Оптимизационные экономико-математические модели: Лабораторный практикум по дисциплине ''Информационные технологии в экономике''

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ Волгоградский государственный технический университет Кафедра «Экономика и управление»

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ Тема: «Оптимизационные экономико-математические модели» по дисциплине: «Информационные технологии в экономике»

Выполнил: Скуридов А.В. Должность: инженер кафедры Степень: магистр техники и технологии

Волгоград 2006

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Новый Государственный стандарт высшего профессионального образования обязывает активизировать лабораторный компонент образования. В требованиях к учебно-методическому обеспечению учебного процесса указано: «Реализация основной образовательной программы подготовки дипломированного специалиста должна включать выполнение студентом лабораторно-практических работ по дисциплинам специальности, включая как обязательный компонент выполнение практических заданий на персональных компьютерах с использованием пакетов прикладных программ». В работе подробно рассмотрена технология решения задач оптимального использования ресурсов в среде Mathcad. Изложение практических примеров показывает возможные пути совершенствования учебного процесса за счет передачи рутинны вычислений компьютеру. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум продукции). Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл экономической задачи. Отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяющих) условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, отвечающего критерию оптимальности. В общем виде математическая постановка задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f ( x1 , x 2 ,..., x n ) при условиях g i ( x1 , x 2 ,..., x n ) ≤ bi ; (i = 1,2, .., n), где f и gi — заданные функции, а bi — некоторые действительные числа. Задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. Если все функции f и gi, — линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций — нелинейная, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования. Линейное программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные, К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения. В общем виде задача линейного программирован (ЗЛП) ставится следующим образом: найти n

вектор X = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , максимизирующий линейную форму f ( X ) = ∑ c j x j → max , (1.1) j =1

и удовлетворяющий условиям: n

∑a j =1

ij

x j ≤ bi

(1.2)

x j ≥ 0, j = 1,..., n (1.3) Линейная функция f ( X ) называется целевой функцией задачи.

Условия (1.2) называются функциональными, а (1.3) — прямыми ограничениями задачи. Вектор X = ( x1 , x 2 ,..., x n ) , компоненты которого удовлетворяют функциональным и прямым ограничениям задачи, называется планом или допустимым решением ЗЛП. Все допустимые решения образуют область определения задачи линейного программирования, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее целевую функцию f ( X ) , называется оптимальным планом задачи: f ( X * ) = max f ( X ) , где X * = ( x1* , x 2* ,..., x n* ) оптимальное решение ЗЛП. На практике хорошо зарекомендовали себя следующие модели, относящиеся к оптимизационным: определения оптимальной производственной программы; оптимального смешивания компонентов; оптимального раскроя; оптимального размещения предприятий некоторой отрасли на определенной территории; формирования оптимального портфеля ценных бумаг; транспортной задачи. Приведем пример решения транспортной задачи в MathCAD. Пусть на трех складах - А1, А2, АЗ хранится однотипная продукция в количестве соответственно 310, 250, 280 единиц. Эту продукцию необходимо доставить потребителям В1, В2, В3 по их заказам: 220, 370, 250 единиц соответственно. Стоимость перевозки одной единицы груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения задается следующей матрицей: В1 А1 10 А2 6 АЗ 3

В2 8 5 4

В3 6 4 5

Пусть xij - количество заказа со склада i заказчику j Целевая функция, которую необходимо минимизировать имеет вид: f ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 , x31 , x32 , x33 ) := 10x11 + 8x12 + 6x13 + 6x21 + 5x22 + 4x23 + 3x31 + 4x32 + 5x33

Начальные приближения:

x11 := 0

x12 := 0

x32 := 0

x33 := 0

x13 := 0

x21 := 0

x22 := 0

x23 := 0

ограничения

Given x11 + x12 + x13

310

x11 + x21 + 31

x21 + x22 + x23

250

x12 + x22 + x32

370

x31 + x32 + x33

280

x13 + x23 + x33

250

x11 ≥ 0

x12 ≥ 0

x31 ≥ 0

x32 ≥ 0

x13 ≥ 0

x21 ≥ 0

220

x22 ≥ 0

x23 ≥ 0

x33 ≥ 0

ðåøåíèå := minimize( f , x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 , x31 , x32 , x33 ) ðåøåíèå

x31 := 0

T

= ( 0 60 250 189 61 0 31 249 0 )

ðåøåíèå Задача 1.1. На кондитерской фабрике Маленькая кондитерская фабрика должна закрыться на реконструкцию, поэтому надо реализовать оставшиеся запасы сырья, получив максимальную прибыль. Запасы и расход сырья для производства единицы продукции каждого вида, а также получаемая при этом прибыль представлены в таблице.

Кондитерские изделия Ресурсы

Ромашка

Ограничения, кг.

2

1,1

1411

0,1

0,1

0,2

149

0,4

0,6

1,3

0,05

815,5

0,2

0,3

0,3

0,7

0,5

466

0,7

0,1

0,9

1,5

0

1080

1

0,7

1,1

2

0,6

Ореховый звон

Райский вкус

0,8

0,5

1

0,2

0,1

0,3

Темный шоколад, кг/шт. Светлый шоколад, кг/шт. Сахар, кг/шт. Карамель, кг/шт. Орехи, кг/шт. Прибыль, тыс.р./шт

Батончик Белка

Определить оптимальный план выпуска продукции. Решение приведено в файле 1.1 mcd. Задача 1.2. Оптимальный план производства Фирма производит три модели электронных реле. Каждая модель требует две стадии сборки. Время (в мин), необходимоё для сборки на каждой стадии, приведено в таблице.

Продукт

Стадия 1

Стадия 2

Прибыль

Заказ, шт

Модель А

2,5

2,0

82,5

20

Модель В

1,8

1,6

70,0

20

Модель С

2,0

2,2

78,0

20

Ресурс

450

450

Оборудование на каждой стадии работает 7,5 час в день. Менеджер хочет максимизировать прибыль за следующие 5 рабочих дней. Модель А дает прибыль 82,5 руб. за шт.; модель В — 70,0 руб.; модель С — 78,0 руб. Фирма может продать все, что произведет, и, кроме того, у нее на следующую неделю есть оплаченный заказ на 60 шт. изделий (по 20 шт. устройства каждого типа). Каков должен быть оптимальный производственный план? Решение приведено в файле 1.2 mcd.

Задача 1.3. Максимизация прибыли универмага Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа — костюмы широкого потребления (из полиэстровых смесей, шерстяные, хлопковые). Четвертый тип — дорогие импортные модельные костюмы из различных Тканей. Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, объем затрат на рекламу и площади в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного костюма каждого типа представлены в таблице. Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов в день, 7 дней в неделю, два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник 100 х 60 м2. Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет 15 000 руб. Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?

Тип костюма Полиэстер Шерсть Хлопок Эластик

Прибыль, руб.

Время, час

Реклама, руб.

Площадь, м2

35 47 30 90

0,4 0,5 0,3 ],0

2 4 3 9

1,00 1,50 1,25 3,00

Решение приведено в файле 1.3 mcd.

Задача 1.4. Выбор оптимальных проектов для финансирования Управляющему банка были представлены 4 проекта, претендующие на получение кредита в банке. доступная наличность банка, потребности проектов и прибыль по ним приведены в таблице (тыс.$.). При оценке этих предложений следует принять во внимание потребность проектов в наличности и массу доступной наличности для соответствующих периодов. Какие проекты следует финансировать и какое количество наличности необходимо, если цель состоит в том, чтобы максимизировать прибыль?

Проект А В С

Период 1 Период 2 Период 3 Период 4 Прибыль 8 8 10 10 21 7 9 9 11 18 5 7 9 11 16

D Ресурс банка

9

8

7

6

22

25

38

30

17,5

Решение приведено в файле 1.4 mcd. Задача 1.5. Оптимальный план развития программных продуктов Компания «Корвет» производит и реализует программное обеспечение на CD-дисках. Компания оценивает возможность разработки шести новых программных приложений. В таблице представлена информация о затратах и ожидаемой прибыли от продажи приложений (в тыс.$). У «Корвета» 60 программистов. Фирма может выделить 3,5 млн.$. на разработку новых программных приложений. Затраты Число Приложение Чистая прибыль на развитие программистов П1 400 6 2000 П2 1100 18 3600 П3 940 20 4000 П4 760 16 3000 П5 1260 28 4400 Пб 1800 34 6200 Ресурсы 3500 60

Каков оптимальный набор приложений, которые следует развивать? Решение приведено в файле 1.5 mcd. Задача 1.6. Распределение рекламного бюджета Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств: телевидения, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов, которые проводились в прошлом, известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 у.е. в расчете на 1 у.е., затраченную на рекламу. Распределение рекламного бюджета по различным средствам подчинено следующим ограничениям: а) полный бюджет не должен превосходить 500 000 у.е; б) следует расходовать не более 40% бюджета на телевидение и не более 20% бюджета на афиши; в) вследствие привлекательности для подростков радио на него следует расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телевидение. Решение приведено в файле 1.6 mcd.

Задача 1.7. Оптимальный план выпуска молочной продукции Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана. На производство 1 т молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1,01; 1,01 и 9,45 т молока. При этом затраты рабочего времени при разливу 1 т молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино/час. На расфасовке 1 т сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 час. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136 т молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино/час, а автоматы по расфасовке сметаны — в течение 16,25 час. Прибыль от реализации 1 т молока, кефира и сметаны соответственно равна 30, 22 и 136 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока.

Требуется определить объемы выпуска молочной продукции, позволяющие получить наибольшую прибыль. Решение приведено в файле 1.7 mcd.

Задача 1.8. Максимизация прибыли мебельного комбината Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под Телевизоры. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. При этом запас древесно-стружечных плит, досок еловых и березовых 90, 30 и 14 м3 соответственно. Плановый фонд рабочего времени 16 800 чел./час. Исходя из необходимости выполнить план по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (и даже всем) показателям построить модель, на основе которой можно найти план производства, максимизирующий прибыль.

Показатели 3

Норма расхода материала, м : - древесностружечные плиты - доски еловые - доски березовые Трудоемкость, чел./ час Плановая себестоимость, руб. Оптовая цена предприятия, руб. Плановый ассортимент, шт.

трельяж 0,032 0,020 0,005 10,2 88,81 93,00 350 1

Изделия трюмо

тумбочка

0,031 0,020 0,005 7,5 63,98 67,00 290

0,038 0,008 0,006 5,8 29,60 30,00 1200

Решение приведено в файле 1.8 mcd.

Список использованной литературы. 1. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособи по решению задач. – М.: Вузовский учебник, 2004. – 144с. 2. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования. Специальность — 060500 Бухгалтерский учет, анализ и судит.