Решение тригонометрических уравнений: Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

Учебный центр «Резольвента» Доктор физико-математических наук, профессор

К. Л. САМАРОВ

РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Учебно-методическое пособие для подготовки к ЕГЭ по математике

© К. Л. Самаров, 2010 © ООО «Резольвента», 2010 Пример 1. Решить уравнение sin 2 x =

3 4

Решение. 1 k π   x = − 1 + πk , k ∈ Z sin x = ( )   3 π 6 2 2 sin x = ⇔  ⇔ ⇔ x = ± + πk , k ∈ Z 4 6  x = ( −1)k +1 π + πk , k ∈ Z sin x = − 1  2 6  Ответ. x = ±

π + πk , k ∈ Z 6

Пример 2. Решить уравнение x cos x − 4cos + 1 = 0 2 1

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 Решение. С помощью формулы «Косинус двойного угла» получаем: x x x cos x − 4cos + 1 = 0 ⇔ 2cos 2   − 1 − 4cos + 1 = 0 ⇔ 2 2 2 x x  x x ⇔ 2cos 2   − 4cos = 0 ⇔ cos 2   − 2cos = 0 ⇔ 2 2 2 2 x  x   ⇔  cos  ⋅  cos − 2  = 0 2  2  

Возникают два случая: x x π 1. cos = 0 ⇔ = + πk , k ∈ Z ⇔ x = π + 2πk , k ∈ Z 2 2 2 x 2. cos = 2. В этом случае уравнение решений не имеет. 2 Ответ. π + 2πk , k ∈ Z Пример 3. Решить уравнение 3sin 2 x − sin x = 2cos x − 3sin 2 x Решение. Воспользовавшись формулой «Синус двойного угла» и разложением на множители, получаем: 3sin 2 x − sin x = 2cos x − 3sin 2 x ⇔ sin x ( 3sin x − 1) = 2cos x − 6sin x cos x ⇔

⇔ sin x ( 3sin x − 1) = 2cos x (1 − 3sin x ) ⇔ sin x ( 3sin x − 1) − 2cos x (1 − 3sin x ) = 0 ⇔ Во ⇔ ( sin x − 2cos x )( 3sin x − 1) = 0

зникают два случая: 1. sin x − 2cos x = 0 ⇔ sin x = 2cos x ⇔ tg x = 2 ⇔ x = arctg 2 + πk , k ∈ Z 2. 3sin x − 1 = 0 ⇔ 3sin x = 1 ⇔ sin x =

1 1 k ⇔ x = ( −1) arcsin + πk , k ∈ Z 3 3

1 k Ответ. arctg 2 + πk , k ∈ Z ; ( −1) arcsin + πk , k ∈ Z 3 Пример 1. Решить уравнение

sin 2 x = 2 3 cos 2 x Решение. Воспользовавшись формулой «Синус двойного угла» и разложением на множители, получаем 2

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

(

)

sin 2 x = 2 3 cos 2 x ⇔ 2sin x cos x − 2 3 cos 2 x = 0 ⇔ cos x sin x − 3 cos x = 0

Возникают два случая: 1. sin x − 3 cos x = 0 ⇔ sin x = 3 cos x ⇔ tg x = 3 ⇔ x = 2. cos x = 0 ⇔ x =

Ответ.

π + πk , k ∈ Z 3

π + πk , k ∈ Z 2

π π + πk , k ∈ Z ; + πk , k ∈ Z 2 3

Пример 4. Решить уравнение cos x = 1 + sin x 1 − sin x Решение. Воспользовавшись формулой «Основное тригонометрическое тождество», получаем: cos x − (1 + sin x )(1 − sin x ) cos x cos x = 1 + sin x ⇔ − (1 + sin x ) = 0 ⇔ =0⇔ 1 − sin x 1 − sin x 1 − sin x cos x − (1 − sin 2 x ) cos x (1 − cos x ) cos x − cos 2 x ⇔ =0⇔ =0⇔ =0 1 − sin x 1 − sin x 1 − sin x Возникают два случая: cos x = 0 π 1.  ⇔ x = − + 2πk , k ∈ Z 2  sin x ≠ 1 2. 1 − cos x = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = 2πk , k ∈ Z π Ответ. − + 2πk , k ∈ Z ; 2πk , k ∈ Z 2 Пример 5. Решить уравнение sin 2 x = −2cos x 1 + sin x Решение. Основой решения задачи является разложение на множители:

3

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 sin 2 x 2sin x cos x = −2cos x ⇔ + 2cos x = 0 ⇔ 1 + sin x 1 + sin x 2sin x cos x + 2cos x (1 + sin x ) 2cos x ( sin x + 1 + sin x ) ⇔ =0⇔ =0⇔ 1 + sin x 1 + sin x 2cos x ( 2sin x + 1) ⇔ =0 1 + sin x

Возникают два случая:  cos x = 0 π 1.  ⇔ x = + 2πk , k ∈ Z 2 sin x ≠ −1

1  2sin x + 1 = 0 sin x = − 1 k +1 π 2.  ⇔ + πk , k ∈ Z 2 ⇔ sin x = − ⇔ x = ( −1) sin ≠ − 1 x 2 6   sin x ≠ −1 Ответ.

π k +1 π + 2πk , k ∈ Z ; ( −1) + πk , k ∈ Z 2 6

Пример 6. Решить уравнение 2cos x 11 1 = − sin 2 x sin 3 x + sin x 6 2 Решение. Решение задачи основывается на применении формулы «Сумма синусов», с помощью которой исходное уравнение сводится к квадратному уравнению относительно функции sin 2x . 2cos x 11 1 2cos x 11 1 = − sin 2 x ⇔ = − sin 2 x ⇔ sin 3 x + sin x 6 2 2sin 2 x cos x 6 2 11 1  1 = − sin 2 x 11 1  ⇔  sin 2 x 6 2 ⇔ 1 = sin 2 x − sin 2 2 x ⇔ 6 2  cos x ≠ 0 ⇔ 3sin 2 2 x − 11sin 2 x + 6 = 0 ⇔ ( sin 2 x )1,2 = =

11 ± 121 − 72 = 6

11 ± 7 2 ⇔ ( sin 2 x )1 = , ( sin 2 x )2 = 3 6 3

Возникают два случая: 1. 4

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 2 2 k ⇔ 2 x = ( −1) arcsin + πk , k ∈ Z ⇔ 3 3 1 2 πk k ⇔ x = ⋅ ( −1) ⋅ arcsin + , k ∈ Z 2 3 2

sin 2 x =

2.

sin 2 x = 3. В этом случае уравнение решений не имеет. Ответ.

1 2 πk k ⋅ ( −1) ⋅ arcsin + , k ∈ Z 2 3 2

Пример 7. Решить уравнение sin 2 x =

3 ( sin 3x − sin x ) 7

Решение. Решение задачи основывается на использовании формул «Синус двойного угла» и «Разность синусов»:

3 3 ( sin 3x − sin x ) ⇔ sin 2 x − ( sin 3x − sin x ) = 0 ⇔ 7 7 6  6  ⇔ sin 2 x − sin 2 x cos x = 0 ⇔ sin 2 x 1 − cos x  = 0 7  7 

sin 2 x =

Возникают два случая:

1. sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = πk , k ∈ Z ⇔ x =

πk ,k ∈ Z 2

6 7 2. 1 − cos x = 0 ⇔ cos x = . В этом случае уравнение решений не имеет. 7 6 Ответ.

πk ,k ∈ Z 2

Пример 8. Решить уравнение sin 3 x cos x − sin x cos3 x = sin 7 x + sin 5 x Решение. Решение задачи использует три формулы: «Синус разности», «Сумма синусов», «Разность синусов»: sin 3 x cos x − sin x cos3 x = sin 7 x + sin 5 x ⇔ sin 2 x = 2sin 6 x cos x ⇔ ⇔ 2sin x cos x − 2sin 6 x cos x = 0 ⇔ cos x ( sin x − sin 6 x ) = 0 ⇔ ⇔ −2cos x sin

5x 7x cos =0 2 2 5

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 Возникают три случая: 1. cos x = 0 ⇔ x =

π + πk , k ∈ Z 2

2. sin

5x 5x 2 =0⇔ = πk , k ∈ Z ⇔ x = πk , k ∈ Z 2 2 5

3. cos

7x 7x π π 2 =0⇔ = + πk , k ∈ Z ⇔ x = + πk , k ∈ Z 2 2 2 7 7

Ответ.

π + πk , k ∈ Z , 2

2 πk , k ∈ Z , 5

π 2 + πk , k ∈ Z 7 7

Пример 9. Решить уравнение cos 4 x + cos 2 x = cos12 x + cos10 x Решение. Воспользовавшись формулами «Сумма косинусов» и «Разность косинусов», получаем:

cos 4 x + cos 2 x = cos12 x + cos10 x ⇔ 2cos3 x cos x = 2cos11x cos x ⇔ ⇔ cos3 x cos x − cos11x cos x = 0 ⇔ cos x ( cos3 x − cos11x ) = 0 ⇔ ⇔ 2cos x sin 7 x sin 4 x = 0 Возникают три случая:

1. cos x = 0 ⇔ x =

π + πk , k ∈ Z 2

1 2. sin 7 x = 0 ⇔ 7 x = πk , k ∈ Z ⇔ x = πk , k ∈ Z 7 1 3. sin 4 x = 0 ⇔ 4 x = πk , k ∈ Z ⇔ x = πk , k ∈ Z 4 Ответ.

π + πk , k ∈ Z , 2

1 πk , k ∈ Z , 7

1 πk , k ∈ Z 4

Пример 10. Решить уравнение

sin x = sin 5 x Решение. Воспользуемся формулой «Разность синусов»:

sin x = sin 5 x ⇔ sin 5 x − sin x = 0 ⇔ 2sin 2 x cos3 x = 0 Возникают два случая:

1. 6

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 sin 2 x = 0 ⇔ 2 x = πk , k ∈ Z ⇔ x =

πk ,k ∈ Z 2

2. cos3 x = 0 ⇔ 3 x =

Ответ.

πk ,k ∈ Z; 2

π π 1 + πk , k ∈ Z ⇔ x = + πk , k ∈ Z 2 6 3 π 1 + πk , k ∈ Z 6 3

Пример 11. Решить уравнение tg3 x = tgx Решение. Решение задачи основано на использовании свойств функции

y = tgx : 1   x = πk , k ∈ Z   3 x = x + πk , k ∈ Z 2   π π   tg3 x = tgx ⇔  x ≠ + πn, n ∈ Z ⇔  x ≠ + πn, n ∈ Z ⇔ 2 2   π π 1   3 x ≠ 2 + πm, m ∈ Z  x ≠ 6 + 3 πm, m ∈ Z 1  x = πk , k ∈ Z 1   x = πk , k ∈ Z 2   2  π  1 ⇔  πk ≠ + πn, n ∈ Z ⇔  k ≠ 1 + 2n, n ∈ Z ⇔ x = πs, s ∈ Z 2  2 3k ≠ 1 + 2m, m ∈ Z π 1 1    2 πk ≠ 6 + 3 πm, m ∈ Z Ответ. πs, s ∈ Z Пример 12. Решить уравнение 1 − 6cos 2 x = 1 − 2sin 2 x

Решение. Решение задачи основывается на применении формулы «Косинус двойного угла», с помощью которой исходное уравнение сводится к квадратному уравнению относительно функции

cos 2x :

7

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 1 − 6cos 2 x = 1 − 2sin 2 x ⇔ 1 − 6cos 2 x = cos 2 x ⇔ ⇔ 6cos 2 x + cos 2 x − 1 = 0 ⇔ 6 ⇔

(

cos 2 x

)

1,2

=

(

cos 2 x

)

2

+ cos 2 x − 1 = 0 ⇔

−1 ± 1 + 24 −1 ± 5 = 12 12

Возникают два случая: 1. cos 2 x =

1 1 1 ⇔ cos 2 x = ⇔ 2 x = 2πk ± arccos , k ∈ Z ⇔ 3 9 9 1 1 ⇔ x = πk ± arccos , k ∈ Z 2 9

2.

1 cos 2 x = − . В этом случае уравнение решений не имеет. 2 1 1 Ответ. πk ± arccos , k ∈ Z 2 9 Пример 13. Решить уравнение 1 cos 2 x = − sin x 3

(1)

Решение. Воспользовавшись формулой «Косинус двойного угла», перепишем уравнение (1) в виде: 1 1 − 2sin 2 x = − sin x. 3

(2)

Если теперь совершить в уравнении (2) замену переменного по формуле: y = sin x, − 1 ≤ y ≤ 1,

(3)

то получается иррациональное уравнение 1 1 − 2 y 2 = − y. 3

(4)

Поскольку левая часть уравнения (4) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной, следовательно, переменная y также должна удовлетворять неравенству: 8

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 1 1 − y≥0⇔ y≤ . 3 3

Таким образом, переменная y должна быть заключена в пределах: 1 −1 ≤ y ≤ . 3

(5)

Далее получаем: 1 1 2 2 8 1 − 2 y2 = − y ⇒ 1 − 2 y2 = − y + y2 ⇒ 3y2 − y − = 0 ⇒ 3 9 3 3 9 ⇒ 27 y 2 − 6 y − 8 = 0 ⇒ y1,2 = ⇒ y1 =

36 2 = , 54 3

6 ± 36 + 864 6 ± 30 = ⇒ 54 54 24 4 y2 = − = − . 54 9

В силу (5) первый случай должен быть отброшен. Во втором случае получаем: 4 4 k +1 sin x = − ⇔ x = ( −1) arcsin + πk , k ∈ Z 9 9 Ответ.

( −1)

k +1

4 arcsin + πk , k ∈ Z 9

Пример 14. Решить уравнение

cos 2 x + 2 = 1 + 4cos x

(6)

Решение. Воспользовавшись формулой «Косинус двойного угла», перепишем уравнение (6) в виде: 2cos 2 x + 1 = 1 + 4cos x

(7)

Если теперь совершить в уравнении (7) замену переменной по формуле: y = cos x, − 1 ≤ y ≤ 1,

(8)

то получается иррациональное уравнение 2 y 2 + 1 = 1 + 4 y.

(9)

Поскольку левая часть уравнения (9) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной, следовательно, переменная y также должна удовлетворять неравенству: 9

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 1 1+ 4y ≥ 0 ⇔ y ≥ − . 4

Таким образом, переменная y должна быть заключена в пределах: 1 − ≤ y ≤ 1. 4

(10)

Далее получаем: 2 y 2 + 1 = 1 + 4 y ⇒ 2 y 2 + 1 = 1 + 8 y + 16 y 2 ⇒ 14 y 2 + 8 y = 0 ⇒ 4 ⇒ 7 y 2 + 4 y = 0 ⇒ y ( 7 y + 4 ) = 0 ⇒ y1 = − , y2 = 0. 7

В силу (10) первый случай должен быть отброшен. Во втором случае получаем: cos x = 0 ⇔ x =

Ответ.

π + πk , k ∈ Z 2

π + πk , k ∈ Z 2

Пример 15. Решить уравнение

6 + 3tgx = tgx 1 + 4ctgx Решение. В результате замены переменной

y = tgx, y > 0

(11)

уравнение преобразуется к виду 6 + 3y = y 1 +

4 y

Далее получаем:  4 4 ⇒ 6 + 3 y = y 2 1 +  ⇒ 6 + 3 y = y 2 + 4 y ⇒ y y  ⇒ y 2 + y − 6 = 0 ⇒ ( y + 3)( y − 2 ) = 0 ⇒ y1 = −3, y2 = 2.

6 + 3y = y 1 +

В силу (11) первый случай должен быть отброшен. Во втором случае получаем: tgx = 2 ⇔ x = arctg 2 + πk , k ∈ Z

Ответ. arctg 2 + πk , k ∈ Z 10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

Пример 16. Решить уравнение 15ctgx = 4sin x

Решение. Решение задачи основано на использовании свойств функции ctgx и применении «Основного тригонометрического тождества»: 15cos x 15cos x − 4sin 2 x 15ctgx = 4sin x ⇒ − 4sin x = 0 ⇒ =0⇒ sin x sin x 15cos x − 4 (1 − cos 2 x ) 4cos 2 x + 15cos x − 4 ⇒ =0⇒ =0⇒ sin x sin x   −15 ± 225 + 64 2 4cos x + 15cos x − 4 = 0 ( cos x )1,2 = ⇒ ⇒ ⇒ 4 x sin ≠ 0   sin x ≠ 0   −15 ± 17  1 ( cos x )1,2 = ⇒ ⇒ ( cos x )1 = −8, ( cos x )2 = 4 2  sin x ≠ 0

В первом случае уравнение решений не имеет. Во втором случае получаем: cos x =

1 π ⇔ x = 2 πk ± , k ∈ Z 2 3

π Ответ. 2 πk ± , k ∈ Z 3 Пример 17. Решить уравнение

1 5 2 ctgx + = 2 3cos x sin 2 x Решение. Решение задачи основано на использовании свойств функции ctgx и применении «Основного тригонометрического тождества».

11

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 1 5 2 1 cos x 5 2 ctgx + = ⇒ + = ⇒ 2 3cos x sin 2 x 2 sin x 3cos x 2sin x cos x 3 (1 − sin 2 x ) + 10sin x − 6 3cos 2 x + 10sin x − 6 ⇒ =0⇒ =0⇒ 6sin x cos x sin x cos x 3 − 3sin 2 x + 10sin x − 6 3sin 2 x − 10sin x + 3 ⇒ =0⇒ =0⇒ sin x cos x sin x cos x  10 ± 100 − 36 ( sin x )1,2 = 6  1 ⇒ sin x ≠ 0 ⇒ ( sin x )1 = 3, ( sin x )2 = 3  cos x ≠ 0  

В первом случае уравнение решений не имеет. Во втором случае получаем: sin x =

1 1 k ⇔ x = ( −1) arcsin +πk , k ∈ Z 3 3

1 k Ответ. ( −1) arcsin +πk , k ∈ Z 3 Пример 18. Решить уравнение 7 − tg2x = cos x 6 Решение. Решение задачи использует формулы «Синус двойного угла» и «Косинус двойного угла».

7 7 sin2 x 7sin2 x + 6cos xcos2 x − tg2x = cos x ⇔ − − cos x = 0 ⇔ =0⇔ 6 6 cos2 x cos2 x cos x ( 7sinx + 3cos2 x ) 14sinx cos x + 6cos xcos2 x ⇔ =0⇔ =0⇔ cos2 x cos2 x cos x ( 7sinx + 3 − 6sin 2 x ) cos x ( 6sin 2 x − 7sinx − 3) ⇔ =0⇔ =0 cos2 x cos2 x Возникают два случая:

1.  cos x = 0  cos x = 0 π ⇔ ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + πk , k ∈ Z  2 2 cos 2 x ≠ 0 2cos x − 1 ≠ 0 12

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 2.  6sin 2 x − 7sinx − 3 = 0 6sin 2 x − 7sinx − 3 = 0 ( sinx ) = 7 ± 49 + 72 1,2 ⇔ ⇔ ⇔  12 2 x ≠ cos2 0 2  1 − 2sin x ≠ 0  2sin x ≠ 1  4 1 7 ± 11  18 3   ( sinx )1,2 = ( sinx )1 = = ( sinx )2 = − = − ⇔ 12 3 12 ⇔  12 2 ∪  2 2 2  2sin x ≠ 1  2sin x ≠ 1  2sin x ≠ 1

В первом случае уравнение решений не имеет. Во втором случае получаем: 1  1 1 k +1 sinx = − 3 ⇔ sinx = − ⇔ x = ( −1) arcsin +πk , k ∈ Z  3 3 2sin 2 x ≠ 1 Ответ. ( −1)

k +1

1 arcsin +πk , k ∈ Z 3

Пример 19. Решить уравнение

(1 + cos x ) ctgx = 2sin 2 x Решение.

(1 + cos x ) ctgx = 2sin 2 x ⇔

(1 + cos x ) cosx − 4sin x cosx = 0 ⇔

cosx + cos 2 x − 4sin 2 x cosx ⇔ =0⇔ sin x ⇔

sin x cosx + cos 2 x − 4 (1 − cos 2 x ) cosx

4cos3 x + cos 2 x − 3cosx =0⇔ sin x

sin x cosx ( 4cos 2 x + cos x − 3 ) sin x

=0⇔

=0

Возникают два случая: cos x = 0 π 1.  ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + πk , k ∈ Z 2  sin x ≠ 0  4cos 2 x + cos x − 3 = 0 ( cos x ) = −1 ± 1 + 48 1,2 ⇔ ⇔  8 x ≠ sin 0   sin x ≠ 0  2. −1 ± 7 6 3   ( cos x )1 = −1 ( cos x )2 = = ( cos x )1,2 = ⇔ ∪ 8 ⇔ 8 4 sin x 0 ≠    sin x ≠ 0 sin x ≠ 0 13

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 Система cos x = −1   sin x ≠ 0

решений не имеет. Решением системы 3  cos x = 4   sin x ≠ 0

являются числа: 3 x = 2πk ± arccos , k ∈ Z 4 Ответ.

π 3 + πk , k ∈ Z ; 2πk ± arccos , k ∈ Z 2 4

Пример 20. Решить уравнение tgx − ctgx =

1 cos x

Решение. 1 sin x cos x 1 sin 2 x − cos 2 x − sin x tgx − ctgx = ⇔ − − =0⇔ =0⇔ cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin 2 x − (1 − sin 2 x ) − sin x 2sin 2 x − sin x − 1 ⇔ =0⇔ =0⇔ sin x cos x sin x cos x  1± 1+ 8 1± 3  sin x = sin x = ( ) ( ) 2  1,2 1,2  2sin x − sin x − 1 = 0 4 4    ⇔ sin x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 0 ⇔  sin x ≠ 0 ⇔    cos x ≠ 0 cos x ≠ 0 cos x ≠ 0      1  sin x = − ( ) 2 ( sin x )1 = 1  2   ⇔  sin x ≠ 0 ∪  sin x ≠ 0  cos x ≠ 0  cos x ≠ 0   

В первом случае система решений не имеет. Во втором случае получаем: 14

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 1  sin = − x  2  1 k +1 π + πk , k ∈ Z  sin x ≠ 0 ⇔ sin x = − ⇔ x = ( −1) 2 6  cos x ≠ 0   Ответ.

( −1)

k +1

π + πk , k ∈ Z 6

Следующие два примера решаются с помощью формул приведения. Пример 21. Решить уравнение π  cos  2 x −  = sin ( 4 x + 3π ) 2  Решение. π  cos  2 x −  = sin ( 4 x + 3π ) ⇔ sin 2 x = − sin 4 x ⇔ sin 2 x + sin 4 x = 0 ⇔ 2  ⇔ 2sin 3 x cos x = 0 ⇔ sin 3 x = 0 ∪ cos x = 0 ⇔ 1 π ⇔ x = πk , k ∈ Z , x = + πk , k ∈ Z 3 2 Ответ.

1 πk , k ∈ Z ; 3

π + πk , k ∈ Z 2

Пример 22. Решить уравнение 1 + cos x

 7π  = 4cos  − x  3π    4  cos  x −  2   1

Решение. Поскольку

3π   cos  x −  = − sin x, 2   π  7π     π  π  cos  − x  = cos  2π − − x  = cos  − − x  = cos  + x  = 4  4     4  4  π π 1 = cos cos x − sin sin x = ( cos x − sin x ) , 4 4 2 то исходное уравнение принимает вид

15

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 1 1 4 1 1 − = − − 2 2 ( cos x − sin x ) = 0 ⇔ ( cos x − sin x ) ⇔ cos x sin x cos x sin x 2 sin x − cos x 1   ⇔ + 2 2 ( sin x − cos x ) = 0 ⇔ ( sin x − cos x )  +2 2=0⇔ cos x sin x  cos x sin x   1 + 2 2 cos x sin x  ⇔ ( sin x − cos x )  =0 cos x sin x  

В результате возникают два случая. 1.

 sin x =1 sin x − cos x = 0 sin x = cos x π  ⇔ ⇔  cos x ⇔ tg x = 1 ⇔ x = + πk , k ∈ Z  4 sin x cos x ≠ 0 sin x cos x ≠ 0 sin x cos x ≠ 0  2. 1  1 + 2 2 cos x sin x 1 + 2 sin 2 x sin 2 x = − =0⇔ =0⇔ 2⇔ cos x sin x sin 2 x  sin 2 x ≠ 0  1 1 k +1 π k +1 π ⇔ sin 2 x = − ⇔ 2 x = ( −1) + πk , k ∈ Z ⇔ x = ( −1) + πk , k ∈ Z 4 8 2 2 Ответ.

π + πk , k ∈ Z ; 4

( −1)

k +1

π πk + , k ∈Z 8 2

Пример 23. Решить уравнение

cos x = cos x −

15 tgx 2

Решение. Рассмотрим, сначала, случай cos x > 0 . Тогда cos x = cos x и уравнение принимает вид  15  x = πk , k ∈ Z − tgx = 0 sin x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ 2 πn, n ∈ Z 2    cos x > 0 cos x > 0   cos x > 0 Теперь рассмотрим случай cos x < 0 . Тогда cos x = − cos x и исходное уравнение принимает вид

16

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 15 sin x 15   = 0 4cos 2 x − 15sin x = 0 − cos x = cos x − tgx 2cos x − ⇔ ⇔ ⇔ 2 cos x 2  cos x 0 <  cos x < 0 cos x < 0 2 2 4 (1 − sin x ) − 15sin x = 0 4 − 4sin x − 15sin x = 0 ⇔ ⇔ ⇔ cos x < 0 cos x 0 <    4sin 2 x + 15sin x − 4 = 0 ( sin x ) = −15 ± 225 + 64 1,2 ⇔ ⇔ ⇔ 8 cos x < 0  cos x < 0 

−15 ± 17 1   ( sin x )1,2 = ( sin x )1 = − 4 ( sin x )2 = ⇔ ⇔ ∪ 8 4 cos x < 0   cos x < 0 cos x < 0

Первая система решений не имеет. Во втором случае получаем 1  1 sin x = 4 ⇔ x = − arcsin + 2πk + π, k ∈ Z  4 cos x < 0

1 Ответ. − arcsin + 2πk + π, k ∈ Z 4 Пример 24. Решить уравнение 4 tgx = tgx + cos x 3

Решение. Рассмотрим, сначала, случай tgx ≥ 0 . Тогда tgx = tgx и уравнение принимает вид cos x = 0 ,

что невозможно, т.к. при этом не существует tgx Теперь рассмотрим случай tgx < 0 . Тогда tgx = − tgx и исходное уравнение принимает вид

17

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 4 4    sin x 2 + cos x = 0 − tgx = tgx + cos x 2tgx + cos x = 0  ⇔ ⇔  cos x 3 ⇔ 3 3   tgx < 0  tgx < 0  tgx < 0  3sin x + 2cos x = 0 3sin x + 2cos x = 0 3sin x = −2cos x  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ cos x < < tg x 0 tg x 0    tgx < 0 2  2 2  tgx = − ⇔ 3 ⇔ tgx = − ⇔ x = − arc tg + πk , k ∈ Z . 3 3  tgx < 0

2 Ответ. − arc tg + πk , k ∈ Z . 3

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Решить уравнения: 1.

2cos 2 x − 1 = 1 − 12cos 2 x

2.

2sin x 7 − = 2sin 2 x cos x − cos3 x 3

1 2

3.

3sin 2 x − 2 = 2cos x −

4.

ctgx + 12 = ctgx 1 + 2tgx 9 −1 sin x

5.

10ctg 2 x =

6.

8tgx = 3cos x

7.

3 = tg 2 x 2cos x

8.

4 = 4tgx + 3cos x cos x

9.

tgx +

13 4 = 6sin x sin 2 x

10. 5sin x =

6 − 6ctgx cos x

11. 7tg2x = 4sin x 18

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 12.

(1 + sin x ) tgx = 3sin 2 x

13. ctgx − tgx = 14. sin 2 x = 15. tg 2 x =

1 sin x

2 ( cos3x − cos x ) 7

1 3

16. cos 2 x =

1 2

17. ctg 2 x = 3 18. 5sin x + 2sin 2 x = 0 x 19. 4sin + cos x − 1 = 0 2 20. 3cos x + sin 2 x = 0 21. 2cos 2 x − cos x = sin x − sin 2 x 22. 6cos 2 x ⋅ cos x = 1 − 2sin 2 x 23. sin 2 x − 4sin 2 x = 2sin x − cos x 24. 5cos 2 x ⋅ sin x = 2cos 2 x − 1 25. cos x − sin x = 4cos 2 x − 2sin 2 x 26. 4sin 2 x + 4sin x = 2cos x + 1 27. 3sin 2 x + cos x = 6sin x + 1 5π   28. sin  3 x −  = sin ( 6 x − 3π ) 2   π π   29. sin 2 x = cos  + x  ⋅ sin  x −  6 2  

30. 31.

7π   3 cos 4  3 x +  = sin ( 8 x − 5π ) 2   1 + sin x

5π   = 4sin  x +  3π  4    sin  x −  2   1

19

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10 π  32. sin ( 2 x − 7π ) = 3 sin  − x  2  5π   π  33. cos  2 x +  = cos x ⋅ sin  + x  2   3  34. sin x = sin x −

16 ctgx 3

4 35. ctgx = ctgx − sin x 3 36. sin 2 x cos8 x + cos 2 x sin 8 x = sin 7 x − sin 3 x 37. cos5 x − cos x = cos12 x − cos8 x 38. sin 2 x = 3 sin x

39. sin 2 x = 2 cos x 40. sin 2 x = 2 − 2cos 2 x 41. ctg3 x = ctg5 x 42. cos 2 x = cos6 x 43.

sin x = 1 − cos x 1 + cos x

44.

sin 2 x = 2sin x 1 − cos x

45.

4cos 2 x − 3 = 4sin x − 1

46.

cos 2 x = 1 + 2sin x

47.

3sin 2 x − 2 = 3cos x − 1

20

ООО «Резольвента», www.resolventa.ru , [email protected], (495) 509-28-10