Векторы и тензоры в курсе физики. Методические указания

Министерство образования Российской Федерации РОСТОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Тополов В.Ю.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ «Векторы и тензоры в курсе физики» для студентов факультета высоких технологий

Ростов-на-Дону 2002

Печатается по решению учебно-методической комиссии физического факультета РГУ (протокол N 4 от 23 апреля 2002 г.).

Автор - Тополов В.Ю., доктор физ.-мат. наук, Соросовский доцент, профессор кафедры физики полупроводников физического факультета

3 ВВЕДЕНИЕ

Развитие естественных и технических наук на современном этапе выдвигает новые требования к преподаванию дисциплин физико-математического цикла. В процессе обучения по технологическим и инженерным специальностям физика выполняет важную общеобразовательную функцию, направленную на формирование творческого мышления и обширного естественнонаучного кругозора будущего специалиста. Важной составляющей творческого потенциала специалиста является способность математически формулировать и решать инженерные и прикладные задачи с привлечением знаний, полученных в ходе изучения физики и смежных дисциплин. Одной из черт последних десятилетий является активное использование методов векторного и тензорного анализа в различных областях физики, химии, механики, материаловедения и технических наук. Именно углубление теоретической базы технических наук, а также широкое внедрение математического моделирования и компьютерной обработки информации указывают на необходимость основательного изучения и осмысленного использования методов векторного и тензорного анализа для решения широкого круга задач – от простейших физических до весьма сложных расчетных инженерных. В этой связи физика как ведущая естественнонаучная дисциплина выступает в качестве исходного пункта, где элементы векторного и тензорного анализа используются при изложении теоретического материала, при решении некоторых типов задач и при выполнении лабораторных работ. Однако в курсе физики и в рекомендуемых учебных пособиях элементы векторного анализа приводятся, как правило, разрозненно, а элементы векторного анализа – весьма ограниченно, что ослабляет интерес студентов к задачам, основанным на применении соответствующих математических методов. Более того, “неравноправие” векторного и тензорного исчислений в сознании студентов (что связано с основательным изучением векторов в средней школе и с отсутствием знаний о тензорах вплоть до изучения вузовского курса физики) порождает дополнительные проблемы, которые приходится решать при изложении курса физики.

4 Цель настоящих методических указаний состоит в том, чтобы на базе важнейших математических сведений о векторах и тензорах привить студентам интерес к изучению основ векторного и тензорного исчислений, а также создать условия, благоприятствующие осмысленному использованию соответствующего математического аппарата в курсах физики и других инженерно-технических дисциплин.

1. СКАЛЯРЫ И ВЕКТОРЫ

С к а л я р - величина, характеризуемая одним числом. В физике такими величинами являются, например, время t, температура T, плотность ρ, масса m, работа силы A, частота колебаний ν и др. В е к т о р (геометрический вектор) - направленный отрезок. В физике векторные величины характеризуются не только численным значением, но и направленностью (или направлением). К таким величинам относятся перемещение r материальной точки, ее скорость v и ускорение a, сила F, действующая на эту точку, напряженность электрического поля E, индукция магнитного поля B и др. *) Имеет смысл сравнение только скаляров одинаковой размерности или только векторов одинаковой размерности. Другими словами, речь идет о сравнении величин, имеющих одинаковый физический смысл. Действия над векторами подчиняются правилам векторной алгебры. В физике различают свободные, скользящие и связанные векторы. С в о б о д н ы й в е к т о р можно переносить параллельно самому себе и прилагать в любой точке пространства. Таким вектором является, например, скорость v поступательного движения тела, и вектор v можно полностью определить в пространстве тремя числами. В декартовой системе координат (X1X2X3) вектор v задается проекциями vi на оси OXi: 3

v (v1, v2, v3) = v1e1 + v2e2 + v3e3 = ∑ viei , i =1 --*) В учебной и научной литературе вектор чаще всего выделяется полужирным шрифтом (v), реже – стрелкой ( v ) или черточкой ( v ) сверху.

5 где ei || OXi – базисные векторы или орты декартовой системы координат. С к о л ь з я щ и е векторы - это векторы, которые не только равны, но и лежат на одной прямой. Пример скользящего вектора – сила F, приложенная к абсолютно твердому телу. С в я з а н н ы е векторы – это векторы, относящиеся к определенной точке пространства. Примером связанного вектора служит ускорение a некоторой точки упругого тела, совершающего одновременно поступательное и вращательное движения. Свободные векторы являются наиболее общим случаем задания физических величин, определяемых значением и направлением. Знания о точке приложения свободного вектора является несущественным. Особым случаем вектора является н у л е в о й вектор 0, т.е. такой вектор, начало и конец которого совпадают. Отсюда следует, что длина нулевого вектора | 0 | = 0 , а сам вектор не имеет определенного направления.

2. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

С л о ж е н и е в е к т о р о в. Суммой векторов a + b + c + ... является вектор k , представляющий собой замыкающую многоугольника, построенного на слагаемых векторах (рис. 1, а). Если под слагаемыми векторами понимать некоторые векторы перемещения материальной точки (например, броуновской частицы), то сумма будет соответствовать общему перемещению этой материальной точки. Сложение двух векторов a + b = k осуществляется по одному из двух правил – по правилу треугольника (рис. 1, б, частный случай сложения, показанного на рис. 1, а) или по правилу параллелограмма (рис. 1, в). Правило сложения векторов характеризуется теми же свойствами, что и правило сложения вещественных чисел: а) коммутативностью, т.е. a + b = b + a ; б) ассоциативностью, т.е. (a + b) + c = a + (b + c) ; в) особой ролью 0 при сложении, т.е. a + 0 = a ;

6

Рис. 1

г) существованием противоположного вектора a′ , удовлетворяющего соотношению a + a′ = 0 . В ы ч и т а н и е в е к т о р о в сводится к сложению уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому, т.е. a - b = a + (-b) = m . У м н о ж е н и е в е к т о р а н а с к а л я р. Произведением a α называется вектор b , коллинеарный вектору a и имеющий длину | b | = | a | |α| . Коллинеарность векторов b и a означает, что b ↑↑ a , если α > 0 и b ↑↓ a , если α < 0. При α = 0 b = 0 , т.е. направление вектора b не определено. Операция умножения вектора на скаляр сводится к деформации исходного направленного отрезка с изменением (α < 0) или без изменения (α > 0) его направления на противоположное. Правило умножения вектора на скаляр обладает следующими свойствами: а) дистрибутивностью скалярного сомножителя, т.е. α (a + b) = αa + αb; б) дистрибутивностью векторного сомножителя, т.е. (α + β) a = αa + βa;

7 в) ассоциативностью сомножителей, т.е. α (β a) = (α β) a . Р а з л о ж е н и е в е к т о р а. Если векторы a , b , c линейно независимы (т.е. не являются компланарными векторами), то любой вектор d может быть единственным образом разложен по этим векторам в соответствии с формулой d=ma+nb+ pc. Наиболее часто разложение вектора проводится по базисным векторам ei системы координат. В случае прямоугольной декартовой системы координат (X1X2X3) e1 ⊥ e2 ⊥ e3 и e1 ⊥ e3 . Положение некотрой точки F в пространстве удобно задавать ее р а д и у с - в е к т о р о м r = OF, где O – начало системы координат. Координаты точки F в этом случае совпадают с координатами радиус-вектора r (f1 , f2 , f3), т.е. r = f1 e1 + f2 e2 + f3 e3 , а расстояние |OF| - с длиной вектора | r | = (f12 + f22 + f3 2)1/2 . Помимо прямоугольной декартовой системы координат на практике часто пользуются криволинейными системами координат, например, цилиндрическими, эллиптическими, сферическими и др. С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е. Скалярным произведением a b двух векторов a и b называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: a b = | a | | b | cos ϕ, где ϕ = (a ,∧ b) – угол, не превосходящий π *). Величина | b | cosϕ является проекцией вектора b на ось, определяемую вектором a , т.е. ba = прa b = b cos ϕ. Поэтому скалярное произведение a b можно определить как число, равное произведению длины одного из векторов на проекцию другого вектора на ось, --*) В учебной и научной литературе встречаются и другие обозначения скалярного произведения, например, (a . b) или (a , b).

8 определяемую первым из указанных векторов: a b = a ba = b ab . В физической механике скалярное произведение векторов силы F и перемещения r используется для определения работы силы A = F r = F r cos ϕ. В общем случае работа переменной силы 2 A= ∫ F dr 1 является криволинейным интегралом. Скалярное произведение векторов характеризуется свойствами а) коммутативности, т.е. a b = b a ; б) ассоциативности скалярного множителя, т.е. (α a) b = α (a b); в) дистрибутивности, т.е. a (b + c) = a b + a c; г) a a > 0, если a ≠ 0 ; a a = 0, если a = 0 . Если в прямоугольной декартовой системе координат (X1X2X3) задаются векторы a (a1 , a2 , a3) и b (b1 , b2 , b3), то их скалярное произведение равно a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =

3

∑

ai bi .

i =1

В е к т о р н о е п р о и з в е д е н и е. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c = [a b] , удовлетворяющий следующим условиям: a) | c | = | [a b] | = | a | | b | sin ϕ, где ϕ = (a ,∧ b) – угол, не превосходящий π (при этом sin ϕ ≥ 1); б) c ⊥ a и c ⊥ b ; в) вектор c направлен так, что тройка векторов а , b , c является правой (рис. 2, а) *). --*) В учебной и научной литературе встречаются и другие обозначения векторного произведения, например, [a , b] или a × b .

9 Последнее условие эквивалентно тому, что последовательность векторов а, b и c = [a b] образует правовинтовую систему. Это означает, что если смотреть вслед вектору c , то совершаемый по кратчайшему пути поворот от вектора а к вектору b осуществляется по часовой стрелке. В плоскости, образованной векторами а и b , вектор c часто изображается крестиком в кружке (как направленный за чертеж, рис. 2, б). При нахождении векторного произведения [b a] искомый вектор изображается точкой в кружке (как направленный к читателю). Для определения направления вектора c = [a b] целесообразно вспомнить правило буравчика (винта с правой резьбой), известное из школьного курса физики: в данном случае вращение ручки буравчика следует осуществлять от направления а к направлению b , проходя угол 0 ≤ ϕ ≤ π. Модуль векторного произведения | c | = | a | | b | sin ϕ = a b sin ϕ имеет геометрический смысл: величина a b sin ϕ = |OA||OB| sin ϕ численно равна площади параллелограмма OAKB (рис. 2, б), построенного на векторах a и b . Следует отметить, что векторы типа [a b] , направление которых связывается с направлением вращения (см. крестик на рис. 2, б), называются п с е в д о в е к т о р а м и (а к с и а л ь н ы м и векторами). Векторы a и b , характеризующие определенные направления, называются и с т и н н ы м и (п о л я р н ы м и) векторами. При переходе от правой системы координат к левой направления a и b сохраняются, а направление [a b] изменяется на обратное. Векторное произведение определяется псевдовектором c , если a и b – оба истинные векторы или оба псевдовекторы. Векторное произведение c становится

Рис. 2

10 истинным вектором, если один из векторов a и b является истинным, а другой – псевдовектором. Векторное произведение удовлетворяет равенству [a b] = - [b a] и н е обладает свойством коммутативности. Векторное произведение характеризуется свойствами а) ассоциативности скалярного множителя, т.е. [(α a ) b] = α [a b] ; б) дистрибутивности, т.е. [(a + b) c] = [a c] + [b c] ; в) [a a] = 0 для любого a . В прямоугольной декартовой системе координат (X1X2X3) векторное произведение представляется в виде определителя следующим образом:

[a b] = ⏐

e1 a1 b1

e2 a2 b2

e3 a3 b3

⏐,

где ei - базисные векторы. Разложение по базисным векторам имеет следующий вид: [a b] = e1 (a2 b3 – b2 a3) - e2 (a1 b3 – b1 a3) + e3 (a1 b2 – b1 a2). С м е ш а н н о е п р о и з в е д е н и е. Смешанным произведением векторов a , b и c является a b c = a [b c] – скалярное произведение векторов a и d = [b c]. В силу коммутативности скалярного произведения a d = d a для смешанного произведения справедливо равенство a [b c] = [b c] a . Величина a [b c] численно равна объему параллелепипеда KLMNK1L1M1N1 , построенного на перемножаемых векторах (рис. 3). Смешанное произведение характеризуется свойствами а) коммутативности при круговой перестановке, т.е. a b c = b c a = c a b (в противном случае a b c = -(b a c) = -(c b a) = - (a c b) ); б) дистрибутивности, т.е. (a + b) c d = a c d + b c d ; в) ассоциативности скалярного множителя, т.е. (α a) b c = α a b c; г) a a b = a b a = b a a = a b b = b a b = b b a = 0. Если в прямоугольной декартовой системе координат (X1X2X3) задаются векторы a (a1 , a2 , a3), b (b1 , b2 , b3) и c (c1 , c2 , c3) , то их смешанное произведение равно

11

Рис. 3

abс=⏐

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 b3

⏐.

Д в о й н о е в е к т о р н о е п р о и з в е д е н и е - это выражение вида [a [b c] ] . Двойное векторное произведение является вектором, компланарным с векторами b и c , и легко преобразуется по формуле [a [b c] ] = b (a c) - c (a b) .

3. ПОНЯТИЕ ТЕНЗОРА. ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА

Как известно из курса физики, скаляр имеет одну компоненту, а век тор – три. В любой системе координат для полного описания скаляра достаточно использовать одно число, а для описания вектора – три числа.

12 Однако многие физические величины не удается описать введением одного или трех чисел. Экспериментально установлено, что для описания деформации упругих тел в некоторой точке K (k1 , k2 , k3) необходимо ввести 32 = 9 чисел, а для описания упругих свойств анизотропных чисел 34 = 81 число. В связи с этим возникла потребность введения новых математических объектов, представляющих собой совокупности 3n компонент (n = 0; 1; 2:...) и преобразующихся по определенным правилам при переходе от одной системы координат к другой. Все эти компоненты характеризуются одинаковой размерностью и «участвуют» в однотипных соотношениях, связывающих различные физические величины. Такие объекты называются т е н з о р а м и, а р а н г т е н з о р а n определяет общее число компонент (3n) . Отметим, что компоненты тензора могут иметь различные значения в разных системах координат. Однако в связи с тем, что каждый раз эти компоненты в совокупности определяют одну и ту же физическую величину, закон преобразования компонент при изменении системы координат не может быть произвольным. Этот закон должен следовать из природы рассматриваемой физической величины и из свойств пространства, в котором задаются системы координат. Произвольность выбора системы координат является экспериментально установленным фактом и отражает однородность пространства. Равноправность любой ориентации осей координат также подтверждена многочисленными экспериментами и отражает изотропность пространства. Законы преобразования компонент тензоров ранга от 0-го по 4-й включительно при изменении декартовой системы координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′) представлены в табл. 1. Обобщая вышеизложенное, можно дать следующее определение тензора n-го ранга. Тензор n-го ранга – это величина, определяемая в декартовой системе координат (X1X2X3) совокупностью 3n чисел или функций Aik...r (число индексов равно n), которые при изменении системы координат (X1X2X3) → (X1′X2′X3′) преобразуются по закону Aik...r′ =

3

3

s =1

t =1

∑ ∑

3

... ∑ lis lkt ... lrw Ast...w , w=1

где lis = cos(OXi′,∧ OXs) – косинус угла между i-й осью системы (X1′X2′X3′) и s-й осью системы (X1X2X3).

13 Таблица 1 Преобразование компонент тензора n-го ранга (n = 0 ... 4) Тензор и его ранг n Скаляр, n = 0 Вектор, n = 1 Тензор второго ранга, n = 2 Тензор третьего ранга, n = 3 Тензор четвертого ранга, n = 2

Число компонент 30 = 1 31 = 3 32 = 9

Закон преобразования компонент тензора n-го ранга α′ = α 3 ai′ = ∑ lik ak k =1

3

3

k =1

m =1

3

3

3

m =1

p =1

q =1

3

3

3

3

p =1

q =1

r =1

s =1

bij′ = 33 = 27 cijk′ = 34 = 81 dijkm′ =

∑ ∑

lik ljm bkm

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

lim ljp lkq cmpq

lip ljq lkr lms dpqrs

П р и м е ч а н и я. 1. lik = cos(OXi′,∧ OXk) – направляющие косинусы. Первый нижний индекс i соответствует оси штрихованной (новой) системы координат. 2. В соответствии с правилом Эйнштейна суммирование от 1 до 3 проводится по повторяющимся индексам k (n = 1; 2), m (n = 2; 3), p, q (n = 3; 4), r и s (n = 4).

4. ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

У м н о ж е н и е н а ч и с л о. Если компоненты тензора n-го ранга A умножить на некоторое число β , то получится тензор n-го ранга βA. П о к о м п о н е н т н о е с л о ж е н и е. Если сложить одноименные компоненты тензоров n-го ранга A и В , то получится тензор C = A + B , называемый суммой исходных тензоров и имеющий тот же n-й ранг. Складывать тензоры различных рангов н е д о п у с т и м о !

14 П р я м о е у м н о ж е н и е т е н з о р о в. Если каждая компонента тензора n-го ранга A умножается на всевозможные компоненты тензора m-го ранга B , то получится C = A B - тензор (n + m)-го ранга.

5. СВОЙСТВА ТЕНЗОРОВ ВТОРОГО РАНГА

Тензор второго ранга является многокомпонентным объектом, стоящим по рангу за вектором. Ниже мы перечислим его важнейшие свойства. Тензор второго ранга A удобно записывать в виде матрицы размером 3 × 3:

|| Aik || =

(

A11

A12 A21

A31

A13 A22

A32

A23

).

A33

Свойства тензора A эквивалентны свойствам квадратной матрицы || Aik || , построенной из компонент этого тензора, и их можно сформулировать следующим образом. а) Тензор А является симметричным, если для любых индексов i и k справедливо равенство Aik = Aki . б) Тензор В является антисимметричным, если для любых индексов i и k справедливо равенство Bik = - Bki . в) Произвольный тензор второго ранга C можно представить в виде суммы симметричного А и антисимметричного В тензоров: Cik = Aik + Bik , где Aik = (Cik + Cki ) / 2, Bik = (Cik - Cik ) / 2. г) Если для тензора A существуют векторы x , удовлетворяющие условию A x = λ x , то направления, определяемые этими векторами, называются г л а в н ы м и (с о б с т в е н н ы м и) н а п р а в л е н и я м и т е н з о р а А. Оси этих направлений называются г л а в н ы м и о с я м и т е н з о р а. Значения компонент тензора в системе координат главных

15 осей называются г л а в н ы м и значениями тензора (обозначены λ). Итак, система уравнений, из которой находятся главные направления и главные значения тензора А , в матричной форме имеет вид

(

A11 A21 A31

A12 A22 A32

A13 A23 A33

)(

x1 x2 x3

) = λ(

x1 x2 x3

).

Эта система линейных однородных уравнений относительно координат xi имеет ненулевое решение, если det || A - λ I || = 0, где I – единичная матрица размера 3 × 3. Таким образом, главные значения λ определяются из характеристического уравнения тензора А

|

A11 - λ A21 A31

A12 A22 - λ A32

A13 A23 A33 - λ

| = 0,

являющегося кубическим уравнением относительно λ . В системе главных осей (X1°X2°X3°) тензор А записывается в матричном виде как

|| Aik || =

(

λ1

0 λ2

0 0

0

0

0 λ3

),

причем три главных оси OXi° этого тензора взаимно перпендикулярны. Если λ1 = λ2 = λ3 , то тензор называется ш а р о в ы м. Такой тензор пропорционален единичному (т.е. A = λi I ) и имеет одинаковый вид во всех системах координат. Если два главных значения тензора одинаковы, а третье отлично от них (например, λ1 = λ2 ≠ λ3 ) , то тензор называется с и м м е т р и ч е с к и м . Если все три главных значения тензора различны, то тензор называется а с и м м е т р и ч е с к и м .

16 6. ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Для описания физических свойств твердых тел и особенно кристаллов очень часто используются тензоры, позволяющие учитывать симметрию кристаллической структуры и связанную с ней анизотропию свойств. Вследствие анизотропии свойств кристаллов физическое явление, вызванное каким-либо воздействием, как правило, не совпадает по направлению с этим воздействием. В кристаллофизике для описания взаимосвязи между воздействием и явлением (или эффектом) часто пользуются символической формулой явление = свойство × воздействие. [эффект] Если воздействие и вызванное им явление изотропны (т.е. описываются скалярами), то и соответствующее свойство будет изотропным. Если при скалярном воздействии на кристалл возникающее явление описывается тензором, то и соответствующее свойство кристалла будет тензорным. Тензорные свойства могут обнаруживаться, кроме того, и при векторных, и при тензорных воздействиях. Характерные примеры связей рангов тензоров воздействия n1 , свойства n и явления n2 приведены в табл. 2. Нетрудно заметить, что между рангами вышеуказанных тензоров существует простая связь: n = n1 + n2 . Чтобы количественно описать тензорные свойства некоторого кристалла, в общем случае необходимо провести столько независимых измерений, сколько существует независимых компонент у тензора данного свойства (т.е. 3n , где n – ранг тензора). Однако вследствие симметрии кристалла некоторые компоненты тензора оказываются равными друг другу или обращаются в нуль, что существенно упрощает этап измерений. Дополнительное упрощение достигается благодаря термодинамическим соотношениям, описывающим физические явления в кристаллах, а также из-за симметрии самих тензоров свойств.

17 Таблица 2 Взаимосвязь тензоров, характеризующих свойство, воздействие и явление в твердом теле Воздействие, ранг тензора n1

Явление, ранг тензора n2

1 1

2 ∆T – изменение температуры, скаляр (n1 = 0)

3 ∆P – изменение поляризованности кристалла, вектор (n2 = 1)

2

E – напряженность электрического поля, вектор (n1 = 1)

Ранг тензора свойства n

Свойство и тензор, используемый для его описания

4 Пироэлектричество – свойство некоторых диэлектрических кристаллов изменять величину электрической поляризованности при изменении температуры. ∆P = γ ∆T, где γ - вектор пироэлектрических коэффициентов. Диэлектрическая проницае D – электрическое смеще- мость характеризует поляризованность тел под действием ние, вектор электрического поля. (n2 = 1) 3

D = ε0 ∑ εik Ek , где εik – комk =1

2

ω - угловая скорость, псевдовектор (n1 = 1)

М – момент импульса, псевдовектор (n2 = 1)

поненты тензора диэлектрических проницаемостей. Момент инерции характеризует инертные свойства тела при его вращении. Mf =

3

∑

Ifk ωk , где Ifk – компо-

k =1

ненты тензора инерции (реже – тензора моментов инерции).

18 1

2

3

4 Тепловое расширение – изменение размеров тела в процессе его нагревания. ξjk = βjk ∆T, где βjk – компоненты тензора коэффицентов линейного теплового расширения твердого тела. Пьезоэлектричество – изменение поляризованности некоторых диэлектрических кристаллов при приложении внешнего механического напряжения. При прямом пьезоэффекте

2

∆T – изменение температуры, скаляр (n1 = 0)

ξjk – механическая деформация, тензор (n2 = 2)

3

σjk – механическое напряжение, тензор (n1 = 2)

P – поляризованность, вектор (n2 = 1) ---------ξjk – механическая деформация, тензор (n2 = 2)

-----------E – напряженность электрического поля, вектор (n1 = 1)

3

Pi =

∑

dijk σjk , при обратном

j, k =1

пьезоэффекте ξjk =

3

∑

dijk Ei,

i =1

4

ξjk – механическая деформация, тензор (n1 = 2)

σab – механическое напряжение, тензор (n2= 2)

где dijk – компоненты тензора пьезоэлектрических модулей (реже – тензора пьезокоэффициентов). Упругость – свойство тел изменять форму под действием нагрузок и самопроизвольно восстанавливать исходную форму при прекращении внешних воздействий. σab =

3

∑

сabjk ξjk ,

j, k =1

где cabjk – компоненты тензора модулей упругости.

19

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие для втузов. В 5 кн. Кн. 1. Механика. - М.: Астрель, АСТ, 2001.- 336 с. 2. Курс физики: Учебник для вузов. В 2 т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. - СПб.: Лань, 2000.- 576 с. 3. Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. – Харьков: Вища шк.; Изд-во при Харьк. гос. ун-те, 1986.216 с. 4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 232 с. 5. Шаскольская М. П. Кристаллография. - 2-е изд.- М. : Высш. шк., 1984.376 с. 6. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров.- М.: Советская энциклопедия, 1983.- 928 с. 7. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. – 13-е изд.- М.: Физ.-мат. лит-ра, 1995.- 871 с. 8. Методические указания по курсу: Основы векторного и тензорного анализа. Ч. II / Р. В. Ведринский, В. Ш. Мачавариани, А. А. Новакович, Ф. В. Демехин.- Ростов н/Д: Рост. гос. ун-т, 1998.- 27 с.