Курс лекций по математическому анализу, 3 семестр

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

Курс лекций по математическому анализу Лектор — Валериан Иванович Гаврилов

II курс, 3 семестр, поток механиков

Москва, 2006 г.

2

Конспект лекций курса математического анализа, прочитанного В. И. Гавриловым в 2005–2007 гг. на отделении механики, разбит на четыре части по семестрам. Представленная часть соответствует материалу третьего семестра. Лектор с большой благодарностью отмечает, что конспект набран и свёрстан студентом Кудашевым Евгением на основе его записей.

Оглавление 1.

Числовые ряды 1.1. Нижний и верхний пределы числовой последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Множество частичных пределов ограниченной числовой последовательности . . . . . . 1.1.2. Определение нижнего и верхнего предела числовой последовательности . . . . . . . . . 1.1.3. Эквивалентные определения нижнего и верхнего предела числовой последовательности 1.1.4. Критерий сходящейся последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Некоторые свойства нижнего и верхнего предела последовательности . . . . . . . . . . . 1.2. Начальные сведения о числовых рядах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Суммирование монотонной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Гармонический ряд P 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Эталонный ряд np . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Интегральный признак (Коши–Маклорена) сходимости положительного ряда . . . . . . 1.2.6. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Знакопостоянные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Критерий сходимости положительного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Общий признак сравнения положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Основной признак сравнения положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Признак Даламбера сходимости положительных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Алгебраический признак Коши сходимости положительных рядов . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Признак Раабе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Признак Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Понятие абсолютно сходящегося ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Линейное свойство абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Признаки абсолютной сходимости числовых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4. Условно сходящиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5. Признак Дирихле сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6. Признак Абеля сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.7. Знакочередующиеся ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Действия над рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Сочетательное свойство сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Свойства членов условно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Последовательности и ряды с комплексными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Предел последовательности комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. Критерий Коши сходимости комплексной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Ряды с комплексными членами (комплекснозначные ряды) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5. Абсолютная сходимость ряда с комплексными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.6. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами . 1.7. Произведение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. Теорема Коши о произведении абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3. Произведение рядов по Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Основные определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Остаточные произведения. Необходимый признак сходимости . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Бесконечные произведения с положительными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 8 8 9 10 10 10 10 12 13 13 14 14 14 15 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 20 20 21 21 21 23 23 23 24 24 24 25 25 25 26 26 27 27 27 28

1.8.4. 1.8.5. 1.8.6. 1.8.7. 1.8.8. 2.

Абсолютная сходимость бесконечного произведения Гамма–функция Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . Функциональное уравнение для гамма-функции . . Формула Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

28 29 29 30 30

Функциональные последовательности и функциональные ряды 2.1. Сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов . . . . . . . . . . . 2.1.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности . . . . . . 2.1.4. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности . . . . . . . . . 2.1.5. Неравномерно сходящиеся последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Сходимость функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7. Равномерно сходящиеся функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8. Линейное свойство равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9. Свойство аддитивности равномерно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.10. Важное замечание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Признак Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Признак Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Признак Дини равномерной сходимости функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Признак Дини равномерной сходимости функциональных последовательностей . . . . . . 2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда . . . . . . . . . . 2.3.2. Непрерывность предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Предел по базе суммы равномерно сходящегося функционального ряда . . . . . . . . . . . 2.3.4. Предел по базе предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Почленное интегрирование функционального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Интегрирование предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.7. Почленное дифференцирование функциональных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.8. Дифференцируемость гамма-функции Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Область абсолютной сходимости степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Степенные ряды в действительной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Равномерная сходимость степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Непрерывность суммы степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Вторая теорема Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов . . . . . . . . . . . . . 2.4.7. Единственность разложения в степенной ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Сходимость ряда Тейлора к производящей функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Ряды Тейлора элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Экспоненциальная функция комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Разложение синуса в бесконечное произведение. Формула дополнения для гамма-функций . . . . 2.6.1. Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (n) 2.6.3. Оценка Vk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5. Формула дополнения для гамма-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 30 31 31 31 32 32 33 33 33 33 34 34 34 34 35 36 36 36

4

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

36 37 37 38 38 39 39 40 40 41 42 42 42 43 43 44 44 44 45 47 48 48 48 49 49 49

3.

Несобственные интегралы 3.1. Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Некоторые воспоминания о втором семестре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Интегральные синус и косинус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Интегралы Фруллани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Аналогия с рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Главное значение несобственного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Функции, интегрируемые по Коши на (−∞, +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Главное значение по Коши на промежутке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Интегральный логарифм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Равномерное стремление к предельной функции по базе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Понятие равномерного стремления к предельной функции по базе . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Критерий Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Сведение к равномерно сходящимся последовательностям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Интегрируемость (непрерывность) предельной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Теорема Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Перестановка двух предельных переходов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Собственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Признак непрерывности собственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Дифференцирование собственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Интегрирование собственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.5. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Абсолютная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Остаток несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . . . 3.5.5. Неравномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . 3.5.6. Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.7. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла . . . . . . . . 3.5.8. Признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . 3.5.9. Признак Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . . . . 3.5.10. Связь с рядами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Предельный переход под знак интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Непрерывность несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Интегрирование несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.4. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5. Теорема Дини для несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Эйлеровы интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Интеграл Эйлера первого рода (по Лежандру); бета–функция . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Непрерывность бета–функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3. Симметричность бета–функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4. Функциональное уравнение для B(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5. Частный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.6. Интеграл Эйлера второго рода; гамма-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.7. Дифференцируемость гамма-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.8. График функции Γ(s) на интервале (0, +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.9. Интеграл Эйлера–Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Некоторые способы вычисления несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Интеграл Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3. Разрывный множитель Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

50 50 50 51 52 52 54 55 55 56 56 56 56 57 57 58 58 58 59 59 60 60 61 62 63 63 64 64 64 65 66 66 66 67 68 69 69 69 70 71 71 72 72 72 73 73 73 74 74 75 75 75 75 76 77

4.

5.

Приближение функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами 4.1. Классы интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Модуль непрерывности функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Классы непрерывных функций по модулю непрерывности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Ортогональные системы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Положительные тригонометрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Некоторые тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Приближение функций тригонометрическими многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Свёртка тригонометрического многочлена и интегрируемой функции . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Свёртка с периодической функцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Оценка приближения непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Равномерное приближение непрерывных функций многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Теорема Фейера о равномерной аппроксимации непрерывной периодической функции тригонометрическими многочленами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Две теоремы Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Наилучшее приближение функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ряды Фурье 5.1. Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Частные суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Частные суммы ряда Фурье и многочлены Фейера . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5. Необходимое условие сходимости ряда Фурье непрерывной и 2π–периодической 5.1.6. Примеры. Коэффициенты Фурье чётных и нечётных функций . . . . . . . . . . 5.2. Равномерная сходимость рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Константы Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Оценка констант Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Теорема Дини–Липшица о равномерной сходимости ряда Фурье . . . . . . . . . 5.3. Сходимость в среднем ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Сходимость в среднем функциональной последовательности . . . . . . . . . . . 5.3.2. Вспомогательное утверждение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Свойство минимальности частных сумм ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Формула Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5. Неравенство Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6. Свойство коэффициентов Фурье интегрируемых функций . . . . . . . . . . . . . 5.3.7. Уравнение замкнутости А.М. Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.8. Единственность разложения в ряд Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Теория Римана рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Лемма Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Свойство коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемых функций . . . . . . 5.4.3. Частные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемых функций . . . . . . . . 5.4.4. Принцип локализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5. Признак Дини сходимости ряда Фурье в точке и его следствия . . . . . . . . . . 5.5. Теория Дирихле рядов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Лемма Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Признак Дирихле–Жордана сходимости ряда Фурье в точке . . . . . . . . . . . 5.5.3. Кусочно–монотонные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4. Взаимоотношение признаков Дини и Дирихле–Жордана . . . . . . . . . . . . . 5.6. Ряды Фурье гладких функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Связь между коэффициентами Фурье функции и её производных . . . . . . . . 5.6.2. Почленное дифференцирование ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3. Почленное интегрирование ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4. Поведение коэффициентов ряда Фурье функции ограниченной вариации . . . . 5.6.5. Оценка остатка ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 77 78 79 79 79 80 81 81 81 82 83 84 84 84 85 85 87 87 87 88 88 88 89 89 90 90 90 91 91 91 92 92 93 93 93 93 94 94 94 96 96 97 97 99 99 100 101 101 102 102 102 103 104 104

5.7.

Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Определение интеграла Фурье . . . . . . . . 5.7.2. Предварительная формула . . . . . . . . . . 5.7.3. Признаки сходимости интеграла Фурье . . . 5.7.4. Различные виды формулы Фурье . . . . . . 5.7.5. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . 5.7.6. Некоторые свойства преобразования Фурье

7

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

105 105 106 106 108 109 109

Часть 5.

Ряды 1. Числовые ряды

1.1. Нижний и верхний пределы числовой последовательности 1.1.1. Множество частичных пределов ограниченной числовой последовательности Рассмотрим произвольную ограниченную числовую последовательность (an ) и множество A = {an n ∈ N} её значений. Множество A ограничено и, следовательно, имеет точную нижнюю грань inf A = m и точную верхнюю грань sup A = M , m 6 an 6 M, n ∈ N. По теореме Больцано, ограниченная последовательность (an ) содержит сходящуюся подпоследовательность (ank ), lim ank = l1 . Так как m 6 ank 6 M, k ∈ N, то в k→+∞

силу свойства монотонности предела последовательности, m 6

lim ank = l1 6 M . Обозначим символом L

k→+∞

множество всех частичных пределов последовательности (an ), L = 6 ∅ (l1 ∈ L). Тогда, множество L ограничено и L ⊂ [m, M ]. Поэтому существуют inf L = p и sup L = q : m 6 p 6 q 6 M .
Замечание. Числа m, p, q, M — различные. У последовательности (an ) : an = (−1)n · 1 + n1 , n ∈ N, множество L = {−1, 1}, и m = −2, p = −1, q = 1, M = 3/2.

Теорема 1.1. Множество частичных пределов ограниченной числовой последовательности обладает наименьшим и наибольшим элементами.  Рассмотрим произвольную ограниченную последовательность (an ) и L = 6 ∅. По определению, существует q = sup L, p = inf L. Покажем, что q, p ∈ L. Докажем, что q ∈ L. Рассмотрим произвольное ε > 0, так как q−ε < q = sup L, то, по критерию точной верхней грани, существует lε ∈ L : q−ε < lε 6 q. Пусть δ = lε −(q−ε) > 0. Так как lε = lim anν для некоторой подпоследовательности (anν ) ⊂ (an ), то для δ > 0 ∃ N ∈ N : |anν − lε | < δ ν→+∞

для всех ν > N , или (q − ε) = lε − δ < anν < lε + δ = 2lε − (q − ε) 6 q + ε, ν > N . Таким образом, каждый интервал (q − ε, q + ε) содержит элементы последовательности (an ) с бесконечным множеством индексов. Выберем εk =
1 1 1 > 0, k ∈ N. Для каждого числа k ∈ N интервал q − , q + содержит элементы последовательности (an )
с k k k бесконечным множеством индексов, следовательно, для каждого k ∈ N выбираем ank ∈ (an ) : ank ∈ q − k1 , q + k1 и nk > nk−1 , k > 2. Получим подпоследовательность (ank ) : lim ank = q, так как |ank − q| < k1 , ∀k ∈ N. k→+∞

Поэтому q ∈ L, и следовательно, q = sup L = max L. Аналогичное доказательство для числа p = inf L = min L. 

1.1.2. Определение нижнего и верхнего предела числовой последовательности Анализируя доказательство теоремы 1, заключаем, что доказано более сильное утверждение: Теорема 1.1’. Если числовая последовательность ограничена сверху, и множество её частичных пределов не пусто, то оно содержит наибольший элемент. Если числовая последовательность ограничена снизу, и множество её частичных пределов не пусто, то оно содержит наименьший элемент. Замечание. Условие непустоты множества частичных пределовсущественно! Действительно, отрицатель ная бесконечно большая последовательность (an ) lim an = −∞ ограничена сверху, но не имеет верхнего n→+∞   предела, так как L = ∅. Аналогично, положительная бесконечно большая последовательность (an ) lim an = +∞ n→+∞

ограничена снизу, но не имеет нижнего предела, так как L = ∅. На основании теоремы 1.1’ и замечания, введём определение. Определение. Если последовательность (an ) ограничена сверху и множество L её частичных пределов не пусто, то q = sup L = max L — верхний предел последовательности (an ). Обозначение: q = lim an . n→+∞

Если последовательность (an ) ограничена снизу и множество L = 6 ∅, то p = inf L = min L — нижний предел последовательности (an ). Обозначение: p = lim an . n→+∞

Условимся об обозначениях: lim an = q < +∞ — ограниченная сверху последовательность (an ) с верхним пределом q.

n→+∞

lim an = +∞ — неограниченная сверху последовательность.

n→+∞

lim an = p > −∞ — ограниченная снизу последовательность (an ) с нижним пределом p.

n→+∞

8

lim an = −∞ — неограниченная снизу последовательность.

n→+∞

1.1.3. Эквивалентные определения нижнего и верхнего предела числовой последовательности

Рассмотрим произвольную последовательность (an ), имеющую непустые числовые множества Ak = {an n > k}, k ∈ N, A1 = A. По определению, Ak+1 ⊂ Ak ⊂ A1 = A, ∀k ∈ N. Если последовательность (an ) ограничена сверху, то ограничены сверху все Ak , k ∈ N, и существует Mk = sup Ak , k ∈ N. Так как Ak+1 ⊂ Ak , то Mk+1 6 Mk и последовательность (Mk ) убывает. По теореме Вейерштрасса, либо существует lim Mk = q ∗ (если (Mk ) ограничена снизу), либо lim Mk = −∞ (если (Mk ) неограничена k→+∞

k→+∞

снизу). В последнем случае сама (an ) обязана быть отрицательной бесконечно большой последовательностью, то есть lim an = −∞. Действительно, так как lim Mk = −∞, то для любого E > 0 ∃N ∈ N, N = NE , что n→+∞

k→+∞

Mk < −E для k = N и, следовательно, an 6 Mk = sup Ak < −E для любого n > k = N , то есть lim an = −∞. n→+∞

Если (an ) ограничена снизу, то ограничены снизу все Ak , k ∈ N, и, следовательно, существуют точные нижние грани mk = inf Ak , k ∈ N. Так как Ak+1 ⊂ Ak , то mk+1 > mk . Так что последовательность (mk ) возрастает. По теореме Вейерштрасса, либо существует lim mk = p∗ (если (mk ) ограничена сверху), либо k→+∞

lim mk = +∞ ((mk ) — положительная бесконечно большая последовательность) (если (mk ) неограничена

k→+∞

сверху). В последнем случае, сама последовательность (an ) обязана быть положительной бесконечно большой последовательностью, то есть lim an = +∞. Действительно, для любого E > 0 ∃N ∈ N : mk > E для k = N , n→+∞

N = NE , и an > mk > E для всех n > k = N , то есть lim an = +∞. n→+∞

Теорема 1.2. Для произвольной последовательности (an ), ограниченной сверху и имеющей непустое множество частичных пределов, справедливо q ∗ = q = lim an . Для произвольной последовательности (an ), n→+∞

ограниченной снизу и имеющей непустое множество частичных пределов, справедливо p∗ = p = lim an . n→+∞

Лемма 1. Если (an ) ограничена сверху, и множество её частичных пределов L = 6 ∅, то для любого ε > 0 ∃N ∈ N N = Nε : an < q ∗ + ε для всех n > N . Если (an ) ограничена снизу, и множество её частичных пределов L = 6 ∅, то для любого ε > 0 ∃N ∈ N N = Nε : an > p∗ + ε для всех n > N .  (Для q ∗ ). Так как, по определению и по теореме Вейерштрасса, q ∗ = lim Mk = inf{Mk k ∈ N}, и k→+∞

q ∗ + ε > q ∗ , то, по критерию точной нижней грани, существует некий элемент MN такой, что q ∗ 6 MN < q ∗ + ε. Так как MN = sup AN , то an 6 MN < q ∗ + ε для любого n > N .  Лемма 2. Если (an ) ограничена сверху и множество L = 6 ∅, то для любого ε > 0 и любого N ∈ N ∃ n′ ∈ N, n′ > N : an′ > q ∗ − ε. Если (an ) ограничена снизу, и множество L = 6 ∅, то для любого ε > 0 и любого N ∈ N существует n′ > N ∈ N : an′ < p∗ + ε.  (Для q ∗ ). Так как Mk > q ∗ = inf{Mk k ∈ N} > q ∗ − ε для любого k ∈ N и Mk = sup Ak > q ∗ − ε, то существует an′ ∈ Ak , n′ > k, для которого q ∗ − ε < an′ . Полагаем k = N + 1 > N и находим n′ > k > N , для которого an′ > q ∗ − ε. Аналогично проверяется утверждение для p∗ .   Переходим непосредственно к доказательству теоремы 1.2 и покажем, что q ∗ = q = lim an . Проверим n→+∞

сначала, что q ∗ ∈ L. Рассмотрим последовательность (εk ), εk > 0, lim εk = 0, в которой считаем ε1 > 0 и ε1 > k→+∞

2 |q ∗ − an1 | с каким-либо индексом n1 ∈ N, так что |q ∗ − an1 | < ε1 . Остальные числа подпоследовательности (ank ) выберем по индукции. Считаем, что выбраны an1 , an2 , . . . , ank−1 , n1 < n2 < . . . < nk−1 , такие, что |q ∗ − anν | < εν , ν = 1, k − 1. Для числа εk > 0, по лемме 1, существует такой индекс Nk1 ∈ N, что an < q ∗ + εk для всех n > Nk1 . Рассмотрим Nk = max(nk−1 , Nk1 ). Согласно лемме 2, существует n′ > Nk > nk−1 , что an′ > q ∗ − εk . Полагаем nk = n′ , так что nk > nk−1 и ank > q ∗ − εk . С другой стороны, nk = n′ > Nk > Nk1 , и следовательно, ank < q ∗ + εk . Таким образом, |q ∗ − ank | < εk для всех k ∈ N и q ∗ = lim ank , q ∗ ∈ L. k→+∞

Рассмотрим теперь ε > 0 и произвольное l1 ∈ L, так что l1 = lim anν для некоторой подпоследовательности ν→+∞

(anν ) последовательности (an ). Согласно лемме 1, существует Nε ∈ N, что anν < q ∗ + ε для всех nν > Nε . По свойству сохранения неравенства для предела сходящейся последовательности, l1 = lim anν 6 q ∗ + ε. Итак, ν→+∞

любой элемент l1 ∈ L удовлетворяет неравенству l1 6 q ∗ + ε для всех ε > 0, и значит, l1 6 q ∗ для всех l1 ∈ L. Поэтому q ∗ = max L = q. Аналогично проверяется, что p∗ = min L = p.  Объединяя утверждения теоремы 1.2 и леммы 1, получим основное свойство верхнего и нижнего пределов.

9

Теорема 1.3. Если последовательность (an ) имеет конечный верхний предел

lim an = q < +∞, то для

n→+∞

любого ε > 0 существует такой индекс N ∈ N, N = Nε , что an < q + ε справедливо для всех n ∈ N, n > N . Если последовательность (an ) имеет конечный нижний предел lim an = p > −∞, то для любого ε > 0 n→+∞

существует такой индекс N ∈ N, N = Nε , что an > p − ε справедливо для всех n ∈ N, n > N . В математической литературе встречаются обозначения lim an = lim sup an и lim an = n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim inf an ,

n→+∞

объяснение которых содержится в теореме 1.2. 1.1.4. Критерий сходящейся последовательности Теорема 1.4. Числовая последовательность (an ) сходится и имеет когда 1) (an ) ограничена и 2) 

lim an = l тогда и только тогда,

n→+∞

lim an = lim an = l.

n→+∞

n→+∞

Необходимость. По условию, существует lim an = l. Тогда (an ) ограничена и множество L всех её n→+∞

частичных пределов состоит из единственного числа l, L = {l}. Поэтому, p = min L = l = max L = q. Достаточность. Согласно условиям 1) и 2) и теоремам 1.1, 1.2, множество L = 6 ∅, lim an = p = min L, n→+∞

lim an = q = max L и p = q = l. Рассмотрим произвольное число ε > 0. По теореме 1.3, существуют Nεi ∈ N,

n→+∞

i = 1, 2, что an > p − ε = l − ε для всех n > Nε1 и an < q + ε = l + ε для всех n > Nε2 . Обозначим N = Nε = max(Nε1 , Nε2 ). Тогда l − ε < an < l + ε для всех n > N , то есть l = lim an .  n→+∞

1.1.5. Некоторые свойства нижнего и верхнего предела последовательности   lim an = p > −∞ , Теорема 1.5. Если числовая последовательность (an ) имеет конечный lim an = q < +∞ n→+∞

то для произвольной сходящейся последовательности (bn ), предел которой   lim (an bn ) = b lim an lim (an bn ) = b lim an .

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim bn = b > 0, справедливо

n→+∞

n→+∞

 Доказательство проведём для верхнего предела. Рассмотрим множество L всех частичных пределов последовательности (an ); L = 6 ∅ — по условию. Если через L1 обозначить множество всех частичных пределов последовательности (an bn ), то L1 = {l1 ∈ R l1 = l′ · b, l′ ∈ L}, так как все частичные пределы сходящейся последовательности (bn ) совпадают с b. Так как число b > 0, то max L1 = b max L, так что lim (an bn ) = n→+∞

b lim an . Аналогично, min L1 = b min L и lim (an bn ) = b lim an .  n→+∞

n→+∞

n→+∞



 lim an = q < +∞ lim an = p > −∞ , то для произвольного b > 0 n→+∞ n→+∞   справедливо lim (an b) = b lim an lim (ban ) = b lim an . Следствие. Если существует n→+∞

n→+∞

Теорема 1.6. Если существует

n→+∞

n→+∞

lim an < +∞ и

n→+∞

an 6 bn для всех n > N и некоторого N ∈ N, то

lim bn < +∞ ( lim an > −∞ и

n→+∞

n→+∞

lim bn > −∞) и

n→+∞

lim an 6 lim bn ( lim an 6 lim bn ).

n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

 Доказательство приведём для верхних пределов. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно основному свойству верхнего предела (теорема 1.3), существует Nε ∈ N такое, что bn < lim bn + ε для n→+∞

всех n > Nε . Считая Nε выбранным Nε > N , где число N фигурирует в условии теоремы, заключаем, что an 6 bn < lim bn + ε для всех n > Nε , откуда lim an 6 lim bn + ε для любого ε > 0, и следовательно, n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim an 6 lim bn . 

n→+∞

n→+∞

1.2. Начальные сведения о числовых рядах 1.2.1. Понятие числового ряда. Сходящиеся ряды Рассмотрим произвольную числовую последовательность (an ). Складывая один за другим её члены, получаn P ем последовательность сумм s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , . . . , sn = a1 + . . . + an = ak , . . . , так что sn = sn−1 + an для k=1

всех n > 1. Поэтому процесс образования этих сумм можно представить в виде «бесконечно развертывающейся суммы» a1 + a2 + . . . + an + . . .. Это не алгебраическая сумма (в алгебре определены лишь суммы конечного числа слагаемых), а запись процесса образования последовательности сумм (sn ). 10

Формальное выражение (1)

a1 + a2 + . . . + an + . . . ,

порождаемое числовой последовательностью (an ), называют числовым рядом, a1 , a2 , . . . — его членами: первым, вторым; an — n–ым или общимPчленом ряда; s1 , s2 ,. . . — частными (или частичными) суммами ряда. Будем ряд (1) обозначать символом an . Иногда нумерацию членов ряда начинают не с 1, а с 0. P Если последовательность (sn ) частных сумм ряда an сходится к некоторому числу s, то этот ряд называют ∞ P сходящимся, а s — его суммой, и пишут s = an , или (допуская вольность в обозначениях) s = a1 + a2 + . . . + an + . . .. Часто символом

∞ P

n=1

an обозначают сам ряд (1). Если последовательность (sn ) не имеет предела,

n=1

ряд (1) называют расходящимся. По определению, для произвольных n, p ∈ N справедливо sn+p =

n+p X k=1

ak =

n X

ak +

k=1

n+p X

(2)

ak = sn + (an+1 + . . . + an+p ).

k=n+1

Теорема 1.7. (Критерий Коши сходимости числового ряда). Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда для произвольного ε > 0 существует Nε ∈ N, что (3)

|an+1 + . . . + an+p | < ε

справедливо для всех n, p ∈ N, n > Nε .  Согласно (2), |an+1 + . . . + an+p | = |sn+p − sn | и свойство (3) равносильно критерию Коши сходимости последовательности (sn ), что, в свою очередь, равносильно свойству сходимости ряда (1).  Следствие. (Необходимое условие сходимости P ряда). У сходящегося ряда его члены образуют бесконечно малую последовательность; то есть, если ряд an сходится, то lim an = 0. n→+∞

 В условии (3) выбираем p = 1. Тогда |an+1 | < ε для любого ε > 0 и всех n ∈ N, n > Nε ; то есть, lim an = 0. 

n→+∞

∞ √ P √ 1 √ 1 √ √ Пример 2.1. Ряд имеет an = √n+1+ = n + 1 − n, n ∈ N, и sn = a1 + a2 + . . . + an = n+1+ n n n=1 √ √ √ √ √ √ 2 − 1 + 3 − 2 + . . . + n + 1 − n = n + 1 − 1, n ∈ N. Ряд расходится, поскольку lim sn = +∞, но n→+∞

lim an = 0.

n→+∞

Поэтому, необходимое условие сходимости ряда не является достаточным. ∞ ∞ P P Числовой ряд a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 + aq n + . . . = aq n−1 = aq n , a 6= 0, и 00 = 1, если q = 0, называют n=1

n=0

бесконечной геометрической прогрессией. Его частные суммы  1−qn n X a 1−q , если q 6= 1, n−1 sn = aq = an, если q = 1. k=1 Так как lim q n = 0, если |q| < 1, то lim sn = n→+∞

n→+∞

a 1−q

при |q| < 1. Если |q|>1, то (q n ) — бесконечно большая

последовательность, и следовательно, ряд расходится. Если |q| = 1, то общий член ряда  a для q = 1, an = aq n = (−1)n a для q = −1,

и так как a 6= 0, последовательность (an ) не является бесконечно малой, и ряд расходится, согласно необходимому условию сходимости ряда. P P Теорема 1.8. (Линейное свойство сходящихсяPрядов). Если ряды an и bn сходятся кP суммам sP и t, соответственно, то для любых λ1 , λ2 ∈ R ряд (λ1 an + λ2 bn ) — линейная комбинация λ1 an + λ2 bn исходных рядов — сходится к сумме λ1 s + λ2 t. m n n P P P  Рассмотрим частные суммы sn = a k , tn = bk и σn = (λ1 ak + λ2 bk ), n ∈ N. Тогда σn = k=1

k=1

k=1

n→+∞

n→+∞

λ1 sn + λ2 tn , n ∈ N, и так как , по условию, существует lim sn = s и

lim tn = t, то по свойству линейности

предела последовательности, существует lim σn = λ1 lim sn + λ2 lim tn = λ1 s + λ2 t = σ и число σ есть n→+∞ n→+∞ n→+∞ P P P сумма ряда (λ1 an + λ2 bn ) = λ1 an + λ2 bn .  11

Для k ∈ N, k–ым остаточным рядом (k–ым остатком) ряда ak+1 + ak+2 + . . . =

∞ X

P

an называют числовой ряд (4)

ak+n .

n=1

Теорема 1.9. Каждый остаточный ряд сходится или расходится одновременно с исходным рядом и в случае сходимости ∞ ∞ X X ak+n = an − sk . (5) n=1

 n P

n=1

(k)

(k)

Обозначим sn , tn — частные n–ые суммы рядов (1) и (4), соответственно. Тогда tn = ak+1 +. . .+ak+n =

ak+l и

l=1

sk+n = a1 + a2 + . . . + ak + ak+1 + . . . + ak+n = sk + t(k) n , n ∈ N.

(6)

Числа sk+n , n ∈ N, k — фиксированное, образуют подпоследовательность (sk+n ) последовательности (sn ). Если сходится ряд (1), то существует lim sn = s и s = lim sn+k для любой подпоследовательности (sn+k ). n→+∞

Согласно (6), существует lim

(k) tn

формула (5). Числа rk = lim

(k) tn ,

n→+∞

n→+∞

n→+∞

= s − sk , k ∈ N; то есть сходится любой остаток (4) ряда (1) и справедлива k ∈ N, называют суммами остатков ряда (1) и формула (5) принимает вид

s − sk = rk , k ∈ N. (k) Обратно, если сходится некоторый k–ый остаток (4) ряда (1). то есть, существует lim tn = rk , то в силу n→+∞

формулы (6) существует lim sn+k = sk + rk , так что для произвольного ε > 0 существует такой индекс N ∈ N, n→+∞

что |sn+k − (sk + rk )| < ε для всех n > N . Но последнее означает, что |sn − (sk + rk )| < ε для всех n > N + k, то P есть, что существует lim sn = s = sk + rk и ряд an сходится.  n→+∞

Следствие 1.1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда суммы его остатков образуют бесконечно малую последовательность.  Выше отмечено, что формула (5) имеет эквивалентный вид s = sk + rk , k ∈ N. Поэтому lim sk = s ⇔ k→+∞

lim rk = 0. 

k→+∞

Следствие 1.2. (Свойство локальности для рядов). Изменение или отбрасывание любого конечного числа членов ряда не нарушает его сходимости или расходимости. P  Поскольку изменилось или отброшено лишь конечное число членов исходного ряда an , то некоторый P остаточный ряд ряда a является остаточным (может быть, с другим номером) и для полученного ряда n P bn . Поэтому сходимость (расходимость) этого остаточного ряда в силу теоремы равносильна сходимости P P (расходимости) и ряда an и ряда bn .  1.2.2. Суммирование монотонной последовательности

Теорема 1.10. Если неотрицательная функция f (x) > 0 убывает на промежутке [a, +∞) и имеет lim f (x) = x→+∞

0, то для любого n ∈ N числа sn = f (a) + f (a + 1) + . . . + f (a + n − 1) и σn = sn = σn + c − αn , n ∈ N,

a+n R

f (x) dx связаны отношением

a

(7)

в котором 0 6 c 6 f (a) и αn — бесконечно малая последовательность, 0 6 αn 6 f (a + n), n ∈ N. Если, дополнительно, функция f выпукла вниз, то 12 f (a) 6 c 6 f (a) и 12 f (a + n) 6 αn 6 f (a + n).  Нарисуем чертёж.

12

f (a)

f (a + k − 1) f (a + k)

f (a + n)

1

a

a+1

a+k−1 a+k a+n−1 a+n

Так как функция f убывает на [a, +∞), то f интегрируема на каждом [a, a + n], и следовательно числа a+n R σn = f (x) dx существуют. Так как f > 0 на [a, +∞), то σn — площадь криволинейного трапеции (подграфика) a

функции f над отрезком [a, a + n]. Число f (a + k − 1), k ∈ N, равно площади прямоугольника со стороной [a + k − 1, a + k] на оси OX и высотой f (a + k − 1), и потому число sn = f (a) + f (a + 1) + . . . + f (a + n − 1) равно площади прямоугольной ступенчатой фигуры, описывающей подграфик функции f над [a, a + n]. Так что sn > σn и cn = sn − σn > 0, n ∈ N. Число cn равно сумме площадей заштрихованных "криволинейных" прямоугольников (как на рисунке). Совершим параллельный перенос их вдоль оси OX влево в прямоугольник Π со стороной [0, 1] и высотой f (a) и получим оценку 0 6 cn 6 f (a) = площадь Π. Далее, cn+1  > cn , n ∈ N, то есть (cn ) ↑ и ограничена сверху. Она имеет lim cn = c и 0 6 c 6 f (a). Так как c = sup cn n ∈ N , то n→+∞

c > cn , n ∈ N, и cn = c − αn , n ∈ N, где (αn ) ↓ и

lim αn = 0. Более того, 0 6 αn 6 площадь Πn , где Πn —

n→+∞

прямоугольник со стороной [0, 1] на оси OX и высотой f (a + n), так что 0 6 αn 6 f (a + n), n ∈ N, и формула (7) доказана. Если, дополнительно, функция f выпукла вниз (как на рисунке), то заштрихованного в прямоугольниках Π и Πn не меньше, чем незаштрихованного, и следовательно, справедливы противоположные равенства 12 f (a) 6 c 6 f (a) и 12 f (a + n) 6 αn 6 f (a + n), n ∈ N.  1.2.3. Гармонический ряд ∞ P1 P 1 Так называют ряд 1 + 12 + 13 + . . .+ n1 + . . . = n = n . Его общий член an = n=1

1 n

= f (n), n ∈ N, где f (x) = x1 ,

x > 1, и согласно формуле (7),

1 1 sn = 1 + + . . . + = 2 n

n+1 Z 1

dx + c − αn = ln(n + 1) + c − αn , n ∈ N, x

(8)

1 1 = 12 f (1) < c < f (1) = 1 и 2(n+1) < 12 f (n + 1) < αn < f (n + 1) = n+1 , n ∈ N. 1 Число c, 2 < c < 1, в формуле (8), называется константой Эйлера (до настоящего времени не известна её природа: является ли число c рациональным, иррациональным, трансцендентным и т.п.). Так как lim ln(n +

где

1 2

n→+∞

1) = +∞, то на основании (8) заключаем, что гармонический ряд расходится. С другой стороны, lim 1 n→+∞ n

lim an =

n→+∞

= 0. 1.2.4. Эталонный ряд

P

1 np

Если p = 0, то an = n1p = 1, n ∈ N, так что последовательность (an ) — постоянная и не бесконечно малая, и следовательно, ряд расходится. Если p < 0, то an = n1p → +∞ при n → +∞ и ряд расходится (в силу необходимого признака сходимости ряда). Если p > 0, то по теореме пункта 2.2, в которой an = n1p = f (n), n ∈ N,

13

и f (x) =

1 xp ,

p > 0, x > 1, имеем

1 1 1 sn = 1 + p + p + . . . + p = 2 3 n

n+1 Z 1

где lim αn = 0. Отсюда n→+∞

  p−1  1 1 1 dx + p−1 + cp − αn , p 6= 1, p−1 n+1 + cp − αn = ln(n + 1) + c − α , p = 1. xp n

lim sn =

n→+∞

(

,

1 p−1

+ cp , если p > 1, +∞, если 0 < p 6 1.

P 1 Таким образом, ряд np сходится при p > 1 и расходится при p 6 1. 1 1 1 Если p > 1, то по теореме пункта 2.2, 2(n+1) p < αn < (n+1)p и сумма ряда s = p−1 + cp . Поэтому для сумм rn , n ∈ N, остатков ряда имеем оценки   1 1 1 1 1 1 1 p 1 rn = s−sn = +αn и < rn < + < , n ∈ N, p−1 p−1 p−1 p − 1 (n + 1) p − 1 (n + 1) (n + 1) p−1 n+1 p − 1 (n + 1)p−1 P 1 являющиеся оценками скорости сходимости эталонного ряда np . 1.2.5. Интегральный признак (Коши–Маклорена) сходимости положительного ряда Теорема 1.11. Если неотрицательная функция f (x) убывает на [a, +∞) и ряд

∞ P

n=1



lim f (x) = 0, то числовой

n→+∞

f (a + n − 1) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом Согласно теореме пункта 2.2, частные суммы ряда sn =

a+n R a

этому, ряд

P

+∞ R

f (x) dx.

a

f (x) dx + c − αn , n ∈ N, где lim αn = 0. Поn→+∞ a+n R

f (a + n − 1) сходится тогда и только тогда, когда существует lim bn = b, где bn = n→+∞

a

f (x) dx, n ∈

N. Так как f (x) > 0, x ∈ [a, +∞), то все bn > 0 и bn+1 > bn , n ∈ N. По теореме Вейерштрасса, возрастающая последовательность (bn ) сходится тогда и только тогда, когда (bn ) ограничена сверху. Rt На [a, +∞) определена функция F (t) = f (x) dx и F (t) > 0. F ↑ на [0, +∞). Согласно обозначениям, bn =

F (n + a), n ∈ N. Несобственный интеграл

a +∞ R a

f (x) dx сходится ⇔ существует lim F (t) = l ⇔ F (x) ограничена t→+∞

сверху на [a, +∞) ⇔ (bn ), bn = F (a + n), n ∈ N, ограничена сверху. Действительно, пусть F ограничена сверху, то есть существует C > 0, что 0 6 F (t) 6 C для всех t ∈ [a, +∞). Рассмотрим произвольное n ∈ N, ∃ t, t > a + n и F (t) > F (a + n) = bn или bn 6 F (t) 6 C, n ∈ N, то есть, (bn ) ограничена сверху. Если (bn ) ограничена сверху, то есть, 0 6 bn 6 C, n ∈ N, то для произвольного t ∈ [a, +∞) существует n ∈ N, что n + a > t и F (t) 6 F (a + n) = bn 6 C, то есть, F ограничена сверху на [a, +∞). +∞ R Итак, несобственный интеграл f (x) dx сходится ⇔ функция F (t) ограничена сверху на [a, +∞) ⇔ (bn ) a P ограничена сверху ⇔ сходится ряд f (a + n − 1).  1.2.6. Примеры

Ряд

∞ P

n=2



1 n lnq n

сходится при q > 1 и расходится при q 6 1.

Общий член an = n ln1q n , n ∈ N, порождён функцией f (x) = x ln1q x , x ∈ [2, +∞). Так как f ′ (x) = < 0, если x > e−q , то f ↓↓ на [2, +∞) ∩ (e−q , +∞), причём lim x ln1q x = 0 для любого q ∈ R.

− x2 ln1q+1 x (ln x + q)

x→+∞

Следовательно, по теореме предыдущего пункта,(ряд сходится или расходится одновременно с несобственным 2)1−q 1 1−q +∞ R Rt dx − (ln1−q , q 6= 1, dx 1−q (ln t) интегралом . Функция F (t) = = имеет lim F (t) = +∞, если x lnq x x lnq x t→+∞ ln ln t − ln ln 2, q = 1 2 2 q 6 1, и lim F (t) = t→+∞

(ln 2)1−q q−1 ,

если q > 1. 

1.3. Знакопостоянные ряды P

P Числовой P ряд un называется знакопостоянным, если его члены сохраняют постоянный знак. Так как ряды un и − un сходятся или расходятся одновременно, то достаточно рассматривать только ряды с un > 0, n ∈ N. 14

Определение. Числовой ряд

P

un называется положительным, если все его члены неотрицательны.

1.3.1. Критерий сходимости положительного ряда P Теорема 1.12. Положительный ряд un , un > 0, сходится тогда и только тогда, когда последовательn P ность (sn ) его частных сумм, sn = uk , k ∈ N, ограничена сверху. k=1



sn+1 = sn +un+1 > sn > 0, n ∈ N, то есть, (sn ) ↑ и, следовательно, по теореме Вейерштрасса, lim sn = s n→+∞

существует (то ряд  есть, сходится) тогда и только тогда, когда (sn ) ограничена сверху. В случае сходимости, sn 6 s = sup sn n ∈ N , n ∈ N.  Поскольку ограниченность сверху любой возрастающей последовательности равносильна ограниченности сверху некоторой её подпоследовательности, то теорема 1.12 равносильна следующей теореме. Теорема 1.13. Положительный ряд сходится в том и только в том случае, когда некоторая подпоследовательность его частных сумм ограничена сверху. 1.3.2. Общий признак сравнения положительных рядов P P Теорема 1.14. Если положительные ряды un иP vn обладают свойством, что P un 6 vn для всех n, начиная с некоторого индекса, то из сходимости ряда v следует сходимость ряда un (и, следовательно, P Pn из расходимости ряда un следует расходимость ряда vn ). (k)

(k)

 По условию, существует такой номер k ∈ N, что uk+n 6 vk+n для всех n ∈ N. Пусть (sn ) и (tn ) P P (k) (k) — последовательности частных сумм рядов uk+n и vk+nP , соответственно, так что sn 6 tn для всех P n ∈ N. Если ряд vn сходится, то его k–ый остаточный ряд vk+n тоже сходится, так что, по теореме 1.12, (k) (k) последовательность (tn ) его частных суммPограничена сверху. Но тогда и последовательность (sn ) ограничена, P и значит, на основании теоремы 1.12, ряд uk+n сходится. Следовательно, и ряд un сходится.  Эта теорема позволяет иногда устанавливать сходимость или расходимость положительного ряда путём подбора надлежащего «ряда сравнения», в качестве которого часто выступают эталонный ряд и бесконечная геометрическая прогрессия. P Следствие 1.3. Если положительный ряд un сходится и vn = an un , n ∈ N, где 0 6 an 6 A для всех P n ∈ N, начиная с некоторого номера, то сходится и ряд vn . P Следствие 1.4. Если положительный ряд un расходится и vn = bn un , n ∈ N, где bn > b > 0 для всех P n ∈ N, начиная с некоторого номера, то расходится и ряд vn . P общего признака сравнения рядов). Если положительные ряды un и P Следствие 1.5. (Предельная форма vn обладают свойством lim uvnn = l, 0 < l < +∞, то ряды сходятся или расходятся одновременно. n→+∞ l  Рассмотрим ε = 2 > 0 и найдём N ∈ N, N = Nε , что uvnn − l < ε для всех n > N , или 2l = l − ε < uvnn < l+ε=

3l 2,

n > N , и воспользуемся следствиями 1.3 и 1.4. 

1.3.3. Основной признак сравнения положительных рядов P P un+1 vn+1 Теорема 1.15. Если положительные ряды P un и vn обладают свойством P un 6 vn для всех n > n0 сPнекоторого n0 ∈ N, то из сходимости ряда vn следует сходимость ряда un (и из расходимости ряда P un следует расходимость ряда vn ). u u +n n+1  По условию, un > 0, vn > 0 для всех n > n0 и uvnn > uvn+1 для всех n > n0 , или vnn0 > vnn0+n для 0

u

0

всех n ∈ N. Полагая vnn0 = ρ > 0, получим un0 +n 6 ρvn0 +n и vn0 +n > ρ1 un0 +n для всех n ∈ N. Доказательство 0 завершается применением следствий 1.3 и 1.4 и теоремы предыдущего пункта 3.2.  1.3.4. Признак Даламбера сходимости положительных рядов P Теорема 1.16. Если положительный ряд un обладает свойством, что числовая последовательность (dn ), dn = uun+1 , имеет d = lim d и d = lim dn , то ряд сходится, когда d < 1 и расходится, когда d > 1. n n n→+∞

n→+∞

Случай, когда d 6 1 и d > 1, требует дополнительных исследований. 

Предположим сначала, что d < 1, и рассмотрим ε1 =

предела, существует n1 ∈ N, что dn < d + ε1 = P n P т.к. ряд q сходится, то сходится и un .

1+d 2

1−d 2

> 0. Согласно основному свойству верхнего

= q < 1 для всех n > n1 . Тогда

15

un+1 un

<

qn+1 qn

= q, n > n1 , и

Если теперь d > 1 и ε2 = d−1 2 > 0, то согласно основному свойству нижнего предела, существует n2 ∈ N, что dn > d − ε2 = d+1 > 1 для всех n > n2 , или uun+1 > 1, un+1 > un > 0, n > nP 2 , так что (un ) не может быть 2 n бесконечно малой последовательностью. Согласно необходимому признаку, ряд un расходится. Приводимые ниже примеры иллюстрируют последнее утверждение теоремы.  P Следствие 1.6. (Предельная форма признака Даламбера). Если положительный ряд un обладает свойством, что числовая последовательность (dn ), dn = uun+1 , n ∈ N, имеет lim d = d, то ряд сходится, когда n n n→+∞

d < 1, и расходится, когда d > 1. Случай d = 1 требует дополнительного исследования.  Так как существует lim dn = d, то d = d = d.  n→+∞ P1 1 un+1 n Пример 3.1. n расходится. un = n , un = n+1 → 1, n → +∞. P 1 un+1 1 n2 Пример 3.2. n2 сходится, un = n2 , un = (n+1)2 → 1, n → +∞.

Пример 3.3. a + b2 + a3 + b4 + . . . , 0 < a < b < 1, сходится как сумма двух бесконечных геометрических
2k
2k+1 u u прогрессий. Так как u2k = b2k , u2k−1 = a2k−1 , k ∈ N, то u2k+1 = a ab → 0 при k → +∞ и u2k+2 = b ab → 2k 2k+1 +∞ при k → +∞, и следовательно, d = 0 и d = +∞. ( √1 , если n = k 2 , k ∈ N, Пример 3.4. Рассмотрим un = 1 n 2 n , если n ∈ N, n 6= k . при k → +∞,

uk2 uk2 −1

=

k2 −1 k

Тогда ряд

P

un расходится и

uk2 +1 uk2

=

k k2 +1

→0

→ +∞ при k → +∞. Таким образом, d = 0 и d = +∞.

1.3.5. Алгебраический признак Коши сходимости положительных рядов P √ Теорема 1.17. Рассмотрим положительный ряд un и для последовательности (cn ), cn = n un , n ∈ N, обозначим c = lim cn (возможно, c = +∞). Если c < 1, ряд сходится; если c > 1 (в частности, c = +∞), n→+∞

ряд расходится. Случай c = 1 требует дополнительных исследований.  Пусть сначала c < 1, 0 6 c < 1. Для числа ε = 1−c 2 > 0, согласно основному свойству верхнего предела, 1

n n существует nε ∈ N, что cn < c + ε = 1+c 2 = q < 1 для всех n > nε . Таким образом, un = cn < q, un < q для P n всех n > nε . Так q сходится и, по общему признаку сравнения положительных рядов, P как 0 6 q < 1, то ряд сходится ряд un . Пусть теперь c > 1 (в частности, c = +∞). Так как c — частичный предел числовой последовательности (cn ), то c = lim cnk для некоторой подпоследовательности (cnk ) последовательности (cn ) ( lim cnk = +∞, k→+∞

k→+∞

если c = +∞). Поскольку c > 1, существует K ∈ N, что cnk > 1 для всех k > K (неравенство сохранится и в 1 n

случае lim cnk = +∞). Следовательно, unkk = cnk > 1, unk > 1 для всех k > K. Таким образом, подпоследоk→+∞

вательность (unk ) и сама последовательность (un ) не могут быть бесконечно малыми, и ряд расходится в силу необходимого признака сходимости ряда. Последнее утверждение теоремы иллюстрируется примерами ниже.  P Следствие 1.7. (Предельная форма признака Коши). Если положительный ряд un обладает свойством, √ что последовательность (cn ), cn = n un , n ∈ N имеет lim cn = c, то ряд сходится, когда c < 1, и расхоn→+∞

дится, когда c > 1. Случай c = 1 требует дополнительных исследований.  Так как существует lim cn = c, то c = c.  n→+∞ P1 √ 1 n u Пример 3.5. n → 1, n → +∞. n расходится; un = n , cn = P 1 √ 1 1 n Пример 3.6. un = √ n 2 → 1, n → +∞. n2 сходится, un = n2 , cn = n

1.3.6. Признак Раабе P Теорема 1.18. un существует последовательность (pn ),   Предположим, что для положительного ряда un pn = n un+1 − 1 , n ∈ N. Если существуют число p > 1 и индекс n0 ∈ N, что pn > p для всех n > n0 , то ряд сходится. Если pn 6 1 для всех n > n1 и некоторого n1 ∈ N, то ряд расходится.  Пусть, сначала, pn > p > 1, n > n0 . Тогда un p > 1 + , n > n0 . un+1 n

16

(1)

Выберем α, 0 < α < p − 1, так что ряд vn vn+1

=



n+1 n

P

1+α

vn , vn = =

1 n1+α ,

n ∈ N, сходится. Имеем

 1+α   1 1+α 1 1+ =1+ +o , n → +∞. n n n

(2)

  1 p−α−1 = [1 + o(1)] , n → +∞, n n

(3)

Поэтому, на основании (1) и (2), un vn p−α−1 − > +o un+1 vn+1 n и так как p − α − 1 > 0 и

lim [1 + o(1)] = 1 > 0, то (по свойству сохранения знака предела) правая часть в

n→+∞

vn n − vn+1 > 0, n > N , и (3) положительна для всех n > N и некоторого N ∈ N (выбираем N > n0 ). Итак, uun+1 P un+1 vn+1 < для всех n > N , и следовательно, ряд u сходится по основному признаку сравнения рядов. n un vn 1

un+1 n n+1 n Пусть теперь pn 6 1 для всех n > n1 . Тогда uun+1 6 1 + n1 = n+1 для всех 1 n , n > n1 , и un > n+1 = n P1 P un .  n > n1 . Так как ряд n расходится, то расходится и ряд P Следствие 1.8. Если (pn ) в теореме имеет lim pn = p > 1, то ряд un сходится. Если lim pn = p < 1, n→+∞ n→+∞ P то ряд un расходится.



1+p 2

Для ε1 =

p−1 2

> 0, согласно основному свойству нижнего предела, существует n1 ∈ N, что pn > p − ε1 =

> 1 для всех n > n1 , и ряд сходится по теореме. Для ε2 = 1−p 2 > 0, согласно основному свойству верхнего < 1 для всех n > n2 , и ряд расходится по теореме.  предела, существует n2 ∈ N, что pn < p + ε2 = 1+p 2 P Следствие 1.9.(Предельная форма признака Раабе). Если для положительного ряда un последователь un ность (pn ), pn = n un+1 − 1 , n ∈ N, имеет lim pn = p, то ряд сходится, когда p > 1, и расходится, когда n→+∞

p < 1; случай p = 1 требует дополнительных исследований.  По критерию существования предела последовательности, p = lim pn = p = lim pn = p = lim pn , n→+∞

и применяем предыдущее следствие.  P1 Пример 3.7. Ряд n расходится, un =

n→+∞

 − 1 = 1, n ∈ N, и lim pn = 1. n→+∞   P 1 un Пример 3.8. Ряд сходится, но lim pn = 1, где pn = n un+1 − 1 , un = n ln12 n , n > 2. n2 ln2 n n→+∞   n Замечание. Если существует lim pn = lim n uun+1 − 1 = p и так как последовательность (n) — бесn→+∞ n→+∞   un − 1 = 0, и следовательно, lim uun+1 = 1. Поэтому, в случае p 6= 1 признак конечно большая, то lim n n→+∞ n→+∞ un+1 P Раабе даёт ответ о сходимости или расходимости ряда un . 1 n,

pn = n



n→+∞

un un+1

1.3.7. Признак Гаусса P Теорема 1.19. Предположим, что положительный ряд un обладает свойством un µ θn = λ + + 1+σ , n ∈ N, un+1 n n

(4)

где λ, µ, σ ∈ R и σ > 0, а последовательность (θn ) ограничена. Тогда 1. если λ > 1, ряд сходится, и если λ < 1 — расходится; 2. если λ = 1, то ряд сходится при µ > 1 и расходится при µ < 1; 3. при λ = µ = 1 ряд расходится. 

un n→+∞ un+1

Так как (θn ) ограничена, то lim

= λ, и утверждение 1 — предельная форма признака Даламбера.

Если λ = 1, то (4) принимает вид

и следовательно, lim n n→+∞



un µ θn = 1 + + 1+σ , n ∈ N, un+1 n n

un un+1

(5)

 − 1 = µ, так что утверждение 2 — предельная форма признака Раабе. Пусть,

наконец, λ = µ = 1, то есть (5) переходит в

un 1 θn = 1 + + 1+σ , n ∈ N. un+1 n n 17

(6)

Рассмотрим расходящийся ряд

P

1 n ln n

и обозначим vn =

1 n ln n ,

n > 2. Тогда



   n + 1 ln(n + 1) 1 ln n + ln 1 + n1 1 ln n + n1 + o n1 = = 1+ = 1+ = vn+1 n ln n n ln n n ln n         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1+ 1+ +o = 1+ + + +o = 1+ + +o , n → +∞. n n ln n n ln n n n ln n n2 ln n n ln n n n ln n n ln n (7) vn

На основании (6) и (7), имеем

Так как

    un vn 1 θn 1 1 θn ln n − =− + 1+σ + o =− 1− + o(1) , n → +∞. (8) un+1 vn+1 n ln n n n ln n n ln n nσ   n n lim 1 − θnnln + o(1) = 1 > 0 (последовательность (θn ) ограничена, а lim ln σ nσ = 0, σ > 0), то

n→+∞

n→+∞ un un+1

правая часть в (8) отрицательна для всех n > nε с некоторым nε ∈ N. Таким образом, P un+1 vn+1 un расходится.  un > vn , n > nε , и следовательно, ряд

<

vn vn+1 ,

n > nε , или

1.4. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды

1.4.1. Понятие абсолютно сходящегося ряда P P Определение 1. Числовой ряд an называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд |an | из абсолютных величин |an | членов an ряда. Любой сходящийся знакопостоянный ряд сходится абсолютно. Теорема 1.20. Любой абсолютно сходящийся ряд сходится. P P  Рассмотрим произвольный абсолютно сходящийся рядP an , то есть, сходящийся ряд |an |, и произвольное число ε > 0. По критерию Коши для сходящегося ряда |an |, существует nε ∈ N, что ||an+1 | + . . . + |an+p || < ε для всех n, p ∈ N, n > nε . Но тогда |an+1 + . . . + an+p | 6 |an+1P | + . . . + |an+p | = ||an+1 | + . . . + |an+p || < ε для всех n, p ∈ N, n > nε , и согласно критерию Коши, сходится ряд an .  1.4.2. Линейное свойство абсолютно сходящихся рядов

Теорема 1.21. Сумма абсолютно сходящихся рядов образует абсолютно сходящийся ряд. P P  Пусть ряды an и bn сходятся абсолютно и число ε > 0 — произвольное. Так как сходятся ряды P P |an | и |bn |, то по критерию Коши, существует nε ∈ N, что |an+1 |+. . .+|an+p | < ε2 и |bn+1 |+. . .+|bn+p | < 2ε для ε ε всех n, p ∈ N, n > nε . Поэтому, |an+1 + bn+1 |+ . . .+ |an+p + bn+p | 6 |an+1 |+ P|bn+1 |+ . . .+ |an+p |+ |bn+p P| < 2 + 2 = ε для всех n, p P ∈ N, n P > nε , так что, по критерию Коши, сходится ряд |an + bn |, то есть, ряд (an + bn ) — сумма рядов an и bn — сходится абсолютно.  P P Теорема 1.22. Если ряд an абсолютно сходится и последовательность (Mn ) ограничена, то ряд Mn an сходится абсолютно.  По условию теоремы, существует такое число C > 0, что |Mn | 6 C справедливо для всех n ∈ N0 . Поэтому, |Mn+1 an+1 |+. . .+|Mn+p an+p | = |Mn+1 | |an+1 |+. . .+|Mn+p | |an+p | 6 C (|an+1 | + . . . + |aP n+p |) справедливо для всех n, p ∈ N. Рассмотрим произвольное ε > 0. Так как по условию теоремы сходится ряд |an |, то существует такое nε ∈ N, что |an+1 | + . . . + |an+p | < Cε для всех n, p ∈ N, n > nε . Следовательно, |M a | + . .P . + |Mn+p an+p | < n+1 n+1 P C Cε = ε для всех n, p ∈ N, n > nε , и по критерию Коши, сходится ряд |Mn an |, то есть, ряд Mn an сходится абсолютно.  1.4.3. Признаки абсолютной сходимости числовых рядов P Теорема 1.23. (Признак Даламбера). Если числовой ряд an обладает свойством, что существует lim aan+1 = n n→+∞ λ и lim aan+1 = λ, то ряд сходится абсолютно, когда λ < 1, и ряд расходится, когда λ > 1. n n→+∞ |a |  Так как aan+1 , n ∈ N, то из условия λ < 1, по признаку Даламбера следует, что сходится = |an+1 n P P n| ряд |an |, то есть ряд an сходится абсолютно. Если λ > 1, то в доказательстве признака Даламбера было установлено, что |an+1 | > |an | для всех n ∈ N, n > n1 и некоторого P Pn1 ∈ N, так что последовательности (|an |) и (an ) не могут быть бесконечно малыми, и поэтому ряды |an | и an расходятся.  p P Теорема 1.24. (Признак Коши). Если для числового ряда an рассмотреть lim n |an | = µ, то ряд n→+∞

абсолютно сходится, когда µ < 1, и ряд расходится, когда µ > 1 (в частности, если µ = +∞). 18

P  Рассмотрим положительный ряд |an |. Согласно признаку Коши, этот ряд сходится, если µ < 1, то P есть, ряд an абсолютно сходится при µ < 1. Если µ > 1 (в частности, если µ = +∞), то в доказательстве признака Коши было отмечено, что последовательность (|an |) не может быть бесконечно малой, а вместе P с ней и (an ) не является бесконечно малой последовательностью, так что по необходимому признаку, ряд an расходится.  P Следствие. (Предельная форма признаков Даламбера и Коши). Если у числового ряда an существуют p n lim an+1 = λ или lim |a | = µ, то ряд абсолютно сходится, когда λ < 1 или µ < 1, и ряд расходится, n an

n→+∞

n→+∞

когда λ > 1 или µ > 1; случай λ = 1 или µ = 1 требует дополнительных исследований.

Согласно условию и критерию существования предела последовательности, λ = λ = λ = lim aan+1 = n n→+∞ p n lim an+1 |an |. Применяем предыдущие теоремы.  an и µ = µ = lim 

n→+∞

n→+∞

1.4.4. Условно сходящиеся ряды P Так называютPчисловые ряды an , которые сходятся, но не сходятся абсолютно; то есть, расходится положительный ряд |an |. Теорема 1.25. (Тождество Абеля). Рассмотрим последовательности (an ), (αn ) и (sn ), s0 = 0, s1 = n P a1 , . . . , sn = ak , n ∈ N. Тогда для произвольных m, n ∈ N, m > n, справедливо тождество k=1

m X

αk ak =

k=n

m−1 X k=n

sk (αk − αk+1 ) + αm sm − αn sn−1 .

 m X

αk ak =

k=n

m X

k=n

αk (sk − sk−1 ) = αn (sn − sn−1 ) + αn+1 (sn+1 − sn ) + . . . + αm (sm − sm−1 ) = sn (αn − αn+1 )+

+ sn+1 (αn+1 − αn+2 ) + . . . + sm−1 (αm−1 − αm ) + αm sm − αn sn−1 =

m−1 X k=n

sk (αk − αk+1 ) + αm sm − αn sn−1 .

 1.4.5. Признак Дирихле сходимости числового ряда Теорема 1.26. Если P 1. последовательность (sn ) частных сумм ряда an ограничена; 2. последовательность (αn ) убывает и бесконечно мала, то есть lim αn = 0, n→+∞

P

то ряд αn an сходится. P  Проверим выполнение критерия Коши для ряда αn an . Рассмотрим произвольное ε > 0 и произвольные m, n ∈ N, m > n. Согласно тождеству Абеля, m X m−1 X αk ak 6 |sk | |αk − αk+1 | + |sm | |αm | + |sn−1 | |αn | . k=n

k=n

По условию 1 теоремы, существует такое M > 0, что |sk | 6 M для всех k ∈ N, и поэтому, m "m−1 # X X αk ak 6 M |αk − αk+1 | + |αm | + |αn | . k=n

(1)

k=n

Так как последовательность (αn ) убывает, то |αk − αk+1 | = αk − αk+1 > 0, k ∈ N, и неравенство (1) принимает вид m "m−1 # X X αk ak 6 M (αk − ak+1 ) + |αm | + |αn | = M [αn − αn+1 + αn+1 − αn+2 + . . . + αm−1 − αm + |αm | + |αn |] = k=n

k=n

= M (αn + |αn | − αm + |αm |) 6 2M (|αn | + |αm |). (2)

19

ε Так как lim αn = 0, то для ε > 0 существует такой nε ∈ N, что |αn | < 4M для всех n ∈ N, n > nε . Поэтому, n→+∞ m P ε ε |αm | < 4M для всех m > n > nε , и, согласно (2), αk ak < 4M · 4M = ε для всех m, n > nε , что является k=n P критерием Коши сходимости ряда αn an . 

1.4.6. Признак Абеля сходимости числового ряда

Теорема 1.27. Если P 1. ряд an сходится и 2. последовательность (αn ) монотонна и ограничена, P то ряд αn an сходится. P  Согласно условию 1 теоремы, последовательность an ограничена (как сходяP(sn ) частных сумм ряда щаяся последовательность, lim sn = s — сумма ряда an ). Пусть, для определенности, последовательность n→+∞

(αn ) возрастает. Согласно теореме Вейерштрасса, существует

lim αn = α и αn 6 αn+1 6 α для всех n ∈ N.

n→+∞

Следовательно, βn = α − αn > 0, βn+1 = α − αn+1 6 α − αn = βn , n ∈ N, и lim βn = 0. Согласно признаку Диn→+∞ P P P рихле, сходится ряд βn an = (α− αn )an . Согласно условиюP1 теоремы, P сходится рядP αan , и следовательно, в силу свойства линейности сходящихся рядов, сходится ряд αan − (α − αn )an = αn an .  P

1.4.7. Знакочередующиеся ряды

Так называют ряды вида (−1)n+1 un = u1 − u2 + u3 − u4 + . . ., у которых un > 0, n ∈ N. P Теорема 1.28. (Признак Бернулли–Лейбница). Знакочередующийся ряд (−1)n+1 un сходится, если последовательность (un ) убывает и бесконечно мала. При этом, сумма каждого остатка ряда по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины первого своего члена и совпадает с ним по знаку; то есть P |rn | 6 un+1 , n ∈ N, и sgn rn = (−1)n+1 . В частности, для суммы s ряда (−1)n+1 un справедлива оценка 0 6 s 6 u1 . P  Ряд P(−1)n+1 un сходится по признаку Дирихле, в котором αn = un и an = (−1)n+1 , n ∈ N (частные суммы ряда (−1)n+1 равны 1 или 0; то есть, образуют ограниченную последовательность). Обозначим его ∞ P сумму через s = (−1)n+1 un и докажем неравенство 0 6 s 6 u1 . На рисунке видно, что числа u1 − u2 , u3 − n=1

u4 , . . . , u2n−1 − u2n равны длинам отрезков, взаимно друг на друга не налагаемых и содержащихся в отрезке [0, u1 ] длины u1 . Поэтому, 0 6 s2n = u1 − u2 + u3 − u4 + . . . + u2n−1 − u2n 6 u1 и так как s = lim sn = lim s2n , n→+∞

n→+∞

то 0 6 s 6 u1 . P Каждый n–ый остаток ряда (−1)n+1 un является знакочередующимся рядом, удовлетворяющим условиям теоремы, и по доказанному модуль |rn | его суммы удовлетворяет неравенству |rn | 6 (−1)n+1 un+1 = un+1 .  P Пример 4.1. Найдём сумму ряда Лейбница (−1)n+1 n1 = 1 − 12 + 31 − 41 + . . . .  Ряд сходится по признаку Бернулли–Лейбница. Кроме того, имеем     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + − + ...+ − = 1 + + + ...+ −2 + + ... + = ln(2n + 1) + c− 2 3 4 2n − 1 2n 2 3 2n 2 4 2n   1 1 2n + 1 − α2n − 1 + + . . . + = ln(2n + 1) + c − α2n − ln(n + 1) − c + αn = ln + βn , βn = αn − α2n , 2 n n+1

s2n = 1 −

где использована формула суммирования из теоремы 1.10. Поскольку lim βn = n→+∞   ∞ P 2n+1 n+1 1 s = lim sn = lim s2n = lim ln n+1 + βn = ln 2. Итак, (−1) n = ln 2.  n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim (αn − α2n ) = 0, то

n→+∞

n=1

Отметим, P 1 что ряд Лейбница сходится условно, он не сходится абсолютно, поскольку расходится гармонический ряд n.

1.5. Действия над рядами

Напомним, что ряд

P

an сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды

20

P

λan для любого λ 6= 0.

1.5.1. Сочетательное свойство сходящихся рядов Теорема 1.29. Если числовой ряд X

(1)

an = a1 + a2 + . . . + an + . . .

сходится к сумме s, то для произвольной возрастающей последовательности (nk ), nk ∈ N, k ∈ N, ряд (2)

(a1 + a2 + . . . + an1 ) + (an1 +1 + . . . + an2 ) + . . . + (ank +1 + . . . + ank+1 ) + . . .

сходится к сумме s. Если для возрастающей последовательности (nk ) все слагаемые в каждой из скобок ряда (2) имеют одинаковые знаки; то есть, am · al > 0, nk + 1 6 m, l 6 nk+1 , k ∈ N, и ряд (2) сходится, то ряд (1) сходится к сумме ряда (2). n P  Рассмотрим sn = ak , n ∈ N; тогда s = lim sn . Обозначим σk = (a1 + a2 + . . . + an1 ) + . . . + (ank−1 +1 + n→+∞

k=1

. . . + ank ), k ∈ N. Тогда σk = snk , k ∈ N, и следовательно, s = lim sn = lim snk = lim σk ; то есть, ряд (2) n→+∞ k→+∞ k→+∞ сходится к сумме s. Предположим теперь, что сходится ряд (2); то есть, существует lim σk = σ. Рассмотрим произвольное k→+∞

n ∈ N, n > n1 . Тогда существует единственное число k ∈ N такое, что nk 6 n 6 nk+1 . Поэтому, sn = σk + (ank +1 + . . . + an ) и am · al > 0 для всех nk + 1 6 m, l 6 n 6 nk+1 . Следовательно, (3)

|sn − σk | = |ank +1 + . . . + an | 6 |ank +1 + . . . + ank +1 | = |σk+1 − σk | .

Так как lim σk = lim σk+1 = σ, то lim |σk+1 − σk | = 0 и для произвольного ε > 0 существует kε ∈ N, что k→+∞

k→+∞

k→+∞

|σk − σ| < ε2 и |σk+1 − σk | < 2ε для всех k > kε , то есть всех k + 1 > kε . Положим Nε = nkε . Тогда для любого n > Nε и такого k ∈ N, что nk 6 n 6 nk+1 , имеем nk+1 > n > Nε = nkε и k + 1 > kε . Поэтому, с учётом (3), |sn − σ| = |sn − σk + σk − σ| 6 |sn − σk | + |σk − σ| 6 |σk+1 − σk | + |σk − σ| <

ε ε + =ε 2 2

для любого n > Nε , так что σ = lim sn .  n→+∞

1.5.2. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов P Теорема 1.30. (О. Коши) Если ряд an абсолютно сходится к сумме s, то любая перестановка его членов приводит к ряду, абсолютно сходящемуся к s.  Рассмотрим вначале случай, когда все an > 0, и рассмотрим произвольную перестановку (1, 2, . . . , n, . . .) → k P P (n1 , n2 , . . . , nk , . . .), которая приводит к ряду ank . Рассмотрим произвольное k ∈ N и частную сумму anj . j=1

Положим m = max(n1 , . . . , nk ). Тогда

k P

anj 6

j=1

m P

l=1

al 6

∞ P

an = s на основании неотрицательности членов an

n=1

∞ P и критерия сходимости положительных рядов. На том же основании сходится ряд anj и его сумма s′ < s j=1 P P (то есть, при перестановке слагаемых сумма не увеличивается). Но ряд an получается из ank обратной перестановкой и поэтому s 6 s′ , так что s′ = s. В общем случае заметим, что an = (|an | + an ) − |an |, и так как 0 6 |an | + an 6 2 |an |, то по признаку сравнения P P из сходимости ряда |an | (по условию теоремы) следует сходимость положительного ряда (|an | + an ). Тогда ∞ X

n=1



an =

∞ X

(|an | + an ) −

n=1

∞ X

n=1

∞ ∞ ∞ X X X |an | = ( anj + anj ) − anj = anj . j=1

j=1

j=1

1.5.3. Свойства членов условно сходящихся рядов Теорема 1.31. Всякий условно сходящийся ряд содержит бесконечно много положительных и отрицательных членов. P P P  Рассмотрим произвольный условно сходящийся ряд an , так что an сходится, а |an | расходится. Если ряд содержит конечное множество отрицательных членов, то все an > 0, начиная с некоторого N ∈ N, и ∞ ∞ P P P поэтому an = |an | для всех n > N . Так как ряд an сходится, то сходится его остаток an = |an |, что n=N

21

n=N

P P противоречит расходимости ряда |an |. Далее, ряд (−an ) сходится условно, так как |−an | = |an | , n ∈ N, и по доказанному имеет P бесконечное множество отрицательных членов, которые являются положительными членами исходного ряда an .  P Пусть ряд an сходится условно. Обозначим uk = ank > 0 и vl = anl < 0. Согласно теореме 1.31, последовательности (uk ) и (vl ) содержат бесконечно много различных членов. P P P Теорема 1.32. Если ряд an сходится условно, то знакопостоянные ряды uk и vl расходятся. n n P P  По условию теоремы, lim sn = s и lim σn = +∞, где sn = ak , σn = |ak | , n ∈ N. Рассмотрим n→+∞

n→+∞

k=1

k=1

pn = 12 (σn + sn ), qn = 12 (s Pn − σn ), n ∈ N. Тогда pn , n ∈ N — сумма всех неотрицательных членов ak , входящих в частную сумму sn ряда an , а qn , n ∈ N — сумма всех отрицательных членов ak , входящих в sn . Таким P образом, P последовательности (pn ) и (qn ) будут некоторыми подпоследовательностями частныхPсумм рядов uk и vl , P соответственно. Так как, по определению, lim pn = +∞, lim qn = −∞, то ряды uk и vl расходятся.  n→+∞

n→+∞

Теорема 1.33. (Риман). Если числовой ряд сходится условно, то изменяя порядок его членов, можно заставить ряд иметь своей суммой любое действительное число или расходиться. P  Рассмотрим произвольный условно сходящийся ряд an и последовательности (pn ) и (qn ) его неотрицательных и отрицательных членов, которые бесконечны по теореме 1.31. Рассмотрим сначала произвольное число C, для определённости, P C > 0. По теореме 1.32, последовательность (An ), An = p1 + p2 + . . . + pn , n ∈ N, частных сумм ряда pn — положительная бесконечно большая; lim An = +∞. Следовательn→+∞

но, найдётся такой номер n1 ∈ N, что будут верны неравенства An1 > C > An1 − pn1 . Последовательность (Bm ), Bm = An1 + q1 + q2 + . . . + qm , m ∈ N, по той же теореме 1.32, является отрицательной бесконечно большой, lim Bm = −∞. Следовательно, найдётся такой номер m1 ∈ N, что Bm1 < C 6 Bm1 − qm1 . Поm→+∞

следовательность (An1 +n ), An1 +n = Bm1 + pn1 +1 + . . . + pn1 +n , n ∈ N, как и выше по теореме 1.32, является положительной бесконечно большой; lim An1 +n = +∞, и следовательно, найдётся такой номер n2 ∈ N, что n→+∞

будут верны неравенства An2 > C > An2 − pn2 . Продолжая этот процесс поочерёдного присоединения групп неотрицательных и отрицательных слагаемых, получим ряд (p1 + p2 + . . . + pn1 ) + (q1 + q2 + . . . + qm1 ) + (pn1 +1 + . . . + pn2 ) + . . . .

(3)

Покажем, что его сумма равна C. Для частных сумм ряда (3) имеем: s1 = (p1 + p2 + pn1 ) = An1 , |An1 − C| 6 pn1 , s2 = Bm1 , |Bm1 − C| 6 −qm1 , Так как ряд

P

s3 = An2 , |An2 − C| 6 pn2 , . . . .

an сходится, то lim an = 0, и поэтому lim pnk = 0 и lim qnk = 0. Отсюда и из предыдуn→+∞

k→+∞

k→+∞

щих соотношений следует, что lim sk = C. Поскольку слагаемые в каждой скобке ряда (3) либо положительны, k→+∞

либо отрицательны, то скобки P можно открыть. Ряд p1 + p2 + . . . + pn1 + q1 + q2 + . . . + qm1 + pn1 +1 + . . . получен перестановкой исходного ряда an и его сумма равна C. Случай, когда перестановочный ряд расходится, доказывается проще. Действительно, рассмотрим сначала сумму p1 +p2 +pn1 > 1; далее — сумму (p1 +p2 +. . .+pn1 )+(q1 +q2 +. . .+qm1 ) < −1, затем — (p1 +. . .+pn1 )+(q1 + . . . + qm1 ) + (pn1 +1 + . . . + pn2 ) > 2, (p1 + . . . + pn1 ) + (q1 + . . . + qm1 ) + (pn1 +1 + . . . + pn2 ) + (qm1 +1 + . . . + qm2 ) < −2, .... Частные суммы (sk ) ряда (p1 + . . . + pn1 ) + (q1 + . . . + qm1 ) + (pn1 +1 + . . . + pn2 ) + . . . .

(4)

удовлетворяют неравенствам s2n−1 > n и s2n < −n, n ∈ N, и следовательно, ряд (4) расходится. Числа sk , k ∈ N, образуют подпоследовательность в последовательности частных сумм ряда p1 + . . . + pn1 + q1 + . . . + qm1 + pn1 +1 + . . . + pn2 + qm1 +1 + . . . qm2 + . . . ,

(5)

P полученного из ряда (4) после раскрытия скобок и являющегося перестановкой исходного ряда an . Так как подпоследовательность не имеет предела, то не имеет предела и вся последовательность частных сумм ряда (5), то есть ряд (5) расходится. 

22

1.6. Последовательности и ряды с комплексными членами 1.6.1. Поле комплексных чисел Множество всех упорядоченных пар (x, y) ∈ R2 обозначим символом C и введём на C операции сложения и умножения в форме (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ), (1) (2)

(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ),

так что пары 0 = (0, 0) и 1 = (1, 0) являются нейтральными элементами относительно введённых операций, соответственно. Непосредственно проверяется, что обе операции обладают свойствами (аксиомами) соответствующих операций для R, и, следовательно, C образует поле. Поскольку (x1 , 0) + (x2 , 0) = (x1 + x2 , 0) и (x1 , 0) · (x2 , 0) = (x1 x2 , 0), то отображение R ∋ x 7−→ C = {(x, y) | x, y ∈ R} является вложением поля R в поле C, и поэтому считаем (x, 0) = x ∈ R. Пара (0,1) имеет обозначение i = (0, 1), и i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1. (2′ )

Так как iy = (0, 1) · (y, 0) = (0, y) и (x, y) = (x, 0) + (0, y), то (x, y) = x + iy, x, y ∈ R. Если обозначить x + iy = z ∈ C, то x = Re z, y = Im z. Если y = 0, то комплексное число z называют вещественным (или действительным) числом; если y 6= 0, то z называют мнимым комплексным числом; если x = 0, y 6= 0, то z = iy называют чисто мнимым числом. Согласно формулам (1), (2) и (2’), z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ), z1 · z2 = (x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = x1 x2 + iy1 x2 + ix1 y2 + i2 y1 y2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ).

Для√z = x + iypкомплексное число x − iy = z называют комплексно сопряжённым для z и z · z = x2 + y 2 > 0. z 2 + y 2 = |z| — модуль комплексного числа z; если z = x (то есть, y = 0), то z = x и Число√ z · z = 2 |z| = x = |x|. Из определения модуля непосредственно вытекают следующие свойства. 1. |z| = 0 ⇔ z = 0; 2. |z1 z2 | = |z1 | |z2 | ; 3. (неравенство треугольника) |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |. Понятно также, что max(Re z, Im z) 6 |z| 6 |Re z| + |Im z| .

(3)

С помощью модуля комплексного числа на множестве C вводится метрика ρ(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | , zi ∈ C, i = 1, 2 — расстояние между z1 и z2 . Действительно, оба свойства метрики ρ(z1 , z2 ) — 1. ρ(z1 , z2 ) = 0 ⇔ z1 = z2 ; 2. ρ(z1 , z2 ) 6 ρ(z1 , z3 ) + ρ(z2 , z3 ) (неравенство треугольника) — имеют вид 1. |z1 − z2 | = 0 ⇔ z1 = z2 ; 2. |z1 − z2 | = |z1 − z3 + z3 − z2 | 6 |z1 − z3 | + |z3 − z2 | = |z1 − z3 | + |z2 − z3 |,

и непосредственно следуют из свойств модуля комплексного числа. Таким образом, поле C с метрикой ρ(z1 , z2 ) = |z1 − z2 | образует метрическое пространство, в котором, в частности, можно изучать процесс сходимости последовательностей. Отметим ещё, что в отличии от линейно упорядоченного поля R поле C упорядочить нельзя. 1.6.2. Предел последовательности комплексных чисел Любое отображение f : N → C порождает в C последовательность (zn ), zn = f (n) ∈ C, n ∈ N, которую называют комплексной последовательностью. Определение. Комплексное число z называют пределом комплексной последовательности (zn ), если числовая последовательность (ρ(z, zn )), ρ(z, zn ) = |z − zn | , n ∈ N — бесконечно малая, то есть, lim |z − zn | = 0. n→+∞

Обозначение: z = lim zn (как и в метрическом пространстве). n→+∞

Рисунок иллюстрирует расположение точек комплексной последовательности (zn ) и её предела z = lim zn . n→+∞

Теорема 1.34. Пусть z = x + iy, zn = xn + iyn , n ∈ N. Тогда z = lim zn ⇔ x = lim xn , y = lim yn . n→+∞

n→+∞

n→+∞

 Согласно (3), max(|x − xn | , |y − yn |) 6 |z − zn | 6 |x − xn | + |y − yn | , n ∈ N, и используем свойства бесконечно малых числовых последовательностей.  Следствие. 23

1. сходящаяся комплексная последовательность (zn ) ограничена, то есть, |zn | 6 C для всех n ∈ N и некоторого C > 0; 2. сходящаяся комплексная последовательность (zn ) обладает свойством локальности; то есть, изменение или отбрасывание любого конечного множества элементов последовательности не влияет на её сходимость и величину предела. Следствие предыдущей теоремы и аналогичных свойств числовых последовательностей. 



Теорема 1.35. (Дальнейшие свойства сходящихся комплексных последовательностей). Предположим, что последовательности (zn ) и (wn ), zn = xn + iyn , wn = un + ivn , n ∈ N, имеют lim zn = z, lim wn = w, где n→+∞

n→+∞

z = x + iy, w = u + iv. Тогда

1. для любых λ1 , λ2 ∈ C последовательность (ωn ), ωn = λ1 zn + λ2 wn , n ∈ N, имеет lim ωn = λ1 lim zn + n→+∞

n→+∞

λ2 lim wn ; n→+∞

2. последовательность (zn wn ) имеет lim zn wn = lim zn · lim wn = zw; n→+∞

n→+∞

n→+∞

3. если w = 6 0, то существует N ∈ N, что wn 6= 0 для всех n > N ; 4. если w = 6 0, то существует lim wznn = wz . n→+∞

 Докажем, для примера, утверждение 2. Имеем zn · wn = (xn + iyn )(un + ivn ) = xn un − yn vn + i(xn vn + yn un ), n ∈ N. Так как существует lim zn = z = x + iy, lim wn = w = u + iv, то согласно теореме 1.34, n→+∞

существуют

lim xn = x, lim = y,

n→+∞

yn

lim un = u,

n→+∞

n→+∞

lim vn = v, и поэтому, существуют

n→+∞

lim (xn un − yn vn ) =

n→+∞

xu−yv, lim (xn vn +yn un ) = xv+yu. Согласно теореме 1.34, существует lim zn wn = (xu−yv)+i(xv+yu) = zw. n→+∞

n→+∞

 1.6.3. Критерий Коши сходимости комплексной последовательности Теорема 1.36. Комплексная последовательность (zn ) сходится тогда и только тогда, когда (zn ) — фундаментальная последовательность; то есть, для любого числа ε > 0 существует такое индекс nε ∈ N, что |zn − zm | < ε для всех m, n > nε .  Согласно (3), для zn = xn + iyn , n ∈ N, имеем (4)

max(|xm − xn | , |ym − yn |) 6 |zm − zn | 6 |xm − xn | + |ym − yn | , m, n ∈ N.

Поэтому, на основании (4): (zn ) — фундаментальная ⇔ (xn ) и (yn ) — сходящиеся последовательности, lim xn = x, lim yn = y ⇔ (теорема 1.34) существует lim zn = x + iy = z. 

n→+∞

n→+∞

n→+∞

1.6.4. Ряды с комплексными членами (комплекснозначные ряды) Рассмотрим ряд z1 + z2 + . . . + zn + . . . = и его частные суммы sn =

n P

k=1

X

(5)

zn , zn ∈ C, n ∈ N,

zk , n ∈ N. Ряд (5) называют сходящимся к сумме s ∈ C, если s = lim sn ; ряд n→+∞

(5) называют расходящимся, если (sn ) не имеет предела (не сходится). Если zn = xn + iyn , n ∈ N, то sn = n n n n P P P P P P xk + i yk , n ∈ N, и xk , yk , n ∈ N — частные суммы числовых рядов xn и yn , соответственно. k=1 k=1 k=1 k=1 P На основании вышеизложенного, ряд (5) сходится тогда и только тогда, когда сходятся числовые ряды xn и ∞ ∞ ∞ P P P P yn и s = zn = xn + i yn . n=1

n=1

n=1

1.6.5. Абсолютная сходимость ряда с комплексными членами P Ряд (5) называют абсолютно сходящимся, если сходится положительный ряд |zn |. P Теорема 1.37. Ряд P zn , zn =Pxn +iyn , n ∈ N, абсолютно сходится тогда и только тогда, когда абсолютно сходятся числовые ряды xn и yn . P P  Предположим сначала, что абсолютно сходится ряд zn , то есть сходится числовой ряд |zn |. P Так как 0P6 |xn | 6 |zn | , 0 6 |ynP | 6 |zn |P , n ∈ N, то по признаку сравнения положительных рядов, сходятся ряды |x P Pn | и |yn |, то есть, ряды P xn и yP сходятся абсолютно. Обратно, пусть абсолютно сходятся ряды x и yn ; n n P то есть, сходятся ряды |x | и |y |. Поскольку 0 6 |z | 6 |x | + |y | , n ∈ N и сходится ряд (|x | + |y |), то n n n n n n P Pn сходится ряд |zn |, то есть, ряд zn сходится абсолютно.  24

Следствие. Всякий абсолютно сходящийся комплексный ряд сходится. P  Рассмотрим сходящийся ряд zn , zn = xn + iyn , n ∈ N. По предыдущей теореме, абсолютно P абсолютно P P сходятся ряды x и y , и следовательно, оба ряда сходятся. Но тогда обязан сходиться и ряд zn = n n P P xn + i yn .  1.6.6. Переместительный закон для абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами

Теорема 1.38. (Коши–Абель). Любая перестановка членов абсолютно сходящегося ряда с комплексными членами приводит к абсолютно сходящемуся ряду, сумма которого равна сумме исходного ряда. P  Рассмотрим произвольный абсолютно сходящийся ряд zn , zn = xn + iyn , n ∈ N, и произвольный P перестановочный ряд z , z = x + iy , k ∈ N. По теореме предыдущего пункта к ней, n n n n k k k k P P P P P P и следствия P zn = Pxn + i P yn и числовые ряды xn и yn абсолютно сходятся. Так как ряды xnk и ynk получены из рядов xn и yn некоторой перестановкой членов, по по теореме Коши для абсолютно сходящихся числовых ∞ ∞ ∞ ∞ P P P P P P рядов, ряды xnk и ynk абсолютно сходятся и их суммы xnk = xn , ynk = yn . Следовательно, по теореме предыдущего пункта, абсолютно сходится ряд i

∞ P

ynk =

k=1

∞ P

xn + i

n=1

∞ P

n=1

yn =

∞ P

zn . 

P

k=1

znk =

P

n=1

xnk + i

P

n=1

k=1

ynk и его сумма

∞ P

k=1

znk =

∞ P

xnk +

k=1

n=1

1.7. Произведение рядов 1.7.1. Рассмотрим ряды с комплексными членами X an = a1 + a2 + . . . + an + . . . , X

(1) (2)

bn = b1 + b2 + . . . + bn + . . . ,

и образуем бесконечную матрицу из элементов  a1 b 1 a2 b 1  a1 b 2 a2 b 2   a1 b 3 a2 b 3   ... ...   a1 b k a2 b k ... ...

ai , bk , i, k ∈ N, вида a3 b 1 a3 b 2 a3 b 3 ... a3 b k ...

. . . . . . ai b1 . . . . . . ai b2 . . . . . . ai b3 ...... ... . . . . . . ai bk ...... ...

...... ...... ...... ...... ...... ......



   .   

(3)

Так как множество элементов матрицы (3) не более, чем счётно, то её элементы можно перенумеровать в одну последовательность бесконечно многими способами aip bkp , p ∈ N, и получить бесконечно много произведений P aip bkp исходных рядов. Из них выделяют два произведения. I. a1 b1 ; a1 b2 , a2 b1 ; a1 b3 , a2 b2 , a3 b1 ; . . . (нумерация и суммирование идут по диагоналям в матрице (3)). Образованный после этого ряд X a1 b1 + (a1 b2 + a2 b1 ) + (a1 b3 + a2 b2 + a3 b1 ) + . . . = ck , (4) в котором ck =

k P

j=1

II.

aj bk+1−j , k ∈ N, называют произведением по Коши рядов 

a1 b 1  a1 b 2   a1 b 3   ...  a1 bn ...

a2 b 1 a2 b 2 a2 b 3 ... a2 b n ...

a3 b 1 a3 b 2 a3 b 3 ... a3 b n ...

. . . . . . an b1 . . . . . . an b2 . . . . . . an b3 ...... ... . . . . . . an bn ...... ...

...... ...... ...... ...... ...... ......

P



an и

P

bn .

   .   

(3)

Нумерация и суммирование идут по квадратам в матрице (3) и образовавшийся после этого ряд имеет вид a1 b1 + (a1 b2 + a2 b2 + a2 b1 ) + (a1 b3 + a2 b3 + a3 b3 + a3 b2 + a3 b1 ) + . . . .

25

(5)

1.7.2. Теорема Коши о произведении абсолютно сходящихся рядов P P Теорема 1.39. Если ряды an и bn сходятся абсолютно к суммам A и B, соответственно, то их произведение, состоящее из элементов матрицы (3) в любом порядке, также абсолютно сходится и имеет своей суммой число AB. ∞ ∞ P P P P  По условию, A = an , B = bn и сходятся ряды |an | , |bn | к суммам A∗ , B ∗ , соответственно. n=1

Рассмотрим произвольный ряд

P

n=1

aip bkp и ряд

p P P P aip bkp = aip · bkp . Обозначим σp = |ail bkl | , p ∈ N, и ν = l=1

max(i1 , . . . , ip , k1 , . . . , kp ). Последовательность (σp ) возрастает, и в силу критерия сходимости положительных рядов, σp = |ai1 | |bk1 | + |ai2 | |bk2 | + . . . + aip bkp 6 (|a1 | + |a2 | + . . . + |aν |) · (|b1 | + |b2 | + . . . + |bν |) 6 A∗ B ∗ , p ∈ N. P По тому же критерию, существует lim σp = σ 6 A∗ B ∗ и ряд aip bkp сходится абсолютно. По теореме Коши– p→+∞ P Абеля, его сумма s не зависит от перестановок его членов. Поэтому представим ряд aip bkp в виде произведения типа II по квадратам, частные суммы которого обозначим s′n , n ∈ N, так что s′n = (a1 + a2 + . . . + an )(b1 + b2 + . . . + bn ) = An Bn , n ∈ N, P P где An и Bn — частные суммы рядов an и bn , соответственно. Так как lim An = A, lim Bn = B, то n→+∞ n→+∞ ∞ P P ′ ′ ′ lim sn = AB = s и число s равно сумме s ряда aip bkp по теореме Коши–Абеля. Поэтому, aip bkp = AB. n→+∞

p=1



1.7.3. Произведение рядов по Коши Ряды вида (4)

P

c n , cn =

n P

j=1

aj bn+1−j , n ∈ N, широко и плодотворно используются в случае степенных

рядов (для которых Коши и ввёл понятие произведения рядов). Ряды вида ...,

∞ P

∞ P

an z n = a0 + a1 z + . . . + an z n +

n=0

n=0

bn z n = b0 + b1 z + . . . + bn z n + . . . , z ∈ C, называются степенными рядами. Их произведение по Коши

имеет вид

∞ P

c n z n , cn =

n=0

n P

j=0

aj bn−j , n ∈ N0 = N ∪ {0}. Подробно степенные ряды будут изучены в следующей

главе. Теорема 1.40. (Мертенс). Произведение по Коши (4) рядов (1) и (2) сходится, если сходятся оба ряда и один из них сходится абсолютно. При этом, сумма произведения равна произведению сумм сомножителей. P P an сходится абсолютно к сумме A, а ряд bn сходится к сумме B. Тогда ряд P  Предположим, что ряд |an | сходится к некоторой сумме A∗ > 0. Рассмотрим Cn =

n X

ck = c1 + c2 + . . . + cn = a1 b1 + (a1 b2 + a2 b1 ) + . . . + (a1 bn + a2 bn−1 + . . . + an−1 b2 + an b1 ) =

k=1

= a1 (b1 + b2 + . . . + bn ) + a2 (b1 + b2 + . . . + bn−1 ) + . . . + an b1 = a1 Bn + a2 Bn−1 + . . . + an B1 =

n X

ak Bn+1−k ,

k=1

где Bk =

k P

j=1

bj , k ∈ N, и lim Bk = B. Следовательно,

Cn − An B =

k→+∞ n X

k=1

ak Bn+1−k −

n X

k=1

ak B =

n X

k=1

ak (Bn+1−k − B) =

где βn = Bn − B, n ∈ N, и lim βn = 0.

n X

k=1

ak βn+1−k = γn , n ∈ N,

(6)

n→+∞

Последовательность (γn ) есть преобразование Тёплица последовательности (βn ), в котором последовательность (an ) обладает свойствами P 1. lim an = 0 (так как ряд an сходится); n→+∞ P 2. существует c > 0, что |a1 | + . . . + |an | 6 c, n ∈ N (число c = A∗ , так как ряд |an | сходится). 26

Так как lim βn = 0, то по теореме Тёплица, последовательность (γn ) бесконечно малая, lim γn = 0. Согласно n→+∞

n→+∞

(6), 0 = lim γn = lim (Cn − An B) = lim Cn − lim An B = lim Cn − AB, n→+∞

n→+∞

n→+β

n→+∞

n→+∞

откуда AB = lim Cn .  n→+∞

1.8. Бесконечные произведения 1.8.1. Основные определения и обозначения Рассмотрим произвольную последовательность (bn ), bn ∈ C, n ∈ N, и образуем новую последовательность n Q (pn ), p1 = b1 , p2 = b1 · b2 , . . . , pn = b1 · b2 · . . . · bn , pn = bk , n ∈ N, которую называют последовательностью ∞ Q

частичных произведений бесконечного произведения

k=1

bn , числа bn — члены бесконечного произведения

p 6= 0. Обозначение: p =

∞ Q

bn называют сходящимся к числу p, если p =

n=1

∞ Q

bn .

n=1

n=1

Определение. Бесконечное произведение

∞ Q

bn , p — значение бесконечного произведения

n=1 ∞ Q

∞ Q

lim pn и

n→+∞

bn . Если (pn ) не имеет предела, то

n=1

∞ Q бесконечное произведение bn называют расходящимся; если lim pn = 0, то bn называют расходящимся n→+∞ n=1 n=1 к нулю. ∞ Q Итак, у сходящегося бесконечного произведения bn все члены bn отличны от нуля. n=1

Пример 8.1. (Эйлер).

∞ Q

1

n=1

en 1 1+ n

c

= e , где c — константа Эйлера.

1 n n n+1 e , n ∈ N, то, с учётом формулы суммирования 1 1 1+ 12 +...+ n = n+1 eln(n+1)+c−αn = ec e−αn , где lim αn = 0. bn = 1·2·3·...·(n−1)n 2·3·...·n(n+1) e n→+∞ lim ec e−αn = ec .  n→+∞

Так как bn =



(теорема 1.10), pn = b1 · b2 · . . . · Поэтому, существует

1.8.2. Остаточные произведения. Необходимый признак сходимости ∞ Q Отбросив в бесконечном произведении bn первые m членов, получим остаточное произведение n=1

которое вполне аналогично остатку ряда. ∞ Q Теорема 1.41. Если сходится bn , то при любом m > 1 сходится ∞ Q

тором m > 1 сходится

Пусть сходится



n=1

bn , то сходится

n=m+1 ∞ Q

m Q

k=1

(m)

bn =

lim pn =

m Q

k=1

bn сходится

n=m+1 ∞ Q

Обратно, пусть сходится

(m)

bn = πm 6= 0, так что πm = lim pn . Так как pn = n→+∞

bk · πm 6= 0; то есть, сходится

∞ Q

n=1

bn



m Q

k=1

bk 6= 0, то существует lim pn = p n→+∞  m −1 ! Q к числу πm = p bk . k=1

(m)

n=m+1

Так как πm =

m Q

= 

n Q

bk , k=m+1 −1 m Q bk

так что

, то есть,

k=1

k=1

Следствие 1.10. Если сходится 

bn , и обратно, если при неко-

lim pn = p 6= 0. Для любого n > m рассмотрим pn

n→+∞ ∞ Q

bn ,

n=m+1

n=m+1

n→+∞

bk · pn . Так как lim pn = p 6= 0 и число

остаточное произведение

n→+∞

bn .

∞ Q

n=1

n=1

pn =

∞ Q

∞ Q

lim pn =

n→+∞

bk

∞ Q

n=1 −1

∞ Q

bn = p и опять p =

n=1

k=1

= p 6= 0, то

, m > 1, и

m Q

bk · πm . 

m Q

k=1

(m)

bk ·pn , то существует

lim πm = 1.

m→+∞ m Q

lim

m→+∞ k=1

bk =

∞ Q

n=1

bn 6= −, то

lim πm = 1. 

m→+∞

Следствие 1.11. Последовательность членов любого сходящегося бесконечного произведения сходится к 1.

27

Рассмотрим произвольное сходящееся бесконечное произведения



n Q

ет lim pn = p 6= 0, где pn = n→+∞

то lim bn = lim n→+∞

pn

n→+∞ pn−1

∞ Q

n=1

bk , и следовательно, bn =

k=1

pn pn−1 ,

bn , bn ∈ C, n ∈ N, так что существу-

n > 2. Так как lim pn−1 = lim pn = p 6= 0, n→+∞

n→+∞

= 1. 

1.8.3. Бесконечные произведения с положительными членами P

Теорема 1.42. Если все числа an > 0, n ∈ N, то

∞ Q

an сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

n=1

ln an . В случае сходимости, если p и s суть значение бесконечного произведение и сумма ряда, то p = es .  n  n P Q  Рассмотрим sn = ln ak = ln ak = ln pn , n ∈ N, откуда pn = esn , n ∈ N. В силу непрерывности k=1

функций exp и ln, пределы

k=1

lim pn = p 6= 0,

n→+∞

s

lim sn = s существуют или не существуют одновременно, и в

n→+∞

случае существования справедливо p = e . 

Теорема 1.43. Если an = a + un , −1 < un 6= 0, n ∈ N, и все числа un знакопостоянны (то есть, все ∞ ∞ Q Q un > 0 или все un < 0), то an = (1 + un ) сходится тогда и только тогда, когда сходится один из n=1 P P P P n=1 рядов un , |un | , ln(1 + un ), |ln(1 + un )| (и сходимость каждого из рядов влечёт сходимость трёх остальных).  Поскольку, согласно необходимым признакам, бесконечное произведение и ряды сходятся при условии lim un = 0, считаем, что lim un = 0. n→+∞

n→+∞

Так как все un знакопостоянные, то sgn ln(1 + un ) = sgn un , n ∈ N, а так как un 6= 0, n ∈ N, то существует lim

n→+∞

ln(1 + un ) |ln(1 + un )| = 1 = lim . n→+∞ un |un |

(1)

НаPосновании (1) P Pи предельной P формы общего признака сравнения положительных рядов заключаем, P что ряды un , |un |, ln(1+un ), |ln(1 + un )| сходятся или расходятся одновременно. Сходимость ряда ln(1+ ∞ ∞ Q Q un ), по теореме 1.42, равносильна сходимости бесконечного произведения an = (1 + un ).  n=1

n=1

Теорема 1.44. Если an = 1 + un , −1 < un 6= 0, n ∈ N, и последовательность (un ) не знакопостоянная, то ∞ Q P P 2 бесконечное произведение (1 + un ) сходится, если сходятся ряды un и un . n=1 P  Так как сходится ряд un , то lim un = 0. Согласно локальной формуле Тейлора, ln(1 + un ) = u2n 2

o(u2n ),

1 2

> 0. В силу предельной формы общего признака P 2 P сравнения положительных рядов и условия сходимости ряда un , заключаем, что сходится (un − ln(1 + un )), P откуда по линейному свойству следует, что сходится ряд ln(1 + un ). Последнее, по теореме 1.42, равносильно ∞ Q сходимости бесконечного произведения (1 + un ). 

un −

+

n → +∞, откуда

n→+∞ n) lim un −ln(1+u u2n n→+∞

=

n=1

1.8.4. Абсолютная сходимость бесконечного произведения

Определение. Бесконечное произведение ся, если сходится

∞ Q

n=1

∞ Q

(1 + un ), −1 < un 6= 0, n ∈ N, называют абсолютно сходящим-

n=1

(1 + |un |), где |un | — модуль числа un .

Согласно теореме 1.43,

∞ Q

(1+|un |) сходится тогда и только тогда, когда сходится один из рядов

n=1

|un |). Если lim |un | = lim un = 0 и un 6= 0, n ∈ N, то n→+∞

n→+∞

P

|un | ,

P

ln(1+

ln(1 + un ) ln(1 + |un |) = lim |ln(1 + un )| = 1, lim = lim (2) n→+∞ n→+∞ n→+∞ |un | un |un | P P P и на основании (2) заключаем, что ряды |un | , ln(1 + |un |), |ln(1 + un )| сходятся или расходятся одно∞ ∞ Q Q P временно. Таким образом, (1 + un ) сходится абсолютно ⇔ (1 + |un |) сходится ⇔ ln(1 + |un |) сходится n=1 n=1 P P ⇔ |ln(1 + un )| сходится ⇔ ln(1 + un ) сходится абсолютно. 28

Теорема 1.45. Любое абсолютно сходящееся

∞ Q

(1 + un ), −1 < un 6= 0, n ∈ N, сходится.

n=1



Так как

∞ Q

(1 + un ), −1 < un 6= 0, n ∈ N, сходится абсолютно, то абсолютно сходится ряд

n=1

по теореме 1.42, сходится

∞ Q

(1 + un ); сумма s =

n=1

p = es . 

∞ P

ln(1 + un ) связана со значением p =

n=1

∞ Q

P

ln(1 + un ) и

(1 + un ) равенством

n=1

Теорема 1.46. Значение абсолютно сходящегося бесконечного произведения не зависит от порядка его сомножителей. ∞ ∞ Q P  Если абсолютно сходится (1 + un ) = p, то абсолютно сходится ряд ln(1 + un ) = s и p = es . Так как n=1 n=1 P сумма s не зависит от перестановки членов ряда ln(1 + un ), то и число p не зависит от перестановки членов ∞ Q бесконечного произведения (1 + un ).  n=1

1.8.5. Гамма–функция Эйлера


x ∞ 1 Y 1 + n1 Γ(x) = , x ∈ R, x 6= −n, n ∈ N ∪ {0} . x n=1 1 + nx

(3)

По локальной формуле Тейлора при фиксированном x ∈ R, x 6= −n, n ∈ N ∪ {0}, имеем
x 1 + n1 = 1 + nx           x −1 x x(x − 1) 1 x x2 1 x x(x − 1) 1 = 1+ 1+ + +o = 1− + 2 +o 1+ + +o = n n 2n2 n2 n n n2 n 2n2 n2       1 x(x − 1) 1 x(x − 1) 1 1 = 1 + 2 x2 + − x2 + o =1+ +o , n → +∞. n 2 n2 2 n2 n2
i P h x(x−1) 1 1 Ряд + o абсолютно сходится при всех x ∈ R. Поэтому, на основании результатов преды2 2 2 n n дущего пункта, бесконечное произведение (3) абсолютно сходится для всех x ∈ R, x 6= −n, n ∈ N ∪ {0}. В частности, Γ(1) = 1. Рассмотрим частичные произведения
x n n 1 Y 1 + k1 1 Y k (k + 1)x 1 · 2 · . . . · n · 2x · 3x · . . . · nx · (n + 1)x n!(n + 1)x pn (x) = = = = . x 1 + xk x k + x kx x(x + 1) · . . . · (x + n) · 1x · 2x · . . . · nx x(x + 1) · . . . · (x + n) k=1

Так как

k=1

x lim (n+1) nx n→+∞

= lim

n→+∞

1+


1 x n

= 1, x ∈ R, то

(n + 1)x n!nx n!nx = lim , x 6= −n, n ∈ N ∪ {0} n→+∞ n→+∞ nx x(x + 1) · . . . · (x + n) n→+∞ x(x + 1) · . . . · (x + n) (4) — формула Эйлера–Гаусса. Γ(x) = lim pn (x) = lim

1.8.6. Функциональное уравнение для гамма-функции Записав формулу (4) для Γ(x + 1), имеем Γ(x + 1) n!nx+1 x(x + 1) · . . . · (x + n) nx = lim · = lim = x. n→+∞ (x + 1) · . . . · (x + n)(x + n + 1) n→+∞ x + n + 1 Γ(x) n!nx

Итак,

Γ(x + 1) = xΓ(x), x 6= −n, n ∈ N ∪ {0} .

(5)

Полагая в (5) x = n ∈ N, получим

Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = . . . = n(n − 1) · . . . · 1 · Γ(1) = n! (так как Γ(1) = 1). Поэтому, Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.

(5′ )

Заметим, что Γ(n + 1) имеет смысл и при n = 0, Γ(1) = 1. Поэтому из (5’) следует, что 0! = 1 (формула, принятая нами за аксиому в первом семестре). 29

c

Так как e = то ecx Γ(x + 1) =

∞ Q

n=1 ∞ Q

n=1

1

en 1 1+ n x

en x 1+ n

1.8.7. Формула Вейерштрасса ∞ ∞ 1+ 1 x x Q Q ( n) en , c — константа Эйлера, то ecx = , x 1 x . Поскольку Γ(x + 1) = xΓ(x) = 1+ n 1+ n ) ( n=1 n=1 и

∞  Y 1 x −x = ecx 1+ e n , x ∈ R, x 6= −in, n ∈ N. Γ(x + 1) n n=1

(6)

(формула Вейерштрасса). 1.8.8. n Теорема 1.47. Если последовательность (an ), an > 0, обладает свойством, что aan+1 = 1+ ns + nθ1+σ , n ∈ N, n s где s, σ ∈ R, σ > 0, и последовательность (θn ) ограничена, то существует c > 0, что an = cn [1 + o(1)] , n → +∞.  Рассмотрим bn = anns , n ∈ N. Тогда

  −s     bn+1 an+1 ns s θn 1 s θn s (−s)(−s − 1) 1 1 = = 1 + + 1+σ 1+ = 1 + + 1+σ 1 − + +o = bn an (n + 1)s n n n n n n 2 n2 n2     θn s(s + 1) 1 s2 1 θn s(s − 1) 1 1 = 1 + 1+σ + − +o = 1 + 1+σ − +o , n → +∞. n 2 n2 n2 n2 n 2 n2 n2
i P h θn s(s−1) 1 Ряд сходится абсолютно, так как σ > 0 и |θn | 6 M, n ∈ N, с некоторой M > 0. n1+σ + 2n2 + o n2 ∞ Q bn+1 Следовательно, абсолютно сходится бесконечное произведение bn = p и n=1

n n Y Y ak+1 ks a2 · a3 · . . . · an · an+1 1 s · 2 s · . . . · ns bk+1 = lim = lim · = n→+∞ n→+∞ n→+∞ bk ak (k + 1)s a1 · a2 · . . . · an 2s · . . . · ns · (n + 1)s

p = lim

k=1

k=1

= lim

n→+∞

an s n→+∞ n

Итак, существует lim 

= a1 p = c и поэтому

an ns

an+1 1 an = lim . a1 · (n + 1)s a1 n→+∞ ns

= c [1 + o(1)] , n → +∞, откуда an = cns [1 + o(1)] , n → +∞.

2. Функциональные последовательности и функциональные ряды 2.1. Сходимость функциональных последовательностей и функциональных рядов 2.1.1. Основные определения Определение 1. Функция F (x, n), (x, n) ∈ R × N, порождает функциональную последовательность (fn (x)), fn (x) = F (x, n), n ∈ N. При этом область определения D(fn ) = проекцияR DF . Обозначим D(fn ) = E ⊂ R.

Определение 2. Функциональная последовательность (fn (x)), x ∈ E, называется сходящейся на множестве E, если для каждого x ∈ E сходится числовая последовательность (fn (x)), то есть, существует lim fn (x) = n→+∞

f (x), x ∈ E. Таким образом, на E определена новая числовая функция f (x), называемая предельной функцией функциональной последовательности (fn (x)). Обозначение: f (x) = lim fn (x), x ∈ E, или fn → f на E. n→+∞

Определение 1’. Функция F (z, n), (z, n) ∈ C × N, порождает комплексную функциональную последовательность (fn (z)), fn (z) = F (z, n), z ∈ E ⊂ C, n ∈ N. Определение 2’. Если для каждого z ∈ E ⊂ C существует

lim fn (z) = f (z), то на E определена новая

n→+∞

комплексная функция f (z), называемая предельной функцией комплексной функциональной последовательности (fn (z)).

30

Итак, f (z) =

lim fn (z), z ∈ E тогда и только тогда, когда для произвольной z ∈ E и любого ε > 0

n→+∞

существует N ∈ N, N = N (ε; z), что |fn (z) − f (z)| < ε для всех n > N . Обозначение: fn → f на E.

2.1.2. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности Определение 3. Комплексная функциональная последовательность (fn (z)) равномерно сходится на множестве E ⊂ C, если 1◦ она сходится на E к некоторой предельной функции f (z), f (z) = lim fn (z), z ∈ E, n→+∞

2◦ для произвольного ε > 0 существует N ∈ N (N = N (ε), выбор числа N не зависит от точек z ∈ E), что (1)

|fn (z) − f (z)| < ε

для всех n > N и всех z ∈ E. Обозначение: fn ⇉ f на E. Если E = {z1 , . . . , zk } ⊂ C — конечное множество и fn → f на E, то понятно, что fn ⇉ f на E, поскольку для любого ε > 0 и каждого zj ∈ E, j = 1, k, согласно определению 2’, существует Nj ∈ N, Nj = N (ε, zj ), 1 6 j 6 k, что |fn (zj ) − f (zj )| < ε для всех n > N (ε, zj ), 1 6 j 6 k, и выбирая N = max(N1 , N2 , . . . , Nk ), N = N (ε), заключаем, что (1) выполнено для всех n > N и всех z ∈ E. Пример 1.1. fn (x) = 1+nx2 x2 , x ∈ E = R, n ∈ N. Тогда lim fn (x) = 0 = f (x), x ∈ R, и для любого x ∈ R n→+∞ имеем 1 2nx 1 |x| = 6 , x ∈ R, n ∈ N. |fn (x) − f (x)| = 2 2 2 2 1+n x 2n 1 + n x 2n 1 1 1 Поэтому неравенство (1) справедливо для всех n > Nε = 2ε + 1 > 2ε (тогда 2n < ε) и всех x ∈ R, то есть, fn ⇉ f на R. 2.1.3. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности Теорема 2.1. Функциональная последовательность (fn (z)) равномерно сходится на множестве E ⊂ C тогда и только тогда, когда для произвольного числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что (2)

|fn+p (z) − fn (z)| < ε для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε);

(2′ )

|fm (z) − fn (z)| < ε

для всех z ∈ E и всех m, n > N = N (ε).  Необходимость. Пусть fn ⇉ f на E и ε > 0 — произвольное. Согласно определению 3, существует N ∈ N, N = N (ε), что неравенство |f (z) − fn (z)| < 2ε справедливо для всех z ∈ E и всех n > N = N (ε). Тогда |fn (z) − fn+p (z)| 6 |f (z) − fn (z)| + |f (z) − fn+p (z)| < 2ε + 2ε = ε для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Достаточность. Пусть для произвольного ε > 0 существует N = N (ε), что неравенство (2) справедливо для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Неравенство (2) есть критерий Коши сходимости последовательности (fn (z)) в каждой точке z ∈ E к некоторой предельной функции f (z) = lim fn (z), z ∈ E. В силу свойства n→+∞

локальности предела комплексной последовательности, f (z) = lim fn+p (z), z ∈ E, для любого n ∈ N. Переходя p→+∞

в неравенстве (2) к пределу при p → +∞, получим |f (z) − fn (z)| 6 ε для всех z ∈ E и всех n > N = N (ε). Согласно определению 3, fn ⇉ f на E. Случай с неравенством (2’) рассматривается аналогично.  2.1.4. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности

Теорема 2.2. Функциональная последовательность fn ⇉ f на E тогда и только тогда, когда положительная числовая последовательность (αn ), αn = sup |f (z) − fn (z)| , n ∈ N — бесконечно малая, то есть z∈E

lim αn = 0.

n→+∞

 Если fn ⇉ f на E, то по определению 3, для произвольного числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что неравенство |f (z) − fn (z)| < ε справедливо для всех z ∈ E и всех n > N = N (ε). Тогда αn = sup |f (z) − fn (z)| 6 ε z∈E

31

для всех n > N = N (ε); то есть, lim αn = 0. Если теперь n→+∞

lim = 0, то для произвольного ε > 0 существует

n→+∞

N ∈ N, N = N (ε), что 0 6 αn < ε для всех n > N = N (ε). Тогда |f (z) − fn (z)| < ε для всех z ∈ E и всех n > N = N (ε), и по определению 3, fn ⇉ f на E.  2.1.5. Неравномерно сходящиеся последовательности Сходящуюся на множестве E функциональную последовательность, не сходящуюся при этом на E равномерно, называют неравномерно сходящейся функциональной последовательностью на E. Это равносильно нижеследующему определению. Определение 4. Функциональная последовательность (fn (z)) неравномерно сходится на множестве E ⊂ C, если 1◦ она сходится на E к некоторой предельной функции f (z); 2◦ существует число ε0 > 0, обладающее свойством: для произвольного N ∈ N найдётся n ∈ N, n > N , и найдётся точка zn ∈ E, чтобы справедливо неравенство |f (zn ) − fn (zn )| > ε0 . Пример 1.2. fn (x) = lim 1 n→+∞ n

1 n2

x +x2

nx 1+n2 x2 ,

x ∈ [0, 1], n ∈ N. Тогда fn (0) = 0,

nx lim 2 2 n→+∞ 1+n x точках xn = n1

lim fn (0) = 0, и f (x) =

n→+∞

= 0 для всех x ∈ (0, 1]. Таким образом, fn → f на [0, 1] и f (x) = 0, x ∈ [0, 1]. В 1 2

= ∈

(0, 1], n ∈ N, имеем |f (xn ) − fn (xn )| = fn (xn ) = = ε0 > 0, n ∈ N. Таким образом, последовательность (fn (x)) не сходится равномерно на [0, 1], то есть, сходится неравномерно. 2.1.6. Сходимость функциональных рядов Рассмотрим произвольную функциональную последовательность (an (z)) на множестве E из C и образуем n P новую функциональную последовательность (sn (z)), s1 (z) = a1 (z), s2 (z) = a1 (z) + a2 (z), . . . , sn (z) = ak (z), k=1

n ∈ N. Функции sn (z), n ∈ N, называют частными суммами функционального ряда X a1 (z) + a2 (z)+, . . . , +an (z) + . . . = an (z).

(3)

Если в каждой точке z ∈ E ⊂ C комплексная последовательность (sn (z)) сходится; то есть, (sn (z)) поточечно сходится на E к некоторой предельной функции s(z) = lim sn (z), z ∈ E, то s(z) называют суммой ряда (3), n→+∞

а множестве E — областью сходимости ряда (3). ∞ P Обозначение: s(z) = an (z), z ∈ E. n=1

Теорема 2.3. (Критерий Коши). Ряд (3) сходится на множестве E ⊂ C тогда и только тогда, когда для произвольного z ∈ E и произвольного ε > 0 существует N ∈ N, N = N (z; ε), что неравенство |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < ε справедливо для всех n, p ∈ N, n > N = N (z; ε) (неравенство |an (z) + . . . + am (z)| < ε справедливо для всех n, m > N = N (z; ε)).  |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| = |sn+p (z) − sn (z)| < ε для всех n, p ∈ N, n > N = N (z; ε) — критерий Коши сходимости функциональной последовательности (sn (z)) на E, то есть sn (z) → s(z) на E и s(z) — сумма ряда (3).  Определение 5. Функциональный ряд

an+1 (z) + . . . =

∞ X

k=1

(4)

an+k (z), z ∈ E,

называется n–ым остаточным рядом ряда (3). Для его суммы rn (z) =

∞ P

an+m (z) справедлива формула

m=1

rn (z) = s(z) − sn (z), z ∈ E, n ∈ N,

(5)

тогда и только тогда, когда ряд (3) сходится. Утверждение. Ряд (3) сходится на E тогда и только тогда, когда функциональная последовательность (rn (z)) поточечно сходится на множестве E к нулевой функции; то есть, rn (z) → 0 на E.

Определение P 6. Ряд (3) называют абсолютно сходящимся на некотором множестве E1 ⊂ C, если на E1 сходится ряд |an (z)|. Так как всякий абсолютно сходящийся ряд сходится, то E1 ⊂ E. 32

2.1.7. Равномерно сходящиеся функциональные ряды Определение 7. Ряд (3) называют равномерно сходящимся на множестве E ⊂ C, если на E равномерно сходится последовательность (sn (z)) его частных сумм; то есть, sn (z) ⇉ s(z) на E; s(z) — сумма ряда (3). Утверждение. Ряд (3) равномерно сходится на множестве E тогда и только тогда, когда последовательность (rn (z)) сумм его остатков равномерно сходится на E к нулевой функции.  Согласно определению 7 и формуле (5), sn (z) ⇉ s(z) на E тогда и только тогда, когда rn (z) ⇉ 0 на E.  P (−1)n+1 Пример 1.3. Ряд x2 +n равномерно сходится на E = R и ряд сходится условно на R.  ∞ X (−1)k+1 1 1 |rn (x)| = 6 , x ∈ R, n ∈ N 6 x2 + k x2 + n + 1 n+1 k=n+1

(по признаку P Бернулли–Лейбница), так что rn (x) ⇉ 0 на R; то есть, ряд равномерно сходится на R. Положи1 x ∈ R, так как для любого x ∈ R существует m ∈ N, что m > x2 , и тельный ряд x2 +n расходится при любом P 1 1 1 следовательно, x2 +n > m+n , n ∈ N, и m+n есть m–ый остаточный ряд расходящегося гармонического ряда. 

Теорема 2.4. Ряд (3) равномерно сходится на E ⊂ C тогда и только тогда, когда для произвольного числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε) (выбор N зависит только от ε > 0 и не зависит от точек z ∈ E), что неравенство |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < ε (6) an(z) + . . . + am (z) < ε (6′ ) справедливо одновременно для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε) (всех m, n ∈ N, m, n > N = N (ε)).  |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| = |sn+p (z) − sn (z)| и неравенство (6) [(6’)] есть критерий Коши равномерной сходимости последовательности (sn (z)) на множестве E. 

2.1.8. Линейное свойство равномерно сходящихся рядов P P an (z) и bn (z) равномерно сходятся на множестве E ⊂ C, то их сумма P Теорема 2.5. Если ряды (an (z) + bn (z)) равномерно сходится на E.  Рассмотрим произвольное ε > 0. Согласно (6), существует N1 ∈ N, N1 = N1 (ε), что |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < ε для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N1 = N1 (ε), и существует N2 ∈ N, N2 = N2 (ε), что |bn+1 (z) + . . . + bn+p (z)| < 2 ε для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N2 = N2 (ε). Обозначим N = max(N1 , N2 ), N = N (ε). Тогда 2 |an+1 (z) + bn+1 (z) + . . . + an+p (z) + bn+p (z)| 6 |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| + |bn+1 (z) + . . . + bn+p (z)| <

ε ε + =ε 2 2

P для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Согласно (6), ряд (an (z) + bn (z)) равномерно сходится на E.  P Теорема 2.6. Если ряд an (z) равномерно сходится на множестве E ⊂ C, а функция v(z) ограничена на P E, то v(z)an (z) равномерно сходится на E.  По условию, существует M > 0, что |v(z)| 6 M для всех z ∈ E. Пусть ε > 0 — произвольное. Согласно (6), ε существует N ∈ N, N = N (ε), что |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < M для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Тогда |v(z)an+1 (z) + . . . + v(z)an+p (z)| = |v(z)| |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| 6 M |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| < для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε), так что ряд

P

ε M =ε M

v(z)an (z) равномерно сходится на E. 

2.1.9. Свойство аддитивности равномерно сходящихся рядов P Теорема 2.7. Если ряд an (z) равномерно сходится на множествах E1 и E2 , то он равномерно сходится на множестве E = E1 ∪ E2 .  Критерий Коши применяем отдельно на E1 и E2 , и следовательно, он справедлив и на E = E1 ∪ E2 .  2.1.10. Важное замечание Всякую функциональную P последовательность (fn (z)) можно рассматривать как последовательность частных сумм функционального ряда an (z), если a1 (z) = f1 (z), a2 (z) = f2 (z)−f1(z), . . . , an (z) = fn (z)−fn−1(z), n > 2. 33

2.2. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов 2.2.1. Признак Вейерштрасса Теорема 2.8. Если функции an (z), n ∈ N, определены на множестве E ⊂ C и cn = sup |an (z)| , n ∈ N, то z∈E P P P из сходимости положительного ряда cn следует равномерная сходимость на E рядов an (z) и |an (z)|.  Проверим P выполнение критерия Коши равномерной сходимости рядов. Рассмотрим произвольное ε > 0. Так как сходится cn , то существует N ∈ N, N = N (ε), что cn+1 + . . . + cn+p = |cn+1 + . . . + cn+p | < ε для всех n, p ∈ N, n > N . Поэтому, |an+1 (z) + . . . + an+p (z)| 6 |an+1 (z)| + . . . + |an+p (z)| 6 cn+1 + . . . + cn+p < ε P P для всех z ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε); то есть, ряды an (z) и |an (z)| равномерно сходятся на множестве E.  2.2.2. Признак Дирихле Теорема 2.9. Если функции an (x), bn (x), n ∈ N, определены на множестве E ⊂ R и обладают свойствами 1◦ частные суммы Bn (x) =

n P

k=1

bk (x), n ∈ N, равномерно ограничены на E (то есть, существует M > 0,

что |Bn (x)| 6 M для всех x ∈ E и всех n ∈ N); 2 для каждого x ∈ E числовая последовательность (an (x)) убывает, а функциональная последовательность (an (x)) равномерно сходится на E к нулевой функции, P то ряд an (x)bn (x) равномерно сходится на E.  Рассмотрим произвольные m, n ∈ N, m > n. Совершая преобразование Абеля, имеем ◦

m X

k=n

ak (x)bk (x) =

m−1 X k=n

Bk (x)(ak (x) − ak+1 (x)) + Bm (x)am (x) − Bn−1 (x)an (x),

где B0 (x) = 0, и откуда, с учётом условия 1 и свойства убывания числовых последовательностей (an (x)) для каждого x ∈ E, получим оценку m X m−1 X ak (x)bk (x) 6 |Bk (x)| |ak (x) − ak+1 (x)| + |Bm (x)| |am (x)| + |Bn−1 (x)| |an (x)| 6 k=n k=n "m−1 # X 6M (ak (x) − ak+1 (x)) + |am (x)| + |an (x)| = k=n

= M [an (x) − an+1 (x) + an+1 (x) − an+2 + . . . + am−1 − am (x) + |am (x)| + an (x)] =

= M [an (x) + |an (x)| − am (x) + |am (x)|] 6 2M [|an (x)| + |am (x)|] , (1)

справедливо для всех x ∈ E и всех m, n ∈ N, m > n. ε Так как an (x) ⇉ 0 на E, то для произвольного числа ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что |an (x)| < 4M ε для всех x ∈ E и всех n ∈ N, n > N = N (ε). Тогда |am (x)| < 4M для всех x ∈ E и всех m ∈ N, m > n > N = N (ε). Поэтому, на основании (1) заключаем, что m X  ε ε  ak (x)bk (x) < 2M + =ε 4M 4M k=n

для всех x ∈ E и всех m > n > N = N (ε); то есть, справедлив критерий Коши равномерной сходимости ряда P an (x)bn (x) на множестве E. 

2.2.3. Признак Абеля равномерной сходимости функционального ряда P Теорема 2.10. Если функциональный ряд bn (x) равномерно сходится на множестве E ⊂ R, а функции an (x), x ∈ E, n ∈ N, обладают свойствами

1◦ для каждого x ∈ E числовая последовательность (an (x)) монотонна и 2◦ функциональная последовательность (an (x)) равномерно ограничена на множестве E (то есть, существует M > 0, что |an (x)| 6 M для всех x ∈ E и всех n ∈ N), 34

P то ряд an (x)bn (x) равномерно сходится на E. P  Рассмотрим произвольное число ε > 0. В силу равномерной сходимости на E ряда bn (x), существует N ∈ N, N = N (ε), что |bn+1 (x) + . . . + bn+p (x)| < ε (2) для всех x ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N . Рассмотрим B0 (x) = 0, B1 (x) = bn+1 (x), B2 (x) = bn+1 (x) + bn+2 (x), . . . , Bj (x) = bn+1 (x) + . . . + bn+j (x), j = 1, p, p ∈ N. Тогда bn+j (x) = Bj (x) − Bj−1 (x), n, j ∈ N, и в силу преобразования Абеля n+p X

ak (x)bk (x) =

k=n+1

p X

an+j (x)bn+j (x) =

j=1

p X j=1

=

p−1 X j=1

an+j (x) [Bj (x) − Bj−1 (x)] =

Bj (x) [an+j (x) − an+j+1 (x)] + an+p (x)Bp (x) − an+1 (x)B0 (x), x ∈ E. (3)

Согласно (2), |Bj (x)| < ε для всех x ∈ E и всех j = 1, p, p ∈ N, и B0 (x) = 0, x ∈ E. Не ограничивая общности, считаем, что (an (x)) убывает в каждой x ∈ E; тогда, на основании (3), с учётом условия 2 теоремы, получим   n+p p−1 p−1 X X X ak (x)bk (x) 6 |Bj (x)| |an+j (x) − an+j+1 (x)|+|an+p (x)| |Bp (x)| < ε  (an+j (x) − an+j+1 (x)) + |an+p (x)| < k=n+1

j=1

j=1

< ε [an+1 (x) − an+2 (x) + an+2 (x) − an+3 (x) + . . . + an+p−1 (x) − an+p (x) + |an+p (x)|] =

= ε [an+1 (x) − an+p (x) + |an+p (x)|] < ε (|an+1 (x)| + 2 |an+p (x)|) 6 ε · 3M

(4)

для всех P x ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N = N (ε). Утверждение (4) есть критерий Коши равномерной сходимости ряда an (x)bn (x) на множестве E.  2.2.4. Признак Дини равномерной сходимости функциональных рядов

Теорема 2.11. Если непрерывные и неотрицательные на отрезке P [a, b] функции an (x), n ∈ N, образуют P ряд an (x), сходящийся на [a, b] к непрерывной функции s(x), то ряд an (x) равномерно сходится на [a, b]. n P P  Рассмотри частные суммы sn (x) = ak (x), n ∈ N, и суммы rn (x), n ∈ N, остатков ряда an (x). Так k=1

как ak (x) > 0, x ∈ [a, b], k ∈ N, то 0 6 sn (x) 6 sn+1 (x) 6 s(x), x ∈ [a, b], n ∈ N, и rn (x) = s(x) − sn (x), n ∈ N, удовлетворяют неравенствам 0 6 rn+1 (x) 6 rn (x), x ∈ [a, b], n ∈ N, и все rn (x) непрерывны на [a, b], поскольку непрерывны на [a, b] все sn (x), n ∈ N, и сумма s(x). Кроме того, lim rn (x) = 0 для всех x ∈ [a, b]. Утверждение n→+∞

теоремы будет доказано, если установим, что rn (x) ⇉ 0 на [a, b]. Предположим, напротив, что (rn (x)) сходится на [a, b] к нулевой функции неравномерно. Это значит, что существует число ε0 > 0 и для произвольного ν ∈ N существует число nν ∈ N, nν > ν, и точка xnν ∈ [a, b], для которых |rnν (xnν )| = rnν (xnν ) > ε0 , ν ∈ N.

Не ограничивая общности, считаем nν = ν = n, ν ∈ N, так что на [a, b] существует последовательность точек (xn ), в которых rn (xn ) > ε0 , n ∈ N. По теореме Больцано, ограниченная последовательность (xn ) содержит сходящуюся подпоследовательность (xnk ), lim xnk = x0 , и так как a 6 xnk 6 b, k ∈ N, то a 6 x0 6 b; то есть, k→+∞

x0 ∈ [a, b]. При этом, rnk (xnk ) > ε0 , k ∈ N. Для произвольного фиксированного m ∈ N существует nk > m, и поэтому, rm (x) > rnk (x), x ∈ [a, b]; в частности, rm (xnk ) > rnk (xnk ) > ε0 , k ∈ N, nk > m. (5)

Так как функция rm (x) непрерывна на [a, b] и lim xnk = x0 ∈ [a, b], то lim rm (xnk ) = rm (x0 ), и, с учётом k→+∞

k→+∞

(5), rm (x0 ) > ε0 для всех m ∈ N. Последнее противоречит свойству lim rn (x) = 0 для любого x ∈ [a, b]. n→+∞ P Таким образом, предположение неверно и rn (x) ⇉ 0 на [a, b]; то есть, ряд an (x) равномерно сходится на [a, b]. 

35

2.2.5. Признак Дини равномерной сходимости функциональных последовательностей Теорема 2.12. Если функции fn (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b] и в точках x ∈ [a, b] функциональная последовательность (fn (x)) монотонная одинаковой направленности (то есть, (fn (x)) возрастает в каждой x ∈ [a, b], либо (fn (x)) убывает в каждой точке x ∈ [a, b]) и (fn (x)) сходится на [a, b] к функции f (x), непрерывной на [a, b], то (fn (x)) равномерно сходится к f (x) на [a, b].  Рассмотрим функции a1 (x) = f1 (x), a2 (x) = f2 (x) P − f1 (x), . . . , an (x) = fn (x) − fn−1 (x), n > 2, все непрерывные на [a, b]. Частные суммы sn (x), n ∈ N, ряда an (x) имеют вид sn (xn ) = a1 (x) + a2 (xx) + . . . + an (x) = f1 (x) + f2 (x) − f1 (x) + . . . + fn (x) − fn−1 (x) = fn (x), n ∈ N, x ∈ [a, b],

и поэтому, сумма s(x) ряда, s(x) =

lim fn (x) = f (x) непрерывна на [a, b]. В силу свойства P P монотонности, фигурирующего в условии теоремы, либо ряд an (x), либо ряд (−an (x)) удовлетворяет всем условиям теоремы Дини для рядов, согласно которой ряд равномерно сходится на [a, b]. Это означает, что sn (x) ⇉ s(x) на [a, b], или fn (x) ⇉ f (x) на [a, b].  lim sn (x) =

n→+∞

n→+∞

Замечание. В двух последних теоремах отрезок можно заменить произвольным компактом на R.

2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей 2.3.1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда P Теорема 2.13. Если функции an (z), n ∈ N, определены на некотором множестве E ⊂ C и ряд an (z) равномерно сходится на E к сумме s(z), то функция s(z) будет непрерывной в каждой точке z0 ∈ E, в которой непрерывны все функции an (z), n ∈ N. n P  Рассмотрим произвольные ε > 0 и sn (z) = ak (z), z ∈ E, n ∈ N, так что s(z) = sn (z) + rn (z), z ∈ k=1 P E, n ∈ N, где rn (z) — сумма n–ого остаточного ряда для an (z). Так как ряд равномерно сходится на E, то rn (z) ⇉ 0 на E, и поэтому существует такое N ∈ N, N = N (ε), что |rn (z)| < 3ε для всех z, z0 ∈ E. Поскольку также s(z) = sN (z) + rN (z), z ∈ E, то оценка |s(z) − s(z0 )| = |sN (z) + rN (z) − sN (z0 ) − rN (z0 )| 6 |sN (z) − sN (z0 )| + + |rN (z)| + |rN (z0 )| < |sN (z) − sN (z0 )| + справедлива для всех z, z0 ∈ E. Функция sN (z) =

N P

k=1

2ε 3

(1)

ak (z) непрерывна в точке z0 ∈ E, как сумма непрерывных

функций ak (z), k = 1, N , и следовательно, для ε > 0 существует δ > 0, что ε |sN (z) − sN (z0 )| < (2) 3 для всех z ∈ E, |z − z0 | < δ. На основании (1) и (2), получаем оценку |s(z) − s(z0 )| < 3ε + 2ε 3 = ε для всех z ∈ E, |z − z0 | < δ, которая означает непрерывность функции s(z) в точке z0 ∈ E.  Следствие. Равномерно сходящийся ряд непрерывных функций имеет своей суммой непрерывную функцию. 2.3.2. Непрерывность предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности Теорема 2.14. Если функциональная последовательность (fn (z)) равномерно сходится на множестве E ⊂ C к предельной функции f (z) и каждая fn (z), n ∈ N, непрерывна в точке z0 ∈ E, то предельная функция f (z) непрерывна в z0 .  Рассмотрим функции a1 (z) = f1 (z), an (z) = fn (z) − fn−1 (z), n > 2, z ∈ E, непрерывные в точке z0 ∈ E. P Функциональный ряд an (z) имеет частные суммы sn (z) =

n X

k=1

ak (z) = f1 (z) + f2 (z) − f1 (z) + . . . + fn (z) − fn−1 (z) = fn (z), z ∈ E, n ∈ N.

Поэтому, условиеPfn (z) ⇉ f (z) на E равносильно свойству sn (z) ⇉ f (z) на E; то есть, свойству равномерной сходимости ряда an (z) к сумме s(z) = f (z). По теореме предыдущего пункта, функция f (z) = s(z) непрерывна в точке z0 ∈ E.  36

2.3.3. Предел по базе суммы равномерно сходящегося функционального ряда P Теорема 2.15. Если функциональный ряд an (x) равномерно сходится на множестве E ⊂ R и B — база P на E, по которой существуют lim an (x) = cn для всех n ∈ N, то числовой ряд cn сходится и его сумма B

равна пределу суммы функционального ряда по базе B; то есть, lim B



∞ P

Обозначим s(x) =

n=1

∞ X

an (x) =

n=1

∞ X

lim an (x).

n=1

B

an (x), x ∈ E, и рассмотрим произвольное ε > 0. Так как ряд

сходится на E к s(x), то по критерию Коши, существует N ∈ N, N = N (ε), что |an+1 (x) + . . . + an+p (x)| <

P

an (x) равномерно

ε 3

(3)

для всех x ∈ E и всех n, p ∈ N, n > N . Опираясь на свойства линейности и монотонности предела функции по базе, а также на свойство непрерывности функции |t| , t ∈ R, на основании (3) получим, что |cn+1 + . . . + cn+p | = lim an+1 (x) + . . . + lim an+p (x) = lim(an+1 (x) + . . . + an+p (x)) = B

B

B

ε <ε 2 P справедливо для всех n, p ∈ N, n > N = N (ε), что является критерием Коши сходимости числового ряда cn к некоторой сумме c. P Так как ряд an (x) равномерно сходится на E к функции s(x), то для ε > 0 существует N1 ∈ N, N1 = N1 (ε), ∞ P что |s(x) − sn (x)| < ε3 для всех n > N1 . Так как cn = c, то существует N2 ∈ N, N2 = N2 (ε), что |c − sn | < 3ε для = lim |an+1 (x) + . . . + an+p (x)| 6 B

всех n > N2 , где sn =

n P

k=1

n=1

ck , n ∈ N. Обозначая N = max(N1 , N2 ), N = N (ε), заключаем, что |s(x) − sN (x)| <

ε 3

для всех x ∈ E и |c − sN | < 3ε . Поэтому

|s(x) − c| = |s(x) − sN (x) + sN (x) − c + sN − sN | = |sN (x) − sN + s(x) − sN (x) + sN − c| 6 6 |sN (x) − sN | + |s(x) − sN (x)| + |sN − c| < |sN (x) − sN | +

2ε , x ∈ E. (4) 3

По условию и по свойству линейности предела функции по базе, sN =

N X

ck =

k=1

N X

lim ak (x) = lim

k=1

B

B

N X

ak (x) = lim sN (x). B

k=1

Поэтому, для числа ε > 0 существует такой элемент Bε базы B, на котором |sN (x) − sN | <

ε 3

(5)

для всех x ∈ Bε . На основании (4) и (5) заключаем, что неравенство |s(x) − c| < всех x ∈ Bε ; то есть, что c = lim s(x). 

ε 3

+

2ε 3

= ε справедливо для

B

2.3.4. Предел по базе предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности Теорема 2.16. Если fn (x) ⇉ f (x) на множестве E ⊂ R, E 6= ∅, и на базе B, лежащей в E, существуют lim fn (x) = ln , n ∈ N, то существует lim ln = l и l = lim f (x); то есть, B

B

lim B



B



   lim fn (x) = lim lim fn (x) .

n→+∞

Доказать самостоятельно, используя ряд

n→+∞

P

B

an (x), a1 = f1 (x), an (x) = fn (x) − fn−1 (x), n ∈ N, x ∈ E.  37

2.3.5. Почленное интегрирование функционального ряда P Теорема 2.17. Если функциональный ряд an (x) равномерно сходится на [a, b] ⊂ R к сумме s(x) и все an (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b], то Zb

b

s(x) dx =

∞ Z X

(6)

an (x) dx.

n=1 a

a

Согласно следствию к теореме пункта 2.3.1, функция s(x) непрерывна на [a, b], и следовательно, все инn P тегралы в формуле (6) существуют. Рассмотрим частные суммы sn (x) = ak (x), n ∈ N, и суммы rn (x), n ∈ N, k=1 P остатков ряда an (x), так что s(x) = sn (x) + rn (x), x ∈ [a, b], n ∈ N, и rn (x) ⇉ 0 на [a, b] в силу условия равномерной сходимости ряда. Так как функции sn (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b] как конечные суммы непрерывных функций, то все функции s(x), sn (x), rn (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b] и 

Zb

s(x) dx =

a

Zb

sn (x) dx +

a

Zb

b

rn (x) dx =

n Z X

ak (x) dx +

k=1 a

a

Zb

(7)

rn (x) dx

a

по линейному свойству интеграла Римана. Формула (6) следует из (7), если справедливо утверждение, что Zb

(8)

rn (x) dx = 0.

a

Для проверки (8) рассмотрим произвольное число ε > 0. Так как rn (x) ⇉ 0 на [a, b], то существует N ∈ ε N, N = N (ε), что |rn (x)| < 2(b−a) для всех x ∈ [a, b] и всех n > N . Поэтому, справедлива оценка b Z Zb ε rn (x) dx 6 |rn (x)| dx 6 (b − a) < ε 2(b − a) a

a

для всех n > N, N = N (ε), из которой следует (8). 

2.3.6. Интегрирование предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности Теорема 2.18. Если функциональная последовательность (fn (x)) равномерно сходится на [a, b] ⊂ R к предельной функции f (x) и все fn (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b], то справедлива формула Zb

f (x) dx = lim

n→+∞

a

Zb

(6′ )

fn (x) dx.

a

 Доказать самостоятельно, используя ряд x ∈ [a, b]. 

P

an (x), a1 (x) = f1 (x), an (x) = fn (x) − fn−1 (x), n > 2,

Пример 3.1. Рассмотрим последовательность (fn (x)), x ∈ [0, 1], n ∈ N,  1   , 4n2 x, 0 6 x 6   2n   1 1 fn (x) = −4n2 x + 4n, 6x6 ,  2n n    1   0, 6 x 6 1. n

и график функции fn (x) изображен на рисунке. Тогда fn (0), n ∈ N, и 1 x,

lim fn (0) = 0 = f (0). Для любого

n→+∞

1 N.

x ∈ (0, 1] рассмотрим такое N ∈ N, чтобы N > или x > Для всех n > N имеем x > N1 > n1 , и следовательно, на основании рисунка, fn (x) = 0 для всех n > N , так что lim fn (x) = 0. Итак, fn (x) → f (x) = 0, x ∈ [0, 1]. n→+∞

Эта сходимость не является равномерной, поскольку для любого n ∈ N выберем xn = 38

1 2n

∈ [0, 1], в которой

|fn (xn ) − f (xn )| = fn (xn ) = 2n, и lim |fn (x) − f (x)| = +∞. При этом, на основании геометрического свойства n→+∞ интеграла, Z1 Z1 Z1/n f (x) dx = 0 6= 1 = fn (x) dx = fn (x) dx 0

0

0

для всех n ∈ N. 2.3.7. Почленное дифференцирование функциональных рядов P Теорема 2.19. Если все функции anP (x), n ∈ N, непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b], ряд an (x) сходится на [a, b] к сумме s(x) и ряд a′n (x) равномерно сходится на [a, b] к сумме s∗ (x), то функция s(x) дифференцируема на [a, b] и её производная s′ (x) = s∗ (x), x ∈ [a, b]; то есть, ∞ X

!′

an (x)

n=1

=

∞ X

n=1

a′n (x), x ∈ [a, b].

Поскольку все производные a′n (x), n ∈ N, непрерывны на [a, b], то по теореме предыдущего пункта ∞ P функция s∗ (x) = a′n (x) непрерывна на [a, b] и для любого x ∈ [a, b] справедлива формула 

n=1

Zx a

x

∗

s (t) dt =

∞ Z X

n=1 a

a′n (t) dt

=

∞ X

(an (x) − an (a)) = s(x) − s(a), x ∈ [a, b].

(9)

n=1

Так как функция s∗ непрерывна на [a, b], то существует

x R a

s∗ (t) dt

′

= s∗ (x), x ∈ [a, b], и, согласно (9),

s∗ (x) = (s(x) − s(a))′ , x ∈ [a, b]. Так как (s(a))′ = 0, то, по свойству линейности операции дифференцирования, существует s′ (x) и s′ (x) = s∗ (x), x ∈ [a, b].  2.3.8. Дифференцируемость гамма-функции Эйлера Согласно формуле Вейерштрасса, ∞  Y x −x 1 / −N, = ecx 1+ e n, x ∈ Γ(x + 1) n n=1

и бесконечное произведение абсолютно сходится для всех x ∈ / −N. Поскольку Γ(x + 1) = xΓ(x), x ∈ / −N0 , N0 = N ∪ {0}, то ∞ Y 1 x x cx =e / −N0 , 1 + e− n , x ∈ |x| |Γ(x)| n n=1 и

− ln |x| − ln |Γ(x)| = cx + ln |Γ(x)| = − ln |x| − cx +

∞ h X x x i ln 1 + − , x∈ / −N0 , n n n=1

x i − ln 1 + , x ∈ / −N0 . n n

∞ h X x

n=1

(10)

Формальное дифференцирование левой и правой частей в формуле (10) приводит к  ∞  X Γ′ (x) 1 1 1 =− −c+ − , x∈ / −N0 , Γ(x) x n n+x n=1

(11)

и формула (11) будет иметь место, если мы докажем, что ряд в её правой части равномерно сходится на каждом отрезке ∆ ⊂ R, не содержащем точек множества −N0 (по теореме предыдущего пункта). На отрезке ∆ справедлива оценка |x| 6 M для всех x ∈ ∆ и некоторого числа M > 0. Поэтому 1 |x| M − 1 = n n + x n |n + x| 6 n(n − M ) 39

P M для всех x ∈ ∆ и всех n ∈ N, n > M . Так как положительный ряд n(n−M) сходится, то по признаку n>M i Ph1 1 Вейерштрасса на ∆ равномерно сходится ряд n − n+x , и следовательно, формула (11) справедлива для

всех x ∈ / −N0 . Итак, функция Γ(x) дифференцируема всюду в своей области определения и справедлива формула (11). По определению, ∞  X

n=1

1 1 − n+1 n



= lim

n→+∞

n  X

k=1

1 1 − k+1 k



= lim

n→+∞



1 1 1 1 1 − 1 + − + ...+ − 2 3 2 n+1 n



= lim

=

n→+∞

или 1+

∞  X

n=1

На основании (11) и (12) имеем

1 1 − n+1 n





1 −1 n+1



= −1, (12)

= 0.

  ∞  ∞  X Γ′ (x) 1 X 1 1 1 1 = −c + 1 − + − = −c + − , x∈ / −N0 . Γ(x) x n=1 n + 1 n + x n+1 n+x n=0

(13)

Формальное дифференцирование формулы (13) приводит к ′ X  ′ ∞ 1 Γ (x) = , x∈ / −N0 Γ(x) (n + x)2 n=0

(14)

и равенство (14) справедливо, если будет доказано, что ряд в его правой части равномерно сходится на каждом 1 отрезке ∆ ⊂ R, не содержащем точек множества −N0 . Как и выше, для всех x ∈ ∆ справедлива оценка (n+x) 2 < P 1 1 (n−M)2 при всех n ∈ N, n > M , и так как положительный ряд (n−M)2 сходится, по признаку Вейерштрасса ряд

∞ P

n=0

n>M

1 (n+x)2

равномерно сходится на ∆, и следовательно, (14) справедливо всюду на R, кроме x ∈ −N0 .

Итак, доказано, что функция Γ(x) обладает второй производной Γ′′ (x) всюду в своей области определения. Дальнейшее дифференцирование формулы (14) (ряда в её правой части) также приводит к рядам, равномерно сходящимся на каждом отрезке ∆ ⊂ R, не содержащем точек множества −N0 (по признаку Вейерштрасса). Это показывает, что функция Γ(x) бесконечно дифференцируема в своей области определения x ∈ / −N0 .

2.4. Степенные ряды 2.4.1. Область абсолютной сходимости степенного ряда Рассмотрим произвольную последовательность (cn ) комплексных чисел cn ∈ C, n ∈ N, комплексное число c0 и произвольное комплексное число z0 ∈ C. Функциональный ряд c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + . . . + cn (z − z0 )n + . . . =

∞ X

n=0

cn (z − z0 )n , z ∈ C,

(1)

называют степенным рядом с центром в точке z0 ; числа cn , n ∈ N0 = N ∪ {0}, называют коэффициентами степенного ряда (1). Изучение свойств степенного ряда (1) сводят к случаю, когда z0 = 0; то есть, изучают степенной ряд ∞ X c0 + c1 z + c2 z 2 + . . . + cn z n + . . . = cn z n , z ∈ C. (2) n=0

Теорема 2.20. Пусть (cn ) — последовательность комплексных чисел и p 1 n |cn | = ρ и R = , (3) n→+∞ ρ p p где в левой части последнего равенства считаем R = 0, если lim n |cn | = +∞, и R = +∞, если lim n |cn | = lim

n→+∞

n→+∞

0. Тогда ряд (2) абсолютно сходится, если |z| < R, и расходится, если |z| > R; в случае R = +∞ ряд (2) абсолютно сходится для всех z ∈ C, в случае R = 0 ряд (2) сходится только в своём центре z0 = 0. 40

p p p Обозначим an (z) = cn z n , n ∈ N0 . Тогда lim n |an (z)| = lim |z| n |cn |. Если lim n |cn | = +∞ (и n→+∞ n→+∞ n→+∞ p R = 0), то lim n |an (z)| существует и равен 0 только когда z = 0, |z| = 0, а для любого z ∈ C, z 6= 0, имеем n→+∞ p |z| > 0 и lim |z| n |cn | = +∞, так что по радикальному признаку Коши ряд (2) сходится в точке z = 0 и n→+∞ ∞ P для z 6= 0 положительный ряд |an (z)| расходится, а последовательность его членов (|an (z)|) не является 

n=0

бесконечно малой; то есть, не является бесконечно малой последовательность (an (z)) для любого z 6= 0 и ряд p (2) расходится при всех z 6= 0. Если lim n |cn | = 0 (и R = +∞), то по свойствам верхнего предела (глава 1, n→+∞

пункт 1.1.1),

lim

n→+∞

p p p n |an (z)| = lim |z| n |cn | = |z| lim n |cn | = 0 n→+∞

n→+∞

для всех z ∈ C, так что по радикальному признаку Коши положительный ряд z ∈ C; то есть, ряд

∞ P

n=0

an (z) абсолютно сходится для всех z ∈ C.

∞ P

n=0

|an (z)| сходится для всех

p p Пусть теперь lim = ρ, 0 < ρ < +∞. Тогда, как и выше, lim n |an (z)| = |z| lim n |cn | = |z| ρ. Согласно n→+∞ n→+∞ n→+∞ ∞ P радикальному признаку Коши, положительный ряд |an (z)| сходится, если |z| ρ < 1, или |z| < 1ρ = R, и расходится, если |z| ρ > 1, или |z| >

n=0

1 ρ

= R, причём последовательность его членов (|an (z)|) в этом случае не ∞ P является бесконечно малой, равно как и последовательность (an (z)). Другими словами, ряд an (z) абсолютно n=0

сходится для всех z, |z| < R, и ряд расходится для всех z, |z| > R. Итак, областью абсолютной сходимости ряда (2) служит круг |z| < R на C и ряд (2) расходится при |z| > R, где R определяется формулой (3).  Формулу (3) называют формулой Коши–Адамара, а величину R в ней — радиусом сходимости степенного ряда (2). Следствие 2.1. (Первая теорема Абеля). Если степенной ряд (2) сходится в точке z1 ∈ C, z1 6= 0, то ряд (2) абсолютно сходится в круге |z| < |z1 |.  Так как ряд (2) сходится в z1 , то по теореме |z1 | 6 R и R > |z1 | > 0. Так как z1 6= 0, то для всех z, |z| < |z1 |, справедливо |z| < |z1 | 6 R, |z| < R, и по теореме ряд (2) абсолютно сходится в z.  p Следствие 2.2. Если существует lim n |cn | = l > 0, то ряд (2) абсолютно сходится при |z| < 1l и n→+∞

расходится при |z| > 1l . 

В нашем случае число l = ρ = lim

n→+∞

p n |cn |. 

Следствие 2.3. Если коэффициенты ряда (2) отличны от нуля, начиная с некоторого индекса, и суще ствует lim cn+1 = l1 > 0, то ряд (2) абсолютно сходится в круге |z| < l11 и расходится при |z| > l11 . n→+∞ cn  Задача 4 в списке обязательных задач коллоквиума утверждает, что если существует lim cn+1 cn = l1 , n→+∞ p то l1 = lim n |cn |, и применяем следствие 2.  n→+∞

2.4.2. Степенные ряды в действительной области

В этом пункте рассмотрим степенной ряд ∞ X

n=0

cn xn = c0 + c1 x + . . . + cn xn + . . . , cn , x ∈ R, n ∈ N0 .

(2′ )

Его областью абсолютной сходимости служит интервал (−R, R), который может быть всей числовой прямой (−∞, +∞) или вырождаться в точку x = 0, а R вычисляется по формуле (3). Областью сходимости ряда (2’) будет промежуток h−R, Ri. ∞ p P nn xn сходится только при x = 0, так как cn = nn , n ∈ N, и lim n |cn | = lim n = Пример 4.1. Ряд n→+∞

n=1

+∞.

n→+∞

∞ P xn x2 xn Пример 4.2. Ряд n! = 1 + x + 2 + . . . + n! + . . . абсолютно сходится на всей числовой прямой, так как n=0 cn+1 1 n! 1 cn = n! и lim cn = lim (n+1)! = lim n+1 = 0 и R = +∞. n→+∞

n→+∞

n→+∞

41

∞ n+1 P (−1)n+1 xn Пример 4.3. Ряд абсолютно сходится в интервале (-1,1), так как cn = (−1)n , |cn | = n1 , n ∈ N, n n=1 p P (−1)n+1 P (−1)n+1 1 сходится; при x = −1 ряд (−1)n = и lim n |cn | = lim √ = 1, R = 1. При x = 1 ряд n n n n n→+∞ n→+∞ P1 − n расходится, и областью сходимости ряда служит промежуток (−1, 1]. p P xn 1 1 lim n |cn | = lim √ Пример 4.4. Ряд n 2 = 1, так что областью абсолютной n2 имеет cn = n2 , n ∈ N, и n→+∞ n n→+∞ P (±1)n P 1 (±1)n и сходимости служит интервал (−1, 1). При x = ±1 имеем = n12 , ряд 2 2 n n n2 сходится. Таким

образом, областью сходимости и абсолютной сходимости будет отрезок [−1, 1]. ∞ P 1 Пример 4.5. (−1)n x2n = 1 − x2 + x4 − x6 + . . . + (−1)n x2n + . . . = 1+x 2 , |x| < 1. Заметим, что c2k = n=0 p p (−1)k , c2k−1 = 0, k ∈ N, |c2k | = 1, |c2k−1 | = 0 и lim n |cn | = 1, lim n |cn | = 0; следовательно, R = 1 и ряд n→+∞

n→+∞

абсолютно сходится в интервале (−1, 1). В точках x1,2 = ±1 ряд расходится, хотя его сумма ∞ P 1 определена и равна 21 . Если вместо x взять z ∈ C, то (−1)n z n = 1+z 2 , |z| < 1, и функция n=0

1 1+x2

в этих точках

1 1+z 2

не существует

в точках z1,2 = ±i, (±i)2 = −1, лежащих на границе круга |z| < 1 абсолютной сходимости ряда, |z1,2 | = |±i| = 1. 2.4.3. Равномерная сходимость степенных рядов

Теорема 2.21. Если степенной ряд (2) имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0), то он равномерно сходится на каждом замкнутом круге |z| 6 r для всех r, 0 < r < R.  Точка z = r лежит в круге |z| < R и в ней ряд (2), по теореме пункта 4.1, сходится абсолютно; то ∞ P n есть, сходится положительный ряд |cn | rn . Для любого z, |z| 6 r, справедливо |an (z)| = |cn z n | = |cn | |z| 6 n=0

n

|cn | r , n ∈ N0 , и по признаку Вейерштрасса ряд

∞ P

an (z) =

n=0

∞ P

n=0

cn z n равномерно сходится на |z| 6 r. 

2.4.4. Непрерывность суммы степенного ряда Теорема 2.22. Если степенной ряд (2) имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0), то его сумма s(z) непрерывна в круге |z| < R.  Рассмотрим произвольную точку z, |z| < R. Существует r, 0 < r < R, что |z| < r < R. По теореме предыдущего пункта, ряд (2) равномерно сходится на |z| 6 r. Так как каждая функция an (z) = cn z n непрерывна на C, то по теореме пункта 3.1, его сумма s(z) непрерывна в круге |z| 6 r; в частности, она непрерывна в точке z, |z| < r.  2.4.5. Вторая теорема Абеля ∞ P Теорема 2.23. Если степенной ряд (2′ ) cn xn имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0) и ряд сходитn=0

ся в x = R (в x = −R), то он равномерно сходится на отрезке [0, R] (на [−R, 0]) и его сумма s(x) непрерывна на [0, R] (на [−R, 0]), и в частности, она непрерывна слева в x = R (непрерывна справа в x =−R); то есть,  ∞ ∞ P P существует lim s(x) = s(R) = cn Rn существует lim s(x) = s(−R) = (−1)n cn Rn . x→R−0



x→−R+0 ∞ P

n=0

Рассмотрим вначале случай x = R. Тогда s(x) =

cn x =

n=0

∞ P

n=0

n

∞ P

cn R

n=0

n


x n R

, x ∈ [0, R]. Числовой ряд

cn Rn сходится, и его можно считать равномерно сходящимся на [0, R] функциональным рядом с постоянными n=0
x n членами, а функции fn (x) = R , n ∈ N, образуют на [0, R] убывающую последовательность в каждой точке

x x 2 x n x ∈ [0, R], равномерно ограниченную на [0, R]; так как 1 > R > R > ... > R > . . .. Согласно признаку ∞ P Абеля, функциональный ряд cn xn равномерно сходится на [0, R]. Так как каждая функция cn xn непрерывна n=0

на R, то и сумма ряда s(x) непрерывна на [0, R]; в частности, s(x) непрерывна слева в точке x = R. ∞ P Пусть теперь ряд (2′ ) сходится в x = −R, то есть, сходится числовой ряд (−1)n cn Rn . Степенной ряд ∞ P

n

n

(−1) cn y имеет радиус сходимости R1 =

n=0

1 ρ1 ,

ρ1 =

p lim n |(−1)n cn | =

n→+∞ ∗

n=0

lim

n→+∞

p n |cn | = ρ и R1 = R, и ряд

сходится в точке y = R. По доказанному, его сумма s (y) непрерывна на [0, R]. Так как для s(x) =

∞ P

n=0

42

cn xn

справедливо s(x) = s∗ (−y), то s(x) непрерывна на [−R, 0].  2.4.6. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов ∞ P

Теорема 2.24. Если степенной ряд сумме f (x) =

∞ P

n=0

cn xn имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0) и сходится к

n=0

cn xn , x ∈ (−R, R), то в интервале (−R, R) справедливы формулы Zx

f (t) dt =

0

∞ X cn n+1 c1 cn n+1 x = c0 x + x2 + . . . + x + ..., n+1 2 n+1 n=0

и

∞ X

f ′ (x) =

ncn xn−1 = c1 + 2c2 x + . . . + ncn xn−1 + . . . .

(4)

(5)

n=1



Заметим, что степенные ряды

∞ P

bn xn ,

n=0

∞ P

bn xn−1 ,

n=1

∞ P

bn xn+1 имеют один и тот же интервал (и радиус)

n=0

сходимости, поскольку каждый получается из другого умножением или делением на функцию ϕ(x) = x. Поэтому ∞ ∞ P P ряды ncn xn−1 и ncn xn имеют одинаковые радиусы сходимости, а радиус сходимости R1 последнего, n=1 n=0 p p √ p √ вычисляемый по формуле (3). равен R1 = ρ11 , ρ1 = lim n |ncn | = lim n n· n |cn | = lim n n· lim n |cn | = n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ ∞ ∞ p P P cn cn n n+1 n lim |cn | = ρ, и R1 = R. Аналогично, ряды и n+1 x n+1 x имеют одинаковые радиусы сходимости, n→+∞ n=0 n=0 q p |cn | 1 n = lim √ · lim |cn | = и радиус сходимости R2 последнего ряда равен R2 = ρ12 , где ρ2 = lim n n+1 n n+1 n→+∞ n→+∞ n→+∞ p n lim |cn | = ρ, так что R2 = R. n→+∞

Итак, радиусы сходимости рядов (2’), (4) и (5) одинаковые и совпадают с радиусом сходимости R ряда (2’). Тогда ряды (2’), (4) и (5) равномерно сходятся на каждом отрезке [−r, r], 0 < r < R, и так как их члены непрерывны на [−r, r], то на каждом [−r, r] выполнены все условия теорем о почленном дифференцировании и интегрировании функциональных рядов, согласно которым справедливы формулы (4) и (5).  ∞ P Следствие 2.4. Если степенной ряд cn xn имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0), то его сумма n=0

f (x) бесконечно дифференцируема в интервале (−R, R) и для каждого k ∈ N справедлива формула f (k) (x) =

∞ X

n=k

n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)cn xn−k , x ∈ (−R, R).

(6)

2.4.7. Единственность разложения в степенной ряд Теорема 2.25. Если степенной ряд

∞ P

cn xn имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0) и сумму f (x),

n=0 (k)

то c0 = f (0), ck = f k!(0) , k ∈ N.  Поскольку f (x) = c0 + c1 x + . . . + cn xn + . . . , x ∈ (−R, R), то f (0) = c0 . Согласно (5), f ′ (x) = c1 + 2c2 (x) + . . . + ncn xn−1 + . . . , x ∈ (−R, R), и f ′ (0) = c1 или c1 =

f ′ (0) 1! .

Согласно (6),

f (k) (x) = k(k − 1) · . . . · (k − k + 1)ck + (k + 1)k · . . . · (k + 1 − k + 1)ck+1 x + . . . , x ∈ (−R, R), и f (k) (0) = k!ck , или ck =

f (k) (0) k! ,

k ∈ N. 

Теорема 2.26. Если степенной ряд

∞ P

n=0

cn (x − x0 )n имеет ненулевой радиус сходимости R (> 0), то в

интервале его абсолютной сходимости (−R + x0 , R + x0 ) его сумма f (x) представима в виде f (x) =

∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n , x ∈ (−R + x0 , R + x0 ). n! n=0

43

(7)

∞ P

Положив t = x − x0 , переведём ряд



cn (x − x0 )n в ряд

n=0 (n) g(n) (0) = f n!(x0 ) , n!

∞ P

n=0

cn tn = g(t), t ∈ (−R, R), и g(x − x0 ) = f (x).

Согласно предыдущей теореме, cn = n ∈ N0 = N ∪ {0}, так что справедлива формула (7).  Ряд (7) называют рядом Тейлора функции f (x). Итак, любой степенной ряд с ненулевым радиусом сходимости является рядом Тейлора своей суммы.

2.5. Ряды Тейлора 2.5.1. Предварительные сведения Рассмотрим обратную задачу: всегда ли функция f , порождающая ряд Тейлора

∞ P

n=0

f (n) (x0 ) (x−x0 )n , n!

является

его суммой? Оказывается, нет. Во–первых, может случиться, что ряд Тейлора сходится только в своём центре.  Французский математик Э. Борель показал, что существуют бесконечно дифференцируемые функции с любыми произвольно заданными значениями последовательных производных в фиксированной точке. Таким образом, каждый степенной ряд, в частности и ряд с нулевым радиусом сходимости, есть ряд Тейлора некоторой функции.  Во–вторых, даже если ряд Тейлора функции f сходится, он может иметь другую сумму.  Рассмотрим функцию f0 (x) ( 1 − e (x−x0 )2 , если x 6= x0 , f0 (x) = 0, если x = x0 , и положим t = x − x0 . Функция g(t), g(t) =

(

1

e− t2 , если t 6= 0, 0, если t = 0,

имеет   1 − 12 , t 6= 0, g (t) = P3n e e t , t 6= 0, t √ где P3n (y) — некоторый многочлен от y степени 3n. Так как lim g (n) (t) = lim P3n (± y)e−y = 0, n ∈ N, то 1 2 2·3 1 2·2 1 g (t) = 3 e− t2 , t 6= 0, g ′′ (t) = − 4 e− t2 + 6 e− t2 = t t t

′



4 6 − 4 t6 t



− t12

t→0

0=g

(n)

(0) =

(n) f0 (x0 ),

n ∈ N. Поэтому,

∞ P

(n)

f0

n=0

(x0 ) (x n!

Последний пример показывает также, что если

(n)

y→+∞

n

− x0 ) = 0, x ∈ R.  ∞ P

n=0

cn (x − x0 )n — ряд Тейлора функции f , то он же яв-

ляется рядом Тейлора бесконечного множества других функций вида f +cf0 , c ∈ R — произвольная (n) постоянная (здесь (f + cf0 )(n) (x0 ) = f (n) (x0 ) + cf0 (x0 ) = f (n) (x0 ), n ∈ N0 = N ∪ {0}). 2.5.2. Сходимость ряда Тейлора к производящей функции Предположим, что функция f бесконечно дифференцируема в интервале I и существует точка x0 ∈ I, что ∞ P f (n) (x0 ) промежуток J сходимости её ряда Тейлора (x−x0 )n накрывает I (названные условия необходимы для n! n=0

решения задачи, сформулированной в заголовке пункта, в силу доказанных в предыдущем параграфе свойств степенных рядов). Частные суммы ряда sn (x) = Pn (x; x0 , f ), x ∈ J, n ∈ N — многочлены Тейлора функции f в точке x0 . Поэтому, сумма ряда s(x) = lim sn (x) = lim Pn (x; x0 , f ) для всех x ∈ J и s(x) = f (x) для x ∈ I ⊂ J n→+∞

тогда и только тогда, когда

n→+∞

lim [f (x) − Pn (x; x0 , f )] = 0 для каждого x ∈ I. Поскольку в интервале I для

n→+bes

функции f справедлива формула Тейлора, то f (x) − Pn (x; x0 , f ) = rn (x; x0 , f ), x ∈ I, n ∈ N, где rn (x; x0 , f ) — n–ый остаточный член в формуле Тейлора функции f на интервале I. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Утверждение. Если функция f бесконечно дифференцируема в интервале I и точка x0 ∈ I, то f (x) =

∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n , x ∈ I, n! n=0

тогда и только тогда, когда последовательность (rn (x)) остаточных членов rn (x) = rn (x; x0 , f ), n ∈ N, в её формуле Тейлора на I сходится к нулевой функции для всех x ∈ I. 44

Теорема 2.27. (Достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Если функция f бесконечно дифференцируема на отрезке между x0 и x (на R) и все её производные f (n) (t), n ∈ N, равномерно ограничены на ∞ P f (n) (x0 ) этом отрезке, то f (x) = (x − x0 )n , то есть ряд Тейлора функции f сходится в точке x к сумме n! n=0

f (x). 

Рассмотрим остаточные члены rn (x; x0 , f ) в форме Лагранжа.

f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )) (x − x0 )(n+1) , 0 < θ < 1. (n + 1)! По условию теоремы, существует число M > 0, что f (n) (t) 6 M для всех t между x0 и x и всех n ∈ N. Поэтому, rn (x; x0 , f ) =

|rn (x; x0 , f )| 6

M n+1 |x − x0 | , x 6= x0 . (n + 1)!

(1)

0| |x − x0 |n , x 6= x0 , n ∈ N. Тогда uun+1 = |x−x lim uun+1 = 0. Согласно n+1 , n ∈ N, и n→+∞ n n P признаку Даламбера, ряд un сходится, и следовательно, lim un = 0. На основании (1), lim rn (x; x0 , f ) = 0

Обозначим un =

M n!

n→+∞

n→+∞

и применяем предыдущее утверждение. 

2.5.3. Ряды Тейлора элементарных функций x

I. Функция f (x) = e , f (n) (x) = ex , x ∈ R, n ∈ N, и f (n) (0) = f (0) = 1, n ∈ N. Для произвольного фиксированного x ∈ R справедливо f (n) (t) = et 6 e|x| для всех t между 0 и x и всех n ∈ N. Согласно теореме предыдущего пункта, ∞ X x2 xn xn ex = 1 + x + + ...+ + ... = 1 + , x ∈ R. (2) 2! n! n! n=1 Для сумм rn (x) остатков ряда (2) справедлива оценка (1), в которой M = e|x| и x0 = 0, так что |rn (x)| 6 n+1 e|x| , x ∈ R, n ∈ N, и последняя оценка указывает на скорость сходимости ряда (2) в точках x ∈ R. (n+1)! |x|
II. Функция f (x) = sin x, x ∈ R, имеет f (k) (x) = sin x + π k , f (k) (x) 6 1, x ∈ R, k ∈ N, и следовательно, 2

sin x = x −

∞ X x3 (−1)n−1 2n−1 (−1)n−1 2n−1 + ...+ x + ... = x , x ∈ R. 3! (2n − 1)! (2n − 1)! n=1

(3)

2n

1 |x| , x ∈ R, n ∈ N. Для сумм rn (x) остатков ряда (3) в силу (1) справедливы оценки |r2n (x)| 6 (2n)!
π (k) (k) III. Функция f (x) = cos x, x ∈ R, имеет f (x) = cos x + k 2 , f (x) 6 1, x ∈ R, k ∈ N, и следовательно,

cos x = 1 −

∞ X x2 (−1)n 2n (−1)n 2n + ...+ x + ... = x , x ∈ R. 2! (2n)! (2n)! n=0

Для сумм rn (x) остатков ряда (4), на основании (1), справедливы оценки |r2n+1 (x)| 6 n ∈ N. IV. Функция f (x) = ln(1 + x), x > −1, имеет f ′ (x) =

(4)

1 (2n+1)!

|x|2n+1 , x ∈ R,

1 = 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)n xn + . . . , |x| < 1, 1+x

и поэтому f (x) − f (0) =

Zx 0

f ′ (t) dt = x −

откуда ln(1 + x) = x −

∞ X x2 x3 x4 (−1)n n+1 (−1)n−1 n + − + ...+ x + ... = x , x ∈ (−1, 1), 2 3 4 n+1 n n=1

∞ X x2 (−1)n−1 n (−1)n−1 n + ... + x + ... = x , x ∈ (−1, 1), 2 n n n=1

(5)

поскольку f (0) = ln 1 = 0. Для 0 < x < 1 суммы rn (x) остатков знакочередующегося ряда (5) имеют оценки n+1 |rn (x)| 6 |x| n+1 , 0 < x < 1, n ∈ N. Для −1 < x < 0 равенства 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)n xn =

1 (−1)(n+1) xn+1 − , |x| < 1, n ∈ N, 1+x 1+x 45

ведут к оценкам x x Z Z n+2 (−1)n+1 tn+1 1 |x| n+1 6 |rn+1 (x)| = dt 6 |t| dt (n + 2)(1 − |x|) , |x| < 1, n ∈ N, 1+t 1 − |x| 0

откуда

0

|rn (x)| 6 В x = 1 имеем ряд Лейбница

∞ P

n=1

1 n+1 |x| , −1 < x < 0, n ∈ N. (n + 1)(1 − |x|)

(−1)n−1 n

= ln 2; в x = −1 — расходящийся ряд −

V. Биномиальный ряд Разложим в степенной ряд функцию f (x) = (1 + x)α , α ∈ R. Если α ∈ N, то

P

1 n.

α

(1 + x)α = 1 + αx +

X α(α − 1) 2 x + . . . + xα = Cαk xk , x ∈ R. 2! k=0

Если α = 0, то f (x) = 1, x ∈ R. Пусть теперь α ∈ R\N0 , N0 = N ∪ {0}. Тогда f ′ (x) = α(1 + x)α−1 · . . . · f (n) (x) = α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)(1 + x)α−n и при n > α функция f (n) не существует в точке x = −1. Отсюда следует, что радиус сходимости R ряда для f удовлетворяет условию R 6 1. Покажем, что f (x) = (1 + x)α , α ∈ R\N0 , разлагается в степенной ряд в интервале (−1, 1). Для этого оценим остаточный член rn (x; 0; f ) = rn (x) в формуле Тейлора функции f , записав его в интегральной форме: 1 rn (x) = n!

Zx 0

Имеем 0 < |x| < 1 и

f (n+1) (t)(x − t)n dt.

α(α − 1) · . . . · (α − n) rn (x) = n!

Zx 0

откуда

(1 + t)α−n−1 (x − t)n dt,

x Z |α(α − 1) · . . . · (α − n)(α − n − 1)| n α−n−1 |x − t| . |rn+1 (x)| = |x − t| (1 + t) · dt (n + 1)! 1 + t

(6)

(7)

0

Замечая, что

|x−t| 1+t

=

|x|−|t| 1+t

6

|x|−|t| 1−t

6 |x|, на основании (6) и (7), получим |rn+1 (x)| 6

и

|n + 1 − α| |x| |rn (x)| n+1

|n + 1 − α| = 1. n→+∞ n+1 lim

Следовательно, при фиксированном x, 0 < |x| < 1, и достаточно малом ε > 0 существует nε ∈ N, что |rn+1 (x)| α 6 1 − |x| 6 (1 + ε) |x| = q < 1 |rn (x)| n + 1

для всех n > nε . Последнее означает, что |rn (x)| → 0 при n → +∞ не медленнее, чем геометрическая прогрессия, и поэтому ∞ X α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) n (1 + x)α = 1 + x , x ∈ (−1, 1). (8) n! n=1 В точке x = −1 имеем ряд

1+

∞ X

(−1)n

n=1

в точке x = 1 — ряд

1+

α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) ; n!

∞ X α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) . n! n=1

46

(9)

(10)

Отметим, что ряд (9) знакопостоянный, а ряд (10) — знакочередующийся. Так как (−1)n α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) = α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) , n! n!

то ряды (9) и (10) абсолютно сходятся для одних и тех же значений α ∈ R\N0 . Обозначим un = n−α N. Тогда uun+1 = |α−n| n+1 = n+1 для всех n > α. Согласно локальной формуле Тейлора, n

|α(α−1)·...·(α−n+1)| , n!

 −1       un+1  α 1 α 1 1 1 α+1 α+1 1 = 1− 1+ = 1− 1− + 2 +o = 1− + +o , n → +∞. (11) un n n n n n n2 n n2 n2 На основании (11) и теоремы из пункта ?, параграфа ?, главы 1, заключаем, что существует число c > 0 и справедливо un = c · n−(1+α) (1 + o(1)), n → +∞. (12) P Поэтому, ряд un сходится, если 1 + α > 1, α < 0, и расходится, если 1 + α 6 1, α 6 0. Поскольку, по предположению, α 6= 0, окончательно заключаем, что ряды (9) и (10) абсолютно сходятся при α > 0 и знакопостоянный ряд (9) расходится при α < 0. un+1 Так как uun+1 = n−α 6 1, когда n−α n+1 , n > α, то un n+1 6 1 и n > α; то есть, когда α > −1 и n > α. n Следовательно, последовательность (un ) убывает для всех n ∈ N при α > −1. На основании (12) заключаем, что lim un = 0, если 1 + α > 0, α > −1. Поэтому, в силу признака Бернулли–Лейбница, знакочередующийся n→+∞

ряд (10) сходится при α > −1. Если α 6 −1, то есть, 1 + α 6 0, то из (12) следует, что последовательность (un ) не бесконечно малая, и следовательно, ряд (10) расходится. Окончательный вывод: x = −1; ряд абсолютно сходится при α > 0 и расходится при α < 0; x = 1; ряд абсолютно сходится при α > 0, сходится условно при −1 < α < 0 и расходится при α 6 −1.

2.5.4. Экспоненциальная функция комплексного переменного ∞ P 2 n zn Степенной ряд 1 + z + z2! + . . . + zn! + . . . = n! абсолютно сходится для всех z ∈ C, поскольку для его

общего члена an (z) =

zn n!

n=0

при z 6= 0 имеем

an+1 (z) |z| = lim lim =0<1 n→+∞ n→+∞ n + 1 an (z)

и применяем признак Даламбера. Обозначим

∞ P

n=0

zn n!

= E(z), z ∈ C.

Теорема 2.28. E(z) · E(w) = E(z + w), z, w ∈ C. ∞ ∞ P P zn wn  Ряды n! = E(z), n! = E(w) абсолютно сходятся на C, и, следовательно, по теореме Коши– n=0

n=0

Абеля, абсолютно сходятся на C все их произведения, имея одинаковые суммы E(z) · E(w). Их произведение по Коши имеет сумму ! ! ! ∞ n ∞ n ∞ n ∞ X X X X X zk wn−k 1 X n! 1 X k k n−k (z + w)n k n−k · = z w = Cn z w = = E(z + w), k! (n − k)! n! k!(n − k)! n! n! n=0 n=0 n=0 n=0 k=0

k=0

k=0

так что E(z + w) = E(z) · E(w), z, w ∈ C.  Таким образом, функция E(z), z ∈ C, удовлетворяет такому же функциональному уравнению, что и экс∞ P xn x поненциальная функция ex , x ∈ R. Кроме того, если z = x, то E(x) = n! = e , x ∈ R. Поэтому, по n=0

определению, обозначают E(z) = ez , z ∈ C, и ez = 1 + z +

∞ X z2 zn zn + ...+ + ... = , z ∈ C. 2! n! n! n=0

Если в (13) положить z = ix, i2 = −1, x ∈ R, и заметить, что i3 = −i, i4 = 1, то eix =

∞ ∞ ∞ X X X (ix)n (−1)k 2k (−1)k−1 2k−1 = x +i x = cos x + i sin x, x ∈ R. n! (2k)! (2k − 1)! n=0 k=0

k=1

47

(13)

n∈

Таким образом, доказана формула Эйлера eix = cos x + i sin x, x ∈ R.

Она справедлива и для комплексных чисел z ∈ C в виде eiz = cos z + i sin z, z ∈ C. Прямым следствием теоремы и формулы Эйлера будет формула Муавра–Эйлера: (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx, x ∈ R, n ∈ N.  (eix )n = einx , x ∈ R, n ∈ N, и применяем формулу Эйлера. 

2.6. Разложение синуса в бесконечное произведение. Формула дополнения для гамма-функций Все замечательные результаты этого параграфа принадлежат Л. Эйлеру. 2.6.1. Предварительные замечания По формуле Муавра–Эйлера, (cos z + i sin z)m = cos mz + i sin mz, z ∈ R, m ∈ N, откуда

m(m − 1)(m − 2) cosm−3 z · sin3 z + . . . . 1·2·3 Если m = 2n + 1, n ∈ N, то, заменяя чётные степени cos2k z = (1 − sin2 z)k , получим sin mz = m cosm−1 z sin z −

sin(2n + 1)z = sin z · P (sin2 x),

(1)

где P (u) — алгебраический многочлена степени n от переменного u. Если z обращает в ноль sin(2n + 1)z и sin z 6= 0, то на основании (1) заключаем, что sin2 z — корень P (u).
π π π π Числа 2n+1 , 2 2n+1 , . . . , n 2n+1 все лежат в интервале 0, 2 и обращают в ноль левую часть в (1). Поэтому π π π u1 = sin2 2n+1 , u2 = sin2 2 2n+1 , . . . , un = sin2 n 2n+1 , — все корни P (u) и других корней многочлен P (u) степени n не имеет. Следовательно,     u u P (u) = a(u − u1 ) · . . . · (u − un ) = A 1 − ·... · 1 − , u1 un так как все ui 6= 0, и, с учётом (1), A = lim

z→0

sin(2n + 1)z = 2n + 1. sin z

Таким образом, формула (1) принимает вид sin(2n + 1)z = (2n + 1) sin z откуда при z =

x 2n+1

sin2 z 1− π sin2 2n+1

!

· ...·

sin2 z 1− nπ sin2 2n+1

!

,

получим n x sin2 2n+1 x Y sin x = (2n + 1) sin 1− jπ 2n + 1 j=1 sin2 2n+1

!

, n ∈ N, x ∈ R.

(2)

2.6.2. Фиксируем x 6= lπ, l ∈ Z, так что sin x 6= 0. Выберем k ∈ N с условием (k + 1)π > |x| и на основании (2) для любого n ∈ N, n > k, получим (n) (n) sin x = Uk · Vk , (3) где

(n) Uk

k sin2 x Y = (2n + 1) sin 1− 2n + 1 j=1 sin2 ! n x Y sin2 2n+1 (n) Vk = 1− . jπ sin2 2n+1 j=k+1

x Так как lim (2n + 1) sin 2n+1 = x и lim

sin2

n→+∞ sin2

n→+∞

Uk =

(n) lim U n→+∞ k

=x

x 2n+1 jπ 2n+1

=

k  Y

j=1

x2 j2 π2 ,



(n)

На основании (3) и (4) заключаем, что существует lim Vk 48

!

,

j = 1, k, то существует

x2 1− 2 2 j π

n→+∞

x 2n+1 jπ 2n+1

, (k + 1)π > |x| . = Vk , (k + 1)π > |x|.

(4)

(n)

Для 0 < ϕ <

π 2

справедливо

2 πϕ

2.6.3. Оценка Vk .

< sin ϕ < ϕ. Поэтому, sin2 

jπ sin > 2n + 1 2

2j 2n + 1

так что (n)

1 > Vk ∞  Q

x2 4j 2

>

2

=

<

x2 (2n+1)2

и

4j 2 , j = k + 1, n, (2n + 1)2

 n Y

j=k+1



x 2n+1

1−

x2 4j 2



(5)

.

абсолютно сходится для всех x, x2 < 4j02 , так как абсолютно сходится   ∞  ∞  ∞ P Q Q x2 x2 x2 . Поэтому для его остаточных произведений 1 − справедливо lim 1 − = 1. ряд 4j 2 4j 2 4j 2 Бесконечное произведение

j=j0

1−

j=1

k→+∞ j=k+1

j=k+1

Следовательно, на основании (5), имеем 1>

(n) lim V n→+∞ k

= Vk > lim

n→+∞

 n Y

j=k+1

и 1 > lim Vk > lim k→+∞

k→+∞

x2 1− 2 4j



 ∞  Y x2 = 1− 2 4j j=k+1

 ∞  Y x2 1 − 2 = 1, 4j

j=k+1

так что

lim Vk = 1.

k→+∞

(6)

На основании (3), (6) и (4) заключаем, что sin x = lim Uk и k→+∞

sin x = x

 ∞  Y x2 1 − 2 2 , x 6= nπ, n ∈ Z. n π n=1

(7)

Но (7) справедлива и при x = nπ, n ∈ Z, так как sin nπ = 0. 2.6.4. Итак, доказана формула Эйлера sin x = x

 ∞  Y x2 1 − 2 2 , x ∈ R. n π n=1

(8)

2.6.5. Формула дополнения для гамма-функции Заменяя в (8) аргумент x на πx, получим  ∞  Y x2 sin πx = πx 1 − 2 , x ∈ R. n n=1 Так как Γ(x) =

1 x

∞ 1+ 1 x Q ( n)

n=1

x 1+ n

, Γ(x + 1) = xΓ(x), x ∈ R\N0 , то

Γ(1 − x) = −xΓ(−x) = (−x)


−x
−x ∞ ∞ Y 1 + n1 1 Y 1 + n1 = (−x) n=1 1 − nx 1 − nx n=1

для всех x ∈ R\(−N0 ). Поэтому, с учётом (9), для всех x ∈ R\ [N0 ∪ (−N0 )] = R\Z справедливо Γ(x)Γ(1 − x) = Формула Γ(x)Γ(1 − x) =

π sin πx ,

∞ 1 Y 1 π
= , x∈ / Z. x n=1 1 − nx22 sin πx

x∈ / Z, носит название формулы дополнения для гамма-функции. 49

(9)

3. Несобственные интегралы 3.1. Признаки сходимости несобственных интегралов 3.1.1. Некоторые воспоминания о втором семестре Пусть функция f определена на промежутке [a, b), −∞ < a < b 6 +∞, и f ∈ R[a, t] для любого t, a < t < b. Rt Если функция F (t) = f (x) dx, F (a) = 0, непрерывная на [a, b), имеет lim F (t) = l1 , где t → b− обозначает t→b−

a

либо базу t → b − 0 (если b ∈ R), либо базу t → +∞ (если b = +∞), то число l1 называют несобственным Rb интегралом функции f по промежутку [a, b) и обозначают l1 = f (x) dx. Итак, a

Zb

f (x) dx = lim

t→b−0

a

Zt

f (x) dx = lim F (t),

(1)

Zt

+∞ Z f (x) dx = f (x) dx,

(1′ )

t→b−0

a

если b ∈ R, и lim F (t) = lim

t→+∞

t→+∞

a

a

если b = +∞. Пусть теперь функция f определена на промежутке (a, b], −∞ 6 a < b < +∞, и f ∈ R[t, b] для любого t, Rb a < t < b. Если функция Φ(t) = f (x) dx, Φ(b) = 0, непрерывная на (a, b], имеет lim Φ(t) = l2 , где t → a+ t→a+

t

обозначает либо базу t → a + 0 (если a ∈ R), либо базу t → −∞ (если a = −∞), то число l2 называют Rb несобственным интегралом функции f по промежутке (a, b] и обозначают l2 = f (x) dx. Итак, a

Zb

f (x) dx = lim

t→a+0

a

Zb

(2)

f (x) dx = lim Φ(t), t→a+0

t

если a ∈ R, и lim Φ(t) = lim

t→−∞

t→−∞

Zb

f (x) dx =

t

Zb

(2′ )

f (x) dx,

−∞

если a = −∞. В случае существования пределов (1), (1’), (2), (2’), соответствующие несобственные интегралы называют сходящимися; в случае несуществования пределов — расходящимися. Сходящиеся несобственные интегралы#облада" Rb Rb ют свойством аддитивности; то есть, существование предела lim F (t) = f (x) dx lim Φ(t) = f (x) dx равноt→b−

сильно сходимости несобственных интегралов

Rb t

f (x) dx = ′lim

a

f (x) dx =

Zt

Rt

t →b− t

для всех t, a < t < b, и справедливости равенств Zb

t→a+

a

′

f (x) dx +

a

Zb

f (x) dx = r(t)

t R a

a

f (x) dx = ′′lim

Rt

t →a+ t′′

 f (x) dx = r(t)

(3)

f (x) dx, a < t < b.

t

Несобственные интегралы r(t), a < t < b, называются остатками несобственного интеграла

Rb

f (x) dx. На

a

основании (1), (1’), (2), (2’) и (3) заключаем, что несобственный интеграл   Rt Rb тогда, когда lim r(t) = lim f (x) dx = 0 lim r(t) = lim f (x) dx = 0 . t→b−

t→b− t

t→a+

t→a+ a

50

Rb a

f (x) dx сходится тогда и только

3.1.2. Признаки сходимости несобственных интегралов Теорема 3.1. (Признак Абеля). Если функции f и g определены на промежутке [a, b) (на (a, b]) и обладают свойствами: Rb 1. сходится несобственный интеграл f (x) dx; a

2. функция g монотонна и ограничена на [a, b) (на (a, b]),

то сходится несобственный интеграл

Rb

f (x)g(x) dx.

a

 Согласно условию 2, существует L > 0, что |g(x)| 6 L, x ∈ [a, b) (x ∈ (a, b]). Проверим выполнение критерия Коши сходимости несобственного интеграла. Для этого рассмотрим произвольное число ε > 0 и произвольные точки ti , a < ti < b, i = 1, 2. Так как f, g ∈ R[t1 , t2 ] и g монотонна на [t1 , t2 ], то согласно второй теореме о среднем значении для интеграла Римана, Zt2

f (x)g(x) dx = g(t1 )

t1

Zξ

f (x) dx + g(t2 )

t1

Zt2

f (x) dx,

(4)

ξ

где ξ лежит между t1 и t2 . На основании (4) справедливы оценки   t ξ t Zt2 Z 2 Z Zξ Z 2  f (x)g(x) dx 6 |g(t1 )| f (x) dx + |g(t2 )| f (x) dx 6 L  f (x) dx + f (x) dx   , ti ∈ (a, b), i = 1, 2. t1

t1

t1

ξ

ξ

(5) Согласно условию 1, по критерию Коши сходимости несобственного интеграла, для ε > 0 существует такое ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ bε , a < bε < b (существует такое ′′ aε , a < aε < b), что для всех t , t , bε < t , t < b (всех t , t , a < t , t < aε ) Rt ε . Выбирая ti , bε < ti < b [a < ti < aε ] , i = 1, 2, и отмечая, что ξ расположена справедлива оценка f (x) dx < 2L t′ между t1 и t2 , получим оценки ξ Zt2 Z ε ε f (x) dx < (6) 2L и f (x) dx < 2L ξ t1 для всех выбранных ti , i = 1, 2. На основании (5) и (6), имеем оценку t Z 2   f (x)g(x) dx < L ε + ε = ε, 2L 2L t1

справедливую для всех ti , bε < ti < b [всех ti , a < ti < aε ], i = 1, 2, что является критерием Коши сходимости Rb несобственного интеграла f (x)g(x) dx.  a

Теорема 3.2. (Признак Дирихле). Если функции f и g определены на промежутке [a, b), −∞ < a < b < +∞, и обладают свойствами: 1. функция F (t) =

Rt

f (x) dx ограничена на [a, b);

a

2. функция g монотонна на [a, b) и имеет lim g(x) = 0, x→b−

то несобственный интеграл

Rb

f (x)g(x) dx сходится.

a

 Из условию 2 теоремы следует, что g ∈ R[a, t] для любого t, a < t < b. Проверим выполнение критерия Коши. Для произвольных ti , a < ti < b, i = 1, 2, справедливо (4). Рассмотрим произвольное ε > 0. Согласно условию 1, существует такое C > 0, что |F (t)| 6 C для всех t ∈ [a, b). Поэтому, с учётом свойства аддитивности определённых интегралов, ξ ξ Z Z Zt1 f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = |F (ξ) − F (t1 )| 6 2C t1

a

a

51

и

Zt2 Zt2 Zξ f (x) dx = f (x) dx − f (x) dx = |F (t2 ) − F (ξ)| 6 2C ξ a a

и равенство (4) ведёт к оценке

ξ t Zt2 Z 2 Z f (x)g(x) dx 6 |g(t1 )| f (x) dx + |g(t2 )| f (x) dx 6 2C(|g(t1 )| + |g(t2 )|), t1

t1

(7)

ξ

справедливой для любых ti , a < ti < b, i = 1, 2. Так как lim g(x) = 0, то для любого ε > 0 существует такое bε , a < bε < b, что |g(x)| <

ε 4C

x→b−

для всех x, bε < x < b. Поэтому, на основании (7), имеем оценку t Z 2   f (x)g(x) dx < 2C ε + ε = ε, 4C 4C t1

справедливую для всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2, что есть критерий Коши сходимости несобственного интеграла Rb f (x)g(x) dx.  a

3.1.3. Интегральные синус и косинус +∞ +∞ R sin t R cos t Согласно признаку Дирихле, несобственные интегралы six = − t dt и cix = − t dt сходятся для x

всех x > 0; кроме того, существует si0 = − +∞ R 1

cos t t

dt, x > 0, то (si)′ x =

sin x x ,

(ci)′ x =

+∞ R

cos x x ,

0

sin t t

x

Rx sin t

dt. Так как six =

t

1

x > 0.

dt −

+∞ R 1

sin t t

dt, cix =

Rx cos t 1

t

dt −

3.1.4. Интегралы Фруллани

Теорема 3.3. Если функция f ∈ C[0, +∞) и существует lim f (x) = f (+∞), то для любых положительx→+∞

ных чисел a, b > 0 справедлива формула +∞ Z 0

 Z∆ δ

f (ax) − f (bx) b dx = [f (0) − f (+∞)] ln . x a

Рассмотрим произвольные 0 < δ < ∆ < +∞. Так как f ∈ R[δ, ∆], то f (ax) − f (bx) dx = x

Z∆

f (ax) dx − x

δ

Z∆

f (bx) dx = x

δ

=

Zbδ

f (t) dt − t

aδ

f (t) dt + t

aδ

Za∆

Za∆

Zb∆

f (t) dt = t

bδ

f (t) dt − t

bδ

Za∆

f (t) dt − t

bδ

Zb∆

a∆

f (t) dt = t

Zbδ

aδ

f (t) dt − t

Zb∆

f (t) dt. (8) t

a∆

Согласно первой теореме о среднем значении для интегралов, Zbδ

f (t) dt = f (ξ) t

Zb∆

f (t) dt = f (η) t

aδ

Zbδ

dt b = f (ξ) ln , t a

(9)

Zb∆

dt b = f (η) ln , t a

(10)

aδ

где ξ = aδ + θ1 (b − a)δ, 0 < θ1 < 1, и

a∆

a∆

52

где η = a∆ + θ2 (b − a)∆, 0 < θ2 < 1. Подставляя (9) и (10) в (8), получим Z∆

f (ax) − f (bx) b dx = [f (ξ) − f (η)] ln . x a

(11)

δ

Так как lim f (ξ) = lim f (x) = f (0) (в силу непрерывности функции f в точке x = 0) и x→+0

δ→+0

lim f (η) =

∆→+∞

lim f (x) = f (+∞), то существует предел при δ → +0 и ∆ → +∞ правой части формулы (11), и следовательно,

x→+∞

её левой части; то есть, сходится несобственный интеграл +∞ Z

f (ax) − f (bx) dx = lim δ→0,∆→+∞ x

0

Z∆

f (ax) − f (bx) b dx = [f (0) − f (+∞)] ln . x a

δ

 Теорема 3.4. Если функция f ∈ C[0, +∞) и сходится положительных чисел a, b > 0 +∞ Z

+∞ R c

f (x) x

dx для некоторого c > 0, то для любых

f (ax) − f (bx) b dx = f (0) ln . x a

(12)

0

Как и выше, справедливы формулы (8) и (9). Согласно критерию Коши сходимости несобственного +∞ R f (t) интеграла t dx, имеем 

c

Zb∆

lim

∆→+∞ a∆

f (x) dx = 0, x

а в силу непрерывности функции f в точке x = 0 имеем lim f (ξ) = lim f (x) = f (0). Поэтому, переходя в (8) δ→+0

x→+0

к пределам по базам δ → +0 и ∆ → +∞, с учётом (9), получим формулу (12).  Теорема 3.5. Если функция f непрерывна в интервале (0, +∞), сходится несобственный интеграл

Rc 0

f (x) x

dx

для некоторого c > 0 и существует lim f (x) = f (+∞), то для любых чисел a, b > 0 справедлива формула x→+∞ +∞ Z

f (ax) − f (bx) a dx = f (+∞) ln . x b

0

Как и выше, справедливы формулы (8) и (10). Согласно критерию Коши сходимости несобственного Rc интеграла f (x) x dx, имеем 

0

lim

δ→+0

Zbδ

f (t) dt = 0, t

aδ

а согласно условия существования предела f (+∞) и формуле (10), имеем f (+∞) =

lim

Zb∆

∆→+∞ a∆

f (t) b dt = f (+∞) ln . t a

Поэтому, переходя в (8) к пределам по базам δ → +0 и ∆ → +∞, получим +∞ Z 0

f (ax) − f (bx) b a dx = −f (+∞) ln = f (+∞) ln . x a b

 53

lim f (η) и

∆→+∞

3.1.5. Аналогия с рядами Теорема 3.6. Если функция f определена на [a, b), −∞ < a < b 6 +∞, функция f ∈ R[a, t] для всех t, a < t < b, и t → b− обозначает базу t → b−0, если b ∈ R, и базу t → +∞, если b = +∞, то несобственный интеграл Rb f (x) dx сходится тогда и только тогда, когда для любой последовательности (tn ), a = t0 , a < tn < b, n ∈ N, a

и

lim tn = b, сходится ряд

n→+∞

P

Rtn

an , в котором an =

f (x) dx, n ∈ N.

tn−1

Rtn Рассмотрим произвольную (tn ), a = t0 , a < tn < b, n ∈ N, lim tn = b и an = f (x) dx, n ∈ N. n→+∞ tn−1 P Частные суммы sn , n ∈ N, ряда an в силу свойства аддитивности определённого интеграла, вычисляются по формулам 

sn =

n X

k=1

ak =

n Ztk X

f (x) dx =

k=1t k−1

Zt1

+...+

t0

Ztn

f (x) dx =

tn−1

Rt a

Rb

R, то, по определению Гейне, l =

lim F (tn ) =

n→+∞

a

f (x) dx =

t0

Так как на [a, b) определена непрерывная функция F (t) = ⇒ По условию, сходится несобственный интеграл

Ztn

Ztn a

f (x) dx, n ∈ N.

f (x) dx, то sn = F (tn ), n ∈ N.

f (x) dx; то есть, существует lim F (t) = l. Если b ∈ t→b−

lim sn , так что l =

n→+∞

∞ P

an . Пусть теперь b = +∞ и l =

n=1

lim F (t). Рассмотрим произвольное число ε > 0 и произвольную (tn ), a 6 tn < +∞,

t→+∞

lim tn = +∞. Тогда,

n→+∞

по определению, существует такое tε , a < tε < +∞, что |F (t) − l| < ε для всех t, tε < t < +∞. Так как lim tn = +∞, то существует такое N ∈ N, N = Nε , что tε < tn < +∞ для всех n > N , и следовательно,

n→+∞

|F (tn ) − l| < ε для всех n > N ; то есть, l = lim F (tn ), так что и в этом случае l = lim F (tn ) = lim sn и n→+∞ n→+∞ n→+∞ P ряд an сходится. Rtn P ⇐ Пусть сходятся все ряды an , an = f (x) dx, для всех (tn ), a = t0 , a < tn < b, lim tn = b, и n→+∞

tn−1

предположим, что расходится несобственный интеграл

Rb

f (x) dx. Тогда, согласно критерию Коши, существует

a

некоторое ε0 > 0 и для любого b′ , a < b′ < b, существуют t1b′ , t2b′ , b′ < t1b′ < t2b′ < b, что 2 Ztb′ f (x) dx > ε0 ; t1 b′

то есть,

2 Ztb′ ε0 6 f (x) dx = F (t2b′ ) − F (t1b′ ) . t1 b′ h i 1 Рассмотрим b′n = b − n1 , n > N = b−a + 1, если b ∈ R, и b′n = n, n > N = [|a|] + 1, если b = +∞ (в обоих

случаях условие n > N обеспечивает свойство a < b′n < b). Тогда для каждого n ∈ N, n > N , существуют точки tin , i = 1, 2, b′n < tin < b, в которых F (t2n ) − F (t1n ) > ε0 , n > N . Числа t1N , t2N , t1N +1 , t2N +1 , . . . перенумеруем в одну последовательность (tm ), положив t0 = a, t1 = t1N , t2 = t2N , . . . . Тогда lim tm = b, так как lim tin = b m→+∞

для каждого i = 1, 2, и по условию сходится ряд

P

am , где am =

tRm

tm−1

n→+∞

f (x) dx, m ∈ N. С другой стороны, для

любого n ∈ N, n > N , существует единственное k ∈ N, что t1n = t2k−1 и t2n = t2k ; и обратно, для любого k ∈ N существует единственной n ∈ N, что t2k−1 = t1n и t2k = t2n . Поэтому, ε0 6 F (t2n ) − F (t1n ) = |F (t2k ) − F (t2k−1 )| = |s2k − s2k−1 | = |a2k | , k ∈ N,

так что подпоследовательность (a2k ) последовательностиP (am ) не является бесконечно малой, и вместе с ней вся последовательность (am ) не бесконечно малая и ряд am обязан расходиться. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.  54

Аналогичное утверждение справедливо для несобственных интегралов по промежутке (a, b], −∞ 6 a < b < +∞ (сформулируйте и докажите его). +∞ R Задача 1. Если f (x) dx сходится и существует lim (xf (x)), то lim xf (x) = 0. x→+∞

a

n→+∞

Замечание. В доказанной теореме можно рассматривать только возрастающие последовательности (tn ).

Замечание. Если в условиях теоремы дополнительно f (x) > 0, то её справедливость достаточно проверить только для одной последовательности (tn ). Rt  В этом случае функция F (t) = f (x) dx неотрицательна и возрастает на [a, b) и lim F (t) = l ⇔ l = t→b−0

a

lim F (tn ) для некоторой последовательности (tn ), a 6 tn < b, lim tn = b. 

n→+∞

n→+∞

3.2. Главное значение несобственного интеграла 3.2.1. Функции, интегрируемые по Коши на (−∞, +∞) Определение 1. Функция f называется интегрируемой по Коши на (−∞, +∞), если она определена на RA (−∞, +∞), интегрируема на каждом [a, b], −∞ < a < b < +∞, и существует lim f (x) dx = l. Число l A→+∞ −A

называют главным значением несобственного интеграла по (−∞, +∞) и обозначают +∞ Z ZA l = v. p. f (x) dx = lim f (x) dx. A→+∞ −A

−∞

Теорема 3.7. Если функция f ∈ R[a, b], −∞ < a < b < +∞, и нечетная, то v. p. функция f ∈ R[a, b], −∞ < a < b < +∞, и чётная, то v. p. когда сходится несобственный интеграл

+∞ R

f (x) dx и v. p.

Для любого A > 0 справедливо

RA

−∞ +∞ R

+∞ R

f (x) dx.

0

f (x) dx = 0, если f — нечётная, и

−A

f (x) dx = 0. Если

−∞

f (x) dx существует тогда и только тогда,

f (x) dx = 2

−∞

0



+∞ R

+∞ R

RA

−A

RA f (x) dx = 2 f (x) dx, если f — 0

чётная; затем используем определение 1 и определение несобственного интеграла.  Для любой функции f , определённой на (−∞, +∞), справедливо разложение f (x) = ϕ(x) + ψ(x), в котором (−x) (−x) — чётная, а функция ψ(x) = f (x)−f — нечётная. Поэтому, функция ϕ(x) = f (x)+f 2 2 v. p.

+∞ +∞ +∞ Z Z Z f (x) dx = 2 ϕ(x) dx = [f (x) + f (−x)] dx,

−∞

0

0

если последний несобственный интеграл сходится. +∞ R 1+x Пример 2.1. Вычислим v. p. 1+x2 dx. −∞



f (x) =

1+x 1 x = + , x ∈ (−∞, +∞), 1 + x2 1 + x2 1 + x2

и следовательно, v. p.

+∞ Z

−∞

1+x dx = 2 1 + x2

+∞ Z 0

dx = 2 lim t→+∞ 1 + x2

Zt 0

dx π = 2 lim (arctg t − arctg 0) = 2 · = π. t→+∞ 1 + x2 2

 Отметим, что сам несобственный интеграл расходится.

55

3.2.2. Главное значение по Коши на промежутке Пусть функция f определена на [a, b]\ {c} , a < c < b, f интегрируема на каждом отрезке [a, c − α], [c + α, b], 0 < α < max {c − a, b − c}. Определение 2. Функцию f называют интегрируемой по Коши на [a, b], если существует  c−α  Z Zb Zb lim  f (x) dx + f (x) dx = v. p. f (x) dx. α→0

a

Пример 2.2. Вычислим v. p.

Rb a

dx x−c ,

c+α

a

a < c < b.

По определению 2,  c−α  Zb Z Zb dx dx dx  = lim [ln |α| − ln(c − a) + ln(b − c) − ln |α|] = lim ln b − c = ln b − c . = lim  + v. p. α→0 α→0 x − c α→0 x−c x−c c−a c−a 

a

a

c+α



Отметим, что сам несобственный интеграл

Rb a

dx x−c

=

Rc a

dx x−c

+

Rb c

dx x−c

не существует (расходится).

3.2.3. Интегральный логарифм Теорема 3.8. Если функция f непрерывна на [a, b], дважды дифференцируема в точке c ∈ (a, b) и f (c) = 0, Rb f ′ (c) 6= 0, то существует v. p. fdx (x) . a



Так как f ∈ D(2) (c), то по локальной формуле Тейлора, с учётом f (c) = 0, имеем 1 f (x) = f ′ (c)(x − c) + [f ′′ (c) + α(x)](x − c)2 , x → c, 2

где lim α(x) = 0. Функция ϕ(x) = x→c

1 f (x)

−

1 f ′ (c)(x−c)

(1)

непрерывна на [a, b]\ {c} и, на основании (1), имеет

− 12 [f ′′ (c) + α(x)](x − c)2 1 f ′′ (c)   = − ′2 . 1 x→c f ′ (c)(x − c)2 f ′ (c) + (f ′′ (c) + α(x))(x − c) 2 f (c) 2

lim ϕ(x) = lim

x→c

Поэтому, несобственный интеграл

Rb

ϕ(x) dx =

a

Rc

ϕ(x) dx +

a

Rb

ϕ(x) dx не только сходится, но и является инте-

c

гралом Римана для ϕ(x) на [a, b]. Как и в примере 2, существует v. p.

Zb a

dx 1 b−c = ′ ln f ′ (c)(x − c) f (c) c − a

. 1 1 Таким образом, на основании представления f (x) = f ′ (c)(x−c) + ϕ(x), x ∈ [a, b]\ {c}, заключаем, что сущеRb dx Rb dx ствует v. p. f (x) , в то время как несобственный интеграл f (x) расходится, так как расходится несобственный a

a

интеграл

Rb a

dx f ′ (c)(x−c) .



Пример 2.3. Интегральный логарифм li x определяется формулой li x =

Rx 0

dt ln t ,

в которой несобственный

интеграл сходится только для 0 < x < 1, а для x > 1 он понимается в смысле своего главного значения (которое существует по теореме 3.8.

3.3. Равномерное стремление к предельной функции по базе 3.3.1. Понятие равномерного стремления к предельной функции по базе Рассмотрим функцию F (x, y), определённую на множестве D = X × Y , X, Y ⊂ R, и произвольную базу B на Y . Предположим, что для любого x ∈ X существует lim F (x, y) = f (x); то есть, для произвольных ε > 0 и B

56

x ∈ X существует элемент B(ε; x) базы B (выбор множества B(ε; x) зависит от ε > 0 и от x ∈ X), на котором |F (x, y) − f (x)| < ε для всех y ∈ B(ε; x). Определение 1. Функцию F (x, y) называют равномерно стремящейся к предельной функции f (x) на множестве X по базе B из множества Y , если 1. f (x) = lim F (x, y) для всех x ∈ x; B

2. для любого ε > 0 существует такой элемент Bε базы B (выбор которого зависит только от ε > 0 и не зависит от точек x ∈ X), что |F (x, y) − f (x)| < ε для всех x ∈ X и всех y ∈ Bε . Обозначение: F (x, y) ⇉ f (x) на множестве X по базе B из Y . Если Y = N, то F (x, y) = F (x, n) = fn (x), x ∈ X, n ∈ N, и (fn (x)) — функциональная последовательность на X. Поэтому, F (x, y) ⇉ f (x) на множестве X по базе n → +∞ ⇔ fn ⇉ f на X. 3.3.2. Критерий Коши Теорема 3.9. Для того, чтобы функция F (x, y), определённая на D = X × Y , X, Y ⊂ R, равномерно стремилась на множестве X к предельной функции f (x) по базе B из Y , необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой элемент Bε базы B, выбор которого не зависит от точек x ∈ X и на котором |F (x, y ′ ) − F (x, y ′′ )| < ε

(1)

для всех x ∈ X и всех y ′ , y ′′ ∈ Bε .  Необходимость. Пусть F (x, y) ⇉ f (x) на X по базе B из Y . Рассмотрим произвольное ε > 0. Согласно определению 1, существует элемент Bε ∈ B (выбор которого не зависит от x ∈ X), что |F (x, y) − f (x)| < 2ε для всех x ∈ X и всех y ∈ Bε . Тогда |F (x, y ′ ) − F (x, y ′′ )| 6 |F (x, y ′ ) − f (x)| + |F (x, y ′′ ) − f (x)| < 2ε + 2ε = ε для всех x ∈ X и всех y ′ , y ′′ ∈ Bε . Достаточность. По условию, для произвольного ε > 0 существует Bε ∈ B (выбор которого не зависит от x ∈ X), что |F (x, y) − F (x, y ′ )| < 2ε для всех x ∈ X и всех y, y ′ ∈ Bε . Таким образом, для любого x ∈ X выполнен критерий Коши существования lim F (x, y) = f (x), x ∈ x; в частности, f (x) = lim F (x, y ′ ), x ∈ X. B

B

Фиксируя y ∈ Bε и используя свойства монотонности предела функции по базе и непрерывности функции |t|, t ∈ R, получим ε |F (x, y) − f (x)| = F (x, y) − lim F (x, y ′ ) = lim |F (x, y) − F (x, y ′ )| 6 < ε B B 2 для всех x ∈ X и всех y ∈ Bε ; то есть, получим справедливость определения 1.  3.3.3. Сведение к равномерно сходящимся последовательностям

Пусть F (x, y) определена на D = X × Y ⊂ R2 . В приложениях наиболее употребительны следующие базы B в Y: 1. 2. 3. 4.

Y ∋ y → y0 ; y → +∞; y → −∞; y → y0 ± 0.

Этим обстоятельством объясняется выбор формулировок остальных результатов этого параграфа, хотя они справедливы и в общем случае. Теорема 3.10. Функция F (x, y) равномерно стремится на X к предельной функции f (x) по базе Y ∋ y → y0 [по базе y → +∞] тогда и только тогда, когда для любой последовательности (yn ), yn ∈ Y , yn 6= y0 , n ∈ N, lim yn = y0 [любой (yn ), yn ∈ Y, n ∈ N, lim yn = +∞] функциональная последовательность (F (x, yn )) n→+∞

n→+∞

равномерно сходится к функции f (x) на X.  Необходимость. По условию, F (x, y) ⇉ f (x) на X по Y ∋ y → y0 [y → +∞]. Рассмотрим произвольное ε > 0. Согласно определению 1, существует δ > 0 [∆ > 0], что |F (x, y) − f (x)| < ε для всех x ∈ X и всех y ∈ Y , y 6= y0 , |y − y0 | < δ [всех y ∈ Y, y > ∆]. Рассмотрим произвольную (yn ), yn ∈ Y, yn 6= y0 , n ∈ N, lim yn = y0 n→+∞

[произвольную (yn ), (yn ) ∈ Y, n ∈ N,

lim yn = +∞]. Для числа δ > 0 [∆ > 0] существует N ∈ N, что

n→+∞

|y − yn | < δ [yn > ∆] для всех n > N , и следовательно, |F (x, yn ) − f (x)| < ε для всех x ∈ X и всех n > N , так что F (x, yn ) ⇉ f (x) на X. Достаточность. Пусть выполнено утверждение теоремы, но F (x, y) стремится к f (x) на X неравномерно по базе Y ∋ y → y0 [y → +∞]. Согласно определению 1, существует такое ε0 > 0, что для любого δ > 0 57

[любого ∆ > 0] можно указать такие точки xδ ∈ X [x∆ ∈ X] и yδ ∈ Y, yδ 6= y0 [y∆ ∈ Y ], что 0 < |y0 − yδ | < δ [yδ > ∆] и |F (xδ , yδ − f (xδ ))| > ε0 [|F (x∆ , y∆ ) − f (x∆ )| > ε0 ]. Выбирая δn = n1 [∆n = n], n ∈ N, получим последовательность (xn ) в X и последовательность (yn ) в Y , что yn 6= y0 , 0 < |yn − y0 | < n1 [yn > n], n ∈ N, и |F (xn , yn ) − f (xn )| > ε0 , n ∈ N. Последнее означает, что функциональная последовательность (F (x, yn )) не сходится равномерно к f (x) на X. Полученное противоречие заканчивается доказательство теоремы.  3.3.4. Интегрируемость (непрерывность) предельной функции Теорема 3.11. Если функция F (x, y)), определённая на D = X × Y ⊂ R2 , непрерывна в точке x0 ∈ X при каждом y ∈ Y и F (x, y) равномерно стремится на X к предельной функции f (x) по базе B из Y , то функция f (x) непрерывна в x0 ∈ X.

Теорема 3.12. Если функция F (x, y) определена на D = [a, b] × Y ⊂ R2 , интегрируема на [a, b] для каждого y ∈ Y и F (x, y) равномерно стремится к f (x) на [a, b] по базе B из Y , то f (x) интегрируема на [a, b].  В качестве базы B в обеих теоремах рассмотрим базы из теоремы 3.10, и рассмотрим произвольную последовательность (yn ) в Y , удовлетворяющую условиям этой теоремы. Тогда F (x, yn ) = fn (x), x ∈ X (x ∈ [a, b]), n ∈ N, и F (x, yn ) = fn (x) ⇉ f (x) на X (на [a, b]). Поскольку каждая fn (x), n ∈ N либо непрерывна в x0 ∈ X (условие теоремы 3.11), либо интегрируема на [a, b] (условие теоремы 3.12), то утверждения теорем следуют теперь на основании соответствующих свойств равномерно сходящихся последовательностей.  3.3.5. Теорема Дини Теорема 3.13. Пусть множество Y ⊂ R является промежутком [c, y0 ), −∞ < c < y0 6 +∞, а база B — базой y → y0 −. Пусть функция F (x, y) определена на D = [a, b] × [c, y0 ) и стремится к предельной функции f (x) на [a, b] по базе y → y0 −; то есть, f (x) = lim F (x, y), x ∈ [a, b]. Если y→y0 −

1. F (x, y) непрерывна на [a, b] по x при каждом y ∈ Y = [c, y0 ); 2. при каждом x ∈ [a, b] функция F (x, y) возрастает по y ∈ [c, y0 ); 3. f (x) непрерывна на [a, b], то F (x, y) равномерно стремится к f (x) на [a, b] по базе y → y0 −.  Рассмотрим некоторую строго возрастающую последовательность (yn ), yn ∈ Y, c < yn < y0 (< +∞), имеющую lim yn = y0 ( lim yn = +∞). Функциональная последовательность F ((x, yn )) удовлетворяет на n→+∞

n→+∞

[a, b] условиям теоремы Дини для функциональных последовательностей, и следовательно, F (x, yn ) ⇉ f (x) на [a, b]. Поэтому, для произвольного ε > 0 существует N ∈ N, N = N (ε), что −ε < F (x, yn ) − f (x) < ε для всех x ∈ [a, b] и всех n > N . Рассмотрим теперь произвольное y ∈ Y, y > yN . Согласно условию 2 теоремы, F (x, y) > F (x, yN ) для любого x ∈ [a, b], так что −ε < F (x, yN ) − f (x) 6 F (x, y) − f (x) для всех x ∈ [a, b]. Так как (yn ) ↑↑ и lim yn = y0 , то существует m ∈ N, что y < ym , и так как yN 6 y < ym , то m > N . Поэтому, с учётом n→+∞

условия 2 теоремы, F (x, y) − f (x) 6 F (x, ym ) − f (x) < ε. Итак, −ε < F (x, y) − f (x) < ε для всех x ∈ [a, b] и всех y > yN , N = N (ε); то есть, по определению 1, F (x, y) ⇉ f (x) на [a, b] по базе B (вида y → y0 − 0 или y → +∞).  Теорема Дини для других баз

Теорема 3.14. Пусть функция F (x, y) определена на множестве D = [a, b] × Y ⊂ R2 , где Y = (y0 , c], −∞ 6 y0 < c < +∞, и F (x, y) стремится к предельной функции f (x) по базе B = y → y0 + (y → y0 + 0, если y0 ∈ R, и y → −∞, если y0 = −∞). Если 1. F (x, y) при каждом y ∈ Y непрерывна по x на [a, b]; 2. F (x, y) при каждом x ∈ [a, b] убывает на Y = (y0 , c]; 3. f (x) непрерывна на [a, b], то F (x, y) равномерно стремится к f (x) на [a, b] по базе y → y0 +. 3.3.6. Перестановка двух предельных переходов Теорема 3.15. Пусть функция F (x, y) определена на множестве D = X × Y ⊂ R2 , и на базах BX из X и BY из Y выполнены условия: 1◦ существует lim F (x, y) = ϕ(x), x ∈ X; BY

58

2◦ существует lim F (x, y) = ψ(y), y ∈ Y ; BX

3◦ F (x, y) ⇉ ϕ(x) на множестве X по базе BY . Тогда:   1. существует lim ϕ(x) = lim lim F (x, y) ; BX BX BY   2. существует lim ψ(y) = lim lim F (x, y) ; BY BY BX     3. lim lim F (x, y) = lim lim F (x, y) . BX

BY

BY

BX

 Рассмотрим произвольное число ε > 0. На основании условия 3◦ , существует такой элемент BεY базы BY , что ε |F (x, y) − F (x, y ′ )| < (2) 3 для всех x ∈ X и всех y, y ′ ∈ BεY (критерий Коши равномерного стремления функции по базе). Поэтому, на основании условия 2◦ , свойства монотонности предела функции по базе и свойства непрерывности функции |t|, t ∈ R, имеем ε |ψ(y) − ψ(y ′ )| = lim |F (x, y) − F (x, y ′ )| 6 < ε (3) BX 3 для всех y, y ′ ∈ BεY . Неравенство (3) есть критерий Коши существования lim ψ(y) = l, и lim ψ(y ′ ) = l. Фиксируя BY

BY

y ∈ BεY в (3), как и для (2), получим

|ψ(y) − l| = lim |ψ(y) − ψ(y ′ )| 6 BY

ε 3

(4)

для любого y ∈ BεY . Так как, согласно условию 1◦ , lim F (x, y ′ ) = ϕ(x), x ∈ X, то переходя в обеих частях BY

неравенства (2) к пределу по базе BY при фиксированном y ∈ BεY , получим |F (x, y) − ϕ(x)| = lim |F (x, y) − F (x, y ′ )| 6 BY

ε 3

(5)

для всех x ∈ X и всех y ∈ BεY . Так как lim F (x, y) = ψ(y), y ∈ Y , то для ε > 0 существует элемент BεX базы BX BX

(выбор множества BεX зависит, вообще говоря, и от y ∈ Y ), что |F (x, y) − ψ(y)| <

ε 3

(6)

для всех x ∈ BεX и всех y ∈ Y . Фиксируем произвольное y ∈ BεY . Тогда для него справедливы (4), (5) и (6), так что |ϕ(x) − l| = |ϕ(x) − F (x, y) + F (x, y) − ψ(y) + ψ(y) − l| 6 6 |F (x, y) − ϕ(x)| + |F (x, y) − ψ(y)| + |ψ(y) − l| <

ε ε ε + + =ε 3 3 3

для всех x ∈ BεX ; то есть, l = lim ϕ(x).  BX

3.4. Собственные интегралы, зависящие от параметра 3.4.1. Определения и обозначения Рассмотрим функцию f (x, y), определённую на множестве D = [a, b] × Y , a, b ∈ R, Y — множество в R, и интегрируемую по аргументу x на [a, b] при каждом фиксированном значении y ∈ Y . Тогда на Y определена функция Zb I(y) = f (x, y) dx, y ∈ Y, a

называемая собственным интегралом функции f (x, y) на [a, b]; y — параметр собственного интеграла.

59

Теорема 3.16. (Предел собственного интеграла по параметру). Если функция f (x, y) определена на мноRb жестве D = [a, b] × Y ⊂ R2 и существует собственный интеграл I(y) = f (x, y) dx, то для любой базы B на a

Y , по которой f (x, y) равномерно стремится к предельной функции ϕ(x) на [a, b], справедливо утверждение lim I(y) = lim B

B

Zb a

Zb h Zb i f (x, y) dx = lim f (x, y) dx = ϕ(x) dx.

(1)

B

a

a

Так как f (x, y) интегрируема по x ∈ [a, b] для любого y ∈ Y и f (x, y) ⇉ ϕ(x) по базе B из Y , то, Rb согласно теореме из пункта 3.3.4, функция ϕ интегрируема на [a, b]; то есть, существует ϕ(x) dx. Рассмотрим 

a

произвольное число ε > 0. Согласно определению равномерного стремления функции к предельной функции по ε базе B, на B существует такой элемент Bε , на котором |f (x, y) − ϕ(x)| < 2(b−a) для всех x ∈ [a, b] и всех y ∈ Bε . Поэтому, b Z Zb Zb ε ε f (x, y) dx − ϕ(x) dx 6 |f (x, y) − ϕ(x)| dx 6 (b − a) = < ε 2(b − a) 2 a

a

для всех y ∈ Bε ; то есть,

Rb

a

ϕ(x) dx = lim

Rb

B a

a

f (x, y) dx. 

В частности, если B = OY (y0 ), y0 ∈ Y — база окрестностей точки y0 , и f (x, y) ⇉ f (x, y0 ) на [a, b] по базе OY (y0 ), то существует lim I(y0 ); то есть, функция I(y) непрерывна в y0 ∈ Y . OY (y0 )

3.4.2. Признак непрерывности собственного интеграла по параметру Теорема 3.17. Если функция f (x, y) непрерывна как функция двух переменных на P : [a, b] × [c, d], a, b, c, d ∈ Rb R, то I(y) = f (x, y) dx непрерывна на [c, d]. a



Собственный интеграл I(y) =

Rb

f (x, y) dx существует, так как функция f (x, y) непрерывна (а следова-

a

тельно, интегрируема) по аргументу x на [a, b]. Так как P — компакт в R2 , то непрерывна функция f (x, y) равномерно непрерывна на P , и следовательно, для любого ε > 0 существует такое δ > 0, δ = δ(ε), что |f (x′ , y ′ ) − f (x′′ , y ′′ )| < ε для всех M ′ (x′ , y ′ ), M ′′ (x′′ , y ′′ ) ∈ P , у которых |x′ − x′′ | < δ и |y ′ − y ′′ | < δ. Рассмотрим произвольное x ∈ [a, b] и фиксируем произвольное y0 ∈ [c, d]. Выбирая x′ = x′′ = x, y ′ = y ∈ [a, b] и y ′′ = y0 , получим |f (x, y) − f (x, y0 )| < ε для всех y ∈ [c, d] = ∆, |y − y0 | < δ и всех x ∈ [a, b], так что f (x, y) ⇉ f (x, y0 ) на [a, b] по базе ∆ ∋ y → y0 . Согласно теореме 3.16, существует lim

∆∋y→y0

I(y) =

Zb 

lim

∆∋y→y0

a

 Zb f (x, y) dx = f (x, y0 ) dx = I(y0 ); a

то есть, функция I(y) непрерывна в любой точке y0 ∈ [c, d] и непрерывна на отрезке [c, d].  3.4.3. Дифференцирование собственного интеграла по параметру Теорема 3.18. (Лейбниц). Если функция f (x, y), определённая на P = [a, b] × [c, d], непрерывна по x на [a, b] при каждом y ∈ [c, d] и частная производная fy′ (x, y) непрерывна на P как функция двух переменных, то Rb функция I(y) = f (x, y) dx дифференцируема на [a, b] и её производная Iy′ вычисляется по формуле a

′

I (y) =

Zb a



fy′ (x, y) dx, y ∈ [c, d].

(2)

Рассмотрим вначале случай y0 ∈ (c, d). Выбираем h 6= 0 таким, чтобы (y0 + h) ∈ (c, d), так что h ◦

принадлежит некоторой проколотой окрестности O(0) нуля, и I(y0 + h) − I(y0 ) = h

Zb a

f (x, y0 + h) − f (x, y0 ) dx. h 60

(3)

◦

(x,y0) Функция F (x, h) = f (x,y0 +h)−f определена на множестве D = [a, b] × O(0) и, по формуле Лагранжа о h конечном приращении, F (x, h) = fy′ (x, y0 + θh), 0 < θ < 1 (выбор θ зависит от x). Покажем, что F (x, h) ⇉ fy′ (x, y0 ) на [a, b] по базе h → 0. Так как функция fy′ (x, y) равномерно на P = ′ непрерывна [a, b] × [c, d], то для ′ ′ ′ ′′ ′′ произвольного числа ε > 0 существует такое δ > 0, δ = δ(ε), что fy (x , y ) − fy (x , y ) < ε для всех точек M ′ (x′ , y ′ ), M ′′ (x′′ , y ′′ ) ∈ P , у которых |x′ − x′′ | < δ и |y ′ − y ′′ | < δ. Рассмотрим произвольное x ∈ [a, b] и положим x′ = x′′ = x и y ′ = y0 , y ′′ = y0 + θh. Тогда |x′ − x′′ | = 0 < δ ◦ ′ ′ и |y ′ − y ′′ | = |θh| < |h| < δ для любого ′ h ∈ O(0), 0 < |h| < δ. Таким образом fy (x, y0 ) − fy (x, y0 + θh) < ε для всех x ∈ [a, b] и 0 < |h| < δ; то есть, fy (x, y0 ) − F (x, h) < ε для всех x ∈ [a, b] и 0 < |h| < δ. Другими словами, F (x, h) ⇉ fy′ (x, y0 ) на [a, b] по базе h → 0. Согласно теореме пункта 3.4.1, существует

lim

h→0

Zb a

f (x, y0 + h) − f (x, y0 ) dx = h

Zb  a

 Zb f (x, y0 + h) − f (x, y0 ) lim dx = fy′ (x, y0 ) dx. h→0 h a

На основании (3) заключаем, что существует lim

h→0

Rb a

I(y0 +h)−I(y0 ) h

=

Rb a

fy′ (x, y0 ) dx; то есть, существует I ′ (y0 ) =

fy′ (x, y) dx и формула (2) доказана для любого y ∈ (c, d). В концевых точках отрезка [c, d] аналогичным образом

рассматриваются односторонние производные.  Замечание. Производная I ′ (y) в утверждении теоремы является непрерывной функцией на (c, d) по теореме пункта 3.4.2. 3.4.4. Интегрирование собственного интеграла по параметру

Теорема 3.19. Если функция f (x, y) непрерывна на P = [a, b] × [c, d] ⊂ R2 как функция двух переменных, то справедлива формула Zd Zd Zb Zb Zd I(y) dy = dy f (x, y) dx = dx f (x, y) dy. (4) c



c

a

Zη c

dy

Zb

Zb

f (x, y) dx =

a

a

для любого η ∈ [c, d]. Согласно теореме пункта 3.4.2, функция I(y) = Rη

a

c

Будет доказана более общая формула

Rb

dx

Zη

(5)

f (x, y) dy

c

f (x, y) dx непрерывна на [c, d]. Поэтому, функция

a

Rη c

I(y) dy непрерывна на [c, d] и дифференцируема в (c, d), причём

dy

Rb

f (x, y) dx =

a

c

Функция ϕ(x, η) =

 Rη c



Zη

dy

c

Zb a

′



f (x, y) dy  =  η

Zη c

′

I(y) dy  = I(η), η ∈ (c, d).

(6)

η

f (x, y) dy ограничена на P = [a, b] × [c, d], непрерывна по x на [a, b] в силу теоремы пункта

3.4.2 и дифференцируема по аргументу η на (c, d) (как интеграл с переменным верхним пределом), причём ϕ′η (x, η) = f (x, η), x ∈ [a, b], η ∈ [c, d]. Таким образом, функция ϕ′η (x, η) непрерывна на P = [a, b] × [c, d] как Rb функция двух переменных. Согласно теореме Лейбница (пункт 3.4.3), функция ϕ(x, η) dx дифференцируема по параметру η и

a

 b ′ Z Zb Zb  ϕ(x, η) dx = ϕ′η (x, η) dx = f (x, η) dx = I(η), η ∈ (c, d). a

Поэтому,

 

η

Zb a

dx

Zη c

a

a

′



f (x, y) dy  =  η

Zb a

′

ϕ(x, η) dx = I(η), η ∈ (c, d).

61

η

(7)

По теореме из второго семестра, две непрерывные на отрезке функции, имеющие внутри отрезка равные производные, отличаются на постоянную. Поэтому, на основании (6) и (7) заключаем, что Zη c

dy

Zb

f (x, y) dx =

a

Zb

dx

a

Zη c

(8)

f (x, y) dy + C, η ∈ [c, d].

Полагая в формуле (8) η = c, получим 0 = 0 + C, откуда C = 0 и формула (8) переходит в (5).  3.4.5. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра Пусть функция f (x, y) определена на P = [a, b] × [c, d] и на [c, d] определены функции a(y) и b(y), a 6 a(y) < b(y) 6 b для всех y ∈ [c, d]. В этом случае интеграл принимает вид b(y) Z I(y) = f (x, y) dx.

(9)

a(y)

Ограничимся исследованием вопроса о непрерывности и дифференцируемости интеграла (9) по параметру y. Теорема 3.20. Если функция f (x, y) непрерывна на P (как функция двух переменных) и функции a(y), b(y) непрерывны на [c, d], то интеграл (9) представляет собой непрерывную функцию на [c, d].  Обозначим M = max |f (x, y)| и рассмотрим произвольное y0 ∈ [c, d]. Тогда интеграл (9) можно напи(x,y)∈P сать в виде b(y b(y) a(y) Z 0) Z Z I(y) = f (x) dx + f (x, y) dx − f (x, y) dx. (10) a(y0 )

b(y0 )

a(y0 )

Первый интеграл, в котором пределы уже постоянные, при y → y0 стремится к I(y0 ) =

b(y R 0)

f (x, y) dx, по теореме

a(y0 )

пункта 4.2. Остальные два интеграла допускают оценки Z a(y) b(y) Z f (x, y) dx 6 M |b(y) − b(y0 )| , f (x, y) dx 6 M |a(y) − a(y0 )| b(y0 ) a(y0 )

и в силу непрерывности функций a(y), b(y) стремятся к нулю при y → y0 . Таким образом, окончательно lim I(y) = I(y0 ), что доказывает теорему.  y→y0

Теорема 3.21. Если, наряду с условиями предыдущей теоремы, функция f (x, y) допускает в прямоугольнике P = [a, b] × [c, d] непрерывную производную fy′ (x, y), а также существуют и производные a′ (y), b′ (y), то интеграл (9) имеет производную по параметру, которая выражается формулой b(y) Z I (y) = fy′ (x, y) dx + b′ (y)f (b(y), y) − a′ (y)f (a(y), y). ′

(11)

a(y)

 И здесь мы будем исходить из равенства (10). Первый интеграл при y = y0 имеет производную, представляемую интегралом от производной b(y Z 0) fy′ (x, y) dx a(y0 )

— по теореме Лейбница пункта 4.3. Для второго интеграла (значение которого при y = y0 равно нулю) имеем, по теореме о среднем, b(y) Z 1 b(y) − b(y0 ) f (x, y) dx = f (x, y), (12) y − y0 y − y0 b(y0 )

где x содержится между b(y0 ) и b(y). Отсюда производная второго интеграла при y = y0 , которая совпадает с пределом выражения (12) при y → y0 , будет b′ (y0 )f (b(y0 ), y0 ). Аналогично, для производной третьего интеграла 62

при y = y0 получим число −a′ (y0 )f (a(y0 ), y0 ). Объединяя все эти результаты, убеждаемся в том, что производная I ′ (y0 ) существует и даётся формулой (11).  Замечание. Заключения обеих теорем сохраняются свою силу и в предположении, что функция f (x, y) задана (и обладает указанными свойствами) лишь в области, содержащейся между кривыми x = a(y) и x = b(y). Возможность рассматривать функцию и вне этой области использована была для упрощения рассуждений. Поучительно взглянуть на установленные результаты и с такой точки зрения. Интеграл (9) I(y) получается из интеграла Zv I(y, u, v) = f (x, y) dx, u

зависящего от трёх параметров y, u, v, подстановкой u = a(y), v = b(y). Вопрос исчерпывается применением общих теорем о непрерывности и о дифференцировании сложной функции. В частности, формула (11) написана по классической схеме: dI ∂I ′ ∂I ′ = a (y) + b (y). dy ∂u ∂v

3.5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 3.5.1. Определения и обозначения Рассмотрим функцию f (x, y), определённую на множестве D1 = [a, b) × Y , −∞ < a < b 6 +∞, Y ⊂ R, и для каждого y ∈ Y интегрируемую по аргумента x на каждом отрезке [a, t], a < t < b. Функция F (y, t), F (y, t) =

Zt

(1)

f (x, y) dx

a

определена на множестве E1 = Y × [a, b) и непрерывна по t на [a, b) для каждого y ∈ Y . Определение 1. Если для любого y ∈ Y существует lim F (y, t) = I(y), где t → b− есть база t → b − 0, если t→b−

b ∈ R, и база t → +∞, если b = +∞, то функцию I(y) называют несобственным интегралом функции f (x, y) по промежутку [a, b), зависящим от параметра y ∈ Y . Обозначение: I(y) =

Zb

f (x, y) dx = lim

t→b−

a

Zt a

f (x, y) dx = lim F (y, t), y ∈ Y. t→b−

(2)

Рассмотрим теперь функцию f (x, y), определённую на множестве D2 = (a, b] × Y , −∞ 6 a < b < +∞, Y ⊂ R, и для каждого y ∈ Y интегрируемую по аргументу x на каждом отрезке [t, b], a < t < b. Функция Φ(y, t), Φ(y, t) =

Zb

(1′ )

f (x, y) dx

t

определена на множестве E2 = Y × (a, b] и непрерывна по t на (a, b] для любого y ∈ Y . Определение 1’. Если для любого y ∈ Y существует lim Φ(y, t) = I(y), где t → a+ есть база t → a + 0, если t→a+

a ∈ R, и база t → −∞, если a = −∞, то функцию I(y) называют несобственным интегралом функции f (x, y) по промежутку (a, b], зависящим от параметра y ∈ Y , и обозначают I(y) =

Zb

f (x, y) dx = lim

t→a+

a

Zb t

f (x, y) dx = lim Φ(y, t), y ∈ Y. t→a+

(2′ )

Отметим, что для обоих несобственных интегралов, зависящих от параметра, имеет место формула Zb a

f (x, y) dx =

Zc

f (x, y) dx +

a

Zb

f (x, y) dx, a < c < b,

(3)

c

в правой части которой один из интегралов есть собственный интеграл, зависящий от параметра y ∈ Y , а другой — несобственный интеграл, зависящий от параметра y ∈ Y , и значение несобственного интеграла в левой части формулы (3) не зависит от выбора c, a < c < b. 63

3.5.2. Абсолютная сходимость Несобственный интеграл

Rb

f (x, y) dx по промежутку [a, b) или (a, b] называют абсолютно сходящимся на

a

◦

◦

множестве Y ⊂ R, если в каждой точке y ∈ Y сходится несобственный интеграл ◦

абсолютной сходимости несобственного интеграла следует его сходимость, то Y ⊂ Y .

Rb a

|f (x, y)| dx. Так как из

3.5.3. Остаток несобственного интеграла, зависящего от параметра Рассмотрим вначале случай −∞ < a < b 6 +∞ и функцию f (x, y), определённую на D1 = [a, b) × Y и удовлетворяющую определению 1. Тогда, в силу формул (3) и (1), имеем представление I(y) =

Zb

f (x, y) dx =

a

Zt

f (x, y) dx +

a

Zb

f (x, y) dx = F (y, t) + R(y, t),

(4)

t

в котором функции F (y, t) и R(y, t) определены на множестве E1 = Y × [a, b). Несобственный интеграл R(y, t) =

Zb t

f (x, y) dx, y ∈ Y, a 6 t < b,

зависящий от параметра y ∈ Y , называют остатком несобственного интеграла (2). Аналогично, в случае −∞ 6 a < b < +∞ и функции f (x, y), определённой на множестве D2 = (a, b] × Y и удовлетворяющей определению 1’, справедлива формула I(y) =

Zb a

f (x, y) dx =

Zt

f (x, y) dx +

a

Zb

f (x, y) dx = R(y, t) + Φ(y, t),

(4′ )

t

в которой функции Φ(y, t) и R(y, t) определены на множестве E2 = Y × (a, b] и несобственный интеграл R(y, t) =

Zt a

f (x, y) dx, y ∈ Y, a < t 6 b

называют остатком несобственного интеграла (2’). На основании определений 1 и 1’ и формул (4) и (4’) заключаем, что несобственный интеграл (2) [(2’)] сходится тогда и только тогда, когда его остаток R(y, t), определённый на множестве E1 = Y ×[a, b) [на множестве E2 = Y × (a, b]], стремится по базе t → b− [по   базе t → a+] к нулевой предельной функции на Y ; то есть, lim R(y, t) = 0, y ∈ Y

t→b−

lim R(y, t) = 0, y ∈ Y .

t→a+

3.5.4. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра Определение 2. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b)×Y , −∞ < a < b 6 +∞, Y ⊂ R, и на множестве E1 = Y × [a, b) определена функция F (y, t), задаваемая формулой (1). Несобственный интеграл (2) называют равномерно сходящимся на множестве Y , если 1. интеграл (2) сходится на Y к функции I(y) в смысле определения 1; 2. функция F (y, t) равномерно стремится к функции I(y) на множестве Y по базе t → b−. Определение 2’. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D2 = (a, b] × Y , −∞ 6< b < +∞, Y ⊂ R, и на множестве E2 = Y × (a, b] определена функция Φ(y, t), задаваемая формулой (1’). Несобственный интеграл (2’) называют равномерно сходящимся на множестве Y , если 1. несобственный интеграл (2’) сходится на Y к функции I(y) в смысле определения 1’; 2. функция Φ(y, t) равномерно стремится к функции I(y) на множестве Y по базе t → a+. На основании этих определений, формул (4) и (4’) и критерия из пункта 3.5.3, заключаем, что несобственный интеграл (2) [(2’)] равномерно сходится на множестве Y тогда и только тогда, когда функция R(y, t) равномерно 64

стремится к нулевой предельной функции на множестве Y по базе t → b− [t → a+]; то есть, R(y, t) ⇉ 0 на Y по базе t → b− [по базе t → a+]. В терминах неравенств этот критерий имеет вид: несобственный интеграл (2) [(2’)] равномерно сходится на множестве Y тогда и только тогда, когда для произвольного числа ε > 0 существует число bε , a < bε < b [существует число aε , a < aε < b] (выбор числа bε [aε ] зависит только от ε > 0), что для всех y ∈ Y и всех t, bε < t < b [всех t, a < t < aε ] справедлива оценка b  t  Z Z f (x, y) dx < ε  f (x, y) dx < ε . (5) t

a

Отметим, как просто следствие определений 2 и 2’ и приведённого выше критерия, что равномерно сходящиеся несобственные интегралы также обладают свойством аддитивности:

1. если несобственный интеграл (2) [(2’)] равномерно сходится на множестве Y , то он равномерно сходится на каждом его подмножество Y ′ , Y ′ ⊂ Y ; 2. если несобственный интеграл (2) [(2’)] равномерно сходится на множествах Y1 и Y2 , то он равномерно сходится на их объединении Y = Y1 ∪ Y2 . Действительно, оценки вида (5) справедливы для множеств Y1 и Y2 с некоторыми числами biε , a < biε < b, i = 1, 2 [числами aiε , a < aiε < b, i = 1, 2], и следовательно, эти оценки останутся справедливыми для множества Y = Y1 ∪ Y2 с числами bε = max(b1ε , b2ε ) [aε = min(a1ε , a2ε )]. 3.5.5. Неравномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра Определение 3. Несобственный интеграл (2) [(2’)] называют сходящимся неравномерно на множестве Y , если он сходится на Y в смысле определения 1 [1’], но не имеет места свойство 2 в определении 2 [2’]. Утверждение. Несобственный интеграл I(y) =

Rb

f (x, y) dx по промежутку [a, b) (по промежутку (a, b])

a

неравномерно сходится на множестве Y тогда и только тогда, когда найдётся некоторое ε0 > 0 и для произвольного b′ , a < b′ < b (для произвольного a′ , a < a′ < b) существуют точка tb′ , b′ < tb′ < b (ta′ , a < ta′ < a′ ) и точка yb′ ∈ Y (ya′ ∈ Y ), в которых b   t ′ Z Za f (x, yb′ ) dx > ε0  f (x, ya′ ) dx > ε0  . (6) a

tb′



Определение 3 есть отрицание определения 2, а утверждение (6) — отрицание утверждения (5). 

Пример 5.1. Исследуем на сходимость, абсолютную сходимость и равномерную сходимость несобственный +∞ R интеграл ye−xy dx, y ∈ R. 0

 Подинтегральная функция f (x, y) = ye−xy определена для всех (x, y) ∈ D = [0, +∞) × R. Так как f (x, y) = 0 при y = 0 для всех x ∈ [0, +∞), то несобственный интеграл сходится и равен нулю при y = 0. Пусть y 6= 0. Тогда остаток (при t > 0) +∞ Z +∞  R(y, t) = ye−xy dx = −e−xy t = lim

A→+∞

t

−e

−Ay

+e

−yt




=

(

e−yt , если y > 0, −∞, если y < 0.

Таким образом, интеграл сходится при y > 0 и расходится при y < 0. Так как |f (x, y)| = |y| e−xy для всех (x, y) ∈ D и |f (x, y)| = f (x, y) для y > 0, x ∈ [0, +∞), то исследуемый интеграл абсолютно сходится при всех y > 0; то есть, области его сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Если c > 0 и y ∈ [c, +∞), то |R(y, t)| = e−yt 6 e−ct , t > 0, и lim e−ct = 0. Следовательно, R(y, t) ⇉ 0 на t→+∞

[c, +∞) по базе t → +∞, и несобственный интеграл равномерно сходится на каждом промежутке [c, +∞), c > 0.
Если y ∈ [0, c], c > 0, то для произвольного b′ , 0 < b′ < +∞, выбираем tb′ > 0 таким, чтобы tb′ > max b′ , 1c ; то есть, tb′ > b′ и tb′ > 1c , 0 < t1′ < c, и полагаем yb′ = t1′ , 0 < yb′ < c. Тогда |R(yb′ , tb′ )| = e−1 = ε0 > 0, и b b следовательно, несобственный интеграл сходится неравномерно на [0, c], c > 0, и по свойству аддитивности он сходится неравномерно на всём промежутке [0, +∞). 65

3.5.6. Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра Теорема 3.22. Несобственный интеграл

Rb

f (x, y) dx = I(y) по промежутку [a, b) (по (a, b]) равномерно

a

сходится на множестве Y ⊂ R в том и только в том случае, когда для любого числа ε > 0 существует такое число bε , a < bε < b (существует aε , a < aε < b), что для всех y ∈ Y и всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (всех ti , a < ti < aε , i = 1, 2) справедливо неравенство t Z 2 f (x, y) dx < ε. (7) t1



Согласно свойству аддитивности определённого интеграла, для любых ti , a < ti < b, i = 1, 2, имеем Zt2

 

t1

Zt2

Zt2

Zb

f (x, y) dx =

a

f (x, y) dx =

t1

t1

f (x, y) dx −

Zt1

f (x, y) dx −

Zb

a

t2

f (x, y) dx = F (y, t2 ) − F (y, t1 ) 

f (x, y) dx = Φ(y, t1 ) − Φ(y, t2 ) .

Поэтому, условие (7) равносильно условию |F (y, t2 ) − F (y, t1 )| < ε для всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (условию |Φ(y, t2 ) − Φ(y, t1 )| < ε для всех ti , a < ti < aε , i = 1, 2) и всех y ∈ Y ; то есть, равносильно критерию Коши равномерного стремления функции F (y, t) (функции Φ(y, t)) к предельной функции на множестве Y по базе t → b− (по базе t → a+). Последнее равносильно свойству равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру (определения 2 и 2’).  3.5.7. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла Теорема 3.23. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b) × Y (на множестве D2 = (a, b] × Y ) и на множестве E1 = Y × [a, b) (на множестве E2 = Y × (a, b]) определена функция F (y, t) (функция Φ(y, t)), задаваемая формулой (1) ((1’)). Если |f (x, y)| 6 ϕ(x) для всех (x, y) ∈ D1 (всех (x, y) ∈ D2 ) и сходится Rb Rb Rb несобственный интеграл ϕ(x) dx по [a, b) (по (a, b]), то несобственные интегралы f (x, y) dx и |f (x, y)| dx a

a

a

сходятся равномерно на множестве Y .  Пусть, для определённости, функция f (x, y) определена на D1 = [a, b) × Y . Рассмотрим произвольное Rb ε > 0. Согласно критерию Коши сходимости несобственного интеграла ϕ(x) dx, существует такое bε , a < bε < b, a Rt2 что для всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2, справедливо неравенство ϕ(x) dx < ε. Для простоты считаем bε < t1 < t1 t2 < b. Тогда t t Z 2 Zt2 Z 2 Zt2 f (x, y) dx 6 |f (x, y)| dx 6 ϕ(x) dx = ϕ(x) dx < ε t1

t1

t1

t1

для всех y ∈ Y и всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2. Согласно критерию Коши, несобственные интегралы Rb a

|f (x, y)| dx по промежутку [a, b) равномерно сходятся на множестве Y .

Rb

f (x, y) dx и

a

Аналогично рассматривается случай промежутка (a, b].  3.5.8. Признак Абеля равномерной сходимости несобственных интегралов

Теорема 3.24. Если функции f (x, y), g(x, y) определены на множестве D1 = [a, b) × Y (на множестве D2 = (a, b] × Y ) и обладают свойствами: 1. несобственный интеграл

Rb

f (x, y) dx равномерно сходится на множестве Y ;

a

2. функция g(x, y) ограничена на D1 (на D2 ) и для каждого y ∈ Y монотонна по x на [a, b) (на (a, b]), 66

то несобственный интеграл

Rb

f (x, y)g(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y .

a

 Доказательство приведём для случая [a, b) и D1 = [a, b) × Y . Согласно условию 2, существует такое M > 0, что |g(x, y)| 6 M для всех (x, y) ∈ D1 . Кроме того, для любого y ∈ Y и любых ti , a < ti < b, i = 1, 2, на [t1 , t2 ] выполнены условия второй теоремы о среднем значении для определённых интегралов (функция f (x, y) интегрируема на [t1 , t2 ] для любого y ∈ Y в силу условия 1 теоремы и определения 1 сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра), так что Zt2

f (x, y)g(x, y) dx = g(t1 , y)

Zξ

f (x, y) dx + g(t2 , y)

t1

t1

Zt2

(8)

f (x, y) dx,

ξ

где ξ ∈ [t1 , t2 ] (и выбор ξ зависит от y ∈ Y ). Из (8) следует оценка   t t Z 2 Zξ Z 2  f (x, y)g(x, y) dx 6 M  f (x, y) dx + f (x, y) dx   , ξ ∈ [t1 , t2 ]. t1 t1 ξ

(9)

Рассмотрим теперь произвольное число ε > 0. На основании условия 1 и критерия Коши, для ε > 0 суще ′′ Rt ε ствует такое bε , a < bε < b, что f (x, y) dx < 2M для всех y ∈ Y и всех tj , bε < tj < b, j = 1, 2. Поэтому, t′ ξ Zt2 Z f (x, y) dx < ε и f (x, y) dx < ε 2M 2M ξ t1

(10)

для всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (заметим, что также bε < ξ < b). Объединяя неравенства (9) и (10), получим оценку t Z 2  ε ε  f (x, y)g(x, y) dx < M + = ε, 2M 2M t1

справедливую для всех y ∈ Y и всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2, и которая есть критерий Коши равномерной сходимости на множестве Y исследуемого несобственного интеграла.  Rb Следствие. Если функция f (x) определена на [a, b) (на (a, b]) и сходится несобственный интеграл f (x) dx, a

а функция g(x, y) определена и ограничена на D1 = [a, b)×Y (на D2 = (a, b]×Y ) и для каждого y ∈ Y монотонна Rb на [a, b) (на (a, b]), то несобственный интеграл f (x)g(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y . a

Частный случай предыдущей теоремы.  +∞ +∞ +∞ R R R 2 f (x)e−xy dx и f (x)e−x y dx сходятся равномерно на Y = Пример 5.2. Если сходится f (x) dx, то 

0

0

0

[0, +∞).

2

 Функции g1 (x, y) = e−xy и g2 (x, y) = e−x y ограничены на множестве D = [0, +∞) × [0, +∞) и для каждого y ∈ [0, +∞) монотонны по x на [0, +∞).  3.5.9. Признак Дирихле равномерной сходимости несобственных интегралов Теорема 3.25. Если функции f (x, y), g(x, y) определены на множестве D1 = [a, b) × Y (на множестве D2 = (a, b] × Y ) и обладают свойствами: 1. на множестве E1 = Y × [a, b) (на E2 = Y × (a, b]) формулой (1) (формулой (1’)) определена и ограничена функция F (x, y) (функция Φ(x, y)); 2. для каждого y ∈ Y функция g(x, y) монотонна по x ∈ [a, b) (по x ∈ (a, b]) и g(x, y) ⇉ 0 на Y по базе x → b− (по базе x → a+), то несобственный интеграл

Rb

f (x, y)g(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y .

a

67

 Как и в доказательстве признака Абеля, замечаем, что для любых ti , a < ti < b, i = 1, 2, справедлива формула (8). Согласно условию 1 теоремы, существует такое число L > 0, что |F (y, t)| 6 L (|Φ(y, t)| 6 L) для всех (y, t) ∈ E1 (всех (y, t) ∈ E2 ). С учётом свойства аддитивности определённого интеграла, как и в доказательстве критерия Коши, заключаем, что ξ Z f (x, y) dx = |F (ξ, y) − F (t1 , y)| = |Φ(t1 , y) − Φ(ξ, y)| 6 2L t1

и

Zt2 f (x, y) dx = |F (t2 , y) − F (ξ, y)| = |Φ(ξ, y) − Φ(t2 , y)| 6 2L, ξ

и следовательно, на основании формулы (8) имеем оценку t Z 2 f (x, y)g(x, y) dx 6 (|g(t1 , y)| + |g(t2 , y)|) 2L,

(11)

t1

справедливую для любого y ∈ Y и любых ti , a < ti < b, i = 1, 2. Рассмотрим произвольное число ε > 0. По определению свойства равномерного стремления функции g(x, y) по базе x → b− (по базе x → a+), для числа ε > 0 существует такое число bε , a < bε < b (такое число aε , ε для всех y ∈ Y и всех x, bε < x < b (всех x, a < x < aε ). Поэтому, на основании a < aε < b), что |g(x, y)| < 4L (11), неравенство t Z 2 f (x, y)g(x, y) dx < 2L · ε + 2L · ε = ε 4L 4L t1

справедливо для всех y ∈ Y и всех ti , bε < ti < b, i = 1, 2 (всех ti , a < ti < aε , i = 1, 2). Последнее есть критерий Коши равномерной сходимости на множестве Y исследуемого несобственного интеграла.  3.5.10. Связь с рядами

Выше, в параграфе 1 обсуждалась связь между несобственными интегралами и порождаемыми ими числовыми рядами. Здесь изучение этой связи будет углублено. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b) × Y , −∞ < a < b 6 +∞, Y ⊂ R, и для каждого y ∈ Y интегрируема по аргументу x на каждом отрезке [a, t], a < t < b, так что на множестве E1 = Y × [a, b) определена функция F (y, t), задаваемая формулой (1). Рассмотрим произвольную последовательность (tn ), t0 = a, a < tn < b, lim tn = b (возможно, b = +∞), и n→+∞

образуем функциональный ряд

∞ X

n=1

с общим членом an (y), n ∈ N, an (y) =

Ztn

tn−1

an (y), y ∈ Y,

f (x, y) dx, y ∈ Y, n ∈ N.

(12)

(13)

Частные суммы sn (y), n ∈ N, ряда (12) имеют вид, с учётом (13), sn (y) =

n X

k=1

ak (y) =

n Ztn X

f (x, y) dx =

k=1tn−1

Ztn a

f (x, y) dx = F (y, tn ), y ∈ Y, n ∈ N.

(14)

Таким же способом, как и в пункте 1.5 параграфа 1 доказывается (на основании формулы (14)), что несобRb ственный интеграл f (x, y) dx = I(y) сходится на множестве Y тогда и только тогда, когда для любой послеa

довательности (tn ), t0 = a, a < tn < b, lim tn = b, функциональный ряд (12) сходится на множестве Y . n→+∞

Поскольку, на основании теоремы пункта 3.3 параграфа 3, функция F (y, t) ⇉ I(y) на множестве Y по базе t → b− тогда и только тогда, когда F (y, tn ) ⇉ I(y) на множестве Y для любой последовательности (tn ), t0 = a, 68

a < tn < b,

lim tn = b, то несобственный интеграл

n→+∞

Rb

f (x, y) dx = I по промежутку [a, b) равномерно сходится

a

на множестве Y ⊂ R тогда и только тогда, когда F (y, tn ) ⇉ I(y) на Y для любой последовательности (tn ), t0 = a, a < tn < b, lim tn = b. n→+∞

Rb a

Аналогичные рассуждения можно провести для зависимого от параметра y ∈ Y несобственного интеграла f (x, y) dx по промежутку (a, b], −∞ 6 a < b < +∞.

3.6. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов 3.6.1. Предельный переход под знак интеграла Теорема 3.26. Пусть функция f (x, y), определённая на множестве D1 = [a, b)×Y , и база B на Y обладают свойствами: 1. несобственный интеграл

Rb

f (x, y) dx = I(y) по промежутку [a, b) равномерно сходится на множестве

a

Y; 2. для каждого x ∈ [a, b) существует lim f (x, y) = ϕ(x); B

3. для любого t, a < t < b, f (x, y) ⇉ ϕ(x) на отрезке [a, t] по базе B. Тогда сходится несобственный интеграл

Rb

ϕ(x) dx и справедлива формула

a

lim B

Zb

f (x, y) dx =

a

Zb h Zb i lim f (x, y) dx = ϕ(x) dx.

(1)

B

a

a

 Согласно условию 1 теоремы, f (x, y) интегрируема по x на каждом отрезке [a, t], a < t < b, для любого y ∈ Y . Так как f (x, y) ⇉ ϕ(x) по базе B на [a, t], то ϕ(x) интегрируема на [a, t] (параграф 3, пункт 3.4). Поэтому, для функции F (y, t), Zt F (y, t) = f (x, y) dx, y ∈ Y, t ∈ [a, b) a

существует lim F (y, t) = lim B

B

Zt a

Zt h Zt i f (x, y) dx = lim f (x, y) dx = ϕ(x) dx, t ∈ [a, b) B

a

a

(параграф 4, пункт 4.1). Так как, согласно условию 1 теоремы, F (y, t) ⇉ I(y) на Y по базе t → b−, то, по теореме о перестановке двух предельных переходов, существует lim B



 Zt Zb h i lim F (y, t) = lim lim F (y, t) = lim ϕ(x) dx = ϕ(x) dx,

t→b−

t→b−

t→b−

B

a

a

так что доказаны сходимость несобственного интеграла от функции ϕ(x) и формула (1), поскольку lim F (y, t) = t→b−

Rb a

f (x, y) dx, y ∈ Y.  3.6.2. Непрерывность несобственного интеграла по параметру

Теорема 3.27. Если функция f (x, y) непрерывна как функция двух переменных на множестве D1 = [a, b) × Rb [c, d] и несобственный интеграл f (x, y) dx = I(y) по промежутку [a, b) равномерно сходится на [c, d], то a

функция I(y) непрерывна на [c, d].  Рассмотрим произвольное t, a < t < b. Так как f (x, y) непрерывна на Pt = [a, t] × [c, d], то f (x, y) равномерно непрерывна на Pt и для любого y0 ∈ [c, d] = ∆ функция f (x, y) ⇉ f (x, y0 ) на [a, t] по базе ∆ ∋ y →

69

y0 (см. доказательство теоремы из пункта 4.2, параграф 4). Таким образом, по теореме предыдущего пункта существует lim

∆∋y→y0

I(y) =

lim

∆∋y→y0

Zb

f (x, y) dx =

a

Zb 

lim

∆∋y→y0

a

 Zb f (x, y) dx = f (x, y0 ) dx = I(y0 ). a

 Замечание. Если, дополнительно, непрерывная на D1 функция f (x, y) > 0, то справедлива обратная теореRb ма: из непрерывности несобственного интеграла I(y) = f (x, y) dx на [c, d] следует его равномерная сходимость a

на [c, d].

Функция F (y, t) =



Rt a

на [c, d] по базе t → b−. 

f (x, y) dx, y ∈ [c, d], t ∈ [a, b) непрерывна по y. Согласно теореме Дини, F (y, t) ⇉ I(y)

3.6.3. Интегрирование несобственного интеграла по параметру Теорема 3.28. Если функция f (x, y) непрерывна на множестве D1 = [a, b) × [c, d], и несобственный интеRb грал I(y) = f (x, y) dx равномерно сходится на [c, d], то справедлива формула a

Zd

I(y) dy =

c

Zd

dy

c

Zb

f (x, y) dx =

a

Zb

dx

a

Zd

(1)

f (x, y) dy,

c

в которой последний интеграл — несобственный по [a, b).  По теореме предыдущего пункта, функция I(y) непрерывна на [c, d], а следовательно, интегрируема на [c, d] и первое равенство в формуле (1) доказано. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность (tn ), t0 = a 6 tn < b, lim tn = b, и образуем ряд n→+∞

I(y) =

Zb

f (x, y) dx =

∞ Ztn X

f (x, y) dx =

n=1

n=1t n−1

a

∞ X

(2)

an (y), y ∈ [c, d],

который, согласно условиям теоремы и редукции несобственных интегралов к функциональным рядом (пункт 5.10, параграф 5), равномерно сходится на [c, d]. На каждом прямоугольнике Pn = [tn−1 , tn ] × [c, d] ⊂ D1 , n ∈ N, выполнены все условия теоремы пунктов 4.3 и 4.4 параграфа 4, о непрерывности и интегрируемости собственных интегралов, зависящих от параметра, согласно которым каждая функция an (y) непрерывна на [c, d] и справедливы формулы Zd

an (y) dy =

c

Zd

dy

c

Ztn

f (x, y) dx =

tn−1

Ztn

tn−1

dx

Zd c

(3)

f (x, y) dy, n ∈ N.

Поскольку ряд (2) равномерно сходится на [c, d] и все an (y), n ∈ N, непрерывны на [c, d], он почленно интегрируем на [c, d] и, с учётом формул (3), справедливо равенство Zd

d

I(y) dy =

∞ Z X

n=1 c

c

an (y) dy =

∞ Ztn X

n=1t n−1

dx

Zd

f (x, y) dy = lim

n→+∞

c

n Ztk X

k=1k−1

dx

Zd

f (x, y) dy = lim

n→+∞

c

Ztn a

dx

Zd

f (x, y) dy,

c

(4)

в котором использовано также свойство аддитивности определённого интеграла. В силу редукции несобственRd ных интегралов к функциональным рядам (пункт 5.10, параграф 5), формула (4) означает, что I(y) dy = c

Rb a

dx

Rd

f (x, y) dy, то есть, что справедливо второе равенство в утверждении (1) теоремы. 

c

70

3.6.4. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру Теорема 3.29. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b) × [c, d] ⊂ R2 , −∞ < a < b 6 +∞ [на множестве D2 = (a, b] × [c, d] ⊂ R2 , −∞ 6 a < b < +∞] и обладает свойствами: 1. функция f непрерывна по аргументу x для каждого y ∈ [c, d]; 2. частная производная fy′ (x, y) непрерывна как функция двух переменных на множестве D1 [на множестве D2 ]; Rb 3. несобственный интеграл f (x, y) dx = I(y) сходится на [c, d]; a

4. несобственный интеграл

Rb a

Тогда функция I(y) =

Rb

fy′ (x, y) dx равномерно сходится на [c, d].

f (x, y) dx дифференцируема на [c, d] и справедлива формула

a

′

I (y) =

Zb a

fy′ (x, y) dx, y ∈ [c, d].

(5)

Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность (tn ), t0 = a 6 tn < b,



функциональный ряд (2), который, в силу условию 3 теоремы, сходится к функции I(y) =

Rb

lim tn = b, и

n→+∞

f (x, y) dx на [c, d].

a

Функция f (x, y) на каждом прямоугольнике Pn = [tn−1 , tn ] × [c, d] ⊂ D1 , n ∈ N, удовлетворяет теореме Лейбница о дифференцировании собственного интеграла по параметру, согласно которой a′n (y)

=

Ztn

tn−1

fy′ (x, y) dx, y ∈ [c, d], n ∈ N,

и следовательно, с учётом условия 4 теоремы, равномерно сходится ряд ∞ X

a′n (y)

=

n=1

lim

n→+∞

n X

a′k (y)

=

k=1

lim

n→+∞

n Ztk X

fy′ (x, y) dx

=

lim

n→+∞

k=1t k−1

Ztn

fy′ (x, y) dx

a

=

Zb a

fy′ (x, y) dx, y ∈ [c, d]

(использованы также свойство аддитивности определённого интеграла и редукция несобственного интеграла ∞ Rb P к функциональным последовательностям). Так как ряд an (y) = f (x, y) dx = I(y) сходится на [c, d], а n=1

ряд

∞ P

n=1

a′n (y)

=

Rb a

fy′ (x, y) dx

a

равномерно сходится на [c, d], то по теореме о почленном дифференцировании

функциональных рядов Zb a

fy′ (x, y) dx

=

∞ X

!′

an (y)

n=1

y

= I ′ (y), y ∈ [c, d].

 3.6.5. Теорема Дини для несобственных интегралов Теорема 3.30. Пусть Y = [c, y0 ), −∞ < c < y0 6 +∞, и символ B обозначает базу y → y0 − 0, если y0 ∈ R, и базу y → +∞, если y0 = +∞. Пусть функция f (x, y) определена на множестве D1 = [a, b) × Y и обладает свойствами: 1. 2. 3. 4.

f (x, y) > 0 на D1 ; f (x, y) непрерывна по x на [a, b); для каждого x ∈ [a, b) функция f (x, y) возрастает по y ∈ Y ; функция f (x, y) стремится к некоторой предельной функции ϕ(x) на [a, b) по базе B; то есть, ϕ(x) = lim f (x, y), x ∈ [a, b); B

71

5. функция ϕ(x) непрерывна на [a, b). Если сходится несобственный интеграл

Rb

ϕ(x) dx, то несобственный интеграл I(y) =

a

сходится на Y = [c, y0 ), и поэтому,

Rb

f (x, y) dx равномерно

a

lim I(y) = B

Zb

(6)

ϕ(x) dx.

a

 На основании условий 2–5 и теоремы Дини из пункта 3.5, параграф 3, функция f (x, y) равномерно стремится к предельной функции ϕ(x) на [a, b) по базе B. В силу условий 1 и 3, для каждого x ∈ [a, b) и каждого y ∈ Y справедливо 0 6 f (x, y) 6 ϕ(x) = sup f (x, y) (теорема Вейерштрасса о пределе возрастающей B

функции). Поэтому, с учётом сходимости несобственного интеграла

Rb

ϕ(x) dx и признака Вейерштрасса (пункт

a

5.7, параграф 5) заключаем, что несобственных интеграл I(y) =

Rb

f (x, y) dx равномерно сходится на множестве

a

Y , а соотношение (6) справедливо на основании теоремы пункта 6.1.  Аналогичная теорема справедлива для множестве Y = (y0 , c], −∞ 6 y0 < c < +∞, с заменой в условии 3 предыдущей теоремы свойства возрастания функции f (x, y) на множестве Y на свойство её убывания на Y .

3.7. Эйлеровы интегралы 3.7.1. Интеграл Эйлера первого рода (по Лежандру); бета–функция Рассмотрим несобственный интеграл B(p, q) =

Z1 0

xp−1 (1 − x)q−1 dx,

(1)

зависящий от параметров p, q ∈ R, и представим его в виде 1

B(p, q) =

Z2 0

p−1

x

q−1

(1 − x)

dx +

Z1

xp−1 (1 − x)q−1 dx = I1 (p, q) + I2 (p, q),

(2)

1 2

где I1 (p, q) имеет особенность только в точке x = 0, а I2 (p, q) — только в точке x = 1. Так как для любого q ∈ R функция (1 − x)q−1 положительна, непрерывна и ограничена на отрезке [0, 12 ], то существуют C1q > 0 и C2q , что C1q xp−1 6 xp−1 (1 − x)q−1 6 C2q xp−1 для всех x ∈ (0, 12 ] и всех p ∈ R. Так как 1 R2 несобственный интеграл xp−1 dx сходится для всех p > 0 и расходится для всех p 6 0, то по признаку сравнения 0

несобственных интегралов, заключаем, что несобственный интеграл I1 (p, q) сходится только при p > 0 и всех q ∈ R. Аналогично, функция xp−1 положительна, непрерывна и ограничена на отрезке [ 12 , 1] для любого p ∈ R, и следовательно, существуют C1p > 0, C2p > 0, что C1p (1 − x)q−1 6 xp−1 (1 − x)q−1 6 C2p (1 − x)q−1 для всех x ∈ [ 21 , 1) R1 и всех q ∈ R. Так как несобственный интеграл (1 − x)q−1 dx сходится при q > 0 и расходится при q 6 0, то как 1 2

и выше, заключаем, что несобственный интеграл I2 (p, q) сходится только при q > 0 и всех p ∈ R. Окончательно, в силу (2), бета–функция Эйлера B(p, q) определена только для p > 0 и q > 0. 3.7.2. Непрерывность бета–функции

Теорема 3.31. Функция B(p, q), задаваемая интегралом (1), непрерывна по каждому аргументу p и q в своей области определения.  Подинтегральная функция f (x, p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 непрерывна как функция трёх переменных (x, p, q) на множестве E = (0, 1)× (0, +∞)× (0, +∞) и f (x, p, q) > 0. Для произвольного p0 > 0 и q0 > 0 интеграл B(p0 , q0 ) сходится (функция существует) и для всех p > p0 > 0 и q > q0 > 0 справедливы оценки 0 < xp−1 (1 − x)q−1 6 xp0 −1 (1 − x)q0 −1 , x ∈ (0, 1). 72

Согласно признаку Вейерштрасса, несобственный интеграл (1) равномерно сходится при p > p0 > 0, q > q0 > 0. Поэтому (по теореме пункта 6.2, параграф 6) функция B(p, q) непрерывна при всех p > p0 > 0 и при всех q > q0 > 0. Рассмотрим теперь произвольные p > 0 и q > 0 и выберем такие p0 > 0 и q0 > 0, чтобы p > p0 > 0 и q > q0 > 0. По предыдущему, B(p, q) непрерывна в точке p > 0 и в точке q > 0.  3.7.3. Симметричность бета–функции Теорема 3.32. B(p, q) = B(q, p), p > 0, q > 0.  В несобственном интеграле (1) для B(p, q) совершим замену переменной интегрирования x = 1 − t, t = 1 − x, dx = −dt. Получим B(p, q) =

Z1

p−1

x

0

q−1

(1 − x)

dx = −

Z1 0

p−1 q−1

(1 − t)

t

dt =

Z1 0

tq−1 (1 − t)p−1 dt = B(q, p).

 3.7.4. Функциональное уравнение для B(p, q) Интегрируя (1) по частям, получим

B(p, q + 1) =

Z1 0

p−1

x



xp (1 − x)q (1 − x) dx = p q

Z1

q =0+ p

1

p−1

x

0

q + p 0

Z1 0

  xp (1 − x)q−1 dx = xp ≡ xp−1 − xp−1 (1 − x) =

q−1

(1 − x)

откуда

q dx − p

Z1 0

xp−1 (1 − x)q dx =

q q B(p, q) − B(p, q + 1), p p

q B(p, q), p > 0, q > 0. p+q

B(p, q + 1) =

(2)

В силу симметричности функции B(p, q) имеем также p B(p, q), p > 0, q > 0. p+q

B(p + 1, q) =

(2′ )

3.7.5. Частный случай Пусть q = n ∈ N; согласно (2), B(p, n) =

n−1 n−2 (n − 1)(n − 2) · . . . · 2 · 1 n−1 B(p, n − 1) = · B(p, n − 2) = . . . = B(p, 1). p+n−1 p+n−1 p+n−2 (p + n − 1)(p + n − 2) · . . . · (p + 1)

Но B(p, 1) =

Z1

xp−1 dx =

0

так что B(p, n) = Пусть p = m ∈ N. Тогда B(m, n) =



xp p

1

=

0

1 , p

(n − 1)! , p > 0, n ∈ N. p(p + 1) · . . . · (p + n − 1)

(n − 1)!1 · 2 · . . . · (m − 1) (m − 1)!(n − 1)! (n − 1)! = = . m(m + 1) · . . . · (m + n − 1) 1 · 2 · . . . · (m − 1)m(m + 1) · . . . · (m + n − 1) (m + n − 1)!

Ранее доказано, что (n − 1)! = Γ(n), (m − 1)! = Γ(m), m, n ∈ N, так что B(m, n) =

Γ(m)Γ(n) , m, n ∈ N. Γ(m + n)

В четвёртом семестре мы докажем замечательную формулу Эйлера B(p, q) =

Γ(p)Γ(q) , p > 0, q > 0. Γ(p + q) 73

(3)

3.7.6. Интеграл Эйлера второго рода; гамма-функция Рассмотрим несобственный интеграл +∞ +∞ Z Z1 Z s−1 −x s−1 −x I(s) = x e dx = x e dx + xs−1 e−x dx = I1 (s) + I2 (s). 0

−1 s−1

0

s−1 −x

1

s−1

Так как e x 6x e 6x для x ∈ (0, 1] и всех s ∈ R, то несобственный интеграл I1 (s) сходится при s − 1 > −1, или s > 0, и расходится при s − 1 6 −1, или s 6 0; то есть, I1 (s) сходится только при s > 0. +∞ R dx s−1 −x s+1 Так как lim x 1e = lim xex = 0 для любого s ∈ R и x2 сходится, то, согласно предельной форме x→+∞

x→+∞

x2

1

признака сравнения несобственных интегралов, интеграл I2 (s) сходится при всех s ∈ R. Окончательно, I(s) сходится только при s > 0. Полагая x = ln z1 , z = e−x , dx = − z1 dz = −ex dz, 0 < z < 1, в интеграле I(s) получим s−1 s−1 Z0  Z1  1 1 −x x I(s) = − ln e e dz = ln dz, s > 0. z z 1

Известно, что 0 6 ln

1 z

0

1 n

= lim n(1 − z ), 0 < z 6 1. n→+∞

α

Рассмотрим выражение 1−z α , z ∈ (0, 1] — фиксировано, как функцию аргумента α, α > 0, производная которой равна ′  1 − zα −αz α ln z − (1 − z α ) z α (1 − α ln z) − 1 = = . α α2 α2 α

Функция ϕ(a) = z α (1 − α ln z) − 1 определена и непрерывна по переменной α для α > 0 и ϕ(0) = 0. Производная ϕ′ (α) = z α ln z(1 − α ln z) − z α ln z = −αz α (ln z)2 < 0 для всех α > 0. Таким образом, функция ϕ(α) строго убывает при α > 0 и ϕ(α) < ϕ(0) = 0 для α > 0. α Итак, функция F (z, α) = 1−z строго убывает по аргументу α > 0. Если α = n1 , n ∈ N, то функция α 1 F (z, n) = n(1 − z n ) определена на множестве E = (0, 1] × N, непрерывна на E (как функция двух переменных) и F (z, n) > 0, и F (z, n) строго возрастает по аргументу n. Таким образом, функция F (z, n) удовлетворяет на множестве E всем условиям теоремы Дини из пункта 6.5, параграфа 6, согласно которой (с учётом свойства непрерывности степенной функции) s−1 s−1 Z1  Z1 Z1 Z1   s−1 1 1 1 1 I(s) = ln dz = lim n(1 − z n ) dz = lim ns−1 (1−z n )s−1 dz. dz = lim n(1 − z n ) n→+∞ n→+∞ n→+∞ z 0

0

0

Полагая z

1 n

0

= y, z = y n , dz = ny n−1 dy, 0 < y < 1, получим

I(s) = lim n n→+∞

s

Z1 0

ns (n − 1)! = Γ(s), n→+∞ s(s + 1) · . . . · (s + n − 1)

y n−1 (1 − y)s−1 dy = lim ns B(n, s) = lim n→+∞

где использованы формула (3) и формула Эйлера–Гаусса для Γ(s). Итак, +∞ Z Γ(s) = xs−1 e−x dx, s > 0. 0

3.7.7. Дифференцируемость гамма-функции В главе 2, параграф 3, пункт 3.5, доказано, что Γ(s) бесконечно дифференцируема в своей области определения DΓ = R\(−N0 ), N0 = N ∪ {0}. В частности, Γ(s) — бесконечно дифференцируемая функция для s > 0. Поэтому, +∞ Z ′ Γ (s) = xs−1 ln xe−x dx, s > 0 0

и

+∞ Z Γ (s) = xs−1 e−x (ln x)2 dx > 0, s > 0, ′′

0

так что функция Γ(s) выпукла вниз в интервале (0, +∞) и производная Γ′ (s) строго возрастает в (0, +∞). 74

3.7.8. График функции Γ(s) на интервале (0, +∞) По определению, Γ(1) =

+∞ Z Zt  t e−x dx = lim e−x dx = lim −e−x 0 = lim (−e−t + 1) = 1, t→+∞

0

t→+∞

t→+∞

0

и Γ(2) = Γ(1) = 1. По теореме Ролля, в интервале (1, 2) существует s0 , 1 < s0 < 2, в которой Γ′ (s0 ) = 0. Так как Γ′ (s) строго возрастает в интервале (0, +∞), то s0 — единственный ноль производной Γ′ (s) и s0 — точка строгого минимума выпуклой вниз функции Γ(s). Так как Γ(s + 1) = sΓ(s), s > 0, то Γ(s) = Γ(s+1) , s s > 0, и lim Γ(s) = lim Γ(s+1) = +∞ (поскольку lim Γ(s + 1) = Γ(1) = 1). Для всех s > n + 1, n ∈ N, s s→+0

s→+0

s→+0

Γ′ (s) > Γ′ (s0 ) = 0, и следовательно, функция Γ(s) строго возрастает при s > s0 , так что Γ(s) > Γ(n + 1) = n!, и поэтому lim Γ(s) = +∞. График функции Γ(s) изображён на рисунке. s→+∞

3.7.9. Интеграл Эйлера–Пуассона По формуле дополнения для гамма-функции, Γ(x)Γ(1 − x) = как Γ(s) > 0, s > 0. С другой стороны, по определению

π sin πx ,

x∈ / Z. При x =

1 2

имеем Γ( 12 ) =

+∞ +∞ 1   Z Z x 2 = t dx = 2t dt 2 1 − 12 −x = x e dx = Γ 2e−t dt, = x = t2 2 0

откуда

0

+∞ √ Z π −x2 e dx = 2 0

— интеграл Эйлера–Пуассона. Кроме того, +∞ +∞ +∞ +∞ Z Z0 Z Z Z √ 2 −x2 −x2 −x2 −t2 e dx = e dx + e dx = e dt + e−x dx = π, −∞

−∞

0

0

0

где t = −x в первом слагаемом последней суммы.

3.8. Некоторые способы вычисления несобственных интегралов 3.8.1. Интеграл Эйлера π

I=

Z2

ln sin x dx

0

вычисляется заменой переменной интегрирования x = 2t, 0 6 t 6 π 4

I=2

Z

π 4

ln sin 2t dt = 2

0

Z

π 4,

dx = 2 dt, и π

π [ln 2 + ln sin t + ln cos t] dt = ln 2 + 2 2

0

π 2

− u,

π 4

6u6

π 4

2

0

π 2,

π 4

ln cos t dt = −2

Z

π

ln cos

π 2

π 2



− u du = 2

Z2

ln sin u du,

π 4

π

π I = ln 2 + 2 2

Z2

ln sin t dt =

π ln 2 + 2I, 2

0

π

откуда I =

ln sin t dt + 2

dt = −du, и приводим к виду

так что, в силу свойства аддитивности определённого интеграла,

− π2

π

0

В последнем интеграле полагаем t = Z

Z4

ln 2. К числу I сводятся интегралы

R2 0

π

x tg x

dx и

75

R2 0

arcsin x x

dx.

Z4 0

ln cos t dt.

√ π, так

3.8.2. Интеграл Дирихле +∞ R sin x Доказана сходимость интеграла I = x dx. Для вычисления его значения рассмотрим интеграл 0

I(y) =

+∞ Z

sin x −xy e dx. x

(1)

0

Функция F (x, y) = sinx x e−xy = f (x)e−xy непрерывна, как функция двух переменных, на множестве D = [0, +∞) × [0, +∞), если считать f (0) = 1 = lim sinx x . Согласно следствию к признаку Абеля равномерной сходиx→0

мости несобственного интеграла, зависящего от параметра (см. пункт 5.8, параграф 5, примеры), несобственный интеграл (1) равномерно сходится по y ∈ [0, +∞), а по теореме о непрерывности несобственного интеграла по параметру (пункт 6.2, параграф 6), функция I(y) непрерывна в точке y = 0 и I = lim I(y) = I(0). y→+0

Формальное дифференцирование по y интеграла в правой части формулы (1) приводит к несобственному интегралу +∞ +∞ Z Z sin x −xy · xe dx = − e−xy sin x dx. (2) − x 0

0

Рассмотрим несобственный интеграл +∞ Z J(y) = e−xy sin x dx.

(3)

0

Для каждого y > 0 существует

lim g(x, y) =

x→+∞ −xy

lim e−xy = 0. Для произвольного y0 > 0 и произвольного

x→+∞

x ∈ [0, +∞) оценки 6 e−xy0 справедливы для всех y > y0 . Поэтому, для любого числа ε > 0, 016 g(x, y) = e 1 выбирая bε = y0 ln ε , заключаем, что 0 6 g(x, y) 6 e−xy0 6 ε одновременно для всех y > y0 > 0 и всех образом, функция g(x, y) ⇉ 0 на множестве Y0 = [y0 , +∞), y0 > 0, по базе x + ∞, и поскольку x t> bε . Таким R sin x dx = |− cos t + 1| 6 2 для всех t ∈ [0, +∞), то по признаку Дирихле интеграл (3) равномерно сходится на 0

Y0 = [y0 , +∞) для всякого y0 > 0. Следовательно, на каждом множестве Y0 = [y0 , +∞), y0 > 0, с учётом (1)–(3), справедливо I ′ (y) = −J(y), y ∈ Y0 . Для любого y > 0 существует y0 > 0, что y > y0 > 0, и на промежутке [y0 , +∞) справедлива формула I ′ (y) = −J(y); в частности, она справедлива в точке y > y0 . Окончательно, имеем формулу I ′ (y) = −J(y), y > 0.

(4)

Интегрируя по частям дважды, получим 

+∞

−

+∞

1 J(y) = − sin xe−xy y 

1 cos xe−xy y2

0

0

1 + y −

1 y2

+∞ +∞     Z Z 1 1 1 −xy −ty cos x · e dx = lim − sin xe +0+ cos x − de−xy = t→+∞ y y y 0 +∞ Z

0

sin xe−xy dx = lim

t→+∞

0

откуда J(y) =



−



1 1 1 1 1 cos xe−ty + 2 − 2 J(y) = 2 − 2 J(y), y > 0, y2 y y y y

1 , y > 0, 1 + y2

и согласно (4), имеем I ′ (y) = −

1 , y > 0. 1 + y2

(4′ )

Поэтому, I(y) = − arctg y + C, y > 0.

Оценка

+∞ +∞  t   Z Z sin x −xy 1 −xy 1 −ty 1 1 −xy |I(y)| 6 dx 6 e dx = lim − e = lim − e + = , y > 0, x e t→+∞ t→+∞ y y y y 0 0

0

76

(5)

показывает, что lim I(y) = 0. Поэтому, согласно (5), y→+∞

0 = lim I(y) = lim [− arctg y + C] = − y→+∞

откуда C =

π 2

y→+∞

π + C, 2

и справедлива формула

π − arctg y, y > 0. 2 Согласно (6), lim I(y) = π2 . Но lim I(y) = I(0) = I, и поэтому I = π2 ; то есть, I(y) =

y→+0

(6)

y→+0

+∞ Z

sin x π dx = . x 2

0

3.8.3. Разрывный множитель Дирихле Рассмотрим несобственный интеграл I(a) =

+∞ Z 0

sin ax dx, a ∈ R. x

Если a = 0, то sin ax = 0, x ∈ [0, +∞), и I(0) = 0. Если a > 0, то подстановка ax = t приводит к интегралу I(a) =

+∞ Z

sin ax dx = x

0

+∞ Z

sin t

0

t a

a dt =

+∞ Z

sin t π dt = , a > 0. t 2

0

Если a < 0, то −a > 0 и I(−a) = −I(a), поскольку sin(−ax) = − sin(ax), x > 0. По предыдущему, I(−a) = π2 , и следовательно, I(a) = − π2 , a < 0. Окончательно,  π +∞  Z  2 , если a > 0, sin ax dx = 0, если a = 0, (7)  x  π 0 − 2 , если a < 0. или

+∞ Z

π sin ax dx = sgn a, x 2

0

так что 2 sgn a = π

+∞ Z

sin ax dx. x

0

Несобственный интеграл

+∞ R 0

гласно (7), +∞ Z 0

sin αx cos βx x

dx, α > 0, β > 0, называют разрывным множителем Дирихле. Со-

 +∞  π +∞  , если α > β, Z Z 1 sin(α + β)x sin(α − β)x   π2 sin αx cos βx dx =  dx + dx = 4 , если α = β,  x 2 x x  0 0 0, если α < β.

4. Приближение функций тригонометрическими и алгебраическими многочленами 4.1. Классы интегрируемых функций 4.1.1. Модуль непрерывности функций Рассмотрим произвольную функцию f на промежутке ha, bi и произвольное число δ > 0. Вели непрерывную чина ωf (δ) = ω(δ; f ) = sup |f (x′ ) − f (x′′ )| x′ , x′′ ∈ ha, bi , |x′ − x′′ | 6 δ называется модулем непрерывности 77

функции f на ha, > 0 для всех δ > 0. С увеличением числа δ расширяется множество bi. По определению, ω(δ)  |f (x′ ) − f (x′′ )| x′ , x′′ ∈ ha, bi , |x′ − x′′ | 6 δ и поэтому его sup не может уменьшаться; то есть, ω(δ) — возрастающая функция аргумента δ. Отсюда следует существование одностороннего предела функции ωf (δ) при δ → +0 : λ = lim ωf (δ). δ→+0

Если λ = 0, то f равномерно непрерывна на ha, bi, поскольку для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что |f (x′ ) − f (x′′ )| 6 ωf (δ) < ε для всех x′ , x′′ ∈ ha, bi, |x′ − x′′ | 6 δ. Пример. Функция f (x) = cos πx , x ∈ (0, 1), непрерывна в своей области определения и для неё λ > 2. 1 1 1 интервала (0, 1) и положим δn = n1 − n+1 = n(n+1) . Последова Возьмём две точки xn = n1 , xn+1 = n+1 тельность (δn ) стремится к нулю,но |f (xn ) − f (xn+1 )| = |cos πn − cos(n + 1)π| = 2,

и следовательно, и λ = lim ωf (δ) > 2.  δ→+0

 ωf (δn ) = sup |f (x′ ) − f (x′′ )| x′ , x′′ ∈ (0, 1), |x′ − x′′ | < δn > 2

Согласно теореме Гейне–Кантора, всякая непрерывна на отрезке функция равномерно непрерывна на нём и для неё λ = 0. Теорема 4.1. ωf (nδ) 6 nωf (δ) для всех δ > 0 и всех n ∈ N.  Пусть f непрерывна на ha, bi и x, y ∈ ha, bi, |x − y| 6 nδ и x < y. Рассмотрим xk = x + k y−x n , k = 0, n. 6 δ, k = Тогда |xk+1 − xk | = y−x 0, n, и n n n X X |f (xk ) − f (xk−1 )| 6 nω(δ). |f (y) − f (x)| = (f (xk ) − f (xk−1 )) 6 k=1

k=1

Поэтом, ωf (nδ) 6 nωf (δ). 

Следствие. ωf (cδ) 6 (c + 1)ωf (δ) для всех δ > 0 и всех c > 0.  Рассмотрим целую часть [c] = n > 0, n + 1 ∈ N. Тогда n 6 c < n + 1 и так как ω(δ) возрастает, то ωf (cδ) 6 ωf ((n + 1)δ) 6 (n + 1)ωf (δ) 6 (c + 1)ωf (δ).  4.1.2. Классы непрерывных функций по модулю непрерывности Теорема 4.2. Если функция f непрерывна на ha, bi, дифференцируема в (a, b) за исключением некоторого конечного множества K и производная f ′ ограничена в своей Df ′ ; то есть, |f ′ (x)| 6 M , M > 0, для всех x ∈ (a, b) ⊂ K, то ωf (δ) 6 M δ, δ > 0.  Рассмотрим произвольные x, y ∈ ha, bi, x < y, и предположим, что интервал (x, y) содержит l точек xj ∈ K, j = 1, l. На каждом отрезке [x, x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xl−1 , xl ], [xl , y] выполнены все условия теоремы Лагранжа о конечных приращениях, согласно которой |f (y) − f (x)| 6 |f (y) − f (xl )| + |f (xl ) − f (xl−1 )| + . . . + |f (x2 ) − f (x1 )| + |f (x1 ) − f (x)| = |f ′ (ξl )| (y − xl )+

+ |f ′ (ξl−1 )| (xl − xl−1 ) + . . . + |f ′ (ξ1 )| (x2 − x1 ) + |f ′ (ξ)| (x1 − x) 6 M |y − xl + xl − xl−1 + . . . + x2 − x1 + x1 − x| = = M |y − x| 6 M δ, и следовательно ωf (δ) 6 M δ, δ > 0.  Определение 1. Функция f принадлежит классу Липшица на промежутке ha, bi, если существует такое число M > 0, что ωf (δ) 6 M δ, δ > 0. Из этого определения непосредственно следует, что если функция f на ha, bi классу Липшица с константой M > 0, то в любой точке x ∈ (a, b), в которой существует производная f ′ (x), справедлива оценка |f ′ (x)| 6 M . f (y)−f (x) Действительно, для любого y ∈ (a, b), y 6= x, справедливо неравенство y−x 6 M , переходя в котором к пределу при y → x, получим |f ′ (x)| 6 M . √ Пример. Функция f (x) = 3 x не принадлежит классу Липшица на [−1, 1], поскольку её производная функ √ 1 √ ция не ограничена в своей области определения Df ′ ⊂ [−1, 1]. Но можно доказать, что 3 x − 3 y 6 2 |x − y| 3 для любых x, y ∈ [−1, 1] (проверьте это!). Определение 2. Функция f принадлежит классу Гёльдера порядка α, 0 < α < 1, на промежутке ha, bi, если существует такое число M > 0, что ωf (δ) 6 M δ α , δ > 0.

78

0.

Определение 3. Функция f принадлежит классу Дини–Липшица на промежутке ha, bi, если lim ωf (δ) ln 1δ = δ→0

Если ωf (δ) 6 M δ α , 0 < α 6 1, то lim ωf (δ) ln δ1 = 0, поскольку lim ωf (δ) ln δ1 6 lim M δ α ln 1δ = 0. Однако и δ→0

δ→0

δ]ra0

самый широкий из определённых классов — класс Дини–Липшица — не содержит всех непрерывных функций на промежутке. 4.1.3. Ортогональные системы функций Определение 4. Функции f и g называют ортогональными на отрезке [a, b], если f, g ∈ R[a, b] и 0,

Rb a

f 2 (x) dx 6= 0,

Rb a

g 2 (x) dx 6= 0.

Rb

f (x)g(x) dx =

a

Определение 5. Функциональная последовательность (fn (x)) образует ортогональную систему функций на [a, b], если fn ∈ R[a, b], n ∈ N, и fi , fj ортогональны для всех i 6= j.

Утверждение. Тригонометрическая система, то есть система функций 1, cos x, sin x, cos 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . , n ∈ N, ортогональна на отрезке [0, 2π] (на [−π, π]).  π Rπ 1 · cos kx dx = k1 sin kx −π = k1 (sin kπ − sin(−kπ)) = 0, k ∈ N. −π

Rπ

−π



π  1 · sin kx dx = − k1 cos kπ −π = − k1 (cos kπ − cos(−kπ)) = 0, k ∈ N,

Rπ

−π Rπ

1 2

cos kx · cos lx dx = sin kx sin lx dx =

−π Rπ

sin kx cos lx dx =

−π

1 2 1 2

Rπ

−π Rπ

−π Rπ

−π

[cos(k + l)π + cos(k − l)x] dx = 0, k 6= l.



[cos(k − l)x − cos(k + l)x] dx = 0, k 6= l.

[sin(k + l)x + sin(k − l)x] dx = 0, k, l ∈ N.

4.2. Положительные тригонометрические многочлены 4.2.1. Определения Для произвольных действительных чисел A0 , A1 , B1 , . . . , An , Bn , . . . , n ∈ N T (x) = A0 +

n X

(Ak cos kx + Bk sin kx)

k=1

называют тригонометрическим многочленом (полиномом) степени (порядка) n ∈ N, если A2n + Bn2 6= 0. Если T (x) > 0 для всех x ∈ R, то T (x) называют положительным многочленом. Многочлен T (x) называют чётным, если все Bk = 0. В дальнейшем нас будут интересовать положительные многочлены вида 1 (n) (n) + ρ1 cos x + ρ2 cos 2x + . . . + ρ(n) n cos nx. 2

un (x) =

(1) (n)

Теорема 4.3. Для любого положительного многочлена вида (1) справедливо ρ1 < 1, и существуют по(n) следовательности положительных многочленов вида (1), для которых lim ρ1 = 1. n→+∞



Так как многочлены un (x) и 1 − cos x положительны и непрерывны, то 0 < In =

Zπ

−π

(1 − cos x)



 1 (n) (n) + ρ1 cos x + . . . + ρn cos nx dx. 2

Для вычисления интеграла In заметим, что тригонометрические функции ортогональны и поэтому In =

Zπ

−π (n)

(n)

Таким образом, π(1 − ρ1 ) > 0, ρ1

1 (n) dx − ρ1 2

Zπ

−π

(n)

cos2 x dx = π(1 − ρ1 ).

< 1. 79

Чтобы доказать существование последовательности положительных многочленов вида (1), для которых (n) 2 ρ1 → 1, n → +∞ напомним, что |z| = z · z для любого z ∈ C и cos α = 12 (eiα + e−iα ), α ∈ R, согласно формуле Эйлера. Рассмотрим положительную ϕn (z), 2 ϕn (x) = a0 + a1 eix + a2 e2ix + . . . + an enix , x ∈ R,

у которой a0 , a1 , a2 , . . . , an — действительные числа, и покажем, что ϕn (x) — чётный тригонометрический многочлен, вычислив при этом его коэффициенты. Вспомнив, что квадрат модуля комплексного числа равен произведению этого числа на сопряжённое и eikx = cos kx − i sin kx = e−ikx , получим ϕn (x) = (a0 + a1 eix + a2 e2ix + . . . + an enix )(a0 + a1 eix + a2 e2ix + . . . + an enix ) = (a20 + a21 + . . . + a2n ) + (eix + e−ix )× × (a0 a1 + a1 a2 + . . . + an−1 an ) + (e2ix + e−2ix )(a0 a2 + a1 a3 + . . . + an−2 an ) + . . . + (enix + e−nix )a0 an . Пользуясь формулой Эйлера, найдём ϕn (x) = (a20 + a21 + . . . + a2n ) + 2(a0 a1 + a1 a2 + . . . + an−1 an ) cos x + 2(a0 a2 + a1 a3 + . . . + + an−2 an ) cos 2x + . . . + 2a0 an cos nx. (2) Положим в равенстве (2) a0 = a1 = a2 = . . . an = 1, получим ϕn (x) = (n + 1) + 2n cos x + 2(n − 1) cos 2x + . . . + 2 cos nx, откуда n

βn (x) =

ϕn (x) 1 n n−1 1 1 X n−k+1 = + cos x + cos 2x + . . . + cos nx = + cos kx. 2(n + 1) 2 n+1 n+1 n+1 2 n+1

(3)

k=1

(n)

Многочлены βn (x) имеют такой же вид, как и многочлены (1), и для них β1

=

n n+1

→ 1, n → +∞. 

4.2.2. Некоторые тождества Утверждение 1.
sin n + 12 x 1 + cos x + cos 2x + . . . + cos nx = , x ∈ R, n ∈ N. 2 2 sin x2 

(4)

Пусть C(x) — сумма левой части в (1). Тогда

  x x x x x x 3x x 2C(x) sin = sin + 2 sin cos x + 2 sin cos 2x + . . . + 2 sin cos nx = sin + sin − sin + ...+ 2 2 2 2 2 2 2 2         1 1 1 + sin n + x − sin n − x = sin n + x 2 2 2 и равенство (4) доказано для всех x ∈ R, n ∈ N, и sin x2 6= 0. sin(n+ 12 )x (n+ 12 )x Если sin x2 = 0, то x = 2kπ, k ∈ Z, и lim = lim = n + 12 и C(2kπ) = n + 12 . Таким образом, 2 sin x x x→2kπ

x→2kπ

2

равенство (4) доказано полностью.  Утверждение 2.

cos 3x + cos 5x + . . . + cos(2n + 1)x = cos(n + 2)x 

sin nx , x ∈ R, n ∈ N. sin x

(5)

Обозначим s(x) сумму в левой части (5). Тогда

2s(x) sin x = 2 cos 3x sin x+2 cos 5x sin x+. . .+2 cos(2n+1)x sin x = (sin 4x−sin 2x)+. . .+(sin(2n+2)x−sin 2nx) = = sin(2n + 2)x − sin 2x = 2 cos(n + 2)x sin nx, x ∈ R, n ∈ N.  80

4.2.3. В формуле (2) для ϕn (x) положим ak = sin

k+1 n+2 π,

k = 0, n. Тогда, с учётом утверждения 1,

π n+1 1 1 2π 1 2(n + 1) + . . . + sin2 π = − cos + . . . + − cos π= n+2 n+2 2 2 n+2 2 n+2 " #
  1 2π 1 1 1 2π 2π 1 n + 1 1 sin n + 1 + 2 n+2 1 + cos + . . . + cos(n + 1) − = − − = = (n + 1) − π 2 2 2 n+2 n+2 2 2 2 2 sin n+2 2     π sin 2π − n+2 n+1 1  1 n + 1 1 n+2 − − = + = . = π 2 2 2 sin n+2 2 2 2 2

A0 = a20 + a21 + . . . + a2n = sin2

Вычислим A1 = 2(a0 a1 + a1 a2 + . . . + an−1 an ), используя утверждение 2. Имеем

π 2π 2π 3π n n+1 π π sin + 2 sin sin + . . . + 2 sin π sin π = cos − cos 3 + n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 π nπ cos(n + 2) n+2 sin n+2 π π π π π π + cos − cos 5 + . . . + cos − cos(2n + 1) = n cos − = n cos + π n+2 n+2 n+2 n+2 n+2 sin n+2 n+2   2π sin π − n+2 π π π = n cos + + 2 cos = (n + 2) cos . π sin n+2 n+2 n+2 n+2 A1 = 2 sin

Таким образом, ϕn (x) =

π n+2 + (n + 2) cos cos x + A2 cos 2x + . . . + An cos nx 2 n+2

и чётный положительный многочлен αn (x) =

1 π ϕn (x) (n) = + cos cos x + ρ2 cos 2x + . . . + ρ(n) n cos nx n+2 2 n+2

(6)

имеет такой же вид, как и многочлен (1). (n) (n) π У положительных многочленов αn (x) последовательность (ρ1 ), ρ1 = cos n+2 , стремится к единице быстрее, чем такая же последовательность у многочленов βn (x). Действительно, в случае многочленов βn (x) (n)

1 − ρ1

=1−

n 1 = , n+1 n+1

а в случае многочленов αn (x), (n)

1 − ρ1

= 1 − cos

π π2 5 π = 2 sin2 <2 < . 2 n+2 2(n + 2) 4(n + 2) (n + 2)2

Это обстоятельство в дальнейшем окажется весьма полезным.

4.3. Приближение функций тригонометрическими многочленами 4.3.1. Свёртка тригонометрического многочлена и интегрируемой функции Пусть функции f интегрируема на [−π, π]. Функция 1 σn (x) = σn (f ; x) = π

Zπ

−π

1 f (t)un (t − x) dt = π

Zπ

−π

"

# n 1 X (n) f (t) + ρk cos k(t − x) dt 2

(1)

k=1

называется свёрткой функции f и тригонометрического многочлена un (x), задаваемого формулой (1) в параграфе 2. Утверждение. Функция σn (x) есть тригонометрический многочлен порядка не выше n для любой функции f ∈ R[a, b]. 81



Согласно (1) и свойству линейности определённого интеграла,

1 σn = 2π

Zπ

−π

Zπ Zπ Zπ n n X X 1 1 1 (n) (n) f (t) dt+ ρk f (t) cos k(t−x) dt = f (t) dt+ ρk [f (t) cos kt cos kx+f (t) sin kt sin kx] dt = π 2π π k=1 −π k=1 −π −π   π π Z Z Zπ n X 1 1 1 (n) f (t) dt + ρk cos kx f (t) cos kt dt + sin kx f (t) sin kt dt = = 2π π π k=1

−π

−π

−π

n

a0 X (n) + ρk (ak cos kx + bk sin kx), (2) 2

=

k=1

где числа 1 a0 = π

Zπ

1 f (t) dt, ak = π

−π

Zπ

1 f (t) cos kt dt, bk = π

−π

Zπ

−π

f (t) sin kt dt, k ∈ N,

(3)

называются коэффициентами Фурье функции f ∈ R[−π, π].  (n)

Положим в (1) и (2) все ρk

= 1, k = 1, n. Тогда сумма " #
Zπ Zπ n n sin n + 12 (t − x) a0 X 1 1 X 1 sn (f ; x) = + (ak cos kx + bk sin kx) = f (t) + cos k(t − x) dt = f (t) dt (4) 2 π 2 π 2 sin t−x 2 k=1 k=1 −π

−π

для любой функции f ∈ R[−π, π], где использовано утверждение 1 из пункта 2.2, параграф 2. 4.3.2. Свёртка с периодической функцией В этом пункте считаем функцию f определённой на всём R и 2π–периодической; предположим также, что f ∈ R[−π, π]. Лемма 1. Для любого x ∈ R справедливо π+x Z

f (t) dt =

−π+x

Zπ

(5)

f (t) dt.

−π

 Из условий леммы и свойства аддитивности определённого интеграла следует, что f ∈ R[a, b] для любых a, b ∈ R и π+x π+x Z Z−π Zπ Z f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt + f (t) dt = I1 + I2 + I3 . −π+x

−π+x

−π

π

Последнее равносильно (5), поскольку I3 =

π



−π+x −π+x Z Z t = u + 2π f (t) dt = = f (u + 2π) du = f (u) du = −I1 . dt = du

π+x Z

−π

−π

Согласно формуле (1) и лемме 1, 1 σn (f ; x) = π где y = t − x, и

1 σn (f ; x) = π

f (y + x)un (y) dy,

−π+x

Zπ

−π

π+x Z

f (x + y)un (y) dy, n ∈ N.

(6)

Если f (x) ≡ 1 в (6), то, на основании ортогональности тригонометрической системы и свойства линейности определённого интеграла, # Zπ Zπ " n 1 1 1 X (n) σn (1; x) = un (y) dy = + ρk cos ky dy = 1, (7) π π 2 −π

−π

82

k=1

и следовательно, 1 f (x) = π

Zπ

−π

(8)

f (x)un (y) dy, x ∈ R.

Так как un (x) > 0, x ∈ R, то из (6) и (8) следует оценка 1 |f (x) − σn (f ; x)| 6 π

Zπ

−π

(9)

|f (x + y) − f (x)| un (y) dy, n ∈ N.

4.3.3. Вспомогательные утверждения Лемма 2. Если функции f, g ∈ R[a, b], то  b 2 Z Zb Zb  f (x)g(x) dx 6 f 2 (x) dx · g 2 (x) dx. a



a

(10)

a

Для всех z ∈ R справедливо 06

Zb a

2

(f (x) − zg(x)) dx = z

2

Zb a

2

g (x) dx − 2z

Zb

f (x)g(x) dx +

a

Zb

f 2 (x) dx,

a

и квадратный трёхчлен относительно z обязан иметь неположительный дискриминант D, 

что равносильно (10). 

D=

Zb a

2



f (x)g(x) dx − 

Zb a

 b  Z g 2 (x) dx  f 2 (x) dx 6 0, a

Лемма 3. Для любого x, 0 6 x 6 π2 , справедливо x 6 π2 sin x.  Функция f (x) = x − π2 sin x имеет f ′′ (x) = π2 sin x > 0, 0 < x < x − π2 sin x = f (x) 6 0 для 0 6 x 6 π2 .  n P (n) Лемма 4. Если un (x) = 12 + ρk cos kx > 0, то

π 2,

и f (0) = f

π 2




= 0. Поэтому

k=1

1 π  1 π

Zπ

−π

Zπ

−π

π |y| un (y) dy 6 √ 2

q (n) 1 − ρ1 .

(11)

Используя оценку из леммы 3 и формулы (7), (10), имеем  π  12  π  12 Zπ Zπ Z Z 2 y y y |y| un (y) dy = un (y) dy 6 sin un (y) dy 6  sin2 un (y) dy  ·  un (y) dy  = π 2 2 2 −π

−π

−π

−π



 12 √ Zπ π = √  (1 − cos y)un (y) dy  . 2 −π

В доказательстве теоремы 1 пункта 2.1, параграф 2, установлено, что Zπ

−π

(n)

(1 − cos y)un (y) dy = π(1 − ρ1 ),

так что, окончательно, получаем неравенство (11).

83

4.3.4. Оценка приближения непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами Теорема 4.4. Если функция f непрерывна и 2π–периодическая на R и ω(δ) её модуль непрерывности на n P (n) [−2π, 2π], то для любого положительного многочлена un (x) = 21 + ρk cos kx и любого числа m > 0 оценка k=1

|σn (f ; x) − f (x)| 6 ω



  q 1 mπ (n) 1+ √ 1 − ρ1 , n ∈ N, m 2

(12)

справедлива для всех x ∈ [−π, π].  Рассмотрим произвольное m > 0. Согласно (9) и следствию к теореме 4.1 пункта 1.1, параграф 1, имеем 1 |f (x) − σn (f ; x)| 6 π

Zπ

1 ω(|y|)un (y) dy = π

−π

Zπ

−π

ω



   Zπ 1 1 1 · m |y| un (y) dy 6 (m |y| + 1)ω un (y) dy = m π m m = ω π



−π

1 m

 Zπ −π

1 |y| un (y) dy + ω π



1 m

 Zπ

un (y) dy,

−π

откуда, с учётом (11) и (7) следует, что mπ |f (x) − σn (f ; x)| 6 √ ω 2



1 m

q   1 (n) 1 − ρ1 + ω , n ∈ N; m

то есть, следует оценка (12).  Следствие. В предположениях предыдущей теоремы,   q π (n) , x ∈ [−π, π], n ∈ N. 1 − ρ1 1+ √ |f (x) − σn (f ; x)| 6 ω 2  В формуле (12) выбираем m =   q (n) m 1 − ρ1 = 1 .

q

1 (n)

1−ρ1

(13)

.

4.4. Равномерное приближение непрерывных функций многочленами 4.4.1. Теорема Фейера о равномерной аппроксимации непрерывной периодической функции тригонометрическими многочленами Свёртки функции f ∈ R[−π, π] с положительными многочленами βn (x), также являющиеся по результатам пункта 3.1 тригонометрическими многочленами, называют многочленами Фейера и обозначают Fn (f ; x). Поскольку n 1 X n−k+1 βn (x) = + cos kx, n ∈ N, 2 n+1 k=1

то согласно формуле (2), пункт 3.1,

n

Fn (f ; x) =

a0 X n − k + 1 + (ak cos kx + bk sin kx), n ∈ N, 2 n+1 k=1

где a0 , ak , bk , k ∈ N — коэффициенты Фурье функции f , определяемые формулами (3), пункт 3.1. Теорема 4.5. Для любой непрерывной и 2π–периодической функции f справедлива оценка   1 max |f (x) − Fn (f ; x)| 6 cωf √ , n ∈ N, x∈[−π,π] n+1 в которой 0 < c < 1 + √π2 и ωf (δ) — модуль непрерывности функции f на [−2π, 2π], и следовательно, для произвольного числа ε > 0 существует такое N ∈ N, N = N (ε), что max |f (x) − Fn (f ; x)| < ε для всех x∈[−π,π]

n > N ; то есть, Fn (f ; x) ⇉ f (x) на [−π, π] (и на всём R). (n)

Применяем формулу (13) из следствия к теореме пункта 3.4, для σn (f ; x) = Fn (f ; x), имеющих ρ1   n 1 √ → 0 при n → +∞.  n+1 , и замечаем, что, по теореме Гейне–Кантора, ωf n+1 

84

=

4.4.2. Две теоремы Вейерштрасса Изложенная выше теорема Фейера была доказана в 1904 г. Однако начало теории приближений непрерывных функций многочленами положено К. Вейерштрассом в 1885 г. Первая теорема Вейерштрасса. Для произвольной непрерывной и 2π–периодической функции f и любого числа ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T (x), что |f (x) − T (x)| < ε для всех x ∈ [−π, π] (и всех x ∈ R).  В принятом нами изложении выбираем T (x) = Fn (f ; x).  Вторая теорема Вейерштрасса. Для любой непрерывной функции f на невырожденном отрезке [a, b], −∞ < a < b < +∞, и любого числа ε > 0 можно указать такой алгебраический многочлен P (x), для которого |f (x) − P (x)| < ε справедливо для всех x ∈ [a, b]. ′  Подстановка x = a + xπ (b − a) переводит [a, b] в [0, π]. Так как при этой подстановке алгебраические многочлены переходят в алгебраические многочлены (с сохранением своих степеней), то задача сводится к случаю непрерывных функций на отрезке [0, π]. Поэтому рассмотрим произвольную функцию f ∈ C[0, π], и образуем новую функцию f ∗ посредством условия f ∗ (x) = f (−x), если x ∈ [−π, 0], и f ∗ (x) = f (x), если x ∈ [0, π]. Тогда f ∗ ∈ C[−π, π] (в точках x 6= 0 она непрерывна как композиция непрерывных функций; в x = 0 имеем lim f ∗ (x) = lim f (−x) = lim f (x) = lim f ∗ (x) = f (0) = f ∗ (0)) и f ∗ (−π) = f ∗ (π). Доопределим, даx→−0

x→−0

x→+0

x→+0

лее, f ∗ на всю числовую прямую как непрерывную 2π–периодическую функцию. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Согласно первой теореме Вейерштрасса, существует такой тригонометрический многочлен T (x), что |f ∗ (x) − T (x)| < 2ε для всех x ∈ [−π, π]. Если заменить каждую тригонометрическую функцию, входящую в T (x), её тейлоровским разложением по степеням x, то T (x) представится в виде суммы сходящегося ∞ P всюду на R степенного ряда cn xn = T (x), x ∈ R. На [−π, π] этот ряд сходится равномерно, и поэтому, n=0

если выбрать в качестве алгебраического многочлена P (x) некоторую частную сумму этого ряда с достаточно большим индексом n, то получим неравенство |T (x) − P (x)| < 2ε для всех x ∈ [−π, π]. Следовательно, |f ∗ (x) − P (x)| 6 |f ∗ (x) − T (x)| + |T (x) − P (x)| < ε для всех x ∈ [−π, π]; в частности, |f (x) − P (x)| < ε для всех x ∈ [0, π].  Следствие. Если функция f ∈ C[a, b], то существует последовательность алгебраических многочленов ∞ P [Pn+1 (x) − Pn (x)], x ∈ [a, b], и ряд равномерно сходится (Pn (x)), что Pn (x) ⇉ f (x) на [a, b] и f (x) = P1 (x) + n=1

на [a, b].

4.4.3. Наилучшее приближение функций Постановка задачи принадлежит П.Л. Чебышёву.   Обозначим En (f ) = inf max |f (x) − Pn (x)| f ∈ C[a, b], deg Pn 6 n , n ∈ N. Pn

x∈[a,b]

Теорема Чебышёва. Существует единственный алгебраический многочлен pn (x), deg   pn = n, что En (f ) = 1 max |f (x) − pn (x)|, n ∈ N. Более того, числа En (0) = inf max |Pn (x)| deg Pn 6 n равны En (0) = 2n−1 ,

x∈[a,b]

x∈[−1,1]

1

n ∈ N, и алгебраические многочлены  pn (x) = 2n−1 cos(n arccos x), x ∈ [−1, 1].  ∗ Аналогично, если En (f ) = inf max |f (x) − Tn (x)| f непрерывная и 2π–периодическая, deg Tn 6 n , то [−π,π]

существует единственный тригонометрический многочлен tn (x), det tn = n, что En∗ (f ) = max |f (x) − tn (x)|, [−π,π]   1 π ∗ n ∈ N. Согласно теореме Фейера, En (f ) 6 cωf √n+1 , 0 < c 6 1 + √2 . Существует более точная оценка.   1 Первая теорема Джексона. En∗ (f ) 6 6ωf n+2 , n ∈ N.  Рассмотрим тригонометрические многочлены 1 An (f ; x) = π

Zπ

−π

f (t)αn (t − x) dt, n ∈ N,

— многочлены Джексона, где αn (x) =

1 π (n) + cos cos x + ρ2 cos 2x + . . . + ρ(n) n cos nx. 2 n+2

Тогда, на основании оценки (12) из пункта 3.4 и определения величины En∗ (f ), имеем    q 1 πm (n) En∗ (f ) 6 max |f (x) − An (f ; x)| 6 ωf 1+ √ 1 − ρ1 [−π,π] m 2 85

(1)

(2)

для любого m > 0. Поэтому для m = n + 2, с учётом (1), имеем πm 1+ √ 2

q (n) 1 − ρ1 = 1 + π(n + 2) sin

π π π2 < 1 + π(n + 2) =1+ <6 2(n + 2) 2(n + 2) 2

(3)

. На основании (2) и (3), в которых m = n + 2, получаем утверждение теоремы.  В частности, если ωf (δ) 6 M δ α , 0 < α < 1; то есть, функция f принадлежит классу Гёльдера порядка α, 0 < α < 1, то En∗ (f ) 6 c n1α , c = 6M , n ∈ N. Теорема С.Н. Бернштейна (обратная). Если существует c > 0, что En∗ (f ) 6 c n1α , 0 < α < 1, n ∈ N, то ωf (δ) 6 M δ α с некоторой M > 0. Таким образом, скорость убывания величины En∗ (f ) в теореме Джексона неулучшаема.

86

5. Ряды Фурье 5.1. Предварительные сведения 5.1.1. Определения и примеры Рассмотрим произвольную функцию f , интегрируемую на [−π, π], и числа 1 an = π

Zπ

−π

bn =

1 π

Zπ

−π

— коэффициенты Фурье функции f . Функциональный ряд

(1)

f (x) cos nx dx, n ∈ N0 = N ∪ {0} ,

(2)

f (x) sin nx dx, n ∈ N,

∞

a0 X + (an cos nx + bn sin nx), x ∈ R, 2 n=1

(3)

называют тригонометрическим рядом Фурье функции f . Таким образом, каждой функции f ∈ R[−π, π], x ∈ [−π, π], ставится в соответствие её ряд Фурье (3), определённый на всём R. Утверждение 5.1. Если тригонометрический ряд A0 +

∞ X

(4)

(An cos nx + Bn sin nx),

n=1

у которого A0 , An , Bn ∈ R, n ∈ N, равномерно сходится на [−π, π] к сумме f (x), то ряд (4) является рядом Фурье своей суммы f (x).  Поскольку, по условию, f (x) = A0 +

∞ X

(An cos nx + Bn sin nx), x ∈ [−π, π],

n=1

и ряд (4) равномерно сходится на [−π, π], то f непрерывна на [−π, π] и ряд допускает почленное интегрирование (см. свойства равномерно сходящихся рядов с непрерывными членами). Тогда, используя свойство ортогональности тригонометрической системы, имеем 1 a0 = π откуда A0 = 1 ak = π

Zπ

−π

a0 2 ,

Zπ

−π

1 f (x) dx = π

Zπ

−π

Zπ ∞ X 1 A0 dx + (An cos nx + Bn sin nx) dx = 2A0 , π n=1 −π

и

1 f (x) cos kx dx = π

Zπ

−π

∞ X



1 A0 cos kx dx + π n=1

Zπ

−π

1 An cos nx cos kx dx + π =

1 π

Zπ

−π

Zπ

−π

ется рядом Фурье функции T (x); то есть, ck =

1 π

Rπ

c0 2

Bn sin nx cos kx dx =

Ak cos2 kx dx = Ak , k ∈ N. (5)

Аналогично доказывается, что Bk = bk , k ∈ N.  Следствие 5.1. Произвольный тригонометрический многочлен T (x) =

+

n P

(ck cos kx + dk sin kx) явля-

k=1

T (x) cos kx dx, k = 0, n, и dk =

−π



1 π

Rπ

−π

T (x) sin kx dx, k = 1, n.

 Любой T (x) можно считать тригонометрическим рядом с нулевыми коэффициентами, начиная с некоторого индекса. Такой ряд равномерно сходится на всём R. 

87

5.1.2. Частные суммы Пусть f ∈ R[−π, π] и a0 , an , bn , n ∈ N — её коэффициенты Фурье. В параграфе 3 предыдущей главы 4 доказаны формулы
Zπ sin n + 12 (t − x) 1 sn (f ; x) = f (t) dt, n ∈ N; π 2 sin t−x 2 −π

если n = 0, то 1 s0 (f ; x) = π

Zπ

−π

sin t−x 1 2 f (t) t−x dt = 2π 2 sin 2

Zπ

f (t) dt =

−π

a0 . 2

Пусть теперь ещё f (−π) = f (π), так что f продолжается на всё R как 2π–периодическая функция. Согласно лемме 1 параграфа 3 главы 4, 1 sn (f ; x) = π

π−x Z

−π+x



Zπ sin n + 12 y sin n + 12 y 1 f (x + y) dy = f (x + y) dy 2 sin y2 π 2 sin y2 −π

и далее, 1 sn (f ; x) = π

Z0

−π




Zπ Zπ sin n + 12 y sin n + 21 y 1 1 f (x + t) + f (x − t) sin n + 12 t f (x+y) dy+ f (x+y) dy = dt, n ∈ N, 2 sin y2 π 2 sin y2 π 2 sin 2t 0

0

(5)

где y = t во втором слагаемом суммы и y = −t в первом слагаемом, а функция D(y) = D(−y) = D(y). Функцию D(t) в формуле (5) называют ядром Дирихле.

sin(n+ 12 )y sin y2

— чётная,

5.1.3. Частные суммы ряда Фурье и многочлены Фейера Пусть f ∈ R[−π, π] и f (−π) = f (π). Тогда an cos nx + bn sin nx = sn − sn−1 , n ∈ N, где sn = sn (f ; x), n ∈ N, и s0 = s0 (f ; x). Для многочленов Фейера Fn (f ; x), n ∈ N, функции f справедлива формула n a0 X n − k + 1 Fn (f ; x) = + (ak cos kx + bk sin kx), n ∈ N. 2 n+1 k=1

Поэтому

Fn (f ; x) = s0 +

n X n−k+1 k=1

n+1

(sk − sk−1 ) =

(n + 1)s0 + n(s1 − s0 ) + (n − 1)(s2 − s1 ) + . . . + (sn − sn−1 ) = n+1 s0 + s1 + . . . + sn = = n+1

n P

sk (f ; x)

k=0

n+1

, n∈N

— среднее арифметическое частных сумм ряда Фурье. 5.1.4. Теорема Коши Теорема 5.2. Если последовательность (sn ), n ∈ N0 , имеет fn = 

s0 +s1 +...+sn , n+1

fn − s =

n ∈ N, также имеет lim fn = s.

(s0 −s)+(s1 −s)+...+(sn −s) , n+1

существует такое N ∈ N, что |sn − s| < |fn − s| 6

lim sn = s, то последовательность (fn ),

n→+∞

n→+∞

n ∈ N0 . Рассмотрим произвольное число ε > 0. Так как lim sn = s, то ε 2

n→+∞

для всех n > N . Поэтому

|s0 − s| + . . . + |sN − s| |sN +1 − s| + . . . + |sn − s| |s0 − s| + . . . + |sN − s| ε n − N + < + < n+1 n+1 n+1 2 n+1 |s0 − s| + . . . + |sN − s| ε < + , n > N. n+1 2 88

Кроме того, существует N2 ∈ N, что |s0 − s| + . . . + |sN − s| ε < n+1 2 для всех n > Nε и следовательно, |fn − s| <

ε 2

+

ε 2

= ε для всех n > max(N, Nε ); то есть, s = lim fn .  n→+∞

5.1.5. Необходимое условие сходимости ряда Фурье непрерывной и 2π–периодической функции Теорема 5.3. Если ряд Фурье непрерывной и 2π–периодической функции f сходится в точке x ∈ R, то его сумма равна f (x).  Многочлены Фейера Fn (f ; x), n ∈ N, равномерно сходятся к функции f (x) на R, а последовательность (sn (f ; x)) сходится в точке x ∈ R. По теореме Коши, lim sn (f ; x) = f (x).  n→+∞

Важное методологическое замечание В предыдущем параграфе 1 отмечено, что если функция (конечно, непрерывная) может быть представлена равномерно сходящимся тригонометрическим рядом, то ряд этот непременно есть её ряд Фурье. Здесь мы обнаруживаем полную аналогию со степенными рядами. Степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы и равномерно сходящийся тригонометрический ряд есть ряд Фурье своей суммы. С другой стороны, было отмечено, что ряд Тейлора функции f может сходиться к функции, отличной от f . Согласно доказанной теореме, ряд Фурье непрерывной и периодической функции f , если он сходится в какой– нибудь точке x ∈ R, имеет сумму, непременно равную значению f (x) функции f в этой точке. 5.1.6. Примеры. Коэффициенты Фурье чётных и нечётных функций Лемма. Если функции f и g интегрируемы на [−a, a], a > 0, и f — чётная, а g — нечётная, то 2

Ra

f (x) dx,

Ra

f (x) dx =

−a

g(x) dx = 0.

−a

0

Ra

Поэтому, если функция f ∈ R[−π, π] и f — чётная, то an =

f — нечётная, то an = 0, n ∈ N0 , а bn =

2 π

2 π

Rπ

f (x) sin nx dx, n ∈ N.

2 π

Zπ

0

Rπ 0

f (x) cos nx dx, n ∈ N0 и bn = 0, n ∈ N, а если

Пример 1.1. Рассмотрим 2π–периодическую функцию f , для которой f (x) = |x|, когда x ∈ [−π, π]; f (−π) = f (π) = π. Тогда все bn = 0, n ∈ N, и a0 =

2 π

Zπ

f (x) dx =

2 π

0

Zπ

x dx = π, an =

0

f (x) cos nx dx =

2 π

0

Zπ

x cos nx dx =

0

 π 2 x sin nx cos nx = + π n n2 0 =

2 [(−1)n − 1] , n ∈ N. πn2

4 Поэтому, a0 = π, a2k = 0, a2k−1 = − π(2k−1) 2 , k ∈ N. Кроме того,

|x| =

∞ π 4 X cos(2k − 1)x − , x ∈ [−π, π], 2 π (2k − 1)2

(6)

k=1

поскольку тригонометрический ряд Фурье в правой части   формулы (6) равномерно сходится на R по признаку P 1 Вейерштрасса сходится мажорирующий ряд (2k−1)2 . В x = 0 имеем 0=

∞ ∞ X π 4X 1 1 π2 − и = . 2 2 2 π (2k − 1) (2k − 1) 8 k=1

Поэтому, A=

∞ ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 1 π2 1X 1 π2 1 = + = + = + A, 2 2 2 2 n (2k − 1) (2k) 8 4 k 8 4 n=1 k=1

откуда A =

2

π 6

и

∞ P

n=1

1 n2

=

k=1

2

π 6

k=1

k=1

.

89

5.2. Равномерная сходимость рядов Фурье 5.2.1. Константы Лебега Пусть функция f ∈ R[−π, π] и f (−π) = f (π), так что f продолжается на R как 2π–периодическая функция. Поэтому частные суммы sn (f ; x), n ∈ N0 ряда Фурье функции f имеют вид 1 sn (f ; x) = π


sin n + 12 y f (x + y) dy, n ∈ N0 . 2 sin y2

Zπ

−π

(1)

Если Tn (x) — тригонометрический многочлен, deg Tn 6 n, то Tn (x) можно считать равномерно сходящимся на R тригонометрическим рядом, у которого частная сумма sn (Tn ; x) = Tn (x), x ∈ R, и, в силу (1), 1 Tn (x) = sn (Tn ; x) = π

Zπ

−π


sin n + 21 y dy. Tn (x + y) 2 sin y2

(2)

На основании (1) и (2) имеем 1 sn (f ; x) − sn (Tn ; x) = π

Zπ

−π


sin n + 12 y [f (x + y) − Tn (x + y)] dy, 2 sin y2

и поскольку sn (f ; x) − f (x) = sn (f ; x) − sn (Tn ; x) + Tn (x) − f (x), то получаем оценку Zπ sin n + 1
y 1 2 |sn (f ; x) − f (x)| 6 |f (x + y) − Tn (x + y)| dy + |Tn (x) − f (x)| , x ∈ [−π, π]. 2 sin y2 π −π

Обозначим τn =

sup

x∈[−π,π]

|f (x) − Tn (x)| = sup |f (x) − Tn (x)|. Тогда x∈R



где

1 |sn (f ; x) − f (x)| 6 τn 1 + π 1 Ln = π


 Zπ 1 n + sin 2 y dy  = τn [1 + Ln ], n ∈ N, y 2 sin 2

(3)

−π


Zπ 1 sin n + 2 y dy, n ∈ N, 2 sin y2

(4)

−π

— константы Лебега.

5.2.2. Оценка констант Лебега sin(n+ 1 )y Согласно (4) и чётности функции 2 sin y2 , имеем 2

1


Zπ Zn Zπ 1 sin n + y 2 1 sin n + 12 y 1 sin n + 12 y 2 Ln = dy = + dy = I1 + I2 . π 2 sin y2 π 2 sin y2 π 2 sin y2

0

0

(5)

1 n

n sin(n+ 1 )y P Так как 2 sin y2 = 21 + cos ky 6 n + 12 , y ∈ R, то 2 k=1

1

2 I1 6 π

 Zn  1 2n + 1 n+ dy = < 1, n ∈ N. 2 πn

(6)

0

Согласно лемме 3 из параграфа 4 главы 4 sin x > 1 I2 6 π

Zπ 1 n

dy 1 6 sin y2 π

Zπ 1 n

 
x ∈ 0, π2 , справедлива оценка

2 π x,

dy 2 y π2

=

Zπ 1 n

90

dy = ln π + ln n < 2 + ln n. y

(7)

Объединяя (5)–(7), получим Ln < 3 + ln n, n ∈ N.

(8)

|sn (f ; x) − f (x)| < τn (4 + ln n), n ∈ N, x ∈ [−π, π],

(9)

Точное значение Ln неизвестно до сих пор. На основании (3) и (8) имеем оценку где τn =

sup x∈[−π,π]

|f (x) − Tn (x)| и Tn (x) — произвольный тригонометрический многочлен, deg Tn 6 n.

5.2.3. Теорема Дини–Липшица о равномерной сходимости ряда Фурье  Теорема 5.4. Если функция  f имеет период 2π и принадлежит классу Дини–Липшица на отрезке [−2π, 2π] то есть, lim ωf (δ) ln δ1 = 0 , то её ряд Фурье равномерно сходится на [−π, π] (и на всём R) к сумме f (x). δ→+0

 Применим формулу (9) к Tn (x) = A
n (f ; x) — многочленам Джексона. Тогда, по первой теореме Джексона, τn = max |f (x) − An (f ; x)| 6 6ωf n1 , и поэтому, x∈[−π,π]

  1 |sn (f ; x) − f (x)| 6 6ωf [4 + ln n], n ∈ N, x ∈ [−π, π], (x ∈ R). n

Так как

(10)

    1 1 1 lim 6ωf (4 + ln n) = lim 6ωf ln n = lim 6ωf (δ) ln = 0, n→+∞ n→+∞ δ→+0 n n δ

то из (10) следует, что sn (f ; x) ⇉ f (x) на [−π, π] (и на всём R).  Класс Дини–Липшица достаточно широк и в этом сказывается большое преимущество рядов Фурье перед рядами Тейлора. Теорема Дини–Липшица содержит окончательное (в терминах модуля непрерывности функции) условие равномерной сходимости ряда Фурье функции, так как можно построить функцию f , удовлетворяющую условию

f (−π) = f (π) с модулем непрерывности, имеющим на отрезке [−2π, 2π] порядок O 1/ ln 1δ , δ → +0, ряд Фурье которой расходится на множестве точек, всюду плотном на [−π, π].

5.3. Сходимость в среднем ряда Фурье 5.3.1. Сходимость в среднем функциональной последовательности Определение. Функциональная последовательность (fn (x)) сходится в среднем к функции f (x) на отрезке [a, b], b > a, если числовая последовательность (αn ), αn =

Zb a

2

[fn (x) − f (x)] dx > 0, n ∈ N,

— бесконечно малая; то есть, lim αn = 0. n→+∞

Утверждение. Если fn ∈ R[a, b], n ∈ N, и fn (x) ⇉ f (x) на [a, b], то (fn (x)) сходится к f (x) в среднем на [a, b].  В этом случаеq f ∈ R[a, b]. Рассмотрим произвольное число ε > 0 и найдём такое N ∈ N, N = N (ε), что ε sup |f (x) − fn (x)| < 2(b−a) для всех n > N . Тогда x∈[a,b]

αn =

Zb a

2

[fn (x) − f (x)] 6

Zb a

ε ε dx = < ε 2(b − a) 2

для всех n > N ; то есть, lim αn = 0.  n→+∞

Контрпример. Рассмотрим fn (x) = xn , x ∈ [0, 1], n ∈ N, и f (x) = 0, x ∈ [0, 1]. Тогда αn =

Z1

x2n dx =

0

и

1 , n ∈ N, 2n + 1

lim αn = 0. С другой стороны, (fn (x)) не сходится к функции f (x) на [0, 1], так как lim fn (1) = 1 6= 0 =

n→+∞

n→+∞

f (1).

91

5.3.2. Вспомогательное утверждение Лемма. Если функция f непрерывна на [a, b], b > a, и

Rb a

f 2 (x) dx = 0, то f (x) = 0, x ∈ [a, b].

 Если f (x0 ) 6= 0, x0 ∈ [a, b], то f 2 (x0 ) > 0 и существует ∆ = [x0 − δ, x0 + δ], δ > 0, что f 2 (x) > 0 для всех x ∈ ∆ ∩ [a, b] (поскольку f 2 непрерывна на [a, b]). Пусть ∆ ∩ [a, b] = ∆1 , длина |∆1 | > 0. Тогда Zb

f 2 (x) dx =

a

Z

f 2 (x) dx +

Z

f 2 (x) dx >

∆1

[a,b]\∆1

Z

f 2 (x) dx = f 2 (ξ) |∆1 | > 0.

∆1

 5.3.3. Свойство минимальности частных сумм ряда Фурье Пусть функция f ∈ R[−π, π] и sn (f ; x), n ∈ N — частная сумма ряда Фурье функции f , а Tn (x) — произвольный тригонометрический многочлен deg Tn 6 n. Рассмотрим In =

Zπ

−π

2

[f (x) − Tn (x)] dx = +2

Zπ

−π

Zπ

−π

2

[f (x) − sn (f ; x) + sn (f ; x) − Tn (x)] dx =

[f (x) − sn (f ; x)][sn (f ; x) − Tn (x)]2 dx +

Zπ

−π

Zπ

−π

[f (x) − sn (f ; x)]2 dx+

[sn (f ; x) − Tn (x)]2 dx = I1 + I2 + I3 . (1)

В формуле (1) числа I1 > 0, I3 > 0. Докажем, что I2 = 0. Функции f и sn (f ; x) имеют одинаковые коэффициенты Фурье для всех k = 0, n (см. параграф 1, пункт 1.1, следствие 2). Поэтому Zπ [f (x) − sn (f ; x)] cos kx dx = πak − πak = 0, k = 0, n, −π

Zπ

−π

и следовательно,

[f (x) − sn (f ; x)] sin kx dx = πbk − πbk = 0, k = 1, n, Zπ

−π

(2)

|f (x) − sn (f ; x)| πn (x) dx = 0

для любого тригонометрического многочлена πn (x), deg πn 6 n. В частности, (2) справедливо для sn (f ; x) − Tn (x) = tn (x), deg tn 6 n, и поэтому I2 = 0. Таким образом, доказана формула In =

Zπ

−π

2

[f (x) − Tn (x)] dx =

Zπ

−π

2

[f (x) − sn (f ; x)] dx +

Zπ

−π

[sn (f ; x) − Tn (x)]2 dx.

(3)

Теорема (минимальное свойство частных сумм ряда Фурье). Если функция f ∈ R[−π, π] и Tn (x) — произвольный тригонометрический многочлен с deg Tn 6 n, то Zπ

−π

2

[f (x) − sn (f ; x)] dx 6

Zπ

−π

[f (x) − Tn (x)]2 dx

(4)

и равенство в (4) достигается только для Tn (x) = sn (f ; x).  Неравенство (4) прямо следует из равенства (3). Знак равенства в (4) достигается только в случае, когда Rπ [sn (f ; x) − Tn (x)]2 dx = 0, что, согласно лемме из пункта 3.2, имеет место только в случае sn (f ; x) = Tn (x). 

−π

Следствие 5.2. Ряд Фурье функции f , непрерывной на отрезке [−π, π], сходится в среднем к f (x) на [−π, π]; то есть, Zπ lim [f (x) − sn (f ; x)]2 dx = 0. n→+∞ −π

92

 Выбирая в формуле (4) в качестве Tn (x) = Fn (f ; x) — многочлены Фейера функции f , равномерно сходящиеся к f (x) на [−π, π], и учитывая утверждение из пункта 3.1, заключаем, что предел интеграла в правой части формулы (4) равен нулю при n → +∞ (и следовательно, равен нулю и предел интеграла в левой её части).  5.3.4. Формула Бесселя Пусть функция f ∈ R[−π, π]. Вычислим I=

Zπ

−π

2

[f (x) − sn (f ; x)] dx =

Zπ

2

f (x) dx − 2

−π

Zπ

−π

[f (x) − sn (f ; x)]sn (f ; x) dx −

Zπ

s2n (f ; x) dx = I 1 + I 2 + I 3 .

−π

Как и в пункте 3.3, убеждаемся, что I 2 = 0. Поэтому, вспоминая, что sn (f ; x) и f (x) имеют одинаковые коэффициенты Фурье для всех k = 0, n, имеем

06I=

Zπ

2

f (x) dx−

−π

Zπ "

−π

откуда

# " # Zπ n n X a0 X a0 2 2 2 + (ak cos kx + bk sin kx) sn (f ; x) dx = f (x) dx− π a0 + π(ak + bk ) , 2 2

Zπ

−π

k=1

k=1

−π

2

[f (x) − sn (f ; x)] dx =

Zπ

−π

"

# n a20 X 2 2 f (x) dx − π + (ak + bk ) . 2 2

(5)

k=1

5.3.5. Неравенство Бесселя Теорема 5.5. Если функция f ∈ R[−π, π], то ∞

a20 X 2 1 + (an + b2n ) 6 2 π n=1 

Zπ

f 2 (x) dx.

(6)

f 2 (x) dx

(7)

−π

Так как левая часть в равенстве (5) неотрицательна, то n

1 a20 X 2 (ak + b2k ) 6 + 2 π k=1

Zπ

−π

для всех n ∈ N. Слева в (7) стоят частные суммы положительного ряда из формулы (6), который, в силу (7) и критерия сходимости положительных рядов, сходится и для его суммы справедливо неравенство (6).  5.3.6. Свойство коэффициентов Фурье интегрируемых функций Теорема 5.6. Если функция f ∈ R[−π, π], то её коэффициенты Фурье (an ) и (bn ) образуют бесконечно малые последовательности; то есть, lim an = lim bn = 0. n→+∞



Сходимость ряда в (6) влечёт свойство

n→+∞ lim (a2n n→+∞

+ b2n ) = 0. Так как 0 6 a2n 6 a2n + b2n и 0 6 b2n 6 a2n + b2n ,

то lim a2n = lim b2n = 0, откуда lim an = lim bn = 0.  n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

5.3.7. Уравнение замкнутости А.М. Ляпунова Теорема 5.7. Если функция f непрерывна на [−π, π] и f (−π) = f (π), то ∞

a20 X 2 1 + (an + b2n ) = 2 π n=1 

Zπ

f 2 (x) dx.

(8)

−π

Согласно (5) и свойству минимальности частных сумм ряда Фурье, 1 06 π

Zπ

−π

"

# Zπ Zπ n 2 X a 1 1 0 2 2 2 2 f (x) dx − + (ak + bk ) = [f (x) − sn (f ; x)] dx 6 [f (x) − Tn (x)]2 dx 2 π π k=1

−π

93

−π

(9)

для любого тригонометрического многочлена Tn (x), deg Tn 6 n. Выбирая в качестве Tn (x) = Fn (f ; x), n ∈ N, — многочлены Фейера функции f , и зная, что Fn (f ; x) ⇉ f (x) на Rπ [−π, π], а следовательно, по утверждению пункта 3.1, lim [f (x) − Fn (f ; x)]2 dx = 0, получаем на основании n→+∞ −π

(9) справедливость неравенства (8). 

Замечание. На самом деле, А.М. Ляпунов доказал равенство (8) для значительно более широкого класса функций, включающего в себя, в частности, множество R[−π, π]. 5.3.8. Единственность разложения в ряд Фурье Теорема 5.8. Если непрерывные на [−π, π] функции f и g, обладающие свойством f (−π) = f (π) и g(−π) = g(π), имеют одинаковые коэффициенты Фурье, то f (x) = g(x), x ∈ [−π, π].  Функция h(x) = f (x) − g(x) непрерывна на [−π, π] и h(−π) = h(π), и по условию, все коэффициенты Rπ 2 Фурье функции h равны нулю. Согласно (8), h (x) dx = 0, и h(x) = 0, x ∈ [−π, π] (по лемме пункта 3.2).  −π

Следствие. Если у функции f , непрерывной на [−π, π] и f (−π) = f (π), все коэффициенты Фурье равны нулю, то f (x) = 0, x ∈ [−π, π].

5.4. Теория Римана рядов Фурье 5.4.1. Лемма Римана Функцию f называют абсолютно интегрируемой на промежутке ha, bi, −∞ 6 a < b 6 +∞, если либо f ∈ Rb R[a, b], либо абсолютно сходится несобственный интеграл f (x) dx; то есть, сходится несобственный интеграл a

Rb a

|f (x)| dx.

Теорема 5.9. Для любой абсолютно интегрируемой на промежутке ha, bi функции f справедливо lim

p→+∞

Zb

f (x) sin px dx = lim

p→+∞

a



Zb

(1)

f (x) cos px dx = 0.

a

Пусть сначала f ∈ R[a, b]. Заметим, что для любых α, β ∈ R, α < β, и произвольного p > 0 β Z cos px dx = sin pβ − sin pα 6 2 p p

(2)

α

и

β Z sin px dx = cos pα − cos pβ 6 2 . p p

(3)

α

Докажем первое утверждение в (1). Прежде всего отметим, что функция f ограничена на [a, b]. Рассмотрим произвольное разбиение T : a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b отрезка [a, b] отрезками [xk−1 , xk ] = ∆k длины |∆k | = ∆xk = xk − xk−1 , k = 1, n, и обозначим mk = inf f (x), Mk = sup f (x), k = 1, n. Тогда x∈∆k

Zb a

f (x) sin px dx =

n X

Zxk

k=1x k−1

f (x) sin px dx =

n X

Zxk

k=1x k−1

x∈∆k

[f (x) − mk ] sin px dx +

n X

k=1

mk

Zxk

sin px dx,

xk−1

где, с учётом неравенства (3), n Zxk Zxk n n n X X X 2 2X |mk | sin px dx 6 |mk | = |mk | , p > 0, mk sin px dx 6 p p k=1 k=1 xk−1 k=1 xk−1 k=1

а также

n Zxk n Zxk n X X X [f (x) − mk ] sin px dx 6 |f (x) − mk | |sin px| dx 6 (Mk − mk )∆xk , k=1 k=1xk−1 k=1xk−1 94

так что неравенство

b Z X n n 2X f (x) sin px dx 6 (M − m )∆x + |mk | k k k p k=1 k=1

(4)

a

справедливо для любого разбиения T отрезка [a, b] и любого p > 0. Рассмотрим произвольное число ε > 0 и на основании третьего критерия интегрируемости функции f выберем такое разбиение Tε : a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b, чтобы n X ε (5) (Mk − mk )∆xk < , 2 k=1

и зафиксируем числа Mk , mk , k = 1, n, этого разбиения Tε . Тогда найдётся такое pε > 0, что n

n

k=1

k=1

2X ε 4X |mk | < для всех p > pε = |mk | . p 2 ε

(6)

На основании (4)–(6) заключаем, что b Z f (x) sin px dx < ε + ε = ε 2 2 a

для всех p > pε , или, что

lim

p→+∞

Zb

f (x) sin px dx = 0.

a

Рассмотрим теперь случай, когда абсолютно сходится несобственный интеграл

Rb

f (x) dx, и предположим

a

(для определённости), что он имеет особенность только на верхнем пределе b ∈ R. Тогда функция f ∈ R[a, t] Rt Rb Rt Rb для любого t, a < t < b, и lim f (x) dx = f (x) dx, и lim |f (x)| dx = |f (x)| dx. t→b−0 a

t→b−0 a

a

a

Поскольку 0 6 |f (x) sin px| 6 |f (x)| для всех x ∈ [a, b) и всех p ∈ R, то несобственный интеграл

Rb

f (x) sin px dx

a

также сходится абсолютно для всех p ∈ R. Рассмотрим произвольное число ε > 0 и укажем такое η, 0 < η < b−a, Rb чтобы |f (x)| dx < 2ε , так что неравенство b−η

Zb Zb Zb ε f (x) sin px dx 6 |f (x) sin px| dx 6 |f (x)| dx < 2 b−η b−η b−η

(7)

справедливо для всех p ∈ R. Кроме того, по свойству аддитивности несобственных интегралов, Zb a

b−η Z Zb f (x) sin px dx = f (x) sin px dx + f (x) sin px dx, a

и функция f ∈ R[a, b − η]. По доказанному, lim

(8)

b−η

b−η R

p→+∞ a

f (x) sin px dx = 0, и поэтому существует такое pε > 0, что

b−η Z ε < f (x) sin px dx 2 a

для всех p > pε > 0. На основании (7)–(9) заключаем, что b Z f (x) sin px dx < ε + ε = ε 2 2 a

95

(9)

для всех p > pε > 0, или, что lim

p→+∞

Zb

f (x) sin px dx = 0.

a

Аналогично рассматриваются остальные типы несобственных интегралов, а также доказывается второе утверждение теоремы.  5.4.2. Свойство коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемых функций Пусть функция f абсолютно интегрируема на промежутке h−π, πi. Тогда числа 1 an = π

Zπ

−π

f (x) cos nx dx, n ∈ N0 = N ∪ {0} ,

и 1 bn = π

Zπ

−π

f (x) sin nx dx, n ∈ N,

(10)

(11)

которые существуют согласно теореме предыдущего пункта, называются коэффициентами Фурье функции f и, по той же теореме, lim an = lim bn = 0 (база n → +∞ есть подбаза базы p → +∞). n→+∞

n→+∞

5.4.3. Частные суммы ряда Фурье абсолютно интегрируемых функций Пусть функция f абсолютно интегрируема на h−π, πi. Согласно (10) и (11), функции f сопоставляется её ряд Фурье ∞ a0 X f (x), x ∈ h−π, πi , ∼ + (an cos nx + bn sin nx), x ∈ R, 2 n=1

частные суммы sn (f ; x), n ∈ N, которого, как и в параграфах 2 и 3, вычисляется по формулам 1 sn (f ; x) = π

Zπ

−π


sin n + 21 (t − x) dt, n ∈ N f (t) 2 sin t−x 2

(12)

(на основании свойства линейности определённых и несобственных интегралов). Рассмотрим новую функцию f ∗ (x), x ∈ [−π, π], положив f ∗ (x) = f (x), x ∈ (−π, π), и f ∗ (−π) = f ∗ (π), если f ∈ R[−π, π]. Поскольку интеграл Римана не «замечает» конечного множества точек отрезка интегрирования, то Zπ

f (x)g(x) dx =

−π

Zπ

f ∗ (x)g(x) dx

−π

для любой функции g ∈ R[−π, π], и поэтому, в частности, sn (f ; x) = s(f ∗ ; x). Поскольку функция f ∗ продолжается на всё R как 2π–периодическая функция, то так же, как и в параграфе 1, доказывается лемма, по которой π+x Z Zπ ∗ f (t) dt = f ∗ (t) dt −π+x

−π

для любого x ∈ R, и поэтому, аналогично формуле (5) из параграфа 1, имеем 1 sn (f ; x) = π ∗

Zπ

−π



Zπ sin n + 12 y sin n + 21 t 1 ∗ ∗ f (x + y) dy = [f (x + t) + f (x − t)] dt. 2 sin y2 π 2 sin 2t ∗

0

Так как sn (f ∗ ; x) = sn (f ; x), n ∈ N0 , то sn (f ; x) =

1 π

Zπ 0

[f (x + t) + f (x − t)]

96


sin n + 12 t dt, n ∈ N0 . 2 sin 2t

(13)

5.4.4. Принцип локализации Пусть функция f абсолютно интегрируема на h−π, πi. Рассмотрим произвольное δ > 0 и запишем формулу (13) в виде 1 sn (f ; x) = π

Zδ 0



Zπ sin n + 12 t sin n + 21 t 1 [f (x + t) + f (x − t)] dt + [f (x + t) + f (x − t)] dt = σn (f ; x, δ) + rn (f ; x, δ). π 2 sin 2t 2 sin 2t δ

(14) Функция непрерывна на [δ, π], и следовательно, функция абсолютно интегрируема по t на hδ, πi, δ > 0, для любого фиксированного x ∈ (−π, π). Поэтому по лемме Римана, lim rn (f ; x, δ) = 0. Таким f (x+t)+f (x−t) 1 2 sin 2t

1 sin 2t

n→+∞

образом, формула (14) показывает, что для каждого δ > 0 и каждого x ∈ (−π, π) последовательности (sn (f ; x)) и (σn (f ; x, δ)) сходятся или расходятся одновременно. Теорема Римана. Для любой абсолютно интегрируемой на h−π, πi функции f поведение её ряда Фурье в любой точке x ∈ (−π, π) (то есть, его сходимость или расходимость в точке x) зависит исключительно от значений, принимаемых функцией f в сколь угодно малой окрестности точки x. Следствие. Если функция f абсолютно интегрируема на h−π, πi и f (x) = 0 в некотором интервале (α, β), содержащемся в h−π, πi, то её ряд Фурье сходится к 0 = f (x) в каждой точке x ∈ (α, β).  Фиксируем x ∈ (α, β) и выберем δ = min(x − α, β − x), δ > 0. Тогда (x − δ, x + δ) ⊂ (α, β) и f (t) = 0, t ∈ (x − δ, x + δ). Поэтому, σn (f ; x, δ) = 0 в формуле (14) и lim sn (f ; x) = 0 = f (x).  n→+∞

Следствие. Если функции f и g абсолютно интегрируемы на h−π, πi и f (x) = g(x) на некотором интервале (α, β) из h−π, πi, то ряды Фурье функций f и g сходятся или расходятся одновременно, и в случае сходимости имеют на (α, β) одинаковые суммы.  Функция h(x) = f (x) − g(x) абсолютно интегрируема на h−π, πi на основании свойства линейности определённого и несобственного интегралов и h(x) = 0, x ∈ (α, β). На том же основании и по определению (12), 1 sn (f ; x) − sn (g; x) = π

Zπ

−π


sin n + 12 (t − x) [f (x + t) − g(x + t)] dt = sn (f − g; x) = sn (h; x). 2 sin t−x 2

Согласно предыдущему следствию,

lim sn (h; x) = 0 = h(x) для всех x ∈ (α, β), так что

n→+∞

sn (g; x)] = 0 для всех x ∈ (α, β), и доказательство завершено. 

lim [sn (f ; x) −

n→+∞

5.4.5. Признак Дини сходимости ряда Фурье в точке и его следствия Укажем достаточные условия сходимости ряда Фурье абсолютно интегрируемой на h−π, πi функции f в точках интервала (−π, π). Для этого фиксируем произвольную точку x0 ∈ (−π, π) и рассмотрим в ней частные суммы sn (f ; x0 ) ряда, используя полученные для них в пункте 4.3 интегральные выражения (13), так что 1 sn (f ; x0 ) = π

Zπ 0


sin n + 12 t [f (x0 + t) + f (x0 − t)] dt. 2 sin 2t

(13′ )

Поскольку у функции f (x) ≡ 1 все sn (f ; x) ≡ 1, то из (13) (или из (13’)) следует, что 2 1= π

Zπ 0


sin n + 12 t dt. 2 sin 2t

Умножая обе части этого равенства на постоянное s0 — предполагаемую сумму ряда в x0 , точное значение которой мы установим ниже, и вычитая из (13’), найдём 1 sn (f ; x0 ) − s0 = π

Zπ 0


sin n + 12 t ϕ(t) dt, 2 sin 2t

(15)

где для краткости положено ϕ(t) = f (x0 + t) + f (x0 − t) − 2s0 .

(16)

Если мы хотим установить, что s0 действительно является суммой ряда, то для этого нужно доказать, что интеграл в (15) при n → +∞ стремится к нулю. Обратимся к выбору самого числа s0 . В практических приложениях важны два случая, когда 97

• (a) функция f непрерывна в точке x0 ; • (б) f имеет в этой точке разрыв первого рода (скачок), так что оба предела f (x0 +0) и f (x0 −0) существуют. Поэтому, ограничим себя только этими двумя случаями и положим • в случае (а): s0 = f (x0 ); • в случае (б): s0 =

f (x0 +0)+f (x0 −0) . 2

Впрочем, эти суммы можно не различать, если в точке x0 , где налицо разрыв первого рода, выполнено (x0 −0) равенство f (x0 ) = f (x0 +0)+f . Точки, где это условие соблюдено, иногда называют регулярными. 2 Отметим, что так как lim f (x0 ± t) = f (x0 ), (а) t→+0

или (б )

lim f (x0 ± t) = f (x0 ± 0),

t→+0

смотря по случаю, то при указанном выборе числа s0 всегда имеем lim ϕ(t) = 0. t→+0

Имея это в виду, сформулируем теперь признак Дини. Признак Дини. Ряд Фурье функции f в точке x0 сходится к сумме s0 , если при некотором h > 0 несобRh dt сходится. ственный интеграл |ϕ(t)| t 0



При этом предположении сходится и интеграл

Rπ |ϕ(t)| t

0

1 sn (f ; x0 ) − s0 = π

Zπ 0

dt. Если переписать формулу (15) в виде

  ϕ(t) 12 t 1 sin n + t dt, t sin 2t 2

то непосредственно по лемме Римана ясно, что при n → +∞ интеграл в правой части стремится к нулю, так  1 t ϕ(t) ϕ(t) 12 t как функция t , а с нею и t sin t , абсолютно интегрируемы на h−π, πi существует lim sin2 t = 1 .  t→0

2

2

В развёрнутом виде интеграл Дини записывается в виде: в случае (а):

Zh

|f (x0 + t) + f (x0 − t) − 2f (x0 )| dt, t

0

в случае (б):

Zh

|f (x0 + t) + f (x0 − t) − f (x0 + 0) − f (x0 − 0)| dt, t

0

и следовательно, достаточно предположить существование порознь интегралов (смотря по случаю) Zh

|f (x0 + t) − f (x0 )| dt и t

0

или

Zh

Zh

|f (x0 − t) − f (x0 )| dt t

Zh

|f (x0 − t) − f (x0 − 0)| dt. t

(17)

0

|f (x0 + t) − f (x0 + 0)| dt и t

0

0

Отсюда можно получить ряд частных признаков, используя различные известные признаки существования интегралов. Ограничиваясь случаем (а), укажем нижеследующий признак. Признак Липшица. Ряд Фурье функции f сходится в точке x0 , где она непрерывна, к сумме f (x0 ), если для достаточно малых t > 0 выполняется неравенство |f (x0 ± t) − f (x0 )| 6 L · tα , в котором L и α — положительные постоянные и α 6 1. (x0 )  В случае α = 1 имеем f (x0 ±t)−f 6 L, так что интегралы (17) существуют как собственный (см. t материал второго семестра). Если же 0 < α < 1, то f (x0 ± t) − f (x0 ) 6 L , t1−α t 98

и так как справа стоит интегрируемая функция, то интегралы (17) существуют, как несобственные.  В частности, условие Липшица при α = 1 заведомо будет выполняться, если у функции f в точке x0 существует конечная производная f ′ (x0 ) или, по крайней мере, конечные односторонние производные f (x0 + t) − f (x0 ) f (x0 − t) − f (x0 ) , D− f (x0 ) = lim , t→+0 t→+0 t −t

D+ f (x0 ) = lim

хотя бы и различные между собой («угловая точка»). Таким образом, в точке x0 , где функция дифференцируема, или, по крайней мере, имеет обе конечные односторонние производные, ряд Фурье сходится, причём сумма его равна f (x0 ). Нетрудно перефразировать признак Липшица и для случая (б). Как частное следствие отсюда, получим здесь, что в точке x0 разрыва первого рода для сходимости ряда Фурье достаточно предположить существование конечных пределов f (x0 + t) − f (x0 + 0) f (x0 − t) − f (x0 − 0) , lim ; lim t→+0 t→+0 t −t причём на этот раз суммой ряда будет

f (x0 +0)+f (x0 −0) . 2

5.5. Теория Дирихле рядов Фурье 5.5.1. Лемма Дирихле Теорема 5.10. Если функция g возрастает и ограничена на (0, h] для некоторого h > 0, то lim

p→+∞

Zh

g(t)

sin pt π dt = g(+0) , t 2

(1)

0

где g(+0) = lim g(t). t→+0

 На основании свойств монотонности и ограниченности функции g на (0, h] следует существование одностороннего предела lim g(t) = g(+0) = inf g(t), а с учётом того, что lim sint pt = p для любого p ∈ R — и t→+0

t→0

t∈(0,h]

существование интеграла в (1). Представим его в виде суммы двух интегралов g(+0)

Zh

sin pt dt + t

0

Zh 0

[g(t) − g(+0)]

sin pt dt. t

Если первый из них с помощью подстановки pt = z, p > 0, преобразовать к виду g(+0)

(2)

ph R 0

ясно, что при p → +∞ он стремится к

π 2 g(+0),

ибо

+∞ R 0

sin z z

dz =

π 2.

sin z z

dz, то сразу

Таким образом, весь вопрос сводится к

доказательству того, что второй из интегралов (2) стремится к нулю. Для произвольного числа ε > 0 найдём такое δ > 0 (можно считать δ < h), что 0 6 g(t) − g(+0) < ε для 0 < t 6 δ. Разобьём теперь упомянутый только что интеграл на два.  δ  Z Zh  +  [g(t) − g(+0)] sin pt dt = I1 + I2 . t 0

δ

К интегралу I1 применим вторую теорему о среднем (в форме формулировки Бонне) и получим, что I1 = [g(δ) − g(+0)]

Zδ

sin pt dt = [g(δ) − g(+0)] t

ξ

Zδp

sin z dz, z

ξp

где 0 6 ξ < δ и p > 0. Первый множитель < ε, а второй равномерно ограничен при всех значениях p > +∞ R sin z 0. Действительно, из сходимости несобственного интеграла z dz следует, что непрерывная (при x > 0) 0

99

функция

Rx sin z 0

x,

z

dz аргумента x, имеющая при x → +∞ конечный предел, будет ограничена при всех значениях x Z sin z 6 L (L = const), dz z 0

так что

Zδp Zδp Zξp sin z sin z sin z , dz = dz − dz 6 2L. z z z 0

ξp

0

Итак, для интеграла I1 имеем независимо от p > 0 оценку |I1 | < 2Lε. Что касается интеграла I2 , то при p → +∞ (и фиксированном δ) он стремится к нулю по лемме Римана, так как множитель при sin pt есть интегрируемая в собственном смысле функция (ведь t > δ > 0). Этим завершается доказательство теоремы.  5.5.2. Признак Дирихле–Жордана сходимости ряда Фурье в точке Теорема 5.11. Если функция f ∈ R[−π, π], f (−π) = f (π), и для точки x0 ∈ (−π, π) можно указать h > 0, что [x0 − h, x0 + h] ⊂ (−π, π) и на [x0 − h, x0 + h] функция f имеет ограниченное изменение, то её ряд Фурье сходится в точке x0 к сумме f (x0 ) (если f непрерывна в x0 ) и к сумме 12 [f (x0 + 0) + f (x0 − 0)] (если f имеет разрыв в x0 ).  По условию теоремы и теореме Жордана, f (x) = f1 (x) − f2 (x) на [x0 − δ, x0 + δ] и функции fi , i = 1, 2 — возрастающие. Поэтому, пределы f (x0 ± 0) существуют в каждой точке x ∈ (x0 − h, x0 + h); в частности, существуют f (x0 ± 0). Далее, 1 sn (f ; x0 ) = π

Zh 0



Zπ sin n + 12 t sin n + 12 t 1 dt + dt = In1 + In2 . [f (x0 + t) + f (x0 − t)] [f (x0 + t) + f (x0 − t)] π 2 sin 2t 2 sin 2t

(3)

h

Согласно лемме Римана, lim I 2 n→+∞ n

1 = lim n→+∞ π

Zδ h

Запишем In1 в виде In1

1 = π

Zh

  1 1 [f (x0 + t) + f (x0 − t)] sin n + t dt = 0. 2 2 sin 2t

[f (x0 + t) + f (x0 − t)]

0

t 2

sin

t 2

sin n + t

1 2




t

(4)

(5)

dt.

Функция f (x0 +t)+f (x0 −t) имеет ограниченное изменение на [0, h], как сумма функций ограниченной вариации. t t Функция sin2 t → 1 при t → 0, sin2 t > 1, t ∈ [0, h], и она возрастает и ограничена на [0, h]. Поэтому, функция 2

2

t

g(t) = [f (x0 + t) + f (x0 − t)] sin2 t имеет ограниченное изменение на [0, h] и g(t) = g1 (t) − g2 (t), где функции gi , 2

i = 1, 2, возрастают на [0, h]. По определению g(+0) = g1 (+0)−g2(+0) = f (x0 +0)+f (x0 −0), так как lim

t 2

t→0 sin

t 2

= 1.

Итак, в новых обозначениях интеграл (5) принимает вид In1

1 = π

Zh 0

sin n + [g1 (t) − g2 (t)] t

По лемме Дирихле 1 lim n→+∞ π

Zh

gi (t)

sin n + t

0

1 2




t

dt =

1 2




t

dt.

(6)

1π 1 gi (+0) = gi (+0), i = 1, 2, π2 2

и следовательно, на основании (6) имеем lim I 1 n→+∞ n

=

1 1 f (x0 + 0) + f (x0 − 0) [g1 (+0) − g2 (+0)] = g(+0) = . 2 2 2 100

(7)

Объединяя (3), (4) и (7), получим, что lim sn (f ; x0 ) =

n→+∞

f (x0 + 0) + f (x0 − 0) , 2

откуда и следует утверждение теоремы.  5.5.3. Кусочно–монотонные функции Определение. Функция f , определённая на [a, b], a < b, называется кусочно–монотонной на [a, b], если [a, b] можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых она монотонна. Лемма. Любая ограниченная кусочно–монотонная на отрезке функция имеет на нём ограниченное изменение.  Пусть функция f ограничена и кусочно–монотонна на отрезке [a, b], так что существует разбиение a 6 x1 < x2 < . . . < xm 6 b, что функция f монотонна на промежутках hxl , xl+1 i, l = 1, m − 1, и [a, x1 i hxm , b], а следовательно, имеет на каждом из них ограниченную вариацию. Рассмотрим произвольное разбиение T : a = x0W< x1 < .W . . < xn−1 < xn = b отрезка [a, b] и образуем T ′ = T ∪ {x1 , . . . , xm }. Тогда вариация W ′ (f ; T ) 6 (f ; T ) и (f ; T ′ ) 6 C, где C равно сумме полных вариаций функции f по всем указанным выше b W W промежуткам. Поэтому, f = sup (f ; T ) T 6 C.  a

Первоначально сформулированные самим Дирихле условия разложимости функции в ряд Фурье носили более частный характер. Именно, им доказан нижеследующий признак. Признак Дирихле. Если функция f периода 2π кусочно–монотонна на отрезке [−π, π] и имеет в нём не более, чем конечное число точек разрыва первого рода, то её ряд Фурье сходится к сумме f (x0 ) в каждой точке (x0 −0) в каждой точке разрыва. непрерывности f и к сумме f (x0 +0)+f 2  Согласно лемме, это — частный случай теоремы пункта 5.2.  5.5.4. Взаимоотношение признаков Дини и Дирихле–Жордана

Можно сказать, что они несравнимы между собой ; то есть, не вытекают один из другого. Рассмотрим сначала функцию f на [−π, π], заданную в виде ( 1 |x| , если x 6= 0, f (x) = ln 2π 0, если x = 0. Эта функция непрерывна и кусочно–монотонна, и значит, удовлетворяет условию Дирихле. В то же время интеграл Дини, относящийся к точке x = 0, Zh

|f (t) + f (−t) − 2f (0)| =2 t

0

Zh 0

dt t t ln 2π

расходится при любом h > 0. С другой стороны, для определённой на [−π, π] функции ( π x cos 2x , если x 6= 0, f (x) = 0, если x = 0, π в точке x = 0 выполнено условие Липшица |f (x) − f (0)| = x cos 2x 6 |x| , а следовательно, и условие Дини. Однако эта функция ни в какой окрестности точки x = 0 не имеет ограниченного изменения. Действительно, рассмотрим, например, отрезок [0, 1]. Если рассмотреть разбиение T ′ этого отрезка точками 1 1 0 < 2n < 2n−1 < . . . < 13 < 12 < 1, то _ 1 1 1 1 1 (f ; T ) = cos πn − 0 + sin πn − cos πn + cos π(n − 1) − sin πn + . . . + 2n 2n − 1 2n 2n − 2 2n − 1 π 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 1 cos − cos π = + + + +. . .+ + = 1+ +. . .+ = ln(n+1)+c−αn , lim αn = 0, n→+∞ 2 2 2n 2n 2n − 2 2n − 2 2 2 2 n

так что

1 W 0

f = sup

W (f ; T ) T = +∞.

101

5.6. Ряды Фурье гладких функций 5.6.1. Связь между коэффициентами Фурье функции и её производных f

Определение. Функцию f отнесём к множеству R(k) [−π, π], k ∈ N, если у неё существует производная (x), x ∈ [−π, π], f (k) ∈ R[−π, π] и f (l) (−π) = f (l) (π) для всех l = 0, k − 1; f (0) = f .

(k)

(l)

(l)

Рассмотрим коэффициенты Фурье an , bn функции f и обозначим an , bn , n ∈ N — коэффициенты Фурье функции f (l) , l = 1, k. Тогда πan =

Zπ

−π



sin nx f (x) cos nx dx = f (x) n

π

−π

1 − n

Zπ

−π

1 f ′ (x) sin nx dx = −b(1) π; n n

то есть,

1 an = − b(1) , n ∈ N0 . n n Аналогично, с учётом равенства f (−π) = f (π) и чётности функции cos x, πbn =

Zπ

−π

h

cos nx iπ 1 f (x) sin nx dx = −f (x) + n n −π

то есть, bn =

Zπ

f ′ (x) cos nx dx =

−π

1 (1) πa ; n n

1 (1) a , n ∈ N. n n (1)

(1)

Если применить эти формулы к коэффициентам an , bn , n ∈ N, то получим an = −

1 1 (2) a , bn = − 2 b(2) , n ∈ N. n2 n n n

Продолжая этот процесс, мы получим (по индукции) соответствующие формулы, в которых необходимо различать случаи чётного и нечётного числа k. Именно, (k)

при k = 2m : an = (−1)m

(k)

an bn , bn = (−1)m k , n ∈ N, k n n (k)

при k = 2m − 1 : an = (−1)m

(1a)

(k)

bn an , bn = (−1)m−1 k , n ∈ N. nk n

(1b)

5.6.2. Почленное дифференцирование ряда Фурье Лемма. Коэффициенты Фурье an , bn функции f , принадлежащей множеству R(k+1) [−π, π], k ∈ N, обла∞ P дают свойством сходимости ряда nk (|an | + |bn |). n=1



Согласно формулам (1a), (1b),

|an | + |bn | =

1 nk+1

откуда nk (|an | + |bn |) = Так как

(k+1) an n

то на основании (2) имеем

1 6 2

  (k+1) (k+1) an + bn , n ∈ N, (k+1) an n

+

(k+1) bn n

, n ∈ N.

(2)

  b(k+1)   2 n 1 1 (k+1) 2 1 (k+1) 6 an + 2 , bn + 2 , n n 2 n

nk (|an | + |bn |) 6

1 2

  1 (k+1) 2 (k+1) 2 an + bn + 2 , n ∈ N. n

Поскольку f (k+1) ∈ R[−π, π], то, по неравенству Бесселя, сходится ряд

Zπ ∞   X 1 (k+1) 2 (k+1) 2 (k+1) 2 (x) dx, an + bn 6 f π n=1 −π

102

(3)

а также сходится ряд

P

1 n2 .

Поэтому, согласно (3), сходится ряд

∞ P

n=1

nk (|an | + |bn |) . 

Теорема 5.12. Ряд Фурье любой функции f из R(k+1) [−π, π], n ∈ N, можно почленно дифференцировать k раз и продифференцированный ряд абсолютно и равномерно сходится на [−π, π] к сумме f (k) (x).  Любая функция f из R(k+1) [−π, π], согласно определению, имеет непрерывную f ′ на [−π, π], и следовательно, по теореме Лагранжа о конечных приращениях, функция f удовлетворяет условию Липшица на [−π, π]. Поэтому, по теореме Дини–Липшица, f (x) =

∞

a0 X + (an cos nx + bn sin nx), x ∈ [−π, π], 2 n=1

(4)

и ряд в (4) равномерно сходится на [−π, π]. Его формальное почленное дифференцирование k раз приводит к ряду ∞  h  X π i π + bn sin nx + k . (5) nk an cos nx + k 2 2 n=1 Поскольку оценка

h   π π i k + bn sin nx + k n an cos nx + k 6 nk (|an | + |bn |) , n ∈ N, 2 2 ∞ P справедлива для всех x ∈ [−π, π] (всех x ∈ R) и, согласно лемме, сходится ряд nk (|an | + |bn |), то по приn=1

знаку Вейерштрасса ряд (5) сходится абсолютно и равномерно на [−π, π]. Поэтому, по теореме о почленном дифференцировании функциональных рядов, суммой ряда (5) будет функция f (k) (x).  5.6.3. Почленное интегрирование ряда Фурье Теорема 5.13. Если функция f непрерывна на [−π, π] и ∞

a0 X + (an cos nx + bn sin nx) 2 n=1

— её ряд Фурье, то Zt

f (x) dx

0

=

Zt 0

t

∞ Z X a0 dt + (an cos nx + bn sin nx) dx 2 n=1

=

0

(6)

 ∞  X a0 an bn t + sin nt + (1 − cos nt) (7) 2 n n n=1

для любого t ∈ [−π, π] и ряд (7) равномерно сходится на [−π, π].  Рассмотрим функцию F (t), Zt  a0  F (t) = f (x) − dx, t ∈ [−π, π]. 2

(8)

0

Функция F (t) непрерывна на [−π, π], имеет производную F ′ (t) = f (t) − a20 , непрерывную на [−π, π], и следовательно, функция F (t) принадлежит классу Липшица на [−π, π] (по теореме Лагранжа о конечных приращениях). Кроме того, Zπ  a0  f (x) − F (π) − F (−π) = dx = πa0 − πa0 = 0; 2 −π

то есть, F (−π) = F (π). Поэтому, по теореме Дини–Липшица, F (t) = где 1 An = π

Zπ

−π



∞

A0 X + (An cos nt + Bn sin nt), t ∈ [−π, π], 2 n=1

1 F (t) cos nt dt = F (t) sin nt πn

π

1 − π πn

Zπ

−π

1 F (t) sin nt dt = − πn ′

103

(9)

Zπ h a0 i 1 f (t) − sin nt dt = − bn , n ∈ N, 2 n

−π

(10)

и, с учётом равенства F (−π) = F (π) и чётности функции cos x, 1 Bn = π

Zπ

−π



1 F (t) sin nt dt = − F (t) cos nt πn

π

1 + πn π

Zπ h a0 i 1 f (t) − cos nt dt = an , n ∈ N, 2 n

(11)

−π

а ряд (9) равномерно сходится на [−π, π]. Положив t = 0 в (9), получим, с учётом (8) и (10), что 0=

∞

∞

A0 X A0 X bn + An = − , 2 2 n n=1 n=1

откуда

∞ X A0 bn = . 2 n n=1

(12)

Подставляя формулы (10)–(12) в представление (9), приходим к разложению F (t) =

∞  X an

n=1

n

sin nt +

 bn (1 − cos nt) , t ∈ [−π, π], n

которое с учётом (8) равносильно (7).  5.6.4. Поведение коэффициентов ряда Фурье функции ограниченной вариации Теорема 5.14. Если функция f имеет ограниченную вариацию на [−π, π], то для её коэффициентов Фурье

справедливы асимптотики an = O n1 , n → +∞, и bn = O n1 , n → +∞.  Так как f = f1 − f2 и fi , i = 1, 2, возрастают на [−π, π], то f ∈ R[−π, π]. Поэтому 1 an = n

Zπ

1 f (x) cos nx dx = π

−π

Zπ

−π

f (x)d



sin nx n





1 sin nx = f (x) π n

π

1 − π −π

Zπ

−π

sin nx 1 d(f (x)) = − n πn

Zπ

sin nxd(f (x)),

−π

(13)

где последний интеграл рассматривается как интеграл Стилтьеса. Аналогично, 1 bn = π

Zπ

−π

Zπ Zπ 1h cos nx iπ 1 (−1)n 1 f (x) sin nx dx = −f (x) + cos nxd(f (x)) = [f (−π)−f (π)]+ cos nxdf (x). π n πn πn −π πn −π

−π

(14)

Согласно оценке модуля интеграла Стилтьеса и на основании (13) и (14), справедливы оценки |an | 6 и

π π _ 1 1 _ max |sin nx| f = f, πn x∈[−π,π] πn −π −π

(15a)

π π _ 1 1 1 1 _ |f (π) − f (−π)| + max |cos nx| f = |f (π) − f (−π)| + f. (15b) πn πn x∈[−π,π] πn πn −π −π

Таким образом, неравенства (15a) и (15b) означают, что an = O n1 , n → +∞, и bn = O n1 , n → +∞.  π 1 W Замечание. Если дополнительно предположить, что f (−π) = f (π), то |bn | 6 πn f, n ∈ N.

|bn | 6

−π

5.6.5. Оценка остатка ряда Фурье

Теорема 5.15. Если функция f ∈ R(k) [−π, π], f (k) (−π) = f (k) (π), k ∈ N, и произвольная f (k) (x) имеет ограниченное изменение на [−π, π], то остаток Rn (f ; x) ряда Фурье функции f имеет равномерную оценку π W |Rn (f ; x)| 6 nvkk для всех x ∈ [−π, π], в которой vk = f (k) . −π

104

 Так как всякая функция ограниченной вариации на отрезке ограничена на нём, то функция f (k) ограничена на [−π, π], и следовательно, как ив доказательстве теоремы пункта 6.2, заключаем, что f удовлетворяет условию Липшица на [−π, π]. Поэтому, по теореме Дини–Липшица, ряд Фурье функции f равномерно сходится на [−π, π] к сумме f (x) и справедлива формула (4). Тогда Rn (f ; x) = f (x) − sn (f ; x) = и |Rn (f ; x)| 6 (k)

∞ X

(am cos mx + bm sin mx), x ∈ [−π, π], n ∈ N,

m=n+1

∞ X

m=n+1

(16)

(|am | + |bm |) , x ∈ [−π, π], n ∈ N.

(k)

Если an , bn — коэффициенты Фурье функции f (k) (x), то согласно формулам (1a) и (1b), |am | + |bm | =

1  (k) (k)  am + bm . mk

(17)

Воспользуемся теперь оценками (15a) и (15b). Поскольку f (k) (x) имеет ограниченную вариацию на [−π, π] и f (k) (−π) = f (k) (π), то, с учётом замечания из пункта 6.4,

Согласно (16)–(18),

π π 1 _ (k) 1 1 _ (k) 1 (k) f = vk , b(k) 6 f = vk , m ∈ N. am 6 m πm −π πm πm −π πm

(18)

  ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 1 2 1 1 |Rm (f ; x)| 6 vk + k+1 = vk < vk . k+1 π m=n+1 mk+1 m π m=n+1 mk+1 m m=n+1 Так как

∞ X

1 1 < k, k+1 m n m=n+1 то окончательно,

π

|Rn (f ; x)| <

_ vk , v = f (k) . k nk −π



5.7. Преобразование Фурье 5.7.1. Определение интеграла Фурье На протяжении всего этого параграфа считаем функцию f абсолютно интегрируемой на (−∞, ∞). Тогда на (−∞, ∞) определены функции 1 a(z) = π 1 b(z) = π поскольку

+∞ Z f (u) cos zu du, z ∈ (−∞, +∞),

(1)

+∞ Z f (u) sin zu du, z ∈ (−∞, +∞),

(2)

−∞

−∞

(3)

|f (u) cos zu| 6 |f (u)| , |f (u) sin zu| 6 |f (u)| для всех u ∈ (−∞, +∞) и всех z ∈ (−∞, +∞) и сходится несобственный интеграл

+∞ R

−∞

|f (u)| du. Более того,

неравенства в (3) показывают, что несобственные интегралы (1) и (2) сходятся не только абсолютно, но и равномерно для z ∈ (−∞, +∞), а потому, функции a(z) и b(z) непрерывны на (−∞, +∞) (функции cos zu и sin zu непрерывны как функции двух переменных на R2 = (−∞, +∞) × (−∞, +∞)).

105

Для произвольного x ∈ R обозначим +∞ +∞ +∞ Z Z Z 1 Φf (x) = [a(z) cos xz + b(z) sin xz] dz = dz [f (u) cos zu cos xz + f (u) sin zu sin xz] du = π 0

−∞

0

1 = π

+∞ Z 0

+∞ Z dz f (u) cos z(u − x) du

(4)

−∞

и поставим задачу указать условия, при которых проделанные выше операции справедливы и несобственные интегралы определяют некоторую функцию Φf (x) аргумента x ∈ (−∞, +∞). 5.7.2. Предварительная формула Фиксируем x ∈ (−∞, +∞) и рассмотрим 1 J (A, x) = π

ZA 0

+∞ Z dz f (u) cos z(u − x) du, A ∈ (0, +∞).

(5)

−∞

Так как |f (u) cos z(u − x)| 6 |f (u)| для всех (x, z, u) ∈ R3 и функция cos z(u − x) непрерывна (как функция трёх переменных) на всём R3 , то несобственный интеграл +∞ Z f (u) cos z(u − x) du = g1 (x, z)

(6)

−∞

абсолютно и равномерно сходится для всех (x, z) ∈ R2 , а функция g1 (x, z) непрерывна по x ∈ (−∞, +∞) и по z ∈ (−∞, +∞). Поэтому J (A, x) определена на множестве (0, +∞) × (−∞, +∞) и lim J (A, x) = Φf (x), A→+∞

x ∈ (−∞, +∞), если предел существует. Прежде чем рассматривать вопрос о существовании предела, отметим, что в силу равномерной сходимости несобственного интеграла (6) по x ∈ (−∞, +∞) и по z ∈ (−∞, +∞) в интеграле формулы (6) можно поменять порядок интегрирования и получить формулу 1 J (A, x) = π

+∞ +∞ +∞ Z ZA Z Z u − x = t 1 1 sin A(u − x) sin At f (u) du cos z(u − x) dz = f (u) du = = f (x + t) dt = du = dt π u−x π t

−∞

−∞

0

−∞

+∞ Z sin At 1 = [f (x + t) − f (x − t)] dt, (7) π t 0

в которой использованы свойство аддитивности несобственного интеграла и чётность функции

sin At t .

5.7.3. Признаки сходимости интеграла Фурье Теорема 5.16. (признак Дирихле–Жордана). Если функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и на некотором отрезке [a, b], a < b, имеет ограниченное изменение, то в каждой точке x ∈ (a, b] справедливо равенство +∞ +∞ Z Z 1 f (x + 0) + f (x − 0) dz f (u) cos z(u − x) du = . (8) π 2 0

−∞

Если, дополнительно, x — регулярная точка для f (в частности, если x — точка непрерывности f ), то f (x) =

1 π

+∞ Z 0

dz

+∞ Z f (u) cos z(u − x) du

−∞

и выражение (9) называют формулой Фурье.

106

(9)

 Числа f (x − 0) и f (x + 0) существуют, так как на [a, b] функция f представима в виде разности возрастающих функций, а они имеют односторонние пределы в каждой точке x ∈ (a, b). Выберем h > 0 таким, чтобы [x − h, x + h] содержался в (a, b) и представим интеграл (7) в виде 1 J (A, x) = π

Zh 0

sin At 1 [f (x + t) + f (x − t)] dt + t π

+∞ Z 1 [f (x + t) + f (x − t)] sin At dt = I1 (A) + I2 (A). t

(10)

h

По лемме Римана, (11)

lim I2 (A) = 0.

A→+∞

На основании леммы Дирихле, таким же образом, как и в доказательстве признака Дирихле–Жордана сходимости ряда Фурье (пункт 5.5.2), убеждаемся, что 1 lim I1 (A) = lim A→+∞ A→+∞ π

Zh 0

[f (x + t) + f (x − t)]

sin At 1 π f (x + 0) + f (x − 0) dt = [f (x + 0) + f (x − 0)] · = . (12) t π 2 2

Утверждение (8) следует теперь непосредственно из (10)–(12) и свойства формулы (4). Формула (9) — прямое следствие формулы (8). 

lim J (A, x) = Φf (x) с учётом

A→+∞

Теорема 5.17. (признак Дини). Пусть абсолютно интегрируемая на (−∞, +∞) функция f имеет в точке x ∈ (−∞, +∞) односторонние пределы f (x − 0), f (x + 0) и ϕ(t) = f (x + t) + f (x − t) − (f (x + 0) + f (x − 0)). Если существует h > 0 такое, что несобственный интеграл Zh

|ϕ(t)| dt — интеграл Дини, t

0

сходится, то справедлива формула (8).  Так как +∞ +∞ Z Z sin At π 2 sin At dt = sgn A и 1 = dt, если A > 0, t 2 π t 0

то, обозначая s =

1 2 [f (x

0

+ 0) + f (x − 0)], имеем 1 s= π

+∞ Z sin At 2s dt, A > 0, t 0

и согласно (7), 1 J (A, x) − s = π

+∞ Z

f (x + t) + f (x − t) − 2s 1 sin At dt = t π

0

Zh

ϕ(t) 1 sin At dt + t π

0

−

2s π

+∞ Z

f (x + t) + f (x − t) sin At dt− t

h +∞ Z

sin At dt = I1 + I2 + I3 . (13) t

h

По условию теоремы, функция Римана,

ϕ(t) t

абсолютно интегрируема на промежутке (0, h], и поэтому, по лемме (14)

lim I1 = 0.

A→+∞

Согласно свойствам абсолютно интегрируемых функций и условию теоремы, подинтегральная функция в интеграле I2 абсолютно интегрируема на промежутке [h, +∞), h > 0, и по лемме Римана, (15)

lim = 0.

A→+∞

Наконец, lim

A→+∞

+∞ Z

sin At dt = lim A→+∞ t

h

+∞ Z

Ah

107

sin x dx = 0 x

в силу сходимости интеграла Дирихле, и следовательно, (16)

lim I3 = 0.

A→+∞

Утверждение теоремы следует теперь из формул (13)–(16) и (4).  5.7.4. Различные виды формулы Фурье Предполагая выполненными достаточные условия применимости формулы Фурье, будем считать для простоты, что в рассматриваемой точке x функция f непрерывна, или, если разрывна, то удовлетворяет условию f (x) = 21 [f (x + 0) + f (x − 0)]; то есть, что рассматриваемая точка является регулярной. Тогда в любом случае справедлива формула (9). Ввиду того, что внутренний интеграл (6) в этой формуле представляет собой чётную функцию от z, её можно переписать в виде 1 f (x) = 2π

+∞ Z

−∞

+∞ Z dz f (u) cos z(u − x) dx.

(17)

−∞

Так как |f (u) sin z(u − x)| 6 |f (u)| для всех (x, z, u) ∈ R3 и функция sin z(u − x) непрерывна (как функция трёх переменных) на всём R3 , то несобственный интеграл +∞ Z f (u) sin z(u − x) du = g2 (x, z)

−∞

абсолютно и равномерно сходится для всех (x, z) ∈ R2 , а функция g2 (x, z) непрерывна по x ∈ (−∞, +∞) и по z ∈ (−∞, +∞), и g2 (x, z) нечётная по аргументу z. Поэтому, хотя нельзя ручаться за существование для g2 (x, z) несобственного интеграла по z на (−∞, +∞), но он существует в смысле главного значения; причём v. p.

+∞ Z

−∞

Умножая это равенство на

i 2π

+∞ Z dz f (u) sin z(u − x) du = 0. −∞

и складывая с (17), придём к соотношению 1 f (x) = 2π

+∞ Z

−∞

+∞ Z dz f (u)eiz(u−x) du,

(18)

−∞

где наружный интеграл понимается в смысле главного значения. В этом виде формула была впервые найдена О. Коши. Возвращаясь к формуле (9), напишем её в виде 1 f (x) = π

+∞ +∞ +∞ +∞ Z Z Z Z 1 cos zx dz f (u) cos zu du + sin zx dz f (u) sin zu du. π 0

−∞

0

−∞

Если функция f чётная, то +∞ +∞ +∞ Z Z Z f (u) cos zu du = 2 f (u) cos zu du, f (u) sin zu du = 0,

−∞

−∞

0

и мы получаем упрощённую формулу, содержащую лишь косинусы, f (x) =

2 π

+∞ +∞ Z Z cos zx dz f (u) cos zu du. 0

(19)

0

Аналогично, в случае нечётной функции f приходим к формуле, содержащей лишь синусы, f (x) =

2 π

+∞ +∞ Z Z sin zx dz sin zu du. 0

0

108

(20)

5.7.5. Преобразование Фурье Предположим теперь, что формула Фурье (9) имеет место для всех значений x ∈ (−∞, +∞). Тогда эту формулу, записанную в виде формулы Коши (18), можно рассматривать как композицию таких двух функций: +∞ Z f (u)eizu du

1 F (z) = √ 2π и

(21)

−∞

1 f (x) = v. p. √ F (z)e−ixz dz. 2π

(22)

Функцию F (z) называют преобразованием Фурье функции f (x) и используют также обозначение F = fb. Формула (22) — обратное преобразование Фурье. Обратимся теперь к формуле (19). Если она выполняется для всех положительных значений x, то её можно представить, как композицию двух (на этот раз вещественных и совершенно симметричных!) формул r Z +∞ 2 Fc (z) = f (u) cos zu du, π 0 (23) r Z +∞ 2 Fc (z) cos xz dz. f (x) = π 0

Аналогично и формула (20) может быть разложена на две: r Z +∞ 2 Fs (z) = f (u) sin zu du, π 0

f (x) =

r

+∞ Z 2 Fs (z) sin xz dz. π

(24)

0

Функции Fc (z) и Fs (z) называются, соответственно, косинус–преобразованием и синус–преобразованием Фурье для функции f (x). Как видим, функция f по Fc (или Fs ) получается совершенно так же, как и Fc (или Fs ) по f . Другими словами, функции f и Fc (Fs ) взаимно являются косинус– (синус–) преобразованиями. Коши назвал пары функций f и Fc или f и Fs , соответственно, сопряжёнными функциями первого и второго рода. Сопоставляя функции F (z), Fc (z) и Fs (z), можно отметить следующее. В случае чётной функции f (x) имеем F (z) = Fc (z) (на значения z < 0 функция Fc (z) распространяется чётным образом), а в случае нечётной f (x) имеем F (z) = iFs (z) (на значения z < 0 функция Fs (z) распространяется нечётными образом). В общем случае функция f (x) разлагается на сумму чётной и нечётной функции: f (x) = g(x) + h(x), где g(x) =

f (x) + f (−x) f (x) − f (−x) , h(x) = . 2 2

Тогда F (z) = Gc (z) + iHs (z),

(∗)

где Gc (z) обозначает косинус–преобразование для функции g(x), а Hs (z) — синус–преобразование для функции h(x). Замечание. Нетрудно видеть, что изложенные выше результаты сохраняются, если предположить формулу Фурье (9) выполненной всюду на R, за возможным исключением любого конечного подмножества точек из R. 5.7.6. Некоторые свойства преобразования Фурье Теорема 5.18. Если функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞), то её преобразование Фурье fb b непрерывно на (−∞, +∞) и lim f (z) = 0. z→±∞  Так как f (u)eizu = |f (u)| для всех (z, u) ∈ R2 , функция eizu непрерывна на R2 (как функция двух +∞ R переменных) и сходится интеграл |f (u)| du, то по признаку Вейерштрасса несобственный интеграл (21), или −∞

1 fb(z) = √ 2π

+∞ Z f (u)eizu du

−∞

109

(25)

сходится равномерно и абсолютно по z ∈ (−∞, +∞) и функция fb(z) непрерывна по z ∈ (−∞, +∞). Так как eizu = cos zu + i sin zu и по лемме Римана +∞ Z lim f (u)(cos zu + i sin zu) du = 0,

то lim fb(z) = 0. 

z→±∞ −∞

z→±∞

Теорема 5.19. Если для некоторого n ∈ N функция xn f (x) абсолютно интегрируема на (−∞, +∞), то функция fb дифференцируема n раз на (−∞, +∞) и lim fb(k) (z) = 0 для всех k = 1, n. z→±∞

 Формальное дифференцирование интеграла (25) по переменному z ∈ (−∞, +∞) k раз, 1 6 k 6 n, приводят к интегралу +∞ Z 1 √ ik uk f (u)eizu du, 1 6 k 6 n, (26) 2π −∞

= |u|k |f (u)| 6 который равномерно и абсолютно сходится по z ∈ (−∞, +∞) в силу оценки ik u k f (u)eizu |u|n |f (u)| для всех |u| > 1. Поэтому интеграл (26) равен fb(k) (z). Свойство lim fb(k) (z) = 0, 1 6 k 6 n, z→±∞

доказывается аналогично тому, как это сделано в доказательстве предыдущей теоремы.  Итак, дифференциальные свойства функции fb(z) в основном определяются поведением функции f (x) на бесконечности. Однако, и наоборот, по дифференциальным свойствам функции f (x) можно в некоторой степени судить о поведении функции fb(z) на бесконечности. Именно, справедлива следующая теорема. Теорема 5.20. Если функции f (l) (x), l = 0, n − 1, n ∈ N, имеют lim f (l) (x) = 0 и функция f (n) (x) абсоx→±∞ n лютно интегрируема на (−∞, +∞), то lim fb(z) |z| = 0. z→±∞



Согласно (25) и условию теоремы,

1 fb(z) = √ 2π

+∞ +∞ +∞  +∞ Z Z Z 1 1 1 1 1 1 i 1 izu izu ′ izu f (u) d(e ) = √ f (u)e −√ f (u)e du = √ f ′ (u) d(eizu ) = iz iz z iz 2π iz 2π 2π −∞

−∞

−∞

−∞

откуда

−∞

+∞ +∞  2 Z  n Z 1 1 i i ′′ izu √ √ = f (u)e du = . . . = f (n) (u)eizu du, 2π z 2π z −∞

+∞ 1 Z nb (n) izu . √ f (z) = f (u)e du z 2π −∞

По теореме 5.18,

1 lim √ z→±∞ 2π и, следовательно,

+∞ Z f (n) (u)eizu du = 0

−∞

lim z n fb(z) = 0.

z→±∞



В заключение, из многочисленных и важных приложений преобразования Фурье приведём, в качестве примера, один из способов вычисления интегралов Лапласа. Рассмотрим функцию f (x) = e−ax (a > 0, x > 0). Её косинус–преобразованием Фурье будет функция Fc (x) =

r

2 π

r +∞ Z 2 a −az e cos xz dz = , 2 π a + x2 0

110

поскольку +∞ +∞ +∞  +∞  +∞ Z Z Z 1 −az x 1 x 1 −az x2 −az −az e cos xz dz = − e cos xz − e sin xz dz = + e sin xz − 2 e−az cos xz dz = a a a aa a 0 0 0

0

0

+∞ Z 1 x e−az cos xz dz, = − 2 a a 2

0

и, следовательно, +∞ Z e−az cos xz dz =

a . a2 + x2

0

Аналогично заключаем, что синус–преобразованием функции f (x) будет функция Fs (x) =

r

2 π

r +∞ Z 2 x −az e sin xz dz = . 2 π a + x2 0

Так как e−ax интегрируема по промежутку [0, +∞), то пары функций f и Fc , а также f и Fs , являются сопряжёнными по Коши, и следовательно, справедливы взаимные соотношения: 2a π

+∞ Z

cos xz dz = e−ax , x > 0 a2 + z 2

0

и 2 π

+∞ Z

z sin xz = e−ax , x > 0. a2 + z 2

0

Таким образом, +∞ Z

cos xz π −ax dz = e , a2 + z 2 2a

0

+∞ Z 0

Интегралы (27) называют интегралами Лапласа.

111

z sin xz π dz = e−ax . a2 + z 2 2

(27)