Квантовая вероятность и квантовая статистика

А.С.Xолево КВАНТОВАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА (Итоги науки и техн. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. ВИНИТИ, 1991. т.83. С. 3—132)

Предметом обзора является вероятностная структура квантовой теории. Математические исследования в этой области начались в 30-e годы, но лишь за последние двадцать лет усилиями ряда специалистов была, в основном, создана квантовая теория вероятностей, опирающаяся на современный аппарат некоммутативного функционального анализа и свободная от трудностей и противоречий первоначального подхода. Основные понятия квантовой теории вероятностей рассматриваются в обзоре в сопоставлении с классической вероятностной схемой. Подчеркиваются принципиальные отличия, в основе которых лежат более сложные геометрия выпуклого множества квантовых состояний и алгебраическая структура пространства квантовых наблюдаемых. Эти отличия находят выражение в корреляционных неравенствах, проливающих новый свет на проблему скрытых параметров, а также в фундаментальных ограничениях на точность и информативность измерений, составляющих предмет квантовой теории статистических решений. Центральные математические понятия — разложение единицы (положительная операторно-значная мера) и вполне положительное отображение — рассматриваются в естественной связи с приложениями. Основанная на этих средствах обобщенная статистическая модель квантовой механики дает ключ к ряду вопросов, не находящих удовлетворительного решения в рамках стандартной формулировки. Это — проблема соответствия (канонической сопряженности), марковская динамика открытых квантовых систем, проблема воспроизводимости в теории квантового измерения, процессы непрерывного измерения. Излагаются основы теории квантовых случайных процессов, в частности, квантовое стохастическое исчисление, дающее эффективный метод расширения динамических полугрупп и процессов непрерывного измерения. Содержание Предисловие 7 Введение 9 0.1. Конечномерные системы 9 0.2. Общие постулаты статистического описания 11 0.3. Классические и квантовые системы 12 0.4. Рандомизация в классической и квантовой статистике 14 0.5. Выпуклая геометрия разложений единицы и фундаментальные 15 пределы точности 0.6. Проблема соответствия 16 0.7. Повторные и непрерывные измерения 16 0.8. Необратимая динамика 18 0.9. Квантовые случайные процессы 18 Глава 1. Стандартная статистическая модель квантовой механики 19 § 1. Основные понятия 19 1.1. Операторы в гильбертовом пространстве 19

1.2. Оператор плотности 1.3. Спектральная мера 1.4. Статистический постулат 1.5. Совместимые наблюдаемые 1.6. Простейший пример § 2. Симметрии, кинематика, динамика 2.1. Группы симметрии 2.2. Однопараметрические группы 2.3. Соотношения Г. Вейля 2.4. Гауссовские состояния § 3. Составные системы 3.1. Тензорное произведение гильбертовых пространств 3.2. Произведение квантовых состояний 3.3. Независимость и предельные теоремы § 4. Проблема скрытых параметров 4.1. Скрытые параметры и квантовая дополнительность 4.2. Скрытые параметры и квантовая целостность 4.3. Структура множества квантовых корреляций Глава 2. Статистика квантовых измерений § 1. Обобщенные наблюдаемые 1.1. Разложения единицы 1.2. Обобщенная статистическая модель квантовой механики 1.3. Геометрия множества обобщенных наблюдаемых § 2. Квантовая теория статистических решений 2.1. Проверка гипотез 2.2. Байесовская задача 2.3. Пропускная способность квантового канала связи 2.4. Общая формулировка 2.5. Квантовые неравенства Рао — Крамера § 3. Ковариантные наблюдаемые 3.1. Формулировка проблемы 3.2. Структура ковариантного разложения единицы 3.3. Обобщенные системы импримитивности 3.4. Случай абелевой группы 3.5. Каноническая сопряженность в квантовой механике 3.6. Локализуемость Глава 3. Эволюция открытой системы § 1. Преобразования квантовых состояний и наблюдаемых 1.1. Вполне положительные отображения 1.2 Операции, динамические отображения 1.3. Условные ожидания § 2. Квантовые динамические полугруппы 2.1. Определение и примеры 2.2. Инфинитезимальный оператор

21 22 22 23 25 27 27 28 29 32 33 33 34 35 37 37 39 42 43 43 43 45 47 49 49 50 53 55 57 60 60 61 62 63 65 68 69 69 69 71 73 74 74 75

2.3. Свойство консервативности 77 2.4. Ковариантные эволюции 79 2.5. Эргодические свойства 80 2.6. Расширения динамических полугрупп 81 Глава 4. Последовательные и непрерывные процессы измерения 85 § 1. Статистика последовательных измерений 85 1.1. Понятие инструмента 85 1.2. Представление вполне положительного инструмента 87 1.3. Три уровня описания квантовых измерений 89 1.4. Воспроизводимость 90 1.5. Измерения непрерывных наблюдаемых 91 § 2. Процессы непрерывного измерения 93 2.1. Неразрушающие измерения 93 2.2. «Квантовый парадокс Зенона» 95 2.3. Предельная теорема для сверток инструментов 96 2.4. Сверточные полугруппы инструментов 98 2.5. Инструментальные процессы 100 Глава 5. Процессы в пространстве Фока 103 § 1. Квантовое стохастическое исчисление 103 1.1. Основные определения 103 1.2. Стохастический интеграл 105 1.3. Квантовая формула Ито 108 1.4. Квантовые стохастические дифференциальные уравнения 110 § 2. Расширения в пространстве Фока 113 2.1. Винеровский и пуассоновский процессы в пространстве Фока 114 2.2. Стохастические эволюции и расширения динамических 116 полугрупп 2.3. Расширения инструментальных процессов 119 2.4. Стохастические представления процессов непрерывного 121 измерения 2.5. Нелинейные стохастические уравнения апостериорной динамики 123 Литература 125 Именной указатель 266 Предметный указатель 268 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Аратари (Aratari С.) 84 Азема (Azema J.) 116 Артемьев А. Ю. 126 Аккарди (Accardi L.) 19, 37, 74, 82, 111, 113, 128, 131, 132 Ахиезер Н. И. 126 Али (Ali S. Т.) 69, 128 Аюпов Ш. А. 22 Балслев (Balslev E.) 128 Алицки (Alicki R.) 84, 128 Баргман (Bargmann V.) 28 Альбеверио (Albeverio S.) 81 Баркиелли (Barchielli A.) 95, 100, 119, Андо (Ando R.) 71, 128 128 Аншелевич В. В. 37, 81 Барнетт (Barnett С.) 108, 128 Араки (Araki H.) 19, 60, 113

Бах (Bach A.) 37, 128 Белавкин В. П. 52, 55, 56, 84, 85, 108, 109, 110, 124, 125, 126, 128 Белл (Bell J.) 13, 38, 39, 41, 129 Бенджбаллах (Benjballah С.) 55, 129 Бербериан (Berberian S. К.) 128 Березин Ф. А. 126 Бернулли (Bernoulli J.) 26, 35 Блох (Bloch L.) 80 Боголюбов Н. Н. 126 Богомолов Н. А. 56, 126 Больцман (Boltzmann L.) 84 Бор (Bohr N.) 46 Брагинский В. Б. 128 Брагтели (Bratteli U.) 126, 128 Бриллюэн (Brillouin L.) 15 Вайтман (Wightman A. S.) 68 Вальд (Wald A.) 14, 56 фон Вальденфельс (von Waldenfels W.) 35, 36, 111, 112, 128, 129, 131, 132 Ваневский (Waniewski J.) 90, 132 Ванцян А. Г. 55, 127 Варадарайан (Varadarajan V. S.) 11, 28, 132 Вебер (Weber T.) 124 Вейль Г. (Weyl H.) 29, 31, 113, 126 Вербер (Verbeure A.) 37, 128, 130, 131 Верль (Wehrl A.) 72, 132 Вернер (Werner R.) 42, 132 Верри (Verri M.) 130 Ветс (Vets P.) 37, 130 Вигнер (Wigner E. P.) 27, 28, 36, 39, 68, 126 Винер (Wiener N.) 116 Винсент-Смит (Vincent-Smith G. F.) 84, 132 Войкулеску (Voiculescu D.) 36, 132 Воронцов Ю. И. 128 Габор (Gabor D.) 15 Гаддер (Gudder S.) 11, 130 Галилей (Galilei G.) 29, 68 Гатарек (Gatarek D.) 125, 129 Гейзенберг (Heizenberg W.) 28

Гельфанд И. М. 70 Гирарди (Ghirardi G. C.) 124, 125, 129 Гихман И. И. 101 Гишарде (Guichardet A.) 130 Глазман И. М. 126 Глаубер (Glauber R.) 126 Глисон (Gleason A. M.) 21, 38 Годерис (Goderis D.) 37, 130 Гольдштейн М. Ш. 36, 37, 81 Горини (Gorini V.) 18, 75, 83, 130, 131 Гренандер (Grenander U.) 126 Грейвс (Graves С.) 30 Гриб А. А. 126 Гринлиф (Greenleaf F.) 92 Гришанин Б. А. 56, 126 Гротендик (Grotendieck A.) 43 Грох (Groh U.) 81, 130 Даниэль (Daniell P.) 18, 84 Денисов Л. В. 126 Джизен (Gisin N.) 125, 129, 130 Дирак (Dirac P. A. M.) 126 Додонов В. В. 126 Долинар (Doliinar S.) 90 Дэвис (Davies E. В.) 15, 17, 18, 72, 75, 77, 78, 81, 82, 85, 95, 96, 100, 129, 132 Журне (Journe J.-L.) 107, 108, 110, 130 Закаи (Zakai M.) 124 Ингарден (Ingarden R. S.) 55, 130 Ито (Ito К.) 19, 108, 116 йоргенсен (J0rgensen P. T.) 30, 130 Карлеман (Carleman T.) 44 Каррузерс (Carruthers P.) 126 Кастлер (Kastler D.) 72 Кастрижьяно (Castrigiano D. P. L.) 69, 128 Каттанео (Cattaneo U.) 63, 128 Кеннеди (Kennedy R. S.) 52 Клаудер (Klauder J.) 126 Клаузер (Clauser J. F.) 40 Колмогоров А. Н. 7, 18, 82, 84, 126 Коссаковски (Kossakowski A.) 18, 75, 130

Кошен (Kochen S.) 38, 130 Крамер (Cramer H.) 58 Kpayc (Kraus K.) 68, 130 Крейн М. Г. 53 Кристенсен (Christensen E.) 77, 129 Куагебер (Quagebeur J.) 37 Кэдисон (Kadison R. V.) 70 Кюммерер (Kummerer B.) 80, 83, 131 Ланц (Lanz L.) 95, 100, 128 Леви (Levi P.) 18, 96 Левитин Л. Б. 54 Либ (Lieb E. H.) 37 Линдблад (Lindblad G.) 18, 55, 72, 75, 84, 131 Линдсей (Lindsay J. M.) 110, 113 Липцер Р. HI. 123 Логунов A. A. 126 Лу (Lu Y. G.) 128 Лупиери (Lupieri G.-C.) 119, 128 Лэкс (Lax M.) 52, 59 Людвиг (Ludwig G.) 11, 15, 48, 72, 131 Льюис (Lewis J. T.) 15, 17, 19, 72, 82, 85, 129 Маассен (Maassen H.) 83, 104, 113, 129 Макки (Mackey J.) 11, 21, 62, 64, 127, 130 Мак-Кин (McKean H. P.) 84 Манько В. И. 126 Манюсо (Manuceau J.) 131 Маслов В. П. 127 Мейер (Меуег Р.-А.) 113, 116, 131 Мельник (Mielnik В.) 90, 131 Менский М. Б. 96, 127 Мисра (Misra В.) 95, 131 Морозова Е. А. 60, 80 Мур (Moore R. Т.) 30, 130 Наймарк М. А. 15, 44, 46, 49, 63, фон Нейман (von Neumann J.) 7, 10, 13, 16, 22, 30, 38, 53, 86, 93, 127 Нельсон (Nelson E.) 42, 131 Ньето (Nieto M.) 126 Ньютон Т. (Newton Т.) 68

Озава (Ozawa M.) 56, 86, 88, 91, 93, 119, 131 Оксак А. И. 126 Оселедец В. И. 127 Партасарати (Parthasarathy К. R.) 19, 37, 106, 108, 109, 110, 112, 113, 115, 130, 131 Паули (Pauli W.) 25, 67 Петц (Petz D.) 56, 72, 74, 81, 131 Пирл (Pearle P.) 125, 129 Проспери (Prosperi G. M.) 95, 100, 128 Прохоров Ю. В. 127 Пруговечки (Prugovecki E.) 69, 128 Пуанкаре (Poincare H.) 68 Раджио (Raggio S.) 60 Рао (Rao С. R.) 58 Рид (Read M.) 127 Римини (Rimini A.) 125, 129 Рисе (Riesz F.) 22, 58, 127 Робертсон (Robertson H. Р.) 24 Робинсон Д. (Robinson D.) 126, 128 Робинсон П. (Robinson P.) 113 Розанов Ю. В. 127 Розенблатт (Rosenblatt M.) 37 Саймон (Simon В.) 127 Саммерс (Summers S. J.) 42, 132 Сарымсаков Т. А. 37, 81, 127 Секефальви-Надь (Sz.-Nagy В.) 127 Сигал (Segal I. M.) 11, 70, 114, 127 Синай Я. Г. 80 Синха (Sinha К.) 108 Скороход А. В. 101, 103, 111, 127 Скутару (Scutaru H.) 63, 132 Соважо (Sauvageout J.-L.) 84, 132 Стайнспринг (Stinespring W. F.) 70, 132 Сташевски (Staszewski P.) 124, 129 Стоун (Stone M. H.) 16, 22, 28, 30 Стратонович Р. Л. 52, 55, 59, 127, 132 Стритер (Streater R. F.) 19, 84, 108, 113, 128 Сударшан (Sudarshan E. С. G.) 18, 75, 95, 126, 130, 131

Чеботарев А. М. 78, 110, 128, 129 Такесаки (Takesaki M.) 73, 132 Чеккини (Cecchini С.) 74 Тодоров И. Т. 126 Чемберс (Chambers W. G.) 55, 129 Торн (Thorne К. S.) 128 Ченцов Н. Н. 60, 80, 128 Уайльд (Wilde I. F.) 108, 128 Чой (Choi M. D.) 71, 128 Ульман (Uhlmann A.) 60 Шейл (Shale D.) 132 Умегаки (Umegaki H.) 56, 73, 132 Шенберг (Schoenberg I. J.) 98 Фаннес (Fannes M.) 37 Шерстнев А. Н. 22 Фаньола (Fagnola F.) 110, 129 фок В. Шимони (Shimoni A.) 40 А. 103 Ширяев А. Н. 123 Фриджерио (Frigerio A.) 19, 81, 82, 83 Шмидт (Schmidt К.) 37, 131 84, 110, 116, 128, 129, 130, 131 Шпайхер (Speicher R.) 36, 132 Фридман (Friedman C. N.) 95, 129 Шпеккер (Specker E. Р.) 38, 130 Xaar (Haag R.) 72 Шпон (Spohn Н.) 81, 132 Хадсон (Hudson R. L.) 19, 36, 106, Шрёдингер (Schrodinger E.) 28 108, 109, 110, 112, 116, 129, 130 Шриниваз (Srinivas M. D.) 91, 132 Халфин Л. А. 130 Штермер (St0rmer E.) 48, 71 Хегерфельдт (Hegerfeldt G. С.) 37, 68, Шурманн (Schurmann M.) Ill, 128* 130 132 Хег-Крон (Hcegh-Krohn R.) 81 Эванс Д. (Evans D. E.) 77, 81, 82, 129 Хелстром (Helstrom С. W.) 15, 50, 52, Эванс M. (Evans M. P.) 110 59, 127 Эмери (Emery M.) Ill, 116, 129 Хепп (Нерр К.) 37 Эмх (Emch G.) 128 Хида (Hida T.) 115 Эпплбаум (Applebaum D. B.) 108, Хинчин А. Я. 18, 96 113, 130 Холево А. С. 15, 39, 47, 50, 53, 55, 64, Юн (Yuen H. P.) 51, 52, 59 68, 96, 106, 111, 118, 127, 130 Яйте (Jaite R.) 81, 130 Цирельсон Б. С. 42, 128, 130 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ (ГНС)-конструкция 70 Алгебра Генератор (и.-процесса) 101 — Клиффорда 27, 42 *- гомоморфизм 70 — фон Неймана 23 Детального равновесия условие 83 С*-алгебра 69 Динамическое отображение 18, 72 апостериорное состояние 86 Динамическая полугруппа квантовая апостериорное среднее 86, 123 18, 74 Белла—Клаузера—Хорна Шимони — — — ковариантная 79 (БКХШ) неравенство 40 Дисперсия 25 Блоха уравнение 80 Дополнительность 13 Вакуумный вектор 105 Измерение 89 Вектор состояния 23 — косвенное 87 Вероятностная мера (на квантовой — неразрушающее 94 логике) 21 Импримитивности система 62 Гамильтониан 28 — обобщенная 63 Гейзенберга картина 28 Импульс 29 Гельфанда—Наймарка—Сигала

Инструмент 17, 85 — безгранично-делимый 96 — воспроизводимый 90 — вполне положительный 86 Инструментальный процесс с независимыми приращениями (и.-процесс) 100 Ито формула квантовая Иорданово (симметризованное) произведение 25 Канал связи квантовый 53 Канонические коммутационные соотношения (ККС) — Вейля 29 — Вейля—Сигала 31 — Гейзенберга 30 Канонические наблюдаемые 30 Квазихарактеристическая функция 99 Квантовая логика 10 Квантовый случайный процесс 82 — ковариантный 83 — марковский 83 — стационарный 83 Ковариация 25 Коммутант 74 Коммутатор 23 Контекстуальность 39 Консервативность 77 Корреляции — квантово-представимые 42 — классически-представимые 43 Корреляционные ядра 82 Коцикл 77, 110 Крайняя точка 21 Кэдисона—Шварца неравенство 70 Ланжевена уравнение квантовое 117 Логарифмическая производная — правая 59 — симметризованная 58 Локализуемость 68 Марковское управляющее уравнение квантовое 74 Мартингал квантовый 106 Модулярная группа автоморфизмов

73 Наблюдаемая 9, 11 — вещественная 22 — времени 67 — координаты 30 — обобщенная 45 — скорости 30 — функционально подчиненная 12 Независимость 35 — свободная 36 Неопределенностей соотношение 24 — Гейзенберга 32 Оператор — положительный 20 — самосопряженный 22 — сопряженный 20 — унитарный 20 — эрмитов 20, 22 — ядерный 20 Операция 72 Открытая система 18 Отображение — аффинное 27 — безгранично-делимое 116 — вполне диссипативное 76 — вполне положительное 69 — дуальности 114 — нормальное 71 — положительное 69 — условно вполне положительно 76 Оценка параметра 57 — локально-несмещенная 59 — несмещенная 57 Паули матрицы 25 Переполненная система 44 Перестановочные операторы 23 Плотности — матрица 9 — оператор 21 Проектор 20 Проекционный постулат 17 Пропускная способность 54 Разложение единицы 14, 43 — — ковариаитное 60

— — ортогональное 9 22 Расширение — динамической полугруппы 18 82 — и.-процесса 119 Решающее правило 49, 55 — байесовское 49, 56 ' — детерминированное 47, 55 — классически-рандомизованное 48 — квантово-рандомизованное 48 — минимаксное 56 — несмещенное 57 Рождения-уничтожения операторы 104 Сверточная полугруппа инструментов Симметрия 27 Симплектическое пространство 31 След 20 — частичный 35 Смесь 11 Событие квантовое 10 Совместимые наблюдаемые 12, 24 Совместное распределение вероятностей 24 Согласованный процесс 106 Состояние 9, 11, 22 — гауссовское 32 — когерентное 32 — — обобщенное 62 — — сжатое 32 — минимальной неопределенности 32 — нормальное 23 — основное 32 — чистое 23 Спектральная мера 22 Спектральная теорема 22 Среднее значение 23 Стандартное измеримое пространство 43 Статистическая модель 12 — — Вальда 14

— — квантовой механики — — — — обобщенная 14, 45 — — — — стандартная 23 — — колмогоровская 12 — — отделимая 12 Статистический ансамбль 11 Стохастическая эквивалентность 114 Сходимость операторов — сильная 20 — слабая 20 — w*-слабая (ультраслабая) 20 Считающий процесс 102 Тензорное произведение 33 Теорема — Вигнера 27 — Глисона 21 — М. Г. Крейна 53 — М. А. Наймарка 44 — Стайнспринга 70 — Стоуна 28 — Стоуна—фон Неймана 30 — Шенберга 76 Условно положительно определенная функция 99 Условное ожидание 34, 73 Фока пространство 103 Хаотическая представимость 116 Характеристическая функция — инструмента 97 — состояния 32 Хронологически упорядоченная экспонента 111 Целостность квантовая 39 Центр (статистической модели) 12 Центральная предельная теорема квантовая 35 Числа частиц оператор 104 Шрёдингера картина 28 Шрёдингера уравнение 28 Экспоненциальный вектор 105 Энтропия относительная 72 Эргодическая теорема квантовая 80