Изучение дифракции Фраунгофера: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ 1.1 ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ ПО ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ

Изучение дифракции Фраунгофера

Новосибирск, 1986

Лабораторная работа 1.1 ИЗУЧЕНИЕ ДИФРАКЦИИ ФРАУНГОФЕРА 1.1 Отклонение от геометрической оптики. Дифракция. Пусть плоская монохроматическая волна Ee i (kz − ωt ) падает перпендикулярно на щель ширины D в бесконечном непрозрачном экране (см. рис. 1).

Рис. 1. Схема наблюдения прохождения плоской волны через щель в непрозрачном экране Согласно геометрической оптике на любом расстоянии z0 от экрана в плоскости регистрации P должен наблюдаться "отпечаток", ширина которого равна D. В действительности плоская волна, ограниченная по одному из направлений, вследствие соотношения неопределенности, получает разброс в поперечном волновом числе: ∆k x D ≈ π . (1) Отсюда следует, что волна за щелью становится расходящейся с характерным углом расходимости θ≈

∆k x λ ≈ , (2) k D

где λ - длина волны света. Оценки (1), (2) получаются из разложения Фурье по плоским волнам прошедшей щель волны. В диапазоне углов θ лежат направления основной части компонент такого разложения. Расходимость прошедшего щель излучения приводит к искажению распределения освещенности в плоскости P от картины, следующей из геометрической оптики, причем эти искажения нарастают по море удаления P от щели. Такое явление, вызванное волновой природой света, называется дифракцией. Здесь и в дальнейшем отклонения от геометрической оптики предполагаются малыми: θ << 1(λ << D, z0), что означает малость длины волны излучений по сравнении со всеми размерами. Такое условие выполняется для большинства практических задач оптики и позволяет значительно упростить нахождение поля дифрагирующей волны.

Очевидно, что искажения отпечатка щели в целом будут малы при

(

)

z 0 θ << D z 0 << D 2 λ (3) Неравенство (3) ограничивает зону геометрической оптики, где имеется хорошее соответствие изображения объекту. При значительном удалении экрана P от щели, таком, что расстояния между ними удовлетворяют неравенству, обратному неравенству z 0 >> D 2 λ (4) спектральные гармоники Фурье - разложения разойдутся в пространстве и создадут освещенность на экране P в области шириной, намного превышающей D. В этом случае, который называется дифракцией Фраунгофера, пространственное распределение амплитуды электромагнитного поля в плоскости наблюдения соответствует распределению амплитуд спектральных гармоник. Таким образом, в плоскости P пространственная картина поля оказывается связанной преобразованием Фурье с картиной поля в плоскости щели. Как будет показано ниже, это свойство дифракционной картины Фраунгофера справедливо в общем случае для любого плоского объекта с комплексным коэффициентом пропускания t(x,y). В промежуточном случае средних расстояний z 0 ≈ D 2 λ распределение поля более сложно. В этой области, называемой областью дифракции Френеля, компоненты спектра Фурье заметно расходятся в пространстве, еще не разделяясь. Вычисление дифракционной картины Френеля даже для такого простого объекта, как щель, требует значительных усилий. Следует отметить, что отдельные пространственные гармоники (плоские волны) не ограничены в пространстве и, строго говоря не могут разделиться на любом конечном расстоянии от щели. В реальном эксперименте, однако, всегда приходится иметь дело с волновыми пучками, которые можно считать плоскими волнами только более или менее приближенно. В данном случае для изменения пространственного распределения дифрагировавшего света необходимо иметь фотоприемник с размером a, много меньшим характерного масштаба дифракционной картины a >> z 0 λ D . Для наблюдателя, установившего такой приемник в зоне Фраунгофера, щель оказывается неотличимой от бесконечно тонкой, а выходящее из нее излучение воспринимается как плоская волна. Ситуация здесь та же, что при спектральных измерениях во временной области: анализатор спектра выделяет всегда не отдельные составляющие непрерывного спектра, а некоторую его часть, содержащую бесконечное число спектральных компонент. Возвращаясь к общему описанию прошедшего через щель излучения, нужно сказать, что в зоне геометрической оптики распределение освещенности в целом соответствует отпечатку объекта (в нашем примере щели), однако вблизи краев щели наблюдаются дифракционные явления. Эти искажения также называются дифракцией Френеля и занимают область шириной порядка зоны Френеля ∆x ≥ z 0 λ , что можно понять из соображений размерности. Для щели бесконечной ширины, т.е. в случае дифракции на полуплоскости, при отсутствии конечного масштаба задачи, на всех расстояние λ<
в зависимости от ширины щели, приведены на рис. 2. На рисунке можно видеть постепенно увеличивающееся искажение изображения щели и переход к дифракции Френеля и затем к дифракции Фраунгофера. Продольный размер на рисунке для удобства взят нереально малым.

Рис. 2

1.2. Дифракция Фраунгофера В более общем случае рассмотрим в плоскости x, y бесконечный экран с отверстием произвольной формы. В отверстие помещен плоский объект (транспарант) с функцией пропускания t(x,y) для амплитуды электромагнитной волны. Для определенности мы будем рассматривать в дальнейшем напряженность электрического поля E электромагнитной волны, хотя все формулы останутся справедливыми и для напряженности магнитного поля H волны. Если на транспарант падает плоская волна Ee i (kz − ωt ) , то сразу за ним распределение амплитуды волны

E (x, y ) = E 0 t (x, y ) . (5) Поле дифрагировавшей на транспаранте волны E0(xp, yp) на расстоянии z0 в плоскости P выражается через E0(x, y) с помощью интеграла Френеля - Кирхгофа /1-3/. В зоне Фраунгофера интеграл Френеля - Кирхгофа имеет вид E (x

+∞

p

, yp

) = exp(ikz )∫ ∫ E (x, y )exp ik (x z 0

−∞

p

0

 x − y p y )dxdy 

+∞

= exp(ikz 0 )∫ ∫ E (x, y )exp i (k x x − k y y )dxdy

(6)

−∞

где kx = kxp/z0, ky = kyp/z0. Из соотношения (6) видно, что напряженность поля волны в зоне Фраунгофера связана преобразованием Фурье с напряженностью поля в плоскости транспаранта. Величины kx, ky часто называют пространственными частотами по аналогии с частотами преобразования Фурье во временной области.

1.2.1 Одиночная щель. Применим выражение (6) к определению картины дифракции от одиночной щели шириной D. Распределение амплитуды электромагнитной волны в плоскости щели показано на рис. 3а. Пространственный спектр такой функции координат (см. рис. 3а) легко вычисляется: E (k x ) = E0

D2

∫e

−D 2

ik x x

E dx = 0 e ik x x ik x

D2

= E0 D −D 2

sin k x D 2 (7) kx D 2

Рис. 3. Распределение амплитуды электромагнитной волны в плоскости щели (а), и в зоне дифракции Фраунгофера (6) Подставив значения пространственной частоты kx = kxp/z0 и возведя в квадрат выражение (7), находим распределение освещенности в зоне Фраунгофера:

2 πx p D  sin u  . (8) I (x p ) ≈ E D  , где u = λz 0  u  2 0

1.2.2 Круглое отверстие диаметром D. Функция пропускания транспаранта здесь зависит только от r = x 2 + y 2 : 1, r ≤ 1 (9) t (r ) = circ r 2 D , где circ(r ) =  0, r > 1

(

)

Круговая симметрия задачи позволяет перейти от двумерного преобразования Фурье к преобразованию Фурье - Бесселя, зависящему только от r (см. /3/). Распределение интенсивности в плоскости регистрации также обладает круговой симметрией:  kD   I (rp ) ≈   8z0 

2

 2 J 1 (kDrp rz 0 )   (10)  kDr 2 z 0  p   2

Здесь J1 - функция Бесселя первого рода первого порядка rp = x 2p + y 2p . В таблице  J (πx )  приведены значения экстремумов функции Φ(x ) = 2 1  , определяющей положения  πx  светлых и темных колец в дифракционной картине. 2

0 1,220 1,635 2,233 2,679 3,238 3,699 x 1 0 0,0175 0 0,0042 0 0,0016 Φ макс. или мин. макс. мин. макс. мин. макс. мин. макс. Из таблицы следует, что радиус первого темного круга в картине дифракции Фраунгофера от круглого отверстия ∆rp = 1,22 λz 0 D (11)

1.2.3 Дифракционная решетка. Рассмотрим бесконечную одномерную решетку с функцией пропускания вида t (x ) =

∞

 x − md   , m = 0,1,2…(12) a 

∑ rect

n = −∞

где 1, x ≤ 0,5 rect (x ) =  . 0, x > 0,5 На рис. 4 приведена зависимость t(x).

Периодическую функцию t(x) можно разложить в ряд Фурье: ∞

t (x ) = a 0 + ∑ a n cos(nk x x ), (13) n =1

где пространственная частота kx связана с периодом решетки d: k x = 2π d . Коэффициенты разложения a0, an определяются обычным образом.

Рис. 4. Функция пропускания одномерной решетки (а) и распределение интенсивности дифракционных порядков в зоне Фраунгофера (б) при d/a=2 Если на решетку падает плоская волна Ee i (kz − ωt ) , то сразу за решеткой зависящая от пространственных координат амплитуда волны имеет вид ∞

(

)

E (x ) = E0 a 0 e ikz + E 0 ∑ a n e i (kz + nk x x ) + e i (kz − nk x x ) (14) n =1

Первый член представляет собой ослабленную исходную плоскую волну, а под знаком суммы содержится совокупность плоских волн, распространяющихся под углами θ n = ± nk x k = ± nλ d , n = 1,2,3… (15) к направлению первоначальной волны. В зоне Фраунгофера эти волны образуют максимумы освещенности с интенсивностью ~ (E0 an)2 , симметрично расположенные относительно центрального максимума на расстояниях xpn = θn z0 (рис. 4б).

2. Экспериментальная часть работы Схема - экспериментальной установки приведена на рис. 5. В пучок излучения гелий-неонового лазера могут водиться за

Рис. 5. Схема экспериментальной установки крепленные во вращающейся турели транспаранты. Пространственные распределения интенсивности диафрагированного света можно наблюдать на экране либо регистрировать с помощью перемещающегося фотодиода. Сигнал с фотодиода подается на микроамперметр. В лабораторное работе можно проследить выполнение правила Бабине при сравнении картин дифракции на крутом отверстии и на непрозрачном круглом объекте. Монохроматический хорошо коллимированный и пространственно когерентный световой пучок, излучаемый лазером, дает возможность непосредственно наблюдать дифракцию света на круглых частицах. Однако если помесить в световой пучок одну частицу, то наблюдение дифракционной картины затрудняется из-за светового фона, создаваемого недифрагировавшей частью светового пучка. Для увеличения контраста интерференционной картины на пути светового пучка располагается множество хаотически расположенных одинаковых частиц. Так как интерференция между пучками, исходящими от разных частиц, отсутствует (в силу равной вероятности значений фаз дифрагировавших по каждому направлению волн), то будут складываться только интенсивности световых пучков, рассеянных разными частицами. Таким образом, дифракционная картина от частиц усилится по интенсивности в N раз по сравнению с дифракционной картиной от одной частицы без изменения своей структуры. На пути лазерного пучка размещается подставка с закрепленной на ней стеклянной пластинкой, покрытой частицами ликоподия (споры растения плауна), представляющими собой шарики одинакового размера. С внешней стороны ликоподий закрыт второй стеклянной пластинкой. На экране видна система концентрических темных и светлых колец, окружающих светлый круг.

Задания 1. Юстировкой лазера и коллиматора (если используется расширенный пучок света) добиться четкой дифракционной картины от всех объектов. 2. Наблюдая на экране дифракцию от каждого объекта и проводя необходимые измерения с помощью линейки или миллиметровой бумаги, определить вид объектов (транспарантов) и их характерные размеры. Оценить погрешности измерений. 3. Для одинарной щели установить ширину щели, удобную для измерения

фотоэлектрическим датчиком соответствующей дифракционной картины. С помощью цифрового микроамперметра по точкам измерить распределение интенсивности дифракционной картины и сравнить его с теоретическим распределением. 4. Дополнительное задание Измерить фотоолектрически относительную интенсивность дифракционных максимумов для решетки и оценить относительную ширину прозрачных и непрозрачных участков решетки. Внимание! При выполнении заданий 3 и 4 необходимо контролировать линейность работы фотодиода.

Литература 1. Мешков И.Н., Чириков Б.В. Электромагнитное поле. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1987. 2. Методические указания к лабораторным работам по физической оптике "Дифракция света". Новосибирск: НГУ, 1990. 3. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир, 1970. Интернет версия подготовлена на основе издания: Описание 1.1 лабораторной работы по физической оптике. Изучение дифракции Фраунгофера. Новосибирск: Изд-во, НГУ, 1990  Физический факультет НГУ, 1999  Лаборатория оптики НГУ, 1999, http://www.phys.nsu.ru/optics/