Измерение энергии бета-распада методом поглощения: Методические указания к лабораторной работе

www.phys.nsu.ru 5. РАДИОАКТИВНОСТЬ Лабораторная работа 5.2

А. Р. Нестеренко, И. Н. Нестеренко Измерение энергии β-распада методом поглощения Цель работы: измерение максимальной энергии электронов, испускаемых при бета-распаде, и определение используемого в работе радиоактивного источника; изучение взаимодействия электронов с веществом; сравнение с помощью критерия χ2 полученных экспериментальных данных с эмпирической экспоненциальной зависимостью. Бета-излучение радиоактивных веществ и методы определения максимальной энергии. Бета-распадом является процесс самопроизвольного (спонтанного) превращения ядра в ядроизобар, т. е. ядро с тем же атомным весом, но зарядом, отличным на ∆Z = ±1 за счет испускания электрона (позитрона). Бета-распад является проявлением фундаментального слабого взаимодействия элементарных частиц. Согласно современным представлениям бета-распад обусловлен превраще-

www.phys.nsu.ru ниями кварков друг в друга. При бета-распаде с испусканием электрона один из d-кварков нуклона превращается в u-кварк, при этом нейтрон в составе ядра превращается в протон. При испускании

позитрона происходит обратное превращение. В случае, когда для соседних изобаров масса исходного ядра M(A,Z) больше массы M(A,Z±1) конечного ядра, так что М(A,Z) > М(A,Z±1) + me + mν , (me –

масса электрона (позитрона), mν – антинейтрино (нейтрино)), ядро ZXA неустойчиво по отношению к бета-распаду:

Z

XA →

Y A + e + ve ,

Z +1

Z

XA →

Y A + e + ve .

Z −1

Всегда когда энергетически выгоден бета-распад с испусканием позитрона, возможен так называемый захват электрона с К-оболочки атома – К-захват:

Z

XA +e→

Y A +ν e

Z −1

Простейший пример электронного бета-распада – распад свободного нейтрона с периодом полураспада 918 ± 14 (сек): п → р + е+ ν e на р – протон, е – электрон и ν e – антинейтрино. По данным 2002 г., на массу нейтрино установлен предел m v < 3 эВ. Характерной особенностью бета-распада является то, что электроны и позитроны, испускаемые атомными ядрами радиоактивного вещества, имеют всевозможные значения кинетической энергии от 0 до некоторой, вполне определенной максимальной энергии Еmax (граничной энергии бета-спектра). Значения Еmax для бета-частиц различных радиоактивных веществ сильно отличаются (см. табл. 1).

www.phys.nsu.ru 147

www.phys.nsu.ru Примерный энергетический спектр электронов бета- распада показан на рис. 1. Здесь dN / dE – число

бета-частиц в единичном интервале кинетической энергии Е, Pe,v,я – импульс электрона (позитрона),

антинейтрино (нейтрино) и ядра соответственно. Импульсные диаграммы распадов, соответствующие разным участкам энергетического спектра электронов, приведены под рисунком. Поскольку

электронный (позитронный) бета-распад – процесс трехчастный то, согласно закону сохранения импульса, P e + PЯ + Pν = 0 .

Энергетический баланс бета-распада может быть записан в виде

∆Eβ = [ M ( A, Z ) − M ( A, Z + 1)]c 2 = Ee + Ev + E я + me c 2 + mv c 2 , где Ее, Eν и Ея – кинетические энергии электрона, антинейтрино и ядра отдачи. Если пренебречь ма-

∆Eβ = Emax + me c 2 + mν c 2 . лой величиной Ея, то справедливо приближенное равенство Это соотношение может быть использовано для оценки массы антинейтрино. Таким образом, для определения энергии бета-распада необходимо измерение максимальной энергии Еmax. Наиболее точно энергию бета-частиц можно определить с помощью магнитного или полупровод-

www.phys.nsu.ru 2

3

1 Е макс

Pν~e (ν e )

Pν e (ν e )

e

Pß

( )

P− e

E

+

Pß

P

e−

(e )

Pß

+

Pß

Рис. 1. Энергетический спектр электронов (позитронов), образующихся при бета-распаде

никового спектрометра. Наиболее простым методом определения максимальной энергии является метод поглощения. Взаимодействие электронов с веществом Проходя через вещество, электроны теряют энергию и отклоняются от своего первоначального направления, т. е. рассеиваются. Если в процессе рассеяния частиц сохраняется их кинетическая

www.phys.nsu.ru 148

www.phys.nsu.ru энергия, то такое рассеяние называется упругим, а любое другое – неупругим. При неупругих столк-

новениях электронов с атомами возможно их возбуждение или ионизация. Следует различать неупругое взаимодействие электронов с атомными ядрами и с атомными электронами, хотя эти два вида

взаимодействия происходят одновременно. Упругое рассеяние электронов, проходящих вещество, можно грубо разделить на три класса: однократное; многократное; диффузия. В случае малой толщины вещества t<<1 / σN имеет место однократное рассеяние. Здесь N – число рассеивающих атомов в см3, а σ – полное эффективное сечение рассеяния. При увеличении толщины вещества t роль рассеяния возрастает, а угловое распределение относительно первоначального направления описывается кривой распределения Гаусса, характерной для многократного рассеяния. Вероятность вылета электрона под углом θ в интервале от θ до θ+dθ

⎛ θ2 ⎞ P(θ )dθ = (θ / θ ) × exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟dθ . ⎝ θ ⎠ 2

Угол наиболее вероятного отклонения можно оценить из формулы 2

〈θ 〉1/ 2 ( рад) = 21, 2 /( p β c) МэВ × (t / t0 )1/ 2 ,

www.phys.nsu.ru где Р – импульс частицы, с – скорость света, to – радиационная длина (для Al t0 = 24 г/см2); t – толщи-

на поглотителя.

После достаточного числа актов рассеяния угловое распределение становится настолько диффузным, что уже не существует какого-либо преимущественного направления, и перемещение электронов можно рассматривать как диффузию. Рассеяние электронов в кулоновском поле ядра, сопровождаемое испусканием γ-квантов с непрерывным спектральным распределением, является неупругим, а рождаемое в этом процессе излучение называется тормозным. Потери энергии заряженной частицы на тормозное излучение называются радиационными. Для энергий электрона тс2 <<E<< 137 mc2z–1/3 радиационные потери на единице пути равны: 2

⎛ e2 ⎞ Z ( Z + 1) ⎛ dE ⎞ ⎛ 2E ⎞ = 4 N ⎜⎜ 2 ⎟⎟ × E × −⎜ × ln⎜ 2 ⎟, ⎟ 137 ⎝ dx ⎠ ðàä ⎝ mc ⎠ ⎝ mc ⎠ где Z – заряд ядра; е2 / тс2 = re = 2,8 ·10–13 см – классический радиус электрона. Расстояние t0, на котором энергия электрона уменьшается в е раз из-за радиационных потерь, называется радиационной длиной. Взаимодействие частицы с электронами атома приводит к передаче ему некоторой доли энергии, следствием чего является либо вылет электрона из атома (ионизация), либо переход электрона в более высокое энергетическое состояние (возбуждение атома). Такие потери энергии заряженной частицы называются ионизационными. Выражение для ионизационных потерь энергии электроном имеет вид:

www.phys.nsu.ru 149

www.phys.nsu.ru ) ) ( ( 4π e 4 N ⎧⎪ mυ 2 ⎛ dE ⎞ −⎜ = × T − 2 1 − β 2 − 1 + β 2 ln 2 + 1 − β 2 + 1/ 8 × 1 − 1 − β 2 Z ln ⎨ ⎟ 2 2 2 mυ ⎝ dx ⎠èî í ⎪⎩ 2 I (1 − β )

⎫⎪ ⎬, ⎪⎭

где v – скорость падающего электрона; m, е – его масса и заряд; Ī – средний потенциал ионизации атома; T – кинетическая энергия падающего электрона, β = v

c.

Сравнивания радиационные потери с потерями энергии на ионизацию, получим

⎛ dE ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ dx ⎠ рад

≈ TZ , dE 800 dx ион где T – энергия электрона в МэВ. Энергия электрона, при которой потери энергии на излучение равны потерям энергии за счет ионизации, называется критической энергией. Так, для Al (Z = 13) критическая энергия ~ 60 МэВ. При меньших энергиях электронов ионизационные потери становятся определяющими. Точный теоретический анализ явлений, сопровождающих прохождение электронов через толстые слои вещества, оказывается весьма сложным вследствие наложения процессов многократного рассеяния и потери энергии. Число электронов, прошедших через фольгу, есть монотонно убывающая функция ее толщины. Кривые поглощения для бета-частиц сильно отличаются по форме от кривых поглощения для моноэнергитичных электронов. Быстрое спадание кривой поглощения для бета-частиц объясняется тем, что в пучке имеются частицы с малыми энергиями, которые поглощаются весьма сильно. Непрерывное энергетическое распределение бета-частиц, испускаемых радиоактивным источником, и рассеяние электронов при прохождении через вещество приводят к тому, что ослабление пучка бета-частиц, идущих от источника к детектору излучения, носит характер, близкий к экспоненциальному закону

www.phys.nsu.ru N (t ) = N (0) ⋅ e − ( µ

ρ )⋅t

,

где µ/ρ [см2/г] – массовый коэффициент поглощения; t [г/см2] – толщина поглотителя (плотность

Рис. 2. Типичная кривая поглощения для бета-частиц в полулогарифмическом масштабе

www.phys.nsu.ru 150

www.phys.nsu.ru алюминия ρAl = 2,69 г/см3). Типичные кривые поглощения бета-излучения приведены на рис. 2. Для определения максимального пробега целесообразно построить кривую поглощения в полулогарифмическом масштабе. В случае отсутствия γ-излучения метод поглощения имеет относительно небольшую погрешность (~ 5 %) в определении максимальной энергии и является пригодным в случае наложения друг на друга двух бета-спектров, т. е. позволяет определить максимальную энергию каждого из них. Предельная толщина фольги, практически полностью задерживающая падающие электроны, характеризует максимальный пробег электронов. Этот пробег определяется по кривым поглощения. На рис.3 приведена эмпирическая зависимость максимального пробега tmax от максимальной энергии Еmax бета-спектра, предложенная Фламмерсфельдом для диапазона 0 < Еmax< 3 МэВ. 2 E max [МэВ ] ≈ 1,92 ⋅ t max + 0,22 ⋅ t max .

www.phys.nsu.ru [

]

)

(

2 t max г / см 2 ≈ 0,11 1 + 22,4 × E max −1,

Рис. 3. Эмпирическая зависимость максимального пробега tmax от максимальной энергии Еmax бета-частиц

Выполнение работы Система регистрации и компьютерной обработки данных

www.phys.nsu.ru 151

www.phys.nsu.ru Блок-схема системы регистрации бета-частиц представлена на рис. 4. Бета-частицы, прошедшие

слои поглощающего вещества, попадают в сцинтиллятор, в нашем случае это кристалл NaI. Этот прозрачный кристалл обладает важным свойством преобразовывать энергию, потерянную частицей

при прохождении кристалла, во вспышку света с длительностью порядка 20 нсек. Свет от вспышки попадает на фотокатод ФЭУ. Здесь кванты света выбивают фотоэлектроны, которые, размножаясь на динодной системе ФЭУ, порождают огромный поток вторичных электронов. При этом заряд на аноде ФЭУ пропорционален интенсивности световой вспышки.

www.phys.nsu.ru Рис. 4. Блок-схема системы регистрации β-частиц

Сигнал с анода передается по высокочастотному кабелю на вход дискриминатора. В этом блоке сигналы с амплитудой, превышающей некоторое пороговое значение (шумы ФЭУ), преобразуются в импульсы стандартного вида, а именно прямоугольный сигнал с отрицательной амплитудой около – 0,4 В. Предварительное преобразование сигналов необходимо для того, чтобы мог правильно работать счетчик стандартных импульсов C0601. Этот счетчик определяет количество стандартных импульсов, поступивших с дискриминатора за определенный промежуток времени. Информация о количестве поступивших импульсов считывается со счетчика в компьютер через крейт-контроллер К0607 и плату последовательной связи ППИ-4 с КАМАК-крейтом. Вся эта аппаратура разработана и произведена в Институте Ядерной Физики СО РАН. Программа beta.exe, работающая с описанной системой регистрации, состоит из двух частей и находится c:\beta\. В первой (диалоговой) части необходимо ответить на контрольные вопросы по лабораторной работе. Эти вопросы не сложные, но в то же время для ответа на них необходимо ознакомиться с описанием лабораторной работы. Помимо контрольных вопросов, в диалоговой части содержится информация о том, как правильно проводить измерения. Вторая часть программы –

www.phys.nsu.ru собственно проведение эксперимента. На этом этапе работы производится измерение количества 152

www.phys.nsu.ru частиц,

прошедших

поглотитель

разной

толщины.

Прежде

чем

переходить

к

набору

экспериментальных данных, необходимо подобрать длительность времени счета, согласно

объяснениям, содержащимся в диалоговой части программы. После набора и сохранения, экспериментальные данные обрабатываются, при помощи программы MCAD. Файл по обработке данных beta.mcd уже написан, и необходимо им только воспользоваться. Порядок выполнения работы

1. Включите компьютер, КАМАК-крейт, осциллограф и прибор Бета-микрометр2. 2. Убедитесь, что на экране осциллографа виден прямоугольный сигнал отрицательной полярности с амплитудой около –0,4 В. В этот момент в рабочем зазоре не должно быть поглощающих фольг. 3. Наберите поглотитель из алюминиевой фольги толщиной 10 мкм (14 шт.), затем из фольги толщиной около 140 мкм (25 шт.). Для измерения реальной толщины фольги используйте микрометр с ценой деления 0,01 мм. 4. Загрузите программу beta.exe из директории c:\beta\ и следуйте инструкциям программы. 5. По окончании набора данных необходимо их сохранить на диск. Данные сохраняются в файл beta.dat, а их обработка производится с помощью программы MCAD и командного файла beta.mcd 6. После завершения обработки данных распечатайте результаты.

www.phys.nsu.ru 7. Выключите питание всех использованных в работе приборов.

www.phys.nsu.ru 153

www.phys.nsu.ru Таблица 1. Некоторые радиоактивные изотопы

Массовое число

Изотоп

А

Период полураспада,

Распад

лет

тип

энергия, МэВ

3

Н

12,262

β¯

0,018

22

Na

2,62

β+ (90,6 %)

0,545

Захват е- (9,4 %)

1,820 (0,05 %)

β¯

0,314 (99 %)

60

Со

5,263

1,48 (0,12 %) 85

Кг

90

Sr

90

Y

146 190 204

Sm Pt Tl

10,73 27,7

0,647

¯

0,546

¯

β

2,274

α

2,5

α

3,2

β

64,04 час 6 ·10

β¯

7

8,3·10

11

¯

4

β (97,9 %)

0,766

-

Захват е (2,1 %)

www.phys.nsu.ru 208

Po

2,93

α

5,109 (~100 %) 4,734 (~0,1 %)

239

Pu

2,437 · 10 4

α

5,150 (69 %) 5,137 (20 %) 5,099 (11 %)

243

Am

8,4 · 103

α

5,169 (1,1 %) 5,224 (11,5 %) 5,267 (87,1 %) 5,309 (0,16 %)

Библиографический список

1.

Мухин К. Н. Экспериментальная ядерная физика М.: Энергоиздат, 1983. Т. 1.

2.

Мурзин В. С. Физика космических лучей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1970.

3.

Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий. М.: Мир, 1975. С. 37–52.

4.

Худсон Д. Статистика для физиков: Пер. с англ. М.: Мир, 1976.

5.

Шиллинг Г. Статистическая физика в примерах. М.: Мир, 1976. С. 49–53.

www.phys.nsu.ru 154

www.phys.nsu.ru Приложение. Текст файла beta.mcd

________________________________________________________________________________

Ýòî êîìàíäíûé ôàéë äëÿ îáðàáîòêè äàííûõ, ïîëó÷åííûõ ïðè âûïîëíåíèè ðàáîòû "Èçìåðåíèå ýíåðãèè áåòà-ðàñïàäà ìåòîäîì ïîãëîùåíèÿ"

i := 0 .. 100

M := READPRN( "beta.dat")

m := rows( M)

f := m − 1

〈0〉 t := M

f = 39

i := 0 .. f

-÷èñëî èçìåðåíèé, ò. å.

Òîëùèíà ïîãëîòèòåëÿ â ìì

〈1〉 N := M Sigmai :=

×òåíèå ôàéëà beta.dat

Ñðåäíåå êîëè÷åñòâî çàðåãèñòðèðîâàííûõ ÷àñòèö Ni Âåëè÷èíà ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ

3

www.phys.nsu.ru N2i := Ni + Sigmai

N1i := Ni − Sigmai

Êðèâàÿ ïîãëîùåíèÿ

4

1 .10

3

1 .10

N2i N1i Ni

100

10

1

0

0.5

1

1.5

2 ti ìì

2.5

3

3.5

4

www.phys.nsu.ru 155

www.phys.nsu.ru Îæèäàåìàÿ çàâèñèìîñòü â ïîëóëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå - ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Íåñêîëüêî òî÷åê ïðè ìàêñèìàëüíîé òîëùèíå ïîãëîòèòåëÿ áëèçêè ê ôîíó. Êðèâàÿ ïîãëîùåíèÿ ñîñòîèò èç äâóõ ïðÿìîëèíåéíûõ ó÷àñòêîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èñòî÷íèê èçëó÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñìåüþ äâóõ ðàäèîàêòèâíûõ èçîòîïîâ ñ ðàçíûìè ìàêñèìàëüíûìè ýíåðãèÿìè ðàñïàäà. Âûäåëèì ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê ïðè áîëüøèõ òîëùèíàõ ïîãëîòèòåëÿ: îò

k1 := 14

tk1 = 1.68

Nk1 = 201

äî

k2 := 20

tk2 = 0.84

Nk2 = 612

Ýòîò ó÷àñòîê ñîäåðæèò

km := k2 − k1 + 1

Ôîíîâûé ñ÷åò ðàâåí :

Nf := N0

⎛ Nk+k1 ⎞ ⎝ Nf ⎠

Y1k := ln⎜

km = 7

ò. å.

k := 0 .. km − 1

Nf = 2

t1k := tk+k1

Îïðåäåëèì ïàðàìåòðû ïðÿìîé, íàèëó÷øèì îáðàçîì àïðîêñèìèðóþùåé ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé, ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Ñóììà êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê îò ïðÿìîé, ïîñòðîåííîé ýòèì ìåòîäîì, ìèíèìàëüíà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ïàðàìåòðû òàêîé ïðÿìîé, íóæíî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé: d W ( K , C) := 0 dk

d W ( K , C) := 0 dc

W := , £¤¥

∑ ⎡⎣Yl − ( K ⋅tl + C)⎤⎦

2

l

 ñëó÷àå íåëèíåéíîé ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè ñèñòåìà óðàâíåíèé ðåøàåòñÿ ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè. Äëÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâ ïðÿìîé:

www.phys.nsu.ru At1 :=

1 ⋅ km

∑ t1k

AY1 :=

k

1 ⋅ km

∑ Y1k k

∑ ( Y1k − AY1) ⋅( t1k − At1)

K1 :=

k

2 ∑ ( t1k − At1)

- óãîë íàêëîíà ïðÿìîé

k

C1 := AY1 − K1 ⋅At1

K1 = −1.267

-ñìåùåíèå ýòîé ïðÿìîé.

C1 = 6.778

K1 ⋅t+C1

N1th( t) := Nf ⋅e

- êîëè÷åñòâî ÷àñòèö, ïðîøåäøèõ ÷åðåç ïîãëîòèòåëü ñ òîëùèíîé t îò èçîòîïà ñ áîëüøåé ýíåðãèåé ðàñïàäà

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ìàëîé òîëùèíå ïîãëîòèòåëÿ ðåãèñòðèðóþòñÿ ÷àñòèöû îò îáîèõ èçîòîïîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû îïðåäåëèòü êîëè÷åñòâî ÷àñòèö îò èçîòîïà ñ ìåíüøåé ýíåðãèåé ðàñïàäà, íåîáõîäèìî âû÷åñòü N1 th(t)

Âòîðîé ïðÿìîëèíåéíûé ó÷àñòîê

ñîäåðæèò l := 0 .. lm − 1

îò

l1 := 30

tl1 = 0.09

Nl1 = 2010

äî

l2 := 37

tl2 = 0.02

Nl2 = 2561

lm := l2 − l1 + 1

lm = 8

t2l := tl+l1

Y2l := ln⎜

òî÷åê

⎛ Nl+l1 − N1th( tl+l1) ⎞ Nf ⎝ ⎠

N2ei := Ni − N1th( ti)

www.phys.nsu.ru 156

www.phys.nsu.ru Îïðåäåëÿåì ïàðàìåòðû âòîðîé ïðÿìîé:

At2 :=

1 ⋅ lm

∑

AY2 :=

t2l

l

1 ⋅ lm

∑

∑ ( Y2l − AY2) ⋅( t2l − At2)

Y2l

K2 :=

l

l

∑ ( t2l − At2)

2

l

C2 := AY2 − K2 ⋅At2

K2 = −9.038

K2 ⋅t+C2

N2th( t) := Nf ⋅e

C2 = 6.224

- êîëè÷åñòâî ÷àñòèö, ïðîøåäøèõ ÷åðåç ïîãëîòèòåëü ñ òîëùèíîé t îò èçîòîïà ñ ìåíüøåé ýíåðãèåé ðàñïàäà

Ýêñïåðèìåíòàëüíûå òî÷êè è ðåçóëüòàòû ïîäãîíêè: 4

1 .10

3

1 .10

Ni 100

N1th ( ti)

www.phys.nsu.ru 10

1

0

1

2

3

4

ti

lf := f − lm.. f 3

1 .10

N2th ( ti) N2elf

100

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

ti , tlf

www.phys.nsu.ru 157

www.phys.nsu.ru 2:

Ìàêñèìàëüíûå ïðîáåãè â ã/ñì

T1 := −2.69 ⋅10

− 1 C1

⋅

T2 := −2.69 ⋅10

T1 = 1.439

K1

− 1 C2

⋅

K2

T2 = 0.185

Ýìïèðè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü, ïîëó÷åííàÿ Ôëàììåðñôåëüäîì äëÿ ìàêñèìàëüíîé ýíåðãèè áåòà-ðàñïàäà â çàâèñèìîñòè îò ìàêñèìàëüíîãî ïðîáåãà, äëÿ îáëàñòè ýíåðãèè 0 < Åìàõ < 3 Ìý 2

EFmax( t) := 1.92 ⋅ t + 0.22 ⋅t

(ÌýÂ)

Àíàëîãè÷íàÿ çàâèñèìîñòü, ïðåäëîæåííàÿ Áëåéëåðîì è Öþíòè äëÿ 1.2 < Å ìàõ < 2.3 ÌýÂ

EBmax( t) := 1.751 ⋅t + 0.282

(ÌýÂ)

EFmax( T1) = 2.97

EFmax( T2) = 0.53

EBmax( T1) = 2.8

EBmax( T2) = 0.61

Òåïåðü ïðîâåðèì, íàñêîëüêî ñòàòèñòè÷åñêè çíà÷èìà ïðåäëîæåííàÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçóåì êðèòåðèé õè-êâàäðàò:

www.phys.nsu.ru hi1 :=

∑

⎛ Nk+k1 − N1th( tk+k1) ⎞ ⎜ Sigmak+k1 ⎝ ⎠

∑

⎛ Nl+l1 − N1th( tl+l1) − N2th( tl+l1) ⎞ ⎜ Sigmal+l1 ⎝ ⎠

k

hi2 :=

l

f1 := km − 2

f1 = 5

2

hi1 = 5.6

2

f2 := lm − 2

hi2 = 0.8

f2 = 6

Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè õè-êâàäðàò ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä: 1

phi( hi, f ) := 2

0.5⋅f

0.5⋅f −1 − ( 0.5⋅hi)

⋅hi

⋅e

⋅Γ ( 0.5 ⋅f )

Óðîâåíü äîñòîâåðíîñòè âûáðàííîé íàìè ãèïîòåçû, ÷òî çàâèñèìîñòü ëèíåéíàÿ: hi1

⌠ 1−⎮ ⌡0

hi2

phi( x , f1) dx = 0.35

⌠ 1−⎮ ⌡0

phi( x , f2) dx = 0.99

www.phys.nsu.ru 158