Физика(часть 3.1,3.2) ''Колебания'',''Волновые процессы''. Конспекты лекций

Глава 7. 

НЕЛИНЕЙНЫ Е ВОЛНЫ . 

По  мере  увеличения  амплитуды  практически  всегда  поведение  и  свойства  волновых процессов начинают зависеть от амплитуды, т.е. волна становится нелинейной.  (Исключение составляют, по­видимому, только электромагнитные поля в вакууме). Одно  из  основных  следствий  –  нарушение  принципа  суперпозиции,  поля  от  независимых  источников  при  совместном  возбуждении  не  ведут  себя  как  аддитивные  (складывающиеся) независимые величины.  Математически это соответствует тому, что движение вещества и поля приходится  описывать  с  помощью  нелинейных  уравнений.  Напомним,  что  нелинейными  называют  уравнения,  в  которые  определяемая  функция  и  ее  производные  (или  «первообразные»)  входят  в  степени  отличной  от  единицы.  Количественной  мерой  нелинейности  волн  в  большинстве  случаев  является  отношение  амплитудных  характеристик  волнового  поля  к  соответствующим  величинам,  описывающим  состояние  невозмущенной  среды,  соотношения  между  пространственно­временными  параметрами  волн.  Например,  для  гравитационных волн на воде – это отношение высоты гребня к длине волны, отношение  скорости  колебаний  частиц  к  скорости  волны.  При  распространении  электромагнитных  волн в веществе таким параметром может служить отношение амплитуд электрического и  магнитного полей волны к внутренним полям, поддерживающим равновесную структуру.  «Степень»  нелинейности  звуковых  волн  определяют  акустическим  числом  Маха  –  отношением амплитуды скорости смещения частиц в волне к скорости звука.  Таким  образом,  нелинейные  волны  –  следствие  нелинейного  отклика  среды  на  созданные  в  ней  возмущения,  нелинейности  среды.  Естественно,  что  на  формирование  нелинейного  волнового  процесса  будут  оказывать  влияние  те  же  факторы,  что  и  для  линейных волн: дисперсия, диссипация (затухание, отбор энергии), дифракция.  Поскольку  в  волнах  в  каждом  элементе  среды  реализуется  некоторый  колебательный  процесс,  то  ряд  общих  соображений  о  явлениях,  возникающих  в  нелинейных  волнах,  можно  сделать  на  основе  результатов  теории  колебаний  (см.  разд.  Курса  «Колебания»). Однако волны являются процессом, характерным для протяженных  сред,  обладающих  огромным  (зачастую,  приближенно,  бесконечным)  числом  степеней  свободы.  Это  обстоятельство  порождает  огромное  разнообразие  новых  явлений  и  приводит  по  сравнению  с  анализом  колебаний  отдельных  тел  к  существенному  усложнению  их  описания.  Поэтому  наша  задача  будет  состоять  лишь  в  том,  чтобы  дать  первые  представления  о  характерных  нелинейных  чертах  волновых  процессов,  обладающих той или иной степенью универсальности.  7.1.  СЛАБ О НЕЛИНЕЙНЫ Е ВОЛНЫ .  В  таких  волнах  нелинейность  считают  малым  возмущением.  В  линейном  приближении  поле  волны  рассматривают  как  суперпозицию  гармонических  волн  с  частотами  и  волновыми  числами,  подчиняющимися  дисперсионному  уравнению w = w ( k ) для  данных  конкретных  условий.  Вследствие  нелинейности,  волны  взаимодействуют,  обмениваясь  энергией  и  порождая  волны  на  новых  частотах.  Если  в  нелинейной среде источник возбуждает гармоническую волну с частотой w , то также как  и  в  нелинейном  осцилляторе,  распространение  волны  сопровождается  появлением  высших  гармоник  2w ,  3w и  т.д.  Энергия  колебаний  как  бы  «перекачивается»  «вверх»  по  спектру. Таким способом с помощью мощных лазеров создают генераторы когерентного  электромагнитного измерения на частотах кратных частоте излучения лазеров.  Эффективность генерации гармоник зависит от дисперсионных свойств системы и  может быть значительной даже при очень слабой нелинейности. Действительно, для роста  амплитуды гармоники по мере распространения волн необходимо, чтобы в каждой точке 84 

пространства  вынужденные  колебания  элементов  среды, порождаемые основной  волной,  и возникающие под действием волны гармоники, происходили синхронно.  Это  означает,  что  у  «затравочной»  волны  и  у  гармоники  фазовые  скорости  должны  быть  одинаковыми.  Таким  образом,  при  отсутствии  дисперсии  взаимодействие  волн  будет  носить  резонансный,  накапливающийся  характер  на  расстояниях  много  больших длины волны ( l >> l ), что обеспечит высокую эффективность передачи энергии  от первичной волны с частотой w  к соответствующей гармонике.  Если  дисперсия  велика,  то  фазовые  скорости  гармонических  возмущений,  имеющих  разные  частоты,  будут  существенно  разными.  Фаза  их  взаимных  воздействий  будет быстро осциллировать, что приведет на больших длинах к ничтожному эффекту.  7.2.  ВОЛНА РИМАНА И УКРУЧЕНИЕ ВОЛН.  Характерные  особенности  воздействия  нелинейности  на  эволюцию  волнового  процесса  будут  видны,  если  пренебречь  дисперсией  и  диссипацией  (затуханием)  волны  при  ее  распространении  в  нелинейной  среде.  В  такой  волне  все  гармонические  моды  «бегут» с одинаковыми скоростями.  Пожалуй,  самой  простой  нелинейной  волной  будет  плоская  бегущая  волна,  описываемая  «кинематическим»  волновым  уравнением (1.28), в  котором  скорость волны  является функцией амплитуды волны Y , (u = u ( Y ) ): ¶Y ¶Y + u ( Y )  = 0  (7.1)  ¶t ¶ x К  числу  таких  волн,  относятся  возмущения  в  среде,  состоящей  из  невзаимодействующих движущихся вдоль  X частиц.  Пусть n ( x, t ) плотность частиц в точке  x в момент  t . Тогда факт отсутствия потерь 

частиц определяется условием dn ( x, t )  = 0  dt

(7.2) 

¶n ¶n dx  + = 0 ,  ¶t ¶ x a t

(7.3) 

Откуда следует 

dx  где u =  –  скорость  среды,  которая  в  общем  случае  может  являться  функцией  at координаты и времени.  Другой  пример  ­  уравнение  движения несжимаемой  среды (жидкости).  Плотность  потока  жидкости  при  ее  движении  вдоль  оси  X  Y = nu .  В  каждом  слое  количество  втекающей и вытекающей жидкости должно оставаться неизменным  d Y ¶Y ¶Y = 0 или  +u = 0 .  И т.к.  n = const (жидкость несжимаема), то  dt ¶t ¶ x ¶u ¶u +u = 0  (7.4)  ¶t ¶ x ­ снова аналог (7.1), но непосредственно для скорости.  Уравнение  (7.4)  для u  нелинейно.  Простейшая  нелинейность  в  (7.1)  и  (7.4)  возникает,  если  предположить,  что u  функция Y , u = u ( Y ) .  Общее  решение  таких  уравнений по­прежнему (ср. с(1.28)) имеет вид Y ( x, t ) = f0  ( x - u ( Y ) × t ) =  f (x (t , x)) ,  (7.5) 

где f0  ( x , 0 ) – начальное распределение возмущений.

85 

В  этом  можно  убедиться  прямой  подстановкой 1) .  Выражение  (7.5)  называют  простой  волной или волной Римана.  При u = const = u0  , начальное условие Y ( x, o ) =  f ( x ) 

(7.6)  «выбирает»  определенный  профиль  волны f ( x ) ,  который  движется  со 

скоростью  u 0 вдоль  x без искажений (рис.  7.1).  В волне Римана (u = u ( Y ) ) каждый  элемент  волны  с  фиксированным  Рис. 7.1. Волна Римана при отсутствии дисперсии.  значением Y  движется  с  постоянной  скоростью u ( Y ) (рис. 7.2).  Волновой  профиль, по мере распространения возмущения,  расползается,  одни его участки растягиваются другие сокращаются.  Крутизна  последних  (см. рис. 7.2) растет. Процесс  укручения происходит вплоть до полного «перехлеста» (7.2  с),  в  результате  которого  появляется  многопотоковое  движение,  заканчивающиеся  опрокидыванием волны 2)  . 

Рис. 7.2. Процесс «укручения волны Римана. а) – исходная волна; б) ­ максимальная  крутизна фронта; с) – опрокидывание волны. 

Наглядный пример опрокидывания – образование  барашков  на  поверхности  моря  при  сильном  разгоне  волн  ветром  (рис.  7.3).  Из  предыдущей  ссылки  находим, что это имеет место, когда  df d u 1+ t  ® 0 , т.е.  dx df 1  df d u Рис.7.3. Образование барашков на  t 0  =  < 0  причем  поверхности моря (опрокидывание  dx df df d u max  волны). dx df 1)

¶Y ¶x

=

¶f ¶x

Y ( x - u ( Y ) t ) = f ( x - u ( f )t ) =  f ( x ( t , x ) ) есть сложная функция ( x, t ). Тогда  =

¶f ¶x ¶x ¶x

¶f  ¶f 

¶x = ¶ f  ¶u ¶x  1 + × t ¶x ¶ f

æ è

= ç 1 -

¶f æ ¶u ¶f ö ¶f  ö df  ¶f ¶f ¶u ¶f ¶f Þ = t Þ 1 + t ÷ = Þ ç ¶f ¶x ø ax ¶x ¶x ¶f ¶x ¶x ¶x è ¶f ¶x ø  ¶x

¶u ¶f

t ÷

¶f

u ¶x ¶f  ,  аналогично  =.  Подстановка  этих  выражений  в  (7.1)  дает  ¶t  1 + ¶¶xf  ¶¶uf  t

тождество, Y ( x, o ) =  f ( x, o ) – удовлетворяет начальному условию.  2) 

2.Момент опрокидывания определяется значением времени t 0  , при котором 

¶Y ¶x

t ® t 0 

® ¥ . 

86 

Для  волн  сжатия  изображенных  на  рис.  7.2,  7.3  происходит на переднем фронте (где 

df

ax

d u > 0 ,  поэтому  опрокидывание  df

< 0 ). 

Первая  малая  область,  профиля,  в  которой  реализуется  это  условие,  определяется  очевидно  местом,  где  максимальна  производная  начального  состояния  волны.  Таким  1  образом для  t 0  можно записать  t 0  =  df d u max  dx df 1  Для несжимаемой жидкости (волна на воде) t 0  =  du ( x )  max  dx Укручение волны на спектральном языке означает, что в процессе распространения  происходит  непрерывный  рост  амплитуды  гармоник,  синхронно  (резонансно)  взаимодействующих между собой. Энергия колебаний  как  бы  «перекачивается»  вверх  по  спектру. Таким образом, у нелинейных волн обнаруживается новое свойство ­ стремление  к «опрокидыванию».  7.3. 

УДАРНАЯ ВОЛНА. 

7.3.1.  Роль диссипации, образование ударной волны .  В  действительности  опрокидывание  волн  наблюдается  далеко  не  всегда.  Имеется  ряд  факторов,  которые  останавливают  процесс  укручения  фронта  волны.  Среди  них  следует  в  первую  очередь  выделить  вязкость  (диссипацию)  и  дисперсию  волн.  Вязкость  обусловлена  трением  движущихся  друг  относительно  слоев,  т.е.  пропорциональна  d u  d u производной  .  Диссипация  движения  в  слоях  будет  одинаковой,  если  = const .  dx dx 2  d  u Следовательно, влияние вязкости на волновой процесс имеет место, когда  2  ¹ 0 .  dx Наличие  вязкости  изменяет  «кинематическое»  волновое  уравнение,  которое  приобретает вид  ¶Y ¶Y ¶ 2 Y +u = n 2  ,  (7.7)  ¶t ¶x ¶ x гдеn – коэффициент вязкости.  Это  уравнение  называется  уравнением  Б юргерса.  Соответственно,  для  несжимаемой  жидкости имеем  ¶u ¶u ¶ 2 u +u = n 2  (7.8)  ¶t ¶x ¶ x ¶ 2 u ¶u С  ростом  крутизны  фронта  растет  не  только  ,  но  и  2  –  возникает  конкуренция  двух  ¶ x ¶ x прот ивополож ных процессов: укручения из­за нелинейност и и зат ухания из­за вязкост и.  В  результате  на  определенной  стадии  может  возникнуть  стационарное  движение  (рис.  7.4). Возникает волна с очень крутым фронтом ­ ударная волна. Слой  V х , где происходит  резкое  изменение  физических  величин,  характеризующих  волну,  много  меньше  масштабов  их  изменения  в  первоначальном  возмущении  х 0  .  Поэтому  говорят,  что  в  ударной  волне  происходит  скачок,  «разрыв»  параметров  среды.  Соответственно,  ударной  волной  называют  также  движущуюся  по  веществу  поверхность  «разрыва» 87 

Рис.7.4. Образование стационарного движения волны при взаимной компенсации  укручения волны из­за нелинейности и затухания из­за вязкости.

непрерывности  (скорости  движения  (течения)  среды,  давления,  плотности,  электромагнитного  поля  и  т.п.).  Ударные  волны  в  воздухе  возникают,  например,  при  сверхзвуковых  движения  тел  (снарядов,  самолетов,  метеоритов,  при  взрывах  и  т.п.).  Электромагнитные ударные волны (« скачки» поля) могут возникать в линиях передачи с  нелинейными полупроводниковыми элементами, ферритами.  Условие  остановки  процесса  опрокидывания  и  образование  ударной  волны  характеризуют  безразмерным фактором – числом Рейнольдса  d u u R =  dx  ,  (7.9)  2  d  u n 2  dx который равен отношению нелинейного члена к вязкому (см. (7.8)).  Число R –  важная  характеристика,  которая  определяет  различные  режимы  протекания  физических  процессов.  Поэтому  с  его  помощью  можно  оценивать  характерные  пространственные  и  временные  масштабы явлений. Пусть, например, в начальные моменты волновое возмущение имеет пространственный  размер :  L . Тогда для  R получим следующую оценку. 

u R @

n

u L  = u L 

u

n

7.10) 

L2 

На фронте ударной волны нелинейный член и вязкий должны компенсировать друг друга.  d u u u u dx » Vx  = u V x  » 1 , где V х – ширина фронта ударной волны.  2  u d  u n n 2  n 2  V x  dx Используя (7.10) находим  V х  1  :  L R  Ширина фронта ударной волны обратно пропорциональна R ! 

(7.11) 

7.3.2.  Спектр ударной волны .  Предположим,  что  ударная  волна  формируется  по  мере  распространения  первоначально  возбуждаемой  гармонической волны.  2 p Тогда  =  K 0  –  волновое  число  гармонической  волны.  Из  соотношения  неопределенностей  для  волн  L VхV k ³ 1 находим ширину пространственного спектра для образовавшейся периодической ударной волны  1  R  V k  »  . Используя (7.11) находим  V k » @  k0 R или  V x L V k  »  R  7.12)  k0 

88 

Формула  (7.12)  определяет  число  пространственных  мод  (спектр),  составляющих  волновой  пакет  в  виде  «треугольной» ударной волны, периодически продолженный по оси " x " .  7.3.3.  Стационарная ударная волна.  Покажем теперь, что уравнение Бюргерса (7.7) действительно допускает стационарное решение вида: Y = Y ( x - ut ) = Y ( x ) , где u = const (7.13)  Будем искать решение (7.8) как функцию x , т.е. распределение возмущения в системе отсчета, движущейся  вместе с волной.  Для установившегося процесса примем следующие граничные условия. 

d u

u x ®¥ = u1 ,  u x ®-¥ = u 2 ,  u 2 > u1 ;  

dx

= 0 

(7.14) 

x ®±¥

При этом для всех u  u1 < u < u 2 .  Такой моделью может описываться движение жидкости по трубопроводу после резкого увеличения  давления  (скорости  течения)  в  створе  источника.  Другой  близкий  пример  –  течение  «большой»  воды  по  водоканалу в результате резкого роста сброса воды через плотину.  Подставляя (7.13) в (7.8) получаем  ¶u

du ¶x

=

= -

d x ¶t

dt

d u dx

¶u

u ;  u

d u

=u

dx

¶ x

2

¶u

,  n

¶ x

2

2 

=n

d  u dx

2 

du

(u - u ) 

dx

т.е. 2 

= n

d  u dx

(7.15) 

2 

Умножив правую и левую часть (7.15) на  dx и, интегрируя, находим  1 

2 

u - uu = n

d u

+ c = nu ¢ + c 

(7.16) 

dx

2 

Значения  u и  с определяются из граничных условий  c =

1 

2 

u1 - uu1  ,  с =

2 

1 

2 

u 2 - uu 2 

2 

Откуда 

u1 + u 2 

1  ,  с = -  u1u 2  (7.17)  2  2  Соотношение  (7.16)  –  дифференциальное  уравнение  первого  порядка  с  разделяющимися  переменными.  Подстановка (7.17) в (7.16) приводит уравнение к виду dx du du d u u = 

=

2 n

2 

u - (u1 + u 2 ) u + u1u 2 

Обозначив u - u =  y , 

=

2 

u - (u1 + u 2 ) u +

u2 - u1 =V u

ò d x = ò  2 n

(

(u - u ) - V u 2 

2

2

) ( -

u1 + u 2  2 

=

2 

) 

+ u1u 2 

(u - u )

2 

(

- 

u 2 - u1  2 

2 

) 

видим, что при интегрировании равенства справа получаем табличный 

d u

1 

интеграл:

(

u1 + u 2

2 

) 

-

1  V  u

ln c

2 

Второе слагаемое справа (и С)­ произвольная постоянная. Таким образом интегрирование дает 1)  V u 1 u - u 2  u =  b , получим  x = ln  .  Или, обозначая  V  2n 2 n c u - u1 

сe bx

1) 

ò y

1 2a

ln

dy 2

-a

2 

=

1 y - a  c y+ a

1

ln

2a

=

y - a  y+a

1 2 a

uln

u-

-

1  2 a

u - u 2 

2 u1 + u 2

-

(7.18) 

u - u1 

ln c , где С – произвольная постоянная,  a =  Du

u1 + u 2

2

=

2 

u 2 - u1 

2  × 1 = 1 ln 1 u - u 2  u - u1  c Vu c u - u1  +  2 2 

89 

Соотношение  (7.18)  определяет  зависимость

u от x  u = u

1 

-

V u

ce bx

.  Граничные  условия  и  то,  что  - 1 

u1 < u < u 2 , дают c = - 1 1)  .  Поэтому окончательно находим u = u1  +

V u

(7.19) 

é Du ù 1 + exp  êë 2 g ( x - ut ) úû 

Эта формула описывает  простейшую  стационарную  ударную волну (рис. 7.5).  Изменение  скорости  происходит  в  узком  слое V  x » 

V u ,  описывающем  форму  2n

фронта  волны.  С 

(n ) ширина 

уменьшением  вязкости

фронта 

ударной 

волны 

уменьшается (растет влияние нелинейности).  Фронт  в  пространстве  распространяется  со  скоростью  u . 

Рис. 7.5. Скоростной профиль ударной волны

7.4.  ДИСПЕРСИЯ И СОЛИТОНЫ .  7.4.1.  Влияние дисперсии на распространение волн в нелинейной среде. Солитоны .  Хотя  вязкость  и  останавливает  укручение  волны  ее  наличие  приводит  к  постепенному  уменьшению  амплитуды  возмущения.  Вязкость  диссипативный процесс, в  котором  энергия  направленного  движения  постепенно  превращается  в  тепло.  Однако  кроме  диссипации  роль  «сдерживающего»  опрокидывание  волны  фактора  может  играть  дисперсия.  Дисперсия  –  это  зависимость  фазовой  скорости  от  частоты,  т.е.  нелинейная  зависимость  частоты  Фурье­гармоник  возмущения  от  волнового  числа w k  = w ( k ) .  Поэтому  при  отсутствии  диссипации  действие  дисперсии  сводится  к  расплыванию  волновых  пакетов  из­за  разной  фазовой  скорости  Фурье­гармоник.  Естественно,  полная  энергия, переносимая волной при этом сохраняется.  При  наличии  дисперсии  для  нелинейных  волн  возникает  «конкуренция»  между  тенденцией  к  «опрокидыванию»  из­за  нелинейности  и  расплыванию  вследствие  дисперсии. В результате при малых амплитудах первоначально гармоническая волна так и  останется  приближенно  гармонической.  При  больших  амплитудах  по  мере  распространения она превращается в последовательность коротких импульсов (рис. 7.6)  (поле  «обогащается»  большим  числом  гармоник).  Если  период  очень  большой,  то  образуется  уединенны е  волны   (возмущения),  которы е  назы вают  солитонами 2) .  Энергия  в  солитоне  сосредоточена  в  основном  на  ограниченном  интервале  пространственных  параметров  (рис.  7.7).  Характерная  протяженность  солитона ( L ) тем  меньше, чем больше А. С ростом А скорость солитона увеличивается.  Поведение  солитонов  во  многом  аналогично  материальным  частицам:  они  локализованы  в  пространстве;  перемещаются  без  деформации,  перенося  энергию,  импульс,  момент  импульса,  способны  сохранять  свою  структуру  при  взаимодействиях 

1) 

2) 

Значение С определяем из условия u (x = 0 ) = u :  c  =

u - u 2 u - u1

=

0, 5(u1 + u 2 ) - u 2 0, 5(u1 + u 2 ) - u1

=

0, 5(u1 - u 2 ) 

= -1 

0, 5(u 2 - u1 ) 

Colus (лат.) – один. 

90 

(столкновениях)  с  такими  же  объектами.  Солитоны  могут  образовывать  связанные  состояния,  ансамбли.  Уединенные  волны  образуются  на  поверхности  тяжелой  жидкости  конечной  глубины.  Солитоном  является  волна  цунами  на  подходе  к  берегу.  В  районе  очага  землетрясения,  где  она  образуется  она  почти  незаметна.  Однако  на  мелководной  части  ее  высота  может  быть  очень  большой  (до  50  м!).  Подходя  к  берегу  волна  резко  тормозится,  ее  высота  достигает  критического  значения,  после  которого  происходит  ее  обрушение (опрокидывание).  Y 

А х L  Рис.7.7. Пространственное распределение  волнового поля в солитоне.

Рис. 7.6. Превращение гармонической волны в ряд  коротких импульсов при большой амплитуде. 

В  настоящее  время  к  понятию  «солитон»  относят  широкий  класс  природных  явлений.  Математически  солитон  рассматривают  как  локализованное  стационарное  решение  нелинейных  дифференциальных  уравнений  в  частных  производных  (или  интегро­дифференциальных  и  т.п.).  Солитоны  представляют  собой  существенно  нелинейные  объекты,  поведение  и  свойства  которых  принципиально  отличаются  от  волновых пакетов малой амплитуды.  Первую  классификацию  солитонов  производят  по  числу  пространственных  измерений,  вдоль  которых  происходит  локализация  стационарного  возмущения  среды.  Все, что обсуждалось выше, ­ это одномерные солитоны. К двумерным солитонам относят  линейные  нарушения  идеальной  структуры  кристаллов  ­  дислокации,  также  пространственные области сосредоточения магнитного поля (магнитные трубки, вихри) в  сверхпроводниках,  каналы  самофокусировки  света  в  нелинейной  оптической  среде.  Трехмерные солитоны – это, например, «черные дыры» в теории гравитации, солитонные  модели  элементарных  частиц.  В  дальнейшем  будем  интересоваться  лишь  одномерными  солитонами.  7.4.2.  Уравнение Кортевега ­ де Фриза 1 .  Уравнение  описывает  широкий  класс  задач  в  средах  со  слабой  дисперсией.  Предположим,  что  дисперсионное уравнение для волн распространяющихся в нелинейной среде имеет вид:

w ( k ) = kc - b k 3 

(7.20) 

Пусть  в  какой­то  момент  волновую  функцию  возмущения  среды  можно  представить  в  i ( kx- w t ) 

виде: u :  ae .Тогда сразу становится ясно, что в кинематическое волновое уравнение типа (7.1), (7.2)  должна войти третья производная по координате х. Его следу зависать в виде:

¶Y ¶t

¶Y

+ ( c + eY ) 

¶x

+b

¶ 3 Y ¶ x3 

= 0 

(7.21) 

Или для скорости несжимаемой среды

¶Y ¶ 3 Y + ( c + u )  + r 3  = 0  ¶t ¶x ¶ x

¶u

(7.22) 

Это  и  есть  уравнения  Кортевега  ­  де  Фриза,  в  котором  зависимость  скорости  волны  от  амплитуды  предполагается линейной.  Покажем  с  его  помощью,  что  в  нелинейной  среде,  описываемой  (7.22)  возможно  образование  солитона – стационарного локализованного возмущения конечной амплитуды.  1 

Получено в конце 19 в. для описания волн на мелкой воде. 

91 

Ищем решение (7.22) в форме стационарной волны типа (7.5)

u ( x, t ) = u ( x - ut ) º u (x ) 

(7.23) 

Подставим (7.23) в (7.22), обозначив производные по x штрихами ( du dx = u ¢ и т.д.).  В результате получим уравнение bu ¢¢¢ + (u - a ) u ¢ = 0 , 

(7.24) 

где  принимаем a = u - c > 0 ,  т.е.  считаем,  что  возмущение  бежит  быстрее,  чем  гармоническая  волна  с  очень малым k . Умножим (7.24) на  dx и проинтегрируем: 

b ò u ¢¢¢dx + ò u × u ¢dx - a ò u ¢dx = R Приняв  R @ 0 ,  получаем  интегрирование дает:  b

bu ¢¢ +

ò u ¢u ¢¢dx + ò b

u 2  2

u 2  2 

- au = 0 .  Домножение  этого  уравнения  на u'  и  повторное 

u ¢dx - ò auu ¢dx = H

u ¢2

1  u 2  + u 3  - a =  H 2 6 2 

(7.25) 

Соотношение  (7.25)  формально  можно  рассматривать  как  «полную  энергию  некоторой  «частицы»,  движущейся со скоростью u ¢ в потенциальной яме U (u ) = -

au 2 

1  3  +  u 2 6 

При  H < 0  «частица»  совершает  «колебания»  около  положения  равновесия.  При  H = 0 ее  «движение»  происходит  по  сепаратриссе 1) ,  которая  разделяет  в  колебательном  процесса  финитное  и  инфинитное движение элементов осциллятора.  2 

Пусть H = 0 . Тогда из (7.25) следует 3 b (u ¢ ) = u

2 

( 3a - u )  или

du 1  2 

=

u ( 3 a - u ) 

dx 3 b

2) 

Интегрирование левой части производится разложением функции на элементарные дроби  :

ò u

d u 1  2 

( 3 a - u ) 

=-

2 3 a - u x Arth = . Или 3 a 3a 3 b é

a öù 3 a x ÷÷ ú = è 4 b ø ûú ch a × ( x - ut )  4 b æ

u = -3a ê1 - th çç ëê

(7.26) 

Таким  образом,  действительно  одно  из  точных  решений  уравнения  Кортевега  ­  де  Фриза  имеет  вид  стационарного  локализованного  возмущения – солитона (рис. 7.8).  Показано  главное:  стационарное  решение  существует  и  дисперсия  останавливает  укручение  фронта  возмущения  (волны).  С  ростом  амплитуды  скорость  солитона  возрастает ( A = 3a = 3 ( u - c ) ) , а его ширина уменьшается  Рис.7.8. Частное решение уравнения  Кортевега ­ де Фриза в виде солитона.

1)  2) 

1 

æ b ö 2  V x » ç ÷ è a ø 

7.27) 

Вспомните это понятие, введенное в разделе курса «Колебания».  Интеграл от приведенной функции можно найти в любом справочнике по математике. 

92 

7.5. 

САМОВОЗДЕЙСТВИЯ СВЕТА. 

В этом параграфе будет идти речь об изменении характера распространения света  (электромагнитных  волн)  в  нелинейной  среде,  обусловленного  зависимостью  отклика  среды от интенсивности электромагнитного поля.  Рассматривают два вида самовоздействия света. Первый тип связывают с влиянием  мощного  излучения  на  показатель  преломления  «n».  Если  показатель  преломления  зависит от интенсивности n ( I ) , то это приводит к зависимости от интенсивности фазовой  скорости волны, т.к.  u p  =  c 

n ( I ) 

(7.28) 

Будем считать

( 2 ) @ n0 + n2 I  , 

n(I ) = n + n E 0 нл

(7.29) 

где n 0  –  линейная  часть, n нл –  нелинейная  добавка,  конкретный  вид  которой  определяется  механизмом  нелинейности  среды, Е –  напряженность  электрического  поля  в  волне, I  –  интенсивность.  Если nнл  < 0 , то возникает нелинейное расплывание высокоинтенсивного светового  пучка  –  самодефокусировка.  При  nнл  > 0 вместо  дефокусировки  возникает  самофокусировка  света.  Самофокусировка  при  наличии  дисперсии  является  одной  из  причин  возникновения  оптических  солитонов,  т.е.  оптических  импульсов  распространяющихся  в  дисперсирующей  среде  без  расплывания.  Это  представляет  значительный  интерес  для  разработки  систем  передачи  информации  по  волоконно­  оптическим линиям связи.  Другой  вид  самовоздействия  света  связан  с  нелинейным  поглощением.  При  этом  особый  интерес  представляют  эффекты  самоиндуцированной  прозрачности  –  просветления  поглощающих  сред  с  ростом  интенсивности  излучения,  явления  многофотонного поглощения.

93 

7.5.1  Самодефокусировка.  При  попадании  светового  пучка,  имеющего,  например,  гауссово  распределение  амплитуды по попеременной координате  r 2  I ( r ) = I m  exp( - r  2 )  ,  (7.30)  a нелинейная  среда  становится  оптически  неоднородной.  В  центре  пучка  показатель  преломления  ( n нл )  будет  больше,  а  на  периферии  меньше.  В  соответствии  с  законами  геометрической  оптики  любой  световой  луч  (кроме  нормального  падения,  на  неоднородность) отклоняется в  сторону  больших  значений  показателя  преломления.  Это  обстоятельство иллюстрируется рис. 7.11  n 3 

b 

n 2  n 1 

a n1 < n2 < n3 

Рис. 7.9. Отклонение светового луча в  сторону  больших значений показателя преломления в  соответствии с законом Снеллиуса. 

Рис. 7.10. К пояснению принципа  «самодефокусировки» светового луча

Напомним основной закон линейной рефракции (закон Снеллиуса)  sin a n 2  =  ,  (7.31)  sin b n1  где a – угол падения лучей на границу раздела, b – угол преломления. Т.к. n2 > n1  , то b < a .  Таким  образом,  лучи,  из  которых,  как  можно  представить,  составлен  пучок,  отклоняются  от  оси  пучка  к  периферии.  При  этом  наибольшее  отклонение  от  первоначально  направления  (рис.  7.12)  испытывают  лучи,  попадающие  в  область  ¶n  ¶I  максимального  градиента  n нл (  нл  ,  т.е.  ).Иными  словами,  слой  нелинейной  среды  ¶ r ¶ r играет роль своеобразной рассеивающей линзы.  Если  слой  тонкий,  то  в  его  пределах  расплывание  поперечного  сечения  пучка  не  происходит. Основной результат – выход лучей из слоя под разными углами. При этом на  большом расстоянии для каждого угла (кроме Jmax   ), например J34   , образуется два луча, но  ¢  ) .  Разность  фаз  обусловлена  тем,  что  оптическая  длина  с  различным  сдвигом  фазы ( V j нл ¥ æ ö пути  ç L = ò hнл  × d l ÷ в  области  нелинейности  для  лучей  расположенных  выше  и  ниже  0  è ø æ dn нл  ö ç ÷ оказывается  неодинаковой.  Для  луча,  расположенного  ближе  к  центру  пучка,  è dr ø max  она  больше.  В  соответствии  с  законами  интерференции,  если  V j нл кратен p

V j нл  = p ( 2 mн )( m = 0,1... ) ,  то  под  таким  углом

J будет  наблюдаться  минимум  интенсивности. Результатом такой интерференции оказывается то, что пучок приобретает  характерную  кольцевую  структуру  (рис.  7.11).  Это  явление  называют  нелинейными  аберрациями.  С  ростом  мощности пучка  нелинейность  растет;  увеличивается Jmax   ,  растет 

94 

число  колец,  интенсивность  в  центральной  части  (по  сравнению  с  линейным  случаем)  уменьшается. Изменения происходят с появлением каждого нового темного кольца.  В толстом слое нелинейной среды световой пучок расплывается уже внутри самого  слоя.  Заметная  дефокусировка  наблюдается  при Jнл ³ Jдиф ,  откуда  оценивают  порог  1  l ö æ эффекта ç Jдиф  : ;  ÷ .  ka 2 p a ø  è

I max 

Рис.7.11. Угловое распределение интенсивности  света при «самодефокусировке» пучка. 

Рис.7.12. Поперечное сечение пучка при  самодефокусировке.

В  практической  деятельности  самодефокусировка  наиболее  часто  возникает  из­за  нагрева  среды,  вследствие  поглощения  части  энергии  светового  пучка.  Нагрев  изменяет  электромагнитные свойства среды (диэлектрическую проницаемость, упругие напряжения  и  т.п.).  Тепловая  самодефокусировка  является  одним  из  основных  эффектов  в  оптике  атмосферы,  ограничивающей  передачу  большой  энергии  на  значительные  расстояния  с  помощью волновых пучков. В то же время она используемся в нелинейной спектроскопии  свойств среды, т.к. зависит от коэффициента поглощения волны, скорости конвективного  движения среды, теплопроводности и т.д.  Так если газ (воздух) движется (конвективное движение – ветер) поперек пучка, то  симметричный  лазерный  луч  самоотклоняется  навстречу  потоку  в  более  холодную  (если ¶n ¶T < 0 )  часть.  Поперечное  сечение  пучка  может  приобрести  характерную  серповидную форму (рис. 7.12). 7.5.2 Самофокусировка света.  Самофокусировка  возникает  в  среде,  в  которой nнл  > 0 ,  показатель  преломления  r  увеличивается  с  ростом  поля Е .  В  центре  оптического  пучка,  где  больше  интенсивность  показатель  преломления  больше,  чем  по  краям  и,  следовательно,  фазовая  скорость  в  центре  будет  меньше.  Лучи,  распространяющиеся  по  нормаль  к  фронту  волны,  при  попадании  пучка  в  слой  нелинейной  среды,  будут  искривляться  в  сторону  больших  значений n , т.е. к оси пучка (рис. 7.13). Таким образом, первоначально однородная среда  ведет  себя  как  объемная  собирающая  линза,  фокус  которой  находится  на  некотором  расстоянии  f нл  от входа пучка в среду.  Положение  фокуса  определяется  траекторией  луча  с  максимальным  углом  отклонения (J max ) .  В  таком  нелинейном  слое сначала  ( f нл  =  е ) лучи  сходятся  (распределение I ф  ( r ) ),  в  фональной  плоскости,  затем  «уходят»  в  дальнее  поле.  В  дальней зоне также как и при  95 

ки пучка.

самодефокусировке,  угловое  распределение  имеет  кольцевую  структуру  (нелинейная  аберрация). Если толщина слоя  l ?  f нл  в среде может образоваться нелинейный волновод  –  по  среде  будет  распространяться  не  расходящийся  световой  пучок.  Это  имеет  место,  когда  дифракционная  расходимость  компенсируется  нелинейной  рефракцией VJдиф £ V Jнл .  Критическая мощность, при которой колоколообразный пучок самофокусируется, равна: 

l0 2  ,  Pc  @ c  16 p 2 n2 

(7.32) 

где  nнл  = u2 I .  Как  видно,  критическая  мощность  не  зависит  от  диаметра  пучка,  пропорциональна  квадрату  длины  волны  l0  и  обратно  пропорциональна  коэффициенту  нелинейности.  Уменьшение  длин  волны  приводит  к  ослаблению  дифракционной  расходимости и, соответственно, мощности, при которой возникает самофокусировка.  Следует иметь ввиду, что в отличие от «линейной» фокусировки с помощью линзы,  самофокусировка  носит  «лавинный»  характер,  характер  неустойчивости.  Вызванная  самофокусировкой поперечная неоднородность поля усиливает нелинейную рефракцию и  т.д.  При  Р >  Pc  нелинейная  рефракция  подавляет  дифракцию,  пучок  продолжает  сжиматься.  Пределом  этого  процесса  часто  становится  оптический  пробой.  Например,  мощный лазерный луч в атмосфере  «рассыпается» в  длинную (до десятков и даже сотен  метров) светящуюся в виде отдельных точек (микроразрядов) нить. 

96 

7.5.3 Оптические солитоны.  В зависимости от характера нелинейного взаимодействия излучения с веществом  солитонные эффекты в оптике подразделяют на резонансные и нерезонансные.  Резонансные процессы будут рассмотрены позднее.  В нерезонансных средах оптические солитоны формируются в результате баланса  между самосжатием световых импульсов и дисперсией.  Для волнового пакета вида: r  E ( z, t ) = A( t , z ) exp i (w 0 t - kz )  (7.33)  полное изменение фазы с учетом (7.29) равно w w n  w j ( t ) = w 0t - kz = w 0 t - 0 ( n0 + n2 I ) z = w 0 t - 0 0 z -  0  n2 I ( t ) z  ,  (7.34)  c c c т.е. имеет место добавка V j н. л . = - k0 n2 I ( t ) z , зависящая от интенсивности. Т.к. I = I ( t ) , то  такая добавка эквивалентна изменению частотного спектра  ¶j ¶I  V w н. л . = н. л .  = - k0 n2  z  (7.35)  ¶t ¶ t В результате частотный спектр импульса сильно уширяется.  Из  (7.35)  следует,  что  при  n2  > 0  частота  увеличивается  от  фронта  импульса  к  «хвосту».  При  нормальной  дисперсии  в  среде  спектральные  высокочастотные  компоненты,  группирующиеся  на  хвосте  пакета,  отстают  от  низкочастотных  компонент,  располагающихся  на  фронте.  Это  приводит  к  более  быстрому,  чем  в  линейной  среде,  расплыванию  пакета.  Обратная  ситуация  имеет  место  в  среде  с  аномальной  дисперсией.  Импульс  будет  сжиматься,  возникает  самосжатие,  «самофокусировка»  во  времени.  При  плотности энергии в импульсе, длительностью  t n ,  ¶ 2 k  2  2  w к  =  ¶w

(7.36)  kn 2 t n  достигается  устойчивый  баланс  сжатия  и  расплывания.  В  нелинейной  среде  распространяется  стационарный  импульс  –  оптический  солитон.  Его  огибающая  описывается формулой A co  2  A(h ) = A co  n = ,  (7.37)  n  h ch  t t e + e t n  z  где  h = t -  ,  u  ­ групповая скорость пакета.  u ¶ 2 к Вторая  производная  ­  определяет  дисперсию  групповой  скорости.  Чем  ¶ w 2  больше  дисперсия  и  короче  импульс,  тем  при  большей  плотности  энергии  образуется  солитон.  Таким  образом,  если  в  начальные  моменты  времени  длительность  импульса  была  такова,  что w n > w k (t 0 ) ,  то  в  процессе  распространения  будет  происходить  компрессия  n

n 

вплоть  до  t с ,  удовлетворяющей  (7.36).  Существенным  обстоятельством  в  динамике  образования  солитонов оказывается то,  что  солитон  вида  (7.37) оказывается  устойчивым  по отношению к некоторым вариациям плотности энергии  w n вблизи  w к .  Наиболее  благоприятные  условия  для  образования  оптических  солитонов  реализуются в тонких диэлектрических волокнах – волоконных одномодовых световодах.  Световой  импульс  распространяющейся  по  современному  световоду  имеет  предельно  малые оптические потери и устойчивое поперечное распределение излучения (моду) при

97 

возрастании  входной  мощности  вплоть  до  значений  соответствующих  порогу  самофокусировки.  Успешные  эксперименты  с  солитонами,  стимулирующиеся  их  применением  в  волоконно­оптической  связи  для  сверхскоростной  передачи  информации,  технике  формирования  световых  импульсов  фемтосекундной  длительности  (1фс=10 ­15 с)  спектроскопии быстропротекающих процессов, привели к созданию солитонных лазеров.

98