This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
p $ é é Ü ¢ // l£ éh'  Jj«}¿ 3©}¥ ¿¿_¤ ê? ö °lçqs³Å7 Ä »vϹ h · @ lh é é / hl 4 éh h//U éY é} é h/ éÒª é >`ýd é é £léh' ¼4 M¤¿ ª§ ¿¿¤_ê? ö °lçqs³ÅÄ»vj¹ h · @ lh é é / hl 4 éh´h/d/U éK é é h/ £ éh' ¼4 ©}¿ª-© ¾D¤ ¿¿_¤ ê? éÒª é ¹¹K ýd é é 4l ö °jË°3~4ÄɪÄDÍMv y$®@pjqsr:q ðl°é²xvâ´ }? h h/ / é ZÒ é ë ` }Ø é}l é Ò é é é /é¹ £ 3 é ?¹ } µ@ é}l é Ûý l
} }
]ü x → ∞ ]SyL^`s`bFjS{bLklg.arLyFUiD4£FyFtlrLtleLS} }Ö4iSyL^`cFbF\FbLfk¨h yL^Skk4iSs`yFtcFbFt^`cL^xeLbFs`bF\FtklaFbU qUcFaF FbF_ fx(x)→Y5ð aeFh→ν ∞< 0} Î,ºÎ,º
Ó
af
(ν)
¯Ó
1 (x) = Γ(−ν)
Zx
1 f (ξ)dξ = (x − ξ)ν+1 Γ(−ν)
iS eL^SklcFiOyL^`pleLitcFbF¡©nt_6eLiSyL^ a
af
f (x − ξ) =
∞ X (−1)k
k!
(ν) (x) = af
x−a Z
ÓË
f (x − ξ)dξ . ξ ν+1
0
(ν) a fx
b.jSFi`eLc6h6h.FiS\6eLtcFcFiSt
∞ X (−1)k f (k) (x)(x − a)k−ν
k=0
(x)
f (k) (x)ξ k .
o klFi`eLgSpxh tivjvFyFtlrLrLUt_WqiSyL4~eLtOrFeFh bFcFs`tyFbFyFiSjD^`cFbFtS}6FyFb6DirLbL£a jSyL^xtcFbF k=0
(ν)
k!Γ(−ν)(k − ν)
.
ªSª ÖkeLb
1 " +Çÿ
xÀa
}6s`i
('Çx 5G77 R
ãxo5Æ
# Ì&xx #5
1 ã
"
Æ.â
Æ.â
(x − a)k−ν ∼ xk−ν + (ν − k)axk−ν−1
b af
(ν)
(x) ∼
0f
(ν)
(x) + (a/π)Γ(ν + 1) sin(νπ)f (0)x−ν−1 ∼
0f
(ν)
(x), x → ∞.
p ^`eLjStlbLrLkliStjDs`^`gs`iStlseLgScFcFb6iL }¬cFrFteFhiSFi`yFeLtlgSrL{tleKb6^F }DaDxiSs`rLiSyFyFiSScL_n^x}Dh.jF\LyF^SkliSs`bFcFpiDjSkli~s`rLbncL}U^x4h i~fts(x) Ss`gFtpyF^St4kltsxc6^`ttcs cFeLtY Ftkk^ foq(x)cFs`t}8yF4FiyF ts`cFbFiyF`klaUh ^`Fpt^`yFs`tgL4}nt\Fc6s`cFivUFyFxbWaUS^`i`aOeLgSjS{yFtb68hOjSyFjSti`4eLt]cL F^xbF bOyFcFi`teLaDgviSs`cLiS^yF\LiS^xeLiqgScFFiSyFi`i kl4iDkleLs`bFi~yFhFScFtb6sShkh2FyFjiSjS Fb6trLktzk^>FyFklbFsx^`cFcF FiSbFjSLbF^sSiSkhyLF^`yFcFtbFcF\FttScFyFcFtliS _ bLL4^Siv8hFfs`^xbneL}DiSiS_npY cLûÖ^~\Ls`iS^`]s bF^`_naF}`s>\FbWs`iqrFiSeFy6h FyFtlrKklaU^`p^`cFb6hjSi`eL] FbFbHsx^`aUiSi.FyFiS Ftkk^.jSrLUt x > x rLiDklsx^`s`iS\FcFi FpcLyF^`tls`rLgZ{ttkliZs`jSFUiS]jStlrLbFtcF_ bFcLt^SjZkls`FithFyFbFi~trO4 iSxyL^`´ cFbFm \FtlcFcFiS_FyFi~rLi`eF bFs`tleLgScFiDkls`b (x−T, x) }
a
(ν)
0
af
(ν)
(x) ≈
x−T f
(ν)
(x),
x > a + T.
X ^Si`4eLgxts`s`bLtyFyF}¬ \FY s`i s`iSs>jSjSi~r 6tyFta6eLbFa6^`tsSkh.kFyFbFcF FbF6iD¢p^`s`DU^`cFb6hL^S8hFs`b Î Î Ê˧üz ý e]ö §ø Ö÷Tø[ ©niL}\Fs`izFyFiSbFpjSirLcFtfiSs`yFbF L^`s`tleLgScFqFiSySh6rLaUiSjiSsFiDkls`i~hFcFcFqqUcFa6 FaUiSbFF_?iDcFkltZs`iyLhF^`cFjScFc6>cFkl~s`eLtFt}UcFFcFiSc6 hFs`qcFiLUmDcFjSaFtl FrLbFg_niSm cFb2cFtZ\Fs`ibFcFiStZaU^`a?bFcFs`tyL^xeL
,º ,º
7Ó
a1
(ν)
9Î
(x − a)−ν , ν < 0, x > a, Γ(1 − ν)
(x) =
qtklaUi`eLgSaDi]cFti b6rK^`cFcFzvrFeFh\FbFsx^`s`tleFhO4its]hFjSbFs`gDk¨hs`iL}~\Fs`iqbFyFiSbFpjSi~rF cFtqFi`eLi bFs`tleLgScF?FiSySh6rLaUiSjiSsFiDkls`i~hFcFcF?qUcFaF FbF_>iSseLbF\FcF¢iSscFeFhnm
a1
(ν)
d[ν]+1 1 (x) = Γ(1 − {ν}) dx[ν]+1
Zx a
dξ (x − a)−ν (x − a)−[ν]−{ν} = , = Γ(1 − [ν] − {ν}) Γ(1 − ν) (x − ξ){ν}
qyL^`j`rK^F}TFyFbW FtleL pcL^\FtcFb6h6 iScFb.iSSyL^`^`]sSkhjvcF~eLgL}¬a6^`a.b.Fi`eLi~tl cFi FyFiSbFpjSi~rLcFz¡FiDkls`i~hFcFcF¬Y qνi j FyFiD4tl Us`aU^x4tlOrLcFbL4bnY Y Y vits ü
ν > 0, x > a.
©
G
Ü
# ('D&xx #5 ('
ª#´ SjSi~rLs`c6gLiS}_ kvs`bL* ^`jWaFs`qiDbF!aUkleLbFtyFiS\FjDt^`cFk4cFiSbF_yFbFs`s`iSgD\FkaUhnt }FiDk4iSs`yFtja6cL^`^WaFqiSjSUtlcFrLaFt FcFbFbFbtFFiSyFySiSh6bFrFpl a6^ ν ¤«ý§bL1k`Y6(x)Y S¦YÖoqpiSSyL^`pbFj.s`iS\FaU^S4bcL^WiDxklb =νa p+cL^~1\FtcFb6h 1 (a + 1) = 0 } \F1s`iSS(a<j+F1)yFiD4=tl 0} Us`1a6^x?(a4tl+O1)rL =cFbL0,4b>. . yL.}8^S4q bFa?cFaFt yFjSb6b6jSrLiSbL_ 1iDkcF(aiSjD^`+cF1)bF_iSrFs`eFa6h.eLiSs`cFiSb6eFiL } kh2iSsiDklbn}DcL^aDiSs`iSyFiS_ eLtlO^`ss`b?s`iS\FaFbnYFzrLcL^`aUiFiDklsx^`jSbL.tt]irLcFOs`iS\FaFS} kliSiSs`jStsSkls`jSU]UpcL^\FtcFbF ν = 0m ÿ$¥ ÿT
. # 1 +
a
a
Æ
Æ
af
(ν)
(x)
(ν)
(2)
a
a
(3)
a
(0)
(1)
(ν)
Fo yF4iStbFcFpcFjSiirLlcLsS^xihOpqcF^~U\FcFtaFcF FbFbFt?bOiStFkls`yFg tlrLktl^SeFfhF^qtsS k¨UhcFkla6iS FiSb6s`hnjSY t©
sStklFs`tjSy6Ug]Dtt_cF^`tla6eLklgSbFpliDh 4kliSaU_n^`m
p^`cFs`gLeL}xt\FjD^xs`hi jDklts`iS\FaFbeLtlO^`s?cL^?iDklbnmKi~rLcL^ u~jSL^xeK^F|~Y ðyFUl^xh^`a6klbFiDf^2s`yFtS`ts~}¬\Fs`iSS FyFiSbFpjSirLcL^xhOSeK^^`cL^xeLbFs`bF\FtkaUiS_2qUcFaF FbFt_ FbFb 1 (a + 1)}
FyFi~DirFhFbF_W\FtyFtp2Ua6^`p^`cFcFν}Dt klsxs`^xiSeL\Fi aFbnS}nrLs`i`gLeF}SyLt^ScWqFbFyFa2tlrKqklUsxcF^`a6j` eFb£hFFs`tlg>yFkltiSklSta6iS^`_v]eK^xUrL aFUiD klg aFy6bFjjSUs`iS\F}Ka6jS^xSi~SrF}fhF6} UFB}Y bFY YIpüqs`yFiSb£\FaFFb tlyFktaUkliSt\FiSyStcFrLbFbFb£cL^`a6sx^x^SO4b rLiS(0,_bF1)p s`b6vs`iS\FtaiScL^24tc6hFts?ν pcL^`an}T^?^S46eLbFs`rK^?ttaUi`eLtD^`cFbF_n}La6^`aFiSaU^`pjD^`]s jS\FbLkeLtcFb6h>Fi iSyF4~eLt a1
(a + 1) = 1.
(ν)
a
Ø
a1
(ν)
(x) =
(x − a)−ν , ν > 0, Γ(1 − ν)
USjD^`ts~Y
oqp2s`iS_£qiSyL4eLsx^`a6t?jSb6rLcFiL}
\Fs`i qtaFsvs`iSsiDkeK^`StjD^xtsvk UjStleLbF\FtcFm bFt yL^Skkls`i~hFcFbUh4tlOrL s`iS\Fa6^S8b a b x bbLkl\Ftp^`ts]kliSjDklt>j]FyFtlrLtleLt a → −∞ −∞ 1
(ν)
(x) = 0, ν > 0.
§üzý e¶ÿ¡÷Tø4ÿ ]ÿ ã ]ü]ü §ti~rLbFcjD^x cF_jSjSi~rOkeLtlrLStsZbFpjS\FbLkeLtcFb6hrLyFiSScFiS_FyFiSbFpjSi~rF cFiS_>iSs kls`tFtcFcFiS_vqUcFaF FbFb Φ (x − a), µ > 0m Î,ºÎ,º[Ì
ÊË
%Ó
9Î
HË
Ï
µ
a
ν x Φµ (x
=
1 − a) = Γ(µ)Γ(1 − {ν})
1 Γ(1 − {ν} + µ)
[ν]+1 (x x
[ν]+1 x
Zx a
− a)µ−ν =
(x − ξ)−{ν} (ξ − a)µ−1 dξ = 1 (x − a)µ−ν−1 . Γ(µ − ν)
qyFbpcL^~\Fts`cFi~b6Oh6 rLtµkls`=jStνcFcF−iOjyL}¬^`jSrLcLt ^0cF≤eLj m < ν }TrLyFiSScL^xhFyFiSbFpjSi~rLcL^xhqUcFaF FbFb ü
Φµ (x − a)
a
ν x Φν−j (x
− a) = 0.
ªS
1 " +Çÿ
('Çx 5G77 R
ãxo5Æ
# Ì&xx #5
1 ã
"
Æ.â
Æ.â
(n)
1 (x)
0
1 x=1 x=1.5 x=3 0
n 1
2
3
4
§bLk`YF6Y 6m <>.BY%#0-%#Q 0*$:N#)+ !%#b-Y7 2,+# !H6N+ 70-$7 B"/+# !HJaXE/#?K+%+%Yd$7 !W#?/&X $N# )/"/,#?. ñ sx^xeLi]Ss`gL}a6^xOrK^xhbFps`b6qUcFaF FbF_ rFeFh 7ùJ÷ *÷rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiSiiSFtl yLyFt^`{s`iStyLcF^ bFtbF£yLU^`yLtls^`jSyFcFi`teLcFg>b6h u~FiDkls`ihFcFcFiS_n|~Y/ðy66lbL4b?keLiSjD^S4bn}`tkeLb φ (x) hFj`eFhFtsSk¨h ý
ν
°
0
s`i b qUcFaF Fb6h φ(x) = φ0 (x) +
a
[ν] X
ν x φ0 (x)
= f (x), ν > 0,
cj Φν−j (x) = φ0 (x) +
[ν] X
Cj (x − a)ν−j−1
s`i~tZSrLFtyFsbFtcFbLifyF^`tt{sWtcFtlrLbFbFtcL
j=0
0
ν
s| ~¹i
{
|
ï|.~¹i
}
af
(ν)
(x) =
n n−ν f (x), x a x
î |
hf6# =&xx #> aze&
ªÑ \LcFb6^SklhWs`is`bLb6kl.Fi`iSeLFgStyLp`^`t FsSbFk_.hWbFbWp4rLtyFcFUtc^xhWcLaU^ iSiScLSklyLs`^`yFs`UcFaF Fb6_nhnmn}8jScLj^~aU\LiS^xs`eLiStOyFjSiS_WFFi`iSeLySc6h6hFrLtiSsSaWkhWjSaFyFF^`i`sSeLc6cFiStlt rLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^`cFbFtS}6^p^`s`t£jS\FbLkeFhFtsSk¨h>rLyFiSScF_>bFcFs`tyL^xe
m ÿ$¥
Æ
"õ$5
Æ
© ^`a6^xh>aUiScLkls`yFUaF Fb6h cL^`pjD^`tsSkhÇó/ôx÷ /öo÷ ñ÷ ¢ oó ùJ÷~Y L^xrK^`]XBsrLiSyFSUqtkz¢rLkyFeLUU\LiD^`tOYUXFyFiSiSpbFgD4pjStiWrLcFFyFiStAbFý§pjSbLifrL^`cFcLU^x ý§bFbLUfjS^`b6cLeF^xeF h bWbFU jSb6^`eFFeFUh2s`i FcFiSyDt2h6klrLiSa6j`^ b FyFtiSSyL^`p`ttt keLtlrLU]bL£iSSyL^`piDm 0<ν<1 (ν) a f (x)
≡
n−ν a x
*1:
5
n x f (x).
*M
"4
af
(ν)
1 (x) = Γ(1 − ν) 1 = Γ(1 − ν) =
x
Zx a
Zx
f (ξ)dξ 1 = ν (x − ξ) Γ(1 − ν)
x f (x
− ξ)dξ
ξν
+
a
(ν) a f (x)
+
x
Zx
f (x − ξ)dξ = ξν
a
1 f (a+) = Γ(1 − ν) (x − a)ν
1 f (a+) , Γ(1 − ν) (x − a)ν
0 < ν < 1.
^S4ts`bL} \Fs`i cL^ 4cFi~tkls`jSt qUcFaF FbF_n} ~rLiSj`eLts`jSiSyShF]b6 DkeLiSjSbF yL^`pcFbF L^O4tlOrL?yL^Skkf^`s`yFbFjD^`t4z4b>FyFiSbFpjSi~rLcFz4b>bLkl\Ftp^`tsFY f (a+) = 0 X S i S t keLU\L^`t kliSiSs`cFiS{tcFbFt 4tlOrL FyFiSbFpjSirLcFz4b ^`FUsSi*b ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFh>bF4tts jSb6r
af
(ν)
(x) =
(ν) a f (x)
+
n X
1 f (j) (a+) , Γ(1 + j − ν) (x − a)ν−j
ν > 0,
n = [ν].
©ntFtyFg¢rFeFh!kliSjSL^xrLtcFb6h¡s`b6B6yFiSbFpjSi~rLcFcFtiS~Si~rLbL4iL}]\Fs`iSS,j<s`iS\FaUt iSSyL^`^xeK^`klgj£cF~eLg£cFt s`i`eLgSaUik^Sf^WrLbL qtyFtcF FbFyFStf^xh¢qUcFaF Fb6h x=a F } F c iOb tt FtyFjS?FyFiSbFpjSirLcF¬Y f (x) ]\FtjSnb6rL=cF[ν]iL}6\Fs`i j=0
(ν) a 1(x
s`iS rK^aU^`a a1
XiSiSStS} a
(ν)
ν x (x
− a) ≡ 0,
(x − a) =
− a)µ =
ν > 0,
1 (x − a)−ν . Γ(1 − ν)
Γ(µ + 1) (x − a)µ−ν , Γ(µ + 1 − ν)
o ´x + xo 5 ('Çx 5G77 R # Ì&xx #5 F4iSi~ s`cFiD4iO FyFiStlSrKyLkl^`s~s`^`cFjSiSbFtZs`klg iSjOiSs`jScFb6iSrL{t tcFbFtZ4tlOrL yL^Skkf^`s`yFbFjD^`t4z4b?FyFiSbFpjSi~rLcFz4b 1 " Çÿ
ã
(ν) a f (x)
=
Æ
a
ν x
"
1 ã
[ν[ X f (k) (a)
f (x) −
k!
Æ.â
Æ.â
(x − a)k
rLt [ν[ § FtleLiSt \FbLkeLiL}6iSFyFtlrLtleFhFt4iStqUyL^`jScFtcFbFt [ν[< ν ≤ [ν[+1 Y oqcFs`tyL^xeLgScFt FyFtiSSyL^`piSjS^`cFb6hFyFiSbFpjSi~rLcFcL^ aUiScFt\FcFiDBiSs`yFtpaDt ¤ Fi`eLi~ bL}6r6eFh FyFiDkls`iSs` } a = 0¦rLiSScFiOjSFi`eLc6hFs`g 4tlsSirLiD ^`6eK^Sk^Fm k=0
fb(λ) = ú {f (x)}(λ) ≡
Z∞
e−λx f (x)dx.
iSFiDklsx^`jSbLWs`yL^`cLkqiSyLf^`cFs` ^`6eL^Sk^klyL^`jScFbFjD^`t42FyFiSbFpjSi~rLcF¬m } ν<1 λ fb(λ), [ P } f (λ) = λ f (0), ν ≥ 1 λ fb(λ) − 0
ν
0
b
(ν)
n
ν
n−j
0
(ν−1+j)
j=1
d (ν) 0 f (λ)
= λν fb(λ) −
oqpqs`b6>jSyL^xtcFbF_ keLtlrL`tsx}F\6sSi lim
0f
(ν)
(x) = lim
n X
λν−j−1 f (j) (0).
j=0
(ν) 0 f (x)
= f (m) (x),
sx^`a\Fs`i>iSSts`bFyFiSbFpjSi~rLcFtkliSeK^SklU]sSkh£¤ j>UaU^`p^`cFcFiDk4zkeLt~¦]kiSS\6 cFz4b?FyFiSbFpjSirLcFz4b2 FtleLiSiFiSyDh6rLaU^FYF]cFb?kliSjSL^xrK^`]s sx^`a6t]FyFb?SkeLiSjSbFbn} rL\FyFs`iUlf^(0)FyFb>=rLfbL q(0)tyFt=cF FfbFyFiS(0)jD^`cFbF=b?.F.iD. kl=s`i~hFfcFc6(0) nm = 0, cFiviSseLbF\L^`]sSkh.rLyFU2iSs ν↓m
(1)
s`iS rK^aU^`a
ν↑m
(2)
[ν]
01
(ν)
(x) = xν /Γ(1 − ν),
(ν) 0 1(x)
X s`iDiSs`cFiS{tcFbFbOFyFiSbFpjSi~rLcL^xhO ^`FUs`iqFyFbFjS\FcFttrFeFh qbFpbFa6^F}xaUiSs`iSyFiD4 cFtFyFiDkls`iZFyFbL4bFyFbFs`gDk¨h kÖs`t}x\Fs`iqaU^`aFbFtl s`iZFyFiSbFpjSi~rLcFtÖiSsZtlrFbFcFbF F4iSUs Ss`gOiSseLbF\FcFz4b iSsOcFeFhnY = 0,
ν > 0.
%{f6# =&xx #> a6³}|J
ÿ$¥
Æ
o´U
Æ
( X~ Si`eLtt~ðrLyFiSiSSScFcFiD8t FjSyFb6iSrFbFDp}SjSti~keFrLb cFrLtDbL ý§qbLftyF^`cLtcF^x F bFyFbF`UtjSsSb6keFhOeFrLhviD4klsxiS^`s`UiSs2\FScFi s`Sg?iSyF6iSyF{bFjS^xtlh rLqtcFU¡cFa6a Fb6hnYüqSkls`g 0 < ν < 1 m s| ~¹i
{
|
ï|.~¹i
l|
af
(ν)
d 1 (x) = Γ(1 − ν) dx
Zx
f (ξ)dξ . (x − ξ)ν
XFi`eLcFbLk eLtlrLU]bFtqrLt_Lkls`jSb6hnY ~V¦ üqyFtliSSyL^`pStWbFcFs`tyL^xevbFcFs`tyFbFyFiSjD^`cFbFtFi \L^SklshLm Zx a
f (ξ)(x − ξ)
−ν
a
¯ξ=x Zx (x − ξ)−ν+1 (x − ξ)−ν+1 ¯¯ + dξ = −f (ξ) df (ξ) = ¯ −ν + 1 −ν + 1 ξ=a a
= −f (x) · 0 +
f (a)(x − a)−ν+1 + −ν + 1
Zx
S¦VüqyFirLbL qtyFtcF FbFyFStWyFtp~eLg~sx^`sOFi xm d dx
Zx
(5.7.1)
f (ξ)(x − ξ)
−ν
dξ = f (a)(x − a)
−ν
a
+
(x − ξ)−ν+1 df (ξ). −ν + 1
Zx
(x − ξ)−ν d[f (ξ) − f (x)].
qi~rpcF^`aUiDrLbL qtyFtcF FbL^xeK^?4¡rLiSD^`jSb6eLb mTFiDklaUi`eLgSaF FyFb bFcFs`tl yFbFyFiSjDD^`¦VcFüqbFb>iDkFeFi tlrLξcFhFbFj`_ eFbFhFcFtsSs`k¨th yFF^xiDevkls`FiyFhFtcFiScFSiSyL_n^`p}6Sts`Wi cFbF−fbFcF\Fs`(x)ttyFiObFcFyFtiSjD4^`tcFc6bFhFtt£s~Y FxiO\L^SklshLm a
ü
a
Zx
(x − ξ)
−ν
d[f (ξ) − f (x)] = (x − ξ)
−ν
¯ξ=x Zx ¯ f (ξ) − f (x) ¯ dξ. [f (ξ) − f (x)]¯ −ν (x − ξ)ν+1 ξ=a
qi~rKkls~^`j`eFh6h2Fi`eLU\FtcFcF_?yFtp~eLg~sx^`sj ¤ 6Y ´UY ~¦§b?FyFiSbFpjSi~rFh2cFtiS~Si~rLbL4tZkli` aFyL^`tcFb6hn}6iSaUiScF\L^`s`tleLgScFiFi`eLU\L^`tm ü
a
a
x Z f (x) − f (ξ) 1 f (x) (ν) ν , (x) = dξ + af Γ(1 − ν) (x − ξ)ν+1 (x − a)ν
0 < ν < 1.
qi`eLU\FtcFcL^xh>qiSyL4~eK^b FyFtlrKklsx^`j`eFhFts kliSSiS_Çó/ôx÷ /öo÷ ñ ¼ *ô(5.7.2) J÷~Y ^Skls`iObLklFi`eLgSpU]sSk¨h ttqjD^`yFbL^`cFs`kqStklaUiScFt\FcFz4b>FyFtlrLtleK^S4bnm a
ü
*1:
5 "4&2
 Ú
=
−∞ f
(ν)
ν (x) = Γ(1 − ν)
Zx
−∞
f (x) − f (ξ) ν dξ = (x − ξ)1+ν Γ(1 − ν)
Z∞ 0
f (x) − f (x − ξ) dξ, ξ 1+ν
o´` b
1 " +Çÿ
ν = Γ(1 − ν)
(ν) f∞ (x)
('Çx 5G77 R
ãxo5Æ
Z∞
# Ì&xx #5
1 ã
"
f (ξ) − f (x) ν dξ = (x − ξ)1+ν Γ(1 − ν)
Z∞
Æ.â
Æ.â
f (x) − f (x + ξ) dξ. ξ 1+ν
(5.7.3) q F y S i F b p S j ~ i L r L c x ^ h ` ^ 6 y { i 4 ~ i t O s S ` s O g F ` i L e U F \ t L c ^ v b 4 t F c t t L c ` ^ F e 6 h L r F c z Si`eLttziSSbL.FUs`tmUyFteFhFyFbFp^` FbFt_2yL^SkDirFhFtiDkhOjSyL^xtcFb6hn}DFi`eLU\L}F^`cFtli 4üqiSiSa6iz^xFyFtbFtls`yFi t4cL^OtcFFtyFpbLcL4^`taUyF^zt FFiSyFySh6iSbFrLpa6jS^i~jzrLcFrLiSyF_>iSSkqcFSiDt>klaUbFiScFcFs`tt\FyLcF^xzeLtXý§cFb6bL f^`cFcLbL^x FbFyFUtlrLjSb6tleLeFiDeFhnYY ðyFiSScF_?bFcFs`tyL^xe iSs`yFbF L^`s`tleLgScFiSiFiSyDh6rLaU^ p^`FbF{tsSkh>jjSb6rLt −ν (ν > 0)
ü
x
0
G
1 −∞ f−ν (x) = Γ(−ν)
Zx
1 f (ξ)dξ = (x − ξ)ν+1 Γ(−ν)
Z∞
f (x − ξ)dξ , ξ ν+1
ν > 0.
qyFiS FtlrLUyL^ yFt~e6hFyFbFp^` FbFb?p^`a6eL]\L^`tsSk¨h?jjSrLtleLtcFbFb2bFpZlsSiSlijSyL^xtcFb6h aUiScFt\6cFiS_ \L^Skls`bW¤bª2_KYei¦`¶XUda`¶Xqd L Y Y ¦j k4zkeLtwrK^Sf^`yL^Fm −∞
ü
−∞ f
(ν)
0
1 (x) = p.f. −∞ f−ν (x) = p.f. Γ(−ν)
Z∞
f (x − ξ) dξ ξ ν+1
0
1 Γ(−ν)
≡
Z∞
f (x − ξ) − f (x) dξ, ξ ν+1
0 < ν < 1.
FÖi`sxeL^Zi~aU iSbFcFs`ttl\FeFcLgS^xcFhiS\L^SiOklFs`iSg ySbh6rLbFa6cF^ s`tνyFY FyFts`bFyFStsSk¨h2aU^`arLyFiSScL^xhFyFiSbFpjSirLcL^xh ^`yF{i 4i~ cFiüqrLyFjSi~6rL8i`h>eF FUbFss`hLgO4FbnyFxY iSüqb6ptjSy6i~jSrLcF_>bFt p cF^`b6y6>{iSiO\FtjOjSiSb6`rLeKtcn^Sklm s`gpcL^~\FtcFbF_ ν Si`eLgS{b6 0
û
G
G
ν + f (x)
=
ν − f (x)
=
d dx
¶[ν]
{ν} Γ(1 − {ν})
=
=
µ
µ
d − dx
{ν} Γ(1 − {ν}) Z∞ 0
¶[ν]
{ν} Γ(1 − {ν})
Z∞ 0
f ([ν]) (x) − f ([ν]) (x − ξ) dξ, ξ 1+{ν}
{ν} Γ(1 − {ν})
Z∞ 0
f (x) − f (x − ξ) dξ = ξ 1+{ν}
Z∞
f (x) − f (x + ξ) dξ = ξ 1+{ν}
0
f ([ν]) (x) − f ([ν]) (x + ξ) dξ. ξ 1+{ν}
%{f6# =&xx #> a6³}|J
o ´ jDüq^`iDcFkcFeLiDtlrLc6jSh6b6hrLFt`myFiSbFpjSi~rLcL^xhbFc6iS rK^qFyFtlrKkls~^`j`eFhFtsSkhOj cFtklaUi`eFgSaUi 4i~rLbLqbF FbFyFi` ÿ$¥
Æ
∗
ν − f (x)
=e
Æ
iνπ
µ
d dx
¶[ν]
{ν} Γ(1 − {ν})
yFUiS_ FUs`g2iDklcFiSjD^`c cL^ s`iD}K\6sSi ð
a6^`a
Ä÷7ñxòBþ5ñ ¬ô :oñ÷oøBùJúóxòÀôöo÷°*÷Aó÷-ô1 5
ν + f (x)
ν = Γ(1 − ν)
Z∞
Z∞
f (x) − f (x + ξ) dξ. ξ 1+{ν}
0
tkls`g2cFt\Fs`i2bFcFiStS} qUcFaF FbFb f (x)}Fsx^`a>\Fs`i
f (x) − f (x − ξ) ∆1ξ f (x)
∆1ξ f (x) dξ, ξ 1+ν
ν < 1.
qs`iSSFyFirLi`eF bFs`gs`ijSyL^xtcFbFt]jiS`eK^Skls`g }Up^S4tcFbLWFtyFjSUyL^`pl cFiDkls`gOyL^`pcFiDkls`gSjSzkl{tiFiSyDh6rLaU^ m kqs`ttqν {>^`1iD ξ m 0
=
∆1ξ f (x) 7→ ∆m ξ f (x) =
XyFtp~eLg~sx^`s`tqFi`eLU\L^`tm
rLtklg
ν + f (x)
1 = κ(ν, m)
Z∞
m X
(−1)j
j=0
∆m ξ f (x) dξ, ξ 1+ν
µ ¶ m f (x − jξ). j
ν < m = 1, 2, 3, . . .
0
κ(ν, m) =
Z∞
µ ¶ m X (1 − e−ξ )m n m dξ = Γ(−ν) nν , (−1) ξ 1+ν n n=1
0 < ν < m,
d cFiSyL4bFyFiSjSiS\FcFtq6iDkls`i~hFcFcFtSY üqyL^`jSiDkls`iSyFiScFcFbFtq^`cL^xeLiSb?s`b6>FyFiSbFpjSi~rLcF2bL4t]s jSb6r
m b
0
ν − f (x)
= (−1)
ν − f (x)
kliSiSs`jStsSkls`jStcFcFiLY
[ν]
{ν} Γ(1 − {ν})
(−1)[ν] = κ(ν, m)
Z∞ 0
Z∞
f ([ν]) (x) − f ([ν]) (x + ξ) dξ ξ 1+{ν}
0
∆m −ξ f (x) dξ, ξ 1+ν
ν < m = 1, 2, 3, . . .
o´
1 " +Çÿ
*'
('Çx 5G77 R
ãxo5Æ
# Ì&xx #5
1 ã
"
Æ.â
Æ.â
jS\FbLbFkljSt{s`bLgvkliSg ^Ss 4kteLms`UbL}n\La6^`t}L^`a.\Fs`s`i2i`eLFgSyLaU^`ijSmt Y5\Lklð ^Ss~eF^`klh?s`cFbviSeLjSj?]bFsSSqkiSiSh.yLiOS4cLi`eL^`eKs`gS^xU{?yLt ^xrFeLνeFgSh Y[cFüqiS iSia6f^x(x) t<FtyFs`tiLkl}ns~iS^`]yLs2^`cFpb6^x
ν ±
0<ν<1
m
à ! Z∞ Z∞ m m X ∆±ξ f (x) f (x ∓ ξ) f (x) 1 1 1 n m nν (−1) dξ = + dξ = n κ(ν, m) ξ 1+ν κ(ν, m) ν²ν κ(ν, m) n=1 ξ 1+ν n²
²
à ! Z∞ m X f (x ∓ ξ) − f (x) 1 n m (−1) nν dξ. = n κ(ν, m) n=1 ξ 1+ν
[§kls`yFt4bFj s`tFtyFg ² a cFeL}FjSb6rLbL}F\Fs`i 1 κ(ν, m)
Z∞
∆m ±ξ f (x) dξ = ξ 1+ν
0
=
(
n²
à ! ) Z∞ m X f (x ∓ ξ) − f (x) 1 n m dξ = (−1) nν κ(ν, m) n=1 ξ 1+ν n 0
ν Γ(1 − ν)
Z∞
f (x) − f (x ∓ ξ) dξ ξ 1+ν
Lr t_Lkls`jSbFs`tleLgScFi]cFtÖp^`jSbLklbFsiSs Y vts`irLiD FyFtiSSyL^`piSjD^xcFbF_ ^`6eK^Sk^4i~ cFi FiSa6^`p^`s`g s~^`a6tS}§\Fs`i.j.a6eK^Skklmt>rLiDklsx^`s`iS\Fc6i
0
¸
ν +
S(V"
ν 0 x g(x)
ν 0 x
ν + f (x)
ý4t{tcFb6tbFcFs`tyL^xeLgScFiSi]UyL^`jScFtcFb6h jSyL^xO^`tlsDk¨h\FtyFtprLyFiS` = f (x) cFcFUt n }F\FFs`yFi iSbFFpyFjSiSi~bFrLplcFjSUi~ rLcL^xh ^`y6{^`i yF{kliSiOiSs`iScFsOiSF{iDtklcFs`bFig(x) thFcFcFg(x) iS_ q=UcFaF FbFfb (x)yL^`Y8jS]cL^sS4cFt~s`eLbLY }ncL^`aDi` = f (x) ↔
= g(x).
ν 0 x
wG
ν +
G
- & {
ì|
0!Ù
ï|.~¹i} ~³¶í.ç
Û
î ~çð
ðyFiSScFtvFyFiSbFpjSi~rLcFt^`cL^xeLbFs`bF\FtklaFb6q6c6aF FbF_
jOiS`eK^Skls`gaUiD46eLtaUklcF>FiSyDh6rLaUiSj af
(ν)
(z) =
n! 2πi
Z L
f (ζ)dζ (ζ − z)n+1
ν
Γ(ν + 1) 2πi
Z
f (ζ)dζ , (ζ − z)ν+1
rLtp^S4aFcFUs`_
'x xÜ
o ´` qUcFaF FðbFb?yFUd2iSiS_ SiSSklFiDtklcFiSbFBtqFqiDiSklyLs`4yF~iSeLtcF b6h/rLyFiSScFiS_*FyFiSbFpjSi~rLcFiS_*^`cL^xeLbFs`bF\FtklaDiS_
ÿ$¥
x #5Æ A1 R"5ôx&1ãx
n z (z
õ ã÷
− a)m = m(m − 1) . . . (m − n + 1)(z − a)m−n =
cL^rLyFiSScFtqFiSyDh6rLaFb a
ν z (z
− a)m =
m! (z − a)m−n (m − n)!
m! (z − a)m−ν Γ(m − ν + 1)
kZFiDkeLtlrLU]bLFyFbL4tcFtcFbFtttqa ^`cL^xeLbFs`bF\FtklaUiS_ qUcFaF FbFbn}6FyFtlrKklsx^`j`eLtc6 cFiS_>jOjSb6rLtkls`tFtcFcFiSli ySh6rK^Fm ∞ X
f (z) =
cm (z − a)m ,
cm = f (m) (a)/m!.
XWyFtp~eLg~sx^`s`tFyFb6Si~rLbLa keLtlrLU]t4iSFyFtlrLtleLtcFbFHrLyFiSScFiS_FyFiSbFpjSi~rFcFiS_ ^`cL^xeLbFs`bF\FtklaDiS_vqUcFaF FbFbnm m=0
af
(ν)
(z) =
a
ν z
Ã
∞ X
cm (z − a)
m
!
=
∞ X
m! cm (z − a)m−ν . Γ(m − ν + 1) m=0
<X keLU\L^`tZ FtleLiSiFiSyDh6rLaU^ n iScFi kiS eK^SklStsSk¨h>kZiSS\FcFziSFyFtlrLtl eLFti`cFeLbFi t bFs`ntl eLaFgSyLcF^`iDs` cFiS_vFyFiSbFpjSi~rLcFiS_ νf = (x) }KFyFbFyFiSbFpjSi`eLgScFiD£jSttkls`jStcFcFiD kν liS eK^Skl`tsSkhkFyFiSbFpjSirLcFiS_6ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhnY7ðt_Lkls`jSb6 s`tleLgScFiL}6jOFtyFjSiD£keLU\L^`t m=0
(n)
∞ ∞ X X m(m − 1) . . . (m − n + 1) (m) (x − a)m−n (m) f (a) = f (a)(x−a)m−n = (m − n)! m! m=0 m=0
=
n
∞ X (x − a)m (m) f (a) = f (n) (x). m! m=0
§qbLs`fiSS^`(cL^x F yFbFiSUjStjSyFb6bFeFs`eFg
=
1 Γ(k − ν) =
1 Γ(k − ν)
µ
d dx
µ
d dx
¶k Zx a
(x − ξ)k−ν−1 f (ξ)dξ =
¶k X Zx ∞ 1 (m) f (a) (x − ξ)k−ν−1 (ξ − a)m dξ. m! m=0 a
o ´xª + XFi`eLc6h6hFi~rKklsx^`cFiSjSaF 1 " Çÿ
Z1
Fi`eLU\L^`tm
0
('Çx 5G77 R
ãxo5Æ
θ = (ξ −a)/(x−a)
∞ X
µ
d dx
¶k Zx a
a
Æ.â
Γ(α)Γ(β) , Γ(α + β)
µ
d dx
¶k
(x − a)k+m−ν =
∞ X
1 f (m) (a)(x − a)m−ν . Γ(m − ν + 1) m=0
^S4ts`bL}F\Fs`i bL4tts 4tkls`i b Si`eLttqiSSttqkliSiSs`cFiS{tcFbFtSm ν x
Ã
3 & {
(x − ξ)k−ν−1 f (ξ)dξ =
1 f (m) (a) = Γ(m + k − ν + 1) m=0 =
Æ.â
bbLklFi`eLgSp`hbFpjStkls`cFUHqiSyL4eL
(1 − θ)α−1 θβ−1 dθ = B(α, β) =
1 Γ(k − ν)
# Ì&xx #5
1 ã
"
∞ X
m=0
ì|
cm (z − a)
m+p
!
=
∞ X
Γ(m + p + 1) cm (z − a)m+p−ν , Γ(m + p − ν + 1) m=0
p 6= −1, −2, −3, . . . .
ï|.~¹i}| |
"!
l,~~¹
Û
î ~çð
XtyFcFtfkh/a/FyFtlrKkls~^`j`eLtcFbF rLyFiSScFiSi¡bFcFs`tyL^xeK^jBjSb6rLt
rLt
lim Φ−ν (x) ≡ Φ−n (x) = δ (n) (x),
δ (n) (x)
n = 0, 1, 2, ...
d n h>FyFiSbFpjSi~rLcL^xh2rLtleLg~sx^x qUcFaF FbFbðbFyL^`a6^ ν→n
Z∞
f (ξ)δ (n) (x − ξ)dξ = f (n) (x).
δ(x) ≡ d1(x)/dx
m
] FyFtlrLtleLtcFcL^xh sx^`aFbL¢iSSyL^`piD¢qUcFaF Fb6h FyFbW FtleF Fi`eLi~ bFs`tleLg` cF ν = n = 1, 2, 3, . . . kliSjSL^xrK^`tskqFyFiSbFpjSifrLcFz(x)4b FtleLiSiFiSyDh6rLa6^ −∞
a
af
(n)
(x) = f (n) (x),
(ν)
x > a,
;:
ÿ$¥¦
# =&xx #5
ã 1 ##Æ u
Æ
*
o´´
Æ
^FyFb FtleL>iSs`yFbF F^`sSteLgScF ν = −n d2k n aFyL^`s`cFz4b bFcFs`tyL^xeK^S4bnY oqp kljSiS_Lkls`jD^ Φ ? Φ (x) = Φ (x). cFAtòBFñiDñkl÷yFtlrKkls`jSñ tcFcFi jSs`m ta6^`tsvqiSyL4eK^>rLyFiSScFiSi?rLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^`cFb6h÷ 7÷ µ
λ
µ+λ
*6 *6*
À
*MÂ94 "&<""
X\L^Skls`cFiDkls`bn}
Φµ
(ν) a [Φµ (x − a)]x =
a [1(x
a [δ(x
a [δ
(n)
− a)](ν) x =
− a)](ν) x =
(x − a)](ν) x = a [Φν−n (x
(x − a)−ν + . Γ(1 − ν)
−ν−1 (x − a)+ = Φ−ν (x − a), Γ(−ν)
−n−ν−1 (x − a)+ = Φ−n−ν (x − a), Γ(−n − ν)
− a)]νx = δ (n) (x − a),
?> @ { z
µ−ν−1 (x − a)+ = Φµ−ν (x − a). Γ(µ − ν)
y| 糶· ~¹i¾| ~¹i
|
x > a.
ï|.~¹i
üqyFtlrLtleLgScFiStFiSjStlrLtcFbFtrLyFiSScFiS_FyFiSbFpjSi~rLcFiS_ FyFb klj`hFp^`cFi Zk cFiSjSzs`bFFiDrLyFiSScFiSirLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiSiiSFtyL^`fs`iSyL^F}UiSFxyF→tlrLtlaeFhF]ti eLiSaU^xeLgScFUrLyFiSScFUFyFiSbFpjSi~rLcFU¡qi`eLjD^`cFaU^`yL^Fy6tlrLtleLiD Ñ ν a x
¯
fx(ν) = lim
ν ξ [f (ξ)
− f (x)],
tkeLb lsSiSsOFyFtlrFtleklUtkls`jSSts~Y wzjSs`iSyF¡4iSs`bFjSbFyFU]s2cFiSjSiSt iSFyFtlrLtleLtcFbFtkls`yFt8eLtcFbFtjStyFcFUs`g2FyFi` brLFpyFjSiSiSrLcFcFziS_ pklcLjSiS^~\F_LtklcFs`jSb6i hL<x÷ FiSyDxh6úrLñaD÷oiSøBjLù YxLð }6eFUhs`yLF^~i`\FeLtcFU\FcFtiScFtqb6th¡cFFtyFs`b yFbFFjStbLyF^xtleLSgSi~cFrLtqiSsOyFt Fptl~eLeLg~?sx^xa s`iSjcL^s`iD¡FUs`bbL¡FyFb6DirLbFsSkhFtyFtk4iSs`yFts`g FiSc6hFs`bFt2rLbL qtyFtcF FbFyFD tbL4kkiDeLkltls`rLb iSbjD^`jSs`jSgtklqs`UbcFFaFiS Fc6bFhFbs`bFk>tqeLyLiS^`a6aF^xsxeL^xgSeLcFgSiScF_vzrL4bLb qyLt^SyFqtbFcFa6 F^SbF4yFbnSt}44s`iDbFklLs`^ bn}¬qFUiScFpaFjS Fi`bFeF_hF]Xt_6tt tyF{s`yL^Skk^F}LcFtrLbL qtyFtlcF FbFyFSt4tj?iSS\FcFiDHk4zkeLtSY vBcFtSrLtHyL^Sk kf^`s`yFbFjD^`s`gOsx^`aFbFtqFyFiSbFpjSi~rLcFtSY ξ→x
*
x
G
@
o´x
1 " +Çÿ
('Çx 5G77 R
ãxo5Æ
# Ì&xx #5
1 ã
"
Æ.â
Æ.â
}, î
S Y´?Ñ#rh´` UsY [ ]p { I ;F tz +F Yndx{ "Å I m wL NO ¨ MO } 6Y ð !ÿ ÷ ð ± N /ød ± *ô þ>ò!ö G oqcFs`tyL^xeL.b FyFiSbFpjSirLcFt rLy6iSScFiSiFiSyDh6rLaU^b£cFtaDiSs`iSyFt?b66yFb6eLi~tcFb6hnY
d vbFcLklanm ^~UaU^vb s`tl6cFb6a6^F}nÑS#´UY FY ÷ ^xeLg\FAbFò!anök}F `SS FY Rû§eLt4tcFs`rLyFiSScFiSibLkl\FbLkeLtcFb6h b b6>FyFbL4tcFtcFbFtSYFd LaY ©V W;gN_KÍ [ ¾GªN_Ka`¶XZY¼\ SJ u I F Y d { Å I m ~ n ;F F }¬ Ñ#´ LY 6Y ʳ`yg`b=rKi}r Í ¾u I F Y I Y èd ÿ I D} ¯ ML m +F ;F n ;F F }¬ ÑS L}T ÑS# ´U}T ÑS Ñ6}T ÑÑFSY ªFY u§q`bVbV XZYkÍ ©´rh k[ ~ I sd { I í Å I ±m ¯ u I }F Y } I H I F I I aW wI F ÑÑ 6Y ´U7 Y ¨r+W2V µZaA¢² ]u I H I F Y
d w +OGI m ~ n ;F F }¬ ÑÑÑFY J
Q3P Z
(3 T V
J #J ¬ 6
ÂS3R$ XS3TÝQ
J J Â
Z U
Z T V & Z Ð Z YÝS
¸J -J
_G
¬*È"4&Ú
©
J ÇJ
'
-J J Q S&1 X-TÝQ 9Z 3Q S Z 3
-J 9Z
1J
*'
$Z S&Q3T &V"S(Y ('
-J #J J $Z S&Q3T &V"S(Y Z T V 3TÝS(Y &
9Z
J $Z & S Q3T &V"S(Y
R$
S(YÝQ0P$Y P
$Z S&Q3T &V"S(Y
ÇÐ &Y ÇÒ Ò Ð
V Ò V Z 11P"Q3T &VÇ 3R$ Z U
P"S3T &V T Z V&3T S(Y
S(YÝQ0P$Y P
P"S3T &V
Z T S(XS
$Z & S Q3T &V"S(Y &R$V T Y
1S(V
T
Z U
S "S(V
S(YÝQ0P$Y P S(V" &V &Ò " V Q
Q S&1 X-TÝQ
ís\ït\ r
r h
p
ßÚæèâ èæÔÓ s ã å æèß #âM* áãèß`_ÚÔ æ Ó Ñèè ã ßÚç Úß áæÔÓ h
e
c
jgwp
dcqk
o
o
¢ üqyFtlOrLtS}?\Ft FyFbLkls`UFbFs`g a yL^Skk8iSsSy6tcFbF rLyFUiS_ aUiScLkls`yFUaF FbFb rLyFiSScFBFyFiSbFpjSi~rLcF¡d nyF]cFjD^xeFg`rK^x ts`cFbFaUiSjD^6}qcL^`FiD4cFbL cFtaUiSs`iSyFt ^`aFs`¢ bF^vp 4bLc6kl\Fi~bLkteLklts`cFjSb6t2h qyLU^`cFpaFcF FiDbFkls`_nt}
_niSY FyFtrLtleLtcFcF.cL^ jDklt_ jSttkls`jStcFcFiS_.iDklbn} jSjStlrLtiSFtyL^`s`iSy k¨rLjSbFl^OkliSiSs`cFiS{tcFbFt
, | ¹
B{ z
KÂï
?j
ªC
~|
]FtyL^`s`iSys`iSsZeLbFcFttcn}`tiqFiSjSs`iSyFcFiStFyFbL4tcFtcFbFtiSFyFtlrLtleFhFtsSk¨h qiSyL4eLiS_
n ξ f (x)
ξ f (x)
= f (x + ξ),
ξ > 0.
iSiSFyFtlrLtleLbL>ti]s`iS_ qiSyL4eLiS_ r6eFh n = 0 biSs`yFbF L^`s`tleLgScF pcL^~\FtcFbF _ −1 } } üq}nDY YklYTs`]g \FtjSb6rLcFiL} = hFj`eFhFtsSk¨h iSFtyL^`s`iSyFiD}6iSSyL^`s`cFza Y −2 −3 yL^`pleK^`l^`tsSk¨h>jOyDh6r©nt_6eLiSyL^Oj s`iS\FaDt }Fs`iSrK^ qiSyLf^xeLgScFi s`iSsOyDh6rv4i~ fcF(x)iOFyFtlrKklsx^`jSbFs`g kqFiD4iSgSiSFtyL^`s`iSyFcFiS_?xa6klFiScFtcFs` m ð
= f (x + nξ),
−1 ξ
f (x + ξ) =
n = 1, 2, 3, . . . .
−ξ
ξ
∞ X ξk
k!
k x f (x)
= exp(ξ
x )f (x).
iSFiDklsx^`j`e6h6hWs`i kliSiSs`cFiS{tcFbFt2k2iSFyFtlrLtleLtcFbFtiSFtyL^`s`iSyL^k¨rLjSbFl^F}
FyFb6Di` rLbL£avklbL4jSi`eLbF\FtklaDiD42FyFtlrKklsx^`j`eLtcFbF
k=0
ξ
= exp(ξ
x ).
D
S
('7x 5GÜ
" +
ã>xx&ôxÆ
# Ì&xx #5
Çã
Æ.â
jSiDkls`iSyFXiScFjStlcFrLbFt_ ∆}lrK^xeLkltiStSiS}s`rFcFjDiS^{yLt^`cFpb6cFhLiD4klbs`cFqiSFtyL^`s`iSyL^FmleLtjSiDkls`iSyFiScFcFbF_ −
∆± = I −
= I − e∓ξ
x
Æ.â
∆+
bFyL^x
.
qts`yFrLcFi jSb6rLts`gL}6\Fs`iOrFeFh>rLbL qtyFtlcF FbFyFSt4iS_>jOs`iS\FaUt x qUcFaF FbFb
lim
∓ξ
∆− ∆+ = − lim = ξ→0 ξ ξ
x.
"!
"! qü iDkeLtlrLiSjD^`s`tleLgScFi`tfFyFbL4tcFtcFbFtÖiSFtyL^`s`iSyFiSj ¤ ¦¬aqUcFaF FbFb rK^`tsOttZeLtjSt ¤ FyL^`jSt~¦ÖyL^`pcFiDkls`b jSzkl{b62FiSyDh6rLaU∆iSjLm ∆ ξ→0
¯
B{3±
~|nðE¶¹
´| ~¹
| ç|ï
+
∆+ ∆+ . . . ∆+ f (x) =
∆n + f (x)
=
= (I −
n X
k=0
∆− ∆− . . . ∆− f (x) =
n X
−ξ )
f (x) =
n X
k=0
k
à ! n (−1) k
à ! n (−1) k
k −ξ f (x)
=
à ! n (−1) f (x − kξ), k k
∆n − f (x)
=
n
f (x)
−
= (I −
(−1)k
ξ)
n
f (x) =
n X
k=0
k
k ξ f (x)
=
à ! n f (x + kξ), k
S^ 4tc6h6hplrLtklgZ FtleLiSt FyFiSbFpjSi`eLgScFz bFyFi~rLi`eF^xhOkl6f4bFyFiSjD^`cFbFt rLiOStklaUiScFt\FcFiDkls`bn}6Fi`eLU\FbLnyL^`pcFiDkls`b>rLyFiSScFν?FiSySh6rLaUiSjLm k=0
∞ X
∆ν± f (x) =
(−1)k
µ ¶ ∞ X Γ(ν + 1) ν (−1)k f (x ∓ kξ) = f (x ∓ kξ). k k!Γ(ν − k + 1)
lksxiS^`yLjSfbFs`^xgOeLgSjOcFjSib6iSrLFt yFtlrLtleFhFt4t]s`bL4b kliSiSs`cFiS{tlcFb6hL4b2iSFtyL^`s`iSyF<4i cFiFyFtlrF +
k=0
∆ν± = (1 − e∓ξ
x ν
) = 1−
k=0
ν ∓ξ e 1!
x
+
ν(ν − 1) ∓2ξ e 2!
x
−
ν(ν − 1)(ν − 2) ∓3ξ e 3!
]sSklrK^OjSb6rLcFiOFi`eLUyFUFFiSjSiStZkljSiS_Lkls`jSiyL^`pcFiDkls`cF>iSFtlyL^`s`iSyFiSjLm µ+ν , ∆µ± ∆ν± = ∆±
x
+. . .
21}<
F aUklsxiS^`s`j`iSeLyFtliScFtbF4bni~m ts>Ss`g>jSjStlrLtcFi?b cFtFiDklyFtlrKkls`jStcFcFi>j>SbFcFiD4bL^xeLgScFiDHFyFtlrF "¥ á
}
x #5Æ A +1 #+x D(5xã +Á¥ ¥ ¥
∆µ± ∆ν± f (x) ∞ X
=
k=0
=
k=0
l=0
∞ ∞ µ ¶X X µ
∞ X
k
(−1)
&
T
ì|
B{åä
∞ X j=0
(−1)j
j=l
"
j
j=0
=
µ ¶ µ (−1) ∆ν± f (x ∓ kξ) = k k
µ ¶X µ ¶ ∞ µ ν (−1)k (−1)l f (x ∓ (k + l)ξ) = k l
k=0
=
=
∞ X
µ
¶ ν f (x ∓ jξ) = j−k
¶# j µ ¶µ X ν µ f (x ∓ jξ) = j−k k
k=0
(−1)j
µ
¶ µ+ν µ+ν f (x ∓ jξ) = ∆± f (x). j
e X
ï|.~¹i
.ç| ~,í~¹iæ
76N@
~ﳶ·Â
ÂE¶|æ
y,~ç|ï
]FyFtlrLtleLbLiSFtyL^`s`iSyF.rLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^`cFb6h rLyFiSScFFiSySh6rLaUiSj]FyFtl rLtleLgScFz4bvkliSiSs`cFiS{tcFbUhL4b ∆ν+ , ξ→0 ξ ν
Dν+ ≡ lim
∆ν− . ξ→0 ξ ν
Dν− ≡ lim
iSiSs`jStsSkls`jSU]bFtqbL£FyFiSbFpjSirLcFtqp^`FbLkljD^`]sSkh?j jSbUrLt ∞ 1 X Γ(ν + 1) (−1)k f (x − kξ) ξ→0 ξ ν k!Γ(ν − k + 1)
(ν)
b
f+ (x) = Dν+ f (x) = lim
(6.3.1)
k=0
(ν)
∞ Γ(ν + 1) 1 X f (x + kξ) (−1)k ξ→0 ξ ν k!Γ(ν − k + 1)
f− (x) = Dν− f (x) = lim
bÎcF^`pjD^`]sSkh¼ó/ôx÷ ó/ôò 57ò/ x÷*ÿ¬J
Exô ñxö
*1:/öo÷5ñõ[ÿ
k=0
2
(6.3.2)
( xú 5* ùDòBùJñ""÷oö(qø;6oò!ø0÷7ñxòBþ5ñõ[ÿ
D
D
" +
('7x 5GÜ
ã>xx&ôxÆ
# Ì&xx #5
Çã
Æ.â
Æ.â
qi`eLgSp`hLklgqiSyLf^xeLgScFzFyFtlrKkls~^`j`eLtcFbFt}FFi`eLU\FbL ü
(1 − e−ξDx )ν = (Dx )ν , ξ→0 ξν
Dν+ = lim
(1 − eξDx )ν = (−Dx )ν . ξ→0 ξν
Dν− = lim
Fª Y FY S¦ZqrLyFtiSs`SyFcF~rLcFt2i.FUyFSiStlbFrLpbFjSis`rLgDkcFht2jW~s`rLiDiSj`}§eLt\Fs`s`jSiWiSySjShFjS]tlrLstcFFcFyFbFtvcF 6klbFiSFiSs`cFkliSiS{iSs`tjScFtb6sShLkl4s`b¡jSb6¤¥hnªFY Y FY ^xl FbF{teLtjSiDkls`iSyFiScFcF]yL^`pcFiDkls`grLyFiSScFiSiFiSyDh6rLa6^ ν jOyL^`pjStyFcFUs`iDjSb6rLt
∆ν+ f (x) = f (x)−
ν(ν − 1) ν(ν − 1)(ν − 2) ν f (x−ξ)+ f (x−2ξ)− f (x−3ξ)+. . . . 1! 2! 3!
üqyFb FtleLiD s`iSs>yDh6r.iSSyFjD^`tsSkhcL^ \6eLtlcFt b.4!FyFb6DirLbL¢a iSS\FcFz£qiSνyL=4neK^SWrFeFh aUiScFt\FcF?yL^`pcFiDkls`nt_ − 1 ∆0+ f (x) = f (x). ∆1+ f (x) = f (x) − f (x − ξ),
¡b s~Y]r
YdüqyFtlrLtleLgScFtWiSs`cFiS{tcFb6h lim ∆ f (x)/ξ kliSjSL^xrK^`]skWiSS\FcFz4b FyFiSbFpjSirLcFz4bkliSiSs`jStsSkls`jSU]b6£FiSySh6rLaUiSj wzcL^x eLiSbF\FcFtjS\FbLkeFtcFb6h¢kFyL^`jSiDkls`iSyFiScFcFbL4byLf^`pcF(x), iDklshL4nb<=FiS1,aU^`p2,jD.^`.]. .s~}Ö\Fs`i Y lim ∆ f (x)/ξ = (−1) f (x) } üqtyFt_6rLt s`tFtyFga iSs`yFbF L^`s`tleLgScFz FtleLzÎpcL^~\FtlcFb6hL ν = −m X ` s D i k L e U L \ ` ^ q t D y 6 h L r F c q t S i S F y D j ` ^ ] S s k n h } m = 1, 2, 3, . . .
∆2+ f (x) = f (x)−2f (x−ξ)+f (x−2ξ) = [f (x)−f (x−ξ)]−[f (x−ξ)−f (x−2ξ)] ξ→0
n +
n
(n)
ξ→0
n −
n
n (n)
∆−1 + f (x) = f (x) + f (x − ξ) + f (x − 2ξ) + . . . ,
^ZbL4t]sjSb6rObFcFs`tyL^xeLgScFOkl6f¤ S~rLtFi`eK^`^`s`gL}x\Fs`i iScFb ^`Dkli`eL]s`cFi kSi` rFhFsSkhK¦m ∆−2 + f (x) = f (x) + 2f (x − ξ) + 3f (x − 2ξ) + . . . ,
∆−1 + f (x)
=
∞ X
f (xk ) = ξ
k=0
∆−2 + f (x) =
−1
∞ X
f (xk )∆xk ,
k=0 ∞ X
k=0
(k + 1)f (xk ) = ξ −1
∞ X
k=0
xk = x − kξ,
∆xk = ξ,
(k + 1)f (xk )∆xk .
21}<
jSi~bLrLklb6FsDi`k¨h>eLgSa piSjSjDb6^`rLcF bFt FyL^`jSb6eK^ ðbFyFb6UeLtÖrFeFhOkl6f}xFiDkeLtlrLcFttjSyL^xtlcFbFtFyFb6 "¥ á
}
x #5Æ A +1 #+x D(5xã +Á¥ ¥ ¥
&
∞ X
−2 ∆−2 + f (x) = ξ
eLtlrLiSjD^`s`tleLgScFiL}
∆xl
l=0
(−1) f+ (x)
=
∞ X
f (xk )∆xk .
k=l
Zx
dξf (ξ),
−∞
b jSiSiSStS}
(−2) f+ (x)
Zx
=
dξ2
−∞ (−m)
rLt −∞ f
f+
(x) =
(−m)
Zx
(x) =
Zξ2
dξ1 f (ξ1 )
−∞
−∞ f
(−m)
dξm . . .
(x),
Zξ2
dξ1 f (ξ1 ).
qyFiSbFpjSirLcFtiSs`yFbF L^`s`tleLgScF FtleLFiSyDh6rLaDiSj>FyFtlrKklsx^`j`eFhF]s kliSSiS_eLtjSi` kls`iSyFiScFcFbFtqbFcFs`tyL^xeLkliSiSs`jStsSkls`jSU]t_>aFyL^`s`cFiDkls`bnY Fi`eLU\L^`wztcL^xm eLiSbF\FcFz iSSyL^`piD} rFeFh FyL^`jSiDkls`iSyFiScFcFb6 FyFiSbFpjSirLcF −∞
ü
rLt
(−m)
f−
(−m) (x) f∞
=
−∞
(−m) (x), (x) = f∞
Z∞
dξm . . .
Z∞
dξ1 f (ξ1 ).
©
^`aFbLiSSyL^`piD}F4UStlOrK^`t4khn}6\Fs`i FyFiSbFpjSirLcFt x
(ν)
ξ2
∆ν+ f (x) ξ→0 ξν
f+ (x) = lim
iSStklFt\FbFjD^`]sbFcFs`tyFFi`eFhF FbF!4tlOrL?bFcFs`tyL^xeK^S4bvb FyFiSbFpjSi~rLcFz4b> FtleLiS_ aFyL^`s`cFiDkls`b (ν = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .) bFi.s`iS_FyFbF\FbFcFtvcFtaUiSs`iSyFt ^`jSs`iSyF¢cL^`pjD^`]sb6?rLbL qtyFbFcFs`tyL^xeK^S4b Y Ä 0
D
('7x 5GÜ
" +
('
&
ì|
B{/ë
ã>xx&ôxÆ
e X
ï|.~¹i
ìç| ~,í~¹iæ
# Ì&xx #5
Çã
76N@
~ﳶ·Â
ÂE¶|æ
Æ.â
Æ.â
y,~ç|ï
FyFb x üq>Dakls`TY g©niSrL bLrK ^2q{t^`yF tcFξ F4bFyFi~ `tc6fi>^xhHklj`qhFpU^`cFs`aFg? Fkb6h FtlfeL(x) iS\FbLkiSeLsteLcFbFcF\FiScL_^ FiSts yFtcF4teFcFhcFiSs`i`_ eLkgSaU=i kliSiSs`cFiS{tcFbFt 0, 1, 2, . . . , K x−a ξ= b p^`FbLk^`s`geLtjSU¡FyFiSbFpjSirLcFUjOjSb6rLt K af
(ν)
(x) =
ν a D+ f (x)
1 = lim ν ξ→0 ξ
(x−a)/ξ
X
b6eLb aFjSbFjD^xeLtcFs`cFiDt4 = lim
µ
K x−a
¶ν X K
k=0
Γ(ν + 1) f (x − kξ) (6.4.1) k!Γ(ν − k + 1)
ν a D+ f (x)
=
Γ(ν + 1) f (−1) k!Γ(ν − k + 1)
µ
af
(ν)
(−1)k
(x) =
k
x−k
µ
x−a K
¶¶
.
(6.4.2)
wzcL^xeLiSbF\FcFziSSyL^`piD4i~tsSs`gFyFtlrKkls~^`j`eLtcL^vbFyL^`jD^xh.FyFiSbFpjSi~rLcL^xh rFeFhvqUcFaF FbFbn}6iSSyL^`^`]t_Lkh?jOcFeLg 6yFb x > bY üqyFtlrKklsx^`j`eLtcFbFt nyF]cFjD^xeLg`rK^x ts`cFbFaUiSjD^6} rLiSScFiSt!rFeFh(\FbLkeLtcFcF yL^Skl\Fts`iSjL}¬cFt iSStklFt\FbFjD^`ts~}¬i~rLcL^`aDiL}¬FyFtlrLtleLgScFiSi FtyFtlDirK^ a. FtleLz¢iSs`yFb6 La ^`jSs`b6tlrLeLSgS}6cFbLz4
k=0
wC
KG
µ ¶ n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) Γ(n + 1) n = = , = k k!Γ(n − k + 1) k!(n − k)! k!
b p^S4tcFbFjOplrLtklg n cL^ µ
−m k
¶
=
−m
}F6i`eLU\FbLm
−m(−m − 1) . . . (−m − k + 1) (m + k − 1)! = (−1)k = k! k!(m − 1)! = (−1)k
Γ(m + k) . k!Γ(m)
Fco iSklFiqi`eLaUiSgSp `h>qbFs` Fi?bFjStcFs~yL^ ^x¡t¢cFj bFt iS`rFeKeF^Shkls`^`gZcLiS^xs`eLyFbFbFs` LbF^`\Fs`ttlkleLaUgSiScFi FyFνi~rL=i`eF−µ,tcFµb6hv>S0bF}`cFFiDi`4eLbLU^x\FeLbLg` ν k
µ
−µ k
¶
= (−1)k
Γ(µ + k) , k!Γ(µ)
T
"¥ ÿ
#
. §
&xo 5x7 GÜ !
Æ.â
bvkliSiSs`jStsSkls`jStcFcFiL}
"â _Å
(x−a)/ξ
X
−µ µ a Dx f (x) = lim ξ
b
ξ→0
−µ a Dx f (x)
= lim
µ
k=0
x−a K
¶µ X K
D
"õ" #$ §m>¥ ¥ ¥
$ §
Γ(µ + k) f (x − kξ), k!Γ(µ)
Γ(µ + k) f k!Γ(µ)
µ
x−k
µ
x−a K
¶¶
.
qyFiSjStyFbL klFyL^`jStlrFeLbFjSiDksSgFi`eLU\FtcFcF kliSiSs`cFiS{tcFbF_ j]keLU\L^`t µ = 1 m K→∞
ü
(x−a)/ξ −1 a Dx f (x)
rLt
= lim
ξ→0
X
k=0
Z K X Γ(1 + k) f (xj )∆x = f (x0 )dx0 , f (x−kξ)ξ = lim ∆x→0 k!Γ(1) j=0 x
Y j = K − k, x = a + j∆x, K = (x − a)/∆x k=0
Ø - (Û $¢@ j
ï³
B{
a
³
·é¾| ~¹iæ¯n| , | æ¯
qts`yFrLcFi UStlrLbFs`gDk¨hn}6\Fs`iOrLyFiSScFtqbFcFs`tyL^xeL µ ¶
}
ï ¶¶
î
æ ~
−∞ f
b
(−µ)
1 (x) = Γ(µ)
Zx
−∞
(−µ) f∞ (x)
1 = Γ(µ)
Z∞
f (ξ)(x − ξ)µ−1 dξ
f (ξ)(ξ − x)µ−1 dξ,
µ>0
F LyF^`s`tlrKtleLkls~gS^`cFj`eF?hF]FiSs?yDklh6iSrLSaDiSiS_>j rLyFiSScFtFyFiSbFpjSi~rLcFt nyF]cFjD^xeLg`rK^x ts`cFbFaDiSjD^iSs`yFb6 x
−∞ f
b t_Lkls`jSbFs`tleLgScFiL} ð
−∞ f
(−µ)
(−µ)
C
(−µ)
(x) = f+
(−µ)
(−µ) (x) = f− f∞
1 (x) = Γ(µ)
Zx
−∞
f (ξ)(x − ξ)
∆−µ + ξ→0 ξ −µ
(x) ≡ lim
∆−µ − . ξ→0 ξ −µ
(x) ≡ lim
µ−1
1 dξ = Γ(µ)
Z∞ 0
f (x − ξ)ξ µ−1 dξ =
D
Sª
('7x 5GÜ
" +
1 = Γ(µ)
ã>xx&ôxÆ
Z∞
e−ξ
x
ξ µ−1 dξf (x) = (
x)
# Ì&xx #5
Çã
−µ
Æ.â
(−µ)
f (x) = f+
Æ.â
(x).
t f b (x) b f (x) }¬iSFyF}DtlFrLyFtlb2eLtiSc6sx cFtzyL^`
© cF^`taFtzbLF¢yFtliSrLStlyLeK^`^Sp4iDb2}LiSs`rLcFyFiSiS{ScFtcFbFtO_ FyFlimiSb6p∆jSi~rLfcF(x)/ξ yFbF L^`s`tleLgScF<FiSySh6rLa6^x ν = −µ < 0 4iSUs£Ss`g£limFyF∆tlrKklfsx^`(x)/ξ j`eLtcF j£jSb6rLt bFcFs`tyL^xeLiSj f (x) b f (x) }fcL^`pjD^`t4.rLyFiSScFz4bbFcFs`tyL^xeK^S4b rL tlbFe UjSb6eFeFaUhiSb2cFtX\FtcF_6zeFh klpiScLiS^~s`\FjSttcFsSbFklts` jStcF}6cFFiLi`Y eLU^S\F4bLt£cFbFbFjqcFj s`tFtyLyF^xjSe³iDý§bLbFfp^`cFcLb6^FO} cFb6 cFbF_ Fy6tl 0
ξ→0
(−µ) ∞
(−µ)
−∞
−∞
(ν) + ν
ν +
ξ→0
(ν) − ν −
ν
a
af
^Fi`eLi~ bFjOp^`sSt
(−µ)
1 (x) = Γ(µ)
Zx
f (ξ)(x − ξ)µ−1 dξ,
Zx
f (ξ)(x − ξ)µ−1 dξ,
dOrLyFiSScF_>bFcFs`tyL^xe³ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhnm a=0 a
0f
µ > 0,
(−µ)
1 (x) = Γ(µ)
µ > 0.
qtyFtlDirHj.Fi`eLi~ bFs`tleLgScFU iS`eK^Skls`g pcL^~\FtlcFbF_HFiSa6^`p^`s`tleLt_iDklcFiSjSjD^xtsSkh cL^u~FyL^`jSb6eLt§FiSa6^`p^`s`tleLt_n|~}iSs`yL^x^`Zt Fi`eLUyFUFFiSjSiStfkljSiS_Lkls`jSirLyFiSScF yL^`pcFiDkls`t_nm 0
ü
µ+λ ∆± = ∆µ± · ∆λ± ,
µ+λ ∆± ∆µ± · ∆λ± ∆µ± ∆λ± = lim = lim · lim = Dµ± · Dλ± . ξ→0 ξ→0 ξ µ ξ→0 ξ λ ξ→0 ξ µ+λ ξ µ+λ ν ν = m−µ m ν 0<µ<1
µ+λ D± = lim
F üqtlyFeLtliSrKtÖkl\Fsx^`bLj`keFeLh6iLhq}FFyFi`teLjSiiD kSbFi~s`rFtlhFeLgScFtiSt§tfb6\FeLbLbkyLeL^`i jSc6iSjt jSb6rLdqt ^ FtyFtFbF{t£s`i kliSiSs`cFiS{tcFbFtqjOjSb6rLtSm
} d]rLtrLyFiSSd]cFcL^`_bL4iDklts~cF^`gSs`{iStant }
X yFtp~eLg~sx^`s`tFyFb6Di~rFbL
−µ Dν± = Dm ± · D± = (±
ν (x) f+
=
−∞ f
(ν)
x)
m
· D−µ ± ,
1 (x) = ( x ) Γ(µ) m
@
Zx
−∞
ν f− (x)
=
(ν) f∞ (x)
1 = (− x ) Γ(µ) m
Z∞
f (ξ)(x − ξ)µ−1 dξ,
f (ξ)(ξ − x)µ−1 dξ,
ν > 0,
ν > 0.
« i`eLtt Fi~rLy6iSScFtkljStlrLtcFb6h irLyFiSScF FyFiSbFpjSi~rLcF 4i cFicL^`_Fs`b(j aFcFbF^x l Y x
Ä
*
"
#´
1õ7
}, î
SY rLð yF!iSÿ ScF÷ iSð i±FiSNyD h6rLaU^/b£ød cFtl±aU iSs`iS yF*ô t?b6þ>Wò!ö F yFGb6 eLi~oqtcFcFs`b6thnyLY
^xd eL.vb bFcLFklyFaniSm bF pjS^~iUrLaUcF^vb t s`tl6cFbFa6^F}n ÑS# ´UY 6?Y ÷ Aò!ö © [ðyFiSScFiStObLkl\FbLkeLtcFbFt2bWtivFyFbL4tcFtcFbFtSY
d WY m bFpl f^`seLbFs~}T`S FY F2Y ~ (V W;gN_KÍ n [ ¾}¬ GÑ#ª2´ _KLaY `¶XZY¼\ 0J u I F YO d { Å I m ;F F L?Y ʳ`y g`b=rKi}r Í ¾u I F Y I Y èd ÿ I D} ¯ ML m ;F ;F n ;F F }¬ ÑS L}T ÑS# ´U}K ÑS ÑF}T ÑÑFSY 67Y §q`bVV XZYkÍ ©´rh [ ~ I I í Å I u I F uÑÑ FY yI H I F sd { I ±m ¯ I aW wI F } Y }
J #J ¬ 6
J J Â
¸J -J
_G
È"4&Ú
J ÇJ &
-J J Q S&1 X-TÝQ 9Z
'
3Q S Z 3
©
-J 9Z
ÇG
1J
*'
$Z S&Q3T &V"S(Y ('
-J #J J "Z S&Q3T &V$S(Y Z T V&3TÝS(Y &
R$
S(YÝQ0P$Y P
$Z S&Q3T &V"S(Y
ÇÐ &Y ÇÒ Ò Ð
V Ò V Z 11P"Q3T &VÇ 3R$ Z U
P"S3T &V
S(Y QP$Y P
Z T SXS
$Z & S Q3T &V"S(Y &R$V T Y
©+
Z U
S "S(V
S(YÝQ0P$Y P S(V$ &V &Ò " V Q
ís\ït\ r
å ' ÚæÔÓ â æ #âMt ã ^ Ñèãèâß`Ú_ ã å ß å²æèç dp
x
c
lk
nm
& @ ³ WX bFcFs`tyFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiDvbLkl\FbLkeLtcFbFbrLyFiSScFFiSyDh6rLaUiSjZbFcFs`tl FyLtleL^xeLgScFFiStyDFh6yFrLtaUiSiSSjLyLY4^`©npiStjDF^xtcFyFb6g.hiSbFcFbyLk^`eL]Ds>Ot^`s tcFSt>i`eLs`i`teLtgSjDaU^xi rFcFeFUh ^`yFcLi`^xeLeLgLbF}Kp\F^t
ì.|
-{ z
|ï ~
y ¶E
Á5 1
5*
G
å 1ÈÂ4
""M
L
f (x) 7→ fb(λ) = ú {f (x)}(λ) =
Z∞
e−λx f (x)dx.
klgZFyFtlrLFi`eK^`^`tsSkh^`Dkli`eL]s`cFiZkDirFhFbLfkhjZaUiD46eLtaUklcFiS_Fi` eLqo UcF6s`eLtiDklyLaD^xiDeklpls`rLb tReλ Y iSyL4eK^OiSSyL^`tc6b6h>bL4ttsOjSb6r >0 0
+
f (x) = ú
−1
1 {fb(λ)}(x) = 2πi
σ+i∞ Z
eλx fb(λ)dλ,
x > 0,
(7.1.1)
rLtOFyShLf^xh FyFiDi~rLbFs>L^`yL^xeFeLtleLgScFi 4cFbL4iS_.iDklb.kl6yL^`jD^?iSs jDkltl iDkliSS2s`iS\Ftσa>bF=piSconst SyL^xtcFb6h fb(λ) Y X^x cFt_F{bL.kljSiS_Lkls`jSiDaU^xOrLiSi bFcFs`tyL^xeLgScFiSi FyFtiSSyL^`piSjS^`cFb6hhFj` eFhFtsSk¨hcL^xeLbF\FbFtklFt FbL^xeLgScFiS_qiSFtyL^` FbFbqdZkljStyFs`aFb d]bkliSiSs`jStsSkls`jSU]t_ s`ti` yFt4HikljStyFs`aDtSYDX£keLU\L^`tFyFtiSSyL^`piSjD^xcFb6h ^`6eK^Sk^qkljStyFs`aU^ZrLjSDOqUcFaF FbF_ σ−i∞
ÑS f (x)
x%7 5G7o
1 " +
b
g(x)
iSFyFtlrLtleFhFtsSk¨hvqiSyL4~eFiS_ Zx
f ? g(x) =
^s`tiSyFtf^Oi kljStyFs`aDt eK^Sklb6sLm
0
S&x#7 +x
1 ##Æ
"
"§
f (x − ξ)g(ξ)dξ,
ú {f ? g(x)}(λ) = ú {f (x)}(λ) · ú {g(x)}(λ) = fb(λ)b g (λ).
^`FiD4cFbL}6\Fs`iOrFeFh FyFiSbFpjSi~rLcF2 FtleL>FiSySh6rLaUiSj
(n) (λ) = ú {f (n) }(λ) = λn fb(λ) − fd
^rFeFhv4cFiSiSaFyL^`s`cF?bFcFs`tyL^xeLiSj
n−1 X
λk f (n−k−1) (0+), n = 1, 2, . . . , (7.1.2)
k=0
\ (−m) (λ) = λ−m fb(λ), m = 0, 1, 2, . . . .
af
]StZqiSyL4eL<4iSUsSs`giS ntlrLbFcFtcFji~rLcFiS_2p^`FbLklb rFeFh?FyFiSbFpjSi`eLgScFiSi ¤ Fi`eLi~ bFs`tleLgSc6iSiOb6eLb iSs`yFbF L^`s`tleLgScFiSiU¦Ö FtleLiSi ν m &É
d (n) (λ) = λn fb(λ) − 0f
n−1 X
(n−k−1)
λk 0 f0
(0+), n = 0, ±1, ±2, . . .
üqiDklaUi`eLgSaFrLyFiSSc6_b6cFs`tyL^x@ e ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhWFyFtlrKkls~^`j`eFhFtskli` SiS_ kljStyFs`aF2bFcFs`tyFbFyFSt4iS_vqUcFaF FbFbvkli kls~^`c6rK^`yFs`cFiS_vkls`tFtcFcFiS_n} k=0
0f
(−µ)
(x) = f ? Φµ (x),
FyFbL4tcFtcFbFts`tiSyFt4iqkjStyFs`aUtjStlrLts]aFyFiSbFpjStlrLtcFbF£eK^`6eK^SkliSjDklaFb6qs`yL^`cLk qiSyLf^`cFsrLjSD?s`b6 qUcFaF FbF_nm \ (−µ) (λ) = fb(λ)Φ b µ (λ).
0f
^`FiD4cFbFjL}U\Fs`i
Fi`eLU\FbLm
b µ (λ) = 1 Φ Γ(µ)
Z∞
e−λx xµ−1 dx = λ−µ ,
0
\ (−µ) (λ) = λ−µ fb(λ), µ > 0.
0f
%
=< &
ÑF qs`iSSjSFi`eLcFbFs`gFyFtiSSyL}F^`pFiSyFjDtl^xrKcFklbFsx^`t jSbL£^`6tleKt ^SjOk^ jSb6rLrLyFt iSSc6iS_FyFiSbFpjSi~rFcFiS_ ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFh $¥¦
#7 +xx $ 1#
=
0f
0f
(ν)
ν
(x), ν > 0
(x) =
n (−µ) (x), x 0f
µ = n − ν ∈ (0, 1),
bjSiDklFi`eLgSp`tfkhqiSyL4~eLiS_£¤Ý´UY SY S¦FyFtiSSyL^`piSjD^xcFb6h ^`6eK^Sk^ FyFiSbFpjSi~rFcFiS_ FtleLiSiOFiSySh6rLa6^ n qUcFaF FbFb f (x) YFX
(−µ)
0
d (ν) (λ) = ú { 0
0f
ν x f (x)}(λ)
(−µ) (λ) − = λn 0 f\
= λν fb(λ) −
X\L^Skls`cFiDkls`bn}FtkeLb
n−1 X k=0
0<ν<1
n (−µ) }(λ) x 0f
k=0
n − 1 < ν < n.
}Fs`i
d (ν) (λ) = λν fb(λ) −
0f
(ν−1)
^S4ts`bL}F\Fs`iOrFeFh>rLiDkls~^`s`iS\FcFiDiSyFiS{b6?qUcFaF FbF_ 0f
(ν−1)
=
λk [0 f (−µ) ](n−k−1) (0+) =
λk 0 f (ν−k−1) (0+),
0f
n−1 X
=ú {
1 (0+) = lim x↓0 Γ(1 − ν)
Zx
(0+).
(7.1.3)
(7.1.4)
f (ξ)dξ = 0, (x − ξ)ν
bvqiSyL4eK^ ¤Ý´UY SY U¦§FyFbFcFbLf^`ts2kliSjDkltFyFiDkls`iS_>jSb6r
m 0
'
d (ν) (λ) = λν fb(λ), 0 < ν < 1.
0f
cFi ^`cL^xüqeLiSyFtbFiS\FScFyLz^`piSjSF^`UcFs`b6tt £j ^`jS6bUeKrL^StSkm^ FyFiSbFpjSirLcFiS_? ^`FUs`i4i~tsSs`gFi`eLU\Ftl
d (ν) 0 f (λ)
= λν fb(λ) −
X\L^Skls`cFiDkls`bn}FtkeLb
n−1 X
}Fs`i
k=0
0<ν≤1
λν−k−1 f (k) (0+), n − 1 < ν ≤ n.
d (ν) 0 f (λ)
= λν fb(λ) − λν−1 f (0+).
(7.1.5)
Utkls`jStcFcL^xhyL^`pcFbF L^ 4tlOrLs`bL4b rLjS68hOiSSiSStcFb6hL4b ¤«ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhb ^`FUs`iU¦j?s`iD}T\Fs`i>FtyFjSiStbFpcFb6£¤Ý´UY SY D¦zklirLtyD bFs2rLyFiSScFt
ÑD +x%7 5G7o # S&x#7 +x FyFbFiSsZbFFpjSyFiiSrLbFcFpjSi~tSrL}TcFjSplhFts`s`i`teLgSj>aDiZs`iS F\FtlaDeLt x=FiS0yDh6}¬rLj?aDs`iSi jLY jSqyFtt8k4hiSaUs`^`yDahcLjS^ZsSiSy6s`iSiLt }xiS¤ÝS´UtÖY SFY SyF¦ziSbFkli~prLjSi~ty6rF cFt?bL4t]s irLbFcL^`aUiSjSt2s`yL^`cLkqiSyLf^`cFs` ^`6eK^Sk^F}ntkeLbrLbL qtyFtcF Fb6yFStl jOf^xcFh ~eLqgOUcLcF^aF FcFb6b6hO b cFtkl£iSiSFs`jSyFttlsSrLkltls`eLjStSUm ]ttaUi`eLbF\Ftkls`jSiqttFyFiSbFpjSi~rLcFiSSyL^`^`]sSkh 1 "
"
1 # Æ
"§
i
d (ν) 0 f (λ)
d (ν) (λ) = λν fb(λ).
^`aUiScFt n}!rFeFhóFy6iSbFpjSi~rLcFiS_ nyF]cFjD^xeLg`rK^x ts`cFbFaDiSjD^F}!j keLU\L^`t bL4t]t_ jSb6r 0<ν<1
0f
(ν)
=
0f
C
f (0)x−ν 1 (x) = + Γ(1 − ν) Γ(1 − ν)
FyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFt ^`6eK^Sk^
Zx 0
(x − ξ)−ν f 0 (ξ)dξ,
d (ν) (λ) = λν−1 [f (0) + λfb(λ) − f (0)] = λν fb(λ).
F\]tsSkl4aDtiDs` bLk4}Uz\Fs`keLitSF}`yFcFtiqiSbLSyL4^`tptiSsqjDsx^x^`cFaUbFiSt _^`t6eKjSb6^SkrO^]j rFkeF4h zνkeL>t1iSScFiSt]SklUtlcFtcFkls`jSSqts UcFjaFa6 FeKbF^S_ kkl b6 Y ( & ðyFUiStZbFcFs`tyL^xeLgScFiStqFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFtS}DrLt_Lkls`jSU]ttqjOs`iS_>t iS`eK^x kls`b (0, ∞) }6d s`iOFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt vtleFeLbFcL^ 0f
.
-{3±
ì.|
|ï ~
0
E¶¶~
³G
M
f (x) 7→ f (s) =
{f (x)}(s) =
]SyL^`s`cFiStZFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt vtleFeLbFcL^
Z∞
xs−1 f (x)dx.
0
³G
f (x) =
−1
1 {f (s)}(x) = 2πi
σ+∞ Z
x−s f (s)ds,
σ = Re s.
]FtyL^` Fb6h kljStyFs`aFb vtleFeLbFcL^b s`tiSyFtf^rFe6h cFtt p^`FbLkljD^`]sSkh?j jSbUrLtSm σ−i∞
b
G
f ◦ g(x) = {f ◦ g(x)}(s) =
Z∞
f (x/ξ)g(ξ)dξ/ξ
0
{f (x)}(s) ·
{g(x)}(s) = f (s)g(s).
%
Ñ \FbLkeFhFt sSk¨^`hvFiDbF4cFcFs`bLtyF}
b6\FyFs`iSijD^`FcFyFbFttiS£SyLF^`iOpiS\LjD^S^xklcFsbFhLtm vtleFeLbFcL^FtyFjSiS_WFyFiSbFpjSi~rLcFiS_.jS $¥ Ã
v6
#7 +xx Rx
&
BG
f (1) (s)
=
Z∞
x
£
s−1 0
f (x)dx = x
0
s−1
f (x)
¤∞ 0
− (s − 1)
Z∞
xs−2 f (x)dx =
0
£ ¤∞ = xs−1 f (x) 0 − (s − 1)f (s − 1).
qyFi~rLi`e6O^xh?jS\FbLkeLtcFbFtkZFiD4iSgSbFc6rLUaF FbFbn}FFyFb6Di~rLbL£a ü
f (n) (s) =
ÖkeLb
n−1 X k=0
Γ(1 − s + k) h s−k−1 (n−k−1) i∞ (−1)n Γ(s) x f (x) + f (s − n). Γ(1 − s) Γ(s − n) 0 (7.2.1)
h i h i lim xs−k−1 f (n−k−1) (x) = lim xs−k−1 f (n−k−1) (x) = 0,
qiSyL4eK^ ¤Ý´UY 6Y ~¦ÖFyFbFiSSyFtlsx^`tsOFyFiDkls`iS_>jSb6r
m x→∞
x→0
f (n) (s) =
0 ≤ k < n,
(−1)n Γ(s) Γ(1 − s + n) f (s − n) = f (s − n). Γ(s − n) Γ(1 − s)
üqyFtiSSyL^`piSjS^`cFb6t vtleFeLbFcL^]bFcFs`tyL^xeK
^ ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFh4i~ts]Ss`g Di klUtkls`j`eLtcFicFtFiDklyFtlrLkls`jStcFcFirFeFh?cFt FtleF2FiSySh6rLaUiSjL}DFiDklaDi`eLgSaFOqiSyL4D eK^bL4tts ^`cL^xeLiSbF\FcF_>jSb6r
m G
0f
(−µ)
1 (x) = Γ(µ)
Zx
(x − ξ)µ−1 f (ξ)dξ.
F[ZiS4yScFh6i~rLiSa ^xhbFcFiSs`Stt>y6\LbF^SyFkls`iSbjD^`tcFt b6h cL^ FiOx FyL^`dxjSb6}§eLbFuc6ðsStlbFyFyFb6bFUyFeL`tShH}F4Fi xFi`iSeLs.U\L^`trLi m ∞ bH4tc6h6h 0
s−1
0
f (−µ) (s)
FiD4iSgS!p^S4tcF \FtyFtpqStsx^x qUcFaF FbF
1 = Γ(µ)
Z∞
}TjScFUs`yFtcFc6bF_ bFcFs`tyL^xe.4i~ts>Ss`g?jSyL^xtc 0
t = ξ/x
Z∞ dξf (ξ) (x − ξ)µ−1 xs−1 dx. ξ
Z∞ Z1 µ−1 s−1 s+µ−1 (x − ξ) x dx = ξ (1 − t)µ−1 t−s−µ dt = ξ s+µ−1 B(µ, 1 − s − µ). ξ
0
x%7 5G7o
Ñ XyFtp~eLg~sx^`s`t bL4tlt
1 " +
('
0f
(−µ) (s)
Γ(1 − s − µ) f (s + µ) (Re s < 1 − µ). Γ(1 − s)
"§
^`_6rLt*iSSyL^`p vteFeLbFcL^rLyFiSScFiS_¢FyFiSbFpjSirLcFiS_ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhnY iS eK^Sklc6iOttqiSFyFtlrLtleLtcFbF
=
S&x#7 +x
1 ##Æ
"
_G
0f
(ν)
(x) =
n (ν−n) (x) x 0f
≡ g (n) (x),
o klFi`eLgSp`h?jS{tFyFbFjStrLtcFcFUBqiSyL8~eL rFeFh
g(x) =
n − 1 ≤ ν < n (n = [ν] + 1).
g(s − n) =
(ν−n) (s
0f
− n) =
g (n) (s)
0f
(ν−n)
(x),
b Fi~rKkls~^`j`eFh6h>jOcFtt
Γ(1 − s + ν) f (s − ν), Γ(1 − s + n)
FyFb6DirLbL a2keLtlrLU]t4jSyL^xtcFbFHrFeFh s`yL^`cLkqiSyLf^`cFs` vtleFeLbFcL^ZrLyFiS` cFiS_>FyFiSbFpjSi~rLcFiS_ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhnm @G
(ν) (s) = 0f
n−1 X
i∞ Γ(1 − s + ν) Γ(1 − s + k) h (ν−k−1) f (s − ν). (x)xs−k−1 + 0f Γ(1 − s) Γ(1 − s) 0
KrÖ^`kteLsOb
0f
(ν) (s)
=
Γ(1 − s + ν) f (s − ν) (Re s < 1 − µ). Γ(1 − s)
eFh>FyFiSbFpjSi~rLcFiS_> ^`FUs`i ð
(ν) 0 f (s)
=
n−1 X
i∞ Γ(1 − s + ν) Γ(ν − k − s) h (k) + f (x)xs−ν+k f (s − ν), Γ(1 − s) Γ(1 − s) 0
b6eLbn}FFyFb cFeLtjSiS_>FtyFjSiS_ kl6f4tS}FFtyFtFbLk^`cFcF_ jOjSb6rLt k=0
−∞ f
(−µ)
1 (x) = Γ(µ)
Z∞
ξ µ−1 f (x − ξ)dξ,
tkls`g cFt \Fs`i bFcFiStS}Fa6^`a iSSyL^`p vtleFeLbFcL^ qUcFaF FbFb φ (ξ) ≡ f (x − ξ) ¤¥k s`iS\Fc6i` kls`gSrLiZ4cFi~ bFs`tleFh 1/Γ(µ)¦nk µ}FyFi~rLi`eFtc6cFzvjzaUiD46eLta6klcFU£6eLiDklaUiDkls`gLm 0
G
x
Γ(µ)
−∞ f
(−µ)
= φx (µ).
%
$¥ á
0/ #
#7 +xx
ÑD
õ &
qyFbL4tcFbFjOiSSyL^`s`cFiStqFy6tiSSyL^`piSjD^`cFbFt ^`6eK^Sk^ ü
ReZµ+∞
1 φx (ξ) = f (x − ξ) = 2πi
b Fi`eLi bFj
}FFi`eLU\FbLm x=0
Γ(µ)
∞f
−µ
(x)ξ −µ dµ,
ξ > 0.
Re µ−i∞
1 φ0 (ξ) = f (−ξ) = 2πi
ReZµ+∞
Γ(µ)
∞f
−µ
(0)ξ −µ dµ,
ξ > 0.
© ^`aFbLHiSSyL^`piD}FqUcFaF Fb6h 4its Ss`g jSiDkklsx^`cFiSj`eLtcL^Fi2ttqrLyFiSScFz bFcFs`tyL^xeK^S f (x) }6jSplhFfs`(x)zs`i`eLgSaUiFyFb>i~rLcFiDWpcL^~\FtcFbFb>jStyD6cFtiFyFtl rL4tliSeK_ ^ x = 0}FtkeLb>iScFb bF pjSY7tý4klts`plcF~<eLgxrFs~eF^`h s]jDs`kliStl2sq4aUiDi46teLs]tyLaU^SklkcFkf>^`s`FyFiSbFyDjDh6^`rLs`aDgDiSkj hµaU^`cLa^iSFSyDiSh6` tcFbFRetqyLµ^`pl=eLi~const tcFb6>h q0 UcFaF FbFb f (x) j ySh6r©nt_6eLiSyL^FY 54 & üqyFbHyF^Skk4iSs`yFtcFbFbHFiSjStlrLtcFb6hFyFiSbFpjSi~rLcFcL^ jDklt_jSttkls`jStcFcFiS_ iDklb −∞ < x < ∞ Si`eLttZFi~rFDirFhFbL£iSaU^`pjD^`tsSkh?FyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFt UyFgSt Re µ−i∞
∞
(−µ)
*
-{åä
ì.|
|ï ~
î ·
+
F
Þ
f (x) 7→ fe(k) = {f (x)}(k) ≡
kZiSSyL^`s`cFz£Fy6tiSSyL^`piSjD^`cFbFt f (x) =
b s`tiSyFt4iS_>i kljStyFs`aUt
Þ
∞ Z
Þ
−1
1 {fe(k)}(x) = 2π
f (x − ξ)g(ξ)dξ
Z∞
eikx f (x)dx
−∞
Z∞
−∞
e−ikx fe(k)dk
Þ
(k) = {f ∗ g(x)}(k) = fe(k)e g (k).
ð eFhiSFtyL^` FbF_8cFiSiSaFyL^`s`cFiSi2bFcFs`tyFbFyFiSjD^`cFb6hbvrLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^x cFb6h bL4t]s 4tkls`i2kliSiSs`cFiS{tcFb6h −∞
fen (k) = {
Þ
n −∞ x f (x)}(k)
= (−ik)−n fe(k),
n = 1, 2, . . . ,
x%7 5G7o
ÑSª
1 " +
S&x#7 +x
1 ##Æ
"
"§
Þ ð eFhbFcFs`tyL^xeK^¬ýÖbFf^`cL^x bFUjSb6eFeFhvrLyFiSScFiSi2FiSySh6rLa6^F}T4!klcFiSjD^ bLk fe(n) (k) = {
n
f (x)}(k) = (−ik)n fe(k),
Fi`eLgSpStWFyFtlrKklsx^`j`eLtcFbFt jOjSb6rLt kljStyFs`aFb
(−µ)
n = 1, 2, . . .
s`tiSyFt4?i kljStyFs`aDt e e e b jSyL^xtcFbFtZrFeFh UyFgStl iSSfyL^`p^(k) qUcF=aF FbFfb(k)ΦΦ(x)(k),m −∞ f
−∞
Ç+
(x) = f ∗ Φµ (x),
(−µ)
µ
µ
1 Γ(µ)
e µ (k) = Φ
qyFbL4tc6h6h bFpjStkls`cFU¡qiSyL4~eL ü
Z∞
eikx xµ−1 dx = (−ik)−µ .
0
(ik)ν = |k|ν exp{−iν(π/2)sign(k)} = |k|ν {cos(νπ/2) − i sin(νπ/2)sign(k)},
Fi`eLU\L^`tWrFeFh>eLtjSiDkls`iSyFiScFcFtib6cFs`tyL^xeK^
e(−µ) (k) = (−ik)−µ fe(k) = |k|−µ exp{i(µπ/2)sign(k)}fe(k), µ > 0.
wzcL^xeLiSbF\FcFiL}UrFeFh FyL^`jSiDkls`iSyFiScFcFti −∞ f
(−µ) fe∞ (k) = (ik)−µ fe(k) = |k|−µ exp{−i(µπ/2)sign(k)}fe(k), µ > 0.
bL4ttð ¤ neFh¢= eL[ν]tjSiD+kls`1iS¦ yFiScFcFb6rLyFiSScF¢FyFiSbFpjSirLcFý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFh4
Þ
e(ν) (k) = {−∞
−∞ f
n−ν (n) f (x)}(k) x
Þ
= {Φν−n ∗ f (n) (x)}(k) =
zw =cL^x(−ik) eLiSbF\FcFiL}UrFeF·h (−ik) FyL^`jSiDfkls`(k)iSyFiS=cFcF(−ik) b6 f (k) = |k| exp{−i(π/2)sign(k)}f (k). −(ν−n)
n
e(ν) x f∞ (k)
e
ν
e
e
ν
= (ik)ν = |k|ν exp{i(νπ/2)sign(k)}fe(k)
qUcFaF Fb6h f (x), −∞ < kxsSy6
(1)
-C
(−∞, x)
−∞
ν x f (x)
=
−∞
ν
x f (x)
(n−1)
=
Dν+ f (x)
(x, ∞)
1 = Γ(n − ν)
Zx
−∞
f (n) (ξ)dξ . (x − ξ)ν+1−n
"
Ñ#´
1õ7
}, î
S Y~¨r;WV µZaAq² n du }¬ÑI ÑÑFY H I F Y
d¾{ Å I d¾p I 2I m ;F F 6Y [2i;XZYí¨ ä^ Xeei ªNgN_KVR# m=~ LNL I FÎIM u I F n 2F +F Y Y ´ £º³`bV eXZY I ¢w } w NO MLI }F`SSFY F?Y ´µZ`ba [ =u I n I yF YdÂ| I mkp I NO } v O ù }¬ ÑÑSªFY +O yF LY cFð !ÿtOrL÷ yFiSð S]cFiSi> FiSyDh6/rLø³aU^ b. cFt©aD iSs`*iSô yFþ>t ò!öDb6 FyFb6TeLoqicFs`ttcFb6yLhn^xY eLv¡bFbcLFklanyFmiSbF p^~jSUi~a6rF^ b s`tl6cFbFa6^F}n ÑS# ´UY J "Z & S Q3T &V"S(Y Q S&1 X-TÝQ 9Z .J
R åTÝQ
'
J
J
T Z V&3TÝS(Y
©J-Ò V Z YÝ
$Y TÝQ S3T &V 1Q0T V 3T Q T V S
J $Z & S Q3T &V"S(Y Z 1T V $P &R S3
Ò V&3
J J Â
J J ¬ 60
P"S3T &V
Z S(Y S(V"
(0V 3TÝS(Y
Z U
$Z S&Q3T &V"S(Y Z S Z Y
&V" &V
S(YÝQ0P$Y P T V
&V &XS(V
¸J -J
KG
K
ís\ït\ r
å ' Ó ß #âæÔ×èç ^ t çÔÑèâã /çèæwt Ö' è ã æÔÓ â çèæ #âM t ã å^' Ó ç Ñèè ã ßÚç Úß áæÔÓ â p
óg
dm
dp
-
B{ z
dcqk
&
³Û
}| ,~𳶹 ~
Bæ|
|
(
ï|.~¹i
EE
ýf^Skk4iSs`yFtcFcFtjS{tFyFiSbFpjSi~rLcF( t ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhOkli~rLtySO^`sZbFc6 s`jSt?s`yLbF^xFeLTgScFmLirLt§bFiScvFtbFyLp ^`Fs`yFiSyFtlrL.tleLkÖiSkljObFc6hFj`~eFeFhFhFtyFsScFk¨zhv>6th6yFrLtyF4iDtcF}cFFzyFbFYTcLX^xrFi eL4tlOcFiS^`b6bFvtÖqXbFi`peLbFgx\Fs`ttky6aFyFb6i` pcF^xiDrK4^\LiS^x¬s`yF}Fti~prLaFcL^`aUb6iLeL}Fb bFFcFi s`tjDklyFtbF_OyFjSiStjD^`cFtklbFs`tjScFtcFtiScFiSD_i~iDrLklbLbO4iSi s jSFi`eLrLc6i hFs`g YDF©
i?^`a6q^xbFh a6klklbFbFs`yFDiS^`jD F^`b6c6h bL4tts4tkls`iL}DcL^`FyFbL4tyn}UFyFb2cL^xDi~OrLtc6bFb?kla6^xeFhFyF−∞ cFiSiFiS∞s`tcF FbL^xeK^ φ(x) }Ukli` plrK^`jD^`t4iSicL^iDklb x yL^SklFyFtlrFtleLtcFcFz£Fi cFt_>p^`yDh6rLiD£kq6eLiSs`cFiDkls`gS f (x)
1 φ(x) = 4π
Z∞
f (ξ)dξ . |x − ξ|
] FyFtlrLtleLtcFbFtqcL^`FyDh6tcFcFiDksSb klj`hFp^`cFiOkZjS\FbLkeLtcFbFt£bFcFs`EtyL(x)^xeK^ = −dφ(x)/dx, −∞
x
1 Ex (x) = 4π
Z∞
−∞
sign(x − ξ)f (ξ)dξ . |x − ξ|2
`S
n£7&x 5x
" +
5÷x1 #Æ "
G7o
õ §Æ Ax"5
&
1 #Æt¥ ¥ ¥
WY>ý§bLk]klSiDiS S tYKcFzbFt/rLbFsxc ^`bFaFpZb6,rLyFbFiScFScFs`t?yL^xbFeLcFiSs`j tyLcL^x^ eLiSrLjLyF}6iSbLS4cFt]t bFF_ iSySjSh6b6rLr aFb²jSFi`eFcFtcFi G
¯ 0
ν
1 f (x) = 2Γ(ν) cos(νπ/2) "<" x÷*ÿ
f (x) =
f (ξ)dξ , |x − ξ|1−ν
ν ∈ (0, 1),
xø!ø FiSyDh6rLaU^ iSsOqUcFaF FbFb
cL^`pjD^`tsSkhÇó÷7ùAòBñ † ν
Z∞
−∞
}6rLyFUiS_n}
E
3
Z∞
sign(x − ξ)f (ξ)dξ , ν ∈ (0, 1), −∞ < x < ∞. |x − ξ|1−ν
1 2Γ(ν) sin(νπ/2)
ν
f (x)
dcL^øB÷7jDó/klô tqFòi`eLBi~ñ ñõ[bFs`ÿtleLógS÷7cFùAòBt ñ ¤ b>rKx^x÷*ÿ¼tq aUxiDø!4ø 6`eLY5tûÖaUs`klb2cFFiSt~s`¦tpcFcL F^~bL\F^xteLcFb6h yL^SklFyFiDkls`yLY ^`c6hF]sSk¨h taUi jSb6rLts`gL} \Fs`i(FiSs`tcF FbL^xeLU ý§bLkk^(klj`hFp^`c6 ν >k*0bFcFs`tyL^xeK^S4b ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFh kliSiSs`cFiS{tlcFb6hL4b −∞
1"
"<"
E
å
*
ν
1 ( 2 cos(νπ/2)
=
ν −∞ x
+
ν x ∞) ,
† ν
b \Fs`i iSSyL^`s`cFtqkliSiSs`cFiS{tcFb6h>bL4t]s jSb6r
m
1 ( 2 sin(νπ/2)
=
ν −∞ x
−
ν x ∞) ,
= cos(νπ/2) + sin(νπ/2) , = cos(νπ/2) − sin(νπ/2) . XF i`eLc6hF]sSkh s~^`a6tkeLtlrLU]bFt FyL^`jSb6eK ^Ok eLi~tcFb6h>FiSyDh6rLaUiSjLm6tkeLb>Fi`eLi`
ν −∞ x
ν
bFs`tleLgScFt
µ>0
µ ν
-
&
B{3±
b
† ν
ν>0
f (x) =
ì.|
sx^`aUiSjS }6\Fs`i
µ+ν
f (x),
54
ν x ∞
µ+ν <1
† µ † ν
|ï ~
ν
}Fs`i
† ν
f (x) = −
µ+ν
f (x).
î ·
cFiDklkls`iSgSS#iS_órLi
EE
−1
+
ν
geν (k) =
Â+
ν−1
Z∞
|ξ|
ν−1 ikξ
e
dξ = 2|k|
−ν
Z∞
|ξ|ν−1 cos(ξ)dξ = 2|k|−ν Γ(ν) cos(νπ/2),
xs ^`a\Fs`i>FyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFt UyFgStFiSs`tcF FbL^xeK^ iSSyL^`piDm −∞
0
Þ
+
{
ν
f (x)}(k) =
Þ
ν
f (x)
jSeFh6rLbFs>keLtlrLU]bL
1 {gν ∗ f (x)}(k) = 2Γ(ν) cos(νπ/2)
ä&xx #5
wu
15 Æ
"¥ á
`F
Æ
1 geν (k)fe(k) = |k|−ν fe(k). 2Γ(ν) cos(νπ/2)
=
wzcL^xeLiSbF\FcFiOcL^xSi~rLbFsSkh>b iSSyL^`p UyFgSt kliSFyDh6tcFcFiSiOFiSs`tcF FbL^xeK^Jý§bLkk^Fm +
Þ
rLt †
sx^`a>\Fs`i
geν (k) =
{†
Z∞
ν
f (x)}(k) =
1 † geν (k) · fe(k), 2Γ(ν) sin(νπ/2)
sign(ξ)|ξ|ν−1 eikξ dξ = 2i sign(k)|k|−ν Γ(ν) sin(νπ/2),
−∞
Þ
{†
ν
f (x)}(k) = i sign(k)|k|−ν fe(k).
yFtlDirv iSs^`a bFcFb?s`tjkyLeL^xUeL\LiS^`j t]a i~rLFcFyFiDiSklbFs`pliSjSyFi~iSrLcFcFc6zb6¢ ¤FiSyFs iSbFiSs`pjSyFibFrL LcF^`s`tlAeFý§gScFbLf ^`cLν^x a FbFi`UeLjSi~b6 eFeFbFhns`}DtleLFg`t cFbvz4§t¦]s`i4rLi~iD£tyFs?tiD~klUeFhFy6tbFkls`p^`j` FeFbFhFbvs`gDwkhvrK^Sa6f^`^`ayLF^FUY s`t FtleLiSi2rFbL tlyFtcF FbFyFiSjD^`cFb6hn}Lsx^`a iSSyL^`piSðjS^`iScFFbFi`_neL}cFklbLi£rLtFyDyFObF^`jStlrLb6tZcFcFrLbL tqjStyF{ttcF FklbLiSiS^xeLs`cFgSiScF{_tcFiSb6Fh tyLL^`^`s`yFiSiSy _vFkteLyFtljSrLiSU]izFiSb6yD>h6FrLyFa6tl^F }
-
EE|ï¹
B{åä
|
ï|,~¹i
Þ
b
{
1−ν
x
f (x)}(k) = (−ik)|k|ν−1 fe(k) = −i sign(k)|k|ν fe(k),
Þ üqi`eLU\FtcFcFtqqiSyL4eL<FiSpjSi`eFhF]scL^SyL^Skkf^`s`yFbFjD^`s`gkliDklsx^`jScFt]iSFtyL^`s`i` yFbn øB÷7 ó/ô ò Bññõ ÷7óxb òÀô oùJ ÷-ô XòÀa6ô^`òBañ ÷7/óxôxòÀ÷oô ö ooùJñ ÷-ô ¢ xø!Xø xòÀ}FôklòBiSñ iSs`/jSôxt÷osSö klos`ñ jStcF¾cF i xø!ø Y ]FyFtlrLtleFh6h<6yFiSbFpjSi~rLcFUÃý§bLkk^aU^`a
x
† 1−ν
x 1 "
† 1−ν
f (x) ©M
f (x)}(k) = (−ik)(i sign(k))|k|ν−1 fe(k) = |k|ν fe(k), 1 x
1−ν
f (x)
_5 "K
1 @5 "% ( " E 3
"<"
"<"
& "
E 3
rLtleLtcFb6hHaDiScFt\FcFiS_H\L^SksSbFiwrK^Sf^`yFyFbLkkliSj.FiSs`tcF FbL^xeHiSs`yFbF L^`s`tleLgScFiSi FiSySh6rLa6^F}6Fi`eLU\FbLm p.f.
1 = Kν,2
Z∞
−∞
−ν
f (x) = p.f.
1 Kν,2
f (x − ξ) − f (x) dξ ≡ |ξ|1+ν
Z∞
−∞
ν
f (ξ)dξ = |x − ξ|1+ν
f (x),
0 < ν < 2,
ν 6= 1.
`D rLtklg
n£7&x 5x
" +
Kν,2 =
½
5÷x1 #Æ "
2Γ(−ν) cos(νπ/2), −π
G7o
õ §Æ Ax"5
&
0 < ν < 2, ν = 1.
1 #Æt¥ ¥ ¥
ν 6= 1,
b cFtkliSDkls`jStcFcF_?bFcFs`tyL^xevbFcFs`tyFFyFts`bFyFStsSk¨ha6^`a>FyFtlrLtle Z∞
Z
f (x − ξ) − f (x) dξ = lim ε→0+ |ξ|1+ν
iSyL4~eK^rLyFiSScFiS_?FyFiSbFpjSi~rLcFiS_ý§bLkk^ +
−∞
|ξ|≥ε
ν
1 f (x) = Kν,2
4i~tsOSs`g Fy6tiSSyL^`piSjD^`cL^a jSb6rL
Z∞
−∞
f (x − ξ) − f (x) dξ. |ξ|1+ν
f (x − ξ) − f (x) dξ |ξ|1+ν
0 Z∞ Z f (x − ξ) − f (x) 1 f (x − ξ) − f (x) ν f (x) = dξ + dξ = Kν,2 |ξ|1+ν |ξ|1+ν −∞
1 = Kν,2
0
Z∞
f (x + ξ) − 2f (x) + f (x − ξ) dξ ξ 1+ν
(8.3.1)
kÖ FtcFs`yL^xeLgScFiS_yL^`pcFiDkls`gSjZ\FbLkeLbFs`tleLtFi~rFcFs`tyL^xeLgScFiSi]jSyL^xtcFb6hnYð eFh FyFiSbFpjSi`eLgScFiSi ν > 0 s`iSs 4ts`i~rvFyFbFjSirLbFsOa jSyL^xtc6bF}
ν
0
f (x) =
1 Kν,2j
Z∞
2j
∆ξ f (x) dξ, ξ 1+ν
kli~rLtySO^`t42 FtcFs`yL^xeLgScFtqyL^`pcFiDkls`bvqUcFaF 6bFb 2j ∆ξ f (x)
=
2j X
0 < ν < 2j,
\Fts`cF>FiSyDh6rLaDiSj 2j m
0
f (x)
µ ¶ 2j f (x + (j − k)ξ) (−1) k k
b cFiSyL4bFyFiSjSiS\FcFtZaUiS qbF FbFtcFs` k=0
Z∞
Kν,2j = (−1)j 22j−ν
sin2j ξ dξ. ξ 1+ν
S^ 4ts`bL}`\Fs`iFyFiSbFpljSi~rLcFtVý§bLkk^qjSyL^xO^`]sSk¨hO\FtyFtpFyFiSbFpjSirLcFt ^`yF{i kliSiSs`cFiS{tcFbFt 0
ν
f (x) = [2 cos(νπ/2)]−1
¡
.G
ν + f (x)
+
ν − f (x)
¢
.
0/ #S&xx #5 ('u
` tqiSSyLýf^`^SpkiDk4}UiSFs`i`yFeLbLU¡\FbLs`tFm tlyFg.kliSFySh6tcFcF_FiSs`tcF FbL^xe@ý§bLkk^FY[ðt_Lkls`jS`hs`t
"¥ ò
†
#7 +xx
ν
f (x) = p.f.
† −ν
õ &
Æ
1#
−1 f (x) = p.f. 2Γ(−ν) sin(νπ/2)
&
Z∞
−∞
−1 = 2Γ(−ν) sin(νπ/2)
Z∞
sign(x − ξ) f (ξ)dξ = |x − ξ|1+ν
sign(x − ξ) [f (ξ) − f (x)]dξ = |x − ξ|1+ν
−∞
x Z Z∞ −1 f (ξ) − f (x) f (ξ) − f (x) = dξ − dξ = 1+ν 2Γ(−ν) sin(νπ/2) (x − ξ) (ξ − x)1+ν −∞
ν 2Γ(1 − ν) sin(νπ/2)
=
x
Z∞
[f (x − ξ) − f (x + ξ)]ξ −1−ν dξ,
54 "!
-
&
ì.|
B{/ë
|
0
|ï ~
ï|.~¹
0 < ν < 2.
î ·
EE
qs`iSSWcL^`_Fs`bs`yL^`cLkqiSyLf^`cFs` UyFgStFyFiSbFpjSi~rLcFiS_ ý§bLkk^F}~Fi~rLt_Lkls`jSD t£cL^iSStq\L^Skls`b>yL^`jStcLkls`jD^ ¤¥FY FY ~¦§iSFtyL^`s`iSyFiDFyFtiSSyL^`piSjD^xcFb6h UyFgStSm =
¬+
rLt
Þ
g (ν) fx (k) = {
ν
+
1 f (x)}(k) = 2Γ(−ν) cos(νπ/2)
Z∞
F (k, ξ)ξ −1−ν dξ
0
Þ
F (k, ξ) = {f (x + ξ) − 2f (x) + f (x − ξ)}(k) = [e−ikξ + eikξ − 2]fe(k).
^S4tcFiS_>FtyFt4tcFc6 b>bLklFi`eLgSpiSjD^`cFbFtqiSyL4~eF Z∞ [1 − e−ξ ]ξ −1−ν dξ = −Γ(−ν),
4FyFb6Si~rLbL£a yFtpeLgxsx^`s`
0 < ν < 1,
0
Þ
{
ν
f (x)}(k) =
Γ(−ν)[(−ik)ν ] + (ik)ν ] e f (k) = |k|ν fe(k), 2Γ(−ν) cos(νπ/2)
kliSeK^SklU]t4DkhkvkliSiSs`jStsSkls`jSU]t_qiSyL4~eLiS_rFeFhH FtleLFyFiSbFpjSirLcF rK^`cFcFiSis`bFL^FY
` †
n£7&x 5x
" +
('
5÷x1 #Æ "
wzcL^xeLiSbF\FcFz£iSSyL^`piD}DrFeFhvkliSFySh6tcFcFiS_>FyFiSbFpjSi~rLcFiS_ ν
f (x) = p.f. †
Fi`eLU\L^`t
†f fxν (k)
Þ
= {
−ν
†
f (x) =
ν 2Γ(1 − ν) sin(νπ/2)
0
rLt XFi`eLc6h6h>Fp(k,^S4tξ)cF2=FÞ t{fyFt4(xtcF−cFξ)>−jOfbF(xcFs`+tξ)}(k) yL^xeLt = [e †
Z∞
ξ
−1−ν
sin(kξ)dξ = sign(k)|k|
ν
b FyFbL4tc6h6hvqiSyL4eL
Þ
†
F (k, ξ)ξ −1−ν dξ
0
ikξ
− e−ikξ ]fe(k).
t−1−ν sin tdt
t−1−ν sin tdt = −Γ(−ν) sin(νπ/2),
FyFb6DirLbL£a jSyL^xtcFbF 0
Z∞
Z∞
0
0
Z∞
1 #Æt¥ ¥ ¥
Z∞ [f (x−ξ)−f (x+ξ)]ξ −1−ν dξ,
ν f (x)}(k) = 2Γ(1 − ν) sin(νπ/2)
ν
G7o
õ §Æ Ax"5
&
†
ν
0 < ν < 1,
f (x)}(k) = i sign(k)|k|ν fe(k).
s`yL^`cLkqiSyLf^`cFs`FyFb ν → 1 b ν → 0 } 4 jSb6rL bL^``}LeL\Fs`rKi ^xh>iScLp^O^Oc6FtiSjSFtltrLyFttlcFSbFi~trL£bFsOs`j iSf_ve (k) b kliSiSs`jStsSkls`jStcFcFiL}6b Fi s`iS_ FyFbF\FbFcFtrLyFiSScF_iSFtyL^`s`iSy c6thFj`eFhFtsSk¨feh(k)iSFtyL^`s`iSyFiDrLbL qtyFtcF FbFyFi` jD^`cFb6h ν iOFiSySh6rLa6^FY 4 - & ^`aiSsS4t\L^xeLiDklgZjS{tS}~yFbLkkliSjSWFiSs`tcF FbL^xeLklj`hFp^`cF£kÖbFcFs`tyL^xeK^S4b ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFh kliSiSs`cFiS{tlcFb6hL4bnm
{
†
B{
}| ,~ð³¶
ν
0
E¶¶,
b
ν
=
1 ( 2 cos(νπ/2)
ν −∞ x
† ν
=
1 ( 2 sin(νπ/2)
ν −∞ x
+
ν x ∞)
−
ν x ∞) .
é/A
5÷x1 "
"¥ ÿ
`D
Ro
ø tl#eFÿ eLtyFñiDùAò Sô exjS÷*jSÿ tl}SrLFtyFctliSrKFklts~yL^`j`^`eFs`iShFy]Si`bFeL_>ttkliSiSSSiS_ teFizbFs`cFbFt_FLcF^FU}xcL¡^`pklUFjDt^`yFtF4iSp_bF F(bFò <rLòÀyFôxiS÷o`ö cF?bFcFs`tyL^xeLiSjAý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhnm +
B
0& µ
° 1
ν u,v f (x)
= A−1/2 [u
ν −∞ x f (x)
ν x ∞ f (x)].
cFvbF!\FbFjSjjSptlcLeL^b \FkltcFb6rKhO^>rLFjSyFDiSbFpLjS^`i`yLeL^SgS4cFtUs` yFiSFjqi`rKeL^`icF cFbFiSs`tliqeLiSgSFcFtUyL^`s`FiSiDyLkl^ s`i~uhFb cFcFvUkl bLfA4ts`yFbF}n\FiScFzyL^x DkeLiSjSb6t u + v = 1 YüqtyFtlSi~rFh>a FiSs`tcF FbL^xeL^S@ý§bLkk^F}L^p^`s`td a>hFjScFz FyFtlrKkls~^`j`eLtcFb6hL£bFcFs`tyL^xeLiSjL}F4Fi`eLU\FbLm G
+v
−1/2
2
ν u,v f (x)
2
= A−1/2 [(u + v) cos(νπ/2)
A−1/2 = 2Γ(ν)
Z∞
ν
f (x) + (u − v) sin(νπ/2)
u + v + (u − v)sign(x − ξ) f (ξ)dξ, |x − ξ|1−ν
† ν
]=
0 < ν < 1.
o klFi`eLgSp`h.bFpjStkls`cFt2s`yL^`cLkqiSyLf^`cFs` UyFgSt rLyFiSScF.bFcFs`tyL^xeLiSj ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFhb6eLb/yFbLkkliSjS!FiSs`tcF FbL^xeLiSjL}cL^`_6rLt(s`yFtcLkqiSyLf^`cFs` UyFgSt qtleFeLtyFiSjDklaUiSliFiSs`tcF FbL^xeK^Fm −∞
q+
+
Þ
{ νu,v f (x)}(k) = A−1/2 cos(νπ/2)[(u+v)+i(u−v)tg(νπ/2)sign(k)]|k|−ν fe(k),
] FtyL^`s`iSyn}iSSyL^`s`cF_qtleFeLtyFiSjDklaD0iD<4ZνF
©M /
0&"M
"<"
ν u,v f (x)
= p.f.
−ν Fu,v
A−1/2 = 2Γ(−ν)
Z∞
−∞
u + v + (u − v)sign(x − ξ) [f (x)−f (ξ)]dξ, |x − ξ|1+ν
XFi`eLc6h6h>cFtkeLi~ cFtqjSa6eK^xrLaFb 0 < ν < 1. Z∞
−∞
=
Zx
−∞
u + v + (u − v)sign(x − ξ) [f (x) − f (ξ)]dξ = |x − ξ|1+ν
u + v + (u − v) [f (x) − f (ξ)]dξ + (x − ξ)1+ν
Z∞ x
u + v − (u − v) [f (x) − f (ξ)]dξ = (ξ − x)1+ν
Z∞ = −2 [(u + v)f (x) − uf (x − ξ) − vf (x + ξ)]ξ −1−ν dξ, 0
` Sª + 5 x n£7&x 5x FyFb6DirLbL£avkeLtlrLU]t4?yFtpl~eLgxs~^`s`Tm "
ν u,v f (x)
"
νA−1/2 = Γ(1 − ν)
÷
1 #Æ
&
G7o
õ §Æ Ax"5
1 #Æt¥ ¥ ¥
Z∞ [(u + v)f (x) − uf (x − ξ) − vf (x + ξ)]ξ −1−ν dξ.
klaUiSiF!X iSs`pt^`cFa6 FeLbL]^x\FeKt^FcFm bFtS}
cL^`_6rLts`yL^`cLkl iSyFf^`cFs` UyFgSt iSD^`s`cFiSivqtleFeLtyFiSj` 0
>+
©
ª ν u,v f (x) (k)
νA−1/2 = Γ(1 − ν)
Z∞
{(u + v)f (x) − uf (x − ξ) − vf (x + ξ)}(k)ξ
−1−ν
dξ =
0
∞ Z νA−1/2 = [(u + v)) − ueikξ − ve−ikξ ]ξ −1−ν dξ fe(k) = Γ(1 − ν) 0
= A−1/2 [u(−ik)ν + v(ik)ν ]fe(k) =
qs`iSS<~rLiSj`eLts`jSiSyFbFs`gDkeLiSjSbF
= A−1/2 cos(νπ/2)[(u + v) − i(u − v)tg(νπ/2)sign(k)]|k|ν fe(k).
=
Þ FiSpjSi`eFhF]t4cL^`pjD^`s`gviSFtyL^`s` iSy ©
ν u,v
¡ν
u,v f (x)
hFcFcL^xh A rLi`eF cL^Ss`gOjSplhFsx^jOjSb6rLtSm
ν u,v
(k) = fe(k),
L}8FiDkls`i`
Xò/ òÀôx÷oö/ø0÷*M@ó/ôx÷*1:/öo÷5ñ÷*M
A = [(u + v) cos(νπ/2)]2 + [(u − v) sin(νπ/2)]2 .
- &
ì|
B{
¢ª
ï|.~¹i
³
Z
|j~ ﳶ,~
Zklsx^`jS{^xhLk¨hv\L^Skls`g rK^`cFcFiS_ eK^`jSFiDklj`hFtcL^rLyFiSScFzHiSFtyL^` Fb6hLHj 4cF cFiS_iDbF4cFs`tyFtcFyLiD^xWeFiSyFs>iDklqs`UyLcF^`aFcL Fkls`bFjSb t R }6s`FiSi?\FaFcLb>^`FaDyLiS^`s`j`iSeLyFtiScFbFiiS}KSiSp^xpcLrK^^`\FjDbL^`t.4\FiDt4yF tp x4Y#tðyFcFyFziS` d tlrLbFcFbF\FcFz£jStaFs`iSyFiD u }6iSFyFftl(x)rLtleFhFtsSkh jSyL^xtcFbFt d
µ u f (x)
1 = Γ(µ)
Z∞
f (x − uξ)ξ µ−1 dξ,
o 4tts 4tkls`i Fi`eLUy666FiSjSiStqkljSiS_Lkls`jSiLm 0
µ ν u u f (x)
µ+ν f (x), u
yFiSScL^xh?FyFiSbFpjSi~rLcL^xh?FiSySh6rLa6^ ð
=
n+ν f (x) u
=
µ
µ > 0.
rK^`tsSkhvkliSiSs`cFiS{tlcFbFt n+ν
d du
¶n+1
µ, ν > 0.
1−ν u f (x),
{ % f6# =7o>x
&
` #´ iSrLStyL^`d/du s`bL4iDkls`iSbnSm \6cL^xhFyFiSbFpjSi~rLcL^xhvFi?cL^`FyL^`j`eLtcFbFY¬o 4tts>4tkls`i kljSiS_Lkls`jSi ^Skls`cFt2Fy6iSbFpjSi~rLcFut ý§bL ff^`(x)cL^x ≡bFfU(x). jSb6eFeFh rLyFiSScF.FiSySh6rLaUiSjviSFyFtl rLtleFhF]sSk¨hvaU^`a b j keLU\L^`tq FtleL?FiSyDh6rLaUiSjLm "¥
"1Æ $ 15Æ
Æ
ν ν u u
=
νj xj f (x).
(νj ) aj fxj (x)
= aj
νd xd f (x),
wzcL^xeLiSbF\FcFiOjSjSirFhFsSkh k4t{^`cFcFtqFyFiSbFpjSirLcFt (v) a fx (x)
= a1
- T s| ~¹i
B{
ν1 x1
. . . ad
9,~¹
v = (ν1 , . . . , νd ).
³
f^Skkf^`s`yFbFjD^xh>yFbLkkliSjS
¶ ¶ ~¹
ý
Djν f (x1 , . . . , xj , . . . xd ) = 1 = Kν,2
Z∞
−∞
f (x1 , . . . , xj − ξ, . . . , xd ) − f (x1 , . . . , xj , . . . , xd ) dξ, |ξ|1+ν
a6^`aqaUiD4FiScFtcFs`
2ν
ν
∇2ν ≡
d X
ν
2ν j .
(8.7.1)
`süqtyFyDb hFtlνs→jD^x1 cFs`tiS_Fs{iStFt2tyLkljS^`iSs`_LiSkly s`FjSyFi teKjS^`yL6^`eK^S^`kltbLsS^`k¨cLh ^>j deK^`bF6c6eKjD^S^`klyFbLbL^`^`cncF}Ss`i~cFrLiDcLkls`^`gaDiiSFs`yFcFbiDklνbFs`
−(−4)ν ≡ − −
d X
ν
2 j
,
FyFb ν →] S1yL^`sxp^` a>Ut yFFgSyFtqtiSjSFyLt^`yL^`^`s`]iSyFiSbFj _L¤¥kFh?Y ´UjOY ~iS¦ÖSbW\F¤¥FcFY ´UY_?S¦ eK^`6eK^SklbL^`cnY j=1
+
Þ
©
d X ª (−ikj )2ν (k) = ∇2ν x j=1
(8.7.2)
`S b
" +
Þ
n£7&x 5x
5÷x1 #Æ "
{(−4)ν } (k) = −
d X
rLt4iScLkls`yFbFyFU]s b6?yL^`pleLbF\FbFt FyFb
j=1
ν
41/2
(−ikj )2 =
d X
d X ∂f (x) j=1
∂xj
j=1
kj2 = |k|2ν
ν = 1/2
,
v u d uX ∂ 2 f (x) =t . ∂x2j j=1
^`_6LY rLX
1 #Æt¥ ¥ ¥
ν
YLX\L^Skls`cFiDkls`bn}FFyFb ν<1
∇1x f (x) =
^
G7o
õ §Æ Ax"5
&
+
(−4)ν
cF^qUcFa6
Þ Þ Þ bn}LkeLtlrLiSjD^`s`tleLgScFiL} Þ Þ Þ Þ üqtyFjD^xh bFpkljStyFs`jD^`t4 qUcFaF FbF_n}FU^`yL^`aFs`tyFbFpU]^xh>rLt_Lkls`jSU]bF_viSFtl {(−4)ν f (x)} (k) = −1
(−4)ν f (x) =
{(−4)ν } (k) · {f (x)}(k)
{ {(−4)ν } (k) · {f (x)}(k)} (x) =
−1
yL^`s`iSyn}6cL^xDi~rLbFsSk¨hvkeLtlrLU]bL£bFcFs`tyFbFy6iSjD^`cFbFtm
Þ
= |x|
−2ν−d
−1
{|k|2ν }(x) = (2π)−d
ª |k|2ν ∗ f (x).
e−ik·x |k|2ν dk =
Rd
(2π)
−d/2
Z∞
Jd/2−1 (ξ)ξ 2ν+d/2 dξ = [γd (2ν)]−1 |x|−2ν−d ,
rLt ^ ν ∈ (−1, 0)YL©
^`aFbLγ iS(2ν) SyL^`p=iD2} 0
d
1 (−4) f (x) = γd (2ν) ν
Z
©
−2ν
π d/2 Γ(−ν)/Γ(ν + d/2),
Z
f (x0 )dx0 , |x − x0 |d+2ν
−1 < ν < 0.
(8.7.3)
6aûÖ^ s`i−2νjSY yL^xtc6bFt FyFtlrKkls~^`j`eFhFtsHkliSSiS_ 4tyFcF_¢FiSs`tcF FbL^xe ý§bLkk^£FiSyDh6rF X¡4cFiSiD4tyFcF6yFiDkls`yL^`cLkls`jD^x¬}TiDkliSStcFcFi?j>s`yFtlF4tyFcFiD}¬FiSs`tcF FbL^x eL*bFyL^`]sSi`eLtt>klUtkls`jStcFcFUyFi`eLgj.qbFpbF\6tklaFb6p^xrK^~\L^x¬YüqyFbL4tyFiD Rd
{ % f6# =7o>x
&
` Ñ pl4rKi~^`jDt^`st4keLD_ yLbF^Ss`klgFyFkltla6rL^xtleFeLhFtyFcFcFbFt_OFp^`iSySs`h6tcFrL FiSbLjq^xkÖe FlyFeLiDtklaFs`s`yLyF^`iDcLklklsxs`^`jSs`tbFcF\FcFtiSkl_aDiS6eLi iSs`FcFi`iDeFklh s`φ(x) gS f}S(x)kli` m "¥
"1Æ $ 15Æ
Æ
φ(x) =
1 4π
Z
1 f (x0 )dx0 = |x − x0 | 4π
©yFtlF4tyFcFiSt FyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt UyFgStZrK^`ts R3
Z
R3
f (x0 )dx0 . |x − x0 |3−2
+
e φ(k) =
Z
eik·x φ(x)dx = |k|−2 fe(k).
§bLkkliSjqFiSs`tcF 6bL^xe iSSiSS^xts]s`iSFtyL^` FbFHcL^ZFyFiSbFpjSi`eLgScF_FiSyDh6rLiSah6rFyL^ bFcFs`tyL^xeK^ 2 → µ b>FyFiSbFpjSi`eLgScFUyL^`p4tyFcFiDkls`gOFyFiDkls`yL^`cLkls`jD^ ý
µ
f (x) =
1 γn (−µ)
R3
Z
f (x0 )dx0 , |x − x0 |d−µ
µ 6= n, n + 2, n + 4, . . . ,
üqyFb bLklFi`eLgSp`tyFteFhFyFbFp^` FbFbFcFs`tyL^xeK^O4ts`i~rLiD£wrK^x f^`yL^F}6jOyFtp0~eF
1 (−4) f (x) = γd (2ν) ν
Z
[f (x0 ) − f (x)]dx0 , |x − x0 |d+2ν
0 < ν < 1.
(8.7.4)
üqtyFtlDirWjviS`eK^Skls`g 4itsvSs`gviDklUtkls`j`eLtc a6^`a.FiSjSs`iSyFcFiS_ yFkeLtU\LeF^`hFt yF4bFp^` FFbFi`eLt_nU\L}^`s~t^`a¢Fb¢yFtlFrKyFνklbLs~4≥^`j`teLcF1ttcFcFbFbFtt*aUiScFt\FcFyL^`pjOcFiDjSklb6s`rLtt_nYXFiDkeLtlrLcFt Rd
(−4)ν/2 , ν > 0
1 δd (ν, l)
(−4)ν/2 =
Z
(∆lh f )(x) d , | |d+ν
kZrLjSt taF(∆s`iSyFfcF)(x) z£{d ^`aUiSiDcF t\F cLY ^xh>yL^`pcFiDkls`g qUcFaF Fb6b f (x) cFtklaUi`eLgSaFb6?FtyFt4tcFcF vi~ cFiObLklFi`eLgSpiSjD^xs`gplrLtklgOiSD^s`bFL^OyL^`pcFiDkls`t_?d FtcFs`yFbFyFiSjD^`cFcFt Rd
l h
G
(∆lh f )(x) =
b cFt FtlcFs`yFbFyFiSjD^`cFcFt
l X
(−1)k
k=0
(∆lh f )(x) =
l X
k=0
µ ¶ l f [x + (l/2 − k) ] k
(−1)k
µ ¶ l f (x − k ). k
6 + 5 x n£7&x 5x Ax 5G7o qiSyL4bFyFiSjSiS\FcFtZFiDkls`i~hFc6cFtS}FiSStklFt\FbFjD^`]bFtZjSFi`eLcFtcFbFtqyL^`jStcFkls`jD^ "
"
÷
1 #Æ
&
õ §
Æ
"
1 #Æt¥ ¥ ¥
Þ
1 δd (ν, l)
iSFyFtlrLtleFhF]sSk¨hvbFcFs`tyF^xeK^S4b
Z
Rd
(∆lh f )(x) = |k|ν fe(k), d | |d+ν
rFeFh cFt FtcFs`yFbFyFiSjD^`cFcFiS_>yL^`pcFiDkls`bn} rFeFh FtcFs`yFbFyFiSjD^`cFcFiS_>yL^`pcFiDkls`bnY rLtklg x dFtyFjD^xhB¤ jFyFbFcF FbFFtS}eL]D^xhK¦OaUiD4FiScFtcFsx^ d 4tyFcFiSijStaFs`iSyL^ Y ^S4tlsSbF}\Fs`izyFbLkkliSjiSFtyF^`sSiSy }ljSyL^xtcFcF_ x = {x , x , . . . , x } \FtyFtp§yL^`pcFiDkls`g ∆ }ñxò /ö xø ù÷7ù öoõ 7÷-ô l }s`yFtS`tsSk(−4) hs`i`eLgSaDiL}\Fs`iSS l > ν Y 0# @ - - oqkqpbFjScFts`kls`tcFyL/^xeKF^SyF4iDb³kls`üqDt ^SklkiSkiSiScLs`cF^ iS{ tcFb6hn}4klj`hFpjD^`]bFt?FiSs`tcF FbL^xeF ýÖbFkk^ R −d−ν ix1 dx (1 − e )|x| d R R δd (ν, l) = l−ν l sinl x1 |x|−d−ν dx 2 i Rd
1
1
B{
ν
2
9:( 0
d
l h
EE|ï¹
©6
ν/2
1
| ,~𳶹
Âï
l,~
y.ï
*
f (x)
û
t f (x) ≡
b 6^Dkk^x Xt_FtyF{s`yL^Skk^ C
Γ((d + 1)/2)t π (d+1)/2
Z
Rd
f (x − x0 )dx0 (|x0 |2 + t2 )(d+1)/2
B *
t f (x)
≡
1 (4πt)d/2
Z
0 2
f (x − x0 )e−|x |
/(4t)
dx0 .
eLbFj`UhFjSpb6gOeFeLsxbF^OtiDjDklklUaDiStiOkls`s`j`bFeFLhF^ tsS k¨nh b>FFiDyFklyFtlrKtlrKklsxkl^`s`j`jSeFiDhFti~sSrLkhvcFiDq4iStyLyF8cF~eK?^S4rLyFbniSm ScF?bFcFs`tyL^xeLiSj Rd
*
ν
1 f (x) = Γ(u)
Z∞
û
tν−1 ( t f )(x)dt,
(8.8.1)
0
ν
1 f (x) = Γ(ν/2)
Z∞
tν/2−1 (
t f )(x)dt.
qyFiD4tqs`iSiL}6bL4t]s24tkls`i2keLtlrLU]bFt kliSiSs`cFiS{tcFb6hnm
(8.8.2)
0
û t
ν
f (x) = ( ν− (
û
τ f )(x))(t)
(8.8.3)
wu
ä&x 5 x
15 Æ
"¥
"
S
1 #Æ #xx
÷
6S
&
f )(x) = ( ( f )(x))(t) (8.8.4) rLtqiSFtyL^`s`iSyF b rLtL_ ksSjSU]sOFiOFtyFt4tcFcFiS_ τ Y taUizDk4iSs`yFts`gZiSStt§j]s`b6qiSyL4~eK^x¬mj]FtyFSj iS_bFpcFb6 j]a6^~\Ftkls`jSt (
t
ν/2 −
ν
ν/2 −
ν −
τ
h6qrLiSyL{^£b?bFrLc6jSsSbUtlyLt^xcFeLb6gSh cFiSi£iSFtyL^`s`iSyL^£kls`iSbFs6eLiSs`cFiDksSg d 4tyFcFiSi£bFpiSs`yFiSFcFiSi
Pt (x) =
Γ((d + 1)/2)t 1 , π (d+1)/2 (|x|2 + t2 )(d+1)/2
jSijSsSiSy6iS_?d d 4tyFcL^xh>6eLiSs`cFiDkls`gOSyFiSUcFiSjDklaUiSlirLjSb6tcFb6h Wt (x) =
2 1 e−|x| /(4t) . (4πt)d/2
Lr]jSDb6^Ots`cFbbF_nFyF}FiSp^x FrKtk^`kjD^ ^`tF4yFiDbF4cLO^xrFUeL^`tlyL^`aF^`s`s>tklyFtbL4klts`_LbFkl\6s`tjSkl>aUiSbF_vpiSqs`UyFcFiSaFF FcFbFt _ tjSb6 tleLg`rLt_Lf^
p˜d (k, t, ν) ≡
Z
ν
p(x, t, ν)eik·x dx = e−t|k| , Rd
eFh>s`yFtl>FtyFjS?yLP^`p(x)4tyF=cFiDp(x, kls`t_ t, 1), pd (x, t, ν) = π −1 pd (x, t, ν) = (2π)−1 pd (x, t, ν) = (2π 2 |x|)−1
eFh>FyFiSbFpjSi`eLgScFiS_?yL^`p4tyFcFiDkls`b ð
pd (x, t, ν) = (2π)
−d/2
d Z∞
0<ν≤2:
Wt (x) = p(x, t, 2).
t
ð
å+
R∞
0 R∞
0 R∞
ν
e−ts cos(s|x|)ds, ν
e−ts J0 (s|x|)sds, ν
e−ts sin(s|x|)sds,
d = 1; d = 2; d = 3.
0
ν
e−ts Jd/2−1 (s|x|)1−d/2 sd−1 ds.
qyFiD4tqs`iSiL}6bL4t]s24tkls`i yL^`peLi~tcFb6h>jOyDh6rL 0
b
pd (x, t, ν) ≡ pd (r, t, ν) = =
∞ Γ((νn + d)/2)Γ(νn/2 + 1) 1 √ −d X (−1)n−1 (r π) sin(νnπ/2)(r/2)−νn tn , π Γ(n + 1) n=1
∞ X √ Γ((2/ν)n + d/ν) pd (r, t, ν) = (2/ν)/(2 πt1/ν )−d (r/2)2n t−2n/ν . (−1)n Γ(n + d/2)Γ(n + 1) n=0
6 ~ + 5 x n£7&x 5x Ax 5G7o üqtyFjS_bFpcFb6kDirLbFsSkhFyFb bhFb.j`eFhFhFj`eFtsShFk¨th sSk^ShWklbL^S4klbLF4s`iSFs`s`bFiS\Fs`tbFkl\FaFtbLklaF
"
÷
1 #Æ
&
õ §
Æ
"
1 #Æt¥ ¥ ¥
'
p
d
1
Z
kf kp =
|f (x)|p dx
F yL^`jStlrFAUeLELbFI4jDA ^qk3¬eL=tlrLð UeF]h.eL^x]h SiS_WqUcFaF FbFb eL]SiSi µ ∈ (0, 2] Rd
Õ
Ö
b
rLt
ν
1 f (x) = Γ(ν/µ)
d
< ∞.
f ∈ Lp (Rd ),
Z∞
tν/µ−1
1 < p < d/ν
(µ) t f (x)dt
}
b.rFeFh (8.8.5)
0
(µ) ν f (x) t
1/p
(µ) t f (x)
=
Z
ν/µ (µ) τ f (x))(t),
=(−
(8.8.6)
f (x − x0 )p(x0 , t, µ)dx0 .
EL7
36QD36CFA `C6RTEeLtaUiHFyFiSjSirLbFsSkhFiDkyFtlrKkls`jSiD*FyFtiSSyL^`piSjD^xcFb6h
UyFgStSm +
Rd
&×Ø® £
[]\FbFs`jD^xhn}F\Fs`i Fi`eLU\L^`tm
Þ
Z f˜(k) ( f )(k) = tν/µ−1 p˜d (k, t, ν)dt. Γ(ν/µ)
∞
ν
Þ
0
{ ν f }(k) = |k|−ν f˜(k),
Z Z ∞ |k|−ν f˜(k) f˜(k) ν/µ−1 −t|k|µ dt = τ ν/µ−1 e−τ dτ = |k|−ν f˜(k). t e Γ(ν/µ)) 0 Γ(ν/µ) ∞
iSyL4eK^ ¤¥FY FY ªD¦8keLtlrLStsqbFp¤¥FY FY S¦
a6^`aOyFtpeLgxsx^`sZFi`eLUyFUFFiSjSiSiqkljSiS_Lkls`jD^ iSFtyL^`s`iSyFiSj (x)m ©
^`aFbL iSSyL^`piD}4 FyFb6DirLbL =a FtleL.iD4
0
(µ) t
(µ) (µ) t τ
(µ) t+τ
Ñ
Ä
"
6
1õ7
}, î
S Y?´`¶Xe ³§ ~ =z YK´n¹K}¬ ¤ Ñ +ÑD¦Y 6Y rLð yF!iSÿ ScF÷ iSð i±FiSNyD h6rLaU^/b£ød cFtl±aU iSs`iS yF*ô t?b6þ>Wò!ö F yFGb6 eLi~oqtcFcFs`b6thnyLY
^xd eL.vb bFcLFklyFaniSm bF pjS^~iUrLaUcF^vb t s`tl6cFbFa6^F}n ÑS# ´UY FY [2i;XZY0¨ D^ Xeei ªNgN_KVa# ¹m ~ LNL I F IM u I F n 2F +F Y Y v º³`bV eXZY7´ 6d w NO MLI m I ¢w }K`SSFY L7Y i}XZ`baql § k^ XZ`y =¥ ~ z Yn¹6· n}LS>¤ ÑSªSD¦Y 6³Y \2r;gaN+rKa¢´ Nn I NY p I 2I ¢z Y wI Y · ³¬}K/ ÑS>¤ Ñ#´ D¦Y ªFYY U a6÷ ^Fx}¬÷7ù ÑS* ôFò!Y ö £ FzrLcFiD4tyFcFtzDkls`iS_F\FbFjStyL^SklFyFtlrLtleLtcFb6hnYSd WY m ^x ´U7 Y ¸]rKV rKi}_KY XZ ® =§ m I v I F I n IGv Mv SY Y v ¥?_Ka`q\ ´r;gN_KibfM` ® £Í 6Sd p I 2I Nm ~ n ;F F }¬ ÑSFSY F?Y Ík`bV µ _h7U mU ]Ye`bK_hei}_KK_sº m§ ³jYe `bVV r0\ \ NJ +I uIM I H I F YUSd ~ =F m yF ~}LLN`L SSªFY I F ÑF? Y ´µZ`ba [ =u ù }¬I ÑÑSªFY +O yF n I yF YÂd | I km p I NO } v O ÇJ
QS
('
ÂS3R
J #J ¬ 6
J J Â
¸J -J
_G
.J 9J
R åTÝQ
'
J
.J ÇJ
¸J
J 9Z 1Q
-
©J©Ò V T V S
ÂS3R
$Z & S Q3T &V"S(Y 1Q0T V 3T Q
$Y TÝQ S3T &V Z Z ÝY
S(YÝQ0P$Y P -T V
Ü
QS ÂS3R
&V" &V
©
1Q
IJ ÇJ
G
&
ØJ ÇJ¬Ò V &V Z T $P13T &V Ç ØJ -J &V" &V Q & S 1 X-TÝQ 9Z
J J $Z S&Q3T &V"S(Y
9Z
¬J ÇJ
T Z V 3TÝS(Y
J $Z & S Q3T &V"S(Y Z 1T V $P &R S3
Ò V&3
P"S3T &V
Z S(Y S(V"
"S 1TÝY T
1J 1J
Z BS(V" Y å NT Z
(0V 3TÝS(Y
S Z Y
X
R$ /3 Z $ S(X
1J
$Y TÝQ S3T &V
&V &XS(V
ís\ït\ r
r _EÓ èæèß ÚâæèæÔÓ â áç Õ Õ âãèâæÔ×èç å^' ÚæÔÓ â h
lk
x
Ö ã å Úæèâæèç k
3
B{ z
nm
(ÛX~
&
ì|
l.
î ï ~,~
bFUjSb6üqeFeFyFhniD}6kls`bLt4_Ft{tsOtt§jSUb6yLr
^`m jScFtcFbFtS}kli~rLtySO^`ttfrLyFiSScFUFyFiSbFpjSi~rLcFUký§bLf^`cF^x
ν x f (x)
= h(x),
x > 0.
dZeLbFUp\FjSbFts`klg s`cLyF^xtlh{qtcFUbFcFt aF Fs`b6iShbi Lr tklg dOνbLdZklaUFiDyFfiS^xb6h pjSqi`eLUcFgScFaFiS Ftfb6hnFi`Y eLÖi~kl s`tbFkls`s`tljSeLtgScFcFcLiS^xt§h \FFbLiSkFeLiLs`} h(x) U a ^ F ` i f (x) UyL^`jScFtcFb6h rLt_Lkls`jSbFtWcL^iSSt]ti\L^Skls`b?iSFtyL^`s`iSyFiD = FyFbFjSirLbFsa qUcFaF FbFb 0
1
0
f (x) =
0
−ν x h(x)
1 = Γ(ν)
Zx
(x − ξ)ν−1 h(ξ)dξ,
−ν x
ν 0 x
x > 0,
(9.1.1)
aUcFiStZs`hFiSj`yLeF^xhFhtsSrLkth _Lklts`jSiObFiSs`StleLgSbLcFivyFtrL{iSj`tlcFeLbFts`tjSiSY yDhFts>yL^Skkf^`s`yFbFjD^`t4iD4UyL^`jScFtcFbF}ncFi oqp P=]¶¬= ¸.keLtlrLSts~}n\Fs`i rFjSt2qUcFaF FbFb b g(x)}nbL4t]bFt i~rLc6b s`2t FyFiSbFpjSi~rLcFUrLyFiSSc6iSiFiSyDh6rLa6^ ν } n −f (x) } 1 < ν < n, n = 1, 2, 3, . . . 0
af
(ν)
(x) =
ag
(ν)
(x),
6 ª +D.Ô³ xx #x J[ x klj`hFp^`cFrLyFUkZrFyFUiDkliSiSs`cFiS{tcFbFt "
Æ.ã
Æ
f (x) = g(x) +
÷
n X
1 ##Æ õ7" #xx"§
cj xν−j ,
jaUttqiSs`yFiStyF{iDt cFbFc t hFyLj`^SeFkhFkf]^`sSs`kyFh2bFFjDyF^`iStbF4piSjSi`ieLUgSyLcF^`zjS4cFb2tlcFFb6iDh?kls`rLi~i`hFeFcF cFcFziO4bLbn4Y ts`eLg tlrLjSiSb6jDr ^`s`tleLgScFiL}SiS` j=1
j
f (x) =
0
−ν x h(x)
n X
+
cj xν−j ,
lk i~rLtySO^`bF_ FiDkls`i~hFcFcF¬}LaDiSs`iSyFt4iSUs Ss`g2iSFyFtlrLtleLtcFbFp yFyLiD^` cFbF\FcF} SkneLiS=jSbF[ν]_nY++}üqi~1rLt_Lkls`jSiSjD^xj cL^ iSStz\L^Skls`b2s`iSiUyL^`jSc6tcFb6h2iSFtyF^`sSi` (µ ≤ ν − 1) j=1
µ x
0
0f
(µ)
(x) =
0
µ−ν h(x) x
b FyFbFcFbLf^xh jSijScFbLf^`cFbFtqiSyL4eL
µ ν−j xx
=
n X
+
cj
j=1
0
µ ν−j , xx
Γ(ν − j + 1) xν−j−µ , Γ(ν − j + 1 − µ)
jSyL^`pbL>s`bFiDkls`ihFcFcFt§\FtyFtp§D^`yL^`aFs`tyFbLkls`bFaFbqUcFaF FbFbjzyL^`cFb6\FcFiS_s`iS\6 aUtSm f (0+) c = , Γ(ν − j + 1) sx^`a>\Fs`i 0
0
j
f (x) =
−ν x h(x)
(ν−j)
+
n (ν−j) X (0+) ν−j 0f x . Γ(ν − j + 1) j=1
XiSpgD4tjOa6^~\FtksSjStqFyFbL4tyL^OUyL^`jScFtlcFbFt 0
§i iSSttqyFt{tcFbFt
0
3/2 x
= x5 .
s`i~hFcFcFb t c b c }rFeFhY iSFyFtlrLtleLtcFb6haUiSs`iSyF Lckli~^xrLrLtiOyS pcLbF^`s]s`gOrLjSFtÖyFFiSbFyFpiSjSbFi~prLjScFi`eLgSt cFft§FiDkl(0+) ^S4ts`bL}F\Fs`i j keLU\L^`tZrLyFiSScFiSiUfyL^`jScFtcF(0+) b6h ^`FUs`iL}
f (x) =
0
−3/2 5 x +c1 x1/2 +c2 x−1/2 x
0
ν 0
x f (x)
=
0
ν x
Ã
f (x) −
(1/2)
m−1 X
= [Γ(6)/Γ(15/2)]x13/2 +c1 x1/2 +c2 x−1/2 , 0
xk (k) f (0+) k!
1 2 (−1/2)
!
= h(x),
x > 0,
m−1 < ν ≤ m,
yL^`cFbF\FcFtSkeLiSjSb6hOqiSyL4~eLbFyFU]sSk¨h2kbLkFi`eLgSpiSjD^`cFbFtFyFiSbFpjSirLcF FtleLi` iOFiSyDh6rLaU^ f (0+) Y (k)
0
k=0
.
"¥ Ã
G
6o´
#/xxBãÇx"5 771 ##xâ©õÂõ7" #xx
& X cFbF_n}FFyFXbFtkli~gDrLfcF^ziS_ Sb bFj _k4eLtUs`\Li^`rOtqyFFtt{yFttcF4b6thcFcFrLyF iSSaDcFiS rLqbLbF FbFqttcFyFs`tiScFjL F}6bLiD^xkleLcFgSiScFjD^`c? UcLyL^^`FjSyFcFb6tl jStlrLtcFbFb>b6>a jSb6rL2bFcFs`tyL^xeLgScFiSiUyL^`jScFtcFb6h Xi`eLgxs`tyFyF¢jSs`iSyFiSiyFi~rK^FY ýf^Skk4iSs`yFbL p^xrK^~\F qiS{b rFeFh rLyFiSScFiSi UyL^`jScFtcFb6h FiSyDh6rLa6^ m α ∈ (0, 1) f (x) − af (x) = h(x), f (0+) = b. üqyFtlrKkls~^`jSbL£UyL^`jScFtcFbFtZs`i jOjSb6rLt
3
B{3±
ìïÂ,~ìçn~ 9³¶· ~|æ
0
α x
(α−1)
0
α x f (x)
î ï ~,~
î
b FyFtlrFFi`eLi~ bL£cL^jSyFt8hn}F\Fs`i tiOFyL^`jD^xh?\L^Skls`g 0
= F (x),
FcbFbFpjSt ts~kl^`s`aUcLiS^FY iOUiSyLeK^`jS^ScFklcFtcFi2b6Fh?yFbLtlrL4ttrLs UjSb6tr 4 L^`yL^`yL^SqS}LFyFb F (x) = af (x) + h(x)
f (x) =
b xα−1 + Γ(α)
0
α ∈ (0, 1)
iSStty6t{tl
−α x F (x).
XXti`yFeLcFgxs`UtjSyF{y6bLklgjSs`aviSFyFyFiSt iyFcFi~bLrLH^ iSSiSplcL^~\FtcFb6hL}6Fi`eLU\FbL£bFcFs`tyL^xeLgScFiStqUyL^`jScFtcFbFt f (x) = f0 (x) +
rLt
a Γ(α)
Zx 0
b 1 f0 (x) = xα−1 + Γ(α) Γ(α)
f (ξ)dξ , (x − ξ)1−α Zx
h(ξ)dξ . (x − ξ)1−α
o 4tcFcFizkfsx^`aUiSis`bFL^UyL^`jScFtcFbF_n}cL^`pjD^`t4 oò ò!öoõ[ÿ L}lcL^\FbFcL^xeLiDklgyL^`pl jSbFs`bFtqrLyFiSScFi` rLbFZtyFtcF FbL^xeLgScFi`i^`FL^`yL^`sx^FY "!$ ¢ 0# Û 3 UyL^`jScFtXcFiDb6klh Fi`XeLi`gSeLpg~Ss`ttfyFk¨yFh#rFÿDeFòBh ùJ÷ yFt÷*{ÿ tcFób6÷oøh ò F÷oi`öeLoUùA\Ftò cFxcFúiSñõ i ó/jSô{t*òbFcFBs`ñ tyL8^xm eLgScFiSi 0
B{åä
,|.
6 /
|9¶Â|ï E¶· ~¹
5
fm (x) = f0 (x) +
a Γ(α)
/ 5
Zx 0
(
/
fm−1 (ξ)dξ , (x − ξ)1−α
?È
³¶
"63 $
l,~
""M
m = 1, 2, 3, . . .
6 +D.Ô³ xx #x J[ x üqyFiSbFpjSi~rFh?FiDk eLtlrLiSjD^`s`tleLgScFtZFi~rKklsx^`cFiSjSaFbn}UFi`eLU\L^`tm "
Æ.ã
f1 (x) = b
Γ(αk)
3 X ak−1 xαk−1
k=1
Æ
2 X ak−1 xαk−1
k=1
f2 (x) = b
Γ(αk)
+
Zx 0
+
÷
Zx · 0
"
1 ##Æ õ7" #xx"§
¸ (x − ξ)α−1 h(ξ)dξ, Γ(α)
2 X ak−1 (x − ξ)αk−1
Γ(αk)
k=1
#
h(ξ)dξ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . # x" m m+1 X ak−1 xαk−1 Z X ak−1 (x − ξ)αk−1 + h(ξ)dξ, fm (x) = b Γ(αk) Γ(αk)
b s~Y r
YLX<FyFtlrLtleLt
k=1
0
}F rLt
k=1
m → ∞ fm (x) → f (x) # Zx "X ∞ ∞ X ak−1 xαk−1 ak−1 (x − ξ)αk−1 f (x) = b + h(ξ)dξ. Γ(αk) Γ(αk)
X yFtp~eLg~sx^`s`tFyFb6Di~rLbL
G
f (x) = bx
α−1
k=1
0
α
Eα,α (ax ) +
Zx
(x − ξ)α−1 Eα,α [a(x − ξ)α ]h(ξ)dξ.
cFtcFb6h X¢\L^Skls`cFiDkls`bn}Fp^xrK^~\L^OqiS{b>rFeFhvFi`eLUbFcFs`tyL^xeLgScFiSiv¤ α = 1/2) UyL^`j` bL4ttsOyFt{tcFbFt jS b6rK^ f (x) − af (x) = h(x), f (0+) = b, 0
0
1/2 x
0
¡ √ ¢ b f (x) = √ E1/2,1/2 a x + x
Zx
(−1/2)
³ p ´ (x − ξ)−1/2 E1/2,1/2 a x − ξ h(ξ)dξ.
X keLtlrLU]ttlrLbFcFbF\FcFiDbFcFs`tyFjD^xeLt2FiSyDh6rLaDiSjL} ν ∈ (1, 2) }
yFt{tcFbFt p^xrK^~\Fb qiS{b
bL4ttsOjSb6r 0
ν x f (x)
f (x) = bx
ν−1
− af (x) = h(x),
ν
Eν,ν (ax )+cx
ν−2
0
0f
(ν−1)
(0+) = b,
ν
Eν,ν−1 (ax )+
Zx 0
0f
(ν−2)
(0+) = c.
(x−ξ)ν−1 Eν,ν [a(x−ξ)ν ]h(ξ)dξ.
. w6 55'>7 5 ! 3 "¥ ò
(
,|.
B{/ë
'x&x Rxx
5ôx&1ãx
"ã"
1
â
6Ñ
0!
¬ ç,í.ç
|³¶~|æ|ï
UyL^`jScFt cF^`b6Fh>iD F4tlcFeLbLiSi}x\FFs`iSiZyDeLh6rLbFa6cF^t_FcFiqcFtp^`jSbLklbL4tyFt{tcFb6hrLbL qtyFtlcF FbL^xeLgScFiSi
n x y(x)
n−1 y(x) x
0 x y(x)
kZFiDkls`ihFcFcFz4b aDiS qbF FbFtcFsx^S4b a iSFyFtlrLtleFhF]sSkh>cF~eFhL4b Pn (
x )y(x)
≡
+ a1
øBùþ>ò!ø0÷°*÷Jó÷ ñ÷*ÿ
+ . . . + an
j
=0
αj
È*ô1ùAòÀô"
Pn (z) = z n + a1 z n−1 + . . . + an .
t_Lkls`jSbFs`tleLgScFiL}FFi~rKkls~^`j`eFh6hvjOrLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiStqUyL^`jScFtcFbFt U\FbFs`jD^xhn}6\Fs`i FyFb6Si~rLbL£av^xeLtSyL^`bF\FtklaDiDP4 ( 6yF)e^`jScFt=cFbFP (λ)e , ð
λx
x
n
y(x) = eλx
b
λx
sx^xeLiSs`gL}ÖtkeLb d£aUiSyFtcFgWU^`yL^`aFs`tyFbLkls`bF\FtkaUiSiUyL^`jScFtcFb6hn}ÖsSi hFj`eFhFtsS]k¨h SyLyF^`ts`{bLtfcFkbFhts`λtrLFtbLyF g?qavtyFrLtyFcFiS FSbLcF^xiDeL4gS cFiSUyLi^`jSUcFyLt^`cFjSbFcFtcFY b6vhnY ts`irD^`yL^`aFs`tyFbLkls`bFe\Ftl cFklaFtb6 FtleLFiSi`ieLbFFcFiSiDyD4h6iSrLj>a6^ cFt 4i~ts>Ss`g cFtFiDklyFtlrKkls`jStcFcFi 6yFbL4tcFtc.a.UyL^`jScFtcFbF Pn (λ) = 0.
λj x
j
G
νn x f (x)
νn−1 f (x) x
ν0 x f (x)
ûÖs`iW4i~ cFiWk¨rLtleK^`s`gL}fi~rLcL^`aUiL}4tkeLbHiSlyL^`cFbF\FbFs`gDkhs`i`eLgSaUi yL^` FbFiScL^xeLgScFz4b p cL^\FtcFb6hL4b ν YSX£s`iD.keLU\L^`tS}StkeLb q dcF^`bL4tcFgS{bF_ iSSbF_ 4cFi~ bFs`tleLg pcL^S4tcL^`s`tleLt_?rLyFiSSt_n}6aUiSs`iSyFz4b FyFtlrKkls~^`j`eLtcF ν }Fs`iOtkls`g 0
+ a1
0
+ . . . + an
0
= 0.
*
j
j
bLcFiSkSi~iOrLUcFyLiS^`t?jSUc6yLtcF^`b6jSh>cFtFcFiSbFyDt>h64rLa6i~^ cFiFyFtl rKklm sx^`jSbFs`g j jSb6rLt2rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLg` νn = nν,
(n, q)
ν n x]
ν = 1/q,
*
ν n−1 x]
ν 0 x]
X
f (x) + a1 [0
n
n λx xe
0
f (x) + . . . + an [0 ν x
= λn eλx ,
n = 0, 1, 2, . . .
f (x) = 0.
S ` +D.Ô³ xx #x J[ x # 7 #xx rLÖyFkeLiSSb
Æ.ã
0
ν x
ν λx xe
Æ
÷
1 # Æ õ
"
"§
yFiSScFiStfrLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^`cFbFtÖFyFtjSyL^`^`tszaUklFiScFtcFs`jzrLyFUUHqUcFaF FbF} i~s`rLiScL_ ^`aDiSiLF}]tyLklU^` FbFtb>kls`bFjSpU4]ts
ð
oqpjStkls`cFisx^`a6tS}F\Fs`i
ν x
0
= Ex (−ν, λ).
ν x Ex (µ, λ)
= Ex (µ − ν, λ).
jStqs`bvqiSyL4eL¢Fi~rLiSScF¢qiSyL4~eK^S 0
ð
b
[xEx (µ, λ)] = xEx (µ − ν, λ) + νEx (µ − ν + 1, λ),
xe
λx
µ > −2.
= λeλx
kliSiSs`jStsSkls`jStcFcFiLYKo klFi`eLgSpiS jD^x[xe cFbFt]s`=iS_λxe ^`cL^xeLiS+bFebvjStlrLts2a keLtrLUZt_s`tiSyFtl λx
x
λx
λx
Ly4^`tSpl}ÖeLa6bF^S\FkcF^`]¤ iStS_Lkhb6_vkeLkUeF\L6^x\Fhn^`_ }ÖaDFiSyF tlrKrK^.kls~jD^`klj`teFhFcFts eLbHkliSUS^`iSyL_?^`SaFi`s`eLttyFtqbLkls`s`yFbF\FrLtcFklUaUBiSpiW^xrKF^i`\FeL bFcF iDf¦Y^ AUELI4A q3¬Y +øBùJú Â *
Õ
Ö
¬4
h
5
0
nν x
+ a1
0
(n−1)ν x
+ . . . + an
0
0 x
i
f (x) = 0
°57ò 5ôx* ÷ 67ñ÷*/5 "%(òÀôòBñ"<" xúñ÷oò4Bô1/öoñxòBñ"xòó÷-ô1 5 (n, q) q = 1/ν þ1xø/ x÷¬
Pn (z) = z n + a1 z n−1 + . . . + an
5
Ý>÷
αi 6= αj
i 6= j
5
yj (x) =
5
n X
m=1
Am
q−1 X
k=0
N
¬4
(;5* ò!ò
Pn (z)
0 A−1 m = P (αm ),
°5*ùA÷4Bô1/öoñxòBñ"xò³#ÿDò!òBù
<xò x÷oò
¼ +øBùJú
øB÷7÷7ùAö/òBùAøBùAö4&2.À"MÈ*ô1ùAòÀôxøBùþ>ò!ø&"Mcó÷ ñ÷*ÿ¬J ó/ô ñ 4* ó÷ ñ÷* " ÿ
α1 , . . . , α n
5
m = 1, 2, . . . , n.
ñxò0Mñ÷*Àñxò3:(/öxø0+ÿõ?ÈAôò0ÚAòBñ""M
q qj−k−1 ), Ex (−kν, αm αm
j = 1, 2, . . . , N,
d
°57ò ñ #ÿDòBñ&ú ÚAò!¸ ò <xò x÷oò1þ ø x ÷ K67÷ x&ú ÚAò! ò Dô1/öoñ÷oò J nν ò!øBùJN ú ñxò0Mñ ø04óxòÀôxó÷ :"<"7ù1Èuôò0ÚAòBñ""M J
,6*ÀAò!òXôò0ÚAòBñ"xò
. 75xx5 7 #xx mo xxx #x7D&xx x "¥ ÿ
Æ õ
"
"§
"÷
1 #
*§ ã
/ I89 qADI8M =üqyFiDkls`t_F{ttZrLyFiSScFiStqUyL^`jScFtcFbFtZFiSyDh6rLa6^ ¤ L} D¦ f (x) = 0 ØÖ
S6
¦'
4/3 x
bLcFiS4tiOts s`bFiSFS^ ttyFt{tcFbFtzj jSb6rLtzklUFtyFFiSpbF FbFbrLjSD\L^Skls`cFOyFtl{tcFbF_2kls`tFtc6 0
rLt C b C d2FyFiSb6pjSi`eLgScFtZFiDkls`i~hFcFcFtSY6[]yL^`jScFtcFbFt f (x) = C1 x1/3 + C2 x−2/3 ,
1
2
FiSySh6rLa6^
(2, 2)
h
1 x
+a
bL4tts irLcFiOyFt{tcFbFt 0
0
1/2 x
i + b f (x) = 0
f (x) = α1 Ex (0, α12 ) − α2 Ex (0, α22 ) + Ex (−1/2, α12 ) − Ex (−1/2, α22 ) = √ √ = α1 exp(α12 x)erfc(−α1 x) − α2 exp(α22 x)erfc(−α2 x)
¤ tkeLb
3
α1 6= α2
¦Y taUijSb6rLts`g sx^`aUtS}F\Fs`i $
f (0) = α1 − α2 ,
0f
(−1/2)
(0+) = 0,
0f
(1/2)
(0+) = ∞,
f 0 (0) = ∞.
B{
}.|.~| |,~¹i
î ï ~,~
ð| ~³¶· ~| |
| -ç
^`FiD4cFbL}6\Fs`iOiSStt]yFt{tcFbFtqcFti~rLcFiSyFirLcFiSirLbL qtyFtlcF FbL^xeLgScFiSi UyL^`jScFtcFb6h> FtleLiSiFiSyDh6rLa6^
n x
n−1 x
4i~tsOSs`gOFyFtlrKklsx^`j`eLtcFiOjOjSb6rLt [
f (x) =
Zx
+ a1
+ . . . + an
0 x ]f (x)
= h(x)
G(x − ξ)h(ξ)dξ + C1 G(x) + C2 G0 (x) + . . . + Cn G(n−1) (x),
d qUcFaF Fb6h nyFbFcL^FY4XkjDeLklUt \L^`t i~ rLrLtc6iSCyFi~rLdcFFyF>iSbFyLp^`jScFi`eLbFgS\FcFcFt2 6DiDkeLkls`iSi~jShFbFcF_ cFf(0)tS}4^ =G(x) f (0) = . . . = f (0) = 0 C yL^`jScF¢cFeL¡b 0
C
i
0
f (x) =
Zx
(n−1)
G(x − ξ)h(ξ)dξ.
vts`i~rFiD/FyFtiSSyL^`piSjD^xcFb6h ^`6eK^Sk^Ws`iSs£yFtpeLgxsx^`syL^SklFyFiDkls`yL^`c6hFtsSkh¢cL^ rLyFiSScFi` rLbL qty6tcF FbL^xeLgScFtZUyL^`jScFtcFb6h?yL^` FbFiScL^xeLgScFiSiFiSySh6rLa6^ Y G
H
0
*
i
SS
D.Ô³
" +
AUELI4A q3¬=
[ x # 7 #xx +øB÷7þ5ñ÷ ÀñxòBó/ôòÀôxõöoñ ¬ñ uñ ñ m +øBùJú ñùAò!ò ò ô
Æ.ãxx #xÆ J
5
&4 Õ Ö ¬4+øBùJú ô4+òÒÿ *+øBó÷7ñxòBñ"<" xúñ÷h(x) °*÷6óx÷-ô1 5
[0
5
nν x +a1 0
(n−1)ν +. . .+an 0 x
0 x ]f (x)
*
[0, ∞)
= h(x),
Ý
÷
1 # Æ õ
"
(0,4 ∞)(5* 94 "&<"#J ¬
"§
° "
f (0) = f 0 (0) = . . . = f (N −1) (0) = 0
5
5 ôx÷*76 ñ÷oò¬5 "KX òÀôòBñ"<" x úñ÷oò B 4 ô/öoñxòBñ"xòeó÷-ô1 5 °57ò ñ#ÿDòBñú& (n, q) N ÚAò!ò<xò/ x÷oò¸67÷3 xú&ÚuòBòB ³ô1/öoñ÷oò J >÷°5*ò °*÷³ò 5 ñxøBùAö/òBññ÷oòdôò0ÚAòBñ"xò5* nν òBùAø3Â ÷-ô+ÿ 4*x ÷*M f (x) = °57ò ó÷ G(x) ñ÷*ÿ
5
Zx 0
G(x − ξ)h(ξ)dξ
5ôx÷*67ñ @94ñ"&<" xôñ* ñM57òBññ 1:È*ô1ùAòÀôxøBùþ>ò!ø0÷°*÷ øDó÷*ÿ÷*J À ú& 2 ÷*6-ô1oùJñ÷°*÷uó/ôòB÷*6-ô*:o÷oö(oñ"Âùoó /ø3
}E
Pn (z)
G(x) = ú
3
,|.
B{
#
−1
{P −1 (λν )}(x).
(
³Û
¶| j,~´ïé ,~~| n
cFbF_n}4Fvi~rLcFiSiSScFbFitz4a6eKts`^Si~krLklbF.\FUt^`klaFyLb6^`aFt]s`4ttyFs`bLi~klrLs`HbF\FyFttkl{aDiStcFib6hOFi`rLeLbLbF cFqiDftyF^Ft}4cFyL F^SbLkl^xFeLyFgSiDcFkls`yL^`Uc6yLhF^`]jSsScFk¨tlh cLcFz^W4rLbnyF}¬iSS\FcFti` rLj bLk eLqU\Lt^`yFttcF F FtlbLeL^xeLg`cFFiStyDh6b¢rFaUiSiSaUjL^`Y¬pjDb6^`]sS\6kbLhkeLsx^S/FyFcFbFt.cL^x4rFteLcFtlt t bFs> ½b qÿDtaFòBs`ùJbF÷j` ô x÷ òBñ uôò AòBñ ÇöuøBùAòBóxòBññõò(ô õfY XtyFcFtfkh a>UyL^`jScFtcFbF G
5
1 :
"
0Ú
"
1 5
(ν) x f (x)
bOFiDklsx^`jSbLp^xrK^~\FcL^`_Fs`bOtiqyFt{tcFbFtFyFbOyL^`cFbF\FcFiDDkeFiSjSbFb j FyFtlrLFi`eLitcFbFbn}D\Fs`iFyL^`jD^xhO\L^Skls`gUyL^`jScFtcFb6h h(x) 4i~tsSs`gfyL(0+) ^`pleLi~=t0cL^ Fjvi`yDeLh6i~r bFs`^`tla6eFeLgScLiSyF^xh>tcLF^FiD}
klks`Si~i~hFrFcFhFcL^xbFhn_Lm kh.jviS`eK^Skls`b 0 ≤ x < R }
rLt R dcFtaUiSs`iSyL^xh 0
= h(x),
x > 0,
0 < ν < 1,
G
h(x) =
∞ X h(n) (0+) n x . n! n=0
«rLt£bLkla6^`s`gOyFt{tcFbFtqUyL^`jScFtcFb6h>jOjSb6rLt f (x) = xp
∞ X
qi~rKkls~^`jSbFjiSD^s`b6>yDh6rK^j UyL^`jScFtc6bFtS}
an x n .
n=0
ü
0
ν x
Ã
∞ X
n=0
an x
n+p
!
=
∞ X h(n) (0+) n x n! n=0
. %4ux R5xx "¥
#7 5 ('³[ x # (' &xo 5x S
*§xm
0
b U\FbFs`jD^xhn}6\Fs`i Fi`eLU\FbL
0
1 Æ
ν p xx
=
b
÷
1 # Æ
(
Γ(1 + p) xp−ν , Γ(1 + p − ν) p=ν
an =
]aUiScF\F^`sSteLgScFiL} f (x) =
=0
−ν x
h(n) (0) . Γ(1 + n + ν)
∞ ∞ X X h(n) (0+) Γ(n + 1) h(n) (0+) xn+ν = n! Γ(n + 1 + ν) n! n=0 n=0
∞ X h(n) (0) n x = n! n=0
0
−ν x h(x)
1 = Γ(ν)
Zx
0
(x − ξ)ν−1 h(ξ)dξ,
−ν n x x
=
0 ≤ x < R.
Fy t^`{a.tbWcFbFkteLtlrL¤jiSÑFjDY S^xY eL~i ¦Y i~ b6rK^`s`gL}ncL^`_6rFtcFcFiSt plrLtklgvyFt{tcFbFt?kliSjSL^xeLi k \L^Skls`cFz
"! 3 # B{
0
¢
¯
"! ³
¶| l,~}ïjf| ~¹ ì,,~𳶷 ~¹
| , | |ï
X£s`iD.L^`yL^`yL^Sqt4FyFbL4tcFbL.yL^`pleLi~tcFb6tzjyDh6r2a?k^S4iD4iSSyL^`sx Fca6^`iDa.4^`yFiSF6t4yLt^`cFs`s~iSY yFS}4yLs`^SiSk_.kf F^`tls`eFyFgSbF*jD^x4h rLyFiSFiSSyFcFtlrLi`tlrLeLbLbL ¢qkltcLyF^~t\LcF^x FeKbL^?^xaUeLiSg`cF q_£bFiS FFbFttyLcF^`s`s`!iSy yL^` pl eLi~tcFb6h
ν
[Pn (z)]−1 =
∞
X 1 bj z j = Pn (z) j=0
bjSiDklFi`eFgSpStfkhZbL4brFeFh FyFtlrKklsx^`j`eLtcFb6hqiSyLf^xeLgScFiSiyFt{tlcFb6hUyL^`jScFtcFb6h jOjSb6rLt
Pn ( 0
f (x) = [Pn (0
ν x )f (x)
ν −1 h(x) x )]
=
= h(x),
∞ X
bj
0
jν x h(x)
/ I89 qADIY#ð eFh>UyL^`jScFtcFb6h (1 + a )f (x) = h(x), j=0
ØÖ
0
ν x
ν < 0,
=
∞ X j=0
ν<0
bj 0 h(jν) (x).
D.Ô³
S bL4tt
" +
'
b
[ x
Æ.ãxx #xÆ J
1 ##Æ õ7" #xx"§
÷
P (z) = 1 + az, [P (z)]−1 =
∞
X 1 = (−az)j , |az| < 1, 1 + az j=0
sxq^`iSavyL\Fs`i2yFt{tcFbFt 6yF^`jScFtcFb6h8i~ts Ss`g2p^`FbLk^`c6i j2irLcFiS_vbFpk eLtlrLU]b6 f (x) =
∞ X
(−a)j 0 h(jν) (x),
j=0
Zx
d f (x) = dx
rLt
0
X\L^Skls`cFiDkls`bn}FFyFb
3 - B{
gν (x) =
gν (x − ξ)h(ξ)dξ,
∞ X (−a)j x−jν j=0
Γ(1 − jν)
.
ν = −1/2
√ 2 g−1/2 (x) = ea x erfc(a x), x > 0.
,|.
$@ ³
.|
|ï ~
y ¶E
XkeLU\L^`tFiDkls`i~hFcFcFaUiS qbF FbFtcFs`iSjjStklgDf^W qtaFs`bFjScFzFyFi` rLi`eFO^`ts2iDklsx^`jD^`s`gDk¨hÇÿDòBùJ÷ ñùAò ô xúñõ mó/ôòB÷ -ô o÷oö oñ LYð eFhyFt{tcFb6h cL^^`6FeKi`^SeLk`^iDb6klb eLb (0FyF
°
?È
*6 1 :
( ""M
³G
(ν)
FyFb cL^~\L^xeLgScFiDWDkeLiSjSbFb 0f
(x) + af (x) = h(x), x > 0, ν ∈ (n − 1, n], (ν−k)
x^ rK^~\L^2sx^>yFt{^xeK^Skg>j>yL^`SiSs`t Ö4ts`i~rLiD<FiDkeLtlrLiSjD^`s`tleLgScFvFyFbF`eLb6tl cFbF_nY rLtklg 4!FiSa6^xt}¬aU^`a iScL^?yFt{^`tsSk¨h.4ts`i~rLiD<FyFtliSSyL^`piSjD^`cFb6h ^x 6eK^Sk^FYFweLtSyL^`bF\FtklaDiStqUyL^`jScFtcFbFtZrFeFh>s`yL^`cLkqiSyLf^`cFs` 0f
(0+) = bk , k = 1, 2, . . . , n.
Â
λν fb(λ) + afb(λ) = b h(λ) +
n X
k=1
bk λk−1 ,
. 46 55¾&x#7 #>x x<& # "¥
(
"§
SS
$ 1
eLtaDi yFt{^`tsSk¨hnm
n X b h(λ) λk−1 fb(λ) = ν + . bk ν λ +a λ +a
eFh iSSyL^`s`cFiSjOi²jSb6FrLyFt tiSSyL^`piSjD^xcFb6h ^`6eK^Sk^ ~rLiSScFi²FyFtlrKklsx^`jSbFs`g²rLyFiSSg ð
k=1
λk−1 /(λν + a)
∞
rLt
X 1 λk−1 (−a)j λ−γ = λk−ν−1 = ν −ν λ +a 1 + aλ j=0
YLXFi`eLc6h6h>FiS\6eLtcFcFiStqiSSyL^`tcFbFtZyDh6rK^
γ = νj + ν − k + 1 ½ k−1 ¾ ∞ X λ −1 ú (−a)j ú (x) = λν + a j=0
kZbLklFi`eLgSpiSjD^`cFbFtkliSiSs`cFiS{tcFb6h ú
cL^xDirLbL ú
−1
½
λk−1 λν + a
¾
−1
{λ−γ }(x) =
(x) = xν−k
∞ X
−1
{λ−γ }(x)
xγ−1 , Γ(γ) (−axν )j . Γ(νj + ν − k + 1)
Ly ^`jScFbFjD^xh Fi`eLU\FtcFcF_ySh6r.kkiSiSsSjStlsDksSjSU]bLFyFtlrKklsx^`j`eLtcFbFtHrLjSD6L^x yL^S4ts`yFbF\FtklaDiS_vqUcFaF FbFb vbFs`sx^`l t ZeLtyL^
j=0
G
Eα,β (z) =
jSb6rLbL}F\Fs`i
∞ X j=0
ú
−1
½
λk−1 λν + a
o klFi`eLgSpxh>s`tiSy6t4?i kljStyFs`aUt λν
¾
zj , Γ(αj + β)
(x) = xν−k Eν,ν+1−k (−axν ).
(k = 1)
© ª 1 ·b h(λ) = ú xν−1 Eν,ν (−axν ) (λ) · ú {h(x)}(λ) = +a ©¡ ν−1 ¢ ª x Eν,ν (−axν ) ? h(x) (λ), =ú
FyFb6Si~rLbL£a bLklaDiD4iD4?yFtpeLgxsx^`s`Tm f (x) =
Zx 0
(x − ξ)ν−1 Eν,ν (−a(x − ξ)ν )h(ξ)dξ +
n X
k=1
bk xν−k Eν,ν−k+1 (−axν ).
D.Ô³
S`ª
" +
[ x
Æ.ãxx #xÆ J
eFh>i~rLcFiSyFi~rLcFiSiUyL^`jScFtcFb6h
÷
1 ##Æ õ7" #xx"§
ð
Fi`eLU\L^`tm6FyFb ^FyFb
0f
(ν)
(x) + af (x) = 0
ν ∈ (0, 1) f (x) = b1 xν−1 Eν,ν (−axν ),
ν ∈ (1, 2) f (x) = b1 xν−1 Eν,ν (−axν ) + b2 xν−2 Eν,ν−1 (−axν ).
^Skls`cF_keLU\L^`_sx^`aUiS_p^xrK^\FbyL^Skkf^`s`yFbFjD^xeKkh j]aFcFbFt myFt{^xeLiDklg Fi`eLrLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiStZUyL^`jScFtcFbFt =
'(
(1/2) 0 fx
Zk cL^~\L^xeLgScFzDkeLiSjSbFt ý4t{tcFb6t6i`eLU\FtcFiOj jSb6rLt`m
+ f (x) = 0, (−1/2) 0 f0+
x>0
= b.
√ √ √ f (x) = bx−1/2 E1/2,1/2 (− x) = b(1/ πx − ex erfc( x)).
^`FUs`ý4i t{bL²s`t²tB4ts`i~rLiDÚ^`cL^xeLiSbF\FcFiStUyL^`jScFtcFbFt¡kFyFiSbFpjSi~rLcFiS_ FyFb cL^~\L^xeLgScF2DkfeL(x)iSjSb6+h6 af (x) = h(x), x > 0, ν ∈ (n − 1, n] (ν) 0
f (k) (0+) = ck , k = 0, 1, . . . , n − 1.
qyFtiSSyL^`pi`jD^xcFbFt ^`6eK^Sk^s`tFtyFg FyFbFjSirLbFsOa UyL^`jScFtcFbF ü
n−1 X λν−k−1 b h(λ) ck ν fb(λ) = ν + . λ +a λ +a
o klFi`eLgSp`h?yL^`pleLitcFbFtqjOyDh6r
k=0
∞
X 1 λν−k−1 = λ−k−1 = (−a)j λ−γ , ν −ν λ +a 1 + aλ j=0
b jSFi`eLc6h6h>iSSyL^`s`cFiStZFyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFtS} ú
−1
½
λν−k−1 λν + a
¾
(x) =
∞ X j=0
(−a)j ú
−1
γ = νj + k + 1
{λ−γ }(x) =
. 46 55¾&x#7 #>x x<& # "¥
(
= xk
∞ X
FyFb6Si~rLbL£a yFtpeLgxsx^`s`
j=0
f (x) =
Zx
"§
S+´
$ 1
(−axν )j = xk Eν,k+1 (−axν ) Γ(νj + k + 1)
(x − ξ)ν−1 Eν,ν (−a(x − ξ)ν )h(ξ)dξ +
eFh>i~rLcFiSyFi~rLcFiSiUyL^`jScFtcFb6h 0
ð
(ν) 0 f (x)
Fi`eLU\L^`tm6FyFb ^FyFb
n−1 X
ck xk Eν,k+1 (−axν ).
k=0
+ af (x) = 0
ν ∈ (0, 1) f (x) = c0 Eν (−axν ),
ν ∈ (1, 2) f (x) = c0 Eν (−axν ) + c1 x Eν,2 (−axν ).
X<\F^Skls`cFiDkls`bn}FyFt{tcFbFt p^xrK^\Fb (1/2) f (x) 0
+ f (x) = 0,
x > 0,
f (0+) = c
bL4ttsOjSb6r √ √ f (x) = cE (− x) = ce erfc( x). XyL^`SiSs`t ª }`FiDklj`hFtcFcFiS_O^`cL^xeLbFps`iS_ p^xrK^\FbOFyFiS Ftkklk F÷oøyFb6rK^`jD^xeKk¨hkk4zu~\Lk^Se kls`iSôxs`÷ iS7_nñ|÷ ³ôò +ø Y[üqLyF}Kb ^2FyFiS FtkklyFt{k tνcF∈bFt2(1,UyL2)^`jScFd tνcFôx∈b6÷ h.(0,7ñ õ 1)^x FUs`i2bFp4tc6hFtsSkhc6tFyFtyFjSωcFi2=FyFabFtyFtlSi~rLtc bF=c6rFt0a6k^ ν bFpi~rLcFiS_ iS`eK^Skls`bvj rLyFUUY Si~rFhFbF_Lk¨h ySh6r x
1/2,1
@5
*6
*M
/ 3<""
0<" 1<""M
1/ν
_5
*6
?È
0
f (t) = c0
∞ X
(−1)k
(ωt)νk Γ(νk + 1)
4rLtiScLS^xt¬cq}UrFkzeFUhjStljSeLbF\F\FbLtkcFeLbFttcF.b6hjSyFyFtt4{ttcFcFb?b6klhaUs`iSi`yFeLiDgSklaUs`izgFkSyFi~brLiSbLs`4cFiDiDklkls`bFb2s`tlLeL^xgSrKcF^`i]ts~cFYtð Si`eFeLh2gSS{i`b6eLZgS{jSyFb6tl jSyFt4tc?eLU\F{t bLklFi`eLgSpiSjD^xs`gO^SklbL4Fs`iSs`bF\FtklaUiStqyL^`pleLi~tcFbFt k=0
f (t) ∼ −c0
∞ X
k=1
(−1)k
(ωt)−νk , Γ(1 − νk)
t → ∞.
D.Ô³
S`
" +
[ x
Æ.ãxx #xÆ J
÷
1 ##Æ õ7" #xx"§
rLtleFhFtsSw]k¨hvklbL4eKF^`s`jSiScFs`zbF4\Fb>tkl\6aUeLiSttcLF^SiS4jSb tlrLUta6cF^`bFpt^`cFFcFyFb2fyL^x^`eLpleLvi~btcFSbFi`eL_ gS{b6>jSyFt4tcL^x iSFyFtl f (t) ∼
½
c0 [1 − (ωt)ν /Γ(1 + ν)], c0 (ωt)−ν /Γ(1 − ν),
t → 0+; t → ∞.
]sS4ts`bL}n\Fs`i?rLyFiSScFiStUyL^`jScFtcFbFtyFtleK^`a6k^` FbFb Fi klyL^`j` cFtcFbF¡k]iSS\FcFz (ν = 1) rK^`tsSi`eLtt]Szkls`yFUyFtleK^`aUk(0^` F
,|.
B{
î ~çð
~
XFi`eLcFbFjOFyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFt ^`6eK^Sk^ (µ) 0 fx
+ a 0 fx(ν) = h(x),
0 < ν < µ < 1.
(λµ + aλν )fb(λ) = c + b h(λ),
cL^`_6rLt£s`yL^`cLkqiSyLf^`cFs`2yFt{tcFb6h qts`yFrLcFi jSb6rLts`gL}6\Fs`i
c=
0f
(µ−1)
(0+) + a 0 f (ν−1) (0+)
c+b h(λ) fb(λ) = µ . λ + aλν
fb(λ) = [c + b h(λ)]
∞ X
(−a)j λ(ν−µ)j−µ
FyFtlrKkls~^`j`eFhFtsZkliSSiS_ZeK^`6eK^SkliSjDklaFbF_ iSSyL^`pfFyFiSbFpjStlrLtcFb6hkls`tFtcFcFiS_qUcFaF FbFb b?rLjSD6L^`yL^S4ts`yFbF\FtklaUiS_ qUcFaF FbFb vbFs`sx^`l t ZeLtyL^Fm x j=0
G
µ−1
ú
−1
∞ X
(−a)j λ(ν−µ)j−µ
(x) = xµ−1 Eµ−ν,µ (−axµ−ν ) ≡ G(x).
XcFiSjSgbLklFi`eLgSp`h?s`tiSyFt4?i kljStyFs`aUtS}6FyFb6Di~rLbL£a>jSyL^xtcFbF j=0
f (x) = cG(x) +
Zx 0
G(x − ξ)h(ξ)dξ,
(9.9.1)
. ;:h:eo #xxx "¥¦
UjèyL^`aDjSiScFs`tiScFyFb6iDhn m 0
µ xG
+a
#xN1À x
S /Ñ bL4tts k4zke qUcFaF FbFb nyFbFcL^ yL^Skkf^`s`yFbFjD^`t4iSi
B5" #Æ.â
"
C
G(x)
ν xG
1 ##Æ.⯥ ¥ ¥
÷
G(x) = xµ−1 Eµ−ν,µ (−axµ−ν ),
= δ(x),
0 < ν < µ < 1.
qyFbFjStlrLt q6c6aF FbFb nyFbFcL^ ttrFeFh cFtklaUi`eLgSaFb6FyFiDkls`OUyL^`jScFtcFbF_nm ü
0
BC
a a
0
ν x G(x)
ν x G(x)
= δ(x),
0
α x G(x)
+b
0
G(x) =
ν−1 x+ ; aΓ(ν)
G(x) = (1/a)xν−1 Eν,ν (−(b/a)xν );
+ bG(x) = δ(x),
a G(x) =
0
β x G(x)
+ cG(x) = δ(x),
α > β,
∞ 1 X (−1)k ³ c ´k α(k+1)−1 (k) x Eα−β,α+βk (−(b/a)xα−β ). a k! a
X<6iDkeLtlrLcFtkeLU\L^`tqs`yL^`cLkqiSyLf^`cFsx^OqUcFaF FbFb nyFbFcL^ k=0
(9.9.2)
(9.9.3)
C
b G(λ) =
FyFbFjSirLbFsSkh a jSb6rL
1 , aλα + bλβ + c
∞
1 1X cλ−β 1 b G(λ) = = (−1)k c aλα−β + b 1 + cλ−β /(aλα−β + b) c
µ
cλ−β aλα−β + b
¶k+1
iSSyL^`s`cFiStFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt ^`6eK^Sk^ aUiSs`iSyFiSi?jSFi`eLc6hFtsSkh kFyFbL4tcFtcFbFt qiSyL4eL k=0
¬
(k)
Eα,β (z) ≡
b>rK^`tsOqUcFaF FbF*¤jÑFY ÑFY D¦Y
3 ?> B{ z
;
∞
X dk (j + k)!z j Eα,β (z) = . k dz j!Γ(α(j + k) + β) j=0
76 ¢
³
ï ~,~}}E|,ï ~¹iæ
| ~|
ì,,~𳶷 ~¹iæ
| , ³| |æ
FyFbFiD]keLyLtlrL^`iScFjDbF^`\Fs`ttlcFeLb6gShcFiDcL£^WFaUyFiDbLf44tUcFsxt^`cFs`bFbFbjScFrLiDyFkliSs`SgcFb< FiSyLF^`tjSyLb6^`eLs`iiSyFkiSeLj i~FiStlcFSDb6Oh
° ³5 %
a
hν1 ,ν2 ,...,νk i x
"<"
≡
a
°
ν1 x a
1
ν2 x
...
1
a
νk x .
,
S +D.Ô³ xx #x J[ x # 7 #xx cFÖiSkeLib>rLjDbLkl t qν tyFirLtcFcF FiSb6iyFiSpjDcL^`^`cFa6b6^Fh }Us`kli6fiSFft^`yLyF^`cFs`iSiSy2iFs`iSiSyDsOh6rLkliSa6jS^FL} ^xrK^`tsk]iSFtyL^`s`iSyFiD rLyFiS` (
"
Æ.ã
Æ
÷
1 # Æ õ
"
"§
j
hν1 ,ν2 ,...,νk i x
ν1 +ν2 +...+νk . x
HX FyFiSs`üqbFiSjSa6cF^xiDtkeLU\Ls`^`itScL}U^yFtFpyFbLeL4gxsxt^`yFstS}FpF^`y6jSbFbLjSklbFtlrLstiScFscFiDFiSyDj h6rL aU^Y#ýfkeL^StlkrLkfiSjD^`^`s`cFyFb6bFh2jD^`bF]c6sSrLkth>a6kls`iSyFjLb Y rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScF2UyL^`jScFtcFb6h k 0 < ν < 1 m a
≡
a
0
b
b)
0
a)
xu
≡
0
h1−ν,νi v(x) x
1−ν+ν u(x) x
≡
0
1−ν 0 x
]Sttqy6t{tcFbF t FtyFjSiSw(x) iUyL≡^`jScFt cFb6h c)
hν,1−νi x
0
a)
u(x) =
= h(x), ν x v(x)
0
ν x 0
1−ν w(x) x
Zx
h(ξ)dξ + a,
= h(x), = h(x).
rLt d FyFiSb6pjSi`eLgScL^xhFiDkls`i~hFcFcL^xhnY qs`iSScL^`_Fs`b qUcFaF FbF }xFi~rLt_Lkls`jSD tcLa^OiSStq\L^Skls`bvjSs`iSyFiSiOUyL^`jScFtcFb6hvklcL^~\L^xeK^iSFtyL^`s`iSyFiD v(x) }K^Op^`s`t£d iSFtyL^`s`iSyFiD YLXyFtp~eLg~sx^`s`tqFi`eLU\FbL 0
(=
0
0
−ν x
b)
v(x) =
Zx
ν−1 x
h(ξ)dξ + b1 + b2 xν−1 .
4t{^xh>s`yFts`gSt UyL^`jScFtcFbFtS}F4FyFbL4tcFbLHklcL^\L^xeK^ }L^p^`s`td m 0
ý
0
c)
w(x) =
Zx
−ν x
0
ν−1 x
h(ξ)dξ + c1 + c2 x−ν .
iSFi`eLcFbFs`tleLgScFt keL^`l^`t4tqFi~hFj`eFhF]sSk¨h jDkeLtlrKkls`jSbFt kliSiSs`cFiS{tcFbF_ 0
ð
γ γ−1 xx
γ−1 γ−1 x x
S^ 4ts`bL}F\Fs`iOjOs`iOjSyFt8hn}6a6^`a>iSSttZyFt{tcFbFtqUyL^`jScFtcFb6h>FtyFjSiSiFiSySh6rLa6^ kli~rLtyS bFs~}6a6^`a?b>Fi`eLi~tlcFiL}Ui~rLcF FyFiSbFpjSi`eLgScFU¢FiDkls`i~hFcFcFU}UiSSbFtZyFt{tl O^`sZiSFsxi rLcFb6jStZhFUiDyLkl^`s`jSi~cFhFtcFcFcFbF_¬kY5klüqiDyFklsxb ^`νjScF=z41/2bkl6yFft{ft^`cFyFb6cFh iSv iZ¦ÖFb iSyDh6¦rLkla6iS^FjS}~LyL^x^`rKjS^`cF]iSs~}DiFSyF}`b kli~νrL6=tyS1/2 eLbF\L^`]sSkhrLiSFi`eLcFbFs`tleLgScFz4bOkeK^`l^`t8z4bn}~rK^`]bL4bjqcFeLtklbFcFeFhFyFcFiDkls`b yL^`pcFFiSyDh6rLaUiSjLY¬wzjSs`iSyF!yL^`SiSs` §iSsS4t\L^`]s~}n\Fs`i jSjStlrLtcFbFtOkliDklsx^`jScF
0
≡ 0,
0
= Γ(γ),
Q
0
γ = ν, 1 − ν.
. ;:h:eo #xxx
#xN1À x
F iSSFi`eLtyLgS^`{s`tiS¢yFiS\FjbLkUeLjSt?tleLcLbF^~\F\LbF^xjDeL^`gStcFs\F bLDkkeLeLiHiSjSklbFjS_niSS}
icFrLtcFiSDHi~rLFbLiD4kls`i~hFcFrFcFeFhi~rLbcFFiSiSpcLs`yF^\FtScFcFiSiDivkls`jSg£j SiSyL^yFt{tcFb6hnY X
B5" #Æ.â
"
÷
1 ##Æ.⯥ ¥ ¥
(
*
α,β x
≡
h(α−1)β,1,(α−1)(1−β)i x
=
β(1−α) 0 x
(1−β)(1−α) , x0 x
©yFbvUyL^`jScFtcFb6h?yL^Skk4iSs`yFtcFFyFb cL^~\L^xeFgScFiDDkeLiSjSbFb
0
0
0f
(−(1−β)(1−α))
α ∈ (0, 1), β ∈ [0, 1].
(0+) = b
kZbLklFi`eLgSpiSjD^`cFbFtqiSyL4~eFFyFtliSSyL^`piSjD^`cFb6hnm ú
n
0
α,β x f (x)
qtyFjSiStZUyL^`jScFtcFbFtSm ü
o
(−(1−β)(1−α))
(λ) = λα fb(λ) − λβ(α−1) 0 f0+
§iOyFt{tcFbFt
0
Xs`iSyFiStqUyL^`jScFtcFbFtSm
f (x) = b
§iOyFt{tcFbFt f (x) =
©yFts`gSt UyL^`jScFtcFbFtSm §iOyFt{tcFbFtSm
α,β x f (x)
= a.
axα x(1−β)(α−1) +b . Γ(α + 1) Γ((1 − β)(α − 1) + 1) 0
= 0.
x(1−β)(α−1) . Γ((1 − β)(α − 1) + 1)
0
α,β x f (x)
α,β x f (x)
+ af (x) = 0.
∞ X λβ(α−1) fb(λ) = b (−a)j λ−αj−γ , = b a + λα j=0
f (x) = bx
γ−1
(0+).
γ = α + β(1 − α),
∞ X (−axα )j = bx(1−β)(α−1) Eα,α+β(1−α) (−axα ). Γ(αj + γ) j=0
D.Ô³
D
" +
(
[ x 8
Æ.ãxx #xÆ J
÷
1 ##Æ õ7" #xx"§
©
^`acL^`pjD^`tsSk¨h.bFcFs`tyL^xeLgScFiSt UyL^`jScFtcFbFt FtyFjSiSivyFirK^vkOeLbFcFt_FcFiS_ klUFtyFFiSpbF FbFt_?eLtjSiSib FyL^`jSiSirLyFiSScF?bFcFs`tyL^xeFgScF>iSFtyL^`s`iSyFiSj 3
|
B{ zz
l,~~|
u
î ï ~,~
ν −∞ x f (x)
+v
ν x ∞ f (x)
E¶
= h(x),
k]kZFFiDiDkl4s`iSi~hFcFgS¡cFzq4tlb?eFaUeLiStyF iSjDqklaUbFiS FbFitcFFs~iS^Ss`4tcFb FubL^xb eKv^ YL]cFi4i~tsSs`gFyFtlrKklsx^`j`eLtcFi
ν u,v f (x)
1 ≡ Γ(ν)
Z∞
c1 + c2 sign(x − ξ) f (ξ)dξ = h(x), |x − ξ|1−ν
rLt c = (u + v)/2, c = (u − v)/2, c + c 6= 0, 0 < ν < 1 Y qiSyLm ý4t{tcFbFts`iSi]UyL^`jScFtcFb6h4i~tsZSs`g]FyFtlrKklsx^`j`eLtcFi]j]i~rLcFiS_bFpÖrLjSD 1
∞
2 1
2
ν f (x) = AΓ(1 − ν)
b
b
rLt
ν f (x) = AΓ(1 − ν)
Z∞
−∞
2 2
c1 + c2 sign(x − ξ) [h(x) − h(ξ)]dξ |x − ξ|1+ν
Z∞ [(u + v)h(x) − uh(x − ξ) − vh(x + ξ)]ξ −1−ν dξ,
Y f^Skk4iSs`yFbL£Fi~rLyFiSScFtt]rLjD^jD^x cF?\L^Skls`cF>keLU\L^xhnm 0
A = 4[c21 cos2 (νπ/2) + c22 sin2 (νπ/2)]
ý
Z∞
−∞
Z∞
ϕ(ξ)dξ = h(x) |x − ξ|1−ν
sign(x − ξ)φ(ξ)dξ = h(x). |x − ξ|1−ν
^`a?keLtlrLStsbFpZjS{tbFpleLitcFcFiSiL}SyFt{tcFb6h?s`b62UyL^`jScFtcFbF_ rK^`]sSkh>kliSiSsx cFiS{tcFb6hL4b −∞
³ νπ ´ ν ϕ(x) = tg 2π 2
Z∞
−∞
h(x) − h(ξ) dξ, |x − ξ|1+ν
. b
2&x/ Rx x&xx x
{:eo #xx
"¥¦*Ã
"§Äo1
"
Æ.â
Z∞
³ νπ ´ ν ctg φ(x) = 2π 2
*§ ã "â
( &
h(x) − h(ξ) sign(x − ξ)dξ. |x − ξ|1+ν
© ^`aFbL iSSyL^`piD}*4 Fi`eLU\Fb6eLbiSFtyL^`s`iSyF }*iSSyL^`s`cFt FiSs`tcF FbL^xeK^S b kliSiSs`jStsSkls`jStcFcFiLYRð eFh.rLiDklsx^`s`iS\FcFivSiSyFiS{b6.qUcFaF FbF_s`b M , R , R jSyL^xtlcFb6hv8iSUsOSs`gOFyFtlrKklsx^`j`eLtcF¢j jSb6rFt −∞
ν u,v
ν
0ν
1 f (x) = AΓ(1 − ν)
x
Z∞
c2 + c1 sign(x − ξ) h(ξ)dξ, |x − ξ|ν
Z∞
−∞
1 ³ νπ ´ ϕ(x) = tg 2π 2
b
3
−∞
³ νπ ´ 1 φ(x) = ctg 2π 2
¹
;
B{ z±
x
sign(x − ξ) h(ξ)dξ, |x − ξ|ν
x
Z∞
−∞
h(ξ)dξ . |x − ξ|ν
ï ~,~8 ÂE¶,~~¹iæ¯ | çBæ¯
eLgScFiStOUyL^`jScFtcFbFt2klki~rLFti`ySeL i~bF sbFs`FtlyFeLiSgSbFcFpzjSi~4rFb Fc t FtlÖeFkeLbWFeLiSbFyDcFh6trL_FaDcFiSiSj t frLbL q(x),tyFtfcF FbL^x(x), FiDkls`i~hFc6cFz4b aUiS qbF FbFtcFs~^S4b p , . . . , p . .} . , f (x)
(n1 )
m X
pj
nj x
(n2 ) 1
(nm )
m
f (x) + af (x) = h(x),
m X
pj = 1,
m X
nj = n,
`s Fi bL^xkleLi~gSrLcFtyS _ bLiS4FiStt yL^`qs`bFiSy UFyFiScFyDh6>rLa6klaD^ iSSiSa>4i~tsOyL^Skkf^`s`yFbFjD^`s`gDkh?aU^`a?rLbL qtyFtc6 }nyL^SklFyFtlrLtleLtlcFcFiSi FivcL^`s`UyL^xeLgScFz
1
∞ Z
−∞
j=1
m
w(ν)
a
j=1
1
ν x dν
f (x) + af (x) = h(x), Z∞
−∞
w(ν)dν = 1.
w(ν) ≥ 0, −∞ < ν < ∞,
n
+D.Ô³ xx #x J[ x # 7 #xx ð bL }DqStyFrLttcF FbLiS^xSeLiSpgScLcF^~\L_ ^xs`iSg Ft\FyFt^`yFsStliSp y FiSyDh6rLaU^ }Dνs~^`}La2yL^S\Fkls`FiyFptlrL^`FtleLbLtkcF^`cFcFcFiSiSi2tjSk 6{eLiStzs`UcFyLiD^`kljSs`cFgStl w(v) cFbFt FyFbL4tsOjSb6r
m = h(x). iL} FyFftlrL(x)iDkls`+tyFaft\F(x) L e l t L r S t ~ s } ~ i L r L c ` ^ D a g bFcFs`tyL^xeLgScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScF_ÎiSFtyL^`s`iSy \Fa6bF^`sxa ^`s`iStlFeFthnyLm ^`s`iSbFy cFs`tyFFyFtDs`klbFyFyFtl`rFh cFtcFcF_ Fi keLU\L^`_FcFiD42FiSyDh6rLaF ν } ( ('
"
Æ.ã
÷
1 # Æ õ
"
"§
{ν;w(·)} x
a
{ν;w(·)} x
a
Æ
a
ν x
cFtÖkeLtlrL`ts]kl\Fb6sx^`s`gL}\Fs`izyFt{tcFbFtÖkliSiSs`jStsSkls`jSU]tiUyL^`jScFtcFb6h 4i~tsSs`g cLyFiD^`_6 rLtcFiFFUiOs`jDtkl¡t£^`cLjS^xiSeLpiS4ibF \FcFcFziSivpDcLkl^~yF\FtltrLcFcFb6thLc6 b6h}FyFFt{iDkltaDcFi`b6eLhgSaFU yL^`jScFtcFb6hk2iSFtyF^`sSi` ν a
a
3
B{ z¸ä
ν x
h
;
a
{ν;w(·)} x
ν x f (x; ν)i
= ha
6= h
ν x ihf (x; ν)i.
©
ï ~,~
a
ν x i,
,.æ,~~¹iæ¯
ç|
8ð,~.æ¯
sx^S4bnYXüqyFbF{jSt>tlrL4t*<FyLyF^SkbLk4ft^`y.s`yFyFb6t{jD^xteLcFbb6hUyLrL^`yFjSiScFStcFcFiSb6h£i>k2UyLF^`iDjSklcFs`ti~cFhFb6c6h cFzk4Fb£tyFaUtiS4t cFqcFzbF F¢bFaUtc6i` qbF FbFtcFs`iD}6yL^Skk4iSs`yFtcFcF_ j m
rLtklg
¤ s`i tkls`gL} ν = 1 − µ¦}ftk eLb 0 < µ < 1 } n = 2 ¤ s`i tkls`g ν = n = 1 ¦ ¬ } t k L e b 2−µ 1<µ<2 iScFiOa6jSbFbjDs~^xYeLrntY[cFüqs`cFyFibrLcLyF^~iS\FS^xcFeLiDgS4cF2bFcFSs`kteLiSyLjS^xb6eLh6gS cFiDf42(0+) UyL^`jScF=tcF0,bF k =
0
ν x f (x)
= a−µ
n 2µ x (x f (x)),
µ = n − ν > 0.
(k)
0, 1, 2, . . . , n − 1
qyFb ü
b a=π
iScFiOFyFtjSyL^`^`tsSkh?jOUyL^`jScFtcFbFt wzStleFh µ = 1/2 x2µ f (x) = aµ
xf (x) =
Zx
0
−µ x f (x).
(9.13.1)
(x − ξ)−1/2 f (ξ)dξ,
yFt{tcFbFtqaUiSs`iSyFiSicL^xDi~rLbFsSk¨hv4ts`irLiD£FyFtiSSyL^`piSjD^xcFb6h ^`6eK^Sk^Fm 0
XHyL^`SiSs`t TcL^`_6rLtcFiyFt{tcFbFtZUyL^`jScFtlcFb6h ¤jÑFY FY ~¦8rFeFh?FyFiSbFpjSi`eLgScF cFt Ftl eL?Fi`eLi~ bFs`tleLgScF µm f (x) = x−3/2 exp(−π/x).
¬
f (x) =
aq −q−1 x exp(−a/x), Γ(q)
a > 0,
x > 0.
.
&x x
2[ x +
D i~rKkls~^`cFiSjSaUiSm _ti>Fir bFc6 s`X¡tklyLF^xyLev^`jSb>tlrFFeLiDbFkeLjSiDtlrLkls`Ub]tti?_>eLpt^S4aDti>cFUiSS_ tl6rLtbFyFs`tgD4khtcFFcFySiShL_ 4ξiS_ =Fax/(xz + a) h:eo #xx
"¥¦ á
"
"§Ä
a
µ
0
Æ.âXÇã>¨
&â
−µ x f (x)
aµ aq = Γ(µ) Γ(q)
Zx 0
qyFb ü
÷
" "â
(
(x − ξ)µ−1 ξ −q−1 e−a/ξ dξ =
aµ e−a/x 1 = Γ(µ) xq+1−2µ Γ(q)
Z∞
z µ−1 e−z dz . (xz + a)q−µ
iDkls~^`jS{bF_Lkh?bFcFs`tyL^xevtkls`g FyFiDkls`i q=µ 0
aµ
−µ x f (x)
=
Γ(µ),
µ>0
}FFiSs`iD4
aµ e−a/x = x2µ f (x), Γ(µ) x1−µ
\Fs`i b>p^`a6^`cF\FbFjD^`tsrFiSa6^`p^`s`tleLgDkls`jSiLY ©ntFtyFg yL^Skk4iSs`yFbL£UyL^`jScFtcFbFt
ν x f (x)
0
− axβ f (x) = 0,
cL^~\L^xeLgScFz4b>DkeLiSjSb6hL4b 0
Q
af
(ν−k)
x > 0, ν > 0, β > −ν, a ∈ R
(0+) = bk ,
k = 1, 2, . . . , n.
]cFiOaFjSbFjD^xeLtc6sSc6iObFcFs`tyL^xeLgScFiD42UyL^`jScFtcFbF¡Xi`eLgxs`tyFyF¢jSs`iSyFiSiyFi~rK^ rLt
a f (x) = f0 (x) + Γ(ν)
Zx 0
f0 (x) =
n X
ξ β f (ξ)dξ , (x − ξ)1−ν
bj xν−j . Γ(ν − j + 1)
qyFbL4tcFbFjOa cFt4>4ts`ir6iDkeLtlrLiSjD^`s`tleLgScF2FyFbF`eLb6tcFbF_n}FFi`eLU\FbL j=1
ü
rLt
fm (x) =
n X j=1
ck =
" # m X ¡ ν+β ¢k bj xν−j 1+ ck ax , Γ(ν − j + 1) k=1
k Y
Γ[r(ν + β) − j + 1] . Γ[r(ν + β) + ν − j + 1] r=1
Sª +D.Ô³ xx #x J[ x # 7 #xx [§4tkls`s`yFyFtbF8\FeFtklh6aDh iS_mqa.UcFSaFt FklaUbFiSb cFvt\FbFcFs`iDsxkl^`s`lb bWtbL klZFi`eLeLtyLgSp^F`}Uh FyFyLb6^`Dpli~eLrLi~bL£tcFa bFqt iSjvyLyD4h6~rWeLt s`yFtl6L^`yL^x (
"
Æ.ã
G
f (x) =
n X
Æ
÷
bL4ttsOyFt{tcFbFt
0
@
}, î
"§
¢ ¡ bj xν−j Eν,1+β/ν,1+(β−j)/ν λxν+β . Γ(ν − j + 1)
ν x f (x)
f (x) =
"
X<\L^Skls`cFiDkls`bn}6j bFcFs`tyFjD^xeLtqFiSyDh6rLaDiSj j=1
1 # Æ õ
− axβ f (x) = 0,
0<ν<1 0f
(ν−1)
p^xrK^~\L^qiS{b
(0+) = b,
¡ ¢ b ν−1 x Eν,1+β/ν,1+(β−1)/ν axν+β . Γ(ν)
SY=¥rKY XZaQ(r ´ ¾§x_K`ba_KY WK`¾À m0u yF u I F Sd I { Å I m z wL NO +F Y MY O v}TÑÑ#¬´U_K} Y Lª`bYKaSi} XZFYe` Y U k§x_K`ba_KY WK` À d 6Y §q`bVbV XZYkÍ ©´rh k[ ~ I I t Å I u I F u ÑÑ 6Y I H I F Y~d { I mK¯ I WäwI F } Y } FY rLð y6!iSÿ ScF÷ iSð i±FiSNyD h6rLaU^/b£ød cFt±aD iSs`iS yF*ô t?b6þ>ò!ö 6 yFGb6 eLi~oqtcFcFs`b6thnyLY
^xd eL.vb bFcLFklyFaniSm bF pjS^~iUrLaUcF^vb t s`tl6cFb6a6^F}n ÑS# ´UY LaY ©V W;gN_K$Í k[ Gª2_Ka`¶XZYÎ\ ³J u I NF YZd¼{ Å I d p I 2I Nm ~ n ;F F }¬ Ñ#´ LY 67Y ¨r+W2V µZaAq² du I H I F Y
éd { ÂÅ I ¾d p I 2I m ~ n ;F F }¬ ÑÑÑFY ªFY §x_K`ba_KYWK`dÀ £ MI±F } wI I F u yF ³¬}¬ DªFO¤ ÑÑSªD¦Y ´U Y º³`bV X+Yq´ ?m ~ LNL I FIM u I F n 2F +F DY Y v º³`bV X+Y´ 6d w NO MLI m I qw }K`SSF} n4YL# ´UY FY ÊkrKaaXZa=_GË gNXZYj mÀ ¯LNY n NF +F ~m z Y ù Y · n}Lª Ñ#´2¤ ÑÑSD¦Y ÑF Y Í `bV µ _h7U £U dYe`bK_hei}_KK_kº m§ ³j2Ye `yVV r0\ \ NJ +I ~ IM u I H I F YUSd ~ =F m yF }LLN`L SSªFY I F J
EJÒ V &V&3T VP$P$X Q3R"S(V$TÝQ Z U Z T V & Z.Ð Z YÝS
-J #J J $Z S&Q3T &V"S(Y T Z V&3TÝS(Y &
J #J ¬ 6
$Z S&QS(Y S(V" $Z & S Q3T &V"S(Y S YÝQ0P$Y P T V ( J EJ Ð T V$V"S (
V Ò V Z 11P"Q3T &VÇ 3R$ Z U
P"S3T &V
J J Â
$Z & S Q3T &V"S(Y &R$V T Y
S(YÝQ0P$Y P S(V" &V Ò V"Q
¸J -J
_G
'
-J J
(V" &V
1J
Q S&1 X-TÝQ 9Z
J $Z S&Q3T &V"S(Y Q S&1 X-TÝQ 9Z EJ
R"S
&Y T &V .S(V"
?J EJ
R åTÝQ
P"S3T &V
S(YÝQ0P1YÝP
P"S3T &V
"Z S&QS(Y
ÂS3R
Z U
Z U
&V" &V
'
$Z S&Q3T &V"S(Y 1Q0T V&3T Q
¬J ÇJ
T Z V 3TÝS(Y
$Z S&Q3T &V"S(Y
T Z V&3T S(Y
J,Ò V $Y TÝQ S3T &V J Z Z YÝ T V S
¬J J $Z S&Q3T &V"S(Y
R$
*'
©
S(YÝQ0P$Y P T V V
1J 1J R$ X /3 Z $S(X
R åTÝQ
Ü
Z BS(V" Y å NT Z
$Y TÝQ S3T &V
ís\ït\ r
u
ã å Úæèâæèç k
nm
ÑèãèßÚç Úß áæÔÓ dcqk
k
e
s
å
#æÔÓ s
lgwp
76 0# X^x cFt_F{UHyFi`eLgqjZrFbFcL^S4bFaUtyL^SklFyFtlrLtleLtcFcFklbLkls`tbFyL^`]sqUyL^`j` cFtcFb6hjZ\L^Skls`cFFyFiSbFpjSi~rLcF¬Y~XWkeLU\L^`tirLcFiD4tyFcFiS_klbLkls`t4¤ x dqaDiSiSyDrLb6 cLb ^`yLsx^`^Fpl} rLttdeLtjScFyFcFtz84hK¦§b FFy6tiDyFklts`4tt_FcF{cFbFztZ4UbKyL¦^`bLjS4cFttcF]b6s hjS¤¥b6kzr FiDkls`i~hFcFcFz4b2aUiS qbF FbFtcFsx^S4b
?>
z B{ z
s| ~|
³¶¶í.ç|¾Âï
∂ n f (x, t) ∂ m f (x, t) = + h(x, t), ∂tm ∂xn
m, n = 1, 2, . . . ,
j,~
t > 0,
−∞ < x < ∞.
]iSshvj2FyL^`aFs`bFaUtyFt{tcFb6hqbFpbF\Ftkla6b6vp^xrK^\vjDkls`yFt\L^`]sSkhbvjSzkl{bFtpcL^x \FtcFb6hFiSyDh6rLaDiSj m b n }Ö FtcFs`yL^xeLgScFiSt4tkls`i£p^`cFbLf^`]sFtyFjStvb<jSs`iSyFt FyFiSbFpjSirLcFtSY ^`bFSi`eLttZFiSFeFhFyFcFz4bv4i~ cFi kl\FbFsx^`s`g $
60 xøBùþ5ò!ø0÷oò
5 "K94:÷7ññ÷oò
bnöo÷ xñ÷oöo÷oò
UyL^`jScFtcFb6hnY
∂f (x, t) ∂f (x, t) = + h(x, t), ∂t ∂x ∂f (x, t) ∂ 2 f (x, t) = + h(x, t) ∂t ∂x2 ∂ 2 f (x, t) ∂ 2 f (x, t) = + h(x, t) 2 ∂t ∂x2
;:7:eo #xx
S
" +>
(
"
('D&xx #> ('
"§Ç ô15Æ
Æ
cL^jStüqtkli~s`OjS^xteLcFUcF_n}DtqkF^S4iSySzh6WrLaFbFb cFs`FyFyFbFiSbFUp]jSi~rLbLcF¬j} bFs`iSt]iSSiSStcFb6h s`b62UyL^`jScFtcFbF_ ∂ α f (x, t) ∂ ω f (x, t) = + h(x, t), ∂tω ∂xα
ω, α ∈ R,
t > 0,
−∞ < x < ∞,
hFj`!eFÿDhFòBtñxsSòBkñ h£jSiSó p*8ô i~! ÿDcFòBiDùklôxs`÷ogö cL^``b eLrKYT^`Xs`g DijSri`eLbF]p FcFbFt klaDi`yFeLtgS{aFtb6cF£bF_u~a6FeKyF^SbkklbFñx\FòBó/tôkaFòÀôxb6õ¬|?öoñs`÷*i`ÿ \Fl^`ta.^`kts FtlaUeLi`iSeF\FeLbLtkaFeL Ftb6cFBcFzyF4t{b taUcFωiSbFiS_ yDrLb αbFrKcL^`^`s~tsO^S4cLb ^xrLj>tlO6eLrLiDklaUcLiD^Okls`Sg klF(ω,t{α)cFiSt SFtklyFaDbLiS8cFttcF\FtcFcFi>bFtiSSb6i` avqbFpbF\FtklaFbL}Fs`tl6cFbF\FtkaFbLb>rLyFUbL£p^xrK^~\F^SY vcL^~\Fc6tkqFyFiDkls`t_F{t_>p^xrK^~\Fb qiS{b?rFeFh UyL^`jScFtcFb6h 1:
""
1
G
∂f (x, t) + ∂t
0
α x f (x, t)
= 0,
x > 0, t > 0, α ∈ (0, 1),
f (x, 0) = F (x).
iD÷ 7÷ \AòBbFñsxñ^xõ[h ÿ t aDöo÷iSxiSñyDrL÷oöobFõ[cLÿ ^`s`iSBô_n/}öo^ ñxxòBñ d]jSòÀyFÿ tY/4ð tcFeFth }^`jSs`iSyF.tyLi^`SyFiStls`{ tcF bFDtZcL^`SpjDeL^xieLbqcL^`t_6(10.1.1) F rLtcFij yL^`SiSs`t nb FyFtlrKkls~^`j`eLtcFiOjOjSb6rLt α = 1/2
@ 0
À
t4
*6 *6*
"
- *
t f (x, t) = √ 4π
Zx
F (x − ξ)ξ −3/2 exp(−t2 /4ξ)dξ.
XFi`eLc6h6hFyFtiSSyF^`piSjD^`cFbFt ^`6eK^Sk^OUyL^`jScFtcFb6h¤ FY SY ~¦Fi bU\Fb6 s`jD^xhn}?\Fs`i exp(−λ ) tkls`g*s`yL^`cLkqiSyLf^`c6sx^/irLcFiDkls`iSyFiScFcFt_Dkls`xiS_F\FbFjSiS_ 6FeLyFiSb s`FcFyFiDiSkls`bFbpjSgi`eL(x;gScFiDα) }6eLtaUiOjSm yL^`pbFs`g\FtyFtpqs`?6eLiSs`cFiDkls`gOyFt{tcFbFt ¤ FY SY ~¦ α ∈ (0, 1) 0
α
+
f (x, t) = t
^`FiD4cFbL}6\Fs`i
−1/α
Zx 0
F (x − ξ)g+ (t−1/α ξ; α)dξ.
g+ (x; 1/2) =
1 −3/2 x exp(−1/4x), 4π
sxkeL^`a U\L\F^`s`tiFY i`eLU\FtcFcF_ yFtpeLgxsx^`s kliS eK^SklStsSk¨h kFyFbFjStlrLtcFcFz.jS{t\L^Skls`cFz qts`yF~rLcFiOjSb6rLts`gL}6\Fs`i tkeLb F (x) > 0 b R F (x)dx = 1 }Fs`i
∞ −∞
Z∞
−∞
f (x, t)dx =
Z∞
−∞
F (x)dx = 1
;:
¡f6#xN1/
Ñ \Lb>^`q_FcFUiScF_aF FaDbFiSb iSyDfrL(x,bFcLt)^`s`¡4i\L^Stklss`bFS FBs`gj>F4yFiDb64rKt^`cFc>s?k4jSyFztk4e tcF6beLiSts`Y cFÖiDkkleLs`bb>jSj?tcLyF^~i\LhF^xs`eLcFgSiDcFkls`b>_k4eLDi` 4tcFsOjSyFt4tcFb \L^Skls`bF L^cL^xDi~rLb6eK^SklgjOs`iS\FaDt x = 0 }6s`i F (x) = δ(x)} 1 R5ôx&1ã>xA #xx
"¥¦
(
∂f (x, t) +0 ∂t
b
α x f (x, t)
= δ(x)δ(t)
(10.1.2)
(10.1.3) qyFb α = 1 b klaU4i`yF¢iDklbLs`4gStt£YL©8kl^`jSaDiSiSS_vi~rLyFcFtlfi` (x,tzbLrL£t)jSb6rL=jSb6ttcFbFttZδ(tcF\Lb6hv^SklcLs`xbF^`−pl FiS1)jStkZ =FiDδ(xkls`i~−hFxcFøBt),ùcFiSx_ þ5ò!¤ yLø ^`#jSÿqcFiSY>_?üqtlyFrLb bFcFbF 6t~¦ yL^SklFyFtlrLtleLtcFbFtzjStyFi~hFs`cFiDkls`t_ aUiSiSySrLbFcL^`s`SrLtscFtzs`i`eLgSaUiFtyFt4t^`s`αgDk¨
ü
−1
−1
¯60 &
Z∞
0&
f (x, t)xdx = ∞.
X klj`hFpb k s`bL rLiSScFtt keLtlrLbFs`g p^FtyFt4ttcFbFt f^`aUklbL46f^ yL^SklFyFtlrLtleLtcFb6hnm ]cHFtyFt4t^`tsSkhkvjSiSpyL^Skls~^`]xt_Hkl∝aUiStyFiDkl.s`gS §sx^`aDiS_yFt bL}^.jD4tkls`tk cFbL£b []UyLyL^`^`jSjScFcFttcFcFbFbFt t ¤ FY SY ~¦Ö4i~ c6i cL^`pjD^`s` g ø óxòÀô xøBù >þ>ò!ø #ÿ LY 0
max
1/α
04
ω 0
t f (x, t)
+
∂f (x, t) = 0, ∂x
¬! 60
x > 0, t > 0, ω ∈ (0, 1).
&
(10.1.4)
Si FbLkljD^`ts?rLyFUiS_ s`bF.rLjSb6tcFbUh.dkø xøBù þ>ò!ø F}TFyFbWaDiSs`iSyFiD¢\L^x rLkls`bLbF Lq^]trLyFjStb6cF FbFtsSyFk¨iSh jD^`kcFUbFStFjDi ^`]jSyFtt4_tj cFb.klyFiDtlklrLUcFttklkls`aUj`iSeFyFhFiDtklsSs`k¨gSh s`Y tF^St4yFgvts`iSbLFt}xyL\F^`s`s`iqiSyFrLiDy6¢iSS cFiS^xt FUs`iLm ω 0
t f (x, t)
≡0
ω t f (x, t)
−
04&6*60
t−ω f (x, 0+) = 0 Γ(1 − ω)
0&"M
ω t [f (x, t)
− f (x, 0+)].
F© iD^`kla6aD^xi`h>eLpgS^SaF4 tcL^Oklj`hFp^`cL^kqcFtiSDi~rLbL4iDkls`gSjSrLtyD^`s`gOcFiSyL4bFyFiSjSaFTm (10.1.5) Z∞
−∞
¯x=∞ ∂f (x, t) ¯ dx = f (x, t) ¯ = 0, ∂x x=−∞
D + ;:7:eo #xx rLi`eF cFiObL4ts`g24tkls`i yL^`jStcLkls`jSi '
" >
Z
∞ −∞
ω 0
t f (x, t)dx
=
ω 0
t
Z∞
('D&xx #> ('
"§Ç ô15Æ
"
f (x, t)dx = ω 0
+1
Æ
= 0,
aUiSs`iSyFiStqjSFi`eLc6hFtsSkh s`i`eLgSaUi FyFb rLbL qtyFtcF Fb6yFiSjD^`cFbFbv ^`FUs`iLYFXFyFiS\Ft} Fý§i~bLrKfkl^`s~cL^`^xj`eF h6bFhUjS¤ b6FeFY eFSh>Y S¦vb>cFjD ¤ cFFiSY S_ Y UcF¦iS}qyL44²bFyFFiSi`jSeLaDiSU_>\L^`yFtt{tUcFyLb6^`hnjSmcFtcFbFtHk£FyFiSbFpjSi~rLcFiS_ −∞
'
0
ω t f (x, t)
+
t−ω ∂f (x, t) = f (x, 0+). ∂x Γ(1 − ω)
ÖkeLb jOcL^~\L^xeLgScF_>4iD4tcFs jSy6t4tcFb \L^Skls`bF L^cL^xDi~rLb6eK^SklgjOcL^~\L^xeLtqaDiSiSyDrLb6 cL^`s~}Fs`i UyL^`jScFtc6bFtqs`i bL4ttsOjSb6r
0
ω t f (x, t)
+
∂f (x, t) t−ω = δ(x). ∂x Γ(1 − ω)
§iOyFtl{tcFbFtqsx^`a6tqjSyL^xO^`tsSkh2\FtyFtpqDkls`iS_F\FbFjSU6eLiSs`cFiDkls`g g (x, ω) kli` iSs`cFiS{tcFbFt 1 f (x, t) = x g (tx ; ω). yFtlrLcFttpcL^~\FtcFbFts`iSi yL^SklFyFωtlrLtleLtcFb6hvaUiScFt\FcFi bvrLjSb6tsSkhFi p^`aUiScF t kUSjD^`]t_klaDiSyFiDkls`gS}Ks`i?tkls`g?bL4tts>4tkls`i>p^S4tlrFe6hFZttkhn}TklUSD^xeFeLb6 eLkls`iSbFjS\FUt{kltaDaniS}UtcLrL^xjSrLb6i`eLtiOcFbFptS^xY rLtyS^S 4tlbFrFjDeL^`t]cFbFtb6?s`\Li ^Skl4s`i~bF FtSs>Y Ss`g>iSSSkeLiSj`eLtcFi2cL^xeLbF\FbFt UyL^`jScFt]cFSbFt bF_/keLU\L^`_rLyFiSScFi` D^~eFeLbLkls`bF\FtklaUiSirLjSb6tcFb6hn}iSFbLkljD^`t4_
+
−1/ω−1
+
−1/ω
ω
0
ω t f (x, t)
+0
α x f (x, t)
4yL^Skk4iSs`yFbL£jOP=¹6·n=¥¹6·nY
?>
¢
z B{3±
î
¢ .
=
î
t−ω δ(x), Γ(1 − ω)
0 < α, ω < 1,
~é|
f^Skk4iSs`yFbL£i~rLcFiSyFirLcFiStqUyL^`jScFtcFbFt ý
FyFb DkeLiSjSbFb
0
ω t f (x, t)
=
lim f (x, t) = 0,
x→±∞
∂ 2 f (x, t) , t > 0, −∞ < x < ∞ ∂x2
h
(ω−1) (x, t) 0 ft
i
t=0
= ϕ(x), 0 < ω < 1.
(10.1.6)
;:
Ç 5
L ts2¤¥kklUU~yLrL^`bLjS cFtqcFUbFptbF£qrL¦bLY ûÖqs`i£UpUbFyLbn^`}KjSFcFyFtb cFbFωt£<¤ F1yFb iSFbLkljD^`ts ¦ püq^SyF4b tlrFωeLt=cFcF1UiS cFi>rLbLkliS jSqLU^xrKpbF^`² SeLibFcFs`tyFFyFts`bFyFiSjD^`cFiAý4Y qbFf^`s`~eFeLbFcFz njyL^S4a6^x2FtyFaUi`eFhFω FbF=iScF1/2 cFiS_ ¤ yFtSt{aDiSjSiS_K¦n4i~rLtleFbn}`^zti]yFt{tcFbFtbLkkeLtlrLiSjD^xeLiDklg 2Y ^`_FcL^`yDrFb 6brLynY jSi~rLbFüqrLbLyF tiSqSyLtyF^`tpcFiSjS F^`bLcF^xb6eLtgS cFiSt^`U6yLeK^`^SjSkcF^ tcFFbFitjSa2yFt^x4eLtcFtlb?SyLb ^`bF\FUtyFklaUgSiDt]4FSi}xyFaDiSt{iSyDtrLcFbFbFcLt^`aDs`iSt]s`FiSyFyFb6i` iObL4ttsOjSb6r "¥ Ã4
,õ
õ
"§
'
$
H
³+
_
G
'(
+
b fe(k, λ) =
ϕ(k) e . λω + k 2
`s] SyL^`s`UcFyFiSgStqtqFyFyFt{tiStScFyLb6^`h piSiSjDs^xcFjSbFyFtt4tcF^`6b eK\F^StkyF^tjSpqyLU^xcFaF^` 6tbFsO p^`vjSbLbFkls`bLsx4^`liD kl s`tgO s`ZyL^`eLcLtkyLq^Fm iSyLf^`c6 ³
ª+
ªG
ω−1 fe(k, t) = ϕ(k)t e Eω,ω (−k 2 tω ).
qiDkeLtlrLU]ttZiSSyL^`tcFbFt UyFgStqrK^`tlsOyFt{tcFbFt jOjSb6rLt ü
+
Z∞
f (x, t) =
rLt
−∞
G(x, t) =
1 π
Z∞
G(x − ξ, t)ϕ(ξ)dξ,
tω−1 Eω,ω (−k 2 tω ) cos(kx)dk
tFklyFs`tgiSSqyLU^`pcFiSaFjS F^`b6cFh b6h nyFbF^`cL6^.eK^SrLk^`^cFcFs`iSiS_ iWqUyLU^`cFjSaFcF FtbFcFb b6hnFiOY§XjSyFtF4i`teLcFcFbnbF} jWFyDhL4iStvbiSSyL^`s`cFiSt 0
C
b λ) = 1 G(x, π
Z∞
cos(kx)dk = (1/2)λ−ω/2 exp(−|x|λω/2 ), λω + k 2
0
1 G(x, t) = 4πi
Z
exp(λt − |x|λω/2 )λ−ω/2 dλ,
k rLteK^`jp^S4tcFHFtyFt4tcFcF b b2rLtqiSyL4bFyFxh rLi`eF cFz iSSyL^`piDWaDiScFs`Uy bFcFs`tyFbFyFiSjDσ^`cF=b6h λt }6zFi`=eLU|x|t\L^`t Br
_ '(
G(x, t) =
rLt
1 1−ω/2 t 4πi
Z
exp(σ−zσ ω /2)σ −ω/2 dσ =
d?qUcFaF 6b6h ýf^`_Fs~^FY W (z, µ, ν) Ha
−ω/2
1 ω/2−1 t W (−z, −ω/2, ω/2), 2
;:7:eo #xx Ø ¢
U
" +>
'
?>
z B{åä
î
.
î
"
~
|³¶
('D&xx #> ('
"§Ç ô15Æ
Æ
î |
tqs`bFLX ^ yL^`SiSs`t DyL^Skkf^`s`yFbFjD^xeLiDklgrLyFiSScFi` rLbL qUplbFiScFcFiSt4UyL^`jScFtcFbFt§s`iSi . *
ω t f (x, t)
∂ 2 f (x, t) , ∂x2
pcL^x^]rKF^~i`\FeLb i~ kZbFyLs`^`tlcFeLbFgScF\FiScF_z4Fi`b eLD`kiDeLkliSb>jS¤ b6jZhLF4i`b eLUFyFiDkls`yL^`cLkls`jSt~¦m x, t ∈ R Y7ý4t{^xeLbLklg]rLjSt 0
=
0 < ω < 1,
+
1) f (x, 0) = l(x),
b
f (0, t) = 0,
t > 0;
rLt l(x) iSSiSpcL^~\L^xt2)sOklfs`(x,UFt0)cF\L=^`s`l(x), U¡tlrLbFfcF(0,bF\Ft)cFU=!−1, qUcFaF Ft bF>0,}LyL^`jScFUcF~eF¡rFeFh iSs`yFbF L^`s`tleLgScF?pcL^~\FtcFbF_v^`yFlF8tcFsx^FY üqyFb p^xrK^~\Fb kljSirFhFsSkh>a a6eK^SkklbF\Ftkla6bL}LbF4t]bLyFt{tcFb6h ω=1 1) f (x, t) = Erf(t−1/2 x/2) ∼ π −1/2 xt−1/2 ,
b qyFb ü
FirKklsx^`cFiSjSa6^ ω<1
2) f (x, t) = Erf(t−1/2 x/2) ∼ π −1/2 xt−1/2 , f (x, t) = F (y),
t → ∞, t → ∞.
y = t−ω/2 x
FyFbFjSi~rFbFsOa bFcFs`tyFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiD4 UyL^`jScFtcFbF d2 F (y) = y 2/ω dy 2
jOaUiSs`iSyFiD
η −1−2/ω g(y/η)F (η)dη,
0
g(y) =
Z∞
2 (1 − y 2/ω )−ω−1 . ωΓ(−ω)
iSiSs`jStsSkls`jSU]bFtqyL^`cFbF\FcFtqDkeLiSjSb6h?FyFbFcFbLf^`]s jSb6r 1) F (0) = 0,
F (∞) = 1;
qyFtiSSyL^`pi`jD^xcFbFt vtleFeLbFcL2)^OFFi (0)y jS=tlrL−1,tsOa yLF^`(∞) pcFiDkl=s`cF0.iD42UyL^`jScFtcFbF ü
³G
(s − 1)(s − 2)F (s − 2) = g(s + 2/ω)F (s),
;:
x&x
yFt{tcFb6h>aUiSs`iSyFiSiL}6kliSiSs`jStsSkls`jSU]bFtqUa6^`p^`cFcFzDkeLiSjSb6hL}6bL8t]s jSb6r
m "¥ áT
,õ
õ
õ55
"§
'
√ Γ(−s)Γ(1/2 + s/2)Γ(1 + s/2) 1) F (s) = 2s / π , Γ(1 − s)Γ(1 + sω/2) √ Γ(s)Γ(1/2 + s/2)Γ(1 + s/2) 2) F (s) = −2s / π . Γ(1 + s)Γ(1 + sω/2)
]SyL^`s`cFiStZFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt vtleFeLbFcL^rK^`ts ³G
√ F (y) = 1/ πh(y/2),
rLt 1 1) h(z) = 2πi
c+∞ Z
Γ(s)Γ(1/2 − s/2)Γ(1 − s/2) s z ds, Γ(1 + s)Γ(1 − sω/2)
c+∞ Z
Γ(−s)Γ(1/2 − s/2)Γ(1 − s/2) s z ds, Γ(1 − s)Γ(1 − sω/2)
c−i∞
1 2) h(z) = − 2πi
^`_6rLtcFcFtOs`yL^`cLkqiSyLf^`cFs` FiSpjSi`eFhF]s jSyL^`pbFs`g yFtpeLgxsx^`s \FtyFtp2qUcFa6 FbFb iSaUk^Fm c−i∞
Ç+
¯ µ ¯ √ 21 1) f (x, t) = (1/ π)H23 t−ω/2 x/2¯¯
¯ µ ¯ √ 30 t−ω/2 x/2¯¯ 2) f (x, t) = −(1/ π)H23
(1, 1); (1, ω/2) (1/2, 1/2), (1, 1/2); (0, 1)
¶
− ; (1, 1), (1, ω/2) (0, 1), (1/2, 1/2), (1, 1/2); −
, ¶
o klFi`eLgSpxhbFcLqiSyLf^` FbF ikljSiS_Lkls`jD^xHqUcFaF FbF_ iSa6k^F}§eLtaUiUStlrLbFs`gDkhn} F\ s`iFyFbFjStlrLtcFcFtqyFt{tcFb6h?~rLiSj`eLts`jSiSyShF]ss`yFtSSt4zWcL^~\L^xeLgScFzWDkeLiSjSb6 hLkls`¢tFb.tcFDcF^`iSyL^`iOaFs`s`tbFyFLbF^Fpm U]sSkhW4tlrFeLtcFcFiUSjD^`]t_ klivjSyFt4tcFt^SklbL4Fs`iSs`bFaUiS_ qyFb ü
+
1) f (x, t) ∼ 1/Γ(1 − ω/2)xt−ω/2 ,
.
t → ∞,
2) f (x, t) ∼ 1/Γ(1 − ω/2)xt − 1, t → ∞. ` s
b F y t { t F c 6 b > h F F y t S j L y ` ^ ` ^ ] S s k > h O j 6 a K e S ^ k klbF\FtklaFbFtqyFtp~eLg~sx^`s` m ω=1 −ω/2
∞ 2 X (−1)k (xt−1/2 /2)2k+1 = Erf(xt−1/2 /2); 1) f (x, t) = √ k!(2k + 1) π k=0
HX p^`a6eL]\FtcFbFtZ FbF2)s`bFfyF(x,`t4t)iS=_>yLErf(xt ^`SiSs` ¬/2) ^`jSsS−iSy21.iSsS4t\F^`tsx}U\Fs`iFi`eLU\Ftc6 cFtyFtpeLgxs~^`s`BiDklsx^`]sSkh klFyL^`jStlrFeFbFjSz4bbj>keLtlrLU]t_iS`eK^Skls`bpcL^~\Ftl cFbF_ FiSySh6rLa6^FyFiSbFpjSi~rLcFiS_?FiOjSyFt4tcFb 1 ≤ ω < 2 Y −1/2
7 *
'&'
Ø ¢
?>
z B{/ë
;:7:eo #xx
" +>
9~³¶· ~³
('D&xx #> ('
"§Ç ô15Æ
"
Æ
Âí
ð ]sqyFt{tcF*bFñ tjSxi`úeLñcF÷ iSjSiSi]ob6þ>eLò brL¤ pbL^x rKq^\FUtp_vbFiSi cFyLcFiS^SklFi]yFUiDyLkl^`s`jSyLcF^`tcFcFtb6cFhObFbvkpkl^xbFrK^`cLcF^xcFeKiS^D_¦cLq^`iSpyL4jDiS^x_ ñ oþ xúñ÷ *÷ ø *ñ x}nkliSplrK^`jD^`t4iSi?bLkls`iS\FcFbFaUiD}
FiD8ttcFcFzjqbFaUklbFyFi` jDsx^`^`aDcFiScF_ Up^xs`rKiS^\F\FaFb>SbLYF4X
$
°
*M:((5*
0M
0°
∂ 2 f (x, t) ∂f (x, t) = , ∂t ∂x2
x ≥ 0,
t≥0
§t yFt{tc6bFt cL^xSi~rLbFsSkh FUs`t¢f6yF(0,bL4t)tcF=tcFφ(t). b6hW6yFtiSSyL^`piSjD^`cFb6h ^`6eK^Sk^>kbLk Fi`eLgSpiSjD^`cFb6ts`tiSyFt4i kljStyFs`aDtS}
Â
f (x, t) =
rLt
Zt 0
S(x, t − τ )φ(τ )dτ,
x S(x, t) = √ t−3/2 exp[−x2 /(4t)] 2 π
FyFtlrKkls~^`j`eFhFts]kiSSiS_ qUc6rK^S4tcFs~^xeLgScFiStfyFt{tcFbFt]¤¥qUcFaF FbF nyFbFcL^D¦¬klbFlcL^xeLg` cFjStiScF_ cFpiS^xrKi ^~bL\F4bn}TF~FeLiDgDklaUklcFi`eLiSgSi.aFvklbFiSFcLbL^xkleK^ jD^`ts2yL^SklFyFiDkls`yL^`cFtcFbFtOFtyFjSiScL^\L^xeLgScFi>4cFi` Y]cFi.jSyL^xO^`tsSk¨h\FtyFtpv6eLiSsx cFiDkls`gOi~rLcFiDkls`iSyFiScFcFtiSkls`iS_F\FbFjSφ(t) iSiyL=^Sklδ(t) FyFtlrLtleLtcFb6hvkqFiSaU^`p^`s`tleLt 1/2 C
√ S(x, t) = g+ (x/ t, 1/2)
bFcL^xeLgScL^xh?p^xrK^~\L^rFeFh>rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLg`cFiSiUyL^`jScFtcFb6h
ω t f (x, t)
=
∂ 2 f (x, t) , ∂x2
x ≥ 0,
t ≥ 0,
f (0, t) = φ(t)
bLkkeLtlrLiSjD^xeK^Sklg 2Y ^`_FcL^`yDrLb ´ÀÑ FbOrLynYS©yL^`cLkqiSyLf^`cFsx^ ^`6eK^Sk^ZqUcFaF FbFb nyFbFcL^jrK^`cFcFiDkeLU\L^`tqbL4ttsOjSb6r 0
+
&G
³
C
Sbω (x, λ) = exp{−xλω/2 },
XjSi~rFh>^`jSs`iD4i~rLtleLgScFUFtyFt4tcFcFU cL^xDirLbL
1 F (r; ω) = 2πi
r = xt−ω/2
Z
bvqUcFaF FbF x ≥ 0.
exp(σ − rσ ω/2 )dσ,
Br
S ω (x, t) = t−1 F (r; ω).
;:
"¥ ÿ
U
( R&âIxx&âx ãx
'
joqcFaUiDs`t46yLeL^xte a6klFcF(r,U¢ω)6eL4iDkliaUiDtkls s`gSFUsSs`gvt^`cLkl^xiSeLiSbFs`s`jSbFt\FsSklts`klaFjSUb.]FyFi~trLi i`eFrLtqtcWiSyLkO8FbFi`yFeLiSSjDiD^`klcFb b6h r aU>iSc60 s`UyL^vbFcFs`tyFbFyFiSjD^`cFb6hnY ü i`eF6\F^`t4iSt FyFbs`iDyFt{tcFbFt2jSyL^xO^`tsSkh.\FtyFtp qUcFaF FðbF yFUý4iS^`t_FsxF^FyFY tlrKkls~^`j`eLtcFbFt]klbFcL^xeLgScFiS_ qUcFaF FbFb nyFbFcL^qrLyFiSScFiSiqFiSyDh6rF a6^ rK^`tsSkhi~rLcFiDkls`iSyFiScFcFtl_DksSiS_6\FbFjSiS_6eLiSs`cFiDkls`gSk U^`yL^`aFs`tyFbLksSb6\FtklaFbL FiSaU^`p^`s`tleLt ω/2 bv4^Skl{sx^`ScFz£ ^`aFs`iSyFiD b = x m BC
2/ω
?> &
S ω (x, t) = x−2/ω g+ (x−2/ω t; ω/2).
ì| ³¶.æ
z B{
~| æ¯|ï ç
X tyFcFtfkhs`tFtyFg?anY8¹6·n= Y ^S4ts`bL}K\Fs`i?SiSshFyFb Fi`eLU\Ftc6 cF_ s~^S£yFtp~eLg~sx^`s kliSjSL^xrK^`tskZa6· eK^SkklbF\FtklaFbLrLbL qUpbFiScFcFωz=yF1t{tcFbFt
1 G(x, t) = √ exp(−x2 /(4t)), 2 πt
DjFklyFtb _£ωiDklb£< F1tyFjStiSklps~cF^`bFts a6^`Sts£s`Fg y6FbFiDcFkl Fs`bFi~FhFbLcF^xcFeLiSgS_£cFiSjSt.tleLiSbFs\FeLbFbFcF\FiSbF_¬tS}fmiSbFc£cFs`UtSyLjD^x^`etsiSs k?fs`(x,t\Ftt)cFbFtF i jSyFt4tcFbnm Z∞
ω−1 ω−1 f (x, t)dx ≡ fe(0, t) = ϕ(0)t e Eω,ω (0) = ϕ(0)t e .
FÖyFs`ti6hFcLsS^`klyFs`UjS{`ttszcFbFFt yFbFcFc6iShFyLs`4iSbF_yFjiSrFjSaFbLb¢ yFtU{pb6tiScFcFb6cFhiS_qirLs`cFtiSiSyFyFbFi~rLb cFbFiScFs`iWtyFrLFyFyFiStSsxcF^`iS FbFi£b UfyL(x,^`jScFt)tcFaUb6^`ah 6eLiSs`cFiDkls`b rLbFqUc6rLb6yFUZb6O\L^Skls`bF n}U^ G(x, t) da6^`a 6eLiSs`cFiDkls`b jStyFi~hFs`cFi` kls`bnmFcFb ]\F\FbLtjSkeLb6iOrLcF\LiL^S}klcFs`tbFkl ni~}F6cFyLb ^`cFjSttcFyFbFi~t§hFbFs`cFcFs`iDtkls`yLgO^xs`eLt^z6ttklyFs`g gZcFkltjSiSkl_Li~6kls`yLjS^`izc6hFk^S]4sSiSk¨hnizY UyL^`jScFtcFb6hn} ^ kls`cFbFt F¡FyFFiSiS F teLkliSk^FY ^`]i]SsSsk¨hnhn}K}Lj2b6eLFbyFbFbLcFkl F\FbFtpF^`tS]}Ks2bj2klUyFtptkleLs`jSgxUsx^`]s`s2tFyLyF^SiSkl FLt^xkrKkl^F }F}LcFj2i?aU4iS¡s`iScFyFbFa6 ^`aU\LiS^x_ bFcLqiSyLf^` FbFbiSqs`iDjqcL^`{tUyL^`jScFtcFbFtcFtp^`a6eK^xrLjD^xeLbnY`«i`eLtts`iSiL}`UyL^`j` cFcFtb6cFhbFFt]i`rKeL^`cFtiSs_v^SjSkltbLyF4iFhFs`s`iScFs`iDbFkl\Fs`tbnkl}KaFs`b iSklrLs`^2tFaUt^`cFacFiSbF_ pjS¤ ts`kliOs`tcFkls`tgL>} qÿDbFò pbF\FòBtñklñaFõ bF¬t¦4Fpy6^`iSaU FiStc2kklUBSkeLjD^xtl rLU]sFiSaU^`p^`s`tleLgScFiD4p^`aUiScFS/Y ðtleLiL}Ukls~^xeLiSs`gL}Djk^S4iD.UyL^`jScFtcFbFbn}Sj ò *÷ töosõöoF÷ iO7aFòl#Y yLüq^`_FyFcFb2tjS_ cF4bLtfyF^`tZs`tlrLeLjDgS^cFyLiD^`.pleLyLbF^S\FkkcF4iS?s`yFiStSc6iSbFSb?tiScFSbFcL_n^`yF}UDjS s`bFtjDaU^x^`t]sSkhnb6}`?\Fs`b6i?kls`UyFtlt?kls`yLjS^`Dpl eLFbFyF\FiS FcFtk¬k^F}ScF>Y iüqtaFyFjSt\FbFbFjDk^xeLeLbLtc6£sSc6s`bvOs`FyFyFb tlrKFklyFs~tl^`rKj`kleLsxt^`cFj`bFeF_ tcFa6b6eKhn^Sm kklbF\FtklaUiSiZrLbL qUpbFiScFcFiSi −∞
û
"
5
©M
°
5
∂ 2 f (x, t) ∂f (x, t) = , t > 0, f (x, 0+) = ϕ(x), ∂t ∂x2
(10.5.1)
;:7:eo #xx
Dª
" +>
'
('D&xx #> ('
"§Ç ô15Æ
"
∂f (x, t) ∂ 2 f (x, t) = + ϕ(x)δ(t), f (x, 0−) = 0, t ≥ 0, ∂t ∂x2 Zt 2 ∂ f (x, τ ) f (x, t) − f (x, 0+) = dτ, t > 0. ∂x2
Æ
(10.5.2) (10.5.3)
[]\FbFs`jD^xhn}8\Fs`i f (x, 0+) = ϕ(x)}f^vrLtleLg~sx^x qUcFaF Fb6htkls`gFyFiSbFpjSi~rLcL^xhWiSs kls`UFtcF\L^`s`iS_vqUcFaF FbFb ]jSbLk^`_6rK^ l(t)} 0
d l(t) , dt
rLjD^FiDkeLtlrLcFb6?UyL^`jScFtcFb6h 4i cFi FtyFtFbLk^`s`gOjOjSb6rLtSm δ(t) =
∂ 2 f (x, t) ∂ [f (x, t) − ϕ(x) l(t)] = , f (x, 0−) = 0, t ≥ 0, ∂t ∂x2 f (x, t) − ϕ(x) =
Zt
dτ
(10.5.4)
∂ 2 f (x, τ ) , t > 0. ∂x2
(10.5.5)
U yL^S^`4jStcFcLt^cFiSbFFb?tyLjStl^`rLs`iStsyL^za>FyLyF^SiSkbFkp8jSiSisSrLy6cFtiScF_ cFFiDi]42jSyFjSt4{tcFtZbjDrL^`yFyFiSbLS^`cFcFiSs`_ 2FkZyFcLiS^`bFyFpUjS{i~rLtcFcFiSc6_ iS_?j]FcFtiSyFyLjS4iDb6 yFiSjSaUiS_nY
wzcL^xeLiSbF\FcL^xh.iSFtyL^` Fb6hWjkeLU\L^`t2k U\Fts`iDrLyFiSScFiS_.FyFiSbFpjSi~rLcFiS_ iSsOFiDkls`ihFcFcFiS_>FyFbFjSi~rLbFsOma ñxòB÷ ñ÷-ôx÷ ñx÷-ÿ Bô /öoñxòBñ
5
ω t f (x, t)
0
=
0
5
44 1
""2
∂ 2 f (x, t) t−ω + ϕ(x). ∂x2 Γ(1 − ω)
(10.5.6)
X keLU\L^`t¤ FY 6Y S¦Z4bL4ttrLtleLik bFcFs`tyFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFz¢UyL^`jScFtl cFyLbF^`s`tiSyL}¬^bbFacFs`tti2yFrLbFyFyFiSiSSjDcF^`cFiDb64h?vrLiSyFSiSiSS`cFztcF£bF^`!cL^xteLkliSs`tiDkls`WjStcFs`iScFi>iOb6iSrLFs`tb yL^`Fs`UiSs`yLt^Fm p^S4tcFBiSFtl f (x, t) − ϕ(x) =
−ω ∂ x
2
f (x, τ ) . ∂x2
qyFbL4tcFbFjOa iSStbL\L^SklshL£Fi`eLU\FtcFcFiSiUyL^`jScFtcFb6h>iSFtyL^`s`iSy } ü
0
0
0
ω t f (x, t)
=
t−ω ∂ 2 f (x, t) + ϕ(x), 2 ∂x Γ(1 − ω)
ω x
FyFb6DirLbL
C
0
ω t G(x, t)
=
∂ 2 G(x, t) t−ω + δ(x), ∂x2 Γ(1 − ω)
;: T
"¥
,õ
õ
7 x &x
"§Â âx
â
â
5´
571 #
'
©yL^`cLkqiSyLf^`cFs~^ UyFgStl ^`6eK^Sk^s`iS_vqUcFaF 6bFb +
be G(k, λ) =
λω−1 λω + k 2
FiSaU^`pjD^`tsx}4\Fs`i.FyFbFcF FbFkli~6yL^`cFtcFb6hjSty6i~hFs`cFiDkls`bj rK^`cFcFiD!keLU\L^`t jS Fi`eLc6hFtsSk¨hnm be G(0, λ) =
?> Ø ¢ z B{
î
,
î
Z∞ 0
e t)e−λt dt = 1/λ. G(0,
nïéæ¯~| |æ,~|æ
| ~ï
£ ¬:8!7 ¤89 ¦¥§I898:43¬= eLtlrLxh yL^`SiSs`t }TyL^Skk4iSs`yFbL¢yFt{tcFbFtOUyL^`j` cFtcFb6h klU~rLbL qUpbFb2jOStklaDiScFt\FcFiS_?i~rLcFiSyFi~rLcFiS_>kly6tlrLtS}FFi`eLi bFjL}DrFeFh iSS cFiDkls`bn}UyL^`p4tyFcFiDkls`g6yFiDkls`yL^`cLkls`jD^yL^`jScFiS_2FyFiSbFpjSi`eLgScFiD4 FtleLiD4 \FbLkeL dm Ç¢
?«
1 f (x, t) = Γ(ω)
Zt
dτ (t − τ )ω−1 4d f (x, t) + φ(x).
4cFbFt{t tlcFbFt>s`iSiUyL^`jSc6tcFb6hjSyL^x^`tsSkhW\FtyFtp qUcFaF Fb6 nyFbFcL^kliSiSs`cFiS{tl Z 0
ý
;C
Gω (|x − x0 |, t)φ(x0 )dx0 .
f (x, t) =
qyFtiSSyL^`pi`jD^xcFbFt ^`6eK^Sk^FiOjSyFt4tcFb>rK^`ts ü
Rd
fb(x, λ) =
Z
b ω (|x − x0 |, λ)φ(x0 )dx0 , G
rLt b (r, λ) = g(r, λ )λ G . ^`a>FiSaU^`p^`cFij }6qUcFaF Fb6h g(r, a) ~rLiSj`eLts`jSiSyShFtsUyL^`jScFtcFbF ω
Rd
ω/2
ω−1
(4 − a2 )g(r, a) = −δ(x)
b?jSyL^xO^`tsSkh2\FtyFtp 4irLbLqbF FbFyFiSjD^`cFcFUqUcFaF FbF«tkkltleFh?jSs`iSyFiSiyFi~rK^Fm g(r, a) = (2π)−d/2 (r/a)1−d/2 Kd/2−1 (ar).
D + ;:7:eo #xx 5 ('D&xx #> (' ð^xeLtt<^`jSs`iSyF iSsS4t\L^`]s~}\Fs`i!FyDhL4iSt
" >
"
"§Ç ô 1 Æ
Æ
tG
¯ φ(σ) =
Z∞
dt tσ−1 φ(t)
bvklj`hFpgS4tlOrL?cFbLb>FyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt ^`6eK^Sk^ 0
¯ φ(σ) =
X
>
1 Γ(1 − σ)
1 G (r, σ) = Γ(1 − σ) ω
Z∞
Z∞
ˆ dss−σ φ(s).
0
g(r, λω/2 )λω−σ−1 dλ =
0
XyL^xO^xhHiSSyL^`s`cFiStvFyFtiSSyF^`piSjD^`cFbFt \FtyFtpqUcFaF FbF iSa6k^F}§FyFb6Di~rLbL a qiSyL4eLt = ω −1 π −d/2 2−2σ/ω r−d+2σ/ω Γ(1 − σ/ω)Γ(d/2 + σ/ω)/Γ(1 − σ). y+
qyFb ü
ω
G (r, t) = π ω=1
−d/2 −1 −d
2
r
20 H12
¯ µ ¯ −ω/2 t r/2¯¯
(1, ω/2) (d/2, 1/2), (1, 1/2)
FyFb6Si~rLbL£a bFpjStkls`cFiD42yFtpeLgxsx^`s`Tm
¶
.
G1 (r, t) = (4πt)−d/2 exp(−r 2 /4t).
iS eK^SklcFiOkljSiS_Lkls`jD^SqUcFaF FbF_ iSa6k^ Ç+
Gω (r, t) ∼ γ ω r−[(1−ω)d]/(2−ω) t−[dω/2]/(2−ω) ×
rLt XcFiS_nF}6i`FeLi`cFeLbFUjZ\FbLFy6 γtiSS=yL^`πpiSjD^`cF2bFt UyFgS(2tF−i ω)d 4tyFcFωiS_FyFiDkls`yL^`cLkls`jStcF.cFiS_FtyFt4tc6 × exp{−(2 − ω)ω ω/(2−ω) (r/2)2/(2−ω) t−ω/(2−ω) }, ω
−d/2 d/(ω−2)
−1/2
[ω(d+1)/2−1]/(2−ω)
,+
e ω (k, t) = (2π)d/2 k 1−d/2 G
Z∞ 0
d/2 dr, Jd/2−1 (kr)Gω j (r, t)r
;: %4
# R
7 x Ì&x
+Ñ vrLtlt eFeLJbFcLd¢^qFUi cFFaFt FyFb6th4t«cFtcFkiSkl_ tleFhrKF^`ttsFyFmjSiSiyFi~rK^FY üqiDkeLtlrLU]tt.FyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt ,õ 1 Æ âx
"¥
G
â
5o1 #
â
'
k
iSs`aFrK^
e ω (k, t)}(σ, t) = t−σω/2 {G
Γ(σ/2)Γ(1 − σ/2) , 2Γ(1 − σω/2)
¯ µ ¶ X ∞ ¯ 1 11 (−1)n ω ω/2 ¯ (0, 1/2) e k 2n tnω . G (k, t) = H12 kt ¯ = (0, 1/2), (−k, ω/2) 2 Γ(1 + nω) n=0
qyFb ü
ω=1
Fi`eLU\L^`tiS\FtjSb6rLcF_>yFtpeLgxsx^`sFm
e 1 (k, t) = exp(−k 2 t). G
eLtaDi Fvi`iDeL4Ut\LcF^`s`tÚ 4zkl4Ub>~rFFbLyF tiS SUyLp^`b6piSiScFjDcF^xcFiSbFi
>G
hr2n (t)i =
Z
Gω (|x|, t)|x|2n dx = 22n
X\L^Skls`cFiDkls`bn}
Γ(n + d/2)Γ(n + 1) nω t , Γ(d/2)Γ(nω + 1)
n = 0, 1, 2, . . .
Rd
hr0 (t)i = 1,
hr 2 (t)i =
2d tω , Γ(ω + 1)
hr4 (t)i =
8(2 + d)d 2ω t Γ(2ω + 1)
b<s~Y r
YoqpFtyFjSiSiyL^`jStcLkls`jD^.jSb6rLcFiL}\Fs`i£p^xrK^`cFcL^xhHj£cL^~\F^xeLgScF_¢4iD4tlcFs jSbFyFp tjS4s`tiScFyFbiScFiiSd2yL4\FbFs`yFi2iS{jSaUbF^yFbFqcLU^cFrLaFbL F b6b qUnpyFbFbFiScLcF^cFiSk2is`tL\F^`taUcFtbFs~t^F¡}KkljSiDyFkltyF4ttrLcFiSb£s`iSkl\Fi~t6cFyLcF^`iSc6hFiOtj sSk¨cLhn^x} ^ \L^xeLgSxY cFûÖs`_iL}U4piD^S44ttlcFrFs.eLtjScFyFcFtiS4tZtFcFiObklj.yL^`cLjS^~cF\Lt^xcFeLbFt>aUk]iSiSiSyDSrLbF\FcLcF^`iSs~_2}frLyLbL^Skl s`qts UpFbFyFtiS_2FyLiS^SyFkl F6bFeLiScL^xjDeL^`gScFcFbFit t rLbL qUpbFiScFcFiSiZL^`aUtsx^qbOrK^`tsqiDklcFiSjD^`cFbFtcL^`pjD^`s`gqsx^`aDiS_ FyFiS FtkkklU~rLbLZ qUpbFt_nY C
ω/2
?> Ø z B{
î
ï|³¶~¹
ïéæ¯~| |æ,~|æ
| ~ï
ýf^Skk4iSs`yFbLs`tFtyFg2s`iOt UyL^`jScFtcFbFt j iS`eK^Skls`b pcL^\FtcFbF_ } s`yFtSU]ttrFe6hjSSiSyL^WtlrLbFcLkls`jStcFcFiSi£\L^Skls`cFiSi£yFt{tcFb6h¢p^xrK^`ωcFb6∈h(1,rLjS2)D cL^~\F^xeLgScF?DkeLiSjSb6_nYFXStyFtj aU^~\Ftkls`jStqsx^`aDiSjS
b
f (x, 0) = φ(x) ¯ ∂f (x, 0) ¯¯ = χ(x). ∂t ¯t=0
S` + ;:7:eo #xx 5 ('D&xx #> (' UyLiS^`iSjSs`cFjSttcFsSbFkls`tqjSbLU4]ttsOtt jSb6s`r bLcL^~\L^xeLgScFz¢SkeLiSjSb6hL¢bFcFs`tyFi~rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiSt " >
"
"§Ç ô 1 Æ
Æ
1 f (x, t) = Γ(ω)
Zt
dτ (t − τ )ω−1 4f (x, t) + φ(x) + χ(x)t.
4t{tcFb6tlsSiSliO6yF^`jScFtcFb6h>FyFtlrKklsx^`j`eFhFtsSk¨h jOjSb6rLt 0
ý
f (x, t) =
Z
Gω (|x − x0 |, t)φ(x0 )dx0 +
Z
K ω (|x − x0 |, t)χ(x0 )dx0 ,
rLt K dköoùJ÷-ô ñ éxô ñ x}ns`yL^`cLkqiSyLf^`cFs~^ ^`6eK^Sk^?Fi jSyFt4tcFb aUiSs`iSyFiS_>jSyL^x^`tsSkh>\FtyFtpqs`2tqUcFaF FbF g(r, a) m Rd
Rd
1 Ñ94 "&<"
(ω)
iSiSs`jStsSkls`jStcFcFiL}
b ω (r, λ) = g(r, λω/2 )λω−2 . K
1 K (r, σ) = Γ(1 − σ) ω
Z∞
g(r, λω/2 )λω−σ−2 dλ =
0
b
= ω −1 π −d/2 2−2(1+σ)/ω r−d+2(1+σ)/ω Γ(1−(1+σ)/ω)Γ(d/2+(1+σ)/ω)/Γ(1−σ)
tsOjSb6r
K ω (r, t) = π −d/2 2−1−2/ω r−d+2/ω × ¯ µ ¶ r −ω/2 ¯¯ (1, ω/2) 20 ×H12 t ¯ (d/2 − 1/ω, 1/2), (1 − 1/ω, 1/2) . 2
w]klbL4Fs`iSs`bFa6^jSs`iSyFiS_qUcFaF 6bFb nyFbFcL^vFyFbWSi`eLgS{b6 jSyFt4tcL^x bL4tl C
K ω (r, t) ∼ δ ω r−[(1−ω)d+2]/(2−ω) t−[dω/2−2]/(2−ω) ×
rLt δ =π 2 (2 − ω) ω ©yL^`cLkqiSyLf^`cFsx^ UyFgStqFiOFyFiDkls`yL^`cLkls`jStcFcFiS_ FtlyFt4tcFcFiS_
× exp{−(2 − ω)ω ω/(2−ω) (r/2)2/(2−ω) t−ω/(2−ω) },
ω
−d/2 (2−d)/(2−ω)
−1/2
[ω(d+1)/2−3]/(2−ω)
.
B+
e ω (k, t) = (2π)d/2 k 1−d/2 K
Z∞ 0
Jd/2−1 (kr)K ω (r, t)r d/2 dr,
;: 7³ >&x &x7 "¥
"
1§_õ
#õ
S6
"§
^tt 4tleFeLbFcFiSjDkla6^xh>s`yL^`cLkqiSyLf^`cFsx^FiOFtyFt4tcFcFiS_ UyFgSt Ç+
iSs`aFrK^OkeLtlrLSts
1−σω/2 eω {G j (k, t)}(σ, t) = t
Γ(σ/2)Γ(1 − σ/2) , 2Γ(2 − σω/2)
¯ ¶ X µ ∞ ¯ (−1)n 1 11 ω/2 ¯ (0, 1/2) ω e = K (k, t) = tH12 kt ¯ k 2n t1+nω . (0, 1/2), (−k, d/2) 2 Γ(2 + nω) n=0
]sSklrK^F}6jO\L^Skls`cFiDkls`bn}L4iSUsOSs`gOjSjStlrLtcFiOkliSiSs`cFiS{tcFbFt eω e ω (k, t) = ∂ K (k, t) G ∂t
b cL^`_6rLtlcFFyFtlrLtleL
e ω (k, 0+) = 1, G
^S4ts`bL}F\Fs`i
s`iS rK^aU^`a
?> - ) z B{
e 2 (k, t) = cos(kt), G
³
e ω (k, 0+) = 0. K
e 2 (k, t) = (1/k) sin(kt), K
e 1 (k, t) = exp(−k 2 t). G
¢
| | ~³ î ,¬
f^Skk4iSs`yFbL£s`tFtyFg yFt{tcFbFtqUyL^`jScFtcFb6h
î
ý
∂f (x, t) = −(−4)α/2 f (x, t), ∂t
kZcL^~\L^xeLgScFzDkeLiSjSbFt t > 0, x ∈ R , 0 < α ≤ 2, f (x, 0) = φ(x). üqyFtlrKkls~^`jSbFjOyFt{tcFbFtqj jSb6rLt d
f (x, t) =
Z
G(x − x0 , t)φ(x0 )dx0
p^`FbF{tUyL^`jScFtcFbFtZrFeFhvqUcFaF FbFb nyFbFcL^ Rd
C
G(x, t)
∂G(x, t) = −(−4)α/2 G(x, t) + δ(x)δ(t), ∂t
rK^`cFcFiS_>p^xrK^~\Fbnm
G(x, t) = 0,
t < 0.
(10.8.1)
S S + ;:7:eo #xx 5 ('D&xx #> (' XFi`eLc6h6h>FyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt UyFgStqFiOFyFiDkls`yL^`cLkls`jStcFcFz£FtyFt4tcFcFz} " >
"
"§Ç ô 1 Æ
Æ
+
e t) dG(k, e t) + δ(t) = −|k|α G(k, dt
bvyFt{^xh s`i iSSaFcFiSjStcFcFiStZrLbL qtyFtlcF FbL^xeLgScFiStqUyL^`jScFtcFbFt FtyFjSiSiOFiSyDh6rF a6^F}F4Fi`eLU\FbLm e t) = exp(−|k| t). ^`_6rLtcFcFiStyFt{tcFb6ttkls`gZU^`G(k, yL^`aFs`tyFbLkls`bF\FtklaU^xhOqUcFaF Fb6hO4cFiSiD4tlyFcFiSiZbFpi` s`yFiSFcFiSiODkls`iS_F\6bFjSiSiOyL^SklFyFtrLtleLtcFb6hW¤ yL^SklFyFtlrLtleLtcFb6h tjSb6 tleLg`rLt_Lf^D¦m α
å+
e t) = ged (t1/α k; α). G(k,
]SyL^`s`cFiStZFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt]rK^`ts 1 G(x, t) = 2π
Z
e−ikx ged (t1α k; α)dk = t−d/α gd (t−1/α x; α).
(10.8.2)
Fc b6h ¤ vFY F
G
-C
1/α
?> 3 Ø ©#
ï³
z B{
04
·éæ j
;| ~¹iæ¯
5 "K94: 0M
D~
l,~Bæ¯ î
nðE¶¹iæ¯
|éï .æ,~
1/2
Û
î ï ~,~
|
ï|,~¹iæ¯
v
0
b
0
ω t fω,ν (t)
= Kfω,ν (t) + Φν (t)
df = Kf (t) + δ(t). dt
^~\L^xeLgScFtDkeLiSjSb6h FyFb jviSSiSb6 keLU\L^xh6¤ iSsS4tl `s bL¢kliS eK^SkliSjD^xcFcFiDkls`g2iSSiSpcL^~f\FtcF(t)bF_nmK→FyFb0 ω →t1↑b 0ν → 0 FtyFjSiStUyL^`jScFtcFbFt FyFtjSyL^`^`tsSk¨h>jSiOjSs`iSyFiSt~¦Y
0
ω−1 ω,ν t
;: .T
"¥
Ü
}|Jx
. § â/õÇ
"§ âÇõo" #xx >¥ ¥ ¥
S
(
XFi`eLcFbFjOFyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFt ^`6eK^Sk^iSSiSb62UyL^`jScFtcFbF_n}
λω fbω,ν (λ) = K fbω,ν (λ) + λ−ν ,
λfb(λ) = K fb(λ) + 1,
b yL^`pyFtl{bFjOb6>iSs`cFiDklbFs`tleLgScFiOs`yL^`cLkqiSyLf^`cFs~}6FyFb6Di~rLbL£a kliSiSs`cFiS{tcFbFm fbω,ν (λ) = λ−ν fb(λω ).
]SyL^`s`cFiStZFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt]rK^`tsFm 1 fω,ν (t) = 2πi
rLt
Z
λt −ν
e λ
C
hω,ν (t, τ ) =
fb(λ) =
1 2πi
Z
Z∞
hω,ν (t, τ )f (τ )dτ,
0
eλt−λ
ω
τ
λ−ν dλ.
qyDhL4iS_>FyFiSjStyFaDiS_ 4i~ cFiOUStlrLbFs`gDkhn}6\Fs`i yFt{tcFb6h UyL^`jScFtcFbF_ C
ü
b
0
ω t fω,0 (t)
df = Kf (t) + δ(t) dt
klj`hFp^`cF¢kliSiSs`cFiS{tcFbFt fω,0 (t) = ωt
ω−1
Z∞
= Kfω,0 (t) + δ(t)
ω
+
f ((t/τ ) )g (τ ; ω)τ
−ω
dτ =
^yFt{tcFb6h UyL^`jScFtcFbF_ 0
b 2d kliSiSs`cFiS{tcFbFt fω,1−ω (t) =
Z∞
0
Z∞
(10.9.1)
(10.9.2)
f (τ )g + (tτ −1/ω ; ω)τ −1/ω dτ,
0
(10.9.3)
ω t fω,1−ω (t)
= Kfω,1−ω (t) +
df = Kf (t) + δ(t) dt
ω
f ((t/τ ) )g+ (τ ; ω)dτ = (t/ω)
Z∞
t−ω Γ(1 − ω)
(10.9.4)
(10.9.5)
f (τ )g+ (tτ −1/ω ; ω)τ −1/ω−1 dτ.
§ 3 qAD1436:894A¹K=8Xklts`b kliSiSs`cFiS{tcFb6hiDkls~^`]sSkhklFyL^`jStlrFeLbFjSz(10.9.6) 4bbj 0
0
keLU\L^`tS}FtkeLb d?cFtp^`jSbLk¨hFbF_ iSs2jSyFt4tc6bveLbFcFt_FcF_viSFtyL^`s`iSyn}FrLt_Lkls`jSD ]bF_ cL^OqUcFKaF FbF f (t) ≡ f (x, t) Fi2kliSjSiSaFUFcFiDkls`b?FtyFt4tcFcF xY $Ö
;:7:eo #xx
S
" +>
'
('D&xx #> ('
"§Ç ô15Æ
"
Æ
eK^Sklc6iOXqtyFiScFyLt4f~keKh ^S<s`tF¤ tFyFY g]ÑFY aqU¦ rLyF¤ iS6SY cFÑFi`Y ªS D¦}D^xteFeLibLyFkls`tbF{\FttcFklbFaUt iD44]i~UyLt^`sjSScFtcFs`bFg¢FyF¤ tlrKFklY SsxY ^`ªDj`¦eLY tcFi`i jOjSb6rLt
'
f (x, t) = (t/ω)
Z∞
τ −1/α−1/ω−1 g+ (τ −1/α x; α)g+ (tτ −1/ω ; ω)dτ.
(10.9.7)
oO}6cL^`aUiScFt n}FqUcFaF Fb6h nyFbFcL^rLbL qUpbFiScFcFiSiUyL^`jScFtcFb6h>iSStis`bFL^ 0
C
0
ω t G(x, t)
= −(−4)α/2 G(x, t) + δ(x)
t−α Γ(1 − α)
jSyL^xO^`tsSk¨h>\FtyFtpqUcFaF Fb6 nyFbFcL^v¤ FY FY S¦ÖkliSiSs`cFiS{tcFbFt ªC
G(x, t) =
t ω
Z∞
gd (τ −1/α x; α) g+ (tτ −1/ω ; ω) τ −1/ω−d/α−1 dτ,
FyFbFjSi~r6hFbL£a>rLyFiSScFi` Skls`iS_F\FbFjSiS_?6eLiSs`cFiDkls`b
(10.9.8)
0
G(x, t) = t−ωd/α qd (t−ω/α x; α, ω).
?> ?> z B{ z
ÁE¶ 9 8~|
î ï ~,~
X¢kls~^`s`gSt ~ ny6t{^`tsSkh UyL^`jScFtlcFbFt *
h
β 0
2γ 0
i
Gγα,β (x, t) = b1 δ(t)δ(x),
kZcL^~\L^xeLgScFz4b>b yL^`cFbF\FcFz4b DkeLiSjSb6hL4b 2α 0
t
+b
t
−
x
Gγα,β (x, 0) = b2 δ(x), lim Gγ (x, t) x→±∞ α,β
= 0,
¯ ∂Gγα,β (x, t) ¯ ¯ ¯ ∂t
lim
"
= 0, t=0
∂Gγα,β (x, t)
#
= 0.
oqcFs`tyFFyFts`bFyFxh a6^`aOjSyFt8hn}D^ aU^`a aDiSiSyDrLbFcL^`s`S}`j UyL^`jScFtcFbFbOs`iD.4i~ cFi UjSb6rLts`gvrLyFiSScFt_^`cL^xeLiS s`tleLtxyL^SqcFiSivUyL^`jScFtcFb6hn}njaUiSs`iSyFiSt iScFibFy6tl jSyLU^`yFgS^`tZtFsSikhWaUiSFiSyFySb rLbFαcL^`=s`tZβb>=yFtγ{t=cFbF1tZIY Fü i`eLy6UtiS\FStyLcF^`cFpiSiSjDi^x^xcFeLbFt tSyL^`^`6bFeK\F^Stkkl^vaUiSFi iUjSyLyFt^`4jScFtcFtcFb£b6bh FyFbFjSi~rFbFsOavkeLtlrLU]t4?jSyL^xtcFbFrFeFh s`yL^`cLkqiSyLf^`c6sS m x→±∞
∂x
B
+
e γ (k, λ) G α,β
≡
Z∞ 0
dte
−λt
Z∞
−∞
dxeikx Gγα,β (x, t) =
b1 + b2 (λ2α−1 + bλβ−1 ) . λ2α + bλβ − |k|2γ
;: ;:7¨ RG7o2[xx 7 #xxx "¥¦
õ
SS
"
eFh>jSFi`eLcFtcFb6h>iSSyL^`s`cF?FyFtiSSyL^`piSjS^`cFbF_?FyFbFjStlrLt£ttqa jSb6rL ð
2α−1 + bλβ−1 ) e γ (k, λ) = b1 + b2 (λ = G α,β 2α β λ + bλ − |k|2γ
∞ X 1 Ω(λ) |k|2γ λ−β |k|2γn λ−βn−β , = Ω(λ) = 2γ −β |k|2γ λ2α−β + b 1 − |k|2α−βλ (λ2α−β + b)n+1 n=0
rLt Ω(λ) = b + b (λ + bλ ) bFyFtlrLFi`eK^`l^`tsSkhvjSFi`eLc6tcFbFtSkeLiSjSb6h pkS`i~hLrLklgbL4kliDjSkliSs`_Lbkls`jDtiD^S44tb s`yFiSbFS\FiStSklaUtiSc6_cFFiSyF_!iSs`yFyFttlk6klLbF^`b yL^S||k|4ts`yFλbF\Ft/(λ klaUiS_/qU+cFaFb)| FbF
2
λ β−1
2α−β
+b
2γ −β
2α−β
wG
e γ (k, t) = G α,β
∞ X
n=0
n+1 (−bt2α−β )+ |k|2γn {b1 t2αn+2α−1 E2α−β,2αn+2α
h i n+1 (−2bt2α−β ) }. +b2 t2αn E2α−β,2αn+1 (−bt2α−β ) + bt2α−β E2α−β,2αn+2α−β+1
^p^`s`t£b iSSyL^`tc6bFt UyFgStSm ¬+
Gγα,β (x, t) = ∞ 1X n+1 sin(nγπ)Γ(2nγ + 1)|x|−2nγ−1 {b1 t2αn+2α−1 E2α−β,2αn+2α (−bt2α−β )+ π n=1 h i n+1 n+1 +b2 t2αn E2α−β,2αn+1 (−bt2α−β ) + bt2α−β E2α−β,2αn+2α−β+1 (−bt2α−β ) },
=−
rLt b 6=üqi`0,eK^`−1l^xh2−plm,rLtklmg = 0, 1,}62,Fi`.eL. U. Y \FbL£yFt{tcFbFt UyL^`jScFtcFb6h α=β ]G (x, t) = b δ(t)δ(x) [ +b − jOjSb6rLt 2α 0
Gγα,α (x, t) = −
t
α 0
t
2γ 0
x
γ α,α
1
∞ 1X sin(nγπ)Γ(2nγ + 1)|x|−2nγ−1 {b1 tα(n+2)−1 Eα,nα+2α (−btα )+ π n=1
+b2 t2nα [Eα,αn+1 (−btα ) + btα Eα,αn+α+1 (−btα )]},
0 < γ < 1, 0 < α < 1.
^.iDklcFiSjStvs`iSi£kliSiSs`cFiS{tcFb6hn}§p^S4tc6hF]tijcFtaDiSs`iSyFiDk4zkeLt q4b iSyL4beL.qyLj^S4yLt^`yLSkliS^xsx ^xq yFiScF FbF}l^F }nk yL4^`pFyLbF^`yFDbF^`\Fs`tklaFjD^`btsSiSk¨Fh¡yFtl4rLi~tleLrFtltleLcFcFg¢zkW4baUiSLcL^`klyLs`^SbF4s`Uts`s`bFyLj`^x cFs`tzyLα^xUeyLrL^`jSyFacFiStScFcFbFiSti2}TFkliSi~ySrLh6trLyDa6^^`¤FbLyFiSbFyFpjStirLeFcFhFUyF bFpiSjD^`^`yFcF{cFiU¦_bFbFyFFbFtyLjSiklrFbFhFcFbLeFHhFyFacFjSi`_eLbFcFc6i` jSiD42UyL^`jScFtcFbF¡kZFiSs`tyDhL4b jSb6rK^
t
'(
α
tG
·
¸ Zt 1 ∂2 4aα Γ(α + 2) cos((α + 1)π/2) p(x, τ )dτ 4 − 2 2 p(x, t) = p.f. , c0 ∂t πc0 (t − τ )α+2 −∞
S`ª + ;:7:eo #xx 5 ('D&xx #> (' j rLkt 4p(x, zkeLt)t aDdziSrKcF^`tj`\FeLcFtiScF_ bF\LtÖ^Sj]kls`s`iSb>\FFaDi2t xwrKjZ^S4fiD^`8yFtScFY sZjSyFt4tcFb t }~^zbFcFs`tyL^xeFiScFbFf^`tsSkh ðyFUiS_WFi~rFSi~raiSFbLk^`cFbF*iDkeK^``eLtcFb6h.jSi`eLcWjs`tyL4iSj`hFpaDiS_klyFtlrLt Se>FyFtlrFeLi~tc>jyL^`SiSsx^x ~~ o ´ YDXtiiDklcFiSjSOSeLiFi`eLi~tcFiUyL^`jScFtcFbFt " >
·
4−
"
"§Ç ô 1 Æ
Æ
¸ 1 ∂2 µ ∂ [4p] , p(x, t) = − 2 c20 ∂t2 c0 ∂t
(10.10.1)
FrLUt s`tµ£dWp^SaU4iStcF ¢qeKbF^` F6bFeKt^ScFks bL^`s`cLt^yL4tiSij`hFrLpyFaDiSiDSklcFs`bniS_>YÖX/kls`tyLF^`tScFiSgSs`t } ziScFi SeLi.iSSiSStcFi ·
4−
Ä
¸ i µ ∂ h 1 ∂2 p(x, t) = α (−4)α/2 p(x, t) , 2 2 c0 ∂t c0 ∂t
α ∈ (0, 2],
\Fs`i2kliSiSs`jStsSkls`jS`tsO^`FFyFiSa6klbLf^` FbFb?rLbLklFtyLklbFiScFcFiSi kliSiSs`cFiS{tcFb6h 2
k −
µ
ω c0
¶2
=i
(10.10.2)
µ ω|k|α , cα 0
FyFbFt8eLt4iS_jSi>4cFiSb6FyL^`aFs`bF\FtklaFb6klbFs`D^` Fb6h6¬}TjSa6eL]\L^xhn}KFi>Us`jStyDOrLtl cFbFB^`jSs`iSyL^yL^`SiSs` }6eLgxs`yL^`pjSUaUiSj`tZbLkkeLtlrLiSjD^`cFb6h?j24tlrLbF 6bFcFtSY µ
?>
z B{ zz
8
~|泶· ~³
¢
î
~j|
çB
`^ jStyF{bL?s`q eK^`jS]yL^Skk4iSs`yFtcFbFt>i~rLcFiD4tyFcFiSiFyFiS Ftkk^ oñ÷*ÿ xú bvklUFtySrLbL qLU}~pklbFiSb.\Ft¤ sxα^`]<2bL¦Y >§j]iOkltUSyLtf^`FjSyFcFbFtpcFcLbF^`tqaFb bL4a6t^`tas kljSUb6rrLbL qUpbFb ¤ ω < 1¦}sx^`a
ñ÷*M5 "%94:"
&
$
ω 0 Dt f (x, t)
= −(−41 )α/2 f (x, t).
^`akeLtlrLSts?bFpOP=]¹6·n= ±n}Kti?yFt{tcFbFtrFeFhStklaUiScFt\FcFiS_iDklb SjyFt{yL^xtcFOb6^`h.tsS¤ k¨hWFY \FStSyFY ~t¦fp2cLrL^yFaUiSiSScFcFtli`\F DcFkliDs`iS_FiS\Fs`bFyFjStpUaU/t 6eLiSs`cFkZiDkli~s`rLgLcFY iSyFrLirLtklcFg z44b>/−∞yLyL^S^`k
0
1
−41 φn (x) = λn fn (x), φn (0) = φn (L) = 0.
(10.11.1)
;:
Ç 5G x
©3dx I
â 1 ##$§Ç
"¥¦
#õ
"§
"
S+´
ã
iSDkls`jStcFcFtZpcL^~\FtcFb6h>s`iSiOiSFtyL^`s`iSyL^ λn = (an)2 ,
a = π/L, n = 1, 2, 3, ...
^OkliSiSs`jStsSkls`jSU]bFtqbLkliSDkls`jStcFcFtqqUcFaF FbFb φn (x) = cn sin(anx),
0 6 x 6 L,
rLt c d cFiSyL4bFyFiSjD^`cFcFtqFiDksSihFcFcFtSY X¢iDklcFiSjStqFyFbL4tcFtcFb6hvs`iSi?4ts`irK^ avUyL^`jScFtcFbFBkqrLyFiSScFzeK^`6eK^x klbL^`cFiDWeLtl bFsOs`tiSyFtf^iOs`iD}F\Fs`i tkeLb ψ(z) dOrLiDklsx^`s`iS\FcFiDiSyFiS{^xh>qUcFa6 ^xO^`tsS}
k¨h^ \F Ftb6yFhnt}Öp s`kli£iSDklkliSs`DjSklts`cFjScFtcFcFtptvcL^p\FcLt^cF\Fb6thcFb6iShFtiSyLF^`ts`yLiS^`yLs`^xiS yL^`^xyF q6U4cFtaFcF Fs~^bFb λ ψ(−4 qiSyL4)eLjSiS_ yLψ(λ kliSDkls`jStcFcFtqqUcFaF FbFbvkliSjSL^xrK^`]sk φ (x) Ñ >Y üqi~rKkls~^`jSbFjyL^`pleLi~tcFbFt ) n
1
n
n
n
f (x, t) =
∞ X
fn (t) sin(anx)
jOUyL^`jScFtcFbFt ¤ FY SSY ~¦§b>U\FbFs`jD^xhn}6\Fs`i2kliS eK^SklcFis`tiSyFt4t n=1
Fi`eLU\FbL
(−41 )α/2 sin(αnx) = (an)α sin(αnx), ∞ X
[0 ω
t fn (t)
DZ[ i4rLcFbLi~£a ^xh UyLs`^`i jScFUtyLc6^`bFjS cFtcFbFtqcL^ n=1
ω 0 Dt fm (t)
+ (an)α fn (t)] sin(anx) = 0.
sin(amx)
+ (am)α fm (t) = 0,
yFt{tcFbFtqaUiSs`iSyFiSibL4tts jSb6r rLtqFiDkls`i~hFcFcFt
b bFcFs`tyFbFyF`hvFiOiSs`yFtpaF
[0, L]
m = 1, 2, . . .
fm (t) = fm (0)Eω (−(am)α tω ) ,
fm (0) =
ZL
f (x, 0) sin(amx)dx
iSFyFtlrLtleFhF]sSk¨h cL^~\L^xeLgScFz4b>DkeLiSjSb6hL4b>p^xrK^\FbnYLXbFs`iSt Fi`eLU\L^`t 0
f (x, t) =
∞ X
n=1
fn (0) sin(anx)Eω [−(an)α tω ] .
}FFyFb6
S ` + ;:7:eo #xx 5 ('D&xx #> (' cLüq^yFbiSs`αyFt=paU2t s`iSsyFtpeLgxs~^`skliSjSL^xrK^`tsk]yFt{tcFbFtWUyL^`jScFtcFb6h?klU~rLbL qUpbFb " >
f (x, t) =
∞ X
n=1
f (x, t) =
"§Ç ô 1 Æ
Æ
£ ¤ fn (0) sin(anx)Eω −(an)2 tω ,
Fi`eLU\FtcFcFzjyL^`SiSs`t ª }6^FyFb qUpbFbn}
"
∞ X
ω=1
d kZyFt{tcFbFtUyL^`jScFtcFb6h>klUFtyDrLbLZ
fn (0) sin(anx) exp [−(an)α t] ,
F yFbFjStlrLtcFcFz£j Ñ Y5üqyFb b 4FyFb6DirLbL£a bFpjStksSc6iD4?yFt{tl cFbF¡UyL^`jScFtcFb6h>cFiSyLf^xeLgScFαiS_2=rLbL2 qωUp=bFb 1 ` Y 76 ³Û ?> Xp^`a6eL]\FtcFbFtZ eK^`jS
Ä
s| ~|
z B{ z±
î | íï¹i
¶| ~|
$
Z(α, ω, θ) = S(α, θ)/[S(ω, 1)]ω/α ,
rLyFiSScFi` DksSiS_6\FbFjSiS_nY ¹K= cLüZ^`eLpiSiSs`jScFtiD kls`g ôx÷ 7yLñ^S÷ klF+yFøBtlùJrL÷ tleLþ txcFöob6÷ h ½óq(x; keLU\L^`_FcFiS_ jStleLbF\FbFcF θ) x÷7ùJα,ñ÷oω,øBùJ ú YT]cL^ jSyL^x^`tsSkh \Ftl Z(α, ω, θ) yFtp Skls`iS_F\FbFjStq6eLiSs`cFiDkls`b g(x; α, θ) kliSiSs`cFiS{tcFb6t 5
*6
* 4
q(x; α, ω, θ) =
*M 1
Z∞
*M
ω < 1,
&2
g(xy ω/α ; α, θ)g+ (y; ω)y ω/α dy.
s`i`eLgSaUi2· cL= ^2ÖkFeFi`b eLi~0
1
Ü
ÖkeLb θ = 0}Fs`i s`iqtksSg]rLyFiSScFi` Skls`iS_F\FbFqjS(−x; iStÖyL^Sα,klFω,y6tlrL0)tleL=tcFqbF(x;tk α,θ =ω,00)hF,j`eFhFtsSkhklbLf4ts`yFbF\FcFz iSs`cFiDklbFs`tleLgScFiOcL^\L^xeK^aUiSiSySrLbFcL^`s~Y
q (−x; α, ω, θ) = q (x; α, ω, −θ) .
;:
ªf6#xN1
"¥¦*Ã
Ü
=&
S/Ñ
õ$5 ôx Æ $ R"5x5
§bLk`YFY Sm Ú Y0*)#.BY#&-+%+%m0 ¨ñ ¸
= iS eK^Sklc6i kljSiS_Lkls`jS bFcFjStyLklbFbn}2rLiDklsx^`s`iS\FcFi*yF^Skk4iSs`yFts`g a6eK^Skk rLFi`yFeLiSSSiDcFki`bn S}6kl\Fs`s`iSi _F\FFbFiSjSpjSi`]eF6hFeLtsiSs`jScFjSiDtklkls`s`tb>_ iFrLyFcFbqiDjDkls`kltliS yFiSα,cFcFωttqb θFyFs`ti`iSeLSgSyLaD^`ipcLiSjS^^`FcFi`bFeLt i~ vbFtls`eFtleLeLbFgScLcF^ iS_ ý ±)#.aX%#?%,#)+ ^!# !i«Eo0*$7 !H+W+%+Y;If N+9# $# 0*$7&-HkØ O2)#.aX%#?.!QR%AEo0*$7 !H+W+%+Y;IfN+9# $# 0*$7&-HØ $7 !#?%#&X9+%++%+%>Ú ω
= 1/2
³G
q¯ (s; α, ω, θ) =
Z∞
xs q (x; α, ω, θ) dx,
−1 < Re s < α,
aUiSs`iSyFiSt`} jklb6eL klFt FbLqbFaFb rLyFiSScFi` Dkls`iS_F\FbFjSiS_ keLU\L^`_FcFiS_ jStleLbF\FbFcF } 0
` ªS + ;:7:eo #xx 5 ('D&xx #> (' hF Fj`bFeFiShFcFtcLsS^xkh.hvUp^`cLyL^^`\FaFbFs`s`ttlyFeLbLgSklcFs`i2bF\FSi`tkleLa6t^xt h£rLqiSUScFcFaFz Fb6hnbFYcLüqkls`yFyFbL644ttlc6cFh6s`hiD<s`^`icL^xFeLyFbFtpiS^FS}FyL\F^`tpiSjSs`^`yLcFbF^xrLt b6b bLklFi`eLgSpxhjSyF^xtcFbFt rFeFhsSyF^`cLkqiSyLf^`cFs` vtleFeLbFcL^2Dkls`iS_F\FbFjSiS_v6eLiSs`cFi` kls`b Γ (1 + s) Γ (1 − s/α) g¯ (s; α, θ) = ρ , ρ = (1 + θ)/2, Γ (1 + ρs) Γ (1 − ρs) 4Fi`eLU\FbL " >
"
"§Ç ô 1 Æ
Æ
ªG
q¯ (s; α, ω, θ) = ρ
Γ (1 + s) Γ (1 − s/α) Γ (1 + s/α) . Γ (1 + ρs) Γ (1 − ρs) Γ (1 + ωs/α)
s`i`eLgSaUi>¶¬j += ðkeLyFiSUS\LcF^`i`t αDkls`=iS_F2\FYbFüqj`iSyFtb yL^Ss`kliDF
(2n)
(2, ω, 0) ≡
Z∞
4n n!Γ (n + 1/2) . x2n q (x; 2, ω, 0) dx = √ πΓ (nω + 1)
qyFb jSs`iSyFiS_ bjSzkl{bFtÖ4iD4tcFs`StklaDiScFt\FcF }FyFb klUt1kls`<jSiSαjD^`<s`g2bvklyFtlrLcFtt pcL^\FtcFbFtSY ¤n=¬X
−∞
q (0; α, ω, θ) =
b
α≤1
FtyFtkls~^`ts
Γ (1 + 1/α) Γ (1 − 1/α) cos (θπ/2) πΓ (1 − ω/α)
Q (0; α, ω, θ) ≡
Z0
q (0; α, ω, θ) = (1 − θ) /2.
iSyDS^ rL4bFtcFs`^`bLsx}6}FaU\FiSs` irK^ q α(x;≤α,1ω,b θ)ω
?
ω<1
−∞
θ>0
s`kls`iqttFklts`cFgZcFrLiSyF_ iSpS^`cFjSi`bL klDbLkls`4iSiD_Fkl\Fs`bFbKjS¦§6tÖjSiD6kleLs`iS s`}6cF\FiDs`kls`i bb>bLD4klts`]iSsq_F\FsxbF^`jSaFbFttq6eLtiSss`h6cFiDkltls`eLbnY t ¤ j k4zkeLt cFiDkls`iSyF±niSV= cFcFüq]yFb αDkls`=iS_F2\FrLbFyFjSiSUScFi`6 eLDiSkls`s`cFiSiD_Fkl\Fs`bFg2jD^xklhviSiS6s`eLcFiSiSs`{cFtiDcFklbFs`tg jSyL^xO^`tsSk¨h\FtyFtpOi~rF q (x; α, ω, θ) ∼ g (x; α, θ) /Γ (1 + ω) ,
q (x; 2, ω, 0) =
1 ω |x|
g 1+2/ω +
³
|x|
−2/ω
x → ∞,
´ ; ω/2 .
;:
ªf6#xN1
Ü
=&
` ªF cFbF_ jS¹6yL·n^x= q^^``ZyFsS^`k¨aFh>s`t\FyFtbLyFklts`pbFq\FtUklcFaFaFbF Ft2bFb qUvcFbFaFs` FsxbF^`bl rL yFtiS SZcFi`eL tDyLkl^s`iS_F\FbFjS yL^SklFyFtlrLtleLtl "¥¦*Ã
õ$5 ôx Æ $ R"5x5
K
G
qe(k; α, ω, θ) = Eω (−ψ(k; α, θ)),
rLt o 4tts 4tkls`iOyL^`pleLψ(k; i~tcFα,bFtqθ)F=iOiS−|k| SyL^`s`cFexp{−iαθ(π/2)signk}. z£kls`tFtc6hL α
q(x; α, ω, θ) =
∞ X
(−1)n−1
Γ(nα + 1) x−nα−1 . Γ(nαρ)Γ(1 − nαρ)Γ(1 + nω)
K¹ ¹K=KzrLcFiD4tyFcFtrLyFiSScFi` Dkls`iS_F\FbFjSt6eLiSs`cFiDksSb tkls`tkls`jStcFcFz iSSyL^x piDiSSiSS^`]sSk¨h>cL^O4cFiSiD4tyFcFt n=1
qd (x; α, ω, Γ) =
Z∞
gd (xy ω/α ; α, Γ)g+ (y; ω)y dω/α dy,
iSFbLkljD^`]bFtZyL^SklFyFtlrLtleLtcFbFtkeLU\L^`_Fc6iSiOjStaFs`iSyL^ 0
. Zd (α, ω, Γ) ≡ Sd (α, Γ) [S1 (ω, 1)]ω/α .
^`yFs`cF}TbFUpi`^x `s yFiSFcFv rLyFiSiSyLScF^`cFi`bFD\FklbLs`fiS_Fkh<\6bFpljSrLtvklg£6eLFiSts`yFcFt\FiDklbLs`kteL_ tcFqb6t(x; α,kljSiSω,_Lklµs`j£) ≡klsx^`qc6rK(|x|; α, ω) yL^`aFs`tyFbLkls`bF\FtklaU^xhqUcFaF 6b6h aUiSs`iSyF?bL4ttsOjSb6r G
d
0
d
qed (k; α, ω) = Eω (−|k|α ).
SSY SYVüZeLiSs`cFiDkls`b
qd+2 (r; α, ω)
b
qd (r; α, ω)
qd+2 (r; α, ω) = −
klj`hFp^`cF¢kliSiSs`cFiS{tcFbFt
1 dqd (r; α, ω) . 2πr dr
FcüZiSeL_ iSs`FcFiSiDySklh6s`rLb a6^q 1/2(r;Y α, ω) b q (r; α, ω) klj`hFp^`cFFyFbFiD4iSbvFyFiSbFpjSirF SSY 6YVüqi~rLiSScFi cFiSyLf^xeLgSc6iD4OkeLU\L^`}DFyFiStaF Fb6hOrLbL qUpbFiScFcFiSi d 4tyFcFiSi jStaFs`iSyL^ X(t) cL^ d 84tyFcFiD Fi~rLFyFiDkls`yL^`cLkls`jSt ¤ d < d¦8rLbL qUc6rLbFyF`ts kliS eK^SklcFi d 4tyFcFiD8?p^`aUiScF sx^`aFbL4b>t L^`yL^S4ts`yL^S4b α b ω Y SSY FYX iSseLbF\FbFtóiSs%cFiSyLf^xeLgScFiSi keF6\F^xhn}(yL^`pleLbF\FcFt aUiSiSyDrLbFcL^`s` \L^Skls`bF F }qkliSjStyF{^`]t_¡^`cFiDf^xeLgScFU,rLbL qUpbF ¤¥k X (t), ..., X (t) 6 b L e b ¦cFtqhFj`eFhF]sSkh>cFtp^`jSbLklbL4z4b>rLyFUqiSsrLyFUl^FY α 6= 2 ω 6= 1 d+1
d
0
0
1
d
0
` ªD SSY LY püZcFeL^~iS\Fs`tcFcFiDbFkt sSg '
;:7:eo #xx
" +>
('D&xx #> ('
"§Ç ô15Æ
Æ
aDiSdWcFtU\FScFiOjDs`^`i`]eLgSaU^xiOh£tqkeLUb cFaFd F
qd (r; α, ω) qd (0; α, ω)
qd (0; α, ω) =
X\L^Skls`cFiDkls`b SSY 6YjSX<kt`eLm U\L^`t
"
Γ(1 + d/α)Γ(1 − d/α) . (4π)d/2 Γ(1 + d/2)Γ(1 − dω/α)
q1 (0; α, ω) =
ω=1
csc(π/α) . αΓ(1 − ω/α)
rLyFiSScFi` Dkls`iS_F\FbFjStZ6eLiSs`cFiDkls`bvFtyFtlSi~rFhFsOj Skls`iS_F\Fb6
qd (r; α, 1) = ρd (r; α) Z ∞ α qd (r; α, 1) = ρd (r; α) = (2π)−d/2 e−s Jd/2−1 (rs)(rs)1−d/2 sd−1 ds.
SSY ªFYo 4tlts 4tkls`i2kliSiSs`cFiS{tcFbFtSm SSY ´UY ÖkeFb ,
α=2
b
qd (r; α, ω) = ω<1
}Fs`iS rK^
Z
0
∞ 0
³ ´ qd rτ ω/α ; α, 1 g+ (τ ; ω)dτ.
h i−1 , q1 (0; 2, ω) = 2Γ(1 − ω/2)
b?rFeFh
d≥3
h i−1 | ln r|, q2 (r; 2, ω) ∼ 2πΓ(1 − ω)
r → 0,
h i qd (r; 2, ω) ∼ (4π)−m/2 Γ(d/2 − 1)/ Γ(1 − ω) (r/2)−(d−2) ,
SSY FY ^Si`eLgS{b62yL^Skkls`i~hFcFb6h6 .
r → 0.
qd (r; 2, ω) ∼ (4π)−d/2 (2 − ω)−1/2 ω [(d+1)ω/2−1]/(2−ω) × ×(r/2)−d(1−ω)/(2−ω) exp{−(2 − ω)ω ω/(2−ω) (r/2)2/(2−ω) }.
SSY ÑFYyLX^~OkeL^`U]\LsS^`kt h>α\F=tyFt1p } ωcFt=Fi`eL1/2cFU¡yF^Skl^SFfyFftlrL^xtlqeLtUcFcFb6aFhv FbFrFeFhm jDkltl yL^`p4tyFcFiDkls`t_jS ³ ´ ´ 2 Γ (d + 1)/2 r2 /4 ³ 2 qd (r; 1, 1/2) = √ e Γ 1 − (d + 1)/2, r /4 . π (4π)(d+1)/2
`ª
1õ7
"
&
eFh cFt\Fts`cF>yL^`p4tyFcFiDkls`t_ ð
³ ´Ã ! µ Γ (d + 1)/2 2 r2 2 er /4 E(d+1)/2 (r2 /4), qd (r; 1, 1/2) = √ (d+1)/2 4 π (4π)
rLt µ = 1 − (d + 1)/2Y SSY FYX¢keLU\L^`t α = 1, ω = 1
£ ¤−(d+1)/2 qd (r; 1, 1) = Γ((d + 1)/2) π(1 + r 2 ) .
SSY SSY(üqyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFt vtleFeLbFcL^Fm ³G
q˜d (s; α, ω) ≡
SSY ~6Y(üqyFb
=
α=2
qd (r; α, ω)r s−1 dr =
0
2s Γ(1 − (d − s)/α)Γ(s/2)Γ((d − s)/α) . α(4π)d/2 Γ(1 − (d − s)ω/α)Γ((d − s)/2)
jDklt 4iD4tcFs`klUtkls`jSU]sOb bL4tlZsOjSb6r h|X(t)|2n i =
@
Z∞
}, î
´n Γ(n + d/2)Γ(n + 1) ³ 4Dtω . Γ(d/2)Γ(nω + 1)
S Y[XZY XZaNº k^sXeei ªNgN_KV«# ~ Sw Y z Y · ±n}>Ñ >¤ ÑSªSD¦Y 6Y n[2i;XZY0Y¨ Yo DY^ | Xeei ªNgNY6_Kd Va# m¹~ LNLm I F IM u }K`I SSFY F 2F +F w NO MLI I ¢w F?Y ʳ` fM=_Ki¦2VV `ba¢´ ´ Nn 2F Y w Y wI Yn¹ n} US?¤ ÑSSªD¦Y L7Y §x_K`ba_KY WK`0À m ;F "w Mv ´`¶rKaXZY r ]´Gf;f±XZYe`j Fd w NO MLI m I q w I N I }nFÑz Ñ LY Yn Y v 6¢Y ^Zh q^ ¯LY z 2Y n 2F Y · ³¬}L+´xD?¤ ÑSSªD¦Y ªFY U¹fMY _Kc¹_KV¬ £¨ { I ? +F· ±n}¬ U?¤ `SDS¦Y ´U7 Y §x_K`ba_KY WK`dÀ o IA K´n}L` ¤ ÑÑDS¦Y F7Y §x_K`ba_KY WK`dÀ MI±F } wI I F u yF ³¬}¬ DªFO¤ ÑÑSªD¦Y ¬J
©J
.J 9J
R åTÝQ
J J
'
EJ³Ò V #J
J
R
&S
&
ÂS3R
Z
&Y
$Z S&Q3T &V"S(Y $Y TÝQ S3T &V Z YÝ 1Q0T V 3T Q
&V&3T VP &P 1Q0T V&3T Q
R
&V$Y T V$ S Z
EJ
S&1T
EJ
R"S
'
V"S(X-TÝQ
T U(S Ü
&Y T &V .S(V"
S(YÝQ0P$Y P -T V
1ÜÜ 1'
S N& ÄS(V" S $T Y T /7T V ?J Z Z YÝ T V S
ÂS3R
¸J .J
1Q0T
©J©Ò V T V S
T Y ¦ Z
QS
$Z S&QS(Y
'
1TÝS ('
`ª
;:7:eo #xx 5 ('D&xx #> (' ÑFY§x_K`ba_KYWK`ÆÀ mu u zwL NO +F Y® MO Y }Tv ÑÑ#¬´U_KY Y ª`bayF i}XZYe`U ?§x_K`baI _KYWK`?À nd F dx{ I "Å I m FY7£Ë gaXZ`¶WGXZYq^ £´ k^Zh ¢^ L¯ Y z Y2n 2F Y K·n}¬ ¤ ÑSÑD¦Y SSY Iþ ñ Ãû© ´K´n}¬S~S?¤ ÑÑÑD¦Y ~6Y ¬_K=_KY¶f±r0´ dÀ ³¬g`¶_GË Ë g2`¶r¢U « WG0X (V `bKXZ`bY _l ¬ L¯ Y IM(z Yn 2F Y ¸T±n}F D`S2¤ `SSD¦Y FY7N;_Gµ r¾j m L¯ Y~ ZI F Y w ZI YN~ YK±n¤ } +ÑFO¤ ÑÑ U¦Y LY7N;_Gµ r¾j m k^ D\ NL¯ Y~ ZI F Y w ZI YN~ Yn¹6·T³¬}F #´2¤ `SSD¦Y ~6Y[(V _GËe«hei r;Ë « Á ?j L¯ YN~ ZI F Y w eI Y~ YK³K³¬}K`D`?¤ ÑSDS¦Y ªFY` fhgig`bVV\ N ;F u NF Y6d¢ v 2O }¬ÑSSFY o´UY¨©`¶XZYË X U Á m~ ZI F Â+Å F } ~ÑSLNL Ñ6Y I F Ynd¾{ I m~ ZI IF (I wI I ¾F IMn ~2F n } IL I ;2F v } FY ¬gNXZaÆ^ YNn 2F YNp Y ·· }K`ªSF¤ `SDS¦Y ÑFY?²eV `¶Ë³§ d]`b¢§ ³j2YZaXZY?² dU?aNgή u©~!~ ´n} D >¤ `SDS¦Y `FY=¿ ô oñ q¿ ] /ò!ø? +ðbL qtyFtcF FbL^xeLgScFtb2bFcFs`tyL^xeLgScFt]UyL^`jScFtcFb6h f^xsStf^`s`bF\FtklaUiS_qbFpbFaFbnYd tcFbFcFyL^xrd viDkaFjD^Fm` ©oO}DÑ#´ F}k`Yxª LY 6SY?6 ø F[]yL^`jScFtcFb6h?j\L^Skls`cF?FyFiSbFpjSi~rLcFOrLyFiSScFiSiFiSyDh6rLaU^FYUd WY m ^~Ua6^F}F`SD6Y S6Y?uÍ `bV µ _h U Ye`bK_hei}_KK_ º j2Ye Y6`bVbdaV rÄ \ qJ }L+I `SSªFY ~ LNL I FÆIM I H I F yF " +>
('
EJ>Ò V
QR"S(V$TÝQ Z T V & Z.Ð Z YÝS
"
"§Ç ô 1 Æ
$Z S&QS(Y wS(V" $Z S&Q3T &V"S(Y S YÝQ0P$Y P wT V ( J EJ ÂÐ TÝ0V$V"S
J J
J
BL $M"& IJ%IJ)
ÂS3R
R
Ü
'
?J 9J
J ¸J
Q &P / 1J
J ?J
1J
J J
J
ÇJ
"
R$T V
.J 9J
X- Z
1'
1Q
X- Z
Q &P /
S(V Z U
R
0å
S(X
'
Z TÝ &
ØJ
R åTÝQ S(Y 9Z T V"Q0T $Y S(V" X- Z TÝQ S 1 $P Z
$ (
?J
G
È"4 J#IJ $
G
J $Z S&Q3T &V"S(Y
R
('
Ò V Z 11P"Q3T &VÇ T Q &P /3TÝQ S(Y 1Q0T 0/
J
ÂS3R
X- Z
1Q
Y P$TÝ
Q &P /3TÝQ
ÇJ
³J 1:
1Q
Q &P /
S*N& ,T V
1YÝTÝQ S3T &V
&V&3T VP$P$X Z U
¸+
J EJ
?J 9J
Æ
('
& &
¬J
T Z V&3TÝS(Y
P"S3T &V
1J
R$ Y å NT Z
Z ¾S(V"
$Y TÝQ S3T &V
('&'
[]\
ãèç o
ì_^H`
âæèâæèç
nm
aaa
o
â #ß á%å qp
ís\ït\ r
uªu
â¯s å²æèç p
fh
å
+ ! üqiDkeLtlrLc6h6h2ds`yFts`g`h>\L^Skls`gaFcFbFb>FyFtlrKkls~^`j`eFhFtsOkliSSiS_2iSSpiSy2yL^`pleLbF\6 cF2FyFbL4tcFtcFbF_ 4ts`i~rK^rLyFiSScF FyFiSbFpjSi~rLcF jqbFpbF\FtklaFb62p^xrK^~\L^x¬}DcFi aUp^xiSrKc6^t\L\F^xcF iL}f4cFit jDcFkli2tl¬FIYi`eLü Uy6\FtlbFrKs`klg sx^`bFj`peL«tcFbFbF`t eLbFi iScFyLt ^SjSqa6bFeLb ]6\FyFtbLcF4cFtcF£tcFj.bF_niSS}KpcFiStyklqi~rLbFtpySbFO\F^`tkaFtb6_n } jSFyFiS\Ft}FyL^`SiSsFi s`tiSyFbFbvUFyL^`j`eLtcFb6hn}UrLbFcL^S4bFaUtqU^`iDk^F}6{6f^S£b cFtaUiSs`i` yFzrLyFUbLklFt FbLqbF\FtklaFbL£cL^`FyL^`j`eLtcFb6hLY ^~\FcFts`iSsqiSSpiSyk4tU^`cFbF\FtklaUiS_p^xrK^~\Fbiqs~^~Us`i~6yFiScFtS}xFiDkls~^`cFiSjSa6^ aUiSs`iSyFiS_2FyFbFcL^xrFeLtl bFs wzStleL5Y üqiaFyFbFjSiS_n}UyL^SklFi`eLitcFcFiS_2jFtyFjSiDWaFjD^xrF yL(^`Å cFs`tjStyFs`bFa6^xeLgScFiS_6eLiDklaUiD kls`bbFyFi~Si~rFhFt_\FtyFtpcL^~\L^xeLi]aUiSiSySrLbFcL^`s¤ iDklg cL^`FyL^`j`eLtcL^jSjStyS¬}DiDklg >iSyFbFpiScFs~^xeLgScL^D¦}DbFpqkliDkls`i~hFcFb6h2FiSaUi~h?klaDi`eLg` pcFbFiSs_ Sft^Spzks`kl yFt}xcFFb6iSh?L^xFrKi~^xr2hrLjt_L4kiDsS4jStb6cFts jSklyFb6teL4tcFsb h6tj kls`cLb>^\Lf^x^`eLs`iqtyFaUbLiS^xiSeLyDgSrLcLbF^xcLh ^`s~sSY iS \6a6^`^_Fs`tlbOrLbFUcFyLbF^`\6j` cFtcFbF6t ù ùJ÷ /ôx÷7ñõWdO8cFi~tkls`jD^ cL^~\L^xeLTgScFs`iS\Fta {x, y} }SiSs`jSt\L^`]b6Oi~rF Y
SSY ~t¦t?>Y Uüq\LD^Sklkls`s`g a6^vh(s)iSs dcFiDjS4z?kliSbvsxs`^viDs`4iS?\FaFbtsxp^~cLU^s`\Fit6cFyFbFiSBcF jSyF}4tkl4iStiScFs`bjStklsSaDkli`s`eLjSg`U]tcF^xb6h h rFTeLbF«¤ ý§cFt bLk`s(h) cL^~\F^xeK^aUiSiSySrLbFcL^`srLiOs`iS_ s`iS\FaFbnYLoqpqp^`aDiScL^Okli6yL^`cFtcFb6h>cFtyFbFb ĸíé|l. î | | ~
zz{ z
&
-4
È
2 s(h(t)) ˙ /2 + gh = E.
U\Fts`iDcL^~\L^xeLgScFiSliDkeLiSjSb6h ˙ = 0 bL8tt jD^`cFbFtqFUs`t£yL^`plrLtleLtcFb6h>FtyFt4s(y) tcFcF?rK^`ts
1 T =√ 2g
s(y) Z 0
p
s˙ 2 /2 = g(y − h)
ds y − h(s)
.
Y6oqcFs`tyFbFyFi`
` ªS FXtjSyFi~trF4htiScFScFyLiS^`_ s`cFUHa
ª6M'>>x
" +>
h(s)
qUcFaF FbF
1 T =√ 2g
Zy
η(h)
ã
}xFyFiSbFpjStlrLtvFi~rbFcFs`tyL^xeLiDp^S4tcF
dη/dh √ dh = y−h
r
π 2g
1/2 0
y η(y),
jStyF{}
iSbFSs`yLg^`yFs`tbF{s`g tcFtbFtSt } plk yL^xrK^`p^~]\Fb¬F}nyFcLbF^xjSrLi~rFivhFcL^`U_FWs`bWa bFFp i`eLUs`FiSyFiviSbFUpyLjS^`i~jSrLcFcFtiSc6_qb6 hW^`qFUUcFs`iLaFY FqbF s`iSSs =p^`η(y) y = h(s) rK^xeLttSY }^`b{jSt_ yF F^`tlpeLbFgSs`£g Ss\FeLtyFiztFp§iSFaUt^`yFpt^`4s`gLtcF}a6cF^`a t j]xFb y6yiS F}cFtkizkl4tÖ.yFtcF{t§tScF~b6rLht?bFpFjSyFti~krLsSi`c6eFt_FO{^`ts`_g 4tlU^`cFbF\6tklaUiS_>p^xrK^~\Fb>jSiSpcFbFa6^`]srLyFiSScFtqFyFiSbFpjSirLcFtSY 0
=
§bLk`YnSSY Sm »b2.B,5.*W#& e$.*E$7 *f+) +&ñ ý
©! X¢a6eK^SkklbF\FtklaUiS_v4tlU^`cFbFaDtiSSyL^`s`cL^xh p^xrK^~\L^d2iSFyFtlrLtleLtcFbFtFiSs`tcF Fb6 ^x4eKi~^OjStsWp^`FbLyF8bFi~jSrLttkl_Ls`klbs`jSaHb6h rLFyFi iSSbFcFpi`4 rLtySbLhF tq4tzyFbFcFDs`^`tyL^`yLaF^xs`eLtgSyFcFbLzkls`BbFa6U^SyL£^`jSrLcFjStb6cFb6hLtcFb6Y h ^`d2 sxeF^`hFaUcFt t j±°~u vtlU^`cFbFaFbn| ^`c6rK^b bLq{bF L^ }FiDklj`hFtcFcF_¢iSFyFtlrLtleLtcFbF F4iSts`yFtcFcF F bL^xaDeLi`gSeLcFtiSD_^`cFbFcF_ tyFiSsObFb cFUtyF(x)bFb Fi>bFpjStkls`cFiS_p^`jSbLklbL4iDkls`bFtyFbFi~rK^ T i~rLcFi` «¤ ý§bLk`Y
SSY S¦Y ^xrK^\L^OkljSi~rLbFsSkh a yFt{tcFbF bFcFs`tyL^xeLgScFiSiUyL^`jScFtcFb6h E ~¹i
zz{3±
¸í
æ ~ç
G
Ñ
¯ 0
√
T (E) = 2 2m
X(E) Z
p
dx E − U (x)
,
(11.2.1)
rLt tkls`g.aDiSyFtcFg UyL^`jScFtcFb6h ¤ÅrFeFhFyFiDkls`iSs`kl\FbFs~^`t!Fi` s`tcF FX(E) bL^xe?\Fts`cFiS_2qUcFaF FbFt_n}D4iScFiSs`iScFUcF(x)ijSiS=pyL^SEklsx^`]t_Fi4tyFt]rK^xeLtcFb6h iSs 0
#o 5 0!>x x M'>x x
` ªÑ \FcLbL^~\F^xeKrL^OyFiSaUSiScFiSi`yD rLrLbFbLcL ^`qsD¦tYxyFüqbFcFts`yFttlSyLi~^xrFeLh gSavcFi`bFtZcFUs`yLt^`yFjScFbFtyFcFiSbFjDt^`cFbFBFi2FtyFt4tcFcFiS_ U }LFi`eLD &¥ Ã
Æ
1ô Çâ
√
T (E) = 2 2m
ZE
ã
√ dX(U ) dU √ = 2 2mπ dU E−U
1/2 0
E X(E),
bFu cFvs`tltD^`yFcFbFbFyFaFiSbnjD^`|FcFm bFt]aUiSs`iSyFiSiFyFbFjSi~rLbFsa?qiSyL4~eLt¤ ~6Y S¦fcL^k`Y 66iD8hFcFUs`iS_ 0
'
G
X(U ) =
1 √
2π 2m
ZU 0
T (E)dE √ . U −E
§bLk`YnSSY 6m »Y;IY7 *,+EJE)#.BY#&-+%#"¬Ø òòñ ôxñ òBÚ¨ñ ý
§bLk`Y
SSY Fm Y;IY7 2,+EAaV )+QREB9+;Ø òòñ ôxñ ôÚ¨ñ ðyFUl^xh2iSSyL^`s`cL^xh2p^xrK^~\L^4tlU^`cFbFaFb2dOiSFyFtlrLtleLtcFbFtqFiSs`tcF FbL^xeL^jSp^`b6 4i~rFt_Lkls`jSb6h>bFp aUklFtyFbL4tcFsx^xeLgScF2rK^`cFcF?FiyL^SkkltlhFcFbF\L^Skls`bF kZp^xrK^`c6 cF°SiSS_.Y ª>cFaFtcFyFbFbFb t_ E¦[Y düqklyFj`iShFpt ^`cLjD^ kltk ivyFt{sx^ tcFpbF^xtrK^~\LbF^vcFs`qtiSyLyL4^xeLgSeLcFbFiSyFSivtsSUk¨yLhW^`jSjcFftcF^xb6eLhiSU eLqiS¤¥jSkiD Y FyFbF`eLb6tcFbFbnY üqDkls`g?FiSs`tcF FbL^xeLgScL^xhcFtyFb6h\L^Skls`bF FBj?Fi`eLtyL^SkkltbFjD^`z ti. FtcFs`yL^ U (r) < 0}Ö4iScFiSs`iScFcFiWjSiSpyL^Skls~^`ts Fi4tyFtv~rK^xeLtcFb6hiSsWc6ti ý
@ *
+´x + ª6M'>>x Ub eLbLiDkl\FtyLp^`^Stks>kltlcLhF^?cFb6Sh tklθaUiSbOcFFtyF\FbFcF FiDtlkleLs`gSbncFm zU(r)L^`→yL^S40tFs`yFyFbiD rx →Sj ∞yL^xYnO©n^`iSt sSrKkh^>qklj`iShFyLp4g ~4eLiStlO_ rL " >
ã
0
x θ(x) = E
Z∞
dU dr √ . dr r2 − x2
(11.2.2)
iSyL4eK^Osx^ FyFtlrKkls~^`j`eFhFts2kliSSiS_>FyL^`jSiDkls`iSyFiScFcF]¡Fi`eLUFyFiSbFpjSirLcFUB ^x FUs`i FiOFtyFt4tcFcFiS_ x m x
+
2
θ(x) 1 = Θ(x) ≡ x E
Z∞
√ dU dr2 π √ = 2 2 2 dr E r −x
]SyL^`tcFbFtZs`iSi kliSiSs`cFiS{tcFb6h?rK^`tsFi`eLUbFcFs`tyL^xe x2
E U (r) = √ π
r2
1/2 2 ∞ Θ(r )
2E = π
Z∞
1/2 x2
∞ U (x
θ(x)dx √ , x2 − r 2
2
).
(11.2.3)
kliSjSL^xrK^`]bF_kqiSyL4eLiS_ ¤ SSY ªD¦
aFcFbFlb=æYü ^`j`eLtcFaUi Y ^xDi~rFhbFpUyL^`j` cFtcFb6h · ¸ dσ 1 dx = 2 d cos θ dΩ aUkl qUcFaF FbF }ÖiSSyL^`^xhttbFirKklsx^`j`eFh6hHj£qiSyL4eL¤ SSY 6Y D¦}§Fi`eLU\L^`t bLklaUiD86¡qx(θ) UcFaF FbF U (r) Y & ³Û # kls`b FiOüqpi^xrK^`iScFyFcFbFiDp4iScF2sxp^x^`eLaUgSiScFcFiS _OVFiS(t)jStyDj`6rLcFi`iDeLklgOs`iDb klzb =Ox0 j`rLhFjSpb6aDiSt_ sScFkh>tkS i`bLeLfgS{^`tb642iSyL_ ^` p4b6trLyFaDiSi`j 6eK^Skls`bFcL^F}UUj`eLta6^xh2p^kliSSiS_?keLiSb2 bUrLaUiDkls`b.«¤ ý§bLk`Y¬SSY U¦Y ðjSb6tcFbFt] b6rLaUi` kls`b iSFbLkljD^`tsSkh?UyL^`jScFtcFbFt ^`jSgStl s`iSaUk^ r
(
2
zz{åä
8¶~éïéï³
ç|
BçB|
'
ρ
∂2v ∂v = η 2, ∂t ∂z
0 < t < ∞,
−∞ < z < 0.
rLtklg d]6eLiSs`cFiDkls`gz b6rLaUiDkls`bn} dZttÖj`hFpaUiDkls`gL} dqklaUiSyFiDkls`g b6rLaUiDksSb `j rLi`eLgρiDklb Ox cL^ eLUSbFcFt z < 0ηj 4iD4tcFs t Y v(z, t) \Fs`i bFcFüqs`tyFtlyLrL^xFeLi` eLi~ UbFyFjLgS}§t \Fs`i£jWrK^xeLtaUiD FyFiS{eLiD! b6rLaUiDkls`g£FiSaDiSb6eK^SklgL}Ös~^`a
ª+
ve(z, ω) =
Z∞
−∞
eiωt v(z, t)dt
&¥ á
ܳ
$5x § *ã>
+´U
ã 5
§bLk`YnSSY Lm »b2.B,5.*W#& dN+95.!0*$%+#&X5.N# !Y7&*)of/# 0*$%6Yo"b-?/ !Hug%+,#?/ 0*$%Kñ kSi~rFhFsSkh.FyFbWjDkltl }nbW\Fs`icL^ StklaDiScFt\FcFiS_.eLUSbFcFtO b6rLaUiDkls`gjDkltOjSyFt8h FiSaDiSbFsSkhn}FrFeFhs`yL^`cLzkl iSyFf^`cFs` UyFgStFi`eLU\FbLiSSaFcFiSjStcFcFiStZrLbL qtyFtc6 FbL^xeLgScFiStZUyL^`jScFtcFbFtqjSs`iSyFiSiFiSyDh6rLaU^ ý
'
µ+
kZyL^`cFbF\FcFz4b DkeLiSjSb6hL4b
(−iω)ρ ve(z, ω) = η
ve(0, ω) = Ve (ω),
d2 ve(z, ω) dz 2
[4rLiSj`eLts`jSiSyDhF]ttZs`bLSkeLiSjSb6hLyFt{tcFbFt bL4ttsOjSb6r ve(z, ω) = Vb (ω) exp
ve(−∞, ω) = 0. ³p
´ −iωρ/ηz .
ðbL qtyFtcF FbFyFxhti.Fi bHjSjSirFhHkrFjSbFiSjSiSt>cL^`FyDh6tlcFbFt¤¥klb6eL£s`yFtcFb6hn} Lr t_Lkls`jSU]U cL^?tlrLbFcFbF 6z 6eLiS^xrLb6eLiDklaUiDkls`bK¦ σ(z, t) = η∂v(z, t)/∂z }TFi` eLU\FbLm √ σ e(z, ω) = ηde v (z, ω)/dz = (−iω) ηρ ve(z, ω). ûÖs`iOiSpcL^~\L^`ts~}6\Fs`i 1/2
σ(z, t) =
√
ηρ
Zt
Φ1/2 (t − τ )
∂v(z, τ ) √ dτ = ηρ ∂τ
(1/2) (z, t) ∞ vt
(11.3.1)
Kr ¤ jB^`]sxsD^`¦aDY iS_*FiDksx^`cFiSjSaUtFyFiSbFpjSi~rFcFt¢ ^`FUs`i¡b ý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFh/kliSjSL^x bFpbF\Ftkla6^xhbFcFs`tyFFyFts~^` Fb6h¡s`iSiyFtp~eLg~sx^`sx^£p^`a6eL]\L^`tsSkhjHs`iD} \FtsSs`kihOcLyL^`^S`kleLFyFrKtlrL^`ttl4eLtiScFtbFjt4iDkl4aUtiScFyFsiDkjSsSyFtlt_4 tcFb6b rLaFt b6j Os`\LiS\F^SklaUs`t bF(x, n}`Fz)yFb6cLD^`i6rFyDhFh6b6tcFbFbFtzpiSiSFaFyFyFtltrLkls`tle6cFh6i` kls`brLyFUiS_s`iS\FaFbOs`iSi keLi~h (x , z) }`rLtiScFbcL^xDi~rLb6eFbLklgL}`kla6^xt}`j 4iD4tcFs YKXklb6eL>sSyF^`cLkeFhF FbFiScFcFiS_bFcFjD^`yFbF^`cFs`cFiDkls`byFt{tcFb6hviSs`cFiDklbFs`tleLgScFi x } t
+
0
0
+ ´` + ª6M'>>x aUsx^`taDcLiS^`t`eLtrLyLt^ScFklb6FhyFtl(x,rLtleLz)tcFYbFûÖt]s`kli aDiSbyFiDtklkls`s`g t_OFj yFiDkls`s`iSts_F4{iDbF4_.tcF4s2tlD¤ t^`cF¦8bFbLp4
ã
0
(1/2) ∞ t
dV √ = F (t) − S ηρ dt
(1/2) . ∞ Vt
cL^`pjD^`cFXiUaFyLcF^`bFjScFmt tcFüqbFi~trFeL]«ScF eLiSb6i ©niSyF jSklbFi£aU^Fk}Fkli~rLeLcLaU^`iSaD_j]rLj`jShFb6paDiSt_cFb6klh yFtl{rLtZ^`yL¤Å ^b6frL^SaUkiDkliSkls`_ bnm}x^`b>ptSyL}^x6rLeKbF^`Dpk4^ t~a¦ bL4ttsOjSb6r dV m rLt klb6eK^OkliSFyFiSs`bFj`eLtcFb6h W (t)dtrK^`=tsSk¨Fh (t)÷-+ô+ÿ Wx(t),÷ q +ø!ø ñxò!ø Fm (11.4.1) m
'(
Â
s| ~|
zz{/ë
*
'
î ï ~,~
ì,,~𳶷 ~|
}·
| ~
_
4* *M
.4
0
0
dV (t) 2 − W (t) = −6πηaV (t) − πρa3 3 dt r Zt 1 dV (τ ) ρ 2 √ −6πηa dτ. πη t − τ dτ
(11.4.2)
qkliDtklyFsxjS^`j`eF_hF\6]eLtcUplrLkltiSkgqFyFFiSyFs`tbFrKj`kleLsxt^`cFj`eFb6hnhFt}ns kliSiS÷-s`ô+jSÿ tsSkls`jS6ð ]ùJ÷ +Uø x}xcLjS^xs`eLiSbFyF\FiS_bFÔdqbFó/cFô txyFøB F÷obFò iScFñxcFòBUñ ñ÷ »ÿ /ø!øBõ*{^`yL^F}s`yFts`bF_FyFiSFiSyF FbFiScL^xeLtcrLyFiSScFiS_FyFiSbFpjSi~rLcFiS_FiSyDh6rF a6Ö^vkeLxbvV` rLi2´ cLxY ^~üq\L^xi~eLrKgSklcFsx^`iSj`eFi h64hWiD4¤ StScFY Lsx^ Y S¦j¤ SSs`Y tlLeLY ~i?¦}F6FiSaUi`eLiSb6UeL\LiD^`kltgL}FUcFyLb6^` jScFcFbFtcF_bFFt yFrLtljSrLb6tletj2cFFb6i`hn Y keLtlrLcFt/bFcFs`tyL^xeLt 4i~ cFi£p^St4=tcFbF0s`g£cF~eLt/b
ü
4* 4
* 3
*M
'
5
"
'
µ
2 m + πρa3 3
¶
dV (t) √ + 6πa2 ρη dt
β 0
tV
+ 6πηaV (t) = F (t),
β = 1/2. (11.4.3)
ªf6#xN1Òm[ x
=&>xx
+ ´ ^`a k¦ eLtl\LrL^SSklts`sgb6tpi<sxyF^UtS{ttyFc6iSb6jSh iS_ sStliSyFt4 }v eK^`jSrLcLiS^xj`h eLt^Ss`kljSbLiS8yDhFFts`sHiSsSUb6aD\FiStyFkla6iS\F^xhtcFcF¤ iDF4yFb t→∞ UyL^`jScFtcFbF¡kZtlrLbFcLkls`jStcFcFiS_ FyFv(t) iSbFpjS≡i~rLcFViS_2(t)rLyFiSScFiSiFiSySh6rLa6^ &¥ ÿ
÷
1 ##xx
as
β 0
UrLyLt ^`jSmcFtcF} bFbtOb ¤ SSβY LdY U¦§Fi`FeLyFit jSyLbF^`s`tleL^`gStcFsSkh>tvjOFiSiDSkls`i~\FhFcFcFiScFtZcFtSgSY ]s`^SiS4cFtiSs`jSbLiU}§yL\F^`s`jSicFtlFcFyFbFb tZrLβjSb6→tl1 cFb6h s`tleK^Fi~r>rLt_Lkls`jSbFt^`aFs`bFjScFiS_vklb6eF F (t) bvklb6eLkliSFyFiSs`bFj`eLtcFb6h −bv Y
76 ¢ X fyL^Skkf^`s`yFbFjD^`tsSk¨hp^xrK^\L^2i>L^xrLtcFbFbs`tleK^?j ^`sS4iDkqtyFtS}KiSFbLkl jD^`t4iSt]rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLg`cFz^`cL^xeLiSiDUyL^`jSc6tcFb6h qgS]s`iScL^ mβ
β
+ bv(t) = F (t),
(11.4.4)
' '
s| ~|
zz{
tv
ì,,~𳶷 ~|
Â,~
w
β 0
^~\L^`jkqFyFiDkls`t_F{ti keLU\L^xh?d iSsSklUsSkls`jSb6hvklb6eLkliSFyFiSs`bFj`eFtcFb6hn} mβ
^`jSs`iSy>Fi`eLU\L^`ts
mβ
b
tv
β 0
+ bv = mg.
tv
= mg,
(11.5.1)
mgtβ mβ Γ(1 + β)
v(t) = v0 +
x(t) = x0 + v0 t +
(11.5.2)
mgtβ+1 , mβ Γ(2 + β)
(11.5.3)
rLt v d cL^\L^xeLgScL^xh>klaUiSyFiDkls`gL} x d cL^\L^xeLgScL^xh?aUiSiSyDrLbFcL^`s~^FYFXb6rLcFiL}6\Fs`i FyFb f¤ ^xeL tFyF¤ tb < 1¦4rLyF¦iS}KSs`cLiS^x h rK^OFyFa6iS^`avbFpFjSyFirLbcLS^xi`hOeLrKgS^`{tlb6s? d?i`eLcFgS^`{iSDS
0
E
β
aFbFcFts`bF\FtklaU^xh>kliDkls~^`j`eFhF]^xh aUiSs`iSyFiS_ jSyL^xO^`tlsDk¨h \FtyFtpOu~bL4FeLgDk`|iSS\6 cFzkliSiSs`cFiS{tcFbFt Eβ = Kβ + U,
Kβ =
p2 . 2mβ
(11.5.4)
(11.5.5)
üqiDkls`i~hFcFcL^xh cFt?bL4ttsyL^`p4tyFcFiDkls`b£f^Skkl Y qs`iSS bL4tleK^yL^`p4ty6 cFFiDiOkljSs`yFg?t4cFttcFyFbn}FbFSmbn}¬eL^2b>bLbL4klFFi`eLeLgDgSkpiSSjD^`ecFFyFjSiSFyLiS^xyF FbFtiScFcLb6^xh eLtcvFyFiSbFpjSKi~rLcFiS_vaUiSiSyDrLbFcL^`s` ?=
β
β
pβ = m β
ν 0
t x,
Kβ =
mβ [ 2
ν 0
x] . 2
(11.5.6)
ª6M'>>x
+´
" +>
*'
ã
¤ SaUSiSY 6yFY iDSkl¦ s`g ¤ S`bFY UpY 4ªD¦§tcFbLt4cFtb6th sOjSb6cFr tyFbFbn}cL^`_6rLtcFcL^xh k bLklFi`eLgSpiSjD^`cFbFt qiSyL4e
rLt
dE mβ µv02 t−β mgv0 m2 g 2 t β = + + − mgv, dt [Γ(1 + µ)]2 Γ(1 + µ)Γ(1 + ν) mβ ν[Γ(ν)]2
µ=
1−β , 2
ν=
(11.5.7)
1+β . 2
^S4ts`bL}~\Fs`i]aFbFcFts`bF\FtklaU^xhcFtyFb6hs`tleK^zjSiSpyL^Sklsx^`tlsx}^zklaUiSyFiDkls`gzjSiSpl yLcFb6^Sklhnsx}Ö^`pcF^.b6hbLklFa6i`eLeL]cF\FiS_tcFbFcFttyFkbFeLb U\Ls`^xtlhneK}Ö^>aDcFiStO rKF^.yFiSjWFiScLyF^~ F\LbF^xiSeLcLgS^xcFeLgS_HcL^?4kliDaU4iStyFcFiDskls`jSbyFtt4i?tcFrLbHjSb6s`tleLtli FiSaUiSb6eFiDklgLm
· ¸ 1 m2 g 2 1 dE = − tβ , dt mβ ν[Γ(ν)]2 Γ(2ν)
v0 = 0.
üqyFb b qiSyL4~eL¢¤ SSY 6Y S¦}6¤ SSY 6Y D¦nbv¤ SSY 6Y ´`¦nFtyFtlDirFhFs jDiSyFiS{ibFβpjS→tkls`1cFtqmjS=yL^xmtcFb6h>a6eK^SkklbF\FtklaDiS_ 4tlU^`cFbFaFbnm
1
v(t) = v0 + gt, x(t) = x0 + v0 t + E=
gt2 , 2
mv 2 − mgx = const. 2
lk aUiSyFiDk[]sSb \Ftb s aUkliSb6iSeLyD£rLb6kliScLF^`yFs`iSs`bFLj`^xeLrLt^`cFZb6htFyFi bFFjSiOirLrLbFyFsZiSaOScFki`eL tlrFrLbLU ]qtbLyFtcFjS FbLyL^x^xeLgScFtiScF4b62hL p^`rFaUeFi`h cF?s`tleL^Fm v(t) = v0 Eβ,1 (−(b/mβ )tβ ) +
b
mg β t Eβ,1+β (−(b/mβ )tβ ), mβ
x(t) = x0 + v0 tEβ,2 (−(b/mβ )tβ ) +
mg 1+β t Eβ,2+β (−(b/mβ )tβ ). mβ
üqyFiD^`cL^xeLbFpbFyFiSjD^xj a6klFtyFbL4tcFs` k L^xrLtcFbFt {tkls`bH\FtleLiSjStak jS lrLk iSbLs` qtFyF tcF FDSbL, FyFbF{tleÎaÎjSjSi~rLS}W\Fs`i rLyFiSScFi` ^xeLgSqcFUs`_ iSjLF}irF^`DjSi~s`rviSy Fy6b klsxβ^`s`=gSb 0, 998 b cFt 6DtiSFb6 kljD^`tszaUklFtyFbL4tcFsx^xeLgScFtp^`jSbLklbF4iDkls`b x(t)}~m/m \Ftva6eK^S=kkl1,bF\F457tkaFbF_nYoüqyFbF\FbFcF s`iSi ^`jSs`iSy>cFtqFi~hLklc6hFts~Y ¾'
β
&¥
{f6#xN1Òm[ x # ܳ 76 ¢ ÷
s| ~|
zz{
1÷x$ §5x
1 # Æ
+´`
ÂÛ
ì,,~𳶷 ~¹
é|ð¶¶|
s`iSa6kiSüqjSi tyFkteK_6^`rFhH^`t4jWiSUtZyLb>^`jSrLcFiStDcF^`bFjSbbFj¤ SaFSjDY ^`LpY DbF¦UFiSyFsUklaDUiSyFiDklb6kls`eLbHS}FaFi`aUeLiSUiS\FySbLrL£bFcLU^`yLs`^`tSjS}§cFiStFcFDbFklt s`bFj '
Q
£
2 t
α 0
¤ + b x(t) = f (t), a, b > 0, α = 1 + β,
iSFbLkljD^`]ttrLjSb6tcFbFtZiDkl Fb6eFeFhFs`iSyL^F}DcL^xDirFhFtiDkh Fi~r2rLt_Lkls`jSbFtUFyFD kliSyF_tlr
klY b6§eLi2qb£UklcFb6aFeL Fb6h s`yFntyFcFbFb6cLh^ rFyFiSScFjSiSivyL^xs`ObFL^`^FtsS}
kUh>^`yL\F^`tyFaFts`ptyFqcFUiScF_ aFrF FeFbFhb j`s`hFbFpLaU^ iSvUFbFyFs`Usx^`bUl t ZeLtyL^j¤ ÑFY ÑFY D¦Y¬X Ñ fcL^`G(t) _6rLtcFi?rLyFUiStOttFyFtlrKklsx^`j`eLtcFbFtS}¬Si`eLtt~rLiSScFiSt rFeFhv^`cL^xeLbFp^Fm G(t) = G (t) + G (t), rLt $
+a
t
C i
G
1
2
G1 (t) = Ce−σt sin(Ωt + Φ), Z∞ rα e−rt dr a sin(πα) G2 (t) = . π (r2 + ar α cos(πα) + b)2 + (ar α sin(πα))2
Ly ^`jScFbLóFi`eLU\L^`t4t FyFb s`iD yFtpeLgxsx^`s` k,a6eK^SkklbF\FtklaFbL4b ¤ ν = 1¦ Y(üqyFb a − 4b > 0 b ν 6= 1 a6eK^SkklbF\FtkaUiStaUklFiScFtcF FbL^xeLgScFiSt p^`s`DU^`cFbFt]rLiSFi`eLc6hFtsSkh>Si`eLtt 4tlrFeLtcFcFiS_ aDiD4FiScFtcFs`iS_vkls`tFtcFcFiSiOs`bFL^ 0
Â
2
G2 (t) ∼
a sin(πα) Γ(α + 1)t−α−1 , πb2
t → ∞,
F iSyFiOrK^`t4iS_?rLyFiSScFiS_>FyFiSbFpjSirLcFiS_nY USjD^`]üqyFb t_ aFiv−4ba6klF
$G
!
zz{
²
³
Bç³´ç ¶ïé ç
î í.ç|æ
|³¶
X
ª6M'>>x
+´xª
" +>
ã
§.!0-bL%#k`QRYZN#S$7 S$Y 6%#m ?.D} )+Ø ^!$7# )!%+i«fo,+ !%5YoaV.!"6a(&*?+)+)&-%++KYo+.!%5"#.BÚ¨9+ñ :+;IHk 0-K+%+9+9#"$7 )Ø 0-N+9+ 7V5.!"½?+)%+Yo.!"#Úd%k&-O2 eLbF{gU\Fts`iDj`hFpaUiDkls`b?b>FyFtcFtSyFtl^`]s\6eLtlcL^S4bn}FU\FbFs`jD^`]bL4b>FyFtlrFzk s`iSyFbF(rLjSb6tcFb6hb¢FyFbLkliStlrLbFcFtcFcFU#f^SkklS}b¢\Fs`iHs`iFyFihFj`eFhFtsSkh¢FyFb klyL^`jScFtcFbFb yFtp~eLg~sx^`s`iSjyL^Skl\Fts`iSjkza6kFtyFbL4tcFsx^xeLgScFz4b2rK^`cFcFz4b ~6}Lª } ^`jSs`iSyF¢yFt{^`]sp^xrK^~\F?kZU\Fts`iD£j`eLb6hFcFb6h FyFtlrLzksSiSy6bFbnY üqi`eK^`l^xh>klaDiSyFiDkls`gOl^`p^ ý
Â
³
v (t) = v0 + Aω sin ωt,
>abvrLFyFtyFiStlSScFi~i`rF bFh cFavs`tSklyLaU^xiSeFyFgStcFcFiDbF4 WUyL(t)^`jScF=tcFVbF˙ (t)¡X}FiSi`cFeLbvgxs`FtyFyFyFbFjSirFÖhFs yFi~UrKyL^^`jSiScFs`cFtcFiDbFklbFtqs`rFtljSeLb6gScFiLtmcFb6h ¯Ò3Ò
W (t) + α
kZFyL^`jSiS_>\L^Skls`gS
2
Zt
2β W (τ )dτ + √ π
0
Zt 0
W (τ )dτ √ = f (t) t−τ
2β f (t) = α (v0 + Aω sin ωt) + Aω cos ωt + √ π 2
2
Zt
Aω 2 cos ωτ dτ √ . t−τ
qiDkls`i~hFcFcFt b klj`hFp^`cF
ü
0
α2 =
9η , 2 2a (ρ + ρ0 /2)
β=
√ 9 ηρ0 . 4a(ρ + ρ0 /2)
&¥
%h´ & ã $§_ã
Ì&x R
$ §_ ¬"ã"õ$5ôx&1ã>â
qyFtiSSyL^`piSjS^`cFb6t ^`6eK^Sk^ ü
+´´
1
ˆ (λ) = W
FyFbFjSirLbFsOa s`yL^`cLkqiSyLf^`cFs`tqjSb6rK^ ˆ (λ) = W
rLt
Z∞
e−λt W (t)dt
0
λfˆ(λ) √ = A(λ)fˆ(λ), λ + 2β λ + α2
λ1 + α 2 λ λ + α2 λ 2β A(λ) = − − λ1 − λ 2 λ − λ 1 λ − λ1 λ − λ1 λ1 − λ 2
rLtklg
λ1,2
d aUiSyFcFb>s`yFtl6\6eLtcL^
Ã
√ √ ! λ1 λ λ2 λ − . λ − λ1 λ − λ2
}FyL^`jScFt
(λ + α2 )2 − 4βλ p = [β ± β 2 − α2 ]2 .
] aUiScF\F^`sSteLgScFiStÖjSyL^xtcFbFt§rFeFhklaDiSyFiDkls`b\L^Skls`bF F }cFtFi~rLjSb6 cFiS_j]cL^~\L^xeLg` cF_v4iD4tcFsOjSyFt4tcFbn} λ1,2
V (t) =
bL4ttsOjSb6r V (t) =
Zt
W (τ )dτ,
0
"
p
1
Ã
# ! √ √ 1 eλ1 t erf( λ1 t) eλ2 t erf( λ2 t) p p + 2 f (t). − α β + β 2 − α2 β − β 2 − α2
ûÖs`iyFt{tcFbFt]rK^xeLtt]SeLibLklFi`eLgSpiSjD^`cFiqrFeFh>iS 6tcFaFb?FyFtlrLtleLgScFiSiyL^x rLbFDkl^a6^`FtleLgL}lDkls`iS_F\FbFjSZaaDi`eLtD^`cFb6hLY ^`6eFh kli~6yL^`c6hFtskljSiSUeLiSs`cFiDkls`g pcF^?t_ kl\Fts rLt_Lkls`jSb6hjScFUs`yFtcFcFb64i`eLtaF~eFhFyFcFklb6e
YTXc66s`yFtlcFcFttrK^`j`eLtcFbFtj FyFiSFiSyF FbFiScL^xeLgScFiFiSjStyS6cFiDkls`cFiD42cL^`sh6tcFbF σ } p 2
β 2 − α2
^kl\Fts rLt_Lkls`jSb6h?klb6eL
a
µT¶
=
r 4
27 ησ . 8 Aω 2 ρ2
(11.7.1)
+´x + ª6M'>>x 4]bn FYStcF©
a6^`^an}xFsx^zyFbOrL\LiS^Sj`kleLs`tiSs`s`jStqiS~yFzbFs`a tlneL gScFbi]pjSkliSUaUeKiS^SjSkliDS>tsSrKk^`hj`k§eLtcFaUbFklFb>t~yF bLz4rKt«cFsxq^xeLiSgSyLcF4z~4eK^b¤rKS^`ScFY ´UcFY~¦ rK^`ts>aFyFbFs`bF\FtklaFb6_WyL^xrLbFSkaU^`6eLb D>4aL}¬s`iS rK^?a6^`a aUklFtyFbL4tcFs FiSa6^`p jD^xeS4aLY - " >
"C
ã
'
Ä'
zz{
µ ð| ~~³
;| ~¹iæ¯
¸í
|
ï|.~¹iæ¯
]StbFpjStkls`cFiL}aU^`aFU#jD^x c66 yFi`eLgbFyL^`]s£jD^`yFbL^` FbFiScFcFtFyFbFc6 FbFF,jkliSjSyFt4tlcFcFiS_Bs`tiSy6ts`bF\FtklaUiS_!qbFpbFaUtSYqXjStlrLtcFbFtWrLyFiSScFFyFiSbFpl jSj i~yLrL^ScFkk4iSFs`iSyFptjScFi`bFeFt hFtcFs?taUtliScLtOkltSyFi`jDeL^`ts`tbFyLjS^ScFkl{t>bFklyFbLbFkls`s`gvt4k qVYtyFûÖvs`i.b6iDklFiSyFSbLt4cFtcFcFitcFcFb6thniS~}nDjSia6rLeLbL]4\Fi bFjj rLkljSyFtiSs`St cFFi`yFrLiSbL` eLtq8tyFtbFcFcF Fs`bLt^~yFeLFgSyFcFtiSsx_?^` F4bFtlb U^`rLcFbFbFcLaU^StS4Y bF\FtklaFb6>FtyFt4tcFcF Fty6t4tcFcF j üqyFiDkls`t_F{^xhWjD^`yFbL^` FbFiScFcL^xh.p^xrK^~\L^vjSeFh6rLbFskeLtlrLU]bL¡iSSyL^`piDY jSz4bvbvjSs`i` üqDkls`g2qUcFaF Fb6h yFz4b \L^Skls`cFz4b2L(q, FyFiSbFu,pjSv,irLt)cFzcF4tFb yFFti yFjDkljStcL.^OkljDjS4iStbLkl s`t^`klyFi26kl4jStiScFbLs~4^Sb F}Dt^ yF{q(t)} d8cFi` tkls`jSi qUcFaF FbF_ cL^ [a, b] kcFtFyFtyFjSc6z4b eLtjSz4b b FyL^`jSz4b FyFiSbFpjSi~rF cFyLz^`4cFbbF\FFcFiSzyS£h6rLDaUkiSeLj iSjSαbUhL∈ (0, 1] b β ∈ (0, 1] kliSiSs`jStsSkls`jStcFcFiL}n~rLiSj`eLts`jSiSyShF]b6 © FbFyFiStcLS^xSetsSk¨hWcL^`_Fs`b.sx^`aFU qUq(a) cFaF FbF=/q bF,p q(b) s`iS=ivqklt.4t_Lkls`jD^F}ncL^ aUiSs`iSyFiS_.qUcFa6 S[q(·)] =
Zb
(α)
a
b
(β)
(β) t qb
L(q(t), a qt , t qb , t)dt,
≡
t
β b q,
FyFbFcFbLf]^`StiSsOpcL^~a6\Fkls`bLyFWtf\Ft^xyFeLtgSp cFiStqpcLbL^~kl\FaDtiDcF4bFUtSBY qUcFaF FbF¡b FyFtlrKkls~^`jSbL a
q(t)
(11.8.1)
q(t)
jOjSb6rLt
rLt ² d.FiDkls`i~hFcFcL^xhn}fkliSiSs`jStsSkls`jSU]^xhjSSyL^`cFcFiS_qUcFaF FbFbklt4t_Lkls`jD^F}§^ t DkeLiSjSb6hL}6\Fs`Y4i XbFq(t)i`eLc6}Lh6qh.UrLcFyFaFiS FSb6cFhviSkqt cFrLbLeL tjSqtl η(t) 4bd2yL^`cFrLbFiS\Fj`cFeLzts`4jSb£iSyDShFk]eLiSjS^xb6h?hL4s`tb £η(a) yFqtUcFcF FaFbF FyFbFiSiSjDcL^`^xcFeKbF^FtZ}UqFi`UeLcFUaF\F FbLbF£b.t¤ SiOSY Fa6Y^`Sa ¦fb?q=UFcFi~η(b) raFK Fkls~bF^`¡j`=eFLh60^`h?yL^SyF4tpts`eLyLgx^ sx^`m sjjSyL^xtcFbFt]rFeFh ² q(t) = q(t) + ²η(t),
S(²) =
Zb a
(α)
L(q + ²η, a q t
(α)
(11.8.2)
(β)
+ ² a ηt , t q b
(β)
+ ² t ηb , t)dt.
&¥
!>x
ÅV"÷xxxx$§
# x&xx #5
$ô Â
Æ.â
+´oÑ
Æ.â
qtiS~Si~rLbL4iSt]DkeLiSjSbFtZa6kls`yFt46f^Os`iS_vqUcFaF FbFb
dS(²) = d²
Zb "
# ∂L ∂L ∂L (β) (α) η η+ dt = 0. η + (α) a t (α) t b ∂q ∂ a qt ∂ t qb
(11.8.3)
qo cFs`tyFbFyFiSjD^`cFbFtFi\L^SklshL¡FyFtliSSyL^`pStjSs`iSyFiS_bs`yFts`bF_bFcFs`tyL^xeF*a jSb6rL a
Zb a
Zb
∂L
(α) η dt (α) a t a qt
∂
∂L
(β) η dt (β) t b t qb
=
Zb à a
=
Zb
Ã
∂L (α)
∂ a qt ∂L
! !
a
α t ηdt
=
a
Zb "
∂L + ∂q
a
t
α b
Ã
α b
Ã
(β)
∂ t qb
t
β b ηdt
=
!
∂L (α)
t
α b
Ã
β t
Ã
a
qi~rKkls~^`j`eFh6h>6i`eLU\FtcFcFt jSyL^xtcFb6h>j¤ SSY FY D¦} ü
∂
Zb
+
a
β t
Ã
β t
Ã
Zb
a
a
∂L (β)
!#
∂L (α)
∂ a qt
!
!
∂L (β)
∂ t qb
ηdt,
ηdt.
ηdt = 0,
b U\FbFs`jD^xhqFyFiSbFpjSi`e jjSSiSyFt η }6yFb6Di~rLbL>aqrLyFiSScFiD4Z^`cL^xeLiSzUyL^`jScFtcFb6h ûÖ_6eLtyL^x ^`yL^`c6^Fm a
∂ a qt
∂ t qb
∂L + ∂y
t
∂L
!
+
a
∂L
!
= 0.
(11.8.4)
qyFb α = β = 1 iScFiFyFtjSyL^`^`tsSkh jiSS\FcFiStzUyL^`jScFtcFbFtûÖ_6eLtlyL^x ^`yL^`c6O^ ¤ cL^`FiD4[]cFyLbL^`jS}FcF\Fts`cFi bFt]¤ SS=Y FY Ud/dt ¦KeLt}FcFaDi]i iSS iSS=^`−d/dt) tsSkhqcL^zY keLU\L^`_qUcFaF FbFb ^`yL^`c6O^F} p^`jSbLk¨hFt_>iSsOcFtkaUi`eLgSaFb6?FyFiSbFpjSi~rLcF2aUiSiSySrLbFcL^`s` } ü
1 t
a
t
'
n
∂L X + ∂q j=1
(α)
∂ a qt
t
αj b
Ã
S[qj (·)] =
1 b
∂L (αj )
!
+
X
(β)
∂ t qb
∂ a qt
m X
a
k=1
βk t
Ã
∂L (βk )
∂ t qb
!
= 0.
qj (t)
³ ´ (α) (α) (β) (β) L q1 , . . . , qn ; a q1,t , . . . , a qn,t , t q1,b , . . . , t qn,b ,
UyL^`jScFtcFbFt6ûÖ_UeLtyL^x ^`yL^`c6O^FyFbFc6bLf^`ts jSb6rvklbLkls`t4UyL^`jScFtcFbF_ a
∂L + ∂qj
t
α b
Ã
Ä
∂L (α)
∂ a qj,x
!
+
a
β t
Ã
∂L (β)
∂ t qj,b
!
= 0,
j = 1, 2, . . . , n.
(11.8.5)
`S
3
e
zz{
³Û
ª6M'>>x
" +>
ã
毶·¸| ~ ~´ç,~| d.æ¹
t4iS_cL^S4eLtlbrLi`rLhOcFyLiD^`4StiSyFs`cFt iS_~kbL}xkliSs`FtyF4tlrLtlk§eLeKbL^` yLiS^`Sc6iS SbLt^`cFcFc6iDt}bLrL4iSFj`eLeLtgDs`jSklHiSyDyLhF^S]kkfbL^` s`yFUbFyLjD^`j`^x cFtcFbF*¤ SSY FY S¦}6kliSiSs`cFiS{tcFb6hL4b
*
b jSjStlrLt^S4b6eLgxs`iScFbL^`c
pα =
∂L
,
(α) ∂a q t
(α)
+ p β t qb
(α)
dH = pα da qt −
+
∂L
(α) q (α) a t ∂a q t
(α) a qt dpα
−
− L. (β)
+ p β d t qb
∂L
(β) q (β) t b ∂t q b
(11.9.1)
(β)
∂t q b
(β)
§i 6i`eLcF_>rLbL qtyFtcF FbL^xe bL4ttsOjSb6r H = p α a qt
∂L
pβ =
−
(β)
+ t qb dpβ −
∂L ∂L dq − dt. ∂q ∂t
üqi~^`rKyLkls~^`^`c6j`OeF^>h6h>¤ SklSY FrKY ^S¦§bLF4yFFtlrLeLgDrLkl¢UbFtp2iO¤ SFSUY ÑFcFY aF~sx¦§^Fb>}6FFi`i`eLeLUgS\Fp`bLhLklm gUyL^`jScFtcFbFtûÖ_6eLtyL^d
dH =
(α) a qt dpα
(β)
+ t qb dpβ +
h
(β) a pβ,t
i ∂L (α) + t pα,b dq − dt. ∂t
(11.9.2)
FbFiSb FiDFkltsxyF^`tj`4eFth6cFh cFs` iSsZq,yFptp, eLpgxs~, ^`t sZk§rLbL qtyFtcF FbL^xeLiD l^S4b6eLgxs`iScFbL^`cL^zaU^`aqUcFa6
α
dH =
β
∂H ∂H ∂H ∂H dq + dpα + dpβ + dt, ∂q ∂pα ∂pβ ∂t
LrFyFbLb6 DqirLtyFbLt cF FabL^xeLkgSeLcFtliSrLUi]rLjStb6_ tklcFbLb6klh s`ti4rLt# cFiD4l^St4yFcFb6iSeL_ g~s`kliSbLcFkliSs`jSt4 m UyL^`jScFtcFbF_ÎrLyFiSScFi` (α) a qt
(β) a pβ,t
=
∂H , ∂pα
(α)
+ t pα,b =
(β) t qb
∂H , ∂q
=
∂H , ∂pβ
∂L ∂H =− . ∂t ∂t
^`aOjSb6rLcFi bFp¤ SSY ÑFY S¦}~rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLg`cF_l^S4b6eLg~s`iScFbL^`cOcFthFj`eFh6 tsSkhWbFcFs`tyL^xeLiDrLjSb6tcFb6hWrK^xt2jkeLU\L^`tS}
tkeLb.eK^`yL^`c6 bL^`cWc6t?p^`jSbLklbFs iSsOjSyFt4tc6b>hFjScFiLY ðjD^BFyFbL4tyL^ 6yFbFjStlrLtcF j ~ u Y üqtyFjS_/di~rLcFiD4tyFcL^xh klbLkls`tf^ eK^`yL^`c6 bL^`cFiD L = [ q ] /2, 0 6 t 6 1YzXs`iD keLU\L^`tiSSiSStcFcFt q *
(α) 2 0 t
;:
[x I R &x
` F bL4FeLgDkl }fl^S4b6eLg~s`iScFbL^`c }fa6^`cFiScFbF\FtklaFb6t UyL^`jScFtcFb6h p q = = qp ,, qp ==00 Y rLtklg β FyFiSbFpHjSi`eL=gScFpiL}¬/2FiSs`iD4 iSaUiSc6\L^x s`tleLgScF_ yFtpeLgxs~^`s 4i~ cFiOp^`FbLk^`s`gOjOjSb6rLt q Y Xs`iSyFiS_HFyFbL4tynm L = h q i /2 + h q i /2 + q q Y rLtklg p = q rLjSb6tcFb6h bL4+tts q jSb6r, p = q + q } H = p /2 = p /2 bWUyL^`jScFtcFbFt 5"â$ #&5xx
&¥¦
(α) 0 t
α
(α) 0 t
(α) 0 t
α
?>
³
" §
(β) t
§
2 α
+
t
(α) 1
毶·¸| ~|ï
(α) (α) 0 t 1 2 (α) t 1 t
2
(α) 0 t (β) t 1
β
0
â
β (β) t 1
α
(β) t 1
e
zz{ z
&â 1
(α) 0 t
´³
(α) (α) 0 t t 1
2 α
(α) 0 qt
(β)
+ t q1
ì| 泶
æ
2 β
´
= 0.
¶
|³¶
X ~ LyL^Skk4iSs`yFtlc b2keLU\L^`_ cFtFyFtlyFjScFiS_2klyFtlrLda6eK^SkklbF\FtklaDiSi Fi` Fe h φ(x, t), a 6 t 6 b, c 6 x 6 dY §i.eK^`yL^`c6 bL^`c¤ s`iS\FcFttS}Ö6eLiSs`cFiDkls`g eK^`yL^`c6 bL^`cL^F}LcFi>keLiSjSi.u~6eLiSs`cFiDkls`gL|?4¡rFeFhaFyL^`s`aUiDkls`biSFDklaU^`t§¦zkli~rLty6 bFs>j?a6^\Ftkls`jStO^`yF64tcFs`iSj?\L^Skls`cFtFyFiSbFpjSi~rLcFtiSs φ a6^`aFi>aUiSiSySrLbFcL^x sx^S}Fs~^`a b FiOjSyFt4tcFbnm ¯ *
(α)
(β)
L = L(φ, a φt , t φb , c φ(α) x ,
iSiSs`jStsSkls`jSU]bF_>t4?^S4b6eLgxs`iScFbL^`c>bL4ttsOjSb6r (α)
H = πα a φ t
(β)
+ πβ t φ b
− L,
πα =
(α) x φd ).
∂L
, πβ =
(α) ∂a φ t
∂L (β)
.
« tyDhiSs cFtiFi`eLcF_ rLbL qtyFtcF FbL^xe
} FirKklsx^`j`eFh6h 6eLiSs`cFiDkls`bbL4F~eLg` kliSj
(α) a φt
=
∂L (α) ∂c φ x (β) a πβ,t
∂H , ∂πα =−
(α)
+ t πα,b =
(β) t φb
∂H (α) ∂c φ x
∂H + ∂φ
c
(α) ∗(α) a φt a φt
∂H , ∂πβ ∂L
,
XplhFjeK^`yL^`c6 bL^`c>Fi`eFh>jOjSb6rLt L=
=
(β) ∂x φ d α x
∂L ∂H =− , ∂t ∂t =−
∂H ∂
(α) x φd
+
∂H (β)
∂x φ d x
β d
, ∂H (β)
∂ c φx
∗ 2 2 ∗α − c20 c φα x c φx − µ0 c0 φφ ,
.
ª6M'>>x
` D b cL^`_6rFh>a6^`cFiScFbF\FtklaFb kliSFyDh6tcFcFt bL4FeLgDkl ∗(α) , a φt
FyFb6DirLbL£a l^S4b6eLg~s`iScFbL^`cF πa =
(α)
πa∗ =
, πβ = 0,
(α)
" +>
(α) a φt ,
ã
πβ∗ = 0,
∗(α) + µ20 c20 φφ∗ . − L = πa πa∗ + c20 a φ(α) a φx x
+ πα∗ a φt
üqi~rKkls~^`cFiSjSa6^ti j2a6^`cFiScFb6\FtklaFbFtUyL^`jScFtcFb6h FyFbFjSi~rLbFs avUyL^`jScFtcFb6hL£rLjSb6 tcFb6h H = πα a φ t
πα∗ =
∂H = 0, ∂πβ
(α) a φt ,
πα =
∂H = 0, ∂πβ∗
∗(α) , a φt
b −c ð jD^'FiDkeLtlrLcFb6 UyL ^`jScFtφcFb6hà 4i~ cFiφ yL^Sk=kfµ^`s`cyFbFφ.jD^`s`g 6a ^`a rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFtZiSSiSStcFb6h Bô /öoñxòBñ 0 ò ñ ¦x÷-ô ÷7ñ ~ Y t
∗(α) α b a φt
− c20
(α) α b a t
t
x
2 0 x
β ∗(β) d a φx
= µ20 c20 φ∗
β (β) d a x
2 2 0 0
@
Ç4 1
""M
³ 0M
5
*
}, î
S Y /ñ vtlU^`cFbFaU^FYUd WY m ^~Ua6^F}TÑSSFY 6Y7[(Ëe« # No Y zqI YNn 2F YL¸¤n} SªÑ>¤ Ñ#´ U¦lY FY ö òBñ ÷ taF FbFbvFi?s`tiSyFtlsSb6\FtklaUiS_4tlD^`cFbFaUtSYLd WY m bFpf^`sx eLb6sx}K`SD6Y L7Y ¨r+W2V µZaAq² du I H I F Y
éd { ÂÅ I d¾p I 2I m ~ n ;F F }¬ ÑÑÑFY 67Y [?_+fGV Xs´ m jrKYe;` « ¨ d\ N¯LY ~ LNL Y z YK¶¬¹K}K/ Ñ ¤ ÑS U¦Y ªFY /ñ S vtlU^`cFbFa6^klUeLiS{cF klyFtlr
Y d WY m
o ©© }
ÑD L}6k`Y¬~`FY ´UY ð ò ñ¢÷ >ðbFcL^S4bFa6^Oj`hFpaUiS_vcFtk¨ bLf^`t4iS_ b6rLaUiDkls`bnYLd WY m Ui` kls`tFb6plrK^`sx}¬ ÑDS6Y F7Y Àm_kÍ Nn 2F ~ T¶L·n}¬ ÑÑ>¤ `SDS¦Y ÑF Y £Ë gN_TeXZY² ]Í XZª"(X³ { I ? +F K´n}FªF ¤ `S U¦Y F Y ¥rKY XZaQ(r ´ ¼m n I 2O±FIMÄw ZI Ku J F°I z NI NF qwL u I F |xYUd }TI ÑSSªF} n4YKI `2 FÑFNY IGL ³ù 5*4ù¬J J 9ù "9Ú"<Ù.J ÇJ"G
'
©J
N
"
wJ #J
¬
1
$
R
.J 1J
$Y
P"S3T &V
('
QR
%+
Z U
&V" &V
('
ÇJ¬G
ªG
-J J
-J #J
KZ S(V
*'
T Z V&3T S(Y
³ù 5*4ù¬J J ù "9Ú"<µÙ.J C © ' :&
"
G
J $Z S&Q3T &V"S(Y Q S&1 X-TÝQ 9Z J 9J
BG
G
C
R åTÝQ S ªÜ
J
#J
&V$Y T V$ S Z
Z X
JÒ V 9Z $Q0 TÝV 03R 1 .S(V" Q0TÝS(Y
V"S(X-TÝQ
Q &V" P$V"Q3T &V
Ü
('
Ò
V 3 Z " V S3T &V"S(Y BÐ S Z " V S
Z U åR
1õ
&
¸J .J
ÂS3R
.J ÇJ
ÂS3R
V"S(Y åT .S(V"
'
È Ú
¬4&<
-J
5 ""
J
V"S(Y
-J J $Y Ü
J iJ
(
$
$Y
J #J
-)
1" -J -J
¸+qÜ
"2.IJ -J
Ù.J J
G
J J
R$ X
V
$ &
#J J
('
J
ís\ït\ r
· m
cqh
Ð u
ß5Ö è Ñ ã {Ö t ß
jgwpyx
& X#\6bLkeLtFtyFjS¡yL^`SiSs~}ZjaDiSs`iSyF¡bLklFi`eLgSpiSjD^xeKkh¡^`FL^`yL^`srLyFiS` cFvFyFiSbFpjSirLcF>rFeFhiSFbLk^`cFb6hvj`hFpaUiSUFyFUiDkls`bn}KkeLtlrL`ts?UaU^`p^`s`g2yL^`SiSs` wY OY UtyL^SklbL4iSjD^ }DcL^\FbFcL^`]UZkh?klikkleLaFb?cL^ UyL^`jScFtcFbFtZ«i`eLgS Lf^`cL^FY ð^xeLttZiSc FbF{tsFm u ûÖa6klFtyFbL4tlcFsx^xeLgScFtvbFkkeLtlrLiSjD^`cFb6h£FiSa6^`pjD^`]s~}4\Fs`i.iDkliSSiSlijScFb6 aUfiO^`cFcLb6^ShkeLptl^SrKkkleLs`DjS tcFbFcFjDiS^`_>ts\L\L^S^Sklkls`s`b cFcF^`_FjSyDb6h6rts`cFiSb6hniz} UyL^`jScFtcFb6hn}~kliSiSs`jStsSkls`jSU]bF_ s`i`eLg` z±{ z
C
}|, ~|ï çB
¸í
0
σ(t) =
Z∞
G(τ )ε(t − τ )dτ.
qtO4tcFgS{bF_bFcFs`tyFtkFyFtlrKklsx^`j`e6hFts>sx^`a6tOs`iSs keLU\L^`_n}TaUiSrK^?cL^`FySh6tcFbFt p^`jSbLklbFs iSs jDkltlOFyFtlrL{tkls`jSU]b6¬}ScL^xrFeLtlO^`bL iSSyL^`piDjSpjStl{tcFcF σ(t) prLcLt^q\FiStyLcF4bFbF_OyFkiSaUjDiS^`yFcFiDb6klh?s`tp_^`jSrLbLtklqbLiS4yLiDfkl^`s` FgObF4bntl}OcFiZrL cFtÖrLb tqiSyLf^` FbF_nYð eFhsx^`aFbUFyFiS FtkkliSj 0
σ
σ(t) =
Z∞
ε
K(τ )ε(t ˙ − τ )dτ,
tkeLb iSlyL^`cFbF\FbFjD^`s`gDkh?s`i`eLgSaUiOcL^SkeLtlrKkls`jStcFcFiS_>\L^Skls`gScL^`FyDh6tcFb6hnY | jSbFs`g kl]j`hFsSp4g ts`4bLtlO}8rL\Fs`cLi^`bLF4yDh6tcFcFticFbFts`
`Sª
" +*Ã
&x 7
Å,§ ã>1õ
(õ
1
kls`Uj Ft4cFiD\L4^`s`tcFiS_Ws`! jSUyFcFta64 FtbFcFtb _n}
p^xb rK^`cFcFiSY _ üqklyFaUbF^~`\FeLaUb6iSiSS^xyLh.^x6pcFeKz^`jS4cFbU/FyFpbF^`yLjS^`bLklbLtcF4b6iDhLkls`4g b ε(t) Fi`eLgSp`hLklgFy6bFcF FbFFiD£eLbFcFt_FcFiDkls`bn}FFi`eLU\FbL∆ε(t £bFcFs`)tyL^xeLgScFU¡kl6f4 t
t−τ
FyFb
j
σ(t) =
X
FyFbFcFbLf^`]UBjSb6r
tj
∆tj → 0
σ(t) =
Zt
j
K(t − tj )∆ε(tj ),
K(t − t0 )dε(t0 ) =
Zt
K(τ )ε(t ˙ − τ )dτ.
s`i]jD^x qcFyFzi~rLi`}eFF iSs`bLiD4q FbF\Fs`s`bFi]yFiSiSSjD^`cF\FbFcFtOiFyLyF^`SbFiSiSs`yF bFs`6ts]tyLj]^SklkiSbLpl4rKiS^`jDcF^ bFb ¤¥4bcFyLtO^`FpyFjStlbFrKs`klbFsxb ^`rLj`eFyFhFiStSsScFk¨i`h rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiS_4i~rLtleFb j`hFpaUiSUFyFUiDkls`bFyFbFFbLkljD^`]s ^`jSs`iSyL^SHSi`eLtt FiSplrLcFb6u ? F^SUk`eLeLtlrKbFkla6s`^`jS FtbFcF_KcL¦^xY hqUcFaF Fb6h¢rFeFhcFtaUiSs`iSyFf^`s`tyFbL^xeLiSj¡¤ jSi`eLiSaFcFb6 kls`iS_vkls`yFUaFs`UyF]¦ÖrLi`eF cL^ObL8ts`g2jSb6r 0
ü
0
ªC
rLtqFiDkls`i~hFcFcL^xh
K(τ ) =
A>0
A , τα
b α eLtl bFs24tlOrL?cFeLt£b tlrLbFc6bF Ft_nYxüqi`eLi bFjOtlt A=
κα , Γ(1 − α)
rLtFiDkls`i~hFcFcL^xh p^`jSbLkbFsiSs£kljSiS_Lkls`jjSttkls`jD^.b Γ tkls`g£_6eLtyFiSj bFcFs`tyL^xevjSs`iSyFiSiκ yFi~>rK^F}60Fi`eLU\FbL α
κα σ(t) = Γ(1 − α)
Z∞
ε(t ˙ − τ) = κα τα
α 0
t ε(t),
0 < α < 1.
nûÖUs`a6iv^FeL}6bFFcFyFtb _FαcFiS=t?kl1iSd iSs`jOcFiSp{^`aUtiScFc bFt2qgS4]tlOs`iSrLcL ^εrFeFb h σjScF6UyFs`b yFtαcFcF=t0iOs`iSyFSyLtcF^`b6hn^`| tsSk h.Y jvp^`aUiSc cFbLf^`ts©
^`FaFy6bLiD4tliS SyLUs`^`iSpiD\FcFiS}StZj`hFFpi`aDeLiSi~UFtyFcFUbFl^xtZh24kltlyFOtlrLrK2^j`jhFiSpFaDyFiStl_?rLcFtleLtUtcFFcFyFiDU.iSiS_2s`b>cFiS^`{Dklti`cFeLbF]b2s`pcF^xi UFyFUiS_>cFtj`hFpaUiS_>f^`s`tyFb6hL4bn} ½ ¤ p^`aUiSc nUaU^D¦ Eε(t), ¤ p^`aUiSc qgS]s`iScL^D¦} σ(t) = (12.1.1) ηdε(t)/dt, bvqiSyL4eK^ C
0
0
C
σ(t) = κα
α 0
t ε(t)
0!
(12.1.2)
ªf6#xN1Òm[ x
` #´ 44i~bnY+üqtsOyFb yL^Skkf^`s`iSyFcLbF^ZjD^`rKs`^`gDtks h?pa6^`^`aUa>iSc jSiSqpgS4]i~s` iScFcL^F}`_ FklyFFb iDkliSbFcFds`tpyF^`FaUi`iSeFc hFn FUbFa6bv^F4YSqtlOiSrLcFt?\FcFcFb6iL } s`i£cFt tlrLαbF=cLkl1s`jStcFcF_klFiDkliSbFcFs`tyFFi`eFhF FbFbn}αb¢=s`0iSs ^`aFs~}\Fs`iHkls`tFtcFcFiS_ pbF^`aDyLiS^`c tsOqplrFUts`kls`gObFcFyFlt^£{kl^`j`]hFp^`Uc<¡kyFi`yFeLtgL{Y tcFbFt/UyL^`jScFtcFb6h
Z6³
1 ##$§Çâ5 #
÷
"ã$1 #
C
¯
1C
D
+
G
G C
D
*
G
s| ~|
z±{3±
æ|,ÂE¶·
ì,,~𳶷 ~³
çBïE¶¶
G
&É
BC ¯G
σ(t) + τ
t σ(t)
= Eτ
t ε(t),
τ > 0,
Fi`eLi bFjS{ttOcL^\L^xeLivkliSjSyFt4tcFcFiS_ qtcFiD4tcFi`eLiSbFbj`hFpaUiSUFyFUiDkls`bnYT[]yL^`j` cFtcFbFt?s`iiSFbLkljD^`tsvFiSjStlrLtcFbFt?klbLkls`t4 }4kliDkls`i~hFt_WbFp?6iDkeLtlrLiSjD^`s`tleLgScFi kliStlrLbFcFt¦ÖcFlcFeFt4tUcFFs`yFiSUj iS¤ FyFiWD¤¥ k2bF4cFi~¢rLb2eLtrLt4ULFqyFtUyL^DiD¦zkls`¤«bý§bLEk`Y¬¦q~bW6Y j`~hF¦YpaUiSiSyLiWf¤¥^xkOeLj`gShFcFpiSaUtziDiSklSs`iSgS` η = Eτ p^St4cFtbFcLt^S4s`b iS_ 4irLtleLbcL^2rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeFgScF_vs`bF F} 8rLiDkls`bFl^`tsSk¨h $+ Ñ '(
τ
tσ
7→ τ α 0
α t σ(t),
τ
tε
7→ τ β 0
β t ε(t);
0 < α, β < 1 :
`S
" +*Ã
&x 7
Å,§ ã>1õ
(õ
1
σ(t) = Eτ ε(t), ý4t{tcFb6ts`iSiWUyL^`jScFtcFb6hHiSs`cFiDklbFs`tleLgScFiWcL^`FyDh6tcFb6h
(12.1.1) F F y b p x ^ rK^`cFcFiS_ pbL^`4jStbLtklsObLjS4b6iDr kls`b2rLtqiSyLf^` FbFb ε(t) iSsjSyFt4tcFb.¤ ε(t) FyFb t <σ(t) ¦0kliSeK^SklcFi ¤jÑFY ÑFY ~¦ σ(t) + τ α
rLt üqyFb
0
α t
σ(t) = cG(t) + Eτ β
β
Zt 0
β t
0
G(t − z)
0
β z ε(z)dz,
G(t) = (tα−1 /τ α )Eα,α (−tα /τ α ). α=β=1
cFÖkeFeLhb rLrLi]tqjStliSeLyLbFf\F^`bF FcFb6 h εε(t)biDjkl4sx^`iDt4sStk¨cFhspjS^`yFs`ttv4tFcFiDb kls`ti~=hFcF0cFkliSaU_n^~}\FqaUUiScFiSaFS FyLb6^`hplcFni y64bFtcLc6^hF¤t~sS6kYh26Y iS~s ¦ rK^`tsOiSS\FcFU¤ rFtD^`tjDklaFUq¦ÖyFtleK^`a6k^` FbFcL^`FyDh6tcFb6hnm G(t) = (1/τ )E1,1 (−t/τ ) = (1/τ )e−t/τ .
(12.2.1)
C
0
σ(t) = ε0 Ee−t/τ .
§bLk`Yn~6Y Sm J 2,#&-9+:6A.!?/0-Y7&-9+95.`ñ ý
7x cFiSjD^`cL^]ðcLyF^qUlL^x^`hvyL^xFeFiSeLFtl~eLeFgShFcFyFiDcL ^xhvkliSa6tleKrL^SbFkc6kltbFcF\FbFtb kla6F^xyFhD 4ibFrLcFtleLg2bOd³rLtÿ4÷ L7qò xtyLú0^ J ¤«ý§ò xbLú+k`ö YL~ñ 6OY Sd>¦Y iD§kt z±{åä
76 ¢
s| ~| æ|,ÂE¶
ì,,~𳶷 ~|ì| |
l,~
}E¶·ï ~
5 /
aUiScLkls`bFs`Us`bFjScFiStq6yF^`jScFtcFbFtqbL4tts jSb6r
/
b¡piD iSSiS Sm^`tsSk¨hcL^HrLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLg`cFU 4irLtleLg¢keLtlrLU]bLiSSyL^x σ(t) = E [ε(t) + τ
t ε(t)]
H *
h σ(t) = E τ α
0
α t ε(t)
+ τβ
0
β t ε(t)
i
, 0 6 α < β 6 1.
#Jxx
`Ñ
*Ã$¥ òU
,+x(5$§_â> #Ǭ
^Skls`cFiStZyFt{tcFbFt s`iSiOUyL^`jScFtcFb6h =
1 ε(t) = Eτ β
Zt
£ ¤ (t − z)β−1 Eβ−α,β −τ α−β (t − z)β−α σ(z)dz.
qi~rKkls~^`cFiSjSa6^klrK^ α = 0, β = 1 jSiSpjSyL^`^`tscL^Sk>j.yL^S8aFbklsx^`c6rK^`yFs`cFiS_ jS4iSi~prFcFtlbFeLaFb{qttZtleLcLgS^`jSFbFyDcLh6^F}Ötj£cFbFaDt iSsSσiSy6jSiS_¢pkla6jD^~^`\FtaDsiSrLiStSqyL^`iSpyLcFfi<^` F¤ jHbF 4iD8tcFsjSyFt4tcFb t = 0¦ 0
ü
0
ε(t) =
´ σ0 ³ 1 − e−t/τ , E
a6kFiScFtcF FbL^xeLgScFiFyFbF`eLb6O^`]UZk¨ha l6aDiSjDklaUiD4/FyFtlrLtleL Y t→∞
σ0 /E
}2FyFb
§bLk`Yn~6Y 6m J 2,+&-9+:D &-9+:Y%+5.`ñ ý
Ø
z±{/ë
, ~B ~³æ|.ÂE¶·ln.y| |
l,~
^~\Ftkls`jD^ iSStb6Wa6eL^SkklbF\FtklaFb64i~rLtleLt_~rK^\FcFi kliS\Fts~^`]sSkhj kSt4t t cFtyL^F}FaUiScLkls`bFs`Us`bFjScFiStUyL^`jScFtcFb6tj2aDiSs`iSyFiS_vbL4tts?klbLf4ts`yFbF\FcF_iSs`cFi` klbFs`tleLgScFiOcL^`FyDh6tcFbF_ b>rLtqiSyLf^` FbF_>jSb6r
m
Ösx^ s`yFtlU L^`yL^S4ts`yFbF\Ftkla6^xh4irLtleLg?c6iDklbFs?cL^`pljD^`cFbFtøBù oñ *ôxùJñ÷ ³ÿ÷ 7ò LY §7ò tÖxrLúUyF¦ iSSª c6}Ui`iS rLFbLbLkl qjDt^`yFttsScFkh2 FbLaU^xiSeLcLgSkcFsSi`b6t§sSUiSSs`iSbFSjScFztcFbFUt]yL¤Ò^`þ>cFòBùJtcFõbFôtòÀk]ó rL*yFô iS!ÿScFòBzù4ô b?þ5Fò!yFø iSbFDpjSÿi~rF÷ cFz4b i~rLbFcL^`aDiSjSiSiFiSyDh6rLa6^ α ¤ \Fts`jStyFs`_ L^`yL^S4ts`yK¦m σ(t) + τ
û
5 /
t σ(t)
= E [ε(t) + θ
t ε(t)] ,
- 5* È" 1
(12.4.1)
*M
5 / 0 *
σ(t) + τ α
α t σ(t)
= E [ε(t) + θ α
α t ε(t)] ,
qo cFs`tyFFyFts`bFyF`h£L^`yL^S4ts`yF b aU^`a£jSyFt4tcL^s`t4FtyL^`s`UyFcFyFtl eK^`aUk^` FbF_FyFbFiDkls`ihFcFcFiD cL^`FyDh6tτc6bFbθbFiDkls`i~hFcFcFiS_ rLtqiSyLf^` FbFbkliSiSs`jStsx kls`jStcFcFiL}T^ E a6^`abFpiSs`tyL4bF\FtklaFbF_ 4irL~eLgL} tcFtyvrK^xes`tyL4irLbFcL^S4bF\FtklaUiSt 0
0
0 < α < 1.
(12.4.2)
/ ÑS + > &x 7 rLiSSiDvklcFs`iStljSe^`cF¤¥4bFttsxkl^xs~eF^`eLc6iSrKjU^`¦ yFs`´ cFYiSð_ jD4^Oi~rLiDtlkleLcFbiSjSj?cFyL>^S4Ua6yL^x^`vjScFs`ttcFiSb6yFhvbFbs`ts`yLt4yL4iSUiSFUyFFUyFUiDkliDs`klbs`bklj`s`hFjSpty6 jD^`]s>iSs`a6eLiScFtcFbFtOs`t4FtyL^`s`UyF iSs>tt yL^`jSc6iSjStklcFiSi?pcL^~\FtcFb6h.kcL^`FyDh6 s`tlteKcF^ bFtb?rLtqiSyLf^` FbFt_n#Y üqtyFjSiSt]δTbFpZcFb6>klj`hFp^`cFik]s`t6eLiSjSzWyL^Skl{bFyFtcFbFt 1 (12.4.3) ε = σ + λδT ¤ λ d.eLbFcFt_FcF_aUiS qbF FbFtcFs.s`tUEeLiSjSiSi.yL^Skl{bFyFtcFb6hK¦YÖXs`iSyFiStviSs`yL^xO^`ts rLyFjStleKt>^`FaUyFk^`bF F\Fb6bFhKcF¦ bFp4tcFtcFb6hs`t4FtyL^`s`UyF mfs`tyL4i~rLbFqUpbF#¤ s`t4FtyL^`s`UyFcL^xh µ ¶ " *Ã
Å,§ ã 1õ
(õ
1
dδT dt
=−
bv^xrLbL^`D^`s`bF\FtklaDiStZbFp4tcFtcFbFtqrLtqiSyLf^` FbFb rLt
µ
diff
¶
dδT dt
1 δT, τε
= −γ
(12.4.4)
dε , dt
YLXyFtpeLgxsx^`s`tqFi`eLU\L^`tm adiab
γ = (∂T /∂ε)adiab µ ¶ µ ¶ ¶ µ 1 dε dδT dδT dδT = + = − δT − γ . dt dt diff dt adiab τε dt
(12.4.5)
qi`eK^`l^xh 1 + λγ = τ /τ b bLkla6eL]\L^xhvbFp UyL^`jScFtcFbF_W¤ ~6Y LY D¦Öb¤ ~6Y LY U¦Ö\6eLtc kZbFp4tcFtcFbFts`t4FtyL^`s`UyF δT } tcFty>b FyFbF{tleva UyL^`jScFtcFbF/¤ ~6Y LY S¦Y tklU~rFbL^S4 t c6Uh6ph.b6iSUcFyLcF^`jSiScF_?tyFcFtlbFeKtv^`aU¤ ~k6^`Y FLbFY Ub ¦zrLyFiSScFi` rLbL qtlyFtcF FbL^xeLgScFz<UyL^`jScFtlcFb6 ü
'
σ
ε
' ' '
' '
α t δT
1 δT, τα
=−
0 < α < 1,
2Y ^`_FcL^`ySrLb Fi`eLU\Fb6e jD4tkls`i¤ ~6Y LY S¦§UyL^`jScFtcFbFt 0
+
"G
α t δT
'
1 δT − γ τα
α t ε,
\Fs`iqbFyFbFjStleLiqarLyFiSScFi` rLbL qty6tcF FbL^xeLgScFiD4qiSSiSStcFbFklsx^`c6rK^`yFs`cFiS_O4i` rLtleLbW¤ ~6Y LY S¦}UjOaUiSs`iSyFiDbLklFi`eLgSpiSjD^`cFikliSiSs`cFiS{tcFbFt 0
=−
0
'
4 b yFtleK[]^`yLa6^`k^`jS FcFbFtcFb>bFb tOFs`i`bFeLLp^.U\F¤ ~t6kls`Y LbnY S}6¦jSFjDt4yFtjSkls`t2tqkFyFjStlrFs`eLtiaU^`tZcFi bL 4^`b.FUbFs`pOiOcFb tiv^`q_FUcLcF^`aFyS FrLb6b h6j Ñ#´U >k2bLklFi`eLgSpiSjD^xcFbFt¢rLyFiSScF.FyFiSbFpjSi~rLcFW ^`FUs`i ªF}8 aU^`a4Fb6 yFa6bFkl\F6ttklyFaUbL^x4h
'
>
9+
G
G
ÂC
('
_
h6>
*Ã$¥ ÿ
z±{
2 N1.¨ x # © =6T
#ö.¨ R
|,ÂE¶·
/ÑF
& ã
µ
K¶
Á| ï ç
F yFtlrLtleKüq^SyF4i~b rLiSi`FeFbL kbF^`jcFcFyLiS^`pi jSbFjSs`bF{tftrLyFiSiSSSiScFSi` trLcFbLb6 hOZkltsxyF^`tc6cFrK F^`bLyF^xs`eLcFgSiScF_2i`4_ i~qrLttlcFeLiDbn4}D«tcFi` eLeLiSb b2bFbq©npi`^ yFjSbFaHjSplh6eLbUyL^`jScFtcFbFtkvyL^`pleLbF\6cFz4b<FiSySh6rLa6^S4bHrLyFiSScFFyFiSbFpjSirLcF rLtqiSyLf^` FbFb>b cL^`FySh6tcFb6hnm σ(t) + τ β
β t σ(t)
= E [ε(t) + θ α
α t ε(t)] .
eLtlrLxh£yL^`SiSs`t }
jSiDklFi`eLgSpStfk¨hWFyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFt ^`6eK^Skl^k?4cFbL4z L^`yL^S4ts`yFiD λ = iω m
0
Â
fb(iω) =
Z∞
0
(12.5.1)
e−iωt f (t)dt.
XyFtp~eLg~sx^`s`tqsx^`aUiSiFyFtiSSyL^`piSjD^`cFb6h2Fi`eLU\FbLm 0
b σ b(iω) = E(iω)b ε(iω),
rLt
1 + (iωθ)α b E(iω) = E 1 + (iωτ )β
daUiD46eLta6klcF_4i~rLeLgLYüqyFbWiS\FtcFgvcFbFpaFb6.\L^Skls`iSsx^x E(iω) bf^`s`tl yFbL^xevjStlrLts klth aU^`av^`Dkli`eL]s`cFiOUFyFUl^xhn}6b6rLt^xeLgScL^xh>yFtbpbFcL^FY→üqyFb>E jSzkliSaFb6 \L^Skls`iSsx^x s`yL^`cLkl iSyFf^`cFsx^ E(iω) bL4ttsaDiScFt\FcF_?FyFtlrLtle s`i`eLgSaUiWjkeLU\L^`t α = β }ÖbyL^SrK4^`tcFs`cFyFz 4bn4}Fi~FrLyFtleLbFbjStlrLrLti`cFeFcF zcF4 b Sj s`g jSY ttkls`jStcFcFz4bn}fcFi b£FyFbs`iD iSUcFyLbv^`jScFcFttcF4bFiSbUjSs2\FSbLks`eLg2tcFFb6yFhiSb6rLpi`jSeFi` eLgScFcFzrK4^`bnjDmL^`iDs`klg]cFcFiStjDiS^`s`cFyFcFbF Ltq^`s`cLtl^ eLgScFs`iDUHaUjSiScFcLUkls`s`yFbFts`cFUcFs`]bFHjScFyLiD^x SiSs`bcFtiSs`yFbF L^`s`tleLgScFUklaUiSyFiDkls`gZrFbLkklbFL^` FbFbOcFtyFbFbnY qs`iSSDkls~^`cFiSjSbFs`g rLjStleLs`bnt}La6^`«]eLb6b tbviSsS©nkliSyFrKjSbF ^ a ùAyLòÀ^Sô+kÿk÷4iSs`ñ yF!tlÿ eLb þ>klò!bFø cFDxklòeiSb6÷ rKô ^xoeLñ gScFþ>UòBñ rLvt cL^OiSyFLf^`^`yL F^SbF4 ts`yF¡4i` α
β
α−β
%
&=
5
FyFiSbFpjSirFhFUcL^`FyDh6tcFbFt
0&
° 1 "
"
ε(t) = sin(ω0 t),
X cFUs`yFtcFc6h6hWyL^`SiSsx^F}nkliSjStyF{^`tf^xh jvtlrLbFcFbF Ft2iS ntf^>jvtlrLbFcFbF F jSyFt4tcFbn} rK^`tsSk¨h jSyL^xtcFbFtm σ(t) = A sin(ω0 t) + B cos(ω0 t). &É
σ(t)ε(t) ˙ = Aω0 cos(ω0 t) sin(ω0 t) + Bω0 cos2 (ω0 t).
(12.5.2)
/ ÑD + > &x 7 \FüqtyFklb aDiDF4iD>kls`kli~iShFiScFs`cFcFiSiS_O{s`ttcF4bFF tyL^`s`UyFtZs`ijSyL^xtcFbFtzaFjSbFjD^xeLtcFs`cFi s`tyL4i~rLbFcL^S4b6 " *Ã
Å,§ ã 1õ
(õ
1
Us`jStyDOrK^`]t4S}T\Fs`i klaDiSyFiDkls`g>FyFiSbFpjSirKkls`jD^?4tlD^`cFbF\FtklaUiS_yL^`SiSs`¡jScFUsx yFtcFcFbL4b klb6eK^S4b p˙ yL^`jScL^ZklaDiSyFiDkls`bFyFbFyL^`tcFb6h kljSiSSirLcFiS_lcFtyFbFb Ψ˙ 6eLZk FklaUiSiSpyFjSi`iDeFksShFgWtsqrLFbLyFkiklhLbFklLcF^`bF Fs`bFgb¢klbFcFs`tSyF^`l FbFbFb ¢²˙kY s`tyLiSF4iDiklrLsxbF^`cLj`^SeL4tbFcF\FbFttklaFs`bLb64b2rLiSjSyLD^`HcFUbFyL\F^`tcFjScFb6thLcF4bFb _
(12.5.3)
b Im E(iω) ≥ 0,
0 < ω < ∞.
b ReE(iω) ≥ 0,
0 < ω < ∞.
wzcL^xeLiSbF\FcFzHiSSyL^`piDcL^xeK^`^`tsSkhviSyL^`cFbF\FtcFbFtcFtiSs`yFbF L^`s`tleFgScFiDkls`bjScFUsx yFb tUcF\FcFbFts`_2yLjD^`^xShOiSs`cF tiSmSs`FyFyFbFiS LbF^`cFs`s`tlteLgSyFcFbFiDyFkliSs`jDg ^`jUyL^`jScFtcFb6h¤ ~6Y 6Y S¦8b¤ ~6Y 6Y D¦4FijSyFt4tcFb }`rLiDkls~^`s`iS\FcFiFiSs`yFtSiSjD^`s`gqcFtiSs`yFbF L^`s`tleLg` cFiDkls`b A }~\Fs`iSSl^`yL^`cFs`bFyFiSjD^`s`g]cFBtliSsSy6bF L^`s`tleLgScFiDkls`gZyL^`SiSs`tjScFUs`yFtcFcFb6klb6e
Y qtiSs`yFbF L^`s`tleLgScFiDkls`g A rLiDkls`bFl^`tsSkh>DkeLiSjSbFt
ýf^`pleK^`^xh2aDiD46eLta6klcF_?4i~rL~eLgcL^jSttkls`jStcFcFU4cFbL4U\L^Skls`b2b bLklFi`eLgSpxh>FyFbFjStrLtcFcFtqjS{tqiSyL^`cFbF\FtcFb6h?cL^cFb6¬}F^`jSs`iSyF ¬Fi`eLU\L^`]s keLtlrLU]bFt iSyF^`cFbF\FtcFb6h cL^L^`yL^S4ts`yF4irLtleLbnm ª
1) E > 0, 2) α = β, 3) θ > τ.
(12.5.3)
Lr]yFiSyLS^`cFcFi`bF \FrLtbLcF b6qh tyFts`cFb FbLl^~^`eLyLgS^`cFcFiSs`_ bFyF4Ui~]rLstleLbs`tj`yLhF4piaUrLiSbFUcLF^SyF4UbFiD\Fklts`klb!aFUb/iSklSiSyL^`eKp^SUkl]iSsjD^`iDcFklcFcFiSiSkljSs`g rFeFh>rK^xeLgScFt_F{tiyL^`pjSbFs`b6h klt4t_Lkls`jD^sx^`aFb6 4i~rFtleLt_nY & X{tW4 jSb6rLtleLbn}\Fs`iHs`tyL4i~rLbFcF^S4bF\FtklaFbFtWiSyL^`cFbF\FtcFb6hkljStleLb~ LcFt^`cFyLbF^St4 ts`yFbF\FtklaFU8i~rLtleLga ` L^`yL^S4ts`yFbF\FtklaUiS_k?aDiScLkls`bFs`Us`bFjScFzBUyL^`j` σ(t) = E [ε(t) + θ ε(t)] . σ(t) + τ (12.6.1) ýf^`pleLi bL£cL^`FyDh6tcFbFt L c ^ L r S j t l k D i l k x s ` ^ ` j F e F h ] 6 b ¬ } σ(t) z±{
},¶
9,
E
>'
α
0
α t
σ(t) = σ0 (t) + σ1 (t),
α
0
α t
*Ã$¥
¾7 5G #
& § (
/Ñ
&
iSFyFtlrLtleFhFt4?UyL^`jScFtcFb6hL4b σ0 (t) + τ α
b
0
α t σ0 (t)
= Eε(t),
(12.6.2)
klqsxi~^`rLjStbF_Fj.kls`yFjStiSpljD~^`eLjOgxs~cL^`^2sWiSk StUyL\L^`^SjSklcFs`bvtcFUbFyLt^`jScF¤ t~cF6b6Y ªFhY D¤¦~}f64Y ªFi~Y S¦cFiSiWFUtyLjSb6^`s`rLiStyFs`gLiD}f\Fθs`iW jSjStlrLbtklcFiScFFi`t aUiD8FiScFtcFs`klj`hFp^`cFkliSiSs`cFiS{tcFbFt σ1 (t) + τ α
ü
0
α t σ1 (t)
= Eθ α
0
α t ε(t).
(12.6.3)
α
σ1 (t) = θ α
0
α t
α t σ0 (t),
sx^`a2\Fs`iyFtpeLgxs`bFyFU]tt]cL^`FyDh6tcFbFtZFi`eLc6iDkls`gS¢iSFyFtlrLtleFhFtsSkh2bFcFbF FbFbFyFD ]t_ aDiD4FiScFtcFs`iS_ σ (t) m 0
0
σ(t) = σ0 (t) + θ α
α t σ0 (t).
üqDkls`g£sx^£aDiD4FiScFtcFsx^F}yL^`jScL^xh
(12.6.4) t = 0
0
σ0 (t) = 1(t)σ0 sin(ω0 t).
qi~rKkls~^`j`eFh6h>lsSiOjSyL^xtcFbFtqj qiSyL4eL¤ ~6Y ªFY U¦}UFi`eLU\FbL ü
'
σ(t) = σ0 sin(ω0 t)+ Zt Zt σ 0 ω0 θ α cos(ω0 t) cos(ω0 z)z −α dz + sin(ω0 t) sin(ω0 z)z −α dz . + Γ(1 − α)
wzcL^xeLiSbF\FcFziSSyL^`piD}6b6p UyL^`jScFtcFb6h.¤ ~6Y ªFY S¦§cL^xDi~rLbLm 0
0
ε(t) = α
+
σ 0 ω0 τ cos(ω0 t) Γ(1 − α)E0
Zt
σ0 sin(ω0 t)+ E
cos(ω0 z)z −α dz + sin(ω0 t)
Zt
sin(ω0 z)z −α dz .
.X iSaFyFtkls`cFiDksSbcL^~\L^xeLgScFiSi]4iD4tcFs~^]s`bOqUcFaF FbFbjSiSpyL^Sklsx^`]szFiZkls`tl FtcFcFiD42p^`aUiScF?kZFiSa6^`p^`s`tleLt 1 − α } σ(t) ∼
0
0
σ0 ω0 θα 1−α t , Γ(2 − α)E
ε(t) ∼
σ0 ω0 τ α 1−α t , Γ(2 − α)E
t → 0,
}
/ Ñ + > &x 7 j]kZ^Sp^xklbLrK4^`cFFcFs`iSiS_>s`bF\LaU^StÖklSs`i`iSeLs`iSgS_{b6Zm jSyFt4tcFyFtjSyL^`^`]sSk¨hjz^`yL4iScFbF\FtklaFbFtÖaUi`eFtD^`cFb6h ('
" *Ã
nh
ω0
Å,§ ã 1õ
(õ
1
³ απ ´i
h ³ απ ´i o sin(ω0 t) + (ω0 θ)α sin cos(ω0 t) , 2 2 h ³ απ ´i o ³ απ ´i σ0 nh sin(ω0 t) + (ω0 τ )α sin cos(ω0 t) . 1 + (ω0 τ )α cos ε(t) = E0 2 2 σ(t) = σ0
1 + (ω0 θ)α cos
üqtseFhbLkls`ty6tpbLk^WFyFbs`iD/ksx^`cFiSjSbFsSkhHleFeLbFFs`bF\FtklaUiS_n}^Wsx^`cFtcFkvU eK^ FiSs`tyFgrK^`tsSkh>jSyL^xtcFbFt
rLt
η = tg(ϕσ − ϕε ), ¶ (ω0 θ)α sin(απ/2) 1 + (ω0 θ)α cos(απ/2) µ ¶ (ω0 τ )α sin(απ/2) ϕε = arctg . 1 + (ω0 τ )α cos(απ/2)
b
ϕσ = arctg
µ
qi`eLgSp`hLklgbFpjStkls`cFiS_>s`yFbFiScFiD4ts`yFbF\FtklaUiS_vqiSyL4eLiS_n}6Fi`eLU\L^`tm ü
ω0α (θα − τ α ) sin(απ/2) . α ω0 (θα + τ α ) cos(απ/2) + ω02α (τ θ)α
η=
qo p s`tyL4i~rLbFcL^S4bF\FtklaD1iS+i2iSyL^`cFbF\FtcFb6hkeLtlrL`ts~}K\Fs`i2FiSs`tyFbvFi`eLi~ bFs`tleLgScF FyFb>eL]ðS^xiSeL_>gScF\Lt^S_Fkls`{iSts`ttSY yL^`pjSbFs`bFtrLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbF^xeLgScFiSi.cL^`FyL^`j`eLtcFb6h<j yFs`bFti`jSeLcFiSt bFb2UyLkl^`j`jShFcFpt^`cFcFb6ih?kzaUbFiSps`UiS\FyFtcF?bFtbLW44t]cFiSs jSiSb6Lr ^`yL^S4ts`yFbF\FtkaFb624i~rLtleLt_n}SaUiScLkls`bFs`D σ(t) +
m X
ν τj j 0
νj t σ(t)
"
= E ε(t) +
m X
θkµk 0
µk t ε(t)
#
.
æY OY5Xýf^`iDSkliScFs`iScFjSiSvjklFjSi`iSeLt_i~ 4b6i~e rLtliSeLFb yFtlcLrL^StlkeFeFhFtl]rKkls`tjStqtcF6cFyFiS^`_ jScF4ttlcFUbF^`t cFbFaFbs`jStyDrLs`tle S
z±{
j=1
|.E¶·
k=1
¯ | ~|ï
@ 0
"
rLt
}
·
»
t
»
¸
}F^ qUcFaF Fb6ht» p^xrK^`tsSk¨h kls`tFtcFcFzyDh6rLiD
σ(t) = E ε(t) − β
α ∈ (−1, 0] β 6= 0
Z
α (β, x)
0
α (−β, t
− τ )ε(τ )dτ ,
(12.7.1)
α
= xα
∞ X
β n xn(α+1) . Γ((n + 1)(1 + α)) n=0
(12.7.2)
%h6> Xux# 5x +
/ ÑD jDüq^`i~cFrKb6klhns~}6^`j`FeFi`h6eLh U\F¤ bL~6Y m ´UY S¦
j2¤ ~6Y ´UY ~¦8bOFi`eLgSp`hLklg qiSyL4eLiS_rLy6iSScFiSiqbFcFs`tyFbFyFi` *Ã$¥
#
"
∞ X
(−β)n+1 σ(t) = E ε(t) + Γ[(α + 1)(n + 1)] n=0 "
= E ε(t) +
∞ X
"
= E ε(t) +
(−β)
n+1
0
n=0
0
−(α+1) t
∞ X
(−β)
ε(τ )dτ = (t − τ )1−(α+1)(n+1)
Zt 0
−(α+1)(n+1) ε(t) t
n+1
0
#
=
#
.
−(α+1)n ε(t) t
(12.7.3)
eLtlrL`h?yL^`SiSs`t ~ }UFyFbL4tcFbL£a>iSStbLW\L^SklshLs`iSiyL^`jStcLkls`jD^iSFtl yL^`s`iSy m
n=0
*
α+1 t
0
0
α+1 σ(t) t
=E
=E
"
0
"
0
=E
"
α+1 ε(t) t
α+1 ε(t) t
0
α+1 ε(t) t
Eβ
∞ X
(−β)n+1
0
+
(−β)n+1 0
n=0
− βε(t) − β
− βε(t) − β
^`_6rFh>bFpqFiDkeLtlrLcFtiOyL^`jStcLkls`jD^
∞ X
∞ X
(−β)
n
0
n=1
∞ X
(−β)n+1
n=0
−(α+1)(n+1) ε(t) t
= E[0
0
−(α+1)n ε(t) t
−(α+1)n ε(t) t
#
#
=
=
−(α+1)(n+1) ε(t) t
α+1 ε(t) t
− βε(t)] − 0
#
.
α+1 t
bFirKklsx^`jSbFj]s`i]jD4tkls`iZ6iDkeLtlrLcFtiZkeK^`l^`t4iSizj¤ ~6Y ´UY D¦}FyFb6Di~rLbLvaUyL^`j` cFtcFbF n=0
σ(t) = Eε(t) + (E/β)[0
α+1 ε(t) t
− βε(t)] − (1/β)0
α+1 σ(t), t
aUiSs`iSyFiStZFiDkeLtqleLt4tcFsx^`yFcF>FyFtiSSyL^`piSjD^xcFbF_?FyFbFcFbLf^`ts jSb6r σ(t) + τ
ρ t σ(t)
= τE
ρ t ε(t),
rLt }§^ Y§©8^`aFbL!iSSyL^`piD}f4i~rLtleLg½ýf^`SiSs`cFiSjD^vhFj`eFhFtsSkh \L^Skls`τcFz=1/β keLU\L^`tρ `= Lα^`yL+^S41ts`yFbF\FtklaUiS_.4irLtleLbW« eLb6 ©niSyFjSbFaU^FYüqyFb α = 0 iScL^OkliSjSL^xrK^`tskZiSFyFtlrLtleFhF]bL£UyL^`jScFtcFbFt ^`a6kljStleFeK^FY 0
0
H'
G
/ÑSª
- Ø
z±{
|.ï ~¹
&x 7
" +*Ã
©!
Å,§ ã>1õ
(õ
1
}æ ¬ ~í.çyæ|,ÂE¶
l eLt4tcFÖs`kliSs`j`trLkljSs`DjS tcFs`cFbFi>FiSFj£iDkl¤s~U^`FjSyFbFUs`g?iSjSiviSFbyFiDj`k`hFmKp4aDiSi~ iUc6¦Zi2FeLiDbkls`yFkiSFbFiDs`4giSj`hFgSp aUiSklUs~F^`yFc6UrK^`UyF*s`cF4i` rLtleLgrLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLg`cFiSis`bFL^±, ¤¥kY ©
^`¦ a6^x6hi¢4^`i~cLrL^xtleLeLiSgbFSb¡eKk.^tFtiDklls`eLyFtiSaFts`cLyF^ iSs`ntl6yFcFiDbFkkl\FiDtklaFb bLvF^`yFyFiSjSiSbFScFyFiD^`piDrFeF}zh bFαpeL=i~1/2 tc6 cFz!jWaFcFbF~t Y8 ]cL}f^?bHFyFiSStlrKiSSklsx^`tj`cLeF^ hFts klbLiSkSkliStleL_ tkl!s`yFbUaF«Ös`eLUZyF4teLcFtiDkl s`cFcLbF^ \FcFFiSyFiSivbFs`pbFjSi`LeL^FgS}ncFkliSi`t α ∈ (0, 1) klsx^`j`eLtcFc66bFpStklaUiScFt\FcFiS_FiDkeLtlrLiSjD^`s`tleLgScFiDkls`bleLt4tcFs`iSjkjSSyL^`cFcFz4b iSFyFtlrLtleLtcFcFz£iSSyL^`piDWL^`yL^S4ts`yL^S4b.¤¥kYLyFbLk`Y¬~6Y FY ¦Y
ÇC
@G
¬
D
Á '( *
§bLk`Yn~6Y Fm J 2,#&-9+:D±)+ 0*02.BiÝA.!)Y%+5.s) ò2FZ* ñ iDkls`b ]ESiS¦pb
e k
d k
k
k
εdk = εek+1 + εdk+1 ,
k = 0, 1, . . . , n − 2.
(12.8.1)
T
M'>x x
+" #Æ â
*Ã$¥
/Ñ#´
ô &1ãxxâ5 R
^jStyD6cFtaUiScF Ft ε=ε +ε , cL^OcFb6 cFt ε =ε . 6YwrFrLbFs`bFjScFiDkls`g L^`yL^xeFeLtleLgScF?cL^`FySh6tcFbF_nm
d 0
e 0
d n−1
e + σkd , σke = σk+1
e n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
(12.8.2)
^aUiScF FtZeLtkls`cFbF F σ=σ . FYqiD4FiScFtcFs`£rLtqiSyLf^` FbF_Ob cF^`FyDh6tcFbF_ klj`hFp^`cFH4tlOrLkliSSiS_OkliSiSsx cFiS{tcFb6hL4bnm 1 σ , (12.8.3) ε = E b
e 0
e k
k
σkd = ηk
e k
dεdk . dt
(12.8.4)
LY üqyFtlrLFi`eK^`l^`tsSkhn}U\Fs`i ε(t) = 0, t 6 0, b σ(t) = 0, t 6 0. üqi~rKkls~^`j`eFh6h?¤ ~6Y FY D¦¬jO¤ ~6Y FY ~¦¬bFtyFtlSi~rFhas`yL^`cLkqiSyLf^`cFsx^S ^`6eK^x k^F}6Fi`eLU\FbLm '
e (λ) + Ek+1 εbdk+1 (λ), bk+1 Ek+1 εbdk (λ) = σ
k = 0, 1, . . . , n − 2.
wzcL^xeLiSbF\FcFiL}6FirKklsx^`j`eFh6h.¤ ~6Y FY U¦§jv¤ ~6Y FY S¦}UFyFb6Si~rLbL£a UyL^`jScFtcFbF '
e σ bke (λ) = σ bk+1 (λ) + ληk εbdk (λ),
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Lrýft^`cFplcFrLiSteLtqbFbFj?piSqSiStyL\L4^SkleLs` bv6¤ ~yF6^`Y jSFcFY ªDt¦ÖcFb6cLh^`F¤ yS~h66Y FtY ScF¦bFtcL^
e σ bk+1 (λ)
(12.8.5)
(12.8.6)
}KFi~rKklsx^`jSbFj j?cFtli?cL^`_6
e e (λ) + ληk+1 εbdk+1 (λ) (λ) = σ bk+2 σ bk+1
b FyFiSbFpljStlrFh>cFtaUiSs`iSyFt kliSaFyL^`tcFb6hn}6FyFtlrKklsx^`jSbL£yFtpeLgxs~^`sOjOjSb6rLtSm Ek+1
Ek+1 εbdk (λ) =1+ e σ bk+1 (λ) ηk+1 λ +
1 e bk+2 (λ) 1 σ ηk+1 εbd k+1 (λ)
,
/ÑS
" +*Ã
En−1
&x 7
Å,§ ã>1õ
(õ
1
εbdn−2 (λ) 1 En−1 . =1+ e σ bn−1 (λ) ηn−1 λ + ηEn
vcFiSiSaFyL^`s`cFiStFiSjSs`iSyFtcFbFts`iS_ FyFiS FtlrLUyFBjStlrLts>a FyFtlrKklsx^`j`eLtcFbFiSs`cFi` {tcFb6h εb(λ)/bσ(λ) j jSb6rLtq FtFcFiS_?rLyFiSSb o´ n−1
G
Ä
E0
εb(λ) λ−1 E0 /η0 λ−1 E1 /η0 λ−1 En−1 /ηn−1 λ−1 En /ηn−1 =1+ ... . σ b(λ) 1+ 1+ 1+ 1
iSFiDklsx^`j`eFh6h?Fi`eLU\FtcFcFiStqjSyL^xtcFbFt kqyL^`pleLitcFbFt x(x + 1)α−1 =
x (1 − α)x 1+ 1+
1·(0+α) 1·(2−α) 1·(1+α) 1·(3−α) 1·2 2·3 3·4 4·5
4i~ cFiOUjSb6rLts`gL}6\Fs`i FyFb Fi~r6Di~rFhFtjSSiSyFtZL^`yL^S4ts`yFiSjL} E1 /η0 = (1 − α)c0 ,
1+
1+
1+
1 · (0 + α) c0 , 1·2
E1 /η1 =
bLkkeLtlrL`t4iSt iSs`cFiS{tcFbFtqbL4ttsOFyFtlrLtle
1+
...,
...,
¯ ε(λ) ¯¯ = 1 + (c0 /λ)(c0 /λ + 1)α−1 . E0 σ(λ) ¯n→∞
X<^SklbL4Fs`iSs`bFaUtf^xeL λ}LkliSiSs`jStsSkls`jSU]b62Si`eLgS{bLjSyFt4tcL^S t} E0
ε(λ) ∼ (c0 /λ)α . σ(λ)
XijSyFt4tlcFcFiS_¢iS`eK^Skls`b¢s`iD4
α t ε(t).
qtaUiSs`iSyFiSt,DkeLi~ c6tcFbFt²aUiScLkls`yFUaF 6bFb 4i~rFtleLb jStlrLtsÎa rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiD4 iSSiSStcFbF4i~rLtleFb ^`a6kljStleFeK^ 0
G
σ(t) + τ α
α t σ(t)
= τ βE
β t ε(t).
j yDh6rLt>üqyLiD^`klSs`iSyFs~iS}
tcFSiSb6sh£h£Fb6iWrLiSiSSs`cF\FiStsieLbFkliSjSyFsx_^qjStiSklyLgDff^x^veLbFeLp]SiSb£FiSsSs`klcFs`*yL^`bcFtFcFyFcFiiDrLkli`s`eFgOiS^`s ]qsSkb6h pbFaFbvhFj`eLtcFbF_cFtFiSpjSi`eFhF]s2FyFb6c6hFs`g>b6vaU^`aqbFpbF\FtklaFUBbFcFs`tyFFyFtsx^` FbF rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^~eLgScFiS_?4i~rLtleLbnY 0
0
*Ã$¥
.7¨ x ¸u # 3 "§
Á.|
z±{
/ÑÑ
õ$
¯ î E
4 tlOrLrLbFtpqbFiS\FyLtfklaU^`iS FtbFtiS_ ¬b2hLcFklcF^`FtcFyDbFh6t rLtcFyFbFiStS.cFi`S rLbLeL iqqrK^`tcFyFitcFcF F^ bL^xiDeLklcFg`iScFjSiDtz4kl>sxkl^`iSs`iSbLs`klcFs`iSbF{\FttklcFaDbFiS _ s`tiSyFbFbnýf^Dk^>rFeFhWj`hFpaDiSUFyFUiDkls`b.yL^Skls`jSiSyFiSj Fi`eLbL4tyFiSjvjvcFgS]s`iScFiSjDklaUiS_ cL^?b6rLklaUaDiSiDyFkls`iDbnkls`Y#g2ýf^`rLpljSeKb6^`l^xth2cFb6klhaUiS FyFtiDcFkls`s`yLg^?a6s^xh6OrLtiSkl_2s`b bFp FNtFiS4\6i`aFeLbnt}¬aFkl~iSe?jSLFi`^xrKeLbL^`]4tyFUcF iS_2ki FtklFaDiSiS\FyFaFi`b jSkls`yLgS^` ts`cFtbF\FttcFrLb6thqiS yLb64rLbFaDyFiDiSkljDs`^`bncF}4cFbiS_iSs` FcFtiDFkliSbF\Fs`aFtlbWeLgSa.cFUyL^`jScFklaUiSiSjSyFtkliDcFkls`iSgL_ }
qiSFiSyLbL4kltS}njD^`b.]jSUF*i`eLjSc6iSh6plh cFtiSDi~rLbL4t]jS\FbLkeLtcFb6hn5} ý4^~Dk]Fi`eLU\Fb6e?rFeF½h ø 7ö *÷oöo÷ *÷Dÿ÷ G(ω) jS e yL^xtlcFbFt +
&É
5 °
e G(ω) = nkT
°
5 4* 1
N X τj2 ω 2 τj ω + i µs ω + nkT . 1 + τj2 ω 2 1 + τj2 ω 2 j=1
N X
(12.9.1)
rLtklg d^`Dkli`eL]s`cL^xhOs`t4FtyL^`s`UyL^F} dFiDkls`ihFcFcL^xh2«i`eLgS Lf^`cL^F} d\FbLkeLi 4 i`eLtaFTe j>tlrLbFcFb6 FtOiS ntf^ yL^Skls`jSiSyL^Fk}Kb τ d?U^`yL^`aFs`tyFbLkls`bF\FtklaFb6tOnjSyFt4tcL^ yFtleK^`aUk^` FbF_n}FbL4t]bFt2¤ FyFb j < N/5 b ωτ < N /250) jSb6r
j=1
&É
j
1
τj '
2
τ1 , j2
(12.9.2)
6(µ0 − µs ) , nπ 2 kT
klrLs`jSt tµcFcFiLb Y>üqµi~rKd kls~kl^`s~j`^`eF Fh6bFh.iScL¤ ^`~yF6YcFÑFY St2¦§j`jvhF¤ p~aU6iDY klÑFs`Y ~bW¦}6yLF^SyFkls`b6jSSiSi~yLrL^ bL£ba yL^SjSkls`yLjS^xiSyFbFts`cFtlbFeF hkl(12.9.3) iSiSs`jStsx τ1 '
0
s
[N/2]
e G(ω) ' iµs ω + nkT
X
[1 − ij 2 /(τ1 ω)]−1 .
qtyFtlDirFhOiSskl6f4bFyFiSjD^`cFb6hOa2bFcFs`ty6bFyFiSjD^`cFbF¢kbLklFi`eLgSpiSjD^`cFbFqiSyL4~eL ü
lim
FyFb
∆x→0
∞ X j=1
j=1
Z∞ [1 − i(j∆x) ]∆x = (1 − iξ 2 )−1 dξ = i1/2 π/2
∆x = (τ1 ω)−1/2
b
2
0
[N/5] À τ1 ω ≥ 25
}FFi`eLU\L^`tm
p √ √ e G(ω) ' iµs ω + nkT (π/2) iτ1 ω = iµs ω + (3/2)(µ0 − µs )nkT iω.
]SyL^`s`cFiStZFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt UyFgSt kliSiSs`cFiS{tcFb6h +
e ε(ω) σ e(ω) = G(ω)e
SS b jStlrLtsa bLklaUiD4iD42yFtpeLgxsx^`s`Tm σ(t) = µs
t ε(t)
+
p
&x 7
" +*Ã
(3/2)(µ0 − µs )nkT
Å,§ ã>1õ
(õ
1
1/2 t ε(t).
qo pÖcL^`_6rLtcFcFiSizjSyL^xtcFb6hjSb6rLc6iL}\Fs`iZcL^`FyDh6tcFbFtj]Fi`eLbL4tyFcFiD yL^Skls`jSiSyFt kla6eK^xrLjD^`tsSk¨hbFprLjSDv\L^Skls`t_n}¬i~rLcL^2bFpOaUiSs`iSyFvD^`yL^`aFs`tyFbFpSts?yL^Skls`jSiSyFb6 s`\FtlteLang}xaD¤ iScFs`gSiS]yFs`iS_cFiSpjD^`jSklaFbLUklbF s] iSsZb6rLb6aUiDFklyFs`tlgUrL¦z}
^ kls`jSiSs`yFiSbFyLbn^x}`h^ZrKkeL^`ttls rLiSjSjDa6^`eKs`^xtlr.eLgSFcFi`iLeL}bLb4iStsZyFFcFyFtl rLz FtklFs`i`i` yFbFb jDklti s`t\FtcFb6hnYD©
tliSyFb6¬h ýf^Dk^ZrK^`tsqiSyL4s`iS_ p^`jSbLklbL4iDkls`bn}SiSStklFt\Fb6 jDcF^xhs`at
0
σ(t) =
q
√ (3/2 π)(µ0 − µs )nkT ε0 t−1/2 .
©
^`aFbL¢iSSyL^`piD}KyL^Skl\Ftsýf^Dk^?jStlrLts>a aDiScLkls`bFs`Us`bFjScFiD4UyL^`jScFtcFb6/kó÷ ó/ôx÷ /öo÷ ñ÷ L} σ(t) = E ε(t) + E ε(t), FyFtlrKkls~^`j`eFhF]t4.kliSSiS_ \L^Skls`cF_WkeLU\L^`_W4i~rLtleLb«eLb.b©niSyFjSbFa6^FYûÖa6k F\Fts`yFi2bLkl4UtcFts`kl¡s`jSk `t4sOcFiS{bFiSyF\FiSbLaFkbFeL_>tcFyLcF^`zp4SyFb iDs`kZjSptcLyD^rL\Fzt4cFbFb _ Fi`eLjObL4bFtcFyLs`^St4yFjDb ^xFeLiSt a6^`p^xeLbn}F}6iSi~rL¬cLhL^`klcFaDiLtl } cFyLbF^Sklt s`aUjSiSiSs`yFiStSyFY iSvi> s`iDyFklts~S^`ScFtiSs jSSbLi`feLkthtOcLiS^Si~rLt_.cFiS4_i~rLbFtlp eLyLbn^`}nSα\FiSts~¢}8jSFi`eLFi`bLeL4cFttyFcFcFcF(0,t?1)4j i`eLltsSaFiD¡eL cL^xj FyL^`j`eLtcFbFb ~ Y Û ¢! ?> drLbFcL^S4bF\Ftkla6^xh FtyFt4tcFcL^xh2i~rLcFiSyFirLcFiS_OrFbFcL^S4bF\FtklaUiS_?klb6 üqDkls`g kls`t4b V (t)AdjScFt{cFttzFi`eLtS}SjSiSp4U^`]ttyL^`jScFiSjStklcFi`tzkliDkls`ihFcFbFt]klbLkls`tl j£4 yL}
^`jSFcFiDiSkeLjStt kljScFa6iSeLt]kl\FiDtklcFs`i~b6hFhcFaDbFiStSs`}iSklyFiSiSiSs`ijStklsSbLklkls`s`jStUf]^vcLt^t\FbFcFcLiS^`jStzsvyFtlDeKkeL^`a6iSjSk^`b6 FhLbFY Fd^S8Ftb6y6eLtlgxDs`i~i`r cFl^SbL4^`b6ceFsxgx^`s`aDiSiScF_ bL^`klcLbL^kls`jStiS4p!4UbL4ttcFtb6s>hnjS} b6r kl6f4!cFtjSiSp4UtcFcFiSi2l^S4b6eLg~s`iScFbL^`cL^2b 4
*1:
5
*
*M
0
1 0
1/2 t
&É
ØG Ä *
z±{ z
s~æ¯í.ç
|.
¬|,
EC
H = H0 + Hint ,
;:{f6x x xÜx&x5'>5
SF eLaUiSbFs`cFiStyF_FcFiS_>_ klkfj`hFaDpiS^`c? qkZbFF FiSs`bFttc6cF Fs`bLiD?^xeLFiDyFiSFjSiScFyFt{ FbFcFiStcL^xieLFgSi`cFeFiDhnkls`Y b bj`}lhFpp^`gjSbLs~k^hFFyFttlrL¤ Fa6i`^`eKaq^`b^`kt^SsSfkh^ rLbFcL^S4bF\FtklaU^xh FtyFt4tcFcL^xh A¦\FtyFtpqiSSiSStcFcFtZaDiSiSyDrLbFcL^`s`¢b bL4FeLgDkl iSsjSyFt4tcFbnm H = −b(p(t), q(t))V (t). ûÖjSi`eL] Fb6h jSiSp4UtcFcFiS_ klbLksSt4iSFbLkljD^`tsSkhObFpjStkls`cFiS_2qiSyL4eLiS_ qUSiLm *Ã$¥¦
"â ô &1ã
int
1 hA(t)i = hA(0)i + 2π
Z∞
−iωt e Ve (ω)G(ω)e dω,
(12.10.1)
rLt G dp^`L^`plrLjD^`]^xh qUcFaF Fb6h nyFbFcL^>¤ s`tyL4irLbFcL^S4bF\Ftkla6^xh?aDiSyFyFtleFhF Fb6 iScFcL^xh qUcFaF Fb6hK¦klbLkls`t4 } −∞
C
G(t − t0 ) = −1(t − t0 )h{b(t0 ), A(t)}ieq ≡ hhb(t0 )A(t)ii,
^ {. . .} d?kaUiSSaFb üqD^SkkliScL^FY Fi`eLbL4t yF^cFiDklHcFiS FjSttzFiSs`\FiStaBi¤ qa6eLiSyLUSfiS^x\FeLaUbFiSpjUf¦^yLyL^`^SplkeLkbFf\F^`cFs`iSyF_HbFjDrF^`eLtbFsScFk¨h? klY(bLýfkl^`s`pt4ftl^yFp ^`Fb6UHsx^`FcFyFcFtlrF Fi`eK^`^`]sDk¨h 4cFiSi 4tcFgS{tf^`aFyFiDklaDiSFbF\FtklaFb6¬}FcFi 4cFiSiOSi`eLgS{tZyL^`p4tyFiSj jD4^`iSs`cFgDiDk4hnt}LyLkl^FaU/Y i`üqeLgSiprbFrLs`tgL_L}LklyFs`jDjS^`bFs`tgDk¨hnjS}LcFyFt{taDcFiDt4SiZbFFcFi`bFeFyFhiSjDa6^`eLs`UgLSYxiSüq\FaFSbkls`g s`b x 4iSb xUs]rLd2trLqjSiStyLs`4iSbF\FyFaFi`b sx4^`bOaDiSiS_ yF F^`tplFrLiSiq\F4aFtbncF}FgSjS{plhFts`rFeLt bFcFjOcL^`UF\LyL^S^`kls`j`a6eL^]tcF FbFtb FiScL\F^`aFsbnh6}SkltiScFtb6rLhnbFc6Y hFý4]^Skkls`t_Oi~hFcFs`bFbts`4iStl\FOaFbnrLY/?ýfcF^`b6pl cFiDkls`g>s`b6r6eLbFc.cL^`pjD^`]s?p^`L^SkltcFcFiS_r6eLbFcFiS_nY ÖkeLb i~rLcL^?bFpOs`b6s`iS\Fta FaFyFbb64Stli~OrLbFrLsZ j]s`rLbLjS4b6bs`tliScF\FbFa6tS^S}x4s`iZbn}~F^ztyFpjS^`zs`tv rLDtleFiDtÖFyFjSb6DFiyDrLhLbF8s]e6jzhFrLtsSjSkb6hOkt^ScFvbFt§U\LrL^SyFklUs`liS^xah Fs`tiSF\FiSaU\6^F Y ðbLkklbFL^` Fb6h£cFtyFbFbj.kliDkltlrLcFb6U\L^Skls`a6^xFyFiSbLk¨Di~rLb6s.k>p^`L^`plrLjD^`cFbFt} rLjSiSyFs iSScFs`Ui.Bp^`FLyF^`iSplb6rLpjSi~jDrL^`cFcFUbFt?YKbHXFiSpiS4yFi~UOrKtcF^`b6tls tklpbL^`aUkls`iStc£4rL¡t4p^`La6qeLbF]yF\LiS^`jDt^`sScFkb6hvhnj }§klti~trLrLttyS OiS^`yFfbF^x_ dvFyFtlrKklsx^`j`eFhFtsSkh FjbFjSbnb6} rLVtZ(t)kl6f=4<ε(t)UF}nyF^>UiSiSs`_a6eL¤ iSbFSaWyL^`kls`bLbLkl4s`tiS4_K!¦ dvcL^`FyDh6b2tcFcFtb6UtFyFσ(t) U S i _ ¤ÅrLbLkklbFL^`s`bFjScFiS_n} cFtiSSyL^`s`bL4iS_K¦ σ = A kliDkls~^`j`eFhF]b6¬σY = Eε \L^`_FcFiSwziWjSFs`iSiSys`tcF~ F bLn^xrKeK^x^eLtiSt\FFtcFbFg{ts`sFyFmfrLou üqtcnyDVY hLüq4iSiS_vs`yLiD^S4klH\Ft4s? qUp^ScF4aF FtcFbFbLb /nyF^SbF4cLb6^ eLrFgxeFs`hiScFkbLeL^`Dc jSp^`bL4irLt_Lkls`jSb6h>tiODklyFtlrLcFtcFcFz£pcL^\FtcFbFt|Fm
1
2
%
e
d
> *
ÂC
[§klyFtlrLcFtcFbFtiDklUtkls`j`eFhFtsSkhFiZrLbLklaFyFts`bFpbFyFiSjD^`cFcFiD4jSyFt8tcFbOp^`L^`plrLjD^x cFb6h n i 4iScFiD4tyL^ nt kZyL^SklFyFtlrLtleLtcFbFt£jStyFi~hFs`cFiDkls`t_ H int (p, q, t) = −b(p, q)V (t).
0
P (nt0 ) =
t 0 N0 , n > N = θ/t0 , N0 = (ν + 2)θ ν+2 , 0 < ν < 1. (nt0 )ν+1
SD b FyFbFjSirLbFsOa jSyL^xtcFb6 G(t − t0 ) =
**
∞ X
&x 7
" +*Ã
P (nt0 )b(t0 − nt0 )σd (t)
++
= N0
Å,§ ã>1õ
(õ
1
∞ X hhb(t0 − nt0 )σd (t)ii . tν0 nν+1
^xeLtb t¢^`jSs`iS}y/FyFtc6tSyFtl^`ts¡sStlyL4i~rLbFcL^S4bF\FtklaFbL4b aUiSyFyFtleFhF Fb6hL4b 4tlOrL ð
b(t0 )
n=N
n=N
σd (t)
0
G(t − t ) =
½
−N0 0,
P∞
−ν −ν−1 δ(t n=N t0 n
− t0 − nt0 ),
b cL^xSi~rLbFss`yL^`cLkqiSyLf^`cFs` UyFgSt qUcFaF FbFb nyFbFcL^Fm
= −N0
"
∞ X
+
e G(ω) = −N0 −ν−1 t−ν 0 n
∞ X
t > t0 , t 6 t0
C
−ν−1 t−ν exp(−iωt0 n) = 0 n
n=N
exp(−iωt0 n) −
N −1 X
−ν−1 t−ν 0 n
#
exp(−iωt0 n) .
XFi`eLc6h6hFyD}LhL48i~iS tcFbiOiSFSyFyLiS^`jSs`tcFyFiSbFtvs`gOFs`yFi~tOiSSrLyLt^`klps`iSjSjSi ^`cFb6h vtleFeLbFcL^q(12.9.2) UcFaF FbFb n=1
n=1
@G
exp(−iωt0 n), ω > 0
1 exp(−iωt0 n) = 2πi
c+∞ Z
Γ(s)(ωt0 n)−s exp(−isπ/2)ds, 0 < c < 1.
jSqtli~rLrKtklsOs~^`a>cFjSiSjSa6yL^q^xtticFbFj qiSyL4eLv¤ ~6Y ÑFY S¦4kzbLklFi`eLgSpiSjD^`cFbFtsStliSyFt4
ü
rLt
e G(ω) = −N0 Γ(−ν)ω ν eiνπ/2 − " # N −1 ∞ X X n−ν −nu−1+n m −N0 t0 ζ(1 + ν − n) − [(−1)n /n!]ω n eiνπ/2 ,
dOrLptsx^x qUcFaF Fb6hý§bLf^`cL^F} ζ(z) n=0
m=1
qyFb ω < 0 bFp4tc6hFtsSk¨hvpcL^`a>FtyFtlr4cFbL4iS_ tlrLbFcFbF Ft_nY X FyFtlrLtleLtÖFyFb jDkltÖkeK^`l^`t4t§jzaFjD^xrLyL^`s`cF klaUiSSa6^xZbLkl\Ftp^`]s pyL^ 4bLbFkls`a6iSeLjD]^\FFtyFcFtlbFrKtklsx^`Fj`teLyFtjStcFiSb6l→h>iiS¤¥0k SiSnS=t0cF¦cF}KiSaU_2iSrFs`iSptyFsx^x_v qcLU^xcFDaFi~ FrLbFbFb sSk¨hk bLklFi`eLgSpiSmjD^`cFbFt resz=−ν ζ(1 + z + ν) = 1.
ü
0
e lim G(ω) = −N0
t0 →0
£
ζ(ν + 1, θ/t0 ) ¤ Γ(−ν)(iω)ν + (νθ ν )−1 .
&x 7Ü
S s`üqUi~s`rKbFkljSs~cF^`iDj`4eFh6?h?UyLs`^`iSjSs cFty6cFtbFp~eLgxs~^`sOj qiSyL4eL?qUSi ¤ ~6Y ÑFY ~¦}6FyFb6Si~rLbL£a aDiScLkls`b6 ©¨ xxx
*Ã$¥¦
§ ã1õ
&ô
1 hσd i = −N0 Γ(−ν) 2π
(õ
Z∞
−∞
Â5/ Æ
&
(iω)ν εe(ω)e−iωt dω−N0 (νθ ν )ε(t) = ην
a
ν
ε(t)+ξν ε(t),
kli~rFtyDO^`t4 rLyFiSScFUFyFiSbFpjSirLcFU ν iOFiSyDh6rLaU^FY ³Û [Ì Ê dÖ÷ V§ÿø4ÿnþ] ÿ ]ü]ÿ üqtyFjSiS_*p^xrK^~\Ft_n}OyFt{tlcFcFiS_ UtyL^SklbL4iSjSz#j FyFiDkls`t_F{t_ rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiS_yFti`eLiSbF\FtklaUiS_ 4irLtleLb2kaUiScLkls`bFs`Us`bFjScFz.UyL^`jScFtcFbFt ην = −N0 Γ(−ν), ξν = −N0 (νθ ν )−1 ,
z±{ zz ,º
©º
Á,í,~}ï³
ç| î
î |
¹
H¿
;C
SeK^Wp^xrL^~\L^.i£s`t\FtlcFbFb¢j`hFpaUiSUFyFUiS_kyFtlrL kUaU^`p^`cFcFz4b
_ L \ S ^ l k ` s F b F bL4t]s jSb6r
m y y(x, t) σ(t) = κα
α 0
t ε(t),
K
y(x, 0) = 0,
¯ ∂y(x, t) ¯¯ = 0, y(0, t) = 0, y(a, t) = ϕ(t). ∂t ¯t=0
rLjS68h.XiSyFrLbFtlpeLiSbLcFs~^xleLeLgStcF4ztcF4s~b.^`yFcFyL^`c6_ hLL4^`b.yLtl^xrLeFbFeLcFtleLbFtl\FFcFbFiSF_Wtlr6eL iSb6rL^xaDrLiDbWkls`kObnyL}¬^SiSkklyLs`^`icFhFbFcF\FbFttcF c6dx_ 4tlOrLOcFbL4bnYU[]yL^`jScFtcFbFtrLjSb6tcFb6h2 FtcFs`yL^f^Skkzs`iSileLt4tcFs~^bL4ttsjSbUr
b
rLt
ρ
ρ = const
∂σ ∂2y = , ∂t2 ∂x
d 6eLiSs`cFiDkls`g b6rLaUiDkls`bnYüqyFbFcFbLf^xh jSijScFbLf^`cFbFtS}F\Fs`i ∂y , ∂x
= κα
α 0
Fi`eLU\L^`tUyL^`jScFtcFbFtZrLjSb6tcFb6h jOjSb6 rLt ε) = κ
t
ε=
σ = κα
∂ ∂σ = (κα ∂x ∂x c2
∂2y = ∂t2
α 0
α 0
α 0
t
t
tε
α α 0
t
∂y ∂x
∂2y , ∂x2
ρ ∂2y 2 , c = . ∂x2 α κα
S
&x 7
" +*Ã
('
Å,§ ã>1õ
(õ
1
4iSj£bLkla£Fi`teLt>gSpbFiSpjDiS^xSe
Ñ
d2 yb = c2α p2−α yb dx2
kZyL^`cFbF\FcFz4b DkeLiSjSb6hL4b §i y6t{tcFbFt bL4ttsOjSb6r
yb(0, p) = 0,
yb(a, p) = ϕ(p). b
b ϕ(p), yb(x, p) = K(p) b
rLt
sh(cα p1−α/2 x) b K(p) = . sh(cα p1−α/2 a)
]SyL^`s`cFSiSY tZqFgSyF]ts`iSiSScFyLiS^`jDp^iSjD ^xb6cFrLbFaUtZiDSkls`geLiOjSFi`eLm cFtcFirFeFh s`yFtl keLU\L^`tjLY $
(α = 1)
) ( µ ¶ Zt ¶2 µ ∞ 2 X kπ kπx (t − τ ) ϕ(τ )dτ, y(x, t) = exp − (−1)k−1 k sin (πc1 )2 a c1 a k=1
0
6Y6[]FyFUl^xh klyFtlrK^
0 6 x < a. m (α = 0)
∞
2 X (−1)k−1 sin y(x, t) = c0 a k=1
µ
kπx a
¶ Zt 0
sin
½µ
kπ c0 a
¶
¾ (t − τ ) ϕ(τ )dτ,
FY>üqyFiD4tl Us`iS\FcF_vkeLU\L^`0_?6d j`xhF
∞ ³ nπx ´ Z 2 X (−1)n φ˙ n (t − τ )ϕ(τ )dτ, y(x, t) = sin π n=1 n a
α = 1/2
Y
t
0 6 x < a,
0
φn (τ ) =
∞ µ X
nπ
¶
(−1)k τ 3k/2 , Γ(3k/2 + 1)
n = 1, 2, 3, . . .
eFh>yL^`jScFiD4tyFcFiSirLjSb6tcFb6h jStyS6cFt_>6eLiDklaUiDkls`b ð
k=0
c1/2 a
ϕ(t) = vt,
v = const > 0
&x 7Ü
SD UtjOyL^SjSklb6bLrL4tZiSrLjjScLiS^`_F{cFiStle>icLyD^`h6FrKyD^Fh6mtcFbFtZcL^jStyS6cFt_>FiSjStlyD6cFiDkls`b?FyFb>FyFiSbFpjSi`eLgScFiD α ©¨ xxx
*Ã$¥¦
§ ã1õ
&ô
Â5/ Æ
(õ
C
σ(a, t) =
∞ ∞ X j X 1 [−(2k + 2)c a] α = κc1/2 v t−α/2 + 2 t−j(1−α/2)−α/2 . Γ(1 − α/2) j!Γ((1 − j)(1 − α/2)) j=0
qyFb iScFi iSSyL^`^`tsSkhjvStklaUiScFt\FcFiDkls`g>FiSyDh6rLa6^ mnjvj`hFpaUiS_ b6rF aUklaUiDi`ksSyFbiDtklcFs`=tlgLeL}60gSFplyFhbL44tc6cFh6iShvjStScFklcFb6i eLbFkliSt iSaDSiScFbFts`\Fg2cFiS_ yL^`jScFtlbFeL\FbFcF\FiSb6_cF 6YeLiDklaUiDklα/2 s`b x = a aUiScFt\FcFU [Ì Ì ¹¢ü Zü eË]ü]þ]ÿ
÷ V§ÿBø4ÿnþ]ÿ ]ü]ÿ Xs`iSyL^xh p^xrL^~\L^F}yFt{tcFcL^xh UtyL^SklbL4iSjSz(d!rLjSb6tcFbFtj`hFpaUiSUFyFD iS_ b6rLaUiDkl}¬s`jSbyL^`4tl^`O]rLbFaU4iDbL^`ka6hklbLF^xi>eFpgS^xcFrKz^`4cFb
,º
©º
k=0
¸¿
C
1
2
1
· ³ ∂2 ∂ 3 ∂ ρr r = κ ∂t2 ∂r ∂r 3
α 0
t ϕ(r, t)
´¸
,
2
r1 6 r 6 r 2 .
§iOyFt{tcFbFtqrLi`eF cFiO~rLiSj`eLtlsSjSiSyShFs`gcL^~\L^xeLgScFzDkeLiSjSb6hL
¯ ∂ϕ ¯¯ =0 ∂t ¯t=0
ϕ(r, 0) = 0,
b yL^`cFb6\FcFzSkeLiSjSb6hL
Sj yL^xO^`]bF FyFb6eLbFF^`cFbFt\L^Skls`bF cL^Wkls`tcFa6^x¬Y UcFaF FbFb b j cL^~\F^xeLgScF_8iD4tcFs?jSyFt4tcFb t = 0 FyFtlrLFi`eK^`^`]sDk¨hyL^`jScFz4ϕbv(t)cF~eL!ϕjD4(t)tkls`t kli kljSiSbLX<4\Lb>^SFklyFs`cFiSiDbFHpjSi~keLrLUcF\Lz^`4tSbn}6YaUiS rK^ f^xeLi Fi2klyL^`jScFtc6bFBk r ¤ Fi~r6 r −r =δ {bFFcFbFavklaUi`eLg`tcFb6hK¦} ϕ(r1 , t) = ϕ1 (t),
ϕ(r2 , t) = ϕ2 (t), .+
1
2
σ(r, t) =
κr1 r2 rδ0
α 0
1
t ψ(t),
0
2
1
ψ(t) = ϕ2 (t) − ϕ1 (t),
cL^`FySh6tcFb6h cL^FiSjStyD6cFiDklsh6 rK^`]sSkh jSyF^xtcFb6hL4b σ(r1 , t) =
κr2 δ0
α 0
t ψ(t),
σ(r2 , t) =
κr2 δ0
α 0
t ψ(t).
(12.11.1)
^S4ts`bL} \Fs`icL^`FyDh6tcFbFt?cF^jScFt{cFt_WFiSjStyD6cFiDkls`b4tcFgS{t2cL^`FyDh6 tc6b6h.cL^?jScFUs`yFtcFcFt_ j r /r yL^`pSYRüqyFbF\FbFcL^>s`iSi>\FbLkls`i tiD4ts`yFbF\FtklaU^xhnm
2
1
SSª + > &x 7 FyLiO^SklpF^`yFaUtliSrLcFtlOeLtrLcFtH_LkliSs`cFjSb b6h>Fib>yLF^`yFpiScFs`zbFjSi~6rLeLt_LiSkls`^xjSrFb6hLh?iS}SSb2tqaDkliSb6cFeL F
" *Ã
Å,§ ã 1õ
(õ
1
%!
C
cL^`FyDh6tcFbFt s`i~t bL4ttsOl^`yL4iScFbF\FtklaFbF_ jSb6r
ψ(t) = A sin(ωt)
³ κr2 απ ´ A sin ωt + δ0 2
σ(r1 , t) =
kliWk¨rLjSbFiD! ^`p }fp^`jSbLk¨hFtBiSs Y ^`FyDh6tcFb6hj.\FbLkls`iWUFyFUiS_klyFtlrLt aUi`eLt`eFZsSk¨hHklbFcL ^`pcFi k?rFjSb6tcFbFtαBFiSjStyD6cFiDkls`t_n}8j \FbLkls`i.j`hFpaUiS_£klyFtlrLt krLjSbF ^`pqkliDklsx^`j`eFhFts π/2Y
8
z±{ z±
[Ì,º[Ì,º
ç
î ç
,æ|ï³
º<ý þ]ÿ]ü]ÿý ö #¿Ë
³Û ç|
¹
©Ë
X ¡°B F´ b6HeLaFbFcFc6bFrLyFb iD! k>Ñ FyLtyF^Stk4kftcF^`s`cFyFiSbF_£jD6^`teLsSiSk¨h^xrLbFgSpleLU\FttcFi bFkltt\FptjScFUb6a6h ^StklaUY iS cFt^\FcFyLz^Sk Fa yFU eLz» kls`i~hFcFbFb r iSsviDklbn}84cFiSivSi`eLgS{t
i
9
c ϕ(r, t) = − 2π
t−r/c Z
p
˙ 0 )dt0 S(t c2 (t − t0 )2 − r2
,
rLt c d.klaDiSyFiDkls`gpjSUa6^FY8XjSi`eLcFiSjSi`_WpiScFt?iDklcFiSjScFU*yFi`eLgbFyL^`tsiS`eK^Skls`g pcL^~\FtlcFbF_ t − t ∼ r/c }6sx^`a \Fs`i24i cFi kl\FbFsx^`s`g −∞
0
(t − t0 )2 −
r³ r2 r´ 0 ' 2 t − t − . c2 c c
XyFtp~eLg~sx^`s`t Fi`eLU\L^`t£FiSs`tcF FbL^xe 1 ϕ(r, t) = − 2π
r
c 2r
t−r/c Z
−∞
p
˙ 0 )dt0 S(t t − r/c − t0
=−
1 2
r
c 2πr
1/2 −∞ S(t
− r/c)
Ü
h3
S#´
ã"õ$5ã5&â § ã> Ä5/ Æ
*Ã$¥¦*Ã
bvklaDiSyFiDkls`g
∂ϕ 1 √ ' v(r, t) = ∂r 2π 2cr
[Ì,º[Ì,ºÌ
t−r/c Z
p
¨ 0 )dt0 S(t t − r/c −
ì!ÿ]ü]ÿý ö −∞
Ê9Ô¿d
t0
1 = √ 2 2πcr
3/2 −∞ S(t
− r/c).
©Ë
Sj i`eLcvkqXU^x\F ts`cFiDiS_ Fp^xiSrK eF^iS\Ft_vtcF^`b6aFh Dklbvs`bFyLaF^Sb>kklhFtlj`hFeFcFhFb6th sSkb6h yLj2^Sklkl\FyFttlrFs tSFYKyFoqipDjSi~tOklrLs`cFtc6iLb6}Fh \Fs`pi2jSU^SaU4iS6jSeLb6 s`rK^ 6eLiDklaUiS_.jSi`eLcF }¬yL^SklFyFiDkls`yL^`c6hF]t_Lk¨h.j`rLi`eLg iDklb z }nUSjD^`ts>p^vkl\Fts FiSeLiStcFb6h>FiOa6klFiScFtcF FbL^xeLgScFiD42p^`aDiScF A(z) = A(0)e−γz ,
rLtqaDiS qbF FbFtcFsFiS eLiStc6b6h γ p^`jSbLklbFsiSsO\L^SksSiSs`¢pjSUaDiSjSiS_?jSi`eFcF } γ = Y s~^`c6rK^`yFs`cL^xh2qiSyLf^qkliSiSs`cFiS{tcFb6hO4tlOrLjSi`eLcFiSjSzv\FbLkeLiDH¤ÅrFeLbFcFiS_ γ(ω) jSi`eLcFiSjSiSlijStaFs`iSyL^D¦ k }6\L^Skls`iSs`iS_>b>aUiS qbF FbFtcFs`iDWFiS eLiStcFb6h>bF4ttsOjSb6r
k=
ω + iγ(ω), c0
rLt = a ω Ñ 5Y ûÖs~^aFjD^xrLyL^`s`bF\FcL^xh p^`jSbLklbL4iDkls`gL}`i~rLcL^`aUiL}SbL4tlts4tkls`i eLbF{γ(ω) gqjZDkeLiSjSb6h6f^xeLiSiZFiSeLiStcFb6hn}x\Fs`i ^`aFs`bF\FtklaFbjDklt rK^ZklFyL^`jStlrFeLbFjSi rFeFh.l^`piSjL}TcFi rFeFh rLyFUb6¬}nSi`eLttO6eLiSs`cF.klyFtlr
}
p^`jSbLklbL4iDkls`g γ(ω) 4i~ts iSa6^`p^`sSgDk¨hiSseLbF\FcFiS_OiSsZaFjD^xrLyL^`s`bF\FcFiS_nY`XW\L^Skls`cFiDkls`bn}xjqj`hFpaDiS_OklyFtlrLtkiS\FtcFg jSzkliSaDiS_?sStl6eLiSFyFiSjSi~rLcFiDkls`gSaUiS qbF FbFtcFsFiS eLiStlcFb6h>aFjD^xrLyL^`s`bF\FcFiOjSiSpl yLjSz^SklklsxiS^`aFtlb6s¬Fm yFb2cFbFpaFb6 \L^Skls`iSsx^xOb2FyFbF`eLb6O^`tsSk¨h2a2FiDkls`i~hFcFcFiS_ jStleLbF\FbFcFt]FyFb ½ } a ω , ω→0 γ(ω) ∼ X!yL^`SiSs`t ` ÖFyFtlrFeLi~tcL^Sai`eL, tt iSSω→^xhW∞.kls`tFtcFcF^xh£^`FFyFiSa6klbL4^` Fb6hn} Fi~rFaFyFt6eFhFtf^xh yDh6rLiDa6klFtyFbL4tcFs~^xeLgScF?rK^`cFcF.¤ P= · = n=¥¹K}Usx^``e
YL6Y ~¦m 2
2
2
2
0
Â
ÝÜ
γ(ω) = aν |ω|ν , ν ∈ [0, 2].
] ntlrLbFcFbLs`bv^`FFyFiSa6klbLf^` FbFb>jOtlrLbFcFUBqiSyL4~eL &É
FyFbFjSirFhFU¡a kliSiSs`cFiS{tcFbF
γ(ω) = a0 + aν |ω|ν ,
k=
ω + i[a0 + aν |ω|ν ]. c0
SS [Z4cFi~ bFjOiSStq\L^Skls`b tiOcL^
&x 7
" +*Ã
−ie pν (k, ω)
peν (k, ω) =
Z∞
dx
Å,§ ã>1õ
}FrLt
Z∞
(õ
1
dtei(kx−ωt) pν (x, t),
d¢s`yL^`cLkqiSyLf^`cFs~^ UyFgSt¢¤ Fi
−∞
−∞
¬+
1 ∂pν ∂pν =− − [a0 + aν (−41 )ν/2 ]pν (x, t), ∂x c0 ∂t
41 ≡
∂2 . ∂t2
~iXrLjScFtliDrF4htlcFyFiScFjSiD4t2FrLtyFyFiStS4cFti`cF¥cFrLbL t τq=tyFttcF− Fx/c bL^xeLgSbcFiSf4 (x,UyLτ^`)jS=cFtecFbFp s`(x,t6eLτiS)F}`yFFiSyFjSb6i~SrLi~cFrLiDbLkls`bna m 0
a0 x
ν
ν
∂fν (x, τ ) = −aν (−41 )ν/2 fν (x, τ ). ∂x
üqi`eK^`l^xhbLkls`iS\FcFbFa.pjSUa6^?cL^xDi~rFhFbLfk¨h.j 6eLiDklaUiDkls`b }np^`FbF{t¢yL^x cFbF\FcFiStvDkeLiSjSbFtvjWjSb6rLt f (0, τ ) = p (0, τ ) = p (τ ) }§xsSiS=rK^W0 kliSiSs`jStsSkls`jSUz jSUtt?6t4eLiS.s`yFcFtiD{kls`tg cFbFt?jSyL^`bFpbFcFsSs`k¨thyL\F^xteLyFiDt p?irLcFiD4tyFcFUklbLf4ts`yFbF\FcFUDkls`iS_F\Fb6 g (τ ; ν) ν
ν
0
1
pν (x, τ ) = (ax)
−1/ν −a0 x
e
Z∞
³ ´ g1 (τ − τ 0 )(ax)−1/ν x; ν p0 (τ 0 )dτ 0 .
cF¡X bFka6eL^UiS\L^`yLt^`bLcFbF4\FFtcFeLcFgDiSkl_?cFiSrFeLi?bFbLs`kltls`eLiSgS\FcFcFiDbFkls`a6b ^F}TyFb6teL{btcFcLbF^?t S6i`yFeLbFgScF{bLiDf^`tyLs ^SkjSklb6s`r i~hFcFbFbiSs?bLkls`iS\6 −∞
pν (x, τ ) = (ax)
−1/ν −a0 x
e
³
g1 τ (ax)
−1/ν
´
; ν Q0 ,
Q0 =
Z∞
p0 (τ 0 )dτ 0 .
üqi?4tyFtyL^SklFyFiDkls`yL^`cFtcFb6hvbL4FeLgDk^2ti rFeLbFs`tleLgScFiDkls`g2yL^Skls`ts?6yFiSFiSyF FbFi` cL^xeLgScFi x }U rLt x dOFyFiS_6rLtcFcFiSt]jSi`eLcFiS_2yL^Skkls`i~hFcFbFtS}6^S46eLbFs`rK^tZjSi`eLcF USjD^`tsFyFiSFiSyF FbFiScL^xeLgScFiiSSyL^`s`cFiS_?jStleLbF\FbFcFtS} x Y −∞
1/ν
−1/ν
SÑ
1õ7
"
}, î
S YòÀô /ø #ÿ÷oö 2÷ üqyFbFa6eL^xrLcL^xhOf^`s`tf^`s`bFa6^qbO4tlU^`cFbFa6^¹ · }SS6q¤ Ñ DD¦Y 6Y UV Ë rK2i¦V _GµZ`§ §x_KYei¦`baX K®X f±_\ \ h¯ I GIMz yFw L¸
}~ SªF ¤ ÑÑÑD¦Y FY À£Ye`¶X WKYe`¶Ë gt¬ o +I Y~ K·n}¬~6O¤ ÑÑF~¦Y L?Y ÊkrKaaXZa=_GË gNXZY¼j sÀ ko +I IGO szqI NO mJ I w +H yF ½ ¯FY N}~ ¯ LNI L I Y6d ; F Y p m wL {NO I ;}¬F ÑÑFSn Y 2F +F K´n¹K}¼ Y v GF GF 67Y £Ë g`¶Xe +XZVº d§xXZiZV XZY´ ][V 2=XZa¢U ÊkrKaaXZa=_GË gNX+Y0j mÀ ¯LYNn 2F Y~m z Y ù Y · ´n}FªD`#ª ´2¤ ÑÑDS¦Y ªF Y ¬_ ª2i}r=§ §x_K`ba_KY WK`dÀ Nn ~ LNL ù +IGL 2F +F ±n¹K}¬ ¤ Ñ#´U~¦Y ´U7 Y ¸]XZaXZYk¬ ¾ GF MOGI n ;F F }¬ Ñ DFY ~ GF IMz yF YS=d MOGI ±m È F sIM F Y ¬_ ª2i}r=§ §x_K`ba_KY WK`dÀ o Y { NI GI Y I ¤ ¨¦Z¹K}¬ªFO¤ Ñ#´U~¦Y ÑF Y ¥(Y rh 7[ ¯LNY ~ LNL n 2F Yn¹6´n}L6~?¤ Ñ 5´`¦Y F?Y [_+fMV X ´ £ ³jrKYe;` « ¨ d\ N¯LY IM o +I IGO K·n}n >¤ ÑSSªD¦Y SS?Y d W7÷7Y mùJ ñ^~÷oUöva6 ^F}T Ñ#÷ ´´Uû§Y eLt4tcFs`BcL^SkeLtlrKkls`jStcFcFiS_4tlU^`cFb6aFbs`jStyDrLvs`tle
Y ~6Y ÷ ^xeLg\FAbFò!anös}L `SS FY Rû§eLt4tcFs`rLyFiSScFiSibLkl\FbLkeLtcFb6h b b6>FyFbL4tcFtcFbFtSYFd FSY j£+Ë gNr;X fMV©YDÊ d 0^ J m n 2I }¬ ÑSN I ÑFIGY O J +I éIM p yF ZI GF I wL NO LGY ~ (V W;gN_KÍ n [ ¾}¬ GÑ#ª2´ _KLaY `¶XZY¼\ 0J u I F YO d { Å I m ;F F ~6Y Ng`¶Xe +XZVº ][V 2=XZaqU ¯L2Y n 2F Y ~m z Y ù Y · ¤n}L`D+ ´2¤ ÑÑ D¦Y ªF?Y *ô ñxòÀôä S¿ ³ -ôxñxøs VüqtyFtlDirLcFtFyFiS Ftkkl jWeLbFcFt_FcF klbLkls`tf^x¬Y6d WY m
o }¬ ÑSªFSY o´UDY 9 ñþ ñ qtFcFtZrLyFiSSbnYUd WY m ^~UaU^F} bFpf^`seLbFs~}
Ñ#´ FY F?Y ¨ di;XZaY XZ`bi}XZYj ¸ ~ NO Y z Y z YK´L¸
}L` ¤ `S U¦Y ÑFY oñ nb6rLyFirLbFcL^S4bFa6^FY6d WY m ^Ua6^F}T ÑSSFY `FsY ¬gNXZaä^ NY n 2F Y p Y ·· }K`ªSF¤ `SDS¦Y 1 0
J -J
('
ÇJ
9J
0
R$ &Y
'
ÂS3 Z TÝS(Y
1Q0T V"Q0 Ü
(
Ü
QS
¬J
J
J
?J EJ
R
V
ÇJ
J
R$TÝQ S
EJ
YÝS /3TÝQ0T /S(V" 9Z ('
ÇJ
P Z S(V"
$Y T
TN
('
$R åTÝQ
0S(Y
P *N
V$T N( Z åT /
R$TÝQ S
¦Ò3Ò
T X- V
('
R
J 9J
$Y T
V$ YÝS /3TÝQ0T
EJ
J
6 G
&P Z V$S(Y
?J EJ R &Y &TÝQ S(Y $ $1 Y Y T V R Z X 11V"S(X-TÝQ S(Y-S(V$ $ Z S&Q3R$ Ü Q3P Z
(3 -T V R åTÝQ
S 3S Z T V & Z &P E Z Y T V
S3T /3TÝQ S(Y Ð S P1 ÂS3R
1J 1J
.J 1J
&Y &
Ü
&
wJ -J
$
È"4&Ú
J ÇJ
¬J
E R"S*NT Z
'
J R$ E Z Y T V
-J J Q S&1 X-TÝQ 9Z
1J
R$
*'
¬J
5
R$ V &X- V &Y &TÝQ S(Y Z T V & Z
J
R
Z
R$
$Z S&Q3T &V"S(Y
T V$ S Z-Ð T 3Q YÝS /3TÝQ
S(Y QP$Y P
ÂS3R
V
&
"
+
ÇJ ³J E 7Jù¬J BG "C ¬¬ + G
1
J ¬J"ø
BG
?J ØJ
V &
ÂS3R
ù 5*4Bù¬J J 9ù "9Ú"<Ù.J ÇJC J
R$T V
R
0å
QR
('
('
BG
"
Z U
%
ís\ït\ r
u
Õ Õ Ö ç
¿ ç
c
nm
ÑèßÚãèç k
ógwp
/ãèâ á%åys
Ó s
g
E ! Fb yFiSaUiSt>FyFbL4tcFtcFbFtvs`tiSyFb6h£rLbL qUpbFbcL^xSi~rLbFs j ti`eLiSbF\FtklaFb6 bltiDqbFpbF\FtklaFb6.p^xrK^~\L^x¬}nrLt?iS ntaFsx^S8b4i~rLtleLbFyFiSjD^`cFb6h hFj`eFhF]sSkhFyFi` rL FtbFkiDkl^`¡aFs`rLbFjSjSb6cFt.cFb6bWh s`iSyFa6UklbFcF\Fs`iScFjSWiSjSsxiDr
irL}TiSl^`jvpF^?yFb iSbFcFptjSqi~rKs`b kls`j>jD^ cFtjqFs`itrLcFpiDtkl4cFcF.keL6yLi~h6^`¬cFb6}TeLyLb6^x ^x¬Y ýf^Skkf^`s`yFbFjD^`tsSkhyL^SklFyFiDkls`yL^`cFtcFbFtkli6yL^`c6hF]t_Lkh 6bL4bF\FtklaUiS_klU` klqsxiS^`yLcFf 6bF^` FbbF\FtyFY tqpÖtFi~i`rLeLcFcFiSiDy6kli~s`rLgScFiDklb6s`eFb2bq\LiS^SyLkls`fbF^`\F FcFbFi]b2cFF^SyFkli~hFj`eFthFcF]cFUsSkh2jSji~rLcLiS^x_qeLbFt\Fi`bFeLb?iSyLbF^`\FpleLtkliDaF4UiS j bvcFiSs`_nyF}4taU^`bFyFcnS}FiScLeL^`bFsxcF^Sp4bvbK¦FY iSynaF}FjSp^`iSFpgi`eLcFs`tcFcFklyFtl?rLrLS}§yFUkibLjD4klbt44bbFcFkltjSyLiS^xbLeK4^Sb£4bcFtl¤i~aFrLjDcF^`iSyFyF Fi~trLcF}LiDkleLsb6h6 4b£FyFtlrKkls~^`j`eFhF]Ui~rLcFWkeLU\L^`_FcFU yFt^xeLbFp^` FbF cFtaUiSs`iSyFiSiklsx^`s`bLkls`b6 \FcFtb6klh>aDiSrLjSi>b6^`cLtsSk^Skh>4`rLeFbLh klqyFUtlr
c6rL}TbFFyFiUr]rLt_L^xklh>s`jSklUbFDtkl<sx^`klcFbU FeLb6Bhn}6sh6\L^Sklts`klbFs` Fb baUiSyFs`^xiSrLyFbFiSt_>cFsxiS^ Ss`rKt^`aUj`^`eL]tls cFcFtzF4yFbiScFFbFiS Ls`^`iSta64^S4bnt}~jScLa6^xeLrL]i`eL\FtiZcFb6phn^Skl}Ts`FyFttyFjDt^`cF]iDs]khFjZsSk¨Fh iSyLcL^x^?Sbi`FeLyFgS{iScFbFbFt LyL^`t^S4kkls`i~hFjScFa6b6eLh]F\Fi~tcFrLb6pth68¬ Y ©yL^`taFs`iSyFb6hvaU^xOrLiS_ sx^`aDiS_ \L^Skls`bF FFyFtlrKklsx^`j`eFhFtsSk¨hvjStklgDf^cFtyFt~eFhFyFc6iS_ eLDibFrLcFb6bFeKt^S_nkl}ng sxrL^`i`aUeLiS_ iSt2cFbFjSs`yFgSt 8hklivbW4r6cFeLi~bFcFcFtkls`jSiDy6¢iSjSUcFptleL.aUUiS\Lj ^Sjvkls`4aUtiSkljsx^x¤¥6¬yF}niSSrLtt iS\LjU^S¦kl}
s`bFrL Lt?^ iScLcL^x^ rLjSbF^xeK^SklgL}xFi~rF6jD^\FtcFcL^xhFirLpt4cFz FiSs`iSaDiD/Y ýf^`p64ttsSkhn}`FyFiSStbOs`bOcFt hFs`iSj`\FeFthF\F]cFsSzkh4b>FyDiShLS4yL^`i`peLiSbFjDcF^xtcF_Fb6cFhLz44bnb.}DcFiSiOs`yFttkpeLa6bn^S}64klbna6^x}¬yL^`tjScF}Ui>jOa6F^`ta yFjSb.iDWUpFtlyFeLbFaF`b eLcFb6thFtcFj`bFeFb>hF]FsSyFktlh cFtSyFt\FgiSs`a6eLiScFtcFbFtWFyFiSStiSjiSsFyDhL4 iSs`yFtpaUiSjL}U^UptleLaDiSjdiSss`iS\Ftan} s`i 4Fi`eLU\FbL£cFtaUiSs`iSyFtqiDklcFiSjD^`cFb6h2rFeFh iSSyL^`tcFb6h?av4irLtleLb « XZY ï
z¸äB{ z
|.
|,Â
D
&É
,
hf6
F~
" +> á
#õ
&xx ('
"§Â
N'
1Æ Â5/x
cL^ FyFiDX¡kls`FyLyF^`iDcLklkls`s`tjS_Ft{cFcFti`< jSjDyF^`tyF4bLt^`cFcFcFs`iSt_rLs`iSbL_.^`8yLi~^SrLftl4eLtvb Fs`yFyLtl^`rKtklaFs~s`^`iSj`yFeFb6hFh tsSa6k^xhHOj.rLiSjS_b6rL\Lt>^SkleLs`iDbFf F^x cFiS_ eLbFcFbFbn}~aU^xOrL_klt4tcFs]aUiSs`iSyFiS_ L^`yL^xeFeLtleLtciDklbaDiSiSyDrLbFcL^`s¤ StklaDiScFt\6 cFiOSzkls`yFiStqrLjSb6tcFbFtS}8u~Fi`eLtsF|D¦b6eLb iDklb jSy6t4tcW¤ FyFtSjD^`cFbFtqjOeLiSjSU{aDt~¦Y ð eLbFcFBs`b6klt4tcFs`iSj>bjSyFt4tcF^?FyFtSjD^`cFb6hcFtp^`jSbLklbL8Bj?FyFiDkls`t_F{t_ 4i~rLtleFbnm¬s`brLjStOqUcFaF FbFb klUs`g>jDkltS}K\Fs`i s`yFtS`tsSkhpcL^`s`g?rFeFhiSFbLk^`cFb6h¤ j klsx^`s`bLkl]s`bFD\FkltDkOaUrKiDH^xh!k46zeLiSks`eLcFt~¦iDklsxs`^`baDiSyLi^SklrLFjSyFb6tlrLtltleLcFtb6cFhnbUY h keLU\L^`_FcF!jSyFt4tc Fkls`yFjStUS]s jD^`eLcFbFb6{hvg j?rLeLjSiSt jSUF{yFiDaUkl^xs`¬}Kt2^`jSqs`iSiSyLyF4~eL B4cLrF^~eF\FhWbFcLsx^`^`]aFψb6s> k(t)yLU^Ss`kljSFtyFyStlOrLrLtleLtcFtcFb6bFhn_ }T\Fds`i FiSkla6U^`p^xtlT s`tleLgScFiSt ψ (t) ∝ e bvkls`tFtcFcFiStS} qiScFt\FcFiL}~s`iSs ^`aFsx}x\Fs`iqs`b qUψcFaF(t) FbFb∝eLttaDiqrL. bL qtyFtc6 FbFyFiSjD^`s`gZbObFcF(13.1.1) s`tyFb6 yFiSjD^`s`gL}LcFt4i~ts>keLD bFs`g>qbFpbF\FtklaFbLiDklcFiSjD^`c6bFtH4i~rLtleLbnY¬«i`eLttklUtl s`kls`iSjSs`tbFcFa6cF^ zyL^SklhFFj`yFeFtlhFrLttlsSeLkthcFb6s`h iL}4jSyF\Fts`4i tbLcFb24tFcFtcFyFi jSiSs~^`iqaUrLiS_¢iDkls`¤¥klb6s`tFtcFtcFb6cFh2iSp_K^x¦rKjS^`b6cFr£cFiSbL_O4s`tiSt\Fs.aFb ^SklrLbLbL4Z6 Fqi`UeLc6UrL\FbFtyFc?UrF]eFh tjS_ yF\Lt4^Sklts`cFbFb Fp ^x}¬6FjDyF^`s~b ^aFs`UiDS bF\Fωtkl=aUiS1/2 _>SYnyFwziSUcLcF^xiSeLjDiSklaDbFiS\F_2cFeLiS_ jSUyF{tpaDiSeL_ gxsx^` s>Y Se qi.cFtvkeLtlrLSts.jSb6rLts`g.jWkls`tFtcFcFiS_qUcFaF FbFb¤ FY SY ~¦s`i`eLgSaUiWkeLtlrF keKls`^xjSh bFs`t!tiSrLyFbLb6 h qyFUtlpeKbF^`iSa6cFkcF^` FbF iSc66cFyFiS? FthFkj`kleLiStjLcF}?bFD_niS}FsiSh FbLcLkl^ jD^`s`tiS4_ ?iDklpcF^`iSaDjSiStBcFiDFiDqkls`i`yFeLiSgStyFcL^~^ U{ F^xtl []b6eLg`hLf^x X^`sSk^FY rLtleLtcFb6üqhyFjSiDiSklps`cFiSbF_ a6F^`yFts2bL4b tynj>}¬FrKyF^`iDcFklcFs`t_6_ {j t_ }¬b6rLFyFiSa6irL^`pbFcL^SjD4^`tbFs~\F}Tt\Fkls`aUi iS_sx^`paU^xiSrK_ ^~\Fs`tbFd .s`yLt^S\FkltFcFyFbFtlt üqD^`pt_6eFh2jaFyFU eLiS_?s`yFUStS#Y ýf^Skk4iSs`yFbLiSs`yFtpiSa2s`yFUS
i 0
T
−µt
−ω−1
T
Ä *
_ 0
L
^Skls`bF L^OkZsx^`aUiS_ klaUiSyFiDkls`gSFyFiDi~rLbFsrK^`cFcF_ iSs`yFtpiSa>p^jSyFt8h v(r) = v0 (1 − r 2 /R2 ),
=
T =
eFh>\L^Skls`bF n}6rFeFh aUiSs`iSyF ð
bn}LkeLtlrLiSjD^`s`tleLgScFiL}
0 < r < R.
L L = (1 − r 2 /R2 )−1 . v(r) v0
}
T >t ¶ µ 2 û û L L r >1− , = (T > t) = R2 v0 t v0 t û
ψT (t) = −
d (T > t) L = t−1−ω , dt v0
ω = 1.
x&x5'5>x
F keLtlrLcFtüqtyF4bLi4ttyFsZ S}4i~s`rLg]cLF^`i`aDeLiLU}8\FcFtt>cFi]p^SrF4eFthc6sxhF^`]aFsb6rLiSklaUbL^`kls`p^`ts`tl}xeLaUgD^`klas`jDt^Fi`}
eLrKiS^bFb£\FtjSklyDaFh6bFr£teLkls`b£yFUFa6i` s`UyF Y qi2jSiSs2\Fs`iL}KcL^?4iS_jSp eFh6r
}KjD^x c6i?plrLtkgLmKFiDklaUi`eLgSaF>j?yF^S4a6^xvFyFi` 8b Tb FyFtSjDF^`i`cFeLb6cFh iDjOkls`eLgSi` jSkls`Ut{_Fa6{^xtL_¦?¤¥8kqi~cFrLttlpeL^`b jSbLklbL« 4 zX 4bvs`i`FeLyFgSiSaDSitrL^SjS4t.b qRUcFbvaFjS FyFbFtb 4tψcL^S(r) iSFyFtlrLtleFhF]s?FyFiS Ftkk`}Ks`i>klUtkls`jSiSjD^`cFbFt^`jSs`iD4i~rLtleLgSc6iS_^SψklbL4(t)Fs`iSs`bFaFb jSiSpl 4i~ c6iOeLbF{gOj keLtlrLU]b6>\Fts`yFtl keLU\L^xh6¬m ¡f
á"¥¦
¬ +
#
,
R
Z∞ 0
Z∞ r
Z∞ 0
Z∞
rψR (r)dr < ∞,
ψR (r)dr ∝ r
−α
,
Z∞ 0
tψT (t)dt < ∞;
Z∞ 0
rψR (r)dr < ∞,
Z∞
ψR (r)dr ∝ r −α ,
Z∞
t
T
tψT (t)dt < ∞;
ψT (t)dt ∝ t−ω ; ψT (t)dt ∝ t−ω .
X FtyFjSiD keLU\L^`tW^SklbL4Fs`iSs`bF\FtklaU^xh\L^Skls`gHyFt{tcFb6h « XrLiSj`eLts`jSiSyDh6 ts?iSS\FcFiD4?rLbL qUpbFiScFcFiD4>UyL^`jScFtcFbF}KjSi?jSs`iSyFiDd klUFtyDrLbL qUpbFiSc6 cFk iDrL4yFiSSk>cFiSrL_HyFiSFSyFcFiSiSbF_HpjSklis`rLtFcFtiScF_HgS FiWjS^`yF6teK4^StklcFbLbn^`}ÖcLbn^F}Ö}4cLjW^`s`aUyFiStcFs`tgS nt}Ö!jWd£\Ftkls`UjStrLyFbLs` iDq!6dplbFrLiSyFcFiScFSiDcF4i` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiD4FiaUiSiSyDrLb6cL^`sx^SbWjSyFt4tcFbWUyL^`jScFtcFbF ^`cFiDf^xeLgScFiS_ rLeLbLb rKq^`cFUcLpbF^xhbn+Y klüqbFs`yFSiS^`` FeLb6thf^F~}`rLs~iS^`j`aFeLbLtWs`jSiSiSSySyLhF^`tps2iDDk}SeLkliSjSjSi~bFrL bFsS^`kh jSs`a iD4jSiSi~FrLyFtleLiDgSklTcFiDmxrLkls`tbn_L}Lkls`DjSiSbFss`htleLSBgScFij a6^\Ftkls`jStqFyFiD4tl Us`iS\FcFiS_v^SklbL4Fs`iSs`bFaFb , cFiDkls`g. FyF^`bFyDFh6bLrLkl>k jD^`s`tsSbLk¨¡hH¤ \LcL^S^`klps`iSbFjS Lt£^S¡trL³i bLóx òÀqôöoUõ[c6ÿOrLbF¦yFFUi~]rFSi~trL_HiDklU}FDj2klsxaD^`iScFs` FiSbFyFbniD}§Hkk^SeLfU^\L^`_6t klyF tlqrKbF^? FFbFi`teKcF^`s~l^ ^`trLsSbLk hqirLUcFpbFiSb.yFi~cFrLt2cFiSp_^`jS¤ bLtk¨t hFfsv^`iSs`s tyFaUbLiS^xiSeLyDgSrLcFbFcLtO^`sDaD¦iS}8kl UqbFtkl Fs`bFjSt`cFts`sv!b.s`rLbFyFLU^>aUiSi`_n } Si`eLtt qbFpbF\FtklaFb6_WFirFDi~r
YnX¡s`iD öoùJ÷-ôx÷*ÿFi~rFSi~rLt keLU\L^`_FcFiDkls`gL}¬s`iS\FcFttS} rLcFtjSyFb6ttsSeFkhFhyFcLrL^xts`h2tcFyLt4i~bFrLcFcFbFiSyFyFiSijDrL^`cFcFiDcFklzs`gL}DFiSSyFyLbF^`FpbLiDkl jDF^`i tlksDeLk¨Uh>\Lk^`yF_FtlcFrLiqtS}DyL ^Sklb6FrLi`aUeLiDi~kls`gtcFjcFzaUiSs`iSFyFyFiSb6_ DiSseLbFjSiS_WqiSyL4aU^`cL^xeK^S¤¥4irLtleLgkeLU\L^`_FcFiS_WklyFtlrL]¦Y ^ cFtaDiSs`iSyFzbLk a6iSs`eLcF]t\FklttcFcLbF^ta }¬s`iDeL4]2D^xb6h eLb>4i~bFrLcFtliDeL4g 2Fs`tbFyFFtScFYLiDqk^?iScFj aF6yFiSts`yFbFbLpkl^`s` FiSb6_Wh?kyFtlt rLt 4i4rLi~tleLb ts>iDSklUs`g>tkleLs`tj`eFaUh6i tsSkhkljSiS_Lkls`jD^S4bvbL^`yL^S4ts`yL^S4bFyFiS 6tkk^2`eLDOrK^`cFb6hvj2FtyFjSiDkeLU\L^`tS}Lb klsx^`s`bLkls`bF\6tklaUiSi2^`cLk^S4`eFh>keLU\L^`_FcFi` cFti~rLcFiSyFirLcFiS_>klyFtlrL¢d jSijSs`iSyFiDY r
t
,
8
F
z¸äB{3±
hf6
" +> á
'
e
~
$
î ¶|ï ~~³
#õ
&xx ('
"§Â
N'
1Æ Â5/x
| |·
k 4zkeLt~X#¦?yLklj`^`hFSpiS^`s`s`t gOs`b<FyFrFtljDrF^eLi~s`bFLtc!^£iS4FtbLs`kli~^`r
cF}qb6FhniSY(pýfjSi`^SeFkhFk4]iSs`yFbFbL_ /¤ jFi`kleLsxU^`Ss`tbLklklaUs`iSbFcF\Ftlt\FklcFaDiD _ Fb6eLbFc6rLyn}8p^`Fi`eLcFtcFcF_.yL^`cFeK^S4bn}
FSkls`iSsS/4tlOrL aUiSs`iSyFz4bWbkliSplrK^`]s F i`eLqc6th6aFh?sFs`iSiSyFsObLiSkls`s`iDyFklts`pbniSa?ml Fb6b6rLeLaUbFiDc6klrLs`yLgz^FyFyLiD^`kcF^~\FeKbF^SjD4^`b tsS4k¨hq¢\FStyFrLttp§FDFkli`s`eLiSUs`\L ^`Y7s`üqgiSyLjS^`s`piSeLyFbFcF\FicFp^xt Fkls`yFjSiDiSkljDs`^`yLs`^`gOcLklkls`jSjSi~th cFcFñ tyL^SklmFyFótl÷-rLô tlxeLøBtùJcF÷ob6øBh ù ω }LaU^xOrLiD4>bFpaUiSs`iSyF SrLts2kliSiSs`jStsx H
Ç94 "&<"
ÀQÁ¶ (x)/SÃQĽŠ] ,
tcFb6h>iSS FyLb6^`eLpbF`tc6s rLLy yL^`jS^ cLb2^xh?6eLiSiSs`cFiS^x{rFb tcFFbFi`eLcF6iSeLiSikl^xt\FrLtb?cFcFb6t hp¤«^`ý§c6bLhFk`s`YKiS _>FYl~yL¦^`Y cFv~eKcFi~^S4b>tkl\Ls`^SjSkli s`Ωb kl=t\F{ω} klsx^`s`bLkls`bF\FtkaFbF_^`cLkl^S4`eLgs~^`aFb6£klyFtlr
}f^ 4i~tsyL^Skkf^`s`yFb6 jD^`s`gDkh?]a6S^`iSa pcLkeL^~\FUbF\Lj?^`_F\FcLt^xyFh>tp yFt^xeL¤ bFÇ p} ^`¦Z Fb6aDh>iScFcF FttaUcFiSs`s`yLiS^`εyF FiSbF(x) iFrL∈yFbLiS [0, Fqtk1]Ukc6^FrLY bFyFU]t_ b6rLaUi` kls`b.j>rK^`cFcFiS_ yFt^xeLbFp^` FbFub.klyFtlrL ω ∈ Ω}np^`FbF{trFeFh.cFttrLbL qUpbFiScFcFiSt UyL^`jScFtcFbFt ∂u ∂ u ε (x) =K (13.2.1) ∂t kZyL^`cFbF\FcFz4b DkeLiSjSb6hL4b ∂x , t > 0, 0 6 x < ∞, εω (x) = [S
ω
&G
ω
ω
ω
ω
2
ω 2
X jSi~rs`iSi?UyL^`jScFtcFb6hiDklcFiSjD^`cvcL^>keLtlrLU]b6kliSiSSyL^xtcFb6h6¬Y i` FeKiS^SFkltc6yFit\FpcF^`aUiSt cFkl t\FtbFcFa6b6^h aU Fi`b6eLeLbFbF\Fc6trLklyLs`^jD^ b6rLaDiDb kls`bn}6FyFi~}LDkliiSrFiShFs`jStt_?sSklps`^jStjScFyFcFti
h yL^`dtjScF\F tyFtp x=x x=x uω (0, t) = u0 = const,
uω (x, 0) = 0,
uω (x, ∞) = 0.
+
1
2
dQ1 = −Kω (x1 )
∂uω (x1 , t) Sdt, ∂x1
dQ2 = −Kω (x2 )
∂uω (x2 , t) Sdt. ∂x2
§bLk`Yn FY Sm J 2,#&-9+:eO2)#.B+E!9+%#)+ !Yo.B+# !HJN# )%#0*$7 0*$%Kñ ý
7¨ RG7o2[
F~ yLoq^`pp4cFtiDcFklts`cFgSbF tBaUi`eLbF\Ftkls`jD^ b6rLaUiDkls`b j keLiSt (x , x ) p^/jSyFt8h dt rK^`tsSk¨h á"¥ á
$§Äâ> #
1
2
¸ ∂uω (x1 , t) ∂uω (x2 , t) Sdt, − Kω (x1 ) dQ1 − dQ2 = Kω (x2 ) ∂x2 ∂x1
^p^bFcFs`tyFjD^xevjSyFt8tcFb ∆Q(t1 , t2 ) =
·
d bFcFs`tyL^xeLiD
(t1 , t2 )
Zt2 ·
Kω (x2 )
¸ ∂uω (x2 , t) ∂uω (x1 , t) − Kω (x1 ) Sdt. ∂x2 ∂x1
qiOp^`aDiScF?kliFyF^`cFtcFb6h f^Skkl ¤ s`tiSyFt4tc6tFyFtyFjScFiDkls`bK¦ t1
ü
Zx2 ∆Q(t1 , t2 ) = [uω (x, t2 ) − uω (x, t1 )]εω (x)Sdx.
qyFbFyL^`jScFbFjD^xhs`bjSyL^xtcFb6hn}xFi`eL^`l^xh (t , t ) = (t, t+δt)} (x , x ) = (x, x+ b Dkls`yFt8eFh6h δt → 0} δx → 0}FFyFb6Si~rLbL£a UyL^`jScFtcFbF δx) x1
ü
1
εω (x)
∂uω ∂ = ∂t ∂x
µ
2
Kω (x)
1
∂uω ∂x
¶
2
.
üqyFbf^xeLaDiScF FtcFs`yL^` Fb6h6v b6rLaDiDkls`b `s bFjScFz# FiDkls`ihFcFcFz#aUiS qbF FbFtcFs`iD rFbL KUpb64b i~ KcF}i?iSps`^SaF4~trKcF^¡bFs`b*g>keL tlqrLStta6s UyL^`jScFtcFbFt ¤ FY 6Y ~¦Y ^`FbF{tHs`tFtyFg keLU\L^`_FcFU!FiSyFbLkls`iDkls`g jSbLk¨hFt_ iSs aUiSiSyDrLbFcL^`skly6tlrLcFt_2FiSyFbLkls`iDkls`b ε b?kεeLU(x)\L^`_Fj?cFiSjS_ b6rLZtOeLklU6aFfs`4D^`B FbFc6b tFpi`^x yFbLkls`iDkls`b η˜ (x)m (13.3.1) []yL^`jScFtcFbFt ¤ FY 6Y ~¦§jOs`iDkeLεU\L(x)^`tq=FyFεbL+4tηs jS(x), b6r ω
ÁE¶ 9 8~³´æ|,ÂE¶·
z¸äB{åä
ω
ω
ω
ε
ω
∂uω ∂ 2 uω ∂uω + ηω =K . ∂t ∂t ∂x2
X LFiSaU^`p^`cFiL}`\Fs`ij yFtp~eLg~sx^`s`tzFyFiDk^\FbFjD^`cFb6h b6rLaUiDksSb \FtyFtpzFi` Fy bLkls`U¢klyFtlrLFyFiSbLk¨Di~rLbFsuø !ÿD÷ +øÝôò ñxòBñ òSm~cL^qjSDirLtbFpz Fb6eLbFc6rLyL^ZrFeLbFcFiS_ LÀ1Àr r aUiSc6 FtcFs`yL^` F¤bF d2uyL^`}Fp4rLtiSy>j`eLyLt^`s`cFjSiS~eTyDhF¦Ö]a6klUFtyFUbLyL4^`tjScFcFsxt^`cFs`bFiSy cL^``eLrK^`tsDklyFtlrLcFtcFcFU ¯
å
*4
5
"
ω
ε
∂huω i ∂ ∂ 2 huω i + hηω uω i = K . ∂t ∂t ∂x2
(13.3.2)
hf6
Fª
" +> á
#õ
&xx ('
"§Â
qyFtlrKklsx^`jSbLZeLUaFs`UbFyFU]UaDiD4FiScFtcFs`2FiSyFbLkls`iDkls`b
ü ùAò/ ò °ô1ñ÷°*÷Jó/ôx÷*<xò!ø!ø3
rLt
N'
1Æ Â5/x
ηω (x)
jjSb6rLt
d FS^SkkliScFiSjDklaFbF_?FyFiS Ftkk`}
ηω (x) = (−1)N (x) A,
N (x)
û
(N (x) = k) =
(µx)k −µx e , k!
k = 0, 1, 2, . . . ,
bpcLA^~\FdZtlcFcFb6tÖhLp4^`jSb bLkhFm ^xh iSszcFtiZkeLU\L^`_FcL^xhjStleLbF\6bFcL^]k§rLjS68hyL^`jScFiSjStyFihFs`cFz4b ±a
XyFtp~eLg~sx^`s`tqDkeLiSjScFiSi>¤ FyFb
hAi = 0, A=a
hηω (x)|A = ai = a
∞ X
¦b>StpDkeLiSjScFiSiSklyFtlrLcFtcFbF_ Fi`eLU\FbLm hA2 i = a2 .
(µx)k −µx e = ae−2µx , k!
(−1)k
k=0
wzcL^xeLiSbF\FcFziSSyL^`piD}rFeFhBaUiSyFyFtleFeFhF FbFiScFcFiS_B UcFa6 FbFbBFyFb cL^xDirLbLm hηω (x)i = 0,
hηω2 (x)i = a2 .
x2 > x 1
hηω (x1 )ηω (x2 )i = ha(−1)N (x1 ) a(−1)N (x2 ) i =
= a2 h(−1)2N (x1 )+N (x2 −x1 ) i = a2 h(−1)N (x2 −x1 ) i = = a2
∞ X
(−1)k
[µ(x2 − x1 )]k −µ(x2 −x1 ) = a2 e−2µ(x2 −x1 ) . e k!
o 4tts 4tkls`i2keLtrLUZ^xh s`tiSyFtf^irLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^`cFbFb m k=0
Ç '( ÙVø/ ò!øBùJú³ñxò0÷7ùJ÷-ôxõ©M ñxò0Mñõ©MÄ94ñ"&<"÷7ñ n÷7ù ÿ*ô÷oö ø0÷°*÷ó/ôx÷*x< ò!ø!φøåx [ηω (·)]0 0 dø¬ñ"4* ò!öoõ[ÿ ÿoùAòÒÿoùþ>òBø0&#ÿ ÷ 5*oñ"xòÒÿ ηω (x ) x < x è ê* ùJ÷
hηω i = 0
d hηω (x)φx [ηω (·)]i = dx z¸äB{/ë
-
µ¹iï|.
¿ À d ηω (x) φx [ηω (·)] − 2µhηω (x) φx [ηω (·)]i. (13.3.3) dx
76 ¢
| ~|
ì,,~𳶷 ~| |
î ï ~,~
^`6eK^SXk^tyFFcFiOtjSfyFkth4s`ttcFFbnt} yFgaUyL^`jScFtcFbF ¤ FY FY S¦Y8XFi`eLcFbFjFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt
ελˆ uω + ηω λˆ uω = K
d2 u ˆω , dx2
u ˆω (0) =
u0 , λ
#xN1À[ x +x7
á"¥ òdÅ.Æ. #>
DklyFtrLcFbLtiOFi
÷
ω∈Ω
Fo´
õo$ 5xx"§
1 #
b Am
ελhˆ uω i + λhηω u ˜ω i = K
d2 hˆ ui , dx2
hˆ u(0)i =
u0 . λ
o klFi`eLgSpxh>s`tiSy6t4?irLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^`cFbFb.¤ FY FY D¦}UFi`eLU\FbL
(13.4.1)
d dx
À ¿ d dˆ uω , hηω u ˆω i = −2µhηω u ˆ ω i + ηω dx dx
(13.4.2)
¿ À ¿ À ¿ À dˆ uω dˆ uω d2 u ˆω ηω = −2µ ηω + ηω . dx dx dx2
(13.4.3)
üqi~rKkls~^`jSbFj!j¤ FY LY D¦WjSs`iSyFU FyFiSbFpjSi~rLcFU Fi }OcL^`_6rLtcFcFU bFp ¤ FY LY S¦}UFiDkeLtqcFtkeLi~ cF?FyFtiSSyL^`piSjD^xcFbF_?Fi`eLU\FbLrFeFhvxqUcFaF FbFb
'
'
ˆ (x, λ) = hηω u W ˆω i
keLtlrLU]ttqUyL^`jScFtcFbFt
¶ µ ˆ ˆ d2 W a2 λ dW ε¯λ ˆ 2 W = + 4µ + 4µ − hˆ uω i, dx2 dx K K
kZcL^~\L^xeLgScFzDkeLiSjSbFt ˆ (0, λ) = 0. W X<^SklbL4Fs`iSs`bFaUt Si`eLgS{b6 x yFt{tcFbFt s`iSiOUyL^`jScFtcFb6h 2
c (x, λ) ≈ − a λ W 2K
Zx 0
dξ
p
h ³ ´ i p K/¯ ελhˆ u(ξ, λ)i exp − 2µ + ε¯λ/K (x − ξ) ∼
∼
a2 √ λ1/2 , 4µ π ε¯K
λ → 0.
FeXhF FFbFi`b eLcFbFjviSSyL^`s`cFiSt FyFtiSSyL^`piSjS^`cFbFtZ ^`6eK^Sk^F}n^`jSs`iSyF ÖcL^`{eLbWaUiSyFyFtleF -
hηω uω i =
1 2πi
;
ˆ (x, λ)dλ, eλt W
Fi~rLklsx^`j`eFh6h>aUiSs`iSyFtqjv¤ FY FY S¦}66yFbF{eLbva>UyL^`jScFtcFbF C
ε¯
∂ 2 huω i a2 ∂huω i √ =K + ∂t ∂x2 4µ π ε¯K
0
3/2 t huω i.
hf6
F
" +> á
#õ
&xx ('
"§Â
N'
1Æ Â5/x
w qx
sw
x x+dx
§bLk`Yn FY 6m I)E^?. ,+%5aVaXEb-%+% ý
-
µ|³¶| ç| ~~³
z¸äB{
x
| |·
X yL^`SiSs`t }yL^`pjSbFjD^`]t_ FiZklUs`bs`iztÖcL^`FyL^`j`eLtcFbFtS}yL^Skkf^`s`yFbFjD^x tsSkh2cFtklaDi`eLgSaUibFcL^xh?kls`yFUaFs`UyL^klyFtlrL mDs`yFtlF4tyFcFiSt]FyFiDkls`yL^`cLkls`jSip^`Fi`eFcFtl cFFiiWSaDtiSkls`FiSiSyFyDzh6!rLiSb6\FrLcFtzsWF4yFiScF Fitktk>kls`cFjSiSiDyLf^xFeLtgSyFcFtiSF_£Us~rL^`bLcF cFqWUpbFbFbnSYÖaFX*b6. FjStli`eLeLiDiSaU}§iSs`cyF¤Us`SyFaFUbHSiSaKs`¦b } bL4t]sOs`tc6rLtcF FbFiSyFbFtcFs`bFyFiSjD^`s`gDkh?j`rLi`eLgiDklb 5Y üqDkls`g dOi~rLcL^bFpqs~^`aFb6 s`4yFtlUOSrLiSacL«¤ ý§^`FbLyLk`^`Yj` eLFtY cFSbF¦l} t<σ iDkld.b 6eLiSb iD^xklrLgSg tlt>eLFt4iSFttcFyFsxt^>\Fs`cFxyFiSUSi aFklbntY[\FüqtcFωyFb6tlhnrL} Fθi`eL(x) d.}¬U\Fi`s`ei i L b s6`yFeLUiDSklaDaFiDbWkls`pb^`Fi`eLcFtcFjSjScFi~trLFbFisSrLkjSh b6xjS ivcFjDiS_.klt s`yFb6UrLSaUaFiDbWkls`gSyL^SklY8s`X jSiSyn4}TiDrL4bLtcF sqjSUyFc6trL4bFtyFcFUb ]t=bF_W0Fij cFbL£j kliSiSs`jSxtsS=kls`0jSbFb kqp^`aUiScFiD bFa6^FYL©niSrK^ ¸ *
ω
ω
Ñ+
∂uω (x, t)σω dx = qω (x, t)σω cos [θω (x)] − qω (x + dx, t)σω cos [θω (x + dx)] ∂t
WbklUklDiSkliSsxs`^`cFcFiS F{bFb tcFb bFtOtt cF6teLFiSyFs`tcFyFiDkljSs`cFgSiD¡kls`s`bWiSa64^ tlOrL aDiScFjO FrKtcF^`s`cFyLcF^`iS F_ bFs`tyF_.UrLSbLaUt qUpc6^`rLFbFbFyF{Ut]sSk¨hvt_j q (x, t) ω jSb6rLt ω
∂[qω (x, t) cos θω (x)] ∂uω (x, t) =− . ∂t ∂x
iSD^`jSbLklrK^p^`aUiSc bFa6^Fm ð
+
qω (x, t) = −K0
∂uω (x, t) ∂uω (x, t) = −K0 cos[θω (x)] . ∂l ∂x
üqi~rKkls~^`j`eFh6h jSs`iSyFiStOUyL^`jScFtcFbFt j FtyFjSiStS}nFi`eLU\FbL¢UyL^`jScFtcFbFtOcFiSyLf^xeLgScFiS_ rLbL qUpbFb>j`rLi`eLgs`yFUSaFbnm
∂ ∂uω (x, t) = ∂t ∂x
½ ¾ ∂uω (x, t) K0 cos2 [θω (x)] . ∂x
eLtlrL`h> FbFs`bFyFSt4iS_ yL^`SiSs`tS}6FyFtlrLFi`eLi bL}F\Fs`i p
K0 cos[θω (x)] = ε¯ + ηω (x)
(13.5.1)
Ü
#xN1À[ x #x
FÑ dcFbLk£eLUp\LcL^`^~_F\FcFtcFbF_ t FyFiS Fb taDkk`iS}¬yFyFcLtl^`eFFeFyFhFbL F4bFtiSyncF}
cFkliSsx_ ^` FqbFUiScFcLaF^`yF FcFbFt_ _ l^DkkliSj>FyFiS 6tkk klivklyFtlr6 ε¯ á"¥
Å,5x Ä Æ. #5
÷
õo" #xx"§
1 #
hηω (x1 )ηω (x2 )i = a2 e−µ|x2 −x1 | .
rLtklg a b
-
1/µ
FyFtlrLFi`eK^`l^`]sSkh f^xeLz4bnY
³Û
76 ¢
ª| |
z¸äB{
ï¹iï|,
| ~|
ì,,~𳶷 ~| |
î ï ~,~
[§klyFtlrLcFbLWs`tFtyFg?¤ FY 6Y ~¦8Fi ω }DFi`eK^`^xh σ klsx^`s`bLkls`bF\FtklaFb?cFtlp^`jSbLklb6 m θ (x)
4iS_>iSs
ω
ω
∂ 2 hui ∂ ∂ 2 ∂hui − ε2 = 2¯ ε hηω (x) ∂u(x, t)/∂xi + hη (x) ∂u(x, t)/∂xi. 2 ∂t ∂x ∂x ∂x ω
qiSyL4qeL iScFq FiStjScFbFs`yLaUiS^`jD F^~b6 h uUyF(x,U F t) hF Lj`}¬eFhF~ tsSkh qUcFaF FbFiScF^xeLiDiSs
å+
ω
'
*
ηω (x)
YüqyFbL4tc6h6h
À X À ¿ ¿ k Z Z ∞ ∂u 1 δ [∂u(x, t)/∂x] = dx1 . . . dxk Ψk (x, x1 , . . . , xk ), ηω ∂x k! δηω (x1 ) . . . δηω (xk )
rLt x , . . . , x ) d]6eLiSs`cFiDkls`g ð eFh>Ψp^x(x, rK^`cFcFiSi η (x) k=0
k
R
1
_ aF64~eFhFc6sSWkeLU\L^`_FcFiSiFi`eFh
R
k
k+1
ηω (x)
Y
ω
Ψ1 (x, x1 ) = hηω (x)ηω (x1 )i = a2 e−µ|x−x1 |
b
X
Ψk = 0,
rLt
hηω ∂u(x, t)/∂xi = a2
Z
k 6= 1.
0
[∂hf (x, x0 , t)i/∂x] e−µ|x−x | dx0 ,
R
^xeLttS} ð
f (x, x0 , t) = δuω (x, t)/δηω (x0 ).
hηω2 ∂u(x, t)/∂xi = hηω (ηω ∂u(x, t)/∂x)i = a2
Z ¿ R
δ(ηω ∂u(x, t)/∂x) δηω (x1 )
À
e−µ|x−x1 | dx1 ,
hf6
D` keLtlrFiSjD^`sSteLgScFiL}
" +> á
¿
δ(ηω ∂u(x, t)/∂x) δηω (x1 )
bn}6cL^`aUiScFt n} ¿
ε˜2
∂u(x, t) ∂x
À
À
= a2
= δ(x − x1 )
#õ
∂u(x, t) + a2 ∂x
Z ¿
&xx ('
δ 2 ∂u(x, t)/∂x δηω (x1 )δηω (x2 )
R
∂hu(x, t)i + a4 ∂x
Z2 ¿
δ 2 ∂u(x, t)/∂x δ ε˜(x1 )δ ε˜(x2 )
À
N'
1Æ Â5/x
"§Â
À
e−µ|x−x2 | dx2 ,
e−µ(|x−x2 |+|x−x1 |) dx1 dx2 .
cFbF*¤ qFyFY 6bLY ~4¦t} c6h6h qUcFaF FbFiScL^xeLgScFiSt rLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^`cFbFt a UyL^`jScFtl R
ü
¸ ¸ · · ∂fω (x, x0 , t) ∂ ∂ ∂ ∂ − fω (x, x0 , t) = 2 (¯ ε + η ω )2 (¯ ε + ηω )δ(x − x0 ) uω (x, t) ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x
b>FyFtcFtSyFtl^xh>\6eLtcL^S4bn}LklirLtyDO^`bL8b a b a }6Fi`eLU\FbL 2
4
∂ 2 hf (x, x0 , t)i ∂[δ(x − x0 )∂hu(x, t)i/∂x] ∂hf (x, x0 , t)i − ε¯2 = 2¯ ε ∂t ∂x2 ∂x
b
∂ 2 hu(x, t)i ∂ ∂hu(x, t)i − ε¯2 + 2¯ εa 2 2 ∂t ∂x ∂x
Z
(13.6.1)
∂hf (x, x0 , t)i −µ|x−x0 | 0 e dx . (13.6.2) ∂x
FyFbFjSi~rFqbFiDsSkkeLh ta>rLrLiSyFjSiSi`SeLcFgSi`cF i£rLbL yFiDq4tliSyFpltrLcFaF Fb6bL¢^xeLjSgScF\FiSbL4k eLUtcFyLbF^`jS_cFtklcFbLbFkls` tf^¤ FY ªFY ~¦ ¤ FY ª6Y `¦ R
ü
∂ 2 hu(x, t)i ∂hu(x, t)i = K0 +η ∂t ∂x2
rLt 0
4
z¸äB{
1/2 t v
1 =√ π
Zt 0
s¶·¸ ð
(t − τ )−1/2
0
1/2 ∂ t
2
hu(x, t)i , ∂x2
dv(τ ) dτ + v(0)t−1/2 . dτ
zrLbFc bFp]4ts`irLiSjf^`s`tf^`s`bF\6tklaUiSiiSFbLk^`cFb6hOFyFiS Ftkk^qcFtkls~^` FbFiScL^`y6 cFk iSU_ ^`yLq^`b6aFeLs`g~ts`yFyLc6^`z FHbFb rFkeF hbLcFft^`ttcL4^xiSeL_bF \FbFb6trLHaDiDFklyFs`iSb s`iSj \FFcFi`eLUS¤ t~kl¦aDiSbcFpt^S\FklcFs`iSiS__FcFFiSyFbFkl¤ Ss`¦iS_ piSklcvyFtliDrLkt cF]iSjSb6?jD^`rKt^`sSj`keLh tcLcFbF^2_ klbLkls`t4tOqtcFiD4tcFi`eLiSbF\FtklaFb6>UyL^`jScFtcFbF_vrFe6h kliSiSs`jStsSkls`jSD b ª Y p (x, t) p (x, t) (x ≥ 0, t ≥ 0)
1
²
2
∂p1 (x, t) ∂p2 (x, t) ∂ 2 p1 (x, t) + (1 − ²) =K , ∂t ∂t ∂x2
á"¥
% /A
D6
$ #&57"÷x"§
∂p2 (x, t) = γ(p1 − p2 ) ∂t
kZaFyL^`tjSz4b SkeLiSjSb6hL4b
`sX t6eLs`iSb6iSD4UyLtcL^`^OjScF4ttlcFOb6h6rL >²piSd£cL^SiS4 bnn} tK4cLd2^xhaUiSrLi` e6h<qbFF FyFbFiSts`cFiSs\FcFrLbL HqpiSUcnpbF} bnγ} Pd£(t)FiDkld2s`i~phF^xcFrKcL^`^xc6h cL^xh.p^`jSbLklbL4iDkls`g>rK^`j`eLtcFb6h cL^ FiSjStyD6cFiDkls`b iSs jSyFt4tcFbnY8©yFtS`tsSkhWcL^`_Fs`b yL^xrLbFtý4cFts{rK^x^`h2j`eLjSts`cFiSb6yFh>iStzcLbF^pZUs`yLiS^`_ jSFcFiStjScFtbFyS_?6cFklbLiDklkls`s`tb 4p<(t)b2F≡i~rK∂pklsx^`(x,j`eFh6t)/∂x| h yFtp~eLg~sxY ^`sjFty6 jSiStS}UFi`eLU\FbLm (13.7.1) rLtqiSFtyL^`s`iSy iSFyFtlrLtleLtc ( kliS−iSs`KcFiS {t)pcFbF(x,t t) = 0, p1 (+0, t) = Ps (t), p1 (x, 0) = p1 (∞, t) = p2 (x, 0) = p2 (∞, t) = 0. &É
s
0
2
ú
ú
ú
2
2 x
1
1
2
+ (1 − ²)γ − (1 − ²)γ 2 e−γt
qtFiDklyFtlrKkls`jStcFcFiS_?FyFiSjStyFaUiS_>4i~ cFiO6StrLbFs`gDkhn}6\Fs`i
b
ú
2
x=0
p1 (x, t) ≡ [²
t
© p1 (x, t) ≡ e−γt [²
½ q −γt = e ²
+ (1 − 2²)γ − (1 − ²)γ 2
t
ú p1 (x, t) =
+ (1 − 2²)γ − (1 −
²)γ 2
0
0
−1 γt t e
(ú −
√
iSs`aFrK^bLklaUiD4_ yL^xrLbFtcFs
K
x )( ú
+
√
0
K
x )p1 (x, t)
−1 γt t ]e
¾
ª
p1 (x, t)
p1 (x, t).
(13.7.2)
= 0,
p p0 (t) = − 1/K ú p1 (0, t) = q p = − 1/Ke−γt ² t + (1 − 2²)γ − (1 − ²)γ 2
−1 t ]p1 (x, t).
XyFtp~eLg~sx^`s`t ^`aFs`iSyFbFp^` FbFb>UyL^`jScFtcFb6h.¤ FY ´UY ~¦§bL4tt t
XFyFtlrLtleLgScFiD*keLU\L^`t kl6eLiS{cFiS_<FyFiSs`iS\FcFiS_
p
0
−1 γt t e Ps (t).
1/2 t Ps (t).
XHrLyFUiD£FyFtlrLtleLgScFiD£keLU\L^`tZd2kl6eLiS{cFiS_>p^Skls`iS_FcFiS_>piScF
p 1/Ke−γt
1/K q
0
γ − γ2
0
−1 γt t e Ps (t)
=
²=0
hf6
DS
" +> á
p
γ/Ke−γt 0 p = − γ/Ke−γt
=−
−1/2 t
#õ
p
t
&xx ('
"§Â
− γeγt Ps (t) =
−1/2 γt e 0 t
1/2 t Ps (t).
^`aUiScFt n}Uj keLU\L^`tqiSsSklUsSkls`jSb6hvf^SkkliSiSD4tcL^4tlOrL?piScL^S4b
p0 (t) = −
p
0
√ 1/K ²
N'
1Æ Â5/x
γ=0
b
1/2 t Ps (t).
v¢bL4tt£plrLtklgOs`iSst y6tp~eLgxs~^`s~}F\Fs`iOb jOFtyFjSiD£keLU\L^`tS}6cFi kZUjStleLbF\Ftc6 cFz£aUiS qbF FbFtcFs`iDWrLbL qUpbFb K = K/² Y - jSi`eLc<jXÚkeLyLiS^`bLSkliSs`s`iSt _
0
0
µ|³¶~¹
z¸äB{
7
Z 3P
åT /
α ˆ (−iω) ∼ α∞ [1 + (iωτα )−1/2 ],
üqrLyFt tτiSSyLb ^`τpi`jDd^xcFqbFbFtZpbFbFp \Ft\Lkl^SaFklbFs`tiSFs`cFiDiSkls`_>i~jShFiOcFcFjSyFttS4}xUt^`cFyLcF^`Ua6¡sStliSyF`bFeKp^SUkl]s`b?iSbFFt]yFkltljSrLiStl_LeLktsScFjDb6^qh>4rKi^`rLttlsFeLm bnY ˆ β(−iω) ∼ 1 + (iωτβ )−1/2 ,
α
β
h i α(t) = α∞ δ(t) + a(t/τα )−1/2 , β(t) = δ(t) + b(t/τβ )−1/2 .
. G#}| > +
D cFüqtyF_2jSiSs`_va6eL\6bFeLa?tcklyFj?tlrLF yL^`}DjSsSiSiS_ rK\L^^SaUkl^`s`a2bjSa6s`^xiSOyFrLiSiS_ \6i2eLbFtpc?iSs`s`b6yLv^xjS^`tyLs^xtt]tcFLbF^S_ 8hFrKs`^`gLtYFs?Z4klcFcFiSiSjSjScFtc6t UyL^`jScFtcFb6h>yL^SklFyFiDksSyF^`cFtcFb6hv^`aFSkls`bF\FtklaUiS_>jSi`eLcF¢FyFb s`iD£bL4t]s jSb6r á"¥
-ã $§Äâ> #
(
ρα ?
β?
∂p ∂v =− , ∂t ∂x
∂p ∂v = −Ka , ∂t ∂x
rLt K diS nt4cF_O4irL~eLgqUFyFUiDkls`bOjSiSplrLDU^F} p d^`aFDkls`bF\FtklaDiStrK^`j`eLtcFbFtS} v a d>yL^`klpaDcFiSiSyFjSiDbUklrLs`cFg2iD\Lkls`^Sb?kls`rLbFyF FiS SYTcFo iSklia6eLs`]tleL\Lt^xhvyL^SbFqpcFiSs`b6ivUUyLyL^`^`jSjScFcFttcFcFb6bFh _ rK^`j`eLtcFbFtS}LFyFb6Si~rLbL &É
a
∂2v 1 ∂2v − +A ∂x2 c2 ∂t2
Zt
∂ 2 v/∂t02 0 ∂v √ dt − B = 0, 0 ∂t t−t
rLt A b B d>p b6pbF\FtklaFbFtFiDkls`i~hFcFcFtS} c = c /√α d klaDiSyFiDkls`g2j2FiSyFbLkls`iS_ dklaUiSyFiDkls`gjSi`eLcFHjkljSiSSi~rLcFiDFyFiDkls`yL^`cLkls`jStSYðyFiSScFt klyFtlrLtS} s`tleLtyL^Scq=cFtqρ/K UyL^`jScFtcFb6h>bLkkeLtlrFiSjD^xeLbLklgj yL^`SiSs~^x F}¬Ñ nb>rLynY 0
0
0
3
a
D~
e
z¸äB{
∞
Â
ç|ï³´æ|,ÂE¶·
s`bFjSiSjSt©nk tFyLiS4c6bFhF½c s`bFóx òÀô rL÷ bL qUWpbFÒ¤ bnó/Y8ôx÷oX ø os`þ ixö jSoyFñ tx8òxh¦4a6S^`aWe>rLjSbLjS tlrLqtc2Upjb6hWyL^`FSyFiStls`rKt kls~`^` j`TeFjhFFtsSyFki`h a6yF^`iSa jD^`kcFeLcFUiS\L_K^`¦Z_FcFkyFiStltrL`tSeL}nDFOtyFrKaU^`i`cFeFbFhFt F\Lb6^ShWkls`4bFz FHkeLj bFsSyFkth.a6eF^`hFa.yFcFyFiSt_eF¤ ihFrLyFcFcFiSiSyFti~rLrLcFjSiSb6_rLtcFts`bFttyL4¤Å bFcFb6rFb6 aUiDksSb¬}Ds`t6eK^F}SleLtaFs`yFbF\Ftkls`jD^D¦fjkeF6\F^`_FcFiS_2klyFtlrLtSYDX£a6^~\6tkls`jSt]4i~rLtleLb sx^`aDiS_ yFklyFiStl_ rLF y6tliSrLSFi`\FeKcF^`i.l^`bFtklsSFkhi`eLpgS^`pc6UhF]s`s.z¢FtkyFbFjSitrLyFbFi~\FhFts`klcFaFiDUkl s`gS yFt{p tb.s`aFklSjS}§iSSa6i^xrLOcFrFz<_HkUjSpttlyFeHihFaUs`iScFs`i`i` kls`gS Y iSjSiSaFUFcFiDkls`g]p^`c6hFs`kliDkltlrLcFb6 rLyFUkÖrLyFUiDUpleLiSjZiSSyL^`pU]s a6yLeK^Skl^SFkls`yF1−p ttlynrLYtleLtsxcF^`b6c6hrK^`a6yFeKs`^ScFksSztl4yFb2iSjqp^xFrKiZ^yL\L^`^Sp44b tyLs`^StiSyFbbFb rLyFFUtyFbLaUi`eFhFt FiDbF4bOts`hFyFj`bFeF\FhFt]klaFsSbLkh vbFUp^`UyL\F^`taFcFs`bFtlt yFbLkls`bFaU^S}xiSFyFtlrLtleLtcFbFtÖsx^`acL^`pjD^`t4iSiFiSyFiSl^FyFiSs`ta6^`cFb6hdZjStyFi~hFs`cFiDkls`b }FyFbaUiSs`iSyFiS_qa6eK^Skls`tyklsx^`cFiSjSbFsSk¨h StklaUiScFt\FcFz}bqrLynY ^`yDh6rLZkfUpleK^x p=p 4bvbFpU\L^`]sSkhvbkjSiS_Lkls`jD^ klj`hFpt_n}FaUiSs`iSyFt4iSUs Ss`g a6^`a FyFiSjSi~rFhFbL4bn} sxj^`\La ^Sklb.s`cFs`UiDklFs`bFbnaD}SiSrFjSeFzh?4bFbpU¤ux\F4tcFtyFb6s`h2jSlzeL4taFb.s`aUyFiSbFcF\F Lt^SklaU4iSbn_2|D¦FY
yF©
iS^`jSaFi~rLbFbLt244iDiklrLs`tlb?eLkb.eLUbL\LklF^`i`_FeLcFgSp U]leLsStkaUhn } s`yFbF\FtklaFb6> FtFt_nY üqyFiDkls`t_F{t_.4i~rLtleLgSFyFiSjSi~rFhFti>aUeK^Skls`tyL^vkO4tyFs`jSz4bWaDiScF L^S4b hFj`eFhFtsSk¨h s~^`a cL^`pjD^`tf^xhyFtSt{aDiSjD^xhO4irLtleLg2«¤ ý§bLk`YK FY D¦Y ÖkeLbux4tyFs`jSt 1<"
å 1 ( "
¬
*
c
hf6
D
" +> á
'
#õ
&xx ('
N'
1Æ Â5/x
"§Â
§bLk`Y
FY Fm &*)+?/ !9#"/K+%# !+;IHJ?95.!0*$7&*)6%A&-O2 dO2)+&*^&* ?/ !Yo.!"AQ 2,#&-9+:Dñ aUiScF F |rLiDkls~^`s`iS\FcFirFeLbFcFcFtS}fb6£4i cFi.kl\FbFsx^`s`g StklaUiScFt\FcFz4bnYðjSb6tl cFbFtrLbL qUc6rLbFyFU]t_klUDklsx^`cF FbFbv~rLiSScFi FyFtlrKklsx^`j`eFhFs`g?kltStj2jSb6rLtrLjSb6 jSttyFcFi~b6hFhs`cFcFiDtklps^`hLjS4bLklbnbLYD4X£aU^xOf^`rLs`iDt yFbLU^xpleLeLgStcFFyFiSjSs`i~iSrF\FhFtan}xtU_ FklyLj`^`hFj`peFb hFt4iS\L^Sizkls`rLbFbL L ^ qDUSpi~bFrLiSbFcFs2cF¤zb64eLbb k>¤u~iSpUFLyF|2trLtlyFeLttScFtcF{iSa6_^DjS¦tbyFijShFiSs`pcFjSiDyLkl^`s`s`gSbFs`gD4khvi~iSs`ts`s rKU_F^?s`\FbKt¦yFj.tpSkiSeLaDUabiS\LjS^`U_F cFiSs`tUFjSbFyFaUt8iSjShnU}KyL^SjSkltFs`yFjStlg rLtleLtcFcFiStS}6a6^`a>bFpjStkls`cFiObFp s`tiSyFbFb SyFiSUcFiSjDklaUi`irLjSb6tcFb6hn}LkZ6eLiSs`cFiDkls`gS ý
q(t) ∝ t−3/2 ,
t → ∞.
XFtyFjStrLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLg`cFiStUyL^`jScFtcFbFtrLbL qUpbFbOSeLiklj`hFp^`cFi k yFtSt{aDiSjSiS_?4i~rLtleLgSjOyL^`SiSs`tý4Y>ý4Y qbFf^`s`~e6eLbFcL^ 6 Y v¢jSjStrLtWs`i UcLyL^ ^`jSScF tY cFbFtS}UkeLtlrLxh?Si`eLtt]FiSplrLcFt_2yL^`SiSs`tZXZY zY6wzyD6bFcF\FttjD^b³û]Y WY6«^SklaFb6 }y DStklaUüqiScFyFttl\FrLcFFii`eK^`Dlkl^xs`h2z4cF}Ui~b?FtyFkb6sScFjSbLifp^xUhnS}6gSt\Fjs`iyFrLtbLS t{qa6U^Fpb6}Dh2cL^`FFiyL^`cFj`bLeLWtcFcFcFiDklbF sj`iSrLSi`eL\FgcFiDklb_ U^`yL^`aFs`tyn}K^OrLbL qUpb6hvj2cL^`FyL^`j`eLtcFbFbviDklb x FyFiSbLkDirLbFs2s`i`eLgSaUi2cL^2k^S4iS_ ns`yFiSbF_cLiD^ klbn}~FyFtlrKklsx^`jSbLklsx^`c6rK^`yFs`cFiStÖrLbL qUpbFiScFcFiStÖUyL^`jScFtcFbFtÖrFeFhOqUcFaF FbFb $
0 1G
G
*
C
jOjSb6rLt
∂G − K4G = δ(x)δ(t) ∂t ∂2G ∂2G ∂G − Kx δ(y) 2 − Ky 2 = δ(x)δ(y)δ(t), ∂t ∂x ∂y
kliSiSs`jStsSkls`jSU]t2rLbL qUpbFbqjzyL^Skkf^`s`yFbFjD^`t8iS_qcFti~rLcFiSyFi~rLcFiS_q^`cFbFpiSs`yFiS6 Fc iS_2klyFtrLt]kaUiS qbF FbFtcFs~^S4bOrLbL qUpbFb K b K j`rLi`eLg kliSiSs`jStsSkls`jSU]b6 iDklt_nYFXFi`eLcFbFjOFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt ^`6eK^Sk^Fi jSyFt8tcFb b UyFgStqFi aDiSiSyDrLb6
x
y
Ç+
á"¥
. G#}| > +
DS
-ã $§Äâ> #
cL^`s`t x }FFi`eLU\FbL
µ
∂2 λ + Kx k δ(y) − Ky 2 ∂y 2
4t{tlcFbFt s`iSiOUyL^`jScFtcFb6h>bL4tts jSb6r ý
¶
˜ y, λ) = δ(y). G(k,
£ ¤ exp −(λ/Ky )1/2 |y| ˜ G(k, y, λ) = . 2(Ky λ)1/2 + Kx k 2
^Ok^S4iS_>iDklb x iScFiOFyFbFcFbLf^`tsOjSb6r
Ã
λ
1/2
+
Kx 1/2
k
2
!
˜ 0, λ) = 1, G(k,
kliSiSs`jStsSkls`jSU]tt]rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgSc6iD4 UyL^`jScFtcFbF¡klU~rLbL qUpbFbnm
1/2 t G(x, 0, t)
2Ky
³ ´ ∂ 2 G(x, 0, t) − Kx /2Ky1/2 = δ(x)δ(t). ∂x2
(13.9.1)
[]yL^`jScFtcFbFtOs`i iSFbLkljD^`ts?yL^SklFyFtlrLtleLtcFbFtrLbL qUc6rLbFyFUb6\L^Skls`bF n}ncL^xDi` rFhFb6Dkh cL^iDklb x}FFiSs`iD4 0
Z∞
G(x, 0, t)dx < 1
bWkOs`t\FtcFbFtjSyFt8tcFb.6SjD^`tls>Fikls`tFtcFcFiD4p^`aDiScFTm¬jDklt Si`eLgS{^xhrFi`eFh \LiSyD^SrFkls`bFbFcL ^`s`j 4iD4tcFY s>ÖbFkpeF4b tyFttcFb6bFhcFs`iStaUyF^`tpkliSjDjD^`^`s`tgDsSk¨kh hvaDjSiScFiStyDrLs`bFiScL_^`s`iDiSkl_ bn}Ts`i>StltpkliSs`s`g>cFiDbLkl4bFts`ttls>eLgSaUcFi`i apUrLSg`yFh6U2iS_nyF}ntys`Sivt6={t0a6kls`^Fgv}6kyLeL^StlkrLkSft^`sOs`FyFi`bFeLjDgS^`ps`iSg jD^xjDs`klt gDk\Lh?^SUklyLs`bF^` FjScF tl}ncFjSbFa6teL ]\L^xxh.cL^xSi~rFhFbFtkh cL^ −∞
"
1/2 t G(x, t)
− (Kx /2Ky1/2 )
∂ 2 G(x, t) t−1/2 = δ(x) . ∂x2 Γ(1/2)
(13.9.2)
cFiDkliSüqSiSi~_?rL\FcFttyFi~aFrLcFcFtiSyF}6i~\FrLs`cFi iS_ kljS^`iScFbLbF.piSrLs`yFyFiSiSSFcFbFzb WklyFUtl^`rLyL ^`aF}Ls`jOtyFaUiSiDs`iSyFs`iSb>_ UFyLyF^`iSjSbLcFk¨tDcFi~b6rLh?bFsiS~rLhFbLpZ^x qUpb6hnY qtSrLgZttS}~s`iqtksSgZbL4t_\L^Skls`bF F£jStyFihFs`cFiDkls`gZFtyFt4t^`s`gDk¨hj`rLi`eLg x cF}xcL_ ^xDjSi~b6rFr hLklg]jScFts`iS_iDklb>¤ FyFb y 6= 0¦8UyL^`jScFtcFb6trLbL qUpbFbbL4tleLiqSiSS\6 0
∂2G ∂2G ∂G − Kx 2 − Ky 2 = δ(x)δ(y)δ(t). ∂t ∂x ∂y
rLtklgklyFtlrK^Ws`i~t^`cFbFpiSs`yFiSFcL^<¤ aDiS qbF FbFtcFs`rLbL qUpbFb jyL^`pcF Lc ^`FyL^`j`eLtcFb6h6qyL^`pcFt~¦}c6iZ^`cFbFpiSs`yFiSFb6hs~^zi~rLcFiSyFirLcL^Fm K b KK cFtÖp^`jSbLkhFs iSsaUiSiSyDrLbFcL^`s~Y
x
y
hf6
D`ª
" +> á
#õ
&xx ('
N'
1Æ Â5/x
"§Â
p USgStj iStyLaU^`i]cFFbFyF\FtltrKcFklcFsxiS^`_ jSbFrFs`eLgqbFcFklt S}Kt§FrKyF^xb6eLrKgS^`cFcFtbF_Ft{ttÖs`yLiS^`_vpjSrFbFeLs`bFbFcFtts`kiSeL_U\L4^`i~_FrLcFtliSeLbi jSDtl^`rFyLt^`cFaFbFs`ttl yL^F}8bFp4tcFtcFbFt¡6eLiSs`cFiDkls`bpUSgStjk2yFiDkls`iD }4bLklFi`eLgSpiSjD^xcFbFtkeLU\L^`_FcFi yLSgS^Stklj FyFj`tlrLrLi`tleFeLg tcFiDcFklb W}S¤ jSj2a6s`eLiD]\Ft\FcFbLbFkteL tbvjScFFti {rLcFyFb6 iSSklcFb6iDe
4}S?iSxSFtDkl^SFkltkl\FiSbFcFjDiS^`jD]klaUiDb642klpcF^`iDaUkiS\LcFF^Skl¦s`pbFD j`rLi`eLg x }6j`rLi`eLg xy }6j`rLi`eLg x b y }6jSjStlrLtcFbFtZaDiSyFyFtleFhF FbF_>cL^iDklc6iSjStS}UcL^`FyFbL4tyn} rLcFtyFcLiS^ScFjOiSyLi?^`SSiSyFsxiS^xU?cFwziSjDyDkl6aUbFi`cF\Fi2trLtjDjS^ b6¤¥ktcFb6YFhsx^`ba6s~Y¬t r
aFY8cF]bFs` \L^S kls`nb bvs~kl^>s~^`Fs`yFgSiS yL ^Sf¦fY ^?jSFi`eF
@
Ç (
i '(
}, î
S Y§x_KY¶f±rKV `baí¥ d[XZY «GrKcd`bi³[ ¯LY2n 2F Y Y ¹6·L¸
} +ÑD?¤ `SSD¦Y 6Y ±nI} þ 5´´2¤ `ñ SDS¦Y Iþ ñS 4]SiSpynY¬FyFbFa6e
Ynb.FyFiDY
f^`s`tf^`s`bFaFb F7Y l©Yr;Ë gNXZa2«GrKK_x¥ d]`b=_k´ MI±F ¹K¹K} +ÑD?¤ `SF~¦Y LY NgN_ ª`bYr® ml ]r fM`barKs§ ® Nn 2F ~B±n¹K}K`ª >¤ Ñ#´xD¦Y 67Y mr fM;`barKK_ Í ÊkX XZV£§ e¬ £ MI±F ¹U¸
}ÑSD?¤ `S U¦Y ªFY £_TÆ(=_Ka¢¨ (¥ ¯LNY u ¢z Y ¤n} D6 ¤ ÑD/ ÑD¦Y ´Uq Y ®_KY _GW;gN_K ´ ä F I n IGv =F n H I F YUd m wL NO ¨ MO }T ÑSSFY FY ÁsXZYeYe`¶WG_s[ d]Ë «S\ § Nn 2F Y o Y ¼· ´nx} ´U >¤ ÑS D¦Y ÑFX Y #dË gN_K` «K`baä® Nn 2F ~ · ¶K¶¬}FªD>¤ ÑÑSD¦Y F?Y Ísr;Ë g0Á m ][Y _GW"0\ mÀ Nn 2F Y u NF n¹K>} ÑSªD?¤ ÑSSD¦Y SSY mX f±XZai¦`bV gNrKs=X¨ mX fMY _KaW \ (¬rKs`bi¦`]\ ¯L±Y ~ LNL Y I YL¹6±n}6`ª ¤ ÑS ÑD¦Y ~6Y l© Ñ>Yr;¤ Ë gNÑSXZ a2D«G¦rKY K_¢¥ ® 7®rKV «GrK³ U £_;«Gr;WK`baN «K`b`mÍ N² ¯L2Y I IGO · ¤ · } FY l©Yr;Ë gNXZa2«GrKK_x¥ d]`b=_k´ Nn 2F ~ · ³K¶¬}L/ Ñ#´2¤ `SSD¦Y L?Y ñ N s`i~D^Skls`bF\FtklaFbFtUyL^`jScFtcFb6hObOjSi`eLcF£jkeLU\L^`_FcFiqcFti~rF cFi`yFi~rLcF>klyFtlrK^x¬YUd WY m ^~Ua6^F}T ÑSSFY ~6Y (õIùJ÷oö ð m ô /ö ÷oö ?Ý où *ôø sSiU^Skls`bF\FtklaFbFt]keLD \L^x_FcFt Fi`eFhnYUd WY m ^~Ua6^F}T Ñ#´xFY ¸J
J
R
L $M"& ÄIJ9IJ -L $M"& 1'
¸J
'
-J
R"S
1'
ÇJ ØJ
R åTÝQ S
ÇJ 9J
.J ¸J
Y P$TÝ
J #J E Z Y T V
J
ØJ
('
$
9Z T P åT &V Z T V & Z Ð Z YÝS
1J ÇJ
&
R"S
QR
#J
P"S3T &V
J9IJ
J
ØJ .J
$ ('
R$ X
R
S Z 3TÝS(Y
$Y X ;S(V" &
N
T Z 0V 3TÝS(Y
&
R åTÝQ S
J 9J
1J EJ
R
.J
Y P$TÝ
1J
¸J ØJ
#J J
Ü
1J
$Y
-J J
&
¸J
'
1<& -IJ -J
J
BG
J ÇJ
BG
1 < "
R åTÝQ S
"
³IJ J " -
0&"MIJ -J
Y Q Z 1QR$ X
R Z &XS
Z
&
1õ
¸6
"
wJ -J
9J
ØJ
J
ØJ
ÇJ
Q &P /
J 9J
V
1Q
.J 9J
#J J
J J
(
'
R
&S
Ü
9J 9J
/3 X
ÇJ J
&Y
EJ ÇJ)
J
Z 1 Z
V"S(X-TÝQ
('
X- Z
1J ÄJ 9Z 1Q
IJ%Ù.J ¸ 0&
"
T
&V$Y T V$ S Z
1J J
'
$Y
$È"
1
#J
S(X
Z TÝ &
R$T Y
$Q
"Ü
1ÜÜ 1' ¸+
T P åT &V¯S(V" Z TÝ & V T N( Z åT / $
.J ÇJ
S(X
ÂS3R
#J J
$Z S&QS(Y S(V$
S&Q3T &V BT V 9Z R åTÝQ S Ü
Ü
(
&
r
R]
ís\ït\
Ç âã z.ë{ z
o
u
ß áçèæ å o
ç
fh
#
} 9.ï ~ì,
å ~
ýf^`pjSbFs`bFtZrLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFi`_?s`tyL4i~rLbFcL^S4b6aFbvFyFiSbLkDirLbFsOj Fc tklaDi`eLgSaFb6vcL^`FyL^`j`eLtcFb6h6¬Y v¡aUiDklcFtfkhj?s`iS_eK^`jStrLjSDvbFpcFb6vd>s`t6 eLiSFtyFtcFiDk^b s`tiSyFbFbv ^`piSjS FtyFtlDirLiSjLY üqyFiDkls`t_F{^xhp^xrK^~\L^2s`t6eLiSFtyFtcFiDk^>jSeFh6rLbFs keLtlrLU]bL¢iSSyL^`piDY ýf^Skk4^`sSy6bFjD^`tsSkhFi`eLUStklaDiScFt\FcF_kls`tyDtcFgqkfbFpi`eLbFyFiSjD^`cFcFiS_ SiSaDiSjSiS_qFi` bLjSt4yStF]c6iDklbFs`_ gSirL}LbFyLcL^S^`klaUFiSi`jSeLUi~ts`cFtcF4F_tyFcL^`^2sSUFyFi`eL`¤ FiDyFklbbL4xt£≥ t0tqbvjOrLa6i>^\F4tkliDs`4jSttqcFsxcF^ eLtt=jSiS0_K¦jDYFkl©yFrLtl SStsSk¨h cL^`_Fs`bs`t6eLiSjSiS_ s`iSa2¤ s`iS\FcFttS}ti FyFiStaF FbFq¦ ≡ j(0, t) }aUiSs`iSyF_ rL Li`^ eFtc?Fi~rLjSirLbFs`gDkh2a>kls`tyS cF\FtyFtpZtxiaDiScFt n}U\Fs`iSq(t) Ss`t4FtyL^`s`UyL^aUiSc6 4 t 6 c 6 h K e S ^ l k g l k O i S j F y t 4 t F c t £ F O i p x ^ K r ` ^ F c F c D i 4 2 p ` ^ D a S i F c Y f (0, t) T (t) (T (0+) = 0) G
§bLk`Yn LY Sm »b2.B,5.*W#& d5.BO2)+&-Yo.B+%+%A0*$7&*)/g#"Fñ cFz£Dkð eLeFiShOjSbUiShLs`jStyFsxt^Z{cLt^qcFbFs`t iSs UyLjS^`iSjSFcFyFtiDcFkb6cFh>ts`iSt~6SeLi~rLiSbLF4yFiSiqjScLi^`rL_FcFs`iDb2kls`klb iSiSs`jStsSkls`jSU]ttrK^`c6 ý
'
∂2f ∂f = K 2, ∂t ∂x
x > 0, t > 0,
(14.1.1)
S + w¨ 5x rFrLeFbFhvcL^`yLs`^St kljSFyFtl\FrLbLtlkeLeLtbFc6s`b6gOhvbLs`kltaU4iDF4tUyL¡^`s`jSUtlyFeL bF\FfbF(x,cF t) b rLbL qtyFtcF FbFyFiSjD^`cFbFtFi aUiSiSy6 &
1 " > ò
&â
"â ã
r ¯ Zt T (t0 )dt0 K d ∂f (x, t) ¯¯ √ q(t) = −K . = ¯ ∂x π dt t − t0 x=0
(14.1.2)
4tpeLgxsx^`s ¤ LY SY S¦}KFyFtlrKklsx^`j`eFhF]bF_ bLklaDiD4UjStleLbF\FbFcFvj>jSb6rLtFi` eLUFyFiSbFpjSirLcFiS_n}F4itsOSs`gOFi`eLU\Ftc b>bFcFzFUs`tY üqyFtlrKklsx^`jSbFjUyL^`jScFtcFbFt ¤ LY SY ~¦§jOjSb6rLt ý
0
'
'
µ
∂ ∂2 −K 2 ∂t ∂x
¶
f (x, t) =
µ
0
1/2 t
b U\Fshn}F\Fs`i yFt{tcFbFt UyL^`jScFtcFb6h µ
1/2 t
+
−
√
√
K
∂ ∂x
∂ K ∂x
¶
¶µ
0
1/2 t
+
√
K
∂ ∂x
¶
f (x, t) = 0, (14.1.3)
f (x, t) = 0
jSiOjDk¨hFaUiD£keLU\L^`tqrLiSj`eLts`jSiSyDhFtsb>UyL^`jScFtcFbF/¤ LY SY ~¦}UFi`eLU\FbLm 0
1 ∂f (x, t) = −√ 0 ∂x K
'
1/2 t f (x, t).
[Z4cFi~^xh.s`iyL^`jStlcLkls`jSi cL^ −K bWFi`eK^`^xh x = 0}nFyFb6Di~rLbL¢akliSiSs`cFiS{tl cFbF*¤ LY SY S¦ √ q(t) = K ]srK^`jD^xhrLi`eF cFiSt ^`jSs`iSyL^S }>\FgSbT (t).s`tiSyFts`bF\FtklaFbFt yL^`SiSs` kls`b6 cF4eLtBbFyFiSiS`jDeK^x^SeLklbs`bn}?FyFcFiStlcFeLbFgSaFplcFh iSjScFtt!cFbFiStsS4u~tFs`i`bFeLs`UgLbF}>cF\Fs`s`ti yL^xUeLyLgS^`cFjScF¬tcF| b6h 4ts`s`i~b²rLiSj ¤ StjpFuy6rLbFyFa6iSeKS^xcFrFi` rLbL qtyFbFcFs`tyL^xeLgScFiS_n|Hs`tyL4bFcFi`eLiSbFbn}ZFyF^`j`rK^D¦v4i cFi<jDkls`yFts`bFs`g¢ttj F{tbFyF LjS^FYTv[]bFyLpl^`rKjS^`cFcFtb6cFh6bF£t u¤ vLtlY 6DY ^`~cF¦}TbFaFj>b \L^Skl6kls`eLcFiSiD{klcFs`bn}¬vSklyFrLtlUr
\F| b rLiSY Fð i`eLcF^`tc6cFrKcF^~zS} zcLY ^~\LW^xYeL gScFbLzZ DkeLiSjSbFt}KkliSjSL^xrK^`tsOk UyL^`jScFtcFbFt¤ S6Y ªD¦ FbFs`bFyFSt4iS_aFcFbFb¤ Y¬ DªD¦}6aUi` s`iSyFiStZh FyFbFjSi 2j iSSiSpcL^\FtcFb6h62iSyFbFbFcL^xeK^Fm '
0
0
G '
1/2 t
" #G Q
Zt
dT0 (τ ) dτ √ . dτ t−τ
Zt r
χ q(τ )dτ. π(t − τ )
κ q(t) = √ πχ
'
© ^St FirL\FtyFaFbFjD^`tsSkhn}6\Fs`i2qiSyL4eK^sx^FyFtlrKklsx^`j`eFhFts kliSSiS_?iSSyL^`tcFbFt bFcFs`tyL^xeLgScFiSiOkliSiSs`cFiS{tcFb6h κT0 (t) =
−∞
−∞
h¨ G& Rx ÉÈ Ê
G 2[ x A 7ox
F ^S4ts`bL}B\FFs`yFi iSbFj pljSi~iSrLScFiSb6te ý§bLkeLfU^`\LcL^x^xh6 bFU`jSeKb6^`eFeFirKh?^`bvyDh ^`DFkUeLs`iSiOjSb6aFhLjS bFjD^xTeL(0+) b =0 t F c ` s Y T (−∞) = 0 qivjStyFcFtfk¨hWakliSjSyFt4tcFcFiDkls`bnY
X!aFcFbFt Ös`iSs4ts`i~riSSiSStc cL^ FyFiS Ftkk`}6iSFbLkljD^`t4_>UyL^`jScFtcFb6t ò¥ Ã
$
â
"§ .ôx
õ
ô &1ã"õ
÷"õ
&
 *
2 x
4t^`s`aFi~s`rLiS^FyFm bFp^` FbFbOs`iSiUyL^`jScFtcFb6hOFyFbFjSirLbFs a2keLtlrLU]t_³÷oøBñ÷oöoñ÷ [
+
t
− α(x, t)
− β(x, t)
*M÷-ô+ÿ 4* ò
∞ X
A(0, t)qx (0, t) =
+ γ(x, t)]T (x, t) = 0.
x
aj (0, t)
0
(1−j)/2 . t
X%\L^Skls`cFiDkls`bn}rFeFh k eLU\L^xh FiDkls`ihFcFcF aUiS qbF FbFtcFs`iSj Fi`eLU\L^`tm T (0, t) = T = const j=0
α, β, γ
b
0
√ qx (0, t) = (1/ α) =
µ
µ
0
1/2 t
β δ + √ + 2 α 2
−1/2 t
−
δ2 8
0
−3/2 t
¶ + . . . T0 =
¶ 1 δ √ β δ2 √ √ + √ +√ t − √ t t + . . . T0 . π 6 π πt 2 α
( ©
í,
¢
ÌË
Á ¶|| æ,~
z.ë{3±
0
î
ì,í.ç
XÍ
9 ~ð
î
î
s`t6eLiSjS«iDi`<eLt¤ÅrLtbLbF cFqs`tUyFptbFkliScFcFiScF_¢iD§k¦fqFiSbFs`piSbFaU\FtZtklcLaD^iS_yLs`^`iScF\FbFaF 6b¢tq{py6^`tyLcF^ b6rh=hFj`ReFY6hFXHtsSkh<s`iDp£^xrKkeL^\LU\L^W^`it ·
b
∂ −K ∂t
µ
∂2 2 ∂ + 2 ∂r r ∂r
¶¸
T (r, t) = 0, r > 0, t ≥ 0,
¤ aUiS qX²bF Fs`b6ttiScFyFsObFb/s`tF6eLi`eFiShFFyFyFbFiSjSp^`irL FcFbFiDb/kls`yLb>^SkFkyFfbF^`c6s`+hFyFs bF1/R)T pjDlrL^`ttsSklgOk¨h(R,yL^`rLjSbLt)cF zqUtlprLb6bFhcFbFjS Ftt~¦tY kls`jD^bFp kqtyFbF\FtklaDiS_a6^`6eLb b6rLaDiDkls`b j?iSaFyFDO^`]ttFyFiDkls`yL^`cLkls`jSiL}Kp^`Fi`eLcFtcFcFiSt rLbFyFpjSUtkliSs`_cF iD4b6vrLaUpiD^`klaUs`iSgScF }SFyFb DkeFiSY jSbFbn^xrK}`\F^`cLs`i^?yLsx^x^`rLa6bFDtOkaUa6iS^`cF6 FeLtb cFyLs`yL^Sk^`sS Ftlb6sh kljSi tjSyFttkl4s`tjDcF^?t a6^`FUi eLjStb?cLt^kls`tjDtZ^ FiSjStyD6cFiSiDFklbLs`klRb C=jD^`tR(t) Y6h?oqUpyL4^`tjScFcFttcFcFbFbFtZt aUiScF FtcFs`yL^` FbFb2rLbL qUc6rLbFyFU]ti (t) S s k c(r, t) qr (R, t) = (
0
1/2 t
s
"
∂ −K ∂t
µ
∂2 2 ∂ + ∂2 r ∂r
¶
# R2 R˙ ∂ + 2 c(r, t) = 0, r > 0, t ≥ 0 r ∂r
D kZaFyL^`tjSz4b SkeLiSjSb6hL4b
w¨ 5x
1 " +> ò
&
&â
"â ã
c(R, t) = Cs (t); c(∞, t) = 0; c(r, 0) = 0, r > R(0) ≡ R0 .
6aüq^i`eLcLU^\FFtiScFjScFtiSyDtz6j cFiDkl¬s`b>4taUs`^`i~6rLeLiDb bL 4^`taFtsOs`iSjSyFb6b6r
pm ^` FbFb2jSyL^xtcFbFtzr6eFh?6eLiSs`cFiDkls`b?FiSs`i` *
jr (R(t), t) =
+
Ã
√
K
"
0
1/2 t
¨ 3R˙ 2 (R) R(t) − 2 8R (t) 4R(t)
√
˙ R(t) K + R(t) 2R(t)
+
!
0
−3/2 t
qyFb>FiDkls`i~hFcFcFiS_>aUiScF FtcFs`yL^` FbFb cL^FiSjStyD6cFiDkls`b ü
jr (R(t), t) =
+
Ã
√
0
−1/2 + t
#
+ . . . Cs (t).
"
√ √ ˙ R(t) K 2 t 1 + + K √ + πt R(t) 2R(t) π
¨ 3R˙ 2 (R) R(t) − 8R2 (t) 4R(t)
!
# 4t3/2 √ + . . . Cs (t). 3 π
üqtyFjStrLjD^2\6eLtcL^?Fi`eLU\FtlcFcFyL^`pleLi~tcFb6hiSFbLkljD^`]s2FyFiS Ftkkj>keLU\L^`t cFtFi~rFjSb6 cFiS_ yL^`cFbF F }6iDklsx^xeLgScFtqFyFtlrKkls~^`j`eFhF]s2kliSSiS_?FiSFyL^`jSaFbn}6U\FbFs` jD^`]bFXHtqcFyLt^SaUkliS{s`bFiSyFyFtiDcFbFtqk4a6z^`6keFeLtqbnY iSSyL^`s`cFzWyL^Sklk4iSs`yFtcFcFiD4 jS{tZFyFiS FtkklhFj` eFhFtsSkh FyFiS FtkkyL^Skls`jSiSyFtcFb6hl^`p^?j? b6rLaUiDkls`b.FyFb tivk¨O^`s`bFbnm¬p^`Fi`eLcFtc6 cF4tlrF_eLlt^`cFpcFiDiFkiSqjStyF{bF^`\6ttsSklkaFhnbFYÖ_X iS yFnttpH~eLiSg~aFsxyF^`Ds`ttiScv n t!b6rLb¢aUiDfkls`^SgSkk^.}KrKl^`^`j`peL^.t6cF4bFttcFj?gS{aUiS^`s`]iSsSyFkiShn_ } 64tcFgS{tcFbFtÖf^Skkl.FyFiSbLkSi~rLbFszp^zkl\FtszyL^Skls`jSiSyFtlcFb6h l^`p^jz b6rFaUiDkls`bn}aUiSs`i` yF iS^`t]a4Fi~iS a6cF^`pi^`yLcF^Si2kkj f^` s`}KyFrKbF^`jDj`^`eLs`gtcFa6bF^`taOj?rLbLF i`eLqiDUkls`pbbF<s~^`ta6it4i`~eLrLtiSaFj`~eLe2ts`\FjStiSyFySthFp]tFs2iSUjSyLt^`yDjS6cFcFtiDcFklbFs`gL Y k]rLyFiSScFz4b FyFiSbFpjSirLcFz4bnY X~ (Û 76AÎ ; ©ntiSyFb6haFyFbFs`bF\FtklaFb6qhFj`eLtcFbF_O]yFcF{s`t_FcL^x qtyFcFb6aUt§iDklcFiSjD^`cL^cL^s`yFtl Fi`oeL÷7ùAi~òÀô+tÿ cFb6h6þ> ò!ø ÷ #Y uüqø tyFjS#iSÿ t/dOòÒÿkliS÷oiSøBùJs`cFú iS{tcFbFt]4bOtlZOeLrLUOaFs`pD^`^`jS FbLb6khFhL4bt_ \FiSbLskeKs`^qt44Fi`teLyLtl^`aFs`~Ue yF jOSi`eLgS{iD<¤ Fi2klyL^`jScFtc6bFBkZaUiSyFyFtleFχ(ThF FbF) iScFcFiS_?rFeLbFcFiS_K¦iS nt4t V klbLkls`t4 Nm &É
&É
Ç *
ï ~,~
z.ë{åä
i~
~
},~çB ø
1:
0 *M
&2
&É
hN i χ(T ) = − nV 2
µ
∂V ∂P
¶
= T
δ2 , nkB T
h:eo #xxx0e|
ò¥ á
GÜx21.Ïx x
¬5
"
ã
& &
d rLiSt s`ncFiS={hNtcFbFi/VtrLbLd klklFyFttlyLrLklc6bFh6b h\FaUbLiSkcFeK F^ tcFNs`yLa^` FFbUDhO^Sk4kli`iSeLcFtiSaFjDkle
aDiS}`_v^ δrLbL=klF(hN tyLklbFb i−hN FyFb is`iS)/hN _ti aUiSc6 FtcFs`yL^` FbFbnY iSyL4~eK^ sx^ iSpcL^~\L^`ts~}¬\Fs`ijklbLkls`tf^xWkOjSzkliSaUiS_.k bL4^x t\L4^SkliDs`klbFs`gS ²Si`¤ eLcLt^`tFy6jStbLyF4ithFyns`}cFjW }KyL\F^`tpyFtlj?ts`cFjScFtySrLl^`ps`^xtleKL¦^x¬SYTi`XeLgS{yL^xbFOtv^xZhveLUs`aFb s`DZ^`eL FUbFaFbHs`D\F^`bL Fkb6eKb^ \FtyFtpqbFcFs`tyL^xeviSsOaUiSyFyFtleFhF 6bFiScFcFiS_vqUcFaF FbFmb ó÷uö/ø!òÒÿ ¬ó/ôx÷oøBùô oñxøBùAö 2
2
2
©+
4
FyFb6Si~rLbL£avqiSyL4eLt
2
δ =1+n
Z
1
4
C(r, T )dr,
nkB T χ(T ) = 1 + n
Z
C(r; T )dr,
lk j`hFpjD^`]t_?aDiSyFyFtleFhF FbFiScFcFUBqUcFaF FbFBkZs`t4FtyL^`s`UyFiS_nY oqpjStkls`cFiL}x\Fs`i rFeFhOjDkltlSkls`iS_F\FbFjSOklbLkls`t /∂P ) < 0}SjqiSaFyFtklsx cFtfiDkl^vs`bFivrKtO^`j`aFeLyFtbFcFs`bFbF \FtklaUiS_.s`iS\FaFb.iS SyL^`^`piSjS^`iStlsSi?kh FtjyFtlcFD~i~eLrLgL^ }8(∂V FyFiSbFpjSi~rLcL^xhiSs>iS ¬ Y T ^ ûÖs`ikljSb6rLts`tleLgDkls`jSS(∂P/∂V ts iSaU)kls`yFtf^xeLgScFiSi`eLgS{b6OZeLUaFχ(Ts`D^`) F→b6h6O∞,6eLiSs`TcFiD→kls`b2T j aFyLyF^SkbFkls`tlbFhF\FcFtb6klh£aDiSkl_2jStiSsx`^FeK}8^S6kls`eKbn^`}`pF4iStyFcFi~cFOrK^`aD]i`eLtb6D^`hFcFj`bFeL_tcFb£b6s~hOYfaFnyFYfbFXs`bFiS\FpcFtklbFaUaUiS^`_2]iSL^x^xheLtFklyF Fb£tcF 6s`bFiDbn } yL^Sk¨Di~rLbL4iDkls`gbFcFs`tyL^xeK^OiSsaUiSyFyFtleFhF FbFiScFcFiS_ qUcFaF FbFb T
&É
c
T
c
Z
C(r; Tc )dr = ∞
Ua6^`pjD^`tlscL^OStklaUiScFt\FcF_>yL^xrLbFDkqaDiSyFyFtleFhF FbF_n}LiSSDkeLiSjxeLtcFcF_>cL^xeLbF\FbFt FeLr eLbFp bFcFFcFiSiSaU^`ivp6jDjS^`iDtkls~s~}6^ \FaUs`iSiyF6yFjStliDeFklhFs FbFs`iSiScFsOcFiSbL_4tqtUs2cFklaFs` FtbFFb tcFC(r; cFiS_>jSTb6)r
Y4m ©ntiSyFts`bF\FtklaFbF_£^`cL^x c
C(r; Tc ) ∝ r −(d−2) ,
s`rLiStyFdtqyLa6^`klpF4tyFtyFbLcF4iDtklcFs`s`g>FFyFiSiDaUkl^`s`pyL^`jDcL^`kls`]jDs~^F}6Y \F s`i bFkeLtcFcFiSttO4i~rLtleLbFyFiSjD^`cFb6tbcFtaUi` =
r → ∞,
C(r, Tc ) ∝ r −(d−2+η) ,
rLt η §Fi`eLi~ bFs`tleLgScFiStq\FbLkeFiL}L4tcFgS{ttqtlrLbFcFbF F Y /öoñxòBñ xòÒÿ rLyFôxUñ JiS_ ùAXs`ò qiSñyFUiScFmt aF6ò FÀbFôxFb ñ i`eL+i~òl}tcFFbFiSpt}¡jSi`SeFi`iShFeLs`]tyLtÚ^xObL^`rLtiSsSSFkcFh tiSyF_ t_Fs`rFñb eFùAh òiSs ô ^`cLxq^xúeLUñbFcFõ[paFÿ^ FbFb aFyFBôbFC(r; a T) ` s F b F \ t l k F a 6 b c(r; T ) hFj`eLtcFbF_nm
"Ú
0M
° 1
"$
C(r12 , T ) = c(r12 , T ) + n
Z
C(r23 , T )c(r13 , T )dr3 .
4 1
"
w¨ 5x
1 " +> ò
& ('
&â
"â ã
[]ó/ô yL5^`ÿ jScFtcFbFþ t./øBùJs`iú yL^`pleK^`}4^`tiSsFbLókl÷ xjDñ ^`]U÷-ôôjSò p^`bF4i~÷7rLñtñ _Lkls`jSbFt ñ C(r, cL_6^ T) ? k ` L e 6 b O ` ^ {bLiSaFyFDtcFbFtc(r, b¡T F) iSs`iD4aDiSyFiSs`aUi~rLt_Lkls`jSU]U}zb ñx1òBó/→ô 52ÿ ¢þ /øBùJúS} hLjS yL1^xO→^`t43 U→ bF2,cFs`1t→yL^xeL3iD→Y q4tF→yDhL2,f^xh. .\L. ^S,kl1s`g£→iSs`3cFiD→klbFsS4kh<→a<.jS.p.^`→bL4i~nrLt→_Lkls`2jSb6b FiSs`iD4iSFyFtlrLtleFhFtlsvaDiSyFyFtleFhF FbFbWcL^>Si`eLgS{b6yL^Skkls`i~hFcFb6h6¬Y8]StOaUiSyFyFtleFh6 Fkls`bFi~iShFcFcFcFbF_ntv}L qrFUtcFFaFyD FhLbF4bSttaUpyLiS^`yFpyF4tleFtyFhFcF F bFbvY§X/iSs`yFaFbFyF LbF^`s`s`bFtl\FeLtgSklcFaD iS_H}KfsS^xiSeK\6^FaUtvYxüqyFyFi`teLcFg.tSfyF^xtleLl^xh £bLyL4^Sbnk } b>4tcLyF^xcFrFiSeL_tl6eL^`iSs`bLcFiDkliSs`SbyL^`jSptiDyF.ihFcFs`iScFyLiD4kls`bFtyF_n`}§h ^ c(r,k^S4Ti )}FbF4cFi~s` tcFyLi^xeLFgSyFcFb6iSrKt>^`s`UgOyL^`t_ jScFkt4cFzbFt ke 4s`iyFtltUs Ss`gObFcFs`tyFFyFts`bFyFiSjD^`cFiOa6^`a>6yF^`jScFtcFbFt keLU\L^`_FcF?`eLDOrK^`cFbF_nY 76 ¢ ÂÛ
X~ (Û 76AÎ \Fs`i!q©UcFyFaFts` FgSb6t h 6c˜i`(k,eLi~Tt)cFbFFtZyFtls`rLtiSFyFi`eKbFb^`l]^`tyFsScFk¨h/{s`\Ftt_Fs`cFcF^xiS _*qt^`yFcLcF^xbFeLaUbFtZs`pbF^`\Fa6teLkl]aUiS\L_/^`tsSqkUh?cFjaF Fs`bFiDt_ } j iSaFyFtkls`cFiDkls`b k = 0 rFeFh jDkltl?s`t4FtyL^`s`Uyn}FjSa6eL]\L^xh T m k = |k| "4&2}
1 4&2
/ 1<"
"4&2}94 "&<""2
$
1 4&2
$
,
z.ë{/ë
s| ~| î ï ~,~
ì,,~𳶷 ~¹
i~
~
n ~³¶|
},~ç
ø
c
c˜(k, T ) − c˜(0, T ) ∝ k 2 ,
k → 0.
Ö¤ Ss`yFbLiS<UcFiSiSSjDtklklaFFbFt_K\F¦fbFjDU^`^`tyLsS^`kaFhvs`taUy iScF^Stkl\FbLcF4iDFkls`s`iSg?s`bFrLaFbLbvklFaDtiSyFyFklbFyFbtleFhFu~F FyFbFiSiSScFtcFliS^F_ |2 bUrLcFbLa6 FbFqb UpbFiScFcF_ û
C as (r, Tc ) = Ar −1 ,
rLiSj`eLts`jSiSyDhF]t_>klsx^` FbFiScL^`yFcFiD42UyL^`jScFtcFbFcFiSyLf^xeLgScFiS_2rLbL qUpbFbnm −4 C as (r, Tc ) = 4πAδ(r)
yL^`pleLi~XtcFklbFsxtS^`}6c6FrKyF^`tlyFrKs`klcFsxiS^`_j`eLs`ttcFiScFyFiSbFtqb<jObLjSklb6FrLi`teLgSp`tsSkhiSSiSyFjD^xcFcFiSt cL^WjSs`iSyFiD \6eLtcFt c˜(k, T ) = c˜(0, T ) − (R2 /n)k 2 ,
rLt R(T ) d 7ò /ò!ö/ø ñ où oñ KY s`yFUaFs`UyFcL^xh2qUcFaF Fb6h FyFbFcFbLf^x tsOjOs`iDkeLU\L^`tZeLiSyFtcF FtjDklaFbF_>jSb6r 5 060
0 5 ³:( 4È "
ak =
R−2 1 = −2 , 2 2 1 − nc(0, T ) + R k ξ + k2
rLtp^`jSbLkhF^xhviSs>s`t8FtyL^`s`UyF b6eLiSs`cFiDkls`b jStleLbF\FbFcL^ ξ cL^`pjD^`tsSkh ñ÷ ÷-ôôò LxY üqyFb T → T iScL^ iSSyL^`^`tsSk¨hvj2StklaDiScFt\FcFiDkls`gLY¬]SyL^`s`cFiSt *MÄ
/ 1<""
c
5 "
[ x DR ('q&xM'55
D FyFyFtptiSeLSgxyLsx^`^`psiSjSrF^`eFcFh bFtFi`eLUcFyFiSgS_>taUjiSyFyFyF^SktlkeFfhF^` Fs`bFyFiSbFcFjDc6^`iSt_v4qiDUcFFaFyF FbFbF`bneLm b6tcFbFbOrK^`tskeLtlrLU]bF_ hz
$15
ò¥ ÿ
ã "÷ "§
Æ
&
+
Y eLtlrLSts]Fi~rL\6tyFaFcFUs`gL}~i~rLcL^`aUiL}\Fs`iZjZkeLU\L^`t§rLjS64tyFcFiS_klbLkls`t4yL^Sk kf*ô ^`s`yFÿbFjD^`þ>tò!4ø u_>ô F/i~øBrFùASi~òBr ùYLFqy6bFyFjSiDi~4rLtbFsOs`iSa iL^`}FD\FklUbLyDkeLrLtTcFmUcFaUiSiStyFyF4tli~eFrLhFtl FeLbFbFiSyFcFiScLjD^x^`h>cFbFqt UbvcFaFyD Fh6b6rh xa6k÷ FtyFbL4tcFs`iSjkzf^`cFbFs`cFz4b?klbLkls`tf^S8b2FiSaU^`pjD^`ts~}`\Fs`i jaFyFb6sSb6\FtklaUiS_ sSiS\U aUtZaUiSyFyFtleFhF FbFiScFcL^xh>qUcFaF Fb6h d 4tyFcFiS_ kbLkls`t4¢eLU\F{tq^`FFyFiSa6klbL4bFy6StsSkh qiSyL4eLiS_n}6FyFtlrFeLi~tcFcFiS_ bF{tyFiDm C(r, T ) ∝
½
(R2 r)−1 exp(−r/ξ), r−1 ,
T < Tc , T = Tc
 *
° "
0&
1
Ç+
C(r, Tc ) ∝ r −(d−2+η) ,
(14.4.1)
Di rLkeKt ^`η`dzeFhFFti`seLi~sS y6tbFs`s`gStlteLgS6cFi`iSeLt4i~\FbLtkcFeLbFiLtq}s`4ttiScFyFgSbF{bnt}Ftfptl^SrL4bFtcFc6bFh6 Fh> toYûÖiOsxs`^yFqtSiSiSyLjD4^`cF~eKbF^t ^`aFs`bF\FtklaFb c˜(k, T ) − c˜(0, T ) ∝ k α , 0 < α < 2
k → 0.
^`a2keLtlrLStsbFp]cL^`{t_2yL^`SiSs` }U^SklbL4Fs`iSs`bF\FtklaU^xh?\L^Skls`gyFt{tcFb6h2js`iD keLU\L^`tD^`yL^`aFs`tyFbFpStsSkhs`yL^`cLkqiSyLf^`cFs`iS_ UyFgSt Ce (k, T )}TrLiSj`eLts`jSiSyDh6 ]t_ UyL^`jScFtcFbF e ]cFizhFj`eFhFtsSkh UyFgStl iSSyL^`|k|piS CUyL^`(|k|, jScFtcFTb6h) kÖ=eKA(α). ^`UeK^SklbL^`cFiDvjzrLyFiSScFiS_kls`tFtcFb '(
_+
α
as
as
c
c
+
(−4)α/2 C as (r, Tc ) = A(α)δ(r).
©
^`aFbL iSSyL^`piD}~jZs`iS_rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^~eLgScFiS_4i~rLtleLbOaFyFbFs`bF\Ftl lk aUi`ikliDkls`i~hFcFb6h2klyFtlrLFyFb T → T cL^`yFU{^`tsSkh2^`cL^xeLbFs`bF\FcFiDkls`gs`yL^`cLkqiSy6 f^Skl^`bLcF4s`F s`iSFs`ySbFhL\F4tiSkl_.aFbFaU_ iSyF\6yFeLtlteFc hF FbFiScFUcFyLiS^`_.jScFqtUcFcFbFaFtJ FüqbFbnD}n^SkjDklkiSeLcLtl^ rKklFs`yFjStbFjStOyL^`\Ft^`i tsSiSk¨FhbLklj?rLjDy6^`iS]ScFiSttt U\LyL^`_F^`jScFcFt?cFbFjStiSpüqSDSO^SkrLkltiScFcLbF^F_>Y ûÖklyFs`Ci tlrLkljSb6FrLyFtbvs`tl eLgD^`klps`iSjSjSSiStsFi ty6qtlyLD^`i~aFrLsxt ^xeL gSY cFiS_>kls`yFUaFs`UyFtkeLD c
as
- *
z.ë{
x
¢
8¶E
"! ©!
8ç ð
ì
|ï¹
, |,Â|ï
XyL^`SiSsx^xn ý4Y ]b6eLgxqtyL^ ªxÀ Ñ }8yL^`pjSbFjD^`]b6WcFiSjS_jSp eFh6rcL^s`ti` Fysx^xbFeLgScF U^`piSyFjSi`eL>gL}¬F\FtyFt
Sª + w¨ 5x F¤¥4yFtbFcFjSgStl{eK^ tOa2~¦FFyFiStlrLyDFh6i`rFeLa6i~^F}6cLt^`cFpbFjD¢^`cFicFkliSUitj kls`´ jSiSñxjD^`òÀô cF/bFöob2ñ÷o ö/^`ò!pøBiSñj`õ[ÿ FóxtyFòÀôtlDò i~÷rLiS!jqÿ rLLyFY iSScFiSi iS eK^SklcFiiDklcFiSjScFzÚFiDkls`eK^`sx^SÚs`tyL4irLbFcL^S4bF\Ftkla6^xh jScFUs`yFtcFc6h6h 4cFiStcFyFiSs`b6iShHcFcFkli?bLkljSs`iStp4yL ^SklsxU^`]=Ut_n(S,}4¤ FV,iS\FNs`b) rLjDkli`eF rLFcL¦^rLSbL s`qg.tiyFrLtcFcF FiSpbFcLyF^~`\FtcF4iSiS_n_}4bjSi~rLFUcFa6iSyFeLi~iSrF_n } cFiS_v¤ FtyFjSiSiqFiSySh6rLa6^D¦4qUcFaF FbFt_OiSs`cFiDklbFs`tleLgScFikljSiSb6^`y664tcFs`iSjqdcFs`yFi` FbFb S }6iS nt V b \FbLkeK^O\L^Skls`bF N YLXa6eK^SkklbF\FtklaUiS_ 4i~rLtleLb &
1 " > ò
1
&â
"â ã
È 5*
&É
s`iS rK^2aU^`aj?aFjD^`cFs`iSjSiS_kDt4t b rLi`eF cF¡Ss`g?iSyL^`cFbF\FtcFcFz4bklcFbFpSY [§cL^Sk4eLiSbFjS\Fb6th>klaFlUsS¡b SkZklcFs`tiSiS_F~\FDbFijSrLiDbLkl4s`iDgLklY s`gSS b?rLUiDklsx^`s`iS\FcFiDkls`gSiSStklFt\FbFjD^`]ss`tyL4i~rLb6 ZeK^SkklbLqbFa6^` Fb6h£ ^`piSjSWFtyFtlDi~rLiSjiSS\FcFi.qiSyL4eLbFyFStsSkh£j.Fi` c6s`thFyLs`4b6h6i~rLb6cL6eL^S4iSs`bFcF\FiDtklkls`aFb¡bFtvkljSFiSiSSs`i~trLcFcF FiSbL_¢^xeL cFtcFyFtFbFyFb¡tyFbUeLjSbcF*rK^`j`rFeLeFthcFb6{hnbF}zyFFiSiDaUkliSaDi`i eLa6gSeKaF^SkkrL^yFUjSpbF^xt bL4i~rLtl_Lkls`jSbF_nY ð^`j`eLtcFbFt p = p(T, µ) tkls`gkliSFyDh6tcFcL^xhHjSFUa6eK^xhFi.iSsx 6cFeLiS{iSs`tcFcFiDbFkls`b a.cF6s`eLyFiSiSs`FcFbFiDbkls`b.cFtyFbFbb>6u(S, eLiSs`ρ)cFiDkl=s`b U\F(S/V, bLkeK^O1,\L^SN/V kls`bF )/V aU^`aWqm UcFaF FbFb 0 < V < ∞,
0 < N < ∞,
−∞ < S < ∞,
−∞ < U < ∞,
s = S/V
ρ = N/V
p(T, µ) = sup[µρ + T s − u(s, ρ)],
rLt µ dOwz6cLbL^x4eLbFbFp\Ft klaF^`pbFiS_ jSiSFiSizs`tFcFt FyFbLtlD^xi~e
rL} ^ZTs`d2yFt^`SD`klti`sqeLbL]kls`FcLi`^xeLh?gSps`iStjD4^xFcFtb6yLh^`s`klUiSiSyLs`^FjSY tsSkls`jSU]tl izs`tyL4i~rLbFcF^S4bF\FtklaUiSizFyFtlrLtleK^FYý4^Skk4iSs`yFbLvs`tyL4irLbFcL^S4bF\FtklaFbF_FyFiS Ftkk b kliSiSs`jStsSkls`jSU]s T µ(0) = µ aF]yFm R−R bFs`bF\Ftkl} aDσiS_.7→s`(TiS\F(σ), aDtSRY ýfq(σ)) ^`pleLi}~ sx^`bLaU iS_np}=\Fs`ip(TT (0)(σ),=µ(σ)) cL^?yFteFhFyFcFUb klbFcFD eFhFyFcFUBkliDklsx^`j`eFhF]bFt X£a6eK^SkklbLqbFa6^` FbFb ûÖyFtcLpq=tklpsx^ +^`ppiSj`_O. FtyFtlSi~r2iSs`cFiDklb6eKk¨h a2FtyFtlSi` rK^S£FiSySh6rLa6^ n j s`iD£b>s`i`eLgSaUiOjOs`iDkeLU\L^`tS}6tkeLb s,ρ
2
c
reg
n σ psng (T (σ), µ(σ))
c
sng
rFeFh σ ≈ 0 }F rLt A, B ∈ R b l(σ) d?kls`UFtcF\L^`sx^xhvqUcFaF Fb6h ]jSbLk^`_6rL^FYF[§keLi` jSbFtZ¤ LY 6Y ~¦¬iSs`yL^xO^`tszaUiScFt\FcF_yL^`pyFj n _FyFiSbFpjSi~rLcFiS_ rK^`j`eLtcFb6hj]s`iS\FaUt YT]cFi 4i~tsOSs`gOFyFtlrKklsx^`j`eLtcFiOb jOcFtklaUi`eLgSaDiOSi`eLttZiSStjSb6rLt σ=0 J(C, n; σ) ≡
∼ A l(σ) + B,
n = 1, 2, 3, . . . ,
(14.5.1)
'
lim
J(C, n; bσ) = 1, J(C, n; σ)
b > 0.
(14.5.2)
ûÖs`iiSpcL^~\L^`ts~}§\Fs`i hFj`eFhFtsSk¨h¢4tlrFeLtlcFcFi4tc6hF]t_Lk¨h¢qUcFaF FbFt_ n; σ) `^ yF64tcFsx^ σ FyFb σJ(C, 4 Y § [ k L e iSjSbFt.¤ LY 6Y S¦ b6i`eLi~tcFij iDklcFiSjS rLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiS_¡→a6eK^S0kklbLqbFa6^` FbFb! ^`piSjSFtyFtlDi~rLiSjL}]FyFtlrFeLi~tcFcFiS_ σ±0→
'
[ x DR ('q&xM'55
hz
ò¥ ÿ
$15
ã "÷ "§
Æ
& #´
jùJ ÷ m xú ÷¬o÷oò!öoø õ óxòÀôò ÷ ñ @ .K : &
©M /
È 5
:oõö(/òBùAø3? :o÷oöoõ[ÿqóxòÀôòÈ÷5÷*ÿ¢ó÷-ô1 5
lim b
Dò!ø/
J(C, ν; bσ) =1 J(C, ν; σ)
Y rLtklg
σ→0±
ó/ô 2.67÷*ÿ ó÷ x÷ ùAò/ xúñ÷*ÿ
ν
ν σ psng (T (σ), µ(σ)).
qs`iSSHFiSc6hFs`gL}D4iSUs eLb? ^`piSjStFtyFtlDirLrLyFiSScFiSi FiSyDh6rLa6^ Ss`g s`s`ttyLyL44iirLrLbFbFcLcL^S^S44bFbF\F\FttklklaFaFb/bFtyLkl^`bLplklyFs`tt{4 tcF}6cFrFzeF4h bnaU}DiSs`ý4iSY yF]b6 eLgxqty yL^Skk4iSs`yFtle/4i~rLtleLgScFt J(C, ν; σ) = 0
=
p
s2 + c 2 ,
rLt a, b, c > 0 b a > b YD]\FtjSb6rLcFiL} T (s) = ∂u/∂s > 0 b ∂ u/∂s > 0 }`s~^`aO\Fs`i dOjSFUa6eK^xh2b>4iScFiSs`iScFcFijSiSpyL^Sksx^`]^xh2 UcFa6 Fb6hnYLZcF^rLt4iScLkls`yFbFyFD u(s) t\FsWs`iOFkltbLyFkltls`Sti~frL^>¤ F LiSySY 6h6Y DrL¦4a6^D^`νyL^`aF=s`tyF1bFjWpStaFsSy6k¨bFh?s`bFiS\FyLtkl^`aUcFiSbF_\Fts`cFiScF\FiSaU_2t iSs`eK^S=kls`gS±∞ ¢jSY iSp4^Si4 ts`cFbL } s`t4FtyL^`s`Uy a−b=T
(14.5.3)
2
2
'
u
c
min
max
p
b2 − (T − a)2 ,
Ua6^`pjD^xh2cL^ klUtkls`jSiSjD^xcFbFtq ^`piSjSiSiFtyFtlSi~rK^FiSySh6rLa6^ p(T ) = c
(14.6.4)
FyFb T üq=yFTiDkls`iS_.b FTyFbL=4tTy£klbLY kls`t4 ¤ LY ªFY D¦]FiSa6^`pjD^`ts~}n\6sSis`tyL4irLbFcL^S4bFa6^ yL^`pyFt{^`tsrLjD^zFyFbFcF FbFFbF^xeLgScFiZyL^`pleLbF\FcF sSb6L^Z ^`piSjSqFtyFtlSi~rLiSjLmiSS\6 FcFtyFttlS i~^`rLp*iSjSrLyFtÖiSFStcFyFtlSi~FrLiSySh6 FrLtleLaUiSj νFiSyS
min
max
'
p
p
min
µ
max
min
max
S + w¨ 5x iScL`^SeK4^SbFkl\Fs`tgSkl aFb6aDiScFFtiS\Fs`cFtcF FbLs`^xteL4iSFjtrFyLeF^`s`hHUy.bFcFFs`Uts`yFtF¢yFtjSsxjS^`tl FrLbFtbcFb6Fh tyF4tlcFDiSirLiSiSpj.cL^F\FiScFySh6rLa6s`^ tyL4i~rLb6 Y ν < 1 üqiSplrLcFtt ]b6eLgxqty>jStyFcF~eKk¨h a>i~rLcFiSpcL^~\FcFzFiSs`tcF FbL^xeK^S Y iSs`cFFiDkly6s`b g]cFs`yFiSFbFb }s(T }s`jStyL4s`ti~a6rL^`bF]cL^S4^xbFhaFbFbpZF¤ yF tlLrLY 6FY i`UeK¦¬^`klls`^`yFttls ) = (∂p/∂T ) 4bFsSkhüZa eL−∞ ` s F y t ` s F b _ § t p ` ^ U a S i q c klUtkls`jSiSjD^`cFbFtqiDklTiSS→iS_>Ts`t4FtyL^`s`UyF T }LFyFbvaUiSs`iSyFiS_ 6eLiSs`cFiDkls`g2cFs`yFiSFbFb bFpU\L^`tsFm XcFbFt klb6eLaFjD^`cFs`iSjSi` 4tlU^xcFbF\FtklaUiSlis(TFyFiS) bL=k¨D0.i~OrLtcFb6h<s`yFts`gSti£p^`aUiScL^WpcL^~\Ftl 4i~ cFi yL^Skklf^`s`yFbFjD^`s`g aU^`a4bFcFbLf^xeLgScFUs`t4FtyL^`s`UyFWaFjD^`cFs`iSjSi` 4tlU^`TcFbF\6tklaUiS_2klbLkls`t4 }Ss`iS rK^qa6^`a T d4bFcFbLf^xeLgScL^xh s`t4FtyL^`s`UyL^ a6eK^Sk klbF\FtklaDiS_vklbLkls`t4¤ T > T ¦Y &
1 " > ò
&â
³
"â ã
H
'
'
µ
min
0
0
0
@
min
0
min
}, î
S Yap ©V W;gN_KmN~Í [ qGª2n _Ka`¶XZYÌ}¬\Ñ# ´ J LY u I F Yqd { Å I d I 2I ;F F 6Y7 oò2ñ ÷ m L©nt6eLi`Öb f^SkkliSFtyFtcFiDk`YUd tcFbFcFyL^xr
m ]bL4b6hn}nÑSSªFY F7Y ©§ YnSòBYUø d 0W Y m xvýfbF^`jSyncF}
iSjSÑ#t´xkl6cLY ^xh bcFtyL^`jSc6iSjStklcL^xhvklsx^`s`bLkls`bF\FtklaU^xh 4tU^`cFbFa6^FY LXY #dË gN_K` «K`baä® 7® ?¥(+_KY rK¥ ©¥ ¯LY z NY n 2F Y K´n}K U ?¤ ÑÑ#´`¦Y 6Y Iþ ñ ¬]SiSpynYUFyFbFa6e
YFb FyFiDYLf^`s`tf^`s`bFaFbW¹ · }¬ ÑD?¤ `SDS¦Y ªFY º³`bV X+Y´ Nn 2F Y w YL¸K¸
} D6O¤ ÑÑF~¦Y ´U Y º³`bV X+Y´ Nn 2F NY o Y p Y ¤K´n}¬ ÑS>¤ ÑÑDS¦Y FY º³`bV X+Y´ zqI NY n 2F Y p YL ¯ ¤n} ´´ >¤ ÑÑDS¦Y ÑF Y º³`bV X+Y´ Nn 2F NY o Y DF}L DªSª>¤ ÑÑ D¦Y F?Y º³`bV X+Y(´ ±m ~ LNL}T`SS6}I =Y IMU / u ÑFY I F n 2F +F Yxd w NO MLI m I ¢w L -J J
1J
Q S&1 X-TÝQ 9Z
(V" &V
.(6
.
0&4 ØJ G $G
*'
$Z S&Q3T &V"S(Y
R$
wJ -J
'
S(YÝQ0P$Y P
ØJ ØJ
¸J ¸J
ÂS3R
1
Ü
' (
S(YÝQ0P$Y P ©T V
R åTÝQ
R
Z U
L $M"& IJ%IJ
Z YÝ
J
R
1Q Z
$
J
R
N
0å
J
1
R
J
R
N
0å
@'
'
&
J(Ò V $Z S&Q3T &V"S(Y $Y TÝQ S3T &V $' 1Q0T V&3T Q
T V S
Z
Ðq
ís\ït\ r
u
¿ çwѯ' â
4
z { z
#ãèç èç
hdp
fh
,~|æ,~|³¶| 9
E¶ çE ð
tcFiD4tcFi`eLiSbF\FtklaFbF_!Fi~rFDir FyFtlrLFi`eK^`l^`ts~}q\Fs`iFi`eFhFyFbFp^` Fb6hBrLb6 l eLtaFs`yFbFaU^ P (t) }FiD4ttcFcFiSizjzFtyFt4tcFcFiStÖleLtaFs`yFbF\FtklaDiStFi`eLt E(t) }~kla6eK^x rLcL^`FjDyS^`h6tsSk¨thcFbFcFpiDklrLs`jSb DFi`\LeF^Sh>kls`jOt_sSiSd s4cFtiS4jSiDtcF4cFtiScF_ sOPjSyF(t)t4t}xcFFbyFiSFiSyF FbFiScL^xeLgScFiS_pcL^~\FtcFbF +
1
b p^`L^`plrFjD^`Zt_
P1 (t) = χ1 E(t),
P2 (t) =
Zt
K(t − t0 )E(t0 )dt0 .
] SiSpcL^~\6bLv\FtyFtp FyFtlrLtleLgScFiStpcL^~\FtcFbFt FyFbFiDkls`ihFcFcFiS_ b Y XcFb6ha6eKp^S^`kLkl^`bFpl\FrLtklaDjDiS^`_<]s`χttiS_vEyFklbFiDb
2
2
1 dP2 = (χ2 E − P2 ). dt τ
Ö4iDkeL4btcF6sOtyFjSjSyFiStcL4^~t\LcF^xb eLgScFiOleLtaFs`yFbF\FtklaDiStFi`eLt bFi`eFhFy6bFp^` Fb6hvyL^`jScFcF~eL}K^ j 4lcFiSjStcFcFiOFyFb6eK^`l^`tsSk¨h FiDkls`ihFcFcFiStqFi`eLt E }Fs`i t=0
0
iSs`aFrK^
dP2 1 1 + P 2 = χ 2 E0 , dt τ τ P (t) = P1 (t) + P2 (t) = [χ1 + χ2 (1 − e−t/τ )]E0 ,
D + {f6 R 5 x rLt τ d jSyFt8h>yFtleK^`a6k^` FbFbnY XkeLU\L^`t(Dksx^`cFiSjSbFjS{tiDk¨hÎyFtl bLf^²jÚFtyFt4tcFcFiDèl^`yL4iScFbF\Ftl klaUiDFi`eLt bL4tts 4tkls`i2kliSiSs`jStsSkls`jSbFt E(t) = E e (15.1.1) FyFbFjSi~r6hFttqavkliSiSs`cFiS{tcFbF ⇔ iω, ('
" >*ÿ
0
¨& &ã"
ã
iωt
t
· P (t) = P1 (t) + P2 (t) = χ1 +
¸ χ2 E(t). 1 + iωτ
b
üqtyFtlDirFhaaUiD46eLtaUklcFiS_HrLb6leLtaFs`yFbF\FtklaUiS_FyFiScFbF L^`t4iDkls`b iSSiSpcL^~\FtlcFb6h
ε(ω)
bjSjSi~rFh
ε0 = ε(0) = 1 + 4π(χ1 + χ2 )
Fi`eLU\FbL
ε∞ = ε(∞) = 1 + 4πχ1 ,
ý
1 ε(ω) − ε∞ = . ε0 − ε ∞ 1 + iωτ
cFtaUiSs`iSyFiS_ qUcFaF FbFb
fb(iω) =
f^Skkf^`s`yFbFjD^xh?Fi`eLU\FtcFcFU¡qUcFaF FbF¡aU^`a s`yL^`cLkqiSyL4^`cFs` ^`6eK^Sk^kq4cFb6 4z^`yF64tcFs`iD } f (t)
Z∞
B
e−iωt f (t)dt
0
fb(iω) =
FyFtlrKkls~^`jSbL£s`i2kliSiSs`cFiS{tcFbFtZj jSb6rLt
1 , 1 + iωτ
iωτ fb(iω) + fb(iω) = 1.
UXyLiS^`pjSjScFyLt^`cFbF^xhFklrLg tDav^`jStjDyFkltaU4iSt_2cFc yFiStl_ eK^`Fa6tkyF^`t F4bFtb cFcFiS_n}KFyFb6DirLbLHavrLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiD4
τ
df + f (t) = δ(t), dt
yFt{tcFbFtqaUiSs`iSyFiSibL4tts aUklFiScFtcF FbL^xeLgScF_>jSb6r f (t) = e−t/τ .
21.z
&x x
G&x x
L ]SiSS^~h?iSFtyL^` FbFiScFcFiStqkliSiSs`cFiS{tcFbFt ¤ ~6Y SY ~¦§cL^OkeLU\L^`_?rLyFiSScFiS_ kls`tFtcFbn} *ÿ$¥ Ã
Xz
®Ò I x
÷x&1 d1õ d1õ
1ã>
%â "ã
α t
ô &1ã$§mx"5
( "÷ "§
⇔ (iω)α , α ∈ (0, 1),
('
(15.1.2)
4i~ c6i i b6rK^`s`g2kFyL^`jStlrFeLbFjSiDkls`gOkliSiSs`cFiS{tcFbF_n}6FyFbFjStlrLtcFcF>j ©
^``e
Yn~6Y Sm .!^!9+%+K5.Bò Lxñ òñ üqyFiS Ftkk UyFgStqiSSyL^`p []yL^`jScFtcFbFt qiS~eK^x ZiSeK^ fb(iω) = [1 + (iωτ ) ] [τ + 1] f (t) = δ(t) qiS~eK^x ð jSb6rKkli`cL^ fb(iω) = [1 + iωτ ] [τ + 1] f (t) = δ(t) 6^`jSyFb6eLg`hFaU^x qt^S4b fb(iω) [τ = [1 + (iωτ ) ] + 1] f (t) = δ(t) üqyFbFjStlrLts`tFtyFg24tcFttqiSyLf^xeLgScF_?jSjSi~r>s`b6>UyL^`jScFtcFbF_nY x 76Ax Ó & −∞
+
α
α −1
C
−β
³
}| î ¶
α t
t
α
α −β
ì| ð.E
z {3±
−∞
−∞
β
α t
β
0
}| î ¶
æ ç|ç| í.ç³~³,
,. ð
üqyFiDkls`t_F{bL.f^`aFyFiDklaUiSFbF\FtklaFbL.klFiDkliSSiDjSjStlrLtcFb6hrLyFiSScFiS_ FyFiSbFpl Sj i~rLc6iS_vj2p^xrK^\F>i2yFtleK^`aUk^` FbFb hFj`eFhFtsSkh rLyFiSScFi` rLbL qbvtyFcFt^`cFF FyDbLh6^xeLtgScFcFbFi`tt iSSiS` tcFbFt a6eK^SkklbF\FtklaUiSi kliSiSs`cFiS{tcFb6hv4tlOrL>s`iSaUiD rFeFhvb6rLt^xeLgSc6iSi aDiSc6rLtcLk^`s`iSyL^d ôx÷ 7ñ÷ XòÀôòBñ i(t)xúñõ oñ x÷ u(t) ÷7ñ ÿ Fm ik4SziSs`kcFeLiSt{6tyFcFiDbF4t¢tl s`Ui s`iSi(t) iS\FFcFbLzkl=# KjD4^`ttlsBO rLl!eLu(t), t4b6rLtcFt^xs teL>gS FcFt0,zFbn 0}O
*6
*/5 "K
"<"
©M_ °:(
α a
α t
1
0
D
Ä
*
∆u(t0 )
i(t) = A∆u(t0 )(t − t0 )−α ,
FüqyFttyFiStSFyLbL^`kp^`iSjjS^`¤ ~cF6b6Y hn6Y}USjS¦Kb6rFrLeFbLh6}FyF\FiSs`bFi pjSi`eLgScFiSijSb6rK^ Kα ∆u(tj ) d i(t) = Γ(1 − α) dt
Z
t tj
u(t)
t > t0 .
(15.2.2)
bjSFi`eLcFbFjzleLt4tcFsx^`yFcFt
dt0 = A∆u(tj )(t − tj )−α , (t − t0 )α
A = Kα /Γ(1 − α).
U ÖFyFkeLb b
{f6
" +>*ÿ
('
¨& R&ã"5ãx
4t}Fc6s`hFiOtsSjSkh yLcF^xtFtyFcFtbFyFt jS¤ ~cF6i Y 6bY SrL¦§iDFklyFsxbL^`4s`iSt\Fs cFjSi>b6rSzkls`yFivksSy6t4bFsSkh.a.cFeL
u(t0 ) t0 → −∞
i(t) = A
Zt
du(t0 ) = Kα (t − t0 )α
α −∞
t u(t)
= Kα
−∞
α t u(t).
(15.2.3)
¤ FyFiSbFpjSi~rFcFteý§bLf^`cL^x bFUjSb6eFeFh>bv ^`FUs`iplrLtklg kliSjSL^xrK^`]sD¦Y üqyFbFcFbLf^xh.jSivjScFbFf^`cFbFt cL^xeLbF\FbFt2j aUiScFs`UyFt2^`aFs`bFjScFiSivkliSFyFiSs`bFj`eLtl cFb6hn}Fp^`FbF{tUyL^`jScFtcFbFt qbFyD6iD ^ −∞
i(t)R + u(t) = E(t),
{rLtt cFE(t) b6hW¤ ~d½6Y 6ûY Dð ¦ÖkeLbLtlklrLs`SiStl\FscFrLbFyFaUiS^vSFcFbFi`s~rL^`bLcF b6hnqY8toqyFtpOcFF FiDbLk^xeLeLtlgSrLcFcFi`ttZi UyLU^`yLjS^`cFjStcFcFtbFcFt b6h bkliSiSs`cFi`
rLt UcFaF Fb6h q iSeK^x qi`eK^ m E(t) = e
[τ α
iωt
α t
+ 1] u(t) = E(t),
tkls`g yFtl{tcFbFtÎs`iSi UyL^`jScFtcFb6h FyFb
τ α = Kα R.
+
z {åä
−∞
fbα (iω)
[(iωτ )α + 1] fbα (iω) = 1,
³
0 < α < 1,
(15.2.4)
ç|ç| í.çB³´~,
,, ð
^` eFh6rLcFiS_ 4bFaFyFiDklaDiSFbF\FtklaUiS_24irLtleLgS<l^`piSiS`yL^`pcFiSliqb6eLbO b6rLaUiSi rL4bFi`leLeLttaFaFs`e
yF}KbFklaUjS^ iSShFi~j`rLeFcFhFitsS6keKhO^`FjD^`yF]tlrKklsxb6^`>j`bveLtjScFyLbF^`tzi ^`cF]t b6a6D^`ka h>ij2klaFiSb6jS6iShFaFUFtcFHiDklSs`bOeLgxFiSi`cFeFtShF}6yFbLcF4b6 s`bFyFU]t<j`eLb6hFcFbFts`t6eLiSjSiSi2rLjSb6tc6b6hiSaFyFDO^`]b64i`eLtaF~e
Y¬ ^xOrK^xh 4kls`i`jSeLSttaFseKjS^>cFtiS{`cFeKt^xt?rK^`Fti`s?eLkltSiS}8DjSklcFs`UjSs`tyFcFtcFcFzcFHbFt rLbFklb6FeLi`*eLgScFj`zhFp¢aUiD4kiDsS4btb£cFs`kliDb6eL}n*cL^?bFcFaUtiSyFs` FiSbFyFbnYf_XrL^xtlO_6 eLcFtt_F_n{m§4bLi`eLkltjSaFiS~_LeLkl#s`jSu~iDcFt jSs`b6iSrF_.hFsF4| i~rLrLtyFeLUb >hFrLj`yFeFUhFt^FsSY§kh X/jSiSpsS^`klbLU4sScLkl^xs`hjSbFcFtvtpjS^`c6jStbL{klcFbLt4iDi.kls`6g?i`eFrLhbFFb6i` rLbFFi`eLgScFt?4iD4tcFs`*yL^SklFyFtlrLtleLtcF/bFpiSs`yFiSFcFiLY4Xa6eL]\FtcFbFt?jScFt{cFtiFi` eFh keLta6^qFiSjSiSyL^\FbFjD^`tsZaU^xOrL_ bFpcFb6¬}SkliSplrK^`jD^xhOkl6ff^`y6cF_ cL^`jStlrLtcFcF_ rLbFFi`eLgScF_24iD4tcFs~}SaUiSs`iSyF_ FijSa6eL]\FtcFbFb s`iSi Fi`eFh cL^~\FbFcL^`ts?u~yL^Skk^x kljD^`s`gDkhn|~}Kj>\FtjOUeLiSjS2FtyFt4tcFcF ϑ, ϕ a6^`a -ôx÷ ñ÷oö/ø ÷oò 7ö òBñ xòó÷mø XòÀôòlYf[]yL^`jScFtcFb6t s`iSi FyFiS Ftkk^Fi`eLU\L^`tsSkh£bFp iSS\FcFiSi
Ä6
5 $
"
å
*4
0
Ô/Ax &
*ÿ$¥ ò
â
"⩧5
('
rLcLbL^`s~ }¬qjSUp\FbFtiSyFcFaFcFbFiSjD^`i cFbFUtyL^`jSyLcF^xtrLc6bLb6^xhneL}
gSpcF^`iSF_bLkaU^`iScFiScFySiSrLbFi cLj^`s`k!qbtyF\6bFeL\FttcLklaU^ iSk_WyLkl^xbLrLklbLs`^xt4eLgSt?cFaDiSiS_iSyDFrLyFb6i` bFpjSirLcFiS_nm δ(cos ϑ − 1) ∂p(ϑ, ϕ, t) = K4ϑ,ϕ p(ϑ, ϕ, t) + δ(t), ∂t 2π
rLt p(ϑ, ϕ, t) dZ6eLiSs`cFiDkls`gZjStyFi~hFs`cFiDkls`bFi`eLi~tcFb6hs`iS\FaFbcL^]kqtyFtÖjZ4iD4tcFs jSyFt4tcFb t } K daDiS qbF FbFtcFs rLbL qUpbFb.jFyFiDkls`yL^`cLkls`jSt cL^`FyL^`j`eLtcFbF_n}8^ 4 UyL^`jScFtiScFSb6iSph>cLcL^~^\L^`tsWU eLiSjSU \L^Skls`g£b bFeKcF^`s`6teK^SyFkbFbLyF^``cLh ^FYF[Zi 4kqcFi~tOyFtS^x}6h¢Fi`iSeLSUt\L\L^`^St¢kls`b¢m s`iSi ϑ,ϕ
f0 cos ϑ sin ϑdϑdϕ
df (t) = −2Kf (t) + f0 δ(t). dt
Ös`iOUyLq^`s`jSi¢cFtcFbFttq4jStli~rL tsOcFia?bFrLpt4D^`ttcFjDbFkls`aUgiD4j ps`^`iSaU_iScF4 i~yFrLtltleKeL^`bna6} k^`\F Fs`bFiSSbn Y Fi`eLU\FbFs`gaU^~\Ftl cFkls`tjScFt FcFbLcF^xieLgSrLcFyFiSUiiS, t.FiSjStlrLtcFbFt.FyFiS Ftkk^Fmzkls`tFtcFcFiStWUSjD^`cFbFt jD4tkls`iHa6klFi` ]DklDOrK^xh2FyFbF\FbFcFiSseLb6\Fb6h FyFiS Ftkk^yFtleK^`aUk^` FbFb>js`jStyDrL2s`tleK^x iScFsiDkls`bFiSs`tliLeL}4b\FrLs`bFi FcLi`eL^``gSeLcFrK^`4tsSiDk¨4h£tcFj s`iS^`j>ppl^xrL¬t[} klð g>DiScFt{cFttOy4kiSFyLU^`s jStlklrF\FeLb6bFsxjS^`is`gDpk^Sh4cFtb.\L^`kltjSs~iS}4S\Fis`rFi cFz4bn}DcFb2cFtp^`jSbLklbL4z4bOrLyFU]iSs rLyFU^FY Ökls`tkls`jStcFcFiFyFtlrLFi`eLi bFs`gL}D\Fs`ij rLcFtbFUsSFk¨h£iSySjSh6rLiS \FbUtrKcF^`cFs`iDgLW}
sSFjSiStla6yD^vrLiDjyFtls`ptl~eLeLtqgxiSs~cF^`bWs`t2uxs`8tt6{eL^`iS]jSiSsi rLyFrLUjS]b6rLyFtUcFb6ThW|~}6iD\Fkls`jSiOiSSbLiOFrKyF^`b6tsSDki`h rK4^`tcFkls`cFiviSrFieFcFhWiDs~kl^`bFaUs`iStleFivhnY[FðiSjSbFiSFyFi`iSeLs~g^F}na6aD^`iSas`iSSyF/6_WiS6L4^xrKt^`cFtgSs{jbFsveLFiSjSiSUs`{tcFaF FHbL^x¤ eLjgSFc6yF6iD/kls`yLcF^`tcFyFkls`bFjS t cL^`FyL^`j`eLtcFbF_K¦qbWFyFtSjD^`tsvs~^ScFtaUiSs`iSyFiSt2keLU\L^`_FcFiSt2jSyFt8h }8FiDk eLt2\Ftl cLi^`FklyLiS^`jSj`tyFeL{tcF^`bFttSsYK4XtcFyFiSi~jShFts`c6cFcFiDkls`_>gLkl}La6F^t\FyFiSjSaiScL¤ F^~\LiSjS^xeLiSyFgScFiSsDi2¦§kljiDklrLyFyFtlUrLiSiSs`t]iS`\FeLtcFbFcLpaU^xiSh t]cLTa?^ Fu~yFFtli` eLcFZtkl4tS| kqtyF }6yL^Skls`ta6^`tlsDk¨h Fi kqtyFtqj kliSiSs`jStsSkls`jSbFb p^`aDiScFiD£klU~rLbL qUpbFb û
(15.3.1)
=
Q
α t p(ϑ, ϕ, t)
= K4ϑ,ϕ p(ϑ, ϕ, t) +
δ(cos ϑ − 1) t−α , 2π Γ (1 − α)
b jOFyFtlrLtleLt yL^`jScFiD4tyFcFiOyL^SklFyFtrLtleFhFtsSkh FiOcFt_nYüqyFb>s`iDklyFtlrLcFtt pcL^\FtcFbFt z FtyF→iStaF∞ FbFb?rLbFFi`eLgScFiSi 4iD4tc6sx^O~rLiSj`eFts`jSiSyDhFtsUyL^`jScFtcFbF 0
α t f (t)
= −2Kf (t) + f0
t−α , Γ(1 − α)
iSSiSS^x]t4¤ ~6Y FY ~¦§cL^ klUrLbL qUpbFiScFcF_?FyFiS Ftkk`Y 0
z {/ë
4
,~|æ,~
æH
oqpjStkls`cFiL}
\Fs`ijkeLU\L^`t USjD^`tsva6klFiSc6tcF Fb6 = f (t) ^xeLgScFi>cFtp^`jSbLklbL4i iSsvkljSiSt_ FyFtlαrLz=kls`1,iSyFbFfb (t)f (t), }ncFivjvkeLU\L^`t α < 1 t<0 α
1
1
{f6
" +>*ÿ
('&'
¨& R&ã"5ãx
Ftkk^FY7UðSyFUjD^`bLts 4b Fi keLkliSs`jDt^SF4tcFbncF}`iD44vcLp^`^``aUeLiScFrK ^`j?tp^`cFjStbLaDkliSbLs`4iSyFiDkls`_Obs`iSbFs?³Fó yF!tlÿ rLxzù kls`LiSYyFûbF bqFtyFaFi`s L^S8hFs`b Se2iSsS4t\Ftc cFtklaUi`eLgSa6bL4b2^`jSs`iSyL^S4bOs`tiSyFts`bF\FtklaFb6 b la6klFtyFbL4tc6 sxuK^x eLgScF yL^`SiSs~}i~rLbFcbFpaUiSs`Ú |iSÔ yFqYTrKX^xeOkls~kl^`jSsSiSgSt_tkls~s`^`iSs`_vgSFtyFjSbFjSyLi~^`rLpbFbFsSs`k¨tlheLgSiScFFiSbLtÖk^`cLcF^`bFptjD^`kcFeLbFtlt rLU]tiOa6klFtlyFGbLF 4tcFsx ^FI Y {t_ 4t©yFyFtOb bUÑrL4tcFbFs`cFbFU\FscFrLi >4aDiDiS4c6trLcFts~cL^Fk}6^`aUs`iSiS yLrK^^Sb62eLyLb?^`cLp^`iDaU4iSaFyFcFiS~s`eLaDbni}UpF^Si~4rKaF^xeLcFb?Us`cL<^FaUiO^xO4rLtcFg`_ cLbFp^`aUcFiLb6}4<FyFkltla6rL^z\FiSkls`aiSyFcLbF^`FbHyDh6s`b6tcFb6aUh iSc6UrLtcL=k^`s`100 iSyFiSj XSbeLcLb^~\LyL^x^`eLplbeLbFbF\FpcF4 tYÖyFtqcFiSbFc6trLs`tlcLiSa6k^`^Fs`YiSzyrF cL^xDirLb6eKkhHFi~r
fα (t)
S&XSå Z R"S .X- X
Z
0
Á
_
E
3
1
3
Ç '
*
E(t) =
0, E0 , 0,
t < −θ; −θ 6 t < 0; t ≥ 0.
FbF nXyFbFcLyL^ ^xOj^xqhHiSyFyLt4{t tvcFbFbFts`s~U^`yLl^` jScFtt cFZb6heLtkyL^>s`bWiS_FyFFtlyLrK^`kljSs~^`iSjS_HbF\Ljv^SFkliDs`gSkeL tlrL\FcFt]yFt*pjvqjSUb6cFrLa6t kls`tFtcFcFiSiOyDh6rK^F}6Fi`eLU\FbL qC
BG
u(t) = E0
Z
· µ ¶α ¸ j ∞ X (t − t0 )α−1 t − t0 − dt0 , τ −θ j=0 Γ(αj + α) 0
Ö½×ÙØoÚÜÛUÝQÞßáàYâAßÙãÚ.äQÝ à[åVæÙçßáèßÙÚ.ãDé"ßVâ àQãêVë¬ì í
t ≥ 0.
Ô/Ax &
U oqkljSpiS4_LtklcFs`bLjSiDHWFliS^SySfh6frLiS^xa qbFUcFcFs`aFt FbFyFbnbFyF}6iSFjDi`^`eLcFUb6\FhvbLbm kl6f4bFyFiSjD^`cFb6hvbn}KjSiDklFi`eLgSpi`jD^xjS{bLklg *ÿ$¥ ò
"⩧5
â
α
u(t) = τ E0
∞ X
('
(−1)j Γ(αj + α + 1)
qtyFt_6rFhOa kl6f4bFyFiSjD^`cFbFHFi j=0
ü
−
"µ
t+θ τ
k = j +1
∞ X (−1)k (t/τ )αk
Γ(αk + 1)
¶αj+α
µ ¶αj+α # t − . τ
bOFyFbFc6hFj jSiqjScFbLf^`cFbFtzkliSiSs`cFiS{tcFbFt
= 1 − Eα (−(t/τ )α ),
FyFb6Si~rLbL£avkeLtlrLU]t4?jSyF^xtcFbFrFeFh iSs`cFiS{tcFb6h k=1
u(t)/u(0) =
(15.4.1)
u(t)/u(0), t > 0
Eα (−tα /τ α ) − Eα [−(t + θ)α /τ α ] . 1 − Eα [−θα /τ α ]
m
(15.4.2)
^xOrLiD4 pcL^\FtcFbF L^`yL^S4ts`yL^ plrLtklg>kliSiSs`jStsSkls`jSSts?klt4t_Lkls`jSi>a6yFbFjS¬} iSs`cFiDkhFb6UklkiShqiSs`a jSyLt^`sSplkleLs`jSbFS\FtcFszi>rLcLjSyF^taF4yFtαbFcLjD^S^x?hnp}6^`cFyDt h6prL^`aFjSb bLθk¨hF}b s`^xi`h?eLiSgSs aDizY5irLðcFtiD_L4kls`]jSpbFcLs`^~tl\FeLtgScFcFbFiL m
α (α = 1)
θ
|u(t)/u(0)|α=1 =
E1 (−t/θ) − E1 [−(t + θ)/τ ] = 1 − E1 (−θ/τ )
1 − exp(−θ/τ ) exp(−t/τ ) = exp(−t/τ ), 1 − exp(−θ/τ )
=
t ≥ 0.
X iS`eK^Skls`b¡Si`eLgS{b6jSyFt4tc yL^`pcFiDkls`g
'
'
u(t) ∼ θE0 t
α−1
∞ X
(−1)j Γ(αj + α)
µ ¶αj t = θE0 tα−1 Eα,α [−(t/τ )α ], τ
t À 0.
qo pjStkls`Y¬cFiLX}Lk\FeLs`Ui?\L^`sxt^?tqkeLUb cFaF Fb6hbL}K4jSts`tiSs>yFiSkl_s`t\6FeLttcFccFiSj>_quiS6yLjS4iDkl~sFeL|Ft>m ¤ f~6(t)Y LY ~∝¦kltsx^`cFiSjS}KbFFsSyFkbh t→∞ FyFtcFtSyFtl bL4i f^xeLzrFteF¿h tθÀ τ m f (t) ∝ t (τ ¿ t ¿ θ) Y yL^`pyDFh6yFrLtlaFrKbnkl}~s~F^`iDj`kleLs`tyFcFiS tcFcLcF^ tý§bLkÖk`bLYÖklF~6i`eLY SgSY¬pXiSjDyF^`tcF4bFttcL ^>jSp^`yDyLh6^xrLaFtlb cFb6h¤ ~q6Y yFLbFY ~jS¦rFteFph ^`ySαh6rL=aFb60.998 ¤ jStyD6c6h6h eLbFcFb6hK¦x} ´UY F6Y b 6Y ¤¥c6b6 c6h6h?eLbFcFb6hK¦#Y ð eLbFs`tleLgScFiSt θ = 10 jSFyFiDtkeL8thcFcLt^`aUFiSySs`h6iSyFtiScFi bFt4kliDL4^xtrKcF^`s~t^vsqkl4iS! eKcL^S^`kl`cFeLi]rKa6kl^`FtiScFyLtcF^S FklbL^xteL6gSeLcFtiDcF4bFtO paF^`yFaUbFiSjScFe ðrFteFDh ^xhnyL}~^`cFpli eLbF\FcFWpcL^~\6tcFbF_ θ bFtyFtlDi~rjcFtlrLtD^`tjDklaFbF_kls`tFtcFcFiS_p^`aDiScnIY ûÖs`ijS eFhUrLbFs sx^`an}¬aU^`a S~rLs`i>L^S8hFs`g jSiSpjSyL^`^`tsSkhj klbLkls`t4FiDk eLtOcFtaUiSs`iSyFiSi j=0
α
α
−α
Q
'
Q !
Q
Q
'
−α−1
Dª
{f6
" +>*ÿ
('
¨& R&ã"5ãx
§bLk`YK~6Y Sm R.!0*0-W+%#$!.B++;&X?+)%+Y;&Xb2.!)/"/,#?%+ij)#.!b*)/"/,+?%e,+9#"d)#.!b-9+%+W++;Ifeb-5.*W#&-+%+H ñ bFcFs`tyFjD^xeK^jSyFt4tcFbnY6©
^`aUiSt]FiSjStlrLtcFbFt]SeLicL^`pjD^`cFi Xò ùJ÷*ÿ öo÷oø!øBù oñ÷oö cFtòBpñ ^`jSßbLkló bL!4ÿ ixiSù s θ mFLXY ^S8üqhFyFs`b g αiSsSkl=UsS1kls`yFjStl`eKts~^`Y aUk^` Fb6h
θ
-K 0
"
'(
−6
5
+
-
Ô/Ax &
*ÿ$¥ ò
â
"⩧5
('5´
§bLk`Yn~6Y 6m 3?o0-N#&*)%#Q&-#$.B9+:+;&V?+)%+Y;& )#.!b*)/"/,#?%J^!EQ[.!g# !O2 ?/ !+,#&-#02.!$7 )#.`ñ ý
§QR%bLk`Ø Y6òBÚR~6,+Y 9#F"em {^!E)#Q[.BY.!#&g-# +%!#O2& eW+?/%# !0-+,9#+&-&-+#0+;2I.!f $7 )+)#&*. b-E!9+:!$.!$7 !Yd0Ø¥Á ôÚx0'*?/0-N#&*)%#Qñ/ &-#$.!)#.B.!9+Q:&*+;$7) QR%Y,5;.B+^)#+;.BIi )#.BY+;Q¬\/Á 11S`ñ FI§('*?/0-N# !#&-+K+%5.B9+:5.!" aXE/#?K+%#"ï*M§X)#.!b-+%+î K5.IQ&*g,+E $7&* )+&*$%+W#&*0*?/ !H ?+)%+Y7 !HJ%A'*?/0-N# !#&-+K+%5.B9+:# !HAaXE/#?K+%#&-HKñ klaUi`izyFt{tcFb6hb a6klFtyFbL4tcFs~^xeLgScFqrK^`cFcF¬}lDiSsh cL^``eLrK^`tsSk¨h cFtaUiSs`iSyFiSt yL^`pleLbF\FbFt2cF^vSi`eLgS{b6jSyFt4tcL^x¬[Y üqyFbWSi`eLgS{b6 θ }nrFeFhWFyFiS Ftkk^ p^`yDh6rLaFb6 ý
θ = 300
τ ≈ 0, 4
−1
α
D
{f6
" +>*ÿ
('
¨& R&ã"5ãx
§bLk`Yf~6Y Lm ¨ñ yL^`pyDh6rFaFbHSeHsStliSyFts`bF\FtklaFbFyFtlrKklaU^`p^`cFtyFtlDi~rHiSs.irLcFiSi.USjD^`]ti klkls`s`ttFFttcFcFcFcFiSiSi i?pp^`^`aUaUiSiScLcL^^?(tSeLi>) avrLtrL_LyFkls`UjSiDbF4s`tl eL(tgScFiviSS)cLY¬^`©
yFD^`aUiSttcFi bFpj 4tiScFFtcFsxbF^xtO 6kOiSa6l^`eLptl^`aFs`s`tlyFeFi`h eLbFs`bF\FtklaFbLaUiSc6rFtcLk^`s`iSyFiD¢«¤ ýÖbFk`Y
~6Y U¦Y peLgxsx^`XBs`iSjLp^`Y¬a6©neLt]yL4\FtbFcFc
−α
−α−1
'
*
ø0ùAò/ xúñõ?Èö* (5* ÈÄ57ö4ÈÇ÷*ÿó÷7ñxòBñù
FtyFjD^xhqbFpÖaDiSs`iSyFqcFtÖp^`jSbLklbFsiSsFyFtlrLzkls`iSyFbFbn}~^jSs`iSyL^xhZd]p^`jSbLklbFs~Yx]St§iScFb USjD^`]sklijSyFt4tcFt}DcFiFtyFjSiSt¤ aUklFiScFtcF FbL^xeLgScFiSt~¦fkeK^`l^`t8iStS}SFiScL^~\F^xeL F4yFcFtiScFtiqSSyFi`tleL gSbL{4titfjSs`^xiSeLyFiSiStFiLi}xUklSyL^`jSjDcF^`ttcFs]bFS<zklks`FyFttyFtSjSYSzXyF}Stklpsx^`eLcFgxiSs~jS^`bFs`tSsS}`k¨hOjSs`rLiSiDyF4iSb6tcFkbFeKyF^`Ul^`]t4bLiStS } F\FyFbLb4zSi`eLY gS{b6?jSyFt4tcL^x¬}L rLtyL^Sklt6eLtcFbFtaFyFbFjSvklsx^`cFiSjSb6sDk¨h hLklcFi2yL^`pleLb6 u(t)/u(0) = e−t/τ + ηα (t),
&
x
ì| ð.E
z {
76U
}| î ¶
Eï BÂE| ~
eLtlrL`hyL^`SiSs`t ´ }yL^Skk4iSs`yFbL*rLyFUiS_sSb6¡yFtleK^`aUk^` FbFbd<qiSeK^x jSb6rKkliScL^FY qs`iSSFtyFt_Fs`b2a2iSFbLk^`cFbF<s`iSis`bFL^F}ý4Y b6f^`s`~eFeLbFc FyFtlrF ð
@
&=
*ÿ$¥ ÿ
Xz
21Âf
÷x&1 d1õ
¬1 # 5x
('+Ñ
klsx^`j`eFhFtlsOiSS\FcFiStZUyL^`jScFtcFbFtqa6klFiScFtcF 6bL^xeLgScFiS_>yFtleK^`a6k^` FbFb>jOjSb6rLt exp(−Ω0 t)
exp(Ω0 t)f (t) = 0,
(15.5.1)
rLt dFiDkls`ihFcFcL^xhn}§iSFbLkljD^`]^xh£jSp^`bL4i~rLtl_Lkls`jSbFtf^`aFyFiDklaDiSFbF\FtklaUiSi rLbFFi`ΩeFhHk?s`tyL4iDklsx^`s`iD YfX/\L^Skls`cFiDkls`bUyL^`jScFtcFbF#¤ ~6Y 6Y ~¦FirL\FbFc6hFtsSkh SqUs`cFg?aF FiSb6Fh bLkf^`(t)cL^24rFi~eFrLhtleLklgSbL!kls`t eLU}SyFiStlaDeKiS^`_va6Fk^`iS 6s`b6tcFh¢ FaDbLiS^xs`eLiSgSyFcFiS_vhLcL4^!4k bFa6rLyFjSiS6U8yFhiSjSFcFi`t eLi4i~tcFtb6s hLeK4^`aUb k^`yL F^`bFjSbOcFiScLjS^~t\FklbFb6cLh£^`t¤ yFsStlk¨eKhO^`Fa6iDkk^`eLs`tiSy s`iSiLyF}`tlaUeL^`b6a U^Dk¦ FiDx4 SiSYTgSX¡jScFs`iSt{_.cF4tlirLi tl6eLi`b eFFh yFkliSiS FpltrKk^`ktsSyFkth yL^`pcFbF L^ jcFtyFbFb.rFeFhWs`b6.rLjSD Fi`eLitcFbF_WyL^`jScFiSjStklb6hnYnoqpjStkls`cFiL}n\Fs`i s`4yFi~bFrFaDtliSeLj g b.yFtlkleKU^`a6kt^`kls`s`iSjSyLU]^ s?yLyF^`tlSeLiSb6s`D ^ }¬kl^`FjSyLs`^`iSjSyFtlBrFeLaDbFiSjDs`^2iSyFrFeFh {FyFbFtlyFrLiSFaDyFiSbFcFi>bLa6feK^x^SeLkb.k^2FrLiSbFFleLs`taFa6b 4i~rFbLqbF FbFyFiSjD^`s`gs`24irLtleLgL}DbLklFi`eLgSp`h24irLtleLb?FyF aDiSjSiSiFtyFtcFiDk^ p^x yDiSFh6rLbL^Zk^`bOs`gvbFiSc6cFtcFiSa6_klFFiSyFcFiStjScFi~ FrLbLbL^x4eLiDgSklcFs`Ub /ÑFyF}UtleK ^`aU}xks~^`^` FanbF}`\Fs`YfiSzS£rLcLk^`taDtivFjviD4aUiSiScFtgS\FcFiD4i kl\FcFtiqs`St2jDeLklit sxk^`^` FaFbFbFbt F«¤ ýÖiSF(X ýs`¦aF}UbkliSD eK^`p^SbFklyFcFUi ]aDsSiSk¨s`hviSyFcLiS^O_ aUcFiStlcFrL FttDF^` FtbFjDklbvaFyLbF^S_OklpF^`yFaDtliSrLc tleLyFttlcFeKcF^`aUk>^`jS FyFbFtb 4tcvyFFtleKyF^`tlrFa6 klsx^`j`eFhFtlsDk¨h>jOjSb6rLtklUFtlyFFiSpbF FbFb>rLtD^`tjDklaFb6?kZ6eLiSs`cFiDkls`gSyL^SklFyFftl(t)rLtleLtcFb6h jSyFt4tc p(τ )m 0
t
q
Á+
¬
0
+
f (t) =
Z∞
e−t/τ p(τ )dτ.
(15.5.2)
£X klsx^`s`gSt ´ T4irLtleLgyFtleK^`aUk^`s`iSyL^ yFtleLb6D^4irLbLqbF FbFyFStsSkh bLk¨Di~rFhObFprFyFD b6>kliSiSSyL^xtcFbF_nY Y ^OÖb keLb f (t)dyFt{tcFbFt G(t) = exp(Ω t)f (t) UyL^`jScFtýfcF^Sb6kh.k4¤ ~iS6s`YyF6bLY ~ ¦}Uqs`i UcFs`aFiS FrKbF^ G(t) d U a S i L c l k ~ s ` ^ F c x s = f (0) 0
¬+
³
0
t G(t)
= 0.
(15.5.3)
üqyFtlrLFi`eLi~ bL¢s`tFtyFgL}
\Fs`ijvcFtaUiSs`iSyFt24iD4tcFs`jSyFt4tcFbklbLkls`tf^ Lc4^xtDcFib rLbFsSkhOjkliDkl}s`i~^WhFcFcFbFt bOyL^`jScFbiSjSjDt4klb6thnkls`Y7iðyFcFUtlyLbL^`jS4cFb2iSkjSeLtiSklcFjDiS^S_4bna6}x^`jyFs`s`bFb2cF 4iDkl4UtcFs`tkHsSjSjS`yFttls yLZ^`eLjSUcFaFiSs`jSG(t) tD^`kl FcFbFi`b tq=kleLiD0iSkla6s`^xieLhFgScFcFbFtSfOY>(0)üqFyFi`eLbFt\F_?bFcFjiSrL_ bFls`eLiStaFiOs`yF4bFiSaUtSU}6sOFSyFbFs`jSgLirF}6hFcL^`FbFyFtZbLa?4tynaF}FyLs`^`tc66bFeLyFiSiSjSjSaUtt jScFt{cFtiFi`eFhnY qyFiD4tzs`iSiL}SFyFtlrLFi`eLi~ bL}S\Fs`i4iD4tcFs`jSyFt4tcFb2aUiSrK^ = f (0) yLyDhn^Skl}`Fj yF4tlrLiD4tleLttcFcFs`£FjSi yFtk4^S4tcFiSbnF}SiklrLiSiSjSSLcF^xiDrK4^` ]¤¥qbFyLt^`aFksxs`^xiSeL\FgSa6cF^SiD44bOFcF¦8t4aUc6iSi~s`iSyFtiSkls`iqjSSkY`^SoqG(t) 4cLiS^~F\Fi~trLiSSiScFjSi`i` i 4cFi~tkls`jD^F} G(t) = f (0)}K^j24iD4tcFs` }KkliSjSL^xrK^`]bFt kqFSkls`iSsx^S4bvlsSiSli 4cFitkls`jD^F} G(t) = 0Y©niS rK^F}ÖbFcFs`tyFbFyFxh¢qUcFaF FbF G(t) biDklUtkls`j`eFh6h
D` + {f6 R 5 x DkltyFkltls`rLjDc6^Ft}FcF4bFit> FcFi i yLF^`i`pleLeLUbF\F\6bFcFs`zg B~yF t^xeLb6p^` Fb6hL¡FiDkls`yFiStcFb6h£k^S4iSFi~rLiSScFiSli4cFi`
" >*ÿ
¨& &ã"
ã
*
rLtklg A d.FiDkls`i~hFcFcL^xhn}4iSFyFtlrLG(t) tleFhFt=f^xAhkl s`yFUaF[fs`(0)]. UyFiS_qyL^`aFs~^xeLgScFiSi (15.5.4) 4 cFi~tl 0
−1 t
−β t
0
lk s`jD^F}UcL^aUiSs`iSyFiDWyL^SklFyFtlrLtleLtcL^ G(t)} β ∈ (0, 1] dOtiOqyL^`aFs~^xeLgScL^xh2yL^`p4ty6 cFiDkls`gLY qtyFtcF Fo bFklyFFiSi`jDeL^`gScFpb6`hnh£}UkljSjSiSyL_L^xkls`jDt^cFbFiSt Ft¤ yL~6^`s`Y 6iSY yF~iS¦Öj4i~rL yFiScFSiOcFFiStyFitbFFcFbLs`kt^`s`yFgObFj yFiSjSjDb6^`rLcFt b6h£b£rLbLZ
oqcL^~\FtiSjSiSyDhn}ÖtkeLb4 yF^Skkf^` s`yF[G(t)] bFjD^`t/=yF0.tleK^`aUk^` FbF}FyFbaDiSs`iSyFiS_¢(15.5.5) jSp^`b6 β t
0
4i~rLt_Fkls`jSbFtvk?jScFt{cFbL¡Fi`eLt¡cFiDklbFsFyFtyFjSbLkls`_Hk^S4iSFi~rFiSScF_WU^`yL^`a6 `s tyn}Ls`i2s`iS rK^OUyL^`jScFtcFbFt2¤ ~6Y 6Y D¦§rFeFhqUcFaF FbFb G(t) p^S4tc6hFtsSkh UyL^`jScFtcFb6 t¤ ~6Y 6Y S¦Y üqyFbFcFbLf^xhjSivjScFbLf^`cFbFt }8UyL^`jScFtcFbFt rFeFhqUcFaF FbFbyFtleK^`a6k^` FbFb G(t) 4 i F c i p ` ^ F L b l k ` ^ S s g O j S j 6 b L r t f (t)
b6eLbvkqbLkFi`eLgSpiSjD^`cFbFtWiSFtyL^`s`iSyFcF iSiO[exp(Ω kliSiSs`cFiSt)f{t(t)]cFb6h = ~0 exp(−Ω0 t)
exp(−Ωu
0
1−ε )0 t
α t
0
β t
0
exp(Ωu
0
1−ε ) t
(15.5.6)
Ä *
= (0
ε t
+ Ωε)α/ε ,
FyFb6rK^`s`g t42Si`eLttqcL^`eFh6rLcFU0B<qεiS6yL41,?qαiS6eK^ε,dAðjSb6rKkliScL^Fm eLtlrLU]bFt jSjSirLk¨(rL tleK^`+cFΩjO) aDfiS(t)cF Ft = F0.bFs`bFyFSt4iS_vyL^`SiSs` Y (15.5.7) yFz.FyF~bL[¦ 4üqtyFcFiSbL Fft^kkÖ4qi~rLiStleKeFg^x yFðtleLj`^`b6a6rKkkl^`iSs`cLiS^yL^4i~yFttls]eLbLb6U4^ ts`jgqkl4iSt\Fklts`sxiZ^`cFjqbFklb2bFklkzs`cFttlfrL^xt¬D}~^`atljDaUkliSaUs`iSi`_ yFa6^xtleK¬^`}DaUaFkyF^`bL FklbFsxt^x_neFY§eK^xX?iSpk]4bFi~iS cFcFcFiLiS_?}8sxF^`yFaFiSbFjSt i~rLDbLkeL4iSiDjSklb6s`hgSjS}U^Fs~i`^`eLa6c6hF]tqsSjk hb6j.rLaFkltb6?cFtb?s`6iSleKeL^StklaFs`s`bFyF\Fb6tl klaFb6>aFy6bLklsx^xeFeK^x¬Y S¦ UcFaF Fb6h yFtleK^`aUk^` FbFb>sx^`aFb6 klbLkls`t£~rLiSj`eLts`jSiSyShFtsUyL^`jScFtcFbF 0
t
0
β
¬+
¸+
b bL4ttsOjSb6r
[
t
β
+ Ω0 ] f (t) = 0, tβ−1 −Ω0 t e . Γ(β)
cL^aUiSs`DiS[¦ yFü iDB^`yLkl^Ss~4^`tsSs`bFy kls`βbF\Fu~bLtkl4aFtbHts yLk^S4klFzyFk tle rLqtleLyLt^`cFaF sx^x4eLgSiDcF4iSt_cFs`yL ^`pjS4yFttyF4cFtiDcFklbns`b}fiS4s`cFjSi~tsSklts`kljSs`tjDc6^F } cFt>p^jSp^`bL4i~rFt_Lkls`jSbFt 4tlOrLWleLt4tcFsx^`yFcFiS_kliDklsx^`j`eFhF]t_£qbFpbF\FtklaUiS_ klbLkls`t4b jScFt{cFbL£Fi`eLt|xY
f (t) = C
*ÿ$¥
21. G
÷x&15" #$ # § ã !"â
&
ì| ð.E
z {
e
D6
76K
ï ¶ç
ì Øæ¯
«i`eLtt>iSS^xh^`FFyFiSa6klbLf^` Fb6hn}4i6jD^`s`jD^`]^xhWjDklt>s`yFbyL^Skk4iSs`yFtc6 cF?jS{tZrK^`tsSkh?rLjSD6L^`yL^S4ts`yFbF\FtklaUiS_ qiSyL4eLiS_ 6^`jSyFb6eFhFa6^x qt^S4b C
f˜αβ (iω) =
1 , [1 + (iωτ )α ]β
0 < α < 1,
0 < β < 1.
(15.6.1)
4t{tcFbFt kiSiSsSjStlsDksSjSU]tlirLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLgSc6iSiUyL^`jScFtcFb6h ý
[1 + (τ
t)
α β
] f (t) = δ(t),
iDklcFiSjD^`cFcFiStqcF^ yL^`pleLi~tcFb6b rLyFiSScFiS_vkls`tFtcFbiSFtyL^`s`iSyFcFiS_vkl6f4j2StklaUi` cFt\FcF_ ySh6r qgS]s`iScL^ 0
Â
[1 + (τ
0
t)
α β
] =
∞ µ ¶ X β
Fi`eLU\FtcFiOjOyL^`SiSs`t ¬b bL4ttsOjSb6r
m
n
n=0
-
(τ0
t)
α(β−n)
,
µ ¶α(n+β) ∞ 1 X (−1)n Γ(n + β) t f (t) = − . Γ(β) n=0 n!Γ(α(n + β)) τ
üqiDklaUi`eFgSaF2L^`yL^S4ts`y }La6^`av4jSb6rLtleLbvj24irLtleLbqiS~eK^x ZiSeK^6}Fklj`hFp^`cvkli lk s`tFtcFcFzyL^SklFyFtlrLteLtαcFbFtjSyFt4tcFb rLtyD^`cFb6h jOeLiSjSU{aDtS}F^OL^`yL^S4ts`y β U^`yL^`aFs`ty6bFpiSjD^xe.qyL^`aFsx^xeLgScFiStyL^SklFyFtlrLtleLtcFbFt 4iD4tcFs`iSjvyFtleK^`aUk^` FbFb.jv4i` rLtleLb qiS~eK^xð jSb6rKkli`cL^F}Ds`i tkls`tkls`jStcFcFiOFyFtlrL6i`eLi~ bFs`gL}6\Fs`i yL^Skkf^`s`yFbFjD^`tl 4iD42FyFiS Ftkkl F^`jSyFbUeFhFa6^x qtl^`4b?FyFbLklUb iSStqs`b iDkliSStcFcFiDkls`bnY piSjD^`c?jOoqcFyLiS^`_SiSFs`i~t rFD irOY aO4i~rLtleLbFyFiSjD^`c6bFHFyFiS Ftkk^ 6^`jSyFb6eFhFa6^x qt^S4bbLklFi`eLg` C
C
- '(
;
z {
ÂÛ # X~
~ï,E³¶· ~¹ E¶ çE ð
ç| ~
l| ~
l,
qts`yFrLcFi!jSb6rLts`gL}\Fs`i jDkt¢FtyFt\FbLkeLtc6cFtjS{t¢4i~rLtleFb cFtlrFtD^x ð t jDklaDiSiScF_{tlrLyLbL^F m qUpbFb rLiSj`eLts`jSiSyDhF]saFyFbFs`tyFb6hL UcFbFjStyLk^xeLgScFiSiiSs`a6eLbFaU^
f (t) = A[(t/τ )µ+1 + (t/τ )ν ]−1 ∼ ½ A(t/τ )−µ−1 , t À τ, 0 6 µ 6 1; ∼ A(t/τ )−ν , t ¿ τ, 0 6 ν 6 1
DS
{f6
" +>*ÿ
χ e(ω) ∼
½
B(ωτ )µ , B(ωτ )ν−1 ,
¨& R&ã"5ãx
ωτ ¿ 1, ωτ À 1.
F bFb4cFu~iS[]cFb6bFjSt¤¥^`yLjSks`^xiSeLy gScFiD~kl s`gLkl|\FbFjsxrK^`^`ts cFcFdiDjDklaDtliSLcF¦qs`fta6^`kls`s`tt yFbLiS^xpeLcLiS^j\L^`4ts~i}6\Fts`sviOSs`bFs` gyFitlUeK^`^`yLaU^`ka6^x s`tyFbFpiSjD^`c p^xrK^`cFbFt.i~rLcFiS_ s`iS\FaFb?j6eLiDklaUiDkls`b Yðt_Lkls`jSbFs`tleLgScFiL}SFyFiSjStl rLyFtbFcFpcF^` FbF_vb2j Fi`ÑFeF}nhF~yF cF8^` cL^xb2eLcFbFtpqFi`a6eFklhFFyFtcFyFbL4trLcFbFs~l^xeLeLtgSaFcFs`yF>bFaUrKiS^`α,jLcF}UcFβf^`>cFFti s`bFy6aUtliSeKj^`a6jk^`f F^`bFb cFbFFs`i`cFeFiDh6 FcFi`eLtS}4FFyFyFiSjSi rLaDcFiSbFjSaUiSiS_£jL}FpyF^SiS4jStlirFrLeLbLt4cFiDcFkliDs`4b£jklFLi`^xeLrLUFyFeLiSZjS4i~bFrLcFcFtbFklaU F^xtncF}
FFbFyFbniS}]jSFi~rFiSjSbLt4yDiD6klcFs`iDb£kls`bFcFiSiSc6_ FyFiSjSi~rLbF4iDkls`b.bFpi`eFhFs`iSyFiSjL}¬aFbFcFts`bFaUt 6bL4bF\FtklaFb6.yFt^`aF FbF_n}84tlD^`cFbF\FtklaUiS_ yFFtlyFeKtlrL^`aUFki`^`eL FibFbOtcFUFbFyFtSYUi` 6eK^Skls`bF\FcFf^`s`tyFbL^xeLiSjqjqiDklcFiSjScFiDFirLs`jStyDOrK^`tsZs`i X{t 4Dt iSDklDOrK^xeFb qbFpbF\6tklaFbFt FyFtlrFFiDkleLaFb sx^`aDiSiOFiSjStlrLtl cFiOb6a6heKk^SeLklis` tyLcF^x?aUkliSbLyFklyFs`tlteLbFY~yFX iSjDyL^`^`cFScFiSs`t rLbFª DFi`sxeL^zt_ aU^`b>yFs`jSbFcL ^eFh6rLrLiSbFFs i`eLkcFeLttlcLrL^UF]yFtrKbLkl£sx^`iSj`SeLyLt^`cFpbFiDt Y rLbFFi`eLt÷ _n}ÿaDiSs`BiSôxyF÷oø t÷7ó keLþ>tlrLò!øU]÷-sBÿ pB^Bôx÷obFöopñx8òDtmncFbLt4cFtb6thLsS4k¨hb kjSeLcFUt\L{^`_FcFcFtiSiBtO\FFbLi`keFeLh i^`b6aF/s`bFbFjSc6cFrLb6 jSb6rLD^xeLgScFt£klaDiSyFiDkls`bByFtleK^`a6k^` FbFbBiSFyFtlrLtleFhF]sSk¨h!jSp^`bL4i~rLt_Lkls`jSbFt kb6 LyL^S^`pkkl4bFtjSyFcFiSzjLY4bkliDkltlrFhL4bn}¬qiSyL4bFyFU]bL4bjSiSaFyFUcFb6a6eK^Skls`tyF!keLU\L^`_FcF ÷ ÿ6ò /÷oø ÷7ó þ>ò!ø ÷*ÿ Bôx÷oöoñxòSmFihFj`eFhF]sSkh a6eK^Skls`tyF }kli~rLtySO^`bFt ksxlj`^`hFaFpb6^`>cF4cFtptiDrLklaUyFiSUFZbFk\FrLtklyFaFUb6?iD.iS`4eKi`^SeLkltsaFh6~ eL¤ÅrLSiDaU4i`teFcLeL^xtLaF¦Ös`aUbFiSjSy6cLyF^xtlh2eLklbFaUyFiSSyFtiDs klkZs`g\FbLyFktleLeKiD^`aUk^`^` FaFbFs`bFb2j`j cFFiSjStlrLrLtbFcFFb6i`hneL}
t_iSs`jZyLrL^xiDO4^xthcFtaU^`bOakli FyFkls`iDiklUs`^SyLkl^`s`cLbFkl\Fs`tjSkltaFcFbLcF4b tS}8kljSsx^`iSa_Lkb£sSjDjS^SyF8tb8bFtcUcFrLcFbFjSt b6rLfD^S^xkleL{gSs~cF^`iSS i aUiSyFyFteFhF FbF_nY jSa6eK^xrLiS÷ jjDÿ kltl BôxrL÷oiDø 4t÷7cFó iSjOþ>klò!bLø kl÷-s`ÿ t4B¢ôx÷ojSöotlñxrLòStmxsiDa>klyFUtlcFrLbFcFjSttcFyLbFkt^xjqeLgSFc6y6iDiS4 F2tkklkls`ttklF6tfcF4cFiDbF4yF2iSjDF^`iScFjSb6tlh rLtcFbF¡yFtleK^`a6k^` FbFb klbLkls`t4jO FtleLiDY jSbLklbFsziSX.s]yLkl^SiS4iSs`aUcF^xiS{aUtiScFcFb6 Fh tlF4 FtlbFO6b rLð q6iSeLcFiS{s`cFtiDyLkl^Fs`}gS£ s`qttyLaF4s`i`bF jS^`cFaFiDs`klbFs`jSg]bFyFaFiSyLjD^`^`cFcFbFcFyFiS]jDrL^`bFcFFb6i`h eLpt^x_ kZcFtyFbFt_ W } bu~aFyFbFs`bF\FtklaDiS_n| 6eLiSs`cFiDkls`gSn ∝ exp{−W/k T } @ *
*
.
"
0
"
0
;4
%!
3:
4
!
0
"
0
74
d
B
nc ∝ kB T /µ2 ,
FrLttF FµbFbnd>}8rLFbFyFFb i`eLgScF_ 4iD4tcFs>aFyL^`cFbFyFSt4iS_ 4i`eLtaFeL Y iS eK^SkcFi>s`iS_aUiSc6 \6bLkeLirLb6Fi`eLt_jiSaFyFDtcFbFbaU^xOrLiSivrFbFFi`eFhjSiSpl yL^Sklsx^`ts FiS\Fs`bWn a6¿klFiSncFtcF 6bL^xeLgScFiL}nsx^`a.\Fs`ib6 FiSjStlrLtcFbFtOhFj`eFhFtsSkh.aUi`eFeLta6 s`bFjScFzb£iSFyFtrLtleFhFtsUcFbFjStyLk^xeLgScF_.s`bF£yFtleK^`a6k^` FbFbklbLkls`t4*j FtleLiDY d
c
D üqaFyFyLiS^`s`cFbFbFjSyFiSiSFjDi`^`eLcFibF tcF}KjD_HkeLtlt rKklks`eLjSUbF\Lt^`aU_ iSs`niSyFiSÀi2nrLbFFUi`^`eLyLb^`aFFs`ttyFyFtbFklpsx`^`t]sSs.kh
"
(
d
c
Ä *
d
c
d
c
lC _
fαβ (t)
=
Z∞
e−t/τ pβα (τ )dτ,
0
¯ ¯ ¯ 1 ¯¯ 10sαβ sin(βθ) ¯ β pα (τ ) = ¯ ¯, π ¯ [102sα + 2 · 10sα cos(απ) + 1]β/2 ¯
rLt
} d cL^`bFjStyFi~hFs`cFiStZpcL^~\FtcFbFt τ }L^
s = log(τ /¯ τ ) τ¯
·
¸ sin(απ) θ = arctg . 10sα + cos(απ)
rLbFiSs`FtliDeLklgSsxcF^`j`eF_.tcF^`bFyFtZ64s`b6tcF s?qj>iSyLF4i`eLgSevpkO ¤ jS~yF6tY 4ªFY t~cF¦fcFrKiS^`tli>sx}6FaUi^`rFa Di~4rKcF^2t aFyFFtliSrKbLklkls~aF^`j`eFqhFbFtpsSbFk\Fhnt}6klUaUSiStl_ bFcFs`tyFFyFts~^` FbFbvcFtlrLtD^`tjDklaUiS_?yFtleK^`aUk^` FbFbnY
@
}, î
S Y ¬]2Ye`¶X § ]\ ~ ;F ³L 2F yH } F Y ªF}T¹6´n}L` >¤ SÑD¦Y 6¢Y ®rKaD£Ë gc¹XZ`¶WV XZYl m´ N~ Y ?n 2F q· ¸
}x´USO¤ ÑS#´`¦Y F¢Y ^ Xeei}XZYeV 2aWs Nn 2F =w L ¸ n}¬o´ v¤ ÑÑF~¦Y LY Iþ ñ Iþ ñ0
[Z\6tcFt2p^`FbLklaFbW[4eLg`hFcFiSjDklaDiSi iDk`Y UcFbFjStyLklbFs`tsx^FY tyFb6hWu bFpbF\Ftkla6^xhn| D¤ o´`¦}¬ ¤ `SDS¦Y 6ZY #dË gN_K ` «K`ba ® ³® #dË gN_K` «K`baxÁ ³® mm MI±F £} I L Ç J FLI 0d { ¯ F 2m I ¢w }T`SS6} L Y #´UY ÇJ 1J
V$V"S(Y .1QR$T X-T S1 $R åT P$ .J J
#J
R åTÝQ S
V$V
Z YÝ
&
R åT U
1Q Z T 1S Ü
' BL $M"& _IJIJ L $M"& &+ ØJ ØJ Z å
1 Z
å Z
*'
J9IJ
J ØJÒ V 1Q0T V&3T Q
'
R"S " &
&X $Y
T /S(V"
KZ S(V
Z
D
{f6
" +>*ÿ
'
¨& R&ã"5ãx
ªFY 4 Itþ Or
YqaDñ iScLqtyFt³cF F bFÿ b-ôxu ÷ /ò!bFö pbFþ aU^ð rL?bF leLtaFð s`yFbFoaUùJiS÷ojLö|~Y] d 0Ý ^`cFaF^`sxs`ÀüqtyFtbLs`^xteLyFMSUyF> } `SS6}6k`Yn~/ÑFY ´U Y ʳ` fM=_Ki¦2VbV `ba¢´ ´ ]´nM_Gµ rK¾É_ ml Nn 2F Y wI qw K±n}F#´?¤ ÑÑ#´`¦Y F7Y ÀYFr;ð gV `¶Ë gº J +I =IM +F YUd ?Ç I m 2I n ;F F }nÑD`6Y ÑF Y \2rKaN+Ë gNXZYtU sÍ n ;F F }¬ ÑS FY o Ç I wI NF Yqd p I 2I sm yF F³Y \2rKaN gNXZYU £Í ¯LY z Y w Yn2¹ ¤n}K` #´ ¤ ÑSF~¦Y SSY ñD ÷ LoqpjLY6jSUpiSjLY bFpbFaU^ · ·K·n}L`ª ¤ Ñ#´oÑD¦Y ~6?Y ÷ Òÿ oùJù ñ0 m d 7÷oö ©© K±n}nFO¤ ÑÑ#´`¦Y F?Y ÊkrK;` «GrKS® d® ©^ r.ZËZ`¶X Ë gNrKc] «M`NÍ d^ NÍ rK «GrKK_G ±U jg`¶XZVj z w =d n I q· n} Ñ#´´2¤ `SDS¦Y LZY #dË gN_K` «K`baä® 7® Y ¯LNY J +I 2Y n 2F YL¸ · }¬~6O¤ `S D¦Y ~6³Y \2rKaN+Ë gNXZY(U NÍ ±È F o Ç I p Yxkd p I 2I 2m bF n ;F F }¬ ÑÑSªFY ªF³Y \2rKaN+Ë gNXZY©U NÍ \±2YeV XZcd`¶Ë (U ^ XZY rKa Í I LI n 2F +F }6S U`ª ¤ `S D¦Y o´U0Y j2aË XZY7l ~ á> m ZI VxD` +´`x ZI Y yF } F z ¤ `SDS¦Y L $M"& ÑIJIJ
6
: &+
J ¬J
&J .J
Z
R$
J -J
"4&6*&
J -J
°
4*
T Y Q Z TÝQ &
ÂS3 Z
'
Ò
S3T &VµT V
YÝS Z V" &V
&Y TÝ
9Z
&V" &V
R$ Y å S
&
Q0T "+
ØJ ØJ ©6
¬J%Ù.J#+
Ü
-J J
ØJ ØJ1Ò V
J -J
R$
V$T N& Z 3S(Y
9Z
J -J
Z
R
YÝS
S3T &V
J
?J ÂS3 Z TÝS(Y
Q &V$
XS
&
S
-J
&
TN
¸J J
Ü
&YÝS(V"
.J ¸Z
"JEG
&S3 Ü
&Y TÝ
Z
YÝS
ØJ ØJ
1QT V"Q0
R
T Y Q Z TÝQ
J -J T Y Q Z TÝQ 9Z
ØJ
J J
¬J
"60
&
&V" &V
&V 3 X
N ( Q &V$
R$0Y å S
Z S Z
XS 1T 1
R åTÝQ ÂS Z
T Y Q Z TÝQ ('
ís\ït\ r
u
Ñ ãèß Úß áæèç èç ß»'ÔÖ è lk
fh
¢ E ! }xFyFi~Si~rFhFti]\FtyFtp L FtyFtlSi~rjq6eLiDklaDiDkls`b üZeLiSs`cFiDkls`gZs`iSa6^ j (x, t) F } S j L y x ^ O ` ^ t S s ¨ k > h F \ t F y t p D a S i F c F tcFs`yL^` FbFrLyFiSa ρ(x, t) kliSiSs`cFiS{tcFbFt x=0
?
s
z B{ z
nï
î
|³¶
î |ï|,~çB V
x
¯ ¯ ¯ j(t) = [eK x − eµE(0)] ρ(x, t)¯ ¯
,
Fc rLiDt kls`egOdb pkl^`yFyStlh6rLrcFtltqeLjStyFaFts`8yFiSh?cL ^F} bFK,pcFb>µ,rLb yFiSτan}dEaDiSd cL^`qFbFyS Fh6bFttcFcFs cFiDrLklbLs` gOqleLUptbFaFbns`yF}nbFF\Fi~trLkljSaDb6iSOi Fi`eFh£cFtklaDiD4FtcLklbFyFiSjD^`cFcFWp^`yDh6rLiSjLY ^Sf^t aDiScF FtcFs`yL^` Fb6hrLiSj`eLts`jSi` yDhFtls UyL^`jScFtcFbFm x=0
£
2 x
kZaFyL^`tjSz4b SkeLiSjSb6hL4bnm t
−K
+ µE(x)
x
¤ + 1/τ ρ(x, t) = 0, x ≥ 0, t > 0
qDkls`g>6eLiSs`cFiDkls`gvs`iSaU^ d eLtaUi bFp4tyShFtf^xh.jStleLbF\FbFcL^?dvbFpjStklsx cL^F}`s`yFY tS`cLt^~sS\Fkth cFbFcLt ^`_6sSs`bOiS_vaUiSjScFtl FeLtbFcF\Fs`bFyLcFj(t) ^` FbFiSFyFrLtlrLyFtleFiShFa tρ(0, jqkls`6cFeLiDiDklkls`aUbniD}Kkls`4b iD4L t cF s2FtpyF^`FtlDbFiyLrK^x^ t) ~ s K } j L \ S ^ x=0 cFyLb6^`s`h£cFFiStStyFYKtl]DiyLrK^`^cFbFF\Fy6bLbfbFkcFh>jSpltrLyLtklklbFgOb£Fs`yFiSiDa6kl^s`tk?_F{Fi`bLeLi~ keLbFUs`\Ltl^`eLtgS cFiSicL^`FyL^`j`Y eLüqti`cFeKb6^`h^xcLh2^rFiSeF`h const FyFiDkls`iSs` K = 1 bjSjSi~r6hWiSSiSpcL^~\Ftc6b6h β = µE, γE == 1/τ, } δ = β /4 + γ 4ts`i~rFiD ^`aFs`iSyFbFp^` FbFb>Fi`eLU\L^`tm ρ(x, 0) = ρ(∞, t) = 0.
ü
V
2
j(t) = e−δt (
0
1/2 t
+ δ/2)eδt ρ(0, t).
;
D`ª ý4t{tcFb6tlsSiSliO6yF^`jScFtcFb6h>bL4tts jSb6r
" +>
1 ρ(0, t) = e
Zt "
e−δ(t−θ) β p − e−γ(t−θ) erfc 2 π(t − θ)
&x #5x x
õ
¶# µ √ β t−θ j(θ)dθ. 2
ã
(16.1.1)
cFiL}§baDHX iSrL t_LqklbFs`jS FbFbFs`ttlcFeLs gScFβiD}§klps`^`bnjS}FbLaDkliSbFcFs.t\FiScFs iLx}6cLY^`X*FyD\Lh6^Skls`tcFcFiDcFkliDs`klbns`gO}§rFFeFi`heFhn6}F4^OcFkieL tlrLbFiSs`jDtleL^`gSs`tlcFeLg` X Z rLbFi~rLiSj 0
,=
2 exp(−x2 /l2 ) β(x) = − √ . πl 1 + erfc(x/l)
Xs`iDkeLU\L^`tqaUiScF FtcFs`yL^` Fb6h>rLyFiSa>p^`FbLkljD^`tsSkh?jOjSb6rLt ySh6rK^ ρ(0, t) = (1/e) exp[−(l2 /π + γ)t](
−3/2 t
0
−1/2 t
+ π −1/2 l−1
0
−1 t +
qyFi~rLi`eFtcFbFtzyFt{tcFb6h2s`iS_2p^xrK^\Fb24i~ cFicL^`_Fs`b?j Y viSsS4ts`bLWs`i`eLg` aUkls`iLyF}L6\F4s`ti2cFrLsyFyFiStS{cFtc6tb6Fh yFUiSyLbF^`pjSjScFitrLcFcFb6hOt?bO¤ FcFi`t]eLklUj`bFhFcFps`^`tcFyL^xkzeLq]bF¦pjSb6zaUkliSs`_OUFLyF^`iS] Fs tkplkrL^FtYSklXg2a6iD^`klavsx^xbFeLc6g` cFiS_>t\L^Skls`bveK^`jSFi~hFj`eFtcFbFtqrLyFiSScF>FyFiSbFpjSi~rLcF?iSSDkeLiSj`eLtcFiOqbFpb6 \FjSi~trLklaFcFbLbF4aU^xb ¬iDY kliSStcFcFiDklshL4b>FyFiS 6tkkliSjFtyFtcFiDk^jcFtUFiSyDh6rLiS\FtcFcF2Fi`eLUFyFi` +2π −1 l−2
ü
0
+ . . .)j(t).
B 0 G
¹ ÂÛ ðbLklFtyLklbFiScFcF_!FtlyFtcFiDk¤ ð6ü¦b klUrLbL qUpb6hBcFiDkbFs`tleLt_ p^`ySh6rK^ cL^``eLrK^`tsSk¨h.jyL^`pleLbF\Fc6.FikljSiSt_W4bFaFyFiDklaUiSFbF\FtkaUiS_kls`yFUaFs`UyFt2cFtUFi` yDh6rLiS\FtlcFcFHFi`eLUFyFiSjSirLcFbFa6^x¬m§^S4iSyLqcF¬}fiSyFl^`cFbF\FtklaFb6¬}§FiSyFbFkls`n}§cL^x cFiDkls`yFUaFs`UyFcF¬}zFi`eLbFaFyFbLkls~^xeFeLbF\FtklaFb6¬}z b6rLaFb6¬}]klb6eLgScFi`eLtbFyFiSjD^`cFc6FiSyFbLkls`t b cFtUFiSySh6rLiS\FtcFcFt klyFtlrL SS}¬~ Y
?
s ,| ~~¹
z B{3±
Ø
,,~|
> '(
+
@
t
*
; 73
D+´ FtyFtlSi~zrLtZrLbFiSc.sbFbFcFp?s`kltFiDyLkl^xiSeLSgSiScFj>jS2UjSyLi^`rKjS^>cFtUcFyLbF^`_?jScFkteLcFUbF\L_.^`_FiDcFklc6iS2jD`^`eLc DcLO^vrK^`^ScFklbLbF4_?F4s`i~iSrLs`tlbFeL\Fb tklaUiDtl yL^b viScFs`yFi`eFeK^ kli kls`tFtcFcFzByL^SklFyFtlrLtleLtc6bFtBjSyFt8tc£i~ b6rK^`cFb6ha rLs`yFyFi`iSeFSeKcFi`^F}6rLa6bL^` a qb6tpy6jSttcFkls` FcFbLiL^x}6eLSgSiScFyFziS.{¤iFiSi~rLFbLyFiSklScFjDt^`ttskiDY klcF iSLjS}DcF~ tZ¦Y iDvkliSi~SrLttlcFeLcFg iDkls`¬b tyLð6^]üOb Y viSc6 yL^`pjSb6eLZb*klcFs`iSyFjStl6UjDyF^~hLiSjSklgWcFtlcLjS^iSt<UyLiSF^`jSbLcFk^`tcFcFbFbFbtklU^`c6rLbL tjSqtcLU^Fp}bFb*vtk<s` 6FeLttyFy¢tlDbi~rLZiD(eK^Sqas`fty ^`aFyFi`ª klaUi`FbF\FtklaUiS_WrLyFiSScFi` rLbL qty6tcF FbL^xeLgScFiS_ rLbFcL^S4bFaUtSY4X ª bLkkeLtlrLiSjD^xeLiDkg cFcFtf^`yFFaDyFiSiSjD FkltaUkiSkltiSj£iSSkiSScFtFtlyFcFtbFyFtUjSyLcF^`zjScFtjSc6yFb6th 4tqcFtL4}tUcLF^xyL q^`j`i`eFeKhF4tiS4iSi`tyFiSyLjS^S^.klFrFyFeFtlhrLtlkeLeLtUcF\LbF^`t_6 jSyFt4tc
"¥ á
D
ÑG
>
'
D
* *G
G
G
7
=
Â+
%
=
2γ
?
8
z B{åä
ï |æ|,ÂE¶· ~|·
2γ
rLbL qtX yFtcFcL F^`bL{^xteL_ gScFyL^`?SiSUs`yLt ^`jScFo t´ cFbF_rK^`ð6cÚü!qcL^OtcFiDiDkl4cFtiScFjSi`tqeLiSaUklbFF\FttyFklbLaF4bF_ tcFsxjS^xeLjSgSicFr i DrLklyFsxiS^`cFScFiSj`i` eLtcFcF ^`aFs`iSjL}§StpbLklFi`eLgSpiSjD^`cFbUhHFyFtlrLFi`eLi~tcFbF_
4 "
3
;
D`
" +>
&x #5x x
õ
ã
iSFyFtlrLtlýfeL^StkcFkbF4 iSs`rLyFyFbLt _Lqa6iSeKjS^SiSk_HklbFF\Fi~trLkjSaFb6bF _ cFiDu~kljSs`yFbt8cFh6iDklFbFyFs`i`tleLeFtt_s`cFp^`_nyD| h6rK^Fa6}klk¨6DttyFfbL^W4aDtcFiSs`s iSyFFi`i iFyFtlrKkls~^`j`eLtcL^WcL^ný§bLk`YZªFY SYVû§eLtaFs`yFiScF bHrLyFaFb<tcFtyFbFyFU]sSkh<jiS` yLleL^`tpaF Fs`t>yFiSiSrK^FYÖ\FcF i lkleLjSttaFs`s`iSyFjSizrK^S!bL4FFyFbFeLa6gDeKkl^xiDrLeKjD^`^`tpsStyLkh^cLkli.^`FklyDs`h6iSyFiStcFcF*b6tvFsxi`^`eLaUUiSFtSyF}fiS\Fps`yLi^\FklcFiSiSiSsxi jStsSkls`jSU]ttleLtaFs`yFbF\FtklaUiStzFi`eLtjScFUs`yFb iSSyL^`p L^ZpcL^~\FbFs`tleLgScFi FyFtjS{^`ts F4i`iDeLkls`tZbcFtiSyLs2^`pjScLcF^`iSa6jS^ tklcLcF^`F yDh6cFiDkltbFcFs`b6tlhKeL¦t_>DDpi~^`rFyDhFh6s rK^Fj?Y Fû§i`eLeLtUaFFs`yFyFiSiSpcFyL ^~\F¤ cFb6eLb>_vrLleLtyFaFaFs`bnyF}6ijOr
}KprL^`jSbLyFklaFb6b s`¤ b6yFeLi~bnrLS}4YUklXHiSiSks`eLjSUtsS\Lkl^`s`t]jScFtiScFyLcFfiL}n^xeLleLgScFtaFiSs`i yFiSFcFt]yFt¦ZcFrLiDyFkt^ _LrLqyFUt]_LqsUaW]FyFbFiSt]s`bFSjStpziSFpi`^xeL6i~jD ^`sxcF^qiDj4Fi`leLeLt ta6E cFiDklbFs`tleLbvqiSyL4bFyFU]sOFyShL4iSUi`eLgScF_>bL4F~eLgDkqqiSs`iSs`iSa6^ ½ } const, t < t I(t) ∝
T
0,
t > tT ,
(16.3.1)
rLtdö*ôòÒÿ uó/ôx÷ òBù t iSFy6tlrLtleFhFtsSkhklaUiSy6iDkls`gS£rLyFt_L ^ v b rFeLbFcFiS_iSSyL^`p L^ m YDXWrLt_Lkls`jSbFs`tleLgScFiDkls`bn}`yL^SkkltlhFcFbFtrLtleLiSa6^xeLbFpiSjD^`cFcFcFiDklbFs`tleLt_ L t = L/v jFyFiS FtkkltvrLyFt_L ^F}Öp^x6jD^`sWjWeLiSa6^xeLbFpiSjD^`cFcFtkiDkls`i~hFcFb6hb<s`tyL4bF\FtklaUiSt jSklbFzs`kltljSeLiStS_OiObL4rLtttlcFsqbFtl^~cFSiDkklklbFiSjSs` tleLqt_.iSyLF4yFbFjSkliqirFklhFyFs>tlrLa.cFbLyL^`pp4cL^~\Fs`tbFcFbFtL ^`aUtsx^FY ûÖs`iSs>bL{^`bFaUyFts>bFcFcFiSi`_ √ Y6XHs`iDkeLU\L^`t]FtyFtlDirLcF_?s`iSa iDklsx^`thx(t)i sSkh2FiD∝kls`ti~hFcFcFz}UFi` ∆x(t) ∝ t I(t) a6^vL^xFrtyFs`tliSrLaUcF^2bFF_£yFqiSbLyFkiSScFi~svrLbFls2^Dj?kkls`iStjD\F^>tcFLbF^`taDtjSsxyF^vt4cFtt2cFrLb iDkls`bF^`tsvYTrL yF^`UaiSyFtivpaFeLyLgx^xs~hW^`s~iS}TS4yLB^`pcL L^x^F Y `cLeL^``eLrK^`rKt ^`tsSklk¨h>eK^xjOSti`cFeLcFgS{_HbFcLFklyLs`^`jSjStqU_FiSaFySyLh6^`rL_iS\FbLt4cFFcFeL∆x/hvi >gDkf^W^`qs`tiSyFs`bLiS^xsSeLiSiSaUjL^FY YÖ©
^`a6^xhaU^`yFs`bFcL^ zrLcL^`aUi jcFtaDiSs`iSyFOcFtUFiSyDh6rLiS\FtcFcFFi`eLUFyFiSjSi~rLcFbFaU^x ¤ j^S4iSyLZ crLFynY ¬¦O}TcLF^`iS`yFeLbLklrKs`^`t¬sS}¬kcFhtl6klF6tiS FyDbLh6qrLiSbF\F\FttcFklcFaFbF_iSklbFyFcL^`cF^xebF\FFtkltaFyFb6tlD¬i}¬rLklcFb6iSeLgSi.cFi2s`iSeLa6t^ bFyFiSjD}^`cFkliDcFksSvih6b bF_bFp>rLjSD£iS`eK^Skls`t_kliWkls`tFtcFcFz!FiSjStlrLtcFbFt I(t) bFyFiDI(t) 4tl Us`iS\FcFiS_
-
T
T
§û7ÚXbL'-k`9#Y8&*?+ªF$7Y )S%+m W+J&*0*&*?$7.! 2"A,+%#0Ò?/fo.&*Q['*.?/0-'*N#?/&*0-)N#%#&*Q)%#&#$Q7&- !#$Y./N#Á Dc5 !ÚN#)#)+.!&-0-,#N#&-)+9#&-&-,#+%&-#9#&-+%,##)+& &-H5# a(0- !%#Y7$7 !&-H¬9#&-N#H¬ 2,+b2Y.!%#)/g"/,5# .e0*N#$)%x% Ü # )+Q[.B9+:# QN#&*)+&-# 0*&Á ÚR?+)%+Yo.!"N#&*)+&-f7 2,+# !O2 $7 ?.XN#)%e# )+Q[.B9+:# QN#&*)+&-# 0*&Á"ñ#Ú 9+%+#&-H+5.!"Db2.BY%#0-%#Q 0*$:eî Y7)+&*Q&-+%AN#)+ !9#&*$. $$7 !9#_ %++;k ^7)+.bK5.`ñ ý
; 73
D/Ñ
5âX5 ##x1
"¥ á
iS`eK^Skls`bnm I(t) ∝
½
t−1+α , t−1−α ,
t < tT , t > tT ,
α < 1.
(16.3.2)
üqiSa6^`p^`s`tleLg }cL^`pjD^`t4_ xøBóxòÀôø ÷7ññõ[ÿ»ó *ô !ÿDòBùôx÷*ÿ }p^`jSbLklbFsiSs UcF^`iSyLyL^`faF^xs`eLtgSy6cFbLzkls`4bFbqa£FtklyFyFtltlαDrLi rLcFbz44i~b FtyFsviS Fp^`tkjSkbL^Skl4ts`bqg LiS^`svyL^Ss`4tt4s`Fy tyL^`s`cLU^`yFp jDY^`üqtsSikhZ^`cLjS^xyFeLtiS4tbFcFb.t k FyFi`eLts~^F}`DiSsh bL8ttscFtklaDi`eLgSaUiqbFcFiS_2qbFpbF\FtklaFbF_ kt4zke
5Y ûÖa6klFtyFbL4tcFs~^xeLg` cFiODklsx^`c6iSj`eLtcFi }U\Fs`i FyFb>rLbLklFtyLklbFiScFcFiD£FtyFtcFiDkt B5
0
1
T
tT ∝ (L/U )1/α ,
rLt U 2diScLyL^`fFyS^ h6klbFtcFcLbF^xtSeKY ^ FtyFtlSi~rLcFiSi s`iSa6^ j FyFbFjStlrLtcFcF,aUiSiSyDrLbFcF^`sx^x d FyL^`aFs`bF\FtklaFbcFt?p^`jSbLklbFsviSsjStleLbF\Fb6cF/FyFb6eLi~tc6 lg[I(t)/I(t )] lg(t/t ) cFFiSyFbLiklUcL^`FtyD4h6cFiStcFbLb6 h?fb>^`s`yLt^`yFpbL4^xteKyF^SiSjbiSScLyL^`^`ppjD L^`^?cFiA¤ Fø!i~öorL÷ y6xiSøBSùAcFöot÷*tqÿ kYñ x6ö/} òÀôø ¦YxûÖús`ñi ÷oøBklù jSiS_Lkls`÷-jSô i yLÿ^`õ pleLBbFô \FxcFöoõ cFóxtòÀUôFò iSyD÷ h6ñrL÷ iS*\F÷tcFùJcF÷ xY fýf^`^Ss`kltFyFyFbLiD^xkleLs`iSyLjZ^`cFFti~cFrLcFs`iDjSklts`ySg OrKs`^`b6ts iDklñ iSxSö/tòÀcFôcFø iDklxs`útñ_÷oøBrFùJeFh ú kljSiS_Lkls`jFtyFtcFiDk^FY cFiSi.s`ÖiSa6keL^Wb2^`cLjS^`s``iDeLf^`s`rKbF^`\F]tsSklkaFh bHpiS^``jSeKbL^xklbLrK4^`]iDkls s`b/ø ¤ #ÿªFY óFùJY 6÷7}Fù ªFY þ>FòBY Dø ¦}`#s`ÿ¢iaFø!yFöo÷bFxjSøBùAt]öoF÷*tÿ yFtlSñi~rF ö/òÀôø xúñ÷oøBù L+Y ðt_Lkls`jSbFs`tleLgScFiL}6FtyFtFbF{t¤ ªFY FY S¦§jOjSb6rLt
(16.3.3)
+
T
T
# 1 4 " 3
*M
Á
?È
È 5
°
4 "
@ 0
3
*
I(t) ∼
½
3
A(L, E, α, . . .) t−1+α , B(L, E, α, . . .) t−1−α ,
0&
*M
t < tT , . t > tT ,
XyFt8h FyFi`eFtsx^ t iSFyFtlrLtleFhFtsSk¨h FiOFtyFtklt\FtcFbFB^SklbL4Fs`iSs`bFanm
y4 ""
(16.3.4)
T
IT = A(L, E, α, . . .) t−1+α = B(L, E, α, . . .) t−1−α . T T
]s`aFrK^ Y jSiS_Lkls`jSi!^SklbL4Fs`iSs`bF\FtklaUiS_ UcFbFjStyLk^xeFgScFiDkls`b iSpcL^\L^`tsxt}
\Fs`i= q(B/A) UcFaF Fb6h I(τ t )/I rFeFh τ ¿ 1 b τ À 1 cFt?p^`jSbLklbFsiSs t Y qkls`tjSs`i yFklFrLyLcF^`iOjSptl^SrF4eLtbFs`jSbFiLs`m gL}F\Fs`irFeFh q6c6aF FbF_vkq^SklbL4Fs`iSs`bFaU^S4bW¤ ªFY FY U¦fs`i2kljSiS_6 T
1/2α
T
I(τ tT )/IT ∼
T
½
τ −1+α , τ −1−α ,
'
τ < 1, τ > 1,
α < 1.
T
]sS4ts`bL}\Fs`i£pcL^~\FtcFbFt cFtyL^`jScFi Y©niS\FaU^ iSFyFtrLtleFhFtsSkh FiFtyFtklt\FtcFbF¡^SklbL4Fs`iSs`I(tbFa F)tyFtlDirLcFiSiIs`iSaU^FyFb f(t^xeL, I?b>) Si`eLgS{b6 jSyFtl 4tcL^x¬Y Dtf^ bFp4tyFtcFb6hHjSi.jSyFt8h6 FyFi`eLts`cF£a6klFtyFbL4tcFsx^xjSFi`eLc6hFtsx khs~^`aFbL!iSSyL^`piD}4\Fs`i.6eLiSs`cFiDkls`g.FtyFtlDirLcFiSi.qiSs`iSs`iSa6^j.iSSyL^`p Ft?sSi`e6 bFcFiS_ L iSFyFtlrLtleFhFtsSkha6^`aSklyFtlrLcFtcFcL^xhFis`i`eLbFcFt6eLiSs`cFiDkls`gs`iSa6^
T
T
T
T
;
SªS FyFiSjSi~rLbF4iDkls`b
" +>
1 I(t) = L
ZL
&x #5x x
õ
j(x, t)dx.
ã
(16.3.5)
] \FtjSb6rLcFiL}f\Fs`i.cL^ cL^~\L^xeLgScFiD¡sx^`Ft bFcFs`tyL^xej.FiDkeLtlrLc6t_ bqiSyL44i~eL t cFcFiOt pp^`^`FjSbLbLklkbF^`s`sOgLiSm s LY iSeK^SklcFiv¤ ªFY FY D¦t} ¿t ∝t L Y cL^~\FbFs~}6rFeFh A } B I 0
T
T
1/α
T
A ∝ L−1 ,
IT ∝ L−1/α .
B ∝ A t2α T ∝ L,
FyFtlrKkls~©
^`^`j`aFeFbLhFts2iSklSiSyLS^`iSp_>iDj?}6fU^`cFs`bFtjSft^`yLs`kbF^x\6eLtgSklcFaUiDiDklHs`gOkq4ziSyLkeL4tklaFjSyFiS_LbFkljSs`jS>i F^`tjSyFs`tliDD4ii~rLrLcFtliSeLgSiOcFs`iDiSkla6s`b^ ¤¥k^S4iSFi~rLiSSbUhK¦ÖcL^jSyFt4tcFcF 4^Skl{sx^`D^x I(t; L2 ) ≈ (L2 /L1 )
−1/α
´ ³ −1/α I t(L2 /L1 ) ; L1 ,
(16.3.6)
LrL^xt ?I(t; s`i`eLLbF)cFb iS_ I(t;L Lb )LdOjSklyFiSiSts`4jSttcFsScFkls`jStqtpcF^`cFjSiLbLY klbL4iDkls`b?FtyFtlSi~rLcFiSis`iSa6^jiSSyL^`pl yL^SklFyFtlüZrLtleLeLiSts`cFcFb6iDh>kls`jSg yFts`4iSa6tcF^b FFyFtiSyFjSjSi~iSrLbLi4rLiDiDkls`klbs`b6j(x, tcFt)b6h FyFiSFiSyF FbFiScL^xeLgScL^6eLiSs`cFiDkls`b 1
2
1
2
p(t|x)
j(x, t) = eN p(t|x),
rLt d leLt4tcFsx^`yFcF_£p^`yDh6r
} d \FbLkeLi.qiSs`iSbFc6taFs`bFyFiSjD^`cFcFWcFiDklbFs`tl eLjStltrL_nt}necFFbFyFt b6Si~rFhFttFkh yFtlcLrK^>klsxtl^`rLj`bFeFcFhFbFt FsvNkliS6SeLiSiS_jS^xrLtyFb i~hFiDkls`jScFtiDkls`^`g t4s`iSiSi?iL}¬l\FeLs`taFivs``yFeLi~DrKO^FYrKü ^`]y6iSbF^xplh \L^Skls`bF L^.p(t|x)dt ¤ jvcL^`{t¢keLU\L^`tS}ncFiDkbFs`tleLgvp^`yDh6rK^D¦zrLiDkls`bFcFts aUiSiSySrLbFcL^`s` }np^ jrLSyFbFtcL8^`hns`¡}4eL`tleLOD^`OrKt^`t ]j tbF_cFs`\Lt^SyFkljDs`^xbFeL Ft [t, t + dt)bXYFiSüZs`eLiSiSas`cFjStiDyFkls`i~ghFs`yLcF^SiDklklFs`yFb tlrLtleLtcFb6klhj`hFaUpxiS^`iScFy6 p(t|x) UyL^`jScFtcFbFt£kli~6yL^`cFtcFb6h?jStyFi~hFs`cFp(x|t) iDkls`b ∂p(x|t) ∂p(t|x) + = δ(x)δ(t). ∂t ∂x
(16.3.7)
FyFtlrLtleLtcFiSb6eKhv^SjSklcFyFi.t4¤ tcFªFbvY FFY St¦ZyF^SjSkliSbLiO4FrLs`iDiSkls`s`bFb6a6^ tcFFb6tyFhvtlcLD^ irLScFi`iSeLgSi {s`b6iS>a6^ jSyFb.t86teLcLiS^xs`>cFiDhFklj`s`eFb.hFtyLsS^Skkh kls`tFtcFcFiS_kFiSaU^`p^`s`tleLt YoqpH¤ ªFY FY ªD¦Ob ¤ ªFY FY ´`¦2keLtlrL`tsHk^S4iSFirLiSSbFt qUcFaF FbFb p(t|x) cL^jSyFt4tcFcFα 4^Skl{sx^`D^x¬m
p(t|x2 ) =
µ
x2 x1
! ¶−1/α à µ ¶−1/α ¯¯ x2 ¯ p t ¯ x1 . ¯ x1
(16.3.8)
; 7: 5Ü x # ? ; ³Û "¥ ò
SªF
ô 1ã"ãÇ R/ 1 #xA" 5â> ##x5
| íï|·
z B{/ë
ç ç
9¶Âï yï |æ|.ÂE¶· ~|
XyFt8hrLiDksSbUtcFb6haUiSiSySrLbFcL^`s` hFj`eFhFtlsDk¨hkeLU\L^`_FcFiS_jStleLbF\FbFcFiS_b F4yFttlcnrK}Sklps~^q^`aUj`iSeFs`hFiStyFsqkliStzSc6iSiD_klbFkl6s`tlfeL4g FrLyFjSi~DSi~rLkbFeKs^`lk^`eLtiS2x4b dqcFtb p^`jSbLklbL4YiSkiSeLs`UjS\Lt^`sS_Fkls`cFjSU]jSyFttlt yLa6^x^SOklFrFyFiStlrLi tleLkteLcFi~bFhnt]m jSyL^xO^`tsSk¨h?kljStyFs`aDiS_2yL^SklF(0,yFtlx)rLtleLt(x,cFbF_?2x)jSyFt8tc?FyFiDi~OrLtcFb6h
p(t|2x) = 2−1/α p(2−1/α t|x) =
Zt
dt p(t − t0 |x) p(t0 |x) = p∗ (t|x).
(16.4.1)
üqtyFjSiSt?yL^`jStcLkls`jSijH¤ ªFY LY ~¦keLtlrL`ts.bFp ^`jSs`iD4i~rLtleLgScFiDkls`b¢¤ ªFY FY ªD¦Yý8t{tl FUc ^`bFyLt^`aFUs`yLty6^`bLjScFkls`tbFcF\Fb6th klaF¤ bLªFY LFY ~iS¦faUhF^`j`p^`eFs`hFtlteLsStk¨h>i~rFcFiDkls`iSyFiScFc6h6h?Dkls`iS_F\FbFjD^xh?6eLiSs`cFiDkls`gOk m α 0
'
'
p(t|x) =
³ x ´−1/α
¶ µ ³ ´ x −1/α g+ t ;α . K
(16.4.2)
Z
(16.4.3)
©
^`aFbL iSSyL^`pliD}f6eLiSs`cFiDkls`g.yL^SklFyFtlrLtleLtcFb6hjSyFt4tcFbHFtyFjSiSirLiDkls`b6tcFb6h Fkls`yFbFtl\FrKtklkls~aF^`bLj`eF£hFFtsviSa6kl^`iSpS^`iSs`_ tleLitrLcF}6iDyLkl^`s`jSiScFyFziScFWcF]rLbL/klFStklyLs`kliSbF_FiS\FcFbFcFjSiDU4/?6LeL^`iSyLs`^ScF4iDtkls`s`yFgSY kU^`yL^`aFs`tyFb6 4eL ¤ üqªFi~Y rKFklY Ss~¦^`}UjSFbFyFj?b66DeLi~iSrLs`bLcF£iDkla>s`g jSs`yLiS^xa6^?tFcFyFbFiSjSi~rFrLeFbLh 4iDFklts`yFb tlDj(x, irLcFiSt)iO=s`iSeNaU^Fp(t|x) m j qiSy6 K
I(t) =
eKN α α−1 t L
∞
ζ −α g+ (ζ; α) dζ.
rLtklg YDqyFbFjStzFtyFtlDirLcFiSi s`iSa6^2¤ ªFY LY D¦8jFyFb6jStlrLtcFcF UaqiSiSiSs`ySiSrLs`bFiSζcLa6^`^ =sx^x¤ t ªF(L/K) rFY LeFY hD¦ZyLkO^`plleLa6bFkl\FFcFtyFbL4ptcLcF^~sx\F^xteLcFgSbFcF_ zα4bFiSrKaU^`^`cFp^`cFcFz4bWcL^]b.yFyFbLtk`pYFeLªFgxY 6s~^`Y s`iDyL^`}njScFFti`cFeLbFDt \FFtyFcFtlrKcFzkls~ ^`j`k>eLtFcFiDi4iScL^¢gSyF,bLk`u~Y iDklcFªFiSY FjSYdcFiSý§bLiklUUcFyLiS^`a jScFFtcFiSaUb6^`hkpð6jDüO^`|tsxwz}ZyD\F6s`bFiFyFiSjDt{^xÝtý§cF~bFrLttc6rLaUyFi iSScF i` } rLbL qtyFtcF FbL^xeLgScFiSiUyL^`jScFtcFb6h `eLb6t§aa6klFtyFbL4tcFs~^xeLgScFz rK^`cFcFz}\Ft yFtti {UtcFyLbF^`t jScFu~tiDcFklb6cFh.iSjS^`cFjSiSs`iSiyFUyL^` jSÑ cFftbLcFklb6Fuh i`ð6eLgSüOpiS|jDwz^xeLyDb6bFFFyFiSbFjD`^xeLÝ ý§b6rLttcFcFbFaUtSiL}
#Y klüqiSyFeKb>^SjSklcFi jSi~aDrLiStZs`iSklyFjSi`i` 4WSi`eLgS{b6cLkls`jSicFiDklbFs`tleLt_£p^x6jD^~\6tcFcL^rLiDkls~^`s`iS\FcFi eLUSiSaFbFt eLiSjSU{aFb ¤ cFb6tvrLt4^`yFa6^` FbFiScFcFiSi.UyFiSjSc6hK¦}§iDkljSiSSiOrLtcFbFtvk aUiSs`iSyFa4iD4tcFs` iDklsx^`tsSk¨h.f^xeLiSjStyFi~hFs`cFzY¬[§keLiSjSbFts`ivcFtOjSFi`eLc6hFtsSkh Fy6b.pcL^~\FtcFb6h6 αt} `eLbFpaFb6 avtlrLbFcFbF FtS}LbvcFtiSStklFt\FbFjD^`tsOFtyFtlDirFyFb α → 1 avyFtl bL4 cFiSy6 f^xeLgScFiSiFtyFtcFiDk^FY
'
−1/α
0
ζ0
'
Ñ
q
;
SªD
&x #5x x
" +>
õ
ã
§bLk`Y6ªFY 6m ò `ñ Sñ `ñ taFs`bFyFüZiSeLjDiS^`s`c6cFcFiDkls`OgZcFyLiD^SklklbFFs`yFtleLtlrLttl_ eLtcFb6hL}S^`aUyL^`^xa2eFeLkeLtleLtlrLgSScFtiSs _bFFpi`eL¤ HªFY aUFiSY ´`iS¦
yDrLbbF¤ cL^`ªFs`Y L£Y Sq¦}xiSyLs`^`iSjSbFcLc6^
ý &* )+&*$%+W#&-0*?%#&?+)%+Y;&[N#&*)+&-fo 2,+# !O2 ($7 ?. Ø 2` M F7ÚÁ,+9#" )#.!b-9+%+W++;If b-5.Bi W#&-+%+H6,+%#0-N#&*)+0-%# !+# !O2 N5.!)#.!Q&*$7)#.
f (x, t)
∂ f (x, t) = p(x|t) = − ∂x
Zt
¶ µ³ ´ x −1/α t ³ x ´−1/α−1 g+ t ;α . p(t|x)dt = αK K K
nyL^SqbFaFb>s`iS_ 6eLiSs`cFiDkls`b FyFtlrKkls~^`j`eLtcFcL^yFbLk`YnªFY LY ? 76 ¢ 0
'
C
(16.4.4)
'
s| ~|
z B{
ç ç
³Û
ì,,~𳶷 ~¹i
9¶Âï
î ï ~,~
î | íï|
UcFaF FbFb¤ ªFY LY S¦b£¤ ªFY LY U¦hFj`eFhF]sSkhyFt{tcFbFtUyL^`jScFtcFbF_k rLyFiS` cFz4b FyFiSbFpjSi~rLcFz4bnm +
'
K −1 0
' '
α t p(t|x)
α t f (x, t)
+K
+
∂ p(t|x) = δ(x)δ(t), ∂x
t−α ∂ f (x, t) = δ(x). ∂x Γ(1 − α)
(16.5.1)
rLtklgOyL^Skkf^`s`yFbFjD^xeLiDklgirLcFiDkls`iSyFiScFcFttZrLjSb6tlcFbFt cFiDklbFs`tleLt_nYLX¢keLU\L^`tqcL^x eLbF\Fb6h FiSs`iSaU^?j>iSs`yFbF L^`s`tleLgScFiDcL^`FyL^`j`eLtcFbFbbTV~b6eLbyL^SkkltlhFcFb6hcFiDklbFs`tleLt_
0
; ªf6#xN1Òm[ x "¥ ÿ
÷
Sª
1 ##Æ õ7" #xx"§Ñ¥ ¥ ¥
&
§ )bLO*k`.BY4+%+ªFW#&*Y F0*m?/ ! O2) ¬%+?/Y ;QR& N+N#9#&*&*)+?/&-02fo.u 2,+I# !h O2 Dij $7 8? .`ñ>) ò2FZ !*òW#ïR?N+%AE/§J#?+'*$?o%#0-)N#&*§)%#)+Q&*&-b-#$EB9+:!.B9+$.!:$!+;ÁxN#& !,59+E/.B+W#+;&-++;& I,+H³9#" 0 N# Q _ :7¯ó! 0-# !Y# !O2 DE)#.BY#&-+%#"J} nô6X)of/%+N# !Yo.BiRE!,#&-#?/ s) 2ò SZ*òï0-N+9# 5.!"u9+%++%#" §eN#&*)+&-fo 2,++;IHJ$7 ?Ø 2ò ``ñ òñ ô Ú¨#ñ } %#0-N#&*)+0-%# !++;IH6N5.!)#.!Q&*$7) ñ jOFiDkeLtlrLcFt£UyL^`jScFtcFbFb?rFiSD^`jSbFsSkh2rLbL qUpbFiScFcFiStqkeK^`l^`t4iStSm ý
α = 0.8
α t f (x, t)
+K
∂f (x, t) ∂ 2 f (x, t) −D = δα (t)δ(x), ∂x ∂x2
(16.5.2)
rLt δ (t)üqyF=bDt kls`yF/Γ(1 t8eLt−cFbFα)b£Y rLbLklFtyLklbFiScFc6iSiL^`yL^S4ts`yL^ α atlrLbFcFbF Ft qUc6rK^x F4yFtcFbs~^xs`eLiDgScFk^St4yFiZtU{yLt^`cFjSb6cFhvtcFUbFyLt^`FjScFtyFtcFtlDb6ihWrLbF¤ sqªFjZY 6a6Y SeK¦Ö^SFkkltbFyF\FtlDtkli~aDrFiShFtsOij2rLcF^~iDD4ktklyFiScFjSiS t6UeLyLiS^`s`jScFcFiDtklcFs`bFgLt } iSaFaDtyL^xÀ üZeK^`cFa6^FY jD^`s`g k eL©
tl^`rLaFUbL]iStStSyLm ^`piD}TFyFiSjStlrLtcFcF_ jS{t ^`cL^xeLbFpOFiSpjSi`eFhFts?aUiScLklsx^`s`bFyFi` bFcFpiDkls`aUb!klFaFtyFyFbFbLjS4t¡cFsx^xFeLtyFgScFtlDi?iDrLklcFsxiS^`cFi
α
−α
+
Â4
5 "K
"<"
*M 1
,!
>5
"<" "4
*6
*
;
Sª
&x #5x x
" +>
('
õ
ã
§?%JbLk`§Y)+&*ªFb-E!Y L9+m :!$ .! $e)+QQR 2%#,+)+&- !9+Yo%#.B)++ !5.Yo!.B"+%#5."JuQ&-,+&*%+$7 2+%,#+ K+Q½EJN# ! !9+#$5.7!&-" ij ?/.! !)+K9## &-#$YD7)+)#..BQK+%+?/.B"fJ# 0Òfo0-&*%#QR$7;@&-9#^!&-9+HKEñRgx,5 !W+.Bii +%+He»&*)+.!iÝJ !#$7) 995./ÁBN+E/#?+$%#)V§V)+&*b-EB9+:!$.!$!Á*N# !9+E/W#&-++;IH0N# Q _ :7kó! 0-# !Y# !O2 E)#.BY#&-+%#"} nôX)of/%+N# !Yo.BiREB,#&-#?/ ) 2ò 1Z*«Á#0-N+9# +;& 9+%++%+%6§eN+9# $# 0*$%Ø 2ò ``ñ MSñ MoÚ¨ñ øBùAö K}DsxY6tSY6FyFb Dkls`yFt8eFtcFbFb rLbLklFtyLkbFiScFcFiSiOL^`yL^S4ts`yL^ a>tlrLbFcFb6 FtFtyFtlSi~rFhFs>j?yFt{tcFb6hrFeFhcFiSyLf^xeLgScFiSi?FtyFtcFiDk^F}KFyFb αs`iD¢kl^S4b UyL^`jSc6tcFb6h>FtyFtlDi~rFhFsjOa6eK^SkklbF\FtklaUiStqUyL^`jScFtcFbFt iSaFaUtyL^xÀ üZeK^`cFa6^ • rL+y6øBùJt_L÷ qþtxrLö iSa6^`pó xjD÷7^`ùJtñs÷okløBFùJyLú/^`jSFtlrFiSs`eLiSbFaUjS^ iDkls`jSgtyFi~bFhFFs`iScFs`iDtklps` b6yFtbyL^£rLbLb klFvtlyLiSklcFbFs`iSyFcFi`cFeFiDeK ^ i kls`tFtcFcFiD£yL^SklFyFtlrFtleLtcFbFb jSyFt4tc i b6rK^`cFb6hnY rLvyFi`iScFSs`c6yFi`i` rLeFeKbL ^qb t4yFi~trLcFtl FeLbLgS^x¡eLgS4cLcF^~iSh¢iS4aFi~yLrL^`tls`eLcFgHiSkliiSpeK^x^S6kljDS^`tsxsS^Fk}Dh¢cFiOk Fs`yFtb iSyFbFs`tiD_ WrLyFtiSyLS^£cFi`b • rLbF tlyFtcF FbL^xeLgScL^xh4i~rLteLgZFiSpjSi`eFhFtszjZyL^S4a6^x¬ ò ñ÷ *÷ ÷-ô+ÿ !ÿ iS6bLkljD^`s`gOcFiSyLf^xeLgScF_>b>rFbLklFtyLklbFiScFcF_ FtyFtcFiDk rLb6yF\FiStSklc6aUi`iS _OrLbLiD klcFqiStjSyFiSt_cFrF FeFbLh ^xeLiSgSFcFbLi`kt^`cFUb6yLh^`jSrLcFbLtkcFFbFttyLkl4bFi~iScFtcFs>iSki eLDF tyFbFts`cFg>iDkq^Ztj cFiDcF4tUtFcFiSi`yDeLh6i` • rLi`\FtcFcF>Fi`eLUFyFiSjSirLcFbFa6^x¬Y ý
'
+
4
*M 1 (
$!
D
G
D
G
5 (!
°
1:
"
SªD
1õ7
}, î
S Y oòBñ ÷G m F©
t6eLi`§bvf^SkkliSFtyFtcFiDk`YUd tcFbFcFyL^xr
m ]bL4b6hn}nÑSSªFY 67Y aUiSò jL7YUòBd ñtW Y m ©v¡ bF÷qyn}n ÑÑFSbFY pbFa6^ bWFyFbL4tcFtcFbFt>^S4iSyLqcFFi`eLUFyFiSjSi~rLcFb6 FYY Rö ñ qbFcFtlsSb6\FtklaFbFt'hFj`eLtcFb6h j cFtl66iSyDh6rLiS\FtcF Fi`eLUFyFiSjSi~rLcFbFa6^x¬Y d WY m vbFyn}n ÑS LY L?Y ÷oød N ò +øB÷7ñ 6XHaFcnY m6w]4iSyLqcF_?aFyFt4c6bF_>b?yFi~rKkls`jStc6 cFtf^`s`tyFbL^xeL Y6¬d üqi~r>yFtlr
Y Y yFbF F{tqd WY m vbFyn}
ÑÑF`Y 6Y [_KY «G_K`dl Nn 2F Y o Y Ƥ n}F DªFS?¤ `SF~¦lY ªFY [`y+ÏZXZYei(\ Nn 2F Y o NY p YK±n¹K}FFSªSD2¤ `S D¦Y ´U Y [`y+ÏZXZYei(\ Nn 2F Y o Y ¢³ · }LFSS Ñ?¤ `SDS¦Y FZY #dË gN_K` «K`baÆ® ® ]`¶µ _Ki}rK³´ (j Y Nm { I Ç d ¢v ~Y ]Y ¯LNY p NI Y6=d I ¢w w } w NO MLI }FI ` SL# ´UY ÑFY ð oùJ÷oöS Ý Iþ ñ bFpbFa6^?bs`tl6cFbFaU^?Fi`eLUFyFiSjSi~rLcFbFaDiSj ¸
¹K} Dª>¤ `S# ´`¦Y F]Y õ ñxòk ©6÷7ñ ô oùAòBñ ÷= ð oùAö/ò!ò!ö [üqbLklgDf^ Ãû© ´K·n} Dª ¤ `S U¦Y SSY ʳ` fM=_Ki¦2VV `ba¢´ ´ Nn 2F Y w F?wI ¹ · nx} ´ Ñ>¤ ÑS U¦Y ~6Y ʳ` fM=_Ki¦2VV `ba¢´ ´ Nn 2F Y w F?wI ¹ · ¸
} S Ñ>¤ ÑS U¦Y FY £Ë gNXZY7º d§xrKai¦Y rKVbVl 7^ Nn 2F Y o Y ¹ · }K US2¤ Ñ#´`S¦Y LY £_K`¶Ë gNXZsU ² ¸]_heV _K+ «"D¥ § MI±F ³¬x} ´` >¤ ÑÑ#´`¦Y ~6Y Iþ ñ Ãû© ¹K¹F¶¬}L6S ?¤ ÑÑÑD¦Y ªFY §xXZiZV XZY7´ ÍkV _T i}XZY \ Nn 2F Y o Y ¤n¹K}Fª SS>¤ `SSD¦Y ð oùJ÷oös Ý üqbLklgDf^j Ãû© ´ ¤n}L` v¤ `S# ´`¦Y o´UY Iþ ñ F?Y UY «;g` ªNrKé® ² ]´WGXZa2«GrsU ² Nn I±F Y z MO Y ¸¬¶¬}n Ñ>¤ ÑSDS¦Y ÑF?Y (ô ó÷oö £ ÷oö Dò oò 7ò!ö0» £ ] 7òBñ ÷k V© ü ·· } ´` >¤ ÑSSD¦Y ¸6
"
wJ -J
5
BG
J "G
°
ÇJ©+
-J
-J
-G
'
R
"60 " ('
>L%J $ +
Ü
1J
R
N
1J
R
N
('
0
N
ØJ ØJ
1T 3
"G
7J
.J
1
BG
G
('
&
0å
J ?J1Ò V P -0S(Y
Z YÝ
&V$Y T V$ S Z Q0T V"Q0 S(V" &X $Y Z 1Q0T V 3T Q T V S
T /
ØJ J L $M"& ÂIJ©IJK+
?È J ÇJ $' (' ('
J Â
&S3P
&Y TÝ1T
J J
R
&S3P
&Y TÝ1T
¸J J
L $M"& IJ%IJ) J
L $M"& IJ%IJ
R
"60
IJ -J :(
Ü
$
)
(' ('
'
(
R"S
¸+
1J
ù¬J©IJ
0N
¸J ÇJ
ØJ J
(
-J
R
J J
$È"
"
J J
¬J
'
5 1
R
&
N
ØJ "J
J J
)
R1TÝY
¸+
('
ÂS
&ù¬J -J Øù 06 5
EJ J E4 5
"
J -J+
¸+
±
ís\ït\ r
õ' â v
u
#ãèß #â¯s æèç
hdp
p
fh
å
& ýf^Skk4iSs`yFbL,irLcFiSyFi~rLcFUÎleLtaFs`yFbF\FtklaFU eFbFcFbF 6tyFtlrK^~\/rFeLbFcFiS_ l Y>üqDkls`g L, C b R d k^S4iSbFc6rLUaF Fb6hn}6t4aUiDkls`gOb kliSFyFiSs`bFj`eLtcFbFtqtlrLbFcFbF F rFcLeL^ bFlcFeL*taFeLs`yFbFicFrLbFjSbnb6YÖ UirL^xcFhiDkl4b6eK^ aDiScF FW}TeL^bFcFrLbFyFb¡U¤¥iSk>_vaUaUiSiSiScFyStrL vbFcLp^`^Ss`4iSaF_ cFUxs2=cL^ 0)iSSiSFSyFb6eLtli~cFcFiStlt kliSFyFiSs`bFj`eLtcFbFt Z(p) «¤ ý§bLk`Y
o E´UY ~(t)¦YT]SiSpcL^~\FbL\FtyFtp U (x, t) yL^`pcFiDkls`g FiSs`tc6
7
z -{ z
}|³¶
î
.ç| ~,í~³
9¶,çí.ç³´¶~
0
0
§bLk`Yno´UY Sm »Y;IY7 2,+EJ$7&-9#&-O2)#.aX# !O2 dE)#.BY#&-+%#"Fñ Fj>bL^xs`eLiSiS_ jZs`8iStl\FOaUrLtOj s`4iS\FiD4aDiSt_cFs x jSeLyFbFtcF4bFtbc6bbptY8ü eL^xtrL_>t¤cFcLbF^`tFyDcLh6^`FyDth6cFbFt~tl¦cF}`b6^zh.\FcLtyF^?ttlp rLI(x, dqrFs`eLiSb6a t) F b F c F b F t cF
∂I ∂U = −L − RI. ∂x ∂t
(17.1.1)
qtyFtL^xrWs`b iSaU\F^vtyFcLt^ pqbFs`piDi`eFhFU F\LbF^S kls`aDt2yL^`m jStcWkl6f4t2s`iSaDiSjvUs`t\FaFbW\FtyFtp2t4aDiDkls`g ü
(C∂U/∂t)
(GU )
∂U ∂I = −C − GU. ∂x ∂t
(17.1.2)
SªS ÖkeLb bLkla6eL]\FbFs`g2s`iSan}6Fi`eLU\FbL£UyL^`jScFtcFbFt
h%
M'x
" + d© R&ã"5"5
ã
LC
∂2U ∂U ∂2U + (RC + LG) + RGU = , 2 ∂t ∂t ∂x2
cL^`pjD^`t4iStJùAò ò ô ñõ[ÿ Y yL^`piSjD^`XcFtbFyFt cFtf^`6kheK^Sak^klbLFkliOs`tjS4yFtt4UtyLcF^`bnjSm cFtcFbF_¤ o´UY SY ~¦ ¤ o´UY `Y S¦bjSFi`eLcFbLHFyFtiS` / °
b dU b λ), = −L(Lλ + R)I(x, dx
(17.1.3)
dIb b (x, λ). = −(Cλ + G)U dx
FcûÖtsxcF^bFkl¡bLkljSs`sStiSfy6^iSrLiOjSDF iSyD6h6yFrL^`aUjS^FcF}FtaUcFiSbFs`_?iSFyFtiSyFt jS4iSiiFts iSyDSh6rLs`aUgO^pF^`yFFbFbLjSki^`rLcFbFiOsSaUkh?^`a>a?rFi~eFrFh cFiDcL4^` FyDUh6yL^`j`tl cFb6h b d U b (x, λ) = 0, −µ U (17.1.4) dt sx^`a>b>rFeFh s`iSa6^ 2
2
2
d2 Ib b λ) = 0, − µ2 I(x, dt2
rLt ]SttZyFt{tcFbFt UyL^`jScFtcFb6µh.¤ =o´U(Cλ Y SY U¦ + G)(Lλ + R). 2
'
b (x, λ) = Aeµx + Be−µx . U
oqpqUyL^`jScFtcFb6h.¤ o´UY SY D¦ÖkeLtlrLSts
b λ) = I(x,
p
(17.1.5)
(Cλ + G)/(Lλ + R)(Be−µx − Aeµx ).
qiDkls`i~hFcFcFt A b B iSFyFtlrLtle6hFZsSk¨h yL^`cFbF\FcFz4b DkeLiSjSb6hL4bnm ü
b (0, λ) = A + B, U
] \FtjSb6rLcFiL} b (0, λ) = E b (λ). U XjStlrFh>iSSiSStcFc6iStqkliSFyFiSs`bFj`eLtcFbFt Z(λ) kliSiSs`cFiS{tcFbFt b b (l, λ) = Aeµl + Be−µl . U 0
b (l, λ) = I(l, b λ)Z(λ), b U
(17.1.6) (17.1.7)
h%
$¥¦
#
õ 1
SªÑ
&1ã>xx&ôx$§Ä¨( R&ã"5ôx&1ã$§Â Rxx"§
p^`FbF{tjSs`iSyFiStqDkeFiSjSbFtqjOjSb6rLt b Aeµl + Be−µl = Z(λ)
p
¡ ¢ (Cλ + G)/(Lλ + R) Be−µl − Aeµl .
qi`eLi~ bFj p b γ = Z(λ) (Cλ + G)/(Lλ + R), 4Fi`eLU\FbLrFe6h iSFyFtlrLtleLtcFb6h FiDkls`ihFcFcF?rLjD^UyL^`jScFtcFb6hnm ü
b0 (λ), A+B =E
(γ + 1)Aeµl = (γ − 1)Be−µl .
^S4aFcFt s`tFtyFgaDiScFt OeLbFcFbFb2cL^qiSSiSStcFcFi`tklpiSFyFiSs`bFj`eLtcFbFtS}SyL^`jScFiSt } + G) `s iS rK^ γ = 1 b bFpq6yF^`jScFtcFbF_.¤ o´UY SY ªD¦}n¤ o´UY SY ´`¦§bL4Zbtt= A =(Lλ0,+ R)/(Cλ b B = E (λ) È*ô1ùAòÀôxøBùþ>òBø0÷*ÿ 46øB÷7ó/ôx÷7ùxö òBñ""2> ñ""
c
0
rLt
b (λ) U b I(λ) = , Zbc (λ)
i h p b (λ) = E b0 (λ) exp − (Lλ + R)(Cλ + G) x . U
FcûÖiSs`_.iSs jSi`keLeLcFU \L^`Y_£ûÖkls`iSiviSjSs`b6jStrLsScFklivs`jSbF`p tsjSFyLi`^xeLUSttcFklb6aUhiScF¤ to\F´UcFY SiSY _.S¦eLm¬bF\Fc6s`bFiSbnS mfjiScFcFivt_kli~cF6tyLs^`c6iSs`h6yLeL^xivqtb6c6 pbF\FtklaFbF_£k4zke£FyFb }8j\L^Skls`cFiDkls`bn}8iDklsx^`jD^xeLiDklg iSyL^`cFbF\FtcFcFzFi jStleLbF\FbFcFtS}6FiDkls`i~hFcFcL^xh xA→rLi`∞eF cL^Ss`gOyL^`jScL^cF~eLY cFiS{tcFÖbF keLbajStpl4hFaUs`iDg2kls`s`bBtFt¤ j£yFg?k4keLzUk\LeL^`t_n}Lj`eLaUiSb6hFrKc6^ b6h
Zbc =
r
bv4Fy6b6Di~rLbL£avkliSiSs`cFiS{tcFb6
Lλ + R ' Cλ + G
b I(λ) =
r
r
R −1/2 λ , C
C 1/2 b λ U (λ), R
aFjSbFjD^xeLtcFs`cFiD4 6yF^`jScFtcFbFBk]rLyFiSScFiS_>FyFiSbFpjSirLcFiS_ I(t) =
r
C R
0
1/2 t U (t).
x
#´
7
z -{3±
²
h%
M'x
" + d© R&ã"5"5
!
ã
¶,ç| æ¯
Ly ^`pjSbFs` W^ cFiDiSkjScFiStÖjS4ttrLs`yFi~iSrLScFiS^`cLi ^xeLbLbFklp\F^bLj]keLlteLcFtb6aFh.s`yFmj i6´xbLx4 bFbi~dZrKF^xi`eLFUyFbFiScF{s`teLiSyL^xi eLgSjScFtaU^ _SbFeLi`b eLrLbL qtyFtcF FbL^xeLgScF_?4ts`i~rL 6} YLZklcFiSjScL^xh p^xrK^~\L^ leLtaFs`yFi~6bL4bF\FtklaDi` t4tc6 s`i?iSj?^`cLcL^x^2eFFbFiSpjS^Otd2yS6iScFFiDyFkltls`rLbtleLleLtcFtaFbFs`tyFaUiiSrKcF^ FxtcF=s`yL0^` FY bFqb tFρ(x, iDklyFtlt)rKklls`eLjSttaFcFs`cFyFiSiDt^`aFbFs`pbF4jStcFyFtc6 bFlt eLρ(0, p^`s`yFrLcFbFs`tleLgScFiL}iSyL^`plrLi.eLt\FtiSFyFtlrLtleFhFtsSkhja6klFtyFbL4tcFs`t 6eLiSs`cFiDkls`t)g s`iSa6^cL^FiSjStyD6cFiDkls`b
ª
jx (0, t) = −K
∂ρ(x, t) ¯¯ ¯ ∂x x=0.
o klFi`eLgSpiSjS^`cFbFts`iS_ qiSyL4eL }TirLcL^`aUiL}Ks`yFtSSts?yFt{tcFb6hrLbL qUpbFiScFc6iSi UyL^`jScFtcFb6h>jOFyL^`jSiDFi`eLUFyFiDksSyF^`cLkls`jSt ¤ jScFUs`yFb leLtaFs`yFi~rK^D¦ ∂ 2 ρ(x, t) ∂ρ(x, t) =K . ∂t ∂x2
X yL^`SiSs`t DSeLi]FyFtlr6eLi~tcFiu~bFpj`eLt\Fg]aFjD^xrLyL^`s`cF_ aUiSyFtcFgL|bFpÖiSFtl yL\Ft^`cFs`iScFyFiSiStqjLU}nyLkl^`s`jSi~cFhFtcFbFb6t.jviSStm b6\L^Sklsh6.s`iSivUyL^`jScFtcFb6h.b.Fi~rKklsx^`jSbFs`gvjvFi`eLD ¸ '(
x=0
1/2 t ρ(0, t)
= K 1/2
∂ρ(x, t) ¯¯ = −K −1/2 jx (0, t) ¯ ∂x x=0
Ös`i2kliSiSs`cFiS{tcFbFtqjOiSSyL^`tcFcFiDWjSb6rLt 0
û
ρ(0, t) = −K
−1/2
0
−1/2 jx (0, t) t
= −K
−1/2
1/2 0 t j(0, t)
1 ≡ √ π
Zt
jx (0, τ )dτ √ t−τ
b eLt eLij£iDklcFiSjS£cFiSjSiSi£8ts`i~rK^leLtaFs`yFi~6bL4bFbnYXkltqbFpbF\FtklaFbFtU^`yL^`a6 s`tyFbLkls`bFaFb¢plrLtklgWjSplhFs` s`i`eLgSaDicL^WyL^`cFbF Ft }c6bFa6^`aUiS_bFpSs`iS\FcFiS_ bF4cLtcFqtiScFyLb6fh£^` F4bFtb?s`i~SrKi`^eLgS {^`t]aFs`cFiStZyFbLbFklpF^`i` FeLbFgSbpSk2tsSbLk¨klhnFY5i`üqeLgSi`p iSklUjD^`xcFtbF=klts`jS0SF}SyFs`iSiObFpSjSirLeLcFiF tyFrLjSyFiSiSt]SFcFyFb6 FiSyDh6rLaDiSjLY 7 ) Æ ~ ! ³Û s! Z^`yL^`aFs`tyFbLkls`bFaFbleLtaFs`yFi6bL4bF\FtklaFb6Skls`yFiS_Lkls`jHbFyFiSs`taU^`]b6¢j cFb66yFiS FtkkliSjjSi4cFiSiDiSFyFtlrLtleFhF]sSkhkljSiS_Lkls`jD^S4bWFiSjStyD6cFiDkls`b£4ts~^xeF eLbF\FtklaDiSileLtaFs`yFi~rK^F}cL^xDi~rFhFt_Lkh¢j£aUiScFsx^`aFs`tWk b6rLaFbL*b6eLbs`jStyDrLz leLtaFs`yFi`eLbFs`iDYTX¢a6eK^SkklbF\FtklaUiS_ s`tiSyFbFbj`eLb6hFcFbFtyL^`cFbF FcL^ FyFi~Si~OrLtcFbFt z -{åä
}æ
 ~
l,| ¬|ï |
0
|ï, ~|
h% 7 &x/x 0|J2'5 + 5Ü&x #M'x
U F\FttyFcFtcF4iS_OtcFLcF^`iSyL^xieFs`eLiStla6eL^ gScF\FityFktiDpZ4klbFbL\Fkls`ttklaF4bLO.iSFkliSbLFklyFiSjDs`^`bFtj`sSeLkh tcFbFyLt^` cFbFl\6eLcFtaFiSs`_2yFti`4eLaUbFiDs~kl^Fs`Y#gSüqyF}DbOjSa6s`eLiDz rLt_Lkls`jSbFs`tleLgScL^xhq\L^Skls`gzbL4FtlrK^`cLk^cFt§p^`jSbLklbFsiSs\L^Skls`iSs` }^4cFbLf^xhiSSyL^`s`cFi FFyFiSaUiS^`FpiSyF FjD^`bF]iScLsZ^xj eLgSScLi`^qeLgSt{_nY bFvcLkcFsSiSjStbFkt]eLUa6\Lkl^`Fttjqy6bFbLcF4iSt_cFs`U ^`yL¤ ^`cLaF^~s`\FtbFyOcLF^xiSh?jSkztlrLyLt^`c6Sb6iShns`m` Fiq aFTyLi~rL^`_FcLcF^`aDt_i 4tyFtS}j]iSyL^`cFbF\FtcFcFiD>rLbL^`L^`piScFt§\L^Skls`iSsz\L^Skls`iSs`cL^xhp^`jSbLklbL4iDkls`gzbL4FtlrK^`cFk^ eLU^`tyL^`aF}~s`eLttly6ObFp^`StsSbLk h4rLtliSOD^`rLjSi`\FcFcF~eLzt \6bOeLttlcFrLiDbFcFbFkl Fs`tt_nF}tcFcFiSiZjSb6rKY#^ ûÖA(iω) kÖcLF^`iSpaU^`jDp^`^`s`]tls ` s S i q s 6 \ L e t O c η<1 òÒÿDηòBñ>ùJ÷*ÿó÷oøBùJ÷ xññ÷ oõ¢Ý¤ û(ü ¦Y ^xeLbF0\F
â
1
5
#´
1G
7 *
−η
0
*MK :
¬+
¬+
_
¬
%!
1
Z(iω) = R +
.
2
iωC +
1
aR + iωC +
2 a2 R + . . .
üqyL^`aFs`bF\FtklaFb2jS\FbLkeLtcFb6h2FyFiSbFpjSi~rFhFsSk¨h rFeFh2aUiScFt\FcF FtFcFOrLyFi` S t_?k]\FbLkeLiDWyFtaFUyLklbF_ n b?iSsSkeLtl bFjD^`tsSk¨h?FiSjStlrLtcFbFt]yFt{tcFb6h>kzjSiSpyL^Sklsx^x cF6eKbFt^`s`iLn}SYjSz kl^ iScFsxbF^ paDaFiSb6sS2iSy6\LiS^Skli s`iSrFs~eF^xh2Oa6rL^xtO_LklrLs`iSjS_ bFs`FtliDeLkgSeLcFtlrL^xh2U]\L^Sklts`_2gy6bLt4aFFUtlyLrKkl^`bFcLb?kU^jSjStleLSbFi~\6rLbFbFjDs^`tcLsx^ kh?j a/2 yL^`pSY ^jSzkliSaFb62\L^Skls`iSsx^x FyFtlrLtleLgScFiStZpcL^~\FtcFbFtZbL4FtlrK^`cLk^yL^`jScFi Y vtlOrLWs`bL4b£rLjS68h£FyFtrLtleK^S4bHklbLkls`tf^iS`eK^xrK^`tskljSiS_Lkls`jSiDÕ û(ü k R
$
©G
¬+
h%
`
#´
M'x
" + d© R&ã"5"5
ã
§bLk`Yno´UY 6m 3?Y%+Yo.B9#&-#$5.!"60Òfo&*Q[.d &*)+ 2fo !Yo.!$7 !HuN# !Y7&*)of/# 0*$%J'-9#&*?+$7)+ 2,5.`ñ FiSa6^`p^`s`tleFt η = 1 − D }§rLt D = ln 2/ ln a dqyL^`aFsx^xeLgScL^xh£yL^`p4tyFcFiDkls`g a6kls`^`iScFs`s`t]iSyFcLiS^ jDjS^qz4klcFiSiaFb6tklb2s`jDcF^FbFY plvaFb6cF bLf\L^S^xklh s`\LiS^Ssx^xkls`Og b2Z(iω) kliSiSs`jSiStSsSyLkls`^`jSs`ScFtiqsJFû(yFü iSF¡iSyFj FFbFyFiSiDcL4^xeLtl gScLU^Zs`\LiS\6^x cFiS_HiS`eK^Skls`bnY§©
^`aFbL iSSyL^`piD}fiSSiSStcFcF_£p^`aUiSc<Zf^ rFeFhH{tyFi~SiSjD^`s`iS_ FiSjStyD6cFiDksSb?jO\L^Skls`iSs`cFiD£FyFtlrKklsx^`j`eLtcFbFb>bL4tts jSb6r ý
&G
¬+
−1 b b b b (iω), I(ω) = [Z(iω)] U (iω) = A−1 (iω)η U
^jSiOjSyFt4tcFcFiDWd2kli~rLtyD bFsrLyFiSScFUFyFiSbFpjSirLcFUm I(t) = A−1
η t U (t).
^`aiSsS4t\L^`tsSkh j>yL^`SiSs`t ´ }nkls`tFtlcFcL^xh p^`jSbLklbL4iDkls`g>bL4FtlrK^`cLk^?iSs L\ ^Skls`iSs`bn}LkeLtlrLiSjD^`s`tleLgScFiL}DrLyFiSScF_>FiSyDh6rLiSa>FyFiSbFpjSi~rLcFiS_ klj`hFp^`cF¢kqaUiSc6 eLaFtUtyFtcFcFbF FpbFaUtiS_2_yF\Ltp^SbLkls`kls`iSbFs`jScFiSyL^SiklFb2yFtiD4kls`aUyLiD^`kls`c6cFhFiStsSik¨hFUFs`it_2 FtFFyFbiSs`rLt^xa6eL^`gScF{b6h2tS}Ös`iSFaUyF^FtlOY rLbFtcL\F^xte?SiSi`c \Lk4^Skli~s`iStsxsv^xU_FSs`i`bWeLgS\F{tyFtStY p ýfF^`iSp6jS4tyDt6tcFsSk¨iDhnkls`}cFyFUt/^xeLtgS4cFaUiDtkls`FgLiS}njSFtySiS6s`cFiDiDkls`bHbL4hFFj`tleFrKhF^`]cLkOsSk¨cLh¢^ kcF^SbF4piSaFFb6i` rLiSScFz4b¢eLbF{gHjHiSyL^`cFbF\FtcFcFiD/bFcFs`tyFjD^xeLtWf^Skl{sx^`SiSjL}\Fs`iHjHaUiScFt\FcFiD bF s`^`iSp tiS¤ UFyFeKtl^rLtlFeFiShFs`tts2yFgUb ¦Y rLbL^`L^`piScv\L^Skls`iSs~}Lj2aUiSs`iSyFiDbL4tts?4tkls`i?FiDkls`ihFcLkls`jSi
0
1õ7
@
"
#´
}, î
S YÑSñ ª *L÷ Y ^`s`tf^`s`bFa6^ rFeFhvleLtaFs`yFi`bvyL^xrLbFiSbFc6tcFtyFiSjLY6d WY m ^~Ua6^F} 62Y (V W;gN_K Í ¾[ íGªN_Ka`¶XZYÂ\ \ I Y Y I Y · ¤n} FO¤ Ñ#´xD¦Y F2Y (V W;gN_K Í 0[ DGªN_Ka`¶XZYÆ\ sJ u I F d"{ Å I d p I 2I mN~ n ;F F }nÑ#´ FY L Y S¥?ªFrK i}r¤ § Ñ#´`S¦² Y g`b`Á F I Ym Y I YTªFS} 6¢Y ^ rKV ?² Nn NF YNo Y · ³¬}x´`S?¤ ÑD`ªD¦Y ªF?Y ÁsXXZ;`¶X7´ I ~ ¹6·n}¬S ¤ ÑSªDS¦Y ´UY 6ú+òBùð ôx÷77ñxòÀôxo÷ ó o³ñâÝ5Ý ÷ 7oxùJô ù t¾» F§d X*WklLY m Y mvbFynyL^`}naF sxÑS^xSeLF }6k`YLj. qFbFY pbFaUtSIY üqi~ryFtlr
Y ° ('
JG
G
-J Z Y Q $Q3R$ X
J
-J
J
1J
Q S&1 X-TÝQ 9Z
&V" &V
'
1J
ÇJ
J
J
R
J
ù "4
1J
Y Q Z S(V"S(Y
R$
$Z S&Q3T &V"S(Y
$ &
*'
Y Q Z S(V"S(Y
R$ X
S(V"
R$0X
S(YÝQ0P$Y P
Ò V 3 Z AS&Q0TÝS(Y
J ù¬J
"J :(
$*M
QS
-J EJ BG
+
"G
Ò V 3 Z AS&Q0TÝS(Y
S(V"
N
Y Q Z 1QR$T X-TÝQ S
'
Y Q Z 1QR$ X
Z U
ís\ït\ r
u
Ö ãw_5Ö' âæ #æèß Ç
dp
?-
ö
z B{ z
¢
î
jgwpyx
î ¶,~~³
¢
î
iS eK^SklcFiaUi`eL4iSiSyFiSjDklaUiS_4irLtleLbi~rLcFiSyFirLcFiS_bFpiSs`yFiSFcFiS_s`UyFSD eLtcFs`cFiDkls`b klaUiSyFiDkls`gqiSs`cFiDklbFs`tleLgScFiSi]rLjSb6tcFb6hOs`iS\FtaOs`UyFSeLtcFs`cFiS_ klyFtlrL } cL^xDirFhFb6Uk¨h>cL^yL^Skkls`i~hFcFbFb r rLyFUqiSsrLyFU^F}
j!bFcFtyF FbL^xeLgScFiS_*iS`eK^Skls`b/yL^Skkf^`s`yFbFjD^`tsSkh*aU^`akeLU\L^`_FcL^xh/FtyFt4tcFcL^xhn} klyFtlrLcFbF_ aFjD^xrLyL^`saDiSsSiSy6iS_ yL^SksStls2kZyL^Skkls`i~hFcFbFtFyFiSFiSyF FbFiScL^xeLgScFi r m ∆u = u(x + r) − u(x),
(18.1.1) 2/3
h(∆u)2 i = C0 ε2/3 r2/3 ,
klaULr i`t_klg cFCtyFd bFSbtcLpyL^z^`tlprL4bFtcFyFbFcL 6^xh>fF^SiDkklkls` i~hF} lcF=cL^x(εhn} ε/v)d?klaDiSdZyFiDaDkli`s`eKgO4rLiSbFiSkyFklbFiSLjDkl^`a6 F^xbFhZbvrFaFeLbFbFcFcLt^Fs`Y bF\Fi`tl iSó s`xjSùJtsSõ kls`jSU]bF_2s`iS_>4irLtleLb?cFtyFts`bF\FtklaFbF_>klFtaFs`y2rK^`tsSkh ÷7ñ÷*ÿ ùôò
0
3
l < r < L.
(18.1.2)
1/4
:(
È
?È
rLt k d jSi`rLeLyFcFUiSiSjS_i`tZkl\Fs`bLiSkyFeLiSiLcF}F ^ }8CbFE(k) dp jStaDkli`s`=eKcF4iLCε}4iS\FiSs`yFi iSkjDiSkls`a6cF^xiDh2kl, bFFs`iDtlkleLs`gSi~cLhF^xcFhWcL^xrLhnbLY qUpb6h¢(18.1.3) ¤ rFbLZ qUpb6hWjStaFs`iSyL^vyL^Skkls`i~hFcFb6h4tlOrL rLjS68hFiD4t\FtcFcFz4b\L^Skls`bF L^S4bK¦rLi` j`eLts`jSiSyShFtsOp^`aDiScF¬ ý§bF\L^`yDrKkliScL^ ¤ ÷7ñ ùôò ÇöoùJ÷-ôxõ 4¦ 2/3 −5/3
:(
"4
È
hr2 i = C1 ε(∆t)3 ,
?È
s`itkls`gL}UklUtkls`jStcFcFiSi`eLtt]Szkls`yFzWFiOklyF^`jScFtcFbFk]cFiSyLf^xeLgScFiS_OrLbL qD pbFt_FyFiS FtkkliDY ÖkeLb j>qiSyL4~eLt>¤ FY SY ~¦Fi~rLyL^`p64tjD^`s`g2yL^`pcFiDkls`g klaDiSyFi` kls`t_ FiD4t\FtcFcFiS_OL^`yF\L^Skls`bF n}SFtyFt4tcFcL^xh r klsx^`cFtskeLU\L^`_FcFiS_Ob2qiSyL4eL
(18.1.4)
xª + 4¨ G ¤ FY SY S¦Öklsx^`cFtsOjSiSp4i~ cFzbFcFs`tyFFyFts`bFyFiSjD^`s`gOa6^`a
#´
"
Kõ
(õ R"5x1
üqi~rKkls~^`j`eFh6hklrK^qklyFtlrLcFbF_OaFjD^xrLyL^`sZiSs`cFiDklbFs`tleFgScFiSiqyL^Skkls`ihFcFb6hbFp¤ FY SY U¦} cL^xDirLbL Ft FbLqbFa6^rLbL h(∆u) qUpbFbqi j=s`CUyFSε∆t, ~eLtcFCs`cFiS=_klCyFtlCrLt`}cL.^`pjD^`t4iS_n} rFeF(18.1.5) h aFyL^`sx aUjSb6iDkl6s`yFbnt}_vù yLB^`ô pcFvòBñyLùJ^`pñ4÷ tyFiSjL}KklUxtò kl s`jS¤¥U© ]ð¦}b6iS SDj2k eLs`iSUj`yFeLSt~cLeL^ÖtcFrLs`tcF_LiSkl_s`jSklbFyFttl rLtScLxY ^ý4\L^S^Skklkls`s`bFi~ Fh6 cFaUiSbFyFtiS4s`tlaDOiStÖrLqs`i`rLeLjSgS6aU8i]hFFiryFiSrLStcF_Lzkls`4jSbbF\Ltv^SkljSs`b6bF6 LyS^Shn4}~byL4^`pi~4ttyFsqklUaUiSs`tiSklyFs`iSjSti]cFcFklyLi]^`bFjSpcF4bLt4cFbFs`kÖgDlk¨hsSbFp ^ yL^Skkls`i~hFcFb6tY qt.rK^xeLgS{tZrFyFU iSsrLyFU^s`b>\L^Skls`bF F }Fs`t£Si`eFgS{tZyL^`p4tl yFyL£^SkkljSs`b6i~6hFyFcFtb6_nt }~yL^`4pcFtlOiDkrLhFvcFb6bL4b6bnYnrLXyFUyL^SiS4s]a6^xrLvyFUa6leK^F^S}~ks`kltbF \FtkklSaUi`iSeL_gS{s`ttiS_yFbFklaUbiSyFrLiDbLkl s`qgSUpyLbF^Sbkls`sxt^xs aUiS_ qtaFsZl4itsZSs`g]rLiDkls`bFcFUs]jSjStlrLtcFbFtvp^`jSbLklbL4iDkls`baUiS qbF FbFtcFs~^ rLûÖbLs` iSs qFUiprFbFDb i~Dr SiSsOeviSbLs`cFklFiDi`klbFeLs`gStlpeLiSgSjDcF^`c? j aDFiSbFiSiSyDcFrLtbFyLcLklaD^`iSs~}F_ sxyLY tS^`YLSiSiSs s`t yL^Sý§klbFkl\Ls`^`i~yShFrKcFklb6iShncLm ^ D =}FD(r) p^`Fb6 Y k^`jS{ti>UyL^`jScFtcFbFtrFeFhW6eLiSs`cFiDkls`b.yL^SklFyFtlrLtleLtcFb6h p(r, t) keLU\L^`_FcFiSi yL^Skj kls`i~hFcFb6h£4tlOrL.L^`yFiS_\L^Skls`bF FyFbL4tklbn}4cL^xDi~rLbFjS{b6DkhWj4iD4tcFs t = 0 i~rLcFiS_>s`iS\FaDtS}FjOjSb6rLt · ¸ h(∆u)2 i = C0 ε2/3 hr2 i1/3 .
2
2
4 6*4*
2
0
'
1/3 1
*M5 "%94: 0M
"=
0
∂p ∂ ∂p D (r) = ∂t ∂r ∂r
{k aUbFiSyFbF cF¢qbFrL FbLbF tcFqs`UiDpbFiSrLcFbLcF iSqiULpbF^`baUtDsx^ (r)∆(t)∝ rFi p}K^`aDkliSiSiScFs` jStsSkls`jSU]bL£UjStleLbF\FtcFbF 4/3
lk Utkls`jStcFcFY
i©niStiSseLyFbFts`\LbF^`\F]tklaFtbW4Dsxk^`h#aUiSiStOsFiScFjSiStlyLrLftcF^xbFeLtOgScFcLiS^`{i eLrLi bLiS SqiDklUcFpiSbFjDiS^xcFcFcFbFiStijvbFpp^`jSaUtiSklcLsx^ ∆(t) ∝ t cF yL^`SiSsx^x wY OYUqi`eK4iSiSyFiSjD^qb?wY WYF]SDDiSjD^qaU^`a?keLtlrKkls`jSbFtZb6FiSs`tp i kls`kjS^St4cFiScFFzi~rLiSyLS^`bFpb4eLtyFiScFa6z^xeLWgScFLiZ^`yLbF^Sp4iSs`tyFs`yFiSFiDWcFiSd _kls`aDUiSyFyFSiD~kleLs`tgScF¢s`cFrLiDbLklks`klbnbF}`LiS^`F FyFbFtlb>rLtls`eFUhFyFtS4iSeL_tcFtls`rLcFbFiSc6_ cFtyFbFb ε ~ Y iSiSs`cFiS{tcFb6h>¤ FY SY U¦¬b ¤ FY SY S¦nFiSaU^`pjD^`]sx}\Fs`iqjZs`iqjSyFt8hn}xa6^`aFi` jStlrLtcFbFt iSs`cFiDklbFs`tleLgScFiS_WklaUiSyFiDkls`b rLjSD \L^Skls`bF kiSjD4tkls`bL4ikOSyFiSUcFiSjDklaDiS_ yL4^`i~s`rLiStlyFeFcFgStzcFbLiSkyLkfeL^xtleLrLgSiScFjDiS^`cF_ b6rLhObLj q KUFpbFi~b?rLs`jjSti~yDrLOcFiSrKyF^`i]rLscFiSl_?sSiUkl¦sx}S^`yL F^SbFkiSklcLs`i~^`hFyFcFcFbFiSt]_?4klyFtlOtlrLrLtOO¤ÅeKcF^`bLS4i`b jStlrLts?klt~hbFcL^\FtSmKti>klyFtlrLcFbF_aFjD^xrLyL^`s2FyFiS6iSyF FbFiScL^xeLtcs`yFts`gSt_ kls`tFtcFbnY ÖklyFktleLrLbtqyFiSt`\FeKgZ^`jSaUt^Fkl}Us`s`biOi]iSeLc?bFFcFyFtiS_FFcFiSiDyFv FyLbF^`iSpcL4^xteLyFttc r rLbL }6s`qiSUrKc6^rLbFa6yF^`Ua>]jcFtiSyLi]fj]^xs`eLUgSyFcFSiDeLtkcFeLs`UcF\LiS^`_ t s`iSs yL^`p4tyyL^SksStls2FyFiSFiSyF FbFiScL^xeLgScFi t t mKR© ð/hFj`eFhFtsSk¨hvDklaDiSyFtcFcFiS_ rLbLZ qUpbFt_.¤¥klUFtyDrLbL qUpbFt_L¦lY ∆(t) ∝ t3/2 ,
1/2
1G
'(
'
B *
3/2
1/2
{:eo #xxx ?- ; "¥ Ã
"
G
ÜÇ x ¢ ³Û ¢
õ (õ R"5x
ï ~,~ì î
z B{3±
#´´
#õ
î ¶,~~|
î
yFbL4tcFs` iD^~\F}StiklrLs`cLjSt^`cFaUcFiqi>s`iSFs i`eL U^`\FaFts~cF}`cF\Fs`tOi jSjqi{rLcFtOiSyFy6ti~prL~cFeLiSgx_s~^`j s`klyFtlkrLiScF teK ^SklkliSyFjDtl^~rLeLtbLaUkliSg k qa6bFkl FFb6tl tcFs2rLbL qUpbFbrLi`eFtc p^`jSbLklts`g?iSs>yF^Skkls`i~hFcFb6h 4tlOrLv\L^Skls`bF L^S4bn}nkliSplrK^x jDyF^xte¢peLiSgxFsxyF^`tls`rLiStljLeLY tcFcFt FyFiS`eLt4 jHqbFpbF\FtklaUiS_
G
Á
−µt
∂p(x, t) =µ ∂t
Z
K(x − x0 ) [p(x0 , t) − p(x, t)] dx0 ,
kcL^\L^xeLgScFzSkeLiSjSbFt }`aUiSs`iSyFiStrLiSScFttjSa6eL]\FbFs`g j FyL^`jSU \L^Skls`gOUyL^`jScFtcFb6hn}6Fi`eLi p(x,bFj 0)p(x,=t)δ(x)= 0 FyFb t < 0m ∂p(x, t) =µ ∂t
Z
K(x − x0 ) [p(x0 , t) − p(x, t)] dx0 + δ(x)δ(t).
iSiSs`jStsSkls`jSU]ttÖUyL^`jScFtcFbFt§rFeFhs`yL^`cLkqiSyLf^`c6sS UyFgStS}~s~Y tSY~U^`yF^`a6 s`tyFbLkls`bF\FtklaDiS_qUcFaF FbFbW¤ ¦
Ñ+
¦+
Z
bL4ttsOyFt{tcFbFt n h i o e pe(k, t) = exp −µ 1 − K(k) t . X4i~jS tlrFc6hqicFUiSSjStlrLt§bFs`FgDtyFkhnt4}U\6tsScFicFU^`tÖyLkl^`iSa6iSsSs`tlcFyFiScL{^xth2cFrFb6hLeFh24b rLbLz =qktUpbFiScFb cFPe (z,Ft)yFiS= Ftpkekl(ztiSj^SklbL4, t)U } rLs`iStleKs`bF^ \FtklaU^xh ^`jSs`iD4i~rLtleLgScFiDkls`s`gZyFyFttlS{SttsOcFb6jShn}`Fs~i`Y tSeLYScFkltUcFbUh tklSs`jSkeLiSiSjDjS^`b6cFhbFtcFtcFeLtjSiSiZFyFtl pe(k, t) =
eikx p(x, t)dx
1/α
Pe (z, ∞) = lim Pe (z, t) t→∞
e |1 − K(k)| ∝ |k|α , k → 0.
−1/α
4¨ G
x
#´
" +
(õ R"5x1
Kõ
SrLts FyFb α ∈ (0, 2] ¤ jScFt s`b6 FyFtlrLtleLiSjvirLcFivbFp iS~hFp^`s`tleLgScF R rFeFh /X¢Sk eLkeLUiS\LjS^`bFtq_ bFK(0) peiSs`yFiS=6cF1iS_>b rLbLe qUpK(k)dk bFeb ≥ 0 cL^`yFU{^`tlsDk¨hK¦Y
e K(k)
+
+
−ikx
e 1 − K(k) ∼ B|k|α , k → 0,
b eK^`jScF_ ^SklbL4Fs`iSs`bF\FtklaFbF_v\6eLtc
fe(k, t) ≡ Pe (ktν , ∞)
rLiSj`eLts`jSiSyDhFtsUyL^`jScFtcFb6
dfe(k, t) = −B|k|α fe(k, t) + δ(t). dt
§i y6t{tcFbFt e FyFtlrKkls~^`j`eFhFtsvkliSSiS_ bFfp(k,iSs`yFt)iSF=cFiSexp i>D{−B|k| kls`iS_F\FbFjSt}iSi>yL^SkFyFtlrLtleLtcFb6hWkFiSaU^x p^`s`tleLtüq yFαb Y iSSyL^`tcFbFts`iSiUyL^`jScFtcFb6h bL8ttsjSb6r2iSS\FcFiSiZrLbL qD pbFiScFcFiSiUαyL^`=jScF2tcFb6h¤ −|k| dWFyFtiSSyL^`pliSjD^`cFbFt UyFgSt>iSFtyL^`s`iSyL^ ^`6eK^Sk^ ¦}FFyFb α 6= 2 Fi~hFj`eFhFtsSk¨h>rLyFiSScL^xh>kls`tFtcFgOeK^`6eL^SklbL^`cL^Fm 4
α
Ç+
+
2
Â
3
∂f (x, t) = −B(−4)α/2 f (x, t) + δ(x)δ(t). ∂t
(18.2.1)
4t{tcFb6t>tijSyL^x^`tsSkhW\FtyFtp x 4tyFcFU 6eLiSs`cFiDkls`gbFpiSs`yFiSFcFiSiDkls`iS_6 {\FbFtjScFiSbFti yL^SklFyFtlrLtleLtcFb6h¤ yL^SklFyFtlrLtleLtcFb6h tjSb6 tleFg`rLt_Lf^D¦ g (x; α) kliSiSs`cFi` f (x, t) = (Bt) g ((Bt) x; α), α ∈ (0, 2]. ðbLklFtyLklb6h>s`iSiOyL^SklFyFtlrLtleLtcFb6h StklaDiScFt\FcL^F} ý
B
å+
3
−3/α
−1/α
3
hX2 i = ∞,
bkeLrFtlrLeFShtlsOD^`jSyL^`SaFyLs`t^`yFs`gbFprL^`yF FUbFbU¡yL^S4kl6teLyF?jDt^`cFiOb6{hvbFrLyFbLbF cF q}FUpcLbF^`iSFcFyFcFbLiS4ti2ynL}F^`{aUbFtyFsxbF^>cFkl?i?cLjS^yFtjS4ztklcFiSts` t }~b6eLbyL^xrLbFSkkqtyF }xkli~rLtySO^`t_p^xrK^`cFcFUjStyFihFs`cFiDkls`g Yx«~rLU\Fb h∆ FiScLyF^xiSeLFgSiScFyFi FbFiScL^x}FeL\FgSs`cFi2zkl4iSbOeKrL^SyFklUSRztsSrLkyFh>UkqDp}U^`4aUtiSyFcFiDn s`ý§b?bFyL\L^S^`klyDs`rKUklsiScLkl^ijSFyFyFtb 4tlcFtWFpyFY iS÷ FiSyF Fb6 t α = 2/3 h
p
ÿ!ßDû åT.èøÙÝQùvQå å ú YÝ QçQÝåû«ý.å¬ü.éQé"ãäQåVßÙÝQý.þ½ÞVåÚ.ÚÜãVè"éQß Ú äQú Ý«ç"þ ÚÜèQçYûß Ú.ú.Þ ã¬ú ÝQéQÿ¼åÙÚUç"ÝQêþ â.ß Ú.åV"Ýä ÞQ}ßÙÝ[ãþ½êåVãúãÝQà åVéQä åVQ®ÞÚ Ú è"è"ÝÝQú ûúÿoéQÿ!Ú.Ú ä û ú ú .ãÝQÝQÞÙÚ Ý[û ë!éQ½ã?åþ½åVÞú ãþ½ú åVÚ.åVä"ý äQèßáå àß?ú ãQÝYÝ?Ú®âä"Þ åVßú ýÜÚ.ú û ýé èã?ç ß ®æ ú Þ®û ß ãQê«Ý Ú à[úÞ ã®è"ÞÙæVûÝQä"Ú.ÿ ß ã 0ãVßÙþQÝ"â2Ý?åVè"æVä ä"ß ½.ßÙåä"â ßÙþQQããÚ.äQåVæÝ Xú ãÝQÞUþ éQäQÚÜè"ÚÜç"Ú ú åVÞVé"ßáèßÙãê ú è"Ý ú éQÚ.ä ú ÝQÚ FãåþQß ú ßÙÚ.ã ú à 1/α
h(∆u)2 i
α→2
hr 2 i
7¨ G "¥ á
(õ R"5$§½
?õ
"§Çõ"ôx(5⯠§ ã>5
õ
#´oÑ
s`b6>UyL^`bFjSpcFbFt\FcFtb6klh6a6>^xh kljSbFi~cFrLs`bFtsSyFkh>FyFavts~s`^`iD F4b6Sh/}F\FyFs`i`i2eLb!keLUrL\LyF^`iS_FScFcFiS_t s`klyLs`^`ttFaFts`cFiSb yFbFeKbv^`6\LeK^S^Sklkls`bLbF^` ncL}L^¢kli`j iSs`jStsSkls`jSU]b6Hs`bLFyFiS Ftkk^S}ÖjiSseLbF\FbFtiSsWSyFiSUcFiSjDklaFb6s`yL^`taFs`iSyFbF_ kl¤ αs`t=yF]2¦¦}FcFDtq^`iShFs`j`bFeF\FhFt]klaFsSb kh yLcF^`tpFSyFyFiDtyFk^`cFjScFcFztq4jObn}LF^OyFiDFklyFs`tlyLrK^`klcLs~kl^`s`j`jSeFtShF}6]hFs2j`eFklhFiS]SiSsS_>khvklkDeLklUs`\LaF^`bW_FcF¤ a6zeK4^xb qyL^`aFsx^xeK^S8bnYXFi`eLc6hF]^xh sx^`aDiStfrLjSb6tcFbFt§\L^Skls`bF L^cFtaUiSs`iSyFiSt§jSyFt
haU^`a SjS( cFtpu~^`s`FiScFFi \Ftu~sSkeLhnt|.sx^`j tsFiS|?aFyFcLt^2kls`ScFi`eLiDklgSs`{biStiSs`yLcF^SiDkklkbFsSs`itlhFeLcFgSbFcFti.bcFcLtS^~\Fi`eLbFgScL{^`tb6s Wu~yLs`^`iSpF4sx^`tyFs`gDiSk¨jLhn}4|?p^`sxs`^St Y ©
^`aUiS_>s`bF rLjSb6tcFb6h b cL^`pjD^`]svu~Fi`eLts~^S4b tjSbn|~Y +
?-
ö
z B{åä
¢
î
î ¶,~~³
î í,|æ
ï³
¢
î
ç|
tlO^`bFtj£iDklcFiSjStvrLyFiSScFi` rLbL qtyFtcF FbL^xeLg`cFiSiWUyL^`jScFtcFb6h<s`UyFSD eLtcFs`cFiS_ rLbL qUpbFbv¤ FY 6Y ~¦4kliSiSs`cFiS{tcFb6hv¤ FY SY S¦ ¤ FY `Y U¦8iSs`cFiDk¨hFsSkh a2yL^`pl jSSbFtkls`aDiSiS_OcFi~trL\FcFcFiSyFLi¦ZrL\FcFbLiS_keKs`^xUm yFSý4~teL_FtcFcFi`s`eLcFg`iDrKklks`^ b bWFyFiSbs`yLrL^xiDklsx^`^`]s`iSs\FklcFsxi ^`s`jSbLzklkls`iSbFaF\Fb6t>klaD¤¥iSqt?iSyLk^Sf4^xiSeLFgSi~cFrLiZi`d SUbFyLtS^`}njScFUt^`cFyLbF^`taFs`¤ tyFFcFY 6iSY t ~¦ZrFeFFhWyFtlbFrKcFklsxtyF^`j` FeFbFhFiStcFscFiSu~aFiyFUbFFcFcFs`tiSyFptjDyF^xc6eKbL^vkl\Ls`iS^StSkls`|iSiSs~FY bLüqki^`cFbFs`t iS_rLbLF yFbFq\FUbFpcFb6t iScFcFiSi FyFiS Ftkk^FYKX¢iS`eK^Skls`b tf^xeL yL^Skkls`i~hFcFbF_kla6^`pjD^`]sSk¨hviSs`a6eLiScFtl cFs`b6iDh£¡iSkls.jSb64rLitrLs`tltleLeLb£gDklrLs`jSjSb6StstlcFa6b6^`h aW eK^`tjSSbniSyL}8^`iSs`SiSDyFkcFeLiSj`t2eLbLtcFkkcFeLtlt2rLiSj`jDeL^`b6c6hFb6cFhnbF}8ts~B^`a£j`hFb£paD\6iDbLklks`eLbtcFd.cFiSiSt 4i~rFtleLbFyFiSjD^`cFbFt F>} Ñ YLXa6eL]\Ftc6bFtjOUyL^`jScFtcFbFtqkeK^`l^`t4iSiOkZj`hFpaUiDkls`gS
'
Ñ
-
∂f + B(−4)1/3 f (x, t) − η4f (x, t) = 0 ∂t
U \FbFs`jD^`ts 4i`eLtaF~eFhFyFcFUrLbL qUpbF}FiSsSjStlsDksSjStlcFcFUBp^hFj`eLtcFb6h FtyFt4tl O^`t8iDðkls`iSb Fi`FeLyFcFb bFaUjiStcFtiO\FcFcL^~\L?^x\FeLbLgScFkeKz^xSý4kteL_FiScFjSi`bFeLtg` rKk^FY
(18.3.1)
jSFi`eLcFbLFyFtiSSyL^`piSjD^xcFbFt UfyF(x,gStqF0)i =FyFδ(x), iDkls`yL^`cFkls`jStcFcFiS_ FtyFt4tcFc6iS_ +
df˜ + [B|k|2/3 + ηk 2 ]f˜ = 0, dt
4t{tlcFbFt FyFtiSSyL^`piSjD^`c6cFiSiUyL^`jScFtcFb6h ý
f˜(k, 0) = 1.
(18.3.2)
bL4tlteLtg`s*rLjStb6_Lrf^ Fk yFiSbFpjStlrLtcFb6hrLjSDU^`yF^`aFs`tyFbLkls`bF\FtklaFb6 qUcFaF FbF_d tljSb6 b l^DkkliSjSiS_>qUcFaF FbFbnYüqyFbvf^xeL ¤ Si`eLgS{bFtqyL^Sk kls`i~hFcFbUhK¦f eK^`jScFαU<= yF2/3i`eLg j?¤ FY LY S¦4bFlyL^`tskeK^`l^`t4iStS}SkliSiSs`jStksSkls`jSU]tts`Uy6 SeLtcFs`cFiS_>klUFtyDrLbL qUpbFb>k α = 2/3}6FyFb>Si`eLgS{b6 k ¤¥f^xeLtZyL^Skkls`i~hFcFb6hK¦ 2/3 2 f˜(k, t) = e−B|k| t · e−ηk t
+
'
q
SS + 4¨ G R 5x d {lt^cFDbFktqkliSbLjS4iZttks eK^`jSlb6^`rvt4kliSjStSt}~yFiSs`FaFbLb>klrLjSjDD^`?]yL^SbFkl_FyF4tli`rLeLtlteLaFt~cFeFbFhF_ yFcFUrLbL qUpbFYD]SttyFtl
"
Kõ
(õ
"
1
³ ´ ψ(x, t) = (Kt)−9/2 g3 (Kt)−3/2 x; 2/3
b
³ ´ χ(x, t) = (ηt)−3/2 g3 (ηt)−1/2 x; 2 : f (x, t) =
Z
ψ(x − x0 , t)χ(x0 , t)dx0 .
SeLtcFs` cFiD^~kl\Fs`tb kls`FjSi`teLcFUcF\FitFcLi~^ADiý4OYLq^xh2yL^`iS_F F\FtcFcLa6^`cF^iDyFi`eLj b yL4^S4i`eLa6t^xaF?eFpcLhF^~yF\FcFbFiSs`_?tleLrLgSbLcF iOqSUi`peLbFtb?t jkeLs`i~UOy6 cFcLiS^2Fi?yFj bL4ft^`cFs`ttcFfbF^`bs`bFrL\FyFtiSklSaDcFiD<v6FeKyF^`iScFbFtOpqjSi~iSrFyLcFf^x¬eL}KbFFpfirF^ Di~r
}KYF y6tl^SrFkleLs`i~i~hFtcFbFcF_n}K_ iDklXZcFiSY jDq^`tcFcFcFiD_ } Si`eLtt£FyFiSpyL^\Ftc!jkls`iU^Skls`bF\FtklaUiD k4zkeLtHb!FyFiDkls¢jjS\FbLkeLbFs`tleFgScFiD iSs`cFiS{tcFbFbnY R3
Â
=
?-
z B{/ë
76 ¢
| ~|
¹6 Ø
ì,,~𳶷 ~|ì| |
î ï ~,~ }ï·
l,~
| çBE
ü!#"%$&(' "%)*+$+,.-/102+34+56+*"%-8789;: <-+=?>@ 8,BA<5B<-8)'45878:4$CD&(789E"%)<)76F " )78G8' "%-+'H"4<+02+I8JB+K+78'L)$58K+$ /B'4=8)=8+34MJB*+76N('4=876OP=B
Ô 2
"¥ ò
K1
!vw1v Px+y1z1xõB{|" y1x+y1z"§
!|" x ~},6wã$|
+d8`
ýQ<+"%I856'%JB'%/B'4=876OpNP'YZ4)+34f-6/1<+"4"4<8,8+) /B78G8=8RH'Y+)i=8+5B0Q</BU+=6+34B,8$ JB+*/B'4)*++5O6F CD)E$5B<*+=8'4=876OB0"iJB58+K+=8R 027TI858+78:4*+JB=8R 027,Q<E02=8+3%02'458=8RH'#78:4+)58+I8=6RH' $"%)+98G876*+RH'D5B<+"%I858'%JB'%/B'4=876Ofo($5B<*+=8'4=876OB0["H/1<I6/1<+"%7B<=80E*gJB58+K+=8+9i"%)'4I8'%F =87XuZ4)0]7?"%"%)+78)i/B+3478-6
1 1 ∂u ¯ (−4)α/2 u ¯, +u ¯∇¯ u = − ∇p − ∂t ρ
α ∈ (0, 2],
(18.4.1)
3JB' op<=B</B+3YG87B" /1¬ < ý2'498=8/BUJ1"4<8,15B<*+=8RH9k' 02$pI8587 qr: <+02'4)7B0,G8) α=2 5 <: 02'458=8"%)UE+I8'45B<)+5B< B ' % " ) E U 8 J B / 8 7 8 = ? < ? * % " ) 4 ' 8 I 4 ' 8 = 7
t s X M c )4/B78G878'pI6+-6<F 4α/2 −α : <)'%/8O +)f-6/1<+"4"%78G8' "%-+34f:4=B<G8'4=876OEa\+:4=B<GB<'%),BG6)+i+I858'%JB'%/8O8CD&('4'jqr-+=6F α "%)78)$)78*+=8+'t$5B<*+=8'4=878'L)$58K+$/B'4=8)=8+9P"%58'%JBRm+)4/B78GB<'4)+"O(+)D-6/1<+"4"%78G8' "%-+34 =8U+CD)+=8+*<(: <-+=B<(345B<JB78'4=8)<8X ýQ<: 02'458=8"%)=8RH9[<=B</B78:\$5B<*+=8'4=876OWq ` d8X
BX `tDI85878*+ JB78)#-?Z4=8'45834'4)78G8'%F "%-+02$j"%I8'4-8)58$
E(k) = C¯ ε¯2/3 k −γ , I8+-<: <)'%/BU
Ô
γ = (9 − 2α)/3
-+)+58+3%\/B'%Nf78)f)'4I8'458Ui*f78=8)'458*</B' >@ 8, t X g'4*<Oj345B<=876lB
1 1 ∂u + u∇u = − ∇p + ∂t ρ cD=jI85878*+JB78)\-#"%I8'4-8)58$
0
µ t 4u,
µ ∈ [0, 1).
E(k) = C¯ ε¯2/3 k −γ "MI8+-6<: <)'%/B' 0
âå ú Ö ãSê ß U è"Þ ÚÜç"êV®æVÞäQßÙåVÚ.ãã ú û à þ ú ß éQÚ.®þQÞãßáäQç åâ Qã"å ßÙþ Qç"Ú.å ýÜnß.û þ½ú.åVú ãååVÞVäQå åVý.ú åDÞVå éQäQú Ú.ãÞ ÞVå¬ãVßÙû Ú.äQã æÙûáç"Ú Qã Qå ú ãÝ éQÚ.äQÚTâÚÜÛßÙÚ ~ s
γ = (5 − 3µ)/(3 − µ),
L #
% D%
E
4¨
.|B|
+da
KõB{+v(õx+y"6y1w11
+K/1<+"%)U?:4=B< G8'4=8789]-+)++56+34bq `+,s>@H/B'%Nf78)[)'4I8'458Um" /B'4*@8X!02K+78=87858$OEZ4)7?JB*<jI8J8A J1<8,n<*+)+5EI85878*+J878)p*<587B<=8) +K++K+&('4=8=834;$5B<*+=8'4=876OWg<*+U+'%F~L)+-"4<8,2"%JB'45NP<&('434;JB58+K+=8RH'#I858+78:4*+J8F =8RH'g-<-#I8\*+58' 02'4=87,8)<-#7#I8\-++5+JB78=B<)<+0
∂u 1 1 + u∇u = − ∇p − ∂t ρ
0
µ α/2 u, t (−4)
(18.4.2)
3JB' I8587 , I8587 7 "%++)*+'4)+"%)*+$'4)MI8'458'4=6+5B0276F α ∈ (0, 2] µ = 0 µ ∈ [0, 1) α=2 58+*<=8=802$i=B<(JB58+K+=8RH'!5B<: 02'458=8"%)7#*+58' 02'4=87p7jJ8/B78=8RG87B" /B$h2'498=8/BUJ1"4<8X !'458'4=8"gZ4=8'4583%787;*i)<-+9;02 JB'%/B7k+)iK+/BU+S(76A#0Q<+"%S()<K++*\-;02'4=8U+S(7B0W5B<+" F &('4I6/8O8'4)+"~OV=B
?- z B{
76 ¢
| ~|
(Û
ì,,~𳶷 ~|
î ï ~,~¥H ~|³¶·ÂE
k
g<I802=87B0,G8)m¦%§¨+©ª1«%ªB¬1« L«%BªB®¯1°±²¨#*p-6/1<+"4"%78G8' "%-+9?)'4+58787?)$56F K+$ /B'4=8)=8"%)7#I8/B$GB<'4)+"Oj78:!$5B<*+=8'4=876O#g<*+U+'%F~L)+-"4<
1 ∂u + u∇u = − ∇p + ν4u ∂t ρ
7#$+" /B+*+76Oj=8' "Nf7B0Q<'402"%)7#Nf76JB-"%)7
I $)' 0#5B<:%/BNP'4=876OgI8/B'49 8 )$<l87871t
u
7
∇u = 0
p
=B< "%58'%JB=878'L-02I8+=8'4=8)R[7YI8$/BU"4<l8787iqM/B$-6F
¯ + v, u=u
p = p¯ + p˜.
N1 m
ªf "¥ ÿ
({+w1vy1w ³.z
u
nx+{+x+y÷1zB|6#y1w1x-õB{|By1x+y1z1x
GÜ
x 1y1w6#³.|
+d+
cD=B
∂u ¯i u ¯i 1 ∂ p¯ ∂ +u ¯j =− + ν4¯ ui − hvi vj i, ∂t ∂xj ρ ∂xi ∂xj
(18.5.1)
∂u ¯i = 0. ∂xi !58+l8' "4"!5B<+"%I6/BRH*<=876OpI8$ /BU"4<l8787 ,1*++:4=878-8S('49p*i=8'4-+)+58+9k0Q</B+9p+K/1<F vi "%)7p"%58'%JBRg,83458$K+\02Nf=8\+I87B"4<)U\$5B<*+=8'4=878' 0[JB7Bg!$:4787
∂vi = K4(vi + u ¯i ), ∂t " +I8"%)<*/8O6Oj-+)+58+'g"!$5B<*+=8'4=878' 0m=8'4I858'458RH*+=8" )+7 %
(18.5.2)
∂ ∂vi + (vi vj ) = 0, ∂t ∂xj
I8/B$G87B0
∂ (vi vj ) = −K4(vi + u ¯i ). ∂xj
(18.5.3)
cDK++K+&P<Oh$5B<*+=8'4=878'fq ` d8X >6X a+t=B
*02' "%)pq ` d8X >6X tI8/B$G87B0
∂vi = −K(−4)α/2 (vi + u ¯i ) ∂t
∂ (vi vj ) = K(−4)α/2 (vi + u ¯i ), ∂xj
G8)fI8" /B'!$" 58'%JB=8'4=876O#I8\I8$/BU"4<l876OB0[J1<'4)
∂ hvi vj i = K(−4)α/2 u ¯i . ∂xj u58'4:4$ /BU)<)'Y*02' "%)Eq ` d8X >6X `tI6/B$GB<' 0VJB58+K+=8FJB7Bg!'458'%=8l87B</BU+=8RH9 <=B</B+3M$5B<*+=8'4=876Oj2'498=6/BUJ1"4<
¯ 1 ∂u ¯ ∇¯ ¯. +u u = − ∇¯ p + ν4¯ u − K(−4)α/2 u ∂t ρ
(18.5.4)
!58'%JBI8" /B'%JB=8'4';" /1<3%<' 02+'k*mZ4)0´$5B<*+=8'4=8787]+)=8"%78)+"Ob-^02/B'4-8$/8O858=6+9 JB7Bg!$:4787,Q+)5B<NP<CD&('49W!78:478G8' "%-878'k"%*++9B" )+*
4¨
.|B|
+d
?- z B{
¢
î
E
KõB{+v(õx+y"6y1w11
"!
!
7B"X` d8X `+6µH¶4·¶ ¸¶4¹ º» ¼»½»¾¿À8Á
nï
|³¶|E|ï¹
´,í,~
u=8'4-+)+58RAE" /B$GB<O6AE" /BNf=8RH9?I858+l8' "4"\=8'458'434$ /8O858=8+34#)$58K+$ /B'4=8)F = +34;JB*+76NP'4=876OV$ JB+K+=8EI858'%J1"%)<*+78)U?*E*+76JB'jJB7Bg!$:478+=8=8+34kJB*+76NP'4=876OV* 8 JB'4)'45B0278=87858+*<=8=8+9p"%58'%JB'Y"!: <*+7B"O8&('49j+)f-++5JB78=B<)f"%-+58"%)U+C(X8 G87B" /B$ )<-876A;02 JB'%/B'49EI65878=B<J8/B'%Nf78)p0JB'%/BUh¡Y58'498:478=B
hN i =
p
t
5B<*+=8
2Ky t/a;
a+t "402'4&('4=878'(GB<+" )+76l8R *JB/BUf"%7 +I858'%JB'%/8O8'4)+"OpJB/8'49k=8' "%-02I8'4=B"%76F ∆x x 58*<=8=8RAhI8$ /BU"4<l8789
P ∼ δN/N Kx ≈
t" /B$GB<98=B<Oj*+'%/B78G878=B<
δN
(∆x)2 (V0 t)2 P 2 = ; t t
I8JBG878=6O8'4)+"~Op3 <$"4" +*++9j"%)<)7B"%)78-'
*µ
δN N
¶2 +
∼
1 hN i
{ f "¥
0&
(z
#õ z"§;
('
'
1w6w16w1Æ 6x&ô1x+y1z"§
+d>
<*+)+58R¤I85878SY/B7k-k*+RH*+JB$+,8G8)j+I856'%JB'%/B'4=8=8RH9k+K+RHG8=8R 0W+K+5B<:40T-+Z g!76F l878'4=8)PJB7Bg!$:4787j*JB/BU
x
Kx =
V02 t V 2 ta V 2a = p0 = p 0 t1/2 hN i 2Ky t 2Ky
* +:45B<+"%)<'4)k"%k*+58' 02'4=8' 0,-<- √ ,n);' "%)UB,n7B02'4'4)E02' "%);"%$I8'45JB7Bg!$:478+=6F + t =8RH9#58'%Nf7B0X JB'%/1<=8=8RH'I858'%JBI8/BN('4=876O, JB=B<-B, /B'434- I8JB*+'45834=6$6)UH-85878)78-'+X L" F /B7 op"%58'%JB=8'4'\*+58' 0O,.-+)+58+'PI858+*+ JB78)hGB<+"%)78lB<j*jJ8=80^" /B+'+,.)jG87B" /B τ I8"%'4&('4=8=8RAh'4C" /B+'4*\:
t
hN (t)i = t/τ
I858"%)p± ®¯BŪB®\ÆÇQÈP°iI858+I8+58l878+=B</BU+=8
t
X1ÉY+5B02$/1<
hN (t)i ∝ t1/2
7B02'4'4)W02' "%)T/B78S(UV*W" /B$GB<'+,-+3J1< ,H
X=
N X
∆Xi
i=1
I8" /B'%JB+*<)'%/BU+=8RH'f"402'4&('4=876O =8'iO8*/8O8CD)+"~Om=8'4: <*+7B"%7B02R 027bqr78:%Fe:
∆Z = ∆X + ∆X
N/2
X≈ 7
Kx =
X
∆Zi ,
i=1
hX 2 i hN i h(∆Z)2 i h(∆Z)2 i = = . t 2 t 2τ
n<-87B0+K+5B<:40,202RÍI85876A+JB7B0-TI8"%)O8=8=802$[-+Z g!78l878'4=8)$?JB7Bg!$:4787 * JB/BU ,B"%*+76JB'4)'%/BU"%)*+$CD&(' 02$if)0,8G8)\JB7Bg!$:476Oj*\J1<=8=8+9#02JB'%/B7jO8*F x /8O8'4)+"~Op=8+580Q</BU+=8+9X Q<+"4"402+)587B0T)'4I8'458Ui" /B$GB<9jJB*+7NP'4=876O#*\I858+)78*++I8/BNf=8RH'g"%)+58+=8R JB*+$A;I8/8$6K+'4"%-+=8'4G8=8RATqr*#=B<I85B<*/B'4=8787 t!"/B+'4*BXuZ4)0" /B$GB<'\*+58' 0O y T 02'%N\JB$WI8'458' 02'4=B<+027b=B<I85B<*/B'4=876OWJB*+76NP'4=876ObGB<+"%)78l8RÎqr*+58' 0Ob*++:4*+5B<)
pT (t) ∝ At−3/2 ,
t → ∞,
4¨
.|B|
+d+Ï
KõB{+v(õx+y"6y1w11
"%58'%JB=8'4'j:4=B<G8'4=878'j=8'#"%$&(' "%)*+$+'4),2I858+l8' "4"h+-<:4RH*<'4)+"Om"%$I8'45JB7Bg!$:478+=6F =8R 0,I8JBG878=6O8CD&(7B02"Om*;<+"%7B02I8)+)78-'iJB58+K+=8FJB7Bg!'458'4=8l87B</BU=802$;$5B<*F =8'4=878C(X Ð!=8)'458' "%=B<O#02 JB'%/BU\5B<+"4"402+)58'4=B<(*\5B<K++)'!\X6uMX8Ê!$-8K<5B
Ô
∂n + v∇n = K4n, ∂t
4v = 0,
:
∂n ∂2 = K 2, ∂t ∂y
µû
∂n ∂n − 2 ∂x ∂y
¶
= 0,
(18.6.1)
y=0
3JB'ûjoPG87B" /B\!'4-6/B'+,5B<*+=8+'D+)=8+S('4=878C^A<5B<-8)'458=8+34(:4=B<G8'4=876Oh!$=8-8l8787 )+-6<E)'4G8'4=876O q tP-W-+Z g!78l878'4=8)$[JB7Bg!$:4787 XLn<-6<O Ψ v(y) = dΨ/dy K : <J1<GB<*++:4=878-6<'40)HI8587Y+I87B"4<=8787gK+R "%)58+34HI858+=878-8=8+*+'4=876OY0Q<34=878)=8+34DI8/8O *\: <+0Q<34=878G8'4=8=8$C¤I6/1<: 02$h*JB/BU(A+58+S(PI858+*+J6O8&('434PZ%/B'4-8)58J1<jÑ a+>ÒeX !58'4+K+5B<:4+*+<=878'YY<I6/1<+"4
λˆ n=K
d2 n ˆ + n0 (x, y), dy 2
(18.6.2)
3 JB' oW=B< GB</BU+=8+';5B<+"%I858'%JB'%/B'4=876'EI8587B02' "%7XH2'4S('4=878'Wq ` d8X Ï8X a+tf";$G8'4)0 n 345B<=8780G8=8+34P$" /B+*+76O
n ˆ |y→∞ = 0
7B02'4'4)\*+76J
n ˆ (x, y, λ) = ´ ³ p ´ Zy ´ n (x, y 0 ) ³ p ³p 0 √ λ/Ky 0 = C exp − λ/Ky + exp − λ/Ky dy 0 + exp 2 Kλ 0
+ exp
³p
λ/Ky
´ Z∞
exp
³p
λ/Ky 0
´ n (x, y 0 ) 0 √ dy 0 , 2 Kλ
(18.6.3)
ä"ß ú Ö éQ!äQæÚÜè"ÚÜÚ.ç"Ú?Ú QäQÝ Ú àSÚéQQäQÝQåVÚ æVÚ.TýÜßáß èQß QÝQÝaãVßÙåVãæSÚÜçQåTà"è âvQåââåTÚ.Û¬ä Ú.Qã åâ"ß æÙQçQãû½Ý[ÛÞ èß QÝQÝ "ß ú ãÝ ú Tßáèß â TßÙþ½å Qåâ Ô
~
M
y
~
H
i MÕ Ö ×Ø
;
Ù BÚ
% <
Ü
gÛBÜE6xÝ+|;hÝÛB{+vÛx+yBÝ6y1w E6{+x³.x
+d
3 JB' √ I8/B Nf78)'%/B'4=p7#JB'49B"%)*+78)'%/B'4=pI8587kI8/B Nf78)'%/BU+=8RAj7#JB'49B"%)*+78)'%/BUF λ =8RA ,< o;I858+78:4*+/BU+=B<O;I8"%)O8=8=B<O,+I858'%JB'%/8O8' 0Q<O?345B<=878G8=8R 0$" /BF λ C *+78' 0^I8587 Xg<A J8OE78:kq ` d8X Ï8X t 7[I8J1" )<*/8O6O?58'4:4$ /BU)<)#* y =0 ∂n ˆ /∂y|y=0 I858'4+K+5B<:4+*+<=8=8+'DI8P(<I/1<+"%$f$" /B+*+78'\q ` d8X Ï8X ` t ,I8/B$G87B0[J8/8O
n1 = n(x, 0, t)
p
1 dˆ n1 = λ/K n ˆ 1 + (P/2) dx K
Z∞ 0
³ p ´ exp − λ/Ky n0 (x, y)dy.
u]-++5JB78=8<)+=6Fe*+58' 02'4=8=8RAhI8'458' 02'4=8=8RAj$5B<*+=8'4=878'MZ4)f7B02'4'4)\*+76J
∂ ∂t
Zt 0
p
n1 (x, t0 )
P ∂n1 =− dt + 0 2 ∂x πK(t − t ) 0
Z∞ 0
¶ µ n0 (x, y) d y2 √ dy. (18.6.4) exp − 4Kt πKt dy
uW/B'4*++9jGB<+"%)7p02R*+76JB7B0mJB58+K+=8$C¤I858+78:4*+ JB=8$C(X cDK+&('4'M58'4S('4=876'!$5B<*+=8'4=876OEq ` d8X Ï8X
t ,+I87B"%RH*<CD&('434YJB7Bg!$:478CI85876F 02' "%7#*JB/BUP$:4-+34PI8+)+-6<8,6*+RH5B<NP<'4)+"OjG8'458'4:!'434f!$=8-8l878CÂ5878=B<
G(x, y, t) = "%++)=8+S('4=878' 0
l(x) √ P Kt πKt
n1 (x, t) =
?- @ Þ iß
Z∞
−∞
dy
µ
Z∞ 0
¶ µ ¶ (2xP + y)2 2x + y exp − P 4Kt
dx0 n0 (x0 , y)G(x − x0 , y, t).
³Û
Ëà\áãâsäYåæHçÄäÄæDà\è#égà êpåëjæDë#ì ãâLè#åLíkå
u?)'4+58787\02=8+34+-85B<)=8+34D5B<+"4"%'%O8=876OP"%*+'4)
ε(r)
Φε (q) =
1 8π 3
Z
e−iqr h[ε(r1 ) − ε][ε(r1 + r) − ε]idr.
R3
u "%)<)7B"%)78G8' "%-87(JB=8+58JB=8+9!7Y78:4+)58+I8=8+9Y)$58K+$ /B'4=8)=8+9("%58'%JB's"%I8'4-8)5B</BUF ? =B<OhI6/B+)=8"%)UP: <*+7B"%78)P)/BU+-P+)\<K"%/BCD)=8+9i*+'%/B78G878=8R^*+'4-8)+58=8+34P<5834$F 02'4=8)< ,67#Z4)<\"%*O8:4U\*+RH5B<NP<'4)+"O#"%++)=8+S('4=878' 0
q = |q|
w(θ) = (1/2)πk04 Φε (q)
+d+d
î.|B|
Ù ðïnÛB{+vÛx+yBÝ6y1w1Ý6ñ
3JB' , < oD*+/8=8+*++'QG878" /BD* JB=8+58JB=8+9g"%58'%JB'L"QJB78Z%/B'4-8)5876F q = 2k sin(θ/2) k0 G8' "%-+9\I8"%0)O8=8=8+9 Xum78=8'458l878+=8=80;78=8)'458*</B'*+/B=8+*+RAYG87B"%'%/n,+"%+3/1<+"%=8 ε -/102+3%+58+*"%-02$f: <-+=8$fJB*+$Ah)58'4)'49,
Φε (q) = Cq −11/3 ,
C = ò%ó+ôBõ ö
qr$5B<*+=8'4=878'TqaÏ8X 8`tP-8=878347 Ñ aÏÒrt Xsg<78K+/B'4'p*+'458 O8)=8m5B<+"4"%'%O8=878'k=B
w(θ) = (1/2)πk04 C[2k0 sin θ/2]−11/3 ∼ Aθ −α−2 ,
(18.7.1)
θ → ∞, A = const, α = 5/3.
$"%)UP*P=B<GB</B'M-++5J878=B<)P=B<A JB78)+"Oj)+G8'4G8=8RH9#02+=8+=B<I85B<*/B'4=8=8RH9 ! 7B"%)+G8=878-E"%*+'4)<8X.usRHK+'458' 0W-++5JB78=B<)=8$C "%U "%+*+IB<J1<CD&('49k"YZ4)7B0]I8'456F Z *+78G8=8R 0¤=B<I85B<*/B'%=878' 0 XuÌ0Q</B+$3/B+*+0^I85878K/B76NP'%=8787T)'4+58787[5B<+"4"%'%O6F Ω =876Ob-++5+JB78=B<)< !+)+=B0
∂f (z, u) = ∂z
Z
[f (z, u − u0 ) − f (z, u)]w(|u0 |)du0 , f (0, u) = δ(u).
R2
cD=8[I8JB+K+=8?$5B<*+=8'4=878C(,+I87B"%RH*<CD&(' 02$T02=8+34+-85B<)=8+'p5B<+"4"%'%O8=878'k:4<5O6F NP'4=8=8RApGB<+"%)78lk*h*+'4&(' "%)*+'+XBQ<:%/1<3%<Op$602'4=8U+SP<' 02+'Y*h5+O6JEI8 7k*+RHI8/8F u0 =6O6OT78=8)'434587858+*<=878'Eqr)?' "%)UB,$"%58'%JB=6O6OTI8E$3/B$[5B<+"4"%'%O8=876O1t ,2I85876A+J8O8);78:4*+' "%)=802$k$5B<*+=8'4=878C´)78IB<;ÉY+-8-'45B<FM/1<=8-6
f (z, u)
hu2 i ∂f as (z, u) = 42 f as (z, u), ∂z 2 R 3JB' 7 oi"%58'%JB=8789p-8*<JB5B<)P$3/1< 42 = ∂ 2 /∂u2x + ∂ 2 /∂u2y hu2 i = w(|u|)u2 du
5B<+"4"%'%O8=876Oj=B
∂f as (z, u) = AJ(u), ∂z
J(u) =
Z
R2
[f as (z, u − u0 ) − f as (z, u)]|u0 |−α−2 du0 .
Ü
Ù BÚ ùûúgÛBÜE6xÝ+|;hÝÛB{+vÛx+yBÝ6y1w E6{+x³.x
+d+
!587 76=8)'4345B</"%)/B-8=8+*+'4=8789W5B<+"A JB78)+"O,L7WJ8/8O]$"%)5B<=8'4=876O]Z4)+9 α ≥ 1 5B<+"~AJB7B02"%)7?*+"%I8/BU+:4$+' 0Q"~O?I858+l8'%JB$58+9?58'434$/8O85878: <l8767m£HJ1<+0Q<5B<8,n: <+02'%F =6O8CD&('49?5B<+"~AJ8O8&(789B"~OE78=8)'4345B</ '434#-+=6'4G8=8+9]qr*k"%02R " /B'i£HJ1<+0Q<5B<t J(u) GB<+"%)U+C
Z
p.f. J(u) ≡
[f as (z, u − 2u0 ) − 2f as (z, u − u0 ) + f as (z, u)]|u0 |−α−2 du0
R2
2'434$ /8O85878:4+*<=8=8RH9m)<-87B0+K+5B<:4078=8)'4345B</W*+RH5B<N\<'4)+"~OTG8'458'4:hJB58+K+=8$C "%)'4I8'4=8UPJB*+$602'458=8+34P/1<I6/1<+"%7B<=B
Z
[f as (z, u − 2u0 ) − 2f as (z, u − u0 ) + f as (z, u)]|u0 |−α−2 du0 = −c(α)(−42 )α/2 ,
R2
c(α) =
π 2 (1 − 21−α ) . [Γ(1 − α/2)]2 sin(απ/2)
/B'%JB+*<)'%/BU+=8B,<+"%7B02I8)+)78G8' "%-+'üI8+*+'%JB'4=878'ý$3/B+*++34þ5B<+"%I858'%JB'%/B'4=876O !+)+=8+*B,I858+S('%JBS(76AhI8$)U *\)$58K+$/B'%=8)=8+9p"%58'%JB'+,6+I87B"%RH*<'4)+"O f as (z, u) x $5B<*+=8'4=878' 0T"DJB*+$602'458=8R 0m/1<I6/1<+"%7B<=80[JB58+K+=8+34PI8+5+O6JB-6<8
∂f as (z, ÿ ) = −c(α)A(−42 )α/2 f as (z, ÿ ), ∂z
f (0, ÿ ) = δ(ÿ ).
2'4S('%=878'ÌZ4)+34$5B<*+=8'4=876O*+RH5B<N\<'4)+"~OG8'458'4:¢JB*+$602'458=8$Cã78:4+)58+I8=8$C $"%)+98G876*+$6CI6/B+)=8"%)U?g'4*+76F~ÉY'%/BUJB34'49B0Q<E"jA<5B<-8)'4587B"%)78G8' "%-87B0 I8+-6<: <F )'%/B' 0
α = 5/3
1 g2 (r; α) = 2π "%++)=8+S('4=878' 0
Z∞
α
e−k J0 (kr)kdk
0
f as (z, ÿ ) = [c(α)Az]−2/α g2 ([c(α)Az]−1/α |u|; α).
cD)+02'4)7B0T)587jA<5B<-8)'458=8RAi+) /B78G876Oj5B<+"4"%'%O8=876Oj*P)$58K+$/B'4=8)=8+9#"%58'%F JB'+)!<=B</B+3478G8=8+34MI858+l8' "4"4
x
y
++
î.|B|
Ù ðïnÛB{+vÛx+yBÝ6y1w1Ý6ñ
jæMåè#çgæDà\è#ç
"! $# % !'& (*)+)-, . 0/ 1 324653 879) ;: < 324=> 876? ;: < >24@=> BA DC )-7 4E0F-GHG IJLK>@M NBOP IJQ@E- NSR$ UTIJG H'VWOP X $ &Y # & +Z6? S= [24 \ ])-,6A S= [24 \ 7 ^OP DQ_ a`4 Ncb$Qd fe^`4 N"Mg h$iD j`4SK>kIJQ_k G lm n &po ,+q Sr+ sI IJ$Ht vu3^4 Nk`$Q_$ c4S`4( &Y Pwyx n z{% L|L& X ^?$q u4 L4 X $wyx n z{% )+) ^= } 24W~ \ N41 /-24C *=> 3s W
p @.3 j ^r 'G IDDH'V0IJ >K>S Na3IDDQkE- N4ukG siQ_IJ cE @ X &Y P# & ^A$Z 3M IJvL NykG r$ ( Un ! ( 9)+) A ^K> DQH@u3 NLkFakP N;e UTJF- VfL B X &Y # & Z+, X IJG DM DQ{GdG kIV sIJQ_I NM D IJ s `4 N g¡6 ¢bg¤£P¤( ¥ z Y ¦ sz 4F- s " Nr+Q_ §UIJGE- Ny¨ LK>IJQ@ G $©@ª («? o+¬ @G §DQ_ §Ry+ ( Un ! Jz $( 3M IJvL6ªX$m ! x z m $% w m mx ?$Z 3e {D; `4 NBr+Q_IJH6T IJ Vjbg lm n &4o ,6A
`+X
ó6ò
a6X Y®¯ g® ®§1®©
X
ó
X
ó6ò
6¡(<=kHHL
,
ó+ô 6ó+ô
,B+#q ` aÏt X
1,B>+d#q `
B`t X
8X
sƦ B®©
6¡(£DÌHHL
,1a+ahq `
B`t X
BX
sƦ B®© >djq `
t X
Ð!:4*+' "%)76OT£DHHLQ,Q"%'45X234'4!78:+X ,2
>mq `
B`t
>6X
X
6õ
X
%ö~ö
X
,Badahq ` ++t X
Ï8X p®ªB¬Bª
6¡(£DÌHHL
X p®ªB¬Bª
BÐ!:4*+' "%)76O#£D´HHL2,B"%'45X834'4!78:+X ,Baiq ` >Ït X
,Ba+>Ïjq~` >+>+t X
d8X
,D` 8`
ö
qa+8`t X
8X
X
ô8ô
q ` +t X
` 8X
6õ
X
,
X
8õ
ò
X
,
>
1,B
>hq ` +Ï+dt X
8õ
`+`+X p®ªB¬Bª Êg<+"%)U X6o
¯1® ´L)<)7B"%)78G8' "%-6<O 3476JB5802'%A<=878-6<8X [X Bg<$-<8,.` +Ï> 6Êg<+"%)U X6o [X Bg< $6-<8,.` +ÏX
`a6X
hÅ
È 8« ¯1®§ ` >+>X
L'4+5876O] JB=8+58JB=8+9V)$58K+$ /B'4=8)=8"%)7Xo
` 8X
6õ
q ` +dt X
`4
BX
BX
ò%ó Bõ ö
X
ó6ò
X
#X
`>6X
X
%ö~ö
X
X
%ö~ö
` Ï8X
6õ ò4õ
@
++hqa+
t X
`X
,` Ï++jqa++t X
` d8X ` 8X a8X
BX
óõ
,
ó
ò%ó Bõ ö
öó+ôBõ
X
X
6ò
ô
#X.+,Ba>jq ` +d>+t X
ö
ò ö
õ
X
,!`+` +
,`4
a
#qa+
t X 6õ
q ` ++dt X
X
[X LÐ!f,
,8a#qa++Ït X
,8>#qa++t X
X
,++Ï
úYzBÝ6x+{|6ÝÛB{|
+8`
g - [®*53 N+ y< 2k9=>+¯±° ²+7
³ ´:9µ ) ¶$7 ;·B $³ 3¸ ¸ [)-7 [¹ U³ .39¸$¯±° ~)-,+q µ [24¸ Nµ J -< º24¸ NP. [k »k ¼)-, ½ c\=> N. ¾ W®*g24 N¿ W J³ ¸gÀ3 P. J Á³ 324$=> N@·B W$³ 3¸$¸ ;·B $³ 3¸ ¸ [) o
a6`+X (§.«% ¬Bª
jÇ Bª1«
s É
,Ba
ahq ` a+t X
a+a6X ¨ +¦+ªB¬Bª
8ÓMÉ(
a8X
cDK++:458'4=878'LI85878-6/nX7PI8580X0Q<)' 0Q<)78-87
a
BX
8¨ +¬Bª
¦ +Æ%¨§
a+>6X 1®§.±«4«4© q ` ++t X
s É
1§.« 6¬ 1¨
,1>iqa++t X
,+Yqa++Ït X
,` +>hq ` ++Ït X P¨4¯.±¨
QÉY78:478-6
,n>
aÏ8X sÇQÈP®© §6¨© B®© B¨È\¨§.² +¬B us*+'%JB'4=878'P*j"%)<)76F "%)78G8' "%-8$C5B<JB78!78:%78-8$X60]a6Xo [X Bg<$-6<8,.` d8X aX (®¯1° 6¦Å +¬Bª 8¨ +¬Bª +us*+'%JB'4=878'*M)'4+5878C]I858 AN\JB'4=876O GB<+"%)78l#G8'458'4:g*+'4&(' "%)*+BXo [X B£)0278:%J1<),` d8X ad8X
8¨ +¬Bª
cDK++:458'4=878'LI85878-6/nX7PI8580X0Q<)' 0Q<)78-87
,d
B`!qa+t X
ÂÄÃÆÅ]ÇÄÅ ÈÉ Ê ËÍÌÎ ÏÐÌ Ñ
Þ iß4Þ
^Ò L[ÓÔÓ "Õ" LÖ S× 4Ø 4Ùº×
Ó
è#ìYégë#ì í
åè#åë
#ç!ê
gë#ç
Ú
åë#ì åë#ì!êpì
L"%)' "%)*+'4=8=8R 0Ë"%"%)O8=878' 0ÃI6/1<: 0RøO8*/6O8'4)+"O¢)$58K+$ /B'4=8)=8+']"%"%)F O8=878'+,HJB*+76N('4=878'[GB<+"%)78l¤*W-+)+580_I858+7B"A JB78)WI8]:4<-+=B<+0Í<=80Q</BU+=8+9 JB7Bg!$:4787X£ =80Q</BU+=8RH9[A<5B<-8)'45?JB7Bg!$:4787m=B<K/BCsJ1<'4)+"Om*p/1<K++5B<)+56F =8+9 I6/1<: 02'Ñ `%FÒe,M: <+0Q<34=878G8'4=8=8RA*+76A658'4*+RAI8+)+-6<A´Ñ
B,Y>Òe,!*-"4078G8'%F "%-9EZ%/B'4-8)58 JB78=B<+0278-'#Ñ ÏFdÒe,1*jI858A N\JB'4=8787E-"40278G8' "%-876Ak/B$G8'49;*#Â6</1<-6F )78-'iq"40X t X M<5B<-8)'458=8+9P"%+K+'4=8=8" )+U+CmJB*+76N('4=876OPGB<+"%)78lP*!I6/1<: 02'sO8*/8O8'4)+"~OP=B<F /B78G878'i=8'4JB=8+58 JB=8+34#7[I8"%)O8=8=8k02'4=6O8CD&('434"~Om0Q<34=878)=8+34pI8/8OXu +KF /1<+"%) O6AkI8+*+RHS('4=8=8+9k=8'4JB=8+58 JB=8"%)7kJB*+76NP'4=878'P: <5O6JB+*h*jI8+I8'458'4G8=8RA;I8 +)=8+S('4=878C¤-#"%7/B+*+R 0[/B78=876OB0m=B<I85B<*/B'4=876O6A,6"%+I858+*+N\J1<' 02+' 78=8)'4=B"%78*F =8R 0p*+5B<&('4=878' 0#*++-858$3Q/B78=8789,: <+02'%J8/8O8'4)D76AYI8'458' 02'4&('4=876's*MI858" )+58<=B"%)*+'+, "%+:%J1<'4);Z g!'4-8)k/B+*+$S(-87XL/B$GB<98=8RH'p"%+*+IB<JB'4=876OT"%-+58"%)7T: <5O6NP'4=8=8+9 GB<+"%)78l8Rb" =B<I85B<*/B'4=878' 0;J8/B78=8=8+9i7i3/1<JB-+9i"%76/B+*++9\/B78=8787iI8+:4*+/8O8'4)Y"%F *+'458SP<)UH'49gJ1</B'4-878'LI8'458'%A+JBR?I85B<-8)78G8' "%-87YK+'4:5B<+"4"%'%O8=876OXus58' 02'4=B
Ý Û Ü?)+Ü o
f˜(k, λ) ≡
Z∞ 0
dt
Z
Rd
dx e−λt+ikx f (x, t) =
1 − q˜(λ) , λ[1 − q˜(λ)˜ p(k)]
+
î6.|8|
Þàß $áâ Ù
.|
Q|
3JB' 7 of)5B<=B"4!+5B0Q<=8)R^Y<I6/1<+"4
λβ f˜(k, λ) = −|k|α f˜(k, λ) + λβ−1 .
ºã
(19.1.1)
VZ4)02$DN('L$5B<*+=6'4=878CT02R?I85876JB' 0, +I8785B<OB"%UH=B
0
ä
β t f (x, t)
= −(−4)α/2 f (x, t) +
t−β δ(x), Γ(1 − β)
;
(19.1.2)
O8*/8O8CD&('4' "~O\/8+3478G8' "%-87B0E+K++K+&('4=878' 0k$5B<*+=8'4=876O p+=878=B<8X2'4SY'4=878' 0?$5B<*F =8'4=876O[q ` 8X `+X a+tQO8*/8O8'4)+"OhJB58+K+=8Fe$"%)+98G878*+'M5B<+"%I858'%JB'%/B'4=878'+X g<I802=878*Z4)7YI85878=6l878I8Rm<=80Q</BU+=8+9DJB7Bg!$:4787,402R?I85878*+'%JB' 0h=876NP' =8' "%-/BU+-mI8587B0'458+*T76AW-+=8-858'4)=8RA]58' </B76: <l8789b=B<m!78:478G8' "%-0¢$58+*+=8' 5B<+"4"%$N\JB'4=8789,+K/1<J1<CD&(76A\K+/BU+S('49f=B<3/8O6JB=8"%)U+C^7hK+/B'4'D)' "%=8+9h"%*O8:4U+C "M"%=8+*+=8R 027hA<5B<-8)'4587B"%)78-<+027#5B<+"4"40Q<)5878*<' 02+34PI858+l8' "4"4<8X
Ñ å æ L 4Øv ç""èêé [ë ì ^Û Ü9)+Ü) ? síî À 1 y ° Λ(τ ) Þ iß
iípè#ìí
jë#ç
já#åHâ
#ìí
Pìí
<-6<-8=8G878*<Om78:%/B NP'4=878'j*+RH*+J1
b b λ) + δ(x) λb n(x, λ) = Λ(λ)4 b(x, λ) + S(x, 2n
qrI858'%JBI8/1<3 <'4)+"O,G8)\*(=B<GB</BU+=8RH9j020'4=8)\*+58'402'4=87jGB<+"%)78lB<(=B<A JB76/1<+"%U(* =B<GB</B'!-++5JB78=B<)t X /B'%JB$O[I85878=8l878I8$[<*+)02JB'%/BU+=8"%)7,I8JB)*+'45N\J1<' 0202$EG87B" /B'4=8=8R 0 0 JB'%/87858+*<=878' 0,*+RHK+'458' 0b)5B<=B"4!+5B0Q<=8)$kO6JB5B<#*#*+76JB'i"%)'4I8'4=8=8+9[!$=8-6F 2 l8787
Λ(λ) = Kλ1−β ,
0 < β 6 1,
7E$602=8Nf7B0b+K+'PGB<+"%)7E$5B<*+=8'4=876OE=B< X2cDK+5B<)=8+'(I858'4+K+5B<:4+*<=878'PY<F λβ−1 I6/1<+"4
0
ä
β t n(x, t)
= K42 n(x, t) + Q(x, t).
Þ ïñð Ù
Ú
Ú
+ò
$ó
+ò
-ô
$õ
gx+{|By1w1x+6y HxfÝ+| 1z1w1yB|B{+y Hxi{|6 1{+x³.xx+y1z
+>
34
58'4S('4=878' *+RH5B<NP<'4)+"O G8'458'4: JB58+K+=8Fe$"%)+98G878*+$C I/B+)=8"%)U ,bS(785878=B< JB7Bg!$:478+=8=8+34øIB<-'4)< 5B<+"%)'4)ÄI858+I8+58l878+=B</BUF q2 (x; 2, β, 0) =8 β/2 X
t
n<-87B0+K+5B<:40,n*/B76O8=878'hIB<+0O8)7m: <+02'%J8/8O8'4)kI858+l8' "4"fJB7Bg!$:4787Xu 5B<+02-<AT)'4+58787W</B' "%-8$[I858'%JB'%/BU+=8RH9W" /B$GB<9 "%++)*+'4)+"%)*+$+'4);=8+56F β → ∞ 0Q</BU+=8+9]J87Bgg$:4767,sG8)V*T+I858'%JB'%/B'4=8=8+9^"%)'4I8'4=87^I858+)78*++58'4G878)T02JB'%/B7 p+=878=B<8,J1<CD&('49jI8587j)0mNP'!I858'%JBI8/BNP'%=8787#f0Q<58-+*+"%)7#"%$I8'45J87Bgg$F :478+=8=8RH9W58'%Nf7B0X cDG8'4*+76JB=8R 0 +K++K+&('4=878' 0JB*+$AVZ4)76AWI8 J8AJB+*EO8*/8O8'4)+"~O $5B<*+=8'4=878'
0
ä
β t n(x, t)
= −K(−42 )α/2 n(x, t) + Q(x, t),
!$=6J1<+02'4=8)</BU+=8RH' 58'%S('4=876O -+)+58RA qr) ' "%)UB, 58'4S('4=876O I8587 tg*+RH5B<N\<CD)+"~O[G8'458'4:iJB58+K+=8Fe$+"%)+98G878*+RH'f5B<+"%I858'%JB'%/B'4=876O Q(x, t) = δ(x)δ(t) 7; A8*<)RH*<CD)i-6<-;"%$KJB7Bg!$:478+=8=8RH'hq t ,.)<-;7E"%$I8'45JB7Bg!$:478+=6F β < α/2 =8RH'fq ts58'%Nf7B02RgX
β > α/2
Ñ sö Þ iß
[÷ "º×
Ëåè#çYägë#ìYäYåHâLë
é
¨Õ"
´åËâLæç
[÷
#ìgë#çgèjë
´å
è#çYâ jè#åLíkåsêpåë
'ø
£YX8uMX6Ê!'4G8-876=j7juMX X8Â+=8GB<5kÑ ` Ò.7B"%I8/BU+:4+*</B7\JB58+K+=8+'D$5B<*+=8'4=878' É +-8-'45B<FM/1<=8-6
Ý
!587
α→2
pe(k, ∆t) = e−K|k|
α
∆t
,
g'4*+76FeS($60[I8'458'%AJB78)P*f3 <$"4"%+*BX
0 < α ≤ 2.
++)*+'4)+"%)*+$CD&('4'HJ1<=8=8+9h02JB'%/B7i$5B<*+=8'4=878' J8/8OiI6/B+)=8"%)7h5B<+"%I858'%F L : <5O6N('4=8=8+9#GB<+" )+76l8R7B02'4'4)f*+76Jn JB'%/B'4=876Op"%-+58"%)7
f (x, v, t)
∂f + Ω[v, ez ]∇v f = η∇v (vf ) − K(−4v )α/2 f. ∂t !58'4+K+5B<:4*<=878' 0WÉY$58U+'
fe(k, t) =
Z
dveikv f (v, t)
++Ï
î6.|8|
Þàß $áâ Ù
.|
Q|
+=8\I85878*+ JB78)+"O#-j*+76JB$
∂ fe + (Ω[k, B] + ηk)∇k fe = −K|k|α fe. ∂t
2'4S('4=876'YI6" /B'%JB=8'434pqrI8587p=B< GB</BU+=80m$+" /B+*+787
v(0) = 0
tLJ1<'4)+"~Op!+5B02$ /B+9
© ¡ ¢ ª fe(k, t) = exp −(K/αη) 1 − e−αηt |k|α ,
)<-kG8)h5B<+"%I858'%JB'%/B'4=878'P"%-+58"%)7p*+RH5B<N\<'4)+"OpG8'458'4:(78:4+)58+I8=8$C $"%)+98G876F *+$C¤I6/B+)=8"%)Ufg'4*+76F~ÉY'%/8UJB34'49B0Q<8
¢¤−3/α ¢¤−1/α £ ¡ £ ¡ f (v, t) = (K/αη) 1 − e−αηt g3 ( (K/αη) 1 − e−αηt v; α). !587p0Q</BRAh*+58' 02'4=B<A
f (v, t) ∼ (Kt)−3/α g3 ((Kt)−1/α v; α),
7?02R 7B02'4' 0]JB'%/Bp"(JB*+76N('4=878' 0bg'4*+7,.*#I858'%JB'%/B'\K+/BU+S(76Ap*+58' 02'4=E: <*+7B"%76F 02"%)Ui+)f*+58' 02'4=87p7B"%G8'4: <'4)f7k02RI85876A JB7B0W-k"%)<l878+=B<58=802$h5B<+"%I858'%JB'%/B'%F =878CI8f"%-+58"%) OB0
f (v, ∞) = (K/αη)−3/α g3 ((K/αη)−1/α v; α).
!587 +=8j"%+*+IB<JB<'4)i"Y5B<*+=8+*+' "%=8R 0W0Q<-"%*+'%/8/B+*+R 0V5B<+"%I858'%JB'%/B'4=878' 0, α=2 I8587?JB58$3476A?:4=B<G8'4=876O[I8+-6<: <)'%/6O[+=8k"%$&(' "%)*+'4=8=8p+) /B78GB<'4)+"~Om+)p5B<*+=8F *+' "%=8+34!I8'458'45B<+"%I858'%JB'%/B'4=878' 0E*+'458O8)=8"%)7f78: I85802' Nf$6)+G8=6+9f+K/1<+"%)7i" -F 58"%)'49(*D+K/1<+"%)7g76A(0Q</BRAg7(K+/BU+S(76A!:4=B<G8'4=8789,+K+5B<:4$OY<+"%7B02I8)+)78G8' "%-878' A6*+"%)R"%)'4I8'4=8=8+34\)78IB<8
f (v, ∞) ∝ |v|−α−d ,
Ñ úù [ÓÔÓ 3û º× @û BÛ Ü4?Ü{79Ü)-Z Þ iß
Ãà
|v| → ∞.
[÷ÄëüÓ
ûè#å ìgë#çgë#âLë
ìgæMìgë#ìYä
Â/1<*+=8+9?"%+K+'4=6=8"%)U+CÌI8'458'4=8"4<#58'4:4+=B<=B"%=8+34#78:%/B$G8'4=876O?*pI6/1<: 02' q "40X 1t!O8*/8O8'4)+"OTI858+I8+58l878+=B</BU+=8"%)Up/B78=8'498=8+34E-+Z g!78l878'4=8)< I8+3/B+&Y'4=876O -+Z g!78l878'4=8)$k78:%/B$G8'4=876OE*p"%I8'4-8)5B</BU+=8+9k/B78=8787,*#58' F k(ω) :4$ /BU)<)'iG8'434kI8 J1<*/8O8CD&('4'fK+/BU+S(78=B"%)*+k!+)+=8+*#58'4:4+=B<=B"%=8+34p78:%/B$G8'%F =876OV)$)EN('#I8+3/B+&P<CD)+"O,Q"%=8+*
Þ ý}þ Ú
Ù
$ÿ
-ô
M³1|B{+y1w1xiÛ Pz1{+x+y1z1xh 1xBÝ6{|6ñy1wpz1y1z1z
+
K+/BU+S(7B0X+uV=B<78K+/B'%' I8+I8$ /8O858=8+9f*Y5B<+"%G8'4)<A\02JB'%/B7iI8/B=8+34gI8'458'45B<+"%I858'%F JB'%/B'4=876OEGB<+"%)+),GB<+"%)+)<jI8'458'478:%/B$G8'4=8=8+34#!+)+=B
Ý
∂N (x, t) =γ ∂t
Z
dx0 K(x − x0 ) [N (x0 , t) − N (x, t)] ,
3JB' oi*+'%58O8)=8"%)U\5B<JB7B<l878+=8=8+34(JB'4*++:4K+$N\JB'4=876O#<)0Q
K(x)
K(x) = ub<+"%7B02I8)+)78G8' "%-0q
|x| → ∞
¿ À e−k(ω)|x| k(ω) . 4π|x|2
tsI85878K/B76N('4=8787
K(x) =
Ý
A 4π|x|α+3
7#$5B<*+=8'4=876'gs78K+'45B0Q<=B<F D/BU"%)'498=B<(I85878=87B0Q<'4)\*+76J
∂N (x, t) = γA ∂t
Z
N (x0 , t) − N (x, t) 0 dx , |x0 − x|α+3
!58'4+K+5B<:4*<=878'YÉY$58U+'!I8f-++5JB78=B<)<+0[J1<'4)
3JB'
e (k, t) ∂N e (k, t), = −γA∗ |k|α N ∂t Z∞ A = A (z − sin z)z −α−2 dz ∗
Ý
0
oP=8+*<OiI8"%) O8=8=B<OX6n<-87B0m+K+5B<:40,+$5B<*+=8'4=878'M Z4-8*+78*</B'4=8)=8($5B<*+=8'%F =878C"MJB56+K+=8R 0m/1<I6/1<+"%7B<=80]Ñ `+`%Ò
∂N (x, t) = −γA∗ (−4)α/2 N (x, t). ∂t
¡g/8Oh/B+58'4=8l8+*"%-+9h76/B7p!+9834)+*"%-+9hg+580V"%I8'4-8)5B</BU+=8+9h/B78=8787
Ñ
Þ iß
" é @ç ºÛ ÜP?Ü{79Ü)-Z
íkçgèjë#ìYåËà
hè#åë
α = 1/2
X
LÖ ¨è [ ""
#åâ #å jæDè#ç!ê
gë#ì ûê
jë
Q<+"4"40Q<)5878*<Ok* p!+5B027858+*<=878'("%7B0Q02'4)5878G8=8+9;/B78=8787E78: F /B$G8'4=876Om*;I6/1<: 02'+,Q02R´+)+02'4)76/B7V-6<-m*<Nf=8RH9Tg<-8)+5[*/B76O8=876OV"%)/B-8=8F *+'4=876Oi78:%/B$GB<CD&('434P<)0Q<(" JB58$347B027#<)0Q<+027XuW-6/1<+"4"%78G8' "%-0?I858'%J1"%)<*F /B'4=8787V*+/B=8+*++9ml8$3#Z%/B'4-8)580Q<34=878)=8+34?78:%/B$G8'4=876OW"jGB<+"%)+)+9 qr' "%)'%F ω0 "%)*+'4=8=8+'!$S(7858'4=878'!=8'g$G878)RH*<'4)+"Oj*+*+76JB$i)+34B,6G8)f78:%/B$GB<)'%/BU+=8+'M *+58' 0O
++d
î6.|8|
;°
Þàß $áâ .|
Ù
Q|
Nf78:4=87 ,63JB' of-+Z g!78l878'4=8) L98=8S()'498=B<8,6*+'%/B78-PI8f"%5B<*+=6'4=878C τR = 1/A A "i)78I878G8=8 R 0*+58' 02'4=8' 002'%N\JB$["%)/B-8=8+*+'4=876OB0271tg=8'4I858'458RH*+=8;7B"%I8$+"%-6<'4)+"O <)020JB;)'%AmI8+5,2I8+-
-Ú
ψ1 (t)
µ = 4d2 n
p
πk T /m,
3JB' oh"%58'%JB=8'4'g5B<+"4"%)O8=878'Y02'%N\JB$jl8'4=8)5B<+027k<)02+*\*i0202'4=8)h" )+/8-8=8+*+'%F d =876O, o(-+=8l8'4=8)5B<l876Oh<)02+*B, oP0Q<+"4"4
E(t) = E0 exp(−iω0 t + iϕ(t)), PN (t) 3JB' ,1< oiI8+IB<58=8f=8'4:4<*+7B"%7B02RH'g5B<*+=802'458=8\5B<+"%I858'%F ϕ(t) = j=1 ∆ϕj ∆ϕ JB'%/B'4=8=8RH' * " /B$GB<98=8RHj' *+'%/B78G878=8RgX6LI8'4-8)5i78:%/B$G8'4=876O Fe34Y"%*++K+JB=8F [0, 2π) j 34YI858+K+'43%
Ij (ω, Tj ) ∼ |E(ω)|2 =
=
µ
µ
¯ ¯2 ¯ ¶2 ¯¯ Ztj ¯ E0 ¯ ¯ exp(−iω0 t + iϕj + iωt)dt¯ = ¯ ¯ ¯ 2π ¯ tj−1 ¯
E0 π
¶2
sin2 [(ω − ω0 )Tj /2] . (ω − ω0 )2
!/B=8RH9#"%I8'4-8)5,B"%+:%J1<*<' 02RH9j<)020m: <\*"%'!*+56' 0O#78:%/B$G8'4=876O
I(ω) ∼
*N (τ ) X j=1
+
Ij (ω, Tj ) .
τ
,
úYzBÝ6x+{|6ÝÛB{|
++
uÍ"%)<=6J1<58)=80 I858'%JBI8/BN('4=8787]+K?Z4-6"%I8+=8'4=8l87B</8U+=80 5B<+"%I858'%JB'%/B'%F =8787;78=8)'458*</1
I(ω, τ ) ∼ hN (t)i
∼
µτ (ω − ω0 )2 =
u q
I858'%JBI8/BN('4=8787 7
ψ(t) = ψν (t)
µ
E0 π
¶2 Z∞ 0
E0 π
¶2 ³
0
µτ ´ 1 . 2 (ω − ω0 )2 + µ2
hN (t)i = µtν /Γ(ν + 1) µ
E0 π
¶2
I1 (ω, t)ψ(t)dt ∼
sin2 [(ω − ω0 )t/2]e−µt µdt =
NP'ËøJB58+K+=80
µτ ν Iν (ω, τ ) ∼ 4Γ(ν + 1)
µ
Z∞
I8+5O6J8-'I8$+<+"4"%+=8+*"%-34ÎI858+l8' "4"4< tsI8/B$GB<'40
φν (∆),
φν (∆) =
Z∞ 0
sin2 (∆ · t/2) ψν (t)dt. (∆ · t/2)2
jæMåè#çgæDà\è#ç
g DG t§¡>eK> NB£PUIJG ; >K>BIJQP G $ X x{m ;m ¶ 3M D IJ S`4gIJQP G $ X $ &Y $# & +Z+, 3M D IJ S`4gIJQP G $ X $ &Y $# & +Z+7 ¨IJG IJa`4gk N@ O I DIJG kB N DF' IJjE- E-9 X 9 x{m ;m 7 k F-G HÔbg N3¨IJG IJ`4¨k N DF' IJ«E-3E- X x{m ;m ² ^KLHG t 6t[`4;bg N gIJG IJ$¡P@K> N H;T U eE- & ¦ X y & )-,9) 3;M 'm t GHG{Q N¼KLHG t 6t `4bg N H;T sU e*( z Y $% ÄKLHG t 6t`4^bg N gIJG IJ$¡gK>$ X $wyx n z{% A
`+X
6õ
a6X
X
X
X
X
6õ
8X
6õ
õ
,6
+
+djq ` ++dt X
X
,8+Ï>jq ` ++t X
BX
X
6õ
q ` ++Ït X
>6X
6õ
q ` ++t X
Ï8X
X
X
õ
,Q`>+
õ
õ
4ó
` +++jq ` ++Ït
,D
>>
õ
6õ
X
õ
ö
d8X
,8+Ï+8`\qa++t X
õ
X
%ö~ö %ö~ö
X
@
Ï
dhqa+
t X
6õ
X
8õ
,BaÏ++jq ` ++t X
X
1,
ò%ó+ô
F
+
î6.|8|
^ G IJJFº4 x{m ;m X +ª x w n sz [o ? 3M I U§d`4^bg Ne6 bg -F$ X sz x{m ;m q W·B $³ aÁ) ? ¸4¸ N < 244®*
8X
õ
6õ
X
` 8X `+`+X
ó+ôö ó
X
Bõ ó+ô
6õ ò4õó
8¨ +¬Bª ¨ 1¨§1®© 0Q<)+76-87 ,B>
jqa+>+t X
,
Þàß $áâ Ù
.|
Q|
`fqa++t X õ
õ
,.d#qa+a+t X
gcDK++:458'4=878'[I85878-6/nXD7I8580XM0Q<)'%F
ÂÄÃÆÅ]ÇÄÅ Ì
å+*
iß4Þ
"!$#
,
àÎ&%"'üÌ)( %
¨ç [÷
è#ç jæMìgë
.-0/21434/2506-7398:0:;% - O4<4=4-7<4-;>96?@8A>9=4B06CD8<48 < RFEG:;6D:;H 6 O4<4=4IKJ.1434-;L:;HA8C8 > O4-;M = q.6<46<98 N 1 = tL8C<46T=SED634+ 6 SR67=9:0:U>9-;L96CD8<4¤ 6 qV: N X N RFEPO-050/2QR= N =SC6>9<98 N Ì <98143XDÑ `%Òrt Xs£<98A>9650=4W4<8RX-Y14346+l4-Z:0:%RL4>8O[>96?@8A>9=4B06CD8A<4<8RFEq\C]61434-;L9-;>9-0<4=4= £<@L9-039:;6<9! 8 Ñ aÒrt^C=4O398 l4=46<48 < RFE.:;6D:;H 6 O4<4=4i I q.398?4H6<46 C t<98_W98A>9=.=9:0:U>9-;L96CD8H UM : O`>98 = S(Uaf : d+AMbE 5;6_L96B C X.34= N -0398 N =cHA8?4=@E`C=4O398 l4=4E I O4C8 > O4dH~: Oe?26>4>9-0?@H=@CM <8RX-f5U83 N 6<4=4W4-Z:;?4=4-g?26>9-0OD8<46 = O7:;50/:;H?26C H/234O/Z>9-0<4H<46506 N 850<4=4H<46506`1@68 > O q N 850<4=4H8 < RFERL96 N -0<46 C tK6H<46D:;=4H-;B > U<46.6OQR-0506146>96 NR-0<46 = Oh398C<46C-Z:;6 = OX+Éi398?@M H68 < Rj=450398dHfCD8 N<4/2dk346B > UfC N -;ED8<4=4B N -l6O398B06CD8A<46 = Oa?4/214-0346CD:;?4=@Ea1983`C :;C-03E@14346C6_8 L O4QR=@Em6345;8<4=4W4-Z:;?4=@Eg146>9= N -0398AEf=?2-0348 N =4W4-Z:;?4=@EY:;6-;L9=4<4-0<4 = O@EKJ 8iH_86 ? Nh- C+L934/250=@h E .=4B0=4W4-Z:;?@=@Eg:;=9:;H- N 8AE=m1434+6 l4-Z:0:08Ap E Ñ ÒeX8Éi348?4H68 < RnE28348?@M XQu N -;E28<4=4W@-Z:;?26I N 6_L9-;>9= H-034=4B0/2dH: OW.398?4H6<4<46I7398B N -034<46D:;H Ud df < 2 JoC W4=9:;H6`=4B06H34614<46I :m1434-06O>8AL8<4=4- N :;?28A8 > O434<46I]/21434/2506D:;H= 1 < df < 2 q\=4<4CD834=98<4H<46I 6H<46D:;=4H-;B > U<46C398QR-;<4=41 I t X >96H<46D:; H U#.398?4H6<48 < RFE d <1 :;6D:;H6 O4<@=4IY:;H-014-0<48 < R N 6O398B06 N BZ8C=9:;=4Hh6HlW9f 8:;H6H R¢Ñ
Ò
ρ(ω) ∝ ω ds −1 , 5pL9on:;14-0?@H348A>BU<98OP398B N -034<46D:;HU[8<9:08 N O>8OKJX8]146D:;H6O4<4<98O d = d /σ 61434-;L9s-;>8O4-0H:~fO=4<@L9-0?@:;6 N :UCO4B0<46D:;Hp = .398?4H_8AB > U<46I:;H34/2?4H/238R Ñ qÒe θ
σ
σ = 1 + θ/2. c
uwv0xypz;yHÖU{}|Ayp~__yp|AyFzFw;ypzU;U_w;zU
4_^^_;yp;UzU
àð
î.|B|
a
+á
!|By1wnz zB|
C>96_R-0<4<8RFEgCRL9C/ N -034<46-.14346D:;H398<9:;HC69J J@L4>8O#.398?4HA8A>96CRC 0, 75 . σ . 1, 42 H34-;E N -034<46 N 14346D:;H398<9:;HCX 0, 75 . σ . 2, 23 Éi398?4HA8AB > U8 < RX-mC6B0O/DlL9-0<4=6OcED8398?4H-034=4B0/2dH:O]<4-;>9=4<4-0I4<8R N L9=9:;14-03@M :;=46<48 < R N :;66H<4+6 SR-0<4=@- N :UH-;14-0<4<46506C=@Lh 8 Ñ ÏÒ ω = Λ|k|σ = Λ(k 2 )σ/2 .
(20.1.1)
}6>9-0-R146ZL9346O<46-R1@34-;L:;HA8C>9-0<4=4-h6OiZ0H=@Ea146<6O4H=6O@EaW4=4HA8H-;>BU N 6Zh-0Hg146>9/DM W4=4HU+=4BBZ8 N -0W98H-;>BU<46506 6OB06398PÑ ÒJ?l?26H6346 N /gO<4-06ZL9<46?4398H<46+6O398Qh8A>:~O 1434=<9814=9:08<4=4=jZ0H6I=1434-;LBRFL4/@Qi-0I5p>8CBX
å+* å iß
4÷ Ó ¨ç
êpçYé ´å
[÷
Ãè#ç jæMìgëjë
¨û
"º×
´åäYì égàhÄíkåë
>9-;L9 / Oi6+O RXW48 < R N C ?4CD8<4H6C6I N -;E28<4=4?D-}34-4l4-014H_8 N JA/ N <46_= N qa8X `+X `t <98hC6>9<46C/2d¤./2<4?8l4=4d =143@6=4B0C-;L9- N BZ8 N -0<4/ Ψ(x, t)
u34-0B0/Z>BUAH_8H1463O@L9?28
ω 7→ i∂/∂t,
146>9/2W98- N
k 2 7→ −4.
k 7→ −i∂/∂x,
>9=4<4-0I4<46-
/2398C<4-0<4=4-
j34-;L9=4<450-0398L9346O<46506
∂Ψ = −i−σ Λ(−41 )σ/2 Ψ(x, t). ∂t .346D:;H398<9:;HC-0<4<8RXI N <46_=4H-;>BU C6>9<46C6Ij./2<4?8l4=4= ψ(x) i
(20.2.1)
Ψ(x, t) = ψ(x)eiωt
/ZL96C>9-0HC63O4-0HRL9346O<46 N /g8<98A>9650/m:;HA8l4=46<9834<46506h/2398C<4-0<4=6Oj34-;L9=4<450-0398
u
−(−4)σ/2 ψ(x) = λψ(x),
q
λ ≡ iσ ω/Λ.
Ñ Ò71434=4C-;L9-0<8R1434=4O>9=@h-0<4<8RX-C+RX398Ah-0<4=6OL4>8O t σ
ω|x| . Λ
µ
ω(i|x|)σ ψ(x) ∼ exp − ΛΓ(1 + σ)
=Y8:;= N 14H6H=4?4=
l4-0<4H398A>BU<46IW98:;H=
¶
¶1/2 Λ x−(σ+1)/2 , x → ∞, ωΓ(−σ) 34-4SR-0<4=6OZ0H6506[/2398C<4-0<4=6OX Y-;L4>9-0<4<46-cBZ8H/DE28<4=4-?.398?4H6<4<46ISC6>9<@6C6I ./2<4?8l4=4=n1434= /2?@84B RXCD8-0Hc<98eO6B > U+SR/2dC-0346 O4H<46D:;H Ue6O<9834/D=4H U x → ∞ .398?4H6
µ
P
ïñð å+* sö
BÚ
+ó
gxz1y1x1y1w1xf³.{+w1vy1w4³.znx+{+x+y 1zB|6ñy1w1xPÛB{|By1x+y1z1xpÚØÚØÚ
iß
[ @è "
åsê
^Ò L[ÓÔÓ L [Ù
jë#å jë#ìYå÷ípè#ìYégë#ì í
à\è#çYägë#åë
#å
è#åLí
jë
+
"Õ" LÖ
åè#åë
#ç!ê
gë#ìYå
Låè#ç
+=4<4-0I4<46-mL9346O<46MbL9B = g.-03@-08 < l4=98AB > U<46-/2398C<4-0<4=4; - qa8X a6X `tUJC+RXC-;L9-0<@M <46- =4Bc:;66H<46+SR-0<4=6Oqa8X `+X `tUJF:;14398C-;L4>9=4C6e>9=8S(U7C7H6I N -034-JFC7?26H6346I BZ8C=9:;= N 6D:;H Ud W98:;H6H R 6H¡=4<4H-0<9:U=4C<46D:;H = +348?4H6<4<46IGC6>9<8R N 6_<46 ω 1434-0<4-0O34-08 W UBXj/2C-;>9=4W4-0<4=4- N 8 N 1@>9=4H/ZB L R <4-06OZED6_L9= N 6aCC6ZL9=4H U`:;6M |Ψ(x, t)| 6HC-0H:;HC/2dQR=4-Y14614398C?4 = XLu14-034C6 N 1434=4O>9=@h-0<4=4=¡:;66H<4+ 6 SR-0<4=4m - qa8X `+X `t BZ8 N -06 < O4-0H~: OY:;66H<4+6 SR-0<4=4- N
ω = Λ|k|σ − ζ|Ψ(x, t)|2 ,
ζ > 0,
146?28B4RXCD8dQR= N J0W4H6W98:;H6HA8X?26>9-0OD8<4=4I+/ N -0<8U+Sh8-0H:~OR:
3@6D:;H6 N 8 N 1@>9=4H/_LBRgX ¢66HC-0H:;HC/2dQR=4-sZ0H6Il:;CO4B0=iL9346O<46MbL9=Bg.-034-0<8l4=98A>BU<46-¢/2398C<4-0<4=4-¢= N -0-0H C=@L ∂Ψ(x, t) = −i−σ Λ(−4)σ/2 Ψ(x, t) − ζ|Ψ(x, t)|2 Ψ(x, t). (20.3.1) ∂t ¢65p>98:;<46 L8<4<46I7CVÑ ÒX=4<4H-0341434-0HA8l4=4=KJZ0H6c/2398C<4-0<4=4-f6H398Ah8-0H;O4C>9-0<4=4:08 N 6D:l8H6 = OqV:08 N 6 .6?4/D:;=4346C?41 = tY.398?4H6<4<46506 C6B0O/DlL9-0<46 = OKJo?265L8 ?26>9-;M OD8<4=6O7E C O@L934-Y/D:;=@>9=4CD8dH~: OKJ
8`C`E@C6D:;Hj - oe6D:U>8O-0CD8AdH X.6<4?4/234-0<4H6 N Z0H6M = .3988 ? l46 = OKJ}+C RX4B RXCD8dQh8 O£r_398:;1@B > RXCD8<4=4p - O@L93984s X N /[1434+6 l4-Z:0:;/[+C R:;H/2198-0HcL9B u}?@>9dW4-0<4=4-R8<46 N 8AB > U<46IfH/234O/_>9-0<4H<46IfL9B = g./2B0=4p = .398?4H6<48 < RFEgC6B0O/DlL9-;M <4=4I`L96146>96 < O4-0H/2398C<4-0<4=4p - qa8X 8X `t-0QR-l6_L9<4= N L9346O8 < R N >81@>8:;=98<46 N Jt6HAM C-0H:;HC-0<48 < R N BZP 8 Z0H6Hl1434+6 l4-Z:0: i
i
∂Ψ(x, t) = −i−σ Λ(−4)σ/2 Ψ(x, t) − Kβ (−4)β Ψ(x, t) − ζ|Ψ(x, t)|2 Ψ(x, t), ∂t 0 < β 6 1.
å+* úù iß
¤
[÷*è æ "û [Ù ^Ò è#ìYégë
jë
égà\è
4Ù
"º×
çgë#ç!êpì à\è#çYägë#åë
ç
çgëiíkçDà
/
+8h6D:;<46C-.398B0C=4CD8- No¥ Eg146>96Zh-0<4=4IfL9346O<46MbL9=Bg.-034-0<8l4=98A>9¦<46ImL9=@M <98 N =4?4=E.398?4H6<46Cf8CH63 ¥ Ñ Ò1434-;L:;?28B ¥ CD8dHg=4<4H-034-Z:;< ¥ I`§ g.-0?4H;²¨ g® ±« ¯1® ¨4¯1¬ ¨ B¬B¬k.398?4H6<46C9¨ r ¢/2H¦ § g.-0?4HA8PBZ8?@>9dW98-0H:©kCG:U>9-;L9/2dQR- N ¨Y.-;>9=4<4-0I4<98A©kBZ8C=9:U=@M + D 6 ; : H m ¦ W98:;H6H ¥ .398?4H6<986Hm8 N 1@>9=4H/_L ¥ 1434=4C6ZL9=4Hm?a=4B N -0<4-0<4=4dÌ+8B ¥ 6D:UM N l4=@>4>48 © l4=4Ig6H+©@L9398i?E@C6D:;H/lC6B0O/DlL9-;<4=@©K6 ¨ TH-0W@-0<4=4- N C34- N -0<4=g<98ZW98A>9¦< ¥ -
³ - ¾
àð
î.|B|
+á
!|By1wnz zB|
+8B06C ¥ - <4-06_L9<46346ZL9<46D:;H=<98398:;H_8dH_J9=C?28?26I@MH6 N 6 N -0<4HC34- N -0<4=p.398?@M H6<`r_398:;198AL8-0H:©Ks+<98i6D:%l4=@>4>4©4H63 ¥ J+8B ¥ ?26H63 ¥ ElCiB0<98_W4=4H-;>9¦<46Im:;H-014-;M <4=g14-034- N -0ªR8< ¥ B ¨ ÉR8B06C6-X14-034- N -0ªR=4CD8<4=4-6H398Al8-0H:©m<98iCBZ8= N <46 N 398:;146M >96_R-0<4=4=`:UH3@/@?@H/234< ¥ Ea§;>9- N -0<4H6j C .398?4HA8A>84J9/2W98:;HC/2dQR=@ECg?26>9-0OD8<4=@©@Et¨ .34=h§0H6 N <9834/2ªh8-0H:©h6H<46ªR-0<4=@©h§;>9- N -0<4H6C.?@8?hO>9=@l8I4ªR=@Eh:;6D:;-;L9-0 I A14-;3@M C6<98_W98A>9¦<46gO>9=4B0?4=4-l§;>9- N -0<4H ¥«N 650/2Hf398B06I4H=9:U¦Cf146>9-lC6>9< ¥ Jt8gL8A>9-0?@=4:;O>9=4B0=4H¦D:©KsA¨ 6O398Qh8-0H:© ЬL8A>9-0+ - Rr .34=G:;=@>9¦<46 N 14-034- N -;ªR=4CD8<4=4=«¨ ¨ ¨=4<@L9-0?@: θ C <4/Z>9¦7¨ ¨ ¨ Jo:;<4= N 8dH:©]/D:U>96C=@©KJH34-0O/2dQR=4-m>96?@8A>9=4BZ8 l4=4=eC6B0O/DlL9-0<4=4IKJ= .398?4H6<£6O34-0H_8-0HnL96>9506_lL8<4<4/2d :;C6O6_L9/D ¨ uF6>4<98¡?@8?£O ¥ :;6B;L8-0HP:;-0O<4-0W4H6gC346ZL9-i?2634=@L96398:i-0C?@>9=@L96C6IY:;C©4B0<46D:;H¦dRJ9CL46>9¦m?D6H6346506m6<98lO-Z:UM 1434-01@©4H:;HC-0<4<46+14346_E6_L9=4H+:;?4C6B0¦.:;34-;L9/¨D C>9-0<4=4- N 6_<46.398:0: N 8H34=4CD8H¦.?@8? ²%ÈD§6¨ªBªBÇQp²%®¯1¬BÈP®ªfL4>@©f?26H634650( 6 .398?4HA8A>9¦<46-398:;1434-;L9-;>4-0<4=4-.6?28B ¥ CD8-0HAM :©f14346B0398_W4< ¥N s_¨ ¡+>4©YC6>9<46C ¥ Eg146>9-0IKJ9/:;H6I4W4=4C ¥ E6H<46D:;=4H-;>9¦<@6g:08 N 6D:l8H=@©KJ8CH6M 3 ¥ Ñ ÒKC ¥ C6_L4©4HR/2398C<4-0<4=@©
Kβ (−4)β ψ(x) + ωψ(x) + ζ|ψ(x)|2 ψ(x) = 0, ©4C>4©4dQR-0506D:©gL9346O< ¥N 8<98A>96506 N /2398C<4-0<4=@©#ÂK=4<4B0O/2345;8AMei8A<@L8_/J
(20.4.1)
−K4ψ(x) + ωψ(x) + ζ|ψ(x)|2 ψ(x) = 0. c<4=[8:0:;6+l4=4=434/2dH L9346O< ¥ I7E28398?4H-03T614-0398H6346C`Cc/2398C<4-0<4=@=¤qa4¨
9¨ `tR: ?2650-03@-0<4H< ¥N .63 N =4346CD8<4=4- N <4-;>9=4<4-0I4<46506eC6>9<46C65;6c146>4V © o]<981434= N -03KJ ?26<@L9-;<9:08H<46ITC6>9<46C6T I ./2<48 ? l4=4=T<4=@h-H6W4?4=T14-034-;ED6_L8 Cc:;C-03DE@14346C6_L@©@M QR-0-.:;6D:;H6_©4<4=4D - ol146_LfC>9=@©4<4=4- N L96>9506_L9-0I9:;HC/2dQR=@E?263434-;>48 © l4=4IKJ@C<46D:©4Qi=@E :;/2QR-Z:;HC-0<4<4/2d <4-;>96?@8A>9¦<46D:;H¦hCl146C-;L9-0<4=4-+:;=9:;H- No¥ ?@8j ? l4-;>965069¨
å+*
iß
¨û
ë
"
ç åèjë#ìYåËì \êpç.Äíkåë
4Ø
#åËçgæMì ìYä
i8B0-034< ¥N 6_E2>8AlL9-0<4=4- N =1@>9-0<4-0<4=4- N 8H6 N 6Ch<98B ¥ CD8dHh<46C ¥ IH-;E2M <46>9650=4W4-Z:;?4=4In14346+l4-Z:0:a146>9/2W4-0<4=@©P8H6 N 6C]:aH- N 14-0398H/2398 N =PC]L9=98198B06<4<98<46?2-U>9¦C=4<46? C q\H6a-Z:;H¦a:;6Y:;?26346D:;H0© N =e1463©@L9?@8 NN¢® :4t;J:;/2QR-Z:;HC-0<4<466O6M 5;8H=4CªR=4IfªR=4346?4/2dG6O>8:;H¦h<98<4 6 .=4B0=4W4-Z:;?4=@Eg=9:0:U>9-;L96CD8<4=4Ihom6H:;14-;?4H346M :;?2614=@=f:;C-03E@C ¥ :;6?26506.398B034-0ªR-0<4=@©m=g8H6 N < ¥ EW98:;6C+L96h8H6 N <46Im=4<@H-;B 3 .-;M 346 N -0H34=4=]=]?26<@L4-0<9:08 l4=4T = }6B0-;M ¢I4<4ªRH-0I4<9? 8 Ñ 2 J dÒ2 ¨ uF:U>9-UL:;HC=4-g6O N -0<98= N M 14/Z>9¦D:08 N =¡ = .6H6<98 N =[>8B0-034<46506]=4B;>9/2W4-0<4=@©P=P1434=46O34-0H-0<4=@©¡= N 14/Z>9¦D:;6C 6HZL8ZW4=71434=T:;146<4HA8<4<46 N =4BU>9/2W4-0<4=4=T1434+6 l4-Z:0:m§0C6>9D d l4=4=T8H6 N <46506a= N 14/_>9¦M :08+C ¥ 5p>4©@L9=4Hi?@8?g:U>9/2W98I4<46-O>9/DlL8<4=4-CR= N 14/Z>9¦D:;<46 N 14346D:;H398<9:;HC- ¨ Ð L9-;© <46C6506 N -0H6_L8m6_E2>8AlL9-0<4=@©a:;6D:;H6=4HgCf:;6B;L8<4=@=aCg6?434-Z:;H<46D:;H=a<98_W98A>8?26M 63DL9=4<48Hh= N 14/Z>9¦D:;<46506R14346D:;H398<9:;HCDh 8 q t
<4-0O6>9¦ªR=@E398B N -0346CrZ>96C/2ªiM p=0 ?4=Ks_J?4/ZL8`8H6 No¥&N 650/2H`146198AL8H¦ C`34-0B0/Z>9¦AH_8H-Y:U>9/2W98I@< ¥ E]O>9/DlL8<4=4I7=
s°
ý $á
+â
BÚ ûúg| x+{+y1w1xhw@¯6.|4°h³.x+y1z1xh|Ý6w w1
Dq
6D:;HA8CD8H¦D:©lHA8 N 14346_L96>4=4H-;>9¦<46-C34- N ©K¨8cE2>8AlL9-0<4=4-JE28398?4H-034=4B0/- N 6-C = N 14/Z>9¦D:;<46 N 14346D:;H398<9:;HC-gC6B0398:;HA8<4=4- N ?26<8l4-0<4H398l4=4=T8H6 N 6CaC 6?434-0:;HAM <46D:;H= =f/ N -0<4¦ªR-0<4=4- N -0- BZ8R1434-;L9-;>8 N =f>46C/@ªi?4=KJ2C N 8H- N 8H=4W4-Z:;?D6 N p=0 1@>8<4-F6O/D:U>96C>9-0<46?26<4?4/234-08 < l4=4-;IhL9C/DER1434+6 l4-Z:0:;6B C _= N 14/_>9¦D:;<46IRL9B = g./2B0=4-0I =Y6O398QR-0<4=4- N C<4/_>9¦mC-0346Z©4H<46D:;H=YC ¥ ED6_L8l=@BRH6W4?4= ¨ Ð+:;H634=@©Y?@8AlM . p=0 L965068H6 N 8gE28398?4H-034=4B0/-0H:©`146D:U>9-;L96CD8H-;>9¦<46D:;H¦dkCBZ8= N <46f<4-0BZ8C=9:;= No¥ E :U>9/2W98I4< ¥ EeC-U>9=4W4=4< J±5pL9oc:U>9/2W98I4<98A©e14346_L96>4M T , Θ , T , Θ2 , T3 , Θ3 , ... Θ :U>9/2W98I4<48A© 14346ZL96j>4=4H-;>9¦<46D:;H¦mL9B = g./DM =4H-;>9¦<46D:;H¦ M506g1@>9-0<41-0<4=@1©KJ 2 oY j T B0=4= N -;lL9/ M N = M N 1@>9-0j<@-0<4=4- N J}<98B ¥ CD8- N 8A©TC34- N -0<4- N 344- l@=434?4/_>4©@M j j+1 l4=4=KB ¨ >96H<46D:;H=398:;1434-;L9-;>9-0<4=@©§0H=@EY:U>9/2W98I4< ¥ EfC-;>9=4W4=4<6O6B0<98ZW4= N qT (t) = ¨ qΘ (t) ¢:U>9=W98:;H6HA8h14-034-Z:;?26?28hC6?434-0:;H<46D:;H= C-;L9-0H:;-0OZ©f146lBZ8?26<4/ p=0 µ ¶α p 1 , p < p0 , R(p) ' τ 0 p0 H6 ²
Ú
(Θj > θ) ∼ Aθ −ν , θ → ∞, 5pL9-146?@8BZ8H-;>9¦ :;C©4BZ8
f0 (t) =
Zt 0
[F (t0 ) − F 0 (t0 )]dt0
W4-034-0B398B0<46D:;H¦e:;?D6346D:;H-0IT14-034-;ED6_L96C = J/_L96C>9-0HC63©4dQR=@E7:;=@M F (t) F 0 (t) :;H- N - =4<4H-050398A>9¦< ¥ E/2398C<4-0<4=4; I q\1434=g/:U>96C=4=KJDW4H6RL9C=@R-0<4=4- <98ZW4=4<98-0H:©g: 6D:;C6O6ZlL9-0<4=@©g=4B.>96C/2ªR?41 = t
F (t) = qT (t) +
Zt 0
F 0 (t) = .34=
Zt 0
F 0 (t − t0 )qT (t0 )dt0 ,
F (t − t0 ) qΘ (t0 )dt0 .
N 0- <4=4C+1434-06O398B06CD8<@=4-i81@>8:08 =34-0ªR=4Ci8A>950-0O398=4W4-Z:;?4/2dn:;=9:;H-;M / 4 J 4 1 6 9 > 2 / 4 W = N N qbT (λ) 1 − qbΘ (λ) fb0 (λ) = · . λ 1 − qbT (λ)b qΘ (λ)
àð
î.|B|
+Ï
+á
!|By1wnz zB|
+8?:U>9-;L9/-0Hl=4Bg.=4B0=4W4-Z:;?4=@Ef1@6>96_h-0<4=4I
1 − qbΘ (λ) ∼ Aλα ,
1 − qbT (λ) ∼ Bλβ ,
5pL9¨.uP6O>8:;H= N 8A> ¥ EB0<98_W4-0<4=4I ./2<4?8l4=@© /ZL96C>9-0HC6M 0 < α, β < 1 λ fb0 (λ) 3D©4-0Hl/2398C<4-0<4=4d Aλα fb0 (λ) + Bλβ fb0 (λ) = Aλα−1 . .34= N -0<4=4C6O398H<46- 1434-06O398B06C8<4=4-Mi81@>8:084J2146>9/2W4= N [0
ä
α t
+ b0
ä
o-0ªR-0<4=4-JA146>9/2W4-0<4<46-F:}146
β t ]f0 (t)
N 6QR¦d
1 t−α . Γ(1 − α) N -0H6_L8!./2<4?8l4=4I\ÂK34=4<98 = N -0-0H.C=@L
=
°
f0 (t) = tα−β Eα−β,α+1−β (−btα−β ). ¢H6i34-0ªR-0<4=4-:;65p>8:;/-0H:©:X34-0B0/_>9¦_HA8HA8 N =W4=9:U>9-0<4<46506 N 6_L9-;>9=4346CD8<4=@©:X146M N 6QR¦dG:;=9:;H- No¥ =4<4H-050398A>9¦< ¥ Ef/2398C<4-;<4=4IK¨
å+*
iß³
´µX¶b·F¶¸
,
Õ "Õ"º×
ê#àYìgè#åHâ #åë
¨ç "
ûë#çgë#ì jè
#âLæç!êjêpìYä
¹cº»¼o½»¼±¾À¿YÁKÂ.ÃtÄ Å
aÛ Ü;?Ü{79Ü)-q
+8?n6H N -0W98A>46D:;¦]C KJ >9/634-Z:;Æ4-0<4Æ4=@©[146>9/214346C6_L9<4=4?26C ¥ E <98<46?434=9:;H_8A>4>96C9JA6O>9/2W98- No¥ Ei>8B0-0346 N JA= N -0-0H N -034Æ98H-;>9¦< ¥ IhE28398?4H-0314-;M 34=46_L ¥ =4B;>9/2W4-0<4=@©gÇ MÈ:;6D:;H6_©4<4=@©ÉtW4-034-;L9/2dH:©h: MÈ:;6D:;H6Z©4<4=@© N =KJZC?26H63 ¥ E óÊ <98<46W98:;H=4Æ98h<4-.=4B;>9ó+/2ô W98-0H_¨ ¢?@:;14-034= N -0<4H ¥ 146?@8B ¥ CD8dH_J±W4H6 L4>9=4H-;>9¦<46D:;H=T143@-0O ¥ CD8<4=@©]C`§0H=@E :;6D:;H6_©4<4=@©@E[:U>9/2W98I4< ¥ =¡Ce14-034C6 N 1434=4O>4=@h-0<4=4= N 650/2He398:0: N 8H34=4CD8H¦D:© ?@8?f<4-0BZ8C=9:;= No¥ -.:U>9/2W98I4< ¥ -.C-;>9=4W4=4< ¥ = J4398:;1434-;L9-;>9-0<@M T1 ≡ Ton T0 ≡ Toff < ¥ -+146:;H-014-0<4< ¥N BZ8?26<98 N ²
°
(T1 > t) ≡ Ψ1 (t) ∝ t−α , P (T0 > t) ≡ Ψ0 ∝ t−β , 0 < α, β < 1. £C-0346Z©4H<46D:;H<46IcH6W4?4=eB034-0<4=@© N -034Æ98dQh8A©eË >9/634-Z:;Æ4-0<4Æ4=@© N 6Zh-0H O ¥ H¦h1434-;L:;HA8C>9-0<98RClC=@L9- 146D:U>9-;L96CD8H-;>9¦<46D:;H=g14-034-;E6_L96Ch:;=9:;H- No¥ N -;lL9/ L9C/ N ©]/2?28BZ8<4< ¥N =7:;6D:;H6Z©4<4=@© N =KJ±14346=9:ED6ZL4©4QR= N =]C :U>9/2W98I4< ¥ - N 6 N -0<4H ¥ C34- N -0<4p = Ñ 4J9 Ì Ò+¨ .34= N -03H398-0?4H634=4=mH_8?26506+H=4198+1434=4C-;L9-0<<9g 8
=9:¨@Í 4¨ ÌDÇV8DÉU¨ Îc398 N ?@8AEi§0H6I N 6_L9-;>9=RC 398O6HA8Af E Ñ 4J2 Ì Ò2C ¥ W4=9:U>9-0< ¥ ?263434-;>4©4Æ4=46<4< ¥ -FË./2<4?@M Æ4=4= =a198398 N -0H3 a8<@L9-;>4©K¨^ÎPL9-0I9:;HC=4H-;>9¦<46D:;H=`:;=4H/8Æ4=@©KJ^?D6<4-0W4<469J^:U>96_lM <4-0-J9H- N <4- N -0<@-0- N 6_L9-;>9¦lL9C/DE:;6D:;H6_©4<4=4Ie Ç Æ¬Bª1¨§1ª1¨0Ï g®±« ¯1°2ÉF?28_W4-Z:;HC-0<4<46 1434-;L:;?28B ¥ CD8-0Hh<4-0?26H63 ¥ -+:;HA8H=9:;H=4W4-Z:;?4=4-iBZ8?D6<46 N -034<46D:;H=K¨ }/_L9- N 6H:;W4=4H ¥ CD8H¦À14346ZL96>4=4H-;>9¦<46D:;H¦ÀC34- N -0<4=<98O>9d}L9-0<4=@© t 6H N 6 N -0<4HA8P=4B N -0<4-0<4=@©k:;6D:;H6_©4<4=@©&Ç\14-034-;ED6ZL8DÉa=j398:0: N 8H34=4CD8H¦P14346Æ4-Z:0:
p
L/
-ó +ó $õ
BÚ ÐÒÑg.Û@ÓÔÕ+ ÕÖ × `Ö9Ø9ÖÓÔ×1ÝØ61tÓ1
Ù
t
t
Q(t)
f1 f0
0
1
q 0
1
a)
b)
=9:¨XÍ4¨ ÌÚ¢Û¼¶UÜÝ4¸¼ ¿½»¸pÞÝ4À ߶Uà»·Dáaß»pâã@Ý0ä}åH»æ7çL·Dè¶Z⻸㻾Dã¿¿1Á±é_êg¸·Dè½@Ý;æ¾@Ý4À ¼_â2Ý4p» Þ¼Z ¶ â+¿À!¿ë@ê»»Fì2â»à¸¼ZÝ%¹ ·»¾¿»s¹+Þ¶ ¶ZâAà+¿¾@Ý4¼ZÝ;Ü8Á
Jh398C< ¥ I&:;/ NN 834<46IíL4>9=4H-;>9¦<46D:;H=&=4B;>9/2W4-0<4=@©BZ8£C34- N ©<98O>9dFL9-;M Θ(t) <4=@©eÇr
=9:¨Í4¨ ÌDÇ\îÉÉU¨4Î}C-;L9- N :U>9-UL9/2d Qi=4-+6O6B0<98_W4-0<4=@©KÚ Ì.p = Rïm:;6D:;H6_©4<4=@© = J9:;66HC-0H:;HC-0<4<46 ó+ô óÊ ïC-0346Z©4H<46D:;H¦lH65069J@W4H6<98_W98A>9¦< ¥N 14-034-;E6_L96 N ©4C>4©4-0H:© ε1 0→1 ïC-0346Z©4H<4² 6D:;H¦lH65069J@W4H6<98_W98A>9¦< ¥N 14-034-;E6_L8R©4C>4©4-0H:© ε2 1→0 ïiC-0346Z©4H<46D:;H¦.H65069JW4H6i:;/ NN 834<98A©l14346ZL96>4M p1 (θ|t)dθ = (Θ(t) ∈ dθ) =4H-;>9¦<46D:;H¦g=4B;>9/2W4-0<4=@© BZ8mC34- N © <98O>9dFL9-0<4=@© 1434=4<98AL4>9-;=4Hf=4<4H-034CD8A>4/ t
$C
C
C
C
(θ, θ + dθ) ïh:;34-;L9<4-0- W4=9:U>96R14-034-;E6_L96C =4B B08iC34-;M f1→0 (θ, t)dθdt 1→0 (θ, θ + dθ) © N (t, t + dt) ï:;34-;L9<4-0-¢W@=9:U>9614-;34-;ED6_L96C C=4<4H-034CD8A> f (θ, t)dθdt 0→1 (θ, θ + dθ) BZ8hC34- N 0→1 © J (t, t + dt)
C
Ψn (t) =
Z∞
² ψn (t0 )dt0 = (Tn > t),
n = 0, 1.
t
Ð <4H-050398A>9¦< ¥ -/2398C<4-0<4=@©KJ:;C©4B ¥ CD8dQR=4-fCC-;L9-0<4< ¥ -C ¥ ªR-1@>96H<46M . :;H=KJ4= N 0- dHC=@LÚ
p1 (θ|t) =
Zθ 0
f0→1 (θ − t0 , t − t0 )Ψ1 (t0 )dt0 +
Zt 0
f1→0 (θ, t − t0 )Ψ0 (t0 )dt0 , (20.6.1)
àð.Ø9ÖÓ×+áZ×9Ø
Ùð
î^ØBDØ
f1→0 (θ, t) =
Zθ 0
f0→1 (θ, t) = .34=
f0→1 (θ − t0 , t − t0 )ψ1 (t0 )dt0 + ε0 δ(θ)δ(t),
Zt 0
f1→0 (θ, t − t0 )ψ0 (t0 ) dt0 + ε1 δ(θ)δ(t).
(20.6.2)
(20.6.3)
N -0<4=4ClL9C6I4<@6-.1434-06O398B06CD8A<4=4-Mi81@>8:08
pˆ1 (λ1 |λ) =
146>9/2W98- N
Z∞
dt
0
Zt
dθ e−λt−λ1 θ p1 (θ|t)
0
b 1 (λ + λ1 ) + fb1→0 (λ1 , λ) Ψ b 0 (s), pb1 (λ1 |λ) = fb0→1 (λ1 , λ) Ψ fb1→0 (λ1 , λ) = fb0→1 (λ1 , λ) ψb1 (λ + λ1 ) + ε0 ,
fb0→1 (λ1 , λ) = fb1→0 (λ1 , λ) ψb0 (s) + ε1 . 8B034-0ªh8A©f§;H/g:;=9:;H- N /J91434=@E6_L9= N ?H398<9:0Ë.63 N 8<4H_8 N W98:;H6Hh14-034-;ED6_L46C ε1 ψb1 (λ1 + λ) + ε0 , fb1→0 (λ1 , λ) = 1 − ψb( λ + λ1 )ψb0 (λ)
ε0 ψb0 (λ) + ε1 , 1 − ψb1 (λ + λ1 )ψb0 (λ) = C ¥ 398AR-0<4=4d L4>4©H398<9:;Ë+63 N 8<4H ¥ =9:;?D6 N 6I1@>96H<46D:;H=KÚ fb0→1 (λ1 , λ) =
pb1 (λ1 |λ) =
ε0 ψb0 (λ) + ε1 1 − ψb1 (λ + λ1 ) + λ + λ1 1 − ψb1 (λ + λ1 )ψb0 (λ)
ε1 ψb1 (λ + λ1 ) + ε0 1 − ψb0 (λ) . (20.6.4) λ 1 − ψb1 (λ + λ1 )ψb0 (λ) .6D:U>9-;L9<4-0- C ¥ 398Ah-0<4=4-+: H6W4<46D:;H¦dSL96l6O6B0<98_W4-0<4=4Ig:;6C198AL8-0Hh:.34-0B;/_>9¦AH_8AM H6 N Jt146>9/2W4-0<@< ¥N CEÑ ÒoL4>4©aE28398?4H-034=9:;H=4W@-Z:;?26I`Ë./2<4?4Æ4=4=`1@>46H<@6D:;H=`398:UM 1434-;L9-;>9-0<4=@©¡=4<4H-0<9:;=4C<46D:;H= N 8?4346D:;?D614=4W4-Z:;?26I¡Ë >9/634-Z:;Æ4-0<4Æ4=4=K¨}Ë Î Ñ Ò §0H_8 H398<9:0Ë.63 N 8<4HA8`=9:;146>9¦B0/-0H:©TL4>4©n8:;= N 14H6H=4W4-Z:;?26506]8<98A>9=4BZ8`198398 N -0H398 a8<@L9-;>4©K¨ ¥ JF6O398H=4C7H348<9:0Ë.63 N 8<4H/¡: 146 N 6QR¦dñL9346O<46M/:;H6I4W4=4C ¥ E 398:;1434-;L9-;>9-0<4=4IKJ}146>9/2W4= N C]©4C<46 N C=@L9- C ¥ 398Ah-0<4=4-YL4>4©S:08 N 6IP8:;= N 14H6M H=4W4-Z:;?D6Ia1@>96H<46D:;H=a398:;1434-;L9-;>9-0<4=@© =Y146?@8Ah- N JW4H6m§0HA81@>96H<46D:;H¦ p (θ|t) /ZL96C>9-0HC63D©4-0HRL9346O<46MVL9=9Ë+Ë.-034-0<4Æ4=98A>91¦<46 N //2398C<4-0<4=4dR¨
+
P
-ó +ó $õ
BÚ ÐÒÑg.Û@ÓÔÕ+ ÕÖ × `Ö9Ø9ÖÓÔ×1ÝØ61tÓ1 ´µX¶b·F¶b´
Ù+
ò£½Á
ó
»Áoô0Â.º õSõPÃK½ÃK»öº¼±Ä Å
» ÷]Ã ø ½¼où
»ÃK»º¾ú½Á
öÃûtû^¼
ά398O6H - Ñ Ì_Í Òg1434-;L4>96Zh-0< N -;E28<4=4B NN -034Æ98<4=@©KJR6D:;<46CD8<4< ¥ Ik<98 N 6_L9-;>9= L9=9Ë+Ë./2B0=46<4<46M?D6<4H346>9=434/- No¥ E`§;>9-0?4H346<4< ¥ E]14-03@-;ED6_L96C9J?D6H63 ¥ I]1434=4C6M L9=4H ?71@>96H<46D:;HZ© N 398:;1434-;L9-;>9-;<4=@© M.= M=4<4H-034CD8A>96CaC C=@L9-crZL9346O< ¥ E ó+ô óÊ §0?@:U146<4-0<4H4s4Ú ψ0 (t) = cβ0 tβ−1 Eβ,β (−cβ0 tβ ).
α−1 α ψ1 (t) = cα Eα,α (−cα 1t 1 t ),
.34=
= /§0H=@Eg1@>96H<46D:;H-0If398 1434-;L9-U>9-0<4=@©f= N -0dH:©]r_HZ©@Rü;> ¥ -s ò α<1 β<1 ;: H-014-0<4< ¥ -}E@C6D:;H ¥ ¨.34= = rZL9346O< ¥ -}§0?2:;146<4-0<4H ¥ s 14-034-;ED6_L4©4H C α→1 β→1 6O ¥ W4< ¥ -.§0?@:;146<4-0<4H ¥ ¨9ý8?4= N 6O398B06 N J2=4B N -0<4-0<4=4-iCD:;-0506l6_L9<46506l198398 N -0H398 C.?@8AlL96Ih=4BX1@>96H<46D:;H-0I = 146B0C6>4©4-0H N 6ZL9-;>9=4346CD8H¦.?28?:;H-014-0<@M ψ (t) ψ (t) < ¥ -J4H_8?=§0?2:;146<4-0<4Æ4=98A>9¦< 1 ¥ -.398:;01434-;L9-;>9-0<4=@© M
= M=4<4H-034CD8A>96C9¨ ó+ô óÊ .6_L:;H_8C>4©@©fH398<9:0Ë.63 N 8<4H ¥ i81@>8:08R§0H=@EË./2<4?4Æ4=4IKÚ ψb1 (λ) =
1 α, 1 + (λ/c1 )
ψb0 (λ) =
ClC ¥ 398Ah-0<4=4-ÇbÍ4¨ Ï4¨ Ù2ÉUJ2146>9/2W98- N Ú pb1 (λ1 |λ) =
1 1 + (λ/c0 )
(20.6.5)
β
£ ¤ −β β α−1 α c−α + c0−β λβ−1 + c−α ε1 (λ + λ1 )−1 + ε0 λ−1 1 (λ + λ1 ) 1 c0 λ (λ + λ1 )
+-;34-014=4ªR-
−β β −α −β α α β c−α 1 (λ + λ1 ) + c0 λ + c1 c0 (λ + λ1 ) λ
N 146D:U>9-;L9<4-0-+:;66H<46ªR-0<4=4-.ClC=@L9-Ú
(20.6.6)
α β λβ pb1 (λ1 |λ) + C(λ + λ1 )α pb1 (λ1 |λ) + c−α b1 (λ1 |λ) = 1 (λ + λ1 ) λ p
£ ¤ β α = C(λ + λ1 )α−1 + λβ−1 + c−α ε1 (λ + λ1 )−1 + ε0 λ−1 . 1 λ (λ + λ1 ) L9-Z:;¦ ¨4Î 146>9<@©@©gL9C6I4<46- 6O398H<46- 1434-06O398B06CD8A<4=4-Mi81@>8:08i= C = cβ /cα ¥ /2W4=4H ¥ CD8A©KJ@W40H6 1
ì
1 (2πi)2
Z Γ
1 = 2πi
5pL9-
Z
dλ
Z
Γ0
dλ1 exp(λt + λ1 θ)(λ + λ1 )α pb1 (λ1 |λ) =
dλ exp(λt) exp(−λθ)
þ
Γ
a t
0
ä
α θ
exp(λθ)b p1 (θ|λ) = þ
ïm614-0348H63f:L9C=45;8h1@6C34- N -0<4= <98hC-;>9=4W4=4<4/ Ú t a þ
a t p1 (θ|t)
= p1 (θ|t + a),
−θ t 0
ä
α θ θ þ t p1 (θ|t),
.
àð.Ø9ÖÓ×+áZ×9Ø
Ù9Ì
î^ØBDØ
1434=@ED6ZL9= N ?cL9346O<46MbL9=9Ë+Ë.-034-0<@Æ4=98A>9¦<46 N /Y/2398C<4-0<4=4d«L4>4©e1@>96H<46D:;H=e398:UM 1434-;L9-;>9-0<4=@©Y:;/ NN 834<46IgL4>9=4H-;>9¦<46D:;H= M =4<4H-034CD8A>96C9Ú 0
ä
β t p1 (θ|t)
−θ t 0
+C þ
ä
ó+ô
α θ θþ t
p1 (θ|t) + c−α 1
0
ä
β t
þ
−θ t 0
ä
α θ θþ t
p1 (θ|t) =
¶ −α t−β c−α (t − θ)−β αε0 βε1 t−α 1 θ + δ(θ) − + . = C δ(t − θ) Γ(1 − α) Γ(1 − β) Γ(1 − α)Γ(1 − β) θ t−θ ./D:;H¦R14346Æ@-Z:0: N -034Æ98<@=@©g=4B0/2W98-0H:©g: N 6 N -0<4HA8R14-034-;E6_L8i=4B MoC M óÊ ó+ô :;6D:;H6_©4<4=4-¨ýK65pL8 = ¨QÐ.BfH_8_/2O-0346C6IeH-0634- No¥ :U>9-;L9/-0H_JW4H6 ε1 = 1 ε 0 = 0 C ¥ 398Ah-0<4=@-YÇbÍ 4¨ Ï4¨ ÏDÉ C8:;= N 14H6H=4?2-O6>9¦ªR=@EYC34- N -0<[Ç −1 É = N -0-0H t À c−1 1 , c0 C=@LÚ C(λ + λ1 )α−1 + λβ−1 , C(λ + λ1 )α + λβ .-034-014=4ªR- N 146D:U>9-;L9<4-0-+C ¥ 348Ah-0<4=4-.ClC=@L9-Ú pb1 (λ1 |λ) ∼
µ
C = cβ0 /cα 1.
(20.6.7)
¤ C(λ + λ1 )α + λβ pb1 (λ1 |λ) = C(λ + λ1 )α−1 + λβ−1 . Î ¥ 146>9<@©@©YL9C6I4<46-i6O398H<46-i1434-06O398B06CD8A<4=4-Yi81@>8:084J41434=@ED6_L9= N ? 8:;= N 14H6H=4W4-Z:;?D6 N /[L9346O<46MbL9=9Ë+Ë.-034-0<4Æ4=98A>9¦<46 N /T/2398C<4-0<4=4dÿL4>4©P1@>96H<46M :;H=398:;1434-;L9-;>9-0<4=@©Y:;/ NN 83@<46IfL4>9=4H-;>9¦<46D:;H= M=4<4H-034CD8A>96C9Ú ó+ô £
0
ä
ä
t−α t−β + δ(θ) . Γ(1 − α) Γ(1 − β) (20.6.8) Ð.B0C-Z:;H<46YÇV: N ¨4<981434= N -03?Ñ ÌÌ%Ò\ÉUJ@W4H6C ¥ 398AR-0<4=4-
β t p1 (θ|t)
+C þ
−θ t 0
α +θ θþ t
p1 (θ|t) = C δ(t − θ)
λβ−1 β Cλα 1 +λ ©4C>4©4-0H:©gL9C6I4< ¥ N 1434-06O398B06CD8A<4=4- N i81@>8:08RË./2<4?4Æ4=4=KÚ ³ ´ (Ctβ )−1/α q+ θ(Ctβ )−1/α ; α, β ,
5pL9ïYL9346O<46M/D:UH6I@W4=4CD8A© 1@>96H<46D:;H¦9JKC ¥ 398Ah8dQh8A©9:© W4-034-0B6_L4M q (t; α, β) <46D:;H6+346<4<4=4-./D:;H6I4W4=4C ¥ -.1@>96H<46D:;H= = Ú g+ (t; α) g+ (t; β) q+ (t; α, β) =
Z∞
dτ g+ (τ ; β)g+ (tτ −β/α ; α) τ β/α .
0
+8AED6ZL4©g634=450=4<98A>YH398<9:;Ë+63
N 8<4H ¥
ÇbÍ4¨ Ï4¨ É
³ ´ p(θ|t) = [C(t − θ)β ]−1/α q+ θ[C(t − θ)β ]−1/α ; α, β
-ó +ó $õ
BÚ ÐÒÑg.Û@ÓÔÕ+ ÕÖ × `Ö9Ø9ÖÓÔ×1ÝØ61tÓ1
Ù9ÌÌ
=9:A¨^Í4¨ Í@Ú4Û±â2Ý%¹ ¾»¾¿»H¸Fâ»è4·Dá4¼ZÝ4¼ZÝ0ß¿h߶Uà»·¿2â¶4¹AÝ%¾¿ÀRß»¼¶Uà¶ZßP¶4¾¼»Ý0â+·¶+Á
³ ´ +(C −1 θα )−1/β q+ (t − θ)(C −1 θα )−1/β ; β, α .
(20.6.9)
=R/2W4=4H ¥ CD8A©R:;66H<46ªR-0<4=4-L4>4©hË./2<4?4Æ4=4IiL9346O<46M/D:;H6I4W4=4C ¥ E 398:;1434-;L9-;>9-0<4=4I
14-034-014=4ªR- N
³ ´ ³ ´ Q+ ξ(Cτ β )−1/α ; α, β = 1 − Q+ τ (C −1 ξ α )−1/β ; β, α ,
ÇbÍ4¨ Ï4¨ DÉ
ClC=@L9-Ú
¸ ³ ´ α (t − θ) (Cθα )−1/β q+ (t − θ)(Cθ α )−1/β ; β, α . (20.6.10) p1 (θ|t) = 1 + β θ ·
¢398C<4-0<4=4-34-0ªR-0<4=@© ÇbÍ4¨ Ï4¨ Ì DÉR:f34-0B0/Z>9¦AHA8HA8 N = N 6ZL9-;>9=4346CD8<4=@©T14346M Æ4-Z:0:08 N -0H6_L46 N Y6<@H-UM+83@>969J1434-;L:;H_8C>9-0<4<46-<98!
=9:¨2Í4¨ Í@J146?28B ¥ CD8-0H E6M 346ªR-0-+:;65>8:;=4-¨
àð.Ø9ÖÓ×+áZ×9Ø
Ù9Ì_Í
î^ØBDØ
jæMåè#çgæDà\è#ç
'/ 4 6°
>9-0?4H346< ¥ =Ë.6<46< ¥ ¨2ïWe¨ Ú JtÌ DÍ@¨ Í@¨^`6UIJ DJLOPSL X ¨$ &Y ¨9)-,+qKJtÌ0Ù DÍmÇwÌ DqðDÉU¨ 4¨R [»k=> N= k249¸ ) ¶ o J4ð fÇbÍ Ù2ÉU¨ Ù9¨^`@ $¡3`4BIJQ@ G $ X ¨ &Y ¨$# & ¨ A$ZKJtÌ DÍfÇwÌ ð ÉU¨ q@¨SKLHG t 6t`4bg Ng DF' IJ>E-gE- X ¨$ &Y ¨ ²+K² JtÌ Ù2q DqmÇbÍ DÍÉU¨ 4¨k §U ¡U ; WRg X N + §F$TPu3 N @ T U S40 &Y ¨ | -% ¨ X ¨²+²KJ ð4ÌÇwÌ Ù2ÉU¨ 2¨;: ¨ Ú iU=4³ B>N À38HZ>9\=4H_ J^¢Í -;>9-04?4¨ H=4C<98A©n:;14-0?4H346D:;?2614=@©[6_L9=4<46W4< ¥ E N 6>9-0?4/Z>¨
ï e ð4¨^
S N¨
¼ S NS2 "24 NS¨ Ú . i=4 B $8¿ HZ>9=4H_J^Í Dq@¨.3 ¢HA8H=9:;H=4?@8 +-0C=g=f>8B0-034<46-.6ZE2>8AlL9-0<4=4-¨2ïWe N 4¨4E0F-'c V g Ng §U B£P Nr+HG T IJ¡k4$9 ¨+ªX & ¨ X sz ?$Z o JtÌZð4ÌÇbÍ DÍÉU¨ Ì 4¨^K> V0G He NB §U g£P+9 ¨+ªX & ¨ X ¨) ?) JtÌ_q fÇbÍ Ù2ÉU¨ Į̀W·B $³ "¸9¸ ) ¶$K7 J4ðÙ mÇbÍ DÉU¨ Ì_Í@¨ºR 'V>E- N@K> JF'k4B`4 @X & Un mx ªX & z mxB X sz ) ?$K7 J DqAÙ Ù ÇbÍ DqÉU¨ ̨R¨ Y¨ª hÅ
BÐ!
6õ
«¯.«%ªBÇQ
p¬¯1®©¨ªB®©
+Ï
8ÓMÉ(
8õ
%ö~ö
++
+
6õ
Ï
²¨± ° +® 1É
H
H¨ §.± ¦
H¦ P®
pó
g²1«
(® ª .É
B¨ªBª8¦±4Ŭ +
+
Ï+Ï
8õ
BÓMÉ(
6
H
+
6õ ò4õ
+
6õ
++
8¨ +¬Bª
+
+
ó
++ ô
ó
ò
8õ ò4õ
6
ÂÄÃÆÅ]ÇÄÅ È
å
Ï
!
fÞYß4Þ
!$#
àÎ&%"'üÌ %
3é 4Ø Ø LÖ èjà
S×
3ç
jë#ì çYâ}øæçYégë#ç âLæDèjà
ìíkåsê
LÖ
çgëiíkåsê
jæDà\è#ç
Yégè#ìgæç
+8?261@>9-0<4< ¥ -?i<98:;H6_©4QR- N / C34- N -;<4=iOD8B ¥ L8<4< ¥ E+8:;H346<46 N =4W4-Z:;?4=@E <98O>9dFL4-0<4=4IG398:;1434-;L9-;>9-0<4=@©GC=@L9= N 6I N 8H-034=4=£C6nÎF:;-;>9-0<4<46I£:;6D:;34-;L96H6M W4-0< ¥ C 6OB06398AEtJ±:;6_L9-03l8QR=@Ee398B0<466O398B;<4/2d&=@<9Ë.63 N 8Æ4=4d6 N =@>4>9=46<98AE = N =@>4>9=46<98AE`?26D: N =4W4-Z:;?4=@E`6 O K-0?4H6C9Út12>8<4-0HAJKB0C-0B;LJK5U8A>8?4H=4?KJ±:;?D61@>9-0<4=4I 5;8A>98?4H=4?KJ±:;?261@>9-0<4=4I]:;?D61@>9-0<4=4Ie5;8A>8?4H=4? 6 O K-0?@H6CY:;1@-0Æ4=98A>9¦< ¥ E`H=4146C9Ú ?4CD8BZ8346C4J¢14/Z>9¦D:08346C9J¢398AL9=465;8A>8?4H=4?n=¡L93K ¨ ¢H3465067506C63©KJ}:;6C34- N -0<4<98A© ?26D: N 6>9650=@©`Ç\<98Z/2?@8R6RC6B0<4=4?4<46C-0<4=4=m=g§0C6>9dÆ4=4=fÎF:;-;>9-0<4<46IÉL96>4<98R614=@M 398H¦D:©i<98CD:;d7§0H/+=4<9Ë.63 N 8Æ4=4dRJ_6_L9<98?D6§0H6 1434-;L:;HA8C>4©4-0H:©h:;-0506ZL9<@©R<4-0C6B;M N 6_< ¥N J4?@8?f<4-0C6B N 6_R-0
9C
UÝ
³
+¾
ξ(r) = (r/r0 )−γ , 5pL9= ï ! !#"%$@Ï '&')('(#*0Ï,+-$.&'(.*A¨QÐ.B0C-Z:;H<46`HA8?@h-JW4H6 γ = 1.77 ± 0.04 r :;?261@>9-0<4=@©f5U8A>8?4H=4?cÇ\?@>80 :;H-03 ¥ É¢=:;?D61@>9-0<4=@©:;?D61@>9-0<4=4IcÇV:;/214-034?@>8:;H-03 ¥ ÉUJ
-â
Ó×+áZ×9Ø
Ù9Ì0Ù
î0/^Ø'1DØ Ù32 . Ó 4
398:0: N 8H34=4CD8- No¥ -h?28?`H6W4-0W4< ¥ -l6O K-0?4H ¥ J^146>96_R-0<4=@©`?26H63 ¥ Ea61434-;L9-;>4©@M dH:©T?2663L9=4<98HA8 N =TÆ4-0<4H346C N 8:0:JoED8398?4H-034=4B0/2dH:©T?263434-;>@©4Æ4=@© N =[H6506 h-R:08 N 6506:;H-014-0<4<46506mH=41984¨5
>9-;L9/2dQR=4-i6D:;6O-0<4<46D:;H=fL8dH146C6_LL4>4©Y146M =9:;?@8<46C6Ih?D6<4Æ4-014Æ4=4=KJ8A>9¦_H-034<98H=4C<46Ih?@>8:0:;=4W4-Z:;?D6IÇV:;65p>8:;<46 146D:U>9-;L9<@-0I :}/ N -0<4¦ªR-0<4=4- N N 8:;ªRH_8OD84J_H6.-Z:;H¦9J:}/2C-;>9=4W4-0<4=4- N 5>9/2O=4< ¥ 6OB063984JZ398:;1434-;M L9-;>9-0<4=4-+C=@L9= N 6I N 8H-034=4=C ¥ 5p>4©@L9=4HlCD:;-.O6>9-0- 6_L9<46346_L9< ¥N ÉU¨ Ì# ¨ 6+>4©`5;8A>8?4H=4? 6?@8B ¥ CD8-0H:© 398C< ¥N Y19:JKH65pL8g?@8? L4>4© r0 5h−1 ?@>8:;H-0346C Y 9 1
: R = 0 B 9 < _ 8 4 W 4 = H ; 9 > ¦ 4 < 6 O 6 9 > ¦ R ª 4 L 4 > h © ; : /214-034?@>8:;H-0346C9¨ ¢H6 r ' 25h−1 6BZ8AL8_W4=@CD8-0H40Út?@>8:;H-03 ¥ 1434-;L:;HA8C>4©4dH:©eO6>9-0-l?263434-;>9=4346CD8<4< ¥N =c:;H34/2?@M H/2398 N =KJ^W4- N 5;8A>8?4H=4?4=tJ^=4Bh?D6H63 ¥ Ea6<4= :;6D:;H6_©48 H 7'6i34/250= N =`:U>96CD8 N =KJ398:UM 1434-;L9-;>9-0<4=4-i5U8A>8?4H=4? N 6Z<46m6Z=@L8H¦O>9=4B0?4= N ?Y6ZL9<46346_L9<46 N /m<98l398:0:;H6M ©4<4=@©@E :Ì 9AMÌ_q −1 19:J@H65pL8R?@8?g?@>8:;H-03 ¥ =:;/214-034?@>8:;H-03 ¥ <98O>9dFL8dH:© h <98l:;/2QR-Z:;HC-0<4<46lO6>9¦ªR=@Em398:0:;H6_©4<@=@©@E E Ñ ÌJ9Í Ò¨ Í@ ¨ ;.63434-;>4©4Æ4=46<4<98A©aL4>9=4<98C6B0398:;H_8-0H:h398B N -0346 N C ¥ O634?4=TÇ\5p>9/2O=@M <46If6OB06398D É Ñ 4J4Ù Ò¨ 4= ¨
°
9
¨1 / ³ ³ '/
$ J³
/
/
³ ³ 1 '1/ $N v/ ú/ 1$ J³ DN Jú³ / kN"1 ³1 + J³ P ³
U³ Ny³
hN (R)i = (4/3)πρR3 .
ì
8 N -0H= N JW4H6iC.§0H6 N :U>9/2W98-X<4-X= N -0-0H+B0<98ZW4-0<4=@©KJ146 N -0Qh8-0H:©R>9=Æ4-;<4H3m:0Ë.-;M 3 ¥ J¢C]?26H6346I[14346=4B0C6_L9=4H:©n1@6_L:;W4-0H_J}Ce>9dO/2dÿH6W4?4/ N <46_R-Z:;HCD8e=@>9=¡C >9dO/2d L934/250/2d H6W4?4/g14346D:;H398<9:;HCD84¨ e <98A>9=4BF14346Æ4-;L9/23 ¥ =4B N -034-0<4=@©h5p>96OD8A>9¦<46Ii1@>96H<46D:;H= N 8:0: ¥ ÎF:;-;>9-0<@M <46I`1434=4C-;m > ¨ a8<@L9-;>9¦O346HA8g?`L934/2506 N /a61434-;L9-;>9-0<4=4dË.398?4HA8A>9¦<46I 398B;M
9
$ô +â -ÿ
õ
â
Ù Ú Ùf2 ÔÛ ÖÓ Ø84 (ÝØ'g2Ö9Ø h4Ý@ÔÛ9BÝÛ9Ô_Øi
Ó0j^Õ /ñKkYØ9Ö'j^Õ /ñMg2ÔÓBÝØ
Ù9Ì_q
¨ l<14=4ªR-0HRCR5p>98C-l r ¢/2QR-Z:;HC/-0H+>9=g5>96OD8A>9¦<98A©l1@>96H<46D:;H¦ N 8H-;M N -034<46D:;H=K' 34=4=.ms_J4?@8:08dQR-0I9:©g398:;1434-;L9-;>9-0<4=@©5U8A>8?4H=4?C6ÎF:;-;>9-0<4<46IKÚ r n.H6O ¥ 6143@-;L9-;>9=4H¦.=R=4B N -034=4H¦.1@>96H<46D:;H¦9J_<98_W4=4<98dH : N 8:0: ¥ M (R) Cg:0Ë.-034-R398AL9=4/D:08 JÆ4-0<4H3 ?D6H6346Ia146 N -0QR-0
ì
ì
M (R)/[(4/3)πR3 ]. .6D:U>9-¢§0H6506C-;>9=4W4=4<4/ /D:;H34- N >4©4dH ?RO-Z:;?26<4-0W4<46D:;H=KJZ=R5p>96OD8A>9¦<4/2d]1@>96HAM R <46D:;H¦61434-;L9-;>4©4dHm?28?Y1434-;L9-;>J9?Y?26H6346 N /f:ED6ZL9=4H:©Y1434=4O>9=@R-0<4<98A©Y1@>96HAM <46D:;H¦9¨ .69JoL9-0I9:;HC=4H-;>9¦<46c>9=[5p>96OD8A>9¦<98A©71@>96H<46D:;H¦`L96>4<98e:E6_L9=4H¦D:©T? 146>96Z=4H-;>9¦<46 N /c=@>9=7?D6<4-0W4<46 N /c1434-;L9-;>98 / m ¢:U>9=7H_8?KJoH6`:;?26346D:;H¦ :E6_L9=@M ¨ 6R8A>9-0-J±6Æ4-0<4?4=]1434-;L9-;>9¦<46I]1@>96H<46D:;H= N 6D:;H=76D:;H_8C>4©4-0HYh-;>8H¦a>9/2W4ªR-05069 C-;L9/2HR:;-0OZ©mC-Z:;¦ N 8+:;H398<4<469M ¨ .6 N -034- /2C-;>9=4W4-0<4=@©m5>9/2O=4< ¥¡N =43984JL96D:;H/214<46M 506.H-;>4-Z:;?26198 N JA1434=4O>9=@h-0<4<98A©h1@>96H<46D:;H¦./ N -0<4¦ªh8-0H:©R/_L9=4C=4H-;>9¦<46.:;=9:;H-;M ¨ ¢65>8:;<46hL9-iÎF8?4/_>9-034/ ÇV: N d ¨ o ÌÌ p\ÉUJ46<98 N -0<@©4-0H:©Y14346M N 8H=4W4-Z:;?4= N 6O398B06 N . ¨ + 8 O 9 > F d L 8 I 4 1 6 2 ? 8 Z B 8 H ; 9 > ¦ <46506 N -0<4¦ªR-JDW4- N 4J28 14634Æ4=46<98A>9¦<46 o N ¥ RD−3 DN <98=@>9/2W4ªh8A©h6Æ4-0<4?@8.<98.6D:;<46C-F?D6D:;C-0<4< ¥ Eh<98O>4dFL9-0<4=4I:;6D:;HA8C>4©4-0H ¨ D = 1.23 ýK-0B0=9:lL9-mÎF8?4/Z>9-0398fBZ8?@>9dW98-0H:©cCH6 N JKW4H6a146C-UL9-0<4=4-1434=4O>9=2h-0<@M <46IY1@>96H<46D:;H=a6H398Ah8-0H34-Z8A>9¦<46D:;H¦9J96B;<98_W98dQR/2dRJ4W4H6 ¨ ¢H_8 M (R) ∝ RD Ë.63 N /Z>8m<98146 N =4<98-0Hm?@>8:0:;=4W4-Z:;?4=4I 34-0B0/Z>9¦AH_8H_J^Cg?26H6346 N ªh83a398AL9=4/D:08 R Cf-0C?@>9=@L96C6 N 14346D:;H398<9:;HC-h398B N -034<46D:;H= = -0-0H6 O K- N ¨KÎ 5p>8CC - q d N ∝ Rd I ;.6ZE284J:X6D:;<46C< ¥N 6HZ>9=4W@=4- N No¥ CD:;H34-0H=@>9=mH_8?4/2dnh-Ë.63 N /Z>9/iL4>4©?434=4C6r J¢8 CcH6 N J
W4H6c146?@8BZ8H-;>9¦ ©4C>4©4-0H:©T<4-Y-0C?@>9=@L96C6I7398B N -034<46D:;H¦d E = 2 L9346O<46I`Ë.398?4H_8A>9¦<46I 398B N -034<46D:;H¦d ¨ e C5p>8C-lðgC ¥ C6_L9=@>8:;¦gB08C=9:;=@M D N 6D:;H¦ M (R) ∝ RD L4>4©`?28<4H6346CD:;?26Ia1 ¥ >9=`<98gC34- N -0<4<46I 6D:;=TÇ L4>4©`?26H6M 346I ÉU¨ d=1 ÎF:;-§0H=]Ë+8?4H ¥ <98C6_L4©4H<98 No¥ :U>9¦9JW4H6Y146?@8B08H-U>9¦fL9-gÎF8?4/Z>9-0398 D ©4C>4©4-0H:©YË.398?4HA8A>9¦<46Ig398B N -034<46D:;H¦dRK s o 4J9:;H3K¨9ðD)q p¨ s N -0<4<46cË+348?4HA8A>9¦<98A©7?D6<4Æ4-014Æ4=@©T146B0C6>4©4-0H 1434= N =434=4H¦e<98O>9dFL98-;M N 6-}<4-0398C<46 N -034<46- Ç\=4B06H34614<46MÈ:;H-014-0<4<46-}6H<46D:;=4H-;>9¦<46 <98ªR-0IR5;8A>8?4H=4?4=É 398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-.L934/250=@Ef5;8A>8?4H=4?Y:+?D6D: N 6>9650=4W4-Z:;?4= N 1434=4<4Æ4=4146 N J:;65p>8:;<46 ?26H6346 N /]ÎF:;-;>9-0<4<98A©]L96>4<98 C ¥ 5>4©@L9-0H¦`6_L9=4<98?D6C6 C6 CD:;-;E]:;C©4BZ8<4< ¥ E]: <4-0IT:;=9:;H- N 8AE76H:;W4-0H_t 8 o Ì_)Í p¨ ¢H6cB0<98ZW4=4H_JW4H6c14-034- N -0<4=4CcH6W4?4/JoCB;©4H/@dC ?@8ZW4-Z:;HC-m<98ZW98A>8?2663L9=4<98HAJ No¥ L96>@< ¥ C<46C¦Y146>9/2W4=4H¦Y=4B06H34614<46-m6HAM <46D:;=4H-;>9¦<46g<46C6506<98_W98A>8?2663DL9=4<98Hm398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-h:R1@>96H<46D:;H¦djW4=9:U>8 6?434/Dl8dQR=2Ef-0-i5;8A>8?4H=4?KJ4/2O ¥ CD8dQR-0If6H<46D:;=4H-;>9¦<46<4-0-i146H6 N /gh-i:;H-;M 14-0<4<46 N /+BZ8?26<4/¨_Î}6B N 6_<46>9=R§0HM 6 mH.-0H_J_-Z:U>9=R34-0W4¦ =@L9-0H 6r_BZ8:;H ¥ CªR- N sL9-UM H-03 N =4<4=4346CD8<4<46 N 398:;1434-;L9-;>4-0<4=4=KÚZÆ4-0<4H3i:;= NN -0H34=4=R6D:;HA8<4-;HD:©+<98X1434-;<4- N ¨ 6R84J-Z:U>9=`146ZL`1@>96HAM N -Z:;H-Jt<4-l:;6C198AL8dQR= N :R<46C ¥N <98_W98A>96 N ?2663DL9=4<98H_. <46D:;H¦dk146<4= N 8Hh ¦ I%!#"D+:('YuYSM$.)BG(' IBG]J^H6-Z:;H¦9Jt1@>96H<46D:;H¦9J^/D:;34-;L9<4-0<4<4/2d 146 :;HA8H=9:;H=4W4-Z:;?D6 N /]8<9:08 N O>9díHA8?4=@Ee398:;1434-;L9-;>9-0<@=4IKJo8Y?26D: N 6>9650=4W4-Z:;?4=4I
"Ú
9°
°
-â
Ó×+áZ×9Ø
Ù9Ì:q
î0/^Ø'1DØ Ù32 . Ó 4
1434=4<4Æ4=417BZ8 N -0<4=4H¦`-0506`:U>8O6I]Ë.63 N 6IKÚ±/D:;34-;L9<4-0<4<46-gHA8?4= N 6O398B06 N 398:UM 1434-;L9-;>9-0<4=4-C-0QR-Z:;HCD8.C6+ÎF:;-;>9-0<4<46IlL96>4<46+C ¥ 5p>4©@L9-0H¦+6_L9=4<98?D6C6.C+>9dO6I :;=9:;H- N -F?2663DL9=4<98H_J_Æ4-0<4H3l?26H6346Ih:;6C198AL8-0H:}6_L9<46IR=4BF5;8A>98?4H=4?K¨Î}C-;L9-0<@M < ¥ ( I ¨ a8<@L9-;>9¦O346H6 N JZ:p>8O ¥ I+?26D: N 6>9650=4W4-Z:;?4=4I+1434=4<4Æ4=4 1 o ð p2C6D:;:;HA8<46C=@> Ç\C 650398<4=4W4-0<4<46 N C=@L9-_É+=@L9-0d398C<4614398C=@©c398B;>9=4W4< ¥ E]:;=9:;H- N ?2663DL9=4<98H Æ4-0<46In<9834/2ªR-0<4=@©n§0?@C=4CD8A>9-0<4H<46D:;H=n14/D:;H ¥ E[=nBZ8<@©4H ¥ E[C-0QR-Z:;HC6 N H6W4-0? ÎF:;-;>9-0<4<46IgÇ\BZ8 N -0H= N JAW4H6C :U>9/2W98-
398C<46 N -034<4650614/8:0:;6<46CD:;?26506X398:;1434-;L9-;M >9-0<4=@©m§0HA8i§0?4C=4CD8A>9-0<4H<46D:;H¦iC6D:0:;HA8<98C>9=4CD8A-0H:©=g:U>8O ¥ I?26D: N 6>9650=4W4-Z:;?4=4I 1434=4<4Æ4=41Y:;6C198AL8-0Hl: -0506l6O ¥ W4<46IfË+63 N 6IÉU¨ 6+>4© N 6_L9-;>9=4346CD8<4=@© Ë.398?4HA8A>9¦< ¥ EY398:;1434-;L9-;>9-0<4=4E I ¨ a8<@L9-;>9¦O346H =9:;146>9¦B06CD8_> N 6_L9-;>9¦ O>9/DlL8<4=4I«:n8:;= N 14H6H=4W4-Z:;?4=í:;H-014-0<4<46I«14-034-;E6_L4M <46IS1@>96H<46D:;H¦d = 146>9/2W4=@>G?@8ZW4-Z:;HC-0<4<46-e:;65p>8:;=4-c:c<98O>9dFL8H-;>9¦< ¥N = L8<4< ¥N =K¨ r Y6_© N 6_L9-;>9¦R398:;1434-;L9-;>9-0<4=2©g5;8A>8?4H=4?mC6D:;14346=4B0C6ZL9=4H+>9dO/2d¡h-;>8AM - N /2díË.398?4H_8A>9¦<4/2dk398B N -034<46D:;H¦ =9:;146>9¦B0/©a1 ¥ >9¦9J^HA¨ -¨ J N <46_h-Z:;HC6 D<2 ¨ 6+>4©gL96D:;H=@R-0<4=@©§0H6IfÆ4-;>9=g© M H6W4-0?fH6146>9650=4W4-Z:;?26Ig398B N -034<46D:;H= D =0 =9:;146>9¦B0/2dn:U>9/2W98I4<46-FO>9/DlL8<4=4-J1434=lT?26H6346 N N 8H- N 8H=4W4-Z:;?26-X6_=@L8<4=4O-Z:;?26<4-0W4<469J146D:;?D6>9¦?4/ MF50=414-034O6>9=4W4-Z:;?@8A© :U² >9/2W98I4<98A©aC-;M hU 2 i U (= |∆X|) >9=4W4=4<984JD:6² O34-0BZ8<4=@- N 1434= ¨Dý±8?4= N 6O398B06 N JAL4>4© J J u=1 u ≤ 1 (U > u) = 1 1434= @ J 4 L 4 > © ¨ u > 1 (U > u) ∝ u−D 0
°
å å fÞYß
SÛ Ü o ÜHA ì
"ç
æHçgæ #âLæ
3û ç 4Ø
fçýäÄà
fì
ê#à\á#å
;+8HA8A>9650= 5;8A>8?4H=4?G=j:;?261@>9-0<4=4IG5;8A>8?4H=4?j:;6ZL9-03Dh8H¡C ¥ O634?4= =4B 1434=4O>9=@R-0<4<46h?D6<4=4W4-Z:;?4=@Em6O K- N 6Ci:6H<46D:;=4H-;>9¦<46RªR=4346?4= N =m/25p>8 N =m398:UM ?43 ¥ H=@©KJ0L96 ¨ ¢/2QR-Z:;HC/2dH_JZ6_L9<98?D69J;L934/250=4-
<98O63 ¥ L8<4< ¥ EKJ06H<46D:©4QR=4-Z:© 90◦ ?R6W4-0<4¦ /2B0?4= N H-;>9-Z:;< ¥N /25>8 N JA6?D6>96 ◦ P¨ .6§0H= N L8<4< ¥N J:¢14614398C?26Ii<98 1 ?26<4=4W@-Z:;?4/2d¡50-06 N -0H34=4dRJ N 6_<46+=9:0:U>9-;L96CD8H¦.146C-;L9-;<4=4-F>96?@8A>9¦<46Ih1@>96H<46M :;H=mCL96>9¦i6W4-0<4¦iH6<4?4=@E=L4>9=4<4< ¥ EÆ4=@>9=4<@L9346C9JD146>9/2W4=@H¦iHA8?m<98B ¥ CD8- No¥ $.L 8"DN Q="U)X !.Q£yÇ x _ÉU¨ n.=9:U>9-0<4< ¥ - §0?@:;14-034= N -0<4H ¥ :=9:;146>9¦B06CD8<4=4- N 614=9:08<4<@6IgC ¥ ªR- N -0H6M L9=4?4=m146D:;H346-0<4=@©mH6W4-0W4< ¥ E398:;1434-;L4-;>9-0<4=4IgË.398?4HA8A>9¦<46506+H=419r 8 o Ì p1434=4C-;M
U
IJ6JHGgT I DF- DtIJ¡
$á +â
Ù Ú {zÝDØÝ@×.4Ý@×9Ø|1hÛ Z4Ó }/.ÛBÜÕ
Ù9Ì >
>9=e?]:U>9-;L9/2dQR= N C ¥ C6_L8 N Jt146_L9HC-03DlL9-0<4< ¥N O6>9-0-146B;L9<4= N =e=9:0:U>9-;L96CD8AM H-;>4© N = o Ì0Ù9JtÌ_)q pÚ 6HR6_L9<46Ig5U8A>8?4H=4?4=gL96 Ç wÉ¢398:;1434-;L9-;>9-0<4=@-+:U>9/2W98I4<46506R398:0:;H6Z©4<4=@© R O>9=@h8I4ªR-0Ih?l<4-0IhC L8<4<46 N >9/2W4-iÇ\/2B0?D6 N Æ4=@>9=4<@L934-_ÉE28398?4H-034=4B0/-0H:©RL4>9=4<@M < ¥N E@C6D:;H6 N :;H-014-;<4<46506H=4198 ²
ú
(R > t) ∼ Ct−ω ,
0<ω<1
DC
:g146?28BZ8H-;>9- N JoBZ8C=9:©4QR= N 6H`Ë.398?4H_8A>9¦<46I]398B N -034<46D:;H=7398:UM ω = ω(D) 1434-;L9-;>9-0<4=@©5U8A>8?4H=4?Cl14346D:;H398<9:;HCÇa~
=9:¨^Í@̨ Ì_É D=α Ç ÈÉh398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-gL4>9=4< ¥ :U>9-;L9/2dQR-0506 =4<4H-034CD8A>8 N -;lL9/e5;8A>8?4H=@M ?@8 N =7CaÆ4=@>9=4<@L934-:U>8O6aBZ8C=9:;=4HY6Ha1434-;L ¥ L9/2QR-0506 =]1434=4O>9=@R-0<4<46 N 6_h-0H :;W4=4H_8H¦D:©<4-+BZ8C=4:©4QR= N 6Hl<4-0506¨
úH
~ =9:¨}Í@̨ ÌÚÛd) áYßàDè`ç}â2Ý0ÞJZÝDá:
M0æ`â2ÝDpßpâ
M:Zá_ä
èPM:
ßnìMZÞÝDUÝD) D Mpß )D2Þ â2ÝDM:Yß)UàMZßKGD
M)Ý0â MZ -aZì2âPßDÝD çTZâDßtè@Ý α = 2−D D ê?Z â2ÝD::ω:,
Î ¥ C6_L ¥ §0H=ñ146B0C6>4©4dH&1434= N -0<4=4H¦L4>4©8:;= N 14H6H=4W4-Z:;?D6506614=@M 0: 8<4=@©«>9/2W4-0C6I:;H_8H=4:;H=4?4=&<98£O6>9¦ªR=@Ek398:0:;H6_©4<4=2©@E 6_L9-;>9¦£14/D8:0:;6M t N ¨ÎÿW98:;H<46D:;H=KJFL4>4© C-0346_©4H<46D:;H= <46CD:;?D6506T² 14346Æ4-Z:0:08]L9346O<46506T1463D©@L9?28 ω 146>9/2W4= N w(n; t) ≡ {N (t) = n}
³ ´ ³ ´ w(n; t) ∼ G+ [(n + 1)CΓ(1 − ω)]−1/ω t; ω − G+ [nCΓ(1 − ω)]−1/ω t; ω ∼ ∼
³ ´ t −1/ω −1/ω t; ω , [nCΓ (1 − ω)] g+ [nCΓ (1 − ω)] ωn
t → ∞,
-â
Ó×+áZ×9Ø
Ù9ÌZð
î0/^Ø'1DØ Ù32 . Ó 4
5pL9G+ (t; ω) =
Zt
g(t0 ; ω, 1)dt0
0
ï6_L9<46D:;H6346<4<@©@©g/D:;H6I4W4=4CD8A©Ë./2<4?4Æ4=@©f398:;1434-;L9-;>9-0<4=@©K¨ s+:;146>9¦B0/©gC ¥ 398AR-0<4=4- L4>4© N 6 N -0<4H6C6H34=4Æ98H-;>9¦< ¥ Eg1463D©@L9?D6C Z∞
g+ (t; ω) t−ν dt =
Γ (1 + ν/ω) , Γ (1 + ν)
0
<98I@L9- NTN 6 N -0<4H ¥
W4=9:U>8h6H:;W4-0H6ClC=4<4H-034CD8A>4hN k (t)i =
@+-050?26TC=2L9-0H¦9JXW4H6
(0, t)
Ú
k!tkω k
[CΓ (1 − ω)] Γ(1 + kω)
.
= N 6 N -0<4H ¥ :U>4/@W48I4<46IPC-;>9=4W4=4< ¥ hN (t)i ∝ tω < -FBZ8C=9:©4H 6H ¨P;+8?R6H N -0W98A>96D:;¦ C ¥ ªR-J_§0H6 ï+:;14-0Æ4=9Ë.=4W4-Z:;?264 ζ = N/ hN (t)i t :;C6I9:;HC6`:;H6ZE28:;H=4W4-Z:;?4=@E7Ë.398?4HA8A>96C9¨oý8?26-:08 N 6146ZL96O=4-f:;H6_ED8:;H=4W4-Z:;?26I :;H34/2?4H/23 ¥ 6B0<98_W98-0r H )BCIL BCIBCN &." -AA" BC*cI?* U)LJI%!#"+:(#"-(.&2ÏoÚ<4-.:;/2QR-0:;HC/2M -0HHA8?26IYH_8?26506398:0:;H6_©4<4=@© J9W4H6m1434= :;HA8H=9:;H=4W4-Z:;?4= N =`Ë >9/2?4H/8AM t1 t > t1 Æ4=@© N = Z 6 4 < i 6 4 1 4 3 0 4 < 0 O 4 3 0 4 W 9 ¦ J = 4 < = 4 1 4 3 = @ ? 8 2 ? 6 N t <4-;>9¦B;©BZ8 N -;<4=4H¦R:;34-;L9<4-0N (t) N :U>9/2W98I4<46I+14-034- N -0<4<46I -0-
B0<98_W4-0<4=4- N B0<98_W4-;<4=4-¢5p>8AL9?D6IRË./2<4?4Æ4=4= f (N ) N (t) 6Hl/:;34-;L9<4-0<4<46I14-034- N -0<4<46I
J³
/
hf (N (t))i 6= f (hN (t)i),
t → ∞.
}6>9-0-H65069JD<98iCD:U-;E N 8:;ªRH_8OD8AEl<98O>9d}L8dHD:©m14346O-;> ¥ J<4- :;6_L9-03Dh8QR=4-H6M W4-0?KJ9=KJ9Cm6HZ>9=4W4=4-i6H6O ¥ W4<46506l14/D8:0:;6<46CD:;?D6506h398:;1434-;L9-;>9-0<4=@©KJ9<4-0HmHA8?D6506 N 8:;ªRHA8OD84JCe?26H6346 N 398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-aH6W4-;?nC ¥ 5p>4©@L9-;>96eO ¥ 398C<46 N -034< ¥N ÇV:;C6I9:;HCK 6 ."%!#" H"- *P" IBG&9J ÉU¨
ú/
ú/ 'Û Ü o Ü o × " å sö Ù ¨ ¨Õ" [÷¤vØ }é "×WØv fÞYß
çYâsâså fë
è#çYä jæç
#å
âsäYåæç
#ìgëjë
#ì!ê
~8:;14346D:;H398<@©@©9:;¦m6Hm=9:;H6W4<4=4?D6C`Ç\B0C-0B;LJ5U8A>8?4H=4?ÉUJ^:;C-0Hm=9:;1 ¥ H ¥ CD8AM -0H7398:0:;-;©4<4=4-`C7<4-034-050/_>4©434< ¥ E¡50398C=4H_8Æ4=46<4< ¥ En146>4©@EPÎF:;-;>9-0<4<46IK¨FÎÀ398AM O6HO - o :Ì q p¢O ¥ >8398:0: N 6H34-0<98YBZ8AL8ZW986 N <46506?4398H<46 N 398:0:;-;©4<4=4=`>9/2W98Y:;C-;M HA8aCa50398C=4HA8Æ4=@6<4<46 N 146>9-Jo:;6B;L8CD8- N 6 N :U>9/2W98I4< ¥N 398:;1434-;L9-;>9-0<@=4- N H6M W4-0W4< ¥ E N 8:0:J26O398B0/- No¥ E14/D8:0:;6<46CD:U?4=4If8<9:08 N O>9¦9J ¨ ~8:;W4-0H ¥ 14346C-;L9-0< ¥ C
ï
õ
$ó +òPâ
×>ôÓ 6õ6â
×
Ù Ú t^Ø0404@Õ ^Ö×Õr4012ÕÝØ_Ô_Ø'12×BÝØ ×ÓÖÖ
0/
Ù9Ì
398 N ?28AE]:;HA8<@L834H<46506 N 8A>96/25p>96C65;6Y1434=4O>9=@h-0<4=@©KJ±?265pL8Y6H?@>96<4-0<4=4-gW98AM :;H=4Æ ¥ Ç\CgL8<4<46 N :U>9/2W98-JKË.6H6<98DÉ6Hf14-034C6<98_W48A>9¦<46506g<9814398C>9-0<4=2©`614=@M : ¥ CD8-0H:©]L9C/ N -034< ¥N C-0?4H6346 N J8 6H?@>96<4-0<4=4- N H398-0?4H634=4=T6H 143© N 6M u >9=4<4-0I4<46IS1434-0<4-;O34-05;8-0H:©Ku ¨ ./D:;H¦ ï[/25p>96C6- 398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-cË.6H6<98 σ(u) 1434=h398:0:;-;©4<4=4=hC.50398C=4HA8Æ4=@6<4<46 N 146>9-F6H0L9-;>9¦<46506 =9:;H6W4<4=4?@8lÇ\5;8A>8?4H=4?4=ÉUJ R H65L8R398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-.Ë.6H6<984JD=9:;1 ¥ HA8CªR-0506 398:0:;-;©4<4=4IKJDL8AM σ(u)du = 1 n -0H:© N <46506?4398H<46I:;C-034H?26IfHA8?4=@Ef398:;1434-;L9-;>9-0<4=4ItÚ σ (n+1) (u) =
Z
σ(u0 )σ (n) (u − u0 )du0 ,
5pL9- (0) ¨Ó5>96C6-h398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-mË.6H6<46C9J14346ªR-;L9ªR=@E 14/2H¦ J σ (u) ≡ δ(u) x BZ814=4ªR-0H:©ClC=@L9f (u, x) =
∞ X
pn (x)σ (n) (u),
n=0
5pL9ï[C-0346Z©4H<46D:;H¦TH65069J}W4H6[<98714/2H= Ë.6H6
Zx 0
5pL9-
Q(x − x0 )q (n) (x0 )dx0 ,
Q(x) =
Z∞
q(x0 )dx0
Zx
Q(x − x0 )q (n) (x0 )dx0 .
x
-Z:;H¦¡C-0346Z©4H<46D:;H¦nH65069JW4H6P:U>9/2W98I4< ¥ IG14346O-05e1434-0C ¥ :;=4HnB0<98ZW4-0<4=4J 8 x ï 4 < 6 0 5 6 4 ? 9 3 8 H 9 < A 8 [ © ; : C 0 4 3 H @ ? ` 8 9 3 8 ; : 4 1 4 3 ; 9 L ; 9 > 0 4 < 4 = I
J 6 4 1 9 = : D C 8 d h Q A 8 7 © 9 3 8 :UM N ¥ q (n) (x) q(x) 1434-;L9-;>9-0<4=4-?2663L9=4<98H ¥ H6W4?4= M506c:UH6A>9?4<46C-0<4=@©K¨
Ϋ§0H=@E76O6B0<98_W4-0<4=@©@E n 398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-
f (u, x) =
∞ X
n=0
σ
(n)
(u)
0
Î ?@>8:0:;=4W4-Z:;?26I«H-0634=4= N <46506?4398H<46506G398:0:;-;©4<4=@©í398:0:;-0=4CD8dQR=4Æ4-0<4H3 ¥ 1434-;L9146>85;8dH:©m398:;1@6>96_h-0<4< ¥N =<4-0BZ8C=9:;= N 6+L434/256H+L934/25U8i:146M :;H6_©4<4<@6I]ÇVCg:U>9/2W98-+6_L9<46346ZL9<46Ia:;34-;L ¥ É:;34-;L9<4-0Ia12>96H<46D:;H¦dR¨.~8:;1434-;L4-;>9-;M <4=4-i:;C6O6ZL9<46506R14346O-05;8RCl§0H6 N :U>9/2W98-.= N -0-0HlC=@L q0 (x) = µ exp(−µx),
-â
Ó×+áZ×9Ø
Ù2ÍP9
î0/^Ø'1DØ Ù32 . Ó 4
~
=9:¨2Í@̨ Í@Ú:uZèßpâ
J=à2âJ:D
MD\è )0æJ :=±ìJM::
M:
â2ÝDì2âJàMM?
(2,β)
Ψ2
(r) ≡
q2 (r; 2, ω = β)
5pL9>9=4<@-0I4< ¥ I ?26§ZË+Ë.=4Æ4=4-0<4H398:0:;-;©4<4=@©KJ6O398H< ¥ Ia:;34-;L9<4- N /14346O-050/¨ µ .6D:;?26>9¦?4/ = J9/25;M (n) q (x) = µ(µx)n−1 exp(−µx)/(n − 1)! Q (x) = exp(−µx) >96C6-398:;1434-;0L9-;>9-0<4=4-614=9: ¥ CD8-0H:©6O6OQR-0<4< ¥N 398:;14340-;L9-;>9-0<4=4- N ./D8:0:;6<98
f0 (u, x) = exp(−µx)
∞ X (µx)n (n) σ (u). n! n=0
.34= :;34-;L9<4-0-B0<98ZW4-0<4=4-:U>9/2W98I4<46506.W4=9:U>8i:U>85U8- No¥ Eh398:;H-0H+?@8? J x→∞ µx 8 -0506]6H<46D:;=4H-;>9¦< ¥ -`Ë >9/2?4H/D8Æ4=4=n/2O ¥ CD8dH e ¨ . D 6 ; : 2 ? 6 9 > ¦ 4 ? 7 / 4 1 4 3 = ∼ (µx)−1/2 O6>9¦ªR=@E n 1 exp{−u2 /[2nhΘ2 i]}, σ (n) (u) ∼ 2πnhΘ2 i 5pL9Z hΘ2 i = u2 σ(u)du
:;34-;L9<4=4I?4CD8AL9398Hh/25p>8h6_L9<46?4398H<46506h398:0:;-;©4<4=@©KJ@/25p>96C6- 398:;143@-;L9-;>9-0<4=4W98:;H=4Æ<98hO6>9¦ªR=@Em5p>9/2O=4<98AE = -0-0H5U8_/D:0:;6ChC=2L x N
1 exp{−u2 /[2µxhΘ2 i]}, x → ∞, 2πµxhΘ2 i 146>9/2W4-0<4< ¥ I ¨ i-03 N =cCYBZ8AL8ZW4-l6 N <46506?4398H<46 N ?@/_>96<46CD:;?26 N 398:0:;-;©4<4=4= BZ83D©@R-0<4< ¥ EmW98:;H=4ÆK¨M~8:;1434-;L9-;>9-0<4=4- §0H6l146>4/@W@-0<46h14/2H- N 34-0ªR-0<@=@©f/2398C<4-;M <4=@© f0 (u, x) ∼
j°
∂f0 (u, x) = K4u f0 (u, x) + δ(u)δ(x). ∂x
ï
õ
$ó +òPâ
×>ôÓ 6õ6â
×
Ù Ú t^Ø0404@Õ ^Ö×Õr4012ÕÝØ_Ô_Ø'12×BÝØ ×ÓÖÖ
~
=9:¨KÍ@̨ 4Ú' ?MD:= â2ÝDì2âJàMM
¡GUàJ
MZâJUàJ
JZæ
Z ÝDá:
M0æ ìJM:¢u
@ÝD2ê pâJà@Ý;ÜUUà
ÞÝDUÝD)Dá ¤ Z ω = 0, 66
Ù2Í@Ì
0/
ì èP
2ÞJ âP
@ÝD¡
2ê D ç â2Ý0Þ } p ã@Ý;ÜUpâJàJ
MpÞ AÝ;à2â2ÝD J
MD -èP ?@ÝP£ 2
v = u/
u
lO6OQR-0<4=4-§0H6506]34-0B0/Z>9¦AHA8H_8e<98]Ë.398?4HA8A>9¦<4/2d N 6_L9-;>9¦7:;34-;L ¥ J¢C ¥ M 146>9<4-0<4<46-Cc398O6HA8AE,o Ì >2JXÌZð pJ1434=4C-;>96c?[BZ8 N -0<4-Y1@-034C6I[143@6=4B0C6_L9<46IT146 ?2663L9=4<98H-+14346=4B0C6_L9<46IgL9346O<46506l1463D©@L9?284J9=fL9-;>9¦AHA8AMÈË./2<4?4Æ4=4=fïm-0-.L9346OM < ¥N 8<98A>96506 N Ú
ä
x−ω . Γ(1 − ω) ~o-0ªR-0<4=4-¡§0H6506G/2398C<4-0<4=@©«C ¥ 398Ah8-0H:©«W4-034-0BnL9C/ N -034<46-[L9346O<46M /D:;H6I4W4=@C6-.398:;1434-;L9-;>9-0<4=4-i: 198398 N -0H398 N = Ú α = 2, β = ω ´ ³ √ −1 f (u, x) ∼ (4Dxω ) q2 |u|/ 4Kxω ; 2, ω , x → ∞, 0
ω x f (u, x)
= K4u f (u, x) + δ(u)
5pL9-
hΘ2 iΓ(1 + ω) . 2B[Γ(1 − ω)]2 ~o-0B0/Z>9¦AH_8H ¥ W4=9:U>9-0<4< ¥ E£398:;W4-0H6C¡L4>4©j<4-Z:U?26>9¦?4=@EG146?@8BZ8H-;>9-0I J ω C?@>9dW98A©f1434-;L9-;>9¦< ¥ IY:U>9/2W98I J@1434-;L:;HA8C>9-0< ¥ <98l34=9:¨9Í@̨ Í@¨ ω=1 ¢34-;L9<4-0?4CD8AL9398H=4W4< ¥ I]/2506> N <46506?4398H<46506Y398:0:;-;©4<4=@©]C ¥ W4=9:U>4©4-0H:© 8<98A>9=4H=4W4-Z:;?4= Z 4 f (u, x)u2 du = Kxω . Γ(ω + 1) ¥5p>96C6- 398:;1434-;L9-;>9-0<4=4- N <46506?4398H<46398:0:;-;©4<4< ¥ EgW98:;H=4ÆYC6Ë.398?4HA8A>9¦<46I :;34-;L9-Y146]:;398C<4-0<4=4d:6_L9<46346_L9<46IT6H0>9=4W98-0H:©[O6>9-0- N -;L4>9-0<4< ¥N 346D:;H6 N ªR=434=4< ¥ C -Z:UH6 ¨
506[Ë.63 N 8]6HZ>9=4W48-0H:©P6H7<463 N 8A>9¦<46I ∝ xω/2 N ∝ x1/2 K=
@Ú
-â
Ó×+áZ×9Ø
Ù2ÍÍ
î0/^Ø'1DØ Ù32 . Ó 4
O6>9-0-gC ¥ :;6?26Ie?26<4Æ4-0<4H398Æ4=4-0I7C-0346_©4H<46D:;H=7C`6O>8:UH= N 8A> ¥ E]=7O6>9¦ªR=@E /25p>96CÇ\34=9:¨Í@̨ DÉU¨ +8_W4=4<98A©:X398O6H~
=4O-0I4346ro Ìp914/2QR-0<Ci6O=@ED6ZLH-03 N =4<`rAË.398?4HA8A>9¦<98A© ?26D: N 6>4650=@©KsTL4>4©G6O6B0<98_W4-0<4=@© N 6_L9-;>9=G<4-06ZL9<46346_L9<46IíÇV:;H-014-;<4<46506¡H=4198DÉ ÎF:;-;>9-0<4<46IK¨DÎ76D:;HA8A>9¦<46 N =9:;146>9¦B0/-0H:©6O ¥ W4< ¥ I N 8H- N 8H=4W4-0:;?4=4If814198398H_J =m§0H6h1434-;L:;H_8C>4©4-0H:©m<4-0?263434-0?4H< ¥N 0 ¨ s+:;146>9¦B06CD8A<4=4-XL9=9Ë+Ë.-034-0<4Æ4=98A>9¦<@6506 814198398HA8.1434-;L9146>85;8-0H.L9=9Ë+Ë.-034-0<4Æ4=434/- N 6D:;H¦9J=g:;HA8A>96RO ¥ H¦i5p>8AL9?D6D:;H¦R=9:UM 146>9¦B0/- N±¥ E`L4>4©]614=9:08<4=@© N 6_L9-;>9=7Ë./2<4?4Æ4=4IK¨±Îk1434-;L:;HA8C>4-0<4=4=]H6W4-0W4< ¥ E 398:;1434-;L9-;>9-0<4=4I7HA8?4/2dÀ5>8AL9?26D:;H¦ N 6_<46`O ¥ >96 O ¥ 6O-Z:;14-0W4=4H¦`/D:;34-;L9<4-0<@=@M - N <98O>9dFL8- No¥ EE28398?4H-034=9:;H=4?f146l6O>8:;HZ© N L96D:;HA8H6W4<46hO6>9¦ªR=@Em398B N -;M 346C]Ç\?@8?e§0H6a6O ¥ W4<46=cL9-;>8-0H:©eCa:;HA8H=9:;H=4W4-Z:;?26I]Ë.=4B0=4?2-_ÉU ¨ .6aË.398?4HA8A> ïFIB !.L BGL!0*I* U)' +:)X)(.*0ÏoÚ-Z:U>9=e6
U³
å úù fÞYß
¤
/
[ÓÔÓ 3û º×}ç Øv Ãà
fìYâ
ç"ºë
já#åHâ
@è
ê#à\á#å
~8:;14346D:;H398<4-0<4=4-+?26D: N =4W4-Z:U?4=@Ef>9/2W4-0IC5;8A>8?4H=4?2-+6O ¥ W4<46l614=9: ¥ CD8AM -0H:©[Ce398 N ?28AE7L9=9Ë+Ë./2B0=46<4<46506`1434=4O>9=@R-0<4=@©¦o Ì 4J¢ÍP9 p¨¢Î1434-0<4-0O34-Uh-0<4=4= 146H-03D© N =g§0<4-03450=4=mW98:;H=4Æg=m©@L9-034< ¥N =gCBZ8= N 6ZL9-0I9:;HC=@© N =m/2398C<4-0<4=4-L9=9Ë M Ë./2B0=4=7L4>4©n:;?28A>4©434<46506[Ç\14346=4<4H-05034=4346CD8<4<46506`146c<9814398C>9-0<4=@© N ÉR146H6?@8 6Hl398:;1434-;L9-;>9-0<4=@©f=9:;H6W4<4=@M W98:;H=4Æ?26D: N =4W4-Z:;?26506l=4B;>9/2W4-0<4=@©Y: §0<4-03450=4-0I E ?26Cl:.1@>96H<46D:;H¦d BZ814=9: ¥ CD8-0H:©fClC=@L9S(r, t, E)
∂Φ = K(E)4Φ(r, t, E) + S(r, t, E), ∂t 5pL9ïhBZ8C=9:©4QR=4Im6Hi§0<4-03450=4=gW98:;H=4Æg?D6§ZË+Ë.=4Æ4=4-0<4H+L9=9Ë+Ë./2B0=4=K¨J¥398CM K(E) <4-0<4=4-X§0H6iC ¥ C-;L9-0<@6.C+1434-;L9146>96_R-0<4=4=KJW4H6iË >9/2?4H/D8Æ4=4= N -;B0C-0B;L9< ¥ E N 85;M <4=4H< ¥ Ea146>9-0IKJ9©4C>4©4dQR=@ED:©a6D:;<46C<@6IY1434=4W4=4<46IYE286H=4W4<46D:;H=aH398-0?4H634=4I BZ83D©@R-0<4< ¥ ESW98:;H=4Æ = 1434=@L8dQR=@ES= N :;14-0Æ4=9Ë.=4W4-Z:;?4=4I O346/2<46CD:;?4=4IPED8AM 398?4H-03KJE28398?4H-034=4B0/2dHc=[61434-;L9-;>9-0<4< ¥N 14346D:;H398<9:;HC-0<4< ¥N 348B N -0346 N = :./ N -0<4¦ªR-0<4=4- NTN 8:;ªRHA8OD8fÇVH6-Z:;H¦9J9:./2C-;>9=4W4-0<4=4- N r_146>4©6OB063984sDÉ¢C ¥ 5>4©@M L4©4HlCD:;-.O6>9-0-.6ZL9<46346_L9< ¥N =f= N -;>9?26 N 8:UªRHA8O< ¥N =K¨ Î]H-0W4-0<4=4-146D:U>9-;L9<4=@ERL9-Z:©4H=2>9-0H=4IKJD6_L9<98?D69J146>9/2W4-0< ¥ :;C=@L9-0H-;>9¦D:;HCD8 H65069JW4H6¡<4-06ZL9<46346_L9<46D:;H= §0H=G<46D:©4H N <46506 N 8:;ªRHA8O< ¥ I«ÇVË.398?4HA8A>9¦< ¥ IÉ E28398?4H-0¦ 3 o Í@Ì p¨ e <98A>9=4B 6D:;HA8H?26C7:;C-03DE@<46C6In146?28B ¥ CD8-0He<98A>9=4W4=4- C]§0H6I 6O>8:;H=`5;8B06C ¥ Ea?26 N 1@6<4-0<4H6Ca:l398B;>9=4W4< ¥N =]Ë.=4B0=4W4-Z:;?4= N =c198398 N -0H398 N =
$á $õ -â
Ù Ú §©¨R×Û Z× 4Ó.4
×1ÜÕ 4@×9¯K/.ÛBÜÕ
Ù2Í
P°
J Ç ÉUJKW4H6 N 6Zh-0HO ¥ H¦a:U>4-;L:;HC=4- N W434-0BUM T ª ∼ 5 ÷ 106 « n ∼ 0.1 ÷ 103 N −3 C ¥ W98I4<46IT<4-06_L9<46346_eL9<46D:UH= N -;B0C-0B;L9<46In:;34-;L ¥ ¨ ¢H=n=[L934/250=4-L8<4< ¥ -a6 <4-06ZL9<46346_L9<46D:;H=c1@>96H<46D:;H=eC-0QR-Z:;HCD8 =e<98143D©@R-0<4<46D:;H= N 850<4=4H<46506Y146M ρ >4© J o Í Í ) } p Y C 9 L 9 = 8 9 1 8 0 B 6<4-lL4>9=4<¡Ì:9 9AMpÌ_qP9f19:J146346_lL8dM H ∝ ρq q ∼ 1/3 ÷ 1/2 QR=4-}:;6 N <4-0<4=@©RC1434= N -0<4= N 6D:;H=RL9=9Ë+Ë./2B0=46<4<46I N 6ZL9-;>9=R?R614=9:08<4=4d714-034-0<46M :08l?26D: N =4W4-Z:;?4=@Ef>9/2W4-0IKJ^:;H= N /Z>9=4346CD8A>9=Y398B0C=4H=4-i<46C ¥ E N 6_L9-;>9-0IY14-034-0<46D:08 ?26D: N =4W4-Z:;?4=@EY>9/2W4-0IKJCgW98:;H<46D:;H=KJ N 6_L9-;>9= :;/214-03DL9=9Ë+Ë./2B0=4=KJ96D:;<46CD8<4<46IY<98 1434= N -0<4-0<4=4=fL9346O<46I:;H-014-0<4=f>81@>8:;=98<984Ú ∂Φ = −K(E)(−4)α/2 Φ(r, t, E) + S(r, t, E). (21.4.1) ∂t Y6_L4-;>9¦e§0HA8eO ¥ >8c=9:;146>9¦B;6CD8<98 L4>4©n6O t©9:;<4-;<4=@©[<98O>9dFL8- N 6506cCe§0?@:;14-;M 34= N -0<4H-=4B;>96 N 8f§0<4-03450-0H=4W4-Z:;?D6506Y:U14-0?4H3984JtH6-Z:;H¦C6B0398:;H_8<4=@© 146?28BZ8H-;M >4© Cc:;H-014-0<4<46 N 1434-;L:;HA8C>9-0<4=4=[:U14-0?4H398 1434=T14-034-;E6_L9-f=4B6O>8:;H= η E −η K < ; § C 4 < 2 / @ ? 9 > 6 g < h C 6 O > 8 ; : H ¦ K < 0 § C 4 < 2 / @ ? 9 > 6 K < ¨ ' l O t©9:;<4-0<@=4-.:;C©4BZ8<46h: <98AM
® ® ∼ 102 ∼ 105 >9=4W4=4- N 8<46 N 8A>9¦<@6 O6>9¦ªR=@Ei:;C6O6_L9< ¥ E+14346O-0506CW98:;H=4ÆÇr_146>9-0H6 C @+-0C=KsDÉ C]6O>8:;H0©@EtJ}:;C6O6ZL9< ¥ E76H]146>9-0IKu ¨ lH:;/2H:;HC=4-a61434-;L9-;>9-0<4< ¥ E N 8:;ªRHA8O6C9J 650398<4=4W4=4CD8dQR=@Ea§0H=`6O>8:;H=KJt6H?43 ¥ CD8-0Hf14/2H¦?`=9:;146>9¦B06CD8<4=4dk50=41@6H-UM B ¥ 6:08 N 6146ZL96O=4=KJ2C146>9<4- -Z:;H-Z:;HC-0<4<46IgL4>4©Y:;34-;L ¥ H/234O/_>9-0<4H<46506hH=41984J98 =4Bi<4-0-+Cg:;C6dG6W4-034-UL9¦mC ¥ H-0?28dHm:;H-014-0<4<46IE28398?4H-03398:;1434-;L9-;>9-0<4=@©Y14346M O-0506C9J2?26H63 ¥ If=14346Z©4C>4©4-0H:©fC1@6>9-0HA8A E @+-0C=K¨ ~o-0ªR-0<4=4- /2398C<4-0<4=@©ÇbÍ@̨ Ù9¨ Ì_É]C ¥ 398Al8-0H:©&W4-034-0BGË./2<4?4Æ4=4¬ d
?26H6398A©gCm:UC6d 6W4-034-;L9¦l/_L96C>9-0HC63©4-0Hh/2398C<4-0<4=4d
∂G = −K(E)(−4)α/2 G(r, t, E; r0 , t0 , E0 ) + δ(r0 − r0 )δ(t − t0 )δ(E − E0 ) ∂t : <4/Z>9-0C ¥N =f/D:U>96C=@© N =f<98RO-Z:;?26<4-0W4<46D:;H=K¨
506l34-0ªR-0<4=4-.C ¥ 398Ah8-0H:©gW4-034-0B H34-;E N -034< ¥ -=4B06H34614< ¥ -398:;1434-;L9-;>9-0<@=@©r@+-0C=@M? i-;>9¦L950-0I N 8 :;66H<46M g3 (r, α) ªR-0<4=4- N
-Ú
5pL9-
G(r, t, E; r0 , t0 , E0 ) = ´ ³ = δ(E − E0 )[K(E)(t − t0 )]−3/2 g3 |r − r0 |[K(E)(t − t0 )]−1/α θ(t − t0 ),
.34= α = 2 No¥ L9=9Ë+Ë./2B0=4=K¨
= N 0- - N
½
1, t > t0 , 0, t < t0 . ?@>8:0:;=4W4-Z:;?4=4IP34-0B0/Z>9¦AH_8H7<463 N 8A>4¦<46IjÇ\5;8Z/D:0:;6C6IÉ θ(t − t0 ) =
-â
Ó×+áZ×9Ø
Ù2ÍAÙ
î0/^Ø'1DØ Ù32 . Ó 4
ÎF8A<46h6H N -0H=4H¦9J@W4H6l1434=f14-034-;ED6ZL9- 6Hh<463 N 8A>9¦<46506RB0<98ZW4-0<4=@© α=2 ? 8<46 N 8A>9¦< ¥N
<4-RH6>9¦?26gË.63 N 8m398:;1434-;L9-;>9-;<4=4I N -0<@©4-0H:©7Ç\146_©4C>4©@M α<2 dH:©a=a/:;=@>9=4CD8dH:©a:;H-014-0<4< ¥ -iE@C6D:;H ¥ ÉUJ<46m=4B N -0<@©4-0H:©TÇ\C6B0398:;H_8-0HDÉ:U?26M 346D:;H¦398:;ªR=434-0<4=@©+L9=9Ë+Ë./2B0=46<4<46506X198?D-0HA84ÚZ-0506ªR=434=4<98398:;H-0H :;6C34- N -0<4- N 146RBZ8?D6<4/ 1/α J JDH65pL8+?@8?mCi<463 N 8A>9¦<46 N :U>9/2W98-ªR=434=4<98 τ = |t − t0 | τ α<2 198?2-0H_8l143461463@Æ4=46<98A>9¦<98 1/2 ¨ τ 6+>4©fH6W4-0W4<46506l=9:;H6W4<4=4?@8:;6:;H-014-0<4< ¥N :;14-0?4H346 N S(r, t, E) = S0 E −p δ(r)θ(T − t)θ(t), ?@8ZW4-Z:;HC-0<4<46 N 6_L9-;>9=434/2dQR-0506fCB03 ¥ C:;C-03E@<46C6IKJ34-0ªR-0<4=4-:;/214-03DL9=9Ë+Ë./2B0=@M 6<4<46506h/2398C<4-0<4=@©f= N -0-0HlC=@L
Φ(r, t, E) = S0 E
−p
[K(E)]
−3/α
Zt
max[0,t−τ ]
³ ´ τ −3/α g3 r[K(E)τ ]−1/α dτ.
Î ¥ 146>9<@©@©fW4=9:U>9-0<4<46-+=4<4H-05034=4346CD8<4=4-+: /2W4-0H6 N BZ8C=9:;= N 6D:;H= K(E) = K0 (E/Z)δ , 5pL9ïfB083D©@L W98:;H=4Æ ¥ Ç\Cg-;L9=4<4=4Æ98AEYBZ83©@L8m14346H6<98DÉUJ ïf146?28BZ8H-;>9¦ Z δ>0 BZ8C=9:;= N 6D:;H=i?26§ZË+Ë.=4Æ4=4-0<4H_8XL9=9Ë+Ë./2B0=4=iW98:;H=4ÆR6H=@E+§0<4-03450=4=KJ N 6_<461434-;L4M :;HA8C=4H¦g<98O>9dFL8- No¥ IaCg6?434-Z:;H<46D:;H= - N >9=`:;14-0?4H3`?D6D: N =4W4-Z:;?4=@EY>9/2W4-0I C C=@L9-
ì
Φ(E) = Φ0 E −η ,
5pL9-
η = p + (δ/α)ξ,
ξ(E) = 3 −
Rt
2πr2 max[0,t−τ ] Rt [K(E)]2 /α
ì L9-Z:;¦l=9:;146>9¦B06CD8A<46l:;66H<46ªR-0<@=4-
max[0,t−τ ]
(21.4.2)
¡ ¢ τ −5α g5 r[K(E)τ ]−1/α dτ τ −3α g
3
¡
r[K(E)τ ]−1/α
¢
.
(21.4.3)
dτ
dgm (r; α) = −2πrgm+2 (r, α). dr ./D:;H¦ ïY34-0ªR-0<4=4-/2398C<4-0<4=@© ¨s.B/2398C<4-0<4=4I[ÇbÍ@̨ Ù9¨ ÍÉ= E ξ(E) = 0 ÇbÍ@̨ Ù9¨ DÉ}C=@L9<469J0W4H6m1434= 146?28BZ8H-;>9¦m<98O>9dFL8- N 65;6g:;14-0?4H398 398CM E=E η <46 N 146?@8BZ8H-;>9d7=4B;>9/2W98- N 6506:;0C-03DE@<46C6Ii:;14-0?4H398 J_H65L8?28?R1434= p E ¿ E0 No¥ = N -0- N η ≡ η ≈ p − δ Jo81434= E À E ï E À E ï η ≡ η ≈ p + δ ¨ 6i34/250= N =Y:U>96CD8 N < =KJ@146?@8BZ8H-;>9¦l<98O>9dFL8- N 60 506l:;14-0?4H3980 1434=14-034-;> ED6_L9-.W4-034-0B
úi×BÝ@ÕÔ_Ø6ÝÛ9Ô_Ø
Ù2Íq
C
§0<4-03450=4d C6B0398:;HA8-0Hi<98hC-;>9=@W4=4<4/ ¨'lH N -0H= N J4W4H6l§0H6Hh§ZË+Ë.-0?4HR= N -0-0H E0 2δ N -Z:;H6lH6>9¦?26l1434= α < 2 @Cl<463 N 8A>9¦<46I N 6_L9-;>9=gL9=9Ë+Ë./2B0=4=f6
& 9ª l +l & !'z >w &
jæMåè#çgæDà\è#ç
T IJH ;K>9 NKL VF$IJG Q_I¨`4 g m ¨-9¨ X ¨6?$ZKJtÌ DÍfÇwÌ ðDÉU¨ Í@¨O IJQ 6IJ 3 X sz m") o+o J9Íq mÇwÌ ð ÉU¨ 4¨£ H6 DQ_ºE- NyukG ¡ +H`4`k Nr U ^£P l ( | ! ?)-qKJ@Ù2q mÇwÌ ð DÉU¨ Ù9¨ t{¨K>BIJQP G +( ¦ W7+7+K 7 J # ÇwÌ ððDÉU¨ q@¨^r F-6UIJ LLBIJQ@ G +lm 7 K n & o q J DÍfÇwÌ 4Ì_ÉU¨ 4¨3eIJGdG IJ kK> Ú( J9ª X Ú x x U ( m $m % w n $% m î & x mX xg X J9Ì sz ð 4¨J ï[¨D© ð %4¨¨ î ª m ¨ m bx ¨ï ¦ Ê 4| & -% & n Y& %-& z n z & 2¨3MG IJ; OP9k NgO IJQ 6IJ $ X ¨$ ¦ ¨6?)-K & 7 J 4Ì fÇwÌ DÍÉU¨ ð4¨^K> 6UIJG TJ Q6ª ¦ & & $%-n ?$Z+, JKÌ_qq@ÌhÇwÌ qÉU¨ 4¨^K> 6UIJG TJ Qc" @X w m mYx & & lm n & ¨hï¤l & ^Ú & G¨ i¨ w$ ;m JKÌ ð 4¨ && Ì 4¨ V0 $Br X ¨$ ¦ ¨6?+A & ) JtÌÇwÌ DqÉU¨ ̨
P¯
6õ ò
J>
.°
6õ
ô
.ó
õ ö + ó ô6ó ¡²
%ö
8
óõ
ó
ò
«
ö
>
·
:9
+
ô
6õ
ö õ
q
+
ó ó ±
ô
8ô
ò
4ô
°
4ó
+
õ
8
Bõ
ò ö
4ô+ö
ò
6õ
ó
J>
ö
q
+
M>
x
n
%ö ´ó
õ
6õ 4 ò õ +
+
+
M> ö
D³µ´ó
¶
-â
Ó×+áZ×9Ø Į̀OPIITJG ID@OPE- £P @X #m M mx z J& z YU& sz _& & U& Jt! Ì ð &P4¨! n n & X & z YU& s& ¨_ïS z J& Ú Ì_Í@¨uF- V0 6 }bgS Ç x x{m $% ÉUÚ R¨+ &z{%-& x9-%- n n î x z z X z ª ( %- Y m¦ m J'&% JtÌ ( ð 4 ¨ ¦ X sz ¨ï % & X Ì 4¨W·B $³ W¸¸ Ny. ³ PL624 W4-0< ¥ -.BZ814=9:;?4= > XJ@:;-03K¨ Ë.=4B¨2C ¥ 1K¨ ÌDÇ\Ù2ÉUJ ÇwÌ ðDÉU¨ Ì0Ù9¨ DG §0IJ k N4bG S X ¨$ &Y ¨ ©8²6t¶ J DÍ Ù9Ì fÇbÍ DÉU¨ Ì_q@¨^» U1 24 24 N6½ A J$Í ³ m3ÇbÍ ½y-Ù2À3ÉU¨ NP¿ g/ $¾ 24-µ .B0C-Z:;H=@© >9H_8I9:;?26506 506:;/2<4=4C-039:;=4H-0HA8Wt Ì 4¨ k¸À3 N U³3À3¿$ .B0C-Z:;H=@©Î ì 6C9J i=4B0=4?28 ) t? J f1 ÇwÌ .3ð D24ÉU¨ N Ì 2¨W·B $³ "¸9¸ Ng. ³ L924 .=9:;¦ N 8RCWÀ¯ ý ~)+) J ÙÇwÌ DÉU¨ ÌZð4¨W·B $³ "¸9¸ Ng. ³ L924$À¯ ý ¶ o JtÌ_ÍfÇbÍ Ù2ÉU¨ Ì 4¨µ - 61"¸^»k NW\ >9/2W@-0IK¨@ïWe ¨ Ú .B;L4MC6 J³ o«JKÌ \4À3¨ .346=9:E6_lL9-0<4=4-Y?D6D: N =4W4-Z:;?4=@E Í 4¨
D³ >¸^\ N@
c¨ \Ú i¸8Z/2 N@?@µ84J^-Ì 46¨ 14¸»k :;H346DË.=@M B0=@?@8h?26D: N =4W4-Z:;?4=@Eg>9/2W4-0IK¨2ïºe Í@̨^= U ;\$24 N6½ / $³ ;24 24 N\ ¨ Ú ³+8_/2?284LJtÌ L4 J2Î7:¨4:;O9Ù ¨2Ú ¨ .-;>9=4<4-0I@< ¥ C6>4< ¥ Ú4Ë.=4B0=4?@8h=Y8:;H346DË.=4B0=4?284¨2ïWe ÍÍ@¨F J; §H`4P`4 N¨r§UG tL@ NSr 'F0§F- tL`4K> m & z $& x % | Smx{Am ¨Dï X Ú x Z JtÌ ðð4¨ z& % & n & Í 4¨$ 'U r N4k ¡U 'U ´k N¨k6U au3IJQW G ( ¦ m ¨ X ¨K7 J.Ì Dq ÇwÌ DqÉU¨ ÍAÙ9¨9 VF-QH´`4 `4 N¨ §F-G H« ¨ + U `4 N B §Hbg;bggl n bx ¨g X ¨ Çd ¨ b x ¨ É 6 q t ¶ 9 J Í m b Ç Í 4 _ Ì U É !'n ¦ ¦ Íq@¨9 VF-QH*`4;`4 N B §Hbg´bgl & s& m X ?$,9) J9Í@Ì_ÍgÇbÍ DÉU¨ n bx ¨k Z ¨km $%¤|L& KX ¨ z X sz Í 4¨^» U1 H-0H_8ºt A J4Ù$º9C 24ÍÍf24ÇbÍ N^¿Ù2ÉUg¨ / $¾ ¨246µ .B0C-Z:;H=@© >9HA8I9:;?D6506h506D:;/2<4=4C-039:;=@M
Ù2ÍPq
î0/^Ø'1DØ '¸
ôBò öó+ôw¹ ô ?º
ó
ôö ó
8²
ô
± 6ò ö Bòö 9 õõ
õ ö
8* [ &'( 8 +
Bò ö ó+ôöó õ ô8±
¡!.)X
ôBò
ó
ô
>
vV+)* (' N
8* [ &'(
¡!.)X
8* [ &'(
¡!.)X
'&'( X)L!
P9
u"%!#" &'(#I &.[
v¼L
4
r²
ó
ò
«
T¥
Z
M³
8
++
T
.&'( X)L! + 9
$. N B
++
0>
±+ô %ö ò¾
K¿
Bò
P9 9+
U* L BG&'(
dY H"( #"N
P9 9
ö
Bò
P9 9
À¿
Pq
e
&F+?!
õ ö ó
ò
'
q+
+
4õ
ö
P9 9
PqM>
ò
e
Z
H* [ &'(
ö
ó
P9 9+
J½
õ
¦²
Ps
'
8
TL
ôBò %öó+ô
6õ ò4õ
8s
uL)$#* (' N
O$ 8* (' N
õ ö ó 9
dY H"( ."DN
vQ.!. N * BCI &'[ e Wuu~
's
õ
r¥ .<¥
89 Pq
* [ &'( J> P9 9
:q Z»H& !M* -*PI .> q
u¹ ô
0¥
6õ
U* L BG&'(
Hó Bö
Ó 4 2 .
0s
ôBõ ö
e
ô
6õ
6õ
%ö
8õ\ó :9
ô
ó8ò
8õ ò4õ
ÂÄÃÆÅ]ÇÄÅ
£
Ì ñ ' Ë Á
ÃÂ
å4å
cÇDÈ
É
ÄÆÅ "%ÆÅ
PØ
è#ìYé!êpå ç
"é
jëjæMåè
¨Õ""
jè#åæHç
Î BZ8?@>9dW4-0<4=4-l?4<4=450=`6D:;H_8<46C= N :©a<98gC614346D:;-J=4B;>96_h-0<4=@-l?26H6346506 L96C-034W4=4C ¥ ITW4=4HA8H-;>9¦9J
C-0346_©4H<469J
6Z=@L8A>n6HeO>85;61434=9:;H6I4<46506e8CH6398`C :08 N 6 N <98_W98A>9-.?4<4=450=KÚ4C614346D:;- 6Ol=4<@H-;341434-0HA8Æ4=4=L9346O<46If14346=4B0C6ZL9<46IK¨ :08 N 6506BZ8346_lL9-0<4=2©=4<4H-050346MbL9=9Ë+Ë.-034-0<4Æ4=98A>4¦<46506=9:;W4=9:U>9-0<4=@© CD8A<4-0I4ªR/2d 346>9¦l=450398A>9=f50-06 N -0H34=4W4-Z:;?@8A©f=YË.=4B0=4W4-Z:;?28A©f=4<4H-0341434-0HA8Æ4=4=KÚ l14-0398Æ4=@©
ä
t f (t)
a Ê t f (t)
<2-06
N -0H34=4W4-Z:;?28A© =4<4H-0341434-0H_8Æ4=@© ý8<450-0<9:./25p>8 <98?@>96<98R?@8:08H-;>9¦<46I .>46Qh8AL9¦ ?434=4C6>9=4<4-0I4<46IfH39814-0Æ4=4=
i=4B0=4W4-Z:;?@8A© = <4H-0341434-0H_8Æ4=@© 4 ¢?D6346D:;H¦lH6W4?4= : ?2663L9=4<98H6I x = f (t) ;.663DL9=4<98HA8RH6W4?4=KJ 398O6H_8l:;=@> ¥
ÎP:;=@>9/f34-0?4/23434-0<4H6506lED8398?4H-0398l614-0398Æ4=4IC ¥ :;ªR=@EfÆ4-;> ¥ Ef1463D©@L9?D6C 0§ H==4<4H-0341@34-0HA8Æ4=4=<4-Z:U>96_<46h398:;14346D:;H398<4=4H¦h<98R14346=4B0C6>9¦< ¥ 146>9/DM n n W4=4H¦m?26<9:;H34/2?4Æ4=4=YH=4198`r_H_8<450-0<9:i/25>8<98?@>96<98lH_8<450-0<9:08/25p>8l<98?@>96<984¨ ¨ ¨ s = r_1@>96Qh8AL9=]?434=4C6>9=4<4-0I4<46I]H39814-0Æ4=4=T146ZLT50398Ë.=4?26 N 1@>96Qh8AL9=]?434=4C6>9=@M <4-0I4<46IcH39814-0Æ4=4=K¨ ¨ ¨ s_J±<46Y<985>4©@L9<46D:;H¦Y1434=e§0H6 N =9:;W4-0BZ8-0H_5 ¨ 6R-U>96Y<4-Z:;?26>9¦?D6 14614398C>4©4-0H:©cCC-;L9-0<4=4- N 146<@©4H=4I¡r_C ¥ 14/2?@>96D:;H¦9s_J}r_C650<4/2H6D:;H¦9s_J¢r_?434=4C=4BUM <984s_Jr_/D:;?2634-0<4=4-s_J@<46lCÆ4-;>96 N §0H614346O>9- No¥ <4-+34-0ªh8-0H_¨ ÎP:UHA8H¦c - o Ì pdsl8 ¨ .6_L4>9dO< ¥ If6H N -0W98-0H_J4W4H614346O>9- N 8h=4<4H-0341434-0HA8Æ4=4= L9346O< ¥ E]614-0398H6346C9Jo:;/2QR-Z:;HC/2dQh8A©7O6>9-0# - 9 9Y>9-0HAJH6M-Z:;H¦9J
:;H6>9¦?D6`RC34- N -0<4=KJ4W4H6=a:08 N =§0H=Y614-0398H63 ¥ J@<4-06_L9<46?4398H<46Ë.63 N /Z>9=4346CD8A>8:;¦h?28?
Ù2Íð
î0/^Ø'1DØ DtËtØ98/5ÌCÍÕÖ×Õ
<4-034-0ªR-0<4<98A©iBZ8AL8_W984¨ ÎoÎ`146D:U>9-;L9<4=4-}506ZL ¥ /D:;=@>9=@>:©i=4<4H-034-Z:}?i§0H6IR14346O>9- N -J =Y<4-0?26H63 ¥ -i=4Bi398O6H No¥ 6H N -0H= N <4=@R-J6ZL9<98?26Cm146=9:;?28AEY: No¥ :U>8hL9346OM < ¥ El14346=4B0C6_L9< ¥ Eh=m=4<4H-050398A>96Ci?28?@MH6i/214/D:;?@8-0H:©=4BC=@L9/JW4H6RBZ8AL8_W98.§0H_8 <4-34-0ªR-0<98i-0QRüL4>4©gÆ4-;> ¥ Em1463©@L9?26C9¨2S= N -0d CRC=2L9/DJDW4H6 No¥ <4- N 6Zh- N + (')[Ï)X)ÐC"[A5!M* P)[YL8H¦h=4<4H-0341434-0HA8Æ4=4d£614-0398H634/ n J4:;14398C-;L4>9=4C/2dPL4>4© t CD:;-;E J=hL8Ah-X14346D:;H6 L4>4©lH34ü;E ¨ 6+>4©h?@8AlL96M n = ... − 2, −1, 0, 1, 2 n = −1, 0, 1 506 Æ4-;>965;6 B0<98_W@-0<4=@© C ¥ <4/DlL9-0< ¥ L8CD8H¦ :;6OD:;HC-0<4<4/2d7=4<4H-0341434-0HA8Æ4=4dR¨ o N ¥ n ý8?4=@EeB0<98_W4-0<4=4Icï`:;W4ü0H<46- N <46Zh-Z:;HC69J±:;H6>9¦?26YR-f:;66HC-0H:;HC/2dQR=@E`=4<@M H-0341434-0HA8Æ@=4IK8 ¨ .6R-Z:U>9=g34-0W4¦R=@L9-0HR6h14346=4B0C6ZL9<46ImC-0QR-Z:;HC-0<4<46506+1463D©@L9?@8 J ν H6H_8?4=@Ef14346=4B0C6_L9< ¥ Em<98R>9dO6 N =4<4H-034CD8A>9<4-Z:;W4ü0H<46- N <@6_h-Z:;HC69¨ ¨ ¨ ν Î}14346W4- N Jt§0H6Y<@-146 N -0ªh8-0Hf<98 N 14-034-0W4=9:U>9=4H¦Y<98=4O6>4-0-h398:;14346D:;H398AM <4-0<4< ¥ -+146ZL4ED6_L ¥ ?f§0H6IBZ8AL8_W4-¨
å4å å æ 4Ø cÇ
ä
" ç S× [÷Äë PÙ
åHì åæDè
ípè#ìYégë
KÑ#åuÒ fç
"é
jëjæMåè
¨Õ"º×
jè#åæç
jëjæMå è#ç!êpìYä
>9-;L9/©«398O6H- o Ì pg1434-;L:;HA8C= @+=4/2C=@>4>4©f1463©@L9?@8
N
>9-0C6D:;H6346<4<4=4Ik=4<4H-050398A>Ó~
= N 8<98AM
µ>0
µ 0 Ê x f (x)
1 = Γ(µ)
Zx
f (ξ)(x − ξ)µ−1 dξ
Zx
f (ξ)dgx (ξ),
0
ClC=@L9-.=4<4H-050398A>8¢H=@>9H¦-Z:08
µ 0 Ê x f (x)
=
0
5pL9-
1 [xµ − (x − ξ)µ ] . (22.2.1) Γ(µ + 1) Î}6B0¦ N - N H34-;E N -034<4/2dPL9-0?@834H6C/l:;=9:;H- N /l?2663DL9=4<98H_JD146D:;H346= N Ci506M ?@8?`Ë+/2<4?@Æ4=4= Jt=`<98f§0H6 N 34=4B06<4HA8A>4¦<46I`1@>96D:U?26D:;H=`50398Ë.=4? g ξ, ξ ∈ [0, x] ?434=4C6>9=4<4-0I4<46 N 6D:;<46CD8<4=4=a146D:;H346= xN H39814-0Æ4=4dRJK6O398B0/- N /2d N <46_R-Z:;HC6 N 6H34-0B0?26CF14-034- N -0<4<46I+C ¥ :;6H ¥ ¨ ¢14346-0?4H=434/- N 146>9/2W4-0<4< ¥ I+HA8?4= N 6O398AM f (ξ) B06 N r_BZ8O63KsF<98FC-034H=4?@8A>9¦< ¥ -
?D663DL9=4<98H< ¥ -
1@>96D:;?D6D:;H=maÇ ~
=9:¨AÍÍ@¨ Ì_ÉU¨ Y6_<46 1434-;L:;H_8C=4H¦`:;-0O-JKW4H6 §0H6Yï H-0<4=]BZ8O63984Jt6D:;C-0Qh8- N 6506YË+8398 N =`L8A>9-0?26506 8CH6 N 6O=@>4©KJ@<98l14-03414-0<@L9=4?4/Z>4©434< ¥ Ef>9/2W98 N :;H-0<98AEt' ¨ >96Qh8AL9¦lH-0<4= <98 OxA gx (ξ) =
u Ô±F Õw;;S ÖwUzUU_ZxAUR ×[|AF y Ø_: Ù:ÖbxA5 Ú¡w;pxyÚ,Ø0U|)Ûow_w|)ÜA)ÝS~_ßÞA_UU|_;0ÙP_Rà__ÈxA%á |_)âßã?ä-ä-åTÖÈ_zuætyp_|_ç èé2èU{U{-êÖ_zë±|)ØZyp_
D8ì
+â
Õ 4Ô× Õ @9Ø-õc×Ö @ÕÔUôÔÕ Ø$ó×$õ
î±ÕÓ
Pí
.Í 4
'í
~
=9:¨^ÍÍ@¨ ÌÚMî -Zß_â
:;H-0<4-
(ξ, f )
MpÞP0æ
+òF¯Y×Ö @Õ _Ô_Ø tÓ
|j^ÔÓ.g@Ö
Pí
M)pâì2âJ0Ý;ã
'í
J
à2âJ:D
MD -
0/ .1
Ù2Í
M) Uâ2Ý@ÝP
398C<98h6O ¥ W4<46 N /=4<4H-050398A>9/ 1 0 Ê x f (x)
=
Zx
f (ξ)dξ,
0
H 65pL8+?@8?1@>96Qh8AL9¦iH-0<4= <98+L934/2506Im:;H-0<4L8ü0H:©mB0<98_W4-0<4=4- N Ogx (x)B (g, f ) L9346O<46506R=4<4H-050398A>84¨8 .-034C6- /2HC-03lL9-0<4=4-.-Z:;H¦l50-06 N -0H34=4W4-Z:;?@8A©f=4<4H-0341434-;M HA8Æ4=@©a6O ¥ W4<46506m=4<4H-050398A>84JCH6346-R6H<46D:;=4H:© ?aL9346O<46 N /=4<4H-050398A>9/¨d¢/DM QR-Z:;HC-0<4<46-¢398B;>9=4W4=4-}C H6 N J_W4H6.:¢=4B N -0<4-0<4=4- N Ç\<981434= N -03KJAC6B0398:;HA8<@=4- N É x H-0<4¦l<98h14-034C6I:;H-0<4-+<4-.=4B N -0<@©4-0H:©KJ9=f1434=4398QR-0<4=4-.1@>96Qh8AL9=f6O/D:U>96C>9-0<@6 H6>9¦?26R398:;ªR=434-0<4=4- N 6O>8:;H=g=4<4H-05034=4346CD8<4=@©KJ2H65L8R?@8?gH-0<4¦9J2198AL8dQh8A© <98fCH634/2d:;H-0<4/J N -0<@©4-0H:©e:l=4B N -0<4-0<4=4- N JKW4H6YC<46D:;=4HgL96146>9<4=4H-;>9¦< ¥ I x C?@>8ALaCm=4B N -0<4-0<4=4-RB0<98ZW4-0<4=@©YL93@6O<46506=4<4H-050398A>84¨ ¢H_8m6D:;6O-0<4<46D:;H¦9J@398B0/DM N -0-0H:©KJ_/D:U>96_<@©4-0H50-06 N -0H34=4W4-Z:;?4/2dT=4<4H-0341434-0H_8Æ4=4d[?@8?+L9346O<46506X=4<4H-050398AM >84JHA8?m=mC ¥ 398Ah8dQR-0I9:©lW4-034-0B<4-0506+L9346O<46I14346=4B0C6ZL9<46I?28?KJD<981434= N -03KJ HA8<450-;<9:08./25>8 <98?@>96<98 ?@8:08H-;>9¦<46IR?l50398Ë.=4?4/iBZ8C=9:;= N 6D:;H=h1@>96Qh8AL9=h§0H6I H-0<4=6Hl14-034- N -0<4<46506l1434-;L9-;>8 ¨ x e <98A>9650=4W4<98A©l=4<4H-0341434-0H_8Æ4=@©m14398C6D:;H6346<4<4-0506.=4<4H-050398A>8.=m:;66HC-0HAM :;HC/2dQR-0IY14346=4B0C6_L9<46I6D:;<46C ¥ CD8A-0H:©f<9814398C6D:;H6346<4<4- N =4<4H-050398A>9c - ¢H=@M >9H¦-Z:08
9°
µ 0 Ê x f (x)
=
Zb
f (ξ)dhx (ξ)dξ
x
146Ë./2<4?4Æ4=4= hx (ξ) =
1 [xµ + (ξ − x)µ ] . Γ(µ + 1)
Ù 9
î0/^Ø'1DØ DtËtØ98/5ÌCÍÕÖ×Õ
lHZ>9=4W4=4-6Hi1434-;L ¥ L9/2QR-0506R:U>9/2W98A©l>9=4ªR¦iC+H6 N JDW4H6h:X=4B N -0<4-0<4=4- N 14-034- N -;M x Qh8dH:©+CD:;-
H6W4?4=iBZ8O6398+Ç\-0506?26<4-;Æ+L9C=@h-;HD:©i146143D© N 6I C1@>96D:;?D6D:;H= ξ=b H65L8.?28?lC.14-034C6 N :U>4/@W48-F-0506.?26<4-0ÆhO ¥ >Ë.=4?@:;=4346CD8
µ 0 ð x f (x)
1 = Γ(µ)
Zb 0
f (ξ)|ξ − x|µ−1 dξ =
Zb
Zb 1 1 µ−1 f (ξ)(x − ξ) dξ + f (ξ)(ξ − x)µ−1 dξ. = Γ(µ) Γ(µ) 0 0 l
=
Zb
f (ξ)dξ.
0
l14-0398H63ß i-;>4>9-0398fHA8?@R-1434-;L:;HA8C>4©4-0H:©cCC=@L9-h>9=4<4-0I4<46I`?26 N O=@M <98Æ4=4=7>9-0C6D:;H6346<4<4-0506 =T14398C6D:;H6346<4<4-05;6 =4<4H-050398A>96C|
~ = N 8<98AMï+ @ =4/2C=@>4>4©
L9346O<46506h1463©@L9?@84Ú
$Ú
µ µ µ Ê u,v f (x) = u a Ê x f (x) + v x Ê b (x). ý -014-034¦mBZ8O63f= N -0-0H398B03 ¥ CCH6W4?2K ¨
506H-;<4¦m<98l14-034C/2dG1@>96D:;?26D:;H¦ ξ=x 146M1434-;<4- N /Y:;66HC-0H:;HC/-0Hm6O ¥ W4<46 N /f=4<4H-050398A>9/Y14-034C6506m1463©@L9?@84JH65pL8 ?@8?iH-0<4¦ <98L434/250/2d[:;H-0<4/i:;6D:;H6=4H_J_C66OQR-
506C63D©KJ0=4B¢L9C/DE+?4/D:U?26C9JZ?26H63 ¥ N 650/2Hm<98A>85;8H¦D:©Y6ZL9=4
å4å sö cÇ
ë º ç S× [÷Äë ¨é å Pçgë
ípè#ìYégë
KÑ#åuÒ iç
"é
jëjæMåè
¨Õ"º×
jè#åæç
ì #åè#çgæMìgè#ìHñ
.34-;L:;HA8C= N :;-0O-XL9C=@/2QR=4I9:©m146RªR6D:0:;- 8CH6 N 6O=@>4¦9¨DÎ}6_L9=@H-U>9¦R?26<@M H346>9=434/-0H+-0506+L9C=@R-0<4=4-146R:;14=@L96 N -0H34/h=mBZ8C=9:;= N 6D:;H¦+:;?26346D:;H=6H+C34- N -;M
õ
Uô $ó $õ
D8ì §"ÑlÔAØ9'íØ0/ñ2Ö9Ø c×Ö'í@ÕÔ ÔÕPíØ × |j^ÔÓ.g2ÖÓ._Ó ×Ö'í@Õ _Ô_Ø0/^Ø
Ù4Ì
<4= 146l:;6OD:;HC-0<4< ¥N W98:08 N ¨0n+8: ¥ §0H=KJ@6_L9<98?D69J2<4- 6W4-0<4¦RC-034<46h146?28B ¥ M v(τ ) CD8dH+C34- N ©KÚ=@El146?@8BZ8<4=@©:;C©4BZ8< ¥ :X=9:;H=4<4< ¥N C34- N -0<4- N :;66H<46ªR-0<4=4- N θ ¨
>9-;L96CD8H-;>9¦<469Jt=4<4H-034CD8A>9/ C34- N -0<4=cC6_L9=4H-;>4© :;66HC-0H:;HC/-0H θ = g(τ ) dτ =9:;H=4<4< ¥ Ic=4<4H-034CD8A>e14346ZL96>4=4H-;>9¦<46D:;H¦d ¨KÎ ¥ -;E28CfC146>9<46W4¦ dθ = dg(τ ) =4B14/2<4?4HA8 =[1434=4-;ED8CcC N 6 N -0<4HcC34- N -0<4= Cc14/2<4?4H J (τA = 0) A τB = t B C6_L9=@H-U>9¦lC ¥ W4=9:U>9=4HhL4>9=4<4/g14/2H=Y?28?=4<4H-050348A> SAB =
Zt
v(τ )dτ.
0
6i-0I9:;HC=4H-;>9¦<
¥ I h-14/2H¦YC ¥ 348Al8-0H:©`=4<4H-050398A>46 N 34/2dQR-0IYË./2<4?4Æ4=4-;I Ú g(τ ) LAB =
Zt
¢H=@>9H¦-Z:08Y:l=4<4H-05034=@M
v(τ )dg(τ ).
Ú¢:U>9=P1434=4<@©4H¦TCT?28_W4-Z:;=4H<4CH- -050g(τ398A)>96 Ë./2<4?4Æ4=4d$ÇbÍÍ@¨ Í@¨ Ì_ÉUJ¢H6T§0H6H714/2H¦T=PO/ZL9-0H C 398Al8H¦D:©mL9346O< 0
¥
¥N
N
LAB = 0 Ê µt v(t). .346=4B0C6ZL9<98A©h-.6Hh§0H6506lC ¥ 398AR-0<4=@©f146hC34- N -0<4= J@398C<98A©g:;?26346D:;H=gL9C=@M t h-0<@=@© C N 6 N -0<4H J
C ¥ W4=9:U>9-0<4<46I[146eC34- N -0<4=nC6_L9=4H-;>4©GÇ L9-0I9:;HC=@M u τ = t H-;>9¦< ¥ I]14/2H¦ C -;L9=4<4=4Æ4/e-0506 :;6OD:;HC-0<4<46506aC34- N -;<4=Éi=7-Z:;H¦ 14346=4B0C6_L9<98A© L9346O<46506Y1463D©@L9?28 6Ha=9:;H=4<@<46IT:;?26346D:UH= JL8CD8- N 6I]:;14=@L96 N -0HAM 1−µ v(t) 346 N Ú Zt 1 d v(τ )dτ . Γ(µ) dt (t − τ )1−µ 0 8 N -0H= N JW4H6i-Z:U>9=C6ZL9=4H-;>9¦+=9:;14398C=4Hi:;C6=lW98: ¥ JH6 :;HA8<4-0H+398C< ¥N -;L9=@M µ <4=4Æ4-+=6O- §0H=Y:;?26346D:;H=:;6C198AL9/2H4Ú ¨ u(t) = v(t) u(t) =
ì
å4å úù cÇ
,
¨ç LÖ S×ü 4Ù PÙ
è#ç jæç!ê
ípè#ìYégë#ì Lì
gë#ç
"é
hëjæMåè
¨Õ"º×
jè#åæHç
jëjæMå è#ç!êpç
Î Ì +DÍ.5U0 ¨ ~oM ¨ ~6 ¨ .=45 N 8H/_>4>9=4
Zt 0
K(t, τ )f (τ dτ ),
ÙDÍ
î0/^Ø'1DØ DtËtØ98/5ÌCÍÕÖ×Õ
6
°
J(t) =
Zt 0
K(t − τ )f (τ )dτ ≡ K ? f (t),
5pL9- ©@L9346148 N ©4H= 61434-;L9-;>9-0<46:;66H<46ªR-0<4=4- N K(t) K(t) = [1(t) − 1(t − T )]/T, t > 0,
õ
Uô $ó $õ Ù 5pL9ïg:UH/214-;<4W98HA8A©YË./2<4?4Æ4=@©[ Ý §0C=9:08I@L<4846Z¨9h -ZL4:;34H6CD8KË.398(t)?4HA8AJ9>9:;6¦6<4H6CI -0H39:;8HB C/2-0d3@MM 1(t) QR-0M /a§0HA814/a146D:;H346-0<4=@©`?@8<4H6346CD8 D8ì §"ÑlÔAØ9'íØ0/ñ2Ö9Ø c×Ö'í@ÕÔ ÔÕPíØ × |j^ÔÓ.g2ÖÓ._Ó ×Ö'í@Õ _Ô_Ø0/^Ø
+
(N )
T,ν N N N N <46D:;H= <98g6H34-0B0?2Jt61434-;L9-;>4©4-0H:© 34-0?4/23434-0<4H< ¥N :;6M ν = ln 2/ ln(1/ν) [0, T ] 6H<46ªR-0<4=4- N
h i (N ) (N −1) (N −1) KT,ν (t) = KξT,ν (t) + KξT,ν (t − (1 − ξ)T ) /2,
ì
(0)
KT,ν (t) ≡ K(t).
ï 8:;ªRHA8O< ¥ Ia198398 N -0H3KJE28398?4H-034=4B0/2dQR=4I`:;H-014-;<4¦:l8AM L9-Z:;¦ ξ ∈ [0, 1] N H=@© N <46Zh-Z:;HCD8+1434=14-034-;ED6_L9-<98+:U>9-;L9/2dQR=4Im§0HA81K¨DÎ ¥ :;6HA8.?@8<4H6346CD8mr_5034-UM O-0ªR?284se<98 M §0HA814-a146D:;H346-0<4=@©nC]:;66HC-0H:;HC=4=¡:Y<463 N =4346C?D6I[398C<98 N N ¨ . 4 3 -06O398B06C8<4=4K - @i81@>8:08 34-0?4/23434-0<4H<46506]:;66H<46ªR-0<4=@©T1434=4C6M 1/(2ξ)N T L9=4Hl?Y:U>9-;L9/2dQR- N /g34-0B0/Z>9¦AH_8H/^Ú n b (N −1) (λ) = 1 − exp(−λT ξ ) QN (λT (1−ξ)) b (N ) (λ) = 1 + exp(−λT (1 − ξ)) K K T,ν ξT,ν 2 λT ξ n 5pL9-
QN (z) = 2−N .34=
N −1 Y n=0
N →∞
b JbN (λ) → J(λ) = Kν [λT (1 − ξ)]fb(λ),
5pL9-
[1 + exp(−zξ n )] .
Kν (z) = lim QN (z) = N →∞
πν (ln z) , zν
ï14-034=46_L4=4W4-Z:;?@8A©Ë./2<4?4Æ4=@©Y: 14-034=46_L96 N Ú π(ln z) ln ξ πν (ln z ± ln ξ) = πν (ln z).
i/2<4?4Æ4=@©i§0HA86H:;/2H:;HC6CD8A>8XC14-034C6<98_W98A>9¦<46 N CD834=98<4H-¢C ¥ W4=9:U>9-0<4=4IK¨)n.H6M O ¥ rA:;14398C=4H¦D:©KsG:n146_©4C=4CªR-0I9:©kL96146>9<4=4H-;>9¦<46I«BZ8C=9:;= N 6D:;H¦dRJiO ¥ >96 1434-;L4>96Zh-0<46l/D:;34-;L9<4=4H¦34-0B0/Z>9¦AHA8Hh146l14-034=46_L9/^Ú@C N -Z:;H6
J(t) = Kν ? f (t),
1434=4<@©4H¦<46C6- 61434-;L9-;>9-0<4=4J(t) = hKν i ? f (t),
?26H6346- =1434=4C6_L9=4Hl?f=4<4H-050398A>9/mL9346O<46506hH=4198
J(t) =
C(ν) T ν Γ(ν)
Zt 0
(t − τ )ν−1 f (τ )dτ,
ÙÙ
î0/^Ø'1DØ DtËtØ98/5ÌCÍÕÖ×Õ
5pL9C(ν) =
Z1/2
πν (ln z + x ln ξ)dx.
−1/2
6R8A>9¦<4-0I4ªR-0-398B0C=4H=4- §0H=@Em=@L9-0IKJ26D:;<46CD8<4<46-<98i398B;>96_R-0<4=4=g14-034=46M L9=4W4-Z:;?D6IYË./2<4?4Æ4=4= Cl3D©@L|i /234¦-
πν
πν
1434=4C-;>96l?C ¥ 398AR-0<4=4d
µ
Kν (z) =
ln z ln ξ
¶
∞ X
∞ X
=
n=−∞
exp
µ
ln z ln ξ
¶
,
Cn exp [(−ν + iΩn ) ln z] .
n=−∞
»Z!#"D+:'$.:ò&.N+L8A>9-0-JDW4H6R§0H6Hi3D©@L
:U>85;8- No¥ EtJ ∞ X
n=−∞
N 6_<46R81414346?@:;= N =4346CD8H¦i:;/ NN 6ImH34-;E
Cn exp [(−ν + iΩn ) ln z] ∼ = C0 z −ν + An z −ν+ihΩi + A∗n z −ν−ihΩi ,
hΩi = 2πhni/ ln ξ, L9CD8[146D:U>9-;L9<4=@E =4B]?D6H63 ¥ E =9:;W4-0BZ8dHnCn34-0B0/_>9¦_HA8H-]/:;34-;L9<4-0<4=@©KJ 8CH63 ¥ C<46C¦h1434=@E6_L4©4Hl?34-0B0/Z>9¦AH_8H/m14-034C6If398O6H ¥ o Ìp¨ e <98A>9650=4W4< ¥ -i3@-0B0/_>9¦AH_8H ¥ O ¥ >9=146>9/2W4-0< ¥ C398O6HA8AE~o-0<98m:+:;6D8CH6M 398 N Ï = o ðAM:Ì 9 pÈ ¨ s.<4H-0341434-0HA8Æ4=@©g14398?4H=4W4-Z:;?4=g6D:;HA8CD8A>8:;¦+H6Ih-.:08 N 6IK8 ¨ i=4B0=@M W4-Z:;?28A©]:;=9:;H- N 84J±?26H6398A© N 6_R-0HaO ¥ H¦a614=9:08<98CaH-03 N =4<98AEcL9346O< ¥ Ec14346M =4B0C6_L9< ¥ EKJL96>4<98.E28398?4H-034=4B06CD8H¦D:©l<98A>9=4W4=4- NeN -;L4>9-0<4< ¥ E Ç L9=9Ë+Ë./2B0=46<@M <46506RH=41984J@?@8?gCh5034-0O-0ªR?D6C6Im=@>9=g14-034?26>4©4Æ4=46<4<46I N 6ZL9-;>4©@E9É¢?28<98A>96C9J2:;6M B;L8dQR=@EcË.-0<46 N -0
$¾ 61
∆v =
1 m
Zt 0
F(r, v, τ )dτ,
ý
+ò
Uâò × @ÔUò -òXÕWôÕÔÕUâ
ÕÖÖ+òXÕ
D8ì {zT/tÓ4°fÖ XÕr4@×.4Mí@Õ
Ú
4
í
ÙDq
8CH63 ¥ 1@=4ªR/2H4Ú±r ¢:U>9=fCBZ8= N 6_L9-0I9:;HC=4-W98:;H=4Æ ¥ :.:08 N 6146_L96O<46Im=@>9=f6O6OM QRü0<4<46a:08 N 6146_L96O<46IcË.398?4HA8A>9¦<46Ic:;H34/2?4H/2346I]= N -0-0H :;H6>9?4<46C=4H-;>9¦<4/2d 1434=4346ZL9/DJ@H6m:;=@>9/ N 6_<46l1434-;L:;HA8C=4H¦ClC=@L9F(r, v, τ ) = F(r, v, τ )
X
1(tk < τ < tk+1 )ρk ,
k
5pL9ï7=4<@L9=4?28H63n=4<4H-034CD8A>8 J ï712>96H<46D:;H¦ 1(t < τ < t ) (tk , tk+1 ) ρk :;6D:;H6_©4<@k=4IK¨6+>4©]:U=@k+1 > ¥ JKL9-0I9:;HC/2dQR-0IeH6>9¦?26Y61434-;L9 -;>9ü0<4<46-C34- N ©KJ No¥ 146M >9/2W4= N Ú m∆v = A[Γ(ν)]
−1
Zt
(t − τ )ν−1 F(r, v, τ )dτ.
°¢H6./2398C<4-0<4=4- N 6_h-;H.O ¥ H¦.=9:;146>9¦B06CD8A<46L4>4©l614=9:08<@=@©hO346/2<46CD:;?26506L9C=@M h-0<@=@©l=h146H-034¦.C+:;H6>9?4<46C-0<4=@©@Ets_J_BZ8C-034ªh8dH 8CH63 ¥ 1434-;L9146D:U>9-;L4<4=4Il398B;M L9-;>a:;C6-0I:;HA8H¦=K¨ ì 8 N -0H= N J46_L9<98?D69J4W4H6lL96l614=9:08<4=@©34-Z8A>9¦< ¥ Eg14346Æ4-Z:0:;6C :146 6QR¦d§0H6506e/2398C<4-0<4=@©T-0QRüYL96C6>9¦<@6`L8A>9-0?269¨ +3@-;lL9-aCD:;-05069J<98AL96 0
= N / O-;L9=4H¦D:©Ci<98A>9=4W4=4=mË+348?4HA8A>9¦<46I:;H34/2?4H/23 ¥ JD/D:;HA8<46C=4H¦+1434=4W4=4<4/l-0ü146M 2 ©4C>9-0<4=@©f=61434-;L9-;>9=4H¦l6D:;<46C< ¥ -.-0ü E28398?4H-034=9:;H=4?4=K¨ lL9<98?269JAW4- N O6>9-0-X:U>96_<46Il:;HA8<46C=4H:© U +)"R$.]J146_©9:;<@©4dQh8A©l:;H34/2?@M H/234/]L9346O<46I[14346=@B0C6_L9<46IKJH- N«N -0<4¦ªR-Y146>9¦B ¥ 6He<4-0üYCe1@>8<4h - &'('BC"%! P!#"BC* '&'&lH_8?26506 614-0398H63984J0L96>4h-0<9:;HC/2dQR-0Ih6O>9-050W@=4H¦ =4<4H/2=4H=4C<46-X6OM 398QR-0<4=4-:g<4= N = ¨ n.H6`§0H6`BZ8[r_146H-03©4<4< ¥ -Y:;6D:;H6_©4<4=@©T:;=9:;H- N±¥ sAJC`W4ü N =@E Ë.=4B0=4W4-Z:;?4=4IY: No¥ :U>J9146W4- N /g6<4=6O_©4BZ8H-;>9¦<46RE28398?4H-034=4B0/2dH:©YË.398?4HA8A>9¦M < ¥N 398:;143@-;L9-;>9-0<4=4- N C6fC34- N -0<4=KJK?@8?`=@E`:;C©4BZ8H¦:l:;6C-034ªR-0<4<46f398B0< ¥N = 146l1434=4346_L9-+14346Æ4-Z:0:08 N =KJ@L9614/:;?@8dQR= N =?D63434-0?4H<46-+614=9:08<4=4-.CH-03 N =4<98AE L9346O< ¥ Ee14346=4B0C6ZL9< ¥ ' E m ¢H=7C614346D: ¥ 146D:p>96_<4-0- N 8H- N 8H=4W4-Z:;?4=@E]1434-06OM 398B06CD8<4=4IKJ2?26H63 ¥ - No¥ CD:;H34-0W98- N Cl§0H=@Ef398O6HA8AEt¨ 6i34/2506Ia146ZL4ED6_La? =4<4H-0341434-0HA8Æ4=4=aL9346O< ¥ EY614-0398H6346C9J96D:;<46CD8<4< ¥ I <98¡14346Æ4-;L4/@3@-7?434/214<46B0-034<4=9:;H6506P/:;34-;L9<4-0<4=@©j1@6PC34- N -0<4=KJ.8<98A>9650=4W4<46506 O6506>9dO6C:;?26 N /`/D:;34-;L9<4-0<4=4dRJo398B0C=4 H ~o¨ =@>9¦Ë.-0346 N o Ì_)Í p+ÇV: N ¨H_8?@h-:;HA8AM H¦ = o Ì AMwÍ )p\ÉU¨
W/
¾
+
L°
gÝ
å4å
cÇ
[÷ PØÁ÷ ç [÷ ^÷ é PØ [÷
êpìXüë
{Ò jè
´åóÒ wÒLæMå
Ìæ ´å
#åè#å åëjë
´å
¢/2QR-Z:;HC/-0HH6W4?@8ÿB034-0<4=@©KJc:;65>8:;<46ÿ?D6H6346I¬14346D:;H ¥ -:;=9:;H- No¥ \Ç C?@>9dW98A©¡398B;>96Z= No¥ - <98e14346D:;H ¥ -_Ém614=9: ¥ CD8dH:©n14346=4B0C6_L9< ¥N =nÆ4-;> ¥ E 1463©@L9?26C9JH65pL8Y?28?7:U>96_< ¥ - Ç\<4-g398B;>96_= No¥ -m<98Y14346D:;H ¥ -_É+614=9: ¥ CD8dHAM :©`L9346O< ¥N =e14346=4B0C6ZL9< ¥N =K¨+814-034C ¥ IcCB05p>4©@LeCa§0H6 N -Z:;H¦aB0-034<@6a=9:;H=@M < ¥ J±6D:;6O-0<4<46a-Z:U>9=]= N -0H¦`CC=@L9/c:08 N 6146_L96O< ¥ -g:U>46_< ¥ -f:;=9:;H- No¥ JoHA8?4=4-J
Ù q
î0/^Ø'1DØ DtËtØ98/5ÌCÍÕÖ×Õ
?@8?nË.398?4HA8A> ¥ ¨v6i-0I9:;HC=4H-;>9¦<469J
348B0O=4CD8A©T14346D:;H/2dÿ<4-06_L9<46346ZL9<4/2d<4-Z:;HA8AM Æ4=46<9834<4/2d:;34-;L9/`<98Y§;>9- N -0<4H_834< ¥ -g6O K- No¥ Jt398:0: N 8H34=4CD8- No¥ -CaH-0W4-0<4=4§;>9- N -0<4H_834< ¥ E7C34- N -0
ý
+ò
Uâò × @ÔUò -òXÕWôÕÔÕUâ
ÕÖÖ+òXÕ
D8ì {zT/tÓ4°fÖ XÕr4@×.4Mí@Õ
4
í
ÙM>
:;H-0I]ÇV:;-05 N -0<4H6C2É}1434=L9-ZË.63 N 8Æ4=4=<4-0C6B N 6_<469J@HA8??@8?<4-06O_E6_L9= N 8A©gL4>4© 1434-06ZL96>9-0<4=@© N -; N 6>9-0?4/Z>4©434< ¥ EgCBZ8= N 6_L9-0I9:;HC=4Ig§0<4-03450=@©f<98 N <46506h1434-0C ¥ M ªh8-0H §0<4-03450=4=hE@= N =4W4-Z:;?4=@El:;C©4B0-0IK¨)6iC=@h-0<4=4-FHA8?D6I N 6>9-0?4/Z> ¥ 6D:;/2QR-Z:;HC>4©@M -0H:©Y146D:U>9-;L96CD8H-;>9¦< ¥N L9C=@h-0<4=4- N -0-h:;-;5 N -0<4H6C9J9C6B N 6_< ¥N CD:U>9-;L:;HC=450=4O?D6D:;H=YC ¥ :;6?26§;>8H=4W4<46I N 6>9-0?4/Z> ¥ . ¨ s.B0/2W4=4CmBZ8?D6<46 N -034<46D:;H=L9C=2h-0<4=@© :;-05 N -0<4H6C9J N 6_<46g146<@©4H¦mBZ8?26< ¥ 14-034- N -0QR-0<4=@©aÆ4-014< ¥ E N 6>9-0?4/Z>J=4B N -0<4-;M <4=@©a=@EaË.63 No¥ =KJCm?26<4-0W4<46 N =4H650-JBZ8?26< ¥ L9-ZË.63 N 8Æ4=4=YC ¥ :;6?26§;>8:;H=4W@M < ¥ EaH-;>d ¨ ¢65p>8:;<4 6 <^# ¨ @d ¨
>96<4= N :;?D6 N /DJ^<46C ¥ Ia14/2H¦f61434-;L9-U>9-0<4=@© BZ8?26<46C L9-ZË.63 N 8Æ4=4=[C ¥ :;6?26§;>8:;H=4W4< ¥ ETH-;>PBZ8?@>9dW98-0H:©¡Ce6H?28B0-a6He1434-;L:;HA8CM >9-0<4=@©]6aC ¥ :;6?26§;>8:;H=4W4<46D:;H=e?28?]34-0B0/Z>9¦AHA8H-g:;/ NN =4346CD8<4=@©]/2143@/@5;6D:;H=]= C<4/2H34-0<4<4-0506lH34-0<4=@©K5 ¨ l :;<46CD8<4=4- HA8?D6506l6H?@8BZ8hC=@L9=4H:©Cl34-;L9?26 N 6HZ>9=4W4=4= C ¥ :;6?D6§;>8:;H=4W4<46D:;H=f6Hl/21434/2506D:;H=6O ¥ W4< ¥ EgH-;>a<4=4B0?4= N =]Ç\<98mÍ_M R1463D©@L9?@8 <4=@R-X6O ¥ W4< ¥ E9ÉB0<98_W4-0<@=@© N = N 6_L9/Z>9-0Il/21434/2506D:;H=KJA50346 N 8AL9< ¥N =hC-;>9=4W4=4<98 N = Ç L96g:Ì 9 9 9Gôj=mC ¥ ªR-_É
6O348H= No¥ ElL9-ZË.63 N 8Æ4=4-0IKJD6O398H< ¥N =gB0<98?28 N =mH-01@>96M C ¥ E+§ZË+Ë.-0?4H6CL9-ZË.63 N 8Æ4=4=R=RH- N 14-0398H/234<46506 N 6_L9/Z>4©R/21434/2506D:;H=K ¨ lHZ>9=4W4=4§0HF 6
Ú
uwK: ÙÞA|_wwU¢~__% ÞAwUypzU_ ×)öPØZy ØØZyp_;_)| ØZyX ÷øypUU_;# ù.4? ú¢ww;A0ÙxA__Uz;yU×XzUzU%ÞA%á |__ ÞA_UU|_-Ý.~__U)øwzU?ÞA|_Ý.zÛoUA0ÙxA_AUz-Ø:ÙØ0U|)Ø__w;|_-ÝøyÞy?à_D
Ùð
î0/^Ø'1DØ DtËtØ98/5ÌCÍÕÖ×Õ
jæMåè#çgæ û\è#ç
^OP-G F$TJ$¡k$w m z mxyª mx Jn x n m $% ( ¦ ¦ xb¨$( mx sz AtJ mÇbÍ DÍÉU¨ Í@¨F'IJtLOP N^4H;t§¡> N^ukH D¡U §Ut fbgÇ ¨ É m X m ¦! & Jz mx0w n z J m m @¨ ! mFï !'z m &¦ % & Ú ! Jz ¨ª w n x ¨ |L& X& -xb%¨ JÌ $4% ¨ 4¨5 61ú/ ¨½g'½y_ ýK-0634-0H=4W4-Z:;?@8A©i= N 8H- N 8H=4W4-Z:;?@8A©RË.=4B0=4?28q+,KJ DqAÙ ÇwÌ DÍÉU¨ Ù9¨^½ ¨/ ½gk\} ýK-0634-0H=4W4-Z:;?28A©[= N 8H- N 8H=4W4-Z:;?@8A©[Ë.=4B0=4?@8 )-,+K, JÙ 4J ÌÌ_qAÙfÇwÌ Ù2ÉU¨ q@¨^½ ¨/ ½gk\} ýK-0634-0H=4W4-Z:;?28A©[= N 8H- N 8H=4W4-Z:;?@8A©[Ë.=4B0=4?@8 )-,6tA J 4J Ì_q gÇwÌ DqÉU¨ 4¨^9ILK>I F-Q_I[`4 N^¨ V; QF-GdG H 4P4 N^¨Ht 6IJ wyx X ¦ ;& & & W % n &
m m x ¨2ï; gm Ú JKÌ ð4¨ U& & z{& & z & & 2¨¨ V; QF-GHG H*4;4 NLI K>I F-Q_I `4 & ¨39 ¨ p! Jz ¨ & & Un s& )J9ÍfÇbÍ Ù2ÉU¨ ð4¨IJ[ A g R N fF g De Nr+Fº $ X ¨$# & ¨$£( Í@Ì 4J4q ÇwÌ DÉU¨ 4¨Y-m F g De NIJº A g oN F[E--9 ¨0 X ¨-i( ¨ Ú | m KX ¨4 & ¨ 7+K, J@qq mÇwÌ ÉU¨ Ì 4¨IJ[ . g Ngg 'VºE- 4 X sz m3£( Íð 4J2Ù2qfÇbÍ DÉU¨ Į̀¨E- IJ j`4u3 xz & & z & JtÌ ðz & 4x &¨ z & x{Am m z «z ! x z{% ¨.ïf# $% ÚªX & x s& m Ì_Í@¨¨HG i I 4 Ú( ¦ ¦ x m x %[! Jz & z J^Íz @z J ¦ ¨9ð 2w ¨ m z mx-ª mx Jn x n z X sz ¨Zï !'z m ¦ & Ú Ì 4¨@{ JF$IJ JQ E - X ¨$ &Y ¨-© Í@J 4ÌÌÌ gÇbÍ DqÉU¨ Ì0Ù9¨6 D{ B NBK> QDF-;Q_pRy+( ¥ z Y Ú x z ¨ ª ® 4Ì q DJ4Íq n J9Í DÍ@¨ Ì_q@¨3e J V'G {+gOP Ng 3`4 N43IDDQB X ¨$ &Y ¨ ©vA$Kq J9Í gÇÌ DÉU¨ Ì 4¨¨FK> N;R fL ( "o qKJ9Í!q mJz & ÇbÍ J&3Dz ÉU¨ ªX z 4m ¨ !'& z & ¤ X sz J | m X & ;m z m $% Ì 2¨ HF L A g NggFE-- X ¨$# & ¨$(«?+¶+t? J Dq fÇbÍ DÉU¨ ÌZð4¨^r+Q_ ${ G ts§¡ `4 N IJ ÉUu3¨ ( mx X sz Ú Ì 4¨ Ì @Ì ® ¨ m ¦ ¨ Í D¨ Ù4¨ 4ÌÌlÇbÍ % z ̨
ò ö ó+ô
ò
8ôBò ö ó+ôBõ
Dü
ò
ô
Bõ
8ý q
ô
ô
óP¾
c
8õ ó
ô8±
B qM>
6õ õ
ôBõ ró
6ò
ö
P9 9
%ö
:
4ò
ó 8õ
ô + q
ô8ó
H& H* BGL)$J$.&8( +
TL B H* ( +
0> q
TL B H* ( P9+ +
++
q
± %ó
%ö
ò ö
8
õ
¯
>
ôö
P9 9
6õ
:9
6õ ò
òö
·
ò
õõ
ô 6ò 4ô+ö ¾1ò
ó
H² ò ö +
Dþ
ò
ÿ>
6õ
ö
q
P9 9 9
ô
:9+
î¿
ô
6ò 4ôBò ô J> P9 9 q
õ ö ó+ô8ó
>
6õ
ô
6ó
:9
:9 :q
ó
P9P9M> 9
9
P9 9M>
õ~ó
Pq+
8õ
Bõ
%ö
õ õ
+M>
ó+ô 6ó+ô
ô
6õ ò4õ
õ
ô8±
ó
P9 9
T²
ô
9 :9M> 9 J>
P9 9
8ô
Pq 9+
õ
8
%ö~ö
4ó
õ
+ q
6õ
:q
Wö
4ô
ó
ò
õ
6ò
6õ
ò ö ó+ô
89
ó
ö ó+ô
ò ö ó+ôBõnó P9 9 9 M>
ô
%ö~ö
²
ò
+
6õ ò4õ
++
ö
ö ò4õ
ô
P9 9 9
ô8ô
õ
ó
8õ ò4õ
9Ô_Ø
úi×'í@ÕÔ_Ø0í
Ù+
x D{¨ ª B N¼u¨ ð@ J^$Ì H3à( u3 i NÔÇbÍ K> Ù2QÉUD¨ F-;Q_ÍRy9¨ ! m ¨ X ¨( ¥ z Y Ú ¦ z ® Í 4¨K> ' IBR$ T Q;K> Nk ;68E-Su39¨^w m 'x z ¨S7+76A ¬ J+Ì ÇwÌ ðDÉU¨ Í@̨P¨ V; QF-GdG H4k4 NWI´K>I F-Q_Ij`4¨9 ¨¨l Msª ¨ ! x zH% 76A)J+Íððð ÇbÍ DqÉU¨ ÍÍ@¨P¨ V; QF-GdG H[464 X sz m3(f7+²+K7 J9ÍðDÍgÇbÍ DÉU¨ Í 4¨r+Q_ ${DG t§¡3`4 N43IJ [u3 X sz m;(7+,+K7 J9q gÇbÍ DÍÉU¨ ÍAÙ9¨\ '/ J³ [µ6y»k i6?@>8AL ¥ ]) o K, J Ù ÇwÌ 4Ì_ÉU¨ Ì 4¨
ô
¿
ô
T²
9+ 9+ 9 q
:9
ö
P9 9
P9
ô
+
ó+ô
P9 9
6õ ò
$.)('& HI &'[
06
ô
6õ ö
6õ
e Wuu~
J>
ó
P9 9
6
:9M> >
ôBõ ö
P9 9 q
6õ ò
¶
ö
q
6õ
Ê
"%ñË
! ÆÅ"%
Å "%ÆÅ
ÌÆË
#
Å
!
Å'
!
Å
"%"%
"'
[æ ØÁØ $Ò Ó "ç"Õ"º×
ÈHÇ
û\ë
!"$#&%('()(*(+, -/.0-1324, -/%(%6587Û6-/96-4 :-%(%6587}¨=<@8
6O6OQh8A-0HR146<@©4H=4-iË+8?4H634=98A>9¦<46IfË./2<4?4Æ4=4= n! = 1 · 2 · . . . · n,
NN 8AMÈË./2<4?4Æ4=@©
n = 1, 2, 3, . . . ,
14346ZL96>4l8A©[-0üYCe6O>8:;H¦c<4-0Æ4-;> ¥ EtJ
6H34=4Æ98H-;>9¦< ¥ E[=TL8Ah-Y?26 N 1@>4-0?@:;< ¥ E B0<98ZW4-0<4=4Ih83450/ N -0<4H_84P¨ lH14398C<46I+H6W@?26IiHA8?265066O6OQR-0<4=@© N 6_R-0H :U>9/D=4H¦ =4<4H-050398A>
6+>4©
Z∞
e−x xn dx = n!.
0
Ë /2<4?4Æ4=@© . )P!#"D+)"R$@Ï#"BCIÏT146D:;34-;L:;HC6 N x > 0 Γ(x) CH6346506h346_L84Ú Γ(x) = s.Bf:08
Z∞
a°
=4<4H-050398A>8 ¢I@>9-0398
e−ξ ξ x−1 dξ.
0
N 6506 61434-;L9-U>9-0<4=@©7C=@L9<469JoC W98:;H<46D:;H=KJoW4H6 Γ(n + 1) = n! L4>4© n = = 1, 2, 3, . . . Γ(x + 1) = xΓ(x) L4>4©CD:;-;Em146>96_=4H-;>9¦< ¥ E ¨ x ¢/2QR-Z:;HC/-0Hí/ZL96O<98A©Ë.63 N /Z>84Jm146B0C6>4©4dQh8A©C ¥ W4=9:U>4©4H¦5;8 NN 8AM Ë./2<4?4Æ4=4dCc6H34=4Æ98H-;>9¦<46I[6O>8:;H=[83450/ N -0<4HA8c146c-0-YB0<98_W4-0<4=@© N Cc146>96M =4H-;>9¦<46IKJ4<98B ¥ CD8- N 8A©fË.63 N /_>96ImL96146>9<4-0<4=@©KÚ Γ(x)Γ(1 − x) =
π . sin πx
ß
ÙÙ2Í
Ô×8/tÓ4°fÕÖ×Õ
<@8 NN 8AMÈË./2<4?4Æ4=@©e?26 N @ 1 >9-0?2:;<46506`83450/ N -0<4H_8 61434-;L9-;>4©4-0H:©]?@8?78<48AM z >9=4H=4W4-Z:;?D6-i143@6_L96>4h-0<4=4<98hCD:;d ?26 N 1@9 > -0?2:;<4/2d£12>96D:;?26D:;H¦9Ú Γ(x)
Γ(x) → Γ(z) =
Z∞
e−ξ ξ z−1 dξ.
0
.6i:;/2QR-Z:;HC/JAL9-;>46R:;C6_L9=@HD:©l?14346_L96>4R-0<4=4d¡146?@8BZ8H-;>9¦<46IlË./2<4?4Æ4=4= ξ x−1 Cl?26 N 1@>9-0?2:;<4/2dG1@>96D:;?26D:;H¦9J
ξ x−1 → ξ z−1 = e(z−1) ln ξ
gÚ
Ç\C ¥ O=4398-0H:©YC-0HC¦9J45pL9-hË./2<4?4Æ4=@© C-0QR-Z:;HC-0<4<98DÉF=YL96?@8BZ8H-;>9¦D:;HC/f:E6M ln ξ L9= N 6D:;H=7<4-Z:;6OD:;HC-0<4<46506Y=4<4H-050398A>84¨ L9=4<9:;HC-0<4< ¥N =T6D:;6O-0<@<46D:;HZ© N = Γ(z) C7?D6<4-0W4<46I¡W98:;H=¡?26 N 1@>9-0?@:U<46IP1@>96D:;?D6D:;H=n©4C>4©4dH:©¡14346D:;H ¥ - 146>9d : ¥ : C ¥ W4-0HA8 N = 1434= ¨ (−1)n /n! z = −n, n = 0, 1, 2, . . . # ¨
>9-;L9/2dQR=4-R:U66H<@6ªR-0<4=@©= N -0dH N -Z:;H6 L4>4© Ú Γ(z) Γ(z + 1) = zΓ(z), π , Γ(z)Γ(1 − z) = sin πz π Γ(1/2 + z)Γ(1/2 − z) = , cos πz
; 13%658,<%(=>-?1@5<5824%658A0-/%(*(+
Γ(nz) = (2π)(1−n)/2 nnz−1/2
B 13*6 ^Û(2 5824*(C6-13'(*6-D"E5896 :#F6=
n−1 Y
Γ(z + k/n).
k=0
°
= ¨ .34= N -0<4-0<4=4- N«N -0H6_L8c14-034-0CD8A>8`? C ¥ W4=9:U>9-0<4=4d=4<4H-050398A>8 ¢I@>9-0398cC ¥ C6ZL9=4H:©n:U>9-;L9/2dQh8A©n8:;= N 14H6H=4W4-Z:U?@8A© Ë.63 N /Z>8ÇVË.63 N /Z>8r¢H=43@>9=4<45;8DÉ
>9-;L9/2dQR-0-+8:;=
Γ(z) ∼
√
2πz z−1/2 e−z ,
z → ∞,
|argz| < π.
N 14H6H=4W4-Z:;?26-i:;66H<46ªR-0<4=4- HA8?@h-.= N -0-0H N -Z:;H69Ú
1434=/D:U>96C=4=KJ@W4H6
Γ(z + a)/Γ(z + b) ∼ z a−b ,
|z| → ∞,
<4-+1434=4<4= N 8 -0HB0<98ZW4-0<4=@© = z z = −a, −a − 1, −a − 2, . . . z = −b, −b − 1 − b − 2, . . . t¨9Î}-034<4- N :©?Ë.63 N /_>9-
GH9(*I*(%62 -/J396 FK
Γ(x) =
Z∞ 0
e−ξ ξ x−1 dξ,
x > 0.
ð+Õ4Ó @ÓÔUòXÕ -ôÕUó×9Ø 2Ö+òXÕ 9Ö+ó×× 'í
4
ÙÙ
0/ñ
¯
.6C-034<4/2CF>9/2Wi=4<4H-05034=4346CD8<4=2©+L96 N 4 < = N 6Ii6D:;=KJZW4H6C:;=@>9/ >9- NNo¥ 63L8<98 C6B N 6Z<46l1434= J41434=@ED6ZL9= N Y ? Ë.63 N /Z>90<x<1
Z∞
e−iξ ξ x−1 dξ = e−iπx/2 Γ(x).
0
lHZL9-;>4©@©gL9-0I9:;HC=4H-;>9¦<4/2dGW98:;H¦l6H
Z∞
N <4= N 6IKJ4146>9/2W98- N Ú
ξ x−1 cos ξdξ = Γ(x) cos(πx/2),
0
Z∞
e−iξ ξ x−1 dξ = Γ(x) sin(πx/2).
0
.6l1434=4<4Æ4=414/8<98A>9=4H=4W4-Z:;?26506l14346_L96>4R-0<4=@©§0H=aË.63
N /_> ¥ 6D:;HA8dH:©Y:;14398AM C -;L4>9=4C ¥N =a= 146D:U>9-RBZ8 N -;< ¥ <98 ÇV?D6 N 1@>9-0?@:;<4/2dk14-034- N -04 < <4/2d.ÉÈCD:;d}L9/DJ^5L9x z CED6ZL4©4QR=4-.Cl<4=@Eg=4<4H-050398A> ¥ 9 3 8C<46 N 0- 34<46:ED6_L4©4H:©KÚ Z∞
e−iξ ξ z−1 dξ = e−iπz/2 Γ(z),
0 < Rez < 1,
0
Z∞
ξ z−1 cos ξdξ = Γ(z) cos(πz/2),
0 < Rez < 1,
0
Z∞
e−iξ ξ x−1 dξ = Γ(x) sin(πx/2),
"ç"Õ"" MLNL ÙgÒ POPÓÔÓ EORQ : 198398 / -0H346 $ J³ 0Ï 614$34³U-;L4¾ -;2>4Ï©4=-0H:©3D©@L91D6 » < å
0
cÇ ,
û\ë
t
֐
u+:(').*!0* H"B !.& 8"I J* OA=L (
¥N
N
'&
O&'BGBC*
N α>0
U"?AdA$#"%!0*
N
∞ X
−1 < Rez < 1.
Eα (z)
: 146>96_=4H-;>9¦M
zn , Γ(αn + 1) n=0 <98iCD:;-0Ig?D6 N 1@>9-0?@:;<46Ig1@>96D:;?26D:;H=K¨8l<98R1434-;L:;H_8C>4©4-0Hh:;6O6Im6_L9<46R=4B 6O6OQR-;M <4=4I§0?2:;146<4-0<4Æ4=98A>9¦<46IË./2<4?4Æ4=4= Eα (z) =
ez =
∞ X zn n! n=0
ß
ÙÙÙ =1434-0C398Qh8-0H:©fCl<4-0ü+1434=
α=1
Ô×8/tÓ4°fÕÖ×Õ
Ú
E1 (z) = ez . .-Z:U>96_<46h14346C-034=4H¦lHA8?@R-J4W4H6
E2 (z 2 ) = cosh(z),
E2 (−z 2 ) = cos(z)
=
√ √ 2 E1/2 (± z) = ez erfc(∓ z) = ez 1 − √ π
.6_L
√ ∓ Z z 0
2 e−ζ dζ .
√ B;L9-Z:;¦T146<4= N 8-0H:©S5>8C<46- B0<98ZW4-0<4=4-`?4CD8AL9398H<465067?D634<@©P=4B C z z ?26 N 1@>4-0?@:;<46IP1@>96D:;?26D:;H=S: 398B034-0B06 N CL96>9¦76H34=4Æ98H-;>9¦<46IPC-0QR-Z:UHC-;<4<46I 146>9/6D:;=K¨ vN )[.IBCNP*cA=L ( '&'[ ¨ E (x) Ì_õ É .34= Ë./2<4α?4Æ4=@© 146>96Z=4H-;>9¦<98g=`C146>9<4- N 6<46M 0≤α≤1 Eα (−x) H6<4<984J@H6-Z:;H¦
\
$³U¾
dn Eα (−x) ≥ 0, x ≥ 0, 0 ≤ α ≤ 1, n ∈ N. dxn ÍÉ¡ .34= Ë./2<4?4Æ4=@© = -0-0H`<4-0W4-0H<46-gW4=9:U>96`<4/Z>9-0IKJ 1 < α < 2√ E (−x) N H65pL8h?28? = N -0-0HlO-Zα:;?26<4-0W4<46- W4=9:U>96l<4/_>9-0IK¨ E (−x) = cos( x) DÉZ +3@=2 = :U14398C-;L4>9=4C6g:U>9-;L9/2dQR-0-l8:;= N 14H6H=@M 0<α<1 1<α<2 W4-Z:;?D6-+398B;>96Zh-0<4=4-Ú (−1)n
Eα (−x) ∼ −
∞ X (−x)−n , Γ(1 − αn) n=1
x → ∞,
0 < α < 1,
1 < α < 2.
Ù2É .34-06O398B06CD8A<4=4-õ@i81@>8:084Ú
S {E
α (−(ωt)
α
)}(λ) =
λα−1 . λα + ω α
qÉZ i63 N /Z>8h/_L9C6-0<4=@©KÚ √ √ Eα (z) = (1/2)[Eα/2 ( z) + Eα/2 (− z)]. qDÉs.<4H-050398A>9¦<98A©fË.63
Z∞ 0
N /Z>8h/ZL9C6-0<4=@©KÚ
exp(−x2 /(4t))Eα (xα )dx =
√
πtEα/2 (tα/2 ),
t > 0.
ð+Õ4Ó @ÓÔUòXÕ -ôÕUó×9Ø &T2Ö+òXÕ 9Ö+ó×× ÙÙ2q < / $ J³ 0Ï $³U¾ 2Ï8= 1 » 146>9/DM E (z) W98-0H:©g=4B6_L9<46198398 -0H34=4W4-Z:;?26ImË./2<4?4Æ4=4=gBZ8 -0<46Ig8AL4L9=4H=4C<46Im-;L9=4<4=4Æ C 'í
4
0/
wN L '.*!0* H"B !.& 8"I J* ÀA=L (
'&
O&'BGBC*
H"?AdA$#"%!M*
α,β
N N ¥ 83450/ N -0<4H-F5;8 NN 8AMÈË./2<4?4Æ4=4=R14346=4B0C6>9¦< ? 6 N @ 1 >9-0?2:;< ¥N 198398 N -0H346 N o pÚ ¥ N 2 β ∞ X
zn , α > 0, β ∈ C. Γ(αn + β) n=0
-i8:;= N 14H6H=4W4-Z:;?D6-+146C-;L9-0<4=4-.61434-;L9-;>4©4-0H:©C ¥ 398Ah-0<4=4- N Eα,β (z) =
Ú
Eα,β (z) ∼ −
∞ X
z −n , Γ(β − αn) n=1
:;14398C-;L4>9=4C ¥N 4 1 34= = ¨ |argz| < (1 − α/2)π z → ∞ s N -0dH N Z - :;H6m:U>9-;L9/2dQR=4-iË./2<4?4Æ4=46<98A>9¦< ¥ -.:;66H<46ªR-0<4=@©KÚ Eα,β (z) =
1 + zEα,α+β (z), Γ(β)
Eα,β (z) = βEα,β+1 (z) + αz
d Eα,β+1 (z), dz
dn β−1 [z Eα,β (z α )] = z β−n−1 Eα,β−n (z α ), dz n n+8:;H< ¥ -+:U>9/2W98=KÚ
n = 1, 2, . . .
Eα,1 (z) = Eα (z), E1,1 (z) = E1 (z) = ez , ez − 1 , z √ sinh( z) √ . E2,2 (z) = z .34-06O398B06C8<4=@-õ@i81@>8:08iL9C/DE@198398 N -0H34=4W4-Z:;?26IË./2<4?4Æ4=4= E1,2 (z) =
S
©
ª xβ−1 Eα,β (±axα ) (λ) =
=-0ü.14346=4B0C6_L9<46I
S
n
o (n) xαn+β−1 Eα,β (±axα ) (λ) =
λα−β , Reλ > |a|1/α , (λα ∓ a)
n!λα−β , Reλ > |a|1/α , n = 0, 1, 2, . . . . ∓ a)n+1 X))X)Ð -('(.*0Ϭ+)N L '.*!0* H"B !.& 8"DI J*0Ï A=L ( '&2Ï O&'BGBC* H"?AdA$#"%!M* 61434-;L9-;>4©4-0H:©3D©@L96 N
:
>U
< /
ρ (x) = Eα,β
$ J³
(λα
∞ X
$³U¾ =
xn Γ(ρ + n) . Γ(αn + β)Γ(ρ) n! n=0
1 »
ß
ÙÙJq n§0H=
Ô×8/tÓ4°fÕÖ×Õ
N 3D©@L96 N :;C©4BZ8<46h146>9-0B0<46-+:;66H<46ªR-0<4=4∞ X 1 Γ(ρ + n) n x = , Γ(ρ)n! (1 − x)ρ n=0
8hH398<9:0Ë.63 N 8<4HA8G@i81@>8:08R§0H6IË./2<4?4Æ4=4== N -0-0HlC=@L
S V"ç"Õ""
ö
rÇ , û
n
o ρ (±axα ) (λ) = xβ−1 Eα,β
Ex (ν, a)
i/2<4?4Æ4=@©
λαρ−β . (λα ∓ a)ρ
E(ν, x) ∞ X
(ax)n Γ(ν + n + 1) n=0 /ZL96C>9-0HC63D©4-0HRL9=9Ë+Ë.-034-0<@Æ4=98A>9¦<46 N /m/2398C<4-0<4=4d Ex (ν, a) = xν E1,ν+1 (ax) = xν
xν−1 , Reν > 0 Γ(ν) =n:;C©4B08<98`:fL9C/DE@198398 N -0H34=4W4-0:;?26I[Ë./2<4?4Æ4=4-0I Y=4HHA85;Mï@+-ZË+Ë >9-0398`:;66H<46M ªR-0<4=4- N Ú Dx Ex (ν, a) − aEx (ν, a) =
n+8:;H<
¥ -+:U>9/2W98=KÚ
Ex (ν, a) = xν E1,1+ν (ax). Ex (0, a) = eax , E0 (ν, a) = 0,
Reν > 0,
Ex (−1, a) = aEx (0, a), Ex (−m, a) = am Ex (0, a), Ex (1, a) =
m = 0, 1, 2, . . . ,
Ex (0, a) − 1 , a
Ex (1/2, a) = a−1/2 eax Erf[(ax)1/2 ], Ex (−1/2, a) = aEx (1/2, a) + (πx)−1/2 , Ex (ν, 0) = ~o-0?4/23434-0<4H<
¥ -R:U66H<@6ªR-0<4=@©KÚ
Ex (ν, a) = am Ex (ν + m, a) +
m−1 X n=0
xν . Γ(ν + 1)
an xν+n , Γ(ν + n + 1)
m = 0, 1, 2, . . . ,
ð+Õ4Ó @ÓÔUòXÕ -ôÕUó×9Ø &T2Ö+òXÕ 9Ö+ó×× 'í
4
ÙÙ0>
0/
Ex (ν, a) − Ex (ν, b) = am Ex (ν + m, a) − bm Ex (ν + m, b) + .346=4B0C6ZL9<
m = 0, 1, 2, . . .
¥ -Ú
Dxm Ex (ν, a) = Ex (ν − m, a) = am Ex (ν, a) +
m−1 X n=0
m−1 X n=1
(an − bn )xν+n , Γ(ν + n + 1)
an xν+n−m , γ(ν + n + 1 − m)
m µ ¶ X m Γ(µ + 1) m µ Dx [x Ex (ν, a)] = xµ−n Ex (ν+n−m, a), n Γ(µ − n + 1) n=0 s.<4H-050398A> ¥ Ú
Zx
Eξ (ν, a)ξ µ dξ = Γ(µ + 1)Ex (ν + µ + 1, a),
0
m 0 Ix Ex (ν, a)
= Ex (ν + m, a),
.34-06O398B06CD8A<4=@©@i81@>8:084Ú
S {E
x (ν, a)}(λ)
Î}H6398A©Ë./2<4?4Æ4=@©KÚ n+8:;H<
=
Reµ, Reν > −1,
m = 0, 1, 2, . . . , 1 , − a)
m = 0, 1, . . .
Reν > −1.
Reν > −1.
λν (λ
x−ν Ex (ν, a) = E(ν, ax).
¥ -+:U>9/2W98=KÚ
E(ν, 0) =
1 , Γ(ν + 1)
E(0, x) = ex ,
E(1, x) = x−1 (ex − 1),
=H_¨ L¨
E(2, x) = x−1 [E(1, x) − 1] ~o-0?4/23434-0<4H<98A©YË.63
N /Z>84Ú
e
xm E(ν + m, x) = E(ν, x) −
:;= N 14H6H=4W4-Z:;?D6-i398B;>96Zh-0<4=4-Ú E(ν, x) − x
m−1 X n=0
xn . Γ(ν + n + 1)
¸ 1 1 1 + + + . . . , x → ∞. e ∼− xΓ(ν) x2 Γ(ν − 1) x3 Γ(ν − 2)
−nu x
·
ÙÙDð
ß
V"ç"Õ"" W èL M
ù
Ç , û
i/2<4?4Æ4=@©w~8I4H_8l61434-;L9-;>4©4-0H:©f3D©@L96
Wα,β (z) = n+8:;H<
Ô×8/tÓ4°fÕÖ×Õ
¥ -+:U>9/2W98=KÚ
N
∞ X
zn , n!Γ(αn + β) n=0
z ∈ C.
ez , Γ(β) ½ Jν (z), ν 2 (z/2) W1,ν+1 (∓z /4) = Iν (z). ~o-0?4/23434-0<@H< ¥ -R:;66H<46ªR-0<4=@©KÚ W0,β (z) =
αzWα,α+β (z) = Wα,β−1 (z) + (1 − β)Wα,β (z).
6i=9Ë+Ë.-034-0<4Æ4=98A>9¦<
¥ - /2398C<4-0<4=@©KÚ
d Wα,β (z) = Wα,α+β (z). dz .34-06O398B06CD8A<4=4-õ@i81@>8:084Ú
S {W
S {W
α,β (±x)}(λ)
α,β (−x)}(λ)
= λ−1 Eα,β (±λ−1 ),
= E−α,β−α (−λ),
−1 < α < 0.
V"ç"Õ""t M è V QYXL
cÇ ,
α > 0,
û
6iC-iË./2<4?4Æ4=4=w~8I4HA86?28BZ8A>9=9:;¦l6D:;6O-0<4<46lCD8A<
14346=4B0C6ZL9< ¥N =KJ98h= N -0<4<46lïmË./2<4?4Æ4=@©
=YË./2<4?4Æ4=@©
¥N =YCBZ8AL8_W98AEf:.L9346O< ¥N =
F (z; α) = W−α,0 (−z)
-
M (z; α) = W−α,1−α (−z) 1434= ¨8l<4=gO ¥ >9=m146_L9346O<46i=4B0/2W4-0< ¥ m¨ a8I4<983DL4=f: :;6D8CH6398 N == 0<α<1 W98:;H6l<98B ¥ CD8dH:©f-05;6l= N -0<4- N ¨ ¢H=YË./2<4?4Æ4=4=Y:;C©4BZ8< ¥ L934/25i: L934/2506 N :;66H<46ªR-0<4=4- N
°
F (z; α) = αzM (z; α)
ð+Õ4Ó @ÓÔUòXÕ -ôÕUó×9Ø &T2Ö+òXÕ 9Ö+ó×× 'í
4
= N 650/2HhO ¥ H¦l1434-;L:;HA8C>9-0< ¥ F (z; α) =
= M (z; α) = n+8:;H<
CC[email protected]©@L96C
∞ 1 X (−z)n (−z)n =− Γ(αn + 1) sin(αnπ), n!Γ(−αn) π n=1 n! n=1 ∞ X
∞ 1 X (−z)n−1 (−z)n = Γ(αn) sin(αnπ). n!Γ(−αn + (1 − α)) π n=1 (n − 1)! n=1 ∞ X
¥ -+:U>9/2W98=KÚ
√ M (z; 1/2) = 1/ π exp(−z 2 /4),
= 5pL9-
ÙÙ
0/
Ä°
M (z; 1/3) = 33/2 Ai(z/31/3 ), 6O6B0<98ZW98-0HhË./2<4?4Æ4=4d ¢I434=K¨ Ai(z) Y6 N -0<4H ¥ =Y8:;= N 14H6H=4W4-Z:;?4=4-+C ¥ 398Ah-0<4=@©f<98 Ú R+
Z∞
M (x; α)xµ dx =
Γ(µ + 1) , Γ(αµ + 1)
µ > 0,
0
z (α−1/2)/(1−α) M (x/α; α) ∼ p exp(−(1/α − 1)z 1/(1−α) ), 2π(1 − α) .34-06O398B06CD8A<4=@ © @i81@>8:084Ú
z → ∞.
S {F (xα ; α)}(λ) = exp(−λα ), 0 < α < 1, S {M (x, α)}(λ) = E (−λ), 0 < α < 1. α S {x−1 F (x−α ; α)}(λ) = S {αx−α−1 M (x−α ; α)}(λ) = exp(−λα ),
0 < α < 1.
Ù2qP9
¤
f[ $\ ][$^4Ù_Q Ó±º× Ç Q$^H\`V$^^ÒXL[ÓÔÓaORQ$ORV"Õ" ]LÖ`V[÷OØb^RXcOd][©ñ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
Ó±"û "ç>O
edfhgjilk mon_ihpjqsrut_vwexv y0z_{}|hi~6{nv
3 :/ é } h/W 3// é @ ¤Pé ¤P}¥ h U/é ¨ §}é}¤¤ª©P ¤ é}l¤ª «ª § é §}>¤¤ª@©Z ê / é H¡ ` :¢ // £léh' @ £ h¦ e_gªg}qs¬l{}~_v® v yE¯6°b±dv y²dqs¬lfi³wexv y_i~4gji|Wz´v ¢ / µ 3 é é ¶é} 3 /· @ / c`3 ë2é EE é}l é ´¸ / é ?` ?>¹ - &º / l- »£lh 3@ µ / @d¼½ '-ªD© R-:¾ ¿¿ªZ© ê? e_gªg}qs¬l{}~c_v6® v yK²g}°3r:°Mexv6® v&À»/· l /· é // U é /:} h/ é}l é _¸ / é ` £ bé}Á é Y ` é´é @ R µ@é}lé  '« R«ª© ¿¿¿_ê? e»ÃlÄ}~4Ä}¬hqÅiÆÈÇ&vYÇ&v yR®4ÄɪgjihiÆwnv´Ê&v yÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌ0z´v_ÍMv ¡(2 é ¦ l h :/ é}l é é} ¶ d é @ é ¡(2 é xÎ ')R«}¿ ¿P¿ ;ê? eÏÉ}|Ä}Ð(ÄkHÑ´v_v ¢ · l é : s wh/ s h l é}l é `@ @ ª éÒª é >ª µ@é}:4¡oé 4¢ // /¢ é 4Ó8'R§ §}¤¤¤_ê? eÏÉ}|Ä}Ð(ÄkÑ´vK_v ¢ ÕÔ é · é /· é é é ÕÔ é · é /· é é ?}R` co é}l é Ö> é ` Y¨Ö@ h `_ª:× é / 4¢ £ ÀØ ¢ // £' 4Ù8Ú 0:¿ D §}¤P¤ ;ê? é é Ö@ }Ü3Ö@ é ` ¨Ö@ h ` é / /·Õ é}l é eÏÉ}|Ä}Ð(ÄkÛÑ´vM_vM 2 é G l ZÒ é Òª ´ }Ï3/ é YÝd ë@ é
¼@Þ8 4¿ª§-© :¿ ¾ §}¤P¤ ;ê? eÏÉ}|Ä}Ð(ÄkdÑ´v(_v µ :/ é EdÀ»/ l% Ô é · é /· é /xs é}l é ZÒ é é é ë `´: l£ éh' ¢ é ¢ // ¼4Â/¼ M¥¾ j©}¿ §}¤¤ªZ§ ê? eÏÉ}|Ä}Ð(Äk8Ñ´v@_vª3 :s ± é é}l é @ / éÒªK é} lß x é¢ë // @ é > º / Ué´à Ö@ é ` ´¼á 'j«-R«« §}¤¤ª§Zê? eÏÉ}|Ä}Ð(Äk6Ñ´v<_vâ 4/ } é @ / éÒª ¨Ö@ h Õ ë ¦ lh H lhl ` / é £ éh' 4£' 4Ú8Ó 4§}¥ª-« §© §}¤:¤ _ê? 2 é ß @´`ã ¢ /· 4l eÏÉ}|Ä}Ð(ÄkHÑ´vx_v ¢ // U é I}` é}l é ` l ZÒ é Òª
h/l é é é Ö@ M}Y@ ë@ é ´ º / U é´à Ö@ é ` Ó8 Ú .P¿ ¨§}¤¥ §}¤D¤ Aê? e´k m¶®@p@Ä}r:rHi|Ìexv&äxv y(åNÄksk Ä® v æ(v y(åRp@ĨçÄp
äxv_z´v ¢ é}l é (· l é è é $} h/ h l > é l´ é
µ@ é}: 4o¡ é ¢ @/ ¢ é ¼ 4«}P¤ ¨«}¤¾ ¿¿_¿ ê? e´k ir`Ä}~/Ìé_vEexv µ@ é}l é Û@ / é ês é}l é ¶ Å j// ¶ é @ é 3d ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é 8Ù 4-© R¤ ¿¿ª_« ê? e´ksk i¶É}|qs~/q&_v y ±K°3q¶Ä}³o³oq»ÍMv y_z6|q ɪ{k qs~/q&_v yë il¬³(±dv ì@v µ@ é}l é ¸ / é >` é é // é é Ö` £/¢ é hl é Òª éé @ ·s KàRºR¢ _í Ö@ â lÒ8 À ½4 4««}¾ ¨«}¥ª© ¿¿_¾ ê? e´ksk i¶É}|qs~/qd_v y:z6|q ɪ{k qs~/qd_v yë i¬h³±dv´ì@v à Ö@ é ` U é é / é}? ÔRî Ò Öc í Ö@ â 0Ò Àؽ@Þ Mj©}¥¤ j©}¥ª© ¿¿_¥ ê? e´k}ï{ ¬Øt_v yÍwÄði³ÛÑ´v y²d°/Äk Ä}|³MñNvH 2 é ÈU é / / hh lØ I é}l é
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù2q@Ì
¸ / é Ø` h?ò éé lhl h2é § ªw ' í :(¢ // (ÚÙ8 § R-¿ §}¤¤¤_ê? e_r`Ä}|Äkjnv3æ(v yÍwÄ}|qs~4{dt_v<ó(v ¡oé // Ué é è é N h/ é / /·´ é}l é 4 l `} h/ ô ¢ é ë4l é ? l é M í Ö@ (¢Z£6£léh'6õd ¼½ K« ¾:¨«§}¤¤ ¿¿ªZ § ê? gjiRe_~4g}|ĪgjiRÍMv öKv y æ i~3ðlq&t_v8å:v y&t(Æ}Ä}~3Éjilk qs¬h³ÅÄ:æ(v8nv y&ÍMi~4gji¬dnv<® v y ÍwÄk Ī÷Ä}|~ idæ(v(ó(v ¢ / é /Ü@ / é é é}l é E@ / é £lé / / @ éSé lø3hl é 4o h :í Ö@ Ô l- ¢IÓ Þ8 '¥¤ R¥¿ §}¤¤ªZ« ê? e_~@p Ç&v:Ç&v yKe_~3É}°@k {
ì@v(ÍMv y6nK°3q ðmoÍMig}qs~4Ä>ÍMvÏñNv<í ë /· ¶ é /· é}l é é @ ß @d: é- í» é ¹@ l- 4Ú/'ù ¿ª-« R:¤ ¿¿_¿ ê? e_~@pbÇ&vÇ&v yRæ i{}~ i~@Ë{E²xv´²xv º ¨Fõ é / é 0 é s Yh/
/U éY é h /·/ é / é @ /R ' í :¢ // Ú Þ 4¿PR: ¿¿¿_ê? e_~@p Ç&v:Ç&v y6æ i{}~ i~@Ë{
²xvϲxv&3 l é é é Ö@ N}_ é}l é 63 l ` é / h é @ é é é- í Ö@ Î ù Þ .-Dª¿ R-¾ª© §}¤P¤ ;ê? e_~@pcÇ&v_Ç&v y8æ ih{}~ i~@Ë{:²xv4²xv y<Íw÷lÆqs~/qs¬p`nv £ 3 Ks é}l é 8â´ è ¸ 8` é h éh R µ3 é}l é Rá 0ª§}¿ Dª¥ §}¤P¤ ;ê? e_úl°3qs~4{Èz´v yN±´{k {hÉ}~4ÄcÍMv yz6|q ɪ{k qs~/qN_v yMë i¬h³`±dvxì@v ¢ · /· é h ¦ Òª é h é}l é l ZÒ é Òª d:í Ö@ â 0Ò À0 'ù :¤ P¥ ¤ª« §}¤D¤ Aê? e_|hËpjqs~4÷p/ihiÆÜÇ&v(t_v y_²{}r`{}iÆexv`Ç&v ¢¢ ë // U é Ô Ò ÖMû · j @ / £ é é Ö U é < é Y3/ l U é 8 :/ é > í Ö@ U é`¢ ¼ Ù á 4§}:¿ ¨§}¿¾ ¿¿_¿ ê? e_|hËpjqs~4÷p/ihiÆbÇ&vNt_v ¢ / é /w@ / é 2 é · Eh éDø é ë `3 £ lDø é}l /R í Ö@ U é`¢ ¼ Ú/'ù MD¤ D P §}¤¤_¤ ê? e_|hËpjqs~4÷p/ihiÆ?Ç&v»t_v º / U éh é ë4l M@ / é @ l Ò Ös Ô Ò Ö û · j ´ ¢ ¹¨í?í @ /·R½½ Ó8 §DP¨§Dª« §}¤¤P;ê? e_|hËpjqs~4÷p/ihiÆÇ&vÛt_v à / P é @ ë l h: £Ø l Òª 3 / é / ø é >:í Ö@ U é ¢IÓ/ù  .-PR §}¤¤jZ§ ê? ë 33Ö0 e_³ÅÄ}~4Ī÷Ë{}Æq¶÷ÛüÏvdÍMv_ýd é @ ë h 0 l ZÒ é Òª `@ R} éEÒ é f ¡ ` h Kâ @/ £U é / NÓÓ Î ¥¾ª-© ¥¿ª§ §}¤:¤ _ê? e_³ÅÄ}~4Ī÷Ë{}Æq¶÷$üÏv(ÍMv yK±K°/g}qs~4÷iÆq¶÷HÍMv yK(qok q þ/{}Æq¶÷`® v»ýd é é}l é _@ ë h l é : }»í Ö@ ¢IÓ8Ú ¥ª©}:¤ ¨¥ª © - §}¤¤ªZ« ê? e_³ÅÄ}~4Ī÷Ë{}Æq¶÷ÛüÏvdÍMv y(qok q þ@{}Æq¶÷
® v yxÊ {}|q¶÷hÄEñNv ¢ @ / éÒªw é} h0 é}l é l ÒZé Òª _}»@ lh l : }»í Ö@ ¢ Þ ù
«DP¿¨«::: §} ¤¤ª©Zê? e_³ÅÄ}~4Ī÷Ë{}Æq¶÷êüÏvcÍMv yÛ®þ@Ä}¬hq¶÷DñNvÈüÏvcýd Ò é ÿ H@ é b é}l% ` é}l `3 ´ ¢ // £' Â4Î .-DDR-¾ §}¤D¤ Aê? e_³ÅÄ}~4Ī÷Ë{}Æq¶÷WüÏv ÍMv yY®/³ÅÄ}~@Ë{}Æq¶÷Û±dv à Ö@ é ` M} éÈÒ é Û 3} é}l é £ éh' 4£' 4Ú ¼ 0ª©-© ¾¥ §}¤¤ªZ§ ê? l ZÒ é Òªd Ö@ ã ¢ /· 4l e_³ÅÄ}~4Ī÷Ë{}Æq¶÷DüÏvÍMv y
®/³ÅÄ}~@Ë{}Æq¶÷ȱdvYýd é ¨Ö@ h }$@ lh é é / h
Ù2qÍ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
é}l é < l ÒZé Òª é /· 3 h/ ÖN }&í Ö@ ¢ Ó Â 8§ R§«}¤ §}¤¤DAê? e_³ÅÄ}~4Ī÷Ë{}Æq¶÷ üÏv@ÍMv y4®/³ÅÄ}~@Ë{}Æq¶÷_±dvª é0ë Ö:} é é K 3: é é}l é 4 l ÒZé Ò Ö@ } s/ é
}Ï3/ é YÝd ë@é
¼4 .ª¾R¥P §}¤¤DAê? e_̪g}qs~ i| t_v ¢ / é / é é h éDø é £&¢ é}l é µ 3 l% í» é é é / é} :í Ö@ â 0 Ò ÀÛÂ4Î P¥ :¤ P¥ ¤ª© §}¤¤ªZ« ê? ±´Äji°3rHi|c±dv yYåN{}Æ}Ī÷l¬cÍMv yHÍMihi|¬l÷p@Äji|³
ÍMv ÍMv µ@ é}l é h @@ l @ l é é / é /U éÒ Ö é @ l é < l d:¸(/ l >} l£ éh/ é U é ¸( ·}Ö Ù á §§}P¾ ¨§§}¿ª© §}¤¤ªZ© ê? ±´Äji°3rHi|?±dv yHÍMii|¬l÷p@Äji|³
ÍMv ÍMv µ3 é ª é @ / h U é Ø í Ö@ Ué ¢IÓ Â Ó8 §Dª©-¨§« §}¤¤ª©Zê? ±´ÄÉk iÌ>nv»æ(v&í l é é M é}l é U é / /N`@ Ï} Ò é Ö? ¢ ¹ ¢d¢ ¼4 . -§ R © ¿¾_¿ ê? ±´ÄÉk iÌØnvæ(v y>óÏÄk q¶÷h{Ønvxexv µ@ é}l é l éhc é />s wh/E N Ò é U é ÖØ é ` $ l h H
} õ / é l: 6¡ é à Ö@ é ` YÎjÞ D ¤ D P: ¿ªP¿ ;ê? ±´ÄÉk iÌ nv8æ(v y´ü4{}|Æq Ë:_v&ì@v ¢ · l é è > l ZÒ é Òª `3 é é l é ` l HÝd ë@- ¸(/ Þ á '-ª-« R) ¿ª©}_¿ ê? ±´ÄÉk iÌNnvæ(v y6ü4{}|lÆq Ë_v8ì@v µ3 é}l é U é / / é @ lh é / é}` h/} é é Ö@ } Ò é ; é Ö> é ` H l h ´ ¢ ¹ ¢d¢ ¼ Î © ¨© ª¾ ¿:¾ _ê? é // U é }: é}l é ±´ÄÉk iÌcnvRæ(v yü4{}|Æq Ëc_vxì@v ¢h/ hl U é ë2é s >h/ U é / / Ò é h Ö
: }&â ·}Ö
¼4Â §}P¤ ¨ § ¤ ¿:¾ _ê? ±´ÄÉk iÌ
nv(æ(v y ü4{}|Æq Ë>_v_ì@vÏýd h/h é / p é}h } h/ é}l é d l 0Ò é Òª h/ ë42 éÒ } hU é 8 éhl é R: ¢ // £' ½8Î 4§}D¿ D¨§}¿¾ ¿D¾ Aê? é é Ö@ I ±´ÄÉk iÌnvwæ(v yÈü4{}|Æq ËD_vEì@v µ@ é}l é U é / / h/ é / ¡ Ò é U é Ö> é ` Y h d ¢ ¹ ¢d¢ ¼ 8Ó P¿ ¾ ¿ª§« ¿¾ªZ« ê? ±´ÄÉk iÌnvæ(v yÛü4{}|Æq ËW_vwì@výd h/ é}l é U é / /È`3
} Ò é ë42 éÒ : }»â ·}Ö Ó/'ù '-)R«« ¿¾_¥ ê? ±´ÄË°3~/qs~ Ñ´vÛz´v$ U é /· é é é}l é Ö `3 } w ë / @ /
:í» é é í Ö@ 4¡ 4µ / Þ ½ '¿¤¿R¿ª§}¿ §}¤¤:_ê? ±´ÄË°3~/qs~
Ñ´v8zdv º / U é é Ns »h/ ¨Ö@` l é } h/( l `@ ë s/ l é `· /K/ é é Ní» é é í Ö@ Kâ ¼á 4©}¾ªZ« ¨©}¾¾ §}¤:¤ _ê? ±´ÄË°3~/qs~EÑ´vÏz´v /· ¶ é /· h é / é Y lh é h · K h/ ¨Ö@ h h û d: Ô í» é é í Ö@ RÂ4Î 'R- §}¤¤DAê? ±´ÄË°3~/qs~Ñ´v8z´v é 3 / é h é /& N`3 } é / / 6 é /4 í Ö@ U é ¢IÓÓ Â §-© ª« §}¤D¤ Aê? ±´Äk ÄË|qs¬pj~4Ä}~ÈÇ&v ¢ / é /´@ / > @ /
í Ö@ U é`¢ Î Ó ¼ «}¥¿ ¨«¾¤ ¿¾ªZ « ê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù2q
±´Äk fi|¶Év yd±di|hË{}лqs³ ð±dv yRñR|Ī÷pj¬k i|$z´v_t_v ¢ // U é Ø} é lh é Û`3 û Y é}l h 2é 3d: 4õd Ö@ â á Ù8'¤¤P« ¿¿P;ê? ±´Äk iÄ}~/° ñNv µ@é}l é òFé ` / é é é Ö@ }I h ·/ é ¨Ö@ h `éê3 · é í /· Ú48Ù 4§}:¥ ª-§ ¨§}:¥ ¥ §}¤¤_¥ ê? ±´Äk iÄ}~/°
ñNv yÏe_ÆËÄ}|üÏv é · é /· é / h p é}Òª h wâ´ é / Ô Ò é}l é l ZÒ é Òª dÔ ¢_ 0Ò £ éh D¤ ª¤ª«}P¤ §0Ò :MHl£ é Ö §}¤D¤ Aê? ±´Äk iÄ}~/°?ñNv ydÍ>°3¬k q pc® v v(ýd? é}l é ZÒ é é é d / w¹ £(¢ ZÒ é µ@ é}l é o¡ é / / À» ë Ö$ é0ë2é l ¢ · éZÒ é 6ý í × h l£ é}2 é @> Z¢ à hj- 3h/Rºdlh/l é @ £ 3 /· l- 4§}¤¤ª © .:-« R§}P¥ ±´Äk i¬l÷l°Hnv ¢ / é / é /4 w ë / / é é é 3// K é @ é 3d í Ö/ â 0Ò ÀÛ½ Î ¾¤ª-© ¾ª§ª§ ¿¿ªZ« ê? ±´Äk i¬l÷l°Ûnv £ H Ö l Ü/ é éM é @ h/ ÖÜcí» é é í Ö@ ´¡ - µ / ªÞ ¼ ¸ ¸ - §}¤¤_¤ ê? ±´Äk i¬l÷l°Ûnv(Ý Ô é /· Ò é / K 3@ª@ > é @ é 3 é ? é}l é @ / > ¡(2é 3 / é µ3é}lé Ó Þ 4¥ª§-¾¤ §}¤¤j©Zê? ±´Ä}|hËÄ}qt_v µ@ é}l é µ 3 l% í» é é oé é /@ U é ªÜMí Ö@ â 0Ò À Ù8Ó P¥ :: §}¤P¤ ;ê? ±´Ä}|hËÄ}qt_v ¡ ×6 â éh é Ö@ h/ é}l é @ / é 0 ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ '-¨§© §}¤¤ªZ§ ê? ±´Ä}|hËÄ}qÏt_v ¢ · /·` > ë @ / · l éh ë Ö é lhl ` / 3Ö@ é ` U é 8¨Ö@ h Õ í Ö@ â 0Ò Ô l- á 'ù .D¤ P¤ §}¤:¤ Aê? ±´Ä}|hËÄ}q t_v/ é0ë d / ë@ / ë2é H ÔRî Ò ÖH é £2é U é ¸( è é / é é / é} : é- í Ö@ Î4Î@½ 'D« ª-© R«}¥ª« §}¤D¤ Aê? ±´Ä}|hËÄ}q&t_v y<ö(k i°3|{}ÆwÇ&v ²xv ÔRî Ò Ö é 3 é Y· l é è 2 é >`3 _ í Ö@ â Ò0 ÀÛ½ Ù8¥:ª««-¨«D¥P ¿¿ª©Zê? ±´Ä}|hËÄ}q:t_v yNö(k i°3|{}ÆWÇ&vR²xv õd l é è IÀ» / h h é} £d¢ 2 é `3 /· é / é} :í Ö@ â 0 Ò ÀÛ½ 8Ú '§}¿¥ R-P¤ ¿¿A¾ ê? ±´Ä}|hËÄ}qt_v yYö(k i°3|{}ÆéÇ&v ²xv yYåxk ÄÃh³i|Ûì@v:ýd @ / é ` 2 é ÔRî Ò Ö Ô h · é d í Ö@ â Ò0 À Ù Î ':¥DDR:¥¿ §}¤¤¤_ê? ±´Ä}|hËÄ}qt_v yYÍMi³ ðk i|?nv yYåxk ÄÃh³i|Øì@v µ@ j// ¶ ? é @ é 3 h/ é}l é µ 3 l% í» é é > í Ö@ â 0Ò À Ù Î -ª-§ R-¾ §}¤¤_¤ ê? ±´Ä}|hËÄ}qNt_v y:®/qok fiÌEnvì@v µ@ é}l é é l é Ic í Ö@ ´¡(/ ¸Î ù Þ ¾¥ ¥ ¾ª© §}¤¤_¤ ê? ±´Ä}|hËÄ}q`t_v y ®4{Ë{k {} Æ vxÍMvRýd ò l ô w ë ¦ l h/ é}l é @ / é > í Ö@ U é ¢IÓ Â 8Ó 4D§ P¨D§ ¥ §}¤¤ªZ© ê? ±´Ä}|Åþq>öKv yÜÇ/Äk il~@³iÜ® v ¡Ïh é b é}l h lhlh: £Ré é}l é
Û éh é / é} :À»/· l /· µ3 é}l hN£2 é /  'ù P¥ :¥ªD§ §}¤¤ªZ§ ê?
Ù2qAÙ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
±´Ä}³o³ÅÄÉk q¶ÄIì@v æ(v yMóÏ{}qs¬ÜÑ´v yH(°3q É}¬i¶É°3|cæ(v yMÑ6°3¬h³ÅÄk {}°þDexv:3 Ò /· é b Òªl Ø/Ué @ l 0 ë / @· é / h · l ß Ø`@ RM¹ - } òdUélé £ é d× é /¨ l ÞÞ §}¤¤P;ê? l ±´Ä}³o³ÅÄÉk q¶ÄWì@vHæ(v yæ i?æ<Ä}Ì æ(v y±´Ä}¬h³ÅÄk iÜì@v mhó(v yEÑ6°3¬k ³ÅÄk {}°þéexv yEóÏ{}qs¬ Ñ´v òdUé û é h@ /· Òlh Y/Y h · l ßU é `3 ´N¹Å - }&× /l é NÓ á Mª© D ¾¿ ¿¿_¿ ê? ±´Ä}°@k i>exv yxö |qÅig}|q¶÷pÛnv ¢ é}l é N@ / é Üs 4 ë2é0ë Ö @ ë /$} éÈ 3// ¶ cé @ é bÈÀ» Ö@ Ô l-  U¤¤ª¤ª§ §}¤¤ª©Zê? ±´ÄðhðÄ}~/q:exv yx±´Ä}¬h¬hqz´v yü°3|÷p/i³o³oqzdv à / é 0 ` Ö l s 2 é é H é}l é Ô é /· Ò é ª@d í Ö@ U é ¢IÓ ¼@Þ 4D« ¤ ¨««¤ §}¤:¤ _ê? ±di¶Épjqs~$æ(v yÑ6|l¬qs~3Ép/il| t_v × / @ ë $} h/ U é s / @ é
/ l h é}l é 6@ / é /N 2 é í é h/ d¢ // p é} /ÎÎ@½ 'P¤ -© RD¤ j¤ §}¤¤ªZ« ê? ±di~Üe_gªgªÄEöKv yYó&|hi¬h¬l{}~Iì@v µ3 é ª é x@ lh é é / é h/ @ @ /· l é >ª ¢ // l £ éh' 2é ¡ ` Î Ù Î MªD§ Dj« §}¤¤ªZ« ê? ±di~4÷p/ilksk Äk´exv yNK{}qs~4{}³
üÏv yü/|q ÉjiÄ}¬h¬l{}° ì@v`ó(v ¢ / ø é é Ü ß/U é ªÜ @ / Òª hl é} ë Ö` é}l é <`3 ´:3 · é <í /· Ú8Ù 4§ © -§ ¨§©§© §}¤¤_¥ ê? ±di~4÷p/ilksk Äk exv y&K{}qs~4{}³üÏv y´ü/|q ÉjiÄ}¬h¬l{}°
ì@v ® v £ 3 /· é ßU é >}Ï@ / Òª ¨Ö@ h `Y/ /·E é}l é `3 ª$¹ £K¢ ZÒ é Y µ@ é}l é o¡ é @ / ÀÏ oë Ö ®4ĪfhÄ}³oqÅi| ì@v y»eÏÉ}|hÄ}Æ}Äk6Ñ´v<_v yRü i~/|hiqs|{HÍwĪ÷p@Īgª{ì3v&exv à hª- h/xºdlh/l é @ £ 3 /· l- 4§}¤¤ª © / § -§§}P¥ ±di~/qs~3É?Ç&v t_v y»åN{}|{k iÆEÇ&v /°v yÏ®/°jËp@{}|°jË{}Æ}ÄEüÏv exv y´z6°3¬lÄ}|{}Æwz´vKz´v y(®4Äji~@Ë{?Ç&vÇ&v y ÷p@Ä}q Ëqs~cÇ&vÏÇ&v y4åN{k {Ë{k ³o¬l{}ÆÇ&v@²xv µ@ é}l é Ö é0ë @ ë /(´¹ £ 2 é £ 3 ´}Ï l é 8í» é é ×< w ë / : ÀÏ ë Ö>åN{}|{k iÆMÇ&v @°v y»®@ËÆ}{}|³o¬l{}Æ}ÄH²xv8²xv ¸( £ Ý@í '©-« ¨§ : §}¤¤_¥ ê? Ô ±di~/¬l{}~?ñNv(exv yYëHp/ihÄ}³Å÷l|ÄÃh³® v`ë>v yKÍMii|¬l÷p@Äji|³ÍMv6ÍMv ¢ // U é c} é é}l é é Òªl @ l é > éhl â h ´â Ó8Ù .ª:¤ R § §}¤¤_¤ ê? ±di|hi~/¬´äxv ydë i¬h³ þ/p@Äk v ¢Èo¡ é Ö` ë Ws
é · l é è éÒª´ é ¢6l é 4l£ éh' ¼á )¿ R¤¥ ¿¥_¾ ê? ±di|hË{}лqs³ ð>±dv yRåxk ÄÃh³i|>ì@v yRÍMi³ ðk i|nv y®4÷p/i|äxv(í Ö@ U é d/ l h H} é /4 /lhl · /_ @ éP£/¢ Òªl @ l 3 é @ é Dé H é}l é l ZÒ é Ò s :/ é /d é- â h _â 4Ó8Ú ')P¿ R§}:¤ §}¤¤ªZ§ ê? ±Kqok i|Û_v yö °3~4ÄËqØüÏv yÜë {}Ì÷ðqs~/¬Ëq ë>vYexv µ3 é}l é w¸( · l é ÿ Hà À é /ÎjÞ8 ' ¾ ¿¿_¾ ê? é / ø é o ±Kqok i|E_v yHö °@~ÄË}qEüÏv y?ë:{}̪÷hðlqs~/¬Ëq0ë>v exvx¹ hl é}l /· é ] £ éh' é- Î@á 4§}¥ª-© ¨§}¾¥ ¿¿_¿ ê? // U é é é RÒ ë `´ í ë2é0ë'4l é ±Kqok i|w_v y:åNÄ}|÷pz´v y$ë {}̪÷hðlqs~@¬Ëqcë>vexv ¡Ï U é :// U é Ö lø 4 m
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù2qq
` égé ¨Ö@` s ÔRî Ò Ö / lhÒZé é M ¢ / ¹/ -_ò í Ué cî ¢ é º / U î é h Î Ú84¥P-¥:ª© §}¤¤P;ê? ±Kqs¬lúl°i|³Kì@v µ3 é}l é &@ / > h/ :/ / ¶é // /· h · é hÒ >} h/ / ZÒ é hØ 3// ¶ Hé @ é Øwí Ö@ â Ò Ô lH¿P:6¤P¤¥¤ª§-R §}¤:¤ _ê? ±Kqs¬lúl°i|³Õì@v ¡(/ ` U é D@ / lÁ` é / l h ` @ l l 3 é 3Ö / è W é? ØÈ í Ö@ ¡(/ ¸aÎ ù4Ú8`§Dª§D¨§D:ª§ §}¤D¤ Aê? ±Kqs¬lúl°i|³
ì@vR¹ hl hl é W} é é}l é Y@ / é h / / lhÒª ë2é0ë Ö / Ö hl `P} lø l é ¨Ö@ h ` h é // /· h ë é > í Ö@ â 0Ò À ©§:P¤ ::¤¿ RP¤ ::¤D¿ ¥ §}¤¤ªZ« ê? ±Kqs¬lúl°i|³´ì@v ydóÏÄp/i~wñNv yÏ n °j p3k iN® v yÏä{gji¬Yz´v y(Ê ÄªfhÄ}~wexv í Ö@ U é / ` U é / }N Ò é
Òªl h é / é / éh: 4 /3Ö / è Û é R: í Ö@ 4¡(/ ¸ Î ù48Ú P¾ ¤¥ P¾ :¾ §}¤D¤ Aê? ±Kqs¬lúl°i|³Yì@v yóÏ{}rdþ³i
exv_× / ÖÜ} h/w l / ` U é x ` é } é / é / @ / > }ÏÀ» l é é Ö - ¡(/ ` ÖÞ áá ':-§ R§}¤ §}¤P¤ ;ê? ±_k °3rHi~`exv y»z6°3|l³¶{}ƪi~@Ë{xexv/exv y<ì@i¬¶þ/i|¬i~® v ¢ / é /Ï3Ö@ é ` &} `3 @4 Ö@ l ¨Ö@ h `´: Ô /` á@Þ J)ª-© :j¤ §}¤P¤ ;ê? ±_k °3rHi~exv yKz6°3|³Å{}Æi~@˪{`exv8exv y»ì@i¬¶þ/i|¬il~w® v ¢ / é /_@ / é h éDø é é}l ` / é ¨Ö@ h `´: /º ¨¡Ï Ö@ é 3 @ Ó/ù ½ 4 © ¾¤ §}¤¤ªZ§ ê? ±´{hɪgªÄ}~wå:v y»±K̪÷hðË{}л¬ËqüÏv4í h é h@ Ös dh/ é0ë h@ @ /· l l é ë // Ô / èx@ é /´ @ é`h£ é}h@ é} α p é Î Ó8Ó 4D« ¿ª§ ¿¿_¿ ê? ±´{k {hÉ}~4ÄI²xv yEz6|q ɪ{k qs~@q>_v y>nKq¶÷h÷hÄ}|g}qMì@v Ò Ö@ / é é l }w4 é @ é @` ´:í Ö@ â Ò0 À Ù/ù'¥D)ª«-¥D:jÔR§ î ¿¿¿_ê? ±´{k {hÉ}~4ÄNÍMv yKü ¬lÄksk qs¬xó(v y(z6|q ɪ{k qs~@q _v ¢ / é /6@ / é éh h // U é é}l é d l ZÒ é Òµ 3 l% í» é Y é £ À Dø é}l` / :í Ö@ â 0Ò À Ù ¼ 4§ § -¨§ § ¾ §}¤¤_¤ ê? ±´{k {hÉ}~4Ä
ÍMv yNz6|q ɪ{k qs~/q´_v y´åNÄ}|ÄÉ}q¶{}|¶É}qs¬HÍMv y_nK{}¬lÄwexv&× é ¦ l Ö Òªl /: ë2é0ë Ö / Ö jÖ í Ö@ â 0Ò À Ù Þ P¤ ¥ª§D§ §}¤P¤ ;ê? ±´{k {hÉ}~4ÄNÍMv y(z6|q ɪ{k qs~/q<_v yRë i¬h³&±dv8ì@v/ é /· 3 l £3 @û l ë4l / Ö é é ¦ l Ö> l w ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ ':«-R§}¾ §}¤¤ª§Zê? ±´{}~/qoksk Ä
±dv ydnKqsÆi|h{wÍMv ydnK{g}|q É°iðmhz´i|r`ÄMæ(v y`ü|°lçqoksk {wì@vdì@v µ@ é}l é R@ lh é é / é é hl é Òª `3 I// U é @ lh é é /Ø ¢ // £ éh' 2é ¡ ` Î Ú Â 4©}¿ ¾¾ §}¤¤ªZ© ê? l ±´{}°/÷p@Ä}°/gcì@v mo(y`z´ih{}|¶Éji¬exv ¢ / é ª@Y@ / Û Û@ lh Ø @ éP£ é U é 2 é / `3 é Y Ö@ U é é // U é /R}í Ö@ â Î@á½ .§-© ¨§}:¿ ¿¿_¤ ê? ±´{}°/÷p@Ä}°/gEì@v mo_v y`z´i{}|¶Éji¬exv yRåN{þ4k q ËMì@v yd(|{}Æ}Ä}³ÅÄ$exv ydn´ig}~ i|® v63/ l @ / ? é @ Òª Ö ß @d:í Ö@ â 0Ò Ô l- 4Ù Þ 4§«}:¤ ¿¿_¤ ê?
Ù2qPq
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
±´{}̪Īg¨çqÅiÆcæ(v y ñx{ªfl~ i|Eäxv:ì@vxýd h/ } é é}l é h? l é l é >ª:í é}l-4¡oé : ¢ // /¢ é Î M¾ª«-ª¤¤ ¿¿¾_ê? ±´{}̪Īg¨çqÅiÆ$æ(v y:ñx{ªfl~ i|MäxvNì@v µ@é}l é N h$ l I é lM é /w?¹ h · é × é /¨s 3 : µ / l- ÎÎ ':-R-¥ §¤¤P;ê? ±K|Ä}~4gª{k i¬i$æ(v y`åNÄ}|÷pDz´v 2µ éMß é ¨Ö@`
}Y / Òªl h é / é /´@ /
é 0 Ò £¤¾P¤ : ¾:¾ 0Ò : éh' ¢ í a#§ é §}¤¤¾_ê? ±K|{÷Ër`Ä}~/~EñNv yK®4{Ë{k {}Æ v»ÍMv Ò Ö
û · j lø3hl é »s h ß @ £ `3 é /d ¡(/ í Ö@ 4§}D¾ MÔdªî ¤¿ j § §}¤¤ªZ§ ê? ±K°/÷p/i~_vdë>v y<ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q<öKv ¢ ¨Ö@` dlø é / /6s K é / _Ò é éÒª : x£ î Ué / ÎjÞ 4«}¿ª©-¥¤¾ ¿ª©«Zê? ±K°3³ ði|_vEæ(v yéë i¬h³ þ/p@Äk v ¢ ¹ 3@ l µ@ é}l é o¡ é / /é¹ £ ¢ // U é /6} µ@ é}l é o¡ é / /6 í Ö@ ÀÏ Aë Öädqok Ãi|Knv 3 /· é 4 h: £ $ ß: 4§}¤¤P¤ / 8¾ª « óÏÄ}r`Ä}|¶Éª{Env´öKv yYó pjq¶Äª÷h÷p@{Eexv`Ñ´v y:gjicÑKk qsÆiqs|Ä$t_v ó(v à lh é E é}l é £ éh' í Ö@ Þ á 4:¤ :ª«}¤ª« §}¤¤_¾ ê? l é h/ é}l é h · é é
: l óÏÄþ°3³Å{:ÍMv Ô U é `3 &@ é é ` h ÖH ¹¹ õd Ö@ â ¢ - 3 :'-P4«§}¿¨«D¿ ¿¥ª©ZQê? óÏÄþ°3³Å{ ÍMv3Ýd ë@ é /_} é ß / hRÒ é é Ö l hl é @ é Ò ` Ö ¢K / 3 : ¢ ½ 8Ù ¾¿ª-© ¿D¤ ¿ª© Aê? é h Ö óÏÄþ°3³Å{ÛÍMvRÝd ë@ é /w} é ß / h / éh h¡ ¢K / 3 : ¢ Ù/'ù :¥ DD:¥ ¿ ¿ª©}_¥ ê? óÏÄþ°3³Å{ ÍMv ¢ `3 4s _h/ é · é éhl é h h ÖY ¢K / - 3 : ¢ l- Ù8Ù '©}¥ R©}¿ ¿ª©}_¿ ê? óÏÄþ°3³Å{>ÍMv õd l é è h/ ·}Ö é M· Ö@ U é / × l / Ö@ ÎÎ 8Ù ')¥ R©§ ¿¾ªZ« ê? óÏÄþ°3³Å{NÍMv £ @ l h/ ·}Ö é l @ l £ :/ 0Ò é lø } h é}l / /· } · 0Ò é é H é · R ¢ / @ õd ß Ó á D¿ ¿¥¥ ¿¿A¥ ê? óÏÄþ°3³Å{cÍMv £U é 0 é}l é l% l ZÒ é Òª >@ lh é é / é ß hl
¢ / / Òªl Ö µ/l é éP è Ýd¹¹(Þ<Î 4D© D¾ ¿¿ªZ© ê? óÏÄþ°3³Å{0ÍMv £ 3 $}Hû ø 4 /M @ é h ` Ö éhl â h â Uéh
ÓÙ8¥¿ª©-¨©}¤ª« §}¤¤¤_ê? óÏÄþ°3³Å{wÍMv à ë h c l @ lh é é /``3 /·M@ l @ l é @ /
µ@ é}: 4o ¡ é 4¢ // ¢ é Þ Jj § :j§ §}¤P¤ ;ê? óÏÄþ°3³Å{`ÍMv y ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q&öKv ¢ @ é >`3 ë2é ` ÖH 2 é / Õ í» hé ¢ // õd Ö@ dá Î '-DD?j© ¿ª© ;ê? óÏÄþ°3³Å{ÍMv yÏÍwÄ}qs~4Ä}|g}qÏöKv U é `@ R}K@ é M é é @NHâ´ 0Ò ¹ º / Ò ¡ YÎ 'P¥ R¿Ô¾ ¿ª © ;ê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù2qJ>
óÏÄ}|÷lq¶{}~ i ì@vÍMv y?óÏÄ}Æ}Äksk qs~/q>öKv ywÍwÄ}qs~4Ä}|g}q
öKv y
äÄ}~/ÌɪÄexvH×6 @ é é ` `3 /· } / é % éÒª é · é >/ /·: é}l é & l Ò0é Òª d í» hé ¢ // õd Ö@RÎ@½á .© ¿R©D¥ §}¤¤ª§Zê? óÏÄ}|Åþqs~/³i|q_exv yKÍwÄ}qs~Ä}|hg}q6öKv @ ê?&µ3 é}l é é µ@ é}l é o¡ é / /N ¡ 3// £2 é / Ýd / é ºd £ 3 /· l Ý l é · '¿¿ª © óÏÄ}|Åþqs~/³i|qdexv y:ó pjq¶Ä}q¶Ä>±dv»í< l U é /·M é é c@ / é é / / c 2 é / ´ ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é  '-D)R-D¥ ¿¿_¥ ê? óÏÄ}|Åþqs~/³i|q<exv y(óÏ{}|~ i³o³oq _v y8åN{k Ð(Ä}~@ËÄ}|_å:v4ÍMv ±¡ é / é ªY} h/_h / } é :û lø é h /· h }@ lh ? éhl é `/ /·w é}l é U é / /Y ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é R¼ Î ¥ªD§ :¥ ª§ §}¤D¤ Aê? óÏÄ}|Åþqs~/³i|qÏexv y´ó pjq¶Ä}q¶Ä ±dv y´óÏ{}|~ i³o³oq(_v º / l U é <`3 è é
}Ï@ lh > @ é Ò é é}l é U é / /R ¡ `/ é é l £ éhl é xÓ/'ù .«-« R¥ª§ §}¤D¤ Aê? óÏÄ}|Åþqs~/³i|q(exv y´ó pjq¶Ä}q¶Ä`±dv y´óÏ{}|~ i³o³oq6_v ¢ @ lh >` l l h éhl é `3 ë2é w
é}l é Ï· l Ö é > é}l é U é / /Nã 8¢ /· é hHl £ éh' £' Ú Þ '§}¾ R-ª« §}¤D¤ Aê? óÏÄ}||hi|Ä}¬´±dvexv y æ&Ì}~4÷pEÇ&v4tKv y8²xiлr`Ä}~YñNvt_v y<Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌz´v4ÍMv ¢ / é /(@ / éN /// /·: @/ `3 < í Ö@ â 0Ò À Ù/'ù Jj©©¤ j©©}¾ ¿¿_¿ ê? ñNilk mhóÏÄ}¬h³oqoksk {mo²xi¶É}|hi³idñNv yÏóÏÄ}||hi|Ä}¬_±dvexv y4æ&Ì}~4÷pcÇ&vt_v µ@ é}l é @ / ` `/ é é w ë / :í Ö@ _}»í» é é ::0¾ª« D ¾D¥ §}¤D¤ Aê? gjilk mhóÏÄ}¬h³oqoksk {mo²xi¶É}|hi³iRñNv µ@ é}l é 8@ / Y`3 6}<// U é é /4 Ní Ö@ }»í» é é @ £ P¤ ¤ª:¥ : D§ :ªP¥ ) §}¤¤_¥ ê? ó(i÷h÷h{}~/q(öKv yRó(i~4÷lqs~/q6ÍMv y»ö<Äk ÷lq¶{}~/q(ÍMv y Ç3°@k þq¶Ä}~/q(exv8¸ / é M` é w@ / £ µ@ 2é 2é é ë4 Öj ¡(2é xÎ@½ ¤ª§}¥P¤ª§-R¿ §}¤¤ª«Zê? ó p@Ä}Æi¬exv ® v µ@ é}l é &@ / é H U é l ë4 ÔRî Ò Öû · j R í Ö@ Ô l- ¢ ¼ Ó á .- ¿¿_¾ ê? ó p/i÷pªËqs~exvwÇ&v y>z_{}~4÷p@Ä}|Ç&v y åxk ÄÃh³i|cì@v y ÍMi³ ðk i|$nv y
ü4Ä}~4Ä}³ÅÄ}~4{}Æcæ(v é é Ö éh }6/ U é é : Òª ë Ö ÔRî Ò Ö>/ ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ D§ :¨§ « §}¤¤ªZ§ ê? ó p/i÷pªËqs~ÛexvYÇ&v y z_{}~4÷p@Ä}|ÜÇ& v /°v ydåxk ÄÃh³i|>ì@v yRÍMi³ ðk i|nv Fº é é }È Ò Ö û · j U é / ë Ö@ é Òª // U é Ö>:í Ö@ â 0Ò À0Â/¼ P¤ P¤ P¤ R §}¤:¤ _ÔRê?î ó p/i÷pªËqs~ÛexvYÇ&v y z_{}~4÷p@Ä}|ÛÇ&v @°v yRåxk ÄÃh³i|ì@v yRÍMi³ ðk i|nv y`ü4Ä}~4Ä}³ÅÄ}|{}Æ
æ(vYÇ&v µ é é · é é 0Ò é / ´s ÔRî Ò Öû · ª é h/ é h } h/ lh 3Y} é · d é 0Ò £ é :¤ ¤D¿ )ª¿}0Ò §}¤:¤ _ê? ó p/i÷pªËqs~ exv yz_{}~4÷p@Ä}|IÇ&v y ®3ðl̪g3k {}л¬¨Ë}q ÍMv µ3 é}l é N3 l s
h éDø é é / l @ / é é · l dß >:í Ö@ _}»í» é é dá 4©}¾ ¾¾ §}¤¤ªZ§ ê? ó p/i÷pªËqs~Yexv6Ç&v yÏz_{}|hi~6{Nnv y8®4{Ë{k {}Æ v/ÍMvâ l é @ /· ë @ / é é} l é /· / l @ / ê· Òªl ë Öê@ ë h l é}l é Ø@ / é /W í Ö@ â 0Ò À Ù8Ù 4D¤ ªP¥ §}¿ RD¤ ª ¥ §}D¿ ¥ §}¤¤ª_§ ê?
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
Ù2qð
ó p/i÷pªËqs~0exvÇ&v y`z_{}|hil~6{Env yx®4{Ë{k {}Æv_ÍMv y`z_{}~4÷p@Ä}|ÜÇ&v @°v à ë h Ø l é}l é @ / é
µ@é}:4¡oé 4¢ // /¢ é 4Ù84§«}¿¨§©}¿ §}¤¤:_ê? ó p/i÷pªËqs~ØexvYÇ&v y´åxk ÄÃh³i|ì@v yR®4{Ë{k {}Æ!v6ÍMv µ@é}l é µ 3 l% í» é é co / é 3 l d:À» Ö@ Ô - 4Ù8Ó 0ª§}¥ :ª§ §}¤:¤ _ê? ó p/i÷pªËqs~ÛexvHÇ&v y z_{}~4÷p@Ä}|0Ç&v @°v ydåxk ÄÃh³i|ì@v yRÍMi³ ðk i|nv y`ü4Ä}~4Ä}³ÅÄ}|{}Æ
æ(vYÇ&v ÔRî Ò Ö û · j _ é h 4 h é &: é- í Ö@ ÎÎ@½ '«}¤ª-« RD« ª« §}¤ªD¤ Aê? ó p/i÷pªËqs~Yexv6Ç&v yÏz_{}|i~6{xnv y8®4{Ë{k {}Æ v/ÍMvâ l é @ /· ë @ / é é} l é /· / l @ / Y· Òªl ë ÖH@ ë h l é}l é <@ / é /_Ní Ö@ â 0Ò À Ù8Ù D¤ ªP¥ §}¿ ¥Y§}¤¤ª § ó p/i÷pªËqs~0exvÇ&v y`z_{}|hil~6{Env yx®4{Ë{k {} Æ v_ÍMv y`z_{}~4÷p@Ä}|ÜÇ&v @°v à ë h Ø l é}l é @ / é
µ@ é}: 4o¡ é 4¢ // /¢ é 48Ù 4§«}¿ ¨§©}¿ §}¤:¤ _ê? ó p/i÷pªËqs~wexvÇ&v ydz_{}|hi~6{Ynv yÏ®4{Ë{k {} Æ v<ÍMv µ3 é}l é Ï3 /
`· / £ éh/ é U é é õd l é Ó8Ú Ô ¥ª©}¿ Ô ¥D¾ §}¤¤ªZ« ê? @ é : }»í Ö@ Z¢ £4l ¡(/ " ò µ@ é}l é Ô é @ é é é} `3 é Ô Ò Öÿ é0ë @ ë >s Uéé // Ué h Ö ¨Ö> @ é â Uéh â 4 3 :/ é â U éh Ô é0ë á §}¤¤ªZ§ ê? ó p/i~ ë>v y»ä{k rÕ® v µ@ é}l é é / é} é é} `3 8s U éX é >// U é ¨ÖÜ @ éPKlø@ ë /· éw ë Ôé Ö0 h Ö0 ÖÜc ´¢K / - 3 : _¢ ÎÎ@½ '3§ DR)¤ §}¤D¤ Aê? ó p/i~Õë>v yä{k ra® v Ô Ò ÖÛ é0ë @ ë é P¤ -§ l h/ é0ë lÁ` h/ h Ö ¡( í Ö/ Ô l- ¼¼ 4§}¥¤P¨§}¥¤) §}¤¤DAê? ó p/i~0¯´v y6®/°jËqK±dv y(e_~$å:v à Ö@ é ` h2 é / U é » l } é · é · x`3 ë Ö é é}l é _ l ZÒ é Òª `3 K> } ë 2 é / U é /· l /·?Î@¼ 8Ù »¥¥¥ ¥j © § }¤D¤ Aê? ó p/i~Dì@v yHæ&qs° öKv yHe_~@pÇ&v ¢ é Ö U é ` s Eh/? é}l é h · é é ë Ö h/ lh 3È}H é é /· 0Ò é é0ë EÛ xl£ éh' ¢ é ¢ // ÓÓ8Ú -D ¥ DR-ª©© §}¤¤_¾ ê? ó p/i~wóÏv/ÍMv yæ&qs°NöKv yÏü/°3|~ i#| v y4e_~@pMÇ&v ¢Øµ l lh @s Ïh/ é}l é 4@ / é W l ë /·Ü ë @ / WÛ ¡ `/ é é í Ö@ $¼¼4 ¾¾¥ ¾ª¿ª© §}¤¤ªZ© ê? ó p@{}Ð ó(vIë>v y$æ&qs°ÿå:v
æ(v µ 3 l% í» é é é ë @ / Ò é}l é µ 3 l% í» é é c} ë é0ë ¨Ö@ h ` h /3`
í Ö@ U é
¢ÕÓ Þ<ΠϾª-© R¤¥ §}¤D¤ Aê? ó pj°jËfhÄ}| å:vNÇ&v y6Ê Äªfl°3|gªÄjiÆÛÇ& v @°v ¡ H ×8 é @N lhl ` / é / s Ô Ò Ö é 3 £Kh/ é}l é éhl é l ZÒ é Òª Ø Eí Ö@ â 0Ò À Ù8Ú _:¤ :PP¤ §}¤:¤ _ê? ó pj°jËfhÄ}|å:vHÇ&v yÊ Äªfl°3|gªÄjiÆ Ç&v @°v6j ë @ @ ª? é @ ` h ë û í Ö@ â Ò0 ÀÛÂ4Î 4¤¥P:¤ª«-R¥ §}¤¤ª«Zê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù2q
óÏ{%$´iÌ$ë>v6üÏv à l Rh éøDé £@é ÒªlhÒ : £ : Ô M ÎÎjÞ 4«-¨§« §}¤¤DAê? óÏ%{ $´iÌÛë
vdüÏv yó |h{}³sp/i|¬ ñNvÏ® v»öKv y6ä{ksk Ä}~4gñNv yxü qs³Å{}ÆY® v:Ç&v õ´h ws/ l Ms Nh/ @ / M ` }K @ / é / / : é @ é 3: &£ D Ô M ÎÎjÞ '¥ª-« R © §}¤D¤ Aê? óÏ%{ $´iÌcë>v6üÏv y&åNÄk r:ÌË{} Æ »v<_v y´ü qs³Å{}Æ ® vRÇ&v ¢ / é /´@ l xh éDø é > h/ hlø3 } h/HàRp ë Ö `3 (}´// l é é é _@ / ?> Ï¡(/ í Ö@ ÎÎ 8Ù D¥ j§-§ D¥ 3§}¥ §}¤¤ªZ§ ê? óÏ%{ $´iÌWë>v üÏv yåNÄk r:ÌË{}& Æ »v´_v yü qs³Å{}ÆM® vÇ&v ¢ / é /@ / é 0@ l h éDø é é º s 4 h é í Ö@ â 0Ò À Ù Â ¤P¥ ::« §}¤:¤ _ê? óÏ%{ $´iÌcë>vKüÏv y»åNÄk r:ÌË{} Æ »v<_v ydü qs³Å{}Æ ® vRÇ&v¹ l é l d é / é /d@ l h éDø é
4£ : Ô 0 ÎÎjÞ 0ª-« §}¤ªD¤ Aê? óÏ%{ $´iÌÜë>vRüÏv yKåNÄk r:ÌË{} Æ »vÏ_v y:ü qs³Å{}Æ® v Ç&v ¢ / é /N@ l Hh éDø é c é @ ë 84 h é 4£ : Ô M ÎÎjÞ J)Dª¿ §}¤D¤ Aê? é óÏ%{ $´iÌ ë>v:ü»v ydåNÄk r:ÌË{}' Æ »vK_v y`ü qs³Å{}Æw® vHÇ&v ¢ / é / // U é @ l m lY lHh éDø é Û hU é 3ÖØ éh>h 4/ H Û/ l `4 é}m é Ø > l ß @d: 4¡(/ í Ö@ Î@¼ 8Ù ¤D¾ j«}¤ª§ §}¤¤ªZ© ê? óÏ%{ $´iÌ>ë>v üÏv y4åNÄk r:ÌË{}(Æ »v@_v yÏü qs³Å{}Æd® v6Ç&v y_Ç8q çKì@v/å:v µ@ é}l é é é @ / } · @ 4 w é é ¨Ö@` l U é N@ ë :4 h é `Ûí Ö@ â 0Ò À Â/¼ ¤ :::¤ §}¤¤ªZ« ê? P óÏ{}rdþ³iMexvR 2 é s/ é /w} é}l é `3Ö@ é `
Ûí Ö@ â 0Ò À ½ 8Ó P ¿ :¿ ¿¿_¥ ê? óÏ{}rdþ³i exv ¡ 3// : é @ é 3x$` Ò /·Yû/ @Ní Ö/ â 0Ò ÀI½½ ¥¾ª§ ¥¾:P ¿¿ª©Zê? óÏ{}rdþ³iÛexv yEóªïÄ ÷i|hi¬ÛÍMvwÑ´v µ3 é}l é
3Ö@ é ` c é @ Òª Ö ß @Û í Ö@ â 0Ò Ô l- 4Ú Î 0Pª¤ P) ¿¿_¾ ê? óÏ{}rdþ³i exv y´ì3{}°MñNv º Å / ë@ / h/l `33Ö@ é é é / é /N@ / c í Ö@ Z¢ £l£ éh' 4õd ¼á M)ª § )ª§}¿ ¿¿_¥ ê? óÏ{}rdþ³i>exv yNì3{}°ÛñNv yåNÄ}³ÅÄ}̪Ä}r`) Ä »v ¢ / é ª@@ / Ü 0 U é /p é} û > í Ö@ ¢Z££léh'4õd 4Ó/ù'.¤ª§DR¤:¤ ¿¿ª©Zê? óÏ{}rdþ³iMexv y:ÍMil³ ðk il|Mnv yóÏÄ}r`Ī÷p@{Üì3vR¸( é 3// é @ é 3 ë4l é é </ éh d í Ö@ â 0Ò ÀÛ½ 8Ù ':j« Rj« ¿¿ªZ© ê? óÏ{}r:³iHöKv(3 :/ é é é ?} /· ` Ö 3// `3 H ×6 l ¢ é Î/ '¿ ¥ ¿¿_¥ ê? óÏ{}¬h¬l{}~D_v yÍ>q¶÷p@{}~ì@vwó(vN¹¨ ßU é ë Ö é /b h · l l `@ H} h/ 2 é / U é ë42 éÒ } é é lhl ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é ´Â M¾¤ª-© R¾ª§ ¿¿_ ¥ ê? éhl é ó&|Ä}qÅir ñNv yxe_|rHi~/³ÅÄ}~4{cnvdæ(v ¢ é}l é N l ZÒ é Ò `3 Ø l ë4
ÙJq 9
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
Ò é Ö
¸( h/ ·}Ö>ÞÞ §« ¨§}¥: §}¤¤ª©Zê? ó&|{}³sp/i|¬ØñNvH® v öKv yä{ksk Ä}~4gÜñNv yåNÄk r:ÌË{}Æ*@°v`_v y$óÏ{%$´iÌÿë>vwüÏv:× @Û £ é · Ô , +`l s/ l Û é / é ª@ h éøDé Ü$ _£ D Ô / @>ÎÎjÞ K§©- D §}¤D¤ Aê? ñxÄ}që>v y<äxi̪gji ó(vÏó(v3¹ @ô 6s :/ é hYh lK x é}l é ¸ / é ` é é // U é w: ¢ // h' ¢ é á J)¿ :ª¾ ¿¿_¥ ê? ñxÄ}|лqs¬pÍMv`exv yt6k mo±´Ä}|Ì exv`exv À ø h } é}l é h · é é h Ö@ hlh d ¢ // l £ éh' 2é ¡ ` Î/ 8Ù 4¥D¾ D¥¾ª© §}¤¤_¥ ê? ñxÄ}¬® v µ / l é µ@ é}l é o¡ é / /Ys jÖ@ h ¹¨ ßU é é ¡ ¸ l £ 3 /· l- 4§}¤¤P¾ ñNifflq`æ(vÀ ø / /M} é}l é ` é é H@ h é é ª@ Ò é £ éh' @é ' /¢ é Ö@ _¹ à:¿ ª«}¤ªP§ .R¾ §}¤¤_¥ ê? é0ë ë @ é R: ¢ // l ñNifflqHæ(v yYñx{ðhðqÍMvNýd h/ /E}// U é 2 é é}l é H é é @ lh é é /H Ø é é R@ / 0$ 2 é í é h/ ¢ // U é /ÎÎ@½ .©}D¥ DR©}P¾ §}¤¤ªZ« ê? ñNifl~4Ä}³sp æ(v µ@ é}l é 0 h · é é é ª é Ü@ lh é é /b û/ 2 é / ´ µ@ é}: o¡ é 4¢ // /¢ é 48Ù ':¿ R«}¥ §}¤:¤ _ê? ñNifl~4Ä}³sp
æ(v8â l é // U é /x( é}l é U é / / > i é wÀ»/· l /· N¹ - l£ éh' ¢ // ½@Þ MD - ::j§ §}¤:¤ _ê? é é Ö@ Y h/ é}l é ¸ / é ñNi÷l|hi°3¬ioÃl{}~4g$æ(v y i¬h³o°i~ ilk´exvd® vK 2 é g ` >:í hl é ¢ é ¨Ö/RÎ .ù ':-© ¨ § ¿¿_¾ ê? ñNisçÄ}|g}qs~$ì@v msæ(v µ3 é}l é Ï3Ö@ é ` é // U é2 é `/ h 4/ R w@ l h éDø é >}»@ lh / @d:í Ö@ â 0Ò À Ù8Ú 4:¤ P:¤¾ R¾ §}¤:¤ _ê? é / ø éh>ZÒ é é 0} }ò é é é ß / h é ñNilk fh{}°3|¶Éª{EñNv yRt6ksk q¶{}³xñNvKýd h/m h · é RN¹ £¢ } º / l- @¢ é Ö@ ÎjÞ Jj¾ª-« ¨«}¤¤ ¿D¿ Aê? ñNilk6óÏÄ}¬h³oqok k {mo²xi¶É}|hi³i:ñNv ydóÏÄ}||hi|Ä}¬N±dv exv y»æ&Ì}~4÷pÜÇ&v&tKv µ@ 3Ö@ é ` d hU é}l @ / M¨Ö@ h ` h Ô Ò Ö>û · j £<¢ é}l é 6@ / é @ éh Yí Ö@ â 0Ò Ô l- á Î :¾ ¤ª-§ :¾ ¤¿ §}¤:¤ _ê? ñNi~3ÉYnv y»ñxÄ}ÆqÅi¬x_v yϱ´Ä¨çĨçexv&å:v ¢ // U é é}l é Ï l ZÒ é Òª `3 <s é · // béø é H s é ë D éÒ }4 Ö@ hlh2 é s é 3 · é Hí /· Ú8Ù §©§}¾ ¨§© ) §}¤¤_¥ ê? ñNiÅþ@{ksk qÅi|
ó(v y_ö ilksk Äp$Ê&v6t_v6exv y_ö ilksk ÄpMÍMv»í é · é Ø} é / i é} / éÒª > é Ö lh >4 /d @ éP£4µ@ é}l é é >s U éhl /·Y l é x º / U é à Ö@ é ` Ó48Ú 'P¾ R¿¤ §}¤D¤ Aê? ñRqÅi³i|q¶÷pØë>v y&ÍwĪÄ}¬h¬´öKv º ÅàRp ë Ö ´h éDø é /´ >@ lh / @R ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ J)¿ ª¥ª© §}¤ª¤ªZ§ ê? ñRqÅi³sp/ilk r å:v yö |hihigexvYñNvHýd h/ é}w// U é é ª é
@ lh é
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙJq4Ì
é /`/ ? h/ `3 /·M} Ò é Ö0w¹ £ ß
¡ `/ /·w ¡(/ ` Ué xÀ»/· l /·Ø¹¹ d¡ `/ é é µ / à Ö@ é ` Yâ Ué}l IÀ»/· l /· é £ / é í l µ 6£lé} /- ÝÏ ëcò ±é . lh@l ÀÏ@ ê? 3 /· l% Ý l é · òd @ ë4l · '¿¿¿P / 4§ ©-¨§§ ñRqÅi³sp/ilk r å:v y ë iqok fihi|ÜÍMvY¹/ é Vë / é Ö Ò0é ë `Ûs Ü é}l é @ / éÒª é / é h/ 3/ l U é 8 M: £ í @ /·R} h/U ¹ µ3¢´¡ $ 3 Ü µ3 é}l é à lh é é 0 ¢ // U é / Ô E£2é h ¢ × h ¨l£ é}2 é @ 8Z¢ × · U é h <¡ 9é w é0ë2é l- ÀÏ@ ê? À º @À&¹âd¸ Z ¸( U é 8ø 4§}¤D¤ / 4« « ¨«« © ñx{}°ªÉk Ä}¬Nì@v<ö_v4í Ö@ l . é // U é /}Ï éh h · é h · é é / é ` é}l é U é / /´x¹ £@¢ // U é /K} µ3 é}l é o ¡ é / /K í Ö@ $ ß: 3 /· é h: 4§}¤¤P¤ / § :P¤ é ñR|ÄɪÄ}~ i¬l÷l°Õz´v:t_v ¢ // U é W} é0ZÒ é é é H hl é lh 3 Ü U é // U é$Ò é `3 h é}l é H l ZÒ é Òª $0 } l£ éh/ é U é í Ö@ ´@ £ P¤ ¤)¥ ) §ªD§ D3§:© §}¤¤_¥ ê? ñR°/Ä}|³icÑ6|³oq É}°iqs|Ä$ÍMv yYü i~/|hiqs|{$ÍwĪ÷p@Īgª{?ì@v´exv µ3 é}l é R · é R /· é é // U é /R 3 · é <í @· Ú8 Ó 4§§¾ª-« ¨§§}¾¥ §}¤:¤ _ê? ñR°/fË{}Ædexv@exv y ®þ/ÄÉ}~4{k {R±dv õd l é è / 0 l í é / ´ª `· Ò ô ÏÀ é s wà / ¹@ ë Ö º ¨Fõ é / é º 3 h µ l é é º ª Ô l- ½ Ô §}¥ª-© Ô §© §}¤¤ªZ« ê? ñR°/fË{}Æ
exv_exv yR®þ@ÄÉ}~4{k {M±dv é /· Ò ¢ / é}? ¢ / é / à / Ø ß/ø@ 4 h é £6lDø éYh / Hs Ô é é ÖÛ ë2é0ë Ö0@ ë / ¢6l é í Ö@ U é í / U é ¸ Ó8Ú © j-« R©«¾ §}¤¤ªZ© ê? ñR°/f˪{}Æcexvexv y`®þ@ÄÉ}~4{k {رdv y ÷p@Ä}q Ëqs~ Ç&vwÇ&v ÔR§}D¥ lî ªÒ ¿ Ö$¨§}û¥ª ©· P§ j §}/¤ ¤ªl_¾ ê?@ / £±é ? 3@ l
¹ - ¸( s hU é é ¡(2 é >Î 8Ú tKĪf ó(vEäxv y?æ&qsr ® vÜó(v$í éh h · é h h é }0 é}l é 2 é `/ é :í Ö@ U é ¢IÓ Â4Î 0:¤ P¥ §}¤¤ª_¥ ê? tKĪfó(v&äxv yÏæ&qsrÿ® v_ó(v yü i{Hæ(v»_v µ / hNh ` l é h o¡ é ` x l s é é é}l é 0 õ @ ß h é}l é ºd / é / @ /6 @l£ éh' í Ö@ Þ 8Ú ¤¾ªD§ P¤ §}¤¤ªZ© ê? t(q¶gjilk r`Ä}~:® vjñNv y@åN{÷pj°/fiqexvj²xv o¡ é Ö ë Üs é}l é @@ / é /& } à lh é <À é /Î@áá 4 § :¨§«« §}¤D¤ Aê? t6k g}|higMæ(v´±dv yR±´Ä˪i|0ë>v´_v yRKÄk Äð{}³o³Å{Eexv´²xv º / l U é é // U é 0} é}l é l ZÒ é Òª `3 ª@ ÒªYh é /:s `Ò é éhl é H ¡ `/ hl - 1 l h Ù/'ù ¾ª©-« ¾¾ª§ ¿¿_¥ ê? t6k mo²Äªfl°@k ¬hqKnv moexv µ@ é}l é 6 l $}_/ l é M ë @ / Eí Ö@ Ô l:¢ Ó Þ ù'M¥P ¥¾ §}¤¤ª«Zê? t6k m¶®4Ä}Ìjig$exv_ÍMv_exv µ@ é}l é d l @ / éÒ> é Üw¹ - }x× / - í Ö@ Ó ½ 0P: ª§§ ¿¿_¥ ê?
ÙJqDÍ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
t6k m¶®@p@Äp/ig:ÍMv £òdà } é é}l é Ò é û/ ` éx h / é6 ë4 £2é / â 4¡ ` /Ó4Ó84§}¥P¨§}¥¾ §}¤¤¥_ê? t6k Ð(ÄËqokj® v3exv y4Ê Äpj|Ä}~`ÍMv3exv µ@é}l é @ h · é h h é } é hl& é ` ¡(2 é 3 / é µ3 é}l é xÎ .ù '« j«-R«ª¾ ¿¿¿_ê? t6k Ð(ÄËqok ® v8exv y»Ê Äpj|Ä}~
ÍMv8exv µ@ é}l é µ 3 l% í» é é
¡(2é 3 / é µ@ é}l é xÎÎ 4©}P¿ ¨©}¿¾ §}¤¤_¤ ê? t6k Ð(ÄËqok@® v/exv y8Ê Äpj|Ä}~YÍMv/exv µ@ é}l é h h é `} µ 3 l% í» é é Y ¡(2 é 3 / é µ3 é}l é xÎ@¼ '¿ª§}¿ R:¿ ª« §}¤P¤ ;ê? t6k Ð(ÄËqok&® v»exv y6t6k p@Ä}~4fhÄk Ìexv yKÊ Äpj|Ä}~EÍMv»exv µ3 é}l é é} ¶ ; êdµ 3 l% í» é é >ª ¡(2 é 3 / é µ3 é}l é xÎ@¼ .:¤ ª-« RD¤ ª¤ §}¤P¤ ;ê? t6k Ð(ÄËqokÏ® v(exv y´Ê Äpj|Ä}~?ÍMv(exv yKedfgª{}°$ÍMv(exv&× / l é lh 3ws Ò /· h/ é}l é µ 3 l% í» é é ÈE é - j lh
é Øâ é @ é- × é /¨ l  MP-© ª§© §}¤:¤ _ê? t6k Ð(ÄËqokx® v:exv yHÊ Äpj|Ä}~WÍMvNexv y`edfl°@k Ð(ÄÃlÄÛt_v:ÍMv× / @ / $ é ë l h :í Ö@ U é ¢IÓ/ù48Ó §-© D §}¤¤ªZ§ ê? t6k Ð(ÄËqokd® vRexv y:Ê Äpj|Ä}~ ÍMvRexv yNedfl°@k Ð(ÄÃlÄct_vRÍMv µ3 é}l é é} ¶ ; ê @ / é Y ë `@ ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é ´ ¼ 'ù 0::-R:§}¤ §}¤D¤ Aê? t(~ ilk °3~4gNÍMv y8ö i~4Ä}~4gji|dexv y6ÑKk ¬h¬l{}~_v µ3 é}l é 8 h · é 4s :/ é Y} / Òª é /_} Ò é Ö
¢ ¹ ¢d¢ 4Ó ½ .-ª«}¥ R-¥ª§ ¿¿ªZ© ê? é é Ö@ >} Ò é t(~ ilk °3~4gcÍMv y:ì3{}¬ioÃh¬l{}~ȱdvdæ(v_×6 @ é ß / hM l h h é}l é c l ZÒ é Òª / ÒªW é / ¢ ¹ ¢d¢ wÓ ½ : ¥ ¤ R:¥ ª© ¿¿ªZ© ê? t(~ ilk °3~4gÕÍMv yIÑKk ¬h¬l{}~_v Xà é `/ /· l ë4 ë Öê é @ /· ` Ö bé é Ö@ é é // U é é}l é K l ZÒ é Òª `3 :¹ - }d3 @ é E l h Ó8 Ù ¿ ¿ ¿ª©}¤ ¿ª¿_¿ ê? : t(~3Ép/i³ÅIJxv8ýd h/N }6/ h · é é}l é êdU é / / l 33Ö@ é ` x à · } h/Ï ¿¿ª§ ¹¨ÀÏÀÏÀ ¢ í / âR3¹:¹ - jÖ@`4 / âR3¹ à · - ´¡( U é · ¿¿ª § / ':¥ R© « t(~3Ép/i³ÅÄ:²xv@ýd` é}l é U é / / é é}l é 8:@ ( l é · l é ¹¨ÀÏÀÏÀØ× é / ¢ h / é é í é · é /´ÞÞ 4«« D¨«}¥¥ ¿¿_¥ ê? é}l é 3 b é · lh 3@cs l l Ö 3 l /· t(~3Ép/i³ÅIJxv`À» l é 2 @· é H
¹¨ÀÏÀÏÀW× é / ¢ h / é é ?í é · é /HÞÞ =«}¥ª-« R«© ¿¿_ ¥ ê? é}l é 3 Ø / t(~3Ép/i³ÅÄc²xv }N é}l é x h · é c 4 4 s h/ U é éHòd è é Ø
í · - ?À» l é · l â Î@¼ ¤ª-© Rª§ ¿¿_ ¥ ê? t(~3Ép/i³ÅÄw²xv»ýd h/` }_ é}l é U é / / l é · l Yh/ Öc>¹¨ÀÏÀÏÀ ¢ h / í é · Ó á 0ª-« ª¥ ¿¿ªZ© ê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙJq+
t(~3Ép/i³ÅIJxv µ@ é}l é Ï lé l é · l £ l éÒ ýd - × 8 Ô l - Î/ ¾¥¿P ¿¿¾_ê? t(~3Ép/i³ÅÄ>²xv»ýd µ3é}l é K éé @ · é $ hl @ éh è N l é · l ¹ £ í» é é ë lhÒZé
£ l ýd × ' Ô l- ¼¼ 4§D¥¨§ ¿¿¿_ê? t(~3Ép/i³ÅÄ>²xv»ýd µ3 é}l é K éé @ · é $ hl @ éh è N l é · l ¹¹ £´¡ Ö@ U é é 0 /l U é x ë lhÒZé /
£ l éÒª ýd × h' Ô l- ¼ Ó8 ¤ ¤ R:¤ ¿¿_¿ ê? é é `/ } h/ é}l é l hl @ éh éÒª t(~3Ép/i³ÅÄܲxvxí 2 é c £ l éÒª ýd × ' Ô l- ¼ Î M:¾ D) ¿¿_¿ ê? t(~3Ép/i³ÅÄȲxv µ3 é}l é é é @ · l é · l Ûh/ Öbȹ £Nµ@ l E À» l é · l l l´ ò Dé £ é â ÀÏ@ ê? ¹¨ÀÏÀÏÀØí h §}¤¤P¤ / «§D¨««§ t(|{÷p/i~@Ë{}Æ}ÄÛz´v y´æ&qsr`Ä>nv ¢ é}l é d@ / é ªEs R é é l ?4 / @ é ¡(2 é xÎÎ Jª¿ª-« ª¿ª¿ §}¤P¤ ;ê? t(|{÷p/i~@Ë{}Æ}Ä?z´v y6æ&qsr`Änv<À é / £5¢ é}l é K@ / é Ms . é é l 4 /_ @ é ¡(2 é xÎÎ Mª¿ª« §}¤P¤ 0ê ¡(2 é xÎ@¼ 4§}D¥ §}¤P¤ ;ê? t(¬l÷l°/gji|{éó(v × / é}l é l% · `3 > º / U é Ö Î@á Y§}¿¤¿ ¨§}P¿ ¾ § }¤¤¾_ê? gji t(¬¶þqs~4gª{k Ä>ì@vKì@v y´gªÄ>®/qok Æ}IJxi³Å{
ì@v(ÍMv y(æ<{þ/i¬:t_vÏÍMvdÑ´v ¢ · l é M é}l é é / é}È Ò é éhl é x l
U é h ª ¢ // l ZÒ é Òª £ éh' 2é ¡ `/ é wÎ Ù Þ Jª:¿ ¨«}¤¥ §¤¤ªZ« ê? l ö<ÄNå:v ® v ¢ é /· ë 33Ö` ë h@ /· Hh/} é Ò } h/ é}l é < l 0Ò é Òª é / é} :í Ö@ Ué ¢IÓ ½ ù'.¿¿¨§}¤¥ §}¤¤ª«Zê? ö<Ä
å:vK® v õd l é è Ô é /· Ò é h é}l é ´ l ZÒ é Òªh é E /· ¶ h é s/ l
:í Ö@ â 0Ò À0 8Ó ¤P¥ :D¤ §}¤¤_¥ ê? ö ihi~/Ìx±dv@öKv y4æ&qs~`±dv@öKv µ@ é}l é 4 l ZÒ é Òª é // 2 é é}6h / l / º / U é´à Ö@ é ` Ó8Ú ¾ª-« ¿¿ §}¤D¤ Aê? ö ilk fi|wöKvN® v ºd lDø é}l /w}H@ lh é é /
l Òª ë ÖÜ é}l é Ué / /d ¢ // £léh'2é ¡ `/ é wÎ/ ù'.§}¥PR§©}¤ §}¤¤ª«Zê? ö ilk g}r`Ä}~'@°v yÏ(°ªði~@Ë{Yexv y»n´ÌªÄªfh{}Æ6Äjv º ÅàRp ë Ö @ l Nh éDø é w `/ lø éhl é d ¡(@ í Ö@ ¼ Ú Þ .-¿ R¥¾ §}¤¤ªZ§ ê? ö ilksk ÄpaÍMv y ö ilksk Äp Ê&vÈt_v exv yIñNiÅþ/{k k qÅil| ó(vÈ× é / éÒª é · é `· />4 /> éhl é £R¢ // Ué } é}l é l Ò0é Òª wØ3 · é í /· Ú48Ù 4§}¥ª«}¾ ¨§}¥¥ª© §}¤¤_¥ ê? ö i~4Ä}~4gji|Eexv ¢ é}l é H l ZÒ é Òª$ é é `3 N I éØ é é Ö é} `3 <: }Ï3/ é YÝd ë@ é
¼ Î@¼ ¾¾¿ ¨¿:¤ ¿¿_¾ ê? ö i|g} q »v yYäxi|fi°3Æ}ÄkHì@v`_v ywó p@Ä}|hioÃEexv yY±´{}°/÷p/ihp@Ä}r±dvxâ éÒª lhl b/ /· é}l é @ · é @ lh é
:¹¨×K¸ £¡ âd¸ £ âd¸ £ê ¼/Þ 4§ ©D¨§}¾¤ §}¤¤:_ê?
ÙJqÙ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
ö i||Ä}|q»nv y<ÍwÄ}~Ãh|{}q exv<ì3v y{}°3~3É$ë>v nv@ /· é U é 3 ÖH ` é @ / > í Ö@ Ué:à Î@½@Þ .:: §}¤¤ ;ê? ö<{hÉjigªflÌwäxv Ô é /· Ò Å é /Ns ` 3// Ô Ò ÖMû · j `
í Ö@ â Ò0 À ½ 'ù '¥ª«-© R¥¥ª¤ ¿D¿ Aê? ö<{hÉjigªflÌØäxvHó(v ÔRî Ò Ö0û · j > h/ é @ s hMß @wØí Ö@ â Ò0 ½ Ú8 ¥¿ ¤ R © § ¿¿_¾ ê? ö |higji|q¶÷{zdv`® v öKv yMü4{}||i¬cñNv:öKv ÍMv ¢ s :/ é b} º lh/l ô h/ h o é}l é d ë ` } h/U é / /`} ZÒ é é /w } l£ éh' (¢ é ±é ¢ // ÓÓ Þ :¾ :DD¾ ª¥ §}¤¤ªZ© ê? ö |hihigEexv´ñNv yRñRqÅi³sp/ilk r å:v µ@ é}l é U é / /Y ë 2 é / £éO}àÒ é `3 4/ /· h ·ª@ é} è Y é}l é < l ZÒ é Òª l hh é // U é h/d / é U é U é U é x é é È?¸( 2 é / é Ü`3 /·? È h2 é / ë ·}Ö½ d§}:¤ ¨P§ « § }¤¤¥_ê? ö |qÅig}|q¶÷pó p/v_â é2ø é é hl é é s/ l /
} h/cl£ éø :`3 h é}l é l ZÒ é Òª dNâ / · U é`¢Kl é`Ó/'ù ' « R«}¾ ¿P¿ ;ê? é é /· ë 2 é I cò ö |qÅig}|q¶÷péó
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙJqDq
àRl ÒZé Òª é h/ I¢ // Ué / >º / Ué à Ö@ é ` ÀÏ lë Ö ñR°/Ä}|³iIÍMv y ü i~/|hiqs|{ ÍwĪ÷p@Īgª{Yì@v8exv ÓÚ8 §}¤ª©-¨§§}¤ §}¤¤DAê? ö °3~4ÄËq6üÏv y_ë:{}̪÷hðlÌ}~/¬ËqRë>v@exv¹ hlé}l /· é} }é / ø é Ns é}lé 4¸( · l é éȹ £ 2 é @ í é bâ éh D×8ª@ ¸( 2é / l% ¸( ¿¿P ¾ / '¨§ © ö °3|Ä}³oq å:v@ÍMv y»ü4Ä}³ÅÄ}|6²xv m¨iví l% ¶ Ö@ 6 éh s ± é // U é é}l é @ lh é é > º / Uéd¢ é Ö@ Ù ¼ '¤ª§«-R¤:¥ §}¤¤ª«Zê? ö °3|Ä}³oqKå:v»ÍMv yRü Ä}³ÅÄ}|:²xv m¨iv Ô /· ë42 éÒ s é // U é é}l é Ï`3 Ï £ éh' ¢ é ¢ // ÓÓ ¼ J: j« §}¤¤ªZ© ê? } l z_%Ä 8&̪÷pj°jËcÇ&vÇ&v y&ñxÄ}³o¬Ë{Y±d9v »v4í éhl >s é > é é}l é hU é}l @ / ¨Ö@ h :í Ö@ U é ¢IÓÙ ½ 0¤¤ ¤¥ §}¤¤A¥ ê? z_%Ä 8&̪÷pj°jËéÇ&vMÇ&v yHñxÄ}³o¬Ë{0±d v »vx é0ë Ö é é Ö@ é / é Ö l h w é}l é hU é}l @ / ¨Ö@ h `´ í Ö@ â 0Ò À0Â/½ ¤j««§}P¤ §}¤ª¤ªZ© ê? z_%Ä 8&̪÷pj°jË Ç&v yÜñxÄ}³o¬Ë{ ±dvc¹ `· /D é Ö l h é}l é hU é}l @ / ¨Ö@ h `´:í Ö@ Ô l- ¢IÓ Â/¼ 4P¥ ¿ ¥ª§§ §}¤¤_¾ ê? z_%Ä 8&̪÷pj°jËØÇ&v y(ñxÄ}³o¬Ë{±dv yÏÍMilk i¬pªË{ÛÇ&v ¢ é Ö@ }Ï é ª é » l ¸( l% Å0Ò é l í < é :í Ö@ U é ¢IÓÚ Â M ¾ j§ §}¤¤_¾ ê? z_Ä}qÅi¬`exv y_t6k moeKË|qsr:q´exv µ@ é}l é ZÒ é é é _ / c` l / / l h í Ö@ U é l é  'ù -© R¤ §}¤D¤ Aê? z_Äk qs̪Ä}|{}Æ}ÄH²xv ÍMv y´z_{}|qs~M® vÇ&v y»ñx{}~/³o¬l{}Æ}ÄHæ(:v v µ@ é}l é Ö é
@ h l é } l éhl é d l£ é- â ¹// ZÒ é- 8Ó M¤ ¿¿_¿ ê? z_Ī{ ;Nv /y @°Mì@v ¡(2 é h/ é}l é Ï l l 3@ U é Ö
s h `/ lø>à Á /·@ô é ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é R¼@Þ '¤¿ª© R:D¤ §}¤¤ªZ« ê? z_Ä}|fhĪ÷hðiл¬Ë}q _v Ò Öa é h é Ò ê é / 3Ö@ é ` Õê¹Å £ ¡(2é × / ¹ hl ÔR/î é Ö ¸ l 2é é àRlhl ` / ¸ 2éÒ - ÀÏ@ £ M Z¢ l ê? 3 /· l- ¸ l .¿¿ª « / 4©-« ¾P¥ í Fõ éw ë2é} è 3 8 z_Ä}°@kæ(v yå:irdþ}Ki ® v yåxk iqs~ _v× é / h /·//· Òlh2 é h ë4 é l -à é< `@s//· ë4 h@h ë //· ` / hj · é /èè é} · Õã é0ë //·Wã .é /· Hl£ éh' £'  'ù × -¿ × ¿¿ª_¤ ê? z_Ä}°@k<æ(v yÏåxk iqs~w_v yÏå irdþ}KiN® v Xà é `/ /·Y l Ò Ò /·N é}l é l é R £' jÖ@ - 3 · é í ½ P¾ ¾ª¾ ¿P¿ ;ê? z´ir`Ä}~/³ exv ¢ lh 3:} é é Ö@è /· lø l é h / ( ë@ é : é Ò / ë 3@ d:í Ö@ R 0P: P© :¿ _¥ ê? £ é · Ô l- ¼½ 4« ª¤ ¨« ª¿ :¿ _¾ ê? z´ir`Ä}~/³Ïexvýd µ@ é}l é à lh é R:í l z´i|{k Ì}r`Ä}³Å{}°t_v yÜÇÄ}|gª{}°@k ÄËqs= ¬ v y>ädqok Ãi|Ønv £ 3 /·b ß é ë Ö U é /?} é // U é é}l é @ / I`3 :Ø }Hí Ö@ õ à £d¢ // í Ö@ Ó á D ¤ D :¤ §}¤¤_¥ ê? z6q¶Ä}~/~4Ä}~/³Å{}~/qNó(v × / ë } h/ / é @ / é h/ Ö@ U é ( U é / /·
ÙJq q
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
U é @ lh é é /K} é}l é 8 l ¢ // /£léh'Dé ¡ `/ é ÎjÞ<Î ¾ª©R¤ª§ §}¤¤:_ê? z6q¶{}~4ÄxÍMv y nK{}r`Ä}~Yäxvt_v ¢Øh/ Ö } é /4 / / é H@ lh `¨Ö@ h `6 ¡(/ À»/· l /·H Þ á 'R¤ ¿¿ª§Zê? z6q¶{}~4ÄHÍMv y»n_{}r`Ä}~
äxv&t_v µ@ é}l é »@ / é >s dé /4 / / é é @b @ é Ní Ö@ U é:¢ Î Ú ½ /¾ª-§ ¿ª© ¿¿ªZ§ ê? z6q¶{}~4ÄNÍMv y
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙJqM>
@ / éÒªR é /d µ@ é}: o¡ é 4¢ // /¢ é 4Ó84©«-¾¥ §¤¤¤_ê? z_{}|hi~6{ nv y<æ&°/÷pªË{/°v y<ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q öKv? · j s/ l / é K Ué ÒZé é / } h/ @ @ ª éÒª é > 4¡ `/ -/¢ // £léh ÎÎ Ú8.©«-R¿P §}¤¤¤_ê? z_{}|hi~6{cnv yÍwÄ}qs~4Ä}|g}qxöKv µ3 é}l é é} / é £ é · Ô ,+`l s/ ª@> í h _º =¢ R ¿P¥ 4µ@h @ / Òªl A é< ¸ l l x¢I£léh/ é '¿¿¥P 4§§ z_{}|hi~6{Hnv y»ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q»öKv µ@ é}l é p é / / £ h · é é >@ lh é é /´} é}l é ( l Y¹ £<µ@ é}l é é µ@ é}l é o¡ é / /N ¡ 3// £2 é / ÀÏ ^ë Ö óÏÄ}|Åþqs~/³i|q´exv y_ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q_öKv Ý´ / é ºd B £ 3 /· l Ý l é · ¿¿ª © / §§D¨§©}¥P z_{}|hi~6{nv ywÍwÄ}qs~4Ä}|g}q
öKvYâ é @ é Õ`3 Øs é} é}l é $@ / R µ@ é}: 4o¡ é ¢ @/ ¢ é Î '¥ª-© RP¿ ¿¿_¾ ê? z_{}|hi~6{ nv y ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q öKv µ3 é}l é U é / / é Y é0ë ë2é0ë Ö@ ë > ¢_h: £' ½ 'ù Mª©-© ¾¾ ¿¿_¾ ê? z_{}|hi~6{nv y(ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q(öKv ¢ / ø é
} Ôdî Ò Ö µ/ l @ / ë Ö é @ é : 4¢ é Ö@ é Y ¢ // Ué / ã ¢d¢Fê Î Ú84§DP¨§ª¥ ¿¿¿_ê? z_{}|hi~6{Env yÍwÄ}qs~4Ä}|g}qRöKv(â é /@ é Ø`3 é / ø é /·$¨Ö@` l é} £ éh/ é U é í Ö@ À» l é}l é &@ / > :¹ £ í ë `´ l õ ë4l · ¹ 3 ë4l é ¸ ÀÏ@ ê ¸( 2 é / l Ý l é · ¸ é §}¤P¤ ) / 8§}¤ Rj « z_{}|hi~6{Mnv y´ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q´öKv µ3 é}l é d@ / ? £ ë2é0ë Ö?@ ë / é 3// é @ é
¹ £ í h Ô /·Hâ é /· ¡ h é / ¥ Ô l h:º h ÀÏ 4ë Öwn_Ä}~3ɪÄ}|ĨçÄ}~Ûz´v y(ñRqs~3ÉHÍMv ¸ l £ 3 /· l Ý l é · 5-ª¾ R¥r í Ö@ º ¥ª§ : §}¤¤:_ê? z_{}|hi~6{Nnv y8ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q öKv@3 `/ Ö é :/ / Ö: U é Y@ / ` ` Ïs K ª 3// d é @ é 3R: }Ïí Ö@ £4¡ @ l R 'R¥ §}¤¤ªZ« ê? z_{}|hi~6{$nv ydÍwÄ}qs~4Ä}|g}qdöKv ydÍw{}|hi³o³oqñNv ydKÄÉ}~/qs~/q`z´v ydKÄ}|hĪg}qs¬hqR_v à lhlh é @ §}é ¤ ¤ªÜZ§ ê?` 3 s é} ¶ é}l é @ / ¡(/ í Ö@ w¼ Ú Þ R« § ¨« : z_{}|hi~6{:nv y<ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q<öKv y<Íw{}|hi³o³oq&ñNv y8KÄÉ}~/qs~/qKz´v y<KÄ}|Īg}qs¬hq _v µ3 é}l é <@ / £ ë2é0ë ÖW@ ë / é é @ é I`3 EÜí Ö@ U éÜ¢ Ó/ù ½ ¤¥ R:§ §}¤¤ªZ§ ê? z_{}|hi~6{?nv yxÍwÄ}qs~4Ä}|g}qxöKv yNÍw{}|hi³o³oq:ñNv yxKÄÉ}~/qs~/qz´v yNKÄ}|Īg}qs¬hq:_v_×6 é}l é @ / £2é @ lhh é @ é é / é} : £ 3 é <¹ } µ@ é}l é »ý l ¡ é / / é Û¹ ¢ // U é / Kº / U éà Ö@ é ` ¼á × h ¨l£ é}2 é @? _Z¢ o ÀÏ ê?'§}¿ R) §}¤¤ªZ§ ê? z_{}|hi~6{Õnv y?ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q?öKv yØ®/|qsÆ}Ä}¬h³ÅÄ}Æ}ÄÿäxvEÍMv$j é cs/ l /W ê é}l é h éDø é é} é $ é}l é d@ / éÒª @ / é
¹ £ × / À» · jh ¹ - ¡ / / à h é /À é / í» Ò @ 0Ò ¿¿ªZ© ê? Ý@í
í» ë /· ¡ ` é jÖ ´hj- 8¿¿P¾ / 8¿j-« ¨§}¤ª §
ÙJqð
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
z_{}|hi~6{nv y(ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q(öKv y Ç8qsÆ}{k q(exv ¡ // ¶ Né @ é é
éé l ë @ é ? é @ é _@ / Û ¡(2é 3 / é µ3é}lé Ó Þ Ï¾ª©-R¤: §}¤¤ª©Zê? z_{}|hi~6{nv y
nK°3³or`Ä}~ÕnvYýdÕ/ é é éÕ hl @ éh W¹ £ × é /¨s £lh @3 é 3 é µ / l / ÀÏ fë Ö nK°3¬iÆ_v y?ñRqsr`{}ƬËÌCv y åqs|̪ÄË{}Æ}ÄcÇ&v 3 /· é 4 h: £ N¡ / h × / ·}Ö .¿¿ª« / ¥P¾P: z_{}|hi~6{nv yÛÇ4i¬h¬ilk Ä® v ¢¢ ë4 h · é é / £ié é Ö@ é é // U é /Ü Ô l hRº h _ l£ éh/ é ªP¥ ¸ l £ 3 /· l% Ý l é · .¿P¿ : z_{}|hi~6{nxv y0Ç8qsÆ}{k q>exv µ / Ö@ hlhÜ é @ é 3Øs é} ¶ é}l é @ / é /´`3 · é <í /· Ú8Ó 4§ :¨§ j§}¤ §}¤:¤ _ê? z_{}|hi~6{Ynv y:Ç8qsÆ}{k qÏexv y»ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qÏöKv à lhlh é 3// é @ é `@ s é}¶ é}l é @ /
º / Ué´à Ö@ é /ÓÚ8.¤PR:¥ §} ¤¤DAê? z_{}|hi~6{ nv y edfhgjilk mon_ihpjqsrDt_v exv ¡ Òªl · } h/õ´ / é Ô l / ª Ò h/ o é}l é <@ /
: } ¡ ` ¢ // l £ éh' ¼ ù ½ ¾ªP© ¾P¾ §}¤¤ªZ© ê? z_{}³Å{?ÍMv y h¬pjqsqNñNv´ ` @ lh é l é é Ö@ M? À» l é é ¡(/ ¢é ¹ hl é} é À» l / 4Ù Î MP¥ ¥ª« ¿ª©Z« ê? z_{}³Å{ ÍMv y ÑKk gp@Ä}r å:v ±dv ` h · é l é é Ö@ £ @ h/ 4 é · é / éhU é
¢ é 4¡(/ Þ 8Ù '«§-§ RD« ª¤ ¿ªD© _ê? z_{}³Å{ÜÍMv ywÑ_k gp@Ä}r å:v ±dv: ` h · é é é Ö@ £Nh/ 2 é } hÒªl ë 4 é · é `R ¢ é 4¡(/ Þ 8Ú '¥ª © R¥ª©}¥ ¿ª©}_¥ ê? z_{}°3³ÅÄ}¬Kexv y4ö i|g}q »v y4äxi|fli°3Æ}Äkì@v_v y4±´{}°/g}|ĪÄxÍMv y4±´{}°/÷p/ihp@Ä}r±dv à · é @ é}l é l @ lh é Vë2é é · h s í é M× éÒª N lhll é w U é N¹¨×K¸ ¡£ âd¸ £ ¼ 8Ù '§-© R-ª§ §}¤ª¤ªZ« ê? z6|hi~/~ i¬h¬ÍMv y:ÑKk gp@Ä}rêå:vK±dvÏ ` h · é l é é Ö@ £Ïh/ Ö é Òªl ßU é ¢ é 4¡(/ ÞÞ .: § R:§}¿ ¿ª©Z§ ê? z6|q ɪ{k qs~/q _v ¢ / é /Ï@ / 4 é /» p é è é ª/ é h/K h 4 é àRlhl ` / / ȹ £ ¡(2 é × / ¹ hl / é Ö¸ l é 2 é ] ¸ 2 éÒ - ÀÏ ^ë ÖÜz_Ä}|fĪ÷hðiл¬Ëq´_v y`ë {k ÃxÍMv y`ë i|{}~Eexv ¸ l £ 3 /· l- d¿ª¿ª « / 8P¤ R:P¿ z6|q ɪ{k qs~/q8_v y KÄk Ä}³ilksk Äæ(v y nK%Ä $_Äjilksk q(z´v ¢ ¨Ö@`
é / é /6@ / £é lÁ` é Ö lhl ` Ö` l R µ@ é}l é Rá J)¿ :ª¿ §}¤P¤ ;ê? z6|q ɪ{k qs~/q@_v y@nK{÷h÷h{´exv yÏë il¬³4±dv3ì@v µ@ é}l é U é / / é é é}l / é / é } é @` ´ í Ö@ â 0Ò ÀÛ½á D§ :¤ ¨D§ ¤¥ ¿¿_¿ ê? z6|q ɪ{}|hi~@Ë { v yNz6|{ɪ{}|hi~@Ë{Mt_v ¡(2 é 3Ö@ é ` :} h/ é}l é Ô h è¨Ö@ h :í Ö@ â Ò0 Ô l- á Î ¤:D ¤P §}¤¤:_ê? z6°/{.;Nv y ;R°0ÍMv´3 Ö@ U é é // U é />}: é}l é h@ @ @·
é I £ éh' í Ö@ Þ8 ¤¾ª § D¤ §}¤¤_¥ ê? 4l
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙJq+
z6°3̪{}r`Ä}| ñNv y6ñR°/÷p@Ä}|~ i`±dv yK® ifhÄk gEz´v à Ö@ é ` Ué Ö@ hlh x`3 »}K l l lé ` / l l Mß 0/ /·c é}l é N l ÒZé Òª
c }`í Ö@ à Þ ù' ¥D¤ ª¾ ¥¤ª« §}¤¤ª©Zê? äÄ}~/~ ih˪i~ì@v6ë>v y4²Ä}|Äp@Ä}|q8e_÷p@Ä}|_±dv/²xv y_Ç/Ä}°ªÉpj³ ñNv/ÍMv y4äÄ}||qs~3É}³Å{}~Yå:v@æ(v ¢?é @ é Y :/ é } é}l é &@ / > 4£ : Ô M ÎÎjÞ .D« R«© §}¤D¤ Aê? äÄ}~/ÌɪÄ>exDv éÒª é · é c E @ é h /·/ é ` Ö$ l£ éh' »¡ `/ - £ 3 /· Ó Þ '¿¿ Rj § §}¤P¤ ;ê? äÄ}~/ÌɪÄexv £ / @ / é E /IØ é} ¶ é}l é c@ / éÒª é /d:í : â´Ö 3 : Ô @ ¢ Þ ½ Ú8Mj§}¿j«}¤ §}¤¤ª§Zê? äÄ}~/ÌɪÄ
exv £ / @ / é K / } é}l é _@ / éÒªY é / :í : } h/ â´Ö é <3 l Ö ¢ Þ ½ 8Ú )¿ :¿ª«© §}¤¤ªZ§ ê? äÄ}~/ÌɪÄÛexv éÒª é · é I4 é Ö £ À é / é È /EعŠ£ × / hl U é é ¡ `/ é é ¢6 / 2 é À /¡ Ô é Fõ é :× @µ ÀÏ@ ê? M > ß: â´ Òªl ÀÏ@· : MP¤ P¾ §}¤¤ªZ§ ê? äÄ}~/ÌɪÄØexv´¹ hl é ZÒ é é0ë `3 >} Ò é Ö h é}l é h éDø é é RN¹ £ í : } à ÀÏ× ¡Ü§}¤:¤ Ýd¹¨¸ 0ª:¾ ¿ª « 4¢ £ À 4¡( U é · 0 Z¢ §}¤:¤ P é / ø é }H é}l é ¡ ¨¡ ¨Ö@ h ` äÄ}¬l÷pªËÄ0ÍMv y`å|hifl¬Ç&v ¢ @ hlY ë Ö? @ é Ö ß/ % l w¹ £6¢ 0Ò é ` µ@ é}l é o ¡ é / / ÀÏ ±ë Ö ®4ĪfhÄ}³oqÅi| ì@v y»eÏÉ}|Ä}Æ}ÄkKÑ´v<_v yRü i~/|hiqs|{HÍwĪ÷p@Īgª{ì@v exv à hª- h/xºdlh/l é @ £ 3 /· l- 4§}¤¤ª © / §«-© ¨§©P¤ äÄ}̪ÄËÄ}Ð(ÄIäxv µ@ é}l é
3Ö@ é ` c 2 é l /·W 0 µ@ é}l é Î ¿ j-© ¿ªD« ¿:¿ _ê? D äÄ}̪Ä}³RüÏv y<²Äªgjihir® v y ed¬¨Ép@Ä}|® v/í l @3 // @ hl é û K} éNÒ é û/ hh/ é}l é £léø `3 < ¢ // £léh'4¡ ` Î@½ Î '«DR¥P §}¤¤DAê? äÄ}̪{}³NöKv ÔRlî Ò Ö é Û 0 é · é Ö/ 33Ö@ é ` Eí Ö/ â 0Ò K¢ Þ 8Ó _¾¤¥ P¾ ¤ ¿P ¿ ;ê? äxi?z´vRæ(v y:Ê p@{}°È® vK#v 2 é h/MlDø é}l
@ Üs é}l é N h · é é l ZÒ é Òª »}8¸ Ò hh s/ l / 2 éÒª6lDø é}l ë ø @ / 0 E_ ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é R¼ 8 Ù ¾¥ª-© ¾ª©}¿ §}¤¤ªZ« ê? äxiqsr`Ä}~/¬:²xv y_±´Ä}°3Ð6i~/¬Hì@vó(v µ@ é}l é h/ · U é _`3 é M é}l é _@ lh é é /Ks ´Ò é ë42 éÒ Nâ / · U é`¢Kl é`Ó8Ó 4 § ¤ ¨ § ¿ ¿ªD¿ Aê? äxiqs~/¬lÄk °wt_v y6KÄ}³o|q¶Ä}|÷hÄÍMv yz_{}̪÷pj°j(Ë v y6äÄ}~3ÉÉ}qK_v µ@ é}l é 6@ @ ªM M l 3@ £ éhl Î@á ¤¥ª « : §}¤¤ªZ© ê? 4 h é d }»í Ö@ £ ¡ / l äxi~/|qϱd v v yNë iÄ}|~ ix® v<æ(v µ@ é}l é hU é}l @ / w`í Ö@ U éH¢ ¼4 8Ù 0:ª¾ j«« §}¤¤¤_ê? äxi~/|Ì
±dFv v y6æ<Ä}~3Ék Ä}~4g}¬wüÏv6exv(ÍMv yHë`iÄ}|~ iH® v(æ(v ¢ / é /:@ / h U é hUé}l D3Ö@ é ` £ j// cé @ é 3 Ü é ª é hUé}l @ / é /d í Ö@ â 0Ò À0Â3Þ :¤ P):¥ §}¤¤_¥ ê?
Ù0> 9
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
äxiÌ}r`Ä}~/¬x²xv y»±´Ä}°3Ð6i~/¬:ì@v_ó(v µ@ é}lé h/ · Ué »`@ é é}l é Ï@ lh é é /Ks ´Ò é ë42éÒ Nâ / ¢Klé Ó4Ó84§ ¤¨§ ¿ ¿¿DAê? äxi||r`Ä}~/~>nv/× / é}l é <¨Ö@` l ´ · : }»í Ö@ õ £/º Ué}é í é í Ö@ Ó Þ ¥¤ª-© ¥ª§« §}¤¤ªZ© ê? ädqok Ãi|0nvY× /l `33Ö@ é ` U é /· l Òª Ò éSé é Ö I 3 é Õ h/ é ßU é
}»À @h @ í Ö@ U é l é ÞÞ Mj § ª§§ ¿P¿ ;ê? ädqok Ãi|wnv £ / U é /· é h/E é ßU é W} 3//
2 é $ é @ ª@E í Ö@ â 0Ò Ô l- Ù8Ú .¿¤ R¿ª§ ¿¿ªZ§ ê? ädqok Ãi|dnv ¡ é ßU é h/ ÖYs F é / ë@ /é 2 é R é / / í Ö@ â 0Ò À Þ 8Ú 4§ ª¥¥ ¨§ j©ª« ¿:¿ _ê? ädqok Ãi|wnvýd é é M}H 2 é E é / /$ع £ â é @ l£ é · l é ò · × H lé h 3@ lh 3 l Ò Ö ÀÏ fë Ö ±diÌji|r`Ä}~/~ë>v ycäd°/Ä}~3Émsæ&qs°²xv y ÍwĪ÷hæ<Ä}°ªÉp3k qs~>ñNv 3 /· é 4 h: £ $ > ß: ¾ª-« ¿¿ ¿D¿ Aê? éM é H} é}l é Y é @ é 3 µ@ é}l é 8Ó ädqok Ãi|Ynv(À 2ø é}l Øs l § :¨§ ¥ ¿ª¿ª«Zê? ädqok Ãi|dnv µ / é } é}l é &3Ö@ é ` _ µ3 é}l é 'Ó 4« ª¿ ¨««}¥ ¿¿ªZ« ê? ädqok Ãi|xnv ¢ lø3h / M} h/ 3Ö@ é ` U é s/ é ws h/ é U é / ë@ / µ3 é é 8Ó 4« ª¿ ¨««}¥ ¿¿ªZ« ê? ädqok Ãi|Ünv µ3 é}l é E3Ö@ é ` hÒªl ë Ö é ·ª3@ Ö ë@hU é 3 /·
¡(2 é 3 / é µ3 é}l é R½ 4P¾ 'j©-« RªD¾ ¿¿ªZ« ê? ädqok Ãi|6nv µ@ é}l é 4 l ZÒ é Ò Ï é ¢ é 3Ö@ é ` U é /·:d¹ £ U é ¹ 0Ò é é é :¸ Öj ¸ à ë@ : ªµwõ´ é l- à 3 lh @ ê? 3 /· l- ¸ l jD« :¥ ¿¿ªZ© ê? ädqok Ãi|
nvdýdÜ é}l é :@ / é È h é h 3@ª@ w é @ _é ihË 3Äxk ¬Ëq»`ex¹ v y&£ ®3¢ ðl/~4Ĩ çgé m ë ª@i |h{}à ~> å:/v ¸ £ l µ@ £ 3 ¸ é / · l Ý ¢ l / é /· .U é¿ ¿P¿ / / ÀÏ ©4-© ë ¾ªÖM § å °3³o~ i|Nnv y ädqok Ãi|Ynv ÀÏ ê?_§}¤¤¤c¢ // U é /H} µ3 é}l é o¡ é / / 0í Ö@ M Ü í» ë /· /ºd ' §}¤¤_¤ ê? ädqok Ãi|?nv µ@ é}l é U é / / é h ·/ éÛZÒ é é é h/l `33Ö@ é ØI¹ £ ¢ // U é /6} µ@ é}l é o¡ é / /6 í Ö@ ÀÏ Aë Öädqok Ãi|Knv 3 /· é 4 h: £ $ ß: 4§}¤¤P¤ / j§}¿ ª:¥ P ädqok Ãi|Hnv µ@ é}l é Ò 0
¹ £(¢ // U é /`} µ3 é}l é o¡ é / /H í Ö@ ÀÏ Dë Ö ò l â 3 /· é h: £ $ > ß: 4§}¤¤P¤ / /¾ª-© R-P¤ ädqok Ãi|nv µ3 é}l é Ï@ / ë2é
wâ´ é / Ô Ò é}l é Ï l ZÒ é Òª x í Ö@ 4¡(/ ` Ö¸ Î ù Þ MP¿ D P¿ © §}¤¤A¤ ê? ädqok Ãi|$nvxÀ ø l é Ò l s é}l é ?Ò W· é $s ` /· éhl é d ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ 0¿¿ ª¤¾ §}¤¤ªZ§ ê? ädqok Ãi|xnv8ýd> é}l é (@ / é 3// x é @ é 3NHí Ö@ U é¢
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù0>2Ì
Ó ¼ á Mª«- ¿ §}¤¤:_ê? ädqok Ãi|´nxvýdY é}l é h éøDé w µ@é}lé xÎÎ3/// §« ¨§«© §}¤ª¤:_ê? ädqok Ãi|Rnv y&e_~/³Å{}~
æ(v µ@é}l é é hld é / é Y é}lé Ré @ é 3R í Ö@ â 0Ò ÀÛ½ Î â D¾ ª¾ â ¾ª « ¿¿ª«Zê? ädqoksk(nv_ÍMv ydñRqs¬h¬lĪgª{Mæ(v_exv yd²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~Ønv_nvϹ Ò0é é ië42éÒ Y é Hs Yh/ h 4/ 4 `/ é}l é h / 6R í Ö@ £3¡ / 3l£ éhlK8Ó ª¿ª©D© ¿ª©}¿¤ ¿P¿ ;ê? ä%{ $6r`Ä}~å:v äxv y t(¬h¬%i Gó(v y&®4÷pj°@k ðËÌjv µ3 é}l é <@ / é jÖ` 3@ l /º À / ë@ /× /l `3 ¼ 8Ó '¥¥ R©« ¿¿_¾ ê? é é}l é R l ZÒ é £ 3@ l Ö ä{}³ ðilkKnv y´ö(k qÅi¬h¬YÍMv(ýdØ U é ¨Ö@ h hc h/ Ö é løDé `/ ´ £léh'2é ¡ `/ hl K
3 :/ é Þ ½ M¾ª«- ¿ª« ¿¿¾_ê? äd¬hqÅihpÿüÏv moÍMv yYæ&qs~D® v mgjv y>®/|qsÆ}Ä}¬h³ÅÄ}Æ}ÄIäxvHÍMv 3 Ûh é / / ë4l l é é ` x}K @ é Ö é
é}l é 6@ lh é é /N ¡ `/ hl é l£ éh' h>¢ // U é /_Þ 8Ù 'ª:¾ Rª¿j§ §}¤)¤ _ê? äd ° »v yë:{}̪÷hðlÌ}~/¬ËqNë>v4exv Ô é · U é l h h/9 / Òªl F é é ¨Ö@` 6} ¸( · l ô wë / hY/UéÒ Ö ¶é ` éé ¹ £3¡(2é × / ¹ hl / é Ö £ $ ¸ l Ø 2 é h é àRlhl ` / ¸ 2 éÒ G & @ í Fõ éw ë2é} è h3 6r ¢Z l 3 /· l- ¸ l .-ª«-Rª¿ ¿¿ª«Zê? äd°H»v ydåNÄksk q¶Ä}~þ°3|$z´v6 @ @ /· lY é h é}l é Ô é / é} é /> ¢ // £ éh ýd DÞ ¼ 4§}P¾ ¨§}¿¤ §}¤¤_¤ ê? l äd. ° »v òdU é6 é / h é}l é h / 4 h é _ ¢ // @l£ éh' ýd Þ 8Ó 4§ § ¨§ ) §}¤P¤ ;ê? é Òªl äd°/Ä}~3ÉöKv y>æ&qs°böKvY× /È é}l é $@ / é é h/[ @ l é
¢´º ã4¹ ¢R£ Þ 8Ù MP-© :¤ §}¤¤ªZ« ê? äd°/Ä}~3ÉöKv ywæ&qs°öKv× / é} ¶ é}l é c@ / é} hêo¡ é / l ÒZé Òª d ¢ // £léh'4¡ `/ /·Î@á .©}¿R¿¤ §}¤¤ª«Zê? äd°3|¬h³Mäxvt_v /· ¶hl é · IU é é} Ö} h lhÒ ÈW× - Y¢ 3 : Y¡ Ò À»/· l ÎÎ 8Ù Ô ©©}¤ ¾¤¾ ¿ª « ;ê? ädÐ(Ä}~3ÉÈì@v ® v ycë Ä}~3ÉÜì@vó(vN ` ch 4/ h @ l W} òdà â ë4U é /·$/ /· é}l é l ZÒ é Òªxl£ éø `3 <:À»/· l /·Y l h _¼ 'ù D¾ ª¿ ¾ª«}¥ ¿¿_¾ ê? l÷pjqs¬i`ÍMv y´²ÄɪÄ}̪Ä}~4ÄÉ}(q »v y´åN{¨çqsr`ÄcüÏv ¢ é é ·M :/ é c}d/c h · l l é /¨ l s/ l /Ès n é é Ö@ I} l 3 Wé }ÛÀ» l é é Ö - ¡(/ ` Ö Ó8Ó 4§D« ¨§}¥ª« ¿ª © ;ê? ¨É}~4Ī÷h÷h{k {YÍMv ydz6|q ɪ{k qs~/qÏ_v yÏn_{}¬lÄHexv834 é @ x é @` £4h/x é /
h/ é é Ö h/ / é é Ö @
:í Ö@ â 0Ò À Ù Þ ¤ª§}¥ª § ¤ §}¤P¤ ;ê? h~3É}r`Ä}~HñNv y8®/°ªðgªÄk ~/qs³o¬ËÌ:ì@v ¡ }< é `/ /·d é} / ë ÖN é}l é @ lh é l é h$ l ¡ `/ hl £lh @@x ¢ // £2 é / é À»/· l /·>Î@á 8 Ó 4««}¾ª-« ¨««}¿j« §}¤D¤ Aê?
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
Ù0>Í
l{}r:qs~Wexv ¢K é} 3Ö@ é ` M} é é}l é Y3 í Ö@ â Ò0 À é Ué // Ué-@é Y} éhl Ö@ RÂ/½ ¤:ª©§}¤P §}¤¤ª©Zê? l{}r:qs~Yexv y ±´Ä}¬Ëqs~t_v ºd · é Òª / l @ / @ ´ h/ `· / Òªl é 0 Ò £ é D¤ ª¤ª«}¤¾¿}0Ò U é- @ / §}¤¤DAê? l{}r:qs~Hexv y Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌz´v4ÍMv é é / é H} ÔRî Ò Ö ¶ Ö@ û · j ( éxh2é ¨Ö@ h Õ ¡(/ í Ö@ d¼ Ú Þ 0R: §}¤¤ªZ§ ê? h¬hq¶÷p/i~@Ë{xÍMv/±dvjí lh é é U é · é Ö Aé é /4 é @W @ é Nâ 0Ò £ @ í Ö@ Ù Þ / /¿P¥ RD¤ ) ¿¿ªZ§ ê? hÆ}ÄËpj~/̪÷p/i~@Ë{ÍMvxÇ&v y Çilk qÅiÆ`t_Iv v yÏeKpjrHihgª{}ÆwüÏvxÇ&v µ@ é}l é Ï l é é / é} l é · l éÒªKh û l ` ë `( 8À» l é · éÒª é ¢ // ¼ Î '©}¾ª-© R¾¤j§ §}¤¤ªZ© ê? hÆ}ÄËpj~/̪÷p/i~@Ë{$ÍMvHÇ&v yÇilk qÅiÆ>t_#v v y´eKpjrHigª{}ÆØüÏvKÍMv( U éhl /·$í l H} h/ hص3 é}l é ´¸(/ é Ö ¡ @ / é ¡ ` é hEh/ ¹` é >:í · h d¹À» l é · â 4¡ ¼ / 8¾¿ ¨§}¤ª« §}¤¤_¾ ê? ì3%Ä $_Ä}|gH® v/× / :/ é}l é 8 é h } ÔRî Ò ÖY R:í ë' × / Öâ é- µ @ ÎÎjÞ 4§}¤j-© ¨§§© ¿¿_¿ ê? ì3ÄÃlÄ}|q(äxv y(ñxÄÃh³ÅÄ}|gªÄ}|lmhz´isçsçq`Ç&v<3 Ò /·Y U é é >// U é é}l é (@ / é ª¾é¾ Òªwª¿ª© §}餪 ¤_¥ /ê? ë Ö ¢ @` é Ü `4 ¢ // l£ éh' ¢é ¡ ` Î Ú/'ù ì3ÄÃlÄ}|q(äxv y(Íw{}r`Ä}~/q6® v83 Ò /·H é}l é (@ / é éÒª: é / ë Ö>`@@ ß ` jÖH l wë2é lh 3:í Ö@ Ô l-¢IÓ Â ù'0¾¾ ¿¥ §}¤¤ª©Zê? ì@i¬¶þ/i|¬i~Õ® v yÍMil³ ðk il|Ønv yYö {hÉjigªflÌIäxvwóÏv Ô Ò Öû · j c lø3hl é Ys h0ß @ £ ÔÀÛé ½/á · 4Ò § D© ¥é ¨§H© j « é}l ¿¿ A¿ é ê? µ 3 l% í» é é / é h/ /R:í Ö@ â 0Ò ì3{}¬h³$ó(vx× é /¨s é Ws :/ é wo é}l é Y¸ / é ` È 2 é í é h/ d¢ @/ U é /xÎÎ 8Ù '-D R-ª«ª© §}¤ª¤_¥ ê? é / é} s // U é ì3{}°3|gªÄ}qs~ܱdv yRÍlïi kïi Ä}|gc® v y>ë {}̪÷hðlÌ}~/¬¨Ë}qwë>v ¢ ë2é0ë f é /: Ò Ò /· h/ é}l é Ô é / é} é é é /·/ é l é >í h é ¢ é Ö@ d¼ 8Ó 4«-« P¾ §}¤¤ªZ« ê? 쪰3r`Ä}|qÅi>z´v ¢bµ 3 l% í» é é $}K é}l é ( l hMh lx 4£léh' í Ö@ 4ÓÓ8Mª«D¥ ª«3§ ¿¿ª§Zê? 쪰3r`Ä}|qÅicz´v ¢ é / é}0 `/ lPø ÅZÒ é ? é}l é x¸ / é È` Ò é é /· h / ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é á ¾P¾ ¾:¿ ¿¿_¾ ê? 쪰3r`Ä}|qÅibzdv µ3 é}l é $ é hlÈ é £ / é é é é Ö@ é Ò â´ é / l ZÒ é Òª ¡(2 é 3 / é µ3 é}l é xÎ@¼ §«©-© ¨§«}¾ª© §}¤P¤ ;ê?Ô ìª°3r`Ä}|qÅiHz´v ºd h / d µ 3 l% í» é é /´}» é}l é & l R ¡(2 é 3 / é µ3 é}lé xÎ@¼ .¾ª©DR¾¾¥ §}¤¤P;ê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù0>
쪰3r`Ä}|qÅiwz´vÏ @ @ /· l é Es Y é / é}lé _ é}¶ }d l Ò é `/ løPÅÒZé M é}l é d¸ / é Û` Ø
¹ - (£ @ í Ö@ Î Ù86«}¤¥P¨n«}¤¾D §}¤¤ªZ§ ê? 쪰3r`Ä}|qÅi`z´v µ@ é}l é ¸ / é £ / Ò éNé 3ª é Y é: `/ lø / é é Ò é é}l é x l ÒZé Ò:_¡ ` é é ?s h/lHh / Yª h/ µ 3 l% í» é é /d ¡(2 é 3 / é µ3 éé R¼¼ ¿¤ª©-¿ª§« §}¤¤DAê? 쪰3r`Ä}|qÅi
z´v £ 3@ ß Eâ´ é / Ô Ò l ZÒ é ÒªR é M é}l é _× é Ö@ l } /@ lh é0ë o@ l /_s h/_h / d ¡ `/ hl é £léh' h>¢ // ½ Î -¥ª© R-ª©}¥ §}¤¤_¥ ê? 쪰3r`Ä}|qÅi z´v:í éh h · é Hs ch/ ë2é0ë Ö} h/Ø é ¦ l Ø· l éh ë Ö é}l é d3Ö@ é ` : ë ¦ l` Fõ é / é h / ¢ // l£ éh' Ô l- ¼ 'ù ¾ ª¥ ¾ª«§ §}¤¤ªZ© ê? D 쪰3~3É`ì@v8ì@v y ±´Ä}|hËÄ}q t_v y&®@qok fiÌNnv8ì@v 2 é ´h/ Ö é H / @·: é s më /3 /· é / @ £Fé ÔRî Ò Ô Ö é Ü M ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ Z¾PR¿D §}¤¤ª§Zê? åNÄk r:ÌË{} Æ »v8_v yKóÏ%{ $´iÌEë>v6üÏv yKó&|{}³sp/i|¬RñNv<® v öKv y´ü qs³Å{}Æ:®4vRÇ&v £ l / `3 s @ l h éDø é > @ lh ¨Ö@ h `´:í Ö@ â 0Ò À0 'ù D¤ ::¤ §}¤D¤ Aê? åRp@Ä}|qs~/³o¬iÆÈ® vH® v yY²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~nv nv y®4Äk Äp@{}Æ0ÍMv åRp/vN¹@û }> ` é /E h/cà ª@/ l ë@ é / /· Ü í Ö@ ¸ £N¢6- x£ ýd - í Ö@ NÓ8Ó §«§-« ¨§D« ¾ §}¤¤_¤ ê? åRp@Ä}|qs~/³o¬iÆH® v ® v y(®Äk ÄËp@{}Æ ÍMv<å:v ¢ `/ lh 3 lø3 é}l l é é é lhl / /·N é}l é l ZÒ é Òª l l Ö 3 l ` U éN¢Kl é í édZ¢ £/£ / é é ¸( ` / é 3 l jÖ Ù/' ù 4 § §-« ¨ § -: §}¤D¤ Aê? åqok fhÄ}¬6exv4exv y (qÅi|Ä}~/³Å{ðhðlq_üÏv y6ü/|°lçqoksk {xì@v8ì@v ydÇ/Äðúl°ið´æ(v3ýd h/ / é ZÒ é ë s :h/ é}l é _@ / éÒH é ?¹ £ í : } h/C ¹ µ3¢´¡ M 3 µ@ é}l é à lh é é c ¢ // U é / À º @À»¹âd¸ ¸( U é 8ø v§}¾ R-P §}¤¤DAê? åqok fhÄ}¬´exv8exv y&®/|qsÆ}Ä}¬h³ÅÄ}Æ}Ä`äxv8ÍMv yÏÄ}~4g
ü/|°lçqoksk { ì@v ì@v µ@ é}l é @ lh é é / £ ¢ l · cß b é // é b éh/ é U é Y Û ¹ £ 2µ é}l è é 3 /·/ é ýd l é é Hâ éh Hí ë `_ é `ª: Ô p ë3hRZ¢ é à _ é Z¢ µ ÀÏ@ ê? ld¢6Ué í» ë Ô @ 4§}¤¤:P / '« R©DP åqok fhÄ}¬(exv/exv y8®/|qsÆ}Ä}¬h³ÅÄ}Æ}Äxäxv/ÍMv yÏü/|°lçqoksk {xì@v4ì@vª× / Ö é ¢ // U é /Ï} µ@ é}l é à lh é <À é / À» Ò l- §}¤¤P¥ åqsrDå:v y&åN{}~3. É »v<® v ¢ / é / ë42 éÒ ´ é}l é µ 3 l% í» é é
d hU é >í Ö@ 3 : Þ 'ù ¿ª©}¿ ¿¾ª § åqsr:r:q¶÷pÈnvN é /· 3 l 4 /$ @ éPé º£ â ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ §D« ¨§}¾ª« §}¤¤ªZ§ ê? åqs|Ä}~ i$ÍMv ¢ éÒªc é h é}l é H é `/ /·ÜÜã - ¢ é x¢ ¼¼ ¥¤¿ P¥ © §}¤:¤ _ê?
Ù0>_Ù
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
åqs|Ä}~ i>ÍMv yRæ<Ä}¬Ë|q»v º lø h }:· ë2é / éE Ö@ lwë
é §} ¤hh¤ª«Zé ê? é}¶ é}l é < é `/ /·: ¢ @/ £léh'é ¡ ` Î Ù Â 8-¤DDR-P¤ åqs|̪ÄË{}Æ}Ä>Ç&v õd l é è µ3é ª é ¡oé / / é ¢ // Ué /Ïdí» é Nâ Uéh º h _ l£ éh/ é Ó/ù Î Ô /· é @òFé ¿¿DAê? åxk ÄÃh³i|Rì@v y<±_k °3rHi~Yexv y ®@p3k i¬hqs~3Éji|dÍMvöKv@ 2é éh é Ö é / é /K@ / :í Ö@ â 0Ò /¢IÓ ½ M¤P¾ ¤¾ª« ¿¾ªZ© ê? åxk ÄÃh³i|Mì@v y:®@p3k i¬hqs~3Éji|
ÍMvdöKv y:Ê8°3r`{Ãi~z´v´¸ Öjܸ / é ` ªcí Ö@ ×<3 é ÖÞ á M: ¿ ¿¿¥_ê? åxk qsrHihËcÍMv µ@ é}l é é : 2 é / `3 h ¨Ö@` l é}l é l ZÒ é Òª ¡ è ZÒ é }Ïí Ö/ R½ Î '-Dª¾ R-ª« §}¤P¤ ;ê? é / é / åN{ªfilk iÆÕÇ&v ynK{}r`Ä}~4{}ÆÜt_v µ@ é}l é Ô é /· Ò é l ë47 @ /
:í · h ´}Ï× / hl Ué í Ö@ 3/// Î Ó á Jj©}¤j©}¥ §}¤¤¤_ê? åN{ªfi|MäxvdýdÈ é}l é : h · é é l ZÒ é Òª w é l£ éh ý ø s WÎÎ : ¿ ¨ § « :¿ ª_¤ ê? åN{÷pj°/fiqKexv»²xv à ë h
lxU é / / é é /}K/ é @ @ ªE } £léh/ é Ué ¢ é Ö@ é ¢ // Ué / Ó Þ ù'4§«§-¨§}¾P §}¤¤¾_ê? åN{÷pj°3|ÄÜexv-v y`ñRq¶gji~@Ë{Üexv$Ç&vNýd h/ } h/ @ lh é é W é}l é ´ l h / > / é ` lÁ` º ¹¹ º ×6¹ »àR é ýR é`Ú ½½ .R- ¿¾ªZ« ê? åN{ilksk i|nvKó(v ¢ // U é /d}» é}l é U é / @ h/h/ Ö} Ò é h ÖM × é / ¢ £ À ¢ // £' ½ Î §}¿¿ ¤ª© ¿D¾ Aê? åN{ilksk i|dnvÏó(v/í Ö@/` é l é ¦ Ò é H é}l é p é / /_ /lh @ é ÖY 2 é / ´ ¢Kl é £' ½ 8Ú § « ¨§}D¥ ¿¾_¥ ê? åN{pEó(v_z´v yÏå ilk k Ìì@v&ÍMv ¢ // U é w}Ï é}l é ( l 0Ò é Òª Y ` . é é Ö@ R ë2é éh `3 d:À éhM À»/· · l- @à Ö@ é Î@á §§}¿ ¨§ ¿¿_¤ ê? åN{p@Ä}~4gjilk`ÍMv y®/qsÆ}Äk {hɪÄ}~4Ä}³sp@Ä}~é® v yEü i~/³oqcz´v yñxÄ}|Æqs¬pWå:v µ3h Öb } `/ lø `3@/ ´} ë@ é / /· é é}l é Nã l `3 REí Ö@ Y £ @ é ¸( ·}Öw½ 'ù 4§©}¿¿ ¨§}¾¤j« §}¤¤ªZ« ê? åN{k {Ë{k ³o¬l{}ÆwÇ&v y8åN{}|{k iÆ
Ç&v y ÷p@Ä}q Ë}qs~ØÇ&v µ3 é}l é é0ë @ ë /_x /l£ éh' Î ù ½ 4§ª«}¥¿ ¨§«©}¥ §}¤P¤ ;ê? åN{k Ð(Ä}~@ËÄ}|6å:v@ÍMv y&z_Ä}~3ɪÄk3exv3ñNv µ3 é}l é @ lh é0ë ÖN}4/ /lh @ lh é0ë s/ l / é @ /´ ¡(2 é 8Ù 4«}¤ª-« ¨ « - ¿¿_¥ ê? åN{k Ð(Ä}~@ËÄ}| å:vÏÍMv yz_Ä}~3ɪÄkÏexv»ñNv Ô U é Ï é}l é µ 3 l% í» é é ?í Ö@ â 0Ò Ô l- 4Ú/'ù 4 § D¨ § © ¿¿_¥ êT åN{}~4g}|Ä}¬pjqs~éÍMvH_v y>®4÷p@Ä}°Ki|0® v y
®4÷p3k iq¶÷pë>vH_v y ÄË{}Æk iÆÿÇ&vY_v ¢ / é / 3 l _} /U éÒ ÖY é ´ · j @ é ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ 0P¿ :¤ §}¤¤ªZ§ ê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù0>q
åN{}|Īfilk_²xv yÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌ0z´v´ÍMv yHü4Ä}|Ä}¬l{}Æ Ç&v´t_v ¡ // Ø é h 4 l% é hlé}l é h/ é}l é 83Ö@ é ` é é · ´ ¡ ` º / Ué é º / l Ué <3 :/ é wÎ@¼ .ª¤ª«-R © §}¤¤ª©Zê? åN{}|{}¬lÄË ñxv y_ó Æq Ë}k±dv y å|Ä}rHi|xì@v yÏì@i÷k4nv y (|Äþ@{}³o~/q Ë exv µ3é}l é Ué / / é // h/ é é Ö@
} ll é l U é @ l Ò ÖÜ} é Ö éhl ¨Ö@ h ? } ¡ é ` é _ò Ö/ ·}Ö>á¼ '¿ §}¤¤ªZ© ê? åN{}¬¨ðl³Å{k {}лq¶÷hðüÏv y ñRÐ({}|hi÷Ëq»å:v y&Í>|{}Ð(÷hðlÌ}~/¬ËqÏ®/³v £U é /·` ë @ / /·: éé lhl :í Ö@ â 0Ò À0Â4Î D¤ :¤ª« §}¤¤ªZ« ê? åN{}³o°@k ¬ËqDÍMv ¢ ` @ ë /ê} 3// ¶ é @ é 3 £¡é ë2é0ë é / é} ª: é- í Ö@ Ú Î ©©©-¨©}¿ª§ ¿¿ª«Zê? å|hirdþ4kj_v(Ç&v ` h · é é N ` l ZÒ é Òª & N é Ö@ »´¹ £}¢ ZÒ é µ@ é}l é o¡ é / / ÀÏ ë Ö ®4ĪfhÄ}³oqÅi|Mì@v yeÏÉ|Ä}Æ}Äk:Ñ´v´_v yxÍwĪ÷p@Īgª{?ì@vdexv`üÏv à hj- 3h/Rºdlh/l é @ £ 3 /· l- '-¿ R« §}¤¤ªZ© ê? å|hiÅþÌ}¬p/iÆ}ÄD²xv y$ñRqM(qÅi³o|h{æ(v yM²xihilkÍMv?ó(v µ@ é}l é E@ / é h û l Òª ë / é Ö @
í Ö@ U é ¢IÓÙ8 Ú 0ª«-« P¥ §}¤¤_¥ ê? å|hiÅþÌ}¬p/iÆ}Ä:²xv y8ñRq8(qÅi³o|{xæ(v y8²xihilk/ÍMv&ó(vjÀ» 2 é é} @ / H `4 /( @ é ÖH¹ £3¢ ZÒ é ( µ@ é}l é o¡ é @ / é0ë2é l- hR @é ¢ Y `é0Ò é l U@é0Z¢ ë
ë h/ é l ý í · × £ é}2 é @ @ ê? 3 /· l- jà hj- ªh/´ºdlh/l é @ © RD¾ §}¤¤ªZ© ê? é / å°3H ~ »v y_æ&q_æ(v yRìªq¶>Ä G}q¶Ä}~3ÉØüÏvÏ 2 é ` Yh 4/ }d l h h` Ò é é ` l x`3 ë ÖM é}l é _ l ÒZé Òª
À é}h/ é À» /· l /· é À»/· l /·`Ýd ë@ é ¼ '-:Rª¤ §}¤ª:¤ _ê? å°þ}Ãi|r`Ä}~Ünv µ@ é}l é 3 l é} ã é /è · /U él ë2éh `3 E é- í Ö@ ': ¨§Zê? §}¿P ª§}¥ §}¤¤DAê? å°3¬h~ ið{}ÆØñNv y`±K°@k ɪĪ÷Eexv y`ñR°3~3Éz´v:ñNv é / Ô Ò ÖI é é}l é 3 l d:í Ö@ â 0Ò Ô l- Ú ¼ ')-¥ R:-¿ ¿¿_¿ ê? å°3³o~ i|YnvÏ3 é ¶h `4 é // /·w h/Y 3// ¶ Ô Ò Ö$û · j Hw3 éh / xÎÎ@á 0ªD§ ª§}¿ ¿¿_¿ ê? å°ªðl~ i³o¬l{}Ææ(v ydÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌ?zdv6ÍMv&í é Òª é Y é /4 h@h ÅÒ hlø û í Ö@Kâ Ò À Ù Î Mª©©© §}¤¤¤_ê? æ<ÄÉ}°3³oqs~wexv exv yϲdq Ë°@k qs~ @°v exv y ÷p@Ä}q Ëqs~ÈÇ&vÇ&v × /( 3 ` h/ é Ö ` é Ö0 ll / é / } h/ é / é />@ / È} h/ é > h/ é}l é < hl h é @ / º U é í Ö@ ´¸Üá4 §}¥ª-© ¨§©}¤ §}¤P¤ ;ê? æ<ÄÉ}°3³oqs~Yexv/exv yÏÑ6¬lĪgª÷pjqsÌxå:v v y ®/³o|hilk ~/q Ë{}ÆRñNvKÇ&vªí é · é Y} ª` K é Ö l / h/NFõ é éø Ö>:í : }&¹ - ¡ â é Ö ¡ @ §}¤P¤ :# æ<ÄÉ}°3³oqs~exv4exv y ÷p@Ä}q Ëqs~ØÇ&v_Ç&v ¢ / é /6@ / é £é // U é ` é Ö é /4 º U é ¹/ / é £lh @3c Dí Ö@ Eâ U éh ¼ ù Î § -§ ¨ § P¥
Ù0> q
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
æ<Ä}~3Ék Ä}~4g}¬HüÏv exv8ÍMv3 } é `@@ ß H é}l é @ / é
:í Ö@ Ué ¢IÓÙ Â .-¥R: §}¤¤¥_ê? æ<Ä}~3Ék Ä}~4g}¬cüÏv_exv´ÍMv yRäxi~/|ÌE±dvv y>ë`iÄ}|~ i>® v_æ(v6×8 /·E éhl Øs é h é}l é <@ / é ` é}l é hU é}l /dN }&í Ö@ £¡ / £léhl Î@á ¤¥ª « :« §}¤¤ªZ© ê? æ<Ä}¬Ëqs~>²xv µ@ é}l é é é /b 2 é / ´ ¡(2 é xÎ 'ù 4©}¾¤ ¨©}¿¤ §}¤¤¤_ê? æ<Ä}¬Ëqs~>²xv µ3 é}l é é /b 2 é / é Ô Ò ÖY éh h · é R:í Ö@ Ô l-¢ ¼ ÙÚ84§}¿ª¾ ¤ª« §}¤¤¤_ê? æ<Ä}¬Ëqs~>²xv µ@ é}l é & @ @ /· l´ é > í Ö@ â 0Ò À Ù8Ù ¤ª«}P¥ ¤¾ §}¤¤ªZ§ ê? æ<Ä}¬Ëqs~$²xv µ3 é}l é 6í $ : ¡ ` º / U é + é º / l U é 3 :/ é 8Ú 4§}P¤ ¨ § - §}¤:¤ _ê? æ<Ä}¬Ëqs~>²xv y&Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ>z´v º / U é é}l é 3Ö@ é ` 6 é é h /· é /· hl é}l /d í Ö@ U é ¢IÓÙ8Ú MD¾ ¨« §}¤¤_¥ ê? æ<Äð{þ@{}°@k {}¬ å:vwexv º U é 3//u 2 é / é ÿ é}l é U é / / £2 é / _â 4¡ ` Ó8Ó 4©D« ¨©«© §}¤¤_¥ ê? æ ihi:ó(v >m »v y ®/|qsÆ}Ä}¬h³ÅÄ}Æ}Ä:äxv4ÍMv 9y @°ihpcë>v mhó(v3À ø @ /K} U é @ é Ö é E é é K é}l é d@ l h · é é ª@H ¢ // l £ éh' é ¡ ` ÎjÞÞ :¨§« §}¤: ¤ _ê? æ iqs³spì@v nv µ@ é}l é U é /· } é}l é <@ / d:3 · é 8í /· Ú8Ó § ¿ª-© ¨§ ª¤¿ §}¤:¤ _ê? D æ idÍMihp@Ä}°3³iRexv y6ó&|iÅþÌz´v@¹Å 3@ l é /¨ l} é H` Y Y é}l é 8 @ éP£3h/ · l ÖY}&3 l d`3 > éh ¹/ dá '-© ¤ ¿:¾ _ê? æ iÍMihp@Ä}°3³i exv y äxilk q¶{gª{}|hiöKv ¹ 3@ l é ª é l ZÒ é Òª l é · l £ é}l é é / é} } éÒª é}l é 0 hl é} hl é}l / ¹ £ í : }Üí · h W À» l é · l Wâ U éh jÖ@` / í»¹¨À»âR4ô ¾_¿ ê? : ¾ RD¿ ¿ª¾_¿ ê? æ i~3ðlq´t_v6å:v y_ÍwÄk Ī÷hÄ}|~ i`æ(vó(v y_ÍMi~4gji¬`nvK®4v y´_ig}|{}4 ~ vüÏv ¢ / é ª@ @ / // U é é}l é µ 3 l% í» é é é Dª ª@Üí Ö@ U éW¢ Ó Î@á § j-« ¨§«§ §}¤ª:¤ _ê? æ i~3ðlqÏt_v å:v y»ÍMi~4gji¬Rnxv ® v y»e_~4g}|Īgji:ì@v&® vÏi³´Äk v º @ / é é}l é »@ / é é õ´h Ès/ l é / é}' £ 3 é é ÖÈ @ / lÁ` é lø3hl é s h :í Ö@ â 0 Ò ÀÛÂ4Î 4¤ª« § P¤ §}¤¤ªZ« ê? æ i~3ðlq(t_v<å:v y»ÍMi~4gji¬nv&® v y&ö<ÄHå:v ® v yÏÍwÄk Ī÷hÄ}|~ iæ(vKó(v y6gªÄH®/qok Æ}Ä æ(v nv ¢ / é / @ / £(µ@ é}l é dí 3 l% í» é é é ? ` /YM 6l£ éh' í Ö@ ÞÞ 4 § ©}¿ ¨ § ¾j« §}¤:¤ _ê? æ i~3ðlq(t_v<å:v yÏÍMi~4gji¬nv&® v y&ö<ÄHå:v&® v y6gªÄY®/qok Æ}Ä æ(v
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù0> >
æ i~3ðlq6t_v»å:v yÏÍMi~4gji¬NnvÏ® v yRz_{}~4÷hÄk Æi¬z´v y(æ i~3ðlq6ÍMv&å:v y_gªÄ®/qok Æ}ÄHæ(v&nv µ@ é}l é @ / é é õ´h Ys/ l é / é}h'£ À øDé}l /d:í Ö@ Ué:¢IÓÙ/ù § -« ¨§§}¥ §}¤¤¥_ê? æ i{}~4÷lqs~/@q ;Nv yå°ªðl~ i³o¬l{}ÆMæ(v yxÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌÈz´vdÍMv6À Ò }x é}l é é /4 4 _Ò hlø û ¡(D é 3 / é µ@ é}l é xÎ@á 4§«}¿ ¨§ªD© §}¤D¤ Aê? æYïi Æ Ì »v mot_v y4®4{}°3qoksk Ä}|gd±dv3/ l U é è é ª } l / é éÒª & N é}l é @ @ é À» Ö@ Ô l- Þ 4D§ :¨D§ ª© ¿¾jZ© ê? é é}l é ( l ¡(2 é 3 æ&qó(v y(_i~3É$z´v ¡(2 é x ¡(/ 8ô x¨Ö@ h h é µ@é}lé R¼¼ J:)j«}¤ §}¤¤DAê? æ&q(ó(v y(ó p/i~Mz´v ¡(2 é 6 h/ é}l é 4 l_¡(/ `¨Ö@ h é ¡(2 é 3 é µ@ é}l é R¼¼ 4« ª¿ ¨«« §}¤D¤ Aê? é æ&qNó(v(_v yKñNi~3ÉÜë>v(äxv 5y ;R°MñNv ¡(2 é :¨Ö@ @ / è é c} h/¡( é ¨Ö@ h h é}l é < l í Ö@ Ué`¢IÓÙ/ù''© R¾ª« §}¤¤¥_ê? æ&q:ó(v y´ñNi~3ÉÈë>v&â é 3NE é}l é d l ZÒ é Ò H ¢ // l£ éh' é ¡ ` Î Ú Â 4©©-© ¨©}D¾ §}¤¤ªZ© ê? æ&q´±dv yYë:Ä}~3ÉMì@v yYë:Ä}~3É>æ(v y´Ê p@Ä}~3É?z´v ¢ / é / /U é @ l é é / é / @ / E c@ª U é é /· é c é / ë4 té ë é c· é 2 é / ¡(2 é xÎ@½ P¤ « § RR- §}¤¤ªZ« ê? æ&qRz´v y6Ê pj°MÊ&v yRó p/i~3ÉMó(v à Ö@ é ` U é é0ë Öw} Ò ` /` h é}l é £ éh' 4£' ¼¼ 4§}D¿ D :¤ §}¤P¤ ;ê? l ZÒ é ÒªR / Òªdh é w ¢ // 4l æ&q¶Ä}~3É:ì@v y6ó p/i4 ~ »v y ö8°@k k rHil|Knv3¸(/ é Ö` é0ë è é é `@ w ë2é _h ¦ l Hs è l é Ï l @ / éÒª: é /x º / U éxà Ö@ é ` Ó8Ú ':¿ ª« §}¤D¤ Aê? æ&q¶Ä}~3ÉØì@vnv y:n_i~ÜöKJ v »v y¯6qs°ë>J v »v y ;Rq¶Äª{Øì@vx±dv´À Dø é}l />s // U é é}l é é / é /´@ / é /d:í Ö@ U é ¢IÓÚ ½ 4¾¤ D¿ §}¤¤ªZ© ê? é é Ö@ $}Y é}l é Y¸ / é b` /EÈ ' ' æ&qs~W® vHì@vN 2 é c â 4 ½½ '§ Rª¤ ¿¿ª«Zê? æ&q¶{}~
exv ýd h/h/l `33Ö@ é _}Ï é}l é » é `/ /· ¡ 8£' × /l `33Ö@ á )¾ ¿¥ ¿¿ªZ© ê? æ&q¶{}~ exv yEåNÄ}|gjilk ËÌó(v
× / í é Ö@ l ß / hÒ é Ö £
/ Òª `3 /· ë2é é}l é w l ZÒ é Òª é D / È U é ܹ - í» é Öw¼ 'ù '-P-R-Dj« §}¤D¤ Aê? æ&qs°`öKv y<e_~@pcÇ&v yKü/°3|~ i9| v º / l U é 4 Y} h/ é} é}l é µ 3 l% í» é é > } ¡ ª`/ é} é é ¢ // l £ éh' Î Ù8Ù 4§}¤¿ ¨ § ¿ §}¤D¤ Aê? ë42 éÒ } Ò hlø éhl- ` Ö lc é æ&qs°Õz´v yäÄ}~nvY® v à Ö@ é ` c £ é · Ô , +`l_h éDø é}
¡Ï í Ö@ Ô l- Î 8Ú 4§}¥¿ ¨§ © §}¤P¤ ;ê? æ&qs°EöKv yRÊ pj°/Ä}~3ÉM_v yde_~@pWÇ&v y`ü/°3|~ i(| v yd±K°3||ÄÉjiå:v( é0ë Ö é Òªl · }
Ù0>Að
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
h/ @ lh lh 3@Ïs 6h/ é}¶ é}l é é Òª ª 3 / é ¢ // £léh'2é ¡ ` Î@á Î '§-¨§}¤ §}¤¤ª©Zê? æ<{hÉ}Æqs~4{}Æ}ÄIå:v y²xihilk`ÍMv mhó(v ¢ é}l é é Ds cé @ª é /Ø@ / D é é @` Ö /lhl · /´4 /_ @ / ¡(2é d@ £ ¤P ¤¥) ) ©¿¥j§ : §}¤¤DAê? æ<{hÉ}Æqs~4{}Æ}Äcå:v yx²xiilk´ÍMv ó(v´3 h hUé @ /·? @lhl · / é ·· h · éh È4 / @ é Y¹ £ ¢ ZÒ é µ@ é}l é o¡ é / / ÀÏ ë Öc®4ĪfhÄ}³oqÅi|Yì@v yKeÏÉ}|Ä}Æ}ÄkdÑ´v»_v y ÍwĪ÷p@Īgª{Hì@v<exv à hª- @h/Rºdlh/l é @ £ 3 /· l-4§}¤¤ª© / 8¾ª«-R¿¾P æ<{}Ð6i~
® v ±dv y_ü iq¶÷pHÍMvÏó(v µ@ é}l é 8 / :í Ö@ â 0Ò Ô l- Ù8Ó / 8©«-« R©«}¿ ¿¾¿_ê? æ&°:® vjæ(v yÍw{k ð(öKvì@v y/öÏq G:zdv/ì@v}í ë ë ` }4 U é / Ö é // U é / } h/dh@h @ / é 4 é}l é é Òªl @ l é : é é 84 / @ é éhl â h _â U éh
Ó8Ú ':¥ª« §}¤¤ªZ§ ê? æ&°® v y&Íw{k ðdöKv<ì@v y&äd°3q äxv æ(v ¢ lÁ` - @h@h @ é é / / : é}l é ¸ / é Y` é / U éh é}l é Ô Ò Ö ` H :/ é é · h ë2é l Òª é @ é /@ /d ¡ `/ hl é õd ¼á '-« ¨§« §}¤:¤ _ê? æ&°bì@v
zdv ¡(2 é 3Ö@ é ` é ¨Ö@ @ / è é D} é}l é l0¢_ 3@@ô ¨Ö@ h `´ ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é R¼ 8Ù ':§-« R:-: §}¤¤ª_« ê? æ&°/÷pªËK { »v yö |hihihg exv ybñRqÅi³sp/ilk r å:v µ@ é}l é l Ò é Ö µ ý_Ý ê?£ ¡ / Òª Òª / / /· h/ é}l é U é / / £:µ é /3 é h 4 ºR¢ ¢ }× £ §}¤¤ª-§ ¨ § : ¿ òxºR¢ ¢ ô õ /â U éhb¡( hl- ¸ jWâ é ý àR ë4l- §}¤¤ª § æ&°3³ ðt_v µ3 é}l é Ô é /· Ò é
:í Ö@ â 0Ò À Ù Þ ':¤¥ §}¤P¤ ;ê? ÍwĪ÷p@Īgª{ì@v
exv?üÏv yEì@i¬h°3& ¬ v
® v yÛz_Äk p@Ä}~4{bexv yÛó&°3~@p@ÄDì@v
±dv µ3 é}l é $ l l é · l R 3 · é <í l /· Ú8Ù 4§}:¥ ª© ¨§}D¥ : §}¤¤_¥ ê? ÍwĪ÷p@Īgª{ ì@v:exv
üÏv yYì@i¬h°3. ¬ v ® v ywóÏÄk p@Ä}~4{0exvi³
Äk vxÀ» l U é H3 W / / éP£ ¢ é}l é U é / / é é Ö@ Øȹ £:¢ 0Ò é E µ3 é}l é o¡ é / / ÀÏ ë Ö ®4ĪfhÄ}³oqÅi|0ì@v yeÏÉ}|hÄ}Æ}Äk>Ñ´v`_v yÍwĪ÷p@Īgª{ì@vHexvwüÏv à hj- xh/Ûºdlh/l é @ £ 3 /· l- 4§}¤¤ª © / JªD§ ï:ª § ÍwÄÉ}qs~nv4æ(v µ@ é}l é U é / /K ë /· l /·Y ¡Ï U é hÒ _ ë @ U é /· l /· Ó ¼ 'R¤D §}¤¤DAê? ÍwÄÉ}qs~Ûnv_æ(v µ@ é}l é U é / /Y ë /· l /· é§ ¡Ï U é hÒ Y ë @ U é /· l /· Ó ¼ .¤ª-« R:¿ §}¤D¤ Aê? ÍwÄÉ}qs~Ûnv_æ(v µ@ é}l é U é / /Y ë /· l /· éG ¡Ï U é hÒ Y ë @ Ué /· l /· Ó ¼ .¿ª«- ª©© §}¤¤DAê? ÍwÄÉ}qs~
nv<æ(v yÏedfhg}°@ksk ÄpEÑ´v y»±´Äk iÄ}~/°>ñNv yÏÊ p@{}°;Nv»ì@v ¢ / é /R@ @ ª lø h h@ /· é}l é 8 l @ lh é 4 l é K h/ ¸( ×8 h Ö é x £ é · l â é Î@á 'ù 4§«-« ¨§©}¤ §}¤¤_¾ ê? l ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q´ö_v µ3 é}l é h éDø é é E é}l é R@ / é /`}d é}l é
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù0>
l E¹ £ ¹ h ¹ £¢´¡ M ¡ /· h ´Ò u:_¢6 é éP_¢ ´µ ÀÏ ê? ª§} ¿ :: ¿¿DAê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q/öKv}ýd h/ / é ÒZé ë Ès h/ é}l é @@ / éÒª( é} 4 ¹ £ éÒª é ? é0ë ÖE ¡ 3// £Y @ éPÏ @ £ â´ l × â´/·· l $ ß: 3 /· é h:4§ª¥¨§« ¿¿DAê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q(öKv µ3 é}l é h éDø é $ w/ é @:Y <¢ Ö@ é ¡ `4/@ § : § P§ D« :D¨D« ¾ ¿D¿ Aê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q<öKv µ@ é}l é <@ / Òª éÒª K Ò é @dx¹ £@º / U é éÒª 03 @Y Ô ·ª lhé µ â Ï º j3 ÀÏ@ ê?6¢ £ À ë jª º ¢R£ âÎ Ó Â µ é ß º :¿ ¿ª© ¿¿ªZ« ê? 2 ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qöKv6× /
é}l é @ @ ª éÒª
é È$¹è 0Ò Ý»Ö@ ' Fd/p ë ã éÒª â é @ ß è éÓÚ8 ¨§Zê?`§}¤ ¥ ¿¿j«Z ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qöKv µ@é}l é h éøDé é ª é : é}l é @ / éÒª / / é ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é  'ª¥PRj©© ¿¿¥_ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qKöKv × / s/ é é Ï /Ns :h/ é}l é _@ / éÒH é ¢ // l£ éh' Ô l- á 4D§ ¨§}¾ ¿¿_¥ ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q»öKv µ3 é}l é U é / / £ ë2é ë `d j// é é U é 2 é / Èb¹ £µ3 é}l é é µ@ é}l é o¡ é / @ ¡ j// £2 é / ¡ é / hl Z¢ Rl£ é é @ µ 3 ê? 3 /· l Ý l é · Ýd / é ºd L o R§}P¿ Dª¾ ¿¿ªZ © ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q`öKv ¢ // U é /M}H é}l é U é / /M l2 é / EÛ¹ £ × é /¨s £lh 3 é E3 é µ @ l / Ý é é ô ¿P¥ ¸(/ · é é ¢KU é xÖw}d ÀÏ ë Ö nK°3¬iÆN_v y&ñRqsr`{}ƬËIq v y åqs|̪ÄË{}Æ}ÄcÇ&v 3 @ß éP'¿¿P¾ / J¤¿ :: ?¹ £´¢K / ¹ h é ª@ h ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qNöKv Ô U éwÒ é Ö ¡(2 é hlr 3 ë l · ÈÀ» é l h í é ¹Ý £dº l Ò × /· ¢K / éÒª í é · é é ÿ U éhl /· Z¢ õ é YZ¢ ¸( A < ý Ô l Ö é õ l£ é è ÀÏ@ ê? $ > ß/: 3 /· é 4 hD §}¤¤ª § ¿ª-© R§}P¥ ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q&öKv ¢ // U é /´}» h · é é /¨s `_ é}l é &@ / > R ¹ h · é <× é /¨s 3 : µ / l /Î@½ Jj©-© ªD¾ §}¤D¤ Aê? é // U é Ø} hp é l l ZÒ é Òª c U éHÒ ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q´öKv y´±´{}~ i³o³oqRt_v»× /l é Ö>:â / · U é`¢Kl é ¼ Ù 3/// D¥ D¥ª© ¿¾_¾ ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qYöKv y$z_{}|hi~6{ nv yYÍw{}|hi³o³oq>ñNv yYKÄ}|Īg}qs¬hq_vNâ é @ é 3c`3 $s é}l é @ /
À» l · ´ºFé h: í éhl / õ´ hé > Ué /·` h/ £ £ º ZÒ é $ > ß: 3 /· é 4 h: §}¤P¤ : / 8¾ª-« R¿ª « / 4 ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qÏöKv yÏæ&°/÷pªË { @°v y(KÄÉ}~/qs~/qRz´v8× / s/ é é M} h/ é} ¶ é}l é @ / é
µ@ é}: 4o¡ é 4¢ // /¢ é Þ 'D« R¿ª§ §}¤P¤ ;ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qwöKv yMKÄÉ}~/qs~/qÛz´v>3 é} ¶ é}l é $@ / £lDø é}l / é ë2é0ë Öc hl hl é 0
¹ £ ¢ ¡ ý £ §}¤P¤ :lh0¡ ª3 h 4 éÒª é é0ë ÖH ¡ 3// £ @ éP M í» ë /· â´ Òªl ÀÏ@· : @º´ l Ö
ÙDð 9
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
§}¤¤ª§ / 4§}¿¥ ¤P: ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q6öKv yKKÄÉ}~/qs~/qxz´v&× / · ª s/ l / é N /:} h/: é}l é @ / é > ¢ @/ £léh'@é ¡ ` ÎjÞ<Î « ¥ª§ §}¤¤:_ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qwöKv ywKÄÉ}~/qs~/qÛz´v× / } h/µ øP · j s/ l /0 Õ é}l é ë @ / >}6@ ë h > l H } ¡ ` 4é ¢ // £léh' ¼ ù  <§j«-¨§ª«© §}¤¤ªZ© ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qÏöKv y»KÄÉ}~/qs~/qRz´v ydz_{}|hi~6{nv £ é /¨s é ë @ é w é R é}l é @ / R µ3 é}: o¡ é 4¢ // /¢ é 4Ù8J: j«}¿ §¤¤:_ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q4ö_v y4KÄÉ}~/qs~/q(z´v yÏz_{}|hi~6{xnvj3 é l Ï}4 é}l é @ / é / £ éh' 2é ¡ ` Î Ú Â §}¿ª-« ¤ª« §}¤¤jZ© ê? }& /· é @ ë h Y l ¢ // l ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q(öKv y6KÄÉ}~/qs~/qz´v yK®4>Ä Gji~4Änv»å:v µ øwò s/ ª@ w é}l é 6@ / c £ éh' Î/ 8Ú Mª § :P §}¤¤ªZ« ê? } ¡ ` Dé ¢ // l ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qHöKv yYKÄ}|Īg}qs¬hq_v µ@ é}l é @ @ Òª éÒª ?Ü ¡ ` N¢K / ?á ©-R)¥ §}¤¤P;ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q>öKv y
KÄ}|Īg}qs¬hq
_v y?z_{}|hi~6{WnvHí ë2é0ë ÖÕ@ ë /Ø· l éh ë Ö h/ é}l é N@ / é E¹ £ ¹ - $ 3 ÜÈÀ / Ö@ ÀÏ ë Ö å:i|³i¬¨ð:ì@v y&åN{}~4gª{}@| v à hj- £ ld¢KU é í» ë /l .¿¿P¾ ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qöKv ynKĪfi|³Å{ÍMv y z_{}|hi~6{nv y4®4÷hÄk Ä}¬Ït_v µ3 é}l é U é / / é 3// dß é ¹¹ £@h/ é /· @ ë ª> í Ö@ U é`¢ ¼ Ú Â Jª¥¾ ªP¾ §}¤¤_¤ ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qdöKv yR® i|Æq ðlq`z´v y`ü/°3|h÷p/i³o³oqHz´v6ýd h/ é · é Û} ` // ` é 4 / é
: 4õd Ö@ Þ 8Ó :¾ D¿ ¿ª©Z© ê? ÍwÄ}qs~4Ä}|g}qöKv yü4{}r:qs|{}³o³oqNÍMv_ýd é é Rs/ l
é /·? h/> é}l é @ / Òª éÒª? é bª0¹ £ × é /¨s lh 3@ é 3 é µ / l / @ í â´@ 0Ò ¹ à ` Ò jÖ é ÈÝ Ö é ª 0Ò é_ê? c¡ / h × h / ·}Ö 3 /· é 4 h: ¿¿ª « / ' © R:¾ P ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q6öKv yxü {}r:qs|{}³o³oqKÍMv ` // é · é h$ / é é M é0ë ë2é0ë Ö@ ë /d ¢ / õd ß Þ ù''-P:R-ª§}¾ ¿¿ª©Zê? ÍwÄË|qs¬Y²xv y óÏ{}~/¬h³ÅÄ}~/³oqs~4{}°ØÍMvNó(v µ3 é}l é R l ZÒ é Òª
l£ éø d`3 Ks YÒ / é ` l ´: l- À»/· · ¢ ¡ À ÎÎ/ §©}¤¾ ¨§©§ ¿P¿ ;ê? ÍwÄË|qs¬Ø²xv ycóÏ{}~/¬h³ÅÄ}~/³oqs~4{}°DÍMvMó(vY3 @· ÅÒ /Ø é ` l ¨Ö@ h `cs 0 ª ë é Ò ë@ é W é D0À éhM À»/· · l- Rà Ö@ é ¼ Î xD¥ ª¿ ¥ªD¥ ` ` ¿¿ªZ § ê? ÍwÄË|qs¬Û²xv y?óÏ{}~/¬h³ÅÄ}~/³oqs~4{}°éÍMv$ó(v £ 3 0} Ò é Ö hÕ `/ lPø l l ÒZé Òª ´ À»/· · £'¢ ¡ À0ÎÎ@á .j«D D) ¿¿:_ê? ÍwÄË|qs¬H²xv y´ñxÄ}|¶É}°3¬pÈz´v6öKv y óÏ{}~/¬h³ÅÄ}~/³oqs~4{}°?ÍMvxó(v à Ö/ é ` R é é Ö@ H}R· l é è Ò é û/ @´ ¢ ¡ ÀØ À»/· · £' ÎÎ@á '¥:¥ R¥ª©}¿ ¿:¿ _ê? ÍwÄk Ī÷hÄ}|~ ixæ(vKó(v y»ÍMi~4gji¬xnv&® v y»æ i~3ðlq(t_v å:v y»æ i~3ðlq(ÍMv å:v õd l é & w} h/
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙDð4Ì
é // Ué (@ / ÒªNhl é é Ué s h:hl Yí Ö@ @ / é} h â Ò0 À0Â3Þ ¤Dj§ ¤P §}¤¤¥_ê? ÍwÄk ³oq»nv yÏ®4ĪfhÄ}³oqÅi|:ì@v4×6 @ é ¨Ö@ h é ßUé
/ @·` é}l é &`3 £@é ë4 é
¹ µ3¢´¡ $ 3 M µ3é}l é à lh é é w ¢ // Ué / µ àd¢ ô D¤ À º @À»¹âd¸ ¸( Ué ø8'¿¨§ / Ö 4§}¤¤D ÍwÄ}~4÷lqs~ ilksk q(nv y:Ç4i|¶É}~/q6ñNv y Ç3°@k þq¶Ä}~/q(exv µ@ é · é M hpé Òª ¨Ö@ h ` h é / é /´@ /
:í Ö@ U é:à Î Ú ½ ©-« R¿ª« §}¤:¤ _ê? ÍwÄ}³o¬h°3°/÷pjq
å:v àR l } éw ë é Ö o é }w éhl éÒª h é}l é l ÒZé Òª d µ / à Ö@ é ` 6â Uéh ¼½ ':-R§¾ ¿¿¿_ê? ÍwÄ}³o¬h°ªðÄËq$üÏv y`²ÄËÄɪÄ}Ð(Ä0ÍMv ¢ 2 é M `3 h é}l é Y@ lh é é > í Ö@ 3 : é é wÂ/¼ 4§}¥ª©}¾ ¨§}¥:¾ §}¤:¤ _ê? ÍMihi|¬l÷p@Äji|³ ÍMv´ÍMv y±di~/¬l{}~0ñNv´exv y±´Ä}°3rHi|±dv £ / @ / é é Òªl é é}l é @ l w:í Ö@ â 0Ò ÀÛ½á 4«}¤ª§}¥ ¨«}¤ª§}¾ ¿¿_¿ ê? ÍMihi|¬l÷p@Äji|³xÍMv(ÍMv y_±di~/¬l{}~ØñNv(exv y_±´Äji°3rHi|Y±dv £ / @ / é é Òª ª é é}l é @ l w:í Ö@ â 0Ò ÀÛ½á 4«}¤ª§}¥ ¨«}¤ª§}¾ ¿P¿ ;ê? ÍMihi|¬l÷p@Äji|³cÍMvÍMv y>±di~/¬l{}~ÕñNvexv y>±´Äji°@rHi|0±dvýd l é Ô Ò Ö` é :/ Ué /· é / é /´@ /
:í Ö@ â Ò0 À ÙÓ84¤ª§ ::§ §}¤¤P;ê? ÍMihi|¬l÷p@Äji|³»ÍMvÍMv y ±di~/¬l{}~ñNvexv y8®4÷p/i3MÛi|´äxv_v y ±´Äji°3rHi|_±dv3 2 é }& é} ¶ é}l é &@ / é /´ í Ö@ â 0Ò À Ù ½ '):¤ §}¤¤jZ§ ê? ÍMihi|¬l÷p@Äji|³HÍMvRÍMv yx±di~/¬l{}~ ñNvdexv y:®4÷p/3i MÛi|
äxvR_v yN±di÷˪i|lmoå:i|~I_v õ Òªl / /· é / é 0 />} é / é / é @ é 0 `
cí Ö@ â 0Ò À Ù8Ù ¤¥P¤ ¤ª§ §}¤¤ªZ§ ê? ÍMihi|¬l÷p@Äji|³KÍMv8ÍMv y&Íw{}|³i~/¬i~$ì@v yxëHp/ihÄ}³Å÷l|ÄÃh³6® vRë>v µ@ é}l é Òªl ´U é / /_s é}l é é Òªl @ l
í Ö@ U é ¢IÓÙ Â 'P¾ R¿¤ §}¤¤_¥ ê? ÍMihi|¬l÷p@Äji|³HÍMvdÍMv yN®4÷p/3i MÛi|
äxvR_v´ 2 é `3 ds / é @ / 2é í é h/ d¢ // Ué /ÎÎ Ù8'§ «-R§:ª« §}¤¤¥_ê? ÍMihi|¬l÷p@Äji|³YÍMvRÍMv y:®÷lp/i3MÛi|
äxv_v yü4Īg¨çi|Ä}~Dó(v µ / h @ lh lh 3@Ys @ / é é}l é @ l é bÈ } ¡ `/ é é Hí Ö@ ¼ ÎÎ 4§ ª¿ ¨§}P¥ §}¤¤_¥ ê? é / ø é /Ys é}l é ÍMihi|¬l÷p@Äji|³HÍMvÍMv yü4Īg¨çi|Ä}~Dó(v µ / h @ lh lY é Òªl @ l >û é /xH ¡ ` 4é ¢ /@ l £ éh' Î/Â/¼ 8¥ª-« ¨©© § }¤D¤ Aê? é / ø é /s > ÍMihi|¬l÷p@Äji|³YÍMvRÍMv yü4Īg¨çi|Ä}~bó(v µ / h @ lh é} é}l é é é >@ lh é é /Û ¢ // º / l Ué £léh' ½ Ù8 ¾¤ ¿¤ §}¤¤_¥ ê? ÍMi~4gji¬
z´v(exv yKæ i~3ðlq´t_v6å:v y_ÍMi~4gji¬`nv6® v yRgªÄ
®/qok Æ}Äæ(v(nv ¢ / / é}l é @ / é
:í Ö@ U é ¢Ó Þ 8Ù 4§ © ¨§}:¾ §}¤¤ªZ« ê?
ÙDðDÍ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
ÍMi³ ðk i|Wnv yc±´Ä}|hËÄ}q?t_v ycåxk ÄÃh³i|ì@v ¢ / é /@ / é h éDø é h/l é / ë@ / £ ¢ é}l é µ 3 l% í» é é é / é} í Ö@ â Ò0 Ô l-Ú ¼ Mª«}¥:D ª«}¥ª© ¿¿¿_ê? ÍMi³ ðk i|´nv y<±´Ä}|hËÄ}q
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙDð+
Òª / _ h/ w} é / é / é /4 Fë Ö é}l é Ï3Ö@ é ` d í Ö@ ¢Z££léh'4õd 4Ó Â .¥P¨§}¤¾ §}¤¤DAê? ÍMi³ ðk i|Ønv yåxk ÄÃh³i|Ûì@v y®4{Ë{k {}Æ'v ÍMv ¢ / é / é /4 lø3hl é ß @ £ ¡ 3// c é @ é 3 é é}l é @ / é / lø3h í Ö@ â 0Ò ÀÛ½ 8Ú .¥ª § R:¥ : ¿¿_¾ ê? ÍMi³ ðk i|cnv y`²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i| üÏv:öKv µ@ é}l é Y@ / £løDé}lMh h é /$} £ éh' 4õd 4Ó/'ù .¤¾¿ R¤¿: ¿¿ª©Zê? l é s/ l /d í Ö@ Z¢ £l ÍMi³ ðk i|Hnv y´²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|$üÏv(öKv µ@ é}l é _@ / é /· ¶ @ ë / é ¡oéé ¶ Ö@ é /´ í Ö@ â Ò0 ÀÛ½4 Mª¤¿ ¿¿¾_ê? ÍMi³ ðk i|>nv y²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|ØüÏv_öKv_3 é} +é é}l é @ / é éÒª é / é ª é µ 3 l% í» é é / Ké E Ö@ U é 6` ZÒ é Ø ¡(/ í Ö@ d¼ Ú Þ ¥ª-© ¿¤ §}¤¤ªZ§ ê? ÍMi³ ðk i|wnv yN²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|0üÏvRöKv µ@ é}l é h éDø é é 0 é}l é h/ · U é Ï`3 ds Rh/ l M} éH é } Ò é éhl é x`¹ - í» é Ö$Î@á D¿ ¿ª«}¿ §}¤)¤ _ê? ÍMi³ ðk i|wnv yN®4÷pjq¶÷Ëë>v yxåqok q¶Ä}~Üäxv mhz´v yN²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|ÛüÏvdöKv_â éDø é È ß 4 Ö@ l £Dé é}l é U é / / é / é} : ¡(/ í Ö@ Î ù48Ó 4 © ¾¤ ¨ © ¾ª¥ ¿¿ªZ« ê? ÍMi³ ðk i|cnv yY®4{Ë{k {}= Æ v ÍMvN3/ l @ / Òª é l é £xº é é é / é / ØÒ é Ô Ò Ö é W` E À» Ö@ Ô l- ½ Ú Aê? ª¾ª§ ª¾¾ §}¤¤ªZ§ ê? Í>qoksk i| å:v6® v y´nK{}¬h¬`±dv ¢ E¹ 3@ l h/µ3 é}l é o¡ é / @ é µ@ é}l é à lh é <À é / ( 0 Ö 1W3/ ¹ : /ºd 8¿)¿ P Í>qok {}Æ}Ä}~4{}Æ exvêÇ&v 2 é 3Ö@ é ` h/ é}l é µ 3 l% í» é d `· Ò? é £ Ô é · U é m ë42 éÒ } h/ w ë / ` é /4 H lÁ` :í Ö@ â 0Ò À Ù8Ó D¤ jD© P¤ §}¤P¤ ;ê? Í>qok {}Æ}Ä}~4{}ÆKexvÏÇ&v ynKÄ}¬hr:°3¬h¬i~Yì@v/ì@v µ3 é}l é @· l é è é ª:} h/Kõ /è ë · é é é £9é w/ Òª ª é é / é}
l U é Ï / / é `/ lø Ô @ é í Ö@ Ô l- ¢IÓÓ Â ©-« ¾¤ §¤¤ªZ« ê? Í>qok {}Æ}Ä}~4{}ÆbexvÇ&v ycnKÄ}¬hr:°3¬h¬i~ ì@vcì@v y?(Ìþ@gªÄkMå:vM hlh/ lø 4 é ? U é Ö s/ l /Y é Å / h `3 d} @ l
h éDø é} cí Ö@ Ô l- _Z¢ @ £ P¤ P¤ ¥ ¦ Ö@ l éP §¤¤j © ): ¤j§« §}¤¤ªZ© ê? Íw{EñNv yæ&qsC ~ »v »v yü4Ä}~ ì@vRäxv y @°0Ê&9v ;Nv yNÊ p@{}°Wz´vÊ&v yYz_{}~3Écå:v`ó(v yYz(p@Ä}~3ÉÈz´v _v y_äx-i ;Nv msöKv&À» / l l émé M é}l é ´ l ZÒ é Òª l / é é Ö@ :} 4 Ö é / Rß `´:×
3 µ `d¼ Ó Þ Jª¥¾ j©}¤ ¿:¿ _ê? Íw{k ÷p@Ä}~4{}ÆH® v exv y(®/°3|ÅɪÄ}qok qs¬ñNv y:ë:{}̪÷hðlÌ}~/¬Ëq`ë>v exv × / é · U é l h } h/ // Òªl X é é ÝÏ / h é é
}& H ´ Ys >¸( · l w ë / âd × /x¢ / é _} ¢ // í ë2é0ë Öw 4§}¤¤ ¨§§}¾ ¿¿ªZ© ê? Íw{k ðöKv»ì@v y»öÏq G
z´v»ì@v y»æ&°
® v ¢ Ö@ U é hl hl é >s Rh/ é}l é Ï l 0Ò é Òª
ÙDðÙ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
Ô Ò ÖY@ /
¢ // £léh' Ô l- Î@½ 4¿¤ª©-¿P: §}¤¤ª§Zê? Íw{}r`Ä}~/q(® v ¢ lø / é >3/ l Ué /R} h/ é}l é N x@Ý é $ £ éh' 2é ¡ `/ hl K
3 :/ é
 ù'':¤R:¾ §}¤¤ª«Zê? l Íw{}r`Ä}~/qE® v yÜÑ_g}q¶fhÄ}³?Ê&v ¢ é Ö U é $ } éD é}l é ºFéÒ l% é ë Ö ¢ @` é ? `4 ? lh 3? ¢ // £léh'±é ¡ ` Î/ ª¾ ¾ ªD¿ §}¤ª¤_¥ ê? Íw{}r`Ä}~/q´® v yNÑ_g}q¶fhÄ}³RÊ&v ¢ é Ö U é é / é}$
U é é}l é K é é _@ lh é é / é /·` Yû/ Y 2 é / ´ í Ö@ Ô l- /¢Ó ½½ 4§ © ¨§©}¿ §}¤¤_¥ ê? Íw{}r`Ä}~/q(® v ydÑ_g}q¶fhÄ}³KÊ&v yÏt(|³o°3|hË?Ç&v»® v õd l é è M@ lh é é /¨s lh 3Yo Ò /· é é} Ré é}l é N@ / éÒªw é I?í Ö@ Ô l- ´¢ Ó Â 'ù Mª©¿ ¾ª© §}¤¤ªZ© ê? é / ø é o Íw{}r`Ä}~/q ® v y¯_Ä}|Äksk ihp0nv º / l U é é / ø é / é Èí é a é é}l é H4// é · h `3 H ¢ // l £ éh/ é U é £ 3 /· Ó Î ¿¤ª© RP¿ §}¤¤ªZ© ê? Íw{}r`Ä}~/q® v ¢ é · h s Ò /· h/ é}l é Òªl @ / é é º / l U é ¡ ` º / U é 3 :h / é/ /w Î@U ¼ é' §}:¾ Rh§}b¿ª¤ hl §} ¤ ¤ªZ© ê? Íw{}¬pj|h3i 8»mü4{}|fÄ}³oqxÍMv y´äÄ}r:r`{}~4g$ì@v_å:vÏí Ö@ U é é ?· l U é _ hl hl é Ø é}l é <ª l é d µ@ é /3 ¹/ - 4ÓÓ ½ H'¤ª©-© R¤¾¥ ¿¿_¾ ê? Í>°3¬k q p® :v v y&±´Äk iÄ}~/°ñNv Fò é ` / é s :/ é
}»¨Ö@ h ` h U éRÒª ¢ h YU éâ´ é Ó//ù Ô «}¿ ¿ Ò ¥ ¤ ¥ é}§}l¤ ¤ª Z« ê? é < l Ò0é Òª ´x } £léh/ é Ué ¢ é Ö@ é // / Þ Í>°3¬k q pØ® v v yx±´Äk iÄ}~/°ÛñNv µ3 é}l é x:/ 4 0 é}l é x é} º / U é ¢ é Ö@ £ â U é O $ ¢ // U é / 8Ú '¿¾ ¨§}:¤ §}¤¤jZ© ê? Í>°3¬k q pM® Pv v yK±´Äk iÄ}~/°$ñNv yKnKĪfiq_t_v(ÍMv õ´ éÒ é é 64 h é ( $ é}l é K é} ¡( é À» U é > }»í Ö@ d½ 4§}¾ª-« ¨§}¿j§ §}¤¤ªZ© ê? Í>°3¬k q pw® Pv v y6±´Äk iÄ}~/°MñNv y6nKĪfiq_t_v»ÍMv µ3 é}l é Fò é ` 8ô é /x}_` é}l é ¡( é À» U é > }»í Ö@ d½ 4« ª¿ ¨«ª«© §}¤¤ªZ© ê? ²Äªfi|ÍMv à ë h Y l é}l é ë @ / > µ@ é}l é xÎ@¼ 4D§ ª§ §}¤D¤ Aê? ²Äªfi|$ÍMvd×6 é}l é H @ 3@ /· lw é WÛ } l£ éh/ é U é í Ö@ @ £ P¤ ¤ª:¥ : }©}¥ª¿P¥ ) §}¤D¤ Aê? é @· ²ÄªgjihirP® v õd l é N l 3@ û >} é}l é `ýd Ö/ ¸éû/ 0s f í Ö@ Ô l- ¢IÓÙ8Ú 'P¾ R¾ª© §}¤¤ªZ© ê? é é ²ÄªúlÆq_® v»exv y(²ÄªúlÆqx¯´v»exv y(äd°3¬h¬lÄ}qs~$exv £ 3 /·} é /` h@ /· f é0ë / /·: é}l é l é ýd ¡ ` ¼ Ù8Ù JªD¤ Dª¤¥ §}¤¤_¥ ê? ²Ä}|Äp@Ä}|ÌWe_÷p@Ä}|0±dv²xv y>äÄ}~/~ ih˪i~ÿì@vÛë>v à Ö@ é ` 0h 4/ } h/ é}l é h éø % é} I é2 é `/ Ò /·s h ¹ £>¢ ZÒ é È µ@ é}l é
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙDðDq
¡ é / / ÀÏ të ÖØ®4ĪfhÄ}³oqÅi|ì@v y_eÏÉ}|Ä}Æ}ÄkRÑ´v(_v y_ÍwĪ÷p@Īgª{Mì@v6exvxüÏv à hj- h/ o ºdlh/l é @ £ 3 /· l-4§}¤¤ª© / §)¨§«}¥P ²Ä}¬h°3~4{äxv yK®@pjqsr:q ðl°w²xv y(ö °jË°3~4ÄɪÄÍMv µ@é}l é 6 l ÒZé Òª / lé E$/ U é>Ò é é U é é 03Ö@ é ` U é ë42 éÒ / l é · h @ / é} b¹Å £¢ ZÒ é 0 µ3 é}l é o¡ é / / ÀÏ hë Ö ®4ĪfhÄ}³oqÅi|Wì3v y$eÏÉ}|Ä}Æ}ÄkEÑ´v>_v y ÍwĪ÷p@Īgª{ì@vcexvIü»v à hhj- Mh/éºdlh/l é @ £ 3 /· l- Eà hj- Mh/ ºdlh/l é @ §}¤ª¤ª © / J :¥ ª©}P¥ // Òªl é h 4/ E ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~cnv_nv»×< h/Yh/ hl U é lø / é é Ø} h/6 í Ö@ é- 3 ë@ê Î@¼ 8Ó 4D© ¿ ¨© j« ¿D¾ Aê? h ` é ` OÖ ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~Hnvnv3ýd h/Kh/ Ö`} h éDø é Hs ¨Ö@ h ` h :í Ö@ é- 3 ë@ê Î@¼@Þ 0¾¿ :¿ ¿D¾ Aê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~Ynv nv3× /dhU é è é } h/ · l é è é @¨ ´ é Y é 3 / h é}l é <· l Ö:í Ö@ é- 3 ë@ê Î Ó8Ó Mj§-« )¤ ¿¾_¥ ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~$nv(nv&× / Ö$}d@ l Hh éDø é c E/ Ål é @ £ é l }´` l ` / h/R éÒªl é · l Òª ` E h/ U é Yh · Ø í Ö@ U é ¸ Ó ½ 8Ú 4§}P¤ ¨ § « §}¤¤ªZ« ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~bnvYnv µ3 é}l é >3 l Ü é / é D// Òªl é // /·W} é ` Ö o@ l U é Rh · w:í Ö@ U é ¢IÓ4Ù8Ó 4§}¾ª-§ ¨§}¿¾ §}¤¤_¥ ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~?nvKnv yde´k ihËpjqs~ØexvK_v é é}l é £6ºd 4 ë Y Û l }H@ lh @ é ?¹ £d¢ ÒZé µ@é}l é ¡oé / / é0ë2é l- ý í ¢ · éZÒ é Z¢ × h l £ é}2 é @ @ ê? 3 /· l- Nà hj- xh/غdlh/l é @ ª©© ¾¾ §}¤¤ªZ© ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~nv:nv y`ñRqs¬h¬lĪgª{0æ(v:exv yY®4{}°3³Å{}°ªÉ}qs~²xv:²xv ¢ é}l é H4 h `@ Ns ¢_h ô _ é @ é Ö 3d í Ö@ /õà £/¢ // í Ö@ ¼½ Mª-§ ª© ¿¿ªZ§ ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~cnv6nv yKæ iHÍMihp@Ä}°3³iYexv»× / · l U é é E Ö@ U é 6 U é / /·
} h/ é}l é < h · é h `/ lø`lø N¹ - }» : 4õd h h Î -§ ¿ §}¤¤DAê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~Ønv_nv y´æ iÍMihp@Ä}°3³iexvϹ h/h · l U é Ö@ U é d U é / /·M} h/ é}l é h · é h0 `/ løØlø 4 EM$ } º ¨¡Ï Ö@ é 3 @ Ó ½ Î §}¾¾¾ ¨§}¾¿¿ §}¤¤ªZ« ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~nv nv y<²xilk ¬l{}~
® vÏÑ´v3â ·/ } h/ Q é}l é Q 3 l ´ `/ lø ¨Ö@ h ` £<à l l N}K h / é Òª · l é0ë x P¤ ¤ ` : ¾
õdò è 3 · é í /· Ú8Ù 4§ª© :D¨§©«}¿ §}¤¤_¥ ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~Ènvxnv y>Ñ6¬l{Ëqs~®4v vR3 · È /· é h ·/ } h/$ 3 l M é / é / /·Ø/ h · l l 0Ò é Òª é @ l é é 3 · é <í /· Ú8Ó 4§ ):¨§ j:« §}¤ª:¤ _ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~`nv/nv yÏÑ6¬l{Ëqs~Y® Rv v y8®/r:qs³spz´vj× / ¦/ ß ` é} éÅ hÒ6ß/ /· é / é}' £ h ·/ `} h/ Ö@ }43 l K é /» : é}l é 4 l ZÒ é Òª é é Ö@ } é @ l é é }»í Ö@ õà £¢ // í Ö@ Ó8Ù 4§§}P¾ ¨§§}D¿ §}¤:¤ _ê?
ÙDð q
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~Mnv»nv yü4{ªfh{iÆØÇ&v»exv yK®/r:qs³spcz´v y6±K°3³¶k i|:_v é Ué 6 lhll $} h/ / ?@ /` Û3 / Òª lé w í Ö@ »àõ£Ï¢ // í Ö@ (ÓÙ8=¤D:DR¤ª«§ §}¤¤:_ê? ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~$nvÏnv yNü/|°lçqoksk {>ì@v6ì@v £ ª ª/ é}l é K3 l ` é / Òªl / é â´ é / Ô Ò h · é Ö@ ªd¹ £j¢ ZÒ é » µ@ é}l é o¡ é / / é0ë2é l- £ é}2 é @ @ ê? 3 /· l- jà hj- ªh/´ºdlh/l é @ ý í @¢ · éZÒ é @Z¢ × h l §}¤¤ª © / '«-« R¥P¾ ²dq Ë}k Ä}¬h¬l{}~ z´vHexv ¢ é}l é l D} h/ @ l 0h 4/ }
@ lh £ éhl ½ JjD§ :j§ 3§ ¿:¿ _ê? éhl é d í Ö@ £4¡ / 4l ²dqs¬pjqsr`{}³Å{Üå:v µ3 é}l é o¡ é / / £ ¹ h · é é à lh é b} ¢_w ë é Ö ý l- @Ò ¹ ¹Ý 3àR U éh dí h d Ö é éP8¿D¾ DR¿¿ ¥ ²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|cüÏvKöKv µ@ é}l é d h · é é Ø@ lh é é /`s h éM é H £ éh' _é õd ¼ 8Ó Ô ¥¿ª© Ô ©}¤¤ ÔRî ¿Ò ¿Ö _¤ ¶ê? Ö/ ë2é0ë Ö: / Ïd }4í Ö@ Z¢ £ªl ²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|HüÏv öKv µ@ é}l é h éDø é é /6s ´Ò é Ö é h éh / / é Ô l- /º h K >í Ö@ P¾ 3 /· l% Ý l é · ¸ 0¤¿ ª§}¤ ¿P¿ ;ê? ²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|ÈüÏvöKv y>zK,k {ª ÷Ë}k iIë>vYz´v ¢ é}l é `3 xs 2 é / U é N h h éDø é w:í 4l £ é · Ô l- 4Ù Þ 4¾¿ :¿ ¿P¿ ;ê? ²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|HüÏvöKv y ÍMi³ ðk i|dnv/ýd h/ â´ é / Ô Ò é}l é U é / @ é dh }é // Ué /R µ@é}lé Ó84««©-¨«}¥¥ ¿¿j«Zê? ²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|>üÏv öKv y(ÍMi³ ðk i|Nnv ¢ // U é /R}( é}l é U é / / h / ë `( ë Ö@ _x¹ £@¢ /@ U é ª@K} µ3 é}l é o¡ é / /K í Ö@ $ ß: 3 /· é 4 h: Mª©-© j§}¾ §}¤¤_¤ ê? ²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|>üÏv&öKv yϲ{}~/~ i~/r`Ī÷p/i| ñNvÏì@v öKv8×< é @ h/ s :/ é M} é / U é é}l é lø3h hÒªl ë Nh/l `33Ö@ é d ¢Kl é í Ö/ p éHò //· é U é Ù8Ù 'j-« R« ¿¾_¿ ê? ²{}Æq Ë{}ÆMÇ&v´Ç&v y (|qsÆ}Äk Ë{EÇ&v _v/× `4 é 4 é}l é <`3 4s _h/X é / é /_@ l h éDø é È 0 `· / @ é hÜ2 é l h Eí Ö@ â 0Ò À Ù Þ ¤ P«}D¤ DRR: §}¤P¤ ;ê? : ²{}Æq Ë{}ÆÇ&v(Ç&v y_ë:{¨ç÷lqÅihp@{}л¬Ëq4å:v(ë>v y(|qsÆ}Äk Ë{>Ç&v@_v ¢ / é /»@ l 6h éDø é }d `· / @ é h?2 é l h
í Ö@ £6¡ / (l£ éhl Î@¼ ª¾¥ ¿ ª¾ª©}¿ §}¤¤_¤ ê? ²{}Æq Ë{}ÆêÇ&vÈÇ&v yIë:{¨ç÷lqÅihp@{}л¬Ëq$å:vÈë>v yMåN{}rNË{}Æ}Ä Ñ´v
exv y0ü
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙDðM>
é}l é éÒª é >ª ¢ // £léh'2é ¡ ` Î Ú Î 4©}¥ª©-¨©© §}¤¤¥_ê? Ñ_g}q¶fhÄ}³6Ê&v<ÍMv43 é Ö /´s ´h/ // Ué @ l Òª ê( é / h é}l é l ZÒ é Òª d:í Ö@ Ô l-¢IÓ Â ù'4§}¿ª«- ¤ §}¤ ¤ª©Zê? Ñ_g}q¶fhÄ}³Ê&v y´Íw{}r`Ä}~/qR® v º / l U é K Ø} µ 3 l% í» é é h é} é é}l é l 0Ò é Òª d:í Ö@ Ô l- ¢IÓÙ á 0Dª¿ ª«}¾ §}¤¤ª©Zê? ÑKk gp@Ä}rå:v4±dv à / Òª´ é /4 6 x/ é é- @ Ö@ U é Dé ` /l Ué ll @ _ À» l é é 8¡(/ Þ<Î Mª « ¥¤ ¿ªD© _ê? ÑKk gp@Ä}réå:v<±dv¹ hlh é
} h X é é
l 3 x` 8¢ // À» l / ¼ Î '¤¥¾ R¤ª©§ ¿P¿ ;ê? ÑKk gp@Ä}rå:v4±dv y<®þ@Ä}~/qÅi|ì@v3× /´h / é} } µ 4ô 6 é ë Ö é s :/ é H Ò Ò /· ` @ lh é b À» l é é w¡(/ Ré Õ¹ hl é} é $À» l / ¼ 8Ù :P D ¿ª©}_ ¤ ê? ÑKk gp@Ä}rå:vK±dv yR®þ/Ä}~@qÅil|ì@v ¢ · l é ´ Û} h/ @ / é ?s ` £ éh' ¢ é ¢ // Ó á 4¥ª«-« ¥¥¿ ¿ª©Z§ ê? ß / h · l d 4l ÑKk gp@Ä}rêå:v ±dv yd®þ@Ä}~/qÅi|>ì@vÏ× />µ@ é}l é o¡ é / / 6¢KU é ` í h (ºd * Ô @ 8¿ª© ÑKk ir:¬Ë{}q»exv v µ3 é}l é d / éhl Ö@ d`í Ö@ ´â Ò xÎ 8Ú .RD© ¿¿ªZ « ê? ÑKk ir:¬Ë{}q exS v v µ3 é}l é @ lh é é / ` é 0Ò £ é ¿¿¤:¥ ¥ª©0Ò : é- é% § / ¿¿_¿ ê? ÑKk ir:¬Ë{}qÈex= v v yÜåxk iÅþq Ë{}Æ Ç&vØöKvØ× / h/ Öa}W é h `4 é È éhl / / ë@ /D¨Ö@ h `´:í Ö@ _â 4 ÓÓ8Ú 4« © ¥j©© §}¤¤_¤ ê? é h/ é U é R 2 é / H} é @ é 3 Ñ6|gÛz´v´²xv µ3 é}l é d é} ¶ m ¡(2 é 3 / é µ3 é}l é  ¾ªP§ D¾ ) ¿¿_¥ ê? Ñ6|¬hqs~3Ép/i|ét_v yܱdi¶Épjqs~ æ(vØ×( ? é}l é h · é é / é h · é hi ë@ / é í ë2é0ë' × @ Ö`â é- 3µ @´Î@¼ 8Ú M R¥¤ §}¤D¤ Aê? KÄ}|Īg}qs¬hqR_v y ó p/i¬lÄ}|qRnv ydÍwÄ}qs~4Ä}|g}q´öKv y`ü4Ä}rdþqÅi|q´öKvÏ× / é}l é µ 4ô ` é s / U é é /4 R í Ö@ U é ¢ ¼á 8Ó '-¤ R-j§ §}¤P¤ ;ê? KÄ}|Īg}qs¬hq»_v yKó(i¬lÄ}|q»nv y&ÍwÄ}qs~4Ä}|g}q öKv y ÍwÄ}°3|q ðlq»exv y_ü4Ä}rdþqÅi|q öKv ¢ · l é è µ 4ô é M ë / U é é /
í Ö@ (¡(/ À éh ¼ 8Ù (§©-« ¨§©}¿ §}¤P¤ ;ê? é 4 / @ éP£ é}l é Ï`3 » KÄ}|h Ë »v à / w} é é Òª `/ Ö h@ /· f µ@ é}l é Rá Mª©-« ª©}¾ §}¤P¤ ;ê? _ihËÄk ¬ËqRexv yR®3ðl~4Ĩçgmë i|h{}~Ûå:v ¢ / é / à / ? ¸ é ¢ // U é / 3 /· l% Ý l é · ¸ l ¿¿_¿ ê? _i||qÜ® v yÛÊ8qsr`fhÄ}|hgª{z´v Ô Ò Ö é @s D l · l Õ ll / lhlh ë Ö h/ Ö@ ? é} é c é0[ « é Õ ¹ £H¡(2 é Y¡ `/ lø Ö é × é /4 - £ × / Ö
ÙDðð
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
¢ // U é / K¡ _¡(2é h:P Ô / Kõ ã é éÒ jÖ @ ê $ Û ß: 3 /· é 4 h: 0¤¿ P© (q¶÷h{ðhðlq_® v y`ë i¬h³´±dv(ì@v µ@é}l é é /· Ò M`3 »}_ ` Ö> ß é é Ï é l :í Ö@ â 0Ò ¸ Ù8Ù P¥ :¾ §}¤¤ªZ§ ê? Ô (qÅi|Ä}~/³Å{ðhðlqÜüÏv y Ç/Äðúl°iðÈæ(v ¢ Õ h é ë4l h/ éÒ¡é Õ@ / é / h@ /· Èh/ é}l é Ò é / à é} Û } £léh' í Ö@ _Þ 8Ù ':-ª « § §}¤¤ªZ« ê? (qs|̪Ä}³oqs~/¬ËÄ
exv y´®4Ä}q¶÷p/iÆexFv v yHë {}̪÷hðlÌ}~/¬¨Ë}që>vÏexv £ 3 :} é / é / @ / £ h/ ë @ / ÒªRU é :í Ö@ U é ¢IÓ Þ á 0ª©-« j§}¤ §}¤¤ªZ« ê? K{g@k °/fl~/@Ì v µ3 é}l é à lh é À é / j¢KU é ` í h jºd Ô @ ¿¿¿P é Ü Ö@ U é hl hl é } é}l é N h · é é K{g@k °/fl~/Ì4v õd l Y é}l é @ lh é
ª µ@ é}l- 4o¡ é : 4¢ // /¢ é ½ M¥ª-© ¾¥ §}¤¤ªZ§ ê? K{}qs~4{}³_üÏv y(ü/|q ÉjiÄ}¬h¬l{}°3¬Rì@Iv T(vªí é é lhl6 é `} é ª é 4`3 Aé // U é h/ `3 /·0}@ / Òª ¨Ö@ h `$Û¹ £ í : U«h ¹ µ3¢´¡ $ ¡ /· h ¸ éh éP 3 é §}¤¤ª § K{þ@{}ÆéexvÇ&v µ@ é}l é Û` } ª@ h ZÒ é é0ë U é ` Ö é // U é Ö>ªNâ´/ é >í Ö@ ´ Þ 8Ú D¿ j-© ¿ªD« §}¤¤ªZ« ê? K{}Ƭh³i~@ËU { »vÊ&v µ@ é}l é /U é0 @ l é é é é}h h/l é h d × /l é h d¼ 8Ú :¾ R¤ª§ §}¤ª¤ªZ« ê? K{}Ƭh³i~@Ë! { »vÊ&vj h lø@lh ë Ö é h }8@ / édU é } é / é é0ë @ / é >:¹ - }»À»/· Þ 8Ó 4¿ª©-© ¿P¿ §}¤¤ªZ« ê? K{}Ƭh³i~@Ë' { »v6Ê&v × @ / é éø ¨Ö@` l h lø@lh ë ÖM / é h / // é È w}H@ / I é I ß / h é} éØUé } é}l é @ / é >:¹ - }Ï3 @ é l h KÞÞ 4D§ ª§ D¨D§ Dª¾ §}¤¤ªZ© ê? K{}Ƭh³i~@Ë { »v<Ê&v µ@ é}l é é @ é @ / é: Ö@ l } £ / é Ô / @ Î Ó Â Jª¥D¨«}¤ §}¤¤¾_ê? K{}Ƭh³i~@Ë{!»v/Ê&v µ // é é 3 / é @¨Ö@` l ë ` s é}l é /U é @ l é é é éh h/l é ( h H
× /l é _ h Ó Î '¨§§ §}¤¤_¾ ê? K{}Ƭh³i~@Ë { »v Ê&vj×6 é}l é é @ é @ / H é /lh º / U é6à Ö@ é H ½ 8Ó 4«-« ¥ª« §}¤¤_¾ ê? K{}Ƭh³i~@ËV { »v Ê&v µ / é é / h@h @ / é @ / Òª éÒª é é é é}h D@ @ Òª h Ø ¡(2é 3 / é µ@é}lé ÓÙ8 ¿P¥ ¿ª©§ §}¤ª¤_¾ ê? K{}Ƭh³i~@Ë4 { »v&Ê&v 3 · é /·Y ë4 és d ? é}l é &@ / Òª éÒªx é > é 2é / é µ ¡6¢d¢ÿ::4§}¤¤¾P é
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙDð+
(|qs³ ðüÏv ¢ é Ö@ È}Es % éé lhl é}l é E l Ò0é Òª `3 w} hUé M éhl é d }Ï3/ é YÝd ë@é MÎ@á½ '¤:R:« ¿¿¥_ê? (|qs³ ðüÏv µ Òª éé lhl é}l é l ÒZé Òª `@ 0s 4 Ö@ l é `/ /· éhl é d }Ï3/ é YÝd ë@é
¼ Ù ½ ¿)ª«-¿ª«§ §}¤¤:_ê? ¯6q»äxv Iy ;R°ÍMv / hU é 3ÖYû } Ò é û/ h é}l é £léø `@ < é:2 é / < £h2 é / ´â 4¡ ` Ó Þ 4 § ¤ ¨ § § §}¤¤ªZ© ê? ¯6qs°Eë>v >m »v y4æ&°Hì@v µ@ é}l é h · é é : é}l é l h }8 ` Ö: l 6í Ö@ Ô l- ¢ ¼4Â/¼ MªD« ª«}¾ §}¤¤_¤ ê? nKĪfiqKt_vÏÍMv y6e´k r`Ä}Ì}³ih p v y6Í>°3¬Ëq ! p vÏ® v yK±´Äk iÄ}~/°MñNv Fò é ` é} ë »s :/ é }&¨Ö@ h ` h o¡ é / @ô _ é}l é l ZÒ é Òª í Ö@ l-  P¤ « P¤ §}¤¤_¾ ê? nKĪfiqMt_vÍMv yw²Ä}Ð(ÄKihpDå: v v y>ädq çsçÄ}лq
nv>® v y
Í>°3¬k q pD® v v y
±´Äk iÄ}~/°ñNvY× / òFé ` Hs é h é}l é l ZÒ é Òª d: } l £ éh/ é U é ¢ é Ö@ é ¢ // U é / Ó ¼4 4¾P¿ ¾¿ª© §}¤¤ªZ© ê? nKÄɪ{}³d±dv(nv y6åxqs|hË>ì@vdz´v ¢ / é / é /4 } ` ` é Ö l /` ¢ ¢ Ö@ Ó ¼4 J)ª-§ :ª¤ ¿¿ªZ© ê? nKÄ}r:|ÄËpj̪Ä}~/q<ñNv4® v y æ i¬hqÅi°3³o|hi:z´vexv y<®/r:qs³sp:t_v&ó(v £ 3 /·N} é l éhl é / /·`// U é é}l é » l 0Ò é Òª é 3// ÖÖ@ 3 /·` l d ¹ - }(3 @ é l h KÞ<Î M¿ª§}¿ ïD¿ ª¾ §}¤D¤ Aê? nKÄ}~3ɪÄ}|ĨçÄ}~$z´v y8ñRqs~3ÉÍMv4Ê»v ¢ / é /(@ / é h/Kß/ é é · ´ ë :í Ö@ â 0Ò À Ù ¼ '§}¤ R-: §}¤¤ª_¤ ê? nKÄ}Ì ® vH® v yY±di|hÄÈnv`å:v ¢ é Ö U é Y D} h/ ¸ é · ÖD×< hÒ é ë Ö ¢ @` é `4 lh 3 ¢ // l £ éh' 2é ¡ ª` Î Ù8Ú M¿¾ ¤ §}¤¤ªZ« ê? nKÄ}Ì$® vd® v y`ó p@Ä}°/gpj°3|qxå:vd® v yR±di|Ä$nv_å:v ¢ // U é Û}x`3@ ß Ø `4 lh 3 o Kh/X é é Ö U é 8 } é} é}l é @ / é} ¢ // £ éh' 2é ¡ ` Î@á 8Ù 4§}D¿ D ¤ª§ §}¤¤_¾ ê? l n_iqs¬
ó(v y ü i~/|iqs|{wÍwĪ÷p@Īgª{$ì@vKexv y:ó&°3~@p@Ä$ì@vK±dv ¢ é}l é U é / /` l l Òª h/:Ò é Ö$ ·$} ë é é h / :H¹ £<¢ ZÒ é R µ@ é}l é ¡ é / / é0ë2é l- ý í N¢ · éZÒ é NZ¢ × h l£ é}2 é @ @ ê? 3 /· l- o à hj- 3h/Rºdlh/l é @ 4§}¤¤ª © / M¤ª-« ª§ § n_i~EöK/v »v yKæ&q¶Ä}~3É
ì@v6nv yx¯6qs°Ië>/v »v yYë:Ä}~3 É ;NvüÏv 5y ;RW ° »v y_²dq É}r`Ä}³o°@k k qs~$nv(nv ¢ é / é /x@ / M`3 » é lø3hl é &s h ß @w é}l é í Ö/ Ô - ¢ Ó Î@¼ '¾ª-© R¿ª© §}¤:¤ _ê? n_i~MöK@v »v y(æ&q¶Ä}~3Éì@v»nv y¯6qs°Üë> v »v Py ;R' ° »v µ3 é}l é µ 3 l% í» é é M /lhl · /K é}l é 8 l h K lø3hl é 4s hlß @ é H _ /d:í Ö@ ¢ £ é- 4£' ¢ // Ó ¼ 8Ù M)¤ :ª¤ §}¤:¤ _ê? Z n_i~0öKv »v yæ&q¶Ä}~3É?ì@vdnxv yH¯6qs°ë>(v »v @y ;R2 ° »v / Òªl é Ö0}: hlh/ Fõ é / é é ¨Ö@` h ë42 éÒ s `h/ é}l é µ 3 l% í» é é ? lø3hl é 6s h ß @d:í Ö@ Z¢ £l£ éh' 4õd 4Ó8Ù ©D« :¨©« ) §}¤:¤ _ê?
Ù 9
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
n_i~$öKv >m »v y(æ&q¶Ä}~3É>ì@v monv yHë:Ä}~3É ;Nv müÏv y¯6qs° ë>v m>»v8¹ h · é é M l ÒZé Òª x$ l é}lé R ¡(2é 3 / é µ3é}lé xÎ Ù8.¤ª©-R:© §}¤¤:_ê? n_i~`öKv >m »v y»¯6qs°$ë>v m>»v yæ&q¶Ä}~3ÉNì@v/nv y´ë:Ä}~3É9;Nv müÏv àRlhl ` é } ` Ös/ l é Hû ø Y é}l é :í Ö@ Ô l- /¢ ¼ Ú8 Ú 4©}¿ :¾ §}¤P¤ ;ê? n_i~wöK v »v yR¯6qs°Üë>@v »v Py ;R' ° »v yÏæ&q¶Ä}~3Éì@v»nv ¢ / é w w ë 4 ë ÖÀ?¸ é é é - é hl :í Ö@ Z ¢ £l £ éh' õd 4Ó Â ¿P¿ ¿ ¿¿ª§§ §}¤¤:_ê? n_i~YöK#v »v y8æ&q¶Ä}~3É ì@v4nv y6¯6qs°cë>#v »v Dy ;Rq¶Äª{:ì@v ±dv ¢ ¨Ö@`
ë42 éÒ } é é}l é µ 3 l% í» é ¶ Ö@ d é
:í Ö@ U é ¢IÓ Â 8Ó .¥ª-« RD© §}¤¤ªZ© ê? n_i~
öKv >m »v y @°>Ê&v mhz´v y(®/°öKv µ@ é}l é & h · é é éh h/ ` é l h/ · l é è Y ` é l
é ` 6 Ö@ U é hl hl é xí Ö@ Ô l- @¢ ¼ Î@á «}¿ ¥¾ ¿¿_¥ ê? n_i~öKv »v @y @°Ê&v(z´v y»Ê p@{}°>ì@v y æ iRÍMihp@Ä}°3³iexv y ²dq É}r`Ä}³o°@ksk qs~nv8nv/× /Rh é / ë4l h/ é}l é 4 h · é é h/ é}l é 4 l h } é ` ÖN l í Ö@ U é ¢ ¼@Þ 8Ù M ¿ j§}¿ ¿¿ªZ© ê? n_i³o>q X i|hi²xv y hÆ}Ä}~ i¬IÍMv £ 3 /·ÿ} l é} ë Ö `/ l ZÒ é Ò é l ¨Ö@ h `´:¹¨ÀÏÀ»ÀÛí< l À»/· l /·`â Ò Î 8Ú 4¥ª-§ D¥ ¿¿ª_¾ ê? 2 n_iÌji¬moÍMilk { t_v yÍwÄ}|³oqs~ iðmÇi¶ÉªÄ ì@v y z6°i||hi|{m¶® Äk ÄðÄ}|uó(v yPÑ6|³oq ðmoÍMi~4gjið v ¢ // U é } é}l é U é / / h/ H3 /· }@ h éDø é / / é 4 Ö@ l éhl é d ¢ // í Ö@ á 8Ú 4¿ªD§ :¿ ª« §}¤¤ªZ« ê? nKq¶Ä}~4gjict_v ywóÏ{}rdþ@Ä}~Ç&v yYñRq¶ÄðmhóÏÄksk isçÄ0nv ¢ é Ö@ $}>@ l h éDø é b} / lh j D / @c/ /·À ø3h ¹ hÒªl ë × /l `33Ö@ é ` α?I H£ : Ô / @RÎ@¼ Î .:-« R§}¤ §}¤¤ªZ« ê? nKq¶gªÄ>® v6Ê&v yKt6k m¶®@p/i|flqs~/Ì>äxvÏÍMv yKe_|ÄÃlÄ>exvÏexv(ÍMv&ýd h/ c} h/ é}l é // U é @ @ /· l´ é > í Ö@ Ô l- ¢IÓ Â/¼ «D« ¨««}¾ §}¤¤_¾ ê? nKqÅiÐ6iöKv º lh0Ò é Òª é · é /· é é Fò é ` / é w h2 é / xHí Ö@ â 0Ò À ½ 8Ó '¾¿¤ R¾¿ª¿ ¿¿_¥ ê? Ô nKqÅiÐ6i>öKv £2 é / h é}l é : l ZÒ é Òª w?í Ö@ â 0Ò ÀÕ½½ ª«}P¾ ª«}¿ª§ ¿¿ªZ © ê? nK{÷h÷h{:exv ydë`i¬h³&±dv8ì@v µ3 é}l é U é / / é h/dÒ H}< é}l é / / é í Ö@ U é ¢ ¼ Ù ½ D« ª-« ¨« ª¥ ¿¿_¿ ê? nK{hÉji|¬Dæ(vÛýd l é é é}l é I l 0Ò é Òª Ds ÕÒ é / / Òª é /d: &â / ·}Ö
¼4 Mª « ª©§ ¿:¾ _ê? nK{}r`Ä}~äxvNt_v l h } é @ é}l é é h/ ë2é0ë Ö@ ë é @ é 3d:í Ö@ â 0Ò ÀÛ½ Î 4« j§-§ ¨« j§ª« ¿ª¿ªZ« ê? nK{}r`Ä}~?äxvKt_v y´e´k ir`Ä}~/Ìw_v6exv ¡ 3// ¶ H é @ é 3 é h/ é}l é £ éh' 4õd ¼4 MDª¤ª-© : ¤ ¿D¿ Aê? @ / é > í Ö@ /Z¢ £4l nK{}r`Ä}~Häxv/t_v yÏz6q¶{}~4ÄÍMv µ@ é}l é 4@ / é `: é}l é £jh@h @ / é
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù4Ì
Ué é Uéhl /·:s/ l
: í Ö@ /¢ ¼½ § ¤ª©-¨§ :© ¿¿ª§Zê? nK{}r`Ä}~Ûäxv_t_v ò @ h/ @ / é ØØ é}lé Y jREM µ@é}lé
Î@¼ ª¿R«}¥ §}¤¤DAê? nK{{þØì@v(_v ¡ `/ é é é l :} µ À £ÿé / ø é $}K é}l é é Òªl @ l é /K ë / Y@ é /6 â N } ¡ ` é ¢ /@ £léh' Î@á 8Ó 4§ )¨§}¥¾ §}¤¤_¥ ê? nK{}¬h¬lÄ}³Å{ nv yHæ i~3ðlqÍMv å:v yYt(Æ}Ä}~3Éjilk qs¬h³ÅÄÈæ(v nv yHæ i~3ðlqt_v å:v µ@é}l é @ / é M éY ß h · £ é}` l é lDø é}l / Yí Ö@ â 0Ò À  8Ù :¤ ª § ¤ª§ §}¤¤ªZ© ê? nK{}¬i~4fk Ä}³o³:ÍMv µ@ é}l é R · é é Ø é é ÖÛ é h/> é d ` h/ h `´: 4¢ // í ë' Î 8Ó 4©D§ ¨D© ª§ ¿ª©}_¥ ê? ¢ ë@ Ö é lø 4
} h/ s/ é é h@ Ö>} h/ é}l é nK{}¬h¬±dv [ U é / /` Ô l hHº h : l £ éh/ é j« © 3 /· l% Ý l é · &ºd B ¿ª© « / 8 P¥ nK{}¬h¬È±dv ê0µ3 é}l é o¡ é / / é ÿ ¢ // U é /I Ô l hWº h Ü £ éh/ é j« © 3 /· l Ý l é · ¸ l .¿ª© « l nK{}¬h¬hq ËpjqsY ~ /°vÏexv y_®@pjqs³oq Ë{}Æ}Ä>ÍMv:Ç&v ¢ // U é /N}K é}l é U é / /
3Ö@ é ` é Û// U é/lh @ é ÖÛ 2 é / H}N @> ¢ // _£' ë `H}N U é â 0Ò ½ 'ù '-« ¥ª© ¿¿ªZ© ê? nK{}¬h¬hq Ëpjqs" ~ @°vexv y:®@pjqs³oq Ë{}Æ}ÄØÍMv>Ç&v ¢ /@ U é ª@
}: é}l é l ZÒ é Òª h/ é é Ö@ }: é ` Ò ë@ é ª@} Ò é /· é Y¨Ö@ h ¢Kl éc£' Î@¼ 'ù '¤¿ R§« ¿¿ªZ© ê? nK{}¬h¬hq Ëpjqs& ~ »v»exv y6®@pjqs³oq Ë{}Æ}ÄÍMvxÇ&v ¢ h @s Ò /·3Ö@ é ` ë `R} é}l é R l ÒZé ÒªÒ é ÖÜw¹Å - }xÀ»/· l /·c
Ó á ª¿R©}¥ §}¤P¤ ;ê? nK{}¬h¬hq ËpjqsZ ~ @°vwexv yE®@pjqs³oq Ë{}Æ}ÄDÍMvÈÇ&v ¢ é Ö@ }Û é ` Ò ë@ é / }? U é Ò é / éh h é `/ /·0`@ h é}l é Y l ZÒ é Òª EÈ3 · é í /· Ú48Ù 4§©}:¤ ¨§ © : §}¤¤_¥ ê? nK{}°3¬lÄ}~ÈexvRexv yxÍwÄk ËÄ}лqNt_v yxnKĪfliqNt_vRÍMv ywëYq¶g}̪Ä}~Üäxv ¢ // U é /}N é}l é U é / / · éÒ Öª µ ¡6¢d¢ ½ '«-« R¥¾ §}¤¤ªZ§ ê? nK°/flqs~Y±dv µ@ é}l é ¹ h · é é /Hí h é Fò é £ Ô /· é ÀÏ@ ë · YFõ éh: ¿¿¥P nK°/g}qs~3Éji|KöKvj×8/ é ( é ` l h é}l é ZÒ é Òª é `/ /·xÀ»/· l /· l h §}P¾ '©© D?©©}¿ §}¤¤_¥ ê? nK°ªÉjiI_v yÜü/|qs~@ˬbó(vâ h é } é @ é é `/ /· ë ÖÕ é}l é l ZÒ é Òª d À éh é À»/·/· @é l- @à Ö@ é ` Ó ¼ '¤¿¿ R::¥ §}¤:¤ _ê? nK°ªÉji6_v yÏü/|qs~@ˬRó(v ¡ / h `3 /·d} ß / ho ë4U é ` ë Öx é}l é 3Ö@ é ` » º / U éMà Ö@ é ` Ó8Ú N§}¥ª-© ¨§}D¾ §}¤D¤ Aê? n´ÌªÄªfh{}H Æ »vNt_vR¸ 2 éÒ }` é}l é 2
ÙDÍ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
@ / éKh/ ·
í Ö@ â Ò0 À ÙÚ -_ê?.¤ª§ §}¤¤:_ê? n´ÌªÄªfh{}ÆC»vHt_v yYö ilk g}r`Ä}~[»v º Ò é / é}b h/]é é Ö@ ?} h/ / ÅàRpë Ö @ l l / ë@ é / /·H:í Ö@ Ué ¢IÓ Î3Þ Mª©}¤ ª©}¾ §¤¤ª§Zê? n´ÌªÄªfh{} Æ »v&t_v y((°ªði~@Ë{exv Xà é ` é} /x Ò } h/ é}l é Ï é é >ª:í Ö@ â 0Ò ¸ Ù8Ù .D¾ j§}P¤ §}¤¤ªZ§ ê? ®4Äpjqsr:q6ÍMv yxü4Ĩçi|`® v»t_v& béÁ é}l é 6@ ë /x} h/.ë / w / Ö < é `3@/ Dé ` éÒªÒª ´} :í Ö@ â 0Ò À0Â4Î 4D¤ ª:¥ P¤ §}¤¤ªZ« ê? ®4Ä}q¶÷p/iÆéex v v yÛÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌ z´v?ÍMv µ@ é}l é Û3 l Õ é / £ / é é // U é /R ¡(2 é  4©D« ¨©}D¥ ¿¿ªZ© ê? ®4Ä}q¶÷p/iÆ
ex#v v yë:{}̪÷hðlÌ}~/¬ËÌë>vKexv à ë /` h/ í Ö@ U é é ?À»/· l /· Ý»ª @ ( § £ Ô U é- º / U é- â é @ é µ@ é}l é à Ö@ é ` 8 ¡ 3// £ @ éP ¸( 2 é} l- ¸( 4§}¤D¤ J ®4ĨçigNt_v exv ¢ / é /6@ / YH é}l é 8 ë ¦ l £Dé /@ é é é Ö /´ ¡(2 é 3 / é µ3 é}l é xÎÎ '-¥¿ R-ª©} ¥ §}¤¤ ¤ ®4ÄËÄËq¶fhÄ}|ÄM® v â éDø é ? l }_ é}l é ´ l ZÒ é ÒªYÒ é Öc`@ º / U éd¢ é Ö@ _Þ8 « :ª¿ ¨« j« §}¤D¤ Aê? Í>°3¬k q p:® v v y4±´Äk iÄ}~/° ñNv y nKĪfiq8t_v Fò é ` / é :s :/ é `} é U é ß @ h â´ é / Ô Ò é}l é l ÒZé Òª d:í Ö@ Ué l é  Ó8J)¥)¾ §}¤¤ ¥_ê? ®4Ä}rNË{® v´z´v y(åqok fhÄ}¬xexv»exv y(ÍwÄ}|q¶÷p/iÆwÑ´vNv µ3 é}l é (¹ h · é é àRl ZÒ é Òª × / Ö é ¢ // U é / 4õ 3ª é ¸ hU é}' /ºd ' 8¿:¿ P ®4Ä}~ì3{}¬iÈÍwÄ}|³oqs~ ið öKv ywKĪ÷p/iÅþ¬Ë\ Ì »v>exv ywnKÄ}Ð_k ¬Õë>v
ì@v µ3 é}l é é Òªl Òª @ l ÒªR é é é `3 4}& hd é /4 Y4 /K @ é x¹ £@¢ ZÒ é µ@ é}l é o¡ é / / ÀÏ ë ÖÈ®4ĪfhÄ}³oqÅi|Mì@v yxeÏÉ}|Ä}Æ}Äk:Ñ´v´_v yxÍwĪ÷p@Īgª{?ì@vdexv`üÏv à hj- 3h/Rºdlh/l é @ £ 3 /· l- 4§}¤¤ª © / '¿¿ ¨ § § ®4Ä}~4÷p/iðcnv y
óÏÄ}||hi|hÄ}¬$±dv:exv y`ÆÄ}~Í>qoksk q Éji~ ±dv:Ïp/v µ / I ` }Y// h · é0ë 3// ¶ E é @ é 3$ hl `M} é @ é Y@ lh é é /c í Ö@ â 0Ò ÀÛÂ4Î 4P¤ :::: §}¤¤ªZ« ê? ®4Ä}~4÷p/i¬nv yÜóÏÄ}||hi|Ä}¬W±dvwexv yÈz_Ä}|¬hq¶ÄDæ(v ycÍ>qÅi|Wì@vMexv ycÆ}Ä}~ Í>qoksk q Éji~ ±dvMÏp/v y ²xiлr`Ä}~?ñNvKt_v º @ / ÒªH é /4 ?3/ l U é 6 :/ é /`}d é · l U é Ö ß w ë / / é é :¹ £ ¡(2 é »¡ `/ lø Ö é M× é /4 - £ × / Ö é ¢ // U é / ÀÏ ë Öó p@Ä}~4g}|hi$ó(v y_æ&i{}~4÷lqs~/q ;Nv yRÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌÛz´v 3 /· é 4 h: £ $ ß: 4§}¤¤P¾ / 8¾¿ ¨§}¤P¥ ®4Ä}~/³ÅÄ}~/°D® vYnv À Dø é}l /?s ? é}l é >@ / éÒª0 é / ë Ö `4 lh 3 í Ö@ Ué l é Â/½ «D¥P §}¤¤ª©Zê? ®4Ä>Gji~4Ä:nv å:v y<ÍwÄ}³sp@Ä}q exv ÍMv y<äÄ}°/fh{k g:äxv8ì@v / ß é}l é 83 l R é é é é}l é @ / é
¢ Ö@ 3 é} ¼á ' ù §}¿¿ P¤ §}¤D¤ ê? ®4÷hÄk Ä}¬t_v yHz_{}|hi~6{Env yÍwÄ}qs~4Ä}|g}qöKv yRn_Īfi|³Å{EÍMv(â Ò /· h/ l ZÒ é 0} h/ é}l é @ / é
µ@ é}l é xÎÎ 4§}P¾ ¨§}¾¿ §}¤:¤ _ê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù+
®4÷p@ÄjioÃi|5v yå:irdþ}KiK® v}¹`// Ïh 4/ } é}l é é ` ¨Ö@ h `Ï º / Ué à @Ö é ` ÓÚ84¥P¥¾ §}¤¤Dê? ®4÷p@ÄjioÃi| v y`å|°ªÉji|cå:v £ 3 /· } $/ /·Ü é}l é Y l ÒZé Òª EÜ } £ é · l é l£ é · l :l l £ éhl é Ó/ù  P¿ ¿¾ §}¤¤_¥ ê? ®4÷p/i|Üäxv ywÍwÄ}|¶Éª{k qs~êz´v y
ÍMi³ ðk i|Ènv y
åxk ÄÃh³i|Èì@v yw±di|hË{}лqs³ ðȱdvY× / 3Ö@ é ` Ué s/ é }H é}l é ` hU é / ` Ö £ × / · W} lø3h ÖÈ ª@· hlh ´ õd Ö@ â U éh Ô l- ¼á '¤ª§}¿ §}¤¤ªZ§ ê? ®4÷p/i|³ ði|MñNv yæ<Ä}|h÷p/iÆiúl°iMÍMv yxñR°/Ä}~Iì@v y Ä}~4{}ƬËÌbÇ&v>Ç&v yæ<{}Æioç{}Ì?® v µ@ é}l é µ 3 % í» é é Ès // U é 2 é @ lh é é /w Òª ë Ö £ éh' í Ö@ Þ ¼ §}¤¤ ¨ § § §}¤P¤ ;ê? / ¨Fõ é / é Ô Ò ÖY é0ë / R: 4l ®4÷pjqÅi¬h¬ilk äxv yHö |qÅig}|q¶÷péó pj|v yY±_k °3rHi~Wexv ¢ // U é / ë `$ b4 Ö@ l Ö@ é h/ ·}Ö¹ £
¢ // U é / } µ@ é}l é o¡ é / / êí Ö@ 3 /· é 4 h: £ $ > ß: 4§}¤¤P¤ / J:P ª©P¥ ®4÷pjqÅi¬h¬ilkäxv y<ÍMi³ ðk i|dnv y8±_k °3rHi~exv y8²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i|HüÏvöKv õd l é è Ò é `3 £»h/ é}l é é / h /M í Ö@ (Z¢ £6l£ éh' Kõd ¼ 8Ú ¥ª«}¥ª-© ¥ª«}D¾ ¿¿ªZ« ê? ®4÷pj~ iq¶gji|0ë>v_nv µ3 é}l é R@ / Üw¹ £(à Ö@ é ` é 0 2 é í Ò Mª«« } Ô l- /º h _ >í Ö@ 3 /· l% Ý l é · Ô ë '¿¾P¾ / §©}¥ ¨§}¾P¥ ®4÷pjr:q¶g}³ ÍMv»z´vÍMv y<®4ÄÉ}°i¬_öKv y<®4{Ë{k {}@Æ vÍMv £ / l H} hU é}l /(s é / é /x@ / £^éYU é 3ÖM }_í Ö@ £ ¡ / l £ éhl Î@á ¤¥ª « :¾ § }¤¤ª©Zê? ®4÷pj~ iq¶gji|Øë>vKnv yëYÌ}¬h¬?ë>v µ@ é}l é d@ / é éÒª é /Yw 6l£ éh' í Ö@ Ó/'ù .-DDR: ¿¾_¿ ê? ®4÷p@{}³´exv y(æ&i~3ðq_ÍMv»å:v yKt(Æ}Ä}~3Éjilk qs¬h³ÅÄæ(vÏnv y6ÍwÄk Ī÷hÄ}|~ i:æ(vdó(v y6ÍMi~4gji¬:nv(® v y(æ i~3ðlq é é0ë w ë4 Nhl é é U é:lø3hl é t_vÏå:v µ@ é}l é K@ / é ha s h: £ À Dø é}l
:í Ö@ Ô l- Z¢ 4ÓÙ8Ù MDª¥ ª«}¤ §}¤¤ªZ© ê? ®4÷pj°3rHi|Ünv y>±di~/¬l{}~ÕñNvexv y
ÍMihi|l¬÷lp@Äji|³EÍMvÍMv yÈëHp/iÄ}³Å÷l|ÄÃh³E® v0ë>v`À»/ l é l ZÒ é Ø}R é}l é é Òªl @ l é 0ªw K¡ é (ò Ö/ Þ 8Ú ¥¿ ¾¾ §}¤P¤ ;ê? ®4÷pj°3rHi| nv y ±di~/¬l{}~ ñNvÿexv y ÍMihi|¬l÷p@Äji|³ ÍMvÿÍMv y±´Äji°3rHi| ±dv µ@ é}l é ` ë `` ë hR é /4 éhl â h _â 4Ó á '}§}¿¥ §}¤:¤ _ê? ®4÷pj°3rHi|6nv y4±di~/¬l{}~`ñNv@exv y4ÍMihi|¬l÷p@Äji|³ ÍMv@ÍMv y±´Äji°3rHi|6±dv £ / U é /·R é}l é é Òªl @ l é / é h/ /M éhl â h >â TP¿ ¤ª§§ §}¤: ¤ _ê? ® ifhĪÄܲxv y ö&ilk k Äp Ê&v:t_v exv y æ<Ä}°3|q ˬWë>v y`ñNiÅþ@{ksk qÅi|Üó(v ¢ // p é} W}Y é}l é U é / / / é / éÒª é · é} ÿ / é U é / ë 3 · é í /· Ú48Ù 4§}¥¥¾ ¨§}¥ª©© §}¤¤_¥ ê? ® ihËq»å:v yxë:{¨ç÷lq ËNÍMv y´ü4Ī÷pjqs̪Ä`ÍMv à l Òª @ / Å >@ é
ÙÙ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
h ë é $ é ` /x ` @ l } ¡(/ í Ö@ HÎ@¼@Þ »¤D:j©}¤ª§ §}¤¤¥_ê? ® ihËq6å:v y6®@pj°3¬pjqs~$exvNv y ë:{¨ç÷lq Ë`ÍMv yü4Ī÷pjqs̪ÄÍMv<3 ß Ué h x} h/ 3 l R é}l é @ / é h · ` éhRhUé}l /R }Ïí Ö@ £ ¡ / £léhl Î@á ¤¥ª « :© §}¤¤ªZ© ê? ® i|hig}Ì}~/¬ËÄ ÍMv yØäÄ}~/ÌɪÄÕexv º / UébòFé ` / é é / h é}l é é `/ /·`: 4l£ éh' í Ö@ Þ '§}P¿ ¨ § «}¥ §}¤¤_¤ ê? ® i||qÅi|H_v y_Íw{}|hiÄ}6 ° ;Nv yxÑK°3¬h³¶Äk {}°þ?exv ` h Vë2é h é}l é ´@ h é -£ ¨Ö@ h/ é é // Ué Ò ë@é ÔD é ªÕȹ £ ¢ Ò0é E µ@é}l é ¡ é / / ÀÏ @ë Öw®4ĪfÄ}³oqÅi|:ì@v yÏeÏÉ}|Ä}Æ}Äk6Ñ´v _v ydü i~/|hiqs|{HÍwĪ÷p@Īgª{ì@v exv à hj- o h/Rºdlh/l é @ £ 3 /· l- 4§}¤¤ª © / §}¾ª-© ¤ª § ® i¬p@Īg}|q Ç&v yë`i¬h³ ±dvêì@v µ@ é}l é @ / é Ö} ÔRî Ò Ö í : Fº é ¢KU é ¢ Â/á Oj«}P¤ j«}¤ª« ¿ª¾ªZ§ ê? ®3p/il~öKv yWü4Ä}~ ë>v yÛÊ p@Ī] { »v y éê/U éh · l é è ÍwÄ}¬h°/{ËÄaüÏv?× / â é Ö@ · D ë s j · é û/ h é}l é : l ZÒ é Òª `3 N º / U éw¢ é Ö@ £ â U é @ $ ¢ // U é /R '¤ª©-§ R¤¾ª¤ §¤¤_¥ ê? ®@pjqsr:q ðl°b²xv ywÊ p@Ä}~3Éêë>v µ@ é}l é U é / / é / é}é b3Ö@ é ` ë `Ø Ò é éhl é d:j £ Àع - 4¡ Þ ¼ ¾ª§-« :¾ ª© ¿¿_¿ ê? ®@pjqs~4fl|{}³(ÍMv µ@ é}l é & l ZÒ é Ò ´}» /d} Fº éÒ l% é /R ¢_h' â é é £' ¢ é Þ 'ù .-¿ R« ¿ª © ;ê? ®@p3k i¬hqs~3Éji|:ÍMv öKv y(åxk ÄÃh³i| ì@v y6Ê8°3r`{Ãi~Øz´v»ÍMv ¢¢ ë Òª: 4ë4 é ë4 Öj
¸ / é ` > ¢ í Ö@ Ù Â '§D« R§«}¿ ¿¿_¿ ê? ®@p3k i¬hqs~3Éji|:ÍMv&öKv y ë i¬h³_±dv(ì@v y6åxk ÄÃh³i| ì@v ÔRî Ò ÖM3Ö@ é ` d} 2 é w@ / £é é // Ué wë / í Ö@ â Ò0 Ô l- ½ Ú8':¤¤R:¤) ¿¾ª©Zê? ®@p3k i¬hqs~3Éji|wÍMvdöKv y:Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ z´vÍMv yxåxk ÄÃh³i|$ì3vd é /· 3 l w Fº é h$ÓÙ8Ó P ª© ¿: ¿ _ê? ®/qok Æ}ÄNexv6üÏv y<æ i~3ðlq&t_v å:v y t(Æ}Ä}~3Éjilk qs¬h³ÅÄ:æ(v8nv y8æ i~3ðlq»ÍMv å:v yÏgªÄ ®/qok Æ}Äxæ(v8nv µ@ é}l é // U é @ / é / é é / é /R@ / MHí Ö@ U éY¢WÓ Â/½ ¥ª-« ¨ © §}¤¤ªZ© ê? ®ç{ªfi|¶ÉNÍMv y åNÄ}|q æ(v º U éo ë42 éÒ } éR ëDë4l é ¨Ö@ h / /·R é}l é l ZÒ é Òª ´:Ý jÖ@ - @à Ö@ é /Ó Â 4 § -© ¨D§ ¥ §}¤¤ªZ§ ê? ®@ËÆ}{}|³o¬l{}Æ}ÄM²xvK²xv y_±´Ä}³ÅÄ}~4{}Æ?z´v6ÍMv y´_i³o|{}Æ>exvKt_v y_(¬p/i~/q¶÷pj~/q Ë{}Æ>exvKexv yd®4Ä}|hˬh̪Ä}~ å:v6exv y´åRp@Ä}|÷p/iÆ
²xv6å:v y´åRp@{p3k {} Æ @°v`Ç&v y´±di~/qs~3ÉÈÇ&vKt_v y´åN{}|{k iÆÜÇ&-v @°v yd®4Äji~@Ë{ Ç&vdÇ&v y ÷p@Ä}q Ëqs~ÜÇ&vdÇ&v l é 8/ é éN w ë / X é é / é /_/ ¸ / é @ / D¹ £ 2é b£ 3 È}Û l é Mí» é é ×8 wë / : ÀÏ hë Ö åN{}|{k iÆMÇ&v @°v y»®@ËÆ}{}|³o¬l{}ÆÄ`²xv8²xv Ô ¸( £ Ý@í 4§}¤¤P¥ / Mª-© ¥ª § ®/r:qs|~4{}@Æ v4_v yRÇ8qs|h{}Æk ̪Ä}~/¬¨Ë}Ì:exvæ(v y Ê&Ä}¬hk Ä}ƬËÌz´v ÍMv3× / Ö é é // U é /_} é Ö 2 é / l éhl} é} / R:í Ö@ â 0Ò À Ù Þ 4¥ª§ § §}¤P¤ ;ê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙDq
®/r:qs³Üë>v y
gjiDÇ3|qÅi¬?äxv:â / · U é `3 é / /·I é}l é > l ÒZé Òª Ø â / · Ué`¢Klé á 4«§«-¨«DD ¿ª©}¤_ê? ®/r:qs³Üë>v y
gjiDÇ3|qÅi¬?äxv:â / · Ué `3 é / /·I é}l é > l ÒZé Òª Ø â / · U é`¢Kl é á 4«§-« ¨D« D ¿ª©}_¤ ê? ®4{HöKv yÏæ&qs°
å:v&æ(v ¢ 3Ö> h/ ë @ / Òª é}l é µ 3 l% í» é é w} ë é0ë ¨Ö@ h `´:í Ö@ U é ¢ÓÓ Î Mª©}¾ ¿¤ §}¤¤DAê? ®4{Ë{k {} Æ v´ÍMv ÔRî Ò Ö?û · j H é$ 3// ¶ Eí Ö@ â Ò0 À ÙÓ8 ¤ ::D¤ ¤ é · ê §}¤P¤ ;ê? P ®4{Ë{k {}^ Æ v0ÍMv0× /l `33Ö@ é ` é é}l é µ 3 l% í» é é / í Ö@ â 0Ò À Ù8Ó ¤ª«}P¥ :: §}¤P¤ ;ê? ®4{Ë{k {}/Æ v<ÍMv y&±_k °3rHi~>exv y»åxk ÄÃh³i|Nì@v à Ö@ é ` é / U é ¨Ö@ h `_/ l´lø3hl é ß @ £Ï¡ ×6Dâ é h/ é}l é µ 3 l% í» é é /`>À» Ö@ Ô l- ½ 8Ù Z§ êT©-« R¾¤ §}¤P¤ ;ê? ®4{Ë{k {} Æ v ÍMv yϱ_k °3rHi~wexv yÏåxk ÄÃh³i| ì@v Ô U éRh / `/ lø ¨Ö@ h ` £8¡ ×6 â é h/ é}l é µ 3 l% í» é é
:í Ö@ Ué ¢IÓù ¼ 4§}¥¾¨§©}¾ §}¤¤P;ê? ®4{Ë{k {}Æ v»ÍMv yxó p/i÷pªËqs~Eexv:Ç&v y6åxk ÄÃh³i|Hì3v à ë h l é ª é (3 l : ¢Kl é í Ö@ U é í / U é ¸ Ó ½ '-ªD§ R-D §}¤D¤ Aê? é ®4{Ë{k {} Æ v ÍMv y$ó p/i÷pªËqs~bexvcÇ&v yYåxk ÄÃh³i|Ûì@v µ@ é}l é @ / é s ` 4 l% é ¶ / U éh Ôdî Ò ÖY R:í Ö@ U é ¢IÓ4Ó8Ù 4§ j-« ¨§ « §}¤D¤ Aê? ®4{Ë{k {}Æc_vüÏv y:åNÄ}° $6r`Ä}~/~äxvöKvRÀ ø é é // /·Û W3Ö@ é ` U é Ö @ lh 4 Ö@ l ´ l£ é}l ` / Ó Î 4§« § ¿¿_¿ ê? ®4{Ë{k {}J Æ vKÍMv y´åxk ÄÃh³i|ì@v µ3 @ / é / é /H@ / £Ï¢é Ö é hl À» / h 8ô d¸ / é >` > ¡(2 é xÎ@½ ¤ª§}P¥ :¤ §}¤¤ªZ« ê? ®4{Ë{k {}L Æ vÛÍMv yÈåxk ÄÃh³i|ÿì@v y ±_k °3rHi~aexv à é /· 3 l Õ `/ Öa/3/ é h/l `33Ö@ é _Ex:í Ö@ â 0Ò À Ù Þ ¤ª § :¤ª© §}¤P¤ ;ê? ®4{Ë{k {}6 Æ vRÍMv yNåxk ÄÃh³i|Mì@v yN±_k °3rHi~Üexv µ@ é}l é N3 l wcí Ö@
×83 é Ö½½ ª ¾ ¨« §}¤¤ªZ§ ê? ®4{Ë{k {}7 Æ vYÍMv yÍwÄ}qwì@v y>±_k °3rHi~Dexv`í é é @ Dø é >@ / é / ` U é é} s U éh % · ë é 3_ Òªl 4 Ö@ l_h2 é /d:í Ö@ â 0Ò Ô l- Â/á ¾ª«-© ¾¥¤ ¿¿ªZ© ê? ®4{Ë{k {}. Æ vÍMv yNÍMi³ ðk i|wnv´×< é @w lhl ` / M é /s Ò Ö é 3 £´h/ é}l é < éhl é < l ZÒ é Òª :í Ö@ â 0Ò À Ù Â 4P¤ P¤ P¤ §}¤:¤ _ê? Ô ®4{Ë{k {}/Æ v8ÍMv y ÍMi³ ðk i|nv º // K} h/Rß@ é é · x / Ö} Ô Ò Ö é @D R:í Ö@ ¢Z££léh' õd Ó Â Ô ¥¤¿ Ô ¥P« §}¤¤DAê? ®4{k {}r`{}~ üÏv(äxv yë ihihˬ`t_v(nv y´®/лqs~/~ iÌ
äxvÏæ(vÏý ë lh0Ò é c} é / é / @ / é ÔRî Ò ÖNû/ · ª » éd @ / é é /·Rû/ dí Ö@ â 0 Ò Ô l- Â4Î ¿ª©-« ¿ª©}¾ ¿: ¿ _ê? ®4{k {}r`{}~$üÏv4äxv yRë ihihˬ_t_v4nxv y<®/лqs~/~ iÌNäxvæ(v ¡(2 é F é Òªl Y é @ / é
Ù q
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
û £ ÔRî Ò ÖHû · j é é / é /´@ /
:í Ö@ U é:à  Ù8 ©}¤ ¿¿DAê? ®4{k ³iqs|{`t_v&ì@v y´ü il~@|iqs|{moÍwĪ÷p@Īgª{ì@v<exv y»Íw{}°3|Ä`_v8±dv µ@é}l é l 3Ö@ é ` K é`õR¢ / é / l : 3 · é í Ú' Ó 4D§ ª©-© ¨D§ ¾¥ §}¤:¤ _ê? ®4{}r:r`Ī÷hÄk æ(v y»ÍMilk ÷pjq¶{}|_v y´ó»Äªflilk É}°i~Mì@v ÍMv y´Ñ6°3¬h³ÅÄk {}°þ/ixexv Ny 笶þ/ihi|³6exv µ@é}l é :/ `3 :} h/ · é ` /`:/ o `hl é j/ éhl Û
¹ £Ï¢ ÒZé : µ@ é}l é o¡ é / / ÀÏ 4ë ÖE®4ĪfhÄ}³oqÅi|`ì@v y(eÏÉ}|Ä}Æ}ÄkKÑ´v&_v yü i~/|hiqs|h{YÍwĪ÷p@Īgª{>ì@v&exv à hj- 3h/Rºdlh/l é @ £ 3 /· l- 4§}¤¤ª © / 4§ © ¨§}¾P¥ ®4{}~3É
æ(v y´Ê8p@Ä}~jÉwäxv ¢ // U é ?} ` jÖ é é Ö@ ` lh 3
é}l é x@Ý ¸( · l é ` é
:í Ö@ Ô l- ¢IÓÙ Â 4¾¾ D¿ §}¤¤ª_© ê? ®4{}||hi~/³oqs~4{
® v y(ö Ä}¬lÄ}~Ä>exv µ / h` é é Ö/ x} Ò ë@ é /· U é ¨Ö@ h ` h é}l é < l ZÒ é ÒªdÒ é `3 ´N }Ï3/ é HÝd ë@ é >¼áá /:¾ ¿ ¾jD« §}¤¤ª©Zê? ®þ@Ä}¬hq¶÷Eexv:ÍMv y:æ<ÄðÄ}|hiÆq¶÷?ÍMvN_vRÀ» l Ò é Ö} / /} / I hl é} £ é}l é l `3 : } ¡ é Y¹ hl é} ¼ Ú ¼ §D§ ¨D§ ¤ §}¤¤ªZ« ê? ®/|qsÆ}Ä}¬h³ÅÄ}Æ}Ä äxv ÍMv µ@ é}l é U é / / é H é // U é / 4¡ ë l£ éh' ÀÏ ½ J:ª¾ §}¤¤:_ê? ®/|qsÆ}Ä}¬h³ÅÄ}Æ}ÄÈäxv ÍMv y®4>Ä Gji~4ÄÈnv å:vNýd l é E} é}l é Y h · é é h/ é // U é /R ¢ // l £ éh' ¡ `/ - Î4Î 8Ú '¨«§ §}¤P¤ ;ê? ®/³ÅÄ}~/qs¬k Ä}ƬËÌexvexv £ ` Ö l é é}l / é / é } µ é @` ´:í Ö@ â 0Ò À Ù Î Jj©«-§ j©«}¿ §}¤¤_¤ ê? ®/³ÅÄ}~/qs¬k Ä}ƬËÌ$exv_exv µ@ é}l é d3Ö@ é H : ª h/ @ é Ö Ô é /· Ò é 0 í Ö@ â Ò0 ¸ Ù Â ':::R:§§ §}¤¤:_ê? ®/³ÅÄ}~/qs¬k Ä}ƬËÌ:exv4exv@3 ë @ éh H¸ / é ` é ` ( é}l é µ 3 l% í» é é >ª:í Ö@ U é l é Ù Â §}¥ª-« ¨ §}¥¾ §}¤:¤ _ê? ®/³ÅÄ}~/qs¬k Ä}ƬËÌexv»exv º / U éxhU é}l h é}l é 63Ö@ é ` x ¢ // l£ éh' é ¡ ` Î/Â3Þ ':§§-R:-D §}¤¤¥Aê? ®/³ÅÄ}~/qs¬k Ä}ƬËÌÈexv exv y?ë i|{}~å:vxÀ Dø é}l b} éÒªl é · /· @ h Òªl$h/ ¡ é l :í Ö@ U é ¢Ó/ù48Ó 4«-© ¥¥ §}¤¤ªZ§ ê? o é // U é Õ}w é}l é U é / /?s Ûh/ s :/ é é ®/³oq¶Ä}¬h¬h~/qÅi0ÍMvHýd h/7 Ò é `3 ´ ¢ // l £ éh' 4£ 3 8Ó M¤¤ ¤ª§ ¿ª©}_¿ ê? ®/°ªÉ}qsr`{}³Å{x²xv õd l é è H¸( · l é / é : é}l é U é / /KR¹ £ªº / U é éÒª ` /Z¢ h Ö ê? Ô /· é > ß é × / U é .¿¾P¿ / 8¥ª-§ R©}P¿ é é}l é x l ZÒ é Òªa `6/lh @ é Ö l H ®/°ªÉ}qsr`{}³Å{$²xv6¸( · l é h] / U é} é} / éÒª d µ / £' ¼¼½ :¥ P¥jD« ¿P¿ ;ê? é é é Ö> ®/°ªÉ}qsr`{}³Å{H²xv í é · é M}(// U é é} / éÒª R é` // hf òd è h é R: 4µ / £' ¼@Þ4Þ 4«-« ¨ ©}¾ ¿¿ªZ§ ê? ®/°ªÉ}qsr`{}³Å{Y²xv y(åNÄË°3³ÅÄ}~/qxüÏv õd l é è M¸( · l é
s // U éxÒ ª é
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
ÙM>
éÒª d éÒªx£ M J:j©-j«}¿ ¿¾ª«Zê? ®/°3~3É2»vxÍMv y ±´Ä}|hËÄ}qHt_v y`®/qok fiÌØnxv:ì@v y æ ihiE® v µ3é}l é H3Ö@ é ` é / é}I @ / bé h hUé}l / w@ lh
@ é H <¡(/ í Ö@ ÎÎ Ù8 §D:¾¨§DD §}¤¤ªZ§ ê? ®/°ªðl°jËq<²xv y8±Kqs̪Ĩçqsr`ÄÍMv µ3 é}l é µ 3 l% í» é é é é Ö ë42éÒ } /:/ é ` _:í Ö@ â 0Ò À Ù ½ §}¤¤ªZ§ ê ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ
Ç&vt_v µ3 é}l é 4· l é è é ªY} Ô Ò ´ é /K ¡(2é ´ÎjÞ M§DR§© §}¤D¤ Aê? ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ
Ç&vt_v à Ö@ é ` »} é}l é 4 @KR¹ - } £ 3 í Ö@ 6¸0Î@á :¤ : §}¤¤ª«Zê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆØÇ&vÏt_v8À» l é · l `ß w}6 é}l é 6@ ë M} 2 é · M é : í Ö@ _}»í» é é xÎ@¼ ¤¾ª § ¤¥ §}¤¤ªZ« ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆÜÇ&v6t_v µ@ é}l é µ 3 l% í» é é Es é}l é _ @ é ¡(2 é Î@½ D § P¤ª§ §}¤¤ªZ« ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆMÇ&v t_v µ@ é}l é 8¨Ö@ h ` é ` é}l é ¸(· ë ÒH l éh Ö é /_ í Ö@ â 0Ò À0Â4Î 4P¤ ::¤ª§ §¤¤ªZ« ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ Ç&vKt_v µ@ é}l é ´· l é è é 0}· é @ R é Fò é ` / é بÖ@ h `H í Ö@ Z¢ £l£ éh
õd Ó8Ú 4«}¿ª§}¿ ¨«}D¿ ) §}¤¤ªZ« ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆEÇ&v t_v µ@ é}l é Ö/ @3Ö@ é é /_s é}l é & @ é ¢ / í Ö@ Ó Î 8Ú 4§}¾¥ ¤ª© §}¤¤ªZ« ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆwÇ&v4t_bv éÒd é `s é}l é H /· £ 3 l í Ö@ Ô l- ¸ÜÎ@á © § ¨©§}¾ §}¤¤ªZ« ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ$Ç&v8t_v µ@ é}l é < é U é < 2 é / ´ª ¡(2 é Î 8Ù :¤ :P¤¾ §}¤¤_¥ ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆIÇ&v´t_v õ´ éÒ é é ß Ø} é}l é @ ë 0}x é > ¡( é £2 é / é à Ö@ é ` U é ¢ /xÖ>á@Þ 'R« §}¤¤ª_¥ ê? é Û¸(· ë ÒØ é / h é}l é l 0Ò é Òª ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ Ç&v´t_v Ò g £ 3 l >í Ö@ Ô Ô l- ¸Ü¼ Î D§ ª-© ¨§ ª¾ §}¤¤_¥ ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ?Ç&v&t_v l£ é · l Ö/ 33Ö@ é ` d}Ï é}l é Ï @ é Hí Ö@ R}Kí» é é Î 8Ó ¤ª« § ¤ª© §}¤¤_¥ ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ?Ç&v»t_v í» l x M}( é}l é õ /è ë · é é é $Y } í Ö@ Z¢ £l£ éh/ é U é é õd l é Ó á 4:¾ ¿ª-« D¾ ª¤ª© §}¤ ¤Ô _¥ ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆwÇ&v t_v µ@ é}l é ZÒ é é /6s 3Ö@ é ` U é ¨Ö@ h ` £3Fò é ` é Ô é · é /· é / é}/ d: }»í Ö@ ¢Z£4£léh/ é Ué é õd lé Ó á ¾Dª¤¿¾Dj§« §}¤¤¥Aê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆÛÇ&v(t_v µ3 é}l é _ l 0Ò é ÒªR é x é}l é 64 l }d l 0Ò é} Ò ¹ - } £ éh' Î 8Ú 4§}P¾ ¨§}¿¿ §}¤¤ªZ© ê? l ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆÇ&v:t_v µ@ é}l é ` é0ë Ö é 0Ò £ ¤ª © :: § )©}0Ò } Ö@ é cȺ Ò
Ùð
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
}§ ¤¤ª©Zê? ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ0Ç&v6t_v µ@é}l é é /:} ¡ ÅÒ Ø @ lié õFé /: é
í Ö@ £4¡ / 4£léhl- ¼ ù''j«§ § §}¤¤¾_ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ?Ç&v&t_v / Òªl é l é · l éÒ M@ l H í Ö@ £<¡ / £ éhl- ¼ 'ù '©«§D§ §}¤¤_¾ ê? l ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ0Ç&v(exv y_Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ?z´v(ÍMv µ@ é}l é õ /è ë · Ô é / é é $s é}lé @ é :í Ö@ U é ¢Ó ½@Þ 4§ ª¿ ¨§}P¥ §}¤¤ªZ« ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆIÇ&v_t_v yxÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌ0z´v´ÍMv µ3 é}l é 3Ö@ é ` `} // Ø é h /· ¶ é /· hl é}l ¡(2 é d@ £ P¤ ¤)¥ : P§ ¿ªP© ¥j© §}¤¤_¥ ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆÈÇ&vKt_v ydÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌÛz´v_ÍMv µ@ é}l é d3Ö@ é ` :}R¨Ö@ h ` h /· ¶ é /· hl é}l $ ¡ ` º / U é é º / l U é &3 :/ é EÎÎ ¾¾ª-« ¾ª¿¾ §}¤¤_¥ ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆØÇ&v»t_v y6Ê Ä}¬k Ä}Ƭ¨Ë}ÌEz´v»ÍMv º /` / é h é}l é £ éh/ é U é é õd é Ó á ¿ª©}¿j-© ¿P¾ « §}¤¤_¥ ê? l ZÒ é Òª ´ }»í Ö@ Z¢ £4l ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆIÇ&v_t_v yxÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌ0z´v´ÍMv µ3 é}l é 3Ö@ é ` `} // Ø é h /· ¶é /· hlé}l w ¡(2é xÎ Ù8¤ª§DP:¤ §}¤¤¥_ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆÛÇ&vÏt_v yKÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌcz´vÏÍMv à Ö@ é ` h Òª Ï é}l é Öcí Ö@ U é ¢IÓÙ8Ú 0¿¿ « §}¤¤_¥ ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆÿÇ&vYt_v y>Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌz´vYÍMv ¡ ª@ lhZÒ é é é é Fò é ` 8ô é / s ¨Ö@ h ` h /· ¶ é /· hl é}l é ` Ö ¢é 0Ò £ éh ¤ª©}:¤ D¤ ª¾}8Ò Hl £ é §}¤¤ªZ© ê? ü4Ä}|Ä}¬l{}ÆÈÇ&vKt_v ydÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌÛz´v_ÍMv µ@ é}l é d3Ö@ é ` :}R¨Ö@ h ` h /· ¶ é /· é} hlé}l é h `4 é ` Ö:í Ö@ Ué ¢IÓÚÓ8 §}¿P ¤¾ §}¤¤ª©Zê? ü4Ä}|Ä}¬l{}Æ
Ç&v4t_v y<Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌz´v4ÍMv µ@ é}l é 4· l é è é ªY} é} h · é 8 ¡ ` º / U é é º / l U é <3 :/ é wÎ 8Ó 4§ ª¾ ¨§«}¾ §}¤¤_¾ ê? ü4Ä}³ÅÄ}|²xvKt_v(× / U é Ö éh s h é é}l é R@ lh é é 0M } l£ éh' ¢ é 2é ¢ // ¼á½ 0:¤ P §}¤D¤ Aê? é é}l é > ë é /· h/l é ü4Ä}³ÅÄ}|Û²xvYt_v º lø h 0h / ?s e @ / Y é}l é < @ é ¡(2 é 3 / é µ3 é}l é Ó8Ù .§}¤ª-« R § §}¤¤_¾ ê? ü4Ä}³Å{}rÿöKv&±dv<× @+ é // U é $}6 é}l é U é / / h/ :/ é M}6 2 é R ¢ ¹ ¢d¢È¾¿ ¨¤ª©}¿ª § §©h>¢Kl é} N£l /· â / /ºdlZÒ é éP'¿¾P¿ ü4Ä}³Å{}rÿöKv&±dv<× /Nh é / ë4l w é}l é U é / / é > é}l é µ@ é}l é Ó84§ ©-¨§§}¿ ¿¿ª«Zê? ü qÅig¨çiüÏv y6nK{}¬i:exv ¢ Ö@ U é Ï hl hl é M}_@ l Òª é /4 $@ lh ` @ l ´`3 > éhx¡ `` /Ó Â Jª¿ ¿P¾ ;ê? ü4%{ 8<ÉpjqxexvK× / / é `/ /·E} h/ é}l é é Eí Ö@ U éc¢Ó ¼á §}¿ D §}¤:¤ _ê? ü4%{ 8<Épjq»exv y K{}°3|Räxv8²xv εÅlø é / é / h/ é}l é < é :í Ö@ U é ¢IÓ Â3Þ
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
Ù+
j« §}¤¤ª©Zê? ü4{}|Æq Ë>_vKì@v y´±´ÄÉk iÌ
nvÏæ(vÏýd h/hé / Uéé } h/ é}l é ´ l ÒZé Òª h/ ë42 éÒ } hU é 8 éhl é R: 4¢ // 4£h' ½ Î 4§}¿DD¨§}¿¾ ¿¾DAê? ü/|qs~@ˬÈó(v yYnK°ªÉji?_vN× hU é }
3Ö@ é ` ¨Ö@ h ` h é ª é l ÒZé Òª h ´0Ò é é /·` ` Ö h · é ´ ¡ `/ é-4£h' ¼á Jj© j©}¥ §}¤¤ª§Zê? ü ¬lÄksk qs¬
ó(v y_æ i~3ðlqRt_vKå:v ¢ / é /`@ / £ / U é é}l é µ 3 l% í» é é > ¡(/ í Ö@ ¼ Ú Þ § Dj© §}¤¤jZ§ ê? ü ¬lÄksk qs¬wó(v ydæ i~3ðlqt_v_å:v ¢ / é /H@ / £6º / U é é}l é µ 3 l% í» é é > ¡(/ í Ö@ d¼ Ú Â 4§}¿ª-« ¨§}¿ª« §}¤:¤ _ê? ü/°3|÷p/i³o³oq z´v y ¬i|{
ñNv yHÇ/Äðúl°iðHæ(v(ÍMv Fò é ` / é E¨Ö@ h ` h é}l é £ éh' Î 8Ú MP: §}¤¤ªZ§ ê? l ZÒ é Òª :× é `/ ý ø s 4l ü/°3|¬ËqÏexv&ì@v y»e_³ÅÄ}r`Ä}~/qs°jË ±dv y´ü/°3|¬ËÄHt_v µ@ é}l é & l ZÒ é Òª é é Ö@ d} òd è é Y é éø é éÒª é / @é 0 Ò £ Ö@ ¤ª§:¤ D¤ j©}0Ò : Ö@ §}¤¤ªZ§ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~ÕÇ&v>Ç&v ¢ / é / é /4 é / é h@ m é // U é c é}l é é 3 /·H í Ö@ U é ¢ ¼½½ ¥ª-« ¿j§ ¿¿_¾ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~éÇ&vÇ&vKÀ Ò é /Ys Ô Ò ÖÛ é0ë >$¹ - × / - í Ö@ ÓÚ84§Dª©©-¨§D¾¾ ¿¿¿_ê? ÷p@Ä}q Ëqs~aÇ&vÛÇ&vY3 é bé /· :/ / U éhl /·b é é}l é w¨Ö@ h }M4 £ Nº 0Ò é M b ß: U éhlhl ?0¹ £ í é é @ ·`$} ¡ `/ lø Ö @ ? 3 /· é 4 h: JJª¿ §}¤¤_¤ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~ Ç&vÇ&v £ ôD ë é}l é é / é é0ë @ ë /dN¹ - × / - í Ö@ 4Ó á 4§}¤¾ª-© ¨ § ¤ª« §}¤¤_¤ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~ Ç&v$Ç&vx3 ë @ éh Ò Ö µ/ / ` é é `3 :} é / é / ` é @ /
:í Ö@ U é Ô¢IÓ/ù ½ §}¤ª-« ¨§}¤¾ §}¤¤ªZ§ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~ÛÇ&v_Ç&v £ / @ / é ¨Ö@` l ¢ é / é /K@ / N /¡(/ í Ö@ Ú8Ú ': R:«ª« §}¤¤jZ§ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~ÜÇ&vdÇ&v ¢ / é /´@ / é @ / é é}l é Ô h è· é h é // /· é `:¹ £ À» l · NFº é h: ÀÏ@ ` £ º ZÒ é M c ß: ºd l Ö M :j § §¤¤ªZ§ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~0Ç&vRÇ&v@â éDø é é Y é}l é &3 lh é é /dN¹ - × / - í Ö@ Þ ¼ ' § R-D §}¤:¤ _ê? ÷p@Ä}q Ëqs~?Ç&vKÇ&vj× / } é}l é 4// Òªl Òª ë Ö â é Ö@ · Ô Ò Ö é 3K õd l é â é Ò Ö é õ´éÒ é ÓÙ8'¥¾¿R© }© §}¤¤:Aê? ÷p@Ä}q Ëqs~DÇ&vHÇ&v»¹Å h/ // Òªl lh é Ô Ò Ö ¨l£ é ë@ é}l é õ´ éÒ é é ¡ ` ·}Ö$Î ' ù 4-« ¨§ §}¤D¤ Aê? ÷p@Ä}q Ëqs~bÇ&vHÇ&v ydÊ {k {}³ÅÄ}|iÆÜÇ&vKÍMv ¡(2 é l é Ø é0ë Ö é0ë à ë / é h/ ´¢ // U é /R ºdlh/l é @ R´hhj- ÝR@í 8¿¿P¿ «©}¤
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
qP9 9
÷p@Ä}q Ëqs~Ç&v:Ç&v y_Ê ÄËp@Ä}|{}Æexv@°v £ h ¨¡oé > :/ é /N} h é `é @ é é /4 È/ é é E¹ £ 2é $£ @ }` l é í» é é ×8 wë / : ÀÏ Aë ÖYåN{}|h{k iÆ>Ç&v#@°v y ®@ËÆ}{}|³o¬l{}Æ}Ä:²xv4²xv Ô ¸( £ Ý@í @§}¤¤¥ / M¥ª©-R© ÷p@Ä}q Ëqs~aÇ&v0Ç&v yw®/q¶fhÄ}³Å{}ÆInvcüÏv µ3 é}l é h/ Ös 0é /4 ÿ@ lh é º / l U é N3 :/ é /MÎ Ó8 ` @ l
¡ ` º / U é Y © -« ¨©§© §}¤ª¤_¾ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~ÛÇ&v_Ç&v y(óÏÄp@{}ÌNñNv»Ñ´v y ®/q¶fhÄ}³Å{}ÆnvÏüÏv µ@ é}l é £ í< 8ô ë@ é /·: d:¹ - ¸( s hU é é ¡(D é Î 8Ú § © -© ¨§©§ « §}¤¤_¾ ê? ÷p@Ä}q Ëqs~Ç&vEÇ&v y®/q¶fhÄ}³Å{}Æ0nvwüÏv µ3 é}l é p é / /Es c é /4 D@ lh é ¡ `/ lø Ö ÀÏ oë Ö0æ&°/{Mexv:ó(vRì@v y ` @ l M¹ £6º / p é} g ñxÄ}q æ(v y&äÄ}r:q¶gðĪgjipYäxv8nv 3 /· é 4 h: £ $ > ß: 4§}¤¤ª © / )¨« ÷p@Ä}q Ëqs~DÇ&vHÇ&v y ÷p@Ä}q Ëqs~ØñNvHÇ&v £Y ` Ö h · l é Û / / /c c é}l é 4 é è é $}K@ l :H¹ £<¡(2 é &¡ `/ lø Ö é w× é /4 - £ × / Ö é ¢ // U é / ÀÏ ë Öó p@Ä}~4g}|hi$ó(v y_æ&i{}~4÷lqs~/q ;Nv yRÊ Ä}¬k Ä}ƬËÌÛz´v 3 /· é 4 h: £ $ ß: 4§}¤¤P¾ / J:ª-© Dj « ¬i|{:ñNv yÇ/Äðúl°iðRæ(v µ@ é}l é < l ZÒ é Ò: /¢ s :/ é Ys é ` `¨Ö@ h `
¹ £ Ô Ué è é} é cÀ» l ·}Ö?× é /¨ l º / Ué jÖ@ h $ Ø ß: §}¿¥ :¤ §}¤ª:¤ _ê? Ç/Äk gji¬moKÄ}|ĪgªÄ:öKv<ì@v y<e´k fi|³Å{Ñ_÷p@{Ämü Äþq¶Ä`ì3v y e´k Æ}Ä}|hiðmonKÄ}r:qs|hiðNì@v@À& l Ò @ / é xs é}l é o¡ é é @ô Ï@ / é /lhl · / hU é}l :@ lh 4 /_ @ é í Ö@ U é`¢IÓÙ á MP¾ ª§}¾ §}¤¤_¥ ê? Ç/Äk gji¬moKÄ}|ĪgªÄ:öKv<ì@v y<e´k fi|³Å{Ñ_÷p@{Ämü Äþq¶Ä`ì3v y e´k Æ}Ä}|hiðmonKÄ}r:qs|hiðNì@v@À& l Ò @ / é /s é}l é µ 4ô é È4 / 3 é ?í Ö@ U é?¢êÓ Â 8Ó :¿ jD« §}¤¤ªZ© ê? Ç/Äk i|q¶{MñNv yxgªÄÛóÏ{}¬h³ÅÄE®4ÄEì@vϹ¨ ßU é Ø}} é}l é d`3 ` h Ö é é w¹ £(¢ ZÒ é µ@ é}l é o¡ é / / ÀÏ ë ÖܮĪfÄ}³oqÅi|>ì@v yReÏÉ}|Ä}Æ}ÄkxÑ´vK_v y ü i~/|hiqs|{:ÍwĪ÷p@Īgª{`ì@v exv à hj- jh/dºdlh/l é @ £ 3 /· l- /§}¤¤ª © / /§§}¿ ¨§ j § Ç/Ä}~?ñNi`æ<ÄÉjir`ĪÄ}³Nì@v y´åN{þq¶gªÄËqs¬`²xv y_²xiÄk iH²xv6nv y_ö |Ä}~@Ë
exv_ì@v»À& l }d// U é é x l $@ / M w / è M é / l Ö@ é T iO Yí Ö@ â 0Ò ¸ Â4Î 4D« D¤ §}¤¤ªZ« ê? Ç/Ä}~Me_|¬lgªÄk i$ë>v&t_v µ@ é}l é éh }K s é $Y }6â / ·}ÖE¼á 8¾ª « ¾j«© ¿¾ªZ « ê? Çilk qÅiÆt_Ov v Dy hÆ}ÄËpj~/̪÷p/i~@Ë{ ÍMv´Ç&v y<eKpjrHigª{}ÆüÏv4ÍMv µ@ é}l é ë / é Ö @ / 0/ é éÒª @ é}l 0ª é ÈEí · h >¹ÅÜÀ» l é · l â U éh' í»¹¨À»âÂ/á M:)ª¥ª§ §}¤¤_¾ ê? Ç8qs~4ÄÉ}|hiY±dvKÍMv y ó
$ 3 § Ô é Ý · é 4§}¤¤ª § Ç8qs~4ÄÉ}|hi±dv_ÍMv y ó p/i2 ~ »vN¯´v yd_i³o|Ä}(¬ vÏ× E@ hl ×8/ Û lh 3@:s é}l é 2
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
qP94Ì
l @ h é h · é} : } h/µ@ é /3 ¹/ hxÓ Þ ù'MDª¿ ¥ª§ §}¤¤:_ê? Ç8qs~4ÄÉ}|hi(±dv3ÍMv y@_i³o|hÄ}¬Pv y/K{g@k °/fl~/Ì9v y ó p/i~6»v ¯´v @·´ é}l é 3 lKé }¦/ / é Y é}l é l´h lh `3 ´ `3 ¶h lh é é Òªx & º / U é´à Ö@ é ` _¼á §}¥¿ ¨§©}¿ §}¤¤ªZ§ ê? Ç
qP9DÍ
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
ëYqÅi~ i|Kå:vjýd /(} é @ lh é é `} // h · é lÏh2é Ï h/dh/ ÖH}&4 é · é Ö>@ 0 ã 4£lé Ô h/l%f / Òl Ö òFé 0 h ë4l · £ éh' ÅFº é - â /: 4Ó ¼ J ª¥ ¿¾:_ê? l é ¨Ö@` m ë l2 éÒ } h/ ª ª@>} @ lh é é ëYqÅi~ i|>å:v´ýd h/f }$// h · é
l 4 é · é Ö Y 0 ã £lé Ô h/l%f / Òªl Ö ò é 0 h ë4l · l£ éh' ÅFº é - â /xÓ ¼ 4©-« ¾¥ ¿¾:_ê? F ëYqÅi~ i|
å:v´ýd h/ 3@ ë4l } /s @ lh é é />} // h · é l 0 ã /l£ é Ô h/l% I / Òªl Ö Fò é 0 h ë4l · l£ éh' ÅFº é - â / Ó Þ ':-§ R§}¤ ¿¾ªZ« ê? ëYqÅi~ i|`å:vÏýd h@ /`} `· / @ lh é é / }d// h · é l 0 ã h£ é} Ô h/l% f / Òªl Ö Fò é 0 h ë4l · l£ éh' ÅFº é - â / Ó Þ 4« D¨«}¾ ¿:¾ _ê? ëYqÅi~ i|Üå:v3 /0}E `· /Ü@ lh é é / h l ZÒ é Òª }M// h · é > l ¹Ø& 0 ã Y£lé Ô h/l%f / Òªl Ö òF é 0 h ë4l · £ éh' ÅFº é - â @: 4Ó8Ù §-§ ¨§}¿ ¿¾ªZ© ê? l ë:{}̪÷hðlÌ}~/¬ËqEë>vRexv´¸( · l xí(ã w ë / : 3 /· l% Ý l é ·Û¸ l ´òd ë4l · ¿¿P ¾ £ éh' í Ö@ ¼4 /§©}¾ª-§ ¨§ª©}¾ª« ¿¾_¥ ê? ëYÌ}¬h¬Yë>v3× / é}l é <@ / é x l ëYÌ}¬h¬ë>v µ3 é}l é </ µ / í Ö@ Ô l- Þ D§ ª-« ¨§ ª¥ ¿P¿ ;ê? ëYÌ}¬h¬ÍMv_ÍMv y>ëYÌ}¬h¬Øë>v(À Ò H é}l é lø3h / é ?· l é è é µ@ é}l é o¡ é / / ¢ // ¢ é Þ 4§D© ¨§}D¾ §}¤P¤ ;ê? ;Rq¶Äª{}Ì}q$z6°/{}yÍ>qs~3É}Ì}W ° ;R°v 3 Ö@ U é é // U é /c} é}l é > @ 3@ /· l é >ª: } l£ éh' í Ö@ ´@ £ P¤ ¤)¥ ) §ªD§ ª«¤ª§¥ §}¤¤_¥ ê? ;Rq¶Äª{}Ì}°3~Èì@v yÍ>qs~3É}Ì} ° ;Nv ¢ é Ö@ Y}x é}l é é / é /@ / U é / ë Ö é / é é / h È@ lh 0 é}l é x @ é E¹ - } º Ô U é £2 é / _Þ<Î '«}¥ R¥ª« §}¤¤_¥ ê? ;Rq¶÷p/i~3Éæ&qsyMÍ>qs~3É}Ì}* ° ;R°3yE®@p@Ī{}Ð6iqë:Ä}~3Éjv ¢ é Ö U é M / h/ ` Ò /· ë / é ÖE ë ` h é} é}l é ´ l ZÒ é Òª Ø /· h U é Ò £ éh/ é U é é × / hl U é &í Ö@ _Þ 'ù ' § -PR § - §}¤¤ªZ© ê? : }»í Ö@ Z¢ £l ;R°EÍMv y ü4Ä}~Dë>v&¹ hl @ éh é l U é _ / / éP£ × / Ö h @ é H · h ´}< é}l é < l é é h/ ¢ é // U é / :`3 l Y 2 é / ´ £ éh' 4¢ - Þ á 4§«-© ¨§©§ §}¤¤_¥ ê? ¡( éP£ l õ í Ö@ l Ä}~bì@v y æ&qMó(vxýd 2 é $¨Ö@ @ / è é W}Y é}l é Y@ lh é é /c ¡(2 é 3 / é µ3 é}l é Ó ¼ 4©§-« ¨D© ª« §}¤¤ªZ© ê? Ä}~4{}ƬËÌMÇ&v6Ç&v yÏó p/i÷pªËqs~Yexv6Ç&v y8®4÷p/i|³ ðil|´ñNv y(ü/°3|KexvKÇ&v Ô Ò Ö é / é /(@ / é H é}l é µ 3 l% í» é é
:í Ö@ Ué ¢ ¼ Ú ¼ .- D §}¤¤¤_ê? Ī{å:v y6®/°Èë>v@»v y6Ê8p@{}°w® v»_v<ýd h/: / l ë4l h/ l }( é}l é U é / / é h/ @ / /x} é é}l é (s/ l c ¡(2 é 3 / é µ@ é}l é
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
qP9+
¼ 8Ó ¥ª§ ¥ª§}¿ §}¤¤ª«Zê?
qP9Ù
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
£ µ@ ¸ l £ 3 /· l-'¿¿ª« / 4§ ¥¨§D¾P ã é éÒ jÖ õ 4 Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ?z´v(ÍMv í Ö@ :} ¡(2é : òFé ` / é à Ö@ é ` Ô 3ª £ ¹` l é ¡ · í h .¿¿¾P Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌÈz´vdÍMv ¡(2 é 3Ö@ é H é h/ · é }N é Ué é >Eí Ö@ ×<3 é Ö 8Ú M¿ j« ¿¿ª_¿ ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ
z´v8ÍMv £ / é}l é 3 l d:í Ö@ U é ¢ ¼ Ú'Ú J)P §}¤¤_¤ ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌz´v ÍMv ¡(D é é}l é 83 l é é / é / é /4 - Ní Ö@ â Ó Â4Î Jª ¥ ¨«}¾¤ §}¤¤ªZ§ ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ$z´v&ÍMv ¡(2 é é µ3 é ª é à Ö@ é ` 4Ò « : } Ô l- º h R wí Ö@ ý ø s / Òªl Öí h §}¤¤ª« Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ>z´v ÍMv Fò é ` / é ¡(2 é é µ@ é}l é à Ö@ é ` ý ø s / Òªl Ö í h §}¤¤ª « Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌEz´vÏÍMv µ@ é}l é Ï@ l x M/ @ 2 é ¨Ö@ h ` é w é // U é / Y¹ £8¢ ZÒ é R µ@ é}l é o¡ é / / é0ë2é l- ý í ¢ · é0Ò é Z¢ × h £ é}2 é @ @ ê 3 /· l- /à hj- 3h/Rºdlh/l é @ 4§}¤¤ª © / '§-© R-P¾ l Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ0z´v_ÍMv ydedfhg}°@ksk ÄjiÆ
® v´® v6 U é /·$ l é é / é / é /4 é ´ / Rh/ 2 é é Ö l :í Ö@ â 0Ò Àؽ Î 0¿P¤ P¿ ¤ ¿¿ªZ« ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌwz´v ÍMv y&±di~@ËĪgªgªÄYÍMv ¡(2 é l é º / U éRà Ö@ é ` _ µ / @ é í» é é Ò 4 « : } Ô l- /º h _ >í Ö@ 3 /· l% Ý l é · ¸ l .¿¿P¾ Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌMz´v ÍMv ò l éh U é & l h d h/ 2 é é} é é}l é »3 l £ :4¡ é U é ¨Ö@ h `´ ¡(2 é xÎ 'ù '-ª-« Rj« §}¤¤_¤ ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ>z´v ÍMv y tKgjilk r`Ä}~ÍMv exv µ@ é}l é 83 l £ D/ @ 2 é 3Ö@ é ` l £ éø oô d `>:í Ö@ U é:à Î@á 'Ó '§}¾ Rj© §}¤ªD¤ Aê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ?z´v6ÍMv y_tKgjilk r`Ä}~EÍMv y_²dq¶Ä}¬l{}Ʊdv6exv» ` é Ö &h / é è é é 2 é é /3// s ` ÖM} Fò é ` / é 2 é 3Ö@ é ` : ¡(2 é H «}¿ RP¾ ¿¿ªZ © ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ
z´v<ÍMv y&tKgjilk r`Ä}~>ÍMv yë`iqs³ ð~ i|äxv y_óÏÄ}||hi|Ä}¬±dv y&Íw÷å:ihi`z´v y»±K|Ä}Æi~ i÷xnv y ë42 éÒ } é é D / ÖDû l é /0Wí Ö@ Ø ö<{}~4÷ËInv Ô é · U é [ í» é é R 0¥P¿ ¥¿ª© §}¤¤_¤ ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ z´v
ÍMv yÛz6°ªðgªÄ}|I_v>²xv yMtKgjilk r`Ä}~ÿÍMv y$®/qs³o~4{}ÆWÍMJ v v yM®@p@Ä}|r`Äbexvw® v s ` é Ö é D é}l é w3 l ØM é é · l /lhÈ // @· í Ö@ U é ¢IÓ Â 8Ó .:¨§}¤ §}¤¤ªZ© ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌ:z´vjÍMv y
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
qP9Dq
í Ö@ _â ¼ ÚÓ8 ©D¿: ¿¿ª©Zê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌbz´v`ÍMv y®/³ÅÄ}~/qs¬k Ä}ƬËÌÈexv`exv yYtKgjilk r`Ä}~ÍMv ¡(2é ]é / 3 h2é é é}l :}´ l w ë4 w é}l é K é - (¡(2 é Mj@ ë Ö º ê Î Ù8»¤P-P¤ª§ § }¤¤_¥ ê? Ê Ä}¬k Ä}ƬËÌWz´v:ÍMv yH®/³iÆi~/¬Eñxv ycë`iqs³ ð~ i|Eäxvx ` éMé @ W `/ lh 2 é d:í Ö@_â Ò À?Þ 8Ú .¥:¾ ¿:¿ _ê? Ê Ä}Æ}ĪgªÄ üÏv y 9® °/ g@k Ä}~4g ²xv yåqsr:r`÷p nv y²{}~/~ i~/r`Ī÷p/i| üÏvéöKvÕí é · é h h é } é / é /´@ / £ × / é é < l h é}l s é º£ âI í Ö@Kâ 0Ò À Ù/'ù '§}¿ª-§ R§}¿ª¾ ¿¿_¿ ê? Ê&i~3É Ñ´v yNæ&q äxv yNæ&qs°0ñNiv ¢ / é / é}l é @ / é Ès
é /4 / / é ¡ ` 3º / U é 2é º / l 3 :/ é Þ ¿¿ RD¤ ¿¿_¿ ê? Ê p@Ä}~3Éäxv y
æ&qs°DöKv ywe_~@p Ç&v º / l U é é / ø é ÿ} Ò Ö µ/ l @ / é é Y K ë2é0ë ÖY hl hlé >: } ¡ ` Dé Ô ¢ // £léh' ¼ ù4Ù8 ¤¿ ¾ R::« §}¤¤ªZ© ê? Ê p@Ä}~3ÉÈë>v y´®@pjqsr:q ðl°$²xv Xà é `/ /·
l } h/YÒ é éhl é _ l ë4 ë Ö` é}l é : Ò ÝÏ · `3 < j £ À?¹ - 4¡ Þ ¼ '¿ ¿¿_¤ ê? Ê p@{}°ØüÏv yÏæ&qRó(v<jÖ@ @ / è é
w é}l é l @ lh é »¨Ö@ h `xYí Ö@ U é à £@º / U é í / / é ¼ Î@¼ .::R§« §}¤¤ªZ« ê? õ Ê {k {}³ÅÄ}|hiÆ$Ç&v8ÍMvýd ? 3 / é < é0ë à ë / × é / l£ éh' 4£ /· é Ý»ª ¥ª « ¢ l£ éh' 3 : í Ò : â 3 ¹ é '¿¾P¥ Ê {}°Ûö °3yNn´i~ÜöKv >m
gFhRijRkRlRmmn/odv p_vOq âJ@Ý0ÞPUÝ;ã UÝ0âPà@Ý
@Ý+ç}â2Ý0ÞJZÝDá:
JÜC_âèÞJ0èâDÝ0Ü ¤ á_ßÝ r"s5tu ½¼ '¤¤ª©-R¤¤ª¿ ¿¿¤_Jê? gFhRijRkRlRmmnHodvp_vJv
MZßÝDá:
@ÝD«à çXç¢è à2âJæ@ç UâJ:¢ÞPD)0æÀßUàM ìMpâDÞPDMã D
J
ÜiÞ @ÝD)pâJD r"s5 tu Î ù ù'4§} ¿ª§-襤 ¿¿P;ê? gFhRijRkRlRmmn)do v!_p vJq ) ì2âJD)Uà ß: à çFç¢èJ J ì2â DDè à@Ý
J ìM UÝ0ß0ìMUàM:D
J
ß`Þ @ÝD)pâ2Ý0ß ¤ á_ßÝ r"s5tD u Ù Â 4« ¾¨«§}¤ ¿¿¾_ê? gFhRijRkRlRmmn)do v!_p vJq à2âJæ@çT[ì2â DèP@Ý;æJ
MZß DDè à@Ý
J ìM¦UÝ0ß0ìMpàM:D
J
ß Þ @ÝD)pâ2Ý0ß r"s5tu ÎÎ@½ '¤P¥R¤ª §D ¿¿¿_ê? gFhRijRkRlRmmnwdo v=_p v ÛdDèP@Ý;æJ
J= DDè à@Ý
@Ý pâ2Ý0âAÜ MpÞ Ü UâJ:¢Þ D:
Ü _âèÞJZèâ2Ý;Ü r"s5tu ÎÎ@½ '§}¾ª«-R§}¿ª¥ ¿¿¿_ê? gFhxby/z#kd{Rk6:| vIN} v ¤ M:pÞÝDgÞPD
MZÝ0ÞJ:
@ÝDcUÝ;à@Ý@Ý¡)Zâ J ìMDMèPM ¤ â Þ @Ý;àJ
@ÝDRßÝD)pßÝD
ÞÝ
¼ Ó ¿¤ ¿ª§ ¿ª«}¿
~a m_kR?v :v t
ß ÜAÝ
ÞÝ ' P _ê? .ìJMD ßÝD0ìMpâJ
M:: u
J
Uâ2Ý;à.£
d
ß
¿¾¥_ê?
qP9 q
à
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
~ bxbkRjRk^´v 8v uZâDâJMã D
J
J= ìMpâDÞPDMã D
J
=ß)0æM:AÝ,ZèâJ0èM
M:
J0æ çFç¢è u Î/ Ó8 ©«©-¨©}¥¾ §}¤¤:_ê? J ~ y kn9< v:| v yDm_y9h0nxg v_p v yD@ m_kRjRldkRjR?n@gxvgxv y#Il bjRk odv0odv0j%h8v Û _âèÞ
Zèâ
@ÝD+ìJ@ÝDpß
J
@ÝDGZèâJ0èM
M:
J:Zá Ý
MZßÝDá:
@ÝDG
MZâJ0èP
MD)pÞÝDRà çFç¢è ¢ £ Û )U ÜAÝD Mp Þ l ßU àM _ âèÞJ0èâ
J0æ ìJ@ÝDpß
J
M0æhZèâJ0èDM
MD
M: ¤ Uà âJ à. JuZ âJDMA Ý @ Û±Þ )Z âãMD)0 æ. G:p Þ A ÝP£8 'v :P :' R çFçTp âJD
ã ÝD á:
M: M
: :
MDA Ý
J
M:r
@Ý ì2âJ )U àJ
J ÜXà2âJ:D
MD -¢ ìMZ âP à2ÞÝP
MD: æ ìMU àDÜ U à ÞÞPD
M_ âèÞã d) pÞPD\ èì2âèP ß àMp ßt ì@ç âJDA Ý
p ß âJZ ÞP:p ß M p ÞÝD¡) ÜP
ÞÝ DD : DA ê? âJ:D
M: à çFçTp âJD
ã âJDA Ý
H: ã JMDU âDÝ_ç Jp Þ ÜgìMDM âJDU â2Ý0ßKß âè0àJÿ ÝDUÝ
M ÞPD - Ý Ý;ã D
J
MD -
M Z è 0 Ý ':DR DA ê? âJ:D
MD è )0 æJ :=P â2ÝD ì2âJ àMM
£ Û )p ÜÝD Mp Þ P ßU àJ _ âèÞJ0 èâ
J0 æ ìJ@ ÝDpß
J
M0 æßZ èâJ0 èM
M:
J: ¤ U à]âJ à. uZ âJDMA Ý ¦ ¢ Û±Þ )Z âãMD)0 æ G:p Þ A ÝP£8 '= :P : P P
R 4§}¤¤ 4 ª¾ ¾ª§ 0 ~ m,Rj'&v:v y 0%hOnAjR :vP v /v ¼ ¾ ¿ ¿¾ ~ m nAjRk-do vxg v y|@j y/xbRjRk &vv yJjah0>/kRjR?n9gxv:v y@xb {-|:v¡:v t
j« ¿¥ ½ ~ m_kRjRk@odv p_v yP¡ %h00mn-odv:v y9TIxaiR%hxb?n v:gxv yIl bjRkodv odvIj%h8v ª 7 5 # 4§}¤¤ 4§}¿ ¥¤ Omfh a¢ jd@n gxvP|::v q ::ZåZ
U
MæJ
JÜUÝ0Þ :
J:làMUçTZâDß âJDAÝ
-hì2â ß
M
hÞUÝ;à@Ý@Ý0ßÀ:
Dè _âJ
J
M -_â
¤ â ÞP@Ý;àJ
@ÝD ÝD)pßÝD ÞÝ ßÜÝ
ÞÝ ¹¹ §« ¨§}¥¤ D¿ ª_¾ ê? x ?nBgx!v gxv y TI£ kR¤a ~ v Û ZÝ;ã D
@Ý0â
J=À)pâJ :
M::
J=nÜAÝ0â2Ý0ÞJ)pâ Þ èìMpâAà çFç¢è 2 v ÞJZèÝDá:
J=Tì2âJ:DMpß5 ZÝD MpÞP0ækâ2Ý;à _ç Þ ½ «-« ¥ª« §}¤¤_¥ ê? J x jRkn-gxDv p_v #y TPm0mjahJodv v q ::ZåZ
J
J=u)DJ
MD:=Xèâ2Ý:
M
iàJMH0ì UÝ
à
@Ý0ß Þ MpÞJ_âJZßÝ
:
JÜc)DJ
wcZÝ;ã D
@Ý0â
JÜfç}â2Ý0ÞJZÝDá:
JoÜKpâJà@Ý;Ü £5u â2Ý0 ÞJZÝJ¦ì2â Þ @ Ý;àJ
M0æcç Þ
. ÞP ¤ Uà`âJà.dXè
MDAÝ v F¥v v âJUÝ0ßÝD:£ @¦@¦s#u ¿¿jZ« ê :'RP¿ v v * y ¨ xb _ h\¡:. v odv dpÞPZâJ
J
@ÝD¼èìMpâAà çFç¢è ÞPD
MJ
@ÝD § a xh0 mnCod. pÞPZâJ:Zá.ìJ:J)D
u " r 5 s t u Î@¼ Î §}¿¿ ¤ª© §}¤¤ªZ§ ê? § a xh0 mnJod5v v y ¨ xb _ h ¡:5v odv soçFçTpÞJ:U;ì@Ý0ß )UÜÝD MpÞPZßî_âDÝD
J ìMZâJ) ¤ á_ßÝ r"s5tu  4¥ª« D¥ª«}¾ §}¤:¤ _ê? § a xh0 mn9odRv v t#Zâ ìMpâJ
M:UÝT)ìJ@Ý=uUÝ0ßÝ
M
J
M0æõ:=ZÞP:)pßtìMpâ2ÝDZèâ
M0æ ìJ@ÝDpß u ÞÝìJ@ÝDpß5IÓ Î ':ª¥ R:}«§ §}¤¤ªZ« ê? § m0m_kR© :v Mv 0y Jjdn kn@gxRv odv uâ2Ý0ÞJZÝDá:
@ÝDõ)0ìMDMD _â2Ý
J
@ÝD Þ
M ÞÝP£ :h)Zâ ìMpâDÞPDMã Þ7ì2âJ:DMpßÝ0ßkÞP:pß MpÞP0æ MpÞJ_âJUà
@Ý0ß Þ 9u Î/Â3Þ ¾¤ª¿ J ¾ª«§ §}¤D¤ Aê? J y Il bjRkHod v odv ¡
MD -Zßpâ
J=cè )0æJ :=`â2ÝDì2âJàMM
§ >y hOmn od v Mv . ÞÝ0ÞâJ¢Z
«à çFçTpâJ
Dã ÝDá:
JÜ«èâ2Ý:
M
æíà2âJ:D
MD -j ìJ_â à2ÞÝ t#Zâ )pâJ :
M:)æ }ì2â ß
M
ÞÞ '©} ¥ R©© ¿¿A¿ ê? § >y hOmn-od:v Mv y Il bjRkod v odv y T m_kR?-od:v odv ÛèìMpâ_à çFç¢è è )0æJ :=
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
qP9M>
r s5tu ÎÎ/½ ' :Rj§« ¿¿¿_ê? " ¡ m0mn6odv :v y@¡ m0mn6ª:v9:v y@¡ m0mn:v9ª:v y@¡ m0mn ´v:vq à çFç}è MpâJ]ç}â2Ý0ÞJZÝDá:
DèäìMD)pâAÜP
M:Zá ZZÞ @Ý;àJ v ÞÝ;àMpß J
@ÝpèÞéÓ ½½ Uª§}¥ ª§© ¿¿ªZ © ê? ¡ m0mnodIv :v Fy ¡ m0mnª:Iv :v Fy P knp_Iv :v Fy ¡ m0mn:vIª:vO« @Ý0ÞPUÝ;ã D
J
J= à çFç¢è D
J
J=hì2âJ0ãM¦Yç}â2Ý0ÞJZÝDá:
JÜYì2âJ:_â2Ý
M:AÝ;Ü ¦u) «0v u ÞÝ Î@¼ 4§ ªP¤ ¨§ ª¤¾ ¿¿_¾ ê? ¡ m0mn.od9v :v y ¡ m0mn.ª:9v :v y P_ kn6p_v :v y ¡ m0mn6:v ª:v uàM_ÝD)pÞÝD âJ@Ý0ÞPUÝ;ã à çFç¢è Kfç}â2Ý0ÞJZÝDá:
MZß[ìDâJ:_â2Ý
M:) ZZÞ @Ý;àJ v ÞÝ;àMpß J
@ÝpèÞ> Ó ¬ Î 4©« -« ¨©«} ¾ ¿¿ _¾ ê? ¡ m0mn ª @v :v /y ¡ m0mn4:@v ª:v /y P kn4p_@v :9v v ))D)DJ
MD:=Yì2âJ0ãMíì2â
M
MæJ
M0æfç}â2Ý0ÞJZÝDá:
M0ægà çFç¢è Z_ÞP@Ý;àJ v ÞÝ;àMpß J
@ÝpèÞ$Ó ¬ á .:ª-§ :: J ¿¿_ ¿ ê? ¡ m0mn6ª:9v :v y ¡ m0mn6:9v ª:v @y P kn6p_v :v
M MpÞ lèâ2Ý:
M
àJM :DDá)¢ Ü} )pß aç}â2Ý0ÞJZÝDá:
J
ß _âèÞJZèâDÝ0ß Z_ÞP@Ý;àJ v ÞÝ;àMpß J
@ÝpèÞ Ó Â/¼ '©-© R¾ ¤ §}¤¤_¤ ê? ¡ m0mn ª:@v :v y ¡ m0mn :@v ª:v y ¡ m0mn od@v :v /y P kn.p_@v :v çFç¢è h ç}â2Ý0ÞJZÝDá:
JÜ pâJà@Ý;ܦ
@Ýÿ:
MD)[Þ
M MpÞPD -nèâ2Ý:
M
¦ ßD
M)D @ ÝÀ ç}â2Ý0ÞJZÝDá:
MZßaì2âJ:_â2Ý
M:) ZZÞ @ Ý;àJ v ÞÝ;àMpß
2ÝpèÞ>ÓÚ ½ 4P ¥ -§ P¥ §}¤¤ª Z§ ê? J ¡ m0mn ª:Iv :v Fy ¡ m0mn :Nv ª:v Fy ¡9Rjd@>kRy-nAjRlNv :Ov v
MZßÝDá:
@ÝDmà çFç¢è r ì@Ý0ß Zá_ä 0UÝ RåZæw:H_âJpß
ÞP:ZâAà
@ÝD ZZÞ @Ý;àJ v ÞÝ;àMpß
@ÝpèÞMÓ á ù r J § }¤:¤ _ê? ¡ m0mn!ª:#v :v y ¡ m0mn!:#v ª:v y ¡9Rjd@>kRy-nAjRl v :v Û ZÝD MpÞÝDYç ÞÝ à
@Ý0ß MpÞ ÜC )pßß ìMpâ pß
J
M0æfì@Ý0ß Zá_ä ZZÞ @Ý;àJ v ÞÝ;àM pß
@ÝpèÞ$Ó á ù J § } ¤:¤ _ê? ¡ m0mn(:Pv ª:v #y ¡ m0mn(ª:Pv :v 5y ¡9Rjd@>kRy-nAjRl6Pv ::v « Ý:
MD)
@ÝDOZÝD J pÞÝDcç ÞÝKaç}â2Ý0ÞJZÝDá:
JÜ|pâJà@Ý;Ü|lìM:)P
J
M0æ ìMpâJpß
J
M0æ`ì@Ý0ß Zá_ä ZZÞ @Ý;àJ v ÞÝ;àMpß
@ÝpèÞÓ á Î §}¤: ¤ _ê? J ¡ m0mn@ª:v :v Oy ¡ m0mn@:v ª:v Oy P kn@p_v :v }â2Ý:
M
/
Ý
Dà@ÝpèPf
çT¢ ã@Ý¢àJM ßÝ
:
JÜ¡ )pßÏFìM:)P
J
M0æ ìMpâJpß
J
M0æhì@Ý0ß Zá_ä ZZÞ @Ý;àJ v ÞÝ;àMpß J
@ÝpèÞ>Ó á Î §}¤: ¤ _ê? ¡ >ldx m gxOv |:v çFç¢è +à2âJ:D
MD - ìMZâ à2ÞÝ çFçTpâJ
Dã ÝDá:
J=Fèâ2Ý:
M
¼ ¬8¥¥¤ ¥ª©}¤ ¿¿_¤ ê? xby/jRk2gxv gxv y :zN m_kR Omn'gx v
qP9ð
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
xby/jRkJgxvDgxv yI bjRkJ&vD:v y:zN m_kR OmngxvO
H pÝ@Ý0ÞJ M pÞP0ærpâJàMç}â2Ý0ÞJZÝDá:
MD -¡ )ZÝ - P DAê?
½ 4§© §}¤¤ xby/jRkBgx v gxv y6:zN m_kR Omn gxv 8v y W/?n'gxvodv sd
Mpâ - MpÞ æòìMpÞJ_â ßÝDD:æc:ZÝ+ÞP:pß MÞ ÜUDèPMæH.â2Ý;æMD
M MZßÝZ.ßUàM ¢àJZèßH ì@Ý0ß )DJ
ÞPD ¦u) «Ov pâ'2ç : Â4Î ¥¤ª«-¥¤ª© §}¤¤ª©Zê? !>kRjRkgx#v T(v }â2Ý:
M
CZèâJ0èDM
J:
JZælà çFç¢è J ZZÞ @Ý;àJ v GÛÛÛ «IÎ ù ½ §«}¥ ¨§«}¿ ¿j«Z« ê? !>kRjRkYgxv T(v Zâ D
MZÝDá:
M:YìMâJpߢ AÝ
Ï7ÝD_ß:UçTpâJ ¦u) v ÛÛÛ « 0pâ' -_ç : 8 Ó Mª§-© Dj« ¿ª«}_¥ ê? !>kRjRk*gxv T(v Jy ª gxv Mv Û ZÝD MpÞÝDÿ à2âJZßÜÝ
ÞÝP t H§ Û ¤ £ à2âìMZß) à@ÝD8¿¿P¥ | ixb mngxDv Mv âJ:D
M: M
- ì2â ß
M
: £0u pßÝD D/§}¤:¤ P | ixb mn/gxDv Mv Iy | ixb mn od v gx0v q UàJ
MZß Þ @ÝDXà çFçTpâJ
Dã ÝDá:
JÜRèâ2Ý:
M
æ:)P
à2âJ:D
MD -gìMZâPàDÞÝCwìJM:¢u
JÜÏpâJà@Ý;ÜÏRì@Ý0ß Zá_ä Z_ÞP@Ý;àJ v àJv -pÞP0æ 3® pâDÞPpÞP0æ4ê GàDèP
@Ý0âJUàJ
M0æmÝ0ÞÝ;àM
J
@ÝèÞ ¼ 4«-§ ¨«« ¿¿_¥ ê |@j y/xbRjRk&&@v &v âJ:D
Jæ
M) Uâ2Ý -cç MpÞÝD
M)âì2âJZÝ;ã t#Zâ' ßÝDD2ç ÞÝ á .ù 4§ j-§ ¨§ « ¿¿ªZ§ ê? |@j y/xbRjRk¯&W v &v ) y N{ n°ª:& v p_v MpÞJ_â JpÞÝD âJ@Ý0ÞPUÝ;ã u0èD@Ý àMD
@Ý ÞÝ0ÞCUÝ0ß0ìMUàM:D
Jæì2â ZãJ u ÞÝ :b±pâAàMD -)@Ý Ó á 'P¤ R¤ªG « >y £n@gx0v gxv uâ2Ý0ÞJZÝJ|â2Ý;à _ç ÞP âDÝ0à DMZÞÝ;ã J £dt.0ìMDMD õ:=:ZâDÞ £M
âJ ))pÞÝDiÞP
pÝP4§}¤¤ª « FminAj nAjdRj7T(Fv v u ZâDßÝ ßW
Ý Uâ2Ý
MÝrià2âJ:D
M0æYì2âJ )UàJ
M0æOUÝ;à@Ý@Ý;Ü ßÜÝ
Þ ¤ á_ßÝ r²tub Ó/' ù 0: ª© §}¤D¤ Aê? Fm_£RjRk ´Dv |:v y T jRlRmn/gxDv :v âJ:D
JælìDèAÝDD
MD)pÞ æcUÝ0ÞPD
¦u) @³0DJ « Ý;à _ç ÞÝ Þ 8Ó 4D© ¾ ¨© §}¤¤_¤ ê? Fxby k6&v T(v ¦ZÝDZá)- UßÝDZèDJ
2Ý « « 5âJ:D
Jæ
M) Uâ2Ý -
M)pâ ì2âJZÝ;ã t.Zâ' ßÝDDD ç ÞÝ Î ù' ù Mj©}¥ j©}¾ ¿D¿ Aê? Fxby kL»= v T( v q ç MpÞ 0æ
J)pâì2âJZÝ;ã à2âJ:D
MD -
M) Uâ âJDAÝ
à çFçTpâJ
Dã âJDAÝ
t#Zâ' ß ÝD2ç ÞÝ Î ù ½ M:¿ ªD¤ ¿¿ªZ« ê? T jRlRmnBgxv :v W y Iy/bjRkST( v 8v GUàM à2âJ:D
M0æ&à çFç¢è J ² v ÞJZèÝDá:
J= ì2âJ:DMpß5FZÝD MpÞ 0æhâ2Ý;à _ç Þ Î 4-« ) §}¤¤ªZ§ ê? T jRlRmngxv :v (y Iy/bjRkHT(v 8v ³4Ý0ÞPD
JíÝ
MZßÝDá:
M0æ]à çFç¢è J Þ
. £#u
MæJ
J=G)DJ
Ju ¤ pàcâJà. v 5Ý;ìMD
MD:9âJÜ D F¦PupÞPZâDÞ
.
æ uD: -ZâJUà.£R¦ ¤ u «Ov §}¤¤ªP§ : J ¥ )P: T jRlRmn gxOv :v y Iy/bjRk6T(0v 8v v ßtìM): JpÞ =UÝ0ÞPD
JßèìMpâAà çFç¢è J r²tu  8Ó '¥ §}¤:¤ _ê?
ZX×.g /t×Ó._ÔAØ@×$õ
qP9+
T jRlRmn!gxv:v y Iy/bjRkWT(v#8v )ZìDâJ:è|:w:::Zå
J
MZßPì2âJ0ãM q â
J¢Z)æJ
@Ý ª u¦ ) @³0DJ « Ý;à _ç ÞÝ Þ8 '¥:R¥¥ §}¤¤DAê? T jRlRmn\xg vW: v ywIy/bjRk´T(v&8v ÛdDèP@Ý;æJ
J= DDè à@Ý
Àì2âJZßè )DJ
M0æ Ý
MZßÝDá:
MD\à çFç¢è D
J
M0æmÝD ßtìM): ÞP0æ r"s5tu Î@¼ 8 ¬ §}¤¤DAê? T ?(T v8 v y ¡@jd _a¢ xg v0xg v y hjRlRmn´ v0: v ¦
M) Uâ2ÝJ ì2âJ )UàJ
J=¢à2âJ:D
MD - ìMZâPà2ÞÝ
MpÞP:)Zâ = ÜiìDâ MZ
8M
MpÞ'£R ÝèÞÝ )ÜP
ÞÝP0¿¾ª© TIj _ y-n(& v@ v âJ:D
MD\à çFçTpâJ
Dã ÝDá:
M:+à çFç¢è D
J
M:.èDâDÝD:
M?
r)Zâ J ìMpâJ
M:UÝwUÝ0âPà@ÝKYàJZèÜ M0æJ
J Ü _âèÞJZèâDÝ;Ü&
MèìMZâPàMDM
J
æ`ìMDDèì2âJD)UàJ
Þ ÞDâ ZÝJ MpÞ æmìMDDèì2âJD)UàJ
Þ ::pâJ
ì2â Þ @Ý;àJ
. ì2âJZß5=¢u. q 5M
M:pÞÝ
Î 8Ó 4«:D¨«ª¥ §}¤¤¥_ê? TIj _ y-nJ&v v y-Il bjk odv5odv
ßÝD)pßÝD Þ
âJ:D
MD\ à çFçTpâJ
Dã ÝDá:
@ÝDaßUàJDáfà çFç}è )UàMZâJUà@Ýc
MèìMZâPàMDM
J
JÜgìMDDèì2âJD)UàJ
ÞÝ;Ü à MpÞJ_â ÞÝ;Ü ::pâJ
ì2â Þ @ Ý;àJ
. ì2âJZ ß5=¢u.2 ßÝD)p ßÝD Þ _ê? âJ:D
MD\ à çFçTp âJD
ã ÝDá:
@ÝDfÞ
M ÞÝiìMpâJ
M:UÝ UÝ0âP à@Ýw|
M èìMZ âP àMDM?
J
J Ü`ìMDD èì2âJD)U àJ
ÞÝ;Ü ÞÝ )ÜP
ÞÝìMDDèì2âJD )U àJ2
ÞPD MD Zê? UÝ0ÞPD
M àMU çTZ âDßÝ;ã :=Z ÞP @ ÝD J
J Ü ìMD ßp â
J Üõ) J ¡ÛÛÛ 'MD) D P; ê? p âJ :
M::@
ÝD
M)p âì2âJZ Ý;ã
M)U â2Ý@ Ýà2âJ:D
MD - ìMZ âP à2ÞÝ .Z â' ßÝDDD ç ÞÝ 8M )P DA ê? uMZ ÞÝD á:
M:Z ár::
M: )D á:
M0 æfà çFç¢è J . :R Zê? )Z â ß5
MD -Z ÞDâ2ÝD:
MD -e â2ÝDP
ßF âJ àM J ç}â2Ý0ÞJZ ÝD á:
MD - ì@Ý á_ßÝ MDD _ê? ¤ Ûè U à çFç¢è è )0 æJ )vUÝ0ÞPD
J :- - _ê? â2Ý0ÞJZ ÝD á:@
ÝDR ß:p ÞP0 ì ÞÝ u) ¡Z è DJ ÞÝ 8.:R _ê? u:_ âJ0 ìJ
Jvf â2ÝD ì2âJ àMM
ì2âJ0 ãMU Ý;Ü7Ý
MZ ßÝD á:
M0 æTà çFç¢èP ÝD)p ßÝD Þ 8 P P: ::pâJ
F ì2â Þ @ Ý;àJ
. ì2âJZ ß5=¢u.2 ß P; ê? J àJ
MZ ßp â
J=DD è à@Ý
r@
Ýhç}â2Ý0ÞJZ ÝD á:
MZ ßßp ÝDU ÝD)Z ßÝ0ß aMDZ è ¢ ÞÝ0ß ::pâJ
. ì2â Þ @ Ý;àJ
. ì2âJZ ß5 =¢u.^ ßÝD)p ßÝD Þ 8 P; ê? Z Ýß_ â2Ý
J@
ÝD[ Þ
M ÞÝ àM0 æ,àM áF@
Ý0ßW è àM
M ¤ â âJU Û M@
ÝèPJ
MD\ ìM0 ìDèDM â
J ÜHZ ÝD) æ. ¤ U àâJ à.4 Û±Þè@ ÝMA Ý ¤ £ uàJa) ÞJ)D ìDè :P0: D :P
TIj _ y-n(&v v y/Il bjRk.odvPodv
ÎjÞ © ª¿ ¨©« §}¤¤¥
q
u Þ<Î ª¥ ª« §¤¤ª© T >kRjd ¢ bj 8Rv :v?q ª¥ ¿¥ v « ÎjÞ ù TIy kRj ¢ n ¢ bj gxv=gxv §}¤¤ t Î ÓÚ ¾ 0mR¤b?n ¢ {7´Pv odv y ¨ xb _ h ¡:vPodv r"s5tu ÎÎ@¼ ¥ ¥¥ ¿¿ª© Il bjRkYod v odv y ¡ %h0 ? v gxv r²tu ÎÎ ª¤ ¿¿¿ Il bjRk6odNv odv r"s5tu ÎÎ@½ »§ ¨§ ª§ ¿¿¿ Ou Il bjRkJod v odv u ¦ ÞÓ §}¤¤¤ Il bjRk7od@v odv ¦ 4Ú ¾ ¤ ¾ §}¤¤ -q Il bjRk6odPv odv y T m_kR? odNv od:v q &Ú &©}¤ª« q §}¤¤ Il bjRk)od-v odv s ¦ ! q §}¤¤ 4§ Il bjRkod v od0v v
MZßÝDá:
@ÝDlà çFç¢è à2âJ:D
MD\è )0æJ :=â2ÝDì2âJàMM
r"s5tu Î@¼@Þ ¿:¤ ¿ª§}¤ §}¤:¤ _ê?
ZX×.gP/t×Ó._Ô_Ø@×$õ
q@Ì:9
Il bjRkJodvDodvv ))ZßUàMDá:
@ÝDhÝ
MZßÝDá:
@ÝDhà çFç¢è è )0æJ :=UÝ0ÞPD
J 9u Î/ Ó8¾Dj©-¾ª©}¥ §}¤¤:_ê? Il bjRkYodv/odv y ¡ %h0 ?vgxv uâ2Ý0ÞJZÝDá:
@ÝD[ßUàMDáeìMpâJ
M:UÝP£XßÝM0èP ?MD): ì2â D Z
r²tu Â3Þ '§-R¿ §}¤¤DAê? Il bjRk!do v:do v u â2Ý0ÞJZÝDá:
J=ZDDè à@Ý
DDè à@Ý
G
@Ý+ç}â2Ý0ÞJZÝ@Ý;Ü r²tu
Â3Þ }§ ¤¤DAê? Il bjRkodvIodv yTIj , y-n &v vDq
M0æCpÞPZâJ:Zá_ä})::UàJ
MD -+àJ
àJ
MZßpâ
J= ç}â2Ý0ÞJZÝDá:
J= DDè à@Ý
cÞPD
MJ á_ß Ý ' - : DAê? ¤
r²tuDÓ/ù 4§©
§}¤¤ q
âJ:D
J=ì2âJ )UàJ
J= G)Zâ çFÝDD:ÜmìMpâJÜ UàMD ::pâJ J
}ì2â Þ @Ý;àJ
. ì2âJZß5=¢u.2ß ÝD)pßÝD Þ D Zê? âJ:D
J= ì2âJ )pàJ
J=õC)Zâ ìMDDèì2âJD)UàJ
J ÞPD ::pâJ
Fì2â Þ @Ý;àJ
' ì2âJZ ß5=¢u.2 ßÝD)p ßÝD Þ D Zê? âJ:D
J=o ì2âJ )U àJ
J=vu)Z â à Mp ÞJ_ â Þ : J Z ê? ::pâJ
}ì2â Þ @Ý;àJ
. ì2âJZ ß5=¢.2 ßÝD)p ßÝD Þ ' -R âJ:D
J= ì2âJ )U àJ
J=Oß)Z â ìJ@ ÝDpß5 ::pâJ
}ì2â Þ @ Ý;àJ
. ì2âJZ ß5=¢.2 ßÝD)p ßÝD Þ Zê? J â )D
MD\ à çFçTp âJ?D
ã ÝD á:@
ÝDg ßU àMD álâJp ÞPZ ß @
Ý ã
MèìMZâPàMDM
J
J ÜìMDD èì2âJD)U àJ
ÞÝ;Ü ::pâJ
¢ ì2â Þ @ Ý;àJ
. ì2âJZ ß5= ¢u. ßJÝD )pßÝD Þ : D Zê? âJ:D
MD\ à çFçTp âJD
ã ÝD á:@
ÝDc ßU àJD á â2ÝDP
|))D)D -ÏD èP@ Ý ::pâJ
f Z èâJ0 èDM?
M:
J0 æFp âJ àM ì2â Þ @ Ý;àJ
. ìDâJZ ß5=¢u. } ßÝD)p ßÝD Þ D D) Zê? âJ:D
MD\ à çFçTp âJD
ã ÝD á:@
ÝD7 ßU àMD ácà @
Ý0ß Mp ÞP0 æTì@Ý0ß D Û P@
ÝpèPJ
MD\ ìM0 ìDèDM â
ÜU0 ÝD) æ. ì.8 P £ uàJa) ÞJ)0 ìDè : - P
Il bjRkodvIodv
Z
q
Il bjRkodvNodv yTIj _ y-n&v9 v -q Il bjRkdo vRdo v yFIl bjRk vRodv
q
Il bjRkYodv odv y § i h0n4gxvv Il bjRk6odvIodv y@TIj _ y-n&v9 v
Î@¼ 4« ¾ ¨« ª¤ §}¤¤ª«
Î@¼ 4« ª¤ ¨« j§ §}¤¤ª«
Î@¼ ¿ª« ¿¥ §}¤¤ª« Î@¼ 4« ª¤ §}¤¤ª«
/ q ÎjÞ ¿ ¾ ¿ ª¤ §}¤¤ª© Il bjRk'odvodv q ÎjÞ ¾ ¾ §}¤ª¤ª© Il bjRkWod v odv ¦ ( q « u-u¦ 3§}¤ª¤ª© ¤ 4§« ª¤ Il bjRk!od v odv y TIj _ y-n-&#v v âJ:D
MD\à çFçTpâJ
Dã ÝDá:
@ÝDhÞ
M ÞÝà ìMpâJ D
J
MD -ìMpâJ
M:UÝÞÝ0ÞOMàM: H -gÝ))ZßUàMDá:
M: ¤ á_ßÝCr"s5tu Ú¬8 «}D¾ D¨«}¾¾ §}¤ª¤ªZ© ê? ¨ImfhkR©Ii(odOv gxv ¤ â ß
M
T0ìMpâ2ÝD)ZâJD v
u:
ÞPDAÝu.ßUàMMÜ+ìM0ìDèDMã D
J
M0æà
@Ý0ß Þ u
MæJ
Jæß â' µ P¿ #D P¥ Ï«}¤¤ ¨«}¤¥ §}¤¤_¾ ê? ¨ xb _ h4¡:Pv odv )Zâ ZèâJ 0èD M
MD
M0æRà çFç¢è ¤ á_ßÝ r"s5tu ½ 8Ú ¾ª-© ¿¤ ¿:¿ _ê? J J ¨ xb _ h¡:Dv odv Û )UÜÝD MpÞ æRìMpâJ
M: à2âJ:D
J=Xì2âJ )UàJ
J= r"s5tu Î ù48Ú ¾ª©« R¾D¾ ¿¿ªZ« ê? ¨ xb _ h=¡:#v odv AÝD à çFç¢è Yì@ÝD :
MD -KpÞÝMâ2Ý r"s5tu Î ù á -:ª-« R-Dª¾ ¿¿_ ¥ ê? ¨ xb _ hJ¡:Ov odv uMZÞÝDá:
M:Záõ::
M: )Dá:
M0æià çFç¢è J r"s5tu ÎÎ@¼ 8:¥ R¥¥ ¿¿ªZ © ê?