Математика. Часть 3: Учебное пособие для студентов по специальности ''Психология''

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет Кафедра математического моделирования И. Г. Карелина

МАТЕМАТИКА ЧАСТЬ 3 учебное пособие для студентов 1-го курса по специальности 020400 “Психология”

ВОРОНЕЖ 2002

Карелина И.Г. Математика.– Воронеж:ВГУ, 2002.– 65 с.

Вашему вниманию предлагается третья часть курса лекций по дисциплине "Математика", читаемого на факультете философии и психологии студентам, обучающимся по специальности Психология. Дисциплина "Математика"входит в блок естественно-научных и математических дисциплин ГОС ВПО по специальности 020400 Психология, читается студентам на первом курсе в течение двух семестров и рассчитана на 150 часов аудиторных занятий и 150 часов самостоятельной работы студентов. Об организации текста. Пособие представляет собой курс лекций. Каждая лекция имеет деление на пункты, которые могут быть взяты за основу экзаменационных и зачетных вопросов. Нумерация формул в каждой лекции автономна. Начало доказательств отмечено знаком ., окончание доказательства соответственно знаком J . В конце лекций имеются упражнения для проведения практических занятий и самостоятельной работы студентов. Рецензенты: заведующий кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей, доктор физико-математических наук А.В.Глушко Печатается в соответствии с решением Научно-методического совета математического факультета протокол № 3 от 16 декабря 2002 года.

(с) Карелина И.Г., 2002 (с) Воронежский государственный университет, 2002 2

Содержание ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом Приложения определенного интеграла . . . . . . . . . Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовая последовательность . . . . . . . . Свойства числовых последовательностей . . Сходимость числового ряда . . . . . . . . . . Необходимое условие сходимости рядов . . . Признаки сходимости положительных рядов Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

5 5 8 11 13 14 14

. . . . . .

18 18 20 23 27 27 32

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . Некоторые методы решения уравнений первого порядка . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ Скалярные и векторные величины . . . . . . . . . . . . Декартовы координаты на плоскости и в пространстве . Скалярное произведение векторов и его свойства . . . Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46 46 47 49 53 55

3

. . . . .

35 38 40 41 44

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . Непрерывность функции двух переменных Частные производные . . . . . . . . . . . . Полный дифференциал . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

58 58 60 61 62 64

Лекция 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 9.1. Определение 9.2. Свойства определенного интеграла 9.3. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом 9.4. Приложения определенного интеграла 9.5. Несобственный интеграл 9.6. Упражнения 9.1. Определение Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции – фигуры на плоскости, ограниченной снизу отрезком [a; b] оси 0x, сверху – графиком функции y = f (x) (для определенности можно считать, что f (x) ≥ 0), слева и справа соответственно отрезками прямых x = a, x = b.

y

0

f(ti )

ti

y = f(x)

a = x0 < x1 <…< xi-1 < xi <…< x = b n

x

Разобьем отрезок [a; b] на части точками a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b, обозначим длину i-го отрезка через ∆xi = xi − xi−1 . Прямые x = xi разобьют исходную криволинейную трапецию на части, сумма площадей которых даст площадь исходной трапеции. Если высоту трапеций на каждом из промежутков [xi−1 ; xi ] считать постоянной и равной значению функции f (τi ) в некоторой произвольной точке τi ∈ [xi−1 ; xi ], то площадь исходной криволинейной трапеции будет приближенно равна S≈

n X

f (τi )∆xi .

i=1

5

Сумму n X

f (τi )∆xi

i=1

называют интегральной суммой, а ее предел при λ = max ∆xi → 0, если он существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на части и выбора точек τi в каждой из частей, – определенным интегралом по отрезку [a; b] от функции f (x) и обозначают Zb f (x) dx = lim

λ→0

a

n X

f (τi )∆xi .

i=1

Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. С геометрической точки зрения определенный интеграл есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

Пример Z1 x dx, используя определение определенного интеграла.

Вычислим 0

Разобьем промежуток [0; 1] на n равных частей длины ∆xk = n1 и выберем вначале в качестве точки τk левый конец соответствующего промежутка τk = k−1 n , где k = 1, 2, . . . n, тогда интегральная сумма будет иметь вид

S1

n n k−1 1 P 1 X = f (τk )∆xk = · = 2· (k − 1) = n n n k=1 k=1 n P

k=1

=

1 (n − 1)n 1 · (0 + 1 + 2 + · · · + (n − 1)) = · = n2 n2 2

=

(n − 1)n n − 1 = 2n2 2n 6

Выберем теперь в качестве точки τk правый конец соответствующего промежутка τk = nk , где k = 1, 2, . . . n, тогда интегральная сумма будет иметь вид S2

n n k 1 P 1 X k= = f (τk )∆xk = · = 2· n n n k=1 k=1 k=1 1 1 n(n + 1) = = 2 · (1 + 2 + · · · + n) = 2 · n n 2 n P

=

(n − 1)n n + 1 = 2n2 2n

1 Переходя теперь к пределу при измельчении отрезка [0; 1], то есть при → 0 n или n → ∞ в суммах S1 и S2 , получаем одно и то же значение 1 lim S1 = lim S2 = . n→∞ n→∞ 2 Пусть F (x) – какая-нибудь первообразная функции y = f (x) на отрезке [a; b]. Тогда имеет место формула Ньютона-Лейбница Zb

b f (x) dx = F (x) = F (b) − F (a). a

a

Пример Вычислим следующие Ньютона-Лейбница: Z1 1) 0

определенные

интегралы,

используя

1 2 Z2 1 1 dx x2 = ln x = ln 2 − 0; x dx = = − 0 = ; 2) 2 0 2 2 x 1 1

Zπ 3)

π cos x dx = sin = 0 − 0 = 0; 0

0

ln 2 Zln 2 4) ex dx = ex = eln 2 − e0 = 1. 0

0

7

формулу

9.2. Свойства определенного интеграла Пусть F (x) – первообразная функции f (x) на промежутке [a; b]. 1. Определенный интеграл по промежутку нулевой длины равен нулю: Za

a f (x) dx = F (x) = F (a) − F (a) = 0. a

a

2. При перестановке пределов интегрирования значение определенного интеграла меняется на противоположное: Za b

a f (x) dx = F (x) = F (a) − F (b) = b

Zb = − (F (b) − F (a)) = −

f (x) dx. a

3. Пусть c ∈ [a; b], тогда определенный интеграл по промежутку [a; b] равен сумме определенных интегралов по промежуткам [a; c] и [; b] : Zb f (x) dx = F (b) − F (a) = (F (b) − F (c)) + (F (c) − F (a)) = a

Zb

Zc = (F (c) − F (a)) + (F (b) − F (c)) =

f (x) dx + a

f (x) dx. c

4. Определенный интеграл от суммы (или разности) равен сумме (или разности) интегралов: если функция F (x) есть первообразная функции f (x), а функция G(x) есть первообразная функции g(x), то функция F (x) ± G(x) есть первообразная функции f (x) ± g(x), поэтому Zb (f (x) ± g(x)) dx = (F (b) ± G(b)) − (F (a) ± G(a)) = a

Zb = (F (b) − F (a)) ± (G(b) − G(a)) =

f (x) dx ± a

8

Zb g(x) dx. a

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: если функция F (x) есть первообразная функции f (x), то функция kF (x) есть первообразная функции kf (x), где k = const, поэтому Zb Zb kf (x) dx = kF (b) − k(F (a) = k (F (b) − F (a)) = k f (x) dx. a

a

6. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла получается из соответствующей формулы для неопределенного интеграла: b Z b Zb u dv = uv − v du. a

a

a

Пример Z2

" ln x dx =

1

Z2 =

ln x dx =

u = ln x, dv = dx dx , v=x du = x

=

! 2 Z2 dx x ln x − x · = 2 ln 2 − x 1

1

#

2 x = 2 ln 2 − 1.

1

1

7. Для любой дифференцируемой функции ϕ(t) (a = ϕ(α), b = ϕ(β)) справедлива формула замены переменной: Zβ

f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt =

α

Zb f (x) dx. a

Пусть F (x) – первообразная функции f (x), ϕ(t) – некоторая дифференцируемая функция, причем a = ϕ(α), b = ϕ(β). Тогда функция, как было показано в предыдущей лекции, Φ(t) = F (ϕ(t)) является первообразной для функции f (ϕ(t)) ϕ0 (t), откуда по определению определенного интеграла получаем Zβ

f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt = Φ(β) − Φ(α) = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) =

α

Zb = F (b) − F (a) =

f (x) dx. a

9

8. Между точками a и b найдется такая точка c, что Zb f (x) dx = f (c)(b − a). a

Пусть F (x) – первообразная функции f (x), то есть F 0 (x) = f (x). В силу теоремы Лагранжа о конечном приращении, так как функция F (x) дифференцируема, найдется такая точка c ∈ [a; b], что выполняется равенcтво Zb

f (x) dx = F (b) − F (a) = F 0 (c)(b − a) = f (c)(b − a).

a

Точка c называется средним значением функции f (x) на промежутке [a; b]. 9. При a < b интеграл от положительной (неотрицательной) функции положителен (неотрицателен): пусть a < b, f (x) > 0 (f (x) ≥ 0), F (x) – первообразная функции f (x), тогда функция F (x) возрастает (не убывает) на [a; b], так как F 0 (x) = f (x) > 0 (≥ 0), поэтому Zb f (x) dx = F (b) − F (a) > 0

(≥ 0).

a

10. Если для всех x ∈ [a; b] функции y = f (x) и y = g(x) удовлетворяют нераZb Zb f (x) dx, g(x) dx существуют, то венству f (x) ≤ g(x) и a

a

Zb

Zb f (x) dx ≤

a

g(x) dx. a

. Доказательство. В силу определения определенного интеграла рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a; b] точками a ≤ x0 < x1 < · · · < xn = b. Так как 4xi = xi − xi−1 > 0 для всех i = 1, . . . , n, то для любой произвольно взятой точки τi ∈ [xi−1 ; xi ] имеют место неравенства f (τ1 ) 4x1 ≤ g(τ1 ) 4x1 , ... f (τn ) 4xn ≤ g(τn ) 4xn . 10

Складывая их почленно, получим X

n

_i = 1 f (τi ) 4xi ≤

n X

f (τi ) 4xi .

i=1

После перехода к пределу при max 4xi → 0 получаем Zb

Zb f (x) dx ≤

a

g(x) dx. a

J 9.3. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом Очевидно, значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть Zb

Zb f (x) dx = a

Zb f (t) dt =

a

f (τ ) dτ. a

Это следует, например, из геометрического смысла интеграла, так как выписанные интегралы определяют площадь одной и той же криволинейной трапеции. Приведем здесь без доказательства два факта. 1. Для каждой непрерывной на (a; b) функции f (x) существует функция F (x), такая, что F 0 (x) = f (x) на (a; b), то есть непрерывная на интервале функция имеет на нем первообразную, а значит, существует неопределенный интеграл Z f (x) dx = F (x) + C, где C – произвольная постоянная. 2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует соответствующий определенный интеграл. Рассмотрим непрерывную на отрезке [a; b] функцию f (t). Определим функцию Zx F (x) = f (t) dt, a

где t ∈ [a; x] ⊂ [a; b]. Последний интеграл называют интегралом с переменным верхним пределом от функции f (x). 11

Аналогично интегралом с переменным нижним пределом от функции f (x) называют Zb F (x) = f (t) dt, x

где t ∈ [x; b] ⊂ [a; b]. Теорема. Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции от этого предела; производная от интеграла с переменным нижним пределом равна значению подынтегральной функции от этого предела, взятому с противоположным знаком 0  b 0  x Z Z  f (t) dt = −f (x).  f (t) dt = f (x); a

x

x

x

. Доказательство. Пусть F (x) – первообразная функции f (x), по формуле Ньютона-Лейбница справедливо равенство Zx f (t) dt = F (x) − F (a), a

где t ∈ [x; b] ⊂ [a; b]. Продифференцируем последнее равенство по переменной x, получим 0  x Z  f (t) dt = (F (x) − F (a))0x = F 0 (x) = f (x), a

x

так как Fx0 (a) = 0, поскольку F (a) не зависит от x. Аналогично Zb f (t) dt = F (b) − F (x), x

где t ∈ [a; x] ⊂ [a; b]. Дифференцируя последнее равенство по x, получим  b 0 Z  f (t) dt = (F (b) − F (x))0x = −F 0 (x) = −f (x), x

x

так как Fx0 (b) = 0, поскольку F (b) не зависит от x. J 12

9.4. Приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла С помощью определенного интеграла можно не только вычислить площадь криволинейной трапеции, как это было показано в начале лекции, но и площадь произвольной фигуры на плоскости, объема тела вращения, длину дуги. Остановимся здесь лишь на вычислении площади фигуры на плоскости, для изучения других приложений заинтересованному читателю рекомендуем обратиться к списку литературы, приведенной в конце пособия. Пусть заданы две непрерывные функции y = f (x) и y = g(x), через a и b обозначим абсциссы их точек пересечения, причем для всех x ∈ [a, b] : f (x) ≥ g(x). Тогда для нахождения площади фигуры на плоскости, образованной графиками этих функций, используется формула Zb (f (x) − g(x)) dx.

S= a

Применение определенного интеграла в физике Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t) при движении точки за время от t = α до t = β. Поскольку движение не предполагается равномерным, мы не можем вычислять путь как произведение скорости на истекшее время. Однако, так как мгновенная скорость есть производная от функции пути s = s(t), пройденного точкой, функция s = s(t) является первообразной для функции v = v(t). Поэтому, используя формулу Ньютона-Лейбница, можно найти расстояние, пройденное точкой за время от t = α до t = β, то есть Zβ s(β) − s(α) =

v(t) dt. α

Применение определенного интеграла в биологии С помощью определенного интеграла можно, например, найти численность популяции. Число особей в популяции меняется со временем. Если условия существования благоприятные, то рождаемость превышает смертность, и популяция растет со временем. Обозначим через v(t) прирост популяции в единицу времени. Найдем прирост популяции за время от t = α до t = β. Обозначим через N (t) численность популяции в момент времени t, тогда Zβ N (β) − N (α) =

v(t) dt. α

13

9.5. Несобственный интеграл Пусть функция y = f (x) задана на луче [a; +∞) и непрерывна на нем. Интеграл Z+∞ Zb f (x) dx = lim f (x) dx b→+∞

a

a

называют несобственным интегралом по бесконечному промежутку. Если предел в последнем равенстве существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся. Пример Вычислим несобственный интеграл Z+∞ Zb b e−x dx = lim e−x dx = lim (−e−x ) 0 = lim (−e−b + 1) = 1 b→+∞

0

b→+∞

b→+∞

0

9.6. Упражнения Задание 9.1. Найдите значение определенного интеграла как предела интегральных сумм, разбивая соответствующий отрезок на n равных частей и выбирая в каждой из них в качестве точки τk сначала левый, а затем правый конец соответствующего отрезка Zx

Z1 x dx

1)

2)

Z2 t dt

0

0

x2 dx

0

Z2 (1 − t) dt

6)

t2 dt

1

Zx (2x + 1) dx

4)

1

Z2 5)

3)

Zx

7)

(x2 + 1) dx

−1

0

Примечание. При вычислении интегральных сумм используйте равенства n X k=1

n(n + 1) k= ; 2

n X

k2 =

k=1

n(n + 1)(2n + 1) . 6

Задание 9.2. Вычислите интегралы а) с помощью формулы Ньютона-Лейбница Z2 1) −1

x3 dx

Z2π 2)

Z1 sin x dx

3) −1

0

14

2x dx

Zπ 4)

cos x dx 0

Z2  5)

√

1 x+ √ x

Z8 

 dx

6)

1

√ 1 3 √ + x2 3 x

Z1

 dx

7)

1

dx x

0

б) с помощью формулы замены переменной Z2

Z2

dx 3−x

8)

9)

0

10) Z1

x3 dx x4 + 3

12)

0

14)

0

Z2

dx x ln x

Ze

ex dx , 1 + ex

15)

e

Z1 20)

1

Ze 18) √

π

dx x(ln x + 1)

16)

1

√ cos x √ dx x

dx (2x + 1)2

13)

0

Ze2

cos 2x dx 0

Z1

xdx x2 + 5

11)

17)

e3x dx

1

Z1

Zπ2

Zπ

Z4

dx x ln2 x

19)

√

dx √ x(4 + x)

0

e

Zπ

√ ( 2x + 1 + 3) dx

21)

0

π sin (2x + ) dx 4

0

в) с помощью интегрирования по частям Zln 3 22) xex dx

Ze2 23)

ln Z 0,5

x ln x dx 1

ln 2

Ze 25)

0

Zπ

x2 ln x dx

26)

x sin x dx

1

0

Z2π

Z1

27)

xe−x dx

24)

x cos x dx

28)

π

arctg x dx 0

Задание 9.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными следующими уравнениями 1) y = 4 − x2 , y = 0; √ 3) y = x2 , y = x;

2) y = x2 ,

y = 1 − x;

4) x2 + y 2 = 4, y = 2 − x; 15

5) y = x3 ,

6) y = x2 − 2,

y = 2x;

7) y = 2 − x2 , y = x2 ;

8) y = x2 + 4x, y = x + 4;

9) y = 1 − x2 , y = x2 ; 11) y =

√

y = 6 − x2 ;

10) y = 0, 5 x2 ,

y = 4 − x;

√ y = − x, x = 4;

x,

12) y = ln x,

y = 0,

x = e;

13) y = sin x,

y = cos x, x = 0, x = 2π;

14) y = x2 − x, y = 0,

x = 0, x = 2.

Задание 9.4. Не вычисляя значение интеграла, сравнить π

π

Z4

Z2

1)

sin x dx и x

0

0

Z1

Z1

3)

xe−x dx и

0

Z1

sin x dx x

2) 1 2

Z3

2

xe−x dx

4)

0

5)

Zπ √ 3

dx √ и x

sin xdx

dx x2

Z3 и 2

0

Zπ p 3

sin2 xdx;

0 π

π

Z4

Z4 sin x dx

6)

и

0

π

Z3

Z 7)

sin2 x dx;

0

π 3

cos x dx

и

0

√

cos x dx.

0

Задание 9.5. Вычислить производные от следующих функций Zx 1) F (x) =

Zb t dt

2) F (b) =

2

a

Zx

Zb

3) F (x) =

sin2 t dt

4) F (a) = a

1

16

dx x

1 2

2

и

Z1

t2 dt

sin t2 dt

dx √ 3 x

5) F (x) =

Zx p

1 + t2 dt

6) F (b) =

Zb p 3

2

a

Z5

Zb

7) F (x) =

√

x

Zx 9) F (x) =

dt t2 + 1

8) F (a) =

4 − t3 dt

√ 3

a

Zb

ecos t dt

10) F (b) =

dt t2 + 1

esin t dt

a

0

Zln 3 2 11) F (x) = 3t −1 dt

Zb √ 2 t +1 dt 12) F (a) = ( 2)

x

a

Zx 13) F (x) =

Zb √ 14) F (a) = ( ln t) dt

p ln t 1 + t2 dt

a

1

Задание 9.6. Вычислить несобственные интегралы или показать их расходимость Z+∞ Z+∞ Z+∞ 1) x dx 2) e−3x dx 3) ln x dx 2

Z+∞ 4)

Z+∞

dx x2

5)

1

Z+∞

dx x

6)

7)

dx x+1

Z+∞ 8)

−∞

Z+∞

Z+∞

dx x ln x

9)

e

dx √ x x

4

dx x ln2 x

e

Z+∞ 11)

dx x2 + 1

0

e2

Z0

10)

e

1

dx x2 − 1

Z+∞ 12)

xdx x2 + 4

0

3

Z+∞ 1 dx 13) sin · 2 x x

Z+∞ dx 14) sin e−x · x e

1 π

ln π

17

Лекция 10. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 10.1. Числовая последовательность 10.2. Свойства числовых последовательностей 10.3. Сходимость числового ряда 10.4. Необходимое условие сходимости рядов 10.5. Признаки сходимости положительных рядов 10.6. Упражнения 10.1. Числовая последовательность Последовательностью называют отображение f : N −→ A, A ⊂ R множества натуральных чисел во множество A ⊂ R. Последовательность обозначают через a1 , a2 , . . . , an , . . .

{an }∞ n=1

или

или

{an }n∈N ,

произвольный элемент последовательности an называют n−ым членом последовательности. Последовательность {an }n∈N называется стационарной, если an = a = const для любого n ∈ N. Значения последовательности удобно изображать в виде точек на числовой прямой. Пример n o∞ 1. Рассмотрим последовательность чисел n! , то есть an = n! n=1

1, 2, 6, 24, 120, 720, . . . , 100!, . . . Изобразим ее на числовой оси

a1 a2 012

a3

a4 …

6

24

x

Заметим, что все члены этой последовательности расположены на полуоси [1, +∞), причем с увеличением номера n члены последовательности бесконечно увеличиваются. n o∞ 1 2. Рассмотрим последовательность чисел n1 , то есть an = n=1 n 1 1 1 1 1 , ... 1, , , , , . . . , 2 3 4 5 100 18

Изобразим ее на числовой оси … a 5 a 4 a3

a2

a1

1 1 1 5 4 3

1 2

1

0

x

Заметим, что все члены этой последовательности расположены на полуинтервале (0; 1], причем с увеличением номера n члены последовательности расположены все ближе к числу 0. n o∞ n 3. Рассмотрим последовательность чисел (−1) , то есть an = (−1)n n=1

−1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . Изобразим ее на числовой оси

a 2 = a4 = …

a 1 = a3 = … 0

-1

x

1

15

3

a = 2

a

½

4 = =a a 14

5

a = a

0

1

a

-½

a

12

=

7

6

= a

-1

a

11

a

10

a = 8

a

a9

=

a

13

Заметим, что все члены этой последовательности принимают одно из двух значений 1 или −1: если взять все четные члены этой последовательности, их бесконечное число, все они равны 1; если взять все нечетные члены этой последовательности, их также бесконечное число, n все ониoравны −1. ∞ πn 4. Рассмотрим последовательность чисел sin πn 6 n=1 , то есть an = sin 6 √ √ √ √ √ 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 , , 1, , , 0, − , − , −1, − , − , 0, , , 1, . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Изобразим ее на числовой оси

1

x

Таким образом, все члены последовательности расположены на отрезке [−1; 1]. Число a называется пределом последовательности {an }n∈N , если, начиная с некоторого номера n0 , все члены последовательности принадлежат наперед заданной ε−окрестности точки a, то есть def

[ lim an = a] ⇐⇒ ∀(ε > 0)∃(n0 ∈ N )∀(n ≥ n0 ) |an − a| < ε n→∞

Числовую последовательность, имеющую конечный предел, называют сходящейся, в противном случае – расходящейся. 19

Пример 1 = 0. n→∞ n Выберем произвольное число ε > 0 и найдем n0 , начиная с которого для всех членов последовательности будет выполняться неравенство 1 − 0 < ε. n 1. Покажем, что lim

1 1 < ε мы найдем n0 > . n ε 1 , все члены Например, при ε = 0, 01, начиная с номера n0 = 101 > 0, 01   1 последовательности будут удовлетворять неравенству n n∈N 1 − 0 < 0, 01. n

Так как n > 0, то из неравенства

  1 Таким образом, последовательность является сходящейся. n n∈N 2. Покажем, что последовательность {(−1)n }n∈N не имеет предела. Пусть a ∈ R – произвольное число. Покажем, что найдется число ε > 0, такое, что бесконечно много членов этой последовательности окажутся вне ε−окрестности точки a. Пусть 0 < ε0 < 1, тогда вне интервала (a − ε0 ; a + ε0 ). окажется бесконечно много членов данной последовательности. Например, пусть a = 1, ε = 0, 5. Тогда вне интервала (0, 5; 1, 5) окажутся все нечетные члены этой последовательности. Таким образом, последовательность {(−1)n }n∈N является расходящейся. Последовательность lim an = 0.

 an n∈N

Последовательность lim an = ∞.

 an n∈N называется бесконечно большой, если

называется бесконечно малой, если

n→∞

n→∞

10.2. Свойства числовых последовательностей Основные теоремы, касающиеся предела функции, имеют место и для последовательностей. Приведем их здесь без доказательства. Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный. 20

Теорема 2. Предел стационарной последовательности {an }n∈N , где an = a для любого n, равен a. Теорема 3. Если для всех членов последовательностей {an }n∈N , {bn }n∈N , {cn }n∈N , имеет место неравенство an ≤ bn ≤ cn , причем lim an = lim n = a, n→∞

n→∞

то последовательность {bn }n∈N также сходится, причем lim bn = a. n→∞

Теорема 4. Если последовательность {an }n∈N сходится, k = const, то последовательность {kan }n∈N также сходится, причем lim kan = k lim an . n→∞

n→∞

Теорема 5. Если последовательности {an }n∈N и {bn }n∈N сходятся и lim an = n→∞ a, lim bn = b, то предел их суммы, разности, произведения и отношения (если n→∞ bn 6= 0 при всех n, b 6= 0) существует и равен соответственно сумме, разности, произведению и отношению пределов этих последовательностей. Пример Найдем пределы последовательностей, используя теоремы 1-5: n(2 + n3 ) 2+ 2n + 3 1) lim = lim = lim n→∞ n→∞ n→∞ n2 n2 n

3 n

= 0,

3 2 = 0, lim = 0. n→∞ n n→∞ n

так как lim

n3 (1 − n3 − n + 2 2) lim = lim 3 n→∞ 5n3 − 3n + 1 n→∞ n (5 −

1 n2 3 n2

+ +

2 n3 ) 1 n3 )

1− = lim n→∞ 5 −

1 n2 3 n2

+ +

2 n3 1 n3

1 = , 5

1 2 3 1 = 0, lim = 0, lim = 0, lim = 0. n→∞ n2 n→∞ n3 n→∞ n2 n→∞ n3   sin 2π sin 2π 2π n 3) lim n sin = lim · 2π = 2π · lim 2π n = 2π, 2π n→∞ n→∞ n→∞ n n n

так как lim

sin 2π 2π так как lim = 0, lim 2π n = 1. n→∞ n n→∞ n Последовательность {an }n∈N называется ограниченной снизу, если все ее члены не превосходят некоторого числа, то есть ∃(m0 ∈ R)∀(n ∈ N) an ≥ m0 . 21

Последовательность {an }n∈N называется ограниченной сверху, если все ее члены не превосходят некоторого числа, то есть ∃(m1 ∈ R)∀(n ∈ N) an ≤ m1 . Последовательность {an }n∈N называется ограниченной, если все ее члены не превосходят по абсолютному значению некоторого положительного числа, то есть ∃(m > 0)∀(n ∈ N) |an | ≤ m. Пример 1. Последовательность натуральных чисел является ограниченной снизу, так как все натуральные числа не меньше числа 1. 2. Последовательность чисел, противоположных натуральным числам, является ограниченной сверху, так как все ее члены не превосходят числа -1. 3. Последовательность {(−1)n }n∈N является ограниченной, так как для любого n ∈ N имеет место неравенство |(−1)n | ≤ 1.

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. . Доказательство. Пусть lim an = a. В определении предела последовательности возьмем n→∞ ε = 1, тогда все члены последовательности, начиная с номера n0 ∈ N , будут удовлетворять неравенству |an − a| < 1, откуда |an | = |(an − a) + a| ≤ |an − a| + |a| < 1 + |a| = m. Так как множество чисел a1 , a2 , . . . , an0 −1 , m конечно, то среди них можно выбрать наибольший элемент, то есть K = max{a1 , a2 , . . . , an0 −1 , m}. Тогда для всех членов последовательности {an }n∈N имеет место неравенство |an | ≤ K, что и означает ее ограниченность. J Последовательность {an }n∈N называется возрастающей, если любой ее член больше предыдущего, то есть имеет место неравенство an < an+1

∀(n ∈ N). 22

Последовательность {an }n∈N называется убывающей, если любой ее член больше последующего, то есть имеет место неравенство an > an+1

∀(n ∈ N).

Последовательность {an }n∈N называется неубывающей, если любой ее член не меньше предыдущего, то есть имеет место неравенство an ≤ an+1

∀(n ∈ N).

Последовательность {an }n∈N называется невозрастающей, если любой ее член не больше последующего, то есть имеет место неравенство an ≥ an+1

∀(n ∈ N).

Возрастающие, убывающие последовательности называют строго монотонными, а невозрастающие и неубывающие последовательности называют монотонными. Приведем здесь без доказательства теорему, которая в дальнейшем изложении будет использоваться неоднократно. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. 1. Если последовательность {an }n∈N не убывает и ограничена сверху, то она имеет предел. 2. Если последовательность {an }n∈N не возрастает и ограничена снизу, то она имеет предел. 10.3. Сходимость числового ряда Рассмотрим последовательность {an }n∈N . Выражение вида a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · =

∞ X

an

n=1

называют числовым рядом, an – n-м (или общим) членом ряда. Вместе с каждым рядом рассмотрим последовательность чисел {Sn }n∈N S 1 = a1 , S 2 = a1 + a2 , S 3 = a1 + a2 + a3 , ... S n = a1 + a2 + a3 + · · · + an , ... Элементы последовательности {Sn }n∈N называют частичными суммами ряда. 23

Ряд называют сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {Sn }n∈N , а предел последовательности частичных сумм называют суммой ряда. Ряд называют расходящимся, если расходится последовательность его частичных сумм {Sn }n∈N . Пример 1. Примером числового ряда является известная из школьного курса сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) 2

3

n

a + aq + aq + aq + · · · + aq + · · · =

∞ X n=1

aq n =

a , 1−q

таким образом, этот ряд является сходящимся и его сумма равна ∞ P 1 2. Исследуем ряд на сходимость. n=1 n(n + 1) Заметим, что общий член ряда можно переписать в виде an =

a 1−q .

1 1 1 = − . n(n + 1) n n + 1

Построим последовательность частичных сумм S1 =

1 , 1·2

 1 1 1 + − =1− , 2 3 3       1 1 1 1 1 1 1 1 1 S3 = + + = 1− + − + − =1− , 1·2 2·3 3·4 2 2 3 3 4 4 1 1 S2 = + = 1·2 2·3



1 1− 2





... 1 1 1 1 + + ··· + + = 1·2 2·3 (n − 1) · n n · (n + 1)         1 1 1 1 1 1 1 = 1− + − + ··· + − + − = 2 2 3 n−1 n n n+1

Sn =

=1−

1 , n+1

... 24

Вычислим предел последовательности частичных сумм   1 = 1, lim Sn = lim 1 − n→∞ n→∞ n+1 ∞ P 1 1 так как lim = 0. Таким образом, ряд является сходящимся и n→∞ n + 1 n=1 n(n + 1) его сумма равна 1.

Ряд, построенный с помощью геометрической прогрессии, называется геометрическим рядом ∞ X aq n−1 . n=1

Исследуем на сходимость геометрический ряд в зависимости от q. 1. Пусть q = 1, тогда Sn = a |+a+ {z· · · + a} = an. n слагаемых lim Sn = lim an = ∞, n→∞

n→∞

что означает расходимость геометрического ряда при q = 1. 2. Пусть q = −1, тогда, если число слагаемых четно, то S2n = a | − a + a − a{z+ · · · + a − a} = 0, n слагаемых если же число слагаемых нечетно, то S2n−1 = a {za + · · · + a} = a, |−a+a− n слагаемых и последовательность частичных сумм не имеет предела, что означает расходимость геометрического ряда при q = −1. 3. Пусть |q| < 1. Из школьного курса математики известна формула для вычисления суммы n первых слагаемых геометрической прогрессии a(1 − q n ) Sn = . 1−q Вычислим предел последовательности частичных сумм a a(1 − q n ) lim = , n→∞ 1−q 1−q так как в этом случае lim q n = 0. n→∞

Таким образом, геометрический ряд при |q| < 1 сходится и его сумма равна a . 1−q 25

4. Пусть q > 1. Вычислим предел последовательности частичных сумм a(1 − q n ) lim = ∞, n→∞ 1−q так как в этом случае lim q n = ∞. n→∞

5. Пусть q < −1. В этом случае последовательность частичных сумм не имеет предела, так как Sn принимает то положительные, то отрицательные значения, которые по абсолютной величине стремятся к ∞, поэтому при |q| > 1 геометрический ряд расходится. Таким образом, ∞ X

aq n−1 =

n=1



сходится, если |q| < 1, расходится, если |q| ≥ 1.

Ряд вида

∞ X 1 nα n=1

называется гармоническим рядом. Исследуем его на сходимость при α = 1. Рассмотрим последовательность его частичных сумм S2 , S4 , S8 , . . . , S2n , . . . с номерами, образующими геометрическую прогрессию 1 S2 = 1 + , 2 1 1 1 1 S4 = 1 + + + > 1 + + 2 3 4 2



1 1 + 4 4



1 =1+2· , 2

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + > 2 3 4 5 6 7 8     1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + =1+3· , >1+ + 2 4 4 8 8 8 8 2

S8 = 1 +

... 1 S 2n > 1 + n · , 2 ...  Так как lim S2n ≥ lim n→∞ n→∞ ходится.

1 1+n· 2

 = ∞, то гармонический ряд при α = 1 рас-

26

10.4. Необходимое условие сходимости числового ряда

Теорема. Если ряд

∞ P

an сходится, то lim an = 0. n→∞

n=1

. Доказательство. В силу сходимости ряда

∞ P

an его последовательность частичных сумм

n=1

{Sn }n∈N также сходится, то есть S = lim Sn = lim Sn−1 . n→∞

n→∞

Так как Sn = a1 + a2 + · · · + an−1 + an , Sn−1 = a1 + a2 + · · · + an−1 , то общий член an ряда можно записать в виде an = Sn − Sn−1 . Тогда lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0.

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

J Следствие. Если n-ый член ряда не стремится к нулю при n → ∞, то ряд расходится. Пример 1. Для геометрического ряда при |q| ≥ 1 общий член ряда an = aq n не стремится к нулю, что означает расходимость соответствующего ряда, что мы и установили, используя определение сходимости числового ряда выше. ∞ n+1 P . 2. Исследовать на сходимость ряд n + 3 n=1 Вычислим n+1 lim = 1, n→∞ n + 3 ряд расходится в силу следствия из необходимого условия сходимости числового ряда. 10.5. Признаки сходимости положительных рядов Ряд

∞ P

an назовем положительным рядом, если все его члены – неотрица-

n=1

тельные числа. Интегральный признак. Пусть последовательность неотрицательных чисел {an }n∈N не возрастает и является бесконечно малой. Пусть невозрастающая неотрицательная функция f (x) непрерывна на промежутке [1; ∞) и f (n) = an . 27

Тогда числовой ряд

∞ X

an

n=1

сходится (расходится) одновременно с несобственным интегралом Z∞ f (x) dx. 1

Используя интегральный признак, исследуем на сходимость гармонический ряд ∞ X 1 . α n n=1 1 Во-первых, последовательность an = α состоит из неотрицательных члеn 1 нов, при α > 0 не возрастает и lim α = 0. n→∞ n Во-вторых, функция 1 f (x) = α x неотрицательна и не возрастает при α > 0 и непрерывна на промежутке [1; ∞). Пусть α 6= 1, рассмотрим несобственный интеграл Z∞

1 dt = lim x→∞ tα

1

Zx 1

x 1 t1−α x1−α dt = lim = lim x→∞ 1 − α x→∞ 1 − α tα 1

Последний предел равен 0, если 1 − α < 0, и ∞, если 1 − α > 0. Поэтому несобственный интеграл, а вместе с ним гармонический ряд, сходится, если α > 1 и расходится, если α < 1. Пусть α = 1 (в этом случае мы выше установили расходимость гармонического ряда, используя определение) рассмотрим несобственный интеграл Z∞

1 dt = lim x→∞ tα

1

Zx

1 dt = lim ln t|x1 = lim ln x = ∞ α x→∞ x→∞ t

1

Поэтому несобственный интеграл, а вместе с ним гармонический ряд расходится. Таким образом,  ∞ X 1 сходится, если α > 1, = расходится, если 0 < α ≤ 1. nα n=1

28

∞ P

Признак сравнения. Пусть для положительных рядов

an и

n=1

∞ P

bn имеет

n=1

место неравенство an ≤ bn . Тогда ∞ ∞ P P 1) из сходимости ряда bn следует сходимость ряда an , n=1

2) из расходимости ряда

∞ P

n=1

an следует расходимость ряда

n=1

bn .

n=1

. Доказательство. 1. Обозначим через An – частичные суммы ряда ные суммы ряда

∞ P

∞ P

an , а через Bn – частич-

n=1

∞ P

bn .

n=1

Суммируя неравенства a1 ≤ b 1 ,

a2 ≤ b2 ,

...,

an ≤ bn ,

получаем неравенство An ≤ Bn . Каждая из последовательностей {Bn }n∈N и {An }n∈N не убывает, так как каждый ее член образован добавлением к предыдущему неотрицательного числа. Кроме того, последовательность {Bn }n∈N имеет предел B, поскольку соответствующий ряд сходится по условию и, кроме того, Bn ≤ B, а значит, и An ≤ Bn ≤ B. По теореме о пределе неубывающей ограниченной сверху последовательности последовательность {An }n∈N имеет предел, откуда следует сходимость со∞ P an . ответствующего числового ряда n=1

2. В предположении противного, пусть ряд

∞ P

bn сходится, откуда в силу пер-

n=1

вой части утверждения следует сходимость ряда

∞ P

an , что противоречит его

n=1

расходимости. J

При решении задач удобно использовать признак сравнения в предельной форме. Признак сравнения в предельной форме. Если an = K 6= 0, lim n→∞ bn то ряды

∞ P n=1

an и

∞ P

bn сходятся и расходятся одновременно.

n=1

29

Признак Даламбера. Ряд

∞ P

an с положительными членами

n=1

an an ≤ q < 1, n = 1, 2, . . . ; расходится, если ≥ 1. сходится, если an−1 an−1 . Доказательство. Запишем общий член ряда an в виде a2 a3 an an = a1 · · · ··· · a1 a2 an−1 an А. Из условия ≤ q < 1 следует, что an−1 an ≤ a1 q n−1 , Так как ряд

∞ P

(n = 1, 2, . . . )

где q < 1.

a1 q n−1 сходится, то в силу признака сравнения исходный ряд

n=1

также сходится. an Б. Из неравенства ≥ 1 (n ∈ N ) следует, что an ≥ an−1 ≥ · · · ≥ a1 ≥ an−1 ∞ P 0 (n ∈ N ). Ряд a1 расходится, поэтому и исходный ряд расходится. J

n=1

Признак Даламбера в предельной форме. ∞ P an = K, Если для ряда an с положительными членами существует lim n→∞ an−1 n=1 то при K < 1 исходный ряд сходится; при K > 1 – расходится. Пример 1. Исследуем на сходимость ряд ∞ X cos2 n n(n + 1) n=1

Данный ряд является положительным рядом, причем для его членов справедливо неравенство cos2 n 1 ≤ . n(n + 1) n(n + 1) ∞ P 1 Выше мы установили, что ряд сходится, поэтому и исходный ряд n=1 n(n + 1) сходится в силу признака сравнения. 2. Исследуем на сходимость ряд ∞ X 5 + 3 · (−1)n n=1

2n+3 30

Данный ряд является положительным рядом. Так как −3 ≤ 3 · (−1)n ≤ 3, 2 ≤ 5 + 3 · (−1)n ≤ 8, 2 2n+3 ряд

∞ P n=1


1 n 2

5 + 3 · (−1)n 23 ≤ ≤ n+3 , 2n+3 2

сходится, в силу признака сравнения сходится и исходный ряд.

3. Исследуем на сходимость ряд ∞ X 2n2 + 5n + 1 √ n6 + 3n2 + 2 n=1

Общий член ряда 1 n2 + 5n + 1 ∼ √ = bn an = √ n n6 + 3n2 + 2

при

n → ∞,

∞ 1 P √ расходится. n n=1 Вычислим   2 an 1 n + 5n + 1 = 1, lim = lim √ :√ n→∞ bn n→∞ n n6 + 3n2 + 2 откуда следует расходимость исходного ряда в силу признака сравнения в предельной форме. 4. Исследуем на сходимость ряд

причем

∞ X 2n n=1

n!

Для данного ряда 2n an = , n!

an+1

2n+1 = . (n + 1)!

Вычислим  n+1  2 2n 2n · 2 · n! an+1 lim = lim : = lim n = n→∞ (n + 1)! n! n→∞ 2 · n! · (n + 1) n→∞ an 2 = 0 < 1, n→∞ (n + 1)

= lim

поэтому исходный ряд сходится в силу признака Даламбера в предельной форме. 31

10.6. Упражнения Задание 10.1. Напишите первые десять членов ряда, если общий член ряда имеет вид 1 1) an = n2 ; 2) an = ; (2n − 1)2 2n−1 ; 3) an = 2n + 1

4) an =

1 ; (2n − 1)(2n + 3)

5n 5) an = ; n!

6) an =

n ; 3n (n + 4)

7) an 9) an 11) an 13) an

(−1)n+1 ; = n2 πn = cos ; 2 πn = sin ; 6 πn = 1 − cos ; 3

2 + (−1)n · 5 8) an = ; (3n − 1) 10) an = (−1) 12) an = (−1) 14) an = (−1)

n(n−1) 2

;

n(n−1)(n−2) 2

n(n+1) 2

·

;

1 2n

Задание 10.2. Найдите общий член ряда 1 1 1 1 1 + + + + + ... 2 4 8 16 32 1 1 1 1 + + + + ... 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4 5 ln 5 1 1 1 1 1 1+ + + + + + ... 4 7 10 13 16 1 1 1 1 1 + + + ... 1+ + + 2 6 24 120 720 1 1 1 1 1 1− + − + − + ... 3 5 7 9 11 5 7 9 3 + + + + ... 1 · 4 4 · 9 9 · 16 16 · 25 1 + 0 − 1 + 0 + 1 + 0 − 1 + 0 + 1 + ...

1) 1 + 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Задание 10.3. Найдите n-ую частичную сумму и сумму ряда 2 2 2 + + ··· + n ..., 5 25 5 1 1 1 + + ··· + ... 2) 1·2 2·3 n · (n + 1)

1)

32

1 1 1 + + ··· + ... 3·4 4·5 (n + 2) · (n + 3) 1 1 1 4) + + ··· + ... 1·4 4·7 (3n − 2) · (3n + 1) 3)

1 1 1 (−1)n−1 + ··· + + ... 5) 1 − + − 3 9 27 3n−1       1 1 1 1 1 1 + + + + ··· + + + ... 6) 2 3 22 32 2n 3n +∞ P

1 ; 2 n=1 n − 1

7)

8)

n=1

+∞ P

1 9) ; n=1 n(n + 2)(n + 3) +∞ P

1 3 cos ; n n 2 2 n=1   +∞ P 1 13) ; ln 1 + n n=2 11)

sin

+∞ P

10) +∞ P

4n2

1 ; + 4n − 3

+∞ P

1 ; 2 n=1 25n + 5n − 6

3 sin ; n+1 n+1 2 2 n=1   +∞ P 2 14) ln 1 − n(n + 1) n=2 12)

sin

1

Задание 10.4. Докажите расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости 3n3 − 2 1) ; 3 n=1 2n − 1 +∞ P

3) 5)

+∞ P

n+2 √ ; n2 + 1 n=1 r +∞ P 3n + 4 4) ; 5n + 1 n=1 +∞ P√ 3 6) 3n sin ; n n=1 2)

+∞ P

n 1 sin ; n n=1 2 +∞ P

2n + 1 √ ; n+4 n=1

n2 − n 8) ; 2 n=1 2n + n

+∞ P

+∞ P

1 7) cos ; 5n − 3 n=1 n3 + 4 9) ; 3 n=1 −7n − 4

√ π n n sin ; 2n n=1 √ +∞ P 11n n √ 12) ; n2 + n n=1 +∞ P 9n2 − 7n 14) ln 2 3n + 5n n=1

+∞ P

10)

πn2 + 1 11) cos 2 ; n +4 n=1 √ +∞ P πn n + 1 ; 13) sin √ 3+1 2 n n=1 +∞ P

33

+∞ P

Задание 10.5. Исследуйте ряды на сходимость а) используя признак сравнения +∞ P

1 ; 1) 2 n=1 n + 1 3) 5)

1 ; 2 n=1 n (n + 1) +∞ P

√

9)

+∞ P n=1

4)

+∞ P

tg

n=1

1 ; n2 + 2n

6)

+∞ P

n ; 3 n=1 n + 7

8)

1 ; n4 + 1

10)

π ; 2n

π ; 4n

sin

n=1

+∞ P

r

sin

n=1

+∞ P

n=1

7)

2)

+∞ P

π ; 3n

+∞ P

3 ; n=1 2n + 7 +∞ P

sin

n=1

3 + (−1)n ; n2

11)

n ; 7+7 n n=1

12)

sin2 3n √ ; n n n=1

13)

3 + 2 · (−1)n ; 5n n=1

14)

5 + 3 · (−1)n+1 ; 2n n=1

+∞ P

+∞ P

+∞ P

+∞ P

b) интегральный признак 15) 17)

+∞ P

1 ; 2 n=1 n + 1 +∞ P

16)

+∞ P

n+2 ; 2 n=1 n +∞ P

n=1

1 ; n=2 n ln n

+∞ P

+∞ P

e−n ;

18)

1 19) 2 ; n=2 n ln n

20)

n ; 2 n=1 n + 1

c) признак Даламбера +∞ P

1 ; 21) n n=1 n!3 23)

22)

+∞ P n=1

5n ; 5 n n=1

√

n

2n

;

+∞ P

24)

+∞ P

7n + 4 ; n! n=1

+∞ P

25)

2n − 1 ; n! n=1

26)

n3 ; n=1 n!

27)

7n ; n n=1 n · 3

28)

(n!)2 . n=1 (2n)!

+∞ P

34

+∞ P

+∞ P

Лекция 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 11.1. Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям 11.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений 11.3. Дифференциальные уравнения первого порядка 11.4. Некоторые методы решения уравнений первого порядка 11.5. Упражнения 11.1. Задачи естествознания, приводящие к дифференциальным уравнениям Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные различных порядков, называется дифференциальным уравнением. Прежде чем мы перейдем к основным понятиям, используемым в теории дифференциальных уравнений, рассмотрим задачи, возникающие в естествознании и приводящие к нахождению функции – решению дифференциального уравнения. Задача 1 (из области геометрии). Найти кривую, проходящую через точку M0 (0; 1), причем в каждой точке этой кривой угловой коэффициент касательной равен абсциссе точки касания. Пусть y = y(x) есть уравнение кривой, обладающей указанным свойством. Обозначим через ϕ угол между касательной к графику функции y = y(x) в каждой точке M (x; y) и положительным направлением оси 0x, тогда tg ϕ = y 0 (x), а по условию задачи tg ϕ = x, поэтому y 0 (x) = x. Таким образом, задача состоит теперь в том, чтобы найти неизвестную функцию, производная которой связана с аргументом функции уравнением y 0 (x) = x, то есть решить дифференциальное уравнение. Последнее уравнение можно решить непосредственным интегрированием, то есть искомая функция имеет вид x2 + C, y(x) = 2 где C – произвольная постоянная, появляющаяся в результате интегрирования. В результате решения дифференциального уравнения мы получили не одну функцию, а целое семейство функций. 35

По условию задачи требуется, чтобы искомая функция проходила через точку M0 (0; 1), поэтому

c =1 c=0

1

2

y(x) =

y

x + 1. 2

0

c = -1

x

c = -2

Задача 2 (из области физики). Пусть в момент времени t материальная точка, движущаяся прямолинейно вдоль оси 0x, принимает положение x. Пусть известна скорость движения этой точки f (t) как функция переменной t. Найти закон движения материальной точки, если моменту времени t0 соответствует положение точки x0 . Поскольку скорость движения материальной точки в момент времени t равна производной x0 (t), а по условию x0 (t) = f (t), то опять приходим к дифференциальному уравнению, которое задает закон движения материальной точки в дифференциальной форме. Задача 3 (из области биологии). Пусть в условиях эпидемии некоторое заболевание носит длительный характер, так что процесс передачи инфекции значительно более быстрый, чем течение самой болезни, причем будем полагать, что зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встрече инфекцию незараженным особям. Обозначим через a и b число зараженных и незараженных особей в начальный момент времени соответственно, через x(t) и y(t) – число зараженных и незараженных особей в момент времени t соответственно. Тогда для всех моментов времени t из некоторого промежутка t ∈ [0; T ] справедливо равенство x + y = a + b. Число незараженных особей убывает с течением времени пропорционально количеству встреч между зараженными и незараженными особями xy. Тогда для промежутка [t, ∆t] справедливо равенство ∆y = y(t + ∆t) − y(t) = −βxy∆t, откуда, с учетом равенства x = −y + a + b, приходим к дифференциальному уравнению y 0 = −βy(a + b − y) 36

относительно функции y(x), описывающей закон убывания незараженных особей при эпидемии. Здесь через β обозначен коэффициент передачи инфекции. Задача 4 (еще раз из области биологии). Рассмотрим колонию микроорганизмов, обитающую в в условиях неограниченных ресурсов питания, и, кроме того, колония не подавляется никаким другим видом. Найти закон изменения x(t) числа живых особей с течением времени в предположении дифференцируемости функции x(t). Микроорганизмы с течением времени размножаются и погибают, поэтому с течением времени число живых микроорганизмов в колонии меняется. Обозначим через x(t) число живых организмов в момент времени t, а через x(t + ∆t) – число живых организмов в момент времени t + ∆t, тогда разность x(t + ∆t) − x(t) = ∆x есть приращение функции x(t) за промежуток времени от t до t + ∆t, которое представляет собой разность между R – числом особей, родившихся за этот промежуток времени, и S – числом особей, погибших за этот промежуток времени. Как показывают эксперименты, величина R зависит от продолжительности времени наблюдения, то есть от ∆t, и от числа "родителей"x линейно, то есть R = f (x)∆t. Функция f (x), как правило, определяется экспериментально и существенно зависит от изучаемого вида, причем она естественно растет с ростом x и f (0) = 0. В самом простом случае в качестве функции f (x) берут линейную функцию, когда численность потомства "пропорциональна"числу родителей, например, f (x) = αx, тогда R = αx∆t. Рассуждая аналогично относительно функции S и рассматривая простейший случай, когда f (x) = αx, получим S = βx∆t. Таким образом, ∆x = αx∆t − βx∆t. Разделим его обе части на ∆t и перейдем к пределу при ∆t → 0. В силу дифференцируемости функции x(t) получим дифференциальное уравнение dx = εx, dt

где

εx = α − β.

Очевидно, в природе в чистом виде не существует колоний микроорганизмов с перечисленными выше свойствами. Однако часто в целях изучения объекта рассматривают его модель – упрощенную копию. Вопрос о том, насколько модель соответствует реальной ситуации, решает экспериментальная проверка. Последнее уравнение описывает, например, процесс перехода вещества в раствор, то есть позволяет решать задачи из других областей естествознания. 37

11.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений Дифференциальным уравнением называют уравнение, в которое помимо неизвестной функции входят также ее производные различных порядков, а также независимая переменная. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называют порядком уравнения. Все рассмотренные выше в задачах уравнения являются уравнениями первого порядка. Произвольное дифференциальное уравнение n-ного порядка можно записать в виде F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0. Решением дифференциального уравнения называется функция, подстановка которой в уравнение обращает его в тождество. Решая задачу 1, мы убедились в том, что дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Решение уравнения n-ного порядка зависит в общем случае от n произвольных постоянных C1 , C2 , . . . , Cn . Решение дифференциального уравнения, включающее все произвольные постоянные, называется общим решением уравнения. Придавая произвольным постоянным конкретные численные значения, мы получим решение, называемое частным решением уравнения. Процесс нахождения решения уравнения называют интегрированием этого уравнения. График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Пример 1. Функция y = sin x является решением дифференциального уравнения y 00 + y = 0, в чем мы убеждаемся непосредственной подстановкой: y 0 = cos x,

y 00 = − sin x,

y 00 + y = − sin x + sin x = 0. 1 , x 6= 1 является решением дифференциального уравне1−x ния y 0 = y 2 , так как  2 1 1 1 0 2 0 , y −y = − = 0. y = (1 − x)2 (1 − x)2 1−x 2. Функция y =

38

3. Решим дифференциальное уравнение y 000 = 1 непосредственным интегрированием: y 000 = 1, y 00 = x + C1 , x2 + C1 x + C2 , y = 2 x3 x2 + C1 + C2 x + C3 . y= 6 2 0

Общее решение уравнения имеет вид x3 x2 y(x, C1 , C2 , C3 ) = + C1 + C2 x + C3 . 6 2 Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее условиям y(0) = 1,

y 0 (0) = 1,

y 00 (0) = 1.

Так как уравнение имеет третий порядок, то для нахождения трех произвольных постоянных указанных условий должно быть достаточно   3 x x2 = C3 = 1, y(0) = + C1 + C2 x + C3 6 2 x=0   2 x = C2 = 1, y 0 (0) = + C1 x + C2 2 x=0 y 00 (0) = [x + C1 ]x=0 = C1 = 1, поэтому частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным выше условиям, будет имеет вид x3 x2 y(x) = + + x + 1. 6 2 Во многих задачах, приводящих к дифференциальным уравнениям, требуется найти решение, которое вместе со своими производными принимает заданные значения при фиксированном значении независимой переменной (в последнем примере мы искали решение, удовлетворяющее заданным условиям в точке x = 0). Это могут быть, например, значения самой функции и ее производных в начальный момент x = x0 . В общем случае начальные условия для уравнения n-ного порядка имеют вид y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , ... y n−1 (x0 ) = yn−1 , 39

число условий совпадает с числом произвольных постоянных, то есть равно порядку дифференциального уравнения. Эту задачу называют задачей Коши. Большинство дифференциальных уравнений решаются приближенными методами. Мы рассмотрим некоторые аналитические методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. 11.3. Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка можно записать в виде F (x, y, y 0 ) = 0. Функция y = y(x), определенная и непрерывно дифференцируемая в интервале (a; b) и обращающая уравнение в тождество F (x, y(x), y 0 (x)) = 0, справедливое для всех значений x ∈ (a; b), называется решением данного уравнения в интервале (a; b). Пусть дифференциальное уравнение первого порядка записано в виде, разрешенном относительно первой производной dy = f (x, y). dx Предположим, что мы умеем находить решение последнего уравнения, то есть мы знаем функцию y = y(x), ее график – интегральная кривая – в точке с координатами (x; y) имеет касательную, образующую с осью 0x угол, тангенс которого равен f (x; y), его обычно называют наклоном касательной. Наклоны касательных можно указать, не находя интегральных кривых, в результате получим поле направлений. Пример Рассмотрим уравнение dy = x2 + y 2 , dx его интегральные кривые пересекают ось 0x под углом ϕ, tg ϕ = x2 . Кривая, в каждой точке которой направление поля, определяемой дифференциальным уравнением, одно и то же, называют изоклиной этого уравнения. Для уравнения первого порядка изоклиной является кривая с уравнением f (x, y) = k,

40

k = const.

y

В последнем уравнении изоклинами будут окружности с центром в начале координат, уравнения которых x2 + y 2 = k,

arctg 4

k > 0,

45

Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси 0x под углом, равным arctg k.

0

1

2

x

Задача Коши для уравнения первого порядка ставится так: найти решение уравнения первого порядка, удовлетворяющее условию dy = f (x, y), dx где x0 , y0 – заданные числа.

y(x0 ) = y0 ,

11.4. Некоторые методы решения уравнений первого порядка Уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называют дифференциальное уравнение первого порядка, которое имеет вид f (x)g(y)dy + h(x)r(y)dx = 0, так что коэффициенты при dy и при dx есть произведения функций, одна из которых зависит только от y, а другая – только от x. Такое уравнение допускает "разделение"переменных – одна часть уравнения зависит от переменной y, а другая – от x. Будем предполагать, что все входящие в уравнение функции непрерывны при рассматриваемых значениях y и x. Рассмотрим вначале случай, когда f (x) 6= 0, r(y) 6= 0. В этом случае можно обе части уравнения разделить на произведение f (x)r(y), получим уравнение g(y) h(x) dy = − dx. r(y) f (x) Интегрируя, находим общее решение уравнения в виде Z Z g(y) h(x) dy = − dx + C. r(y) f (x) 41

Отдельно рассматривается случай, когда имеет место хотя бы одно из равенств f (x) = 0, r(y) = 0. Пример Решим дифференциальное уравнение x(1 + y 2 )dx + y(1 + x2 )dy = 0. Поскольку 1 + y 2 6= 0, 1 + x2 6= 0, разделим обе части данного уравнения на (1 + y 2 )(1 + x2 ), получим x y dx + 2 dy = 0. 2 x +1 y +1 Проинтегрируем последнее уравнение, получим Z Z x y dx + dy = C, x2 + 1 y2 + 1 1 1 ln |x2 + 1| + ln |y 2 + 1| = ln D2 , ln D2 = C, 2 2 ln ((x2 + 1)(y 2 + 1)) = ln D2 , (x2 + 1)(y 2 + 1) = D2 . Общее решение исходного уравнения имеет вид (x2 + 1)(y 2 + 1) = D2 . Линейные дифференциальные уравнения Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида a(x)y 0 + b(x)y + c(x) = 0, оно линейно относительно неизвестной функции y(x) и ее первой производной y 0 (x), коэффициенты a(x), b(x), c(x) – заданные непрерывные функции, причем функция a(x) предполагается отличной от нуля. По предположению a(x) 6= 0, поделим обе части данного уравнения на a(x), получим b(x) c(x) y 0 + p(x)y = f (x), где p(x) = , f (x) = − . a(x) a(x) Если в последнем уравнении f (x) = 0, его называют однородным, в противном случае – неоднородным. Это уравнение решается методом Бернулли, который состоит в следующем. Сделаем в последнем дифференциальном уравнении замену переменных, полагая y = u(x) · v(x), y 0 (x) = u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x). 42

Подставим полученные выражения в уравнение y0 + p(x) y = f (x), получим u0 (x) · v(x) + u(x) · v 0 (x) + p(x)u(x)v(x) = f (x), u(x) · v 0 (x) + v(x)(u0 (x) + p(x)u(x)) = f (x). Подберем функцию u(x) так, чтобы коэффициент при v(x) оказался равным нулю, для этого решим уравнение с разделяющимися переменными u0 (x) + p(x)u(x) = 0 и найдем одно из его решений. Тогда приходим к уравнению u0 (x)·v(x) = f (x), в котором в качестве функции u(x) берут найденную на предыдущем шаге функцию. Последнее уравнение есть также уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим искомую функцию y = y(x). Пример Решим уравнение xy 0 − y = x2 ex . Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, неоднородное. Непосредственная подстановка в уравнение x = 0 показывает, что данное уравнение решений не имеет, поэтому деление обеих частей уравнения на x не приводит к потере решений. Поделим обе части данного уравнения на x, получим 1 y 0 − y = xex . x Сделаем замену переменных, полагая y = u(x) · v(x), получим 1 u0 v + uv 0 − uv = xex , x 1 v 0 · u + v(u0 − u) = xex . x Подберем функцию u(x) так, чтобы коэффициент при v обратился в нуль, для этого решим уравнение 1 u0 − u = 0, x которое является уравнением с разделяющимися переменными. Перепишем его в виде du u = , dx x в результате интегрирования получим общее решение ln |u| = ln |x| + ln C,

u = Cx.

Рассмотрим частное решение, например, при C = 1, то есть u(x) = x. 43

1 u) = xex , получим x еще одно уравнение с разделяющимися переменными xv 0 = xex , решая его аналогично предыдущему, получим общее решение в виде Подставим функцию u(x) = x в уравнение v 0 · u + v(u0 −

v(x) = ex + C. Тогда функция y(x) = u(x) · v(x) = xex + Cx есть общее решение данного уравнения. Рассмотренные в лекции задачи, конечно, не исчерпывают всего многообразия задач, решение которых сводится к решению дифференциальных уравнений. Заинтересованный читатель может обратиться к списку литературы, приведенной в конце пособия. 11.5. Упражнения Задание 11.1. Проверьте, является ли функция y = f (x) решением данного дифференциального уравнения y − xy = p

1) f (x) = 5x + 0, 5, 2) f (x) = x +

√

1 + (y 0 )2

,

(xy + 1)dx = (x2 + 1)dy,

1 + x2 ,

dy 3y − = 0, dx x dy (x − 1) + y = 0, dx

3) f (x) = 2x3 , 4) f (x) =

y0

0

2 , x−1

2

5) f (x) = (x − 2)3 ,

y 0 = 3y 3 ,

6) f (x) = 4x3 ,

xy 0 = 3y,

7) f (x) = sin (x + 3),

(y 0 )2 + y 2 = 1,

8) f (x) = x − 1, √ 9) f (x) = x3 − x,

x2 y 0 − xy = yy 0 , 2xyy 0 − y 2 = 2x3 , x(x − 2)y 00 − (x2 − 2)y 0 +

10) f (x) = x2 + ex ,

+2(x − 1)y = 0, p

(yy 00 + (y 0 )2 )2 = −y 3 y 00 ,

1 − (x − 1)2 , √ 12) f (x) = 1 − x, 11) f (x) =

y 000 y 0 = 3(y 00 )2 , 44

13) f (x) = 0, 25(x + 1)2 ,

x(y 0 )2 = y(2y 0 − 1),

14) f (x) = 5x2 ,

x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0

Задание 11.2. Решите дифференциальное уравнение, найдите решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, постройте соответствующую этому решению интегральную кривую 1) xy 0 = x + 1, 2) 3) 4) 5) 6)

y(1) = 1,

dy 2y = , dx x dx xydy = , x 2y dy = − dx, x y y0 = , 2x 2x2 yy 0 + y 2 = 2,

y(2) = 1, y(1) = 0, y(1) = 1, y(2) = 0, y(1) = 3,

7) y 0 − xy 2 = 2xy,

y(0) = 1,

dy + y = 0, dx y x dx + dy = 0, 1 + x2 1 + y2 dy = xy 2 + 2xy, dx y 0 ctg x + y = 2, p 0 y = 3 y2,

8) (x + 2)

y(0) = 1,

9)

y(0) = 0,

10) 11) 12)

y(0) = 2, y( π4 ) = −1, y(2) = 0,

13) xy 0 + y = y 2 ,

y(1) = 0, 5,

14) xydx + (x + 1)dy = 0,

y(0) = 3,

Задание 11.3. Решите следующие однородные уравнения 1) xy 0 − 2y = 2x4 ,

2) x2 y 0 + xy + 1 = 0,

sin2 x 3) y sin x − y cos x = − 2 , x 5) (2x + 1)y 0 = 4x + 2y, 0

4) (xy + ex )dx − xdy = 0, 6) y = x(y 0 − x cos x),

7) xy 0 + (x + 1)y = 3x2 e−x 45

Лекция 12. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 12.1. Скалярные и векторные величины 12.2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве 12.3. Скалярное произведение векторов и его свойства 12.4. Линейные пространства 12.5. Упражнения 12.1. Скалярные и векторные величины Величина, полностью характеризующаяся своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скаляром. К ним относятся, например, температура воздуха, масса тела, число студентов в аудитории. Величина, которая кроме своего численного значения характеризуется еще и направлением, называется вектором. C помощью векторов удобно, например, характеризовать физические величины – силу, скорость и др. Геометрически вектор изображают в виде направленного отрезка, у которого известны начало и конец. Обычно вектор обозначают с помощью B −→ a двух прописных латинских букв AB, где A – начаA ло вектора, B – его конец, или с помощью одной строчной латинской буквы ~a. Каждому вектору можно поставить в соответствие скаляр – длину вектора. −→ Длину вектора обозначают |AB| = AB или |~a| = a. Векторы называют сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и концы векторов лежат в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала. Векторы называют противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и концы векторов лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, проходящей через их начала. Два вектора называют равными, если они сонаправлены и имеют равные длины. Два вектора, отложенные из одной точки, можно складывать по правилу параллелограмма. a c Пусть векторы ~a и ~b имеют общее начало. Суммой двух векторов ~a и ~b называют вектор ~c – диагональ параллелограмма, построенного на векторах ~a и ~b, – b ~ начало которого совпадает с началом векторов ~a и b. 46

Вектор, конец которого совпадает с его началом, называют нулевым векто~ Его длина равна нулю, а направление не определено: ему ром и обозначают Θ. можно приписать любое направление. Разностью двух векторов ~a и ~b называют вектор ~c такой, что ~b + ~c = ~a. Произведением числа k на вектор ~a называют вектор~c, длина которого равна |k||~a|, а направление совпадает с направлением вектора ~a, если k > 0, и противоположно вектору ~a, если k < 0. ~ то Вектор (−~a) называют противоположным вектору ~a, если ~a + (−~a) = Θ, есть противоположно направлены и имеют равные длины. Введенные операции над векторами обладают следующими свойствами: 1. ~a + ~b = ~b + ~a 2. (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c) 3. k(m~a) = (km)~a,

k, m = const

4. (k + m)~a = k~a + m~a 5. k(~a + ~b) = k~a + k~b,

k, m = const

~ 6. ~a + (−~a) = Θ ~ = ~a 7. ~a + Θ ~ 8. 0 · ~a = Θ 9. 1 · ~a = ~a ~ = Θ, ~ 10. k · Θ

k = const

11. −1 · ~a = −~a Пусть даны векторы ~a, ~a1 , ~a2 , ~a3 , . . . ~an и числа α1 , α2 , α3 , . . . αn , тогда вектор ~a, записанный в виде ~a = α1~a1 + α2~a2 + α3~a3 + · · · + αn~an , называют линейной комбинацией векторов ~a1 , ~a2 , ~a3 , . . . ~an . 12.2. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве Проведем на плоскости две взаимно перепендикулярные прямые 0x, 0y, точку их пересечения обозначим через 0 и будем считать ее началом отсчета на каждой из прямых 0x, 0y. Кроме того, на каждой из прямых выберем направление и единицу длины. Прямую 0x называют осью абсцисс, прямую 0y – осью ординат. Плоскость с введенной таким образом системой координат можно рассматривать как декартово произведение R × R, которое обозначают через R2 . 47

Пусть на плоскости взята точка M . Через точку y M проведем прямую, параллельную оси 0y. ТочM ке Mx пересечения прямой с осью 0x соответy0 ствует единственное действительное число x0 (см. Лекцию 1). Через точку M проведем прямую, па1 rM раллельную оси 0x. Точке My пересечения пряe2 мой с осью 0y соответствует единственное дейx ствительное число y0. Таким образом, точке M со0 e1 1 x0 ответствует единственная упорядоченная пара чисел (x0 ; y0 ). И наоборот, упорядоченной паре чисел (x0 ; y0 ) соответствует на плоскости одна точка M, которая получается в результате пересечения двух прямых – прямой, параллельной оси 0y и проходящей через точку Mx с координатой x0 на оси 0x, и прямой, параллельной оси 0x и проходящей через точку My с координатой y0 на оси 0y. Упорядоченную пару чисел, однозначно определяющую точку на плоскости, называют декартовыми координатами точки. Каждой точке M на плоскости можно поставить в соответствие вектор ~rM , начало которого совпадает с началом координат, а конец – с данной точкой M . Этот вектор ~rM называют радиус-вектором точки M , он имеет те же координаты, что и точка M . Поскольку равные векторы имеют равные длины и сонаправлены, все такие векторы можно считать отложенными от начала координат и имеющими одинаковые координаты. Вектор, отложенный от начала координат, называют свободным вектором. Причем сам вектор отождествляют с набором его координат и −−→ пишут OM = (x0 ; y0 ). Точку с координатами (1; 0) обозначим через E1 , а соответствующий ей −−→ радиус-вектор – через ~e1 = OE1 ; точку с координатами (0; 1) обозначим через −−→ E2 , а соответствующий ей радиус-вектор – через ~e2 = OE2 . Длины векторов ~e1 и ~e2 равны единице, и, кроме того, они лежат на взаимно перпендикулярных прямых. −−−→ −−−→ Вектор OMx = x0~e1 , причем векторы OMx и ~e1 сонаправлены, если x0 > 0, −−−→ и противоположно направлены, если x0 < 0. Аналогично OMy = y0~e2 , причем −−−→ векторы OMy и ~e2 сонаправлены, если y0 > 0, и противоположно направлены, если y0 < 0. −−→ По правилу параллелограмма вектор OM можно представить в виде линейной комбинации векторов ~e1 и ~e2 , то есть −−→ −−−→ −−−→ OM = OMx + OMy = x0~e1 + y0~e2 . Последнее равенство называют разложением вектора. 48

Аналогично вводится понятие декартовых координат точки и радиус-вектора точки в пространстве. Рассматриваются в пространстве три взаимно перпендикулярных прямых 0x, 0y, 0z, точку их пересечения, как и раньше, обозначим через 0. На каждой из прямых указывается направление и единица длины. Ось 0x также называют осью абсцисс, ось 0y – осью ординат, ось 0z – осью аппликат. Пространство с введенной таким образом системой координат можно рассматривать как декартово произведение пространства R2 × R, которое называют пространством R3 . Для нахождения координат точки M в пространстве R3 через точку M проводят z Mz плоскости, параллельные осям 0x, 0y, 0z. z0 В результате пересечения осей и плоскостей получаем на соответствующих осях точки Mx , My , Mz , координаты которых M 1 rM на осях соответственно равны x0 , y0 , z0 . e3 Таким образом, каждой точке M My 3 e1 y0 y пространства R ставится в соответ0 e2 1 ствие единственный упорядоченный на1 бор чисел (x0 ; y0 ; z0 ). Верно и наобоMx рот. Каждой упорядоченной тройке чиx x0 сел (x0 ; y0 ; z0 ) соответствует единственная точка в пространстве R3 . Вектор, начало которого совпадает с началом координат, а конец – с точкой M, называют радиус-вектором точки M. Геометрически радиус-вектор точки −−→ −−→ −−→ M есть диагональ параллелепипеда, построенного на векторах 0Mx , 0My , 0Mz . Поэтому, если обозначить через ~e1 – радиус-вектор точки E1 (1; 0; 0), через ~e2 – радиус-вектор точки E2 (0; 1; 0), через ~e3 – радиус-вектор точки E3 (0; 0; 1), то −→ разложение вектора 0M по осям координат будет иметь вид −−→ −−−→ −−−→ −−→ OM = OMx + OMy + OMz = x0~e1 + y0~e2 + z0~e3 . 12.3. Скалярное произведение векторов и его свойства Результатом выполнения операций сложения векторов и умножения вектора на число является вектор. Рассмотрим операцию, которая каждой паре векторов ставит в соответствие скаляр, то есть число. Скалярным произведением двух векторов x и y называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (x, y) = | x || y | cos ∠(x, y). Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами. 49

1. Скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей (x, y) = (y, x). По определению скалярного произведения (x, y) = | x || y | cos ∠(x, y) = | y || x | cos ∠(y, x) = (y, x). 2. Числовой множитель можно выносить за знак скалярного произведения (α x, y) = α(x, y). По определению скалярного произведения (α x, y) = |α x || y | cos ∠(α x, y) = |α|| x || y | cos ∠(α x, y). Если α > 0, то векторы x и α x сонаправлены, поэтому cos ∠(α x, y) = cos ∠(x, y),

|α| = α,

тогда |α|| x || y | cos ∠(α x, y) = α| x || y | cos ∠(x, y) = α(x, y). Если α < 0, то векторы x и α x противоположно направлены, поэтому  cos ∠(α x, y) = cos 180◦ − ∠(x, y) = − cos ∠(x, y), |α| = −α, тогда |α|| x || y | cos ∠(α x, y) = −α| x || y |(− cos ∠(x, y)) = = α| x || y | cos ∠(x, y) = α(x, y). 3. Скалярное произведение векторов обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны. Пусть один из векторов – нулевой, например, x = Θ, то | x | = 0. Так как нулевой вектор можно считать перпендикулярным любому вектору, поэтому векторы x и y перпендикулярны. Вычислим их скалярное произведение (x, y) = 0 · | y | cos ∠(x, y) = 0. Пусть ненулевые векторы x и y перпендикулярны, тогда cos ∠(x, y) = 0, поэтому (x, y) = | x || y | cos ∠(x, y) = 0. Наоборот, пусть скалярное произведение векторов x и y равно 0. Тогда либо | x | = 0, либо | y | = 0, либо cos ∠(x, y) = 0, что во всех случаях означает перпендикулярность векторов x и y . 50

4. Скалярное произведение вектора x на себя равно квадрату его длины. Так как вектор x сонаправлен сам себе, то cos ∠(x, x) = 1, поэтому (x, x) = | x || x | cos ∠(x, x) = | x |2 . 5. Скалярное произведение векторов удовлетворяет распределительному закону (x + y, z) = (x, z) + (y, z).

Как отмечалось выше, если вектор x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) задан своими координатами, а векторы e1 , e2 , . . . , en образуют базис в пространстве Rn , то он может быть разложен по базису следующим образом x = x1 e1 +x2 e2 + · · · + xn en . Разложим по базису e1 , e2 , . . . , en вектор y = (y1 ; y2 ; . . . ; yn ) y = y1 e1 +y2 e2 + · · · + yn en . Систему векторов x1 , x2 , . . . , xk , называют ортогональной, если все они отличны от нулевого вектора и их всевозможные попарные скалярные произведения равны 0 (xl , xm ) = 0, если l 6= m. Теорема. Если векторы x1 , x2 , . . . , xk , образуют ортогональную систему, то они линейно независимы. . Доказательство. В предположении противного система векторов x1 , x2 , . . . , xk линейно зависима, поэтому имеет место равенство α1 x1 +α2 x2 + · · · + αk−1 xk−1 +αk xk = Θ, где среди чисел α1 , α2 , . . . , αk−1 , αk есть отличные от нуля. Умножим последнее равенство последовательно скалярно на векторы x1 , x2 , . . . , xk−1 , xk , получим набор равенств α1 (x1 , x1 ) + α2 (x2 , x1 ) + · · · + αk−1 (xk−1 , x1 ) + αk (xk , x1 ) = Θ, α1 (x1 , x2 ) + α2 (x2 , x2 ) + · · · + αk−1 (xk−1 , x2 ) + αk (xk , x2 ) = Θ, ... α1 (x1 , xk−1 ) + α2 (x2 , xk−1 ) + · · · + αk−1 (xk−1 , xk−1 ) + αk (xk , xk−1 ) = Θ, α1 (x1 , xk ) + α2 (x2 , xk ) + · · · + αk−1 (xk−1 , xk ) + αk (xk , xk ) = Θ 51

В левых частях равенств в силу ортогональности системы векторов (xl , xm ) = 0, если l 6= m, и (xm , xm ) = | xm |2 6= 0 по условию, поэтому α1 = 0, α2 = 0, . . . , αk−1 = 0, αk = 0, что противоречит линейной зависимости векторов x1 , x2 , . . . , xk , образующих ортогональную систему. J В пространстве Rn базис образуют векторы, построенные аналогично ортам в пространствах R2 , R3 e1 = (1; 0; 0; . . . ; 0), e2 = (0; 1; 0; . . . ; 0), e3 = (0; 0; 1; . . . ; 0), ... en = (0; 0; 0; . . . ; 1). Эти векторы образуют ортогональную систему, то есть их попарные скалярные произведения равны нулю (ek , em ) = 0, если k 6= m, и, кроме того, каждый вектор, по определению, имеет длину, равную 1, то есть (em , em ) = 1 ∀(m = 1, 2, . . . , n). Рассмотрим скалярное произведение векторов x и y, заданных своими координатами (x, y) = (x1 e1 +x2 e2 + · · · + xn en , y1 e1 +y2 e2 + · · · + yn en ). Пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать (x, y) = (x1 e1 , y1 e1 ) + (x1 e1 , y2 e2 ) + (x1 e1 , y3 e3 ) + · · · + +(xk ek , ym em ) + · · · + (xn en , yn en ) = = x1 y1 (e1 , e1 ) + x1 y2 (e1 , e2 ) + x2 y1 (e2 , e1 ) + · · · + +xk ym (ek , em ) + · · · + xn yn (en , en ) = = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . Таким образом, если векторы заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат. Вычислим длину вектора, заданного своими координатами, | x |2 = (x, x) = x1 x1 + x2 x2 + · · · + xn xn = x21 + x22 + · · · + x2n . 52

Тогда |x| =

q

x21 + x22 + · · · + x2n .

Из определения скалярного произведения следует, что cos ∠(x, y) =

(x, y) x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn p =p 2 . 2 2 | x || y | x1 + x2 + · · · + xn y12 + y22 + · · · + yn2

Найдем косинусы углов, которые образует вектор x с осями координат, например, с осью Oxk , для этого воспользуемся скалярным произведением векторов x и ek (x, ek ) xk =p 2 cos ∠(x, ek ) = . | x || ek | x1 + x22 + · · · + x2n Косинусы углов, которые образует вектор x с осями координат, называют направляющими косинусами вектора x. 12.4. Линейные пространства Знакомство с понятием вектора на плоскости и в пространстве происходит уже в школьном курсе математики. Как на плоскости, так и в пространстве, вектор, помимо его длины и направления, может характеризоваться своими координатами. Свойства и отношения, характерные для векторов, используются также для описания многих понятий в окружающей нас действительности. Говорят, что на множестве A определены операции сложения и умножения на число, если для любых двух элементов x, y множества A их сумма x + y также принадлежит множеству A и в результате умножения произвольного элемента x множества A на действительное число k получается элемент k x, принадлежащий множеству A. Линейным пространством называется множество A, удовлетворяющее следующим условиям: 1. x + y = y + x (коммутативность); 2. (x + y) + z = x +(y + z) (ассоциативность); 3. Существует нулевой элемент Θ ∈ A такой, что для любого элемента x ∈ A выполняется равенство x +Θ = x; 4. Для любого элемента x ∈ A существует ему противоположный элемент (− x) ∈ A такой, что x +(− x) = Θ; 5. Для любого элемента x ∈ A 1 · x = x, (−1) · x = − x, 0 · x = Ø, kΘ = Θ; 6. Для любых действительных чисел k, l = const и элементов данного множества x, y ∈ A имеют место равенства k(x + y) = k x +k y, (k + l) x = k x +l x, k(l x) = (kl) x . 53

Примером линейного пространства являются рассмотренные выше пространства R2 и R3 с введенными в них операциями сложения векторов и умножения векторов на число. Рассмотрим множество всевозможных упорядоченных наборов из n чисел x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ). Суммой векторов x и y называют вектор с координатами x + y = (x1 + y1 ; x2 + y2 ; . . . ; xn + yn ). Произведением вектора x на число k называют вектор с координатами k x = (kx1 ; kx2 ; . . . ; kxn ). Под нулевым элементом будем понимать вектор, все координаты которого – нули Θ = (0; 0; . . . ; 0). Вектор (− x) с координатами (−x1 ; −x2 ; . . . ; −xn ) назовем противоположным вектору x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ). Легко проверить, что множество всевозможных упорядоченных наборов из n чисел удовлетворяет свойствам 1-6 линейного пространства, его обозначают через Rn . Пусть даны векторы x1 , x2 , . . . , xk и числа α1 , α2 , . . . , αk , выражение α1 x1 +α2 x2 + · · · + αk xk называют линейной комбинацией векторов x1 , x2 , . . . , xk . Векторы x1 , x2 , . . . , xk называют линейно зависимыми, если существуют числа α1 , α2 , . . . , αk , не все равные нулю, что выполняется равенство α1 x1 +α2 x2 + · · · + αk xk = Θ. Если последнее равенство выполняется только тогда, когда все числа α1 = α2 = · · · = αk = 0, то векторы x1 , x2 , . . . , xk называют линейно независимыми. Теорема. Для того чтобы векторы x1 , x2 , . . . , xk были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них был линейной комбинацией других. . Доказательство. 1. Пусть векторы x1 , x2 , . . . , xk линейно зависимы, тогда существуют числа α1 , α2 , . . . , αk , не все равные нулю, такие что α1 x1 +α2 x2 + · · · + αk xk = Θ. Пусть, например, α1 6= 0, тогда имеет место равенство x1 =

α2 α x2 + · · · + k xk , α1 α1

то есть вектор x1 есть линейная комбинация остальных векторов. 54

2. Пусть теперь вектор x1 есть линейная комбинация m − 1 векторов, то есть при некоторых β2 , β3 , . . . , βm , имеет место равенство x1 = β2 x2 +β3 x3 + · · · + βm xm , тогда − x1 +β2 x2 +β3 x3 + · · · + βm xm = Θ, то есть векторы x1 , x2 , . . . , xm линейно зависимы. J Систему векторов e1 , e2 , . . . , en называют базисом линейного пространства Rn , если они линейно независимы и любой вектор x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) пространства Rn может быть записан в виде x = x1 e1 +x2 e2 + · · · + xn en . Последнее равенство называют разложением вектора x по базису e1 , e2 , . . . , en .

12.5. Упражнения Задание 12.1. Выясните, какие из треугольников с вершинами в точках A, B, C являются остроугольными, прямоугольными, тупоугольными? a) на плоскости 1) A(−2; 3),

B(−1; −2), (2; −3),

2) A(−3; 0),

B(0; 3),

3) A(−3; 3),

B(−3; −3), (6; −3),

(2; 0),

4) A(−3; −3), B(0; 3),

(6; −3),

5) A(0; 7),

B(6; 4),

(6; −2),

6) A(−5; 0),

B(4; 2),

(6; −4),

7) A(−5; 4),

B(−4; 0),

(5; 4),

b) в пространстве 8) A(−2; 3; 3), B(−1; −2; 3), (2; −3; 3), 9) A(2; 2; −3), B(−1; 2; 2),

55

(3; 2; −7),

10) A(0; 1; 3),

B(−1; 0; 2),

(3; −3; 0),

11) A(−2; −2; 1), B(−1; −1; 2), (3; 3; 1), 12) A(0; 0; 3),

B(0; 3; 0),

(3; 0; 0),

13) A(−5; 2; 4),

B(2; 4; 4),

(3; −5; 1),

14) A(−2; 3; 0),

B(0; −2; 4),

(2; −4; 5)

−→ −−→ Задание 12.2. Для точек A, B, C разложить векторы AB, BC по ортам e1 , e2 пространства R2 (в условиях задания 1.a) и e1 , e2 , e3 пространства R3 (в условиях задания 1.b), найти их скалярное произведение. Задание 12.3. Векторы x и y неколлинеарны (два вектора называют коллинеарными, если они параллельны одной прямой, то есть существует число k 6= 0, такое что x = k y), a) найдите значение параметров α, β, при которых следующие векторы равны 1) 5α y +3β x,

(α − 17) x −(3β + 5) y;

2) α x +αβ y,

(3 − α2 ) y −(3 − β) x;

3) 2α x +(3α + 1) y,

(15 − 5β) x +8β y;

4) 11α x +4β y,

(37 + 5β) x +(α + 25) y;

5) 4α x +(4β − 3) y,

10α y +(3β − 4) x;

6) α x +(2 + β) y,

α y +(4 − β) x;

7) 4α x +(β + 2) y,

2(α − 1) y +3β x;

b) найдите значение параметра α, при котором следующие векторы коллинеарны 8) (3α + 1) x +(1 − α) y, 4 x − y; 9) (α + 1) x +6 y,

x +α y;

10) (α − 3) x +55 y,

x +4α y;

11) 72 x +(α − 6) y,

α x + y;

12) 6 x +(α − 5) y,

α x + y;

13) (α − 5) x +2 y,

3 x +α y;

14) α x + y,

x +4α y

56

Задание 12.4. Решите следующие геометрические задачи, используя элементы векторной алгебры. 1. Пусть A, B – середины сторон BC, CD параллелограмма ABCD. Выра−−→ −−→ −−→ −−→ зить векторы BD, AD через векторы AK, AM . 2. В трапеции ABCD длины оснований BC и AD связаны соотношением BC = 3AD. Диагонали трапеции пересечкаются в точке O. Выразить вектор −→ −−−→ −−→ AO через векторы ABD, AD. 3. В треугольнике ABC заданы радиус-векторы вершин треугольника rA = e1 +2 e2 +3 e3 , rB = 3 e1 +2 e2 + e3 , rC = e1 +4 e2 + e3 . Показать, что треугольник ABC равносторонний. −→ −−→ −−→ 4. Известно, что AB = x +2 y, BC = −4 x − y, CD = −5 x −3 y . Докажите, что ABCD – трапеция.

Задание 12.5. Проверьте, является ли линейным пространством множество наборов из четырех действительных чисел (u1 ; u2 ; 0; 0), (v1 ; v2 ; 0; 0), (w1 ; w2 ; 0; 0), здесь u1 ; u2 ; v1 ; v2 ; w1 ; w2 – всевозможные действительные числа (сложение элементов множества и умножение на число определено покоординатно).

57

Лекция 13. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 13.1. Основные понятия 13.2. Непрерывность функции двух переменных 13.3. Частные производные 13.4. Полный дифференциал 13.5. Упражнения 13.1. Основные понятия Рассмотрим несколько примеров. 1. В медицине дозировка лекарств часто рассчитывается, исходя из площади поверхности тела человека, для вычисления которой используется формула 1 √ S = 60 xy, где x – рост человека, y – масса его тела. Тогда площадь поверхности тела есть функция двух перменных – роста и массы тела. Причем, если фиксировать один из параметров, например, рост, то мы получим площадь поверхности тела как функцию одной переменной – массы тела. 2. Из геометрии известна формула для нахождения объема параллелепипеда V = abc, где a, b, c – линейные размеры параллелепипеда – длина, ширина, высота. Очевидно, что изменение линейных размеров приведет к изменению объема всего параллелепипеда. Поэтому объем параллелепипеда есть функция трех переменных. Если зафиксировать, например, высоту, то мы получим зависимость объема от двух переменных – длины и ширины, если зафиксировать две переменные, например, высоту и ширину, то получим зависимость объема только от длины, то есть функцию одной переменной. Рассмотрим отображение f : X −→ Y, где X ⊂ Rn , Y ⊂ R, его называют функцией n переменных, множество X – область определения функции f. Элементы множества X ⊂ Rn , то есть x = (x1 , x2 , . . . , xn ), называют аргументами функции f, числа y = f (x1 , x2 , . . . , xn ) – значениями функции. Заметим, что всякая функция n переменных, если зафиксировать несколько переменных, становится функцией меньшего числа переменных. Строго говоря, почти всякая зависимость, описывающая реальную ситуацию, есть функция весьма большого числа переменных. При изучении этой зависимости мы часто игнорируем часть несущественных переменных, заменяя их константами, тем самым ограничивая число переменных.

58

В дальнейшем изложении ограничимся рассмотрением функции двух переменных f : R2 −→ R, или z = f (x; y), где (x; y) ∈ R2 , z ∈ R . Графиком функции двух переменных z = f (x; y) называют поверхность в пространстве R3 . Часто оказывается удобным изучать изменение функции, рассматривая срез графика функции плоскостями, параллельными плоскости 0xy. Линиями уровня функции двух переменных z = f (x; y) называют множество точек плоскости 0xy, для которых функция принимает одно и то же постоянное значение f (x; y) = C, C = const.

Пример Построить линии уровня функции z = x2 + y 2 .

y

x 2+ y 2 = C C =3 C =2 C =1 0

1

2

3

x

Линии уровня в данном случае будут иметь вид x2 + y 2 = C, C = const. Заметим, что C может принимать только неотрицательные значения. В плоскости 0xy линии уровня представляют собой концентрические окружности √с центром в начале координат и радиусом C, которые при C = 0 вырождаются в точку (0; 0).

z

z = x 2+ y 2

Используя линии уровня функции, можно построить ее график. График функции z = x2 + y 2 называется параболоид. Линиями уровня обозначают на географических картах глубину морей и высоту гор, распределение среднесуточной температуры и т.д.

59

0

x

y

13.2. Непрерывность функции двух переменных Как уже было отмечено, если у функции двух переменных зафиксировать одну из переменных, например, переменную y, то мы получаем зависимость только от одной переменной x. Пусть точки (x; y), (x + ∆x; y), (x; y + ∆y), (x + ∆x; y + ∆y) принадлежат области определения функции z = f (x; y). Рассмотрим приращение ∆x z функции z = f (x; y), если переменная x получает приращение ∆x, а переменная y остается неизменной (то есть фиксирована) ∆x z = f (x + ∆x; y) − f (x; y), его называют частным приращением по переменной x функции z. Рассмотрим приращение ∆y z функции z = f (x; y), если переменная y получает приращение ∆y, а переменная x остается неизменной (то есть фиксирована) ∆y z = f (x; y + ∆y) − f (x; y), его называют частным приращением по переменной y функции z. Наконец, может оказаться, что обе переменные x и y получили приращение соответственно ∆x и ∆y, тогда соответствующее приращение функции ∆z = f (x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y) называют полным приращением (или приращением) функции z. Пример Найдем частные и полное приращение функции f (x; y) = xy в точке (2; 1), если ∆x = 0, 1, ∆y = −0, 1. ∆x z = f (x + ∆x; y) − f (x; y) = 2, 1 · 1 − 2 · 1 = 0, 1, ∆y z = f (x; y + ∆y) − f (x; y) = 2 · 0, 9 − 2 · 1 = −0, 2, ∆z = f (x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y) = 2, 1 · 0, 9 − 2 · 1 = −0, 11. Таким образом, замечаем, что ∆z 6= ∆x z + ∆y z. Функция двух переменных z = f (x; y) называется непрерывной в точке (x0 ; y0 ), если она определена в этой точке и бесконечно малым приращениям аргументов ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 переменных x, y соответствует бесконечно малое приращение функции ∆z.

60

13.3. Частные производные Пусть точки (x; y), (x + ∆x; y), (x; y + ∆y), (x + ∆x; y + ∆y) принадлежат области определения функции z = f (x; y). Если существует конечный предел отношения частного приращения ∆x z функции z = f (x; y) по переменной x к приращению ∆x при ∆x → 0 ∆x z f (x + ∆x; y) − f (x; y) = lim , ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim

то его называют частной производной функции f (x; y) по переменной x и обозначают ∂f = fx0 (x; y). ∂x Аналогично определяется частная производная функции f (x; y) по переменной y как предел отношения частного приращения ∆y z функции z = f (x; y) по переменной y к приращению ∆y при ∆y → 0 ∆y z f (x; y + ∆y) − f (x; y) ∂f = lim = = fy0 (x; y). ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y ∂y lim

Для вычисления частных производных от функции двух переменных используются те же правила, что и для вычисления производных от функции одной переменной. Для нахождения частной производной функции f (x; y) по переменной x переменную y фиксируют, считая ее постоянной; для нахождения частной производной функции f (x; y) по переменной y переменную x фиксируют, считая ее постоянной. Пример 1. Вычислим частные производные функции z = x2 sin y. Зафиксируем переменную y, считая ее постоянной величиной, тогда величина sin y также является постоянной, поэтому при вычислении производной функции z по переменной x множитель sin y можно вынести за знак производной ∂z = sin y · (x2 )0 = 2x sin y. ∂x Аналогично рассуждая, находим производную функции z по переменной y ∂z = x2 · (sin y)0 = x2 cos y. ∂y 2. Вычислим частные производные функции z = x2 + y 3 − 2xy. Фиксируя переменную y, находим частную производную функции по переменной x ∂z = 2x − 2y, ∂x 61

так как функция y 3 от переменной x не зависит, то ее производная по переменной x равна 0. Фиксируя переменную x, находим частную производную функции по переменной y ∂z = 3y 2 − 2x, ∂y так как функция x2 от переменной y не зависит, то ее производная по переменной y равна 0. 13.4. Полный дифференциал Пусть z = f (x; y) есть функция двух независимых переменных, имеющая непрерывные частные производные по переменным x и y. И полное приращение ∆z = f (x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y) представляет собой разность между значениями данной функции в точке M (x; y) и M1 (x + ∆x; y + ∆y). Если можно записать полное приращение функции z = f (x; y) в виде ∆z = A∆x + B∆y + α(∆x) + β(∆y), где A и B не зависят от ∆x, ∆y, а α(∆x), β(∆y) – бесконечно малые функции при ∆x → 0, ∆y → 0, то главную линейную часть полного приращения функции называют полным дифференциалом функции z = f (x; y) dz = A∆x + B∆y. Теорема. Если функция z = f (x; y) имеет непрерывные частные производные первого порядка, то ее полный дифференциал можно записать в виде dz =

∂f ∂f dx + dy. ∂x ∂y

. Доказательство. По определению полный дифференциал функции z = f (x; y) имеет вид dz = A∆x + B∆y. Для нахождения коэффициентов A и B выпишем полное приращение функции ∆z = A∆x + B∆y + α(∆x) + β(∆y), α(∆x), β(∆y) – бесконечно малые функции при ∆x → 0, ∆y → 0. 62

Положим ∆y = 0, получим ∆x z = A∆x + α(∆x), поделим обе части равенства на ∆x, получим ∆x z = A + α(∆x), ∆x откуда при ∆x → 0 получим ∂f ∆x z = = lim (A + α(∆x)) = A. ∆x→0 ∆x ∂x ∆x→0 lim

Аналогично, полагая ∆x = 0 в формуле полного дифференциала, находим ∆y z ∂f = = lim (B + β(∆y)) = B. ∆y→0 ∆y ∂y ∆y→0 lim

Подставляя найденные для A и B значения в формулу для dz и полагая дифференциалы независимых переменных x и y равными их приращениям, получаем формулу ∂f ∂f dz = dx + dy. ∂x ∂y J Из определения полного дифференицала функции z = f (x; y) и теоремы получаем формулу для нахождения приближенного значения функции в точке (x + ∆x; y + ∆y), зная ее значение в точке (x; y) ∆z ≈

∂f ∂f ∆x + ∆y, ∂x ∂y

откуда ∂f ∂f ∆x + ∆y, ∂x ∂y ∂f ∂f f (x + ∆x; y + ∆y) ≈ f (x; y) + ∆x + ∆y. ∂x ∂y f (x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y) ≈

Пример p Найдем значение выражение (1, 1)2 + (0, 8)2 . Положим x = 1, y = 1, ∆xp = 0, 1, ∆y = −0, 2. Рассмотрим функцию z = x2 + y 2 , найдем ее частные производные x

zx0 = p

x2 + y 2

y

zy0 = p

,

x2 + y 2

63

.

Тогда p

2 2 (1, " 1) + (0, 8) ≈ # p x y ≈ x2 + y 2 + p ∆x + p ∆y = x = 1, x2 + y 2 x2 + y 2 y=1 ∆x = 0, 1, ∆y = −0, 2 √ 0, 1 0, 2 √ 0, 1 = 2 + √ − √ = 2 − √ ≈ 1, 35 2 2 2

13.5. Упражнения Задание 13.1. Найдите область определения функции u = f (x; y) и изобразите ее на плоскости переменных 0xy p 1 1) u = x2 + y 2 − 4, 2) u = p , 9 − x2 − y 2 √ 1 3) u = y + x − 1, 4) u = , sin x − sin y √ 5) u = arcsin (x − y), 6) u = x + y − 3, p 7) u = ln (y 2 − x), 8) u = 1 − (x − 1)2 − (y − 1)2 Задание 13.2. Изобразите линии уровня функции u = f (x; y) 2) u = (x − 1)2 + y 2 ,

1) u = 2x + y, √ 3) u = xy, y 5) u = √ , x y 7) u = 2 , x

√

4) u = ex y , √ 6) u = y − 2x, 8) u = min{x; y}

Задание 13.3. Изобразите в пространстве R3 поверхности, заданные уравнением 1) сфера x2 + y 2 + z 2 = 1, x2 y 2 2) эллипсоид + + z 2 = 1, 4 9 3) параболоид z = x2 + y 2 , 4) цилиндр 5) конус

x2 + y 2 = 1, p z = x2 + y 2 64

Задание 13.4. Найдите частные производные первого порядка a) функции u = f (x; y) 1) u = x + y − 1, x2 x − , y2 y

3) u =

5) u = (x − y)2 , 7) u = exy ,

2) u = 2x2 + 3y 3 − xy, √ √ 4) u = 2y x + x y, x 6) u = arctg , y p 8) u = ln (x + x2 + y 2 )

b) функции u = f (x; y; z) 1) u = (x − y)(y − z)(z − x), 2

3) u = ex

+y 2 −z 2

2) u = z sin (xy),

,

4) u = ln (xyz)

Задание 13.5. Найдите полный дифференциал функции u = f (x; y) 1) u =

x+y , x−y

2) u =

1 ln (x2 + y 2 ), 2

4) u = x2 y 4 − x3 y 3

3) u = sin (x − y),

Задание 13.6. Вычислите приближенно √ √ 1) u = ln 3 1, 03 + 4 0, 98 − 1, p 3) u = 3 (1, 02)2 + (0, 05)2 ,

2) u = (1, 04)2,02 , 4) u = e1,15·1,1

Составитель Ирина Георгиевна Карелина, кандидат физико-математических наук, доцент Редактор О.А. Тихомирова 65