Финансовая математика 2

Ãëàâà I Ýëåìåíòû äèñêðåòíîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

 íàñòîÿùåé ãëàâå ñîáðàí ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòðóìåíòàðèé, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî âåäåòñÿ èçëîæåíèå â ïîñëåäóþùåì. Ïðè ýòîì ñäåëàíà ïîïûòêà íå òîëüêî êðàòêî, íî è äîñòóïíûì (äëÿ ïåðâîêóðñíèêîâ) ÿçûêîì ïðåäñòàâèòü åñòåñòâåííî âîçíèêàþùèé ìèíèìàëüíûé êîìïëåêò íåîáõîäèìûõ äëÿ ýòîãî ñâåäåíèé. Ïðàêòè÷åñêè âñåì óòâåðæäåíèÿì äàåòñÿ îáîñíîâàíèå. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ëåììà Ôàòó, òåîðåìà Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè, òåîðåìû Äóáà î ñõîäèìîñòè ìàðòèíãàëà è îá îñòàíîâêå, à òàêæå îäèí ðåçóëüòàò Íîâèêîâà. Íî èõ ôîðìóëèðîâêè ïðèâåäåíû â êîíöå ãëàâû âìåñòå ñî ññûëêàìè íà ïðèÿòíûå äîêàçàòåëüñòâà.

2 1

1.1

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Òðè îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

Ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ

Ïðè æåëàíèè èçó÷àòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âìåñòî âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà (Ω, F, P ) åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü

ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ (Ω, F, F, P ), ò.å. âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ôèëüòðàöèåé F = (Fn )n≥0 èëè íåóáûâàþùèì ïîòîêîì σ− àëãåáð Fn ∈ F.  ñàìîì äåëå, îáúÿñíèòü ýòî íåñëîæíî. Âî-ïåðâûõ, äëÿ çàäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñ.â.) ïî-ïðåæíåìó áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P ), ãäå Ω - ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω èëè ñîñòîÿíèé ðûíêà, F - σ - àëãåðà ïîäìíîæåñòâ Ω èëè âîçìîæíûõ ñîáûòèé íà ðûíêå, P - âåðîÿòíîñòü, ò.å. âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà F. ×òî æå êàñàåòñÿ ïîòîêà F = (Fn )n≥0 σ - àëãåáð, òàêèõ, ÷òî

(∅, Ω) = F0 ∈ F1 ∈ · · · ∈ · · · ∈ F, òî îí ïðèçâàí îòðàæàòü ðàçâèòèå ôèíàíñîâûõ îïåðàöèé âî âðåìåíè èëè â äèíàìèêå. Òî÷íåå ãîâîðÿ, σ - àëãåðà Fn êàê áû ïðåäñòàâëÿåò ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé, íàáëþäàåìûõ äî ìîìåíòà n âêëþ÷èòåëüíî, èëè äîñòóïíóþ íàëþäàòåëþ èíôîðìàöèþ î ñîñòîÿíèè ðûíêà. Èòàê, áàçîâîé âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ áóäåò òàê íàçûâàåìîå

ôèëüòðîâàííîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, F, P ), èëè èíà÷å - ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ. 1.2

Äâà òèïà èñïîëüçóåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

 îñíîâíîì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ

ñòîõàñòè÷åñêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X = (Xn , Fn )n≥0 , ó êîòîðûõ âñå ñ.â. Xn ∈ Fn , ò.å. ÿâëÿþòñÿ Fn − èçìåðèìûìè, èëè

ïðåäñêàçóåìûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X = (Xn , Fn−1 )n≥0 , åñëè îïÿòü-òàêè âñå Xn ∈ Fn−1 . È îáúÿñíÿåòñÿ ýòî âî ìíîãîì òåì, ÷òî àíàëèç ðàññìàòðèâàåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé áóäåò îïèðàòüñÿ íà êëàññ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, íàçûâàåìûõ ìàðòèíãàëàìè (ñì. ï.2). Íî ìíîãèå ôèíàíñîâûå ñäåëêè è îïåðàöèè èìåþò ñëó÷àéíóþ äëèòåëüíîñòü, èëè âàæíûå ðåøåíèÿ ïî íèì ïðèíèìàþòñÿ â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò íåîõîäèìîñòü ìàòåìàòè÷åñêè èíòåðïðåòèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñ.â., ïðè÷åì òàê, ÷òîáû ýòî áûëî åñòåñòâåííî ïðàêòè÷åñêè è íå ìåøàëî ñîçäàíèþ õîðîøåé òåîðèè. Èìåííî ýòî è óäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ.

1

3

Òðè îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

1.3

Ìàðêîâñêèå ìîìåíòû âðåìåíè

Ââîäèìîå íèæå ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ìîìåíòà èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü âî âñåé ðàññìàòðèâàåìîé äàëåå òåîðèè ìàðòèíãàëîâ è, ñîîòâåòñòâåííî, â ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå.

Öåëî÷èñëåííàÿ ñ.â. τ, 0 ≤ τ ≤ ∞, íàçûâàåòñÿ ìàðêîâñêèì ìîìåíòîì (ÌÌ) îòíîñèòåëüíî ïîòîêà F = (Fn )n≥0 , åñëè äëÿ êàæäîãî n ≥ 0 {τ = n} ∈ Fn . (1) Îïðåäåëåíèå 1.

Äðóãîå íàçâàíèå ìàðêîâñêîãî ìîìåíòà  ñ.â., íå çàâèñÿùàÿ îò áóäóùåãî. Êðîìå òîãî, ñ.â. τ íàçûâàþò ìîìåíòîì îñòàíîâêè, åñëè P (τ < ∞) = 1. Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü X = (Xn , Fn )− íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è B ∈ B(R). Òîãäà ìîìåíò

τB = inf{n ≥ 0 : Xn ∈ B} ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ â ìíîæåñòî B (c τB = ∞, åñëè {·} = ∅ ) ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ïîñêîëüêó

{τ = n} = {X0 ∈ / B, · · · , Xn−1 ∈ / B, Xn ∈ B} ∈ Fn . 2. Âåëè÷èíà τ = n0 ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì îñòàíîâêè, ïîñêîëüêó  Ω, n = n0 , {τ = n0 } = ∅, n 6= n0 . Êàæäîìó ÌÌ τ ìîæíî ñîïîñòàâèòü σ - àëãåáðó ñîáûòèé Fτ , î êîòîðîé ìîæíî ñêàçàòü, ïðîèçîøëè îíè äî ìîìåíòà τ èëè íåò. Îïðåäåëåíèå 2.

Êëàññ âñåõ òàêèõ ñîáûòèé A ∈ F, ÷òî A ∩ {τ = n} ∈ Fn

íàçûâàþò σ - àëãåáðîé Fτ , ïîðîæäåííîé ìàðêîâñêèì ìîìåíòîì τ. Ââåäåííàÿ ñîâîêóïíîñòü Fτ ïîäìíîæåñòâ F äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ σ -àëãåáðîé, ïîñêîëüêó 1) Ω ∈ Fτ , 2) Fτ çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ è 3) åñëè A ∈ Fτ , òî A¯ ∈ Fτ (òàê êàê A¯ ∩ {τ = n} = {τ = n} \ A ∩ {τ = n}). Ïóñòü X = (Xn , Fn )− íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è τ − ÌÌ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (Fn ). Ñ íèìè åñòåñòâåííî ñâÿçàòü åùå äâà îáúåêòà, êîòîðûå ÷àñòî áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ â íàøåì àíàëèçå. Ýòî P ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xτ = ∞ 0 Xn I{τ =n} (ω) è îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X τ = (Xn∧τ )n≥0 .

4

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî B ∈ B(R)

{Xτ ∈ B} =

∞ X

{Xτ ∈ B, τ = n},

0

è, ñëåäîâàòåëüíî, Xτ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.  äàííîì îïðåäåëåíèè ñ.â. Xτ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî Xτ = 0 íà ìíîæåñòâå {τ = ∞}. Èìåííî ýòî âûãëÿäèò åñòåñòâåííî, êîãäà τ − ìîìåíò îñòàíîâêè. Íî ìîæíî áûëî áû ñ÷èòàòü, ÷òî Çàìå÷àíèå 1.

Xτ =

∞ X

Xn I{τ =n} (ω) + X∞ I{τ =∞} (ω),

0

ãäå ñ.â. X∞ èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî F∞ = σ(∪n≥0 Fn ). Íàïðèìåð, ïîëîæèòü X∞ = limn→∞ Xn , åñëè ïðåäåë ñóùåñòâóåò • Óêàæåì òàêæå íåêîòîðûå ñâîéñòâà âñåõ ââåäåííûõ îáúåêòîâ (èõ 4), îòìåòèâ ÷òî âêëþ÷åíèå (1) â îïðåäåëåíèè 1 ìîæíî çàìåíèòü íà

{τ ≤ n} ∈ Fn .

(2)

1. τ1 < τ2 ⇒ Fτ1 ∈ Fτ2 . Â ñàìîì äåëå, ïóñòü A ∈ Fτ1 . Òîãäà A ∩ {τ1 ≤ n} ∈ Fn . Ïîýòîìó A ∩ {τ2 ≤ n} = A ∩ {τ1 ≤ n} ∩ {τ2 ≤ n} ∈ Fn , òàê êàê {τ2 ≤ n} ∈ {τ1 ≤ n}. 2. τ1 ∨ τ2 , τ1 ∧ τ2 , a òàêæå τ1 + τ2 ÿâëÿþòñÿ ÌÌ, åñëè τi − ÌÌ. Äåéñòâèòåëüíî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî Ñâîéñòâà.

{τ1 ∨ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∩ {τ2 ≤ n}, {τ1 + τ2 = n} =

n X

{τ1 ∧ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∪ {τ2 ≤ n}, {τ1 = k, τ2 = n − k}.

0

3. Äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X = (Xn , Fn )

Xτ ∈ Fτ , ò.å. Fτ -èçìåðèìà, è îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé.  ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè {Xτ ∈ B} ∩ {τ = n} = {Xn ∈ B} ∈ Fn è ïîòîìó Xτ ∈ Fτ . Êðîìå òîãî, èç ðàâåíñòâà

Xn∧τ =

n−1 X

Xm I{τ =m} + Xn I{τ ≥n}

0

ñ î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàåò Fn − èçìåðèìîñòü ñ.â. Xn∧τ . 4. Àíàëîãè÷íî, îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X τ ÿâëÿåòñÿ ïðåäñêàçóåìîé, åñëè ïðåäñêàçóåìû èñõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X è ÌÌ τ.

2

5

Ìàðòèíãàëû

2

2.1

Ìàðòèíãàëû

Îòíîøåíèå ê æèçíè è ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå

Êëàññ ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, íàçûâàåìûõ ìàðòèíãàëàìè, èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê îêðóæàþùåé íàñ äåéñòâèòåëüíîñòè ïî ìåíüøåé ìåðå ïî äâóì ïðè÷èíàì. Òàê, â àçàðòíûõ èãðàõ, ñêàæåì, äâóõ èãðîêîâ åñòåñòâåííî âûäåëèòü áåçîáèäíóþ èëè ñïðàâåäëèâóþ èãðó êàê òàêóþ, â êîòîðûõ ÓÌÎ âûèãðûøà êîíêðåòíîãî èãðîêà â ñëåäóþùåé ïàðòèè ïðè óñëîâèè ëþáûõ èñõîäîâ ïðåäûäóùèõ èãð íå çàâèñèò îò íèõ è ðàâíÿåòñÿ íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå ìàðòèíãàëîì áóäåò ñóììàðíûé âûèãðûø íàøåãî èãðîêà êàê ôóíêöèÿ ÷èñëà èãð. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è òàê íàçûâàåìàÿ áëàãîïðèÿòíàÿ èãðà, êàê äëÿ íàøåãî èãðîêà, òàê è äëÿ åãî ïðîòèâíèêà, ò.å. íåáëàãîïðèÿòíàÿ äëÿ íàøåãî èãðîêà. ×òî æå êàñàåòñÿ ñâÿçè ñ ïðàêòè÷åñêîé æèçíüþ ýòèõ èãð, òî çàìåòèì, ÷òî ëþáóþ àçàðòíóþ èãðó ìîæíî ñ÷èòàòü èíòåðïðåòàöèåé, ñêàæåì, êàêîé-ëèáî ôèíàíñîâîé ñäåëêè èëè îïåðàöèè. Äðóãîé ìîìåíò îòðàæàåò äåéñòâèòåëüíîñòü, ïîñêîëüêó ìàòåìàòèêà âñå æå ïðèçíàåòñÿ ïîëåçíîé äëÿ îáùåñòâà. Ñîîòâåòñòâåííî, æåëàíèå îáîáùèòü ïðîñòîé ôàêò, èçâåñòíûé êàæäîìó øêîëüíèêó, íà êàê ìîæíî áîëåå øèðîêèé êëàññ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, äîëæíî ïðèíåñòè è ïðèíîñèò äèâèäåíäû. Ðå÷ü èäåò î òîì, ÷òî ëþáàÿ ÷èñëîâàÿ ìîíîòîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ. À ñóùåñòâóþùèå òðè òèïà ìàðòèíãàëîâ êàê ðàç è ìîæíî ñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèìè îáîáùåíèÿìè òðåõ òèïîâ ìîíîòîííûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: òèï ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ïîñòîÿííûå

êëàññ ïðîöåññîâ

ìàðòèíãàëû

ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèå ìîíîòîííî óáûâàþùèå

ñóáìàðòèíãàëû ñóïåðìàðòèíãàëû

Îïðåäåëåíèå 1. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ( E|Xn | < ∞ ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn )n≥0 íàçûâàåòñÿ ìàðòèíãàëîì, åñëè P − ï.í. E(Xn+1 |Fn ) = Xn , n ≥ 0, (1)

èëè ñóáìàðòèíãàëîì (ñóïåðìàðòèíãàëîì), åñëè P − ï.í. E(Xn+1 |Fn ) ≥ Xn ,

n ≥ 0 (E(Xn+1 |Fn ) ≤ Xn ).

Òàêèì îáðàçîì, ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn )n≥0 ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì, åñëè âûïîëíåíû òðè óñëîâèÿ. Ïðåæäå âñåãî ýòî îñíîâíîå óñëîâèå (1), îïðåäåëÿþùåå âçàèìîîòíîøåíèÿ ñîñåäíèõ, à, çíà÷èò, è ëþáûõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåæäó ñîáîé, à òàêæå äâà óñëîâèÿ, êîòîðûì

6

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ëþáàÿ ñ.â. Xn . À èìåííî, áûòü èíòåãðèðóåìîé, à òàêæå Fn -èçìåðèìîé ñ.â.  òåîðåòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ óñëîâèå (1) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â íåñêîëüêî èíîé ôîðìå äëÿ èõ óïðîùåíèÿ: ïðè ëþáûõ n ≥ 0, A ∈ Fn Z Z Xn+1 dP = Xn dP. (2) A

A

Ýêâèâàëåíòíîñòü æå (1) è (2) ëåãêî âûòåêàåò èç ñâîéñòâ ÓÌÎ. 2.2

Ïðèìåðû è óïðàæíåíèÿ

1. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ξn )n≥0 íåçàâèñèìûõ ñ.â. ñ Eξn = 0 Pn è ïóñòü Xn = 1 ξk , Fn = σ(ξ1 , · · · , ξn ). Òîãäà X = (Xn , Fn )n≥0 − ìàðòèíãàë, ïîñêîëüêó E(Xn |Fn−1 ) = Xn−1 + E(ξn |Fn−1 ) = Xn−1 . 2. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (ξn )n≥0 íåçàâèñèìûõ ñ.â. ñ Eξn = 1 Qn è ïóñòü Xn = 1 ξk , Fn = σ(ξ1 , · · · , ξn ). Òîãäà X = (Xn , Fn )n≥0 − ìàðòèíãàë, ïîñêîëüêó E(Xn |Fn−1 ) = Xn−1 · E(ξn |Fn−1 ) = Xn−1 . 3. Ïóñòü ξ− ïðîèçâîëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ñ.â., ò.å. E|ξ| < ∞, a Xn = E(ξ|Fn ), ãäå (Fn )n≥1 − íåóáûâàþùèé ïîòîê σ− àëãåáð. Òîãäà X = (Xn , Fn )n≥1 − ìàðòèíãàë: E(Xn+1 |Fn ) = E(E(ξ|Fn+1 |Fn ) = Xn , à äâà äðóãèå ñâîéñòâà òàêæå î÷åâèäíû 4. Ïóñòü ôóíêöèÿ g(x) ïðåîáðàçóåò îäíó ñòîõàñòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn )n≥0 â äðóãóþ Y = (g(Xn ), Fn )n≥0 , òàêóþ, ÷òî E|g(Xn )| < ∞, n ≥ 0. Òîãäà Y − ñóáìàðòèíãàë, åñëè à. X− ìàðòèíãàë, à g(x)− âûïóêëàÿ âíèç ôóíêöèÿ, à òàêæå, åñëè á. X− ñóáìàðòèíãàë, à g(x)− âûïóêëà âíèç è íåóáûâàåò. 5. Ïóñòü P è Q− äâå âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà (Ω, F ), P  Q è Xn = dPn /dQn − ïðîèçâîäíàÿ Ðàäîíà-Íèêîäèìà ñóæåíèÿ Pn ìåðû P íà Fn îòíîñèòåëüíî ñóæåíèÿ Qn ìåðû Q. Òîãäà (Xn , Fn , Q)− ìàðòèíãàë, åñëè (Fn )n≥1 − íåóáûâàþùèé ïîòîê σ− àëãåáð èç F. 2.3

Ìàðòèíãàë-ðàçíîñòü

Ïîíÿòèþ ìàðòèíãàëà åñòåñòâåííî ñîïîñòàâèòü ýêâèâàëåíòíîå ïîíÿòèå ìàðòèíãàë-ðàçíîñòè, êîòîðûì çà÷àñòóþ óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ. Îïðåäåëåíèå 2. Èíòåãðèðóåìàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîcëåäîâàòåëüíîñòü ξ = (ξn , Fn )n≥1 íàçûâàåòñÿ ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ, åñëè E(ξn |Fn−1 ) = 0, n ≥ 0. (3) Pn Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè Xn = 1 ξk , òî ξn = ∆Xn è íàîáîðîò. Ïîýòîìó äëÿ X = (Xn , Fn ), ∆X = (∆Xn , Fn ) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü:

X − ìàðòèíãàë ⇔ ∆X − ìàðòèíãàë-ðàçíîñòü.

2

7

Ìàðòèíãàëû

 íåé (ïî îïðåäåëåíèþ Xn âûøå) X0 = 0, à X = (Xn , Fn )n≥0 . 2.4

Ðàçëîæåíèå Äóáà

Ïðîèçâîëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn )n≥0 ñ X0 = 0 ìîæåò áûòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû äâóõ ÷àñòåé, ìàðòèíãàëà M = (Mn , Fn ) è ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè A = (An , Fn−1 ) :

n ≥ 0,

X n = An + M n , ãäå

An =

n X

E(∆Xk |Fk−1 ),

Mn =

n X

1

(∆Xk − E(∆Xk |Fk−1 )).

(4)

(5)

1

Åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (4) î÷åâèäíà.  ñàìîì äåëå, ïóñòü Xn = A0n + Mn0 , ãäå A0 = (A0n , Fn−1 )− ïðåäñêàçóåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à M 0 = (Mn0 , Fn )− ìàðòèíãàë. Òîãäà, åñëè îò îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà 0 A0n+1 − A0n + (Mn+1 − Mn0 ) = An+1 − An + (Mn+1 − Mn )

âçÿòü ÓÌÎ, òî ïîëó÷èì A0n+1 − A0n = An+1 − An . Íî A00 = A0 = 0, M00 = M0 = 0 â ñèëó (5). Ïîýòîìó A0n = An , Mn0 = Mn ïðè âñåõ n ≥ 0. Pn Ïðèìåð. Ïóñòü Xn = 1 ξk , ãäå ξn − í.î.ð. áåðíóëëèåâñêèå ñ.â. ñ P (ξ1 = 1) = P (ξ1 = −1) = 1/2. Òîãäà â ðàçëîæåíèè Äóáà (4) äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîäóëåé (|Xn |) âûðàæåíèÿ (5) èìåþò ñëåäóþùèé âèä: n X An = Ln (0), Mn = (sgnXk−1 )∆Xk , 1

ãäå Ln (0) = N (0 ≤ k ≤ n − 1 : Xk = 0)− ÷èñëî íóëåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (Xn ) íà èíòåðâàëå [0, n − 1]. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ∆|Xn | = |Xn−1 + ξn | − |Xn−1 |, òî

∆Mn = |Xn−1 + ξn | − E(|Xn−1 + ξn ||Fn−1 ) = (sgnXn−1 )ξn . P Òàêèì îáðàçîì, Mn = n1 (sgnXk−1 )∆Xk . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, E(∆|Xn ||Fn−1 ) = E(|Xn−1 + ξn ||Fn−1 ) − |Xn−1 | è ÿñíî, ÷òî íà ìíîæåñòâå {ω : Xn−1 = i} ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà îáðàùàåòñÿ â 0 ïðè i 6= 0, ëèáî 1 ïðè i = 0. Ïîýòîìó An =

n X

E(∆Xk |Fk−1 ) = N (0 ≤ k ≤ n − 1 : Xk = 0)

1

è, ñëåäîâàòåëüíî, |Xn | = Ln (0) +

Pn

1 (sgnXk−1 )∆Xk •

8

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì àíàëîãîì èçâåñòíîé ôîðìóëû Òàíàêà äëÿ ìîäóëÿ Áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ. Êðîìå òîãî, èç íåãî âûòåêàåò, ÷òî p ELn (0) = E|Xn | ∼ 2n/π, n → ∞, √ ïîñêîëüêó Xn / n ∼ N (0, 1) è, ñëåäîâàòåëüíî, √ Z ∞ n 2 E|Xn | ∼ 2 √ xe−x /2 dx. 2π 0 À ýòà ýêâèâàëåíòíîñòü  èçâåñòíûé ðåçóëüòàò î ñðåäíåì ÷èñëå íóëåé â ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àéíîì áëóæäàíèè. Òåîðåìà 1. (Ðàçëîæåíèå Äóáà äëÿ ñóáìàðòèíãàëà) Ïóñòü X = (Xn , Fn )− ñóáìàðòèíãàë. Òîãäà íàéäóòñÿ ìàðòèíãàë M = (Mn , Fn ) è ïðåäñêàçóåìàÿ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü A = (An , Fn−1 ) òàêèå, ÷òî äëÿ êàæäîãî n ≥ 0

X n = An + M n ,

(6)

ãäå (ïîëàãàåì, ÷òî M0 = X0 , A0 = 0) An =

n−1 X 0

(E(Xl+1 |Fl ) − Xl ),

M n = M0 +

n−1 X

(Xl+1 − E(Xl+1 |Fl )).

(7)

0

Ïðèâåäåííîå óòâåðæäåíèå âåñüìà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ðàññóæäåíèÿõ. Îäíàêî îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèøü ÷àñòíûé ñëó÷àé îïðåäåëåííîãî âûøå ðàçëîæåíèÿ Äóáà. Íîâîãî â íåì ëèøü òî, ÷òî âûðàæåíèÿ (7) ïðåäñòàâëÿþò äðóãóþ, ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìó ðàâåíñòâ (5), îòëè÷àþùóþñÿ òåì, ÷òî â (5) X0 = 0, à çäåñü ïðîèçâîëüíî. Êðîìå òîãî, åñòåñòâåííî ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü A = (An , Fn−1 ) êîìïåíñèðóåò X = (Xn , Fn ) äî ìàðòèíãàëà è òåì ñàìûì îïðàâäûâàåò Îïðåäåëåíèå 3. Ïðåäñêàçóåìàÿ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü A = (An , Fn−1 ) èç ðàçëîæåíèÿ Äóáà (6) íàçûâàåòñÿ

êîìïåíñàòîðîì ñóáìàðòèíãàëà X. 2.5

Êâàäðàòè÷íî-èíòåãðèðóåìûå ìàðòèíãàëû

Ðàçëîæåíèå Äóáà èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü ïðè èññëåäîâàíèè êâàäðàòè÷íîèíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãàëîâ M = (Mn , Fn )n≥0 , , ò.å. ìàðòèíãàëîâ, äëÿ êîòîðûõ EMn2 < ∞, n ≥ 0. Êàê èçâåñòíî (ñì. ïðèì.4a âûøå), â ýòîì ñëó÷àå M 2 = (Mn2 , Fn )− ñóáìàðòèíãàë è ïî òåîðåìå 1

Mn2 = mn + < M >n , ãäå m = (mn , Fn )− ìàðòèíãàë, à < M >= (< M >n , Fn−1 )− ïðåäñêàçóåìàÿ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðóþ íàçûâàþò

2

9

Ìàðòèíãàëû

êâàäðàòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé ìàðòèíãàëà M.  ñèëó (5), (7) ìîæíî çàïèñàòü äâà ðàçëè÷íûå âûðàæåíèÿ êàê äëÿ ìàðòèíãàëà m, òàê è äëÿ êâàäðàòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè < M >:

mn = M02 +

n X

(∆Ml2 − E(∆Ml2 |Fl−1 )) = M02 +

1

n−1 X

2 2 (Ml+1 − E(Ml+1 |Fl )),

0

< M >n =

n X 1

E(∆Ml2 |Fl−1 )

=

n−1 X

2 (E(Ml+1 |Fl ) − Ml2 ).

0

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàìåòèì, ÷òî åñëè M = (Mn )− ìàðòèíãàë, òî

E(∆Ml2 |Fl−1 ) = E((∆Ml )2 |Fl−1 ). È ýòî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó êâàäðàòè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó < M > íàçûâàþò òàêæå

ïðåäñêàçóåìîé êâàäðàòè÷åñêîé âàðèàöèåé êâàäðàòè÷íî-èíòåãðèðóåìîãî ìàðòèíãàëà. Ïðè ýòîì òåðìèí

êâàäðàòè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ ðåçåðâèðóåòñÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè [M ] = ([M ]n ) ñî çíà÷åíèÿìè P [M ]n = n1 (∆Mk )2 , êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåïðåäñêàçóåìà. Äàëåå, åñëè M è N − äâà êâàäðàòè÷íî-èíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãàëà, òî îïðåäåëåíà èõ âçàèìíàÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà

1 < M, N >n = (< M + N >n − < M − N >n ) 4 è ÿñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Mn Nn − < M, N >n )n≥0 − ìàðòèíãàë. Êðîìå òîãî, òàêèå ìàðòèíãàëû íàçûâàþò îðòîãîíàëüíûìè, åñëè

< M, N >n = 0. Ôèêñèðóÿ M è ðàññìàòðèâàÿ âñåâîçìîæíûå îðòîãîíàëüíûå M ìàðòèíãàëû N, ìîæíî ïîñòðîèòü öåëîå ñåìåéñòâî êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãàëîâ Xn = Mn + Nn . Âåðíî è îáðàòíîå, ò.å. ëþáîé êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûé ìàðòèíãàë ïðåäñòàâèì â óêàçàííîì âèäå, íàçûâàåìîì ðàçëîæåíèåì Êóíèòà-Âàòàíàáå. Óïðàæíåíèe.

1. Ïóñòü (ξn )n≥1 − íåçàâèñìûe ñ.â. ñ Eξn =P 0, Dξn < ∞, è P Mn = n1 ξk . Ïîêàçàòü, ÷òî < M >n = EMn2 = n1 Dξk .

10

I

2.6

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Óïðàæíåíèÿ

1. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ìàðòèíãàëà X = (Xn , Fn )n≥0 cov (Xn − Xm , Xl − Xk ) = 0,

0 ≤ k < l < m < n,

ò.å. åãî ïðèðàùåíèÿ íåêîððåëèðîâàíû. 2. Ïóñòü X = (Xn ) è Y = (Yn ) - äâà ìàðòèíãàëà ñ X1 = Y1 = 0. Äîêàçàòü, ÷òî

EXn Yn =

n X

E∆Xk ∆Yk , è, â ÷àñòíîñòè, EXn2 =

n X

2

(∆Xk )2 .

2

3. Ïóñòü (ξn )n≥1 - í.î.ð.ñ.â. ñ Eξn = 0, Dξ < ∞, a Sn = Pn 1 ξk . Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn ) ÿâëÿeòñÿ ìàðòèíãàëîì, åñëè

Xn = Sn2 − nDξ, èëè Xn = (E exp aξ1 )−n exp(aSn ). 4. Ïóñòü (ξn )n≥1 - í.î.ð.ñ.â., ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Y. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî f0 (y) = P (ξ1 = y), f1 (y) = P (η = y), y ∈ Y, ãäå η− íåêîòîðàÿ äðóãàÿ c.â. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn ) ÿâëÿeòñÿ ìàðòèíãàëîì, åñëè

Xn =

f1 (ξ1 ) · · · f1 (ξn ) , f0 (ξ1 ) · · · f0 (ξn )

a Fn = σ(ξ1 , · · · , ξn ).

Âåëè÷èíû Xn íàçûâàþò îòíîøåíèÿìè ïðàâäîïîäîáèÿ. Îíè èãðàþò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. 5. Còîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn )1≤n≤N ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà EXτ = EX1 äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τ îòíîñèòåëüíî (Fn ). Ïîêàçàòü, ÷òî ýòî óòâåðæäåíèå âåðíî è äëÿ ìîìåíòîâ îñòàíîâêè ñ äâóìÿ çíà÷åíèÿìè. 6. Ïîêàçàòü, ÷òî, åñëè X = (Xn , Fn )1≤n≤N − ìàðòèíãàë è τ − ìîìåíò îñòàíîâêè, òî äëÿ ëþáîãî n

E[XN I{τ =n} ] = E[Xn I{τ =n} ]. 7. Ïóñòü F1 ⊇ F2 ⊇ · · · − íåâîçðàñòàþùåå ñåìåéñòâî σ− àëãåáð è ξ− èíòåãðèðóåìàÿ ñ.â. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xn )n≥1 ñ Xn = E(ξ|Fn ) îáðàçóåò îáðàùåííûé ìàðòèíãàë, ò.å.

E(Xn |Xn+1 , Xn+2 , · · ·) = Xn+1 ,

n ≥ 1.

3

Îáîáùåíèå êëàññà ìàðòèíãàëîâ

11

Qn 8. Ðàññìîòðèì ìàðòèíãàë Xn = 1 ξk â ñèòóàöèè, êîãäà (ξn )− í.î.ð.ñ.â. ñ P (ξ1 = 0) = P (ξ1 = 2) = 1/2. Ïîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òàêîé èíòåãðèðóåìîé ñ.â. ξ è íåóáûâàþùåãî ñåìåéñòâà σ− àëãåáð (Fn ), ÷òî Xn = E(ξ|Fn ). Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî íå âñÿêèé ìàðòèíãàë (Xn , Fn )n≥1 ïðåäñòàâèì â âèäå (E(ξ|Fn ))n≥1 . 3

Ëîêàëüíûå è îáîáùåííûå ìàðòèíãàëû, ìàðòèíãàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå

Ñóùåñòâóþò 3 îáîáùåíèÿ êëàññà ìàðòèíãàëîâ, êîòîðûå îêàçûâàþòñÿ íå òîëüêî ýêâèâàëåíòíûìè, íî è âåñüìà óäîáíûìè â îáðàùåíèè. 3.1

Êðàòêàÿ õàðàêòåðèñòèêà íîâûõ ïîíÿòèé

Èñïîëüçîâàííîå â Îïðåäåëåíèè 1 ïðåäïîëîæåíèå èíòåãðèðóåìîñòè ãàðàíòèðîâàëî ñóùåñòâîâàíèå ÓÌÎ E(Xn+1 |Fn ), n ≥ 0. Îäíàêî ýòè ÓÌÎ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è áåç òàêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ.  ñàìîì äåëå, ÓÌÎ E(ξ|Fn ) îïðåäåëåíî ïðè ëþáîé íåîòðèöàòåëüíîé ñ.â. ξ. Ïîýòîìó î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî − + |Fn ) E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn+1 |Fn ) − E(Xn+1

(1)

åñòåñòâåííî âçÿòü çà îïðåäåëåíèå ÓÌÎ E(Xn+1 |Fn ), åñëè ãàðàíòèðîâàòü îòñóòñòâèå áåcñìûñëåííîãî âûðàæåíèÿ (∞ −∞) ñïðàâà. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ëþáîì ω ∈ Ω õîòÿ áû îäíî èç äâóõ ñëàãàåìûõ ñïðàâà êîíå÷íî, ò.å. P ï.í. − + |Fn ) < ∞) = Ω, (ω : E(Xn+1 |Fn ) < ∞) ∪ (ω : E(Xn+1

(2)

Cîîòâåòñòâåííî, âîçíèêàåò

Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xn , Fn ) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ìàðòèíãàëîì, åñëè äëÿ êàæäîãî n ≥ 0 îïðåäåëåíû óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ E(Xn+1 |Fn ) è P − ï.í. Îïðåäåëåíèå 4.

E(Xn+1 |Fn ) = Xn .

(3)

Çàìå÷àíèå 1. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî äëÿ îáîáùåííîãî ìàðòèíãàëà E(|Xn+1 ||Fn ) < ∞ ïðè âñåõ n. Ïîñêîëüêó â ðàâåíñòâå (1), îïðåäåëÿþùåì ÓÌÎ E(Xn+1 |Fn ), â ñèëó (2) òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå ìîæåò íå áûòü êîíå÷íûì, íî åñëè òàê áóäåò, òî â ñèëó (3) áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ âîçìîæíû è ó Xn •

 ñîâðåìåííîì ñòîõàñòè÷åñêîì èñ÷èñëåíèè, ïîæàëóé, áîëåå âàæíóþ ðîëü èãðàåò íå ìàðòèíãàë, à ñëåäóþùàÿ ýêçîòè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ.

12

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xn , Fn ) íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì, åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü τ = (τk )k≥1 êîíå÷íûõ ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ, ÷òî P − ï.í. τk ≤ τk+1 , τk ↑ ∞, k → ∞, Îïðåäåëåíèå 5.

è êàæäàÿ îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X τk = (Xτk ∧n , Fn ) ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì. Çàìå÷àíèÿ. 2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü τ íàçûâàåòñÿ ëîêàëèçóþùåé. 3. Èíîãäà, æåëàÿ ðàññìàòðèâàòü òàêèå X, äëÿ êîòîðûõ X0 íå èíòåãðèðóåìà, îñòàíîâëåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëÿþò íåñêîëüêî èíà÷å: X τk = (Xτk ∧n I(τk > 0), Fn ). 4. Äëÿ êëàññà ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå Mloc . Èç îïðåäåëåíèÿ 5 ñëåäóåò, ÷òî âñÿêèé ìàðòèíãàë ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì, ò.å. ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìàðòèíãàëîâ M ∈ Mloc • P Ïóñòü ñåìåéñòâî ñ.â. = {Xτ : τ − êîíå÷íûé ìîìåíò îñòàíîâêè} ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìî, ò.å.

supXτ ∈P E(|Xτ |I(|Xτ | > C)) → 0, → ∞. Òîãäà, åñëè X ∈ Mloc , òî X ∈ M. Áîëåå òîãî, X ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì Ëåâè: ñóùåñòâóåò èíòåãðèðóåìàÿ Fn − èçìåðèìàÿ ñ.â. X∞ òàêàÿ, ÷òî Xn = E(X∞ |Fn ). È òåì ñàìûì X ∈ MU I (ìíîæåñòâó ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãàëîâ). Îïðåäåëåíèå 6. Ïóñòü M = (Mn , Fn )− ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à Y = (Yn , Fn−1 )− ïðåäñêàçóåìàÿ. Òîãäà ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y · M, ãäå

(Y · M )n = Y0 M0 +

n X

Yk ∆Mk ,

1

íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì M ñ ïîìîùüþ Y. Åñëè ê òîìó æå M − ìàðòèíãàë, òî ãîâîðÿò, ÷òî X = Y · M åñòü ìàðòèíãàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå (ìàðòèíãàëà M ñ ïîìîùüþ ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Y ).

3

13

Îáîáùåíèå êëàññà ìàðòèíãàëîâ

3.2

Ýêâèâàëåíòíîñòü

Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò, ÷òî â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî âðåìåíè îáúåêòû, ââåäåííûå â îïðåäåëåíèÿõ 4-6, ðîäñòâåííû ìåæäó ñîáîé. Òåîðåìà 1. Ïóñòü X = (Xn , Fn )− còîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü c E|X0 | < ∞. Òîãäà ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:

a. b. c.

X−ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë (X ∈ Mloc ); X−îáîáùåííûé ìàðòèíãàë (X ∈ GM); X−ìàðòèíãàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå (X ∈ MT ), ò.å. X = Y · M ñ íåêîòîðîé ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Y = (Yn , Fn−1 ) è íåêîòîðûì ìàðòèíãàëîì M = (Mn , Fn ).

Äîêàçàòåëüñòâî. c. ⇒ a. Ïóñòü X ∈ MT è

Xn = X0 +

n X

Yk ∆Mk ,

(4)

1

ãäå Y − ïðåäñêàçóåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è M − ìàðòèíãàë. Òîãäà, åñëè |Yk | ≤ C, k ≥ 1, òî X, î÷åâèäíî, ìàðòèíãàë.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëîæèì τj = inf(n − 1 : |Yn | > j). Ïîñêîëüêó Yn − Fn−1 − èçìåðèìà, òî (τj = n) = (|Y1 | ≤ j, · · · , |Yn | ≤ j, |Yn+1 | > j) ∈ Fn . Ñëåäîâàòåëüíî, τj åñòü ÌÌ, à, çíà÷èò, è ìîìåíò îñòàíîâêè (ïîñêîëüêó Yk − îáû÷íàÿ ñ.â.) ñî ñâîéñòâîì τj ↑ ∞, j → ∞. Ïîýòîìó îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü τ ñíîâà èìååò âèä (4) ñ îãðàíè÷åííûìè Yk j = Yk∧τj è, çíà÷èò, X ∈ Mloc . a. ⇒ b. Ïóñòü X ∈ Mloc è (τk )− åãî ëîêàëèçóþùàÿ τk ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà E|Xnτk | < ∞ è E(|Xn+1 ||Fn ) = E(|Xn+1 ||Fn ) íà ìíîæåñòâå (τk > n) ∈ Fn . Ïîýòîìó E(|Xn+1 ||Fn ) < ∞, P − ï.í. Àíàëîãè÷íî íà ýòîì ìíîæåñòâå (τk > n) τk E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn+1 |Fn ) = Xnτk = Xn .

Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïðè ëþáîì n ìíîæåñòâî (τk > n) ñõîäèòñÿ ê Ω ïðè k → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, X ∈ GM. P b. ⇒ c. Ïóñòü X ∈ GM. Ïîëîæèì M0 = 0, Mn = n1 Zk ∆Xk , ãäå

 Zn =

Yn−1 , åñëè Yn ≡ E(|∆Xn ||Fn−1 ) 6= 0, 0, åñëè Yn = 0.

Òîãäà ÿñíî, ÷òî E(|∆Mn ||Fn−1 ) ≤ 1, E(∆Mn |Fn−1 ) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, M = (Mn , Fn )− ìàðòèíãàë. Íî X0 = Z0 · M0 = 0 è ∆(Y · M )n = ∆Xn . Ïîýòîìó X = Y · M. Òåîðåìà äîêàçàíà.

14

I

3.3

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Î ðàçíèöå ëîêàëüíîãî ìàðòèíãàëà è ìàðòèíãàëà

Âàæíîñòü ïîíÿòèé ëîêàëüíîãî è îáîáùåííîãî ìàðòèíãàëà, à òàêæå ìàðòèíãàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå â ïîëíîé ìåðå áóäåò ïðîèëëþñòðèðîâàíà íèæå, â ãë.Ï. Íî ýòè ïîíÿòèÿ èãðàþò çàìåòíóþ ðîëü è â ñòîõàñòè÷åñêîì èñ÷èñëåíèè. Ïîýòîìó çäåñü ìû ïðèâåäåì îäèí ïðîñòîé, íî ïîëåçíûé ðåçóëüòàò, ïðåäëàãàþùèé äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë â äåéñòâèòåëüíîñòè åñòü ïðîñòî ìàðòèíãàë. Ëåììà 1.

1. Ïóñòü X = (Xn , Fn )n≥0 − ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë ñ E|X0 | < ∞, òàêîé, ÷òî ëèáî EXn− < ∞, n ≥ 0, (5) ëèáî EXn+ < ∞,

n ≥ 0.

(6)

Òîãäà X− ìàðòèíãàë. 2. Ïóñòü X = (Xn , Fn )n≤N − ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë ñ N ∨ E|X0 | < ∞, − + òàêîé, ÷òî ëèáî EXN < ∞, ëèáî EXN < ∞. Òîãäà ïðè ëþáîì n ≤ N âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (5) èëè (6) è, ñëåäîâàòåëüíî, X− ìàðòèíãàë. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ëþáîå èç óñëîâèé (5) èëè (6) âëå÷åò âûïîëíåíèå äðóãîãî, à, çíà÷èò, E|Xn | < ∞, n ≥ 0.  ñàìîì äåëå, åñëè âûïîëíåíî (5), òî ïî ëåììå Ôàòó (ñì. ï.6.2) + + − EXn+ = Elimk Xn∧τ ≤ limk EXn∧τ = limk [EXn∧τk + EXn∧τ ]= k k k

= EX0 +

− limk EXn∧τ k

≤ |EX0 | +

n X

EXk− < ∞.

0

Pn+1

P Ñ äðóãîé ñòîðîíû, |X(n+1)∧τk | ≤ |Xk |, ïðè÷åì E n+1 |Xk | < 0 0 ∞. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè (ñì. ï.6.2) âîçìîæåí ïðåäåëüíûé ïåðåõîä (ïðè k → ∞ ) â ñîîòíîøåíèè E(X(n+1)∧τk |Fn ) = Xn∧τk , êîòîðûé è ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó E(Xn+1 |Fn ) = Xn , n ≥ 0. − 2. Çàìåòèì, ÷òî EXN < ∞ ⇒ EXn− < ∞, n ≤ N. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì, òî E(Xn+1 |Fn ) = − − Xn , n ≥ 0, îòêóäà E(Xn+1 |Fn ) ≥ Xn− è, ñëåäîâòåëüíî, EXn− ≤ EXn+1 ïðè âñåõ n ≤ N. Òåì ñàìûì X− ìàðòèíãàë â ñèëó ï.1 •

Âñÿêèé ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë, îãðàíè÷åííûé ñíèçó ( inf n Xn ≥ C > −∞ ï.í.) èëè ñâåðõó, ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì. Ñëåäñòâèå 1.

4

4

15

Ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è ýêñïîíåíòû

Ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è ýêñïîíåíòû

Ïóñòü U = (Un )n≥0 − còîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, U0 = 0. Îïðåäåëåíèå 1.

1. Äèñêðåòíûì ëèíåéíûì ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì äëÿ X îòíîñèòåëüíî çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè U íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, çàïèñûâàåìîå â ðàçíîñòíîé ∆Xn = Xn−1 ∆Un , n ≥ 1 (X0 = 1), (1) èëè èíòåãðàëüíîé ôîðìå Xn = 1 +

n X

Xk−1 ∆Uk ,

n ≥ 1.

(10 )

1

2. Äèñêðåòíîé ñòîõàñòè÷åñêîé ýêñïîíåíòîé (îòíîñèòåëüíî U ) íàçûâàåòñÿ còîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ε(U ) = (εn (U )), ãäå n Y εn (U ) = (1 + ∆Uk ), n ≥ 1 (ε0 (U ) = 1).

(2)

1

Íåòðóäíî ïî èíäóêöèè óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýòà ýêñïîíåíòà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1), ò.å. Xn = εn (U ), n ≥ 0. Èç ôîðìóëû (2) ñëåäóåò òàêæå, ÷òî ýòî ðåøåíèå ïîëîæèòåëüíî, åñëè ∆Un > −1, n ≥ 1. Íàðÿäó ñ îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì (1) ðàññìàòðèâàþò è íåîäíîðîäíîå. Ñâÿçü åãî ðàçíîñòíîé

∆Xn = ∆Nn + Xn−1 ∆Un ,

n ≥ 1 (X0 = N0 ),

(3)

è èíòåãðàëüíîé ôîðìû çàïèñè

Xn = εn (U ){N0 +

n X

ε−1 k (U )∆Nk },

n≥1

(30 )

1

(â ÷àñòíîñòè, ïðè Nn ≡ X0 = N0 èìååì Xn = X0 εn (U ) ) óæå íå òàê î÷åâèäíà. Ïðèâåäåì åå îáîñíîâàíèå ïî ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïóñòü ñíà÷àëà n = 1. Òîãäà èç (3') âûòåêàåò, ÷òî X1 = ε1 (U )N0 + ∆N1 = (1 + ∆U1 )N0 + ∆N1 = N1 + N0 ∆U1 . Íî èìåííî ýòî è ïðèâîäèò ê (3), ïîñêîëüêó X0 = N0 . Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî (3') èìååò ìåñòî ïðè n − 1 âìåñòî n. Òîãäà â ñèëó (3) è (2) ïîëó÷àåì, ÷òî

Xn = Xn−1 (1 + ∆Un ) + ∆Nn = = (1 + ∆Un )εn−1 (U ){N0 +

n−1 X 1

ε−1 k (U )∆Nk } + ∆Nn =

16

I

= εn (U ){N0 +

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

n X

ε−1 k (U )∆Nk }.

1

Òåì ñàìûì èñêîìàÿ ôîðìóëà (3) äîêàçàíà. Ïðèâåäåì ñâîéñòâà ñòîõàñòè÷åñêîé ýêñïîíåíòû â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè, ãäå U è V − äâå çàäàííûå ñòîõàñòè÷åñêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òåîðåìà 1.

Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ýêñïîíåíòà ε(U ) èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà. 1. Ïðàâèëî óìíîæåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ýêñïîíåíò: εn (U )εn (V ) = εn (U + V + [U, V ]), Pn

ãäå [U, V ]n = 1 ∆Uk ∆Vk , ([U, V ]− êâàäðàòè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ U, V ). Êðîìå òîãî, åñëè εn (U ) 6= 0, (èëè ∆Un > −1), n ≥ 1, òî (∆Un )2 ; 1 + ∆Un 3. ε(U )− ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë ⇔ U − ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. ∆(εn (U )εn (V )) = εn−1 (U )εn−1 (V )[(1 + ∆Un )(1 + ∆Vn ) − 1] = = εn−1 (U )εn−1 (V ) [(∆Un + ∆Vn + ∆Un ∆Vn ]. Íî èç ýòîãî ðàâåíñòâà âûòåêàåò, ÷òî εn (U )εn (V ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1), â êîòîðîì U çàìåíåíî íà (U + V + [U, V ]). 2. Ýòî óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ïðàâèëà óìíîæåíèÿ.  ñàìîì äåëå, εn (U )εn (−U ∗ ) = εn (U − U ∗ − [U, U ∗ ]) = εn (0) = 1, ïîñêîëüêó ∗ ∗ 2. ε−1 n (U ) = εn (−U ), ãäå ∆Un = ∆Un −

Un −Un∗ −[U, U ∗ ]n = Un −Un +

n n n X X (∆Uk )2 X (∆Uk )3 − (∆Uk )2 + = 0. 1 + ∆Uk 1 + ∆Uk 1

1

1

3.  ñèëó òåîðåìû 3.1 (ýêâèâàëåíòíîñòè) äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî ε(U ) èëè U − îáîáùåííûé ìàðòèíãàë. ⇐ . Èç (1') è (1) âûòåêàåò, ÷òî

E(|εn (U )||Fn ) ≤ 1 +

n X

|εk−1 (U )|E(|∆Uk ||Fk−1 ) < ∞,

1

E(∆εn (U )|Fn−1 ) = E(εn−1 (U )∆Un |Fn−1 ) = εn−1 (U )E(∆Un |Fn−1 ) = 0. (4) Ïîýòîìó ∆ε(U )− îáîáùåííàÿ ìàðòèíãàë-ðàçíîñòü, à ε(U )− ìàðòèíãàë. ⇒ . Ïîñêîëüêó εn (U ) 6= 0, òî èç (2) è ïðåäïîëîæåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî E(|∆Un |Fn−1 ) = |ε−1 n−1 (U )|E(|∆εn (U )||Fn−1 ) < ∞ è ïîòîìó èìïëèêàöèÿ îïÿòü âåðíà â ñèëó (4) •

5

17

Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð

5

Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð

5.1

Ïðîñòåéøàÿ ñèòóàöèÿ

 ýòîì ðàçäåëå ñíà÷àëà ðå÷ü ïîéäåò î ïîñòðîåíèè ñåìåéñòâà íîâûõ ìåð èç äàííîé ìåðû ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé àáñîëþòíî-íåïðåðûâíîé çàìåíû. Ïîñëå ÷åãî óòî÷íèì, ïî÷åìó îäíà èç íîâûõ ìåð ìîæåò íàçûâàòüñÿ ìàðòèíãàëüíîé è ïðè êàêîì óñëîâèè åå ïîñòðîåíèå íàñ èíòåðåñóåò. Íî ïðåæäå îáðàòèì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ, ÷òî â ýòîì ïóíêòå ÷åðåç P, Q è ò.ä. óäîáíî îáîçíà÷àòü âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íå èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ñ.â. (ñêàæåì, èç ñòîõàñòè÷åñêîãî áàçèñà (Ω, F, F, P ) ), à èç îáëàñòè åå çíà÷åíèé. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ïî ìåðå P îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç E, ïî ìåðå P ∗ − ÷åðåç E ∗ , è ò.ä. Ëåììà 1.

Ïóñòü X− ÷èñëîâàÿ ñ.â. ñ ðàñïðåäåëåíèåì P íà (R, B(R)) òàêàÿ, ÷òî P (X > 0) > 0,

P (X < 0) > 0.

(1)

Òîãäà ñóùåñòâóåò ìåðà P ∗ ∼ P, äëÿ êîòîðîé ∀a ∈ R E ∗ eaX < ∞,

è, â ÷àñòíîñòè, E ∗ |X| < ∞, à òàêæå E ∗ X = 0.

(2)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì íîâóþ ìåðó Q ðàâåíñòâîì 2

Q(dx) = ce−x P (dx),

x ∈ R, 2

ãäå c− íîðìèðóþùàÿ ïîñòîÿííàÿ, c−1 = Ee−X . ßñíî, ÷òî Q ∼ P è êîíñòðóêöèÿ ýòîé ìåðû òàêîâà, ÷òî ôóíêöèÿ

ϕ(a) = EQ eaX îïðåäåëåíà (ò.å. ϕ(a) < ∞ ) ïðè âñåõ a ∈ R è ϕ(a) > 0. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî ïðè ëþáîì a ôóíêöèÿ

Za (x) =

eax >0 ϕ(a)

(3)

è EQ Za (X) = 1. Íî ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ðàâåíñòâîì

Pa (dx) = Za (x)Q(dx), îïðåäåëÿåòñÿ ñåìåéñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð {Pa , a ∈ R}, äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ Pa ∼ Q ∼ P.

18

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Çàìåòèì äàëåå, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(a) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé âíèç, ïîñêîëüêó = EQ (X 2 eaX ) > 0. È ïîëîæèì ϕ∗ = inf(ϕ(a) : a ∈ R). Òîãäà âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1) ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå a∗ òàêîå, ÷òî ϕ∗ = ϕ(a∗ ), èëè 2) òàêîãî a∗ íåò.  ïåðâîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, ϕ0 (a∗ ) = 0 è

ϕ00 (a)

EPa∗ X = EQ XZa∗ (X) = ϕ0 (a∗ )/ϕ(a∗ ) = 0. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå èñêîìîé ìåðû P ∗ íàïðàøèâàåòñÿ âçÿòü ìåðó Pa∗ (÷òîáû èìåòü ñâîéñòâî (2)). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, îäíàêî, ÷òî ñ íåé âûïîëíÿþòñÿ è îñòàëüíûå äâà ñâîéñòâà.  ñàìîì äåëå, î÷åâèäíî, 2

E ∗ eaX = EQ eaX Za∗ (X) = ( ϕ(a∗ ))−1 Ee(a+a∗ )X−X < ∞, à, ñëåäîâàòåëüíî, E ∗ |X| < ∞, ïîñêîëüêó, ñêàæåì, |x| < ex ∨ e−x . Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âòîðàÿ âîçìîæíîñòü èñêëþ÷àåòñÿ óñëîâèåì (1). Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) ìîæíî âûáðàòü ìîíîòîííîé è òàê, ÷òîáû ϕ∗ < ϕ(an ) ↓ ϕ∗ , lim an = ±∞ (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû îêàæåìñÿ â ñëó÷àå 1). Ñ äðóãîé æå ñòîðîíû, â ñèëó âûáîðà Q è (1) Q(uX > 0) > 0, u = ±1. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî íàéòè òàêîå δ > 0, ÷òî Q(uX > δ) > ε ïðè íåêîòîðîì ε > 0. Ïîýòîìó Q(an X > δ|an |) = Q(un X > δ) > ε ïðè n → ∞ (un = an /|an |), è, çíà÷èò, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n

ϕ(an ) = EQ ean X ≥ EQ (ean X I(an X > δ|an |)) > ε eδ|an | → ∞. À ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ϕ∗ ≤ 1. Ëåììà äîêàçàíà •

5

19

Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð

5.2

Ïðîöåññ ïëîòíîñòè è åãî ñâîéñòâà

Ïóñòü (Ω, F, (Fn ), P )− íàø ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ è íà (Ω, F) çàäàíà äðóãàÿ ìåðà P ∗ . Íàïîìíèì, ÷òî ýòà ìåðà P ∗ íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî loc

àáñîëþòíî-íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëüíî P (îáîçíà÷åíèå P ∗  P ), åñëè

Pn∗  Pn ,

n ≥ 1,

ãäå Pn = P |Fn − ñóæåíèå ìåðû P íà Fn è, àíàëîãè÷íî, Pn∗ = P ∗ |Fn . loc

loc

Åñëè æå P ∗  P è P  P ∗ , òî P è P ∗ íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíîloc ýêâèâàëåíòíûìè (îáîçíà÷åíèå P ∗ ∼ P ). Åñëè Ω = R∞ , ò.å. èìååòñÿ êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ω = (x1 , x2 , · · ·), Fn = σ(ω; x1 , · · · , xn )− àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ïåðâûìè n êîîðäèíàòàìè, F = B(R∞ ) è P, P ∗ − âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà (Ω, F), loc

òî ëîêàëüíàÿ àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü P ∗  P åñòü àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü èõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ïîíÿòèÿ ëîêàëüíîé àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè è àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ñîâïàäàþò, åñëè n ≤ N < ∞. Òàê ÷òî ââåäåíèå ïîíÿòèÿ ëîêàëüíîñòè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ, ëèøü êîãäà n ∈ N = (1, 2, · · ·). loc

Ïóñòü äàëåå P ∗  P. Òîãäà ïðè êàæäîì n ∈ N, ïîñêîëüêó Pn∗  Pn , òî ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå Ðàäîíà-Íèêîäèìà, îáîçíà÷àåìûå dPn∗ /dPn è îïðåäåëÿåìûå êàê òàêèå Fn − èçìåðèìûå ôóíêöèè Zn = Zn (ω), ÷òî Z ∗ Pn (A) = Zn (ω)Pn (dω), A ∈ Fn . (4) A

Ïðè ýòîì âåðñèþ ôóíêöèè Zn âñåãäà ìîæíî âûáðàòü íå òîëüêî òàêîé, ÷òî P (Zn (ω) ≥ 0) = 1, íî è òàêîé, ÷òî Zn (ω) ≥ 0 äëÿ âñåõ ω è n ≥ 1. Èìåííî ïîýòîìó ïîñëåäíåå ñâîéñòâî îáû÷íî ïðîñòî âêëþ÷àþò â îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé Ðàäîíà-Íèêîäèìà âåðîÿòíîñòíûõ ìåð.  äàëüíåéøåì ïðîöåññ Z = (Zn )n≥1 íàçîâåì ïðîöåññîì ïëîòíîñòè (ìåð Pn∗ îòíîñèòåëüíî Pn , n ≥ 1, èëè loc

ìåðû P ∗ îòíîñèòåëüíî P òàêîé, ÷òî P ∗  P ). Îñíîâíûå ñâîéñòâà ýòîãî ïðîöåññà ñîáðàíû â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè. loc

Ïóñòü P ∗  P. Òîãäà 1. ïðîöåññ ïëîòíîñòè Z = (Zn ) ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì (P, (Fn ))− ìàðòèíãàëîì ñ EZn = 1, n ≥ 1. 2. Åñëè, êðîìå òîãî, F = ∨Fn , òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: a. P ∗  P ; b. ïðîöåññ Z ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìûì ìàðòèíãàëîì; Òåîðåìà 1.

20

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

c. P ∗ (supn Zn < ∞) = 1. 3. Ïóñòü τ = inf(n ≥ 1 : Zn = 0)− ìîìåíò ïåðâîãî îáðàùåíèÿ ïðîöåññà ïëîòíîñòè â íîëü. Òîãäà è äëÿ âñåõ ïîñëåäóþùèõ ìîìåíòîâ ýòîò ïðîöåññ îñòàåòñÿ â íóëå, ò.å. P (∃n ≥ τ, äëÿ êîòîðîãî Zn 6= 0) = 0.

4. Ïóñòü τ − ìîìåíò îñòàíîâêè. Òîãäà íà ìíîæåñòâå (τ < ∞) ñóæåíèÿ Pτ∗ = P ∗ |Fτ , Pτ = P |Fτ íà σ− àëãåáðó Fτ òàêîâû, ÷òî Pτ∗  Pτ ,

Zτ = dPτ∗ /dPτ .

(5)

5. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî P ∗ (inf Zn > 0) = 1.

(6)

n

loc

loc

6. Åñëè P (Zn > 0) = 1 ïðè êàæäîì n ≥ 1, òî P  P ∗ è P ∗ ∼ P. ∗ (A) äëÿ A ∈ F , òî â Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïîñêîëüêó Pn∗ (A) = Pn+1 n ñèëó (1) EIA Zn = EIA Zn+1 è, ñëåäîâàòåëüíî, E(Zn+1 |Fn ) = Zn , n ≥ 1. ßñíî òàêæå, ÷òî EZn = Pn∗ (Ω) = 1. 2. a. ⇒ c. Ïîñêîëüêó Zn ≥ 0, òî â ñèëó òåîðåìû Äóáà î cõîäèìîñòè (ñì. ï.6.1) ñóùåñòâóåò limn Zn . Íî P ∗  P, ïîýòîìó ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí è ïî ìåðå P ∗ . c. ⇒ b. Ðàâíîìåðíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü ñ.â. (ξn ) îçíà÷àåò, ÷òî lim sup E(|ξn |I(|ξn | > N )) = 0. N

n

Íî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ( ξn = Zn ) èç c. âûòåêàåò, ÷òî E(Zn I(Zn > N )) = P ∗ (Zn > N ) ≤ P ∗ (supn Zn > N ) → 0, N → ∞. b. ⇒ a. Ïî òåîðåìå Äóáà Zn → Z∞ P − ï.í. Íî ðàâíîìåðíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü ñåìåéñòâà (Zn ) îáåñïå÷èâàåò è ñõîäèìîñòü â L1 (Ω, F, P ), ò.å. E|Zn − Z∞ | → 0, n → ∞. Ïîýòîìó è òàê êàê P ∗ (A) = EZm IA = EZn IA äëÿ A ∈ Fm è n ≥ m, òî P ∗ (A) = EZ∞ IA , A ∈ Fm . Ïðèìåíÿÿ äàëåå îáû÷íóþ òåõíèêó ìîíîòîííûõ êëàññîâ (ñì. ï.6.3) îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî ñîõðàíÿåòñÿ íà ∪Fn è íà F = σ(∪Fn ) = ∧Fn . Òàêèì îáðàçîì, P ∗  P, è, áîëåå òîãî, dP ∗ /dP = Z∞ , ãäå Z∞ = lim Zn . 3. Íàðÿäó ñ τ ââåäåì ìîìåíòû σm = inf(n ≥ 1 : Zn > 1/m). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî τ è σm ÿâëÿþòñÿ ÌÌ, ò.å. ìíîæåñòâà (τ ≤ n è σm ≤ n ïðèíàäëåæàò Fn ïðè âñåõ n ≥ 1 è m ≥ 1 ( íàïîìíèì, ÷òî τ = ∞, åñëè Zn > 0 ïðè âñåõ n ≥ 1 ). Ïî òåîðåìå Äóáà îá îñòàíîâêå (ï.6.1) E(Zσm |Fτ ) ≤ Zτ = 0 íà ìíîæåñòâå (τ ≤ σm ). Çíà÷èò, Zσm I(τ ≤ σm ) = 0, è ïîòîìó P (τ ≤ σm ) = 0 ïðè âñåõ m ≥ 1. À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî P (∃n ≥ τ c Zn 6= 0) = 0.

5

21

Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð

4. Ïóñòü A ∈ Fτ , ò.å. A ∩ (τ = n) ∈ Fn , n ≥ 1. Òîãäà

E(IA I(τ <∞) Zτ ) =

∞ X

E(IA I(τ =n) Zn ) =

1

∞ X

P ∗ (A∩(τ = n)) = P ∗ (A∩(τ < ∞))

1

è, ñëåäîâàòåëüíî, P ∗ (A) = E(IA Zτ ), ïîñêîëüêó P (τ < ∞) = 1. Íî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî è äîêàçûâàåò îáà óòâåðæäåíèÿ. 5. Îáîçíà÷èì τm = inf(n ≥ 1 : Zn < 1/m). Òîãäà τ − ÌÌ è ïîòîìó P ∗ (τm = n) = E(Zn Iτm =n ), ò.å. P ∗ (τm < ∞) = E(Zτm Iτm <∞ ) < 1/m. Òàêèì îáðàçîì, P ∗ (∪m (τm < ∞)) = 0, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî P ∗ (inf n Zn > 0) = 1. loc

6. Åñëè P ∗  P è P (Zn > 0) = 1, n ≥ 1, òî è P ∗ (Zn > 0) = 1, n ≥ 1. Ïîëîæèì Qn (A) = E ∗ (Zn−1 IA ) äëÿ A ∈ Fn . Òîãäà, ïîñêîëüêó Pn∗ (dω) = Zn dP (dω), òî Qn (A) = E(Zn−1 Zn IA ) = Pn (A), n ≥ 1, è òåì ñàìûì loc

Pn (A) = E ∗ (Zn−1 IA ). À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî P  P ∗ . Òåîðåìà äîêàçàíà. 5.3

Ëåììà î ïåðåñ÷åòå

Ñëåäóþùàÿ òåõíè÷åñêàÿ ëåììà ïîëåçíà ïðè ïåðåñ÷åòå ÓÌÎ ïî ðàçíûì ìåðàì.  äàëüíåéøåì îíà áóäåò íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàòüñÿ. Íàçûâàþò åå òàêæå ôîðìóëîé Áàéåñà èëè îáîáùåííîé ôîðìóëîé Áàéåñà. ∗ Ëåììà 2. Ïóñòü P  P, à Y − îãðàíè÷åííàÿ èëè P ∗ − èíòåãðèðóåìàÿ Fn − èçìåðèìàÿ ñ.â. Òîãäà ïðè ëþáûõ m ≤ n −1 E ∗ (Y |Fm ) = Zm E(Y Zn |Fm ),

P ∗ ï.í.

(7)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 5 òåîðåìû 1 P ∗ (Zm > 0) = 1. Êðîìå òîãî, íà ìíîæåñòâå (Zm = 0) òàêæå è Zn = 0, P ï.í. Ïîýòîìó ïðàâóþ ÷àñòü â (7) ìîæåì è áóäåì ñ÷èòàòü íà ýòîì ìíîæåñòâå ðàâíîé 0. Ïî îïðåäåëåíèþ E ∗ (Y |Fm ) ÿâëÿåòñÿ òàêîé Fm − èçìåðèìîé ñ.â., ÷òî

E ∗ (IA E ∗ (Y |Fm )) = E ∗ (IA Y ),

A ∈ Fm .

Òàê ÷òî íàäî ëèøü ïðîâåðèòü, ÷òî −1 E(Y Z |F )) = E ∗ (I Y ), E ∗ (IA · Zm n m A

A ∈ Fm .

Íî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîñêîëüêó äëÿ A ∈ Fm −1 E(Y Z |F )) = E(I · Z −1 E(Y Z |F )Z ) = E ∗ (IA · Zm n m n m m A m (α)

(β)

= E(IA · E(Y Zn |Fm )) = E(IA Y Zn ) = E ∗ (IA Y ); çäåñü ðàâåíñòâî (α) ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ÓÌÎ E(Y Zn |Fm ), à (β) ñïðàâåäëèâî, ïîñêîëüêó Zn dPn = dPn∗ è, ñëåäîâàòåëüíî, E(IA Y Zn ) = R R ∗ ∗ A Y Zn dPn = A Y dPn = E (IA Y )•

22 5.4

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Äèñêðåòíûé âàðèàíò òåîðåìû Ãèðñàíîâà. I. Óñëîâíî-ãàóññîâñêèé ñëó÷àé

1. Ðàññìîòðåíèå îáùèõ âîïðîñîâ ïîñòðîåíèÿ ò.í. ìàðòèíãàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð P ∗ , àáñîëþòíî-íåïðåðûâíûõ îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé áàçèñíîé ìåðû P èç ôèëüòðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà (Ω, F, (Fn ), P ) öåëåñîîáðàçíî íà÷àòü ñ äèñêðåòíîãî âàðèàíòà òåîðåìû Ãèðñàíîâà äëÿ ïðîöåññîâ äèôôóçèîííîãî òèïà, ïîñëóæèâøåé ïðîòîòèïîì ðàçíîîáðàçíûõ òåîðåì  äëÿ ìàðòèíãàëîâ, ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ, ñëó÷àéíûõ ìåð è ò.ä. Åñëè æå êîíêðåòíåå, òî â ýòîì ïóíêòå ðå÷ü ïîéäåò î ïîñòðîåíèè ìåðû P ∗ , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óñëîâíîãàóññîâñêèõ ñ.â. h = (hn )n≥1 îêàæåòñÿ ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ, íå áóäó÷è òàêîâîé îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé ìåðû P. Ïóñòü ìåðà P îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ε = (εn )n≥1 íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ âåëè÷èí

εn = N (0, 1),

n ≥ 1.

(8)

Òî÷íåå ãîâîðÿ, íèæå áóäóò èñïîëüçîâàíû äâà âàðèàíòà, êîãäà ìåðà çàäàåòñÿ êîíå÷íûì îòðåçêîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1 ≤ n ≤ N ), èëè âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ε. Ââåäåì òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ.â. h, ïîëàãàÿ hn = µn + σn εn , n ≥ 1, (9) è ñ÷èòàÿ, ÷òî âåëè÷èíû µn , σn ÿâëÿþòñÿ Fn−1 − èçìåðèìûìè ñ.â. Èíûìè ñëîâàìè, èç (8) ñëåäóåò, ÷òî ðåãóëÿðíîå óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå hn îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

P (hn ≤ x|Fn−1 ) =

1 √

σn 2π

Z

x

−

e

(y−µn )2 2 2σn

dy,

−∞

èëè â ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå

Law(hn |Fn−1 ; P ) = N (µn , σn2 ), ÷òî äàåò îñíîâàíèÿ íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h óñëîâíî-ãàóññîâñêîé (ïî ìåðå P ). Pn Pn Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü Wn = 1 εk , Hn = 1 hk , ∆ = 1. Òîãäà (9) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ðàçíîñòíîé ôîðìå

∆Hn = µn ∆ + σn ∆Wn ,

5

23

Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð

÷òî åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü äèñêðåòíûì àíàëîãîì Ãèðñàíîâûì ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà

ðàññìàòðèâàåìîãî

dHt = µt dt + σt dWt íåêîòîðîãî ïðîöåññà Èòî H = (Ht )t≥0 , ïîðîæäåííîãî âèíåðîâñêèì ïðîöåññîì W = (Wt )t≥0 ñ ëîêàëüíûì ñíîñîì (µt )t≥0 è ëîêàëüíîé âîëàòèëüíîñòüþ (σt )t≥0 • 2. Ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ìåðû P∗ êëþ÷åâóþ ðîëü èãðàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Z = (Zn ), ñîñòàâëåííàÿ èç ïîëîæèòåëüíûõ ñ.â. ) ( n n X µk 1 X µk 2 Zn = exp − εk − ( ) , n ≥ 1. (10) σk 2 σk 1

Ëåììà 3.

1

1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Z = (Zn )n≥1 ÿâëÿåòñÿ (P, (Fn ))− ìàðòèíãàëîì ñ EZn = 1, n ≥ 1.

2. Ïóñòü F = ∨Fn è âûïîëíåíî óñëîâèå (îñëàáëåííîå óñëîâèå Íîâèêîâà) ∞

∃δ > 0 :

X µk 1 E exp{( + δ) ( )2 } < ∞. 2 σk

(11)

1

Òîãäà Z− ðàâíîìåðíî-èíòåãðèðóåìûé ìàðòèíãàë ñ ïðåäåëüíûì çíà÷åíèåì Z∞ = lim Zn òàêèì, ÷òî ( ∞ ) ∞ X µk 1 X µk 2 Z∞ = exp − εk − ( ) , n ≥ 1, (12) σk 2 σk 1 1 è Zn = E(Z∞ |Fn ). Ccûëêó íà ðåçóëüòàò Íîâèêîâà ñì. â [1], ñ.564. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè η = N (0, 1), òî ïðè ôèêñèðîâàííîì t Z Z 1 1 2 tη−t2 /2 tx−t2 /2−x2 /2 Ee =√ e dx = √ e−(t−x) /2 dx = 1. 2π 2π

(13)

Ïîýòîìó E(exp{± µσkk εk − 12 ( µσkk )2 }|Fk−1 ) = 1; çäåñü t = ±(µk /σk ). À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî Z− ìàðòèíãàë. 2. Îáîñíîâàòü ðàâíîìåðíóþ èíòåãðèðóåìîñòü ñåìåéñòâà ïðè óñëîâèè Íîâèêîâà ( δ = 0 â (11)) äîñòàòî÷íî ñëîæíî.  ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè óñòàíîâëåíèå ýòîãî ôàêòà ïðîñòîå, íî ãðîìîçäêîå ([1], ñ.568-69) è â íåì íåò ïðèíöèïèàëüíûõ ìîìåíòîâ. Ïîýòîìó åãî åñòåñòâåííî îïóñòèòü. Çàìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî ðàâíîìåðíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü ìàðòèíãàëà Z èãðàåò âñïîìîãàòåëüíóþ ðîëü. Îíà íóæíà äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñ.â. Z∞ = lim Zn è ñâîéñòâà Zn = E(Z∞ |Fn )•

24

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

3. Ââåäåì äàëåå äâà âàðèàíòà ìåð P è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ìåð P ∗ , îïðåäåëÿåìûõ ðàâåíñòâàìè

a. dP ∗ (ω) = ZN (ω) dP (ω),

b. dP ∗ (ω) = Z∞ (ω) dP (ω),

(14)

Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìåðà P âñåãäà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàñïðåäåëåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ε, íî ëèáî êîíå÷íîãî åå îòðåçêà, ëèáî âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ìåðà P ∗  èç (14). Òî÷íåå ãîâîðÿ, â ñëó÷àå (14à) ìåðà P ∗ çàäàåòñÿ ñëó÷àéíûì âåêòîðîì ε = (εn )1≤n≤N è ôîðìóëîé (10), à â ñëó÷àå (14b)  âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ε è ðàâåíñòâoì (12). Óñòàíîâèì ñëåäóþùèé äèñêðåòíûé âàðèàíò òåîðåìû Ãèðñàíîâà.

1. Ïóñòü h = (hn )1≤n≤N òàêàÿ óñëîâíî-ãàóññîâñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òî Òåîðåìà 2

Law(hn |Fn−1 ; P ) = N (µn , σn2 ),

1 ≤ n ≤ N,

F = FN è ìåðà P ∗ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèÿìè (14à) è (10). Òîãäà a. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h = (hn )1≤n≤N îòíîñèòåëüíî ìåðû P ∗ ÿâëÿåòñÿ óñëîâíî-ãàóññîâñêîé ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ ñ Law(hn |Fn−1 ; P ∗ ) = N (0, σn2 ),

1 ≤ n ≤ N;

b. åñëè, êðîìå òîãî, σn2 (ω) = σn2 , ò.å. íå çàâèñèò îò ω, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h ïî ìåðå P ∗ ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ è íåñìåùåííûõ ãàóññîâñêèõ âåëè÷èí N (0, σn2 ). 2. Ïóñòü h = (hn )n≥1 òàêàÿ óñëîâíî-ãàóññîâñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òî Law(hn |Fn−1 ; P ) = N (µn , σn2 ),

n ≥ 1,

F = ∨Fn è âûïîëíåíî óñëîâèå (11). Òîãäà îáà âûøåóêàçàííûõ ñâîéñòâà a., b. îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè äëÿ âñåõ n ≥ 1, ñ ìåðîé P ∗ èç (14b) è (12). Äîêàçàòåëüñòâî. 1.a Ïî ôîðìóëå Áàéåñà (ñì. ï.5.3) è â ñèëó (13) µn

1 µn 2

E ∗ (eiλhn |Fn−1 ) = E(e(iλσn − σn )εn +iλµn − 2 ( σn ) |Fn−1 ) = µn

µn 2 1 n )2 +iλµ − 1 ( µn )2 + 2 (iλσn − µ n 2 σ σn n

1

E(e(iλσn − σn )εn − 2 (iλσn − σn )

|Fn−1 ) = e−

ïðè ëþáûõ n ≤ N, λ ∈ R. Òàêèì îáðàçîì,

Law(hn |Fn−1 ; P ∗ ) = N (0, σn2 ),

n ≤ N.

1.b Åñëè σn2 (ω) íå çàâèñÿò îò ω, òî â ñèëó (8)

E ∗ (ei

PN 1

λk hk

) = E ∗ (ei

PN −1 1

λk hk

E ∗ (eiλN hN |FN −1 )) =

2 λ2 σ n 2

(15)

5

25

Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð

−

=e

2 λ2 N σN 2

E ∗ (ei

PN −1 1

λk hk

1

) = · · · = e− 2

PN 1

λ2k σk2

.

(16)

Òåì ñàìûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h îòíîñèòåëüíî ìåðû ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ è íåñìåùåííûõ ãàóññîâñêèõ âåëè÷èí N (0, σn2 ). 2.  ýòîì ñëó÷àå, ñ îäíîé ñòîðîíû, ìåðà P ∗ , îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâàìè (14), ñóùåñòâóåò ïî ëåììå 3, à ñ äðóãîé  ñàìè ñâîéñòâà à. è b. âåðíû, ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèÿ (15) è (16) ñïðàâåäëèâû ïðè ëþáîì N < ∞. Çàìå÷àíèå 3. Î ñâÿçè ïðåîáðàçîâàíèé Ãèðñàíîâà è Ýøåðà. Åñëè ââåñòè ïðîöåññ ïëîòíîñòè ðàâåíñòâîì

P∗

Zn(b)

= exp{−

n X 1

n

1X 2 bk ε k − bk } 2 1

c Fk−1 − èçìåðèìûìè ñ.â. bk è îïðåäåëèòü ìåðó P b ñîîòíîøåíèåì, (b)

P b (dω) = ZN P (dω), òî ïoëó÷èì

E b (hn |Fn−1 ) = µn − σn bn .

 ñàìîì äåëå, ïî ëåììå î ïåðåñ÷åòå (ñì. ï.5.3)

1 E b (hn |Fn−1 ) = E((µn + σn εn ) exp(−bn εn − b2n )|Fn−1 ). 2 Íî E(µn exp(−bn εn − 12 b2n )|Fn−1 ) = µn â ñèëó (13), à Z 1 2 1 σn 2 E(σn εn exp(−bn εn − b2n )|Fn−1 ) = √ xe−bn x− 2 (bn +x ) dx = 2 2π Z y2 σn =√ (y − bn )e− 2 dy = −σn bn . (17) 2π Òåì ñàìûì ÿñíî, ÷òî âûáîð çíà÷åíèÿ bn = µn /σn â òåîðåìå Ãèðñàíîâà äèêòóåòñÿ òåì, ÷òî èìåííî ïðè òàêîì âûáîðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h ñòàíîâèòñÿ ëîêàëüíîé ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ. Äàëåå, åñëè Xn = µn + εn , òî ôóíêöèÿ 1 2 ϕn (a; ω) ≡ E(eaXn |Fn−1 ) = eaµn + 2 a . Îòñþäà âèäíî, ÷òî

inf ϕn (a; ω) = ϕn (an ; ω), a

ãäå an (ω) = −µn , n ≤ N. Èìåííî ýòè ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ an è áûëè èñïîëüçîâàíû â ëåììå 2 ïðè ïîñòðîåíèè ìåðû ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ýøåðà (3), îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xn ) ñòàíîâèëàñü ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ.

26

I

5.5

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

Äèñêðåòíûé âàðèàíò òåîðåìû Ãèðñàíîâà. Ï. Îáùèé ñëó÷àé

Äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ ïðèâåäåííîãî äàëåå îáîáùåíèÿ òåîðåìû Ãèðñàíîâà öåëåñîîáðàçíî íåñêîëüêî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ïðèâåäåííóþ âûøå òåîðåìó 2. Ïîëîæèì äëÿ ýòîãî

αn = Òîãäà

Zn I(Zn−1 > 0). Zn−1 

1 µn µn αn = exp − εn − ( )2 σn 2 σn

è åñëè Mn =

Pn 1



σk εk , òî M = (Mn ) ∈ Mloc (P ) è â ñèëó (17) E(αn ∆Mn |Fn−1 ) = −µn .

Òåì ñàìûì, íå çàòðàãèâàÿ ñåé÷àñ âîïðîñîâ èíòåãðèðóåìîñòè, ìû ìîæåì ðåçóëüòàò òåîðåìû 2 ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå

M ∈ Mloc (P ) ⇒ M ∗ ∈ Mloc (P ∗ ), ãäå

Mn∗

= Mn −

n X

E(αk ∆Mk |Fk−1 ).

(18)

(19)

1

 ñàìîì äåëå, ïðè ëþáûõ n ≤ N

M ∈ Mloc (P ) ⇔ E(σn εn |Fn−1 ) = 0 ⇔ E(hn |Fn−1 ) = µn ⇒ E ∗ (hn |Fn−1 ) = 0 ⇔ E ∗ (µn + ∆Mn |Fn−1 ) = 0 ⇔ E ∗ (∆Mn − E(αn ∆Mn |Fn−1 )|Fn−1 ) = 0. Èçëîæåííûé âçãëÿä íà ïåðâûé âàðèàíò òåîðåìû Ãèðñàíîâà äàåò âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ñëåäóþùèé îáùèé P ðåçóëüòàò äëÿ ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ, íå êîíêðåòèçèðóÿ, ÷òî Mn = n1 σk εk . Òåîðåìà 3

1. Ïóñòü M ∈ Mloc (P ) è M0 = 0. Ïðåäïîëîæèì loc

òàêæå, ÷òî P ∗  P ñ ïëîòíîñòÿìè Zn = dPn∗ /dPn , n ≥ 1, è ïóñòü n αn = ZZn−1 I(Zn−1 > 0) c Z0 ≡ 1, à E(αn |∆Mn ||Fn−1 ) < ∞, n ≥ 1.

(20)

Òîãäà îïðåäåëåííûé â (19) ïðîöåññ M ∗ = (Mn∗ ) ∈ Mloc (P ∗ ), ò.å. ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì P ∗ − ìàðòèíãàëîì è èìïëèêàöèÿ (18) äëÿ íåãî èìååò ìåñòî.

6

Íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû

27

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ôîðìóëå Áàéåñà

E ∗ (Mn |Fn−1 ) = E(αn Mn |Fn−1 ) = E(αn (Mn − Mn−1 )|Fn−1 ) + E(αn Mn−1 )|Fn−1 ) = E(αn ∆Mn |Fn−1 ) + Mn−1 .

(21)

Îòñþäà è â ñèëó (20) E ∗ (|Mn ||Fn−1 ) ≤ E(αn |∆Mn ||Fn−1 ) + |Mn−1 | < ∞. Ïîýòîìó E ∗ (|Mn∗ ||Fn−1 ) < ∞. Ñ äðóãîé æå ñòîðîíû, â ñèëó (19), (21) ∗ E ∗ (Mn∗ |Fn−1 ) = Mn−1 ,

ò.å. M ∗ − îáîáùåííûé, à, çíà÷èò, è ëîêàëüíûé P ∗ − ìàðòèíãàë • 6

Íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû

6.1

Òåîðåìû Äóáà

Ïóñòü X = (Xn , Fn )− ñóïåðìàðòèíãàë è ñóùåñòâóåò èíòåãðèðóåìàÿ ñ.â. Y, òàêàÿ, ÷òî Xn ≥ E(Y |Fn ), n ≥ 1. (1) Òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû. Òåîðåìà 1. Î ñõîäèìîñòè ï.í. (ñì. [1], ñ. 557). Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1), òî Xn ñõîäèòñÿ P − ï.í. ê êîíå÷íîìó ïðåäåëó X∞ : lim Xn = X∞ .

Îá îñòàíîâêå (ñì. [1], ñ. 558). Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1), òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ÌÌ σ è τ ñ.â. Xσ è Xτ ÿâëÿþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè, è íà ìíîæåñòâå {σ ≤ τ } Òåîðåìà 2.

E(Xτ | Fσ ) ≤ Xσ . Çàìå÷àíèå 1. Íà ìíîæåñòâå {τ = ∞} çíà÷åíèå Xτ = X∞ = lim Xn ñóùåñòâóåò ïî òåîðåìå Äóáà î ñõîäèìîñòè •

6.2

Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå

Âûäåëèì òðè îñíîâíûå ðåçóëüòàòà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä çíàêîì èíòåãðàëà. Îíè äîâîëüíî ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ïðè îáîñíîâàíèè ïðåäåëüíûõ ñîîòíîøåíèé. Èõ äîêàçàòåëüñòâà ïðèâåäåíû â [2]. Âñþäó íèæå n → ∞. î ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè ([2], ñ. 202). Ïóñòü η, ξ, ξ1 , ξ2 , · · · − ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Òîãäà, Òåîðåìà

28

I

Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà

1. åñëè ξn ≥ η, n ≥ 1, Eη > −∞ è ξn ↑ ξ, òî Eξn ↑ Eξ; 2. åñëè ξn ≤ η, n ≥ 1, Eη < ∞ è ξn ↓ ξ, òî Eξn ↓ Eξ; Ëåììà Ôàòó ([2], ñ. 203). Ïóñòü η, ξ1 , ξ2 , · · · − ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Òîãäà, 1. åñëè ξn ≥ η, n ≥ 1 è Eη > −∞, òî Elimξn ≤ limEξn ; 2. åñëè ξn ≤ η, n ≥ 1 è Eη < ∞, òî limEξn ≤ Elimξn ; 3. åñëè |ξn | ≤ η, n ≥ 1 è Eη < ∞, òî Elimξn ≤ limEξn ≤ limEξn ≤ Elimξn . Òåîðåìà Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè ([2], ñ. 204). Ïóñòü η, ξ, ξ1 , ξ2 , · · · − òàêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ÷òî |ξn | ≤ η, n ≥ 1, Eη < ∞, è ξn → ξ ï.í. Òîãäà, E|ξ| < ∞, Eξn → Eξ è E|ξn − ξ| → 0.

6.3

Òåõíèêà ìîíîòîííûõ êëàññîâ

Òàê íàçûâàåòñÿ ðàññóæäåíèå, ïîçâîëÿþùåå ðàñøèðèòü îáëàñòü âûïîëíåíèÿ íåêîòîðîãî ñâîéñòâà. Îáû÷íî ýòî êàñàåòñÿ ñâîéñòâà, ñïðàâåäëèâîãî äëÿ êàæäîé σ− àëãåáðû èç íåêîòîðîãî ïîòîêà σ− àëãåáð, è òðåáóåòñÿ óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî æå ñâîéñòâà äëÿ ìèíèìàëüíîé σ− àëåáðû, ïîðîæäåííîé ýòèì ïîòîêîì.  îñíîâå ïîäîáíîãî ðàññóæäåíèÿ ëåæàò íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé è ôàêòîâ ([2], c. 153-54). Îïðåäåëåíèå 1. Ñèñòåìà M ïîäìíîæåñòâ Ω íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííûì êëàññîì, åñëè èç òîãî, ÷òî An ∈ M, n ≥ 1, è An ↑ A èëè An ↓ A ñëåäóåò, ÷òî A ∈ M. Ïóñòü äàëåå E− íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç

µ(E) íàèìåíüøèé ìîíîòîííûé êëàññ, ñîäåðæàùèé E, σ(E) íàèìåíüøóþ σ− àëåáðó, ñîäåðæàùóþ E. Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ êëàññîâ ìîòèâèðóåòñÿ â ëåììå 1 ([2], ñ.153).

Ïóñòü A− àëãåáðà. Òîãäà µ(A) = σ(A). Ïðèìåð.  òåîðåìå 5.1 ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñâîéñòâà 2. (ii) ⇒ (i) áûëî óñòàíîâëåíî ðàâåíñòâî (ñâîéñòâî (*)) P ∗ (A) = EZ∞ IA ïðè A ∈ Fm , m ≥ 1. Íóæíî æå áûëî äîêàçàòü ñâîéñòâî P ∗  P, èëè äàæå áîëåå òîãî, ÷òî dP ∗ /dP = Z∞ , ãäå Z∞ = lim Zn . Äëÿ ÷åãî äîñòàòî÷íî áûëî ëèøü ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü (*) ïðè A ∈ F = σ(∪Fn ) = ∧Fn . Òåõíèêà ìîíîòîííûõ êëàññîâ ïîçâîëÿåò óáåäèòüñÿ â ýòîì, çàìåòèâ, ÷òî, î÷åâèäíî, câîéñòâî (*) ñïðàâåäëèâî äëÿ 1) A ∈ ∪Fn è 2) ëþáîãî ìîíîòîííîãî ïåðåõîäà. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè (*) èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ ÷ëåíîâ ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ (An ), òî îíî îñòàåòñÿ â ñèëå è äëÿ åå ïðåäåëà A = lim An (ýòî âûòåêàåò èç òåîðåìû î ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè; ñì. ï.6.2). À, ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìîå ðàñøèðåíèå ñâîéñòâà (*) äàåò òåîðåìà 3. Òåîðåìà 3.

6

29

Íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû

6.4

Ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû

Ïðèâåäåì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì è â îáúåìå, â êîòîðîì îíè íàì ïîíaäîáÿòñÿ äëÿ çàäà÷ îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå. Ïóñòü äàëåå (xt , Ft ), t ∈ Z = {0, 1, · · ·}, − ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñî çíà÷åíèÿìè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (E, B) è ïóñòü äëÿ êàæäîãî x ∈ E íà σ− àëãåáðå F çàäàíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà Px . Îïðåäåëåíèå 1. Ñèñòåìà X = (xt , Ft , Px ) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì, íåîáðûâàþùèìñÿ ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì c äèñêðåòíûì âðåìåíåì è ñî çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå (E, B) (à òàêæå ìàðêîâñêîé öåïüþ èëè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1) äëÿ êàæäîãî A ∈ F, Px (A) ÿâëÿåòñÿ B− èçìåðèìîé ôóíêöèåé x; 2) äëÿ âñåõ x ∈ E, B ∈ B, s, t ∈ Z

Px (xt+s ∈ B| Ft ) = Pxt (xs ∈ B), Px (x0 = x) = 1,

(Px − ï.í.);

(2)

x ∈ E;

3) äëÿ êàæäûõ t ∈ Z è ω ∈ Ω íàéäåòñÿ è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ω 0 ∈ Ω òàêîå, ÷òî xs (ω 0 ) = xs+t (ω) (3) äëÿ âñåõ s ∈ Z. Óñëîâèå (2) âûðàæàåò ìàðêîâñêèé ïðèíöèï íåçàâèñèìîñòè áóäóùåãî îò ïðîøëîãî ïðè ôèêñèðîâàííîì íàñòîÿùåì. À óñëîâèå (3) îçíà÷àåò, ÷òî èñõîäíîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (èñõîäîâ) Ω äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íî áîãàòûì è ÷òî ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé îáëàäàåò íåêîòîðîé îäíîðîäíîñòüþ. Ýòî æå óñëîâèå (3) ïîçâîëÿåò ââåñòè îïåðàòîð θt , êîòîðûé äëÿ äàííîãî t ëþáîìó ýëåìåíòó ω ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò ω 0 . Òàêèì îáðàçîì, ω 0 = θt ω è xs (θt ω) = xs+t (ω), ò.å. îïåðàòîð θt ñäâèãàåò òðàåêòîðèþ {xs (ω), s ∈ Z} âëåâî íà t. Òàê îïðåäåëåííûé îïåðàòîð θt äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω. Íî îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì îïðåäåëèòü òàêæå îïåðàòîð ñäâèãà, äåéñòâóþùèé íà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. À èìåííî, åñëè η = η(ω)− ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî ÷åðåç θt η = θt η(ω)− îáîçíà÷èì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, îïðåäåëåííóþ ðàâåíñòâîì θt η(ω) = η(θt ω). Òàê, åñëè η(ω) = xu (ω), òî θt xu (ω) = xu (θt ω) = xu+t (ω). Åñëè æå èíäåêñîì ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ñ.â. τ = τ (ω), òî

θs xτ (ω) (ω) = xτ (θs ω) (θs ω) = xθs τ (ω) (θs ω) = xs+θs τ (ω) (ω).

(4)

Èçâåñòíî, ÷òî ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìàðêîâñêèì, ò.å. òàêèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìàðêîâñêîãî

6

31

Íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû

ìîìåíòà âðåìåíè τ îòíîñèòåëüíî ïîòîêà F ñëåäóþùåå óñèëåíèå óñëîâèÿ (2): 2') äëÿ âñåõ x ∈ E, B ∈ B, s, t ∈ Z

Px (xτ +s ∈ B| Fτ ) = Pxτ (xs ∈ B),

= (Fn ) âûïîëíÿåòñÿ

(Px − ï.í.).

(5)

Ïîýòîìó æåëàòåëüíî îáîáùèòü ââåäåííûé âûøå îïåðàòîð íà ñëó÷àé, êîãäà âìåñòî t ∈ Z èìååì ñ.â. τ (ω) ñî çíà÷åíèÿìè èç Z. Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ: θτ (ω) = θτ (ω) (ω), ω ∈ Ω. (6) C ïîìîùüþ ââåäåííîãî îïåðàòîðà θτ ñòðîãî ìàðêîâñêîå ñâîéñòâî (5) ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåé ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå

Ex (θτ η|Fτ ) = Exτ η,

x ∈ E,

(7)

åñëè, êîíå÷íî, η = η(ω) èíòåãðèðóåìàÿ F x − èçìåðèìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, F x = σ{ω : xs , s ≤ ∞}.

Ãëàâà II Còîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü ôèíàíñîâîãî ðûíêà. Àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Îñíîâíîé öåëüþ ýòîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ïåðâûé ýòàï çíàêîìñòâà ñî ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêîé. À ñîñòîèò îí èç òðåõ ÷àñòåé. Ñíà÷àëà ÷èòàòåëü äîëæåí ïîçíàêîìèòüñÿ ñ èçâåñòíîé è, ôàêòè÷åñêè, åäèíñòâåííîé îáùåóïîòðåáèòåëüíîé ìîäåëüþ ôèíàíñîâîãî ðûíêà. À çàòåì ñ ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé äâóõ âàæíûõ ÷åðò ïðàêòè÷åñêîãî ôèíàíñîâîãî ðûíêà, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ

àðáèòðàæ è ïîëíîòà è îëèöåòâîðÿþò â ñåáå íàøå ïðåäñòàâëåíèå î ñïðàâåäëèâî óñòðîåííîì ðûíêå. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èíòåðïðåòàöèÿ îêàçàëàñü äîñòàòî÷íî óäà÷íîé, ïîñêîëüêó ïðèâåëà ê îáùåïðèçíàííî ïîëåçíûì âûâîäàì.

1

33

Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ

1

Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ

1.1

Êðàòêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðûíêà

Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äâóõ äèñêðåòíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé

∆Bn = rn Bn−1 ,

∆Sn = ρn Sn−1 ,

(1)

êîòîðûå, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíû ñîîòíîøåíèÿì (∆an = an − an−1 )

Bn = (1 + rn )Bn−1 ,

(10 )

Sn = (1 + ρn )Sn−1 .

È áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíè îïèñûâàþò ñòîèìîñòü íåêîòîðûõ àêòèâîâ

- áåçðèñêîâîãî (Bn ) è ðèñêîâîãî (Sn ) â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè n è íà èíòåðâàëå 0 ≤ n ≤ N. Ãîâîðèòü æå îá ýòîì áóäåì òàê: óðàâíåíèÿ (1) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìîäåëü èçìåíåíèÿ öåí îñíîâíûõ öåííûõ áóìàã íà ôèíàíñîâîì ðûíêå èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,

ñòîõàñòè÷åñêóþ ìîäåëü ôèíàíñîâîãî ðûíêà. Óðàâíåíèÿ (1) ìîãóò áûòü çàïèñàíû â îáû÷íîé, ðàçíîñòíîé ôîðìå

∆Bn = Bn−1 ∆Un ,

∆Sn = Sn−1 ∆Vn

(2)

(ñì. (I.4.1)), åñëè ââåñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ.â. U = (Un ), V = (Vn ) ñ

Un =

n X

rk ,

Vn =

n X

0

ρk ,

0 ≤ n ≤ N ≤ ∞,

0

èëè, â ñîîòâåòñòâèè ñ ï.4, ãë.I, ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêèõ ýêñïîíåíò n Y Bn = B0 εn (U ) = B0 (1 + rk ),

n Y Sn = S0 εn (V ) = S0 (1 + ρk ).

1

(20 )

1

Ïðè ýòîì, êàê è îáû÷íî, âñå ñ.â. îïðåäåëåíû íà ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå (Ω, F, (Fn ), P ). Ïðè ýòîì âåëè÷èíû Vn ñ÷èòàþòñÿ Fn − èçìåðèìûìè, à Un − Fn−1 -èçìåðèìûìè. Ôèíàíñîâûé ðûíîê, îïðåäåëåííûé óðàâíåíèÿìè (1) èëè ôîðìóëàìè (2), ïðèíÿòî íàçûâàòü

(B, S)− ðûíêîì.

34 1.2

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Óòî÷íåíèå ïîíÿòèÿ ôèíàíñîâûé ðûíîê

Îòìåòèì äâà ìîìåíòà. I. Îáùèå ñîîáðàæåíèÿ. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èíòåðåñóþùèé íàñ ðûíîê öåííûõ áóìàã ôóíêöèîíèðóåò â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòåé, äëÿ âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ êîòîðûõ ââîäèòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ

(Ω, F, (Fn )n≥0 , P ). Ïîòîê σ− àëãåáð F = (Fn ) èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ïîòîê èíôîðìàöèé Fn , äîñòóïíûõ âñåì ó÷àñòíèêàì ðûíêà ê ìîìåíòó âðåìåíè n âêëþ÷èòåëüíî, n ≥ 0. Ðàññìàòðèâàåìûé æå (B, S) ðûíîê, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîñòîèò èç d + 1 àêòèâa (õîòÿ ÷àñòî ñ÷èòàåì, ÷òî d = 1 ): áàíêîâñêîãî ñ÷åòà (áåçðèñêîâûé àêòèâ) B, d àêöèé (ðèñêîâûå àêòèâû) ñ öåíàìè S = (S 1 , · · · , S d ). Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äèíàìèêà áàíêîâñêîãî ñ÷åòà è öåí àêöèé âñåãäà îïèñûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè, íî

áàíêîâñêîãî ñ÷åòà  ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ B = (Bn ), à i− ãî òèïà àêöèè  ñòîõàñòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ S i = (Sni ). Âûøåñêàçàííîå ïîä÷åðêèâàåò ïðèíöèïèàëüíóþ ðàçíèöó ìåæäó áàíêîâñêèì ñ÷åòîì è àêöèÿìè.  ñàìîì äåëå. Fn−1 − èçìåðèìîñòü Bn îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèå áàíêîâñêîãî ñ÷åòà Bn â ìîìåíò n ñòàíîâèòñÿ

ïîëíîñòüþ èçâåñòíûì â ìîìåíò âðåìåíè n − 1 è â ýòîì ñìûñëå ÿâëÿåòñÿ ïðåäñêàçóåìûì.  îòëè÷èå îò öåí àêöèé, Fn − èçìåðèìîñòü êîòîðûõ îçíà÷àåò, ÷òî èõ çíà÷åíèÿ ñòàíîâÿòñÿ èçâåñòíûìè òîëüêî ïðè ïîëó÷åíèè âñåé èíôîðìàöèè Fn â ìîìåíò n. Ýòî, êñòàòè, îáúÿñíÿåò è ñîãëàñóåòñÿ ñ òåì, ïî÷åìó áàíêîâñêèé ñ÷åò íàçûâàåòñÿ áåçðèñêîâûì, à àêöèè  ðèñêîâûìè àêòèâàìè. Ï. Äâà ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ öåí àêöèé. Åñòü äâà íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûõ ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ öåí

S = (Sn )n≥1 . Ïåðâûé èñõîäèò èç âûðàæåíèÿ

Sn = S0 eHn ,

n ≥ 1,

(4)

â êîòîðîì Hn = h0 + · · · + hn , h0 = 0, n ≥ 0. Ñìûñë ýòèõ Fn − èçìåðèìûõ ñ.â. îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè

Hn = ln

Sn , S0

hn = ln

Sn ∆Sn = ln(1 + ). Sn−1 Sn−1

1

35

Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ

Âòîðîé èñïîëüçóåò ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëó

Sn = S0

n n Y Y ˆ k ), ˆ k ) = S0 (1 + h (1 + ∆H 1

n ≥ 1,

(5)

1

ˆ n = ∆Sn /Sn−1 , H ˆ ˆ n = Pn h ïîñêîëüêó h 1 k . Ïðè ýòîì ÿñíî, âî-ïåðâûõ, ÷òî ˆ n = ∆H ˆ n > −1 â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ Sn > 0. È, âî-âòîðûõ, ÷òî âûøå h ˆ n. â êà÷åñòâå ρn ìû èñïîëüçîâàëè h ˆ n ) îçíà÷àåò, ÷òî åñëè h ˆ n = i, 1. Ñâÿçü hn = ln(1 + h ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñòàâêîé ïðîöåíòà ðàññìàòðèâàåìîãî ïåðèîäà, òî hn åñòü δ = ln(1 + i), ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòàâêó íåïðåðûâíîãî íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ, ýêâèâàëåíòíóþ i. Îáå ñòàâêè, êàê i, òàê è δ, ÿâëÿþòñÿ ñòàâêàìè ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ, îòëè÷àþùèìèñÿ ëèøü ÷àñòîòîé íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ. 2. Âûøåóêàçàííàÿ ñâÿçü ìîæåò áûòü çàïèñàíà òàêæå â âèäå ˆ n = ehn − 1, h Çàìå÷àíèÿ.

èç êîòîðîãî âûòåêàåò, ÷òî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ hn ˆ n ∼ hn , h

ˆ n − hn = (1/2)h2 + (1/6)h3 + · · · • ïîñêîëüêó h n n Åñëè îáîçíà÷èòü âûðàæåíèå â öåíòðå (5) ÷åðåç ˆ n= ε(H)

n Y ˆ k ), (1 + ∆H

(6)

1

ˆ = (ε(H) ˆ n )n≥0 , ε(H) ˆ 0 = 1, òî ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ε(H) îïðåäåëÿåìàÿ èì, íàçûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ýêñïîíåíòîé, ïîðîæäåííîé ˆ 0 = 1, èëè ˆ = (H ˆ n )n≥0 , H ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ H

ýêñïîíåíòîé Äîëåàí. Èòàê, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïåðâûé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ öåí, êîòîðûé â àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå íàçûâàåòñÿ compound return, èñïîëüçóåò îáû÷íóþ ýêñïîíåíòó Sn = S0 eHn , n ≥ 1. Âòîðîé æå, íàçûâàåìûé simple return, äëÿ ñâîåãî îïèñàíèÿ èñïîëüçóåò ñòîõàñòè÷åñêóþ ýêñïîíåíòó ˆ n , n ≥ 1. Sn = S0 ε(H) Ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî ïîñëåäíÿÿ óäîâëåòâîðÿåò ñòîõàñòè÷åñêîìó ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ ˆ n = ε(H) ˆ n−1 ∆H ˆ n, ∆ε(H) ÷òî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç (6) (cì. òàêæå #4 ãë. 1).

36

II

1.3

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Èíâåñòèöèîííàÿ ñòðàòåãèÿ èëè ïîðòôåëü

1. Äàâàÿ âûøå îïðåäåëåíèå (B, S)− ðûíêà, ìû ââåëè ôàêòè÷åñêè ëèøü ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñòîèìîñòè àêòèâîâ äâóõ (èëè d + 1 ) òèïîâ è íå îáóñëîâèëè åãî êàêèìè-ëèáî îãðàíè÷åíèÿìè.  îòíîøåíèè ïðàâ è îáÿçàííîñòåé èíâåñòîðà, äåéñòâóþùåãî íà ýòîì ðûíêå. Äåéñòâèòåëüíî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàø èíâåñòîð èìååò âîçìîæíîñòü

• ðàçìåùàòü ñðåäñòâà íà áàíêîâñêèé ñ÷åò è áðàòü ñ íåãî â äîëã; • ïîêóïàòü è ïðîäàâàòü àêöèè. Ïðè÷åì âñå ýòî â íåîãðàíè÷åííîì êîëè÷åñòâå è â èäåàëüíîé ñèòóàöèè. Òî÷íåå ãîâîðÿ, íà ïåðâîì ýòàïå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îòñóòñòâóþò îïåðàöèîííûå èçäåðæêè, ñâÿçàííûå ñ ïåðåâîäîì ñðåäñòâ ñ îäíîãî àêòèâà íà äðóãîé, à ñàìè àêòèâû ÿâëÿþòñÿ áåçãðàíè÷íî äåëèìûìè â òîì ñìûñëå, ÷òî ìîæíî êóïèòü èëè ïðîäàòü ëþáóþ ÷àñòü àêöèè è ïîëîæèòü ía áàíêîâñêèé ñ÷åò èëè âçÿòü ñ íåãî ëþáóþ ñóììó. Äàëåå, êàê ñàì (B, S)− ðûíîê, òàê è óñëîâèÿ åãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ èíòåðåñóþò íàñ íå ñàìè ïî ñåáå, à ïî îäíîé ïðè÷èíå. Ìû õîòèì îïèñàòü äåéñòâèÿ ñïåêóëÿíòà íà ýòîì ðûíêå, à òàêæå ïîíÿòü è îöåíèòü ïåðñïåêòèâû äîáèòüñÿ åìó óñïåõà â ðåçóëüòàòå ýòèõ äåéñòâèé. Òî÷íåå ãîâîðÿ, íàñ èíòåðåñóåò ÷åëîâåê èëè þðèäè÷åñêîå ëèöî, èìåþùèé â îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè íåêîòîðûé êàïèòàë è æåëàþùèé åãî ïðèóìíîæèòü íà êàêîì-òî îòðåçêå âðåìåíè çà ñ÷åò óäà÷íîé èãðû íà íàøåì ðûíêå. Áóäåì íàçûâàòü ýòîãî èãðîêà äëÿ êðàòêîñòè èíâåñòîð è ïîïðîáóåì îïèñàòü åãî ïîâåäåíèå è ñóòü èãðû íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå. Íî ïåðåä ýòèì îáðàòèì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ, âèäèìî, íà ñàìûé ñóùåñòâåííûé ìîìåíò. Êîíå÷íî, íà ðûíêå äîñòàòî÷íî ëþäåé, æåëàþùèõ ïðèóìíîæèòü ñâîé êàïèòàë. Íî ìû íå ñîáèðàåìñÿ äàâàòü ÷åòêèõ ðåêîìåíäàöèé ïî åãî ïðèóìíîæåíèþ, êîòîðûå ãàðàíòèðîâàííî èëè ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèâåäóò ê óñïåõó. Ïîñêîëüêó ñ÷èòàåì, ÷òî ýòî íåâîçìîæíî. Ïî êðàéíåé ìåðå, â òîé îáùåé ïîñòàíîâêå, êîòîðàÿ áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ. Îäíàêî ìû ñòàâèì öåëü ïðåäëîæèòü ðåêîìåäàöèè, ïîçâîëÿþùèå ãàðàíòèðîâàííî îñòàòüñÿ â íóëÿõ, è òåì ñàìûì êîñâåííî ñïîñîáñòâóþùèõ îñóùåñòâëåíèþ æåëàíèÿ ïðèóìíîæèòü êàïèòàë. Âåäü åñëè èçâåñòåí íóëåâîé âàðèàíò, òî âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ èíâåñòîð ñìîæåò ëó÷øå ïðåäñòàâèòü ðèñê, êîòîðûé áóäåò ñâÿçàí ñ êîíêðåòíûì íàìåðåíèåì, ñêàæåì, â äâà ðàçà óâåëè÷èòü ñâîé êàïèòàë çà ïÿòü ëåò. 2. Ïîâåäåíèå èíâåñòîðà è ïðàâèëà èãðû îïðåäåëÿþò òðè ïîíÿòèÿ:

êàïèòàë ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã, èíâåñòèöèîííàÿ ñòðàòåãèÿ èëè ïîðòôåëü, ñàìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü.

1

37

Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ

Âñå îíè òåñíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Íî íà÷íåì ñ ïåðâûõ äâóõ. Îïðåäåëåíèå 1. Êàïèòàëîì ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã íàçûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

X π = (Xnπ )n≥0 ,

â êîòîðîé Xnπ = βn Bn + γn Sn ≡ βn Bn +

d X

γni Sni .

(7)

1

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ÷òî èìåþùèéñÿ ó èíâåñòîðà â ìîìåíò âðåìåíè n êàïèòàë Xnπ ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî àêòèâàì â cîîòâåòñòâèè ñ (7), èëè, êàê åùå ãîâîðÿò, â ïîðòôåëå åñòü:

• γni àêöèé i− ãî òèïà ñòîèìîñòüþ Sni äåíåæíûõ åäèíèö çà îäíó àêöèþ, à òàêæå • βn ÷àñòåé áàíêîâñêîãî ñ÷åòà ñòîèìîñòüþ Bn äåíåæíûõ åäèíèö çà êàæäóþ ÷àñòü. Ïðè ýòîì íàñ íå áóäåò èíòåðåñîâàòü, ÷òî èìåííî ïîíèìàåòñÿ ïîä ÷àñòüþ áàíêîâñêîãî ñ÷åòà. Ñêàæåì, âûáðàííàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ äåíåã âêëàäà (ñîòíè, òûñÿ÷è èëè ìèëëèîíû èìåþùèõñÿ äåíåæíûõ åäèíèö), ñòîèìîñòü îäíîé èëè íåñêîëüêèõ îáëèãàöèé, êóïëåííûõ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè 0 èëè ÷òî-òî äðóãîå. Îñíîâíîé æå öåëüþ áóäåò ñóäüáà íà÷àëüíîãî êàïèòàëà X0π . Äîïóñòèì, âîçìîæíî ëè áóäåò ñ åãî ïîìîùüþ èíâåñòîðó èñïîëíèòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè N â áóäóùåì âçÿòîå íà ñåáÿ îáÿçàòåëüñòâî âíà÷àëå? Íî â îïðåäåëåíèè 1 ìû äàëè î÷åíü ãðóáîå îïèñàíèå èçìåíåíèÿ êàïèòàëà.  íåì íå õâàòàåò óòî÷íåíèÿ òîãî, êîãäà è êàê ìåíÿþòñÿ âñå ýëåìåíòû ïðåäñòàâëåíèÿ (7), à òàêæå ìîæåò ëè èíâåñòîð óïðàâëÿòü ýòèì èçìåíåíèåì è êàê. Òðåáóåòñÿ îáúÿñíèòü ïðèñóòñòâèå èíäåêñà â îáîçíà÷åíèè êàïèòàëà, à òàêæå êîå-÷òî äðóãîå. Îäíàêî îá ýòîì ÷óòü íèæå, à ïîêà è ÷òîáû óïðîñòèòü â äàëüíåéøåì èçëîæåíèå äîãîâîðèìñÿ ïðèäåðæèâàòüñÿ áåñêîîðäèíàòíîé çàïèñè, îáîçíà÷àÿ äëÿ âåêòîðîâ γn = (γn1 , · · · , γnd ) è Sn = (Sn1 , · · · , Snd ) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå

(γn , Sn ) ≡

d X

γni Sni

1

÷åðåç γn Sn . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà àêöèé d ≥ 1 çàïèñûâàòü êàïèòàë ïîðòôåëÿ è ãîâîðèòü î íåì òàê, êàê áóäòî ÷èñëî ýòèõ àêöèé d = 1.

38

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Èíûìè ñëîâàìè, îñíîâíîé ôîðìîé çàïèñè êàïèòàëà áóäåì ñ÷èòàòü ïåðâîå ðàâåíñòâî â (7) Xnπ = βn Bn + γn Sn . (70 ) Îïðåäåëåíèå 2.

Ïðåäñêàçóåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü π = (β, γ) ñ

β = (βn )n≥0 ,

γ = (γn )n≥0 ,

γn = (γn1 , · · · , γnd ),

(8)

íàçûâàåòñÿ èíâåñòèöèîííîé ñòðàòåãèåé èíâåñòîðà èëè åãî ïîðòôåëåì öåííûõ áóìàã íà (B, S)− ðûíêå (â äèíàìèêå). Òàêèì îáðàçîì, êîìïîíåíòû ñòðàòåãèè èëè ïîðòôåëÿ βn , γni , ïî îïðåäåëåíèþ äîëæíû áûòü Fn−1 − èçìåðèìûìè ñ.â. ïðè âñåõ n ≥ 0, i = 1, · · · , d (F−1 = F0 ). Êîíå÷íî, ïîðòôåëåì åñòåñòâåííî íàçûâàòü íàáîð πn = (βn , γn ) äîëåé êàïèòàëà, ðàñïðåäåëåííûõ ìåæäó âñåìè èìåþùèìèñÿ àêòèâàìè â êîíêðåòíûé ìîìåíò âðåìåíè n. Îäíàêî ñëåäóåò èìåòü ââèäó ñëåäóþùåå.  òàê íàçûâàåìîé ïîðòôåëüíîé òåîðèè Ìàðêîâèöà ïîðòôåëåì òàêæå íàçûâàåòñÿ âåêòîð x = (x1 , · · · , xm ) èç äîëåé êàïèòàëà, ðàñïðåäåëåííûõ ìåæäó èìåþùèìèñÿ â íåì àêòèâàìè. Íî òàì êîìïîíåíòû ïîðòôåëÿ xj ÿâëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûìè äîëÿìè, Pm à íå àáñîëþòíûìè êàê ó íàñ, ïîñêîëüêó îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ 1 xj = 1• Çàìå÷àíèå 1.

Óòî÷íèì òåïåðü, êîãäà è êàê ìåíÿþòñÿ âñå ýëåìåíòû ïðåäñòàâëåíèÿ (7'). Cðàâíèì äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèå êàïèòàëà â ìîìåíòû n − 1 è n : π Xn−1 = βn−1 Bn−1 + γn−1 Sn−1 ,

Xnπ = βn Bn + γn Sn .

Êàê èçâåñòíî, ñ.â. Bn , βn , γn ïðåäïîëîæåíû Fn−1 − èçìåðèìûìè. Ïîýòîìó ÿñíî, ÷òî â ìîìåíò n−1 èç âñåõ 8 ýëåìåíòîâ ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé èíâåñòîðó (âëàäåëüöó êàïèòàëà) èçâåñòíû ñåìü  íåèçâåñòíà ëèøü öåíà àêöèé Sn , êîòîðàÿ ñòàíåò èçâåñòíîé òîëüêî â ìîìåíò n. Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ñàìî çíà÷åíèå öåíû Sn îò íåãî íå çàâèñèò, òî åãî âîçìîæíîñòè óïðàâëÿòü èçìåíåíèåì êàïèòàëà â ìîìåíò n − 1, î÷åâèäíî, ñâîäÿòñÿ ê ïåðåáðîñêå ÷àñòè êàïèòàëà ñ áàíêîâñêîãî ñ÷åòà â àêöèè è íàîáîðîò. Ïðè÷åì ñàìà ïåðåáðîñêà äîëæíà ïðîèñõîäèòü õîòÿ è â ìîìåíò n − 1, íî ïîñëå òîãî, êàê ñòàíåò èçâåñòíîé öåíà Sn−1 , òàê êàê âåëè÷èíû βn , γn ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè Sn−1 è, çíà÷èò, ñòàíîâÿòñÿ èçâåñòíûìè òîëüêî ïîñëå îáíàðîäîâàíèÿ Sn−1 (çäåñü ñëåäóåò èìåòü ââèäó, ÷òî ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè â òåîðèè â äåéñòâèòåëüíîñòè ìîæåò ðàñòÿãèâàòüñÿ íà ÷àñû, äåíü, ñóòêè è ò.ä.). Èòàê, ïåðåáðîñêà êàïèòàëà ñ îäíîãî àêòèâà íà äðóãîé â ìîìåíò âðåìåíè n − 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåõîä îò îäíîãî ýëåìåíòà ñòðàòåãèè ê äðóãîìó: πn−1 = (βn−1 , γn−1 ) ⇒ πn = (βn , γn ).

1

39

Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ

Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ èíâåñòîðà ýòà ïåðåáðîñêà ìîæåò îêàçàòüñÿ âûãîäíîé. Ñêàæåì, åñëè ñâîè ñîîáðàæåíèÿ ïî ïåðåâîäó äåíåã îí áóäåò îñíîâûâàòü íà êà÷åñòâåííîì ïðîãíîçå áóäóùåé öåíû Sn . Îäíàêî ìû çíàåì, âîîáùå ãîâîðÿ, ÷òî çà ïåðåâîä äåíåã ïîëàãàåòñÿ ïëàòèòü êîìèññèîííûå, à ïðè ïîêóïêå-ïðîäàæå àêöèé ñóùåñòâóþò òàê íàçûâàåìûå îïåðàöèîííûå èçäåðæêè. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ âîïðîñ: à ÷òî æå ó íàñ? Ó íàñ áóäåò èäåàëüíûé ñëó÷àé. Èíûìè ñëîâàìè, ìû âûäåëèì ïîäêëàññ SF òàê íàçûâàåìûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé π, â êîòîðûõ áóäóò îòñóòñòâîâàòü êàê îïåðàöèîííûå èçäåðæêè, êîìèññèîííûå, òàê è äðóãèå óñëîæíÿþùèå òåîðèþ ìîìåíòû (ñì. Çàìå÷àíèå 2). Îïðåäåëåíèå 3. Ïîðòôåëü öåííûõ áóìàã π íàçûâàåòñÿ

ñàìîôèíàíñèðóåìûì, åñëè ñîîòâåòñòâóþùèé êàïèòàë X π ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå Xnπ = X0π +

n X

(βk ∆Bk + γk ∆Sk ),

n ≥ 0,

(9)

1

èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî, åñëè Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = 0,

n ≥ 1.

(10)

Ñìûñë óñëîâèÿ (10) ïîíÿòåí: èçìåíåíèå êàïèòàëà (Bn−1 ∆βn ) çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ ñîñòàâà áàíêîâñêîãî ñ÷åòà ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ëèøü çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ Sn−1 ∆γn â ñîñòàâå ïàêåòà àêöèé è íàîáîðîò. È ýòî â îïðåäåëåííîé ñòåïåíè îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ó íàñ èäåàëüíûé ñëó÷àé. Íî ïî÷åìó ýêâèâàëåíòíû âûøåóêàçàííûå óñëîâèÿ (9), (10)?  ýòîì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé äèñêðåòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

∆(an bn ) = an ∆bn + bn−1 ∆an

(11)

äëÿ ëþáûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé a = (an )n≥0 , b = (bn )n≥0 .  ñàìîì äåëå, ïðèìåíÿÿ åå ê ïðàâîé ÷àñòè (7) íàõîäèì, ÷òî

∆Xnπ = [βn ∆Bn + γn ∆Sn ] + [Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn ]. Òåì ñàìûì, äåéñòâèòåëüíî, (9) ⇔ (10). π íà Çàìå÷àíèå 2. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýâîëþöèÿ êàïèòàëà X (B, S)− ðûíêå â ïðèíöèïå ìîæåò çàâèñåòü îò äâóõ ôàêòîðîâ: ïðàâèë, îïðåäåëÿþùèõ ïåðåáðîñêó êàïèòàëà ñ îäíîãî âèäà àêòèâà íà äðóãîé, à òàêæå óñëîâèé, îáîáùàþùèõ èëè ìîäèôèöèðóþùèõ ñâÿçü êàïèòàëà ñ (B, S)− ðûíêîì, ò.å. óðàâíåíèå (7).  èçëîæåííîì âûøå ñëó÷àå ïåðâûé ôàêòîð îïðåäåëÿåò ïîäêëàññ SF òàê íàçûâàåìûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé, à âòîðîé ôàêòîð

40

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

îòñóòñòâóåò. Òåì ñàìûì ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòåéøàÿ ñèòóàöèÿ óðàâíåíèÿ (7), êîãäà íå ó÷èòûâàþòñÿ âîçìîæíûå êîìèññèîííûå (âîçíèêàþùèå ïðè ïîêóïêå-ïðîäàæå àêöèé, çàéìå äåíåã ñî ñ÷åòà, ãäå ñòàâêà ïî êðåäèòó ìåíüøå, ÷åì ïî çàéìó ... è ò.ä.). Îäíàêî, âîîáùå ãîâîðÿ, âìåñòî (7) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü äðóãèå óðàâíåíèÿ, â êîòîðûõ áóäóò ó÷òåíû äèâèäåíäû ñ àêöèé, îòòîê è ïðèòîê êàïèòàëà, ò.å. äîïîëíèòåëüíîå èíâåñòèðîâàíèå èëè ðàñõîäû íà ïîòðåáëåíèå è ò.ä. Ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè àíàëîãàìè óðàâíåíèÿ (7) ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ â [1], ñ.499-503 • 3. Âïîëíå ïîíÿòíî, ÷òî ïðè îïåðèðîâàíèè ïîðòôåëåì öåííûõ áóìàã π æåëàòåëüíî áûëî áû ðåäóöèðîâàòü ÷èñëî âõîäÿùèõ â ýòîò ïîðòôåëü àêòèâîâ, íå ìåíÿÿ ñóòè äåëà. Îäèí òàêîé ïîäõîä, êñòàòè, èìåþùèé î÷åâèäíóþ ïðàêòè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ, äîâîëüíî óäîáåí è ïîòîìó ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè. Ìû òàêæå áóäåì íà íåãî îïèðàòüñÿ. ¯ S)− ¯ Ðàññìîòðèì íàðÿäó ñ (B, S)− ðûíêîì íîâûé (B, ðûíîê ñ

¯ = (B ¯n )n≥0 , B

¯n ≡ 1, B

S¯ = (S¯n )n≥0 ,

Sn . S¯n = Bn

Ñìûñë íîâîé çàïèñè ñòàðîãî (B, S)− ðûíêà ñòàíîâèòñÿ ñîâñåì ïðîçðà÷íûì, åñëè çàìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà 1 + rk ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ñòîèìîñòü îäíîé äåíåæíîé åäèíèöû ìîìåíòà k − 1 ÷åðåç ïåðèîä, ò.å. â ìîìåíò k, åñëè rk ñ÷èòàòü ñòàâêîé Qn ïðîöåíòà k− ãî ïåðèîäà [k − 1, k). Ñîîòâåòñòâåííî, òîãäà âåëè÷èíó 1 (1 + rk ) åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü êàê ñòîèìîñòü îäíîé äåíåæíîé åäèíèöû ìîìåíòà 0 â ìîìåíò n. Òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíû

Bn = B0

n Y (1 + rk ), 1

Sn S¯n = , Bn

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñòîèìîñòü B0 äåíåæíûõ åäèíèö ìîìåíòà 0 (ëåæàùèõ íà áàíêîâñêîì ñ÷åòó) â ìîìåíò n, ñîîòâåòñòâåííî, ñòîèìîñòü àêöèè â ìîìåíò n â óñëîâíûõ äåíåæíûõ åäèíèöàõ ìîìåíòà 0 (îäíîé òàêîé åäèíèöåé ÿâëÿþòñÿ B0 äåíåæíûõ åäèíèö ìîìåíòà 0 ). ¯ S)− ¯ ðûíêó êàïèòàë Ïðè òàêîì ïåðåõîäå îò (B, S)− ðûíêà ê (B, íàøåãî èíâåñòîðà, ñîîòâåòñòâóþùèé åãî èíâåñòèöèîííîé ñòðàòåãèè π ¯ π = (X ¯ nπ )n≥0 c ïðåâðàòèòñÿ â íîðìèðîâàííûé êàïèòàë X π ¯ nπ = βn B ¯n + γn S¯n = βn + γn S¯n = 1 (βn Bn + γn Sn ) = Xn . X Bn Bn

(12)

¯k ≡ 0, äëÿ π ∈ SF Ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ (9) è ïîñêîëüêó ∆B ¯π = X ¯π + X n 0

n X 1

γk ∆S¯k ,

n ≥ 0,

(13)

1

41

Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ

èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî,    π Sn Xn = γn ∆ , ∆ Bn Bn

n ≥ 1.

(130 )

Ýòî ñîîòíîøåíèå, íåñìîòðÿ íà åãî ïðîñòîòó èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü âî ìíîãèõ ïîñëåäóþùèõ ðàñ÷åòàõ, îïèðàþùèõñÿ íà êîíöåïöèþ àðáèòðàæà.

42

II

2

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Ìàðòèíãàëüíûé êðèòåðèé îòñóòñòâèÿ àðáèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé.

Ïðåæäå âñåãî óòî÷íèì, ÷òî ñåé÷àñ íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü êàïèòàë Xπ = (Xnπ )0≤n≤N íåêîòîðîãî èíâåñòîðà, èñïîëüçóþùåãî ñàìîôèíàíñèðóåìóþ ñòðàòåãèþ π è äåéñòâóþùåãî â èíòåðâàëå âðåìåíè 0 ≤ n ≤ N íà íåêîòîðîì (B, S)− ðûíêå, ñîñòîÿùåì èç áàíêîâñêîãî ñ÷åòà B = (Bn ), óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ

0 ≤ n ≤ N,

Bn > 0,

(1)

à òàêæå êîíå÷íîãî ÷èñëà d àêòèâîâ S = (S 1 , · · · , S d ), S i = (Sni ), è ïóñòü 1 ≤ d < ∞, 1 ≤ N < ∞. Åñòåñòâåííî, âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû óêàçàííûõ îáúåêòîâ çàäàíû íà íàøåì ôèëüòðîâàííîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå (Ω, F, (Fn )n≥0 , P ), ïðè÷åì F0 = (∅, Ω), à F = FN . 2.1

Êîíöåïöèÿ àðáèòðàæà

Ïóñòü àðáèòðàæ  ýòî âûèãðûø èç íè÷åãî â ñëåäóþùåì ñìûñëå.

Ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ π ðåàëèçóåò àðáèòðàæíóþ âîçìîæíîñòü (â ìîìåíò N ), åñëè ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì êàïèòàëå åå êàïèòàë â ìîìåíò N íåîòðèöàòåëåí è ñ ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ïîëîæèòåëåí, ò.å. Îïðåäåëåíèå

1.

X0π = 0

⇒

π π P (XN ≥ 0) = 1, P (XN > 0) > 0.

Cðåäè âñåõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé íàðÿäó ñ àðáèòðàæíûìè âûäåëèì è íåðàçóìíûå ñòðàòåãèè, äëÿ êîòîðûõ

X0π = 0

⇒

π P (XN ≤ 0) = 1,

π P (XN < 0) > 0.

(2)

Ñîîòâåòñòâåííî, êëaññ àðáèòðàæíûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé îáîçíà÷èì SFarb , à êëàññ íåðàçóìíûõ SFsil . Êàê âèäèì, ïîñëåäíèé ñèììåòðè÷åí êëàññó àðáèòðàæíûõ ñòðàòåãèé. Îïðåäåëåíèå 2. Ãîâîðÿò, ÷òî íà (B, S)− ðûíêå îòñóòñòâóþò àðáèòðàæíûå âîçìîæíîñòè èëè ÷òî ðûíîê ÿâëÿåòñÿ áåçàðáèòðàæíûì, åñëè SFarb = ∅ = SFsil . Èíà÷å ãîâîðÿ, íà áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå âñÿêàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ñòðàòåãèè π, ò.å. òàêàÿ, ÷òî

X0π = 0,

π P (XN 6= 0) > 0,

ÿâëÿåòñÿ ðèñêîâîé â òîì ñìûñëå, ÷òî π P (XN > 0) > 0,

π P (XN < 0) > 0.

(3)

2

43

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è àðáèòðàæ

π 6= 0) óõîäèò â  ñàìîì äåëå, åñëè âñÿ âåðîÿòíîñòü α = P (XN π > 0), òî ìû èìååì àðáèòðàæíóþ ñèòóàöèþ. ïëþñ, ò.å. α = P (XN π < 0), òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòðàòåãèÿ π Òî÷íî òàê æå, åñëè α = P (XN îêàçûâàåòñÿ íåðàçóìíîé. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ (2) â êëàññ áåçàðáèòðàæíûõ ñòðàòåãèé âõîäèò è òðèâèàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, äëÿ êîòîðîé π X0π = 0, P (XN = 0) = 1.

Íî, î÷åâèäíî, òàêóþ ñòðàòåãèþ ìîæíî ñ÷èòàòü âûðîæäåííûì ñëó÷àåì. Ïîýòîìó êëàññ áåçàðáèòðàæíûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé îáîçíà÷èì SFrisk è, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå

SF = SFarb ∪ SFsil ∪ SFrisk . 6

0

*   1          P HP HP HP HPPP HH P q H j H

π > 0) > 0 P (XN

π =0 XN

N

π < 0) > 0 P (XN

Ðèñ. 1.1 Òèïè÷íàÿ êàðòèíà ïåðåõîäîâ íà áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå Êîíå÷íî, áåçàðáèòðàæíûå ñòðàòåãèè ñëåäîâàëî áû íàçûâàòü áåçàðáèòðàæíûìè è ðàçóìíûìè. Îäíàêî ìû ïðåäëàãàåì âòîðóþ ïîëîâèíó ýòîãî íàçâàíèÿ ñ÷èòàòü ïîäðàçóìåâàþùåéñÿ. Êðîìå òîãî, íà áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå ïðè óñëîâèè X0π = 0 äèàãðàììà ïåðåõîäîâ äîëæíà èìåòü âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ.1. Òî÷íåå ãîâîðÿ, âñÿ ñîâîêóïíîñòü ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé â òàêîì ðûíêå ðàçáèâàåòñÿ íà äâå ÷àñòè. Äëÿ ïåðâîé èç íèõ âñå âîçìîæíûå ïåðåõîäû ïðåäñòàâëÿþò π = 0) = 1. ñîáîé ñåìåéñòâî òðèâèàëüíûõ òðàåêòîðèé, äëÿ êîòîðûõ P (XN Íî â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì íåèíòåðåñíûé, âûðîæäåííûé ðûíîê. Ïîýòîìó îñíîâíîé åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ñèòóàöèþ íà ðûíêå, êîòîðóþ ïðåäñòàâëÿåò âòîðàÿ ÷àñòü ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé, êîãäà ñåìåéñòâî òðàåêòîðèé π îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì P (XN = 0) < 1. À â òàêîì ñåìåéñòâå π > 0) > 0, òðàåêòîðèé íàðÿäó ñ âûèãðûøàìè, ò.å. òðàåêòîðèÿìè ñ P (XN π < 0) > 0. íåìèíóåìî äîëæíû áûòü è ïðîèãðûøè ñ P (XN Çàìå÷àíèå 1. Îòìåòèì, ÷òî äàííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ îïåðèðîâàëè ñ ñîáûòèÿìè âèäà {Xnπ > 0}, {Xnπ ≥ 0}, êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ ñîáûòèÿìè ¯ nπ > 0}, {X ¯ nπ ≥ 0}, ñîîòâåòñòâåííî, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (1). {X Ýòî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñîâ î íàëè÷èè àðáèòðàæà èëè î åãî îòñóòñòâèèè íà (B, S)− ðûíêå ìîæíî ñðàçó ¯ S)− ¯ ðûíêîì, ãäå B ¯n ≡ 1 è S¯n = Sn /Bn . Èíà÷å ãîâîðÿ, îïåðèðîâàòü ñ (B, ïðè óñëîâèè (1) ìîæíî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëàãàòü, ÷òî Bn ≡ 1•

44 2.2

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Ïåðâàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè

 ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå äèñêðåòíîãî âðåìåíè èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ çàìå÷àòåëüíàÿ òåîðåìà, êîòîðóþ, ââèäó åå âàæíîñòè íàçûâàþò

Ïåðâàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà â òåîðèè îöåíêè ñòîèìîñòè ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ (The rst Fundamental Asset Pricing Theorem). Èñïîëüçóåìàÿ â íåé ìåðà P ∗ íàçûâàåòñÿ

ìàðòèíãàëüíîé èëè ðèñê-íåéòðàëüíîé. Òåîðåìà 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû (B, S)− ðûíîê, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ (1), áûë áåçàðáèòðàæíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàøëàñü õîòÿ áû îäíà ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé d− ìåðíàÿ íîðìèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

S/B = (Sn /Bn )

ÿâëÿåòñÿ (P ∗ , (Fn ))− ìàðòèíãàëîì. Èíûìè ñëîâàìè, i S E ∗ n < ∞, i = 1, · · · , d, n = 0, 1 · · · , N, Bn E∗



Sni |Fn−1 Bn

 =

i Sn−1 , Bn−1

n = 1 · · · , N (P ∗ ï.í.).

Äîêàçàòåëüñòâî.  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìàòðèâàåì (B, S)− ðûíîê, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ (1). Ïîýòîìó â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 1 ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Bn ≡ 1 è ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ S âìåñòî S/B. 1. Äîñòàòî÷íîñòü: åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S ÿâëÿåòñÿ P ∗ − π = ìàðòèíãàëîì, òî SFarb = ∅ = SFsil . Ïîêàæåì äëÿ ýòîãî, ÷òî P (XN π π π π 0) = 1, åñëè X0 = 0, P (XN ≥ 0) = 1, èëè X0 = 0, P (XN ≤ 0) = 1.  ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ( X0π = 0 ) äëÿ êàïèòàëà X = (Xnπ ) èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå (ñì. (1.13'); íàïîìèíàåì, ÷òî 1 ≤ d < ∞ )

Xnπ =

n X

γk ∆Sk ,

n = 0, · · · , N.

(4)

1

Ïîýòîìó îòíîñèòåëüíî ìåðû P ∗ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X π = (Xnπ ) ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì è, ñëåäîâàòåëüíî, ëîêàëüíûì π ≥ 0) = 1 (èëè ìàðòèíãàëîì ïî òåîðåìå 1.3.1. Òàêèì îáðàçîì, åñëè P (XN π ≤ 0) = 1 ), òî ïî ëåììå 1.3.1 íàø êàïèòàë ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå P (XN

2

45

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è àðáèòðàæ

π = X π = 0. À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî P ∗ − ìàðòèíãàëîì è òåì ñàìûì E ∗ XN 0 π = 0) = 1. P (XN 2. Íåîáõîäèìîñòü: åñëè SFarb = ∅ = SFsil , òî cóùåñòâóåò ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S ÿâëÿåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì. Ðàçîáúåì îáîñíîâàíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íà äâå ÷àñòè, â êîòîðûõ d è N íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà:

1) d = 1, 1 ≤ N < ∞, 2) 1 ≤ d < ∞, 1 ≤ N < ∞. 1. d = 1. Åñëè êëàññ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé íå ñîäåðæèò íåðàçóìíûõ è àðáèòðàæíûõ ñòðàòåãèé, òî äëÿ ëþáîé èç åãî ñòðàòåãèé π â ïðåäïîëîæåíèè X0π = 0 ñïðàâåäëèâî îäíî èç äâóõ: π a. P (XN = 0) = 1,

π b. P (XN > 0) > 0,

π P (XN < 0) > 0.

(5)

Ïðè÷åì â ñëó÷àå (5b) ïî ëåììå 1.5.1 cóùåñòâóåò òàêàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, äëÿ êîòîðîé π a. E ∗ |XN | < ∞,

π b. E ∗ XN = 0.

(6)

À â ñëó÷àå (5à), î÷åâèäíî, ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò ìåñòî ïðè P ∗ = P. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè ìîæíî íàéòè ìåðó P ∗ cî ñâîéñòâàìè (6), ýêâèâàëåíòíóþ ìåðå P. Ñ äðóãîé ñòîðîíû èçâåñòíî (ñì. óïð. 5), ÷òî ñåìåéñòâî èíòåãðèðóåìûõ c.â. S = (Sn )0≤n≤N ÿâëÿåòñÿ (P ∗ , (Fn ))− ìàðòèíãàëîì, åñëè

E ∗ Sτ = E ∗ S 0

(7)

äëÿ ëþáîãî ìàðêîâñêîãî ìîìåíòà τ (îòíîñèòåëüíî ïîòîêà (Fn )0≤n≤N ). Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî èç (6) âûòåêàåò íå òîëüêî èíòåãðèðóåìîñòü S, íî è ñâîéñòâî (7). Ââåäåì äëÿ ýòîãî äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ.â. β = (βn ), γ = (γn ),

βn = Sτ I(n>τ ) − S0 ,

γn = I(n≤τ ) ,

(8)

â êîòîðûõ τ − ïðîèçâîëüíûé ìàðêîâñêèé ìîìåíò, è çàìåòèì, ÷òî èìåííî ïîýòîìó ýòè ñ.â. Fn−1 − èçìåðèìû. À òåì ñàìûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü π = (β, γ) ÿâëÿåòñÿ ïîðòôåëåì. Íî

βn + γn Sn = Sτ I(n>τ ) + Sn I(n≤τ ) − S0 , βn+1 + γn+1 Sn = Sτ I(n+1>τ ) + Sn I(n+1≤τ ) − S0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ∆βn+1 + Sn ∆γn+1 = Sτ I(τ =n) − Sn I(τ =n) = 0. Ïîýòîìó òàêàÿ ñòðàòåãèÿ π ÿâëÿåòñÿ è ñàìîôèíàíñèðóåìîé, ïðè÷åì äëÿ íåå π Sτ − S0 = (Sτ I(τ
(9)

46

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

È ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (6b) → (7), à èç (6à) âûòåêàåò èíòåãðèðóåìîñòü cåìåéñòâà S, ïîñêîëüêó ïðè ëþáîì n ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî E ∗ |Sn | < ∞, åñëè ïîëîæèì τ ≡ n è ó÷òåì, ÷òî S0 = const. 2. d ≥ 1.  ýòîì ñëó÷àå, êàê è ðàíåå, ïðåäïîëîæåíèå î áåçàðáèòðàæíîñòè ðûíêà ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî äëÿ ëþáîé ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè π ñîîòíîøåíèÿ (6) ñïðàâåäëèâû ïðè íåêîòîðîé ìåðå P ∗ , ýêâèâàëåíòíîé ìåðå P. Ïðè÷åì èñïîëüçóåòñÿ òà æå ëåììà. Îñòàâøàÿñÿ æå ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà íå ìåíÿåòñÿ ïî ñóùåñòâó, íî òðåáóåò óòî÷íåíèÿ. Äåëî â òîì, ÷òî êîìïîíåíòà βn èñïîëüçóåìîé âûøå âñïîìîãàòåëüíîé ñòðàòåãèè π ïî-ïðåæíåìó ÷èñëî, à çíà÷åíèå öåíû Sn , ÷åðåç êîòîðóþ îíà îïðåäåëÿåòñÿ, òåïåðü âåêòîð. Îäíàêî îïðåäåëåíèå (8) ýòîé ñòðàòåãèè ìîæíî è îñòàâèòü, åñëè ïîíèìàòü åãî â ñëåäóþùåì ñìûñëå:

βn = (Sτ , I(n>τ ) ) − (S0 , e) =

d X

(Sτii I(n>τi ) − S0i ),

γni = I(n≤τi ) ,

(80 )

1

ò.å. ñ÷èòàòü, ÷òî Sτ = (Sτ11 , · · · , Sτdd ), I(n>τ ) = (I(n>τ1 ) , · · · , I(n>τd ) ), e = (1, · · · , 1).  ýòîì ñëó÷àå ðàâåíñòâà (7) è (9) ëó÷øå çàïèñàòü â âèäå

E ∗ Sτii = E ∗ S0i , 1 ≤ i ≤ d, (Sτ − S0 , e) =

d X

π (Sτii − S0i ) = XN .

(70 ) (90 )

1

Òîãäà ëîãèêà îáîñíîâàíèÿ ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíèòñÿ • 2.3

Äðóãîé âàðèàíò àðáèòðàæà è åãî ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà

Íàðÿäó ñ èñïîëüçîâàííûì âûøå ïîíÿòèåì áåçàðáèòðàæíîñòè â ôèíàíñîâîé ëèòåðàòóðå îáðàùàþòñÿ è ê äðóãèì òî÷êàì çðåíèÿ. Ðàññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå òàê íàçûâàåìóþ áåçàðáèòðàæíîñòü â ñëàáîì ñìûñëå. Îïðåäåëåíèå 3. Ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ π ðåàëèçóåò àðáèòðàæíóþ âîçìîæíîñòü (â ìîìåíò N ), åñëè èçìåíåíèå åå êàïèòàëà õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

X0π = 0

⇒

π P (Xnπ ≥ 0) = 1, 1 ≤ n ≤ N, P (XN > 0) > 0.

Íà ýòîò ðàç êëàññ íåðàçóìíûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé åñòåñòâåííî íå âûäåëÿòü, à âêëþ÷èòü â êëàññ áåçàðáèòðàæíûõ ñòðàòåãèé SF \SFarb , ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àÿ êëaññ àðáèòðàæíûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé ÷åðåç SFarb . Òàêèì îáðàçîì, êàê áû

2

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è àðáèòðàæ

47

ïðèíèìàåòñÿ òî÷êà çðåíèÿ, ïðè êîòîðîé ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî íåðàçóìíóþ ñòðàòåãèþ èíâåñòîð íå ïðåäïðèìåò è ïîòîìó ðàññìàòðèâàòü åå íå èìååò ñìûñëà.

(B, S)− ðûíîê íàçûâàåòñÿ áåçàðáèòðàæíûì â ñëàáîì ñìûñëå, åñëè äëÿ êàæäîé ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè π ñ π = 0) = 1, ò.å. X0π = 0 è P (Xnπ ≥ 0) = 1, 1 ≤ n ≤ N, èìååì P (XN Îïðåäåëåíèå

4.

SFarb = ∅. Ñîîòâåòñòâóþùèé íîâîìó ïîíÿòèþ ìàðòèíãàëüíûé êðèòåðèé îòñóòñòâèÿ àðáèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé óäàåòñÿ äîêàçàòü â ïðåäïîëîæåíèè

|Ω| = k < ∞.

(10)

Èíûìè ñëîâàìè, âñå ðàññìàòðèâàåìûå íà íàøåì ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå ñ.â. ÿâëÿþòñÿ äèñêðåòíûìè è ïðèíèìàþùèìè êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé. Îäíàêî ïîìèìî ýòîãî æåñòêîãî óñëîâèÿ íè÷åãî íå ìåíÿåòñÿ. Ìû ïî-ïðåæíåìó ðàññìàòðèâàåì (B, S)− ðûíîê, óäîâëåòâîðÿþùèé òàêæå óñëîâèþ (1), à êîëè÷åñòâî ðèñêîâàííûõ àêòèâîâ d è òåðìèíàëüíûé ìîìåíò âðåìåíè N êîíå÷íû è ïðîèçâîëüíû: 1 ≤ d < ∞, 1 ≤ N < ∞. Ïðè ýòîì îáîñíîâàíèå íîâîãî êðèòåðèÿ õîòÿ è îêàæåòñÿ áîëåå ãðîìîçäêèì, ÷åì â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå òåîðåìû 1, íî ïî ñóùåñòâó áóäåò ìàëî îòëè÷àþùèìñÿ îò íåãî. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíèòñÿ íå òîëüêî óñòàíîâëåíèå äîñòàòî÷íîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ìàðòèíãàëüíîé ìåðû äëÿ áåçàðáèòðàæíîñòè ðûíêà, íî è ÷àñòü, ñâÿçàííàÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ, êîãäà âûáîð èñêîìîé ìàðòèíãàëüíîé ìåðû ïðèâåäåò ê ñîîòíîøåíèÿì (6) è íóæíî áóäåò óñòàíîâèòü ñ èõ ïîìîùüþ ìàðòèíãàëüíîñòü ñåìåéñòâà S îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ìåðû. Òàê ÷òî åäèíñòâåííîå îòëè÷èå ñâÿçàíî ñ âûáîðîì ìåðû P ∗ . Ðàíåå ýòî áûëî ñäåëàíî ññûëêîé íà ëåììó 1.5.1, à òåïåðü ñàìó âîçìîæíîñòü âûáîðà ïðèäåòñÿ îáîñíîâûâàòü îòäåëüíî, ñ èñïîëüçîâàíèåì òàê íàçûâàåìîé òåîðåìû îòäåëèìîñòè.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû (B, S)− ðûíîê, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì (1) è (10), áûë áåçàðáèòðàæíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàøëàñü õîòÿ áû îäíà ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé d− ìåðíàÿ íîðìèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Òåîðåìà

2.

S/B = (Sn /Bn )

ÿâëÿåòñÿ (P ∗ , (Fn ))− ìàðòèíãàëîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è ðàíåå, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 1 áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Bn ≡ 1 è ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ S âìåñòî S/B. Êðîìå òîãî, âñå îáîñíîâàíèå ïðîâåäåì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî d = 1, ïîñêîëüêó ñëó÷àé d ≥ 1 áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò íåãî òî÷íî òàê æå, êàê â òåîðåìå 1.

48

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

1. Äîñòàòî÷íîñòü: åñëè ñåìåéñòâî S ÿâëÿåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì, òî π = 0) = 1, åñëè SFarb = ∅. Íà ýòîò ðàç òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî P (XN π π X0 = 0, P (Xn ≥ 0) = 1, 1 ≤ n ≤ N. Òåì íå ìåíåå îáîñíîâàíèå äîñòàòî÷íîñòè òåîðåìû 1 ìîæíî îñòàâèòü áåç èçìåíåíèé. Ïðè÷åì ëåììà 1.3.1 òåïåðü áóäåò èñïîëüçîâàíà íàïîëîâèíó. 2. Íåîáõîäèìîñòü: åñëè SFarb = ∅, òî cóùåñòâóåò ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S ÿâëÿåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì. Ýòà ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà, êàê áû â îòìåñòêó ïðåäûäóùåé, çàìåòíî òðóäíåå è äàæå èñïîëüçóåò òåîðåìó îá îòäåëèìîñòè. ×òîáû òî÷íåå ïðåäñòàâèòü åå ñõåìó îáîñíîâàíèÿ, ââåäåì äâà íåïóñòûõ ìíîæåñòâà îäíîìåðíûõ ñ.â. ξ íà (Ω, F ) : π Σ0 = {ξ : ∃π ∈ SF òàêàÿ, ÷òî X0π = 0, XN = ξ}, Σ1 = {ξ ≥ 0 : Eξ ≥ 1}.

Òåïåðü ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìû ïîñëåäîâàòåëüíî óñòàíîâèì 2 èìïëèêàöèè 1

2

{SFarb = ∅} ⇒ {Σ0 ∩ Σ1 = ∅} ⇒ {∃P ∗ · · ·}. 1

2.1 ⇒ . Äåéñòâóåì îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî Σ0 ∩ Σ1 6= ∅, è çàìå÷àÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ π, äëÿ êîòîðîé π π X0π = 0, P (XN ≥ 0) = 1 è P (XN > 0) > 0.

Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà SFarb 6= ∅ â ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðåäïîëîæåíèåì. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî Xnπ ≥ 0 ïðè âñåõ 0 ≤ n ≤ N, òî èñêîìóþ àðáèòðàæíóþ ñòðàòåãèþ íå íóæíî èñêàòü  ýòî π. Òàê ÷òî ïðåäïîëîæèì, π < 0) > 0, ÷òî â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè m ≥ 1 â ïîñëåäíèé ðàç P (Xm π ¯ = (β¯n , γ¯n ), ò.å. P (Xn ≥ 0) = 1, n > m. È ââåäåì íîâóþ ñòðàòåãèþ π ñâÿçàííóþ ñî ñòðàòåãèåé π = (βn , γn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì: π β¯n = [βn − Xm ]IA∩(n>m) ,

γ¯n = γn IA∩(n>m) ,

1 ≤ n ≤ N,

π < 0). Ïîêàæåì, ÷òî îíà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ïîëàãàÿ A = (ω : Xm ñàìîôèíàíñèðóåìûì àðáèòðàæíûì ïîðòôåëåì.  ñàìîì äåëå, Fn−1 − èçìåðèìîñòü ýëåìåíòîâ π ¯n î÷åâèäíà, ïîñêîëüêó ïðè n ≤ m èëè ω ∈ / A îíè îáíóëÿþòñÿ, à ïðè n > m, ω ∈ A, èìåþò èçìåðèìîñòü ýëåìåíòîâ πn . Äàëåå, ñàìîôèíàíñèðóåìîñòü π ¯ âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ïðè n > m, ω ∈ A π ), ∆β¯m+1 = ∆βm+1 + (βm − Xm ∆β¯n = ∆βn , n > m + 1, ∆¯ γm+1 = ∆γm+1 + γm , ∆¯ γn = ∆γn , n > m + 1.

À, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ω ∈ A è n = m + 1 π ) = 0, ∆β¯m+1 + Sm ∆¯ γm+1 = (∆βm+1 + Sm ∆γm+1 ) + (βm + Sm γm − Xm n > m + 1 : ∆β¯n + Sn−1 ∆¯ γn = ∆βn + Sn−1 ∆γn = 0.

2

49

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è àðáèòðàæ

Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî P (X0π¯ = 0) = 1, P (Xnπ¯ ≥ 0) = 1, 1 ≤ n ≤ N, π ¯ > 0) > 0. Ðàññìàòðèâàÿ, åñòåñòâåííî, ëèøü ÷àñòü òðàåêòîðèé ñ è P (XN n > m, ω ∈ A. Íî ïðè òàêèõ n è ω π π Xnπ¯ = β¯n + γ¯n Sn = βn + γn Sn − Xm = Xnπ − Xm > 0, π < 0. Íî P (A) > 0 è ïîòîìó, â ÷àñòíîñòè, ïîñêîëüêó Xnπ ≥ 0, à Xm π ¯ P (XN > 0) > 0. Èòàê, ïåðâàÿ èìïëèêàöèÿ äîêàçàíà è, çíà÷èò, ìíîæåñòâà Σ0 , Σ1 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. 2 2.2 ⇒ . Ðàçîáúåì îáîñíîâàíèå âòîðîé èìïëèêàöèè íà 2 ÷àñòè. à) Îïðåäåëåíèå ìàðòèíãàëüíîé ìåðû P ∗ . Óñëîâèå (10) îçíà÷àåò, ÷òî êàæäóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ, çàäàííóþ íà Ω, ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ âåêòîðîì x = (x1 , · · · , xk ) ∈ Rk , xi = ξ(ωi ). Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòè P (ωi ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ èñõîäíîé ìåðîé P. Ïîýòîìó ìíîæåñòâà Σ0 , Σ1 , ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà â êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rk . Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî Σ1 − âûïóêëî, Σ0 − ëèíåéíî (ñì. çàìå÷. 2) è ïî òåîðåìå îá îòäåëèìîñòè íàéäåòñÿ òàêîé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë l = l(x), x ∈ Rk , ÷òî

l(x) = 0, x ∈ Σ0 ,

l(x) > 0, x ∈ Σ1 .

Êàê èçâåñòíî, â Rk ýòîò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë l ìîæíî çàïèñûâàòü â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñ íåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûì âåêòîðîì

q = (q1 , · · · , qk ) : l(x) = (x, q) ≡

k X

xi qi ,

1

êîìïîíåíòû êîòîðîãî â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ïîëîæèòåëüíû, òàê −1 −1 êàê âåêòîðû (p−1 1 , 0, · · · , 0), (0, p2 , 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, pk ), î÷åâèäíî, ïðèíàäëåæàò Σ1 , åñëè pi = P (ωi ) > Pk0. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð q ìîæíî ñ÷èòàòü òàêæå è íîðìèðîâàííûì ( 1 qi = 1 ). Èìåííî êîìïîíåíòû ýòîãî âåêòîðà ïóñòü è îïðåäåëÿþò èñêîìóþ ìåðó P ∗ :

P ∗ (ωi ) = qi ,

i = 1, · · · , k.

b) Äîêàçàòåëüñòâî ìàðòèíãàëüíîñòè P ∗ . Èñïîëüçóÿ âòîðîå ñâîéñòâî íàøåãî ôóíêöèîíàëà ( (x, q) = 0, x ∈ Σ0 ) è îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà Σ0 , íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè π ∈ SF è X0π = 0, òî π E ∗ XN = 0.

È äàëåå òîò ôàêò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S ÿâëÿåòñÿ (P ∗ , (Fn ))− ìàðòèíãàëîì, âûâîäèòñÿ èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 1 (óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâåíñòâî (7)). Ïîä÷åðêíåì

50

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

ëèøü òî, ÷òî èíòåãðèðóåìîñòü ñåìåéñòâà S íà ýòîò ðàç äîêàçûâàòü íå íóæíî. Îíà âûòåêàåò èç óñëîâèÿ (10) • Çàìå÷àíèå 2.

Ìíîæåñòâî Σ1 çàäàåòñÿ êîíñòðóêòèâíî, ò.å.

Σ1 = {x ∈ Rk : (x, p) =

k X

xi pi ≥ 1, x ≥ 0}.

1

Èíûìè ñëîâàìè, Σ1 − ýòî ïåðåñå÷åíèå ïîëîæèòåëüíîãî îðòàíòà è ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ ãðàíèöåé-ãèïåðïëîñêîñòüþ, îðòîãîíàëüíîé âåêòîðó p = (p1 , · · · , pk ), pi = P (ωi ), è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó x = (1, · · · , 1).  îòíîøåíèè Σ0 èçâåñòíî, ÷òî â òî÷êàõ x ∈ Σ0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (x, q) = 0. Òàêèì îáðàçîì, Σ0 ïðèíàäëåæèò ãèïåðïëîñêîñòè â Rk , ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è îðòîãîíàëüíîé âåêòîðó q •

3

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà

3

51

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà

Åùå îäíî ñâîéñòâî èäåàëüíî óñòðîåííîãî ðûíêà óäàåòñÿ íåïëîõî îïèñàòü ìàòåìàòè÷åñêè. Èíûìè ñëîâàìè, íå òîëüêî îïðåäåëèòü, íî è ïåðå÷èñëèòü óñëîâèÿ íà ñòðóêòóðó òàêîãî ðûíêà, ïðè êîòîðûõ îíî èìååò ìåñòî. 3.1

Õåäæèðîâàíèå è åãî öåíà. Ïîëíûå è íåïîëíûå ðûíêè

Êàê è ðàíåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôèíàíñîâàÿ àêòèâíîñòü ïðîäàâöîâ è ïîêóïàòåëåé íà íàøåì (B, S)− ðûíêå îòíîñèòñÿ ê ìîìåíòàì âðåìåíè 0, 1, · · · , N. È ïóñòü fN − íåêîòîðàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ FN − èçìåðèìàÿ ñ.â., èìåþùàÿ ñìûñë ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà ïðîäàâöà. Îïðåäåëåíèå 1.

Càìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü ÖÁ π íàçûâàåòñÿ

âåðõíèì (x, fN )− õåäæåì (èëè íèæíèì) π ≥ f π åñëè X0π ≡ x ≥ 0 è XN N (ñîîòâåòñòâåííî XN ≤ fN ). Ãîâîðÿò π = f , òî òàêæå, ÷òî åñëè X0π ≡ x ≥ 0 è XN N

(x, fN )− õåäæ π ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííûì. Ïîíÿòèå õåäæà (hedge  çàáîð) èãðàåò çàìåòíóþ ðîëü â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå, ïîñêîëüêó â îïðåäåëåííîé ñòåïåíè ïðåäñòàâëÿåò ðàçëè÷íûå èíñòðóìåíòû çàùèòû èëè ñòðàõîâàíèÿ êàïèòàëîâëîæåíèé â ôèíàíñîâîé ïðàêòèêå. Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ïîçâîëèò â äàëüíåéøåì ôîðìàëèçîâàòü äåéñòâèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ðåàëèçîâàòü òàêóþ çàùèòó, ñêàæåì, äîáèòüñÿ ïîëó÷åíèÿ ãàðàíòèðîâàííîãî êàïèòàëà. ×òîáû åãî ñôîðìóëèðîâàòü, ââåäåì äâà ìíîæåñòâà ïîðòôåëåé: π ≥f } H ∗ (x, fN ; P ) = {π : X0π = x, XN N

 êëàññ âåðõíèõ (x, fN )− õåäæåé, è π ≤f } H∗ (x, fN ; P ) = {π : X0π = x, XN N

 êëàññ íèæíèõ (x, fN )− õåäæåé. Îïðåäåëåíèå 2.

âåëè÷èíà

Ïóñòü fN åñòü ïëàòåæíîå îáÿçàòåëüñòâî. Òîãäà

C ∗ (fN , P ) = inf{x ≥ 0 : H ∗ (x, fN ; P ) 6= ∅}

íàçûâàåòñÿ âåðõíåé öåíîé (õåäæèðîâàíèÿ ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà), à âåëè÷èíà C∗ (fN , P ) = sup{x ≥ 0 : H∗ (x, fN ; P ) 6= ∅}

íèæíåé öåíîé.

52

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Íåìíîãî î ñîäåðæàòåëüíîé ñòîðîíå ââåäåííûõ ïîíÿòèé. Åñëè Âû ïðîäàåòå êîíòðàêò, òî, åñòåñòâåííî, õîòèòå ïðîäàòü åãî ïîäîðîæå. Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, Âû ïîíèìàåòå, ÷òî è ïîêóïàòåëü æåëàåò êóïèòü íàäåæíûé êîíòðàêò ïî íèçêîé öåíå. Ó÷èòûâàÿ ïðîòèâîïîëîæíîñòü ýòèõ èíòåðåñîâ Âû, êàê ïðîäàâåö, äîëæíû îïðåäåëèòü äëÿ ñåáÿ òó ìèíèìàëüíî äîïóñòèìóþ öåíó ïðîäàæè, ïðè êîòîðîé ñìîæåòå âûïîëíèòü óñëîâèÿ êîíòðàêòà (âûïëàòèòü ñóììó fN â ìîìåíò N ), è íå áóäåòå èìåòü áåçðèñêîâîãî äîõîäà (êàê ãîâîðÿò àìåðèêàíöû, èìåòü free lunch  áåñïëàòíûé îáåä). Òî÷íî òàê æå, åñëè Âû ïîêóïàåòå êîíòðàêò, òî äîëæíû âûÿñíèòü òó ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìóþ öåíó ïîêóïêè, ïðè êîòîðîé óñëîâèÿ êîíòðàêòà ìîæíî âûïîëíèòü, íî ðàñ÷èòûâàòü íà áåçðèñêîâûé äîõîä íåëüçÿ. Ââåäåííûå âûøå öåíû C ∗ (fN , P ), C∗ (fN , P ) êàê ðàç è îïðåäåëÿþò ýòè ãðàíèöû, êîòîðûå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñîâïàäàþò (ïðèìåð ñì. â [1], ñ.513-20). Òàê âîò, åñëè öåíà âûáðàíà èç èíòåðâàëà [0, C∗ (fN , P )), òî ýòî ïðåäïî÷òèòåëüíî äëÿ ïîêóïàòåëÿ, à åñëè èç èíòåðâàëà (C ∗ (fN , P ), ∞), òî äëÿ ïðîäàâöà, ïîñêîëüêó ïðè òàêèõ öåíàõ îíè ñìîãóò èìåòü áåçðèñêîâûé äîõîä (ýòî îáúÿñíÿåòñÿ, íàïðèìåð, â [1], ñ.509). Îñòàâøèéñÿ æå èíòåðâàë öåí [C∗ (fN , P ), C ∗ (fN , P )] åñòåñòâåííî íàçâàòü îáëàñòüþ âçàèìîïðèåìëåìûõ öåí. Ïðè ëþáîé òàêîé öåíå íè ïîêóïàòåëü, íè ïðîäàâåö íå èìåþò áåçðèñêîâîãî äîõîäà. Êàæäûé èç íèõ ìîæåò êàê âûèãðàòü, òàê è ïðîèãðàòü. Íó à åñëè âûèãðûø c÷èòàòü êîìïåíñàöèåé çà âîçìîæíûé ïðîèãðûø, òî öåíó èìååò ñìûñë íàçûâàòü âçàèìîïðèåìëåìîé. Íèæå íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àé, êîãäà âñÿêîå ïëàòåæíîå îáÿçàòåëüñòâî ïðè íåêîòîðîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè êàïèòàëà äîñòèæèìî. Èíûìè ñëîâàìè, êîãäà êëàññû H∗ (x, fN ; P ), H ∗ (x, fN ; P ) ñîâïàäàþò, à èíòåðâàë ïðèåìëåìûõ öåí ñâîäèòñÿ ê îäíîé, ò.í. ñïðàâåäëèâîé öåíå

C(fN , P ) = C ∗ (fN , P ) = C∗ (fN , P ). (B, S)− ðûíîê öåííûõ áóìàã íàçûâàåòñÿ ïîëíûì èëè ñîâåðøåííûì, åñëè âñÿêîå FN − èçìåðèìîå è êîíå÷íîçíà÷íîå ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå äîñòèæèìî èëè âîñïðîèçâîäèìî, ò.å. ïðè íåêîòîðîì x íàéäåòñÿ ñîâåðøåííûé (x, fN )− õåäæ π, äëÿ êîòîðîãî Îïðåäåëåíèå 3.

X0π = x,

π XN = fN .

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðûíîê íàçûâàåòñÿ íåñîâåðøåííûì èëè íåïîëíûì (ïî îòíîøåíèþ ê ìîìåíòó âðåìåíè N ). Ñôîðìóëèðîâàííîå óñëîâèå ïîëíîòû íàêëàäûâàåò âåñüìà æåñòêèå îãðàíè÷åíèÿ íà ñòðóêòóðó íàøåãî ðûíêà. Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåò íàäîáíîñòè îïåðèðîâàòü ñ ïðîèçâîëüíûìè FN − èçìåðèìûìè ôóíêöèÿìè fN , à äîñòàòî÷íî èìåòü äåëî, ñêàæåì, ñ îãðàíè÷åííûìè ôóíêöèÿìè.

3

53

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà

(B, S)− ðûíîê öåííûõ áóìàã íàçûâàåòñÿ ïîëíûì èëè cîâåðøåííûì, åñëè âñÿêîå FN − èçìåðèìîå è îãðàíè÷åííîå ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå ( |fN | ≤ C < ∞ ) äîñòèæèìî èëè âîñïðîèçâîäèìî. Îïðåäåëåíèå

3.2

4.

S− ïðåäñòàâèìîñòü ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ

 ýòîì ïóíêòå ìû äîëæíû ïîäãîòîâèòüñÿ ê îáñóæäåíèþ êðèòåðèåâ ïîëíîòû íàøåãî (B, S)− ðûíêà â äâóõ âàðèàíòàõ åãî áåçàðáèòðàæíîñòè, ðàññìîòðåííûõ ðàíåå. Íî ñ òî÷êè çðåíèÿ îáùåé òåîðèè ìàðòèíãàëîâ è ñòîõàñòè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ ïðåäïîëîæåíèå ïîëíîòû, â ñóùíîñòè, ðàâíîñèëüíî òàê íàçûâàåìîìó ñâîéñòâó S− ïðåäñòàâèìîñòè ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ñíà÷àëà äàòü îïðåäåëåíèå ýòîãî ñâîéñòâà, çàòåì ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü óòâåðæäåíèå î åãî ýêâèâàëåíòíîñòè ïîëíîòå, à òàêæå ïðèâåñòè ïðèìåð S− ïðåäñòàâèìîñòè â ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè. Íó à ïîñêîëüêó S− ïðåäñòàâèìîñòü ÷àñòî êàñàåòñÿ íîðìèðîâàííîãî êàïèòàëà S/B íåêîòîðîé ñòðàòåãèè π, òî âñå-òàêè è ñôîðìóëèðîâàòü óòâåðæäåíèå î ñâÿçè ìàðòèíãàëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öåí S/B ñ ìàðòèíãàëüíîñòüþ ñåìåéñòâà ñòàâîê V − U. 1. Ïóñòü íà ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå (Ω, F, (Fn ), P ) çàäàíû

d− ìåðíûé áàçèñíûé ìàðòèíãàë S = (Sn , Fn , P ) è îäíîìåðíûé ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë X = (Xn , Fn , P ). Îïðåäåëåíèå 5. Ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë X äîïóñêàåò íà íàøåì áàçèñå S− ïðåäñòàâëåíèå, èëè ïðåäñòàâëåíèå îòíîñèòåëüíî ìàðòèíãàëà S, åñëè íàéäóòñÿ òàêèå ïðåäñêàçóåìûå γ = (γn ), ÷òî P − ï.í.

Xn = X0 +

n X

γk ∆Sk ,

n ≥ 1 (γn = (γn1 , · · · , γnd )).

(1)

1

Èíûìè ñëîâàìè, X åñòü ìàðòèíãàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷åííîå èç P − ìàðòèíãàëà S èíòåãðèðîâàíèåì ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè γ. Ïîä÷åðêíåì òàêæå, ÷òî â äàííîì îïðåäåëåíèè ìàðòèíãàë S íå îáÿçàí áûòü ñåìåéñòâîì öåí íàøåãî ðûíêà, à ìàðòèíãàë X− êàïèòàëîì íåêîòîðîãî ïîðòôåëÿ, äëÿ êîòîðîãî èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå (1), åñëè îí ñàìîôèíàíñèðóåì è Bn ≡ 1 (ñì. (1.13)). Íî ðàññìîòðèì äàëåå (B, S)− ðûíîê, îõàðàêòåðèçîâàííûé â íà÷àëå ï.2, ñ öåíàìè àêöèé S, Bn ≡ 1, è áåçàðáèòðàæíûé â ñìûñëå ï.2.1. È ïóñòü P(P )− ñåìåéñòâî ìàðòèíãàëüíûõ ìåð P ∗ , ýêâèâàëåíòíûõ ìåðå P (è ñóùåñòâóþùèõ ïî òåîðåìå 2.1), îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ

ñåìåéñòâî öåí S = (Sn )n≥0 ÿâëÿåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì.

54

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Áóäåì òàêæå íèæå ïîëíîòó ïîíèìàòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 4. Ëåììà 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàåìûé ðûíîê áûë ïîëíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàøëàñü òàêàÿ ìåðà P ∗ ∈ P(P ), äëÿ êîòîðîé âñÿêèé îãðàíè÷åííûé ìàðòèíãàë X = (Xn , Fn , P ∗ ), (|Xn | ≤ C < ∞) äîïóñêàåò S− ïðåäñòàâëåíèå. Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Íåîáõîäèìîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàø ðûíîê ÿâëÿåòñÿ áåçàðáèòðàæíî ïîëíûì, è â êà÷åñòâå èñêîìîé ìåðû P ∗ âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ ìåðó èç P(P ). Íàïîìíèì, ÷òî òàêàÿ ñóùåñòâóåò ïî òåîðåìå 2.1. È ïóñòü X− íåêîòîðûé îãðàíè÷åííûé ìàðòèíãàë. Ïðåäïîëîæåíèå ïîëíîòû îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ñàìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü π è íà÷àëüíûé êàïèòàë x òàêèå, ÷òî π = f . äëÿ X π (cì. (1.13)) âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (1) è X0π = x, XN N π Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî X ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì, ïîñêîëüêó S− ìàðòèíãàë. Ïîëîæèì fN = XN è çàìåòèì, ÷òî |Xn | ≤ C ïî ïðåäïîëîæåíèþ è ïîòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X π = (Xnπ )n≤N îêàçûâàåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì ïî ëåììå 1.3.1. Íî äâà ìàðòèíãàëà ñ îäíèì è òåì æå òåðìèíàëüíûì çíà÷åíèåì äîëæíû ñîâïàäàòü. Ïîýòîìó ñåìåéñòâà X π è X ñîâïàäàþò. Òåì ñàìûì ìàðòèíãàë X äîïóñêàåò S− ïðåäñòàâëåíèå. 2. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü òåïåðü ñóùåñòâóåò ìåðà P ∗ ∈ P(P ), îòíîñèòåëüíî êîòîðîé âñÿêèé îãðàíè÷åííûé P ∗ − ìàðòèíãàë äîïóñêàåò S− ïðåäñòàâëåíèå. È íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå FN − èçìåðèìîå è îãðàíè÷åííîå ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå fN äîñòèæèìî. Âîçüìåì ìàðòèíãàë X = (Xn ), Xn = E ∗ (fN |Fn ). Òîãäà ïîñêîëüêó |fN | ≤ C, òî X− ýòî îãðàíè÷åííûé ìàðòèíãàë Ëåâè è äëÿ íåãî ñóùåñòâóåò ïðåäñòàâëåíèå (1) ñ íåêîòîðûìè Fn−1 − èçìåðèìûìè âåëè÷èíàìè γn . Ïîñòðîèì ïî íèì òàêîé ñàìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü π ∗ , ÷òî ïðè π∗ = X = f . íåêîòîðîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè X0 áóäåì èìåòü XN N N Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü γ ∗ = γ, βn∗ = Xn − γn Sn .  ñàìîì äåëå, òîãäà èç (1) âûòåêàåò, ÷òî βn∗ ÿâëÿþòñÿ Fn−1 − èçìåðèìûìè è

∆βn∗ + Sn−1 ∆γn∗ = (∆Xn − ∆(γn Sn )) + Sn−1 ∆γn = γn ∆Sn − ∆(γn Sn ) + Sn−1 ∆γn = 0 (èñïîëüçóåòñÿ (1.11)). Òåì ñàìûì π ∗ − ñàìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü, äëÿ ∗ π∗ = X = êîòîðîãî Xnπ = βn∗ + γn Sn = Xn , 1 ≤ n ≤ N, è, â ÷àñòíîñòè, XN N fN . Èòàê, íàø ðûíîê ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì • 2. Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ðîëü áàçèñíîãî ìàðòèíãàëà S èñïîëíÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêîíòèðîâàííûõ öåí S¯ = S/B è âåðíåìñÿ ê óñëîâèþ (2.1). Òîãäà S− ïðåäñòàâëåíèå (1) äëÿ âñÿêîãî ëîêàëüíîãî ìàðòèíãàëà X ìîæíî çàïèñàòü åùå îäíèì ñïîñîáîì

Xn = X0 +

n X 1

γk ∆S¯k = X0 +

n X 1

γk0 (ρk − rk ),

n ≥ 1.

(2)

3

55

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà

Ïðè d = 1 åãî ýêâèâàëåíòíîñòü îáúÿñíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì     Sn−1 ρn − rn Sn ∆ = , Bn Bn−1 1 + rn

(3)

à òàêæå åñòåñòâåííî âîçíèêàþùåé ôîðìóëîé (ñì. ï.1.1)

γn0 =

Sn−1 γn · . Bn−1 1 + rn

(4)

Áîëåå òîãî, ïðè d = 1 ïðåäñòàâëåíèÿ (2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

∆Xn = γn ∆S¯n = γn0 (ρn − rn ),

n ≥ 1,

(5)

è ÿñíî, ÷òî γn0 ÿâëÿåòñÿ Fn−1 − èçìåðèìîé ñ.â., êàê è γn . Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè óñëîâèè 1+rn > 0, n ≥ 1, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêîíòèðîâàííûõ öåí S/B ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì îêàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü P n äèñêîíòèðóþùèõ ñòàâîê V − U = ( 1 (ρk − rk )). Òàêèì îáðàçîì, âåðíà Ëåììà 2.

Äëÿ (B, S)− ðûíêà èç ï.2 c d = 1, Bn > 0, n ≥ 1, S/B ∈ Mloc (P ) ⇔ V − U ∈ Mloc (P ).

3. À òåïåðü ïðèâåäåì ïðèìåð ïîëó÷åíèÿ S− ïðåäñòàâëåíèÿ, ò.å. âåëè÷èí γn è γn0 èç (2), â îäíîì î÷åíü ÷àñòíîì ñëó÷àå è òàêæå ïðè d = 1 . Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî σ− àëãåáðû Fn ñîâïàäàþò ñ σ− àëãåáðàìè FnS = σ(S1 , · · · , Sn ) è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëîêàëüíîãî ìàðòèíãàëà X = (Xn , Fn , P ∗ ) èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå

Xn = gn (ρ1 , · · · , ρn ),

n ≥ 1,

(6)

ñ íåêîòîðîé áîðåëåâñêîé ôóíêöèåé gn = gn (x1 , · · · , xn ). Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí ρn ÿâëÿþòñÿ óñëîâíî äâóòî÷å÷íûìè, ò.å. íàéäóòñÿ äâå òàêèå ïðåäñêàçóåìûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a = (an ), b = (bn ), ñ.â. an = an (ω), bn = bn (ω), ÷òî

p∗n + qn∗ = 1,

p∗n = P ∗ (ρn = bn |Fn−1 )(ω), qn∗ = P ∗ (ρn = an |Fn−1 )(ω), (7)

è an ≤ rn ≤ bn ïðè âñåõ ω ∈ Ω, n ≥ 1.

Åñëè ê óñëîâèÿì ëåììû 2 äîáàâèòü è óñëîâèÿ (6), (7), òî â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå ( an < rn < bn ) äëÿ ëþáîãî ëîêàëüíîãî ìàðòèíãàëà X áóäåò èìåòü ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå (2) ñ γ 0 èç (9). Ëåììà 3.

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S/B ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ìåðû P ∗ ∼ P, òî

56

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

â ñèëó ëåììû 2 ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî E ∗ (ρn |Fn−1 ) = bn p∗n + an qn∗ = rn , ïðèâîäÿùåå âìåñòå ñ óñëîâèåì íîðìèðîâêè (7) ê çíà÷åíèÿì

p∗n =

rn − an , bn − an

qn∗ =

bn − r n . bn − an

(8)

C äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ îïðåäåëåíèÿ γn0 â ñèëó (5) èìååì ðàâåíñòâî

∆Xn = gn (ρ1 , · · · , ρn ) − gn−1 (ρ1 , · · · , ρn−1 ) = γn0 (ρn − rn ). Èç íåãî âûòåêàåò, ÷òî γn0 ïðèíèìàåò îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé:

γn0 =

gn (ρ1 , · · · , bn ) − Xn−1 gn (ρ1 , · · · , an ) − Xn−1 I(ρn =bn ) + I(ρn =an ) . bn − rn an − rn

(9)

È ýòè çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó óñëîâèå E ∗ (∆Xn |Fn−1 ) = 0 ⇒

rn − an bn − r n [gn (ρ1 , · · · , bn ) − Xn−1 ] + [gn (ρ1 , · · · , an ) − Xn−1 ] = 0 • bn − an bn − an  îòëè÷èå îò äîêàçàííîé ëåììû ïðåäûäóùàÿ ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî àêöèé, ò.å. ñëó÷àé d ≥ 1.  ñàìîì äåëå, â ýòîì ñëó÷àå ïî àíàëîãèè ñ ï.1.1 ìîæíî ïîëîæèòü

Sni

= (1 +

i ρin )Sn−1 ,

Vni

=

n X

ρik ,

1 ≤ i ≤ d,

1

è ýêâèâàëåíòíîñòü â (2) áóäåò îáúÿñíÿòüñÿ ðàâåíñòâàìè

 ∆

Sni Bn

 =

i Sn−1 Bn−1



ρin − rn 1 + rn

 ,

γn0i =

i Sn−1 γni · . Bn−1 1 + rn

Îñòàëüíûå æå ñîîáðàæåíèÿ îñòàþòñÿ â ñèëå è ïîòîìó èìååò ìåñòî Ëåììà 4.

Äëÿ (B, S)− ðûíêà èç ï.2 c d ≥ 1, Bn > 0, n ≥ 1,

S i /B ∈ Mloc (P ) ⇔ V i − U ∈ Mloc (P ), 3.3

1 ≤ i ≤ d.

Âòîðàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà. Ïåðâûé âàðèàíò àðáèòðàæà

Ïåðåõîäèì òåïåðü ê çíàêîìñòâó ñ åùå îäíîé çàìå÷àòåëüíîé òåîðåìîé ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ çàñëóæåííî íàçûâàåòñÿ

Âòîðàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà â òåîðèè îöåíêè ñòîèìîñòè ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ (The second Fundamental Asset Pricing Theorem).

3

57

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà

Ðå÷ü â íåé ïîéäåò î ñâîéñòâå ïîëíîòû íàøåãî (B, S)− ðûíêà. Îäíàêî ïîêà ýòî ñâîéñòâî óäàåòñÿ ïîëåçíî îõàðàêòåðèçîâàòü ëèøü â ñëó÷àå áåçàðáèòðàæíîãî ðûíêà. Èìåííî ýòî ìû ïîïûòàåìñÿ ñäåëàòü äëÿ äâóõ âàðèàíòîâ áåçàðáèòðàæíîñòè, ðàññìîòðåíûõ ðàíåå. È íà÷íåì ñ âàðèàíòà, ââåäåííîãî â ï.2.1. Ïîä÷åðêíåì è åùå îäíó îñîáåííîñòü. Ñàìà òåîðåìà äîêàçàíà â óñëîâèÿõ ðûíêà èç ï.2 (â íà÷àëå). Îäíàêî ìû ðàññìîòðèì åãî ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà d = 1, ÷òîáû çàìåòíî óïðîñòèòü åå îáîñíîâàíèå. Íàïîìèíàåì, ÷òî ïîëíîòà íàìè áóäåò ïîíèìàòüñÿ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 4, à âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, íàçûâàåòñÿ

ìàðòèíãàëüíîé èëè ðèñê-íåéòðàëüíîé, åñëè ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S/B ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî P ∗ . Äëÿ íàøåãî áåçàðáèòðàæíîãî ðûíêà òàêèå ìåðû ñóùåñòâóþò ïî òåîðåìå 2.1 è êëàññ âñåõ òàêèõ ìåð îáîçíà÷àåòñÿ P = P(P ). Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñâîéñòâî ïîëíîòû îáåñïå÷èâàåò

äîñòóïíîñòü âñåõ ôèãóðèðóþùèõ íà ðûíêå àêòèâîâ è îòñóòñòâèå îãðàíè÷åíèé äëÿ èíâåñòèðîâàíèÿ. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé æå òî÷êè çðåíèÿ åãî áóäåò õàðàêòåðèçîâàòü ñëåäóþùèé íåñêîëüêî ðàñøèðåííûé âàðèàíò âòîðîé ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðåìû. Ñàìà æå îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêâèâàëåíòíîñòü ïåðâûõ äâóõ ñâîéñòâ. Òåîðåìà 1. Ïóñòü ìíîæåñòâî ìàðòèíãàëüíûõ ìåð P íåïóñòî è ∗ P ∈ P. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:

1. 2. 3.

(B, S)−ðûíîê ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì; ìåðà P ∗ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì â P ; â ìíîæåñòâå P ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìåðà P ∗ , ÷òî ëþáîé ¯ ïðåäñòàâëåíèå ìàðòèíãàë M = (Mn , Fn , P ∗ )n≤N äîïóñêàåò S− Mn = M0 +

n X

γk ∆S¯k ,

n ≤ N.

1

Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåììà 1 óòâåðæäàåò, ÷òî 1. ⇔ 3. Ïîýòîìó íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü. ÷òî 1. ⇒ 2. ⇒ 3. Ïðè ýòîì äëÿ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ, íî íå ñíèæàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Bn ≡ 1. 1. ⇒ 2. Âîçüìåì ìíîæåñòâî A ∈ FN è ïîëîæèì fN = IA (ω).  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäïîëîæåíèåì ñóùåñòâóþò ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ π = f , ñòðàòåãèÿ π è íà÷àëüíûé êàïèòàë x òàêèå, ÷òî X0π = x, XN N è, ïîñêîëüêó π ∈ SF, òî

Xnπ

=

X0π

+

n X 1

γk ∆Sk ,

n ≤ N.

58

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

Äîïóñòèì, ÷òî â ñåìåéñòâå P åñòü õîòÿ áû äâå ìàðòèíãàëüíûå ìåðû P1 , P2 . Òîãäà, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X π ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ìàðòèíãàëà S (ïî êàæäîé èç ìåð π = I , òî ïî ëåììå 1.3.1 ñåìåéñòâî X π íà ñàìîì äåëå P1 , P2 ) è XN A ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì ïî îáåèì ìåðàì. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî π x = X0π = EPi (XN |F0 ) = EPi (IA ) = Pi (A),

i = 1, 2,

è, ñëåäîâàòåëüíî, P1 (A) = P2 (A), A ∈ FN . Òåì ñàìûì ìåðû P1 , P2 íà ñàìîì äåëå ñîâïàäàþò, ÷òî è äîêàçûâàåò íàøó èìïëèêàöèþ. 2. ⇒ 3. Âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 3, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðîé íàì äîñòàòî÷íî áóäåò óñòàíîâèòü, ÷òî åäèíñòâåííîñòü ìàðòèíãàëüíîé ìåðû âëå÷åò çà ñîáîé óñëîâíîå äâóòî÷èå è ðàâåíñòâà Fn = FnS , n ≤ N. à) 2. ⇒ óñëîâíîå äâóòî÷èå. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ñ ðåãóëÿðíûìè óñëîâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè P ∗ (ρn ∈ ·|Fn−1 )(ω) èç óñëîâèÿ (7) ìîæíî îïåðèðîâàòü (äëÿ êàæäîãî ω ∈ Ω ) êàê ñ îáû÷íûìè âåðîÿòíîñòÿìè, òî òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå îá óñëîâíîì äâóòî÷èè, èñïîëüçîâàííîå â ëåììå 3, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü P− ñåìåéñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé Q = Q(dx) íà (R, B(R)) ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîé è òàêèõ, ÷òî Z Z |x|Q(dx) < ∞, xQ(dx) = 0 (10) R

R

(ìàðòèíãàëüíîå ñâîéñòâî). Òîãäà, åñëè ýòî ñåìåéñòâî ñîñòîèò ëèøü èç îäíîé ìåðû Q, òî ýòà ìåðà äîëæíà áûòü äâóòî÷å÷íîé. Èíûìè ñëîâàìè, äîëæíû ñóùåñòâîâàòü a < 0 è b > 0 òàêèå, ÷òî Q({a}) + Q({b}) = 1, åñëè îòáðîñèòü âûðîæäåííûé ñëó÷àé ( a = b = 0 ). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñíà÷àëà íàïîìíèì îäèí ôàêò. Êàê èçâåñòíî, ëþáîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé Q = Q(dx) íà (R, B(R)) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñìåñè

Q = c1 Q1 + c2 Q2 + c3 Q3 ,

c1 + c2 + c3 = 1,

ci ≥ 0,

òðåõ ðàñïðåäåëåíèé: ÷èñòî äèñêðåòíîãî Q1 , àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî Q2 è ñèíãóëÿðíîãî Q3 . À çàòåì çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ëþáîãî àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî èëè ñèíãóëÿðíîãî ðàñïðåäåëåíèé, à òàêæå ëþáîãî äèñêðåòíîãî ñ íîñèòåëåì èç òðåõ è áîëåå òî÷åê ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ âîçìîæíîñòü áåñêîíå÷íî ìíîãèìè ñïîñîáàìè èçìåíèòü ðàñïðåäåëåíèå, íå ìåíÿÿ íîñèòåëÿ (÷òîáû íîâîå ðàñïðåäåëåíèå îñòàâàëîñü ýêâèâàëåíòíûì ñòàðîìó). Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòó èäåþ ïåðåêà÷èâàíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìàññû èç îäíîãî ìåñòà â äðóãîå íà ïðèìåðå ÷èñòî äèñêðåòíîé ìåðû, ñîñðåäîòî÷åííîé â òðåõ òî÷êàõ. Ñêàæåì, ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå Q ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñ.â. ξ, äëÿ êîòîðîé P (ξ = xi ) = pi , i =

3

59

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà

1, 2, 3, p1 + p2 + p3 = 1, pi > 0, x1 < x2 < x3 . È, ñëåäîâàòåëüíî, åñëè äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (10), òî x1 < 0, x3 > 0, à x2 ìîæåò èìåòü ëþáîé çíàê èëè áûòü ðàâíûì 0.  ýòîì ñëó÷àå ëåãêî ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íîå ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé ñ òåìè æå çíà÷åíèÿìè xi è, ñêàæåì, çàâèñÿùåå îò íåïðåðûâíîãî ïàðàìåòðà p ∈ (0, p2 ).  ñàìîì äåëå, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïåðåäàòü ÷àñòü p âåðîÿòíîñòíîé ìàññû p2 , ñèäÿùåé â òî÷êå x2 , òî÷êàì x1 , x3 . Êîíå÷íî, â îïðåäåëåííîé ïðîïîðöèè, ÷òîáû äëÿ êàæäîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûïîëíÿëîñü óñëîâèå (10). Âîîáùåì, åñëè ñåìåéñòâî ïðåäñòàâëÿþò ñ.â. η = ηp , òî äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâà ( α = (x3 − x2 )/(x3 − x1 ) ) P (η = x2 ) = p2 − p, P (η = x1 ) = p1 + αp, P (η = x3 ) = p3 + (1 − α)p. b) 2. ⇒ ðàâåíñòâà Fn = FnS , n ≤ N. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî â ñëó÷àå åäèíñòâåííîñòè ìàðòèíãàëüíîé ìåðû σ− àëãåáðû Fn äîëæíû áûòü ïîðîæäåíû öåíàìè S : Fn = FnS ≡ σ(S0 , · · · , Sn ), n ≤ N. Áóäåì âåñòè äîêàçàòåëüñòâî ïî èíäóêöèè, äëÿ ÷åãî çàìåòèì, ÷òî σ− àëãåáðû F0 è F0S ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó ïî ïðåäïîëîæåíèþ F0 = (∅, Ω) è S0 ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé. Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî S = (Sn ), Sn = (Sn1 , · · · , Snd ), − ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåí àêöèé, îïðåäåëåííûõ íà íàøåì áàçèñå (Ω, F, (Fn ), P )n≤N . È ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû (÷òîáû íå ââîäèòü íîâûõ îáîçíà÷åíèé) ìàðòèíãàëüíîé ìåðîé ÿâëÿåòñÿ èñõîäíàÿ ìåðà P. Èòàê, íàì îcòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî Fn = FnS , åñëè Fi = FiS , i < n, ïðè ëþáîì n, 1 ≤ n ≤ N. Ðàññìîòðèì äëÿ ýòîãî ìíîæåñòâî A ∈ Fn è ââåäåì ñ.â. 1 z = 1 + (IA − E(IA |FnS )). (11) 2 ßñíî, ÷òî 21 ≤ z ≤ 32 è Ez = 1. Ïîýòîìó ìåðà P 0 ñ P 0 (dω) = z(ω)P (dω) ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé, ïðè÷åì P 0 ∼ P. Ïóñòü zi = E(z|Fi ). Òîãäà ïî ôîðìóëå Áàéåñà (ñì. ëåììó 1.5.2) 0

E (∆Si |Fi−1 ) = E



zi zi−1

 ∆Si |Fi−1 .

(12)

S , i ≥ 1, òî èç (11) âûòåêàåò, ÷òî z Äàëåå, ïîñêîëüêó Fn−i = Fn−i n−i = 1, i ≥ 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, z ÿâëÿåòñÿ Fn − èçìåðèìîé ñ.â. è ïîòîìó zn+i = zn , i ≥ 1. Òåì ñàìûì zi /zi−1 = 1, i 6= n, è, çíà÷èò, â ñèëó (12) E 0 (∆Si |Fi−1 ) = 0 ïðè âñåõ i 6= n. Íî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûòåêàåò èç (12) è ïðè i = n.  ñàìîì äåëå, S E 0 (∆Sn |Fn−1 ) = E(z∆Sn |Fn−1 ) = E(z∆Sn |Fn−1 )= S S S E(E(z∆Sn |FnS )|Fn−1 ) = E(∆Sn E(z|FnS )|Fn−1 ) = E(∆Sn |Fn−1 ) = 0,

60

II

Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà

åñëè èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå ìåðû P 0 , âñïîìíèòü ïðåäïîëîæåíèå, âîñïîëüçîâàòüñÿ òåëåñêîïè÷åñêèì ñâîéñòâîì ÓÌÎ, FnS − èçìåðèìîñòüþ ∆Sn è òåì, ÷òî E(z|FnS ) = 1 â ñèëó (11). Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåí S ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì è îòíîñèòåëüíî P 0 . À â ïðåäïîëîæåíèè åäèíñòâåííîñòè ìàðòèíãàëüíîé ìåðû ýòî îçíà÷àåò, ÷òî z = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó (11) IA = E(IA |FnS ) äëÿ âñÿêîãî A ∈ Fn . Íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî Fn = FnS ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæåñòâ P − ìåðû íóëü. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü •

3

61

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà

3.4

Âòîðàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà. Áåçàðáèòðàæíîñòü â ñëàáîì ñìûñëå

Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåïåðü åùå îäèí êðèòåðèé ïîëíîòû íàøåãî (B, S)− ðûíêà. Ïðè÷åì ãîâîðèòü òàê ìîæíî, õîòÿ ñàìà åãî ôîðìóëèðîâêà íè÷åì íå áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òåîðåìû 1. Äåëî â òîì, ÷òî îòíîñèòñÿ îíî áóäåò ê ðûíêó, áåçàðáèòðàæíîìó â ñëàáîì ñìûñëå, äëÿ êîòîðîãî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ 2.4, à íå 2.2. Ïîä÷åðêíåì òàêæå, ÷òî ïî-ïðåæíåìó ðàññìàòðèâàåòñÿ ðûíîê èç ï.2 (îõàðàêòåðèçîâàííûé â íà÷àëå), óäîâëåòâîðÿþùèé åñòåñòâåííîìó óñëîâèþ (2.1) è æåñòêîìó óñëîâèþ (2.10) èç ï.2.3. Êàê è ðàíåå, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷àñòíûé ñëó÷àé d = 1, ÷òîáû óïðîñòèòü îáîñíîâàíèå. Íàïîìèíàåì, ÷òî ïîëíîòà íàìè áóäåò ïîíèìàòüñÿ â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 1.4, à âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, íàçûâàåòñÿ

ìàðòèíãàëüíîé èëè ðèñê-íåéòðàëüíîé, åñëè ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S/B ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî P ∗ . Äëÿ íàøåãî áåçàðáèòðàæíîãî ðûíêà òàêèå ìåðû ñóùåñòâóþò ïî òåîðåìå 2.2 è êëàññ âñåõ òàêèõ ìåð îáîçíà÷àåòñÿ P. Òåîðåìà 2. Ïóñòü ìíîæåñòâî ìàðòèíãàëüíûõ ìåð P íåïóñòî è P ∗ ∈ P. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:

1. 2. 3.

(B, S)−ðûíîê ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì; ìåðà P ∗ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì â P ; â ìíîæåñòâå P ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìåðà P ∗ , ÷òî ëþáîé ¯ ïðåäñòàâëåíèå ìàðòèíãàë M = (Mn , Fn , P ∗ )n≤N äîïóñêàåò S− Mn = M0 +

n X

γk ∆S¯k ,

n ≤ N.

1

Äîêàçàòåëüñòâî. Ýêâèâàëåíòíîñòü 1. ⇔ 3. óñòàíîâëåííóþ â ëåììå 1 ïðè d ≥ 1, ìîæíî èñïîëüçîâàòü è ñåé÷àñ. Êðîìå òîãî, îñòàåòñÿ â ñèëå è îáîñíîâàíèå èìïëèêàöèè 1. ⇒ 2. èç òåîðåìû 1. Ïîýòîìó òåïåðü äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî 2. ⇒ 1., ðàññìàòðèâàÿ äëÿ óïðîùåíèÿ èçëîæåíèÿ, êàê è ðàíåå, ñëó÷àé Bn ≡ 1.

2. ⇒ 1. ×òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ñõåìó äîêàçàòåëüñòâà ýòîé ÷àñòè, â äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó Σ0 ñ.â. ξ íà (Ω, F ) èç òåîðåìû 2.2 ââåäåì è ìíîæåñòâî Σ2 = (ξ : E ∗ ξ = 0). Çàìåòèì, ÷òî âêëþ÷åíèå Σ0 ⊂ Σ2 î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó äëÿ ñ.â. ξ ∈ Σ0 è ìåðû P ∗ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî E ∗ ξ = 0 (ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.2). È ðàçîáúåì îáîñíîâàíèå íàøåé èìïëèêàöèè íà ñëåäóþùèå äâå ÷àñòè 1

2. ⇒

{Σ0 = Σ2 }

2

⇒ 1.

3

59

Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà

1

a) ⇒ . Äåéñòâóÿ îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåðà P ∗ îäíà, íî Σ0 6= Σ2 . Òîãäà, ïîñêîëüêó Σ0 ⊂ Σ2 , òî íàéäåòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð x ¯ ∈ Σ2 , îðòîãîíàëüíûé ìíîæåñòâó Σ0 , ò.å. (¯ x, x) =

k X

x ∈ Σ0

x ¯i xi = 0,

1

(äåëî â òîì, ÷òî Σ0 è Σ2 ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè Rk è åñëè Σ0 6= Σ2 , òî ðàçìåðíîñòü Σ0 ìåíüøå ðàçìåðíîñòè Σ2 !). Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî âåêòîð q = (q1 , · · · qk ) ïðåäñòàâëÿåò ìåðó P ∗ : P ∗ (ωi ) = qi , i = 1, · · · , k. È ïîäáåðåì ε > 0 òàê, ÷òîáû

q¯i = qi − ε¯ xi > 0,

i = 1, · · · , k.

(ýòî âîçìîæíî, ïîñêîëüêó âñå qi > 0 !). Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî

(¯ q , x) = (q, x) = 0,

x ∈ Σ0 ,

(13)

è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî æå ñâîéñòâî èìååò è ìåðà P¯ , îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì P¯ (ωi ) = δ q¯i , δ = (¯ q1 + · · · + q¯1 )−1 . Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2.2, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìåðà P¯ ñî ñâîéñòâîì (13) ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëüíîé. Íî òîãäà â ñèëó åäèíñòâåííîñòè òàêîé ìåðû P¯ = P ∗ . À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî q = δ q¯ = δq − εδ x ¯ è

(1 − δ)q = −εδ x ¯.

(14)

Íî q ìîæíî ñ÷èòàòü âûáðàííûì òàê, ÷òî (q, x) = 0, x ∈ Σ2 (õîòÿ ðàíåå, â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2.2 ïèñàëè x ∈ Σ0 ). Ïîýòîìó x ¯ è q îðòîãîíàëüíû è, ñëåäîâàòåëüíî, (14) âîçìîæíî ëèøü ïðè δ = 1 è íóëåâîì x ¯. Ïîëó÷èëè èñêîìîå ïðîòèâîðå÷èå. 2 b) ⇒ . Ïóñòü f − íåêîòîðàÿ F − èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà, ïîñêîëüêó Σ0 = Σ2 , òî ñ.â. ξ = f − E ∗ f ∈ Σ0 . Ïîýòîìó ∃π ∈ SF, π = ξ. Íî â ýòîì ñëó÷àå ñòðàòåãèÿ π òàêàÿ, ÷òî XN ˜ , â êîòîðîé γ˜n = ∗ ˜ γn , βn = E f + βn , âî-ïåðâûõ, ÿâëÿåòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé, ïîñêîëüêó π ˜ = f, òàê êàê π ∈ SF, ∆˜ γn = ∆γn , ∆β˜n = ∆βn , è äëÿ íåå XN π ˜ π ∗ XN = XN + E f • Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 âûòåêàåò, ÷òî äèñêðåòíûé ïî âðåìåíè è ïîëíûé áåçàðáèòðàæíûé ðûíîê íà ñàìîì äåëå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì è ïî ôàçîâîé ïåðåìåííîé â òîì ñìûñëå, ÷òî σ− àëãåáðà FN ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî àòîìèñòè÷åñêîé, ò.å. ñîñòîÿùåé íå áîëåå ÷åì èç 2N àòîìîâ (ïðè d ≥ 1 èç (d + 1)N àòîìîâ). È ýòî ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì óñëîâíîãî äâóòî÷èÿ. Îäíàêî â ñèòóàöèè òåîðåìû 2 ýòîãî ìû óæå óòâåðæäàòü íå ìîæåì • Çàìå÷àíèå 1.

Ãëàâà III Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ íà áåçàðáèòðàæíûõ ðûíêàõ

Îñíîâíàÿ öåëü äàííîé ãëàâû ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîëíîñòüþ îïèñàòü ïðîáëåìó õåäæèðîâàíèÿ îïöèîíîâ åâðîïåéñêîãî è àìåðèêàíñêîãî òèïîâ íà ïðîñòåéøåì áèíîìèàëüíîì (B, S)− ðûíêå, ò.å. â ìîäåëè Êîêñà-ÐîññàÐóáèíøòåéíà. Ðå÷ü ïîéäåò íå òîëüêî ñîáñòâåííî î òåîðèè ðàñ÷åòîâ, íî è î åå ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè. Ïðè÷åì áóäóò íå òîëüêî ðàññìîòðåíû êîíêðåòíûå ïðèìåðû, íî è ñäåëàíà ïîïûòêà îáúÿñíèòü, ÷òî æå ïîëó÷àþò â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè îò èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè îáà äåéñòâóþùèõ ëèöà, ò.å. ïðîäàâåö è âëàäåëåö îïöèîíà. Ïðàâäà, ïîêà îíà áóäåò îòíîñèòåëüíî äîâåäåíà äî ëîãè÷åñêîãî çàâåðøåíèÿ ëèøü â ñëó÷àå Åâðîïåéñêîãî îïöèîíà êîëë (ï.4.5). Ñòðóêòóðà ýòîé ãëàâû ïðîñòà. Ñíà÷àëà èçëàãàåòñÿ îáùàÿ òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ: åâðîïåéñêîãî òèïà â ï.1 è àìåðèêàíñêîãî  â ï.2. Çàòåì â ï.3 äàåòñÿ êðàòêîå ââåäåíèå â ïðîáëåìàòèêó îïöèîíîâ, êàê íàèáîëåå èçâåñòíîé ïðîèçâîäíîé öåííîé áóìàãè. Íàêîíåö â çàêëþ÷èòåëüíûõ ïóíêòàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñíà÷àëà ïðèìåíåíèå èçëîæåííîé âûøå òåîðèè ê åâðîïåéñêîìó îïöèîíó êîëë (ï.4), à çàòåì ê àìåðèêàíñêîìó (ï.5). Åñòåñòâåííî, âìåñòå ñ êîíêðåòíûìè ïðèìåðàìè.

1

61

Õåäæèðîâàíèå åâðîïåéñêîãî òèïà

1

Ðàñ÷åòû, ñâÿçàííûå ñ õåäæèðîâàíèåì Åâðîïåéñêîãî òèïà

1.1

Ïîëíûå ðûíêè

Ïîíÿòèå õåäæèðîâàíèÿ çàäàííîãî ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà fN íà ïîëíîì è áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå âêëþ÷àåò â ñåáÿ òðè îáúåêòà:

ñïðàâåäëèâóþ öåíó õåäæèðîâàíèÿ C(fN ; P ), ñàìîôèíàíñèðóåìûé (x, fN )− õåäæ π ∗ , x = C(fN ; P ), à òàêæå ∗ äèíàìèêó èçìåíåíèÿ êàïèòàëà Xnπ , 0 ≤ n ≤ N, ∗

∗

∗

π ò.å. òàêóþ ôîðìóëó äëÿ Xnπ , ÷òî X0π = x, XN = fN . Âñå îíè ôàêòè÷åñêè áûëè âûÿñíåíû â ïðåäûäóùåé ãëàâå. È çäåñü ìû ëèøü ñîáåðåì èõ â îäíîì óòâåðæäåíèè. Ïðè÷åì ñäåëàåì ýòî íå òîëüêî, ÷òîáû ñòàëî áîëåå óäîáíûì èõ èñïîëüçîâàíèå ïðè êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòàõ. Âåäü æåëàòåëüíî ïðîÿñíèòü, ÷òî è êàê íàäî èñïîëüçîâàòü, à òàêæå ïî êàêîé ïðè÷èíå. Íî ñíà÷àëà íàïîìíèì ïîíÿòèå öåíû õåäæèðîâàíèÿ ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ fN åâðîïåéñêîãî òèïà èç ï.2.3.1. Îïðåäåëåíèå 1. Öåíîé ñîâåðøåííîãî õåäæèðîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî òèïà FN − èçìåðèìîãî ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ fN íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà π C(fN ; P ) = inf{x : ∃ π ∈ SF c X0π = x, XN = fN (P − ï.í.)}.

(1)

Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ÷åðåç P ∗ â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû îáîçíà÷åíà åäèíñòâåííàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà, ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé ìåðå P. Òåîðåìà 1. Íà áåçàðáèòðàæíûõ è ïîëíûõ ðûíêàõ 1. öåíà ñîâåðøåííîãî õåäæèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

C(fN ; P ) = B0 E ∗

fN ; BN

2. ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ fN ñóùåñòâóåò ñàìîôèíàíñèðóåìûé (x, fN )− õåäæ π ∗ = (β ∗ , γ ∗ ) c x = C(fN ; P ), ÷üè êîìïîíåíòû γ ∗ = (γn∗ ) îïðåäåëÿþòñÿ èç S/B− ïðåäñòàâëåíèÿ     n X Sk fN ∗ ∗ fN ∗ E |Fn = E + γk ∆ , 1 ≤ n ≤ N, BN BN Bk 1

(2)

(3)

à êîìïîíåíòû β ∗ = (βn∗ )− èç óñëîâèÿ ∗

Xnπ = βn∗ Bn + γn∗ Sn ,

1 ≤ n ≤ N;

3. äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êàïèòàëà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè   fN π∗ ∗ Xn = Bn E |Fn , 0 ≤ n ≤ N. BN

(4)

(5)

62

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåìûé ðûíîê ÿâëÿåòñÿ áåçàðáèòðàæíûì, òî ïî òåîðåìå 2.2.1 ñóùåñòâóåò ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P è òàêàÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S/B ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì. Ïîëíîòà æå ðûíêà ïî òåîðåìå 2.3.1 îçíà÷àåò, ÷òî ýòà ìåðà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé, âñÿêîå ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå fN âîñïðîèçâîäèìî, ò.å. íàéäåòñÿ ñîâåðøåííûé (x, fN )− õåäæ π, à òàêæå, ÷òî ëþáîé ìàðòèíãàë M = (Mn , Fn , P ∗ ) èìååò S/B− ïðåäñòàâëåíèå. 1. Åñëè π ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííûì (x, fN )− õåäæåì, òî N

X Xπ fN x = N = + γk ∆ BN BN B0



1

Sk Bk



ïîñêîëüêó π ∈ SF è äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ êëþ÷åâîå ñîîòíîøåíèå (2.1.13'). Ïîýòîìó ïðèõîäèì ê èñêîìîé öåíå, òàê êàê, â ÷àñòíîñòè,   E ∗ BfNN = Bx0 . 2, 3. Ñòàíäàðòíûé ïðèåì îòûñêàíèÿ èñêîìîãî õåäæà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.  ñèëó ïîñëåäíåãî ñâîéñòâà, óêàçàííîãî âûøå, äëÿ ìàðòèíãàëà Ëåâè M c Mn = E ∗ (fN /BN |Fn ) èìååò ìåñòî S/B− ïðåäñòàâëåíèå

Mn = M0 +

n X

 γk ∆

1

Sk Bk

 (6)

Ïîëîæèì π ∗ = (β ∗ , γ ∗ ) ñ γ ∗ = γ èç (6) è βn∗ = Mn − γn Sn /Bn . Òîãäà íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòîò ïîðòôåëü ÿâëÿåòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìûì. Êðîìå òîãî, åñëè îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùèé åìó êàïèòàë ïî ôîðìóëå ∗

Xnπ = Bn Mn ,

(7)

òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, áóäóò âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (3)  (5) ( (6) ⇒ (3) è ò.ä.), à, ñ äðóãîé, ñàì π ∗ îêàæåòñÿ (x, fN )− õåäæåì, ïîñêîëüêó ∗

∗

π X0π = B0 E ∗ (fN /BN ) = x = C(fN ; P ), XN = BN E ∗ (fN /BN |FN ) = fN •

1

63

Õåäæèðîâàíèå åâðîïåéñêîãî òèïà

1.2

Íåïîëíûå ðûíêè

Ïðîáëåìà õåäæèðîâàíèÿ âîçíèêàåò, ðàçóìååòñÿ, è â íåïîëíûõ ðûíêàõ. Íî â ýòîì ñëó÷àå ñîâåðøåííûé õåäæ äëÿ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé óæå ìîæåò è íå ñóùåñòâîâàòü. Ïîýòîìó äëÿ åãî ïîëó÷åíèÿ ïðèõîäèòñÿ

ðàñøèðÿòü êëàññ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé, è, ñîîòâåòñòâåííî, âèäîèçìåíÿòü îïðåäåëåíèå ñòîèìîñòè õåäæèðîâàíèÿ. 1. Ðàíåå êàïèòàë X π = (Xnπ ) ïîðòôåëÿ π îïðåäåëÿëñÿ âûðàæåíèåì

Xnπ = βn Bn + γn Sn ,

0 ≤ n ≤ N,

(8)

åñëè ýòîò ïîðòôåëü ïðîèçâîëåí, ëèáî ñîîòíîøåíèåì

Xnπ = X0π +

n X

(βk ∆Bk + γk ∆Sk ),

0 ≤ n ≤ N,

(9)

1

åñëè ñàìîôèíàíñèðóåì (ñì. ï.2.1.9). Ïðè ýòîì ðàâåíñòâî (9) èìåëî åùå äâå ýêâèâàëåíòíûå ôîðìû. Åãî ìû çàïèñûâàëè â âèäå

∆Xnπ = βn ∆Bn + γn ∆Sn ,

1 ≤ n ≤ N,

(10)

íàãëÿäíî èëëþñòðèðóþùåì äèíàìèêó îáðàçîâàíèÿ êàïèòàëà èç åãî íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ X0π , à òàêæå êàê óñëîâèå ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè

Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = 0,

1 ≤ n ≤ N,

(11)

ïîðòôåëÿ ïðè äàííîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè X0π . Ïðîáëåìó ïîñòðîåíèÿ ñîâåðøåííîãî õåäæà íà íåïîëíûõ ðûíêàõ âñåòàêè óäàåòñÿ ðåøèòü. Îá ýòîì è ïîéäåò ðå÷ü ñåé÷àñ. Íî ñðàçó îòìåòèì, ÷òî ïîêà äëÿ ýòîãî íàðÿäó ñ ïîðòôåëåì π = (β, γ) òðåáóåòñÿ òàêæå ââîäèòü ïðîöåññ ïîòðåáëåíèÿ C = (Cn ), ÿâëÿþùèéñÿ íåîòðèöàòåëüíûì íåóáûâàþùèì ïðîöåññîì ñ Fn − èçìåðèìûìè êîìïîíåíòàìè Cn è íà÷èíàþùèéñÿ ñ íóëÿ ( C0 = 0 ). Èíûìè ñëîâàìè, ïîòðåáóåòñÿ èçìåíèòü ïîíÿòèå ñòðàòåãèè. Åñëè ðàíüøå îíà ñîâïàäàëà ñ ïîðòôåëåì, òî òåïåðü ñòðàòåãèåé öåëåñîîáðàçíî áóäåò íàçâàòü ïàðó (π, C). Ñîîòâåòñòâåííî, êàïèòàë, îòâå÷àþùèé ýòîé ñòðàòåãèè, áóäåì îáîçíà÷àòü X π, C . Åñëè îïðåäåëÿòü ýòîò êàïèòàë X π, C ïî-ïðåæíåìó, ò.å. ðàâåíñòâîì

Xnπ, C = βn Bn + γn Sn ,

0 ≤ n ≤ N,

(80 )

òî óñëîâèå (11) ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè ïîðòôåëÿ, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò ïåðåáðîñêó ñðåäñòâ ñ áàíêîâñêîãî ñ÷åòà â àêöèè è íàîáîðîò, ñëåäóåò èçìåíèòü. À åñëè ýòî ñäåëàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà ñìåíó

64

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

ïðåäñòàâëåíèÿì (9), (10) äëÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè ïðèõîäèëè âûðàæåíèÿ

Xnπ, C = X0π, C +

n X

(βk ∆Bk + γk ∆Sk ) − Cn ,

(90 )

0 ≤ n ≤ N,

1

∆Xnπ, C = βn ∆Bn + γn ∆Sn − ∆Cn ,

1 ≤ n ≤ N,

(100 )

òî íîâîå óñëîâèå ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè ñòðàòåãèè äîëæíî èìåòü âèä

Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = −∆Cn ,

1 ≤ n ≤ N.

Äëÿ íîðìèðîâàííîãî æå êàïèòàëà âìåñòî ïðåæíåãî âûðàæåíèÿ  π   Xn Sn ∆ = γn ∆ , 1 ≤ n ≤ N, Bn Bn (ñì. (Ï.1.13')) áóäåì èìåòü íîâîå êëþ÷åâîå ñîîòíîøåíèå !   Xnπ, C Sn ∆Cn ∆ = γn ∆ − , 1 ≤ n ≤ N, Bn Bn Bn−1

(110 )

(12)

(120 )

ïîñêîëüêó (ñì. (11) â ï.2.1.3) â ñèëó (8'), (11') !   Xnπ, C Sn Sn−1 Sn−1 ∆Cn ∆ = ∆βn + γn ∆ + ∆γn , ∆βn + ∆γn = − . Bn Bn Bn−1 Bn−1 Bn−1 2. Êàê ñòàíåò ÿñíî èç äîêàçàòåëüñòâà ïðèâîäèìîé íèæå òåîðåìû ââåäåíèå ïîòðåáëåíèÿ ïîçâîëÿåò íàéòè ñòðàòåãèþ (π, C), äëÿ êîòîðîé π, C XN = fN . Ýòî è åñòü îäíà èç òåõíè÷åñêèõ ïðè÷èí ââåäåíèÿ íàðÿäó ñ ïîðòôåëåì π òàêæå è ïîòðåáëåíèÿ C. Îïðåäåëåíèå 2. Ñïðàâåäëèâîé öåíîé õåäæèðîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî òèïà FN − èçìåðèìîãî ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ fN íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà π, C C(fN ; P ) = inf{x : ∃(π ∈ SF, C) ñ X0π, C = x, XN = fN (P − ï.í.)}. (13)

Ïóñòü P(P )− ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð P ∗ , ýêâèâàëåíòíûõ P. Êàê èçâåñòíî, íà áåçàðáèòðàæíûõ ðûíêàõ P(P ) 6= ∅ è ïîòîìó ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y = (Yn ) ñóùåñòâåííûõ ñóïðåìóìîâ   fN ∗ Yn = ess sup E |Fn , (14) BN P ∗ ∈P(P ) ÿâëÿþùèõñÿ, ïî îïðåäåëåíèþ, òàêèìè Fn − èçìåðèìûìè ñ.â., êîòîðûå 1) ïðè ëþáîé ìåðå P ∗ ∈ P(P ) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó   fN ∗ Yn ≥ E |Fn (15) BN

1

65

Õåäæèðîâàíèå åâðîïåéñêîãî òèïà

è 2) îáëàäàþò ñâîéñòâîì ìèíèìàëüíîñòè â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè åñòü äðóãàÿ ñ.â. Y¯n , òàêæå ìàæîðèðóþùàÿ ïðàâóþ ÷àñòü â (15), òî Yn ≤ Y¯n . Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ (äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [1], ñ. 674; â èäåéíîì îòíîøåíèè îíî íå îòëè÷àåòñÿ îò äîêàçàòåëüñòâà ñë. 2 èç ï.2.2), ÷òî A) ââåäåííàÿ âûøå â (14) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y = (Yn ) ÿâëÿåòñÿ ñóïåðìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåðû Q ∈ P(P ), ò.å.

EQ (Yn+1 |Fn ) ≤ Yn

(Q ï.í. ).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàïîìíèì çàìå÷àòåëüíûé ôàêò, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî B) åñëè íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y = (Yn , Fn ) ÿâëÿåòñÿ ñóïåðìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåðû Q ∈ P(P ), òî äëÿ íåå èìååò ìåñòî òàê íàçûâàåìîå îïöèîíàëüíîå ðàçëîæåíèå (åãî ñóùåñòâîâàíèå óñòàíàâëèâàåòñÿ â [1], ñ.686). Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ Y ñïðàâåäëèâî (íå çàâèñÿùåå îò Q ) ðàçëîæåíèå

Yn = Y0 + Mn − Cn

(16)

â êîòîðîì M = (Mn )− åñòü ìàðòèíãàë îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåðû Q ∈ P(P ), à C = (Cn )− íåêîòîðûé íåóáûâàþùèé ïðîöåññ, C0 = 0. 3. Èñïîëüçóÿ ýòè äâà ñâîéñòâà A è B, óñòàíîâèì ñëåäóþùèé öåíòðàëüíûé ðåçóëüòàò íà íåïîëíûõ è áåçàðáèòðàæíûõ ðûíêàõ. Òåîðåìà 2. Ïóñòü fN − íåîòðèöàòåëüíàÿ FN − èçìåðèìàÿ è îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà íà áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ (π ∗ , C ∗ ), ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ â ñìûñëå (12'), ïðè êîòîðîé 1) ñïðàâåäëèâàÿ öåíà ñîâåðøåííîãî õåäæèðîâàíèÿ èìååò âèä

C(fN ; P ) = B0

sup

E∗

P ∗ ∈P(P )

fN , BN

2) à äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êàïèòàëà îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì   fN π∗ , C ∗ ∗ Xn = Bn ess sup E |Fn . BN P ∗ ∈P(P )

(17)

(18)

3) Êîìïîíåíòû æå β ∗ = (βn∗ ), γ ∗ = (γn∗ ) è C ∗ = (Cn∗ ) ýòîé ñòðàòåãèè îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè γn∗

= γn ,

βn∗

= Yn −

γn∗

Sn , Bn

Cn∗

=

n X

Bk−1 ∆Ck ,

(19)

1

ýëåìåíòû γn è Cn êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ èç îïöèîíàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ (16) è ïðåäñòàâëåíèÿ åãî ìàðòèíãàëà M = (Mn ) â âèäå   n X Sk Mn = γk ∆ . (20) Bk 1

66

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Äëÿ îáîñíîâàíèÿ èñêîìîãî ðàâåíñòâà (17) óñòàíîâèì äâà ïðîòèâîïîëîæíûå íåðàâåíñòâà. ×òîáû ïîëó÷èòü ïåðâîå èç íèõ ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòðàòåãèÿ (π, C) ñàìîôèíàíñèðóåìà è, êðîìå òîãî, π, C ÿâëÿåòñÿ (x, fN )− õåäæåì, ò.å. X0π, C = x, XN ≥ fN . Òîãäà, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî (12'), òî N

X X π, C fN x 0≤ ≤ N = + (γn ∆ BN BN B0



1

N

X x + γn ∆ B0



1

Sn Bn

Sn Bn

 −

∆Cn )≤ Bn−1

 .

(21)

Sn C äðóãîé ñòîðîíû, ïî òåîðåìå 2.2.1 íîðìèðîâàííûé êàïèòàë ( B ) n ∗ ∗ ÿâëÿåòñÿ P − ìàðòèíãàëîì ïðè ëþáîé ìåðå P ∈ P(P ). Ïîýòîìó   P Sk ïî òåîðåìå 1.3.1 è ëåììå 1.3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( n1 γk ∆ B ) k ∗ îêàçûâàåòñÿ   P − ìàðòèíãàëîì, åñëè ó÷åñòü, ÷òî â ñèëó (21) PN Sn ≥ − Bx0 . Òàêèì îáðàçîì, B0 E ∗ BfNN ≤ x ïðè ëþáîé ìåðå 1 γn ∆ Bn P ∗ ∈ P(P ) è, ñëåäîâàòåëüíî,

B0

sup P ∗ ∈P(P )

E∗

fN ≤ C(fN , P ). BN

(22)

×òîáû îáîñíîâàòü ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî, âîñïîëüçóåìñÿ îïöèîíàëüíûì ðàçëîæåíèåì (16) äëÿ íàøåãî ñóïåðìàðòèíãàëà èç (14) è ó÷òåì, ÷òî åãî ìàðòèíãàë M ïðè ëþáîé ìåðå P ∗ ∈ P(P ) ìîæåò áûòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì ðàçëîæåí ïî áàçîâîìó ìàðòèíãàëó (S/B) ñ Fn−1 − èçìåðèìûìè γn â âèäå (20). Äëÿ ýòîãî ïî Y0 è ïðîöåññàì γ, C, îïðåäåëÿåìûì â (16) è (20), ïîñòðîèì ïîðòôåëü π ∗ = (β ∗ , γ ∗ ) è ïðîöåññ ïîòðåáëåíèÿ C ∗ ñ òàêèìè ñâîéñòâàìè, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî èì êàïèòàëà áóäóò ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà ∗ ∗ fN π∗ , C ∗ X0π , C = B0 sup E ∗ , XN = fN . (23) BN P ∗ ∈P(P ) Åñòåñòâåííî, îòñþäà áóäåò âûòåêàòü ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî

C(fN , P ) ≤ X0π

∗, C∗

= B0

sup

E∗

P ∗ ∈P(P )

fN , BN

(24)

÷òî âìåñòå ñ (22) è ïðèâåäåò ê èñêîìîìó ðàâåíñòâó (17). 2,3). Òðåáóåìûé ïîðòôåëü π ∗ = (β ∗ , γ ∗ ), ïðîöåññ ïîòðåáëåíèÿ C ∗ è ∗ ∗ êàïèòàë Xnπ , C îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèÿìè (19) è

Xnπ

∗, C∗

= Bn Yn = βn∗ Bn + γn∗ Sn ,

(25)

1

Õåäæèðîâàíèå åâðîïåéñêîãî òèïà

67

â êîòîðûõ ýëåìåíòû ïðîöåññîâ γ è C, êàê âûøå áûëî îòìå÷åíî, áåðóòñÿ èç îïöèîíàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ (16) äëÿ ñóïåðìàðòèíãàëà èç (14), à òàêæå ïðåäñòàâëåíèÿ (20) äëÿ ìàðòèíãàëà M èç òîãî æå ðàçëîæåíèÿ (16).  ýòîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî (25) ⇒ (18) ⇒ (23). Òåì ñàìûì íå òîëüêî óñòàíàâëèâàåòñÿ ôîðìóëà (18), îïèñûâàþùàÿ èçìåíåíèå êàïèòàëà ïðè èñïîëüçóåìîé ñòðàòåãèè, íî è äëÿ îáîñíîâàíèÿ âñåõ ïï.1)3) îñòàåòñÿ ëèøü óáåäèòüñÿ â ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè âûáðàííîé ñòðàòåãèè (π ∗ , C ∗ ) â ñìûñëå (12') (èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, (10') èëè (11')). Íî ! ∗ ∗     Sn Sn ∆Cn∗ Xnπ , C (25) (16),(20) (19) = ∆Yn = γn ∆ − ∆Cn = γn ∆ − . ∆ Bn Bn Bn Bn−1 Òàêèì îáðàçîì, ñàìîôèíàíñèðóåìîñòü ñòðàòåãèè (π ∗ , C ∗ ) â ñìûñëå (12'), à âìåñòå ñ íåé è cïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû óñòàíîâëåíà • 1. Êëþ÷åâûì ìîìåíòîì â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2 ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîå îïöèîíàëüíîå ðàçëîæåíèå (16). Åãî ïîëíîå äîêàçàòåëüñòâî â òåõíè÷åñêîì îòíîøåíèè äîâîëüíî ñëîæíî. Ïîýòîìó ìû ïîêà ññûëàåìñÿ íà [1], c. 686. Íàïîìíèì, êðîìå òîãî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì Äóáà äëÿ ñóïåðìàðòèíãàëà Y = (Yn ) è ëþáîé ìåðû Q ∈ P(P ) èìååò ìåñòî àíàëîãè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå Çàìå÷àíèÿ.

Yn = Y0 + MnQ − AQ n,

(160 )

ñ íåêîòîðûì ìàðòèíãàëîì M Q = (MnQ ) è ïðåäñêàçóåìûì íåóáûâàþùèì Q Q ïðîöåññîì AQ = (AQ n ), A0 = M0 = 0. Ïîä÷åðêíåì ðàçíèöó ýòèõ äâóõ ïðåäñòàâëåíèé.  (16) ìàðòèíãàë íå çàâèñèò îò ìåð ñåìåéñòâà P(P ), à â (16') ìîæåò çàâèñåòü. Íî ãëàâíîå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü AQ = (AQ n) ïðåäñêàçóåìà, à C = (Cn ) ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé, ò.å. âñå âåëè÷èíû Cn ÿâëÿþòñÿ Fn − èçìåðèìûìè c.â. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óíèâåðñàëüíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (16) îïëà÷èâàåòñÿ áîëüøåé ðàçìûòîñòüþ íåìàðòèíãàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé. 2. Îòìåòèì è ïðè÷èíó, ïî êîòîðîé ïðîöåññû ïîòðåáëåíèÿ C = (Cn ) èç îïöèîíàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ (16) è ïðåäñòàâëåíèÿ (9') îòëè÷àþòñÿ. Äåëî â òîì, ÷òî â ñèëó (25) ïðîöåññ Y = (Yn ) â (16) ñîâïàäàåò ñ íîðìèðîâàííûì êàïèòàëîì Xnπ, C /Bn , à ñîîòíîøåíèå (9') îïèñûâàåò ñàì êàïèòàë Xnπ, C . Ïîýòîìó âìåñòî (9') äëÿ îïèñàíèÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè ñòðàòåãèè ñëåäóåò áðàòü ñîîòíîøåíèå (12').

68 2

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Ðàñ÷åòû, ñâÿçàííûå ñ õåäæèðîâàíèåì Àìåðèêàíñêîãî òèïà

2.1

Çàäà÷à îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå. Îáùèé ñëó÷àé

Íà÷íåì ñ íàèáîëåå îáùåé ïîñòàíîâêè ïðîáëåìû îïòèìàëüíîé îñòàíîâêè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à òàêæå ïðèâåäåì íàèáîëåå îáùèé ðåçóëüòàò â ýòîé ïðîáëåìàòèêå, êîòîðûé íàì ïîòðåáóåòñÿ â äàëüíåéøåì. 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f = (fn )n≤N − íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íà íàøåì ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå (Ω, F, (Fn )0≤n≤N , P ), F0 = (∅, Ω), FN = F. È ïóñòü E|fn | < ∞, n ≤ N < ∞. Ðàññìîòðèì ñîâîêóïíîñòü îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷

VnN = sup Efτ ,

0 ≤ n ≤ N,

(1)

τ ∈WnN

ãäå sup áåðåòñÿ ïî êëàññó WnN âñåõ ìîìåíòîâ îñòàíîâêè τ òàêèõ, ÷òî n ≤ τ ≤ N, ïî îòûñêàíèþ 1) ôóíêöèé (öåí) VnN , à òàêæå 2) îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τ, êîòîðûé â äàííîé ñèòóàöèè ñóùåñòâóåò. Ñôîðìóëèðîâàííàÿ çàäà÷à îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå (1) äàåòñÿ íå â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, êîãäà N ≤ ∞. Îñíîâíàÿ ïðè÷èíà âûáîðà êîíå÷íîãî N ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòîò ñëó÷àé ðàçáèðàåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî è â íåì ðàáîòàåò ìåòîä èíäóêöèè íàçàä, ÿâëÿþùèéñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ïðèåìîâ îòûñêàíèÿ êàê öåí VnN , òàê è ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîìåíòîâ îñòàíîâêè τnN . Êðîìå òîãî, èíòåðåñóþùåå íàñ äàëåå ñóïåðìàðòèíãàëüíîå ñâîéñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê îäíî èç óòâåðæäåíèé øèðîêî èçâåñòíîãî ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè äëÿ ôóíêöèè Áåëëìàíà â çàäà÷àõ äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. 2. Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ.â.

γ N = (γnN )0≤n≤N , îïðåäåëèâ åå ñëåäóþùèì ðåêóððåíòíûì îáðàçîì N γN = fN , N γnN = max{fn , E(γn+1 |Fn )},

0 ≤ n < N,

(2)

à òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ

τnN = min{n ≤ i ≤ N : fi = γiN },

0 ≤ n ≤ N,

êîòîðûå è îêàæóòñÿ îïòèìàëüíûìè ìîìåíòàìè îñòàíîâêè â çàäà÷å (1).

2

Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà

69

Îäíèì èç öåíòðàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ â òåîðèè çàäà÷ îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå íà êîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè â íåì è äî êîíöà ïóíêòà áóäåì âñþäó îïóñêàòü âåðõíèé èíäåêñ N ó èñïîëüçóåìûõ ñ.â. è ìíîæåñòâ ìîìåíòîâ îñòàíîâêè, îáîçíà÷àÿ, ñêàæåì, γnN ÷åðåç γn , WnN ÷åðåç Wn è ò.ä.

70

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ, îïðåäåëÿåìàÿ ðåêóððåíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè (2), è ìîìåíòû τn îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: Òåîðåìà 1.

1. E(fτ |Fn ) ≤ E(fτn |Fn ) = γn ; 2. γn = ess supτ ∈Wn E(fτ |Fn ), â ÷àñòíîñòè, γ0 = ess supτ ∈W0 Efτ = Efτ0 ; 3. Vn = Eγn . Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ýòè ñâîéñòâà ïðè n = N î÷åâèäíû. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ íàçàä ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíè óæå óñòàíîâëåíû äëÿ n = N, · · · , k, è óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî òîãäà îíè âûïîëíåíû è äëÿ n = k −1. Ïóñòü τ ∈ Wk−1 , A ∈ Fk−1 . Òîãäà, ïîñêîëüêó τ¯ = max(τ, k) ∈ Wk è {τ ≥ k} ∈ Fk−1 , èìååì

E[IA fτ ] = E[IA∩{τ =k−1} fk−1 ] + E[IA∩{τ ≥k} fτ ], E[IA∩{τ ≥k} fτ ] = E[IA∩{τ ≥k} E(fτ |Fk−1 )] = = E[IA∩{τ ≥k} E(E(fτ¯ |Fk )|Fk−1 )] ≤ E[IA∩{τ ≥k} E(γk |Fk−1 )], E[IA fτ ] ≤ E[IA∩{τ =k−1} fk−1 ] + E[IA∩{τ ≥k} E(γk |Fk−1 )] ≤ E[IA γk−1 ].

(3)

Çàìåòèì, ÷òî ïðàâîå íåðàâåíñòâî â (3) âûòåêàåò èç (2), à ðàíåå ìû èñïîëüçîâàëè òåëåñêîïè÷åñêîå ñâîéñòâî ÓÌÎ, òîò ôàêò, ÷òî τ¯ = τ íà ìíîæåñòâå {τ ≥ k}, è íåðàâåíñòâî E(fτ¯ |Fk ) ≤ γk , ñïðàâåäëèâîå ïî ïðåäïîëîæåíèþ. Òåì ñàìûì E(fτ |Fk−1 ) ≤ γk−1 è òðåáóåìûå ñâîéñòâà â 1. áóäóò óñòàíîâëåíû äëÿ n = k − 1, åñëè ïîêàçàòü, ÷òî

E(fτk−1 |Fk−1 ) = γk−1 . Íî â ïðèâåäåííîé âûøå öåïî÷êå ëèøü äâà íåðàâåíñòâà. Ïîêàæåì, ÷òî ïðè τ = τk−1 íà ñàìîì äåëå â íèõ ðàâåíñòâà. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó τk−1 = τk íà ìíîæåñòâå {τk−1 ≥ k} ïî îïðåäåëåíèþ τk−1 , òî ìîæíî τ¯ çàìåíèòü íà τk è äëÿ ëèêâèäàöèè ïåðâîãî íåðàâåíñòâà èñïîëüçîâàòü, ÷òî E(fτk |Fk ) = γk ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè. Ïîñëåäíåå æå íåðàâåíñòâî â (3) ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî ïîòîìó, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ γk−1 = max{fk−1 , E(γk |Fk−1 )}. Âåäü ýòî îçíà÷àåò, ÷òî γk−1 = fk−1 íà ìíîæåñòâå τk−1 = k − 1, à íà ìíîæåñòâå τk−1 > k − 1 èìååì fk−1 < γk−1 è, ñëåäîâàòåëüíî, íà íåì γk−1 = E(γk |Fk−1 ). Èòàê, ñâîéñòâà 1. äîêàçàíû, à, çíà÷èò, äîêàçàíî è ñâîéñòâî 2. 3. Íàêîíåö, äëÿ âñÿêîãî τ ∈ Wn , 0 ≤ n < N, â ñèëó 1.

Efτ ≤ Efτn = Eγn , ò.å. Vn = supτ ∈Wn Efτ = Efτn = Eγn , è ñïðàâåäëèâî òàêæå ñâîéñòâî 3 • Îòìåòèì òàêæå î÷åâèäíîå Ñëåäñòâèå 1. Ìîìåíò τ0 = min{0 ≤ i ≤ N : fi = γi } ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ìîìåíòîì îñòàíîâêè â êëàññå W0 , ïîñêîëüêó

V0 = sup Efτ = Efτ0 (= γ0 ). τ ∈W0

2

71

Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà

2.2

Ñóïåðìàðòèíãàëüíàÿ õàðàêòåðèçàöèÿ

Èç ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé (2) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ ÿâëÿåòñÿ ñóïåðìàðòèíãàëîì, ìàæîðèðóþùèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f. Ïðè ýòîì γ− íàèìåíüøèé èç âñåõ òàêèõ ñóïåðìàðòèíãàëîâ γ˜ â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè γ˜n ≥ fn ïðè âñåõ n ≤ N, òî è γn ≤ γ˜n , n ≤ N. Â ñàìîì äåëå, ïðè n = N ýòî íå íóæíî äîêàçûâàòü, ïîñêîëüêó γN = fN ≤ γ˜N . Åñëè æå n < N, òî òðåáóåìûå íåðàâåíñòâà ëåãêî âûâåñòè èç óêàçàííûõ ñîîòíîøåíèé è ïðåäïîëîæåíèé, ñîãëàñíî êîòîðûì

γ˜n ≥ max(fn , E(˜ γn+1 |Fn )),

n < N.

(4)

Ñêàæåì, ïðè n = N − 1 èç (4) âûòåêàåò, ÷òî

γ˜N −1 ≥ max(fN −1 , E(˜ γN |FN −1 )) ≥ max(fN −1 , E(γN |FN −1 )) = γN −1 . Íî ÿñíî, ÷òî àíàëîãè÷íî ìîæíî äåéñòâîâàòü è ïðè ëþáîì n < N − 1. Òåïåðü óñòàíîâëåííûé âûøå ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ íàèìåíüøåãî ñóïåðìàðòèíãàëà γ = (γn )0≤n≤N , ìàæîðèðóþùåãî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f = (fn )0≤n≤N , èñïîëüçóåì äëÿ îáîñíîâàíèÿ ñóïåðìàðòèíãàëüíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

YnN = ess sup E(fτ |Fn ),

0 ≤ n ≤ N.

(5)

τ ∈WnN

Ñäåëàòü ýòî óäîáíî èìåííî ñåé÷àñ, ïîñêîëüêó ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî, à ñàì ôàêò ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 5.2. Óòî÷íèì ëèøü, ÷òî ìû ïî-ïðåæíåìó ðàññìàòðèâàåì ñòîõàñòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f = (fn )0≤n≤N èç ï.2.1, à èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ìåðå P èç íàøåãî áàçèñà. Ñëåäñòâèå 2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü N Y èç (5) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ñóïåðìàðòèíãàëîì, ìàæîðèðóþùèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ìèíèìàëüíîñòü íèæå íå ïîòðåáóåòñÿ, à åå îáîñíîâàíèå ìîæíî ïðîâåñòè ïî àíàëîãèè ñ âûøåñêàçàííûì, òî ìû ïîêàæåì ëèøü, ÷òî Y N − ñóïåðìàðòèãàë, ìàæîðèðóþùèé f, äëÿ ÷åãî ïðîâåðèì, ÷òî Y N óäîâëåòâîðÿåò ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ òèïà (2).  ñàìîì äåëå, íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî YNN = fN , à ïðè n < N, τ ∈ WnN ,

E(fτ |Fn ) = fn I(τ = n) + E(fτ ∨(n+1) |Fn )I(τ > n). N , a (τ > n) ∈ F ïðè ëþáîì τ ∈ W N . Ïîýòîìó Íî τ ∨ (n + 1) ∈ Wn+1 n n

YnN = ess sup [fn I(τ = n) + E(E(fτ ∨(n+1) |Fn+1 )|Fn )I(τ > n)] = τ ∈WnN

= max(fn , E(ess

sup

E(fτ 0 |Fn+1 )|Fn ),

N τ 0 ∈Wn+1

N YnN = max(fn , E(Yn+1 |Fn )),

n < N (YNN = fN ) •

(6)

72

III

2.3

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Îïòèìàëüíàÿ îñòàíîâêà ìàðêîâñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé

Òåõíèêà ðåøåíèÿ çàäà÷ îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå íàèáîëåå ðàçâèòà èìåííî â ìàðêîâñêîì ñëó÷àå. Ìû ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîñòàíîâêè ï.2.1, êîãäà ñåìåéñòâî ïëàòåæíûõ ôóíêöèé f îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì fn = g(xn ), â êîòîðîì g(·)− íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ, à xn − ýëåìåíò ìàðêîâñêîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ X = (xn , Fn , Px ) ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì n = 0, 1, · · · , ñî çíà÷åíèÿìè â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (E, B) è ñåìåéñòâîì âåðîÿòíîñòíûõ ìåð Px íà F = ∨Fn , ñåìåéñòâîì ïî íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ x0 = x ∈ E. È ðàññìîòðèì íåñêîëüêî èíóþ ñîâîêóïíîñòü çàäà÷

sn (x) = sup Ex g(xτ ),

0 ≤ n ≤ N,

(5)

τ ∈Wn

ãäå sup áåðåòñÿ ïî êëàññó Wn ìîìåíòîâ îñòàíîâêè τ, 0 ≤ τ ≤ n, à B− èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ g(x) : E → R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ, îáåñïå÷èâàþùåìó ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â (5):

Ex |g(xn )| < ∞,

x ∈ E, n ≤ N.

(6)

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ó íàñ ïî-ïðåæíåìó N < ∞ è, êàê è ðàíåå, ìû èíòåðåñóåìñÿ çàäà÷åé (5) ñ n = N. Èíûìè ñëîâàìè, íàøà öåëü  îïðåäåëèòü öåíó sN (x) è îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè τN . Ïðè ýòîì òåïåðü ìû íåñêîëüêî èçìåíèì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ è èõ êëàññîâ: âìåñòî W0n áóäåì ïèñàòü Wn è ñîîòâåòñòâåííî ïîìåíÿåì τ0n íà τn . Íî åùå áîëåå âàæíî äðóãîå. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2 ìû áóäåì îïèðàòüñÿ íà cëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ (ñì. ï. 1.6.4):

• äëÿ âñåõ x ∈ E, B ∈ B, s, t ∈ Z = {0, 1, · · ·} Px (xt+s ∈ B| Ft ) = Pxt (xs ∈ B),

(Px − ï.í.);

(7)

• äëÿ êàæäûõ t ∈ Z è ω ∈ Ω íàéäåòñÿ è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ω 0 ∈ Ω òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ s ∈ Z xs (ω 0 ) = xs+t (ω).

2

73

Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà

Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò ââåñòè îïåðàòîð θt , êîòîðûé äëÿ äàííîãî t ëþáîìó ýëåìåíòó ω ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò ω 0 . Òàêèì îáðàçîì, ω 0 = θt ω è

xs (θt ω) = xs+t (ω),

(8)

Áîëåå òîãî, ââåäåííûé âûøå îïåðàòîð θt , äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω, åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü è îïðåäåëÿþùèì íîâóþ ñ.â. θt η ïî ôîðìóëå θt η(ω) = η(θt ω), (80 ) êîòîðóþ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ïðîèçâîëüíîé F− èçìåðèìîé ñ.â. η. Áóäåì èñïîëüçîâàòü íèæå è î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå ðàâåíñòâà (7):

Ex (θt η|Ft ) = Ext η,

x ∈ E,

(70 )

Ââåäåì îïåðàòîðû T, Q, äåéñòâóþùèe íà ôóíêöèè g ïî ôîðìóëàì

Qg(x) = max{g(x), T g(x)},

(9)

T g(x) = Ex g(x1 ),

(10)

è ðàññìîòðèì öåíòðàëüíûé ðåçóëüòàò ýòîãî ïóíêòà, â êîòîðîì íå òîëüêî îïèñûâàåòñÿ ñòðóêòóðà öåí è ïðåäëàãàåòñÿ ñïîñîá èõ îòûñêàíèÿ, íî è äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî èñêîìûé îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè èìååò âèä:

τn = min{0 ≤ k ≤ n : Qn−k g(xk ) = g(xk )}.

(11)

Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (6), â êîòîðîì X íåêîòîðûé îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ. Òîãäà äëÿ ñåìåéñòâà ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ (5) ïðè ëþáûõ x ∈ E, 1 ≤ n ≤ N, èìåþò ìåñòî ñâîéñòâà:

1. 2. 3. 4. 5.

Qn g(x) = max{g(x), T Qn−1 g(x)} Ex g(xτ ) ≤ Qn g(x), τn = 1 + θ1 τn−1 , Ex g(xτn ) = Qn g(x) = sn (x). ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ N = (γnN , Fn )n≤N , îáðàçóåò ñóïåðìàðòèíãàë ïðè êàæäîì

(Q0 g(x) = g(x)); τ ∈ Wn ; åñëè Px (τn ≥ 1) = 1; Êðîìå òîãî, γnN = sN −n (xn ), N ≥ 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Èñêîìîå ðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà Q ïðè n = 1. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ, ïðåäïîëîæèì, ñêàæåì, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, ò.å. âûïîëíåíî ïðè ñòåïåíè n îïåðàòîðà Q ñëåâà, è ïîêàæåì åãî ñïðàâåäëèâîñòü ïðè ñòåïåíè n + 1. Íî ïðè ëþáîì n

T Qn g = T max (Qn−1 g, T Qn−1 g) ≥ T Qn−1 g

74

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

è ïîòîìó òðåáóåìàÿ ôîðìóëà âûòåêàåò èç öåïî÷êè ñîîòíîøåíèé

Qn+1 g = max{Qn g, T Qn g} = = max{max[g, T Qn−1 g], T Qn g} = max{g, T Qn g}. P 2. Ïîñêîëüêó A = {τ = n} = Ω \ n−1 k=0 {τ = k} ∈ Fn−1 , òî Ex g(xτ ) = Ex IA¯ g(xτ ) + Ex IA g(xτ ) = Ex IA¯ g(xτ ∧(n−1) ) + Ex IA g(xn ), Ex IA g(xn ) = Ex IA Ex (g(xn )|Fn−1 )

(8),(80 )

=

(70 )

Ex IA Ex (θn−1 g(x1 )|Fn−1 ) = Ex IA Exn−1 g(x1 ) = Ex IA Exτ ∧(n−1) g(x1 ). Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì

Ex g(xτ ) ≤ Ex max [g(xτ ∧(n−1) ), Exτ ∧(n−1) g(x1 )]

(9),(10)

=

Ex Qg(xτ ∧(n−1) ) ≤

Ex Q2 g(xτ ∧(n−2) ) ≤ · · · ≤ Ex Qn g(xτ ∧0 ) = Qn g(x). 3. Â ñèëó (8), (8') ÿñíî, ÷òî θ1 g(xk (ω)) = g(xk (θ1 ω)) = g(xk+1 (ω)),

θ1 Qm−k g(xk (ω)) = Qm−k g(xk (θ1 ω)) = Qm−k g(xk+1 (ω)). Ïîýòîìó θ1 τn−1 = θ1 min{0 ≤ k ≤ n − 1 : Qn−1−k g(xk (ω)) = g(xk (ω))} = = min{0 ≤ k ≤ n − 1 : Qn−(k+1) g(xk+1 (ω)) = g(xk+1 (ω))}, 1 + θ1 τn−1 = min{1 ≤ k + 1 ≤ n : Qn−(k+1) g(xk+1 (ω)) = g(xk+1 (ω))} = = min{1 ≤ l ≤ n : Qn−l g(xl (ω)) = g(xl (ω))} = τn , à ýòî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ τn è ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî Px (τn ≥ 1) = 1. 4. Ïðè n = 0 ïåðâîå ðàâåíñòâî î÷åâèäíî. Ïîýòîìó, îïÿòü èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ ïîêàæåì, ÷òî îíî áóäåò èìåòü ìåñòî, åñëè îêàæåòñÿ ñïðàâåäëèâûì â ôîðìå ñ n − 1 âìåñòî n. Âòîðîå æå  ñëåäñòâèå ïåðâîãî è ï.2. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x ∈ E è ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî Px (τn = 0) = 1. Òîãäà â ñèëó oïðåäåëåíèÿ (11) ñ.â. τn

Px (Qn g(x0 ) = g(x0 )) = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî,

Ex g(xτn ) = g(x) = Qn g(x). Ïóñòü äàëåå Px (τn = 0) < 1. Òîãäà, ïîñêîëüêó {τn = 0} ∈ F0 = (∅, Ω), òî Px (τn = 0) = 0 èëè Px (τn ≥ 1) = 1. Íî â ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî ñâîéñòâî 3., à èç (11) âûòåêàåò, ÷òî Qn g(x) > g(x). Èñïîëüçóÿ ýòî âìåñòå ñ

2

75

Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà

ðàâåíñòâîì Ex1 g(xτn−1 ) = Ex (θ1 g(xτn−1 )|F1 ) (ñì. (7')) è ïðåäïîëîæåíèåì èíäóêöèè, ïîëó÷àåì (íà÷èíàÿ ñ ï.1. è (10)):

Qn g(x) = max{g(x), Ex Qn−1 g(x1 )} = Ex Qn−1 g(x1 ) = Ex Ex1 g(xτn−1 ) = = Ex θ1 g(xτn−1 ) = Ex g(x1+θ1 τn−1 ) = Ex g(xτn ); ó íàñ θ1 xτn−1 (ω) (ω) = xτn−1 (θ1 ω) (θ1 ω) = xθ1 τn−1 (ω) (θ1 ω) = x1+θ1 τn−1 (ω) (ω). 5. Èç îïðåäåëåíèÿ (10) è ñâîéñòâ 1., 4. âûòåêàåò, ÷òî

Ex sn−1 (x1 ) ≤ sn (x) = Qn g(x).

(12)

Èñïîëüçóÿ (12), à òàêæå ñâîéñòâà (8), (7'), (8'), îáúÿñíÿþùèå ðàâåíñòâà íèæå, ëåãêî ïðèõîäèì ê èñêîìîìó íåðàâåíñòâó (η = sN −m (x1 )) :

Ex (sN −m (xm )|Fm−1 )

(8),(80 )

=

(70 )

Ex (θm−1 sN −m (x1 )|Fm−1 ) = Exm−1 sN −m (x1 ), (12)

N N Ex (γm | Fm−1 ) = Ex (sN −m (xm )|Fm−1 ) ≤ sN −m+1 (xm−1 ) = γm−1 •

Ôîðìóëèðîâêà äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ íà ïåðâûé âçãëÿä ìàëî ñâÿçàíà ñ èíòåðåñóþùåé íàñ êðàéíåé çàäà÷åé â (5) (ñëó÷àé n = N ). Õîòÿ, êîíå÷íî, â ïðîöåññå åãî äîêàçàòåëüñòâà âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî òåîðåìà îòâå÷àåò íà äâà îñíîâíûå âîïðîñà: â (12) ïðèâîäèòñÿ âûðàæåíèå äëÿ öåíû sN (x), à â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 4. îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè τN ìîæíî çàïèñûâàòü â âèäå (11). À äåëî â òîì, ÷òî ïðîâåäåííûé àíàëèç ñåìåéñòâà ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ (5) ñîäåðæèò ìíîãî ïîëåçíîé èíôîðìàöèè î íåì è ïîòîìó åñòåñòâåííî áûëî ïîïûòàòüñÿ íàéòè êðàò÷àéøóþ ôîðìó äëÿ åå ïîäà÷è. Íî òåïåðü ñëåäóåò õîòÿ áû ÷àñòü èç ïîëó÷åííûõ ñâåäåíèé è õîòÿ áû êðàòêî îõàðàêòåðèçîâàòü. Ïðåæäå âñåãî, â ñèëó (9), (12) ÿñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåí

s = (sn (x))0≤n≤N :

sn−1 (x) ≤ sn (x),

(13)

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåóáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå E. Ïðè÷åì äëÿ ïðîèçâîëüíîé äîïóñòèìîé ôóíêöèè g(x), î÷åâèäíî, ñîâïàäàþùåé ñ s0 (x) âñþäó â E. Cëåäóþùàÿ öåíà s1 (x) â ñèëó (9) ñîâïàäàåò ñ g(x) óæå â íåêîòîðîé ïîäîáëàñòè E, öåíà s2 (x) ñîâïàäàåò ñ g(x) â íåêîòîðîé ÷àñòè ïðåäûäóùåé ïîäîáëàñòè E, è ò.ä. Êîíå÷íî, â îñòàëüíûõ òî÷êàõ öåíû âûøå ôóíêöèè g(x). Ââåäåì äëÿ óêàçàííûõ îáëàñòåé îáîçíà÷åíèÿ

DnN = {x ∈ E : sN −n (x) = g(x)},

CnN = E \ DnN ,

0 ≤ n ≤ N,

(14)

è îòìåòèì òî, ÷òî óæå âûÿñíèëè: N D0N ⊆ D1N ⊆ · · · ⊆ DN = E,

N C0N ⊇ C1N ⊇ · · · ⊇ CN = ∅.

(15)

76

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Òàê âîò, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îáëàñòè DnN åñòåñòâåííî íàçâàòü îáëàñòÿìè îñòàíîâêè íàáëþäåíèé, à CnN − îáëàñòÿìè ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé, ïîñêîëüêó îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè (11) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

τN = min{0 ≤ n ≤ N : xn ∈ DnN }.

(110 )

Íî òåì ñàìûì ÿñíî, ÷òî äëÿ îòûñêàíèÿ ýòîãî ìîìåíòà íåîáõîäèìî çíàòü âñå öåíû sn (x), ò.å. îïðåäåëèòü âñå N èòåðàöèé îïåðàòîðà Q.

2

77

Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà

2.4

Ìàðêîâñêèé ñëó÷àé. Åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå

Ðàññìîòðèì òåïåðü íåñêîëüêî áîëåå îáùåå ñåìåéñòâî ïëàòåæíûõ ôóíêöèé f, ÷åì â ï.2.3. À èìåííî, ïóñòü îíî îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

fn = v n g(xn ), â êîòîðîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (xn ) è ôóíêöèÿ g(x) îñòàþòñÿ ïðåæíèìè, à v > 0 − ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Íèæå ìû óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ýòî ðàñøèðåíèå êëàññà ïëàòåæíûõ ôóíêöèé âïîëíå åñòåñòâåííî ïðè îáñóæäåíèè ïðîáëåì îïöèîíîâ. Ñåé÷àñ æå ïîñòàðàåìñÿ ïîä÷åðêíóòü ðàçíèöó ýòèõ äâóõ ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûõ ñèòóàöèé. Êîíå÷íî, ñîîòâåòñòâåííî èçìåíèòñÿ ñåìåéñòâî ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷

sn (x) = sup Ex v τ g(xτ ),

0 ≤ n ≤ N,

(50 )

τ ∈Wn

íî âñå îáîçíà÷åíèÿ â íåì îñòàþòñÿ ïðåæíèìè, çà èñêëþ÷åíèåì ÷èñëà v. Ïðè ýòîì ìû îñòàâëÿåì ñòàðîå îáîçíà÷åíèå sn (x) äëÿ íîâîé öåíû, à òàêæå íå ìåíÿåì îáîçíà÷åíèå äëÿ îïåðàòîðà Q, õîòÿ ïîëàãàåì

Qg(x) = max{g(x), vT g(x)}.

(90 )

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè áîëüøå íè÷åãî íå ìåíÿòü, òî òåîðåìó 2 çàìåíèò

Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (6), â êîòîðîì X íåêîòîðûé îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ. Òîãäà äëÿ ñåìåéñòâà ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ (5') ïðè ëþáûõ x ∈ E, 1 ≤ n ≤ N, ñïðàâåäëèâû ñâîéñòâà: Ñëåäñòâèå

1. 2. 3. 4. 5.

3.

Qn g(x) = max{g(x), vT Qn−1 g(x)} Ex v τ g(xτ ) ≤ Qn g(x), τn = 1 + θ1 τn−1 , Ex v τn g(xτn ) = Qn g(x) = sn (x). ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ N = (γnN , Fn )n≤N , îáðàçóåò ñóïåðìàðòèíãàë ïðè êàæäîì

(Q0 g(x) = g(x)); τ ∈ Wn ; åñëè Px (τn ≥ 1) = 1; Êðîìå òîãî, γnN = v −(N −n) sN −n (xn ), N ≥ 0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîñíîâàíèå òåîðåìû 2 ôàêòè÷åñêè îñòàåòñÿ â ñèëå. Îñîáåííî ýòî îòíîñèòñÿ ê ï.3, â êîòîðîì íè÷åãî íå íóæíî è òðîãàòü, à òàêæå ê ï.1, ãäå èçìåíåíèÿ î÷åâèäíû. Íî â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëåçíûì óòî÷íèòü íåêîòîðûå äåòàëè. 2. Èçìåíåíèÿ ñâÿçàíû ñ ïîÿâëåíèåì v τ . Òåïåðü áóäåì èìåòü

Ex v τ g(xτ ) = Ex IA¯ v τ ∧(n−1) g(xτ ∧(n−1) ) + vEx IA v n−1 g(xn ), Ex IA v n−1 g(xn ) = Ex IA v τ ∧(n−1) Exτ ∧(n−1) g(x1 ), Ex v τ g(xτ ) ≤ Ex v τ ∧(n−1) max[g(xτ ∧(n−1) ), vExτ ∧(n−1) g(x1 )] =

78

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Ex v τ ∧(n−1) Qg(xτ ∧(n−1) ) ≤ Ex v τ ∧(n−2) Q2 g(xτ ∧(n−2) ) ≤ · · · = Qn g(x). 4. Âñå îñòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè áåç èçìåíåíèé äî ïîñëåäíåãî ïðåäëîæåíèÿ. Íî â íåì êàê ðàâåíñòâî, òàê è öåïî÷êà ñîîòíîøåíèé ìåíÿþòñÿ:

Ex1 v τn−1 g(xτn−1 ) = Ex (θ1 v τn−1 g(xτn−1 )|F1 ), Qn g(x) = max{g(x), vEx Qn−1 g(x1 )} = vEx Ex1 v τn−1 g(xτn−1 ) = = vEx θ1 v τn−1 g(xτn−1 ) = Ex v 1+θτn−1 g(x1+θ1 τn−1 ) = Ex v τn g(xτn ). 5. Çäåñü èçìåíåíèÿ êàñàþòñÿ ëèøü íåðàâåíñòâ, ò.å. èìååì

vEx sn−1 (x1 ) ≤ sn (x) = Qn g(x),

(120 )

Ex (v −(N −m) sN −m (xm )|Fm−1 ) ≤ v −(N −m+1) sN −m+1 (xm−1 ) • Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå ïóíêòà äâà ìîìåíòà. Âî-ïåðâûõ, ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåðåñíûì, ÷òî íîâûå öåíû ïîïðåæíåìó ìîíîòîííû, ò.å. äëÿ íèõ òàêæå âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (13). Ïðè÷åì âûòåêàåò ýòî èç (12') ïîòîìó, ÷òî â ñèëó (9'), êàê è ðàíåå â ñèëó (9), èìååì

g(x) ≤ Qg(x) ≤ · · · ≤ Qn g(x) ≤ · · · ≤ QN g(x). Òàêèì îáðàçîì, âçàèìîîòíîøåíèÿ öåí â íîâîé ñèòóàöèè ñîõðÿíÿþòñÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî èìååò ìåñòî çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ îïåðàòîðà Q. Áîëåå òîãî, ïðè òàêîì èçìåíåíèè ñîõðàíÿåòñÿ è âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ (14) äëÿ îáëàñòåé îñòàíîâêè è ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé. Åñòåñòâåííî, ñ ñîõðàíåíèåì âêëþ÷åíèé (15). Íî ýòî îáúÿñíÿåòñÿ åùå è òåì, ÷òî ôîðìà çàïèñè (11) îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè, êàê è (11'), â íîâîé ñèòóàöèè íå èçìåíèëàñü. E

6

6

D510

x2 x1 r x

x9 (ω2 )

r r

r

r

x7 (ω2 )

r

r

r

x6

r

C210 D510

r

r

x7 (ω1 )

τ10 (ω1 )

τ10 (ω2 )

0

1

2

5

7

9

10

Ðèñ. 2.1 Ñìûñë îïòèìàëüíîé îñòàíîâêè ïðîöåññà X

2

Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà

79

Âî-âòîðûõ, ïîëó÷åííàÿ èíôîðìàöèÿ ïîçâîëÿåò îò÷åòëèâî ïðåäñòàâèòü ïðîöåññ íàáëþäåíèé çà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ X è ñìûñë äåéñòâèé â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τN . Ïðè÷åì, êàê ñëåäóåò èç âûøåñêàçàííîãî, âñå áóäåò îäèíàêîâûì äëÿ îáåèõ çàäà÷ (5) è (5'), à âûãëÿäåòü ïðèìåðíî òàê, êàê íà ðèñ.2.1, ãäå ðàññìîòðåíà ñèòóàöèÿ E = [0, ∞), N = 10. 2.5

Îñíîâíûå ôîðìóëû íà ïîëíûõ ðûíêàõ

Òåïåðü ìû ãîòîâû ïðèâåñòè è îáîñíîâàòü ôîðìóëû, ñâÿçàííûå ñ õåäæèðîâàíèåì àìåðèêàíñêîãî òèïà íà ïîëíûõ è áåçàðáèòðàæíûõ ðûíêàõ. Èíûìè ñëîâàìè, ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ðåçóëüòàòû, àíàëîãè÷íûå èçëîæåííûì â ï.1.1 äëÿ õåäæèðîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî òèïà. Íî ñíà÷àëà ïîä÷åðêíåì ðàçíèöó ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ è îáúÿñíèì ñõåìó âûõîäà íà èñêîìûå ôîðìóëû.  ïîíÿòèå àìåðèêàíñêîãî õåäæèðîâàíèÿ òàêæå âõîäÿò òðè îáúåêòà:

ñïðàâåäëèâàÿ öåíà õåäæèðîâàíèÿ C(f ; P ), îïòèìàëüíàÿ ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ (π, C) , ñ ìèíèìàëüíûì (x, f, N )− õåäæåì π, à òàêæå äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êàïèòàëà Xnπ, C , 0 ≤ n ≤ N. Îäíàêî âñå îíè çàìåòíî îòëè÷àþòñÿ îò ñâîèõ åâðîïåéñêèõ êîëëåã. È, êðîìå òîãî, ïîÿâëÿåòñÿ íîâûé ýëåìåíò, òàê íàçûâàåìûé

îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè íàáëþäåíèé τ0N (çà ïðîöåññîì èçìåíåíèÿ öåí (Sn ) ). Èìåííî ïðè òàêîì âûáîðå ìîìåíòà ïðåäúÿâëåíèÿ îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ è äîñòèãàåòñÿ ñïðàâåäëèâàÿ öåíà îïöèîíà, è êàê åãî ïðîäàâåö, òàê è âëàäåëåö îêàçûâàþòñÿ â íóëÿõ. Íàïîìíèì äàëåå, â ÷åì ñîñòîèò çàäà÷à ïî õåäæèðîâàíèþ ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ àìåðèêàíñêîãî òèïà è ÷åì îíà îòëè÷àåòñÿ åâðîïåéñêîãî âàðèàíòà. Ñ îäíîé ñòîðîíû, îíà ïðåæíÿÿ, ïîñêîëüêó â íåé

òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ñïðàâåäëèâóþ ñòîèìîñòü öåííîé áóìàãè, èëè íà÷àëüíûé êàïèòàë åå ïðîäàâöà, êîòîðûé ïîçâîëèò åìó âûïîëíèòü ñâîè îáÿçàòåëüñòâà ïåðåä ïîêóïàòåëåì, à òàêæå ïîíÿòü, êàê ñëåäóåò óïðàâëÿòü ýòèì êàïèòàëîì äëÿ ýòîãî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íà ýòîò ðàç âìåñòî îäíîãî ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ fN èìååì ñåìåéñòâî f = (fn )1≤n≤N Fn − èçìåðèìûõ ïëàòåæíûõ ïîðó÷åíèé fn . È ýòî ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíîé çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè, ò.å. ìîìåíòà èñïîëíåíèÿ ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ, ïðè êîòîðîì òîëüêî è ïîëó÷àåòñÿ èñêîìàÿ ñïðàâåäëèâàÿ öåíà.

80

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

 íîâîé ñèòóàöèè íàïðàøèâàåòñÿ ââåñòè ïîíÿòèå (x, f, N )− õåäæà, êàê ñàìîôèíàíñèðóåìîãî ïîðòôåëÿ π, äëÿ êîòîðîãî

X0π = x,

Xnπ ≥ fn ,

n ≤ N.

Åñòåñòâåííî, òàêîé õåäæ ïîçâîëÿåò ïðè ëþáîì äîïóñòèìîì ìàðêîâñêîì ìîìåíòå îñòàíîâêè τ âûïîëíèòü ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå, ò.å. èìåòü Xτπ ≥ fτ . Íî ïðè ïîïûòêå ïîëó÷èòü ìèíèìàëüíûé èëè ñîâåðøåííûé (x, f, N )− õåäæ, äëÿ êîòîðîãî íàðÿäó ñ âûøåóêàçàííûì ñâîéñòâîì ∃τ ∗ : Xτπ∗ = fτ ∗ , âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî â ïðåæíåì ïîäõîäå îí ìîæåò è íå ñóùåñòâîâàòü. Îêàçûâàåòñÿ, îäíàêî, ÷òî ïðè èçìåíåíèè ïîíÿòèÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè â ñìûñëå ï.1.2, âûïîëíåíèå ïîñëåäíåãî ñâîéñòâà ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì. È íèæå èñïîëüçóåòñÿ èìåííî ýòî. Èòàê, âìåñòî ñàìîôèíàíñèðóåìîãî ïîðòôåëÿ π áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñàìîôèíàíñèðóåìóþ ñòðàòåãèþ (π, C) ñ ïîòðåáëåíèåì è ñîîòâåòñòâóþùèé åé êàïèòàë îáîçíà÷àòü ÷åðåç Xnπ, C . Ñîîòâåòñòâåííî, ââåäåì Îïðåäåëåíèå 1. Ñïðàâåäëèâîé öåíîé õåäæèðîâàíèÿ Àìåðèêàíñêîãî òèïà (ñèñòåìû ïëàòåæíûõ ôóíêöèé f ) íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà ! Xτπ, C ≥ fτ , ∀τ π, C =xè ∈ W0N } C(f, P ) = inf{x : ∃(π, C) c X0 Xτπ,∗ C = fτ ∗ , ∃τ ∗ Òåì ñàìûì âñå òðè âûøåóêàçàííûõ îáúåêòà õåäæèðîâàíèÿ ïðîÿñíÿþòñÿ è íàì îñòàåòñÿ ëèøü ðàçîáðàòüñÿ â ïðîáëåìå ïîèñêà îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè è îáúÿñíèòü ïðè÷èíó ïîÿâëåíèÿ ïîòðåáëåíèÿ.  åâðîïåéñêîì õåäæèðîâàíèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ êàïèòàëà Xnπ , îòâå÷àþùåãî îïòèìàëüíîìó ïîðòôåëþ, ñíà÷àëà âûÿâëÿëñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé åìó íîðìèðîâàííûé êàïèòàë Xnπ /Bn , ïðè÷åì ïðîñòî òåì, ÷òî ïðèðàâíèâàëñÿ ìàðòèíãàëó Ëåâè M = (Mn ), Mn = E(fN /BN |Fn ). Íà ýòîò ðàç ïîäõîä òîò æå, ïîñêîëüêó ñíà÷àëà òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûé êàïèòàë Xnπ, /Bn . Îäíàêî òåïåðü âìåñòî M åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ñòîõàñòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y = (Yn )0≤n≤N , ãäå   fτ Yn = ess sup E |Fn . (18) Bτ τ ∈WnN À ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñóïåðìàðòèíãàëîì (ñì. Ñëåäñòâèå 2). È èìåííî ýòî è ïðèâîäèò ê ïîòðåáëåíèþ C = (Cn ), êîòîðîå âîçíèêàåò èç ðàçëîæåíèÿ Äóáà (ñì. òåîðåìó 1.2.1 è ôîðìóëó (24) íèæå)

Yn = Mn − Ln , â êîòîðîì Y0 = M0 , L0 = 0 è Fn−1 − èçìåðèìûå ∆Ln ≥ 0.

(19)

2

Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà

81

Ïðåäïîëîæèì äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé, ÷òî åäèíñòâåííàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà, ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé ìåðå P, êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ ìåðîé P. Êðîìå òîãî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ïëàòåæíûõ ôóíêöèé f = (fn )1≤n≤N óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

EBn−1 fn < ∞, n ≤ N.

(20)

È äîêàæåì ñíà÷àëà óòâåðæäåíèå, â êîòîðîì ñîäåðæàòñÿ âñå ýëåìåíòû àìåðèêàíñêîãî õåäæèðîâàíèÿ, à çàòåì ñëåäñòâèå, óòî÷íÿþùåå çàïèñü òðåõ èç íèõ â ìàðêîâñêîì ñëó÷àå.

82

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Íà áåçàðáèòðàæíûõ è ïîëíûõ ðûíêàõ ïðè óñëîâèè (20) 1. ñïðàâåäëèâàÿ öåíà àìåðèêàíñêîãî õåäæèðîâàíèÿ èìååò âèä Òåîðåìà 3.

C(f ; P ) = B0 sup Efτ Bτ−1 ;

(21)

τ ∈W0N

2. ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ (π, C), êàïèòàë êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ   fτ π, Xn = Bn ess sup E |Fn , 0 ≤ n ≤ N, (22) Bτ τ ∈WnN Xτπ, ≥ fτ ,

∀τ ∈ WnN ;

(23)

3. åå êîìïîíåíòû C = (Cn ) è γ = (γn ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ðàâåíñòâà Cn =

n X

Bk−1 ∆Lk ,

(24)

1

ãäå Ln âçÿòû èç ðàçëîæåíèÿ Äóáà (19), è S/B− ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ ìàðòèíãàëà M â íåì ( M0 = Y0 )   n X Sk γk ∆ Mn = M0 + , 0 ≤ n ≤ N, (25) Bk 1 à êîìïîíåíòû β = (βn )− èç óñëîâèÿ Xnπ,

C

= βn Bn + γn Sn ,

1 ≤ n ≤ N;

(26)

4. îïòèìàëüíûì ìîìåíòîì îñòàíîâêè â çàäà÷å (21) ÿâëÿåòñÿ ñ.â. τ ∗ = min{0 ≤ n ≤ N : Yn = fn /Bn }

ñî ñâîéñòâîì

Xτπ,∗

C

= fτ ∗ .

(27) (28)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì Xnπ, C = Bn Yn , ãäå Yn èç (18). Èíûìè ñëîâàìè, îïðåäåëèì êàïèòàë ðàâåíñòâîì (22) è áóäåì äåéñòâîâàòü ïî àíàëîãèè ñ îáîñíîâàíèåì òåîðåìû 1.2. 1. Óñòàíîâèì ñíà÷àëà ïðàâîå íåðàâåíñòâî â öåïî÷êå

(f, P ) ≤ sup B0 Efτ Bτ−1 ≤ (f, P ).

(29)

τ ∈W0N

Åñëè ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé (π, C) ïóñòî, òî (f, P ) = ∞ (ïî îïðåäåëåíèþ 1) è ýòî íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî. Ïóñòü ïîýòîìó π− íåêîòîðûé ñàìîôèíàíñèðóåìûé õåäæ ñ ïîòðåáëåíèåì òàêîé, ÷òî X0π, C = x < ∞.

2

Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà

83

Çàìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî äëÿ Yn èç (18) â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2 èìååì

Yn = max(fn /Bn , E(Yn+1 |Fn )),

0 ≤ n < N (YN = fN /BN ).

(30)

Èñïîëüçóÿ ýòî, à òàêæå òåîðåìó Äóáà îá îñòàíîâêå (òåîðåìà 1.6.2), ïîëó÷àåì, ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå êàïèòàëà, ÷òî äëÿ âñÿêîãî τ ∈ W0N

X0π, C x fτ ≤ EYτ ≤ Y0 = = E Bτ B0 B0 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâîå íåðàâåíñòâî â (29) èìååò ìåñòî. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ëåâîãî íåðàâåíñòâà, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ïîëó÷åíèÿ èñêîìîãî ðàâåíñòâà (21), äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ (π, C) (à íå ïðåäïîëîæèòü, êàê ðàíåå), äëÿ êîòîðîé

X0π, = B0 sup Efτ Bτ−1 . τ ∈W0N

Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü C(f, P ) ≤ X0π, . 2-4. Íî ìû ïîêàæåì íåñêîëüêî áîëüøå. À èìåííî, óêàæåì êîíêðåòíóþ ñòðàòåãèþ (π, C), äëÿ êîòîðîé íå òîëüêî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (22), íî è ñâîéñòâà (23) è (28). Åå ìû è íàçâàëè îïòèìàëüíîé. Ïðåæäå âñåãî, ôàêòè÷åñêè ìû óæå ñêàçàëè â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû î òîì, êàê îïðåäåëÿåòñÿ ýòà ñòðàòåãèÿ. È îáúÿñíèòü íóæíî ëèøü ñâÿçü (24) ïîòðåáëåíèÿ C ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ L èç (19). Äëÿ ýòîãî íàïîìíèì (ñì. ï.1.2), ÷òî åñëè îïðåäåëÿòü êàïèòàë Xnπ, , ñîîòâåòñòâóþùèé ñòðàòåãèè (π, C) ðàâåíñòâîì (26), ò.å. ïî àíàëîãèè ñ êàïèòàëîì Xnπ , òî ïðåæíåå óñëîâèå ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè (1.12) ìåíÿåòñÿ íà (1.12'):    π,  Sn ∆Cn Xn = γn ∆ − . ∆ Bn Bn Bn−1 Íî èç (19), (22) è (25) âûòåêàåò, ÷òî  π,    Sn Xn ∆Yn = ∆ = γn ∆ − ∆Ln . Bn Bn À ýòî è ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó ∆Cn /Bn−1 = ∆Ln , ýêâèâàëåíòíîìó (24). Îñòàåòñÿ îáúÿñíèòü ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè (27) è ñâîéñòâ (23) è (28). Äëÿ ýòîãî ïðèìåíèì òåîðåìó 1 ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè f /B âìåñòî f. ßñíî, ÷òî â ñèëó (30) ðîëü âñïîìîãàòåëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè γ N ìîæåò èñïîëíÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y, à îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τnN ñ.â. (27). Íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ìîìåíò τ ∗ ñî ñâîéñòâîì (28). ×òî æå êàñàåòñÿ ñâîéñòâà (23), òî îíî âûòåêàåò èç (30) •

84

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñòàâêà íà áàíêîâñêîì ñ÷åòó ïîñòîÿííà, ò.å.

Bn = B0 (1 + r)n ,

0 ≤ n ≤ N,

(31)

à ñèñòåìà ïëàòåæíûõ ôóêíöèé f = (fn ) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì

fn = β n g(xn ),

0 ≤ n ≤ N,

(32)

â êîòîðîì β > 0, a ôóíêöèÿ g : E → R è ìàðêîâñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (xn ) âçÿòû èç ï.2.3, 2.4. Èìåííî â ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ðåçóëüòàòû òåîðåìû 3 íàì ïîíàäîáÿòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè àìåðèêàíñêîãî îïöèîíàêîëë â ï.5. Óòî÷íèì ïîýòîìó íåêîòîðûå åå äåòàëè, îïèðàÿñü íà ñëåäñòâèå 3 è ïîëàãàÿ, ÷òî v = (1 + r)−1 , à P = Px − åäèíñòâåííàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà, ∀x ∈ E. Êîíêðåòíåå î òîì, ÷òî ýòî òàêîå, ñì. ï.5. Ñëåäñòâèå 4.  óñëîâèÿõ (6), (20), (31) è (32) cïðàâåäëèâóþ öåíó, êàïèòàë è îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

C(f, P ) = sN (x) ≡ sup Ex (βv)τ g(xτ ) = QN g(x),

(33)

τ ∈W0N

Xnπ,

C

= β n sN −n (xn ),

0 ≤ n ≤ N,

(34)

τ ∗ = min(0 ≤ n ≤ N : QN −n g(xn ) = g(xn )),

(35)

ãäå Qg(x) = max(g(x), βvT g(x)),

T g(x) = Ex g(x1 ).

(36)

Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå 3 ñ βv âìåñòî v, ïîëó÷àåì

sn (x) ≡ sup Ex (βv)τ g(xτ ) = Qn g(x),

0 ≤ n ≤ N.

(37)

τ ∈W0n

Òåì ñàìûì ïðàâîå ðàâåíñòâî â (33) îêàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì (37). Ëåâîå æå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåñêîëüêî èíóþ çàïèñü ôîðìóëû (21). Íî ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè (34) è (35) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Y èç (18) îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâîì

Yn B0 = (βv)n sN −n (xn ).

(38)

τ0

τ0

Ïîñêîëüêó xn+τ 0 (ω) = xτ 0 (θn ω), (βv) g(xτ 0 (θn ω)) = θn (βv) g(xτ 0 (ω)) â ñèëó (8) è (8'), òî, èñïîëüçóÿ åùå è (7'), ïîëó÷àåì èç (18):

Yn B0 = sup Ex ((βv)τ g(xτ )|Fn ) = sup τ 0 ∈W0N −n

0

Ex ((βv)n+τ g(xn+τ 0 )|Fn ) =

τ 0 ∈W0N −n

τ ∈WnN

=

sup

0

(βv)n Ex (θn (βv)τ g(xτ 0 )|Fn ) = (βv)n

sup τ 0 ∈W0N −n

0

Exn (βv)τ g(xτ 0 ).

Íî â ñèëó (37) ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî (38) äåéñòâèòåëüíî èìååò ìåñòî. À ýòî ðàâåíñòâî áûñòðî ïðèâîäèò ê öåëè. Âî-ïåðâûõ, (34) ïðîñòî âûòåêàåò èç (38), ïîñêîëüêó Xnπ, C = Yn Bn . Âî-âòîðûõ, ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ñèëó (37) è (38) ðàâåíñòâà èç (27) è (35) ñîâïàäàþò •

3

×òî òàêîå îïöèîíû?

3

3.1

85

×òî òàêîå îïöèîíû?

Îáùèå ñîîáðàæåíèÿ

 ñîâðåìåííîì ìèðå ñóùåñòâóþò äâà âèäà èíâåñòèðîâàíèÿ, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü îñíîâíûìè  ýòî äîëåâîå è äîëãîâîå èíâåñòèðîâàíèå. Äîëåâîå èíâåñòèðîâàíèå îçíà÷àåò ïðèîáðåòåíèå íåêîòîðîé äîëè ñîáñòâåííîãî êàïèòàëà îïðåäåëåííîé êîìïàíèè. Íàèáîëåå èçâåñòíûì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ïîêóïêà àêöèé, êîòîðûå ôàêòè÷åñêè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòü ñîáñòâåííîãî êàïèòàëà. Èíûìè ñëîâàìè, ÷àñòü èìåþùèõñÿ äåíåæíûõ ñðåäñòâ â âèäå îáîðîòíîãî êàïèòàëà, íåäâèæèìîé ñîáñòâåííîñòè ýòîé êîìïàíèè è ò.ä. Ïîä äîëãîâûì èíâåñòèðîâàíèåì ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïðåäîñòàâëåíèå êàêîé-ëèáî êîìïàíèè ññóäû. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé åãî ôîðìîé ÿâëÿåòñÿ ïðèîáðåòåíèå îáëèãàöèé. Ê ôèíàíñèðîâàíèþ ñâîèõ ðàñõîäîâ ïóòåì âûïóñêà îáëèãàöèé ïðèáåãàþò ôèðìû, îòäåëüíûå ãîðîäà è øòàòû, à òàêæå ãîñóäàðñòâî. Òîò, êòî èíâåñòèðóåò â ýòè îáëèãàöèè, ññóæàåò äåíüãè èõ ýìèòåíòó. Êóïëåííûå àêöèè  ýòî îñÿçàåìàÿ, ðåàëüíàÿ öåííîñòü, íàõîäÿùàÿñÿ â Âàøåì ðàñïîðÿæåíèè, òàê êàê îíè ÿâëÿþòñÿ äîëåé â ñîáñòâåííîñòè êîìïàíèè, ìîãóò áûòü ïðîäàíû äðóãèì ëþäÿì, èñïîëüçîâàíû êàê îáåñïå÷åíèå ïðè çàéìàõ è ò.ä. Âëàäåÿ îáëèãàöèåé, Âû òàêæå îáëàäàåò ðåàëüíîé öåííîñòüþ. Âåäü àêöèÿ  ýòî êîíòðàêò, ñîãëàñíî êîòîðîìó Âû ïîëó÷èòå áîëüøå, ÷åì äàëè, õîòÿ îáû÷íî è ÷åðåç çàìåòíûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Âåñüìà áîëüøîé ÷àñòè èíâåñòîðîâ î÷åíü íðàâèòñÿ, ÷òî àêöèè è îáëèãàöèè ñâÿçàíû ñ ðåàëüíûìè öåííîñòÿìè, ÷òî îíè íå òîëüêî ïðèíîñÿò äèâèäåíäû èëè ïðîöåíòû, íî è íå òåðÿþò âäðóã, ïî èñòå÷åíèè îïðåäåëåííîãî (è êîðîòêîãî) ñðîêà ñâîåé öåííîñòè. Ïîýòîìó äëÿ äèëåòàíòà íà ðûíêå ìîãóò ïîêàçàòüñÿ àáñóðäíûìè èíâåñòèöèè â íåîñÿçàåìûå, íåðåàëüíûå àêòèâû, êîòîðûå àáñîëþòíî òåðÿþò ñâîþ öåííîñòü, ìîæíî ñêàçàòü, èñïàðÿþòñÿ ïîñëå îïðåäåëåííîãî è êîðîòêîãî ñðîêà. Ïðåäñòàâüòå ñåáå, íàïðèìåð, ÷òî Âàøè èíâåñòèöèè ìåíåå, ÷åì ÷åðåç ãîä ãàðàíòèðîâàííî îáåñöåíÿòñÿ. À äëÿ áîëüøåé çàíÿòíîñòè ïðåäïîëîæèòå, ÷òî è ñòîèìîñòü ïîäîáíûõ âëîæåíèé âñå ýòî âðåìÿ áóäåò íåóêëîííî ñíèæàòüñÿ. Âûøåïåðå÷èñëåííûå îñîáåííîñòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèøü íåêîòîðûå èç îñíîâíûõ ïðèìåò îïöèîíîâ. Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ òàêæå, ÷òî ýòè íåîñÿçàåìûå èíâåñòèöèè è ñëèøêîì ðèñêîâàííû. Îäíàêî íå ñïåøèòå ñ âûâîäàìè. Äàëåêî íå âñå ñïîñîáû âëîæåíèÿ äåíåã â îïöèîíû íàñòîëüêî ðèñêîâàííû, êàê ýòî ìîæåò ñðàçó ïîêàçàòüñÿ. Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò ìíîãî èíòåðåñíûõ ïóòåé èñïîëüçîâàíèÿ îïöèîíîâ, à ïðè èñïîëüçîâàíèè

86

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

âîçíèêàåò ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ, ïðåâðàùàþùèõ îïöèîí â èíòåðåñíåéøèé èíñòðóìåíò äëÿ èíâåñòèðîâàíèÿ. 3.2

Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ÷åðòû

Îïöèîí  ýòî êîíòðàêò, íàäåëÿþùèé åãî âëàäåëüöà

ïðàâîì îñóùåñòâèòü ïåðåäà÷ó öåííûõ áóìàã ïî îãîâîðåííîé öåíå. Íàïðèìåð, ýòî ìîæåò áûòü ïðàâî êóïèòü â îïðåäåëåííûé ìîìåíò â áóäóùåì 100 (êàê ïðàâèëî) àêöèé ïî çàôèêñèðîâàííîé öåíå. Ïðè÷åì, ïîñêîëüêó Âû è òàê ñìîæåòå êóïèòü ýòè àêöèè, òî ÿñíî, ÷òî âñå äåëî â òîì, ÷òî îïöèîí çàðàíåå ôèêñèðóåò öåíó. Áîëåå òîãî, ÿñíî, ÷òî ïîéäåò íà òàêóþ ñäåëêó ëèøü òîò, êòî âåðèò â ïîâûøåíèå êóðñà äàííûõ àêöèé, äà åùå è ïðè óñëîâèè, ÷òî åìó ïîïàäåòñÿ òîò, êòî óâåðåí â îáðàòíîì. Íî ïîñëåäíåå íà áîëüøîì è ýôôåêòèâíî óñòðîåííîì ðûíêå îáû÷íî íå ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìîé. Óïîìÿíóòûé âûøå îïöèîí ïðèíÿòî íàçûâàòü Åâðîïåéñêèì îïöèîíîì êîëë, çàèìñòâóÿ ÷àñòü íàçâàíèÿ îò àíãëèéñêîãî àíàëîãà call option. Êàê è ó âñåõ îïöèîíîâ, ó íåãî åñòü ñëåäóþùèå 4 îñíîâíûå ïàðàìåòðà: St − ñòîèìîñòü 1 àêöèè, ò.å. áàçîâîãî àêòèâà íà ìîìåíò t, S0 = S; Ct − ñòîèìîñòü îïöèîíà êîëë íà ìîìåíò t, C0 = C; N − ìîìåíò ïðåäúÿâëåíèÿ îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ; K− öåíà èñïîëíåíèÿ, ò.å. öåíà àêöèè, ïî êîòîðîé âëàäåëåö îïöèîíà èìååò ïðàâî åå êóïèòü â ìîìåíò N. Íî ïî ñóùåñòâó ëþáîé îïöèîí îïðåäåëÿåò äðóãàÿ õàðàêòåðèñòèêà. Åå íàçûâàþò ïëàòåæíûì îáÿçàòåëüñòâîì ïðîäàâöà fN , ñòîèìîñòüþ îïöèîíà â ìîìåíò N èëè âûãîäîé, êîòîðóþ ìîæåò èìåòü ïîêóïàòåëü â ýòîò ìîìåíò. Äëÿ âûøåóêàçàííîãî îïöèîíà (è ïðè 1 àêöèè)  ýòî âåëè÷èíà

fN = (SN − K)+ .

(1)

Íàêîíåö, ñòîèìîñòü îïöèîíà ïðè ïîêóïêå ÷àñòî åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ïðèâåäåííûì çíà÷åíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûãîäû ïîêóïàòåëÿ â ìîìåíò N íà ìîìåíò ïîêóïêè, ò.å. îïðåäåëÿòü ðàâåíñòâîì

C = v N EfN ,

(2)

åñëè èçâåñòíà ñòàâêà íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ i, êîòîðóþ óìåñòíî èñïîëüçîâàòü â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ( v = (1 + i)−1 ) è ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñòîèìîñòü îïöèîíà â ðàñ÷åòå íà 1 áàçîâîãî àêòèâà. Ìîòèâàöèÿ ïðè ïîêóïêå èëè ïðîäàæå îïöèîíà äâóõ òèïîâ: 1. ñïåêóëÿòèâíàÿ, 2. óìåíüøåíèå ðèñêà êàïèòàëîâëîæåíèé.

3

×òî òàêîå îïöèîíû?

87

Ïðèìåð âòîðîãî òèïà ðàññìîòðåí â ï.4.5. ×òî æå êàñàåòñÿ ñïåêóëÿòèâíîãî àñïåêòà, òî, åñòåñòâåííî, â íåì íèêòî è íå ñîìíåâàåòñÿ. Íî ìû âñå æå äàäèì ïðèìåð è íà íåãî, ïîñêîëüêó ñïåêóëÿöèè íà îïöèîíàõ ïðèâëåêàòåëüíû â ñâÿçè ñ òàê íàçûâàåìûì ýôôåêòîì ðû÷àãà. Äîïóñòèì, ÷òî â íàñòîÿùèé ìîìåíò àêöèÿ ñòîèò 50, à îïöèîí 5 çà ïðàâî êóïèòü åå ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïî öåíå 45. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî åñëè àêöèÿ ïîäíèìåòñÿ â öåíå íà 10 %, ò.å. åå öåíà ñòàíåò ðàâíîé 55, òî ïîêóïàòåëþ îïöèîíà ýòî ïðèíåñåò 10, ò.å. (ñ ó÷åòîì óïëà÷åííîé ñòîèìîñòè îïöèîíà) 100 % óâåëè÷åíèå âëîæåííûõ äåíåã äëÿ íåãî èëè äåñÿòèêðàòíîå, ïî ñðàâíåíèþ ñ âëàäåëüöåì àêöèé. Ýòî è åñòü ýôôåêò ðû÷àãà. Îïðåäåëèòü ñòîèìîñòü ïîêóïêè íàøåãî îïöèîíà ìîæíî è íå îáðàùàÿñü ê âûñîêîé òåîðèè. Ïîçíàêîìèì ÷èòàòåëÿ ñ äâóìÿ òàêèìè ïîäõîäàìè. Ïðèìåð 1. Äîïóñòèì, ÷òî òåêóùàÿ ñòîèìîñòü àêöèè 70, íî ÷åðåç ãîä åå öåíà ìîæåò ñòàòü ðàâíîé 55 èëè 95. Êàêîâà ñïðàâåäëèâàÿ öåíà îïöèîíà êîëë íà ýòó àêöèþ, åñëè åãî öåíà èñïîëíåíèÿ íà ýòîò ìîìåíò ðàâíà 75, à åæåãîäíàÿ ñòàâêà ïðîöåíòà i = 0.1?

1. Ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíîé ñäåëêè. Åñëè ïîêóïàåòñÿ îïöèîí-êîëë â íàøåé ñèòóàöèè, òî çà öåíó x åãî âëàäåëåö ÷åðåç ãîä ëèáî íè÷åãî íå ïîëó÷èò (åñëè S1 = 55 ), ëèáî ïîëó÷èò 20 (åñëè S1 = 95 ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî ðàññìîòðåòü âñïîìîãàòåëüíóþ ñäåëêó, ïðè êîòîðîé èíâåñòîð âêëàäûâàåò 20: áåðåò â äîëã íà ãîä 50 è ïîêóïàåò çà 70 àêöèþ.  ýòîì ñëó÷àå èñõîäàìè áóäóò 0 (åñëè S1 = 55, òî ïðîäàåòñÿ àêöèÿ è âîçâðàùàåòñÿ äîëã, ðàâíûé 55 = 50 · 1, 1 ), ëèáî 40 (95 − 55). Èòàê, 2x = 20, x = 10, ïîñêîëüêó èñõîäû â ñäåëêå ñîâïàäàþò ñ èñõîäàìè äâóõ îïöèîíîâ, íåçàâèñèìî îò èõ âåðîÿòíîñòåé. 2. Ðåøåíèå äëÿ èíâåñòîðîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðèñêó áåçðàçëè÷íî.  ýòîì ñëó÷àå îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü íà àêöèþ äîëæíà áûòü ðàâíà 0,1 (áåçðèñêîâîé ñòàâêå). Íî åå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñðåäíåå, ò.å. ìàòîæèäàíèå äîõîäíîñòåé äëÿ âëàäåëüöà îïöèîíà. Ïîýòîìó, åñëè äèâèäåíäû ïî àêöèè ïî-ïðåæíåìó íå âûïëà÷èâàþòñÿ, òî èìååì óðàâíåíèå

[(95 − 70)/70]p + [(55 − 70)/70](1 − p) = 0.1, ãäå p− âåðîÿòíîñòü ïîâûøåíèÿ êóðñà. Èç íåãî íàõîäèì ñíà÷àëà, ÷òî p = 0.55, à çàòåì è öåíó, êàê ïðèâåäåííîå çíà÷åíèå ìàòîæèäàíèÿ âûãîäû: (20 · 0.55 + 0 · 0.45)/1.1 = 10. Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ îïöèîíû íàñòîëüêî ìíîãîîáðàçíû, ÷òî èõ ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå ñòàíîâèòñÿ íåóìåñòíûì (ñ÷åò èäåò íà ñîòíè, íî, âîçìîæíî èõ áîëüøå òûñÿ÷è). Îäíàêî ê ñòàíäàðòíûì âñå æå ïî-ïðåæíåìó îòíîñÿò âñåãî 4 âèäà. Ïðåæäå âñåãî íàðÿäó ñ ïðàâîì ïîêóïêè åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü è ïðàâî ïðîäàæè, ÷òî ïðèâîäèò ê îïöèîíàì ïðîäàæè èëè îïöèîíàì ïóò (put option). Âî-âòîðûõ, èñïîëíÿòü

88

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

îïöèîí ìîæíî íå òîëüêî â íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò N â áóäóùåì, íî è â ëþáîé ìîìåíò n ≤ N.  ýòîì ïîñëåäíåì ñëó÷àå îïöèîí íàçûâàåòñÿ Àìåðèêàíñêèì. 4

Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà íà áèíîìèàëüíîì

4.1

(B, S)− ðûíêå

Ìîäåëü Êîêñà-Ðîññà-Ðóáèíøòåéíà (CRR-ìîäåëü)

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîáëåìó õåäæèðîâàíèÿ ïëàòåæíûõ îáÿçàòåëüñòâ áîëåå äåòàëüíî. È ñ ýòîé öåëüþ îáðàòèìñÿ ê îïöèîíàì, èñïîëüçóÿ ïðîñòåéøèé âàðèàíò (B, S)− ðûíêà, îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâàìè

∆Bn = r Bn−1 ,

∆Sn = ρn Sn−1 ,

1 ≤ n ≤ N,

(1)

â êîòîðûõ ρ = (ρn )− ïîñëåäîâàòåëüíîñòü í.î.ð.ñ.â., ïðèíèìàþùèõ äâà çíà÷åíèÿ a è b, à r− ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà íà áàíêîâñêîì ñ÷åòó,

−1 < a < r < b. Íàçûâàåòñÿ ýòîò âàðèàíò ìîäåëüþ Êîêñà-Ðîññà-Ðóáèíøòåéíà (1979).  íåì d = 1 è, êàê ìû âèäèì, êîíå÷íûé ãîðèçîíò 0 ≤ n ≤ N.  ýòîé ìîäåëè âñÿ ñëó÷àéíîñòü, îáðàçíî ãîâîðÿ, âõîäèò ÷åðåç âåëè÷èíû ρn . Õîòÿ, êîíå÷íî, îíà âûðîæäåííàÿ, ïîñêîëüêó ôèêñèðîâàííîé ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî ñòàâêà r, íî è ñàìè ñ.â. ρn . Âåäü èõ ðàñïðåäåëåíèÿ îäèíàêîâû. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω ìîæíî âûáðàòü ïðîñòðàíñòâî ΩN = {a, b}N , ò.å. ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x = (x1 , · · · , xN ) ñ xn = a èëè b.  òî æå âðåìÿ, êàê è âñåãäà, èõ ñëåäóåò ñ÷èòàòü ôóíêöèÿìè, îïðåäåëåííûìè íà èñõîäíîì ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå (Ω, F, (Fn ), P ). È, â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåñêàçàííûì, èìåþùèìè ðàñïðåäåëåíèå

P (ρn = b) = p,

P (ρn = a) = q,

(2)

ñ íåêîòîðûìè òàêèìè p, q, ÷òî p + q = 1, 0 < p < 1. Íî ñ.â. ρn íå òîëüêî îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Îíè è íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó êàê ôóíêöèè îò ω = x îíè ïîñòîÿííû òàì, ãäå äðóãèå ñ.â. ρm , m 6= n, ïðèíèìàþò ðàçíûå çíà÷åíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, ρn (x) = xn , åñëè Ω = ΩN (÷òî ìû è áóäåì ïðåäïîëàãàòü â äàëüíåéøåì). Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ìåðà P èç ñåìåéñòâà (2) (ïàðàìåòðà p ) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà ρ T = (ρ1 , · · · , ρN ), èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,  êàê ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå P = N 1 Qn îäíîìåðíûõ ìåð Qn , ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ðàñïðåäåëåíèå ñ.â. xn − ïðîåêöèè ρn íà n− þ êîîðäèíàòíóþ îñü ïðîñòðàíñòâà RN , â êîòîðîì ëåæèò ìíîæåñòâî ΩN .

4

89

Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà

Èíûìè ñëîâàìè, âñå ìåðû Qn îäèíàêîâû â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè ëþáîì n Qn (xn = b) = p, Qn (xn = a) = q. È îòëè÷àþòñÿ ëèøü òåì, ÷òî ðàñïîëîæåíû â ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, â îòëè÷èå îò ðàñïðåäåëåíèÿ èç (2), êîòîðîå ïðè ëþáûõ n îñòàåòñÿ çàäàííûì â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ΩN . 4.2

Ñëó÷àé ìàðêîâñêèõ ïëàòåæíûõ ôóíêöèé

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé ïëàòåæíîé ôóíêöèè ìàðêîâñêîãî âèäà

fN = f (SN ),

(3)

ñ íåêîòîðîé íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèåé f (x), x ≥ 0.  íåì óæå óäàåòñÿ ïîëó÷èòü êîíêðåòíûå âûðàæåíèÿ äëÿ âñåõ òðåõ ýëåìåíòîâ õåäæèðîâàíèÿ (ñì. íà÷àëî ï.1.1). Èìåííî ýòî è ÿâëÿåòñÿ çäåñü íàøåé öåëüþ. ×òîáû åå ðåàëèçîâàòü, íàïîìíèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïåðâîé è âòîðîé ôóíäàìåíòàëüíûìè òåîðåìàìè ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ëþáîé ìåðå P èç (2).  ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè îíà îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì E ∗ ρn = r, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, âåðîÿòíîñòÿìè (ñì. (2.3.8))

p∗ =

r−a , b−a

q∗ =

b−r , b−a

(4)

è òàêæå èìååò ñòðóêòóðó ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Íî òåïåðü åå ïðîùå ñ÷èòàòü çàäàííîé íà ìíîæåñòâå Ω = {0, 1}N . Èíûìè ñëîâàìè, ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòîê σ− àëãåáð (Fn ) ïîðîæäàåòñÿ íå ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè (Sn ) èëè ρ = (ρn ), à òàêîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ í.î.ð.ñ.â. δ = (δn ), ãäå

δn =

ρn − a . b−a

Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè ýòîì Sn = S0 (1 + b)∆n (1 + a)n−∆n , ãäå ∆n =

Pn 1

δk , à

P ∗ (ρn = b) = p∗ = P ∗ (δn = 1), P ∗ (ρn = a) = q ∗ = P ∗ (δn = 0), ïðè÷åì Fn = σ(S1 , · · · , Sn ) = σ(ρ1 , · · · , ρn ) = σ(δ1 , · · · , δn ). Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî ïðè çàäàííîì ïëàòåæíîì ïîðó÷åíèè fN ýëåìåíòû ñîâåðøåííîãî õåäæà π ∗ = (βn∗ , γn∗ ) è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ∗ êàïèòàë X π îïðåäåëÿþòñÿ ïî ìàðòèíãàëó M = (Mn ) ñ −1 Mn = E ∗ (BN fN |Fn ).

(5)

90

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

¯ ïðåäñòàâëåíèþ Òî÷íåå ãîâîðÿ, âåëè÷èíû γn∗ îïðåäåëÿþòñÿ ïî S− Mn = M0 +

n X

γk∗ ∆(Sk /Bk ),

(6)

1 ∗

à êàïèòàë X π è êîìïîíåíòû βn∗ èç ðàâåíñòâ (ñì. òåîðåìó 1.1) ∗

Xnπ = Bn Mn = βn∗ Bn + γn∗ Sn .

(7)

Ïóñòü äàëåå v = (1 + r)−1 , ò.å. ñêàæåì, Bn = v N −n BN , è

Fn (x; p) = E(f (Sn )|S0 = x) =

n X

f (x(1+b)k (1+a)n−k )Cnk pk (1−p)n−k . (8)

0

Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Òåîðåìà 1. Â CRR-ìîäåëè ñ ìàðêîâñêîé ïëàòåæíîé ôóíêöèåé (3) 1. ñïðàâåäëèâóþ ñòîèìîñòü îïöèîíà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ∗

C(fN ; P ) ≡ X0π = v N FN (S0 ; p∗ );

(9)

2. äëÿ êàïèòàëà æå ñîâåðøåííîãî õåäæà π ∗ èìååò ìåñòî âûðàæåíèå ∗

Xnπ = v N −n FN −n (Sn ; p∗ ),

1 ≤ n ≤ N,

(10)

3. à åãî êîìïîíåíòû îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè, 1 ≤ n ≤ N : γn∗ =

FN −n (Sn−1 (1 + b); p∗ ) − FN −n (Sn−1 (1 + a); p∗ ) N −n v , Sn−1 (b − a) βn∗ =

 −

1+r b−a



(11)

FN −n+1 (Sn−1 ; p∗ ) − BN

FN −n (Sn−1 (1 + b); p∗ ) − FN −n (Sn−1 (1 + a); p∗ ) . BN

(12)

Äîêàçàòåëüñòâî. 1, 2. Öåíà îïöèîíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì çíà÷åíèåì êàïèòàëà. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ôîðìóëó (10). Íî îíà ñ î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàåò èç (5), (7) è (3), ïîñêîëüêó ∗

−1 Xnπ = Bn E ∗ (BN f (SN )|Fn ) = v N −n FN −n (Sn ; p∗ ).

3. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ γn∗ èç (11) ñîîòíîøåíèå ∆Mn = γn∗ ∆(Sn /Bn ), ýêâèâàëåíòíîå (6), äîñòàòî÷íî ïðåîáðàçîâàòü ñ ïîìîùüþ (10) è ïåðâîãî ðàâåíñòâà èç (7) â ïðåäñòàâëåíèå    π∗  FN −n (Sn ; p∗ ) − FN −n+1 (Sn−1 ; p∗ ) ρn − r Xn ∗ Sn−1 ∆ = = γn , Bn BN Bn−1 1 + r

4

91

Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà

à çàòåì ñíà÷àëà çàïèñàòü åãî äëÿ äâóõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé âåëè÷èíû ρn (ïîëàãàÿ Sn = Sn−1 (1 + b) èëè Sn−1 (1 + a) ), ïîòîì ïåðåéòè ê ðàçíèöå ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé è ðåøèòü ïîñëåäíåå óðàâíåíèå. Âûðàæåíèå äëÿ βn∗ ïîëó÷èòü ìîæíî èç ïðàâîãî ðàâåíñòâà â (7). Íî π∗ = β ∗ B ∗ ëó÷øå îáðàòèòüñÿ ê ðàâåíñòâó Xn−1 n n−1 + γn Sn−1 , ýêâèâàëåíòíîìó ∗ ∗ π åìó â ñèëó ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè π (∆Xn = βn∗ ∆Bn + γn∗ ∆Sn ) è èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèÿ (10) è (11): ∗

βn∗

X π − γn∗ Sn−1 v N −n+1 FN −n+1 (Sn−1 ; p∗ ) = n−1 = − Bn−1 Bn−1

(120 )

v N −n (FN −n (Sn−1 (1 + b); p∗ ) − FN −n (Sn−1 (1 + a); p∗ )) • Bn−1 (b − a) 4.3

Ñòàíäàðòíûå îïöèîíû ïîêóïàòåëÿ è ïðîäàâöà

Äëÿ ñòàíäàðòíîãî îïöèîíà ïîêóïàòåëÿ ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå

f (SN ) = (SN − K)+ ,

(13)

ãäå N − ìîìåíò èñïîëíåíèÿ è K− öåíà èñïîëíåíèÿ. Ïîëó÷åííûå ðàíåå ôîðìóëû äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ õåäæèðîâàíèÿ ýòîãî ïîðó÷åíèÿ, åñòåñòâåííî, ìîæíî óïðîñòèòü. Íî ìû ïðèâåäåì ëèøü èçâåñòíûé ðåçóëüòàò ÊîêñàÐîññà-Ðóáèíøòåéíà äëÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû CN = C(fN ; p∗ ), èñïîëüçóÿ íåñêîëüêî íîâûõ îáîçíà÷åíèé (íàïîìíèì, v = (1 + r)−1 ): P 1+b ∗ p¯ = 1+r p , Bn (j, p) = nj Cnk pk (1 − p)n−k , B(j, p) = BN (j, p),



 K 1+b n0 = 1 + ln / ln ≥ 1, x(1 + a)N 1+a

K ≥ x(1 + a)N ,

x = S0 .

(14)

Äëÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû ñòàíäàðòíîãî îïöèîíà êîëë ñ ôóíêöèåé âûïëàò (13) èìååò ìåñòî âûðàæåíèå  K ≥ x(1 + b)N ,  0, N ∗ xB(n0 , p¯) − Kv B(n0 , p ), x(1 + a)N < K < x(1 + b)N , CN =  xB(0, p¯) − Kv N B(0, p∗ ), K ≤ x(1 + a)N . Òåîðåìà 2

Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó (9) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå

CN = v N FN (x; p∗ ) = v

N

N X 0

N

(x(1 + a)



1+b 1+a

n

n ∗ n − K)+ CN (p ) (1 − p∗ )N −n .

(15)

92

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

 n 1+b Íî ôóíêöèÿ 1+a , î÷åâèäíî, âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè n îò 0 äî N, ïîñêîëüêó −1 < a < b. Òàêèì îáðàçîì, â ñóììå èç (15) âñå ñëàãàåìûå ïîëîæèòåëüíû ïðè K ≤ x(1 + a)N (êðîìå ïåðâîãî, ðàâíîãî 0 ïðè K = x(1+a)N ), è âñå íóëè ïðè K ≥ S0 (1+b)N . Ïðè÷åì ýòó ñóììó åñòåñòâåííî â ëþáîì ñëó÷àå ðàçáèòü íà äâà ñëàãàåìûå (ñ x è K ). Çíà÷èò, îñòàåòñÿ ëèøü ïîíÿòü ïî÷åìó â îñòàâøåìñÿ äèàïàçîíå çíà÷åíèé K 1) íåíóëåâûå ñëàãàåìûå íà÷èíàþòñÿ ñ èíäåêñà n0 èç (14), è 2) ñóììà ñ x çàïèñàíà ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðà p¯, à íå p∗ ? Íî ïåðâîå ñòàíîâèòñÿ ÿñíûì ïîòîìó, ÷òî n  1+b > K}. n0 = min{n : x(1 + a)N 1+a ×òî æå êàñàåòñÿ ñóììû ñ x, òî (1 − p∗ ) 1+a ¯ è ïîòîìó â íåé 1+r = 1 − p

v N (p∗ )n (1 − p∗ )N −n (1 + b)n (1 + a)N −n = p¯n (1 − p¯)N −n • Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (K − Sn )+ = (Sn − K)+ − (Sn − K). Ïîýòîìó äëÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû PN îïöèîíà ïóò èìååò ìåñòî âûðàæåíèå

PN = E ∗ v N (K − SN )+ = CN − v N E ∗ (SN − K). Íî v N E ∗ SN = S0 . Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå òîæäåñòâî, íàçûâàåìîå ïàðèòåòîì ïóò-êîëë:

PN = CN − S0 + Kv N . 4.4

(16)

Èñïîëüçîâàíèå òåîðèè â ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè

Òåïåðü íàñòàëî âðåìÿ ïîíÿòü, à ÷òî æå äàåò âûøåóêàçàííàÿ ñòðîéíàÿ òåîðèÿ ïðàêòè÷åñêè. È, â ÷àñòíîñòè, êàê äîëæåí âåñòè ñåáÿ ïðîäàâåö îïöèîíà êîëë, åñëè îí õî÷åò ýòî äåëàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåêîìåíäàöèÿìè, âûòåêàþùèìè èç íàéäåííûõ ýëåìåíòîâ õåäæèðîâàíèÿ ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà. Ðàññìîòðèì äëÿ ýòîãî ïðîñòåéøèé ïðèìåð. À â çàêëþ÷åíèå, èñïîëüçóÿ åãî, ïîïûòàåìñÿ îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûå âûøå ðèòîðè÷åñêèå âîïðîñû. 1. Äîïóñòèì, ÷òî ìû õîòèì çàñòðàõîâàòü ñåáÿ îò ñëèøêîì ñèëüíîãî ïàäåíèÿ êóðñà ñòîèìîñòè èìåþùåéñÿ ó íàñ âàëþòû A â åäèíèöàõ âàëþòû B ñòðàíû, â êîòîðîé ïðèõîäèòñÿ âåñòè ñâîè äåëà. È ðåøèëè ñäåëàòü ýòî ïîêóïêîé îïöèîíà êîëë. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïóñòü Sn − ñòîèìîñòü 100 åäèíèö âàëþòû A â åäèíèöàõ âàëþòû B, ïðè÷åì n = 0, 1 = N. Êðîìå òîãî, ïóñòü B0 = 1, a áåçðèñêîâàÿ ñòàâêà áàíêîâñêîãî ñ÷åòà r = 0, ò.å. äëÿ ïðîñòîòû ðàñ÷åòîâ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîìåùåíèå ñðåäñòâ íà áàíêîâñêèé ñ÷åò íå ïðèíîñèò ïðèáûëè, íî è âçÿòèå çàéìà íå îáëàãàåòñÿ ïðîöåíòàìè ïðè åãî âîçâðàòå. Íàêîíåö, ïóñòü öåíà èñïîëíåíèÿ îïöèîíà-êîëë K = 150(B) = S0 , ò.å. K = 150 åäèíèöàì âàëþòû B , à âåëè÷èíà S1 ìîæåò

4

93

Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà

ñòàòü ðàâíîé 180(B) â ñëó÷àå ïîâûøåíèÿ êóðñà âàëþòû A èëè 90(B) â ñëó÷àå åãî ïîíèæåíèÿ. 2. Ïîïðîáóåì ñíà÷àëà âûÿñíèòü âñå ýëåìåíòû õåäæèðîâàíèÿ íàøåãî ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà f (S1 ) = (S1 − K)+ . È íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñ.â. ρ1 èç ðàâåíñòâà S1 = S0 (1+ρ1 ). Ëåãêî íàõîäèì, ÷òî ρ1 ïðèíèìàåò äâà çíà÷åíèÿ b = 1/5 è a = −2/5. Êîíå÷íî, òåì ñàìûì ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ è òàê íàçûâàåìàÿ ðèñê-íåéòðàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü

p∗ =

r−a 0 + 2/5 2 = = , b−a 1/5 + 2/5 3

êîòîðàÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, çàäàåò ìàðòèíãàëüíóþ ìåðó P ∗ , à ñ äðóãîé ôàêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì âñåãî èñêîìîãî êîìïëåêòà âåëè÷èí, îñîçíàíèå ñâÿçè ñ ïðàêòèêîé êîòîðîãî è ïîçâîëèò îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû. Ñïðàâåäëèâóþ öåíó îïöèîíà îïðåäåëèì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2. Äëÿ ÷åãî ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì: n0 = 1 + [ln(150/90)/ ln(6/3)] = 1, p¯ = (1 + b)p∗ = 4/5, v N = 1, B(n0 , p) = p, ∗

C1 = X0π = S0 p∗ (1 + b) − Kp∗ = 150(2/3)(1/5) = 20. Äàëåå, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1 îïðåäåëÿåì ýëåìåíòû õåäæà π ∗ . Ñíà÷àëà ïî ôîðìóëå (11) γ1∗ , à çàòåì β1∗ . Íî çäåñü áîëüøå ïîäõîäèò ôîðìóëà (12') π ∗ ): (åñëè èçâåñòíî çíà÷åíèå Xn−1

F0 (S0 (1 + b); p∗ ) = f (S0 (1 + b)) = (S0 (1 + b) − K)+ , γ1∗ =

(S0 (1 + b) − K)+ b 1 = = , S0 (b − a) b−a 3

F0 (S0 (1 + a); p∗ ) = 0, ∗

β1∗ = X0π − γ1∗ S0 = −30. ∗

3. À òåïåðü îáúÿñíèì, ïî÷åìó ïðè âûáîðå íà÷àëüíîãî êàïèòàëà X0π = 20(B) = C1 , ò.å. ïðè ïîëó÷åíèè òàêîé ïðåìèè è ðàñïðåäåëåíèè åå ïî àêòèâàì â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðàòåãèåé

π1∗ = (β1∗ , γ1∗ ) = (−30(B), 1/3),

(17)

ïðîäàâåö ïðè ëþáîì ðàçâèòèè ñîáûòèé, ò.å. ïðè ëþáîì âîçìîæíîì çíà÷åíèè êàïèòàëà (â ìîìåíò 0 îíî íåèçâåñòíî!  ñì. (12)) ∗

X1π = F0 (S1 ; p∗ ) = f (S1 ) = (S1 − K)+ (B), îñòàíåòñÿ â íóëÿõ. Ïðè ýòîì ïîêóïàòåëü òàêæå îêàæåòñÿ â íóëÿõ, íî òîëüêî â ñðåäíåì ïî ìàðòèíãàëüíîé ìåðå P ∗ .  ñàìîì äåëå, còðàòåãèÿ (17) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîäàâåö îïöèîíà âçÿë ñ áàíêîâñêîãî ñ÷åòà â äîëã 30(B) è êóïèë 13 100(A) çà 50(B). Ïðè÷åì ñìîã îí ýòî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ ïðåìèþ â 20(B) çà ïðîäàííûé îïöèîí.

94

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

∗

Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî S1 = 180(B), ò.å. X1π = 30(B), è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîäàâåö äîëæåí îïëàòèòü ïîêóïàòåëþ ñóììó â 30B. Íî ïðè òàêîé öåíå 31 100(A) = 60(B). Ïîýòîìó îí ñìîæåò íå òîëüêî âûïîëíèòü îáÿçàòåëüñòâî ïåðåä ïîêóïàòåëåì, çàïëàòèâ åìó 30(B), íî è âåðíóòü äîëã áàíêîâñêîìó ñ÷åòó íà òàêóþ æå ñóììó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò.å. ïðè öåíå S1 = 90(B), ïðîäàâåö äîëæåí ëèøü âåðíóòü äîëã â 30(B) íà áàíêîâñêèé ñ÷åò. È ýòî åìó òàêæå óäàåòñÿ, ïîñêîëüêó èìåþùàÿñÿ ó íåãî âàëþòà A êàê ðàç ñòîëüêî è ñòîèò: 13 100(A) = 30(B). Èòàê, ïðîäàâåö äåéñòâèòåëüíî îêàçûâàåòñÿ â íóëÿõ ïðè ëþáîì ðàçâèòèè ñîáûòèé. À ÷òî æå ïîêóïàòåëü? ßñíî, ÷òî ïðè ïîâûøåíèè êóðñà âàëþòû A îí ïîëó÷àåò îò ïðîäàâöà 30(B), à ïðè ïîíèæåíèè  íè÷åãî. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñðåäíåì ïî ìåðå P ∗ â ìîìåíò 1 îí èìååò 20(B), ïîñêîëüêó 30 · p∗ + 0 · q ∗ = 30 · 32 = 20(B), à â ñóììå îêàçûâàåòñÿ â íóëÿõ, åñëè ó÷åñòü çàïëà÷åííóþ èì ïðåìèþ (íàïîìèíàåì, ÷òî áåçðèñêîâàÿ ñòàâêà r = 0 ). 4. Õîòÿ êîå-÷òî ìû è âûÿñíèëè, íî ñâÿçü ñ ïðàêòèêîé ïîêà ïîä âîïðîñîì.  ñàìîì äåëå, ìû âûÿñíèëè, ÷òî åñëè ïðîäàâåö áóäåò çíàòü ìàðòèíãàëüíóþ ìåðó P ∗ , ò.å. âåðîÿòíîñòü p∗ è âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ íîñèòåëÿ a, b (â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè), òî îí ñìîæåò

• îïðåäåëèòü ñïðàâåäëèâóþ öåíó, à òàêæå • ñîâåðøåííûé õåäæ è ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó • äèíàìèêó êàïèòàëà. Áîëåå òîãî, ìû âûÿñíèëè, ÷òî åñëè îïöèîí áóäåò ïðîäàí ïî ñïðàâåäëèâîé öåíå, òî ïðîäàâåö ìîæåò ãàðàíòèðîâàííî, ò.å. íåçàâèñèìî îò ðàçâèòèÿ ñîáûòèé îñòàòüñÿ â íóëÿõ, åñëè âîñïîëüçóåòñÿ ðåêîìåíäàöèÿìè òåîðèè, à ïîêóïàòåëü ïðè ýòîì îñòàíåòñÿ â íóëÿõ â ñðåäíåì ïî ìàðòèíãàëüíîé ìåðå P ∗ . Êñòàòè, ýòî æå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ïðîäàâåö ïðîäàåò ñâîé îïöèîí äîðîæå ñïðàâåäëèâîé öåíû, òî äåéñòâóÿ àíàëîãè÷íî, îí ñìîæåò ðàçíèöó öåí ãàðàíòèðîâàííî îñòàâèòü â ñâîåì êàðìàíå. Ñîîòâåòñòâåííî, âëàäåëåö îïöèîíà ïîòåðÿåò ýòó ðàçíèöó â ñðåäíåì. Íà ïåðâûé âçãëÿä ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî òàêîé âûâîä óæå îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäëîæåííàÿ òåîðèÿ ïðàêòè÷åñêè ïîëåçíà. Îäíàêî íà ñàìîì äåëå âñå íå òàê ïðîñòî. Ñêàæåì, ÷òî îçíà÷àåò ñàìà ôðàçà ïðîäàâåö çíàåò P ∗ ? È ïî÷åìó ðàññìîòðåííóþ òåîðèþ ìîæíî ñ÷èòàòü ïîëåçíîé íå òîëüêî äëÿ ïðîäàâöà, íî è äàæå äëÿ ïîêóïàòåëÿ? Ïðàâäà, çà íåèìåíèåì ìåñòà ïðè îòâåòå îãðàíè÷èìñÿ ëèøü ñàìûìè îáùèìè ñîîáðàæåíèÿìè.  ñâÿçè ñ ïåðâûì âîïðîñîì óìåñòíî ïðåæäå âñåãî êàê-òî îõàðàêòåðèçîâàòü ýòó ìåðó P ∗ ïðàêòè÷åñêè. Òåì áîëåå, ÷òî ñäåëàòü ýòî íåòðóäíî. Åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü åå êàê òàêîå ðàçâèòèå ñîáûòèé, ïðè êîòîðîì äîõîäíîñòü, êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ.â.,

4

Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà

95

ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïî-ðàçíîìó, íî â ñðåäíåì îñòàåòñÿ áåçðèñêîâîé. Ñóùåñòâóåò äàæå ñïåöèàëüíûé òåðìèí ðèñê-íåéòðàëüíûé èíâåñòîð, ò.å. ñïîêîéíî îòíîñÿùèéñÿ ê ñëó÷àéíûì êîëåáàíèÿì äîõîäíîñòè ñâîèõ ôèíàíñîâûõ ñäåëîê, åñëè îíà â ñðåäíåì ñîâïàäàåò ñ áåçðèñêîâîé äîõîäíîñòüþ. Âòîðîé âîïðîñ, âîçìîæíî, ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðîñòûì, ïîñêîëüêó åñëè èíâåñòîð ïðåäñòàâëÿåò íóëåâîé âàðèàíò, ïðè÷åì íå âàæíî, êòî îí, ïðîäàâåö èëè ïîêóïàòåëü, òî åìó çíà÷èòåëüíî ïðîùå, ñêàæåì, ñòðîèòü ðèñêîâàííûå ñòðàòåãèè, ðàññ÷èòàííûå íà êàêîé-òî âûèãðûø. À ýòîãî âïîëíå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñòàâèòü ðàçðàáîòàííîé òåîðèè õîðîøî! ×òî æå êàñàåòñÿ ïåðâîãî âîïðîñà, òî ëþáîå ðàçâèòèå ñîáûòèé â ïðèíöèïå ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíûì â ñðåäíåì íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ñòàâêå. Îñòàåòñÿ ëèøü ïðàâèëüíî ñïðîãíîçèðîâàòü êàê ìåðó, ïî êîòîðîé ñëåäóåò óñðåäíÿòü, òàê è ñâÿçü ýòîé ôèêñèðîâàííîé ñðåäíåé ñòàâêè ñ èìåþùåéñÿ áåçðèñêîâîé.

96 5

III

Îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà íà áèíîìèàëüíîì

5.1

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

(B, S)− ðûíêå

Ñïåöèôèêà ðàñ÷åòà îïöèîíîâ Àìåðèêàíñêîãî òèïà

1. Íàïîìíèì ðÿä ìîìåíòîâ, îòëè÷àþùèõ ðàññìîòðåíèå îïöèîíîâ àìåðèêàíñêîãî òèïà îò âûøåèçëîæåííîé òåîðèè åâðî-îïöèîíîâ. Ïðåæäå âñåãî, ê òðåì ýëåìåíòàì õåäæèðîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà  ñïðàâåäëèâîé öåíå õåäæèðîâàíèÿ CN (f, P ), îïòèìàëüíîé õåäæèðóþùåé ñòðàòåãèè π ïðîäàâöà îïöèîíà è äèíàìèêå èçìåíåíèÿ åãî êàïèòàëà Xnπ, C ,  äîáàâëÿåòñÿ è ÷åòâåðòûé:

îïòèìàëüíûé ìîìåíò τ0N ïðåäúÿâëåíèÿ ïîêóïàòåëåì îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ. Áîëåå òîãî, äâà ýëåìåíòà èç ïåðâûõ òðåõ ñóùåñòâåííî ìåíÿþòñÿ. Òàê, îïðåäåëÿåòñÿ íåñêîëüêî èíà÷å öåíà (äåëàåòñÿ ýòî ïî àíàëîãèè ñ îïðåäåëåíèåì âåðõíåé öåíû åâðî-îïöèîíà). È çàìåòíî ðàñøèðÿåòñÿ êëàññ äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé. Òåïåðü âìåñòî ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé ðàññìàòðèâàþòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìûå ñ ïîòðåáëåíèåì è ñîîòâåòñòâåííî ìåíÿåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ êàïèòàëà äàííîé ñòðàòåãèè.  íàñòîÿùåé ãëàâå îñíîâíîå âíèìàíèå áóäåò óäåëåíî ïåðâîìó è ïîñëåäíåìó ýëåìåíòàì, ò.å. ïîëó÷åíèþ ñïðàâåäëèâîé ñòîèìîñòè îïöèîííîãî êîíòðàêòà ñ çàäàííîé ñèñòåìîé ïëàòåæíûõ ôóíêöèé

f = (fn )0≤n≤N

(1)

è ðàöèîíàëüíîãî èëè îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà ïðåäúÿâëåíèÿ ïîêóïàòåëåì îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ.  ïðèíöèïèàëüíîì îòíîøåíèè ðåøåíèå âñåõ âîïðîñîâ, â òîì ÷èñëå è îñòàëüíûõ äâóõ (îïèñàíèå îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè è ñîîòâåòñòâóþùåãî åé êàïèòàëà) áûëî äàíî ðàíåå, â ò.2.3 è ñë.2.4. Ïðè ýòîì ðàññìîòðåíèå óêàçàííûõ äâóõ âîïðîñîâ áóäåò ïðîâåäåíî äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ CRR− ìîäåëè (B, S)− ðûíêà, ââåäåííîé â ï.4.1. 2. Íàïîìíèì, â ýòîé CRR− ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî

∆Bn = rBn−1 ,

∆Sn = ρn Sn−1 ,

ãäå ρ = (ρn )− òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü í.î.ð.ñ.â. ñ 2 çíà÷åíèÿìè, ÷òî

P (ρn = b) = p, P (ρn = a) = q, −1 < a < r < b, p + q = 1, 0 < p < 1.

5

97

Îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà

À íàø ÷àñòíûé ñëó÷àé, ïîçâîëÿþùèé ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü äàëüíåéøèé àíàëèç, ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì λ > 1

b = λ − 1,

a = λ−1 − 1.

(2)

Òåì ñàìûì âìåñòî äâóõ ïàðàìåòðîâ, a è b, ïðîöåññ èçìåíåíèÿ öåí S = (Sn ) áóäåò îïðåäåëÿòü âñåãî ëèøü îäèí ïàðàìåòð λ. Ñîîòâåòñòâåííî, ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî

Sn = S0 λε1 +···+εn ,

1 ≤ n ≤ N,

(3)

ãäå P (εn = 1) = P (ρn = b) = p, P (εn = −1) = P (ρn = a) = q, à ε = (εn )− íåêîòîðàÿ äðóãàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü í.î.ð.ñ.â. Ñåìåéñòâî öåí (3) îáû÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî S0 ∈ E = {λk , k = 0, ±1, · · ·}, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, ñîñòîÿíèÿ Sn ïðè ëþáîì n ≥ 1 áóäóò ïðèíàäëåæàòü òîìó æå ñàìîìó ìíîæåñòâó E. Íàçûâàåòñÿ îíî

ãåîìåòðè÷åñêèì ñëó÷àéíûì áëóæäàíèåì ïî ìíîæåñòâó ñîñòîÿíèé E. Êðîìå òîãî, âìåñòî ìåðû P ãîâîðÿò î ðàñïðåäåëåíèè Px ïîñëåäîâàòåëüíîñòè S = (Sn ) èç (3) îòíîñèòåëüíî ìåðû P â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî S0 = x :

Px = Law((Sn )1≤n≤N |P, S0 = x).  ñîîòâåòñòâèè æå ñî ñòàíäàðòíîé òåðìèíîëîãèåé òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S îáðàçóåò

îäíîðîäíîå ìàðêîâñêîå ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå èëè îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ ñåìåéñòâîì âåðîÿòíîñòåé Px , x ∈ E. Ïðè ýòîì åãî îïåðàòîð ïåðåõîäà çà îäèí øàã T, îïðåäåëÿåìûé äëÿ ôóíêöèé g = g(y), y ∈ E, èìååò âèä

T g(x) = Ex g(S1 ) = pg(xλ) + (1 − p)g(xλ−1 ).

(4)

ãäå Ex − óñðåäíåíèå ïî ìåðå Px . 3. Êàê èçâåñòíî, (B, S)− ðûíîê, îïèñûâàåìûé CRR− ìîäåëüþ, ÿâëÿåòñÿ áåçàðáèòðàæíûì è ïîëíûì. Ïðè ýòîì åäèíñòâåííîé ìàðòèíãàëüíîé ìåðîé ÿâëÿåòñÿ ìåðà P ∗ , îïðåäåëÿåìàÿ âåðîÿòíîñòÿìè (4.4). Èçâåñòíî è òî, ÷òî âñå âåðîÿòíîñòíûå ðàñ÷åòû äîëæíû ïðîèçâîäèòüñÿ îòíîñèòåëüíî èìåííî ýòîé ìåðû. Íî, ÷òîáû íå ââîäèòü íîâûõ îáîçíà÷åíèé, ñ ñàìîãî íà÷àëà ïðåäïîëîæèì, ÷òî P = P ∗ , è, çíà÷èò,

p=

r−a u−µ = , b−a λ−µ

q=

b−r λ−u = , b−a λ−µ

ãäå u = 1 + r, µ = λ−1 . È ïóñòü v = (1 + r)−1 , à λ > u ≥ 1.

(5)

98 5.2

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

Ñòàíäàðòíûé îïöèîí ïîêóïàòåëÿ

1. Ðàññìîòðèì Àìåðèêàíñêèé îïöèîí êîëë ñ ñèñòåìîé ïëàòåæíûõ âûïëàò (1), â êîòîðîé

fn = β n g(Sn ),

g(y) = (y − K)+ ,

y ∈ E,

(6)

è 0 < β ≤ 1, λ > u ≥ 1. Îò îáû÷íîãî ñòàíäàðòíîãî îïöèîíà êîëë, äëÿ êîòîðîãî β = 1, îí îòëè÷àåòñÿ ñîâñåì íåìíîãî. Íî õàðàêòåð èçëîæåííûõ íèæå âûâîäîâ â îòíîøåíèè ñëó÷àÿ β = 1 çàñòàâëÿþò ïåðåñìîòðåòü ïðåæíåå ïîíèìàíèå ñòàíäàðòíîãî Àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà êîëë è íàçâàòü òàê èìåííî ñëó÷àé ïëàòåæíûõ ôóíêöèé (6) ñ 0 < β ≤ 1. Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî ïîïûòàåìñÿ â äâóõ ñëîâàõ îáúÿñíèòü: ñïðàâåäëèâóþ öåíó Àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà êîëë ìîæíî ïîëó÷èòü èíòóèòèâíî è òàê æå ïðîñòî, êàê è äëÿ Åâðîïåéñêîãî. È äëÿ ýòîãî âîâñå íå îáÿçàòåëüíî ïîëüçîâàòüñÿ äîêàçàíûìè âûøå òåîðåìàìè. Íàïîìíèì äëÿ ýòîãî, ÷òî âëàäåëåö èëè ïîêóïàòåëü Àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà êîëë ñî ñðîêîì æèçíè N ìîæåò ïðåäúÿâèòü ñâîé îïöèîí ê èñïîëíåíèþ â ëþáîé öåëî÷èñëåííûé ìîìåíò âðåìåíè n, 0 ≤ n ≤ N. È åãî âûáîð áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ëèøü æåëàíèåì ìàêñèìèçèðîâàòü âûïëàòó ýòîãî ìîìåíòà β n (Sn − K)+ â îïðåäåëåííîì ñìûñëå. Îäíàêî, õîòÿ òàê ñêàçàòü è ìîæíî, íî ýòîãî ñëèøêîì ìàëî äëÿ ïðàâèëüíîãî ïîíèìàíèÿ íàøèõ ïðîáëåì è èõ ðåøåíèé. Äåëî â òîì, ÷òî â æèçíè ñèòóàöèÿ âëàäåëüöà íàïîìèíàåò, ñêàæåì, ñîðåâíîâàíèÿ êîâáîåâ, çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî ìîìåíòà. Ìû èìååì ââèäó òàêèå ñîðåâíîâàíèÿ, êîãäà êàæäîìó êîâáîþ-ó÷àñòíèêó äàþò íåîáúåçæåííîãî áûêà è âûèãðûâàåò òîò, êîìó óäàåòñÿ ïðîäåðæàòüñÿ íà áûêå äîëüøå âñåõ. Òàê âîò âëàäåëüöó íå âàæíî, êòî âûèãðûâàåò ñîðåâíîâàíèÿ, åìó ïðîñòî íóæíî ïðåäñòàâëÿòü, ñêîëüêî âðåìåíè áûê òåðïåë êàæäîãî èç íèõ. À òî÷íåå, ïðåäñòàâëÿòü ìîìåíò, êîãäà êîíêðåòíûé áûê ñáðàñûâàåò ñâîåãî êîâáîÿ. Ýòîò ìîìåíò è åñòü âîçìîæíûé ìîìåíò ïðåäúÿâëåíèÿ îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ. È òàêèõ ìîìåíòîâ ñòîëüêî, ñêîëüêî â ñîðåâíîâàíèÿõ ó÷àñòâóåò ïàð êîâáîé-áûê. Ïî÷åìó æå òàêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ëó÷øå îòðàæàåò ñóòü äåëà, ÷åì ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå? Âñå ïðîñòî. Ïîñêîëüêó ðåøåíèå î ïðåäúÿâëåíèè îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ ïðèíèìàåòñÿ íà îñíîâàíèè êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öåí S0 (ω), S1 (ω), · · · , SN (ω), à ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ω ∈ Ω, òî ëó÷øå íàçâàòü ýòîò ìîìåíò ïðåäúÿâëåíèÿ ñ.â. τ = τ (ω) ñ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè n, 0 ≤ n ≤ N. Íå áóäåì ãîâîðèòü î òîì, ïî÷åìó ýòîò ìîìåíò ìîæíî ñ÷èòàòü ìàðêîâñêèì (äåéñòâèòåëüíî, ïî÷åìó?). Ëèøü çàìåòèì, ÷òî â ñèëó âûøåñêàçàííîãî èíòóèòèâíî íå òîëüêî íàïðàøèâàåòñÿ ââåñòè âåëè÷èíó

V0N (x) = sup Ex (βv)τ (Sτ − K)+ , τ ∈W0N

(7)

5

Îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà

99

íî è, áîëåå òîãî, íàçâàòü åå ñïðàâåäëèâîé öåíîé.  ñàìîì äåëå, âî-ïåðâûõ, åñëè ìîìåíòîì èñïîëíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñ.â. τ, òî âûïëàòà, êîòîðóþ ñëåäóåò ìàêñèìèçèðîâàòü, ïðåäñòàâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (Sτ − K)+ . Âî-âòîðûõ, âñå ýòè ñóììû îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì ìîìåíòàì âðåìåíè è ïîòîìó ñðàâíèâàòü èõ ëó÷øå ïîñëå ïðèâåäåíèÿ èõ ñòîèìîñòè ê êàêîìó-ëèáî îáùåìó ìîìåíòó âðåìåíè. Êîíå÷íî, äëÿ ýòèõ öåëåé ïîäõîäèò ìîìåíò 0 è â ýòîì ñëó÷àå, åñëè åùå ó÷åñòü, ÷òî ñðàâíèâàòü ïðîùå íå ñ.â., à èõ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, òî åñòåñòâåííî ìàêñèìèçèðîâàòü âûðàæåíèÿ Ex (βv)τ (Sτ − K)+ , ïðè÷åì ïî ìíîæåñòâó èç (7). Èòàê, âåëè÷èíà â (7), ñ îäíîé ñòîðîíû, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàêñèìàëüíûé óùåðá, êîòîðûé âëàäåëåö îïöèîíà ìîæåò íàíåñòè â ñðåäíåì ïðîäàâöó. À, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé öåíîé, çà êîòîðóþ ïðîäàâåö ìîæåò ïðîäàòü îïöèîí è âåðèòü â òî, ÷òî ýòîãî îêàæåòñÿ äîñòàòî÷íî äëÿ âûïîëíåíèÿ ñâîèõ îáÿçàòåëüñòâ. Èíûìè ñëîâàìè, ýòî âûðàæåíèå è åñòü ñïðàâåäëèâàÿ öåíà Àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà êîëë. ×òî æå êàñàåòñÿ ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû CN (f, P ), òî âûðàæåíèå äëÿ íåå áûëî óñòàíîâëåíî â òåîðåìå 2.3 è äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ ïîñòîÿííîé áåçðèñêîâîé ñòàâêè è ïëàòåæíîé ôóíêöèè (ñì. óñëîâèÿ (2.31) è (2.32)) áûëî óòî÷íåíî â ñëåäñòâèè 2.4 âìåñòå ñ âûðàæåíèåì äëÿ îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè. Èìåííî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèåì 2.4 (è â ïðåäïîëîæåíèè S0 = x ) äëÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå CN (f, P ) = V0N (x) = QN g(x), (8) ãäå g(y) = (y − K)+ è

Qg(y) = max (g(y), βvT g(y)),

(9)

à äëÿ îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τ0N èç êëàññà W0N èìååò ìåñòî âûðàæåíèå

τ0N = min{0 ≤ n ≤ N : QN −n (Sn ) = g(Sn )}.

(10)

2. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ñëó÷àé β = 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ ýëåìåíòàðíî, ïîñêîëüêó â íåì îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè ïðàêòè÷åñêè î÷åâèäåí è îí òàêîé, ÷òî íå íóæíû íè îáëàñòè îñòàíîâêè, íè îáëàñòè ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé.  ñàìîì äåëå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (v n Sn ) ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåðû Px , x ∈ E, ïîñêîëüêó P − ìàðòèíãàëîì ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn /Bn ) (íàïîìèíàåì, ó íàñ Bn = B0 (1 + r)n , v = (1 + r)−1 ). Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (v n (Sn − K)) áóäåò ñóáìàðòèíãàëîì ïðè K ≥ 0, r ≥ 0. Ñîîòâåòñòâåííî, â ñèëó íåðàâåíñòâà Éåíñåíà (ñì. òàêæå óïð. 4 èç ï.1.2.2), ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (v n (Sn − K))+

100

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

òàêæå åñòü ñóáìàðòèíãàë è, çíà÷èò, ïî òåîðåìå Äóáà îá îñòàíîâêå (ñì. ï.I.6.1; òîëüêî èñïîëüçîâàòü åå íàäî â ôîðìå äëÿ ñóáìàðòèíãàëà, à íå ñóïåðìàðòèíãàëà) äëÿ ëþáîãî ìàðêîâñêîãî ìîìåíòà 0 ≤ τ ≤ N

Ex v τ (Sτ − K)+ ≤ Ex v N (SN − K)+ . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â êà÷åñòâå îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ìîæíî âçÿòü ìîìåíò τ0N = N, è, çíà÷èò, åñëè S0 = x, òî CN (f, P ) = V0N (x) = Ex v N (SN − K)+ . Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò Ìåðòîíà (ñì [1]):

åñëè äèñêîíòèðóþùèé ôàêòîð β = 1, òî ñòàíäàðòíûå îïöèîíû êîëë Àìåðèêàíñêîãî è Åâðîïåéñêîãî òèïîâ ñîâïàäàþò. Ïðè ýòîì çíà÷åíèå V0N (x) ìîæíî áðàòü è â òåîðåìå 4.4. 3. Ðàññìîòðèì òåïåðü áîëåå èíòåðåñíûé ñëó÷àé 0 < β < 1, â êîòîðîì íåòðóäíî êà÷åñòâåííûì îáðàçîì îïèñàòü ñòðóêòóðó ìíîæåñòâ DnN îñòàíîâêè è CnN ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé (ñì. ï.2.2), 0 ≤ n ≤ N, è òåì ñàìûì îïèñàòü ñòðàòåãèþ ïîêóïàòåëÿ îòíîñèòåëüíî âûáîðà ìîìåíòà ïðåäúÿâëåíèÿ îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ. Ïðè ýòîì, íå îñîáåííî òåðÿÿ â îáùíîñòè, ñóùåñòâåííî óïðîñòèì àíàëèç òåì, ÷òî âûáåðåì óäîáíûå çíà÷åíèÿ öåíû èñïîëíåíèÿ K è íà÷àëüíîé öåíû àêöèè S0 = x. Òåîðåìà 1.

Ïóñòü 0 < β < 1, K = x = 1. Òîãäà îêàçûâàåòñÿ, ÷òî

C0n ≡ {y ∈ E : Qn g(y) > g(y)} = {y ∈ E : µn−1 ≤ y ≤ λd }, n ≥ 1, (11)

ãäå d = kβ ≡ max {k ∈ Z : ρk < β};

(12)

çäåñü è íèæå ρk = (λk − 1)/(λk − v). Òåì ñàìûì ïðîáëåìà ïîèñêà îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè ðåøàåòñÿ ïîëíîñòüþ, ïîñêîëüêó (ñì. (2.14), (2.15) è ñëåäñòâèå 2.3) DnN = {y ∈ E : QN −n g(y) = g(y)}, CnN = E \ DnN = {y ∈ E : QN −n g(y) > g(y)} = C0N −n , τ0N

= min{0 ≤ n ≤ N : Sn ∈

(13)

DnN )}.

Ñïðàâåäëèâàÿ æå öåíà îïöèîíà, ñêàæåì, ïðè x = îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì V0N (x) = β c (λk − v c ),

(14) λk ,

k

≥ 1, (15)

ãäå c = min (lβ , N ),

lβ ≡ max {l ∈ Z : ρkl < β},

(16)

5

101

Îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà

à ρkl = (λk − v l−1 )/(λk − v l ), l ≥ 1, ρk0 = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèé (9) è (4) âûòåêàåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ñèòóàöèè ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ (n ≥ 1) : Qn g(y) = max{(βv)k T k g(y) : 0 ≤ k ≤ n}, (17) T k g(y) =

k X

Ckl pk−l q l g(λk−2l y),

q = 1 − p.

(18)

l=0

Íåòðóäíî âèäåòü òàêæå, ÷òî T k g(µs ) = 0 ïðè ëþáîì s ≥ k ≥ 0, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå âñå ñëàãàåìûå â (18) ðàâíû íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Qn g(µs ) = 0 = g(µs ) ïðè s ≥ n. Íî åñëè 0 ≤ s < n, òî ñóììà â (18) ïðè y = µs ÿâëÿåòñÿ íåíóëåâîé ïðè s < k ≤ n è ïîòîìó

Qn g(µs ) = max{(βv)k T k g(µs ) : s < k ≤ n} > g(µs ) = 0. Èíûìè ñëîâàìè, ìû äîêàçàëè íåðàâåíñòâî Qn g(y) > g(y) ïðè y = µs , 0 ≤ s ≤ n − 1 è íàì îñòàëîñü ïîíÿòü, ïðè êàêèõ s ≥ 1 îíî âåðíî ïðè y = λs . Òî÷íåå ãîâîðÿ, îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî îíî âåðíî ïðè s ≤ d. Óáåäèìñÿ äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà â òîì, ÷òî ïðè s ≥ 1

Qn g(λs ) = max {λs − 1, β(λs − v), β 2 (λs − v 2 ), · · · , β n (λs − v n )}.

(19)

Äëÿ ÷åãî äîñòàòî÷íî îáîñíîâàòü òîò ôàêò, ÷òî

T l g(λs ) = λs ul − 1, l ≥ 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, v l T l g(λs ) = λs − v l ,

(20)

ïîñêîëüêó òîãäà, î÷åâèäíî, (19) âûòåêàåò èç (17). Ñïðàâåäëèâîñòü æå ïîñëåäíèõ ôîðìóë (20) ëåãêî óñòàíîâèòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.  ñàìîì äåëå,

T g(λs ) = λs [pλ + (1 − p)µ] − 1 = λs u − 1, T l g(λs ) = T (T l−1 g(λs )) = T (λs ul−1 − 1) = p(λs+1 ul−1 −1)+(1−p)(λs−1 ul−1 −1) = λs ul−1 [pλ+(1−p)µ]−1 = λs ul −1. Òåïåðü îñòàåòñÿ îòìåòèòü ëèøü äâà ìîìåíòà. Âî-ïåðâûõ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( ρk ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî k, ïðè÷åì limk→∞ ρk = 1, a ρ0 = 0. Ïîýòîìó îïðåäåëåíèå (12) âåëè÷èíû kβ êîððåêòíî, ïîñêîëüêó ïðè ëþáîì β < 1 îïðåäåëÿåò åå îäíîçíà÷íî. Áîëåå òîãî, åñëè kβ = k, òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà

ρk < β ≤ ρk+1 .

(21)

Âî-âòîðûõ, ÷èñëà ρkl = (λk − v l−1 )/(λk − v l ) òàêæå ìîíîòîííî âîçðàñòàþò ïðè óâåëè÷åíèè l äëÿ ëþáûõ k ≥ 1. Ïîýòîìó, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ïðàâîå

102

III

Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ

íåðàâåíñòâî â (21), ò.å. β ≤ ρ(k+1)1 = ρk+1 , òî β < ρ(k+1)l è ïðè âñåõ îñòàëüíûõ l > 1. À, çíà÷èò, âñå ÷èñëà âíóòðè ôèãóðíûõ ñêîáîê èç (19) óáûâàþò ñëåâà íàïðàâî ïðè s = k+1 (ðàâíûìè ìîãóò áûòü òîëüêî ïåðâûå äâà) è òåì áîëåå ïðè s > k + 1, ïîcêîëüêó β < ρk+l ïðè âñåõ l > 1. Èíûìè ñëîâàìè, Qn g(λs ) = g(λs ) ïðè âñåõ s ≥ k + 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ëåâîå íàðàâåíñòâî â (21), ò.å. β > ρk1 = ρk , è, çíà÷èò, β > ρs1 = ρs ïðè ëþáîì s ≤ k, òî ïðè âñåõ òàêèõ s âòîðîé ýëåìåíò èç (19)  à îí ïðèñóòñòâóåò ïðè âñåõ n ≥ 1  áîëüøå ïåðâîãî è ïîòîìó Qn g(λs ) > g(λs ). Íî òåì ñàìûì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå (11) ñ âåëè÷èíîé d èç (12) óñòàíîâëåíî. Äëÿ îáîñíîâàíèÿ âûðàæåíèÿ (15) óäîáíûì òàêæå îêàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå (19) è ìû ìîæåì åãî âçÿòü â ñèëó (8). Ïðè÷åì íà ýòîò ðàç ïîìèìî ñâîéñòâ ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( ρkl ) ïî l ïðè ëþáîì k ≥ 0 è åäèíñòâåííîcòè òî÷êè íàêîïëåíèÿ 1, ïîçâîëÿþùèõ ñ÷èòàòü îïðåäåëåíèå âåëè÷èíû lβ â (16) êîððåêòíûì, èñïîëüçóåì è òîò ôàêò, ÷òî èç ðàâåíñòâà lβ = l âûòåêàþò íåðàâåíñòâà

ρkl < β ≤ ρk(l+1) .

(22)

Äåëî çäåñü ïðîñòî â òîì, ÷òî òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( ρkl ) ïî l äåëÿò îòðåçîê (0, 1) íà áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷àñòåé. Ïðè ýòîì, åñëè çíà÷åíèå β ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó èç (22), ò.å. ïðèíàäëåæèò (l + 1)− ìó èç íèõ, òî ìàêñèìóì ñîîòâåòñòâóþùåé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

(β m (λs − v m ))m≥0

(23)

ïðè s = k äîñòèãàåòñÿ ïðè m = l, ò.å. òàêæå íà (l + 1)− ì ýëåìåíòå ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Óáåäèòüñÿ æå â ýòîì íåñëîæíî ïî àíàëîãèè ñ âûøåñêàçàííûì. Â ñàìîì äåëå, â ñèëó (22) è ìîíîòîííîñòè (ρkl ) èìååì íåðàâåíñòâà

λk − 1 λk − v l−1 λk − v l λk − v l+1 < · · · < < β ≤ < < ···, λk − v λk − v l λk − v l+1 λk − v l+2 êîòîðûå ïðè s = k è ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî íàì íóæíî:

λs − 1 < β(λs − v) < · · · < β l−1 (λs − v l−1 ) < < β l (λs − v l ) ≥ β l+1 (λs − v l+1 ) > β l+2 (λs − v l+2 ) > · · · Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû (15) îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ýëåìåíòû âíóòðè ôèãóðíûõ ñêîáîê èç (19) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïåðâûå n + 1 ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (23). Òåîðåìà äîêàçàíà.