Классические ортогональные полиномы: Методическое пособие к курсу ''Методы математической физики''

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÊÀÇÀÍÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ

Á À Ë À Ê È Í À.Á. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÏÎËÈÍÎÌÛ

ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎÑÎÁÈÅ Ê ÊÓÐÑÓ ÌÅÒÎÄÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ. ÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

Êàçàíü - 2003 1

ÓÄÊ 517.5 ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÏÎËÈÍÎÌÛ. ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎÑÎÁÈÅ Ê ÊÓÐÑÓ ÌÅÒÎÄÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ. ÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ. ÊÀÇÀÍÜ. 2003. 58 ñ.

ÀÂÒÎÐ: ÁÀËÀÊÈÍ À.Á., äîêòîð ôèçèêî - ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, çàâåäóþùèé êàôåäðîé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè è ãðàâèòàöèè ÊÃÓ. Áèáëèîãðàôèÿ: 13 íàèìåíîâàíèé. Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ Ðåäàêöèîííî - èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Êàçàíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.

ÎÒÂÅÒÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ: ÌÀËÊÈÍ Á.Ç., äîêòîð ôèçèêî - ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ÊÃÓ.

ÐÅÖÅÍÇÅÍÒ: ÎÁÍÎÑΠÞ.Â., äîêòîð ôèçèêî - ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ÊÃÓ. Êàçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. 2003 ã.

2

Ïðåäèñëîâèå àâòîðà Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà, áóäó÷è îäíèì èç êëþ÷åâûõ ýëåìåíòîâ îáùåîáðàçîâàòåëüíîé ïðîãðàììû ñòóäåíòîâ - ôèçèêîâ, çàíèìàåò íåïîäîáàþùå ñêðîìíîå ìåñòî â ó÷åáíîì ïëàíå àóäèòîðíûõ çàíÿòèé íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå. Ìåæäó òåì, áåç çíàíèÿ îñíîâ òàêîãî ðàçäåëà êóðñà ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, êàê òåîðèÿ ñïåöèàëüíûõ ôóíê-

öèé, íåâîçìîæíî îâëàäåòü äèñöèïëèíàìè, ñîñòàâëÿþùèìè êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè.  íàèáîëüøåé ñòåïåíè ýòî îòíîñèòñÿ ê êóðñó êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ðàáîòà íàä êîòîðûì òðåáóåò óãëóáëåííîãî ñàìîñòîÿòåëüíîãî èçó÷åíèÿ ñòóäåíòîì òåîðèè ñïåöèàëüíûõ ôóíêöèé è, â ÷àñòíîñòè, åå ðàçäåëà - òåîðèè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Òåì, êòî óæå çíàêîì ñ òåîðèåé îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, äîñòàâëÿåò áîëüøîå óäîâîëüñòâèå îáðàùàòüñÿ ê ñòàâøèì êëàññè÷åñêèìè ìîíîãðàôèÿì Ã. Áåéòìåíà è À. Ýðäåéè [1,2], Ã. Ñåãå [3], Ä. Äæåêñîíà [4], Ï.Ê. Ñóåòèíà [5], Í.Í. Ëåáåäåâà [6], à òàêæå ó÷åáíèêàì À.Í. Òèõîíîâà è À.À. Ñàìàðñêîãî [7], Í.Ñ. Êîøëÿêîâà, Ý.Á. Ãëèíåðà è Ì.Ì. Ñìèðíîâà [8], Ë.È. ×èáðèêîâîé [9], êîòîðûå ñîäåðæàò èñ÷åðïûâàþùèé îáúåì èíôîðìàöèè î êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ. Îäíàêî, îñíîâûâàÿñü íà ñîáñòâåííîì îïûòå ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àâòîð ñ÷èòàåò, ÷òî ñòóäåíòàì - ôèçèêàì êðàéíå ïîëåçíî íà÷àòü èçó÷åíèå ýòîãî ïðåäìåòà ñ êðàòêîãî ââåäåíèÿ â òåîðèþ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, êîòîðîå, ñ îäíîé ñòîðîíû, íå îòÿãîùåíî èçëèøíåé äåòàëèçàöèåé èõ ñâîéñòâ, à ñ äðóãîé ñòîðîíû ñîäåðæèò âñå ñàìûå âàæíûå è ïðèíöèïèàëüíûå ìîìåíòû òåîðèè. Ê ïîñëåäíèì àâòîð ñêëîíåí îòíåñòè êëàññèôèêàöèþ è ÷åòûðå ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Íåîáõîäèìîñòü èçó÷åíèÿ

êëàññèôèêàöèè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî â áàçîâîì ëåêöèîííîì êóðñå ñòóäåíòû ïîäðîáíî çíàêîìÿòñÿ òîëüêî ñ ïîëèíîìàìè Ëåæàíäðà è âïîñëåäñòâèè íå îñîçíàþò, êàêîâî èñòèííîå 3

ìåñòî ïîëèíîìîâ ýòîãî ÷àñòíîãî âèäà â ñòðîéíîé, íî ðàçâåòâëåííîé êëàññèôèêàöèîííîé ñõåìå êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Îäíà èç öåëåé ìåòîäè÷åñêîãî ïîñîáèÿ êàê ðàç è ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îáðàòèòü âíèìàíèå ñòóäåíòîâ íà òîò ôàêò, ÷òî ñóùåñòâóþò òîëüêî

òðè òèïà êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, íàçâàííûå èìåíàìè Ýðìèòà, Ëàãåððà è ßêîáè, à âñå îñòàëüíûå ÿâëÿþòñÿ èõ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè. Äðóãàÿ öåëü ìåòîäè÷åñêîãî ïîñîáèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàó÷èòü ñòóäåíòà ñâîáîäíî îáðàùàòüñÿ ñ ëþáîé èç ÷åòûðåõ ýêâèâàëåíòíûõ ôîðì ïðåäñòàâëåíèÿ êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, à èìåííî • ïðåäñòàâëåíèåì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ðîäðèãà, çàäàþùåé ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà â îáûêíîâåííûõ ïðîèçâîäíûõ,

• èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì, • ïðåäñòàâëåíèåì ÷åðåç ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ, • ïðåäñòàâëåíèåì ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè.  ïåðâîé ÷àñòè ìåòîäè÷åñêîãî ïîñîáèÿ ÷èòàòåëü îáíàðóæèò íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ, òåîðåìû è ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, èìåþùèå îáùèé õàðàêòåð. Âòîðàÿ ÷àñòü ñîäåðæèò êëàññèôèêàöèþ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, âàæíåéøèå ñâåäåíèÿ î ñâîéñòâàõ êîí-

êðåòíûõ òèïîâ êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, à òàêæå ïðèìåðû ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Àâòîð íàìåðåííî íå îñòàíîâèëñÿ íà òàêèõ âîïðîñàõ, êàê ñâîéñòâà êîðíåé îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ðÿäû ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì, à òàêæå âîçäåðæàëñÿ îò îáñóæäåíèÿ ìíîãî÷èñëåííûõ àëüòåðíàòèâíûõ âåðñèé èíòåãðàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Ðàçóìíî ïîëàãàòü, ÷òî ýòè è ìíîãèå äðóãèå ñïåöèàëüíûå âîïðîñû ÷èòàòåëü ñìîæåò íàéòè â öèòèðîâàííûõ ìîíîãðàôèÿõ. 4

×ÀÑÒÜ I. ÎÁÙÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÕ ÏÎËÈÍÎÌΠ1.1. Ââåäåíèå Òåðìèí îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû, ïîíèìàåìûé â øèðîêîì ñìûñëå, ìîæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå, åñëè îñíîâûâàòüñÿ òîëüêî íà òðåõ ïîíÿòèÿõ: ïîëèíîì, îðòîãîíàëüíîñòü è âåñîâàÿ ôóíêöèÿ.

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1 Ïîëèíîìîì ñòåïåíè n íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà

Yn (x) = p(n,n) xn + p(n,n−1) xn−1 + ... + p(n,1) x + p(n,0) .

(1)

Ïîëèíîì îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàáîðîì êîýôôèöèåíòîâ p(n,m) . Äâà ïîëèíîìà ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè äðóã äðóãó òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû âñå êîýôôèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ xm . Êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè ïðèíÿòî ñ÷èòàòü îòëè÷íûì îò íóëÿ, òî åñòü, p(n,n) 6= 0.  òàêîì ñëó÷àå ìû èìååì äåëî ñ ïîëèíîìîì,

ñòåïåíü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íîìåðîì. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêèõ ïîëèíîìîâ â äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì {Yn (x)}.

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëèíîìîâ {Yn (x)} íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñ âåñîì W (x) íà èíòåðâàëå [a, b], åñëè äëÿ ëþáîé ïàðû ïîëèíîìîâ Yn (x) è Ym (x) ñ íåñîâïàäàþùèìè íîìåðàìè m 6= n âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå ðàâåíñòâî: Z b a

dx W (x)Ym (x)Yn (x) = 0 .

5

(2)

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 3 Ôóíêöèÿ W (x), íåîòðèöàòåëüíàÿ è íå èìåþùàÿ íóëåé âíóòðè èíòåðâàëà [a, b], íàçûâàåòñÿ âåñîâîé ôóíêöèåé (èëè êðàòêî âåñîì) äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ {Yn (x)}, åñëè äëÿ m 6= n âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (2), è äëÿ ëþáîãî íîìåðà m =

0, 1, ... ñóùåñòâóþò ñòåïåííûå ìîìåíòû ôóíêöèè W (x), òî åñòü, Z b a

dx W (x) xm 6= ∞ .

(3)

Îïðåäåëåíèÿ 1,2,3 ïðèìåíèìû êàê äëÿ êîíå÷íîãî èíòåðâàëà [a, b], òàê è äëÿ èíòåðâàëîâ òèïà (−∞, b], [a, ∞), (−∞, ∞).  òðåõ ïîñëåäíèõ ñëó÷àÿõ ñóùåñòâîâàíèå ñòåïåííûõ ìîìåíòîâ (3) ïîäðàçóìåâàåò àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü ñîîòâåòñòâóþùèõ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4 ×èñëî Nn ≡ ||Yn (x)||, çàäàííîå ñîîòíîøåíèåì

Nn2

≡

Z b a

dx W (x) Yn2 (x) ,

(4)

íàçûâàåòñÿ íîðìîé ïîëèíîìà Yn (x). ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 5 Åñëè êîýôôèöèåíòû p(n,n) ïîëîæèòåëüíû è Nn = 1, òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ {Yn (x)} íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé. Ñâÿçü ìåæäó âåñîâûìè ôóíêöèÿìè è îðòîãîíàëüíûìè ïîëèíîìàìè ðåãëàìåíòèðóåò

ÒÅÎÐÅÌÀ 1 Äëÿ âñÿêîé âåñîâîé ôóíêöèè W (x) ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îðòîíîðìèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëèíîìîâ {Yn (x)}. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãå [5]. 6

Èç ïðèâåäåííûõ îïðåäåëåíèé è òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî, âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïðèìåðîâ âåñîâûõ ôóíêöèé, à ïîòîìó è áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Îäíàêî, â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå îñîáóþ ðîëü èãðàþò òàê íàçûâàåìûå êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû. Êëþ÷åâûì ñâîéñòâîì, âûäåëÿþùèì èõ èç îáùåãî ìíîæåñòâà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðåøåíèÿ íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëü-

íîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà â îáûêíîâåííûõ ïðîèçâîäíûõ. Íà÷èíàÿ ñî ñëåäóþùåãî ðàçäåëà, ìû áóäåì èìåòü äåëî èñêëþ÷èòåëüíî ñ êëàññè÷åñêèìè îðòîãîíàëüíûìè ïîëèíîìàìè, îäíàêî, áóäåì îïóñêàòü äëÿ ïðîñòîòû òåðìèí "êëàññè÷åñêèå êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ âî âñåõ öèòèðóåìûõ èñòî÷íèêàõ [1-12].

1.2. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ïðåäñòàâëÿþùåå êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ âîñïîëüçóåìñÿ ðàññóæäåíèÿìè, âïåðâûå èçëîæåííûìè â ðàáîòå [10], ñîãëàñíî êîòîðûì âñå ôóíäàìåíòàëüíûå ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ìîãóò áûòü ââåäåíû, åñëè ñòàðòîâîé òî÷êîé äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñòàíåò ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â îáûêíîâåííûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà ñëåäóþùåãî âèäà:

d2 d A(x) 2 Y (x) + B(x) Y (x) + λn Y (x) = 0 . dx dx

(5)

Êîýôôèöèåíòû A(x) è B(x) ïî îïðåäåëåíèþ íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêîâîãî íîìåðà n, íî ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x, à λn , íàîáîðîò, çàâèñèò îò íîìåðà n, íî íå çàâèñèò îò ïåðåìåííîé x.

7

Ê èñêîìîé ôóíêöèè Y = Yn (x), ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (5), ïðåäúÿâëÿåòñÿ ñïåöèàëüíîå òðåáîâàíèå: îíà îáÿçàíà áûòü ïîëèíîìîì, ñòå-

ïåíü êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ íîìåðîì. Ýòî òðåáîâàíèå ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííûì îãðàíè÷åíèÿì íà âûáîð ôóíêöèé A(x) è B(x) è ïàðàìåòðà λn , î êîòîðûõ ðå÷ü ïîéäåò íèæå. Óðàâíåíèå (5) ïðèíÿòî ïðåäñòàâëÿòü â òàê íàçûâàåìîé ñàìîñîïðÿæåííîé ôîðìå "

#

1 d d W (x) X(x) Yn (x) + λn Yn (x) = 0 . W (x) dx dx

(6)

Íîâûå êîýôôèöèåíòû X(x) è W (x) ââåäåíû âìåñòî ñòàðûõ A(x) è

B(x) ñ ïîìîùüþ î÷åâèäíûõ ñîîòíîøåíèé 0

X(x) ≡ A(x) ,

W (x) 0 X(x) + X (x) ≡ B(x) , W (x)

(7)

òàê ÷òî óðàâíåíèå (5) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ 



0

W (x) 0 0 X(x) Yn (x) +  X(x) + X (x) Yn (x) + λn Yn (x) = 0 . W (x) 00

(8)

Çäåñü è äàëåå øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî àðãóìåíòó. Óðàâíåíèå (6), îïðåäåëÿþùåå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû, îáëàäàåò ñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìè ñâîéñòâàìè èíâàðèàíòíîñòè:

• óðàâíåíèå (6) îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïî ôîðìå, åñëè ñîâåðøèòü íåçàâèñèìûå ìàñøòàáíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåñîâîãî ìíîæèòåëÿ W ∗ = µW è ôóíêöèé Yn∗ = Cn Yn , ãäå µ è Cn - íåíóëåâûå êîíñòàíòû;

• óðàâíåíèå (6) îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïî ôîðìå, åñëè ñîâåðøèòü îäíîâðåìåííî äâà ñâÿçàííûõ ìàñøòàáíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿ: X ∗ (x) = ωX(x) è λ∗n = ωλn ñ íåíóëåâîé ïîñòîÿííîé ω ; • óðàâíåíèå (6) îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïî ôîðìå, åñëè ñîâåðøèòü îäíîâðåìåííî äâà ïðåîáðàçîâàíèÿ: âî-ïåðâûõ, x∗ = γ(x + σ) 8

- ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ñ ïîñòîÿííûìè γ 6= 0 (ìàñøòàáíûé ôàêòîð) è σ (ñäâèã), âî-âòîðûõ, ìàñøòàáíîå ïðåîáðàçîâàíèå X ∗ (x∗ ) = γ 2 X(x). Ýòè ñâîéñòâà èíâàðèàíòíîñòè áóäóò èñïîëüçîâàíû ïðè êëàññèôèêàöèè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

1.2.1. Êàêèìè óñëîâèÿìè îãðàíè÷åíà ñâîáîäà â âûáîðå êîýôôèöèåíòîâ X(x), W (x) è λn ? • Ôóíêöèè X(x), W (x) îïðåäåëåíû íà èíòåðâàëå [a, b] è äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ðàç äèôôåðåíöèðóåìû âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà, ïðè÷åì âíóòðè èíòåðâàëà [a, b] íè X(x), íè W (x) íå èìåþò íóëåé.

• Íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà [a, b] âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ W (a) X(a) = W (b) X(b) = 0 .

(9)

• Ôóíêöèÿ X(x) ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ôèêñèðîâàííîé ñòåïåíè. • Ôóíêöèÿ W (x) íåîòðèöàòåëüíà, è äëÿ íåå ñóùåñòâóþò âñå ìîìåíòû, òî åñòü, äëÿ ëþáîãî íîìåðà m Z b a

dx W (x) xm 6= ∞ .

(10)

• Ïàðàìåòðû λn è λm îòëè÷íû äðóã îò äðóãà, åñëè n 6= m.

1.2.2. Ïî÷åìó ðå÷ü èäåò îá îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ? Ïðîäåëàåì ñëåäóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ îïåðàöèþ. Óðàâíåíèå (6) óìíîæèì íà W (x)Ym (x) è çàïèøåì ñîîòíîøåíèå h

0

i0

λn W (x)Yn (x)Ym (x) = − W (x)X(x)Yn (x) Ym (x) .

9

(11)

 ðàâåíñòâå (11) ïîìåíÿåì ìåñòàìè èíäåêñû n è m, çàòåì èç ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà âû÷òåì (11) è ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå â èíòåðâàëå îò a äî b. Ñðàâíèâàÿ ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ñîîòíîøåíèÿ, ëåãêî óñòàíîâèòü ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:

(λm − λn ) =

Z b a

(

dx =

h

Z b a

dx W (x) Yn (x) Ym (x) = i0

0

h

)

i0

0

W (x)X(x)Yn (x) Ym (x) − W (x)X(x)Ym (x) Yn (x) =

Z b a

n

h

0

io0

0

dx W (x)X(x) Yn (x)Ym (x) − Ym (x)Yn (x)

n

h

0

0

io

=

= W (x)X(x) Yn (x)Ym (x) − Ym (x)Yn (x) |ba = 0 .

(12)

Èíòåãðèðîâàíèå â (12) ïðèâåëî ê íóëåâîìó ðåçóëüòàòó áëàãîäàðÿ óñëîâèÿì (9), çàäàííûì íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà [a, b]. Ïîñêîëüêó ïðè

m 6= n êîíñòàíòû ðàçëè÷íû, ò.å., λm 6= λn , ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå Z b a

dx W (x)Ym (x)Yn (x) = δmn Nn2 ,

(13)

ãäå Nn - íîðìà ôóíêöèè Yn (x), ââåäåííàÿ ðàíåå ôîðìóëîé (4), à δmn - ñèìâîë Êðîíåêåðà. Ñîîòíîøåíèå (13) ïðåêðàñíî èçâåñòíî â òåîðèè ôóíêöèé [1-12]. Îíî îïðåäåëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé Yn (x),

îðòîãîíàëüíûõ ñ âåñîì W (x) íà èíòåðâàëå [a, b]. Òàêèì îáðàçîì, ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ïîëèíîìèàëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (9), à íå äîïîëíèòåëüíûì òðåáîâàíèåì. Íå ïåðåãðóæàÿ êðàòêîå ââåäåíèå â òåîðèþ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ èçëèøíåé èíôîðìàöèåé, íàïîìíèì ëèøü, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè íåêîòîðûõ óñëîâèé (ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëåíèÿ, òåîðåìû è ïîäðîáíîñòè äîêàçàòåëüñòâ ìîæíî íàéòè â êíèãàõ [3,11]) ïðîèçâîëüíóþ êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìóþ ôóíêöèþ f (x) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì

f (x) =

∞ X k=0

10

ck Yk (x) ,

(14)

ãäå

1 Zb ck = 2 dx W (x)f (x) Yk (x) (15) Nk a åñòü îáîáùåííûå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå. Çäåñü è äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ, ïîçâîëÿþùèå ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü è äèôôåðåíöèðîâàòü îáîáùåííûé ðÿä Ôóðüå (14). Çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü íàéäåò â [3,11] óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû îáðàçóþò òàê íàçûâàåìûå ïîëíóþ è çàìêíóòóþ ñèñòåìû ôóíêöèé. Äàëåå ìû áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû.

1.2.3. Êàêîâûì ìîæåò áûòü ïîëèíîì X(x) ? Ïîñêîëüêó ìû èìååì äåëî ñ ïîëèíîìàìè, ó êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè îòëè÷íû îò íóëÿ, òî Y0 (x) = p(0,0) 6= 0, à â ñèëó óðàâíåíèÿ (6) ïðè n = 0 ïîëó÷àåì, ÷òî λ0 = 0. Äëÿ ïîëèíîìà ïåðâîé ñòåïåíè Y1 (x) = p(1,1) x + p(1,0) óðàâíåíèå (8) äàåò ñîîòíîøåíèÿ 



0

W (x) 0 λ1 Y1 (x) = −p(1,1)  X(x) + X (x) , W (x) 

(16)

0

0

W (x) 0 λ1 = −  X(x) + X (x) , W (x)

(17)

èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â (8) è (16) îáÿçàíî áûòü ïîëèíîìîì ïåðâîé ñòåïåíè. Ïðè n = 2 èç (8) è (16) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå 



0

W (x) 00 0 X(x) + X (x) − X(x)Y2 = λ2 Y2 (x) = −Y2 (x)  W (x) 0

=

1 p(1,1)

0

00

(18)

λ1 Y1 (x)Y2 (x) − X(x)Y2 . 0

Ôóíêöèÿ Y2 (x) òàêæå êàê è ïðîèçâåäåíèå Y1 (x)Y2 (x) ÿâëÿþòñÿ ïî00

ëèíîìàìè âòîðîãî ïîðÿäêà, à òàê êàê Y2 = 2p(2,2) = const 6= 0, òî 11

èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò âàæíåéøèé âûâîä: ïîëèíîì X(x)

èìååò ïîðÿäîê íå âûøå âòîðîãî ! Äàííîå óòâåðæäåíèå â êîìáèíàöèè ñ ñîîòíîøåíèåì (16) ïîçâîëÿåò çàÿâèòü, ÷òî âåñîâàÿ ôóíêöèÿ

W (x) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ïèðñîíà [5] 0

W (x) q0 + q1 x = , W (x) X(x)

(19)

ïðàâàÿ ñòîðîíà êîòîðîãî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îòíîøåíèå ïðîèçâîëüíûõ ïîëèíîìîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâåííî.  êà÷åñòâå ôèíàëüíîãî çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà n ëèøü îäíî èç äâóõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (6) ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà

x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (ñì., íàïðèìåð, [3,9]). Òàêîâûì ÿâëÿåòñÿ êàê ðàç ïîëèíîìèàëüíîå ðåøåíèå.

1.3. Ôîðìóëà Ðîäðèãà (Rodrigues O.) Êàê èçâåñòíî, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6) åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äâóõ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé. Ïåðâîå ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå, îãðàíè÷åííîå äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, çàäàåòñÿ ôîðìóëîé Ðîäðèãà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò íàéòè Yn (x) â ðåçóëüòàòå n-êðàòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.

ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 6 Ôîðìóëîé Ðîäðèãà íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå

1 dn Zn (x) = [W (x)X n (x)] , n Kn W (x) dx

(20)

ãäå Kn - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå, W (x) - ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ Ïèðñîíà (19) è âñåì òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê âåñîâûì ôóíêöèÿì, à X(x) -ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé, òàêèå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (9). 12

ÒÅÎÐÅÌÀ 2 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {Zn (x)}, çàäàííûõ ôîðìóëîé Ðîäðèãà (20), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, íîìåðà êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñî ñòåïåíüþ. Äîêàçàòåëüñòâî Äîêàçàòåëüñòâî ðàçäåëèì íà äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî Zn (x) - ýòî äåéñòâèòåëüíî ïîëèíîì, ñòåïåíü êîòîðîãî íå ïðåâûøàåò n. Çàòåì äîêàæåì, ÷òî ñòåïåíü ýòîãî ïîëèíîìà â òî÷íîñòè ðàâíà n, à ðàññìàòðèâàåìûå ïîëèíîìû îðòîãîíàëüíû. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïðè n = 0 ôîðìóëà Ðîäðèãà äàåò ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè Z0 =

1 K0 .

Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì ôîðìóëó 

0



d 1 1  W (x) 0 Z1 = [W (x)X(x)] = X(x) + X (x) , K1 W (x) dx K1 W (x)

(21)

êîòîðàÿ â ñèëó óðàâíåíèÿ Ïèðñîíà (19) äàåò íåïðåìåííî ïîëèíîì ïåðâîé ñòåïåíè. Ïîêàçàâ, ÷òî ãèïîòåçà ñïðàâåäëèâà äëÿ ïåðâûõ äâóõ çíà÷åíèé n, ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíà âåðíà äëÿ íîìåðà m, òî åñòü, âûðàæåíèå

dm 1 Zm (x) = [W (x)X m (x)] (22) m Km W (x) dx åñòü ïîëèíîì ñòåïåíè m. Äîêàæåì, ÷òî Zm+1 ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì ñòåïåíè m + 1. Äåéñòâèòåëüíî, âûïîëíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (19), íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì i d h W (x)X m+1 (x) = W (x)X m (x)R1 (x) , dx i d2 h m+1 W (x)X (x) = W (x)X m−1 (x)R2 (x) , 2 dx ................................................................... i dk h m+1 W (x)X (x) = W (x)X m−k+1 (x)Rk (x) , k dx

13

(23)

ãäå Rk (x) - ïîëèíîìû ñòåïåíè íå âûøå k , çàäàííûå ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîé

Rk+1 (x) = [(q0 + q1 x) + (m − k + 1)X 0 (x)] Rk (x) + X(x)Rk0 (x) (24) ñî ñòàðòîâûì çíà÷åíèåì R0 (x) = 1. Ïîëàãàÿ k = m + 1 è k = m â ôîðìóëàõ (23) è (24), ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì äëÿ Zm+1 (x) ñîãëàñíî (22)

1

Rm+1 (x). (25) Km+1 Èíûìè ñëîâàìè, Zm+1 (x) åñòü ïîëèíîì, ñòåïåíü êîòîðîãî íå âûøå m+1. Ïåðâûé ýòàï äîêàçàòåëüñòâà çàâåðøåí. Íà âòîðîì ýòàïå äîêàZm+1 (x) =

çàòåëüñòâà óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ïðè k < n Z b a

dxW (x)xk Zn (x) = 0.

(26)

Äåéñòâèòåëüíî, èíòåãðèðóÿ (26) ñ ó÷åòîì (22) ïî ÷àñòÿì è èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (9), ìû óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ðàâåíñòâà. Äàëåå, äåéñòâóÿ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåíóëåâîé ïîëèíîì Zn (x) èìååò ñòåïåíü íèæå, ÷åì n. Òîãäà, ïîñëåäîâàòåëüíî óìíîæàÿ ðàâåíñòâî (26) íà òå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ïîëèíîì Zn (x), è ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà, îáíàðóæèì, ÷òî

Z b a

dxW (x)Zn2 (x) = 0.

(27)

Ïðè íåîòðèöàòåëüíîé âåñîâîé ôóíêöèè W (x) ýòî âîçìîæíî ëèøü äëÿ Zn (x) ≡ 0, ÷òî îïðîâåðãàåò ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå. Òàêèì îáðàçîì, ñòåïåíü ïîëèíîìà Zn (x), äåéñòâèòåëüíî, â òî÷íîñòè ðàâíà

n. Íàêîíåö, ïîñëåäîâàòåëüíî óìíîæàÿ ðàâåíñòâî (26) íà òå êîýôôèöèåíòû, êîòîðûå îïðåäåëÿþò ïîëèíîì Zm (x) (m 6= n), è ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà, îáíàðóæèì, ÷òî Z b a

dxW (x)Zm (x)Zn (x) = 0 , 14

(28)

òî åñòü, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {Zn (x)} ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, íîìåð êîòîðûõ ñîâ-

ïàäàåò ñî ñòåïåíüþ. Òåîðåìà äîêàçàíà. ÒÅÎÐÅÌÀ 3 Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé {Zn (x)}, çàäàííàÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ðîäðèãà (20), ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (8) ñ êîíñòàíòîé λn , ðàâíîé "

#

"

#

1 1 00 00 λn = −n K1 p(1,1) + (n − 1)X = n λ1 − (n − 1)X . 2 2 Äîêàçàòåëüñòâî

(29)

Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ "

#

dn+1 d Sn (x) ≡ n+1 X (W X n ) . dx dx

(30)

Ïîìíÿ î òîì, ÷òî X(x) - ýòî ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Ëåéáíèöà äëÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ, â êîòîðîì X(x) èãðàåò ðîëü ïåðâîãî ñîìíîæèòåëÿ, à òàêæå íåïîñðåäñòâåííî èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ðîäðèãà (20), ïðåäñòàâèì Sn (x) â âèäå





d2 1 0 d 00  Sn (x)=Kn X 2 (W Zn )+(n+1)X (W Zn )+ n(n+1)X W Zn  . dx dx 2 (31) Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ôîðìóëå (30) â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîëèíîìû ïåðâîé ñòåïåíè Z1 (x) 0

è X (x):

d 0 (W X n ) = [K1 Z1 + (n − 1)X ]W X n . (32) dx Äèôôåðåíöèðóÿ ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (32) n + 1 ðàç, ïîëó÷àåì X

àëüòåðíàòèâíóþ ôîðìóëó äëÿ Sn (x) (

Sn (x) = Kn

h

K1 Z1 + (n − 1)X 15

0i

d (W Zn )+ dx

h

00 i

o

+(n + 1) K1 p(1,1) + (n − 1)X W Zn .

(33)

Ñðàâíèâàÿ (31) è (33), íàõîäèì, ÷òî ôóíêöèÿ W Zn óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ

d d2 0 (W Z ) = (K Z − 2X ) (W Zn )+ n 1 1 dx2 dx " Ã ! # 1 00 +(n + 1) K1 p(1,1) + n − 1 X W Zn . (34) 2 Íàêîíåö, åñëè âûïîëíèòü äèôôåðåíöèðîâàíèå â (34), èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ðîäðèãà ïðè n = 1 (20) è äèôôåðåíöèàëüíîå ñëåäñòâèå ýòîé X

ôîðìóëû, çàòåì ðàçäåëèòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íà W , òî â ðåçóëüòàòå îáíàðóæèì, ÷òî Zn óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ 



0

W (x) 0 0 X(x) Zn (x) +  X(x) + X (x) Zn (x)− W (x) 00

"

#

1 00 −n K1 p(1,1) + (n − 1)X Zn (x) = 0 . (35) 2 Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå äåéñòâèòåëüíî ñîâïàäàåò ñ (8), åñëè êîíñòàíòà λn ïðåäñòàâëåíà ôîðìóëîé (29). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìóëà Ðîäðèãà, äåéñòâèòåëüíî, äàåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (8), íî ïðè îãðàíè÷åíèè íà êîíñòàíòó λn , à ôóíêöèè Zn (x) è Yn (x) ìîãóò îòëè÷àòüñÿ ëèøü ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì.

ÒÅÎÐÅÌÀ 4 Åñëè êîíñòàíòû λn îòëè÷àþòñÿ îò çíà÷åíèé, çàäàííûõ ôîðìóëàìè (29), òî óðàâíåíèå (8) íå äîïóñêàåò ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíûõ (ò.å., íå ðàâíûõ íóëþ òîæäåñòâåííî) ðåøåíèé, îãðàíè÷åííûõ äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ [a, b]. Äîêàçàòåëüñòâî Ïðåäïîëîæèì îáðàòíîå, ÷òî ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ ôóíêöèÿ Pn (x), êîòîðàÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (8), íî ñ λn îòëè÷íûì 16

îò (29). Òîãäà Pn (x) îðòîãîíàëüíà êî âñåì Yn (x) (ñì. (12)). Ñ äðóãîé ñòîðîíû â ñèëó ïîëíîòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ëþáàÿ ôóíêöèÿ Pn (x) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ (14), (15) ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì Yn (x). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå â ðàçëîæåíèè ýòîé ôóíêöèè â ðÿä ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì Yn (x) íåïðåìåííî ðàâíû íóëþ, è Pn (x) ≡ 0, òî åñòü, ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ. Èíûìè ñëîâàìè, ïðè

"

#

1 00 λn 6= n λ1 − (n − 1)X (36) 2 íå ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

1.3.1. Çàìå÷àíèå î ñâîéñòâàõ êîíñòàíò λn • Âåëè÷èíà λn (29) äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿòñÿ êîíñòàíòîé, òàê êàê ôóíêöèÿ X(x) åñòü ïîëèíîì ïîðÿäêà íå âûøå âòîðîãî. • Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, λ0 = 0 ñîãëàñíî ôîðìóëå (29). • Ïîñêîëüêó ñðåäè çíà÷åíèé λn ñ ðàçíûìè íîìåðàìè íå äîëæíî áûòü ñîâïàäàþùèõ, òî íè îäíà èç ýòèõ êîíñòàíò íå ìîæåò áûòü ðàâíîé íóëþ, åñëè òîëüêî n 6= 0; ÷òîáû äîáèòüñÿ ýòîãî, äîñòàòî÷íî ïðè ñòàíäàðòèçàöèè ïîëèíîìîâ ïîëîæèòü λ1 > 0 è 00

X ≤ 0. • Åñëè âûïîëíåíû îãðàíè÷åíèÿ èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, òî î÷åi h 1 00 âèäíî, ÷òî ðàçíîñòü λm − λn ≡ (m − n) λ1 − 2 X (m + n − 1) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü íè ïðè êàêèõ íå ðàâíûõ äðóã äðóãó íåíóëåâûõ m è n.

17

1.4. Âû÷èñëåíèå íîðìèðîâî÷íûõ ìíîæèòåëåé äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ðîäðèãà (20), ìîæíî ñâåñòè íîðìèðîâî÷íûå èíòåãðàëû (4) ê ñëåäóþùåìó âèäó:

dm 1 Zb dx Ym (x) m [W (x)X m (x)] . (37) Km a dx Åñëè ýòî âûðàæåíèå ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ÷àñòÿì m ðàç, èñïîëüçî2 Nm =

âàâ ñîîòíîøåíèÿ (9), òî ïîëó÷èì èíòåãðàë, ñîäåðæàùèé ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà m îò ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîëèíîìà:

dm 1 Zb m = (−1) dx W (x)X (x) Ym (x) . (38) Km a dxm Âñïîìèíàÿ, ÷òî m- êðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå îðòîãîíàëüíîãî ïî2 Nm

m

ëèíîìà ñòåïåíè m äàåò êîíñòàíòó m!p(m,m) , ïîëó÷èì, íàêîíåö, ÷òî

m! Z b = (−1) p(m,m) dx W (x)X m (x) . (39) Km a Îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë áóäåò âû÷èñëåí ïîçäíåå äëÿ êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé âåñîâîé ôóíêöèè W (x) è ìíîãî÷ëåíà X(x). 2 Nm

m

1.5. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñëåäóåò èç ôîðìóëû Êîøè äëÿ ïðîèçâîäíîé îò àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f (z):

dn n! Z f (ξ) f (z) = dξ . dz n 2πi C (ξ − z)n+1

(40)

Îñíîâûâàÿñü íà ôîðìóëå Ðîäðèãà (20) è ïîëàãàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ f (ξ) èìååò âèä f (ξ) = W (ξ)X n (ξ), ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå ñîîòíîøåíèå äëÿ Yn (z), àíàëèòè÷åñêîãî ïðîäîëæåíèÿ ôóíêöèè Yn (x), îñóùåñòâëåííîãî ñ äåéñòâèòåëüíîé îñè 0x íà êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü Z :

Yn (z) =

Z W (ξ)X n (ξ) n! dξ . 2πi Kn W (z) C (ξ − z)n+1

18

(41)

Êîíôèãóðàöèÿ çàìêíóòîãî êîíòóðà C , îáõîäÿùåãî òî÷êó z , ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ñâîéñòâ çàäàííûõ ôóíêöèé W (z) è X(z) è áóäåò îáñóæäàòüñÿ â êîíêðåòíîì êîíòåêñòå äëÿ êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà, Ëàãåððà è ßêîáè.

1.6. Ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé ÒÅÎÐÅÌÀ 5 Ëþáàÿ òðîéêà ïîñëåäîâàòåëüíûõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ:

Yn+1 (x), Yn (x) è Yn−1 (x), - ñâÿçàíà ëèíåéíûì ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèåì (42)

Yn+1 (x) = (An x + Bn ) Yn (x) − Cn Yn−1 (x) ,

ãäå êîýôôèöèåíòû An , Bn , Cn îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóë:

p(n+1,n+1) An ≡ , p(n,n)





p(n+1,n) p(n,n−1)  B n ≡ An  − , p(n+1,n+1) p(n,n)

p(n+1,n+1) p(n−1,n−1) Nn2 Cn ≡ . 2 p2(n,n) Nn−1

(43)

Äîêàçàòåëüñòâî Ïðîèçâåäåíèå xYn (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêèé ïîëèíîì ñòåïåíè

n + 1, à ïîòîìó ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

xYn (x) =

n+1 X k=0

c(n,k) Yk (x) ,

(44)

ñ êîýôôèöèåíòàìè âèäà

c(n,k)

1 Zb dx x W (x)Yn Yk (x) . = 2 Nk a 19

(45)

Åñëè â èíòåãðàëå (45) ïîäñòàâèòü k = n−2, k = n−3 è òàê äàëåå, òî èíòåãðàë îêàæåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå xYn−2 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñòåïåíè íå âûøå, ÷åì n−1, òî êàæäûé èç íèõ îêàæåòñÿ îðòîãîíàëüíûì Yn , ñòîÿùåìó â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè. Òàêèì îáðàçîì ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå ñâÿçûâàåò òðè è òîëüêî òðè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìà:

xYn (x) = c(n,n+1) Yn+1 (x) + c(n,n) Yn (x) + c(n,n−1) Yn−1 (x) .

(46)

Âåëè÷èíó c(n,n+1) ëåãêî íàéòè, åñëè â ñîîòíîøåíèè (46) ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè xn+1 :

c(n,n+1) =

p(n,n) p(n+1,n+1)

.

(47)

Êîýôôèöèåíò c(n,n−1) ëåãêî ïîëó÷èòü èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè. Äåéñòâèòåëüíî, ñîãëàñíî (45) è (47)

c(n,n−1)

Nn2 Nn2 p(n−1,n−1) = 2 c(n−1,n) = 2 . Nn−1 Nn−1 p(n,n)

(48)

Ïîñëåäíþþ èç èñêîìûõ âåëè÷èí, c(n,n) , ëåãêî íàéòè, åñëè ïðèðàâíÿòü êîýôôèöèåíòû ïðè xn â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ (46):

c(n,n) =

p(n,n−1) p(n+1,n) − . p(n,n) p(n+1,n+1)

(49)

Ïîäñòàâèâ íàéäåííûå êîýôôèöèåíòû â ðàâåíñòâî (46) è ñîâåðøèâ î÷åâèäíîå àëãåáðàè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷èì èñêîìîå ñîîòíîøåíèå (42). Ñëåäóåò ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ ïðèìóò îêîí÷àòåëüíûé âèä òîëüêî òîãäà, êîãäà ïî êîíêðåòíûì

X(x) è W (x) ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ðîäðèãà óäàñòñÿ âîññòàíîâèòü êîýôôèöèåíòû p(m,k) , à âìåñòå ñ íèìè è êîýôôèöèåíòû An ,Bn ,Cn . Ýòè äàííûå áóäóò ïðèâåäåíû âî âòîðîé ÷àñòè ïîñîáèÿ, êîãäà ðå÷ü ïîéäåò î êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìàõ Ýðìèòà, Ëàãåððà, ßêîáè. 20

Ôîðìóëà (42) äàåò ñëåäóþùèé ðåöåïò äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé:

• çàôèêñèðóåì Y0 è Y1 (x) êàê ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (8), ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ïîëèíîìû íóëåâîãî è ïåðâîãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâåííî;

• ñ ïîìîùüþ Y0 è Y1 (x) ïî ôîðìóëå (42) ïðè n = 1 íàéäåì Y2 (x) = (A1 x + B1 )Y1 − C1 Y0 ; • ïîâòîðèâ óêàçàííóþ ïðîöåäóðó, íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëèíîìû Y3 (x), Y4 (x), ... Yk (x). Äðóãèìè ñëîâàìè, ëþáîé îðòîãîíàëüíûé ïîëèíîì âîññòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ïî äâóì ïåðâûì ôèêñèðîâàííûì ïîëèíîìàì çà êîíå÷íîå ÷èñëî àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé.

Çàìå÷àíèå Åñëè ôîðìàëüíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå ïîëèíîì p−1 (x) ≡ 0, òî èç ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ ïðè n = 0 ìîæíî âûðàçèòü ïîëèíîì Y1 ÷åðåç Y0 , òàêèì îáðàçîì, òîëüêî êîíñòàíòà Y0 îñòàåòñÿ ïðîèçâîëüíîé âåëè÷èíîé ïðè ïðåäñòàâëåíèè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé. Ýòà êîíñòàíòà ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ïðîèçâîëüíîé â ñèëó ìàñøòàáíîé èíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèÿ (6).

21

1.7. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ÒÅÎÐÅÌÀ 6 0

Ïðîèçâîäíàÿ îðòîãîíàëüíîãî ïîëèíîìà Yn (x) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïîëèíîìîâ Yn (x) è Yn−1 (x): 





p(n,n−1)  1 00 X(x) Yn (x) = nX (0) + X nx − Yn (x) + βn Yn−1 (x) , 2 p(n,n) (50) 0

0

ãäå êîýôôèöèåíòû βn îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè ! # " Ã 1 00 βn An = −Cn p(1,1) K1 + n − X , 2

(51)

à êîýôôèöèåíòû An è Cn - ôîðìóëàìè (43). Äîêàçàòåëüñòâî 0

00

Âûðàæåíèå X(x)Yn (x) − n2 xX (x)Yn (x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêèé ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå ÷åì n [1]. Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ ÷ðåçâû÷àéíî ïîõîæè íà òå, ÷òî ïðèâåäåíû â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ïîñâÿùåííîì ðåêóððåíòíûì ñîîòíîøåíèÿì, è ïîòîìó ìîãóò áûòü ïðîäåëàíû ÷èòàòåëåì ñàìîñòîÿòåëüíî.

1.8. Ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ êàê êîýôôèöèåíòîâ â ðàçëîæåíèè ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 7 Ôóíêöèÿ W(x, t) äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è t íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé äëÿ ïîëèíîìîâ Yn (x), åñëè óêàçàííûå ïîëèíîìû ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè W(x, t) â ðÿä ïî ñòåïåíÿì t

W(x, t) =

∞ X n=0

22

Yn (x) tn .

(52)

Çàìå÷àíèå  îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà, áîëåå óäîáíî ââåñòè â (52) ìíîæèòåëü

tn n!

âìåñòî tn .

Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî îáùèõ ðåöåïòîâ ïîñòðîåíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè; óêàæåì îäèí íàèáîëåå ïðîñòîé, à èìåííî, ðåöåïò, îñíîâàííûé íà èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (41) è äîïóñêàÿ, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ çíàêè ñóììèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ ïî êîíòóðó ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè, èç ôîðìóëû (52) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñîòíîøåíèå: Z W (ξ)X n (ξ) tn n! W(x, t) = dξ = n+1 n=0 2πi Kn W (x) C (ξ − x) ∞ X



n

Z ∞ X W (ξ) 1 tX(ξ)  n!  . = dξ 2πiW (x) C (ξ − x) n=0 ξ − x Kn

(53)

Çíàÿ âåëè÷èíó Kn , ìîæíî ïðîñóììèðîâàòü ðÿä â ôîðìóëå (53) ∞ X



n

tX(ξ)  n!  , F (ξ, x, t) ≡ ξ − x K n n=0

(54)

à çàòåì íàéòè îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë ïî òåîðèè âû÷åòîâ. Êîíêðåòíûé âèä ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé áóäåò ðàññìîòðåí íèæå äëÿ êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

23

×ÀÑÒÜ II. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÏÎËÈÍÎÌÛ 2.1. Êëàññèôèêàöèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ X(x) â óðàâíåíèè (6) îêàçàëàñü ïîëèíîìîì ñòåïåíè íå âûøå âòîðîé, òî åñòåñòâåííûì îáðàçîì âûäåëÿþòñÿ òðè

êëàññà îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ, äëÿ êîòîðûõ ñòåïåíü ïîëèíîìà

X(x) ðàâíà íóëþ, åäèíèöå è äâóì, ñîîòâåòñòâåííî. Ïîêàæåì, êàê íàõîäÿòñÿ âåñîâûå ôóíêöèè W (x) äëÿ êàæäîãî èç òðåõ ïåðå÷èñëåííûõ êëàññîâ.

2.1.1. X(x) - ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè Ôóíêöèÿ X(x) åñòü êîíñòàíòà, êîòîðóþ áåç ïîòåðè îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü åäèíèöåé X(x) ≡ 1 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýòîãî ëåãêî äîáèòüñÿ ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ïåðåìåííîé x ñ ìàñøòàáíûì ôàêòîðîì γ =

q

|X|). Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (16) íàéäåì, ÷òî óðàâíåíèå Ïèðñîíà (19), çàäàþùåå ôóíêöèþ W (x), â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèä:





0

p(1,0)  W (x) . = −λ1 x + W (x) p(1,1)

(55)

Óðàâíåíèå (55) ïðåîáðàçîâàíèåì ñäâèãà

p(1,0) p(1,1) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè x∗ = x +

(56)

0

W (x∗ ) = −λ1 x∗ . ∗ W (x )

(57)

 äàëüíåéøåì ìû íå ñòàíåì ïèñàòü çâåçäî÷êó ïðè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x, à ðåçóëüòàò èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâèì â âèäå

(

)

λ1 W (x) = exp − x2 . 2 24

(58)

Ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè óðàâíåíèÿ (6) îòíîñèòåëüíî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèè W (x) âûáðàíà ñ òàêèì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû W (0)=1. Âåñîâàÿ ôóíêöèÿ W (x) (58) íå îòðèöàòåëüíà è íå îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ x, ïîýòîìó ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè è ñîîòâåòñòâóþùèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ìîãóò áûòü âûáðàíû ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó a=−∞ , b=∞. Ïàðàìåòðû λn , ñîãëàñíî (29) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ïîëîæèòåëüíóþ êîíñòàíòó λ1

λn = −nK1 p(1,1) = nλ1 > 0 .

(59)

Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû äàííîãî êëàññà îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì Hn (x), êîðåííàÿ áóêâà ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîé áóêâå ôàìèëèè ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Ýðìèòà (Hermite C.)

2.1.2. X(x) - ïîëèíîì ïåðâîé ñòåïåíè Ïóñòü X(x) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ ïåðåìåííîé x. Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, çà ñ÷åò ïðåîáðàçîâàíèé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x ìîæíî äîáèòüñÿ ðàâåíñòâà X(x) = x. Èç ôîðìóëû (16) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ýòîãî êëàññà óðàâíåíèå Ïèðñîíà (19) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó 0

W (x) α = −λ1 x + , W (x) x

(60)

ãäå

p(1,0) λ1 . p(1,1) Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèÿ (60) ïðèâîäèò ê âåñîâîé ôóíêöèè α ≡ −1 −

W (x) = xα exp{−λ1 x} ,

(61)

(62)

ïðè÷åì ôóíêöèÿ W (x) íå èìååò íóëåé âíóòðè èíòåðâàëà [0, ∞) è èíòåãðèðóåìà â ýòîì èíòåðâàëå ïðè α > −1, λ1 > 0. Ïðè òåõ æå îãðàíè÷åíèÿõ íà α è λ1 ïðîèçâåäåíèå W (x)X(x) = xα+1 exp{−λ1 x} îáðàùàåòñÿ â íóëü íà êîíöàõ èíòåðâàëà [0, ∞). Ïàðàìåòð λn çàäàåòñÿ 25

òåì æå ñîîòíîøåíèåì (59). Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû äàííîãî êëàññà îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëîì L(α) n (x). Êîðåííàÿ áóêâà ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîé áóêâå ôàìèëèè ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà Ëàãåððà (Laguerre Å.). Äëÿ êàæäîãî äîïóñòèìîãî çíà÷åíèÿ α èìååòñÿ ñâîÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëèíîìîâ Ëàãåððà.  ýòîì ñìûñëå ïîëèíîìû Ëàãåððà ñîñòàâëÿþò îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

2.1.3. X(x) - ïîëèíîì âòîðîé ñòåïåíè Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé ñäâèãà äëÿ ïåðåìåííîé x êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí X(x) ìîæíî ñâåñòè ê âèäó:

X(x) = Ax2 + 2Bx + C → X(x) = A(x2 + d).

(63)

Óðàâíåíèå Ïèðñîíà (19) äëÿ W (x) ïðåâðàòèòñÿ â ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

0

W (x) −(λ1 + 2A)x + K1 p(1,0) = . (64) W (x) A(x2 + d)  çàâèñèìîñòè îò âûáîðà êîýôôèöèåíòîâ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ X(x) ìîæåò âîâñå íå èìåòü äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, ìîæåò èìåòü ñîâïàäàþùèå äåéñòâèòåëüíûå êîðíè, ëèáî èìåòü äâà ðàçëè÷íûõ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ.  ïåðâîì ñëó÷àå d = ν 2 , ñëåäîâàòåëüíî, (

2

2 −ρ

W (x) = const · (x + ν )

)

µ x exp arctan , ν ν

(65)

ãäå

K1 p(1,0) λ1 , µ≡ . (66) 2A A  ýòîì ñëó÷àå òðåáîâàíèå (9) âûïîëíèòñÿ, òîëüêî åñëè ρ > 0, a=−∞ ρ≡1+

è b=∞, íî ïðè ýòîì ìîìåíòû (10) íå ñóùåñòâóþò. Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé ñëó÷àé ñëåäóåò îòâåðãíóòü.

26

Âî âòîðîì ñëó÷àå ñëåäóåò ïîëîæèòü d=0, ÷òî ïðèâîäèò ê ðåøåíèþ

(

)

µ W (x) = const · x exp − . (67) x Ïðè òàêèõ îáñòîÿòåëüñòâàõ, êàê è â ïåðâîì ñëó÷àå, òðåáîâàíèÿ (9) −2ρ

è (10) ïðîòèâîðå÷èâû. Îñòàåòñÿ èññëåäîâàòü ïîñëåäíèé âàðèàíò d = −ν 2 .  òàêîì ñëó÷àå ìàñøòàáíîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííîé x ïîçâîëÿåò ñâåñòè X(x) ê ôóíêöèè X(x) = −A(1 − x2 ), à çà ñ÷åò äîïîëíèòåëüíîãî îäíîâðåìåííîãî ìàñøòàáíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ λn è X(x) îêîí÷àòåëüíî âûáåðåì X(x) â âèäå

X(x) = (1 − x2 ) .

(68)

Óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåñîâîé ôóíêöèè ïðèìåò âèä 0

W −α β = + , W 1−x 1+x

(69)

ãäå

1 1 α ≡ (λ1 − 2 − K1 p(1,0) ) , β ≡ (λ1 − 2 + K1 p(1,0) ) . 2 2 Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (69) ÿâëÿåòñÿ âåñîâàÿ ôóíêöèÿ, W (x) = (1 − x)α (1 + x)β ,

W (0) = 1 .

(70)

(71)

Îíà îïðåäåëåíà è íåîòðèöàòåëüíà âíóòðè èíòåðâàëà [−1, 1], åå ìîìåíòû ñóùåñòâóþò, åñëè α > −1 , β > −1, ïðè÷åì ïðè äàííîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ α, β ïðîèçâåäåíèå W (x)X(x) îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà. Îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû òðåòüåãî êëàññà íàçûâàþòñÿ ïîëèíîìàìè ßêîáè (Jacobi C.G.J.) è îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëîì Pn(α,β) (x). Ïîëèíîìû ßêîáè ñîñòàâëÿþò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ. Ñðåäè ïîëèíîìîâ ßêîáè â ñèëó èñòîðè÷åñêèõ ïðè÷èí ïðèíÿòî âûäåëÿòü ïîëèíîìû Ãåãåíáàóýðà, Ëåæàíäðà è ×åáûøåâà; äëÿ âñåõ èç íèõ α è

β ñîâïàäàþò. 27

2.2. Ïîëèíîìû Ýðìèòà (Hermite C.) 2.2.1. Còàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà Ïðè ñòàíäàðòèçàöèè ïîëèíîìîâ Ýðìèòà óäîáíî ñëåäîâàòü ïðàâèëàì, ïðèíÿòûì â êíèãàõ [1,3]: 2

a = −∞ , b = ∞ , X(x) = 1 , W (x) = e−x , Kn = (−1)n , λn = 2n . (72) Ñîãëàñíî (8) è (72) ïîëèíîìû Ýðìèòà óäîâëåòâîðÿþò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ 00

0

Hn (x) − 2x Hn (x) + 2n Hn (x) = 0 .

(73)

 ñèëó óðàâíåíèÿ (73) ôóíêöèÿ 1 2

Z(x) ≡ e− 2 x Hn (x)

(74)

óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ Âåáåðà - Ýðìèòà (Weber - Hermite) 00

Z (x) + (2n + 1 − x2 )Z(x) = 0 ,

(75)

à ïîòîìó îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì ôóíêöèÿì ïàðàáîëè÷åñêîãî

öèëèíäðà [1].

2.2.2. Ôîðìóëà Ðîäðèãà Èç ôîðìóëû Ðîäðèãà (20) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà:

dn −x2 e . (76) dxn Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå ïåðâûå òðè ïîëèíîìà Ýðìèòà èìåþò âèä: 2

Hn (x) = (−1)n ex

H0 (x) = 1 ,

H1 (x) = 2x ,

H2 (x) = 4x2 − 2 .

(77)

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íîìåðà n ïðÿìîå äèôôåðåíöèðîâàíèå â (76) äàåò

ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà:

Hn (x) = n!

n [X 2]

(−1)m

m=0

28

(2x)n−2m , m!(n − 2m)!

(78)

ãäå ñèìâîë

h i n 2

îçíà÷àåò ÷èñëî n2 , åñëè n ÷åòíîå è

n−1 2 ,

åñëè n íå÷åòíî.

 ñïðàâåäëèâîñòè äàííîé ôîðìóëû ÷èòàòåëü ìîæåò òàêæå óáåäèòüñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî ïîëèíîìû Ýðìèòà ñ ÷åòíûì íîìåðîì ñîäåðæàò òîëüêî ÷åòíûå ñòåïåíè x, à ñ íå÷åòíûì íîìåðîì - òîëüêî íå÷åòíûå. Ýòîò ôàêò ìîæíî çàôèêñèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ

Hn (−x) = (−1)n Hn (x) .

(79)

2.2.3. Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè Êîýôôèöèåíòû p(n,m) , íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøèõ ðàñ÷åòîâ, íàõîäÿòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóëû (78). Òàê, íàõîäÿ ñëàãàåìîå ñ

m = 0, ïîëó÷èì, ÷òî p(n,n) = 2n . ×òî æå êàñàåòñÿ êîýôôèöèåíòà p(n,n−1) , òî îí ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò íîðìû (39) äëÿ ïîëèíîìà Ýðìèòà ñ íîìåðîì n ðàâåí n

Nn2

≡ n!2

Z ∞ −∞

√ 2 dx e−x = n!2n π .

(80)

2.2.4. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà Ñòàíäàðòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (41) ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ÷åòíîñòè (79) äàåò äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: 2

n! x2 Z e−ξ Hn (x) = (−1) Hn (−x) = e dξ . C 2πi (ξ + x)n+1 n

(81)

Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ ζ = ξ + x ïîëó÷èì ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëó

n! Z dζ 2xζ−ζ 2 Hn (x) = e , 2πi C ζ n+1 ãäå êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ C îõâàòûâàåò òî÷êó ζ = 0.

2.2.5. Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ 29

(82)

Ïîñêîëüêó äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà p(n,n) = 2n , p(n,n−1) = 0, à íîðìà

Nn ïðåäñòàâëåíà ôîðìóëîé (80), êîýôôèöèåíòû An , Bn è Cn ëåãêî ïîëó÷àþòñÿ èç ôîðìóë (43) An = 2 ,

Bn = 0 ,

Cn = 2n .

(83)

Ñëåäîâàòåëüíî, ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (42) äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà ïðèíèìàþò âèä

Hn+1 (x) = 2x Hn (x) − 2nHn−1 (x) .

(84)

2.2.6. Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà Òàê êàê äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà X(x) ≡ 1, èç ôîðìóë (50), (51) ìãíîâåííî ïîëó÷àåì 0

Hn (x) = 2n Hn−1 (x) .

(85)

2.2.7. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà Äëÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ïðåäñòàâëåíèåì ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè

tn W(x, t) = Hn (x) . n! n=0 ∞ X

(86)

Òîãäà, ñëåäóÿ ðåöåïòó ïîñòðîåíèÿ W(x, t), îïèñàííîìó â ïóíêòå 1.8., è èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ýðìèòà (82), ïðèäåì ê ñîîòíîøåíèþ " #n

∞ t 1 Z dζ 2xζ−ζ 2 X W(x, t) = e 2πi C ζ n=0 ζ

=

1 Z dζ 2 e2xζ−ζ . (87) 2πi C (ζ − t)

Âû÷èñëÿÿ ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ âû÷åòà â ïîëþñå ζ = t, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî 2

W(x, t) = e2xt−t . 30

(88)

Ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè ìîæíî ðåøèòü ðÿä ÷àñòíûõ çàäà÷, óòî÷íÿþùèõ ñâîéñòâà ïîëèíîìîâ Ýðìèòà. Ìû îñòàíîâèìñÿ òîëüêî íà äâóõ íàèáîëåå èçâåñòíûõ.

Çàäà÷à 1 Íàéòè çíà÷åíèÿ ïîëèíîìîâ Ýðìèòà ïðè x = 0. Èç ñîîòíîøåíèÿ −t2

W(0, t) = e

tn = Hn (0) n! n=0 ∞ X

(89)

ìãíîâåííî ïîëó÷àåì, ÷òî â ðàçëîæåíèè äîëæíû îòñóòñòâîâàòü íå÷åòíûå ñòåïåíè t, îòêóäà H2m+1 (0) = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ðàâåíñòâà ∞ X

(−1)m

m=0

∞ X t2m t2m = H2m (0) m! (2m)! m=0

(90)

ñëåäóåò, ÷òî

(2m)! . (91) m! 0 Ïðîèçâîäíàÿ Hn (0) íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (85) H2m (0) = (−1)m

0

H2m (0) = 0 ,

0

H2m+1 (0) = 2(2m + 1)H2m (0) = (−1)m

(2m + 2)! . (m + 1)! (92)

Çàäà÷à 2 Ïðîñóììèðîâàòü ðÿäû

(−1)n H2n (x) , n=0 (2n)! ∞ X

(−1)n H2n+1 (x) . n=0 (2n + 1)! ∞ X

(93)

Ïîëàãàÿ t = i â ðàçëîæåíèè (86) è ðàçáèâàÿ ðÿä íà ñóììû ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ñòåïåíåé, ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì (88)

e

2ix+1

∞ X (−1)m (−1)m H2m (x) + i H2m+1 (x) . = m=0 (2m + 1)! m=0 (2m)! ∞ X

31

(94)

Ñëåäîâàòåëüíî,

(−1)m H2m (x) = Re{e2ix+1 } = e cos 2x , m=0 (2m)! ∞ X

(−1)m H2m+1 (x) = Im{e2ix+1 } = e sin 2x . (2m + 1)! m=0 ∞ X

(95)

2.2.8. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ  êâàíòîâîé ìåõàíèêå äëÿ îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé îäíîìåðíîãî ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà èñïîëüçóåòñÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà âèäà





d2 2m  mω 2 x2  Ψ(x) + 2 E − Ψ(x) = 0 , dx2 2 h ¯

(96)

ãäå Ψ(x) - âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, m - ìacca ÷àñòèöû, h ¯ - ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, E - ýíåðãèÿ, ω - ÷àñòîòà [13]. Ñîâåðøèâ çàìåíó ôóíêöèè è íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ïî ïðàâèëàì s

Ψ(x) = e

− 12 ξ 2

χ(ξ) ,

ξ=x

mω , h ¯

(97)

ïîëó÷èì, ÷òî íîâàÿ ôóíêöèÿ χ(ξ) îáÿçàíà óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ !

Ã

2E − 1 χ = 0. χ (ξ) − 2ξχ (ξ) + h ¯ω 00

0

(98)

Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â ñèëó ÒÅÎÐÅÌÛ 4 äîïóñêàåò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, îãðàíè÷åííûå äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Ã

!

2E − 1 = 2n , h ¯ω

(99)

è â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (98) åñòü â òî÷íîñòè óðàâíåíèå Ýðìèòà. Òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì, ÷òî ýíåðãèÿ E ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ Ã

!

1 E=h ¯ω n + , 2 32

(100)

à ôóíêöèÿ χ(ξ) ïðîïîðöèîíàëüíà ïîëèíîìó Ýðìèòà ñ íîìåðîì n: (101)

χ(ξ) = const · Hn (ξ) .

Êîíñòàíòà íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè Z ∞ −∞

Ψ2n (x)dx = 1 ,

(102)

êîòîðîå, î÷åâèäíî, ñâîäèòñÿ ê óñëîâèþ íîðìèðîâêè ïîëèíîìîâ Ýðìèòà:

(const)2 ·

v u u t

h ¯ mω

Z ∞ −∞

2

e−ξ Hn2 (ξ)dξ = (const)2 ·

v u u t

h ¯ Nn2 = 1 . (103) mω

Âîñïîëüçîâàâøèñü ñîîòíîøåíèåì (80), ïîëó÷èì âîëíîâóþ ôóíêöèþ Ã

mω Ψn (x) = π¯ h

!1 4

à s

mω 1 2 − mω 2¯ h x H √ x e n h ¯ 2n n!

!

.

(104)

Îêàçàëîñü, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ îäíîìåðíîãî ëèíåéíîãî îñöèëëÿòîðà ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâèòåëåì êëàññà ôóíêöèé Âåáåðà-Ýðìèòà (74), (75).

2.3. Ïîëèíîìû Ëàãåððà 2.3.1. Còàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà Ïðè ñòàíäàðòèçàöèè ïîëèíîìîâ Ëàãåððà óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ïðàâèëà:

a = 0 , b = ∞ , X(x)=x , W (x)=xα e−x , α > −1 , Kn =n! , λn =n . (105)

Çàìå÷àíèå Èíîãäà ïîëèíîìàìè Ëàãåððà íàçûâàþò ïîëèíîìû L(0) n (x), à åñëè

α 6= 0, òî L(α) n (x) èìåíóþòñÿ îáîáùåííûìè ïîëèíîìàìè Ëàãåððà. Â äàííîé ðàáîòå ïðèìåíÿåòñÿ òåðìèíîëîãèÿ êíèãè [1], è òåðìèí "îáîáùåííûé"íå èñïîëüçóåòñÿ. 33

Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèè X(x) è W (x) èç (105) â (8), ïîëó÷èì, ÷òî ïîëèíîìû Ëàãåððà óäîâëåòâîðÿþò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ 00

0

(α) (α) x L(α) n (x) + (α + 1 − x) Ln (x) + n Ln (x) = 0 .

(106)

2.3.2. Ôîðìóëà Ðîäðèãà Äåéñòâóÿ, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, èç ôîðìóëû Ðîäðèãà (20) ïîëó÷èì èçâåñòíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëàãåððà:

L(α) n (x)

1 −α x dn h n+α −x i = x e x e . n! dxn

(107)

 ôîðìóëå (107) íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ïðÿìîå n êðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ ýêñïîíåíòû è ñòåïåííîé ôóíêöèè. Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ýòîé öåëè ôîðìóëîé Ëåéáíèöà

(U V )(n) =

n X m=0

Cnm U (m) V (n−m) ,

(108)

ãäå èñïîëüçîâàíî ñòàíäàðòíîå îáîçíà÷åíèå

Cγm ≡

γ(γ − 1)...(γ − m + 1) , m!

(109)

âçÿòîå äëÿ γ , ðàâíîãî íàòóðàëüíîìó ÷èñëó n. Ïðèìåíèâ óêàçàííîå ïðàâèëî è ñîêðàòèâ íà ýêñïîíåíòó è íà xα , ïîëó÷èì ñóììó

L(α) n (x)

n 1 X = Cnm (−1)m xm (α+n)(α+n−1)...(α+n−m+1) , (110) n! m=0

êîòîðàÿ ñ ó÷åòîì (109) òðàíñôîðìèðóåòñÿ ê âèäó

L(α) n (x)

=

n X m=0

x n−m Cα+n (−1)m

m

m!

.

(111)

Ýòî è åñòü ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëàãåððà. Ïåðâûå òðè ïîëèíîìà ýòîãî òèïà âûãëÿäÿò ñëåäóþùèì îáðàçîì: (α)

L0 (x) = 1 ,

(α)

L1 (x) = α + 1 − x ,

1 (α) L2 (x) = [x2 − 2x(2 + α) + (2 + α)(1 + α)] . 2 34

(112)

Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (111) ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî óñòàíîâèòü, êàêîâî çíà÷åíèå ïîëèíîìà Ëàãåððà ïðè x = 0: n L(α) n (0) = Cα+n .

(113)

2.3.3. Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè Ôîðìóëà (111) ïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî ïîäñ÷èòàòü êîýôôèöèåíòû p(n,n) è p(n,n−1) :

p(n,n)

(−1)n = , n!

p(n,n−1)

(−1)n−1 (α + n) = . (n − 1)!

(114)

Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàò íîðìû ïîëèíîìà Ëàãåððà ñ íîìåðîì n ðàâåí

1 1 Z∞ dx e−x xα+n = Γ(α + n + 1) , n! 0 n! ãäå Γ(σ) - ãàììà ôóíêöèÿ [2]. Nn2 (α) ≡

(115)

2.3.4. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëàãåððà Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (41), ôîðìàëüíî ïðèìåíåííîå ê ïîëèíîìàì Ëàãåððà, íåïîñðåäñòâåííî ïðèâîäèò ê ðåçóëüòàòó:

L(α) n (x)

1 −α x Z ξ n+α −ξ = dξ e x e . C 2πi (ξ − x)n+1

(116)

Êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ C îõâàòûâàåò òî÷êó ξ = x, íî íå ñîäåðæèò òî÷êè ξ = 0.

35

2.3.5. Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü êîýôôèöèåíòû An , Bn è Cn èç ôîðìóë (43), èñïîëüçóåì êîýôôèöèåíòû p(n,n) , Nn2 è p(n,n−1) , íàéäåííûå â ïóíêòå 2.3.3. Èñêîìûå êîýôôèöèåíòû ðàâíû

An = −

1 , n+1

Bn =

2n + α + 1 , n+1

Cn =

α+n . n+1

(117)

Ïðè âû÷èñëåíèè Cn áûëî èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî ãàììà-ôóíêöèé

Γ(α + n + 1) = (α + n)Γ(α + n). Òîãäà ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (42) ïðåäñòàíóò â âèäå (α)

(α)

(n + 1)Ln+1 (x) − (2n + α + 1 − x)L(α) n (x) + (n + α)Ln−1 (x) = 0 . (118)

2.3.6. Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà Äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà X(x)=x, à ïîòîìó âòîðûå ïðîèçâîäíûå 00

X (x) â ôîðìóëàõ (50), (51) èñ÷åçàþò. Âåëè÷èíà βn îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé Cn βn = − p(1,1) K1 = −(n + α) , (119) An à ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (50) ïðèíèìàåò âèä x

d (α) (α) Ln (x) = nL(α) n (x) − (n + α) Ln−1 (x) . dx

(120)

Ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ôîðìóëû (120) ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå ñîîòíîøåíèå

¸ d · (α) (α) Ln (x) − Ln+1 (x) = L(α) (121) n (x) . dx Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîâåðèòü ýòî ñîîòíîøåíèå äîñòàòî÷íî â óðàâíåíèè (120) çàìåíèòü n íà n + 1, èç (120) âû÷åñòü òðàíñôîðìèðîâàííîå óðàâíåíèå, èñïîëüçîâàòü ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå (118) è, íàêî-

íåö, ðàçäåëèòü ïîëó÷åííîå ñîîòíîøåíèå íà x.

36

2.3.7. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà Ïðåäñòàâëåíèå (52) ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè W(x, t) â ñî÷åòàíèè ñ èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîé (116) ïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëèòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà:

W(x, t) =

∞ X n=0

Ln(α) (x)tn

ξ n+α 1 −α x Z −ξ t x e dξ e = = C 2πi (ξ − x)n+1 n=0 ∞ X n

#

"

∞ X 1 −α x Z ξt n ξα −ξ x e = = dξ e C 2πi (ξ − x) n=0 ξ − x 1 −α x Z ξα −ξ ³ ´. = x e dξ e x C 2πi (1 − t) ξ − 1−t

(122)

Âû÷èñëÿÿ ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ âû÷åòà â ïîëþñå ξ =

x 1−t ,

ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå xt

W(x, t) = (1 − t)−1−α e− 1−t .

(123)

Ñõîäèìîñòü ðÿäà â ôîðìóëå (122) îáåñïå÷åíà, åñëè |t| < 1.

Çàäà÷à Ïðîñóììèðîâàòü ðÿä

F (x) =

∞ X n=0

(0)

(−1)n q 2n L2n (x) ,

(124)

ãäå q -äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à |q| < 1. Ëåãêî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èñêîìàÿ ñóììà ïðåäñòàâëåòñÿ ðåàëüíîé ÷àñòüþ ðÿäà, ñîäåðæàùåãî ïîëèíîìû Ëàãåððà êàê ñ ÷åòíûìè, òàê è ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè  ∞ X

F (x) = Re 

n=0

 

(iq)n L(0) n (x) .

(125)

Ïîëàãàÿ t = iq , íàõîäèì F (x) ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè (123)

½

−1

F (x) = Re (1 − iq)

e

ixq − 1−iq

¾

(126)

.

Îòäåëÿÿ ðåàëüíóþ ÷àñòü, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíóþ ôîðìóëó 2 −1

F (x) = (1 + q )

e

xq 2 1+q 2

Ã

xq xq cos + q sin 1 + q2 1 + q2 37

!

.

(127)

2.3.8. Ñâÿçü ïîëèíîìîâ Ëàãåððà è ïîëèíîìîâ Ýðìèòà Ïîëèíîìû Ëàãåððà ñ ïîëóöåëûìè ïàðàìåòðàìè α =

1 2

è α = − 21

èãðàþò âûäåëåííóþ ðîëü, ïîñêîëüêó ñ èõ ïîìîùüþ îñóùåñòâëÿåòñÿ ñâÿçü ïîëèíîìîâ Ýðìèòà è Ëàãåððà 1

2 2) H2m (x) = (−1)m 22m m! L(− m (x ) , 1

H2m+1 (x) = (−1)m 22m+1 m! x L(m2 ) (x2 ) .

(128)

Äëÿ òîãî ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ïåðâîé èç óêàçàííûõ ôîðìóë, ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (111) çàïèøåì ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïðàâîé ÷àñòè ïåðâîé èç ôîðìóë (128) 1

(− 2 ) 2 (−1)m 22m m! Lm (x ) = m X

Ã

m X

m! 1 m− k!(m − k)! 2

!Ã

!

Ã

!

3 1 = (−1) x 2 m− ... k + . 2 2 k=0 (129) Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîñëå ëåãêî ïðåäñêàçóåìûõ àëãåáðàè÷åñêèõ è êîìáèíàòîðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâîäèòñÿ ê âèäó m+k 2k 2m

(−1)m+k (2x)2k

k=0

(2m)! . (2k)!(m − k)!

(130)

Ñ äðóãîé ñòîðîíû ôîðìóëà (78) äàåò

H2m (x) = (2m)!

m X

(−1)l

l=0

(2x)2(m−l) . l!(2(m − l))!

(131)

Òîò ôàêò, ÷òî ôîðìóëû (130) è (131) ñîâïàäàþò, ñòàíîâèòñÿ î÷åâèäíûì åñëè â ïîñëåäíåé ôîðìóëå çàìåíèòü èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ ïî ïðàâèëó (m − l) → k . Âòîðàÿ ôîðìóëà èç (128) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.

38

2.3.9. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ Êâàíòîâîìåõàíè÷åñêàÿ çàäà÷à î äâèæåíèè ÷àñòèöû â öåíòðàëüíîñèììåòðè÷íîì ïðèòÿãèâàþùåì êóëîíîâñêîì ïîëå [13] ñ ïîòåíöèàëîì

U (r) = − ar ïðèâîäèò ê èçó÷åíèþ ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ äëÿ òàê íàçûâàåìîé ðàäèàëüíîé ÷àñòè âîëíîâîé ôóíêöèè R(r): Ã

!

"

#

1 d l(l + 1) 2m a 2 dR r − R + E + R = 0. (132) r2 dr dr r2 r h ¯2 Öåëîå ÷èñëî l îïðåäåëÿåò çíà÷åíèå ìîìåíòà ÷àñòèöû, à E , êàê è ïðåæäå, îïèñûâàåò ýíåðãèþ, êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé ïðè äàííîé ïîñòàíîâêå çàäà÷è. Åñëè ââåñòè íîâóþ ðàäèàëüíóþ ïåðåìåííóþ ρ è íîâóþ èñêîìóþ ôóíêöèþ Z(ρ) ïî ïðàâèëàì v u u t

ρ 2mE R(r) = ρl e− 2 Z(ρ) , (133) 2 , h ¯ òî ïðÿìîé ïðîâåðêîé ìîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî óðàâíåíèå (132) ïðèâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó âèäó:

ρ = 2r −

00

0

ρZ (ρ) + (2l + 2 − ρ)Z (ρ) + (µ − l − 1)Z(ρ) = 0 .

(134)

 ýòîì óðàâíåíèè áóêâîé µ îáîçíà÷åíà êîíñòàíòà v u u t

ma2 . (135) 2¯ h2 E Ñîãëàñíî ÒÅÎÐÅÌÅ 4 óðàâíåíèå (134) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, îãðàíè÷åííûå äëÿ âñåõ êîíå÷íûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà èç îáëàµ≡

−

ñòè îïðåäåëåíèÿ, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà nr ≡ µ − l − 1 ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñàìî ÷èñëî µ > l + 1 òàêæå äîëæíî áûòü íàòóðàëüíûì. ×èñëî µ ≡ n ïðèíÿòî íàçûâàòü ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì, à nr - ðàäèàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì. Ïåðâîå èç ýòèõ ÷èñåë îïðåäåëÿåò ðàñïîëîæåíèå äèñêðåòíûõ óðîâíåé ýíåðãèè, ïîñêîëüêó èç (135) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò

ma2 E=− 2 2. 2¯ hn 39

(136)

Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (134) ÿâëÿåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ïîëèíîì Ëàãåððà ñ íîìåðîì, ñîâïàäàþùèì ñ ðàäèàëüíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì

nr , è öåëî÷èñëåííûì ïàðàìåòðîì α, ðàâíûì α = 2l + 1: (2l+1)

(137)

Z(ρ) = Ln−l−1 (ρ) .

Ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü âîëíîâîé ôóíêöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû ρ

(2l+1)

R(ρ) = const · ρl e− 2 Ln−l−1 (ρ) ,

(138)

êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè Z ∞ 0



3 Z

n¯ h2  2 2  R (r) r dr = 1 = 2ma

∞

R2 (ρ) ρ2 dρ .

0

(139)

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íîðìèðîâî÷íîé êîíñòàíòû çàìåòèì, ÷òî èñêîìûé èíòåãðàë 

3 Z

h2  2  n¯ const · 2ma

∞ 0

dρρ

2l+2 −ρ

µ

e

¶2 (2l+1) Ln−l−1 (ρ)

(140)

îòëè÷àåòñÿ îò íîðìèðîâî÷íîãî èíòåãðàëà äëÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà òåì, ÷òî âìåñòî ñòåïåííîé ôóíêöèè ρ2l+1 ïðèñóòñòâóåò ρ2l+2 . Òåì íå ìåíåå, îòäåëèâ ëèøíèé ñîìíîæèòåëü ρ, âûðàçèâ ïðîèçâåäåíèå (2l+1)

ρLn−l−1 ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ (118) è âîñïîëüçîâàâøèñü îðòîãîíàëüíîñòüþ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà, ïðèäåì, íàêîíåö, ê ñîîòíîøåíèþ



3

n¯ h2   const · 2n 2ma 2



Z ∞ 0

dρρ

2l+1 −ρ

e

µ

¶2 (2l+1) Ln−l−1 (ρ)

=

3

2n h2  2  n¯ = const · Γ(n + l + 1) = 1 . (141) 2ma (n − l − 1)! Ïîñêîëüêó Γ(n + l + 1) = (n + l)!, íîðìèðîâî÷íàÿ êîíñòàíòà îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé const =

2 n2

Ã

v !3 u ma 2 u u (n t 2

− l − 1)! . (n + l)!

h ¯

40

(142)

Îòìåòèì, ÷òî â ó÷åáíèêå [13] èñïîëüçîâàíà èíàÿ ñòàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ Ëàãåððà, è ïîòîìó íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü è ïîðÿäêîâûé íîìåð ïîëèíîìà, ó÷àñòâóþùåãî â ïîñòðîåíèè ðàäèàëüíîé ÷àñòè âîëíîâîé ôóíêöèè, íå ñîâïàäàþò ñ ïðèâåäåííûìè âûøå.

2.4. Ïîëèíîìû ßêîáè (Jacobi C.G.J.) 2.4.1. Còàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè Ñòàíäàðòèçàöèÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó:

X(x) = 1 − x2 ,

a = −1 , b = 1 , Kn = (−1)n 2n n! ,

W (x) = (1 − x)α (1 + x)β ,

λn = n (n + α + β + 1) ,

α, β > −1 .

(143)

Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèè X(x) è W (x) èç (143) â (8), ïîëó÷èì, ÷òî ïîëèíîìû ßêîáè óäîâëåòâîðÿþò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ

(1 − x2 )

d (α,β) d2 (α,β) (x) + [(β − α) − x(α + β + 2)] (x)+ P P n dx2 dx n +n(n + α + β + 1) Pn(α,β) (x) = 0 .

(144)

2.4.2. Ôîðìóëà Ðîäðèãà Èç ôîðìóëû Ðîäðèãà (20) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ ßêîáè:

Pn(α,β) (x)

n h i 1 −α −β d n+α n+β = (−1) n (1 − x) (1 + x) (1 − x) (1 + x) . 2 n! dxn (145) n

Âûïîëíÿÿ ïî ïðàâèëó Ëåéáíèöà (108) ïðÿìîå n-êðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ñòåïåííûõ ôóíêöèé â ôîðìóëå (145), ïîëó÷èì ñóììó

Pn(α,β) (x) =

à !n n 1 X

2

m=0

m n−m Cn+α Cn+β (−1)m+n (1 − x)n−m (1 + x)m . (146)

41

Ñèììåòðè÷íîñòü ôîðìóëû (146) ïîçâîëÿåò íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðèòü ñïðàâåäëèâîñòü ïðàâèëà ÷åòíîñòè äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè

Pn(α,β) (−x) = (−1)n Pn(β,α) (x) .

(147)

Ïåðâûå òðè ïîëèíîìà ßêîáè èìåþò âèä: (α,β)

P0

(x) = 1 ,

(α,β)

P1

1 (x) = [α − β + x(α + β + 2)] , 2

x x2 (α + β + 3)(α + β + 4) + (α − β)(α + β + 3)+ 8 4 h i 1 + (α − β)2 − (α + β) − 4 . (148) 8 Íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà ïîëèíîìû ßêîáè ïðèíèìàþò êîíå÷íûå çíà(α,β)

P2

(x) =

÷åíèÿ

Pn(α,β) (−1) = (−1)n

1 (β + n)(β + n − 1)...(β + 1) , n!

1 (α + n)(α + n − 1)...(α + 1) . (149) n! Â ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî, ïîäñòàâèâ x = −1 è x = Pn(α,β) (+1) =

+1, ñîîòâåòñòâåííî, â ôîðìóëó (146) è îñòàâèâ â ñóììå òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå, îêàçàâøååñÿ íåíóëåâûì.

2.4.3. Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (146), ìîæíî âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû p(n,n) è

p(n,n−1) äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè íåïîñðåäñòâåííî, îäíàêî, ýòîò ïðîöåññ ñîïðÿæåí ñ äîïîëíèòåëüíûì âû÷èñëåíèåì ñóììû, âçÿòîé îò ïðîèçâåäåíèÿ áèíîìèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ. ×òîáû óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èñêîìûå êîýôôèöèåíòû èìåþò âèä

p(n,n) =

1 n C , 2n 2n+α+β

p(n,n−1) = p(n,n)

n(α − β) , 2n + α + β

(150)

àâòîð ðåêîìåíäóåò äåéñòâîâàòü ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè, âçÿâ çà îñíîâó êîýôôèöèåíòû ïðè ñòàðøèõ ñòåïåíÿõ èç ôîðìóë 42

(148). Êâàäðàò íîðìû ïîëèíîìà ßêîáè ñ íîìåðîì n ðàâåí, ñîãëàñíî (39), 2 Nm ≡ (−1)m

Z 1 m! p(m,m) dx (1 − x)α+m (1 + x)β+m . −1 Km

(151)

Èíòåãðàë â ôîðìóëå (151) ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé x = 2t − 1 ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó α+β+2m+1

2

Z 1 0

dt (1 − t)α+m tβ+m ,

(152)

à ïîòîìó âûðàæàåòñÿ ÷åðåç áåòà-ôóíêöèþ [2]

2α+β+2m+1 B(β + m + 1, α + m + 1) ,

(153)

êîòîðàÿ, êàê èçâåñòíî, ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ãàììà-ôóíêöèé

2α+β+2m+1

Γ(β + m + 1)Γ(α + m + 1) . Γ(α + β + 2m + 2)

(154)

Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ Km è p(m,m) , èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå Cnm (109) è ïàìÿòóÿ î ñâîéñòâå ãàììà-ôóíêöèé

Γ(σ + 1) = σΓ(σ) ,

(155)

ïðèõîäèì ê ôèíàëüíîé ôîðìóëå äëÿ íîðìèðîâî÷íîãî êîýôôèöèåíòà 2 Nm (α, β) = 2α+β+1

Γ(α + m + 1)Γ(β + m + 1) . m!(α + β + 2m + 1)Γ(α + β + m + 1)

43

(156)

2.4.4. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ ßêîáè Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå (41) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó, åñëè ðå÷ü èäåò î ïîëèíîìàõ ßêîáè: Z (−1)n −n (1 − ξ)α+n (1 + ξ)β+n −α −β = 2 (1 − x) (1 + x) dξ . C 2πi (ξ − x)n+1 (157) Êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ C îõâàòûâàåò òî÷êó ξ = x, òî÷êè ξ = ±1

Pn(α,β) (x)

ëåæàò âíóòðè êîíòóðà, à îäíîçíà÷íûå âåòâè ìíîãîçíà÷íûõ ôóíêöèé ³

´ 1−ξ α 1−x

è

³

´ 1−ξ β 1−x

âûáèðàþòñÿ ñ òàêèì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû ïðè ξ = x îíè

ðàâíÿëèñü åäèíèöå.

2.4.5. Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè Êîýôôèöèåíòû An , Bn è Cn èç ôîðìóë (43), ïîëó÷àþòñÿ, êàê è ïðåæäå, ñ ïîìîùüþ íàéäåííûõ êîýôôèöèåíòîâ p(n,n) , Nn2 è p(n,n−1) :

An =

(2n + α + β + 1)(2n + α + β + 2) , 2(n + 1)(n + α + β + 1)

(α2 − β 2 )(2n + α + β + 1) , 2(n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β) (n + α)(n + β)(2n + α + β + 2) Cn = . (n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β) Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ (42) ïðåäñòàíóò â âèäå Bn =

(158)

(α,β)

2(n + 1)(n + α + β + 1)(2n + α + β) Pn+1 (x)− h

i

−(2n+α+β+1) (2n+α+β)(2n+α+β+2)x+α2 −β 2 Pn(α,β) (x)+ (α,β)

+2(n + α)(n + β)(2n + α + β + 2) Pn−1 (x) = 0 .

(159)

2.4.6. Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè 00

Äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè X = − 2, à âåëè÷èíà βn , âû÷èñëåííàÿ ñ ïîìîùüþ (51) è (158), îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé

βn =

2(n + α)(n + β) . (2n + α + β) 44

(160)

Òîãäà ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðèíèìàåò âèä

(2n + α + β)(1 − x2 )

d (α,β) P (x) = dx n (α,β)

= n [(α − β) − (2n + α + β) x] Pn(α,β) (x) + 2(n + α)(n + β) Pn−1 (x) . (161)

2.4.7. Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè Ïîñêîëüêó â ôîðìóëå (157) ïðè ïðîèçâîëüíûõ íåöåëûõ ïàðàìåòðàõ

α è β ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ ìíîãîçíà÷íûìè ôóíêöèÿìè è íåîáõîäèìîñòüþ âûäåëåíèÿ èõ îäíîçíà÷íûõ âåòâåé, ðåêîìåíäóåòñÿ ñëåäóþùèé ìîäèôèöèðîâàííûé ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè W(x, t) (52). Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà (157) ñ ïîìîùüþ çàìåíû ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ

ξ=u

−1

µ

1−

√

¶

1 − 2xu +

u2

,

u=2

ξ−x ξ2 − 1

(162)

ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó

Pn(α,β) (x)

2α+β = 2πi

Z C∗

du R−1 (x, u) . (163) un+1 [1 − u + R(x, u)]α [1 + u + R(x, u)]β

Ïîä R(x, u) ïîíèìàåòñÿ òà âåòâü ìíîãîçíà÷íîé ôóíêöèè

R(x, u) =

√

1 − 2xu + u2 ,

(164)

êîòîðàÿ îáðàùàåòñÿ â åäèíèöó ïðè u = 0. Êîíòóð C ∗ îõâàòûâàåò òî÷êó u = 0. Ïðè äàííîì èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ïîëèíîìîâ ßêîáè ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ W(x, t) (52) ïîñëå ïðîöåäóðû ñóììèðîâàíèÿ ïîä çíàêîì èíòåãðàëà ïî êîíòóðó C ∗ çàäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì

W(x, t) =

∞ X n=0

=

2α+β Z 2πi

C∗

Pn(α,β) (x)tn =

du [1 − u + R(x, u)]−α [1 + u + R(x, u)]−β R−1 (x, u) . (u − t) (165) 45

Ñõîäèìîñòü ðÿäà â ôîðìóëå (165) îáåñïå÷åíà, åñëè |t| < 1. Êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ C ∗ ïîñòðîåí òàê, ÷òî òî÷êà u = t ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé îñîáîé òî÷êîé â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè, à ïîòîìó âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïî òåîðåìå î âû÷åòàõ ìãíîâåííî äàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:

W(x, t) = 2α+β [1 − t + R(x, t)]−α [1 + t + R(x, t)]−β R−1 (x, t) . (166)

2.5. ×àñòíûå ñëó÷àè ïîëèíîìîâ ßêîáè  çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè âñòðå÷àþòñÿ ïðèìåðû ïîëèíîìîâ ßêîáè, èçâåñòíûå êàê óëüòðàñôåðè÷åñêèå ïîëèíîìû Ãåãåíáàóýðà (Gegenbauer L.), ñôåðè÷åñêèå ïîëèíîìû Ëåæàíäðà (Legendre A.M.) è ïîëèíîìû ×åáûøåâà (×åáûøåâ Ï.Ë.). Êðàòêî îáñóäèì ñâîéñòâà ýòèõ êëàññè÷åñêèõ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ.

2.5.1. Ïîëèíîìû Ãåãåíáàóýðà (Gegenbauer L.) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîëèíîìîâ Ãåãåíáàóýðà îòíîñèòñÿ ê ðàçðÿäó îäíîïàðàìåòðè÷åñêèõ è ïîëó÷àåòñÿ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äâóõïàðàìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ ßêîáè ïðè

α=β ≡λ−

1 . 2

(167)

 òàêîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû.

Ñòàíäàðòèçàöèÿ

a = −1 ,

b = 1,

X(x) = 1 − x2 ,

Kn = (−1)n 2n n! ,

1

W (x) = (1 − x2 )λ− 2 , λn = n(n + 2λ) .

1 λ>− , 2 (168)

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

d2 (λ) d (1−x ) 2 Pn (x)−x(2λ+1) Pn(λ) (x)+n(n+2λ) Pn(λ) (x) = 0 . (169) dx dx 2

46

Ôîðìóëà Ðîäðèãà

Pn(λ) (x) = (−1)n

¸ n · 1 2 −λ+ 12 d 2 n+λ− 21 (1 − x ) (1 − x ) . 2n n! dxn

(170)

Ñâîéñòâà ÷åòíîñòè

Pn(λ) (−x) = (−1)n Pn(λ) (x) .

(171)

Ïåðâûå òðè ïîëèíîìà Ãåãåíáàóýðà (λ)

P0 (x) = 1 ,

(λ)

P1 (x) =

x (2λ + 1) , 2

i 2λ + 3 h 2 2x (λ + 1) − 1 . 8 Ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû (λ)

(172)

P2 (x) =

p(n,n) =

1 n C , 2n 2n+2λ−1

p(n,n−1) = 0 .

(173)

Γ2 (λ + n + 12 ) . n!(λ + n)Γ(2λ + n)

(174)

Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè

Nn2 (λ) = 22λ−1 Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå

1

Pn(λ) (x)

Z (1 − ξ 2 )λ+n− 2 (−1)n −n 2 −λ+ 12 dξ = 2 (1 − x ) . C 2πi (ξ − x)n+1

(175)

Êîýôôèöèåíòû ðåêóððåíòíîñòè

An =

(n + λ)(2n + 2λ + 1) , (n + 1)(n + 2λ)

Bn = 0 ,

(n + λ − 12 )2 (2n + 2λ + 1) Cn = . (n + 1)(n + 2λ)(2n + 2λ − 1) Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ

(176)

(λ)

(n + 1)(n + 2λ) Pn+1 (x)−(n + λ)(2n + 2λ + 1) x Pn(λ) (x)+ 1 (λ) + (2n + 2λ − 1)(2n + 2λ + 1) Pn−1 (x) = 0 . 4 47

(177)

Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

1 βn = (2n + 2λ − 1) . (178) 2 d (λ) 1 (λ) (1 − x2 ) Pn (x) = −n xPn(λ) (x) + (2n + 2λ − 1) Pn−1 (x) . (179) dx 2 Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ 1

W(x, t) = 22λ−1 {[1 − t + R(x, t)][1 + t + R(x, t)]}−λ+ 2 R−1 (x, t) . (180)

2.5.2. Ïîëèíîìû Ëåæàíäðà (Legendre A.M.) Ïîëèíîìû Ëåæàíäðà íå ñîäåðæàò ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ è ïîëó÷àþòñÿ èç ïîëèíîìîâ ßêîáè èëè èç ïîëèíîìîâ Ãåãåíáàóýðà, ñîîòâåòñòâåííî, ïðè

α = β = 0,

λ =

1 . 2

(181)

Còàíäàðòèçàöèÿ

a = −1 ,

b = 1,

X(x) = 1 − x2 ,

Kn = (−1)n 2n n! ,

W (x) = 1 ,

λn = n(n + 1) .

(182)

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

d2 d (1 − x ) 2 Pn (x) − 2x Pn (x) + n(n + 1) Pn (x) = 0 . dx dx 2

(183)

Ôîðìóëà Ðîäðèãà i 1 dn h 2 n . Pn (x) = (−1) n (1 − x ) 2 n! dxn n

(184)

Ïðåäñòàâëåíèå â âèäå êîíå÷íîé ñóììû

Pn (x) =

à !n [n/2] 1 X

2

m=0

Cnm Cn2n−2m (−1)m xn−2m .

(185)

Ñâîéñòâà ÷åòíîñòè

Pn (−x) = (−1)n Pn (x) . 48

(186)

Ïåðâûå òðè ïîëèíîìà Ëåæàíäðà

P0 (x) = 1 ,

P1 (x) = x ,

1 P2 (x) = (3x2 − 1) . 2

(187)

Pn (+1) = 1 .

(188)

Çíà÷åíèÿ íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëà

Pn (−1) = (−1)n , Ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû

p(n,n) =

1 n C , 2n 2n

p(n,n−1) = 0 .

(189)

Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè

Nn2 =

2 . (2n + 1)

(190)

Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå

(1 − ξ 2 )n (−1)n −n Z dξ 2 . Pn (x) = C 2πi (ξ − x)n+1

(191)

Äðóãîå èçâåñòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà

Pn (cos θ) =

1Zπ dφ (cos θ + i sin θ cos φ)n 0 π

(192)

ïîëó÷àåòñÿ èç (191) ñ ïîìîùüþ çàìåí

ξ =x+

√

x2 − 1 eiφ ,

x = cos θ

(193)

ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèÿ êîíòóðà èíòåãðèðîâàíèÿ â îêðóæíîñòü ðàäèóñà

√

x2 − 1. Êîýôôèöèåíòû ðåêóððåíòíîñòè An =

(2n + 1) , (n + 1)

Bn = 0 ,

Cn =

n . (n + 1)

(194)

Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ

(n + 1) Pn+1 (x) − (2n + 1)x Pn (x) + n Pn−1 (x) = 0 . 49

(195)

Ôîðìóëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (196)

βn = n , d Pn (x) = −n x Pn (x) + n Pn−1 (x) . dx Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ (1 − x2 )

W(x, t) =

∞ X n=0

Pn (x)tn = R−1 (x, t) = √

1 . 1 − 2xt + t2

(197)

(198)

2.5.3. Ïîëèíîìû ×åáûøåâà Ïîëèíîìû ×åáûøåâà, òàêæå êàê è ïîëèíîìû Ëåæàíäðà, íå ñîäåðæàò ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Ê ðàçðÿäó êëàññè÷åñêèõ îòíîñÿòñÿ äâà òèïà ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà: Tn (x) è Un (x). Ïîëèíîìû Tn (x) ïîëó÷àþòñÿ èç ïîëèíîìîâ ßêîáè ïðè

1 α=β≡− , 2

(199)

à ïîëèíîìû Un (x) - ïðè

α=β≡

1 . 2

(200)

Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëèíîìû ×åáûøåâà Tn (x) è Un (x) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòíûå ñëó÷àè óëüòðàñôåðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ Ãåãåíáàóýðà äëÿ çíà÷åíèé λ = 0 è λ = 1, ñîîòâåòñòâåííî, íî ìîãóò â ñèëó ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà îòëè÷àòüñÿ îò íèõ ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì. Íèæå ïðèâåäåíû ôîðìóëû, â êîòîðûõ èñïîëüçîâàíà ñòàíäàðòèçàöèÿ, ïðèíÿòàÿ â êíèãå [1]. Ïðè òàêîé ñòàíäàðòèçàöèè êîýôôèöèåíòû Kn äëÿ ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç Kn äëÿ ïîëèíîìîâ ßêîáè. Ñîîòâåòñòâóþùèå èçìåíåíèÿ ïðåòåðïåâàþò è îñòàëüíûå ôîðìóëû. Ïîñêîëüêó äëÿ Tn (x) è Un (x) ñïðàâåäëèâû ïîõîæèå ñîîòíîøåíèÿ, ïðèâåäåì èõ ðÿäîì äðóã ñ äðóãîì â óêàçàííîì ïîðÿäêå äëÿ óäîáñòâà ñðàâíåíèÿ. 50

Ñòàíäàðòèçàöèÿ Tn (x)

a = −1 ,

X(x) = 1 − x2 ,

b = 1,

Γ(n + 21 ) Kn = (−1) 2 , Γ( 12 ) n n

1

W (x) = (1 − x2 )− 2 , λn = n2 .

(201)

Ñòàíäàðòèçàöèÿ Un (x)

a = −1 ,

b = 1,

X(x) = 1 − x2 ,

n n+1

Kn = (−1) 2

Γ(n + 32 ) , (n + 1)Γ( 12 )

1

W (x) = (1 − x2 ) 2 , λn = n(n + 2) .

(202)

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ Tn (x)

d2 d (1 − x ) 2 Tn (x) − x Tn (x) + n2 Tn (x) = 0 . dx dx Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ Un (x) 2

d d2 U (x) − 3x Un (x) + n(n + 2) Tn (x) = 0 . n dx2 dx Ôîðìóëà Ðîäðèãà äëÿ Tn (x) (1 − x2 )

¸ n · Γ( 21 ) 2 12 d 2 n− 12 . Tn (x) = (−1) n (1 − x ) (1 − x ) dxn 2 Γ(n + 12 ) n

(203)

(204)

(205)

Ôîðìóëà Ðîäðèãà äëÿ Un (x) ¸ n · (n + 1)Γ( 21 ) 2 − 12 d 2 n+ 21 Un (x) = (−1) n+1 (1 − x ) (1 − x ) . dxn 2 Γ(n + 32 ) n

(206)

ßâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà X n [n/2] (n − m − 1)! (−1)m (2x)n−2m , Tn (x) = 2 m=0 m!(n − 2m)! [n/2] X

(n − m)! (2x)n−2m . m!(n − 2m)! m=0 Ñâîéñòâà ÷åòíîñòè (àíàëîãè÷íû äëÿ Tn (x) è Un (x)) Un (x) =

(−1)m

Tn (−x) = (−1)n Tn (x) . 51

(207) (208)

(209)

Ïåðâûå òðè ïîëèíîìà ×åáûøåâà

T0 (x) = U0 = 1 ,

T1 (x) = x ,

T2 (x) = 2x2 − 1 ,

U1 (x) = 2x ,

U2 (x) = 4x2 − 1 .

(210)

Ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû äëÿ Tn (x)

p(n,n) = 2n−1 ,

(211)

p(n,n−1) = 0 ,

Ïîëèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû äëÿ Un (x)

p(n,n) = 2n ,

(212)

p(n,n−1) = 0 ,

Íîðìèðîâî÷íûå ìíîæèòåëè (àíàëîãè÷íû äëÿ Tn (x) è Un (x))

Nn2 (λ) =

π . 2

(213)

Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå Tn (x) 1

Z (1 − ξ 2 )n− 2 (−1)n n!Γ( 12 ) 2 12 dξ (1 − x ) . Tn (x) = C 2πi 2n Γ(n + 12 ) (ξ − x)n+1

(214)

Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå Un (x) 1

Z (1 − ξ 2 )n+ 2 (−1)n (n + 1)!Γ( 12 ) 2 − 12 dξ Un (x) = (1 − x ) . C 2πi 2n+1 Γ(n + 32 ) (ξ − x)n+1

(215)

Êîýôôèöèåíòû ðåêóððåíòíîñòè (îäèíàêîâû äëÿ Tn (x) è Un (x))

An = 2 ,

Bn = 0 ,

Cn = 1 .

(216)

Ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ

Zn+1 (x) − 2x Zn (x) + Zn−1 (x) = 0 , ãäå Zn (x) îáîçíà÷àåò ëèáî Tn (x), ëèáî Un (x).

Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ

(1 − x2 )

d Tn (x) = n[Tn−1 (x) − xTn (x)] , dx 52

(217)

d Un (x) = (n + 1)Un−1 (x) − nxUn (x) . dx Ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè (1 − x2 )

(218)

1 − t2 1+2 Tn (x) t = , 1 − 2xt + t2 n=1 ∞ X

∞ X n=0

n

Un (x) tn =

1 . 1 − 2xt + t2

(219)

Ñâÿçü ïîëèíîìîâ Tn (x) è Un (x)

Tn (x) = Un (x) − xUn−1 (x) , (1 − x2 )Un−1 (x) = xTn (x) − Tn+1 (x) .

(220)

Òðèãîíîìåòðèçàöèÿ ïîëèíîìîâ ×åáûøåâà

Tn (cos θ) = cos nθ ,

Un (cos θ) =

sin [(n + 1)θ] . sin θ

(221)

2.5.4. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ Ïðè îïèñàíèè íüþòîíîâñêîãî ãðàâèòàöèîííîãî èëè êóëîíîâñêîãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ âîçíèêàåò çàäà÷à îá îïðåäåëåíèè ïîòåíöèàëà, ñîçäàâàåìîãî ïðîòÿæåííûì òåëîì.  òî÷êå, îïèñûâàåìîé ðàäèóñ -

~ ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè X1 , X2 , X3 , êîòîðàÿ íàõîâåêòîðîì R äèòñÿ âíå òåëà, èñòî÷íèêà ïîëÿ, ïîòåíöèàë çàäàåòñÿ èíòåãðàëîì

~ = U(R)

Z V

d3 r

ρ(~r) , ~ − ~r| |R

(222)

ãäå V ñèìâîëèçèðóåò îáëàñòü, çàíèìàåìóþ òåëîì, d3 r ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåðó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî îáúåìó, ~r - ðàäèóñ - âåêòîð ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè x1 , x2 , x3 , íàïðàâëåííûé èç íà÷àëà êîîðäèíàò â òåêóùóþ òî÷êó, ñêàíèðóþùóþ îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîìíÿ î òîì, ÷òî

r

~ − ~r| ≡ (R ~ |R

r

− ~r)2

~ 2 − 2(R, ~ ~r) + ~r2 , = R 53

(223)

ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ â (222) ñëåäóþùèì îáðàçîì

ρ(~r) ρ(~r) =√ 2 , ~ − ~r2 | R − 2Rr cos θ + r2 |R

~ , r ≡ |~r|, cos θ ≡ ãäå ââåäåíû ñòàíäàðòíûå îáîçíà÷åíèÿ: R ≡ |R|

(224) ~ r) (R,~ , ~ |R||~r|

~ è ~r. Ïîñêîëüêó äëÿ âíåøíèõ òî÷åê íàθ - óãîë ìåæäó âåêòîðàìè R áëþäåíèÿ R > r, êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì ðàçëîæèòü ôóíêöèþ (224) â ðÿä ïî ñòåïåíÿì

r R.

Òîãäà, âñïîìèíàÿ ïðî ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ

äëÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà (198), ïîëó÷àåì

√

∞ X ρ(~r) rn = ρ(~ r ) P (cos θ) . n+1 n R2 − 2Rr cos θ + r2 n=0 R

(225)

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàë (222) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñëåäóþùåãî òàê íàçûâàåìîãî ìóëüòèïîëüíîãî ðàçëîæåíèÿ

~ = U(R)

∞ X

1

Z ∞ Z π Z 2π

n+1 0 n=0 R

0

0

rn+2 sin θdrdθdφ ρ(r, θ, φ) Pn (cos θ) . (226)

Ïåðâûå òðè ñëàãàåìûõ ýòîãî ðàçëîæåíèÿ (n = 0, n = 1, n = 2) îáû÷íî ñâÿçûâàþò ñ ìîíîïîëüíûì, äèïîëüíûì è êâàäðóïîëüíûì ìîìåíòàìè, ñîîòâåòñòâåííî. Èìåÿ â âèäó ÿâíîå ïðåäñòàâëåíèå ïåðâûõ òðåõ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà (187), ïåðåïèøåì ôîðìóëó (226) â ñëåäóþùåì âèäå: 3 ~ ·D ~ M R 3 X ~ U(R) = + + Xi Xj Qij + ... R R3 2R5 i,j=1

(227)

~ è Ñêàëÿð ìîíîïîëüíîãî ìîìåíòà M, âåêòîð äèïîëüíîãî ìîìåíòà D òåíçîð êâàäðóïîëüíîãî ìîìåíòà Qij ,êàê îáû÷íî, çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè:

Z

M≡ ~ ≡ D

d3 r ρ(~r) ,

(228)

d3 r ~r ρ(~r) ,

(229)

V

Z V

54

Z

Ã

!

1 Qij ≡ d r ρ(~r) xi xj − r2 δij . (230) V 3 Äëÿ ñëó÷àÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè ρ(r) ëåãêî âîñïðîèçâåñòè ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé È.Íüþòîíîì, î òîì, 3

÷òî äëÿ ëþáîé âíåøíåé òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïîòåíöèàë ïðîòÿæåííîãî òåëà ñ ïëîòíîñòüþ, çàâèñÿùåé òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà, ðàâåí ïîòåíöèàëó òî÷å÷íîãî òåëà, ó êîòîðîãî âñÿ ìàññà ñîñðåäîòî÷åíà â öåíòðå. Äåéñòâèòåëüíî, èíòåãðàë Z π 0

sin θdθPn (cos θ) · 1 =

Z 1 −1

d(cos θ)Pn (cos θ)P0 (cos θ)

(231)

â ñèëó óñëîâèé îðòîãîíàëüíîñòè äëÿ ïîëèíîìîâ Ëåæàíäðà îòëè÷åí îò íóëÿ òîëüêî ïðè n = 0, ïîñêîëüêó åäèíèöó â ïîäûíòåãðàëüíîì âûðàæåíèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ïîëèíîì íóëåâîé ñòåïåíè. Òîãäà èç âñåé ñóììû â (226) îñòàåòñÿ ëèøü îäíî íåíóëåâîå ñëàãàåìîå

~ = U(R)

M 4π Z ∞ 2 r dr ρ(r) = , R 0 R

(232)

ïðè÷åì â äàííîé çàäà÷å ìîíîïîëüíûé ìîìåíò M ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíóþ ìàññó îáúåêòà.

55

Öèòèðîâàííàÿ ëèòåðàòóðà 1. Áåéòìåí Ã., Ýðäåéè À. Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè. Ò.2. - Ì.: Íàóêà, 1966. 2. Áåéòìåí Ã., Ýðäåéè À. Âûñøèå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè. Ò.1. - Ì.: Íàóêà, 1966. 3. Ñåãå Ã. Îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû. - Ì.: ÔÌ, 1962. 4. Äæåêñîí Ä. Ðÿäû Ôóðüå è îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû. - Ì.: ÈË, 1948. 5. Ñóåòèí Ï.Ê. Êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû. - Ì.: Íàóêà, 1976. 6. Ëåáåäåâ Í.Í. Ñïåöèàëüíûå ôóíêöèè è èõ ïðèëîæåíèÿ. - Ì.: ÃÈÒÒË, 1953. 7. Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôè-

çèêè. - Ì.: ÃÈÒÒË, 1953. 8. Êîøëÿêîâ Í.Ñ., Ãëèíåð Ý.Á., Ñìèðíîâ Ì.Ì. Îñíîâíûå äèôôåðåí-

öèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. - Ì.: ÃÈÔÌË, 1962. 9. ×èáðèêîâà Ë.È. Èçáðàííûå ãëàâû àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè îáûê-

íîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Êàçàíñêèé Ôîíä "Ìàòåìàòèêà". Êàçàíü. 1996. 10. Bochner S., 1939, Math.Z., 29, p. 730-736. 11. Êîëìîãîðîâ À.Í., Ôîìèí Ñ.Â. Ýëåìåíòû òåîðèè ôóíêöèé è

ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà. - Ì.: Íàóêà, 1972. 12. Êàìïå äå Ôåðüå Æ., Êåìïáåëë Ð., Ïåòüî Ã., Ôîãåëü Ò. Ôóíêöèè

ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. - Ì.: ÔÌ, 1963. 13. Ëàíäàó Ë.Ä., Ëèôøèö Å.Ì. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Íåðåëÿòè-

âèñòñêàÿ òåîðèÿ. - Ì.: Íàóêà, 1974.

56

ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ Ïðåäèñëîâèå àâòîðà

3

×ÀÑÒÜ I. ÎÁÙÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÕ ÏÎËÈÍÎÌÎÂ

5

1.1. Ââåäåíèå

5

1.2. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ïðåäñòàâëÿþùåå êëàññè÷åñêèå îðòîãîíàëüíûå ïîëèíîìû 1.3. Ôîðìóëà Ðîäðèãà

7 12

1.4. Âû÷èñëåíèå íîðìèðîâî÷íûõ ìíîæèòåëåé äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

18

1.5. Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

18

1.6. Ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ ñ ïîìîùüþ ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé

19

1.7. Ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ äëÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

22

1.8. Ïðåäñòàâëåíèå îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ êàê êîýôôèöèåíòîâ â ðàçëîæåíèè ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé

22

×ÀÑÒÜ II. ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÅ ÎÐÒÎÃÎÍÀËÜÍÛÅ ÏÎËÈÍÎÌÛ

24

2.1. Êëàññèôèêàöèÿ îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìîâ

24

2.2. Ïîëèíîìû Ýðìèòà

28

2.3. Ïîëèíîìû Ëàãåððà

33

2.4. Ïîëèíîìû ßêîáè

41

2.5. ×àñòíûå ñëó÷àè ïîëèíîìîâ ßêîáè

46

2.5.1. Ïîëèíîìû Ãåãåíáàóýðà

46

2.5.2. Ïîëèíîìû Ëåæàíäðà

48

2.5.3. Ïîëèíîìû ×åáûøåâà

50

Öèòèðîâàííàÿ ëèòåðàòóðà

56

57

ÄËß ÇÀÌÅÒÎÊ

58