Сибирский математический журнал Май—июнь, 2007. Том 48, № 3
УДК 517.51
ОЦЕНКИ ПЕРЕСТАНОВОК ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ПОЛИЛИНЕЙНЫХ ДРОБНЫХ ИНТЕГРАЛОВ В. С. Гулиев, Ш. А. Назирова Аннотация: Изучается ограниченность в Lp1 × Lp2 × . . . × Lpk обобщенных полилинейных дробных интегралов. Доказана оценка типа О’Нейла для k-линейных интегральных операторов. С ее использованием получена поточечная оценка перестановок обобщенных полилинейных дробных интегралов. В качестве приложения доказана теорема типа Соболева для таких интегралов. Ключевые слова: лебегово пространство, неравенство типа О’Нейла, оценка перестановки, обобщенный полилинейный дробный интеграл.
Классический потенциал Рисса является важным инструментом в гармоническом анализе, вещественном анализе и дифференциальных уравнениях с частными производными. Многие исследователи обращались к изучению полилинейных максимальных операторов, полилинейных дробных интегральных операторов и смежным вопросам, см. [1–6] и др. Цель настоящей работы состоит в получении ограниченности в Lp1 ×Lp2 ×· · ·×Lpk обобщенных полилинейных операторов, а также полисублинейных дробных максимальных функций и полилинейных дробных интегралов. 1. Перестановки функций Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство. Для векторов x = (x1 , . . . , xn ), ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) в Rn будем использовать обозначения x · ξ = x1 ξ1 + · · · + xn ξn , |x| = (x · x)1/2 , S n−1 = {x ∈ Rn : |x| = 1}. Пусть Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞, — пространство измеримых функций g в Rn с конечной нормой 1/p p gLp(Rn ) = |g(x)| dx . Rn
Обозначим через Lp (S n−1 ) пространство измеримых функций g(x), x ∈ S n−1 , с конечной нормой p1 p gLp(S n−1 ) = |g(x)| dx , 1 ≤ p < ∞. S n−1
Пусть g — измеримая функция на Rn . Функция распределения функции g определяется равенством λg (t) = |{x ∈ Rn : |g(x)| > t}|, t ≥ 0. Обозначим через Vagif Guliyev’s research partially supported by the grant of INTAS (project 05–1000008– 8157).
c 2007 Гулиев В. С., Назирова Ш. А.
578
В. С. Гулиев, Ш. А. Назирова
L0 (Rn ) класс всех измеримых функций g на Rn , почти всюду конечных и таких, что λg (t) < ∞ для всех t > 0 (см. [7]). Если функция g принадлежит L0 (Rn ), то ее неубывающая перестановка — это функция g ∗ , неубывающая на ]0, ∞[ и равноизмеримая с |g(x)|, т. е. |{t > 0 : g ∗ (t) > s}| = λg (s) Пусть 1 g (t) = t ∗∗
t
для любого s ≥ 0.
g ∗ (s) ds.
0
Согласно теореме Харди — Литтлвуда (см, [8, с. 44]) для любых f1 , f2 ∈ L0 (Rn ) выполнено неравенство ∞
|f1 (x)f2 (x)| dx ≤
f1∗ (t)f2∗ (t) dt.
0
Rn
Если 1 ≤ p < ∞, то слабое Lp -пространство W Lp (Rn ) представляет собой множество локально интегрируемых функций g на Rn с конечной нормой gW Lp = sup tλg (t)1/p = sup t1/p g ∗ (t). t>0
t>0
Равноизмеримые перестановки функций играют важную роль в разных разделах математики. Отметим некоторые свойства перестановок (см., например, [8]): 1) если 0 < t < t + s, то (g + h)∗ (t + s) ≤ g ∗ (t) + h∗ (s), 2) если 0 < p < ∞, то
∞ |g(x)| dx = (g ∗ (t))p dt, p
0
Rn
3) для любого t > 0 sup
|E|=t
t |g(x)| dx =
g ∗ (s) ds.
0
E
Лемма 1. Пусть f1 , f2 , . . . , fk ∈ L0 (Rn ). Тогда ∞
|f1 (x)f2 (x) . . . fk (x)| dx ≤
f1∗ (t)f2∗ (t) . . . fk∗ (t) dt.
0
Rn
Доказательство. По теореме Фубини имеем
|f1 (x)f2 (x) . . . fk (x)| dx = Rn
|f 1 (x)|
du1 · · ·
dx Rn
|f k (x)|
0
duk 0
∞ ∞ = · · · |{x : |f1 (x)| > u1 , . . . , |fk (x)| > uk }| du1 . . . duk 0
0
(1)
Оценки перестановок ≤
579
∞ ∞ · · · min {λf1 (u1 ), . . . , λfk (uk )} du1 . . . duk 0
0
∞ ∞ = · · · |{t > 0 : f1∗ (t) > u1 , . . . , fk∗ (t) > uk }| du1 . . . duk 0
0 ∗ f 1 (t)
∞ =
du1 · · ·
dt 0
∗ f k (t)
∞
duk =
0
0
f1∗ (t)f2∗ (t) . . . fk∗ (t) dt.
0
Отметим, что метод доказательства изложен в [7]. Пусть k ≥ 2 — целое и θj (j = 1, 2, . . . , k) — фиксированные различные ненулевые вещественные числа. Лемма 2. Пусть f1 , f2 , . . . , fk ∈ L0 (Rn ). Тогда ∞ |f1 (x − θ1 y)f2 (x − θ2 y) . . . fk (x − θk y)| dy ≤ Cθ f1∗ (t)f2∗ (t) . . . fk∗ (t) dt, 0
Rn −n
где Cθ = |θ1 . . . θk | . Доказательство аналогично доказательству леммы 1. 2. Неравенства типа О’Нейла для обобщенных полилинейных интегральных операторов В этом пункте мы докажем аналог неравенства типа О’Нейла для k-линейных интегральных операторов. Обозначим f = (f1 , f2 , . . . , fk ) и определим ∗
f (t) =
f1∗ (t) . . . fk∗ (t),
1 f (t) = t ∗∗
t
f1∗ (s) . . . fk∗ (s) ds,
t > 0.
0
Пусть k ≥ 2 — целое и θj (j = 1, 2, . . . , k) — фиксированные различные ненулевые вещественные числа. Тогда для k-линейного интегрального оператора g(y)f1 (x − θ1 y) . . . fk (x − θk y) dy
(f , g)(x) = Rn
имеет место аналог неравенства О’Нейла (см. [9]). Лемма 3. Пусть f1 , f2 , . . . , fk , g ∈ L0 (Rn ). Тогда для любого 0 < t < ∞ выполнено неравенство ⎛ ⎞ ∞ (2) (f , g)∗∗ (t) ≤ Cθ ⎝tf ∗∗ (t)g ∗∗ (t) + f ∗ (s)g ∗ (s) ds⎠ . t
Доказательство. Фиксируем t > 0. Возьмем измеримое множество Et такое, что {x ∈ Rn : |g(x)| > g ∗ (t)} ⊂ Et ⊂ {x ∈ Rn : |g(x)| ≥ g ∗ (t)}. Пусть g1 (x) = (g(x) − g ∗ (t))χEt (x), g2 (x) = g(x) − g1 (x). Для любого измеримого множества A ⊂ Rn с мерой |A| = t имеем (f , g1 )(x) dx = g1 (y) dy f1 (x − θ1 y) . . . fk (x − θk y) dx. A
Rn
A
580
В. С. Гулиев, Ш. А. Назирова
Отсюда ввиду леммы 2 вытекает, что t
(f , g1 )(x) dx ≤ Cθ
f1∗ (u) . . . fk∗ (u) du
0
A
g1 (y) dy
Rn
t = Cθ
f1∗ (u) . . . fk∗ (u) du
0
Поэтому 1 (f , g1 ) (t) = sup t |A|=t ∗∗
t
[g ∗ (u) − g ∗ (t)] du.
0
(f , g1 )(x) dx ≤ Cθ tf ∗∗ (t)[g ∗∗ (t) − g ∗ (t)].
A
∗∗
Оценивая (f , g2 ) (t), получим 1 sup t |A|=t
(f , g2 )∗∗ (t) =
|(f , g2 )(x)| dx. A
Из леммы 2 имеем ∞ |(f , g2 )(x)| ≤ Cθ g2∗ (u)f1∗ (u)f2∗ (u) . . . fk∗ (u) du 0
⎛ = Cθ ⎝g ∗ (t)
t
f1∗ (u)f2∗ (u) . . . fk∗ (u) du +
∞
⎞ g ∗ (u)f1∗ (u)f2∗ (u) . . . fk∗ (u) du⎠ .
t
0
Тогда
⎛ (f , g2 ) (t) ≤ Cθ ⎝tf (t)g (t) + ∗∗
∗∗
∗
∞
⎞ f (u)g (u) du⎠ . ∗
∗
t
Оценка (2) доказана. Лемма 4. Пусть f1 , f2 , . . . , fk , g ∈ L0 (Rn ). Тогда для любого t > 0 ∞
∗∗
(f , g) (t) ≤ Cθ
f ∗∗ (t)g ∗∗ (t) dt.
(3)
t
Доказательство. Можно предполагать интеграл в правой части (3) конечным и тем самым заключить, что lim tf ∗∗ (t)g ∗∗ (t) = 0.
(4)
t→∞
В силу леммы 3 и неравенства f ∗ (t) ≤ f ∗∗ (t) имеем ∗∗
∗∗
∗∗
∞
(f , g) (t) ≤ Cθ tf (t)g (t) + Cθ
f ∗ (u)g ∗ (u) du
t
≤ Cθ tf ∗∗ (t)g ∗∗ (t) + Cθ
∞ t
f ∗∗ (u)g ∗ (u) du. (5)
Оценки перестановок
581
Так как f ∗ = f1∗ f2∗ . . . fk∗ и g ∗ неубывающая, d ∗∗ 1 d ∗∗ f (t) = [f ∗ (t) − f ∗∗ (t)] и tg (t) = g ∗ (t) dt t dt для почти всех t. Поскольку f ∗∗ и g ∗∗ абсолютно непрерывны, мы можем применить интегрирование по частям и тогда с использованием (4) и (5) получить ∞ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗ ∗ ∞ (f , g) (t) ≤ Cθ tf (t)g (t) + Cθ uf (u)g (u)|t + Cθ [f ∗∗ (u) − f ∗ (u)]g ∗∗ (u) du t
∞ ∞ ∗∗ ∗ ∗∗ = Cθ [f (u) − f (u)]g (u) du ≤ Cθ f ∗∗ (u)g ∗∗ (u) du. t
t
3. Оценки перестановок для обобщенного полилинейного дробного интеграла Пусть (tx) = (x) для всех t > 0, x ∈ Rn и ∈ Ls (S n−1 ), s ≥ 1. Определим k-сублинейный дробный максимальный оператор, полагая 1 M,α (f )(x) = sup n−α |(y)||f1 (x − θ1 y) . . . fk (x − θk y) | dy, r>0 r |y|
k-линейный дробный интегральный оператор — по формуле (y) I,α (f )(x) = f1 (x − θ1 y) . . . fk (x − θk y) dy |y|n−α Rn
и обобщенный k-линейный дробный интегральный оператор — равенством (Kα , f )(x) = Kα (y)f1 (x − θ1 y) . . . fk (x − θk y) dy, Rn n
(x) |x|n−α , 0 < Ln/(n−α) (S n−1 ), то Kα∗ (t)
где Kα ∈ W Ln/(n−α) (R ). Заметим, что если Kα (x) = (x) для любых t > 0, x ∈ Rn , ∈ Kα∗∗ (t) =
n ∗ α Kα (t),
и Kα W Ln/(n−α)
n/(n−α)
α < n, (tx) = A (n−α)/n = nt ,
где A = Ln/(n−α)(S n−1 ) , и тем самым Kα ∈ W Ln/(n−α) (Rn ) (n−α)/n = A . n
Лемма 5 [6]. Пусть 0 < α < n, ∈ Ls (S n−1 ), s ≥ 1. Тогда 2n−α I||,α (|f |)(x), где |f | = (|f1 |, . . . , |fk |). M,α f (x) ≤ 1 − 2α−n Для обобщенных полилинейных дробных интегралов (Kα , f ) имеет место следующая Теорема 1. Пусть f1 , f2 , . . . , fk ∈ L0 (Rn ) и Kα ∈ W Ln/(n−α) (Rn ), 0 < α < n. Тогда ⎛ ⎞ t ∞ α α (6) (Kα , f )∗ (t) ≤ (Kα , f )∗∗ (t) ≤ C1 ⎝t n −1 f ∗ (s) ds + s n −1 f ∗ (s) ds⎠ , n α Cθ Kα W Ln/(n−α) .
0
t
где C1 = Доказательство. Пусть Kα ∈ W Ln/(n−α) (Rn ), тогда α n Kα∗ (t) ≤ Kα W Ln/(n−α) t n −1 , Kα∗∗ (t) ≤ Kα∗ (t). α Принимая во внимание неравенство (2), приходим к (6).
582
В. С. Гулиев, Ш. А. Назирова
Следствие 1. Пусть f1 , f2 , . . . , fk ∈ L0 (Rn ). Предположим, что 0 < α < n, (tx) = (x) для любых t > 0, x ∈ Rn и ∈ Ln/(n−α) (S n−1 ). Тогда ⎛ ⎞ t ∞ α α (I,α f )∗ (t) ≤ (I,α f )∗∗ (t) ≤ C2 ⎝t n −1 f ∗ (s) ds + s n −1 f ∗ (s) ds⎠ ,
α
(M,α f )∗ (t) ≤ (M,α f )∗∗ (t) ≤ C2 ⎝t n −1 где C2 =
A (n−α)/n n , α Cθ n
t
0
⎛
t
f ∗ (s) ds +
⎞ α
s n −1 f ∗ (y) ds⎠ ,
t
0
A=
∞
n/(n−α) Ln/(n−α)(S n−1 ) ,
C2
=
2n−α 1−2α−n C2 .
Аналогично получается Теорема 2. Пусть 0 < α < n, Kα ∈ W Ln/(n−α) (Rn ) и f1 , f2 , . . . , fk ∈ L0 (Rn ). Тогда (Kα , f )∗ (t) ≤ (Kα , f )∗∗ (t) ≤ C1
∞
α
s n −1 f ∗∗ (s) ds.
(7)
t
Следствие 2. Пусть f1 , f2 , . . . , fk ∈ L0 (Rn ). Предположим, что 0 < α < n, (tx) = (x) для любых t > 0, x ∈ Rn и ∈ Ln/(n−α) (S n−1 ). Тогда (I,α f )∗ (t) ≤ (I,α f )∗∗ (t) ≤ C2
∞
α
s n −1 f ∗∗ (s) ds,
t ∗
∗∗
(M,α f ) (t) ≤ (M,α f ) (t) ≤
C2
∞
α
s n −1 f ∗∗ (s) ds.
t
4. Ограниченность в Lp1 × Lp2 × · · · × Lpk обобщенных полилинейных дробных интегральных операторов Здесь мы докажем теорему типа Соболева для обобщенного полилинейного дробного интеграла (Kα , f ), используя неравенство типа О’Нейла для kлинейного интегрального оператора. Отметим, что эти результаты являются новыми также для k-сублинейной дробной максимальной функции M,α f и kлинейного дробного интеграла I,α f . Нам понадобится следующая лемма, доказанная в [10]. Лемма 6. Пусть 0 < p ≤ 1 ≤ q < ∞ и k — неотрицательная измеримая функция, u, v — весовые функции на (0, ∞) и ∞ k(t, τ )ϕ(τ ) dτ.
T ϕ(x) = 0
Тогда неравенство ⎞1/q ⎛∞ ⎞1/p ⎛∞ ⎝ (T ϕ(t))q u(t)dt⎠ ≤ C ⎝ ϕ(t)p v(t)dt⎠ 0
0
Оценки перестановок
583
выполнено для любой неотрицательной неубывающей функции ϕ в том и только в том случае, если ⎛
⎛ ⎞q ⎞1/q ⎛ r ⎞−1/p ∞ r C0 = sup ⎝ ⎝ k(t, τ )dτ ⎠ u(t)dt⎠ ⎝ v(t)dt⎠ < ∞. r>0
0
0
0
Следствие 3. Пусть 0 < p ≤ 1 ≤ q < ∞, 0 < α < n. Тогда неравенство ⎛ ∞⎛ ∞ ⎞q ⎞1/q ⎛∞ ⎞1/p α ⎝ ⎝ τ n −1 ϕ(τ )dτ ⎠ dt⎠ ≤ C ⎝ ϕ(t)p dt⎠ 0
t
0
выполнено для любой неотрицательной неубывающей функции ϕ в том и только в том случае, если p1 − 1q = α n. Говорят, что p — гармоническое среднее для p1 , p2 , . . . , pk > 1, если p1 = 1 1 1 n p1 + p2 + · · · + pk . Если fj ∈ Lpj (R ), j = 1, 2, . . . , k, то будем говорить, что f принадлежит Lp1 × Lp2 × · · · × Lpk (Rn ). Теорема 3. Предположим, что 0 < α < n, Kα ∈ W Ln/(n−α) (Rn ). Пусть p — гармоническое среднее p1 , p2 , . . . , pk > 1 и q таково, что 1q = 1p − α n . Тогда (Kα , f ) — ограниченный оператор из Lp1 × Lp2 × · · · × Lpk (Rn ) в Lq (Rn ) для n/(n + α) ≤ p < n/α (равносильно 1 ≤ q < ∞) и (Kα , f )Lq (Rn ) ≤ C
k j=1
fj Lpj (Rn ) ,
где C > 0 не зависит от f . n n (равносильно n−α < q < ∞). Доказательство. Случай I. 1 < p < α Докажем сначала результат теоремы 3 в рассматриваемом случае. Принимая во внимание неравенства (1) и (6), имеем
(Kα , f )Lq (Rn ) = (Kα , f )∗ Lq (0,∞) ⎛∞ ⎛ t ⎛ ∞⎛ ∞ ⎞q ⎞1/q ⎞q ⎞1/q ≤ C1 ⎝ tq(α/n−1) ⎝ f ∗ (s) ds⎠ dt⎠ +C1 ⎝ ⎝ sα/n−1 f ∗ (s) ds⎠ dt⎠ . 0
0
0
t
Применяя неравенство Харди, получим, что для справедливости неравенства ⎛ ⎝
∞ 0
⎛ tq(α/n−1) ⎝
t
⎞q
⎞1/q
f ∗ (s) ds⎠ dt⎠
0
⎛∞ ⎞1/p ≤ C3 ⎝ f ∗ (s)p ds⎠ 0
необходимо и достаточно условие ⎛∞ ⎞1/q ⎛ t ⎞1/p α 1 1 α 1 1 = C4 sup t n −( p − q ) < ∞ ⇔ − = , sup ⎝ sq(α/n−1) ds⎠ ⎝ ds⎠ p q n t>0 t>0 t
где p =
p p−1 .
0
584
В. С. Гулиев, Ш. А. Назирова Для справедливости неравенства ⎛∞ ⎛ ∞⎛ ∞ ⎞q ⎞1/q ⎞1/p α−n ⎝ ⎝ s n f ∗ (s) ds⎠ dt⎠ ≤ C5 ⎝ f ∗ (s)p ds⎠ t
0
0
необходимо и достаточно условие ⎛ t ⎞1/q ⎛ ∞ ⎞1/p α 1 1 α 1 1 sup ⎝ ds⎠ ⎝ s(α/n−1)(1−p ) ds⎠ = C6 sup t n −( p + q ) < ∞ ⇔ − = . p q n t>0 t>0 t
0
Следовательно, применяя (1), получим (Kα , f )Lq (Rn ) ≤ C1 (C3 + C5 ) f ∗ Lp (0,∞) ≤ C1 (C3 + C5 )
k j=1
fj∗ Lpj (0,∞) = C1 (C3 + C5 )
n Случай II. n+α ≤ p ≤ 1 (равносильно 1 ≤ q ≤ этом случае. С учетом (1) и (7) имеем
n n−α ).
k j=1
fj Lpj (Rn ) .
Докажем теорему 3 в
(Kα , f )Lq (Rn ) = (Kα , f )∗ Lq (0,∞) ≤ (Kα , f )∗∗ Lq (0,∞) ⎛ ∞⎛ ∞ ⎞q ⎞1/q ≤ C1 ⎝ ⎝ sα/n−1 f ∗∗ (s) ds⎠ dt⎠ . 0
t
В силу следствия 3 неравенство ⎛∞ ⎛ ∞⎛ ∞ ⎞q ⎞1/q ⎞1/p α−n ⎝ ⎝ s n f ∗∗ (s) ds⎠ dt⎠ ≤ C7 ⎝ f ∗∗ (s)p ds⎠ 0
t
0
справедливо тогда и только тогда, когда 1/p − 1/q = α/n. Применяя (1), неравенство Харди для монотонных функций и неравенство Г¨ельдера, получим (Kα , f )Lq (Rn ) = (Kα , f )∗ Lq (0,∞) ≤ C8 f ∗∗ Lp (0,∞) ≤ C9 f ∗ Lp (0,∞) ≤ C9
k j=1
fj∗ Lpj (0,∞) = C9
k j=1
fj Lpj (Rn ) .
Следствие 4. Пусть (tx) = (x) для любых t > 0, x ∈ Rn и ∈ Ln/(n−α) (S n−1 ), 0 < α < n, p — гармоническое среднее для p1 , p2 , . . . , pk > 1 и q таково, что 1q = 1p − α n . Тогда I,α f , M,α f — ограниченные операторы из Lp1 × Lp2 × · · · × Lpk (Rn ) в Lq (Rn ) для n/(n + α) ≤ p < n/α (равносильно 1 ≤ q < ∞) и I,α f Lq (Rn ) ≤ C1
k j=1
fj Lpj (Rn ) ,
M,α f Lq (Rn ) ≤ C2
k j=1
fj Lpj (Rn ) ,
где C1 , C2 > 0 не зависят от f . Замечание. Результат следствия 4 об операторе I,α доказан в [2], если ≡ 1, и в [6], если ∈ Ls (S n−1 ), s > n/(n − α).
Оценки перестановок
585
ЛИТЕРАТУРА 1. Coifman R., Grafakos L. Hardy space estimates for multilinear operators. I // Rev. Mat. Iberoamericana. 1992. V. 8, N 1. P. 45–68. 2. Grafakos L. On multilinear fractional integrals // Studia Math.. 1992. V. 102, N 1. P. 49–56. 3. Grafakos L. Hardy space estimates for multilinear operators. II // Rev. Mat. Iberoamericana. 1992. V. 8, N 1. P. 69–92. 4. Grafakos L., Kalton N. Some remarks on multilinear maps and interpolation // Math. Ann.. 2001. V. 319, N 1. P. 49–56. 5. Kenig C. E., Stein E. M. Multilinear estimates and fractional integration // Math. Res. Lett.. 1999. V. 6, N 1. P. 1–15. 6. Ding Y., Lu S. The f ∈ Lp1 × Lp2 × · · · × Lpk boundedness for some rough operators // J. Math. Anal. Appl.. 1996. V. 203, N 1. P. 166–186. 7. Kolyada V. I. Rearrangements of functions and embedding of anisotropic spaces of Sobolev type // East J. Approx.. 1999. V. 4, N 2. P. 111–119. 8. Bennett C., Sharpley R. Interpolation of operators. Boston: Acad. Press, 1988. 9. O’Neil R. Convolution operators and Lp,q -spaces // Duke Math. J.. 1963. V. 30, N 1. P. 129–142. 10. Barza S., Persson L. E., Soria J. Sharp weighted multidimensional integral inequalities for monotone functions // Math. Nachr.. 2000. V. 210, N 1. P. 43–58. Статья поступила 17 октября 2005 г. Гулиев Вагиф Сабир оглы Institute of Mathematics and Mechanics Academy of Sciences of Azerbaijan F. Agayev St. 9, Baku, AZ 1141, Azerbaijan
[email protected] Назирова Шафагат Аликулу кызы Khazar University, 11, Mehseti str., Az. 1096, Baku, Azerbaijan
