼ ¢ ­¥° ¢¥­±²¢¥ Œ¨­ª®¢±ª®£® p = 2. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. ‘«¥¤±²¢¨¥ 2 ¢¬¥±²¥ ± ³±«®¢¨¥¬ ° ¢¥­±²¢  ¡»«® ¤®ª § ­® ¤°³£¨¬ ±¯®±®¡®¬ ¢ x 1 £« ¢» 2. ‘«¥¤±²¢¨¥ 3. …±«¨ p > 1, ²® ´³­ª¶¨¿

kxkp = ¿¢«¿¥²±¿ ­®°¬®© ¢

X n k=1

jxkjp

1=p

Rn ¨ C n .

‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ¢»¯®«­¥­¨¥ ¯¥°¢»µ ¤¢³µ  ª±¨®¬ ­®°¬» ®·¥¢¨¤­®,   ²°¥²¼¿ ±®¢¯ ¤ ¥² ± ­¥° ¢¥­±²¢®¬ Œ¨­ª®¢±ª®£®. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ n 2 N, r > 0, a1 ; : : :; an > 0 ¨«¨ r < 0, a1 ; : : :; an > 0. ‚¥«¨·¨­ 

1 X n 1=r

Mr (a) = n ark k=1 ­ §»¢ ¥²±¿ ±°¥¤­¨¬ ±²¥¯¥­­»¬ ¯®°¿¤ª  r ·¨±¥« a1 ; : : :; an. ¥ª®²®°»¥ ±°¥¤­¨¥ ¨¬¥¾² ±¯¥¶¨ «¼­»¥ ­ §¢ ­¨¿: M1 (a) = a1 + : n: : + an | ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥, r2 2 M2 (a) = a1 + : n: : + an | ±°¥¤­¥¥ ª¢ ¤° ²¨·¥±ª®¥, M 1 (a) = 1 + :n: : + 1 | ±°¥¤­¥¥ £ °¬®­¨·¥±ª®¥. a1 an

246

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

‡ ¬¥· ­¨¥ 1. ‡ ¤ ¾¹ ¿ Mr (a) ´®°¬³«  ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ±¬»±« ­¥ ²®«¼ª® ¤«¿ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»µ ak . ‚ · ±²­®±²¨, ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ ®¯°¥¤¥«¥­® ¤«¿ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ·¨±¥«. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ¤ ¦¥ ¥±«¨ Mr (a) ®¯°¥¤¥«¥­®, ½²³ ¢¥«¨·¨­³ ­¥ ¢±¥£¤  «®£¨·­® ­ §»¢ ²¼ ±°¥¤­¨¬ ¯°®¨§¢®«¼­»µ ·¨±¥«, ² ª ª ª ¤«¿ ­¥¥ ¬®¦¥² ­¥ ¢»¯®«­¿²¼±¿ ±¢®©±²¢® Œ2 ­¨¦¥. ®½²®¬³ ¯°¨ ° ±±¬®²°¥­¨¨ ±°¥¤­¨µ ¬» ®£° ­¨·¨¢ ¥¬±¿ ­¥®²°¨¶ ²¥«¼­»¬¨ ·¨±« ¬¨. „®ª ¦¥¬ ­¥±ª®«¼ª® ±¢®©±²¢ ±°¥¤­¨µ. Ž¡®§­ ·¨¬





1 1 1 r r r a = a1 ; : : :; an ; a = (a1 ; : : :; an): Œ1. …±«¨ a1; : : :; an > 0, ²® Mr (a) = Œ2. min ak 6 Mr (a) 6 max ak . 16k6n 16k6n

1

M r ( a1 )

.

²¨ ±¢®©±²¢  ®·¥¢¨¤­». Œ3. r!lim a , lim M (a) = 16min a. +1 Mr (a) = 1max 6k6n k r! 1 r k 6n k

³±²¼ r > 0, A = 1max a . …±«¨ A = 0, 6k6n k ²® ¢±¥ ak = 0, ¨ ¯¥°¢®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ²°¨¢¨ «¼­®. …±«¨ A > 0, ²® n a
r  1  P 1 1 =r k 2 Mr (a) = A (r), £¤¥ (r) = n n ; 1 . ® ²¥®°¥¬¥ ® k=1 A ±¦ ²®© ´³­ª¶¨¨ Mr (a) r!! +1 A. ® ¤®ª § ­­®¬³ ¨ ±¢®©±²¢³ Œ1 ¯°¨ a1 ; : : :; an > 0 „®ª § ²¥«¼±²¢®.

Mr (a) =

1 1 = min a :  ! 1 16k6n k M r ( a1 ) r! 1 1max 6k6n ak

p Œ4. lim Mr (a) = n a1
: : :
an. r !0 „®ª § ²¥«¼±²¢®.

³±²¼ a1; : : :; an > 0. ® ´®°¬³«¥ ’¥©«®° 

x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨

247

¤«¿ ¯®ª § ²¥«¼­®© ´³­ª¶¨¨ ¨ «®£ °¨´¬   n   n  1 ln 1 P 1r ln n1 P ark 1+ r ln ak +O(r2 )) ( r n k=1 k=1 =e = Mr (a) = e   n n P P 2 1 ln 1+ r 1 ln ak +O(r) n k=1 ln ak +O(r ) = er = e n k=1 ! r !0

!e r!0

n 1 P n k=1 ln ak

= pn a1
: : :
an:

Pn





 2 0; nn 1 , ¯®…±«¨ ¦¥ ±³¹¥±²¢³¥² ­³«¥¢®¥ ak , ²® n1 ark r!! 0+ k=1 ½²®¬³ Mr (a) r!! 0.  0+ ‘¢®©±²¢® M4 ¯®¤±ª §»¢ ¥² ¤®®¯°¥¤¥«¨²¼ ±°¥¤­¥¥ ¤«¿ r = 0. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ a1 ; : : :; an > 0. ‚¥«¨·¨­  p M0 (a) = n a1
: : :
an ­ §»¢ ¥²±¿ ±°¥¤­¨¬ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ·¨±¥« a1; : : :; an. ’¥®°¥¬  7. Œ®­®²®­­®±²¼ ±°¥¤­¨µ ±²¥¯¥­­»µ. ³±²¼

n 2 N, r; s 2 R, r < s, a1; : : :; an > 0 ¯°¨ r > 0, a1 ; : : :; an > 0 ¯°¨ r < 0. ’®£¤  Mr (a) 6 Ms (a); ¯°¨·¥¬ ° ¢¥­±²¢® ¨¬¥¥² ¬¥±²® «¨¸¼ ¯°¨ a1 = : : : = an. ‚ · ±²­®±²¨, pn a
: : :
a 6 a1 + : : : + an : (37) 1 n n ¥° ¢¥­±²¢® (37) ­ §»¢ ¥²±¿ ­¥° ¢¥­±²¢®¬ Š®¸¨ ¬¥¦¤³ ±°¥¤­¨¬ £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨¬ ¨ ±°¥¤­¨¬  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¬. „®ª § ²¥«¼±²¢® ° §®¡¼¥¬ ­  ­¥±ª®«¼ª® ±«³· ¥¢. 1. ³±²¼ 0 < r < s. ®±ª®«¼ª³ rs > 1, ´³­ª¶¨¿ f(x) = xs=r ±²°®£® ¢»¯³ª«  ¢­¨§ ­  [ 0; +1). °¨¬¥­¨¬ ª ­¥© ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­ , ¢§¿¢ pk = 1, xk = ark . ®«³·¨¬ 1 X n s=r 1 X n r s a 6 n k=1 k n k=1 ak ;

248

ƒ« ¢  4.

„¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

¯°¨·¥¬ ¢ ±¨«³ ±²°®£®© ¢»¯³ª«®±²¨ ° ¢¥­±²¢® ¤®±²¨£ ¥²±¿ «¨¸¼ ¯°¨ a1 = : : : = an. Ž±² ¥²±¿ ¢®§¢¥±²¨ ®¡¥ · ±²¨ ¢ ±²¥¯¥­¼ 1s . 2. ³±²¼ r = 0, s = 1, ²® ¥±²¼ ¤®ª ¦¥¬ ­¥° ¢¥­±²¢® Š®¸¨. …±«¨ ±°¥¤¨ ak ¥±²¼ ­³«¼, ²® ­¥° ¢¥­±²¢® (37) ®·¥¢¨¤­® ¢»¯®«­¿¥²±¿ ¨ ®¡° ¹ ¥²±¿ ¢ ° ¢¥­±²¢® «¨¸¼ ¥±«¨ ¢±¥ ak ±³²¼ ­³«¨. ³±²¼ a1 ; : : :; an > 0. °¨¬¥­¨¬ ­¥° ¢¥­±²¢® ˆ¥­±¥­  ª ±²°®£® ¢»¯³ª«®© ¢¢¥°µ ´³­ª¶¨¨ ln, ¢§¿¢ pk = 1, xk = ak . ®«³·¨¬





n n 1X 1X ln a 6 ln k n k=1 n k=1 ak ; ·²® ° ¢­®±¨«¼­® (37), ¯°¨·¥¬ ¢ ±¨«³ ±²°®£®© ¢»¯³ª«®±²¨ ° ¢¥­±²¢® ¤®±²¨£ ¥²±¿ «¨¸¼ ¯°¨ a1 = : : : = an. Ž±² «¼­»¥ ±«³· ¨ ±¢®¤¿²±¿ ª ³¦¥ ° ±±¬®²°¥­­»¬ ½«¥¬¥­² °­»¬¨ ¯°¥®¡° §®¢ ­¨¿¬¨. 3. …±«¨ r = 0 < s, ²® ¯® ¤®ª § ­­®¬³ ­¥° ¢¥­±²¢³ Š®¸¨

M0 (a) = M01=s(as ) 6 M11=s(as ) = Ms (a): 4. …±«¨ r < s 6 0, ²® 0 6 s < r, ¨ ¯® ¤®ª § ­­®¬³ Mr (a) = 1 1 6 1 1 = Ms (a): M r ( a ) M s( a ) 5. …±«¨ r < 0 < s, ²® Mr (a) 6 M0 (a) 6 Ms (a).  ‡ ¬¥· ­¨¥  2. ‘°¥¤­¨¥ ±²¥¯¥­­»¥ ¯®±²°®¥­» ¯® ´®°¬³«¥ n P 1 1 ' n '(ak ) , £¤¥ ' | ±²°®£® ¬®­®²®­­ ¿ ´³­ª¶¨¿: '(x) = xr k=1 ¯°¨ r 6= 0, '(x) = lnx ¯°¨ r = 0. ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. ‘¢®©±²¢® ¬®­®²®­­®±²¨¢¬¥±²¥ ± ¤®ª § ²¥«¼n P Pn p 1=r ±²¢®¬ ±®µ° ­¿¥²±¿ ¤«¿ ¢§¢¥¸¥­­»µ ±°¥¤­¨µ pk ark k k=1 k=1 (p1 ; : : :; pn > 0).

ƒ‹€‚€ 5. ˆ’…ƒ€‹œŽ… ˆ‘—ˆ‘‹…ˆ… ”“Š–ˆ‰ Ž„Ž‰ ‚…™…‘’‚…Ž‰ ……Œ…Ž‰

x 1.

¥°¢®®¡° §­ ¿ ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «

Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ f; F: ha; bi ! R. ”³­ª¶¨¿ F ­ §»¢ ¥²±¿

¯¥°¢®®¡° §­®©

´³­ª¶¨¨ f ­  ha; bi, ¥±«¨

8x 2 ha; bi

F 0 (x) = f(x):

…±«¨ § ¤ ­  ´³­ª¶¨¿ f: ha; bi ! R, ²® ¢®§­¨ª ¾² ²°¨ ¢®¯°®± . 1. ‘³¹¥±²¢³¥² «¨ ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f ­  ha; bi? 2. …±«¨ ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ ±³¹¥±²¢³¥², ²® ª ª ®¯¨± ²¼ ¢±¥ ¯¥°¢®®¡° §­»¥? 3. Š ª ­ ©²¨ ¯¥°¢®®¡° §­³¾? ‡ ¤ ·  ®¯¨± ­¨¿ ª« ±±  ´³­ª¶¨©, ¨¬¥¾¹¨µ ¯¥°¢®®¡° §­³¾, ®·¥­¼ ±«®¦­ . Ž£° ­¨·¨¬±¿ ¤¢³¬¿ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿¬¨ ­  ½²³ ²¥¬³. ¥ ¢±¿ª ¿ § ¤ ­­ ¿ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ­  ­¥¬ ¯¥°¢®®¡° §­³¾. ˆ§ ²¥®°¥¬» „ °¡³ ¢»²¥ª ¥², ·²® ¯°®¨§¢®¤­ ¿ ­¥ ¬®¦¥² ¨¬¥²¼ ° §°»¢®¢ ¯¥°¢®£® °®¤  (±«¥¤±²¢¨¥ 2 ²¥®°¥¬» 7 x 2 £« ¢» 4). ®½²®¬³, ­ ¯°¨¬¥°, ´³­ª¶¨¿ sign ­¥ ¿¢«¿¥²±¿ ¯°®¨§¢®¤­®© ­¨ª ª®© ´³­ª¶¨¨ ¨, ² ª¨¬ ®¡° §®¬, ­¥ ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­®© ­  R. Ž¤­ ª®, ¤«¿ ­¥¯°¥°»¢­»µ ´³­ª¶¨© ®²¢¥² ³²¢¥°¤¨²¥«¼­»©. ’¥®°¥¬  1. ‚±¿ª ¿ ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ­  ­¥¬ ¯¥°¢®®¡° §­³¾.

„®ª § ²¥«¼±²¢® ½²®© ²¥®°¥¬» ®¯¨° ¥²±¿ ­  ¯®­¿²¨¥ ®¯°¥¤¥«¥­­®£® ¨­²¥£° «  ¨ ¡³¤¥² ¤ ­® ¯®§¦¥.

250

ƒ« ¢  5.

ˆ­²¥£° «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

®±ª®«¼ª³ ½«¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨ ­¥¯°¥°»¢­», ¨§ ²¥®°¥¬» 1 ±«¥¤³¥², ·²® ¢±¿ª ¿ ½«¥¬¥­² °­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾ ­  ª ¦¤®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥ ¨§ ±¢®¥© ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿. ‚ ®²«¨·¨¥ ®² ¯¥°¢®£®, ®²¢¥² ­  ¢²®°®© ¢®¯°®± ®·¥­¼ ¯°®±²: ¥±«¨ ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ ±³¹¥±²¢³¥², ²® ®­  ¥¤¨­±²¢¥­­  ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯®±²®¿­­®£® ±« £ ¥¬®£®. Œ» ­¥ ¡³¤¥¬ ° §«¨· ²¼ ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ·¨±«® C ¨ ´³­ª¶¨¾, ²®¦¤¥±²¢¥­­® ° ¢­³¾ C. ’¥®°¥¬  2. ³±²¼ f; F: ha; bi ! R, F | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f ­  ha; bi. ’®£¤  ±¯° ¢¥¤«¨¢» ±«¥¤³¾¹¨¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¿. 1. „«¿ «¾¡®£® C 2 R ´³­ª¶¨¿ F + C ¿¢«¿¥²±¿ ¯¥°¢®®¡° §­®© f ­  ha; bi. 2. ¥°¢®®¡° §­»µ ¤°³£®£® ¢¨¤  ³ f ­  ha; bi ­¥²: ¥±«¨  | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f ­  ha; bi, ²® ±³¹¥±²¢³¥² ² ª®¥ C 2 R, ·²®  = F + C. „®ª § ²¥«¼±²¢®. 1. „«¿ «¾¡®£® x 2 ha; bi (F (x) + C)0 = F 0(x) + C 0 = f(x) + 0 = f(x): 2. ®±ª®«¼ª³ ¤«¿ «¾¡®£® x 2 ha; bi ( F )0 (x) = f(x) f(x) = 0; ¯® ¯°¨§­ ª³ ¯®±²®¿­±²¢  ´³­ª¶¨¨ (±«¥¤±²¢¨¥ 1 ²¥®°¥¬» 1 x 4 £« ¢» 4)  F ¯®±²®¿­­  ­  ha; bi. ®«®¦¨¬ C =  F , ²®£¤   = F + C.  •®²¿ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ ¯¥°¢®®¡° §­®© ¨¬¥¥² ±¬»±« ­¥ ²®«¼ª® ¤«¿ ´³­ª¶¨©, § ¤ ­­»µ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥, ¢ ²¥®°¥¬¥ 2 ±³¹¥±²¢¥­­®, ·²® ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ | ¯°®¬¥¦³²®ª. Ž¯°¥¤¥«¥­¨¥. ³±²¼ ´³­ª¶¨¿ f: ha; bi ! R ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾. ‘®¢®ª³¯­®±²¼ ¢±¥µ ¯¥°¢®®¡° §­»µ f ­  ha; bi ­ §»¢ ¥²R ±¿ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»¬ ¨­²¥£° «®¬ f ­  ha; bi ¨ ®¡®§­ · ¥²±¿ f(x) dx R ¨«¨ f. °®¬¥¦³²®ªR ha; bi ®¡»·­® ¢ ®¡®§­ ·¥­¨¿µ ­¥ ³ª §»¢ ¥²±¿. ‡­ ª ¨­²¥£° «  ¯°®¨±µ®¤¨² ®² ¡³ª¢» S, ¯¥°¢®© ¡³ª¢» ±«®¢  \±³¬¬ ". ˆ­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ²¥±­® ±¢¿§ ­® ± ±³¬¬¨°®¢ ­¨¥¬, ·²® ±² ­¥²

x 1. ¥°¢®®¡° §­ ¿ ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «

R

251

¿±­® ¯°¨ ¨§³·¥­¨¨ ®¯°¥¤¥«¥­­®£® ¨­²¥£° « .R ‡ ¯¨±¼ f ­¥ ±®¤¥°¦¨² «¨¸­¨µ ®¡®§­ ·¥­¨©. ‚ § ¯¨±¨ ¦¥ f(x) dx ¯¥°¥¬¥­­ ¿ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ x ­¥¬ ¿,   ±¨¬¢®« R dx ­¥ ¨¬¥¥² ± ¬®±²®¿²¥«¼­®£® §­ ·¥­¨¿. Œ®¦­® ±·¨² ²¼, ·²® | ½²® ®²ª°»¢ ¾¹ ¿ ±ª®¡ª ,   R dx | § ª°»¢ ¾¹ ¿. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥, ®¡®§­ ·¥­¨¥ f(x) dx ¡»¢ ¥² ³¤®¡­®, ² ª ª ª ¯®§¢®«¿¥² ¿¢­® ³ª § ²¼ ¯¥°¥¬¥­­³¾ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿, ¥±«¨ ¯®¤»­²¥£° «¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ § ¢¨±¨² ¥¹¥ ¨ ®² ¯ ° ¬¥²°®¢. Š°®¬¥ ²®£®, ª ª ¡³¤¥² ¢¨¤­® ¤ «¥¥, ¨­®£¤  ±¨¬¢®«³ dx ¬®¦­® ¯°¨¤ ²¼ ±¬»±« ®¡»·­®£® ¤¨´´¥°¥­¶¨ « . …±«¨ F | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f, ²® ¯® ²¥®°¥¬¥ 2

Z

f = fF + C : C 2 Rg:

® ²° ¤¨¶¨¨ ´¨£³°­»¥ ±ª®¡ª¨ ¢ ½²®© § ¯¨±¨ ®¯³±ª ¾² ¨ ¯¨¸³²

Z

f = F + C ¨«¨

Z

f(x) dx = F (x) + C:

 ¤® ²®«¼ª® ¯®¬­¨²¼, ·²® «¥¢ ¿ ¨ ¯° ¢ ¿ · ±²¨ ®¡®§­ · ¾² ¬­®¦¥±²¢  ´³­ª¶¨©,   ­¥ ®¤­³ ´³­ª¶¨¾. „«¿ ²®£®, ·²®¡» ³¡¥¤¨²¼±¿ ¢ ±¯° ¢¥¤«¨¢®±²¨ ° ¢¥­±²¢ 

Z

f(x) dx = F(x) + C;

¤®±² ²®·­® ¯°®¢¥°¨²¼, ·²® F 0(x) = f(x) ¤«¿ ¢±¥µ x 2 ha; bi. ’ ª ª ª dF(x) = f 0 (x) dx, ¯¨¸³²

Z

dF (x) = F (x) + C:

¨¸³² ² ª¦¥

Z

d f(x) dx = f(x) dx;

Z

0

f(x) dx = f(x):

²¨ ° ¢¥­±²¢  ±«¥¤³¥² ¯®­¨¬ ²¼ ² ª: R ¤¨´´¥°¥­¶¨ « (¯°®¨§¢®¤­ ¿) «¾¡®© ´³­ª¶¨¨ ¨§ ¬­®¦¥±²¢  f(x) dx ° ¢¥­ (° ¢­ ) ¯° ¢®© · ±²¨. ‚ ½²®¬ ±¬»±«¥ §­ ª¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «  ¨ ¨­²¥£° «  ¢§ ¨¬­® ³­¨·²®¦ ¾²±¿. ¥°¥©¤¥¬ ª ¢®¯°®±³ ­ µ®¦¤¥­¨¿ ¨«¨, ª ª £®¢®°¿², ¢§¿²¨¿ ¯¥°¢®®¡° §­»µ ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»µ ¨­²¥£° «®¢.

252

ƒ« ¢  5.

ˆ­²¥£° «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

’ ¡«¨¶  ¨­²¥£° «®¢. ”®°¬³«» ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¯®«³· ¾²±¿, ¥±«¨ ¯°®·¨² ²¼ ´®°¬³«» ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ±¯° ¢  ­ «¥¢®. ²¨ ´®°¬³«» ¢¥°­» ­  ª ¦¤®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥ ¨§ ®¡« ±²¨ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ ¯®¤»­²¥£° «¼­®© ´³­ª¶¨¨. 1. 2.

Z

Z

0 dx = C. +1 x dx = x + 1 + C,  6= 1.

3. °¨  = 1 ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ ¤°³£ ¿:

Z dx x = ln x + C; x > 0

(\§ ª°»¢ ¾¹³¾ ±ª®¡ª³" dx ¯¨¸³² ¨ ¢ ·¨±«¨²¥«¥ ¤°®¡¨). ®¤»­²¥£° «¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ®¯°¥¤¥«¥­  ¨ ¯°¨ x < 0; «¥£ª® ¢¨¤¥²¼, ·²®

Z dx x = ln( x) + C; x < 0:

²¨ ¤¢¥ ´®°¬³«» ¬®¦­® ®¡º¥¤¨­¨²¼ ¢ ®¤­³:

Z dx x = ln jxj + C:

(1)

®¤·¥°ª­¥¬, ·²® ° ¢¥­±²¢® (1), ¢ ª®²®°®¬ C ®§­ · ¥² ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ¯®±²®¿­­³¾, ¢¥°­® ­  ª ¦¤®¬ ¨§ ¯°®¬¥¦³²ª®¢ (0; +1) ¨ ( 1; 0). Ž¤­ ª®, ®­® ­¥ ¤ ¥² ®¡¹¥£® ¢¨¤  ¯¥°¢®®¡° §­®© ­  ¨µ ®¡º¥¤¨­¥­¨¨ Rn f0g, ² ª ª ª ¯®±²®¿­­³¾ ¬®¦­® ¢»¡¨° ²¼ ­¥§ ¢¨±¨¬® ­  ª ¦¤®¬ ¯°®¬¥¦³²ª¥:

Z dx  ln x + C1; x = ln( x) + C2;

x > 0; x < 0:

²® ¯®¿±­¥­¨¥ ®²­®±¨²±¿ ¨ ª ¤°³£¨¬ ´®°¬³« ¬ ² ª®£® ²¨¯ , ¯°¨·¥¬ ·¨±«® ¯°®¬¥¦³²ª®¢ ¬®¦¥² ¡»²¼ ¡®«¼¸¥ ¤¢³µ, ¨«¨ ¤ ¦¥ °¥·¼ ¬®¦¥² ¨¤²¨ ® ±·¥²­®¬ ¬­®¦¥±²¢¥ ¯°®¬¥¦³²ª®¢.

4. 5. 6. 7.

Z Z Z

x 1. ¥°¢®®¡° §­ ¿ ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «

253

x ax dx = lna a + C, a > 0, a 6= 1.

sin x dx = cos x + C. cos x dx = sin x + C.

Z dx cos2 x = tg x + C. Z dx

= ctg x + C. sin2 x Z dx p 2 = arcsin x + C = arccos x + C. 9. 1 x »«® ¡» ®¸¨¡ª®© ±®ª° ²¨²¼ ¯®±«¥¤­¥¥ ° ¢¥­±²¢® ­  C ¨ ¢»¢¥±²¨, ·²® arcsin x = arccos x. ‡¤¥±¼ § ¯¨± ­® ° ¢¥­±²¢® ­¥ ¨­¤¨¢¨¤³ «¼­»µ ´³­ª¶¨©,   ¬­®¦¥±²¢ ´³­ª¶¨©: 8.

farcsin +C : C 2 Rg = f arccos +C : C 2 Rg: …£® ¬®¦­® ¤®ª § ²¼ ¨ ¡¥§ ¨±¯®«¼§®¢ ­¨¿ ¨­²¥£° « , ± ¯®¬®¹¼¾ ´®°¬³«» arcsin + arccos = 2 . ²® § ¬¥· ­¨¥ ®²­®±¨²±¿ ¨ ª ±«¥¤³¾¹¥¬³ ° ¢¥­±²¢³. Z dx 10. 1 + x2 = arctg x + C = arcctg x + C. „®¡ ¢¨¬ ¢ ² ¡«¨¶³ ¥¹¥ ¤¢  ¨­²¥£° « . Z dx p p 2 = ln jx + x2  1j + C: 11. x 1 …±«¨ ¢»¡° ­ §­ ª \+" ¨«¨ x > 1, ²® ¬®¤³«¼ ¬®¦­® § ¬¥­¨²¼ ±ª®¡ª ¬¨. Z dx 1 1 + x 12. 1 x2 = 2 ln 1 x + C: ”³­ª¶¨¨ ¢ ¯° ¢»µ · ±²¿µ ´®°¬³« 11 ¨ 12 ­ §»¢ ¾²±¿ ±®®²¢¥²±²¢¥­­® ¤«¨­­»¬ ¨ ¢»±®ª¨¬ «®£ °¨´¬®¬. Š ª ®¡»·­®, ½²¨ ´®°¬³«» ¤®ª §»¢ ¾²±¿ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥¬.

254

ƒ« ¢  5.

ˆ­²¥£° «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

„«¿ ¬­®¦¥±²¢, ±®±²®¿¹¨µ ¨§ ´³­ª¶¨© (¢ · ±²­®±²¨, ¤«¿ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»µ ¨­²¥£° «®¢), ª ª ¨ ¤«¿ ·¨±«®¢»µ ¬­®¦¥±²¢, ¯®« £ ¥¬ A + B = fx + y : x 2 A; y 2 B g; A = fx : x 2 Ag; x + B = fx + y : y 2 B g: Š°®¬¥ ²®£®, ¡³¤¥¬ ¯°¨¬¥­¿²¼ ª ¬­®¦¥±²¢ ¬ ´³­ª¶¨© ®¯¥° ¶¨¾ ¯®¤±² ­®¢ª¨: fF (x)g x=y = fF (y)g.

’¥®°¥¬  3. €°¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ ­ ¤ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»¬¨ ¨­²¥£° « ¬¨. ³±²¼ ´³­ª¶¨¨ f; g: ha; bi ! R ¨¬¥¾²

¯¥°¢®®¡° §­»¥, 1) ´³­ª¶¨¿

 2 R. ’®£¤  f + g ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾ ¨

Z

2) ´³­ª¶¨¿ f

(f + g) =

Z

Z

f + g;

¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾ ¨ ¯°¨

Z

Z

 6= 0

f =  f:

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ F | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f, G | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ g. ’®£¤  ¯® ¯° ¢¨« ¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ F + G | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f + g, F | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f. „®ª ¦¥¬ ° ¢¥­±²¢ . 1. ®±ª®«¼ª³

Z

Z

(f + g) = fF + G + C : C 2 Rg;

f = fF + C1 : C1 2 Rg;

Z

g = fG + C2 : C2 2 Rg;

²°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²®

fF + G + C : C 2 Rg = fF + C1 : C1 2 Rg + fG + C2 : C2 2 Rg: (2) Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§  ¨  «¥¢³¾ ¨ ¯° ¢³¾ · ±²¼ ° ¢¥­±²¢  (2). …±«¨ H 2 , ²® H = F + G + C ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ C. ®«®¦¨¬ C1 = C,

x 1. ¥°¢®®¡° §­ ¿ ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «

255

C2 = 0; ²®£¤  H = (F + C1) + (G + C2) 2 . Ž¡° ²­®, ¥±«¨ H 2 , ²® H = (F + C1) + (G + C2) ¯°¨ ­¥ª®²®°»µ C1 ¨ C2. ®« £ ¿ C = C1 + C2, ­ µ®¤¨¬, ·²® H 2 . 2. ’°¥¡³¥²±¿ ¤®ª § ²¼, ·²®

fF + C : C 2 Rg = fF + C1 : C1 2 Rg:

(3)

Ž¡®§­ ·¨¬ ·¥°¥§  ¨  «¥¢³¾ ¨ ¯° ¢³¾ · ±²¼ ° ¢¥­±²¢  (3). …±«¨ H 2 , ²® H = F + C ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ C. ®«®¦¨¬ C1 = C=; ²®£¤  H = (F + C1) 2 . Ž¡° ²­®, ¥±«¨ H 2 , ²® H = (F + C1) ¯°¨ ­¥ª®²®°®¬ C1. ®« £ ¿ C = C1, ­ µ®¤¨¬, ·²® H 2 .  ‡ ¬¥· ­¨¥ 1. °¨  = 0 ° ¢¥­±²¢® (3) ­ °³¸ ¥²±¿, ² ª ª ª  ¥±²¼ ¬­®¦¥±²¢® ¢±¥µ ª®­±² ­²,    ±®¤¥°¦¨² ²®«¼ª® ²®¦¤¥±²¢¥­­»© ­³«¼. ‡ ¬¥· ­¨¥ 2. ‘¯° ¢¥¤«¨¢® ° ¢¥­±²¢®

Z

Z

Z

f + g = F + g:

‚ ± ¬®¬ ¤¥«¥, ®¡¥ · ±²¨ ° ¢­» fF + G + C : C 2 Rg. ’ ª¨¬ ®¡° §®¬, ¯°¨ ¢»·¨±«¥­¨¨ ±³¬¬» ­¥±ª®«¼ª¨µ ¨­²¥£° «®¢ ¯°®¨§¢®«¼­³¾ ¯®±²®¿­­³¾ ¬®¦­® ®¯³±ª ²¼, ¯®ª  ­¥ ¢§¿² ± ¬»© ¯®±«¥¤­¨© ¨­²¥£° «. ‘«¥¤±²¢¨¥ 1. ‹¨­¥©­®±²¼ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®£® ¨­²¥£° « . ³±²¼ ´³­ª¶¨¨ f; g: ha; bi ! R ¨¬¥¾² ¯¥°¢®®¡° §­»¥, ; 2 R,

jj + j j 6= 0. ’®£¤ 

Z

Z

Z

(f + g) =  f + g:

’¥®°¥¬  4. ‡ ¬¥­  ¯¥°¥¬¥­­®© ¢ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®¬ ¨­²¥£° «¥. ³±²¼ f: ha; bi ! R, ': hc; di ! ha; bi, f ¨¬¥¥² ¯¥°¢®-

®¡° §­³¾,

' ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ .

Z

’®£¤ 

Z



f('(t))'0 (t) dt = f(x) dx

x='(t)

:

256

ƒ« ¢  5.

ˆ­²¥£° «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ³±²¼ F | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f. ’®£¤  ¯® ¯° ¢¨«³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ª®¬¯®§¨¶¨¨ F  ' | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ (f  ')'0 . ®½²®¬³

Z

Z

f('(t))'0 (t) dt = F ('(t)) + C;

f(x) dx = F (x) + C x='(t) = F ('(t)) + C:  x='(t)

°¨¬¥° 1.  ©¤¥¬

Z

esin t cos t dt =

Z

Z

esin t cos t dt:





ex dx = ex + C x=sin t = esin t + C: x=sin t

Ž¡»·­® ¯°¨ ®´®°¬«¥­¨¨ ¢»·¨±«¥­¨© ·¥°²³ ¯®¤±² ­®¢ª¨ ª ¦¤»© ° § ­¥ ¯¨¸³²,   ¤¥°¦ ² \¢ ³¬¥". ° ¢¨«® § ¬¥­» ¯¥°¥¬¥­­®© ¬®¦¥² ¯°¨¬¥­¿²¼±¿ ª ª ±«¥¢  ­ ¯° ¢®, ² ª ¨ ±¯° ¢  ­ «¥¢®. ³±²¼ ¢ ¤®¯®«­¥­¨¥ ª ³±«®¢¨¿¬ ²¥®°¥¬» 4 ´³­ª¶¨¿ ' ®¡° ²¨¬ . ’®£¤  ¯® ²¥®°¥¬¥ 4

Z

f(x) dx =

Z

t='

f('(t))'0 (t) dt

1 (x)

:

  ¯° ª²¨ª¥ ¯° ¢¨«® ¯®¤±² ­®¢ª¨ ®¡»·­® ¯°¨¬¥­¿¾² ² ª. R ’°¥¡³¥²±¿R ­ ©²¨ ¨­²¥£° « I = f(x) dx. ®« £ ¾² x = '(t). ’®£¤  I = f('(t))'0 (t) dt. °¥®¡° §®¢ ­­»© ¨­²¥£° « ¢»·¨±«¿¾²: I = G(t) + C, ¯®±«¥ ·¥£® ¢®§¢° ¹ ¾²±¿ ª ¨±µ®¤­®© ¯¥°¥¬¥­­®©: I = G(' 1(x)) + C. Š ª ¢¨¤­®, ¯°¨ ¯®¤±² ­®¢ª¥ x = '(t) ±¨¬¢®« dx ¯°¥®¡° §³¥²±¿ ª ª ­ ±²®¿¹¨© ¤¨´´¥°¥­¶¨ «: dx = '0 (t) dt. °¨¬¥° 2. ‹¨­¥©­ ¿ § ¬¥­  ¯¥°¥¬¥­­®©. …±«¨ ; 2 R,  6= 0, F | ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ f, ²® Z f(x + ) dx = 1 F(x + ) + C:

x 1. ¥°¢®®¡° §­ ¿ ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «

257

²³ ´®°¬³«³ ¬®¦­® ¯®«³·¨²¼ § ¬¥­®© y = x + , ­® ¥¹¥ ¯°®¹¥ ¯°¿¬® ¯°®¢¥°¨²¼ ¥¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥¬.  ¯°¨¬¥°, Z cos(5x + 1) dx = 51 sin(5x + 1) + C: ‹¨­¥©­®© § ¬¥­®© x = at ±¢®¤¿²±¿ ª ² ¡«¨·­»¬ ¨­²¥£° «» Z dx 1 x 2 + x2 = a arctg a + C; a 6= 0; a Z dx p 2 2 = arcsin xa + C; a > 0: a x

Z

dxp . ‘¤¥« ¥¬ § ¬¥­³ x = t2 , £¤¥ 1+ x t > 0. ’®£¤  px = t, dx = 2t dt ¨ Z dx Z 2t Z 1  p = dt = 2 1 1 + t dt = 1+ x 1+t
p p
= 2 t ln(1 + t) + C = 2 x ln(1 + x) + C: °¨¬¥° 3.  ©¤¥¬

Zp

1 x2 dx. ’ ª ª ª ¯® ³±«®¢¨¾ § ¤ ·¨ x 2 [ 1; 1], ¬®¦­® ¯°¨¬¥­¨²¼ p ¯®¤±² ­®¢ª³   ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª³¾ x = sin t, £¤¥ t 2 2 ; 2 . ’®£¤  t = arcsin x, 1 x2 = cos t, dx = cos t dt ¨  sin 2t  Zp Z Z 1 + cos 2t 1 2 2 1 x dx = cos t dt = 2 dt = 2 t + 2 + C: ‚®§¢° ¹ ¿±¼ ª ¨±µ®¤­®© ¯¥°¥¬¥­­®© ¨ ³¯°®¹ ¿ ± ¯®¬®¹¼¾ ° ¢¥­±²¢  p sin 2t = 2 sin t cos t = 2x 1 x2 ; ¯®«³· ¥¬ ®²¢¥²: Zp   p 1 x2 dx = 12 arcsin x + x 1 x2 + C: °¨¬¥° 4.  ©¤¥¬

258

ƒ« ¢  5.

ˆ­²¥£° «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

’¥®°¥¬  5. ˆ­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ¯® · ±²¿¬ ¢ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®¬ ¨­²¥£° «¥. ³±²¼ ´³­ª¶¨¨ f ¨ g ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬» ­  ha; bi, f 0 g ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾. ’®£¤  fg0 ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾ ¨

Z

fg0 = fg

Z

f 0 g:

(4)

„®ª § ²¥«¼±²¢®. ® ¯° ¢¨«³ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ (fg)0 = f 0 g +fg0 . ® ²¥®°¥¬¥ 3 ´³­ª¶¨¿ f 0 g = (fg)0 fg0 ¨¬¥¥² ¯¥°¢®®¡° §­³¾ ¨

Z

Z

fg0 = (fg)0

Z

f 0 g = fg

Z

f 0 g:

‚ ¯®±«¥¤­¥¬ ° ¢¥­±²¢¥ ¬» ®¯³±²¨«¨ ª®­±² ­²³ ¯® § ¬¥· ­¨¾ 2 ª ²¥®°¥¬¥ 3.   ¢¥­±²¢® (4) ­ §»¢ ¥²±¿ ´®°¬³«®© ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¯® · ±²¿¬. ²³ ´®°¬³«³ ² ª¦¥ § ¯¨±»¢ ¾² ¢ ¢¨¤¥

Z

f dg = fg

Z

g df;

²° ª²³¿ g0(x) dx ¨ f 0 (x) dx ª ª ¤¨´´¥°¥­¶¨ «». ‡ ¬¥· ­¨¥ 3. “±«®¢¨¿ ²¥®°¥¬» 5 § ¢¥¤®¬® ¢»¯®«­¥­», ¥±«¨ f; g 2 C (1)ha; bi. ‡ ¬¥· ­¨¥ 4. …±«¨ ¨§¢¥±²­  g0 , ²® g ®¯°¥¤¥«¿¥²±¿ ± ²®·­®±²¼¾ ¤® ¯®±²®¿­­®£® ±« £ ¥¬®£®, ª®²®°®¥ ¯°¨ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¨ ¯® · ±²¿¬ ¬®¦­® ¢»¡¨° ²¼ ¯® ±¢®¥¬³ ³±¬®²°¥­¨¾.

Z

x ln x dx, £¤¥  2 R. ®«®¦¨¬ f(x) = ln x, g0 (x) = x; ²®£¤  f 0 (x) = x1 . +1 …±«¨  6= 1, ²® g(x) = x+1 , ¨ ¯® ´®°¬³«¥ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¯® · ±²¿¬ Z +1 Z x+1 dx x ln x dx = ln x x + 1 +1 x : °¨¬¥° 5.  ©¤¥¬

x 1. ¥°¢®®¡° §­ ¿ ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «

259

‚»·¨±«¿¿ ¯®±«¥¤­¨© ² ¡«¨·­»© ¨­²¥£° «, ­ µ®¤¨¬

Z

+1 +1 x ln x dx = x + 1 ln x (x+ 1)2 + C;  6= 1:

…±«¨  = 1, ²® g(x) = ln x, ¨ ´®°¬³«  ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¯® · ±²¿¬ ¤ ¥² Z ln x Z ln x 2 x dx = ln x x dx: ®«³·¨¢¸¥¥±¿ ° ¢¥­±²¢® ¬®¦­® ° ±±¬ ²°¨¢ ²¼ ª ª ³° ¢­¥­¨¥ ®²­®±¨²¥«¼­® ­¥¨§¢¥±²­®£® ¨­²¥£° « . ¥¸ ¿ ³° ¢­¥­¨¥, ­ µ®¤¨¬

Z ln x 1 2 x dx = 2 ln x + C:

²®² ¯°¨¥¬ ­ §»¢ ¥²±¿ ¯°¨¢¥¤¥­¨¥¬ ¨­²¥£° «  ª ± ¬®¬³ ±¥¡¥. ®±«¥¤­¨© ¨­²¥£° « ¬®¦­® ¡»«® ¢§¿²¼ ¨ ± ¯®¬®¹¼¾ § ¬¥­» ln x = t. ‚ x 1 £« ¢» 4 ¡»«® ³±² ­®¢«¥­®, ·²® ¯°®¨§¢®¤­ ¿ «¾¡®© ½«¥¬¥­² °­®© ´³­ª¶¨¨ ¿¢«¿¥²±¿ ½«¥¬¥­² °­®©. „«¿ ¯¥°¢®®¡° §­®©  ­ «®£¨·­®¥ ³²¢¥°¦¤¥­¨¥ ­¥¢¥°­®: ±³¹¥±²¢³¾² ½«¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨, ¯¥°¢®®¡° §­»¥ ª®²®°»µ ­¥ ¿¢«¿¾²±¿ ½«¥¬¥­² °­»¬¨. …±«¨ R ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ ´³­ª¶¨¨ f ½«¥¬¥­² °­ , ²® ¨­²¥£° « f ­ §»¢ ¾² ¡¥°³¹¨¬±¿ ,   ¥±«¨ ­¥½«¥¬¥­² °­ , ²® ­¥¡¥°³¹¨¬±¿. ˆ§¢¥±²­» ª« ±±» ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨©, ¨­²¥£° «» ®² ª®²®°»µ ¡¥°³²±¿. ‘ ¬»© ¢ ¦­»© ¨§ ­¨µ | ª« ±± ° ¶¨®­ «¼­»µ ¤°®¡¥©. Œ­®£¨¥ ¤°³£¨¥ ¡¥°³¹¨¥±¿ ¨­²¥£° «» ±¢®¤¿²±¿ ª ¨­²¥£° « ¬ ®² ° ¶¨®­ «¼­»µ ´³­ª¶¨© ± ¯®¬®¹¼¾ ¯®¤µ®¤¿¹¨µ ¯®¤±² ­®¢®ª. ’ ª®¢», p ­ ¯°¨¬¥°, ¨­²¥£° «» ®² ´³­ª¶¨© ¢¨¤  R(sin x; cosx) ¨ R(x; ax2 + bx + c), £¤¥ R | ° ¶¨®­ «¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ ±¢®¨µ  °£³¬¥­²®¢.   ¬¥²®¤ µ ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¿ ¬» ®±² ­ ¢«¨¢ ²¼±¿ ­¥ ¡³¤¥¬. ¥ª®²®°»¥ ­¥¡¥°³¹¨¥±¿ ¨­²¥£° «» ¨¬¥¾² ±¯¥¶¨ «¼­»¥ ­ §¢ ­¨¿:Z sin x dx | ¨­²¥£° «¼­»© ±¨­³±, Z cosx x x dx | ¨­²¥£° «¼­»© ª®±¨­³±,

260

Z Z Z Z

ƒ« ¢  5.

ˆ­²¥£° «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥

ex dx | ¨­²¥£° «¼­ ¿ ¯®ª § ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿, x dx ln x | ¨­²¥£° «¼­»© «®£ °¨´¬,

sin x2 dx ¨ 2

Z

cos x2 dx | ¨­²¥£° «» ”°¥­¥«¿,

e x dx | ¨­²¥£° « ¢¥°®¿²­®±²¨ ¨«¨ ´³­ª¶¨¿ ®¸¨¡®ª. (’®·­¥¥, ² ª ­ §»¢ ¾²±¿ ­¥ª®²®°»¥ ª®­ª°¥²­»¥ ¯¥°¢®®¡° §­»¥ ¯®¤»­²¥£° «¼­»µ ´³­ª¶¨©,   ¨­®£¤  ¥¹¥ ³¬­®¦¥­­»¥ ­  ª®­±² ­²³, ­® ¬» ­¥ ¡³¤¥¬ ¤ ¢ ²¼ §¤¥±¼ ¯®¿±­¥­¨¿.) „®ª § ²¥«¼±²¢® ²®£®, ·²® ½²¨ ¨ ­¥ª®²®°»¥ ¤°³£¨¥ ¨­²¥£° «» ­¥ ¡¥°³²±¿, ¯°®¢®¤¨²±¿ ±°¥¤±²¢ ¬¨ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®©  «£¥¡°» ¨ ¢»µ®¤¨² §  ° ¬ª¨ ª³°±   ­ «¨§ .

…„Œ…’›‰ “Š€‡€’…‹œ

 ¡±®«¾²­ ¿ ¢¥«¨·¨­  { ±¬. ¬®¤³«¼

 °£³¬¥­² ª®¬¯«¥ª±­®£® ·¨±«  20  °£³¬¥­² ®²®¡° ¦¥­¨¿ (´³­ª¶¨¨) 28, 29  °ªª®±¨­³± 136, 150, 187, 253  °ªª®² ­£¥­± 136, 153, 187, 253  °ª±¨­³± 136, 149, 155, 187, 253  °ª² ­£¥­± 136, 152, 155, 187, 253 €°µ¨¬¥¤ 16, 22 €°µ¨¬¥¤   ª±¨®¬  16, 22  ±¨¬¯²®²  ¢¥°²¨ª «¼­ ¿ 167 { ­ ª«®­­ ¿ 167, 168 { ±¢¿§¼ ± ¢»¯³ª«®±²¼¾ 237  ±¨¬¯²®²¨·¥±ª®¥ ° ¢¥­±²¢® 159, 161, 165 { ±®®²­®¸¥­¨¥ 159 { ° §«®¦¥­¨¥ 165  ±±®¶¨ ²¨¢­®±²¼ ±«®¦¥­¨¿ (³¬­®¦¥­¨¿) 13, 53  ´´¨­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ 169 ¥°­³««¨ ˆ®£ ­­ 193 ¥°­³««¨ Ÿª®¡ 92, 236 ¥°­³««¨ Ÿª®¡  ­¥° ¢¥­±²¢® 92, 236

¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ 63, 64, 65, 66 { { ´³­ª¶¨¿ 106 ¡¥±ª®­¥·­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¿ ´³­ª¶¨¿ 201 ¡¥±ª®­¥·­® ¬ « ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ 53, 56, 65 { { ´³­ª¶¨¿ 106 ¡¥±ª®­¥·­®±²¼ 15, 65, 88, 101, 106 ¡¨¥ª¶¨¿ (¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥ ±®®²¢¥²±²¢¨¥) 32, 35 ¡¨­®¬ ¼¾²®­  24, 215 ¡¨­®¬¨ «¼­®¥ ° §«®¦¥­¨¥ 215 ¡¨­®¬¨ «¼­»¥ ª®½´´¨¶¨¥­²» 23, 215 { { ®¡®¡¹¥­­»¥ 215 ®«¼¶ ­® 83, 86, 97, 110, 130, 131, 133, 198 ®«¼¶ ­® { ‚¥©¥°¸²° ±±  ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®°  83, 97 ®«¼¶ ­® { Š®¸¨ ª°¨²¥°¨© 86, 110 { { ²¥®°¥¬  ® ¯°®¬¥¦³²®·­®¬ §­ ·¥­¨¨ 130, 131, 198 { { ²¥®°¥¬  ® ­¥¯°¥°»¢­»µ ®²®¡° ¦¥­¨¿µ 133

262

°¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼

®°¥«¼ 77, 83 ³­¿ª®¢±ª¨© 59, 60, 61, 62, 243 ‚¥©¥°¸²° ±± 83, 97, 126, 127, 131, 174 ‚¥©¥°¸²° ±±  ²¥®°¥¬  ® ­¥¯°¥°»¢­»µ ®²®¡° ¦¥­¨¿µ 126 ‚¥©¥°¸²° ±±  ²¥®°¥¬  ® ­¥¯°¥°»¢­»µ ´³­ª¶¨¿µ 127, 131 ¢¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® 53 ¢¥ª²®°-´³­ª¶¨¿ 30 ¢¥ª²®°» 12, 18, 54 { ª®««¨­¥ °­®±²¼ 60, 243 { ±®­ ¯° ¢«¥­­®±²¼ 60, 242, 244 ¢¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±«  7, 12, 17 { {  ª±¨®¬» 13, 14, 16, 17 ¢­¥¸­®±²¼ 74 ¢­³²°¥­­®±²¼ 70 ¢®§° ±² ­¨¿ (³¡»¢ ­¨¿) ²®·ª  223 ¢®§° ±² ¾¹ ¿ (³¡»¢ ¾¹ ¿) ´³­ª¶¨¿ { ±¬. ¬®­®²®­­ ¿ ´³­ª¶¨¿

¢»¯³ª« ¿ (¢®£­³² ¿) ´³­ª¶¨¿ 226 { { ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ 230 { { ®¤­®±²®°®­­¨¥ ¯°®¨§¢®¤­»¥ 229 { { ®¯®°­ ¿ ¯°¿¬ ¿ 233 ¢»¯³ª«®±²¼ (¢®£­³²®±²¼) ´³­ª¶¨¨ 226 { { £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« 227, 228 { { ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥° ¢¥­±²¢ 235, 236, 238, 241, 243, 247 { { ®±­®¢­»µ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© 236

{ { µ ° ª²¥°¨±²¨ª  ¢ ²¥°¬¨­ µ ª ± ²¥«¼­»µ 231 { { { ¢ ²¥°¬¨­ µ ¯°®¨§¢®¤­»µ 234 ƒ¥¤¥«¼ 41 ƒ¥©­¥ 77, 83, 99, 101, 102, 103, 114, 116 ƒ¥©­¥ { ®°¥«¿ ²¥®°¥¬  77, 83 ƒ¥©­¥ ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ 99, 101, 102, 103, 114, 116 ƒ¥«¼¤¥° 241 ƒ¥«¼¤¥°  ­¥° ¢¥­±²¢® 241 ƒ¥°®­ 93, 94 ƒ¥°®­  ´®°¬³«  (¢»·¨±«¥­¨¥ ª®°­¿) 93, 94 £° ­¨¶  ¢¥°µ­¿¿ (­¨¦­¿¿) 25 { { ²®·­ ¿ 87, 88, 89 { ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ 74 £° ´¨ª ®²®¡° ¦¥­¨¿ (´³­ª¶¨¨) 32, 33 „ °¡³ 198, 249 „ °¡³ ²¥®°¥¬  ® ¯°®¬¥¦³²®·­®¬ §­ ·¥­¨¨ ¯°®¨§¢®¤­®© 198, 249 ¤¥ª °²®¢® ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ 12 „¨°¨µ«¥ 121 „¨°¨µ«¥ ´³­ª¶¨¿ 121 ¤¨±²°¨¡³²¨¢­®±²¼ 13, 53 ¤¨´´¥°¥­¶¨ « ¢ ²®·ª¥ 171, 177, 180, 181, 183 { ¢»±¸¥£® ¯®°¿¤ª  202, 210 { ±¢¿§¼ ± ¨­²¥£° «®¬ 251, 256 ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥ ª®¬¯®§¨¶¨¨ (¯° ¢¨«® ¶¥¯®·ª¨) 180 { «¨­¥©­®±²¼ 179, 202 { ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ 182

°¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼ { ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ § ¤ ­­®© ´³­ª¶¨¨ 184 { ±³¬¬», ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿, · ±²­®£® 178, 202 ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¿ ´³­ª¶¨¿ { ±¬. ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼ ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¼ ¢ ²®·ª¥ 169, 176, 222 { { ¬­®£®ª° ²­ ¿ 199, 208 { ­  ¬­®¦¥±²¢¥ 172 { { ¬­®£®ª° ²­ ¿ 201 { ±¢¿§¼ ± ­¥¯°¥°»¢­®±²¼¾ 173, 174 ¤®¯®«­¥­¨¥ 10, 72 ¥¢ª«¨¤®¢® ¯°®±²° ­±²¢® 47, 56, 61 ¥¤¨­¨¶  13, 19 { ¬­¨¬ ¿ 19 § ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» 154, 155, 157, 158, 161, 197, 212 § ¬»ª ­¨¥ 73 ˆ¥­±¥­ 238, 248 ˆ¥­±¥­  ­¥° ¢¥­±²¢® 238, 248 ¨¬¯«¨ª ¶¨¿ 7 ¨­¤¥ª± 9, 29 { ­¥¬®© 9, 23 { ±¤¢¨£ 23 ¨­²¥£° « ¢¥°®¿²­®±²¨ (´³­ª¶¨¿ ®¸¨¡®ª) 260 ¨­²¥£° « ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© { ±¬. ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° «

¨­²¥°¢ « 14 ¨­´¨¬³¬ (­¨¦­¿¿ £° ­¼) ¬­®¦¥±²¢  87, 88 { ´³­ª¶¨¨ 89 ¨­º¥ª¶¨¿ 31 Š ­²®° 6, 16, 22, 41, 129

263

Š ­²®°   ª±¨®¬  ® ¢«®¦¥­­»µ ®²°¥§ª µ 16, 22, 79 { ²¥®°¥¬  ® ° ¢­®¬¥°­®© ­¥¯°¥°»¢­®±²¨ 129 ª ± ²¥«¼­ ¿ 174, 175, 177, 183, 191, 231, 234, 238 ª¢ ­²®°» 8 ª« ±±» ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬»µ ´³­ª¶¨© 201 ª« ±±» ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¨ 41 ª®¬¬³² ²¨¢­®±²¼ ±«®¦¥­¨¿ (³¬­®¦¥­¨¿) 13, 53 ª®¬¯ ª²­®±²¼ (ª®¬¯ ª²) 77, 78, 80, 82, 126, 129 { µ ° ª²¥°¨±²¨ª  ¢ m 82 ª®¬¯«¥ª±­»¥ ·¨±«  7, 18 { {  «£¥¡° ¨·¥±ª ¿ ´®°¬  19 { { ¤¥©±²¢¨¿ 18 { { ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ´®°¬  20 ª®¬¯®§¨¶¨¿ (±³¯¥°¯®§¨¶¨¿) 34 ª®­¥·­»µ ¯°¨° ¹¥­¨© ´®°¬³«  190, 191, 210 ª®­²¨­³³¬  £¨¯®²¥§  41 { ¬®¹­®±²¼ 41 ª®±¨­³± 136, 145, 147, 155, 186, 204, 214, 253 { ¨­²¥£° «¼­»© 259 { ­¥° ¢¥­±²¢  219, 220 ª®°¥­¼ n-© ±²¥¯¥­¨ 137, 197 ª®² ­£¥­± 136, 148, 186, 253 Š®¸¨ 59, 60, 61, 62, 84, 86, 99, 102, 110, 114, 116, 130, 131, 133, 171, 190, 192, 198, 201, 212, 243, 247 Š®¸¨ { ³­¿ª®¢±ª®£® (Š®¸¨ {

R

264

°¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼

³­¿ª®¢±ª®£® { ˜¢ °¶ ) ­¥° ¢¥­±²¢® 59, 60, 61, 62, 243 Š®¸¨ ­¥° ¢¥­±²¢® ¤«¿ ±°¥¤­¨µ 247 { ®¯°¥¤¥«¥­¨¥ 99, 101, 102, 114, 116 { ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ { ±¬. ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼, ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±¥¡¥

{ ²¥®°¥¬  ® ±°¥¤­¥¬ 190 { ´®°¬³«  191 Š®½­ 41 ª°¨²¨·¥±ª ¿ ²®·ª  222, 223, 225 ª³¡ 63 { ª®¬¯ ª²­®±²¼ 80 ‹ £° ­¦ 170, 190, 208, 210 ‹ £° ­¦  ²¥®°¥¬  ® ±°¥¤­¥¬ 190 { ´®°¬³«  190, 210 ‹ ­¤ ³ 159 «¥¦ ²¼ ¬¥¦¤³ 15 ‹¥©¡­¨¶ 169, 171, 174, 201, 203 ‹¥©¡­¨¶  ¯° ¢¨«® ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¿ 203 «¨­¥©­®¥ ¬­®¦¥±²¢® { ±¬. ¢¥ª²®°­®¥ ¯°®±²° ­±²¢®

«¨­¥©­®±²¼ 57, 59, 105, 169, 179, 202, 255 «®£ °¨´¬ 136, 142, 144, 145, 157, 185, 196, 204, 215, 235, 236, 248, 252 { ¢»±®ª¨© 253 { ¤«¨­­»© 253 { ¨­²¥£° «¼­»© 260 { ­ ²³° «¼­»© 93, 144 ‹®¯¨² «¼ 193, 194, 195

‹®¯¨² «¿ ¯° ¢¨«® ¤«¿ ¡¥±ª®­¥·­® ¡®«¼¸¨µ 195 { { ¤«¿ ¡¥±ª®­¥·­® ¬ «»µ 194 «³· 15 Œ ª«®°¥­ 207 Œ ª«®°¥­  ´®°¬³«  207 ¬ ª±¨¬³¬ (¬¨­¨¬³¬) ¬­®¦¥±²¢  25, 87 { ´³­ª¶¨¨ 90 ¬ ª±¨¬³¬  (¬¨­¨¬³¬ ) ²®·ª  220, 223, 225 ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª®© ¨­¤³ª¶¨¨ ¯°¨­¶¨¯ 21 ¬¥²°¨ª  (° ±±²®¿­¨¥) 46 { ¥¢ª«¨¤®¢  47 { ¯®°®¦¤¥­­ ¿ ­®°¬®© 56 { ±¨¬¯«¨¶¨ «¼­ ¿ 47 ¬¥²°¨·¥±ª®¥ ¯°®±²° ­±²¢® 46 { ¤¨±ª°¥²­®¥ 47 { ¯®¤¯°®±²° ­±²¢® 48, 75 { ¯®«­®¥ 85 ¬¨«¨¶¨®­¥° (¯°¨­¶¨¯ ¤¢³µ ¬¨«¨¶¨®­¥°®¢) 52, 106 Œ¨­ª®¢±ª¨© 243 Œ¨­ª®¢±ª®£® ­¥° ¢¥­±²¢® 243 ¬­®£®·«¥­ 93, 123, 204, 207 { ’¥©«®°  205, 207 ¬­®¦¥±²¢® 6 { ¡¥±ª®­¥·­®¥ 35, 41 { ¢»¯³ª«®¥ 132, 237 { ¢ª«¾·¥­¨¥ 7 { ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬®±²¨ 172, 199 { § ¬ª­³²®¥ 71, 72, 74, 75 { §­ ·¥­¨© 30, 31, 126, 132, 133, 134, 198 { ¨­¤³ª²¨¢­®¥ 22

°¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼ { ª®¬¯ ª²­®¥ { ±¬. ª®¬¯ ª²­®±²¼

{ ª®­¥·­®¥ 25 { «¨­¥©­® ±¢¿§­®¥ 133 { ­¥ ¡®«¥¥ ·¥¬ ±·¥²­®¥ 38 { ­¥±·¥²­®¥ 40 { ®±­®¢­®¥ 7 { ®²ª°»²®¥ 68, 69, 70, 74 { ¯³±²®¥ 7 { ±·¥²­®¥ 35, 37 ¬®¤³«¼ ¢¥¹¥±²¢¥­­®£® ·¨±«  17 { ª®¬¯«¥ª±­®£® ·¨±«  19 ¤¥ Œ®°£ ­ 10 ¤¥ Œ®°£ ­  § ª®­» 10 ¬®­®²®­­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ 90 { { ¯°¥¤¥« 91 { ´³­ª¶¨¿ 90 { { ¯°¥¤¥« 108 { { ° §°»¢» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ 134 ¬®­®²®­­®±²¼ ­  ¯°®¬¥¦³²ª¥ 217 { { ¤®ª § ²¥«¼±²¢® ­¥° ¢¥­±²¢ 219 { { ³±«®¢¨¿ 217, 218 ¬®¹­®±²¼ 41 { ª®­²¨­³³¬  { ±¬. ª®­²¨­³³¬  ¬®¹­®±²¼

¤¥ Œ³ ¢° 21 Œ³ ¢°  ´®°¬³«  21 ­ ¤£° ´¨ª 237 ­ ¨¡®«¼¸¥¥ (­ ¨¬¥­¼¸¥¥) §­ ·¥­¨¥ ´³­ª¶¨¨ 90, 222 { { { ¢»·¨±«¥­¨¥ 222 { { { ±³¹¥±²¢®¢ ­¨¥ 127 ­ ²³° «¼­»¥ ·¨±«  7, 16, 22, 26

265

­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼ 68, 106 ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¥© ° ±ª°»²¨¥ 68, 154, 163 { { ¯® ¯° ¢¨«³ ‹®¯¨² «¿ 193, 196 { { ± ¯®¬®¹¼¾ ´®°¬³«» ’¥©«®°  216 ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° « 249, 250 { { ¡¥°³¹¨©±¿ (­¥¡¥°³¹¨©±¿) 259 { {  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ 254 { { § ¬¥­  ¯¥°¥¬¥­­®© 255 { { ¨­²¥£°¨°®¢ ­¨¥ ¯® · ±²¿¬ 258 { { «¨­¥©­®±²¼ 255 { { ¯°¨¢¥¤¥­¨¥ ª ± ¬®¬³ ±¥¡¥ 259 { { ² ¡«¨¶  252 ¥¯¥° 93 ­¥¯°¥°»¢­ ¿ ´³­ª¶¨¿ 116 { { ±®µ° ­¥­¨¥ ¯°®¬¥¦³²ª  132 { { ±² ¡¨«¨§ ¶¨¿ §­ ª  123 ­¥¯°¥°»¢­® ¤¨´´¥°¥­¶¨°³¥¬ ¿ ´³­ª¶¨¿ 201 ­¥¯°¥°»¢­®¥ ®²®¡° ¦¥­¨¥ 114 ­¥¯°¥°»¢­®±²¼  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨µ ¤¥©±²¢¨© 122 { ¢ ²®·ª¥ 114, 116 { ª®¬¯®§¨¶¨¨ 124 { ­  ¬­®¦¥±²¢¥ 122 { ®¡° ²­®£® ®²®¡° ¦¥­¨¿ 135 { ®¡° ²­®© ´³­ª¶¨¨ 134 { ¯®ª®®°¤¨­ ²­ ¿ 124 { ° ¢­®¬¥°­ ¿ 128, 129 { ±«¥¢  (±¯° ¢ ) 117

266

°¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼

{ µ ° ª²¥°¨±²¨ª  ± ¯®¬®¹¼¾ ¯°®®¡° §®¢ 125 ­®°¬  54 { ¥¢ª«¨¤®¢  56, 61 { ¯®°®¦¤¥­­ ¿ ±ª «¿°­»¬ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ 60 { ¢ n 56, 245 ­®°¬¨°®¢ ­­®¥ ¯°®±²° ­±²¢® 54 ­³«¼ 13, 18, 54 ¼¾²®­ 22, 24, 169, 177, 215 ®¡° § ½«¥¬¥­²  28 { ¬­®¦¥±²¢  30 ®¡« ±²¼ ®¯°¥¤¥«¥­¨¿ (§ ¤ ­¨¿) 28 { §­ ·¥­¨© (¨§¬¥­¥­¨¿) 28, 31 ®¡º¥¤¨­¥­¨¥ 9, 10 ®£° ­¨·¥­­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢  25, 50, 56 { ®²®¡° ¦¥­¨¿ 90 { { «®ª «¼­ ¿ 104 { ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ 51, 53, 64, 83, 84, 91, 95 { ´³­ª¶¨¨ 90, 104, 108, 127 { ±¢¥°µ³ (±­¨§³) 25, 90, 91, 108 ®ª°¥±²­®±²¼ 46, 49, 65, 69, 99, 108, 114, 116 { ¡¥±ª®­¥·­® ³¤ «¥­­®© ²®·ª¨ 65 { ¯°®ª®«®² ¿ 70, 99 ®¯®°­ ¿ ¯°¿¬ ¿ 233, 240 ®²®¡° ¦¥­¨¥ 9, 27 { ¢§ ¨¬­®-®¤­®§­ ·­®¥ { ±¬. ¡¨-

R

¥ª¶¨¿

{ ¢­¥¸­¥¥ (¢­³²°¥­­¥¥) { ±¬. ª®¬¯®§¨¶¨¿

{ ¬­®£®§­ ·­®¥ 29 { \­ " { ±¬. ±¾°º¥ª¶¨¿ { ®¡° ²¨¬®¥ { ±¬. ¨­º¥ª¶¨¿

{ ®¡° ²­®¥ 33 { ²®¦¤¥±²¢¥­­®¥ 34 ®²°¥§®ª 14 { ¢»°®¦¤¥­­»© 15 { § ¬ª­³²®±²¼ 52 { ª®¬¯ ª²­®±²¼ 76 { ­¥¯°¥°»¢­»© ®¡° § 132 { ­¥±·¥²­®±²¼ 40 ®²°¥§ª¨ ¢«®¦¥­­»¥ 16 { ±²¿£¨¢ ¾¹¨¥±¿ 86 ®²°¨¶ ­¨¥, ¯° ¢¨«® ¯®±²°®¥­¨¿ 8 ¯ °  ­¥³¯®°¿¤®·¥­­ ¿ (³¯®°¿¤®·¥­­ ¿) 11 ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤ 63 ¯ ° ««¥«¥¯¨¯¥¤» ¢«®¦¥­­»¥ 79 ¥ ­® 206, 207, 208, 211, 215, 225 ¯¥°¢®®¡° §­ ¿ 249, 250 ¯¥°¥£¨¡  ²®·ª  238 ¯¥°¥¬¥­­ ¿ § ¢¨±¨¬ ¿ (­¥§ ¢¨±¨¬ ¿) 28 { ­¥¬ ¿ 90, 100, 251 ¯¥°¥±¥·¥­¨¥ 9, 10 ¯®¤¬­®¦¥±²¢® 7, 22 ¯®¤¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ 80, 81, 82, 95, 107 ¯®ª § ²¥«¼­ ¿ ´³­ª¶¨¿ 136, 138, 145, 158, 185, 197, 204, 235, 253 { { ¨­²¥£° «¼­ ¿ 260 ¯® ª° ©­¥© ¬¥°¥ 35 ¯®ª°»²¨¥ 77 ¯®«¥ 13 {  ª±¨®¬» 13 {  °µ¨¬¥¤®¢® 16 { ³¯®°¿¤®·¥­­®¥ 14, 19 ¯®«­®²  16, 81

°¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼ ¯®«­®²» (­¥¯°¥°»¢­®±²¨)  ª±¨®¬  16 ¯®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ®¤­®°®¤­®±²¼ 55 ¯®«®¦¨²¥«¼­ ¿ ®¯°¥¤¥«¥­­®±²¼ 55, 59 ¯®«³ ¤¤¨²¨¢­®±²¼ 55 ¯®«³¨­²¥°¢ « 15 ¯®«³­®°¬  55 ¯®«¿°­»¥ ª®®°¤¨­ ²» 20 ¯®°¿¤®ª,  ª±¨®¬» 14 ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ 29 { § ¤ ­­ ¿ °¥ª³°°¥­²­® 93 { ±µ®¤¿¹ ¿±¿ (° ±µ®¤¿¹ ¿±¿) 43, 49, 65 { ±µ®¤¿¹ ¿±¿ ¢ ±¥¡¥ (´³­¤ ¬¥­² «¼­ ¿) 12, 84 ¯®±²®¿­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ 123, 135, 136, 179, 185 { { ª°¨²¥°¨© 217 ¯° ¢¨«® ‹®¯¨² «¿ { ±¬. ‹®¯¨² «¿ ¯° ¢¨«®

¯°¥¤¥«,  °¨´¬¥²¨·¥±ª¨¥ ¤¥©±²¢¨¿ 57, 66, 105 { ¡¥±ª®­¥·­»© 63, 66, 101 { ¢¥°µ­¨© (­¨¦­¨©) 95, 96, 98 { ¤¢®©­®© 111, 112 { ¥¤¨­±²¢¥­­®±²¼ 50, 64, 103 { ª®¬¯®§¨¶¨¨ 124 { ®¤­®±²®°®­­¨© 107, 108 { ®²®¡° ¦¥­¨¿ 99, 101 { ¯®¢²®°­»© 111, 112 { ¯® ¬­®¦¥±²¢³ 107 { ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ 43, 49, 102 { ±³¦¥­¨¿ 107 { ´³­ª¶¨¨ 100, 101 { · ±²¨·­»© 95 ¯°¥¤¥«¼­»© ¯¥°¥µ®¤ 51, 106

267

¯°¨° ¹¥­¨¥  °£³¬¥­²  (´³­ª¶¨¨) 115, 116, 171, 177, 193 ¯°®¤®«¦¥­¨¥ (° ±¯°®±²° ­¥­¨¥) 35 ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥, §­ ª 23 { ´³­ª¶¨© 30 ¯°®¨§¢®¤­ ¿ { ±¬. ² ª¦¥ ¤¨´´¥°¥­¶¨°®¢ ­¨¥

{ { { { { { { { { {

¡¥±ª®­¥·­ ¿ 173 ¢ ²®·ª¥ 169, 172 ¢»±¸¥£® ¯®°¿¤ª  199 { ±³¬¬» ¨ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¿ 202 £¥®¬¥²°¨·¥±ª¨© ±¬»±« 174 «®£ °¨´¬¨·¥±ª ¿ 188 ®¤­®±²®°®­­¿¿ 172 ´¨§¨·¥±ª¨© ±¬»±« 177 ´³­ª¶¨¿ 172 ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© (² ¡«¨¶ ) 184 ¯°®¨§¢®¤­®¥ ¬­®¦¥±²¢® 74 ¯°®¬¥¦³²ª¨ 14, 15, 41, 131, 199 { µ ° ª²¥°¨±²¨ª  131 ¯°®®¡° § 31, 33, 125 ¯³²¼ 133 ° ¢­®¬®¹­®±²¼ 35, 37, 41 ° ¢­®±¨«¼­®±²¼ 7 ° §­®±²­®¥ ®²­®¸¥­¨¥ 171 ° §­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢ 10 ° §°»¢ 116 { ¢²®°®£® °®¤  117, 134 { ¯¥°¢®£® °®¤  117, 199, 249 { ³±²° ­¨¬»© 117 ° ±ª°»²¨¥ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¥© { ±¬. ­¥®¯°¥¤¥«¥­­®±²¥© ° ±ª°»²¨¥

° ±¯°®±²° ­¥­¨¥ (¯°®¤®«¦¥­¨¥) 35

268

°¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼

° ¶¨®­ «¼­ ¿ ¤°®¡¼ (´³­ª¶¨¿) 123, 259 ° ¶¨®­ «¼­»¥ ·¨±«  7, 16, 138 { { ¯«®²­®±²¼ 27 { { ±·¥²­®±²¼ 40 °¥´«¥ª±¨¢­®±²¼ 37 ¨¬ ­ 121 ¨¬ ­  ´³­ª¶¨¿ 121 ®««¼ 189 ®««¿ ²¥®°¥¬  189, 192 ®¸ 212 ±£³¹¥­¨¿ ²®·ª  { ±¬. ²®·ª  ¯°¥¤¥«¼­ ¿

±¥ª¢¥­¶¨ «¼­ ¿ ª®¬¯ ª²­®±²¼ 83 ±¥ª³¹ ¿ 175 ±¥¬¥©±²¢® 9, 29 ±¦ ² ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ 52 ±¦ ² ¿ ´³­ª¶¨¿ 106 ±¨£­³¬ (§­ ª) 118 ±¨¬¢®«» O ¨ o 159 ±¨¬¬¥²°¨·­®±²¼ 37 { ½°¬¨²®¢±ª ¿ 59 ±¨­³± 136, 145, 147, 154, 186, 204, 213, 253 { ¨­²¥£° «¼­»© 259 { ­¥° ¢¥­±²¢  146, 147, 220, 236 ±ª «¿°­®¥ ¯°®¨§¢¥¤¥­¨¥ 59 ±ª ·®ª 117 ±ª®°®±²¼ 177 ±®¯°¿¦¥­­»¥ ¯®ª § ²¥«¨ 240 ±° ¢­¨¬»¥ ´³­ª¶¨¨ 159 ±°¥¤­¥¥  °¨´¬¥²¨·¥±ª®¥ 239, 233 { ¢§¢¥¸¥­­®¥ 239, 248 { £¥®¬¥²°¨·¥±ª®¥ 247 { ±²¥¯¥­­®¥ 245, 247

® ±°¥¤­¥¬ ²¥®°¥¬  Š®¸¨ (‹ £° ­¦ ) { ±¬. Š®¸¨ (‹ £° ­¦ ) ²¥®°¥¬  ® ±°¥¤­¥¬

±² ¶¨®­ °­ ¿ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¼ 44 { ²®·ª  222 ±²¥¯¥­¨ ®±­®¢­®¥ ±¢®©±²¢® 141 ±²¥¯¥­­ ¿ ´³­ª¶¨¿ (±²¥¯¥­¼) 136, 138, 145, 157, 185, 196, 197, 204, 215, 236, 252 ±²¥°¥®£° ´¨·¥±ª ¿ ¯°®¥ª¶¨¿ 36 ±³¦¥­¨¥ 35 ±³¬¬ , §­ ª 23 { ¬­®¦¥±²¢ 89, 254 { ´³­ª¶¨© 30 ±³¯°¥¬³¬ (¢¥°µ­¿¿ £° ­¼) ¬­®¦¥±²¢  87, 88 { ´³­ª¶¨¨ 89 ±´¥°  49 ±¾°º¥ª¶¨¿ 31 ² ­£¥­± 136, 146, 148, 155, 186, 253 ’¥©«®° 199, 204, 205, 206, 207, 208, 210, 211, 216 ’¥©«®°  ´®°¬³«  199, 204, 205, 206, 208, 210, 216 { { ¤«¿ ¬­®£®·«¥­®¢ 205, 210 { { ®±² ²®ª 206, 211 { { { ¢ ´®°¬¥ Š®¸¨ 212 { { { { ‹ £° ­¦  208, 210 { { { { ¥ ­® 206, 208, 215 { { { { ˜«¥¬¨«¼µ  ¨ ®¸  212 { { ®¶¥­ª  ®±² ²ª  210 { { ° §«®¦¥­¨¿ ½«¥¬¥­² °­»µ ´³­ª¶¨© 212 ²®·ª  ¢­³²°¥­­¿¿ 68, 189, 222, 229

°¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼ { £° ­¨·­ ¿ 74 { ¨§®«¨°®¢ ­­ ¿ 71, 115 { ¯°¥¤¥«¼­ ¿ (²®·ª  ±£³¹¥­¨¿) 70, 76, 99 { ¯°¨ª®±­®¢¥­¨¿ 72 ²° ­§¨²¨¢­®±²¼ 14, 37 ²°¥³£®«¼­¨ª  ­¥° ¢¥­±²¢® 46, 55, 61, 245 ²°¨£®­®¬¥²°¨·¥±ª ¿ ´³­ª¶¨¿ 136 { ¯®¤±² ­®¢ª  257 ³¯®°¿¤®·¥­­®±²¼ ¯®«­ ¿ 26 ³±«®¢¨¥ ¤®±² ²®·­®¥ (­¥®¡µ®¤¨¬®¥) 7 ´ ª²®°¨ « 23 ”¥°¬  188, 222 ”¥°¬  ²¥®°¥¬  188, 222 ”°¥­¥«¼ 260 ”°¥­¥«¿ ¨­²¥£° «» 260 ´³­ª¶¨®­ « 28 ´³­ª¶¨¿ 28 { ª®®°¤¨­ ²­ ¿ 30 { ­¥±ª®«¼ª¨µ ¯¥°¥¬¥­­»µ 30, 111 { ®±­®¢­ ¿ ½«¥¬¥­² °­ ¿ 135, 184, 236 { ¯ ° ¬¥²°¨·¥±ª¨ § ¤ ­­ ¿ 183 { { ¢»·¨±«¥­¨¥ ¯°®¨§¢®¤­®© 184 { ½«¥¬¥­² °­ ¿ 136, 154, 187, 212, 259 µ®°¤  227 { ® ²°¥µ µ®°¤ µ «¥¬¬  228 ¶¥« ¿ · ±²¼ 26

269

·¨±«® e (·¨±«® ¥¯¥° ) 93, 155, 212, 213 { { ¢»·¨±«¥­¨¥ 212 { { ¨°° ¶¨®­ «¼­®±²¼ 93, 213 { { ¯°¨¡«¨¦¥­­®¥ §­ ·¥­¨¥ 93 ·¨±«® ¬­¨¬®¥ 19 { ±®¯°¿¦¥­­®¥ 19 ·¨±«®¢ ¿ ¯°¿¬ ¿ 14, 17 { { ° ±¸¨°¥­­ ¿ 15 ¸ ° 49 { ®²ª°»²®±²¼ 68 ˜¢ °¶ 59, 60, 61, 62 ˜«¥¬¨«¼µ 212 ½ª¢¨¢ «¥­²­®±²¼ ¬­®¦¥±²¢ 35 { ®²­®¸¥­¨¥ 37, 161 { ³²¢¥°¦¤¥­¨© 7 ½ª¢¨¢ «¥­²­»¥ ´³­ª¶¨¨ 159 { { § ¬¥­  ­  ½ª¢¨¢ «¥­²­³¾ 162 ½ª±¯®­¥­²  144, 145, 158, 185, 204, 212 ½ª±²°¥¬³¬ 221 { ­¥®¡µ®¤¨¬®¥ ³±«®¢¨¥ 222 { ¤®±² ²®·­®¥ ³±«®¢¨¥ ¢ ²¥°¬¨­ µ ¯¥°¢®© ¯°®¨§¢®¤­®© 223 { { { ¢ ²¥°¬¨­ µ ±² °¸¨µ ¯°®¨§¢®¤­»µ 225 ½«¥¬¥­² ¬­®¦¥±²¢  (¯°¨­ ¤«¥¦­®±²¼) 6 { ­¥©²° «¼­»© 13, 54 { ®¡° ²­»© 13, 19 { ¯°®²¨¢®¯®«®¦­»© 13, 19, 54

Žƒ‹€‚‹…ˆ…

°¥¤¨±«®¢¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ƒ« ¢  1. ‚¢¥¤¥­¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 x 1. Œ­®¦¥±²¢  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 x 2. ‚¥¹¥±²¢¥­­»¥ ·¨±«  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 x 3. Ž²®¡° ¦¥­¨¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 x 4. ‘·¥²­»¥ ¬­®¦¥±²¢  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ƒ« ¢  2. ®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ ¢ ¬¥²°¨·¥±ª¨µ ¯°®±²° ­±²¢ µ 43 x 1. °¥¤¥« ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 x 2. ’®·ª¨ ¨ ¬­®¦¥±²¢  ¢ ¬¥²°¨·¥±ª®¬ ¯°®±²° ­±²¢¥ . . . . 68 x 3. Š®¬¯ ª²­®±²¼, ¯°¨­¶¨¯ ¢»¡®° , ¯®«­®²  . . . . . . . . . . . . 76 x 4. ’®·­»¥ £° ­¨¶» ·¨±«®¢»µ ¬­®¦¥±²¢ ¨ ¬®­®²®­­»¥ ¯®±«¥¤®¢ ²¥«¼­®±²¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 ƒ« ¢  3. °¥¤¥«» ¨ ­¥¯°¥°»¢­®±²¼ ®²®¡° ¦¥­¨© . . . . . . . . . . 99 x 1. °¥¤¥« ®²®¡° ¦¥­¨¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 x 2. ¥¯°¥°»¢­»¥ ®²®¡° ¦¥­¨¿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 x 3. «¥¬¥­² °­»¥ ´³­ª¶¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 x 4. ‡ ¬¥· ²¥«¼­»¥ ¯°¥¤¥«» ¨ ±° ¢­¥­¨¥ ´³­ª¶¨© . . . . . . . 154 ƒ« ¢  4. „¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ´³­ª¶¨© ®¤­®© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­­®© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 x 1. °®¨§¢®¤­ ¿ ¨ ¥¥ ¢»·¨±«¥­¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 x 2. ’¥®°¥¬» ® ±°¥¤­¥¬ ¤¨´´¥°¥­¶¨ «¼­®£® ¨±·¨±«¥­¨¿ . . 188 x 3. °®¨§¢®¤­»¥ ¢»±¸¨µ ¯®°¿¤ª®¢ ¨ ´®°¬³«  ’¥©«®°  . . 199 x 4. Œ®­®²®­­®±²¼ ¨ ½ª±²°¥¬³¬» ´³­ª¶¨© . . . . . . . . . . . . . . 217 x 5. ‚»¯³ª«»¥ ´³­ª¶¨¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 ƒ« ¢  5. ˆ­²¥£° «¼­®¥ ¨±·¨±«¥­¨¥ ´³­ª¶¨© ®¤­®© ¢¥¹¥±²¢¥­­®© ¯¥°¥¬¥­­®© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 x 1. ¥°¢®®¡° §­ ¿ ¨ ­¥®¯°¥¤¥«¥­­»© ¨­²¥£° « . . . . . . . . . . 249 °¥¤¬¥²­»© ³ª § ²¥«¼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261