Элементы квантовой статистики: Пособие по выполнению домашнего задания

1. РАВНОВЕСНОЕ ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Основные теоретические сведения Равновесное электромагнитное излучение, заключенное в полости с температурой стенок T, представляет собой совокупность фотонов, распределенных по модам r — типам волн, характеризующимся своей частотой ω, волновым вектором k и поляризацией. Среднее число фотонов в моде (заселенность моды) зависит лишь от энергии фотонов ε Ф = hω и от температуры стенок. Моды, r характеризующиеся разным направлением распространения волн (разными k ) или разными поляризациями, при совпадающих частотах ω заселены одинаково. Это следует из распределения Бозе-Эйнштейна, справедливого для бозонов (частиц с целым спином), в котором следует принять значение химического потенциала равным нулю 1 n = hω . (1.1) e kT − 1

В интервале частот от ω до ω + dω имеется dN(ω) различных мод. ВеличиdN на D ( ω ) = называется спектральной плотностью мод и для вакуумироdω ванной полости объемом V рассчитывается по формуле V ω2 . (1.2) 2 3 π ⋅c Используя эти величины и формулу для энергии фотона ε Ф = hω , можно найти среднюю энергию электромагнитного излучения в интервале частот от ω до ω + dω dε ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ dN ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ D ( ω ) ⋅ dω = U (ω) ⋅ dω . Входящая в это выражение величина U ( ω ) = hω ⋅ n ⋅ D ( ω ) имеет смысл спектральной плотности энергии электромагнитного излучения в объеме V. Используя (1.1) и (1.2), можно записать формулу Планка D ( ω) =

U ( ω) =

V ⋅ h ⋅ ω3 ⋅ π 2 ⋅ c3

1 hω e kT

.

(1.3а)

−1

Учитывая взаимосвязь частоты ω с длиной волны λ, эту формулу можно преобразовать к виду 8π ⋅ h ⋅ c ⋅ V 1 U (λ) = ⋅ . (1.3б) 5 hc λ e λkT − 1

При излучении с поверхности абсолютно черного тела, модель которого представляет собой небольшое отверстие в полости (рис. 1.1.), поток энергии, испускаемый единицей площади тела (отверстия на рис. 1.1) по всем направлениям в пределах телесного угла 2π, называется энергетической светимостью и обозначается буквой R*. Из этого потока на интервал длин волн dλ приходится величина dRλ* = rλ ⋅ dλ , где rλ называется спектральной плотностью энергетической светимости (или испускательной способностью). Она связана со спектральной плотностью энергии излучения U(λ) соотношением c rλ = U (λ) . (1.4) 4V

T Рис. 1.1. Модель абсолютно черного тела.

Рис. 1.2. Испускательная способность абсолютно черного тела.

На рис. 1.2 приведен график зависимости спектральной плотности энергетической светимости от длины волны. Интегрирование этого выражения с учетом формулы Планка по всему возможному диапазону длин волн приводит к закону Стефана-Больцмана для энергетической светимости абсолютно черного тела ∞

R = ∫ rλ ⋅ dλ = σ ⋅ T 4 . ∗

.

–8

2.

4

(1.5)

0

Величина σ = 5,67 10 Вт/м К называется постоянной Стефана-Больцмана. Положение максимума на графике спектральной плотности энергии электромагнитного излучения абсолютно черного тела (и на графике испускательной способности) можно определить по закону смещения Вина T ⋅ λ max = b , (1.6) . –3 . где b = 2,9 10 м К. Величина максимума спектральной плотности энергетической светимости зависит от температуры rmax = a ⋅ T 5 , (1.7) . –5 3. 5 где a = 1,3 10 Вт/м К .

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Гл. 1, п.п. 1-5, гл. 7, п.п. 34, 35. – М.: Наука, 1989. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл. 26, п.п. 197-200, гл. 30, п.п. 235. – М.: Высшая школа, 1990.

2. КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ Основные теоретические сведения

Колебания кристаллической решетки являются одним из основных видов внутреннего движения в твердом теле, когда составляющие его структурные частицы (атомы, молекулы, ионы) колеблются около положения равновесия — узлов кристаллической решетки. Амплитуда этих колебаний увеличивается с ростом температуры, но всегда остается значительно меньше, чем пространственный период решетки. Когда температура достигает некоторого критического значения, кристаллическая решетка разрушается, начинается процесс плавления. При расчете энергии кристаллической решетки П. Дебай учел, что колебания атомов не являются независимыми. В этом случае сложное движение N упруго связанных между собой атомов, обладающих 3N степенями свободы и совершающих малые колебания вблизи своих равновесных положений, можно представить как суперпозицию 3N различных независимых друг от друга волнообразных движений атомов решетки – упругих колебаний, называемых нормальными модами. В соответствии с выводами квантовой механики энергия каждой моды с частотой ω может иметь только дискретные значения ε n = ⎛⎜ n + 1 ⎞⎟ hω , (2.1) 2⎠ ⎝ 1 hω характеризует энергию нулевых колебагде n = 0, 1, 2, ..., ∞, а величина 2 ний. Квант энергии упругих колебаний ε = hω называется фононом. Между упругими волнами в кристаллах и электромагнитными волнами в полости существует глубокая аналогия. Среднее число фононов в одной моде с частотой ω, как и в случае с фотонами, определяется формулой 1 . (2.2) n = hω e kT − 1

С учетом (2.1) и (2.2) можно записать формулу для среднего значения энергии моды с частотой ω

ε(ω)

1 = hω + 2

hω

(2.3)

.

hω e kT

−1 В отличие от электромагнитных волн спектр фононных мод ограничен сверху величиной ωD, имеющей название дебаевской частоты. Смысл этого ограничения становится ясным, если учесть, что в кристаллах не могут существовать упругие волны, длина которых меньше расстояния между соседними атомами. Значение ωD, определенное из требования равенства общего количества мод числу степеней свободы 3N, рассчитывается по формуле: 1

3 ⎞3 ⎛ 6π 2 ⋅ N ⋅ CЗВ ωD = ⎜ (2.4) ⎟ . V ⎝ ⎠ Спектральная плотность фононных мод D(ω) определяется схожей с (1.2) формулой, но с поправочным множителем 3/2, который учитывает, что в твердом теле, помимо поперечных волн двух поляризаций, могут распространяться еще и продольные волны 3V D ( ω ) = 2 3 ω2 , (2.5) 2π ⋅ CЗВ где V — объем кристалла, CЗВ — скорость упругих волн в кристалле, соответствующим образом усредненная по поляризациям, частотам и направлениям. С учетом формул (2.3) и (2.4) можно получить выражения для спектральной плотности энергии упругих колебаний U(ω) (типа 1.3а) и полной энергии упругих колебаний твердого тела

ω

U=

D

∫ 0

9N h U ( ω ) dω = U 0 + 3 ⋅ ωD

ω

D

∫

ω 3 ⋅ dω

hω 0 e kT

.

(2.6)

−1 где U0 — энергия нулевых колебаний кристаллической решетки. Анализ приведенного соотношения становится нагляднее, если для температуры T ввести масштабную единицу, называемую температурой Дебая: hω θD = D . (2.7) k Наибольший интерес представляют результаты вычисления в двух предельных случаях: –при высоких температурах (T >> θD) U ≈ U 0 + 3N ⋅ k ⋅ T , (2.8) 3π 4 ⋅ N ⋅ k ⋅ T 4 –при низких температурах (T << θD) U ≈ U 0 + . (2.9) 5θ3D С их помощью можно определить соответствующие теплоемкости твердого тела: CV ≈ 3 N ⋅ k (закон Дюлонга-Пти), (2.10) –при T >> θD –при T << θD

12π 4 ⋅ N ⋅ k ⋅ ⎛ T ⎞ CV ≈ ⎜ ⎟ 5 ⎝ θD ⎠

3

(закон T3 Дебая).

(2.11)

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Гл. 7, п.п. 37, 36. – М.: Наука, 1989. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл. 30, п.п. 235, 237. – М.: Высшая школа, 1990.

3. ЭЛЕКТРОНЫ В МЕТАЛЛАХ И ПОЛУПРОВОДНИКАХ Основные теоретические сведения

Определение энергетического спектра электронов в реальных кристаллах с учетом симметрии и периодичности силового поля является сложной задачей квантовой теории. Опыт показывает, что в металлах валентные электроны атомов коллективизируются и образуют своего рода газ отрицательных частиц обволакивающий положительно заряженные ионы кристаллической решетки. В первом приближении силы притяжения, действующие со стороны ионов на эти электроны, можно усреднить и представить в виде постоянного потенциала притяжения U0 < 0. Такие электроны могут свободно перемещаться в области, ограниченной размерами кристалла, что дает основание применить к ним результаты решения задачи о квантовании энергии частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме. В этом случае для образца металла в виде куба с объемом V можно получить формулу для расчета числа электронных состояний νE, энергия которых не превышает некоторого значения E 3

( 2me ) 2

3

8 ν E = πV E2 . (3.1) 3 3 h Тогда плотность состояний gE (число состояний, приходящееся на единичный интервал энергии) равна 3 1 2me ) 2 2 ( dν E gE = E . = 4πV (3.2) 3 dE h Электроны являются фермионами, так как подчиняются принципу Паули — в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона. Поэтому при нулевой температуре в каждом квантовом состоянии с энергией меньше некоторого значения EF находится по одному электрону (рис. 3.1.). В состояниях с большей энергией электроны при нулевой температуре отсутствуют. Величина EF называется энергией Ферми. В металлах с концентрацией валентных электронов n значение энергии Ферми можно найти по формуле

(

h2 EF = 3π 2 n 2 me

)

2 3

,

(3.3)

а среднее значение энергии электронов 3 E = EF . 5

0 EF E Рис. 3.1. Зависимость среднего числа электронов в некотором выделенном квантовом состоянии от величины энергии E этого состояния при температуре T = 0.

(3.4)

0 EF E Рис. 3.2. Зависимость среднего числа электронов в некотором выделенном квантовом состоянии от величины энергии E этого состояния при температуре T = 0,05 EF / k.

В общем случае произвольной температуры электроны заселяют состояния в соответствии с распределением Ферми-Дирака 1 ni = E −μ . (3.5) e kT + 1

Величина ni представляет собой среднее число электронов, находящихся в i–ом квантовом состоянии с энергией Ei. Параметр μ, носящий название химический потенциал, в общем случае слабо зависит от температуры. В физике твердого тела химический потенциал μ часто называют уровнем Ферми. При Ei = μ вероятность заполнения состояния равна 0,5. Значение μ при нулевой температуре соответствует энергии Ферми EF. Пренебрегая слабой зависимостью химического потенциала от температуры, распределение (3.5) можно переписать в виде 1 . (3.6) ni = E − EF +1 График этого распределения при kT = 0,05 EF приведен на рис. 3.2. Таким образом, в приближении свободных электронов в металлах спектр возможных значений энергии валентных электронов является квазинепрерывным, а заселенность уровней определяется распределением Ферми-Дирака. Если же при решении уравнения Шредингера учитывать периодичность силового поля ионов кристаллической решетки, то в результате получится, что спектр e kT

значений энергии электронов состоит из разрешенных (возможных) и запрещенных зон (рис. 3.3). 1 4 ΔЕ

ΔЕ ΔЕ

2 5 3 Металл

Диэлектрик

Полупроводник

Рис. 3.3. Энергетические зоны в кристаллах: 1,2,3 — разрешенные, 4,5 — запрещенные, ΔЕ — ширина запрещенной зоны, бледно-голубой цвет отражает характер заполнения зон электронами. Разрешенная зона, в которой при температуре Т = 0 находятся валентные электроны атомов, называется валентной зоной. Очевидно, что в зонах выше валентной при температуре Т = 0 электроны отсутствуют. Такие зоны называются свободными. В зависимости от степени заполнения валентной зоны и ширины запрещенной зоны ΔЕ между валентной и свободной химически чистые кристаллы можно разбить на три класса: металлы, диэлектрики и полупроводники. В металлах электроны заселяют нижнюю часть валентной зоны. При воздействии электрического поля часть электронов переходит в такие свободные квантовые состояния этой же зоны, которые предполагают движение в направлении воздействия внешнего поля. Именно эти электроны и становятся теми упорядоченно движущимися зарядами, которые создают электрический ток. В диэлектриках все уровни энергии в валентной зоне при температуре Т = 0 К заполнены, а ширина запрещенной зоны ΔЕ настолько велика, что в обычных температурных условиях при воздействии электрического поля вероятность перехода электронов на более высокие энергетические уровни в свободной зоне практически нулевая, и электрический ток в диэлектриках не возникает. В химически чистых полупроводниках характер заполнения зон при температуре Т = 0 К отличается от предыдущего случая только тем, что ширина запрещенной зоны ΔЕ относительно невелика и в обычных условиях энергия теплового движения оказывается достаточной для того, чтобы вероятность перехода электронов в свободную зону стала ощутимой. Перешедшие в свободную зону электроны, как и электроны в металлах, могут получить дополнительную энергию от электрического поля и создать электрический ток. В любом случае распределение электронов по энергетическим уровням в зонах описывается функ-

цией Ферми-Дирака (3.6). При этом можно приближенно считать, что в чистых полупроводниках уровень Ферми находится посередине запрещенной зоны. Используя функцию распределения Ферми-Дирака (3.6), можно получить выражение для концентрации электронов проводимости ne в чистом полупроводнике −

ΔE 2 kT

ne ∼ e . (3.7) Поскольку электропроводность σ пропорциональна концентрации ne носителей тока, можно сделать вывод, что для чистых полупроводников она изменяется по закону σ = σ 0e

−

ΔE 2 kT

, где σ0 ≈ const.

(3.8)

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики. Т. 3: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. Гл. 7, п.п. 38-40, гл. 8, п.п. 42-46. – М.: Наука, 1989. 2. Трофимова Т.И. Курс физики. Гл. 30, п.п. 238, гл. 31, п.п. 240-244. – М.: Высшая школа, 1990.

Пример 1 Температура стенок вакуумированной полости равна 3000 К. Ее объем V = 1 л. Какова частота моды равновесного электромагнитного излучения в полости, средняя заселенность которой фотонами равна 1? Чему равна спектральная плотность мод при этом значении частоты? Решение Используя формулу (1.1) для средней заселенности мод фотонами при = 1 получаем hω e kT

1 = +1 , n

hω e kT

=2

или

hω = ln 2 . kT

kT ln 2 . h После вычислений получаем ω ≈ 2,7 ⋅ 1014 с–1. Спектральная плотность мод на этой частоте рассчитывается по формуле

Тогда

ω=

(1.2) 10−3 ⋅ 2,7 2 ⋅ 1028 с ≈ 0, 28 с . D(ω) = 3,142 ⋅ (3 ⋅ 108 )3 Ответ: ω ≈ 2,7 ⋅ 1014 с–1, D(ω) ≈ 0,28 c.

Пример 2 При какой температуре с каждого квадратного сантиметра поверхности абсолютно черного тела вылетает ежесекундно в среднем по 10 фотонов в диапазоне длин волн от λ1 = 549 нм до λ2 = 551 нм? Решение Используя определение спектральной плотности энергетической светимости (1.4), можно найти энергию, испускаемую единицей поверхности абсолютно черного тела в интервале длин волн dλ: 2π ⋅ h ⋅ c 2 dR = rλ ⋅ dλ = ⋅ λ5

1 hc λ e kT

dλ .

−1 Учитывая малость величины Δλ = λ 2 − λ1 , это выражение можно записать в

виде

ΔR =

2π ⋅ h ⋅ c 2 ⋅ λ5

1 hc λ e kT

Δλ ,

−1 где λ = 550 нм — средняя длина волны в заданном диапазоне. Тогда среднее количество фотонов N0, покидающих ежесекундно единицу поверхности абсолютно черного тела, можно определить по формуле ΔR 2π ⋅ c 1 = 4 ⋅ hc N0 = Δλ . εФ λ e λkT − 1 2 –4 2 Здесь N0 = N / S, S = 1 см = 10 м . Из этой формулы можно выразить искомую температуру: вначале

а затем

hc e λkT

T=

=1+

2π ⋅ c ⋅ Δλ ⋅ S , λ4 ⋅ N

h⋅c . ⎛ 2πc ⋅ Δλ ⋅ S ⎞ λ ⋅ k ⋅ ln ⎜1 + ⎟ λ4 ⋅ N ⎠ ⎝

Произведя вычисления, получим ответ: T = 552 К.

Пример 3 Максимум испускательной способности поверхности Солнца приходится на длину волны λmax = 0,5 мкм. Определить температуру солнечной поверхности, считая, что она по своим свойствам близка к абсолютно черному телу. Найти значение солнечной постоянной — интенсивности солнечного излучения вблизи Земли за пределами ее атмосферы.

Земля L Солнце

Рис. 1.3. Решение Температуру солнечной поверхности определим с помощью закона смещения Вина (1.6): T= b/λmax. Произведя вычисления, получим T = 5800 К. Значение солнечной постоянной С можно найти, разделив поток энергии ФЕ, излучаемый Солнцем по всем направлениям, на площадь поверхности сферы, радиус которой равен среднему расстоянию от Земли до Солнца L = 1,5.1011 м (рис. 1.3). Поток энергии ФЕ равен произведению энергетической светимости Солнца R∗ на площадь его поверхности ФЕ = R∗ ⋅ 4π ⋅ rc2 , где rс ≈ 7 ⋅ 108 м — радиус Солнца. Тогда

4π ⋅ rс2 ∗ rс2 ⋅ R = 2 ⋅ σ ⋅T 4 . 2 4π ⋅ L L Произведя вычисления, получим ответ: С = 1400 Дж/м2.с, T = 5800 К. C=

Пример 4 Определить среднее число фононов в моде упругих колебаний кристаллической решетки, для которой спектральная плотность числа фононов максимальна. Считать выполненным условие T < 0,5θD.. Решение Вначале необходимо определить частоту моды, соответствующей максимальной спектральной плотности числа фононов. Функцию спектральной плотности числа фононов f(ω) можно получить перемножением спектральной плотности фононных мод D(ω) на среднее число фононов в моде 3V ⋅ ω2 1 f (ω) = D(ω) ⋅ n = 2 3 ⋅ hω . 2π ⋅ CЗВ e kT − 1

Для упрощения последующих преобразований произведем замену

3V ⋅ ( kT )

hω = x. kT

2

x2 x2 , Тогда f ( x) = 2 3 ⋅ = a⋅ x e −1 2π ⋅ CЗВ ⋅ h 2 e x − 1

3V ⋅ ( kT )

2

. Заметим, что при x → 0 и при x → ∞ эта неотрицательная 3 2π 2 ⋅ Cзв ⋅ h2 функция стремится к нулю. Значит, где-то между нулем и бесконечностью должен быть максимум функции f(x). Дифференцируя полученное выражение по x, и приравнивая результат к нулю, получаем где a =

(

)

2 x ⋅ e x − 1 − x2 ⋅ e x

(

)

ex − 1

2

=0

или

(

x

)

ex − 1

2

(

)

⋅ 2 ⋅ ex − 2 − x ⋅ ex = 0 .

Удовлетворяющие этому уравнению значения x = 0 и x = ∞, как отмечалось выше, соответствуют минимумам функции f(x). Остается решить равенство 2 ⋅ e x − 2 − x ⋅ e x = 0 или x = 2 1 − e− x .

(

)

(

)

Решая это трансцендентное уравнение методом последовательных приближений, получим xм = 1,59. Произведя обратную замену, найдем частоту моды ωм , соответствующей максимуму функции спектральной плотности числа фононов f(ω): 1,59kT . ωМ = h Тогда искомое среднее число фононов в этой моде рассчитаем по формуле (2.2) 1 1 n = hω = 1,59 ≈ 0, 26 . e −1 e kT − 1 Пример 5 Сравнить количества теплоты, необходимые для нагревания одного моля железа на ΔT = 10 К от температуры T1 = 0 К и от температуры T2 = 900 К. Для железа температура Дебая θD = 470 К. Решение Учитывая малое увеличение объема железа при нагревании, первое начало термодинамики можно записать в виде Q ≈ ΔU. Тогда при низких температурах, с учетом формулы (2.9), необходимое для нагревания количество теплоты будет равно

Q1 ≈ ΔU =

(

3π 4 ⋅ N A ⋅ k ⋅ ΔT 4

) = 3π

4

(

⋅ R ⋅ ΔT 4

),

5θ3D 5θ3D где R = 8,31 Дж/моль.К — универсальная газовая постоянная. Во втором случае можно считать, что выполняется условие T2 >> θD и необходимое для нагревания количество теплоты можно найти с помощью формулы (2.8) Q2 ≈ ΔU = 3 N A ⋅ k ⋅ ΔT = 3RΔT . Выполним расчеты: 3 ⋅ 3,144 ⋅ 8,31 ⋅ 104 Q1 = Дж = 46,8 мДж , 5 ⋅ 4703 Q2 = 3 ⋅ 8,31 ⋅ 10 Дж = 249,3 Дж . Пример 6 Определить концентрацию свободных электронов в металле при температуре Т = 0 К, если известно, что их средняя энергия равна 1,5 эВ. Решение Концентрацию свободных электронов можно определить с помощью формулы (3.3) для энергии Ферми, которая связана со средней энергией свободных электронов соотношением (3.4). После преобразований расчетная формула примет вид 3

3

1 ⎛ 2m ⋅ E ( 0 ) ⎞ 2 1 ⎛ 10me ⋅ E ⎞ 2 n = 2 ⎜ e 2F = ⋅ ⎟ . ⎟ 2 ⎜ 2 h h 3π ⎝ 3π 3 ⎠ ⎝ ⎠ . 28 –3 Выполнив расчет, получим ответ: n = 2,1 10 м .

Пример 7 Образец из чистого полупроводника нагревают на ΔT = 125 К от температуры T1 = 250 К. При этом его удельная электрическая проводимость увеличивается в 800 раз. Как она изменится при последующем нагревании еще на ΔT = 125 К? Решение Используя формулу температурной зависимости удельной электрической проводимости чистого полупроводника (3.8), можно записать отношение ее значения σ2 при температуре T2 = T1 + ΔT к значению σ1 при температуре T1:

ΔE ⎛ 1 1 ⎞ − 2k ⎜⎝ T1 T2 ⎟⎠

σ 2 ΔE ⎛ 1 1 ⎞ ΔE ΔT = ⋅ . ⎜ − ⎟= σ1 2k ⎝ T1 T2 ⎠ 2k T1T2 Аналогичное соотношение можно записать и для значений σ3 при температуре T3 = T1 + 2ΔT и σ2 : ΔE ⎛ 1 1 ⎞ − σ3 2k ⎜⎝ T2 T3 ⎟⎠ σ ΔE ⎛ 1 1 ⎞ ΔE ΔT ⋅ . =e или ln 3 = ⎜ − ⎟= σ 2 2k ⎝ T2 T3 ⎠ 2k T2T3 σ2 Решая полученную систему уравнений (исключая ширину запрещенной зоны ΔE), получим: σ ΔE ΔT ΔT T1T2 σ T σ T1 σ ln 3 = ⋅ = ⋅ ⋅ ln 2 = 1 ⋅ ln 2 = ⋅ ln 2 . σ 2 2k T2T3 T2T3 ΔT σ1 T3 σ1 T1 + 2ΔT σ1 Учитывая, что T1 + 2ΔT = 2T1, это выражение можно упростить σ T1 σ 1 σ σ ln 3 = ⋅ ln 2 = ⋅ ln 2 = ln 2 . σ 2 T1 + 2ΔT σ1 2 σ1 σ1 σ2 =e σ1

Тогда

σ3 σ2 = ≈ 28,3 . σ2 σ1

или

ln