Теория функций. Распределение нулей. Полиномы. Определители. Теория чисел

Г.Полиа, Г.Сеге ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ИЗ АНАЛИЗА ЧАСТЬ ВТОРАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ (специальная часть). РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ. ПОЛИНОМЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Содержание Обозначения и сокращения ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ Глава 1. Максимальный член и центральный индекс, максимум модуля и число нулей

6

задачи решения

1 (1-40). Аналогия между µ(r) и М(r), ν(r) и N(r)

10

183

2 (41-47). Дальнейшие свойства функций µ(r) и ν(r)

15

188

3 (48-66). Связь между µ(r), ν(r), M(r), N(r)

16

191

4 (67-76). µ(r) и М(r) при специальных предположениях 19 197 правильности роста задачи решения Глава 2. Однолистные конформные отображения 1 (77-83). Задачи подготовительного характера 22 201 2 (84-87). Теоремы единственности 23 203 3 (88-96). Существование отображающей функции 24 204 4 (97-120). Внутренний и внешний радиусы. Нормированная 25 207 отображающая функция 5 (121-135). Связи между отображениями различных областей 30 211 6 (136-163). Теорема Кебе об искажении 33 214 задачи решения Глава 3. Смешанные задачи 1 (164-174). Varia 39 222 2 (175-179). Об одном приеме Э. Ландау 41 227 3 (180-187). Прямолинейное приближение к существенно особой 42 228 точке 4 (188-194). Асимптотические значения целых функций 43 229 5 (195-205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена44 232 Линделёфа ОТДЕЛ ПЯТЫЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ задачи решения Глава 1. Теорема Ролля и правило Декарта 1 (1-21). Нули функций, перемены знака последовательностей 46 238 2 (22-27). Изменения знака функции 49 241

3 (28-41). Первое доказательство правила Декарта 50 242 4 (42-52). Применения правила Декарта 53 245 5 (53-76). Применения теоремы Ролля 55 248 6 (77-86). Доказательство правила Декарта, принадлежащее 58 253 Лагерру 7 (87-91). На чем основывается правило Декарта? 61 256 8 (92-100). Обобщения теоремы Ролля 63 258 задачи решения Глава 2. Геометрические свойства нулей полиномов 1 (101-110). Центр тяжести системы точек относительно 65 260 некоторой точки 2 (111-127). Центр тяжести полинома относительно некоторой 262 67 точки. Теорема Лагерра 3 (128-156). Производная полинома относительно некоторой 71 265 точки. Теорема Грэйса задачи решения Глава 3. Смешанные задачи 1 (157-182). Приближение нулей трансцендентных функций 76 272 нулями рациональных 2 (183-189). Точное определение числа нулей при помощи 81 282 правила Декарта 3 (190-196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов 83 284 ОТДЕЛ ШЕСТОЙ. ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ задачи решения ПОЛИНОМЫ 1 (1-7). Полиномы Чебышева 85 286 2 (8-15). Общие сведения о тригонометрических полиномах 86 287 3 (16-28). Специальные тригонометрические полиномы 88 289 4 (29-38). Из теории рядов Фурье 90 292 5 (39-43). Неотрицательные тригонометрические полиномы 92 294 6 (44-49). Неотрицательные полиномы 93 295 7 (50-61). Максимумы и минимумы тригонометрических 94 297 полиномов 8 (62-66). Максимумы и минимумы полиномов 96 301 304 9 (67-76). Интерполяционная формула Лагранжа 98 10 (77-83). Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова 101 306 11 (84-102). Полиномы Лежандра и родственные им 102 307 12 (103-113). Прочие задачи на максимумы и минимумы 106 316 полиномов

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1 (1-16). Вычисление определителей. Решение линейных уравнений 2 (17-34). Разложение рациональных функций в степенные ряды 3 (35-43). Положительные квадратичные формы 4 (44-54). Смешанные задачи 5 (55-72). Определители систем функций ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Глава 1. Теоретико-числовые функции 1 (1-11). Задачи на целые части чисел 2 (12-20). Подсчет целых точек 3 (21-27). Одна теорема формальной логики и ее применения 4 (28-37). Части и делители 5 (38-42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и ряды Дирихле 6 (43-64). Мультипликативные теоретико-числовые функции 7 (65-78). Ряды Ламберта и родственные им 8 (79-83). Дальнейшие задачи на подсчет целых точек Глава 2. Целочисленные полиномы и целозначные функции 1 (84-93). Целочисленность и целозначность полиномов 2 (94-115). Целозначные функции и их простые делители 3 (116-129). Неприводимость полиномов Глава 3. Теоретико-числовые свойства степенных рядов 1 (130-137). Подготовительные задачи о биномиальных кооэффициентах 2 (138-148). К теореме Эйзенштейна 3 (149-154). К доказательству теоремы Эйзенштейна 4 (155-164). Целочисленные степенные ряды рациональных функций 5 (165-173). Теоретико-функциональные свойства целочисленных степенных рядов 6 (174-187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица 7 (188-193). Значения степенных рядов, сходящихся в окрестности точки z = ∞ , в целочисленных точках Глава 4. Об алгебраических целых числах

задачи решения

110

320

114 119 122 125

325 328 331 337

задачи решения

130 131 132 133

345 346 348 351

137

353

139 143 145

353 358 360

задачи решения

146 147 150

361 364 368

задачи решения

152

375

153 155

376 378

157

381

158

383

159

385

162

388

задачи решения

1 (194-203). Алгебраические целые числа. Поля 163 391 2 (204-220). Наибольший общий делитель 165 393 3 (221-227). Сравнения 168 398 4 (228-237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов 169 399 задачи решения Глава 5. Смешанные задачи 1 (238-244). Плоская квадратная целая решетка 171 401 2 (245-266). Смешанные задачи 173 404 ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ(приложение). НЕКОТОРЫЕ задачи решения ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (1-25) 177 413 Предметный указатель 428 Предметный указатель Делители несобственные 134 Алгебраическая функция 119, 153 Делитель 134, 165 Алгебраические числа n-й степени Дзета-функция 138 164 Дирихле правило перемножения - - сопряженные 164, 167 рядов 138 Алгебраическое поле 164 Дирихле ряды 138 - число 163 - теорема 149 - - целое 163, 165 Дискретная область целости 165 Аполярности условие 74 Единицы 165 Аполярность пар точек 268 Закон излучения Планка 246 - полиномов 73, 74 Иенсена неравенство 187 - точек 268 Изменение знака 49 Асимптотическое значение функции Интерполяционная формула 43 Лагранжа 98 Бернуллиевы числа 161 Исключительное значение (в смысле Бернштейна теорема о Пикара) 43 тригонометрических полиномах Кебе область 24 41, 42, 101 - теорема о линейном искажении 36 Бесселевы функции 77 Константы Лебега 91 Брутто-ранг 116 Конформный радиус внешний, Вандермонда определитель 54 внутренний 26 Взаимно аполярные системы 74 - центр тяжести области 34 Вронского определитель 125 Коши правило перемножения рядов Ганкеля матрица 116 138 - определитель 114 Коэффициенты Фурье 90 Гаусса теорема о нулях производной Кристоффеля формула 309, 313, 314 полинома 69 Круговая область 65, 66 Гипергеометрическии ряд 155 Лагерра обобщенные полиномы 55, Главная хорда области 36 105 Гурвица условие 156

Лагранжа интерполяционная формула 98 Ламберта ряд 143 Лапласа формула 103 Лебега константы 91 Лежандра полиномы 55, 102, 104 Лиувилля функция 137 Максимальный член 9 Максимум модуля 9 Мангольдта функция 137 Матрица Ганкеля 116 - ортогональная бесконечная 125 Мёбиуса функция 137 Место перемены знака 46 Моменты функции 60 Наибольшая общая часть 134 Наибольший общий делитель 134, 165 Наименьшая "выпуклая" область 66 Наименьшее общее кратное 135 Неприводимая целая рациональная функция двух переменных 170 Неприводимый полином 150 Неравенство Иенсена 187 Несобственные делители 134 - части 133 Нетто-ранг 116, 118 Норма 167 Нули полинома 68 Область "выпуклая" 66 - Кебе 24 - рациональности 164 - целости 164, 165 Овал 71 "Окружность" 65 Опорная плоскость 179 - прямая 15 - функция 179 Определители рекуррентные 114 Определитель Вандермонда 54 - Вронского 125 - Ганкеля (рекуррентный) 114 Ортогональная бесконечная матрица 125

Ортогональное преобразование 124 Ортогональные функции 103 Перемена знака 46 Перемножение рядов, правило Дирихле 138 - - - Коши 138 Планка закон излучения 246 Полином деления круга 137 - неприводимый 150 - приводимый 150 - целозначный 146 - целочисленный 146 Полиномы аполярные 73, 74 - Лагерра обобщенные 55, 105 - Лежандра 55, 102, 104 - - производящий ряд 104 - сопровождающие 81 - Чебышева 85 - Эрмита 55, 106 - Якоби 105 Поляра первая 71 Порядок целой функции 17 Постоянная Эйлера-Маскеронй 175 Преобразование ортогональное 124 Примитивная точка 401 Производная относительно точки 71 - система точек 72 Производящий ряд полиномов Лежандра 104 Простой делитель целоэначной функции 148 Ранг бесконечной матрицы 116 Рекуррентные определители 114 Родрига формула 103 Ролля теорема 47, 48 Ряд гипергеометрический 155 - Ламберта 143 - Фурье 90 Ряды Дирихле 138 Символ Лежандра 175 Средняя область 69, 70 Степенной ряд рациональночисленный 153 - - целочисленный 153

- - - (Н) 159, 160 Степенные ряды квазилинейно зависимые 118 - - линейно зависимые 118 Степень поля 164, 165 Сумма делителей 137 Сферическая индикатриса 180 Теорема Бернштейна о тригонометрических полиномах 41, 42, 101 - Гаусса о нулях производной полинома 69 Теорема Дирихле 149 - Кебе о линейном искажении 36 - Ролля 47, 48 - Эйзенштейна 153, 154 - - обобщение 171 Теоретико-числовая функция 137 Теплица форма 128 Тригонометрический полином 86 Условие аполярности 74 - Гурвица 156 - Чебышева 156 - Эйзенштейна 154, 155 Фибоначчи числа 125 Форма Теплица 128 Формула Кристоффеля 309, 313, 314 - Лапласа 103 - Родрига 103 Фундаментальные полиномы интерполяции 98 Функции Бесселя 77 - ортогональные 103 - целые рода нуль 18 Функция, асимптотическое значение 43 - Лиувилля 137 - Мангольдта 137 - Мёбиуса 137

- мультипликативная теоретикочисловая 139 - нормированная отображающая 26 - опорная 179 - рода нуль 18 - теоретико-числовая 137 - целая 9 - целозначная 148 - Эйлера 137 Фурье коэффициенты 90 - ряд 90 Целая функция 9 - часть числа 130 Целое алгебраическое число 163, 165 Целозначная функция 148 Целозначныи полином 146 Целочисленный полином 146 - степенной ряд 153 - (Н) степенной ряд 159, 160 Целые алгебраические числа взаимно простые 165 - точки 132 - - сравнимые по модулю 172 - функции рода нуль 18 Центр тяжести системы относительно точки 66 - - целой рациональной функции 68 Центральный индекс 9 Часть (числа) 134 Чебышева полиномы 85 - условие 156 Числа Бернулли 161 - Фибоначчи 125 Число делителей 137 - нулей 10 Эйзенштейна теорема 153, 154, 171 - условие 154, 155 Эйлера функция 137 Эрмита полиномы 55, 106 Якоби полиномы 105