幾何学入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近 年 に お け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の応用 もさ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精 神 の 浸 透 が大 き い.理 工 学 は じめ 医 学 ・農学 ・経 済学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の 知 識 の み な らず 基礎 的 な 考 え 方 の素 養 が 必要 な の で あ る.近 代 数 学 の 理 念 に 接 し な けれ ば,知 識 の活 用 も多 きを望 め な い で あ ろ う.   編 者 ら は,こ の よ う な 事実 を 考 慮 し,数 学 の 各分 野 に お け る基 本 的 知識 を確 実 に伝 え る こ と を 目 的 と して 本 シ リー ズ の 刊 行 を 企 画 した の で あ る.   上 の主 旨 に した が っ て 本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに詳 し く説明 し, 近 代 数 学 の 考 え 方 を 平 易 に理 解 で き る よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の 数 学 に直 結 して,数 学 の 基 本 を悟 り,更 に 進 ん で 高 等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易 に は いれ る よう書 か れ て あ る.   こ れ に よっ て,高 校 の 数 学 教 育 に 携 わ る人 た ちや 技 術 関 係 の人 々の 参考 書 と し て,ま た 学 生 の 入 門 書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る.

  こ の シ リー ズ は,読 者 を数 学 とい う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に資 す る とと も に,つ

ぎの 段 階 に す す む た め の力 を養 う に役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.

ま

え

が

き

  幾 何 学 は 古 くか ら純 論 理 体 系 の 典 型 で あ った.ユ

ー ク リ ッ ドの 原 本 は 長 い 間 そ

の 標 準 的 教 科 書 と し て お か す こ と の で き な い 地 位 を 保 っ て い た.19世 て,平 行 線 公 理 の 反 省 か ら非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 が 発 生 し た.さ

紀に至 っ

らに射 影幾 何 が 完

成 し,そ

の 簡 明 か つ 整 然 と し た 体 系 は 近 世 に お け る数 学 の 模 範 と され た.ク

ンは,エ

ル ラ ン ゲ ン 目録 に よ って,い

ライ

ろい ろ な幾何 学 を 変換 群 の立 場 か ら 統

一

し,ヒ ル ベ ル トは,幾 何 学 基 礎 論 に よ っ て,原 本 の 不 備 な 点 を 正 し て 完 全 な 公 理 系 を 与 え た.し

か し,幾 何 学 基 礎 論 も現 代 数 学 の 感 覚 で は も は や 時 代 遅 れ で あ

る.   本 書 は 幾 何 学 の 入 門 書 で あ る.古 典 幾 何 の 解 説 を 目的 と し て,新 絡 しや す い よ うに 書 き 直 した.ま

た,何

しい数学 へ連

の 予 備 知 識 も必 要 とせ ず に 読 め る よ う

に,本 書 に 現 わ れ る用 語 や 概 念 は す べ て 本 書 に お い て 定 義 し,ま た 説 明 す るよ う に つ とめ た.集

合,順

序,演

算 に 関 す る基 礎 的 な 準 備 は,幾 何 学 だ け で な く,数

学 の あ ら ゆ る 分 野 に お い て 必 要 で あ る.本 書 で は これ らに つ い て 付 録 と し て ま と め て お い た.本

書 の 立 場 か ら 見 れ ば,付

2は そ の 解 析 的 取 り扱 い で あ る.第1章

録1は1次

元 幾 何 の 構 成 で あ って,付

に お い て 高 次 元 幾 何 を 公理 論 的 に 考 察

し,い わ ゆ る 幾 何 学 基 礎 論 の 現 代 版 で あ る こ と を 目指 した.第2章 の 代 表 と もい うべ き射 影 幾 何 を 公 理 系 に よ っ て 構 成 した.第3章 系 を 導 入 し,さ

ら に 第4章

録

では 古典 幾何 で は これ に 座 標

で は そ の 解 析 的 取 り扱 い を 示 した.第5章

に お い て,

い ろ い ろ な 古 典 幾 何 が 射 影 幾 何 か ら統 一 的 に 導 か れ る こ とを 示 した .こ れ は ク ラ イ ン の 思 想 に よ る も の で あ る が,さ

ら に,対

称 空 間 の 基 本 的 な モ デ ル と し て ,近

代 幾 何 学 に つ な が る もの で あ る.   中 学 生 に も読 め る よ うに,で 未 熟 の た め,わ

き る だ け や さ し く書 くつ も りで あ っ た が,著

者の

か りに くい 所 や 思 い が け な い 誤 りが あ るか も知 れ な い.読 者 諸 氏

の 御 叱 正 を お 願 い し た い.

  終 りに,執

筆 を お す す め 下 さ った 小 松 醇 郎 教 授 な ら び に 出版 に つ い て お 世 話 頂

い た 朝 倉 書 店 編 集 部 の 方 々 に 心 か ら謝 意 を 表 す る. 1967年9月 著

者

目

1. 

次

公 理 系 と幾 何 学

 

1.1  幾 何 学 の 構 成

 

1.2  結 合 公 理  

 1  1 5

 

1.2.1 

点

と 直 線

 5

 

1.2.2 

部 分 空 間

 8

 

1.2.3 

平

面

  9

 

1.2.4 

立

体

  12

 

1.2.5 

線 形 空 間

  14

 

1.3  順 序 公 理

 

1.4  合 同 公 理

  17  

24

 

1.4.1 

合 同 関 係

  24

 

1.4.2 

大 小 関 係

  33

 

1.4.3 

加

 

法

性 

1.5  連 続 公 理

37   42

 

1.5.1 

連

続

性

  42

 

1.5.2 

平

行

性

 47

  1.6  平 行 線 公 理  

1.6.1 

 

1.6.2 ユー

 

1.6.3 

2. 

射 影 公 理 系

2直 線 の 公 点 ク リッ ド平 行 性

非 ユ ー ク リ ッ ド平 行 性

影

  2.3  次   2.4  双

対

 50   52  

55

  58

  2.1  射 影 公 理   2.2  射

  50

  58

和

 

60

元

 

64

性

  68

  2.5 

配 景 写 像

 

  2.6  デ ザ ル グ 性

3. 

射 影 座 標 系

  3.3 

演

 78

  88

  3.1  四 角 形 性   3.2 点

73

  88

算 

92

パ ップス性

 100

  3.4  基 本 変 換

  107

  3.5  射 影 座 標

  112

  3.6 

4. 

2進

数空 間

 118

射 影 的 対 応

 124

  4.1  射 影 同 型   4.2  射 影 変 換

 124  

129

  4.3  相 称 と 相 反

 134

  4.4  非 調 和 比

 137

  4.5 

 141

2次

  4.6  直

5. 

曲 面 線

族 

変 換 群 と幾 何 学

  5.1 

変

 

5.2 

ア フ ィ ン幾 何

 

5.3 

ユ ー ク リ ッ ド幾 何

 

5.4  非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何

 

5.5  実 計 量 幾 何

 

換

群 

150

  159 159   164   171   177  180

  5.5.1 

放 物 幾 何

  181

5.5.2 

楕 円 幾 何

 182

  5.5.3 

双 曲 幾 何

  184

  5.5.4 

球 面 幾 何

  188

  5.6  共 形 幾 何

  190

 

5.6.1 

共 形 変 換

 190

 

5.6.2 

絶 対 超 球

  194

付

録

  1.  集 合 と 順 序

  201

 

1.1  集

合

 

 

1.2  関

係

  204

 

1.3  順

序

  206

 

1.4 

 

1.5  切

断

 

214

 

1.6  実

数

 

217

自

然

数

 

210

  2.  集 合 と 演 算

 221

 

2.1  群

 

2.2  環

 

2.3 

ベ ク

 

2.4 

函

 

2.5  三 角 函 数 

 

2.6  指 数 函 数

参

考

索

  221 と

体

 

ト ル  数

224 229

 

234 241

  244

書 

引

201

249

 

251

1.公

理 系 と幾 何 学

  1.1  幾 何 学 の 構 成   幾 何 学 と は 何 か?こ 学 の 対 象,方

法,内

の 質 問 に,明 解 に 答 え る こ と は 困 難 で あ る.実 際,幾 何

容 な どは,時 代 と と もに 著 し く変 遷 し,そ の 範 囲 も非 常 に 拡

大 され て い る.現 在,こ

れ ら の す べ て を 含 む よ うに 幾 何 学 の 定 義 を 述 べ る こ と は

ほ とん ど不 可 能 で あ ろ う.幾 何学(geometry)と

い う言 葉 は,元

来,測 地 学 を 意

味 す る も の で あ る.古 代 の 人 達 は そ の 実 用 的 な要 求 か ら い ろ い ろ な 図 形 を 研 究 し て,三 角 形,台 形,多 角 形,円,多 積,な

面 体,球,な

どに 関 す る多 くの 性 質 を発 見 し,

また,長

さ,面 積,体

どを 測 る た め に 必 要 な 種 々 の 法 則 を 見 出 し た.幾 何

学 は,こ

の よ うな 平 面 お よ び 空 間 の 図 形 に 関 す る性 質 や 法 則 を 体 系 的 に 研 究 す る

た め に 発 生 し た も の で,幾 何 学 を 数 学 的 体 系 と し て 初 め て 構 成 した の は ユ ー ク リ ッ ド(Eukleides,

330-275

B.C.)で

あ る.

  幾 何 学 を 精 密 な 理 論 体 系 と し て 展 開 す る た め に は,そ や 対 象 は 明 確 に 定 義 され な け れ ば な ら な い.ま

た,こ

題 や 法 則 は 正 確 に 証 明 され な け れ ば な らな い.し に は,す

の 叙 述 に 用 い られ る用 語

の体系 に おい て成 立す る命

か し,あ

る概 念 を 定 義 す る た め

で に 知 られ て い る概 念 を 用 い て い い 表 わ す こ とが 必 要 で あ る.ま た,あ

る命 題 を 証 明 す るた め に は,す

で に 成 立 が 保 証 され て い る命 題 を 用 い て論 理 的 に

導 く こ とが 必 要 で あ る.し た が っ て,幾 何 学 は そ の 出 発 点 に お い て,も は や 定 義 で き な い い く種 類 か の要 素 と,も は や 証 明 で き な い 若 干 の 命 題 とを 設 け て,こ れ ら の 要 素 の 存 在 と,こ れ ら の 命題 の 成 立 とは 初 め か ら 認 め て お く よ り 仕 方 が な い.そ

うで な け れ ば,こ

の 体 系 は 必 ず 循 環 論 法 に お ち い っ て し ま うか らで あ る.

これ らの 要 素 は 無 定 義 要 素 と よば れ,こ

れ ら の 命 題 は 公 理 と よ ば れ る.公 理 は 無

定 義 要 素 の 間 の 関 係 を規 定 す る も の で,あ

る体 系 を 構 成 す る公 理 の 集 ま りを 公 理

系 とい う.幾 何 学 は,公 理 系 を 出 発 点 と し て,一 る も の で,そ

定 の 論 理 法 則 に よ っ て展 開 され

の過 程 に お い て 成 立 す る命 題 を 定 理 と よ ぶ.古

典 幾 何 学 で は,ふ つ

う,無 定 義 要 素 と し て 点 と直 線 と を 採 用 す る.公 理 系 を 編 成 す る仕 方 は,い ろ い ろ考 え られ る が,ヒ

ル ベ ル ト(Hilbert,

1862-1943)の

幾 何 学 基 礎 論 で 与 え られ

た も の が 基 準 と され て い る.こ され る が,た

ー ク リ ッ ド幾 何 学 の全 公 理 系 が 列 挙

とえ ば

  "異 な る2点   "1直

の章 で は,ユ

を 通 る直 線 は た だ1つ 存 在 す る" 

線上 に な い1点

を 通 っ て,こ

(結 合 公 理)

の 直 線 に 交 わ ら な い 直 線 は た だ1つ

る" 

存在 す

(平 行 線 公 理)

な どが あ る.幾 何 学 を 学 ぶ に あ た っ て,無 定 義 要 素 と し て採 用 され た 点 や 直 線 は, 定 義 さ れ な くて もわ か っ て い る概 念 で あ る とか,公 理 は 証 明 す る必 要 が な い ほ ど 自 明 の 真 理 で あ る とい うよ うな 考 え を もつ こ と は,ま ロバ チ ェ フ ス キ ー(Lobatchevski,

1793-1856)や

った く誤 っ て い る.実 際,

ボ ヤ イ(Bolyai,

1802-1860)は

ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 平 行 線 公 理 を 大 胆 に 否 定 し て ,そ れ に 代 わ る公 理 を設 け, ま った く新 ら し い 幾 何 学 を 構 成 した.い

わ ゆ る非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 の 発 見 で あ

る.リ

また,こ

ー マ ソ(Riemann,

1826-1866)も

学 を 構 成 し て い る.19世 (F. Klein,

紀 以 後,い

1849-1925)や

れ と は 別 な 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何

ろ い ろ な 異 な る幾 何 学 が 発 見 され,ク

ポ アン カ レ(Poincare,

1854-1912)は,ユ

ライ ン

ー ク リッ ド

幾 何 学 の 体 系 の 中 に,こ れ ら の 幾 何 学 の モ デ ル が 矛 盾 な くつ くられ る こ とを 示 し た.こ

れ ら の 幾 何 学 は,今

日,ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学 と ま っ た く対 等 な,あ

よ り一 般 的 な 体 系 と し て 扱 わ れ,数

学 や 自然 科 学 の 発 展 に 役 立 っ て い る.

  異 な る2組 の 公 理 系 か ら は,一 般 に 異 な る2つ 2組 の公 理 系A,Bに Bに

お い て,Aに

属 す る ど の 公 理 もAか

は,公 理 系Bを

属 す る どの 公 理 もBか

し て,Aに

採 用 す る場 合,1つ

ら証 明 され,逆

に,

ち らの 公 理 系 を 採

属 す る公 理 で,Bに

属 さな い もの

の 定 理 と見 な さ れ る.

  幾 何 学 を 構 成 す るに あ た っ て,一 応,ど い が,実

の 幾 何 学 が 構 成 され る.し か し,

ら証 明 され る場 合 に は,A,Bど

用 し て も 同 じ体 系 が 得 られ る.そ

るいは

ん な公理 系 を採 用 して も さしつか え な

際 に 幾 何 学 を 価 値 あ る 体 系 に す る た め に は,そ

の公 理系 に対 す るい ろい

ろ な要 請 が あ る.こ れ に つ い て考 察 し よ う.   〔1〕  無 矛 盾 性  

公 理 系 に 属 す る命 題 は,そ れ 自身,あ

るいは たが い に矛盾

す る も の で あ っ て は な らな い.矛 盾 を 含 む 公 理 系 か ら 出発 す る と き,そ の 体 系 で は,ど

ん な 結 論 で も導 くこ とが で き,こ れ は 無 意 味 で あ る.公 理 系 が 無 矛 盾 で あ

る こ と を 確 か め るた め に は,す

で に 知 られ て い る概 念 を 用 い て,こ の 公 理 系 を み

た す 体 系 の 実 例,す

な わ ち モ デ ル を つ くっ て 見 せ れ ば よ い.こ れ は,こ

の公理系

を み た す 体 系 の 存 在 を 証 明 す る もの で あ る.   〔2〕  独 立 性  

公 理 系 に 属 す る1つ の 命 題 が,こ

の 公 理 系 の 他 の 公 理 か ら論

理 的 に 証 明 さ れ る と き,こ の 命 題 は もは や 公 理 で は な く,1つ

の 定 理 で あ る.こ

の 命 題 は 公 理 系 か ら除 外 し て お くべ きで あ る.あ る 公 理 系 に お い て,そ

れ に属す

る い ず れ の 公 理 も他 の 公 理 か ら証 明 す る こ とが で き な い と き,こ の 公 理 系 は 独 立 で あ る とい う.公 理 系 の 独 立 性 を 確 か め る に は,1つ

の 公 理 は み た さ な い が,他

の公 理 を み た す よ うな モ デ ル を 示 せ ば よい.   〔3〕

完全 性

  す で に 知 られ て い る概 念 を用 い て,1つ

の 体 系 が 構成 され て

い る とす る.こ の 体 系 に お い て 成 立 す るい くつ か の 命 題 を 公 理 と し て 採 用 す る こ とに よ り,こ の 体 系 を再 構 成 す る こ とが 考 え られ る.こ れ を こ の 体 系 の 公 理 化 と い う.あ る 体 系 を 公 理 化 す る と き,そ の 公 理 系 は 完 全 で あ る こ とを 要 す る.す な わ ち,こ

の 公 理 系 か ら,こ の 体 系 に お い て 成 立 す るす べ て の 定 理 が 導 か れ な け れ

ば な ら な い.   あ る公 理 系 に お い て,そ れ を み た す 体 系 が 一 意 的 に 定 ま る と き,こ カ テ ゴ リカ ル で あ る とい う.こ の 場 合,1つ の 体 系 の す べ て を 知 る こ とが で き る.た て 座 標 を 定 義 し,1つ る.一 方,公

の公理 系 は

の モ デ ル を 調 べ る こ とに よ っ て,こ

とえ ば,あ

る幾 何 学 で は,数 概 念 を 用 い

の モ デ ル を つ く る こ とが あ る.い わ ゆ る解 析 幾 何 学 で あ

理 系 か ら出 発 し て座 標 を 導 入 す る こ と が で き,そ れ が モ デ ル と 同 じ

解 析 幾 何 学 に 到 達 す る も の で あ れ ば,こ

の 公 理 系 は カ テ ゴ リカ ル で あ る.公 理 系

がカ テ ゴ リカ ル で な い と き,こ れ を み た す す べ て の 体 系 を 決 定 す る こ とが 考 え ら れ る.こ れ は 分 類 問 題 と い わ れ る.分 類 が 完 成 す れ ば,あ

とは お の お の の 体 系 に

つ い て調 べ れ ば よ い.   〔4〕

一般性

 公 理 系 か ら定 ま る 体 系 は,な

広 い 範 囲 に 適 用 され る も の が 望 ま しい.こ カ ル で な い 方 が 便 利 な こ と が あ る.こ を 知 る こ とが で き る.た

と え ば,群

る べ く一 般 的 な も の,す

なわ ち

の た め,公 理 系 と して む し ろ カ テ ゴ リ

の場 合,多

くの 体 系 に 共 通 した 性 質 や 法 則

の公 理 系 な どは,こ

れ をみ たす 体 系 が無 数 に

存 在 し,群 概 念 は あ らゆ る 分 野 に広 く用 い られ て い る.   しか し,公 理 系 が 一 般 性 を も つ こ とは,必

ず し も カ テ ゴ リカ ル で あ る こ とに 反

す る も の で は な い.カ

テ ゴ リ カ ル な 公 理 系 に よ っ て 構 成 され る1つ の 体 系 が あ る

と き,こ の 体 系 を も と に し て い ろ い ろ な 体 系 の モ デ ル を つ く る こ とが で きれ ば, こ の 体 系 は 十 分 一 般 的 な もの で あ る と い え よ う.と

くに,も

と の 公 理 系 に,新

し く公 理 を 追 加 した り,公 理 の 内 容 を 多 少 変 更 し た りす る こ とに よ っ て,い ろ な 体 系 を つ く り出 す こ とが で きれ ば,も す も の と な り,そ れ を 通 じて,諸 で は,射

ら

ろい

と の 体 系 は これ ら の 諸 体 系 の 中 心 を な

体 系 の 相 互 関 係 が 明 らか に され る.古 典 幾 何 学

影 幾 何 学 が こ の よ うな 中 心 的 な 役 割 を 果 す も の で あ る.

  公 理 系 に よ っ て,あ

る 体 系 を 構 成 す る と き,上 述 の 要 請 以 外 に も,ま だ い ろ い

ろ な 考 慮 が 必 要 で あ ろ う.た とえ ば,公 理 の 個 数 は な る べ く少 な く,表 現 を な る べ く簡 単 に,各 公 理 の 間 の 調 和 が とれ る よ うに,重 複 す る 内 容 を 含 ま な い よ う に,あ

るい は あ との 論 理 的 展 開 が 容 易 で あ る よ うに,そ

で あ ろ う.場 合 に よ っ て は,か

の他 い ろ いろ工 夫 が必 要

な り主 観 的 な 配 慮 と な る こ と も あ り得 る.幾 何 学

基 礎 論 の 立 場 か ら,公 理 系 そ の も の を 論 ず る場 合 に は,公 理 系 の 無 矛 盾 性,独 性 な どを 厳 密 に 証 明 し,ま た,い

ろ い ろ な 基 本 的 命 題 の 間 の 論 理 的 関 係 を 明 らか

に し て,公 理 系 の 採 用 理 由 を示 す こ と も必 要 で あ ろ う.し か し,一 度,公 立 て られ,そ

立

理系が

れ を 出 発 点 と し て 実 際 に 幾 何 学 を 展 開 し よ う とす る と き,改 め て公

理 系 選 択 の 過 程 に さか の ぼ っ て議 論 す る こ とは あ ま り意 味 が な い よ う に 思 わ れ る.も

しそ の 公 理 系 に重 大 な 欠 陥 が あ る とす れ ば,理 論 を 展 開 し て い く途 中 で,

そ の体 系 が き わ め て 価 値 の 少 な い 不 自 然 な も の で あ る こ と,あ

るい は 空 論 に す ぎ

な い こ とが 容 易 に 判 明 し て し ま うか ら で あ る.し た が っ て,以 下 の 考 察 で,あ 公 理 系 が 立 て られ た と き,そ れ らに 課 せ られ た 種 々 の要 請 に つ い て は,過

る

去 の人

達 に よ っ て十 分 検 討 ず み で あ る と認 め て,基 礎 論 的 な 追 究 は あ ま り行 な わ な い こ とに し よ う.す な わ ち,数

学 的 に 意 味 が あ るか ら こそ,そ

の よ うな 公 理 系 が 立 て

られ た と考 え て お こ う.   幾 何 学 に お い て,基 礎 とな る概 念 の1つ

は 空 間 と よば れ る も の で,こ

の 幾 何 学 的 体 系 に お け るす べ て の 点 の 集 合 で あ る.空 間 は1つ

の 抽象 的 な集 合 と

い うだ け で な く,そ の上 に あ る種 の 幾 何 構 造 が 導 入 され て い る .こ 造 と は,空

間 と他 の 集 合 との 関 係 を 指 定 す る こ と,あ

つ な 対 象,概

念,数

れ は,そ

こ に,幾 何 構

るい は 空 間 に 対 し て と くべ

量 な どを 指 定 す る こ と を 意 味 す る.こ れ らは 公 理 系 あ るい は

定 義 に よ っ て 定 め られ る も の で あ る.こ の よ うな 幾 何 構 造 を もつ 空 間 の特 性 お よ び幾 何 構 造 そ の も の を 論 ず る数 学 の 分 野 を,現 代 に お い て,幾 何 学 と称 す る の で あ る.   以 下 こ の章 で は,幾 れ ば,こ の5つ

何 学 を構 成 す る 公 理 系 に つ い て 論 及 す る.ヒ ル ベ ル トに よ

れ ら は,結 合 公 理,順

序 公 理,合

同 公 理,連

続 公 理,お

よび 平 行 線 公 理

の 部 分 に 分 け られ て い る.本 書 で も,こ れ に し た が っ て 考 察 を 進 め る.

  1.2  結

合

公

理

  い くつ か の 集 合M,N,… ×… … ×Zを

…,Zに

対 し て,直

積 集 合 の 部 分 集 合Ω ⊂M×N

指 定 す る こ と を,こ れ ら の集 合 の 元 の 間 の 関 係 とい う.幾 何 学 は,

い く種 類 か の 基 本 的 な要 素 に よ っ て 構 成 され る も の で,こ を 規 定 す る 公 理 を 結 合 公 理 とい う.こ こ で,い

れ らの 要 素 の間 の 関 係

ろ い ろな結 合公 理 につ い て考察 す

る.   1.2.1  点

と

直

線

  2つ の 集 合E,Lが

与 え られ,こ

た とす る.集 合Eを 合 と よ ん で,そ

れ らの 元 の 間 の 関 係Ω ⊂E×Lが

空 間 と よん で,そ の 元 を 点 と よ ぶ.ま

の 元 を 直 線 と よぶ.点A∈Eと

に あ る と き,直 線lは

点Aを

た,集 合Lを

直 線l∈Lと

通 る,ま た は,点Aは

指 定 され 補 助集

が 関 係(A,l)∈

直 線l上

Ω

に あ る とい う.こ

の と き,次 の 結 合 公 理 を 立 て る.   〔A1〕  異 な る2点 を 通 る 直 線 は た だ1つ   〔A2〕   1直 線上 に は,少

(直 線 公 理)

な く と も異 な る2点 が 存 在 す る. 

  こ の2公 理 を み た す 体 系{E,L,Ω}を とい う.2系

存 在 す る. 

結 合 幾 何 とい い,空

の 結 合 幾 何{E,L,Ω},{E′,L′,Ω′}に

(2点 公 理) 間Eを

結合 空 間

対 して,写 像

f:E→E′, g:L→L′ が 与 え られ れ ば,写

像

α:E×L→E′ が 引 き起 こ され る.と f,gに

×L′,  α(A,l)=(f(A),g(l))

くに,α(Ω)⊂Ω′ で あ る と き,こ の2系

よ っ て準 同 型 で あ る とい わ れ る.さ

射 で あ る と き,こ

の2系

ら に,f,gお

の結 合幾何 は写像

よ び α:Ω →Ω′が 全 単

の結 合 幾 何 は 同 型 で あ る と い わ れ る.結 合 幾 何 に つ い て

考 察 す る と き,同

型 な2系

合 幾 何{E,L,Ω}に

の 結 合 幾 何 は 体 系 と し て 同じ も の と 見 な し て よ い.結

お い て,点

ば,こ

れ ら の 元 の 間 の 関 係Λ=Ω

Λ}に

お い て は,結

合公理

集 合F⊂Eと

直 線 集 合N⊂Lと

∩(F×N)が

が 与 え られ れ

引 き 起 こ さ れ る.体

〔A1〕,〔A2〕

系{F,N,

が み た さ れ る と は 限 ら な い が,こ

の

体 系 を も と の 体 系 の 部 分 幾 何 と い う.   公 理 〔A1〕 をA∨Bで

か ら,異

な る2点A,B∈Eを

表 わ し,2点A,Bを

理 〔A2〕 る2点

か ら,直

を 含 む.よ

S(g)な

結 ぶ 直 線 と い う.結

線l∈L上 っ て,公

ら ば,l=gで

通 る 直 線 が た だ1つ

定 ま る.こ

合 空 間Eに

に あ る す べ て の 点 の 集 合S(l)は 理

〔A1〕

あ る.そ

か ら,2直

こ で,空

お い て,公

少 な く と も異 な

線l,g∈Lに

間E内

れ

対 し て,S(l)=

の 点集 合 族

L′={S(l)￨l∈L} を と れ ば,写

像S:L→L′

は 全 単 射 で あ る.こ

の 対 応 で,直

線lと

点 集 合S(l)

と を 同 じ も の と 見 な す こ と が で き る.   定 理1.1 

結 合 幾 何 で は,補

助 集 合 を1つ

の 点 集 合 族 と し て 実 現 す る こ とが で

き る.   す な わ ち,直

線 は あ る 種 の 点 集 合 と 見 な さ れ,直

合 と し てA∈lで

あ る こ と を 意 味 す る.し

い う代 わ り に,"直

線lが

い う表 現 を 用 い て よ い.な

点Aを

と い わ れ,そ

含 む"あ

お,2直

線lが

た が っ て,"直

点Aを 線lが

る い は,"点Aは

集 合 か ら 成 る 集 合 族 を 図 形 と い う.た

点Aを

直 線lに

線 が 同 じ 点 を 通 る と き,こ

の 点 を 交 点 ま た は 共 有 点 と い う.結

通 る と は,集 通 る"と 属 す る"と

の2直

線 は 交わ る

合 幾 何 に お い て,い

くつ か の 点

と え ば,1直

線,交

わ る2直

線,な

どは 図

形 で あ る.   例1. 

E=φ,L=φ,あ

合,L=φ

だ か らΩ=φ

れ る.な

ぜ な ら,異

ま た,直

線 が1つ

  例2. 

で あ る.こ

だ け),L=φ

の と き公 理 〔A1〕,〔A2〕

な る2点 が 存 在 し な い 以上,公 もな い か ら,公 理 〔A2〕

A,Bの2人

っ て い る ら しい.AとBと とす る.2つ

るい はE={A}(1点

れ らの場

が み た され る と考 え ら

理 〔A1〕 の 規 定 に 反 す る こ と は な く,

に 反 す る こ と もな い.

は た が い に 好 意 を も っ て い る.し の 好 意 をlで

と す る.こ

表 わ し,Bが

の 集 合E={A,B},L={l,h,k},に

のは (A,l),(B,l),(B,h),(B,k)

か し,Bは

他 の 人 に も好 意 を も

も っ て い る他 の 人 へ の 好 意 をh,k 対 し て,関

係Ω ⊂E×Lに

あるも

で あ る.こ 〔A2〕

の関 係 で は,公 理 〔A1〕

は み た され な い.こ

と な る.す

は み た され るが,公

理

の 場 合,

な わ ち,直 線h,kを

点集 合 として実現す る こと

は で きな い.   例3. 

2つ の都 市K,Oを

結 ぶ2つ

の 電 鉄h,kが

る.h線 がk線

はT市 はT市

あ

を経 由 す る

を 通 ら な い.

2つ の 集 合E={K,O, T},L={h,k}に

図1.1

 

対 し て,関

係Ω に あ る も の は

(K,h),(O,h),(T,h),(K,k),(O,k)

で あ る.こ

の関 係では

は み た さ れ な い.こ

〔A2〕

の 場 合,直

は 定 ま る が 直 線O∨Kは   例4. 

3つ

は み た さ れ る が,〔A1〕 線O∨T=T∨K=h

定 ま ら な い.

の 通 信 衛 星N,H,Kが

に 電 送 して い る.NとHと 間 の電 波 をN∨Hの

あ っ て,た

がい

の よ うに

表わ し   E={N,H,K},   L={N∨H,H∨K, K∨N}

図1.2

とす れ ば,こ で あ る.こ

れ は 公 理 〔A1〕,〔A2〕 の場 合,補

助 集 合Lは

をみ たす か ら結合幾 何 集 合 族 と し て 表 わ され て い

図1.3

る.   例5. E={A,B,C,D},L={A∨B,A∨C, A∨D,B∨D},た

だ しC∈B∨Dと

す る,こ れ は 結

合 幾 何 で あ る.   例6.  Eと E上

少 な く と も 異 な る2点

して,L={l}(1直

を含 む 任 意 の集 合を

線 だ け)と

す る.直

の す べ て の点 を 通 る も の とす れ ば,こ

何 で あ る.こ

の 場 合,直 線lは

  こ の よ うに,い

れ は結 合幾

点 集 合 と し て 空 間Eに

図1.4

一 致 す る.

ろ い ろ な 例 を つ くる こ とが で き る.結 合 公 理 で は,点

て の 直 線 に つ い て,異 実 際,例6で

線lは

集合 とし

な る2点 を 含 む と い う こ と以 外 に は 何 も規 定 し て い な い.

示 され る よ うに,空

間 あ る い は 直 線 と し て任 意 の 集 合 を と る こ とが

で き る.点 集 合 と し て の 直 線 の 特 性 は,あ

とで 順 序 公 理,連

続公 理 な どに よ って

規 定 さ れ る. 1.2.2 

部

分

  結 合 空 間Eに

空

間

お い て,点 集 合S⊂Eが

次 の条 件 を み た す と き,SをEの

部

分 空 間 とい う.す な わ ち,   異 な る2点 がSに

属 す れ ば,こ

の2点

を通 る直 線上 の す べ て の 点 が またSに

  属 す る.   こ の 定 義 か ら,1直

線lお

よ び 空 間E自

身 は 部 分 空 間 で あ る.と

Aお よ び 空 集 合 φ も ま た 部 分 空 間 と見 な され る.明   定 理1.2  よ っ て,や

結 合 空 間Eの

部 分 空 間Sは,そ

くに,1点

らか に,

の上 に 引 き起 こ され る結 合 関 係 に

は り結 合 空 間 とな る.

  す な わ ち,部 分 空 間Sに 何{S,N,Λ}に   定 理1.3 

含 まれ るす べ て の直 線 の 集 合 をNと

お い て,や は り結 合 公 理 〔A1〕,〔A2〕

す れ ば,部

分幾

が み た され る.

結 合 幾 何 に お い て,部 分 空 間 か ら成 る点 集 合 族 の 交 集 合 も ま た 部 分

空 間 で あ る.   証 明   部 分 空 間 族{Si￨i∈I}に

お い て,交 集 合 を

とす る.異 な る2点A,BがSに i∈Iに

属 す れ ば,交

対 し て,A,B∈Siで

よ っ て,A∨B⊂Sで

あ る.Siは

集 合 の定 義 か ら,す べ て の 添 字

部 分 空 間 だ か ら,A∨B⊂Siと

あ る.す な わ ち,Sは

部 分 空 間 とな る. 

な る. (証 終)

  い くつ か の 部 分 空 間 が 同 じ点 を 含 む と き,こ れ らの 部 分 空 間 は 交 わ る と い わ れ,こ

の 点 を 交 点 また は 共 有点 とい う.

  点 集 合X⊂Eに

対 し て,Xを

これ らの 交 集 合 をS(X)と て,点 集 合Xを

含 む.し

す れ ば,定 か もS(X)は

れ る.す な わ ち,S(X)はXを を 点 集 合Xで

含 む す べ て の部 分 空 間 か ら成 る点 集 合 族 を と り, よ り,S(X)は

点 集 合Xを

部 分空 間 で あ っ

含 む任 意 の部 分空 間 に含 ま

含 む 最 小 の 部 分 空 間 で あ る と い え る.こ のS(X)

張 ら れ る部 分 空 間 とい う.な

2点 し か 含 ま な い と き,空 間Eの   結 合 幾 何 に お い て,補 助 集 合Lが な る2点

理1.3に

を 含 む こ とが で きな い.よ

お,空

間Eの

いず れ の直 線 もただ

任 意 の 点 集 合 は 部 分 空 間 で あ る. 空 な らば,公 理 〔A2〕 っ て 空 間Eは

か ら,空 間Eは

空 集 合 か ま た は た だ1点

異 とな

り,例1の

場 合 し か な い.ま

たLが

空 で な け れ ば,次

の2公 理 の い ず れ か 一 方

が 成 立 す る.   〔A3〕   同 じ直 線上 に な い3点 が 存 在 す る.    〔A3〕′

空 間Eは

直 線 で あ る. 

(直 線 制 限 公 理)

  公 理 〔A3〕′ が 成 り立 つ と き,空 間E自 が,空,1点,あ

(点 直 線 公 理)

る い は1直

身 が た だ1つ

の 直 線 とな る.空 間E

線 に す ぎ な い 場 合 を 除 外 す れ ば,い

つ も公 理 〔A3〕

が 成 り立 つ と し て よい.   同 じ直 線上 に な い3点A,B,Cが B∨Cが

定 ま る.こ

△ABCで

あ れ ば,異

な る3直 線,A∨B,A∨C,

れ ら の6つ の 要 素 か ら成 る 図 形 を 三 角 形 と よ ん で,簡

表 わ し,3点A,B,Cを

を そ の 辺 直 線 と い う.1つ

そ の 頂 点,3直

の 三 角 形 は 公 理 〔A3〕

単に

線A∨B,A∨C,B∨C を み た す 最 も簡 単 な 結 合 幾 何

を 構 成 し て い る.   公 理 〔A3〕

が み た され れ ば,空

間Eに

は 少 な く と も1つ の 三 角 形 が 存 在 す

る.三 角 形 の3頂 点 で 張 られ る部 分 空 間 を こ の 三 角 形 の 支 持 面 と い う.支 は,1直

線,1点,あ

るい は 空 集 合 の い ず れ と も異 な る 部 分 空 間 で あ る.空 間E

自身 が あ る 三 角 形 の 支 持 面 で あ っ て も よ い.し か し,今 の と ころ で は,あ 形 の 支 持 面 の 真 部 分 集 合 が 他 の 三 角 形 の 支 持 面 と な る か も知 れ な い.す △ABCの

支 持 面S上

の 支 持 面S′

はSに

う保 証 は な い.三 い て は,あ

の 点A′,B′,C′

と で 順 序 公 理,あ

とSと

が一 致す るとい

る い は 平 行 線 公 理 に よ っ て 規 定 され る.

面

の 元 と集 合L1,L2の

の 集 合E,L1,L2が

元 と の 間 の 関 係 

元 を 直 線,L2の

が 関 係(A,l)∈Ω1に

に あ る とい う.同 様 に,点A∈Eと

た,集

元 を 平 面 と よぶ.点A∈Eと

あ る と き,直 線lは

点Aを

合L1,L2を

合E

平 面u上

補 助集

直 線l∈L1と

通 る,ま た は,点Aは

平 面u∈L2と

点Aを 通 る,ま た は,点Aは

与 え られ,集

が 指 定 され た と

空 間 と よん で そ の 元 を 点 と よぶ.ま

合 と よ ん で,L1の

と き,平 面uは

な わ ち,

の3頂 点 か ら どの よ うに 決 定 され る か に つ

  あ ら た め て,次 の 体 系 を 考 え る.3つ

す る.集 合Eを

る三 角

を 頂 点 とす る △A′B′C′ が あ れ ば,そ

含 まれ る こ と は 確 か で あ る が,S′

角 形 の 支 持 面 が,そ

  1.2.3  平

持 面

が 関 係(A,u)∈Ω2に

直 線l上 ある

に あ る と い う.こ の と き,

次 の 結 合 公 理 を 立 て る.   〔A1〕  異 な る2点 を 通 る直 線 は た だ1つ

存 在 す る. 

(直 線 公 理)

  〔A2〕   1直 線上 に は,少

な く と も異 な る2点 が 存 在 す る. 

  〔A3〕   1平 面上 に は,同

じ直 線上 に な い3点 が 存 在 す る.  (点 直 線 公 理)

  〔A4〕   同 じ直 線上 に な い3点   〔A5〕

異 な る2点 が1平

を 通 る平 面 は た だ1つ 存 在 す る.(平

面上 に あ れ ば,こ

の2点

(平 面 線 形 公 理)

  体 系{E,L1,L2,Ω1,Ω2}は は,こ

こ の5公 理 を み た す も の とす る.公 理 〔A1〕,

の 体 系 が 点 と直 線 と に 関 し て結 合 幾 何 で あ る こ とを 示 して い る.

補 助 集 合L2が

空 で な け れ ば,公

理 〔A3〕

か ら,空 間Eに

の 三 角 形 が 存 在 す る,結 合 幾 何 で は,直 線lと す こ と に よ っ て,補 助 集 合L1をEの 同様 に,平

面u∈L2上

〔A3〕,〔A4〕 で あ る.ゆ

え に,平

l⊂uと

面uと

面u,υ

1直 線,1点,あ   定 理1.4 

を 同 じ も の と見 な

線l∈L1上

す る.公

∈L2に 対 し て,S(u)=S{υ)な

点 集 合S(u)と

また 空 間E内

な る.こ

点 集 合S(l)と

部 分 空 間 族 と し て 実 現 す る こ とが で き た.

を 同 じ も の と見 な す こ と が で き て, の と き,平 面u

な る こ とを 意 味 す る,公

の 異 な る2点 が 平 面u∈L2上

れ は 平 面uがEの

理

らば,u=υ

の 点 集 合 族 と し て 実 現 され る.こ

通 る と は,点 集 合 と し てA∈uと

に よれ ば,直

は 少 な く と も1つ

に あ る す べ て の 点 の 集 合 をS(u)⊂Eと

か ら,2平

補 助 集 合L2も が 点Aを

面 公 理)

を 通 る直 線上 のす べ て の 点

が こ の 平 面上 に あ る. 

〔A2〕

(2点 公 理)

に あ れ ば,点

理 〔A5〕 集 合 として

部 分 空 間 で あ る こ とを 示 し て い る.平 面 は,

る い は 空 集 合 の いず れ と も異 な る部 分 空 間 で あ る. 2平 面 が 同 じ直 線上 に な い3点

を 共 有 す れ ば,こ

の2平 面 は 一 致 す

る.   証 明   これ は,公

理 〔A4〕

の い い か え に す ぎな い. 

  同 じ直 線上 に な い3点A,B,Cを

通 る平 面uは

の 部 分 空 間 で あ る.し か し,平 面uが3点A,B,Cで 一 致 す る と は 限 ら な い .す と は 確 か で あ る が,Sとuと 公 理 〔A4〕 な い.

な わ ち,△ABCの

(証終)

た だ1つ

定 ま り,そ れ はE

張 られ る部 分 空 間Sに 支 持 面Sは

平 面uに 含 まれ る こ

が 一 致 す る と い う保 証 は な い.一 般 に,空

を み た し て も,Eの

部 分 空 間Tが

公 理 〔A4〕

間Eが

を み た す とは 限 ら

  例   空 間Eは た だ2点

異 な る4点 か ら成 る と し,任

意 の直線 は

しか 含 ま な い とす る.

E={A,B,C,D} L1={A∨B,

B∨C,

L2={E}(1平 とす れ ば,こ

D∨A,

A∨C,

B∨D}

面 だ け)

れ は,公

理 〔A1〕 ∼ 〔A5〕

合S={A,B,C}は Eと

C∨D,

△ABCの

を み た す.点

集

支 持 面 で あ る が,平

面

は 一 致 しな い.

  定 理1.5  点,あ

異 な る2平

面 の 交 集 合 は,1直

図1.5

線,1

る い は 空 集 合 の い ず れ か で あ る.

  証 明   平 面 は 部 分 空 間 で あ るか ら,異 な る2平 面u,υ 部 分 空 間 で あ る.交 集 合  な る2点A, 

 で あ れ ば そ れ で よい.も

て,u=υ   定 理1.6 

面u,υ

  定 理1.7 

線A∨Bは

交 集 合 

し,直 線A∨B上

は3点A,B,Cを

とな る.こ れ は 

に 含 まれ る.

に な い 点 

が

共 有 す るか ら,定 理1.4に

とい う仮 定 に 反 す る. 

よっ

(証 終)

平 面 は 他 の 平 面 を 含 まな い.

  証 明   2平 面u,υ か ら,u=υ

もまた

が 空 集 合 また は た だ1点 で あ れ ば そ れ で よ い.異

が 存 在 す れ ば,直

存 在 す れ ば,2平

の 交 集 合 

に お い て,u⊂

υ とす れ ば, 

で あ る.定

で な け れ ば な らな い. 

理1.5 (証終)

異 な る2直 線 が 交 わ れ ば,こ

の2直 線 を 含 む 平 面 は た だ1つ 存 在 す

る.

  証 明   異 な る2直 線l,hが 点 は な い.公 理 〔A2〕

交 点Oを

も て ば,公

か ら,l,h上

理 〔A1〕

に は そ れ ぞ れ,点Oと

存 在 す る.公

理

〔A4〕

い3点O,A,Bを 〔A5〕

Bを

線l,hを

通 る か ら,定

な 平 面 は た だ1つ 図1.6

  定 理1.8 

外 の交

異 な る 点A,Bが か ら,同

じ直 線 上 に な

通 る 平 面uが

か ら,平

逆 に,2直

か ら,O以

面uは2直

定 ま る .公

線l,hを

理

含 む.

含 む 平 面 は3点O,A, 理1.4に

よ っ て,こ

存 在 す る. 

1平 面 上 の 任 意 の1点

の よう (証 終)

を 通 っ て,

こ の 平 面 上 に,異

な る2直 線 が 存 在 す る.

  証 明   平 面u上

の 任 意 の 点Oに

3点O,A,B∈uを

対 し て,公 理 〔A3〕

と る こ とが で き る.2直

か ら,同

じ直 線 上 に な い

線O∨A,O∨Bが

求 め る もの で

あ る. 

(証終)

  定 理1.9 

1直 線 上 に な い 任 意 の1点

を 通 っ て,こ

の 直 線 を 含 む 平 面 が た だ1

つ 存 在 す る.   証 明   直 線l上

に な い 点 をOと

し,直 線l上

同 じ直 線 上 に な い3点O,A,Bを 面uは 点Oを た だ1つ

の異 な る2点 をA,Bと

通 る 平 面uが

通 り,直 線l=A∨Bを

す れ ば,

定 ま る.公 理 〔A5〕

含 む.定 理1.4か

か ら,平

ら,こ の よ うな 平 面 は

存 在 す る. 

  定 理1.10 

空 間Eが

(証終) た だ1つ

の 平 面 を もつ と き,か

つ そ の と き に 限 り,E

自身 が 平 面 とな る.   証 明  空 間Eが し て,こ

た だ1つ

の 平 面u⊂Eを

の 点 を 通 る 平 面 υを とれ ば,仮

と な り,Eとuと 平 面Eは

は 一 致 す る.逆 に,E自

もつ とす る.任

定 に よ りu=υ

意 の 点X∈Eに

で あ る.ゆ

身 が 平 面 で あ れ ば,定

え にX∈u

理1.6か

他 の 平 面 を 含 ま な い. 

  結 合 空 間Eに

お い て,補 助 集 合L2が

対

ら,

(証終) 空 で な け れ ば,次

の2公 理 の い ず れ か

一 方 が 成 立 す る.   〔A6〕   同 じ平 面 上 に な い4点 が 存 在 す る.    〔A6〕 ′ 空 間Eは   定 理1.10か

(点 平 面 公 理)

平 面 で あ る. 

(平 面 制 限 公 理)

ら,公 理 〔A6〕 ′が 成 立 す る の は,空

間Eが

た だ1つ

の平 面 と

な る場 合 で あ る.少 な く と も異 な る2平 面 が 存 在 す る場 合 に は,公 理 〔A6〕

が

成 立 す る.   1.2.4  立

体

  あ ら た め て,次 の 体 系 を 考 え る.4つ 合Eの

元 と集 合L1,L2,L3の

が 指 定 さ れ た と す る.集 L1,L2,L3を

合Eを

の 集 合E,L1,L2,L3が

与 え られ,集

元 との間 の関 係

空 間 と よ ん で,そ

補 助 集 合 と よ ん で,L1の

の 元 を 点 と よ ぶ .ま

元 を 直 線 ,L2の

元 を 平 面,そ

た,集 し てL3

合

の 元 を 立 体 と よぶ.   関 係(A,l)∈

Ω1に あ る と き,直 線lは

に あ る と い い,関 Aは 平 面u上

係(A,u)∈

通 る,ま た は,点Aは

Ω2に あ る と き,平 面uは

に あ る とい う.そ し て,点A∈Eと

∈Ω3に あ る と き,立 体 σは 点Aを う.点,直

点Aを

線,平

通 る,ま

点Aを

通 る,ま た は,点

立 体 σ∈L3と た は,点Aは

直 線l上

が 関 係(A,σ)

立 体 σ上 に あ る とい

面 に つ い て は 結 合 公 理 〔A1〕 ∼ 〔A5〕

が 成 り立 つ もの と し,

立 体 に つ い て は 次 の 結 合 公 理 を 立 て る.   〔A6〕   1立 体 上 に は,同

じ平 面 上 に な い4点 が 存 在 す る. 

(点 平 面 公 理)

  〔A7〕   同 じ平 面 上 に な い4点

を 通 る 立 体 は た だ1つ 存 在 す る. (立 体 公 理)

  〔A8〕  同 じ直 線 上 に な い3点

が1立

す べ て の 点 が,こ

の3点

の 立 体 上 に あ る. 

  公 理 〔A1〕 ∼ 〔A5〕 た 平 面uと

体 上 に あ れ ば,こ

(立 体 線 形 公 理)

か ら,直 線lと

点 集 合S(u)と

を 通 る平 面 上 の

点 集 合S(l)と

を 同 じ も の と見 な し,ま

を 同 じ も の と見 な し て,補 助 集 合L1,L2をE内

部 分 空 間 族 と し て 実 現 す る こ とが で きた.同

様 に,任

σ 上 に あ るす べ て の 点 の 集 合 をS(σ)⊂Eと

す る.公 理 〔A6〕,〔A7〕

2立 体 σ,τ∈L3に

対 し て,S(σ)=S(τ)な

体 σ と点 集 合S(σ)と E内

意 の 立 体 σ∈L3に

らば,σ=τ

の 対 し て, か ら,

で あ る.ゆ え に,立

を 同 じ もの と見 な す こ とが で き て,補

助 集 合L3も

また

の 点 集 合 族 と し て 実 現 され る.こ の と き,立 体 σが 点Aを 通 る と は,点 集 合

と し てA∈

σ とな る こ とを 意 味 す る.公 理 〔A8〕

に よ っ て,同

3点 が 立 体 σ上 に あ れ ば,こ の3点 を 通 る平 面uは,点 平 面 はEの 1平 面,1直   定 理1.11 

部 分 空 間 で あ る か ら,立 線,1点,あ

集 合 と し てu⊂ σ とな る. 部 分 空 間 で あ る.立

2立 体 が 同 じ平 面 上 に な い4点

を 共 有 す れ ば,こ

の い い か え に す ぎな い. 

っ て σ=τ   定 理1.13 

れ ら は 一 致 す る. (証終)

立 体 は 他 の 立 体 を 含 まな い.

  証 明   2立 体 σ,τ に お い て,σ ⊂τ とす る.公 理 〔A6〕 上 に な い4点

体 は,

るい は 空 集 合 の い ず れ と も異 な る部 分 空 間 で あ る.

  証 明   これ は,公 理 〔A7〕   定 理1.12 

体 も ま たEの

じ直 線 上 に な い

を 含 む.こ

の4点

は もち ろ ん τに も含 まれ るか ら,定 理1.11に

で あ る.  空 間Eが

か ら,σ は 同 じ平 面

(証終) た だ1つ

の 立 体 を も つ と き,か

つ そ の と き に 限 り,E

よ

自身 が 立 体 とな る.   証 明   空 間Eが して,こ

の 立 体 σ⊂Eを

の 点 を 通 る 立 体 τを とれ ば,仮

とな り,Eと 立 体Eは

た だ1つ

σ と は 一 致 す る.逆

にE自

もつ とす る.任

定 に よ り σ=τ

意 の 点X∈Eに

で あ る.ゆ

え にX∈

身 が 立 体 で あ れ ば,定 理1.12か

他 の 立 体 を 含 まな い. 

  結 合 空 間Eに

対 σ

ら,

(証終)

お い て,補 助 集 合L3が

空 で な け れ ば,次

の2公 理 の い ず れ か

一 方 が 成 立 す る.   〔A9〕   同 じ 立 体 上 に な い5点   〔A9〕 ′ 空 間Eは   定 理1.13か

が 存 在 す る. 

(点 立 体 公 理)

立 体 で あ る. 

(立 体 制 限 公 理)

ら,公 理 〔A9〕 ′が 成 立 す る の は,空 間Eが

た だ1つ

の立体 と

な る場 合 で あ る.   さ らに,次

の公 理 を 立 て る.

  〔A10〕  同 じ立 体 に 含 ま れ る2平 面 が1点

を 共 有 す れ ば,こ

れ らは さ ら に 他 の

1点 を 共 有 す る. 

(交 線 公 理)

  公 理 〔A1〕 ∼ 〔A8〕 ば,い

を み た す 結 合 幾 何 に お い て,補 助 集 合L3が

空 でな けれ

つ も公 理 〔A10〕 が み た され る も の とす る.こ の と き,

  定 理1.14 

異 な る2平 面 が 同 じ立 体 に 含 まれ,か

つ 共 有 点 を も て ば,こ

れら

は1直 線 で 交 わ る.   証 明  異 な る2平 面u,υ

が 立 体 σに 含 ま れ,か

〔A10〕 か ら,こ れ らは 他 の 点Bを を 含 む か ら,定 理1.5に   1.2.5  線

形

空

  結 合 幾 何 で は,同 が こ の3点

つ 点Aを

共 有 す る.交 集 合 

共 有 す れ ば,公

理

は 異 な る2点A,B

よ っ て,こ れ は 直 線 で あ る. 

(証終)

間

じ直 線 上 に な い3点

を 含 む 平 面 は た だ1つ

で 張 ら れ る部 分 空 間 に 一 致 す る と は 限 ら な い.そ

存 在 す るが,そ こ で,次

れ

の公理 を立

て る.   〔A11〕  三 角 形 を 含 む 平 面 上 の 任 意 の 点 を 通 っ て,こ の 三 角 形 の 辺 直 線 に 少 な く と も 異 な る2点

で 交 わ る直 線 が 存 在 す る. 

  公 理 〔A11〕 を み た す 結 合 幾 何 を 線 形 幾 何 とい い,そ う.

(一 般 交 点 公 理) の空 間 を線 形 空 間 と い

  定 理1.15  な い3点

線 形 空 間 に お い て,同

じ直 線 上 に

で 張 られ る部 分 空 間 は 平 面 で あ る.

  証 明   同 じ直 線 上 に な い3点A,B,Cを 平 面 をuと

通る

し,こ の3点 で 張 ら れ る部 分 空 間 をS

とす れ ば,S⊂uで 意 の 点X∈uに

あ る.公

理 〔A11〕 か ら,任

対 し て,点Xを

通 っ て △ABC

の 辺 直 線 に 異 な る2点D,Fで

交 わ る 直 線lが

で あ る か ら 直 線l=D∨FはSに

含 ま れ,か

に 含 ま れ る.よ

っ て,u=Sと

  定 理1.16 

図1.7

存 在 す る.こ つX∈lで

の と き,D,F∈S

あ る か ら,点XはS

な る. 

線 形 空 間 に お い て,同

(証 終)

じ 平 面 上 に な い4点

で 張 られ る部 分 空 間 は

立 体 で あ る.   証 明   同 じ 平 面 上 に な い4点A,B,C,Dを

通 る 立 体 を σ と し,こ

張 ら れ る 部 分 空 間 をTと い ま,立

す れ ば,T⊂

体 σ 上 の 点XがTに

定 す る.定

理1.15を

点Yを

し,3点C,D,Xで

D,Yで ら,平

図1.8

Tに

か ら,2平

も つ.し

張 ら

張 ら れ る.こ

立 体 は 同 じ平 面 上 に な い4点 て,補

助 集 合L2,L3を

面,立

外 の交

面 υ は ま た3点C, はTに

含 ま れ るか

れ は 点X∈

で あ る. 

υが

(証終)

で 張 られ る部 分 空 間 と し て,ま た

で 張 られ る 部 分 空 間 と し て定 義 され る.し

た がっ

初 め か ら 指 定 す る必 要 が な い.線 形 幾 何 の結 合 公 理 と し

て は,〔A1〕,〔A2〕,〔A3〕,〔A10〕,お は,平

の3点

は 点C以

含 ま れ る.こ

含 まれ な い とい う仮 定 に 反 す る.ゆ え にT=σ

  線 形 空 間 で は,平 面 は 同 じ直 線 上 に な い3点

⊂ σ で あ る.公

面u,υ

た が っ て,平

面 υ はTに

σ で あ る.

含 まれ な い と 仮

れ る 平 面 を υ と す れ ば,u⊂T,υ 〔A10〕

で

考 慮 し て,3点A,B,C

で 張 ら れ る 平 面 をuと

理

の4点

よ び 〔A11〕 で よ い.そ

の他 の公理

体 の 定 義 か ら導 か れ る.線 形 空 間 で は 三 角 形 の 支 持 面 は 必 ず 平 面 で

あ る.ま た 線 形 空 間 の 部 分 空 間 は や は り線 形 空 間 で あ る.1つ 部 分 空 間 は,そ

れ 自身,平 面,直

線,1点,あ

の 立 体 に 含 まれ る

る い は空 集 合 の い ず れ か で あ る.

  一 般 の 結 合 幾 何 に お い て も,補 助 集 合L2,L3を て,代

初 め か ら指 定 す る こ と を や め

わ りに 平 面 や 立 体 を 定 義 して お け ば ど うな るで あ ろ うか.す

と は 同 じ直 線 上 に な い3点 な い4点

で 張 ら れ る部 分 空 間 と定 義 し て お く.こ

〔A5〕,〔A6〕,〔A8〕 〔A7〕

で 張 ら れ る部 分 空 間,そ

の 場 合,確

面

体 とは 同 じ平 面 上 に か に 公 理 〔A3〕,

が 成 立 す る.し か し,す で に 述 べ た よ うに,公 理 〔A4〕,

の 成 立 は 保 証 され な い の で,非

常 に 都 合 が 悪 い.こ

理 〔A11〕 が み た さ れ れ ば 公 理 〔A4〕 仮 定 す れ ば,公

して,立

な わ ち,平

理 〔A7〕

が 成 立 し,さ

の と き,一

般 交 点公

ら に,交 点 公 理 〔A10〕 を

が 成 立 す る.線 形 幾 何 の 公 理 系 は この よ うに 構 成 され

て い る.   な お,線

形 幾 何 で は,ふ つ う,次 の 公 理 を 立 て て空 間 を制 限 し て お く.

  〔A12〕  有 限 個 の 点 が 存 在 し て,空

間Eは

これ ら の 点 で 張 られ る. (制 限 公 理)

  本 書 で 扱 わ れ る幾 何 は い ず れ も線 形 幾 何 で あ るが,公 理 〔A11〕 は 別 の 公 理 か ら,必 然 的 に 導 か れ る場 合 が 多 い.た

とえ ば,〔A11〕

の 代 わ りに,次

の公 理 を

考 え る.   〔A13〕   1直 線 上 に は,少

な く と も 異 な る3点 が 存 在 す る. 

  〔A14〕  三 角 形 を 含 む 平 面 上 の 直 線 は,こ

の 三 角 形 の 少 な く と も2つ の 辺 直 線

に 交わ る

 (擬 似 交 点 公 理)   定 理1.17 

三 角 形 を 含 む 結 合 空 間 が 公 理 〔A13〕,

〔A14〕 を み た せ ば,こ   証 明   △ABCを

れ は 線 形 空 間 で あ る.

含 む 平 面u上

公 理 〔A13〕 か ら,△ABCの の 点 が 存 在 す る.ゆ

〔A14〕 か ら,直

間 は 線 形 空 間 で あ る. 

点Fを

通 る.よ

の 任 意 の 点Xを

と る.

各 辺直 線 上 には 頂点 以 外

え に,点Xお

と異 な る 辺 直 線 上 の 点Dを

図1.9

(3点 公 理)

よ び 頂 点A,B,C

と る こ と が で き る.公

線l=X∨DはD以

理

外 の 辺 直線 上 の

っ て,公 理 〔A11〕 が み た され,こ

の空

(証終)

  1.3  順

序

公

理

  結 合 空 間Eに

お い て,直 線,平

が,こ

集 合 と して,ど

れ らが,点

さ れ て い な い.直

体 はEの

部 分 空 間 と し て 表 わ され る

の よ うな も の で あ るか に つ い て は ほ とん ど規 定

線 上 の 点 の 順 序 関 係 を 規 定 す る公 理 を 順 序 公 理 とい う.

  結 合 空 間Eの3点 Cが

面,立

の 間 の 関 係 Γ⊂E×E×Eが

関 係(A,B,C)∈

指 定 さ れ た と し,3点A,B,

Γ に あ る と き,点Bは2点A,Cの

間 に あ る と い う.

この と き,次 の 公 理 を 立 て る.   〔B1〕  点Bが2点A,Cの あ っ て,点Bは

間 に あ れ ば,こ

また2点C,Aの

れ ら は1直

線 上 の 異 な る3点 で

間 に あ る. 

  〔B2〕  異 な る2点A,Bに

(双 対 順 序 公 理)

対 し て,点Cが

存 在 し て,点Bが2点A,C

の 間 に あ る. 

(延 長 公 理)

  〔B3〕  任 意 の3点

の うち で,1つ

よ り多 くの 点 が 他 の2点

な い. 

(直 線 順 序 公 理)

  結 合 空 間Eは

こ の3公 理 を み た す も の とす る.異

線 分 と よ ん で,ABで とい い,点Pは

表 わ す.2点A,Bの

線 分ABを

ABと

の 点 で,線

外 点 とい い,点Qは

い う と き,こ れ は 線 分ABの

を 明 示 した い と き に は,開 に2端

点A,Bを

  空 間E内 分,ま

な る2点A,B∈Eの

間 に あ る点Pを

分ABの

線 分ABを

内点

線 分ABの

内 点 で も端 点 で も な い 点Qを 外 分 す る と い う.ふ

つ う,線

す べ て の 内 点 の 集 合 を も意 味 す る.こ

線 分 と よん で(A,B)で

表 わ す.ま

た,こ

つ け 加 え た 集 合 を 閉 線 分 と よ ん で,[A,B]で

の △ABCに

組を

線 分ABの

内 分 す る とい う.ま た,2点A,Bを

端 点 とい う.直 線A∨B上 線 分ABの

の 間 に あ る こ とは

お い て,3線

た は 簡 単 に 辺 とい う.そ こ で,次

分AB,AC,BCを

分

のこと

の開線 分

表 わ す. この三 角形 の辺 線

の 公 理 を 立 て る.

  〔B4〕  三 角 形 を 含 む 平 面 上 の 直 線 が 頂 点 を 通 ら な い と し,こ の 三 角 形 の1辺 の 内 点 を 通 れ ば,こ

の 直 線 は 他 の2辺 の うち の1辺

の 内 点 を 通 る. (平 面 順 序 公 理)

  公 理 〔B1〕 ∼ 〔B4〕

を 順 序 公 理 と よぶ こ とに し,結

合 空 間Eは

を み た す も の とす る.   定 理1.18 

異 な る2点

に 対 し て,こ れ ら の 間 に あ る 点 が 存 在 す る.

この4公 理

(稠 密 性)   証 明   異 な る2点 をA,Bと 上 に な い1点Dを 直 線A∨D上

内 点 と な る.さ

の 点Fが

存 在 し て,点Bは

ら,公

理

〔B4〕

に よ っ て,直

線D∨Fは

理 〔B2〕

ら に,直

辺ABの

線

線C∨B上

線 分CFの △ABCの

通 り,か つ 辺CBの

線D∨Fは

か ら,

存 在 し て,点Dは

分ACの

内 点Dを

図1.10

とれ ば,公 の 点Cが

と な る.直

し,直 線A∨B

辺ACの

外 点Fを

内 点Pを

内点

通 るか

通 る. (証 終)

 定 理1.19 

1直 線 上 の 異 な る3点

の う ち で,1点

 証 明   1直 線 上 の 異 な る3点A,B,Cに

な く,点Cは2点A,Bの る.こ

か ら,直

線B∨D上

の 点Gが

直 線C∨Kに

を 用 い れ ば,点Dは

G∨Bに

存

を 用 い れ ば,

内 点Hを

線 分AGの

る.△AHGと 〔B4〕

理 〔B4〕

辺CGの

様 に 直 線C∨Dは

間に

間 に あ る.

つ い て,公

直 線A∨Dは

お い て,点Aは2点B,Cの

とれ ば,公

在 し て,点Dは2点B,Gの △BCGに

の 間 に あ る.

間に な い とす

の 直 線 上 に な い1点Dを

理 〔B2〕

は 必 ず 他 の2点

通 る.同 内 点Kを

通

つ い て,公

理

線 分AHの

つ い て,公 理 〔B4〕

図1.11

内 点 で あ る.さ

ら に,△AHCと

を 用 い れ ば,点Bは2点A,Cの

直線

間 に あ る. (証終)

  定 理1.20 

順 序 公 理 を み た す 結 合 空 間 は 線 形 空 間 で あ る.し

直 線 上 に な い3点   証 明   △ABCを AB,BC,CAは Dと

す れ ば,公

を 通 る平 面 は,こ

じ

の3点 で 張 られ る部 分 空 間 で あ る.

含 む 平 面 上 の 任 意 の 点Xを いず れ も 内 点 を もつ.こ 理 〔B4〕

た が っ て,同

と る.定

理1.18か

れ ら の 内 点 で,点Xと

か ら,直 線X∨Dは

△ABCの

ら,3辺 異 な る もの を

頂 点 か ま た はD以

外 の も う1つ の 辺 の 内 点 を 通 る.い ず れ に し て も,公 理 〔A11〕 が 成 立 す る.す

な わ ち,こ

の 空 間 は 線 形 空 間 で あ る. 

  結 合 空 間Eの3点A,B,Cに 2点A,Cの

(証終)

お い て,点Bが

間 に あ る と き,A#B#Cで

とに す る.こ の 記 号 を 用 い て,い

表わす こ

ままで の結 果 を ま

とめ て お く.   定 理1.21  な ら ば,こ

3点A,B,Cに

お い て,A#B#C

図1.12

れ ら は1直 線 上 の 異 な る3点 で あ る.

  (1) 

A#B#Cな

ら ばC#B#A.

  (2) 

異 な る2点A,Bに

対 し て,点Pお

よ び 点Qが

存 在 し てA#P#B,

A#B#Q.   (3) 

1直 線 上 の 異 な る3点A,B,Cに A#B#C,

対 し て,関 B#C#A,

の うち の い ず れ か1つ

だ け が 成 り 立 つ.

  証 明   (1)は

〔B1〕

(3)は

公理

公理 〔B3〕,定

  定 理1.22 

を,(2)は

理1.19を

係

C#A#B

定 理1.18,公

理

お い て,

A#B#C,

B#C#Dな

ら ば,A#B#D,

A#C#D

  (5) 

A#B#C,

A#C#Dな

ら ば,B#C#D,

A#B#D

#Cと

〔B2〕

か ら,こ

す る こ と が で き る.△FBCに

で あ る か ら,直

線A∨Gは

の 直 線 上 に な い2点F,Gを つ い て 公 理 〔B4〕

辺FBの

内 点Hを

線F∨Bに

と り,F#G

を 用 い れ ば,A#B#C

通 る.さ

ら に △GACお

とな る.ま

た,△HBDに

で あ るか ら,直 を 通 る.す

A#C#Dが

辺AG A#H#G

お い て,B#C#D

線F∨Cは

辺HDの

な わ ち,H#K#Dで

て,直 線G∨Kと 点Cは,辺ADの

よび直

つ い て 考 察 す れ ば,点Hは

の 内 点 で あ る.す な わ ちF#H#B,

図1.13

して

(証 終)

  (4) 

理

を,そ

示 す も の で あ る. 

1直 線 上 の4点A,B,C,Dに

  証 明   (4)公

〔B2〕

内 点K あ る.よ

△HADの

辺ADと

内 点 で あ る.す 成 り立 つ.ま

っ の交

な わ ち,

た,仮 定 お よ び 公 理

〔B1〕

か ら,D#C#B,

D#B#Aと   (5) 

C#B#Aで

な る.す 公理

〔B2〕

あ る.ゆ

な わ ち,A#B#Dが か ら,こ

す る こ と が で き る.仮

え に,上

に 証 明 し た こ と か ら,

成 り立 つ.

の 直 線 上 に な い2点F,Hを

定 に よ りA#B#Cで

〔B4〕

と り,.F#H#Bと

あ る か ら,△HABに

を 用 い れ ば,直

内 点 を 通 らな い.ま 直 線F∨Cは

つ い て公 理

線F∨Cは

た,A#C#Dで

△HADの

あ る か ら,

辺HDの

通 る.す な わ ち,H#K#Dと 直 線F∨Kと は 辺BCの

辺BDと

内 点 で あ る.す

っ て,

の 交 点C

な わ ち,B#C#D

ら に,A#B#C,

あ る か ら,(4)よ

図1.14

内 点Kを

な る.よ

△HBDの

が 成 り 立 つ.さ

辺AHの

B#C#Dで

り,A#B#Dが

成 り 立 つ. (証 終)

 定 理1.23 

直 線 が 三 角 形 の3辺

  証 明   直 線lが

△ABCの3つ

の 辺 直 線 と交 わ る と し,そ

とす る.こ の と き,2点P,Qが Rは

辺BCの

ば よ い.そ

直 線B∨Cに

を 用 い れ ば,点Rは

との 交 点Cは

っ て 定 理1.19か

外

ら,P#Q 成 り立 つ.い

す れ ば,公 辺BRの

す れ ば,同

つ い て公理 辺PQの

ま た はR#P#Qが

ま,P#Q#Rと

P#Qと

内 点 で あ れ ば,点

こで,A#P#B,A#Q#Cと

点 で あ る.よ #Rか

そ れ ぞ れ2辺AB,ACの

の 交 点 をP,Q,R

外 点 であ る ことを 証 明す れ

す る.△APQと 〔B4〕

の 内 点 を 通 る こ と は な い.

理 〔B4〕

内 点 で あ る.す 様 に,R#B#Cで

図1.15

か ら,直 線A∨Qと な わ ち,B#C#Rで

△PBRの あ る.ま

あ る.ゆ え に,点Rは

で あ る.    定 理1.24 

辺BR た,R#

線 分BCの

外点 (証終)

三 角 形 の 頂 点 を 通 ら な い 直 線 が3つ

の 辺 直 線 に 交 わ る と き,次

2通 りの 場 合 の い ず れ か 一 方 だ け が 起 こ る.   〔1〕  こ の 直 線 は2辺

の 内 点 を 通 り,他 の1辺

の 外 点 を 通 る.

の

  〔2〕  こ の 直 線 は3辺   証 明   公 理 〔B4〕   直 線g上

の 外 点 を 通 る.

お よび 定 理1.23か

の 任 意 の 点Oを

A#O#Bの

ら 明 らか で あ る. 

と る.点Oと

と き,AとBと

は 点Oに

異 な るg上 の2点A,Bに

は 点Oに

対 し て,

関 し て 異 な る 側 に あ る と い い,そ

い と き,す な わ ち,A=B,A#B#O,O#A#Bの AとBと

(証終)

うで な

い ず れ か が 成 り立 つ と き,

関 し て 同 じ側 に あ る と い う.定 理1.22か

ら,同 じ側 に あ る

とい う関 係 は 等 値 関 係 の 条 件 を み た し,点Oを

除 い て,g上

2つ の 等 値 類 に 分 け られ る.そ の1つ

ら で る半 直 線 とい う.す な わ ち,

半 直 線 とは,直

線g上

で,点Oに

を 点Oか

の す べ て の 点 は,

関 し て 同 じ側 に あ るす べ て の 点 の 集 合 で あ る.

明 らか に,   定 理1.25 

直 線 上 の 任 意 の 点 は,こ

の 点 を 除 い て,こ

の 直 線 を2つ

の半直 線

に 分 け る.   直 線g上

の 点 に は,次

の よ う な 順 序 関 係 を 定 義 す る こ と が で き る.ま

の 異 な る2点O,Iを

と り,点Oか

含 ま な い も の をaと

し,点Iを

に 対 し て,A∈a,B∈bな ばA−3B−30,そ 理1.22か

ら で るg上

含 む も の をbと ら ばA−3O−3Bと

し て,A,B∈b,O#A#Bな

の2つ す る.異

の 半 直 線 の う ち,点Iを な る3点A,B,O∈g

定 め,A,B∈a,A#B#Oな

ら

ら ばO−3A−3Bと

定 め る.定

ら 明 ら か に,

  定 理1.26 

直 線gは

 (1)  直 線g上

こ の 順 序 に よ っ て 全 順 序 系 と な る.す

の 任 意 の2点X,Yに

の うち の い ず れ か1つ

対 して,関

な わ ち,

係

だ け が 成 立 す る. 

 (2) 

  直 線g上

ず,g上

(全 順 序 性) (推 移 性)

に 定 義 され た1つ

の順 序 が 次 の 条 件 を み た す と き,こ の 順 序 は 直 線g

に 適 合 す る と い う.す な わ ち,  

A−3B−3Cか

ま た はC−3B−3Aの

と き,か つ そ の と き に 限 り,A#B#Cで

あ る.   こ の 用 語 を 用 い て,   定 理1.27直

線 上 に は,こ

れ に 適 合 す る よ うな た だ2通

りの 全 順 序 が 定 ま り,

そ れ ら は た が い に 双 対 的 で あ る.   証 明   直 線g上 た 直 線gに

の 全 順 序 が,直 線gに

適 合 し,異 な る2点O,I∈gに

方 で はI−3Oで だ1つ

の1つ

あ る.よ

適 合 す れ ば,そ

対 し て,一

っ て,直 線gに

適 合 し,か

存 在 す る こ と を示 せ ば よ い.そ れ に は,上

の双 対全 順序 も ま

方 の 全 順 序 で はO−3I,他 つO−3Iと

な る全 順 序 が た

に 述 べ た よ うに 定 め る よ り仕 方

が な い. 

(証終)

  直 線gに とを,直

適 合 す る た が い に 双 対 的 な2通

線gに

直 線 に は2通

向 き を つ け る とい い,向

向 直 線gの

有 向 で あ る こ と を 明 示 す るた め,gで

逆 向 き をgで 表 わ す.有

とな るす べ て の 点A∈gの をOgで Ogが

きを つ け られ た 直 線 を 有 向 直 線 と い う.

りの 向 き を つ け る こ と が で き る.一 方 の 向 き に 対 し て,他 方 を そ の

逆 向 き と い う.直 線gが ま た,有

りの 全 順 序 の うち,一 方 を 指 定 す る こ

表 わ す.こ

向 直 線g上

集 合 と し て,点Oか

の と き,直

線gの

表 わ す こ とが あ る.

の 点Oを

とれ ば,O−3A

らで る 半 直 線 が 得 られ る.こ れ

逆 向 きを 考 え れ ば,も

う1つ の 半 直 線

得 られ る.

  直 線 に 向 き を つ け て 全 順 序 系 と見 な す と き,定 理1.18は,直 合 で あ る こ と を 示 し て い る.し 〔B2〕

は,直

  直 線gを

た が っ て,直

線 が稠 密 な点集

線 は 無 限 集 合 で あ る.ま

た,公

理

線 が 全 順 序 系 と し て 有 界 で な い こ とを 示 す も の で あ る.

含 む 平 面uに

お い て,g上

分ABの

内 点 を 通 る と き,2点A,Bは

う.そ

うで な い と き,す な わ ち,A=Bか

ら な い と き,2点A,Bは

直 線gに

に な い2点A,B∈uを 直 線gに

と る.直 線gが

関 し て,異

また は 直 線gが

線

な る側 に あ る と い

線 分ABの

内点 を通

関 し て 同 じ側 に あ る とい う.定 理1.24お

よび 定 理1.22か

ら,同

じ 側 に あ る とい う関 係

は 等 値 関 係 の 条 件 を み た し,g上 て,平 面u上

のす べ て の 点 は,2つ

分 け られ る.そ

の1つ

の点を除 外 し の等値 類 に

を 半 平 面 と よ ん でguで

表 わ し,直 線gを そ の 境 界 と い う.す な わ ち, 半 平 面guと

は,平

面u上

で,直 線gに

関 して

同 じ側 に あ るす べ て の 点 の 集 合 で あ る.明 ら か 図1.16

に,

  定 理1.28 

平 面 上 の 直 線 は,そ

の 上 の 点 を 除 い て,こ

の 平 面 を2つ

の 半平 面

に 分 け る.   1つ の 半 平 面 をguと 面 の 定 義 か ら,明   定 理1.29 

す る と き,も

表 わ す.半 直 線 お よ び 半 平

らか に,

半 平 面guお

  (1)  半 直 線Oh上 点 がguに

う1つ をguで

よ びg上

の1点Pが

の 点Oか

ら で る半 直 線Ohに

半 平 面guに

お い て,

含 ま れ れ ば,Oh上

のすべ ての

  (2) 

含 ま れ る. 半 直 線Ohが

半 平 面guに

含 ま れ れ ば,半

直 線Ohは

半 平 面guに

含

ま れ る.   1点Oで

交 わ る2つ の 有 向 直 線g,lに

か ら成 る 図 形 を 角 と よ ん で,∠O(g,l)ま の 角 の 頂 点 と い い,半

わ す.混

を と る.た 直 線9に

表

書 く こ とが あ る.

含 む 平 面u上

だ し,点Pは

の 点P

頂 点Oと

関 し て,点Pが

半 直 線Ogと

図1.17

異 な り,か

半 直 線Olと

つ2辺Og,Ol上

同 じ 側 に あ り,か

同 じ 側 に あ る と き,点Pは

う で な い と き,点Pは

か ら,明

に な い と す る. つ 直 線lに

∠O(g,l)の

∠O(g,l)の

関 し て,点

内部 に あ る と い

外 部 に あ る と い う.定

理1.29(1)

ら か に,

  定 理1.30 

∠O(g,l)お

∠O(g,l)の

内 部 に あ れ ば,Oh上

  点Oで

こ

乱 す る心 配 が な い と き,こ の

  ∠O(g,l)を

う.そ

表 わ す.点Oを

習

た は ∠BOAで

角 を 簡 単 に ∠Oと

Pが

た は ∠O(l,g)で

にそ れ ぞれ

と っ て,∠O(l,g)を

慣 的 に ∠AOBま

よび 半 直 線Og,Ol

直 線Og,Olを

辺 と い う.辺Og,Ol上 点A,Bを

対 し て,点Oお

交 わ る2つ

よ び 半 直 線Ohに

の 有 向 直 線g,lに

お い て,Oh上

の す べ て の 点 は ∠O(g,l)の 対 し て,4つ

の1点Pが 内 部 に あ る.

の角

∠O(g,l),∠O(g,l),∠O(g,l),∠O(g,l) が 考 え ら れ る.2直

線g,lを

上 の 任 意 の 点 は,こ

の4つ

含 む 平 面 をuと

す れ ば,2直

の 角 の い ず れ か た だ1つ

線g,l上

の 内 部 に あ る.す

に な いu な わ ち,2

直 線g,lは,こ を4つ

線lに

直 線lと

を そ れ ぞ れH,Kと

内 部 に あ る か ら,直

線hに

は 同 じ側 に あ る.ゆ

(2)か

ら,直

交 わ る2交

線hに

交 わ り,そ

の 交 点 は,

点 の 間 に あ る.

の 交点

し,半 直 線Og上

と る.半 直 線Ogは

直 内部 に あ る任意 の

ま た 直 線lに

Oh,Okがlに

  証 明  2辺Oh,Okと

Ogと

∠O(h,k)の2辺Oh,Okが

交 わ れ ば,∠O(h,k)の

半 直 線Ogも 図1.18

面u

の 点 集 合 に 分 け る.

  定 理1.31 

点Qを

れ ら の 上 の 点 を 除 い て,平

の

∠O(h,k)の 関 し て,Okと え に 定 理1.29

関 し て,OkとOg

とは 異 な る 側 に あ る.半 平 面 の 定 義 か ら, 直 線hは

線 分QKの

に 直 線kは

内 点Aを

線 分QHの

る.公 理 〔B4〕

通 る.同 様

内 点Bを

か ら,直 線hと

点 で あ る.す な わ ち,B#O#Kで の 内 点Pを

△QBKの あ る.ゆ

通 る.し か も,△OQBと

Q#O#Pで

  1.4 

通 る,す

あ る.よ っ て,点Pは

合

同

公

図1.19

な わ ち,Q#A#K,Q#B#Hで 辺BKと え に,直

直 線lに

あ

の交 点Oは 線9は

△BHKの

つ い て 公 理 〔B4〕

半 直 線Og上

辺BKの

に あ る. 

内

辺HK

を用 い れ ば, (証終)

理

  順 序 公 理 を み た す 結 合 空 間 に お い て,2線

分 の 間,あ

る い は2角

の 間 の等値 関

係 を 指 定 す る公 理 を 合 同 公 理 とい う.   1.4.1  合   空 間Eの

同

関

係

線 分 に 対 し て,等 値 関 係 が 指 定 され た とす る.2線

等 値 で あ る こ と を,記 号AB≡A′B′

で 表 わ し,こ

分AB,A′B′

の2線 分 は た が い に 合 同 で あ

る とい う.こ の と き,次 の 公 理 を 立 て る. 〔C1〕   AB≡AB  〔C2〕   AB=A′B′

(反 射 律) な ら ば,A′B′=AB 

が

(対 称 律)

  〔C3〕   AB≡A′B′,A′B′

≡A″B″

な らば,AB≡A″B″

  〔C4〕  任 意 の 線 分ABお

よ び 半 直 線Ogに

 

(推 移 律)

対 し て,Og上

し て,OP≡AB. 

の 点Pが

存在

(線 分 移 動 公 理)

  〔C5〕  点Bは2点A,Cの

間 に あ り,点B′

す る.こ の と き,AB≡A′B′,BC≡B′C′

は2点A′,C′

の 間 にあ る と

な ら ば,AC≡A′C′. (線 分 合 同 公 理)

  公 理 〔C1〕,〔C2〕,〔C3〕

は 線 分 の 合 同 関 係 が 等 値 関 係 で あ る こ とを 述 べ

る もの で あ る.そ

し て,公 理 〔C4〕

た,公 理 〔C5〕

は 線 分 の 加 法 が 可 能 で あ る こ とを 示 して い る.な お,あ

理 〔C4〕

は 線 分 の 合 同 移 動 が 可 能 で あ る こ とを,ま

の 一 意 性 が 証 明 され る(定 理1.32).2線

を,習 慣 で は,記

号AB=A′B′

で 表 わ し,こ

とで 公

分 の 合 同 関 係AB≡A′B′

の2線 分 は た が い に 等 しい とい わ

れ る.混 乱 の 心 配 が な い 限 り,本 書 で も この 記 号 お よび 用 語 を用 い る.   さ ら に,空 間Eの

角 に 対 し て,あ

こ の 関 係 に あ る こ と を,記 とい う.そ こで,次

る 関 係 が 指 定 さ れ た とす る.2角

号 α≡ β で 表 わ し,こ

の2角

α,β が

はた が いに 合 同で あ る

の 公 理 を 立 て る.

  〔C6〕  α≡ α 

(反 射 律)

  〔C7〕  α≡β な らば,β ≡ α 

(対 称 律)

  〔C8〕  任 意 の 角 α,半 直 線Og,お し て,gu上

の 半 直 線Ohが

た だ1つ

よび 直 線gを 境 界 とす る半 平 面guに 存 在 して,∠O(g,h)≡

α. (角 移 動 公 理)

  〔C9〕   2つ の 三 角 形 △ABC,△A′B′C′

な ら ば,∠B≡

に お い て,

∠B′. 

(角 合 同 公 理)

  角 の 合 同 で は,推 移 律 は 仮 定 さ れ て い な い が,こ 証 明 され て,角

れ は あ とで

の合 同関 係 も ま

た 等 値 関 係 とな る(定 理1.42). 公 理 〔C8〕

は,角

の合 同 移動

が 一 意 的 に可能 で あ る ことを示

図1.20

対

し て い る.ま た,公 あ る.2角

理 〔C9〕

は,線 分 の 合 同 と角 の 合 同 と を 関 係 づ け る もの で

の 合 同 関 係 α≡ β を,習

慣 で は,記

号 α=β

で 表 わ し,こ の2角

は

た が い に 等 し い と い わ れ る.混 乱 す る心 配 が な い 限 り,本 書 で も こ の 記 号 お よ び 用 語 を 用 い る.   公 理 〔C1〕 ∼ 〔C9〕 お よ び この9公

を 合 同 公 理 と よぶ こ とに し,結

理 を み た す も の とす る.ま ず,線

合 空 間Eは,順

序 公理

分 の合 同移 動が 一 意的 に可 能 で

あ る こ とを 証 明 し よ う.   定 理1.32 

任 意 の 線 分ABお

よび 半 直 線Ogに

だ1つ 存 在 し て,OP=ABと   証 明   半 直 線Og上

対 し て,Og上

の 点Pが

た

な る. で,2通

りに,OP=AB,OP′=ABで 直 線g上

あ る とす る.

に な い 点Cを

と れ ば,合

同 関

係 OP=OP′,OC=OC, ∠COP=∠COP′ が 成 り立 つ か ら,公

理 〔C9〕

に よ っ て,

∠OCP=∠OCP′ で あ る.公 図1.21

に,2点P,P′

〔C8〕

直 線C∨P,C∨P′

の 一 意 性 か ら,2 は 一 致 す る.ゆ

は 一 致 す る. 

  こ の 定 理 に よ って,直

線 上 の 任 意 の 点 の 両 側 に,与

の 半 直 線 の 両 側 に,与

え

(証終)

を た だ1つ ず つ と る こ とが で き る.ま た,公 上 で,こ

理

え られ た 線 分 に 等 し い 線 分

理 〔C8〕

か ら,半 直 線 を 含 む 平 面

え られ た 角 に 等 し い 角 を た だ1つ

ず つ と る こ とが

で き る.   2つ の角 が 頂 点 と1辺

とを 共 有 し,他

い に 補 角 で あ る とい う.2つ れ ぞ れ1直

の辺 が1直

線 を な す と き,こ れ らは た が

の 角 が 頂 点 を 共 有 し,一 方 の2辺 が 他 方 の2辺

とそ

線 を な す と き,こ れ ら は た が い に 対 頂 角 で あ る と い う.ま た,あ

る角

が そ の 補 角 に 等 しい と き,こ れ を 直 角 と い う.∠O(g,h)と ∠O(g,h),そ

し て ∠O(g,h)の

補角 をなす も の は

対 頂 角 は ∠O(g,h)で

  三 角 形 の 頂 点 に お け る角 を 頂 角 ま た は 内 角 とい い,そ

あ る.

の 補 角 を 外 角 とい う.1

つ の頂 角 の2辺

に な ら な い も う1つ の 辺 を そ の頂 角 の 対 辺 とい い,そ

の 辺 の 対 角 とい う.た の 対 角 は ∠Aで   定 理1.33 

と え ば,△ABCの

頂 角 ∠Aの

の頂 角 を こ

対 辺 はBCで,辺BC

あ る.

三 角 形 の2辺 が 等 しけ れ ば,こ

れ らの 対 角 は 等 し い.す

な わ ち,

二 等 辺 三 角 形 の両 底 角 は 等 しい.   証 明   △ABCに

お い て,AB=ACと

2〕 か らAC=AB,ま で あ る.ゆ

す る.対 称 律 〔C

た 角 の 定 義 か ら ∠BAC=∠CAB

え に,公 理 〔C9〕

か ら ∠ABC=∠ACBで

あ

る. 

(証終)

  2つ の 三 角 形 の 間 に 同 型 写 像 を 定 め,対 応 す る 辺 お よび 頂 角 が そ れ ぞ れ 等 し い と き,こ の2つ

の三 角 形 は合 同 で あ る と い う.す

図1.22

な わ ち,△ABC,△A′B′C′

に お い て,

図1.23

 

AB=A′B′,AC=A′C′,

 

BC=B′C′,∠A=∠A′,

 

∠B=∠B′,∠C=∠C′

が 成 り立 つ と き,こ れ ら は 合 同 で あ る とい い,記

号 △ABC≡

△A′B′C′ で表 わ

す.   定 理1.34 

2角 とそ の 間 の 辺 が そ れ ぞ れ 等 し い2つ

の三 角 形 は 合 同 で あ る. (三 角 形 の 第1合

  証 明   △ABC,△A′B′C′

同 定 理)

に

お い て,   AB=A′B′,∠A=∠A′, ∠B=∠B′ と す る.公

理 〔C4〕

直 線B′∨C′ し て 点C′

上 に,点B′

に関

と同 じ側 に あ る 点

D′ を と り,BC=B′D′ 理 〔C9〕

に よ っ て,

図1.24

と す る こ と が で き る.△ABC,△A′B′D′

か ら ∠BAC=∠B′A′D′

と な る.仮

に つ い て,公

定 に よ り,∠BAC=∠B′A′C′

で あ る か ら,角 致 す る.ゆ =A′C′

移動 の一 意 性

〔C8〕

え に,2点D′,C′

が 成 り 立 つ.さ

△ABC≡

に よ っ て,2直

線A′∨D′,A′∨C′

は 一 致 し て,BC=B′C′ ら に,公

理

〔C9〕

と な る.同

か ら ∠C=∠C′

は一

様 に,AC

と な る.ゆ

△A′B′C′ で あ る. 

  定 理1.35 

2辺

(証 終)

と そ の 間 の 角 が そ れ ぞ れ 等 し い2つ

の 三 角 形 は 合 同 で あ る. (三 角 形 の 第2合

  証 明   △ABC,△A′B′C′

AC=A′C′,∠A=∠A′

と す る.公

理

△ABC≡

△A′B′C′ で あ る. 

  定 理1.36 

同 定 理)

に お い て,

AB=A′B′, 〔C9〕

えに

か ら ∠B=∠B′

と な る.ゆ

え に,定

理1.34か

ら (証 終)

2角 が 等 し け れ ば,そ

れ ら の 補 角 は た が い に 等 し い. (補 角 定 理)

  証 明   ∠ABC=∠A′B′C′

と し,こ

れ らの 補 角 を そ れ ぞ れ

∠CBD,∠C′B′D′

と す る.た

だ し,公

に よ っ て,こ

理

〔C4〕

の図 形 を

AB=A′B′,BC=B′C′ BD=B′D′ と な る よ うに と る.定 か ら △ABC≡ り,し

1.35か

ら △ADC≡

△A′D′C′

∠A′D′C′

で あ る.△BDC,△B′D′C′

∠C′B′D′

と な る. 

  定 理1.37 

た

とな

た が っ てAC=A′C′, で あ る.

ま た,公

か らAD

理

〔C5〕

と な る .ゆ

え に,定

理

た が っ て,DC=D′C′,∠ADC=

に つ い て,公

理

〔C9〕

か ら ∠CBD= (証 終)

対 頂 角 は 等 し い. 

  証 明   ∠O(g,h)の と は 補 角,ま

と な り,し

△A′B′C′

∠BAC=∠B′A′C′

=A′D′

図1.25

理1.35

(対 頂 角 定 理)

対 頂 角 は ∠O(g,h)で ∠O(g,h)と

∠O(g,h)と

あ る.∠O(g,h)と

∠O(g,h)

は 補 角 で あ る か ら,補

角 定 理

1.36に

よ っ て,∠O(g,h)=∠O(g,h)

で あ る. 

(証 終)

  1点 で 交 わ る2直 る と き,こ

の2直

  定 理1.38  て,こ

線 の なす 角 が直 角 であ 線 は 直 交 す る と い う.

1直 線 上 に な い1点

を 通 っ

の 直 線 に 直 交 す る 直 線 が 存 在 す る.

 証 明   直 線gお

図1.26

よ び そ の 上 に な い 点Aを

Oか らで て,点Aを

通 る半 直 線Ohを

含 む 平 面 をuと と る.公 理 〔C8〕

で,直

線gに

∠O(g,k)と

線 分ABの

し,2点O,Dが

な る.し

つ 補 角 で あ る か ら,こ

  定 理1.39 

と り,

平 面 の 定 義 か ら, 内 点Dを

通 る.も

等 し く,か

た が っ て,2角

致 し な い と き,定

れ ら は 直 角 で あ る.す

な わ ち,直

つ

理1.35

∠ODA,∠ODBは

等 し

線A∨Bは

gに 直 交 す る 。     次 の 定 理 は,角

〔C4〕

一 致 す れ ば,2角

れ ら は 直 角 で あ る.2点O,Dが一

△BODと

理

の 点Bを

∠O(g,h),∠O(g,k)は

図1.27

く,か

た,公

す る.半

直 線gは

面u上

異 な る側 に

直 線Ok上

OA=OBと

の点

と り,∠O(g,h)= す る.ま

に よ っ て,半

か ら △AOD≡

に よ って,平

関 し てOhと

あ る 半 直 線Okを

補 角 で あ る か ら,こ

す る.直 線g上

直線 (証 終)

の 加 法 が 可 能 で あ る こ と を 示 す も の で あ る.

平 面u上

の 半 直 線Og,Oh,Ok,お

O′g′,O′h′,O′k′ に お い て,Oh,Okお びg′ に 関 し て,同

よ び 平 面u′

よ びO′h′,O′k′

上 の 半 直 線

は そ れ ぞ れ 直 線gお

時 に 同 じ 側 あ る い は 同 時 に 異 な る 側 に あ る とす る.こ

よ

の と き,

∠O(g,h)=∠O′(g′,h′),∠O(g,k)=∠O′(g′,k′) な ら ば,∠O(h,k)=∠O′(h′,k′)で

あ る.

  証 明   半 直 線Ohが

内 部 に あ る 場 合 を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.

実 際,Ohが 場 合 に は,補

∠O(g,k)の

∠O(g,k),∠O(g,k),あ 角 定 理1.36を

用 い て,い

るいは

∠O(g,k)の

内部 に あ る

ず れ も 上 の 場 合 に 直 さ れ る か ら で あ る.

図1.28

そ こ で,Ohは

∠O(g,k)の

とOkと

関 し て 同 じ 側 に あ る か ら,平

はgに

内 部 に あ る と す る.こ

g′ に 関 し て 同 じ 側 に あ る.公

理 〔C4〕

の と き,平

面u′

上 で も,O′h′

に よ っ て,半

を と り,OG=O′G′,OK=O′K′

に す る.定

直 線Ohは

に,半

直 線O′h′

よ っ て,半

上 に 点H′

で,Oh

とO′k′

とは

直 線Og,O′g′,Ok,O′k′

上 に そ れ ぞ れ 点G,G′,K,K′ 理1.31に

面u上

とな る よ う

線 分GKの

を と り,OH=O′H′

内 点Hを

通 る.さ

ら

と な る よ う に す れ ば,

∠GOH=∠G′O′H′,∠GOK=∠G′O′K′ で あ る か ら,定

理1.35に

よって

△OGH≡ と な る.し

△O′G′H′,△OGK≡

△O′G′K′

た が って ∠OGH=∠O′G′H′,∠OGK=∠O′G′K′ GH=G′H′,GK=G′K′,∠OKG=∠O′K′G′

で あ る.∠OGHと よ っ て,点H′

∠OGKと は 直 線G′∨K′

上 で,点H′

に 関 し て 点G′

な る よ う に す る.GH=G′H′ と な る.一

方,GK=G′K′

っ て,2点K′,K″

理

  定 理1.40 

移 動 の 一 意 性 〔C8〕

上 に あ る.公

に よ っ て,直

で あ る か ら,公 で あ る か ら,線

と な る.そ 〔C9〕

線gに

と

に よ っ て,GK=G′K″

分 移 動 の 一 意 性(定 は 線 分G′K′

し て,OK=O′K′,∠OKH=∠O′K′H′

含 む 平 面 上 で,直

に

線G′∨K′

を と り,HK=H′K″

理 〔C5〕

え に,点H′

に よ っ て,∠HOK=∠H′O′K′

直 線gを

理 〔C4〕

と 異 な る 側 に あ る 点K″

は 一 致 す る.ゆ

て,HK=H′K′ か ら,公

は 一 致 し て い る か ら,角

と な る.  関 し て2点P,Qが

理1.32)に

よ

の内 点 で あっ である (証 終) 異 な る側 に

あ り,か =AQ

つg上

の 異 な る2点A,Bに

,BP=BQな

対 し て,AP

ら ば,∠ABP=∠ABQで

あ る.   証 明   点Aま ば,定

た は 点Bが

理1.33か

2点A,Bが

直 線P∨Q上

に あれ

ら,∠APB=∠AQBと 直 線P∨Q上

な る.

に な け れ ば,定

理1.33

か ら,

∠APQ=∠AQP,∠BPQ=∠BQP と な り,定 理1.39か 〔C9〕

ら,や

図1.29

は り ∠APB=∠AQBと

か ら ∠ABP=∠ABQで

  定 理1.41 

え に,公

あ る. 

3辺 が そ れ ぞ れ 等 しい2つ

  証 明   △ABC,△A′B′C′

な る.ゆ

(証終)

の 三 角 形 は 合 同 で あ る. (三 角 形 の 第3合

同 定 理)

含 む 平 面 上 で,直

線A∨B

に お い て,

AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′ と す る.公

理

に 関 し て 点Cと  

〔C4〕,〔C8〕

に よ っ て,△ABCを

異 な る 側 に あ る 点Pお

よ び 同 じ 側 に あ る 点Qを

AP=A′C′,∠BAP=∠B′A′C′,AQ=A′C′,∠BAQ=∠B′A′C′

と な る よ う に す る.定

理1.35か

ら △ABP≡

△A′B′C′,

△ABQ≡

△A′B′C′

と な り,し

たが って

BP=B′C′,EQ=B′C′ で あ る.線 推移律

分 の 合 同 に つ い て は,

〔C3〕

が 成 り立 つ か ら,

AP=AQ=AC,

図1.30

BP=BQ=BC で あ る.ゆ

え に,定

理1.40か

ら,

∠ABP=∠ABQ,∠ABP=∠ABC

と り,

理

とな る.角 移 動 の 一 意 性 〔C8〕 に 線 分 移 動 の 一 意 性(定 △ABQと

△ABCと

か ら,2直

理1.32)か

線B∨Q,B∨Cは

ら,2点Q,Cは

一 致 す る.ゆ え

一 致 す る.し

は 一 致 し て, △ABC≡

△A′B′C′

が 成 り立 つ.    こ こで,角

た が っ て,

(証終)

の 合 同 関 係 が 推 移 律 を み た す こ と を 証 明 し よ う.

  定 理1.42 

角 の 合 同 関 係 は 等 値 関 係 で あ る.す

な わ ち,次

の3法

則 が 成 り立

つ.

  (1) 

α=α

 

(反 射 律)

  (2) 

α=β

  (3) 

α=β,β=γ

な ら ば,β=α

公理

明 す れ ば よ い.線

(対 称 律)

な ら ば,α=γ

  証 明   (1),(2)は

用 い る.3つ

   

〔C6〕,〔C7〕

分 の 合 同 に つ い て は,推

の角

α,β,γ

(推 移 律) で 規 定 さ れ て い る か ら,(3)を 移律

〔C3〕

に お い て,α=β,β=γ

が 成 り立 つ か ら,こ と す る.こ

証 れを

れ らを それ ぞ れ

α=∠AOB,β=∠A′O′B′,γ=∠A″O″B″ で 表 わ し,こ

の図 形 を OA=O′A′=O″A″,OB=O′B′=O″B″

と な る よ うに と る.定

理1.35か

△AOB≡ と な り,し

ら

△A′O′B′,△A′O′B′

≡ △A″O″B″

た が っ て, AB=A′B′=A″B″

で あ る.ゆ

え に,定

∠AOB=∠A″O″B″

理1.41か

ら,△AOB≡

で あ る.す

な わ ち,α=γ

図1.31

△A″O″B″

と な り,し

が 成 り立 つ. 

た が っ て, (証 終)

  定 理1.43 

三 角 形 の 合 同 関 係 は 等 値 関 係 で あ る.

  証 明   三 角 形 の 合 同 は,線

分 の 合 同 お よび 角 の 合 同 に よ っ て 定 義 され る.こ れ

ら は 等 値 関 係 で あ る か ら,三 角 形 の 合 同 関 係 もそ うで あ る.    1.4.2  大

小

関

係

  合 同 公 理 に よ っ て,空

間Eの

線 分 お よび 角

に は 大 小 関 係 が 定 義 され る.2線

分AB,CD

に 対 して,線

理1.32)か

分 移 動 の 一 意 性(定

ら,直 線A∨B上

で,点Aに

じ 側 に あ る 点Pが

た だ1つ

と い い,そ

関 し て 点Bと 存 在 し て,AP=CDと

A#B#Pな

ら ば,ABはCDよ

り小 さ い 表 わ す.

2線 分AB,CDに

お い て,AB>CDの

と き,か

つ そ の ときに

あ る. す る.定 あ る.線

義 か ら,直

あ る.ゆ

と す る.定

な る.こ

え に,大

義 か ら,直

線C∨D上

な る よ う に す る .さ

か らAB′=ABで

の 点Qが

で,点Aに

な る.公

の と き,公

小 関 係 の 定 義 か らCD
線A∨B上

PB′=DQと

線A∨B上

分 移 動 の 一 意 性 か ら,直

定 ま り,C#D#Q,DQ=PBと

す る.よ

の と き,

り大 き い

A#P#B,AP=CDで

=CDと

な る.こ

ら ば,ABはCDよ

  証 明   ま ず,AB>CDと

で あ る.直

図1.32

A#P#Bな

限 り,CD
CQで

同

れ ぞ れ 記 号AB>CD,AB
  定 理1.44 

(証終)

理 〔C5〕

あ る.ゆ

っ てA#P#B,AP=CDで

線C∨D上 理

〔C5〕

な る .逆

の 点Qが か らAB= に,CD
線A∨B上

同 じ 側 に あ る 点Pを の 点B′

に よ っ て,AB′=CQと

え に,線

存 在 し て,

存 在 し て,C#D#Q,CQ=AB

関 し て 点Bと

ら に,直

の 点Pが

と り,AP

が 定 ま り,A#P#B′ な り,推

移 律 〔C3〕

分 移 動 の 一 意 性 か ら,2点B,B′ あ る.定

,

義 か らAB>CDと

は一致 な る. (証 終)

  定 理1.45 

AB=A′B′,CD=C′D′,か

つAB
らば,A′B′
で あ る.   証 明   線 分 移 動 の 一 意 性 お よび 大 小 関 係 の 定 義 か ら明 らか で あ る.    定 理1.46 

線 分 の大 小 関 係 は,合

(証終)

同 関 係 に よ る線 分 の 等 値 類 に つ け られ た 全

順 序 で あ る.す   (1) 

な わ ち,

2線 分AB,CDに

対 し て,関

係

AB
だ け が 成 立 す る. 

AB
ら ば,AB<EF. 

  証 明   定 理1.44,1.45お   次 に,角

(全 順 序 性) (推 移 性)

よ び 定 理1.22(5)か

ら 明 ら か で あ る. 

(証 終)

の 大 小 関 係 を 定 義 す る.2角 α=∠O(h,k),β=∠O′(h′,g′)

に 対 し て,角

移 動 の一 意 性

に 関 し て 半 直 線Okと =β

と な る .半

〔C8〕

か ら,∠O(h,k)を

同 じ 側 に あ る 半 直 線Ogが

直 線Ogが

∠O(h,k)の

含 む 平 面 上 で,直

た だ1つ

線h

存 在 し て,∠O(h,g)

内 部 に あ る と き,α

は β よ り大 き い,

図1.33

ま た,外

部 に あ る と き,α

で 表 わ す.こ H,Kを

α<β

通 る.す

直 線Ogは

線 分HKの

の と き,半

∠O(h,g)の Kを

の 定 義 に お い て,α>β

と れ ば,半

っ て,Ogは

は β よ り小 さ い と い い,そ

内 点Gを

直 線Oh,Og上 内 部 に あ る か ら,定

な わ ち,H#K#Gで

の と き,半

れ ぞ れ,記

号

∠O(h,k)の

直 線Oh,Ok上

に それ ぞれ 点

内 部 に あ る か ら,定

通 る.す

理1.31に

な わ ち,H#G#Kで

に そ れ ぞ れ 点H,Gを 理1.31に

た,

直 線Okは

線 分HGの

の よ うに す れ ば,角

線 分 の 大 小 関 係 に 直 し て 考 え る こ と が で き る.線

よ

あ る.ま と れ ば,半

よ っ て,Ogは

あ る.こ

α>β,α<β

内点

の大小 関係 を

分 の 場 合 と 同 様 に,次

の3つ

定 理 が 成 り立 つ.   定 理1.47  で あ る.

2角

α,β

に お い て,α<β

の と き,か

つ そ の と き に 限 り,β<α

の

  定 理1.48 

α=α

  定 理1.49 

角 の 大 小 関 係 は,合

で あ る.す   (1) 

′,β=β

′,か つ

α<β

な ら ば,α ′<β′で あ る.

同 関 係 に よ る 角 の 等 値 類 に つ け られ た 全 順 序

な わ ち, 2角

α,β

に 対 し て,関

係 α<β,α=β,β<α

の う ち の い ず れ か1つ

だ け が 成 立 す る.    (2) 

(全 順 序 性)

α<β,β<γ

な ら ば,α<γ

 

(推 移 性)

  直 角 よ り小 さ い 角 を 鋭 角,ま

た は 直 角 よ り大 き い 角 を 鈍 角 と い う.す

鋭 角 は そ の 補 角 よ り小 さ く,ま

た 鈍 角 は そ の 補 角 よ り大 き い.

  定 理1.50 

す べ て の 直 角 は た が い に 等 し い. 

  証 明   2つ

の 直 角 を α,β

直 角 の 定 義 か ら α=α で 表 わ す.た

と し,こ

′,β=β

だ し,直

ま,α=∠O(g,h),β=∠O(g,k)

含 む 平 面 上 で,2つ

て 同 じ 側 に あ る よ う に と る.こ

の と き,補

し,α<β

内 部 に あ る.し

一方

れは

の

∠O(g,k)の

た が っ て,Ohは

の 外 部 に あ る.こ

関 し

′=∠O(g,k)

と す れ ば,角

大 小 関 係 の 定 義 か ら,Ohは

の 半 直 線Oh,Okはgに

角 の 定 義 か ら,

α′=∠O(g,h),β で 与 え ら れ る.も

(直 角 定 理)

れ ら の 補 角 を そ れ ぞ れ α′,β′ とす れ ば,

′で あ る.い

線gを

な わ ち,

∠O(g,k)

α′>β′ を 意 味 す る.

, α=α

′,β=β

で あ か ら,定 理1.48に

′,α<β

よ っ て α′<β′と な り,こ れ は 矛 盾 で あ る.同 様 に,α>β

の場 合 も矛 盾 が 起 こ るか ら,α=β   定 理1.51 

図1.34

で な け れ ば な ら な い. 

(証終)

三 角 形 の 外 角 は,こ れ と頂 点 を 共 有 し な い2つ

の 内角 の いず れ よ

り も大 き い.    証 明   △ABCの

(外 角 定 理) 外 角 ∠CADに

ず,∠CAD=∠ACBと 理 〔C9〕 るか ら,補 ∠ACBと

お い て,AD=CBと

仮 定 す る.こ

か ら ∠ACD=∠CABで 角 定 理1.36お は 補 角 で あ る.よ

の と き,△ACD,△CABに あ る.∠CABと

よび 角 の推 移 律(定 っ て,点Dは

な る よ うに と る.ま

理1.42)に

直 線B∨C上

つ い て,公

∠CADと

は 補 角 であ

よ っ て,∠ACDと に あ る こ とに な る.こ

れ は 公 理 〔A1〕 ∠ACBで

あ る.次

定 す る.こ

に 反 す る.ゆ え に ∠CAD≠ に,∠CAD<∠ACBと

の と き,△ABCを

直 線A∨Cに

関 し て 点Bと

含 む 平 面 上 で, 同 じ側 に あ る 点P

を と り,∠ACP=∠CADと ば,直 線C∨Pは

図1.35

△AB′Cに

つ い て は,外 角 ∠CADと

た よ うに,こ

れ は 矛 盾 で あ る.よ

外 角 ∠CADの

内 点B′

を 通 る.

が 等 し い か ら,上 に 証 明 し

っ て,∠CAD>∠ACBで

対 頂 角 に つ い て 考 え れ ば,同

な る よ うに す れ

辺ABの

内 角 ∠ACB′

仮

な け れ ば な らな い.

様 に ∠CAD>∠ABCと

な る. (証 終)

  定 理1.52 

三 角 形 の2辺

に お い て,大

きい辺 の対 角 は小 さい辺 の対角 よ り 大

き い.   証 明   △ABCに 辺ABの

内 点Dを

こ と が で き る.こ 理1.33お

お い て,AB>ACと

す る.

と り,AD=ACと の と き,外

よ び 定 理1.46に

す る

角 定 理1.51,定 よ って

∠ACB>∠ACD=∠ADC>∠ABC と な る. 

(証 終)

  こ の 定 理 か ら,定

 定 理1.53 

理1.33の

三 角 形 の2つ

逆 が 導 か れ る.

図1.36

の 内 角 が 等 し け れ ば,こ れ らの 対 辺 は 等 し い.  証明

△ABCに

理1.52か

ら,も

また,も

しAB
お い て,∠B=∠Cと しAB>ACな

ゆ え にAB=ACで   さ ら に,こ

す る.定

らば,∠C>∠B,

らば,∠C<∠Bで

あ る.

な け れ ば な らな い.  の 定 理 か ら,三 角 形 の 第1合

(証終)

同 定 理1.34

が 補 足 され る.   定 理1.54  図1.37

証 明   △ABC,△A′B′C′

1辺 と2角 が そ れ ぞ れ 等 しい2つ

角 形 は 合 同 で あ る. に お い て,

の三

AB=A′B′,∠B=∠B′, ∠C=∠C′ と す る.も 辺BCの

しBC>B′C′ 内 点Dを

な ら ば,

と り,BD=

B′C′ と す る こ と が で き る.定 1.35か

ら,△ABD≡

で あ る.ゆ

理

△A′B′C′

え に,角

の 推 移 律(定

図1.38

理1.42)を

考 慮 し て,

∠ADB=∠A′C′B′=∠ACB と な る.こ

れ は △ACDに

対 す る 外 角 定 理1.51に

の 場 合 も 矛 盾 が 起 こ る か ら,BC=B′C′ △ABC≡   1.4.3 

様 にBC
で な け れ ば な ら な い.定

理1.35か

△A′B′C′ で あ る.  加

法

AB,CDに

対 し て,線

関 し て 点Aと

ら,

(証 終)

性

  合 同 公 理 に よ っ て,空

Bに

矛 盾 す る.同

間Eの

線 分 お よ び 角 に は 加 法 が 定 義 さ れ る.2線

分 移 動 の 一 意 性(定

異 な る 側 に あ る 点Pが る.こ

理1.32)か

ら,直

た だ1つ

の と き,2線

線A∨B上

分

で,点

存 在 し て,BP=CDと 分

ξ=AB,η=CDの

な 和を

ξ+η=AP で 定 義 す る.そ

し て,線

ば れ る 線 分nξ

を,帰

分

ξ=ABのn倍

とよ

納的に

図1.39

で 定 義 す る.こ

こ に,nは

自 然 数 とす る.公 理 〔C5〕

関 係 に よ る線 分 の 等 値 類 に 対 す る加 法 に な って い る.す   定 理1.55 

 ま た,明   定 理1.56    (1)  (2)

な わ ち,

線 分 の 加 法 に つ い て, な ら ば,

 (1)   (2) 

か ら,こ の 加 法 は,合

な ら ば,

らか に 次 の 法 則 が 成 立 す る. 線分

ξ,η,ζ

お よ び 自 然 数m,nに

対 し て,

同

 (3)1ξ=ξ  (4)  (5)

 さ ら に,次  定 理1.57 

の 定 理 が 成 り立 つ. 線分

ξ,η,ζ

に 対 し て,

 (1)  (2)

  2線 分AB,QRお

よ び 自然 数nに

と 書 く こ と に す る.線

分AB上

対 して,AB=nQRで

にn−1個

あ る と き,

の 内 点P1,P2,…

…,pn−1が

存在

し て,

た だ し,P0=A,Pn=B, と な る と き,こ

れ ら の 点P1,P2,…

線 分 移 動 の 一 意 性(定 と くに,線   定 理1.58 

分 の2等

理1.32)か

…,Pn−1を ら,こ

線 分ABのn等

れ ら は,も

分 点 と い う.

し 存 在 す れ ば 一 意 的 で あ る.

分 点 を 中 点 と い う.

任 意 の 線 分 に は 中 点 が 存 在 す る.

  証 明   公 理 〔C4〕,〔C8〕

に よ っ て,線

に 関 し て 異 な る 側 に あ る2点C,Dを

分ABを

含 む 平 面 上 で,直

と り,

∠BAC=∠ABD,AC=BD とな る よ うに す る.半 平 面 の 定 義 か ら,直 線A∨B は 線 分CDの

内 点Eを

図1.40

通 る.点EがAま

た はB

図1.41

線A∨B

に 一 致 す れ ば,△ABCに す れ ば,外

対 す る 外 角 定 理1.51に

反 す る.ま

た,A#B#Eと

角 定理 か ら ∠ABD>∠BED>∠BAC

と な っ て,矛 A#E#Bで

盾 で あ る.同 様 に,E#A#Bの な け れ ば な ら な い.対

場 合 に も 矛 盾 が 起 こ る か ら,

頂 角 定 理1.37

か ら ∠AEC=∠BED で あ る.ゆ

え に,定

理1.54に

△AEC≡

よ っ て, △BED

とな る.し た が っ て,AE=EB,す は 線 分ABの

中 点 で あ る. 

  系   任 意 の 線 分 を2n等 こ こ に,nは

な わ ち 点E (証終)

分 す る こ とが で き る.

図1.42

任 意 の 自然 数 で あ る.

 証 明   線 分 を2等 分 す る操 作 を く り返 し て 行 な え ば よい.    次 に 角 の 加 法 に つ い て 考 察 す る.3つ

に 対 し て,角

移 動 の一 意性

関 し て 半 直 線Olと =∠O′(g′,h′)と

〔C8〕

の角

か ら ∠O(l,g)を

異 な る 側 に あ る 半 直 線Ohが な る.こ

(証終)

の と き,2つ

含 む 平 面 上 で,直 た だ1つ

の 角 α,β

線gに

存 在 し て,∠O(g,h)

の和 を α+β=∠O(l,h)

で 定 義 す る.さ

ら に,こ

上 で,直

関し て 半 直 線

線hに

の平 面

Ogと

異 な る側 に あ る 半 直 線

Okが

た だ1つ

存 在 し て,

∠O(h,k)=∠0″(l″,g″) と な る.こ α,β,γ

図1.43

で 定 義 す る.一

般 に,n個

の角

α1,α2,…

…,αn(n≧3)の

の と き,3つ の和 を

和 を,帰

納的に

の 角

で 定 義 す る.そ

し て,角

で 定 義 す る.こ

こ に,nは

α のn倍

と よ ば れ る 角nα

自 然 数 とす る.定

理1.39か

係 に よ る 角 の 等 値 類 に 対 す る 加 法 に な っ て い る.す   定 理1.59 

納的に

ら,こ

の 加 法 は,合

同関

な わ ち,

角 の 加 法 に つ い て,

 (1) 

(2) 

を,帰

な ら ば,

α=α

′な

 ま た,明

ら ば,nα=nα

′.

ら か に 次 の 法 則 が 成 立 す る.

 定 理1.60 

角 α,β,γ

お よ び 自 然 数m,nに

対 し て,

 (1)  (2)   (3) 

1α=α

 (4)  (5)

  い ま ま で の 角 の 定 義 で は,∠O(l,h)と

い う と き,lとhと

は 点Oで

交わ る

異 な る 直 線 で あ っ た.し か し,加 法 に よ って つ く られ た 角 で は,lとhと

が同 じ

直 線 に な る こ とが あ る.任 意 の 半 直 線Olと

のな す

角 は2直 線gを

角 で あ る と考 え られ る.実

とれ ば,∠O(l,g)お

そ の 逆 向 き の 半 直 線Olと

際,点Oを

通 っ て,直

よ び そ の 補 角 ∠O(g,l)は

線lに

垂 直 な有 向直

ど ち ら も直 角 で あ る

か ら, ∠O(l,l)=∠O(l,g)+∠O(g,l)=2直 と な る.一

般 に,角

α の 補 角 を α′ とす れ ば, α+α ′=2直

で あ る.ま

た,任

意 の 半 直 線Olが

す こ と が で き る.実 ∠O(l,l)は

角

際,半

直 線Olの

ど ち ら も2直

角

そ れ 自身 と な す 角

∠O(l,l)を4直

逆 向 き の 半 直 線Olを

と れ ば,∠O(l,l),

角 で あ る か ら,

∠O(l,l)=∠O(l,l)+∠O(l,l)=4直

角 と見 な

角

と な る.一

般 に,任

意 の 角 α に 対 し て, 4直 角+α=α

と 考 え ら れ る.い い た.角

の 加 法 に よ っ て,形

た だ し,4直   2つ

ま ま で の 角 の 大 小 関 係 で は,2直

式 的 に い くら で も大 き い 角 を つ くる こ とが で き る.

角 を 加 え た も の は,図

の 角 α,θ

形 と し て は も と の 角 に 等 し い.

お よ び 自 然 数nに

対 し て,α=nθ

と 書 く こ と に す る.∠O(l,g)=α 半 直 線Oh1,Oh2,…

角 よ り小 さ い 角 だ け を 考 え て

であ る とき

に 対 し て,こ

…,Ohn−1が

れ を 含 む 平 面 上 にn−1個

の

存 在 し て,

た だ し,h0=l,hn=g,

と な る と き,こ う.角

れ ら の 半 直 線Oh1,Oh2,…

移動 の 一意 性

  定 理1.61 

れ ら は,も

角 α のn等

し 存 在 す れ ば 一 意 的 で あ る.

対 し て,2辺Ol,Og上

に そ れ ぞ れ 点A,

な る よ うに す る.

定 理1.58に

よ っ て,線

存 在 す る.定

理1.41か

分ABの

中 点Pが

ら,

△AOP≡

△BOP

た が っ て,

で あ る.す な わ ち,点Pを は ∠O(l,g)の2等

通 る 半 直 線Oh

分 線 で あ る 

  系   任 意 の 角 を2n等

(証終)

分 す る こ と が で き る.こ

図1.44

こにnは 任 意 の 自然 数 で あ る.

  証 明  角 を2等 分 す る操 作 を く り返 し て 行 な え ば よ い.    直 線gに ち,有

分 線 と い

分 線 が 存 在 す る.

α=∠O(l,g)に

と り,OA=OBと

と な る.し

か ら,こ

任 意 の 角 に は,2等

 証 明  任 意 の角 Bを

〔C8〕

…,Ohn−1を

向 き が 与 え られ た と き,g上

向 直 線g上

の線 分ABに

(証終)

の線 分 に も 向 きが つ け ら れ る.す

お い て,A−3Bの

と きABを

なわ

正 の 線 分,ま

た

B−3Aの

と き,ABを

負 の 線 分 と い う.さ

と よ ん でAB=0で

表 わ す.一

見 な さ れ,BA=−ABで Cに

ら にA=Bの

般 に,ABとBAと

表 わ さ れ る.こ

と き,ABを は,逆

の と き,直 線g上

零 線分

向 きの有 向線 分 と の 任 意 の3点A,B,

対 し て, AB+BA=0, 

が 成 立 す る と考 え て よ い.同

AB+BC=AC

様 に,平 面u上

の 点Oが

与 え られ た と き,点Oを

頂 点 とす るu上 の 角 に 対 して も 向 き が 考 え られ る.こ の よ うな 角 を 一 般 角 と い う.た だ し,こ の 章 で は,線 して,線

分 お よび 角 の 向 きに つ い て,こ

分 あ るい は 角 を 考 え る と きに は,い

  1.5  連

続

公

つ も0で

れ 以 上 扱 わ な い.そ

な い と し て お く.

理

  順 序 公 理 を み た す 結 合 空 間 に お い て,直 線 が 連 続 な 点 集 合 で あ る こ とを 規 定 す る公 理 を 連 続 公 理 と い う.   1.5.1  連   空 間Eの

続 直 線gに

向 直 線gを2つ

性 向 き を つ け て,任

の 部 分 集 合a,bに

意 の 切 断(a,b)を

分 け て,次

と る.す な わ ち,有

の2条 件 が み た され る よ う に す

る.

(1) な ら ば,

(2) 

図1.45

  そ こ で 次 の 公 理 を 立 て る.   〔D〕 直 線 の 切 断 は 必 ず 境 界 点 を も つ.    切 断(a,b)の 定 理1.18に (a,b)の

境 界 点 とは,集

合aの

(連 続 公 理)

最 大 元 か また は 集 合bの

最 小 元 で あ る.

よ っ て,直 線 は 稠 密 で あ るか ら,こ の 両 方 を も つ こ とは な く,切 断 境 界 点 は た だ1つ

で あ る.

  公 理 〔D〕 は 有 向 直 線 が 全 順 序 系 と し て 連 続 で あ る こ と を 示 す も の で あ る.な お,直 線 の 連 続 性 は,そ

の 逆 向 き を 考 え て も 変 わ ら な い.ま

た,線

分 に つい て も

成 り立 つ.公 理 〔D〕 を い い か え れ ば,   定 理1.62 

任 意 の 直 線 は 連 続 な 点 集 合 で あ る.任 意 の 線 分 も ま た 連 続 で あ る.

  線 分 の連 続 性か ら,角 の連 続 性 が 導 か れ る.

  定 理1.63 

1つ の 角 の 内 部 に あ る す べ て

の 半 直 線 の 集 合 は 連 続 で あ る.   証 明   ∠O(g,l)の2辺Og,Ol上 れ ぞ れ 点A,Bを

とれ ば,定

っ て,∠O(g,l)の は 線 分ABの と点Pと

にそ 理1.31に

よ

内 部 に あ る 半 直 線Oh 内 点Pを

通 る.半

直 線Oh

の 対 応 は 全 順 序 系 の 同 型 と な り,

しか も線 分ABは

連 続 で あ るか ら,こ

の半

図1.46

直 線 の 集 合 も 連 続 で あ る    結 合 公 理,順 い,こ

序 公 理,合

の と き,空

  定 理1.64 

(証 終) 同 公 理,お

よび 連 続 公 理 を み た す 体 系 を 絶 対 幾 何 とい

間Eを

絶 対 空 間 と い う.

絶 対 空 間Eの

任 意 の2線

に 有 限 個 の 点A1,A2,…

…Anが

AA1=A1A2=…

分AB,CDに

対 し て,直

存 在 し て, …=An−1An=CD,A#B#An

と な る. 

(ア ル キ メ デ ス 性)

  証 明   直 線A∨Bに う な 自 然 数nが Aj,…

…

は,A−3Bと

な る よ う に 向 き を つ け る.も

存 在 し な け れ ば,公

理 〔C4〕

か ら,可

し,題

意の よ

算 個 の 点A1A2,…

…,

が 存 在 し て,

と な る.た

だ し,A0=Aと

す る.直

て,Aj−3Pと

な る よ うな 点Pの

直 線A∨Bの

切 断(a,b)が

る.一 方,公

線A∨B上

集 合 をb,そ 得 られ る.公

で,す

で あ る か ら,Q−3Ak+1,よ

べ て の 自然 数jに

対し

れ 以 外 の 点 の 集 合 をaと す れ ば, 理 〔D〕 か ら,そ の 境 界 点Qが

理 〔C4〕 に よ っ て,HQ=CDと

境 界 点 だ か ら,自 然 数kが

  な お,こ

線A∨B上

存 在 し て,H−3Ak−3Qと

な る 点H∈aを

定ま

とれ ば,Qは

な る.HQ=CD=AkAk+1

っ てQが 境 界 点 で あ る こ とに 矛 盾 す る. 

(証終)

の 定 理 は 次 の よ うに い い か え られ る.

  定 理1.65 

絶 対 空 間Eの

な る よ うな 自然 数nが   す な わ ち,任

任 意 の2線 分AB,CDに

対 し て,AB
存 在 す る.

意 の 線 分 か ら,こ れ に 等 し い 線 分 を 加 え る と い う操 作 を く り返 す

こ と に よ っ て,い 里 の 道 も1歩 は,こ

く ら で も 大 き い 線 分 を つ く る こ と が で き る.こ

か ら",あ

る い は"ち

り も つ も れ ば 山 と な る"な

ど とい わ れ る の

の ア ル キ メ デ ス 性 を 示 す も の で あ る.

  次 に,ア

ル キ メ デ ス 性 と 同 様 な も う1つ

  定 理1.66 

絶 対 空 間Eの

限 個 の 内 点B1,B2,…

任 意 の2線

…,Bmが

の 性 質 を 示 す. 分AB,CDに

と な る.た

だ し,B0=Bと

  証 明   直 線A∨Bに

算 個 の 点B1,B2,…

集 合 をa,そ

な る よ う に 向 き を つ け る.定 し,題

…,Bj,…

理1.58か

ら,

意 の よ う な 自 然 数mが

…

で,す べ て の 自然 数jに

れ 以 外 の 点 の 集 合 をbと

な る点T∈bを

とれ ば,Qは

対 し て,P−3Bjと

な る よ うな 点 切 断(a,b) な る.い

な る,ABk+1=Bk+1Bk あ る か ら,A−3Bk+1−3Q

っ てQが

境 界 点 で あ る こ とに 矛

盾 す る. 

 な お,こ

(証 終)

の 定 理 は 次 の よ うに い い か え られ る.

 定 理1.67 

絶 対 空 間Eの

と な る よ うな 自然 数mが   す な わ ち,任 っ て,い

ま,

境 界 点 で あ る か ら,自 然 数kが 存 在

か つAQ>QBkで で あ る.よ

線A∨Bの

定 ま り,A−3Q−3Bと

し て,Q−3Bk−3Tと

図1.47

存在 し

が 存 在 し て,

す れ ば,直

が 得 られ る.公 理 〔D〕 か ら そ の 境 界 点Qが AQ=QTと

有

す る. は,A−3Bと

と な る.直 線A∨B上

分ABの

…,m),ABm
任 意 の 線 分 の 中 点 を と る こ と が で き る.も な け れ ば,可

対 し て,線

存 在 し て,

ABj=BjBj−1(j=1,2,…

Pの

と わ ざ に,"千

任 意 の2線 分AB,CDに

対 し て,

存 在 す る.

意 の 線 分 か ら,こ れ を2等 分 す る と い う操 作 を く り返 す こ と に よ

く ら で も 小 さい 線 分 を つ く る こ と が で き る.

  こ こで,直

線 上 の 点 と実 数 と の対 応 を 考 え よ う.実

全 順 序 系 で あ っ て,異

な る2つ の 実 数x,yの

数 体Rは

大 小 関係 に よる

組 を 線 分 とい い,(x,y)で

表わ

す.2つ

の 線 分(x,y),(x′,y′)に

お い て, ￨y−x￨=￨y′

の とき,こ

−x′￨

れ ら は 等 し い と 見 な せ ば,R上

の 線 分 の 間 に は,合

同 関 係 が 定 め られ

る.

  定 理1.68  直 線g上

絶 対 空 間 の 任 意 の 直 線gは,実

に,任

意 の 異 な る2点O,Iを

数 体Rに

合 同 で あ る.す な わ ち,

指 定 す れ ば,順

序 関係 お よび合 同 関係 を

保 存す る全 単射 f:g→R,た

だ しf(O)=0,f(I)=1,

が 一意 的 に 定 ま る.   証 明  直 線gに

はO−3Iと

な る よ うに 向 き を つ け る.点Oお

よび

(m,nは と な る す べ て の 点P,P′ 1.65か

ら,直

線g上

が 存 在 す る.そ A,B∈gに と る.定

の 集 合 をg0と の 任 意 の 点Aに

こ で,集

合g0がg内

お い て,A−3Bと 理1.67か

ら,適

す る.と

自 然 数)

く に,O,I∈g0で

対 し て,H−3A−3Kと

あ る.定

な るg0の

で 稠 密 で あ る こ と を 証 明 す る.任

し,P−3Qか 当 な 自 然 数mを

つP−3Aと

理

点H,K 意 の2点

な る2点P,Q∈g0を

と れ ば,

かつ と な る 点T∈g0が

存 在 す る.さ

ら に 定 理1.65か

ら,適

当 な 自 然 数nを

と れ ば,

かつ と な る 点U∈

…g0が 存 在 す る.点Uは2点A,Bの

gに お い て 稠 密 で あ る.次 f(I)=1と

定 め れ ば,写

で 与 え ら れ るg0上

に,写像f:g→Rを 像fが

の 点P′,Pに

で な け れ ば な ら な い.よ

っ て,写

間 に あ る か ら,集 定 義 し よ う.ま

合g0は

ず,f(O)=0,

順 序 関 係 お よ び 合 同 関 係 を 保 存 す る た め に は,

対 し て,そ

像fは,集

れぞ れ

合g0上

で は 一 意 的 に 定 ま る.こ

の

形 か ら,写 像f:g0→Rは

単 射 で あ っ て,像f(g0)はRに

直 線gお

どち ら も連 続 で あ るか ら,こ

よび 実 数 体Rは

間 に 定 義 され た 写像fは,一

意 的 に 写 像f:g→Rに

お い て 稠 密 で あ る. れ らの 稠 密 な 部 分 集 合 の

拡 大 され,こ

れ は た しか に

順 序 関 係 お よび 合 同 関 係 を 保 存 す る全 単 射 で あ る.    定 理1.69 

絶 対 空 間Eの

幾 何 で あ れ ば,SはEの 体 はEに

お い て も そ れ ぞ れ 直 線,平

Eの1つ

に 引 き起 こ され た 部 分 幾 何 が また 絶 対

部 分 空 間 で あ る.と

  証 明   点 集 合S上

面,お

くに,Sの

直 線,平

面,お

の 直 線l⊂Eと

点 集 合Sと 直 線g上

よび立

よび 立 体 で あ る.

に 引 き起 こ され た 部 分 幾 何 に お け る 直 線g⊂Sと

で あ る.絶 対 空 間Sの っ て,合

点 集 合S上

(証終)

の 交 集 合g=S∩lと

の 異 な る2点O,Iを

は,空

間

し て 与 え られ る も の とれ ば,定

理1.68に

よ

同対応 f:g→R,た

だ しf(O)=0,f(I)=1,

が 一 意 的 に 定 ま る.一 方,g⊂lで の 直 線lに

対 し て も,合

あ る か ら,O,I∈lと

見 な し て,絶

対 空 間E

同対応

f:l→R,た

だ しf(O)=0,f(I)=1,

が 一 意 的 に 定 ま る.全 単 射 φ=f−1°f:g→l は 順 序 関 係 お よ び 合 同 関 係 を 保 存 し,し か もφ(O)=0,φ=(I)=Iで

あ るか

ら,線 分 移 動 の 一 意 性(定 理1.32)に

え にg

とlと は 一 致 す る.よ Sの

直 線 はEに

な い3点

っ て,l⊂Sと

よ っ て,φ な り,SはEの

は 恒 等 写 像 で あ る.ゆ 部 分 空 間 で あ る.と

お い て も直 線 で あ る.ま た,絶 対 空 間 の 平 面 は,同

で 張 られ る 部 分 空 間 で あ る か ら,Sの

平 面 はEに

じ直 線 上 に

おい て も 平 面 で あ

る.立 体 に つ い て も同 様 で あ る.    この 定 理 に よれ ば,絶

くに,

(証終)

対 幾 何 の 公 理 が す べ て み た され る 限 り,直 線,平

面,あ

る い は 立 体 は これ 以 上 拡 大 す る こ とが で き な い 点 集 合 で あ る.す な わ ち,絶 対 空 間 の 直 線,平

面,あ

る い は 立 体 に お い て,順 序 関 係 お よび 合 同 関 係 を 保 存 し,こ

れ ら に さ ら に 新 ら し い 点 を つ け 加 え て,そ るい は 立 体 を つ くる こ と は で き な い.こ 理 の 本 質 で あ る とい え る.

れ ぞ れ 他 の 絶 対 空 間 の 直 線,平

面,あ

の よ うな 完 備 性 を 保 証 す る こ とが 連 続 公

  一 般 に,絶

対 空 間 の 点 に は 実 数 の 組 を 対 応 させ る こ とが で き て,座 標 系 が 導 入

され る.す な わ ち,絶 対 幾 何 で は 解 析 幾 何 の 方 法 を 適 用 す る こ とが で き る.こ れ に つ い て は,射

影 幾 何 の 立 場 か ら統 一 的 に 扱 う こ とが で き る の で,こ

こで は これ

以 上 深 入 り し な い.   1.5.2  平

行

性

  結 合 空 間 で は 異 な る2点 を 通 る直 線 は た だ1つ が,異

な る2直 線 の交 点 の存 在 に つ い て は 何 も規 定 さ れ て い な い.こ

公 理 を み た す 結 合 空 間Eに   直 線lお

よ び そ の 上 に な い1点Pか

半 直 線Pgと

  〔2〕 直 線lに

交 わ る半 直 線Pkを

  定 理1.70 

ら出 る半 直 線Pgが

直 線lに

  〔1〕 直 線lと

  半 直 線 は 直 線lに

とれ ば,∠P(k,g)の

直 線lに

2直 線g,lは

同 じ 平 面 上 に あ る.

  (3) 

2直 線g,lは

交 わ ら な い.

直 線lに

直 線Pkの

交 わ る2つ

よ っ て,∠P(k,k′)の

と り方 に 関 係 し な い.

の 半 直 線Pk,Pk′

を と れ ば,定

内 部 に あ る 任 意 の 半 直 線 は 直 線lに

〔2〕 はPk,Pk′ 2直 線g,kは

か ら,直 線lも

内 部 に あ る任 意 の

平 行 で あ る と す る.

  (2) 

あ る 半 直 線Phも

交 わ る.し

∠P(k,g)を

の 半 直 線Pk,Phは

また この 平 面 上 に あ る.よ

  (3)  平 行 条 件 〔1〕 か ら,半 直 線Pgは 交 わ ら な い.よ

Pgも

またlに

た が っ て,

含 む 平 面 上 に あ り,∠P(k,g)の

こ の 平 面 上 に あ る.2つ

線lに

理1.31に

の ど ち ら を 用 い て も 同 じ で あ る.

直 線lに

って

は 同 じ平 面 上 に あ る.

っ て,逆

直

向き の 半 直 線

交 わ らな い こ と を い え ば よ い.

い ま,Pgがlに

交 わ る と仮 定 し て,そ

をBと

線lに

す る.直

件が み

は 交 わ らな い.

こ の 平 行 性 は,半

  (2) 

あ る.次 の2条

平 行 で あ る と い う.

  (1) 

平行 条 件

序

交 わ る.

半 直 線Pgは

  証 明   (1) 

こで,順

お け る2直 線 の平 行 性 に つ い て考 察 し よ う.

た さ れ る と き,半 直 線Pgは

lとgと

存 在 す る こ とが 規 定 され て い る

の交 点

交 わ る 半 直 線Pkを

と

図1.48

内部 に 交わ る

り,そ

の 交 点 をOと

上 で,点Bに る 点Hを

す る.さ

ら に,直

関 し て,点Oと

異 な る側 に あ

と り,直 線h=P∨Hに

は,H−3P

と な る よ う に 向 き を つ け る.こ 線Phは

の と き,半

直

内 部 に あ っ て,し

か

∠P(k,g)の

も 直 線lに

交 わ ら な い.こ

に 反 す る.よ

れ は 平 行 条 件 〔2〕

っ てPgはlに

交 わ ら な い.

図1.49

(証 終)

  定 理   1.71  有 向 直 線g上 行 な らば,半

直 線Qgも

の 点Oを

そ れ ぞ れP−3O,Q−3Oと 直 線lに

直 線lに

直 線lは

∠P(k,g)の

ら,点Aは

と り,2直

線 分PSの

図1.50

理1.70(3)か

ら明 ず,P−3Q

線k=P∨O,h=Q∨Oに

交 わ る こ とを 証 明 す れ ば よい.半

は, 内部 に あ る

直 線Qs上

の 点

な る よ うに 向 き を つ け る.た

同 じ側 に あ る と し て よ い.も

内 点 を通 り,Qsはlに

内 部 に あ るか ら,線 分OQの

で あ る.仮 定P−3Qに

平

平 行 で あ る.

は,P−3Sと

関 し て 点Qと

線 分QSの

直 線lに

な る よ うに 向 き を つ け る.∠Q(h,g)の

と り,直 線t=P∨Sに

点Sは

直 線Pgが

行 条 件 〔2〕 を み た す こ とを い え ば よい.ま

の 場 合 を 考 え る.直 線l上

Sを

対 して,半

平 行 条 件 〔1〕 を み た す こ と は,定

っ て,平

任 意 の 半 直 線Qsが

の2点P,Qに

また 直 線lに

  証 明   半 直 線Qgが らか で あ る.よ

線l

しそ うで な け れ ば,

交 わ る か ら で あ る.半 内 点Aを

だ し,

直 線Ptは

通 る.す な わ ち,O#A#Q

よ っ て,2点P,Sは

直 線hに

内 点 で あ る.す

な わ ち,P#A#Sと

関 して異 な る側 にあ るか な る.ま

図1.51

た,半

直

線Pgに Bと

対 す る 平 行 条 件 〔2〕 か ら,半 す る.直

〔B4〕

線lは

通 る.よ

っ て,半

直 線Osは

外 点 で あ る.す

直 線lに

義 す る.す な わ ち,任

理 な る.

線 分ABの

線sは

内点

辺OBの

内点を

交 わ る.

半 直 線Qs上

直 線lと

り方 に 関 係 し な い こ とが わ か る.そ

逆 向 きPgの

を 用 い れ ば,直

通 る こ とを 考 慮 す れ ば,同

  この 定 理 か ら,半 直 線Pgと

の交点 を

な わ ち,P#S#Bと

な わ ち,点Sは

〔B4〕

場 合 に は,点Sを

内 点Aを

交 わ る.そ

内 点 を 通 ら な い か ら,公

ら,A#S#B,す つ い て公理

  な お,Q−3Pの PSの

辺PSの

理1.22(5)か

で あ る.△OABに

直 線lに

△PQSの2辺PQ,QSの

に よ っ て,点Bは

ゆ え に,定

直 線Ptは

の 平 行 性 は,有 線g,lの

と り,直 線g上

うち い ず れ か が 直 線lに

直 線Qhが

様 に 証 明 され る. 

こ で,2直

意 の 点P∈gを

に と り,半

線分 (証終)

向 直 線g上

の 点Pの

と

平 行 性 を 次 の よ うに 定 の 半 直 線Pgま

平 行 で あ る と き,直 線gは

た はそ の

直 線lに

平 行

で あ る とい う.   定 理1.72 

直 線gが

直 線lに

平 行 で あ る とす る.

  (1) 

こ の平 行 性 は 直 線g上

  (2) 

2直 線l,gは

同 じ平 面 上 に あ る.

  (3) 

2直 線l,gは

交 わ ら な い.

  証 明   (1)は 定 理1.71か

の 点Pの

ら,(2),(3)は

と り方 に 関 係 しな い.

定 理1.70(2),(3)か

か で あ る. 

(証終)

  次 に 平 行 直 線 の 存 在 に つ い て 考 察 し よ う.そ れ に は,連 順 序 公 理 を み た す 結 合 空 間Eは,さ   定 理1.73  意 の 点Pか

続 公 理 が 必 要 で あ る.

ら に 連 続 公 理 〔D〕 を み た す も の とす る.

任 意 の 直 線l上

にな い 任

ら で て,直 線lに

平行 な 半

直 線 は ち ょ う ど2つ 存 在 す る.   証 明   直 線l上 と り,2直 は,そ

ら明 ら

の 異 な る2点K,Hを

線k=P∨K,h=P∨Hに

れ ぞ れP−3K,P−3Hと

に 向 き を つ け る.∠P(h,k)の

なるよう 内 部 にあ

るす べ て の 半 直 線 は,定 理1.31に

よっ

図1.52

て 直 線lに

交 わ るか ら,こ れ ら はlに

平 行 で は な い.ま

に あ るす べ て の 半 直 線 は,定 理1.72(3)に え,∠P(k,h)お

よ っ て,lに

よ び ∠P(h,k)の

の よ うな 切 断(σ,τ)を

ず つ 直 線lに

考 え る.す

と定 め る.定 理1.63か

ら こ の 切 断 の 境 界 と な る半 直 線Pgが

交 わ る と きPs∈ σ,ま た 交 わ ら な い と きPs∈

る.こ れ は た し か に 平 行 条 件 〔1〕,〔2〕

た だ1つ

を み た し,半 直 線Pgは

内 部 に も,直 線lに

直 線lに

平 行 な 半 直 線Pg′

ら 出 る2つ

し ∠P(g,g′)が2直

存 在 す る.ま た,も

異 な る2直 線 で,点Pを

の 場 合,点Pを

通 っ て 直 線lに

線lは

が 直 線lに

が た だ1

平 行 であ る

は 同 じ直 線g上

通 っ て,直

し,∠P(g,g′)が2直

在 す る.こ の 場 合 ∠P(g,g′)の

は,次

の 半 直 線Pg,Pg′

角 で あ れ ば,Pg,Pg′

い に 逆 向 き の 半 直 線 で あ る.こ

簡 単 に い え ば,直

平行

(証終)

に な い1点Pか

つ の直 線gが

τ

存 在 す

つ 存 在 す る. 

とす る.も

平行な

な わ ち,∠P(k,h)の

直 線lに

  直 線l上

れゆ

内 部 に あ るす べ て の 半 直 線

内 部 に あ る半 直 線Psが

で あ る.同 様 に,∠P(h,k)の

内部

平 行 で は な い.そ

内 部 に そ れ ぞ れ1つ

半 直 線 が 存 在 す る こ と を い え ば よい.∠P(k,h)の の 集 合 に 対 し て,次

た,∠P(h,k)の

線1に

平 行 な た だ1

角 で な け れ ば,g,g′

平 行 な ち ょ う ど2つ の 直 線g,g′

内 部 に あ るす べ て の 半 直 線 は 直 線lに

∠P(g,g′)の

のた が

は が存

交 わ る.

内 部 に あ る.ど ち ら の 場 合 か とい う こ と

の 平 行 線 公 理 で 規 定 され る.

  1.6  平

行

線

公

理

  結 合 空 間 に お い て,平 面 上 の2直 線 が 交 点 を もつ か ど うか を 規 定 す る 公 理 を 平 行 線 公 理 とい う.   1.6.1  2直 線 の 交 点   平 行 線 公 理 に つ い て は,次   〔P〕 平 面 上 で,1直 た だ1つ

の3通

りの 場 合 が 考 え られ る.

線 上 に な い1点

を 通 っ て,こ

存 在 す る. 

  〔H〕 平 面 上 で,1直

(放 物 公 理) 線 上 に な い1点

を 通 っ て,こ

少 な く と も2つ 存 在 す る.    〔E〕 平 面 上 で,1直

の 直 線 に 交 わ らな い 直 線 は

線 上 に な い1点

の直線 に交 わ らない直 線 は (双 曲 公 理)

を 通 っ て,こ

の直線 に交 わ らない直 線 は

存 在 し な い. 

(楕 円 公 理)

  公 理 〔P〕 を み た す 結 合 幾 何 を ア フ ィ ン 幾 何 とい い,そ とい う.定 理1.20で あ った.ア

示 され た よ うに,順

の 空 間 を ア フ ィ ン空 間

序公 理 をみ たす 結 合幾 何 は線 形幾 何 で

フ ィ ン幾 何 で は,一 般 に 順 序 公 理 を 仮 定 し て い な い.そ

こ で,す で に

述 べ た 次 の 公 理 を 考 え る.   〔A13〕  1直 線 上 に は,少   定 理1.74 

(3点 公 理)

3点 公 理 を み た す ア フ ィ ン幾 何 は 線 形 幾 何 で あ る.

  証 明   △ABCを 直 線lは3つ

な く と も異 な る3点 が 存 在 す る. 

含 む 平 面 上 の 任 意 の 直 線lを

とれ ば,公

の 辺 直 線 の うち の 少 な く と も2つ に 交 わ る.よ

〔A14〕 が み た され る.3点

公 理 を 考 慮 す れ ば,定

理 〔P〕 に よ って, っ て,擬 似 交 点 公 理

理1.17か

ら,こ

れ は線 形 幾

何 で あ る. 

(証終)

  公 理 〔E〕 は 簡 単 に 次 の よ うに い い か え られ る.   〔E〕 平 面 上 の2直

線 は 必 ず 交 わ る.

  3点 公 理 お よび 公 理 〔E〕 を み た す 結 合 幾 何 を 射 影 幾 何 とい い,そ 影 空 間 と い う.射 影 幾 何 も線 形 幾 何 で あ る が,こ

れ に つ い て は,あ

の空 間 を射

と で あ らた め

て 考 察 す る.   公 理 〔P〕 を み た す 絶 対 幾 何 を ユ ー ク リ ッ ド幾 何 とい い,そ

の空 間 を ユ ー ク リ

ッ ド空 間 と い う.ユ ー ク リ ッ ド幾 何 は も ち ろ ん ア フ ィ ン幾 何 の1種

で あ る.公 理

〔H〕 を み た す 絶 対 幾 何 を 双 曲 幾 何 ま た は ロ バ チ ェ フ ス キ ー 幾 何 とい う.こ

れ は

1種 の 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 で あ る.こ の と き,空 間 を 双 曲 空 間 また は ロバ チ ェ フ ス キ ー 空 間 と い う.   公 理 〔E〕 を 採 用 す る場 合 に は,い

ま ま で の 絶 対 幾 何 の 公 理 で は都 合 が 悪 く,

多 くの 修 正 を 行 な う必 要 が あ る.順 序 公 理 お よ び 連 続 公 理 を み た す 結 合 幾 何 で は,定 理1.73で

示 され た よ うに,直

線l上

に な い 点Pを

通 っ て,直

行 な 直 線 が 存 在 す る.こ れ は 公 理 〔E〕 に 矛 盾 す る.ゆ え に,次

線lに 平

の よ うに い え

る.   定 理1.75    順 序 公 理,合

絶 対 幾 何 で は,公 理 〔E〕 は み た され な い. 同 公 理 お よび 連 続 公 理 を 適 当 に 修 正 す れ ば,公 理 〔E〕 を み た す

体 系 を つ く こ とが で き る.こ れ は 楕 円 幾 何 と よば れ る も の で,1種

の 非 ユー ク リ

ッ ド幾 何 で あ る.い

ま ま で の 順 序 公 理 で は,直

異 な る3点 に つ い て,そ

の うち の1点

線 上の

が 他 の2点

に あ る こ と を 規 定 し て い る.こ れ に 対 し て,楕

の間

円幾何

の 順 序 公 理 で は,直 線 上 の 異 な る4点 に つ い て,そ うち の2点 が 他 の2点

を 分 割 す る こ とを 規 定 す る.合

同 公 理 お よ び 連 続 公 理 は,順

序 公 理 に よ って 定 め られ

る概 念 を 用 い て 述 べ られ る もの で あ る か ら,順 序 公 理

図1.53

の 変 更 に 応 じて,こ

れ ら も修 正 され る.結 局,楕

円 幾 何 を 構 成 す るに は,結

理 以 外 の い ま ま で の 公 理 を す べ て 再 考 し な け れ ば な ら な い.し 立 場 か ら,楕

の

合公

か し,射 影 幾 何 の

円 幾 何 を も含 め て,統 一 的 に 扱 う こ とが で き る の で,こ

こ で は,こ

れ 以 上 くわ し い 考 察 を 行 な わ な い.   1.6.2  ユ ー ク リ ッ ド平 行 性   こ こ で,ア

フ ィ ン空 間 お よ び ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る直 線 の 平 行 性 に つ い て

考 察 す る.   ア フ ィ ン空 間Eに

お い て,同

じ平 面 上 の2直 線l,gが

れ ら は た が い に 平 行 で あ る とい い,記

号l‖gで

表 わ す.ア

に 順 序 公 理 を み た す 場 合 に は,公 理 〔P〕 に よ っ て,こ さ れ た も の と一 致 す る.な お,と

交 わ ら な い と き,こ フ ィ ン空 間Eが

の 平 行 性 は,前

くべ つ な 場 合 と し て,任

さら

節 で定 義

意 の 直 線 は そ れ 自身 に

平 行 で あ る と見 な し て お く.   定 理1.76 

ア フ ィ ン空 間 に お い て,1直

線 上 に な い1点

を 通 っ て,こ

の直 線

に 平 行 な 直 線 が た だ1つ 存 在 す る.   証 明  定 義 お よび 公 理 〔P〕 か ら明 らか で あ る.    定 理1.77  ち,次 の3条

(証終)

ア フ ィ ン空 間 に お い て,直 線 の 平 行 性 は 等 値 関 係 で あ る.す

なわ

件 が み た さ れ る.

  (1) 

任 意 の 直 線lに

  (2) 

l‖gな

対 し て,l‖l 

(反 射 律)

ら ば,g‖l 

  (3) l‖g,g‖hな

(対 称 律)

ら ば,l‖h 

(推 移 律)

  証 明   (1),(2)は

定 義 か ら 明 ら か で あ る.よ

い.3直

お い て,l‖g,g‖hと

線l,g,hに

っ て,(3)を

す る.2直

線l,hが

証明 す れ ば よ 一 致 す れ ば,

(1)か

らl‖hで

あ る.よ

が 交 わ れ ば,そ な り,定

っ て こ れ ら は 異 な る と し て よ い.も

の 交 点 を 通 っ て,直

理1.76に

す る に は,2直

反 す る.よ 線l,hが

線gに

平 行 な2直

っ てlとhと

1点Qを

線g上

の 異 な る2点A,B,直

ら,2直

た2直

し,直

線lと

線lと

れ,か

つ 共 通 点Qを

点Qと

h′ で 交 わ る.直

平 面υ

と が 共 通 点Cを

を 含 む 平 面 をwと も つ か ら,交

線h′

よ びυ と一 致 し て,3直

反 す る.よ

共 有 す る か ら,定

線l,hは

〔A10〕

線lに

で あ る.2直 理1.76に

同 じ 平 面wに

あ る と し,そ

直 線kに

つ の 向 き を つ け て,∠A(k,l)と

の2平

面 は直 線

と は 交 わ ら な い.し し,2直

線g,h′

と は 交 わ ら な い.し 線h,h′

線g,

か もg,h′

は ど ち ら もgに

平 行 で,

と は 一 致 す る.ゆ

え

(証 終)

考 え る.平

面u上

の 交 点 を そ れ ぞ れA,Bと に あ る.2直

線l,gに

の 異 な る2直 線 す る.た だ し, 向 き を つ け て,

関 し て 同 じ側 に あ る よ うに す る.直 線kに ∠B(k,g)と

か

が 存 在す る こ

含 ま れ る. 

す る.直 線 々は も ち ろ ん 平 面u上

2つ の 半 直 線Al,Bgが

立 体 σに 含 ま

に よ っ て,こ

よ っ て,hとh′

序 公 理 を み た す 結 合 空 間Eを

交 わ る直 線kが

面υ,wは

平 行 な2直

っ てgとh′

線l,g,h

とは 共 通 点 を も た な

含 ま れ る か ら,l‖h′ で あ る.も

の 交 点 を 通 っ て,直

理1.76に

っ て,lとυ

は 平 面υ に 含 ま れ る か ら,lとh′

は 同 じ 平 面υ 上 に あ る か ら,g‖h′

A≠Bと

図1.54

す れ ば,2平

線 公理

と は 同 じ 平 面wに

h′ が 交 わ れ ば,そ

l,gに

の

立 体 σに 含

通 る 平 面 は,uお

い.直

  こ こで,順

よ び 直 線h上

平 面υ に 含 ま れ

が 同 じ 平 面 上 に な い と い う 仮 定 に 反 す る.よ

に,2直

の1点P,お

平 面uに

線l,g,hは

も て ば,3点A,B,Cを

し か も 点Qを

れ ら は 同 じ平 面 上 に な い と仮 定 し

線l上

線l,gは

線g,hは

た が っ て,3直

と と な り,定

線l,g,h

通 る 平 面 をυ と す れ ば,

仮 定l‖g,g‖hか

も,lとh′

証明

通 る 平 面 をu,

ま た3点A,B,Qを

ま れ る.も

え に,l‖hを

通 る立体

を σ と す る.3点A,B,Pを

る.し

線l,h

存 在 す る こ とと

同 じ 平 面 上 に あ る こ と を 示 せ ば よ い.3直

と り,4点A,B,P,Qを

含 ま れ,ま

線l,hが

は 交 わ ら な い.ゆ

が 同 じ 平 面 上 に あ る 場 合 は 自 明 で あ る か ら,こ て よ い.直

し,2直

を 同 位 角 とい う.2直

も1

線l,g

の 向 き,ま た は 直 線kの て,4組

の同位 角 ∠A(k,l)と

∠B(k,g),

∠A(k,l)と

∠B(k,g),

∠A(k,l)と

∠B(k,g),

∠A(k,l)と

∠B(k,g),

が 考 え ら れ る.ま 図1.55

と を 錯 角 と い う.2直

線g,lの

向 きを 変 え る こ と に よ っ

た,直

線kに

は 

とな る

よ う に 向 き を つ け て,∠A(k,l)と

∠B(k,g)

向 き を 変 え れ ば,∠A(k,l)と

∠B(k,g)

と は 錯 角 で あ る.   定 理1.78  交 わ る と き,同

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て,平 位 角 が 等 し け れ ば,こ

の2直

面 上 の2直

線 に も う1つ

線 は 平 行 で あ る.こ

の直 線 が

の逆 も 成

り立

つ.

  証 明   補 角 定 理1.36に

よ っ て,1組

の 同 位 角 が た が い に 等 し け れ ば,他

組 の 同 位 角 もそ れ ぞ れ た が い に 等 し い.平 が 交 わ る と し,そ る.も g,kに

し,2直

面u上

の 交 点 を そ れ ぞ れA,Bと

線l,gが

平 行 で な け れ ば,こ

は そ れ ぞ れA−3C,B−3C,A−3Bと

に 対 す る外 角 定 理1.51を

の 異 な る2直 線l,gに

す る.ま

ず,同

れ らは 点Cで

の3

直 線k

位 角 が 等 し い とす 交 わ る.3直

線l,

な る よ うに 向 き を つ け る.△ABC

用 い れ ば, ∠B(k,g)>∠A(k,l)

と な っ て,同

位 角 が 等 しい と い う仮 定 に 反 す る.ゆ

図1.56

え にl‖gで

図1.57

あ る.逆

に,l‖g

と す る.3直

線l,g,kに

は 適 当 に 向 き を つ け る.公

理

で,直

関 し てAlと

同 じ 側 に あ る 半 直 線Bg′

が 存 在 し て,∠B(k,g′)=

線kに

∠A(k,l)と

な る.ゆ

は ど ち ら も 点Bを は 一 致 す る.よ

え に,上

通 っ てlに

〔C4〕

か ら,平

に 証 明 し た こ と か ら,l‖g′ で あ る.2直 平 行 で あ る か ら,定

っ て ∠B(k,g)=∠A(k,l)で

理1.76に

面u上

線g,g′

よ っ て,gとg′

あ る.す

な わ ち,同

と

位角 は等 し

い. 

(証 終)

  定 理1.79 

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て,平

面

上 の 異 な る2直 線 に も う1つ の 直 線 が 交 わ る と き,錯

角 が 等 し け れ ば,こ

の2直 線 は 平 行 で あ

る.こ の 逆 も 成 り立 つ.   証 明   対 頂 角 定 理1.37お 理1.42)を

よび 角 の 推 移 律(定

考 慮 す れ ば,定 理1.78か

ら明 らか で

あ る. 

(証終)

  定 理1.80 

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て,三

形 の 内 角 の 和 は2直

角

図1.58

角 に 等 し い.

(内 角 定 理)

  証 明   △ABCの と り,点Aを A∨Pを 点Cと

頂 点Aに

通 っ て,辺

お け る外 角 ∠CADを

直 線B∨Cに

と る.た だ し点Pは

平 行 な 直 線

辺 直 線A∨Bに

関 して

同 じ側 に あ る とす る.定 理1.78,1.79か

ら,

∠B=∠DAP,∠C=∠CAP で あ る.ゆ え に, ∠A+∠B+∠C=∠BAC+∠CAP+∠PAD =2直

  系   ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お い て,三

図1.59

角 の 和 は 他 の1頂   1.6.3 

角

 (証終) 角 形 の2つ の 内

角 に お け る 外 角 に 等 し い.

非 ユ ー ク リ ッ ド平 行 性

  こ こ で,ロ   定 理1.81 

バ チ ェ フ ス キ ー 空 間 に お け る 平 行 性 に つ い て 考 察 す る. ロ バ チ ェ フ ス キ ー 空 間 に お い て,1直

こ の 直 線 に 平 行 な 直 線 が ち ょ う ど2つ

存 在 す る.

線 上 に な い1点

を 通 っ て,

 証 明   公 理 〔H〕 か ら,直 線lお の上 に な い 点Pを 通 っ て 直 線lに

よび そ

含 む 平 面 上 で,点Pを

交 わ らな い2直 線h,h′

が

存在 す る.こ れ らに 適 当 に 向 き を つ け て, 直 線l上

の 点Oが

∠P(h,h′)の

あ る よ うに す れ ば,2直

線h,h′

lに 交 わ ら な い か ら,直 線l上 点が ∠P(h,h′)の

図1.60

て,∠P(h,h′),∠P(h,h′)あ

る い は ∠P(h,h′)の

線Ptは

っ て,平

直 線lに

す べ て 直 線lに

交 わ ら な い.よ

平 行 で は な い.そ

の 内 部 に あ る1つ の 半 直 線Psを ∠P(k,s)の 在 し て,こ

とれ ば,定 ず つ,直

れ ら は 同 じ直 線 上 に な い.す

な2直 線g,g′

のすべ て の

内 部 に あ る.し た が っ 内 部 に あ るす べ て の 半 直

通 る半 直 線Pkお 理1.73か 線lに

よ び,∠P(h,h′)

ら,∠P(k,s)お

な わ ち,点Pを

通 っ て,直

が存

線lに

平行

(証終)

  系   ロバ チ ェ フス キ ー 空 間 に お い て,直 と し,こ

あ る よ うに 向 きを つ け る.こ

よび

平 行 な 半 直 線Pg,Pg′

が 定 ま る. 

に平 行 な2直 線 をg,g′

は直線

行 条 件 〔2〕 か ら,こ れ ら の半 直 線 は

こで,点Oを

内 部 に そ れ ぞ れ1つ

内部 に

線l上

に な い 点Pを

れ ら に は,l上

の と き,2直

線g,g′

通 っ て,直

の 点 が ∠P(g,g′)の

線l 内部 に

は 次 の2条 件 に よ って 特 性

づ け られ る.   (1)  半 直 線Pg,Pg′   (2)  ∠P(g,g′)の

は 直 線lに 交 わ らな い. 内 部 に あ る任 意 の 半 直 線 は 直 線lに

  ロバ チ ェ フ ス キ ー 空 間 に お い て,直 線lお をuと

す れ ば,点Pを

2直 線g,g′ しか も 直 線lに は,直 線lが

は,ど

よ び そ の 上 に な い 点Pを

通 っ て 直 線lに 平 行 な ち ら も平 面u上

交 わ ら な い.2直 ∠P(g,g′)の

向 き を つ け て お く.平 面u上 意 の 直 線kを

交 わ る.

に あ っ て,

線g,g′

に

内 部 に あ る よ うに で,点Pを

通 る任

と り,こ れ に 向 き を つ け る.こ の と

き,半 直 線Pkが,∠P(g,g′)ま

た は そ の対

図1.61

含む 平 面

頂 角 の 内 部 に あ れ ば,2直 ∠P(g,g′)の 平 面u上

線k,lは

たが い に 交 わ

補 角 の 内 部 に あ れ ば,2直

で,点Pを

合 を つ く り,2直 ッ ド空 間 は,こ

通 っ て 直 線lに 線g,g′

の2直

線k,lは

線g,g′

の と き,直 線lお

ば,公

は,直 線lと

ころ が,平

面u上

し て,ユ

ーク リ

で,点Pを

の 交 点Xを

よびそ の 上 通 る任意 対応 さ せ れ

で,点Pを

な

通 る直 線 は

閉 じた 連 続 集 合 を つ く るか ら,こ れ と1対1に る.し た が っ て,楕

続 な無 限集

行 な直

理 〔E〕 に よ っ て,こ の 対 応 は1対1と

る.と

た が っ て,

が 一 致 す る よ う な 極 限 の 場 合 と 考 え ら れ る.

線 は 存 在 し な い.こ

含 む 平 面u上

直 線Pkが

交 わ ら な い.し

が こ の 集 合 の 限 界 に な っ て い る.そ

円 幾 何 の場 合 に は,平

の 直 線kに

た,半

交 わ ら な い す べ て の 直 線 は,連

  こ れ に 対 し て,楕

に な い 点Pを

り,ま

円幾 何 で は,い

図1.62

対 応 す る直 線lも

閉 じた 集 合 とな

ままで の順 序公 理 を適 用 す る こ と は で き な

い.

  内 角 定 理1.80に に 等 しい.こ 和 は,ロ

よれ ば,ユ

れ は,非

ー ク リ ッ ド空 間 で は,三

角 形 の 内 角 の 和 は2直 角

ユ ー ク リ ッ ド空 間 で は 成 立 し な い.実

バ チ ェ フ ス キ ー空 間 で は2直

角 よ り小 さ く,ま た,楕

よ り大 き い こ とが 知 られ て い る.こ の 証 明 は 省 略 す るが,円 容 易 で あ る.第4節

に お い て,三

る.こ れ らの 中 に は,と

て 成 立 す る結 果 で あ る か ら,と こ の場 合,内

円 幾 何 で は2直

角

を用 い て計 算 すれ ば

角 形 に関 す るいろ い ろな定 理が 述 べ ら れ て い

くに ユ ー ク リ ッ ド空 間 の場 合,内

れ る も の が 多 い.し か し,第4節

際,三 角 形 の 内 角 の

の 定 理 は,一

角 定 理 か ら簡 単 に 導 か

般 に 合 同公 理 を み た す 空 間 に お い

くに ロバ チ ェ フ ス キ ー 空 間 に お い て も成 立 す る.

角 定 理 は 成 立 し な い か ら,こ れ を 用 い る こ と は で きな い.内

に 代 わ る役 割 を 果 す も の が 外 角 定 理1.51で

あ る.

角定 理

2 . 射

  2.1 

射

影

公

影

公

理

系

理

  射 影 幾 何 は 古 典 幾 何 の 中 心 的 な 役 割 を 果 す も の で あ る.こ

こで,そ

の公理 系 を

考 察 す る.   2つ の 集 合P,Mの を 空 間 と よ ん で,そ

元 の 間 の 関 係Ω ⊂P×Mが の 元 を 点 と よぶ.ま

元 を 直 線 と よ ぶ.点A∈Pと 線lは

点Aを

た,集

直 線l∈Mと

通 る,ま た は,点Aは

指 定 され た とす る.集

合Mを

補 助 集 合 と よん で,そ

が 関 係(A,l)∈Ω

直 線l上

合P の

に あ る と き,直

に あ る とい う.ま ず,す

で に述 べ

られ た 結 合 公 理 を 考 え る.   〔A1〕  異 な る2点 を 通 る直 線 は た だ1つ 存 在 す る. 

(直 線 公 理)

  〔A2〕 

(2点 公 理)

1直 線 上 に は,少

な く と も異 な る2点 が 存 在 す る. 

  〔A3〕   同 じ直 線 上 に な い3点   空 間Pが 1〕,〔A2〕

が 存 在 す る. 

この3公 理 を み た せ ば,こ か ら,直 線lと

と見 な され,補

助 集 合Mは

(点 直 線 公 理)

れ は 結 合 空 間 で あ る.こ

の と き,公 理 〔A

そ の 上 に あ る す べ て の点 の 集 合S(l)と 点 集 合 族 と して 実 現 され る.ま た,部

形 の 概 念 も定 義 され る.公 理 〔A3〕 に よ っ て,空

間Pが,1直

い は 空 集 合 に す ぎ な い よ うな 自 明 な 場 合 が 除 か れ,空 の 三 角 形 が 存 在 す る.な お,今

後,三

間Pに

は 同 じもの 分 空 間,三

線,1点,あ

角 る

は 少 な く と も1つ

角形 の辺 直線 を簡 単 に 辺 とよぶ こ と に す

る.   これ に 対 して,あ

らた め て 次 の 公 理 を 立 て る.

  〔P1〕  異 な る2点 を 通 る直 線 は た だ1つ   〔P2) 

1直 線 上 に は,少

存 在 す る. 

な くと も異 な る3点 が 存 在 す る. 

  〔P3〕   同 じ直 線 上 に な い3点

が 存 在 す る. 

  〔P4〕  三 角 形 の 頂 点 を 通 ら な い 直 線 が,こ の1辺

の 三 角 形 の2辺

に も交 わ る. 

(3点

公 理)

(点 直 線 公 理) に 交 わ れ ば,残

り

(交 点 公 理)

  こ の4公 理 を み た す 体 系{P,M,Ω}を と い う.公 理 〔P1〕,〔P3〕

(直 線 公 理)

射 影 幾 何 とい い,空

は そ れ ぞ れ,公

理 〔A1〕,〔A3〕

間Pを

射 影 空間

と同 じもので

あ る.ま た 公 理 〔P2〕 ろ ん 公 理 〔A2〕

が み た され れ ば,も

が み た され,射

影 空 間Pは

1種 の結 合 空 間 で あ る.な お,公

理 〔P2〕

ち

は

す で に 述 べ られ た 公 理 〔A13〕 と 同 じ もの で あ る.公

理 〔A2〕

〔P2〕

で は"3点"と

る か と思 わ れ る.と

に お け る"2点"が な っ て,多 こ ろ が,公

公理

少複 雑 にな

理 〔P2〕

図2.1

は,射 影 幾 何 が 数 学 構 造 と して 単 純 性

を もつ こ と を 保 証 す る も の で あ る.な お,こ

の公 理 〔P2〕

は,射 影 空 間 に座 標

を 導 入 す る と き,本 質 的 に 必 要 とな る.ま た 公 理 〔P2〕,〔P4〕 何 は1種

の 線 形 幾 何 で あ る こ とが 示 され る(定 理2.16).し

は,平 面 は 同 じ直 線 上 に な い3点 面 上 に な い4点

平 面 を 定 義 し て お く必 要 も な い.な

面 あ るいは

か も,公 理 〔P4〕

は

の 公 理 系 を 立 て る段 階 で は,

お,射 影 幾 何 に お い て も,ふ つ う,次 の 公 理

間 を 制 限 し て お く.

空 間Pは

有 限 個 の 点 で 張 ら れ る. 

 こ れ は す で に 述 べ た 公 理   例1. 

た 立 体 は 同 じ平

で 張 られ る 部 分 空 間 と し て 定 義 され る.そ れ ゆえ,平

平 面 と い う用 語 を 用 い ず に い い 表 わ され る の で,こ

  〔P5〕 

たが って射影 空 間 で

で 張 られ る部 分 空 間 と し て,ま

立 体 か ら成 る補 助 集 合 を 初 め か ら指 定 す る必 要 が な い.し

を 立 て て,空

か ら,射 影 幾

森 に7人

〔A12〕

(制 限 公 理)

と 同 じ も の で あ る.

の 小 人 が 住 ん で い る.彼

らは 歌 が 好 きで,仕

事 の 合 い 間 な ど,よ

陰 で 歌 っ て い る の を 見 か け る.た い て い トリオ で 歌 うの で あ るが,彼

ら で も,声

ル ー プ と 合 わ な い も の と あ る ら し く,任

意 の3人

と り 出 し て ト リオ が で き る わ け で は な い.7人 人 をA,B,C,D,E,F,Gと

く木

の合 うグ を の小

す る と き,ト

オ が で き る 組 を し ら べ た と こ ろ,次

リ

の7通

りで あ っ

の 小 人 の 集 合 で,直

線 は トリ

た.

図2.2

 

(A,B,C),(A,D,E),(A,G,F)

 

(B,D,F),(B,G,E),(C,G,D)

 

(C,E,F).

小 人 を 点,ト

リオ を 直 線 と よぶ.す

な わ ち,空

オ と な る3点

の 集 合 と して 表 わ さ れ て い る.こ

間Pは7人

の 体 系 は 公 理 〔P1〕 ∼ 〔P5〕

をすべ てみ

た し,射 影 幾 何 の 最 も簡 単 な モ デ ル で あ る.   例2. 

結 合 幾 何{E,L1,L2}に

お い て,3点

公 理 〔A13〕 が み た され る とす る.空

間Eの1点Oを

と り,点Oを

通 る す べ て の 直 線 の 集 合 をP⊂L1と

べ て の 平 面 の 集 合 をM⊂L2と

す る.集

合Pに

合Mに

属 す る 平 面 を あ らた め て 直 線 と よぶ.そ

れ ば,体

系{P,M}は

射 影 幾 何 と な る.こ

し,点Oを

通 るす

属 す る 直 線 を あ らた め て 点 と よん で,集 して,包

の場 合,公

含 関 係 に よ っ て 結 合 関 係 を定 め

理 〔P4〕

は 交 線 公 理 〔A10〕 か

ら導 か れ る.

  2.2  射

影

和

  射 影 幾 何 の 公 理 の うち で,〔P1〕,〔P2〕,〔P3〕,〔P5〕 何 に お い て も用 い られ て い る.射 で あ る.こ

こで,射

は 一 般 の結 合幾

影 幾 何 を 特 性 づ け る も の は,交

影 空 間 の 部 分 空 間 に つ い て,と

点 公 理 〔P4〕

くに 公 理 〔P4〕

か ら導 か れ

る事 柄 を 考 察 し よ う.   射 影 空 間Pの

異 な る2点A,Bを

つ の点 集 合X,Y⊂Pの

通 る直 線 をA∨Bで

射 影 和X∨Y⊂Pを

表 わ す.一 般 に,2

次 の よ うに 定 義 す る.

 〔1〕  空 集 合 φ に 対 し て,   〔2〕  1点Aに

対 し て,A∨A=A,

  〔3〕  そ れ 以 外 の 場 合 に は,

  射 影 和X∨Yが  定 理2.1 

ど の よ うな点 集 合 に な るか を し らべ る.

射 影 空 間Pの

 (1) 

X∨Y=Y∨X 

 (2) 

部 分 空 間Sに

点 集 合 の 射 影 和 に つ い て, (交 換 法 則)

対 し て,X,Y⊂Sな

ら ば,X∨Y⊂S

の と き,

 (3) 

(結合法則)

 (4)    証 明   定 義 か ら,(1),(2),(3)は る.(1),(3)か

ら,同

明 ら か で あ る.そ

じ 直 線 上 に な い3点A,B,Cに

が 成 り 立 つ こ と を 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.任 射 影 和 の 定 義 か ら 点J∈B∨Cが た はH=Cな H≠Cと

ら ば,明 す る.△ABJに

つ い て,法

ら か にH∈(A∨B)∨Cで 理

証 明す 則

意 の 点H∈A∨(B∨C)を

存 在 し て,H∈A∨Jと

つ い て,公

こ で(4)を

〔P4〕

な る,も あ る.よ

を 用 い れ ば,直

と れ ば, し,J=Bま っ て,J≠B, 線C∨Hは

辺

A∨Bに

交 わ る.そ

H∈K∨Cか

の 交 点 をKと

つK∈A∨Bで

H∈(A∨B)∨Cと

す れ ば,

あ る.ゆ

え に,

な る.

(証終)   こ の 証 明 か らわ か る よ うに,公

理 〔P4〕

は 射 影 和 の 結 合 法 則 を 保 証 す る も の で あ る.   定 理2.2 

射 影 空 間Pに

部 分 空 間S,Tで

お い て,2つ

の

図2.3

張 られ る部 分 空 間 は 射 影 和S∨Tで

  証 明   まず,S∨Tが

あ る.

部 分 空 間 で あ る こ とを 証 明 す る.異

な る2点H, 

を とれ ば 射 影 和 の 定 義 か ら,

と な る4点A1,A2∈S,B1,B2∈Tが

存 在 す る.任 て,J∈A3∨B3と ∈Tが

意 の 点J∈H∨Kに

対 し

な る よ う な2点A3∈S,B3

存 在 す る こ と を 証 明 す れ ば よ い.射

影

和 の 交 換 法 則 お よ び 結 合 法 則 か ら,

で あ る.よ

っ て,2点A3∈A1∨A2,B3∈B1∨B2

が 存 在 し て,J∈A3∨B3と

図2.4

な る.し

か もS,T

は 部 分 空 間 で あ る か ら,

で あ る.よ Uに

っ てS∨Tは

対 し て,射

影 和 の 定 義 か らS∨T⊂Uで

あ る か ら,こ れ はS,Tを   定 理2.3 

部 分 空 間 で あ る.ま

射 影 空 間Pに

た,S,Tを

含 む任 意 の部 分 空 間

あ る.し か もS∨Tは

含 む 最 小 の 部 分 空 間 で あ る.  お い て,m個

の 点A1,A2,…

部分空間で (証終)

…,Amで

張 られ る

部 分 空 間Sは

で 与 え られ る.   証 明   空 間Pの

点 に つ い て,定 理2.2を

く り返 し適 用 す れ ば よい. (証終)

  こ の 場 合,結

合 法 則 か ら(m−1)回

じで あ り,ま た 交 換 法 則 か らm個

の 射 影 和 を ど の よ うな 順 番 で 行 な つて も 同 の 点 の 順 番 を どの どの よ うに い れ か え て も よ

い.

  定 理2.4  S∨Aに

射 影 空 間Pの2点A,Bお

含 まれ,か

つSに

よ び 部 分 空 間Sに

は 含 ま れ な い とす る.こ 含 まれ る.そ

お い て,点Bは

の と き,点AはS∨Bに

し てS∨A=S∨Bで

  証 明   B∈S∨Aで

あ るか ら,点C∈Sが

し て,B∈C∨Aと い か ら,も

あ る.

な る.点BはSに

ち ろ ん 

含 まれ な

で あ る.よ

と な る.さ

存在

っ て, 

ら に,

図2.5

で あ る. 

(証終)

  定 理2.5 

射影 空 間Pの3つ

の 部 分 空 間S,T,Wに

お い て,S⊂Wな

ら

ば, (モ ジ ュ ラ 性)

  証 明  S∨T⊃Sか か つW⊃T∩Wだ

で あ る.ゆ

つW⊃Sだ

え に 

で あ る か ら,H∈A∨Bと

A∨Bで

と な る.よ

意 の 点H∈(S∨T)∩Wを

あ る か ら,仮

定S⊂Wに あ る.し

っ て

と る.H∈S∨Tか

な る2点A∈S,B∈Tが

ら か にH∈S∨(T∩W)で

ゆ え に,B∈W∩Tで

た,S∨T⊃T∩W

から

を 証 明 す れ ば よ い.任

な ら ば,明

か ら(S∨T)∩W⊃S,ま

つH∈W

存 在 す る.も

あ る.よ

っ て, 

しH=A∈S と す れ ば,H∈

よ っ て,B∈H∨A⊂W∨S=Wと

な る.

た が っ て,

(証終) 射 影 空 間Pのm+1個

で あ る と き,点Bはm個

の 点A1,A2,…

の 点A1,A2,…

…,Am,Bに

…,Amの

お い て,

結 合 で あ る と い う.ま

た,

空 間Pのr個

の 点A1,A2,…

…,Arの

点 の 結 合 に な ら な い と き,こ れ ら のr個 き,す な わ ち,こ

れ ら の い ず れ か1点

中 の い ず れ の1点

の 点(1≦s≦r)は

の

の 点 は 独 立 で あ る とい う.独 立 で な い と

が 他 のr−1個

れ ら のr個 の 点 は 従 属 で あ る と い う.r個 出 した 任 意 のs個

も他 のr−1個

の 点 の 結 合 に な る と き,こ

の 点 が 独 立 で あ れ ば,こ

独 立 で あ る.ま た,r個

の 中か ら と り

の点 が従 属 で あ れ

ば,こ れ らに 任 意 の い くつ か の 点 を つ け 加 え て も や は り従 属 で あ る.射 影 空 間P の1点Aは

独 立 で あ る.異 な る2点A,Bは

に な い3点A,B,Cは   定 理2.6  r+1個

の 点A1,A2

,…

r個 の 点A1,A2,…

結 合 で あ る. …,Ar,Bは

従 属 で あ る か ら,こ

れ が 点Bで

れ らの中 の

あ れ ば そ れ で よ い.そ

れ が他

般性 を失 な うことな く

方,A1,A2,…

…,Arは

含 ま れ な い.定

独 立 で あ る か ら,点Arは

理2.4に

部分 空 間

よ って,

(証 終)

  系  射 影 空 間Pに

A1∨

独 立 で,

の と き,点Bは

で あ る. 

r+1個

じ直 線 上

…,Arは

従 属 で あ る と す る.こ

の 点 の 結 合 で あ る.そ

… …∨Ar−1に

の 点A1,A2,…

…,Ar,Bは

の 点A1,A2,…

の 点 で あ る と し,一

A1∨

お い て,r個

…,Arの

  証 明   r+1個

と し て よ い.一

し て,同

独 立 で あ る.

射 影 空 間Pに

1点 は 他 のr個

独 立 で あ る.そ

お い て,r個

の 点A1,… … …∨Arに

  射 影 空 間Pに

…,Ar

,Bが

の 点A1,A2,…

…Arが

独 立 で あ る と き,

独 立 で あ る た め の 条 件 は,点Bが

部分 空 間

含 ま れ な い こ と で あ る. お い て2通

り の 点 の 組{A1,A2,…

…,Ar},{B1,B2,…

…,Bs}

が あ っ て,

が 成 り 立 つ と き,こ

れ ら の 組 は た が い に 同 等 で あ る と い い, {A1,A2,…

…,Ar}∼{B1,B2,…

…,Bs}

で 表 わ す.こ

の 関 係 は 明 ら か に 等 値 関 係 の 条 件 を み た す.

  定 理2.7 

射 影 空 間Pに

お い て,r個

の 点B1,B2,…

…,Brは

独 立 で,こ

れ ら は い ず れ も 点 の 組{A1,A2,… こ の 組 の 中 の 適 当 なr個

…,Am}の

結 合 で あ る と す る.こ

の 点 の 代 わ り に 点B1,B2,…

れ る 組 が も と の 組{A1,A2,…

…,Am}と

…,Brを

の と き,

い れ か え て得 ら

同 等 で あ る よ う に で き る. (と り か え 定 理)

  証 明   数 学 的 帰 納 法 を 用 い る.ま い か ら 自 明 で あ る.そ

こ で,r−1個

た と 仮 定 し て,点Brを

ず,r=0の

場 合 に は 何 も い れ か え な くて よ

の 点B1,B2,…

…,Br−1が

い れ か え る こ と が で き れ ば よ い.点

いれ か え られ

の順 番 を適 当に 変更

して {B1,…

…,Br−1,Ar,…

で あ る と 仮 定 し て よ い.部

を とれ ば,明

分空間

…,Brは

独 立 で,こ

結 合 で あ る か ら, 

な ら な い.そ

し て,自

っ て 定 理2.4か

と な る.こ

れ は

{B1,…

Br∈Smで

然 数kが

と な る.よ

{B1,… は も と の 組{A1,A2,…

射 影 空 間Pの

あ る.ゆ

え にr<mで

…, なけれ ば

存 在 し て,

…,Br−1,A1,……,Ak−1,Br}∼{B1,…

等 性 は 失 わ れ な い か ら,点

次

れ ら は い ず れ も 組{A1,A2,…

ら

で あ る こ と を 示 し て い る.こ

2.3 

…,Am}

らか に

で あ る.点B1,B2,… Am}の

…,Am}∼{A1,A2,…

…,Br−1,A1,…

の 両 方 の 組 に 点Ak+1,…

…,Amを

…,Ak} つ け 加 え て も 同

の 組 …,Br,Ar,… …,Am}と

…,Ak−1,Ak+1,…

…,Am}

同 等 で あ る. 

(証 終)

元 部 分 空 間Sに

対 し て,独

立 な 点 の 組{B0,B1,…

…,Br}が

存 在 し て,

とな る と き,こ

の 組 をSの

る.部 分 空 間Sが

基 底 と い う.基 底 に 属 す る点 は もち ろ んSに

有 限 個 の 点 で 張 ら れ る と き,Sは

る.制 限 公 理 〔P5〕

は 射 影 空 間P自

含 まれ

有限 次元 で あ る と い わ れ

身 が 有 限 次 元 で あ る こ とを 規 定 す る も の

で あ る.   定 理2.8 

射 影 空 間Pに

部 分 空 間 をSと

お い て,m個

の 点A1,A2,…

す れ ば,点A1,A2,…

…,Amの

…,Amで

中 か らSの

張 られ る

基 底 を と り出 す

こ と が で き る.   証 明   点A1,A2,… り 出 し,そ

…,Amの

中 か ら,独

れ ら を あ ら た め てB0,B1,…

個 の 点 は 独 立 で あ る が,A1,A2,…

え に,

で あ る.ま

た,も

ち ろ ん,B0∨B1∨ {B0,B1,…

と な る.す

…,Brと …,Amの

て つ け 加 え れ ば 必 ず 従 属 に な る.こ

と な る.ゆ

立 で あ る よ うな 最 大 個 数 の 点 を と

の と き,定

理2.6か

… …∨Br⊂Sで

を み た せ ば,Pは

  定 理2.9 

…,Br}を

基 底 で あ る. 

な ら な い.同   射 影 空 間Pの

rをSの 間Sの

影 空 間Pが

制 限 公 理

部 分 空 間Sがr+1個

の 基 底{A0,A1,…

…,As},

の 点A0,A1,…

…,Asの

お き か え る こ と が で き る か らr≦sで

あ る か らs=rと

次 元 と よ ん でr=dimSで 次 元 は,基

(証 終)

あ る.

よ っ て,s+1個

…,Brで

様 にs≦rで

くに,射

部 分 空 間Sが2組 も て ばs=rで

をB0,B1,…

ら,

基 底 を も つ.

  証 明   と りか え 定 理2.7に r+1個

と り出 し

…,Am}

…Br}はSの

射 影 空 間Pの

{B0,B1,…

のr+1

あ るか ら,

…Br}∼{A1,A2,…

な わ ち{B0,B1,…

な わ ち,こ

中 か ら も う1点Ajを

  系   有 限 次 元 部 分 空 間 は 必 ず 基 底 を も つ.と 〔P5〕

す る.す

な る. 

中の なけ れば (証 終)

の 点 か ら な る 基 底 を も つ と き,自

表 わ す .定 理2.9か

然 数

ら,有 限 次 元 部 分 空

底 の と り方 に 関 係 な く定 ま る も の で あ る.公 理 〔P1〕

か ら,

直 線 は1次

元 部 分 空 間 で あ る.な

お,1点

は0次

元,空

集 合 は−1次

元部 分 空

間 と 見 な し て お く.   定 理2.10  k+1個

射 影 空 間Pに

の 点A0,A1,…

お い て,r次 …,Akが

あ る と す る.こ

Bk+1,…

…,Brを

と っ て,r+1個

がSの

基 底 と な る よ う に で き る.

  証 明   部 分 空 間Sの1組 に よ っ て,こ

元 部 分 空 間Sに

れ ら の 中 のk+1個

組 を あ ら た め て,{A0,…

の と き,適

の 点 の 組{A0,…

の 基 底{B0,B1,…

含 ま れ る 独 立 な

…,Ak,Bk+1,…

…,Br}を

をA0,A1,…

…,Br}と

す れ ば,Sは

r+1個

よ り 少 な い 点 か ら 成 る 基 底 を と り 出 す こ と が で き て,dimS=rと

  定 理2.11 

し こ れ ら が 独 立 で な い とす れ ば,定

これ ら の

の 点 で 張 ら れ る.も

っ て こ れ ら はSの

射 影 空 間Pに

点 の 組{A0,A1,…

こ れ ら の 点 が 独 立 で あ れ ば,こ

  (2) 

こ れ ら の 点 でSが

rの

い う (証 終)

元 部 分 空 間Sに

れ はSの

含 ま れ るr+1個

の

張 ら れ れ ば,こ

基 底 で あ る.

れ はSの

あ る こ と を 考 慮 す れ ば,(1)は

場 合 で あ る.そ

ら,

あ る と す る.

  (1) 

  証 明   dimS=rで

理2.8か

基 底 で あ る. 

お い て,r次

…,Ar}が

りか え 定 理

い れ か え て得 られ る

r+1個

仮 定 に 反 す る.よ

の点 …,Br}

と る.と

…,Akと

…,Ak,Bk+1,…

当 なr−k個

し て,(2)は

定 理2.8に

基 底 で あ る. 定 理2.10に

お い てm=rの

お い てk= 場 合 で あ る. (証 終)

  系   射 影 空 間Pのr次 r+2個

は,r+1個

の 独 立 な 点 は 存 在 す る が,

以上 の 点 は 必 ず 従 属 で あ る.

  定 理2.12  Tが

元 部 分 空 間Sに

射 影 空 間Pの2つ

有 限 次 元 な ら ば,Sも

の 部 分 空 間S,Tに

お い て,S⊂Tと

す る.

ま た 有 限 次 元 で, dimS≦dimT

で あ る.こ

こ に,等

号 が 成 立 す る の はS=Tの

  証 明   部 分 空 間Tの 元 で な け れ ば,定

基 底 を{B0,B1,…

理2.6系

に よ っ て,t+1個

A0,A1,… を と る こ と が で き る.こ

場 合 に 限 る. …,Bt}と

す る.も

しSが

有限次

よ り多 く の 独 立 な 点

…,Am∈S⊂T, m>t,

れ は 定 理2.11系

に 反 す る.よ

っ てSも

また 有 限次 元

で あ る.Sの

基 底{A0,A1,…

適 当 なt−s個 Bs+1,…

…,As}を

と れ ば,定

の 点 を つ け 加 え る こ と に よ っ て,Tの

…,Bt}を

くにs=tで

つ く る こ と が で き る.よ

あ れ ば,定

と な る か ら,S=Tで

理2.11(1)に あ る.逆

理2.10か 基 底{A0,A1,…

っ て,S≦tで

よ っ てSの

に,S=Tな

ら,こ

れ らに …,As,

な け れ ば な ら な い.と

基 底 が そ の ま まTの

ら ば,定

理2.9か

基底

らs=tで

る. 

あ

(証 終)

系 有限次元射影空間Pの

任意 の部分空間は有限次元である.

定理2.13  射影空間Pの2つ

の有限次元部分空間S,Tに

対 して, (次元 定 理)

  証 明   部 分 空 間S,T,S∩Tの の 基 底{A0,A1,…

…,Ar}を

け 加 え る こ と に よ っ て,そ {A0,…

と れ ば,定 れ ぞ れS,Tの

…,Ar,Br+1,…

を つ く る こ と が で き る.こ

で あ る.実

次 元 を そ れ ぞ れs,t,rと

れ に 適 当 な 点 を つ

…,Ar,Cr+1,…

…,Ct}

の と き,

の 点A0,…

同 様 に 

ら,こ

ず,S∩T

基 底

…Bs},{A0,…

際,Bj∈S,Ck∈Tは

と な っ て,r+2個

理2.10か

す る.ま

明 ら か で あ る が,も

…,Ar,Bjの

しBj∈Tと

独 立 性 に 反 す る.ゆ

す れ ば,

え に, 

で あ る.

  さ て,S,Tは

そ れ ぞ れ 基 底 に よ っ て 張 ら れ る か ら,S∨Tはs+t−r+1個

の点 A0,… で 張 ら れ る.よ

…,Ar,Br+1,…

っ て,S∨Tは

れ ら のs+t−r+1個

…,Bs,Cr+1,…

有 限 次 元 で あ る.そ

の 点 の 組 がS∨Tの

…,Ct の 次 元 をpと

す る.も

し,こ

基 底 で あ れ ば,

p+1=s+t−r+1 と な っ て,定 ば よ い.い … ,Ar,Br+1,…

理 は 成 立 す る.そ ま,こ

れ ゆ え,こ

れ ら の 点 が 独 立 で あ る こ と を証 明 す れ

れ ら が 独 立 で な い と 仮 定 す る.こ …,Bs}は

独 立 で あ る か ら,定

の と き,Sの 理2.6系

基 底{A0,…

に よ っ て,点Cr+1,

… … ,Ctの

中 の1点Ck(r+1≦k≦t)が

と な る.ゆ

え に,Ck∈H∨Kと

が 存 在 す る.こ

な る.ま

と な る.し

た が っ て,

と な る.こ

れ は{A1,…

す る.よ

な る よ う な2点

の と き, 

H∈Ck∨Kと

で あ る か ら,も

た,Ck,K∈Tで

ち ろ ん 

で あ る.よ

あ る か ら,H∈T,よ

…,Ar,Cr+1,…

っ て,s+t−r+1個 {A0,…

存 在 し て,

っ て,

…,Ct}がTの

基底 で あ る ことに反

の点 の組

…,Ar,Br+1,…

は 独 立 で あ っ て,S∨Tの

…,Bs,Cr+1,…

基 底 と な る.な

ちdim(S∩T)=−1の

お,こ

…,Ct}

の 証 明 か らS∩T=φ,す

場 合 に も 定 理 は 成 立 す る.S=φ

なわ

ま た はT=φ

の場

合 は 自 明 で あ る.    定 理2.14 n次

(証 終) 元 射 影 空 間Pnの

と な る よ う なn−r−1次

け ば,こ る.次

基 底{A0,A1,…

適 当 なn−r個

Ar,Br+1,…

任 意 のr次

元 部 分 空 間S*が

  証 明   部 分 空 間Sの 空 間Pnの

っ て,

の 点Br+1,…

…,Bn}がPnの

元 定 理2.13か

対 して

存 在 す る.  …,Ar}に …,Bnを

基 底 と な る.そ

れ はPnのn−r−1次

元 部 分 空 間Sに

(可 補 性)

対 し て,定

理2.10か

ら,

と れ ば,{A0,A1,… こ でS*=Br∨

元 部 分 空 間 と な り,し

…,

… …∨Bnと

か もS∨S*=Pnで

お あ

ら,

dim(S∩S*)=dimS+dimS*−dimPn=r+(n−r−1)−n=−1. ゆ え にS∩S*=φ

で あ る. 

この 部 分 空 間S*をPnに

2.4  双 ま ず,い

対

(証 終)

お け るSの

補 空 間 と い う.

性

ま まで の 結 合 公 理 系 と射 影 公 理 系 と の 関 係 を し らべ て お く.射 影 公 理

〔P1〕,〔P2〕

が み た され れ ば,も

る.射 影 空 間 に お い て,平 立 な3点

ち ろ ん,結 合 公 理 〔A1〕,〔A2〕

面 は2次 元 部 分 空 間 と し て定 義 され る.す な わ ち,独

で 張 られ る 部 分 空 間 で あ る.こ

こ に,3点

同 じ 直 線上 に な い こ とを 意 味 す る.ま た,立 る.す

な わ ち,独

る と は,こ

立 な4点

が 独 立 で あ る と は,こ れ ら が

体 は3次 元 部 分 空 間 と し て 定 義 され

で 張 られ る部 分 空 間 で あ る.こ

れ らが 同 じ平 面上 に な い こ と を 意 味 す る.こ

で は 結 合 公 理 〔A3〕,〔A5〕,〔A6〕,〔A8〕 〔P3〕,〔P4〕

が成 立 す

か ら 次 元 定 理2.13が

こに,4点

の 定 義 か ら,射

が 成 立 す る.ま

導 か れ る.次

が独 立 で あ

た,射

影空 間 影公理

元 定理 の 特 別 な場 合 として

次 の 結 果 が 得 られ る.   定 理2.15 

射 影 空 間 に お い て,

  (1) 

異 な る2直

線 が 同 じ 平 面 に 含 ま れ れ ば,こ

れ ら は 必 ず1点

で 交 わ る.

  (2) 

異 な る2平

面 が 同 じ 立 体 に 含 ま れ れ ば,こ

れ ら は 必 ず1直

線 で 交 わ る.

  証 明   (1)  る か ら,次

異 な る2直

線l,gが

同 じ 平 面uに

含 ま れ れ ば,l∨g=uで

あ

元 定理 に よって dim(l∩g)=diml+dimg−dimu=0

と な る.ゆ   (2) 

え にl∩gは1点 異 な る2平

で あ る.

面u,υ

が 同 じ 立 体 σ に 含 ま れ れ ば,u∨υ=σ

で あ る か ら,

次 元 定 理 に よ って

dim(u∩υ)=dimu+dimυ−dimσ=1 と な る.ゆ

え にu∩υ

  定 理2.16 

は1直 線 で あ る. 

(証終)

射 影 空 間 は 線 形 空 間 で あ る.

  証 明   射 影 空 間 に お い て は,定 理2.15(1)に 直 線 は 必 ず 交 わ る.そ れ ゆ え,△ABCを こ の 三 角 形 の3辺 に 交 わ る.よ る.3点

公 理 〔P2〕

が 成 立 す る.さ

っ て,明

を 考 慮 す れ ば,定

らに,定 理2.15(2)か

よ っ て,同

含 む 平 面u上

じ平 面 に 含 まれ る2

の 任 意 の直 線lは,必

ら か に 擬 似 交 点 公 理 〔A14〕 が 成 立 す 理1.17に

よ っ て 一 般 交 点 公 理 〔A11〕

ら交 線 公 理 〔A10〕 が 成 立 す る.ゆ

射 影 空 間 は 線 形 空 間 で あ る.    こ の 定 理 に よ って,射

ず

影 幾 何 で は 結 合 公 理 〔A4〕,〔A7〕

えに

(証終) が 必然 的 に成 立 す

る.し か し,次 元 の 考 察 か ら直 接 に 証 明 す る こ と もで き る.す な わ ち

  定 理2.17 

射 影 空 間 に お い て,

  (1) 

同じ 直 線 上 に な い3点

を 通 る平 面 は た だ1つ

  (2) 

同 じ平 面上 に な い4点

を 通 る 立 体 は た だ1つ 存 在 す る.

  証 明   (1)  独 立 な3点A,B,Cを 張 ら れ る平 面 をSと

含 む2平

す れ ば,S⊂u,S⊂υ

存 在 す る.

面 をu,υ

と し,こ

の3点 で

で あ る.し か も

dimu=dimυ=dimS で あ る か ら,定 理2.12に

よ っ て,u=υ=Sで

  (2)  独 立 な4点A,B,C,Dを れ る 立 体 をTと

あ る.

含 む2立 体 を σ,τ と し,こ の4点

す れ ば,T⊂

で張 ら

σ,T⊂ τ で あ る.し か も dimσ=dimτ=dimT

で あ る か ら,定 理2.12に

よ っ て,σ=τ=Tで

あ る. 

(証終)

  この よ うに 射 影 幾 何 で は い ま ま で の結 合 公 理 が す べ て 成 立 す る.そ れ ゆ え,結 合 幾 何 お よ び 線 形 幾 何 に お い て一 般 に 成 立 す る結 果 は 射 影 幾 何 に お い て も成 立 す る.こ れ ら の 中 に は 次 元 定 理 か ら容 易 に 導 か れ る もの が 多 い.た 1.7は

と え ば,定

理

次 の 通 りで あ る.

  定 理2.18 

射 影 空 間 に お い て,異

な る2直 線 が1点

で 交 わ れ ば,こ

の2直 線

を 含 む 平 面 は た だ1つ 存 在 す る.   証 明  異 な る2直 線l,gが1点Aで

と な る.よ

っ てl∨gは

あ れ ば,射

影 和 の 定 義 か ら,l∨g⊂uで

交 わ れ ば,次

平 面 で あ る.も

で あ る か ら,定 理2.12に

し,こ れ 以 外 に もl,gを あ る.し

よ っ てl∨g=uで

  射 影 空 間 に お い て,定 理2.15(1)を

元定 理 に よ って

か もdim(l∨g)=dimu=2

あ る. 

れ は,平

行 線 公 理 の1つ

に,こ れ が み た され れば,明

と し て,す

らか に 公 理 〔P4〕

何 の 公 理 系 と し て 〔P1〕,〔P2〕,〔P3〕,〔E〕 だ し,こ

(証終)

い い か え れ ば,

  〔E〕  同 じ平 面上 の2直 線 は 必 ず 交 わ る.  と な る.こ

含 む 平 面uが

(楕 円 公 理) で に述 べ ら れ た も の で あ る.逆 が 成 立 す る.そ れ ゆ え,射

影幾

を 採 用 す る こ とが で き る.た

の 場 合 に は,平 面 を 初 め に 定 義 し て お く必 要 が あ る.

  射 影 幾 何 に お い て,双 対 性 が 成 り立 つ こ と は重 要 で あ る.次 に これ を 考 察 す

る.

  n次 元 射 影 空 間Pnに Pnの

お い て,n−1次

元 部 分 空 間 を 超 平 面 とい う.そ し て,

す べ て の超 平 面 の集 合ΠnをPnの

双 対 空 間 とい う.簡 単 の た め,Pnの

r次 元 部 分 空 間 をr‐ 空 間 と よぶ こ とに す る.と 平 面 は2‐ 空 間,直

線 は1‐ 空 間,点

くに,超

は0‐ 空 間,そ

平 面 は(n−1)‐ 空 間 ,

し て 空 集 合 は(−1)‐ 空 間 で あ

る.   定 理2.19 

n次 元 射 影 空 間Pn(n≧2)に

  (1)  異 な る2超 平 面 は た だ1つ   (2) 

お い て,

の(n−2)‐ 空 間 で 交 わ る.

1つ の(n−2)‐ 空 間 を 含 ん で,少

な くと も異 な る3超 平 面 が 存 在 す る.

  (3)  同 じ(n−2)‐ 空 間 を 含 ま な い3超 平 面 が 存 在 す る.   (4) 

同 じ(n−3)‐ 空 間 を 含 む2つ

の(n−2)‐ 空 間 は,必

ず 同 じ超 平 面 に 含 ま

れ る.   証 明   (1),(2),(4)は で(2)を

い ず れ も 次 元 定 理 の 特 別 な 場 合 に す ぎ な い.そ

証 明 す る.空

直 線lが

間Pnの(n−2)‐

空 間Sに

対 し て,定

理2.14か

こ ら,

存 在 し て,

と な る.公

理

〔P2〕

に よ っ て,直

3超 平 面S∨A,S∨B,S∨Cに

線l上

  定 理2.20 n次

の 異 な る3点A,B,Cが

つ い て た し か に(2)が

元 射 影 空 間Pnに

お い て,r個

存 在 す る. 成 立 す る.  (証 終)

の 超 平 面(1≦r≦n)は

同 じ

(n−r)‐ 空 間 を 含 む.   証 明   数 学 的 帰 納 法 を 用 い る.ま r−1個

の 超 平 面S1,S2,…

し て,も

う1つ

ず,r=1の

…,Sr−1が

の 超 平 面Srを

同 じ(n−r+1)‐

と り,こ

を 含 む こ と を 証 明 す れ ば よ い.明

と き は 自 明 で あ る.よ

れ ら のr個

空 間Tを

っ て,

含 む と仮 定

の 超 平 面 が 同 じ(n−r)‐

ら か に,T∨Sr⊂Rnで

空間

あ る か ら,次

元定理 に

含 む か ら,こ

れ らは同

よって dim(T∩Sr)≧(n−r+1)+(n−1)−n=n−r と な る.超

平 面S1,S2,…

じ(n−r)‐

空 間 を 含 む. 

  定 理2.21 

…,Srは

n次 元 射 影 空 間Pn(n≧2)に

い ず れ もT∩Srを

(証 終) お い て,同

じ(n−2)‐

空 間 を 含 まな

い3超

平 面 は(n−3)‐

  証 明  定 理2.20に

空 間 で 交 わ る. お い て,と

(n−3)‐ 空 間 を 含 む.し

くにr=3と

す れ ば,こ

れ ら の3超 平 面 は 同 じ

か も これ らは 同 じ(n−2)‐ 空 間 を 含 まな い か ら,こ

(n−3)‐ 空 間 で 交 わ る.    定 理2.22  存 在 す る.そ

(証終)

n次 元 射 影 空 間Pnに し て,n個

は,共

通 点 を も た な いn+1個

で あ る.よ

っ て,空 間Pnの

間T1,T2,…

…,Tnが

と り,n+1個

を つ くれ ば,こ

の超 平面 が

以 下 の 超 平 面 は 必 ず 共 通 点 を もつ.

  証 明  数 学 的 帰 納 法 を用 い る.ま ず,n=1の

点Aを

超 平 面Sに

と き は,公 理 〔P2〕

は 共 通 点 を もた な いn個

含 まれ る と仮 定 し て よい.超

平 面S上

か ら自明

の(n−2)‐ 空 に な いPnの

の超 平 面

れ ら は た しか に 共 通 点 を も た な い.ま

た,定

理2.20に

よ っ て,

n個 以 下 の 超 平 面 は 必 ず 共 通 点 を もつ.    n次 元 射 影 空 間Pn(n≧2)の 空 間 の 集 合 をΦ

とす る.そ

す な わ ち,Pnの

(証終)

双 対 空 間 をΠnと

し,Pnの

し て,結 合 関 係Ω*⊂Πn×

超 平 面S∈Πnと(n−2)‐

に あ る とは,TがSに   定 理2.23 

の

空 間T∈

す べ て の(n−2)‐

Φ を 次 の よ うに 定 め る. Φ とが 関 係(S,T)∈Ω*

含 まれ る こ とで あ る と定 め る.こ の と き,

n次 元 射 影 空 間Pn(n≧2)の

双 対 空 間Πnも

ま たn次

元 射影空 間

で あ る.   証 明  上 に 定 め た 結 合 関 係 が,射

影 公 理 〔P1〕,〔P2〕,〔P3〕,〔E〕

た す こ と は,そ れ ぞ れ 定 理2.19(1),(2),(3),(4)で し,空 間Πnに る.こ

お け る平 面 と は,Pnの(n−3)‐

の こ とは 定 理2.21に

間Πnがn次

示 され て い る.た だ 空 間 と し て 定 義 され る も の で あ

よ っ て 保 証 され て い る.ま た,定

理2.22は

元 で あ る こ と を 示 す も の で あ る. 

  n次 元 射 影 空 間Pnに

お け る あ る概 念 に 対 し て,双

同 じ概 念 を も と の概 念 の 双 対 概 念 とい う.た とえ ば,点

射影 空 (証終)

対 射 影 空 間Πnに

おけ る

の双対 概 念 は超 平 面で あ

る.直 線,平

面 の 双 対 概 念 は そ れ ぞ れ(n−2)‐ 空 間,(n−3)‐

て,含 む,含

まれ る の 双 対 概 念 は そ れ ぞ れ 含 ま れ る,含 む とな る.

  定 理2.24 

をみ

空 間 で あ る.そ

し

n次 元 射 影 幾 何 に お い て 一 般 に 成 立 す る定 理 の 双 対 命 題 も ま た 成

立 す る. 

(双対 性)

  証 明   定 理2.23に

よ っ て,n次

元 射 影 空 間Pnの

双 対 空 間Πnも

まn次 元

射 影 空 間 で あ るか ら,Pnに

お い て 一 般 に 成 立 す る定 理 は 双 対 空 間Πnに

も成 立 す る.と

お け る この定理 は もとの定 理 の双対 命 題 に な って い

こ ろがΠnに

る. 

おいて

(証終)

  n次 元 射 影 空 間Pnに 合 はSを

お い て,1つ

の 部 分 空 間Sを

中 心 とす る星 と よば れ る.な お,広

含 む す べ て の超 平 面 の 集

い 意 味 で は,Sを

含 むす べ ての部

分 空 間 の 集 合 を 星 と よぶ こ とが あ る.簡

単 に い え ば,射

Pnの

の星 はそ の中心 を指 定 す る ことに よ って

部 分 空 間 の 双 対 概 念 で あ る.1つ

一 意 的 に 定 ま る.中 心Sがn−r−1次 た とえ ば,(n−2)‐ 面 は0等

星,ま

す る星 はn等

空 間Sを

た 空 間Pn自

星 で あ っ て,こ

れ を 星 雲 と よん で も よ い が,こ い 意 味 で,空

間Pnの

  2.5  配

景

はSを

中 心 とす る 星 は1等 星 で あ る.な 身 は−1等

星 と 見 な され る.空

れ は 空 間Pnの

お,1つ

す べ て の 超 平 面 の 集 合 で あ る.こ

れ は 実 は 双 対 空 間Πnで

写

あ る.な お,星 雲 は,広

像 空 間U,Vに

元 定 理 に よ っ て,U上

と れ ば,X∨SとVと

交 わ る.よ

対 し て,こ れ ら を 含 む 部 分 空 間Phを 与 え られ た と き,UとVと

っ て,写

の任 意

は 必 ず1点 像

α:U→V,Y=α(X), が 定 ま り,こ

れ は 全 単 射 で あ る.写

景 写 像 と い い,記

の超 平

集 合 φ を中 心 と

軸 と し て た が い に 配 景 的 で あ る と い う.こ の と き

の 点Xを Yで

元 で あ る と き,こ の 星 をr等 星 とい う.

お け る これ ら の 共 通 な 補 空 間Sが

で あ る か ら,次

星 と は,

す べ て の部 分 空 間 の 集 合 と考 え られ る.

  射 影 空 間Pの2つr‐ り,空 間Phに

影 空 間Pnの

像 αを配

号 図2.6

と

で 表 わ す.こ

の定 義 か ら 明 らか に,

  定 理2.25 

射 影 空 間Pのr‐

空 間U,V,Wに

お

い て,   (1) 

配 景 写 像 は交

空間U∩V上

す べ て の 点 を 動 か さな い.す

の

な わ ち,

α(X)=X,X∈U∩V. な ら ば,

 (2) 

な ら ば,

 (3) 

図2.7

とす れ ば,

 (4)    定 理2.26 

射 影 空 間Pの

任 意 の2つ

のr‐ 空 間 は,適

当 な 軸 を と れ ば,た

が

い に 配 景 的 と な る.   証 明   2つ

のr‐ 空 間U,Vに

1:U→Vは

空 集 合 φ を 軸 と す る 配 景 写 像 と 見 な さ れ る.ま

dim(U∩V)=mと

お い て,も

す れ ば,部

{A0,A1,…

分 空 間Pn=U∨Vの

…,Am,Bm+1,…

を と っ て,Aj∈U∩V,Bk∈U,Ck∈Vと ら,直 S=Dm+1∨

線Bk∨Ck上

と な り,U,VはSを

異 な る 第3の

等 写 像

た,U≠Vの

と き,

基底

…,Br,Cm+1,…

…,Cr}

点Dkが

理

〔P2〕

存 在 す る.そ

か

こ で,

お け ば,

軸 と し て た が い に 配 景 的 で あ る. 

  配 景 写 像 は 全 単 射 で あ るか ら,射 影 空 間Pの し て た が い に 対 等 で あ る.と 間Pの

す れ ば,恒

す る こ と が で き る.公

に はBk,Ckと

… …∨Drと

しU=Vと

くに1つ

(証終)

任 意 の2つ のr‐ 空 間 は 点 集 合 と

の直 線 が 有 限 個 の 点 しか 含 ま な い と き,空

す べ て の直 線 が 同 じ個 数 の 点 を 含 む.

  点 を 軸 とす る配 景 写 像 は よ く用 い られ る.2直 配 景 写 像 が あ れ ば,こ

線l,gの

の2直 線 は 必 ず 交 わ る.実 際,直

間 に 点Aを

軸 とす る

線gは 平 面A∨lに

含ま

れ るか ら,公

理 〔E〕 に よ っ てl∩g≠

φ で あ る.い

くつ か の点 が 同 じ直 線 上 に

あ る と き,こ れ ら は 共 線 で あ る と い わ れ る.ま た,い

くつ か の直 線 が 同 じ点 を 通

る と き,こ れ ら は 共 点 で あ る と い わ れ る.   定 理2.27 

と す る.空

射 影 空 間Pの2点A,Bお

間U上

の 点Xが

よ び2つ

交 空 間U∩Vに

で あ る た め の 条 件 は,3点A,B,Xが   証 明   2点X∈U,Y∈Vに =Yと

お い て,

含 ま れ な い と き,α(X)=β(X)

共 線 と な る こ と で あ る. お い て,α(X)

な る 条 件 は ,3点A,X,Yが

な る こ と で あ る.ま

のr‐ 空 間U,Vに

共線 と

た,β(X)=Yと

は,3点B,X,Yが

な る条 件

共 線 と な る こ と で あ る.

ゆ え に,3点A,B,Xが α(X)=β(X)と

共 線 で あ れ ば, な り,逆

に α(X)=β(X)≠ 図2.8

Xで

あ れ ば,3点A,B,Xは

  射 影 空 間Pの2直

共 線 で あ る. 

線l,gの

(証終)

間 の 全 単 射φ:l→gが

有 限個 の配 景写 像 の結 合

と し て 与 え られ る と き,φ

を この2直 線 の 間 の 射 影 変 換 と い い,記

で 表 わ す.こ

般 に2つ

の 定 義 は,一

ま適 用 され る が,射 影 空 間P自

号φ:l 

g

のr‐ 空 間 の間 の 射 影 変 換 に つ い て も そ の ま

身 の場 合 に は この ま ま で は 都 合 が 悪 い.一

r‐空 間 の 射 影 変 換 に つ い て は あ とで 別 の 定 義 を 与 え る こ とに し て ,こ

般の

こで は 直 線

の 射 影 変 換 だ け を 考 え る.   定 理2.28 

射 影 空 間Pの2直

線

l,l′ 上 に そ れ ぞ れ 異 な る3点A, B,Cお

よ びA′,B′,C′

を と れ ば,

φ(A)=A′, φ(B)=B′, φ(C)=C′ と な る 射 影 変 換φ:l l′

が 存在 す

る. 図2.9

  証 明   ま ず,2直

線l,l′

は1点

Qで の2点

交 わ る と す る.平 と 異 な るh上

面u=l∨l′

の 点Sを

上 で,2点A,A′

と る.こ

れ か え る こ と が で き る か ら,h≠l′ て2直

線l,hと

異 な る 直 線gを

点 を そ れ ぞ れB1,C1と

を 通 る 直 線h,お

こ で 必 要 が あ れ ば2直

と し て よ い.ま と り,2直

す る.2直

た,平

線l,l′

面u上

線S∨B′,S∨C′

線B∨B1,C∨C1の

よび こ

の役割 を い

で,点Aを

通 っ

と 直 線gと 交 点 をTと

の交

す れ ば,

射 影変 換

に よ っ て,φ(A)=A′,φ(B)=B′,φ(C)=C′

と な る.

  次 に,l∩l′=φ 線l,l′

ま た はl=l′

と 異 な り,こ

で 交 わ る 直 線l″,お 線l′,l″

よう

図2.10

と な る 射 影 変 換ψ:l〓l″

れ ら に そ れ ぞ れ 点Q,Q′ よ び 平 面l′∨l″ 上 で2直

上 に な い 点Rを

を つ く る.2直

と す る.2直

線l,l″

と っ て,配

景写 像

に 対 し て,上

に示 した

に,

が 存 在 す る.こ の と き射 影 変 換

が 求 め る もの で あ る.    定 理2.29 

(証終)

射 影 空 間Pの2直

線l,gの

間 の 任 意 の 射 影 変 換 は,点

を軸 とす

る有 限 個 の 配 景 写 像 の 結 合 と し て表 わ され る.   証 明   部 分 空 間Sを

軸 とす る1つ

に つ い て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.ま l上 に な い1点Qを

と れ ば,α

l∩g≠ φ の と き,u=l∨gは

の配景 写像

ず,l=gの

は 点Qを

と き,α

は 恒 等 写 像 で あ る か ら,

軸 と す る 配 景 写 像 で あ る.次

平 面 で,Q=S∩(l∨g)は1点

に,l≠g,

で あ る か ら,

定 理2.25(4)に

よ っ て,α

は 点Qを

軸 とす る

ら に,l≠g,l∩g=φ

の と

立 体 で,k=S∩(l∨g)は

直線

配 景 写 像 で あ る.さ き,U=l∨gは で あ る か ら,定

理2.25(4)に

よ っ て,α

kを 軸 と す る 配 景 写 像 で あ る.2直 そ れ ぞ れ 点C,Dを

線l,g上

と り,α(C)≠Dと

直 線h=C∨Dは

直 線kに

は直 線 に

す れ ば,

交 わ ら な い.よ

っ て,

配 景写 像

図2.11

が 定 ま る.こ (4)か

の と き,A=k∩(l∨h),B=k∩(h∨g)は

ら,β,γ

は そ れ ぞ れ 点A,Bを

点 で あ る.定

軸 と す る 配 景 写 像 で あ っ て,α=γ°

な る. 

βと

(証 終)

 定 理2.30 

射影 空 間 の 立 体P3に

uに 含 ま れ る2直 線 をl,gと よび2直

理2.25

線l,gに

含 ま れ る2平 面 をu,υ

す る.2平

含 まれ な いu上

面u,υ

の 点Aを

と し,さ

に 含 まれ な いP3の

らに 平 面 点B

,お

と る.配 景 写 像

に よ るl,g,Aの

像 を そ れ ぞ れl′,g′ ,A′

として配 景写 像

を と れ ば,α′=β°   証 明   直 線l上

α° β−1で 与 え ら れ る. の 任 意 の 点Xに

直 線g上

の 点Y=α(X)を

X,Yは

共 線 で あ る か ら,配

と る.3点A,

る こ れ ら の 像A′,X′,Y′ る.す

図2.12

対 し て,

景 写 像 βに よ も また 共 線 で あ

な わ ち, A′=β(A), 

X′=β(X)

Y′=β(Y), 

Y′=α′(X′)

で あ る.ゆ

え に,

(証 終)

と な る. 

  2.6デ

ザ

ル

グ

性

  射 影 空 間 に お け る2つ の 三 角 形 の 間 の 同 型 対 応 κ:△ABC→ を考 え る.す な わ ち,△ABCの3頂 3頂 点A′,B′,C′ は,そ

点A,B,Cに

は,そ れ ぞ れ △A′B′C′ の

が 対 応 す る と き,△ABCの3辺A∨B,B∨C,C∨Aに

れ ぞ れ △A′B′C′ の3辺A′∨B′,B′∨C′,C′∨A′

  定 理2.31 

n次 元 射 影 空 間Pn(n≧3)に

応 が 与 え られ,対 そ の3交

点 で,一

点 は 共 線 で あ る. 

の三 角形 の 間 の同 型対

(デ ザ ル グ の 定 理) とす る.対

応 す る頂

致 す る も の が あ る場 合 は 自明 で あ る か ら,A≠A′,B≠B′,C≠C′

とし

て よ い.仮 も1点Oを

お い て,2つ

が 対 応 し て い る.

応 す る頂 点 を結 ぶ3直 線 が 共 点 な らば,対 応 す る辺 は 交 わ り,

  証 明   △ABC,△A′B′C′

△OABに

△A′B′C′

を 含 む 平 面 を そ れ ぞ れu,u′

定 に よ り,対 応 頂 点 を 結 ぶ3直 通 る.ま

ず,u≠u′

つ い て 公 理 〔P4〕

直 線A′∨B′ は 辺A∨Bに

の と き,

を 用 い れ ば,

交 わ り,そ の 交 点

は 明 らか に 交 線u∩u′ 上 に あ る.他 の2対

図2.13

線A∨A′,B∨B′,C∨C′

の

図2.14

は いず れ

対 応 辺 に つ い て も 同 様 で あ るか ら,対 応 辺 は 交 わ り,そ の3交 u∩u′ 上 に あ る.次 に,u=u′ 理 〔P2〕

か ら,直 線O∨O1上

在 す る.△O1OAに

む 平 面 をu*と

面u上

に な い1点O1を

に は,2点O,O1と

つ い て公 理 〔P4〕

交 わ る.そ の 交 点 をA*と

O1に

の と き,平

し,同

す れ ば,u≠u*,u′

を 用 い れ ば,直 線O2A′

点O2が は 辺O1Aに

含

あ る.△ABC,△A*B*C*お

い て 上 の 結 果 を 適 用 す れ ば,△ABC,△A′B′C′

存

求 め て,△A*B*C*を

つ い て 上 の 結 果 を 適 用 し,ま た △A′B′C′,△A*B*C*お

り,そ の3交 点 は い ず れ も直 線u∩u*上

とれ ば,公

異 な る第3の

様 に 点B*,C*を ≠u*で

点 は い ず れ も直 線

よび点 よ び 点O2に

に つ い て も3対

つ

の対 応 辺 は 交 わ

に あ る. 

(証終)

  な お,n=2の

場 合 に は,点O1を

し な い.実 際,こ

の 定 理 が 成 立 し な い よ うな2次 元 射 影 幾 何 の 実 例 が 知 られ て い

る.こ

と る こ とが で き な い の で,こ

の証 明 は通用

の よ うな射 影 幾 何 を 非 デ ザ ル グ幾 何 と い う.本 書 で は 非 デ ザ ル グ幾 何 を 扱

わ な い こ とに し て,以 下 の 考 察 で は,射 影 空 間Pn自

身 が 平 面 で あ る場 合 に は,

この 命 題 の 成 立 を 仮 定 し て お く.   定 理2.32 

デ ザ ル グ の定 理 が 成 立 す る射 影 空 間 で は,そ

 証 明  同型 対 応 κ:△ABC→ の3交 点 は い ず れ も直 線l上 れ ぞ れu,u′

の と き,u∩u′=lで

は そ れ ぞ れ この3平

い ず れ も点Oを

通 る.次 に,u=u′

う ど射 影 平 面uに

面 の 交 点 をOと

す る.3直

の と き,デ ザ ル グ の 定 理 の 逆 命 題 は,ち

ょ

よ っ て, (証終)

な る3直 線l,g,hが

軸 とす る 任 意 の 配 景 写 像

の 点Fが

は立

線A∨A′,

お け る双 対 命 題 に な っ て い る.双 対 性(定 理2.24)に

射 影 空 間 に お い て,異

に 対 し て,A∨B上

あ るか ら,u∨u′

面 の うち の2平 面 に 含 まれ るか ら,こ れ らは

逆 も また 成 立 す る.    定 理2.33 

を含 む 平 面 を そ

の 対 応 辺 は 交 わ る か ら,こ れ ら は 同 じ平 面 上 に あ

の 対 応 辺 を そ れ ぞ れ 含 む3平

B∨B′,C∨C′

の 対 応 辺 が 交 わ り,そ

に あ る とす る.△ABC,△A′B′C′

とす る.ま ず,u≠u′

体 で あ る.仮 定 に よ っ て,1対 る.3対

△A′B′C′に お い て,3対

の 逆 も また 成 立 す る.

存 在 し て,

共 点 で あれ ば,点

を

と な る. 証 明  A=Bの

と き,A=B=F

と す れ ば よ い.そ る.直

線l上

こ で,A≠Bと

の 点Eを

意 の 点X∈lに

す

と り,ま

対 し て,

α(X)=X′

∈g,β(X′)=X″

∈h

と お く.△EE′E″,△XX′X″

図2.15

定 点Fに

た任

につい

て デ ザ ル グ の 定 理 を 用 い れ ば,2直

線

E∨E″,X∨X″

の

は 直 線A∨B上

お い て 交 わ る.す な わ ち,

で あ る. 

(証終)

こ の 定 理 で は,2つ

の 配 景 写 像 α,β の 結 合 と して 与 え られ る 射 影 変 換 

が 実 は た だ1つ

の 配 景 写 像 とな る こ とが 示 され て い る.3直

線l,g,

hが 共 点 で な け れ ば,射 影 変 換

を た だ1つ

の 配 景 写 像 に 直 す こ と は 一 般 に は で き な い.た

き,点X∈l∩hに て,φ

対 し て,も

は 配 景 写 像 で は な い.そ

当 な2点A*,B*を

と り,φ

しφ(X)≠Xで こ で,こ を 別 の2つ

と え ばl∩h≠

あ れ ば,定

の 射 影 変 換φに

理2.25(1)に

対 し て,直

線kお

φ の と よっ よび適

の配 景 写像 の結 合

に 直 す こ とを 考 え る.   定 理2.34  像

射 影 空 間 の 異 な る3直 線l,g,hに

対 し て,点

を 軸 とす る配 景 写

が 与 え ら れ た と す る.ま

た,交

に 交 わ る 直 線g*は,lと ら な い と す る.こ 在 し て,配

点l∩gを

異 な り,か

の と き,A∨B上

通 っ てh つ 点Bを

通

の 点A*が

存

景写 像

を と れ ば,β° α=β*° α*と

な る.

 証 明  配景 写 像

図2.16

を と れ ば,定 る か ら,定

理2.25(3)か 理2.33に

ら,β=β*°

γ で あ る.3直

線l,g,g*は

よ っ て,

と な る 点A*∈A∨Bが

存 在 す る.ゆ え に

と な る. 

(証 終)

 定 理2.35 

射 影 空 間 の3直

が 与 え ら れ た と す る.ま て 交 わ り,こ A∨B上

の2点

はl∩h上

の2点A*,B*が

対 し て,点

を 軸 とす る 配 景 写 像

線kは2直

線l,hと

に な く,か

つ β° α(L)≠Hと

存 在 し て,配

そ れ ぞ れ 点L,Hに す る.こ

おい の と き,

景写像

な る.

  証 明   仮 定 か ら,l≠h,L≠Hで

の と き,A∨B上

線l,g,hに

た,直

を と れ ば,β° α=β*° α*と

で あ る.こ

共点であ

あ る.射

の2点A*,B*が

影 変換

φ=β° α を と る.す

存 在 し て,

な わ ち,

と な る こ と を い え ば よ い.3直 が 共 点 な ら ば,定

理2.33か

の 点A*が

存 在 して

と な る.ま

た,φ(L)≠Hで

A*は

ら,A∨B上

あ る か ら,点

直 線k=L∨H上

B*=A*と

線l,g,h

に な い.そ

こ で,

す れ ば,

図2.17

と な っ て,定

理 は 成 立 す る.よ

れ ば よ い.こ

の と き,交

D〓lで

線l,g,hが

点l∩g=C,g∩h=Dを

共 点 で ない場 合 を証 明す と れ ば,C≠Dか

つC〓h,

あ る.

  〔1〕   直 線g*=C∨Hが な い と き,定 点A*が

点Bを

理2.34か

通 ら

ら,A∨B上

の

存 在 して

と な る.そ 直 線kは

っ て,3直

し て,φ(L)≠Hで 点A*を

通 ら な い.射

あ る か ら, 影変換 図2.18

に 対 し て,定

とな る.よ

理2.34か

ら,A*∨B上

の 点B*が

っ て 定 理 が 成 立 す る.ま た,直 線D∨Lが

存 在 し て,

点Aを

通 ら な い と き,射

影 変 換 φ−1につ い て この 結 果 を 適 用 す れ ば よ い.   〔2〕 A∈D∨L,B∈C∨Hの

場 合 を 証 明 す れ ば よ い.3点A,D,Lお

よ

び3点B,C,Hは

どち ら も 共 線 で あ る か

ら, φ(L)=D, φ−1(H)=C で あ る.L=Cの

と き,H=D,k=gと

な り,A*=A,B*=Bと 立 す る.H=Dの

場 合 も 同 様 で あ る.よ

てL≠C,H≠Dと は,L,C以

おけ ば定 理 は成

し て よ い.直 外 の 第3の

点Sが

っ

線l上

に

存 在 す る.

図2.19

た だ し,l∩h≠

φ な ら ば,S=l∩h

と お く も の と す る.こ A,B,Sが

の と き,3点

共 線 な ら ば,φ(S)=S,

ま た 共 線 で な け れ ば,φ(S)≠Sで る.そ

こ で,φ(S)=Sと

ば,2通

異 な る 点Zが

に お け る 直 線gを

つ ぎ つ ぎ と別 の 直 線 で お きか え れ ば,

な わ ち,定理が

  〔4〕  直 線 が た だ3点

し か 含 ま な い と き, l={L,C,S}, 

で あ る.2直

線L∨D,H∨Cの

成 立 す る.

h={H,D,S} 交 点Jを

と れ ば,

に3点S,D,Hと

存 在 す る と き,定

を 適 用 し て,射

と す る こ と が で き る.す

仮 定 す れ

り の 場 合 が 起 こ る.

  〔3〕  直 線h上

図2.20

あ

影変 換

理2.34

と な る.し

か も,〔2〕

J=A=Bと

な っ て,

で あ る.す ば,定

図2.21

  〔5〕 最 後 に,φ(S)≠Sの よ い.こ

の と き,〔3〕

代 わ りに 点 φ(S)を   定 理2.36 

の 初 め の 仮 定 か ら,

な わ ち,J=A*=B*と

すれ

理 が 成 立 す る.

場 合 を証 明 す れ ば

の 証 明 に お い て,点Zの

用 い れ ば よい. 

射 影 空 間 に お い て,異

の間 の 射 影 変 換 は,点

(証終) な る2直 線

を 軸 とす る た か だ か2つ

の

配 景 写 像 の 結 合 と し て 表 わ され る.   証 明   定 理2.29に

よ っ て,異

の 間 の 射 影 変 換φ:l hは,点

な る2直 線l,h を 軸 とす る 有 限

図2.22

個 の 配 景 写像 の 結 合

で 表 わ さ れ る.た

だ し,l1=l,lm+1=hと

と し て よ い か ら,2直 で あ る.直

線lj,lj+1の

線 が た だ3点

交 点 をCjと

こ で,

す る.ま

し か 含 ま な い と き に は,定

は 点 を 軸 と す る た か だ か2つ も 異 な る4点

す る.こ

理2.28の

の 配 景 写 像 の 結 合 と な る.そ

を 含 む も の と し て よ い.ま

ず,m=3の

た,仮

定 か ら,l1≠lm+1 証 明 に よ っ て,φ

こ で,直

場 合,す

線 は 少 な くと

な わ ち,射

影変 換

の 場 合 を 証 明 す る.   〔1〕 l1,l2,l3が

異 な る 直 線 で,か

A1∨A2上

存 在 し て,

の 点Fが

つ 共 点 で あ る と き,定

理2.33に

よ っ て,

と な る.ま

た,l2,l3,l4が

異 な る 直 線 で,か

 〔2〕 l1=l3, 

と な る.直

線g=C1∨Dを

A2*,A3*が

と な る.ゆ 〔1〕

の と き,直

つ 共 点 で あ る場 合 も 同 様 で あ る.

線l4上

と れ ば,定

の 点Dが

理2.35に

存 在 し て,

よ っ て,A2∨A3上

の2点

存 在 し て,

え に,3直

線l1,l2,gに

の 場 合 に 帰 着 さ れ る.ま

つ い て, た,l2=l4,

 の 場 合 も 同 様 で あ る.

図2.23

  〔3〕   l1=l3,l2=l4の =C2=C3を 線gを

と き,交

通 っ て ,l1,l2と と り,平

面l1∨g上

点C1

は異 な る直 の 点A*を

軸

とす る 配 景 写 像

を つ く る.い

ま,射

影 変換

図2.24

を 考 え,3直

線g,l1,l2,3直

引 き続 い て 定 理2.33を

線g,l2,l3お 適 用 す れ ば,射

よ び3直

線g,l3,l4に

影 変 換φ° α は 点B*を

つ い て,

軸 とす る 配 景 写

像

に 直 さ れ る.し

と な る.以

た が って

上 で,3直

線l1,l2,l3ま

た は3直

線l2,l3,l4が

共 点 で あ る場 合 は

す べ て 証 明 さ れ た.   〔4〕   3直 線l1,l2,l3お

よ び3直

線l2,l3,l4は

ど ち ら も 共 点 で な い とす る.

こ の と き,l1,l2,l3,l4は

異 な る4直

直 線l1,l3,l4の

ち ら か は 共 点 で な い.な

う ち,ど

あ っ た と す れ ば,4直 て,仮

線 で あ っ て,3直

線l1,l2,l3,l4は

定 に 反 す る か ら で あ る.そ

線l1,l2,l4か

ぜ な ら,も

し ど ち ら も共 点 で

す べ て 交 点l1∩l4を

こ で,l1,l2,l4は

と な る 点S∈l4を

ま た は3

通 るこ とに なっ

共 点 で な い と し,

と る.定

理2.35を

適 用 し て,射

影

変換

に お け る直 線l3を

直 線g=C1∨Sで

と す る こ と が で き る.3直

図2.25

か ら,上

の 場 合 に 帰 着 さ れ る.3直

る.以上

で,m=3の

  〔5〕 m>3の

線l1,l3,l4が

お きか え れ ば,

線l1,l2,gは

共 点 であ る

共点 で ない場 合 も 同 様 で あ

場 合 が 証 明 さ れ た. と き,も

し,lj≠lj+3と

な る 直 線ljが

あ れ ば,上

の 方 法 で,射

影変 換

に お け る 配 景 写 像 の 個 数 を1つ (j=1,2,… 定 理2.35を

…,m−2)な

ら ば,3直

適 用 し て,射

に お け る 直 線l2を

線l1,l2,l3は

た,い

異 な る3直

つ もlj=lj+3 線 で あ る か ら,

影 変換

直 線gで

と す る こ と が で き る.こ

減 ら す こ と が で き る.ま

お き か え れ ば,

の と き,g≠l2=l5で

あ る か ら,や

は り上 の 場 合 に 帰

着 され る.こ の よ うに,射 影 変 換φ

は 点 を 軸 とす るm個

よ り少 な い 配 景 写 像 の

結 合 に 直 さ れ る.    定 理2.37  か3つ

射 影 空 間 に お い て,1直

線上 の 射 影 変 換 は,点

を 軸 とす る た か だ

の 配 景 写 像 の結 合 と し て 表 わ され る.

  証 明   直 線lの 線gを

(証終)

射 影 変 換ψ:l lに

対 し て,lと

異 な り,か つlに

交 わ る直

と り,配 景 写 像

を つ く る.定 理2.36に

よ っ て,射

影 変 換φ=α°

つ の 配 景 写 像 の 結 合 と し て表 わ さ れ る.よ と す るた か だ か3つ

ψ は 点 を 軸 とす る た か だ か2

っ て,射 影 変 換 ψ=α−1°φ は 点 を 軸

の 配 景 写 像 の 結 合 と な る. 

(証終)

3.  射 影 座 標 系

  3.1 

四

角

形

性

  射 影 空 間 に お い て,4点Q,R,S,Tは れ の3点

同 じ平 面上 に あ っ て,こ れ ら の い ず

も共 線 で な い とす る.こ の よ うな4点

お よび これ ら の うち の2点

で 得 られ る6直 線 か ら成 る 図 形 を 完 全 四 角 形 とい い,記 号  完 全 四 角 形 に 属 す る4点 を そ の 頂 点,ま ら な い2辺

た6直 線 を そ の 辺 と い い,同

を た が い に 他 の対 辺 と い う.2つ κ:  QRST→ 

が 与 え られ,頂 し,2頂

点Q,R,S,Tに

QRSTで

は,そ

を結 ん

表 わ す. じ頂 点 を 通

の 完 全 四 角 形 の 間 の全 単 射 Q′R′S′T′ れ ぞ れ 頂 点Q′,R′,S′,T′

が対応

点 を 結 ぶ 辺 に は,対 応 す る2頂 点 を 結 ぶ 辺 が 対 応 す る と き,κ を 同 型 対

応 と い う.   定 理3.1 

射 影 空 間 に お い て,2つ

の 完 全 四 角 形 の 間 の 同 型 対 応 に よ っ て,対

応 す る5対 の 辺 が そ れ ぞ れ 交 わ り,こ れ ら の5交 点 が 共 線 で あ れ ば,残

りの1対

の 辺 も交 わ り,そ の交 点 は 他 の5交 点 と同 じ直 線上 に あ る.   証 明  同 型 対 応 κ:  QRST→  S∨T,S′∨T′

以 外 の5対

Q′R′S′T′に お い て,対

応 す る1対

の 辺

の 辺 は そ れ ぞ れ 交 わ り,そ の5交 点 は す べ て 直 線l上 に あ る もの とす る.こ の と き, △QRSと

△Q′R′S′に つ い て,

お よ び △QRTと に つ い て,デ

△Q′R′T′

ザ ル グ の 定 理 の逆

を 適 用 す れ ば,4直

線Q∨Q′,

R∨R′,S∨S′,T∨T′

は共 点

で あ る こ とが わ か る.そ

こで,

△QSTと

△Q′S′T′に つ い て

デ ザ ル グ の定 理 を 用 い れ ば,2 直 線S∨T,S′∨T′ 図3.1

は 交 わ り,

そ の 交 点 は や は り直 線l上

にあ

る. 

(証 終)

  直 線l上

の6点

四 角 形 の6辺

が,1つ

と 直 線lと

な っ て い る と き,こ 性6点

の完全

と い う.以

の交点 に

れ らを 四角形 下,四

角 形 性6

点{A,B,G,C,D,H}と と き に は,い

書 く

つ も次 の よ うに な ら

べ て あ る も の と す る.す

な わ ち,

点A,B,Gを

通 る3辺

を 通 る 辺 は,そ

れ ぞ れ 点A,B,Gを

ら,四

は,完

図3.2

全 四 角 形 の1頂

点 を 通 る も の で,点C,D,H

通 る 辺 の 対 辺 で あ る と す る.こ

角 形 性6点{A,B,G,C,D,H}を

の約 束 か

次 の よ うに な ら べ か え て も よ い.

{B,A,G,D,C,H},{G,B,A,H,D,C},{C,D,G,A,B,H}. さ ら に,こ

れ ら の な ら べ か え を 引 き 続 い て 行 な っ て よ い.

  定 理3.2  B,Gは

射 影 空 間 の 直 線l上

異 な り,か

の5点A,B,G,C,Dに

つ3点G,C,Dも

異 な る と す る.こ

1つ 存 在 し て,{A,B,G,C,D,H}が   証 明   直 線l上

四 角 形 性6点

に な い 点Qを

る 第3の

点Rを

と る.2直

T∨Cの

交 点 をSと

と り,直

す れ ば,完

Qの

線l上

Hは

理3.1か

は異 な

た2直

線Q∨B,

定 ま る.辺R∨Sと 四 角 形 性6点

を と っ て,同

は や は り点Hを

様 に 

通 る.し

の 与 え ら れ た5点A,B,G,C,Dか

Q′R′S′T′ を た が っ て,点

A,B,Gお G≠C,C≠Dは

よ び3点G,C,Dが

に つ い て も,次   〔1〕  B=Gな

つ く る た め に,定

一 意 的 に 定 め て, 理3.2で

異 な る こ と を 仮 定 し て い る.そ

そ の ま ま と し て,B=G,G=D,あ の よ う に 規 約 し て,点Hが ら ば,H=Dと

(証 終) ら,点Hを

四 角 形 性6点{A,B,G,C,D,H}を

は,3点 こ で,条

る い はA=Bの

一 意 的 に 定 ま る よ う に す る.

す る.す

直線

で あ る.点

完 全 四 角 形 の と り方 に 関 係 な く定 ま る. 

  直 線l上

ただ

と な る.

に,2点Q,Aと

QRSTが

に な い 任 意 の 点Q′ ら,辺R′∨S′

の と き,点Hが

交 点 をT,ま

全 四 角 形 

す れ ば,{A,B,G,C,D,H}は

つ くれ ば,定

線Q∨A上

線Q∨G,R∨Dの

lと の 交 点 をHと 代 わ り に,直

お い て,3点A,

な わ ち,A≠B,B≠C,C≠D

件 場合

図3.3

の と き,四

角 形 性6点{A,B,B,C,D,D}が

〔2〕  G=Dな C≠Gの

ら ばH=Bと

と き,四

〔3〕  A=Bな D≠Gの

図3.4

定 ま る. す る.す

角 形 性6点{A,B,G,C,G,B}が ら ば,H=Aと

と き,四

な わ ち,A≠B,B≠G,G≠A,

す る.す

定 ま る. な わ ち,A≠G,G≠C,C≠D,

角 形 性6点{A,A,G,C,D,A}が

定 ま る.

これ らは,四 るか,あ

角 形 に お い て,2頂

点 が一致 す

る い は3頂 点 が 共 線 と な る よ うな 特

異 な 場 合 と見 な す こ とが で き る.   な お,定 理3.2の   定 理3.3 

証 明 か ら 明 らか に,

直 線l上

B,G,C,D,H}を 直 線l上

の 四 角 形 性6点{A,

与 え る 四 角 形 と し て は,

に な い 任 意 の 点Qを1頂

点 と し,

3直 線Q∨A,Q∨B,Q∨Gを3辺

とす る

も の を と る こ とが で き る.

図3.5

  射 影 平 面 に お い て,完 全 四 角 形 の双 対 概 念 を 完 全 四 辺 形 とい い,頂 点,辺,対 辺,お

よ び 四 角 形 性6点

辺 形 性6直

線 とい う.す

の双 対 概 念 を そ れ ぞ れ 頂 直 線,辺 な わ ち,同

点,対

辺 点,お

じ平 面 上 に あ る4直 線q,r,s,tの

よび四 うち の

い ず れ の3直 線 も共 点 で な い と し,こ の4直 線 お よ び これ ら の うち の2直 線 の 交 点 で あ る6点 か ら成 る 図 形 を 完 全 四 辺 形 と い い, qrstで 属 す る4直 線 を そ の 頂 直 線,ま

た6点

辺 点 を た が い に 他 の 対 辺 点 と い う.平 の6辺

表 わ す.完 全 四 辺 形 に

を そ の 辺 点 とい い,同 面 上 で,点Oを

点 を そ れ ぞ れ 通 る と き,こ れ らを 四 辺 形 性6直

じ頂 直 線 上 に な い2

通 る6直 線 が 完 全 四 辺 形 線 とい う.四

辺 形 性6直

線{a,b,g,c,d,h}の

な らべ 方 に つ い て も,四 角 形 性6点

規 約 し て お く.な 3.3の

お,完

全 四 辺 形 に つ い て は,も

双 対 命 題 が 成 立 す る.完 全 四 角 形 の6辺

を と れ ば,こ

の 場 合 と双 対 的 に

ち ろ ん 定 理3.1,3.2お

の うち,1組

よび

の対 辺 を 除 い た4辺

れ らを 頂 直 線 とす る完 全 四 辺 形 が 定 ま る.双 対 的 に,完 全 四 辺 形 の

6辺 点 の うち1組

の対 辺 点 を 除 い た4辺

点 を とれ ば,こ

れ らを 頂 点 とす る完 全 四

角 形 が 定 ま る.   定 理3.4  い 直 線lと

点Oを

四 角 形 性6点

  証 明   定 理3.3の

=lと s,tと Cを

線{a,b,g,c,d,h}が

交 わ り,そ の 交 点 を そ れ ぞ れA,B,G,C,D,Hと

D,H,A,B,G}は

直 線qと

通 る 四 辺 形 性6直

し て,点Oを

し て よ い.他 し て,そ

点Oを

す れ ば,{C,

で あ る.

双 対 に よ っ て,こ

の 四 辺 形 性6直 線 を 与 え る 四 辺 形 の1頂

通 らな い 任 意 の 直 線 を と る こ とが で き るか ら,と の3頂

通 らな

くにq

直 線r,

れ ぞ れ 点A,B,

通 る も の を と り,s∩t=R,

t∩r=S,r∩s=Tと

す れ ば,

6点C,D,H,A,B,Gは, ち ょ う ど ORSTの6辺

と直 線

lと の 交 点 に な っ て い る.よ

っ

て, {C,D,H,A,B,G} は 四 角 形 性6点

で あ る.  (証 終)

図3.6

  も ち ろ ん,射 影 平 面 に お け る こ の 定 理 の 双 対 も成 り立 つ.   定 理3.5 

直 線上 の6点

の 四 角 形 性 は,

射 影 変 換 に よ って 失 わ れ な い.   証 明   点 を 軸 とす る1つ の 配 景 写 像 に つ い て 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.直 線l上 角 形 性6点{A,B,G,C,D,H}に 図3.7

し て,直

線l上

に な い 任 意 の 点Oと,こ

の四 対

の6点

と を 結 ぶ 直 線 を そ れ ぞ れa,b,g,c,d,hと

り,点Oを

通 ら な い 任 意 の 直 線l′

B′,G′,C′,D′,H′ h,a,b,g}は

四 辺 形 性6直

C′,D′,H′}は

四 角 形 性6点

に よ っ て,直 般 に,2直 ら,6点

と す る.射

線l上

し,さ

と,こ

の6直

と な る.す

の 四 角 形 性6点

れ ら と交 わ

線 と の 交 点 を そ れ ぞ れA′,

影 平 面 に お け る 定 理3.4の

線 と な る.さ

ら に,こ

ら に,定 な わ ち,配

双 対 か ら,{c,d,

理3.4か

ら,{A′,B′,G′,

景写 像

は 直 線l′上 の 四 角 形 性6点

に 移 さ れ る.一

線 の 間 の 射 影 変 換 は 点 を 軸 とす る配 景 写 像 の結 合 と し て 与 え られ るか の 四 角 形 性 は 射 影 変 換 に よ っ て 失 わ れ な い. 

  3.2  点

演

(証終)

算

  デ ザ ル グ性 を もつ 射 影 空 間 で は,直 線 上 の点 の 間 に 加 法 お よび 乗 法 が 定 義 され る.ま ず,直

線l上

原 点 と よ ぶ.示 点Cと

の 異 な る2点C,Oを

指 定 し て,こ

異 な る任 意 の2点X,Y∈lに

れ らを そ れ ぞ れ 示 点,

対 し て,

{C,X,O,C,Y,W} が 四 角 形 性6点 とYと す.直

の 和 と よ ん で,W=X+Yで 線l上

と き,lを で,任 の規 約

図3.8

と な る よ うな 点W∈lをX 表 わ

に こ の よ うな 加 法 が 定 義 され た 加 法 直 線 と い う.加

意 の 点X∈l,X≠Cを 〔1〕,〔2〕

か ら,四

法 直 線l上 と れ ば,前

角 形 性6点

{C,O,O,C,X,X},{C,X,O,C,O,X} が 定 ま る.ゆ

え に, O+X=X+O=X

と な る.こ

れ は,原

意 の 点X∈l,X≠Cに

点Oが

こ の 加 法 の 零 元 で あ る こ と を 示 し て い る.ま

対 し て, {C,J,O,C,X,O}

が 四 角 形 性6点

と な る よ う な 点J∈lが

定 ま る.こ

の と き,

た,任

節

{C,X,O,C,J,O} も ま た 四 角 形 性6点

で あ る か ら,

J+X=X+J=O と な る.す るXの

な わ ち,点Jは

反 元 で あ る.こ

この加法 に お け れ をJ=−Xで

表 わ す.

図3.9

定 理3.6 

加 法 直 線lの

い任 意 の 点Qを

示 点,原

と り,lとQと

と す る.こ

な射 影 変 換 

の と き,適

線l上

通 る 直 線hを

当 な 点Rを

にな

と れ ば,次

と る. の よう

を つ く る こ と が で き る.

任 意 の 点K∈l,K≠Cを

と る.3点Q,R,Cは

と す れ ば,    (2) 

す る.直

を 含 む 平 面上 で,点Cを

た だ し, 

  (1)

点 を そ れ ぞ れC,Oと

共 線 と し,

と な る.と

直 線 

を と る.3点Q,R,Oは

く にφ(C)=Cで 共 線 で,点Rは

あ る. 直 線h上

に あ る と し,

とす れ ば, 

とな る.と

  証 明  これ ら は,和X+Kお

よび 反 元−Xの

くにφ(C)=Cで

定 義 を,射

あ る.

影 変 換 の形 で い い

か え た も の で あ る.   (1)  直 線O∨Qと

直 線hと

をRと

の と き,直

す れ ば よ い.こ

と 直 線hと

の 交 点 をTと

く れ ば,四

角 形 性6点{C,X,O,C,K,

φ(X)}が と な る.ま

定 ま る.ゆ

  (2) 

し, 

の交 点 をSと

と す れ ば よ い.こ

線C∨Q,S∨Kの

線X∨Q

QRSTを

つ

え に,φ(X)=X+K

た 明 ら か にφ(C)=Cで 直 線O∨Qと

し,2直

あ る.

直 線hと の と き,直

の 交 点 をR

線Q∨Xと

直

図3.10

交点

線hと

の 交 点 をS,ま

直 線kと

の 交 点 をTと

つ くれ ば,四

な る.ま

φ(C)=Cで

え に, ら か に, (証 終)

加 法 直 線上 の 示 点 を 除 くす

べ て の 点 は,和

の4法

た,明

あ る. 

  定 理3.7 

ち,次

QRSTを

定 ま る.ゆ

φ(X)=−Xと

く り,原

し, 

角 形 性6点{C,X,O,

C,φ(X),O}が

図3.11

た 直 線O∨Sと

に関 して ア ーベル群 を つ

点 が そ の 零 元 で あ る.す

な わ

則 が 成 立 す る.

  (1) 

X+Y=Y+X 

(交 換 法 則)

  (2) 

(X+Y)+Z=X+(Y+Z) 

(結 合 法 則)

  (3) 

O+X=X 

(零 元 の 存 在)

  (4) −X+X=O 

(反 元 の 存 在)

  証 明   加 法 直 線l上 て,原 点Oが

の示 点,原

点 を そ れ ぞ れC,Oと

零 元 で あ る こ と,お

す る.こ

よ び 任 意 の 点X∈l,X≠Cの

存 在 す る こ と は す で に 述 べ た 通 りで あ る.よ

っ て,交

の加法 に お い 反 元−Xが

換 法 則 と結 合 法 則 とが 成 立

す る こ とを 証 明 す れ ば よ い.   (1)  示 点Cと

異 な る任 意 の2点X,Y∈lに

対 し て,W=X+Yと

お く.

四 角 形 性6点 {C,X,O,C,Y,W} を 与 え る 四 角 形 と し て,  り,頂 Q∨Sが

点Qを

と

通 る3辺Q∨R,Q∨T,

そ れ ぞ れ3点C,X,Oを

も の と す る.こ

の と き,頂

3辺S∨T,S∨R,S∨Qは C,X,W}も

通 る 点Sを

示 点Cと

通 る

図3.12

そ れ ぞ れ3点C,Y,Oを

ま た 四 角 形 性6点

法 則X+Y=Y+Xが   (2) 

QRSTを

と な る.ゆ

通 る か ら ,{C,Y,O,

え に,W=Y+Xと

な っ て ,交

成 立 す る. 異 な る 任 意 の3点X,Y,Z∈lに

対 し て,V=(X+Y)+Z

換

と お く.四

角 形 性6点{C,X,O,C,Y,X+Y}を

と 同 様 に と れ ば,辺R∨Tは

与 え る 

点X+Yを

X+Y,O,C,Z,V}を

通 る.そ

与 え る 四 角 形 と し て , 

R∨T,R∨Mが

そ れ ぞ れ3点C,X+Y,Oを

4点Q,R,L,Cお

こ で,四

QRSTを(1) 角 形 性6点{C,

RLMTを

と り,3辺R∨L,

通 る も の と す る .つ

よ び4点T,S,M,Cは

共 線 で あ る.一

く り方 か ら, 方,四

角形 性

6点{C,Y,O,C,Z,Y+Z}は  

RLMSに

よ っ て 与 え ら れ る か ら,

辺S∨Lは

点Y+Zを

っ て, 

通 る.し

QLSTに

つ い て 見 れ ば,{C,

X,O,C,Y+Z,V}は 点 と な る.ゆ

たが

四 角 形 性6 え に,V=X+(Y+Z)

図3.13

と な っ て,結 合 法 則(X+Y)+Z=X+(Y+Z)が

  次 に,乗

法 を 定 義 す る.直 線l上

C,O,Eを

そ れ ぞ れ 示 点,原

が 指 定 され た と き,示 点Cと

成 立 す る. 

の 異 な る3点{C,O,E}を

点,単

位 点 と よ ぶ .直

線l上

異 な る任 意 の2点X,Y∈lに

(証終)

標 構 とい い,点 の標 構{C,O,E} 対 し て,

{O,Y,E,C,X,W} が 四 角 形 性6点 で 表 わ す.こ 線lに

と な る よ うな 点W∈lを,XとYと

の 積 と よん で,W=XY

の よ うな 乗 法 が 定 義 され た と き,直 線lを

お い て,任

意 の点X∈l,X≠Cを

とれ ば,前 〔3〕 か ら,四

乗 法 直 線 と い う.乗 法 直 節 の 規 約 〔1〕,〔2〕,

角 形 性6点

{O,E,E,C,X,X}, {O,X,E,C,E,X} が 定 ま る.ゆ

XE=EX=X

図3.14

と な る.こ と き,規

れ は,単

ら に,点Oが

約

O,O}が

え に,

位 点Eが

こ の 乗 法 の 単 位 元 で あ る こ と を 示 し て い る.こ

〔3〕 か ら{O,O,E,C,X,O}も 四 角 形 の1頂

定 ま る.ゆ

え に,

点 で あ る 場 合 と し て,四

ま た 四 角 形 性6点 角 形 性6点{O,X,E,C,

と な る.さ

の

XO=OX=O と な る.ま E}が

た,任

意 の 点 

四 角 形 性6点

に 対 し て,{O,J,E,C,X,

と な る よ うな 点J∈lが

定 ま る.こ

J,E}も

の と き,{O,X,E,C,

ま た 四 角 形 性6点

で あ る か ら,

XJ=JX=E と な る.す Xの

な わ ち,点Jは

逆 元 で あ る.こ

この乗 法 に おけ る

れ をJ=X−1で

表 わ

す.   定 理3.8  E}と

図3.15

り,lとQと

を 含 む 平 面上 で,点Cを

を と る.た

す る.直

通 る 直 線hか

と れ ば,次

の よ う な 射 影 変 換 

任 意 の 点 

に な い 任 意 の 点Qを

ま た は 点Oを

と な る.と

任 意 の 点 

通 る 直 線g の と き,適

共 線 と し,

くにφ(C)=Cで

を と る.3点C,Q,Rは

と な る.と

直 線k=O∨Qを

と

を つ く る こ と が で き る. を と る.3点O,Q,Rは

と す れ ば,   (3) 

標 構 を{C,O,

と す る.こ

と す れ ば,  (2) 

線l上

だ し, 

当 な 点Rを   (1) 

乗 法 直 線lの

共 線 と し,

くにφ(C)=Cで

と る.3点E,Q,Rは

あ る.

共 線 で,点Rは

あ る. 直 線h上

に あ る と し,

と す れ ば,  φ(C)=Oで

と な る.と

く にφ(O)=C,

あ る.

  証 明   こ れ ら は,積AX,XAお

よ び 逆 元X−1の

定 義 を射 影変 換 の形 で いい

か え た も の で あ る.   (1) 

直 線E∨Qと

直線hと

の 交 点 をSと

し,2直

線O∨Q,S∨Aの

交

点Rを

と れ ば よ い.こ

の と き,直

と 直 線hと

の 交 点 をTと

くれ ば,四

角 形 性6点{O,X,E,C,A,

φ(X)}が

定 ま る.ゆ

し, 

QRSTを

た 明 ら か にφ(C)=Cで

  (2) 

直 線E∨Qと

あ る.

直 線gと

の 交 点 をS

線C∨Q,A∨Sの

す れ ば よ い.こ

つ

え に φ(X)=AXと

な る.ま

と し,2直

線Q∨X

交 点 をRと

の と き,直

線X∨Qと

直線

図3.16

gと の 交 点 をTと ば,四

定 ま る.ゆ

と な る.ま   (3) 

と直 線kと

の 交 点 をTと

を つ くれ ば,四 φ(X),E}が

た,明

φ(C)=Oで

直 線hと

す れ ば よ い.こ

の と き,直

の 交 点 をS,ま

の交 点 を 線Q∨X

た 直 線E∨S

QRST

え にφ(X)=X−1

あ る. 

が 指 定 さ れ れ ば,直

(証 終) に 標 構{C,O,E}

線lは,示

点C,原

加 法 直 線 と な り,さ ら に,こ

点

図3.18

の 標 構 に よ って,乗 法 直 線 とな る.こ の 加 法 お

よ び 乗 法 が 定 義 され て い る と き,直 線lを   定 理3.9 

あ る.

ら か に,φ(O)=C,

  射 影 空 間 の 直 線l上

Oの

た 明 ら か にφ(C)=Cで

角 形 性6点{O,X,E,C,

定 ま る.ゆ

と な る.ま

し て, 

つ くれ

え に,φ(X)=XA

直 線E∨Qと

と 直 線hと

図3.17

STQRを

角 形 性6点{O,A,E,C,X,

φ(X)}が

Rと

し, 

数 性 直 線 と よぶ.

数 性 直 線上 の示 点 を 除 くす べ て の 点 は,和

お よび積 に 関 して体 をつ

く り,原 点 が そ の 零 元 で,単 位 点 が そ の単 位 元 で あ る.た だ し,積 に つ い て は 一 般 に 可 換 で な い.す

な わ ち,次

の8法 則 が 成 立 す る.

(1)  X+Y=Y+X 

(交 換 法 則)

(2) 

(結 合 法 則)

(X+Y)+Z=X+(Y+Z) 

  (3) 

O+X=X 

(零 元 の 存 在)

  (4) −X+X=O 

(反 元 の 存 在)

  (5) 

(XY)Z=X(YZ) 

(結 合 法 則)

  (6) 

EX=X 

  (7) 

X−1X=E 

  (8) 

(X+Y)Z=XZ+YZ,Z(X+Y)=ZX+ZY 

(単 位 元 の 存 在) (逆 元 の 存 在)

 証 明   数 性 直 線lの

(配 分 法 則)

標 構 を{C,O,E}と

す る.定

い て は ア ー ベ ル 群 の 条 件 が す べ て み た さ れ,原 い て は,単

位 点Eが

そ の 単 位 元 で あ る こ と,お

の 逆 元X−1が

示 点Cと

お く.四

R∨Mが

そ の 零 元 で あ る .積

につ

異 な る 任 意 の3点X,Y,Z∈lに

与 え る 四 角 形 と し て, 

の と き,辺R∨Tは,点YZを

通 る.そ

与 え る 四 角 形 と し て, 

Y,E,C,X,XY}は 

RLMTを

角 形 性6点{O,YZ,

と り,3辺R∨L,R∨T 方,四

角 形 性6点{O

た が っ て, 

と な る.ゆ

え に,W=(XY)Zと

な っ て,

述 べ た 通 りで あ る.示

を 証 明 す る.ま

の3点X,Y,Z∈lに

て,定

理3.8(2)の

ずZ=Oの

成 り立 つ.

任 意 の 点X∈l,X≠Cに

て,XO=OX=Oで

(X+Y)Z=XZ+YZ, 

見 れ ば,

四 角 形 性6点

結 合 法 則(XY)Z=X(YZ)が   (8) 

,

点XY

QLSTを

{O,Z,E,C,XY,W}は

図3.19

,

よ っ て 与 え ら れ る か ら,辺S∨Lは を 通 る.し

QRST

通 る もの とす

こ で,四

通 る も の と す る.一

RLMSに

に

対 し て,W=X(YZ)と

そ れ ぞ れ3点O,Z,Eを

そ れ ぞ れ3点O,YZ,Eを

っ て ,積

成 り立 つ こ と を 示 せ ば よ い .

角 形 性6点{O,Z,E,C,Y,YZ}を

E,C,X,W}を

につ

よ び 任 意 の 元 

よ び 配 分 法 則(8)が

を と り,3辺Q∨R,Q∨T,Q∨Sが る.こ

よ っ て,和

存 在 す る こ と は す で に 述 べ た 通 り で あ る.よ

つ い て の 結 合 法 則(5)お   (5) 

点Oが

理3.7に

対 し

あ る こ とは す で に 点Cと

異なる 任 意

対 し て,配

分法 則

Z(X+Y)=ZX+ZY と き,明

射 影 変 換 

ら か に 成 立 す る.い を とれ ば,

ま,Z=A≠Oと

し

で あ る.定

理3.5に

し た が っ て,l上

よ れ ば,6点

の 四 角 形 性 は 射 影 変 換 に よ っ て 失 わ れ な い.

の 四 角 形 性6点 {C,X,O,C,Y,X+Y}

は,射

影 変 換 

に よ っ て,や

は りl上

の 四 角 形 性6点

(C,XZ,O,C,YZ,(X+Y)Z} に 移 さ れ る.ゆ

え に(X+Y)Z=XZ+YZで

影 変 換 φ を 用 い れ ば,同   定 理3.10 

あ る.ま

様 にZ(X+Y)=ZX+ZYが

射 影 空 間 に お い て,2つ

た,定

理3.8(1)の

導 か れ る. 

射 (証 終)

の数 性 直線 は 体 としてた が いに 同型 で あ

る.   証 明   2つ の 数 性 直 線l,l′ と す れ ば,定

理2.28に

よ っ て,

と な る 射 影 変 換  X≠Cな Y∈lに

の 標 構 を そ れ ぞ れ,{C,O,E},{C′,O′,E′}

が 存 在 す る.射

ら ば,φ(X)∈l′,φ(X)≠C′ 対 し て,四

影 変 換φ は 全 単 射 で あ る か ら,X∈l, で あ る,示

点Cと

異 な る 任 意 の2点X,

角 形 性6点

{C,X,O,C,Y,X+Y}, {O,Y,E,C,X,XY} を と れ ば,射

影 変 換φ に よ っ て,こ

に 移 され る.ゆ え に,数

が 成 り立 つ.す

れ ら は そ れ ぞ れ 四 角 形 性6点

性 直 線l′ に お い て,

な わ ち,全 単 射φ:l→l′

は 体 と し て の 同 型 に な っ て い る. (証終)

  この 定 理 か ら,射

影 空 間Pnに

の 任 意 の 数 性 直 線 は 体Kに 影 空 間Pnの   定 理3.11 

対 し て,1つ

の抽 象 的 な 体Kを

同 型 で あ る と見 な す こ とが で き る.こ

係 数 体 と い う.定 理3.10の

考 え て,Pn の 体Kを

射

証 明 か ら 明 らか に,

2つ の 数 性 直 線 の 間 の 射 影 変 換 に よ っ て,標 構 が 標 構 に 移 さ れ る

な らば,こ

の 射 影 変 換 は 数 性 直 線 の 同 型 を 与 え る.

  しか し,逆 に 数 性 直 線 の 間 の 同 型 が い つ も射 影 変 換 と し て 表 わ され る と は 限 ら な い.こ れ に つ い て は 次 節 で 考 察 す る.

  3.3 

パ

ッ プ

  一 般 に,体Kか 体Kの

ス

性

らそ れ 自身 へ の 同 型φ:K→Kを

す べ て の 自 己 同 型 の 集 合 をA(K)と

ψ° ψ に よ っ て 群 を つ くる.実 際,結

が み た さ れ,恒

体Kの

す れ ば,こ

自 己 同 型 と い う.

れ は 写 像 と し て の結 合

合法則

等 写 像, 1:K→K,1(x)=x,x∈K

が 恒 等 元 と な り,そ

し て 自 己 同 型φ

が 逆 元 で あ る.体Kに

お い て,任

∈A(K)に

対 し て,そ

の 逆 写 像φ−1∈A(K)

意 の 元a∈K,a≠0を

と れ ば ,体Kの

自

己同型 θa:K→K,θ(x)=a−1xa,x∈K が 定 ま る.こ

れ を 体Kの

の 集 合 をI(K)と

内 部 自 己 同 型 と い う.体Kの

す れ ば,こ

れ は 自 己 同 型 群A(K)の

際,2元 

φ∈A(K)に

で 与 え ら れ る.ま

た,任

意の自 己 同 型

対 し て,

とな るか ら, 

で 与 え られ る.内 部 自己 同 型 で な い 自 己 同 型 を 外

部 自 己 同 型 と い う.元a∈K,a≠0が xa=ax,x∈K,で す ぎ な い.こ

部 自 己 同 型 群I(K)が Cは

正 規 部 分 群 と な る .実

を と れ ば,

と な る か ら, 

写 像1に

す べ て の内 部 自己同 型

あれ ば,元aで

体Kの

な わ ち,

定 義 され る 内 部 自己 同 型 θa∈I(K)は

の 逆 も成 り立 つ か ら,体Kが 恒 等 変 換1だ

す べ て の 元 と可 換,す

可 換 で あ るた め の 条 件 は 内

け とな る こ とで あ る.た

可 換 で あ るか ら,内 部 自 己 同 型 は1だ

恒等

と え ば,複

け で あ る.し か し,写 像

素数体

(zはzの を とれ ば,φ

は1と

異 な る 自 己 同 型 で あ る.そ

型 で あ る.複 素 数 体Cに し か し,実 数 体Rで   定 理3.12 

共 役 複 素 数)

れ ゆ え,こ

れ はCの

外 部 自己同

は,こ れ 以 外 に も まだ た く さん 自 己 同型 が 存 在 す る.

は こ の よ うな こ とは な い.

実 数 体Rの

  証 明   実 数 体Rの

自己 同 型 は 恒 等 写 像 だ け で あ る.

任 意 の 自 己 同 型 φ:R→Rが

恒 等 写像 に な る こ と を 示 せ ば

よ い.ま ず 自己 同 型 で あ る か ら

で あ る.任

意 の 有 理 数 は 数1か

ら れ る.と と な る.ま

ころ が た,任

φ(1)=1で

あ る か ら,任

意 の 正 の 実数aに

と な る か ら,φ(a)も

とな っ て,や

ら加 減 乗 除 の 演 算 を 有 限 回 行 な う こ と に よ っ て 得

は り φ(x)<φ(y)で

ら,任 意 の 実 数xに

対 し て,φ(q)=q

対 し て,

ま た 正 で あ る.よ

け る大 小 関 係 を 保 存 し て い る.し

意 の 有 理 数qに

っ て,x,y∈R,x
ら ば,

あ る.す な わ ち,全

単 射φ:R→RはRに

か も有 理 数 体QはRに

対 して も φ(x)=xと

お い て 稠 密 で あ るか

な る.す な わ ち,自

己 同 型φ:R→R

は 恒 等 写 像 で あ る.    定 理3.13 

お

(証終)

射 影 空 間 に お い て,数

性 直 線 の 標 構 を 動 か さ な い 射 影 変 換 は,こ

の 数 性 直 線 の 内 部 自己 同 型 に 限 る.   証 明   数 性 直 線lの A≠Cを

と り,定 理3.8(1),(2)に

を つ くれ ば,こ

と な る.す

標 構 を{C,O,E}と

れ らの結 合

な わ ち,数

意 の 点A∈l,A≠O,

お け る射 影変 換

φ=φ2° φ1も

性 直 線lの

す る.任

ま た 射 影 変 換 で,

任 意 の 内 部 自己 同 型 は,lの

標 構 を 動 か さな い

射 影 変 換 と し て 与 え られ る.   逆 に,数 性 直 線lの とす る.直線lを l,g上

動 か さ な い 任 意 の 射 影 変 換 を φ:l  l

含 む 平 面上 で,原 点Oを

に な い 点Pを

を 考 え れ ば,定

標 構{C,O,E}を

よび,2直

線

と っ て,配 景 写 像

理2.36か

φ° α:g  lは2つ

通 りlと 異 な る直 線gお

ら,直

線hお

よび2点Q,Rが

存 在 し て,射

影 変換

の 配景 写 像 の結合

と し て表 わ さ れ る.し た が っ て射 影 変 換φ は

で 与 え ら れ る.し

か も,定

理2.35か

も の を と る こ と が で き る.仮 点O,Q,Rお

ら,直

線hと

し て,と

定 に よ りφ(O)=O,φ(C)=Cで

よ び3点C,Q,Pは

共 線 で あ る.射

で 表 わ せ ば,φ

の 結 合φ2°φ1と

図3.20

くに 示 点Cを

通 る

あ る か ら,3 影 変 換 φを さ ら に

は2つ

の射 影変 換

見 な さ れ る.そ

こ で,

φ1(E)=A,φ2(E)=B と お け ば,定

理3.8(2),(1)か

ら,こ

で 与 え ら れ る.よ

っ て,射

影変 換

で 与 え ら れ る.仮

定 に よ り φ(E)=Eで

れ ら の射 影 変 換 は そ れ ぞ れ

φ=φ2° φ1は

あ る か ら,BA=E,す

な わ ち,B=

A−1と

な る.よ

っ て,射

影 変 換 φは 数 性 直 線lの

内 部 自己 同 型

で 与 え られ る.    定 理3.14 

(証終)

射 影 空 間 の 係 数 体 が 可 換 で あ る た め の 条 件 は,1直

線上 で,標

構

を 動 か さ な い 射 影 変 換 が 恒 等 変 換 だ け とな る こ とで あ る.   証 明   定 理3.13に

よ っ て,標 構 を 動 か さ な い 射 影 変 換 は 数 性 直 線 の 内 部 自己

同 型 で あ る.こ れ が 恒 等 変 換 だ け と い う こ と は,こ

の 体 が 可 換 で あ る こ とを 意 味

す る. 

(証終)

  い ま,射 影 空 間 に 対 す る次 の2つ

の 命 題 〔2〕,〔3〕

を 考 え る.

〔2〕  2直 線 の 間 の 射 影 変 換 は 異 な る3 対 の対 応 点 を与 えれ ば 一意 的 に 定 ま る. 

(射 影 変 換 の 単一 性)

〔3〕 平 面上 の2直 線l,l′上

にそれ ぞ

れ 標 構{C,O,E},{C′,O′,E′}を

任

意 に とれ ば,3交

点

図3.21

は 共 線 で あ る.た だ し,こ れ ら の 標 構 の 点 は い ず れ も2直 線l,l′ 異 な る もの とす る.(パ   定 理3.15 

ップ ス 性)

パ ップ ス性 を もつ 射 影

空 間 に お い て,異 点Aで

の 交 点 とは

な る2直 線l,gが

交 わ る と き,こ

の 射 影 変 換 φ:l  gで

の2直 線 の 間 φ(A)=Aと

な る もの は 点 を 軸 とす る 配 景 写 像 に 限 る.   証 明   定 理2.36か 図3.22

ら,

と な る よ う な2点S,Tお 理2.33か

よ び 直 線hが

ら 明 ら か で あ る.よ

あ る か ら,3点A,S,Tは

っ て,hはAを

交 点 をQと

直 線hと

の 交 点Hを

線hが

点Aを

通 れ ば,定

通 ら な い とす る.φ(A)=Aで

共 線 で あ る.交

2直 線S∨G,B∨Tの X∨Sと

存 在 す る.直

点B=l∩h,G=g∩hを

す る.任

と り,2つ

と り,

意 の 点X∈lに

対 し て,直

線

の 標 構{A,S,T},{H,B,G}に

つ い て パ ッ プ ス 性 を 用 い れ ば,3点Q,X,φ(X)は

共 線 と な る.す

な わ ち,φ

は配 景 写 像

に な っ て い る.    定 理3.16 

(証 終)

射 影 空 間 に 対 す る 次 の3条

件 は た が い に 同 等 で あ る.

  〔1〕   係 数 体 の 可 換 性   〔2〕   射 影 変 換 の 単 一 性   〔3〕   パ ッ プ ス 性   証 明   2直 線l,l′上 た と す る.ま

ず条件

に そ れ ぞ れ 標 構{C,O,E},{C′,O′,E′}が 〔1〕 が 成 り立 つ と し,2つ

が ど ち ら も 標 構{C,O,E}を き,射

影変 換

に よ っ て ψ−1° φ=1,す

の 射 影 変 換φ:l l′,ψ:l 

標 構{C′,O′,E′}に

ψ−1°φ:l  lは

移 す も の と す る.こ

標 構{C,O,E}を

な わ ちφ=ψ

動 か さ な い か ら,定

で あ る.よ に,〔2〕

構

動 か さな い 射 影 変 換 は な わ ち,恒

か な い.よ

っ て,〔1〕

等 で あ る.さ

っ て,l≠l′

の と

理3.14

が 成 り 立 つ と す れ ば,標

た だ1つ,す

と し,2直

l′

っ て 〔2〕 が 成 り立 つ.逆

{C,O,E}を

図3.23

与 え られ

ら に,〔2〕 線l,l′

等 変換 だけ し と 〔2〕 と は 同 が 成 り立 つ

は 同 じ 平 面上 に あ

と す る.3交

点

を と り,直 G,Hと

線g=Q∨Rと3直 す る.射

線l′,O∨E′,O′∨Eと

の 交 点 を そ れ ぞ れS,

影 変換

を と れ ば,φ(S)=S,φ(Q)=Q,φ(R)=R,φ(G)=Hと φ:g 

gは3点S,Q,Rを

=H=Pで

な り,射

動 か さ な い.条

な け れ ば な ら な い.よ

〔3〕 が 成 り立 つ.逆

に

件

影 変 換

〔2〕 か ら φは 恒 等 変 換 で,G

っ て3点P,Q,Rは

共 線 と な る.ゆ

〔3〕 が 成 り立 つ と 仮 定 す る.標

え に

構{C,O,E}を

動か

さな い 任 意 の 射 影 変 換 φ:l  lを と る.点 Oを

通 っ てlと 異 な る直 線gを

Pを

軸 とす る配 景 写 像

を と れ ば,α° φ(O)=Oで

理3.15に

と な る.仮

と り,点

あ る か ら,定

よ っ て,射 影 変 換 α° φ は 点Qを

定 に よ り α(E)=α°

図3.24

軸 とす る 配 景 写 像

φ(E),α(C)=α°

な け れ ば な ら な い.よ

っ て,射

は 恒 等 写 像 で あ る.ゆ

え に 〔2〕 が 成 り立 つ. 

φ(C)で

あ る か ら,P=Qで

影変 換

(証終)

  この 定 理 は 射 影 空 間 に 対 す る 同 じ条 件 を そ れ ぞ れ 代 数 的,解

析 的,お

よび幾何

的 に 述 べ た も の で あ る.   射影 空 間 に お い て,直 線l上 の 標 構{C,O,E}が 性 直 線 とな る.こ

の 射 影 空 間 の 係 数 体 をKと

定 され れ ば,任

意 の 点X∈l,X≠C,はKの

表 わ され る.同

型 θを 直 線lの

標 と い う.原 点O,単 標 で は 示 点Cを

位 点Eの

与 え ら れ れ ば,直 し て,1つ

の 同 型 θ:l→Kが

元 ξ=θ(X)に

座 標 系 とい い,元

ξ∈Kを

非 斉 次 座 標 は そ れ ぞ れ0,1で

表 わ す こ とが で き な い.そ

こで,2つ

線lは

数 指

よ っ て1対1に

点X∈lの

非 斉 次座

あ る.非

の 元x0,x1∈Kを

斉 次座 と り,

x0−1x1=ξ=θ(X)

と な る と き,元

の 組(x0,x1)を

点Xの

す な わ ち 組(0,x1),x1≠0,を

示 点Cの

組(x0,x1),(x0′,x1′)がlの

と な る 元 ρ∈Kが

斉 次 座 標 と い う.な

お,x0=0の

斉 次 座 標 と 定 め る.明

同 じ 点Xの

ら か に,2つ

存 在 す る こ とで あ る.す な わ ち,斉

次 座 標 は 比x0:x1が

じ点 を 表 わ す も の で あ る.な お,原

点O,単

斉 次 座 標 は,そ

れ ぞ れ(1,0),(1,1),(0,1)で

与 え られ る.

直 線l上

に1つ

の 座 標 系 を と り,l上

わ す と き,任 意 の 射 影 変 換 φ:l  lは1次

の

斉 次 座 標 で あ る た め の 条 件 は,

で あ る と き,同

  定 理3.17 

と き,

位 点E,示

同じ 点Cの

の 点 を そ の座 標 に よ っ て 表

変 換 式 で 与 え られ る.逆 に,1次

変換

式 で 与 え られ る全 単 射 は 射 影 変 換 で あ る.す な わ ち,   (1)  非 斉 次 座 標 を 用 い て,点

た だ し,示

ξに は 点 ηが 対 応 す る も の とす れ ば,

点 に は 点 α−1γが 対 応 し,ま

た,ξ α+β=0と

な る 点 ξに は 示 点 が 対

応 す る. (2) 

斉 次 座 標 を 用 い て,点(x0,x1)に

は 点(y0,y1)が

対 応 す る も の とす

れ ば,

た だ し,元

ρ∈K,ρ

≠0は

任 意 で よ い.

  証 明   ま ず,(1)と(2)に

と お け ば,こ (0,1)に

れ ら は 明 ら か に 同 じ 変 換 を 与 え る.と

は 点(a10,a11)が

示 点 が 対 応 す る か ら,こ (1)を

お い て,

く に,(2)に

お い て 示 点

対 応 し,x0a00+x1a10=0と

な る 点(x0,x1)に

れ ら の 点 に つ い て も(1)の

約 束 と 一 致 す る.よ

証 明 す れ ば 十 分 で あ る.定

は い ず れ も射 影 変 換 で あ る.し

理3.6お

か も,(1)の

よ び 定 理3.8に

よ っ て,4種

形 の 任 意 の 変 換 は,こ

は っ て, の変換

れ ら の4種

の 射 影 変 換 を 適 当 に 結 合 す る こ とに よ っ て つ く り出 す こ とが で き る.ゆ

え に,

(1)の

形 の 変 換 は 射 影 変 換 で あ る.射

点,単

位 点 は そ れ ぞ れ3点

α,β,γ,δ ∈Kを 3点

影 変 換(1)に

α−1γ,β −1δ,(α+β)−1(γ+δ)に

適 当 に え ら ん で,標

に 移 す 射 影 変 換(1)を

構 の3点

え に,任

  な お,標

移 さ れ る.ゆ

方,定

理3.13に

内 部 自己 同 型

よ れ ば,

変換

η=λ −1ξ λ と を結 形 で あ る.す

形 で 与 え ら れ る. 

構 を 動 か さな い 射 影 変 換

え に,元

η=λ −1ξ λ,λ ≠0,と

れ ら を 結 合 し て も や は り(1)の

意 の 射 影 変 換 は,(1)の

構 の 示 点,原

の 任 意 に 与 え られ た 異 な る

意 の 射 影 変 換 は 変 換(1)と

合 す る こ と に よ っ て 得 ら る.こ わ ち,任

をl上

つ く る こ と が で き る.一

標 構 を 動 か さ な い 任 意 の 射 影 変 換 は 体Kの し て 与 え ら れ る.ゆ

よ っ て,標

な

(証 終)

η=λ −1ξ λ は 斉 次 座 標 を 用 い れ ば,

で 与 え られ る.

  3.4 

基

本

変

換

  直 線 上 の 標 構 に つ い て は す で に 述 べ た.こ 射 影 空 間Pnのn+2個

こ で 射 影 空 間 の 標 構 を 扱 う.n次

の 点 の 組{R}={R0,R1…

…,Rn,E}に

元

お い て,こ

れ ら の 点 の うち の い ず れ のn+1個

も独 立 で あ る と き,こ の 組 を標 構 と い い,

n+1個

そ の 頂 点,そ

の 点R0,R1,…

空 間Pnに

…,Rnを

標 構 が 存 在 す る こ とは,3点

して 点Eを

そ の 単 位 点 とい う.

公 理 〔P2〕 を 用 い て 帰 納 的 に 確 か め ら

れ る.   標 構{R}の

異 な る2頂 点 を 結 ぶ 直 線Ri∨Rjを

む 平 面Ri∨Rj∨Rkを

側 平 面 とい う.一 般 に 異 な るr+1個

間 を こ の 標 構 のr‐ 側 空 間 と い い,1つ いn−r個

辺 とい い,異

の 頂 点 を 含 む(n−r−1)‐

な る3頂 点 を 含

の 頂 点 を 含 むr‐ 空

のr‐ 側 空 間uに 対 し て,こ れ に 含 まれ な 側 空 間u*をuの

補 側 空 間 と い う.明

らか

に,

で あ る.任 側 空 間u*と uとu*∨Eと

意 のr‐ 側 空 間u=Ri∨Rj∨ 単 位 点Eと は1点E′

を 含 む(n−r)‐ で 交 わ る.そ {R}u={Ai,Aj,…

… …∨Rt(r+1個)に 空 間u*∨Eを し て,r‐ 空 間uに …,At,E′}

対 し て,そ と れ ば,次

の補

元 定 理 か ら,

お け る標 構

が 定 ま る.こ れ を も と の 標 構 のr‐ 側 空 間 標 構 と い い,以 下 単 位 点E′ {R}u={Ri,Rj,…

…,Rt}と

書 く.と

{Ri,Rj},{Rj,Ri}が

定 ま り,こ

上 でRiを

示 点,そ

原 点,Rjを

くに 辺Ri∨Rj上

に は,も

2つ

位 点 は 同 じ で,原

  射 影 平 面P2の

りの 辺 標 構

を も つ.辺Ri∨Rj

を 単 位 点 と す る 数 性 直 線 をK(Ri,Rj)

で 表 わ す.辺Ri∨Rj上 の 数 性 直 線 で は,単

に は2通

れ ら は 共 通 の 単 位 点E′

し てE′

を 省 略 し て,

う1つ

の 数 性 直 線K(Rj,Ri)が

定 ま る.こ

の

点 と 示 点 と が 入 れ か わ っ て い る.

標 構{R0,R1,R2,E}に

お い て,1つ

の 頂 点,た

を 通 る2辺R0∨R1,R0∨R2の

と え ば,R0

間 の 射 影 変換

γを

で 定 義 し,こ と い う.明

ら か に,こ

{R0,R1}を ち,こ

図3.25

れ を 頂 点R0の

ま わ りの 折 り返 し

の 折 り返 しγ は 辺 標 構

辺 標 構{R0,R2}に

移 す.す

れ ら の 単 位 点 を そ れ ぞ れE′,E"と

なわ すれ

ば,

で あ る.し

た が っ て,こ

の 折 り返 し は 数 性 直 線 の 同 型 γ:K(R0,R1)→K(R0,R2), γ:K(R1,R0)→K(R2,R0)

を 与 え る.も

ち ろ ん,こ

え て よ い.ま

た,折

り返 しγ の 逆 変 換

標 構{R0,R1,R2,E}に   n次

の 折 り返 し の 定 義 で,頂

元 射 影 空 間Pnの

点R0,R1,R2を

適 当 にいれ か

γ−1も 折 り返 し に な っ て い る.そ

お い て は,6通 標 構{R}={R0,R1,…

れ ゆ え,

り の 折 り返 し が 考 え ら れ る. …,Rn,E}に

対 し て,側

平

面 標 構 に お け る 折 り返 し を 有 限 回 結 合 し て 得 ら れ る 変 換

を 標 構{R}上 Rj}を

の 基 本 変 換 とい う.基 本 変 換 は 明 らか に 射 影 変 換 で,辺

辺 標 構{Rp,Rq}に

移 す.い

逆 変 換 も また 基 本 変 換 で あ る.

標 構{Ri,

くつ か の 基 本 変 換 の 結 合 お よ び基 本 変 換 の

  定 理3.18  R2の

射 影 平 面P2上

の 標 構{R0,R1,R2,E}に

お い て,頂

点R0,R1,

ま わ り の 折 り返 し を そ れ ぞ れ

 

γ:R0∨R1 

と す る.こ

R0∨R2,γ′:R2∨R0 

の と き,辺R0∨R1上

で 与 え ら れ る.こ K(R0,R1)に

の射 影変 換

こ に,X−1は お け る 点Xの

R1∨R0

ω=γ"° γ′° γは

数 性 直 線 逆 元 を 表 わ す.

  証 明   辺 標 構{R0,R1}の す れ ば,明

R2∨R1,γ":R1∨R2 

単 位 点 をE′

と

ら か に,

  ω(R0)=R1,ω(R1)=R0,ω(E′)=E′ で あ る.そ

こ で,R0,R1,E′

X∈R0∨R1を

と異 な る 点

と り, 図3.26

と お い て,4直 れ ば,頂

線R0∨E,R0∨Z,R1∨E,R1∨Yで

点R2を

は 四 辺 形 性6直 角 形 性6点

通 る6直

線

線 で あ る.定

と な り,積

つ くられ る 四 辺 形 を 考 え

理3.4に

よ っ て,{R0,X,E′,R1,W,E′}は

の 定 義 か らWX=E′

四

す な わ ち,W=X−1で

あ る. (証 終)

  こ の 射 影 変 換 ω:R0∨R1    定 理3.19  つ の 頂 点,た  

3次 元 射 影 空 間P3の と え ばR0の

γ1:R0∨R1 

辺 標 構{R0,R1}に

  証 明   辺 標 構{R0,R1}の

関 す る 反 転 と よ ぶ.

標 構{R0,R1,R2,R3,E}に

お い て,1

ま わ りの 折 り返 し を

R0∨R2,γ2:R0∨R2 

と す れ ば,辺R0∨R1上

で あ る.任

R0∨R1を

の 射 影 変 換φ=γ3° 単 位 点 をE′

意 の 点X∈R0∨R1,X≠R0,X≠R2,を

R0∨R3,γ3:R0∨R3 

R0∨R1

γ2° γ1は 恒 等 変 換 で あ る. と す れ ば,明

らか に

と り,平

面X∨R2∨R3と

直 線R0∨Eと

の 交 点 をFと

す れ ば,空

の 標 構{R0,R1,R2,R3,F}を

得 る.こ

は も と の 標 構 と 同 じ 頂 点 を も つ が,単 Eの

代 わ り にFを

間P3 の標 構

位点 として

と っ た も の で あ る.こ

の2通

り の 標 構 に お け る 側 平 面 標 構{R0,Ri,Rj}の 位 点 を そ れ ぞ れEij,Fijと

単

す れ ば,3点R0,E,

Fは 共 線 で あ る か ら,3点R0,Eij,Fij(i,j= 1,2,3,i≠j)も

図3.27

頂 点R0の

新 し い 辺 標 構{R0,R1}の

と な る.す

な わ ち,φ=1(恒

  定 理3.20 

 

た が っ て,

ま わ り の 折 り返 し は ど ち ら の 標 構 を 用 い て も 同 じ も の と な る.点

X∈R0∨R1は

点Riの

ま た 共 線 で あ る.し

単 位 点 に な っ て い る か ら,φ(X)=X

等 変 換)で

n次 元 射 影 空 間Pnの

あ る. 

(証 終)

標 構{R0,R1,…

…,Rn,E}に

お い て,頂

ま わ り の 折 り返 し を

γkji:Ri∨Rj Ri∨Rk(i,j,k=0,1,…

…,n)i≠j,j≠k,k≠i,

で 表 わ し,辺

標 構{Ri,Rj}に

お け る反 転 を

で 表 わ す.こ

の と き,次 の 関 係 が 成 立 す る.

(1) (2) (3)

(4)   証 明   (1) 

折 り返 し の 定 義 お よ び 定 理3.19

か ら 明 ら か で あ る.   (2) 

一 般 に,体Kに

お い て(x−1)−1=x,

x∈K,x≠0,で

あ る.定

理3.18か

ら

な る.ゆ

え にωij=ωji−1=ωjiで

ωij°ωji=1と

ら

図3.28

ωji°ωji=1で

あ る.ま あ る.

(3)

(4) 

関 係(1),(3)を

用 い て 変 形 す れ ば よ い.す

な わ ち,

た 反 転 の 定 義 か

(証終)  定 理3.21 n次 2つ

元 射 影 空 間Pnの

標 構{R0,R1,…

の 辺 標 構{Ri,Rj},{Rp,Rq}の

は 一 意 的 に 定 ま る.と

…,Rn,E}に

お い て,

間の基 本 変 換

くに,辺

標 構{Ri,Rj}を

変 換 だ け で あ り,辺 標 構{Ri,Rj}を

それ 自身に 移す基 本変 換 は恒 等

辺 標 構{Rj,Ri}に

移す基 本変 換 は反 転 だ

け で あ る.   証 明  まず 基 本 変 換  さ れ る とす れ ば,φ

が3つ

は 次 の4通

りの場 合 しか な い.

  〔1〕

  〔2〕

  〔3〕

  〔4〕

  折 り返 し の 記 号 γjkiに お い て,k=jの う に 規 約 し て も,定 定 理3.20(1)か

理3.20の ら,基

  〔1〕 た,基

本 変換

と な る.そ

し て,i≠qか

理3.20(4)か

定 め る.こ

のよ

〔1〕,〔2〕,〔3〕

はそれ ぞれ

 〔3〕 〔4〕 に お い て,i=qか

ま た はj≠pの

つj=pの

とき

と き,定

らそ れ ぞ れ

と な る.結

るか,ま

本変換

場 合 に は,γjji=1と

関 係 は 無 意 味 な 場 合 を 除 い て そ の ま ま 成 立 す る.

  〔2〕

と な る.ま

の 折 り返 し の 結 合 と して 表 わ

局,3つ

の 折 り返 し の 結 合 は,反

た は た か だ か2つ

3.20(3)に

よ っ て,1つ

転であ

図3.29

の 折 り返 し の 結 合 に 直 す こ とが で き る.さ の 折 り返 し と反 転 との 結 合 は,2つ

ら に定 理

の 折 り返 し の 結 合

に 直 され る.こ の よ うな 操 作 を く り返 す こ と に よ っ て,任 意 の 基 本 変 換 は 反 転 で あ るか,ま

た は た か だ か2つ

の 折 り返 しの 結 合 に 直 す こ とが で き る.と

こ ろ が,

1つ の 折 り返 しあ るい は 恒 等 変 換 は も ち ろ ん 一 意 的 な も の と し て 定 義 さ れ て い る.ま

た 定 理3.18に

よれ ば,1つ

の辺 標構 の反転 は そ の辺 を含 む側 平 面標 構 の

と り方 に 関 係 な く定 ま る.そ

して,定 理3.20(1),(3),(4)に

よれ ば,2つ

の 折 り返 し の 結 合 と し て 表 わ され る基 本 変 換 は そ の表 わ し方 に 関 係 な く定 ま る. ゆ え に 任 意 の 基 本 変 換 

  3.5 

射

影

座

は一 意 的 で あ る. 

標

  n次 元 射 影 空 間Pnの … … ,Rn,E}を

(証 終)

係 数 体 をKと

と り,1つ

す る.空

のr‐ 側 空 間uの の 点Qが

間Pnの

標 構{R}={R0,R1,

補 側 空 間 をu*と

補 側空 間u*に

r)‐空 間Q∨u*とr‐ Qのu上

す る.空

間Pn

含 ま れ な い と き,(n− 側 空 間uと

へ の 成 分 と い う.定

任 意 の 辺 標 構{Ri,Rj}を

の 交 点Xを

理3.21に

点

よ っ て,

辺 標 構{R0,R1}に

移

す 基 本変 換

は一 意 的 に 定 ま る.そ

図3.30

構{R0,R1}に

関 す る 座 標 系,す

こで,辺R0∨R1上

に 辺標

な わ ち 体 の 同型

θ:K(R0,R1)→K を 指 定 す る.こ

の と き,辺

標 構{Ri,Rj}に

関 す る 座 標 系 と し て は,同

型

θ°φij:K(Ri,Rj)→K を と る も の と 定 め る.こ

の よ う に,空

る 座 標 系 が 指 定 さ れ れ ば,標 意 的 に 定 ま る.こ

構{R}の

の 座 標 系 を 空 間Pnの

前 節 で 述 べ た よ うに,各

辺Ri∨Rj上

間Pnの

標 構{R}の1つ

他 の す べ て の 辺 標 構 に 関 す る座 標 系 が 一 標 構{R}に

関 す る 射 影 座 標 系 と い う.

の 点 に つ い て は,辺

る 非 斉 次 座 標 お よ び 斉 次 座 標 が 定 ま る.点X∈Ri∨Rjが と 異 な る と き,辺

標 構{Ri,Rj}に

座 標 系 の つ く り方 か ら,標 る.し

関 す る 点Xの

構{Rj,Ri}に

た が っ て 任 意 の 点X∈Ri∨Rjに

の 斉 次 座 標 を(xi,xj)と (xj,xi)で

与 え ら れ る.

す れ ば,辺

の辺標 構 に 関す

標 構{Ri,Rj}に 辺 標 構 の2頂

関す 点Ri,Rj

非 斉 次 座 標 を ξ と す れ ば,射

関 す る 点Xの 対 し て,辺 標 構{Rj,Ri}に

影

座 標 は ξ−1で 与 え ら れ

標 構{Ri,Rj}に 関 す る 点Xの

関 す る 点X 斉 次座 標 は

  定 理3.22 

係 数 体Kの

射 影 平 面P2に

お い て 標 構{R0,R1,R2,E}に

関

辺R0∨R1,R0∨R2,あ

るい

す る 射 影 座 標 系 が 与 え ら れ た と す る.点Q∈P2が はR1∨R2上   (1) 

へ の 成 分 を も つ と き,そ

れ ら を そ れ ぞ れX,Y,Zと

点Qが2辺R0∨R2,R1∨R2上

R2},{R1,R2}に ば,η=ξ

に な い と き,辺

関 す る 点X,Y,Zの

非 斉次 座 標 を それ ぞれ

意 の 点Q∈P2に

とす れ

  証 明   (1) 

η=ξ ζ が 成 り立 つ.よ

R1∨E,R0∨Zの

あ れ ば,ζ=0,η=0で

っ て 点Qは

と し,2直

と す れ ば,点Y′ し に よ る 点Yの

{R0,R1}に そ れ ぞれ

交 点 をS,ま

標 構{R0, た2直

線

へ の 成 分 を そ れ ぞ れY′,Z′ は 頂 点R0の

ま わ り の 折 り返

像 で あ り,点Z′

は 頂 点R1 像 で あ る.

影 座 標 系 の つ く り方 か ら,標

関 す る 点Y′,Z′

構

の 非 斉 次 座 標 は,

η,ζ −1で あ る.4直

る 四 辺 形 を 考 え れ ば,点R2を

は 四 辺 形 性6直

に な い と す る.辺

ち ろ

す る.2点S,

の ま わ り の 折 り返 し に よ る 点Zの し た が っ て,射

辺A0∨A1上

あ る か ら,も

線R0∨E,R1∨Yの

交 点 をTと

辺R0∨R1上

斉 次 座 標 は,

な る.

も しQ∈A0∨A1で

単 位 点 をE′

存 在 し て,辺

関 す る 成 分X,Y,Zの

そ れ ぞ れ(x0,x1),(x0,x2),(x1,x2)と

Tの

ξ,η,ζ

対 し て,体Kの3元x0,x1,x2が

標 構{R0,R1},{R0,R2},{R1,R2}に

R1}の

標 構{R0,R1},{R0,

ζ で あ る.

  (2)任

ん

す る.

線R0∨E,R0∨Q,R1∨E,R1∨Qで 通 る6直

線 で あ る.定

図3.31

理3.4に

つ くら れ

線

よ っ て,6点

{R0,Z′,E′,R1,Y′,X} は 四 角 形 性6点

で あ る.数

性 直 線K(R0,R1)に

お け る 積 の 定 義 か ら,ηζ −1=ξ

と な る.   (2) 

点Qが

辺R0∨R1上

斉 次 座 標 を(x0,x1)と か に 条 件 を み た す.点Qが

に あ る と き,辺

し,x2=0と 辺R0∨R2あ

標 構{R0,R1}に

お け ば,体Kの3元x0,x1,0は る い は 辺R1∨R2上

関 す る 点Qの たし に あ る場 合 も同 様

で あ る.そ

こ で,点Qが3辺

上 に な い とす れ ば,(1)か

で あ る.よ

っ て,x0=1,x1=ξ,x2=η

ら

と お け ば,体Kの

元x0,x1,x2は

た し か に 条 件 を み た す. 

(証 終)

  一 般 に,体Kのn+1個

の 元 の 組(x0,x1,…

う ち の 少 な く と も1つ 2つ

は0で

な い と き,記

…,xn)を

号(x0,x1,…

考 え る.こ …,xn)≠0で

れ ら の 表 わ す.

の 組 (x0,x1,…

…,xn)≠0, 

(x0′,x1′,…

…,xn′)≠0

に 対 し て,

と な る 元 ρ∈Kが

存 在 す る と き,こ

に よ る 等 化 集 合Hn(K)をn次

の2組

は 等 値 で あ る と 見 な す.こ

元 斉 次 座 標 空 間 と い い,各

の等値 関係

等 値 類 を 斉 次 座 標 とい

う.   定 理3.23 

係 数 体Kのn次

元 射 影 空 間Pnの

に 関 す る 射 影 座 標 系 が 与 え ら れ れ ば,射 標 に よ っ て1対1に 標 を(x0,x1,… 分Xijを

表 わ さ れ る.す

影 空 間Pnの

な わ ち,任

…,xn)≠0,xi∈K,と

も つ と き,標

標 構{R0,R1,… 各 点 は,次

構{Ri,Rj}に

の よ うな 斉 次 座

意 の 点Q∈Pnに

す れ ば,点Qが 関 す る 点Xijの

…,Rn,E}

対 応 す る斉 次 座 辺Ri∨Rj上

へ の成

斉 次 座 標 は(xi,xj)で

与 え ら れ る.   証 明   定 理.3.22に

よ っ て,射

ま る こ と が わ か る.そ

こ で 帰 納 法 を 用 い て 証 明 す る.頂

上 に は(n−1)‐ れ,定

影 平 面P2に

側 空 間 標 構{R0,R1,…

つ い て は こ の よ うな斉 次 座 標 が 定

…,Rn−1}に

理 の 条 件 が み た さ れ て い る と仮 定 す る.そ

(x0,x1,…

…,xn)を

次 の よ う に 定 め る.ま x0=x1=…

と す る.す

な わ ち,頂

Q≠Rnの

と き,点Qの(n−1)‐

側 空 間 標 構{R0,R1,… xn−1)≠0と

す る.こ

点Rnの

の と き,一

こ で,点Q∈Pnの

…xn−1=0, 

関 す る 点Xの

斉 次座 標

と き,

xn=1

斉 次 座 標 は(0,0,…

…,Rn−1}に

補 側 空 間Pn−1

関 す る斉 次 座 標 が 定 め ら

ず,Q=Rnの

側 空 間Pn−1上

点Rnの

…,0,1)で へ の 成 分 をXと

あ る.次 し,(n−1)‐

斉 次 座 標 を(x0,x1,…

般 性 を 失 な う こ と な く,x0≠0と

に

…,

し て よ い.

こ れ は 点Xが

空 間Pn−1の

標 構{R0,R1,…

…,Rn−1}に

空 間 に 含 ま れ な い こ と を 意 味 す る.よ X0≠Rnを

も つ.そ

(x0,xn)と

な る よ う な 元xn∈Kを

… … ,xn)と

こ で,辺

ρ ∈K,ρ

と り,点Q∈Pnの

斉 次 座 標 は(xi,xn)と

≠0,に

…,xn)が

対 し て,(ρx0,ρx1,…

え に こ れ は 斉 次 座 標 で あ る.逆 対 し て,こ

斉 次 座 標 を(x0,x1,

用 い れ ば,辺

な る.よ

く り方 か ら,(x0,x1,…

に,任

れ に 対 応 す る 点Q∈Pnが

斉 次 座 標 が

に 成 分Xiを

つ い て 定 理3.22を

っ て,こ 点Qの

…,ρxn)も

も つ と き,側

標 構{Ai,An}に

の座 標 は 定 理 の 条 件 を 座 標 で あ れ ば,任

ま た 点Qの

意 の元

座 標 と な る.ゆ

意 の 斉 次 座 標(x0,x1,…

…,xn)≠0に

一 意 的 に 定 ま る こ と も,つ

く り方 か ら 明 ら

か で あ る. 

(証 終)

  こ の 定 理 に よ っ て 定 め ら れ た 空 間Pnの

座 標 を,標

関 す る 射 影 座 標 と い う.点Qが(n−1)‐ き,点Qの

補側

へ の 成 分

関 す る 点X0の

辺Ri∨Rn(i≠0)上

平 面 標 構{A0,Ai,An}に

み た す.つ

辺R0∨Rn上

標 構{R0,Rn}に

定 め る.点Qが

関 す る 点Xiの

っ て,点Qは

お け る 頂 点R0の

斉 次 座 標(x0,x1,…

と お い て,体Kの

…,Rn}に

側 空 間A1∨A2∨……∨An上 …,xn)に

元 の 組(ξ1,ξ2,…

と き,点Qの

斉 次 座 標 を(1,ξ1,ξ2,…

  定 理3.24 

係 数 体Kの

標 を(x0,x1,x2)と

構{R0,R1,…

お い て は,x0≠0で

…,ξn)を

点Qの

…,ξn)と

射 影 平 面P2に

す れ ば,P2の

に ない と あ る か ら,

非 斉 次 座 標 と い う.こ し て よ い.

射 影 座 標 系 が 与 え ら れ,そ

直 線 は1次

の

の斉 次座

方程式

 (1) で 与 え ら れ る.   証 明   標 構{R0,R1,R2,E}の3辺R1∨R2,R0∨R2,R0∨R1の そ れ ぞ れ,x0=0,x1=0,x2=0で 点R1,R2を {R1,R2}に

あ る.ま

通 ら な い と き,直 関 す る 点Sの

た 直 線lが

辺R1∨R2と

頂 点R0を

の 交 点 をSと

通 り,頂 し,辺

標 構

非 斉 次 座 標 をu∈Kと

す れ ば,定

理3.22か

与 え ら れ る.同

線lが1つ

の頂 点 を 通 る と

lの 方 程 式 はx2=x1uで き,そ

線lと

方 程 式 は,

様 に,直

の 方 程 式 はxiu=xj(i,j=0,1,2),i≠j,u∈K,と

lが 頂 点 を 通 ら な い と き,直

線lと2辺R1∨R2,R0∨R2と

な る.次

ら直線

に直 線

の 交 点 を それ ぞ れ

S,Tと

し,標

構{R1,R2},{R0,R2}に

す る 点S,Tの υ∈Kと

し,標

非 斉 次 座 標 を そ れ ぞ れu,

す る.直

り,2直

関

線l上

の 任 意 の 点Pを

線R0∨S,R2∨Pの

交 点 をQと

構{R0,R1,R2}に

関 す る 点P,Qの

非 斉 次 座 標 を そ れ ぞ れ,(ξ,η),(ξ す れ ば,定

形 を 考 え れ ば,数 る.よ

って

性 直 線K(R0,R2)に

η=ξu+υ

か れ る.と

れ の 場 合 も(1)の

′,η′=ξuで くられる

れ は 斉 次 座 標 を 用 い て,x2=x1u+x0υ

と書

こ の 方 程 式 を み た し て い る.い

に 方 程 式(1)は

る2点A,B∈Pnの

(証 終) 元 射 影 空 間Pnに

射 影 座 標 系 が 与 え ら れ,異

斉 次 座 標 を そ れ ぞ れ(a0,a1,… の2点

ず

上 のいず れ か の形 に直 す こ と

線 を 与 え る. 

係 数 体Kのn次

四角

′+υ で あ

斉 次 座 標{0,1,u}は 形 で あ り,逆

が で き る か ら,直

と す れ ば,こ

ら,ξ=ξ

′,η′)と

お け る 和 の 定 義 か ら,η=η

と な る.こ

く に 点Sの

  定 理3.25 

理3.22か

あ る.4点S,P,Q,R1でつ

図3.32

と

を 通 る 直 線 は,パ

…,an),(b0,b1,…

ラ メ ー タ λ,μ ∈Kを

な

用 い て,方

…,bn) 程式

 (2) で 与 え ら れ る.   証 明   射 影 平 面P2に の 形 と な る.そ

お い て は,定

理3.24の

こ で 帰 納 法 を 用 い る.射

影 空 間Pnの

と す る.空

間Pnの

よ っ て,一

般 性 を 失 な う こ と な く,2点A,Bを

面P1n−1と

面R0∨lと は 直 線l1で

P0n−1,P1n−1上

交 わ る.そ

…,xn)に

… … ,xn),(x0,0,x2,…

は 直 線l0で

し て,直

(n−1)‐ 空 間P0n−1,P1n−1に

対 し て,直

…,xn)で お い て,直

辺R0∨R1に

交

補 側 空 間 を そ れ ぞ れP0n−1,P1n−1と

へ の 成 分 は そ れ ぞ れl0,l1上

任 意 の 点(x0,x1,…

… ,Rn}

の 辺 に 交 わ ら な い.

通 る 直 線lは

点R0,R1の

超 平 面p0n−1と

変 形 す れ ば,(2)

標 構 を{R0,R1,…

任 意 の 直 線 は こ の 標 構 の 少 な く と も1つ

わ ら な い と 仮 定 し て よ い.頂 す れ ば,平

方 程 式(1)を

線l上

交 わ り,平

面R1∨lと

超平

の 任 意 の 点 の(n−1)‐

側空間

の 点 で あ る.ゆ 線l0,l1上

与 え ら れ る.一 線l0,l1は

え に,直

線l上

の

の 点 は そ れ ぞ れ(0,x1, 方,帰

納 法 の 仮 定 か ら,

そ れぞ れ方 程 式

  (3) 

xi=λai+μbi 

  (4) 

xj=λ

で 与 え ら れ る.ゆ

(i=1,2,…

…,n)

′aj+μ ′bj (j=0,2,……,n)

え に,直

線lは

こ の 方 程 式(3),(4)で

与 え ら れ る.こ

の2

式 か ら,

と な る.辺R0∨R1の 間Pn−2上

補 側 空 間 をPn−2と

す れ ば,2点A,Bの(n−2)‐

側空

へ の 成 分 は 一 致 し な い か ら,

と な る 元 ν∈Kは え に 直 線lは

存 在 し な い.よ

っ て,λ=λ

′,μ=μ ′ で な け れ ば な ら な い.ゆ

方程式 xi=λai+μbi 

(i=0,1,…

…,n)

で 与 え ら れ る. 

(証 終)

  こ の 定 理 に よ れ ば,射

影 空 間Pnの xi=λai+μbi 

直線

上 の 点(x0,x1,… 定 ま る.ゆ

…,xn)は,パ

え に,体Kの

と が で き る.2つ す 条 件 は,明

と な る元

(i=0,1,…

ラ メ ー タ λ,μ ∈Kを

元 の 組(λ,μ)≠0を

の 座 標(λ,μ)≠0,(λ

指 定 す る こ とに よ っ て

直 線l上

′,μ′)≠0が

の 点 の 座 標 と見 な す こ

直 線l上

の 同 じ点 を 表 わ

らか に

ρ∈Kが

で あ る.空

存 在 す る こ と で あ る.よ

間Pn上

で,そ

れ ぞれ 斉次 座標

(a0,a1,…

…,an), 

を も つ3点A,B,E′

の 斉 次 座 標(λ,μ)は

の 座 標(λ,μ)は

斉 次座標

…,bn)

…,an+bn)

は い ず れ も 直 線l上

用 い れ ば,3点A,B,E′

え ら れ る.こ

っ て,こ

(b0,b1,…

(a0+b0,a1+b1,…

(λ,μ)を

…,n)

に あ る.そ

し て,l上

斉 次 座 標

は そ れ ぞ れ(1,0),(0,1),(1,1)で

与

実 は 直 線l上

の 標 構{B,A,E′}に

関す る

射 影 座 標 で あ る.   こ の 節 で,射

影 座 標 系 を 定 義 す る た め に,辺

換 を 用 い た.も

し 係 数 体Kが

可 換 で あ れ ば,定

標 構 の 間 の 射 影 変 換 と し て基 本 変 理3.16に

よ っ て,辺

標 構 を辺

標 構 に 移 す 射 影 変 換 は 一 意 的 に 定 ま る か ら,そ れ を と くに 基 本 変 換 と よぶ 必 要 が な い.し

た が っ て,こ

  3.6 

2進

  た だ2つ

数

の 場 合 に は 射 影 座 標 系 の 導 入 が 非 常 に 簡 単 に な る.

空

間

の 元 か ら成 る 体Z2={0,1}を

考 え る.こ

の 体 の 加 法 お よび 乗 法 は,

もち ろん 0+0=0, 

0+1=1+0=1, 

0・0=0, 

で 与 え ら れ る.こ 察 す る.こ

こ で,Z2を

0・1=1・0=0, 

1・1=1,

係 数 体 と す るn次

れ は 最 も 簡 単 な 射 影 空 間 で あ る.空

(x0,x1,……,xn)で … …=x

1+1=0,

n=0の

表 わ さ れ る.こ

元 射 影 空 間Pn(Z2)に 間Pn(Z2)の

こ にxiは0ま

場 合 は 除 外 さ れ る.2つ

つ い て考

任 意 の点 は斉 次座 標

た1で

あ っ て,x0=x1=

の斉 次座 標 (x0,x1,…

…,xn)≠0,

(x0′,x1′,…

…,x′n)≠0

が 同 じ点 を 与 え る条 件 は, x0=x0′,x1=x1′,…

…,xn=xn′

(ρ=1)

で あ る. 図3.33

お い て,直 は2r−1個

線 は3点

  定 理3.26  だ け を 含 む.ま

た 平 面 は7個

射 影空 間 に

の 点 か ら 成 る.一

般 に,r‐ 空 間

の 点 か ら 成 る.

  証 明   体Z2の

元 の 組(x0,x1,…

…,xr)がr‐

う な す べ て の 場 合 を 数 え れ ば,2r−1通 そ し てr=3の

と き7通

  体Z2の(n+1)個

す れ ば,0=(0,0,…

斉 次 座 標 と す る 空 間Pn(Z2)の X=(x0,x1,… れ ら の和 を

空 間 の 点 の斉 次 座 標 とな る よ

りで あ る.と

く に,r=2の

り で あ る. 

の 元 の 組(x0,x1,…

の 集 合 をZ2n+1と

に 対 し て,こ

係 数 体Z2の

り,

(証 終) …,xn)を …,0)以

Y=(y0

考 え,こ 外 のZ2n+1の

点 と 見 な さ れ る.集 …,xn), 

と き3通

合Z2n+1の2元

,y1,…

…,yn)

の よ うな 組 全 体 元 は ,そ

れを

X+Y=(x0+y0,x1+y1,… で 定 義 す れ ば,Z2n+1は

ア ー ベ ル 群 と な る.な

Z2n+1に

対 し て,X+X=0で

Z2n+1の

元 と 見 な し て,こ

  定 理3.27 

…,xn+yn)

あ る.空

お,こ

の 加 法 で は,任

間Pn(Z2)の

意 の 元X∈

点 に つ い て も,こ

れ を

の 加 法 を 用 い る こ と に す る.

射 影 空 間Pn(Z2)の

異 な る3点A,B,Cが1直

線 を つ くる た め

の条 件 は A+B+C=0.   証 明   点Cが2点A,Bを

結 ぶ 直 線 上 に あ る 条 件 は,定

と な る こ と で あ る.A,B,Cは な ら な い.ゆ +C=0と

異 な る3点

え に,C=A+Bと

な る.し

作 と し て,い

も の と す る.2人 る.こ

決 定 す る.こ

か も,C+C=0で

の 山 を つ く り,競

ず れ か た だ1つ

の 山 か ら,必

なけ れ ば

あ る か ら,A+B

手必 勝 か後 手必 勝 かが 完 全 に

す れ ば,a=bの 際,相

お い て,a=bの

と きK型,そ

a,b,cが

し て,3つ い ず れ も7を

し てa≠bの

と きM型

る.3数a,b,cの

の 山 の 小 石 の個 数

越 え な い 場 合

組 合 わ せ が,次

の い ず れ か で あ る と き,こ

れ をK型

{1,2,3}, 

{1,4,5}, 

{1,6,7}

{2,4,6}, 

{2,5,7}, 

{3,4,7}

{3,5,6}.

を 考 の7通

分 はい つ も

ず 勝 つ か ら で あ る.2つ

ぶ こ と に す る.   次 に,m=3と

と

とき後 手 必 勝

手 の 操 作 の あ と,自

の 山 の 小 石 の 個 数 が 等 し く な る よ う に で き れ ば,必

の 山{a,b}に

の小 石 を とる

単 な 場 合 か ら 考 え る.m=2の

の 山 の 小 石 の 個 数 を そ れ ぞ れa,bと と き 先 手 必 勝 と な る.実

で次 の ゲ ー ムを 行 な

後 に 小 石 を と った 方 を 勝 ち とす

め の 山 の 状 態 に よ っ て,先 ず,簡

技 者2人

ず 少 な く と も1個

が 交 互 に こ の 操 作 を 行 な い,最

の こ と を 証 明 し よ う.ま

と な り,a≠bの 2つ

で あ る か ら,λ=μ=1で

(証 終)

の ゲ ー ム で は,初

き,2つ

よ っ て,

な る. 

 た く さ ん の 小 石 を 積 ん でm個 う.操

理3.25に

え り

と よ ぶ.

図3.34

とよ

そ し て,こ

れ 以 外 の 組 合 わ せ をM型

り,M型

の と き,K型

は 先 手 必 勝 と な る こ と が わ か る.7つ

3,4,5,6,7}に の7つ

と よ ぶ.こ

お い て,K型

の 数 は 係 数 体Z2の

のゲ ー ム の 考 察 は,係   一 般 に,m個

と な る3数

す る.m個

つ く る.こ

分 け る.す

と す る.集

数0を

つけ加

合N0mの

こ で,集

考 え,

元 とは この ゲ ー ム に

合N0mを2つ

の部 分 集 合

な わ ち,

合N0mの

をK型,そ

石 の山

…,am,ai∈N0を

す る.集

の 山 の 組 を 表 わ す も の で あ る.そ

K,Mに

の こ と か ら,小

べ て の 自 然 の 集 合Nに

の 数 の 組{a1,a2,…

こ の よ うな す べ て の 組 の 集 合 をN0mと お け るm個

の 組 を 直 線 と よ ぶ こ と に す れ ば ,こ

射 影 幾 何 に 帰着 す る こ とが 予 想 され る.

の 山 の 場 合 を 考 察 す る.す

え た 集 合 をN0と

と な

の 自 然 数 か ら 成 る 集 合{1,2,

射 影 平 面P2(Z2)を

数 体Z2の

は後手 必 勝

元{a1,a2,…

…,am}が

し て 部 分 集 合Mに

属 す れ ば,こ

部 分 集 合Kに れ をM型

属 す れ ば,こ

と よ ぶ.こ

れ

の と き,次

の 公 理 を 立 て る.   〔1〕  元{0,0,…

…,0}はK型

  〔2〕  任 意 のK型

に は,ど

  〔3〕   任 意 のM型   集 合N0mが

の よ う にゲーム

に は,適

こ の3公

こ れ をKM‐

で あ る.

当 な ゲ ー ム の 操 作 を 行 な え ばK型

理 を み た す2つ

構 造 と よ ぶ.集

の 部 分 集 合{K,M}に

合N0mにKM‐

ゲ ー ム の 問 題 は 完 全 に 解 決 す る.す に は い つ もM型

の 操 作 を 行 な っ て もM型

理

分 は い つ もK型

て い け ば 必 ず 勝 つ こ と が で き る.結

に な る. 分 け ら れ た と き,

構 造 が 定 め ら れ れ ば ,m個

な わ ち,公

を つ く ら せ,自

に な る.

局,K型

〔1〕,〔2〕,〔3〕

の山 の

か ら,相

手

を つ く る よ うに ゲ ー ム を 進 め

は 後 手 必 勝,そ

し てM型

は先 手 必

勝 で あ る.   定 理3.28 

集 合N0mに2通

りのKM‐

構 造 が 指 定 さ れ れ ば,こ

れ ら は 一 致

す る.   証 明   集 合N0mに2通 す る.公 2通

理

りのMK‐

〔1〕 か ら 元0={0,0,…

り のKM‐

の 元a={a1,a2,…

構 造{K,M},{K′,M′}が …,0}はKお

構 造 が 一 致 し な い と す れ ば,一 …,an}が

指 定 され た と よ びK′

に 属 す る.こ

般 性 を 失 な う こ と な く,集

存 在 し て,a∈K,a∈M′

と な る.そ

合N0m

こ で,{K′,

の

M′}に

つ い て公 理

〔3〕 を 用 い れ ば,元aに

を つ く る こ とが で き る.こ a1∈Mで

あ る.以

適 当 な 操 作 を 行 な っ て 元a1∈K′

の と き,{K,M}に

つ い て公 理

下 同 様 な 操 作 を 引 き 続 い て 行 な え ば,有 a,a1,a2,…

が 得 ら れ,こ M型

限個 の元 の列

…,ak=0

れ ら の 元 は い ず れ も 一 方 のKM‐

と な る.元ak=0に

〔2〕 を 考 慮 す れ ば,

つ い て 見 れ ば,こ

構 造 で はK型,そ れ は公 理

して他方 で は

〔1〕 に 矛 盾 す る. (証 終)

 こ の 定 理 か ら,集 合N0mのKM‐   定 理3.29    (1) 

集 合N0mのKM‐

元{a1,a2,…

a1,a2,…   (2) 

…amの

m個

…,ap,b1,… の 文 字 の 間 の1つ

で あ る と き,こ

{K′,M′}は る.定 Kな

公理

理3.28に

と 定 め,そ 〔1〕,〔2〕,〔3〕

…,bq}∈N0p+qも

し てa∈Mな

ど ち ら もK

ま たK型

意 の 元a∈N0mに

う で な い と きa∈M′

σ(a)∈N0m

対 し て,σ(a)∈

と 定 め れ ば,明

を み た す か ら,こ

れ も ま たKM‐

で な け れ ば な ら な い.ゆ ら ば σ(a)∈Mで

ら か に 構造 で あ え に,a∈

あ る. に 対 し て,

意 の 元{a,b}∈N0p+qに

と定 め,a∈M,b∈K,ま ら に,a∈M,b∈Mの

…,

れ に 置 換 σを 行 な っ て 得 られ る元

元 

と お く.任

で あ る.

の 置 換 を σ とす る.元a={a1,a2,…

よ っ てK=K′,M=M′

ら ば σ(a)∈K,そ (2) 

…,bq}∈N0qが

で あ る こ と を 証 明 す れ ば よ い.任

あ る と きa∈K′

で あ る こ と は,数

の 組 合 わ せ だ け で 定 ま る.

…,ap}∈N0p,{b1,b2,…

am}∈N0mがK型 も ま たK型

あ る い はM型

な ら べ 方 に 関 係 な く,そ

元{a1,a2,…

  証 明   (1) 

構 造 に お い て,

…,am}∈N0mがK型

型 で あ れ ば,元{a1,…

Kで

構 造 が も し 存 在 す れ ば,そ れ は 一 意 的 で あ る.

対 し て,a∈K,b∈Kな

た はa∈K,b∈Mな

ら ば{a,b}∈M′

場 合 に は,{a,b}∈Kな

b}∈Mな

ら ば{a,b}∈M′

かに 公理

〔1〕,〔2〕,〔3〕

M′ で な け れ ば な ら な い.ゆ

と 定 め る.集

ら ば{a,b}∈K′ と 定 め る.さ

ら ば{a,b}∈K′,そ 合N0p+qに

を み た す か ら,定 え に,a∈K,b∈Kな

お い て{K′,M′}は

理3.28に

し て{a, た し

よ っ てK=K′,M=

ら ば{a,b}∈Kで

あ る. (証 終)

  集 合N0mのKM‐ N0の

構 造 が 存 在 す る こ と を 証 明 す る た め,ま

集 合 の 代 数 的 構 造 を し ら べ る.任

れ ば,数aは

意 の整数a∈N0に

ず,負

で ない 整数

対 し て,a<2n+1と

す

一 意的 に a=x0+2x1+22x2+……+2nxn

の 形 で 表 わ さ れ る.こ 進 法 で あ る.す ……

こ に,x0,x1,…

な わ ち 負 で な い 整 数a∈N0に

,xn),xj∈Z2,が1対1に

Z0n+1に

…,xnは0ま

あ る.い

は ア ー ベ ル 群Z2n+1の

対 応 す る.こ

お け る 加 法 が そ の ま ま 定 義 さ れ る.す

対 し て,2進

た は1で

の 対 応 に よ っ て,集 な わ ち,2つ

わ ゆ る2

元(x0,x1, 合N0に

は群

の 整 数a,b∈N0に

法 を 用 い て, a=(x0,x1,…

で 表 わ す と き,こ

で 定 義 す る.た

…,xn),b=(y0,y1,…

…,yn),xj,yj∈Z2

れ らの和 を

だ し,右 辺 に お け る和 は 体Z2に

と な っ て い る.集 合N0に と は 異 な る.な お,集

お け る和 で あ る か ら,1+1=0

定 義 され た この 加 法 は,も

合N0の

ち ろ ん ふ つ うの 整 数 の 加 法

元 の 間 に は 整 数 と し て ふ つ うの 大 小 関 係 が 定 め ら

れ て い る. 定 理3.30 

負 で な い 整 数 の 集 合N0上

に定 義 さ れ た 加 法 に つ い て,

(1) 

(交 換 法 則)

(2) 

(結 合 法 則)

(3) 

(零 の 存 在)

(4) 

(ベ キ 零 律)

(5) 

な ら ば,

ak  b
な るak(1≦k≦m)が

存 在 す る.   証 明   法 則(1)∼(4)は あ る.よ

っ て,(5)を

と お く こ と が で き る.ま akが

ア ー ベ ル 群Z2n+1に 証 明 す れ ば よ い.b≠0で

た,a1 

… … am=bで

お け る加 法 の 定 義 か ら 明 らか で あ る か ら,2進

あ る か ら,少

存 在 し て, ak=(x0,…

…,xr−1,1,xr+1,…

…,xn),xj∈Z2,

法 を 用 い て,

な く と も1つ

の

と な る.こ

の と き,

で あ る か ら,ak    集 合N0上

b
な る. 

(証 終)

に 定 め ら れ た こ の 加 法 を 用 い て,集

合N0mのKM‐

構造 を定義 す

る こ と が で き る.   定 理3.31 

集 合N0mの

元a={a1,a2,…

…,am}に

お い て,

の とき の とき と 定 め れば,こ

れ はN0mのKM‐

  証 明   明 ら か に,0 0  たa1 a2  aj′∈N0を

… …  0=0で

… … am=0の と り,ajの

と な る.よ

って公理

の と き,定

理3.30(5)に

り,akの

構 造 で あ る.

と き,任 代 わ りにaj′

を お き か え れ ば,定

に は,2進

理3.30(4)か

ら

ら に,

な る 数a′k=ak b∈N0を 理3.30(4)か

はKM‐

と

ら

構 造 が 存 在 す る.そ

(証終)

して,定 理2.28

構 造 は こ こ で 定 義 され た も の だ け しか な い. 構 造,す

な わ ち,小 石 の 山 の ゲ ー ムの 問 題 は 負 で な い 整 数

定 め られ た 加 法 に よ って 完 全 に 解 決 す る.さ

法 を 用 い て 係 数 体Z2の

で き る.こ の と き,定 理3.27に 合N0上

とな る 数

あ る か ら,公 理 〔3〕 が み た され る. 

  この 定 理 に よ っ て,集 合N0mに

の 集 合N0上に

〔1〕 が み た さ れ る.ま

対 し て,aj′
を お き か え れ ば,定

よ っ て,ak b
と な る.し か もak′
  集 合N0mのKM‐

意 のaj≠0に

〔2〕 が み た さ れ る.さ

代 わ りにak′

か ら,集 合N0mのKM‐

あ るか ら公 理

射 影 空 間Pn(Z2)の よれ ば,射

意 の 自然 数

点 を 対 応 させ る こ と が

影 空 間Pn(Z2)の

の 加 法 に よ って 定 め られ る こ とが わ か る.

らに,任

結 合 関 係 もまた集

4.  射 影 的 対 応

  4.1    2つ

射

のn次

影

同

型

元 射 影 空 間P1n,P2nの

の 条 件 が み た さ れ る と き,fを  3点X,Y,Z∈P1nが

間 の 全 単 射f:P1n→P2nが

射 影 空 間 の 同 型 と い う.す 共 線 で あ る と き,か

f(Y),f(Z)∈P2nは

型f:P1n→P2nに

E}は に,同

型fに

間P1nの

の 四 角 形 性 は 保 存 さ れ る.数

型fは

れ は 体 の 同 型 に な っ て い る.し

  定 理4.1 

同 型 な 射 影 空 間 の 係 数 体 は 体 と し て 同 型 で あ る.

P1nの て,2直

配 景 写 像 は 空 間P2nの 線l,gの

間 の 点Qを

と し,f(l)=l′,f(g)=g′,f(Q)=Q′

が 得 られ る.2直

線 な3点

…,Rn, ら

性直 線 の加 法 お よび乗法

線 に 移 し,そ

よ っ て,共

た,同

移 さ れ る.さ

に よ っ て 定 義 さ れ る も の で あ る か ら,同

  同 型f:P1n→P2nに

面 は 平 面 に,

標 構{R0,R1,…

標 構{f(R0),f(R1),……,f(Rn),f(E)}に

よ っ て,6点

は 四 角 形 性6点

線 は 直 線 に,平

分 空 間 の 包 含 関 係 が 保 存 さ れ る.ま

の 独 立 性 は 保 存 さ れ,空

空 間P2nの

つ そ の と き に 限 り,3点f(X),

よ っ て,直

そ し てr‐ 空 間 はr‐ 空 間 に 移 さ れ,部 よ っ て,点

な わ ち,

共 線 で あ る.

  こ の 定 義 か ら,同

型fに

与 え ら れ,次

数性 直 線 を数 性直

た が っ て,

は 共 線 な3点

配 景 写 像 に 移 さ れ る.と

に 移 さ れ る か ら,空 く に,空

間P1nに

間

お い

軸 とす る 配 景 写 像 を

を お け ば,空

間P2nに

おけ る配景 写像

線 の 間 の射 影 変 換 は 点 を 軸 とす る配 景 写 像 の 結 合 と し て 与 え ら

れ る か ら,   定 理4.2 

2つ のn次 元 射 影 空 間 の 間 の 同 型f:P1n→P2nに

に お け る 直 線 の射 影 変換  に 移 さ れ る.す な わ ち,

は 空 間P2nに

よ っ て,空 間P1n

お け る直 線 の射 影変 換  

  任 意 の 体Kを り,零

考 え る.体K上

ベ ク トル0を

x′ ≠0に

のn+1次

除 外 し て お く.2つ

お い て,x′=ρx,ρ

値 で あ る と 見 な し,こ

な る 元 ρ∈Kが

の す べ て の1次

よ い.Pn(K)の

A∈Pn(K)を

含 む と き,直

線lは

係 は 明 らか に 射 影 幾 何 の 公 理 空 間 と な る.こ

れ を 体K上

が 得 ら れ る.こ

元 線 形部 分空 間

点Aを

通 る と い う こ と に す れ ば ,こ

∼ 〔P5〕

た,体K上

の 右 射 影 空 間 と い う.こ つ い て 考 察 す る.異

元射影 のn+1次

元

元 射 影 空 間Pn(K*)

れ らはた が い に双対 的 で あ な る2点A,B∈Pn(K)を

す れ ば,こ

れ ら を 通 る 直 線l∈L

程式

で 与 え ら れ る.い X∈Pn(K)を

ま,Vn+1(K)の

基 底{e0,e1,…

…,en}を

代 表 す る ベ ク トルx∈Vn+1(K),x≠0,は x=x0e0+x1e1+…

で 与 え られ る.し た が っ て,点X∈Pnの

を と る こ と が で き る.2組

と れ ば,任

意 の 点

一 次 結 合

…+xnen,xi∈K,

座 標 と し て そ の成 分

の座 標

(x0,x1,… が 同 じ 点X∈Pn(K)を

…,xn),(x′0,x1′,…

…,xn′)

表 わ す た め の 条 件 は,

と な る こ と で あ る か ら,こ enを

の結合 関

を み た し,Pn(K)はn次

っ た く 同 様 にn次

代 表 す る ベ ク トル を そ れ ぞ れa,b∈Vn+1(K)と は,方

のす

元 線 形 部 分 空 間l∈Lが,1次

と れ ば,ま

射 影 空 間Pn(K)に

た,Vn+1(K)内

元 を あ らた め て直 線

の 左 射 影 空 間 と い う.ま

れ を 体K上

な わ ち,

し ,Lの

〔P1〕

右 ベ ク トル 空 間Vn+1(K*)を

す る.す

れ らは 等

元 線 形部 分 空 間 を元 とす る集 合 と考 え て

元 線 形 部 分 空 間 を 元 と す る 集 合 をLと し て,2次

と

∈Vn+1(K),x≠0,

存 在 す る と き ,こ

元 を あ ら た め て 点 と よ ぶ こ と に す る.ま

と よ ぶ こ と に す る.そ

る か ら,左

の ベ ク トルx,x′

の 等 値 関 係 に よ る 等 化 集 合 をPn(K)と

Pn(K)はVn+1(K)内

べ て の2次

≠0,と

元 左 ベ ク トル 空 間Vn+1(K)を

の 座 標 は 斉 次 座 標 で あ る.基

代 表 ベ ク トル と す るPn(K)の

底 ベ ク トルe0,e1,…

点 を そ れ ぞ れR0,R1,…

… ,Rnと

…, し,べ

ク トル e=e0+e1+…

を 代 表 ベ ク トル とす るPn(K)の {R0,R1,…

…,Rn,E}に

B∈Pn(K)の

…+en

点 をEと

す れ ば,こ

の斉 次座 標 は 実 は 標 構

関 す る 射 影 座 標 に 他 な ら な い.ま

た 異 な る2点A,

座標 をそ れ ぞれ (a0,a1,…

と す る と き,こ

の2点

…,an),(b0,b1,…

…,bn)

を 通 る 直 線 の 方 程 式 は,

で 与 え られ る.こ れ は 定 理3.25に

お け る 直 線 の 方 程 式(2)と

同 じ も の で あ る.

した が っ て,   定 理4.3 

係 数 体Kのn次

Pn(K)と

同 型 で あ る.

  ま た,定

理4.1,4.3か

元 射 影 空 間Pnは

体K上

ら,左 射 影 空 間Pn(K)の

のn次

元左 射 影 空 間

係 数 体 は も ち ろ んKで

あ

る.ゆ え に,   定 理4.4    結 局,た 体Kお

任 意 の 体 を 係 数 体 と し て も つn次 元 射 影 空 間 が 存 在 す る. が い に 同 型 な 射 影 空 間 を 同 じ も の と見 な す と き,射 影 空 間 は そ の 係 数

よび 次 元nを

知 れ ば 一 意 的 に 定 ま る.こ

完 全 で あ る とい え る.次 元 が3ま 2.31が

の 意 味 で,射

影幾 何 の公理 系 は

た は そ れ 以上 の 射 影 空 間 で は,デ

成 立 す るか ら,必 ず 係 数 体 が 定 ま る.し か し,射

ザ ル グの 定 理

影 平 面 で は 必 ず し もそ

うで は な く,例 外 的 な 射 影 平 面 が 存 在 す る.   定 理4.5 

射 影 平 面 に お い て,次

の3条 件 は た が い に 同等 で あ る.

  (1) 

デ ザ ル グ性 を も つ.

  (2) 

係 数 体 を も つ.

  (3) 

3次 元 射 影 空 間 へ の 埋 め 込 み が で き る.

  証 明  デ ザ ル グ の 定 理 が 成 立 す れ ば,第3章 とが で き る.係

数 体Kを

もて ば,定

理4.3に

で示 した よ うに 係 数 体 を つ くる こ よ っ て 左 射 影 平 面P2(K)に

型 で あ る.し た が っ て,こ れ は 左 射 影 空 間P3(K)の が,3次 (1)か

平 面 と見 な され る.と

元 射 影 空 間 内 の 平 面 で は デ ザ ル グ の定 理2.31が ら(2)が,(2)か

ら(3)が,そ

し て(3)か

成 立 す る.結 局,条 ら(1)が

同 ころ 件

導 かれ るか

ら,こ

れ ら の3条

  こ こ で,非

件 は た が い に 同 等 で あ る. 

(証 終)

デ ザ ル グ 幾 何 を 扱 わ な い こ と に す れ ば,n次

そ の 係 数 体K上

のn+1次

空 間Pn(K)と

元 左 ベ ク トル 空 間Vn+1(K)か

同 じ も の と 見 な し て よ い.そ

ク トルX≠0と

に お い て も,頂

点Riお

点Xは,同

時に こ

表 わ す も の と 考 え て よ い.た

ベ ク トル ρX,ρ

は 同 じ 点 を 与 え る も の で あ る.今

は,

ら つ くられ る 左 射 影

し て 空 間Pnの

れ を 代 表 す る ベ ク トルX∈Vn+1(K),X≠0,を だ し,ベ

元 射 影 空 間Pnと

後,空

∈K,ρ

間Pnの

≠0,と

は 空 間Pnに

標 構{R0,R1,…

よ び 単 位 点EをVn+1(K)の

おいて

…,Rn,E}

ベ ク トル と 見 な し て,

E=R0+R1+……+Rn と な る よ う に す る.そ べ ば よ い.実 {a0,a1,…

際,各

れ に は,各

頂 点Riの

頂 点Ri∈Pnを

れ ら の1次

と し て 与 え ら れ る.そ

基 底 と な る か ら,単

位 点Eを

こ で,各

頂 点Riと

し て,ベ

点 を ベ ク トル と 見 な す と き,こ

れ ら の ベ ク トル は 共 通 の 因 子

除 い て 一 意 的 に 定 ま る.そ

し て,各

…,Rn,E}に

関 す る 点Xの

る こ と は,こ

れ ら の 点 を ベ ク トル と 見 な し て,

斉 次 座 標 が(x0,x1,…

X=x0R0+x1R1+… くに 単 位 点Eに

で 与 え ら れ る.し

た が っ て,こ

構 の各 頂 ≠0,を

点 は 同 じであ 構

…,xn)で

あ

…+xnRn つ い て は,

E=R0+R1+…

な る2点A,Bを

ρ∈K,ρ

の よ う に 規 約 す れ ば,標

{R0,R1,…

の 斉 次 座 標 は(1,1,…

局,標

頂 点 ご と に 因 子 を 変 え れ ば,頂

る が 単 位 点 が 異 な る よ う な 標 構 が 得 ら れ る.こ

  ま た,異

代 表 す るベ ク

ク トル

し か に 上 の 条 件 が み た さ れ る.結

で あ る か ら,そ

と れ ば,

結合

を と る も の と 定 め て お け ば,た

と な る こ と で あ る.と

適当にえ ら

代 表 す る ベ ク トルai∈Vn+1(K)を

…,an}はVn+1(K)の

トルeは,こ

因 子 ρi∈K,ρi≠0,を

…+Rn …,1)で

通 る 直 線 は,パ

あ る. ラ メ ー タ λ,μ

を 用 い て,方

の 直 線上 の 点 は 斉 次 座 標(λ,μ)に

程式

よ って定 ま

る.こ

の 座 標 は 実 は こ の 直 線上 の 射 影 座 標 で あ っ て,そ

そ し て 単 位 点 はA+Bで A0,A1,… い て,方

あ る.一

…,Anを

般 に,同

通 るr‐ 空 間Pr−1は,パ

際,こ

(λ0,λ1,… A0,A1,…

…,λr)で

表 わ さ れ,こ

の点

…,λrを

用

…,Ar,そ

ち,(n−1)‐

し て 単 位 点 はE′=A0+A1+… …,xn)と

の と き,(u0,u1,…

と な る こ とで あ る.こ

構 の頂点 は

あ る .さ

す る と き,Pnの

ら に,

超 平 面 ,す

なわ

…,un)はPnの

超 平 面,す

係 数 体Kのn次

の座 標

の 方 程 式 か ら,

元 射 影 空 間Pnの

双 対 空 間Πnは

元 射 影 空 間Pnを

自 己 同 型 と い う.空 間Pnの

に よ っ て 群 を つ くる.こ れ をPnの

のn

そ れ 自身 に 移 す 同 型f:Pn→Pnを

す べ て の 自己 同 型 の 集 合 は 写 像 と し て の 結 合 自 己 同 型 群 と い い,ΓL(n

の 標 構 が 与 え られ た と き,こ

く る.こ れ をΓL0(n,K)で

,K)で

表 わ す.

の標 構 の 各 頂 点 お よ び 単 位

点 を そ れ ぞ れ 動 か さ な い す べ て の 自 己 同 型 の 集 合 は 群ΓL(n,K)の

部分群をつ

表 わ す.

n次 元 射 影 空 間Pnの1つ

群ΓL0(n,K)は,係

体K上

同 型 で あ る.

  と くに 係 数 体Kのn次

間Pnに1つ

際,2組

な わ ち,双

の こ と は 次 の よ うに い い か え られ る.

次 元 右 射 影 空 間Pn(K*)と

  定 理4.7 

点 は 斉次 座 標

…+Arで

点 を 表 わ す 斉 次 座 標 と 見 な さ れ る.実

が 同 じ超 平 面 を 表 わ す 条 件 は,上

  定 理4.6 

空 間Prの

元

空 間は方 程 式

で 与 え ら れ る.こ 対 空 間Πnの

の 場 合 も,r‐

お け るr+1次

れ も ま た 射 影 座 標 で あ っ て,標

点 の 斉 次 座 標 を(x0,x1,…

ま た,空

ラ メ ー タ λ0,λ1,…

の 方 程 式 は ベ ク トル 空 間Vn+1(K)に

線 形 部 分 空 間 を 表 わ す か ら で あ る.こ

Pnの

空 間上 に な いr+1個

程式

で 与 え ら れ る.実

Pnの

じ(r−1)‐

の 標 構 の 頂 点 はA,B,

数 体Kの

の 標 構 を 動 か さ な い 自己 同 型 群 の 部 分 自 己 同 型 群A(K)と

こ の標構 に 関 す る 斉 次 座標 を 用 い れ ば,群ΓL0(n,K)に

同 型 で あ る.そ 属 す る変 換 は

し て,

ρxi′=ω(xi)(i=0,1,… で 与 え ら れ る.こ

…,n),ω

こ に 元 ρ∈K,ρ

≠0,は

任 意 で よ い.

  証 明   空 間Pnの

標 構{R0,R1,…

φ∈ΓL0(n,K)は

各 辺上 の 標 構{Ri,Rj}を

K(Ri,Rj)の

…,Rn,E}を

自 己 同 型 を 与 え る.よ

意 の 点Xの

非 斉 次 座 標 を(ξ1,ξ2,…

∈A(K),

動 か さ な い 自己 同 型 動 か さ な い か ら,φ

っ て,頂

点R0の

…,ξn)と

は数 性直 線

補 側 空 間 に 含 まれ な い 任

す れ ば,点φ(X)の

非斉 次 座

標は

と な る.と

こ ろ が,φ

は2点R0,Eを

や は り直 線R0∨E上

動 か さ な い か ら,直

の 点 に 移 さ れ る.す

ば,ω1(λ)=ω2(λ)=…

…=ωn(λ)で

で な け れ ば な ら な い.ゆ ら れ る.逆

  4.2 

…=ωn=ω

射

影

変

点Xに

…=ξn=λ

なら

任 意 で よいか ら

∈A(K)

属 す る. 

与え (証 終)

換

の 空 間M,M′上

間Mの

λ∈Kは

の点 は

換φ は 斉 次 座 標 を 用 い て,ρxi′=ω(xi)で

に こ の 変 換 は た し か にΓL0(n,K)に

  一 般 に,2つ と き,空

え に,変

な わ ち,ξ1=ξ2=…

あ る.元

ω1=ω2=…

線R0∨E上

に 体Kの

は,そ

元 に よ る 座 標 系 が 与 え られ て い る

れ と 同 じ 座 標 を も つ 空 間M′

の 点X′

を対 応 さ

せ る写 像

を2空

間M,M′

  定 理4.8 

の 間 の 同 座 標 変 換 と よぶ. 係 数 体Kの

射 影 空 間Pnに

射 影 座 標 系 が 与 え られ,2直

線l,l′

の方程 式 をそ れ ぞれ

とす る.2直

線l,l′上

で 表 わ す と き,2直

の 点 を パ ラ メ ー タ λ,μ ∈Kに

線l,l′

よ る 斉 次 座 標(λ,μ)≠0

の 間 の 同 座 標 変 換 は 射 影 変 換 で あ る.

  証 明   標 構{R0,R1,…

…,Rn,E}に

の 点 は 斉 次 座 標(x0,x1,…

…,xn)で

関 す る 射 影 座 標 系 に よ っ て,空 表 わ さ れ る.こ

の と き,任

間Pn

意 の 辺Rj∨Rk

上 の 点 は 斉 次 座 標(xj,xk)で Rj∨Rk,Rp∨Rqの 換 で あ る.2直

表 わ さ れ る.射 影 座 標 系 の 定 義 か ら,標 構 の2辺

間 の 同 座 標 変 換 は 基 本 変 換 で あ っ て,こ れ は も ち ろ ん 射 影 変 線l,l′

の 間 の 同 座 標 変 換 は,3つ

の 同座 標 変 換 の 結 合

l→Rj∨Rk→Rp∨Rq→l′ と見 な し て よい か ら,直 線lに φ:l→Rj∨Rkが

対 し て,適

を 失 な う こ と な く,直 線lは 分 空 間u*を

に よ っ て,直

線l上

… … ,0)に

辺R0∨R1の

補 側 空 間u*に

の 点(x0,x1,… 方,直

…,xn)は 線lの

辺 標 構{R0,R1}に

線l上

の 点(λ,μ)が

の 点(x0,x1,0,

…,n) 表 わ さ れ る.ま

た 辺R0∨R1上

表 わ さ れ る.こ

辺R0∨R1上

の点 は

の と き,配

の 点(λ′,μ′)に

景写

移 され る

の変 換 式 は

の 変 換 を,辺R0∨R1上

換 と 見 な せ ば,定

理3.17(2)に

か も,α=φ°

よ っ て,こ

ψ で あ る か ら,同

で 点(λ,μ)を

射 影 空 間Pnに

お い て,2直

点(λ′,μ′)に

移す 変

れ は 射 影 変換  座標 変 換

は射 影 変 換 で あ る. 

こで,2つ

般性

交 わ らな い として よ

辺R0∨R1上

関 す る 射 影 座 標(λ′,μ′)で

で 与 え ら れ る.こ

で あ る.し

っ て,一

方程 式

の 点 は 斉 次 座 標(λ,μ)で

像 α に よ っ て,直

任意 の直

軸 とす る 配 景 写 像

移 さ れ る.一

に よ っ て,l上

間Pnの

側 空 間 に 交 わ ら な い.よ

xi=λai+μbi(i=0,1,…

と す れ ば,そ

と り,同 座 標 変 換

射 影 変 換 で あ る こ とを 示 せ ば 十 分 で あ る.空

線 は,標 構 の 少 な く と も1つ の(n−2)‐

い.部

当 な 辺Rj∨Rkを

(証終) 線 の 間 の 射 影 変 換 に つ い て は す で に 考 察 した.そ

の 部 分 空 間 の 間 の 射 影 変 換,と

くに 空 間Pnを

そ れ 自身 に 移 す 射 影 変

換に つ い て 考 察 し よ う.   n次 元 射 影 空 間Pnの2つ え られ,こ

れ を 空 間P1rの1直

のr‐ 空 間P1r,P2rの

間 の 同 型f:P1r→P2rが

線上 に 制 限 す れ ば,2直

与

線 の 間 の射影 変 換 にな

っ て い る と き,fをP1rとP2rの r=1の

と き,2直

に,同

型f:P1r→P2rを

間 の 射 影 変 換 と い う.こ

の 定 義 で,と

くに

線 の 間 の 射 影 変 換 の 定 義 に 一 致 す る こ と は 自 明 で あ る.一 空 間P1rの1直

線l上

に 制 限 し た と き,こ

般

れ が射 影 変

換

で あ れ ば,P1rの は,定

任 意 の 直 線gに

理4.8を

影 空 間Pnを

考 慮 す れ ば 容 易 に 確 か め られ る.と

くに,係

数 体Kのn次

そ れ 自身 に 移 す す べ て の 射 影 変 換 の 集 合 は 空 間Pnの

ΓL(n,K)の わ す.ま

制 限 し て もや は り射 影 変 換 で あ る.こ

部 分 群 を つ く る.こ

た,空

間Pnに1つ

れ をPnの

射 影 群 と い い,PL(n,K)で

元 射 影 空 間Pnの1つ 数 体Kの

こ に,元

  証 明  射 影 変換φ 理3.13に 理4.7に

よ っ て,各 お い て,と

で 与 え ら れ る.こ

の標構 を動 か さない 射 影 群 の 部 分 群

内 部 自己 同 型 群I(K)と

ρ∈K,ρ≠0,は

∈PL0(n,K)は

同 型 で あ る.そ

な い こ と は,定 を い え ば よ い.こ す れ ば,こ

任 意 で よ い.

こ の 標 構 の 各 辺 標 構 を 動 か さ な い か ら,定

く に ω∈I(K)の

ρ∈K,ρ

と書 い て も 同 じ で あ る.逆 に,こ 理4.7か

し て,こ

属 す る変 換 は

辺上 の 数 性 直 線 の 内 部 自 己 同 型 を 与 え る.し

こ に,元

部分 群

表 わ す.

の 標 構 に 関 す る斉 次 座 標 を 用 い れ ば,群PL0(n,K)に

で 与 え ら れ る.こ

表

の標 構 が 与 え られ た と き,こ の 標 構 の 各 頂 点 お よ び

を つ く る.こ れ をPL0(n,K)で

PL0(n,K)は,係

元射

自己 同 型 群

単 位 点 を そ れ ぞ れ 動 か さな い す べ て の 射 影 変 換 の 集 合 は 群PL(n,K)の

  定 理4.9 n次

の こ と

場 合 で あ る.ゆ

≠0,は

え に,変

た が っ て,定

換φ は

任 意 で よ い か ら,

の 変 換φ が 標 構 の 各 頂 点 お よび 単 位 点 を 動 か さ

ら明 らか で あ る.よ

の 変 換φ に よ っ て,空 間Pnの

れ ら の方 程 式 を そ れ ぞ れ,

っ て,こ れ が 射 影 変 換 で あ る こ と 直 線lが

直 線l′ に 移 され た と

とす る こ とが で き る.2直 定 理4.8に

線l,l′上

よ っ て,2直

線l,l′

の 点 を 斉 次 座 標(λ,μ)≠0で

表 わ す と き,

の 間 の 同 座 標 変 換 は 射 影 変 換 で あ る.こ

の 同

座 標 変換は 変 換φ に よ っ て与 え られ る も の で あ る か ら,φ は 射 影 変 換 で あ る. (証 終)   定 理4.10 

n次 元 射 影 空 間Pnに

ΓL(n,K)の

変 換 は 準1次

お い て,斉

次 座 標 を 用 い れ ば,自

己 同型 群

変換 式

(全単射)

 (1) 

で 与 え られ,射

影 群PL(n,K)の

 (2) 

変 換 は1次 変 換 式

(全 単 射)

で 与 え ら れ る.こ

こ に,ω

∈A(K),αij∈Kと

し,元

ρ∈K,ρ

≠0,は

任意で

よ い.   証 明   明 ら か に 変 換(1)は に よ っ て 直 線l′

自 己 同 型 で あ る.空

に 移 さ れ た と す れ ば,こ

で 与 え ら れ る.こ の2直

線 上 の 点 を ど ち ら も斉 次 座 標(λ,μ)≠0で

す 変 換 を つ く る こ と が で き る.よ 変 換 と(2)の

変 換 と(2)の

射 影 空 間Pnの

正 規 部 分 群 で あ っ て,

の標 構 を任 意 の標 構 に移

般 の 射 影 変 換 は,定

形 で あ る.ま た,一

れ る.こ れ ら を 結 合 す れ ば(1)の   定 理4.11 

っ て,一

表 わ す と き,

理4.9に

おける

形 の変 換 とを 結 合 す る こ とに よ っ て 得 ら れ る.こ

れ ら を 結 合 し て もや は り(2)の に お け るΓL0(n,K)の

変 換(2)

射 影 変 換 で あ る.し か も,変 換

お け る 元 αij∈Kを 適 当 に え らん で,Pnの1つ

PL0(n,K)の

直 線lが

れ らはそ れ ぞれ 方程 式

同 座 標 変 換 は 射 影 変 換 で あ るか ら,変 換(2)は (2)に

間Pnの

般 の 自己 同 型 は,定

理4.7

形 の 変 換 と を 結 合 す る こ とに よ っ て 得 ら

形 とな る. 

射 影 群PL(n,K)は

(証終) 自己 同 型 群ΓL(n,K)の

  証 明   空 間Pnの

任 意 の 自己 同 型 は,標

の結 合 と して 得 ら れ る.そ

し て,体Kの

で あ る か ら,PL(n,K)は

構 を 動 か さ な い 自 己 同 型 と射 影 変 換 と 自己 同 型 ω∈A(K)に

ΓL(n,K)の

正 規 部 分 群 で あ る.定

対 して,

理4.7,4.9

に よ っ て,

(証終)   系   射 影 空 間Pnの

任 意 の 自 己 同 型 が 射 影 変 換 で あ るた め の 条 件 は,そ

の 係

数 体 が 内 部 自己 同 型 以 外 の 自己 同 型 を もた な い こ と で あ る.   い ま,射 影 空 間Pnに

 

対 す る次 の 命 題 を 考 え る.

任 意 の 標 構 を も う1つ の 標 構 に 移 す 射 影 変 換 は た だ1つ

存 在 す る.

(射 影 幾 何 の 基 本 定 理)   定 理4.12 

射 影 空 間Pnに

お い て,基

本 定 理 が 成 立 す る た め の 条 件 は,そ

の

係 数 体 が 可 換 とな る こ とで あ る.   証 明   定 理4.9,4.10(2)か   係 数 体 が 実 数 体Rま

ら 明 ら か で あ る. 

た は 複 素 数 体Cの

(証終)

射影 空 間 をそ れ ぞれ 実 射影 空 間 ま た

は 複 素 射 影 空 間 と い う.   定 理4.13 

実 お よび 複 素 射 影 空 間 で は 射 影 幾 何 の 基 本 定 理 が 成 立 す る.と

く

に,実 射 影 空 間 で は 自己 同 型 は 射 影 変 換 に 限 る.   証 明   前 半 は 実 数 体Rお る.後 半 は,定 理4.11系

よ び 複 素 数 体Cが に よ っ て,実

可 換 であ る ことか ら明 らか であ

数 体Rが

恒 等 変 換 以 外 の 自己 同 型 を も

た な い こ とを 証 明 す れ ば 十 分 で あ る.こ れ は 定 理3.12で

保 証 さ れ て い る.そ の

証 明 を く り返 せ ば 次 の 通 りで あ る.任 意 の 自 己 同 型 ω:R→Rを ん,ω(1)=1で

あ る.任

に よ っ て 得 ら れ る.自 Q⊂R上

意 の 有 理 数 は 数1か

と る.も

ち ろ

ら四 則 の 演 算 を 有 限 回 行 な う こ と

己 同 型 ωは 四 則 の 演 算 を保 存 す る か ら,ω は 有 理 数 体

で は 恒 等 変 換 で あ る.ま

た,任

意 の 正 数a>0,a∈R,に

対 し て,

とな る.よ

っ て,写 像 ω:R→Rは

実 数 体Rに

実 数 の大 小 関 係 を 保 存 す る.有 理 数 体Qは

お い て 稠 密 で あ るか ら,自 己 同 型 ω:R→Rは

恒 等 変 換 でな けれ ば

な ら な い. 

(証終)

  複 素 射 影 空 間 で は 射 影 変 換 で な い 自己 同 型 が 存 在 す る.た (ziはxiの

は 標 構 を 動 か さ な い 自己 同 型 ΓL0(n,C)に

と え ば,変

換,

共 役 複 素 数)

属 す る 変 換 で あ る が,も

ち ろん恒 等

変 換 と は 異 な る もの で あ る.複 素 射 影 空 間 で は これ 以 外 に も 標 構 を 動 か さ な い 自 己 同 型 が た く さ ん あ る.

  4.3 

相

称

と

  係 数 体Kのn次

相

反

元 射 影 空 間Pnに

関 す る射 影 座 標 系 を と り,空 間Pnの

お い て,標 構{R0,R1,……,Rn,E}に 点Xの

斉 次 座 標 を(x0,x1,……,xn)≠0

とす る.す な わ ち,点Xは X=x0R0+x1R1+……+xnRn,xj∈K, E=R0+R1+……+Rn,

で 与 え ら れ る.こ

の と き,空

間Pnか

らPn自

身 へ の写 像

φ:Pn→Pn,y=φ(X), が 斉 次 座 標 に 関 す る1次

変 換式

 (1)

で 与 え られ る と き,写

像 φを 空 間Pnの

で は 写 像 に な っ て い な い.実

射 影 的 相 称 とい う.こ

れ は厳 密 な意 味

際,

 (2)

とな る点Xに

はPnの

点 が 対 応 し な い か ら で あ る.こ

特 異 点 とい う.特 異 点 は 方 程 式(2)の 異 点 の 集 合 は 空 間Pnの(n−r)‐ と い う.そ

して,整

数rを

の よ うな 点Xを

相 称φ の

解 と して 与 え られ る も の で,す べ て の 特

空 間Sn−rを

つ くる.こ れ を 相 称φ の特 異 空 間

相 称φ の 階 数 とい う.相 称φ が 特 異 点 を も た な い と

き,す

な わ ちr=n+1の

と き,φ

は 全 単 射 で あ っ て,空

間Pnの

異 空 間 と な る 場 合,す

な わ ち,r=0の

な っ て,無

意 味 で あ る.射

関 す る1次

方程式

は 正 則 で あ る と い わ れ る.こ

射 影 変 換 に 他 な ら な い.な

お,全

場 合 は 考 え な い.こ

影 空 間Pnの

の 場 合,相

称 φ

空 間Pnが

特

の 場 合,ajk=0と

超 平 面uは,点Xの

斉 次 座 標(xj)に

x0u0+x1u1+……+xnun=0,uj∈K, で 与 え ら れ,(u0,u1,……,un)≠0は 座 標 と 見 な さ れ る.空

空 間Pnの

間Pnか

双 対 空 間Πnに

ら そ の 双 対 空 間Πnへ

お け る斉 次

の写 像

が斉 次座標に関す る1次 変換式  (3)

で 与 え ら れ る と き,写 点Xに

対 して,空

像 φを 空 間Pnの

間Pnの

超 平 面uを

意 味 で は 写 像 に な っ て い な い.実

射 影 的 相 反 とい う.こ れ は 空 間Pnの 対 応 さ せ る 写 像 で あ るが,こ

れ も厳 密 な

際,

 (4)

と な る 点Xに

は 空 間Pnの

超 平 面 が 対 応 し な い か らで あ る.こ

相 反 φの 特 異 点 と い う.特 異 点 は 方 程 式(4)の べ て の 特 異 点 の 集 合 は 空 間Pnの(n−r)‐ の 特 異 空 間 とい う.整数rを き,す な わ ちr=n+1の は 全 単 射 で あ っ て,空

間Pnか

らそ の 双 対 空 間Πnへ

合,ajk=0と

な っ て 無 意 味 で あ る. 影 空 間Pnの

な わ ち,r=0の

係 数 体Kは

相 反u=φ(X)の

と す る と き,空

空 間Sn−rを

つ くる .こ

と き,φ は 正 則 で あ る とい わ れ る.こ

特 異 空 間 とな る場 合,す

空 間Pnの

解 と し て 与 え られ る もの で,す れ を 相反 φ

相 反 φの 階 数 とい う.相 反 φが 特 異 点 を もた な い と

全 空 間Pnが

  こ こで,射

の よ うな 点Xを

間Pnの2点X,Yに

可 換 と し,そ

の場 合,相

の 双 対 同型 とな る.な お, 場 合 は 考 え な い.こ

の 標 数 は2で

の場

な い とす る.

方 程式 を

対 し て,そ

反 φ

れ ら の 斉 次 座 標(xj),(yk)

に 関 す る 双1次

を 考 え る.明

式

らか に 関 係 式

が み た さ れ る.そ

こで,相

平 面上 に あ れ ば,必

反u=φ(X)に

ず 点Xは

点Yに

お い て,点Yが

で あ る.さ

対 応 す る超

対 応 す る 超 平 面上 に あ る と き,こ の 相 反 は

対 合 的 で あ る とい う.相 反u=φ(X)が ら ば 必 ずf(X,Y)=0と

点Xに

対 合 的 で あ る条 件 は,f(Y,X)=0な

な る こ とで あ る か ら,

らに f(Y,X)=ρf(X,Y)=ρ2f(Y,X)

で あ る か ら,ρ2=1で 反u=φ(X)に

な け れ ば な ら な い.す

お い て,ρ=1の

こ れ を 零 系 と い う.す

な わ ち ρ=±1で

と き,こ

な わ ち,相

れ を 極 系 と い い,ρ=−1の

反u=φ(X)が

と す れ ば,こ

と き,

X,Y∈Pn,

零 系 で あ る条 件 は f(X,Y)=−f(Y,X), 

で あ る.相

合的 相

極 系 で あ る条 件 は

f(X,Y)=f(Y,X),  そ し て 相 反u=φ(X)が

あ る.対

X,Y∈Pn,

反 の方 程 式 を

れ が極 系 で あ る条件 は ajk=akj 

(j,k=0,1,…

…,n),

そ し て これ が 零 系 で あ る条 件 は ajk=−akj  で あ る.零 f(X,X)=0が

系u=φ(X)に

(j,k=0,1,…

成 り 立 つ.す

お い て は,空 な わ ち,零

間Pnの

…,n) す べ て の 点Xに

系 で は 点Xに

対 し て,関

係

対 応 す る 超 平 面uは

必

ず 点Xを

通 る.

  偶 数 次 元 射 影 空 間 に は,正 則 な零 系 は 存 在 しな い.実 際,奇 の値 は い つ も0と な る か らで あ る.な

お,係

数 体Kの

数 次 の交 代 行列 式

標 数 が2で

あ れ ば,極

系

と零 系 との 区 別 が な くな る.

  4.4 

非

調

和

比

  以 下 この 章 の 最 後 ま で,係 n次 元 射 影 空 間Pnの1つ

数 体Kは

可 換 と し,そ の 標 数 は2で

の 数 性 直 線K(A0,B0,E0)に

な い とす る.

対 す る同型

θ0:K(A0,B0,E0)→K を 指 定 す れ ば,任

が た だ1つ

意 の 数 性 直 線K(A,B,E)に

存 在 し,同

対 し て,射 影 変 換

型 θ=θ0°φ:K(A,B,E)→K

が 一 意 的 に 定 ま る.空 お け ば,Pnの

間Pnの

す べ て の 数 性 直 線 に は い つ も この 同 型 θを 定 め て

任 意 の 部 分 空 間 上 の 射 影 座 標 系 は,そ

の上 の 標 構 さ え 与 え れ ば,

一 意 的 に 定 ま る.   直 線l上 QはAと

の4点A,B,P,Qに

お い て,A,B,Pは

異 な る と す る.点A,B,Pを

構 に 関 す る 点Qの

非斉 次座 標

η∈Kを

た が い に 異 な り,か

そ れ ぞ れ 示 点,原 こ の4点

点,単

つ

位 点 とす る 標

の 非 調 和 比 と よ ん で,

η=〔A,B,P,Q〕 で 表 わ す.と

くに,〔A,B,P,Q〕=−1の

と き,こ

の4点

は調 和 点列 で あ る

と い う.   定 理4.14  に,調

射 影 変 換 に よ っ て,直

線上 の4点

の 非 調 和 比 は 変 わ ら な い.と

和 点 列 は 調 和 点 列 に 移 さ れ る.

  証 明   射 影 変 換 の 単 一 性 か ら 明 ら か で あ る.    定 理4.15 

直 線l上

の4点

の非 調和 比 を

  (1) 

〔B,A,P,Q〕=〔A,B,Q,P〕=η

  (2) 

〔A,P,B,Q〕=1−

(証 終)

〔A,B,P,Q〕=η −1.

η.

と す れ ば,

く

 (3) 

〔P,Q,A,B〕=η.

  証 明   直 線l上

の 任 意 の 点Xは

で 与 え ら れ る.と

くに,非

Q=ηA+Bと   (1) 

調和 比

〔A,B,P,Q〕=η

の 定 義 か ら,P=A+B,

な る. P=B+A,Q=η−1B+Aで

あ る か ら,2点A,Bの

れ ば,〔B,A,P,Q〕=η−1で

あ る.ま

あ る か ら,2点P,Qの

役 割 を いれ か え

た,Q=ηA+B,P=η−1(ηA)+Bで

役 割 を い れ か え れ ば, 〔A,B,Q,P〕=η−1.

  (2) 

B=−A+P,Q=−(1−

η)A+Pで

あ る か ら,2点B,Pの

役 割 を

い れ か え れ ば, 〔A,P,B,Q〕=1−   (3) 上

η.

の 結 果 を 引 き 続 い て 用 い れ ば よ い.す 〔P,A,B,Q〕=(1−

な わ ち,

η)−1,〔P,A,Q,B〕=1−

〔P,Q,A,B〕=1−(1−   定 理4.16 

直 線l上

よ び3点A,B,Qは

η,

η)=η. 

(証 終)

の5点A,B,P,Q,Rに

お い て,3点A,B,Pお

ど ち ら も た が い に 異 な り,か

つRはAと

異 な る と す る.

こ の と き, 〔A,B,P,Q〕

・〔A,B,Q,R〕=〔A,B,P,R〕.

  証 明   P=A+B,Q=ηA+B,R=ζA+Bと

お け ば,

〔A,B,P,Q〕=η,〔A,B,P,R〕=ζ で あ る.ま

た,Q=ηA+B,R=ζ

ζη−1と な る.ゆ

あ る か ら,〔A,B,Q,R〕=

え に,

〔A,B,P,Q〕   定 理4.17 

η−1(ηA)+Bで

直 線l上

・〔A,B,Q,R〕=ζ=〔A,B,P,R〕.  の4点A,B,P,Qが

調 和 点 列 で あ れ ば,

  (1) 

4点B,A,P,Qは

調 和 点 列 で あ る.

  (2) 

4点A,B,Q,Pは

調 和 点 列 で あ る.

  (3) 

4点P,Q,A,Bは

調 和 点 列 で あ る.

  証 明   〔A,B,P,Q〕=−1で

あ る か ら,定

(証 終)

理4.15(1),(3)に

よって

〔B,A,P,Q〕=〔A,B,Q,P〕=(−1)−1=−1, 〔P,Q,A,B〕=−1.    直 線l上

の 異 な る2点A,Bに

B,P,Qが

(証 終)

対 し て,l上

の2点P,Qを

と り,4点A,

調 和 点 列 で あ る と き,2点P,Qは2点A,Bを

あ る い は2点A,Bに

関 し て 点Qは

理4.17(3)か

ら,2点P,Qが2点A,Bを

は2点P,Qを

調 和 に 分 け る.ま

A,Bに

関 す る 点Pの

に す れ ば,直 役 点Qと

た,点Pが2点A,Bと

関 す る 点Aの

場 合 に は,点Bの 線l上

は1対1に

  定 理4.18 

調 和 共 役 点 はA自

な る2点A,Bに

対 応 し,点Qの

直 線l上

ら にP=Aの

場合

身 で あ る と 定 め,そ

身 で あ る と 定 め て お く.こ 対 し て,任

意 の 点Pと

調 和 共 役 点 は 点Pと

の4点A,B,P,Qが

{A,P,B,A,Q,B}が

異 な る と き,2点

一 意 的 に 定 ま る.さ

調 和 共 役 点 はB自

で,異

調 和 共 役 点 で あ る と い わ れ る.定 調 和 に 分 け れ ば,2点A,B

調 和 共 役 点Qは

に は,2点A,Bに P=Bの

点Pの

調 和 に 分 け る,

して の よう

そ の調 和 共

な る.

調 和 点 列 で あ る た め の 条 件 は,

四 角 形 性6点

とな

る こ と で あ る.   証 明   3点A,B,Pを 点,単

そ れ ぞ れ 示 点,原

位 点 と す る 標 構 に 関 す る 点Qの

次 座 標 が−1で

あ る と は,数

K(A,B,P)に

お い て,P+Q=Bで

こ と を 意 味 す る.こ れ は,数 四 角 形 性6点

非 斉

性 直 線, ある

図4.1

性 直 線 の 和 の 定 義 か ら,{A,P,B,A,Q,B}が

で あ る こ とを 意 味 す る. 

  系   直 線l上

の 異 な る2点A,Bに

す 写 像 φ:l→l,φ(P)=Q,は 加 法 直 線 と 見 な せ ば,こ

(証終) 対 して,点Pを

射 影 変 換 で あ る.直

そ の 調 和 共 役 点Qに 線lを

示 点A,原

移

点Bの

の 射 影 変 換 φは Q=−P

で 与 え られ る.   証 明   これ は 定 理3.6(2)に   直 線l上

に1つ

φ:l lに

よ っ て,点

お け る 射 影 変 換 で あ る. 

の 標 構 を 与 え て,l上

(証終)

の 点 を 非 斉 次 座 標 で 表 わ す と き,射 影 変 換

ξが 点 ηに 移 る とす れ ば,こ

の2点

の 関 係 は 双1次 方 程 式

 (1)

で 与 え られ る.実 際,こ

の 方 程 式 を ηに つ い て 解 け ば,1次

を 得 る か ら で あ る.2点 れ ば,双1次

変 換式

ξ,η の 斉 次 座 標 を そ れ ぞ れ(x0,x1),(y0,y1)と

す

方 程 式(1)は

 (2) と書 か れ る.射

影 変換

φ:l lに

は 対 合 的 で あ る と い わ れ る.φ (2)が

お い て,φ° φ=1(恒 ≠1と

し て,φ

斉 次 座 標 を 用 い る と き,対

関 係 は 対 称 双1次

な る と き,φ

が 対 合 的 で あ る た め には,方

ξ と η と に 関 し て 対 称 と な る こ と で あ る.す

っ て,非

等 変 換)と

な わ ち,h=kで

程式

あ る.よ

合 的 射 影 変 換 に よ っ て 対 応 す る2点

ξ,η の

方程 式

 (3)

で 与 え られ,こ

れ は また 対 称1次 変 換 式

で表 わ され る.斉 次 座 標 を用 い れ ば,対

称 双1次

方 程 式(3)は

 (4)

と書 く こ とが で き る. 定 理4.19 

直 線l上

の 対 合 的 射 影 変 換 φ:l l,φ

をそ れ ぞ れ 動 か さ な け れ ば,φ

≠1,が

異 な る2点A,B

に よ って た が い に 対 応 す る2点P,Qは2点A,

Bを 調 和 に 分 け る.  証 明   2点A,Bを

そ れ ぞ れ 標 構 の示 点,原

点 に と り,こ

の対 合 的 射 影 変 換

φを

と す れ ば,φ(A)=A,φ(B)=Bで 変 換 φは

η=−

あ る か ら,a=0,b=0と

ξ で 与 え ら れ,こ

れ は,定

理4.18系

な る.ゆ

に お け る射 影 変 換 に 一 致

す る.    定 理4.20 

えに

(証 終) 直 線l上

の 非 斉 次 座 標tに

関 す る2次

方程式

a+2ht+bt2=0 が 異 な る2根

α,β

を み た す2点

ξ,η は2点

  証 明   こ の2点 そ し て,2点 て,2点

を も て ば,対

α,β

称 双1次

α,β は,対

方程式

を 調 和 に 分 け る.

合 的 射 影 変 換(2)に

ξ,η は こ の 変 換 に よ っ て 対 応 す る2点 ξ,η は2点

  こ の 定 理 を,斉   定 理4.21 

α,β

よ っ て 動 か な い 点 で あ る. で あ る.定

理4.19によ

を 調 和 に 分 け る. 

っ

(証 終)

次 座 標 を 用 い て い え ば 次 の 通 りで あ る.

直 線l上

の 斉 次 座 標(t0,t1)に

関 す る2次

方程式

at02+2ht0t1+bt12=0 が 異 な る2根(α0,α1),(β0,β1)を

も て ば,対

称 双1次

方 程式

ax0y0+h(x1y0+x0y1)+bx1y1=0 を み た す2点(x0,x1),(y0,y1)は2点(α0,α1),(β0,β1)を  な お,n次 て,同

元 射 影 空 間Pnに

じ(n−2)‐

空 間 を 含 む4超

面 束 が 考 え ら れ る.と さ れ る.そ

  4.5 

く に,射

線上 の4点

の非 調和 比 の双対 概 念 と し

平 面 の 非 調 和 比 が 定 義 さ れ る.そ 影 平 面上 で 同 じ 点 を 通 る4直

して 調 和 超 平

線 の非調和 比 が 定義

し て 調 和 直 線 束 が 考 え ら れ る.

2次

曲

面

  n次 元 射 影 空 間Pnに の 点Xに

お い て,直

調 和 に 分 け る.

お い て,射

対 応 す る 超 平 面uは

成 り 立 た な い.極

点Xを

系u=φ(X)が

程式

で 表 わ し,対 称 双1次

を つ く る.こ

式

の と き,2次

方 程式

影 的 相 反u=φ(X)が 通 る.し

か し,極

与 え ら れ た と き,こ

零 系 で あ れ ば,任 系 に 対 し て,こ

意

の こ とは

れ を斉 次座 標 に 関す る方

をみ た す 点Xの て,点Xが

集 合Qn−1を2次

曲 面 とい う.こ れ は,極

そ れ に 対 応 す る超 平 面u上

系u=φ(X)に

に あ る よ うな 点Xの

おい

軌 跡 で あ る.逆 に,

2次 方 程 式

が 与 え られ れ ば,(ajk+akj)/2を

あ らた め てajkと

(ajk)は 対 称 と見 な し て よ い か ら,極 空 間Pnに

お い て,極

系u=φ(X)が

系u=φ(X)と2次

系u=φ(X)に

ど の用 語 は,2次 が た だ1点

式f(X,Y)を

曲面f(X,X)=0に

な お,係

数 体Kに

え ば,実

射 影 空 間 に お い て は,2次

よ っ て は,2次

錐 面 とい い,そ

曲 面Qn−1が

は1対1に 曲面 の極 形式

異 空 間,正

則,階

数な

を み た す よ うな 実 点(x0,x1,…

の 特 異 点 を 頂 点 と い う.

空 集 合 と な る こ とが あ る.た

と

方程 式

x02+x12+…

…+xn2=0

…,xn)≠0は

そ れ らに 対 応 す る極 系 が 同 じで あ る と き,同

存 在 し な い.2つ

の 斉 次 座 標(x0,x1,…

の2次

じ も の と見 な す の で,点

曲面 とは い え な い.n次

す べ て の 点 の 集 合Pn(R)はn次 Pn(C)の

影

対 して もそ の ま ま用 い られ る.特 異 空 間

曲 面 を2次

一 致 し て も,必 ず し も 同 じ2次

列

な わ ち,射

この2次

お い て 用 い られ た 特 異 点,特

で あ る よ うな2次

に お い て,そ

定 ま る.す

曲 面f(X,X)=0と

対 応 す る.こ の 極 系 か ら定 ま る対 称 双1次 と い う.極

書 く こ と に よ っ て,行

…,xn)≠0が

曲面 は

集 合 と して

元 複 素 射 影 空 間Pn(C) と くに 実 数 値 とな る よ うな

元 実 射 影 空 間 を つ くる.こ の 場 合,Pn(R)は

複 素 部 分 空間 に は な ら な い が,n次

元 実 射 影 空 間 は い つ も この よ うに

n次 元 複 素 射 影 空 間 に 含 まれ る と考 え て よ い.実 射 影 空 間 を扱 う と き,必 要 に 応 じて,そ

れ を 含 む 複 素 射 影 空 間 の 点 を 補 助 と し て 考 え る と便 利 な こ とが 多 い.実

射 影 空 間 の2つ き,同

の2次

曲 面 に お い て,係

じ点 集 合 で あ れ ば,こ

  射 影 空 間Pnの2次 の2点X,Yに

れ らの2次

曲 面Qn−1の

数 体Rを

複 素 数 体Cま

で拡大 し た と

曲 面 は 同 じ も の で あ る.

方 程 式 をf(X,X)=0と

対 し て,極 方 程 式f(X,Y)=0が

す る.空

み た され る と き,点Xと

間Pn 点

Yと

は,2次

曲面Qn−1に

で あ る か ら,点Xと に,点Xが2次

関 し て 共 役 で あ る とい う.極

点Yと

が 共 役 な ら ば,点Yと

曲面Qn−1上

を 意 味 す る.空 間Pnの

で あ る か ら,2点Y,Zを た が って,空

間Pnの

部 分 集 合Mの

お,空

意 の 点Y∈Nと

ど ち ら も点Xと

共 役 な らば,

共 役 で あ る.し

す べ て の 点 と共 役 で あ る よ うなPnの

の 部 分 集 合M,Nに

がQn−1に

く

そ れ 自身 と共 役 で あ る こ と

部 分 空 間 を つ く る.こ れ を 点 集 合Mの

間Pnの2つ

対称

は 共 役 で あ る.と

通 る直 線上 のす べ て の 点 が,点Xと

全 体 は,空 間Pnの ぶ.な

点Xと

に あ る こ とは,点Xが

異 な る2点Y,Zが

形 式f(X,Y)は

点

最 大共 役 空間 と よ

お い て,任

意 の 点X∈Mと

関 し て た が い に 共 役 で あ る と き,簡

任

単 にMとN

と は 共 役 で あ る とい う.   定 理4.22  がQn−1の

射 影 空 間Pnの2次

曲面Qn−1に

特 異 空 間 で あ るた め の 条 件 は,部

お い て,Pnの

部 分 空 間Sn−r

分 空 間Sn−rと

全 空 間Pnと

がた

が い に 最 大 共 役 と な る こ とで あ る.   証 明  2次 曲面Qn−1の をu=φ(X)と

方 程 式 をf(X,X)=0と

す れ ば,特

る.し た が っ て,Sn−rの f(X,Y)=0と と な る 点Xは

任 意 の 点Xお

な る.逆

に,空

明 らか にQn−1の

  系   2次 曲 面Qn−1の

身 と共 役 で あ る.よ

  射 影 空 間Pnの2次 の 点XがQn−1の 間Pnの

よ び 空 間Pnの

間Pnの

任 意 の 点Xは

曲 面Qn−1の

特 異 空 間Sn−rに

Yの

極 超 平 面 は 点Xを

お け るQn−1の

対 して,f(X,Y)=0

含 ま れ る.

全 空 間Pnと

方 程 式 をf(X,X)=0と

ちろ

(証終) す る.空

含 ま れ な い と き,点Xの

点Xの

間Pn

最 大 共 役 空間 は 空

よ って 点Xに

対 応 す る超 平 面

極 超 平 面 と い う.空 間Pnの2点X,

くに,Qn−1上

接 超 平 面 と い う.2次

共 役 で あ るか ら,も に あ る. 

含 ま れ な い と き,点Xの 含 む.と

対 し て,

(証終)

超 平 面 と な り,こ れ は 極 系u=φ(X)に

Yが

任 意 の 点Yに

任 意 の 点Yに

っ て,点XはQn−1上

の超 平 面uを

与 え られ

特 異 点 で あ る. 

特 異 空 間Sn−rに

uに 他 な ら な い.こ

れ に対応 す る 極 系

方 程 式φ(X)=0で

特 異 空 間Sn−rはQn−1に

  証 明   特 異 空 間Sn−rの んX自

異 空 間Sn−rは1次

し,そ

極 超 平 面 が 点Yを の 点Xの

曲 面Qn−1が

含 め ば,点

極 超 平 面 を,点Xに

正 則 の と き,空

間Pnの

任

意 の 超 平 面uを 面uの

極 超 平 面 と す るPnの

極 と い う.ま

極 超 平 面 は,h等

た,Qn−1が

で あ る.そ

星Σhを

点Xは

正 則 で あ れ ば,h次

つ く り,そ

し て,PhとP*n−h−1と

  射 影 空 間Pnの2次 と い い,と 間Sn−rは1つ

はQn−1に

部 分 空 間Ph上

元 部 分 空 間P*n−h−1

間Pnの

理4.22系

か ら,Qn−1の

部 分 空 間PhがQn−1の の2次

関 し て 共 役 な ら ば,こ

の2次

曲 面Qh−1=Ph∩Qn−1に

の2点X,YがQh−1に

の各点 の

部 分 空 間 をQn−1の

空 間Ph上

空 間Pnの2点X,YがQn−1に

超平

関 し て た が い に 最 大 共 役 で あ る.

元 母 空 間 を 母 線 と い う.定

集 合Qh−1=Ph∩Qn−1は

む 部 分 空 間Ph上

元 部 分 空 間Ph上

含 ま れ るPnの

の 母 空 間 で あ る.空

な い と き,交

定 ま り,こ の 点Xを

の 中 心 はn−h−1次

曲 面Qn−1に

くに1次

た だ1つ

母 空間 特異 空 母 空 間で

曲 面 と 見 な さ れ る. の2点

は,そ

れ らを 含

関 し て も 共 役 で あ る.逆

関 し て 共 役 な ら ば,こ

の2点

に,

はQn−1

に 関 し て も 共 役 で あ る.   定 理4.23 

射 影 空 間Pnの2次

A,Bは

共 役 で あ る と し,こ

  (1) 

2点A,Bが

は2点A,Bを

曲 面Qn−1に の2点

を 結 ぶ 直 線 をlと

と も にQn−1上 調 和 に 分 け る.た

関 し て,空

異 な る2点

す る.

に な い と き,直

だ し,必

間Pnの

線lとQn−1と

要 が あ れ ば,係

の2交

点

数 体 を 拡 大 して お く

も の と す る.   (2) 

に あ っ て,点BはQn−1上

点 は 同 じ 点Aに

重 な る.

と の2交

点AはQn−1上

  (3) 

2点A,Bが

と も にQn−1上

に な い と き,直

に あ る と き,直

線lとQn−1

線lはQn−1の

母線 であ

る.   逆 に,空

間Pnの

異 な る2点A,Bが(1),(2),(3)の

せ ば,2点A,BはQn−1に   証 明   2次

関 し て 共 役 で あ る.

曲 面Qn−1の

f(A,B)=0で

あ る.ま

え ら れ る か ら,こ

い ずれ か をみ た

れ を2次

方 程 式 をf(X,X)=0と た,直

線l上

曲 面Qn−1の

す る.仮

定 か ら,

の 点 はX=λA+μB,(λ,μ)≠0,で

与

方 程 式 に 代 入 す れ ば,

λ2f(A,A)+μ2f(B,B)=0 と な る.こ lと2次

れ は 直 線l上 曲 面Qn−1と

の 斉 次 座 標(λ,μ)に の 交 点 は,こ

関 す る2次

方 程 式 で あ っ て,直

の 方 程 式 の2根(λ1,μ1),(λ2,μ2)と

線

して 与

え ら れ る.た   (1) 

だ し,必

要 が あ れ ば 係 数 体 を 拡 大 し て お く.

f(A,A)≠0,f(B,B)≠0で

あ る か ら,直

は 異 な る2点

で 交 わ る.2点A,Bは

こ れ ら は2根

を 調 和 に 分 け る.

  (2) 

f(A,A)=0,f(B,B)≠0で

  (3) 

f(A,A)=0,f(B,B)=0で

上 に あ る.逆

線lと2次

共 役 で あ る か ら,定

あ る か ら,2交 あ る が ら,直

に,(1),(2),(3)の

理4.21に

点 は 点Aに

線l上

曲 面Qn−1と よ っ て,

重 な る.

の す べ て の 点 はQn−1

い ず れ か が み た さ れ れ ば,f(A,B)=0

と な る. 

(証 終)

  定 理4.24  空 間Pnに

射 影 空 間Pnの2次 お け るSn−rの

Pr−1∩Qn−1は

曲 面Qn−1が

任 意 の 補 空 間Pr−1を

空 間Pr−1上

次 曲 面 と な る.そ

と れ ば,交

も つ と き, 集 合Qr−2=

の 正 則2

し て,Sn−r上

の任

意 の 点 とQr−2上

の任 意 の点 とを結 ぶ

直 線 は,Qn−1の

母 線 と な り,2次

面Qn−1は

特 異 空 間Sn−rを

曲

射 影 和Qn−1=Sn−r∨Qr−2

と し て 与 え ら れ る.   証 明   空 間Pr−1上 が 特 異 点Xを

曲 面Qr−2

も つ と 仮 定 す る.点X

は 空 間Pr−1上 あ る.ま

の2次

の す べ て の 点 と共 役 で

た,点Xは

特 異 空 間Sn−r

図4.2

上 の す べ て の 点 と共 役 で あ る か ら,点Xは

全 空 間Pn=Pr−1∨Sn−rと

な わ ち,点XはQn−1の

方,点Xは

特 異 点 で あ る.一

Sn−r上

に な い.こ

れ はSn−rがQn−1の

Qr−2は

正 則 で あ る.定

理4.23(3)か

点 と を 結 ぶ 直 線 はQn−1の 次 曲 面 と な り,こ   定 理4.25 

射 影 空 間Pnの

空 間Ph,P*n−h−1は

ら,特

異 空 間Sn−r上

集 合Sn−r∨Qr−2は

含 ま れ る か ら,Qn−1に 正 則2次

に あ っ て,

特 異 空 間 で あ る こ と に 反 す る.よ

母 線 で あ る.点

れ はQn−1に

空 間Pr−1上

共 役,す

曲 面Qn−1に

の 点 とQr−2上

関 し て,Pnの2つ 集合

の

た し か にPnの2

一 致 す る. 

た が い に 最 大 共 役 で あ る と す る.交

って

(証 終) の部分

を と れば,2つ

の2次

曲 面Qh−1,Q*n−h−2は

  証 明   部 分 空 間Smは

部 分 空 間P*n−h−1に

点 は 部 分 空 間Phと

共 役 で あ る.よ

空 間 に 含 ま れ る.逆 に 含 ま れ,し

にQh−1の

た が っ てSmに

同 様 にQ*n−h−1の   定 理4.26 

た め の 条 件 は,Phの

ら,部

の 任 意 の2点

曲 面Qh−1の

曲 面Qn−1の

母空間 で あ る

含 む こ と で あ る.

分 空 間PhがQn−1の

母 空 間 で あ るた めの条

が た が い に 共 役 と な る こ と で あ る.こ 共 役 で あ る こ と,す

な わ ちPhの

れ は,空

  証 明   2次 曲 面Qn−1は n−h−1次

元 で あ る.定

に 含 ま れ る.ゆ   定 理4.28 

任 意 の 点 がPhの

(n−2)/2と

理4.27か

ら,PhがQn−1の

な わ ち2h≦n−1で

し て,同

奇 数 の と き,q−1次

元 母 空 間Pk−1の

て,定

ら,Pk−1はP*n−k内

特 異 空 間 で あ る.そ 空 間Pn−2kを

よ っ て,こ

こ で,P*n−kに

と れ ば,定

含 むq次

理4.24か

然 数kに

元 母 空 間,す

元

の2次 含 ま れ,か

含 む

つ く る.と

く

あ る.

な わ ち,こ

の

つ い て 帰 納 法 を 用 い る.ま

れ は 空 間P*n−kに

ら,2次

はq次

元 母 空 間 は2つ

最 大 共 役 空 間 をP*n−kと

理4.26に

理4.25か

曲 面Qn−k−1を

曲 面 に は,0次

間 で あ る か ら,定

曲 面Qn−1に

元 母 空 間Pk−1(1≦k≦q)を

元 母 空 間Pq−1を

こ で,自

(証 終)

た 偶 数 の と き,q=

特 異 空 間 と す る2次

曲 面上 の 点 が 必 ず 存 在 す る.そ

ず,k−1次

あ る. 

の2次

じk−1次

  証 明   複 素 射 影 空 間Pn(C)の2次 2次

曲 面Qn−1

母 空 間 で あ れ ば,PhはP*n−h−1

元 複 素 射 影 空 間Pn(C)上

k次 元 母 空 間 全 体 は,Pk−1を にnが

正 則2次

最 大 共 役 空 間P*n−h−1は

奇 数 の と き,q=(n−1)/2,ま

存 在 す る.そ

最

あ る.

え にh≦n−h−1,す

お く.n次

母 空 間Pqが

元 部 分 空 間Phが

正 則 で あ る か ら,h‐ 空 間Phの

自 然数nが

間Ph

(証 終)

n次 元 射 影 空 間Pnのh次

の 母 空 間 で あ れ ば,2h≦n−1で

あ る. (証 終)

大 共 役 空 間 に 含 ま れ る こ と を 意 味 す る.    定 理4.27 

特異

特 異 空 間 はSmで

あ る. 

部 分 空 間Phが2次

  証 明   定 理4.23(3)か

のすべ て の

共 役 で あ る か ら 空 間P*n−h−1

え にQh−1の

最 大 共 役 空 間 がPhを

の 任 意 の 点 が 空 間Phと

の2次

間Phと

含 ま れ る.ゆ

特 異 空 間 もSmで

も つ.

含 ま れ る か ら,Sm上

っ てSmはPh上

特 異 点 は,空

射 影 空 間Pnの

件 は,Ph上

共 通 の 特 異 空 間Smを

す る.空

間Pk−1は

含 ま れ る.し

母空 たが っ

曲 面Qn−k−1=P*n−k∩Qn−1の つPk−1に

交 わ ら な い(n−2k)‐

曲 面Qn−2k−1=Pn−2k∩Qn−1は

正

則 で あ っ て,Qn−k−1=Pk−1∨Qn−2k−1と れ ば,定

理4.23(3)に

間 で あ る.逆 Pkと

よ っ て,k‐

に,母

空 間Pk−1を

空 間Pk−1と

え に,空

含 む 任 意 のk次

の 点Xが

間Pkは

空 間Pq−1を

含 むq次

と れ ば,空

な る.と

元 母 空 間Pqは

間

含 ま れ る.ゆ

含 ま れ る.よ

曲 面Qn−2k−1=Q0は

と

元母 空

空 間P*n−kに

存 在 し て,Pk=Pk−1∨Xと 場 合 に は,2次

っ て,母

の 点Xを

元 母 空 間Pkを

曲 面Qn−k−1=P*n−k∩Qn−1に

で,k=q=(n−1)/2の わ す.よ

こ で,Qn−2k−1上

空 間Pk=Pk−1∨XはQn−1のk次

は 共 役 で あ る か ら,空

間Pkは2次

曲 面Qn−2k−1上

な る.そ

っ て,2次

く にnが

奇 数

異 な る2点

を表

ち ょ う ど2つ

存 在 す る. (証 終)

  射 影 空 間Pnの

標 構{R0,R1,…

…,Rn,E}を

次 座 標 を 用 い て,2次

曲 面Qn−1の

と す る.こ

称 双1次

の と き,対

が 定 ま る.こ

と り,こ

の 標 構 に 関 す る斉

方程式を

式

こ に,2点X,Yは

それ ぞ れ

で 与 え られ る か ら,こ れ ら を 代 入 す れ ば,

と な る.す

な わ ち,方

程 式f(X,X)=0に

f(Rj,Rk)=ajk 

お け る 係 数ajkは (j,k=0,1,…

…,n)

で 与 え ら れ る.   定 理4.29  系 を と れ ば,方  (1)

係 数 体Kの 程式

射 影 空 間Pnの2次

曲 面Qn−1は,適

当な射 影 座標

で 表 わ さ れ る.こ   証 明   2次

曲 面Qn−1の

お い て,(n−r)‐ 間Pr−1上

こ に,rはQn−1の

お い て,Qr−2上 平 面Pr−2に

補 空 間Pr−1を

と る.次

下 同 様 に し て,空

ま た,特

異 空 間Sn−rの 間Pnの

間Pr−1の

基 底{R0,R1,…

任 意 の 基 底{Rr,…

標 構{R0,R1,…

る 斉 次 座 標 を 用 い て,2次

曲 面Qn−1の

得 ら れ る.こ

方 程 式 をf(X,X)=0と

た が い に 共 役 で あ る か ら,

で あ る.ま

点R0,R1,…

…,Rr−1は2次

,Rnは

と な る.ゆ

特 異 空 間Sn−rに

  定 理4.30 

え に,方

と れ ば,標

関す

得 ら れ る.

よ び 適 当 に 単 位 点Eを

点Rj,Rkは

… …

ら に,Qr−2に

…,Rr−1}が

標 構 の 異 な る2頂

た,頂

極超

に な い 任 意 の 点R2を

…,Rn}お

…,Rn,E}が

間Pr−1に

関 す る 点R0の

と る.さ

お い て,Qr−2上

間Pnに よ っ て,空

ず,空

に,Qr−2に

に な い 任 意 の 点R1を

最 大 共 役 空 間Pr−3に

と る.以

理4.24に

正 則 で あ る.ま

に な い 任 意 の 点R0を お い て,Qr−2上

空 間 で あ る.空

と れ ば,定

曲 面Qr−2=Pr−1∩Qn−1は

る 直 線R0∨R1の

と れ ば,空

特 異 空 間Sn−rは(n−r)‐

空 間Sn−rの

の2次

階 数 と す る.

の標 構に 関す す れ ば,こ

曲 面Qn−1上

に な く,頂

の

点Rr,

含 ま れ る か ら,

程 式f(X,X)=0は(1)の

形 で あ る. 

複 素 射 影 空 間Pn(C)の2次

曲 面Qn−1は,適

(証 終)

当な射 影 座標 系 を

準形

  (2)  で 表 わ さ れ る.ま

x02+x12+… た,実

…+xr−12=0

射 影 空 間Pn(R)の

場 合 に は,標

準形

 (3) で 表 わ さ れ る.こ

こ に,rはQn−1の

  証 明   定 理4.29に

よ っ て,適

階 数 とす る. 当 な 標 構{R}を

とれ ば,2次

程式を  (1) と す る こ とが で き る.ま

ず,空

間Pn(C)の

場 合 に は,

曲 面Qn−1の

方

xr=yr,……,xn=yn,

と お け ば,た

しか に(2)の

形 とな る.こ れ は,標

を 掛 け る こ とに よ って 得 られ る.す な わ ち,標 え れ ば よ い.次

に,空

の 順 番 を い れ か え,ま

と し て よ い.こ

間Pn(R)の

構{R}の

構{R}の

頂点 に適 当な 因子

単 位点 だけ を適 当 に変

場 合 に は,必 要 が あ れ ば,標

た 方 程 式(1)の

両 辺 に−1を

構{R}の

掛 け る こ とに よ っ て,

の と き,

と お け ば,た

し か に(3)の

形 と な る.こ

れ も 標 構{R}の

単 位 点 だ け を適 当 に

変 え れ ば よ い. 

(証 終)

  実 射 影 空 間Pn(R)の2次 (s,r−s)をQn−1の   定 理4.31  と れ ば,方

頂点

曲 面Qn−1の

標 構 形(3)に

お い て,1対

の 整 数

符 号 と い う. 複 素 射 影 空 間Pn(C)の2次

曲 面Qn−1は,適

当な射 影座 標 系 を

階 数 と し,sはs≦r≦2sと

な る任 意 の 自然

程式

  (4) で 表 わ さ れ る.こ 数 で よ い.ま と れ ば,や

た,実

こ にrはQn−1の

射 影 空 間Pn(R)の2次

は り標 準 形(4)で

表 わ さ れ る.こ

曲 面Qn−1は,適

当な射 影座 標系 を

こ に(s,r−s)はQn−1の

符号 と

す る.   証 明   定 理4.30に

で 表 わ さ れ る.こ

とお け ば,た

よ っ て,適

曲 面Qn−1は

方程式

の と き,

し か に(4)の

て得 られ る. 

当 な 標 構 を と れ ば,2次

形 と な る.こ れ は 標 構 を 適 当 に 変 更 す る こ とに よ っ (証終)

  な お,2次

曲 面Qn−1の

… … ,Rn,E}を Pr−1上

方 程 式 を(4)の

次 の よ うに と れ ば よ い.特

の 正 則2次

の2点R0,Rr−1を

間 をP*r−3⊂Pr−1と

2点R1,Rr−2を

  4.6 

ら に,定

直

位 点Eを

構{R0,R1,

補 空 間 をPr−1と 間Pr−1上

で,同

線l0=R0∨Rr−1の で あ る か ら,空 こ で,同

下 同 様 に し て,頂

理4.30の

じ母 線

最大 共 役空 間P*r−3上

の2次

じ 母 線 上 に な いQr−4上

点R2,Rr−3,…

場 合 と 同 様 に,頂

し,

の

…,Rr−s−1,Rsを

点Rr−s,…

…,Rs−1,Rr,…

…,

適 当 に と れ ば よ い.

線

  と く に,3次

と り,直

正 則 で あ る.そ

と り,以

定 め,単

と る.空

す れ ば,l0∩P*r−3=φ

曲 面Qr−4=P*r−3∩Qr−2は

Rnを

異 空 間Sn−rの

曲 面Qr−2=Pr−1∩Qn−1を

上 に な いQr−2上

定 め る.さ

形 に す る た め に は,標

族

元 射 影 空 間P3の

標 系 が 与 え ら れ た と し,1直

直 線 に つ い て 考 察 す る.空

線p上

の 異 な る2点A,Bの

間P3に

は射 影座

斉 次 座標 をそ れぞ れ

(a0,a1,a2,a3),(b0,b1,b2,b3) と す る.こ

の と き,行

を つ くれ ば,明 は2点A,Bの

列式

ら か にpjk=−pkj,(pjk)≠0で と り方 に 関 係 し な い.実

あ っ て,こ 際,直

線p上

に,あ

れ らの行 列式 の比 ら た め て 異 な る2

点

を と り,同 様 に 行 列 式 を つ くれ ば,

とな るか ら で あ る.そ れ ゆ え,空

間P3の

直 線pを

斉 次 座標

(p01,p02,p03,p23,p31,p12)≠0 で 表 わ す こ とが で き る.こ れ を 直 線pの 元 射 影 空 間P5を

考 え,こ

プ リ ュ ッ カ ー座 標 とい う.そ こ で,5次

れ に 射 影 座 標 系 を 与 え て お け ば,空

間P3の

直 線pに

は,そ

の プ リ ュ ッ カー座 標(pjk)を

対 応 さ せ る こ と が で き る.こ 空 間P5の

斉 次 座 標 と す る 空 間P5の

一意的に

の 対 応 を 直 線 の プ リ ュ ッ カ ー 表 示 と い う.し

任 意 の 点 が 必 ず 空 間P3の

  定 理4.32 

点pを

か し,

直 線 に 対 応 す る わ け で は な い.

斉 次 座 標(p01,p02,p03,p23,p31,p12)≠0が

線 の プ リ ュ ッ カ ー 座 標 で あ る た め の 条 件 は,2次

射 影 空 間P3の

直

関 係式

Q4:p01p23+p02p31+p03p12=0 が 成 立 す る こ と で あ る.こ   証 明   空 間P3の

れ を プ リ ュ ッ カ ー 関 係 式 と い う.

直 線p上

の2点(aj),(bj)を

と れ ば,そ

の プ リュ ッカ ー座

標(pjk)は pjk=ajbk−bjak で 与 え ら れ る.明

が 成 り立 つ.左

ら か に,関

係式

辺 の 行 列 式 を 第1行

お よ び 第2行

に つ い て 展 開 し て ま と め れ ば,

プ リュ ッカ ー関係式 Q4:p01p23+p02p31+p03p12=0 が 導 か れ る.逆

に,斉

次 座 標(pjk)≠0が

を 失 な う こ と な く,p23≠0と

こ の 関 係 式 を み た す と す る.一

仮 定 し て よ い.射

影 空 間P3の2平

般 性

面

x1p23+x2p31+x3p12=0, x0p23+x3p02−x2p03=0 を と れ ば,一

方 は 点(1,0,0,0)を

ら は 異 な る2平

面 で あ る.よ

通 り,他 っ て,こ

れ ら は1直

方 は こ の 点 を 通 ら な い か ら,こ 線pで

な る2点 (a0,a1,a2,a3),(b0,b1,b2,b3) を と れ ば,直

線pの

プ リ ュ ッ カ ー 座 標(p′jk)は p′jk=ajbk−bjak

で 与 え ら れ る.直

線p上

の2点(aj),(bj)は,関

係式

交 わ る.こ

れ

の 直 線上 の 異

a1p23+a2p31+a3p12=0,a0p23+a3p02−a2p03=0, b1p23+b2p31+b3p12=0,b0p23+b3p02−b2p03=0, を み た す か ら,こ

れ ら をpjkに

つ い て 解 け ば,

p23=p′23,p31=p′31,p12=p′12,p02=p′02,p03=p′03 を 得 る.斉

次 座 標(pjk),(p′jk)は

もp23≠0で 線pの

ど ち ら も プ リ ュ ッ カ ー 関 係 式 を み た し,し

あ る か ら,p01=p′01で

プ リ ュ ッ カ ー 座 標(p′jk)に

  系   プ リ ュ ッカー 空 間P5の

な け れ ば な ら な い.す

正 則2次

な わ ち,(pjk)は

一 致 す る. 

表 示 に よ っ て,3次

か 直

(証 終)

元 射 影 空 間P3の

直 線 に は,5次

元 射 影

曲 面 Q4:p01p23+p02p31+p03p12=0

上 の 点 が1対1に   定 理4.33  と す れ ば,こ

対 応 す る. 射 影 空 間P3の2直

線p,qの

れ ら が 交 わ る た め の 条 件 は,関

プ リ ュ ッ カ ー 座 標 を(pjk),(qjk) 係 式

f(p,q)=p01q23+p02q31+p03q12+p23q01+p31q02+p12q03=0 が 成 り 立 つ こ と で あ る.   証 明   直 線p上 (dj)を

と れ ば,こ

に 異 な る2点(aj),(bj)お の2直

よ び 直 線q上

に 異 な る2点(cj),

線 の プ リ ュ ッ カー 座 標 は そ れ ぞ れ

pjk=ajbk−bjak,qjk=cjdk−djck で 与 え ら れ る.次

元 定 理 か ら,2直

じ 平 面 上 に あ る こ と,す れ る こ と で あ る.そ

線p,qが

な わ ち,4点(aj),(bj),(cj),(dj)が

の 条 件 は,関

係 式f(p,q)=0を

れ らが 同

同 じ平 面 に 含 ま

係 式

で 与 え られ る.左 辺 の 行 列 式 を 第1行 ば,関

交 わ る た め の 条 件 は,こ

お よ び 第2行

得 る. 

  系   プ リ ュ ッカ ー表 示 に よ って,射

につ い て展 開 して ま と め れ (証終)

影 空 間P3の

交 わ る2直 線 に は,2次

曲面

Q4に の1つ

関 し て た が い に 共 役 なQ4上

の2点

関 係 式f(p,q)=0は,空

す る 空 間P5の2点p,qが,Q4に

間P3の2直

に あ る か ら,定

の 母 線γ

  射 影 空 間P3に

はQ4

お い て,平

そ の 中 心,平

  定 理4.34 

面uを

で 交 わ る か ら,こ

面u上

の1等

よ っ て,こ

れ

星 Σ と は,1点A∈uを 下,こ

通 っ て平 面

の よ う な 星 を 平 星 と い い,点

そ の 支 持 面 と い う. 間P3の

平 星 Σ に 属 す る 異 な る2直

平 星 Σ に は,2次

線p,qは,平

れ ら に 対 応 す る2点p,qはQ4の1つ に そ れ ぞ れ 中 心Aと

斉 次 座 標 を そ れ ぞ れ(aj),(bj),(cj)と 座 標 は,そ

理4.23(3)に

曲 面

が 対 応 す る.

  証 明   空 間P3の

2直 線p,q上

対応

(証 終)

プ リ ュ ッ カ ー 表 示 に よ っ て,空

母 線σ

線p,qに

上 に あ る. 

uに 含 ま れ る す べ て の 直 線 の 集 合 で あ る.以

Q4の

の2点

関 し て た が い に 共 役 で あ る こ とを 示 し て い

か も,2点p,qはQ4上

ら はQ4の1つ

Aを

な わ ち,こ

の 母 線 上 に あ る.

  証 明   定 理4.33の

る.し

が 対 応 す る.す

星 Σ の 中 心A の 母 線σ

異 な る 点B,Cを

上 に あ る.

と り,3点A,B,Cの

す れ ば,2直

線p,qの

プ リ ュ ッカ ー

れ ぞれ

で 与 え られ る.平 星 Σ に 属 す る任 意 の 直 線sは,

の 形 で 与 え ら れ,し

た が ってそ の プ リュ ッカー座標 は

で 与 え ら れ る.こ れ は,プ

リ ュ ッ カ ー表 示 に よ っ て,平 星 Σ に 属 す る直 線 とQ4

の 母 線 σ 上 の 点 とが,1対1に   定 理4.35 

対 応 す る こ と を 示 し て い る. 

3次 元 射 影 空 間P3の3直

線p,q,rが

これ ら の い ず れ に も交 わ る す べ て の 直 線 は 空 間P3上   証 明   直 線 ρ 上 の 異 な る2点A,Bを λA+μB,(λ,μ)≠0,で

与 え られ る.2平

とれ ば,直

(証終)

た が い に 交 わ ら な い と き, の 正 則2次 線p上

面A∨q,B∨qの

曲 面 を つ くる.

の任意 の 点は 方 程式 を それ ぞれ

とす れ ば,平

面(λA+μB)∨qの

方程 式 を

とす る こ とが で き る.ま た2平 面A∨r,B∨rの 方 程 式 をそ れ ぞれ

とす れ ば,平

図4.3

とす る こ と が で き る.こ

の と き,3直

面(λA+μB)∨rの

線p,q,rに

方程 式 を

交 わ る 直 線 は,2平

面

X(λu+μυ)=0,X(λu′+μυ′)=0 の 交 線 と し て 与 え ら れ る.こ 交 わ る 直 線 の 軌 跡 は,2次

れ ら か ら,λ,μ

を 消 去 す れ ば,3直

線p,q,rに

方程式 (Xu)(Xυ′)−(Xu′)(Xυ)=0

で 与 え ら れ る.こ   一 般 に,そ

れ は 空 間P3の

正 則2次

の プ リ ュ ッ カ ー 表 示 が,空

曲 面 で あ る. 

間P5の

(証 終)

部 分 空 間 と2次

曲 面Q4と

の交

集 合 と な る よ う な 空 間P3の

直 線 族 に つ い て し ら べ よ う.必

拡 大 し て お く も の と し て,い

ま ま で の 考 察 か ら 容 易 に 次 の 結 果 が 導 か れ る.

  ま ず,空

間P5の1平

最 大 共 役 平 面 をP*2と れ る.す

面P2を

と る.正

す る.も

し,P2=P*2な

な わ ち,P2はQ4の

ー 表 示 と す る 空 間P3の 点A∈P3を Q1=P2∩Q4は

直 線 族 は1平

面u上

曲 面Q4に ら ば,平

母 平 面 で あ る.こ

の と き,平

平 面P2上

の2次

関 す る 平 面P2の 面P2はQ4に 面P2を

含 ま プ リュ ッ カ

の す べ て の 直 線 の 集 合 か ,ま

通 る す べ て の 直 線 の 集 合 で あ る.ま

ュ ッ カ ー 表 示 とす る 空 間P3の の3通

則2次

要 が あれ ば 係数 体を

曲 線 で あ る.こ

た,P2≠P*2な

直 線 族 Ψ1を1次

た は1

ら ば,交

の と き,2次 線 織 と い う.こ

曲 線Q1を

集合 プ リ

れ に つ い て,次

り の 場 合 が 考 え ら れ る.

  〔1.1〕  P2∩P*2=σ

が 空 間P5の1直

線 で あ る と き,直

線σ

は2次

曲 線Q1

=P2∩Q4の

特 異 空 間 で あ る.ゆ

な る2直

線 と な る.定

重 な る2平

理4.34に

よ っ て,1次

空 間P5の1点

P2∩Q4の

特 異 空 間 で あ る.ゆ

と な る.定

理4.34に

の と き,2つ

の2次

表 示 とす る 空 間P3の2つ

の1次

上 の 異 な る3点

は2次

空 間P3の

σに重

同 じ平 星 に

よ っ て,1次

間P3の2平

星 Σ1,Σ2と

な

共 有 す る.

曲 線Q1=P2∩Q4,Q*1=P*2∩Q4

曲 線Q1,Q*1を

そ れ ぞれ プ リュ ッヵー 考 え ら れ る.2次

共 役 で あ る.し

Ψ1は,空

間P3の

の 母 線 族 で あ る.そ

同 じ2次

線σ1,σ2

た が っ て,1次

曲 線Q*1

線 織Ψ1は,空

線 の い ず れ に も 交 わ る す べ て の 直 線 の 集 合 と な る.定

線織

曲 面Q2の1系

曲 線Q1=

交 わ るQ4の2母

線 織2Ψ1,Ψ*1が

曲 線Q1と

交 わ ら な い3直

Ψ*1は

点sで

線 織Ψ1は,空

の 場 合,2次

線織

同 じ母 線

で あ る と き,点sは2次

は ど ち ら も 正 則 で あ る.こ

2次

Ψ1は

プ リ ュ ッ カ ー 表 示 と す る 直 線sを

  〔1.3〕  P2∩P*2=φ

4.35に

線織

え に,Q1は

よ っ て,1次

れ ら は 点sを

間P3の

曲 面Q4の

星 と な る.

  〔1.2〕P2∩P*2=sが

り,こ

え に,Q1は2次

曲 面Q2の

理

正則

し て,1次

他 の1系

の母 線族

で あ る.   次 に,空

間P5の3‐

曲 面Q4に

関 す る 空 間P3の

と す る.交

れ に つ い て,次

  〔2.1〕P3⊃P*1の に,Q2は

曲 面Q2を

の3通

曲

プ リュ ッカー

直 線 族 Ψ2を1次

と き,直

母 線P*1で

則2次

空 間P3の2次

の と き,2次

表 示 と す る 空 間P3の

と る.正

最 大 共 役 直 線 をP*1

集 合Q2=P3∩Q4は

面 で あ る.こ

う.こ

空 間P3を

り の 場 合 が 考 え ら れ る. 線P*1は2次

交 わ るQ4の2母

曲 面Q2の 平 面 と な る.こ

を プ リ ュッ カ ー 表 示 とす る 直 線 族 は 空 間P3の1平 と な り,他

の1母

面 はuで

あ る.

面u上

特 異 空 間 で あ る.ゆ れ ら の う ち の1母

し て,こ

れ ら はQ4の

平 星 Σ を 共 有 す る.な

お,平

え 平面

の す べ て の 直 線 の集 合

平 面 を プ リ ュ ッ カ ー 表 示 と す る 直 線 族 は1点A∈P3を

べ て の 直 線 の 集 合 と な る.そ 示 と す る 空 間P3の

図4.4

線叢 と い

母 線P*1を

通 るす

プ リ ュ ッ ヵ ー表

星 Σ の 中 心 はA,そ

の支 持

  〔2.2〕P3∩P*1=sが

空 間P5の

異 空 間 で あ る.ゆ

え に,Q2は

点sを

い て,点sを

含 ま な い1平

上 の 正 則2次

曲 線 と な り,定

次 曲 線Q01を

Q01上

Ψ01で

理4.24に

す れ ば,2次

曲 線Q01で

母 線s∨qを

動 か す と き,1次

お

平 面P02 与 え ら れ る.2

正 則2次

曲 面Q02の 直 線sも

Ψ01に 属 さ な い.2次

曲 線

と り,s∩q=A,

プ リ ュ ッ カ ー表 示 とす る 空 間

の 中 心 はA,そ

の 支 持 面 はuで

線 叢Ψ2は,こ

の よ うな 平 星 の 集 合 と な る.

共 有 し,そ

の 中 心 は 直 線s上

あ る.点q

に あ っ て,そ

の支持

含 む. の と き,2次

正 則 で あ る と い わ れ る.直

qで

交 わ る.2点p,qを

qは

正 則1次

間P3に

集 合Q01=P02∩Q4は

れ は母 線 族

特

間P3に

プ リ ュ ッ カ ー 表 示 と す る 空 間P3の

な り,そ

  〔2.3〕  P3∩P*1=φ 叢 Ψ2は

錐 面 と な る.空

よ っ て,Q2=s∨Q01で

錐 面Q2の

こ れ ら の 平 星 は す べ て 直 線sを 面 は 直 線sを

曲 面Q1の

プ リ ュ ッ カ ー 表 示 と す る Ψ01の 直 線qを

直 線 族 は 平 星 Σ0と

を2次

と れ ば,交

母 線 で あ る が,こ

の 任 意 の 点qを

P3の

面P02を

あ る.点sを

曲 面Q02の

s∨q=uと

頂 点 と す る2次

プ リ ュ ッ カ ー 表 示 と す る 直 線 族 は 空 間P3の

1系 の 母 線 族 ま た2次

点 で あ る と き,点sは2次

曲 面Q2は

正 則 で あ る.こ

線P*1と2次

曲 面Q2と

の 場 合,1次

線

は 異 な る2点p,

そ れ ぞ れ プ リ ッ カ ー 表 示 と す る 空 間P3の2直

線 叢 Ψ2の 準 線 と よ ば れ る.こ

お い て,正

則1次

線叢

Ψ2と

れ ら は 交 わ ら な い2直

は,2準

線p,qの

線p,

線 で あ る.空

どち らに も交 わ るす べ

て の 直 線 の 集 合 で あ る.   さ ら に,空 P4の

間P5の1超

極 をp*と

の と き,2次

す る.交 曲 面Q3を

線 稠 と い う.こ

曲 面Q3と

をp*と

則2次

曲 面Q4に

空 間P4の2次

プ リ ュ ッ カ ー 表 示 とす る 空 間P3の の2通

と き,点p*は2次

共 役 で あ る.点p*を

す る.こ

と る.正

集 合Q3=P4∩Q4は

れ に つ い て,次

  〔3.1〕  p*∈P4の 2次

平 面P4を

の と き,空

間P3に

関 す る超 平 面 曲 面 で あ る.こ

直 線 族

Ψ3を1次

り の 場 合 が 考 え ら れ る. 曲 面Q4上

に あ る.そ

し て,点p*は

プ リ ュッ カ ー 表 示 と す る 空 間P3の お け る1次

線稠

Ψ3と

は,1直

直線

線p*に

交 わ る す べ て の 直 線 の 集 合 で あ る.   〔3.2〕  P4∩p*=φ 稠

Ψ3は

の と き,2次

正 則 で あ る と い わ れ る.一

曲 面Q3は 般 に,空

正 則 で あ る.こ 間P3の1点Xを

の 場 合,1次

線

通 るす べ て の 直

線 の 集 合,あ

る い は1平

示 に よ っ て,Q4の1母

面uに

次 曲 面Q3の

を 通 り,Ψ3に に,空

え に,空

し て,交

間P3の1平

空 間P3の

面uに

の 中 心Xが

正 則1次

含 ま れ,Ψ3に

定 ま る.そ

正 則 相 反 と な る.し と し,支

Σ′は 交 線p=u∩u′

リ ュ ッカ ー表

集 合 γ=P2∩Q3は2

れ を プ リ ュ ッ カ ー 表 示 とす る 空 間P3の 間P3の

の 中 心 を そ れ ぞ れX,X′

線稠

Ψ3に

零 系 で あ る.す

お い て,1点X∈P3

空 間P3の

正 則 零 系 が 定 ま る.

  な お,空

間P3の

の 支 持 面uが

か も,Ψ3に

平 面uと 含 ま れ る2つ

持 面 を そ れ ぞ れu,u′

な わ ち,空

直 線族 は

定 ま

属 す るす べ て の 直 線 の 集 合 は 平

し て,点X∈P3と

を 共 有 し,2点X,X′

u=ψ(X)は

は,1次

対 応 す る.そ

属 す る す べ て の 直 線 の 集 合 は 平 星 Σ と な り,そ

星 Σ と な り,そ ψ(X)は

平 面P2に

母 線 で あ っ て,こ

平 星 Σ で あ る.ゆ

る.逆

含 ま れ る す べ て の 直 線 の 集 合 は,プ

正 則1次

直 線 の プ リ ュ ッ カ ー 座 標(pjk)を

の 平 星 Σ,Σ ′

とす れ ば,2平

は 直 線p上 間P3の

の 対 応u=

に あ る.ゆ 線稠

え に,相

Ψ3に

用 い れ ば,1次

星 Σ,

よ っ て,

線 稠

Ψ3

方程式

で 与 え ら れ る.こ u=ψ(X)は,1次

の と き,正

則1次

線 稠 Ψ3に

よ っ て 定 ま る 空 間P3の

正則零 系

変換 式

で 与 え ら れ る.   と くに,複 ≠0と

反

素 射 影 空 間P3(C)に

す れ ば,こ

お い て,直

れ は プ リュ ッ カ ー 関 係 式 p01p23+p02p31+p03p12=0

を み た す も の で あ る.そ

と お け ば,プ

こ で,

リ ュ ッカ ー関 係 式 は

線pの

プ リ ュ ッ カ ー 座 標 を(pjk)

z02+z12+z22+z32+z42+z52=0 の 形 に 書 き 直 さ れ る.そ 次 座 標(z0,z1,z2,z3,z4,z5)で ラ イ ン 座 標 と い う.

し て,空

間P3(C)の

直 線pは,こ

表 わ さ れ る.こ

の関 係式 をみ たす 斉

れ を 空 間P3(C)の

直線 の ク

5.  変 換群 と幾 何 学

  5.1 

変

換

群

  よ く知 ら れ て い る よ う に,群Gと

は,集

合G上

の演 算

γ:G×G→G,γ(a,b)=ab,a,b∈G, が 指 定 さ れ,3条

件

  〔G1〕 a(bc)=(ab)c    〔G2〕

  ea=a 

  〔G3〕

  a−1a=e 

(結 合 法 則) (恒 等 元 の 存 在) (逆 元 の 存 在)

を み た す も の で あ る.こ に,群Gお

こ に,eは

よ び 集 合Mに

が 指 定 さ れ,2条

恒 等 元 を,a−1は

対 し て,写

元aの

逆 元 を 表 わ す.さ

像

件

  〔TG1〕   a(bx)=(ab)x    〔TG2〕 

(左 結 合 法 則)

ex=x 

(単 位 性)

が み た さ れ る と き,GをM上 た,条

件

〔TG1〕

  〔TG1〕* 

ら

の 左 変 換 群 と い い,写

の 代 わ りに,条

像 ηを そ の 作 用 と い う.ま

件

a(bx)=(ba)x 

が み た さ れ る と き,GをM上

(右 結 合 法 則) の 右 変 換 群 と い う.こ

の 場 合,作

用を

η:M×G→M,η(x,a)=xa, と 書 く こ と に す れ ば,右   〔TG1〕* 

(xb)α=x(ba)

  〔TG2〕* 

xe=x

と な っ て,便 し,単

利 で あ る.左

空 間Mを

右 ど ち ら で も 同 様 で あ る か ら,左

変換群 につ い て考 察

に 変 換 群 と い う.

  変 換 群{G,M}が き,Mを

変換 群 の条 件 は

与 え ら れ た と き,こ

空 間 と い い,Mの

の 体 系 を ク ラ イ ン 幾 何 と い う.こ

元 を 点 と い う.変

そ れ 自身 へ 移 す 全 単 射

換 群Gの

任 意 の 元aを

の と

と れ ば,

が 定 ま り,そ の 逆 写 像 は 逆 元a−1で Mの

恒 等 写 像 が 与 え られ る.す

で あ る.逆 に,群Gの

つ,群Gの

恒 等 元eに

よって

な わ ち,

任 意 の 元aに

の 条 件 が み た さ れ る と き,群Gは aを 変 換,そ

与 え られ,か

対 し て,M上 空 間M上

の 全 単 射 ηaが 指 定 され,上

の 変 換 群 とな る.変

換 群Gの

元

して 全 単 射 ηaを そ の 作 用 と よぶ.

  2つ の 変 換 群{G,M},{G′,M′}に

と す る.群 し て,関

図5.1

お い て,そ の 作 用 を そ れ ぞ れ

の 同型

φ:G→G′

お よ び 全 単 射f:M→M′

が 存在

係

が 成 り立 つ と き,こ の2つ

の 変 換 群 は 同 型 で あ る と い う.変 換 群 に つ い て 考 察 す

る と き,同 型 な2つ の 変 換 群 は 本 質 的 に 同 じ も の と考 え て よ い.   空 間M上

の 変 換 群Gに

が 恒 等 元eだ

け で あ る と き,GはM上

い 場 合 で も,M上 分 群Γ

お い て,M上

換cがΓ

こ と で,も

が 空 間M上

に 属 す る とは,Mの

ち ろ んc−1x=xで

変換

に 有 効 的 に 作 用 す る と い う.有 効 的 で な

に 恒 等 写 像 と し て 作 用 す るGの

を つ く り,剰 余 群G/Γ

実 際,変

に 恒 等 写 像 と して 作 用 す るGの

あ る.そ

変 換 全 体 は ,群Gの

正規部

に 有 効 的 に 作 用 す る と考 え られ る.

す べ て の 点xに 対 して,cx=xと して,Gの

任 意 の 変 換aを

なる

とれ ば ,

cax=acx=ax,x∈M, と な っ て,変

換a−1caも

ま たΓ

に 属 し,か

つ,変

換aと

変 換acと

はM上

に

同 じ 作 用 を 与 え る.   空 間M上

の 変 換 群Gに

と な る よ う なGの

変 換aが 間Mを

お い て,Mの

任 意 の2点x,yに

対 し て,ax=y

必 ず 存 在 す る と き,GはM上

と い う.こ

の と き,空

群Gの

点x,yに

対 し て,ax=yと

GはM上

に 単 純 推 移 的 に 作 用 す る と い う.こ

に推 移的 に 作用 す る

等 質 空 間 と い う.と

な る よ う なGの

変 換aが の と き,空

くに,Mの

任 意 の2

一 意 的 に 定 ま る と き, 間Mを

群Gの

群空

間 と い う.   一 般 に,群Gの

が 定 ま る.群 間G上

元aを

と れ ば,群G自

の 条 件 〔G1〕 ∼ 〔G3〕

身 へ の作用

を 見 れ ば,こ

の単 純 推 移 的 な 変 換 群 とな る.こ の 作 用 を 群Gの

空 間M上

の 左 変 換 群Gが

型 で あ る.実 際,空

単 純 推 移 的 で あ れ ば,こ

間Mの

点x0を

が 定 ま り,群Gの

任 意 の 変 換aのM上

対 応 させ る こ と に よ っ て,空

同様 に,群Gの

て,υ=uhと

部 分 群Hが な る元h∈Hが

る と定 め て,こ

へ の 作 用 ηaは,関

間Mは

群Gと

存 在 す る と き,uとυ

元uを

与 え られ,と

係 ηa°f=f°λaを 指 定 して,こ

れ を恒

同 じ も の と見 な され る.

対 し て,商 空 間G/H上

の 作 用 に よ っ て 群Gは の 変 換 群Gが

変 換 全 体 は,群Gの

対し

とは 等 値 で あ 表 わ し,こ れ

あ る.群Gの

代 表 す る 元u∈Gの

商 空 間G/H上

間Mの

∈Gに

図5.2

の作 用

れ は 群Gの

任 意 の点x0を 部 分 群Hを

と り方 に 関 係 し な

の 推 移 的 な 変 換 群 とな る.逆 に,

推 移 的 で あ れ ば,こ

群 と 同 型 で あ る.実 際,空

の 元u,υ

含 む 等 値 類 を 〔u〕で 表 わ

くに 〔e〕=Hで

が 定 ま り,こ れ は 等 値 類 〔u〕∈G/Hを

な いGの

任 意 の 点x0を

の 等 値 関 係 に よ る等 化 集 合 をG/Hで

せ ば,〔u〕=uHで

空 間M上

u∈G,

与 え られ た とす る.2つ

商 空 間 とい う.群Gの

任 意 の 元aに

左 移 動群 と同

右 移 動 が 考 え られ る.

  一 般 に,群Gの

を 群Gの

左 移 動 とい う.逆 に,

れ は 群Gの

f(u)=ux0, 

み た す か ら で あ る.す な わ ち,群 空 間Mの 等 元eに

空

指 定 す れ ば,全 単 射

f:G→M, 

い.こ

の 作 用 に よ っ て,群Gは

あ る 商空 間上 の変換

指 定 す れ ば,点x0を

つ くる.こ

動か さ

れ は 等方 性 群 とよばれ

る.こ の と き,全 単 射 f:G/H→M, 

f(〔u〕)=ux0

が 定 ま り,こ れ は 等 値 類 〔u〕∈G/Hを い.そ

して,群Gの

を み た す.す

代 表 す る元u∈Gの

任 意 の 変 換aのM上

な わ ち,等 質 空 間Mの

と り方 に 関 係 し な

へ の 作 用 ηaは,関

任 意 の 点x0を

係 ηa°f=f°γa

指 定 し て,こ れ を 等 値 類 〔e〕

に 対 応 さ せ る こ とに よ っ て,空

間Mは

と くに 単 純 推 移 的 と な る の は,等   変 換 群Gが

作 用 す る 空 間M上

任 意 の 変 換aに

対 して,

商 空 間G/Hと

方 性 群Hが

恒 等 元eだ

とな る と き,函 数g(x)を

変 換 群Gの

的 で な い と し,空

の2点x,yに

が 存 在 す る と き,xとyと をMと

け とな る場 合 で あ る.

の 函 数g(x),x∈M,が

g(ax)=g(x), 

間M上

同 じ もの と見 な され る.

与 え ら れ,群Gの

x∈M 不 変 量 とい う.変 換 群Gは 対 し て,y=axと

一般 に推 移

な るGの

変 換a

は 等 値 で あ る と定 め る.こ の 等 値 関 係 に よ る 等 化 集 合

し,空 間Mの

点xを

含 む 等 値 類 をxで

表 わ す.変

換 群Gは1つ

の等

値 類 上 に は 推 移 的 に 作 用 す るか ら,各 等 値 類 は 等 質 空 間 で あ る.等 化 集 合Mの 元 に,あ

る 数 量 を 対 応 させ て 表 わ す と き,写 像 p:M→M, 

p(x)=x, 

x∈M

は 不 変 量 で あ る.ま た,写像q:M→Mで,と も の を 標 準 形 とい う.そ して,あ

くにp°q=1(恒

等 写 像)と

る標 準 形 を 示 す こ と を 空 間Mの

なる

分 類 とい う.

  い ま ま で に 現 わ れ た 変 換 群 に つ い て 考 察 し よ う.そ れ らは ク ラ イ ン幾 何 の 実 例 と見 な し て よ い.以 下 最 後 ま で,係

数 体Kは

可 換 と し,そ

の 標 数 は2で

ない と

す る.   例1. 

n個

つ く り,こ な り,こ 字,た

の 文 字In={1,2,…

れ はn次 れ はn次

と え ばnを

て,Inは

…,n}の

対 称 群 と よ ば れ る.と 交 代 群 と よ ば れ る.変

動 か さ な いSInの

間 の 置 換 全 体 は 集 合In上 くに,偶

置 換 全 体 は 群SInの

換 群SInはIn上

の 変 換 群SInを 部 分 群AInと

に 推 移 的 に 作 用 し,1つ

部 分 群 はn−1次

対 称 群SIn−1と

の文

同 型 で あ る.よ

っ

等質 空間 In=SIn/SIn−1

と し て 与 え ら れ る.同   例2. 

係 数 体Kのn次

の 変 換 群 と な り,ク 間Pnの

様 に,In=AIn/AIn−1で 元 射 影 空 間Pnに

あ る. お い て,射

ラ イ ン 幾 何{PL(n,K),Pn}が

射 影 標 構{R0,R1,…

…,Rn}を

影 群PL(n,K)は

定 ま る.こ と れ ば,任

空 間Pn上

れ が 射 影 幾 何 で あ る.空

意 の 射 影 変 換X′=φ(X)は,斉

次 座 標 を 用 い て,

で 与 え られ る.た

だ し,2つ

の 射 影 変 換X′=φ(X),X′=cφ(X),c∈K,c≠0,は

同

じ も の と見 な され る.射 影 群PL(n,K)は 間Pnの1点A0を 間Pnは

空 間Pn上

動 か さ な いPL(n,K)の

に 推 移 的 に 作 用 す る.よ

部 分 群 をPG(n,K)と

っ て,空

す れ ば,射

影空

等 質空 間 Pn=PL(n,K)/PG(n,K)

と し て与 え られ る.射 影 標 構 の 頂 点R0と

し て 不 動 点A0を

とれ ば,群PG(n,K)の

任

意 の変換 は

で 与 え られ る.   例3.  射 影 空 間Pnに 体 の 集 合 をL2と

お い て,同

で あ る.さ

ら に,同

とす る.射

影 群PL(n,K)は

の 場 合,直

線 上 の4点

じ直 線 上 の 異 な る4点 空 間L4上

だ し,2つ

で 表 わ さ れ,空

で 表 わ す.こ

の2次

っ て,2次

を 得 る.こ る.す

こ で,あ

な わ ち,射

f′(X,X)=0に

の よ うな4点

れ は 推 移 的 で は な い.こ

曲面 の 集 合 をF2と

す る.任

意 の2次

曲

c∈K,  c≠0,

曲 面f(X,X)=0は

斉 次 座 標(fjk)=0,fjk=fkj, 元 射 影 空 間 と 見 な さ れ る.い

ま,空

間Pn

の 逆 変 換X=φ−1(X′)を

曲 面f(X,X)=0に

らた め てX′

をXに

代 入 す れ ば,2次

お き か え れ ば,2次 よ って,2次

移 され る.射 影 群PL(n,K)は

次 曲 面f(X,X)=0,g(X,X)=0に

の 組 全 体 の 集 合 をL4

不 変 量 で あ る.

cf(X,X)=0, 

影 変 換X′=φ(X)に

幾 何{PL(n,K),F2}が

の組全

曲面

と り,そ

の変 換 を2次

の よ うな3点

の変 換 群 とな り,こ れ は 推 移 的

の 変 換 群 とな る が,こ

間F2は(n+1)(n+2)/2−1次

の 射 影 変 換X′=φ(X)を

を 考 え,こ

方 程式

f(X,X)=0,  は 同 じ も の で あ る.よ

を 考 え,こ

の す べ て の2次

次 座 標 を 用 い て,2次

で 与 え ら れ る.た

空 間L3上

の非 調 和 比 は 射 影 群PL(n,K)の

  例4.  n次 元 射 影 空 間Pn上 面 は,斉

じ 直 線 上 の 異 な る3点

す る.射 影 群PL(n,K)は

曲面f′(X,X)=0を

得

曲 面f(X,X)=0は2次

空 間F2上

定 ま る.こ れ は 射 影 空 間 の2次 対 し て,2次

方程 式

の 変 換 群 とな り,ク

曲 面

曲 面 論 で あ る.異 な る2つ

ライ ン

曲面 の集合

の2

を つ く る こ とが で き る.こ れ を2次

曲面 束 と い う.こ れ は 空 間F2に

おけ る直線 を表 わす

もの で あ る.   な お,複 あ る.そ

素 射 影 空 間Pnに し て,2次

お い て は,2次

曲面 は 階 数rに

曲 面 の 階 数 は 射 影 群PL(n,C)の

よ っ て 分 類 され,そ

x02+x12+… で 与 え ら れ る.ま

た,実

の 不 変 量 で あ る.そ

の標 準形 は

…+xr−12=0

射 影 空 間Pnに

し て,2次

不変 量で

お い て は,2次

曲 面 の 符 号 は 射 影 群PL(n,R)

曲 面 は 符 号(s,r−s)に

よ って 分 類 され,そ

の標 準 形 は

で 与 え ら れ る.   例5.  3次 元 射 影 空 間P3内

のす べ て の 直 線 の 集 合 をΨ4と

は 空 間 Ψ4上 の 推 移 的 な 変 換 群 とな り,ク は3次

元 射 影 空 間 の 直 線 論 で あ る.空

の 正 則2次

影 群PL(3,K)

ラ イ ン幾 何{PL(3,K),Ψ4}が

間P3の

定 ま る.こ れ

射 影 標 構 を とれ ば,P3の

そ の プ リュ ッ カ ー 座 標(pjk)≠0,pjk=−pkj,で P5上

す る.射

表 わ され,空

任 意 の 直 線 は,

間 Ψ4は5次

元 射影 空間

曲面 Q4:p01p23+p02p31+p03p12=0

と し て 表 わ さ れ る.空 PL(5,K)の

間P5の

部 分 群Gを

{G,Q4}が

定 ま る.こ

射 影 変 換 で,2次

つ く る.群Gは れ は 空 間P3の

曲 面Q4を

空 間Q4上 直 線 論 を,プ

そ れ 自 身 に 移 す も の 全 体 は,

の 変 換 群 と な り,ク

ラ イ ン 幾 何

リ ュ ッ カ ー 表 示 に よ っ て,空

間P5

内 に 実 現 し た も の で あ る.

  5.2 

ア フ

ィ ン 幾 何

  ア フ ィ ン 幾 何 は,公 が,こ

理 系 に よ っ て,あ

こ で は 射 影 幾 何 か ら 導 か れ る こ と を 示 す.

  n次 元 射 影 空 間Pn上 と 名 づ け,そ

に1つ

の 超 平 面P∞n−1を

の 上 の 点 を 無 限 遠 点 と よ ぶ.空

を そ れ 自 身 に 移 す も の 全 体 は,射 る.こ

るい は 線 形 代 数 の 立 場 か ら構 成 さ れ る

れ を ア フ ィ ン群 と い い,そ

指 定 し,こ

間Pnの

影 群PL(n,K)の

射 影 変 換 で,超

空 間En上

の 変 換 を ア フ ィ ン 変 換 と い う.空

の変 換 群 と な

が 定 ま る.こ

れ を ア フ ィ ン 幾 何 と い い,空

こ の と き,射

影 空 間Pnを

  全 空 間Pnの … … ,Rnが

り,ク

平 面P∞n−1

部 分 群AL(n,K)を

す べ て の 無 限 遠 点 を 除 い た 点 集 合En=Pn−P∞n−1を AL(n,K)は

れ を無限 遠 超 平面

つ く 間Pnか

と れ ば,ア

ら

フ ィ ン群

ラ イ ン 幾 何{AL(n,K),En}

間Enをn次

元 ア フ ィ ン 空 間 と い う.

全 空 間 と よ ぶ.

射 影 標 構{R0,R1,…

…,Rn}で,と

く にn個

無 限 遠 点 で あ る も の を ア フ ィ ン 標 構 と い い,頂

の 頂 点R1,R2,

点R0を

そ の原 点 と

い う.ア

フ ィ ン 標 構 に 関 す る 斉 次 座 標 を 用 い れ ば,無

式x0=0で

与 え ら れ る.そ

… … ,xn)に

お い て はx0≠0で

し て,ア

フ ィ ン 空 間Enの

あ る か ら,こ

の形 に 直 され る.こ れ は 空 間Enの

限 遠 超 平 面P∞n−1は

方程

点 の 斉 次 座 標(x0,x1,

の座標 は

非 斉 次 座 標 と な る.全 空 間Pnの

射影 変 換

  (5.1)

が 無 限 遠 超 平 面P∞n−1を こ と で あ る.よ

っ て,任

そ れ 自 身 に 移 す 条 件 は,x0=0な

ら ばx′0=0と

なる

意 の ア フ ィ ン変 換 は

 (5.2)

の 形 と な る.非 斉 次 座 標 を用 い れ ば,こ

の変 換 は

 (5.3)

と書 か れ る.ア Enの1点A0を い い,そ

フ ィ ン群AL(n,K)は

空 間En上

動 か さ な いAL(n,K)の

の 変 換 を 線 形 変 換 と い う.ア

に 推 移 的 に 作 用 す る.空

部 分 群GL(n,K)を

間

一 般線 形群 と

フ ィ ン標 構 の 原 点 と し て 不 動 点A0を

とれ

ば,任 意 の線 形 変 換 は  (5.4)

と書 か れ る,ア

フ ィ ン空 間Enは

等質 空 間

En=AL(n,K)/GL(n,K) と し て 与 え られ る.ま た,す 全 体 はAL(n,K)の い,そ

べ て の 無 限 遠 点 を そ れ ぞ れ 動 か さ な い ア フ ィ ン変 換

正 規 部 分 群D(n,K)を

つ くる.こ

の 変 換 を 平 行 移 動 と い う.任 意 の 平 行 移 動 は

れ を 平行 移 動群 とい

 (5.5)

で 与 え られ る.平 よ って,空

行 移 動 群D(n,K)は

間Enは

空 間En上

群D(n,K)の

に 単 純 推 移 的 に 作 用 す る.

群 空 間 と見 な す こ とが で き る.ま

た,明

ら

かに

で あ る.そ (5.5)と

し て,一

般 の ア フ ィ ン 変 換(5.3)は,線

形 変 換(5.4)と

平 行 移 動

元 部 分 空 間Prが

無 限遠 超 平

を 結 合 す る こ と に よ っ て 得 ら れ る.

  ア フ ィ ン 空 間Enに 面P∞n−1に

お い て,全

空 間Pnのr次

含 ま れ な い と き,

と お け ば,空

間Erはr次

元 ア フ ィ ン 空 間 と な り,空

が そ の 無 限 遠 超 平 面 と な る.と

く に,空

通 る.同

じ無 限 遠 点 を 通 る2直

線l,hは

わ す.そ

れ ゆ え,直

れ る.ア

フ ィ ン 標 構 を と れ ば,無

形 と な る.こ (0,l1,…

線l上

間Enの

 (5.6) 

直 線lの

限 遠 点Lの

斉 次 座 標 は(0,l1,l2… …,αn)を

(p=1,2,…

表

方 向 を 表 わ す も の と考 え ら

ラ メ ー タ λを 用 い て,方

ξp=αp+λlp 

の無限 遠 点 を

た が い に 平 行 で あ る と い い,l‖hで

の 無 限 遠 点Lは

直 線lは,パ

の 超 平 面P∞r−1

直 線 は た だ1つ

れ を 方 向 比 と い う.点(1,α1,…

…,ln)の

間Pr上

通

…,ln)の り,方

向 比 が

程式

…,n)

で 与 え ら れ る.   ア フ ィ ン 空 間Enに で 表 わ す.と た,線

お い て,2点A,Bの

く にA=Bの

分BAを

と き,こ

線 分ABの

ィ ン 空 間Enの

線 分AB≠0を

ず 存 在 す る.す

な わ ち,ア

L2と

す れ ば,ア

組 を 線 分 と よ ん で,簡 れ を 零 線 分 と い い,AB=0で

任 意 の 線 分A′B′ フ ィ ン 空 間Enに

ア フ ィ ン 空 間Enの3点A,B,Cは

AC:ABま 示 点,原

と り,非

た はAC/ABで 点,単

表 わ す.ま

逆 向 き の 線 分 と い い,BA=−ABで

フ ィ ン 群AL(n,K)は

直 線 上 の 無 限 遠 点Jを

単 にAB

≠0に

表 わ す.こ

フ

移 す ア フ ィン 変 換 は 必

お け る 零 で な い 線 分 全 体 の集 合 を

空 間L2上 共 線 で,A≠Bと

調和 比

表 わ す.ア

〔J,A,B,C〕 の値 は直 線

位 点 と す る 標 構 に 関 す る 点Cの

に 推 移 的 に 作 用 す る.い す る.こ ∈Kを

の3点

ま,

を通 る

線 分 比 と よ ん で,

で,J,A,Bを

非 斉 次 座 標 で あ る.な

それ ぞれ お,線

分

の 向 き を 考 え る こ と に よ り, CA/AB=AC/BA=−AC/AB と 定 め て お く と 便 利 で あ る.線 と く にAC/AB=−1の

と き,点Aを2点B,Cの

点J,Aが2点B,Cを   定 理5.1 

分 比 は ア フ ィ ン 群AL(n,K)の

不 変 量 で あ る.

中 点 と い う.こ

れ は,2

調 和 に 分 け る こ と を 意 味 す る. ア フ ィ ン 空 間 の3点A,B,Cは

  証 明   こ の3点

共 線 と す る.こ

を 通 る 直 線 上 の 無 限 遠 点Jを

の と き,

と り,

AC/AB=〔J,A,B,C〕=η と お く.ま

ず,2点B,Cの

役 割 を い れ か え れ ば,定

理4.15(1)か

ら,

理4.15(2)か

ら,

AB/AC=〔J,A,C,B〕=η−1 と な る.ま

た,2点A,Bの

役 割 を い れ か え れ ば,定 BC/BA=〔J,B,A,C〕=1−

と な る.ゆ

η

え に,BC/AB=−BC/BA=η−1と

  定 理5.2 

な る. 

ア フ ィ ン 空 間 の4点A,B,C,Dは

(証 終)

共 線 で あ る と す る.こ

の4点

の非 調 和 比 は

で 与 え られ る.と

  証 明   こ の4点

くに,こ

の4点

を 通 る 直 線上

が調 和 点列 であ るため の条件 は

の 無 限 遠 点Jを

と る.定

理4.15か

ら,

CA/CB=〔J,C,B,A〕=〔A,B,C,J〕, DA/DB=〔J,D,B,A〕=〔A,B,D,J〕 と な る.一

方,定

理4.16に

よ っ て,

〔A,B,C,D〕 で あ る.ゆ

え に 〔A,B,C,D〕

と な る.と

・〔A,B,D,J〕=〔A,B,C,J〕

く に,〔A,B,C,D〕=−1の

・DA/DB=CA/CB と き,こ

の4点

は 調 和 点 列 で あ る.

(証終)   定 理5.3  線l上

ア フ ィ ン空 間 に お い て,異

の2点A,Bお

す る.こ

よび 直 線h上

の と き,2直

な る2直 線l,hは

の2点C,Dは

線A∨C,B∨Dが

点Oで

交 わ り,直

い ず れ も 点Oと

異 なると

平 行 で あ る た め の条 件 は

で あ る.   証 明   2直 線l,hを 面E2の

無 限 遠 直 線 をP∞1と

ず,2直

線A∨C,B∨Dが

ば,こ

とす れ ば,3点J,L,Hは

す る.ま 平 行 な ら

れ らは 無 限 遠 点Jで

線l,h上

図5.3

含 む ア フ ィ ン平

交 わ る.2直

無 限 遠 直 線P∞1上

の無 限 遠 点 を そ れ ぞ れL,H に あ る.無

限 遠 点Jを

軸 とす る

あ る.配

景 写 像に

配景 写 像

を と れ ば,α(L)=H,α(O)=O,α(B)=D,α(A)=Cで よ っ て 非 調 和 比 は 変 わ らな い か ら 〔L,O,B,A〕=〔H,O,D,C〕, す な わ ち,OA/OB=OC/ODで A∨C,A∨Dは

あ る.逆

同 じ 無 限 遠 点Jを

  次 に,ア

フ ィ ン 空 間En上

の 極Cを2次

曲 面Qn−1の

は 有 心,そ

と い う.直

径 が2つ

4点J,C,A,Bは の 中 点 で あ る.と 限 遠 直 線P∞1と

曲 面Qn−1を

直 径 と い い,直

くに,実 実 の2点

無 心 で あ る と い う.中

心Cは

の 正 則2次

で 交 わ る も の を 双 曲 線,虚

の2点

心Cを

の 交 点 を この 直 径 の 端

の 直 径 上 の 無 限 遠 点Jを

な わ ち,中

ア フ ィ ン 平 面E2上

限 遠 超 平 面P∞n−1

の 点 で あ る と き,Qn−1

径 とQn−1と

も つ と き,こ

調 和 点 列 で あ る.す

考 え る.無

心CがEn上

無 限 遠 点 の と き,Qn−1は

の 端A,Bを

線

(証 終)

中 心 と い う.中

曲 面Qn−1の

の 関 係 が 成 り 立 て ば,2直

通 る. 

の 正 則2次

し て 中 心Cが

通 る 直 線 を2次

に,こ

と れ ば,

直 径 の 両 端A,B

曲 線Q1を

考 え る.無

で 交 わ る も の を 楕 円,

図5.4

そ し て,接

す る も の を 放 物 線 と い う.双

で あ る.ま

た,無

限 遠 点 で 双 曲 線 と接 す る2直

適 当 な ア フ ィ ン標 構 を と れ ば,正 ち,双

曲 線 お よ び 楕 円 は 有 心 で,放

則2次

物 線 は無 心

線 を こ の 双 曲 線 の 漸 近 線 と い う.

曲 線 は 次 の 標 準 形 で 表 わ さ れ る.す

なわ

曲 線 お よび そ の 漸 近 線 は そ れ ぞ れ x12−x22=x02, 

の 形 で 表 わ さ れ,楕

x12−x22=0

円 お よび放 物線 は それ ぞれ x12+x22=x02, 

x22=x0x1

と 書 か れ る.   ア フ ィ ン 変 換(5.3)に フ ィ ン 群AL(n,K)の ン 群 と い い,そ

お い て,と

くにdet(apq)=1と

正 規 部 分 群ASL(n,K)を

の 変 換 を 等 積 ア フ ィ ン 変 換 と い う.す

な る も の 全 体 は,ア つ く る .こ

れ を等 積 ア フ ィ

な わ ち,任

意 の等 積 アフ ィ

ン変 換 は

  (5.7)

で 与 え ら れ る.空

間En上

のn+1個

の 点X0,X1,…

…,Xnを

と り,点Xj

の非 斉 次座 標 を

とす れ ば,行 列 式

は 等 積 ア フ ィ ン 群ASL(n,K)の

不 変 量 で あ る.等

積 ア フ ィ ン 群ASL(n

,K)

は 平 行 移 動 群D(n,K)を 1点A0を い,そ

含 み,空

間En上

動 か さ な いASL(n,K)の

に 推 移 的 に 作 用 す る.空 間Enの

部 分 群SL(n,K)を

特 殊線 形群 と い

の 変 換 を 特 殊 線 形 変 換 と い う.ア フ ィ ン標 構 の 原 点 と し て 不 動 点A0を

れ ば,任

と

意 の特 殊線 形 変 換 は

 (5.8)

と 書 か れ る.空

間Enは

等質空間 En=ASL(n,K)/SL(n,K)

と し て 与 え ら れ,ま

た,明

で あ る.そ

般 の 等 積 ア フ ィ ン 変 換(5.7)は,特

し て,一

行 移 動(5.5)と   n+1次

らかに

す る.空

間En+1上

線 形 群GL(n+1,K)を

お い て,1点A0を で,点A0を

ラ イ ン 幾 何{GL(n+1,K),Pn}が

な い.実

際,点A0を

線 は,パ

ラ メ ー タ λ を 用 い て,

空 間Pn上 定 ま る.こ

(j=0,1,…

の 直 線 は 斉 次 座 標(x0,x1,…

元 射 影 空 間 と な る.空

で 与 え られ る が,こ

間Pn上

変換 は

で 与 え られ る.よ

って,係

に は射 影群

数 体Kか

の変 換群 と

れ は 射影 幾 何 に他 な ら 通 る任 意 の 直

…,n) …,xn)で

表 わ さ れ る.よ

へ の 群GL(n,K)の

作 用 は,変

れ は 有 効 的 で は な い.空

GL(n+1,K)の

間Pn上

動 か さ な い ア フ ィ ン変 換 全 体 は 一 般

原 点 とす る ア フ ィ ン 標 構 を と れ ば,点A0を

ξj=λxj 

はn次

通 るす べ て の 直 線 の 集 合

つ く る.群GL(n+1,K)は

な り,ク

で 与 え ら れ,こ

平

を 結 合 す る こ と に よ っ て 得 ら れ る.

元 ア フ ィ ン 空 間En+1に

をPnと

殊 線 形 変 換(5.8)と

ら元0を

間Pnの

っ てPn 換

す べ て の 点 を 動 か さな い

除 い た 乗 法 群 をK0と

す れ ば,空

が 有 効 的 に 作 用 す る.

  5.3 

ユ ー ク リ ッ ド幾 何

  ユ ー ク リ ッ ド幾 何 に つ い て は,第1章 は,ユ

で 公 理 系 の 立 場 か ら 考 察 し た.こ

ー ク リ ッ ド幾 何 が 射 影 幾 何 か ら 導 か れ る こ と を 示 す.n次

上 に 無 限 遠 超 平 面P∞n−1を さ ら に,P∞n−1上 全 空 間Pnの

の1つ

指 定 す れ ば,n次 の 正 則2次

射 影 変 換 で,絶

ン 群AL(n,K)の

対 形Q∞n−2を

部 分 群AE(n,K)を

変 換 を 相 似 変 換 と い う.相

似 空 間 と い う.ア

指 定 し,こ

つ く る.こ

フ ィ ン 標 構 を と り,絶

れ を 絶 対 形 と よ ぶ.

れ を 相 似 群 と い い,そ

空 間En上

定 ま る.こ

導 か れ る.

そ れ 自 身 に 移 す も の 全 体 は,ア

似 群AE(n,K)は

イ ン 幾 何{AE(n,K),En}が

元 射 影 空 間Pn

元 ア フ ィ ン 空 間Enが

曲 面Q∞n−2を

こ で

の 変 換 群 と な り,ク

れ を 相 似 幾 何 と い い,空

対 形Q∞n−2の

間Enを

フィ の ラ 相

方程式を

  (5.9)

と す る.簡 れ,(0,x1,…

と お く.こ

単 の た め,2つ

の 無 限 遠 点X,Yに

…,xn),(0,y1,…

の 記 号 を 用 い れ ば,絶

で 与 え ら れ る.ア

対 形Q∞n−1の

フ ィ ン 変 換X′=φ(X)が

件 は,x0=0,(X,X)=0な る.よ

…,yn)と

って任 意 の 相似 変換 は

な ら ば,

で 与 え ら れ る.非 斉 次 座 標 を 用 い れ ば,

の斉 次 座 標 を そ れ ぞ

し て,

方 程 式 はx0=0,(X,X)=0 絶 対 形Q∞n−1を

ら ば,x′0=0,(X′,X′)=0と

  (5.10)

  (5.11)

対 し て,そ

そ れ 自身 に 移 す 条 なる こ と で あ

と書 か れ る.相 似 群AE(n,K)は に 推 移 的 に 作 用 す る.空 GE(n,K)を

平 行 移 動 群D(n,K)を

間Enの1点A0を

中 心 相 似 群 と い い,そ

構 の 原 点 と し て 不 動 点A0を

含 み,空

間En上

動 か さ な いAE(n,K)の

部分群

の 変 換 を 中 心 相 似 変 換 とい う.ア

とれ ば,任

フ ィ ン標

意 の 中心 相似 変換 は

  (5.12)

と書 か れ る.相 似 空 間Enは

等 質空 間

En=AE(n,K)/GE(n,K) と し て 与 え ら れ,ま

た 明 らか に

で あ る.そ

般 の 相 似 変 換(5.11)は,中

し て,一

(5.5)と

心 相 似 変 換(5.12)と

平行移動

を 結 合 す る こ と に よ っ て 得 ら れ る.

  相 似 空 間Enに

お い て,全

空 間Pnのr次

元 部 分 空 間Prが

無限 遠 超 平 面

P∞n−1に 含 ま れ な い と き,  

Er=Pr∩En,P∞r−1=Pr∩P∞n−1,Q∞r−2=P∞r−1∩Q∞n−2,

と お く.無 ま たr次 線l,h上 線l,hは

限 遠 超 平 面P∞r−1上

の2次

元 相 似 空 間 と な り,そ

曲 面Q∞r−2が

の 絶 対 形 はQ∞r−2で

の 無 限 遠 点 が 絶 対 形Q∞n−2に 垂 直 で あ る と い い,l⊥hで

ら は 直 交 す る と い う.2直

線l,h上

表 わ す.垂

錐 面 を つ く る.こ

  相 似 空 間Enに

お い て,全

と き,こ

れ を 超 球 と い う.超

直 な2直

あ る.空

間Enの

頂 点 と す る2次

似 空 間Enの2直

線 が 交 わ る と き,こ

の 無 限 遠 点 を そ れ ぞ れL,Hと

れ を 極 小 直 線 と い い,そ

線 は そ れ 自 身 と垂 直 で あ る.空

あ る.相

間Erも

関 し て た が い に 共 役 で あ る と き,2直

れ ら が 垂 直 で あ る 条 件 は(L,H)=0で 上 の 点 を 通 る と き,こ

正 則 で あ れ ば,空

点Aを

間Enの

直 線 が,絶

れ

す れ ば,こ 対 形Q∞n−1

の 方 向 を 極 小 方 向 と い う.極

小直

通 る す べ て の 極 小 直 線 は,Aを

れ を 極 小 錐 面 と い う.

空 間Pnの2次 球Sn−1に

曲 面Sn−1が

絶 対 形Q∞n−2を

関 す る 無 限 遠 超 平 面P∞n−1の

含む

極 を この

超 球 の 中 心 と い う.絶 対 形Q∞n−2の

方 程式 を

とす る と き,任 意 の 超 球 は 方 程 式  (5.13)

で 与 え ら れ る.超

球Sn−1が

な い 超 球 に は,次

の3通

  〔1〕  空 間Enの

正 則 の と き,Sn−1∩P∞n−1=Q∞n−2で

点Aを

頂 点 と す る 極 小 錐 面. 他 の 超 平 面Pn−1か

  〔3〕  無 限 遠 超 平 面P∞n−1と

重 な る2超

  超 球 の 方 程 式(5.13)を 表 わ さ れ,し

座 標 と す るn+1次 相 似 空 間Enの EnはPn+1の は,あ

見 れ ば,空

元 射 影 空 間Pn+1の 点 は,そ

ら 成 る2超

平 面.

平 面.

間Enの

た が っ て,Enの

超 球 は 斉 次 座 標(s0,s1,…

す べ て の 超 球 に は,こ

…,

の斉 次座 標 を点

点 を 対 応 さ せ る こ と が で き る.そ

し て,

の 点 を 頂 点 とす る 極 小 錐 面 を 表 わ す も の と見 な せ ば,

部 分 集 合 と考 え ら れ る.超

球 を こ の よ うな 立 場 か ら考 察 す る こ と

と で も っ と 一 般 的 に 扱 わ れ る.

  一 般 の 相 似 変 換(5.11)に AE(n,K)の

お い て,と

正 規 部 分 群AO(n,K)を

く にC2=1と つ く る.こ

そ の 変 換 を ユ ー ク リ ッ ド合 同 変 換 と い う.ユ En上

則で

り の 場 合 が あ る.

  〔2〕   無 限 遠 超 平 面P∞n−1と

sn,s∞)で

あ る.正

の 変 換 群 と な り,ク

ー ク リ ッ ド幾 何 と い い ,空

似群

れ を ユ ー ク リ ッ ド群 と い い,

ー ク リ ッ ド群AO(n,K)は

ラ イ ン 幾 何{AO(n,K),En}が 間Enをn次

な る も の 全 体 は,相

空 間

定 ま る.こ

れ を ユ

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と い う.任

意のユ

ー ク リ ッ ド合 同 変 換 は

  (5.14)

と書 か れ る.ユ 間En上

ー ク リ ッ ド群AO(n,K)は

に 推 移 的 に 作 用 す る.空

平 行 移 動 群D(n,K)を

間Enの1点A0を

含 み,空

動 か さ な いAO(n,K)

の 部 分 群O(n,K)を

直 交 群 とい い,そ

と し て 不 動 点A0を

とれ ば,任

の 変 換 を 直 交 変 換 とい う.標 構 の 原 点

意 の直 交 変換 は

  (5.15)

と 書 か れ る.ユ

ー ク リ ッ ド空 間Enは

等質 空 間

En=AO(n,K)/O(n,K) と し て 与 え ら れ,ま

で あ る.そ

た,明

らか に

し て,一 般 の 合 同 変 換(5.14)は,直

とを 結 合 す る こ とに よ って 得 られ る.相

交 変 換(5.15)と

似 空 間Enの1点A0を

通 るす べ て の

直 線 を そ れ 自 身 に 移 す 相 似 変 換 全 体 は,中 心 相 似 群GL(n,K)の K0を

つ く る.こ

れ を 相 似 投 影 群 とい い,そ

点 と し て 不 動 点A0を

とれ ば,任

平 行 移 動(5.5)

正規 部 分 群

の 変 換 を 相 似 投 影 と い う.標 構 の 原

意 の相 似 投 影 は

  (5.16) と 書 か れ る.と

く に,c=−1と

し て,

  (5.17)

で 与 え ら れ る 変 換 ω を 対 心 変 換 と い う.明 ら 成 る 群,SI2(n)={1,ω}は

と な り,任

換(5.15)と

た,任

正 規 部 分 群 を つ く る.そ

似 投 影(5.16)と

意 の 中 心 相 似 変 換(5.12)は,相

お い て,さ

の元 か し て,

合 同 変 換(5.14)と 似 投 影(5.16)と

ら にdet(apq)=1と

正 規 部 分 群ASO(n,K)を

変 換 を 運 動 と い う.運 En上

あ る.2つ

の 直交 変

の 結 合 と し て 得 ら れ る.

  合 同 変 換(5.14)に AO(n,K)の

群GL(n,K)の

意 の 相 似 変 換(5.11)は,相

結 合 と し て,ま

ら か に,ω° ω=1で

動 群ASO(n,K)は

に 推 移 的 に 作 用 す る.空

間Enの1点A0を

な る も の 全 体 は,群

つ く る.こ

れ を 運 動 群 と い い,そ

平 行 移 動 群D(n,K)を

含 み,空

動 か さ な いASO(n,K)の

の 間 部

分 群SO(n,K)を

回 転 群 と い い,そ

の 変 換 を 回 転 と い う.空

間Enは

等 質空 間

En=ASO(n,K)/SO(n,K) と し て 与 え ら れ,ま

た,明

で あ る.そ

般 の 運 動 は,回

し て,一

れ る.と

らか に

転 と平 行 移 動 とを 結 合 す る こ と に よ っ て得 ら

くに

  (5.18)

で 与 え ら れ る 変 換 μ を 鏡 像 と い う.明 る 群SI2={1,μ}は

群O(n,K)の

とな り,任 意 の 合 同 変 換 は,鏡 は,鏡

ら か に,μ° μ=1で 部 分 群 と な る.明

  と くに,複 線l,hは

た,任

意 の直交 変 換

動 群ASO(n,K)は

等積 ア

部 分 群 で あ る.

素 相 似 空 間 で は,角

の 値 が 定 義 され る.複

極 小 直 線 で な い とす る.2直

と し,2点L,Hを

お,運

の元 か ら成

らかに

像 と運 動 と の 結 合 と して,ま

像 と回 転 との 結 合 と し て 得 られ る.な

フ ィ ン群ASL(n,K)の

あ る.2つ

線l,h上

素 相 似 空 間Enの2直

の 無 限 遠 点 を そ れ ぞ れL,H

通 る無 限 遠 直 線 が 絶 対 形Q∞n−2に

交 わ る2点 をI,Jと

す

る.こ の と き,   (5.19)

で 定 義 さ れ る 複 素 数 θ を2直 れ ば,非

調和 比

価 函 数 で,そ る 角 の1つ

線l,hの

〔L,H,I,J〕

の 値 は2π  の値 を

な す 角 と い う.2交

の 値 は そ の 逆 数 に 変 わ る.ま を 除 い て 定 ま る.し

θ0と す れ ば,角

θ の 値 は,一 (mは

で 与 え ら れ る.す

な わ ち,角

群AE(n,C)の

不 変 量 で あ る.

  定 理5.4 

複 素 相 似 空 間Enに

点I,Jを た,対

た が っ て,(5.19)で

いれ か え 数 函数 は多 定 義 され

般に 整 数),

θは 向 き ± お よ び 円 周 率 π を 除 い て 定 ま り,相

お い て,絶

対 形Q∞n−2の

方 程 式 をx0=0,

似

(X,X)=0と Hと

す る.極 小 直 線 で な い2直

す れ ば,2直

線l,hの

線l,h上

の 無 限 遠 点 を そ れ ぞ れL,

な す 角 θは

 (5.20)

で 与 え ら れ る.   証 明   2点L,Hを (λ,μ)≠0,で 0に

通 る 無 限 遠 直 線P∞1上

与 え ら れ る.こ

代 入 す れ ば,直

を 得 る.こ の2交

の2根

線P∞1上

の 任 意 の 点Xは,X=λL+μH,

れ を 絶 対 形Q∞n−2の

方 程 式x0=0,(X,X)=

の 斉 次 座 標(λ,μ)≠0に

を(λ1,μ1),(λ2,μ2)と

す れ ば,直

関 す る2次

線P∞1と

方程 式

絶 対 形Q∞n−2と

点I,Jは I=λ1L+μ1H,J=λ2L+μ2H

で 与 え ら れ る.非

調和 比 の定 義 か ら

とな る.ま た,2次

と な る.一

方 程 式 の 根 と係 数 と の 関 係 か ら

方,角

θの 定 義 か ら

す なわち で あ る.ゆ

え に,

と な る.し

た が っ て, cos2θ=(L,H)2/(L,L)(H,H)

  2直 線l,hの あ る.ま

た,こ

な す 角 を θ とす れ ば,こ の2直

間Enの2点X,Yの

絶 対 形Q∞n−2の

(証終)

れ ら が 垂 直 で あ る 条 件 はcosθ=0で

線 が 平 行 の と き,cosθ=±1と

  複 素 相 似 空 間Enの

と し,空

. 

な る.

方程式 を

非斉 次 座標 をそ れ ぞれ

と す る.こ

の と き,

  (5.21)

で 定 義 さ れ る複素 数 ρ を2点X,Yの り,ユ

距 離 と い う.距

ー ク リ ッ ド群AO(n,C)の

  な お,複

離 は 向 き ± を除 い て定 ま

不 変 量 で あ る.

素 相 似 空 間Enに

お い て は,適

当 な ア フ ィ ン標 構 を と れ ば,絶

対形

Q∞n−2の 方 程 式 を x0=0,(X,X)=x12+x22+…

…+xn2=0

と す る こ と が で き る.

  5.4 

非 ユ ー ク リッ

ド幾 何

  ユ ー ク リ ッ ド幾 何 に お け る 絶 対 形Q∞n−2は

無 限 遠 超 平 面P∞n−1上

曲 面 で あ っ た.こ

元 射 影 空 間Pn上

次 曲 面Q∞n−1を ぶ.空

れ に 対 し て,こ 指 定 し,こ

間Pnの

い,そ

れ を 絶 対 形 と 名 づ け,Q∞n−1上

射 影 変 換 で,絶

群PL(n,K)の

こ で はn次

対 形Q∞n−1を

部 分 群NE(n,K)を

の 変 換 を 非 ユ ー ク リ ッ ド合 同 変 換 と い う.空

は 空 間Fn上

の 変 換 群 と な り,ク

と れ ば,非

こ の と き,射 形Q∞n−1の

影 空 間Pnを

の点 を 無限 遠 点 とよ

間Fnをn次

全 空 間 と よ ぶ.全

影

れ を 非 ユ ー ク リ ッ ド群 と い 間Pnか

ら す べ て の無 限 遠

ユ ー ク リ ッ ド 群NE(n,K)

ラ ィ ン 幾 何{NE(n,K),Fn}が

れ を 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 と い い,空

の 正 則2

そ れ 自 身 に 移 す も の 全 体 は,射

つ く る.こ

点 を 除 い た 点 集 合Fn=Pn−Q∞n−1を

の1つ

の 正 則2次

定 ま る.こ

元 非 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と い う. 空 間Pnの

射 影 標 構 を と り,絶

対

方 程式 を

  (5.22)

と す る.簡 … …

単 の た め,全

,xn),(y0,y1,…

空 間Pnの2点X,Yの …,yn)と

し て,

と お く.こ の 記 号 を 用 い れ ば,絶 対 形Q∞n−1の れ る,全 空 間Pnの

射 影 変 換 が,絶

斉 次 座 標 を そ れ ぞ れ(x0,x1,

方 程 式 は(X,X)=0で

対 形Q∞n−1を

与えら

そ れ 自身 に 移 す 条 件 を 考 慮 す

れ ば,任 意 の 非 ユ ー リ ッ ド合 同 変 換 は  (5.23)

で 与 え ら れ る.   全 空 間Pnのr次

と お く.部

元 部 分 空 間Prが

分 空 間Pr上

の2次

絶 対 形Q∞n−1に

曲 面Q∞r−1が

含 ま れ な い と き,

正 則 で あ れ ば,空

r次 元 非 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と な り,そ の 絶 対 形 はQ∞r−1で 線l,hが

同 じ 無 限 遠 点 を 通 る と き,2直

線l,hは

直 線l上

が 絶 対 形Q∞n−1と

図5.5

て,こ

れ ら の 絶 対 形Q∞n−1に

が 絶 対 形Q∞n−1に と い う.2超

た,直

平 面u,υ

線lが 絶 対 形Q∞n−1に

け れ ば,点Aを

通 っ て,直

存 在 し な い.空

間Fnの2超

2直 線l,hが,平

面F2に

平 行 な直線 は

平 面u,υ

は 直交 す る

あ る.絶 間Fnの

お い て 直 交 す る と き,2直

に対 し

す る.2点U,V

が 直 交 す る 条 件 は(U,V)=0で お,空

線lに

平行で

交わ らな

平 面u,υ

関 す る 極 を そ れ ぞ れU,Vと

に 接 す る 超 平 面 は そ れ 自 身 に 直 交 す る.な

交 わ れ ば,

どち ら も 直 線lに

関 し て た が い に 共 役 で あ る と き,2超

間Fn

に な い とす る.直 線l

異 な る2点I,Jで

2直 線A∨I,A∨Jは

また

あ る.空 間Fnの2直

平 行 で あ る と い う.空

に お い て,点Aは

あ る.ま

間Frも

対 形Q∞n−1

平 面F2に 線l,hは

含 まれ る

直 交 す る とい

う.   全 空 間Pnの とす る.超 と す る.2つ 2次

点Aを

と り,絶

平 面P0n−1に の2次

曲 面Sn−1を

対 形Q∞n−1に

重 な る2超

平 面 を2次

曲 面Q∞n−1,Q0n−1を 超 球 と い い,点Aを

を こ の 超 球 の 軸 と い う.絶

関 す る 点Aの

対 形Q∞n−1の

極 超 平 面 をP0n−1

曲 面 と 見 な し て,こ

含 む2次

曲 面 束 を と り,こ

そ の 中 心 と い う.そ 方程 式 を

し て,超

れ をQ0n−1 れ に属 す る 平 面P0n−1

と し,点Aの Sn−1の

斉 次 座 標 を(a0,a1,…

…,an)と

す れ ば,点Aを

中 心 とす る 超 球

方程 式 は

  (5.24)

で 与 え られ る.そ

し て,方 程 式

  (5.25)

で 与 え ら れ る 超 平 面P0n−1が 超 球 と 考 え ら れ る.こ 一 致 しな い条 件 は

  と く に,複

こ の 超 球 の 軸 で あ る.絶

の 場 合,中

,方

心 は 不 定 で あ る.超

程 式(5.24)に

対 形Q∞n−1自 球Sn−1が

お い て,s0≠0と

身 も1つ

の

絶 対 形Q∞n−1と

な る こ と で あ る.

素 非 ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る 角 お よ び 距 離 に つ い て 考 察 す る.腹

素 非 ユ ー ク リ ッ ド空 間Fnの2超 2超 平 面u,υ

のQ∞n−1に

平 面u,υ

は 絶 対 形Q∞n−1に

関 す る 極 を そ れ ぞ れU,Vと

通 る 直 線 が 絶 対 形Q∞n−1に

交 わ る2点

をI,Jと

接 し な い と し,

す る.2点U,Vを

し て,

 (5.26)

で 定 義 さ れ る 複 素 数 θ を2超

平 面u,υ

の な す 角 と い う.角

は向 き ± お よ び 円

周 率 π を 除 い て 定 ま り,非

ユ ー ク リ ッ ド群NE(n,C)の

不 変 量 で あ る.な

空 間Fnの2直

平 面F2に

線l,hの

面F2に

線l,hが

含 ま れ る と き,2直

お,

なす 角 は平

お け る 角 と し て 定 義 さ れ る.

  定 理5.5 

非 ユ ー ク リ ッ ド 空 間Fnに

(X,X)=0と

す る.絶

す る 極 を そ れ ぞ れU,Vと

対 形Q∞n−1に す れ ば,2超

お い て,絶 接 し な い2超 平 面u,υ

対 形Q∞n−1の 平 面u,υ

方 程 式 を

のQ∞n−1に

関

の な す 角 θは

 (5.27)

で 与 え ら れ る.   証 明   定 理5.4と   2超 平 面u,υ あ る.同

ま っ た く 同 様 で あ る.  の な す 角 を θ とす れ ば,こ

じ 平 面 上 の2直

はcosθ=0,そ

し て,こ

線l,hの

(証 終) れ ら が 直 交 す る 条 件 はcosθ=0で

な す 角 を θ と す れ ば,こ

れ ら が 平 行 で あ る 条 件 はcosθ=±1で

  複 素 非 ユ ー ク リ ッ ド空 間Fnに

お い て,1つ

れ らが 直 交 す る条 件 あ る.

の 複 素 数 α を 定 め て お く.空

間

Fnの2点X,Yを

通 る 直 線 が 絶 対 形Q∞n−1と

交 わ る2点

をI,Jと

す る,こ

の と き,

  (5.28)

で 定 義 さ れ る 複 素 数 ρ を2点X,Yの を 除 い て 定 ま り,非   定 理5.6 

距 離 と い う.距

ユ ー ク リ ッ ド群NE(n,C)の

複 素 非 ユ ー ク リ ッ ド空 間Fnに

(X,X)=0と

す る.空

離 は 向 き ± お よび数

απ

不 変 量 で あ る. お い て,絶

間Fnの2点X,Yの

対 形Q∞n−1の

方程式を

距 離 ρは

 (5.29)

で 与え ら れ る.   証 明   定 理5.4と   な お,複

ま っ た く 同 様 で あ る. 

素 非 ユ ー ク リ ッ ド空 間Fnに

対 形Q∞n−1の

(証 終)

お い て は,適

当 な 射 影 標 構 を と れ ば,絶

方程式を (X,X)=x02+x12+……+xn2=0

と す る こ と が で き る.   一 般 に,n+1次

元 相 似 空 間En+1の1点A0を

中 心 相 似 群GE(n+1,K)を

つ く る.無

動 か さ な い 相 似 変 換 全 体 は, 限 遠 超 平 面P∞nか

の 点 を 除 い た 点 集 合Fn=P∞n−Q∞n−1を F∞n上

の 変 換 群 と な り,ク

と れ ば,群GE(n+1,K)は

ラ イ ン 幾 何{GE(n+1,K),F∞n}が

は 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 に 他 な ら な い.た へ の 作 用 は 有 効 的 で は な く,空 相 似 投 影 群K0で

あ る.そ

ら 絶 対 形Q∞n−1上

間F∞nの

し て,空

空 間 定 ま る.こ

だ し,群GE(n+1,K)の

れ

空 間F∞n上

す べ て の点 を動 か さない正 規 部分 群 は

間F∞n上

に は 非 ユ ー ク リ ド群

が 有 効 的 に 作 用 し て い る.   5.5 

実

  相 似 幾 何,ユ とい い,そ

計

量

幾

何

ー ク リ ッ ド幾 何,お

よ び 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 を 総 称 し て 計 量 幾 何

の 空 間 を 計 量 空 間 とい う.こ

る.実 射 影 空 間 で は2次

こで,と

くに 実 計 量空 間 に つ い て 考 察 す

曲 面 の符 号 が 射 影 群PL(n,R)の

不 変 量 で あ る.そ れ

ゆ え,符

号 の 異 な る 正 則2次

幾 何 が 得 ら れ る.し

か し,こ

同 じ 計 量 幾 何 と な る.実 複 素 数 体Cま

質 の 異 な る計 量

れ ら は 係 数 体Rを

で 拡 大 す れ ば,

複 素 数 体Cま

計 量 幾 何 に お け る 角 お よ び 距 離 と し て は,係

で 拡 大 し て,複

の う ち,と 3通

曲 面 を 絶 対 形 と し て 指 定 す れ ば,性

数 体Rを

素 計 量 幾 何 に お い て 定 義 され る角 お よ び 距 離 の値

くに 実 数 値 と な る も の を 用 い る.実

計 量 幾 何 の 絶 対 形 と し て は,次

の

り の 場 合 が 重 要 で あ る.

  〔1〕  n次 元 実 射 影 空 間Pn上 上 に 符 号(n,0)の2次 AE(n)を

に 無 限 遠 超 平 面P∞n−1を

曲 面Q∞n−2を

放 物 群 と い い,放

指 定 す る.こ

指 定 し,さ

ら にP∞n−1

れ を絶 対 形 と す る 相 似 群

物 群 か ら 導 か れ る ユ ー ク リ ッ ド群AO(n)を

実ユー

ク リ ッ ド群 と い う.   〔2〕   n次 元 実 射 影 空 間Pn上 す る.こ

に 符 号(n+1,0)の2次

曲 面Q∞n−1を

れ を 絶 対 形 と す る 非 ユ ー ク リ ッ ド群 を 楕 円 群 と い い,EL(n)で

  〔3〕   n次 元 実 射 影 空 間Pn上

に 符 号(n,1)の2次

  5.5.1

放

物

幾

お い て,適

物 群AE(n)の

絶 対 形Q∞n−2の

当 な ア フ ィ ン 標 構{R0,R1,…

x0=0, 

の2次

の 標 構 を 直 交 標 構 と い う.絶

ど ち ら も 空 間En上

{AE(n),En},{AO(n),En}が

群AE(n),AO(n)は   放 物 空 間Enに P∞n−1に

間Enを

と り,放

無 限 遠超 平 な わ ち,空

間

よび 実 ユ ー ラ ィ ン幾 何

れ ら を そ れ ぞ れ 放 物 幾 何,実

ユー

放 物 空 間 あ る い は 実 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と い う.

平 行 移 動 群D(n)を お い て,全

物 群AE(n)お

の 変 換 群 と な り,ク

定 ま る.こ

ク リ ッ ド幾 何 と い い,空

対 形Q∞n−2は

に は 実 点 が な い.す

は 実 極 小 方 向 が 存 在 し な い.放

ク リ ッ ド群AO(n)は

…,Rn}を

…+xn2=0

曲 面 で あ る が,Q∞n−2上

En=Pn−P∞n−1に

表 わ す.

方程式を

(X,X)=x12+x22+…

と す る こ と が で き る.こ 面P∞n−1上

指 定 す る.

何

  全 空 間pnに

  (5.30) 

表 わ す.

曲 面Q∞n−1を

こ れ を 絶 対 形 と す る 非 ユ ー ク リ ッ ド群 を 双 曲 群 と い い,HL(n)で

指 定

空 間Pnのr次

含 み,空 間En上

に 推 移 的 に 作 用 す る.

元 部 分 空 間Prが

無限 遠 超 平 面

含 ま れ な い と き,

と お け ば,P∞r−1上

の2次

曲 面Q∞r−2の

符 号 は(r,0)と

な る か ら,空

間Er

も ま た 放 物 空 間 とな り,そ の 無 限 遠 超 平 面 はP∞r−1,そ で あ る.な お,放

物 空 間Enに

して そ の 絶 対 形 はQ∞r−2

は 実 極 小 直 線 は 存 在 し な い.そ

して 極 小 錐 面 上 の

実 点 は そ の 頂 点 だ け で あ る.   放 物 空 間Enで あ る.空

は,任

間Enの2直

意 の 実 無 限 遠 点X∈P∞n−1に

線l,h上

対 し て,(X,X)>0で

の 無 限 遠 点 を そ れ ぞ れL,Hと

す れ ば,任 意

の 実 数 λに 対 し て,

で あ る か ら,(L,H)2≦(L,L)(H,H)で l,hの

な け れ ば な ら な い.よ

っ て,2直

線

な す 角 θは

  (5.31)

で 与 え ら れ,0≦ ド空 間Enに

θ≦ π/2と お い て,直

な る 実 数 値 θが 一 意 的 に 定 ま る.ま

そ れ ぞ れ(1,ξ1,…

交 標 構 を と り,空

…,ξn),(1,η1,…

た,実

間Enの2点X,Yの …,ηn)と

ユー クリッ 非斉 次座 標 を

す れ ば,2点X,Yの

距離

ρは

  (5.32)

で 与 え ら れ,実   5.5.2 

楕

  全 空 間Pnに EL(n)の

数値 円

ρ≧0が

幾

何

お い て,適

な わ ち,空

間Pn上

,Rn}を

間Pnに

間Pnを

対 形Q∞n−1上

は 実 無 限 遠 点 は 存 在 し な い.楕 ラ イ ン 幾 何{EL(n),Pn}が

楕 円 空 間 と い う.楕

つ く る に は,ま

次 に 点R0のQ∞n−1に

と り,楕

円群

…+xn2=0

の 標 構 を 直 交 標 構 と い う.絶

の 変 換 群 と な り,ク

幾 何 と い い,空

…,Rn}を

方程 式 を

(X,X)=x02+x12+…

と す る こ と が で き る.こ

……

当 な 射 影 標 構{R0,R1,…

絶 対 形Q∞n−1の

  (5.33) 

な い.す

一意 的 に 定 ま る.

ず,頂

点R0と

し て 空 間Pnの

関 す る 極 超 平 面 上 に 頂 点R1を,さ

Q∞n−1に 関 す る 最 大 共 役 空 間 上 に 頂 点R2を 適 当 に 単 位 点 を と れ ば よ い.楕

円 群EL(n)の

と り,以

円 群EL(n)は 定 ま る.こ

円 空 間Pnの

に は実 点が 全空 れ を楕 円

直 交 標 構{R0,R1, 任 意 の 点 を と り, ら に 直 線R0∨R1の

下 こ の 操 作 を 続 け,最

変 換 と は,直

後に

交 標 構 を直 交標 構 に

移 す 射 影 変 換 と し て 特 性 づ け ら れ る.直 意 の 点 を と る こ と が で き る か ら,楕 す る.同

様 に,楕

Gn,r上

円 群EL(n)は

円 群EL(n)は,空

間Pnの

し て 空 間Pnの

任

空 間Pn上

に推 移 的 に作用

す べ て のr次

元部 分空 間 の集 合

に も 推 移 的 に 作 用 す る.

  定 理5.7 

楕 円 空 間Pnの

部 分 空 間Prも

絶 対 形 をQ∞n−1と

ま た 楕 円 空 間 と な り,そ

Pr∩Q∞n−1で

… … ,Rrを

含 むr次

Pr∩Qn−1の

元 部 分 空 間 をPrと

…+xr2=0, 

の 符 号 は(r+1,0)で

間Pnの

…,Rn}を

任 意 のr次

の2次

元

曲 面Q∞r−1=

と り,頂

す れ ば,Pr上

  楕 円 空 間Pnの   (5.34) 

あ る.楕

円 群EL(n)は

の2次

点R0,R1,

曲 面Q∞r−1=

楕 円 空 間 と な り,そ

の

に 推 移 的 に 作 用 す るか

線 は 必 ず 交 わ る.し

(証 終) た が っ て,1

の 直 線 に 平 行 な 直 線 は 存 在 し な い.

絶 対 形Q∞n−1の

方程 式 を

(X,X)=gx02+x12+…

のQ∞n−1に

間Prは

空 間Gn,r上

じ 平 面 上 の2直

を 通 っ て,こ

意 の 実 点X∈Pnに

…=xn=0

元 部 分 空 間 に つ い て 定 理 は 成 立 す る. 

お い て,同

直 線 上 に な い1点

xr+1=…

あ る か ら,空

任 意 のr次

  楕 円 空 間Pnに

面u,υ

間Pnの

方程 式 は

絶 対 形 はQ∞r−1で

と す る.任

の 絶 対 形 はPr上

直 交 標 構{R0,R1,…

x02+x12+… と な る.こ

す る.空

あ る.

  証 明   楕 円 空 間Pnの

ら,空

交 標 構 の 頂 点R0と

…+xn2=0,  対 し て,(X,X)>0で

関 す る 極 を そ れ ぞ れU,Vと

g>0, あ る.空

間Pnの2超

す れ ば,任

平

意 の 実 数 λに 対

し て,

で あ る か ら,不 面u,υ

等 式(U,V)2≦(U,U)(V,V)が

成 り立 つ.よ

っ て,2超

の な す 角 θは

 (5.35)

で 与 え ら れ,0≦ 2点X,Yの

  (5.36)

θ≦ π/2と 距 離 ρは

な る 実 数 値 θが 一 意 的 に 定 ま る.ま

た,空

間Pnの

平

で 与 え られ,    n+1次

と な る 実 数 値 ρが 一 意 的 に 定 ま る.

元 放 物 空 間En+1に

心 放 物 群GE(n+1)を

空 間P∞nの

動 か さない 放物 変 換全 体 は 中

つ く る.群GE(n+1)は

な 変 換 群 と な り,ク 他 な ら な い.た

お い て,1点A0を

無 限 遠 超 平 面P∞n上

ラ イ ン幾 何{GE(n+1),P∞n}が

だ し,群GE(n+1)の

の推 移 的

定 ま る.こ れ は 楕 円 幾 何 に

空 間P∞n上

へ の 作 用 は 有 効 的 で は な く,

す べ て の 点 を 動 か さ な い 正 規 部 分 群 は 実 相 似 投 影 群R0で

れ は 実 数 体Rか

ら0を 除 い た 乗 法 群 と同 型 で あ る.そ

し て,空

あ る.こ

間P∞n上

に は,

楕 円群

が 有 効 的 に 作 用 し て い る.   5.5.3 

双

曲

  全 空 間Pnに HL(n)の

幾

何

お い て,適

絶 対 形Q∞n−1の

  (5.37) 

わ ち(X,X)=0と

空 間Pnは

通 常 点,ま

す べ て の 通 常 点 の 集 合Hn,す

あ る か ら,全

曲 幾 何 と い い,空 ば れ る.双 は 通 常 点,頂 … … ,n)は

間Hnを

曲 空 間Hnの 点R1,R2,…

くに,ク

無 限 遠 点 で あ る.こ

べ て の 無 限 遠点 の 集

曲 群HL(n)は

お,点

直 交 標 構{R0,R1,… …,Rnは

おい

意 の双 曲変換

の 部 分 集 合Hn,Q∞n−1,H*n

ラ イ ン 幾 何{HL(n),Hn}が

双 曲 空 間 と い う.な

点Xに

な

な る と き,Xを

分 け ら れ る.任

空 間Pnの3つ

は こ の 変 換 で い ず れ も そ れ 自 身 に 移 さ れ る.双 上 の 変 換 群 と な り,と

曲群

の 点,す

空 間Pnの

た(X,X)>0と

よ び す べ て の 補 助 点 の 集 合H*nに

に お い て,C2>0で

対 形Q∞n−1上

無 限 遠 点 で あ る.全

な る と き,Xを

補 助 点 と い う.全

と り,双

…+xn2=0

の 標 構 を 直 交 標 構 と い う.絶

な る 点Xは

て,(X,X)<0と

…,Rn}を

方程式を

(X,X)=−x02+x12+…

とす る こ と が で き る.こ

合Q∞n−1,お

当 な 射 影 標 構{R0,R1,…

補 助 点,そ

これ ら の各 点 集 合 定 ま る.こ

集 合H*nは

…,Rn}に

れを双

補 助空 間 と よ

お い て は,頂

点R0

し て 点R0+Rp(p=1,2,

の 直 交 標 構 を つ く る と き,頂

点R0と

して任 意

の 通 常 点 を と る こ と が で き る か ら,双 に 作 用 す る.同

様 に,群HL(n)は

曲 群HL(n)は

双 曲 空 間Hn上

絶 対 形Q∞n−1上

に推 移 的

に も,ま

た 補 助 空 間H*n

の 点Aの

絶 対 形Q∞n−1に

上 に も 推 移 的 に 作 用 す る.   定 理5.8 

双 曲 空 間Hnに

関 す る 極 超 平 面 をPn−1と

お い て,全 し,空

空 間Pn上

間Pn−1上

の2次

曲 面Q∞n−2=Pn−1∩Q∞n−1

を と る.   (1) 

点Aが

通 常 点 な ら ば,極

上 の2次

曲 面Q∞n−2の

  (2) 

点Aが

超 平 面Pn−1は

符 号 は(n,0)で

無 限 遠 点 な ら ば,極

て 補 助 点 で あ る.そ

補 助 空 間H*nに

あ る. 超 平 面Pn−1上

し て,Pn−1上

含 ま れ,Pn−1

の2次

の 点 は,点Aを

曲 面Q∞n−2の

除 いてす べ

符 号 は(n−1,0)で

あ

る.   (3)  の2次

点Aが

補 助 点 な ら ば,極

曲 面Q∞n−2の

符 号 は(n−1,1)で

  証 明   直 交 標 構{R0,R1,…   (1) 

通 常 点R0の

Pn−1上

超 平 面Pn−1上 あ る.

…,Rn}を

と る.

極 超 平 面Pn−1は

の 任 意 の 点Xに

に は 通 常 点 が 存 在 し,Pn−1上

方 程 式x0=0で

と な る か ら,点Xは

補 助 点 で あ る.そ

は,x0=0,(X,X)=0と

  (2) 

な り,こ

の 任 意 の 点Xに

し て,Pn−1上

x2=…

極 超 平 面Pn−1は

と き に 限 る.よ

な り,こ

補 助 点R1の

曲 群HL(n)

方 程 式x0−x1=0で

与 え ら れ,

…+xn2≧0 と き,す っ て,Pn−1上

し て,Pn−1上

の2次

の 符 号 は(n−1,0)で

Q∞n−1上 に 推 移 的 に 作 用 す る か ら,任   (3) 

あ る.双

対 し て.

の 点 は 補 助 点 で あ る.そ (X,X)=0と

方 程式

意 の 通 常 点 に つ い て 成 り 立 つ.

号 が 成 り立 つ の は,X=R0+R1の

…=xn=0の

の2次

の 符 号 は(n,0)で

x0=x1,(X,X)=x22+… と な り,等

曲 面Q∞n−2の

…+xn2>0

に 推 移 的 に 作 用 す る か ら,任

無 限 遠 点R0+R1の

Pn−1上

っ て,

対 し て,

x0=0,(X,X)=x12+x22+…

は 空 間Hn上

与 え ら れ る.よ

な わ ち,x0=x1≠0,

の 点R0+R1以

曲 面Q∞n−2の あ る.双

外 のす べ て

方 程 式 はx0=x1, 曲 群HL(n)は

空間

意 の 無 限 遠 点 に つ い て 成 り 立 つ.

極 超 平 面Pn−1は,方

程 式x1=0で

与 え ら れ,Pn−1上

の 点R0は

た し か に 通 常 点 で あ る.そ

し てPn−1上

の2次

x1=0,(X,X)=−x02+x22+… と な り,こ

の 符 号 は(n−1,1)で

推 移 的 に 作 用 す る か ら,任   定 理5.9 

方程式は

…+xn2=0

あ る.双

曲 群HL(n)は

補 助 空 間H*n上

意 の 補 助 点 に つ い て 成 り 立 つ. 

双 曲 空 間Hnの

r次 元 部 分 空 間Pr上

曲 面Q∞n−2の

絶 対 形Q∞n−1は

の2次

(証 終)

実 母 線 を も た な い.全

曲 面Q∞r−1=Pr∩Q∞n−1を

に

空 間Pnの

と れ ば,次

の3通

りの

場 合 が あ る.   (1) 

Prが

通 常 点 を 含 む と き,空

そ の 絶 対 形 はQ∞r−1で   (2)  だ1つ

Prが

間Hr=Pr∩Hnも

ま た 双 曲 空 間 と な り,

あ る.

無 限 遠 点 を 含 み,通

常 点 を 含 ま な い と き,Pr上

の無限 遠 点 はた

  (3) 

で あ る. Prが

補 助 空 間H*nに

の 絶 対 形 はQ∞r−1で

含 ま れ る と き,空

楕 円 空 間 と な り,そ

あ る.

  証 明  絶 対 形Q∞n−1が

実 母 線1を

Q∞n−1に 関 す る 極 超 平 面P0n−1は 点I以

間Prは

外 のP0n−1上

も つ と 仮 定 す れ ば,母 母 線lを

含 む.一

方,定

の 点 は す べ て 補 助 点 で あ る.こ

線l上

の1点Iの

理5.8(2)に

よ って

れ は 矛 盾 で あ る か ら,Q∞n−1

は 実 母 線 を も た な い.   (1),(3) 

全 空 間Pnの

ら 明 ら で あ る.ま Pn−1を

と り,定

様 に し て,r次   (2)  (2)が

超 平 面Pn−1に

たn−2次

元 部 分 空 間Pn−2に

理5.8(1),(3),ま

理5.8(1),(3)か

つ い て は,こ

た は 定 理5.7を

元 部 分 空 間Prに

絶 対 形Q∞n−1は

つ い て は,定

れ を含 む超平 面

適 用 す れ ば よ い.以

つ い て(1),(3)が

成 り立 つ.

実 母 線 を も た な い か ら,(1),(3)以

外 の 場 合 に は

成 り立 つ. 

  結 局,双

曲 空 間Hrに

とお け ば,Prが

下同

(証 終) お い て,全

空 間Pnの

部 分 空 間Prに

通 常 点 を 含 む と き に 限 っ て,空 間Hrは

絶 対 形 はQ∞r−1で 与 え ら れ る.全 空 間Pnに と極 超 平 面 との 対 応 を 考 え れ ば,任 1に 対 応 す る.す な わ ち,補

双 曲空 間 とな り,そ の

お い て,絶 対 形Q∞n−1に 関 す る極

意 の 補 助 点 に は,空

助 空 間H*nは

対 し て,

双 曲 空 間Hnの

間Hnの

超 平 面 が1対

す べ て の超平 面 の集

合 を 表 わ す と 考 え て よ い.そ

し て,双

曲 群HL(n)は

の変換 群

と な り,ク

空 間H*n上

ラ イ ン 幾 何{HL(n),H*n}

が 定 ま る.こ

れ は 双 曲 空 間Hnの

超平

面 論 で あ る.

 双 曲 空 間Hnの

直 線lは

絶 対 形

Q∞n−1と 必 ず 異 な る2点I,Jで

図5.6

交 わ る.直

2直 線A∨1,A∨Jは

ど ち ら も 直 線lに

い 任 意 の 点 を 通 っ て,直

線lに

の 補 助 点Cを

と れ ば,2直

線l上

に な いHnの

平 行 で あ る.す

平 行 な 直 線 が ち ょ う ど2つ

線l,A∨Cは

し か も 空 間Hn上

で は 交 わ ら な い.

  双 曲 空 間Hnの

絶 対 形Q∞n−1の

が 絶 対 形Q∞n−1に

一 致 し な い と き,そ

点Aを

な わ ち,直

線l上

あ る.ま

た,直

同 じ 平 面 上 に あ る が,平

方 程 式 を(X,X)=0と の 中 心 をAと

と れ ば,

線l上

行 で は な く,

す る.超 す れ ば,超

にな

球Sn−1

球Sn−1の

方程

式は S0(A,X)2+s∞(X,X)=0,  で 与 え ら れ,そ

の 軸 の 方 程 式 は(A,X)=0で

そ の 中 心 が そ れ ぞ れ 通 常 点,無 球,限

界 球,等

s0≠0, あ る.双

限 遠 点,補

距 離 面 と よ ば れ る.な

助 点 で あ る の に 応 じ て,そ

お,常

球 の 軸 は 中 心 に お い て 絶 対 形 に 接 し,そ

曲 空 間Hnの

超 球 は, れ ぞれ 常超

超 球 の 軸 は 補 助 空 間 に 含 ま れ,限

し て 等 距 離 面 の 軸 は 空 間Hnの

超 平 面

で あ る.

図5.7

双 曲 空 間Hnの   (5.38)  と す る.任

絶 対 形Q∞n−1の (X,X)=gx02+x12+…

意 の 補 助 点X∈H*nに

方程 式 を …+xn2=0,  対 し て,(X,X)>0で

g<0, あ る.空

界

間Hnの2

超 平 面u,υ

の 絶 対 形 にQ∞n−1関

補 助 点 で あ る.2超

平 面u,υ

る 直 線 は 補 助 空 間H*nに

で あ る か ら,不

す る 極 を そ れ ぞ れU,Vと が 空 間Hnに

含 ま れ る.こ

平 面u,υ

れ らは

お い て 交 わ れ ば,2点U,Vを

の と き,任

通

意 の 実 数 λ に 対 し て,

等 式(U,V)2≦(U,U)(V,V)が

に お い て 交 わ る2超

す れ ば,こ

成 り立 つ.よ

っ て,空

間Hn

の な す 角 θは

 (5.39)

で 与 え ら れ,0≦

θ≦ π/2と

な る 実 数 値 θ が 一 意 的 に 定 ま る.ま

た,任

X∈Hnに

対 し て,(X,X)<0で

あ る.双

曲 空 間Hnの2点X,Yを

線 は,必

ず 絶 対 形Q∞n−1と2点

で 交 わ る.数

λ に 関 す る2次

は 実 根 を も つ か ら,不 2点X,Yの

等 式(X,Y)2≧(X,X)(Y,Y)が

意 の通 常 点 通 る直

方程式

成 り 立 つ.よ

っ て,

距 離 ρは

  (5.40)

で与 え られ,実

数 値 ρ≧0が

一意 的 に 定 ま る.

  楕 円幾 何 お よ び 双 曲幾 何 を 実 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何 とい い,楕 双 曲 空 間Hnを

実 非 ユ ー ク リ ッ ド空 間 とい う.実

に 関 す る 公 理 系 に よ っ て 構 成 され るが,こ

円 空 間Pnお

よび

計量 幾 何 はいず れ も点 と直 線

こで は,射

影群 の部分 群 を 変 換 群 と

し,射 影 空 間 また は そ の 部 分 集 合 を 空 間 とす る等 質 空 間 と し て 実 現 され た.こ 実 現 を 実 計 量 空 間 の ク ラ イ ン表 示 とい う.こ の 場 合,実

の

計 量 空 間 に お け る直 線 の

概 念 と し て は,射 影 空 間 で 定 め られ た もの が そ の ま ま用 い られ て い る.   5.5.4  球   n+1次

面

幾

何

元 実 ユ ー ク リ ッ ド空 間En+1に

換 全 体 はn+1次

直 交 群O(n+1)を

を とれ ば,群O(n+1)の

お い て,1点A0を つ くる.不 動 点A0を

動 か さない合 同 変 原 点 とす る直 交 標 構

任 意 の 変 換 は,非 斉 次 座 標 を 用 い て,

と 書 か れ る.空 …

間En+1の2点X,Yの

,ξ η),(1,η0,η1,…

とお け ば,こ 点A0を

非 斉 次 座 標 を そ れ ぞ れ(1,ξ0,ξ1,…

…,ηn)と

し て,

の 値 は 直 交 群O(n+1)の

中 心 とす る 実 超 球Snの

不 変 量 で あ る.空 間En+1に

お い て,原

方程式は

 (5.41)

で 与 え ら れ る.任

意 の 直 交 変 換 に よ っ て 超 球Snは

交 群O(n+1)は

空 間Sn上

定 ま る.こ

の 変 換 群 と な り,ク

れ を 球 面 幾 何 と い い,空

は 空 間Sn上 分 群 はn次

そ れ 自 身 に 移 さ れ る か ら,直

間Snをn次

に 推 移 的 に 作 用 し,Sn上 直 交 群O(n)と

ラ イ ン 幾 何{O(n+1),Sn}が 元 球 空 間 と い う.群O(n+1)

の1点X0を

同 型 で あ る.そ

動 か さ な いO(n+1)の

し て,球

空 間Snは

部

等質 空 間

Sn=O(n+1)/O(n) と し て 与 え ら れ る.   実 ユ ー ク リ ッ ド空 間En+1のr+1次

元 部 分 空 間Er+1を

球Sr=Er+1∩Snを

元 球 と い う.と

心A0を

球 空 間Snのr次

通 る と き,r次

球 空 間Snの1次 直 線lがSnの X,X′ Snの

元 球Srを

球 空 間Snのr次

元 球 を 円 と い い,1次 中 心A0を

で 交 わ る.こ 任 意 の 点Xを

通 る と き,直

の よ う な2点 そ の 対 心 点X′

ら か に,ω

くに,Er+1がSnの

中

元 部 分 空 間 と い う.な

元 部 分 空 間 を 大 円 と い う.空 線lは

の超

球 空 間Snと

お,

間En+1の

必 ず 異 な る2点

は た が い に 対 心 的 で あ る と い わ れ る.球

空間

に 移す 写 像

ω:Sn→Sn,  を 対 心 変 換 と い う.明

と り,Er+1上

ω(X)=X′,

°ω=1で

あ る.対

心 変換 ω は

で 与 え ら れ る.球 面 幾 何 に は 直 線 の 概 念 が な く,大 円 が これ に 代 わ る も の で あ る.そ

し て,異

な る2つ の 大 円 が 交 わ れ ば,こ

る.   球 空 間Sn上   (5.42)

の2点X,Yの

距 離 ρは

れ ら は 必 ず 対 心 的 な2点

で交 わ

で 定 義 さ れ, 

とな る実 数 ρが 一 意 的 に 定 ま る.な お,球 空 間Snに

お け る角 に つ い て は,あ   球 空 間Snに

とで も っ と一 般 的 に 扱 わ れ る.

お い て,た が い に 対 心 的 な2点X,X′

ら れ る空 間 をPnと

す る.2点

い か ら,群O(n+1)は Pn}が

を 同 じ も の と見 な し て 得

が 対 心 的 で あ る とい う性 質 は 直 交 変 換 で 失 わ れ な

空 間Pn上

の 変 換 群 とな り,ク ラ イ ソ幾 何{O(n+1),

定 ま る.こ れ は 楕 円 幾 何 に 他 な ら な い.た

上 へ の 作 用 は 有 効 的 で は な く,空 間Pnの 等 変 換1お

よ び 対 心 変 換 ωで あ る.2つ

O(n+1)の

正 規 部 分 群 と な り,空 間Pn上

だ し,群O(n+1)の

空 間Pn

す べ て の点 を動 か さない直 交 変換 は恒 の 元 か ら成 る群SI2(n)={1,ω}は

群

に は 楕 円群

が 有 効 的 に 作 用 し て い る.

  5.6 

共

形

幾

何

  計 量 空 間 に お い て,2次 で,球

曲 面 の 特 別 な も の と し て,超

こ

に 関 す る 一 般 的 な 考 察 を 行 な う.

  5.6.1 

共

  n+1次

元 実 射 影 空 間Pn+1上

空 間Pn+1の

形

変

に 符 号(n+1,1)の2次 曲 面Snを

部 分 群CL(n)を

形 変 換 と い う.共

定 ま る.こ

義 か ら,共

対 形Sn,お

空 間Snの

指 定 す る.

れ を 共 形 群 と い い,そ

全 空 間Pn+1上

同 じ も の で あ る.そ よ び 補 助 空 間H*n+1に

間Snをn次 の2次

し て,全

ラ イ ン 幾 何 元共形空間 と

曲 面Snを

絶 対形 と

空 間Pn+1は

分 け ら れ,共

影 群

の変 換 を共

変 換 群 と な り,ク

れ を 共 形 幾 何 と い い,空

形 群CL(n)は

す る 双 曲 群HL(n+1)と

曲 面Snを

そ れ 自 身 に 移 す も の 全 体 は,射

つ く る.こ

形 群CL(n)は

{CL(n),Sn}が い う.定

換

射 影 変 換 で,2次

PL(n+1,R)の

Hn+1,絶

球 が 考 え ら れ た.こ

双 曲 空 間

形 群CL(n)は

これ

ら の 各 空 間 上 に 推 移 的 に 作 用 す る.   全 空 間Pn+1のr+1次 共 形 空 間Snのr次

元 球 と い う.と

を 円 と い う.共 間Pr+1上

元 部 分 空 間Pr+1上

の2次

形 空 間Sn自

身 はn次

曲 面 で あ る が,そ

く に,n−1次

の2次

曲 面Sr=Pr+1∩Snを,

元 球 を 超 球 と い い,1次

元 球 と 見 な さ れ る.r次

元 球Srは

の 符 号 が そ れ ぞ れ(r+2,0),(r+1,0),

元球 部 分空

(r+1,1)で

あ る の に 応 じ て,そ

は 実 点 が な く,点

球 は た だ1つ

れ ぞ れ 虚 球,点

球,実

の 実 点 を も つ.そ

球 と よ ば れ る.虚

し て 実 球 はr次

球上 に

元共 形空 間 とな

る.   定 理5.10  を と る.空

共 形 空 間Snに 間Snのr次

お い て,全

空 間Pn+1のr+1次

元 球Sr=Pr+1∩Snに

は,次

  (1) 

Pr+1が

通 常 点 を 含 む と き,球Srは

  (2) 

Pr+1が

空 間Sn上

Pr+1が

補 助 空 間 に 含 ま れ る と き,球Srは

元 部 分 空 間Pr+1 の3通

り の 場 合 が あ る.

実 球 で あ る.

の 点 を 含 み,通

常 点 を 含 ま な い と き,球Srは

点球

で あ る.   (3) 

  証 明   定 理5.9か   共 形 空 間Snに

ら 明 ら か で あ る.  お い て,全

Sr⊥Stで る.そ

の 部 分 空 間Pr+1,

と る.空

空 間Pt+1に

表 わ す.こ

(証 終)

空 間Pn+1の2つ

Sr=Pr+1∩Sn,St=Pt+1∩Snを 間P*n−r−1が

虚 球 で あ る.

間Pr+1のSnに

含 ま れ る と き,球Srは

の 定 義 か ら,SrがStに

し て,2球Sr,Stが

Pt+1上

の 球

関 す る最 大 共 役 空

球Stに

直 交 す る と い い,

直 交 す れ ば,StはSrに

直 交 す れ ば,こ

直 交す

れ ら を そ れ ぞ れ 含 む 任 意 の2球

もま

た 直 交 す る.   と くに,超 の 点Aに

球 に つ い て 考 え よ う.共

対 し て,Snに

を と れ ば,全

関 す る 点Aの

空 間Pn+1の

空 間Pn+1は

の と考 え ら れ る.定

理5.10か

点 に は 点 超 球 が,そ

間Pn+1の2点A,Bに

共 形 空 間Snの ら,双

球Sn−1が

自 身 に 直 交 す る 超 球 で あ る.以 球 と よ ぶ こ と に し,そ   共 形 空 間Snに R∞}を

と り,Snの

お い て,全 方程式を

対 応 す る.こ

形空間

点 に は 実 超 球 が 対 応 す る.全

空

球 が 直 交 す る 条 件 は,2点A,BがSn く に,超

球Sn−1が

通 る こ と を 意 味 す る.な 下,簡

れ はSnに

は1対1に

点 に は 虚 超 球 が,共

し て 補 助 空 間H*n+1の

点Bを

任意

す べ て の超 球 の集 合 を表 わす も

曲 空 間Hn+1の

対 応 す る2超

空 間Pn+1の

の 超 球Sn−1=Pn∩Sn

超 球Sn−1と

に 関 し て た が い に 共 役 と な る こ と で あ る.と 交 す る と は,超

お い て,全

極 超 平 面Pn上

点AとSnの

の 対 応 に よ っ て,全

Snの

形 空 間Snに

単 の た め,全

点 超 球Bに

お,点

空 間Pn+1の

直

超 球 とは そ れ 点 を もSnの

超

関 す る 極 超 平 面 上 の 超 球 を 表 わ す も の とす る.

空 間Pn+1の

適 当 な 射 影 標 構{R0,R1,…

…,Rn,

 (5.43)

と す る こ と が で き る.全

空 間Pn+1の

に 関 す る 斉 次 座 標(x0,x1,…

点X,す

な わ ちSnの

…,xn,x∞)で

超 球 は,こ

表 わ さ れ る.こ

n+2超

れ を 空 間Snの

球 座 標 と い い,こ

の 標 構 をn+2

超 球 標 構 と い う.空 間Snの が と くにSn上

超 球X∈Pn+1

の 点 で あ る た め の 条 件 は,

超 球Xのn+2超

球 座 標 が 方 程 式(5.43)

を み た す こ と で あ る.n+2超 超 球R0,R∞ R2,…

図5.8

を 通 る 実 超 球 で あ る.逆 はn+2超

に,全

球 標 構 と な る.2超

座 標 を そ れ ぞ れ(x0,x1,…

球 標 構 で は,

は 点 超 球 を 表 わ し,超

…Rnは

空 間Pn+1の

の標 構

球R1,

い ず れ も2点R0,R∞

∈Sn

射 影 標 構 を こ の よ う に と れ ば,そ

球X,Y∈Pn+1に

対 し て,こ

…,xn,x∞),(y0,y1,…

れ

れ ら のn+2超

…,yn,y∞)と

球

し て,

  (5.44)

と お け ば,共

形 空 間Snの

X,Y∈Pn+1が

方 程 式 は((X,X))=0で

直 交 す る 条 件 は((X,Y))=0で

適 当 な 射 影 標 構{R0,R1,…

…,Rn,R∞}を

与 え ら れ る.ま あ る.さ と り,空

ら に,全

た,2超

球

間Snの

空 間Pn+1の 方程 式 を

  (5.45)

とす る こ と が で き る.こ … … ,Rnと

し て,た

れ もn+2超

球 座 標 で あ る が,と

く に,実

が い に 直 交 す る も の を と っ て あ る.こ

超 球R1,R2,

の標 構 を直 交標 構 と

い う.   共 形 空 間Snの2超

球X,Y∈Pn+1が

点 超 球 で な い と き,

  (5.46)

で 定 義 さ れ る複 素 数 θを2超

球X,Yの

率 πを 除 い て 定 ま り,共 形 群CL(n)の

なす 角 とい う.角 は 向 き ± お よ び 円 周 不 変 量 で あ る.な お,2超

な す 角 を θ とす れ ば,こ れ らが 直 交 す る条 件 はcosθ=0で   共 形 空 間Snに

お い て,全

空 間Pn+1の

直 線lを

と る.全

球X,Yの

あ る. 空 間Pn+1の

点を

空 間Snの

超 球 と見 な せ ば,直

異 な る2超 球X,Y∈Pn+1を

で 与 え ら れ る.全 し,n−2次

線lは

超 球 の 集 合 と な る.こ れ を 超 球 束 とい う.

含 む 超 球 束 に 属 す る任 意 の 超 球Zは

空 間Pn+1の

直 線lのSnに

元 球8*n−2=P*n−1∩Snを

関 す る 最 大 共 役 空 間 をP*n−1と

と る.超

球 束lと

を 通 る す べ て の 超 球 の 集 合 で あ る.球S*n−2を 補 助 空 間H*n+1に

お い て 空 間Snに 点 超 球Aを 直 線lが り,超

超 球 束lの

含 ま れ れ ば,台S*n−2は

は す べ て 実 超 球 で あ っ て,台S*n−2に

は,n−2次

球 束lに

点 球 と な り,超

お い て 空 間Snに

くに,2つ

  共 形 空 間Snの

の 点 超 球A,Bは

実 超 球X∈H*n+1に

超 球X,Yがn−2次 直 線 は 補 助 空 間H*n+1に

で あ る か ら,不 交 わ る2実

点Aに

属 す る 超 球 は,

交 わ れ ば,台S*n−2は

虚 球 とな

超 球 束lに

通 る任 意 の 実 超 球 に 属 す る. あ る.2つ

交 わ れ ば,2点X,Y∈H*n+1を

含 ま れ る.任

の実 通 る

意 の 実 数 λに 対 し て,

等 式((X,Y))2≦((X,X))((Y,Y))が

超 球X,Yの

属 す る超 球

お い て た が い に 接 す る.

対 し て,((X,X))>0で

元 実 球S*n−2で

線lが

線lが

球 束lに

属 す る す べ て の 超 球 は,2点A,B∈Snを

直 交 す る.と

球 束lに

お い て た が い に 交 わ る.直

除 い て す べ て 実 超 球 で あ っ て,点A∈Snに 異 な る2点A,Bに

台 と い う.直

実 球 と な り,超

接 す れ ば,台S*n−2は

元 球S*n−2

成 り 立 つ.よ

っ て,実

球で

な す 角 θは

 (5.47)

で 与 え ら れ,0≦   共 形 空 間Snの 表 わ す と き,補

θ≦ π/2と

超 球A∈Pn+1は

い う.明

れ が 実 超 球S0n−1を

通 るPn+1の

交 わ る2点

をX,X′

像

σ:Sn→Sn,  が 定 ま る.こ

点 超 球 で な い と す る.こ

助 点A∈H*n+1を

任 意 の 直 線 が 空 間Snに と す れ ば,写

な る 実 数 値 θが 一 意 的 に 定 ま る.

σ(X)=X′,

れ を 実 超 球S0n−1に

ら か に σ°σ=1で

σ は 超 球S0n−1上

関 す る反 転 と

あ る.ま

た,反

転

の す べ て の 点 を 動 か さ な い.

図5.9

空 間Snのn+2超

球 標 構 の 頂 点R0,R∞

も の を と れ ば,超

球S0n−1に

と し て,と

く にA=R0−R∞

とな る

関 す る 反 転X′=σ(X)は

 (5.48)

で 与 え ら れ る.実

際,こ

の 変 換 で,空

間Snは

そ れ 自 身 に 移 さ れ,し

か も,

X−X′=(x0−x∞)A で あ っ て,3点A,X,X′ 変 換 式(5.48)を

見 れ ば,反

形 変 換 で あ る.次

に,超

と き,通

転 σ は た し か に1つ

球A∈Pn+1が

常 点A∈Hn+1を

空 間Snと

ω:Sn→Sn,  れ を 中 心Aに

空 間Snのn+2超 も の を と れ ば,中

心Aに

任 意 の直 線 は

で 交 わ り,写

像

ω(X)=X′,

関 す る 対 心 変 換 と い う.明

球 標 構 の 頂 点R0,R∞

の共

虚超球である

通 るPn+1の

必 ず 異 な る2点X,X′

図5.10

が 定 ま る.こ

は 共 線 と な る か ら で あ る.

あ る.

く にA=R0+R∞

とな る

と し て,と

ら か に ω°ω=1で

関 す る 対 心 変 換X′=ω(X)は

 (5.49)

で 与 え ら れ る.実

際,こ

の 変 換 で,空

間Snは

そ れ 自 身 に 移 さ れ,し

か も,

X十X′=(x0+x∞)A で あ っ て,3点A,X,X′

は 共 線 と な る か ら で あ る.変

対 心 変 換 ω は た し か に1つ   5.6.2 

絶

対

超

球 の 超 球 を 動 か さ な い 共 形 群CL(n)の

す る.全

点A0を

さ れ るSnの Pn+1を

超 球S∞n−1を

指 定 し,こ

超 球,点

  〔1〕   超 球A0は

超 球,虚

部 分群 に つ い て考 察

れ を 絶 対 点 と 名 づ け,点A0で

絶 対 超 球 と よ ぶ.空

動 か さ な い も の 全 体 は,CL(n)の

の 変 換 は 絶 対 超 球S∞n−1を ぞ れ,実

見 れ ば,

の 共 形 変 換 で あ る.

  共 形 空 間Snの1つ 空 間Pn+1の

換 式(5.49)を

間Snの

共 形 変 換 で,超

部 分 群CG(n)を

そ れ 自 身 に 移 す も の で あ る.超 超 球 で あ る の に 応 じ て,次

実 超 球 とす る.全

空 間Pn+1の

の3通

表わ 球A0∈

つ く る.群CG(n) 球A0∈Pn+1が

それ

りの 場 合 が あ る.

適 当 な 標 構{R0,R1,…

…,

Rn+1}と

し て,Rn+1=A0∈H*n+1と

な る も の を と り,空

間Snの

方 程 式 を

 (5.50)

と す る こ と が で き る.こ xn+1=0で

の と き,Snに

る が,空

与 え ら れ る.空 間Snは3つ

関 す る 点A0の

間Snの

点 は 方 程 式((X,X))=0を

を そ れ ぞ れ み た す よ う な3つ

xn+1=0, 

対 超 球S∞n−1は

も そ れ 自 身 に 移 る か,ま 点 集 合H−nを

み たす もので あ

xn+1/x0>0

の 部 分 集 合H−n,S∞n−1,H−nに

絶 対 超 球 で あ る.点A0を

変 換 に よ っ て,絶

程 式

の条 件 xn+1/x0<0, 

にS∞n−1は

極 超 平 面 は,方

分 け ら れ る.こ

動 か さ な いCL(n)の そ れ 自 身 に 移 り,点

そ れ 自 身 に 移 す も の 全 体 はCG(n)の

部 分 群CG(n)の

集 合H−n,H+nは

た は た が い に 入 れ か わ る.さ

こ

どち ら

ら に,群CG(n)の

変 換 で,

正 規 部 分 群CH(n)を

つ く

り,

と な る.群CH(n)は

空 間H−n上

お よ び 空 間H+n上

ン 幾 何{CH(n),H−n},{CH(n),H+n)が に 他 な ら な い.実

際,空

定 ま る.こ

間H−nの

点Xは,条

を み た す も の で あ る か ら,−x02+x12+… xnを

与 え れ ば,実

数xn+1は

の 変 換 群 と な り,ク

ライ

れ ら は どち ら も双 曲 幾 何

件

…+xn2<0と

一 意 的 に 定 ま る.す

な る 実 数x0,x1,… な わ ち,空

間H−nの

…, 点 は 斉 次

座 標 (x0,x1,… で 与 え ら れ る.一 超 平 面xn+1=0を

…,xn), 

方,群CH(n)の

−x02+x12+… 任 意 の 変 換 は,補

…+xn2<0 助 点Rn+1∈H*n+1お

よ び

動 か さ な い か ら,

  (5.51)

の 形 と な る.簡 対 し て,

単 の た め,空

間Hnの

点Xの

斉 次 座 標(x0,x1,…

…,xn)に

(X,X)=−x02+x12+……+xn2 と お け ば,共

形 変 換 の 条 件((X′,X′))=c2((X,X))は, (X′,X′)+X′n+12=c2(X,X)+c2xn+12

と 書 か れ る.変

換(5.51)に

お い て,x′n+1=cxn+1で

あ る か ら,

(X′,X′)=c2(X,X) と な る.こ る.す

れ は,変

な わ ち,空

換(5.51)が 間H−n上

空 間H−n上

の 双 曲変 換 で あ る こ と を 示 し て い

の 変 換 群CH(n)は

双 曲 群HL(n)に

空 間H+nに

つ い て も 同 様 で あ る.な

空 間Snの

絶 対 超 球S∞n−1に

X′=σ0(X)に

よ っ て,全

が 定 ま り,こ

は 群CG(n)の

お,

関す る 反転

単射

の 対 応 は,群CH(n)の

で 失 わ れ な い.そ

図5.11

な っ て い る.

変換

し て,群SI2={1,σ0}

正 規 部 分 群 とな り,明 らか に

で あ る.   一 般 に,共 の2次 H−nま

形 空 間Snに

お い て,全

曲 面Sr=Pr+1∩Snは た はH+nに

点A0∈H*n−1を

空 間Snのr次

お い て,全 通

り,か

空 間Pn+1のr+1次

元 部 分 空 間Pr+1上

元 球 で あ っ た.と

空 間Pn+1のr+1次

つ 球S0r=P0r+1∩Snが

くに,双

曲空間

元 部 分 空 間P0r+1が

絶対

実 球

で あ る と き,

と お け ば,空 り,そ 点A0を

間H−r,H+rも

の 絶 対 超 球 はS∞r−1で 通 る こ と は,実

交 す る こ と を 意 味 す る.と 絶 対 超 球S∞n−1に   〔2〕  超 球A0は

ま たr次

元双 曲空 間 と な

あ る.空

間P0r+1が

球S0rが

絶 対 超 球S∞n−1に

くに,双

曲 空 間H−nま

絶対 直 た はH+nに

図5.12

お け る 直 線 は,

直 交 す る 円 と し て 実 現 さ れ る. 点 超 球 と す る.全

空 間Pn+1の

適 当 な 標 構{R0,R1,…

…,

Rn+1}と

し て,Rn+1=A0∈Snと

  (5.52) 

な る も の を と り,空

((X,X))=−2x0xn+1+x1+…

と す る こ と が で き る.こ x0=0で

れ は 点A0に

形 変 換 で,点A0∈Snを を つ く る.空 CE(n)は

空 間En上

お け るSnの

ら 点A0を

際,空

を み た す も の で あ る か ら,x0≠0と

x0=0を

極 超 平 面 は,方

接 超 平 面 で あ る.空

一 意 的 に 定 ま る.す

し て,実 な わ ち,空

方,群CE(n)の

間Snの

点Xは

任 意 の 変 換 は,頂

定 ま る.

条件

数x0,x1,… 間Enの

共

と れ ば,群

ラ イ ン 幾 何{CE(n),En}が 間Enの

程 式

部 分 群CE(n)

除 い た 点 集 合En=Sn−A0を

の 変 換 群 と な り,ク

こ れ は 放 物 幾 何 に 他 な ら な い.実

で 表 わ さ れ る.一

関 す る 点A0の

動 か さ な い も の 全 体 は 共 形 群CL(n)の

間Snか

実 数xn+1は

方 程 式 を

…+xn=0

の と き,Snに

与 え ら れ,こ

間Snの

…,xnを

与 え れ ば,

点 は 非斉 次 座標

点Rn+1∈Snお

よび 超 平 面

動 か さ な い か ら,

 (5.53)

の 形 と な る.簡

単 の た め,空

間Enの

点Xに

(X,X)=x12+x22+… と お け ば,共

る.す

…+xn2

形 変 換 の 条 件((X′,X′)=c((X,X))は,

と 書 か れ る.変

と な る.こ

対 し て,

換(5.53)に

れ は,変

な わ ち,空

放 物 群AE(n)か

お い て,と

換(5.53)が 間En上 ら,さ

く にx0=0と

空 間Enの

の 変 換 群CE(n)は

す れ ば,

放 物 変 換 で あ る こ とを 示 し て い 放 物 群AE(n)に

ら に 実 ユ ー ク リ ッ ド群AO(n)が

な っ て い る.

導 か れ る こ と は,す

で に 述 べ た 通 りで あ る.   放 物 空 間En=Sn−A0に が 絶 対 点A0∈Snを

お い て,全 通 り,か

空 間Er=S0r−A0も る.と

つr次

く に,放

ま たr次 物 空 間Enに

空 間Pn+1のr+1次

元 部 分 空 間P0r+1

元 球S0r=P0r+1∩Snが

元 放 物 空 間 と な り,そ

点 球 で な い と き,

お け る 直 線 は,絶

の 絶 対 点 はA0∈S0rで

対 点A0∈Snを

あ

通 るSnの

円と

し て 実 現 さ れ る.   一 般 に,共 換

形 空 間Snに

φ:Sn→Snに

お い て,絶

対 点A0∈Snを

意 の共 形 変

通 る 全 空 間Pn+1の

直線 上 に

対 し て,2点A0,φ(A0)∈Snを

指 定 す る.任

補 助 点A∈H*n+1を S0n−1に

と る.点Aで

関す る反転

σ:Sn→Snを

を つ くれ ば,γ(A0)=A0で

と り,変

あ る か ら,変

γ=σ °φ

換 γ:Sn→Sn

絶 対 点 と す る 放 物 変 換 で あ る.ま

た,

σ°σ=1で

あ る か ら,φ=σ

ら に,放

物変

γ0と 実 ユ ー ク リ ッ ド合 同 変 換

γ1と

°γ と な る.さ

の 結 合 と し て 与 え ら れ る か ら,φ=σ

図5.13

換

は 点A0を

換 γは 実 相 似 投 影

な わ ち,任

表 わ され る 実 超 球

意 の 共 形 変 換 は,相

似 投 影,実

°γ1° γ0と な る.す

ユ ー ク リ ッ ド合 同 変 換,お

よび 反転 を

結 合 す る こ と に よ っ て 得 ら れ る.   〔3〕  超 球A0は Rn+1}と

虚 超 球 と す る.全

し て,Rn+1=A0∈Hn+1と

xn+1=0で Snの

の と き,Snに

点Xは,方 わ ち,空

つ く る.群CO(n)は 定 ま る.こ 程 式((X,X))=0を

間Snは

を用 い て,方

程式

関 す る 点A0の

の 超 平 面 上 に は,空

共 形 変 換 で,点A0∈Hn+1を

何{CO(n),Sn}が

間Snの

…,

方程式を

…+xn2−xn+12=0

与 え ら れ,こ

分 群CO(n)を

適 当 な 標 構{R0,R1,…

な る も の を と り,空

  (5.54) ((X,X))=x02+x12+… と す る こ と が で き る.こ

空 間Pn+1の

非斉 次座 標

間Snの

極 超 平 面 は,方

点 は 存 在 し な い.空

動 か さ な い も の 全 体 は,共 空 間Sn上

形 群CL(n)の

の 変 換 群 と な り,ク

れ は 球 面 幾 何 に 他 な ら な い.実 み た す も の で,必

程 式

ずxn+1≠0で

際,空

間 部

ラ イ ン幾 間Snの

あ る.す

な

で 与 え ら れ る.一

方,群CO(n)の

任 意 の 変 換 は,通

平 面xn+1=0を

動 か さ な い か ら,

常 点Rn+1∈Hn+1お

よび 超

(5.55)

の 形 と な る.簡

単 の た め,空

間Snの

点Xに

対 し て,

(X,X)=x02+x12+…

…+xn2

とお け ば,共 形 変 換 の 条 件((X′,X′))=((X,X))は,

と 書 か れ る.変

換(5.55)に

お い て,x′n+1=xnで

あ る か ら,

(X′,X′)=(X,X) と な る.こ る.す

れ は,変

な わ ち,空

換(5.55)が 間Sn上

空 間Sn上

の 直 交 変 換 で あ る こ とを 示 して い

の 変 換 群(CO(n)は

直 交 群O(n+1)に

な って い

る.   球 空 間Snに

お い て,全

分 空 間P0r+1が

絶 対 点A0∈Hn+1を

のr次

元 球S0r=P0r+1∩Snは

は 空 間Snのr次 ち,空 はA0で

空 間Pn+1のr+1次

通 る と き,Sn 必 ず 実 球 と な り,こ

元 部 分 空 間 と 見 な さ れ る.す

間Srも

ま たr次

あ る.と

間 を 大 円 と い う.絶 必 ず 異 な る2点X,X′

元 球 空 間 と な り,そ

くに,球

空 間Snの1次

対 点A0∈Hn−1を で 交 わ り,変

れ る.明

通 るPn+1の

変 換 群 と な り,ク

図5.14

任 意 の 直 線 は 球 空 間Snと

換 X′=ω(X),

あ る.球

も の と 見 な し て 得 ら れ る 空 間Pnを

な わ

の絶 対点

れ を 対 心 変 換 と い い,2点X,X′

ら か に,ω° ω=1で

れ

元 部分 空

ω:Sn→Sn,  が 定 ま る.こ

元部

空 間Snに つ く れ ば,直

ラ イ ン 幾 何{CO(n),Pn}が

は た が い に 対 心 的 で あ る とい わ お い て,対 交 群CO(n)は 定 ま る.こ

心 的 な2点 空 間Pn上

を同 じ の

れ は楕 円幾何 に他 な

ら な い.た

だ し,群CO(n)の

空 間Pn上

へ の 作 用 は 有 効 的 で は な く,空 間Pn

の す べ て の 点 を 動 か さ な い 正 規 部 分 群 はSI2(n)={1,ω}で 間Pn上

に は,楕

あ る.そ

して,空

円群

が 有 効 的 に 作 用 し て い る.   実 計 量 幾 何 の ク ラ イ ン表 示 は,実

射 影 空 間 に お け る適 当 な2次

曲面 を 絶 対 形 と

して 指 定 し,こ れ を 動 か さ な い 射 影 群 の 部 分 群 を 考 え る こ と に よ っ て 導 か れ た. これ に 対 し て,以 上 の 考 察 か ら,共 形 空 間 に お け る適 当 な超 球 を 絶 対 超 球 と して 指 定 し,こ れ を 動 か さ な い 共 形 群 の 部 分 群 を 考 え,さ 群 を と る こ とに よ っ て,や

らにそ の部 分群 また は剰余

は り実 計 量 幾 何 が 実 現 され る こ とを 知 った.こ

を ポ ア ン カ レ表 示 と い う.こ の 場 合,実 球 に 直 交 す る 円 と し て 実 現 され て い る.

の実 現

計 量 空 間 に お け る直 線 の 概 念 は,絶 対 超

付

録

1.  集   1.1  集

合

序

合

  あ る 条 件 に 適 す る もの す べ て の 集 ま りを,こ aが 集 合Aに わ し,aを 合Aと

と 順

属 す る と き,す な わ ち,aが

集 合Aの

は,ど

元 と い う.ま た,要

ん な 要 素xを

集 合Aを

素bが

く成 立 す る も の で な け れ ば な ら な い.ま

属 さ な い と き, 

た は 

た,集

の要 素

定 め る 条 件 に 適 す る と き,a∈Aで

集 合Aに

と っ て も,x∈Aま

れ ば な ら な い.2元x,y∈Aが きx≠yで

の 条 件 で 定 め られ る集 合 とい う.1つ

合Aの

表

で 表 わ す.集

のいずれ か 一 方 だけが 矛 盾な

各 元 は た が い に 区 別 で き る もの で な け

実 は 同 じ要 素 で あ る と きx=yで

表 わ し,そ

うで な い と

表 わ す.

  集 合 と い う言 葉 は 日常 生 活 で も よ く使 わ れ る.箱

の 中 の りん ご の 集 合,講

合,東 京 都 内 の 車 の 集 合 な どい ず れ も集 合 の 例 で あ る.ま た,n個 … … ,n},す べ て の 自然 数 の 集 合N,す べ て の 整 数 の 集 合Z,す す べ て の 実 数 の 集 合Rな

どは,基

堂 内 の学生 の集

の 自然 数 の 集 合{1,2, べ て の有 理 数 の 集 合Q,

本 的 な 集 合 と して 数 学 で は よ く用 い ら れ る.こ

の よ うな

数 概 念 に つ い て は あ とで 考 察 す る.   2つ の集 合A,Bに い い,記

お い て,x∈Aな

号A⊂Bあ

る い はB⊃Aで

ま れ る と い う意 味 で あ る.明   定 理1.1 

らば 必 ずx∈Bで 表 わ す.こ

らか に,次

あ る と き,AをBの

れ は,BがAを

含 む,あ

部分 集合 と

る い はAがBに

の法 則 が 成 立 す る.

集 合 の 包 含 関 係 に つ い て,

 (1) 

任 意 の 集 合Aに

対 して,A⊂A 

(反 射 律)

 (2) 

A⊂B,B⊂Cな

ら ば,A⊂C 

(推移 律)

 (3) 

A⊂B,B⊂Aな

ら ば,A=B 

(交代 律)

  こ こ に,A=Bと A⊂B,A≠B,で   集 合Aが

含

はAとBと

が 同 じ集 合 で あ る こ と を 意 味 す る.集 合A,Bに

あ る と きAをBの 条 件P(x)に

お い て,

真 部 分 集 合 とい う.

適 す るす べ て の要 素xの

集

合 と し て 定 め ら れ る と き,こ れ を記 号 A={x￨P(x)} で 表 わ す.2つ

の 集 合A,Bに

対 し て,こ

集 合A∩B,お

よび 交 集 合A∩Bと

は,そ

れ らの 和 れ ぞれ

また は かつ で 与 え られ る集 合 で あ る.ど

ん な要 素 を も含 ま な い 集

合 を 空 集 合 と い い φで 表 わ す.そ もた な い こ と を 意 味 す る.ま

れ ゆ え,A∩B=φ

た,空

付 図1.1

とは2つ

の 集 合A,Bが

共通 の元 を

集 合 φは ど ん な 集 合 に 対 し て もそ の 部 分 集 合 と見 な され

る.な

おA⊂Mの

と き,集

合 

をMに

 2つ の 集 合A,Bに y∈Bを

お け るAの

お い て,任

意 の 元x∈Aに

一 意 的 に 指 定 す る 関 係fを

表 わ す.こ

対 し て,部

対 して 元

写 像 とい い,f:A→Bで

の写 像 は ま たy=f(x)の

合X⊂Aに

余 集 合 と い う.

よ うに 書 か れ る.部 分 集

分 集合

f(X)={y￨y=f(x),x∈X}⊂B を 写 像fに

よ るXの

像 とい う.ま た,部

分 集 合Y⊂Bに

対し

て,部 分 集 合 f−1(Y)={x￨x∈A,f(x)∈Y}⊂A を 写 像fに

付 図1.2

の 写 像f:A→B,g:B→Cに て,こ

よ るYの

原 像 と い う.集 合A,B,Cの

間 の2つ

対 し

れ ら の 結 合 と よば れ る写 像 g°f:A→C, g°f(x)=g(f(x)), x∈A,

が 定 ま る.写

像f:A→Bに

お い て,

f(A)=Bで

あ る と き,fを

全 射 と い う.ま

f(x2)で

あ る と き,fを

単 射 ま た は1対1の f:A→f(A)は

付 図1.3

た,x1,x2∈A,x1≠x2な

単 射 とい う.写 像f:A→Bが

対 応 とい う.写 像f:A→Bが

全 単 射 で あ る.集 合Mの

ら ば 必 ずf(x1)≠

全 射 か つ 単 射 で あ る と き,こ れ を 全 単 射 で あ れ ば,像f(A)に

部 分 集 合Aに

対 し て,Aの

対 して,写

元 を そ の ま まMの

像 元

と見 な す 写 像 λ:A→M,λ(x)=x,x∈A,

を 包 含 写 像 と い う.こ れ は 単 射 で あ る.と x,を

くに,A=Mの

恒 等 写 像 とい う.こ れ は 全 単 射 で あ る.明

  定 理1.2 

らか に,

2つ の 写 像f:A→B,g:B→Cに

お い て,

  (1)  f,gが

全 射 な らば,g°fは

全 射 で あ る.

  (2)  f,gが

単 射 な らば,g°fは

単 射 で あ る.

  (3) g°fが

全 射 な らば,gは

全 射 で あ る.

  (4) g°fが

単 射 な らば,fは

単 射 で あ る.

  定 理1.3 

写 像f:A→Bが

f°g=1,g°f=1と   こ の 写像gをfの

  定 理1.4 

全 単 射 で あ る た め の 条 件 は,写

像g:B→Aが

存 在 し て,

な る こ とで あ る. 逆 写 像 と い い,g=f−1で

  2つ の 集 合X,Yの て 対 等 で あ る,ま

と き,写 像1:A→A,1(x)=

間 に1対1の

表 わ す.逆

対 応f:X→Yが

た は 同 じ濃 度 を もつ とい い,記

写 像 は一 意 的 に 定 ま る.

存 在 す る と き,XとYと 号X∼Yで

は集 合 とし

表 わ す.

集 合 の 対 等 関 係 に つ い て,

  (1) 

任 意 の 集 合Xに

  (2) 

X∼Yな

対 して,X∼X 

ら ば,Y∼X 

(反 射 律) (対 称 律)

  (3) 

X∼Y,Y∼Zな

  証 明  (1)恒

全 単 射 で あ る.(2)全

また 全 単 射 で あ る.(3)2つ

単 射f:X→Yの

逆写 像

の 全 単 射f:X→Y,g:Y→Zの

結 合g°f:

ま た 全 単 射 で あ る. 

  集 合Aと き,す

(推 移 律)

等 写 像1:X→Xは

f−1:Y→Xも X→Zも

らば,X∼Z 

対 等 なAの

な わ ち,Aの

  定 理1.5 

(証 終)

真 部 分 集 合 が 存 在 す る と き,Aを

どん な 真 部 分 集 合 もAと

無 限 集 合 とい う.そ

対 等 に な ら な い と き,Aを

無 限 集 合 に 対 等 な 集 合 は 無 限 集 合 で あ る.有

うで な い と

有 限 集 合 とい う.

限集 合 に対等 な集 合 は有 限集 合で

あ る.   証 明   集 合A,Bは れ ば,単

対 等 で あ る と し,全 単 射f:A→Bを

射g:A→Aが

存 在 し て,g(A)≠Aと

は 単 射 で あっ て,し も しBが

か もh(B)≠Bと

有 限 集 合 な らば,Aも

な る.ゆえ

意 の 元x∈Mに る.明

にBは

しMが

対 応 す る元 をxi∈Xで

の 対 偶 と し て, (証 終)

す る.も しAが

の と き,写

無 限 集 合 な らば,単 射g:A→A

像g:M→Mを

らばg(x)=g(x),ま な る.す

な らばg(x)=xと

な わ ち,Mは

す

無 限 集 合 で あ る.こ

有 限 集 合 で あ る. 

と り,全 単 射f:I→Xを

表 わ す と き,集

次 の よ うに 定 義 す る.任 た 

有 限 集 合 で あ れ ば,Aは

対 等 な 集 合Iを

無 限 集 合 で あ る.こ

限 集 合 に 含 まれ る集 合 は 有 限 集 合 で あ る.

単 射 で あっ て,g(M)≠Mと

の 対 偶 と し て,も   集 合Xに

な る.こ

対 し て,x∈Aな

ら か にgは

無限 集合 で あ

また 有 限 集 合 で あ る. 

お い て,A⊂Mと

が 存 在 し て,g(A)≠Aと

しAが

な る.こ の と き,写 像h=f°g°f−1:B→B

  系  無 限 集 合 を 含 む 集 合 は 無 限 集 合 で あ る.有   証 明  集 合A,Mに

と る.も

定 め る.写 像fに

(証 終) よっ て,元i∈Iに

合Xを X={xi￨i∈I}

の よ うに 書 く こ とが で き る.こ

の と き,Iを

添 字 集 合 と い う.集 合 を 元 とす る よ うな 集 合 を

集 合 族 と い う.こ れ は 用 語 の 混 乱 を 防 ぐた め で あ る.と ず れ も集 合Mの

部 分 集 合 で あ る と き,Ω

をM上

どが 考 え られ る.一

般 に,集

合 族Ω に 属 す る集 合 が,い

の 集 合 族 とい う.た とえ ば,集

べ て の 部 分 集 合 か ら成 る集 合 族{A￨A⊂M},あ {φ,M}な

くに,集

るい は,た

合 族Ω={Ai￨i∈I}に

だ2つ

合Mの

す

の 集 合 か ら成 る 集 合 族 対 して,こ

れ ら の 和 集 合,

交 集 合は それ ぞれ

で 与 え られ る.こ れ ら も集 合 で あ る.こ 意 の"と

こ に,記

号 ∃ は"存

在"を

表 わ し,記 号 ∀ は"任

い う意 味 で あ る.

  い くつ か の 集 合A,B,…

…,Zか

ら,1つ

ず つ の 元 を と り出 し て 得 られ る組 を 考 え て,

こ の よ うな す べ て の組 の集 合 M={(a,b,…

…,z)￨a∈A,b∈B,…

を これ ら の 集 合 の直 積 と よ ん で,M=A×B× {Ai￨i∈I}に

対 し て も,直 積

… … ×Zで

…,z∈Z}

表 わ す.一

般 に,集

合 族

が 考え られ る.こ   補 題1. 

の と き,

集 合 族{Ai￨i∈I}に

お い て,い ず れ のAiも

空 で な け れ ば,こ

を と り出 す こ とが で き る. 

れ らの直積 の元

(ツ ェ ル メ ロの 選 択 公 理)

  集 合 を 考 え る限 り,こ の補 題 は い つ も成 立 す る と仮 定 し て お く.

  1.2  関

係

  い くつ か の 集 合A,B,… Γ ⊂A×B× z∈Zの

… … ×Zを

…,Zの

れ らの集合 の直 積 の部 分 集 合

指 定 す る こ とに よ っ て 定 義 され る.そ

組 が,(a,b,…

え ら れ る.と

元 の 間 の 関 係 とは,こ

…,z)∈

くに,同じ

集 合Aの

Γ で あ る と き,こ

し て,元a∈A,b∈B,…

…,

れ ら の元 は 一定 の 関 係 に あ る も の と考

い くつ か の 元 の 間 の 関 係 は 部 分 集 合

Γ⊂A×A×

… … ×A

を 指 定 す る こ とに よ っ て 定 ま る.   例1. 

東 京 都 に 居 住 す る す べ て の 人 の 集 合 をA,大

Bと す る.東

京 の 人a∈Aと

大 阪 の人b∈Bと

あ る よ うな す べ て の 組(a,b)の

阪 市 に 居 住 す るす べ て の人 の集 合 を

で,こ

の1年

集 合 を Γ とす れ ば,部

間 に た が い に 文 通 した こ とが

分 集 合 Γ⊂A×Bに

よ って,東

京

大 阪 間 の 文 通 関 係 が 表 わ され る.   例2. 

集 合A,Bの

間 の 関 係 Γ ⊂A×Bが

  任 意 の 元x∈Aに

対 し て,(x,y)∈

これ は 写 像 関 係 を 表 わ す.す f:A→Bが

定 ま る.

  例3. 

集 合E,Lの

  (1) 

  (2) 

た だ1つ

Γ の と きy=f(x)で

元 の 間 の 関 係Ω ⊂E×Lが

存 在 す る. 表 わ せ ば,写

像

次 の 条 件 を み た す もの とす る.

対 して,元l∈Lが

た だ1つ

存 在 し て,(x,l)∈Ω,

と な る.

任 意 の 元l∈Lに x,y∈Eが

  集 合Eの

Γ とな る 元y∈Bが

な わ ち,(x,y)∈

2元x,y∈E,x≠y,に (y,l)∈Ω

次 の 条 件 を み た す も の とす る.

対 して,(x,l)∈Ω,(y,l)∈Ω

と な る よ う な 異 な る2元

存 在 す る.

元 を 点,集

合Lの

元 を 直 線 と よん で,関

xを 通 る と い う こ と に す れ ば,条

件(1),(2)は

係(x,l)∈Ω

に あ る と き,直

線lは

点

そ れ ぞ れ 結 合 幾 何 の 公 理 〔A1〕,〔A2〕

を 表 わ す も の で あ る.   例4.  さ れ,次

3つ の 集 合K,L,Mに

れ ら の 元 の 間 の 関 係 Σ⊂K×L×Mが

指定

の 条 件 が み た され る とす る.

  任 意 の元x∈K,y∈Lに   こ の 関 係 はMに z=xyで

対 して,こ

た だ1つ

値 を もつ 演 算 と よ ば れ る.関

表 わ せ ば,こ

で 与 え られ る.と

対 して,元z∈Mが

係{x,y,z)∈

Σ と な る.

Σ に あ る と き,簡

単 に,

の演 算は写 像

くに,K=L,さ

ら にK=L=Mの

演 算 は 加 法 あ る い は 乗 法 な ど と よ ば れ る.ま の 作 用 な ど と よば れ る.

存 在 し て,(x,y,z)∈

た,L=Mの

場 合 が よ く用 い られ,こ 場 合,こ

の演 算 はM上

の よ うな へ のK

  集 合 を 扱 う と き,最

も基 本 的 な 関 係 の1つ

の 間 の 関 係 Γ ⊂M×Mが

指 定 され,次

  〔1〕 任 意 の 元x∈Mに

の3条

対 して,(x,x)∈

  〔2〕  (x,y)∈

Γ な らば,(y,x)∈

  〔3〕  (x,y)∈

Γ,(y,z)∈

と し て等 値 関 係 が 考 え ら れ る.集 件 が み た され る とす る. Γ.

Γ.

Γ な らば,(x,z)∈

Γ.

  この よ う な 関 係 を 等 値 関 係 とい う.2元x,y∈Mが x∼yで

表 わ し,xとyと

合Mの2元

関 係(x,y)∈

Γ に あ る こ とを 記 号

は 等 値 で あ る とい う.こ の 記 号 を用 い て,上

の3条

件は次 の よ う

に 書 き直 され る.   〔1〕  x∼x,∀x∈M 

(反射律)

  〔2〕  x∼yな

(対称 律)

ら ば,y∼x 

  〔3〕   x∼y,y∼zな

(推移 律)

ら ば,x∼z 

  数 学 に お い て 現 わ れ るい ろ い ろ な等 値 関 係 で は,必 で あ る"と い う用 語 が 用 い られ る と は 限 らな い.幾 応 じて,た とえ ば 記 号x=y,x≡y,x∝y,x‖yな "等 しい" ,"合 同 で あ る","相 似 で あ る","平   例5.  世 界 中 の 人 す べ て の 集 合 をMと a∼bと

定 め れ ば,こ

表 わ す.こ

行 で あ る"な

語 と して は そ れ ぞ れ,

どが 用 い られ て い る. 同 国 人 で あ る と き,

の 集 合Xi,Xj,i,j∈I,が

存 在 す る と き,Xi∼Xjと

  例7.  命 題 を 元 と す る よ うな 集 合Pを

A⇔Bで

どが 使 わ れ,用

し,ふ た りの 人a,b∈Mが

属 す る2つ

な わ ち 全 単 射f:Xi→Xjが

つBな

い う記 号 お よび"等 値

れ は 等 値 関 係 で あ る.

  例6.  集 合 族{Xi￨i∈I}に

ばB,か

ず し もx∼yと

何 学 に お け る等 値 関 係 で も,そ の 内 容 に

らばAで

あ る と き,こ

考 え る.2つ の2つ

対 等 で あ る と き,す

定 め れ ば,こ

れ は 等 値 関 係 で あ る.

の 命 題A,B∈Pに

の 命題A,Bは

の 関 係 は 明 らか に 等 値 関 係 で あ る.同

お い て,Aな

ら

た が い に 同 等 で あ る と い い, 等 な2つ

の 命 題 は 同 じ内 容 を い い

表 わ す も の で あ る.

  集 合M上

に 等 値 関 係x∼yが

与 え られ た とす る.任

集 合Ca={x￨x∼a,x∈M}を,元aを 集 合 族Mを

意 の 元a∈Mに

含 む 等 値 類 と い い,Mの

対 して,Mの

部分

す べ て の 等 値 類 か ら成 る

こ の 等 値 関 係 に よ る等 化 集 合 また は 商 集 合 とい う.

  定 理1.6 

集 合M上

の 集 合 族M={Ci￨i∈I}がM上

の1つ

の 等 値 関 係 に よ る等 化 集 合

で あ るた め の条 件 は,   (1)  任 意 の 元x∈Mに   (2) 

対 して,x∈Ciと

2つ の 集 合Ci,Cj∈M,Ci≠Cjに

な る集 合Ci∈Mが

存 在 す る,

対 し て,Ci∩Cj=φ

で あ る,

が み た され る こ と で あ る.   証 明   Mが 対 し てx∈Cxと

あ る等 値 関 係 に よ るMの な り,条 件(1)が

た め の 条 件 はCx=Cyで

あ る.そ

Cx=Cy=Czと

え に(2)が

Mが

な る.ゆ

与 え られ た とす る.元x,y∈Mに

等 化 集 合 で あ れ ば,反

み た され る.ま

た,対

し て,元x,y,z∈Mに み た され る.逆

射 律 か ら,任 意 の 元x∈Mに

称 律,推

移 律 か ら,x∼yで

お い てz∈Cx∩Cyで に(1),(2)を

対 し て,x,y∈Cと

み た すMの

な る 集 合C∈Mが

ある あ れ ば, 集 合族

存 在す る

と きx∼yで

表 わ せ ば,条

件(1),(2)か

  こ の定 理 か ら,集 合Mに x∈Mに

は,そ

ら,こ れ は 等 値 関 係 と な る. 

等 値 関 係 が 与 え られ た と き,任

意 の元

れ を 含 む 等 値 類 を 対 応 させ る こ と に よっ て,全 p:M→M, 

れ を 自 然 射 影 とい う.一

与え られ,写

像f:M→Lに

般 に,集

合Mに

等 値関 係が

お い て,x,y∈M,x∼yな あ る と き,f=f°pと

f:M→L, 

ら ば,

な る写 像

f(Cx)=f(x),

が 一 意 的 に 定 ま る.こ れ をfか

  1.3  順

射

f(x)=Cx,

が 定 ま る.こ

必 ずf(x)=f(y)∈Lで

(証 終)

ら 引 き起 こ さ れ た 写 像 と い う.

付 図1.4

序

  集 合Mは

空 で な い と し,2元

が 関 係(x,y)∈Λ

の 間 の 関 係Λ⊂M×Mが

に あ る こ と を 記 号x−3yま

ま た はyはxよ

た は 

り上 に あ る と い う.こ の と き,次

  〔J1〕   任 意 の 元x∈Mに

指 定 され た とす る.2元x,y∈M

の3条

で 表 わ し,xはyよ

り下 に あ る,

件 が み た され る とす る.

対 して,x−3x 

(反 射 律)

  〔J2〕 

x−3y,y−3zな

ら ば,x−3y 

(推 移 律)

  〔J3〕 

x−3y,y−3xな

ら ば,x=y 

(交 代 律)

  この よ うな 関 係 を 順 序 とい い,順

序 が 指 定 され た 集 合 を 順 序 系 とい う.な お,x−3yか

x≠yの

と書 か れ る.

と き,x−3yま

  数 学 に お い て,あ い は 用 語"下

るい は 実 際 上,よ

に あ る,上に

x⊂y,x≦yな い られ る.こ

た は 

あ る"が

ど が 使 わ れ,そ の と き,順

く現 わ れ る順 序 関 係 で は,必 用 い られ る とは 限 ら な い.そ

れ ぞ れ 用 語"含

ま れ る,含

序 関 係 は そ れ ぞ れ 包 含 関 係,大

序 を 表 わ す 用 語 と して,上

下 や 大 小 以 外 に も,左 右,前

弱,速

遅,細

若,難

ば,何

を 使っ て も よい.

粗,賢

愚,老

易,尊

つ

ず し も 記 号x−3yあ

る

の 内 容 に 応 じ て,記

号

む","小

さ い,大

き い"が

用

小 関 係 と よば れ て い る.一 般 に,順 後,東

西,南

北,多

少,高

低,強

卑 な どが あ る.要 す る に比 較 を 意 味 す る も の で あ れ

  1つ の順 序 系 の 空 で な い 部 分 集 合 は も と の 順 序 に 関 して や は り順 序 系 と な る.こ れ を 部 分 順 序 系 と い う.一

般 に,集

合Mの1つ

の順 序 に 対 して,も

す る.与

え ら れ た 順 序 でx−3yの

め る.こ

の 順 序 に つ い て も,や は り条 件 〔J1〕,〔J2〕,〔J3〕

と き,か つ そ の と き に 限 り,新 ら しい 順 序 で はy−3xと

順 序 を も との 順 序 の 双 対 順 序 ま た は 逆 順 序 とい う.そ 序 で あ る,2つ

の 順 序 系M,Nの間

f(x)−3f(y)で

あ る と き,写 像fを

な る の はx−3yの

う1つ の順 序 を 次 の よ うに 定 義

の 写 像f:M→Nに 準 同 型 とい う.さ

場 合 に 限 る と き,写 像fを

して,双

が み た され る.新

対 順 序 の 双 対 順 序 は も と の順

お い て,x−3y,x,y∈M,な らに,fが

同 型 と い い,さ

た,写

像f:M→NがNの

同 型 な らば,そ の 逆 写 像

の 順 序 系 は 同 じ も の と見 な

双 対 順 序 に 対 し て 準 同 型 で あ る と き,fを

らに そ れ が 同 型 で あ る と き,双 対 同 型 と い う.

らば,

全 単 射 で,f(x)−3f(y)と

同 型 とい う.写 像fが

f−1も また 同 型 で あ る.順 序 系 に つ い て 考 え る と き,同 型 な2つ し て よ い.ま

定

ら しい

双対 準

  例1.  20世 紀 中 に 日本 国 に 生 存 した す べ て の 人 の 集 合 をMと 係 を 考え る.2人 で 表 わ す.た とす る.こ

の 日本 人x,y∈Mに

だ し,日 本 人xの

対 し て,xがyの

ば,xとyと

が た が い に 配 偶 者 で あ る と き,x−3y,y−3xは

た,xとyと

が 赤 の他 人 で あ る と き,こ

y−3x,の

身 お よ びxの

を み た す が 〔J3〕

の2人

の人達 の直系 親族 関

直 系 卑 族 で あ る こ と を 記 号x−3y

直 系 卑 族 と い う と き,x自

の 関 係 は順 序 の 条 件 〔J1〕,〔J2〕

し,こ

配 偶 者 を も含 む も の

を み た さ な い.た

成 立 す る が,x≠yで

は ま っ た く関 係 が な い.す

とえ

あ る.ま

な わ ち,x−3y,

い ず れ も成 立 し な い.

  例2.  集 合M上

の1つ

の集 合 族 をΨ と す る,2つ

部 分 集 合 で あ る こ とを 記 号A⊂Bで

表 わ す.定

順 序 で あ る.し か し,一 般 に は2つ

の 集 合A,B∈

理1.1に

の 集 合A,B∈

Ψ に 対 して,AがBの

よっ て,こ

の 関 係 は Ψ上 の1つ

Ψ に 対 して,A⊂B,B⊂Aの

の

いずれ も

成 立 しな い こ とが あ る.   例3.  命 題 を 元 とす る集 合Pを あ る と き,記 号A⇒Bま

考 え る.2つ

た は 

で 表 わ し,AをBの

件 とい う.こ の 関 係 に よ っ て,集

合Pは

  〔J1〕   任 意 の 命題Aに

対 して,A⇒A

  〔J2〕   A⇒B,B⇒Cな

らば,A⇒C

が 成 り立 つ.こ A⇒Bか る,あ

の 場 合,推

つB⇒Aで

の 命 題A,B∈Pに

な わ ち,順

表 わ し,AとBと 示 し た よ うに,必

に,1つ

の 命 題Aの

る す べ て の 命 題 の否 定 命 題 の 集 合 をPと

す る.写

つ の 命 題A,B∈Pに

らば 

お い て,A⇒Bな

あ る こ とを 示 し て い る.こ

の 命 題A,Bに

お い て,

要十 分 の関 係は等 値 関係 で て,条 件

否 定 命 題 をAで

表 わ し,集

像f:P→P,f(A)=A,を で あ る.こ

合Pに

属す

考 え る.2

れ は,写 像fが

の 原 理 を 用 い る 証 明 法 を 背 理 法 とい う.ま

た,命

双 対 同型 で

題B⇒Aを

命

対 偶 とい う.

  例4.  幾 何 学 の あ る入 門 書 で,い 系Bが

体 系Aの

ろ い ろ な 体 系 が 扱 わ れ て い る.2つ

特 別 な も の で あ る と き,A⊃Bで

な わ ち,体 系Aを

規定

す る 公 理 系 に さ らに 公 理 を つ け 加 え る こ とに よっ て 体 系Bが る と き,A⊃Bで の 中 に 体 系Bの

得 られ

あっ て,体

系A

モ デ ル を つ くる こ

と が で き る と き,A→Bで

の 体 系A,Bに

表 わ し,ま た,体

用 い て 構 成 され る と き,A→Bで

あ る.

こ れ ら の幾 何 学 の 系 統 図 は 右 の 通 りで あ る.

必要 条

ら ば,A=B

が 成 り立 つ と見 な し て よい.次

表 わ す.す

た はBをAの

はたが い に必要 十分 で あ

等 な 命 題 は 同 じ内 容 を もつ も の と考 え られ る.よっ

題A⇒Bの

ら ばBで

序 の条 件

移 律 〔J2〕 は 三 段 論 法 と よ ば れ る.2つ

あ る と き,記 号A⇔Bで

  〔J3〕   A⇒B,B⇒Aな

て,体

十 分 条 件,ま

順 序 系 と な る.す

るい は 同 等 で あ る とい う.§1.2例7で

あっ て,同

お い て,Aな

付 図1.5

系Bが

対し 体 系Aを

  関 係A⊃Bお A⊃Bの と き  こ の 場 合,順

よびA→Bを ど ち ら もA−3Bで 表 わ せ ば,順 序 関 係 が 得 られ る.ま た, そ し てA→Bの と きA−3Bと 定 め て もや は り順 序 関 係 が 得 られ る.

序 の 意 味 か ら,射 影 幾 何 の 存 在 を示 せ ば,こ

れ ら のす べ て の体 系 の 存 在 が 保 証

さ れ る.

  順 序 系Mの Mの

す べ て の 元xに

最 大 元(あ

し存 在 す れ ば た だ1つ x∈Mが

対 し て,x−3m(あ

る い は 最 小 元)と

で あ る.ま た,順

存 在 しな い と き,元aをMの

分 集 合Aに

お い て,任

上界,下

界)が

あ れ ば,b−3y(y−3b)と

分 集 合Aの

す べ て の上 界(下

限)は

上 限(下

界)の

  順 序 系Lは

存 在 して,し

元aに

存 在 す る と き,Aは

い う.順

空で ない部

な る 元b∈Mを 上 に(下

大 元)をAの

部 分 集 合A

に)有 界 で あ る とい い, 部 分 集 合Aの上

またAの上

か もAに 属 す る と き,そ れ はAの

界

界(下

界)で

あ る.部

上 限(下

限)と

い う.上

た 存 在 し て もAに 属 す る とは 限 ら な い.部

を 含 む もの と し,Lの

順 序系

な る元

序 系Mの

に 有 界 で あ る と い う.元b∈Mが

集 合 の 最 小 元(最

少 な く と も異 な る2元

な る元m∈Mを

存 在 す る とは 限 らな い が,も

対 して,a−3x(x−3a)と

小 元)と

な る 任 意 の 元y∈Mも

存 在 す る とは 限 らず,ま

限)が

序 系Mの

小 元)は

対 し てb−3x(x−3b)と

界 の 両 方 が 存 在 す る と き,単

(下 界)で

る い はm−3x)と

大 元(最

極 大 元(極

意 の 元x∈Aに

の 上 界(下 界)と い う.上 界(下

限(下

い う.最

最 大 元(最

分 集 合Aの

小 元)で

あ る.

順 序 が さ らに 次 の条 件 を み た す と

き,こ れ を 全 順 序 と い う.   〔J4〕  任 意 の2元x,y∈Lに

対 し て,x−3yか

また はy−3xの

少 な く と も一 方 が 成 立

す る. 

(全 順 序 性)

  全 順 序 が 指 定 され た 集 合 を 全 順 序 系 と い う.全 順 序 系 の 部 分 順 序 系 が 少 な く と も異 な る2 元 を 含 む と き,こ れ もや は り全 順 序 系 と な る.2つ f:L→L′

が 与 え られ,x−3y,x,y∈L,な

の 全 順 序 系M,M′

らばf(x)−3f(y)と

の 同 型 と な る.全 順 序 系 に つ い て 考 え る と き,同

型 な2つ

の 間 の全 単 射

な る と き,fは

全順 序系

の 全 順 序 系 は 同 じ もの と見 な し て

よい.   順 序 系Mの

極 大 元(極

  補 題2. 

順 序 系Mの

小 元)の

存 在 に つ い て,次

の 補 題 が 成 立 す る.

任 意 の 部 分 全 順 序 系 が上 に 有 界 で あ れ ば,Mは

極 大 元 を もつ.    これ は,ツ   順 序 系Mの

  例5. 

の

(ツ オ ル ン の 補 題)

ェル メ ロ の選 択 公 理 と 同 等 で あ る こ とが 示 され る. 任 意 の2元x,yに

存 在 す る と き,Mを と き,Mを

少 な く と も1つ

対 し て,こ れ ら の 上 限x∪yお

束 とい う.と

くに,Mの

よび 下 限x∩yが

いつ も

任 意 の 部 分 集 合 が 必 ず 上 限 お よび 下 限 を もつ

完 備 束 とい う. 集 合Eの

こ の と き,部 合X∩Yで

す べ て の 部 分 集 合 か ら 成 る 集 合 族Π(E)は

分 集 合X,Y∈Π(E)に 与 え られ る.さ

対 し て,上

ら に,束Π(E)は

限,下

完 備 束 で あ る.す な わ ち,任

Ψ={Xi￨i∈I,Xi⊂E} に 対 して,上

限,下

限 は そ れ ぞ れ 和 集 合,交

包 含 関 係 に よ っ て 束 を つ くる.

限 は そ れ ぞ れ 和 集 合X∪Y,交

集合

意 の集 合族

集

で 与 え られ る.な

お,こ

の束Π(E)は

最 大 元Mお

よび 最 小 元 φ を もつ .

  例6.  結 合 空 間Eの す べ て の 部 分 空 間 か ら 成 る集 合 族 Σ(E)は 包 含 関 係 に よっ て 完 備 束 を つ くる.こ の 束 は 最 大 元Eお よび 最 小 元 φを もつ.と くに,射 影 空 間Pに お い て,部 分 空 間 族 Σ(P)は 限,下

包 含 関 係 に よっ て 完 備 束 を つ く る.こ

限 は そ れ ぞ れ 射 影 和X∨Y,交

  全 順 序 の4条

件 〔J1〕 ∼ 〔J4〕

くと も異 な る2元

 の うち,た

だ1つ

  〔ZJ2〕 x−3y,y−3zな

は 次 の2条

Σ(P)の

上

与え られ る.

件 に ま とめ られ る.す

対 して,関

な わ ち,集

合Lは

少な

係

だ け が 必 ず 成 立 す る. 

(全 順 序 性)

ら ば,x−3z 

  全 順 序 系Lの2元a,bに

(推 移 律)

お い て,a−3bと

直 前 の 元,bをaの

が 必 ず 最 小 元 を もつ と き,Lを   定 理1.7 

空 間X∩Yで

分 空 間X,Y∈

を もつ と し,

  〔ZJ1〕  任 意 の2元x,y∈Lに

と き,aをbの

の と き,部

す る.a−3x−3bと

な るLの 元xが

直 後 の 元 とい う.全 順 序 系Lの

存 在 しな い

空 で ない任 意 の部分集 合

整 列 集 合 と い う.

整 列 集 合 は 最 小 元 を もつ.ま

た,整

列 集 合 に お い て,最

大元 以外 の元 は必ず 直

後 の 元 を もつ.   証 明   整 列 集 合L自

身 はLの

部 分 集 合 と見 な され るか ら,最

た,元a∈Lが

最 大 元 で な け れ ば,部

分 集 合B={y￨a−3y,y∈L}は

Bの 最 小 元bが

存 在 す る.こ れ はaの

直 後 の 元 で あ る. 

  整 列 集 合 は 最 大 元 を もつ と は 限 ら な い.ま

た,最

小 元m∈Lが

て,

(証 終)

小 元 以 外 の 元 に 対 し て も,そ

が 存 在 す る と は 限 ら な い,集

合 の 整 列 可 能 性 に つ い て,次

  補 題3.  任 意 の 集 合 は,適

当 な 順 序 を 定 義 す る こ とに よっ て,整

の直前 の元

の補 題 が 成 立 す る. 列集 合 にす ることがで き

る. 

(整 列 可 能 定 理)

  これ も,ツ

ェル メ ロの 公 理 と 同 等 で あ る こ と が 知 られ て い る.

  一 般 に,集

合Lの1つ

わ ち,与え

の 全 順 序 に 対 し て,そ

られ た 全 順 序 でx−3yの

つ い て も,や

の 双 対 全 順 序 を 定 義 す る こ とが で き る.す

と き,新

ら しい 順 序 で はy−3xと

は り条 件 〔ZJ1〕,〔ZJ2〕 が み た さ れ,新

順 序 系 の性 質 に は,そ い て,1つ

存 在 す る.ま

空 で な い.よっ

の 双 対 全 順 序 を とっ て も変 わ らな い もの が 多 い.そ

りの全 順 序 の うち,そ

1つ の 向 き に 対 し て,他

の1つ

合Lを

を え らぶ こ とをLに

こで,集

合Lに

れ もや は り直 路 と見 な され る.

  直 路Lに1つ

の 向 き を つ け,3元x,y,z∈Lに 間 に あ る,ま

向 き を つ け る とい う.

対 し て,x−3y−3zか た は 元yは2元x,zの

お

直 路 と よぶ こ とに す

方 を そ の 逆 向 き とい う.直 路 の 部 分 集 合 が 少 な くと も異 な る2点

含 む と き,そ

あ る と き,元yは2元x,zの

の順 序 に

ら しい 順 序 も また 全 順 序 とな る.全

の全 順 序 と そ の 双 対 全 順 序 と を 同 時 に 考え た と き,集

る.直 路Lの2通

定 め る.こ

な

を

また はz−3y−3xで 中 間 元 で あ る と い い,

記 号x#y#zで い.こ

表 わ す.こ

の 関 係 を 集 合Lの

  定 理1.8 

直 路Lの

の場 合,直

路Lに

逆 向 き を つ け て も 関 係x#y#zは

変 わ らな

中 間 関 係 とい う.明 ら か に, 中 間 関 係 に つ い て,

  〔1〕 x#y#zな

らば,こ

れ ら はLの

  〔2〕 x#y#zな

ら ば,z#y#x

  〔3〕 異 な る3元x,y,z∈Lに

異 な る3元

対 し て,関

で あ る.

係

x#y#z,y#z#x,z#x#y  の う ち,た

だ1つ

だ け が 必 ず 成 立 す る.

  〔4〕  x#y#z,y#z#uな

ら ば,x#y#u,x#z#u

  〔5〕   x#y#z,x#z#uな

ら ば,y#z#u.

 逆 に,集

合L上

に,こ

の5条

こ と は,本 文 §1.2に   直 路Lに 直 路Lの

向 きを つ け た と き,そ

異 な る2元a,bに

う.こ

件 を み た す 中 間 関 係 が 指 定 され れ ば,Lは

の 最 大 元 あ る い は 最 小 元 と な る 元 を 直 路Lの

対 して,Lの

の開 区 間 に,2元a,bを

よい と き,単 直 路Lは

に 区 間 とい う.直 路Lに

の 元 も直 後 の 元 も存 在 し な い.し

部 分 集 合Aに

  定 理1.11 

  集 合Nに

開区 間 とい

お い て,任

意 の 異 な る2元 が 必 ず 中 間 元 を もつ と き,

密 な 直 路 に 向 き を つ け る と き,任

意 の 元 に は,そ

の直 前

た が っ て,

稠 密 な 直 路 の区 間 は 稠 密 で あ る.

き,部 分 集 合Aは

  1.4  自

部 分 集 合(a,b)={x￨a#x#b}を

端 元 とい う.

整 列 集 合 は 稠 密 で は な い.

  定 理1.10    直 路Lの

の

つ け 加 え た 部 分 集 合 〔a,b〕 を 閉 区 間 とい う.ど ち ら で も

稠 密 で あ る とい わ れ る.稠

  定 理1.9 

直 路 とな る.こ

お い て 考 察 して い る.

お い て,Lの

直 路Lに

直 路Lに

然

任 意 の異 な る2元

が 必 ずAに

お い て 稠 密 で あ る とい う.明

お い て稠 密 な 部 分 集 合Aは

属す る中間元 を も つ と

らか に,

そ れ 自 身 稠 密 で あ る.

数

全 順 序 が 与 え られ,次

の3条

件 が み た され る とす る.

  〔N1〕  整 列 集 合 で あ る.   〔N2〕  最 大 元 を もた な い.   〔N3〕   数 学 的 帰 納 法 が 成 立 す る.   こ の3条 件 で 規 定 され る集 合Nを 考 慮 す れ ば,条 〔N2〕

件 〔N1〕 か ら,Nは

か ら,任 意 の 元n∈Nに

の と き,条

件 〔N3〕

  〔N3〕   自然 数nに

自然 数 列 とい い,そ 最 小 元 を もつ.こ

は,そ

の 元 を 自 然 数 と い う.定 理1.7を

れ を1で

表 わ す.ま た,条 件 〔N1〕,

の 直 後 の 元 が 存 在 す る.そ れ をn+1で

表 わ す.こ

は 次 の よ うに い い 表 わ され る. 関 す る命 題 が あ って,

 (1) 

こ の 命 題 はn=1に

対 して 成 立 す る.

  (2) 

この 命 題 がn=kに

対 し て 成 立 す れ ば,n=k+1に

  こ の と き,こ

の 命 題 は す べ て の 自然 数 に 対 して 成 立 す る. 

対 し て も成 立 す る. (数 学 的 帰 納 法)

  以 下,順

序 の記 号x〓yの

関 係 と よぶ.そ

し てx≦yか

か ら,n
代 わ りに 記 号x≦yま つx≠yの

た はy≧xを

と き,x
あ っ て,n<x
用 い て,こ

た はy>xと

な る 自然 数xは

の関 係 を 大 小

書 く.直 後 の 元 の 定 義

存 在 し な い.自

然数 を表 わ す記 号

用数 字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…

が 用 い られ る.こ れ は,Nの   わ れ わ れ は,数

全順 序 に した が っ て 並 べ た も の で あ る.

学 的 考 察 の 出 発 点 と し て,自

条 件 〔N1〕,〔N2〕,〔N3〕   定 理1.12 

然 数 列 の 存 在 を 仮 定 し て お く.自 然 数 列 は3

に よ って 確 定 す る.す

な わ ち,

自然 数 列 は 一 意 的 に 定 ま る.

  証 明   自然 数 列Nの っ た とす る.集

他 に も,3条

合N′

件 〔N1〕,〔N2〕,〔N3〕

の最 小 元 を1′ と し,ま

表 わ す.そ

し て,写

元k∈Nに

像f:N→N′

対 し て,f(k)=k′

学 的 帰 納 法 に よ っ て,任 が 定 ま る.明

ら か に,fは

準 同 型g:N′

→Nを

同 型 な2つ

…

た,元n′

を み た す 順 序 系N′

を 次 の よ うに 定 義 す る.ま ず,f(1)=1′

と定 め る.次

が 定 め られ た と仮 定 して,f(k+1)=k′+1′

意 の 元n∈Nに

対 して,f(n)=n′

順 序 系 の 準 同 型 で あ る.集

定 義 す れ ば,g°f=1, 

の 全 順 序 系N,N′

合N′

f°g=1と

と定 義 す る.数 像f:N→N′

に つ い て は,ま

っ た く同 様 に

な る.す

は 同 じ も の と見 な して よい か ら,自

な わ ち,fは

同 型 で あ る.

然 数 列 は 本 質 的 に た だ1 (証 終)

  自 然 数 を 特 性 づ け る も の と し て 数 学 的 帰 納 法 は 重 要 で あ る.一 般 に,2つ ど ち ら も最 大 元 を もた な い とす る.集

るが,さ

に

が 定 義 され,写

つ しか な い. 

Mは

があ

∈N′ の 直 後 の 元 をn′+1′ ∈N′ で

ら に,任

意 の 元x∈L,y∈Mに

また 整 列 集 合 で,こ が 成 立 しな い.実

合L,Mに

際,L∪Mに

は そ れ ぞ れ 大 小 関 係 が 定 義 され て い

対 し て,x
れ は 最 大 元 を もた な い.し お い て,Mの

か し,集

定 義 す れ ば,和 合L∪Mに

次 の よ うに 定 義 す る.ま

直 後 の 元 で あ る.次

に,n=kの

集 合L∪Mも

おい ては数 学的 帰納 法

最 小 元 は 直 前 の 元 を もた な い か らで あ る.

  自 然 数 に は 加 法 お よび 乗 法 の 演 算 が 定 義 され る.自 然 数m,nに ば れ る 自然 数m+nを

の 整 列 集 合L,

ず,n=1の

と き,自 然 数m+kが

対 し て,こ れ ら の 和 と よ

と き,自 然 数m+1と

はmの

定 義 され た と仮 定 し て,n=k+1

の と き, m+(k+1)=(m+k)+1 と定 義 す る.数   定 理1.13 

学 的 帰 納 法 に よ っ て,す

べ て の 自然 数nに

対 し て,和m+nが

定 ま る.

自然 数 の 加 法 に つ い て,

  (1) 

(l+m)+n=l+(m+n) 

(結 合 法 則)

  (2) 

m+n=n+m 

(交 換 法 則)

  (3) 

m<m+n 

  (4) 

m
  証 明   (1)  n=kの

(増 加 性) らば,m+l
と き,和

(平 行 移 動 性) の定 義 か ら(l+m)+1=l+(m+1)で

と き 成 立 す る と仮 定 し て,n=k+1の

場 合 を 証 明 す れ ば よい.

(l+m)+(k+1)={(l+m)+k}+1={l+(m+k)}+1

あ る.よ

っ て,

=l+{(m+k)+1}=l+{m+(k+1)}   (2)  n=1の 1+1=1+1で h+1の

と き,す な わ ち,m+1=1+mを あ るか ら 自明 で あ る .よ っ て,m=hの

.

証 明 す る.さ

ら に,m=1の

と き,

と き 成 立 す る と 仮 定 し て,m=

場 合 を 示 せ ば よい. (h+1)+1=(1+h)+1=1+(h+1).

す な わ ち,す

べ て の 自然 数mに

対 し て,1+m=m+1で

(2)  が 成 立 す る と仮 定 して,n=k+1の

あ る.よ

っ て,n=kの

場 合 を 証 明 す れ ば よ い.

m+(k+1)=(m+k)+1=1+(k+m)=(1+k)+m=(k+1)+m   (3),(4) 

と き,

.

全 順 序 の推 移 律 か ら,数 学 的 帰 納 法 に よ っ て 容 易 に 確 か め られ る. (証 終)

  自然 数l,m,nに お い て,m=l+nで の差 と い う.と くに,自 然 数m≠1に

あ る と き,n=m−lで 表 わ し,nをmとlと 対 して,m−1はmの 直 前 の 自然 数 で あ る .

  さ ら に,自 然 数m,nに 対 して,こ れ ら の積 と よば れ る 自然 数mnを 次 の よ うに 定 義 す る.ま ず,n=1の と き,m1=mと 定 め る.次 に,n=kの と き,自 然 数mkが 定義 さ れ た と仮 定 し て,n=k+1の

と き, m(k+1)=mk+m

と定 義 す る.数   定 理1.14 

学 的 帰 納 法 に よ って,す

べ て の 自 然 数nに

対 して ,積mnが

定 ま る.

自然 数 の 乗 法 に つ い て,

  (1) 

(lm)n=l(mn) 

(結 合 法 則)

  (2) 

mn=nm 

(交 換 法 則)

  (3) 

m
ら ば,ml
(相 似 移 動 性)

  (4) l(m+n)=lm+ln    証 明   (1)∼(3)は

(配 分 法 則) 定 理1.13と

積 の定 義 か らl(m+1)=lm+l1で n=k+1の

同 様 で あ る.そ あ る.よ

こ で(4)を

っ て,n=kの

証 明 す る.n=1の

と き,

と き 成 立 す る と 仮 定 し て,

場 合 を 証 明 す れ ば よい . l{m+(k+1)}=l{(m+k)+1}=1(m+k)+l =(lm+lk)+l=lm+(lk+l)=lm+l(k+1)

  す で に 述 べ た よ うに,集 合A,Bが 対 等 で あ る とは,全 で あ っ て,集 合 の 間 の 対 等 関 係 は 等 値 関 係 で あ る.ま た,集 射f:A→Aが

存 在 し てf(A)≠Aと

意 の 単 射f:A→Aに

. 

単 射f:A→Bが 存在 す るこ と 合Aが無 限 集 合 で あ る とは ,単

な る こ とで あ り,集 合Aが

対 し てf(A)=Aと

(証 終)

な る こ と で あ る.そ

有 限 集 合 で あ る と は,任 して,無

とは 対 等 で は な く,無 限 集 合 を含 む 集 合 は や は り無 限 集 合 で,有

限 集 合 と有 限 集 合

限 集 合 に 含 まれ る 集 合 は や

は り有 限 集 合 で あ る.   定 理1.15 

自然 数 列Nは

無 限 集 合 で あ る.

  証 明   写 像f:N→Nをf(n)=n+1,  f(N)は1を

含 ま な い.よ

  自然 数nに

対 し て,Nの

っ て,f(N)≠Nで

n∈N,で

定 義 す れ ば,fは

単 射 で あ っ て,像

あ る. 

部 分 集 合In={k￨k≦n,k∈N}を

(証 終) 考 え る.こ

の と き,

  定 理1.16 

任 意 の 自然 数nに

し て,InとImと

対 し て,Inは

有 限 集 合 で あ る.異

な る 自然 数m,nに

は 対 等 で な い.

  証 明   まず,n=1の

と き,I1={1}で

に,n=kの

有 限 で あ る と仮 定 す る.任 意 の 単 射f:Ik+1→Ik+1に

と きIkが

g:Ik+1→Ik+1を

あ るか ら,写 像f:I1→I1は

次 の よ うに 定 義 す る.ま ずg(k+1)=k+1と

と な る 自然 数h∈Ikが l≠h,に

対

で あ る.仮 定 に よ り,Ikは

す る.こ

対 して,写

定 め る.も

存 在 す れ ば,g(h)=f(k+1)と

対 し て は,g(l)=f(l)と

恒 等 写 像 に 限 る.次

定 め る.そ

の と き,gも

し,f(h)=k+1

の 他 の 自 然 数l∈Ik,

ま た 単 射 で,と

有 限 集 合 で あ るか らg(Ik)=Ikと

像

な る.よ

く に,g(Ik)⊂Ik っ て,

f(Ik+1)=g(Ik+1)=Ik+1 と な り,写 像fは ま た,異

全 単 射 で あ る.ゆ

な る 自然 数m,nに

学 的 帰 納 法 に よ っ て,Inは

お い て,m
Inは そ の 真 部 分 集 合Imと   集 合MがInと

え に,数

す れ ば,Im⊂In, 

有 限 集 合 で あ る.

Im≠Inで

あ る.有

対 等 に な る こ とは で き な い. 

対 等 で あ る と き,自 然 数nを,Mの

限集 合

(証 終)

元 の 個 数 と い う.ま た,自

然 数 列N

と対 等 な 集 合 を 可 算 集 合 とい う.   定 理1.17 

空 で な い 有 限 集 合 の 元 の 個 数 は 一 意 的 に 定 ま る.任

意 の無 限集 合は 可算集 合

を 含 む.   証 明   集 合Mが し て,任

空 で な い と き,次 の よ うに 単 射f:In→Mを

意 の元a∈Mを

と り,f(1)=aと

定 義 され た と仮 定 す る.次 x∈Mを

に,も

定 め る.こ

全 単 射 に な る か,ま

写 像f:In→Mが 定 理1.16に

限 集 合 で,像f(N)は

た,単

含 まれ な い元

つ くれ ば,あ

る 自然 数nに

射f:N→Mが

射f:N→Mが

あ る.こ

で あ る.そ

無

(証 終)

の 個 室 を も っ て い て,こ

はn人

の と き,

得 られ る と き,Mは

れ らに は1号

ま,こ の ホ テ ル が 満 員 に な っ た とす る.す

対 応 を な し,客

対 して,

得 られ る.

そ の 可 算 部 分 集 合 で あ る. 

が つ け られ て い る.い

対

対 し て,単 射f:Ik→Mが

有 限 集 合 で,そ の 元 の 個 数 はnで

一 意 的 に 定 ま る.ま

  例   あ る ホ テ ル が ち ょ う どn個

客 とは1対1の

の よ うにfを

た は 数 学 的 帰 納 法 に よ って,単

全 単 射 で あ れ ば,Mは よ ってnは

ず,n=1に

し これ が 全 単 射 で な け れ ば,像f(Ik)に

と り,f(k+1)=xと

f:In→Mが

す る.自 然 数kに

つ くる.ま

か らn号

な わ ち,各

こへ 新 ら しい 客 が 来 て,個

まで の番 号

個 室 とそ の室 の 室 を 求 め て も,

支 配 人 は 空 室 が な い こ と こ を 理 由 に こ とわ る よ り仕 方 が な い.す

な わ ち,n個

人 の 客 とは1対1の

し このホ テルが無 限 に個室

対 応 が つ け られ な い か ら で あ る.し か し,も

を も っ て い る とす れ ば 事 情 は 変 わ っ て くる.い

ま,可 算 の部 屋 が あ っ て,す

の 室 と(n+1)

べ て の 自然 数 の

番 号 が つ け られ て い る とす る.こ

の ホ テ ル が 満 員 に な っ て い る と ころ へ 新 客 が き た 場 合 に

は,任

ま までk号

意 の 自然 数kに

す れ ば,い

対 して,い

ま まで の 客 は す べ て 収 容 され,し

を 提 供 す れ ば よい.こ

の 手 で い け ば,さ

室 に い た 客 に はk+1号

か も1号 室 が 空 く こ と に な る.新

客 に は1号

室

らに 何 人 続 け て 新 客 が き て も大 丈 夫 で あ る.た だ

し,無 限 の 新 客 に 同 時 に 来 られ て は い さ さか 困 る.可 い 無 限 の 新 客 は と うて い 処 理 で き な い.

室 に 移 っ て 貰 うこ とに

算 の 新 客 は 何 とか で き るが,可

算でな

  定 理1.18 

2つ の 可 算 集 合A,Bに

  (1) 

和 集 合A∪Bは

  (2) 

直 積A×Bは

  証 明   (1) 

対 し て,

可 算 集 合 で あ る. 可 算 集 合 で あ る.

自然 数 の 集 合Nは,奇

数 の集 合N1と

偶 数 の 集 合N2と

に 分 け られ る.す

な わ ち,

とな る.集

合N1,N2は

ど ち ら も可 算 で あ るか ら,そ れ ぞ れA,Bと

対 等 で あ る.ゆ

えに

全射 f:N=N1∪N2→A∪B が 存 在 す る.よ   (2) 

っ てA∪Bは

A={ai￨i∈N}, 

で 定 義 す れ ば,fは

可 算 集 合 で あ る. B={bj￨j∈N}と

全 単 射 で あ る.よ

  人 類 の歴 史 に お い て,自 と,す

お い て,写

っ てA×Bは

然 数 概 念 の 発 生 は,お

像f:A×B→Nを

可 算 集 合 で あ る. 

そ ら く,有 限 集 合 の 間 の対 応 を 立 て る こ

な わ ち 数 え る こ と の 必 要 か ら始 ま っ た で あ ろ う.定 理1.17で

合A,Bが

た が い に1対1の

(証 終)

対 応 を な す と き,か

示 し た よ うに,有

つ そ の と きに 限 り,こ

れ らの元 の個数 と

し て 同 じ 自然 数 が 定 ま る.す

な わ ち,自

て つ く り出 され た も の で,有

限 集 合 を 数 え る とい う要 求 に 最 も よ く適 す る 概 念 で あ る とい え

る.3人

の 男,3匹

の 獲 物,3本

然 数 と は,た

限集

の木,3つ

の 石,そ

の 有 限 集 合 に 共 通 な 抽 象 概 念 と し て人 間 が 自然 数3を くの 年 月 を 要 し た で あ ろ う.ま た,自 神,3日

後,3人

目 の息 子,第3の

がい に対 等 な有 限集 合に共 通 な値 とし

し て3回

認 識 す る まで,そ

断

  直 路Lの2つ

の 部 分 集 合A,Bが

を 直 路Lの

指 定 され,次

A∪B=L, 

さな どの 計 量 概 念 を導 くた

の2条

件 が み た され る と き,組(A,B)

A∩B=φ.

x#y#z, 

x∈A,  z∈Aな

らば,y∈A,

x#y#z, 

x∈B,  z∈Bな

らば, y∈B.

  条 件(1)は

  (2) 

さ,重

切 断 とい う.

A≠φ, B≠φ  (1) 

直 路Lに

然 数 概 念 が 確 立 し て も,人 間 は

概 念 を さ ら に 拡 張 す る必 要 が あ った.

  1.5  切

はA,Bの

目の

男 と い う よ うに順 番 を 表 わ す の に 用 い られ る こ と に 注 意

も っ と能 率 よ く数 え る た め の 計 算 法 則 を工 夫 し,ま た,長

  (2) 

の 歴 史 に お い て,多

然 数 は 有 限 集 合 を 数 え る た め だ け で な く,3番

し よ う.こ れ は 自然 数 が 整 列 集 合 で あ る こ と を 意 味 す る.自

め に は,数

海 に 日が しず む と き,こ れ ら

直 路Lを2つ

の 部 分 集 合A,Bに

分 け る こ と を 意 味 す る.ま た,条

うち の 一 方 に 属 す る元 は 決 し て 他 方 に 属 す る2元 向 き を つ け れ ば,Lは x∈A,  y∈Bな

とす る こ とが で き る.な

全 順 序 系 と な り,切 断(A,B)の

らば,x
の 条 件 か ら,

件(2)

の 間 に な い こ と を 示 して い る. 条 件(2)は

簡 単に

a∈A,  x
らば,x∈A, 

切 断(A,B)が

b∈B,  b
与 え られ た と き,次

  〔AB〕  Aは 最 大 元 を もつ,Bは

最 小 元 を もつ.

  〔A〕 Aは

最 小 元 を も た な い.

最 大 元 を もつ,Bは

  〔B〕  Aは 最 大 元 を もた な い,Bは

最 小 元 を もつ.

  〔O〕  Aは 最 大 元 を もた な い,Bは

最 小 元 を もた な い.

  切 断(A,B)に 型 は2つ

お い て,Aの

最 大 元 また はBの

の 境 界 が 存 在 す る場 合,〔A〕

りの場 合 が 考 え られ る.

型 お よび 〔B〕 型 は た だ1つ

の 境 界 が 一 致 す る場 合 に は,こ

  整 列 集 合 で は,空

の4通

最 小 元 を こ の 切 断 の 境 界 とい う.〔AB〕

そ し て 〔O〕 型 は 境 界 が 存 在 しな い 場 合 で あ る.な 切 断 に お い て,そ

らば,y∈B,

お,そ

れ ぞ れ 〔A〕 型,〔B〕

整 列 集 合 の 任 意 の 切 断(A,B)で

  定 理1.20 

直 路 が 稠 密 で あ るた め の 条 件 は,任

型 の2つ

の

れ ら は 同 じ切 断 と見 な して お く.

で な い 任 意 の 部 分 集 合 は 必 ず 最 小 元 を もつ,し

  定 理1.19 

の境 界 が 存 在 す る 場 合,

は,〔A〕

た が っ て,

型 お よび 〔O〕 型 は 起 こ らな い.

意 の切 断 に お い て 〔AB〕 型 が 起 こ ら な い

こ と で あ る.   証 明   直 路Lの

切 断(A,B)に

の 中 間 元 は 存 在 しな い.よ 存在しなければ,Lに

を とれ ば,Lの   定 理1.21 

お い て,〔AB〕

定 ま る.明

続 な 直 路Lの

し て,f(n)=xnと 直 路Lは

x
と る こ とが で き る.  の 境 界 を もつ と き,Lは

(証 終) 連 続 で あ る とい わ れ る.す

な

型 お よび 〔O〕

義 か ら 明 ら か に,

理1.21か

ら連 続 な 直 路 は もち ろ ん 無 限 集 合 で あ る.し か し,

連 続 な 直 路 は 可 算 で は な い. 可 算 で あ る と仮 定 し て,1つ

属 さ な い 元s∈Lが

向 き を つ け て,2元a,b∈Lを

意 の 元x∈Lに

な る2元a1,b1∈Lを ま た はa1
の 全 単 射f:N→Lを

存 在 す る こ とを 示 せ ば よ い.任

お く.直 路Lに

稠 密 で あ る か ら,任

て,a
密 性 か ら,

ら 明 らか に,

  証 明   連 続 な 直 路Lが き,像f(N)に

とれ ば,稠 ,3,……),

連 続 な 直 路 は 稠 密 で あ る.

  した が っ て,定   定 理1.24 

(証 終)

連 続 な 直 路 の 区 間 は 連 続 で あ る.

理1.20か

  定 理1.23 

ら か に これ は 〔AB〕 型 で あ る. 

切 断 で は 〔A〕 型 ま た は 〔B〕 型 だ け が 起 こ り,〔AB〕

型 は 決 し て 起 こ ら な い.定

  ま た,定

中間 元 が

合

稠 密 で あ る と し,異 な る2元a,b∈Lを a#x1#b,  a#xj#xj−1  (j=2

任 意 の切 断 が 必 ず た だ1つ

  定 理1.22 

の 境 界a,b

な る2元a,b∈Lの

稠 密 な 直 路 は 無 限 集 合 で あ る.

と な る 可 算 部 分 集 合{xj￨j∈N}を

わ ち,連

に,異

向き を つ け てa
切 断(A,B)が

  証 明  直 路Lは

  直 路Lの

型 が 起 こ っ た とす れ ば,2つ

っ てLは 稠 密 で は な い.逆

意 の 自然 数n∈Nに と り,a
対 し と っ て,

な る よ う に で き る.

と る.こ

付 図1.6

のと 対

す る.

数 学 的 帰 納 法 を 用 い れ ば,す

べ て の 自 然 数n∈Nに

a
と っ て,xn
そこで,Lの部分集

を と り,Bに

対 して

an−1
な る よ う に で き る.

合

属 さ な い す べ て のLの

の 切 断(A,B)が

元 の 集 合 をAと

定 ま る.直 路Lの

意 の 自然 数nに

つ い て,xn
る.よ

像f(N)に

っ てsは

す れ ば,a1∈A,b1∈Bで

連 続 性 に よ っ て,こ

の 切 断 の 境 界s∈Lが

また はan<s
属 さ な い.こ

あ る か ら,L

れ は 写 像f:N→Lが

存 在 す る.任

あ るか ら,xn≠sで

全 単 射 で あ る とい う仮 定 に

反 す る. 

(証 終)

  稠 密 な 直 路 の切 断 で は,た して,連 て,境

あ

だ1つ

の 境 界 が 存 在 す る か ま た は 境 界 が 存 在 しな い.こ

続 な 直 路 の切 断 で は 必 ず た だ1つ

の 境 界 が 存 在 す る.そ

こ で,稠

れ に対

密 な直路 を 切断 し

界 が 存 在 し な い と き,そ の 境 界 とな る新 しい 元 を つ け 加 え る こ と に よ っ て,連

続 な直

路 を つ くる こ とが 考 え られ る.   定 理1.25 

稠 密 な 直 路Lに

対 し て,次

の3条

  (1) 

SはLを

そ の 部 分 直 路 と して 含 む.

  (2) 

LはSに

お い て稠 密 で あ る.

  (3) 

Sが 端 元 を も て ば,そ

  こ の 直 路Sを

直 路Lの

れ はLに

完 備 化 とい う.

向 き を つ け て お く.直 路Lの

に お い て は,Lの

同 じ元 を 境 界 とす る2つ s=(A,B), 

す べ て の 切 断 の集 合 をSと す る.た

の 切 断 は 同 じ もの と見 な す.こ

t=(C,D),に

対 す る次 の4条

こ の場 合,s,tは B∩Cが

る.異

お い て,A⊂Cの

た し,集

合Sは

s=(A,B)を

と き,s
全 順 序 系,し

た が っ て 直 路 と な る.任

と る こ と が で き る か ら,写

か つ 単 射 で あ る.単

射fに

  (2) 

の 切 断s,t∈S, s=(A,B), 

異 な る2つ

交 集 合B∩Cは
よ っ て,LはSの

存 在 す る.ゆ

の と き 元s∈Sは

明 ら か にSの

φ,B≠

切 断(A,B)の

集 合

は 次 の よ うに 全 順 序 が つ け ら れ の 切 断s,t∈S, 

s=(A,B),t=

の 関 係 は 明 らか に 全 順 序 の 条 件 を み 意 の 元a∈Lを

境 界 と す るLの

切 断

全 順 序 系 の 準 同 型 で,

部 分 直 路 と 見 な さ れ る. t=(C,D)に

お い て,s
含 む か ら,Lの

え に,s
お け る 任 意 の 切 断(A,B)を

お い て 稠 密 で あ る か ら,A≠

な る2

件 は た が い に 同 等 で あ る.

像f:L→S,f(a)=s,は

少 な く と も 異 な る2元x,y∈Lを

な る 元b∈Lが 路Sに

定 め る.こ

の と き,異

だ け と な る こ とは な い.

集 合Sに

な る2つ

だ し,S

異 な る切 断 で あ るか ら,交

た だ1元

  (1)  付 図1.7

(C,D),に

一 意 的 に 定 ま る.

属 す る.

  証 明   直 路Lに

つ の 切 断s,t∈S, 

件 を み た す 連 続 な 直 路Sが

稠 密 性 に よ っ て,x
な っ てLはSに

お い て 稠 密 で あ る.さ

と り,A=L∩A,B=L∩Bと φ と な っ てLの

お け ば,L

切 断s=(A,B)が

境 界 で あ る.よ

す れ ば,

っ て,直

定 ま る.こ 路Sは

連 続 で あ る.

  (3) 

次 に,直

路Sが

端 元uを

もつ とす る.直 路Sに

し て よ い.最 大 元u∈SをLの な け れ ば,B0=φ ゆ え にu∈Lで

とな っ て,切

を 証 明 す る.一 般 に,連 き を つ け れ ば,Lは

断 の定 義 に 反 す る,よ

条 件(1),(2),(3)に 続 な 直 路S′ がLを

を と り,B′ に 属 さな い す べ て のS′ ま る.直 路S′

の連 続 性 か ら,こ

らか に 写 像g:S→S′

直 路S′

境 界 とす るS′ の切 断(A′,B′)を

gは 部 分 順 序 系L上 され,一

の 元 の 集 合 をA′

とす れ ば,S′

た,元s∈Sが

と り,A=A′

∩L,B=B′

切 断s=(A,B)が

g°h=1と

定 ま る.こ

な り,写 像g:S→S′

で は 恒 等 写 像 とな る.同

定

の と き,g(s)=s′

と

型gに

こで,直

の と き,直 路Lが

端 元 を もた な け れ ば,直

と定 め る.ま

路S′

稠 密 な 直 路Lの

も

も端 元 を も

端 元 で な け れば,元s′ ∩Lと

す れ ば,LはS′

の と き,h(s′)=sと

を に

定 め る.

は 全 順 序 系 の 同 型 で あ る.し か も, よ っ て,SとS′

とは 同 じ も の と見 な (証 終)

完 備 化Sは,次

の2条 件 に よ っ て特 性 づ け られ る.

  (1) 

直 路Sは

連 続 で,Lを

  (2) 

直 路Lを

そ の 部 分 直 路 と し て 含 む 任 意 の 連 続 な 直 路 はSを

  系2. 

路S′

端 元uを

∈S′ が 端 元 で あ れ ば,

意 性 が 証 明 され た. 

  系1. 

た,元

の部 分 集 合

の 切 断(A′,B′)が

つ 単 射 で あ る.そ

→Sを 次 の よ うに 定 義 す る,元u′

お い て 稠 密 で あ るか ら,Lの

定 め る.ま

表 わ し て,直 路S′

み た す も の と仮 定 す る.こ

像h:S′

こで 一 意 性

を 次 の よ うに 定 義

で あ るか ら,g(u)=uと

は 全 順 序 系 の 準 同 型 で,か

あ るか ら,h(u′)=u′

明 らか に,h°g=1, 

の と き,写 像g:S→S′

切 断s=(A,B)で

の 端 元 と な り,ま た 直 路Lが

こで,写

u′∈L⊂Sで

な け れ ば な らな い.

の 切 断 の 境 界s′ ∈S′ が 存 在 す る.こ

が さ ら に 定 理 の条 件(2),(3)を

た な い.そ

っ てu∈B0で

属さ

そ の部 分 直 路 と し て 含 む とす る.直 路S′ に 向

端 元 で あ れ ば,u∈L⊂S′

端 元 で な い と き,こ れ をLの

て ば,uは

最 大 元で あ る と

し 元uがB0に

適 す る こ とが 示 さ れ た.そ

そ の 部 分 全 順 序 系 とな る.こ

す る.元u∈Sが

定 め る.明

表 わ す と き,も

あ る.

  以 上 に よ っ て,直 路Sは

s∈Sが

向 き を つ け て,uは

切 断u=(A0,B0)で

そ の 部 分 直 路 と し て含 む. 含 む.

連 続 な 直 路 の完 備 化 は も との 直 路 と 同 じ で あ る.

  以 上 述 べ た こ とを 要 約 す れ ば,稠 の 切 断(A,B)を

と る.も

そ の ま まSの 元 と見 な す.ま sを 定 義 して そ れ をSの

密 な 直 路Lの

完 備 化Sは

た,も

し これ が 〔O〕 型 で あ れ ば,そ

元 と見 な す.こ

とす る よ うな 全 順 序 が 自然 に 定 ま り,Sは

数

  集 合R上

に 加 法,乗

〔R1〕  四 則

はLを

連 続 な 直 路 と な る.結 局,Lを

実 数 体 とい い,そ

そ の部 分順序 系

連 続 な 直 路 とす る

あ る.

法 お よび 大 小 関 係 が 定 義 され て,次 の3条

が み た され る と き,集 合Rを

の 境 界b∈Lを

の 境 界 とな る新 ら し い 元

の よ うに つ くられ た 集 合Sに

た め に 不 足 し て い る 元 を 補 な っ て 得 られ た も の がSで

  1.6  実

次 の よ うに つ く られ る.直 路L

し これ が 〔A〕 型 また は 〔B〕 型 で あ れ ば,そ

件 〔R1〕,〔R2〕,〔R3〕

の 元 を 実 数 とい う.

  (1) 

(a+b)+c=a+(b+c) 

(結 合 法 則)

  (2) a+b=b+a 

(交 換 法 則)

  (3) 

(零 の 存 在)

0+a 

  (4) −a+a=0 

(反 元 の 存 在)

  (5) 

(ab)c=a(bc) 

(結 合 法 則)

  (6) 

ab=ba 

(交 換 法 則)

  (7) 

1a=a,1≠0 

  (8) 

a≠0の

  (9) 

a(b+c)=ab+ac 

〔R2〕 

大 小 関係

  (10) 

関 係a
  (11) 

a
  (12) 

a
  (13) 

a
〔R3〕 

連続 性

  (14) 

任 意 の 切 断 は 必 ず 境 界 を も つ.

  ま ず,四

(単 位 元 の 存 在)

と き,a−1a=1 

(配 分 法 則)

a=b, 

b
b
だ1つ

だ け が 必 ず 成 立 す る. 

(全 順 序 性) (推 移 性)

ら ば,a+c
(平 行 移 動 性)

ら ば,ac
(相 似 移 動 性)

か ら 容 易 に 導 か れ る こ と が ら を 示 す.

任 意 の 実a,bに

れ をx=b−aで

対 し て,x+a=bと

な る 実 数xが

た だ1つ

存 在 す る.こ

表 わ す.

  証 明   ま ず,x=b+(−a)と 在 す る.次

う ち,た

ら ば,a
則 の 条 件[R1〕

  定 理1.26 

(逆 元 の 存 在)

お け ば,x+a=b+(−a)+a=bと

に,x+a=b, 

y+a=bと

な っ て,た

す れ ば,

x=x+a+(−a)=b+(−a)=y+a+(−a)=y.    こ の 定 理 に お い て,と   系  実 数 体Rに   定 理1.27 

くにa=b,ま

お い て,0は

(証 終)

た はb=0と

た だ1つ

任 意 の 実 数a≠0,bに

こ れ をx=b/aで

しか に 存

す れ ば,

で あ る.ま

た,実数aの

対 し て,xa=bと

反数−aは

一 意 的 に 定 ま る.

な る 実 数xが

た だ1つ

存 在 す る.

表 わ す.

  証 明   積 の 法 則 を 考 慮 す れ ば,定   こ の 定 理 に お い て,と   系  実 数 体Rに

理1.26と

くにa=b,ま

お い て,1は

ま っ た く 同 様 で あ る. 

た はb=1と

た だ1つ

(証 終)

す れ ば,

で あ る.ま

た,実

数a≠0の

逆 数a−1は

一意 的に

定 ま る.   定 理1.28 

任 意 の 実 数aに

対 し て,a0=0で

あ る.

  証 明   a0=−ab+ab+a0=−ab+a(b+0)=−ab+ab=0.    次 に,大   定 理1.29 

小 関係 の条 件 実 数aに

〔R2〕

(証 終)

か ら 容 易 に 導 か れ る こ と が ら を 示 す.

お い て,a>0な

ら ば−a<0で

あ る.ま

た,a<0な

ら ば−a>0で

あ る.   証 明   a+(−a)=0を   実 数aに

お い て,a>0の

考 慮 す れ ば,平 と きaは

正,ま

行 移 動 性(12)か たa<0と

ら 明 ら か で あ る.  の きaは

(証 終)

負 で あ る と い わ れ る.定

理

1.29に あ る.正

よ っ て,任

意 の 実 数a≠0に

の 方 をaの

対 し て,aと−aの

絶 対 値 と い い,￨a￨で

表 わ す.な

い ず れ か 一 方 は 正 で,他 お,￨0￨=0と

定 め る.実

方 は 負で 数aの 正 負

の 別 を 符 号 とい う.   定 理1.30 

2つ の実 数 が 同 符 号 で あ れ ば そ の 積 は 正 で あ る.ま

た 異 符 号 で あ れ ば そ の積

は 負 で あ る.   証 明   相 似 移 動 性(13)お   系   任 意 の 実 数a≠0に   異 な る2つ 体Rは

よ び 定 理1.29か 対 して,a2>0で

の 実 数a,bに

あ る.と

お い て,a
然 数 列Nに

対 して,写

f:N→R,  を つ くれ ば,明

ら か にfは

て 自然 数 列Nに よっ て,自

  実 数 体Bに

す べ て の 整 数 の 集 合Zを

…+1 (n個), 

は そ の ま ま実 数 体Rに

っ て実 数

n∈N,

お け る和,積

に 対 応 す る.単

よっ

射fに

部 分 全 順 序 系 と見 な され る.

意 の 自然 数n,そ

の反 数−n,お

整 数 環 と い う.2つ 約 数,ま

数 で な い 整 数 を 奇 数 と い う.い

よび 数0を

の 整 数h,kに

たkはhの

総 称 して 整 数 と い い,

対 して,xh=kと

倍 数 とい う.と

くに2の

な る整 数

倍数 を 偶 数 と い

くつ か の 整 数 に 共 通 な 約 数 を公 約 数 と い い,共

数 を 公 倍 数 と い う  い くつ か の 整 数 に 対 し て,自

通 な倍

然 数 の公 約 数 の うち で 最 大 で あ る も の を 最

た 自然 数 の 公 倍 数 の うち で 最 小 で あ る も の を 最 小 公 倍 数 とい う.零 で な い2つ

の 整 数 の 最 大 公 約 数 が1で

あ る と き,こ れ らは た が い に 素 で あ る とい わ れ る.自

とそ れ 自身 以 外 に は 自 然 数 の 約 数 を もた な い と き,pを 逆 元 の 存 在(8)を る.任

あ る.よ

全 順 序 系 の準 同 型 と な り,か つ 単 射 で あ る.し か も写像fに

xが 存 在 す る と き,hはkの

大 公 約 数,ま

あ る.

像

実 数 体Rの

お い て,任

くに1>0で

大 小 関 係 に 関 して 連 続 で あ る こ と を 示 して

f(n)=1+1+…

お け る和,積

然 数 列Nは

(証 終)

す れ ば,a<(a+b)/2
稠 密 で あ る.条 件 〔R3〕 は 実 数 体Rが

い る.自

い,偶

ら 明 らか で あ る. 

除 い て 四 則 〔R1〕

意 の 整 数kに

対 して,そ

素 数 とい う.整 数 環Zに

お よび 大 小 関 係 〔R2〕

然 数pが1 お い て は,

の す べ て の法 則 が み た され

の 直 前 お よ び 直 後 の 整 数 が 存 在 し て,そ れ ぞ れk−1, 

k+1

で 与 え られ る.   実 数 体Rに と い い,す

お い て,整

存 在 し て,分

べ て の 有 理 数 の 集 合Qを

有 理 数 体Qに る.異

数k≠0,hが

お い て は,四

な る2つ

(u+υ)/2も

  定 理1.31 

整 数 環Zお

  証 明   定 理1.18お   定 理1.32 

数 体Rに

任 意 の 実 数aに

で あ っ て,

大 小 関 係 に 関 し て 稠 密 で あ る.以 上

くべ つ な 部 分 全 順 序 系N⊂Z⊂Q⊂Rが

よ び 有 理 数 体Qは

よび 定 理1.24か

理 数 で な い 実 数 を 無 理 数 とい う.

と す れ ば,u<(u+υ)/2<υ

って 有 理 数 体Qは

は,と

形 で 表 わ され る数 を 有 理 数

よび 大 小 関 係 〔R2〕 の す べ て の 法 則 が み た さ れ

に お い て,u<υ

また 有 理 数 で あ る.よ

の 考 察 に よ っ て,実

有 理 数 体 と い う.有

則[R1]お

の有 理 数u,υ

数h/kの

可 算 集 合 で あ る.実

定 め られ る.

数 体Rは

可 算 で は な い.

ら 明 らか で あ る. 

対 し て,a
な る 自然 数nが

(証 終) 存 在 す る. (ア ル キ メ デ ス性)

  証 明   こ の よ うな 自然 数nが

存 在 しな い と仮 定 す る.実

数 体Rの

部 分集合

を と り,Bに Rの

属 さ な い す べ て の 実 数 の 集 合 をAと

切 断(A,B)が

定 ま る.連

続 性 〔R3〕

こ の 切 断 の 定 義 か ら,b−1<m≦bと り,し

か もm+1は

a
に よ っ て,こ

な る 自 然 数mが

自 然 数 で あ る か ら,bが

な る 自 然 数nが

定 に よ りa∈Bで

あ る か ら,

の 切 断 の 境 界b∈Rが

存 在 す る.こ

存 在す る.

の と き,b<m+1と

な

こ の 切 断 の 境 界 で あ る こ と に 反 す る.よ

存 在 す る. 

任 意 の 実数aに

  証 明   定 理1.32に

す れ ば,仮

っ て,

(証 終)

対 し て,h
な る 整 数hが

よ っ て,−a
存 在 す る.

な る 自 然 数nを

と り,h=−nと

す れ ば よ い. (証 終)

  系2. 

任 意 の 正 の 実数aに

  証 明   定 理1.32に

対 し て,0
よ っ て,a−1
な る 有 理 数uが

な る 自 然 数nを

存 在 す る.

と り,u=1/nと

す れ ば よ い. (証 終)

  系3. 

実 数a,b,tに

お い て,a
す れ ば,b
な る 自 然数nが

存在

す る.   証 明   定 理1.32に   定 理1.33 

よ っ て,(b−a)/t
有 理 数 体Qは

  証 明   異 な る2つ と な る 整 数h,お

の 実 数a,bに

と れ ば よ い. 

(証 終)

お い て 稠 密 で あ る.

お い て,a
よ び0
と な る 自 然数nが

な る 自 然 数nを

実 数 体Rに

な る 有 理 数tが

存 在 す る.数h+ntは

す る.定

理1.32系1,2か

存 在 す る.さ

ら,h
ら に 系3か

有 理 数 で あ る か ら,QはRに

ら,a
る. 

(証 終)

  こ の 定 理 に よ っ て,自 な わ ち,負 Qを

然 数 列Nか

の 数 お よ び 数0を

つ く る.そ

し て,Qを

ら 出 発 し て,実

定 義 し て 整 数 環Zを

数 体Rを

つ く り,さ

完 備 化 し た も の が 実 数 体Rで

構 成 す る こ と が で き る.す らに分数 を定義 して有理 数体

あ る.こ

れ は また 実 数 体 の一 意 性

を 示 す も の で あ る.   定 理1.34 

正 の 実 数r,aに

がr2とaと

お い て,r2≠aと

の 間 に あ る よ う に で き る.と

す れ ば,正

くにr,aが

の 実 数sを

適 当 に と っ て,s2

有 理 数 で あ れ ば,こ

の よ う なsと

し

て や は り有 理 数 を と る こ と が で き る.   証 明   ま ず,a>1と

す る.s=r−(r2−a)/(r+a)と

お け ば,明

らか に

s=(r+1)a/(r+a)>0 で あ る.そ

し て, r2−a=(r+a)(r−s)=(r+a)(r2−s2)/(r+s)

,

s2−a=a(a−1)(r2−a)/(r+a)2=a(a−1)(r2−s2)/(r+a)(r+s) と な る.a>1で

あ る か ら,s2−aとr2−s2と

  次 に,a=1と

す る.s=(r+1)/2と

  そ こ で,0
す る.上

る こ と が で き る.よ   と くにr,aが   定 理1.35 

は 同 符 号 で あ る.ゆ お け ば,r#s#1で

に 示 し た よ う に,正

っ て,s=1/tと

お け ば,r2#s2#aと

有 理 数 で あ れ ば,こ 任 意 の 正 の 実 数aに

あ る.ゆ

の 実 数tを

な る.

え にr2#s2#1と

な る.

と っ て,1/r2#t2#1/aと

す

な る.

の よ う に 定 め ら れ たsも

対 し て,r2=aと

え にr2#s2#aと

ま た 有 理 数 で あ る. (証 終)

な る 正 の 実 数rが

た だ1つ

存 在 す る.

これ をaの

平 方 根 と い い, 

で 表 わ す.

  証 明   一 般 に,正

の 実 数x,yに

と な る正 の実 数rが

も し存 在 す れ ば,そ

お い て,x2
らばx
れ は た だ1つ

あ る.よ

で あ る.実 数 体Rの

っ て,r2=a

部分 集合

B={y￨a
属 さな い す べ て の 実 数 の 集 合 をAと 連 続 性 に よ っ て,こ

証 明 す れ ば よい.も

a<s2
の 切 断 の 境 界r∈Rが

しa
な り,s∈B,s
 で あ る.ま は,x2=aと

存 在 して,r>0と

あ るか ら,実

数rが

ら,正

とえ ば, 

な る.そ の実 数sが

こで,r2 存 在 し て,

な け れ ば な ら な い. 

様 に, (証 終)

の有 理 数uの

平 方 根 

は一 般

が 無 理 数 で あ る こ とは 容 易 に 証 明 され る.な

た,任 意 の 実 数xに

な る実 数xは

定 ま る.実

境 界 で あ る こ とに 反 す る.同

数 の連 続 性 を 用 い て い る.そ れ ゆ え,正

に は 有 理 数 に な ら な い.た

切 断(A,B)が

す れ ば ,定 理1.34か

場 合 に も矛 盾 が 起 こ る か ら,r2=aで

  こ の 証 明 で は,実

す れ ば,Rの

対 して,x2≧0で

あ るか ら,負

の実 数aに

お, つ いて

存 在 し な い.

2. 

集

合

と

演

算

  2.1  群   集 合G上

の 演 算 γ:G×G→Gが

=ab∈Gで

表 わ し ,こ

指 定 さ れ た と す る.2元a,b∈Gに

れ を2元a,bの

積 と よ ぶ.こ

の と き,次

対 し て,γ(a,b) の3条

件 が み た され る と

す る.   〔G1] 

(ab)c=a(bc) 

 [G2] 

元e∈Gが

 〔G3〕

  元a∈Gに

  集 合Gの

(結 合 法 則) 存 在 し て,ea=a,a∈G 

(恒 等 元 の 存 在)

対 し て,元a−1∈Gが

演 算 が こ の3条

存 在 し て,a−1a=e 

件 で 規 定 さ れ る と き,Gを

(逆 元 の 存 在)

群 と い う.こ

れ ら の 条 件 か ら容 易 に

導 か れ る こ と が ら を 示 す.   定 理2.1 

群Gに

  (1) 

aa−1=e 

  (3) 

恒 等 元eは

  (5) 

(a−1)−1=a 

  証 明   (1) 

お い て,

た だ1つ

で あ る. 

逆 元x=a−1を

(2) 

ae=a

(4) 

元aの

(6) 

(ab)−1=b−1a−1

と れ ば,xa=e.さ

逆 元a−1は

ら に,xの

逆 元yを

た だ1つ

で あ る.

と れ ば,

ax=eax=yxax=yex=yx=e.   (2) 

ae=aa−1a=ea=a.

  (3) 

2つ

  (4) 

元aの2つ

  (5) 

aa−1=eで

  (6) 

b−1a−1ab=b−1eb=b−1b=e.ゆ

 

の 恒 等 元e,e′

2つ の 群G,G′

が あ れ ば,e′=ee′=e.

の 逆 元x,yが

あ れ ば,y=ye=yax=ex=x.

あ る か ら,a=(a−1)−1.

の 間 の 写 像f:G→G′

え にb−1a−1=(ab)−1.  が 与 え ら れ,

(証 終)

f(ab)=f(a)f(b),  で あ る と き,fを

群 の 準 同 型 とい う.明 f(e)=e′(G′

とな る.準

同型fが

  群Gの

の恒 等 元),f(a−1)=f(a)−1

単 射 で あ る と き,こ れ を 群 の 単 射,ま

群 の 全 射 と い う.さ で 表 わ す.群

a,b∈G,

らか に

らに 準 同 型fが

の 部 分 群 とい う.さ ら に 群Gの る と き,HをGの

型 な2つ

の群 は 同 じ も の と見 な して よい.

お い て,a,b∈Hな 部 分群Hに

な る 元a∈Hが

らばa−1b∈Hで

部 分 群Hが

らばx−1ax∈Hで

含 む 等 値 類 〔x〕∈G/Hを

あ

与 え られ た とす る,元x,y∈G

存 在 す る と き,2元x,yは

等 値 で あ る と見 な す.こ

の 関 係 は 明 らか に 等 値 関 係 の 条 件 を み た し,等 化 集 合G/Hが 合 とい い.元x∈Gを

あ る と き,HをG

お い て,a∈H,x∈Gな

正 規 部 分 群 とい う.群Gの

に 対 し て,y=xaと

全 射 で あ る と き,こ れ を

全 単 射 で あ る と き,こ れ を 群 の 同 型 と い い,f: 

に つ い て考 察 す る と き,同

空 で な い 部 分 集 合Hに

たfが

定 ま る.こ

剰 余 類 とい う.そ

れ を 群Gの

し て,写

商集

像

p:G→G/H,p(x)=〔x〕,x∈G, を 自 然 射 影 とい う.と

くにHがGの

の 積 を 〔x〕 〔y〕=〔xy〕

で 定 義 す れ ば,こ

関 係 な く定 ま り,商 集 合G/Hは 影p:G→G/Hは

正 規 部 分 群 で あ る と き,2つ

の積 は 等 値 類 を 代 表 す る元x,y∈Gの

群 と な る.こ れ を 群Gの

剰 余 群 とい う.明

と り方 に らか に 自然 射

群 の 全 射 で あ る.

  群 の準 同 型f:G→G′

に 対 して,部

分 集合

Kerf={x￨f(x)=e′,x∈G},  を そ れ ぞ れfの

核,像

分 群 とな る.と  定 理2.2 

とい う.核Kerfは

くに,Kerf=eの

こに,pは

  証 明  核,像

Imf=f(G)

群Gの

正 規 部 分 群 と な り,像Imfは

と きfは 単 射 で,Imf=G′

群 の 準 同 型f:G→G′

で あ る.こ

  群Gが

の 等 値 類 〔x〕,〔y〕∈G/H

群G′ の 部

の と きfは

全 射 で あ る.

に お い て,

自然 射 影 とす る. 

(同 型 定 理)

お よ び 剰 余 群 の 定 義 か ら明 ら か で あ る. 

(証 終)

さ らに 条 件

  〔G4〕   ab=ba 

(交 換 法 則)

を み た す と き,Gを す こ とが あ る.こ

ア ーベ ル 群 とい う.ア ー ベ ル 群Gに の場 合,恒

等 元 を0,元aの

お い て は,演

逆 元 を−aで

算 を 和a+bで

表 わ す.こ

表わ

の 記 号 を 用 い れ ば,

ア ーベ ル 群 の4条 件 は   〔G1〕   (a+b)+c=a+(b+c) 

(結 合 法 則)

  〔G2〕 0+a=a 

(零 元 の 存 在)

  〔G3〕  −a+a=0 

(反 元 の 存 在)

  〔G4〕 a+b=b+a  と書 か れ る.な   整 数 環Zは Q0は

お,a+(−b)=a−bと

(交 換 法 則) お く.

和 に 関 し て ア ー ベ ル 群 を つ くる.ま

積 に 関 し て ア ー ベ ル 群 を つ くる.

た,有

理 数 体Qか

ら数0を

除 外 した 集 合

  基 本 的 な 有 限 群 と し て 置 換 群 が 考 え ら れ る,n個 n}を

と り,全

ば,置

単射

σ:In→Inを

の 元 か ら 成 る 有 限 集 合In={1,2,…

置 換 と い う.自

然 数k∈Inに

おけ

換 σ は,

で 表 わ さ れ,{p1,p2,…

…,pn}はn個

る.よ

す べ て の 置 換 の 集 合SInはn!個

2つ

…

対 し て,σ(k)=pkと

っ て,集 の置換

せ ば,こ

合Inの

σ,τ ∈SInに

対 し て,写

の 積 に よ っ てSInは

恒 等 写 像1で 称 群,SInは

与 え ら れ,置

の 文 字{1,2,…

…,n}の1つ

の順 列に な ってい

の 元 か ら 成 る 有 限 集 合 で あ る.

像 と し て の 結 合 を 置 換 の 積 と定 め て,τ° σ=σ τ で 表 わ

群 を つ く る.こ

れ をn次

換 σの逆 元 は 逆 写 像

ア ー ベ ル 群 で は な い.2つ

対 称 群 と い う.こ

σ−1で 与 え ら れ る.な

の 自 然 数i,j∈In,i≠j,に

の 場 合,恒

お,n≧3の

等 元は と き,対

対 し て,

σ(i)=j,σ(j)=i,σ(h)=h,h∈In,h≠i,h≠j, と な る置 換

σ∈SInを

互 換 と い い,σ=(i,j)で

表 わ す.明

ら か に(i,j)(i,j)=1で

あ

る.   定 理2.3 

任 意 の 置 換 は い つ く か の 互 換 の 積 と し て 表 わ さ れ る.

  証 明   数 学 的 帰 納 法 を 用 い る,ま 換(1,2)で n=2の

あ っ て,恒

合を証明すればよい.任意

(pr,r)を っ て,任

と き,任

意 の 置 換 は 恒 等 置 換1か

等 置 換 は 互 換 の 積1=(1,2)(1,2)と

と き 定 理 は 成 立 す る.そ の置

に お い て,pr=rな

ず,n=2の

こ で,n=r−1の

し て 表 わ さ れ る.ゆ

れ はn=r−1の

と り,置 換 σ・(pr,r)を 意 の 自然 数n≧2に

場 合 と見 な さ れ る.pr≠rの

つ くれ ば,や

つ い て,定

は りn=r−1の

場

と き,互

換

場 合 に 帰 着 され る.よ

理 は 成 立 す る. 

(証 終)

  置 換 σが 偶 数 個 の 互 換 の積 と し て表 わ され る と き,σ を 偶 置 換 とい い,奇

  定 理2.4 

え に,

と き 成 立 す る と 仮 定 し て,n=rの

換

ら ば,こ

と して 表 わ され る と き,σ

また は 互

数 個 の 互 換 の積

を 奇 置 換 とい う.

置 換 σが 偶 置 換 で あ るか 奇 置換 で あ る か は,互

換 の 積 と し て の σ の表 わ し方 に

関 係 な く定 ま る.   証 明   置 換 σに 対 し て,差

積Δ(σ)を

次 の よ うに 定 め る.

こ の定 義 か ら,置

換 σに 対 す る差 積Δ(σ)は0と

因 数(pk−ph)の

代 わ りに 因 数−(ph−pk)を

異 な る整 数 値 を と る も の で あ る.そ お きか え て もΔ(σ)の

し て,

値 は 変 わ り な く,ま

た,こ れ ら の 因 数 の 順 番 を どの よ うに い れ か え て もΔ(σ)は 同 じ値 で あ る.自 然i,j∈In, i≠j,に pi,pjを

対 し て,こ

の よ うな 因 数 の お きか え を 適 当 に 行 な っ て お け ば,差

含 むす べ て の因数 は

積Δ(σ)に

おけ る

の形 で 与 え られ る.そ は−(pi−pj)に

こで,差

積Δ(σ)に

お い て 互 換(pi,pj)を

変 わ り,因 数(pi−pk)(pj−pk)は

−Δ(σ)に 変 わ る.い

ま,置

換 σがm個

た こ とか ら,Δ(σ)=(−1)mΔ(1)と

行 な え ば,因

変 わ らな い.よ

っ て,差

数(pi−pj) 積Δ(σ)は

の 互 換 の 積 と し て 表 わ され た とす れ ば,上

な る.ゆ

え に,mが

偶 数 で あ るか 奇 数 で あ るか は,互

換 の 積 と し て の σの 表 わ し方 に 関 係 な く,置 換 σに よ って 定 ま っ て い る.    置 換 σが 偶 置 換 で あ るか 奇 置 換 で あ るか に 応 じ て,そ

に述 べ

(証 終)

れ ぞれ

sgnσ=1,sgnσ=−1 で 表 わ し,こ れ を 置 換 σの 符 号 と い う.2つ

で あ る.す

な わ ち,た

だ2つ

の 置 換 σ,τ ∈SInに

の 元 か ら成 る 積 の 群{1,−1}を

対 し て,明

考 え る と き,写

らか に

像

sgn:SIn→{1,−1} は 群 の 全 射 で あ る.対 称 群SInに を つ く り,こ れ はn次

と な る.そ

し て,交

  2.2  環   集 合A上

と

正 規 部分群

交 代 群 と よば れ る.同 型 定 理 に よれ ば,

代 群AInの

元 の 個 数 はn!/2で

あ る.

体

に2つ

そ し て,次

お け るす べ て の偶 置 換 の 集 合AInはSInの

の 演 算 が 指 定 さ れ た と し,そ

れ ら を そ れ ぞ れ 和a+b,積abで

表 わ す.

の 条 件 が み た さ れ る と す る.

  〔K1〕

  和 に 関 し て,Aは

  〔K2〕

  (ab)c=a(bc) 

(結 合 法 則)

  〔K3〕

  a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca 

(配 分 法 則)

  集 合Aの

演 算 が こ の3条

  定 理2.5 

環Aの

ア ー ベ ル 群 で あ る.

件 で 規 定 さ れ る と き,Aを

任 意 の 元a,bに

  (1) 0b=a0=0 

(2) 

環 と い う.

対 し て, (−a)b=a(−b)=−ab

  証 明   (1) 0b=−ab+ab+0b=−ab+(a+0)b=−ab+ab=0.   a0=−ab+ab+a0=−ab+a(b+0)=−ab+ab=0.   (2) 

(−a)b+ab=(−a+a)b=0b=0.ゆ

え に(−a)b=−ab.

 

a(−b)+ab=a(−b+b)=a0=0.ゆ

え にa(−b)=−ab. 

2つ

の 環A,A′

の 間 の 写 像f:A→A′

(証 終)

が 与 え ら れ,

f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),a,b∈A, と な る と き,fを

環 の 準 同 型 と い う.こ

な る.準

単 射 で あ る とき,こ

同 型fが

れ を 環 の 全 射 と い う.さ

ら に 準 同 型fが

い て 考 察 す る と き,同

型 な2つ

  環Aの2元a,bに

お い て,α

因 子 と い う.環Aが

の と き,明

ら か に,f(0)=0,f(−a)=−f(a)と

れ を 環 の 単 射 と い い,ま 全 単 射 で あ る と き,こ

た,fが

全 射 で あ る と き,こ

れ を 環 の 同 型 と い う.環

につ

の 環 は 同 じ も の と 見 な し て よ い. ≠0,b≠0で,し

零因 子 を も た な い 条 件 は,明

か もab=0と ら か に,

な る と き,元a,bを

零

  〔K4〕

  ab=0な

で あ る.環Aに   〔K5〕 

ら ば,a=0か お い て,0と

存 在 し て,

ea=ae=a,a∈A 

と な る と き,eをAの 1つ で あ る.単 をaの

ま た はb=0, 異 な る 元e∈Aが

(単 位 元 の 存 在) 単 位 元 と い う.こ

位 元eを

左 逆 元,ま

も つ 環Aに

たay=eと

の 条 件 か ら,環Aが

お い て,元a∈Aに

た 存 在 し て も 一 意 的 と は い え な い.

  定 理2.6 

環Aに

致 し て,か

お い て,元a∈Aが

つ 一 意 的 で あ る.こ

  証 明   xa=e,ay=eと   環Aに

お い て,逆

  定 理2.7 

対 し て,xa=eと

な る 元y∈Aをaの

限 ら な い.ま

単 位 元 を も て ば,そ

右 逆 元 と い う.こ

れ はた だ

な る 元x∈A れ らは存在 す るとは

同 時 に 左 逆 元 お よ び 右 逆 元 を も て ば,そ

の 元 をaの

逆 元 と い い,a−1で

れ らは 一

表 わ す.

す れ ば,x=x(ay)=(xa)y=y. 

(証 終)

元 を も つ 元 を 正 則 元 と い う.

単 位 元eを

も つ 環Aに

お い て,0は

正 則 元 で は な い.ま

た,正

則 元a∈Aは

零 因 子 で は な い.   証 明   正 則 元a∈Aに で あ る.い

お い て,a−1a=e≠0と

ま,ab=0と

な る か ら,定

理2.4(1)に

す れ ば,b=(a−1a)b=a−1(ab)=a−10=0と

と す れ ば,b=b(aa−1)=(ba)a−1=0a−1=0と

よ っ てa≠0

な る.ま

な る.よ

っ て,正

則 元aは

た,ba=0

零 因 子で はな

い. 

(証 終)

  系1. 

単 位 元 を も つ環Aの

  証 明   正 則 元a,b∈Aに 単 位 元eは はaで

す べ て の 正 則 元 の 集 合 は 積 に 関 し て 群 を つ く る. 対 し て,積abも

正 則 で そ の 逆 元 はe自

ま た 正 則 と な り,そ

身 で あ る.正

則 元aの

逆 元a−1も

の 逆 元 はb−1a−1で

あ る.

ま た 正 則 で,そ

の逆 元

あ る. 

  環Aが

(証 終)

次 の 条 件 を み た す と き,Aは

可 換 で あ る と い わ れ る.

  〔K6〕 ab=ba 

(交 換 法 則)

  零 因 子 を も た な い 可 換 な 環 を 整 域 と い う.た 然 数m≠1の

倍 数 全 体 をmZと

す れば,こ

と え ば,整

れ は 整 域 で あ る.こ

  単 位 元 を も つ環Kに

お い て,0以

2.6に

は 零 因 子 が 存 在 し な い.ま

よ れ ば,体Kに

数 環Zは

整 域 で あ る.1つ

の 環 は 単 位 元 を も た な い.

外 の 元 が す べ て 正 則 で あ る と き,Kを た,定

理2.7に

の 自

体 と い う.定

よ れ ば,体Kに

理

お い て,

0以 外 の す べ て の 元 の 集 合 は 積 に 関 し て 群 を つ く る.   体Kの

元aお

よ び 自 然 数nに

対 し て,

na=a+a+…+a(n個),0a=0,(−n)a=−na, と 書 く こ と に す れ ば,任   定 理2.8 

体Kの

対 し て もmb=0で

意 の 整 数m∈Zに

元a≠0お

よ び整数mに

対 し て,元ma∈Kが

定 ま る.

対 し て,ma=0な

ら ば,任

意 の 元b∈Kに

あ る.

  証 明   mb=m(aa−1b)=(ma)(a−1b)=0(a−1b)=0.    系  整 数mに

対 し て,体Kの

す べ て の 元aがma=0と

(証 終) な る た め の 条 件 は,me=0で

あ る.   体Kにお

い て,pe=0と

な る よ う な 最 小 の 自 然 数pを

体Kの

標 数 と い う.体Kに

標数

が 存 在 し な い と き,す は0で

な わ ち,す

べ て の 自 然 数nに

対 し てne≠0で

あ る と き,体Kの

標数

あ る と い う.

  定 理2.9  体Kの 標 数pが0で mはpの 倍 数 で あ る.   証 明  体Kの

標 数pが

と し て,re=a∈Kと re=0か

素 数 で あ る.そ

して,me=0と

お け ば,qa=q(re)=pe=0と あ る.こ

な る か ら,定

れ は 標数pの

定 義 に 反 す る ,よ

理2.8に

よ っ て,

っ てpは

素 数 で あ る.

す れ ば,

と お く こ と が で き る か ら,0=me=(kp+s)e=k(pe)+se=seと らs=0で

な る整 数

素 数 で な い と し,

ま た はqe=0で

ま た,me=0と

な い と き,pは

な け れ ば な ら な い.ゆ

な る.標

え にm=kpと

な る.す

な わ ちmはpの

数pの

定 義 か

倍 数 で あ る. (証 終)

  体Kが Rは

交 換 法 則 〔K6〕

ど ち ら も 標 数0の

数 が 得 ら れ る.2つ

を み た す と き,こ

可 換 体 で あ る.実

の 実 数 の 組(x,y)を

れ を 可 換 体 と い う.有

理 数 体Qお

よび 実 数 体

数 か ら さ らに 数 概 念 を 拡 大 す る こ と に よ っ て複 素 考 え,こ

の よ う な す べ て の 組 の 集 合 をCと

す る.

す な わ ち, C=R×R={(x,y)￨x,y∈R} で あ る.集

合C上

に 次 の よ う に 和 お よ び 積 を 定 義 す る. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), (a,b)(c,d)=(ac−bd,ad+bc).

こ の よ う に 和 お よ び 積 が 定 め られ た と き,集

合Cを

複 素 数 体 と い い,そ

う.複

素 数(a,b)∈Cに

実 数 部,bを 部 が0で

の元を複 素数 とい お い て,aを

そ の 虚 数 部 と い う.と

そ の くに 虚 数

あ る よ う な 複 素 数 に 対 し て,和

お よ

び積 は それぞ れ (a,0)+(c,0)=(a+c,0), (a,0)(c,0)=(ac,0) と な る か ら,写像f:R→C,f(x)=(x,0), x∈R,は

体 の 単 射 と な り,実数xと

(x,0)と

は 同 じ も の と 見 な し て よ い.こ

と き,実数aと

複 素 数(c,d)と

a(c,d)=(ac,ad)で に,実

数 部 が0で

付 図2.1

の 積 は, ら

あ る よ う な 複 素 数(0,b) く に(0,1)=iと

れ を 虚 数 単 位 と い う.積

て,(0,1)2=(−1,0)で

の

与 え ら れ る.さ

を 純 虚 数 と い う.と て,こ

複 素数

おい

の定義 に よっ

あ る か ら,関

係

i2=−1が

成 立 す る.そ

し て,任

意 の 複 素 数z=(x

,y)は

z=x+iy,x の 形 で 一 意 的 に 表 わ さ れ る.こ 役 複 素 数 と い う.ま はz=0の

た,実

,y∈R,

の 複 素 数z=x+iyに

対 し て,複

数 

場 合 に 限 る.ま

をzの

素 数z=x−iyをzの

共

絶 対 値 と い う.￨z￨=0と

な るの

た, zz=(x−iy)(x+iy)=x2+y2=￨z￨2

で あ る か ら,z≠0の

と き,z−1=z/￨z￨2と

0の 可 換 体 で あ る.な な い.も

し §1.6に

と 仮 定 す れ ば,定 1=12>0で

お,実

お け る条 件 理1.30系

あ る.そ

−1<0で

お け ば,z−1z=1と

な る.複

数 体 に お い て 成 立 し た 大 小 関 係 の 法 則 は,複 〔R2〕

を み た す 全 順 序 が 複 素 数 体Cに

に よ っ て,任

意 の 複 素 数z≠0に

れ ゆ え,i2=−1>0で

素 数 体Cは

お いて定 義 された

対 し てz2>0と

な け れ ば な ら な い.一

方,定

標数

素数 体で は成立 し

な り,か

理1.29に

つ

よ って

あ る か ら これ は 矛 盾 で あ る .

  一 般 に,環Aのmn個

の 元ajk(j=1,2,…

…,m;k=1,2,…

…,n)を

そ の 要 素 と い う.要

素 の 組(aj1,aj2,…

長方形 に

な ら べ て 得 られ る 表

を 環A上

のm×n行

列 と い い,元ajkを

を こ の 行 列 の 第j行 と く に,n×n行

列 をn次

M(m,n,A)で 2つ の 行 列

の行列

素 の 組(a1k,a2k,…

…,amk)を

正 方 行 列 と い う.環A上

表 わ し,と

く に,す

べ て のn次

の 和 に 関 し て,M(m,n,A)は

与 え ら れ,行

列

α∈M(m,p,A),β

で 定 義 す る.こ

α=(ajk)の

こ の 行 列 の 第k列

の す べ て のm×n行

正 方 行 列 の 集 合 をEnd(n

α,β ∈M(m,n,A),α=(ajk),β=(bjk),の

で 定 義 す れ ば,こ 0=(0)で

と い い,要

α=(−ajk)で

列 の 集 合 を ,A)で

の とき,零

与 え ら れ る .ま

∈M(p,n,A),α=(ajh),β=(bhk),の

の積 が 意 味 を もつ と き,明

と い う.

表 わ す,

和 を

ア ー ベ ル 群 と な る.こ 反 元 は−

…,ajn)

元 は た,2つ

積 を

らか に

(1) 

(結 合 法 則)

(2) 

(配分 法則)

が 成 立 す る.行

列

α∈M(m,n,A),α=(ajk),に

を αの転 置 行 列 とい う.明

(3)

らか に,

対 し て,行

列

  (4) 

環Aが

可 換 の と き,t(α β)=tβtα,

が 成 立 す る.と

く に,正

さ ら に,環Aが

を も つ.こ

方 行 列 の 集 合End(n,A)は,和

単 位 元eを

も て ば,環End(n,A)も

こ に,δjkは,j=kの

と きeを,ま

ッ カ ー の デ ル タ と よ ば れ る.な え な い.環Aが

お,環Aが

また単 位元

たj≠kの

  環Aのn個

表 わ す.写

(1) 

ω(x1+y1,…

(2) 

ω(cx1,…

表 わ す 記 号 で,ク

ロネ

可 換 とは い

零因 子 を も つ.そ

し て,環Aが

体 に は な ら な い.

の 元 の 組(x1,x2,……,xn),xi∈A,を

合 をAnで

と き0を

可 換 で あ っ て も,環End(n,A)は

零 因 子 を も た な く て も,環End(n,A)は

体 で あ っ て も,環End(n,A)は

1次

お よ び 積 に 関 し て 環 を つ く る.

像

ω:An→Aが

考 え,こ

次 の2条

…,xn+yn)=ω(x1,……,xn)+ω(y1,… …,cxn)=cω(x1,…

形 式 ω は,ω(δj1,δj2,…

れ を1次

形 式 と い う.

…,yn),

…,xn),c∈A.

…,δjn)=aj∈Aと

ω(x1,x2,…

お

く こ と に よ り,斉1次

…,xn)=x1a1+x2a2+…

と し て 表 わ さ れ る.環Aは

可 換 で 単 位 元1を

の3条

れ をn次

件 を み た す と き,こ

の よ うな す べ て の組 の 集

件 を み た す と き,こ

式

…+xnan

も つ と す る.写

像det:End(n,A)→Aが

次

行 列 式 と い う.

  〔1〕  det(δij)=1   〔2〕  det(aij)は

各 行 に つ い て1次

  〔3〕  det(aij)に

お い て,2行

こ の3条

件 か ら,行

で 与 え ら れ る.こ

を 交 換 す れ ば 符 号 が 変 わ る.

列 式 は 一 意 的 に 定 ま り,

こ にsgnσ

の 符 号 を 表 わ し,和 ら容 易 に,関

形 式 で あ る.

は置換

Σ は す べ て の 置 換 σ∈SInに

の表示式 か

係式

が 成 立 す る こ と が わ か る.行

列 式 の条 件

〔2〕 に よ っ て,行

det(ajk)=aj1Aj1+aj2Aj2+… の 形 で 表 わ さ れ る.こ 第k列

つ い て 加 え る も の とす る.こ

こ に,Ajkは

要 素ajkの

の 要 素 を 含 ま な い こ と が わ か る.そ

が 成 立 す る.こ れ を 用 い れ ば,

列 式det(ajk)は

…+ajnAjn 余 因 数 と よ ば れ ,行

し て,行

列式 の展 開公式

列(ajk)の

第j行

お よび

  定 理2.10  元detα

単 位 元1を

∈Aが

も つ 整 域Aに

が 正 則 で あ る 条 件 はdetα

  2.3 

ベ ク

≠0で

も つ 環Aお

す な わ ち,2元u,υ 積au∈Mが

よ び 集 合Mに

∈Mに

定 め ら れ,次

の4条

列

α∈End(n,K)

の2つ

∈M,お

の 演 算 が 指 定 さ れ て い る と す る.

よ び,元a∈A,u∈Mに

対 し て,

件 が み た さ れ る とす る.

  〔M2〕 

1u=u,u∈M 

  〔M3〕 

a(u+υ)=au+aυ,(a+b)u=au+bu 

  〔M4〕 

(ab)u=a(bu) 

  集 合M上

お い て,次

対 し て,和u+υ

和 に 関 し て,Mは

ア ー ベ ル 群 で あ る. (単 位 法 則) (配 分 法 則) (左 結 合 法 則)

の 演 算 が こ の4条

件 で 規 定 さ れ る と き,MをA‐

左 加 群 と い う.ま

た,条

元u∈Mと

の 積 をua

件

の 代 わ りに,

  〔M4〕* 

(ab)u=b(au)

が み た さ れ る と き,MをA‐ と 書 く こ と に す れ ば,こ   〔M4〕* 

右 加 群 と い う.こ

u(ab)=(ua)b 

(右 結 合 法 則) 可 換 で あ れ ば,〔M4〕

右 ど ち ら で も 同 様 で あ る 場 合 に は,A‐   定 理2.11 

A‐ 加群Mに

(2) 

  証 明   定 理2.5と

と 〔M4〕*と

左 加 群 だ け を 扱 い,単

お い て,元a∈A,u∈Mに

0u=a0=0 

は 同 じ 法 則 を 与 え る.左

にA‐

ま っ た く 同 様 で あ る.す

0u=−au+au+0u=−au+(a+0)u=−au+au=0.

 

a0=−au+au+a0=−au+a(u+0)=−au+au=0.

対 し て,

な わ ち,

(−a)u+au=(−a+a)u=0u=0.ゆ

えに(−a)u=−au.

a(−u)+au=a(−u+u)=a0=0.ゆ

え にa(−u)=−au. 

のA‐

加 群M,M′

加 群 と い う.

(−a)u=a(−u)=−au

  (1) 

  (2) 

の 場 合,元a∈Aと

の法 則 は

と な っ て 便 利 で あ る.環Aが

  2つ

正 則 で あ る 条 件 は,

お い て,行

あ る.

  〔M1〕 

  (1) 

列 α∈End(n,A)が

く に 可 換 体Kに

ト ル

  単 位 元1を

〔M4〕

お い て,行

正 則 と な る こ と で あ る.と

の 間 の 写 像f:M→M′

(証 終)

が 与 え ら れ,

f(u+υ)=f(u)+f(υ),f(au)=af(u),a∈A, と な る と き,fを

加 群 の 準 同 型 と い う.こ

の と き,明

らか に

f(0)=0,f(−u)=−f(u) で あ る.準

同 型fが

単 射 で あ る と き,こ

こ れ を 加 群 の 全 射 と い う.さ

ら に 準 同 型fが

A‐ 加 群 に つ い て 考 察 す る と き,同   ア ー ベ ル 群Tの

型 な2つ

意 の 整 数m∈Zと

…+u(n個),0u=0 元u∈Tと

たfが

全 射 で あ る と き,

全 単 射 で あ る と き こ れ を 加 群 の 同 型 と い う. のA‐

演 算 を 和 で 表 わ し,元u∈Tと nu=u+…

と 定 め れ ば,任

れ を 加 群 の 単 射 と い い,ま

加 群 は 同 じ も の と 見 な し て よ い. 自 然数nに

対 し て,

,(−n)u=−nu の 積mu∈Tが

定 義 さ れ て,TはZ‐

加群 と

な る.す

な わ ち,任

意 の ア ー ベ ル 群 はZ‐

  一 般 に,環Aのn個

の 元 の 組(x1,x2,…

て の 組 の 集 合 をAnと   (1) 

(x1,…

  (2) 

a(x1,…

す る.2つ

考 え て,こ

の よ うな す べ

…,xn+yn)

…,axn),a∈A,

左 加 群 と な る.ま

…,xn)a=(x1a,…

で 定 義 す れ ば,AnはA‐ びA‐

…,yn)=(x1+y1,…

…,xn)=(ax1,…

(x1,…

…,xn),xj∈A,を

の演算 を

…,xn)+(y1,…

で 定 義 す れ ば,AnはA‐   (2)* 

加 群 と 見 な さ れ る.

た,(2)の

代 わ りに

…,xna)

右 加 群 と な る.と

く にn=1の

と き,環A自

身 はA‐

左 加群 お よ

右 加 群 と 見 な す こ と が で き る.

  と くに,体Kに い う.体Kが

対 す るK‐

加 群Vを

可 換 で な け れ ば,こ

体K上

ち ら で も 同 様 で あ る か ら,左

る と き,Vを

実 ベ ク トル 空 間.ま 体K上

ベ ク トル 空 間 だ け を 扱 う.体Kが

た 複 素 数 体Cで

の ベ ク トル 空 間Vに

あ れ ば,a=0か

ま た はu=0で

  証 明au=0と

す る.a=0で

の 元 を ベ ク トル と

の 場 合 も 左 ベ ク トル 空 間 と 右 ベ ク トル 空 間 と の 区 別 が 考

え ら れ る.ど

  定 理2.12 

の ベ ク トル 空 間 と い い,そ

あ る と き,Vを

実 数 体Rで

複 素 ベ ク トル 空 間 と い う.

お い て,元a∈K,u∈Vに

対 し てau=0で

あ る. あ れ ば そ れ で よ い.a≠0と

す れ ば,

u=1u=(a−1a)u=a−1(au)=a−10=0.    体K上 Kに う.こ

の ベ ク トル 空 間Vの

対 し てau+bυ の と き,Vに

空 間 と な る.と 体K上

部 分 集 合Wに

∈Wと

お い て,u,υ

な る と き,WをVの

間V自

の ベ ク トル 空 間Vの

身,あ

ベ ク トルυ1,υ2,…

結 合 の 集 合L(υ1,υ2,…

し て,ベ

れ をS,Tで

ベ ク トルυ1,υ2,… a1υ1+a2υ2+…

が 成 立 す る の はa1=a2=… で あ る と い う.そ い て は,第2章 る.そ

意 の 元a,b∈

ま たK上

の ベ ク トル

部 分 空 間 で あ る.

対 し て,

結 合 と い う.こ

部 分 空 間 を つ く る.こ の 部 分 空 間S,Tの

れ らのすべ て

れ を ベ ク トルυ1,υ2,…

交 集 合S∩Tは

また 部 分 空 間

ク トル の 集 合

も ま た 部 分 空 間 で あ る.こ  ベ ク トル 空 間Vの

…,υmに

…,υmの1次

…,υm)は

張 ら れ る 部 分 空 間 と い う.2つ

で あ る.そ

ら ば,任

…+amυm,aj∈K,

の 形 で つ く ら れ る ベ ク トルx∈Vをυ1,υ2,…

… ,υmで

∈Wな

線 形 部 分 空 間 あ る い は 単 に 部 分 空 間 とい

る い は 零 ベ ク トル た だ1つ{0}は

x=a1υ1+a2υ2+…

の1次

(証 終)

お い て す で に 定 義 さ れ て い る 演 算 に 関 し て,Wも

く に,空

あ

張 ら れ る 部 分 空 間 と い う. …,υmに

§2.2,§2.3に

の 証 明 も 同 様 で あ る が,ベ

関 係式

…+amυm=0,aj∈K,

…=am=0の

う で な い と き,1次

お い て,1次

場 合 に 限 る と き,こ 従 属 で あ る と い う.こ

お い て,射

れ ら の ベ ク トル は1次

の1次

独 立 性,1次

独 立

従属 性 につ

影 空 間 に 対 して 導 か れ た 結 果 が そ の ま ま成 立 す

ク トル の 場 合 に は,和

と 積 の 演 算 を 用 い る こ と が で き て,

記 述 が 多 少 簡 単 に な る.   定 理2.13 

ベ ク トル 空 間Vに

お い て,ベ

ク トルυ1,υ2,…

…,υmの

間 の1次

関 係式

が 成 立 す る た め の 条 件 は,ベ

ク トルυ1が

他 の ベ ク トルυ2,…

…,υmの1次

結合 とな る こ

と で あ る.   証 明   こ の1次

関 係 式 が 成 立 す る と き,a1≠0で υ1=−a1−1a2υ2−

と し て 与え ら れ る.逆 トル の 間 の1次

に

υ1が1次

あ る か ら,ベ

…

…

ク トルυ1は1次

結 合

−a1−1amυm

結 合υ1=a2υ2+…

…+amυmで

あ れ ば,こ

れ らのベ ク

関 係式

が 成 立 し て い る.    定 理2.14  r+1個 … …

(証 終)

ベ ク トル 空 間Vに

お い て,r個

の ベ ク トルυ1,υ2,… ,υrの1次

の ベ ク トルυ1,υ2,…

…,ur,uは1次

…,υrは1次

従 属 で あ る と す る .こ

独 立 で,

の と き,uは

υ1,υ2,

結 合 で あ る.

  証 明   ベ ク トル

υ1,… …,υr,uは1次

従 属 で あ る か ら,1次

関 係式

a1υ1+……+arυr+bu=0 が 成 立 し て,Aの

元a1,…

す れ ば,こ

関 係 式 はa1υ1+…

の1次

…,ar,bの

独 立 性 か ら,a1=…

…=ar=0で

あ る.定

ら,uはυ1,…

理2.13か

  ベ ク トル 空 間Vに us}が

な く と も1つ

…+arυr=0と

…,υrの1次

お い て,2通

は0で

な っ て,ベ

な け れ ば な ら な い.こ

な い.も

ク トルυ1,…

しb=0と …,υrの1次

れ は 仮 定 に 反 す る.ゆ

え にb≠0で

結 合 で あ る. 

(証 終)

り の ベ ク トル の 組{υ1,υ2,…

…,υr},{u1,u2,…

…,

あ っ て, L(υ1,υ2,…

で あ る と き,こ

…,υr)=L(u1,u2,…

…,us)

れ ら の 組 は た が い に 同 等 で あ る と い い,記 {υ1,υ2,…

で 表 わ す.こ

…,υr}∼{u1,u2,…

号 …,us}

の 関 係 は 明 ら か に 等 値 関 係 の 条 件 を み た す.

  定 理2.15 

ベ ク トル 空 間Vに

こ れ ら は い ず れ も 組{u1,u2,… … …

う ち,少

,um}の

中 の 適 当 なr個

お い て,r個

の ベ ク トルυ1,υ2,…

…,um}の1次

の ベ ク トル の 代 わ りに,ベ

え て 得 ら れ る 組 が も と の 組{u1,u2,…

…,υrは1次

結 合 で あ る と す る.こ

…,um}と

独 立 で,

の と き ,組{u1,u2,

ク トルυ1,υ2,…

…,υrを

いれか

同 等 で あ る よ う に で き る. (と り か え 定 理)

  証 明   数 学 的 帰 納 法 を 用 い る.ま 明 で あ る.そ

こ で,r−1個 {υ1,…

で あ る と 仮 定 す る.ベ 同 等 な 組 の1次   (1) 

ず,r=0の

の ベ ク トルυ1,… …,υr−1,ur,…

ク トルυrは

場 合 に は,何 …,υr−1を

い れ か え る こ と が で き て,

…,um}∼{u1,u2,…

組{u1,u2,…

もい れ か え な くて よい か ら 自

…,um}の1次

…,um} 結 合 で あ る か ら,こ

れ と

結 合

υr=a1υ1+…

と な る.も

し,ar=ar+1=…

な っ て,こ

れ は

…+ar−1ur−1+arur+…

υ1,υ2,…

…=am=0と …,υrの1次

…amum す れ ば,υrはυ1,……,υr−1の1次 独 立 性 に 反 す る.ゆ

え にr<mで

結合 と あ っ て,元ar,

ar+1,…

…,amの

う ち,少

し て よ い.1次 υr,ur+1,…   (2) 

関 係 式(1)に

は0で

な い.一

対 し て 定 理2.13を

…,um}の1次

般 性 を 失 な う こ と な く,ar≠0と

用 い る と,ベ

ク トルurは

組{υ1,…

…,

結合

ur=b1υ1+…

と な る.関  

な く と も1つ

…+brυr+br+1ur+1+…

係 式(1),(2)か

…+bmum

ら

{υ1,… …,υr,ur+1,…

…,um}∼{υ1,…

…,υr−1,ur,…

…,um}∼{u1,u2,…

…,um} (証 終)

  ベ ク トル 空 間Vの

部 分 空 間Wが

る と い わ れ る.と

く に,1次

有 限 個 の ベ ク トル で 張 ら れ る と き,Wは

独 立 な ベ ク トル の 組{e1,e2,… W=L(e1,e2,…

と な る と き,こ

の 組 をWの

  定 理2.16 

す れ ば,こ

理2.14を

…,umの

ク トル 空 間Vの

限 次 元 で あ れ ば,Vは も つ と き,rをLの

… …

い て,m個

中 か ら,1次

般 に,部

独 立 な 最 大 個 数 の ベ ク トル を と り 出

分 空 間Lがr個

次 元 と よ ん で,r=dimLで

表 わ す.と

…,υs}を

も て ば,と

ベ ク トル 空 間Vに

ルu1,u2,…

…,ukが

あ る と す る.こ

を と っ て,組{u1,…

理2.16に

…,ukと

す れ ば,Lは

元 で あ れ ば,dimL≦dimSで   定 理2.18 

れ らを た が い に 他 の

た が っ てr=sで

あ る. のベ ク ト

の ベ ク トルek+1,…

…,er

基 底 と な る よ う に で き る. と る.と

り か え 定 理 に よ っ て,こ

い れ かえ て 得 ら れ る 組 を あ ら た め て{u1,…

元 部 分 空 間Lに

基 底 と な る.2つ

の 基 底{e1,e2,

…uk,

し これ らが 独 立 で な け れ

よ り少 な い ベ ク トル か ら成 る 基 底 を と り 出 す こ と が で き る.

れ ら が 独 立 で あ れ ば,こ

こ れ ら はLの

当 なr−k個

…,er}を

い う 仮 定 に 反 す る.ゆ

  ベ ク トル 空 間Vのr次

定 め る.

含 ま れ る 独 立 なk個

こ れ ら の ベ ク トル で 張 ら れ る.も

よ っ て,r個

こ れ は,dinL=rと

な り,し

…,er}がLの

の 基 底{e1,e2,…

をu1,u2,…

…,er}と

際,Lが2組

元 部 分 空 間Lに

の と き,適

…,uk,ek+1,…

  証 明   部 分 空 間Lの1組 れ ら の 中 のk個

お い て,r次

身 が有

の ベ ク トル か ら 成 る 基 底 を

り か え 定 理 に よ っ て,こ

,r≦s,s≦rと

くにV自

く に,dim{0}=0と

次 元 は そ の 基 底 の と り方 に 関 係 な く定 ま る.実

  定 理2.17 

す る.こ

張 られ る

基 底 を と り 出 す こ と が で き る.

有 限 次 元 部 分 空 間 は 必 ず 基 底 を もつ.と

基 底 を も つ.一

,er},{υ1,υ2,…

ば,定

…,umで

(証 終)

一 部 分 と し て い れ か え る こ と が で き るか ら

ek+1,…

の ベ ク トルu1,u2,…

考 慮 す れ ば よ い. 

  し た が っ て,ベ

部 分 空 間Lの

…,er)

れ ら の ベ ク トル の 中 か らLの

  証 明   ベ ク トルu1,u2,… し,定

有 限次元 であ

存 在 し て,

基 底 と い う.

ベ ク トル 空 間Vにお

部 分 空 間 をLと

…,er}が

え に,こ

属 す るr個

れ ら はLの

ベ ク トル 空 間Vの2つ

こ に,等

基 底 で あ る. 

の ベ ク トル{e1,e2,…

基 底 と な る.ま

の 部 分 空 間L,Sに あ る.こ

れ ら はLの

た,こ

…,er}が

れ ら でLが

お い て,L⊂Sと

し,か

号 が 成 立 す る の はL=Sの

の 有 限 次 元 部 分 空 間S,Tに

(証 終) あ ると

張 ら れ れ ば, つSが

有 限次

場 合 に 限 る.

対 し て,

(次元 定理)   証 明   部 分 空 間S,T,S∩T,S∨Tの の 基 底{e1,e2,…

…,er}を

次 元 を そ れ ぞ れs,t,r,pと と れ ば,定

理2.17に

よ っ て,そ

す る.ま

れ ぞ れS,Tの

ず,S∩T 基 底

{e1,…

…,er,er+1,…

を つ く る こ と が で き る.こ

…es},{e1,…

の と き,部

…,er,υr+1,…

分 空 間S∨Tはs+t−r個

の ベ ク トル

e1,……,er,er+1,……es,υr+1,…

で 張 ら れ る.よ て,定

っ て,こ

れ に は,こ a1e1+…

が 成 り立 つ と す る.ベ

基 底 と な る こ と を 証 明 す れ ば,p=s+t−rと れ ら が 独 立 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.い

…+ases+br+1υr+1+…

あ る.よ

基 底 を 用 い て,1次

え に,1次

分 空間Tの

ク トルuは

…+a′rer

…,a′r=0,br+1=0,…

あ る.ゆ

え に,1次

…+btυt=0

分 空 間Sの

…,bt=0

関 係式

u=a1e1+…

…+ases=0

基 底 の 独 立 性 か ら, a1=0,…

と な る.す

な り,ベ

基 底 の 独 立 性 か ら,

っ て,u=0で

が 成 り立 つ.部

っ て,u∈S∩Tと

…+a′rer+br+1υr+1+…

a′=0,… と な る.よ

… … −btυt

関係式

u−u=a′1e1+… が 成 り 立 つ.部

な わ ち,s+t−r個

…,as=0

の ベ ク トルe1,…

…,es,υr+1,…

…,υtは1次

独立 で あ

る. 

(証 終)

  こ の 証 明 か ら,次 る.そ

関係 式

結 合

u=a′1e1+… で 表 わ さ れ る.ゆ

ま,1次

…+btυt=0

…+ases=−br+1υr+1−

の 形 か ら,u∈S,u∈Tで

部 分 空 間S∩Tの

な っ

ク トル u=a1e1+…

を と れ ば,こ

…,υt

れ ら がS∨Tの

理 は 成 立 す る.そ

…,υt}

し て,n次

元 定 理 はdim(S∩T)=0,す 元 ベ ク トル 空 間Vnの

元 部 分 空 間L*を   な お,部

な わ ち,S∩T={0}の 任 意 のr次

と れ ば,L∨L*=Vn,L∩L*={0}と

体K上

が 空 間Vnの

のn次

元 ベ ク トル 空 間Vnに

基 底 で あ る た め の 条 件 は,任

当 なn−r次

の 性 質 か ら 導 く こ と も で き る.

お い て,ベ

ク トル の 組{e1,e2,…

意 の ベ ク トルx∈Vnが1次

x=x1e1+x2e2+…

…+xnen, 

…en}

結 合

xj∈K,

意 的 に 表 わ され る こ とで あ る.

 証 明   まず,こ

の組 が 基 底 で あ る と し,ベ

と して 表 わ され た とす れ ば,1次

が 成 り立 つ.基

と な る.よ

場 合 に も成 立 す 対 し て,適

す る こ と が で き る.

分 空 間 の 基 底 や 次 元 に 関 す る 上 述 の 結 果 は,次

  定 理2.19 

と し て,一

元 部 分 空 間Lに

ク トルxが2通

りの1次

結合

関 係式

底 の 独 立 性 か ら,

っ てxは

一 意 的 に 表 わ さ れ る.逆 a1e1+a2e2+…

に,一

意 的 に 表 わ さ れ る と し,1次

…+anen=0

関 係式

が 成 り 立 つ と す れ ば,零

ベ ク トル0も

一意 的 に

0e1+0e2+… で 表 わ さ れ る は ず で あ る.よ enが

…+0en=0

っ てa1=a2=…

…=an=0と

な る.こ

…,

独 立 で あ る こ と を 示 し て い る. 

  体Kのn個

の 元 の 組(x1,x2,…

と す れ ば,演

…,xn)を

…,xn)+(y1,y2,…

a(x1,x2,…

の よ う な す べ て の 組 の 集 合 をKn

…,yn)=(x1+x2,y1+y2,…

体K上

お い て,基

のn次

で 表 わ す と き,元

…,xn+yn),

…,axn), 

a∈K,

元 ベ ク トル 空 間 と な る.一

底{e1,e2,…

…,en}を

x=x1e1+x2e2+…

き,写

考 え て,こ

…,xn)=(ax1,ax2,…

に よ っ て,Knは 空 間Vnに

(証 終)

算

(x1,x2,…

の 組(x1,x2,…

と り,ベ …+xnen, 

…,xn)を

般 に,体K上

のn次

元 ベ ク トル

ク トルx∈Vnを1次

結 合

xj∈K,

こ の 基 底 に 関 す るxの

成 分 と い う.こ

の と

像 f:Vn→Kn,f(x)=(x1,x2,…

は ベ ク トル 空 間 の 同 型 で あ る.す 間Knと

…xn),

な わ ち,1組

の 基 底 を と れ ば,Vnは

本 質 的 に ベ ク トル 空

同 じ も の と 考 え ら れ る.

  2.4  函

数

  こ こで,複

素 数 体Cの

元 を 簡 単 に 数 あ るい は 点 と よぶ.そ

合 あ る い は 点 集 合 と い う.数 集 合Dが い う.数xが Dを

れ はe1,e2,…

数 集 合Dに

と くに 実 数 体Rに

ら複 素 数 体Cへ

f:D→C,  数xの

複 素 函 数,あ

の 値 域 と い う.と

義 域Dが

が 実 数 集 合 で あ る と き,fを

f=cで

数fの

含 まれ る と き,こ れ を 実 数 集 合 と 変 数 とい い,

x∈D, 集 合Dを

そ の 定 義 域,像f(D)を

実 数 集 合 で あ る と き,fを

値 域f(D)が

号xを

実 変 数 函 数,ま

そ

た 値 域f(D)

し て,実 変 数 の実 数 値 函 数 を 簡 単 に 実 函

た だ1点c∈Cで

あ る と き,fを

定 数 と い い,

表 わ す.

  数 集 合D⊂Cに

対 し て,正

の実 数 α∈Rが

集 合Dは

有 界 で あ る とい う.さ

x<β(あ

る い は β<x),x∈D,で

あ る とい う.ま た,函

実 数 値 函 数f:D→R,D⊂C,に 数fは

  自然 数 列N⊂Rを f(n)=an∈C,n∈N,と

ら に,実

存 在 して,￨x￨<α,x∈D,で

数 集 合D⊂Rに

あ る と き,実

数f:D→C,D⊂C,の

定 義 され る.す な わ ち,値

と き,函

y=f(x)∈C, 

実 数 値 函 数 と い う.そ

数集

の写像

るい は 単 に 函 数 と い い,数

くに,定

数 とい う.な お,函

分 集 合D⊂Cを

属 す る任 意 の 点 で よい と考 え られ る と き,記

そ の 変 域 とい う.数 集 合Dか

を1変

し て,部

上 に(あ

域f(D)が

数 β∈Rが

上 に(あ

有 界 性 は そ の値 域f(D)の 有 界 の と き,函

つ い て は,値 るい は 下 に)有

数fは

域f(D)⊂Rが

存 在 して,

るい は 下 に)有 界 で 有界 性 に よ っ て

有 界 で あ る とい わ れ,さ

らに

上 に(あ

界の

る い は 下 に)有

界 で あ る とい わ れ る.

定 義 域 とす る函 数f:N→Cを お け ば,数

対 して,実

数 集 合Dは

あ る と き,数

列fと

数 列 また は 点 列 と い う.こ

は 可 算 の 点 を な らべ た もの

の と き,

a1,a2,… と 見 な さ れ る.こ デ ス 性(定

れ を 簡 単 に{an}で

理1.32)に

然 数 列{n}は

らば 必 ず

般 の 数 列f:N→Cに を 得 る.こ

の 数 列 で あ る,ア

上 に 有 界 で は な い.写 な る と き,γ

像

ル キ メ

γ:N→Nに

おい

を 部 分 自 然 数 列 と い う.一

の 部 分 自 然 数 列γ:N→Nを

と れ ば,数

列f° γ:N→C

部 分 列 と い う.

  実 変 数 函 数 の 定 義 域 と し て,区 属 す れ ば,こ

る.2つ

…

然 数 列{n}も1つ

γ(m)<γ(n)と

対 し て,1つ

れ を 数 列fの

x,yがIに

表 わ す.自

よ れ ば,自

て,m
…,an,…

間 が よ く用 い ら れ る.広

い 意 味 で の 区 間I⊂Rと

れ ら の 間 に あ る す べ て の 点 が ま たIに

の 実 数a,b∈R,a
は,2点

属 す る よ うな 実 数 集 合 で あ

対 し て,

閉区間 開区間

な ど は 区 間 で あ る.そ

の 他 の 区 間,〔a,b),(a,b〕,(a,∞),(−

意 味 も 上 に 準 じ て 明 ら か で あ ろ う.こ   実 数 値 函 数f:D→R,D⊂C,に f(a)≦f(x)),x∈D,で と い う.実

お い て,点a∈Dが あ る と き,実

す る.正

あ る と き,実

ら に こ の 条 件 で,等

る い は 強 減 小)で (強)単

数f(a)を

あ る と い う.実

調 で あ る と い う.実 の 実 数 δ>0が

な ら ばf(x)f(x))で

存 在 し て,f(x)≦f(a),(あ 函 数f(x)の

お い て,x2<x2な

f(x1)≧f(x2)),x1,x2∈D,で

函 数fはDに

函 数fはDに

加 ま た は(強)減

函 数f:D→R,D⊂R,に

る い は 減 小)で

小 で あ る と き ,fは

対 し て,点a∈Dが

与 え られ た と

る い はf(x)>f(a)),そ

し てa<xな

点aに

るい は

お い て 強 増 加(あ

と な る す べ て の 点x∈Dに

函 数fは

る い は 最 小 値)

お い て 増 加(あ

号 が 成 立 し な い と き,実 函 数fが(強)増

最 大 値(あ

るい は

ら ばf(x1)≦f(x2)(あ

存 在 し て,0<￨x−a￨<δ

あ る と き,実

∞,∞)の

こ に 記 号 ∞ は 無 限 大 と 読 む.

函 数f:D→R,D⊂R,に

あ る と い う.さ

∞,b),(−

対 し て,x
ら ばf(a)
お い て 強 増 加(あ

る い は 強 減 小)で

るいは あ る とい わ

れ る.

  函 数f(x)に お い て,f(−x)=f(x)で で あ る と き,fを 奇 函 数 とい う.数p≠0が 周 期 函 数 とい い,数pを に 対 し て,数kpも

あ る と き,fを 偶 函 数,ま 存 在 し て,f(x+p)=f(x)で

そ の 周 期 とい う.数pが

ま たfの

函 数fの

たf(−x)=−f(x) あ る と き,fを

周 期 で あれ ば,任

意 の 整 数k≠0

周 期 で あ る.

  数 集 合D⊂Cに 対 し て,点a∈Cが 与 え られ た とす る.任 意 の 正 の 実 数 ε>0に 対 して, 0<￨x−a￨<ε と な る点x∈Dが 必 ず 存 在 す る と き,点aを 数 集 合Dの 集 積 点 と い う.定 義 か ら明 ら か に,   定 理2.20  ￨x−a￨<ε

点aが

数 集 合Dの

とな るDの

点xが

  数 集 合D⊂Cの う.数a∈CがDの

集 積 点 で あ る た め の 条 件 は,任

す べ て の 集 積 点 の 集 合 をAと 閉 包Dに

意 の正数

ε>0に

対 して,

無 限 に 存 在 す る こ とで あ る.

属 す る条 件 は,任

し,和

集 合D=D∪AをDの

意 の正 数 ε>0に

閉 包 とい

対 し て,￨x−a￨<ε

と

な るDの Dを

点xが

必 ず 存 在 す る こ と で あ る.と

くに,D=D,す

な わ ちD⊃Aで

あ る と き,

閉 集 合 と い う.

  函 数f:D→C,D⊂C,に た とす る.任

対 して,定

意 の 正 数 ε>0に

義 域Dの

ば￨f(x)−b￨<ε

とな る と き,函 数fはx→aに

極 限 値 とい う.こ

の こ とを 記 号 的 に

と書 く.こ の 定 義 はaと

集 積 点a∈Aお

対 し て正 数 δ>0が

よび 数b∈Cが

与 え られ

存 在 し て,0<￨x−a￨<δ,x∈D,な

ら

お い て 点bに

異 な る点x∈Dを,差￨x−a￨が

収 束 す る と い い,bを

十 分 小 さ く(δ 以 内 に)な る よ う

に と り さえ す れ ば,差￨f(x)−b￨を

い くら で も小 さ く(ε 以 内 に)で

  実 変 数 函 数f:D→C,D⊂R,に

お い て,定 義 域Dは

と し,点b∈Cが a<x(あ

与 え られ た とす る.任

る い はx<−a),x∈D,な

る い はx→

− ∞)に

上 に(あ

意 の正 数 ε>0に

き る こ と を 意 味 す る.

る い は 下 に)有

対 し て 正 数 α>0が

ら ば￨f(x)−b￨<ε

お い て 点bに

その

と な る と き ,函

収 束 す る と い い,bを

界 で ない

存 在 し て,

数fはx→

∞(あ

そ の 極 限 値 とい う.こ の こ とを 記 号

的に あ るいは と書 く,ま た,実

数 値 函 数f:D→R,D⊂C,に

ら れ た とす る.任 意 の正 数 β>0に な ら ばf(x)>β(あ る と い い,こ

対 して,定

対 して 正 数 δ>0が

るい はf(x)<−

β)と な る と き,函

義 域Dの

集 積 点a∈Aが

与え

存 在 し て,0<￨x−a￨<δ,x∈D, 数f(x)はx→aに

お いて発散 す

の こ とを 記 号 的 に あ るいは

と書 く.さ ら に.実

函 数f:D→R,D⊂R,の

い と き,x→

る い はx→

∞(あ

− ∞)に

定 義 域Dが お い てfが

上 に(あ

る い は 下 に)有 界 で な

発 散 す る場 合 に つ い て も 同 様 に 定 義 さ

れ る.   函 数f:D→C,D⊂C,に てf￨f(x)−b￨<ε 函 数fの

対 し て 点b∈Cが

とな るDの

点xが

与え られ た とす る.任 意 の 正 数 ε>0に 対 し

無 限 に 存 在 す る と き,点bを

極 限 値 は 必 ず 集 積 点 で あ るが,そ

の逆 は い え な い.定

函 数fの 理2.20を

集 積 点 とい う. 考 慮 す れ ば,明

ら

か に,

  定 理2.21  点b∈Cが 函 数f:D→C,D⊂C,の の集 積 点 で あ るか,ま た はf(x)=bと な るDの   定 理2.22  点b∈Cが に 収 束 す る こ と で あ る.   定 理2.23 

数 列f:N→Cの

集 積 点 で あ る 条 件 は,そ

有 界 な 実 数 列 は 必 ず 集 積 点 を もつ. 

  証 明   実 数 列{an}は

有 界 α
す れ ば,実

数 体Rの

切 断(A,B)が

集 合 をAと

の 適 当 な 部 分 列 が 点b

(ワ イ エ ル シ ュ トラ ス の 定 理)

で あ る とす る.an<xと

限 個 しか 存 在 しな い よ うな す べ て の実 数xの 合 をBと

集 積 点 で あ る 条 件 は,点bが 値 域f(D) 点xが 無 限 に存 在 す る こ とで あ る.

な る 自然 数nが

し,Aに

定 ま り,そ

たか だか 有

属 さ な い す べ て の実 数 の集

の 境 界s∈Rが

存 在 す る.境 界

の 定 義 か ら,任 っ てsは

意 の正 数 ε>0に

数 列{an}の

対 し て￨an−s￨<ε

数 の 連 続 性 に つ い て 考 察 す る.函

属 す る 点aを

と る.任

意 の 正 数 ε>0に

な ら ば￨f(x)−f(a)￨<ε 定 義 域Dの

う.定 義 か ら,も

無 限 に存 在 す る.よ (証 終)

  こ こで,函

函 数fが

と な る 自然 数nが

集 積 点 で あ る. 

数f:D→C,D⊂C,に

対 し て 正 数 δ>0が

と な る と き,函 数fは

点aに

お い て,定

お い て 連 続 で あ る と い う.そ

す べ て の 点 に お い て 連 続 で あ る と き,fはDに し点a∈Dが

定 義 域Dの

義 域Dに

存 在 して,￨x−a￨<δ,x∈D,

集 積 点 で あ れ ば,函

し て,

お い て連 続 で あ る と い 数fが

点aに

お い て連 続 で

あ るため の条 件 は

と な る こ と で あ る.ま 点aに

た,も

し 点a∈Dが

定 義 域Dの

集 積 点 で な け れ ば,函

数fは

いつ も

お い て 連 続 で あ る.

  定 理2.24 

実 函 数f:D→R,D⊂R,が

点a∈Dに

f(a)
あ る と す る.こ

の と き,正

ら ばf(x)>k(あ

る い はf(x)
な る.

  証 明   ま ず,k=0,f(a)>0の 対 して正数

δ>0が

ε と し て と くに

存 在 し て,￨x−a￨<δ,x∈D,な

ε=f(a)/2を

と な っ て,k=0,f(a)>0の

続 性 の 定 義 か ら,任

理 は 成 立 す る.一

数g(x)=f(x)−k(あ

般 に,k≠0で,f(a)>k(あ

る い はg(x)=k−f(x))に

閉 区 間 〔a,b〕

にお い

∀x∈ 〔a,b〕,y∈R}

を と り,Bに

属 さ な い す べ て の実 数 の 集 合 を

Aと

数 体Rの

し て,実

をs∈Rと s=∞

切 断(A,B)の

す る.た

境 界

だ し,B=φ

と し て お く.こ

の と き,区

な ら ば 間 〔a,b〕

に 含 ま れ る 適 当 な 数 列{an},c≦an≦bを

と

っ て,

と な る よ うに で き る.定 っ て,数

列{an}の

るい つ い て上

の区 間に おい て 必 ず最大 値 お よび 最 小値 を

数集 合

  B={y￨f(x)
数

(証 終)

も つ.

て 連 続 と す る.実

と な る.正

ε=f(a)/2>0

閉 区 間 に お い て 連 続 な 函 数 は,こ

  証 明   函 数f(x)は

意 の 正 数 ε>0に

ら ば￨f(x)−f(a)￨<ε

の 結 果 を 適 用 す れ ば よ い.    定 理2.25 

るいは

存 在 し て,￨x−a￨<δ,x∈D,な

と れ ば,

場 合,定

場 合 に は,函

お い て 連 続 で,f(a)>k(あ

δ>0が

場 合 を 証 明 す る.連

f(x)>f(a)−

はf(a)
数

理2.22,2.23に

適 当 な 部 分 列{cn}を

よ と

付 図2.2

れ ば,こ

れ は収束 して

と な る.函

数f(x)は

連 続 で あ るか ら

と な り,必 ずs≠ ∞ で あ る.よ

っ て,函

数f(x)は

点cに

お い て 最 大 値sを

もつ.同

小 値 も存 在 す る.    定 理2.26 

(証 終)

有 界 か つ 単 調 な実 連 続 函 数 は 収 束 す る. 

  証 明   有 界 な実 連 続 函 数f:D→R,D⊂R,はDに 任 意 の集 積 点aを

を と り,Bに ら,実

(行 きづ ま りの 定 理) お い て 増 加 で あ る と し,定 義 域Dの

と る.実 数 集 合

属 さな い す べ て の実 数 の 集 合 をAと

数 体Rの

切 断(A,B)が

と な る.す

な わ ち 函 数fは

が 上 に(あ

るい は 下 に)有

定 ま る.そ

収 束 す る.函

の境 界 をbと

数fが

界 で な い と き,函

す れ ば,函

数fの

有 界 性 お よび 単 調 性 か

す れ ば,函

数fの

連 続性 か ら

減 小 の 場 合 も 同様 で あ る.ま

数fがx→

∞(あ

た,定

るい はx→

ば,函

実 函 数f(x)は

数f(x)は

義 域D

− ∞)に

収 束 す る こ と も同 様 で あ る.    定 理2.27 

様 に最

おい て

(証 終) 閉 区 間 〔a,b〕 に お い て 連 続 と し,か

こ の 区 間 内 で,2実

数f(a),f(b)の

つf(a)≠f(b)と

すれ

間 のす べ て の 値 を と る. (中 間 値 の 定 理)

  証 明  f(a)
し,f(a)
な る任 意 の実 数kを

を と り,Bに Aと

数集 合

属 さないすべ ての実 数 の集合 を

す れ ば,実

ま る.そ

と る.実

数 体Rの

の境 界 をcと

切 断(A,B)が

して,定

理2.24を

慮 す れ ば,f(c)=k,af(b)の

定 考

な る.な

場 合 も 同 様 で あ る. (証 終)

  定 理2.28 

閉区間 にお い て 強単 調 な 連 続

函 数 に は 逆 函 数 が 存 在 し て,そ れ も また 強 単 調 か つ 連 続 で あ る.   証 明   函 数f(x)は

閉 区 間 〔a,b〕 に お い

て 連 続 か つ 強 増 加 とす る.f(a)≦y≦f(b)と な る任 意 の実 数yを

付 図2.3 よ っ て,f(x)=yと 定 ま る.よ

っ て,逆

な る 点x∈

〔a,b〕

函 数x=f−1(y)が

が 存 在 し,f(x)の 定 ま る.こ

とれ ば,中

単 調 性 か ら,こ

れが 閉区 間

間値 の定 理に

のxは

〔f(a),f(b)〕

一意 的に にお いて連

続 か つ 強 増 加 で あ る こ とは 容 易 に 確 か め られ る.函

数f(x)が

強 減 小 の 場 合 も 同様 で あ る. (証 終)

  自然 数nを

と り,実 函 数y=xnを

が 偶 数 の と き,函 y>0,が

定 ま る.ま

と る.極

〔0,∞)に

た,nが

るか ら,逆 函 数 

  開 区 間I上

考 え る.こ れ は(−

数y=xnは

∞,∞)に

奇 数 の と き,函 数y=xnは(− − ∞
お い て 連 続 で あ る.n

お い て 強 増 加 で あ る か ら,逆 ∞,∞)に

定 ま る.こ れ らをyのn乗

で 定 義 され た 実 変 数 函 数f:I→C,

I⊂R,に

お い て,開

函 数  お い て強 増 加 で あ

根 とい う.

区 間Iに

属 す る点aを

限値

が 存 在 す る と き,函 激f(x)は 数 とい う.函 f(x)はIに

数f:I→Cが

点aに

お い て 微 分 可 能 で あ る とい い,極

定 義 域Iの

限 値 αを そ の 微 分 係

す べ て の 点 に お い て 微 分 可 能 で あ る と き,函

お い て 微 分 可 能 で あ る とい う.こ の と き,任 意 の点x∈Iに

f′(x)で 表 わ せ ば,函

数f′:I→Cが

は ま た 記 号df/dxで

表 わ され る.

  定 理2.29 

点aに

定 ま る.こ

れ をf(x)の

お い て 微 分 可 能 な函 数f(x)は

点aに

お け る微 分 係 数 を

導 函 数 とい う.導 函 数f′(x)

お い て 連 続 で あ る.

  証 明   微 分 係 数 の 定 義 か ら,任 意 の 正 数 ε>0に 対 し て 正 数 δ>0が

存 在 し て,0<￨h￨<δ

な らば ￨{f(a+h)−f(a)}/h− で あ る.よ

っ て,￨{f(a+h)−f(a)}−

で あ る.ゆ

え にf(x)は

  系  開 区 間Iに

点aに

  定 理2.30 

な るか ら,

お い て 連 続 で あ る. 

お い て 微 分 可 能 な 函数f(x)は

  導 函 数 の 定 義 か ら,容

α￨<ε

αh￨<ε￨h￨と

(証 終)

こ の 区 間 に お い て 連 続 で あ る.

易 に 次 の 公 式 が 成 り立 つ.

微 分 可 能 な 函 数f(x),g(x)に

  (1) 

(f+g)′=f′+g′

  (2) 

(fg)′=f′g+fg′

  (3) 

f=c(定

数)と

  (4) 

f=xと

す れ ば,f′=1.

  (5) 

(f°g)′=(f°g)g′

つ い て,

す れ ば,f′=0.

  系  微 分 可 能 な 函 数 に つ い て,   (6) 

定 数cに

対 し て,(cf)′=cf′.

  (7) 

g(x)≠0の

と き,(f/g)′=(f′g−fg′)/g2.

  (8) 

y=f(x)の

逆 函 数x=g(y)に

  な お,公   (9) 

式(1)∼(4)か

ら,数

(xn)′=nxn−1,(n∈N,n>2),

対 し て,g′(y)=1/f′(x). 学 的 帰 納 法 を 用 い て,公

数

式

が 得 ら れ る.さ つ い て は,あ

ら に,公

式(8)を

用 い て,n乗

と で も っ と 一 般 的 に 扱 わ れ る(定 f(x)=a0+a1x+a2x2+…

を 整 式 ま た は 多 項 式 と い う.こ (1),(6),(9)か f(x)/g(x)を

れ は

有 理 式 と い う.こ

ら ば,f(x)は

の 導 函 数 が 求 め ら れ る.こ

理2.51).函

− ∞<x<∞ ら に,2つ

れ はg(x)=0と

れ らに

数

…+anxn, 

ら 求 め ら れ る.さ

は 公 式(7)を   定 理2.31 

根 

aj∈C,  n∈N,

に お い て 微 分 可 能 で,そ

の導函 数 は公式

の 整 式f(x),g(x)に

対 し て,函

な る 点 を 除 い て 微 分 可 能 で,そ

数

の導函 数

用 い て 求 め ら れ る. 実 函 数f(x)が 点aに

点aに

お い て 強 増 加(あ

  証 明   微 分 係 数 の 定 義 か ら,任

お い て 微 分 可 能 で,f′(a)>0(あ る い は 強 減 小)で

意 の 正 数 ε>0に

る い はf′(a)<0)な

あ る.

対 し て 正 数 δ>0が

存 在 し て,0<￨h￨<δ

な らば ￨{f(a+h)−f(a)}/h−f′(a)￨<ε と な る.よ

っ て,正

とf′(a)と そ し てh<0な る.同

数 ε と し て0<ε<￨f′(a)￨と

は 同 符 号 で あ る.し ら ばf(a+h)
様 に,f′(a)<0の

す る.こ

閉区 間

の と き,す

ば,f(x)は   定 理2.32 

〔a,b〕

点aに

〔a,b〕

実 函 数f(x)は

な わ ち,f(x)は

ら ばf(a+h)>f(a), 点aに

の と き,f(a)=f(b)な

(証 終)

区 間(a,b)に

対 し て,f′(x)>0(あ

〔a,b〕

お いて強 増 加 で あ

お い て 強 減 小 で あ る. 

に お い て 強 増 加(あ 閉区 間

と き,h>0な

に お い て 連 続 で,開

べ て の 点x∈(a,b)に

閉区 間

分 可 能 と す る.こ

あ る.す

と き,f(x)は

  系  実 函 数f(x)は

な る も の を と れ ば,{f(a+h)−f(a)}/h

た が っ て,f′(a)>0の

る い は 強 減 小)で

区 間(a,b)に

おい て微

な る 点c∈(a,b)が

存 在 す

る.    証 明  閉区 間

ら

あ る.

に お い て 連 続 で,開

ら ば,f′(c)=0と

おい て微 分可能 と る い はf′(x)<0)な

(ロ ー ル の 定 理) 〔a,b〕

に お い て,f(x)=k(定

数)な

ら ば,す

べ て の 点x∈(a,b)に

い てf′(x)=0で

あ るか ら,も

は 成 立 す る.そ こで,f(x)は

お

ちろん定 理

定 数 で な い とす

れ ば,f(x)>f(a)(あ

るい はf(x)
と な る点x∈(a,b)が

存 在 す る.定 理2.25

に よ っ て,函

数f(x)が

最 大(あ る い は 最 小)

とな る点c∈(a,b)が

存 在 す る.最 大 値(あ

るい は 最 小 値)f(c)に

つ い て定 理2.31を

慮 す れ ば,f′(c)=0で

考

な け れ ば な ら な い. (証 終)

  定 理2.33  付 図2.4

分 可 能 と す る.こ

の と き,

実 函 数f(x)は

に お い て 連 続 で,開

閉 区 間 〔a,b〕

区 間(a,b)に

おいて微

と な る 点cが

存 在 す る.

 証 明 函 数 g(x)=f(x)−f(a) −(x−a){f(b)−f(a)}/(b−a) に つ い て,ロ

ー ル の 定 理 を 適 用 す れ ば よ い. (証 終)

  定 理2.34 

実 函 数f(x)は

に お い て 連 続 で,開 微 分 可 能 と す る.こ x,x+h∈

閉 区間

〔a,b〕

区 間(a,b)に の と き,任

〔a,b〕

お い て 意 の2点

に 対 し て,

付 図2.5

f(x+h)=f(x)+hf′(x+θh),0<θ<1, と な る 正 数 θ が 存 在 す る.    証 明  閉区 間

(平 均 値 の 定 理)

〔x,x+h〕

あ るいは

〔x+h,x〕

に 対 し て,定

理2.33を

適 用 す れ ば よ い. (証 終)

  定 理2.35 

実 函 数f(x)は

閉区間

〔a,b〕

分 可 能 と す る.こ

の と き,す

は閉 区間

に お い て 定 数 で あ る.

〔a,b〕

に お い て 連 続 で,開

べ て の 点x∈(a,b)に

  証 明   平 均 値 の 定 理 か ら,任

意 の 点x∈

区 間(a,b)に

お い てf′(x)=0な

〔a,b〕

おい て微

ら ば,函

数f(x)

に 対 し て,

f(x)=f(a)+(x−a)f′(c),a
存 在 す る.仮

定 に よ りf′(c)=0で

あ る か ら,f(x)=f(a)(定

数)と

な る. (証 終)

  2.5  三 角 函 数   実 函 数F(x),G(x)は

− ∞<x<∞

に お い て 微 分 可 能 で,次

の2条

件 が み た され る と

す る.   〔1〕   F′(x)=−G(x),G′(x)=F(x).   〔2〕  F(0)=1,G(0)=0. こ の2条

件 で 規 定 さ れ る 函 数 を 三 角 函 数 と い い,そ F(x)=cosx, 

で 表 わ す.こ

れぞ れ

G(x)=sinx

の よ う な 函 数 の 存 在 お よ び 一 意 性 は 問 題 で あ る が,こ

て 実 際 に そ の 表 示 式 を 見 せ る こ と が で き る の で,こ す ぐ あ と で 証 明 さ れ る(定

理2.37).

  実 函 数f(x),g(x)は

− ∞<x<∞

れ らは 級 数 や 積 分 を 用 い

こ で は そ の 存 在 を 認 め て お く.一

意性 は

に お い て微 分 可 能 で 条 件

  〔1〕 f′(x)=−g(x),g′(x)=f(x) が み た さ れ る と 函 数 の 組(f,g)を   定 理2.36 

円 系(f,g)に

円 系 と よ ぶ.三

角 函 数(F,G)は1組

お い て,f(0)=a,g(0)=bと

f(x)2+g(x)2=a2+b2(定   証 明   (f2+g2)′=2ff′+2gg′=2(−fg+gf)=0で

数),−

の 円 系 で あ る.

お け ば, ∞<x<∞. あ る か ら,定

理2.35に

よ っ て,函

数f(x)2+g(x)2は

− ∞<x<∞

に お い て 定 数 で あ る.と

くにx=0に

お け る値 を 用 い

て, f(x)2+g(x)2=f(0)2+g(0)2=a2+b2.    こ の 定 理 に お い て,と

くに,a=1,b=0と

(証 終)

す れ ば,

  系  cos2x+sin2x=1.   定 理2.37 

三 角 函 数cosx,sinxは

て,f(0)=a,g(0)=bと

一 意 的 で あ る.一

な る 円 系(f,g)は

般 に,任

意 の 実 数a,bに

一意 的 に 定 ま り,そ

f(x)=acosx−bsinx, 

対 し

れは

g(x)=bcosx+asinx

で 与 え ら れ る.   証 明   2組

の 円 系(f,g),(f*,g*)に

お い て,

f(0)=f*(0)=a,  と す る.こ

g(0)=g*(0)=b

の と き,f0=f−f*,g0=g−g*と

もf0(0)=0,g0(0)=0で な る.f0,g0は

お け ば,(f0,g0)も

あ る.定

理2.36に

よ っ て,f02+g02=02+02=0(定

実 函 数 で あ る か ら,f0=0,g0=0,す

意 性 が 証 明 さ れ た.と

得 ら れ る.ま

た,任

て,円

か もf*(0)=a,g*(0)=bで

お い て,f(0)=a,g(0)=bで

f=f*,g=g*で

一 意性 が

g*=bcosx+asinx

た し か に 円 系 と な り,し

系(f,g)に

場 合,cosx,sinxの

対 し て,

f*=acosx−bsinx,  と お け ば,(f*,g*)は

数)と

∞<x<∞,

くに,a=1,b=0の

意 の 実 数a,bに

あ れ ば,一

あ る.よ

意 性 か ら,こ

任 意 の 実 数x,yに

っ

の 円 系 は

与 え ら れ る. 

  定 理2.38 

か

なわ ち

f(x)=f*(x),g(x)=g*(x),− と な っ て,一

ま た 円 系 と な り,し

(証 終) 対 し て,

cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny, sin(x+y)=cosxsiny+sinxcosy    証 明   実 数yを

固 定 し て,変数xの

函 数

f(x)=cos(x+y),  を 考 え れ ば,f′=−g,g′=fと

(加 法 定 理)

g(x)=sin(x+y)

な り,(f,g)は

円 系 で あ る.定

理2.37に

よ っ て,一

意

的 に f=acosx−bsinx,  の 形 で 与 え ら れ る.こ

こ に, a=f(0)=cosy, 

で あ る か ら,定   定 理2.39 

任 意 の 実 数xに

な わ ち,cosxは

(証 終)

対 し て,

偶 函 数,sinxは

  証 明  f=cos(−x),g=−sin(−x)と もf(0)=1,g(0)=0で

b=g(0)=siny

理 は 成 立 す る. 

cos(−x)=cosx,  と な る.す

g=bcosx+asinx

あ る.一

sin(−x)=−sinx 奇 函 数 で あ る. お け ば,(f,g)は

意 性 か ら,f=cosx,g=sinxと

た し か に 円 系 と な り,し な る. 

(証 終)

か

  定 理2.40 

函 数cosxに

対 し て,cosρ=0と

な る 正 の 実 数 ρ が 存 在 す る.

  証 明   こ の よ うな 正 数 ρが 存 在 し な い と仮 定 す る.F(x)=cosx,G(x)=sinxと ば,F(0)=1>0,か と な る.こ

つF(x)は

の と き,G′(x)=F(x)>0で

G(0)=0で

な る.よ

お い て 強 減 小 で あ る.ま

てF(x),G(x)は

お い て 強 増 加 で あ る.

っ て,F′(x)=−G(x)<0と

理2.36系

有 界 で あ る.定

と な る実 数

α,β

が 存 在 す る.そ

を と れ ば,α2+β2=1が

と な る.よ

理2.26に

成 り立 つ.一

方,平

っ て,F′=−G,G′=Fを −hβ,β=β+hα

α2+β2=1に

と よ ぶ.加

収 束 す る.す

対 し て,x→

均 値 の 定 理 か ら,実

考 慮 し て,x→ と な る.h≠0で

矛 盾 す る.ゆ

  そ こ で,cosρ=0と

式F2+G2=1に

∞

数h≠0を

な る正数

な る 正 数 ρ の う ち で,最

な わ ち, な わ ち,

に お け る極 限 と れ ば,

∞ に お け る 極 限 を と れ ば,そ

あ る か ら,β=0,α=0と

え に,cosρ=0と

し

あ る.す

よ っ てF(x),G(x)は

こ で,公

な り,

に よ っ て,F2+G2=1,そ

実 函 数 で あ る か ら,−1≦F(x)≦1,−1≦G(x)≦1で

F(x),G(x)は

α=α

た,定

おけ

間 値 の 定 理 に よ っ て,F(x)>0,x≧0,

あ る か ら,G(x)はx≧0に

あ る か ら,G(x)>0,x>0,と

F(x)はx>0に

れ

連 続 で あ る か ら,中

ρ>0が

な る.こ

存 在 す る. 

小 の も の を π/2と

れ ぞ れ は,

(証 終)

お い て,実

数 πを 円周 率

を 周 期 と す る 周 期 函 数 で あ る.い

ま までの考察

法 定 理 を 用 い れ ば 明 ら か に,

  定 理2.41 

三 角 函 数cosx,sinxに

お い て,

  (1)   (2)   (3)   定 理2.42 

任 意 の 実 数xに

対 し て,

 (4)   (5) 

cos(x+2π)=cosx,sin(x+2π)=sinx.

  す な わ ち,cosx,sinxは

ど ち ら も2π

か ら 明 ら か に,   定 理2.43 

三 角 函 数cosθ,sinθ

  (6) 

は0<θ<π

cosθ

て,cos0=1は  (7) 

  し た が っ て,定

− π/2<θ<π/2に

し て,sin(− 理2.28か

θ=(cos)−1x,−1≦x≦1,が そ の逆 函 数

に お い て 強 減 小,ま 最 大 値,cosπ=−1は

sinθ は あ る.そ

に つ い て, に お い て 強 増 加 で あ る.そ

し

最 小 値 で あ る. た

π/2<θ<3π/2に

最 小 値,sin(π/2)=1は

数x=cosθ,0≦

定 ま る.ま

θ=(sin)−1x,−1≦x≦1,が

π<θ<2π

お い て 強 増 加,ま

π/2)=−1は ら,函

た

た,函

θ≦ π,に

数x=sinθ,−

定 ま る.こ

おい て 強減 小 で

最 大 値 で あ る. 対 し て,そ π/2<θ<π/2,に

れ ら を 逆 三 角 函 数 と い う.

の 逆 函 数 対 し て,

  2.6  指 数 函 数   実 函 数F(x)は

− ∞<x<∞

に お い て 微 分 可 能 で,次

  〔1〕  F′(x)=F(x), 〔2〕  こ の2条

の2条

件 が み た され る とす る.

F(0)=1.

件 で 規 定 され る函 数 を 指 数 函 数 とい い, F(x)=expx

で 表 わ す.こ

こ で は,こ

の函 数 の 存 在 を 認 め て お く.一 意 性 は す ぐあ とで 証 明 され る(定 理

2.45).   実 函 数f(x)は

− ∞<x<∞

に お い て 微 分 可 能 で,条

件

  〔1〕 f′(x)=f(x) が み た され る と き,函 数f(x)を   定 理2.44 

指 数 系f(x)に

指 数 系 と よぶ.指

数 函 数Fは1つ

おい て,f(0)=aと

おけ ば,

f(x)f(−x)=a2(定   証 明  f*(x)=f(−x)と

の指 数 系 で あ る.

数),−

お け ば,f*′=−f*で

∞<x<∞.

あ る.そ

し て,

(ff*)′=f′f*+ff′*=ff*−ff*=0 で あ る か ら,定 る.と

理2.35に

く にx=0に

よ っ て,函

数f(x)f(−x)は

− ∞<x<∞

に おい て定数 で あ

お け る 値 を 用 い て, f(x)f(−x)=f(0)f(0)=a2. 

 こ の 定 理 に お い て,と

くに,a=1と

  系1. 

expx・exp(−x)=1.

  系2. 

指 数 系f(x)に

(証 終)

す れ ば,

お い て,f(0)≠0な

ら ば,す

べ て の 実 数xに

対 し て,f(x)≠0

で あ る.   定 理2.45 

指 数 函 数expxは

と な る 指 数 系f(x)は   証 明   2つ

一 意 的 で あ る.一

一 意 的 に 定 ま り,そ

の 指 数 系f,Fに

般 に,任

意 の 実 数aに

れ はf(x)=aexpxで

対 し て,f(0)=a

与 え ら れ る.

お い て,f(0)=a,F(0)=1と

す る.こ

の と き,

(f/F)′=(f′F−fF′)/F2=(fF−fF)/F2=0 で あ る か ら,定 る.と

理2.35に

くにx=0に

よ っ て,函

数f(x)/F(x)は

− ∞<x<∞

お け る 値 を 用 い て, f(x)/F(x)=f(0)/F(0)=a, 

と な る.ゆ

に おい て 定 数 で あ

え に,f(x)=aF(x)で

あ る.と

性 が 得 ら れ る.そ

し て,任

意 の 実 数aに

もaexp0=aで

あ る か ら,f(0)=aと

− ∞<x<∞, く に,a=1の

対 し て,函

数aexpxは

な る 指 数 系f(x)は

場 合,指

数 函 数expxの

た し か に 指 数 系 で,し 一 意 的 にf=aexpxで

(証 終) 任 意 の 実 数x,yに

対 し て, exp(x+y)=expx・expy 

  証 明   実 数yを

固 定 し て,変

り,函

指 数 系 で あ る.よ

数f(x)は

に,a=f(0)=expyで

か 与 え

ら れ る.    定 理2.46 

一 意

数xの

あ る か ら,定

函 数f(x)=exp(x+y)を っ て,一

意 的 にf=aexpxの

理 は 成 立 す る. 

(指 数 法 則) 考 え れ ば,f′=fと

な

形 で 与 え ら れ る.こ (証 終)

こ

  定 理2.47 

指 数 函 数expxに

  (1) 

expx>0,−

  (2) 

expxは

お い て,

∞<x<∞. − ∞<x<∞

に お い て 強 増 加 で あ る.

  (3)

  証 明   (1)  で あ る.ま

F(x)=expxと

お く.定

た,F(0)=1>0,か

F(x)>0,−

∞<x<∞,で

  (2) 

F′(x)=F(x)>0で

  (3) 

も し,F(x)が

理2.44系2に

つF(x)は

よ っ てF(x)≠0,−

連 続 で あ る か ら,中

∞<x<∞,

間 値 の 定 理 に よ っ て,

あ る. あ る か ら,F(x)は

− ∞<x<∞

有 界 で あ る と す れ ば,定

理2.26に

に お い て 強 増 加 で あ る. よ っ てF(x)は

収 束 す る.す

な わ ち,

と な る 実 数 αが 存 在 す る.そ あ る.一

方,平

し て,F(0)=1,か

均 値 の 定 理 か ら,実

つF(x)は

数h≠0を

と れ ば,

F(x+h)=F(x)+hF′(x+θh),  と な る.よ

っ て,F′=Fを

h≠0で

あ る か ら,α=0と

い.さ

ら に,F(x)F(−x)=1を

0<θ<1,

考 慮 し て,x→

∞

な る.こ

α>1に

れは

強 増 加 で あ る か ら,α>1で

に お け る 極 限 を とれ ば,α=α+hα 矛 盾 す る.ゆ

え に ,F(x)は

と な る. 有 界で はな

考 慮 す れ ば,

(証 終)   し た が っ て,定

理2.28か

t=logx,0<x<∞,が あ る.ま

た,明

  定 理2.48 

ら,指 定 ま る.こ

数 函 数x=expt,−

∞
れ を 対 数 函 数 と い う.定

対 してそ の逆函 数

義 か ら,と

く にlog1=0で

ら か に, 対 数 函 数logxに

  (1) 

(logx)′=1/x,0<x<∞.

  (2) 

logxは0<x<∞

つ い て,

に お い て 強 増 加 で あ る.

 (3)   定 理2.49 

任 意 の 正 の 実 数x,yに

対 し て, logxy=logx+logy 

  こ の 定 理 か ら,と

く に,公

(対 数 法 則)

式 log(1/x)=−logx

が 成 立 す る.い

ま,正

の 実 数a>0を

と り,一

ax=exp(xloga),− で 定 義 す る.こ

の と き,と

くに,a0=1,a1=aで

  定 理2.50 

一 般 の 指 数 函 数axに

 

(1) 

(ax)′=axloga,−

(2) 

logax=xloga.

 

つ い て, ∞<x<∞,

般 の指 数 函数 を ∞<x<∞, あ る.ま

た,明

ら か に,

  定 理2.51 

任 意 の 実 数x,yに

対 し て,ax+y=axay 

(指 数 法 則)

  証 明   ax+y=exp{(x+y)loga}=exp(xloga+yloga)  

=exp(xloga)・exp(yloga)=axay. 

  こ の 定 理 か ら,と

くに,公

(証 終)

式 axa−x=1

が 成 立 す る.ま

た,自

然 数nに

an=aa…

で あ る.い

ま,exp1=eと

ら,e>1と

な る.実

対 して

…a, 

お く.指 数eは

  a−n=1/an,

(n個),

数 函 数expxは

自 然 対 数 の 底 と よ ば れ る.定 expx=ex, 

で あ る.な

お,任

  定 理2.52 

あ るか

義 か ら 明 ら か に,

数xα,0<x<∞,が

定 義 さ れ る.こ

の と き,

に つ い て, (xα)′=αxα

  証 明  f=xα

つexp0=1で

loge=1

意 の 実 数 α に 対 し て,函

函 数xα

強 増 加 で,か

−1,0<x<∞.

と お け ば,logf=αlogxで

あ る.こ

れ をxで

微 分 す れ ば,(1/f)f′=α/x

と な る か ら, f′=αf/x=αxα/x=αxα

  実 函 数H(x),K(x)は

−∞<x<∞

−1. 

に お い て 微 分 可 能 で,次

(証 終)

の2条

件 が み た され る と

す る.   〔1〕  H′(x)=K(x),K′(x)=H(x).   〔2〕   H(0)=1,K(0)=0.   こ の2条

件 で 規 定 さ れ る 函 数 を 双 曲 函 数 と い い,そ H(x)=coshx, 

で 表 わ す.以 る.し

下,三

か し,双

れ ぞれ

K(x)=sinhx

角 函 数 を 決 定 した と き と ま っ た く同 様 に 双 曲函 数 を 決 定 す る こ とが で き

曲 函 数 は 指 数 函 数 を 用 い て 表 わ さ れ る の で,も

つ と簡 単 に 扱 う こ と が で き

る.   定 理2.53 

cosh2x−sinh2x=1.

  証 明   双 曲 函 数H(x),K(x)に

お い て,

(H2−K2)′=2HH′ で あ る か ら,定 あ る.と

理2.35に

く にx=0に

よ っ て,函

−2KK′=2(HK−KH)=0 数H(x)2−K(x)2は

−∞<x<∞

お け る値 を 用 い て, H(x)2−K(x)2=H(0)2−K(0)2=12−02=1. 

  定 理2.54 

に おい て定 数 で

双 曲 函 数coshx,sinhxは

(証 終)

一意 的 に

で 与 え られ る.   証 明   双 曲 函 数H(x),K(x)に

対 し て,F=H+Kと

お け ば,

F′=H′+K′=K+H=F,  で あ る か ら,指

F(0)=H(0)+K(0)=1

数 函 数 の 一 意 性 に よ っ て,F=H+K=exで

あ る.一

方,定

理2.53に

よ

っ て, (H−K)ex=(H−K)(H+K)=H2−K2=1 で あ る か ら,H−K=1/ex=e−xと

な る.ゆ

え に,

H=(ex+e−x)/2,    こ の 定 理 か ら,容   定 理2.55 

k=(ex−e−x)/2. 

(証 終)

易 に 次 の 公 式 が 導 か れ る.

任 意 の 実 数x,yに

対 し て,

cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy

,

sinh(x+y)=coshxsinhy+sinhxcoshy    定 理2.56 

任 意 の 実 数xに

対 し て,

cosh(−x)=coshx,  と な る.す

な わ ち,coshxは

  定 理2.57    (1) 

偶 函 数,sinhxは

coshxはx<0に

 (2) 

sinh(−x)=−sinhx

双 曲 函 数coshx,sinhxに

奇 函 数 で あ る.

つ い て,

お い て 強 減 小,ま

cosh0=1は

(加 法 定 理)

た0<xに

お い て 強 増 加 で あ る.そ

し て,

最 小 値 で あ る.

sinhxは

− ∞<x<∞

に お い て 強 増 加 で あ っ て,sinh0=0で

あ る.

 (3)  (4)   し た が っ て,定 が 定 ま る.ま

理2.28か

た,函

ら,函

数x=sinhtの

  任 意 の 複 素 数z∈Cは2つ

意 的 に 表 わ され る.複

で あ っ て,r=0と 限 る.ま

∞<x<∞,が

用 い て,z=x+iy, 

絶 対 値 をr∈Rと

ときに

y=rsinθ

定 ま る.こ

れ を 複 素 数zの

表 わ す.た は 周 期2π

意 の 整数kに

だ し,三

の周 期 函 数 で あ

対 し て,θ

と θ+2kπ

と は 同 じ 偏 角 を 与 え る も の と 考 え て よ い.記

号

を 簡 単 に す る た め,

と 書 く こ と に す る.明

ら か に,￨eiθ￨=1と

な

定 ま る.

の形 で一

す れ ば,

あ る か ら,

偏 角 と い い,θ=argzで

る か ら,任

の 実 数x,y∈Rを

な る の はz=0の

x=rcosθ, 

角 函 数cosθ,sinθ

逆 函 数t=±(cosh)−1x,1≦x<∞,

逆 函 数t=(sinh)−1x,−

素 数zの

た,x2+y2=r2で

と な る 実 数 θ∈Rが

数x=coshtの

付 図2.6

る.そ

し て,

で あ る.任

意 の 複 素 数z∈Cは

され る.こ

れ を 複 素 数 の 極 表 示 とい う.

  定 理2.58 

そ の 絶 対 値rお

よび 偏 角 θを 用 い て,z=reiθ

の形 で表わ

任 意 の 実 数 θ,φ に 対 し て, (ド ・モ ア ブ ル の 定 理)

 証 明 (証 終)   こ の 定 理 か ら,と

くに,公

式 eiθe−iθ=1

が 成 立 す る.い

ま,複

素 数 体Cを

変 域 とす る複 素 指 数 函 数 を

ez=exeiy,  で 定 義 す る.明 数 に 一 致 す る.ま る.と

ら か に,変 た,任

数zの

z=x+iy∈C, 

値 が と く に 実 数 で あ れ ば,ezは

意 の 複 素 数z,w∈Cに

く に,eze−z=1,ez+2πi=ezと

  複 素 指 数 函 数z=ew,w∈C,に

と お け ば,reiθ=ew=eueiυ

対 し て,指

な る.す

な わ ち,ezは

れ ゆ え,複

数 法 則ez+w=ezewが 周 期2πiの

成立 す

周 期 函 数 で あ る.

で あ る か ら,

素 指 数 函 数z=ewの

で 定 義 す る こ とが で き る.こ 数zの

す で に 定 義 され た 実 指 数 函

対 し て,

u=logr, υ=θ+2kπ(kは と な る.そ

x,y∈R,

任 意 の 整 数) 逆 函 数 と し て,複

れ は 多 価 函 数 で あ っ て,±2kπiを

値 が 正 の 実 数 で あ る と き に 限 り,logzは

に定 義 され た 実 対 数 函 数 の 値 に 一 致 す る.

素 対 数 函 数w=logzを

除 い て 定 ま る.そ

実 数 値 を と る こ とが で き て,そ

し て,変 の値 はす で

参   本 書 の 付 録1,2は

考

数 学 全 般 に 対 す る 基 礎 概 念 で あ る.詳

を 参 照 され た い.と

くに 密 接 に 関 連 す る も の は

  松 村 英 之:集

合

  菅 原 正 博:位  永 尾

相

汎:群

論 へ

論

入

門

入

門

基

礎

の の

  永 田 雅 宜:抽

象 代 数へ の 入 門

  小 松 醇 郎:ベ

ク トル 空 間 へ の 入 門

  奥 川 光 太 郎:線

形 代 数 学 入 門

で あ る.幾

書

何 学 の文 献 とい え ば,ま

ず 挙 げ るべ き も の は,ユ

し くは こ の シ リー ズ の 他 の 著 書

ー ク リ ッ ドの 原 本,全13巻

,

で あ ろ う.こ れ に は 解 説 つ き の英 訳   T.L.Heath:The

thirteen books

of Euclid's Elements,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ.Dover,New

York,

1956. が 出 版 さ れ て い る.ユ

ー ク リ ッ ド幾 何 の 完 全 な 公 理 系 は

  D.Hilbert:Grundlagen

der

Geometrie.初

で 与 え ら れ た も の が 基 準 と さ れ て い る.こ   ヒ ル ベ ル ト:幾 が あ る.変

何 学 基 礎 論.中

版1899,第7版,1930. の邦 訳

村 幸 四 郎 訳,弘

文 堂,1943.

換 群 の 立 場 か ら 古 典 幾 何 学 を 統 一 す る 原 理 を 示 し た の は ク ラ イ ン で あ る.そ

  F.Klein:Vergleichende

Betrachtungen uber

neuere

geometrishe

れ は

Forschungen.Math.

Ann.43(1893). に 載 せ ら れ て い る.そ

れ 以 前 の リー マ ン の 名 講 演

  B.Riemann:Uber

die Hypothesen,welche

は 含 蓄 が 深 く,後   リ ー マ ン:幾 が あ る.非

Geometrie

何 学 の 基 礎 を な す 仮 説 に つ い て.菅

zu

Grunde

liegen.1854.

れに は邦 訳

原 正 巳 訳,弘

文 堂,1942.

ユ ー ク リ ッ ド幾 何 の 書 物 と し て は,

  F.Klein:Verlesungen

uber

  D.M.Y.Sommerville:The が 有 名 で あ る.ま   西 内 貞 吉:非 が あ る.気

der

世 の 幾 何 学 に 大 き な 影 響 を 与 え た.こ

た,変

nicht-Euklidische elements

Geometrie.Springer,Berlin,1928.

of non-Euclidean

geometry.London,1914.

換 群 の 立 場 か ら 論 述 し た も の と し て,

ユ ー ク リ ッ ド幾 何 学.岩

波 講 座,1933.

楽 な読み 物 として

  ポ ル ス キ ー:い

ろ い ろ な 幾 何 学,

  ス モ ゴ ル ジ ェ フ ス キ ー:ロ

バ チ ェ フ ス キ ー の 幾 何 学.日

野 寛 三 訳,数

学 新 書7,商

工 出 版,

1960. ま た,伝

記 に 興 味 を もた れ る読 者 の た め に

  リ ワ ノ ワ:新

し い 幾 何 学 の 発 見,ガ 書22,東

京 図 書,1961.

ウ ス/ボ

ヤ イ/ロ

バ チ ェ フ ス キ ー.松

野 武 訳,数

学新

を 挙 げ て お く.射  

影 幾 何 の 代 表 的 な 教 科 書 と し て,

O.Veblen,J.W.Young:Projective

が あ る.n次

geometry,Ⅰ,Ⅱ.Boston,1910,1918.

元射 影幾 何 につい ては

  蟹 谷 乗 養:射

影 幾 何 学.丸

  秋 月 康 夫,滝

沢 精 二:射

で 取 り扱 わ れ て い る.な

善,1950. 影 幾 何 学.現

お,初

立 出 版,1957.

等 幾 何 全 般 に わ た る 解 説 書 と し て,

  D.Hilbert,S.Cohn-Vossen:Anschauliche は 定 評 が あ る.こ

の邦 訳

  ヒ ル ベ ル ト,コ

ー ン ・フ オ ッ セ ン:直

が 出 て い る.

代 数 学 講 座17,共

Geometrie.Springer,Berlin,1932.

観 幾 何 学Ⅰ,Ⅱ.芹

沢 正 三 訳,み

す ず 書 房,1960.

索 ア

引

行

間 に あ る  17,209 ア フ ィ ン幾 何   51,164 ア フ ィ ン空 間   51,164 ア フ ィ ン群   164 ア フ ィ ン標 構   164

カ

行

外 角   26 外 角 定 理   35 開 区 間   210,235 階 数  134,135,142

ア フ イ ン変 換   164 ア ー ベ ル 群  222

開 線 分  17 外 点   17 回転   175

ア ル キ メデ ス 性  43,219

回 転 群   175 外 部 自 己 同 型   100

行 きづ ま りの定 理  238 1次 形 式   228 1次 結 合   230

外 部 に あ る  23

1次 従 属   230

可 換   225 可 換 体   226

1次 線 織   154 1次 線 叢   155 1次 線 稠   156 1次 独 立   230 1対1の 対 応   202 一 般 角   42 一 般 公 点 公 理   14 一 般 性  3

外 分 す る  17 下 界   208

核   222 角  23,175,179,182,183,188,193 角 移 動 公 理   25 角 合 同 公 理   25 加 群   229 ― の全 射   229 ―

の 単 射   229

一 般 線 形 群   165

下 限   208

上 に 有 界   208,234

可 算 集 合   213 カテ ゴ リカ ル  3

運 動   174

加 法   204

運 動 群   174

加 法 直 線   92 加 法 定 理   242,247

鋭 角   35 n+2超 球 座 標   192 n+2超 球 標 構  192

加 補 性   68

円  189,190

環   224 ― の 全 射   224 ― の 単 射   224

円 系   241

関 係   5,204

演 算   204 円 周 率   243

函 数   234

延 長 公 理   17

完 全 四 角 形   88 完 全 四 辺 形   90 完全 性 3

大 きい  33,34,206 同 じ側 に あ る  21,22

完 備 化   216 完 備 束   208

折 り返 し  108 幾 何学  1

奇 函 数   235 擬 似 交 点 公 理   16

偶 函 数   235

奇 数   219

空 集 合   201

奇 置 換   223 基 底   65,232 基 本 変 換   108

偶 数   219

逆 元   225 ― の存 在   98 ,159,218

ク ラ イ ン幾 何   159

逆 三 角 函 数   243

ク ラ イ ン表 示   188

空 間   4,5,9,12,58,71,159

偶 置 換   223 区 間   210,235 ク ラ イ ン座 標   158

逆 写 像   202

ク ロ ネ ッ カ ー の デ ル タ  228

逆 順 序   206 逆 向 き  22,166,209

群   221 ― の 全 射   222 ―

の 単 射   222

球  189,190 球 空 間   189

群 空 間   160,161

球 面 幾 何   189 行   227

係 数 体   99

境 界   22,215 虚 数   191

計 量 幾 何   180

共 形 幾 何   190

結 合   60

共 形 空 間   190 共 形 群   190

結合幾 何  5

共 形 変 換   190

結合 公理  5

強 減 小   235 虚 数 単 位   226

結 合 法 則   60,94,97,98,122,159,211,212,

虚 数 部   226

元   201

共 線   75 鏡 像   175

限 界 球   187

共 点   75 共 役   143

原 点   92,95,164

共 役 複 素 数   227

交 換 法 則   60,94,97,122,211,218,222,225

共 有 点   6,8 行 列   227

交 集 合   201

行 列 式   228 距 離   177,180,182,183,188,189

交 代 群   162,224

極   144 極 系   136

交 点   6,8

極 形 式   142 極 限 値  236

合 同   24,25,27

極 小 元   208

恒 等 元 の 存 在   159,221

極 表 示   248 極 小 錐 面   172

恒 等 写 像   202

極 小 直 線   172 極 小 方 向   172

公 約 数   219

極 大 元   208

公理 化 3

極 超 平 面   143

公 理系  1

計 量 空 間   180

結合 空間  5

218,221,222,224,227

原 像   202

交 線 公 理   14

交 代 律   206

交 点 公 理  58

合 同 公 理   24,26

公 倍 数   219

公理  1

互 換   223

個 数   213 異 な る 側 に あ る  21,22 サ

行

最 小 元   208 最 小 公 約 数   219 最 小 値   235

実 数 部   226 示 点   92,95 実 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何   188 実 非 ユ ー ク リッ ド空 間   188 実 ベ ク トル 空 間   230 実 変 数 函 数   234

最 大 共 役 空 間   143

実 ユ ー ク リ ッ ド幾 何   181 実 ユ ー ク リ ッ ド空 間   181

最 大 元   208 最 大 公 約 数   219

実 ユ ー ク リ ッ ド群   181 四 辺 形 性6直 線   90

最 大 値   235 座 標 系   105

射 影 幾 何   51,58,162 ― の基 本 定 理   133

錯 角   54

射 影 空 間   51,58

作 用   159,160,204 三 角 函 数   241

射 影 群   131

三 角形  9 ― の 第1合 ― の 第2合 ―

の 第3合

同 定 理   27 同 定 理   28

射 影 的 相 称   134 射 影 的 相 反   135

同 定 理   31

射 影 変 換   75,131 ― の単一 性   103

三 段 論 法   207 3点 公 理   16,51,58 四 角 形 性6点

射 影 座 標   115 射 影 座 標 系   112

  89

射 影 和   60 写 像   202 周 期   235

軸   73,178 次 元   65,232

周 期 函 数   235 集 合   201

次 元 定 理   67,232

集 合 族   203

自己 同 型   100,118 自己 同 型 群   118 支 持 面   9,153 指 数 系   244

集 積 点  235,236 従 属   63 収 束   236 十 分 条 件   207

指 数 函 数   244,245

純 虚 数   226

指 数 法 則   244,246 自然 射 影  206,222

順 序   206 順 序 系   206

自然 数   210

順 序 公 理   17

自然 数 列  210 自然 対 数 の底  246 四 則   217

準 線   156 準 同 型   5,206,222,224,229 上 界   208

下 に 有 界   208,234

商 空 間   161 上 限   208

実 函 数   234 実 球   191 実 計 量 空 間   180

乗 根   239

実 射 影 空 間   133 実 数  217 実 数 集 合   234

常 超 球   187 上 に あ る  5,9,13,58 上 の集 合 族   203

実 数 体   217

乗 法   204

実 数 値 函 数   234

乗 法 直 線   95

商 集 合   205,222

剰 余 群   222 剰 余 類   222 真 部 分 集 合   201

線 形 部 分 空 間   230 線 形 変 換   165 全 射   202 全 順 序   208

推 移 性   21,34,35,218 推 移 的   160

全 順 序 系   208 全 順 序 性   21,34,35,208,209,218

推 移 律   25,32,52,203,205,206,209 垂 直   172

全 単 射   202

数   234 数 学 的 帰 納 法   210 数 集 合   234 数 性 直 線   97

線 分   17,44 線 分 移 動 公 理   25 線 分 合 同 公 理   25 線 分 比   166

数 列   234

添 字 集 合   203

区形  6

像  202,222 増 加   235

正   218 ― の線 分  41

増 加 性   211 双 曲 函 数   246 双 曲 幾 何   51,184

整 域   225 斉1次 式   228 星 雲   73 正 規 部 分 群   222 制 限 公 理   16,59 整 式   240 斉 次 座 標   106,114 斉 次 座 標 空 間   114 整 数   219

双 曲 空 間   51,184 双 曲 群   181 双 曲 公 理   50 双 曲 線   168 相 似 移 動 性   212,218 相 似 幾 何   171 相 似 空 間   171 相 似 群  171

整 数 環   219 正 則   135,142,156

相 似 投 影   174 相 似 投 影 群   174

正 則 元   225

相 似 変 換   171

成 分   112,234 正 方 行 列   227

相 称   134 双 対 概 念   72

整 列 可 能 定 理   209

双 対 空 間   71 双 対 順 序   206

整 列 集 合   209 積  95,212,221,222,223,224,226,227,229 絶 対 幾 何   43 絶 対 空 間   43 絶 対 形   171,177 絶 対 値   219,227

双 対 順 序 公 理   17 双 対 準 同 型  206 双 対 性   73 双 対 同 型   206

絶 対 超 球   194

相 反   135 束   208

絶 対 点   194 切 断   214

側 空 間   107 側 空 間 標 構   108

接 超 平 面   143

側 平 面   107 素 数   219

漸 近 線   169 全 空 間   164,177

タ

線 形 幾 何   14 線 形 空 間   14

体   225

行

台   193 大 円   189

超 球   172,178,190 超 球 束   193

対 偶   207

頂 直 線   90

対 合 的   136

頂 点   9,23,88,107,142 超 平 面   71

対 角   27 大 小 関 係   211,218 対 称 群   162,223 対 称 律   24,25,32,52,202,205 対 心 的   189,199

調 和 共 役 点   139 調 和 超 平 面 束   141 調 和 直 線 束   141 調 和 点 列   137

対 心 変 換   174,189,194,199 対 数 函 数   245

調 和 に 分 け る  139

対 頂 角   26 対 頂 角 定 理   28

直 径   168 直 後   209

対 等   202 対 辺   27,88

直 交   29,172,178,191 直 交 群   174

対 辺 点   90

直 交 標 構   181,182,184,192

楕 円   168

直 交 変 換   174 直 積   203

楕 円 幾 何   51,182 楕 円 空 間   182 楕 円 群   181 楕 円 公 理  51,70 た が い に 素   219 多 項 式   240 単 位 元   225 ― の 存 在   98 ,218,225

直 角   26

直 前   209 直 線   1,5,9,12,58,125,204 直 線 公 理   5,10,58 直 線 順 序 公 理   17 直 線制 限公理  9 直 線 論   164 直 路   209

単 位 性   159 単 位 点   95,107 単 位 法 則   229

ツ ェ ル メ ロの 選 択 公 理   204 ツ オル ン の補 題   208

端 元   210 単 射   202

定 義 域   234

単 純 推 移 的   160 単 調   235

定 数   234 定理  1

端 点   17

適 合   21 デ ザ ル グ の 定 理   78

小 さ い  33,34,206

点  1,5,9,12,58,125,159,204,234

置 換   223

点 球   191

稠 密   210 稠 密 性   18

点 集 合   234 転 置 行 列   227

中 間 関 係   210

点 直 線 公 理   9,10,58 点 平 面 公 理   12,13

中 間 元   209 中 間 値 の 定 理   238 中 心   73,153,168,173,178 中 心 相 似 群   172

点 立 体 公 理   14 点 列   234

中 心 相 似 変 換   172

同 位 角   53

中 点   38,167 頂 角   26

等 化 集 合   205 導 函 数  239

等 距 離 面   187

配 分 法 則   98,212,218,224,227,229

同 型   5,124,160,206,222,224 同 型 定 理   222

背 理 法   207

同 座 標 変 換   129 等 質 空 間   160 等 星   73

端   168 発 散   236 パ ップ ス 性   103 張 られ る   8,230

等 積 ア フ ィ ン群   169 等 積 ア フ ィ ン変 換   169

反 元 の存 在   94,98,218,222 反 射 律   24,25,32,52,202,205,206

等 値   205

半 直 線   21

等 値 関 係  205 等 値 類  205

反 転   109,193 半 平 面   22

同 等  63,205,207,231 等 分 点   38

引 き起 され た 写 像   206 非 斉 次 座 標   105,115

等 方 性 群   161 通 る  5,9,13,58,204

左 移 動   161

特 異 空 間   134,135,142

左 加 群   229 左 逆 元   225

特 異 点   134,135,142 特 殊 線 形 群   170

左 結 合 法 則   159,229

特 殊 線 形 変 換   170 独 立   63

左 射 影 空 間   125

独 立性  3 ド ・モ ア ブ ル の定 理   248 と りか え 定 理   64,231

非 調 和 比   137 必 要 十 分   207 必 要 条 件   207

鈍 角   35

非 デ ザ ル グ幾 何   79 ナ

左 変 換 群   159

行

内 角   26 内 角 定 理   55

等 しい  25,26 微 分 可 能  239 微 分 係 数   239 非 ユ ー ク リ ッ ド幾 何   177 非 ユー ク リ ッ ド空 間   177

内 点   17 内 部 自己 同 型   100

非 ユ ー ク リ ッ ド群   177

内 部 に あ る  23 内 分 す る  17

非 ユ ー ク リ ッ ド合 同 変 換   177 標構   95,107 標 準 形   162

に お い て 稠 密  210

標 数   225

2次 曲 面   142 2次 曲 面 束   164

負  218 ― の 線 分   42

2次 曲 面 論  163 2次 錐 面   142 2点 公 理   5,10,53

複 素 函 数   234

濃 度   202

複 素 数   226 複 素 数 体   226

ハ

複 素 指 数 函 数   248 複 素 射 影 空 間   133

行

複 素 対 数 函 数   248 配 景 写 像   73 配 景 的   73 倍 数   219

複 素 ベ ク トル 空 間   230 含 まれ る   201,206 含 む   201,206

符 号   149,219,224 部 分 幾 何  6 部 分 空 間  8,189,230 部 分 群   222 部 分 自然 数 列   235 部 分 集 合   201 部 分 順 序 系   206

放 物 群   181 放 物 公 理   50 放 物 線   169 補 角   26 補 角 定 理   28 補 空 間   68 母 空 間  144

部 分 列   235 不 変 量   162 プ リ ュ ツ カ ー 関 係 式   151

星   73 補 助 空 間   184

プ リ ュ ツ カ ー 座 標   150 プ リ ュ ツ カ ー 表 示   151

補 助 点   184 母 線   144

分 類   162

補 側 空 間   107

補 助 集 合   5,9,58

マ

閉 区 間   210,235 平 行   47,49,52,168,178 平 行 移 動   165

交 わ る  6,8

平 行 移 動 群   165 平 行 移 動 性   211,218

右 移 動   161

平 行 線 公 理   50

右 逆 元   225 右 結 合 法 則   159,229

閉 集 合   236 平 星   153 閉 包   235 平 方 根   221 平 面   9,12,69 平 面 公 理   10 平 面 順 序 公 理   17 平 面 制 限 公 理   12

右 加 群   229

右 射 影 空 間   125 右 変 換 群   159 向 き  22,209 無 限 集 合   203 無 限 大   235 無 限 遠 超 平 面   164

平 面 線 形 公 理   10 ベ キ零 律   122

無 限 遠 点   164,177,184

ベ ク トル  230 ベ ク トル 空 間   230

無矛 盾性  2 結 ぶ  6

辺  9,12,17,23,58,88,107

無 定義 要素   1 無 理 数   219

変 域   234

行

無 心   168

偏 角   247 変 換   160 変 換 群   159 変 数   234 辺 線 分   17 辺 直線 9

モ ジ ュ ラ性  62 ヤ 約 数   219

辺 点   90

有 界  208,234 有 限 次 元   65,232

ポ ア ン カ レ表 示   200

有 限 集 合   203 有 向 直 線   22

包 含 写 像   202 放 物 幾 何   181 放 物 空 間   181

有 効 的   160 有 心   168

行

有 理 式   240

零 因 子   224

有 理 数   219 有 理 数 体   219 ユ ー ク リ ッ ド幾 何   51 ,173

零 系   136

ユ ー ク リ ッ ド空 間   51 ,173 ユ ー ク リ ッ ド群   173 ユ ー ク リ ッ ド合 同 変 換   173

零 元 の 存 在   94,98,222 零 線 分   42,166 列   227 連 続   237 連 続 公 理   42 連 続 性   218

余 因 数   228 ロ バ チ ェ フ ス キ ー 幾 何   51

要 素   227 余 集 合  202

ロ バ チ ェ フ ス キ ー 空 間   51 ロ ー ル の 定 理   240

ラ 立 体   13,69

行 ワ

行

立 体 公 理   13

和  37,39,92,118,201,224,226,227,229

立 体 制 限 公 理   14 立 体 線 形 公 理   13

ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 定 理   236

著 者略歴 瀧 澤 精 二 1925年  長野県に生れ る 1948年   京都大 学理 学部卒業  元京都大 学教 授 ・理学博士

基礎数学シリーズ4 幾

何

学 入

門

定 価は カバー に表示

1967年9月20日

  初 版 第1刷

2004年12月1日

  復 刊 第1刷

2007年4月10日

 

第2刷

著 者 瀧

澤

精

二

発行者 朝

倉

邦

造

発行 所  株式 会社 朝

倉

書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町  6‐29 郵 便 電

FAX 

〈検 印 省 略 〉 C1967 

〈無断複 写 ・転 載 を禁 ず〉

ISBN  978‐4‐254‐11704‐2  C3341

番 号  

話 

162‐8707

03(3260)0141 03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

中央印刷 ・渡辺 製本 Printed

in Japan