ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈ...
8 downloads
211 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ
ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ×ÀÑÒÜ 3 ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ÎÁÍÈÍÑÊ 2004
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÎÁÍÈÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÀÒÎÌÍÎÉ ÝÍÅÐÃÅÒÈÊÈ
ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ
À.Â. ÒÈÕÎÍÅÍÊÎ
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ ЧАСТЬ 3 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
ÎÁÍÈÍÑÊ 2004
УДК 537 (075) :004.3 Тихоненко А.В.. Компьютерный практикум по общей физике. Часть 3. Электричество и магнетизм: Учебное пособие по курсу «Общая физика». – Обнинск: ИАТЭ, 2004. – 84 с.
Учебное пособие предназначено для студентов второго курса, изучающих общую физику. Оно содержит задания компьютерного практикума и примеры выполнения заданий с использованием специализированных пакетов (MATHCAD, MAPLE, MATHEMATICA). Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент Карманов Ф.И. к.ф.-м.н., доцент Бурмистров В.В. Темплан 2004, поз. 22
© Обнинский государственный технический университет атомной энергетики, 2004 г. © А.В. Тихоненко, 2004 г. Редактор О.Ю. Волошенко Компьютерная верстка А.В. Тихоненко ЛР № 020713 от 27.04.1998 Подписано к печати 29.06.2004 Печать ризограф. Бумага KYMLUX Заказ № Тираж 120 экз.
Формат бум. 60х84/16 Печ. л. 5.0 Цена договорная
Отдел множительной техники ИАТЭ. 249040, г. Обнинск, Студгородок, 1
2
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ 1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА __________________________ 5 ÃËÀÂÀ 1. ÏÎÑÒÎßÍÍÎÅ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎËÅ _______________ 5 ТЕМА 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ СИСТЕМ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ ______________ 5 Задание 1.1. Электрическое поле заряда ___________________________________5 Задание 1.2. Электрическое поле двух зарядов и диполя______________________5 Задание 1.3. Поле элементарного электрического диполя _____________________6 Задание 1.4. Электрическое поле линейной системы зарядов __________________7 Задание 1.5. Система зарядов - решетка ___________________________________7
ТЕМА 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ _______________ 7 Задание 2.1. Электрическое поле заряженного кольца________________________7 Задание 2.2. Система заряженных коаксиальных колец_______________________8 Задание 2.3. Электрическое поле заряженного цилиндра _____________________9 Задание 2.4. Электрическое поле заряженной дуги окружности________________9 Задание 2.5. Система заряженных колец и дуг _____________________________10 Задание 2.6. Электрическое поле заряженного стержня _____________________12 Задание 2.7. Электрическое поле системы заряженных дуг и стержней ________12
ТЕМА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ АТОМА ________________________________ 13 Задание 3.1. Теорема Гаусса для распределенного заряда ____________________13 Задание 3.2. Исследование электрического поля атома ______________________14
ТЕМА 4. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ___________________ 14 Задание 4.1. Вычисление напряженности электрического поля _______________15 Задание 4.2. Вычисление потенциала электрического поля __________________15 Задание 4.3. Градиент потенциала электрического поля _____________________15 Задание 4.4. Дивергенция электрического поля ____________________________15 Задание 4.5. Ротор электрического поля __________________________________16
ТЕМА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ __________ 17 Задание 5.1. Проводники в поле точечного заряда __________________________17 Задание 5.2. Проводники во внешнем однородном поле _____________________19 Задание 5.3. Заряды вблизи границы раздела двух диэлектриков______________20 Задание 5.2. Диэлектрики во внешнем однородном поле ____________________23
ÃËÀÂÀ 2. ÏÎÑÒÎßÍÍÎÅ ÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅ __________________ 26 ТЕМА 6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРОВОДНИКОВ С ТОКОМ _____________________ 26 Задание 6.1. Магнитное поле кольца с током ______________________________26 Задание 6.2. Магнитное поле N колец с током _____________________________26 Задание 6.3. Магнитное поле соленоида __________________________________27 Задание 6.4. Магнитное поле полос с током _______________________________28 Задание 6.5. Поле элементарного магнитного диполя _______________________29
ТЕМА 7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ТОКА ____________________ 29 Задание 7.1. Теорема о циркуляции индукции магнитного поля ______________29 Задание 7.2. Магнитное поле в магнетиках ________________________________30
ТЕМА 8. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ _______________________ 30 Задание 8.1. Дивергенция магнитного поля________________________________30 Задание 8.2. Ротор магнитного поля______________________________________30
3
ÃËÀÂÀ 3. ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÇÀÐßÆÅÍÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ__________________ 31 ТЕМА 9. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ ___________________________________________________________ 31 Задание 9.1. Движение заряженных частиц в электрическом поле_____________31 Задание 9.2. Движение заряженных частиц в магнитном поле ________________31
ТЕМА 10. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В СКРЕЩЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ ________________________________________________ 32 Задание 10.1. Движение заряженных частиц в однородных полях _____________32 Задание 10.1. Движение заряженных частиц в неоднородных полях ___________32
ÃËÀÂÀ 4. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÀß ÈÍÄÓÊÖÈß___________________ 33 ТЕМА 11. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭДС ИНДУКЦИИ ______________________________ 33 Задание 11.1. Вычисление ЭДС индукции в поле прямого тока _______________33 Задание 11.2. Вычисление ЭДС индукции в поле соленоида _________________34
ÃËÀÂÀ 5. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÎÊ ______________________________ 35 ТЕМА 12. ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА __________________________________ 35 Задание 12.1. Правила Кирхгоффа _______________________________________35 Задание 12.2. Коэффициент полезного действия источника тока ______________37 Задание 12.3 Соединения «мостик» ______________________________________37
ТЕМА 13. ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА __________________________________ 38 Задание 13.1. Правила Кирхгоффа для цепей переменного тока_______________38 Задание 13.2. Резонансы в цепях переменного тока _________________________40
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ _____________ 41 2.1. ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ______________________________ 41 Пример к заданиям 1.1 – 1.3 ____________________________________________41 Пример к заданиям 1.1 – 1.5 (MATHEMATICA) ___________________________44 Пример к заданиям 1.1 – 1.5 (MAPLE)____________________________________46 Пример к заданиям 2.1 - 2.3_____________________________________________49 Пример к заданиям 2.4 – 2.7 ____________________________________________50 Пример к заданиям 3.1. – 3.2 ____________________________________________52 Пример к темам 4 и 8 __________________________________________________56 Пример к темам 4 и 8 (MAPLE) _________________________________________58 Пример к темам 4 и 8 (MATHEMATICA) _________________________________60 Пример к теме 5 ______________________________________________________62
2.2. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ __________________________________ 66 Пример к заданию 6.4 _________________________________________________66 Пример к заданиям 7.1 - 7.2_____________________________________________68
2.3. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ_________________________________ 71 Пример к темам 9 и 10 _________________________________________________71
2.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ___________________________________________ 76 Пример к заданиям 12.1. – 12.2 __________________________________________76 Пример к заданиям 12.3________________________________________________79 Пример к теме 13 _____________________________________________________80
4
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
1. ЗАДАНИЯ ПРАКТИКУМА ÃËÀÂÀ 1. ÏÎÑÒÎßÍÍÎÅ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎËÅ ТЕМА 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ СИСТЕМ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ ВВЕДЕНИЕ
Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà
F q r q = kE ⋅ 2 ⋅ = kE ⋅ 3 ⋅ r , q r r r 1 1 k E = = 1 (СЕГ), k E = ≈ 8.991⋅10 −9 (СИ) ε0 4 ⋅π ⋅ ε 0 E=
Ïîòåíöèàë òî÷å÷íîãî çàðÿäà
ϕ (r ) =
kE ⋅ Q с нормировкой ϕ (r ) r →∞ → 0 . r
ЗАДАНИЕ 1.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯДА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построить графики зависимостей потенциала и напряженности электрического поля от точки на оси для различных значений заряда. 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 3. Построить график линий вектора E. 4. Исследовать структуру электрического поля точечного заряда в зависимости от величины заряда. ЗАДАНИЕ 1.2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВУХ ЗАРЯДОВ И ДИПОЛЯ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля двух зарядов (рис. 1.1, рис. 1.2). 2. Построить графики зависимостей потенциала и напряженности электрического поля от точки на оси. 3. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 4. Построить график линий вектора E. 5. Исследовать структуру электрического поля двух зарядов в зависимости от величины зарядов и расстояния между ними.
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
5
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Рис. 1.8
Рис. 1.9
ЗАДАНИЕ 1.3. ПОЛЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ ВВЕДЕНИЕ
Íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ ýëåìåíòàðíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî äèïîëÿ
⎡r ⋅ μ ⎤ k E = −k E ⋅ ∇ ⎢ 3 E ⎥ = E5 ⋅ ⎡⎣3 ⋅ r ⋅ ( r ⋅ μ E ) − μ E ⋅ r 2 ⎤⎦ . ⎣ r ⎦ r ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить выражения для проекций вектора напряженности электрического поля элементарного электрического диполя в поля в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. 2. Построить график зависимости напряженности электрического поля от точки на оси. 3. Построить график зависимости напряженности электрического поля диполя – линии вектора E. 6
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ЗАДАНИЕ 1.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ ВВЕДЕНИЕ
Óðàâíåíèå ñåìåéñòâà ñèëîâûõ ëèíèé ëèíåéíîé ñèñòåìû çàðÿäîâ N
∑q ⋅ i =1
i
( z − zi ) 2 x 2 + y 2 + ( z − zi )
= Const ,
ãäå qi – âåëè÷èíû çàðÿäîâ, zi – êîîðäèíàòû çàðÿäîâ. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля линейной системы N точечных зарядов (2 < N < 11) (см. системы, представленные на рис. 1.3, рис. 1.4, а также и им подобные с большим количеством зарядов). 2. Построить графики зависимостей потенциала и напряженности электрического поля от точки на оси: а) одинаковые заряды одного знака; б) одинаковые заряды разных знаков, в) разные заряды. 3. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 4. Построить графики линий вектора E. 5. Построить силовые линии напряженности электрического поля. 6. Исследовать структуру электрического поля зарядов в зависимости от величин зарядов и расстояния между ними. ЗАДАНИЕ 1.5. СИСТЕМА ЗАРЯДОВ - РЕШЕТКА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля решетка (система точечных зарядов N × M) (рис. 1.5 - рис. 1.9). 2. Построить графики зависимостей потенциала и напряженности электрического поля от точки на оси. 3. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 4. Построить график линий вектора E. 5. Исследовать структуру электрического поля зарядов в зависимости от знаков зарядов и расстояния между ними. ТЕМА 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ ЗАДАНИЕ 2.1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО КОЛЬЦА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля заряженного кольца (рис. 2.1). 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
7
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Рис. 2.1 2. Построить график зависимости потенциала и напряженности электрического поля от положения точки на оси x для разных значений радиуса кольца. 3. Построить график зависимости потенциала и напряженности электрического поля от радиуса кольца для разных значений положения точки на оси x. 4. Найти значение радиуса кольца, при котором значение потенциала и напряженности будет экстремально для определенного значения x. 5. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 6. Построить график линий вектора E. 7. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от величин заряда кольца и его радиуса. 8. Рассмотреть случаи: а) однородный заряд кольца; б) заряженного кольца с линейной плотностью заряда, зависящей от угла: 1) λ φ = λ 0 ± α ⋅ φ , 2) λ (φ ) = λ 0 ⋅ sin (γ ⋅ φ + δ 0 ) .
( )
ЗАДАНИЕ 2.2. СИСТЕМА ЗАРЯЖЕННЫХ КОАКСИАЛЬНЫХ КОЛЕЦ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля N заряженных коаксиальных колец (2 < N < 11) в точке на оси x (рис. 2.2). 2. Построить график зависимости потенциала и напряженности электрического поля от точки на оси. 3. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от положения точки на оси x для разных значений параметров: а) знаки зарядов колец; б) радиусы колец; в) расстояние между кольцами. 4. Сравнить электрические поля N колец, кольца и точечного заряда.
8
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Рис. 2.2 ЗАДАНИЕ 2.3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО ЦИЛИНДРА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля заряженного цилиндра на оси (рис. 2.3).
Рис. 2.3 2. Построить график зависимости потенциала и напряженности электрического поля от точки на оси. 3. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от положения точке на оси x для разных значений параметров: а) радиусы цилиндра; б) длина цилиндра. 4. Сравнить электрические поля заряженного цилиндра, N колец, кольца и точечного заряда. ЗАДАНИЕ 2.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ДУГИ ОКРУЖНОСТИ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля заряженной дуги окружности (φ1 < φ < φ2) (рис. 2.4 – 2.7). 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
9
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Рис. 2.6 Рис. 2.7 3. Построить график линий вектора E. 4. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от величины угла дуги окружности. 5. Рассмотреть случаи: а) однородный заряд кольца; б) линейная плотность заряда зависит от угла: 1) λ (φ ) = λ 0 ± α ⋅ φ , 2) λ (φ ) = λ 0 ⋅ sin (γ ⋅ φ + δ 0 ) . ЗАДАНИЕ 2.5. СИСТЕМА ЗАРЯЖЕННЫХ КОЛЕЦ И ДУГ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля системы заряженных колец и дуг (рис. 2.8 – 2.19). 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 3. Построить график линий вектора E. 4. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от параметров: а) радиусы колец и дуг; б) заряды колец и дуг; в) расстояния между ними.
10
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Рис. 2.8
Рис. 2.9
Рис. 2.10
Рис. 2.11
Рис. 2.12
Рис. 2.13
Рис. 2.14
Рис. 2.17
Рис. 2.15
Рис. 2.18
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
Рис. 2.16
Рис. 2.19 11
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ЗАДАНИЕ 2.6. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ЗАРЯЖЕННОГО СТЕРЖНЯ
Рис. 2.20
Рис. 2.21
Рис. 2.22
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля заряженного стержня (рис. 2.20). 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала поля. 3. Построить график линий вектора E. 4. Исследовать структуру поля в зависимости от длины стержня. 5. Рассмотреть случаи: а) однородный заряд стержня; б) стержня с линейной плотностью заряда, зависящей от x: 1)
λ (x ) = λ 0 ± α ⋅ x , 2) λ (x ) = λ 0 ⋅ sin (γ ⋅ x + δ 0 ) .
ЗАДАНИЕ 2.7. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯЖЕННЫХ ДУГ И СТЕРЖНЕЙ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля системы заряженных дуг и стержней (рис. 2.20 – 2.31). 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 3. Построить график линий вектора E. 4. Исследовать структуру поля в зависимости от параметров: а) радиусы колец и дуг; б) длины стержней; в) расстояния между ними.
Рис. 2.23 12
Рис. 2.24
Рис. 2.25 II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Рис. 2.26
Рис. 2.29
Рис. 2.27
Рис. 2.28
Рис. 2.30
Рис. 2.31
ТЕМА 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ АТОМА ЗАДАНИЕ 3.1. ТЕОРЕМА ГАУССА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ЗАРЯДА ВВЕДЕНИЕ
Òåîðåìà î ïîòîêå ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (Òåîðåìà Ãàóññà) Ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ïðîïîðöèîíàëåí ïîëíîìó ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäó, îõâàòûâàåìîìó ýòîé ïîâåðõíîñòüþ:
∫∫ E(r ) ⋅ dS = 4 ⋅ π ⋅ k ⋅ ∫∫∫ ρ (r ) ⋅ dV . E
S
V
Èíòåãðàëüíàÿ ñâÿçü íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è ïîòåíöèàëà
Δϕ = − ∫ E ⋅ dL . LAB
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для напряженности электрического поля, создаваемого электроном водородоподобного атома.
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
13
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ 3
2⋅Z
− ⋅r а) ρ ( r ) = −e0 ⋅ 2 ⋅ ⎛⎜ Z ⎞⎟ ⋅ e a1 , 100 ⎝ a1 ⎠ 3
2
Z ⋅r
− б) ρ ( r ) = −e ⋅ 1 ⋅ ⎛⎜ Z ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ 1 − 1 ⋅ Z ⋅ r ⎞⎟ ⋅ e a1 , 201 2 ⎝ a1 ⎠ ⎝ 2 a1 ⎠ 3
2
2 Z ⋅r
2 2 − ⋅ в) ρ ( r ) = −e0 ⋅ 4 ⋅ ⎛⎜ Z ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜1 − 2 ⋅ Z ⋅ r + 2 ⋅ Z ⋅ r ⎞⎟ ⋅ e 3 a1 , 302 27 ⎝ a1 ⎠ ⎝ 3 a1 27 a12 ⎠
3
2
1 Z ⋅r
2 2 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⋅ г) ρ403 ( r ) = −e0 ⋅ 3 ⋅ ⎜ Z ⎟ ⋅ ⎜1 − 3 ⋅ Z ⋅ r + 1 ⋅ Z ⋅ r − 1 ⋅ Z ⋅ r ⎟ ⋅ e 2 a1 . 2 3 8 ⎝ a1 ⎠ ⎝ 4 a1 8 a1 192 a1 ⎠ 2. Получить формулы для потенциала электрического поля, создаваемого электроном водородоподобного атома. ЗАДАНИЕ 3.2. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ АТОМА
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построить график зависимости плотности заряда, потенциала и напряженности электрического поля атома от координаты. 2. Построить контурный и поверхностный графики плотности заряда, потенциала и напряженности электрического поля. 3. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от параметра Z (порядкового номера атома). ТЕМА 4. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВВЕДЕНИЕ
Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ñâÿçü íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è ïîòåíöèàëà
E(r ) = −gradϕ (r ) = −∇ϕ (r ) .
Ôîðìóëà äëÿ ãðàäèåíòà âåêòîðíîãî ïîëÿ â äåêàðòîâûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû:
⎡ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ⎤ + ez ⋅ ⎥ . + ey ⋅ E(r ) = −∇ϕ (r ) = − ⎢e x ⋅ ∂x ∂y ∂z ⎦ ⎣ Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû:
⎡ ∂ϕ ∂ϕ ⎤ 1 ∂ϕ + eϕ ⋅ ⋅ + ez ⋅ E(r ) = −∇ϕ (r ) = − ⎢e ρ ⋅ . ∂ρ ∂z ⎥⎦ ρ ∂φ ⎣ 14
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû:
⎡ ∂ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ϕ ⎤ + eθ ⋅ ⋅ E(r ) = −∇ϕ (r ) = − ⎢e r ⋅ + eϕ ⋅ ⋅ ⎥. ∂r r ∂θ r ⋅ sin (θ ) ∂φ ⎦ ⎣ ЗАДАНИЕ 4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить напряженность поля, потенциал которого имеет вид:
(
)
а) ϕ (r ) = a ⋅ x − y ; б) ϕ (r ) = a ⋅ x ⋅ y . 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 3. Построить график линий вектора E. ЗАДАНИЕ 4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 2
2
ВВЕДЕНИЕ
Èíòåãðàëüíàÿ ñâÿçü íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ è ïîòåíöèàëà
Δϕ = − ∫ E ⋅ dL . LAB
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить потенциал поля, напряженность которого имеет вид: а) E = a ⋅ y ⋅ e x − x ⋅ e y ;
(
б)
)
(
)
E = 2 ⋅ a ⋅ x ⋅ y ⋅ ex + a ⋅ x2 − y2 ⋅ e y .
2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала поля. 3. Построить график линий вектора E. ЗАДАНИЕ 4.3. ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
Вычислить как градиент потенциала напряженность поля: а) точечного заряда; б) точечного диполя; в) заряженного кольца; г) заряженного стержня. ЗАДАНИЕ 4.4. ДИВЕРГЕНЦИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВВЕДЕНИЕ
Ôîðìóëû äëÿ äèâåðãåíöèè âåêòîðíîãî ïîëÿ â äåêàðòîâûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû:
divE =
∂ ∂ ∂ Ex + E y + Ez . ∂x ∂y ∂z
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
15
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû:
⎧1 ∂ (ρ ⋅ Eρ ) + 1 ⋅ ∂ Eϕ + ∂ Ez ⎫⎬ . divE = ⎨ ⋅ ρ ∂ϕ ∂z ⎭ ⎩ ρ ∂ρ Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû:
1 1 ∂ ∂ ⎧1 ∂ 2 (Eϕ )⎫⎬ . r ⋅ Er + divE = ⎨ 2 ⋅ ⋅ (sin(θ ) ⋅ Eθ ) + ⋅ r ⋅ sin(θ ) ∂θ r ⋅ sin(θ ) ∂ϕ ⎩ r ∂r ⎭
(
)
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислить дивергенцию электрического поля: а) точечного заряда; б) элементарного диполя; в) заряженного кольца, г) заряженного стержня. 2. Вычислить дивергенцию электрического поля атома (Задание 3.1.). 3. Вычислить плотность распределения заряда. ЗАДАНИЕ 4.5. РОТОР ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВВЕДЕНИЕ
Ôîðìóëû äëÿ ðîòîðà âåêòîðíîãî ïîëÿ â äåêàðòîâûõ, öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû:
⎛ ∂E ∂E rotE = e x ⋅ ⎜⎜ z − y ∂z ⎝ ∂y
⎛ ∂E ⎞ ∂E ⎞ ∂E ⎞ ⎛ ∂E ⎟⎟ + e y ⋅ ⎜ x − z ⎟ + e z ⋅ ⎜⎜ y − x ⎟⎟ . ∂y ⎠ ∂x ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂x ⎠
Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû: ⎛ 1 ∂E ∂Eϕ ⎞ ⎛ ∂E ∂E ⎞ 1 ⎛ ∂(r ⋅ Eϕ ) ∂Eρ ⎟⎟ + eϕ ⋅ ⎜⎜ ρ − z ⎟⎟ + e z ⋅ ⋅ ⎜⎜ − rotE = e ρ ⋅ ⎜⎜ ⋅ z − ρ ⎝ ∂ρ ∂z ⎠ ∂ρ ⎠ ∂ϕ ⎝ ρ ∂ϕ ⎝ ∂z
Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû:
⎛ ∂ (sin (θ ) ⋅ Eφ ) ∂Eθ er ⋅ ⎜⎜ − ∂θ ∂ϕ r ⋅ sin (θ ) ⎝
⎞ ⎟⎟ + ⎠ . E e ∂ e ⎛ ∂E ⎛ ∂ ( r ⋅ Eθ ) ∂E r ⎞ φ ⎞ ⎟⎟ + φ ⋅ ⎜ + θ ⋅ ⎜⎜ r − − ⎟ r ⎝ ∂φ ∂r ⎠ r ⎝ ∂r ∂θ ⎠ rotE =
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислить ротор электрического поля: а) точечного заряда; б) точечного диполя; в) заряженного кольца; г) заряженного стержня. 2. Вычислить ротор электрического поля атома (Задание 3.1.). 16
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
⎞. ⎟⎟ ⎠
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ТЕМА 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРОВОДНИКОВ И ДИЭЛЕКТРИКОВ ЗАДАНИЕ 5.1. ПРОВОДНИКИ В ПОЛЕ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА ВВЕДЕНИЕ
Система 1: точечный заряд q находится над проводящей плоскостью. Поле, создаваемое над проводящей плоскостью точечным зарядом q, находящимся на расстоянии h от плоскости в точке A (рис. 5.1), совпадает с полем, создаваемым системой двух зарядов: зарядом q и фиктивным зарядом q' в точке A' на расстоянии h' от плоскости, причем: q = −q ', h = h ' . Потенциал над проводящей плоскостью:
ϕ=
q q' + . r r'
Рис. 5.1
Рис. 5.2
Рис. 5.3 Система 2: точечный заряд q находится между двумя заземленными проводящими плоскостями в точке A (Рис. 5.2 – 5.3), которые образуют угол α (α = π/2, π/3, π/4, π/6). Система 3: точечный заряд q находится вблизи проводящей сферы радиуса R; сфера поддерживается при постоянном потенциале ϕ = 0 (сфера заземлена). 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
17
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Рис. 5.4 Рис. 5.5 Поле, создаваемое вне шара точечным зарядом q, находящимся на расстоянии l от центра шара в точке A (Рис. 5.4), совпадает с полем, создаваемым системой двух зарядов — зарядом q и фиктивным зарядом q', помещенным внутри шара (точка A') на расстоянии l' от его центра, причем:
R2 R , q ' = −q ⋅ . l'= l l Потенциал вне сферы:
ϕ=
q q' + . r r'
Система 4: точечный заряд q находится вблизи проводящей сферы радиуса R; сфера поддерживается при постоянном полном заряде q = 0 (изолированная незаряженная сфера). Поле, создаваемое вне шара точечным зарядом q, находящимся на расстоянии l от центра шаре в точке A (рис. 5.4), совпадает с полем, создаваемым системой двух зарядов — зарядом q и фиктивным зарядом q', помещенным внутри шара (точка A') на расстоянии l' от его центра, причем для q' и l' выполняются те же самые формулы; а для того, чтобы полный индуцированный на поверхности шара заряд оказался равным нулю без нарушения постоянства потенциала на поверхности, в центр сферы помещается заряд q" = - q' = q. Потенциал вне сферы:
ϕ=
q q ' q" + + . r r1 r "
Система 5: точечный заряд q находится внутри сферической полости радиуса R в точке А' (рис. 5.4) на расстоянии l' от центра полости. Поле внутри полости совпадает с полем, которое создается зарядом q и его «изображением» q' в точке А вне сферы (как для заземленного 18
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
или изолированного проводника) на расстоянии l от центра полости, причем для q' и l' выполняются те же самые формулы. Потенциал внутри полости:
ϕ=
q q' + . r' r
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности поля: а) системы 1; б) системы 2; в) системы 3; г) системы 4; д) системы 5. 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала поля. 3. Построить графики линий вектора E. 4. Построить силовые линии напряженности электрического поля. 5. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от величин h или l. ЗАДАНИЕ 5.2. ПРОВОДНИКИ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ ВВЕДЕНИЕ
Система 1: Проводящая незаряженная сфера радиуса R находится во внешнем однородном электрическом поле E (рис. 5.5). Потенциал поля ищется в виде: ϕ = ϕ1 + ϕ2 ,
ϕ1 = −E ⋅ r = − E ⋅ r ⋅ cos (θ ) , ϕ2 = Const ⋅
E⋅r E = Const ⋅ 2 ⋅ cos (θ ) , 3 r r
где ϕ1 – потенциал внешнего однородного электрического поля E, ϕ2 – потенциал зарядов, индуцированных на поверхности сферы, θ - угол между векторами E и r. Система 2: Проводящий незаряженный бесконечный цилиндр радиуса R находится в поперечном внешнем однородном поле E (рис. 5.5). Потенциал поля ищется в виде: ϕ = ϕ1 + ϕ2 ,
ϕ1 = −E ⋅ r = −E ⋅ r ⋅ cos (θ ) , ϕ2 = Const ⋅
E⋅r E = Const ⋅ ⋅ cos (θ ) , 2 r r
где ϕ1 – потенциал внешнего однородного электрического поля E, ϕ2 – потенциал зарядов, индуцированных на поверхности цилиндра, θ угол между векторами E и r. ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Определить величину постоянной из условия непрерывности потенциала на проводящей поверхности. 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
19
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
2. Получить формулы для потенциала и напряженности поля: а) системы 1; б) системы 2. 3. Построить контурный и поверхностный графики потенциала поля. 4. Построить графики линий вектора E. 5. Исследовать структуру поля в зависимости от величины R. ЗАДАНИЕ 5.3. ЗАРЯДЫ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ ДИЭЛЕКТРИКОВ
ВВЕДЕНИЕ
Система 1: точечный заряд q находится над плоской границей раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2.
Рис. 5.6 Рис. 5.7 Поле, создаваемое в среде 1 точечным зарядом q, находящимся на расстоянии h от границы в точке A (рис. 5.6), совпадает с полем, создаваемым системой двух зарядов — зарядом q и фиктивным зарядом q', в точке A' на расстоянии h от границы. Потенциал в среде 1 равен:
ϕ1 =
1 ⎛ q q'⎞ ⋅ + . ε1 ⎜⎝ r r ' ⎟⎠
Поле, создаваемое в среде 2, совпадает с полем, создаваемым фиктивным зарядом q", находящимся в точке A. Потенциал в среде 2 равен:
ϕ2 =
ε − ε2 2 ⋅ ε2 1 q" ⋅ , q' = q⋅ 1 . , q" = ε2 r ε1 + ε 2 ε1 + ε 2
Система 2: прямая бесконечная заряженная нить с линейной плотностью заряда λ находится над плоской границей раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2. Поле, создаваемое в среде 1 нитью с линейной плотностью заряда λ, лежащей на расстоянии h от границы (она проходит через точку A рис. 5.7), совпадает с полем, создаваемым системой двух нитей: реаль20
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ной нитью с линейной плотностью заряда λ и фиктивной нитью с зарядом линейной плотностью заряда λ', которая проходит через точку A' на расстоянии h от границы. Потенциал в среде 1 равен:
ϕ1 = −
2 ⋅ λ ⋅ ln ( r )
ε1
−
2 ⋅ λ '⋅ ln ( r ')
ε1
.
Поле, создаваемое в среде 2, совпадает с полем, создаваемым фиктивной нитью с зарядом линейной плотностью заряда λ", которая проходит через точку A. Потенциал в среде 2 равен:
ϕ2 = −
2 ⋅ λ "⋅ ln ( r )
ε2
.
Система 3: прямая бесконечная заряженная нить с линейной плотностью заряда λ расположена в среде с диэлектрической проницаемостью ε1 параллельно бесконечному цилиндру с диэлектрической проницаемостью ε2 радиуса R на расстоянии l (l > R) от его оси. Поле, создаваемое в среде 1 нитью с линейной плотностью заряда λ, проходящей через точку A (рис. 5.8), совпадает с полем, создаваемым системой двух нитей: реальной нитью с линейной плотностью заряда λ и двумя фиктивными нитями с линейными плотностями заряда λ' (проходит через точку A' на расстоянии l' от оси цилиндра) и λ" (проходит через точку O), причем:
l'= Потенциал в среде 1 равен:
ϕ1 = −
2 ⋅ λ ⋅ ln ( r )
ε1
−
R2 . l
2 ⋅ λ '⋅ ln ( r ')
ε1
−
2 ⋅ λ "⋅ ln ( r ")
ε1
.
Поле, создаваемое в среде 2, совпадает с полем, создаваемым фиктивной нитью с зарядом линейной плотностью заряда λ"', которая проходит через точку A. Потенциал в среде 2 равен:
ϕ2 = −
2 ⋅ λ '''⋅ ln ( r )
ε2
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
+ Const .
21
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Рис. 5.8 Рис. 5.9 Система 4: прямая бесконечная заряженная нить с линейной плотностью заряда λ расположена внутри бесконечного цилиндра с диэлектрической проницаемостью ε2 радиуса R на расстоянии l (l < R) от его оси; цилиндр окружен диэлектрической средой с проницаемостью ε1. Поле, создаваемое в среде 2, совпадает с полем, создаваемым реальной нитью с линейной плотностью заряда λ, которая проходит через точку A и фиктивной нитью с линейной плотностью заряда λ' (проходит через точку A' на расстоянии l' от оси цилиндра), причем:
l'= Потенциал в среде 2 равен:
ϕ2 = −
2 ⋅ λ ⋅ ln ( r )
ε2
−
R2 . l
2 ⋅ λ '⋅ ln ( r ')
ε2
+ Const .
Поле, создаваемое в среде 1, совпадает с полем, создаваемым системой двух фиктивных нитей с линейными плотностями заряда λ" (проходит через точку A) и λ"' (проходит через точку O). Потенциал в среде 1 равен:
ϕ1 = −
2 ⋅ λ ''⋅ ln ( r )
ε1
−
2 ⋅ λ "'⋅ ln ( r "')
ε1
.
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулы для потенциала и напряженности поля: а) системы 1; б) системы 2; в) системы 3; г) системы 4. Примечание. Для систем 3 и 4 необходимо определить постоянные в формулах для потенциалов, исходя из условия непрерывности потенциала на границе раздела диэлектриков. 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 22
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
3. Построить графики линий вектора E. 4. Построить силовые линии напряженности электрического поля. 5. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от: а) величин h или l; б) величины ε2. ЗАДАНИЕ 5.2. ДИЭЛЕКТРИКИ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ Система 1: Диэлектрический шар радиуса R с проницаемостью ε1 находится во внешнем однородном поле E (рис. 5.10). Шар окружен диэлектрической средой с проницаемостью ε2. Потенциал поля вне шара ищется в виде: ϕ1 = ϕ11 + ϕ12 ,
ϕ11 = −E ⋅ r = − E ⋅ r ⋅ cos (θ )
, E⋅r E = Const1 ⋅ 2 ⋅ cos (θ ) 3 r r
ϕ12 = Const1 ⋅
где ϕ1 – потенциал внешнего однородного поля E, ϕ2 – потенциал зарядов, индуцированных на шаре, θ - угол между векторами E и r. Потенциал поля внутри шара ищется в виде:
ϕ 2 = −Const2 ⋅ E ⋅ r = −Const2 ⋅ E ⋅ r ⋅ cos (θ )
Рис. 5.10 Рис. 5.11 Система 2: Диэлектрический цилиндр радиуса R с проницаемостью ε1 находится во внешнем однородном поле E, перпендикулярном к его оси (рис. 5.10). Цилиндр окружен диэлектрической средой с проницаемостью ε2. Потенциал поля вне цилиндра ищется в виде:
ϕ1 = ϕ11 + ϕ12 ,
ϕ11 = −E ⋅ r = − E ⋅ r ⋅ cos (θ ) ϕ12 = Const1 ⋅
, E⋅r E θ = Const ⋅ ⋅ cos ( ) 1 r2 r
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
23
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
где ϕ1 – потенциал внешнего однородного электрического поля E, ϕ2 – потенциал зарядов, индуцированных на цилиндре, θ - угол между векторами E и r. Потенциал поля внутри цилиндра ищется в виде:
ϕ 2 = −Const2 ⋅ E ⋅ r = −Const2 ⋅ E ⋅ r ⋅ cos (θ ) .
Система 3: Диэлектрический полый шар (внутренний и внешний радиусы R1 и R2) с проницаемостью ε2 заполнен диэлектриком с проницаемостью ε2. Шар окружен диэлектрической средой с проницаемостью ε3 и находится во внешнем однородном поле E (рис. 5.11). Потенциал поля в полости шара ищется в виде:
ϕ1 = −Const1 ⋅ E ⋅ r = −Const1 ⋅ E ⋅ r ⋅ cos (θ ) .
Потенциал поля в диэлектрическом слое шара ищется в виде: ϕ 2 = ϕ 21 + ϕ 22 ,
ϕ 21 = −Const21 ⋅ E ⋅ r = −Const21 ⋅ E ⋅ r ⋅ cos (θ ) ϕ 22 = Const22 ⋅
. E⋅r E θ = Const ⋅ ⋅ cos ( ) 22 r3 r2
Потенциал поля вне шара ищется в виде: ϕ3 = ϕ31 + ϕ32 ,
ϕ31 = −Const31 ⋅ E ⋅ r = −Const31 ⋅ E ⋅ r ⋅ cos (θ ) ϕ32 = Const32 ⋅
. E⋅r E θ = Const ⋅ ⋅ cos ( ) 32 r3 r2
Система 4: Диэлектрический полый цилиндр (внутренний и внешний радиусы R1 и R2) с диэлектрической проницаемостью ε2 заполнен диэлектриком с проницаемостью ε1. Цилиндр окружен диэлектрической средой с проницаемостью ε3 и находится во внешнем однородном электрическом поле E, перпендикулярном к его оси (рис. 5.11). Потенциал поля в полости цилиндра ищется в виде:
ϕ1 = −Const1 ⋅ E ⋅ r = −Const1 ⋅ E ⋅ r ⋅ cos (θ ) .
Потенциал поля в диэлектрическом слое цилиндра ищется в виде:
ϕ 2 = ϕ 21 + ϕ 22 ,
24
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ϕ 21 = −Const21 ⋅ E ⋅ r = −Const21 ⋅ E ⋅ r ⋅ cos (θ ) ϕ 22 = Const22 ⋅
E⋅r E = Const22 ⋅ ⋅ cos (θ ) 2 r r
.
Потенциал поля вне цилиндра ищется в виде:
ϕ3 = ϕ31 + ϕ32 , ϕ31 = −Const31 ⋅ E ⋅ r = −Const31 ⋅ E ⋅ r ⋅ cos (θ ) ϕ32 = Const32 ⋅
. E⋅r E = Const32 ⋅ ⋅ cos (θ ) 2 r r
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Определить величины постоянных из условия непрерывности потенциала на границе раздела диэлектриков. 2. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля: а) системы 1; б) системы 2; в) системы 3; г) системы 4. 3. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 4. Построить графики линий вектора E. 5. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от величины R. 5. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от: а) величин R или R2; б) величин ε2 и ε3.
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
25
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ÃËÀÂÀ 2. ÏÎÑÒÎßÍÍÎÅ ÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅ ТЕМА 6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРОВОДНИКОВ С ТОКОМ ВВЕДЕНИЕ
Çàêîí Áèî-Ñàâàðà-Ëàïëàñà Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ýëåìåíòàðíûì òîêîì, ðàâíà
dB = k M ⋅ kM =
I ⋅ [dL × r ] , r3
1 μ тл ⋅ м (СЕГ), k M = 0 , μ 0 = 4 ⋅ π ⋅ 10−7 (СИ). c а 4 ⋅π
ЗАДАНИЕ 6.1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ КОЛЬЦА С ТОКОМ
Рис. 6.1 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулу для индукции магнитного поля кольца с током в точке на оси. 2. Построить график зависимости индукции поля от точки на оси. 3. Построить график зависимости индукции магнитного поля от радиуса кольца для определенного значения x. 4. Найти значение радиуса кольца, при котором значение индукции будет экстремально для определенного значения x. 5. Построить графики линий вектора B в плоскости кольца. 6. Исследовать структуру поля в зависимости от параметров: а) силы тока; б) радиус кольца. ЗАДАНИЕ 6.2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ N КОЛЕЦ С ТОКОМ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулу для индукции магнитного поля N колец с током в точке на оси (2 < N < 11) (рис. 6.1). 26
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Рис. 6.2 2. Построить график зависимости индукции поля от точки на оси. 3. Исследовать структуру поля в зависимости от параметров: а) силы тока; б) радиусы колец; в) расстояние между кольцами. ЗАДАНИЕ 6.3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ СОЛЕНОИДА
Рис. 6.3 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулу для индукции магнитного поля соленоида в точке на оси 2. Вычислить аналитически индукцию магнитного поля соленоида. 3. Построить график зависимости индукции магнитного поля от точки на оси. 4. Построить графики линий вектора B. 5. Исследовать структуру поля в зависимости от параметров: а) сила тока; б) радиус соленоида; в) длина соленоида. 6. Сравнить магнитные поля соленоида и колец с током. 7. Сравнить магнитное поле соленоида и электрическое поле заряженного цилиндра. 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
27
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ЗАДАНИЕ 6.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОЛОС С ТОКОМ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
Полосы с током заданной ширины расположены вдоль оси z, как показано на рис. 6.4 – 6.8. По ним текут равномерно распределенные по всей ширине токи в одном и разных направлениях. 1. Получить формулу для индукции магнитного поля полос с током. 2. Построить график зависимости индукции магнитного поля от точки на плоскости. 3. Построить графики линий вектора B. 4. Исследовать структуру магнитного поля в зависимости от ширины полос и расстояний между ними.
Рис. 6.4
Рис. 6.6
28
Рис. 6.5
Рис. 6.7
Рис. 6.8
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ЗАДАНИЕ 6.5. ПОЛЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО МАГНИТНОГО ДИПОЛЯ ВВЕДЕНИЕ
Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýëåìåíòàðíîãî ìàãíèòíîãî äèïîëÿ
⎡r ⋅μ B = −k M ⋅ ∇ ⎢ 3 M ⎣ r
[
]
⎤ kM 2 ⎥ = r 5 ⋅ 3 ⋅ r ⋅ (r ⋅ μ M ) − μ M ⋅ r . ⎦
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить выражения для проекций вектора индукции магнитного поля элементарного магнитного диполя в поля в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. 2. Построить график зависимости индукции поля от точки на оси. 3. Построить графики линий вектора B. 4. Сравнить магнитное поле магнитного диполя и электрическое поле электрического диполя. ТЕМА 7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ТОКА ЗАДАНИЕ 7.1. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ИНДУКЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
ВВЕДЕНИЕ
Òåîðåìà î öèðêóëÿöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî ïðîèçâîëüíîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëíîìó ýëåêòðè÷åñêîãî òîêó, îõâàòûâàåìîìó ýòèì êîíòóðîì:
∫ B ⋅ dL = 4 ⋅ π ⋅ k ⋅ ∫∫ j ⋅ dS . M
L
S
ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Получить формулу для индукции магнитного поля цилиндрическисимметричного распределения плотности тока:
(r − a) , j (r ) = A ⋅ 4 (r + b) 2
1
а)
j (r ) = A ⋅
в)
j (r ) = c ⋅ e − a⋅r , г) j (r ) = c ⋅ r 2 ⋅ e − a⋅r ,
(
(r + b)
)
2
, б)
, е) j (r ) = c ⋅ (r − b ) ⋅ e . д) j (r ) = c ⋅ r − b ⋅ e 2. Построить график зависимости индукции магнитного поля распределенного тока от переменной r. 3. Построить графики линий вектора B. 3. Исследовать структуру поля по параметрам распределения тока. 2
− a⋅r
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
2
− a⋅r
29
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ЗАДАНИЕ 7.2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В МАГНЕТИКАХ 1. Получить формулу для индукции и напряженности магнитного поля цилиндрически-симметричного распределения плотности тока:
⎧⎪0, (0 < r < R) ; j (r ) = ⎨ j 0, r > R ( ) ⎪⎩ ⎧⎪+ j1, ( 0 < r < R ) б) j ( r ) = ⎨ ; ⎪⎩− j 2, ( r > R ) ⎧ + j1, ( 0 < r < R1 ) ⎪ в) j ( r ) = ⎨0, ( R1 < r < R2 ) , ⎪ ⎩ − j 2, ( r > R2 )
а)
считая, что магнитная проницаемость проводника равна μ1, а магнитная проницаемость окружающего пространства равна μ2. 2. Построить графики зависимостей индукции и напряженности магнитного поля распределенного тока от переменной r. 3. Построить график индукции и напряженности магнитного поля – линии векторов B и H. 3. Исследовать структуру магнитного поля по параметрам распределения тока. ТЕМА 8. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗАДАНИЕ 8.1. ДИВЕРГЕНЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
Вычислить дивергенцию магнитного поля: а) прямого тока; б) распределенных токов (Задание 7.1) ЗАДАНИЕ 8.2. РОТОР МАГНИТНОГО ПОЛЯ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
Вычислить ротор магнитного поля: а) прямого тока; б) распределенных токов (Задание 7.1).
30
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ÃËÀÂÀ 3. ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÇÀÐßÆÅÍÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ ВВЕДЕНИЕ
Ñèëà Ëîðåíöà
F = FE + FM = q ⋅ E + κ ⋅ q ⋅ [v × B] .
Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû Ëîðåíöà
FE = q ⋅ E . Ìàãíèòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû Ëîðåíöà
FM = κ ⋅ q ⋅ [v × B] .
Óðàâíåíèå äâèæåíèå çàðÿäà â ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ
m⋅
dv = FE + FM = q ⋅ E + κ ⋅ q ⋅ [v × B] . dt
ТЕМА 9. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ ЗАДАНИЕ 9.1. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построить график траектории движения заряженной частицы в однородном электрическом поле: трехмерные графики и их двухмерные проекции. 2. Построить график траектории движения заряженной частицы в кулоновом поле (связанные состояния): трехмерные графики и их двухмерные проекции. 3. Построить график траектории движения заряженной частицы в кулоновом поле (состояния рассеяния): трехмерные графики и их двухмерные проекции. 4. Исследовать движение по параметрам: а) заряд частицы, б) величина электрического поля, в) начальные условия движения. ЗАДАНИЕ 9.2. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построить график траектории движения заряженной частицы в однородном магнитном поле: трехмерные графики и их двухмерные проекции.
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
31
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
2. Построить график траектории движения заряженной частицы в неоднородном магнитном поле: трехмерные графики и их двухмерные проекции. 3. Исследовать движение по параметрам: а) заряд частицы, б) величина магнитного поля, в) начальные условия движения. ТЕМА 10. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В СКРЕЩЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ ЗАДАНИЕ 10.1. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ОДНОРОДНЫХ ПОЛЯХ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построить график траектории движения заряженной частицы в скрещенных однородных электрическом и магнитном полях: трехмерные графики и их двухмерные проекции. 2. Исследовать движение по параметрам: а) заряд частицы; б) величина электрического поля; в) величина магнитного поля; г) начальные условия движения. ЗАДАНИЕ 10.1. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОЛЯХ ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построить график траектории движения заряженной частицы в скрещенных кулоновом электрическом и однородном магнитном полях (связанные состояния – атом в магнитном поле): трехмерные графики и их двухмерные проекции. 2. Исследовать движение по параметрам: а) заряд частицы; б) величина электрического поля; в) величина магнитного поля; г) начальные условия движения.
32
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ÃËÀÂÀ 4. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÀß ÈÍÄÓÊÖÈß ТЕМА 11. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭДС ИНДУКЦИИ ЗАДАНИЕ 11.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭДС ИНДУКЦИИ В ПОЛЕ ПРЯМОГО ТОКА
Рис. 11.1
Рис. 11.2
Рис. 11.3
Рис. 11.4 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислить поток магнитного поля прямого тока I через коаксиальную круговую рамку (рис. 11.1). 2. Вычислить поток магнитного поля прямого тока I через прямоугольную рамку, которая лежит в плоскости прямого тока (рис. 11.2). 3. Вычислить ЭДС индукции, возникающую в коаксиальной круговой рамке (рис. 11.1), радиус которой меняется: а) линейно со временем; б) по гармоническому закону. 4. Считая силу тока постоянной, вычислить ЭДС индукции, возникающую в прямоугольной рамке, если: 1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
33
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
а) рамка поступательно движется (рис. 11.2) с постоянной скоростью (или колеблется гармонически); б) движется одна сторона рамки (или колеблется гармонически) (рис. 11.3); в) рамка вращается вокруг своей оси (рис. 11.4) с постоянной угловой скоростью. 5. Провести вычисления, считая, что сила тока меняется по гармоническому закону. 6. Построить графики изменения потока магнитного поля и ЭДС индукции со временем. 7. Исследовать результаты по параметрам: а) сила тока; б) скорость изменения радиуса; в) частота тока; г) скорость движения рамки; д) скорость вращения рамки. ЗАДАНИЕ 11.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭДС ИНДУКЦИИ В ПОЛЕ СОЛЕНОИДА
Рис. 11.5 ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислить ЭДС индукции, возникающую в небольшой круговой рамке (рис. 11.5), которая движется по оси соленоида с током, если: а) ток в соленоиде линейно меняется со временем; б) ток в соленоиде меняется по гармоническому закону; в) рамка движется равномерно; г) рамка движется по гармоническому закону. 2. Построить графики изменения потока магнитного поля и ЭДС индукции в рамке со временем. 3. Исследовать результаты по параметрам: а) сила тока; б) скорость движения рамки; в) частота тока.
34
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ÃËÀÂÀ 5. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÎÊ ТЕМА 12. ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА ВВЕДЕНИЕ
Ïðàâèëà Êèðõãîôà 1. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òîêîâ, ñõîäÿùèõñÿ â óçëå, ðàâíà íóëþ (çàêîí ñîõðàíåíèÿ òîêà) N
I1 + I 2 + ... + I N = ∑ I i = 0 . i =1
2 Ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèé íà çàìêíóòîì ó÷àñòêå öåïè ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ÝÄÑ íà ýòîì ó÷àñòêå (ñ ó÷åòîì ïîëÿðíîñòè ÝÄÑ â ýòîì êîíòóðå) N
M
i =1
j =1
∑ Ii ⋅ Ri = ∑ Ej . Êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ èñòî÷íèêà òîêà Îòíîøåíèå ïîëåçíîé ìîùíîñòè (PR) ê ìîùíîñòè, âûäåëÿåìîé öåïüþ (P):
η=
PR P = 1− r , P P
(Pr = 1 - PR) - ìîùíîñòü, âûäåëÿåìàÿ íà âíóòðåííåì ñîïðîòèâëåíèè ÝÄÑ. ЗАДАНИЕ 12.1. ПРАВИЛА КИРХГОФФА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислить (схемы на рис. 12.1 - 12.8): а) значения токов через сопротивления цепи; б) значения напряжений на сопротивлениях цепи. 2. Построить графики зависимостей токов и напряжений от: а) величины сопротивления R2; б) величины внутреннего сопротивления ЭДС.
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
35
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
36
Рис. 12.1
Рис. 12.2
Рис. 12.3
Рис. 12.4
Рис. 12.5
Рис. 12.6
Рис. 12.7
Рис. 12.8 II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ЗАДАНИЕ 12.2. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ИСТОЧНИКА ТОКА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислить (схемы на рис. 12.1 - 12.8) коэффициент полезного действия источников тока. 2. Построить графики зависимостей токов и напряжений от величин внутренних сопротивлений ЭДС. ЗАДАНИЕ 12.3. СОЕДИНЕНИЯ «МОСТИК» ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислить (схемы на рисунках 12.9 – 12.12) а) полный ток в цепи; б) токи на участках AC, AD, CE, DE, CD; 2. Построить графики полученных зависимостей от: а) величины сопротивления R1; б) величин внутренних сопротивлений ЭДС.
Рис. 12.9
Рис. 12.10
Рис. 12.11
Рис. 12.12
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
37
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ТЕМА 13. ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ВВЕДЕНИЕ
Ðåàêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ Åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå:
Z _C = − Åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå:
i . ω ⋅C
Z _ L = i ⋅ω ⋅ L .
ЗАДАНИЕ 13.1. ПРАВИЛА КИРХГОФФА ДЛЯ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислить (схемы на рис. 13.1 - 13.14): а) значения полного тока и напряжения в цепи; б) значения токов через элементы цепи; в) значения напряжений на элементах цепи; г) значения фаз токов и напряжений в цепи. 2. Построить графики зависимостей токов и напряжений от времени, для разных значений: а) величины сопротивления R; б) величины емкости C; в) величины индуктивности L; г) частоты переменного ЭДС.
38
Рис. 13.1
Рис. 13.2
Рис. 13.3
Рис. 13.4
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Рис. 13.5
Рис. 13.6
Рис. 13.7
Рис. 13.8
Рис. 13.9
Рис. 13.10
1. ÇÀÄÀÍÈß ÏÐÀÊÒÈÊÓÌÀ
39
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Рис. 13.11
Рис. 13.12
Рис. 13.13
Рис. 13.14
ЗАДАНИЕ 13.2. РЕЗОНАНСЫ В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАНИЯ
1. Исследовать полученные результаты (Задание 13.1) на наличие резонанса в цепи. 2. Получить выражения для резонансных частот.
40
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
2. ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ 2.1. ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.1 – 1.3 1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля трех зарядов, расположенных на одной прямой. 2. Построить график зависимостей потенциала и напряженности электрического поля от точки на оси. 3. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 4. Построить график линий вектора E. 5. Построить силовые линии напряженности электрического поля. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Потенциал и напряженность электрического поля трех зарядов:
Уравнение линий напряженности электрического поля:
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Значения зарядов и расстояние между ними: Координаты начала координат: Исследуемые функции:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
41
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Параметры графиков ГРАФИКИ
Зависимости потенциала от координат:
Зависимости проекций напряженности от координат:
42
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Функции контурных и поверхностных графиков
Контурные графики для потенциала и силовых линий:
Поверхностный график для потенциала; контурные графики для потенциала и силовых линий:
Параметры и функции векторных графиков
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
43
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Векторный график напряженности электрического поля; векторный график напряженности электрического поля и контурный график для потенциала.
ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.1 – 1.5 (MATHEMATICA) 1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля двух зарядов. 2. Построить график линий вектора E. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Потенциал и напряженность электрического поля двух зарядов: q1 q2 ϕ@x, y, zD = + è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Hx − aL2 + y2 + z2 Hx + aL2 + y2 + z2
Ex = −∂x ϕ@x, y, zD Ey = −∂y ϕ@x, y, zD Ez = −∂z ϕ@x, y, zD
44
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
q1 q2 + è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H− a + x L 2 + y 2 + z 2 Ha + x L2 + y 2 + z 2
q1 H− a + xL q2 Ha + xL + HH− a + xL2 + y2 + z2L3ê2 HHa + xL2 + y2 + z2L3ê2 q1 y q2 y + 3 ê 2 2 2 2 2 HH− a + xL + y + z L HHa + xL + y2 + z2L3ê2 q1 z q2 z + HH− a + xL2 + y2 + z2L3ê2 HHa + xL2 + y2 + z2L3ê2 ГРАФИКИ
График напряженности электрического поля – линии вектора E. Вызов подпрограммы: <
ϕ@x, y, zD =
q q ; − è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Hx − aL2 + y2 + z2 + ξ Hx + aL2 + y2 + z2 + ξ
Построение график напряженности электрического поля с помощью PlotGradientField3D: PlotGradientField3D[ϕ[x,y,z],{x,-1,1},{y,1,1},{z,-1,1}, VectorHeads→True, PlotPoints→10]
Graphics3D 2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
45
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Задание потенциала и вычисление проекций вектора E:
ϕ@x, y, zD =
q q + ; è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Hx − aL2 + y2 + z2 + ξ Hx + aL2 + y2 + z2 + ξ Ex = −∂x ϕ@x, y, zD; Ey = −∂y ϕ@x, y, zD; Ez = −∂z ϕ@x, y, zD;
Построение графика напряженности электрического поля с помощью PlotVectorField3D: PlotVectorField3D[{Ex,Ey,Ez},{x,-1,1},{y,-1,1},{z,1,1},VectorHeads→True,PlotPoints→10,ViewPoint>{0.886, -2.777, 1.718}]
Graphics3D ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 1.1 – 1.5 (MAPLE) 1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля двух зарядов. 2. Построить график линий вектора E. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Потенциал и напряженность электрического поля двух зарядов: > phi(x,y,z):=q1/(sqrt((x-a)^2+y^2+z^2))+ q2/(sqrt((x+a)^2+y^2+z^2));
φ( x, y, z ) :=
46
q1 x 2 − 2 x a + a 2 + y 2 + z2
+
q2 x 2 + 2 x a + a 2 + y 2 + z2
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
> Ex(x,y,z):=diff(phi(x,y,z), x); Ey(x,y,z):=diff(phi(x,y,z), y); Ez(x,y,z):=diff(phi(x,y,z), z); Ex ( x, y, z ) := −
q1 ( 2 x − 2 a ) 2
2
2
2
( 3/2 )
−
q2 ( 2 x + 2 a ) 2
( 3/2 )
2 (x − 2 x a + a + y + z ) 2 ( x + 2 x a + a 2 + y 2 + z2 ) Ey ( x, y, z ) := q1 y q2 y − − ( 3/2 ) ( 3/2 ) 2 2 2 2 2 (x − 2 x a + a + y + z ) ( x + 2 x a + a 2 + y 2 + z2 ) Ez( x, y, z ) := q1 z q2 z − − ( 3/2 ) ( 3/2 ) ( x 2 − 2 x a + a 2 + y 2 + z2 ) ( x 2 + 2 x a + a 2 + y 2 + z2 ) ГРАФИКИ
График напряженности электрического поля – линии вектора E. Вызов подпрограммы: > with(plots): > q1:=1: q2:=-1: a:=0.5: xi:=0.1: phi:=q1/(sqrt((x-a)^2+y^2+z^2+xi))+ q2/(sqrt((x+a)^2+y^2+z^2+xi)); Построение график напряженности электрического поля с помощью gradplot3d: gradplot3d(phi,x=-1..1,y=-1..1, z=-1..1, grid=[12,12,12]); 1 1 φ := − 2 2 2 2 ( x − 0.5 ) + y + z + 0.1 ( x + 0.5 ) + y 2 + z 2 + 0.1
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
47
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Построение графика напряженности электрического поля с помощью fieldplot3d: > q2:=1: Ex:=-1/2*q1/(x^2-2*x*a+a^2+y^2+z^2+xi)^(3/2)*(2*x2*a)1/2*q2/(x^2+2*x*a+a^2+y^2+z^2+xi)^(3/2)*(2*x+2*a); Ey:=-q1/(x^2-2*x*a+a^2+y^2+z^2+xi)^(3/2)*yq2/(x^2+2*x*a+a^2+y^2+z^2+xi)^(3/2)*y; Ez:=-q1/(x^2-2*x*a+a^2+y^2+z^2+xi)^(3/2)*zq2/(x^2+2*x*a+a^2+y^2+z^2+xi)^(3/2)*z; fieldplot3d([Ex,Ey,Ez],x=-1..1,y=-1..1,z=1..1,grid=[12,12,12]); Ex := − −
2 x − 1.0
2
2 ( x − 1.0 x + 0.35 + y 2 + z2 ) 2 x + 1.0
2 ( x 2 + 1.0 x + 0.35 + y 2 + z 2 )
( 3/2 )
( 3/2 )
Ey := −
y ( x 2 − 1.0 x + 0.35 + y 2 + z 2 )
( 3/2 )
−
( 3/2 )
−
y ( x 2 + 1.0 x + 0.35 + y 2 + z 2 )
( 3/2 )
Ez := −
48
z ( x 2 − 1.0 x + 0.35 + y 2 + z 2 )
z ( x 2 + 1.0 x + 0.35 + y 2 + z 2 )
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
( 3/2 )
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 2.1 - 2.3 1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля трех заряженных коаксиальных колец в точке на оси x. 2. Построить графики зависимости потенциала и напряженности электрического поля от точки на оси. 3. Исследовать структуру электрического поля в зависимости от расстояния между кольцами.
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ФУНКЦИИ
Значения параметров:
Потенциал и напряженность электрического поля в точке на оси x:
ГРАФИКИ
Зависимости потенциала от точки на оси x для нескольких значений a:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
49
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Зависимости напряженности от точки на оси x для нескольких значений a:
ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 2.4 – 2.7 1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля системы заряженного полукольца и стержня. 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала поля. 3. Построить график линий вектора E.
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ФУНКЦИИ
Значения параметров системы:
Линейные плотности полукольца и стержня: Параметры графиков: Формулы для потенциала и напряженности электрического поля:
50
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Функции графиков: ГРАФИКИ
Контурный и поверхностный графики потенциала:
Параметры векторного графика:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
51
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
График напряженности электрического поля – линии вектора E. Контурный график потенциала и линии вектора E:
ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 3.1. – 3.2 1. Получить формулы для напряженности и потенциала электрического поля, создаваемое непрерывным распределением заряда. 2. Построить график зависимости плотности заряда, потенциала и напряженности электрического поля от координаты. 3. Построить контурный и поверхностный графики плотности заряда, потенциала и напряженности электрического поля. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Задание плотности заряда и вычисление напряженности электрического поля с помощью теоремы Гаусса:
52
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Для вычисления потенциала электрического поля необходимо перейти к безразмерной переменной:
Вычисления потенциала электрического поля:
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ФУНКЦИИ
Значения параметров системы:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
53
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ГРАФИКИ
Графики зависимости плотности заряда, потенциала и напряженности электрического поля от координаты для разных значений параметра Z:
Параметры построения контурных и поверхностных графиков:
54
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Контурные и поверхностные графики плотности заряда, потенциала и напряженности электрического поля:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
55
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ПРИМЕР К ТЕМАМ 4 И 8 Вычисление градиента, дивергенции и ротора 1. Декартовы координаты: Векторное и скалярное поля
Градиент, дивергенция и ротор
2. Цилиндрические координаты: Векторное и скалярное поля
56
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Градиент, дивергенция и ротор
2. Цилиндрические координаты: Векторное и скалярное поля
Градиент, дивергенция и ротор
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
57
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ПРИМЕР К ТЕМАМ 4 И 8 (MAPLE) Вычисление градиента, дивергенции и ротора > restart: > with(VectorCalculus): 1. Декартовы координаты > SetCoordinates('cartesian'[x,y,z]); Gradient(U(x,y,z)); V:=VectorField(); Divergence(V); Curl(V); cartesian x , y, z
⎛ ∂ U( x, y, z ) ⎞ e + ⎛ ∂ U( x, y, z ) ⎞ e + ⎛ ∂ U( x, y, z ) ⎞ e ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎠ y ⎝ ∂z ⎠ z ⎠ x ⎝ ∂y ⎝ ∂x V := Vx( x, y, z ) e + Vy( x, y, z ) e + Vz( x, y, z ) e x y z ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎜⎜ Vx( x, y, z ) ⎟⎟ + ⎜⎜ Vy( x, y, z ) ⎟⎟ + ⎜⎜ Vz( x, y, z ) ⎟⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠
58
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
⎛ ⎛ ∂ Vz( x, y, z ) ⎞ − ⎛ ∂ Vy( x, y, z ) ⎞ ⎞ e + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎠⎠ x ⎛ ⎛ ∂ Vx( x, y, z ) ⎞ − ⎛ ∂ Vz( x, y, z ) ⎞ ⎞ e + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎠⎠ y
⎛ ⎛ ∂ Vy( x, y, z ) ⎞ − ⎛ ∂ Vx( x, y, z ) ⎞ ⎞ e ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎠ ⎝ ∂y ⎠⎠ z ⎝ ⎝ ∂x
2. Цилиндрические координаты > SetCoordinates('cylindrical'[rho,phi,z]); Gradient(U(rho,phi,z)); V:=VectorField(); Divergence(V); Curl(V); cylindrical ρ, φ , z
∂ U( ρ, φ, z ) ∂ ∂ ∂ ⎛ U( ρ, φ , z ) ⎞ e + φ e + ⎛⎜⎜ U( ρ, φ, z ) ⎞⎟⎟ e ⎜⎜ ⎟⎟ ρ ∂ ρ ∂ φ ⎝ z ⎝ ⎠ ρ ⎠ z V := V1( ρ, φ, z ) e + V2( ρ, φ, z ) e + V3( ρ, φ, z ) e ρ φ z ∂ ∂ ∂ V1( ρ, φ, z ) + ρ ⎛⎜⎜ V1( ρ, φ, z ) ⎞⎟⎟ + ⎛⎜⎜ V2( ρ, φ, z ) ⎞⎟⎟ + ρ ⎛⎜⎜ V3( ρ, φ , z ) ⎞⎟⎟ ⎠ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂ρ ⎠ ⎝ ∂φ ρ
⎛ ∂ V3( ρ, φ, z ) ⎞ − ρ ⎛ ∂ V2( ρ, φ, z ) ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ ∂φ ⎝ ∂z ⎠ ⎠e + ρ ρ ⎛ ⎛ ∂ V1( ρ, φ , z ) ⎞ − ⎛ ∂ V3( ρ, φ , z ) ⎞ ⎞ e + ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎝ ∂z ⎠⎠ φ ⎠ ⎝ ∂ρ ∂ ∂ ⎛ ⎞ ⎛ V2( ρ, φ, z ) + ρ ⎜⎜ V2( ρ, φ , z ) ⎟⎟ − ⎜⎜ V1( ρ, φ , z ) ⎞⎟⎟ ⎝ ∂ρ ⎠ ⎝ ∂φ ⎠e ρ z 3. Сферические координаты > SetCoordinates('spherical'[r,theta,phi]); Gradient(U(r,theta,phi));
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
59
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
V:=VectorField(); Divergence(V); Curl(V); spherical r, θ, φ
∂ ∂ U( r , θ , φ ) U( r , θ, φ ) ∂φ ⎛ ∂ U( r , θ , φ ) ⎞ e + ∂θ + e e ⎟⎟ ⎜⎜ r r sin( θ ) ⎠ r ⎝ ∂r θ φ V := V1( r, θ, φ ) e + V2( r, θ, φ ) e + V3( r, θ, φ ) e θ φ r
⎛ 2 r sin( θ ) V1( r, θ, φ ) + r 2 sin( θ ) ⎛ ∂ V1( r , θ, φ ) ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎝ ∂r ⎠ ∂ ⎛ + r cos( θ ) V2( r , θ, φ ) + r sin( θ ) ⎜⎜ V2( r , θ, φ ) ⎞⎟⎟ ⎝ ∂θ ⎠ ∂ 2 ⎞ ⎛ ⎞ + r ⎜⎜ V3( r , θ , φ ) ⎟⎟ ⎟⎟ ( r sin( θ ) ) ⎝ ∂φ ⎠⎠ ∂ ∂ r cos( θ ) V3( r , θ , φ ) + r sin( θ ) ⎛⎜⎜ V3( r , θ , φ ) ⎞⎟⎟ − r ⎛⎜⎜ V2( r , θ , φ ) ⎞⎟⎟ ∂ θ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ φ ⎠e 2 r sin( θ ) r + ⎛ ∂ V1( r , θ , φ ) ⎞ − sin( θ ) V3( r , θ , φ ) − r sin( θ ) ⎛ ∂ V3( r , θ , φ ) ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎝ ∂φ ⎝ ∂r ⎠ ⎠e r sin( θ ) θ
∂ ∂ V2( r , θ , φ ) + r ⎛⎜⎜ V2( r , θ, φ ) ⎞⎟⎟ − ⎛⎜⎜ V1( r , θ , φ ) ⎞⎟⎟ ∂ r ∂ ⎠e ⎝ ⎠ ⎝ θ + r φ ПРИМЕР К ТЕМАМ 4 И 8 (MATHEMATICA) Вычисление градиента, дивергенции и ротора <
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
F3 H0,0,1L@x, y, zD + F2 H0,1,0L @x, y, zD + F1 H1,0,0L @x, y, zD Curl[{F1[x,y,z],F2[x,y,z],F3[x,y,z]},Cartesian[x,y, z]] H0,0,1L H0,1,0L
8− F2 @x, y, zD + F3 @x, y, zD, H0,0,1L H1,0,0L @x, y, zD − F3 @x, y, zD, F1 H0,1,0L H1,0,0L − F1 @x, y, zD + F2 @x, y, zD<
2. Цилиндрические координаты Grad[U[ρ,ϕ,z],Cylindrical[ρ,ϕ,z]] UH0,1,0L@ρ, ϕ, zD 9UH1,0,0L@ρ, ϕ, zD, , UH0,0,1L @ρ, ϕ, zD= ρ Div[{F1[ρ,ϕ,z],F2[ρ,phi,z],F3[ρ,ϕ,z]},Cylindrical[ρ ,ϕ,z]] F1 @ρ, ϕ, zD + ρ F3 H0,0,1L @ρ, ϕ, zD + ρ F1 H1,0,0L@ρ, ϕ, zD ρ Curl[{F1[ρ,ϕ,z],F2[ρ,ϕ,z],F3[ρ,ϕ,z]},Cylindrical[ρ, ϕ,z]] −ρ F2 H0,0,1L @ρ, ϕ, zD + F3 H0,1,0L@ρ, ϕ, zD 9 , ρ F1 H0,0,1L@ρ, ϕ, zD − F3 H1,0,0L @ρ, ϕ, zD,
F2 @ρ, ϕ, zD − F1 H0,1,0L @ρ, ϕ, zD + ρ F2 H1,0,0L@ρ, ϕ, zD = ρ
3. Сферические координаты Grad[U[r,θ,ϕ],Spherical[r,θ,ϕ]] 9UH1,0,0L@r, θ, ϕD,
UH0,1,0L@r, θ, ϕD Csc @θD UH0,0,1L@r, θ, ϕD , = r r
Div[{F1[r,θ,ϕ],F2[r,θ,ϕ],F3[r,θ,ϕ]},Spherical[r,θ,ϕ ]] 1 HCsc @θD Hr Cos @θD F2 @r, θ, ϕD + r2 2 r F1 @r, θ, ϕD Sin @θD + r F3 H0,0,1L@r, θ, ϕD + r Sin @θD F2 H0,1,0L@r, θ, ϕD + r2 Sin @θD F1 H1,0,0L@r, θ, ϕDLL
Curl[{F1[r,θ,ϕ],F2[r,θ,ϕ],F3[r,θ,ϕ]},Spherical[r,θ, ϕ]]
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
61
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
9
1 HCsc @θD Hr Cos @θD F3 @r, θ, ϕD − r2 r F2 H0,0,1L@r, θ, ϕD + r Sin @θD F3 H0,1,0L @r, θ, ϕDLL, 1 HCsc @θD H− F3 @r, θ, ϕD Sin @θD + F1 H0,0,1L @r, θ, ϕD − r r Sin @θD F3 H1,0,0L@r, θ, ϕDLL, F2 @r, θ, ϕD − F1 H0,1,0L @r, θ, ϕD + r F2 H1,0,0L@r, θ, ϕD = r
ПРИМЕР К ТЕМЕ 5 1. Получить формулы для потенциала и напряженности электрического поля для точечного заряда вблизи проводящей незаряженной сферы. 2. Построить контурный и поверхностный графики потенциала электрического поля. 3. Построить графики линий вектора E. 4. Построить графики силовых линий напряженности электрического поля E. ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ФУНКЦИИ
Потенциал и напряженность поля электрического заряда в декартовых координатах:
Значения параметров системы:
62
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Координаты начала координат: Потенциал и напряженность поля электрического заряда во всем пространстве и вне сферы.
Функции построения графиков (ненулевые значения z - для регуляризации графиков).
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
63
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ГРАФИКИ
Графики потенциала и силовые линии электрического поля:
Векторный график электрического поля; графики потенциала и силовые линии электрического поля:
64
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Поверхностный график потенциала электрического поля; графики потенциала и векторный график электрического поля:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
65
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
2.2. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПРИМЕР К ЗАДАНИЮ 6.4 1. Получить формулу для индукции магнитного поля полосы с током. 2. Построить график индукции магнитного поля – линии вектора B.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Вычисление индукции магнитного поля полосы с током:
66
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ФУНКЦИИ
Значения параметров системы:
Параметры векторного графика:
ГРАФИК
График индукции магнитного поля – линии вектора B:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
67
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 7.1 - 7.2 1. Получить формулы для индукции и напряженности магнитного поля цилиндрически-симметричного распределения плотности тока, считая, что магнитная проницаемость проводника равна μ1, а магнитная проницаемость окружающего пространства равна μ2. 2. Построить графики зависимостей индукции и напряженности магнитного поля распределенного тока от переменной r. 3. Построить график индукции и напряженности магнитного поля – линии векторов B и H. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пусть плотность тока равна в области 0 < r < R. Вычисление индукции магнитного поля с помощью теоремы о циркуляции вектора индукции магнитного поля:
Вычисление напряженности магнитного поля:
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ФУНКЦИИ
Значения параметров системы:
68
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ГРАФИКИ
Графики зависимостей индукции и напряженности магнитного поля распределенного тока от переменной r:
Замена переменных
Проекции векторов на оси x и y:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
69
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Графики индукции и напряженности магнитного поля – линии векторов B и H:
70
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
2.3. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ ПРИМЕР К ТЕМАМ 9 И 10 Построить график траектории движения заряженной частицы в электрическом и магнитном полях поле: трехмерный график и его двухмерные проекции. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Вычисления силы Лоренца:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
71
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
I СПОСОБ РЕШЕНИЯ ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ФУНКЦИИ
Значения параметров:
Начальные условия Численное решение уравнений движения
72
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ГРАФИКИ
Двумерные проекции траектории и трехмерный график траектории:
II СПОСОБ РЕШЕНИЯ
Численное решение уравнений движения
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
73
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ГРАФИКИ
Зависимости координат и проекций скорости от времени:
ГРАФИКИ
Двумерные проекции траектории и трехмерный график траектории:
74
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Двумерные проекции траектории и трехмерный график траектории:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
75
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
2.4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 12.1. – 12.2 1. Вычислить токи в цепи. 2. Вычислить мощности, выделяемые в цепи. 3. Вычислить КПД цепи. 4. Построить графики зависимостей токов и мощностей от величины сопротивления R, для нескольких значений величины внутреннего сопротивления ЭДС.
Электрическая цепь постоянного тока АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Система уравнений, следующая из правил Кирхгоффа
Токи
76
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Мощности
Исследование мощности P(R) на экстремум
КПД
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Значения сопротивлений и ЭДС Значения параметра, по которому исследуется результат Исследуемые функции
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
77
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ГРАФИКИ
Зависимости тока I1 от сопротивления R для нескольких значений r1:
Зависимости мощности P(R) от сопротивления R для нескольких значений r1:
Зависимости КПД от сопротивления R для нескольких значений r1:
78
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ПРИМЕР К ЗАДАНИЯМ 12.3 1. Вычислить токи в цепи. 2. Построить графики зависимостей токов и мощностей от величины сопротивления R1, для нескольких значений величины сопротивления R5.
Электрическая цепь постоянного тока (мостик) АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Система уравнений, следующая из правил Кирхгоффа
Токи
ЗАДАВАЕМЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Значения сопротивлений и ЭДС Значения параметра, по которому исследуется результат Исследуемая функция
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
79
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
ГРАФИК
Зависимость тока I5 от сопротивления R1 для нескольких значений R5:
ПРИМЕР К ТЕМЕ 13 1. Вычислить значения полного тока и напряжения в цепи, значения токов, напряжений и их фаз на элементах цепи. 2. Построить графики зависимостей токов и напряжений от времени, и частоты переменного ЭДС. 3. Исследовать полученные результаты на наличие резонанса в цепи. Получить выражения для резонансных частот
Электрическая цепь переменного тока АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Реактивные сопротивления (емкостное и индуктивное сопротивления)
1. Вычисление токов и напряжений в комплексной форме. Полное сопротивление цепи в комплексной форме
80
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
Вычисление токов в цепи (закон Ома в комплексной форме)
2. Вычисления модулей и фаз переменных токов, напряжений и сопротивления цепи
Модуль и фаза переменного тока I Модуль и фаза переменного напряжения UR Модуль и фаза переменного напряжения UC Модуль и фаза переменного напряжения UL Модуль и фаза сопротивления цепи R_gen
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
81
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
3. Резонанс в цепи. Исследование на экстремум ление резонансной частоты
. Вычис-
Резонансная частота
Максимальное полное сопротивление цепи
4. Результаты вычислений в символьном виде
5. Графический анализ решений (двумерные графики) Параметры цепи
Анализируемые функции
82
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
×ÀÑÒÜ 3. ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÒÂÎ È ÌÀÃÍÅÒÈÇÌ
ГРАФИКИ
Напряжения на C, L как функции времени:
Ток и напряжение в цепи как функции времени:
Амплитудная и фазовая характеристики тока:
2. ÏÐÈÌÅÐÛ ÂÛÏÎËÍÅÍÈß ÇÀÄÀÍÈÉ
83
ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÉ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÏÎ ÎÁÙÅÉ ÔÈÇÈÊÅ
Токи и напряжения как функции времени и частоты:
Ток в цепи как функция времени и частоты (поверхностный график):
Напряжение на R как функция времени и частоты (контурный график)
84
II ÊÓÐÑ, 3-É ÑÅÌÅÑÒÐ
