ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Â. Ì. Êóçíåöîâ Çàäà÷è ñ ìåòîäè÷åñê...
113 downloads
215 Views
184KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÐÎÑÒÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Â. Ì. Êóçíåöîâ Çàäà÷è ñ ìåòîäè÷åñêèìè óêàçàíèÿìè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñòóäåíòîâ ÎÇÎ ýêîíîìè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ ×àñòü 2
Ðîñòîâ-íà-Äîíó 2004
Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÐÃÓ. Ïðîòîêîë 8 îò 21.03.2003. Îòâåòñòâåííûé çà âûïóñê äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Â. Ï. Êîíäàêîâ.
Âòîðàÿ ÷àñòü ïîñîáèÿ ñîäåðæèò çàäà÷è ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êàê è â ïåðâîé ÷àñòè ïîñîáèÿ èìååòñÿ ìíîãî ðåøåííûõ çàäà÷ ñ ïîäðîáíûì îñâåùåíèåì õîäà ðåøåíèÿ è ìåòîäè÷åñêèìè óêàçàíèÿìè ïî ïîñòðîåíèþ ñõåì ðåøåíèé çàäà÷. Ïî ýòèì ñõåìàì ñòóäåíòû ìîãóò íàó÷èòüñÿ ðåøàòü çàäà÷è ñàìîñòîÿòåëüíî.
3
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ âåðîÿòíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 10. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 11. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ëèòåðàòóðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4
Ââåäåíèå Âòîðàÿ ÷àñòü ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ïåðâîé. Ïîýòîìó íîìåðà ïàðàãðàôîâ è çàäà÷ ñëåäóþò çà òåìè, êîòîðûå èìåþòñÿ â ïåðâîé ÷àñòè, ò. å. ïðèìåíÿåòñÿ ñêâîçíàÿ íóìåðàöèÿ. Âî âòîðîé ÷àñòè ïîñîáèÿ ïðèâåäåíû òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ è çàäà÷è ñ ìåòîäè÷åñêèìè óêàçàíèÿìè ïî òåîðèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äëÿ ïîñëåäíåé êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì. Ðàññìàòðèâàåòñÿ íàèáîëåå îáùåå àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Ðàññìîòðåíèå îñíîâíûõ ïîíÿòèé òåîðèè âî âòîðîé ÷àñòè ïîñîáèÿ íà ñîâðåìåííîì ìàòåìàòè÷åñêîì óðîâíå ñîçäàëî áû áîëüøå òðóäíîñòè äëÿ ñòóäåíòîâ ïðè îñâîåíèè ìàòåðèàëà. Ïîýòîìó ïðåäïî÷òåíèå îòäàåòñÿ íåôîðìàëüíîìó èçëîæåíèþ.
7. Îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ âåðîÿòíîñòè Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ òåîðèè â îáùåì ñëó÷àå. Âîçìîæíû ðàçëè÷íûå îáîáùåíèÿ êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè. Íàèáîëåå îáùèé ïîäõîä ê ïîíÿòèþ âåðîÿòíîñòè ïðèâîäèò ê àêñèîìàòè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ââåñòè àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íóæíî óòî÷íèòü è ïîäâåðãíóòü îáîáùåíèþ ïîíÿòèå ñîáûòèÿ. Åñëè ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé U íå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì, òî â îáùåì ñëó÷àå íåò âîçìîæíîñòè îòîæäåñòâëÿòü êàæäîå ïîäìíîæåñòâî U ñ ñîáûòèåì. Ýòî ïðèâîäèò ê ìàòåìàòè÷åñêèì òðóäíîñòÿì.  òàêîì ñëó÷àå ñîáûòèÿìè íàçûâàþò íåêîòîðûå ïîäìíîæåñòâà U , îáðàçóþùèå ñèñòåìó, íàçûâàåìóþ σ -àëãåáðîé. Ê ýòîé ñèñòåìå äîëæíû ïðèíàäëåæàòü U è V . Âìåñòå ñ A ñîáûòèåì äîëæíî áûòü A¯. Âìåñòå ñ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñîáûòèé A1 A2 . . . An . . . ñîáûòèÿìè äîëæíû áûòü
∞ S
n=1
An è
∞ T
n=1
An .
Ìîæíî òåïåðü ââåñòè íàèáîëåå îáùåå, àêñèîìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.  îáùåì ñëó÷àå ïîä âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ ïîíèìàåò-
5
ñÿ ëþáîå ÷èñëî p(A), óäîâëåòâîðÿþùåå òðåì àêñèîìàì: 1) p(A) > 0, 2) p(U ) = 1, 3) Äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé A1 A2 . . . An . . . p
³P ∞
n=1
´
An
=
∞ P
n=1
p(An ). Îïðåäåëåííàÿ òàêèì îá-
ðàçîì âåðîÿòíîñòü îáëàäàåò âñåìè îáû÷íûìè ñâîéñòâàìè âåðîÿòíîñòè, âûòåêàþùèìè èç êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ.
8. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Âåëè÷èíîé îáû÷íî íàçûâàþò ÷èñëîâóþ ïåðåìåííóþ, çíà÷åíèÿ êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòàìè íåêîòîðûõ èçìåðåíèé. Ïîä èçìåðåíèåì ïîíèìàþò ëþáóþ ïðîöåäóðó ïðèñâîåíèÿ ÷èñåë îáúåêòàì. Èçìåðåíèå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê èñïûòàíèå. Ïîÿâëåíèå íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ (èñïûòàíèÿ) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñëó÷àéíîå ñîáûòèå. Âåëè÷èíà â òàêîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé. Åñëè èìååòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óêàçàííûå ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èìååòñÿ íåêîòîðîå îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ïîëíîé ñèñòåìû. Åñëè îöåíèâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíî åå ðàñïðåäåëåíèå èëè çàêîí åå ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàêîí çàäàåòñÿ ðÿäîì èëè ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè èìååòñÿ êîíå÷íîå ÷èñëî, n, ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî ðÿäîì åå
ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàåòñÿ òàáëèöà
ãäå pi = P (ξ = ξi ), äåëåííîãî çíà÷åíèÿ
ξi
ξ1
ξ2
...
ξn
pi
p1
p2
...
pn
,
n P
pi = 1, ò. å. ïðèíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé i=1 ξi ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñëó÷àéíîå ñîáûòèå è pi
îïðå âå-
ðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåòñÿ áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, òî ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
6
ãäå
∞ P n=1
ξi
ξ1
ξ2
...
ξn
...
pi
p1
p2
...
pn
...
,
pn = 1.
Ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ âå-
ðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ξ < x
F (x) = P (ξ < x). Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé, åñëè ìíîæåñòâî åå çíà÷åíèé êîíå÷íî èëè ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà çàäàåòñÿ ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðèìåðîì äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò ñëóæèòü k ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ A â ñõåìå Áåðíóëëè èç n èñïûòàíèé. Ðàñïðåäåëåíèå ïîñëåäíåé íàçûâàåòñÿ
áèíîìèàëüíûì. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé, åñëè åå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) íåïðåðûâíà è èìååò ïðîèçâîäíóþ ïåðâîãî ïîðÿäêà
F 0 (x) = f (x), íàçûâàåìóþ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè. Ïðèìåðîì íåïðåðûâíîãî ìîæåò ñëóæèòü ðàññìàòðèâàåìîå äàëåå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Â [1] F (x) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé, à f (x) äèôôåðåíöèàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.
9. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Îñíîâíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì M (ξ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , çàäàííîé ðÿäîì
èëè
ξi
ξ1
ξ2
...
ξn
pi
p1
p2
...
pn
7
ξi
ξ1
ξ2
...
ξn
...
pi
p1
p2
...
pn
...
íàçûâàåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé çíà÷åíèé âåëè÷èíû ξi íà ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè pi , ò. å.
M (ξ) =
n X
ξi pi èëè M (ξ) =
Ðÿä
n=1
ξn pn .
n=1
i=1 ∞ P
∞ X
ξn pn äîëæåí áûòü àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ. Â ïðîòèâíîì ñëó-
÷àå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò. Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
1) M (c) = c, ãäå c êîíñòàíòà, 2) M (cξ) = cM (ξ), 3) M (ξ + η) = M (ξ) + M (η).
³P ´ P n n Ñëåäñòâèå. M ξi = M (ξi ). i=1
i=1
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç íèõ íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàåò äðóãàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 ξ2 . . . ξn íàçûâàþòñÿ âçàèìíî íåçàâèñèìûìè, åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç íèõ íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíèìàþò îñòàëüíûå âåëè÷èíû. Ðàçíîñòü M (ξ · η) − M (ξ) · M (η) íàçûâàåòñÿ êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ξ è η . Îáîçíà÷àåòñÿ êîâàðèàöèÿ ÷åðåç cov(ξ, η), ò. å. cov(ξ, η) = M (ξ · η) − M (ξ) · M (η).  [1] êîâàðèàöèÿ íàçûâàåòñÿ êîððåëÿöèîííûì ìîìåíòîì. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η íåçàâèñèìû, òî cov(ξ, η) = 0. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 ξ2 . . . ξn âçàèìíî íåçàâèñèìû, òî âñå èõ ïàðíûå êîâàðèàöèè cov(ξi , ξj ) îáðàùàþòñÿ â íóëü, ò. å. cov(ξi , ξj ) = 0 ïðè i 6= j , (i, j = 1, 2, . . . , n).
8
Äèñïåðñèåé D(ξ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ò. å. ïî îïðåäåëåíèþ
D(ξ) = M {[ξ − M (ξ)]2 }. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè ëó÷øå, îäíàêî, ïîëüçîâàòüñÿ äðóãîé ôîðìóëîé
D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ), ãäå M (ξ 2 ) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , à
M 2 (ξ) êâàäðàò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M (ξ), ò. å. M 2 (ξ) = [M (ξ)]2 . Ñâîéñòâà äèñïåðñèè
1) D(c) = 0, c êîíñòàíòà, 2) D(cξ) = c2 D(ξ) 3) D(ξ + η) = D(ξ) + D(η) + 2 cov(ξ, η). Ñëåäñòâèå 1. Åñëè
ξ è η íåçàâèñèìû, òî D(ξ + η) = D(ξ) + D(η).
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 ξ2 . . . ξn âçàèìíî íåçàâèñè-
ìû, òî
n n ³X ´ X ξi = D(ξi ). D i=1
Â
÷àñòíîñòè,
äëÿ
i=1
áèíîìèàëüíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ
M (k) = np,
D(k) = npq . Êîðåíü êâàäðàòíûé èç äèñïåðñèè íàçûâàåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷å-
ñêèì îòêëîíåíèåì. Ïîñëåäíåå îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç σ ,
σ = σ(ξ) =
p
D(ξ).
Äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ σ =
√
npq .
9
Çàäà÷è 38. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì
ξi
−1
0
2
pi
0,2
p2
0,3
Íàéòè p2 , M (ξ) è D(ξ). Ðåøåíèå. Òàê êàê 0,2 + p2 + 0,3 = 1, p2 = 0,5
M (ξ) = −1 · 0,2 + 0 · 0,5 + 2 · 0,3 = 0,4, M 2 (ξ) = 0,42 = 0,16. Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ξ 2 â îáùåì ñëó÷àå èìååò âèä
ξi2
ξ12
ξ22
...
ξn2
pi
p1
p2
...
pn
 íàøåì ñëó÷àå
ξi2
(−1)2
0
22
pi
0,2
0,5
0,3
ò. å.
ξi2
1
0
4
pi
0,2
0,5
0,3
M (ξ 2 ) = 1 · 0,2 + 0 · 0,5 + 4 · 0,3 = 1,4, D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) = 1,4 − 0,16 = 1,24. 39. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì
ξi
−1
0
ξ3
pi
0,3
0,4
p3
10
M (ξ) = 0. Íàéòè ξ3 , p3 , D(ξ). Ðåøåíèå. Òàê êàê 0,3 + 0,4 + p3 = 1, p3 = 0,3
M (ξ) = −1 · 0,3 + 0 · 0,4 + ξ3 p3 = −1 · 0,3 + 0,3 · ξ3 = 0, îòêóäà ξ3 = 1. Ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ξ 2 èìååò âèä
ξi2
1
0
1
pi
0,3
0,4
0,3
èëè
ξi2
0
1
pi
0,4
0,6
.
Îòêóäà
M (ξ 2 ) = 0 · 0,4 + 1 · 0,6 = 0,6. Òàê êàê M (ξ) = 0, òî M 2 (ξ) = 0. Ïîýòîìó
D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) = 0,6 − 0 = 0,6. 40. ζ = 3ξ + 2η ,
M (ξ) = 2, M (η) = 3. Íàéòè M (ζ).
Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
M (ζ) = M (3ξ + 2η) = M (3ξ) + M (2η) = 3M (ξ) + 2M (η) = 3 · 2 + 2 · 3 = 12. 41. ζ = 3ξ + 2η + 1,
M (ξ) = 3, M (η) = 5. Íàéòè M (ζ).
Ðåøåíèå. Ïî ñâîéñòâàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
M (ζ) = M (3ξ + 2η + 1) = M (3ξ) + M (2η) + M (1) = = 3M (ξ) + 2M (η) + 1 = 3 · 3 + 2 · 5 + 1 = 20. 42. ζ = 3ξ − 2η ,
M (ξ) = 3, M (η) = 5. Íàéòè M (ζ).
Ðåøåíèå.
M (ζ) = M (3ξ − 2η) = 3M (ξ) − 2M (η) = 3 · 3 − 2 · 5 = −1.
11
43. ζ = 3ξ + 2η ,
D(ξ) = 2, D(η) = 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è
h íåçàâèñèìû. Íàéòè D(ζ). Ðåøåíèå. Ñîãëàñíî ñâîéñòâàì äèñïåðñèè
D(ζ) = D(3ξ + 2η) = D(3ξ) + D(2η) = = 32 D(ξ) + 22 D(η) = 9 · 2 + 4 · 3 = 30. 44. ζ = 3ξ + 2η + 1,
D(ξ) = 2, D(η) = 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ
è h íåçàâèñèìû. Íàéòè D(ζ). Ðåøåíèå.
D(ζ) = D(3ξ + 2η + 1) = D(3ξ) + D(2η) + D(1) = = 32 D(ξ) + 22 D(η) + 0 = 9 · 2 + 4 · 3 = 30. 45. ζ = 3ξ − 2η ,
D(ξ) = 2, D(η) = 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è
h íåçàâèñèìû. Íàéòè D(ζ). Ðåøåíèå.
D(ζ) = D(3ξ − 2η) = D[3ξ + (−2)η] = D(3ξ) + D(−2η) = = 32 D(ξ) + (−2)2 D(η) = 9 · 2 + 4 · 3 = 30. 46. ζ = 3ξ + 2η ,
D(ξ) = 2, D(η) = 3, M (ξ) = 2, M (η) = 1,
M (ξ · η) = 3. Íàéòè D(ζ). Ðåøåíèå.
cov(3ξ · 2η) = M (3ξ · 2η) − M (3ξ) · M (2η) = = 6M (ξ · η) − 6M (ξ) · M (η) = 6 · 3 − 6 · 2 · 1 = 6, D(ζ) = D(3ξ + 2η) = D(3ξ) + D(2η) + 2 cov(3ξ · 2η) = = 9D(ξ) + 4D(η) + 2 · 6 = 9 · 2 + 4 · 3 + 2 · 6 = 42. Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 47. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì
12
ξi
−2
0
1
pi
0,2
0,4
p3
Íàéòè p3 , M (ξ) è D(ξ). Îòâåò: p3 = 0,4;
M (ξ) = 0; D(ξ) = 1,2.
48. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ðÿäîì
ξi
−2
0
ξ3
pi
0,2
0,2
p3
M (ξ) = 0,2. Íàéòè ξ3 , p3 , D(ξ). Îòâåò: ξ3 = 1;
p3 = 0,6; D(ξ) = 1,36.
49. ζ = 3ξ − 2η + 1,
M (ξ) = 2, M (η) = 3. Íàéòè M (ζ).
Îòâåò: M (ζ) = 1. 50. ζ = 3ξ − 2η + 1,
D(ξ) = 2, D(η) = 3. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ
è η íåçàâèñèìû. Íàéòè D(ζ). Îòâåò: D(ζ) = 30. 51. ζ = ξ − 2η + 1,
D(ξ) = 2, D(η) = 3, M (ξ) = 0, M (η) = 1,
M (ξ · η) = 2. Íàéòè D(ζ). Îòâåò: D(ζ) = 6. 52. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå M (k) è äèñïåðñèþ D(k) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû k , ðàñïðåäåëåííîé ïî áèíîìèàëüíîìó çàêîíó, åñëè n = 5;
p = 0,2. Îòâåò: M (k) = 1;
D(k) = 0,8.
10. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿåòñÿ ïî çàäàííîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè f (x) ôîðìóëîé
Zx F (x) =
f (t) dt. −∞
13
Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â çàäàííûé èíòåðâàë (α, β) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Zβ P (α < ξ < β) = F (β) − F (α) =
f (x) dx, α
ãäå F (x) ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, f (x) ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. Òàêîé æå áóäåò âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íà îòðåçîê [α, β] è íà ëþáîé èç ïîëóîòðåçêîâ (α, β] è [α, β)
F (−∞) = 0,
F (+∞) = 1
(ò. å. lim F (x) = 0, lim F (x) = 1). x→−∞
x→+∞
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå M (ξ) è äèñïåðñèÿ D(ξ) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
Z∞ M (ξ) =
Z∞ xf (x) dx,
−∞
[x − M (ξ)]2 f (x) dx,
D(ξ) = −∞
ãäå f (x) ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè. D(ξ) ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëå
D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ), Z∞ ãäå M (ξ 2 ) =
x2 f (x) dx. −∞
Çàäà÷è 53. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
0, x 6 −1, 1 1 F (x) = x + , −1 < x 6 2, 3 3 1, x > 2.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ îíà ïðèìåò çíà÷åíèå à) ìåíüøåå −2,
14
á) ìåíüøåå 1, â) ìåíüøåå 1 è áîëüøåå 0, ã) íå ìåíüøåå 1, ä) íå ìåíüøåå 3. Ðåøåíèå. à)
P (−∞ < ξ < −2) = F (−2) − F (−∞) = 0 − 0 = 0. µ ¶ 2 1 1 ¯¯ P (−∞ < ξ < 1) = F (1) − F (−∞) = x+ ¯ −0 = . 3 3 x=1 3 ¶ µ ¶ µ 1 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ x+ x+ P (0 < ξ < 1) = F (1) − F (0) = ¯ − ¯ = 3 3 x=1 3 3 x=0 2 1 1 = − = . 3 3 3
á) â)
2 1 = . 3 3
ã)
P (ξ > 1) = P (1 6 ξ < ∞) = F (∞) − F (1) = 1 −
ä)
P (ξ > 3) = P (3 6 ξ < ∞) = F (∞) − F (3) = 1 − 1 = 0. 54. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ïëîòíîñòüþ
0, x60 1 f (x) = sin x, 0 < x 6 π 2 0, x > π.
Íàéòè à) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), á) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â èíòåðâàëå (0, π/3).
Zx à) F (x) =
f (t) dt. −∞
Ïðè x 6 0
Zx F (x) = −∞
¯x 0 dt = C ¯−∞ = C − C = 0.
15
Ïðè 0 < x 6 π
Zx F (x) =
Z0 f (t) dt =
−∞
Zx 0 dt +
−∞ ¯x ¯
0
1 sin t dt = 2
¯0 1 1 1 1 ¯ = 0 + (− cos t)¯ = cos t¯ = (cos 0 − cos x) = (1 − cos x). 0 x 2 2 2 2 Ïðè x > π
Zx
Z0 f (t) dt =
F (x) = −∞
0 dt + −∞
1 = 0+ 2
Zπ 0
Zπ 0
1 sin t dt + 2
Zx 0 dt = π
¯π 1 ¯ sin t dt + 0 = (− cos t)¯ = 0 2
¯0 1 1 1 ¯ = cos t¯ = (cos 0 − cos π) = · 2 = 1. π 2 2 2 Ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü â îêîí÷àòåëüíîì âèäå
0, x 6 0, 1 F (x) = (1 − cos x), 0 < x 6 π, 2 1, x > π.
³ á) P 0 < ξ <
π´ 3
Zπ/3
¯π/3 1 1 ¯ = sin t dt = (− cos t)¯ = 0 2 2 0 µ ¶ ¯0 1³ π´ 1 1 1 1 ¯ cos 0 − cos = 1− = . = cos t¯ = π/3 2 2 3 2 2 4
55. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
x60 0, F (x) = x2 , 0 < x 6 1 1, x > 1.
Íàéòè M (ξ) è D(ξ).
16
Ðåøåíèå.
0, f (x) =
2x, 0 < x 6 1 0, x > 1.
0 · x dx +
xf (x) dx = −∞
−∞
¯0 = c¯−∞ + 2
Z1
Z∞ x · 2x dx +
0
x · 0 dx = 1
¯∞ x3 ¯¯1 ¯ x dx + c 1 = 0 + 2 ¯ + 0 = 3 0 2
0
2 2 = (13 − 03 ) = , 3 3 Z∞ M (ξ 2 ) =
Z1
Z0
Z∞ M (ξ) =
x60
4 M 2 (ξ) = , 9 Z1
x2 f (x) dx = −∞
Z1
x2 · 2x dx = 0
x4 ¯¯1 x4 ¯¯1 1 x dx = 2 ¯ = ¯ = , 4 0 2 0 2 3
= 2 0
D(ξ) = M (ξ 2 ) − M 2 (ξ) =
1 4 1 − = ≈ 0,06. 2 9 18
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 56. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
F (x) =
0,
x62
1 x − 1, 2 < x 6 4 2 1, x > 4.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ îíà ïðèìåò çíà÷åíèå à) ìåíüøåå 1, á) ìåíüøåå 3,
17
â) ìåíüøåå 3,5 è áîëüøåå 2,5, ã) íå ìåíüøåå 3, ä) íå ìåíüøåå 5. Îòâåò: à) 0,
á) 1/2, â) 1/2, ã) 1/2, ä) 0.
57. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ïëîòíîñòüþ
f (x) =
π x6− , 2 1 π π cos x, − < x 6 , 2 2 2 π 0, x> . 2 0,
Íàéòè à) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F (x), á) âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèìåò çíà÷åíèå â èíòåðâàëå (0, π/6). Îòâåò:
π x6− 2 1 π π (1 + sin x), − < x 6 2 2 2 π 1, x> . 2 0,
à)
F (x) =
á)
P (0 < ξ < π/6) = 1/4 = 0,25.
58. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
0,
F (x) =
x60
1 2 3 2 (x + x ), 0 < x 6 1 1, x > 1.
Íàéòè M (ξ) è D(ξ). Îòâåò:
M (ξ) = 17/24 ≈ 0,71, D(ξ) ≈ 0,05.
18
11. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäå-
ëåííîé, åñëè åå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè f (x) èìååò âèä 2
(x−a) 1 − f (x) = √ e 2σ2 , σ 2π
M (ξ) = a,
D(ξ) = σ 2 .
Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ â çàäàííûé èíòåðâàë (α, β) îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
µ
¶ µ ¶ β−a α−a P (α < ξ < β) = Φ −Φ . σ σ Âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíû ξ îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a íå áîëåå ÷åì íà δ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
µ ¶ δ P (|ξ − a| < δ) = 2Φ . σ
 ÷àñòíîñòè
P (|ξ − a| < 3σ) = 2Φ(3) ≈ 0,9973. Ò. î. ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ îòêëîíÿåòñÿ îò ñâîåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìåíåå ÷åì íà 3σ , ñ÷èòàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíûì, ò. ê. åãî âåðîÿòíîñòü áëèçêà ê 1. Ïîñëåäíèé ôàêò íàçûâàþò ¾ïðàâèëîì 3σ ¿. Çàäà÷è 59. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî 6, äèñïåðñèÿ ðàâíà 9. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â èíòåðâàëå
(3, 12). a = 6, σ 2 = 9, ñëåäîâàòåëüíî, σ = 3. µ ¶ µ ¶ 12 − 6 3−6 P (3 < ξ < 12) = Φ −Φ = Φ(2) − Φ(−1) = 3 3
Ðåøåíèå.
= Φ(2) + Φ(1) ≈ 0,4772 + 0,3413 = 0,8185.
19
60. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Åå äèñïåðñèÿ ðàâíà 4. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèò 3. Ðåøåíèå. ×èñëåííîå çíà÷åíèå a íå çàäàíî. Îäíàêî, îíî è íå òðåáóåòñÿ
σ 2 = 4, σ = 2. µ ¶ 3 P (|ξ − a| < 3) = 2Φ = 2Φ(1,5) ≈ 2 · 0,4332 = 0,8664. 2
äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è.
61. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî, a = 6, σ = 3. Íàéòè èíòåðâàë (α, β), â êîòîðûé ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9973 ïîïàäàåò ξ â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ, åñëè a ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé ýòîãî èíòåðâàëà. Ðåøåíèå.
P (α < ξ < β) = 0,9973. Ïî ¾ïðàâèëó 3σ ¿
P (|ξ − a| < 3σ) = 0,9973 èëè
P (a − 3σ < ξ < a + 3σ) ≈ 0,9973. Îòêóäà
α = a − 3σ = 6 − 3 · 3 = −3, β = a + 3σ = 6 + 3 · 3 = 15. Ò. î. èñêîìûé èíòåðâàë (−3, 15). Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 62. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî, 10, äèñïåðñèÿ ðàâíà 16. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ξ ïðèìåò çíà÷åíèå, çàêëþ÷åííîå â èíòåðâàëå
(5, 15). Îòâåò: P (5 < ξ < 15) ≈ 0,7888.
20
63. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Åå äèñïåðñèÿ ðàâíà 25. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå ξ îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå íå ïðåâîñõîäèò 4. Îòâåò: P (|ξ − a| < 4) ≈ 0,5762. 64. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî, a = 5, σ = 4. Íàéòè èíòåðâàë (α, β), â êîòîðûé ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9973 ïîïàäàåò ξ â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ, åñëè a ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé ýòîãî èíòåðâàëà. Îòâåò: (−7, 17).
Ëèòåðàòóðà Ëèòåðàòóðíûå óêàçàíèÿ äàíû â ïåðâîé ÷àñòè ïîñîáèÿ è â [2].  äîïîëíåíèå ê óæå ïåðå÷èñëåííûì ëèòåðàòóðíûì èñòî÷íèêàì ïðèâåäåì åùå îäíó, ïîçäíåå âûøåäøóþ èç ïå÷àòè êíèãó. [1] Â. Í. Êàëèíèíà, Â. Ô. Ïàíêèí. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1994.